ВЛАСОВ
Проф. А. К. ВЛАСОВ
КУРС
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
томі
КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
томі
ОГИЗ * ГОСТЕХПЗДАТ • Ш5

Проф. А. К. ВЛАСОВ
КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ТОМ I
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЯ (часть первая)
ИЗДАНИЕ 4-е, ИСПРАВЛЕННОЕ
Утверждено Всесоюзным Комитетом по делам
высшей школы ара СНН СССР в качестве
учебного пособия для высших учебных заведений
огиз
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1945 ЛЕНИНГРАД

АННОТАЦИЯ
Курс покойного профессора А. К. ВЛАСОВА на
сравнительно небольшом объеме, в простой и ясной
форме знакомит читателя с основами высшей
математики — аналитической геометрии, дифференциального
и интегрального исчисления, высшей алгебры. Книга
предназначена, главным образом, для студентов высших
технических заведений. Однако, она будет полезной
и в качестве пособия и для других вузов, в которых
математика не является основным предметом, а также
для учительских институтов.
Редактор Д. А. Райков. Техн. редактор Н. А, Тумаркина. Подписано к
печати 30/VIII 1945 г. 31,5 печ. л. 35,3 }ч.-авг. л. 44 800 тип. зн. в печ. л. Тираж 50*000 э з.
А20774. Цена і.ниги 12 р. 50 к. Переплёт 1 р. 50 к. За:аз № 5337.
1-я Образцовая тип, треста, «Полиграфкннга» Огиза при СНК РСФСР, Мое- ва,
Вцлозая, 28,

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА.
Курс покойного профессора А. К. Власова обладает
крупными педагогическими достоинствами. На сравнительно
небольшом объеме автор в простой и ясной форме знакомит читателя
с основами высшей математики — аналитической геометрии,
дифференциального и интегрального исчисления, высшей алгебры.,
Выпуская в свет четвёртое издание книги (третье издание было
выпущено Учпедгизом в 1938 г.), Государственное
технико-теоретическое издательство предназначает его, главным образом,
для студентов высших технических учебных заведений. Однако,
книга будет полезной в качестве пособия и для других вузов,
в которых математика не является основным предметом
(например, химические, географические и экономические факультеты
университетов); она может служить также учебным пособием
для учительских институтов. В создании книги, в её настоящем
виде, большое участие принимал проф. Н. А. Глаголев,
которому принадлежит значительная часть текста (около четверти
всего учебника написана Н. А. Глаголевым). В настоящем
издании всю редакционную работу провёл доктор физ.-мат. наук
Д. А. Райков, которому принадлежит ряд существенных
поправок и изменений основного текста книги.
1*

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящий «Курс высшей математики» написан для моих
слушателей в пособие к лекциям, которые я читаю в
Московском коммерческом институте и на Архитектурном отделении
Училища живописи, ваяния и зодчества. Для студентов,
специальные интересы которых сосредоточены вне математики,
изучение последней »не имеет самодовлеющей цели. Но те
требования, которые предъявляются к математике науками о
природе или инженерным искусством и техникой, не могут быть
сведены к простому собранию формул, имеющих то или иное
прикладное значение. Математику нельзя изучить как сборник
рецептов, потребных на всякий случай. Не только
самодовлеющее, но и служебное значение математики заключается в
выработке привычки к математическому мышлению.
Даже при малом запасе сведений математически воспитанная
мысль позволяет использовать этот запас в надлежащих целях,
а без привычки к математическому мышлению и большой запас
теорем и формул является бесцельным, втуне лежащим,
ненужным богатством.
Пособие к лекциям должно преследовать ту цель, чтобы
вызвать мысль изучающего к самостоятельной работе, и потому
не может не выходить за пределы ¦ экзаменационных программ
и требований, чтобы студент мог найти в нём ту или иную
мысль, затронутую на лекции, развитой до конца, мог найти
в нём и материал для самостоятельной работы в виде вопросов
и задач. Чтобы ввести в эту необходимую при изучении
математики самостоятельную работу, в предлагаемом пособии дано
много примеров, решённых задач, представляющих практический
или теоретический интерес и приноровлённых к ходу развития
математических идей курса. С той же целью более или менее
выдержан характер изложения — от конкретного к отвлечённому
4

и обратное применение отвлечённого к конкретному; много
внимания уделено предварительному выяснению самой постановки
вопроса и его значения, а потом уже следует развитие вопроса.
Курс разбит на два тома. В первый том вошли: 1)
аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве и 2) первая
часть дифференциального и интегрального исчислений, В этой
первой части устанавливаются основные понятия анализа:
понятие функции (одного независимого переменного), теория
пределов, понятие производной, дифференциала и интеграла и их
геометрическое значение; указаны способы дифференцирования
и интегрирования (без подробного рассмотрения интегрирования
рациональных дробей и трансцендентных функций) и геометрии
ч:ские приложения интегрального исчисления. Вторая часть
дифференциального и интегрального исчислений (интегрирование
рациональных дробей и трансцендентных функций, функции
нескольких переменных, разложение функций в ряды и пр.) составит
содержание второго тома, куда отнесено также и приложение
анализа к геометрии. Таким образом, задача первого тома —
установление основных положений и методов, задача второго—•
развитие тех и других.
Л. Власов.
10 июня 1914 г., Москва.

СОДЕРЖАНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ.
Зніченче математики и предварительный обзор её
основных понятий.
^ 3. Отношение математики к наукам о природе и наукам
прикладным 13
§ 2. Число и вычисление 15
§ 3. Прямые действия над целыми числами. Законы вычисления . . 15
§ 4. Обратные действия и путь обобщения понятия числа .... 16
§ 5. Дробные числа 17
§ 6. Величина и измерение. Рациональные и иррациональные числа 17
§ 7. Нуль и отрицательные числа. Полный ряд действительных
чисел ; 21
§ 8. Постоянные и переменные величины. Функция 24
§ 9. Предел 29
§ 10. Методы математики 30
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ГЛАВА Г.
Метод координат,
§ 1. Предмет аналитической геометрии 31
§ 2. Определение положения точки на прямой 31
§ 3. Определение положения точки на плоскости 32
§ 4. Определение положения точки в пространстве 34
§ 5. Расстояние между двумя точками 35
§ 6. Вычисление координат точки, делящей данный отрезок в
данном отношении 38
§ 7. Вычисление площади многоугольника по координатам его
вершин 41
§ 8. Переменные (текущие) координаты. Геометрическое значение
уравнейий 45
6

§ 9. Примеры составления уравнения данной линии 49
§ 10. Примеры построения линии по данному уравнению,
связывающему текущие координаты 50
Упражнения . 52
ГЛАВА П.
Прямая линия,
§ 1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 54
§ 2. Определение угла между двумя прямыми, данными своими
уравнениями 57
§ 3. Уравнение прямой в отрезках 59
§ 4. О проекциях 60
§ 5. Нормальное уравнение прямой 63
§ б. Определение расстояния точки от прямой 65
§ 7. Уравнение прямой данного направления, проходящей через
данную точку . . • 68
§ 8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки . . 69
§ 9. Общий обзор и постановка различных задач относительно
прямой 69
§ 10. Обобщения на случай косоугольной системы координат . . . 71
Упражнения » 73
ГЛАВА Ш,
Окружность.
§ 1. Различные виды уравнения окружности 75
§ 2. Степень точки относительно окружности 78
§ 3. Радикальная ось 80
§ 4. Пучок окружностей 81
Упражнения 82
ГЛАВА IV,
Эллипс, гипербола и парабола.
§ 1. Конические сечения , 83
§ 2. Составление уравнения эллипса 87
§ 3. Исследование уравнения эллипса. Определение вида этой
кривой 90
§ 4. Построение фокусов эллипса. Эксцентриситет 95
§ 5. Составление уравнения гиперболы 96
§ 6. Исследование уравнения гиперболы. Определение вида этой
кризой 97
§ 7. Построение гиперболы 100
§ 8. Дирек»рисы эллипса .*•••»•• 102
7

§ 9. Директрисы гиперболы - - 104
§ 10. Касательные к эллипс}' 106
§ 11. Касательные к гиперболе ПО
§ 12. Составление уравнения параболы 112
§ 13. Исследование уравнения параболы 113
§ 14. Построение точек параболы 114
§ 15. Касательные к параболе 116
§ 16. Делийская задача 120
Упражнения 121
Задачи на построение 122
ГЛАВА V,
Очерк общей теории кривых второго порядка.
§ 1. Преобразование координат 123
§ 2. Кривая второго порядка 130
§ 3. Бесконечно удалённые точки кривой второго порядка ... 132
§ 4. Преобразование уравнения кривой второго порядка при
параллельном перенесении осей. Центр кривой 135
§ 5. Кривая, распадающаяся на пару прямых 139
§ 6. Главные оси кривой второго порядка . . • 142
§ 7, Сопряжённые диаметры кривой второго порядка 146
§ 8. Преобразование уравнения кривой с центром'в бесконечности 148
§ 9. Инварианты кривых второго порядка 156
§ 10. Применение инвариантов к упрощению уравнений кривых. . 161
§ 11. Заключение 163
Упражнения ,. .. . 163
ГЛАВА VI.
Полярные координаты.
§ 1. Основная мысль координатного определения положения точки
на плоскости 166
§ 2. Полярная система координат 168
§ 3. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы .... 170
§ 4. Спирали 172
Упраж-неиия . 175
ГЛАВА VII,
Метод координат в пространстве.
§ 1. Прямоугольная система координат в пространстве 177
§ 2. Расстояние между двумя точками . . " 180
§ 3. Вычисление координат точки, делящей данный отрезок в
данном отношении ' 181
§ 4. Теоремы о проекциях 182
8

§ 5. Определение направления прямой в пространстве. Угол
между двумя прямыми 185
§ 6. Преобразование координат 187
§ 7. Геометрическое значение уравнений 190
§ 8. Примеры составления уравнения данной поверхности .... 192
§ 9. Уравнение плоскости 194
§ 10. Определение угла между двумя плоскостями 199
§ 11. Уравнения прямой линии в пространстве 201
§ 12. Определение расстояния точки от плоскости 207
Упражнения 210
ГЛАВА VIII.
Поверхности второго порядка.
§ 1. Поверхности, представляемые уравнениями второй степени
относительно текущих координат 218
§ 2. Цилиндры 220
§ 3. Конус 223
§ 4. Эллипсоид 225
§ 5. Гиперболоиды 227
§ 6. Асимптотический конус 229
§ 7. Прямолинейные образующие гиперболоида первого рода . . 230
§ 8. Параболоиды 235
§ 9. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида 236
§ 10. Плоские сечения поверхности второго порядка 239
§11. Круговые сечения поверхностей второго порядка 243
Упражнения 246
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ.
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ.
ГЛАВА I.
Элементарные функции.
§ 1. Функции и их определение 245
§ 2. Степень у—хп 250
§ 3. Показательная функция у~ах 252
§ 4. Логарифмическая функция _y=loga.v ;• 253
§ 5. Тригонометрические функции 254
§ 6. Круговые или циклометрические функции 260
Упражнения 261
ГЛАВА H,
Основания ученая о функциях. Теория пределов.
§ L Бесконечно большие и бесконечно малые величины 262
§ 2. Предел 266

§ 3. Предложения о пределах суммы, произведения и частного . 274
§ 4. Примеры нахождения пределов 276
§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины различных
порядков 278
§ й. Непрерывность и прерывность функции 282
§ 7. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного в случае
непрерывного изменения переменных 288
§ 8. Примеры разрывных функций 289
§ 9. Непрерывность элементарных функций 293
§ 10. Дополнительное определение показательной функции и
логарифма; их непрерывность 295
§11. Основные свойства непрерывных функций 302
Упражнения 311
Повторительные вопросы 312
ГЛАВА Ш.
Начала дифференциального исчисления. Дифференцирование
рациональных функций.
§ 1. Ход изменения функции 313
§ 2. Производная функция. Её геометрическое значение .... 315
§ 3. Вторая производная. Различный характер изгибов кривой
линии 326
§ 4. Дифференциал и его геометрическое значение 331
§ 5. Производная степени и постоянного 333
§ 6. Общие правила дифференцирования функций 335
§ 7. Обозначение производных, введённое Лейбницем 339
§ 8. Пример изучения хода изменения функции и построения
её графика 340
§ 9. Механическое и физическое значения производных функций 344
Упражнения 347
ГЛАВА IV,
Начала интегрального исчисления. Определённый
и неопределённый интегралы,
§ 1. Функции, имеющие одну и ту же производную. Теорема
Ролля и теорема Лагранжа о конечных приращениях .... 352
§ 2. Постановка задачи интегрального исчисления 358
§ 3. Другое геометрическое значение начальной функции и её
производной 361
§ 4. Определённый интеграл 364
§ 5. Неопределённый интеграл 369
§ 6. Основные свойства определённых интегралов 374
§ 7. Два общих правила неопределённого интегрирования .... 377
10

§ 8. Вычисление определённого интеграла с помощью
неопределенного интегрирования. Основное предложение интегрального
исчисления 378
§ 9. Доказательство существования интеграла и первообразной
функции независимо от геометрических интерпретаций . . , -382
Упражнения «... 385
глава V.
Основные формулы дифференциальнэго и интегрального
исчислений.
§ 1. Дифференцирование функции от функции 386
§ 2. Производная степени с дробным и отрицательным
показателями 387
§ 3. Предел выражения f 1-| ) _ 391
§ 4. Производная показательной функции и соответствующая
формула интегрального исчисления 399
§ 5. Производная логарифмической функции и соответствующая
формула интегрального исчисления 401
§ 6. Графики показательной и логарифмической функций .... 495
§ 7. Применение показательной функции . 407
§ 8. Производные тригонометрических функций и
соответствующие формулы интегрального исчисления 409
§ 9. Графики функций: sin*, соэлг, tg* и ctg* 413
§ 10. Производные обратных тригонометрических или круговых
функций и соответствующие формулы интегрального
исчисления 418
§11. Применение логарифмической производной при
дифференцировании некоторых функций - 427
§ 12. Таблица основных формул дифференциального и
интегрального исчислений 429
§ 13. Общие правила неопределённого интегрирования. Способ
подстановки. Интегрирование по частям 430
§ 14. Введение нового переменного и интегрирование по частям
в применении к определённым интегралам 434
Повторительные вопросы . А 438
Упражнения.... 438
ГЛАВА VI.
Дополнения к теории определённых интегралов.
(Обобщения, приближённое вычисление и оценка.)
§ 1. Интегралы с бесконечными пределами 442
§ 2. Интегралы прерывных функций 444
И

§ 3. Механические квадратуры. Формула трапеций и формула
Симпсона 450
§ 4. Оценка значения определённого интеграла 459
Упражнения 465
ГЛАВА VII.
Приложения интегрального исчисления к геометрии.
§ 1. Квадратура площадей в прямоугольных и косоугольных
координатах 465
§ 2. Вычисление площади, ограниченной замкнутой кривой
линией 467
§ 3. Случай параметрического представления кривой 468
§ 4. Квадратура криволинейного сектора в полярных координатах 470
§ 5. Площадь криволинейного сектора при параметрическом
представлении кривой. ........ 472
§ 6. "Спрямление дуги плоской кривой линии 475
§ 7. Элемент дуги плоской кривой 477
§ 8. Спрямление дуги кривой при параметрическом представлении
кривой и в полярных координатах 478
§ 9. Спрямление дуги пространственной кривой 479
§ 10. Кубатура тел 482
§ 11. Компланация поверхности вращения 435
§ 12, Механическое и физическое значения определённого
интеграла 487
Упражнения 492
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ПЕРВОГО ТОМА
Алфавитный указатель 501

ВВЕДЕНИЕ.
ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ
ОБЗОР ЕЁ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ,
§ 1. Отношение математики к наукам о природе
и наукам прикладным.
Натуралист, изучающий природу, — всё равно, в
-теоретических ли интересах или в целях утилитарных, — как только
вступает на путь точного знания, необходимо сталкивается
с такого рода количественными соотношениями, которые не
укладываются в рамки простой арифметики.
Идеализируя результаты непосредственных исследований,
строя те или иные гипотезы, он ограничивается сначала
простыми соотношениями, но дальнейшая теоретическая обработка
опытных данных приводит к таким зависимостям между
различного рода величинами, которые требуют для своего выражения
и исследования усовершенствованного языка математики. И этот
усовершенствованный язык часто является необходимым ключом,
открывающим его обладателю дальнейшие перспективы
строимой теории. Натуралист должен, таким образом, понимать язык
математики.
С другой стороны, инженер, техник, архитектор при
создании своих произведений стремятся использовать данные природы
для целей служения человеку. В этом стремлении одна из
первых их забот — придать предметам такую форму или
расположить их в такой порядок, чтобы распределение тех или иных
входящих сюда величин было наиболее целесообразным,
наиболее выгодным и требовало наименьшей затраты человеческого
труда. Возможность достигнуть такого рода целесообразности
обусловливается существующими зависимостями между формой
предметов и различного рода величинами. Для выражения
и изучения этих зависимостей необходим усовершенствованный
язык математики. Инженер, техник, архитектор в такой же,
если не в большей степени, чем натуралист, должны быть
и математиками. Математика даёт им средство предсказать
13

наперёд чертежами и расчётами, какова будет форма их
создания и целесообразно ли будет в нём распределение сил, масс
и других каких-либо величин.
Но математика, преследующая свои теоретические цели,
служит для них лишь вспомогательной наукой. Практик должен
понимать язык вспомогательных средств практических
применений математического вычисления, должен уметь обращаться
со всевозможными таблицами, графическими вычислениями
(номографией), сокращёнными вычислениями, различного рода
диаграммами* и т. п. Одним словом, практик должен взять от
теории прежде всего то, что ему необходимо. Но чтобы уметь
взять от математики необходимое, он должен быть
ориентирован в основных понятиях её, должен научиться
мыслить в своих задачах математически, т. е.
уметь применять к своим задачам математические методы
исследования.
Самое трудное при изучении всякой вспомогательной науки —
эж) войти в интересы этой науки, которые при первом взгляде
кажутся далеко лежащими от ближайших интересов изучающего.
На математику нельзя смотреть как на сборник готовых
рецептов, нельзя изучить математику как такой сборник, но можно
только изучать: ценность заключается не в приобретённых
сведениях как таковых, — сведениях, многие из которых, быть
может, и не имеют непосредственных приложений, ав
приобретённом при изучении навыке мыслить теми
понятиями и образами, которые составляют эти
сведения.
Ближайшим побуждением к приобретению такого навыка и
служит понимание интересов изучаемой науки, и обратно —
приобретаемый навык расширяет понимание интересов и целей
математики. Но с чего начать? Где нужно искать начальный
интерес, вводящий в изучение математики? Основные понятия,
возникающие в нашей мысли вместе с представлением о
математике, суть число и вычисление, величина и измерение,
геометрические образы и построения.
Прежде всего и должно отдать себе отчёт в том, что1
разумеют под этими терминами, какие возникают здесь вопросы
и затруднения, какие новые идеи надо присоединить к этим
понятиям, чтобы войти ' в дальнейшие интересы математики.
В нашу задачу не входит всесторонний анализ её основ,
преследующий цели философские или цели чистого знания. Наша
цель заключается лишь в том, чтобы выяснить генезис
основных понятий, наметить путь постепенного формирования
математических представлений.
14

§ 2. Число и вычисление.
То, что разумеется под числом в математике,
представляется очень сложным понятием. Это понятие образовалось
путём постепенных обобщений, диктуемых потребностями и
теории и практики. Первоначально составляется понятие о целом
числе путём счёта предметов, составляющих то или другое
собрание, совокупность, будем говорить — множество. Число
и характеризует в соответствующем — количественном—
отношении это множество. Счёт же сообщает этому понятию числа
другой характер, характер порядковый, именно — число
является отметкой того места, которое занимает последний
элемент множества, расположенного в какой-либо порядок. Это
понятие о числе и является прототипом общего понятия о нём,
а счёт как элементарная операция, элементарное действие
над числом, является прототипом общего понятия об
операциях над числами, прототипом общего понятия о вычислении..
Соответственно количественному и порядковому характеру
понятия числа можно установить две точки зрения и на те
отношения между числами, которые характеризуются словами:
больше, равно, меньше. С одной точки зрения, — это
отношения величин между собой, с другой, — распределение
сравниваемых чисел «о месту, занимаемому ими в
определённом ряду.
§ 3. Прямые действия над целыми числами.
Законы вычисления.
Прямые действия над целыми числами — сложение и
умножение— сводятся, согласно первоначальным определениям этих
действий, к простому счёту, являются комбинированным счётом:
приложить одно целое число к другому, умножить одно целое
число на другое в конце концов значит сосчитать. Свойства»'
которыми обладают эти действия, являются в то же время
и основными свойствами множеств и счёта или логически
выводятся из этих основных свойств и составляют следующие
основные законы вычисления, которые в расширении
понятия числа играют существенную роль.
А. Основные законы сложения.
1. Сложение двух чисел всегда выполнимо без
ограничений — сумма двух целых чисел есть тоже целое число.
2. Сложение двух чисел — действие однозначное, т. ег
существует только одно целое число, являющееся суммой двух
данных целых чисел.
16

3. Закон сочетательный: а-\- (Ь~{~с) = {а -f *) + ?, т. е.
¦сложить данное число ""с суммой двух других можно, прибавляя
к данному числу первое слагаемое прикладываемой суммы и к
полученному результату второе.
4. Закон переместительный: a-^rb — b-^-a, т. е. сумма
не меняется от перестановки слагаемых.
5. Закон монотонии: если а^>Ь, то и а-\-с^>Ь-\~с, т. е.
сумма увеличивается с увеличением слагаемого.
Те же законы, но с другим содержанием, имеют место
и для умножения.
В. Основные законы умножения.
1_ Умножение одного числа на другое всегда выпол-
яимо— произведение двух целых чисел есть тоже целое число,
2. Умножение одного числа на другое — действие
однозначное, т. е. существует только одно число, являющееся
произведением одного числа на другое.
3. Закон сочетательный: а- (Ь• с) = (а*Ь) • с = abc, т. е.
умножить число на произведение двух других можно, умножая
его на" множимое этого произведения и полученный результат
на множитель.
4. Закон переместительный: a*b = b*a9 т. е.
произведение не меняется от перестановки множимого и множителя.
5. Закон монотонии: если а^>Ь, то и ас^>Ьс, т. е.
произведение увеличивается с увеличением одного из сомножителей.
Наконец, для умножения и сложения имеет место так
называемый
6. Закон распределительный: a*{b-\-c) = a-b-\~a-c, т. е.,
чтобы умножить число на сумму двух других, можно умножить
его на каждое слагаемое отдельно и полученные произведения
сложить.
Эти законы имеют определяющее значение при логическом
построении арифметики, но и при элементарном её изложении
они имеют существенное значение, так как на них зиждется
теория действий над числами, теория приведения этих действий
к основным таблицам сложения и умножения,
§ 4. Обратные действия и путь обобщения понятия числа.
Обратные действия — вычитание и деление целых чисел —
не подчиняются прежде всего первому закону: действия эти
выполнимы лишь при некоторых условиях, которым должны
подчиняться уменьшаемое и вычитаемое, делимое и делитель.
Чтобы освободить эти действия от ограничительных условий,
нужно ввести йовые числа, нужно расширить понятие числа.
16

Таким образом вводятся, с одной стороны, дробные числа,
с другой — куль и отрицательные числа.
Смотря по тому, какая тенденция преследуется при этом
расширении понятия о числе, содержание этих новых понятий
можно характеризовать различно—более отвлечённо или более
конкретно. Конкретная почва больше соответствует целям
настоящего курса, поэтому мы и будем в дальнейшем
придерживаться более конкретного толкования новых чисел.
§ 5. Дробные числа.
Если исходить из понятия множества как собрания
отдельных предметов, единиц, то для определения дробных чисел
нужно звести понятие сложной единицы, делимой на части.
Понятие сложной единицы входит уже в самую систему
счисления: десяток, сотня, тысяча и так далее суть примеры сложных
единиц. Таким образом имеется возможность ввести дробные
числа. Знаменатель характеризует соответствующие части
единицы, а числитель играет ту же роль, как целое число по
первоначальному определению.
После введения дробных чисел нужно определить действия
над ними, установить признаки, характеризующие те отношения
их между собой и отношения к целым числам, которые мы
выражаем словами: больше, равно, меньше, и показать, что
для дробных - чисел законы вычисления остаются теми же
самыми, что и для целых. После этого целое и дробное числа
объединяются в одну категорию понятия числа.
§ 6. Величина и измерение.
Рациональные и иррациональные числа.
К более обширным следствиям приводит рассмотрение н е-
прерывной величины. Примерами таких величин могут
служить длина, площадь, объём, время, масса, вес и т. п.
Делимость единицы входит в самое понятие такой величины.
Число получается при измерении непрерывной ;величины,
например длины. Операция измерения состоит не в простом
счёте, который по предыдущему приводит к числу, но в
предварительном, разбиении измеряемой величины на части, ргавные
другой однородной величине, принятой за единицу
измерения, в разбиении остатка на доли единицы, соответственно
принятой системе, счисления .например, десятые, сотые
и так далее доли первоначальной единицы,--if наконец, в счёте
2 Курс высшей математики 17

полученных единиц и долей единицы меры. Полученное
в результате измерения число характеризует измеряемую
величину в её отношении к величине, принятой за единицу
меры. Число может быть, в этом смысле, определено как
отношение двух однородных величин, как отношение
измеряемой величины к единицам меры.
Но при измерении двух величин могут быть два случая:
измеряемая величина и величина, принятая за единицу меры, могут
быть соизмеримыми или несоизмеримыми.
В случае соизмеримости операция измерения может быть
доведена до конца1). Остатки в конце концов будут
исчерпаны, и в результате измерения в этом случае получится целое
или дробное число, короче —рациональное2) число, которое
и выражает отношение измеряемой величины к единице
меры.
В случае несоизмеримости операция измерения не может быть
довгдена до конца, является процессом бесконечным,
и, таким образом, приходится постулировать существование
числа, характеризующего отношение измеряемой величины
к единице меры. Но -что же разуметь в этом случае под
словом «число»? При разбиении измеряемой величины на части,
равные единице меры и её долям — десятым, сотым и т. д.,
можно остановиться на долях любой величины, отбрасывая
соответствующий остаток, и сосчитать полученные части;
получим, таким образом, число в прежнем смысле, т. е.
рациональное число, соответствующее меньшей величине, а если
прибавить одну долю, ббльшую остатка, то рациональное же число,
соответствующее большей величине. Эти рациональные числа
будут выражать приближённо отношение измеряемой
величины к единице меры и будут приближёнными значениями
этого отношения — одни с недостатком, другие с избытком.
Всякое число первой группы меньше лю б erf о числа второй.
При продолжении операции измерения приближённые, значения
с недостатком увеличиваются, а приближённые значения с из-
3) Если разбивать остатки обязательно на десятичные доли единицы,
т. е. выражать результат измерения в виде десятинной дроби, то и при
соизмеримости может случиться, что операция измерения продолжается
безгранично, именно когда отношение измеряемой величины к единице
меры выражается бесконечной периодической дробью. Но вводя иные
доли единицы, не десятичные, можно избежать этого бесконечного
процесса.
2) Отношение двух однородных величин, например отрезков, у
геометров античной эпохи называлось по-гречески Хоуос; (буквальное
значение — слово), а в латинском переводе ratio (буквальное значение —
разум).
18

бытком уменьшаются. В случае несоизмеримости измеряемой
величины и единицы меры приближённые значения с
недостатком увеличиваются, но увеличиваются постоянно и не имеют
последнего значения, не имеют максимума, а приближённые
значения с избытком, уменьшаясь, не имеют последнего значения,
не имеют минимума. В случае соизмеримости рациональное
число, точно выражающее отношение измеряемой
величины и единицы меры, и будет максимумом одних
приближённых значений и минимумом других, и, таким образом, это
число отделяет одну группу приближённых значений от другой.
В случае несоизмеримости всякое рациональное число
обладает одним и только одним из следующих двух свойств:
или оно меньше всякого приближённого значения второй группы
(с избытком) или оно больше всякого приближённого значения
первой группы (с недостатком). В случае соизмеримости можно
сказать то же самое относительно всякого рационального числа,
кроме только того, которое точно выражает рассматриваемое
отношение: оно одновременно меньше всякого
приближённого значения с избытком и больше всякого приближённого
значения с недостатком. Таким образом, самый способ
измерения, будет ли он конечным процессом (случай
соизмеримости) или бесконечным (случай несоизмеримости),
распределяет все рациональные числа на два класса так, что каждое
рациональное число принадлежит одному классу, и лишь в
случае соизмеримости самое число, точно выражающее отношение
измеряемой величины к единице меры, может быть по произволу
отнесено к любому из этих двух классов. В этом последнем
случае не только способ измерения,1 но самое число,
являющееся результатом измерения, распределяет все рациональные
числа на два класса, производит, по выражению Дедекинда
(Dedekind), сечение в области рациональных чисел. В случае
же несоизмеримости, хотя числа (в прежнем смысле, т. е.
числа рационального), производящего сечение в области
рациональных чисел, и не существует, но самое сечение, самое
распределение рациональных чисел на два класса,
распределение, вытекающее из самого способа измерения, существует.
Такое распределение .рациональных чисел на два класса и
кладётся в основание обобщения понятия «числа».'Для каждого
данного случая измерения одного отрезка другим,
несоизмеримым с ним, мы постулируем «число», производящее
соответствующее сечение в области рациональных чисел, число в
обобщённом смысле, число не в прежнем смысле, число
нерациональное, иначе— число иррациональное. Раз указан способ
распределения всех рациональных чисел на два класса, мы,
2* Ш

несмотря на бесконечность процесса измерения, можем считать
сечение произведённым и соответствующее
иррациональное число данным.
Действия над иррациональными числами, по
определению, сводятся к действиям над рациональными
приближёнными их значениями и подчиняются тем же законам
вычисления, как и действия над целыми числами. Определены
также могут быть и те отношения иррациональных чисел к
рациональным и между собой, которые мы выражаем словами:
больше, равно, меньше. Как и для целых чисел, на эти
отношения можно установить две точки зрения — или как на
отношения величин между собой, как на сравнение чисел по
величине, или как на распределение сравниваемых .чисел по
месту, занимаемому ими в определённом ряду.
Таким образом, исходя из понятия целого числа, мы пришли
к числам дробным, которые вместе с целыми числами
составляют класс чисел рациональных, а потом и к числам
иррациональным. К такому обобщению понятия числа приводит, с одной
стороны, стремление освободить деление от ограничительных
условий, иначе — принятие делимости единицы на части, с другой —
измерение непрарывной величины. Теперь, после таких
обобщений, можно установить следующее основное предложение,
обусловливающее приложимость вычисления к геометрии.
Всякому прямолинейному отрезку при данной единице
меры соответствует определённое число, и обратно —
всякому числу (рациональному или иррациональному) при данной
единице меры соответствует отрезок определённой длины.
Первая часть этого предложения, как следует из
предыдущего, является в случае несоизмеримости постулатом, вводящим
при измерений иррациональное число, вторая часть является
соответствующим геометрическим постулатом, определяющим
существование отрезка, имеющего с данной единицей меры
данное (иррациональное) отношение.
Всякий способ, помимо измерения, разделяющий
рациональные числа на два класса указанного выше свойства, способ,
производящий сечение в области рациональных чисел,
определяет число в обобщённом смысле, число, которое может быть
рациональным или иррациональным. Такой способ "могут дать,
например, обратные действия высшего рода, как извлечение
корней, решение уравнений высших степеней. Так, например,
извлечение квадратного корня из 2, обозначаемое знаком ]/§,
даёт такой способ и, следовательно, определяет число. Задача
состоит в том, чтобы найти число л:, квадрат которого равнялся
бы 2. Среди целых чисел, очевидно, нет такого числа, но
20

и среди дробных такого числа нет, ибо допущение, что
искомое число х равняется несократимой дроби — , приводит к аб-
сурду, что несократимая дробь -р должна равняться целому
числу 2. Несмотря на это, поставленная задача даёт способ
разделить рациональные числа на два класса: всякое
рациональное число, квадрат которого меньше 2, принадлежит к одному
классу, а всякое число, квадрат которого больше. 2,
принадлежит к другому. Нетрудно убедиться, что всякое число первого
класса меньше любого числа другого класса и что всегда можно
подобрать два числа из разных классов так, чтобы разность
между ними была сколь угодно мала. Каждое из этих чисел
будет приближённым значением у 2. Пусть, например, требуется
найти два приближённых значения: одно с недостатком,
другое с избытком, отличающиеся одно от другого на ^. Если х2
должно равняться 2,' хо (\0х)2 должно равняться 2-Ю2, или
200. Непосредственно подбираем два числа, квадраты которых
один меньше, другой больше 200; такими числами оказываются
14 и 15:
142=19б, 152 = 225, 142<200<152.
Следовательно, 14 и 15 отличаются от \0х меньше чем
на 1, а 1,4 и 1,5 отличаются от искомого числа меньше чем
наі:
1,4<*<1,5.
Следует заметить, что решение уравнений первой степени
с рациональными коэффициентами всегда приводит в результате
к рациональному числу, а решение уравнений второй и
высших степеней может привести и к рациональным и к
иррациональным числам, ибо для решения уравнений первой степени
достаточно иметь в распоряжении лишь рациональные
операции, т. е. сложение и умножение, вычитание и деление, а для
решения уравнений высших степеней этих операций недостаточно.
§ 7. Нуль и отрицательные числа. Полный ряд
действительных чисел.
Стремление освободить обратное действие вычитания от
ограничительных условий (уменьшаемое больше вычитаемого)
приводит к иного рода обобщению понятия числа, именно
вводит в ряд чисел нуль и под именем отрицательных чисел—•

разности, невозможные с первоначальной точки зрения,
разности, у которых уменьшаемое меньше вычитаемого. Этим самым
в понятие числа вводится оперативное начало: отрицательные
числа являются символами невыполненных ещё действий —
прибавления уменьшаемого и вычитания вычитаемого. В
сущности и в предыдущем обобщении введено в понятие числа
оперативное начало: дробь можно рассматривать как символ
невыполненного ещё умножения на числитель и деления на
знаменатель.
Отрицательные числа могут быть введены и конкретным
путём, как относительные числа, из рассмотрения
противоположных аеличин, как, например, капитал и долг,
прибыль и убыток и т. п., или противоположных понятий, как
вперёд и назад, вправо и влево, вверх и вниз и т. д.
Положительное или отрицательное -число характеризует не только
величину, но и отношение её к этим противоположным
состояниям, поэтому они и могут быть названы
относительными числами.
После введения относительных (положительных и
отрицательных) чисел должно определить действия над ними и показать,
что законы вычисления и для этих чисел остаются теми же
самыми, кроме закона монотонии для умножения. Нужно
заметить, что те отношения между числами, которые отмечаются
словами: больше, равно* меньше, указывают теперь не
на сравнения чисел по величине в первоначальном смысле этого
слова, а на распределение сравниваемых чисел
по месту, занимаемому ими в определённом
ряде; поэтому закон монотонии при умножении (§ 3) имеет
место лишь для абсолютных значений относительных чисел.
Нуль имеет первоначальное значение цифры, указывающей
на отсутствие единиц того или другого разряда. Но раз
отрицательные разности (при уменьшаемом, меньшем вычитаемого)
введены как числа, то мы должны рассматривать как «число»
и разность с уменьшаемым, равным вычитаемому, и
воспользоваться для обозначения этого «^исла» цифрой 0. Определения
действий над этим числом в той или другой мере должны быть
обобщены. В результате определений получаем:
где а — какое угодно число. Но обращение умножения, т. е.
деление, если делителем является нуль, невозможно или
неопределённо,
22

В самом деле, нет ни одного числа, которое, будучи
умножено на нуль, давало бы, по определению действия деления,
делимое а, ибо произведение множителей, из которых один
равен нулю, равно также нулю: а-0 — 0, или 0-а=:0. Если
же а=0, то всякое число удовлетворяет поставленному усло-
0
вию, и следовательно, результат такого деления -^ не может
быть определённым.
Таким образом, мы имеем теперь ряд действительных чисел,
этот ряд безграничен в ту и другую стороны, нет в нём
первого числа и нет последнего.
При изображении чисел в виде десятичных дробей
рациональные числа представляются конеч ными десятичными дробями
или бесконечными, но периодическими (например, -«- =
= 0,666 ... ; -т.- =» 0,8333...). Иррациональные числа
изображаются бесконечными непериодическими .десятичными
дробями.
На практике иррациональные числа заменяются, конечно,
рациональными, и даже рациональные числа, изображённые
в виде десятичных дробей с большим числом десятичных знаков,
заменяются десятичными дробями с меньшим числом
десятичных знаков: по характеру вопроса в каждом отдельном случае
определяется, какой степенью точности можно удовлетвориться.
Таким образом, мы здесь сталкиваемся с вопросом о точности вы:
числения. Отбрасывая или не зная наперёд малоценных по
существу задачи разрядов данных чисел, мы допускаем в них
погрешность и в результате действий с такими приближёнными
значениями получим, конечно, тоже погрешность, оценить
которую и составляет существенную задачу практических
вычислений. Часто бывает важно знать или оценить не абсолютную
погрешность, а относительную, т. е. не просто отброшенную или
неизвестную часть точного значения числа, а отношение этой
абсолютной погрешности к величине самого числа. Абсолютная
погрешность может быть велика, а относительная очень мала
и удовлетворять требованиям точности, предъявляемым в
данном практическом вопросе.
Иррациональные числа служат не практическим целям, а
теоретическим. Введение иррационального числа даёт
определённое арифметическое содержание идее непрерывности. Изучение
величин, непрерывно меняющихся, каковыми они постулируются
при построении теории, может быть сведено теперь к изучению
непрерывно меняющихся чисел.
2S

§ 8, Постоянные и переменные величины. Функция.
При постановке той или другой математической задачи
некоторые величины являются данными, или известными,
другие — искомыми или неизвестными. Элементарная
математика и обращает внимание на такое именно разделение
величин. При полном числе условий, если условия эти
достаточно простые, можно составить достаточное число
уравнений, из которых искомые или неизвестные величины и
определяются; так, для определения двух неизвестных необходимо
составить два независимых .уравнения, для определения
трёх неизвестных — три уравнения и т. д.
Высшая математика переносит внимание на другую сторону
постановки той или 'иной задачи. Конечно, разделение величин
на известные и неизвестные, данные и искомые остаётся в силе,
но главный интерес она сосредоточивает на; зависимости
одних величин от других, именно" на зависимости
изменения одной, величины от изменения другой или других,
и с этой точки зрения разделяет величины на постоянные
и переменные.
Постоянные величины одни по существу имеют
определённое числовое значение, например отношение окружности к
диаметру, другие — вследствие условий задачи. При переходе
к другой аналогичной задаче эти последние могут получить
другие размеры или другое числовое значение; примером может
служить радиус круга. Такого рода постоянные часто называются
параметрами*
Переменные величины в одной и той же задаче могут
получать различные числовые значения — или всевозможные в
указанных заранее пределах, например от —1 до -|- 1, или с
какими-либо ограничениями, например принимать только целые
значения или всевозможные без ограничений. Так, если в окружности,
радиус которой равен единице, рассматривается подвижная
хорда, выходящая из какой-либо точки круга, то эта хорда
будет величиной переменной, которая может изменяться от О
до 2. В выражениях
y + Y + -3-j~ •••+5Г нли Ь2'3*4,..*
х может быть по смыслу только целым числом.
Если мы имеем две переменные величины, одна из которых
находится в нашем распоряжении, так что ей мы можем давать
различные числовые значения, а другая меняется только в
зависимости от изменений первой величины, то первая из них
24

называется независимой переменной, или аргументом, а
вторая— зависимой переменной, или функцией. Изучение
функций и составляет главную задачу высшей математики.
Примеры функций. 1. В уравнении
2х — Зу—5 = 0
три постоянных: числа 2, 3, 5, и две переменные величины: дг
и у* Из этих двух переменных произвольно изменять мы можем,
только одну, другая же определяется в зависимости от первой.
Давая, например, х любое числовое значение, мы тем самым
получим для у определённое значение: переменное число х при
таком порядке изменения — аргумент, а у — функция.
Изменения аргумента х и функции у в этом примере связаны
данным уравнением.
2. Пусть мы имеем ромб ABCD (черт. 1), стороны которого
в виде стержней связаны в вершинах шарнирами. Длину
каждой стороны примем равной единице. Та- д
кой ромб может менять свою форму; при
этом будут меняться и его диагонали АС
и 3D, Пусть одна из диагоналей имеет д<^- 1 ^>Г
длину х, а другая у.
Две переменные величины х и у в
своих изменениях зависят одна от другой: и
легко себе представить, как увеличива- Черт. 1.
ется у при уменьшении х, или
наоборот. Эту зависимость можно выразить алгебраическим
соотношением— алгебраическим уравнением, связывающим переменные-
величины х а у, В самом деле, сумма квадратов диагоналей
всякого параллелограмма равна сумме квадратов четырёх его-
сторон. Каждая сторона рассматриваемого ромба равна U
Следовательно,
х2-\-у2 = 4:
Давая х различные числовые значения, т. е. принимая х
за аргумент, можно из этого уравнения вычислить и
соответственные значения величины у, которая является
функцией х:
Как видно из этой формулы, а также и из геометрических
соображений, аргументу х можно давать различные значения
в пределах между 0й2,
25

3. В тригонометрии изучают зависимость отношений
сторон прямоугольного треугольника от одного из острых углов.
Пусть дан прямоугольный треугольник ЛВС, где С—вершина
прямого угла; обозначим стороны треугольника, как это
обычно принято, строчными буквами, соответствующими
обозначениям противолежащих вершин (т. е. буквой а—катет,
лежащий против вершины' Л, и т. д.). Форма этого треугольника,
а стало быть, и отношения его сторон:
Ь
а
а
•¦У, іг = *>
с с Ь_
1Г ' Ь ' а
вполне определяются величиной одного из острых углов <р =
z=^CAB. При изменении этого угла изменяется и форма
треугольника, а следовательно, изменяются и отношения сторон.
Угол ср поэтому можно считать аргументом, а числа х, у, z, к,
v, w — функциями этого угла. Зависимость этих функций
от аргумента ср нельзя выразить алгебраически, подобно
зависимости в предыдущем примере; для выражения её приняты
особые символы, именно:
x = sin у,
и = cosec <р,
j/ = costp, z = tg(p;
z/ = sectp, w = ctg®.
Таково первоначальное определение
тригонометрических функций', по смыслу этого определения аргумент ср
должен быть острым углом, т, е. меняется
тс
между 0 и-т;
0<*<f
Для других значений аргумента
функции остаются пока без определения.
Распространение определения
тригонометрических функций и для значе-
Черт. 2. ний аргумента, выходящих из указанных
границ, приводит к обычной
геометрической интерпретации этих функций в виде тех или иных линий
в плоскости круга, радиус которого принят за единицу (черт. 2);
NM . ON AT
UM=sm(?> mr=C0S(?> ш=^ь
BC м» 0Т °С
86

Здесь уже каждому.действительному значению аргумента <р
соответствует определённое значение функций sin ери cos ср; функции
tgcp и sec ср определены для всех тех значений ср, для которых
cos ср отличен от нуля; аналогично, ctg ср и cosec ср определены
для всех тех значений ср, для которых sin ср отличен от нуля.
Зависимость между переменными величинами выражается
в том, что каждому значению аргумента
соответствует определённое значение функции; это
свойство и является характерным признаком, определяющим
понятие функции. Функциональная зависимость может
выражаться помощью алгебраических знаков величин и операций
над ними, ка:< в первых двух предыдущих примерах; но может
быть и невыразимой алгебраически, и, таким образом, является
необходимость введения новых символов; например, для
тригонометрических функций вводятся символы: #y=sincp, z —
= cos ср и т. д.
Если мы хотим выразить математическим символом, что одна
величина у зависит от другой х9 но не знаем точно природы
этой зависимости или не можем определить её пока помощью
алгебраических или иных известных знаков, или, наконец, просто
не интересуемся конкретным её видом, то мы пишем так:
y = f(x) и читаем: у есть функция от х, или у есть функция х.
Здесь / (начальная буква латинского слова functio)—не
величина, а символ зависимости, и чтобы не принять правую часть
за произведение, аргумент х ставят в скобки. Знак f(x)
обозначает переменную величину функции, соответствующую
переменной величине аргумента, а знак /(а) представляет значение
функции, которое она принимает при х=а.
Если в одной и той же задаче рассматриваются
различные функции (у, z, и, v и т. п.), зависящие различно от
одного и того же аргумента (х)> то эти функции должны быть
обозначены различно: например y = f(x), z=F(x)1 u = y{x)
и т. п. Символом зависимости можно выбрать любую букву,
не имеющую даже созвучия с начальной буквой слова functio,
например v = g(x), и даже буква, обозначающая величину
функции, может служить символом соответствующей зависимости,
например, v = v(x): здесь v в левой части — величина функции,
v в правой — символ зависимости.
Рассмотрение переменных величин естественно наталкивает
на введение трёх новых символов:
-j- ОО, ОО И 00.
Переменная величина, которая может принимать значения,
сколь угодно большие по абсолютной величине, называется
27

бесконечно большой. Примером бесконечно большой величины
может служить частное —, где а постоянно и отлично от нуля,
¦Л*
а х может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю.
Если представить себе, что х неограниченно приближается
нулю, оставаясь положительным, а а^>0, то частное — будет
становиться и оставаться большим всякого, сколь угодно
большого, положительного числа. Это символически записывают так:
и говорят, что — «стремится к плюс бесконечности». Если же х
неограниченно приближается к нулю, оставаясь всё время
отрицательным, то частное — будет становиться и оставаться
х
меньшим (в алгебраическом смысле) всякого, сколь угодно
большого по абсолютной величине, отрицательного числа. Это
символически записывают так:
а
и говорят, что — «стремится к минус бесконечности». Нако-
нец, если х неограниченно приближается к нулю, принимая
значения обоих знаков, либо если знак х нам не интересен
а
или не известен, то частное —, во всяком случае, неограни-
ченно увеличивается по абсолютной величине. Это
символически записывают так:
а
>¦ оо
X *
а
и говорят, что — «стремится к оесконечности>.
Символы -\-оо, —оо и оо не представляют собой числа;
с ними не производят никаких арифметических действий. Это —
новые математические знаки, добавляемые к
действительным числам. При этом на символы -{-со и — оо
естественно распространяют соотношения порядка, имеющие место для
действительных чисел. А именно, каждое действительное число
считают бблышш —оо и меньшим -|-оо. Таким образом, —оо
и -f- со как бы заменяют, соответственно, не существующие на
самом деле «наименьшее» (в алгебраическом смысле) и «наибольшее»
действительные числа. Так, для того, чтобы указать, что х
принимает произвольное действительное значение, пишут:
28

Добавление к действительным числам символов
бесконечности позволяет естественным образом приписать
определённее «значение» некоторым функциям для тех значений
аргумента, где эти функции первоначально не определены. Так,
tgcp не определён для значения аргумента ср=-?-; но при не-
ограниченном приближении ® к -=¦ абсолютная величина tg'.p
неограниченно возрастает, причём tgcp положителен для и><^і
Zi
и отрицателен для ?^>у. В соответствии с этим тангенсу
приписывают при f = y «значение» оо. В этом и
заключается смысл записи
§ 9. Предел.
Вычислить, по первоначальному смыслу слова, значит
выполнить то или иное арифметическое действие или ряд таких действий.
Выполнение ряда арифметических действий над рациональными
числами сводится * в конце концов к конечному счёту. Но
уже в понятие иррационального числа, как было отмечено
раньше, включена идея бесконечного процесса. С таким
же бесконечным процессом имеют дело и некоторые задачи
элементарной математики. Периодическая дробь, например
0,2323..., которая является бесконечно убывающей
прогрессией:
23 . 23 , 23
100 ' 1002 *~ 1003' ' *>
всякая иная бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,
например 1+у+1" + "8~+в**' вычисление площади круга —
представляют примеры таких бесконечных процессов. Результат
бесконечного процесса достигается не путём простого счёта,
а с помощью перехода к пределу. Так, мы можем вычислить
площадь вписанного в данный круг квадрата, далее площадь
восьмиугольника, потом шестнадцатиугольника и т. д., но
никогда при таком последовательном вычислении не достигнем
площади круга. Для суждения о величине этой площади
необходимо совершить переход к пределу.
29

Применение бесконечного процесса, т. е.. теории пределов,
к изучению функций приводит к таким понятиям, как
производная, дифференциал и интеграл. Смысл и
значение этих терминов будут разъяснены и развиты далее. Учение
о них разделяется на два отдела: дифференциальное и
интегральное исчисления, которые входят в одну
науку математического анализа или просто анализа.
§10. Методы математики.
Расширение понятия числа ведёт к соответственному
расширению понятия вычисления и сопровождается созданием
новых математических образов и понятий, служащих орудием
математического исследования, орудием, которое и носит
название аналитического метода. Свести какую-либо задачу,
хотя бы и конкретного, но. математического содержания, к
задаче вычисления — и значит решать эту задачу аналитически.
Но есть и другой способ математического познания,
который стремится ту или иную математическую мысль воплотить
в какой-либо доступной представлению геометрической форме,
не готовой или данной наперёд, а созидаемой путём
построения, соответственно взаимоотношениям различных сторон
воплощаемой мысли. Такой путь познания составляет метод
геометрический. Этот метод обогащается в своём содержании
и средствах вместе с развитием и расширением понятий
построения и формы.
Таким образом, анализ, как понимается это слово в
математике, можно охарактеризовать в общих чертах одним
словом — вычисление, понимая этот термин в обширном смысле.
Соответственным образом геометрия как метод
характеризуется словом — построение, если и этот термин понимать
так же широко.
Наглядность геометрических методов и общность
аналитических— одинаково ценные стороны математического познания,
и потому важно было бы связать оба метода и получить, таким
образом, двойную выгоду. Действительно, можно установить,
так сказать, лексикон для перевода математической мысли
с языка геометрического на язык аналитический, и обратно.
Тот отдел математики, в котором устанавливаются правила
для такого перевода, носит название аналитической геометрии.
Первая часть настоящего курса посвящена изложению основ
этой науки.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ГЛАВА I.
МЕТОД КООРДИНАТ.
§ 1. Предмет аналитической геометрии.
Исследование свойств геометрических образов, иначе —
пространственных форм (фигур, тел, линий, поверхностей и т. п.)
с помощью вычисления составляет предмет аналитической
геометрии. При этом в аналитической геометрии стараются
свести к задаче вычисления всякий геометрический вопрос»
касающийся не только величины, но также формы и
положения фигуры.
Всякая фигура со всеми своими свойствами вполне
определяется положением точек, составляющих её. Поэтому для
аналитического изучения геометрических образов прежде всего
надо уметь определять с помощью чисел положение точки.
Общий вопрос об определении положения точки можно
разбить на три задачи: 1) определить положение точки на прямой,
2) на плоскости и 3) в пространстве.
Решение этих вопросов дало возможность Декарту
(1637) создать метод — метод координат — не только для
систематического исследования геометрических задач помощью
алгебры, но и обратно—'для геометрического иллюстрирования
вопросов самой алгебры. Декарт и считается творцом
аналитической геометрии.
§ 2. Определение положения точки на прямой.
Положение точки на прямой можно определить одним-
числом. В самом деле, примем на рассматриваемой прямой
некоторую определённую точку О (черт. 3). за начальную, и пусть А
будет та точка этой прямой, положение которой нужно
определить с помощью числа. Отрезок ОЛ представляет смещение
точки А от начальной точки О. Величину этого смещения
можно выразить числом, измеряя отрезок ОА какой-либо еди-
31

ницей меры, например ОЕ = е, а .принимая во внимание, что от'
начальной точки О можно откладывать отрезки в ту или
другую сторону, можно приписать полученному числу тот или
другой знак; каким отрезкам относить знак Ц-, каким знак —,
зависит от нашего условия.
Полученное таким образом положительное или
отрицательно
ное число х =— называется координатой точки. Л, а сово-
купность начальных данных: 1) начальная точка О прямой,
2) единица меры и 3) установленное положительное
направление прямой, — системой координат на прямой. Мы условимся
считать направление прямой
вправо (прн горизонтальном положе- g 0 ? А
нии её) положительным, а влево — -—о- -JTtT *~~° **
отрицательным.
Когда система координат на Черт. 3.
прямой установлена, то каждой
точке прямой соответствует своя координата (определённое
число), и обратно — каждому числу, как координате,
соответствует вполне определённая точка прямой (см. стр. 20).
Например точка А (черт. 3) прямой Ох, при единице меры
ОА
? — ОЕ, имеет координату х = — =4. Обратно, числу
с*
хг = — 2,5 соответствует точка В. Координата начальной
точки О — нуль.
§ 3. Определение положения точки на плоскости.
Положение точки на плоскости определяют двумя
числами.
Представим себе, что по плоскости движется прямая
параллельно самой себе, другими словами, пусть на плоскости имеется
непрерывный ряд параллельных прямых. Положение точки на
этой плоскости будет определено, если мы сумеем указать:
1) на какой из этих параллельных прямых лежит точка и 2) где
лежит она на этой прямой.
Положение точки на прямой, как мы уже знаем,
определяется одним числом — одной координатой. Далее, можно
ввести другое число, которое указывает, на какой из
параллельных прямых лежит рассматриваемая точка, Таким образом,
для определения положения точки на плоскости достаточно дать
два числа, две координаты: одно число определяет
линию на плоскости, другое — точку на этой линии.
32

Черт. 4.
Нужно теперь выбрать начальные данные, которые
устанавливали бы определённое построение точек плоскости по их
координатам,
1) Одну из параллельных прямых мы принимаем за
начальную, например прямую ОА (черт. 4). Прямая ОА делит
плоскость на две области — верхнюю и
нижнюю (если параллельные прямые
горизонтальны). Условимся смещение
от начальной прямой ОА в верхнюю
область считать положительным, а в
нижнюю — отрицательным. 2)
Начальные точки пареллельных прямых
предполагаем лежащими на одной
прямой, например на прямой ОВ, и
смещение от этих начальных точек
вправо будем считать
положительным, а влево — отрицательным. 3) Условимся расстояния
параллельных прямых от начальной ОА измерять по направлению ОВ.
4) Выберем единицу меры.
Все эти начальные данные в совокупности устанавливают
способ определения координат точки на плоскости и
составляют систему координат на плоскости. Прямые ОА и ОВ
называются осями координат, точка О — началом координат.
Число, определяющее положение точки на одной из
параллельных прямых, а именно — смещение точки от прямой ОВ,
называется абсциссой этой точки и обозначается буквой х.
Число, определяющее смещение от начальной прямой ОА,
называется ординатой точки и обозначается буквой _у.
Абсцисса откладывается от оси ОВ по направлению оси ОА
или на самой оси О А. Поэтому последняя называется осью
абсцисс, или осью х, и для
обозначения её вместо буквы А в
положительном направлении ставится
буква х. Подобным же образом
ордината откладывается от оси
абсцисс в направлении оси ОВ или же
на самой этой оси. Поэтому эта
ось называется осью ординат, или
осью у, и, вместо буквы В> в
положительном её направлении
ставится буква, ^ ^черт. 5). Угол хОу называется
координатным углом (со). Если координатный угол — прямой, т. е. (0 = 90°,
то такая система координат называется прямоугольной, в
противном случае — косоугольной.
3 Курс высшей математики 33
Черт. 5

Задача 1. Определить координаты данной на плоскости точки при
данной системе координат.
Решение. Пусть М — данная точка, а отрезок е — принятая
единица меры. Проводим прямую ЛШХ параллельно оси ординат до встречи
с осью х-т в точке Мі и измеряем отрезки ОМ^ и МіМ. Полученные
числа с соответствующими положению точки М знаками и будут
абсциссой и ординатой данной точки:
ом_ мгм__
е ~ ' е ~~^'
Задача 2. Построить точку по данным её координатам, например
лг = 2, _у —— 3.
Решение. Откладываем по оси абсцисс от начала координат в
сторону, соответствующую знаку данной абсциссы (вправо), отрезок
ОМі = 2е, а на прямой, выходящей из полученной точки М1
параллельно оси ординат, в соответствующую знаку данной ординаты
сторону (вниз), — отрезок МгМу равный Ъе. Точка М и будет искомой
точкой. Можно было бы откладывать сначала ординату по оси ординат
и потом абсциссу по направлению оси абсцисс; результат был бы тот
же самый.
Примечание. Для обозначения точки, данной
координатами, будем ставить в скобках эти координаты, начиная
с абсциссы, рядом с буквой, обозначающей точку. Например
Af(2,—3) обозначает, что точка М имеет координаты дг = 2,
у = -?.
§ 4. Определение положения точки в пространстве.
Положение точки в пространстве определяют тремя
числами— тремя координатами.
Пространство можно рассматривать как образованное
движением плоскости параллельно самой себе, иначе — в
пространстве можно представить непрерывный ряд параллельных
плоскостей. Одну из этих плоскостей примем за начальную. Положение
всякой другой из параллельных плоскостей определяется
смещением её от положения начальной плоскости в ту или
другую сторону. Это смещение можно определить положительным
или отрицательным числом.
Каждая точка пространства лежит в одной из параллельных
плоскостей. Поэтому для определения положения точки в
пространстве достаточно знать число z> выделяющее ту из
параллельных плоскостей, в которой лежит данная точка, и, кроме
того, согласно предыдущему параграфу, два числа х ну,
определяющих положение этой точки на выделенной плоскости.
Следовательно, положение точки определяют три числа —
три координаты: х, у и z; числом z определяется плос-
34

кость в пространстве, числом у— прямая на этой плоскости и,
наконец} числом х— точка на этой прямой.
Мы оставим пока без ближайшего рассмотрения метод
координат в пространстве и перейдем к установлению основных
формул метода координат на плоскости —¦ формул, дающих
возможность элементарные геометрические образы или понятия
этой области переводить на язык аналитических соотношений.
§ 5. Расстояние между двумя точками.
Даны две точки своими координатами A(xvy1)1 В(х2, _у2).
Требуется вычислением определить расстояние между этими
точками. Будем предполагать, что система координат
прямоугольная.
Построив координаты данных точек (черт. 6) и проведя из
точки А прямую, параллельную оси
абсцисс, до пересечения с ординатой
(или её продолжением) второй
точки В, получим прямоугольный
треугольник *АСВ. По теореме Пифагора
имеем:
АВ=]/~АС*-\-СВ*.
Но катеты этого прямоугольного тре- Черт. 6.
угольника можно выразить через координаты данных точек.
Как видно из чертежа,
СВ = ВгВ — ВгС = ВгВ — АгА =у2 —уг.
Следовательно,
АВ = У{хг — хг)* + (Л -Уі)2,
0)
т. е. расстояние между двумя точками равно корню
квадратному из суммы квадратов разностей соответственных
координат этих точек.
Предыдущий вывод формулы расстояния не
указывает на её общность, т. е. остаётся ещё невыясненным, имеем
ли мы право применять выведенную формулу при всяком
положении точек А к В относительно осей координат. Дадим
теперь такой вывод, из которого вытекала бы и общность
формулы. Для этого нужно принять во внимание не только величину
3* 35

отрезков, с которым мы оперировали, но и их
направление. В аналитической геометрии мы имеем дело с отрезками
направленными, т. е., в отличие от элементарной
геометрии, различаем отрезки не только по величине, но и по
направлению.
Условимся буквами, стоящими у начала и конца какого-
нибудь отрезка, обозначать не только величину его, но
последовательностью этих букв указывать и его направление. Какой-
либо отрезок LM представляет, таким образом, смещение
из начальной точки L в конечную точку М. Два последо-
вательао произведённых смещения из точки L в точку М,
а из точки М в точку N, лежащую на той же прямой (черт. 7).
.составляют сумму этих смещений, сумму двух отрезков LM
и MN, сумму, равносильную одному смещению из начально?»
точки первого отрезка в конечную точку второго. При это*-
безразлично, будет ли точка М лежать между точками L и /
"¦"—<?; о= -=« cf *а *>—¦*
L **- ~ц L ^ Г-"
Черт. 7. Черт. 8
или на продолжении отрезка LN (черт. 8). При таком
определении суммы двух смещений или двух направленных отрезков
имеет место следующее равенство для всяких трёх точек Z,,
Af, N, лежащих на одной прямой:
LM-\-MN=LN. (2)
Отрезок LNt если точка N совпадает с начальной точкой L
первого отрезка, не имеет длины, и потому L?, = 0. Таким
образом, мы получаем второе равенство
LM-^ML—0. (3)
Отсюда
LM = — ML. (4)
Из последнего равенства следует, что изменить направление
отрезка можно или переставив буквы в его обозначении или
поставив знак минус перед ним.
Два направленных отрезка на плоскости считаются равными,
если, во-первых, длины их равны и, во-вторых, эти отрезки
параллельны и направлены в одну и ту же сторону.
Обращаясь к обозначениям на черт. 6, легко заметить, что
при лю5ом положении точек А и В на плоскости точки В, С
и Вх лежат на одной прямой, точно так же, как и точки О,
36

Au Blt Следовательно, всегда имеют место следующие
равенства;
АС = А1В1 = А10-^гОВ1= — OAl^OBl =
——* —" Хл ~~у Ло -- ' Ла ~"— Хі ,
С5==Св1 + В1Д = А41+Ді5 = — АгА + ВгВ =
= —Л+Л—Л—Л.
и значит, при любом положении точек Л и В на плоскости
будем иметь:
АВ = К^-л^ТО^Л)2.
С помощью формулы (1) могут быть решены многие задачи,
в которые входит вопрос о расстоянии между двумя точками.
Задача 1. Треугольник задан координатами своих вершин: А (5,3),
В (2,— 1), С{— 1, 4). Определить его стороны.
Решение. По формуле расстояния имеем:
АВ =/(5 — 2)3-f [3 - (— 1)Р = /Р+Ф = /25 = 5;
5С =/(2 + I)2 + (-1-4)2= /9 + 25 = /34 ^ 5,8;
С А = /36 + I = /37 ^= 6,1.
Задача 2. Вычислить координаты центра окружности, описанной
около треугольника ЛВС предыдущей задачи.
Решение. Пусть М, искомый центр окружности, имеет координаты
ху у. По условию МА = МБ = МС как радиусы одной окружности.
Но
МА =/(л--5)Д + СУ-3)«, MB = V(x~2f + (y+\)\
iWC=/(jc + l)a + (jf-4)*.
Следовательно, для определения двух неизвестных хну имеем два
уравнения:
/(лг_5)2 + Су-3)2 = /(^-2)2 + ^+1)^
/(X - 5)2 + (3/ - 3)2 = /(ДГ +1 )2 + (у - 4р
или
_6лг—8у + 29 = 0 и —12^ + 2^ + 17 = 0,
откуда
Задача 3. Дана точка TV (5,3), а другая точка Р перемещается
по окружности с центром в точке JV и радиусом, равным 6 единицам
принятого масштаба. Каким уравнением связаны переменные
координаты движущейся точки?
Решение. Пусть х, у — переменные координаты точки Р. По
условию NP — 6. Но по формуле расстояния
UP = /(*-5)2+0>-3)2.
37

Следовательно,
У(х -5Р+ (у -3)2 = 6,
нли
(х-5)* + (.у-3)* = 36.
Этим уравнением и связаны изменения координат движущейся точки
Р: нельзя дать произвольных значений обеим переменным координатам
х и у; когда задано значение одной координаты, то другая определится
из предыдущего уравнения. Таким образом, окружности соответствует
¦определённое уравнение с двумя переменными координатами.
Задача 4. Определить координаты точек пересечения окружности
задачи 3 с осью абсцисс и осью ординат.
§ 6. Вычисление координат точки, делящей данный отрезок
в данном отношении.
Часто положение некоторых точек какой-нибудь фигуры
определяется координатами, измеренными наперёд, а положение
других — какими-нибудь геометрическими условиями. Возникает,
таким образом, задача: определить вычислением координаты
этих последних точек. К числу подобного рода задач относится
следующая.
Даны две точки своими координатами А(хиуг) и В(х2іу2).
Точка М делит отрезок АВ (черт. 9) в отношении Jrb = ).,
Найти координаты точки М.
Можно даже считать точку М лежащей на продолжении
в ту или другую сторону отрезка АВ (черт. 10). В таком слу-
Черт. 9. Черт. 10.
чае мы будем говорить, что точка М делит отрезок АВ
внешним образом. При таком положении точки М отрезки
AM и MB имеют разные направления, и отношение гі~ обо-
. MB1
значенное нами буквой \ будет числом отрицательным,
причём абсолютная величина его будет больше единицы если
.38

точка М лежит на продолжении АВ за точкой 5, и меньше
единицы, если точка М лежит на продолжении АВ за точкой Л.
Если точка М дана (черт. 9 или 10), то тем самым даётся
и число X. Обратно, если дано число X, то легко определяется
и положение точки М на прямой АВ. Такого рода число,
которое выделяет каким-либо способом из ряда однородных
геометрических образов один, называется параметром1).
Строим координаты точек Л, В и М. Прямые ААЪ ВВХ
и ММХ параллельны и, как параллельные, рассекают прямую АВ
и ось абсцисс на пропорциональные части. Принимая во
внимание сверх того и направления соответственных отрезков,
будем иметь, таким образом, следующую пропорцию:
АХМХ _ AM
М1Ві ~~ MB
Но, согласно правилам установленных выше действий с
направленными отрезками, имеем:
А1М1 = А10+ОМ1 = —ОАг^-ОМ1 = — хг-[-х==х-^х1;
M1Bl = Ml0^rOB1 = ~OM1^rOBl=^-~-x^rx2==x2 — x.
AM
Кроме того, по условию, ~уГБ = ^- Следовательно,
X — Хх
Хъ — X
=1.
Решая это уравнение относительно х, будем иметь:
х — Л'і = 1х2 — Хг или (1 -\- X) х = хх -f- lx2,
откуда
X] —j— tXi
Подобным же образом, проводя через точки Л, В и М прямые
АА2і ВВ2і ЛШ2, параллельные оси абсцисс, найдём:
А2М2_АМ
м*в2 ~~ мвч
а заменяя отрезки первого отношения через ординаты данных
точек, получим уравнение
Уз—У
!) Введение, § 8.
39

из которого определится, у:
У\ + Ь%
У
1-h* •
Если точка М лежит в середине отрезка ЛВУ т. е. AM—MB,
то Х= 1. Обозначая через лг0, ^0 координаты середины отрезка,
получим:
о — 2 > -^о — 2 '
т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам
соответственных координат его концов.
Задача 1. Треугольник задан координатами своих вершин; А (5,3),
В (2,-1), С (—1,4). Определить координаты точки пересечения медиан.
Решение. В точке пересечения медиан каждая медиана делится на
две части, из которых одна, считая от вершины, вдвое больше другой.
Например, -тттт = 2. Координаты точки А даны. Координаты же хь у\
точки Мъ как середины отрезка ВС, легко определяются;
24-(—1) 1 —з _f_4 3
1 — 2 2' -^— 2 ~2"
Следовательно, если принять во внимание, что \ = мм = 2,
определяются и координаты х, у точки М:
5 + 2— 3 + 24
Х== 1 + 2 =2' ¦У== 1+2 =2-
Задача 2. Определить длины медиан треугольника предыдущей
задачи.
Решение. Координаты вершин даны. Координаты оснований медиан,
т. е. середин сторон данного треугольника, определяются по
соответствующим формулам. Координаты точки М^.
_2+(-1)_ 1 _ —1+4 3
Хі~~ 2 "" 2 ' Уі~ 2 ~~ 2'
координаты точки А?2:
Х2-—J -Л Л 2~-у>
координаты точки ,W3:
х, = Ъ-Л±-7 v -*±Ы)-1
*3 2~ — Т' Уз~ 2 — U
40

Следовательно,
АМл
1/90
2
9,5
т
C/Vfr
-/
?+9
= 4,8; 5Af2= j/o + 5-L = 4,5;
]/П7 10,8
2
2
= 5,4.
Задача 3. Вычислить координаты точки пересечения медиан-
треугольника А{хъ л), Я(*& jf2). С[хь уь).
Отв.: х =
хі Н~ Л"з ~t~ ^з
3
У1+У2+У3
Черт. 11.
§ 7. Вычисление площади многоугольника по координатам
его вершин.
1. Рассмотрим предварительную частную задачу — задачу
определения площади треугольника, одна из вершин
которого лежит в начале координат. Такой треугольник будет вполне
определён координатами двух
остальных своих вершин. К этой задаче
сводится и общая задача определения
площади любого многоугольника по
координатам его вершин.
Будем предполагать систему
координат прямоугольной. Пусть хг, уг —
данные координаты вершины Аи а х2>
у% — данные координаты вершины А2
треугольника ОАхА2 (черт. 11).
Обозначим стороны треугольника ОАгАь
выходящие из начала координат, через rv г2, а углы их
наклона к оси абсцисс через <рх и <р2:
OAx = rv Oi4a = r2l Z.xOAx = tfu J/xOA2 = y2.
Угол при вершине О определяется через углы <pt и ср2:
Отрезок, соединяющий начало координат с какой-либо
точкой плоскости, часто называется радиусом-вектором, а угол
его наклона к оси абсцисс — амплитудой. Радиус-вектор г к
амплитуда со какой-либо точки А плоскости (черт. 12) связаньь
4*-

простым соотношением с декартовыми координатами х и у
этой точки — соотношением, вытекающим из рассмотрения
прямоугольного треугольника ОА'А:
/•cos ср = дг, г sin ер = j/.
(5)
Воспользуемся для вычисления
площади треугольника
радиусами-векторами гг и /-2 и амплитудами <рі и <?2 как
; вспомогательными величинами и после
введём вместо них, на основании
соотношения (5), данные декартовы
координаты вершин треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения двух
его сторон на синус угла, заключённого между этими
сторонами:
Д ОАгЛ2 = - rxr2 sin (<р8 — <рх)
2
ИЛИ
Д Oi4tЛ2 = TJ- г^з (sin ©2 cos (fx — cos <?2 sin с^) =
= "о (Г1 C0S *Pl • ^2 Sin ?2 Г2 C0S ?2 * rl Sin 9l)-
Следовательно, обозначая сокращённо площадь треугольника
ОАгА2 через Д13, будем иметь, согласно формуле (5):
Аі2 = -о(хіУ2 — х2Уі)
или символически:
Аі2 — т
хх уг
х2 у2
(6)
(6')
(6")
Символ
мы будем понимать как разность произведений составляющих
его элементов, расположенных по диагоналям:
'-2
Ух
¦Л
Х\У 2 ХоірУі ¦
Самое выражение вида (6"') называется определителем или
детерминантом. Это один из простейших детерминантов —
42

детерминант второго порядка (по числу элементов в строке
или столбце).
Детерминанты различных порядков встречаются при решении
уравнений первой степени с несколькими неизвестными.
Аналитическое выражение для площади треугольника:
т гЛ sin (ср2 — Vl) = і- (хху2 — х2у{)
может иметь как положительное, так и отрицательное значение,
смотря по тому, будет ли <р2 больше или меньше <р1в Как же
понимать отрицательное значение площади?
Будем располагать вершины треугольника АгА20 в
круговом порядке: за Аг следует А2, за А2— вершина О, за О —
вершина Аг. Если ?2>?і» то вершины следуют одна за
другой в направлении, обратном движению часовой стрелки
(черт. 11). Если же <Р!><р2, то — в направлении движения
часовой стрелки (черт. 13).
Круговая перестановка вершин не меняет знака площади:
площади треугольников AxA2Ot А2ОАь ОАхА2 имеют
одинаковый знак. Если в задаче требуется вычислить только площадь
треугольника, то порядок чередования его вершин не играет
особой роли, и в результате вычисления по формуле (6) мы
можем отбросить отрицательный знак, если таковой получился.
Но во многих вопросах то или другое направление чередования
вершин и, следовательно, знак площади имеет существенное
значение, как, например, в следующей задаче о вычислении
площади многоугольника.
Черт. 13. Черт. 14.
2. Вы числение площади многоугольника по
координатам его вершин. Положим, что требуется
вычислить площадь пятиугольника АхА2А&АААЪу координаты
вершин которого даны:
Л(*і> Л), Л2(*з> Л>> Л(*в. Л)> Л4{х4і Уі), Аъ{хь, уь).
43

Соединяя вершины этого пятиугольника (черт. 14) с началом
координат, получим пять треугольников:
ОАхА2і ОЛ2Л3 ОЛ3Л4 ОА±АЬУ ОАьАх.
Площади этих треугольников могут быть вычислены по
формуле (6):
Д О А, Аь = Д45, Д ОАьАх = Д51.
Если вершины каждого треугольника чередуются так, как
указано самым обозначением (например в Д ОАгА2 за О
следует Ац за Аг следует Л2, за Л3 — вершина О) (черт. 14), то
первые три площади положительны, а последние две
отрицательны. Алгебраическая сумма этих площадей даст разность
абсолютных значений площадей многоугольников ОЛ1Л2Л3Л4
и ОАгАьА^ т. е. площадь многоугольника АгА2А^АААь..
Таким образбм, имеем:
пл. AlAtAzAAAb = Д „ + Д 23 + Аи + Д15 + Д 31
(7)
или
ПЛ. ^j^gAg^i^^g -g-
хг ул
*% У г
+
хі у+
*ъ Уь
х2 у2
*з Уг
+
+
Ч Уь
*8 УЬ
хА уА
+
(70
Выражение (7) или (7') может дать положительное или
отрицательное значение так же, как в случае площади
треугольника. Если чередование вершин в указанном порядке, которое
принято во внимание при составлении уравнения (7'), обратно
движению часовой стрелки, то площадь многоугольника
получится положительной. При чередовании, согласном с движением
часовой стрелки, площадь будет отрицательной.
Как частный случай формулы (7) или (7'), можно составить
выражение для площади любого треугольника А^А^
или
Д АгА2А3 = Д12 + Д23 + Дзі.
Д А^А^А^ — "9*4
хг уг
Хе, Уо
+
*2 У 2
ХЪ Уі
хі Уі
і
= Т f (*іЛ — ЪУі) + (*гУь — xzy%) + (хгУі — хіУі)}.
(8)
44

Задача 1. Вычислить площадь треугольника АЗС, координаты
вершин которого
А (5, 3), В (2, -1), С(-1, 4).
Решение.
ДДВС = Д0ЛВ4 Д05С+ДОСЛ
или
Д ЛВС = Д13 + Д23+ Дзі =
5 3
2 —1
+
2 —1
— 1 4
+
— 1 4
5 3
=y{(-5-6)+(8-1)+(-3-20^ = y(-1i+7-23)»
ДЛ5С = —іЗ1/^ кв. ед.; абсолютная величина площади = 13J/2 кв. ед*
Задача 2. Определить высоты того же треугольника ABC.
Решение. Зная площадь треугольника и его стороны, можно
вычислить и высоты:
СВ^5& | Д ЛЯС | = 13у;
і- ЛЯ-5,8 ^ 13-1; ЛЯ ^ 4,7.
Выведенные в этой главе формулы — формула расстояния,
формулы для вычисления координат точки, делящей данный
отрезок в данном отношении, и формула площади треугольника
с вершиной в начале координат — дают возможность решить
целый ряд задач на вычисление, на определение геометрических
величин, связанных с фигурой, определённой координатами
некоторых своих точек.
Следующие параграфы посвящены выяснению другой идеи
аналитической геометрии — идеи, по которой изучение
геометрических 'форм, именно линий, сводится к исследованию
уравнений,— выяснению геометрического значения уравнения,
связывающего две переменные величины хну.
§ 8. Переменные (текущие) координаты, Геомгтрическоа
значение уравнений.
В предыдущих параграфах мы рассматривали
определённые положения точек и составляли формулы для вычисления
величин по данным (постоянным) координатам некоторых то^
чек, определяющих эти величины. Теперь мы будем
рассматривать неопределённые положения точек, будем рассматривать
точки, меняющие своё положение, движущиеся точки;
координаты их будут переменными величинами. Если изменение
координат точки ничем не ограничено, то можно, давая произ-
4F

вольные значения' координатам и произвольно их меняя,
перевести точку из одного положения в любое другое на той же
плоскости и каким угодно путём. Таким оЗразом, совокупность
всех точек плоскости можно обозначить символом (дг, у), где
х и у — переменные, ничем не ограниченные в своём изменении.
Если же изменение координат ограничено каким-либо условием,
то и движение соответствующей этим координатам точки будет
ограничено. Например, пусть координаты х, у могут изменяться
каждая лишь между 0 и 1, т. е. 0<^х <^1, 0<]j><C Ь
При таком ограничении соответствующая точка
может занимать любое положение внутри квадрата ОАхААг
(черт. 15), но не вне его и не на его
пернув метре. Это ограничение изменений координат
выражено неравенствами. Но
ограничительное условие может ¦ быть выражено
уравнением, связывающим переменные
координаты. Такое уравнение устанавливает
1 с с ° о функциональную зависимость изменения од-
А<
О
О
С
С*
Р
1 —~"і
~д ? ной координаты от изменения другой. Одна
из переменных координат, например ху будет
Черт. 15. аргументом, другая, у — функцией *). Если
решить данное уравнение относительно
переменной координаты, принятой за функцию, то
функциональная зависимость будет выражена явно, т. е. явно будут
указаны действия, которые нужно совершить над аргументом
для получения соответствующего значения функции, и
порядок их. Таким образом, одна из переменных координат дан*
ным уравнением определяется как функция другой:
.У =/(*). (9)
Уравнение, ещё не решённое относительно одной из
переменных координат, устанавливающее функциональную
зависимость переменных координат, представляет тоже ряд действий,
совершённых над постоянными величинами и переменными х, у.
Поэтому для общего обозначения его можно воспользоваться
такими же символами, как и для какой-либо функции, ставя
в скобках обе переменные х и у, над которыми совершаются
предполагаемые операции, например:
F(x, y) = 0. (10)
Левую часть этого уравнения можно рассматривать как
функцию двух переменных л- и у. Различным значениям пере-
*) Введение, § 8,
45

менных х и у соответствуют различные значения этой функции.
Но так как, по условию, величина этой функции всё время
равна нулю, то мы можем давать произвольные значения лишь
одному переменному, например х> другое уже тем самым будет
определено.
Дана ли нам зависимость переменных или текущих
координат явно уравнением (9) или неявно, т. е. уравнением (10), мы
можем, вообще говоря, подобрать бесчисленное множество
значений для абсциссы (аргумента) и соответствующих значений
ординаты (функции), которые будут уд овлетворять данному
(ограничительному) условию. Таким образом, мы можем
построить бесчисленное множество точек, координаты которых
удовлетворяют данному уравнению вида (9) или (10). Но как
располагаются эти точки на плоскости? Ответ на этот вопрос
зависит от свойств того уравнения, которому должны
удовлетворять координаты этих точек, иначе — от рода той функции.
которая определяется этим уравнением.
Из всей совокупности функций, какие только можно себе
вообразить, выделяется особый кла<сс, имеющий особенное
значение в приложениях, это — так называемый класс непрерывных
функций. Функции разделяются на непрерывные и прерывные.
Непрерывной в каком-либо интервале функция называется в том
случае, если при бесконечно малом приращении независимого
временного в любой точке этого интервала она сама получает
бесконечно малое приращение. В
общем же случае этого может и не
быть. Под бесконечно малым мы
понимаем здесь такое приращение,
величина которого может быть как
угодно мала1).
Если рассматриваемая функция
(9) или (10) непрерывна, то можно
построить целый ряд точек Л, В,
С,. . ., координаты которых,
соответственно отличаясь мало одна от другой (черт. 16),
удовлетворяют определяющему функцию уравнению. Между
этими точками можно вставить ряд других точек //, t>,. .,
координаты которых также удовлетворяют уравнению. Продолжая
это построение безгранично так, чтобы разности абсцисс
соседних точек стремились к нулю, мы должны заключить, что
и ординаты соседних точек бесконечно мало отличаются одна
от другой, а построенные таким образом точки располагаются
У
.'Л**
В*?ЧТъд
4и,у,8, С,
Черт. 16.
>-'
#<
Ц Строгое определение бесконечно малого см, на стр. 264.

всё более и более тесным рядом, стремясь, образовать или
заполнить некоторую линию.
Если, обратно, дана какая-либо линия на плоскости —>
кривая или прямая*), то тем самым устанавливается
функциональная зависимость между координатами точек, лежащих на
этой линии. Другими словами, при движении точки по линии
координаты её меняются, но меняются в зависимости одна от
другой: любому произвольному значению абсциссы, взятому
в границах, определяемых данной линией, соответствует
определённое значение ординаты. Таким образом, ордината является
функцией абсциссы:
у=/(х).
Но какова природа этой функции, можно ли её выразить
аналитически, т. е. помощью алгебраических или вообще
математических символов, характеризующих ряд действий над
постоянными и переменным ху это зависит от того, как дана
нам линия, какими геометрическими условиями она определена.
Если она просто начерчена, то это ещё не значит, что она
дана, ибо начерченная линия есть, в сущности, большей или
меньшей ширины полоса, заполненная типографской краской,
чернилами, мелом и т. п., а при сильном увеличении — просто
совокупность отдельных участков чернил, мела и т. п. С этим
данным образом мы лишь приближённо связываем
представление о л-инии, и лишь приближённо можно выразить аналитіь.
чески не вполне определённую функциональную зависимость
абсцисс и ординат.
Но если линия дана, как геометрическое место точек,
удовлетворяющих какому-нибудь общему выделяющему их
условию, которое может выражать или свойство геометрического
места или способ построения его точек, тогда можно перевести
определяющие линию геометрические условия на язык
аналитический и составить, таким образом, уравнение, которому должны
удовлетворять координаты точек этой линии.
Задача аналитической геометрии и состоит в том, чтобы
л и н и и представлять в указанном смысле уравнениями и,
исследуя, свойства этих уравнений, делать заключение о
свойствах соответствующих линий. С другой стороны, и при
исследовании вопросов чисто аналитических мы можем иллюстрировать
уравнения, содержащие две переменные величины, линиями и,
таким образом, задачи аналитические представлять в
конкретной форме.
г) Будем предполагать пока, что прямая не параллельна ни оси
абсцисс, ни оси ординат.
48

§ 9. Примеры составления уравнения данной линия.
1. Какому уравнению удовлетворяют координаты точек,
одинаково отстоящих от двух данных точек?
Решение. Геометрическое место точек, одинаково отстоящих
от двух данных точек, есть
перпендикуляр, восставленный из середины
отрезка, соединяющего эти точки.
Таким образом, прямая линия
задана здесь некоторым свойством,
которым обладают все точки её по
отношению к двум данным точкам.
Пусть одна из данных точек, Л, имеет
координаты т, п, а другая данная
точка, В, пусть имеет координаты р,
q (черт. 17). Любая точка Р
искомого геометрического места,
имеющая координаты х и у, одинаково отстоит от точек Л
РВ = РА.
Черт. 17.
и В:
Но по формуле расстояния имеем:
РА= /(х — т)*+(у — п)\ PB = V(x—p)* + (y — q)K
Следовательно,
V{x — mf + \y — nf = V{x—p? + {y — qf
или
откуда
{х — тУ + {у — пУ = {х—р? + (у-Я)\
2(р — m)x-\-2(q — п)у — (т*-\-п*— р% — д2) = 0.
Мы получили уравнение первой степени относительно х и у.
Но ведь всякую прямую на плоскости можно рассматривать как
геометрическое место точек, одинаково удалённых от двух
данных, точек. Следовательно, веяная прямая на плоскости
представляется уравнением первой степени, связывающим
текущие координаты х и у, т. е. координаты различных точек
этой прямой.
2. Составить уравнение, которому должны удовлетворять
координаты точек окружности с центром в точке М{а, Ь) и
радиусом, равным г.
4 Курс высшей математики 49

Решение. Всякая точка Р(х, у) окружности (черт. 18) отстоит
от центра М(а, Ь) на постоянном расстоянии, равном л Но по
формуле расстояния имеем:
РМ = У{х — а)2 + (у — Ь)\
Следовательно,
V(x — a? + {y — bf =r
или
(х — а)* + (у—ЬУ
г\
Этому уравнению и должны удов-
Черт. 18. летворять координаты любой точки
данной окружности. Если точка
перемещается по окружности, то координаты её будут
изменяться, будут переменными величинами, связанными уравнением
окружности.
В частности, если центр окружности лежит в начале
координат, то уравнение окружности принимает вид
хг -{-у2 = г2.
§ 10. Примеры построения линии по данному уравнению,
связывающему текущие координаты.
1. Дано уравнение
2*_3у —6 = 0.
Определяем отсюда у и, давая различные произвольные значения ху
вычисляем соответственные значения у:
2х — 6
у=—а—;
X
У
-4
А
—3
—4
-2
-4
-1
-4
0
—2
1
-4
2
2
3
3
0
4
2
3
5
4
6
2
Строя точки по вычисленным координатам, нетрудно
заметить, что они располагаются по прямой линии (черт. 19). Выше
было указано, что всякая прямая представляется уравнением
первой степени. Отсюда ещё нельзя заключить, что всякое
уравнение первой степени с двумя текущими координатами х} у
50

представляет прямую. Но в данном примере мы видим, что
это так, потом мы докажем, что так и должно быть.
2. Дано уравнение у = х. Точки, координаты которых
удовлетворяют этому уравнению, заполняют прямую, делящую-
координатный угол пополам, ибо для точек этой прямой и только
для них абсцисса и ордината равны между собой.
3. Дано уравнение
Определить вид той линии, точки которой имеют координаты,,
удовлетворяющие данному уравнению.
Черт. 19. Черт. 20.
Давая произвольные значения абсциссе л:, вычисляем
соответственные значения ординаты у:
X
У
—3
1
~Ч
—2
1
~Ч
— 1
—2
1
2
1
"4Т
1
а
і
-ч
1
4
1
-lb-
0
СС
1
4
,.з
-1Ь4
1
3
^2
~Ч
1
2
1
-ч
1
0
V,
, я
ц
а
8
*9
При построении точек этой линии должно заметить следующее:
Если бы у равнялось х, а не х ^-, то точки, абсцисса и
ордината которых одинаковы, располагались бы на прямой
линии— биссектрисе координатного угла (черт. 20). Ординаты же
линии, которую мы строим, меньше соответственных ординат
биссектрисы на — ]). Следовательно, линия располагается под.
г) Число -^г положительно, каково бы ни было значение х — поло-
А
жительное или отрицательное,
4* 61

биссектрисой координатного угла и тем ближе подходит к этой
биссектрисе, чем больше х по абсолютной величине, ибо -^- бу-
дет тем меньше. При х, стремящемся безгранично
увеличиваться^ _ стремится к нулю, и линия безгранично стремится слиться
с прямой, никогда н е сливаясь с ней, иначе — сливается с ней
в бесконечности. Прямая, имеющая такое отношение к линии,
называется её асимптотой1).
В интервале от — 1 д&-^-1 абсциссы х по абсолютной
величине меньше 1, и следовательно, -у больше 1, а при безгра-
личном уменьшении х до нуля —^ безгранично увеличивается
1
до со; ордината^, равная х ^, стремится к — сю.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Построить в прямоугольна системе координат точки2);
А (2, 3); В (3,5, - 4); С (- 3, 5); ?> (- 1, - 2,5); Е (У% У"3).
2. Что можно сказать о координатах точек, лежащих: 1) на оси
абсцисс, 2) на прямой, параллельной оси абсцисс, 3) на оси ординат,
4) на прямой, параллельной оси ординат?
3. Определить координаты вершин правильного шестиугольника со
стороной а, если за оси координат взяты две смежные или две
несмежные и непараллельные его стороны.
4. Дана окружность с центром в точке (4, 2), проходящая через
точку (4, 5). Определить координаты вершин правильного вписанного
в эту окружность треугольника, зная, что абсцисса одной из его вер-
діин равна 4. Сколько решений имеет задача?
5. Доказать, что треугольник ABC: А (0, 0), В (3, 3), С (6, — б) —
прямоугольный.
6. Доказать, что четырёхугольник ABCD: А( — 5,3),?(—¦ 2, — 2),
¦С (5, —4), D(2, 1)~ параллелограмм.
7. Доказать, что точки А (2, 1),В{— 3, 4), С (—6,-1), D(— 1, —4)
образуют вершины квадрата.
8. Определить координаты точки Д дополняющей треугольник
-4(5, 3), В (2, —1), С(— 1, 4) до параллелограмма, для которого
сторона АВ служит диагональю. Отв. D(B, —2).
9. На прямой, параллельной оси у и находящейся от неё на
расстоянии, равном 9, найти точку, ордината которой равна её расстоянию
от точки (5, 2). Отв. (9, 5).
10. Определить координаты точки, одинаково отстоящей от точек
А (2, 3), B{5t_ 6) и находящейся от начала координат на расстоянии,
равном У 50. Отв. (7, 1) и (1, 7).
г) От греческого сорт иге© — сливаюсь, совпадаю, а— отрицание;
аоирттопех;.
2) В упражнениях всюду предполагается, что система координат
прямоугольная.
52

11. Вычислить координаты центра окружности, описанной около
треугольника Л(5, 3), 5(2,1), C(-l,4). Oms. (*I, JJ) .
12. Доказать, что около четырёхугольника ABCD, заданного
координатами вершин: Л (2, 1), 5(1, 3), С (—3, 1) и ?>(1,—1), можно
описать окружность. Вычислить координаты центра и радиус этой
окружности.
13. Для треугольника А (5, 3), 5(2,-1), С(1, 4) определить длины
медиан и.вычислить координаты точки их пересечения.
14. Определить координаты вершин треугольника, стороны
которого проходят через точки (5}—1), (6, 4) и (10, 2) и делятся в них
пополам.
15. Дан треугольник ЛВС: Л (— 1, —2), 5(2, 2), С.(11, —7).
Определить координаты точки пересечения стороны ВС с биссектрисой
угла А.
16. Вычислить площадь треугольника Л(1, 1), 5(2, 7), С(—3, 5).
17. Вычислить площадь четырёхугольника ABCD; A (2, 4), 5(3, IV
С (6, 0), Я (4, 6).
18. Определить стороны, медианы, биссектрисы, высоты и площадь
треугольника А (2, 5), 5 (— 3, 7), С (1, - 2). Отв. АВ = У"29, ВС = У~97,
АС = УЩ медиана АМі~ -^V^ биссектриса Л/4' = У"і4^29;.
2 '18 5
пл. Д ЛВС =18,5 кв. ед.; высота Af/,= ' = 3,75...
1^97
19. Вычислите площадь треугольника А (1, 1), 5(2, 7), С(—3, 5).
20. Построить линию, координаты точек которой связаны
уравнением V = — .
^ X
21. Построить кривую _у =
лг + 2 *
22. Какое соотношение существует между координатами точек,
лежащих на биссектрисе координатного угла? На биссектрисе угла,
смежного с координатным? Отв. х — у = 0; л: + _у—0.
23. Точка лежит на прямой, выходящей из начала координат,
наклонённой к оси абсцисс под углом f = 30°. Какое соотношение
существует между* координатами этой точки. Отв. х Y 3 — 3_у = 0.
24. Определить уравнение геометрического места точек,
равноотстоящих от точек А (2, 3) и 5(5, 6). Отв. х+у — 8 = 0.
25. Написать уравнение перпендикуляров, восставленных из
середин сторон треугольника А(2, 3), 5(0,-3), С(5, —2). Отв. х-\~Ъу —
— 1=0; Ъх — 5у— 8 = 0; Ьх+у— 10 = 0.
26. Дана точка N(5, 3), а другая точка Р перемещается по
окружности с центром в N и радиусом, равным б единицам принятого
масштаба. Каким уравнением связаны переменные координаты
движущейся точки? Отв. (х — 5)2 + (3> — 3)2 = 62.
27. Найти геометрическое место точки, которая движется так, что
её расстояния от осей х и у относятся, как 5:3. Отв. 5х — 3> = 0.
28. Найти геометрическое место точек, для которых разность
квадратов их расстояний от точек (5, 3), (—4, 3) равна 25. Отв. 9x4-8 = 0.
29. Найти уравнение линии, описываемой серединой отрезка
длиной 2а, концы которого скользят по осям координат. Отв. x2-^-y1s=^a2.
53

30- Найти кривую, проходящую через точку (1, 2), ординаты точек
которой пропорциональны кубам абсцисс. Отв. у = 2х3.
31. Определить геометрическое место центров окружностей
радиуса 7, касающихся данной окружности с центром в точке (12, 0) и
радиусом 5. Отв. л:2 -{-у2 — 24х = 0.
32. Определить геометрическое место подошв перпендикуляров,
опущенных из точки (0, 0) на прямые, проходящие через точку (4, 0).
Отв. х2+у°' — 4л: = 0.
33. Найти геометрическое место точек, расстояния которых от
точек (0, 0) и (5, 0) относятся, как 2:1. Omet 3.v2 — 40дг + З^у2 -f-100 = С.
ГЛАВА П.
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.
§ 1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом*
В предыдущей главе мы видели, что текущие координаты
точки, движущейся по прям<зй, связаны в своём изменении
уравнением первой степени. Это уравнение может иметь различные
виды, каждый из которых
характеризуется особым геометриче-
И ^"" ским значением его
коэффициентов соответственно положению
) прямой.
\ Р Пусть данная прямая АВ
(черт. 21) пересекает ось ординат
*х в точке В, отстоящей от начала
координат на расстояние ОВ = Ьу
Черт. 21, и наклонена к положительному
направлению оси абсцисс под
углом а. Пусть tga = k. Величинами k и b вполне определяется
положение прямой; k и b— параметры прямой1).
Строим координаты какой-нибудь точки М этой прямой:
jc = OMlf у = М1М. Из точки В проводим прямую ВР>
параллельную оси абсцисс, до пересечения в точке Р с ординатой
точки Ж. Из прямоугольного треугольника ВРМ имеем:
Но
*щ>=Ъ?РВМ.
РМ=у — Ь; ВР=ОМ1 = х; ^РВМ~а.
[) О параметрах см. Введение, § 8,
54

Следовательно,
у-Ъ
= tga.
Этому соотношению удовлетворяют координаты любой точки
прямой. После преобразований и замены tgaero величиной к
получим уравнение прямой в следующем виде;
y = kx-\-b.
Коэффициент при х в этом уравнении, т. е. к, называется
угловым коэффициентом прямой и геометрически означает, как
уже было замечено, тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс.
Величина b называется начальной ординатой.
Если угловой коэффициент положителен, то угол наклона
прямой к оси абсцисс будет острый, ибо угловой коэффициент
есть тангенс этого угла наклона прямой к положительному
направлению оси абсцисс. При этом ордината у точки,
движущейся по прямой, возрастает вместе с увеличением абсциссы х.
При отрицательном угловом коэффициенте угол наклона прямой
к оси абсцисс будет тупой, и с возрастанием абсциссы х
ордината у убывает.
Бели & = 0, то уравнение прямой принимает вид
у = Ь.
Так и должно быть, ибо при & = 0 прямая параллельна оси
абсцисс, и ордината точки, движущейся по такой прямой,
сохраняет постоянную величину.
Если прямая перпендикулярна к оси абсцисс, то а=-^-
и tg3 = ?=oo, а начальная ордината b или тоже бесконечно
велика, или неопределённа, если прямая
совпадает с осью ординат. Каждая точка прямой
имеет (черт. 22) одну и ту же абсциссу,
равную, например, а:
х = а.
О
— а
*77
Й
Это равенство, выражающее постоянство
абсциссы, и будет уравнением прямой. Черт. 22,
Оно может быть получено из уравнения
с угловым коэффициентом, как предельное при к—оог).
і) yz=kx-\-b или ~ = х-\--г-. Если вращать прямую вокруг точки
it , ,
(а, 0), изменяя угол от а до-т-, т° «-* °° и я -* оо; но, как легко
55

Теперь мы можем доказать, что всякое уравнение первой
степени относительно х и у:
Ах + Ву + С=0 (1)
есть уравнение прямой.
В самом деле, если ВфО, то, определив из этого общего
уравнения первой степени у как явную функцию х, иначе —
решив уравнение относительно у, получим:
•у=-4х-і-' (2)
Определим теперь угол а так, чтобы tga = — -g-, и
построим прямую, которая была бы наклонена к оси абсцисс под
углом а и отсекала бы от оси ординат отрезок Ъу равный —^-.
Составляя по предыдущему уравнение этой прямой, мы
получим уравнение (2). Следовательно, уравнение (2)'или ему
равносильное (1) представляет прямую.
Если же Б=0, то Л=^0, лбо иначе (1) не было бы
уравнением первой степени. Тогда, разделив на Д мы получим;
т. е. уравнение прямой, параллельной оси ординат и
пересекающей ось абсцисс в точке ( -г-, 0 J .
Для построения прямой по данному её уравнению
достаточно найти координаты двух каких-нибудь
точек прямой, давая одной из координат произвольное значение
и определяя другую из данного уравнения прямой.
Пример. Построить прямую, данную уравнением
3* —2у + 6 = 0.
Ищем на прямой две точки: одну с абсциссой х=1, а другую
с абсциссой х = — 1. Как нетрудно видеть из уравнения прямой,
такими точками будут СП, 4yj и D (—1, 1-Л . Построив эти
точки и соединив их прямой, мы тем самым и решим поставленную
задачу.
Можно было бы для построения прямой искать точки пересечения
црямой с осями координат; для этого нужно сначала положить у = 0
и вычислить из уравнения прямой х, а потом положить л- = 0 и
вычислить у. Таким образом, найдём две точки; А (—2, 0) и .8(0, 3).
Ь Ъ
видеть, b~—ak, поэтому —- = —«, а значит, и в пределе — даёт— а.
Таким образом, уравнение прямой в пределе принимает вид л — а=0
56

Вопросы. 1. Каково положение прямой относительно осей
координат, если в её уравнении коэффициент А равен нулю, т. е. если ей-
уравнение имеет вид flj/-|-.Cr=0?
2, Каково положение прямой, если С=0?
§ 2. Определение угла между двумя прямыми, данными
своими уравнениями.
Пусть две прямые АВ и АгВг (черт. 23) даны уравнениями
Геометрическое значение угловых коэффициентов даёт
возможность определить углы наклона а и аг этих прямых к
положительному направлению оси абсцисс:
tga = A, tga1 = k1. (3)
Требуется по этим данным
определить угол ср между этими прямыми.
Как видно из чертежа, угол аг —
внешний для треугольника АА^, и
следовательно,
откуда
<р = а1 — а. (4)
Черт. 23.
Если углы а и аг определены из уравнений (3), то формулой (4)
и определяется искомый угол между двумя прямыми.
Чаще понимают поставленную задачу, как задачу
определения какой-нибудь тригонометрической величины искомого угла»
Найдём, чему равняется tgcp:
to (р = te Га a)=r *gfli-*ggl)
ЧУ — tgiai «і — і + tg; ci-tgох'
Но
tg«i = *i, tga = k;
следовательно,
¦ ^rSi1 (5>
Формула (5) и представляет решение поставленной задачи.
Пример. Определить угол между прямыми
х — Ъу-\-Ъ~0 и блг — З.у + 2 — 0.
1) См. далее параграф о тригонометрических функциях.
?7

Решение. Определяем сначала угловые коэффициенты этих прямых,
для чего решаем данные уравнения каждое относительно у. Из первого
уравнения имееш
из второго:
¦Следовательно,
2
y — tx + f*
k = -г-, ki = 2,
Если обозначим искомый угол через <р, то по формуле (5) получим;
2-1 і2
. " 3 3 ,
Следовательно,
<Р = 45С\
Условие параллельности. Если две прямые параллельны,
то угол между ними равен нулю: <р = 0 и tg<p = 0;
следовательно, kx— &==0, или k — kx.
Таким образом, для парал хель^ости двух прямых
необходимо равенство ах угловых коэффициентов^ что, впрочем,
вытекает и непосредственно из геометрического значения этих
коэффициентов.
Условие перпендикулярности. Если две прямые
перпендикулярны, то ср = 90° и tg ^ = оо, что возможно, если
знаменатель в формуле (5) обращается в нуль:
і+лаі==о, (6)
¦откуда
Формула (6') показывает, что угловой коэффициент прямой,
перпендикулярной к данной, обратен по величине и по знаку
угловому коэффициенту этой последней.
Пример. Даны прямые;
l)jv = 2^-3; 2) yj= — ^x+l; 3) у=-±х+ з;
4)у = 2х + 1; 5)ут=гх~Ъ.
Какие из этих прямых параллельны между собой и какие
перпендикулярны?
Отв. Параллельны прямые: 1) и 4), 2) и 3); перпендикулярны:
1) и 2), 1) и 3), 2) и 4), 3) и 4). Прямая 5) не параллельна и не
перпендикулярна ни одной из других.
53

§ 3. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть данная прямая пересекает ось абсцисс в точке Л,
а ось ординат в точке В (чёрт. 24):
ОА = а, ОВ = Ь.
Данными а и Ь, если они одновременно не равны нулю,
положение прямой вполне определяется.
Пусть М(х, у)—какая-нибудь
точка прямой:
ОМг = х, МгМ=у.
Из подобия треугольников ОАВ
и МХАМ имеем:
ОБ ~ ОА
Черт. 24.
Эта пропорция справедлива при всяком положении' точки М
на прямой АВ, а принимая во внимание и направление отрезков,
нетрудно убедиться, что отношения обеих частей равны и по
знаку.
Но
МХМ =у,
следовательно,
ОВ = Ь, МгА — а — ху ОА = а;
у а — х
а
или
откуда
Ь а '
-4-^ — 1
а ^ b ~іщ
Это и есть уравнение прямой в отрезках. Отрезки а и Ь%
отсекаемые прямой на осях координат, могут быть как
положительны, так и отрицательны.
Всякое уравнение первой степени относительно х, у, если
свободный член не равен нулю, можно привести к виду
уравнения в отрезках.
Пример.
Злг — 2у + 6Р=0, Здг — 2у = — 6,
3* і 2у«
+4 =1, а = -2, 6т=3.
5Э

§ 4. О проекциях.
Установление соотношений между различными отрезками,
входящими в фигуру, часто основывается на теоремах о
проекциях и именно об ортогональных проекциях, т. е. о проекциях,
получаемых помощью проектирующих лучей, ортогональных
(направленных под прямым углом) к оси проекций.
Если из концов отрезка АВ опустить перпендикуляры ААг
и ВВ1 на прямую /, то основания этих перпендикуляров At
и Вх определяют на прямой / отрезок, который и называется
проекцией АВ на ось / (черт. 25). Проекция эта называется
ортогональной, ибо проектирующие лучи ААХ и ВВг
перпендикулярны, или ортогональны (ор?б; — прямой, ycovja — угол) к оси
проекций /.
Теорема I. Проекция отрезка равна проектируемому
отрезку, умноженному на косинус угла наклона ег,о к оси
проекций,
В отличие от точки зрения элементарной геометрии мы
должны здесь установить направление как проектируемого
отрезка, точнее — той прямой, на которой лежит проектируе-
q п мый отрезок, так и оси
,4^^ проекций. Под углом на-
?- ' f ;. /!^JjU.C клона проектируемого от-
\ 4і резка к оси проекций и
^ разумеется угол между
^с^Г-Т-Т..
—^ ^ - ^_? -ь > положительными на-
с ' °' * правлениями их; при этом
Черт. 25. Черт. 26. начальной стороной угла
считается положительное
направление оси проекций. Во• многих случаях
положительное направление прямой, на которой располагается
проектируемый отрезок, определяется направлением отрезка.
При таком определении угла наклона содержание
рассматриваемой теоремы совпадает с общим определением косинуса.
Действительно, если вместо прямой / за ось проекций взять
прямую /;, параллельную ей, с тем, же положительным
направлением, и проходящую через точку А, то мы и получим
обычную картину, иллюстрирующую тригонометрические функции.
При постоянной величине АВ и переменном угле <р точка В
опишет окружность с центром в точке А; положительное
направление /' будет направлением начального радиуса этой
окружности, а АС—линией косинуса для угла и = ^/(/', АВ). Поэтому
АС
^? = cos<p тн AC=ABcos&r
60

Но АС по величине и направлению равно АХВЬ т. е. проекции
отрезка АВ на ось /. Следовательно,
АгВг = АВ со$ ср.
Здесь АВ можно рассматривать как абсолютную величину
проектируемого отрезка, а проекцию его А1В1 — как отрезок с
направлением, направление которого — согласное (-[-) или
противоположное (—) положительному направлению оси проекций/ —
соответствует положительному или отрицательному знаку cos <p
(черт. 25 и 26).
Если проектируется на одну и ту же ось несколько
параллельных или лежащих на одной и той же прямой отрезков АВ,
А'В\ А!'В"у ... , направления которых могут быть и
противоположны, то по предыдущему углы их наклона к оси
проекций или равны между собой или отличаются на половину
оборота (180°, или тг), т. е. если для одного направления угол
равен ср, то для противоположного он есть ср —|— тг^ Но иногда
удобнее считать все параллельные отрезки, хотя бы и
противоположных направлений, одинаково наклонёнными к оси
проекций, считая зато отрезки одного направления положительными,
а противоположного — отрицательными; иными словами —
установить одно общее положительное направление всех
параллельных прямых, на которых располагаются проектируемые
отрезки. Обе эти точки зрения не противоречат одна другой.
В самом деле, если АВ и А'В' — отрезки противоположных
направлений, и первый наклонён к оси проекций под утлом со,
а второй, стало быть,—под углом <р —J— тг, то по предыдущему
будем иметь:
AxBx = ABcos(f и i4iSi = i4'5'cos(<p + ir)
или
А1В1 = ( + АВ) cos ср и А[В[ = ( — А'В') cos у.
Таким образом, действительно, считая оба сртРезка одинаково
(под углом <р) наклонёнными к оси q
проекций, мы должны считать один ^---^
из них положительным, другой от- ЯУ
рицательным. ;
Под проекцией ломаной линии |
разумеется сумма проекций отдель- А В, Dt С, Fs ?i "
ных звеньев этой ломаной (черт, 27):
пр. ABCDEF=:ap. АВ + тір. ?С+ ЧеРт- 27-
-f-пр, CD-\- пр. DE-\- пр. EF, Начальной и конечной
точками ломаной линии определяется направление каждого звена
этой ломаной.
61

Проекции отдельных звеньев ломаной расположены на одной
и той же прямой — оси проекций, и каждая из них имеет
направление. Поэтому к ним можно применить правило сложения
направленных отрезков (стр. 39):
ДМ + ВД=і4,сі; лгвг+ад + с1а=^41с1 + сх а=АА;
ахвх+в гсг + с, а -|- АА = А А + ад = А А;
ЛА + А^ + СгОг + А А + АЛ = АА + АЛ = AxFlm
Следовательно, проекция ломаной равна отрезку, начальная
точка которого Аг совпадает с проекцией начальной точки
ломаной, а конечная Ft — с проекцией конечкой точки ломаной.
Отсюда вытекают следующие два предложения.
Теорема II. Проекция ломаной равна проекции
замыкающей.
Под замыкающей разумеется отрезок, начальная и конечная
точки которого совпадают соответственно с начальной и
конечной точками ломаной (черт. 28).
Черт. 28.
То же предложение можно формулировать так: проекция
замкнутой ломаной линии равна нулю.
Теорема III. Проекции ломаных с общей замыкающей,
иначе — с общими накалом и концом—разни {черт, 29).
Задача, Доказать, исходя из предыдущих теорем,
справедливость следующих тождеств:
1) coscp+cos (<? + у) +cos (срЦ-у) =°;
2) соз cp + cos (? +у) +cos (<Р + у) +cos (? + т)=0;
3) cos? + cos(? + ^) + co3 (? + y) +cos (? + т) +
+ cos (? + ?)= 0.
62

§ б. Нормальное уравнение прямой.
Положение прямой относительно осей координат можно
определить перпендикуляром р = ОР (черт. 30), опущенным на "эту
прямую из начала координат, и
углом а, образуемым этим
перпендикуляром с положительным направлением оси
абсцисс.
Пусть М{х> у)— какая-нибудь точка
данной прямой:
Проектируем ортогонально ломаную ОМхМ „
на перпендикуляр ОЯ. ерт' *
Проекция этой ломаной, как видно из чертежа, равна
перпендикуляру р:
п?.рОМ1М=р. (7>
Но
ир.рОМгМ — пр.рОМх + пр.рМгМ = пр.рх 4- пр.рУ-
Первое звено х наклонено к оси проекций р под утлой а.
а второе у— так же, как и ось ординат, т. е. под углом ~— а.
При этом следует иметь в виду, что направления звеньев
проектируемой ломаной ОМгМ могут и не совпадать соответственно
с положительными направлениями осей координат, которыми
определяются углы наклона а и *~ —а проектируемых
отрезков. Мы должны считать в этом случае проектируемые отрезка
отрицательными (§4). Следовательно, при всяком —
положительном или отрицательном — значении координат х и у, имеюг
место следующие равенства:
npyr = A;-cosa, пр.ру=у-со$ (~ — а) .
Таким образом, равенство (7) принимает вид
х cos а -\-у cos (~—я)—Р
или
х cos а -\-у sin a—р = 0. (8)
Этому уравнению и должны удовлетворять координаты любой
точки данной прямой, и оно называется нормальным уравнением
прямой.
Какой же характерный признак нормального уравнения?
Коэффициенты при хиу суть cos a и sin a, т.е. числа, меньшие
6&

единицы, и, кроме того, сумма квадратов этих коэффициентов
должна равняться единице, ибо cos2a-\-s'm2a= 1, а свободный
член отрицателен. Таким образом, из уравнений
l)-g-Ar + |-iy —2 = 0, 2) 2*-f-3y —7 = 0, 3) ~x-{^-y—l=0
т) "ЬіТ; == *' остальные, не
удовлетворяя этому условию, не будут нормальными.
Для преобразования уравнения общего внда
Ах: + Ду+С=0
в нормальное нужно умножить все его члены на некоторый
множитель так, чтобы коэффициенты при хну действительно
можно было положить равными косинусу и синусу некоторого
угла. Введение этого множителя необходимо, так как косинус
и синус, во-первых, не могут быть больше единицы и, во-вторых,
связаны соотношением
sin2 а -\- cos2 а = 1.
Итак, умножим уравнение общего вида на нормирующий
множитель, который обозначим через R:
RAx-\-RBy+RC=0.
Если это уравнение нормального вида, то коэффициент RA
.должен быть косинусом некоторого ещё неизвестного угла а,
RB — синусом того же угла, a RC — величиной перпендикуляра,
опущенного из начала координат на прямую, взятой со знаком
минус:
RA = cos a, RB = sin а, RC = —р.
В этих уравнениях даны Л, В и С, а требуется определить Rt
а и р. Из первых двух уравнений следует:
ЯМа = cos2 a, R2B2 = sin2 а.
Складывая эти равенства почленно, получим:
R2 (Л2 + В2) = cos2 а + sin2 a,
или
Отсюда
R2{A2 + B2)=\.
1
Я =
+ Va*-\-b*j
и следовательно,
/4 5 Г*
cos а = —- , sin а = == о =
64

Знак перед корнем нужно брать такой, чтобы /?С = — р было
отрицательным* потому что при составлении нормального
уравнения мы брали абсолютную величину перпендикуляра ОР (черт. 30),
и следовательно, р — число положительное при всяком
положении прямой. После этого угол а вполне определяется первыми
двумя равенствами для cos а и sin a.
Таким образом, уравнение
Ах4-Ву-1ГС=09
по приведении его в нормальное, принимает такой вид:
А , В , С
+ Уа*+в
или
+ Va*-\-b*
= 0
(9)
Приведя общее уравнение прямой Ах-\-Ву-\-С=0 к одному
из вышеприведённых видов, мы тем самым находим некоторые
величины, как, например, угловой коэффициент k, отрезки а и 6
на осях координат, расстояние р начала координат от прямой.
Этими величинами можно воспользоваться при решении
различного рода задач относительно прямой. Некоторые из них мы
уже решили. К таким же задачам относится и следующая:
Определить расстояние точки, заданной её координатами,
от прямой, заданной уравнением.
§ 6. Определение расстояния точки от прямой.
Задана точка своими координатами М{хь уг) (черт. 31) к
прямая уравнением
Ах + Ву±С=0. (10)
Определить расстояние точки М от
данной прямой, т. е. определить
величину перпендикуляра MQ, опущенного
из данной точки на данную прямую.
Будем обозначать этот
перпендикуляр через d:
d=MQ. Черт. 31.
Проводим через точку М прямую Л1В1, параллельную прямой АВЛ
и перпендикуляр ОР продолжаем до пересечения с прямой АХВХ
в точке Pv Обозначим расстояние ОР через pt а ОРг — через рг.
-5 Курс высшей математик» 6&

Как видно из чертежа,
QM = РРХ = ОРх — ОР=рх —p = d.
Таким образом, задача сводится к определению р и р1т
Приводим данное уравнение
Ах + Ву~{-С = 0
к нормальному виду:
ИЛИ
х cos а -{- j/ sin а — р = 0S (1 Г)
если положим
—, = cos а, —> sm = а, .. =—р. (12)
Таким образом, р может считаться определённым.
Уравнение прямой АхВг, отличаясь от уравнения (11') только
последним членом (так как угол а один и тот же для обеих
прямых), будет иметь вид
х cos a -\-у sin а —рх = 0. (13)
Здесь необходимо сделать следующее замечание. Если начала
координат лежит вне полосы, ограниченной параллельными
прямыми АВ и AxBlt то, считая р и рх положительными, мы
должны принять а одним и тем же для обеих прямых. Но если
начало координат лежит между параллельными прямыми АВ
и АхВх> то углы наклона перпендикуляров ОР и ОРг будут
разные, для одного а, для другого a-j-тг. Но и в этом случае
угол наклона ОРг мы будем считать равным о, а р и рг —
противоположными по знаку; так как р уже принято-
положительным, то, стало быть, р1 в случае, когда начало
координат лежит между прямыми АВ и АХВХ, должно считать
отрицательным.
В уравнении (13) х и у— текущие координаты точек
прямой АХВЪ а — уже известный угол, определяемый формулами (12)г
а рг ещё неизвестно и подлежит определению.
Уравнению (13) должны удовлетворять координаты любой
точки прямой AXBV стало быть, и координаты хх, ух точки М.
Таким образом, должно иметь место равенство:
хг cos а -{-ух sin a —рг = 0. (14)
В этом равенстве все величины, кроме pv уже известны: хг, ух
даны, cos а и sin а определены формулами (12). Таким образом,
66

из него можно определить и рг:
Рі = х\cos а +>іs{n a- (15)
Искомое расстояние dy равное рх—р, теперь вполне
определяется, если вместо рх подставить его величину (16):
d = хг cos а -\-ух sin а —р. (16)
Подставляя вместо cos a, sin а, р их величины (12), получим
4=Лхг+ВУі + С
Таким образом, для определения расстояния точки М (xv yt)
от прямой надо привести уравнение этой прямой к
нормальному виду; левая часть приведённого уравнения при х = хи
у=уг и выражает искомое расстояние.
Пример, Найти расстояние точки Af (2, — 5) от прямой Ъх—4y-f-5=(L
Решение, Нормальное уравнение данной прямой
— У 32+ 42
Следовательно,
3-2 —4 »(--j>H-5 _6 + 20 + 5_ 31
d = -6-L
о
Расстояние </, вычисленное по формуле (16) или (17), может
оказаться и отрицательным. Так, расстояние начала
координат (0, 0) от прямой (11') будет:
d=0-co$a-\-0 sina—p=—р. (18)
По исходному определению d=px—р. Самый способ
приведения данного уравнения к нормальному виду предполагает
для р положительное значение; но р1% как было отмечено выше,
может быть и отрицательным. Расстояние d—pt—р будет
положительным, если рг^>р, и отрицательным, если рі<^,р
(сюда включается и случай отрицательного значения рх). Если
Рі^>р, то точка М и начало координат О лежат по разные
стороны от данной прямой, а при рх<^р точки М и О
лежат по одну сторону от данной прямой. Таким образом,
точка М лежит по ту же сторону от прямой, что и
начало координат, если расстояние отрицательно, и по другую
сторону, если оно положительно*
5* 67

§ 7« Уравнение прямой данного направления, проходящей
через данную точку.
Пусть даны угловой коэффициент прямой к и одна её
точка Р (хь уг). Этими данными прямая вполне определена.
Уравнение любой прямой данного направления можно написать
.в таком виде:
у = Ьх + Ь, (19)
где k — данное постоянное, a b — какое-нибудь постоянное,
параметр: различным значениям параметра b соответствуют раз-
.личные прямые (параллельные между собой). Нужно подобрать
теперь такое значение параметра Ь, чтобы прямая, определяемая
этим уравнением (19), проходила через данную точку P(xvyx\
т. е. чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению (19):
уг = кхх-\-К (20)
Равенство (19) есть уравнение прямой: х и у—текущие
координаты; равенство (20) (не уравнение прямой!) является
условием прохождения прямой
(19) через данную точку Р(х^ух)
и устанавливает соотношение
между известными постоянными
хі> У\л k и неизвестным
постоянным Ь*
Из равенства (20) можно
определить b и вставить его
значение в уравнение (19); таким
образом и получим искомое
уравнение прямой, в котором все
коэффициенты будут
известными данными. Но лучше путём почленного вычитания из
уравнения (19) и равенства (20) исключить Ь\ таким образом,
получим искомое уравнение:
У— Ух — k{x — xj. (21)
Если дана только одна точка P(xvyx), то через неё можно
провести бесчисленное множество прямых, образующих пучок
лучей (черт. 32), Уравнение (21) и представляет уравнение
такого пучка, если дг, у—текущие координаты, xv уг —
координаты данной точки — центра пучка и k — параметр,
принимающий для различных лучей пучка различные значения.
Задача. Какое значение нужно дать параметру k в уравнении (21),
чтобы соответствующий луч пучка был параллелен оси абсцисс? или оси
ординат? или-—прямой, данной уравнением 3*— бу-f 1 = 0?
.-68
Черт. Ъ'л.

§ 8, Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть P(xvyx) и Q{x&y2)— две данные точки. Уравнение
прямой к а к о г о-н и бу д ь направления, проходящей через точку
Р{хіуУі)> п0 предыдущему имеет вид
у—Уі=Ь{х — хг\ (22)
где k— параметр, принимающий различные значения для
различных прямых, выходящих из точки Р(хьу^). Если k подобрать
так, чтобы прямая (22) проходила и через вторую данную точку
Q(xiyy2\ то координаты этой точки должны удовлетворять
уравнению (22):
>'2 —Ух = k{x2 — хг). (23)
Отсюда и можно определить угловой коэффициент к и вставить
в уравнение (22). Но лучше — почленным делением из уравнения
(22) и равенства (23) исключить k; таким образом получим
искомое уравнение:
?=У± = *=* . (24).
Уг— Ух Х2 — Х! v '
Задача. Составить то же уравнение (24), определяя (гл. I, § 7)
площадь треугольника Р{хі,у{), (Цх2,уг)* М(х,у), где М —
какая-нибудь точка прямой PQ.
Указание, Если точка М перемещается по прямой, соединяющей
точки Я и ft то площадь треугольника всё время будет равна нулю.
§ 9. Общий обзор и постановка различных задач
относительно прямой.
Уравнение прямой может быть дано в следующих различных
видах:
1. Общее уравнение прямой:
Ах-\-Ву-\-С—0.
2. Уравнение с угловым коэффициентом;
y = kx-{-b.
3. Уравнение прямой в отрезках:
а^ Ь '
4. Нормальное уравнение:
х cos а -\-у sin а—р = О»
69

5. Уравнение прямой данного направления, проходящей через
данную точку:
у—уг = к(х — х1).
6. Уравнение прямой, проходящей через Две данные точки;
у—Уі _ х — хі
Уъ—Уі *а—*Г
Данное уравнение прямой всегда можно привести
соответствующим преобразованием к виду 2, 3 или 4 и тем самым можно
определить угловой коэффициент и начальную ординату, т. е.
отрезок на оси ординат, или оба отрезка на осях координат,
или расстояние р прямой от начала координат и угол наклона
перпендикуляра р к положительному направлению оси абсцисс.
Основные задачи. 1. Даны две прямые
Ах + Ву-\-С=0 и Ахх -]-Bxy-{-Cx = Q.
Определить координаты точки их пересечения.
Решая совместно эти уравнения, получим;
:1(СВГ-С1В) я._-(АСг-А1С)
л— АВХ — АХВ ' У~~ АВХ — АХВ •
Вопросы, а) Какое геометрическое значение имеют условия:
АВ1 — АХВ = 0, но СВг — СХВ ф О?
Ь) Какое геометрическое значение имеют условия;
АВ1 — А1В = 0 и СВХ — СхВ = 0?
2. Составить уравнение прямой, проходящей через данную
точку Р{хх,уі): а) параллельно или Ь) перпендикулярно к данной
прямой
Ах-\-Ву + С=0.
3. Определить угол между двумя прямыми:
Ах+Ву + С=0 и Агх +Вху + Сх = 0.
4. Определить расстояние данной точки Р(хх,ух) от данной
прямой
Ллг + Яу + С—0.
5. Даны две прямые уравнениями:
Лх + Яу + С=0 и Лх* + Я^4-Сі = 0.
Пусть M(x0j у0) есть точка пересечения этих прямых, т. е.
Ах0 + Вуй + С=0, Ахх0 + Вху0 + Сх = 0. (25)
70

Уравнение
Ac + ^y + C + *Mi* + 5i^4-C,) = Of (26\
где к— параметр, принимающий различные значения,
представляет пучок лучей, проходящих через точку М (лг0,_у0), ибо, во-
первых, каково бы ни было к, предыдущее уравнение — первой
степени относительно текущих координат и, во-вторых, при
всяком к соответствующая прямая проходит через точку М {х0,у0),
так как в силу условий (25) имеет место равенство:
AxQ + ByQ + C+k(A1xQ + Biyo + C1) = 0.
Подобрать в уравнении пучка лучей (26) значение параметра
к так, чтобы'соответствующая прямая была параллельна: а) оси
абсцисс, или Ь) оси ординат, или с) данной третьей прямой
или d) перпендикулярна к этой третьей прямой.
6. Найти геометрическое место точек М{х,у) на плоскости,
отстоящих от данной прямой на данное расстояние d.
7. Найти геометрическое место точек М(х,у), одинаково
отстоящих от двух данных прямых
Ах-\-Ву + С=0 и Агх + 5^4-^1 = 0.
'VJ
§ 10. Обобщения на случай косоугольной системы координат.
1. При прямоугольной системе координат угловой
коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси
абсцисс. Рассмотрим теперь,
какое геометрическое
значение имеет угловой
коэффициент, т. е. коэффициент
при х, в уравнении вида
у = кх-\-Ь,
Черт. 33.
при произвольном
координатном угле <а„ Из треугольника ВРМ (черт. 33) имеем:
РМ. sin а
ВР
sin (о) — а)
или
у-Ь
sin а
sin (w — а)'
п

таким образом, уравнение прямой, наклонённой к оси абсцисс
под углом а, в случае косоугольной системы координат имеет
вид
sin а і ,
** sin (<о — а) 1
Следовательно,
k= . f"a ч (27)
sin (<o — а)
Отсюда можно определить tg ос:
, k sin <о /а_.
«ga= i + ^cosco <28>
и этим выражением воспользоваться для определение угла между
двумя прямыми (ср. § 2).
2. Нормальное уравнение прямой в случае косоугольной
системы координат можно вывести таким же способом, как и в
случае прямоугольной. Искомое уравнение имеет вид;
х cos а -\-у cos р —р = О (a -J- [5 = со).
3. Для приведения общего уравнения к нормальному виду
в случае косоугольной системы координат нужно знать
соотношение между cos a, cos fi и какими-
либо тригонометрическими функциями
координатного угла о> — соотношение,
которое заменило бы основное
соотношение cos2 a -J- sin2 а = 1, которым мы
пользовались при нормировании в
случае прямоугольной системы координат.
Требуемое соотношение легко выводится
из черт. 34, где
Черт. 34 мр j_ qXj mq ^ 0у^ ом _ 2г
и г — радиус описанной около четырёхугольника OPMQ
окружности.
Действительно, из треугольника OPQ имеем:
PQ2 = OP2 + OQ2 — 20/>-OQ cos со. (29)
Определяя стороны этого треугольника через диаметр описанной
окружности:
PQ=2r sin со, OP = 2r cos a, OQ=2r cos {$,
можно представить соотношение (29) в следующем виде:
4r2 sin9 a) = 4r°- cos2 а -|- 4r2 cos2 {J — 2 • 4r2 cos a cos 3 cos a>,
72

откуда
sin2 ш =й= cos2 а -\- cos2 (5 — 2 cos a cos jJ cos со. (30)
Пусть требуется привести к нормальному виду уравнение
Если R — нормирующий множитель, то
RA = cos a, RB = cos [J;
принимая во внимание соотношение (30), будем иметь:
sin2 ш = #2 (Л2 + 53 — 2АВ cos со).
Определяя отсюда R, находим нормальный вид данного уравненияг
(Ах -f By + С) sin о> __ .
a: j/,42-f-?2 — 2Л5 cos to-
Знак нормирующего множителя так же, как и в случае
прямоугольной системы, зависит от знака С, ибо <о можно считать-
меньше тт.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Построить прямую 2х — 7у -f-15 = 0, определив координаты двух,
каких-либо её точек.
2. Построить прямую 5v-j-7y — 35 = 0, определив отрезки,
отсекаемые ею на осях координат.
3. Построить прямую 2х—3_у-)~5 = 0, определив угол наклона её-
к оси х и точку пересечения с одной из осей.
4. Построить прямую at -J— 2у -|- 7 = 0, определив длину отрезка,,
отсекаемого ею на оси лг, и угол, образованный ею с осью у.
5. Определить углы наклона к оси х сторон треугольника ABC?
,4(2,5), 5(0,-1), С(9,-3).
6. Выяснить, лежат ли на одной прямой точки:
1)
2)
3)
Отв. Точки 1) и 3) лежат; точки 2) не лежат.
7. Вычислить угол между прямыми
Злг + 4у —9 = 0 и 12x-f-5y-3 = 0.
п ¦ 33
Отв. tg? = — gg*
8. Дан треугольник: Л (2,1), 5(3,-2), С (— 4,— 1); написать
уравнения его сторон и определить их длины.
Оте.__ Здг+.У-з_7 = 0; * + 7у + 11=0; дг-3у + 1=0; АВ =
=/10, ВС = 1^50, ЛС = У"40.
9. Написать уравнения прямых, проходящих через вершины
треугольника (—1,2), (2,-2), (—3,-4) параллельно противоположным:
сторонам.
П
(2,4)
(2, 3),
(- 2, 4),
(1,1).
(5, - 7),
(1,2),
(-1,-5);
(4,-1);
(7, - 2).

10. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения с осью у прямой 7х±2у — 14 = 0 перпендикулярно к
последней. Отв. 2x — ly -f-49 = 0.
11. Дан треугольник ABC: А(5,3), В(— 1,3), С(3,-2). Написать
уравнения его сторон, высот, медиан, а также, не пользуясь формулой
рассгояния точки от прямой, написать уравнение-одной из биссектрис.
12. Вычислить координаты точки пересечения прямой 2х — 5_у -)-3 = 0.
-о прямой, параллельной оси х и находящейся от неё на расстоянии 3.
Отв. (6, 3).
13. Определить, проходят ли через одну точку три прямые, данные
уравнениями:
\)х—у—1 = 0\ 2х-у — 3 = 0; Ъх— у — 5 = 0;
2) Зл* + 2у —5=0; 7л: —2у —25 = 0; Зл: + 7у + 21 = 0;
3) д-4-.2У + 1 = 0; 0,3л:+ 5у +9,1=0; 7л: —Зу —27 = 0;
4) тдг-(-лу = /ял-{ ~— \т(х-\-у)-\~п(х — у) — т2 + п2;
т (х -f-y — т) = я (л: — у — л).
14. Даны два треугольника: один — уравнениями сторон:
л; —5у + 34 = 0,
5-с — Чу — 37 = 0,
4л: + 3у-1-21=0,
а другой — координатами вершин;
Л (-1,2), 5(4,3), С (2, -2);
доказать, что стороны одного треугольника параллельны сторонам
другого и что прямые, соединяющие соответственные вершины этих
треугольников, пересекаются в одной точке.
15. Даны две прямые;
Ах + Ву + С = 0, А^-^Віу-і-Сі — О. (а)
В § 9 было доказано, что уравнение
Ах + Ву + С + \{А1х + В1у + С1) = 0 (р)
при любом постоянном I представляет прямую, проходящую через
точку пересечения прямых (а). Показать, что, и обратно, — к виду ((J)
может быть приведено уравнение всякой прямой, проходящей через
точку пересечения, прямых (а).
16. Даны две прямые; 2х — Зу -f" * = 0 и %х — ТУ + 2 = 0.
Уравнение 2х — Зу -f-1 -f- I (Ъх — Ту -f- 2) = 0 представляет прямую,
проходящую через их точку пересечения. Выбрать I так, чтобы эта
прямая была перпендикулярна к первой из данных прямых.
Отв. 'Х = —^-,
17. Пользуясь результатами предшествующих задач, выписать
уравнения высот треугольника, образованного прямыми:
2дг —Зу+1=0, 7х^~ 2у — 28 = 0, Злг ¦+- 5у — 30 = 0.
Отв. 85* - 51у - 241 =0; 123л: + 82у - 852 = 0; 38* + іЗЗу — 611 =0.
18. Привести к нормальному виду уравнение прямой Злг+4у — 15 =0.
Отв. —-л;+-іу —3 = 0.
5Г4

19. Определить длину перпендикуляра, опущенного из начала
координат на прямую
7х— 24у + 50 = 0.
Отв. 2.
20. Найти расстояние точки М(2} — 5) от прямой
Зл: — 4v-f 5 = 0.
1
Отв. d = — 6 -?- *
21. Определить расстояние прямой а(х~~а)-\~Ь(у — й) = 0 от
начала прямоугольной системы координат. Отв. Y аг~\-Ъг*
22. Через точку (—5, 7) провести прямую с угловым
коэффициентом k\ выбрать к так, чтобы расстояние от точки (0, 7) до этой прямой
было равно 3. Отв. А = ± — .
23. Вычислить координаты центра окружности радиуса г= 8, касаю?
щейся прямых Злг— 4у -f- 3 = 0 и 6д- + 8у + 5 = 0.
Отв. (-х-к)-
24. Написать уравнения биссектрис углов, образованных прямыми
3x-f-4y— 9 = 0, \2х -f- 5у — 3 = 0, и показать, что они
перпендикулярны одна к другой.
ГЛАЗА III.
ОКРУЖНОСТЬ.
§ 1. Различные виды уравнения окружности.
Мы уже видели (гл. I, § 9), что окружность с центром в точке
М(а, Ь) и радиусом г относительно прямоугольной системы
координат представляется уравнением;
(х —а)а + (^ —*)2 —^ = 0/ (1)
Если центр окружности лежит в начале координат, то а = 0,
? = 0, и уравнение (1) принимает вид:
х*+у*~* = 0. (2)
Решая это уравнение относительно у:
можно проследить, как изменяется у вместе с изменением х,
и тем самым исследовать геометрическое место точек,
координаты которых удовлетворяют этому уравнению, т. е.
аналитически исследовать форму окружности.
Вопросы. 1. Какую линию представляет уравнение
75

2. Какую линию представляет уравнение
j/ = —//* — **?
3. Какое значение получается для у, если, соответственно, |лг( > гг
|л|=ги \хК,г? Что означает геометрически кайсдый ответ?
Если раскрыть скобки в уравнении (1), то уравнение
окружности примет вид
я* + у* — 2ах — 2Ьу + (а2 + ft2 — г2) = 0. (4)
Теперь возникает вопрос, при каких условиях общее уравнение
второй степени
Ax2-\-Bxy + Cy*-\-Dx±Ey + F=0 (5)
представляет окружность? Сравнивая уравнение (5) с уравнением
(4), нетрудно заметить, что в уравнении (4) коэффициенты при
х2 и у2 одинаковы и равны 1; кроме того, в нем отсутствует
член, содержащий произведение ху. Покажем, что если в общем
уравнении коэффициенты при х2 и у2 одинаковы (А = С) и
отсутствует член, содержащий произведение ху, т. е. 5 = 0, то
такое уравнение при прямоугольной системе координат
представляет окружность, если выполнено ещё неравенство 4AF<T
<Z>2 + ?2.
Итак, пусть нам дано уравнение
Ах2 + Ay* + Dx-\-Ey + F=Q (б>
Делим все члены его на А:
х2+У2 + %х + §У + ^=0. (7)
Члены этого уравнения, содержащие л;, с одной стороны, и у —
с другой, можно дополнить до полных квадратов, прибавляя в
каждом случае квадрат половины коэффициента при первой степени
соответствующего переменного. Таким образом, прибавляя и вы -
D2 Е'?
читая в левой части уравнения (7) j-p* й ДЖ' полУчим:
или
При этом последняя дробь в левой части положительна, так
как, по условию, D2-{~E2~4ЛГ>0. Если положить
76

то данное уравнение (6) или равносильное ему уравнение (8)
примет вид
(х—а)»-}-^ —*)* — /* = О, (Ю)
т. е. представляет окружность. Формулы (9) определяют
координаты центра этой окружности и её радиус с помощью
коэффициентов данного уравнения (6):
Если условие 4AF<^D-\~E2 не выполнено, то значение для г будет
мнимым или равным нулю. В первом случае, т. е, если
D2-f Е2— 4Л/7<0, (11)
на плоскости нет ни одной действительной точки, координаты
которой удовлетворяли бы уравнению (6) или (10), ибо сумма
положительных чисел (—г2 при г мнимом—число положительное)
не может равняться нулю. Только при мнимых значениях хну
можно было бы удовлетворить этому уравнению, и потому
говорят, что уравнение (6) при условии (11) представляет мнимую
окружность. Например, уравнение
представляет мнимую окружность или окружность с мнимым
радиусом, ибо
г2 =—4
или
Во втором случае, когда
D2-\-E*—4AF=0, (12)
уравнение (10) принимает вид
(jc —a)* + (jf —А)> = 0.
Сумма положительных чисел равна нулю только тогда, когда
каждое слагаемое отдельно равно нулю, т. е.
(х — а)2=^0 и {у— bf = 0 или х = а, у = д.
Таким образом, только координаты одной точки плоскости
удовлетворяют данному уравнению. Можно рассматривать этот
случай как предельный, когда радиус / уменьшается до нуля,
и тогда можно сказать, что уравнение (6) при условии (12)
представляет окружность, превратившуюся в точку.
77

откуда
или
Пример. Какую кривую представляет уравнение
х*+у* + блг — 7у + т = О,
где т — какое-нибудь постоянное (параметр)?
Дополним члены с текущими координатами до суммы двух полных
квадратов. Для этого надо прибавить и вычесть из левой части
(4)" • (й"
(л*+ 6*-f-32}-32 + (ys — Ту + 3,52) - 3,52 +/я = О,
(л- +¦ З)2 + (У - 3,5)2 _ (32 4- 3,52 _ т) =- о
(^ + 3)2 + (у-3,5)2-(21,25-т) = 0.
Таким образом, данное уравнение представляет окружность с
определённым центром и радиусом, зависящим от параметра;
а = —3, & = 3,5, г = 1^21;25 — т.
При т = 21,25 эта окружность обращается в точку, а при /я > 21,2
будет мнимой.
§ 2. Степень точки относительно окружности.
Пусть три точки М, А В лежат на одной прямой, причём
А и В лежат на одной окружности и могут перемещаться по
ней так, что прямая, их соединяющая, вращается около точки М.
Как известно из элементарной геометрии,
произведение МА на MB для каждой
точки плоскости М является величиной
постоянной, не зависящей от положения
точек А и В в данной
окружности:
МА*МВ = const.
Если точка М лежит
вне окружности, то это
произведение равно
квадрату касательной, про-
*Д* ведённой из Ж к данной
окружности (черт. 35).
'Введём теперь
направления рассматриваемых отрезков, считая за начало каждого
из них точку М. В таком случае, если точка М лежит вне
окружности, то МА и MB одинакового направления и
произведение МА-МВ должно считать положительным, а если
точка М лежит внутри окружности, то МА и MB противоположных
направлений, и произведение МА*МВ должно считать
отрицательным (черт. 36). Произведение МА*МВ называется степенью
78

точка М относительно д анной окружности. Степень
внутренних точек отрицательна, степень внешних точек положительна,
степень каждой точки окружности равна нулю, ибо один из
множителей произведения МА*МВ равен нулю.
Если точка М лежит вне окружности, то у/МА-МВ
представляет величину касательной, проведённой к окружности иа
У
О
О
ее
Черт. 37.
Черт. 38.
точки М. Если точкаМ лежит внутри окружности, то МА-МВ^
как было отмечено выше, отрицательно, но —МА-МВ
положительно и 2^/—MA-MB представляет величину наименьшей
хорды, которую можно провести через точку М.
Пусть координаты точки М будут х, у, координаты-
центра С окружности а и Ь, г — радиус. По формуле
расстояния имеем:
AfC2 = (x — af + (y — bf-
Если точка М лежит вне окружности, то (черт. 37)
МС2 — г2~МТ*
или
(д. _ af -f (у — bf —г2=МП.
Если М лежит внутри окружности и LN—наименьшая
хорда, проходящая через точку М (и делящаяся в этой точке
пополам), то (черт. 38)
г^—МС2 = Ш^ или ЖС2 — г2 = —Л4Л/2
или
(х _ af _{- (у _ bf _ г2 = — MN* =ML- MN.
Таким образом, в том и другом случаях выражение
(jc — а)в + Су—*)» — /*
79

есть степень точки М{х,у\ выраженная через координаты этой
точки, координаты центра окружности а и b и радиус гщ
Уравнение окружности
(х — а)*-\-{у — Ь)2 — г = 0
выражает, что степень точек окружности относительно этой
окружности равна нулю.
§ 3. Радикальная ось.
Введение понятия степени даёт возможность очень просто
вывести целый ряд свойств окружности и систем окружностей.
Пусть даны, две окружности:
(х-а)* + (у-Ь)*-г* = 0, (13)
(JC_fl1)» + (jf_ft1)2_^=o. (14)
Будем обозначать степень точки М(х,у) относительно первой
окружности сокращённо буквой S, а относительно второй —
буквой Sx:
S=(x — a)2-\-{y — b)2 — r2, (15)
^ = (х-а^ + (у-Ь^-г^). (16)
Найдём геометрическое место точек плоскости, степени которых
относительно той и другой окружностей одинаковы. Пусть
М(х,у)— одна из этих точек. По условию, должно иметь место
равенство:
или
(jf_e)» + (y-ft)» —/* = (* —а^ + С —*,)» —г». (17)
Равенство (17) и представляет уравнение искомого
геометрического места. Оно приводится к уравнению первой степени:
2(аг— а)х + 2(Ь1 — b)y + [a2 + b2 — г2 — а\ — 4J + /i] = 0-
Таким образом, искомое геометрическое место есть прямая
линия. Эта прямая перпендикулярна к линии центров данных
окружностей и называется радикальной осью их. Если данные
окружности пересекаются в действительных точках, то
радикальная ось проходит через эти точки пересечения.
1) В равенствах (15), (16) х и у обозначают координаты
какой-нибудь точки плоскости. В уравнениях (13) и (14) хну —
координаты какой-нибудь точки окружности.
80

Касательные из точек радикальной оси, лежащих вне
данных окружностей, равны между собой. Через точки радикальной
оси, лежащие внутри обеих окружностей, можно провести
одинаковые наименьшие хорды той и другой окружности.
§ 4. Пучок окружностей.
Обобщим теперь предыдущую задачу и найдём
геометрическое место точек, степени которых относительно той и другой
окружности сохраняют постоянное данное отношение k. По
условию, должно иметь место равенство:
§- = *, или S—kS1 = 01 (18)
или
(x—ay + ty — br — rV — klix — a^ + iy — b^-rft^O.iW)
Таким образом, искомое геометрическое место есть
окружность, если к не равно 1, так как в уравнении (18)
коэффициенты при х2 и у2 одинаковы и нет члена, содержащего
произведение ху [§ 1]. Эта окружность
проходит через точки пересечения
данных окружностей, если они
существуют, ибо координаты этих точек,
удовлетворяя уравнениям (13) и (14),
удовлетворяют в то же время и
уравнению (18) или (18').
Давая в равенствах (18) и (18*)
различные значения отношению ?,
т. е., рассматривая его как параметр,
мы получим целый ряд окружностей,
совокупность которых называется
пучком окружностей (черт. 39).
Окружности пучка имеют общую
линию центров и общую
радикальную ось.
Действительно, координаты х09
у0 центра окружности (18') определяются формулами (9),
которых нужно положить, согласно уравнению (18'):
Л=1— А, ?>=— 2 (a — tej), ?== — 2(Ь— kbx).
Черт. 39.
в
Таким образом получим:
а — kax
Xq
1
Уо
6 Курс высшей математики
81

Из этих формул следует1), что центр окружности (18') делит
расстояние между центрами данных окружностейв отношении—k7
т. е. лежит на прямой, их соединяющей. С другой стороны,
степень какой-либо точки относительно окружности (18) или
(18') определяется левой частью уравнения, разделённой на
коэффициент при х1 или у2у т. е. на 1—А. Поэтому
радикальная ось двух каких-нибудь окружностей пучка, соответствующих
значениям параметра кх и &2, определяется уравнением
или
т. е. тем же уравнением, что и радикальная ось данных
окружностей (13) и (14).
Пусть М (лг, у) — какая-либо точка внешней части общей
радикальной оси данного пучка окружностей; координаты этой
точки удовлетворяют уравнению (17), а следовательно, и
уравнению (19), каковы бы ни были значения параметров kx и к^
Это значит, что точка М имеет одну и ту же степень
относительно всех окружностей пучка (IS), иначе — касательные,
проведённые к различным окружностям пучка, равны между
собой. Геометрическое место точек прикосновения этих
касательных будет окружность с центром в точке М. Эта
окружность (М), как следует из её определения, пересекает все
окружности пучка (6) ортогонально, т. е. под прямым углом.
Все окружности, пересекающие ортогонально окружности
данного пучка (18) или (18г), имеют центры на радикальной
оси этого пучка и образуют сами пучок, радикальной осью
которого будет служить линия центров данного пучка, ибо центр
любой окружности данного пучка имеет одну и ту же степень,
равную квадрату её радиуса, относительно всякой окружно
сти (М).
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Найти центр и радиус окружности х2-\~у^ — 8дг -f- б_у == 0.
Отв. С (4,— 3); л —5.
2. Написать уравнение окружности, описанной около
треугольника ЛВС:
Л(-1,-3), В(2, 1), С (4-1,-3).
в 3. Написать уравнение окружности, вписанной в треугольник,
данный уравнениями его сторон; 3* — 4у — 5 = 0, &c4-6v —15 = 0
и 5х+ Цу—26 = 0.
*) Ср. § б гл. I.
82

4. Написать уравнение пучка окружностей, проходящих через точки
пересечения окружности (х — of + (у — Ь)* = г2 с прямой Ах 4- Ву 4-
-4-С=0.
5. Написать уравнение окружности с центром в точке (р, q\
пересекающей ортогонально окружность (х — а)2-(-(.у — ?)2 = г2.
6. Составить уравнение геометрического места точек М7 степени
которых относительно окружности (х — а)2 -+- (.у — &)2 = г2 находятся
в постоянном отношении с их расстоянием от прямой.
7. Доказать, что окружности, пересекающие ортогонально две
данные окружности, имеют общую радикальную ось.
8. Показать, что радикальные оси каждой пары из трёх данных
окружностей, не принадлежащих одному пучку, пересекаются в одной
точке, радикальном центре данных окружностей.
9. Показать, что существует одна только окружность,
пересекающая три данные окружности, не принадлежащие одному пучку,
ортогонально. Эта ортогональная окружность может обратиться в точку и
может быть также мнимой, но всегда с действительным центром.
ГЛАВА IV.
ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА.
§ 1. Конические сечения.
В этой главе мы будем рассматривать кривые линии,
известные под именем эллипса, гиперболы и параболы, будем
изучать свойства этих кривых аналитически, т. е. составив
предварительно их уравнения. Значение этих кривых в истории
развития математических идей громадно. Кривые эти были
открыты ещё греческими геометрами, как плоские сечения конуса-
с круглым основанием, как конические сечения. Теория
конических сечений возникла из потребности примирить то
внутреннее противоречие, которое существовало в античной геометрии:
дух античной геометрии требовал, чтобы каждая задача
решалась без помощи каких-либо инструментов, кроме циркуля и
линейки, допускаемых самыми постулатами геометрии; да и эти
инструменты скорее допускались теоретически, чем практически.
Между тем, сама же античная геометрия поставила такие заг
дачи, которые невозможно решить с помощью только циркуля
и линейки, не прибегая к иным инструментам. Одной из этих
задач являлась делийская задача или задача об
удвоении куба. С этой задачей заинтересованная греческая
мысль связала особое сказание. На острове Делосе была чума.
Жители вопросили своего оракула, как положить конец
бедствию. Оракул повелел им удвоить алтарь их бога. Алтарь имел
6* 83

форму куба и должен был сохранить ту же форму. Чтобы
решить эту задачу об удвоении куба, делийцам пришлось
отправить послов к геометрам в академию Платона. Говорят, будто
бы Платон сказал им: не удвоения алтаря желает от них бог,
а своим повелением выразил порицание эллинам, что они мало
заботятся о науках, мало обращают внимания на геометрию.
Если х — сторона удвоенного куба и а — сторона данного,
то делийская задача сводится к решению кубического
уравнения л:3 = 2а3.
В V веке до нашей эры Гиппократ из Хиоса свёл
решение этой задачи к построению двух средних
геометрических между а и 2а\
а:х — х:у=у:2и. (1)
В самом деле, из первой пропорции следует;
х* = ау, (2)
из второй
у* = 2ах. (3)
Из уравнения (2) следует:
х* = а2уК (4)
Мз уравнений (3) и (4) имеем:
л:4 = 2авх или xz = 2а\
Уравнения (2) и (3) в отдельности с точки зрения метода
координат представляют некоторые линии, а величины х и у,
удовлетворяющие обоим уравнениям совместно, являются
координатами точки пересечения этих кривых. Какие же это
кривые? Оказывается, как мы увидим, эти кривые суть
параболы, которые могут быть получены, как сечения конуса.
После такого сведения делийской задачи к задаче
построения двух средних геометрических интерес греческих геометров
-сосредоточился на изучении конических сечений. Больше всего
в этом изучении было сделано Аполлонием, греческим
геометром, жившим после Евклида (300 л, до нашей эры)
¦в III—II веках до нашей эры.
Но здесь не кончается ещё история конических сечений.
Уже в нашу эпоху Кеплер (1571—1630), основываясь на
многочисленных наблюдениях Т.ихо- д е-Бра ге, открывает
законы движения планет, по первому из которых планеты
движутся по эллипсам. Через сто лет Ньютон (1642—1727),
•один из величайших математиков, из законов Кеплера
выводит закон всемирного тяготения.
¦S4

Рассмотрим сначала плоские сечения круглого конуса не
с точки зрения метода координат, а с точки зрения
элементарной геометрии, и выведем из такого рассмотрения некоторые
свойства этих сечений, которые могут служить планиметрическим
определением их и основанием для составления уравнения
каждого из них.
Эллипс. Две пересекающиеся прямые образуют вертикальные
углы, и если одна из прямых без изменения угла наклона к
другой вращается около этой
последней, то она описывает
коническую поверхность, будем гЪво-
рить — прямой круговой конус,
состоящий из двух полостей,
простирающихся по разные стороны
от вершины. Плоскость,
пересекающая все образующие одной
полости, иначе — не
параллельная ни одной из образующих
конуса, даёт в сечении с конусом
кривую, называемую эллипсом.
Впишем в конус два шара(черт. 40),
которые касались бы в то же
время и секущей плоскости, т. е„
плоскости эллипса: один в точке F%
другой в точке Fv Прямая,
соединяющая какую-нибудь
точку М эллипса с точкой F,
касается в этой . последней первого Черт. 40.
(верхнего) шара, а образующая
конуса, выходящая из той же точки М, касается того же шараг
в точке Р. Касательные, проведённые из одной и той же точки
к шару, равны. Следовательно,
MF^MP. (5)
Точно так же прямая MFX касается второго (нижнего) шара
в точке Fb а продолжение образующей конуса, выходящей из
точки Му коснётся того же шара в точке Q. Следовательно,
MFX = MQ. (6)
Из равенств (5) и (6) следует:
MF~\- MFX = MP -f MQ.
Ho
MP+MQ=PQ,
85

где PQ—образующая усечённого конуса, заключённого между
параллельными плоскостями, в которых лежат окружности
прикосновения вписанных шаров с данным конусом. При
перемещении точки М по эллипсу образующая усечённого конуса
будет также перемещаться, но сохранять постоянную величину.
Следовательно, при движении точки М по эллипсу сумма
MF~\-MFX сохраняет постоянную величину. Точки F и Fx
называются фокусами эллипса; отрезки MF и
MFX—радиусами-векторами. Это
свойство эллипса мы
далее и будем
рассматривать как его определение.
Гипербола-
Плоскость, параллельная двум
каким-либо образующим
конуса, пересекает обе
полости его и даёт в
сечении кривую линию,
состоящую из двух ветвей
и называемую гиперболой.
Вписываем опять в
конус два шара,
касающихся в то же время
секущей плоскости, —
один в точке Д другой—
в точке Fx (черт. 41).
Точки F и F1—фокусы
гиперболы. Прямые,
идущие из к акой-нибуд]ь
точки гиперболы М в
фокусы, касаются вписанных
¦шаров в этих фокусах, а образующая конуса,, идущая из той
-же точки М, касается тех же шаров, одного — в точке Я,
другого — в точке Q. Таким образом, имеем;
MF=MP, MF^MQ.
Отсюда
MF—MFX = MP—M Q,
или
MF— MFX=PQ.
При движении точки М по гиперболе отрезок PQ будет также
перемещаться, но будет сохранять свою величину, ибо PQ=
•=PS-{-SQ, аР5и SQ — образующие прямых круглых
конусов в элементарном смысле.
вб
Черт. 41.

Таким образом, разность радиусов-векторов MF—MFX при
движении точки по гиперболе сохраняет постоянную величину.
Это свойство гиперболы в дальнейшем мы будем считать её
определением.
Парабола. Плоскость, параллельная одной образующей
конуса, пересе'кает одну полость его и даёт в сечении
кривую, называемую параболой.
Вписываем в конус шар, ка^=
¦сающийся в то же время и
секущей плоскости в точке F
(черт. 42) — фокусе параболы.
Пусть плоскость параболы и
плоскость, в которой лежит
окружность прикосновения шара с
конусом, пересекаются по прямой.
АВ. Пусть SV будет образующая
конуса, параллельная плоскости
параболы. Касательная к
окружности прикосновения в точке V
параллельна прямой АВ. Из
какой-нибудь точки М параболы
проводим прямую MU, параллель- Черт. 42.
ную образующей SV, и
следовательно, перпендикулярную к прямой АВ. Прямая VU и
образующая бонуса SM пересекутся в точке Р на окружности
прикосновения. Из подобия треугольников SVP и MVP следует,
что MP=MUt так как SV = SP. Но MP и MF равны, как
касательные из одной точки к одному шару. Следовательно,
MF=MU,
т. е. каждую точка параболы одинаково отстоит от
фокуса F и прямой АВ, которую будем называть директрисой
параболы. Это свойство параболы мы и примем потом за
определение её,
§ 2. Составление уравнения эллипса.
Эллипсом называется геометрическое место точек,
расстояния которых от двух данных точек F a Flt называемых
фокусами, составляют в сумме постоянную величину 2а.
Из этого определения следует, что эллипс можно вычертить
следующим образом. Сиязав концы нерастяжимой нити так, чтобы
длина образовавшегося кольца равнялась 2а-\-2сг где 2с —
расстояние между фокусами, накидывают её на неплотно прн-
87

креплённые кнопки в фокусах F и Рг (черт. 43). Натягивают
эту нить чертящим остриём; при перемещении острия по
плоскости чертежа так, чтобы нить всегда
оставалась натянутой (для соблюдения
условия FP-{-F1P = 2a), оно начертит нам
особого рода замкнутую кривую,
которая, согласно определению, и будет
эллипсом.
Из того же определения вытекает и
способ построения п<імощью циркуля
іерт. 43. скольких угодно точек эллипса. Делим
отрезок, равный 2а, на две какие-
нибудь части г и г1 и радиусами, равными этим частям,
описываем две окружности с центрами в фокусах эллипса.
Точки пересечения этих окружностей принадлежат эллипсу.
Составим уравнение, которому должны удовлетворять
координаты дюбой точки эллипса.
За ось абсцисс прямоугольной t/ f
системы координат примем линию,
соединяющую фокусы F и Fv
и,
с положительным направлением J
от F1 к F, а за ось ординат— /
.Л
перпендикуляр, восставленный из -
середины отрезка FFX (черт. 44), '
Если расстояние между фоку- Черт. 44,
сами равно 2с, то координаты
фокуса F будут с, 0, а фокуса Fl —с, 0. Пусть Р{х, у)—
какая-нибудь точка эллипса. По условию, имеем:
FP+F1P==2a
или, если обозначим FP через г, a FXP через гх:
' + Гі = 2а; (7)
отрезки г к гх называются радиусами-векторами точек эллипса.
По формуле расстояния между двумя точками
радиусы-векторы г и тг можно выразить через координаты xt у точки Р:
г=У(х-с)*+у\ r^Vix + cf+y*. (8)
Подставляя выражения (8) в равенство (7), получим уравнение,
которому будут удовлетворять координаты любой точки эллипса,
короче — уравнение эллипса:

Можно привести его к более простому виду, уничтожая входа-
щие в него радикалы. Действительно,
V(x — c)*+y* = 2a-J/ (х + с)2-\-у2,
откуда
х2 — 2сх-\-с*+у* =
= 4а2 — 4а V{x-\-cf^y2 + х2 + 2с# -f с* +Л
или
Возводим снова обе части в квадрат:
а2 (х2 + 2с* + с2 4- У2) = «* 4 2й^* + ЛЛ
По приведении будем иметь уравнение эллипса без радикалов:
(а2 — с2) *2 4- я V — & (я2 — ?2). (9)
Так как сумма двух сторон треугольника больше третьей, то
PF-\-PFx>FFx или 2а>2с,
или
а^>с.
Следовательно, а2 — с2 — существенно положительная величина,
и потому можно обозначить её как квадрат некоторой
действительной величины Ь\
а2 — с2 = Ь2. (10)
Величины а и с даны; равенством (10) вполне определяется и
величина Ъ. Если а—гипотенуза, а с — катет прямоугольного
треугольника, то b будет другим катетом этого треугольника.
Вводя Ь2 вместо а2 — с2 в уравнение эллипса (9), получим;.
Ъ2х2 4- аРу2 = #2?2,
или, после деления всех членов этого уравнения на а2Ь2:
Таково в простейшем, или каноническом, виде уравнение-
эллипса.
Давая произвольные значения абсциссе и вычисляя из
уравнения (9) соответственные значения ордината, можно по
вычисленным координатам, удовлетворяющим уравнению эллипса,
построить сколько угодно точек эллипса

Окружность радиуса а> с центром в начале координат, как
мы видели, выражается уравнением:
лг24- v2 = ^2 или —-4-^-= 1.
Сопоставляя это уравнение и выведенное нами уравнение эллипса
находим, что прца = Ь эллипс обращается в окружность. При
этом из равенства а = Ь, в силу (10), следует, что с = 0, т. е.
расстояние между фокусами равно нулю. Таким образом,
окружность можно рассматривать как эллипс со слившимися фокусами.
§ 3. Исследоэание уравнения эллипса. Определение
вида этой кривой.
1. В левой части уравнения (11) эллипса каждое из
слагаемых, как квадрат действительного числа, есть существенно поло-
жительная величина, и сумма их равна единице; следовательно,
каждое слагаемое в отдельности менее единицы или только
одно из них равно единице, когда другое равно нулю:
Отсюда, обозначая через \х\ и \у\ абсолютные величины ко-
(Л ординат х и у, будем иметь:
[ и [И |*|<* |уі<*.
0 " 'Г х « или, наконец,
Т.,- -„О 1 »¦¦
- а —*-| Точки плоскости, координаты ко-
' торых удовлетворяют этим неравен-
" 'й ствам, не могут отстоять от оси орди-
1 It нат дальше, чем на расстояние а
в ту или в другую сторону, а от
Черт. 45. оси абсцисс дальше, чем на
расстояние b в ту или другую сторону.
Точки, для которых |;е|<:#, лежат внутри бесконечной
полосы, ограниченной прямыми СС и DD' (черт. 45),
параллельными оси ординат и отстоящими от неё — одна-nq одну
сторону, другая по другую — на расстояние а;"а точки, для
которых \у\^Ь, лежат внутри бесконечной полосы,
ограниченной прямыми GQ' и НН\ параллельными оси абсцисс и от-
90

стоящими от неё на расстояние Ъ в ту или другую сторону.
Точки, для которых одновременно \х\^а и |,у|^6, лежат
в общей части этих полос, т. е. в прямоугольнике KLNM.
Так как координаты точек
эллипса удовлетворяют
неравенствам
х
а и М<*,
У
А
ійігп.
(\.
W
Г^ и,
ч
В
. 1Т>>
У
— -^-J
2
\
)¦
о
4
то эллипс лежат внутри
прямоугольника KLMN, т. е. весь
располагается в конечной
части плоскости,
2. В уравнение эллипса (11)
текущие координаты входят
только во вторых степенях.
Пусть Р1(х1, уг) (черт. 46) —
одна из точек эллипса; значит, х\ и yt должны удовлетворять
уравнению эллипса, т. е. должно иметь место равенство:
Черт. 46.
аз
2 v2
1-4-^=1
№
Но в таком случае и точки Р2{—хь уг), Рв( — хь—ух),
PA(xv—Ух), координаты которых получены из координат первой
точки Рх переменой у одной из них или у обеих знака, лежат
на эллипсе, ибо, если имеет место равенство
2 2
то будут иметь место также и следующие равенства:
{-Хі)2 ух _ (- Х& .
а*
= 1,
2
fi3
Как следует из построения точек Р2> ^s> ^4 п0 их
координатам, точка Р2 симметрична с точкой Рг относительно оси
ординат, точка Р4 симметрична с Рх -относительно оси абсцисс,
а точка Рв симметрична с Рх относительно начала координат,
так что хорда РХР? проходит через начало координат и делится
в нём пополам. При перемещении точки Рг по эллипсу и
симметричные точки останутся на эллипсе, а хорда РгРв постоянно
будет проходить через начало координат и делиться в нём
пополам. Следовательно, эллипс симметрично расположен
относительно осей координат, или иначе — оси координат служат
91

осями симметрии эллипса, а начало координат служит
центром симметрии эллипса.
Всякая хорда, эллипса, проходящая через центр его,
называется диаметром эллипса; она делится в центре пополам.
3. Для ближайшего определения вида эллипса выразим из
уравнения (11) ординату у какой-нибудь точки эллипса как
явную функцию абсциссы х этой точки:
Из этой формы уравнения видно, что у имеет два значения,
равных по абсолютной величине, но разных по знаку, что
указывает на известный уже нам факт симметричного
расположения эллипса относительно оси абсцисс.
Ордината^ только тогда действительна, когда х2^а2} или
\ х | ^ а, или
— а^х ^а,
что указывазт опять на известный уже факт, что точки эллипса
не могут отстоять от оси у дальше, чем на расстояние а в ту
или другую сторону. Наибольшая по абсолютной величине
абсцисса для точек эллипса равна а, наибольшая ордината,
как это слэдует из уравнения
У= — V**—*?,
получится при х = 0, т. е. у = Ь.
2а и 2Ь называются главными осями эллипса, причём 2а
называется большой осью, а 23 — малой осью, ибо а^>?, как
следует из равенства
Ь = Уа? — с\
Концы главных осей эллипса называются его вершинами.
Опишем на большой оси эллипса, как на диаметре,
окружность. Уравнение этой окружности:
х2+у2 = а2,
откуда
у = ±Уа2±-х\
При одинаковой абсциссе ординаты эллипса и окружности
вообще неодинаковы. Будем обозначать ординату окружности
при сравнении с соответствующей ординатой у эллипса, через у
и будем сравнивать между собой ординаты одинакового знака
93

Итак, имеем:
¦X*
и
Y—±Va2 — x*.
Деля почленно эти равенства одно на другое, получим:
У __ Ь
а
02)
т. е. ордината эллипса во столько раз меньше
соответствующей ординаты окружности, во сколько раз b меньше с.
Эта пропорция даёт нам возможность весьма легко построить
сколько угодно точек эллипса, когда
известны его оси, т. е. величины а и Ьч
Построение точек эллипса. На
главных осях эллипса ААХ и ВВУ
(черт. 47), как на диаметрах, описываем
две концентрические окружности и из
центра проводим произвольный радиус
OL. Проведя затем через точку "і,
пересечения этого радиуса с большей
окружностью прямую Z,P,
параллельную малой оси, и через- точку К
пересечения его с малой окружностью
прямую КМ, параллельную большой оси, получим в пересечении
этих прямых точку М> принадлежащую эллипсу.
Черт. 47.
Действительно, при таком построении будем иметь:
РМ_ОК
PL ~ QL*
но
PL— У, ОК=Ь, OL = a;
следовательно,
РМ
У
а
Сравнивая эту пропорцию с пропорцией (12), заключаем,
что РМ=у, т. е. М есть точка эллипса.
Итак, эллипс мы можем получить из окружности, сокращая
в одном и том же отношении её ординаты, или
соответствующий ряд параллельных хорд.
Так как при параллельной проекции (косой или
ортогональной) параллельные отрезки изменяются (сокра-
93

щаются или увеличиваются) в одном и том же
отношении1), то предыдущее построение эллипса приводит нас к
следующему важному заключению.
Проекция окружности есть эллипс. На чертеже 51 имеем
окружность с двумя перпендикулярными диаметрами ААХ и ВВХ
и хордами, параллельными одному из этих диаметров. Если
эту окружность, поместим на плоскость а (черт. 52) так, чтобы
диаметр ААХ был параллелен плоскости §, и будем
проектировать окружность на плоскость ($, то диаметр ААХ будет
проектироваться' без сокращения, а диаметр ВВХ и хорды, ему
параллельные, сократятся (или удлинятся, что возможно при
косой проекции) в некотором постоянном отношении. Можно
подобрать наклон плоскости а к плоскости ($ (или направле-
х) Проекция называется параллельной, если проектирующие лучи
имеют одинаковое направление (черт. 48 и 49); если проектирующие
лучи выходят из одной точки, то проекция называется центральной
или перспективной (черт. 50). Параллельная проекция может быть косоЩ
Черт. 48,
Черт. 49.
Черт. 50.
если направление проектирующих лучей не перпендикулярно к
плоскости проекции, т. е. к плоскости, на которую проектируют (черт. 48),
или же ортогональной, если проектирующие лучи перпендикулярны
к плоскости проекции (черт. 49).
Нетрудно доказать, что при параллельной проекции (черт. 48 и 49),
если AB\\CDtTOVLAiBx\\CxDx^ ~4ZГ = 7^7Г• в самом деле, плоскости
АВАХВХ и CDCXDX параллельны, так как две прямые АВ и ААХу
выходящие из одной точки в одной плоскости, соогветственно параллельны
двум прямым CD и ССХ другой плоскости. Следовательно, эти
плоскости пересекаются плоскостью проекций по прямым (АХВХ и Слйх)
параллельным. Кроме того, из подобия треугольников АВР и CDQ выте-
АР СО
кает пропорция ^gs=^g. Но AP=AiBit a CQ = CiDx; следова-
АХВХ
тельно, -— я=
АВ
94

ние проектирующих лучей 00\ ЛАГ и так далее в случае
косой проекции) так, чтобы проекция диаметра ВВг равнялась 2Д>
Черт. 52.
Тогда окружность радиуса а будет проектироваться эллипсом
с полуосями а и Ь.
§ 4. Построение фокусов эллипса. Эксцентриситет.
По даннымполуосям эллипса а и Ь можно
определить положение фокусов, В самом деле, каждый.,
фокус отстоит от центра на
расстояние, равное с; но величины а,
Ъ и с связаны соотношением (§ 2):
Ф — с* = Ь2 или с = У а2—і?\
т. е. а будет гипотенузой
прямоугольного треугольника с
катетами с и' Ьш Поэтому, если из.
точки В (конца малой оси), как
из центра, описать дугу, радиу- Черт. '53.
сом, равным а, засекающую ось
абсцисс, то точки пересечения и будут фокусами (черт. 53)
Отношение расстояния между фокусами к длине большой
2с с л
оси, g— или —, называется эксцентриситетом эллипса и
обозначается буквой е:
_? У а* — Ь*
а а
= ет
Эксцентриситет эллипса (отвлечённое число), как следует из пре-
95

лыдущего его определения, меньше единицы;
с
Величиной эксцентриситета определяется форма эллипса: при
пропорциональном увеличении осей эллипса форма его и
эксцентриситет не меняются; эллипсы с пропорциональными осями, или
одного и того же эксцентриситета, подобны.
§ 5. Составление уравнения гиперболы.
Гиперболой называется геометрическое место точек, рас*
^стояния которых от двух данных точек (фокусов)
составляют постоянную разность.
Исходя из этого опредения гиперболы, можно составить её
уравнение.
Выберем такое же положение осей координат относительно
». фокусов, какое мы брали для
эллипса. Пусть расстояние между
/в фокусами равно 2с (черт. 54), а
^-^\ постоянная разность расстояний
^--"' Y точек гиперболы до фокусов рав-
у на 2а\
Ft Q * р "Зг FlP—FP=2a
или
I
Черт. 54. *і — r=2at
где /,і = /='1Р, a /- = №. По формуле расстояния имеем:
FXP = V(x + c)*+y\ FP= У(х — с)2+у\
Следовательно, согласно определению,
VTx+WTf — V(x — с)2+у2 = 2а. (13)
Это и есть искомое уравнение гиперболы. Можно привести это
уравнение, освобождая его от радикалов, к более простому виду.
Перенеся один из радикалов во вторую часть уравнения,
получим:
У (х + с)2 -\~у2 = 2а -f V(x — cf +/.
Возвышая обе части уравнения в квадрат, по сокращении,
будем иметь:
— а У(х — с)2 -\-у2 = а2 — сх,
откуда
{а2 — с2) х2 + а*У = а\а2 — с2). (14)
Уравнение (14) — такого же вида, как и уравнение эллипса (9)
до введения в него величины д2 (§ 2). Но разница в том что
96

теперь а меньше су а не больше, как было в случае эллипса.
В самом деле, разность двух сторон треугольника PFFX
меньше третьей стороны:
PF1—PF<^FlF9
т.. е.
2а<^2сі или а<^с.
Следовательно, а2— с2 есть отрицательная величина, и потому
её можно обозначить через —?2, где b — действительная
величина:
а* — с2=—ЬК (15)
Подставляя вместо а2 — с2 величину —Ь2 в уравнение (14),
получим:
— Ь2х2-\~а2у2 = — аЧ\
Разделив все члены уравнения на —a2b2t будем иметь:
Таково в простейшем, или каноническом, виде уравнение
гиперболы.
Из равенства (15) следует, что
с
Отношение — называется эксцентриситетом гиперболы и
обозначается буквой е:
с Va* 4- б2
а а
е.
Эксцентриситет гиперболы больше единицы, так как с^>а»
§ 6. Исследование уравнения гиперболы.
Определение вида этой кривой.
Исследуем выведенное уравнение гиперболы, чтобы составить
себе представление о виде этой кривой.
1. Прежде всего легко заметить, что гипербола симметрично
расположена относительно осей координат и начало координат
Служит центром (т. е. центром симметрии) этой кривой. В самом
деле, текущие координаты входят в уравнение гиперболы во
второй степени; если, поэтому^'точка Рх(хи у^ лежит на ги-
7 Курс высшей математики 97

перболе, т. е. координаты её хг и уг удовлетворяют уравнению
гиперболы .
то и координаты точек Р2 ( — xvyx), Рь (— дг„ —л), Р4 (лг^ —л),
симметричных с первой относительно осей или начала
координат, будут удовлетворять тому же уравнению, т, е. и эти точки
лежат на гиперболе.
Хорда гиперболы РгР& как следует из построения точки Р%>
проходит через начало координат и в нём делится пополам
(РхО — ОР'^. При всяком положении точки Рх на гиперболе
будет иметь место то же самое. Следовательно, всякая хорда
гиперболы, проходящая через нЗчалЬ координат, делится в
начале пополам. Начало координат, таким образом, служит цент-
ромгиперболы.
2. Из уравнения гиперболы (16) ординату можно выразить
как явную функцию абсциссы:
у = +-^\/х<
s а v
Ф
(17)
Каждому значению абсциссы соответствуют два значения
ординаты, равные по абсолютной величине, но противоположные по
знаку, что и должно бы-
* Us„ ло ожидать; как только
что было доказано,
гипербола расположена
симметрично относительно
осей координат, стало
быть, в частности, и
относительно оси абсцисс.
Из равенства (17)
видно, что ордината
будет действительной
величиной, пока | х | ^ а.
Если же [дг[<^а, то
у— мнимая величина, и
.следовательно, точек
гиперболы с абсциссами, меньшими а, другими словами — точек
кривой в бесконечной полосе, опирающейся на отрезок ЛЛ1
(черт, 55), нет.
3. Построим теперь прямые, выражаемые уравнениями
Черт. 55,
у — — х
и
У а '
(18)
9S

и будем сравнивать, при одних и тех же абсциссах,
абсолютные величины ординат точек этих прямых с соответствующими
ординатами точек гиперболы.
Прямая, выражаемая первым уравнением (18), проходит через
начало координат (черт. 55), точку Р (а, Ь) и точку R{—а, —Ь\
так как координаты этих точек удовлетворяют уравнению
Ь
у = — х.
Подобным же образом убеждаемся, что прямая, выражаемая
уравнением
Ь
у = х,
проходит через начало координат и точки Q(—а, д) и S(at — b).
Обозначим через Y ординату какой-нибудь точки одной из
этих прямых, а через у— соответствующую ординату точки
гиперболы. Очевидно, имеет место неравенство
х*>х2 — а2
Lx\yly^zz^
а \' а
\у\>\у\,
т. е. ординаты точек этих прямых всегда больше по
абсолютной величине, чем ординаты соответственных точек гиперболы.
Эт.о неравенство показывает, что точки гиперболы раслоло*
жены внутри двух вертикальных углов UOT и VOW, а
принимая во внимание, что в бесконечной полосе, опирающейся на
отрезок ЛАи точек гиперболы нет, заключаем, что гипербола
расположена вся внутри бесконечных областей UPST и VQRW,
4. Теперь исследуем вопрос о том, как близко подходит
гипербола к границам указанных областей, т. е. если АХ = Y
и КМ=у, то как велика разность ML соответственных
ординат и как эта разность меняется при увеличении абсциссы.
Согласно обозначению, имеем:
ML = KL—KM= Y— у,
причём в силу симметрия расположения гиперболы относительно
осей координат достаточно исследовать вопрос лишь для
первой четверти, т. е. для той части плоскости, которая располо-
7* 99
или, при | х | ^> я,
следовательно,
или

жена между положительными направлениями осей. Считая
поэтому х, у я У положительными, будем иметь.
Y—y=Lx—±VlfiZ^=±[x-V*=7fi]. (19)
* О, CL а
При увеличении абсциссы х эта разность изменяется, но по
выражению (19) трудно судить, увеличивается она или
уменьшается. Поэтому преобразуем предварительно полученное
выражение, умножая и деля его на сопряжённое выражение
х + У~^^ф\
Ъ (х - Vx*-a*) (х +1Лг2-а2)
У а(х + Ух* - в3)
л* + У *2 — л3
По мере увеличения х знаменатель выражения (20)
безгранично увеличивается (мы рассматриваем положительные
значения х\ а числитель остаётся постоянным. Следовательно,
разность ординат У—у или отрезок ML безгранично уменьшается,
и, стало быть, точка гиперболы М по мере увеличения абсциссы
неограниченно приближается к прямой OU.
Прямая, к которой кривая неограниченно приближается,
называется асимптотой этой кривой (стр. 52). Гипербола имеет
две асимптоты UW и VT (черт. 55).
Гипербола, как видно из её уравнения, пересекает ось
абсцисс в точках А (а, 0) и Аг{—а, 0), а оси ординат совсем
не пересекает, так как при х=0 для у получаются мнимые
величины:
^ = -4-— У—я2, или y = dcbV— К
Отрезок ААХ называется действительной осью, отрезок ВВХ —
Мнимой осью, а оба отрезка вместе-—главными осями
гиперболы. Точки А и Ах называются вершинами гиперболы.
§ 7. Построение гиперболы.
Пусть уравнение гиперболы дано:
Как построить эту гиперболу, её асимптоты и фокусы?
100

Зная оси гиперболы 2а и 25, легко построить
прямоугольник PQRS (черт. 56), стороны которого равны осям гиперболы
и который расположен симметрично относительно осей
координат. Диагонали этого прямоугольника
будут асимптотами гиперболы, так как
вершины его имеют координаты (а, Ь),
(— а, Ь), (— а, —Ь) и (а, —Ь), которые
соответственно удовлетворяют уравнениям
асимптот (18).
Так как ОР, как гипотенуза
прямоугольного треугольника ОЛР с катетами
and, равна УсР-\-Ь27 т. е. с, то для
построения фокусов можно описать около
прямоугольника PQRS круг: точки
пересечения F и Fl этого круга с осью абсцисс и будут
фокусами гиперболы.
Для построения точек гиперболы можно воспользоваться
уравнением её
---^1 = 1
Черт. 56.
а'
№
или
у = ±^\Пс* — 6К
Давая различные значения абсциссе х, вычисляем
соответственные значения ординаты. Таким образом можно найти
координаты скольких угодно точек
гиперболы и по ним строить
эти точки.
Можно также
воспользоваться определением гиперболы,
по которому разность
расстояний точек её до фокусов
равна 2а:
г1 — г —2а.
Черт. 57. Легко найти сколько угодно
пар отрезков г и rv
удовлетворяющих этому условию. Для этого нужно только взять на
оси Ох какую-нибудь точку М вне отрезка ААг = 2а: AM и
АХМ и будут искомыми радиусами-векторами. Две окружности,
описанные одна радиусом г из центра F (черт. 57), другая радиусом гг
из центра Fb пересекутся в точках гиперболы, Таким образом,
меняя г и соответственно rv можно построить сколько угодно
точек гиперболы.
101

§ 8. Директрисы эллипса*.
Прежде чем приступить к выводу уравнения третьего
конического сечения—параболы, рассмотрим теперь те свойства
эллипса и гиперболы, которые могли бы служить иным
определением этих кривых, определением, аналогичным определению
параболы (§ 1, стр, 87). Таковы именно свойства директрис
конических селений. Рассмотрим сначала эллипс.
Радиусом-вектором точки эллипса называется отрезок
прямой, соединяющий фокус с этой точкой эллипса. Пусть Р(х, у) —
какая-нибудь точка эллипса. Определим радиусы-векторы FP^zr
и FxP—rx как функции одной только абсциссы точки Я.
По формуле расстояния имеем:
г\ = (х + с)8 +У, /2 = (х - с)" -f У.
Исключая из этих уравнений у, получим;
/f —гг = 4слг. (21)
Кроме того, по определению эллипса,
гг-\-г = 2а. (22)
Из уравнений (21) и (22) можно определить радиусы-векторы
через а, сил:. Разделим почленно первое из этих уравнений
на второе;
Л" г1 __4сх
/¦i-t-r — 2а1
откуда
гг — г = 2 — дг, или гх — г = 2ех, (23)
где е — эксцентриситет эллипса.
Теперь для определения радиусов-векторов мы имеем два
уравнения первой степени:
r1Jrr=2a и гх — г—2ех>
откуда
г = а — ех, Гі=:а-\-ех. (24)
Выражения (24) для радиусов-векторов замечательны тем, что
они рациональны относительно абсциссы точки эллипса,
между тем как те же радиусы-векторы по формулам
расстояния выражаются иррационально через координаты точки эллипса;
102

Таким образом, исключение ординаты у в этих выражениях
ведёт к тому, что корень квадратный извлекается из подкорен
ного выражения. Таким свойством не обладают расстояния
точек эллипса от какой-либо иной точки плоскости, не
совпадающей с фокусом его.
Выражения (24) для радиусов-векторов необходимы нам для
вывода свойств директрис эллипса.
Директрисами называются две прямые, параллельные оси
ординат и отстоящие от неё на расстояние, равное —, или, так
как •?.=?, на расстояние —.Директрисы эллипса расположены
вне его, ибо
а ^ е ^
Пусть директриса пересекает ось абсцисс в точке Q;
«г--?.
откуда
d? = OQ-c.
Таким образом, а является средним геометрическим между с и
OQj что даёт возможность построить директрисы эллипса. Для
этого нужно восставить
из фокуса F
перпендикуляр к большой оси до
пересечения в точке L с
описанной окружностью
(черт 58); касательная к
этой окружности в
точке L и отметит на оси
абсцисс точку Q. В самом
деле, радиус OL,
касательная в точке L к
описанной окружности и ось
абсцисс образуют
прямоугольный треугольник, у
которого один катет,
выходящий из начала координат, равен а, а прилежащий отрезок
гипотенузы до высоты равен с; следовательно, гипотенуза его
равна — ,
с
Пусть Р(х, у) — какая-нибудь точка эллипса, PF—её
расстояние до фокуса Ft а РК—расстояние до директрисы DDU
ЮЗ
Черт. 58.

Определим, чему равно отношение этих расстояний PF;PR.
По равенству (24)
PF=a-—ех.
(25)
Кроме того, как видим из черт, 58,
PK=MQ=OQ
или
РК:
а
ом=±
е
ех
X
(26)
Из равенств (25) и (26) следует:
PF
РК
(а — ех):
а — ех
е.
Подобным же свойством обладает и другая директриса по
отношению к соответствующему ей фокусу.
Таким образом, отношение расстояний любой точки эллипса
до фокуса и до соответствующей этому фокусу директрисы
постоянно и равно
эксцентриситету эллипса.
Вопрос* Окружность—
предельный случай эллипса. Где расположены
директрисы окружности?
§ 9. Директрисы гиперболы.
Две прямые в плоскости
гиперболы, параллельные оси ординат
и отстоящие от неё на
расстояние —, называются
директрисами гиперболы. Эти прямые обла-
Черт, 59, дают такими же свойствами по
отношению к гиперболе, как и
директрисы эллипса по отношению к эллипсу.
Пусть Р(х, у) (черт. 59) — какая-нибудь точка гиперболы.
Определим радиусы-векторы FP — rvL FlP=ru как функции
одной только абсциссы точки Я. По формуле расстояния имеем:
/f = (* + ')3+r4
/*=(*_<r)*+.y»J
откуда
104
Г2 = 4cxt
(27)
(28)

Кроме того, по определению гиперболы, предполагая, что точка Р
лежит на правой ветви, имеем:
гг — г = 2а.
Разделив почленно равенство (28) на (29), получим;
(29>
г2+г=2
а
х
или
Из уравнений (29) и (30) имеем:
г — ех — ау rt z=ex-\- a !).
(30)
(31)
Таким образом, расстояния точки гиперболы от фокусов,
так же как и расстояния точки эллипса от его фокусов,
выражаются рационально через
абсциссу этой точки.
Построим теперь директрисы
гиперболы (черт. 60). Директрисы
расположены между ветвями
гиперболы, ибо
а ^ с е ^
На действительной оси гиперболы,
как на диаметре, описываем
окружность и из фокусов проводим
касательные к этой окружности;
перпендикуляры, опущенные из
точек прикосновения на
действительную ось, и будут искомыми
директрисами.
Действительно, в образовавшемся при этом построении
прямоугольном треугольнике OLF катет OL~a^ а гипотенуза
OF=.c% и потому
at—OQ-c,
откуда
Черт. 60.
OQ =
а1
х) Мы рассматривали точки правой ветви гиперболы. Для точек
левой ветви, вместо (29), имели бы гг — г = — 2а и, вместо (30),.
П +• г = — 2ех% Следовательно, для точек левой ветви будем иметь:
г = — ех -\~ а, /*! = — ех — д.
105*

Пусть P(xt у)— какая-нибудь точка гиперболы, PF—её
расстояние до фокуса, а КР — расстояние до соответствующей
директрисы DD\ Определим, чему равно отношение этих рас-
«стояний PF:KP. По-предыдущему, предполагая, что точка Р
.лежит на правой ветви, имеем:
PF=ex — а«
Кроме того, как видно из черт. 60,
KP=QM = OM— OQ
или
следовательно,
PF ех — а
'Если бы точка Р принадлежала левой ветви, результат был бы
тот же. Подобным же свойством обладает и другая директриса
•но отношению к соответствующему ей фокусу.
Таким дбразом, отношение расстояний любой точки
гиперболы до фокуса и до соответствующей этому фокусу
директрисы постоянно и равно эксцентриситету гиперболы.
§ 10. Касательные к эллипсу*
Касательной к эллипсу называется прямая, являющаяся
предельным положением прямой, соединяющей две какие-либо
точки эллипса, когда одна из этих точек стремится к
совпадению с другой. Чтобы составить уравнение касательной
к эллипсу, данному уравнением
возьмём на нём две точки М(хь _Уі) и N(x& Л)» Уравнение
прямой, проходящей через эти точки, имеет вид
У—У\ _ х — хх
У2 "Уі Л'2— *і
Её угловой коэффициент k равен "2~-Уі л
*г — Хі
Так как точки М и N лежат на эллипсе, то их координаты
удовлетворяют уравнению эллипса, следовательно,
d O-^L —1 do.il _t
а% Tj2 — 1> ф "Г #} — *•
Л06

Вычитая эти равенства одно из другого, находим:
Хл —~Х-
а"
отсюда
k =
У2—У1
уі-уі
ЬЦх2 + х{)
<*2(У2+Уі)
Х%— Хі
Если точка N, скользя по эллипсу, будет стремиться к
совпадению с точкой Ж, то прямая MN будет вращаться вокруг
точки М, причём её угловой коэффициент будет при этом
стремиться к величине
Ь*(хх+хг)_ Ь*хг
аЧУі + Угі л*Л#
В пределе, когда точка N сольётся с точкой М% прямая MN
превратится в касательную к эллипсу в точке М> и уравнение
её будет иметь вид F"-
а*ух
Ь'Хл , ч
или, после преобразования,
ххх , уух *і . У\
а*
~14-
2 \
&2
Но так как
Л
ф
?2 —h
Черт. 61.
то уравнение касательной к эллипсу в точке М(хХ) уг)
примет вид
ххх , ууі_ 1
Определим расстояния FP и FxPr фокусов F{c, 0) и
/^—с> 0) от касательной (черт. 61). По формуле (17) гл. II
имеем:
Отсюда
FP
F±P'-
СХ{ -
ГР
і/і + 1'
К Л* ^ &4
в* Л2
Л2
Р D'
г:
я * а — ехх FM
.с а4-ех% FxM
107

следовательно, треугольники FMP и F^MP* подобны, и углы
FMP и FtMP' равны.
Итак, касательная к эллипсу одинаково наклонена к
радиусам-векторам точки касания.
Продолжим перпендикуляр FP до пересечения в точке Ff с
продолженным радиусом-вектором F±M. Точки/7' и F симметричны
относительно прямой тр. Так как при этом
MF' = MF и MF+MFi = 2a9
то
FXM+ MF' = FXF! — 2а,
т. е. точка, симметричная с одним из фокусов относительно
касательной к эллипсу, отстоит от другого фокуса на расстояние,
равное большой оси эллипса.
Соединим теперь точку Р с центром эллипса О. В треугольнике
FxFFf имеем Ffi^OF и F'P—PF; следовательно,
OPWFiF'
и
OP=^FlF' = Y'2a = a-
Отсюда следует, что основание перпендикуляра, опущенного из
фокуса на касательную, отстоит от центра эллипса на
расстояние, равное большой полуоси эллипса.
Если провести касательные во всех точках эллипса и построить
точки, симметричные с одцим из фокусов относительно всех
касательных, то они все будут отстоять от другого фокуса на расстояние 2ау
т. е. будут лежать на окружности радиуса 2а с центром во втором
фокусе. Отсюда предложение: геометрическое место точек,
симметричных с одним из фокусов относительно всех касательных
к эллипсу, есть окружность с центром в другом фокусе и
радиусом, равным большой оси эллипса. Эта окружность называется
направляющей окружностью эллипса. Эллипс имеет, очевидно, две
направляющие окружности. Совершенно так же убеждаемся, что
геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из
фокуса эллипса на все касательные к нему, есть окружность
с центром в центре эллипса и радиусом, равным большой полуоси
эллипса. Эта окружность называется описанной окружностью.
Пользуясь свойствами направляющей и описанной окружностей, можно
с помощью лишь циркуля и линейки построить касательную к эллипсу
из какой-либо внешней точки, когда даны большая ось и фокус эллипса.
Пусть А^А — большая ось эллипса, F к Fx — его фокусы, и требуется
построить касательные к эллипсу из какой-либо внешней точки М
(черт. 62). Построим направляющую окружность с центром в
фокусе Fi\ радиусом MF проведём дугу окружности с центром в
точке М, пересекающую направляющую окружность в точках F' и F".
Эти точки будут симметричны с фокусом F относительно
касательных к эллипсу, проходящих через М\ а потому для построения
касательных достаточно соединить фокус F с точками F1 и F" и из
точки М опустить перпендикуляры MP' и MP" соответственно на
103

прямые FF' и FF"t Прямые MPf и MP" и будут искомыми
касательными.
Эти же прямые можно построить, пользуясь описанной окружностью.
Для этой цели построим на отрезке MF> как на диаметре, окружность.
Эта окружность, очевидно, пересечётся с вписанной окружностью
в точках Р' и Р" (черт. 62).
Проведя из внешней точки М две касательные MP и МРХ к
эллипсу и построив точки F' и F'b симметричные с фокусами F и Fx
относительно этих касательных, рассмотрим треугольники ?\FMF[ и
&FXMF' (черт. 63). Эти треугольники равны, так как
F{M = FXM, FMz=FrM,
следовательно, FFX = FXF' = 2а;
If\mf=ifxmf.
Отсюда следует, что
IFXMF\ = ?FMF
или
?FXMPX*= ?FMP.
Это равенство показывает, что
две касательные к эллипсу, про*
М
Черт. 63.
ведённые из внешней точки, одинаково наклонены к радиусам-
векторам, проведённым в точку их пересечения.
Далее, из равенства тех же треугольников следует, что ? FFxM==z
s=z ? F'FXM. Обозначив через Г и Тх точки прикосновения, из
равенства треугольников TXFXM и FXTXM имеем:
? FF[M = /_ TXFXM.
Следовательно,
ATXFXM=^TFXM
(черт. 63).
Это равенство устанавливает следующее свойство касательных
к эллипсу? радиус-вектор точки пересечения двух касательных
к эллипсу служит равноделящей угла между радиусами-векторами
точек прикосновения этих касательных.
Черт. 62.
109

Возьмём теперь три касательные *і, /*. t$ к эллипсу. Пусть 7\,
Г2, Г3 —точки их прикосновения (черт. 64), ЛГ, Мь М2 —
соответственно точки пересечения касательных
h> Ч *ь h и h> *з- в силу только
что доказанного і_ TiFM{ = ^ MiFT$ и
?TZFM2= ?M2FT2. Отсюда следует,
что
Это равенство показывает, что если
точка Г3 будет скользить по дуге
эллипса, величина ?_ MiFM2 не будет
меняться, т. е. отрезок подвижной
I касательной к эллипсу»
заключённый между двумя неподвижными ка-
Черт. 64. сательными к нему, виден из
фокуса под постоянным углом (теорема Понселе).
§11. Касательные к гиперболе.
Касательная к гиперболе является предельным положением
секущей, когда обе её точки пересечения с гиперболой
стремятся к совпадению. Для получения уравнения касательной
к гиперболе берём на ней две точки M(xv уг) и N(x2, y2),
составляем уравнение прямой, соединяющей эти точки, и
находим предельную форму этого уравнения, предполагая, что
точка Му скользя по гиперболе, стремится к совпадению с М.
Произведя такие же вычисления, как и выше (§ 10), найдём
уравнение касательной к гиперболе
в точке М(хь уг) в виде
*х\ __УУх_*
а* ?2— "
Вычисляя, как и в случае эллипса, расстояния фокусов от
касательной, убеждаемся, что они пропорциональны радиусам-
векторам точки прикосновения, и следовательно, / F,MPX =
— /JFMP* т. е. касательная к гиперболе делит пополам угол между
радиусами-векторами, проведёнными в точку прикосновения.
Проводя, далее, те же построения, как и для эллипса, находим
следующие предложения: основания перпендикуляров, опущенных из
фокусов гиперболы на все её касательные, лежат на окружности,
построенной на действительной оса гиперболы, как на диаметре;
точки, симметричные с одним из фокусов относительно всех
касательных к гиперболе, лежат на окружности с центром в другом
фокусе и радиусом, равным действительной оси гиперболы; две ко»
ПО

сательные к гиперболе из внешней точки одинаково наклонены
к радиусам-векторам, проведённым в точку их пересечения; прямая,
соединяющая фокус гиперболи с точкой пересечения двух её
касательных, служит внутренней или внешней равноделящей угла
между радиусами-векторами точек прикосновения этих
касательных; отрезок подвижной касательной к гиперболе между двумя-
неподвижными виден из фокуса под постоянным углом.
Отметим ещё некоторые свойства касательных к гиперболе,,
связанные с её асимптотами.
Асимптоты гиперболы представляются уравнениями
у лг=0 и у-\ л;=0.
^ а •* l a
Перемножая эти уравнения почленно, получим новое
уравнение у2 §л:2 = 0, которому удовлетворяют координаты точек:
обеих асимптот. Решая его совместно с уравнением
касательной *~—^=1» найдём координаты точек пересечения
касательной с асимптотами. Исключая у из этих уравнений, получим;
квадратное уравнение, корнями которого служат абсциссы х' и х*
искомых точек:
Исключив же х, получим уравнение, корнями которого
служат ординаты у' и у" искомых точек:
у2 — 2угу — йа = 0.
В силу свойств корней квадратного уравнения имеем:
±?L = xlt ^=Л (32)
И
Л"-а2, уУ = —.ЪК (33>
Из равенств (32) непосредственно следует, что отрезок;
касательной к гиперболе, заключённый между её асимптотами,
делится в точке прикосновения пополам. Равенства (33)
устанавливают свойства треугольника, образованного касательной
и двумя асимптотами. Вычислим площадь этого треугольника.
По формуле (6) гл. I имеем:
д=4-(*у—*у>.
но
» Ь „ . Ь .
у' = — х' У'= х\
J а ' •* а '
III

следовательно,
А==^~х'х",
и, в силу первого из равенств (33):
— а2 = аЬ,
а
Следовательно, касательная к гиперболе отсекает от
асимптотического угла треугольник постоянной площади.
§ 12. Составление уравнения параболы.
Эллипс и гиперболу мы определили как геометрические места
точек, для которых сумма или разность радиусов-векторов постоянна:
гг -(-/¦:= 2а (для эллипса);
г — г1 = 4=2а (для гиперболы).
Исследуя свойства этих кривых, мы нашли, что их можно
рассматривать как геометрические места точек, расстояния
которых от фокуса и соответствующей директрисы сохраняют
постоянное отношение. Это отношение равно эксцентриситету
кривой и для эллипса меньше единицы, а для гиперболы больше
единицы:
У&-
а
УсР+Ь*
а
<^1 (для эллипса);
^>1 (для гиперболы)^
П
L
Естественно возникает вопрос, что за кривую представляет
геометрическое место точек, для которых предыдущее отноше-
н ие равно единице, иначе —
геометрическое место точек, одинаково
удалённых от данной точки и данной
прямой. Кривая, так определённая, как
нам уже известно (§ 1), называется
параболой. Составим уравнение,
которому должны удовлетворять координаты
любой точки этой кривой.
Пусть F (черт. 65) (фокус) отстоит
от данной прямой QK (директрисы) на
расстояние QF—p. Величина р
называется параметром параболы. За ось
абсцисс примем перпендикуляр, опу-
на директрису, с положительным на-
к фокусу, а за ось ординат —
О
О
1
F
?
г
Черт. 65.
щенный из
правлением
112
точки F
от директрисы

прямую, параллельную директрисе и делящую отрезок QF
в точке О пополам. При таком выборе осей фокус F имеет
координаты тг и 0.
Пусть Р(лг> у) — одна из точек параболы. По условию,
PF=KP. (34)
По формуле расстояния имеем:
PF=yf(x-%)* + & (35)
Кроме того, как следует из черт. 65,
KP=KL + LP\
но
/a=.J , LP=OR = x;
следовательно,
КР=? + х. (Щ
Подставляя в равенство (34) значения PF и РК, данные
соответственно формулами (35) и (36), мы и получим уравнение
параболы:
Приведём это уравнение к более простому виду, освободив
его от радикалов:
или
откуда
у2 = 2рх. (38)
Уравнение (38) и есть в простейшем виде искомое
уравнение параболы; координаты любой точки параболы должны
удовлетворять этому уравнению.
§ 13. Исследование уравнения параболы.
Исследуем выведенное уравнение, чтобы составить себе
представление о виде этой кривой.
1, Извлекая из обеих частей уравнения (38) квадратный
корень, получим:
8 Курс высшей математики 113

Положим, что р есть величина положительная. В таком случае
у будет действительной величиной только при положительных
значениях х. Это указывает нам на то, что парабола
расположена только вправо от оси ординат. Влево от оси ординат
точек этой кривой нет.
2. Из уравнения (38) видим, что каждому положительному
значению х соответствуют два значения у, равных по
абсолютной величине, но разных по знаку. Следовательно, парабола
расположена симметрично относительно оси абсцисс.
Так как при х±=0 и у=0у то парабола (38) проходит
через начало координат. Последнее называется вершиной
параболы. С возрастанием х ордината также возрастает по
абсолютной величине и именно возрастает пропорционально корню
квадратному из дг:
Таким образом, парабола, проходя через начало координат,
простирается далее до бесконечности в положительном
направлении абсцисс, в то же время удаляясь от неё в ту и другую
стороны (черт. 67).
Каждая ветвь гиперболы также простирается до
бесконечности, в то же время удаляясь от оси абсцисс в ту и другую
стороны. Но изгиб гиперболы иной, так как возрастание её
ординат пропорционально не корню квадратному из xt а
корню квадратному из разности квадрата х и квадрата а:
у =Н V*2 — #2.
При значениях х, по абсолютной величине значительно
превышающих а, величина ух2 — а* почти равна ху и потому у
растёт почги пропорционально х, В зависимости от этого ветви
гиперболы, простираясь до бесконечности, асимптотически
приближаются к двум прямым (асимптотам), между тем как парабола
не имеет асимптот.
§ 14. Построение точек параболы.
Первый способ есть знакомый уже нам способ
вычисления, при котором, давая произвольные значения х, вычисляем
соответственные значения для у и строим таким образом точки.
Второй способ. Для построения точек параболы можно
воспользоваться уравнением у = У2рх9 из которого видно, что
1.14

ордината у есть среднее геометрическое двух
отрезков 2р и х (черт, 66):
У% = 2рх,
откуда
2р:у=у;х.
От точки О влево откладываем отрезок ОВ = 2р (черт. 67).
Описываем затем ряд окружностей, с центрами на оси абсцисс,
проходящих через точку В. Эти окружности
пересекут второй раз ось абсцисс в точках
Мь Nx и так далее, служащих концами абсцисс
OMv ONx и так далее искомых точек параболы,
а на оси ординат отметят средние
геометрические отрезков 2р и х, т. е. соответственные
абсциссам ординаты точек параболы. По.
абсциссам ОМи ONx и так далее и
соответственным ординатам ОЖ2, ON2 и так далее строим Черт. 66.
точки параболы М, N и т. д. Симметричные
относительно оси абсцисс точки М\ N и так далее
принадлежат той же параболе.
Третий способ построения точек параболы вытекает
из самого определения этой кривой, В самом деле, расстояния
Черт. 67: Черт. 68.
точки Р параболы (черт. 68) от фокуса и директрисы равны,
и треугольник PKF, таким образом, равнобедренный:
PF=PK.
3* 115

Далее, так как перпендикуляр FQ из фокуса на директрису
делится осью ординат пополам, то и FK делится осью ординат
в точке М пополам:
FM = MK.
Следовательно, прямая РМ перпендикулярна к прямой FK.
Таким образом, точка параболы Р лежит на пересечении
перпендикуляра MP к прямой FK, восставленного из точки Ж,
и прямой КР, перпендикулярной к директрисе, или, иначе
параллельной оси абсцисс. Отсюда и вытекает способ
построения скольких угодно точек параболы.
Из фокуса F (черт. 68) проводим произвольную прямую,
которая определяет пересечением с осью ординат точку М,
а пересечением с директрисой — точку К. Из точки К
проводим прямую, параллельную оси абсцисс, а из точки М —
прямую, перпендикулярную к FK* Эти прямые пересекутся в точке Я,
которая и будет точкой параболы. Всякая иная точка Р
прямой MP одинаково отстоит от точек F и К, но прямая Р'К
не перпендикулярна к директрисе, и, значит, точка Р ближе
к директрисе, чем к фокусу. Следовательно, прямая MP имеет
с параболой только одну общую точку Pt т. е. две «слившиеся»
точки пересечения, и потому касается параболы в этой точке.
Таким образом, этот способ даёт возможность построить и
сколько угодно касательных к параболе.
§ 15. Касательные к параболе.
Касательной jc параболе называется предельное положение
прямой, соединяющей две точки параболы, когда одна из этих
точек, скользя по параболе, стремится к совпадению с другой.
Чтобы получить уравнение касательной к параболе, возьмём
на ней две точки M(xvyx) и Л^(лг2,_у2). Уравнение прямой MN
может быть написано в виде
Так как точки М и N лежат на параболе, то
уі = 2рхь yl = 2px2;
отсюда
у\—уі — 2р(х2 — хг).
Это равенство можно представить в форме:
Уі—Уі_ 2Р
116

Таким образом, угловой коэффициент прямой MN равен
2Р
Ух+Уг'
Когда точка Л/, скользя по параболе, придёт к совпадению
с ММ, угловой коэффициент для предельного положения
прямой MN будет равен -~. Следовательно, уравнение
касательной к параболе имеет вид
или
УУі— у\ = рх — P*v
но уі<=2рхь а потому уравнение касательной примет вид
ууі = р{х^хг)ш
В частности, беря хх=у1 = Оу получаем уравнение
касательной к параболе в вершине:
Таким образом, касательной в вершине параболы (38) служит
ось ординат.
Найдём точку пересечения этой касательной с осью х.
Полагая у = 0, находим: х= —xt. Отсюда легко заметить
следующее свойство касательной: отрезок касательной от
тонки касания до точки встречи с осью х делится
пополам при встрече с осью ординат, т. е. с касательной в вершине
параболы.
Вычислим теперь угол ср наклона касательной к радиусу-
вектору, проведённому в точку прикосновения. Тангенс
этого угла найдём по формуле (5) главы II. Замечая, что
угловой коэффициент радиуса-вектора равен ——— , а угловой ко-
эффициент касательной равен ~ , находим:
Уі Р
Р У\
tg<p =
*1 2
*і""2
1-Ь
Упрощая, получим:
117

Черт. 69.
Это равенство показывает, что угол наклона касательной
параболы к радиусу-вектору равен углу её наклона к оси
параболы (черт. 69).
Рассматривая равнобедренный
треугольник FMQ, заключаем на
основании доказанного сейчас
свойства, что касательная к параболе
является биссектрисой угла между
радиусом-вектором и
перпендикуляром, опущенным us точки
касания на директрису.
Далее, в силу первого из
доказанных свойств касательной, FL
есть медиана треугольника PMF; а
так как этот треугольник, в силу
доказанного вслед за тем свойства,
равнобедренный: FP=~FMy то FL
есть и высота. Отсюда следует: основание перпендикуляра,
опущенного из фокуса на - касательную • параболе, лежит
на касательной в вершине параболы. Так как FL = LQ (из
рассмотрения треугольника FMQ), то точка Q симметрична
с фокусом относительно касательной ML; следовательно, точка,
симметричная с фокусом относительно касательной к
параболе, лежит на директрисе. Этими свойствами можно
пользоваться для построения касательных к параболе из внешней
точки с помощью циркуля и линейки. Самое построение
совершенно аналогично тому, которое было дано для эллипса.
Возьмём теперь две касательные, проведённые из внешней точки Оу
и пусть А и А' — точки их прикосновения к параболе; Я, Р' и Q
соответственно—основания перпендикуляров, опущенных из точек А, А'
и О на директрису; /"—фокус параболы (черт. 70).
Из равенства треугольников: .
Д О АР = Д ОАЕ и Д ОА'Рг = Д ОА'Р
имеем:
OP=:OF=OP,t
следовательно,
Z POQ = Z P'OQ = ~ Z POP'
и
Далее,
но
¦и
Ш
I OPQ =Z OP'Q.
?OP'A' = ?OFA'\
? OP А — ? OF A
?ОР'А'=?ОРА;

следовательно,
?_OFA = ?OFA\
т. е. радиус-вектор, проведённый в точку пересечения двух
касательных к параболе, служит равноделящей угла между радиусами-
векторами точек прикосновения.
Рассмотрим далее угол ? АОА';
? АОА = ? AOF+ ? FOA';
следовательно,
?АОА'=\?РОР\
/mAOAf = ?POQ\
отсюда легко заметить, что
? AOF-=? QOA' и ? AfOF= ? QOA,
т. е. каждая из двух касательных к параболе так наклонена к
радиусу-вектору, проведённому в точку их пересечения, как другая
касательная наклонена к оси параболы.
Возьмём теперь три касательные к параболе (черт. 71) и пусть
Д &ц С —точки их попарного пересечения» F—фокус параболы.
На основании только что доказанного легко заключаем, что
?CAF=?CBF.
Отсюда следует, что около четырёхугольника ABCF можно описать
окружность или что окружность, описанная около треугольника,
составленного тремя касательными к параболе, проходит через
её фокус.
Далее,
?BFC~% — ?ВАС\
следовательно, ?BFC не зависит от положения касательной ВС, т. е.
отрезок касательной к параболе, заключённый между какими-либо
двумя неподвижными касательными к ней, виден из фокуса под по-
стоянным углом.
119

Задача. Даны четыре попарно пересекающиеся прямые, из которых
никакие три не проходят через одну точку. Показать, что существует
единственная парабола, касающаяся этих прямых. Построить фокус и
директрису этой пароболы.
Решение. Из данных четырёх прямых берём какие-либо две тройки
и описываем окружности около треугольников, ими образованных.
Точка F пересечения этих окружностей, не принадлежащая к вершинам
треугольников» и есть фокус искомой параболы. Основания
перпендикуляров, опущенных1 из точки F на все четыре прямые, в силу теоремы
Симпсона1), лежат на одной прямой. Эта прямая есть касательная
к вершине искомой параболы. Имея фокус параболы и касательную в её
вершине, легко находим её директрису и ось.
§ 16. Делийская задача.
Обратимся в заключение к делийской задаче, упомянутой
в начале этой главы, — к задаче удвоения куба:
х2 = 2а\
Эту задачу Гиппократ
из Хиоса свёл к
построению двух средних
геометрических между а и 2а:
а:х = х:у—у:2а.
с.
Неизвестные х и у
удовлетворяют, как мы уже
видели (стр. 84), двум
уравнениям:
xa = fly и/ = 2ах.
а'
ua j
•аг —J
Черт. 72.
Теперь мы можем сказать, что каждое из этих уравнений
в отдельности, если рассматривать х и у как координаты
точки, представляет параболу: второе уравнение — параболу
с параметром а (черт. 72) и расположенную относительно осей
так, как мы встречались с этой кривой до сих пор, первое —
параболу, касающуюся оси абсцисс, с параметром тр и осью,
направленной по оси ординат. Координаты точки пересечения
этих парабол, не лежащей в начале координат, и представляют
решение задачи Гиппократа, а следовательно, и делийской
задачи.
1) Теорема Симпсона: основания перпендикуляров, опущенных из
произвольной точки окружности на стороны вписанного треугольника,
лежат на одной прямой.
120

УПРАЖНЕНИЯ.
1. Составить уравнение, которому удовлетворяют координаты точек
(х, у), отстоящих от данной точки М(4, 2) на расстояние, равное 5
единицам. Система координат прямоугольная. Отв. Окружность ;?2-f-_V2 —
— 8дг — 4у — 5 = 0.
2. Составить уравнение, которому удовлетворяют координаты точек,
одинаково отстоящих от оси ординат прямоугольной системы координат
и точки F(b,0). Отв. Парабола уг — 1 Ox -f~ 25 = 0.
3. Составить уравнение, которому удовлетворяют координаты точек,
расстояния которых от точек -Р(4, 0) и -Рі(—4,0) составляют постоян-
Л"2 V2
ную сумму, равную 10 единицам. Отв. Эллипс ^+7Г = 1*
4. Составить уравнение, которому удовлетворяют координаты точек,.
расстояния которых от двух данных точек F(b, 0)и/?і(—5, 0) составляют
х2 v2
постоянную разность, равную 8 единицам. Отв. Гипербола _— —"^- = і_
5. Написать уравнение эллипса, с центром в начале координат и
осями, направленными по осям координат, который проходил бы через
точки Р(Ч^) и <?(і.^). Отв. ?+? = !¦
6. Каково уравнение эллипса относительно его осей, если
расстояния одного из фокусов до вершин большой оси равны 2 и 8 единицам?-
v2 v2
0яи- Г5+Тб = 1-
7. Наименьшее расстояние земли от солнца относится к
наибольшему, как 29:30. Определить эксцентриситет эклиптики. Отв. е = %х-
8. Чему равен эксцентриситет эллипса, если его малая ось видна-
под прямым углом из фокуса? Отв. е = —=-.
9. Определить сторону квадрата, вписанного в эллипс. Отв. ¦¦ ^
К а2 -\~ №
19. Расстояние между директрисами эллипса 12,5; эксцентриситет 0,8..
х*' у2
Написать уравнение эллипса. Отв. -^ +*^- =1«
11. Концы отрезка постоянной длины движутся по осям координат.
Какую линию опишет при этом точка отрезка, делящая его на две-
Х^ V2
части а и Ь? Отв. Эллипс, уравнение которого: -^-|-=д- = 1.
12. Написать уравнение гиперболы, с центром в начале координат
и осями, направленными по осям координат, которая проходила бы
через точки Р (2]^5, 2]/*3) и <?(5, 4). Отв. ~—^ = Ъ
13. Определить е и угол между асимптотами гиперболы,
— — — = 1. Отв. е = —г-=— ; 2<p = arctg ¦-==-.
5 4 5 * г Уъ
14. Определить сторону квадрата, вписанного в гипер'олу
Гб-і=1. Отв. 18*.
121

15. Расстояние между директрисами гиперболы =6,4, а е = 1,25.
Написать уравнение этой гиперболы. Отв. --j = l.
16, Вершины А и В треугольника ABC лежат в вершинах гипер-
б0ЛЬ1 ^- — ¦L. — i, а вершина С движется по гиперболе. Определить
геометрическое место точек пересечения медиан этого треугольника,
х2 уг
Отв. ——г-к ™ 'уі.»* == *¦
(I)' (4)
17. Составить уравнение параболы, вершина которой в начале
координат, а ось направлена по оси абсцисс в положительную сторону,
н которая проходит через точку М(3, 6). Отв. у2=12х.
18. Дан эллипс с полуосями д = 5 и fc = 3. Где лежат точки
Р (1, — 3), Q (— 4, 1), 5 (3,2, 4) — внутри эллипса, вне эллипса или на
эллипсе?
X2 V2
19. Определить координаты точек пересечения эллипса оё + тг™!
с биссектрисой координатного угла.
v2 у2
20. Гипербола задана уравнением: "-^ — гд =1. Показать, что
координаты любой точки той и другой асимптот удовлетворяют уравне-
х* у2
21. Для эллипса д>&, причём 2а есть та ось, на которой лежат
фокусы. Обязательно ли такое соотношение для полуосей а и Ъ
гиперболы?
л*2 у2
22. Построить гиперболу, данную уравнением -q-—-"^ = 1.
Определить положение её .фокусов и асимптот.
2$. Расстояние вершины параболы от фокуса равно 3. Каково
уравнение параболы?
24. Какая кривая представляется уравнением лг2 = 2?у?
25. Уравнение параболы можно представить в виде у2 — 2рх = 0.
Как характеризовать аналитически точки, лежащие внутри параболы,
и точки лежащие вне её?
26- Показать, что геометрическое место центров окружностей,
проходящих через данную точку и касающихся данной прямой, есть
парабола.
27. Какое геометрическое место образуют центры окружностей,
проходящих через данную точку А и касающихся данной окружности
с центром в точке В, в случае: а) если точка А лежит внутри
окружности (В), Ъ) если точка А лежит вне окружности (В)?
28. Парабола задана уравнением у2 = 3х, а прямая уравнением
y = kx-hl. Определить угловой коэффициент k так, чтобы прямая
касалась параболы.
Задачи на построение.
1. Даны фокус эллипса и окружность, описанная около эллипса.
Построить оси эллипса.
Построение. Строим точку, симметричную с данным фокусом
относительно центра данной окружности; эта точка служит вторым фокусом
эллипса. Диаметр окружности, проходящий через фокусы, равен длине
122

большой оси эллипса. Длина малой оси может быть определена
как катет прямоугольного^ треугольника, одним катетом которого
служит отрезок, соединяющий фокусы, а гипотенузою большая ось эллипса
(т. е. диаметр данной окружности).
2. Даны большая ось и точка эллипса. Построить его фокусы.
3. Даны асимптоты и вершина гиперболы. Построить её фокусы.
4. Даны асимптоты гиперболы и длина её мнимой оси. Построить
фокусы.
5. Даны асимптоты гиперболы и одна из её точек. Провести
касательную к гиперболе в этой точке.
6. Даны вершина гиперболы, её центр и какая-либо касательная.
Построить её фокусы, асимптоты и мнимую ось.
7. Даны угол и точка внутри его. Провести через эту точку
прямую, отсекающую от сторон данного угла треугольник минимальной
площади.
8. Даны угол и точка вне его. Провести через эту точку прямую,
отсекающую от сторон данного угла треугольник данной площади
(т. е. треугольник, площадь которого равнялась бы площади другого
данного треугольника). -
9. Даны центр, фокус и точка центрального конического сечения
(т. е. эллипса или гиперболы). Построить его основные элементы.
10. Для центрального конического сечения даны центр, фокус
и касательная. Построить его основные элементы.
И. Даны два фокуса и касательная некоторого конического
сечения. Построить его центр и оси.
12. Даны две касательные центрального конического сечения и
окружность, описанная около него. Построить его оси и фокусы.
13. Даны фокус некоторого конического сечения и три касательные
к этой кривой. Определить тип кривой и, если кривая окажется
центральной, построить её основные элементы.
14. Даны фокус конического сечения, две касательные и на одной
из них точка прикосновения. Определить тип кривой и, если кривая
центральная, построить основные её элементы.
15. К данной параболе провести касательную, параллельную данной
прямой.
16. Даны фокус пароболы, одна её точка и касательная к параболе
в этой точке. Построить вершину.
17. Даны фокус параболы и две её касательные. Построить её
вершину.
ГЛАВА V.
ОЧЕРК ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Преобразование координат.
Мы выбирали при выводе уравнений конических сечений
такие положения координатных осей, при которых уравнения
этих кривых имеют простейший вид; при ином положении осей
уравнения получились бы более сложными. Если кривая дана
уравнением более или менее сложным, то, изменяя положение
123

осей координат, мы тем- самым изменяем и уравнение кривой,
и теперь возникает вопрос, как выбрать новые оси, чтобы
уравнение кривой приняло более простой вид. Уравнение
кривой, отнесённой к новым осям, можно получить из данного,
если найти сначала формулы, по которым координаты точки
для прежнего положения осей
выражаются через её координаты для нового
положения.
Параллельное перенесение осей.
Положим, что оси новой системы
координат соответственно параллельны
осям прежней системы:
0'Х\\Ох, ОУ\\Оу
(черт. 73). Так как направления осей
Черт. 73. не изменяются, то новая система
координат вполне определяется положением
нового начала. Пусть а и Ъ—координаты нового начала О'
относительно прежней системы, и пусть какая-нибудь
точка М имеет в прежней системе координаты л:, уч а в новой—
координаты Ar, Y:
OQ = a, 00' = ft, ОМг = х9 MxM=zy, 0'N=Xr NM=Y.
Точки Mv Nt M лежат на одной прямой; точно так же
и точки О, Q, М1 лежат на одной прямой. Следовательно,
OMl = OQ-^QMl = OQ-^0'NJ
M1M = M1N+NM—QO, + NM.
Таким образом, при всяком параллельном перенесении осей
имеем:
OMl = OQ+0'N и M1M=QO, + NM9
или
х = а + Х, y = f>+Y. (1)
Пример. Кривая дана уравнением
Х2 4-^2 ^_ 6* — 1 Оу -Н 18 = 0.
1. Как изменится уравнение этой кривой при параллельном
перенесении осей координат с помещением нового начала в точку 0!.(ау Ь)?
2. Подобрать а и Ъ так, чтобы преобразованное уравнение не
содержало первых степеней текущих координат.
Решения. 1. Подставляем в данное уравнение вместо текущих
координат х, у по формулам преобразования (1) выражения а-\-Х
' (а + Х)*+(Ь-\-У)*+6(а + Х)-Ю(Ь+У)+18 = 0,
или
Х*і-У*+(2а + 6)Х+(2Ь-ЩУ+{а*+Ь* + 6а—№±18) = 0.
124

2. По требованию задачи члены, содержащие первые степени
текущих координат, должны отсутствовать, т. е. коэффициенты их должны
быть равны нулю:
2я-|-6 = 0, 2?—10 = 0;
отсюда
а = — 3, Ь = 5;
при таких значениях а и Ь уравнение кривой принимает вид
^2 + К2ц_(9 4-25— 18-50+18)= 0,
или
т. е. данная кривая есть окружность с центром в точке (—3, 5) по
прежней системе и радиусом, равным 4. Таким образом, параллельное
перенесение осей даёт возможность определить координаты центра
окружности и радиус её (ср. гл. III, § 1).
Изменение направления осей. Рассмотрим теперь тот
случай, когда начало координат не переносится, но изменяется
направление осей. При этом мы будем предполагать, что
первоначальная система координат —
прямоугольная.
Пусть новая ось ОХ
наклонена к прежней оси абсцисс под
углом а, а новая о;ь OY—под
углом р (черт. 74), и пусть какая-
нибудь точка М имеет в
первоначальной системе координаты
jc, j/, а в новой X, У:
ОМг = х, М1М=уу
ОМ' = X, М'М = Y. Черт. 74.
Формулы, выражающие лг, у через X, У, мы получим,
проектируя ломаные ОМгМ и ОМ'М на ось Ох и потом на ось Оу%
Проекция ломаной линии равняется сумме проекций
отдельных её звеньев, а проекции на одну и ту же ось двух
ломаных с одинаковыми концами равны между собой.
Следовательно,
пр.хОМгМ = пр.хОМ'М и пруОМгМ = пруОМгМ.
Но
пр.х ОМгМ = ир.хх -|- пр.^у = лг,
np.xOMlM = np.xX + np.xY=Xcosa-\- Усо$$.
Следовательно,
х = X cos a -{- У cos ^
125

Далее,
ируОМіМ = прус -J- пр.уУ =Уу
пр.у ОМ'М = пр.у X 4- пр7 Y=
= ЛГсоз (у —а) 4" ^cos (f— P) =^sina4* ^sin ?
Следовательно,
y=Xs\na-\- Ksinp.
Таким образом, при изменении направления осей с
сохранением начала координат, первоначальные прямоугольные
координаты какой-нибудь точки выражаются через новые (вообще
говоря — не прямоугольные) следующими формулами:
x=Xzos(t-\- FcosP, \ ,~
y=Xsina+Y$M$. J [ '
При установлении теорем о проекциях (гл. II, § 4) под-
углом наклона проектируемого отрезка к оси проекции мы
разумели угол между пол о ж ительным направлением оси
проекций и положительным направлением проектируемого
отрезка. При проектировании ломаной линии направления
звеньев её определяются указанием начальной и конечной
точек ломаной. В предыдущем выводе формул (2) мы
пользовались углами между положительными направлениями осей
координат, а положительные направления осей не всегда
совпадают с положительным направлением звеньев проектируемых
ломаных, и это несовпадение имеет место именно тогда, когда
звенья, как координаты, выражаются отрицательными числами.
Но, изменяя знак проектируемого отрезка и в то же время
увеличивая или уменьшая угол наклона его к положительному
направлению оси проекции на 180°, мы не изменяем ни знака,
ни величины проек'ции (гл. I, § 7). Таким образом, формулы (2)
имеют место при всяком положении точки на плоскости как
относительно прежней системы координат, так и относительно
новой.
С помощью формул (2) между прочим можно преобразовать
формулу расстояния между двумя точками (гл. I, § 5) и
выражение для площади треугольника (гл. I, § 7), выведенные
раньше в предположении прямоугольной системы координат,
и получить, таким образом, соответствующие формулы для
косоугольной системы координат.
Поворот осей прямоугольной системы координат. Угол
между новыми осями, как видно из черт. 74, равен [5 — а.
Если новая система координат прямоугольная, так же как
126

и начальная, т. е. если угол (5— а прямой, то мы будем иметь-
поворот осей на угол а и соответствующие формулы
преобразования можно получить из формул (2), заменяя угол [і равным
ему углом а~{--^ (черт. 75), а именно:
лг = X cos а 4~ К cos («+-§')»
или
y = Xsina~{-Ysm (3+-5-),
х = X cos a— Ksinaj \
y = Xs'ma-\- Fcosa, /
(3;
Перенесение начала и одновременный поворот осей
прямоугольной системы координат. Когда перемещается
начало координат и одновременно изменяется направление осей,
то соответствующие формулы преобразования можно получить,
комбинируя формулы (1) и (2) или (1) и (3). Так, если начало
прямоугольной системы координат перемещается в точку (a, b)
и система, оставаясь прямоугольной, повёртывается на угол a
(черт. 76), то формулы преобразования будут иметь вид
x = a-\-Xcosa— Ksina, l
y = b-\-Xsina-\-Ycosa, }
(*)
Те же теоремы о проекциях дают возможность составить
формулы преобразования косоугольной системы координат
в косоугольную же или прямоугольную.
Черт. 76ь
Черт. 77.
Если начальная система координат косоугольная, то при
проектировании ломаных ОМгМ и ОМ'М (черт. 77) за оси
проекций нужно взять не оси координат, как в предыдущих
случаях, а прямые (назовём их/ и т), перпендикулярные к перво-
127

начальным осям, чтобы при проектировании ломаной (ху)
получить выражение, содержащее только одну первоначальную
координату. При проектировании ломаных ОМгМ или ММ'О
на оси проекций / или т нужно знать углы наклона звеньев
зтих ломаных к осям проекций.
Будем обозначать углы между прямыми, выходящими из
одной точки О, буквами, указывающими положительные
направления сторон угла, а порядком этих букв — направление
углового смещения. Так, если а и Ъ — два луча, выходящих
из точки О, то (ab) обозначает угловое смещение луча из
положения а в положение Ъ. Но вращающийся около точки О
луч можно перевести из положения а в положение b двумя
путями: или вращая его в направлении, противоположном
вращению часовой стрелки, или в направлении, согласном с этим'
движением. Чтобы избежать такой двойственности, вообразим
какой-либо луч t, разрезающий пучок лучей, выходящих из
точки О, так, чтобы возможность многократного повторения
кругового вращения была уничтожена. Этот луч t условимся-
считать достижимым для вращающегося луча лишь в одном
направлении, например, противоположном движению часовой
стрелки.
Ко всяким трём лучам такого (разрезанного одним из своих
лучей) пучка а, д, с приложимы те же правила сложения, какие
были установлены для сложения направленных отрезков,
лежащих на одной прямой, именно:
(а»)+ (**)== (да), (5)
(ай)-J-(*я) = 0 или (ab) = — (ba). (6)
Проектируя ломаные ОМгМ и ОМ'М на оси / и mt будем
иметь:
пр./лОЖ1Ж = пр.даОЖ'Жи пр., ОМгМ = np.t ОМ'М,
или
пр./А*-|-np.(7ty = np.^Z-f np.fflY и пр.:Х + пр.,у = пр.:Х-\-пр.гУ.
Определяя проекцию каждого звена, получим:
х cos (тх) -\-у cos (ту) = X cos (тХ) -|- У cos (т К), \
х cos (іх)+у cos (ly) == X cos (IX) + У cos (/ К). / ^
Но оси проекций / и т перпендикулярны соответственным осям
координат. Считая положительным вращение против движения
часовой стрелки, будем иметь:
(/д) = —у, (my)=zj,
cos (lx) = 0, cos (my) = 0.
12S

Таким образом, формулы (7) приводятся к виду
xcos(mx) — X cos (mX)-\-Ycos (mY), )
у cos (ly) = X cos (IX) + К cos (IY). I (8>
Встречающиеся здесь углы на основании правил (5) и (6) можно
свести к данным углам о, а. и (5, где
ш = (*у), а = (хХ) и Р = (*У).
Действительно,
(тх) = (ту) + (j«f) = (ту) — (ху) = j — со,
(«ДО = (тх) + (jcJO = 1 — « + а = у — (» - а),
(тиК) = (и*) -f (лгК) = |- со + Р = | - (• - Р),
(/у) = (/*) + (ху)=—1+ » = -(|—в),
(HQ = (іх) + (**) = -1 + а = - (|— а),
(/У) = (іх) + (л:У) = -|+ р= - (|- р).
Подставляя эти значения углов в формулу (8) и принимая,
кроме того, во внимание, что косинус — функция чётная, т. е.
сохраняющая свою величину при перемене знака аргумента,
получим:
л:cos (-j—«) =*cos[i —(ш-а)] + Kcos [у —(« — »]¦
.у cos (у —°>) =-*Tcos (-у-а) + 7cos {т~О'
или
откуда
a: sin со = A" sin (со — а)-\- Ksin(to — (5), 1
3/ sin со = X sin a -|- У sin [S, / '
X sin (a) — a) + У sin (o> — p)
X
sin o)
X sin a + К sin ft
V = rJ r.
^ smo)
<9>
Если новая система координат прямоугольная, то
р_а = |и-р-=а4-|-
9 Курс высшей математики 129

Таким образом, формулы преобразования косоугольной системы
координат в прямоугольную принимают вид
X sin (со — а) — У COS (о) — а)
sino> '
ATstnct+Kcosa | \Щ
у = . I л
' smu>
§ 2. Кривая второго порядка.
Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы —-
второй степени относительно текущих координат. Общее
уравнение второй степени с двумя переменными имеет следующий
вид:
Ax^Bxy + Cyt + Dx + Ey + F^Q. (11)
Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы
являются частными случаями этого общего вида. Так, если
Л = і, 5 = 0, С = і, /3 = 0, ? = 0, F— — U
то уравнение (11) обращается в уравнение эллипса:
? + ?—1=0
Естественно теперь возникает вопрос, не представляет ли
уравнение вида (И) каких-либо новых типов кривых, кроме
окружности, эллипса, гиперболы или параболы, и какими общими
свойствами обладают все кривые, выражаемые общим
уравнением второй степени.
При исследовании этих вопросов ради симметрии формул
выгоднее пользоваться иным обозначением коэффициентов
уравнения (11). Все коэффициенты будем обозначать одной буквой,
но сопровождая её двумя значками, которые указывали бы,
какие текущие координаты, как множители, относятся к
рассматриваемому коэффициенту; так, за коэффициентом ап
следуют два множителя х, т. е. х2, за коэффициентом аг2 — два
множителя хну; за коэффициентом а13 следует один
множитель х: значок 3 указывает на отсутствие одной из текущих
координат в рассматриваемом члене, так что а33 — член
постоянный в уравнении, не зависящий от текущих координат. При
этом коэффициенты с различными значками будем брать
с множителем 2. Таким образом, уравнение (11) при таком обо-
130

значений его коэффициентов принимает следующий вид:
апх2 + 2а12ху + я22У + 2апх -\- 2а22у + а5в = 0і). (12)
Порядок кривой. Порядок кривой, выражаемой
алгебраическим уравнением, определяют числом точек
пересечения её с любой прямой на плоскости. Кривые, выражаемые
уравнениями второй степени в текущих координатах, называются
кривыми второго порядка, потому что, как мы сейчас увидим,
с любой прямой кривая этого рода пересекается не более как
в двух точках.
Пусть требуется определить точки пересечения кривой,,
выражаемой уравнением (12), и какой-нибудь прямой y=kx-\-b-
Координаты каждой точки пересечения этих линий должны
удовлетворять как первому, так и второму уравнениям, и
следовательно, могут быть найдены при совместном решении этих
уравнений. Но два уравнения с двумя неизвестными, из
которых одно—второй степени, а другое — первой, имеют, вообще
говоря, два решения, которые могут быть действительны
и различны, или мнимы, или, наконец, действительны, но
одинаковы. В самом деле, подставляя kx-\-b вместо у в
уравнение (12), получим квадратное уравнение относительно х:
апх2 -j- 2a12x (kx -f- b) -f- a22 (kx -f- bf + 2a13jc -j-
-f 2a2Z (kx -\- b) -f aZB = 0
По раскрытии скобок и приведении будем иметь:
Ах2 + 2Вх+С=01 (13)
где
A = an + 2aX2kAra22№, Л
B — {a2l-\-kan)b~\-{an-\~ka^ I (14)
С = a22b2 -f Ъа2ф +а33. J
Из уравнения (13) найдём два значения хь х2 для абсциссы
точки пересечения, а подставляя эти значения х в уравнение (12)„
найдём и соответствующие значения ординаты:
Уі = kxx + b, у2 = kx2 + b.
Таким образом, два решения (хг, ух) и (х2, у2)
удовлетворяют одновременно как уравнению кривой (11'), так и
уравнению прямой (12). Это значит, что любая прямая пересекает
кривую, данную уравнением (1Г) второй степени относительна
текущих координат, не более как в двух точках (хь ух)у (х2, у2)^
1) Перестановка значков у какого-либо коэффициента не меняет
величины коэффициента: аи = #2і, а1Ъ = а32» а\г == а8і-
9*
Ш

Если решения (хь уг) и (лг2, j/a) действительны, то прямая,
действительно, пересекает кривую в двух точках; если решения
мнимы, то прямая не пересекает кривой, или мы будем
говорить— пересекаете двух мнимых точках, разумея под мнимой
точкой пару мнимых значений абсциссы и ординаты. Если же
решения (хг,уг), (х2,у2) сливаются в одно, т. е. если х1=х2
и уг= у2} то прямая касается кривой.
3. Бесконечно удалённые точки кривой второго порядка.
Когда точка А движется по прямой, неограниченно удаляясь
от некоторой определённой точки О, то говорят, что точка А
удаляется в бесконечность. Если бы рассматривалась только одна
данная прямая, то
естественно было бы, по аналогии
с введением символов
положительной и отрицательной
бесконечности, приписать
прямой две бесконечно
удалённые точки. Но это
оказывается, в одном весьма важном пункте, неудовлетворительным,
когда рассматривается вся плоскость или всё пространство. В
самом деле, будем следить за движением точки А (черт. 78),
соединяя ее в каждый момент лучом с точкой S, лежащей вне данной
прямой. Если точка А удаляется в бесконечность по прямой а
вправо, то луч SA вращается против движения часовой стрелки
и занимает в пределе положение Sm, параллельное данной
арямой. Поэтому естественно считать, что прямые а и Sm
имеют общую бесконечно удалённую точку. Точно так же
при удалении точки А влево луч SA, вращаясь по часовой
стрелке, принимает предельное положение Sn, тоже
параллельное прямой а, и таким образом, прямая а имеет также с
прямой Sn общую бесконечно удалённую точку. Но лучи Sm и Sn
служат продолжением один другого, ибо через точку S можно
провести к прямой а только одну параллельную прямую. Таким
образом, если бы мы приписали прямой а две бесконечно
удалённые точки, то надо было бы принять, что прямые а и mSn
пересекаются в двух (бесконечно удалённых) точках, нарушив
тем самым предложение геометрии, что две прямые на
плоскости пересекаются в одной точке. Поэтому принимают, что
каждой прямой соответствует .одна бесконечно удалённая
точка.
Совокупность всех бесконечно удалённых точек плоскости
называют бесконечно удалённой прямой.
132
_ж^

Возвращаемся теперь к исследованию кривой второго по*
рядка. Возникает вопрос: можно ли говорить о наличии или
отсутствии на такой кривой бесконечно удалённых точек? Или
иначе: можно ли говорить о точках пересечения кривой
второго порядка с бесконечно удалённой прямой?
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим, наряду с
данной кривой второго порядка, пучок прямых. Будем вращать-
прямую этого пучка вокруг его центра и следить за точками
её пересечения с данной кривой. Если, при приближении этой
прямой к некоторому предельному положению а, одна из точек
её пересечения с кривой удаляется в бесконечность, то
говорят, что кривая проходит через бесконечно удалённую точку
прямой а.
Мы видим, таким образом, что для того, чтобы изыскать
бесконечно удалённые точки на кривой второго порядка, нужна
узнать, при каком условии уравнение (13) имеет хотя бы один
бесконечно большой корень: х2 = оо. Но квадратное
уравнение кмеет один бесконечно большой корень, если
коэффициент при квадрате неизвестного обращается в нуль1).
Следовательно, пересекающая прямая 'y=kx-\-b должна иметь такой
угловой коэффициент, чтобы [§ 2, (14)]
Л = 0, или. an-\r2ank-{-a22,k'2 = 0. (15)
Отсюда
— «12 і У «12 — «11«22
или
k=
k=
«22
«12 ± V— (вц*23 " а\2)
«22
Таким образом, существуют два направления, при которых
прямая пересекает кривую в бесконечности. Следовательно^
вообще кривая второго порядка имеет две бесконечно удалён*
ные точки.
і) ax*+bx + c=:0,
Ь zt Уь'х — 4ас + 4д?
X =
2л 2а[— b + Yb*—Aac} *
2с 2с
х± = — и , х2 =
— Ь — уъ* — 4ас* " —Ь + V&— Аас
с .. 2с
Urn Хл z=z г» litn хо = —, , . =; *>*
133

Если корни уравнения (15) действительны, т. е. если
#1^22 — 4г<°>
то кривая имеет две действительные бесконечно удалённые
точки. Если
ДіЙ22— fl?2>°>
т. е. корни уравнения (15) мнимы, то говорят, что бесконечно
удалённые точки кривой мнимы, иначе — кривая, не имея
бесконечно, удалённых точек, вся расположена в конечной части
плоскости. Если
т. е. корни уравнения (15) сливаются в один, то обе бесконечно
удалённые точки кривой сливаются в одну, иначе — кривая
.касается бесконечно удалённой прямой.
Выражение апа22— а\2 даёт возможность различить
кривые второго порядка по типам и называется
дискриминантом старших (т. е. второго измерения) членов уравнения (12)
кривой.
Для эллипса, гиперболы и параболы, уравнения которых мы
.имели в виде
1)5 + Й=1' 2)3-і?=1' 3)y>-2px = 0,
дискриминант соответственно положителен, отрицателен и равен
нулю:
1) *іА* — а12 = ^"Р' 2) апЧ% — 4* = — ^2"Р»
3) апа22— а^2=0.
Таким образом, подтверждается то, что нам было известно
отчасти и раньше: именно — гипербола имеет две
действительные бесконечно удалённые точки (в направлениях её асимптот),
эллипс не имеет бесконечно удалённых (действительных) точек,
парабола касается бесконечно удалённой прямой.
Мы будем поэтому называть кривые второго порядка с двумя
действительными бесконечно удалёнными точками (апа22—а\2<^ 0)
гиперболами, кривые с мнимыми бесконечно удалёнными
точками (сіпа22 — а^^о) — эллипсами, а касающиеся бесконечно
удалённой прямой {апа22— а\2=0)— параболами.
Если в уравнении (13) и коэффициент В равен нулю, то
оба корня обращаются в бесконечность, и прямая y = kx-\-b
134

будет иметь с кривой две слившиеся в одну бесконечно
удалённые точки, иначе — касается кривой в бесконечно удалённой
точке, т. е. будет асимптотой кривой:
5 = 0, или (д21 + д22АО* + а3і+Яз2й = 0> (16)
откуда
?_ аЪ\ + Д32&
а21 Н~ й22^ *
Гипербола имеет две действительные асимптоты:
y = k1x + Ьг н y = k2x-{-b2,
где kt и &2 — корни уравнения (15), а дг и Ь2 определяются
условием (16):
а _ °аі + а*цЬх h а3г + flsa^2
t/i " . . ) С/л ——— — "' p ' " l •
д21 "Г Л22«1 #21 ~Т~ й22«2
Для параболы
Следовательно,
* t V «22'
bx=b2 = ^=00.
Уравнение прямой
j/ = kx -j- ? или -7-х 7-у -[-1=0,
имеющей с параболой в бесконечности две слившиеся точки,
принимает вид
о-* — о.^4-1 = °і
это уравнение может удовлетворяться лишь бесконечно большими
значениями текущих координат и представляет бесконечно
удалённую прямую. Парабола не имеет асимптоты, т. е. прямой,
проходящей в конечной части плоскости, к которой бы кривая
приближалась безгранично.
§ 4. Преобразование уравнения кривой второго порядка
при параллельном перенесении осей. Центр кривой.
Рассмотрим теперь, как изменяется уравнение кривой
второго порядка при изменении системы координат и к каким
простейшим видам это уравнение может быть приведено
таким преобразованием. При этих преобразованиях обнаружатся
и некоторые общие свойства рассматриваемых кривых.
135

Центр кривой второго порядка. Положим, что оси
координат не изменяют своего направления и лишь начало
координат перемещается в какую-нибудь точку М (х0, у0). По
соответствующим формулам преобразования [(1) § 1] будем иметь:
Чтобы не вводить новых обозначений текущих координат (тем
более, что преобразование придётся сделать не один раз), мы
предыдущие формулы напишем в следующем виде:
*1*-Ь*о. У\У+У*
где знак «|» выражает замену в первоначальном уравнении
кривой текущих координат ху у выражениями x-\-xQ и у-\-у0,
причём в этих выражениях х и у обозначают текущие
координаты не по- прежней системе, а по новой, а х01 yQ —
координаты нового начала по прежней системе.
Таким образом преобразованное уравнение кривой будет
иметь вид
а1Х {х + *о)' + 2*із {* + хо) (У + У о) + а22 іУ +Уо)2 +
+ 2% (х + х0) + 2ап (у -f-^o) + ^зз = °-
По раскрытии скобок и приведении получим:
апх* + 2а12*у + &22У2 4"
4- 2 (апхо + ^ігУо + Лц) * 4- 2 (%*о + а22Уо + а2в)У +
+ <*іі*о + 2«іЛЛ + а22Уо + 2аихо + 2Чг У о + азв = °
или
апх* + 2аХъХу + а22у* + 2Ьпх + 2Ь2ъУ+1>гь==0, (17)
где
*18 = аПХ0 + %2*0 + Лі8. (18)
Ьп = а2іхо + а22Уо+а22> (19)
bzz = anxj 4- 2а12*0;'о + д22 Уі + 2діз^о + 2лззУо 4- <hv (20)
Таким образом, после параллельного перенесения осей
старшие члены уравнения не изменяют своего вида, а
изменяются только коэффициенты членов первой степени и свободный
член, причём последний заменяется результатом
подстановки в левую часть данного преобразовываемого уравнения
вместо текущих координат х, у координат нового начала
Л"о» У О'
Распоряжаясь двумя величинами лг0, _у0, можно выбрать
новое начало так, чтобы два из изменённых коэффициентов,
136

например bx% и &23, обратились в нуль:
а2Л + Л22Л + а23 = 0-
Решая эти уравнения относительно xQt у0і получим:
(21)
х,
а\гагг —
ахіа2і — а
12
>0 " 2—
«1 Аа — ^12
(21')
Таковы координаты нового начала в прежней системе.
Уравнение кривой после такого
преобразования примет вид
апх* -+- 2а12ху + а22у2 -\- ?33 = 0, (22)
где под ?33 нужно разуметь
выражение (20) с заменой jc0, у0 их значениями,
данными формулами (21').
Если какая-нибудь точка P(xv уг)
(черт. 79) лежит на кривой, то
координаты её (хь ух)— координаты в новой „ -„
системе — должны удовлетворять
уравнению (22), т. е. должно иметь место следующее тождество:
«11*1+ 2аі2ХіУі +Д22>/і+^83=:0- (23^
Но в таком случае и числа —х1г —ух удовлетворяют
уравнению (22):
«п ( — хг)2-\~2а12( — хг)( — Уг) + оп(— yxf-^b^ =
т. е. и точка Q(—хи —ух) лежит на кривой. Отрезок PQ
будет хордой этой кривой, хордой, проходящей через (новое).
начало координат и делящейся в этом начале пополам:
При перемещении точки Р по кривой и точка Q будет
перемещаться, оставаясь симметричной с точкой Р относительно»
точки М{х0, у0). Таким образом, всякая хорда, проходящая
через точку М(х0і у0), делится в этой точке пополам.
Точка М(х0, у0) служит центром кривой второго порядку
Знаменателем выражений (2 Г) для координат центра служит
дискриминант старших членов уравнения. Если дискриминант
137

не равен нулю:
апап — а\%^0,
т. е. если кривая будет гиперболой или эллипсом, то
координаты центра — конечные величины, центр будет в конечной
части, плоскости. Перенесение начала координат действительно
может быть выполнено. Но если дискриминант равен нулю:
апа22 — 4j = °>
то координаты центра будут или бесконечно большими или,
если и числители равны нулю, неопределёнными.
Эллипс и гепербола имеют определённый центр на конечном
расстоянии, парабола {апап — а*2 — 0) имеет «центр в
бесконечности». В выражении «центр в бесконечности» термин «центр»
нужно понимать в обобщённом смысле, а не первоначальном,
ибо хорды кривой, проходящие через такой центр, бесконечно
велики.
Перенесение начала координат в бесконечно удалённую
точку по существу невозможно: за оси координат мы должны
принять прямые, пересекающиеся в конечной части
плоскости. Следовательно, уравнение параболы не может быть
приведено к виду (22).
Если центр неопределённый, т. е. если
^11^22 —а12=0' а12а23—<*22ai3 — °' а\Л\ — йпй2г = 0, (24)
то оба уравнения (21), определяющие центр, равносильны,
иначе — коэффициенты их пропорциональны, ибо из равенств
(24) следует:
?ll_fZl2 ?l2_?l3 ?l3_fllt
или
?п ?і_2 ^із
——¦ ¦
а21 а22 #23
Замечание. Из равенств (24) независимых только два — третье
является следствием двух других.
Таким образом, в случае неопределённых решений для
координат центра, эти координаты связаны одним уравнением,
например первым из уравнений (21); второе является
следствием первого.
Уравнения (21)—первой степени относительно меняющихся,
текущих теперь координат х0і у0. Следовательно, в случае
неопределённых решений (21') за центр кривой можно принять
138

любую точку некоторой прямой, уравнение которой:
Остаётся решить, какого рода линия представляется в этом
случае уравнением (22).
§ 5. Кривая, распадающаяся на пару прямых.
1. Если в случае определённого и конечного центра
кривой, кроме коэффициентов Ь1В и Ь2В, в преобразованном
уравнении кривой (22) обращается в нуль и коэффициент ?33, то
уравнение кривой принимает вид
аг1х2 -\~ 2апху -j- а22уг = 0. (25)
Левую часть этого уравнения можно разложить на два
множителя. В самом деле, разделяя на х2 все члены уравнения,
получим:
Яп-Т-2Ді2~+ «22 (j)2 = 0-
Пусть корни этого квадратного, уравнения относительно —
будут кг и k2.
— 0=12 + У " (вЦвЗД — а12) , — а12 " К"-(АцД22—Діг)
1 а22 #22
В таком случае первую часть уравнения можно разложить на
множители:
«-(?-*і)(т—*»)=°-
Отсюда, по умножении на л:2, будем иметь:
«22 (y^kix) (y — k^x) = 0. (25')
Уравнение (25;) есть преобразованное уравнение (25). Оно
удовлетворяется только в том случае, если обращается в нуль или
множитель у— кхх, или другой множитель у — k2x:
у — кгх=0, или у — k2x=0.
В первом случае точка перемещается по прямой, данной
уравнением
у — kxx = О,
во втором — по прямой, данной уравнением
у — k2x = 0t
139

Лежит ли точка на первой прямой или на другой, координаты
этой точки удовлетворяют уравнению (25') или (25) кривой.
Таким образом, кривая, представляемая уравнением (25),
распадается на пару прямых, проходящих через начало координат
по новой системе, иначе — через точку Ж(дг0, у0) по прежней.
Если kx и k2 действительны, то и прямые, на которые
распадается кривая, действительны. Если же kx и k2 мнимы, то на
плоскости нет ни одной, кроме нового начала координат (0, 0),
действительной точки, координаты которой удовлетворяли бы
уравнению (25). Мы будем говорить, что уравнение (25) в этом
случае представляет пару мнимых прямых.
Если в выражение (20) для ?83 вставим вместо х0 и у0 их
значения (2Г) и приравняем полученное выражение нулю, то
будем иметь соотношение между коэффициентами
первоначального уравнения кривой [(12) § 2] — соотношение, которое
является условием распадения кривой второго
порядка на пару прямых.
Примером приближения кривой второго порядка к
распадению на пару пересекающихся прямых может
служить гипербола, когда её полуоси пропорционально умень-
самом деле, пусть полуоси гиперболы бу-
шаются до нуля. В
дут аі и Ы% где а и b —
постоянные величины, а / — мно-.
житель, уменьшающийся до
нуля. В таком случае,
уравнение гиперболы есть
(в/)»
или
Черт. 80.
При различных значениях / она
представляет ряд гипербол,
с общими асимптотами (черт. 80). При 1=0 уравнение
обращается в уравнение пары прямых
л!
0,
именно общих асимптот этих гипербол.
2. Если центр кривой неопределённый, то, взяв какую-нибудь
точку (xQ, yQ) на прямой, представляемой уравнением
апх + а12у-\-а1В = 0}
140

МнениеР коивой ТЛ° ДГИнат в ЭТУ ™«У. " Данное
вил 72оТ тТ ?,J( 2) § 2] П°СЛе образования примет
Центра ' КР°Ме Т0Г0' В Случае ^определённости
или
или
^1^22 —«12= °>
то уравнение (22) можно написать в виде
Ъі**+*УЪіУь*ху +ва2У+ *88 = 0,
Левая часть этого уравнения распадается на два множителя:
О^+К^Н-К3^ (26)
Рассуждая по предыдущему, заключаем, что и в этом случае
т. е. в случае неопределённости центра, кривая распадается
на пару прямых
V*nx + Va^y + У — Ьгг = 0, (27)
У*\\х-\-У<ЧиУ—У — ьх
'аз
0.
(28)
а так как угловые коэффициенты этих прямых {—Уа^ : Уа~Л
одинаковы, — на пару параллельных прямых (черт. 81). Здесь
нужно различать три случая:
1) когда ?33 < 0, или 2) когда
6зз>0, или 3) когда Ьвь = О,
В первом случае V—#S3
представляет собой действительную
величину, и обе прямые
действительны. Во втором случае
У — ^зз "="" мнимая величина, и мы
будем говорить, что уравнения
(27) и (28) .представляют мнимые
прямые, а уравнение (22) или (12)
при этих условиях — пару мнимых Черт. 81.
параллельных прямых. Наконец,
в третьем случае обе прямые (27) и (28) сливаются в одну —
уравнение (26)-, или (25), или (12) при этих условиях
представляет пару слившихся прямых.
141

Van и ^a22 можно считать действительными, ибо из
условия аіха22 — а212=0 следует, что апап — а\2, т. е. что числа
ап и ап, произведение которых равно квадрату
(положительному числу), имеют одинаковые знаки, и можно всегда считать
их положительными — иначе можно
было бы переменить знаки всех
членов уравнения (11) или (12).
Примером приближения кривой
второго порядка к распадению на
пару параллельных прямых может
служить гипербола, когда её
действительная ось 2а сохраняет по-
Черт. 82.
Черт. 83.
стоянную величину, а мнимая 2д безгранично увеличивается
(черт. 82), или эллипс, когда его малая ось остаётся
постоянной, а большая безгранично увеличивается (черт. 83).
§ 6. Главные оси кривой второго порядка.
Положим, что перенесение начала координат в центр
кривой совершено, и уравнение её приведено к виду
апх* -{- 2апху + а22у2 + *зз = °- (22)
Будем предполагать, что первоначальное уравнение было
отнесено кпрямоугольной системе координат. Повернём
теперь оси координат, оставляя их прямоугольными, на
некоторый угол а, величиной которого распорядимся после. Применяем
соответствующие формулы преобразования [(3), стр. 127];
х | х cos а—у sin a и y\xsina -\-y cos a.
Пользуемся опять, вместо знака равенства, знаком замены,
чтобы не вводить новых обозначений текущих координат.
Уравнение (22) после поворота осей принимает вид
а1х (х cos a —у sin a)2 -f- 2an (x cos a —у sin a) {x sin a -\-y cos a) +
+ a22 (* sin a ~\-y cos a)2 + bu = 0,
142

или, по раскрытии скобок и приведении,
Ьпх* + Щ*ху -f b22f + Ъ%г = О,
где
ь\\ = ап cos2 я + 2я]2 sin a cos а -j- а22 sin2 а,
ъ\г = (а22 — яп)sin ^ cos а -f а12 (cos2 а — sin2 а)„
b22 = ап sin2 а — 2а12 sin а cos а + я22 cos2 а.
Выберем угол поворота а так, чтобы
^і2 = (а22 — ап)sin a cos а + #і2 (cos2 а —sin2 а) = 0Г
или
fl22~gu sin 2а + ala cos2 2а = О,
откуда
tg2a= 2ап . (29)
Таким образом, угол а имеет определённую величину, если
только ап не равно а22 и одновременно а12 не равно нулю.
В этом последнем случае мы имели бы окружность (гл. III, § 1),
и уравнение её
*іі(*8+.У*) + *3в = 0
при всяком повороте, т. е. при всяком а, сохраняло бы свой
вид:
^11 = аХ1 = Л22 = ^22> *12 = °-
Но если
аіхФагг и #12 т^ °»
то существует определённый поворот осей координат, после
которого уравнение кривой принимает вид
*11*Я + *«У + *88-=0. (301
Так как текущие координаты входят в это уравнение в
квадратах, го кривая расположена симметрично относительно новых,
осей. Новые оси будут осями симметрии — главными
осями кривой второго порядка.
Уравнение (30) можно представить в таком виде, в каком
мы изучали уравнения эллипса и гиперболы (гл. IV). А именно
*п*+ *«*• = -'.. или ^ + ^1=1,
143.

или, наконец,
_*§? Ёзз
Здесь возможно различать три случая: 1) знаменатели —^ и
—?із оба положительны, 2) один знаменатель, например пер-
t>22
вый," положителен, другой отрицателен и 3) оба знаменателя
отрицательны. Можно положить в первом случае
Ь* — „2 Ъ* — гл.
аво втором
ЬП $22 L *11 ' *22 J
в третьем
Ью „2 *!В —Л2
Таким образом, мы получаем три типа центральных кривых,
из которых два мы уже изучали под именем эллипса и
гиперболы:
3) — -* — -Й = 1, или *?+? = — 1.
Последнее уравнение не может быть удовлетворено
никакими действительными значениями текущих координат, ибо
сумма квадратов действительных чисел — сумма положительных
чисел — не может равняться отрицательному числу. Мы будем
говорить, что это уравнение представляет мнимую кривую
второго порядка.
Пример. Исследовать уравнение кривой второго порядка
34дг2 _ 24ду/ -f- 41у» — 84л: — 338у -f 721 = 0.
Решение. Напишем уравнение, выделив множит ?ль 2 в
коэффициентах при ху и при первых степенях:
34*2 — 2.12jey-f-41y2 —2-42* — 2-169у + 721 = 0.
а) Тип кривой:
«11*22 —«13= 34*41 —122 > 0-
Следовательно, рассматриваемая кривая —эллипс.
Д44

b) Центр кривой и перенесение начала
координат в центр. Формулы преобразования:
*|* + *0, у\у+у0\
М(х + Хо)2~2-Ю(х + хо)(У+Уо) + М(У+У0)*-2.42(х+х0)--
-2-Ж(у+у0) + 72\=0;
34*2-2.12ху + 41у* + 2 (34*0-12>0-42) х + 2 (—12лг0 + 41^-169)^ +
+ (34*2 _ 24 ^о + 41у2 _ Mxq _ 33S^o + 721) = о.
Полагая
34а-й — 12yQ — 42 — 0 и — 12лг0+ 41ув—169 = 0,
находим:
Уравнение кривой принимает вид:
34*2 _ 2.12ху + 4Гу2 _ 250 = 0.
c) Отыскание главных осей. Преобразовываем
полученное уравнение кривой, поворачивая оси на некоторый угол а:
* | * cos а —у sin а, у \ х sin а +_у cos а;
34 (* cos а — у sin а)2 — 2 • 12 (* COS а — у sin а) (* sin ct +_у cos а) +
+ 41 (* sin а -f-_y cos а)2 — 250 = 0,
или
(34 cos2 а — 2' 12 cos а sin а -\- 41 sin2 а) *2 +
+ 2 [7 sin а cos а — 12 (cos2 а — sin3 а)] ху +
+(34 sin2 а + 2-12 sin а cos а + 41 cos2 а)>2 + 250 = 0.
Если новые оси координат являются главными осями эллипса, то
7sinacoso — 12(cos2a — sin2a) = 0 или 12 tg2 a 4- 7 tg a — 12 = 0.
Решая это уравнение, находим угловые коэффициенты главных осей:
— 7ньУ*49 + 576 — 7Н-25 L 3 . 4
tgo= 24 ™ 24 ' ^аі==Т' ^а2 = —J-
3
Если tg а = -т- > то
3 4
sin а = — и cos а = —.
о о
После подстановки этих значений синуса и косинуса в преобразованное
уравнение получим:
или
25*2+50^2 = 250
и, наконец,
*2 v3
— Д--?-=1
10^5 Д'
10 Курс высшей математики *4э

Полуоси эллипса __ __
6=1^10 яг 3,1, *=Уг5а=2|2.
Зная положение центра, угловые коэффициенты главных осей и
величины их, можно легко построить этот эллипс.
§ 7. Сопряжённые диаметры кривой второго порядка.
Если бы мы изменили направления осей, не оставляя их
прямоугольными, то пришлось бы применить формулы
преобразования [(2), стр. 126)]:
д: [ jc cos а -(-З7 cos Р» .У і л: sin а-|-.У sin [5.
Уравнение кривой после замены текущих координат этими их
выражениями примет вид
ап (х cos а -\-у cos ($)2 -(- 2а12 {х cos а -\-у cos ?) (дг sin а-\-у sin 0) -f-
+ Чг іх sin а+У sin 0)2 + *вз — °
или
где
^11 = #11 COs2 Я 4" 2Л12 COS а Sin Л -|- ^22 S1I]2 а»
^(2 = ап cos а cos р -|- я12 (cos а sin fi -j- cos P sin а) + an sin a sin [J,
^22 = an cos2 P'"b ^ai2cos P sin p —[— a22 sin2p.
Распоряжаясь двумя величинами аир, можно выбрать одну
из них произвольно, а другую определить так, чтобы 3'12 = 0У
т. е. чтобы
ап cos a cos P4~ai2 (cos a sin (l-[-cos[i sin a)-f-a22 sin a sin ($ = 0. (31)
Обозначая угловой коэффициент tga новой оси абсцисс
относительно первоначальной системы через k, а угловой
коэффициент новой оси ординат — через kv будем иметь из
предыдущего соотношения, после деления всех его членов на
произведение косинусов (cosa-cosfl):
аХ1-\~аХ2 (*+*і) + «22**1 = О* (ЗГ)
При таком выборе новых осей уравнение кривой примет вид
*ц** + *^2 + *8в = 0. (32)
Так как текущие координаты входят в это уравнение в
квадратах, то точки Р(хи ух)9 Я{х19—ух)у R( — xv уг) (черт. 84
и 85) одновременно ле'жат на кривой, т. е. если одна из них
лежит на кривой, то на той же кривой лежат и другие. Хорда
146

PQ параллельна оси ординат и делится, как следует из по»
строения этих точек, осью абсцисс пополам: РгР= QPU Точна
так же хорда PR параллельна оси абсцисс и делится пополам
осью ординат. При перемещении точки Р по кривой хорды PQ
и PR будут перемещаться параллельно соответственным осям
координат. Начало координат служит центром кривой, а оси
Черт. 84* Черт. 85.
координат, стало быть, являются диаметрами. Диаметры
называется сопряжёнными, если они обладают вышеуказанным,
свойством, т. е. каждый из двух сопряжённых диаметров
делит хорды, параллельные другому, пополам.
Касательные к кривой в концах одного из сопряжённых
диаметров параллельны другому. Чтобы убедиться в этом, стоит
только касательную рассматривать как предельное положение
параллельно перемещающейся хорды.
Угол а, иначе угловой коэффициент & = tga, мы выбрали
совершенно произвольно; угол [S и, вместе с ним, угловой
коэффициент сопряжённого диаметра, определяется из
уравнения (31) или (ЗГ). Кривая второго порядка имеет бесчислен;
ное множество пар сопряжённых диаметров. Главные оси по
самому их определению суть тоже сопряженные диаметры,
и обратно — если сопряжённые диаметры в то же время и
перпендикулярны, то они будут главными осями кривой. Для
окружности каждый диаметр будет и главной осью.
Уравнение (32) можно представить в виде, подобном
простейшим видам уравнений эллипса и гиперболы:
г г &л-[Х2 . ЬъоУ2
откуда
_± L-Z =1#
__ ?33. _- *83_
Ю* 147

Смотря по знаку знаменателей — -fr и — тг > обозначая их
через ±а' и ±*', получим следующие три типа этого
уравнения:
х2 у2
3) ^5 + р2 = — *•
2а' и 2?' будут величинами сопряжённых диаметров в случае
1) эллипса и в случае 2) гиперболы. В случае 3) мы имеем
мнимую кривую.
Если направления двух сопряжённых диаметров одинаковы,
т. е. если их угловые коэффициенты равны (k = kr), то
уравнение (ЗГ), связывающее угловые коэффициенты сопряжённых
диаметров, обращается в уравнение (15), определяющее
направление асимптот; диаметры совпадают с асимптотами кривой;
•свойство, определяющее сопряжённые диаметры, нельзя в этом
случае понимать буквально, так .как хорды, параллельные асим-
ятоте, будут бесконечно велики.
Задача. Эллипс есть проекция окружности (гл. IV, § 3). Доказать
геометрически, что два каких угодно перпендикулярных диаметра
-окружности проектируются сопряжёнными диаметрами эллипса.
§ 8. Преобразование уравнения кривой с центром
в бесконечности.
Если центр кривой второго порядка лежит в бесконечности,
т, е. если дискриминант старших членов уравнения
апх2 + 2а12ху+а22у* + 2а1?х + 2а2гу-\-а2В==0 (12)
равен нулю:
Лп*м — я?2=°> (33)
то перенесение начала координат в центр кривой невозможно.
Б этом случае уравнение (12), после преобразований, приводится
к виду, отличному от канонического вида уравнений централь-
пых кривых.
Предположим, что в данном уравнении кривой
Изменяем направление осей по формулам (2) [стр. 126]:
x\xQosa-\-ycos§, и j/|*sina-K}/sinp.
148

Уравнение кривой, после подстановки, примет вид
ап {х cos а -\-у cos Р)2 + 2а12 (х cos а -\-у cos Р) (* sin a +^ sin р) -f -
+ ^22 (* sin а +.У sin Р)2 + 2а13 (л cos а -j-j/ cos р) +
+ 2а2з (¦*s^ а+.У sin Р) + азз = О
или
Ь[,х* + 2*^ + ^2 + 2 V + 2 V + «з,= 0.
где
*п = ап cos2 а + 2л12 cos а sin а -(- а2_ sin2 а,
*12==а11 C0S aC0S ? + а12 (C0S а Sin Р + C0S Р S{tl fl) + Л22 Sia а Sin Р»
А^ = ап cos2 р -(- 2йі2cos Р sin р -j- а22 sin2 р,
А = ^ 3 cos а -j- а23 sin а,
*23 = ^3 COS Р + «28 sin P-
Но, по условию,
Лпа22 ~ аі2= 0> или а12 = Van • Va%v
Следовательно,
Ьп = ап cos2 а + 2 J/ «і t" J//#22cos я sin a -f- tf22 sin2*a,
?12 = a__ cos a cos p -f- V~<hi * K«22 (cos a sin P -[— cos ^ sin a) -f-
Ц-a22 sin a sin p,.
b22 = <*n cos2 p +2 /^ Уа 22 cos P sin P -J- a22 sin2 p,
или
?u = (/^cosa + V^sina)2, ^ ^ (34)
*i2 = (K*u cos a + V^sina) (K^n cos p -f- Va22sin P). (35
4 = (j/~^ cos p + K^sin p)2. (36)
Выберем направление новой оси абсцисс так, чтобы
п cos а -{- \Г<*гъsin a = 0,
т. е. чтобы
sin а _ . ТЛз^ _____ Т^і-Удц __a _ f____ /37)
cos а у д_2 V a^rY^n ai2 ая
При этом выборе-оси абсцисс не только ^_ = 0, но и b'12 — Qt
и уравнение кривой принимает вид
Ь'пУ* + 2*іа* + 2*> + «зз = 0- (38>-
Мы предполагаем, что центр кривой в бесконечности, но-
определённый. Следовательно, числители выражений для х0> у0,
[(2Г), стр. 137] не равны нулю, не равен поэтому нулю и ко-
149

эффициент b[p в самом деле,
tgo = -JS, (37')
следовательно,
и потому
*із = «і8cos a + ^2з sin a = ?ЦД« "" fliaggjL . (39)
К «12+%
Но выражение a23ai2—я18я22 является числителем в выражении
для х0 {(2 Г), стр. 137]. Следовательно, b'is=?0.
Точно так же и коэффициент Ъ%п не может равняться нулю,
хотя он и зависит от угла [і (36), величиной которого можно
распоряжаться. Действительно, коэффициент ^зависит от угла
Р совершенно так же, как коэффициент Ь'іг от угла а, но
углы а и Р должны быть различны, так как оси координат
ле могут сливаться в одну прямую, и потому если b'n = 0t
то Ь\2 Ф 0* Таким образом, в уравнении (38) остаётся один
коэффициент #23, который можно обратить в нуль, подобрав
соответственно угол \\
ь\г = aiscos Р + «23 sin % = О,
откуда
*вр=—Й- (40)
После такого выбора углов аир уравнение кривой принимает
вид
*и^ + Ч*«+ *» = <>. (41)
Давая различные значения дг, мы будем получать для у два
значения, равные по абсолютной величине, но
противоположные по знаку. Это значит, что хорды кривой, параллельные
оси ординат, делятся осью абсцисс пополам. Таким образом,
¦если уравнение кривой с центром в бесконечности (апап —
— аі2 —0) имеет уравнение вида (41), то ось абсцисс можно
назвать диаметром кривой, так как эта ось делит ряд
параллельных хорд пополам, а ось ординат имеет направление
хорд, сопряжённых этому диаметру, т. е. хорд, которые
делятся этим диаметром пополам.
Величина угла а, как видно из формулы (37), зависит только
от коэффициентов старших членов, а величина угла [J, как
J 50

видно из формулы (40),—от коэффициентов при первых
степенях текущих координат в преобразовываемом уравнении
кривой.
Если предварительно перевести начало координат в какую-
нибудь точку М{х\ У), то старшие члены в преобразованном
уравнении сохраняются в прежнем виде, а изменяются только
коэффициенты остальных членов уравнения:
*п*2 + 2«і2*У + «22У + 2«1з* + 2«2> + азв = °> (42>
где
«1з = «и*' + «і2У + «і8>
«23 = аПХ' + «22 У + «28> (43)
4j = вц*'Я + 20, ^У + «22У2 + 2«13*' +2«2вУ + «38-
Изменяя после этого по предыдущему направления осей и
выбирая их соответствующим образом, мы приведём уравнение (42)
к такому же виду, как и раньше (41):
где
*^ + 2*^ + <& = °. (44)
Кг = Чъ cos а+«23 sin a* <45)
При этом для tga, определяющего новое направление оси
абсцисс, мы получим ту же величину, что и раньше, а для tg p,
определяющего направление новой оси ординат и в то же
время направление сопряжённых хорд, иное выражение,
зависящее от координат нового начала М(х\ у'):
tga = — ***= — ИЗ,
ал-> апх' + ау> у' 4- а»
tgB = г= . (40')
«23 *&*'+*&?+Ъ»
Таким образом, все диаметры кривой при условии (33)
параллельны, и каждый из них сопряжён хордам своего особого
направления: через каждую точку плоскости М{х\ у1) проходит
один диаметр, а формулой (40') определяется направление
сопряжённых хорд, тг е. тех хорд, которые этим диаметром
делятся пополам.
Подобрав соответственно новое начало координат М [х\ У),
мы можем обратить свободный член уравнения кривой (44)
в нуль:
«зз = *іі*'2 + 2«И2*У + «22У2 + 2«із*' + 2Д*У + агг = °-
151

Для этого нужно только, чтобы точка М{х\ ут) лежала на
параболе. При этом коэффициенты Ь"п и b\v по
вышеизложенным основаниям, не могут обратиться в нуль. Уравнение
кривой при таком положении начала координат примет вид;
или
у2 = 2р'х, (46)
где
*:
Ъ
22
Начало координат теперь лежит на кривой, ибо координаты
(0,0) удовлетворяют уравнению (46), а ось ординат касается
кривой, ибо при х = 0 для у
получаем два равных значения:
Уі=У2 = ° (чеРт* 86)*
Уравнение (46) имеет вид урав-
* нения параболы, определённой
как геометрическое место точек,
одинаково удалённых от фокуса
и директрисы (гл. IV, § 12), с тем
„гх-», ТГ^Т. различием, что оси координат не-
' обязательно перпендикулярны.
Черт. 86. Но возможно преобразовать
оси координат так, что
уравнение рассматриваемой кривой будет иметь такой же вид:
и новые оси будут заведомо прямоугольными, и, таким
образом, убедиться, что кривая второго порядка с центром в
бесконечности-есть действительно парабола, изученная нами раньше
как геометрическое место точек, одинаково удалённых от
фокуса и директрисы. В самом деле, как следует из формулы
(40'), tg|3 может принимать любое значение в зависимости от
положения точки М(х'} у'). Полагая
где k — данное наперёд число, мы получим из формулы (40')
уравнение, относительно начальной системы координат,
геометрического места точек М, делящих хорды данного
направления k пополам, т, е. уравнение диаметра, принятого за новую
ось абсцисс;
152

Если мы потребуем, чтобы ось ординат была
перпендикулярна к оси абсцисс, иначе — чтобы параллельные хорды были
перпендикулярны к своему сопряжённому диаметру, то угловой
коэффициент хорд k должен быть обратен по величине и знаку
угловому коэффициенту диаметра, т. е., как следует из
формулы (37),
При таком- выборе ft = tgp, уравнение кривой, сохраняя
требуемый вид
у* = 2рх9 (50>
будет отнесено к прямоугольной системе координат. Начало
координат будет вершиной параболы, ось абсцисс—осью-
параболы, а ось ординат — касательной к вершине.
Чтобы фактически выполнить преобразование первоначально
данного уравнения (12) и привести его к виду (50), нужно
определить прежде всего координаты вершины параболы, которая
должна быть принята за новое начало, потом направление
диаметров параболы, которое определяется формулой (37).
Координаты вершины должны удовлетворять, во-первых,
уравнению диаметра (48), где под k нужно разуметь его значение-
(49), определённое из условия перпендикулярности диаметра*
с сопряжёнными хордами, во-вторых, — уравнению кривой (12)„
Эти два уравнения, из которых уравнение кривой (12) — второй:
степени, в силу условия $3) могут быть сведены к системе двух,
уравнений первой степени. Действительно, уравнение (12) в силу
условия (33) можно представить в следующем виде:
іУТххх + /ъ2у)г + 2апх + 2апу + а^ = 0, (12')
а уравнение диаметра (48), принимая во внимание, что k=~~^
и #и#22 —а?2»— в виде
«и*+w+«і.+2 • іг {а»х+«и л+SJ • <••=о,
или
или, наконец,

Из уравнений (12) и (48") следует, что координаты искомой
вершины должны удовлетворять также уравнению
Система уравнений (48") и (51) и определяет единственные
и конечные значения для -координат вершины х\ у' в
первоначальной системе.
После перенесения начала в найденную вершину (х'у у')
и поворота осей на угол а, синус и косинус которого
определяются формулами (37"), мы приведём уравнение параболы
к желаемому виду. Параметр её определяется формулой (47),
причём в выражении для Ь"22 нужно положить р = а —{—g" > a ^iV
в силу условия (33), оказывается равным д1В (39).
Зная положение вершины параболы, направление оси её
«•параметр, мы можем и построить её.
Задача 1. Показать, что
.' ь" fl13#22 — g22g23 #13^22 — al2a2Z _
Задана 2. Показать, исходя из формул (36) и (37"), что
*22=(«u + e»)sina©f
где
to = р — а.
Задача 3, Показать, что
, a12g23 — g18g22
// ^ •
У^22 (ЯД + g*>3)2 ' Sifl2 О)
И
/>=
g12g23 — g13g22
3
*
V"а22 {ап -f Дзз) 2
Пример. Определить тип кривой, данной относительно
прямоугольной системы координат уравнением
16*2 + 24ху + 9у» - 74* + 132 у -f 334 = О,
и привести его к простейшему (каноническому) виду»
Решение, а) Тип кривой;
gng22 — й^2=:16.9 — 122 =0.
Кривая имеет центр в бесконечносги и является, таким образом,
параболой.
154

b) Направление главной оси;
S 022 9 3
c) Координаты вершины параболы. Составляем
уравнение диаметра, сопряжённого хордам направления k:
апх + апу -f л13 + А (а*лх + а22у + я23) = 0;
при данных значениях коэффициентов:
16х+\2у — 37 + ?{12*-f 9у + 66) = 0#
1 3
Полагая k =— -— = -j , получим уравнение оси параболы:
16* + Пу — 37 +-| (12лг + Ь + 66) = О
или
4^ + 3^ + 2 = 0.
Координаты искомой вершины удовлетворяют полученному
уравнению оси и уравнению параболы, которое можно представить а виде
(4л- + byf — 74л: + 132у + 334 = 0.
Система этих двух уравнений равносильна системе
4*+ 3^ + 2 = 0,
(- 2)2 — 74* 4-132^-т- 334 = 0,
или системе уравнений
4д: + 3^ + 2=±=0,
— 37лг -f- ббу + 169 = 0;
отсюда
х=1, > = -2.
d) Перенесение начала координат в вершину параболы:
x\x+h У\у-Ъ
16(х + 1)« + 24(* + 1)(^ —2) + 9(у —2)»-74<*+1)+.
4-132^ —2)+ 334 = О,
16*2 4- 24ху + 9j>2 — 90дг +120у = 0.
e) Поворот осей на угол а:
х \ х cos а —у sin а, у \ х sin а +J> cos а.
4 4 3 .
Так как tga=— -*-, то sina = — -g- « cosa=-g-f и формулы
преобразования принимают вид
3x + 4j/ I — 4*j-3y

Подставляя, приведём уравнение кривой к виду.
-90-^ + ^4- 120. ~ ^ + 3-У =0;
О О
отсюда
625J/3—3750.v = 0, или у* = 6х.
Параметр параболы /> = 3.
§ 9. Инварианты кривых второго порядка.
В предыдущих параграфах были даны общие способы
приведения уравнений кривых второго порядка к простейшему виду.
Такое получение простейших уравнений кривых требовало
выполнения преобразования координат и сопровождалось большим
числом вычислительных операций. Эти вычисления давали
возможность не только получить простейшие формы уравнений
кривых, но и определить расположение кривой относительно
первоначальной системы координатных осей. Но часто простейшие
уравнения кривой находят лишь дли определения вида кривой,
независимо от её расположения на плоскости. Эту задачу можно
решить, избегнув фактического выполнения преобразования
координат, путём непосредственного вычисления коэффициентов
канонического уравнения по коэффициентам первоначального.
Ограничимся рассмотрением случая, когда кривая отнесена к
прямоугольной системе координат, чего всегда можно достигнуть
поворотом одной из осей.
Для получения канонического уравнения кривой, как мы
видели, необходимо последовательно выполнить два
преобразования: 1) перенос начала в некоторую точку с координатами
t*o» -Vo) без изменения направления осей; 2) поворот осей на
некоторый угол а.
После выполнения этих преобразований уравнение кривой
примет новую форму, причём коэффициенты нового уравнения
будут выражаться через коэффициенты первоначального и через
параметры преобразований лг0, у0 и а. Так как
уравнение кривой второго порядка содержит шесть коэффициентов,
то мы будем иметь шесть соотношений между старыми и
новыми коэффициентами. Эти. соотношения будут содержать
параметры х0, у0 и а, характеризующие выполненное
преобразование координат. Если из этих шести соотношений исключить три
параметра х0і yQ и а, то получим три соотношения между
старыми и новыми коэффициентами, не содержащие этих
параметров и, следовательно, имеющие место при любом преобразовании
156

координат. Эти соотношения и дают возможность находить
коэффициенты канонических уравнений кривых без
фактического выполнения преобразования координат. Для получения
этих соотношений рассмотрим сначала первое преобразование
координат — перенос начала в точку (лг0, yQ).
Если первоначальное уравнение кривой дано в виде
апх2 + %апху 4-ОэдУ + 2а1?х + 2а2Ву + а33 =0, (1)
то после переноса начала преобразованное уравнение будет иметь
вид
*n*' + 2ftlsr^ + ftMy + 2bnx + 2b23y + *з3 = 0, (2)
где
*11 — alU *12 = aX2^ ^22 = a22» (3)
^23 = ^21*0 ~Г «22 Уо "Г «23) J
^33 = «11*0 + 2«12*оЛ + «22-Уо + 2«1S*0 + 2a2S^+ «33- (5)
Соотношения (3) не содержат параметров х0, у0 и,
следовательно, имеют место при любом параллельном перенесении
осей.
Исключив х0, у0 из равенств (4) и (5), получим ещё одно
такое соотношение.
Преобразуем предварительно равенство (5).
Его можно представить в виде
^33 = ^0 («11*0 + апУо + «is) +Уо (fl2^0 + «22Л + «2з) +
~ГаПХ0~Т~а32Уо "Г «83
и в силу (4)
^83 = *ЗЛ + ЬмУо + «81*0 + «82-Уо 4* «38*
или
«31*0 + «32 Л + а33 — — *81*0 — ^82-Уо + ^33' (6)
Из равенств (4) находим:
„ ^13«22 — ^23д21 «13«22 ~ «23g21
ЛдДо2 ""*~ ^12 gllg22 ~~ «12
„ ^23д11 — ^13^12 °23«1Х~ «13^12 .
^у0 5 " 2 ' J
а11а22 — Д12 яп«22 ~" «12* ^
Подставим эти выражения в равенство (6). Произведя эту
подстановку, освободим полученное равенство от знаменателя
и кроме того в правой части равенства заменим величины ап,
д12, аи соответственно через Ь1Ь Ьп> Ьгг [что возможно в силу (3)].
157

В результате после приведения подобных членов получим
равенство:
#31 (#12#23 — #13#22) + Д32 (#13#21 — ЛИа2з) + #38 (#11#22 ~ #12) =
= *81 (*12*28 — *13^22) + ^82 (*18*12 — *11*2в) +
+ *8в(*11*И —*12)« (7>
Чтобы легче запомнить состав каждой части этого равенства,
напишем таблицу:
а
•и
а
12
а
18
а
а
21
31
а
'22
а
'28
а
'32
а
38
(8)
Для получения из неё левой части равенства (7) припишем
к ней снизу две её первые строки и затем возьмём
произведения трёх элементов, стоящих в косых рядах, как указано на
рисунке, причём в^трёх косых рядах, идущих слева направо
вниз, эти произведения берём со знаком -{-, в трёх других косых
рядах берём эти произведения со знаком —. В результате
получим в точности левую часть (7). Таблица (8), вычисляемая по
\ /
а
іі
\
\ \
а12 #13
/
/ /
а
21
а
22
а
\
23
/
а
81
#32 #33
а
/
іі
а,
#1
43
а,
/
21
12
/ \ \
/ \ ^
#22 #f
"23
\
Ч:
указанному правилу, носит название детерминанта третьего
порядка, а правило его вычисления — правилом Саррюса.
Равенство (7) может быть, следовательно, написано в форме
а
и
#12 а13
#21 #22 #28
а
31
#32 #33
*11 *1!
'21
'31
22
*32
'13
323
733
(9)
158

Равенства (3) и (9) и представляют собой соотношения между
коэффициентами первоначального и преобразованного уравнения.
Они имеют место при любом параллельном перенесении осей.
Никаких других соотношений, которые не являлись бы
следствием равенств (3) и (9), между старыми и новыми
коэффициентами существовать не может. Действительно, эти соотношения
должны получаться в результате исключения двух параметров.
лг0, у0 из шести равенств (3), (4) и (5). Следовательно, таких
соотношений, независимых между собою, должно быть не
более четырёх. Равенства (3) и (9) и составляют эти четыре
искомые соотношения. Эти равенства симметричны относительна
старых и новых коэффициентов. Поэтому они позволяют
утверждать, что величины
а
а
ID «*12» "IS
а<
и
іі
21
31
12
22
за
«13
й23
(10)
не изменяются при любом параллельном перенесении осей.
Принято говорить, что они являются инвариантными по отношению
к параллельному перенесению осей или что они являются
инвариантами такого перенесения.
Постараемся теперь найти такие выражения, составленные
из коэффициентов уравнения кривой, которые не изменялись-
бы при повороте всей системы координат на любой угол, т.е.
которые являлись бы инвариантами при повороте осей.
Предварительно заметим, что нашей конечной целью является нахождение
инвариантов самого общего преобразования координат. А потому
из инвариантов поворота осей нас должны интересовать лишь те,
которые являются и инвариантами параллельного перенесения
осей, т. е. которые или совпадают с некоторыми из величин (10),
или являются их комбинациями. Всего мы должны найти, как
было указано в"начале параграфа, три таких инварианта.
После поворота системы осей координат на угол а
преобразованное уравнение кривой примет вид
где
Ьпх* + 2Ьпху + Ъ22у* + 2Ьпх + 2Ьпу + *зз = О,
Ьп = ап cos2 а + 2а12 sin a cos a -{- й22 sin2 a,
Ь12 = (а22 — ап) sin a cos а -\- а12 (cos2 а — sin2 а),
Ь22 = ап sin2 а — 2а12 sin а cos а + а22 cos2 а,
Ь1? = а13 cos a -f- a2B sin а,
Ь2Ъ = — ап sin а + а2? cos а,
^88 == а33'
(11)
159

Проверим, какие из инвариантов параллельного перенесения
являются также инвариантами вращения системы координат.
Величины ап, я12, я22, очевидно, не являются инвариантами
вращения, так как, вообще говоря,
ьпФаіь ь\ъФа\ъ Ьггфа
22*
Возьмём четвёртый из инвариантов (10), составим
соответствующее выражение для преобразованного уравнения:
'и
'21
12
'22
'23
"31 "32 "S3
Подставив сюда вместо Ъік их выражения (11) через
первоначальные коэффициенты и произведя упрощения, получим:
*
'п
'21
31
12
'22
'13
'23
'38
й11а22й83 a\%ay& ~Г ^12^23^13
2 'I 2 _—
й23аН "Т" ^13^12^23 а%Ьа\2
д,з а
21
'81
12
22
32
13
23
83
Отсюда следует, что четвёртый из инвариантов
параллельного перенесения осей является также инвариантом вращения.
Остаётся найти ещё два инварианта вращения и притом такие,
которые являлись бы комбинациями величин (10). Складывая
первое и третье из равенств (11), находим:
*11 4" *22 = ЛП +^22'
Следовательно, сумма йп-\~а^г также является искомым
инвариантом.
Наконец, составим дискриминант старших членов
преобразованного уравнения bnb22 — b\T В силу (11) после
упрощений найдём:
Следовательно, дискриминант старших членов уравнения кривой
апа22— а%2 является третьим искомым инвариантом. Из
сказанного выше следует, что три величины
аП+а22> ^11^22 — а12 И
11
а
21
12
22
13
23
а
31
а
32
а
зз
160

являются инвариантами и параллельного переноса осей и
вращения системы координат, т. е. инвариантами самого общего
преобразования координат.
Обозначим их соответственно через 1Ь 1Ъ /3:
/1 = ЛП+в22» h = alla
22
а№ ¦'З
аП аП °18
а2і агг агь
азі аьг а?%
Эти инварианты, очевидно, независимы между собою: /s
содержит а33, не входящее ни в Ih ни в /2; /3 содержит а12, не
входящее в /1? и не содержит а33, входящее в /3.
§ 10. Применение инвариантов к упрощению уравнений
кривых.
Покажем теперь, как можно пользоваться найденными
инвариантами для упрощения уравнения кривой.
а) Случай центральной кривой.
Пусть дана центральная кривая:
апх* + 2апху^\-а22у* + 2апх^2а2Ву + аЗ? = 0, (1)
причём
а11а22 — аи Ф- °-
Это уравнение, как известно (§ 6), можно привести к виду
*іі**+*22.У8 + *м = 0- (2)
Чтобы найти коэффициенты ЪХЪЪ22, #98> вычислим инварианты
h> h* h Для уравнения (1) и для уравнения (2);. их величины
в обоих случаях должны быть одинаковы.
Находя их по уравнению (1), получаем три числа Iv 1^ /3.
Вычисляя их по уравнению (2), найдём:
^11 + ^22 = Л'
*П"22=*2>
= /3, ИЛИ bnf>22t>nz — Is.
*п
0
0
0
^22
0
0
0
bt
88
Из этих трёх равенств найдём все три коэффициента blb bn, bzb.
Пример: Привести к каноническому виду уравнение кривой
5*2 4- Вху + Ьу* — 1 Вх — 1Ву + 9 = 0.
11 Курс высшей математики *"'

Вычислим инварианты:
h == а1\ 4~ а22 — Ю» А = #11#22 — #12 === 9» ^3 =
5 4 — 9
4 5—9
-9 -9 9
= -81;
следовательно, для уравнения (2)
&11+^22=50» ^U&22=9> ^11^22^33 = —81 •
Решая эти уравнения, найдём:
&и—1, *22 = 9» ?зз = — 9.
Искомое канническое уравнение х2 + 9у2 — 9 = 0 или -ц- -f-у2 ~ 1.
Ъ) Случай кривой с центром в бесконечности.
Пусть в уравнении (1) апаг% — а\2 = 0щ
В таком случае уравнение можно привести к виду
*«/ + 2ft18*=0. (3)
Для нахождения коэффициентов #22 и Ьп опять вычисляем
инварианты кривой. Находя их по уравнению (1), опять
получим три числа 1Х, /2) /3, причём /2=0. Вычисляя их же по
уравнению (3), получим:
*22 = Л»
О О 41В
/3, ИЛИ —і ^"la '3
'22
18
0
0
0
^22^13 -*а*
(4)
Из этих равенств найдём Ъгг и ?13.
Пример: Дано уравнение кривой
4х*— 12ху + 9у* -{- 10х -2у — 9 = 0.
Привести его к каноническому виду (3).
Вычисляем инварианты:
А = 13, /2 = о,
4—6 5
h
В силу этого из (4) имеем:
откуда
— 6 9
5 -1
=¦—169,
#22 = ^3,
^, = ±^13, ?22=13.
Искомое каноническое уравнение:
13^ — 2/13^=0
или
162
>2—
У із

§ 11. Заключение.
Главный результат предыдущего исследования уравнения
второй степени с двумя текущими координатами и
преобразования его привёл нас к заключению, что кривая второго
порядка может быть эллипсом, гиперболой, параболой, мнимой
кривой или распадаться на пару прямых — действительных,
мнимых или сливающихся в одну. Мы обнаружили некоторые
о5щие свойства их.
Линии второго порядка суть простейшие кі
алгебраических кривых. Изучение их составляет одну из главных
задач элементарных отделов аналитической геометрии. Линии
третьего и тем более высших порядков имеют более сложную-
теорию. Изучение их составляет специальную задачу высших
отделов аналитической геометрии. Но алгебраическими
кривыми — кривыми различных порядков — не исчерпывается вся
совокупность кривых линий. Кривые неалгебраические
называются трансцендентными. Кривые второго порядка, как было
уже отмечено в начале этой главы, изучались греческими
геометрами, как получающиеся от пересечения кругового конуса
различными плоскостями. Поэтому кривые второго порядка
и называются также коническими сечениями, но, в
сущности, понятие кривой второго порядка шире понятия
конического сечения: нельзя получить в сечении конуса пары
параллельных прямых и мнимой кривой второго порядка»
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Дано уравнение кривой второго порядка относительно
прямоугольной системы координат;
Зх2 — 8ху — >;2 4, 3jc — 4у + 2 — О-
Определить: а) тип кривой, Ь) координаты центра, с) угловые
коэффициенты асимптот, d) угловые коэффициенты главных осей, е) составить
уравнение асимптот, f) преобразовать уравнение кривой, перенеся
начало координат в центр кривой и приняв за оси координат главные
оси её.
Ответы и указания: Ь) дго = тг , .Уо = 0;
с) ?'=r)^f9-4 и #'=—(>/"і9+4);
a) ky = 2 > *2 — 2^— >
е) 2(J/"19 — 4)лг —2j/ + (rT3-4) = 0
2(V\9-t-4)x + 2y + (VM + *)==Q.
И* 163

f) Уравнение кривой после параллельного перенесения осей:
_5^
4
3*2-8*у — д/2-f 4- = °-
cosa =
Угловой коэффициент главной оси;
2 1/10 + 2/5 К 104-2/5
Уравнение относительно осей:
а* &2 — 1>
где
а2 = ^ (2 УТ+ 1) =*= 0.36, Ь*= і (2 /5 - і) = 0,23.
2. Дано уравнение параболы относительно прямоугольной системы
координат:
*2 — 4*у + 4у2 _ 2х + Зу + 1,96 = 0.
Преобразовать это уравнение, приняв за оси координат ось параболы
и касательную в вершине.
Указания и ответы. Координаты вершины *' = 2,8; yf=l.
Угловой коэффициент оси параболы;
A=l=tg«; sina = -^, cosa = —.
Формулы преобразования при параллельном перенесении осей и потом
при повороте осей:
х\х +2,8, у\у+1 и л:
2*-.У * + 2,У
/5 ' ' /Г
Уравнение после параллельного перенесения осей:
Х2 _ 4*у + 4у2 — 0,4* — 0,2у = О,
после поворота осей:
р = У±х.
У 25
3. Определить тип кривой, данной уравнением
4*2 - 20ху + 25у* — 4* + 10у — 3 = 0.
4. Определить тип и найти центр кривой
2*2 — 15^2 — 8=0.
5. Доказать, что кривая
2*2 — бху + 5>з _ 2л-4- 2у - 10= 0
представляет эллипс, и вычислить координаты его центра.
6. Доказать, что уравнение
2*2 + 12лгу — Ту* + 32* — 154у 4- 2 = 0
представляет гиперболу, и определить координаты центра.
№

7. Доказать, что уравнение
*2-f 4*у — 2^2-^20^ — 7 = 0
представляет гиперболу, и вычислить координаты её центра.
8. Определить тип кривой
2*2 + 8ху - 4у2 + \бх + 2у - 5 = 0
и вычислить координаты её центра.
9. Найти оси кривой второго порядка
7л-4 + 4дгу + 4у8 —40^ —32у + 5 = 0.
10. Для эллипса
13*2 _ Qxy _j_ 5^/2 _j_ 32* — ібу— 1 =0
написать уравнения его главных осей.
11. Написать уравнения главных осей эллипса
2х* + 8ху + 17у2 + 18.у — 3 = 0.
12. Написать уравнения главных осей гиперболы
6*2 + ХЪху - 10y2-f Ilk - 55у + 4 = 0.
13. Написать уравнение кривой второго порядка, имеющей прямые
* — Ъу = 17 и 5* -|-j/ = 7
своими главными осями и проходящей через точку (2,— 1).
14. Для эллипса
7*2 _ вху -f 8^2 _ 2х — 5 = 0
написать уравнение диаметра, сопряжённого диаметру,
параллельному оси.
15. Для эллипса
Л-2__ 4ху 4-2y3_5jc + 2y+l=0
вычислить угол между диаметрами, сопряжёнными диаметрам,
параллельным осям координат.
16. Написать уравнение диаметров гиперболы
ЗхЗ + бду--4уЗ —30д:+12у—5=0,
параллельных биссектрисам координатного угла, и диаметров, им
сопряжённых.
17. Определить асимптоты кривой
35*2 - 12ху+у* — 142* + 24j; — 5 = 0.
18. Доказать, что уравнение
64*2 __ 64*y + 15уЗ + 4у + 1 = 0
представляет гиперболу, и написать уравнения её асимйтвТ.
19. Определить асимптоты кривой второго порядка
6*2 - Ьху +- f~ -Ь х ~ 1 = 0.
20. Доказать, что уравнение (*— в){у— Ь)~т представляет
гиперболу, асимптоты которой параллельны осям координат,
165

21. Написать уравнение^гиперболы, имеющей асимптотами прямые
2х~-Зу + 1=0 и Здг— 4у + 2 = 0
и проходящей через точку (1, 2).
22. Найти ось и вершину параболы
3*2 — 2]/"3ху +у* — 4л: - 4/3> + 16 =0
и привести уравнение кривой к каноническому виду.
23. Исследовать кривую
34*2 __ 24ху + 4 ljfl — 84л- — 388^ + 721 = 0.
Определить тип кривой, её центр, главные оси и привести
уравнение кривой к каноническому виду.
24. Показать, что кривая второго порядка вполне определяется
пятью своими точками или пятью своими касательными; далее,
показать, что для определения параболы достаточно четырёх точек или
четырёх касательных.
25. Написать уравнение эллипса
а2-Г#г h
принимая за ось абсцисс его большую ось, а за ось
ординат—касательную в его левой вершине. Пользуясь этим уравнением, показать,
что если безгранично увеличивать оси эллипса, оставляя неизменным
расстояние его фокуса от ближайшей вершины, то в пределе эллипс
обратится в параболу с той же вершиной и тем же фокусом.
26. Доказать, что диаметр, проведённый в точку прикосновения
касательной, делит хорду, параллельную касательной, пополам (стр. 147).
27. Доказать, что отрезки секущей, заключённые между
гиперболой и асимптотами, равны, и вывести отсюда способ построения
скольких угодно точек гиперболы, если даны асимптоты и одна точка
гиперболы.
ГЛАВА VI.
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ,
§ 1. Основная мысль координатного определения положения
точки на плоскости.
При установлении прямоугольной или косоугольной системы
координат мы брали на плоскости ряд параллельных прямых
и положение каждой из этих прямых относительно одной из
них, принятой за начальную (ось абсцисс), определяли числом уу
которое является ординатой каждой точки выделенной прямой.
Таким образом, все параллельные прямые этого рода
занумерованы различными значениями у: каждая прямая имеет
определённую числовую отметку, какозой является соответствую-
166

щее значение у. Такова была исходная точка зрения при
решении задачи определения положения точки на плоскости.
Числом х или абсциссой определялось смещение точки на
выделенной прямой — смещение от начальной точки, лежащей на
оси ординат. Рассматривая одновременно на различных прямых
параллельного ряда точки, имеющие одну и ту же абсциссу,
замечаем, что они лежат на одной прямой, параллельной оси
ординат; а различными значениями абсциссы выделяется ряд
таких прямых, параллельных между собой. Каждая прямая этого
нового ряда имеет определённую числовую отметку, каковой
является соответствующее значение х.
Таким образом, на плоскости мы имеем два ряда
параллельных занумерованных прямых (черт. 87). Через каждую
ь
-
¦-*
н
¦г-,°
~-0 -
12
- Д
г-
34
5
с
- J
— з
2
і
-4--/
* -?
" ~3
1 -4
Черт. 87.
Черт. 88.
точку плоскости проходит по одной прямой из каждого ряда;
числовые отметки х> у этих линий и служат координатами —
прямолинейными — этой точки.
Но можно было бы для решения той же задачи — задачи
определения положения точки на плоскости помощью чисел —
вместо параллельных прямых взять два каких бы то ни было
ряда линий, даже и кривых, обладающих тем свойством, что
через каждую точку плоскости проходит одна линия каждого
ряда (черт. 88). Если линии каждого ряда каким-либо способом
занумерованы, т. е. снабжены числовыми отметками, то каждой
точке плоскости соответствуют две числовые отметки двух
проходящих через неё линий. Эти числовые отметки и будут
координатами—'в общем случае криволинейными — выделенной
точки.
Такова основная мысль установления какой бы то ни было
системы координат на плоскости или даже на какой-либо
поверхности. Любая географическая карта представляет пример
такого координатного определения положения точки. Здесь
имеется два ряда линий: ряд меридианов, занумерованных
167

числовыми отметками, называемыми долготами, и ряд
параллелей, занумерованных числовыми отметками, называемыми
широтами. Широтой и долготой определяется положение
каждого географического пункта взятой карты. Но при этом
следует заметить, что некоторые точки на плоскости могут
занимать исключительное в отношении установленной системы
координат положение. Так, если все линии одного ряда,
устанавливающего систему координат, проходят через одну точку, то
эта точка имеет соответствующую координату неопределённой;
Северный и южный полюры, через которые проходят все
меридианы, имеют неопределённую долготу.
Из криволинейных координат чаще всего пользуются так
называемыми полярными координатами.
§ 2« Полярная система координат.
Для координатного определения точки на плоскости возьмём
ряд концентрических окружностей и ряд их радиусов,
продолженных безгранично, иначе — пучок лучей, выходящих
из общего центра О окружностей
(черт. 89). Каждой окружности можно
приписать числовую отметку г,
выражающую величину её радиуса,
измеренного принятой единицей меры.
Положение каждого луча в пучке,
-^ если выберем один из них Ох за
начальный, можно определить углом
ср — угловым смещением этого луча
от начального. Если установить
положительное направление углового
смещения луча от начального, на-
Черт. 89. пример против движения часовой
стрелки, то каждому углу будет
соответствовать единственный луч пучка. Таким образом, оба
ряда линий — ряд концентрических окружностей и пучок лучей,
исходящих из общего их центра, — теперь занумерованы
соответствующими значениями чисел г и ср. Через каждую точку Р
плоскости проходит одна окружность рассматриваемого ряда
и один луч пучка, если взятая точка не совпадает с общим
центром окружностей. Числовые отметки г и ср этих двух
линий,^ проходящих через точку Р, и называются полярными
координатами этой точки; г называется радиусом-вектором
точки Я, а у —полярным углом или ампштудой её. Общий
центр О окружностей называется полюсом рассматриваемой
168

системы координат, а начальный луч Ох — полярной осью.
Радиус-вектор г означает расстояние точки Р до полюса,
а ср— угол наклона этого радиуса к полярной оси.
При определении положения точки на плоскости достаточно
считать радиус-вектор неотрицательной величиной: 0^г<^сс,
а амплитуду ср —заключённой в интервале от 0 до 2тг,
исключая 2тт, или от —л до тг, исключая одну из этих границ:
П <^ tp <1 ТТ ИЛИ 7Т г< Ш <^ 7Г.
Каждой точке плоскости в таком случае будет
соответствовать одно значение радиуса-вектора г и одно, если точка
не совпадает с полюсом, значение амплитуды <р.
При изучении уравнений, связывающих г и ср, приходится
рассматривать и неограниченные изменения полярных
координат. В таком случае при положительном г каждой точке
плоскости соответствует бесчисленное множество амплитуд,
отличающихся одна от другой на целое число полных оборотов,
т. е. на 2?тг, где к — какое-нибудь целое число. Радиус-вектор,
если он имеет положительную величину, откладывается на
второй стороне полярного угла, отложенного от полярной оси,
если же г—отрицательная величина, то на продолжении этой
стороны — построение, подобное построению линии секанса или»
косеканса в тригонометрии.
Для полюса О радиус-вектор равен нулю,
а амплитуда неопределённа.
Преобразование декартовых координат
в полярные. Примем полярную ось за ось
абсцисс, а перпендикуляр к ней,
восставленный из полюса, —за ось ординат. Можно
составить формулы перехода от декартовых
координат к полярным, и обратно. „ д0
Пусть полярные координаты какой-нибудь р *
точки Р (черт. 90) будут /• и ср, а прямоугольные х и у:
ОР=г, Z.x0P=4'> ОРг — х, РхР=у.
Из прямоугольного треугольника OPtP имеем:
ОР1 = ОР* cos ср и Р1Р=ОР- sin ср.
или
Ar = rcoscp, y=rsir\tf. (1)
Из того же треугольника ОРгР или из формул (1) получаем
и выражения для полярных координат через декартовы:
ор=Уорі + рхр2 и Ш=^ъ

или
Решая последнее уравнение относительно <?, будем иметь:
r = Y'x*-\-y2 и <p = arctg-p-
(2)
Равенства (1) и (2) являются формулами преобразования
полярных координат в прямоугольные, и обратно.
¦Пользуясь этими формулами, можно уравнение, связывающее
полярные координаты, преобразовать в уравнение в прямоуголь-
лых координатах, и обратно. При изучении кривых линий
такой переход от одного вида их уравнений к другому может
оказаться полезным или потому, что таким образом можно
обнаружить общие свойства различных кривых, или потому,
что уравнения одного вида будут проще уравнений другого
вида.
§ 3. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.
Примем фокус эллипса, гиперболы или параболы за полюс
полярной системы координат и ось кривой в направлении
к ближайшей её вершине — за полярную ось. (черт. 91).
Координаты какой-нибудь точки М
рассматриваемой кривой пусть будут г и ср:
FM=r, ?AFM=y.
(3)
Черт. 91.
Пусть DDX — директриса этой кривой.
Отношение расстояний любой точки
эллипса, гиперболы или параболы до фокуса
и до соответствующей директрисы
постоянно и равно эксцентриситету кривой:
= *> или -иъ — е, (4)
MP
¦где е — эксцентриситет кривой, a MP—расстояние точки М
до директрисы — можно выразить через некоторые постоянные
и угол ср. Обозначим через р перпендикуляр FN,
восставленный из фокуса F к полярной оси до встречи с кривой. Так
как точка N лежит на кривой, то и для этой точки имеет
место такое же соотношение, как и для точки М\
NR
= е, или яя = е.
170

Отсюда определяем расстояние М? точки N до директрисы,
иначе — расстояние фокуса до директрисы:
NR = j- или FQ = ?. (5)
Но
MP=MlQ=FQ — FM1=?- — FMu
а из треугольника FMXM имеем:
следовательно,
МР= — — rcos ср. (б)
Таким образом, равенство (4) можно написать в следующем
виде:
г
=е} или г = р— recoscp;
~ — г cos чр
отсюда
r-\-recostp=p, или г (3 -f- e cos ср) = /?,
и, наконец,
' = Т^ • (7)
Уравнение (7) есть полярное уравнение эллипса, еслие<^1,
гиперболы (одной ветви), если е^>1, и параболы, если е=\\
р называется параметром кривой. Параметр р входит и в
уравнение параболы в прямоугольных координатах. Для эллипса
и гиперболы р можно определить, зная оси этих кривых и приняв
во внимание, что декартовы координаты точки N будут сир,
В самом деле, в случае эллипса имеем:
§+Й = 1' или^=4к^ГЗл
Подставляя в это уравнение координаты точки N[ct p)}
получим;
Но а2— с2 = Ь2. Следовательно,
/>=?• еч
В случае гиперболы имеем:
х* -V2_i.
171

Подставляя в это уравнение координаты точки N(c, /?), получим:
p = tV
а- - *•
Но для гиперболы с2 — а2 = Ь2. Следовательно, и для гиперболы
§ 4. Спирали.
Полярные координаты особенно удобны при изучении кривых
линий, называемых спиралями. Уравнения спиралей в полярных
координатах гораздо проще, чем в прямоугольных.
1. Спираль Архимеда описывается точкой,
движущейся равномерно по прямой, которая в свою очередь
равномерно вращается вокруг одной из своих точек.
Принимая эту последнюю за полюс полярной системы координат,
мы заключаем из предыдущего определения, что радиус-вектор
движущейся точки меняется пропорционально амплитуде её,
и, стало быть, уравнение спирали Архимеда в полярных
координатах имеет вид
' = *Р, (9)
где а — постоянный множитель, иначе — фактор
пропорциональности.
Применяя формулы преобразования полярных координат
в декартовы, получим из уравнения (9) более сложное
уравнение архимедовой спирали в прямоугольных координатах:
]/3^+у =arctg^.
Давая в уравнении (9) различные значения амплитуде ср и вычисляя
соответствующие значения радиуса-вектора /•, можно построить
ряд точек архимедовой спирали (черт. 92). Так, для значений
амплитуды
* = °> 7 ' "2 ' *' "2 ' 9п>- * •
будем иметь:
г — П _
4
л й% ак З/zit л
Если брать и отрицательные значения для ср, то получим
и для г отрицательные значения, и, следовательно,'при
построении соответствующих точек спирали пришлось бы откладывать
радиус-вектор на продолжении стороны полярного угла. При
172

увеличении амплитуды ср на 2п радиус-вектор увеличивается,
как следует из уравнения спирали, на постоянную величину 2га!
Поэтому спираль
отмечает на любой
прямой, выходящей из
полюса, одинаковые
между собой отрезки,
равные 2 та.
2. Гиперболическая
спираль определяется
уравнением
/чр = #,
Так как
а
г== —, то
(по мере увеличения
амплитуды tp) радиус-
вектор г безгранично
уменьшается. Кривая,
завёртываясь около
начала координат,
асимптотически
приближается к этой Черт. 92.
точке (черт. 93), т. е.,
безгранично приближаясь, никогда не достигает этой точки.
Кроме того, ордината точки кривойу = г sin ср, а г=— ; поэтому
Но
у = а
sin у
Sins
<Р
О-
Следовательно, у<С^ т. е.
спираль расположена ниже прямой,
Черт. 93. параллельной оси абсцисс и
отстоящей от неё на расстояние,
равное а. Если амплитуда ср, уменьшаясь, стремится к нулю,
то разница между синусом и дугой становится всё меньше
и меньше и ^~ стремится к единице: lim s-^-i = 1 !). Следо-
вательно, спираль приближается к прямой у=а асимптотически.
*) Это равенство будет доказано на стр. 277—278.
173

При отрицательных значениях амплитуды и радиус-вектор
отрицателен: соответствующая ветвь кривой имеет такой же
вид, как и первая ветвь, но расположена симметрично с первой
относительно оси ординат.
3. . Логарифмическая
спираль определяется
уравнением
r=a*t
где а — постоянное п о-
ложительное
число1). Амплитуда <р
является логарифмом радиуса-
вектора при основании а\
ср = \ogar. Если
амплитуда получает ряд
значений, составляющих ариф-
Черт. 94. метическую прогрессию,
то радиус-вектор
принимает ряд значений, составляющих геометрическую прогрессию:
Г 1, Гъ rh Г\, П, ...
Отсюда и следует способ построения скольких угодно точек
спирали. Строим ряд подобных треугольников (черт. 94):
Д ОАВ ел Д ОВСап Д OCD ел. ..
Если
ОЛ= 1 и ОВ = г3
то
OC<=r\ OD = r\...
Если ср принимает отрицательные значения:
— ?і. — Ць — Зь — 4?x,...t
то построение зигзагообразной линии ABCD... нужно
продолжить в сторону начала координат. Полученные величины
радиусов-векторов переносятся на соответствующие направления.
Логарифмическая спираль, так же как и гиперболическая,
приближается к началу координат асимптотически.
Логарифмическая спираль обладает следующим
замечательным свойством. Если увеличить или уменьшить радиусы-векторы
х) Для кривой, изображённой на черт, 94, а> і,
474

всех точек спирали в одном и том же отношении,, то получим
другую кривую, подобную первой, и эта новая кривая,
если её повернуть на соответствующий угол, совпадёт
с первой, будет той же самой, что и первая. В самом
деле, обозначим радиусы-векторы такой кривой через R. По
условию,
R = kr,
где k — постоянный множитель пропорциональности. Но г = а*;
следовательно,
Всегда можно подобрать такое число а, чтобы
Действительно, решая это уравнение относительно а, находим:
login*
\og10a'
аа=1т^
Таким образом, имеем:
Rz=a^^a^, или # = #(?+«),
т. е. радиус-вектор R новой кривой, соответствующий
амплитуде ср, имеет ту же величину, что и радиус-вектор
начальной спирали при амплитуде, равной <f-\~a, и потому, если
повернуть начальную спираль на угол а (по часовой стрелке
при а положительном), то спираль в этом новом положении
совпадёт со второй. Поворачиваясь около полюса, она
становится себе подобной; изменённая подобно, она лишь
поворачивается на некоторый угол, не изменяя своего вида. И при
многих других преобразованиях логарифмическая спираль не
изменяет своего вида.
Поражённый этими свойствами логарифмической спирали,
Яков Бернулли (1692) смотрел на эту spiram mirabilem (удиви-
телвную спираль), как на прекрасную эмблему, которую желал
бы изобразить на своём могильном памятнике с надписью;
Eadem mutata resurgo (изменённая, воскресаю прежней).
УПРАЖНЕНИЯ-
1. Построить точки, полярные координаты которых суть:
р
?
5
60°
7
-30°
2
—72°
4
180°
3,5
Г*
/з
30°
17J>

2. Для точек
<Р =
2
30°
3 I 2,5
— 120° ! — 270°
определить декартовы координаты.
3. Определить полярные координаты точек, декартовы координаты
которых суть (х, у):
X
У
3
5
2
-1
— 2
3
-3
— 5
0
4
— 2
0
3
0.
4. Вывести формулу расстояния между двумя точками по данным
полярным координатам их непосредственно из чертежа или
преобразовывая формулу расстояния в декартовых координатах.
Отв. R=y r\-f- т\ — 2^2 cos (^2 — ?і).
5. Вычислить площадь треугольника
6. Составить уравнение прямой в полярных координатах
непосредственно из чертежа или преобразовывая нормальное её уравнение.
Отв. г cos (<р — а) =р.
7. Написать полярное уравнение прямой, проходящей через точки,
заданные декартовыми координатами (0, 0) и (3, 5).
8. Написать полярные уравнения следующих прямых;
1) 2дг-3^-3=0,
3) х = а, 4) у = а,
2) ax + by = 0,
5) ах-\-Ьу-{-с = 0.
9. Составить уравнение прямой, проходящей через точки (r^ cpj
и (г2, ?2)-
10. Составить полярное уравнение окружности радиуса R] а)
приняв за полюс центр окружности; б) приняв за полюс какую-нибудь
точку окружности, а за полярную ось —диаметр окружности.
11. Составить полярное уравнение окружности радиуса R с центром
В точке (а, а).
12. Построить кривую, данную полярным уравнением
і а
<Р
а) Показать, что окружность с центром в полюсе и радиусом,
равным а, является асимптотической для этой кривой, т. е. кривая при
безграничном увеличении по абсолютной величине угла <р стремится
слиться с этой окружностью ("никогда не достигая такого слияния).
б) Показать, что кривая имеет асимптоту, параллельную полярной
оси и отстоящую от неё на расстояние, равное а, иначе — что
ордината точки кривой при безграничном уменьшении абсолютной
величины у стремится к пределу а.
176

ГЛАВА VII.
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ.
§ 1. Прямоугольная система координат в пространстве.
Исследование свойств геометрических образов, не
умещающихся на плоскости, помощью вычисления составляет
вторую часть аналитической геометрии—геометрию в
пространстве.
Подобно тому, как в аналитической геометрии на плоскости,
и здесь первый вопрос, подлежащий разрешению, есть вопрос
об определении помощью чисел положения точки в
пространстве, ибо всякий геометрический образ вполне определяется
положением точек, его составляющих.
Определим систему координат в пространстве таким
образом. Имеем начальную плоскость А (черт. 95) и в ней
прямоугольные оси координат Ох и Оу,
Пусть эта плоскость
перемещается параллельно самой себе так,
чтобы линии Ох и Оу описали
плоскости В и С,
перпендикулярные к начальной плоскости.
Линию пересечения плоскостей В и
С назовём осью Oz.
Через каждую точку
пространства проходит одна из
параллельных плоскостей. Положение
рассматриваемой точки в этой
плоскости определяется
смещением её от осей координат в этой
плоскости. Эти смещения будут в то же время и смещениями
точки Р от плоскостей В и С, Присоединяя ещё смещение
точки от начальной плоскости Д мы вполне определим
положение точки в пространстве этими смещениями или
расстояниями её от каждой из трёх плоскостей А, В и С. Числа,
измеряющие эти расстояния в одной и той же единице меры, мы
будем называть координатами данной точки; плоскости А, В
и С будем называть поэтому координатными плоскостями,
линии их пересечения Ох, Оу и Oz — осями координат, а
общую точку О пересечения — началом координат.
Координату, измеряющую смещение данной точки от
плоскости yOz направо или налево, будем обозначать буквой х
и называть абсциссой; точно так же координату, измеряющую
смещение точки от плоскости zOx вперёд или назад, будем
12 Курс высшей математики *' *
Черт. 95.

обозначать буквой у и называть ординатой и, наконец,
координату, измеряющую смещение точки от плоскости хОу
вверх или вниз, обозначим через г и назовём аппликатой этой
точки.
Смещения точки от плоскостей координат измеряются в
направлениях соответствующих осей координат. Поэтому на
координаты точки А (х, у, z) можно смотреть как на. числа,
измеряющие звенья ломаной линии ОАгАгА (черт. 98), параллельные
осями координат и ведущие из начала координат в
рассматриваемую точку А. Притом эти смещения условимся считать
положительными в одном направлении и отрицательными в
обратном, именно — абсциссу х будем считать положительной,
если она откладывается направо от начала координат, и
отрицательнее, если откладывается налево; ординату у —
положительной, если она отложена вперёд, и отрицательной, если
отложена назад, и наконец, аппликату z положительной при
направлении вверх и отрицательной при направлении вниз.
Плоскости координат, будучи продолжены во все стороны,
делят пространство на восемь частей — на восемь октантов,—
образуя восемь трёхгранных углов (черт. 96). Каждый из октан-
\У\
zL
О
л
21
17
Черт. 96.
Черт. 97.
тов характеризуется определённой комбинацией знаков
координат для точек, лежащих в этом октанте. Октант, для
которого все три координаты положительны, называется нор*
мольным.
Рассмотренная система координат называется прямоугольной,.
так как углы между плоскостями — прямые; в более общем
случае эти углы можно предполагать не прямыми, а какими
угодно. Но мы во всём последующем будем пользоваться только
прямоугольной системой координат. В дальнейшем мы не будем
вычерчивать плоскостей координат, а только одни оси
координат (черт. 97). При этом полезно иметь а виду при -изобра-
178

жении пространственных образов на плоскости некоторые
положения начертательной геометрии1).
Изображение пространственного образа на плоскости есть
проекция 'этого образа на плоскость. Если все проектирующие
лучи выходят из одной точки, то проекция будет центральной,
а изображение — художественной перспективой. Если
проектирующие лучи параллельны какому-либо данному наперёд
направлению, то проекция называется параллельной.
Параллельная проекция может быть ортогональной или косоугольной. При
параллельной проекции параллельные в натуре прямые и
изображаются параллельными, параллелограмм — параллелограммом,
квадрат, вообще говоря, параллелограммом, окружность, вписанная
в квадрат, — эллипсом, вписанным в соответствующий
параллелограмм, перпердикулярные диаметры окружности —
сопряжёнными диаметрами эллипса. Если изображаемый пространственный
образ отнесён к какой-нибудь системе осей, то вместо того,
чтобы выбирать для установления параллельной проекции
направление проектирующих лучей, можно произвольно
изобразить оси координат тремя какими-нибудь различными прямыми,
выходящими из одной точки, и произвольно для каждой
из этих осей выбрать свою единицу меры. Этими единицами
соответственно и измеряются отрезки, проведённые в
направлении осей координат. Единицам меры для каждой из осей
координат на чертеже соответствуют в натуре отрезки
одинаковой длины2). Построение по этому правилу называется
аксонометрическим, а теория, устанавливающая его, —
аксонометрией.
Этими построениями мы и будем пользоваться, В
большинстве случаев будем вычерчивать оси Ох и Oz под прямым углом,
а ось Оу как-нибудь к ним наклонённой, и выбирать единицы меры
на осях Ох и Oz одинаковыми, а на оси Оу какой-нибудь иной.
Задача 1. Определить положение точки по данным координатам:
х == а, у = Ь и z = с.
Решение. На оси Ох откладываем отрезок ОАь равный а3)
единицам длины (черт. 98); из точки Av проводим линию A{A2t параллельную
оси Оу и равную Ъ единицам длины, и, наконец, из точки Л2 —линию,
параллельную оси Oz, на которой откладываем А^А — с. Точка А и будет
искомая.
J) Предметом начертательной геометрии является
изображение пространственных форм на плоскости и изучение
их по таким плоским их изображениям.
2) Это положение составляет содержание так называемой теоремы
Польке.
3) Если а — число отрицательное, то ОАх придётся отложить не
вправо, как на чертеже, а влево.
12* 179

Результат был бы тот же, если бы звенья ломаной {а, Ьу с) были
построены в каком-нибудь другом порядке, например, сначала по оси z
отложить отрезок, равный су потом из
конечной точки его провести в
плоскости yOz линию, параллельную оси у
и равную Ь, и, наконец, из конечной
точки этой линии восставить
перпендикуляр к плоскости yOz, равный а\ мы
попадём опять в ту же точку А
Задача 2. По данному положению
точки А определить её координаты.
Решение. Пусть точка А (черт. 98)
дан"а. Опускаем из неё перпендикуляр
на плоскость хОу до пересечения с этой
плоскостью и из основания А2 2) этого
перпендикуляра проводим линию А2АХі
Черт. 98.
параллельную оси Оу> до пересечения с осью Ох; тогда
х==
ОА
ліло
2 =
АоА
е ' " е е
где е — единица меры. Здесь опять порядок, в котором можно
производить это построение, остаётся произвольным.
§ 2. Расстояние между двумя точками.
Даны две точки своими координатами А(хх, уь zx) и
В(х2, y2l z2); требуется опреде- г|
лить расстояние между этими
точками (черт. 99). Построим
координаты данных точек:
ОАг = хХ7 А1А2=уи А2А=ггі
ОВг = хг> В±В2=у2і B2B = z2.
Линии А2А и В2В} будучи
перпендикулярными к плоскости
хОу, параллельны между собой и
лежат в одной плоскости.
Поэтому, проведя линию АР
параллельно прямой А2В2У
получим прямоугольный треугольник АРВ,
7[B=yrJp*-\-PB2.
Но
Черт. 99.
из которого имеем:
АВ = А2В2, а А2В2 = У(х2-хг)* + (у2— ух)\
как расстояние на плоскости хОу между точками А2(хиух) и
2) В натуре точка А2 — вполне определённая точка, на чертеже она
может быть выбрана произвольно, ибо одним изображением А
положение этой точки в пространстве ещё не определено.
180

#а 0*2» Л)» кроме того, по самому построению, P5=z2—zx\
следовательно,
AP=V(x2-xx)* + (y2-yx)*±(z2-zx)\ (1)
Эта формула вполне аналогична соответствующей формуле в
геометрии на плоскости.
Мы вывели эту формулу для точек в нормальном октанте,
но легко доказать её общность для точек, как угодно в
пространстве расположенных. Мы не будем останавливіться на этом
доказательстве, так как оно вполне аналогично доказательству
при обобщении формулы для расстояния двух точек в
геометрии на плоскости (стр. 35).
Как следствие из формулы (1) вытекает формула
расстояния R точки (xt yf z) от начала координат;
R = у/*я + у_|-2*.. (2)
Примечание. Если мы в этой формуле х, у и z будем
считать переменными, то каждая система значений х, у и z будет
определясь точку, обладающую тем свойством, что её расстояние
до начала координат равно JR. Очевидно, такие точки будут лежать
на сфере радиуса R с центром в начале координат; и обратно,
координаты всякой точки сферы должны удовлетворять
уравнению (2),'так как её расстояние до центра, т. е. до начала коорди-.
нат, равно R. Итак, уравнение (2) при переменных значениях х, у, z
представляет сферу и есть уравнение сферы с центром в
начале координат.
§ 3. Вычисление координат точки, делящей данный отрезок
в данном отношении.
Даны две точки своими координатами А [хъ уъ z{) и
Я 0*2» 3;2> гъ)> требуется вычислить координаты точки М,
делящей отрезок АВ в отношении
~=1 (черт. 100). Пусть
х,у, z — координаты точки М.
Проводя через звенья (yv zx),
{Уъ zb и (У> z) ломаных,
ведущих изначала координат в
точки Л, В и М, плоскости,
нетрудно заметить, что эти
плоскости параллельны плоскости
уОг. Тогда на основании
теоремы: отрезки прямых линий
между параллельными плоскостями пропорциональны, имеем;
АгМх AM ,_.. АхМл
Черт. 100.
іИД
MB
или
MLBX
і=1.
181

поэтому
отсюда
АхМ1'=х — хх и М1В1 = х2— х,
?=3 = і;
х2 — х
Х\ —р кХ 2
#
1 + 1
Аналогично получим и соответствующие формулы для уи:,
строя в ином порядке звенья ломаных (хи уъ гг), {хг у, z)
Таким образом, имеем следующие формулы для вычисления
координат точки, делящей расстояние между двумя данными
точками в данном отношении:
*i+U2_ «_Л+2й_ ~_ ?і+і?і
* — l-f-\ » ^"^ 1-fl ' ^~ 1+1
(3)
В частном случае, когда 1 = 1, т. е. М лежит в середине
отрезка АВ, обозначая координаты этой точки через х0і у0, zQi
будем иметь:
_*1+*2 Ч1 _Л+Л „ _*1+*2
2
¦^о —
Л
2
(4)
Выведенные формулы совершенно такие же, как и формулы,
полученные при решении той же задачи на плоскости;
прибавилась лишь новая формула для аппликаты z.
Как и на плоскости, параметр X может быть и отрицательным:
точка М лежит в этом случае вне отрезка АВ.
§ 4. Теоремы о проекциях.
Установление тех или иных формул или уравнений в
аналитической геометрии часто основывается на теоремах о
проекциях.
Возьмём некоторую линию хх\
которую назовём осью проекций,
и будем проектировать на неэ
0^~~-fPL отРезок АВ, как-нибудь располо-
1 5 женный в пространстве, проводя
через концы А и В этого
отрезка плоскости а и р, п е р-
Чапт 1П1 пендикулярные к оси хх'
р (черт. 101).
Точки Аг и Вг пересечения этих плоскостей с осью хх'
будут проекциями точек А и В, а отрезок АгВх — проекцией
182
'Ъ
А
?^+? 96,
4
4

отрезка АВ. Можно получить те же точки Аъ Ви опуская
перпендикуляры из точек Л и Б на ось проекций хх\
Теорема 1. Проекция отрезка равна произведению
проектируемого отрезка на косинус угла его наклона к оси
проекций:
АгВх = АВ «cosср.
tf—угол между положительными направлениями отрезка АВ и
оси проекций. АВ и хх\ вообще говоря, не пересекаются, и под
углом между ними разумеют угол, образованный двумя прямыми,
проведёнными из произвольной точки О параллельно АВ и хх\
Опускаем из точки А (черт. 101) перпендикуляр АС на
плоскость р и соединяем основание его С с точкой В; получим
треугольник ABC, в котором угол ВАС равен углу между
АВ и хх\ так как прямая АС параллельна оси хх\ и, кроме
того, угол АСВ прямой, ибо прямая АС перпендикулярна к
плоскости р. Из. этого прямоугольного треугольника имеем:
АС= АВ'СОЗ ©.
Но ЛС=Л151, так как фигура АСВіА1 — параллелограмм:
АС\\АгВг и АА1\\СВХ.
Следовательно,
АгВх=АВ-cos <p. (5)
Как и в геометрии на плоскости, мы можеми здесь говорить
о знаке проекции, если на прямых АВ и хх' установлено
определённое положительное направление. При этом направление
проектируемого отрезка АВ может и не совпадать с
положительным направлением той прямой, на которой он лежит; в
таком случае проектируемый отрезок должен считаться
отрицательной величиной (ср. § 4 гл. II). При этих условиях формула (5)
определит и знак проекции, если только, как было отмечено
выше, под углом ср мы будем разуметь угол между
положительными направлениями обеих прямых.
Под проекцией ломаной линии будем разуметь сумму
проекций отдельных её звеньев. Под суммой здесь нужно
разуметь алгебраическую сумму, так как проекции звеньев по
предыдущему могут быть и отрицательными.
Начальной и конечной точками данной ломаной линии ABCDE
(черт. 102) устанавливается направление каждого её звена.
Прямая АЕ, соединяющая начало и конец ломаной, называется
замыкающей.
18&

По определению имеем:
ир.х ABCDE = пр.х i4B-fnpu ВС+ np.x CD~\-np.x DE =
= AlBx + BlCl + ClDl+D1El.
Обозначения отрезков АХВЬ В1С1 и т. д. порядком букв
указывают и направления их, а следовательно, знаки их величин.
Черт. 102.
Че.тг. 103.
Основываясь на правилах сложения отрезков с
направлением (стр. 36), имеем:
А1Вх + В1Сх=АхСі9
AxCl + CxDx = AlDu
AXDX 4- ВД = АХЕЪ
т. е.
AxBx+BxCx + CxDx-\-DxEx = AxEx.
Но АХЕХ есть проекция замыкающей АЕ:
АХЕХ = пр.хАЕ,
Следовательно,
np.xABCDE = пр.ЛЛ?.
Таким образом, имеем второе предложение о проекциях:
Теорема 2. Проекции ломаной равна проекции
замыкающей.
Из этого предложения вытекает третье:
Теорема 3. Проекции двух ломаных с общим началом
и общим концом равны.
Так (черт. 103)
np.xABCDE = np^AFGHE,
ибо обе ломаные замыкаются одним и тем же отрезком АЕ.
1S4

§ 5. Определение направления прямой в пространстве-
Угол между двумя прямыми.
Всем прямым, параллельным между собой, можно
приписать одно и то же направление и это направление можно
определить углами наклона к осям координат одной из этих
прямых, например той, которая
выходит из начала координат (черт. 104).
Но не всякие три угла a, (J, у,
выбранные произвольно, будут углами
наклона одной прямой к осям
координат. Углы наклона прямой OL к
осям координат связаны одним
соотношением. В самом деле, пусть
эти углы будут а, Р и у:
^/ xOL = а, /_yOL =
Черт. 104.
а какая-нибудь точка L на этой прямой имеет координаты
л:, у, г:
Расстояние точки L от начала координат определяется формулой
Проектируя OL на ось Ох, мы должны иметь, с одной стороны,.
np.xOL = OL cos a = R cos a,
а с другой,
np.xOL = OLx =лг,
так как плоскость, проходящая через отрезки ЬхЬг и LZZM
перпендикулярна к оси Ох, и следовательно, точка L{ и является
проекцией на ось Ох точки I, Таким образом, имезм равенство;
/?cosa = .x:, (6)
Вполне аналогично найдём ещё два равенства:
#cos?=j, (7)
RcQ$y = z. Ф)
Возвышая обе части равенств (б), (7) и (8) в квадрат и
складывая, получим:
#2 (cos2 а 4- cos2 ? + cos2 у) = х%+Уг + * = R*l
отсюда
cos2 a f cos2 p -f cos2 y = 1. (9)
185

Черт. 105.
Таково то соотношение, которому должны удовлетворять углы,
•определяющие направление прямой линии.
Задача 1. Вывести соотношение, которым связаны синусы тех же
углов а, р, у.
Задача 2. Показать, что основная формула тригонометрии sin2a-f
-}-cos2a = l является частным случаем формулы (9).
Угол между двумя прямыми. Определим теперь угол между
двумя прямыми, выходящими из начала координат, направления
которых определяются углами их
с осями координат: a, |J, у и
а', Р'г Г-
Пусть 01 и ОЛГ (черт. 105)
будут эти данные прямые,
выходящие из начала координат.
Берём какую-нибудь точку А на
линии OL и проектируем
отрезок ОД равный /?, на линию ON
Обозначая угол между прямыми
через <р> будем иметь:
пр.ОЛГОЛ = ОА • cos ср = R cos ср.
Но ОД — замыкающая ломаной линии OAtA2A; поэтому
np.av04 = пр.ОЛ,ОЛх + пр,0ЛГЛ, Л2 + пр.0ЛГЛ2Л.
Звенья этой ломаной суть координаты точки Л;
ОЛх = a:, i4j Л2 = j/, Л2Л = 0.
Кроме того, углы, образуемые прямой 0/V со звеньями х, у, z
ломаной ОАгА2Ау — те же, что и углы, образуемые той же
прямой с соответственными—параллельными этим звеньям — осями
координат. Следовательно,
np.0iV0^1 = Arcosa', np.ow<41i42=j/cosP'1 np.OAri42^ = 2cosy'
и
R cos ф = х cos а' -[-у соз ?' -(-z cos у'.
Но, как мы уже имели выше,
х = 7? cos а, у = 7? cos р, г = /? cos у.
Вставляем эти выражения в предыдущее равенство:
/?costp = /?(co3 a cos a'-{-cos (і cos [$'-(- cos у cos у').
По сокращении на R получим желаемую формулу для
определения угла между двумя прямыми:
соз ср = cos a соз a'-{-cos ?соз ji' -|- соз у cos у', (10)
186

Если линии ОМ и 0L взаимно перпендикулярны, т. е. » = -і
то cos ср= 0, и тогда равенство (10) даёт условие
перпендикулярности двух прямых:
cos a cos a! -\- cos p cos ^' -J- cos у cos y' = 0. (11)
Задача. Показать, что формула тригонометрии для косинуса
разности двух углов
cos (а' — а) = cos а cos а' -j- siq а sin а'
является частным случаем формулы (5).
§ 6. Преобразование координат.
Простота формул, полученных при решении той или иной
задачи, весьма часто зависит от выбора системы координат.
Поэтому для упрощения вычислений и для облегчения решения
многих задач- приходится переходить от одной системы
координат к другой, т. е. совершать преобразование координат.
Параллельное перенесение осей. Пусть даны две системы
координат Oxyz к O'x'y'z9,пртЫ Ох || 0'х'9 Оу || О'у' яОг \\ 0'zf;
Так как оси
системы O'x'y'z'
параллельны
соответствующим осям
системы Oxyzy то
положение всей
системы O'x'y'z'
относительно Oxyz
определяется
координатами точки О'
относительно
системы Oxyz. Пусть эти
координаты суть а,
b и с. Возьмём в
пространстве
какую-либо точку М. Черт. 106.
Пусть лг, у, z — её
координаты в системе Oxyz. Найдём её координаты х', у\ zr
в системе O'x'y'z*'. Для этой цели проведём через точки О'
и М плоскости, перпендикулярные к оси Ох. Пусть О0 — точка
пересечения первой из этих плоскостей с осью Ох, а Р'иР —
точки встречи второй плоскости соответственно с осями О'х'
и Ох (черт, 106). В силу предыдущего, очевидно, имеем:
ОО0 = а, 0'Р'=х'1 ОР—х и ОР=ОО0 + О0Р.
187

Но
следовательно,
или
отсюда
О0Р=О'Р';
ОР^ООъ + О'Р'
х = а-\-х';
х = х— д.
Произведя такое же построение для двух других осей, найдём;
У =у — bt z' = z — с.
Пример. Даны две точки Л (3,—1, 5) и В (1, 3, —3). Каковы
будут координаты тех же точек, если начало координат перенести в
середину отрезка ЛВу не изменяя направления осей?
Пусть О' —середина отрезка АВ. Координаты д, Ъ> с этой точки
найдем по формулам (4) § 3;
3+1 0 , -1 + 3 -
5-3
2
= 1.
Новые координаты данных точек будут: для точки А
jc' =3 — 2 = 1, у = - 1 - 1= - 2, z* = 5 - 1
и для точки В
лг'= 1 —2= — 1, / = 3 — 1 = 2, 2/ = —3—1 =
= 4
-4.
Изменение направления осзй. Рассмотрим теперь две
прямоугольные системы координат, имеющие общее начало и различные
направления осей Oxyz и Ox'y'z'
(черт. 107), и поставим задачу,
зная координаты какой-лиЗо точки
в одной из этих систем,
определить координаты той же точки
в другой системе. Положение
одной системы, относительно
другой будет определено, если задать
углы каждой из осей одной
системы относительно другой.
Назовём углы оси Ох' с осями Ох,
Оу, Oz соответственно через alt
ч 107 flf уі; углы оси ОУ с осями Ох,
Оу, Oz — через а2, (J2, у2; углы
оси Oz' с осями Ох, Оу% Oz — через а3, (*3, уз- Чтобы легче
188

запомнить эти обозначения, запишем их в форме следующей
таблицы:
X
1
х'
У
/
«1
ч
«3
У
¦
Рі
h
h
z
Yi
Y2
Ya
В этой таблице каждая буква, стоящая на пересечении
горизонтальной строки и вертикального столбца, обозначает утл
между осями, указанными в начале строки и столбца; например,
буква у2 обозначает угол между осями Оу' и Oz, Девять углов
этой таблицы не могут быть выбираемы произвольно.
Действительно, рассматривая оси Ох\ Оу' и Oz' как некоторые три
прямые в системе координат Oxyz, имеем:
cos2 аг + cos2 k + cos2 Ti == 1,
cos2 a2 -j- cos2 p2 -[- cos2 y2 = 1,
cos2 az -f~ cos2 Рз + c°s2 Уз = ^ *
Так как прямые Ox\ Oyr и Oz' взаимно перпендикулярны, то
cos ax cos a2 + cos fJt cos [32 -f- cos yt cos y2 = 0,
cos ce3 cos аз -j- cos ji2 cos [53 -j- cos y2 cos y3 = 0,
cos aft cos ax -|"cos ?з cos (Jx 4- cos y3 cos Yi = 0.
Совершенно так же, рассматривая оси Ох, Оу, Oz как прямые,
направления которых даны в системе координат Ox'y'z\ имеем:
cos2 аг -|~ cos2 a2 4*cos2 °k == * >
cos2p1 + cos2^2 + cos2p3=l,
cos2 у! + cos2 y2 + cos2 Y3 = 1,
cos a{ cos Pj + cos a2 cos fi2 -\~ cos a3 cos p8 = 0,
cos pj cos Yj + cos p2 cosy2 + cos % cos y3 — 0,
cos Yi co&flEj 4- cos Y2 cos a2 -[- cos y3 cosa3 = 0.
Возьмём теперь в пространстве какую-либо точку М и пусть
х, у, z — её координаты в системе Oxyz и x\y\rf— её же
координаты в системе Ox'y'z'. Построим для этой точки
координатные ломаные линии в обеих системах координат OPQM
и OP^Q'M'. Чтобы получить теперь выражение координатору, z*
через" х, у, z7 будем последовательно проектировать обе наши
ломаные на оси Ох\ Оу\ Oz1. Так как обе ломаные имеют об-
189

щуго замыкающую ОМ, то их проекции на любую прямую
должны быть равны между собой. Проектируя на ось Ох\ имеем:
пр. OPrQ'M= пр. ОР' + пр./* Q' + пр. QM=
til Я I г ГС г
= х' + ¦* cos -j + г cos -j = *',
пр. ОР?Ж = пр. OP-{-nptPQ-\-np. QM=
= л: cos аг -{-у cos Pj 4~ z cos ух.
Приравнивая обе проекции, получим:
xf = xcos с^ 4".ycos Pi + ^cos Yi- (12)
Таким же образом проектируя обе ломаные на оси Оу' и Oz\
найдём:
у' = х cos а3 -f-J'cos ?2 + * cos Y2>
¦г' = л: cos а3 -f-.ycos Рз ~b г cos Уз-
Для нахождения выражения координат х, у, z через х'у У, ?
проектируем обе наши ломаные последовательно на оси Оху
Оу, Oz, Таким образом находим:
х = х' cos аг +У cos а2 -|- z' cos а?і \
y = x'cos$x+y,cos$2 + z?cqs$tt [ (14)
z = xr cos Yi +У cos y2 + г' cos ya, J
Формулами (12), (13) и.(14) пользуются при переходе от одной
системы прямоугольных декартовых координат к другой. Если
встречается необходимость не только изменить направление
осей, но и передвинуть начало координат, то оба, данные выше,
преобразования выполняются последовательно одно за другим.
§ 7. Геометрическое значение уравнений.
Пусть нам дано уравнение, связывающее текущие
координаты х, у, z:
F(x,y, s) = 0. (15)
Уравнение определяет одну из координат, например z, как
неявную функцию других х к у, и всякой системе значений х, у
будет соответствовать по уравнению (15) одно или несколько
значений z\ другими словами, г есть функция двух
независимых переменных х и у.
Посмотрим, что может выражать геометрически уравнение (15).
Присоединим к уравнению (15) ещё уравнение
z = c,
190
(13)

иными словами — будем рассматривать только точки, лежащие
в плоскости на высоте с от плоскости хОу. Уравнение (15)
принимает тогда вид
F{x,yt c) = Q
и содержит теперь две переменные х и у. Как мы уже знаем,
оно выражает некоторую линию на указанной плоскости.
Изменяя непрерывно с, мы будем перемещать рассматриваемую
плоскость параллельно самой себе. При этом перемещении будет
перемещаться и, может быть, изменяться линия на плоскости,,
определяемая уравнением
F{x, у, с) = 0.
Линия, непрерывно перемещаясь и, быть может, деформируясь,,
опишет некоторую поверхность. Таким образом, одно
уравнение (15), связывающее переменные координаты х, уу z>.
представляет некоторую поверхность в пространстве.
Пусть теперь даны два уравнения:
Л С*, У,*)=0 и F2 (х, у, г) = 0. (16)
Каждое из них в отдельности определяет, как мы видели, не*
которую поверхность. Точки, координаты которых удовлетворяют
обоим уравнениям, должны принадлежать обеим поверхностям.
Общие точки двух поверхностей лежат на линии пересечении
этих поверхностей. Следовательно, совокупность двух
уравнений, связывающих три текущие координаты хі у, z,
определяет в пространстве некоторую линию.
Наконец, совокупность трёх уравнений между
координатами ху _у, z
Fx (х, у, z) = 0, F% (х, у, z) = 0, FB (х, у, г) = 0 (17),
определяет одну или несколько отдельных точек в
пространстве, если только данные уравнения независимы одно от
другого, т, е. если одно из них не является следствием двух других
или два не являются следствием одного. Каждое из этих
уравнений в отдельности определяет поверхность. Две поверхности-
пересекаются по линии, которая пересекает третью поверхность,
вообще говоря, в одной или нескольких отдельных точках.
Координаты этих точек можно определить, рассматривая данные
уравнения как три уравнения с тремя неизвестными и решая их.
Если третье уравнение является следствием двух первых, то это
означает, что третья поверхность проходит через линию
пересечения двух первых.
Обратно", пусть дана поверхность, отнесённая к какой-
нибудь системе координат, и какая-нибудь точка Р (черт. 108)
19L

¦этой поверхности пусть имеет координаты л;, у, z\
х^ОРъ у = РгР* z = P2P.
При перемещении этой точки по поверхности координаты точки
меняются, и основание аппликаты Р2Р> т. е. точка Я2,
перемещается на плоскости хОу в некоторой области Л ограниченной,
или безграничной, смотря по
размерам данной поверхности. При
любом положении точки Р2 в этой
области аппликата Р2Р будет иметь
определённую для рассматриваемого
положения величину. Следовательно,
мы можем давать абсциссе и
ординате х, у какие угодно
произвольные значения, только бы
определяемая ими в плоскости хОу точка Р2
не выходила из рассматриваемой
области. Но для аппликаты z после
выбора значений х непроизвольного значения дать уже нельзя:
величина аппликаты определяется самой поверхностью. Таким
образом, z является функцией двух независимых перемен-
™*Х"У- * = /(*,*). 08)
Какова природа этой функции и можно ли выразить её
аналитически, это зависит от того, как задана нам поверхность.
Равенство (18) представляет уравнение, связывающее
переменные координаты х, у, г. Таким образом, данной
поверхности соответствует определённо? уравнение, связывающее
изменения координат точки, движущейся по этой поверхности.
Черт. 108
§ 8. Примеры составления уравнения данной поверхности.
1. Составить уравнение плоскости, рассматривая её как
геометрическое место точек, одинаково отстоящих от двух данных
точек.
Пусть А и В — заданные точки (черт. 109) и пусть
координаты точки А будут т, ли/?, а координаты точки В
будут q, г и s. Всякая точка Р(ху у, z) данной плоскости
•одинаково отстоит от точек А и В:
РА = РВ.
По формулам расстояния имеем:
PA = V(x — т)г + (у — /г)2 4-(г—pf,
PB=V(x—g)2 + (y—r)2+{z—
sy
392

Следовательно,
V{x — т)* + (у — п)* + (г—р)*=:
= іЛ* — *)8~+0' —')* + (* — *)»,
Ро--Д+— -т*>Д
или
(jc_m)2+(j,_,j)2-f <* — />)2 = (х — q)2+(y-r)*-\-(z~s)\
откуда
2 (j — м) х + 2 (г — и) j/ + 2 ($—р) z—
— (т24-/г2+Р2— ?2 — г3— 5»)=0.
Мы получили уравнение первой степени относительно х, у, z.
Всякую плоскость можно рассматривать как геометрическое
место точек, одинаково
отстоящих от двух точек, симметрично
расположенных относительно
плоскости. Следовательно, всякая
плоскость в пространстве
выражается уравнением первой
степени, связывающим текущие
координаты х, у, z.
2. Составить уравнение сферы
с центром в точке Ж (а, Ь, с) и
радиусом, равным г.
Всякая точка Р(х, у, z)
шаровой поверхности отстоит от
центра шара М(ау Ь, с) на постоянное расстояние, равное г.
Но по формуле расстояния
МР= У(х — а)* + (У — ь? + (* — с)*.
Следовательно,
У(х — а)* + (у — Ь)*-\-(г — с)* = г,
или
{х — а)2+ (У — Ь? + (г — cf = г2.
Этому уравнению и должны удовлетворять координаты любой
точки сферы.
В частности, уравнение сферы с центром в начале
координат принимает вид
х2-{-у* -\-z2 = r2.
, Пользуя :ь выведенными уравнениями, покажем
геометрическое значение совокупных уравнений.
13 Курс высшей математики 193
Черт. 109.

Два уравнения:
(х — af + (у — bf 4- (г — с)2 = г2 (19)
(*_ а,)* + (.у-*,)'+ (*-*!)' = '? (20)
представляют линию в пространстве. Что это за линия?
Уравнение (19) представляет сферу с центром в точке. М(а, Ь, с)
и радиусом, равным г. Уравнение (20) представляет тоже сферу
с центром в точке Мх(аь Ьъ сх) и радиусом, равным гх.
Координаты точек, лежащих на линии пересечения этих двух сфер,
должны удовлетворять обоим уравнениям. Две сферы пересекаются
по окружности. Следовательно, уравнения (19) и (20) совместно
представляют окружность в пространстве. Если сферы не
пересекаются, мы будем говорить, что эти уравнения представляют
мнимую окружность.
Положим теперь, что даны три уравнения:
(лг —а)* +СУ —Ь? +{z —cf = r\
(JP_e1)i + (j,_*1)2 + (z_tfl).==/3
Каждое из этих уравнений в отдельности представляет сферу
с определённым центром и определённым радиусом. Что
.представляют совместно эти три уравнения? Точка, координаты
которой удовлетворяют всем трём ^уравнениям, должна лежать
на каждой из этих шаровых поверхностей. Следовательно,
решая эту систему уравнений с тремя неизвестными х, _у, г,
мы найдём -координаты точек пересечения трёх сфер. Три сферы
вообще пересекаются в двух точках. Может случиться, что
три сферы не имеют общих точек, через которые проходила бы
каждая из них. В этом случае уравнения будут иметь мнимые
решения, и мы будем говорить, что такие Три сферы имеют
две общие мнимые точки.
§ 9. Уравнение плоскости.
В предыдущем параграфе мы видели, что текущие
координаты точки, движущейся по плоскости, связаны в своём
изменении уравнением первой степени. Мы
рассматривали плоскость как геометрическое место точек, одинаково
отстоящих от двух данных точек. Но положение плоскости
относительно осей координат можно определить иначе. Так, за
194

определяющие положение плоскости величины можно взять
величину перпендикуляра /?, опущенного на неё из начала
координат, и углы наклона этого перпендикуляра к осям координат
а, р, Y- Углы а, (5, у связаны при этом известным (§ 5)
соотношением:
cos2 а + cos2 р + cos2 Т = 1.
Составим уравнение плоскости, имея эти определяющие её
положение величины. Пусть плоскость пересекает плоскости
координат по прямым ВС, СА и A3 (черт.
110).'Треугольник ABC и представляет
нам на чертеже
рассматриваемую плоскость, которая
в действительности
безгранично простирается во все
стороны. Пусть М — какая-
нибудь точка этой плоскости,
имеющая координаты х,у% z\
ОМх=х, МхМг =_у,
M2M=z.
Ломаную ОМхМгМ про- Черт. НО.
ектируем на перпендикуляр
ОР к этой плоскости, опущенный из начала координат. Всякая
прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание
перпендикуляра Р, перпендикулярна к прямой ОР. Следовательно,
прямая MP перпендикулярна к ОР; кроме того, ОР—р и
потому
пр.ОРОМхМ2М=р. (21)
Но проекция ломаной равна сумме проекций её звеньев:
пр.ор ОМхМ2М = пр.0Р ОМх + пр.ор МХМ% + пр.ор М2М.
Углы наклона звеньев этой ломаной к оси проекций, т. е.
к прямой ОР, те же самые, что и углы наклона осей координат
к этой прямой, именно а, р и у1)- Следовательно,
пр.0Р ОМх = х cos а, пр.ОР МхМг =у cos p,
пр.ор МгМ=г cos у,
!) Положительное направление оси координат, которое принимается
во внимание при определении соответствующего угла a, (J или т, нэ всегда
совпадаете направлением звена. В этом случае, не изменяя угла, звено,
как координату точки, мы при проектировании считаем отрицательным:
от этого проекция его не меняется ни по величине, ни по
направлению.
13* 195

и, согласно равенству (21),
х cos а -\-У cos 0 4* z cos у=Р,
или
jc cos а 4~-У cos Р 4~ * cos Y —Z7 = ^ (22)
Равенство (21), а следовательно, и (22) справедливо только
для точек, лежащих в плоскости, ибо только в этом случае
прямая MP перпендикулярна к прямой ОР. Устанавливая связь
между текущими координатами точки, движущейся по плоскости,
равенство (22) и будет уравнением плоскости.
Мы видим, что уравнение плоскости — первой степени
относительно текущих координат.
Уравнение (22) называется нормальным уравнением
плоскости. Какой же характерный признак нормального уравнения?
Коэффициенты при л:, уу z суть косинусы углов а, |5 и у» т- е-
числа, не ббльшие единицы. Эти коэффициенты связаны
соотношением:
cos2 а + cos2 р + cos2 Y == Ь
Легко видеть, что и обратно, всякие три числа а, Ь, с,
связанные соотношением а2 -\- Ъ2 -\~ с2 = 1, служат косинусами
углов а, р, у некоторого луча с осями координат. Далее,
свободный член нормального уравнения отрицателен. Таким
образом, из уравнений
1) Зл: — 5y-\-Sz — 6 = 0,
л, 3 4 , 12 0 л
второе будет нормальным, так как свободный член отрицателен,
а коэффициенты при х, у, z — правильные дроби, связанные
соотношением
(гз)'+(гзГ+(й)'='-
Первое и третье уравнения, не удовлетворяя подобным
условиям, не будут нормальными.
Выше мы с двух точек зрения убедились, что всякая
плоскость выражается уравнением первой степени
относительно текущих координат х, у, zy именно — или рассматривая
плоскость как геометрическое место точек, одинаково отстоящих
от двух данных точек (§ 7), или определяя положение пло-
196

скости величиной перпендикуляра, опущенного на неё из начала
координат, и углами наклона этого перпендикуляра к осям
координат. Но если нам дано наперёд какое-нибудь
уравнение первой степени относительно текущих
координат х, у} z, будет ли оно представлять плоскость?
Чтобы ответить на этот вопрос, покажем предварительно,
что всякое уравнение первой степени относительно текущих
координат х, у, г можно привести к нормальному
виду, т. е. к виду, обладающему вышеприведенными
характерными признаками: каждый из коэффициентов при текущих
координатах в нормальном уравнении должен быть не больше
единицы, сумма квадратов этих коэффициентов должна
равняться единице, и свободный член уравнения должен быть
отрицательным.
Пусть дано уравнение первой степени общего вида:
Ax~\-By-\-Cz+D = 0.
Коэффициенты Л, В и С могут быть и больше единицы и
вообще не обладать желаемыми признаками. Поэтому умножаем
все члены уравнения на некоторый множитель /?, пока нам
неизвестный, который должен привести данное уравнение
к нормальному виду и который мы будем называть поэтому
нормирующим множителем:
RAx-\~RBy + RCz + RD = 0.
Если это уравнение — нормального вида, то сумма квадратов
коэффициентов при х, у, z должна равняться единице:
/?М2 + R2B2 + R2C2 = 1, или R2 {А2 + В2 + С2) = 1.
Отсюда для нормирующего множителя получаем два решения,
противоположных по знаку:
R = —Г Х (23)
Какое же из этих двух решений выбрать? Свободный член
нормального уравнения, т.е. RD, должен быть
отрицательным. Следовательно, R и D должны иметь
противоположные знаки. Коэффициент D дан, а знак нормирующего
множителя R подлежит нашему выбору, и потому для
нормирующего множителя мы получаем теперь единственное и
определённое решение: знак нормирующего множителя должен быть
противоположен знаку свободного члена уравнения.
197

Заменяя R найденным его значением (23), мы приводим
данное уравнение к нормальному виду;
А . В j С .
\ , D
+ YA* + B*+C*
или
Лх + Ву+Сж + Р
±Ya*+b* + c*
Пример. Привести уравнение Зд: — 4у-\-\2z-\-8 — О к нормальному
виду.
Решение, Вычисляя по предыдущему нормирующий множитель
и выбирая соответствующим образом его знак, получим:
З.г —4у+12г-|-8 Л 3,4 12 8
r ±2 ^. —0 или хА у z = 0.
-У 9 + 16+ 144 13 л 13 ^ 13 13
Теперь докажем, что всякое уравнение вида
Ах + Sy + Cz-{-D = 0
представляет плоскость. По приведении данного уравнения
к нормальному виду:
А ! В , С ,
хА =у-\ — *4-
¦±Ула + 5' + Са ' :і=Улг+53 + С^ ' ±Ya* + B* + C2
4- , D =о,
±У А* + № + С*
припишем его коэффициентам соответствующее геометрическое
значение, т. е. то значение, какое имеют коэффициенты
нормального уравнения при решении обратной задачи — задачи
составления уравнения данной плоскости. Таким образом, будем
рассматривать коэффициент при х как косинус некоторого угла а,
коэффициент при у — как косинус некоторого угла Р,
коэффициент при z—как косинус некоторого угла у, а свободный
член обозначим через —р; этим самым и определятся
введённые нами величины а, р, Y и Р:
cosa =
А о В \
cos р = —_ , ¦ _ „^ ,
I . -ш / lit і пп > ял ' 2
С D \ <25)
COSY = , р = — .
* +Ya* + b*+c*' у ±Ya*+b*+c*' )
Так как, как следует из этих равенств,
cos2 a -f- cos2 р -j- cos2 у = 1,
19S

то о, f и у являются углами наклона некоторого луча, вы"
ходящего из начала координат О, к осям координат: а — к оси Ох>
Р—к оси Оу и у—к оси Oz. Построив этот луч, отложим
на нём отрезок ОР от начала координат, равный /?, и через
точку Р проведём плоскость, перпендикулярную к прямой ОР.
Положение этой плоскости относительно осей координат
определяется величинами а, р, у и /?, и, составляя уравнение этой
плоскости так, как это мы делали раньше, мы получим его
в виде
х cos a -f- у cos (5 -j- г cos у — р = О
или, по замене cos a, cosfi, cosy и р их значениями (25), в виде
Ax + By + Cz + D_Q
Таким образом построенная нами плоскость имеет уравнение
равносильное данному, иначе — данное уравнение представляет
плоскость, в чём мы и желали убедиться.
Приведением общего уравнения первой степени к
нормальному виду мы достигли не только того, что доказали, что оно
представляет плоскость, но также и того, что узнали
геометрическое значение его коэффициентов: по формулам (25) мы можем
вычислением определить расстояние/г начала координат от пло-
скости,можем вычислением определить направление
перпендикуляра к этой плоскости, определяя углы а, [1, у. Этими величинами
можно воспользоваться при решении соответствующих задач
относительно плоскости, К таким задачам прежде всего
относятся следующие: 1) определить угол между двумя плоскостями
и 2) определить расстояние точки, данной своими
координатами, от плоскости, данной своим уравнением.
§10. Определение угла между двумя плоскостями.
Пусть даны две плоскости своими уравнениями:
Ax + By-\-Cz + D=0,
Axx-{-Bly+C12-\-Dl = 0.
Угол между этими плоскостями можно определить следующим
образом. Угол между плоскостями равен, как известно, углу
между перпендикулярами к ним; угол же между этими
перпендикулярами, как угол между двумя прямыми, можем
определить по формуле (10). Обозначая этот угол через ср, мы должны
иметь:
cos tp = cos a cos аг + cos Р cos 0Х -{- cos у cos ylt
199

где а, р, у и аи Рі> Yi СУТЬ Углы> составляемые этими
перпендикулярами с осями координат. Но формулы (25) дают:
А Аг
cos а = — == , cos ах =
+ Va*-\-b* + c*' х ±VaI+bI + c2i
в а вг
cos В = • 7====== і cos В< = . ,
С Сх
cos у = —т—- - — » cos Yi =
Заменяя косинусы их выражениями, получим формулу для
вычисления косинуса угла между данными плоскостями:
cos <р = ; ¦ . / / : * (26)
Г (* Va* +В*+ С») ,(=Ь V Л? + В\ + С?)
Знаки перед радикалами вполне определены соответственно
принятому правилу приведения уравнения плоскости к
нормальному виду. Поэтому по формуле (26) вычисляется косинус того
из двух смежных углов между двумя плоскостями, внутри
которого не лежит начало координат, так как этому углу равен
угол между перпендикулярами, опущенными из начала координат
на данные плоскости.
Условие перпендикулярности двух плоскостей. Если
плоскости перпендикулярны, т. е. (р = -7>-, то coscp = 0, и поэтому
ААг+ВВ1 + ССг = 0.
И обратно, если выполнено это условие, то cos<p = 0, т. е.
плоскости перпендикулярны.
Условие параллельности. В случае параллельности
плоскостей
cos а = cos аъ cos (5 = cos fi x, cos у = cos ft
или
cos a = — cos au cos [5 = — cos pt, cos у = — cos yle
Ho cos a, cos[i, cosy пропорциональны коэффициентам Л, ?, С,
а cosaj, cos f^, cosyj пропорциональны коэффициентам Av Вь Сь'
поэтому при параллельности плоскостей коэффициенты при
текущих координатах их уравнений должны быть
пропорциональны;
А__В__С
Аг—Ві—еі-
200

И обратно, легко видеть, что если эти условия выполнены,,
то косинусы соответственных углов равны или равны по
абсолютной величине и противоположны по знаку, и следовательно,
плоскости параллельны.
Пример. Четыре плоскости даны своими уравнениями:
1) x+2j/ + 22: —6 = 0, 2) Ъх — 4у+ 12* + 8 = 0,
3) Ъх-\-Ьу-\-Ьг — 5 = 0, 4) 4лг + 6у + г+6 = 0.
Нет ли. среди этих плоскостей параллельных или перпендикулярных?
Решение. Первая и вторая плоскости не параллельны и не
перпендикулярны, ибо не выполняется ни условие параллельности
(коэффициенты 1, 2, 2 не пропорциональны коэффициентам 3, — 4, 12), ни
условие перпендикулярности (действительно, ААі-\-ВВі-\-ССі = \-$-\-
+2-(—4) + 2*12 ф 0). Первая и третья плоскости параллельны,ибо
1 — 1 — 1
3 " 6 ~і6 *
Вторая и четвёртая плоскости перпендикулярны, ибо
АА1 + ВВ1 + СС1=ЪА + (- 4).6 +12.1 = 0.
Вычислим косинус угла у между первой и второй плоскостями:
1.34-2.(— 4)+ 12-2 _ 19 _ 19
cos <р — ^____-_ („-|/Аз2"+42+122) — 3.13 ~~ 39
Следовательно, угол <р немного меньше 120°.
= „-^„0,44.
§ 11. Уравнения прямой линии в пространстве.
Прямая линия, как всякая линия в пространстве, должна
определяться совокупностью двух уравнений, а так как прямая
линия может быть рассма- z
триваема как пересечение
двух плоскостей, то она
определяется двумя
уравнениями первой степени:
(27)
Но можно получить
уравнение прямой в более сим- Черт. 111.
метричном виде относительно
всех трёх координат. Положение прямой определяется вполне-
положением одной из её точек и направлением. Пусть А
(черт. 111) — данная точка прямой, имеющая координаты хъ.
уъ zu а направление прямой пусть определяется углами а, $, Yv
201

¦составляемыми ею или прямой, выходящей параллельно ей из
начала координат, с осями координат. Возьмём на прямой какую-
нибудь точку М (х, у> z). Проектируя отрезок прямой AM на
ось Oxt получаем:
пр.Л АМ=AM cos а = АХМ$
но
А1М1=х — хь
.поэтому
AM cos а = х — хг. (2 8)
Подобным же образом, проектируя отрезок AM на другие оси
координат, найдём:
АМсо$$=у—уг и AM cosy = z — zv (29;
Из равенств (28) и (29) следует:
cos a cos {I cos 7
(30)
При перемещении точки М по прямой эти равенства, в которых
х, у, z суть текущие координаты движущейся точки, всегда
имеют место и являются у р а-в н е н и я м и прямой.
Таким образом, уравнения прямой мы получили в виде ряда
равных отношений; этот вид называется каноническим.
Умножая знаменатели в уравнениях прямой (30) на
произвольный множитель k и полагая
k cos a = L, k cos j5 = At, k cos Y=N, (31)
аолучим равносильные уравнения, но в более общем виде:
Х — Хх _ У-Ух _ Z— ZX m.
Разнообразными способами систему уравнений (27) можно
преобразовать в равносильную систему вида (32). Коэффициенты
I, М, /V, как следует из равенств (31), пропорциональны
косинусам углов наклона прямой к осям координат и определяют,
таким образом, направление прямой. Мы будем называть
их коэффициентами направления. По дан ным коэффициентам
I, М% /"/можно определить и cos a, cos?, cosy. В самом деле,
т равенств (31) имеем:
к2 (cos2 а + cos2 р -f cos2 у) = & + ^2 + W2,
откуда
k* = L2-{-M2-{-N2 и k=±VL2-\-M*+N\
202

Следовательно,
cos а = ±
cos^ = ±
cos y = dr
N
Ytf + Mt + N-z *
(33)
у
Знак перед радикалом можно выбрать какой угодно
соответственно тому, какое направление мы считаем положительным.
Таким образом, по данным уравнениям прямой вычислением
можно определить направление её, а стало быть, по
формулам § 5, вычислением можно определить и угол у между двумя
прямыми, данными своими уравнениями.
Определение угла между двумя прямыми. Даны две
прямые своими уравнениями:
х — а у—Ь z — с х —
*і
Мх
где я, Ь7 с — координаты определённой точки первой прямой
и L, М, N— коэффициенты направления этой прямой, а аь
Ьисг — координаты некоторой определённой точки второй
прямой и Lu Мъ Л/і — коэффициенты направления этой второй
прямой. Косинусы углов наклона первой прямой а, р, у и второй
аі> Pi» Yi к осям координат определяются по формулам (33):
cos а = 4г ¦
cos ft = 4-
cos y = dr
m
VL* + M* + '№ '
TV
Vl*+m*+n* '
cos ax =
cos^1 = +
cos Yi = rb ¦
VL'i + M'{-j-Nf
Mi
l/if + A^ + Af'
Vl\+m:i+nI'
Косинус угла <p между этими прямыми определяется по
формуле (1.0):
cos (р = cos a cos ax -f- cos ^ cos ^ -f- cos y cos Yi-
После замены косинусов углов а, р, y> аі> Рі> Yi ***
выражениями получим:
, LLl + MMl+NNi i0A,
|/12^,^ + /^.)//,2 + /И2+дг2
203

Из этой формулы вытекает условие перпендикулярно-
сти. при <р = 4 cos<p = 0, и следовательно,
Ых + ММг + NNX = 0.
Условие параллельности вытекает из самого
значения (33) коэффициентов L, М, N и 1Ь Мъ Nx:
_1
Li
N
Л/Г
Если к рассматриваемой прямой провести перпендикулярную
плоскость, то косинусы углов направления прямой и
перпендикуляра к плоскости должны быть равны, т. е. коэффициенты
Л, В, С соответственно пропорциональны коэффициентам Ly
М, N:
d—?.—?.
Например, плоскость, выражаемая уравнением
Зл: -J- 4j/ + 122г — 26 = О,
и прямая линия, определяемая уравнениями
лг — 5 у — 1 z — 2
~3~~ """Г- — ~ТГ'
перпендикулярны, так как в обоих случаях
3 „ 4
cosa = ro , cos? = -к ,
12
cost=j5.
13 ' — г — 13
Определение угла наклона прямой к плоскости. Угол
между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой
и ее "проекцией на плоскость и по данным уравнениям
прямой и плоскости также может
быть вычислен.
В самом деле, направление
данной прямой uv (черт. 112)
определяется косинусами
L
cosa =
Черт. 112.
COS б =
cosy —
М
N
а направление, перпендикуляра uw к данной плоскости S опре-
204

деляется косинусами
, Л ог В
cos а = т . , cosp =
±YA* + B* + C* ' г =иул* + Въ + С2 '
с
COSY = г =" •
Но
/vuw=~ — со
и
cos (-?— <f]=cosa cosa'-[-cos ficos ?f-{~cosYcosY''
Следовательно,
/ л \ . AL+BM4-CN /oe.
cos hr — cp = sin cp = r -——; =? . (35)
Условие параллельности плоскости и прямой. Если
прямая параллельна плоскости, то <р = 0 и sincp = 0. Следовательно,
AL-\~BM-\-CN=0.
Л, В, С, как следует из нормального уравнения плоскости,
являются коэффициентами направления перпендикуляра к.
плоскости (перпендикуляра, опущенного из начала координат, а
стало быть, и какого угодно перпендикуляра). Следовательно,
условие параллельности прямой и плоскости является условием
перпендикулярности данной прямой и перпендикуляра к данной
плоскости, что ясно и геометрически.
Условие перпендикулярности плоскости и прямой.
Коэффициенты Л, Ву С уравнения плоскости, как мы видели,
являются коэффициентами направления перпендикуляра к плоскости.
Поэтому, если прямая с коэффициентами направления Ly М, N
перпендикулярна к плоскости, то она будет параллельна
перпендикуляру к этой плоскости. Следовательно,
L — 4* — И.
А —В ~~С '
Пример 1. Задана плоскость уравнением 2х~\~у -[-22—8 = 0 и
*—1 У-2 *-4 „
прямая уравнениями —— = —^—= 12 ¦ . Определить угол наклони
данной прямой к данной плоскости.
Решение. Коэффициенты направления прямой: 3, 4 н 12, а
коэффициенты направления перпендикуляра к плоскости: 2, 1, 2. Если
обозначим угол наклона прямой к плоскости через ср, то по формуле (35)
будем иметь:
2-34-1-4 + 2.12 _б + 4 + 24_ 34 34
Б1П?~у'22^і2^22.У32+42 + 122~>л9"-]/'іб9~3-і^ ~~39"
205

Угол у близок к прямому, так как величина sin?, равная —, близка к
единице.
"Пример 2. Через точку Л1(3, —1, 7) провести прямую,
перпендикулярную к плоскости Злг + 2.У — 52 + 6 = 0, и составить уравнения
этого перпендикуляра.
Решение. Уравнения прямой напишем в каноническом виде, т. е.
в виде ряда равных отношений;
L M. N '
Задача состоит в том, чтобы определить постоянные величины,
входящие в это уравнение, т. е. xh уъ zx и Lt Mt N. Числа хь уъ zx
являются координатами некоторой точки прямой. За такую точку
можно принять точку М(3, —1,7). Следовательно, можно положить
*і = 3, ^ = —1, zi — 7.
?,, Mt N— коэффициенты направления прямой, а коэффициенты при
текущих координатах в уравнении данной плоскости, т. е. числа 3, 2,
— 5, пропорциональны косинусам углов наклона к осям координат
пе р п е н д и к у л яра к данной плоскости. Искомая прямая должна
быть перпендикулярна к данной плоскости. Следовательно,
коэффициенты направления L, М, .N должны быть пропорциональны числам 3,
2,-5:
1:Л*:ЛГ=3:2:— 5;
поэтому числа 3, 2, — 5 могут быть приняты за коэффициенты
направления искомой прямой, и уравнение её будет иметь вид
*—3_У+1_г—7
3 2 ~ —5 *
Пример 3. Через точку М (3, — 1, 7) провести плоскость,
перпендикулярную к прямой, заданной уравнениями
-у— 2 з^+ 1.___ *
5 ~ 4 ~~ 6 *
Решение. Пусть искомое уравнение плоскости будет:
Ax + By + Cz + D = 0.
Эта плоскость должна, по условию, проходить через данную точку
jW(3, —1, 7). Следовательно,
ЗЛ — B + 7C + D=sQ.
Почленным вычитанием исключаем коэффициент D:
A(x-S) + B(y+l) + C(z-7) = 0.
При произвольных коэффициентах Л, Ву С это уравнение представляет
любую плоскость, проходящую через точку М (3, — 1, 7). Из- них
нужно выбрать ту, которая перпендикулярна к данной прямой, т. е.
А, В, С должны быть пропорциональны коэффициентам направления
данной прямой:
5 ~~4 ~ б *
206

Таким образом, в уравнении плоскости
Л(*-3) + ДО' + 1) + С(*-7)=:0
вместо Л, Ву С можно взять какие угодно числа, пропорциональные-
числам 5, 4, б, например равные этим числам:
5(лг-3) + 4(з/ + 1) + б(2-7) = 0.
§ 12. Определение расстояния точки от плоскости.
Пусть задана точка своими координатамиМ[xuyuz1) и
некоторая плоскость своим уравнением
Ax + By-\-Cz-\-D=0. (36)
По этим данным требуется определить расстояние точки М
от данной плоскости, т. е. определить величину
перпендикуляра MQ, опущенного из этой
точки на плоскость (черт. 113).
Будем обозначать этот
перпендикуляр через d:
d=MQ.
Проведём через точку М
плоскость UV, параллельную данной^.
плоскости ABC. Расстояние У
между этими плоскостями везде Черт. ИЗ.
одинаково и равно искомому
расстоянию d данной точки от данной плоскости. Опускаем из
начала координат О перпендикуляр ОР на данную плоскость
ЛВС и продолжаем его до пересечения с проведённой
плоскостью UV в точке Ру Обозначим через р и рх расстояния
начала координат до первой и второй плоскостей:
ОР=р и ОРг=Ри
Как видно из черт. 113,
QM = PPX = ОРг — ОР=рг —р==^
Таким образом, задача сводится к определению р и ри
Приводим уравнение данной плоскости Ах-\-By-{-Cz-\-
-]-?>= 0 к нормальному виду:
Ax + By+Cz+JD _ 0 (37)
±У~А* + В*+С*
или
jecosa-|->ycosP -f-^cosY—р = 0. (37')
207'

если положим
А В о *
= cos а. —. . = cos p.
+ Уа* + В*-{-С2 + Ya* + B* + C*
С D
= cosy, -„г,, , п., F5g-= "-*/*«
(38)
+ул*+в*+а " ±Ya*-\-b*+'C*
Знак перед радикалом выбирается противоположным знаку
свободного члена D в данном уравнении. Углы a, [S, у СУТЬ Углы
лаклона прямой ОР к осям координат.
Таким образом, р может считаться определённым:
р= , ° (38')
Уравнение второй плоскости UV будет отличаться от
уравнения первой (37') только в последнем члене, так как углы
наклона перпендикуляра р' на неё к осям координат
те же. Если бы начало координат было между плоскостями
ABC и UV, то мы считали бы углы наклона перпендикуляров
к осям координат одинаковыми, но рх пришлось бы тогда
считать отрицательным1), а не положительным, как принято при
приведении уравнения плоскости к нормальному виду. Таким
образом, уравнение второй плоскости должно иметь вид
х cos а -\~у cos р -{- z cos у—рх = 0, (39)
где cos a, cosp, cosy определяются формулами (38), а рг ещё
неизвестно и подлежит определению.
Уравнению (39) должны удовлетворять координаты любой
точки плоскости UV, стало быть, и координаты хъ уъ zx
данной точки М. Таким образом, должно иметь место равенство2):
хг cos a-J-j/! cos (i -\~zx cos у — px = 0. (40)
В этом равенстве все величины, кроме рх, уже известны: хи
уи zx даны, cos a, cos[5, cosy определены формулами (38).
Из равенства (40) определяем рх\
рх =хх cos a-\-yx cos р -\-zx cosy. (41)
Искомое расстояние d, равное рх —/?, теперь вполне определи-,
лось:
i = x1cosa-f.y1cosp-j-2r1cosy — p. (42)
1) Ср. стр. 66.
2) Это равенство не есть уравнение плоскости, ибо в этом
равенстве нет т е к у щ и z координат.
208

Подставляя вместо cos a, cos [J, cos у ир их выражения (38) и (38'),
получим величину искомого расстояния, выраженную
непосредственно через данные:
Ya*+b* + c* • ( '
Таким образом, для определения расстояния дайной точки от
плоскости, данной уравнением, надо привести уравнение
плоскости к нормальному виду; первая часть этого уравнения при
х = хи у=уь z = zx И выражает искомое расстояние.
Расстояние точки от плоскости, вычисленное по формуле
(42) или (42'), может оказаться и отрицательным. По исходному
определению d=px—р. Самый способ приведения данного
уравнения к нормальному виду предполагает для р
положительное,значение, но рг может быть и отрицательным. Расстояние
d=pi—р будет положительным, если/^^р, и
отрицательным, если рх<^р> Если Рі^>р, то точка М и начало
координат О лежат по разные стороны от данной плоскости,
а при рг<^р эти точки М и О лежат по одну сторону от
данной плоскости.
Пример. Определить расстояние точки М(— 3, — 2, 1) от плоскости,
заданной уравнением
2х —_у + 2г+Г2 = 0.
Решение* Нормальное уравнение данной плоскости:
2* —y + 2z+12
— У22+12+22
Следовательно,
2.(-3)-(-2) + 2-1 + 12_-6 + 2 + 2+12 31
— /4+1+4 —3 ~~ 3"
Основные врпросы.
1. Что такое уравнение плоскости? Какой оно степени?
2. Какое геометрическое значение имеют коэффициенты
нормального уравнения плоскости? .
3. По какой формуле вычисляется угол между двумя плоскостями,
заданными своими уравнениями?
4. Условие параллельности двух плоскостей?
5. Условие перпендикулярности двух плоскостей?
6. Что такое уравнения прямой в пространстве? Сколько
уравнений необходимо и достаточно для определения прямой?
7. Какое геометрическое значение имеют коэффициенты
канонических уравнений прямой?
8. По какой формуле вычисляется угол между двумя прямыми,
заданными своими уравнениями?
9- Условие параллельности двух прямых?
10. Условие перпендикулярности двух прямых?
14 Курс высшей математики 209
= 0.

11. По какой формуле вычисляется угол наклона прямой к плоскости?
12. Условие параллельности прямой и плоскости?
13. Условие перпендикулярности прямой и плоскости?
14. Как вычислить расстояние точки, заданной своими координатами,
от плоскости, заданной своим уравнением?
15. Каково геометрическое значение знака, получаемого в
результате предыдущего (вопрос 14) вычисления?
Основные задачи.
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку
М (xv Уи гг) параллельно данной плоскости
A1x + B1y + C1z + D1 = 0.
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку
M(xv yv zx) и перпендикулярной к двум данным плоскостям
ЛіЛг + ^ + ^ + ^і^0 и' A2x^B2y + C2z-\-D2 = 0.
3. Составить уравнения прямой, проходящей через данную точку
М (xlt yv zx) и параллельной данной прямой
х — а у — Ь z—с
4. Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку
М (xv угі гх) и перпендикулярной к данной плоскости
Ax+By + Cz + D=0.
5. Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку
М(хг, yv zx) и параллельной двум-данным плоскостям
Ах + Ву-гCz + D = 0 и Ддг + ЯіУ+?> + ?>!==().
6. Как определить коэффициенты направления прямой пересечения
двух данных плоскостей?
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Где лежат все точки, для которых координаты х непроизвольны,
а координата z одна и та же для всех точек?
2. Показать, что точки (а, Ь, с) и (— а, — Ь, — с) симметричны
относительно начала координат-при любых значениях а, Ъ и с.
3. Вычислить координаты вершин прямоугольного параллелепипеда,
если начало координат помещено в его центре, координатные плоскости
параллельны его граням, и при этом три ребра, выходящих из его
вершины, равны б, 8 и 10.
4. Вычислить координаты вершин тетраэдра, если ребро его равно а,
начало координат лежит в одной из его вершин, ось х совпадает с
одним из рёбер тетраэдра, плоскость хОу — с одной из граней тетраэдра.
5. Решить предыдущую задачу, предполагая, что начало координат
помещено в центре тетраэдра и оси сохраняют прежние направления.
6. Определить расстояние между точками (5, 0, 1) и (3,-1,-1),
а также расстояния одной из них от точек, симметричных с другой
относительно координатных плоскостей.
210

7. Определить длины рёбер тетраэдра, заданного координатами его
вершин Л (2, 1, 1), В (3,-2,1), С (—2, 3, 5), D (2, 3,-4).
8. Найти точку, находящуюся на расстоянии, равном 1, ю
плоскости yOz и в равных расстояниях от точек (2, 3, 1), (1, 2, 1), (5, 0, — 3V
9. Найти точку, находящуюся на равных расстояниях от точек
(2, 1,-1), (3,-1, 2), (0,-5, 1), (0, 0, 1).
10. Разделить отрезок прямой, соединяющей точки (1, 2, 3), (—5„
7,-2), на три равные части и определить координаты делящих точек.
11. Расстояние между точками (х13 yv zx) и (лг2, Уз* *<>) разделить
в отношении I;
хг
5
— 3
5
— 1
0,1
Ух
3
-5
-5
4
0,2
*\
— 1
— 4
2
4
0,3
лг2
1
3
-7
-5,7
4
У%
— 1
4
3,5
0,3
— 1
Z-2
0
— 1
0,5
— 1
3,5
1
1
2
3
2
0,7
4,3.
1
12. Даны координаты одного конца отрезка АВ: А (1, 2,-5) и
координаты точки С (-— 1, — 5, 2), делящей этот отрезок в отношении 3:5,
Определить координаты второго конца его.
13. Доказать, что отрезки, соединяющие середины
противоположных ребер тетраэдра, проходят через одну точку и делятся в ней
пополам.
14. Где лежат точки, координаты которых удовлетворяют уравнению-
jr2+J'2-f-.2;2 = 36? Какими соотношениями связаны координаты точек
пересечения этой сферы с плоскостями координат и с плоскостью^
делящей пополам двугранный угол между плоскостями xOz и хОу>
15. Составить уравнение геометрического места центров шаров,.
касающихся двух плоскостей xOz и хОу.
16. Определить геометрическое место центров шаров, касающихся?
плоскости хОу и плоскости, делящей пополам угол между плоскостями
хОу и yOz.
17. Где лежат все точки, координаты которых удовлетворяют
уравнению
18. Какой геометрический смысл имеют уравнения
v2 z*
19. Написать уравнение цилиндра, ось которого совпадала бы
с осью у и который касался бы шара с центром в точке (8, 0, 6) и
радиусом, равным 5.
14* 211

20. Парабола y*~2pz вращается около своей оси. Составить
уравнение поверхности вращения.
21. ГкГстроить три или четыре какие-либо точки, координаты
которых удовлетворяют одной из систем уравнений:
2-х — у, г = 5дг— Ъу\ (1)
2х — у + 3г=1, z = 2x + Zy; (2)
2x + Sy + 7z = 24t х— 5y + 3z = 4. (3)
22. Найти геометрическое место точек, находящихся на расстоянии
5 от точки (6, 8, 10)-и на расстоянии 8 от плоскости хОу.
23. Какими соотношениями связаны координаты точек, расстояния
которых от трёх данных точек (1, 2,-1), (1, 0, — 5), (3,-2, 1) равны
между собой?
24. Какой геометрический смысл имеет уравнение, получаемое
в результате исключения координаты z из уравнений
д*-|__у2 + г2 — r%9 x-\-y — z = a7
25. Дана сфера л:2-(-ya-)-z2 —а2. Найти проекцию на плоскость
xOz линии пересечения этой сферы с плоскостью, делящей пополам
угол между плоскостями xOz и yOz.
26. Даны плоскости, делящие угол между плоскостями хОу и yOz
на три равные части. Определить проекции на плоскость yOz линий
пересечения этих плоскостей с цилиндром у-=\Ьх\
27. Дана плоскость 2х + Ъу — bz -f-1 = 0. Определить отрезки,
отсекаемые этой плоскостью на осях координат.
28. Определить отрезки, отсекаемые плоскостью 2х-\~Ъу—lz —
— S4 = 0 на осях координат.
29. Построить линии пересечения плоскости х — 2у-\-Ъг—18 = 0
с плоскостями координат.
3?. Построить треугольник, лежащий в плоскости
?х-\-у + 5.г —30=0,
вершины которого проектировались бы на плоскость хОу точками (2, 9),
(4, 3), (1, 7).
31. На плоскости 2x-\-3y-{-4z— 24 = 0 построить прямые, которые
проектировались бы на плоскость хОу прямыми:
1) х — Ьу = 0] 2) 5лг — Зу = 60; 3) 3^ + 2^-18 = 0.
32. Найти плоскость, проходящую через точки, симметричные
с точкой (1, 2, 5) относительно координатных плоскостей.
33. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
{2,-1,3) и ось z.
34. Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные
точки (0, 0, 1), (7,-1,5), (5, 2,-3).
35. Составить уравнения граней тетраэдра с вершинами (2, 1, 1):
(3,-2, 1), (-2,3, 5), (2,3,-4).
36. Определить точку пересечения плоскостей
2x-ZyA-bz —11 = 0,
x — by-\-7z— 7 = 0,
2* — Sy + z + 1=0.
212

37. Показать, что плоскости
Здг — 5у + 72 —1=0,
2х + 7у-22+3 = 0,
проходят через одну и ту же прямую.
38. Построить прямые, заданные уравнениями:
1) 2дг+3.у-72 = 4, *+_y —2z=:l;
2) 2дг—З.у + 2—12 = 0, д: —2^ + 52^-20 = 0;
3) 3* —5у + г — 30 = 0, 2лг —7^ + 112 + 1=: 0.
Построить две какие-либо точки каждой прямой.
39. Построить проекции прямых
1) х + 2у
2) 2х + Ъу
2 — 8=0, 2х+ ,у + 32—12
г = 18, 3* — by + 22 — 60
:0
на плоскости хОу и xQz,
40. Построить прямые, проекции которых на плоскости xOz и yOz
представляются уравнениями:
1)2 = —3* + 12, 2 = —5у + 10;
2) Т+Т"1' Т+-3
і;
3)
д;
+ Л-1 ?_?-!•
4) |-f =1, У = 32-1.
41. Привести к каноническому виду уравнения следующих прямых:
1) 5^ — 2^ — 112 — 110 = 0, Зх — 5у+ 2 — 30 = 0;
2) 2*— З.у+ 72— 1=0, 2-г-і-З.у — 11* — 8=0;
3) 7дг — 5у-- г— 7 = 0, л:+ .у—Ш + 18 = 0;
4) 5у — Злг+ 7г— 9=0, 22 —5л*— >+ 9 = 0-
42. Написать уравнение прямой, проходящей через точки (2, 3,— 1)
и (7, - 1, 4).
43. Написать уравнения рёбер тетраэдра, заданного координатами
его вершин
(2, 1, 1), (3, - 2, 1), (- 2, 3, 5), (2, 3, - 4).
44. Определить плоские углы при одной из вершин тетраэдра
предыдущей* задачи, а также его двугранные углы.
45. Даны плоскость и прямая
2x + y + 2z-8=0, -^і=2^-2.=?^і-.
Определить угол наклона этой прямой к данной плоскости.
46. Определить углы наклона рёбер тетраэдра ABCD: А(2, 1, 1)„
?(3,-2,1), С(—2, 3, 5), Z)(2, 3,-4) к его граням.
47. Написать уравнения высот тетраэдра с вершинами
(2, 1, 1), (3, - 2, 1), <- 2, 3, 5), (2, 3, - 4).
213

48. Через вершины тетраэдра
Л (2,1, 1), 5(3,-2,1), С (-2,3, 5), 0(2,3,-4)
привести плоскости, параллельные противоположным граням.
49. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1, 2,3)
перпендикулярно к прямой
лг— 1 у + 1 __ z—b
~~2 " 3 ~" 1 '
50. Найти двугранные углы между плоскостями:
1) 2дг — 7y + 8z — 11=0, За- —5jy+ z— 11=0;
2) ЪхА-Ьу — 2z± 7 = 0, х — y + 4z~ 4=0;
3) х+ y—*z + 1=0, 2х— у + z —17 = 0.
'51. Найти расстояние точки (5,-2, 7) от плоскости
2^ — 3^ + ^—11=0.
52. На оси z найти точку, находящуюся на равных расстояниях от
плоскостей
12*4-9у — 202— 19 = 0, 16* — 12у +15^ — 9 = 0.
53. На оси х найти точку, находящуюся от плоскости
3Л--4.у-{-12*-9 = 0
на расстоянии, втрое большем, чем от плоскости
9х + 20у — I2z + 27 =0.
54. Определить длины высот тетраэдра ABCD: А (2,1,1), В (3, — 2,1),
С(-2, 3, 5), -D(2, 3,-4).
55. Определить координаты центра шара, вписанного в тетраэдр
ABCD: Л (2, 1, 1), 5(3,-2,'1), С (—2,3,5), D (2, 3,-4).
56. Доказать, что плоскости
2х -~3y + Vdz — 8 = 0, 2x + yTy — 5z=l2
касаются одного и того же шара с центром в начале координат, и
определить его радиус.
57. Составить уравнение плоскости, касающейся сферы
(* -1)2 + 0> - 2)2 + (г - З)2 = 36
и проходящей через точки (2, 1, 11) и (—7, 1, 13).
58. Даны координаты вершин тетраэдра: (4, 0, 3), (—2, 5, 1),
(5,-1, 0), (0, 2,-1); 1) написать уравнения граней и уравнения
высот в канонической форме; 2) определить координаты центра и радиусы
вписанной и описанной сфер; 3) вычислить длины рёбер и высот; 4)
определить плоские углы при* его вершинах, а также углы между его
гранями.
59. Дан тетраэдр с вершинами
Л (-2, 5,1), 5(4,0,3), С (5, -1,0), D (0,2,-1).
Написать уравнения граней, определить углы между его рёбрами,
гранями, углы наклона рёбер к граням, длины высот.
214

60, Даны координаты четырёх вершин тетраэдра:
Я(3, 2, б), <?(5, 4, 3), R (в, 1, 1~), S (8, Зу, 4-|)
(черт. 114); 1) определить координаты оснований перпендикуляров»
опущенных из вершин тетраэдра на противоположные грани; 2)
определить высоты тетраэдра; 3)
определить углы наклона каждой высоты
к рёбрам, выходящим из той же
вершины, что и высота; 4) определить
угол наклона рёбер тетраэдра к
граням его; 5) определить координаты
центра описанного шара; 6)
определить координаты центра
вписанного шара; 7) определить рёбра
тетраэдра; 8) показать, что прямые,
соединяющие середины
противоположных ребер тетраэдра, проходят через
одну точку и делятся в этой точке
пополам.
Решение. 1) Будем
рассматривать перпендикуляр, опущенный из
вершины S на грань PQR. Пусть
основание этого перпендикуляра будет Н, Координаты точки Н
удовлетворяют уравнению плоскости PQR и уравнениям прямой $Н. Составим
эти уравнения.
Уравнение плоскости PQR. Пусть Ax + By + Cz-{-
-f-D = 0— искомое уравнение. Координаты точек Р(3, 2, 6), <?(5, 4, 3)
и r(8, 1, 1-Н-) должны удовлетворять этому уравнению;
ЗА+2В + 6С +D = 0,
5Л + 4Я + ЗС +?>=0,
8Л+ В + 1^+0 = 0.
Черт. 114.
Разделяя все члены этих равенств на О, получим три уравнения для
„ЛВС
определения неизвестных трех отношений -=r, jr, jri
D
D
D
5^ + 4^4-3 ? —1
ЯЛ4 5_м1С- 1
D
D
2 D
Решая эти уравнения, находим:
А 1 В
?>~ 10' і)"
1
20•
1
10'

Следовательно, уравнение плоскости PQR имеет вид
~15~Й~ГО+1==0 ЙЛИ 2^+^ + 2^-20 = 0. (1)
Уравнение прямой SH. Так как прямая SH
перпендикулярна к плоскости PQR> то коэффициенты направления прямой SH
пропорциональны коэффициентам при текущих координатах уравнения
плоскости:
2 1 2 -
Таким образом, уравнения прямой, проходящей через точку
5(8, 3^,4),
имеют вид
л--8„^-3?_'-4 (2)
2 "" 1 ~ 2 е
Для отыскания координат точки Н нужно решить совместно
уравнения (1) и (2). Называя общее отношение уравнений (2) через \ будем
иметь:
х- 8_-У-3Т_^-4Т_1
—2— — \ 2 '
¦откуда
х^8 + 2\, у=ъ±+\ * = 4-|+2L
Подставляя эти выражения в уравнение (1) плоскости PQR, получим:
2-(8 + 2Х) + (зі+х) + 2 (4^+2^-20 = 0, или 9Х + 9 = 0.
Отсюда
Х = -1.
Следовательно,
* = 8-2 = 6, ^ = 3-1-1 = 21, * = 4-|-2 = 2і.
Отв. Н (б, 2і, 2 А).
2) Определение высоты SH тетраэдра. SH можно
определить как расстояние точки S (8, Зу, 4-jj от плоскости PQ/?,
уравнение которой уже известно:
2л-+у + 2г-20 = 0.
Имеем:
2'S + 3y + 2.4|--20 16+3^+9^-20
Ш= + у2" + 1» + 2* = 3 =3'
216

3)'Уравнения прямой SH уже известны;
2 1 "" 2
Составим теперь уравнения прямой SP. Принимая во внимание, что
(1 Ъ \
8, Зу, 4-j], мы можем
написать уравнение этого ребра в следующем виде;
*-8_^-4_'-4
L "-*" Л? "~ #
Коэффициенты направления пока неизвестны. Но та же прямая
проходит через точку Я(3, 2, 6). Следовательно, координаты этой точки
должны удовлетворять предыдущим уравнениям:
3-8 2_3Т 6_4Т L М N
или -=-
L М — N¦ ' 5 ~ 1 ~ I '
2 4
Таким образом, уравнения прямой SP теперь вполне определились:
,-8 *-4 2-4
5 1,5 —1,25 *
Угол между прямыми SH и SP пусть будет <р; тогда
_ 5-2+ 1,5*1 -1,25-2 3
cos ? — ^____ ^ ^ ____. — у28>8125 '
log cos? = 1^74733; у = 56°1'13".
Oma. у = 56°ПЗ":
4) Обозначим угол наклона прямой SP к грани Р<?# через Ф; тогда
• » 3
sin ф = .- г.
/28,1825
Оям. <|> = 33°58'47".
5) Указание. Обозначим центр описанного шара через
Л4;'координаты точки М неизвестны. По условию, имеем:
MP = MQ, MP = MR, MP^MS.
Применяя формулы расстояния, получим три уравнения с тремя
неизвестными.
Решая их и найдём искомые координаты центра описанного шара.
6) Указание. Если N— центр вписанного шара, то расстояния
точки N от граней тетраэдра PQRS равны между собой. Применяя
формулу для определения расстояния точки от плоскости, уравнение
которой дано, и сравнивая полученные выражения, мы получим
достаточное число уравнений для определения неизвестных координат
217

точки N. При этом нужно обратить внимание на положение начала
координат относительно данного тетраэдра и на знак выражений,
определяющих расстояния точки N, лежащей внутри тетраэдра PQRS,
•от граней его.
7) Отв. Р<2 = ]Л7 = 4,1 и т. д.
8) Указание. Определяются координаты середин
противоположных рёбер и потом координаты середины расстояния между этими
серединами. Какие бы пары противоположных рёбер ни взяли, получим
¦одну и ту же точку.
ГЛАВА VIII.
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
§ 1. Поверхности, представляемые уравнениями второй
степени относительно текущих координат.
Поверхность, представляемая уравнением второй степени
относительно координат х, у, z, т. е. уравнением вида
Ах2 + By2 + Cz2 -f Dxy + Exz + Fyz +
+ O* + #j> + Z* + #=01 (1)
называется поверхностью второго порядка, так как с каждой
прямой такая поверхность имеет не более двух общих точек.
В самом деле, положим, что мы ищем точки пересечения
поверхности с прямой, выражаемой уравнениями
L ~ М ~ N ' ^'
Решая совместно уравнения (I) и (2), мы найдём, вообще говоря,
два решения хи уь z1 и х2і у2, z2. Каждое из атих решений
и даёт точку пересечения прямой с поверхностью. Если эти
решения действительны, прямая действительно пересекает
поверхность в двух точках; если решения мнимы, прямая не
пересекает поверхности; если оба решения совпадают, обе точки
пересечения сливаются в одну, и прямая касается поверхности.
При решении уравнений (1) и (2) всего проще ввести новое
-неизвестное ty равное общему отношению в уравнениях (2):
х — а у— Ь г — с .
L ~~ М — —ЛГ —1%
Отсюда
$ = а-\-и% y = b-\-Mtt z — c-^Nt (3)
218

Вставляя эти выражения в уравнение поверхности (1), получим:
-\-П{а + Щ(Ь + ЛЩ + Е{а-\-1л){с + Щ +
+ F(b-\-Mt)(c + Nt) + G{a + Lt)+H(t> + Mf) +
+ /(*+Л8)+*=0.
Раскрывая скобки и располагая выражение в первой части по
степеням I, будем иметь;
PP+Qt + R = 0, (4)
где Р, Q и R — сокращённые обозначения полученных
коэффициентов предыдущего уравнения. Определив отсюда t, по
формулам (3) вычислим и искомые координаты х, у, z.
Может случиться, что величины а, Ь, с к L, Ж, N,
входящие в уравнение прямой, будут таковы, что коэффициенты/3, Q9R
уравнения (4) обратятся в нули:
Р=0, Q = 0, # = 0.
В таком случае уравнение (4) имеет неопределённое
решение для /, а следовательно, и координаты (3) ху у и zt
удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будут неопределёнными, т. е.
всякая точка прямой (2) принадлежит и поверхности (1),
иначе — прямая (2) умещается всеми своими точками на поверхности
второго порядка. Таким образом, прямая или пересекает
поверхность второго порядка в двух точках, или её совсем не
пересекает, или касается поверхности, или умещается всеми своими
точками на поверхности.
Мы ограничимся исследованием только отдельных типов
поверхностей второго порядка; именно рассмотрим следующие
четыре группы:
I. Поверхности, уравнения которых не содержат одной или
двух текущих координат, т. е. уравнения вида
f{x9y) = 0, /(*,*) = О, /Cy,*) = 0, /(х) = 0 и т. д.,
и притом только следующие частные случаи этих уравнений:
vf*+i~l=°> 2)S-P~^=0, ?)у*-2рх = 0,
7) г2 + с2=0, 8) z2 = 0.
II. Поверхности, уравнения которых однородны относительно
координат х, yt z, т, е. каждый член уравнения — одного и то-
219

го же измерения относительно текущих координат:
*-2 1/2 У2 у-2 , і;2 , *2
і)^И-гг«о, 2)^+^ + ^ = 0.
III. Поверхности, выражаемые уравнениями вида
IV. Поверхности, выражаемые уравнениями
|+^ = 2г и ?_^=2г, причам р>0, ?>0.
Путём преобразования координат общее уравнение второй
степени может быть сведено к одному из этих типов.
О форме поверхности, заданной уравнением, можно судите
по ряду сечений её плоскостями. Всего проще определяются
сечения плоскостями координат и плоскостями, им параллельными.
Относительно изображения изучаемой поверхности на
чертеже должно заметить следующее. Абрис или контур
изображения поверхности разделяет её на две части; одну
переднюю, которая видна зрителю чертежа, и другую, которая этой
передней стороной от него закрыта. Если какая-либо линия
начерчена на передней, видной стороне поверхности, то мы
будем изображать её сплошной линией; если линия начерчена на
закрытой части поверхности, то будем изображать её пунктиром,
а, если линия переходит из видной части поверхности на
закрытую, то изображение её на чертеже касается абриса и в точке
прикосновения разделяется на две части: видную {сплошная
линия) и закрытую (пунктирная линия). Иногда, ради большей
выпуклости чертежа, пунктиры на закрытой части поверхности
совсем можно опустить.
§ 2. Цилиндры.
Из первой группы рассмотрим уравнение 3), исследование
же двух первых будет совершенно аналогично.
Уравнение
у* = 2рх (5)
представляет, как мы знаем, на плоскости ху параболу ЛОВ;
в пространстве же оно представляет цилиндрическую поверхность
с этим параболическим основанием, или сечением, и образую*
щими, параллельными оси z (черт. 115), В самом деле, если
220

Ц\КХ^У\) — какая-нибудь точка параболы, а прямая М^М
проведена параллельно оси Oz: то координаты лЛбой точки М
этой прямой хь уи zx будут удовлетворять уравнению (5),
каково бы ни было z, ибо, по
условию, Мх (хъ уг) лежит на
параболе;
уі = 2рхи
azx в уравнение (5) совсем не
входит, иначе — входит с
коэффициентами, равными нулю.
Точно так же уравнения
?—l^ 1 = 0
и
X
.о
У
а-
Черт. 115.
представляют цилиндрические поверхности с образующими,
параллельными оси Oz, а сечениями — первое с эллиптическим
Черт. 116.
Черт. 117.
(черт. 116), а второе с гиперболическим (черт. 117). Вообще
уравнение, в котором отсутствует какая-нибудь координата,
представляет цилиндрическую поверхность с образующими,
параллельными соответственной оси координат. Так, уравнение
f(x,z) = 0 представляет цилиндрическую поверхность с
образующими, параллельными оси у.
Но такого же вида уравнения могут представлять
поверхности второго порядка, распавшиеся на пару плоскостей.
Действительно, введя в уравнение цилиндра соответствующий
параметр, можно путём изменения этого параметра довести цилиндр
до распадения.
221

Так, уравнения
представляют: первое — эллиптический цилиндр, второе —
гиперболический, с полуосями перпендикулярного сечения ka и kb.
Если k будем уменьшать до нуля, то первый цилиндр будет
становиться тоньше и тоньше и в пределе обратится в прямую
линию — ось г, а второй будет деформироваться, стремясь в
пределе к своим асимптотическим плоскостям. Предельные
уравнения этих поверхностей и будут уравнения 1,4) и 1,5) § 1:
fL2+? = 0 и 3-? = °-
а2 * Ь* а2 о2
Эти уравнения могут быть представлены в виде равенств
нулю произведений линейных множителей1);
где f = l/— 1, и
(т+*)(т-*)-*
Первое уравнение представляет пару мнимых плоскостей
с действительной осью пересечения, именно осью z:
—и 1^ = 0 и *4- = 0;
а * Ъ а Ь '
вторая — пару действительных плоскостей;
?. + ? = 0 и ?-? = 0.
с ' & а Ь
В уравнении 1,6) § 1
отсутствуют две координаты, и потому оно представляет пару
параллельных плоскостей, параллельных именно плоскости Оху,
ибо z постоянно:
г2_с2 = 0 или {z + c)(z — с) = 0, т. е. / z + c = 0 или
\ z — с = 0.
Те же рассуждения можно применить и к уравнению 1,7) § 1:
22_|_?2_а
і) Ср. гл. V, § 5.
222

Но здесь левая часть распадается на мнимые множители:
(z + fc)(*-«) = 0, т.е. і * + 1с = ° йли
\ z — іс = 0.
Действительными значениями координат эти уравнения
удовлетворить нельзя, но алгебраически z остаётся пост оян ным,
и потому мы можем сказать, что такое уравнение представляет
также пару параллельных, но мнимых плоскостей.
Уравнение I, 8) § 1
z2 = 0
можно рассматривать как предельное уравнение 1,6) § 1, когда
с стремится к нулю. Обе параллельные плоскости стремятся
к совпадению и сливаются в одну плоскость Оху. Уравнение
22 = 0 представляет пару
слившихся плоскостей.
§ 3. Конус.
Обращаемся теперь к
уравнению
Еспілх1>у1 и ^удовлетворяют
этому уравнению, то и пропор- Черт. 118.
циональные им величины kxv
kyv kzx тоже удовлетворяют ему. В самом деле, подставляя
в уравнение (6) вместо текущих координат координаты kxt>
куг и kzl7 получим:
&х\ &у\ Шг\
+ "12 ?Г
аі
V а2 * Ьг с* J
fc=0.
А , Л 4 п #4 , *А Ы
Поэтому, если _-|-___ = о, то и -^- + -^г-__
Но точки с координатами хь уь zt и кхи kyly kzx лежат на
одной и той же прямой, выходящей из начала координат.
Действительно, пусть ОА (черт. 118) — такая прямая. Возьмём на ней
две точки; В(хъ уг, zx) и М(х, у, z). Из подобия
треугольников ОВхВ2 и ОМхМъ а потом треугольников ОВгВ и ОМ%М
имеем:
ОМг _ МХМ2 _ ОМ2 _ М2М
ов1 — вхв% ~~ овг ~ вф *
223

или
? = Л
х\ Уі
ом,
ОБ,
z
Полагая общие отношения равными k, получим:
x = kxit y = kyu
или
fel.
? = і = і. = *
JTl Уі ZX '
Если точка Ж будет перемещаться по прямой ОД то
координаты её будут меняться при изменении А пропорционально хь
уи zx. Согласно предыдущему, если
точка В лежит на поверхности,
представляемой уравнением (6), то и
прямая ОБ лежит на той же
поверхности и при перемещении точки В
по этой поверхности опишет её. Но
движением прямой, проходящей
постоянно через одну точку,
описывается коническая поверхность.
Следовательно, уравнение (6) представляет
коническую поверхность с вершиной
в начале координат.
Чтобы определить, какой это
конус, найдём, сечение его
некоторой плоскостью, не проходящей
через его вершину, например,
плоскостью, параллельной плоскости ху и расположенной на высоте
сот неё. Для этого мы должны положить в уравнении (6) z— с
и получим в этой плоскости уравнение эллипса:
Черт. 119,
х*
У
і-4-і-—1 = 0
Такой конус называется эллиптическим (черт. 119). Если а = Ь,
то получим круговой конус:
По тем же основаниям уравнение
¦ у* -
(?)
должно представлять конус. Но никакими действительными
значениями текущих координат, кроме нулевых, оно удовлетворено
быть не может, ибо левая часть его является при этих
условиях суммой положительных чисел. Можно удовлетворить этому
224

уравнению только мнимыми значениями текущих координат,
и потому мы будем говорить, что уравнение (7) представляет
мнимый конус, у которого одна только действительная точка —
вершина его.
§ 4. Эллипсоид.
Поверхность, представляемая уравнением
? + ? + ?-1 m
Х% V2 Z^
называется эллипсоидом. Так как дроби — , тЬ, ~, как квад-
раты, — существенно положительные числа и в сумме составляют
единицу, то каждая из них не может превосходить единицы.
Поэтому
Следовательно, поверхность, представляемая уравнением (8),
заключена внутри прямоугольного параллелепипеда, вершины
которого имеют координаты +Й, +bt 4h с при различных
комбинациях знаков.
Ищем теперь линии пересечения этой поверхности с
плоскостями координат. Для этого нужно в уравнении поверхности
положить z=0 для плоскости ху, у —0 для плоскости ял;
и л; = 0 для плоскости уг. Таким образом получим уравнения
соответствующих линий пересечения:
Каждое из этих уравнений представляет эллипс.
Пересечём эту поверхность ещё плоскостью, параллельной
плоскости ху и отстоящей от неё на расстояние zv Полагая
в уравнении (8) z = zu получим:
х* г v2 , 4 < .._ *2 , У _С-*і.
*3 t J'* 1^-1 или —4--^- =
отсюда находим:
ГР +
а - j [6 -
15 Курс высшей математики
= 1, (Ю)
225

т. е. плоскость z = zx пересекает исследуемую поверхность по
эллипсу с полуосями
У^Ъ , У*^
а и b г—.
Меняя zx от 0 до с, мы получим ряд параллельных секущих
плоскостей, которые будут пересекать эллипсоид по эллипсам.
Оси этих эллипсов пропорциональны:
VV^l\ V^A У*^~% У ^4
Такие эллипсы называются подобными, С увеличением
абсолютной величины zx эти эллипсы уменьшаются. Если 2* = с, то
эллипс обращается в точку, если
z1'^>ci то плоскость не будет
п'ересекать эллипсоида, оси
эллипса будут мнимые. То же самое
можно сказать и о сечениях
плоскостями, параллельными другим
плоскостям координат.
Вычерчивая эллипсы (9) и (10)
и абрис, касающийся каждого из
этих эллипсов в двух
противоположных относительно центра
точках, мы и получим изображение
исследуемой поверхности —
эллипсоида (черт. 120). Величины 2а, 2д, 2с называются его осями.
Вообще говоря, эти оси не равны между собой. Такой
эллипсоид называется трёхосным. Но если окажется, что две оси
равны, т. е.
а = Ь} или д = сі
то линии сечения плоскостями, параллельными в первом случае
плоскости ху, во втором — плоскости yz, будут окружностями.
Эллипсоид называется тогда эллипсоидом вращения, так как
такой эллипсоид может быть получен вращением эллипса около
одной из осей. Если эллипс вращается около малой своей оси,
то эллипсоид вращения называется сжатым или сфероидом,
если эллипс вращается около большой своей оси, то эллипсоид
вращения называется растянутым.
Задача. Дано уравнение эллипса на плоскости ху:
226

Этот эллипс вращается около оси 2а или около оси 2Ь. Написать
уравнение эллипсоида вращения, полученного в том и другом случаях.
§5. Гипегболоуды.
Обратимся теперь к исследованию поверхностей,
выражаемых уравнениями
и
е2 l о- с
* + fi-5 = -l, 02)
называемых гиперболоидами первого рода .(11) или второго
рода (12).
Находим, как раньше, линии пересечения этих поверхностей
координатными плоскостями и плоскостями, им параллельными.
1. Гиперболоид первого рода даёт в сечении с плоскостью;
a) ху (0 = 0) эллипс;
5+? = і; 03)
b) zx (у = 0) гиперболу:
c) yz (х = 0) гиперболу;
сі) Плоскость, параллельная плоскости ху и отстоящая от
неё на расстояние z = zb пересекает эту поверхность по кривой,
уравнение которой в плоскости z = zx имеет вид
ИЛИ
г vW^r+ /*+«?]
і=і. 06)
По этому уравнению можно заключить, что рассматриваемое
сечение будет эллипс. Меняя гъ мы получим ряд подобны^
15* Ш.

эллипсов, так как оси их пропорциональны:
С увеличением абсолютной величины гл эллипс сечения
увеличивается. При всякой действительной величине zx оси эллипса
будут действительны. Таким образом,
гиперболоид первого рода простирается
безгранично в том и другом направлениях
оси z. Вычерчивая сечения (13), (14), (15)
и два сечения плоскостями z = zx и
z = — zb мы и получим представление о
форме этой поверхности (черт. 121),
Абрис, которого коснутся эти сечения
в диаметрально противоположных точках,
имеет гиперболическую форму.
2. Пересекая гиперболоид второго
рода, представляемый уравнением (12),
теми же плоскостями, как и гиперболоид
первого рода, мы получим следующие
результаты,
а) Плоскость ху (z = 0) не пересекает совсем
рассматриваемой поверхности, иначе—пересекает её по мнимой кривой
Черт. 121.
х1
У
-4-г- —— і-
b) плоскость zx (_у=0) пересекает по гиперболе:
Xz Z2
а с
c) плоскость yz (х = 0) также по гиперболе:
Ъ1 с*~"~~ '
(17)
(18)
(19)
d) плоскость, параллельная плоскости ху (z~zx\ если
\гі\^>с* пересекает по эллипсу:
У^
Т7 +
у-
а~
V*t-c
Т7=1,
(20)
если \г1\<^с,— по мнимой кривой, т. е., иначе говоря, не пе-
228

ресекает поверхности; если z1 = c, то плоскость имеет только
одну действительную общую точку с поверхностью: лг = О'
_у = 0, гг-=су .ибо уравнение (20) или урав- 2j
нение
а2 ' ?2 с2
при ^ = с обращается в уравнение
х- + у1 = 0
Таким образом, между плоскостями
z — — с и 2 = с нет ни одной точки этой
поверхности; последняя лежит вне этого
пространства выше плоскости z = c и ниже Черт, 122.
плоскости z =— с, образуя, таким образом
две полости. С увеличением абсолютной величины z эллипс
сечения (20) увеличивается. Гиперболы (18), (19) имеют
действительные вершины на оси z. Вычерчивая сечения (18), (19) и
два сечения плоскостями z = z1 и z = —zb где |^і|^>^,
мы и составим представление о форме этой поверхности
(черт. 122). Абрис имеет гиперболическую форму.
Гиперболоид второго рода называется также двухполост-
ним, а гиперболоид первого рода — однополостным*
§ 6. Асимптотический конус.
Если какую-нибудь точку М(х,у7 z) того или другого
гиперболоида соединить с началом
координат О и удалять точку М по поверхности
в бесконечность так, чтобы она всё время
оставалась в некоторой произвольной, но
фиксированной плоскости, проходящей
через ось zy то прямая ОМ в пределе
займёт положение одной из образующих
некоторого конуса, уравнение которого
?2
а
:+^_?1 = 0
2 * Ъг сг
(21)
и который называется асимптотическим
123 (черт' 123)' В самоМ деле' пуСТЬ В^*ь
черт. гб. ^, z^ __ какая_нибуДЬ точка прямой ОМ
(черт. 118). Координаты точек М и В по предыдущему (§ 3)
229

пропорциональны:
x = kxu y = kyu z = kzv
Координаты точки M(x, у, z) должны, по условию,
удовлетворять уравнению гиперболоида;
{kxtf . (kytf (fax)» , 1
Знак -|- во второй части берём в случае гиперболоида однопо-
лостного, знак — в случае двухполостного. Из предыдущего
уравнения имеем:
k2
Л „2 „21
.2 .2 Л
Пусть теперь точка М удаляется по поверхности в
бесконечность, оставаясь всё время чв плоскости у — іх. Рассмотрим
точку прямой ОМ, имеющую фиксированную абсциссу хь а
следовательно, и постоянную ординату yx=Ixv Так как x = kxx,
где хг фиксировано, а х—> оо, то А —*оо. Но тогда последнее
уравнение показывает, что z стремится к определенному
пределу, и в пределе удовлетворяется уравнение
Таким образом, оказывается, что предельная точка B(xuybz1)
существует и её координаты удовлетворяют уравнению конуса
.(§ 3), следовательно, лежат на этом конусе, и предельная
прямая ОМ служит образующей его.
Если значения a, b и с для обоих гиперболоидоз одинаковы
или пропорциональны, то асимптотический конус у них будет
общим. Гиперболоид однополостный лежит вне этого конуса,
а двухполостный — внутри его.
§ 7. Прямолинейные образующие гиперболоида первого рода.
Выше было отмечено, что всякая прямая пересекает
поверхность второго порядка не более как в двух точках или же
вся умещается на поверхности (§ 1). Этот последний случай
может иметь место на однополостном гиперболоиде. В самом
деле, решая совместно уравнение этого гиперболоида
и уравнение какой-нибудь прямой
х ~ х' у — у z — zf
L ~ М ~ N
(23)
230

где х\ У, z'— координаты некоторой определённой точки Р
той прямой, a L, М, N—её коэффициенты направления,
исследуем, при каких условиях данная прямая умещается вся на по-
вэрхности. При решении введём вспомогательную неизвестную і,
оЗознлчэя этой буквой общее отношение в уравнениях (23):
^Zi^^Z^iZLfl^/ (24^
L М N *' W
Из уравнений (24) имеем:
.V = х' + L\ у =/ -f :Ш, z = zl + .V/.
Подставляя эти выражения для х, у, z в уравнение
гиперболоида, получим:
(x' + Lt? ,-(/ + лк)* (г + Nt? _ t
tf t Р ^ — 1.
Располагая это уравнение по ггепеням /, находим:
r^.L^-^1/» + 2 Г^4- -^ ^1/4-
= 0. (25)
Для того, чтобы прямая вся умещалась на гиперболоиде,
необходимо, чтобы значение t было неопределённым, т. е. чтобы
коэффициенты уравнения (25) в отдельности обращались в нуль:
г'2 «/2 -г'-
Последнее уравнение показывает, что точка Р(х\ у\ z') должна
лежать на поверхности; первые два определяют направление
прямой, проходящей через точку Р(х'у у\ z') и умещающейся
на поверхности. Для определения направления прямой
достаточно знать отношения её коэффициентов направления,
L М
т. е. отношения -^ , -тт.
Уравнения
J__ ? = 0 и —-+•« ~ = 0 (27)
a- ' b2 c% a2 [ b2 cz ч '
после деления первого на TV2, а второго на Л/ можно
представить в виде
Ч1\*Л-1(УУ 1 — 0 и і'іД^—-0 (274
231

¦ L M
Для определения двух неизвестных - и -^ мы имеем,
таким образом, достаточное число уравнений — два уравнения.
Следовательно, поставленная задача — задача изыскания прямой,
умещающейся на поверхности, — возможна, и вопрос
заключается лишь в том, будут ли решения этих уравнений
действительны или мнимы.
Напишем уравнения (27) или (27') в таком виде:
\аЮ "^VW ' az' aN^ bzl ЪЫ~ l ^' '
и обозначим ради краткости выражения, содержащие
неизвестные L и Ж, через и и vy а коэффициенты при них через / и т\
сі сМ схг . су' /ЛОЧ
После введения таких обозначений уравнения (27") принимают вид
ф -f v* = 1 и hi -\-mv= 1. (27'")
Решая эти уравнения, находим:
v*- = 1 — а\ m2v2 — {\— 1и)\ (29)
да2(1 — u*) = (l—lv)\ или (Р-^т^и2 —2іа-\-(\—т2) = 0у
l + Vl*- (Г- + от») ( 1-^от5) __ I ± тУ/3 + "?а - 1
Преобразуем подкоренное выражение в полученном решении,
заменяя / и т их значениями:
z -f-m-— 1 — -&р*-гь*2* l—z'2[~r г-ji —^
Точка P(jc', У, 2') лежит на поверхности; следовательно,
у'2 t/'2 -г'- Л*-!
с и г' — действительные числа, а потому -^ — положитель-
ное число, а стало быть, для и получаем два действительных
решения (30) и для v—два соответственных решения из
второго уравнения (27'"). Следовательно, по два действительных
значения имеют и искомые отношения коэффициентов
направления, как следует из формул (28) и (30).
Таким образом, через каждую точку Р(х\ у\ z') однопо-
лостного гиперболоида можно провести две различные прямые,
лежащие на этой поверхности. Обозначим одну из этих прямых,
проходящих через фиксированную точку гиперболоида PQi
232

через pQ, другую —через q0. Через каждую точку М прямой/^
проходит, по предыдущему, ещё по одной прямой, лежащей
на гиперболоиде; обозначим эти прямые буквами q. При
удалении точки М по прямой р0 в бесконечность г* неограниченно
возрастает и, в силу второго из равенств (30% 12-\-т2-\
стремится к нулю; при этом второе из решений (30) стремится
стать равным первому, т. е. угол между прямыми q и pQ
стремится к нулю. Можно показать, что прямая q стремится
к вполне определённой предельной прямой, параллельной
прямой р0 и лежащей целиком на гиперболоиде; эту предельную-
прямую, проходящую через бесконечно удалённую точку
прямой р0> мы также будем причислять к прямым q. При
движении точки М по прямой р0 прямая q будет перемещаться,
оставаясь на поверхности и своим движением образуя
поверхность. Прямые q составляют одно семейство
прямолинейных образующих однополостного гиперболоида. Точно так
же при движении точки М по прямой q0 получается второе
семейство прямолинейных образующих, которые мы будем
обозначать буквой р; мы будем причислять к ним и
прямолинейную .образующую, проходящую через бесконечно удалённую
точку прямой q0 (и отличную от qQ)a
Две прямолинейные образующие, принадлежащие к одному
семейству, например, образующие q1 и q", скрещиваются,
т. е. не пересекаются и не параллельны, ибо иначе
они с прямой р0, их пересекающей, лежали бы в одной
плоскости, и, стало быть, всякая прямая этой плоскости,
пересекающая эти три прямые р0, q\ q'\ пересекала бы позерхность
в трёх точках, что невозможно.
Каждые две прямолинейные образующие разных семейств,
р и q, пересекаются (причём не исключён и случай
параллельности, т. е. пересечения в бесконечно удалённой точке). В самом
деле, прямые р0 и q, по определению, пересекаются и
потому лежат в одной плоскости; обозначим её через а. Но
всякая плоскость пересекает поверхность второго порядка по
кривой второго порядка (см. следующий параграф). Поэтому
плоскость а. пересекая гиперболоид по паре прямых, т. е. по
распадающейся кривой второго порядка, не имеет с ним более
ни одной точки — ни конечной, ни бесконечно удалённой. Но
плоскость а пересекается с прямой р в некоторой (конечной
или бесконечно удалённой) точке. Эта точка не может лежать
на прямой р0і ибо р и р0, по доказанному, не пересекаются.
Следовательно, точка пересечения плоскости а с прямой р
лежит на прямой q, т. е. прямые р и q, действительно,
пересекаются (в конечной или бесконечно удалённой точек).
233

Таким образом, прямолинейная образующая одного
семейства, перемещаясь по гиперболоиду, пересекает все прямые
второго семейства и этими прямыми направляется в своЗм
движении. Поэтому одно из двух семейств прямых, лежащих на
гиперболоиде, можно назвать семейством прямолинейных
образующих, другое — семейством направляющих (черт. 124). На
черт.- 125 представлен гиперболоид с одним семейством
прямолинейных образующих и мнимой осью, "направленной в сторону
зрителя.
Плоскость, соединяющая прямолинейную образующую,
например р, и направляющую ду пересекает гиперболоид .по
этим двум прямым. Всякая прямая в этой плоскости,
проходящая через точку М пересечения прямых ряд, имеет с по-
Черт. 124 Черт. 125. Черт. 126.
верхностью две слившиеся в одну точки, т. е. касается
поверхности. Пло:кость (р% q) является, таким образом,
геометрическим местом касательных прямых к поверхности в-
точке М и называется касательной плоскостью к гиперболоиду
в этой точке (черт. 126).
Изгиб гиперболоида в каждой точке седлообразный, а не
такой, как у шара или эллипсоида, и потому касательная
плоскость в то же время пересекает поверхность по двум
линиям, перекрещивающимся в точке прикосновения. Такого
рода точки какой-либо поверхности называются
гиперболическими. Точки же поверхности, около которых поверхность
изогнута, как шар или эллипсоид, называются эллиптическими.
Точки поверхности могут также обладать переходным
свойством от свойств гипэрболических к свойствам эллиптическим;
таковы, например, точки цилиндра и конуса. Такие точки
называются параболическими точками поверхности.
234

§ 8. Параболоиды.
Поверхности представляемые уравнениями
2zy
р я
X*
(31)
называются параболоидами, первый (31) — эллиппшчестм,
второй (32)^— гиперболическим.
Эллиптический параболоид пересекается плоскостью
ху (2=0) по линии
Р ' Я
0.
но так как /7 и q- мы считаем положительными, то это
уравнение удовлетворяется действительными значениями координат
лишь при л" = 0 и j/ —0, и плоскость ху
лишь касается этой поверхности (черт. 127).
Плоскость xz (у = 0) пересекает
параболоид (31) по параболе
х2 = 2pz.
(33)
Плоскость уг (х=0) пересекает этот
параболоид также по параболе:
У* = 2qz. (34)
Черт. 127.
Плоскость, параллельная плэскости
ху (z = zl), если z}^>0, пересекает параболоид по эллипсу:
(35)
х-
У
2ргу ^ 2gzx ~ >
а если zx<^0y то по мнимой кривой, т. е., иначе, — совсем не
пересекает. Если zu начиная от нуля, безгранично увеличивается,
то и эллипс сечения (35) увеличивается, оставаясь подобным
себе во всех положениях. Вершины его при этом движутся по
параболам (33) и (34).
Этими сечениями и определяется форма эллиптического
параболоида.
Гиперболический параболоид. Пересекая поверхность,
определяемую уравнением
д:3 V2
-— і- = 22г,
Р Я
теми же, что и в предыдущих случаях, плоскостями, находим
в пересечении следующие линии.
235

В пересечении с плоскостью ху (z=0) получается пара
прямых:
Р
.^ = о
или
W'p
У
VI \
Ур^уА
= о.
Плоскость zx (у=0) пересекает поверхность по параболе
х2 =я 2pz,
ось которой направлена вверх; плоскость j/z (лг=0) — по
параболе
/ = —2pz,
ось которой направлена вниз. С плоскостью z = zh
параллельной плоскости ху, поверхность пересекается по гиперболе
¦2
~~~2gzx
х<
2р*і
-A=l.
Если zx^>0, то действительная ось этой гиперболы направлена
по оси х, а мнимая — по оси^у,
если же zx <^ % то наоборот.
Кроме того, плоскость х^=хь
параллельная плоскости yz,
пересекает поверхность по
параболе
~^- = 2.г
Я Р
или
y2 — — 2q[z
-2
2р
Черт. 128.
Будет ли хг положительным
или отрицательным, парабола
имеет тот же вид: ось её направлена вниз, а вершина на
высоте
X2
z—±
z~2p'
Эта поверхность имеет вид, изображённый на черт. 128.
§ 9. Прямолинейные образующие гиперболического
параболоида.
Гиперболический параболоид принадлежит к числу
линейчатых поверхностей, содержит также две серии прямолинейных
образующих> как и однополостный гиперболоид, и может быть
описан движущейся определённым образом прямой линией,
именно — движущейся параллельно некоторой плоскости.
236

В самом деле, решая совместно, подобно тому, как это мы
делали в случае однополостного гиперболоида (§ 7),
уравнение гиперболического параболоида
~ — ^ = 2z
Р Я
и уравнения прямой
x — xl_y—y1_z — zx __
L ~ М ~ N ~h
находим для вспомогательного неизвестного t квадратное
уравнение:
(хх + т (Ух + Mty*
= 2{гг+Щ%
или
(d_d-^,)+»(^-^^«)'+(^)'-o.
Для того, чтобы прямая умещалась вся* на поверхности,
необходимо, чтобы все три коэффициента обратились в нули:
.2
Р д "* ' Р Я ' Р Я
Первое уравнение показывает, что точка (хь уи гх), лежащая
на прямой, должна лежать на параболоиде. Из двух последних
уравнений определяются два решения для коэффициентов
направления прямой, умещающейся на поверхности. Именно, из
третьего имеем:
IL — L
откуда
из второго
откуда
ЛАГ I/ л 1 АЛ» "*¦"" I/ л »
М'~У~, я„~-}
d ' М q М
0.
Е — U і:_^-
237

принимая во внимание два решения для -^, находим:
HL ~?l \Г? уі=Ур У я
М' Р V q q Ylj
х\__ j У\_
Л^ хх Гр ух __У Р^~Уд
М"~ Р V q q —УJ *
Следовательно,
1) L':Hf:^ = + V7:+K7:^-^
И
\г/» . У # У
Таким образом, рассуждая подобно тому, как это мы сделали-
относительно образующих однополостного гиперболоида (§ 7),
приходим к заключению, что на гиперболическом параболоиде
имеются два семейства прямолинейных
образующих, из которых каждое служит
семейством направляющих для другого.
Все образующие одного семейства п а-
р а л л е л ь н ы проходящей через ось z
плоскости, определяемой уравнением
Черт. 129. Vqx—Vpy = 0,
так как коэффициенты направления Z/, М', № и коэффициенты
уравнения этой плоскости удовлетворяют усдовию
параллельности (стр. 205):
L'Vll — M'Vp + N''0 = VpVq — VqVp = 0.
Точно так же все образующие второго семейства параллельны
другой, также проходящей через ось z плоскости:
Vqx + Vpy=0,
так как
Lf'yq + M'Vp + Nf'.0 = YpYq-Yq}Tp = 0.
На черт. 129 изображён гиперболический параболоид с одним
семейством прямолинейных образующих» ^
238

§ 10. Плоские сечения повэрхности второго порядка.
Всякое плоское сечение какого-либо цилиндра второго
порядка (§ 2) есть кривая второго порядка, т. е. кривая,
выражаемая уравнением второй степени относительно текущих
прямолинейных координат. В самом деле, пусть мы имеем
уравнение второй степени цилиндрической поверхности с
образующими, параллельными оси z:
./(*, J>) = 0, .06)
или
апхг Аг 2а12ху-\- а22уг + 2alBx -f 2а2Пу + % = 0.
Какая-либо плоскость
Ax-{-By + Cz-\-D = 0 (37)
пересекает цилиндр по кривой. Примем за оси координат ОгХг
O'Y в этой алоскости (37) прямые пересечения её с плоскостями
координат zOx и zOy. Эти новые оси — в общем случае
косоугольные— наклонены соответственно к осям Ох и Оу под
некоторыми углами—= обозначим их через а и (j. Какая-либо
точка М кривой пересечения имеет координаты в плоскости
(37) X, У у а проекция этой точки — Мх на плоскости хОу —
имеет координаты х, у. Так как абсцисса х есть проекция
абсциссы X и ордината _у— проекция ординаты К, то
х = X cos а, у = Fcosfi,
Точка Мг лежит на кривой, служащей основанием цилиндра,
и координаты её должны удовлетворять уравнению (36).
Следовательно,
/(Xcosa, Ycos$)=:0. (36')
Уравнение (36)—-второй степени относительно хну, поэтому
и уравнение (36') — второй степени относительно X, Y. Таким
образом, координаты любой точки М линии пересечения
плоскости (37) с цилиндром (36) удовлетворяют уравнению второй
степени (36'), т. е. кривая пересечения есть кривая второго
порядка.
Точно так же и всякое плоское сечение какой-либо
поверхности второго порядка есть кривая второго порядка. В самом
деле, пусть рассматривается сечение эллипсоида
с плоскостью
Ах.+ By + Cz + D = Q. (37)
239

Этим двум уравнениям совместно должны удовлетворять
координаты точек пересечения плоскости с эллипсоидом.
Исключим из этих уравнений г, т. е. определим из
уравнения (37) z и вставим полученное выражение в
уравнение (38):
Ах-\-By-{-D \*
~— Ах + Ву + Р . ?,? і " "'"
г » ^т Л2 Т
а-
— 1=0.
По раскрытии скобок в последнем уравнении получим
уравнение второй степени относительно хну, которому должны
удовлетворять абсцисса и ордината любой точки линии
пересечения эллипсоида (38) с плоскостью (37):
[і+г&]*2 + [і+&]^2+2^ хУ+2?&*+
С*с*
С*с2
. 0 BD . Г D2 Л л
(39)
Это уравнение представляет в пространстве цилиндрическую
поверхность второго порядка, проходящую через линию
пересечения эллипсоида с плоскостью. Следовательно, рассматриваемое
сечение эллипсоида (38) с плоскостью есть в то же время
и плоское сечение цилиндрической поверхности второго порядка,
т. е. есть кривая второго порядка.
Теперь нетрудно убедиться, что в сечении поверхности
второго порядка параллельными плоскостями получается ряд
подобных и подобно расположенных кривых второго
порядка. Но прежде выясним, что мы разумеем под подобными
и подобно расположенными кривыми второго порядка.
Подобные и подобно расположенные кривые второго
лорядка. Если какую-либо точку О плоскости кривой ?7(черт. 130)
Черт. 130.
Черт. 131.
соединим с каждой точкой М этой кривой и полученные
отрезки ОМ увеличим или уменьшим в одном и том же
отношении k:
ОМ' _
ОМ ~~ *'
240

то концы М изменённых отрезков лежат на новой кривой U\
подобной первой и подобно расположенной с ней.
Так, увеличив все полудиаметры эллипса (черт. 131), например,
вдвое, мы получим эллипс,
подобный первому и подобно с ним
расположенный, имеющий с прежним
одинаковую форму и лишь в
размерах своих изменённый.
Две кривые второго порядка,
отнесённые к одним и тем же осям
координат или к осям параллельным,
подобны и подобно расположены,
если старшие члены их уравнений
имеют соответственно равные или
пропорциональные коэффициенты.
В самом деле, пусть мы имегм две
кривые второго порядка, уравнения
этим условиям:
Черт. 132.
которых удовлетворяют
апх* + 2а12ху + а22у* + 2ахъх + 2а2Ъу + aBZ = О
и
(40)
anx* + 2a12xy + a22y*-\-2bnx + 2b2,y + b$B==0. (41)
Параллельное перенесение осей координат не изменяет
коэффициентов старших членов уравнения (стр. 13Ь). Предполагая
кривые центральными, перенесём начало координат в центр О
первой кривой и второй раз в центр (Г второй (черт. 132).
Получим уравнения тех же кривых, отнесённых к различным,
но соответственно параллельным осям координат, в виде
апх* 4- 2апху + а^у* + 'зз = °> (40')
anX^ + 2a12XY^anY^ + dBt = 0. (41')
Пусть Ж' —какая-нибудь точка первой кривой. Проведя
из центра О" второй кривой прямую, параллельную прямой О М,
получим на второй кривой соответственную точку Ж.
Координаты точек М и Af относительно соответствующих осей
бУДУТ:;е = 0'Ж;, y = MLM; X=0"M^ Y^M\M".
Из подобия треугольников 0'МгМ[ и О'МЩ следует:
х v (УМ
Г
_у
— |Г — Q»M»
= А.
(42)
где & —величина общего отношения соответственных
координат. При движении точки ЛГ по первой кривой будет соот-
16 Курс высшей математики
241

ветственно перемещаться и точка М" по второй кривой; при
этом будут меняться и координаты их. Но если мы докажем,
что общее отношение k соответственных координат при этом
не изменяется, то тем самым будет доказано, что
рассматриваемые кривые подобны и подобно расположены. Из пропорции
(42) следует:
x = Xk, y=Yk.
Координаты хуу точки М! должны удовлетворять уравнению (40');
ап [Xkf + 2а12 (Xk) (Yk) -|- а22 (Ykf + с33 = 0,
или
allX'^2altXY+anY*-\-c^ = 0. (40")
Таким образом, координаты X, Y точки М" второй кривой
удовлетворяют уравнению (40''); но они должны удовлетворять
и уравнению (41') этой кривой; следовательно, уравнения (40")
и (41') тождественны, и поэтому последние их члены равны;
отсюда следует, что k постоянно:
k=" У S' или o^=const>
т. е. рассматриваемые кривые подобны и подобно расположены.
Параллельные сечения поверхности второго порядка.
Теперь рассмотрим ряд параллельных сечений поверхности
второго порядка, например, эллипсоида
5+?+?-1=0- (38)
В уравнениях параллельных плоскостей можно считать
коэффициенты при текущих координатах одинаковыми, последние же
члены должны быть различны. Таким образом, давая
последнему члену D в уравнении плоскости
Ax + By-\-Cz + D = 0 (37)
различные значения Д мы будем получать уравнения
параллельных плоскостей.
Исключая из уравнений (38) и (37) z, мы получим уравнение-
(39), в котором коэффициенты старших членов не зависят от
переменного коэффициента D. Следовательно, при различных
значениях D это уравнение представляет подобные и подобно
расположенные кривые второго порядка. Но эти кривые будут
242

проекциями кривых, получаемых в пересечении эллипсоида с
параллельными плоскостями. Для получения уравнений этих
сечений относительно осей координат, соответственно
расположенных в секущих плоскостях, нужно, как было рассмотрено
выше, заменить х и у их выражениями Л!" cos a, Fcos р, где
а и р — определённые углы, не меняющиеся при движении точки
по какой-либо кривой пересечения. После такой замены
получим уравнение сечений:
^ + ^j|cos»e^ + [^ + ^i]coe«py +
+ 2-^cosacosP*K+2 *g cosa^ + 2-|^ cos? K+
+ [W-1]=°- <39''
В этом уравнении коэффициенты при старших членах не
зависят от D и остаются постоянными при изменении Д т. е.
кривые пересечения эллипсоида (или какой-нибудь другой
поверхности второго порядка) с параллельными плоскостями
подобны и подобно расположены,
§11. Круговые сечения поверхностей второго порядка.
Круговые сечения можно получить на тех поверхностях
второго порядка, на которых есть эллиптические сечения. К таким
поверхностям принадлежат эллипсоид, гиперболоиды того и
другого рода, эллиптический параболоид, конус и эллиптический
цилиндр. Возьмём, например, эллипсоид
и пусть а будет наибольшей полуосью, b — средней, а t —
меньшей:
Проводим плоскость через ось у. В сечении с эллипсоидом
получим эллипс, симметрично расположенный относительно
плоскости zOx, и, следовательно, полуоси этого эллипса будут Ъ
и dt где d — один из полудиаметров эллипса
??-!-?= 1
При вращении секущей плоскости около оси Оу
полудиаметр d непрерывно меняется, увеличиваясь от с до с и потом
уменьшаясь от а до с, и следовательно, два раза делается
равным Ь. Таким образом, можно провести через ось Оу две
16* 243

плоскости, симметрично расположенные относительно плоскостей
координат и пересекающие эллипсоид по эллипсам с равными
полуосями b = d, т. е. по окружностям. В сечении с
плоскостью, параллельной какой-либо из этих двух плоскостей, получим,
согласно § 10, кривую, подобную окружности, т. е. тоже
окружность. Таким образом, на эллипсоиде мы можем получить
две серии круговых сечений. В пересечении эллипсоида с
плоскостями, проходящими через ось Oz или Оу, получить
действительной окружности нельзя, ибо одна из полуосей сечения
будет всегда или больше, или меньше другой.
Когда плоскость кругового сечения, перемещаясь
параллельно самой себе, коснётся эллипсоида, то окружность
сечения обратится в точку прикосновения, и эта точка называется
точкой округления эллипсоида. Как нетрудно сообразить,
эллипсоид имеет четыре точки округления.
Так как старшие члены уравнений однополостного и двух-
полостного гиперболоидов
а
и
tf2 ~Г ?2 с% 1
при одинаковых д, Ь, с одинаковы, то сечения их любой
плоскостью будут кривые подобные и подобно расположенные;
подобная же кривая получится и в сечении
той же плоскости с общим их
асимптотическим конусом
х% . v2 *2
Ф ' № сз и'
Следовательно, и круговые сечения этих трёх
поверхностей будут в тех же самых
плоскостях. Если мы найдём круговые сечения
гиперболоида однополостного, то этим самым
мы найдём круговые сечения остальных
поверхностей.
Пусть а^>Ь; проведя плоскость через
ось Ох (черт. 133), в сечении с однополост-
ным гиперболоидом получим эллипс, симмет-
рично расположенный относительно плоскости
yOz\ одна из полуосей этого эллипса а, другая d, служащая
одним из полудиаметров гиперболы
Черт. 133.
у2 *2
№
?=1-
При вращении секущей плоскости около оси Ох в ту или другую
сторону полуось d непрерывно и безгранично увеличивается
244

начиная с b, и, следовательно, делается два раза равной а;
таким образом, можно провести две плоскости через ось Ол:,
каждая из которых пересекает гиперболоид по эллипсу с
равными полуосями, т. е. по окружности. Параллельные плоскости
также пересекают гиперболоид по окружностям. Ни одна из
этих параллельных плоскостей не коснётся гиперболоида. Таким
образом, на гиперболоиде имеются две серии круговых сечений
и ни одной точки округления.
Те же плоскости дают круговые сечения на двухполостном
гиперболоиде*.и на асимптотическом конусе. При этом четыре
из этих плоскостей коснутся двухполостного гиперболоида,
и точки прикосновения будут точками округления его.
Для отыскания круговых сечений на эллиптическом
параболоиде
J-+7 = 2z> («)
если p^>q> проведём секущую плоскость параллельно оси Ох.
Уравнение этой плоскости не должно содержать х:
By+Cz + D = 0. (44)
Исключая из уравнений (43) и (44) z% мы получим уравнение
проекции на плоскость хОу кривой пересечения
рассматриваемой плоскости с параболоидом:
Составим уравнение кривой пересечения, приняв за оси
координат О'Х, O'Y прямые пересечения плоскости (44) с
плоскостями zOx и yOz. Пусть плоскость (44) наклонена к
плоскости хОу под углом а. Этот угол а будет в то же время
и углом между осями Оу и O'Y; ось же О'Х параллельна оси
Ох. Следовательно,
х = Х и ym^Ycosa. (45)
Заменяя х и у в уравнении (43') этими их выражениями, мы
и получим уравнение кривой пересечения, отнесённой к
прямоугольным осям О'Х, О1 Y:
X* f Г*cos* a _ _ 2 BYcosa + D f .g
p ~T~ q С *¦ '
Кривая второго порядка, данная относительно прямоугольной
системы координат общим уравнением
апх2 ~\~ 2апху + апу2 4- 2аих + 2а23у-^- а83 = О,
245

будет окружностью, если а12 = 0 и ап=а22 (см. стр. 76).
Следовательно, уравнение (46) представляет окружность, если
Р
cos2 a
Отсюда можно определить два значения для косинуса угла
наклона секущей плоскости (44) к плоскости хОу:
cos a
-*/?•
Таким образом, через каждую прямую, параллельную оси Ох
(черт. 134), можно провести две плоскости, симметрично
наклонённых к плоскости zOx и
пересекающих эллиптический параболоид по
окружностям. Параллельные сечения
будут также круговыми. Из
параллельных плоскостей круговых сечений две
коснутся параболоида, и точки
прикосновения будут его точками округления.
Подобным же образом можно
убедиться в существовании двух серий
круговых сечений на эллиптическом
цилиндре.
Если поверхность второго порядка
есть поверхность вращения, то обе серии круговых сечений
сливаются в одну: плоскости круговых сечений
перпендикулярны к; оси вращения.
Пользуясь круговыми сечениями поверхностей второго
порядка, можно устроить модели этих поверхностей, вырезав из
бумаги достаточное число окружностей, размеры которых легко
могут быть рассчитаны графически, и сцепив окружности
различных серий соответствующим образом.
Черт. 134.
УПРАЖНЕНИЯ.
Xя
У
1. Дана поверхность 5^ "T~~Tg +-q-== *¦ Исследовать ее* сечения
с плоскостями, параллельными плоскостям координат.
2. Исследовать сечения поверхностей
36 "^25 9 ' 49"1~1б 1 ~
с плоскостями, параллельными плоскостям координат,
3. Какая поверхность даётся уравнением
х2 v2 z*
246

Определить её* расположение относительно координатной системы.
4. Дана поверхность-g-—-=- = 2z. Определить её сечения
плоскостями, параллельными плоскостям координат.
5. Какие поверхности даются уравнениями:
— 2_у ?-=2*?
Р ' Я Р Я
6. Написать уравнения прямолинейных образующих гиперболоида
1*2 V2 Z1
5т5 + 5с — -q-= 1» проходящих через точку (7, 0, 0).
л*3 у3 г2
7. Написать уравнения образующих гиперболоида йг+^ г =
= 1; пересекающих плоскость xOz в точке, абсцисса которой х равна 6.
¦Г2 V2
8. Написать уравнения образующих параболоида уг—"^- = 2*,
проходящих через точку (4, 3, 0),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
и ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ.
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ,
ГЛАВА I.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ.
§ 1. Функции и их определение.
Во Введении было отмечено, что изучение функций
составляет главную задачу высшей математики. Этим и
обусловливается, главным образом, приложимость её методов к решению
соответствующих вопросов наук о природе.
Исследование того или иного явления природы имеет целью
установление закона, объединяющего одним выражением, одной
какой-нибудь мыслью разнообразные стороны этого явления.
Если в изучаемое явление входят переменные величины, то
установление закона сводится к установлению функциональной
зависимости между этими величинами.
^ Так, изучение состояния газов при
постоянной температуре приводит к
установлению закона Бойля-Мариотта
pv = pQvQ,
где />0, vQ — постоянные величины, р—
переменное давление, v — объём газа.
*V Это уравнение устанавливает
функциональную зависимость между давлением
Черт. 135. и объёмом газа при постоянной
температуре, зависимость, которая может
быть представлена графически в виде одной ветви
гиперболы, имеющей оси координат своими асимптотами
(черт. 135) і).
*) Так как р и v — величины разнородные, то на чертеже
единицы меры для р и v можно взять и неравными отрезками.
24S

Функциональная зависимость двух переменных величин х н у
y = f(x)
состоит в том, что каждому значению аргумента х из тех:
значений, какие он может принимать, соответствует
определённое значение функции.
Функция может быть определена и для всех значений
аргумента. Но в зависимости от самого определения
рассматриваемой функции или от условий задачи, поставленной для
исследования, на изменение независимого переменного может быть
также наложено то или иное ограничение, и функция для
некоторых значений аргумента, которых может быть и
бесчисленное множество, не будет определена.
Примеры.
1. Произведение нескольких первых чисел натурального ряда:
1-2-3... .V является функцией последнего из них {х):
>> = 1.2-3-4...*.
По самому определению этой функции аргумент х может принимать-
лишь целые значения: х=1, 2, 3»...; функция у определена лишь
для целых значений аргумента.
2. Площадь прямоугольника, меняющего у.
свою форму, но имеющего постоянный пери- *
метр 2а, будет функцией одной из сторон х:
$z=x(a — x).
По самому определению этой величины
.аргумент х может изменяться между 0 и а:
0<д:< а. Черт. 136.
3. Пусть функция определена как ордината точки дуги линии,
изображённой на черт. 136;
y = f{*).
Абсциссы концов этой дуги будут границами для изменения
аргумента;
а^х^ Ь.
4. Ордината точки М, движущейся по прямой, не параллельной
оси ординат, является вполне определённой функцией абсциссы этой
точки; абсцисса является независимым переменным, не ограниченным
в своём изменении.
Соответствие значений независимого и зависимого
переменных может быть установлено различными способами. Если
функциональная зависимость двух переменных величин
установлена указанием тех арифметических или, более обще, —
аналитических операций, какие нужно совершить над аргументом я
249
— А

постоянными, то функция называется явной; пишут
Если зависимость определена уравнением, в котором указаны
операции, совершаемые над обеими переменными величинами —
.аргументом и определяемой -функцией:
Fix, У) = О,
то последняя называется неявной функцией.
Решая это уравнение, если это возможно, относительно
одного из переменных, мы сделаем неявную функцию явной,
т. е* второй случай сведём к первому.
Смотря по характеру тех операций, какие нужно совершить
над постоянными и переменными для установления
функциональной зависимости, функции разделяются на два обширных
класса: алгебраических функций и трансцендентных.
Алгебраические функции определяются помощью
алгебраических операций, совершаемых над переменными. Под
алгебраическими операциями разумеются прежде всего прямые действия:
сложение, умножение и возведение в степень с целым
показателем, потом операции, необходимые для решения уравнений,
составленных с помощью этих действий; сюда, следовательно,
относятся, не исчерпывая всей совокупности этого рода
операций, вычитание, деление, извлечение корня или возведение
в степень с дробным, положительным или отрицательным
показателями.
Рассмотрим прежде всего элементарные функции того
и другого класса. К ним сводятся обычно рассматриваемые
функции. Функции, не сводящиеся к элементарным, называются
высшими трансцендентными.
§ 2. Степень: у=хп.
Для получения значения функции, соответствующего
данному значению аргумента, нужно возвести последнее в п-ю
степень. При п положительном и целом эта операция сводится
к перемножению: например, при я = 5, у = х-Х'Х*Х'Х;
при п дробном — к извлечению корня из произведения: напри-
3 5 /
мер, при # = -f- , у=у Х'Х'Х; при п отрицательном целом
или др.обном — к делению единицы на произведение или
корень, например:
при п = -3 У = ^; при /* = --f- У = ф=х>
250

Если данное значение аргумента иррациональное, например,
лг==К2 =1,414..., то предыдущие операции — операции над
иррациональными числами — сводятся, по определению (стр. 20),
к вычислению над приближёнными значениями аргумента
(1; 1,4; 1,41;...), к вычислению приближённых значений
искомого результата, а суждение об истинном результате есть
суждение о пределе.
Таким образом, рассматриваемая функция при рациональном,
т. е. целом или дробном, значении показателя степени
определена вполне для всякого значения аргумента. Но что
разумеется под степенью при иррациональном показателе? Какие
операции, например, надо совершить над аргументом для
получения соответствующего значения функции у = х 5или_у==^1с?
Какой смысл имеют эти символы? Для таких случаев
рассматриваемая функция ещё не определена. Заменяя иррациональный
показатель его приближёнными значениями, мы можем найти
вполне определённые по предыдущему функции. Так,
приближённым значениям тс: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;
3,14159;... соответствуют определённые степени: у=х9,у ^х**1,
у = х?>1і, у = хв,иі,.-.. Под символом х* мы должны разуметь
функцию предельную для этих степеней: вычисление
значений этих степеней есть вычисление приближённых
значений определяемой функции, и если мы убедимся, что эти
приближённые значения стремятся к определённому п р е-
делу, то мы можем считать предельную функцию, т. е. х*,
определённой.
Таков путь обобщения и определения понятия степени на
случай иррационального показателя. Отметим, что
вычисление значений функции не всегда может ограничиться конечным
числом арифметических действий, а суждение о результате
бесконечного ряда арифметических операций есть суждение
о пределе или, как говорят, — переход к пределу.
Степень с целым показателем есть функция рациональная,
степень с дробным показателем — иррациональная. Равенство
Л
у =х v может быть сведено к алгебраическому уравнению
целой степени как относительно л:, так и относительно у:
уЧ=іхр. Но если показатель п—число иррациональное, то такое
сведение невозможно: целая и дробная степени, например
y = xz, y = xs, суть функции алгебраические, степени же
с иррациональным показателем, например у = х , у = х*, суть
функции трансцендентные
251

Целая рациональная функция. Многочлен, расположенный
по целым степеням аргумента, составляет. целую рациональную
функцию:
у = а0хп -f <h хП~1 + °2д:Я"2 + • • • + ап~іх + <V
Дробная рациональная функция. Дробь, числитель и
знаменатель которой суть многочлены, расположенные по целым
степеням аргумента, составляет дробную рациональную функцию:
а^хп 4- Дуг*-1 + я2-*л~2 + ¦ ¦ ¦ +Дя-і* + ^
Алгебраические функции вообще, в частности,
иррациональные определяются алгебраическим уравнением целой
степени относительно аргумента и определяемой функции,
например:
уЧа0хР + а1хР^+...±ар)+у{Ь0х* + Ь1х<?-і + ...+Ьд) +
Решая это уравнение относительному, мы сделаем эту функцию
явной:
— В + Ув* — 4А'С
У= ^2Л '
где
§ 3. Показательная функция: у = ах.
В отличие от функции, называемой степенью, у
показательной функции переменным будет не основание, а показатель,
основание же а постоянно. Вычисление значений показательной
функции ах для данного значения аргумента сводится к такого
же рода операциям, как вычисление значений степени лгл,
и, таким образом, показательную функцию, как и степень,
мож?м считать определённой. При этом, чтобы каждому
действительному значению аргумента соответствовало
действительное значение функции, необходимо принять основание а
положительным. Кроме того, для дробных значений
показателя х с чётным знаменателем под ах будем разуметь
одно арифметическое значение, т. е. положительное;
например, при л = 4 и х = -2 П°Д а* нужно разуметь
і_
4-42 = -{-j/"4 = -[-2, а не — V'4= —2. При таких условиях
252

показательная функция ах есть функция однозначная, т. е.
каждому значению аргумента соответствует только одно
значение функции.
Если д]>1, то при положительных значениях показателя
а*>1, а при отрицательных fl*<M; например, при лг =— 3
При #=1 л*=1. Если а<М, то при положительных
значениях показателя я*<М, а при отрицательных а*^>1; например,
при х ¦= — 3
но л<^1 и я3<^1, следовательно, -^^>1.
Равенство у=ах не сводится к алгебраическому
уравнению, связывающему, аргумент х и функцию у:
показательная функция — функция трансцендентная.
§ 4. Логарифмическая функция: у = \ogax.
В уравнении у = ах, определяющем показательную функцию,
показатель будем считать функцией, а прежнюю функцию
аргументом и изменим в этом смысле обозначения
переменных, после чего определяющее равенство примет вид:
х = а?. (1)
Этим уравнением определяется функция, обратная
показательной, называемая логарифмической и обозначаемая следующим
образом:
y = \ogax. (2)
Читается: у есть логарифм от х при основании а.
Равенства (1) и (2) устанавливают одну и ту же
функциональную зависимость переменных х и у. Из этих равенств
вытекают следующие тождества, определяющие символ iogfl:
a0SaX = x и \ogaa?=y.
Из равенств (1) и (2) первое указывает
первоначальный приём вычисления логарифма по данному значению
аргумента х. Положим, требуется вычислить logaN с точностью до
0,001. Обе части равенства (1), в котором полагаем х равным Nt
возводим в степень, показатель которой равен 1000:
.253

Определяем степень АД000, перемножая N само на себя,
соответствующее число раз: N» N»N... = М. Потом
умножаем основание а само на себя, полученное произведение снова
множим на основание а} повторяя перемножение на а новых
произведений до тех пор, пока в произведении не получится
число, всего ближе подходящее к числу Ж, и считаем, сколько
раз было взято основание а множителем. Положим, для этого
а- нужно взять р раз множителем, так что
В таком случае р отличается от ЮООу меньше, чем на единицу,
a Tfi~ отличается от у, т. е. от искомого \ogaN, меньше, чем
на одну тысячную; таким образом 0,001 «р и будет искомым
приближением logaN:
Но вычисление по такому способу граничит с невозможностью:
возведение числа в очень высокие степени представляет работу
слишком продолжительную. Одна из задач высшей математики
и состоит в том, чтобы изыскать основания для замены таких
затруднительных способов вычисления иными, более удобными
и. выполнимыми.
Логарифмическая функция, как и показательная, есть
функция трансцендентная.
§ 5. Тригонометрические функции.
По первоначальному определению тригонометрические
функции являются отношениями сторон прямоугольного
треугольника, один из острых углов которого является аргументом
(Введение, § 8) и который теперь будем обозначать через л::
а , а с
sinx=y, tgx = y, secx = -?-;
b , Ъ с
cos x = —, ctg x = — , cosec x = —.
При таком определении аргумент может меняться в
пределах от 0 до у:
254

Распространение определения тригонометрических функций
и для значений аргумента, выходящих из указанных границ»
приводит к обычной геометрической интерпретации этих
функций в виде тех или иных отрезков в плоскости окружности,
радиус которой принят за единицу, иначе —
тригонометрические функции являются отношениями этих отрезков к радиусу
окружности (черт. 2):
NM AT , ОТ
-?- = sin л:, -g- = tg xt — — sec х;
ON ВС , ОС
-g = cos х, -?- =ctg х, "в- = cosec х.
Аргумент х будем рассматривать как угол АОМ, измеренный
дуговой мерой, или, что сводится к тому же, — как дугу ЛУИ
окружности, радиус которой О А принят за единицу меры.
Каждому значению аргумента х, заключённому между — оо
и -(-оо, соответствует определённое значение функции, и лишь
при х = 4h оо функции остаются неопределёнными, иначе —
при безграничном и непрерывном увеличении абсолютной
величины аргумента тригонометрические функции не стремятся
к какому-либо определённому пределу.
Тригонометрические функции являются функциями
периодическими: периодом для тангенса и котангенса служит % а для-
остальных 2тг. Прибавление периода к аргументу не меняет
величины функции.
Основные соотношения между тригонометрическими
функциями. Из прямоугольного треугольника ONM следует;
sin2 х -j- cos2 х = 1. (3)
Из подобия треугольников ONM, ОАТ и СВО имеем:
Из прямоугольных треугольников ОАТ и ОВС следует:
secA^Kl+te2** cosecAr = jA-fctg2A-= j*^8*J
откуда
(б)
1 tg дг
cosx = -T=== , sm#=-7=S=-. (7)
255

Тригонометрические функции суммы или разности двух
углов. Пусть аргумент х равен сумме углов а и §:
Принимая радиус окружности равным
единице, будем иметь (черт. 137):
ОМх = cos р, МХМ = sin Р; (а)
пр.овОМхМ = sin (а-{-$),
np.OAOM1M=cos(a-{-$).
(Ь)
Черт. 137. Определив углы наклона звеньев ломаной
¦ОМхМ к радиусам 05 и ОЛ:
Z(OMb OA) = a, ZW> ОА) = у+о,
Z(OMi. 05) = |-а, ^(^Ж, 05) = а,
будем иметь (стр. 62):
пр^дОЖіЖ = 0МХ • cos а + ЛГхіИ- cos (у + а),
np.OBOAf1Al=OAr1-cos (~ —a} + M,M*CQsa,
или, принимая во внимание равенства (а) и (Ь):
cos (а Ц- Р) = cos а cos p — sin а sin р,
sin (а -|- р) = sin а cos p -j- cos а sin p.
(8)
(9)
Так как теоремы о проекциях имеют место при любом наклоне
звеньев к осям проекций и, при изменении направления
звена МгМ на противоположное, меняется знак угла р, то
формулы (8) и (9) имеют место при всяком значении углов а и р.
Следовательно, в частности,
cos (а — Р) = cos a cos р -\- sin a sin р, (10)
sin (а — Р) = sin ее cos Р — cos а sin р. (11)
Из формул (8) и (9) имеем:
sin а cos р . cos a sin р
sin а cos р 4~ cos a sin p cos a cos p 'cos a cos p
cos a cos ji ~f~ sin a sin p cos a cos p sin a sin p *
cos a cos p cos a cos p
.256

или
tela 1 В)— ^а + *а?
Точно так же из формул (10) и (11) получим:
tg(a —B)= g'-^F
(12)
(13)
Удвоение угла. Из формул (8), (9) и (12), полагая а==р,
будем иметь:
cos2а=cos2a— sin2а, ^
sin 2а = 2 sin a cos а,
2tga
tg2a
l-tg^*
(14)
Соотношения, выражаемые формулами (14), можно представить
в следующем виде:
cos a
= COS2^— Sin2 тг, I
sin a = 2 sin -^ cos ^
"tga =
2*7
i - tg4
(15)
Деление угла пополам. Из равенств:
"2+Sln T=l'
COS'
COS'
получим:
sin2 tj = cos a
2 cos2 -ту = l -\- cos a,
2 sin2 у = l —: cos a,
(16)
откуда
a -_ / l-(-cosa . a , /l;—cc:s a м 7\
cosT = |/ ~—, smT=]/—— . (17)
Знак перед радика'лами берётся в согласии с величиной угла к- *
Зная sin у и cos-к-» можно определить и остальные
тригонометрические функции аргумента -о- ¦
17 Курс высшей математики 257

Сумма и разность синусов. Из формул (9) и (11) следует,
что
sin (а + (J) + sin (а — ji) = 2 sin a cos ji,
sin (а + p) — sin (a — fS) = 2 cos a sin p.
Полагая a-{-$ = u и a — p=v, а следовательно, a = ii±?
и р = —л— , получим:
sma + smv==2sm ' cos —^— , (18)
sin a — sin v = 2cos -y- sin —-g— . (19)
Сумма и разность косинусов. Из формул (8) й (10) еле*
дует, что
cos (a + Р) ~Ь cos (a — Р) = ^ cos я cos P»
cos (a -j- (5) — cos (a — |J) = — 2 sin a sin [J,
или
, n а-f-o и — v .on.
cosa-[-cos'C=2cos—^—cos —~— » (20)
cos и — cos v = — 2 sm —^— sin —^— . (21)
Числовые значения тригонометрических функций, как
вытекает из вышеприведённого их геометрического определения,
могут быть найдены путём измерения соответствующих
отрезков радиусом основной окружности, как единицей меры. Но
измерение является операцией, точность которой не может
быть увеличена до желаемой степени, да и степень точности
измерения без сравнения с числовыми результатами,
полученными другим путём, трудно определима. Между тем
предыдущие формулы дают возможность применить к решению
поставленной задачи способ вычисления. Из формул (17) следует,
если положим а = 4 ,
я _/Т 1/Т .к 1/2*
C0ST=Fir=— и зш7 = —-
Зная sin-j- и cos-^, можно вычислить значения и остальных
тригонометрических функций для угла —, например;
258

Полагая а = -^ и пользуясь теми же формулами (17), найдём
тс
sin-g-, cos-g- и остальные тригонометрические функции того же
аргумента. Повторяя ту же операцию, можно получить
числовые значения тригонометрических функций для аргумента,
равного 2jf где п — как угодно болыиог целое число. Но любой,
угол а может быть представлен с достаточной степенью
точности как сумма1) углов і, 7Г'*-'»!5і и* слеД°вательно, с по*
мощью формул (8), (9) и (17) можно с любой степенью точности
вычислить тригонометрические
функции этого аргумента.
Вычисление и этим способом
представляет, конечно, затруднения; но по
этому поводу мы должны повторить то
же, что было сказано относительно
вычисления логарифмов: одна из задач
высшей математики и состоит в том,
чтобы изыскать основания для замены
затруднительных способов вычисления
иными, более удобными.
Переход от градусной меры угла Черт* '
к дуговой. В практических
приложениях тригонометрических функций углы даются в градусной
мере. Нетрудно выразить те же углы и в дуговой мере. Пусть
х — дуговая, а а° — градусная мера одного и того же угла или
той же дуги (arcus):
* = агса° (но не х = а°1).
Число тг соответствует дуге в 180°*
о.
7т = агс180°, щ = агс1°;
следовательно,
Так как тт ^ 3,14159265, то 1 % arc 57°17'44",8 (черт. 138) и
arc 1°=0,017 (при радиусе, равном 1 дц% дуга в 1° немного
меньше 2 мм).
*) Можно считать а < і; некоторые из углов j, ~g> ig.'-'.js
могут, конечно, и не входигь в определяющую угол я сумму.
17* 259

§ 6. Круговые или циклометрические функции.
Круговые или циклометрические функции являются
обратными тригонометрическим: ту или другую тригонометрическую
величину мы теперь принимаем за аргумент (х\ а дугу (arcus) —
за функцию этого аргумента. Таким образом, получим
следующие функции:
1. у— arcsinx, 3. j/ = arctgAr, 5. y=arc$ecx,
2. j/=arccosAr, 4. _y = arcctgx, 6. -y = arccosecje.
Равенство 3> = arcsin„v читается так: у есть аркуссинус х} что
означает следующее: у есть дуга, синус которой равен х.
Подобное же значение имеют и остальные круговые функции.
Для получения действительных значений круговых
функций аргумент х можно менять в следующих границах:
1. для arcsinx и arccos.v: — l^x^-j-l;
2. ъ arctg х и arcctg х: — ос ^х^ ~\- оо;
3. » arcsecx иагссоэесл;:— оо^л:^—1
и -\- 1 ^х^~{~со.
Так как тригонометрические функции — периодические,
то обратные круговые функции многозначны: каждому
значению аргумента соответствует бесчисленное множество значе-
.ний круговой функции, например, для х = —гр, y = arcsln——
имеет значения: т>"2Г»"4~'""4~'~4~>*''> вообще -г "т" 2#тг,
или -т~\- 2&7Г, где k—какое-нибудь целое число.
Но можно выделить, как мы увидим впоследствии, для
каждой круговой функции одну её ветвь и тем самым
получить функцию однозначную; например, для х, заключённого
между — 1 и -J- 1, значения агсэіпл:, заключённые между —-^-
и -f" ~2 > составляют одну ветвь этой функции, именно главную
ветвь:
— 1 ^ х ^ 1, — 4у ^ arcsin х ^ -?- •
Рассмотрим некоторые соотношения между круговыми
функциями, вытекающие из соответствующих соотношений между
¦тригонометрическими функциями.
Из равенств
sin а = cos fy — а) —х
260

следует
а = arcsin х и ~ — а = arccos x,
а потому
arcsin х -j- arccos x = -?- .
Из формулы длд тангенса суммы двух дуг
tg(g+P)=-11ga+tgP
&^~^ 1 —tgatgp '
если обозначим tga через д: и tg.fi через з', следует:
a = arctg*, p = arctg^5 a+ $ = avct% it-\^a%\
или
arctg х -|- arctg^/ = aiclg ?i^ ,
В этих равенствах под arcsin х, arccos л: и arctg x разумеются:
значения главных ветвей этих функций.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Сравнить значения тригонометрических функций для угла х со
значениями их для углов x^zkr, и х zt {2k-\~ 1) -у (?=!, 2, 3,.. .)•
2. Как меняются значения тригонометрических функций при
изменении знака аргумента?
3. Когда берётся знак -\- или — перед радикалом в формулах (6)fc
*7) и" (17)?
4. Доказать, что arctg х -f- arcctg х = -^-.
Доказать тождества:
1
5. arcsec х = arccos —.
х
6. arccos х = arcsin У1 — л:2.
7. arctg * =: arcctg ¦?-.
х
8. arctg л; = arcsin
Уі+лгз*
9. arcsiq (2дг УI — лга) = 2 arcsin *.
10. arccos (2*2 — 1) = 2 arccos дг.
2x
11. arctg - ? =*= 2 arctg *.
J. "™ ' X
12. arcsiq .* + arc '-inу = arc іц (хУ\ —у'2 -\-уУі — л'5).
261

ГЛАВА П.
ОСНОВАНИЯ УЧЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.
§ 1. Бесконечно большие и бесконечно малые величины.
В предыдущей главе, в которой имелось в виду
определение функции вообще и главным образом определение функций
элементарных, мы видели, что вычисление значений
функций для какого-нибудь значения аргумента не всегда
может быть сведено к простой арифметике, т. е. к конечному
•счёту. Слово «вычисление» приходится понимать теперь шире —
именно как бесконечный процесс, который состоит из
безграничного ряда арифметических действий; суждение о результате
этого бесконечного процесса есть переход к пределу.
В чём состоит этот переход к пределу, устанавливается в
теории пределов. Теория пределов и служит основанием учения
о функциях. В основе этой теории лежит понятие бесконечно
малой величины, которое в свою очередь тесно связано с
понятием бесконечно большой величины.
Бесконечно большая величина. Числа натурального ряда:
1, 2, 3, 4, .,., я, ... безгранично увеличиваются, и в этом
ряде нет последнего числа. Число л, принимающее
последовательно значения из этого ряда, может превзойти
(сделаться больше) любое наперёд данное число. В этом смысле
мы говорим, что п стремится к бесконечности.
Переменная величина может принимать- безграничный ряд
значений и по иному закону. Пусть ап будет такой величиной,
причём индекс И указывает её место в ряде значений, которые
«та может принимать:
аЪ &2і а3> • • • > ^я» • • •
Если величина ап, последовательно принимая указанные
значения, может быть сделана по абсолютной величине больше
любого наперёд заданного положительного числа М и при
дальнейшем увеличении индекса оставаться таковым, то мы
говорим, что она стремится к бесконечности (оо); если при
этом она, по крайней мере, с некоторого своего индекса
становится положительной и остаётся далее таковой, то мы
говорим, что она стремится к положительной бесконечности
(-|-оо); такова, например, величина п —100; а если, а стре-,
¦мится к бесконечности, оставаясь, с некоторого значения
индекса, отрицательной, то она стремится к отрицательной
бесконечности (—сад); такова, например, величина 100 — п.
262

Переменная величина, стремящаяся к бесконечности
(безразлично— к положительной или к отрицательной, или просто
к бесконечности), называется бесконечно большой величиной.
л2
Пример 1. ад = | , при л=1, 2, 3,-... принимает ряд значе-
14 9
нийд„— -л-' "ч"' Т''"# Можно подобрать такой индекс л, что аа
будет по абсолютной величине1) больше любого наперёд заданного
положительного числа М:
л2
л-f-i
>м.
Так как л мы считаем равным положительному числу, то предыдущее
неравенство равносильно следующему:
гС-
>М.
л-f-1
Отсюда
п2>Мп + М или п*—Мп>М.
Но, при л > ЛГ, л2 — Л?л =я (л — Л/) > л — Af, поэтому, если п возь-
.мём настолько большим, чтобы п — М было больше М, то тем более
л2 — Мп будет более Af, а стало быть, и аа > М. Таким образом, при л,
удовлетворяющем неравенству
п — Л4" > М, т. е. при л > 2АГ,
число дя будет больше наперёд заданного числа М.
" іл п2
Задача. Показать, что ап = , принимая ряд значений 9,
3, .,., стремится к отрицательной бесконечности (— со).
Пример 2. an при л = 0, 1, 2, 3, ... принимает ряд значений 1,
а, а2, а3, ..., #я, ... При а>1 этот ряд возрастает, т. е. с
увеличением показателя л степень ап увеличивается;
дя+і — ап>а>а* (ибо д>1).
Покажем, что, увеличивая показатель, степень а& можно сделать больше
любого наперёд заданного числа М..
Пусть а = 1 -f- ^> гце ^ = гг — 1 — соответствующее положительное
число. Таким образом, имеем:
дя = (!+$)«.
Разлагая (1+?)л по биному Ньютона, получим:
дЯ==(1-[-й)Д==1 + Я^ + "(1?Т1)^ + >-+^Я-
1 * л
Так как 5 — положительное число и биномиальные коэффициенты—
положительные числа, то
(1 4- Ь)п > 1 -f nb, или а" > 1 + пЪ.
Если индекс л подберём так, чтобы \-\-nb было больше М, то, a for-
J) Абсолютная величина какой-либо величины z обозначается так: |г|.
263

tiori, an будет больше этого числа М:
1 _|_ nb > М и an > М.
Следовательно, ап при п > —т— будет больше наперед заданного
числа М.
Пусть, например, а = 2, М= 1000 000. 2* во всяком случае будет
больше 1 000 000 при
л>юозооо-і=999999.
1
Таким образом, 2я, безгранично увеличиваясь с увеличением показателя,
может сделаться больше любого наперёд заданного числа М и будет
оставаться таковым при дальнейшем увеличении показателя.
Бесконечно малая величина. Величина ап называется
бесконечно малой, если она, последовательно принимая значения
аи а2> аз> •••> становится, наконец, по абсолютной величине
меньше любого наперёд заданного положительного числа е
и при дальнейшем увеличении индекса п остаётся таковой:
К1<е.
Такая величина ап стремится к нулю.
Пример 3. йд = — при безгранично увеличивающемся п будет
бесконечно малой, ибо всегда можно указать, с какого места она будет
меньше любого наперёд заданн?го положительного числа е и оставаться
таковым:
1 / v. l
-<s,*>T.
Например, при е = , ()()(ИЮ0, я должно быть больше 1 000 000.
Пример 4. аа = ап при | а | < 1 и п = 1, 2, 3, .. . будет бесконечно
малой. В самом деле, с увеличением показателя п величина ап
уменьшается, так как, считая а положительным, будем иметь:
дл+і — ал.д и \а«+1|< |а«1.
Далее, возьмём число С, обратное числу а:
1 1
Чтобы ая можно было сделать меньше любого наперёд заданного
числа е, необходимо, чтобы |СЛ| можно было бы сделать больше любого
наперёд заданного числа, ибо из неравенства
I а« [ < е или ^ < s
следует, что
іоі>4.
264

Но \С\>1 и }С*1, по доказанному выше, может быть сделано при
увеличении показателя больше любого наперёд заданного числа.
Пусть, например, а = -- и s=1 2 Следовательно,
Если
C = 3 = l-f-2 и — = 1 000000;
С* = (1 + 2)л>1 + 2л.
999 999
1 -Ь 2/z > 1 000000 или п >
[\\п 1
10 \Tj будет меньше і QQ0 Q0Q и оставаться таковым при дальней*
шем увеличении показателя.
іісли число а отрицательно и по абсолютной величине меньше едиь
кицы, т. е. — 1 < а < 0, то ап стремится к нулю, принимая попеременно
то положительные, то отрицательные значения *¦).
*) Степени а можно определить,графически следующим обрззглс.
На одной из двух взаимно перпендикулярных прямых (черт. 130) от
точки их пересечения О
откладываем отрезок ОЛ0 = 1, а на
другой прямой —- отрезок
OAt = а. Из точки Ах
восставляем перпендикуляр
АХА% к прямой А^Аі до
встречи в точке А2 с первой
прямой. Из точки Л2
восставляем перпендикуляр к прямой
АХА$ до встречи со второй
іірямой в точке Л3 и т. д. Из
прямоугольного треугольника
АаАгА2 следует:
или
откуда ОА2
или
Черт. 139.
а2. Из прямоугольного треугольника АгА%Аь имеем;
Ш1=ОА^Ш1
{a?f = a*OA~ZL^
Ф. Точно так же найдём: ОА4~а*у ОЛ5 = аБ и т. д.
Для получения отрицательных степеней нужно восставить
перпендикуляр из точки А0 к прямой А0АХ до встречи в точке Вх со второй
прямой, из -точки Вг восставить перпендикуляр к прямой А0ВХ да
встречи в точке В2 с первой прямой и т. д. Из соответствующих
прямоугольных треугольников найдём:
откуда ОАз
05,= — = а~\
*¦ а
иВ2 = ±.=:а-\
а'
ов3=^=в-з, ов4 = ^=*-*,...
Для той же цели можно воспользоваться также способом, который мы

Если бесконечно малая величина ап стремится к нулю,
оставаясь с некоторого своего индекса положительной, то —
стремится к -{-оо; если ап стремится к нулю, оставаясь с некоторого
своего индекса отрицательной, то — стремится к —оо; если же
ап стремится к нулю, принимая для произвольно больших
значений индекса как положительные, так и отрицательные
значения, то — стремится к бесконечности, колеблясь между — оо
И -f-OO.
Если а—бесконечно малая величина, то и произведение её
на постоянное число а-а будет бесконечно малым, т. е. \а»а\
можно сделать меньше любого положительного числа е; для
этого нужно только сделать абсолютную величину а меньше -,—г :
из 1а1<Ст^т следует |аа|<е.
Точно так же нетрудно убедиться, что сумма бесконечно
малых слагаемых, число которых конечно, бесконечно мала.
В самом деле, если аъ а2, а3, ... , ал — бесконечно малые
величины, то абсолютную величину суммы их можно сделать меньше
любого наперёд заданного числа е:
Для этого достаточно каждое слагаемое по абсолютной величине
?
сделать меньше —:
п
К + а2 + «а+--+а„1<|аЛ + 1«2[ + Ы + ..- + 1«я|<
С понятием бесконечно малой величины тесно связано понятие
предела.
§ 2. Предел.
Пусть переменная величина ап принимает безграничный ряд
значений аь а2, ... , ап, ... и пусть А — некоторое
постоянное число. Последовательность этих чисел аь а2, #s, ..., ап, ... ,
короче — переменная величина ап, стремится к пределу А, если
разность ап — Л по абсолютной величине с увеличением указателя
применяли при построении радиусов-векторов логарифмической
спирали (стр. 174).

п может быть сделана меньше любого наперёд заданного
положительного числа 8 и при дальнейшем увеличении указателя
остаётся меньше этого числа г, другими словами — если для
всякого данного положительного числа е можно указать такое
число т, что при п ^ т всегда имеет место неравенство
|ап —Л|<е. Постоянное число А называется пределом (limes)
переменной величины ап; пишут:
lim ап=Л.
п-*сс
Иными словами, разность переменной величины а и её
предела Л, т. е. ап — Лесть величина бесконечно малая. Предел
бесконечно малого ап есть нуль:
1іта_ = 0.
л
Я->00
Если ап стремится к положительной бесконечности (§ 1)
а Ьп— к отрицательной, то пишут так:
lim ап = 4~ °°» 1*т Ьп = — оо,
П->00 ПЧОО
хотя о бесконечно малой разности предела и переменной
величины здесь говорить не имеет смысла.
Обозначим бесконечно малую разность переменной величины
а и её предела А через ал:
ап-А = ап.
В таком случае
а = А -4- д .
Если какую-либо переменную величину удалось представить
в виде суммы постоянного и бесконечно малого, то постоянное
слагаемое и будет пределом переменной величины.
Пример 1. Отыскать предел ал = 1+-^ + 27+«..+9^- По
известной формуле геометрической прогрессии имеем:
1-1.1
а 2п 2„2.._1
а 1—1 2« *
2
Дробь ^ величина бесконечно малая (пример 4 § 1), Следовательно,
.!l'ie-=.1!f,ce[1+T+F+-+i]e2-
Возникает вопрос: если дано переменное ал, принимающее
ряд значений: аи агуаг, #4, . .., аа,..., то как узнать, стремится ли
267

оно к какому-либо пределу? Если этот предел существует,
то мы его можем считать данным этой последовательностью
чисел аь а2, а3, ... , на которые мы можем смотреть как на
приближённые его значения, подобно тому как иррациональное
число считается данным тем сечением, которым совокупность
рациональных чисел распределяется на два класса: числа одного
(нижнего) класса считаются приближёнными значениями
иррационального числа с недостатком, числа другого (верхнего) —
приближёнными значениями с избытком (Введение, § 6),
Теорема. Если переменная величина ап, принимая ряд
значений av аг, а3, • • • » 6сё' бремя возрастает {или по
крайней мере не убывает) и всё время остаётся меньше
некоторого числа М, то она стремится к определённому
пределу.
Доказательство. Указанный способ изменения переменной
величины аа распределяет в с е рациональные числа на два класса;
рациональное число г отнесём к первому (нижнему) классу, если переменная
аа в конце концов, его превзойдёт, например, при п^т:
Очевидно, такие рациональные числа существуют.
К другому (верхнему) классу отнесём всякое рациональное число R,
которое переменная ап не может превзойти, иначе — если aa^.R для
всякого указателя п. К этому классу принадлежит, например,, всякое
рациональное число, большее числа ЛіГ,-ограничивающего данную
последовательность сверху. Всякое рациональное число г первого класса, как
следует из предыдущего, меньше всякого рационального числа R
второго класса: /*<#. Всякое рациональное число относится или к тому,
или к другому классу. Разность R— г может быть сделана поэтому
сколи угодно малой. Таким образом, в области рациональных чисел
установлено сечение, определяющее иррациональное или
рациональное число А. Это постоянное и будет пределом аа, ибо \г — А | может
быть сделано произвольно малым, а с увеличением п ап превзойдёт /-, но
не может превзойти А, и стало быть, аа—А есть величина
бесконечно малая, что и требовалось доказать.
При убывании переменной ап, если.всегда ап^>М} также
существует предел, другими словами: убывающая, или, по
крайней мере, никогда не возрастающая последовательность,
ограниченная снизу, имеет предел.
Следствие. Если из двух переменных ап и Ьт первая
возрастает, а вторая убывает, кроме того, при всяких значениях
указателей п и т, ап всегда меньше Ьт и, наконец, разность
Ьп — ап бесконечно мала, то обе переменные стремятся к
одному и тому же пределу.
Значения первой переменной: аь #2, а?, ... возрастают
и всегда меньше любого значения второй переменной, например
238

Ьь следовательно, ап стремится к определённому пределу Л, Но
К—ап=К—А+А—%
или
1^-лМ(^^-И-<ха)|<|йв-ая|+К-л|.
По условию, Ъп — ап и ап — А бесконечно малы; полагая
абсолютную величину каждого из них меньшей -^-, где s — сколь
угодно малое положительное число, получим:
і*»-^1<і+т- т-е- \bn-M<z.
Следовательно,
lim bn = Л= lim a ,
Пример 2. Пусть /„—площадь правильного л-угольника,
вписанного в окружность, а 1П — площадь правильного л-угольника,
описанного около той же окружности. При всяком числе сторон того и
другого многоугольника имеет место неравенство:
Кроме того, при увеличении числа сторон площадь вписанного
многоугольника увеличивается, а площадь описанного уменьшается,
разность же 1П — itv как доказывается в элементарной геометрии, может
быть сделана менее любой заданной наперёд величины. Следовагелько,
lim /д = 1іт 1т.
Этот общий предел и будет по определению площадью окружности.
Необходимый и достаточный признак существования
предела. Пусть переменная ап, принимая ряд значений аь аь аа, ...
стремится к определённому пределу:
lim я = а.
п
П-* 00
Возьмем два каких-нибудь числа b и с, из которых одно меньше,
а другое больше а:
Ь<^а<^с.
Как бы числа b и с ни были близки к а, а стало быть, и между
собой, между ними заключено бесчисленное множество значений
переменной а ;-все значения этой переменной, начиная с
некоторого значения указателя /г, например, /и, заключены между
этими границами дне (черт. 140 и 141):
269

В этом и заключается сущность понятия о пределе. Разность
двух значений переменной, если указатели их больше ту
по абсолютной величине меньше с—? = s, но b и с —
произвольно выбранные числа, между которыми заключено а,
следовательно, для достаточно большого т будем иметь
где е — любое, сколь угодно малое, положительное число.
Отсюда вытекает необходимый признак существования предела пере-
0
аг а4 а5 аъ
О I О 1 ¦
а,
О
J
а
&газа№
is
ъ*-ь
и-
Черт. 140.
Черт. 141.
менной ап: если последовательность av а2, а31 •.. , ап, ... имеет
предел, то для любого положительного (сколь угодно малого)
числа в можно подобрать настолько большой указатель т
переменной, что дальнейшие значения переменной величины
отличаются от ат меньше, чем на е:
К — ат\<в ПРИ «>«.
Но этот же признак является и достаточным для существования
предела последовательности чисел аь аг, а3, ..,, аа, ...
В самом деле, пусть для любого положительного числа е можно
подобрать такой указатель т, что будет иметь место неравенство:
\ап — ат Кs при п > т}
где п — переменный указатель.
Если вместо числа е возьмём другое число ev то и указатель ту
вообще говоря, будет иной. Таким образом, согласно условию, должно
иметь место безграничное число неравенств, подобных предыдущему:
l*a —Л«01 <?0 ПРИ п>тЬ
'ял —«mW<ei ПРИ Л>«1»
I Ля — «та К sl^P1* n>mv
\аа—а1Пі\<гі при п>ть
(1)
Здесь л —переменный указатель, удовлетворяющий в- каждом
неравенстве сьоему условию, а указатели т$, mv ть .,,, т^ ,.. —по>-
стоянные, соответственно подобранные числа.
270

Исходя из этих неравенств, можно образовать бесчисленное
множество интервалов (?0, с0), Фі, сх\(Ьъ cz), ..., {bb ct)t... ,из которых
каждый следующий лежит внутри предыдущего и концы которых
служат границами изменения переменной величины аа при возрастании
указателя л, начиная последовательно с от0, ть т21 ..., mt, ...
Действительно, пусть числа s0) sv е2, .. м 6/..., образуют убывающую-
последовательность, имеющую пределом нуль; для этого можно
положить, например:
При таком условии соответствующие указатели mQl mv m2>..., m.-,.*%
образуют неубывающую последовательность:
Щ^тг ^ т2 ^ть< ... < wx< ...
При л^=/% по условию, должно иметь место неравенство
Поэтому ял не может быть меньше лЖо—е0 и не может быть больше
Дт0 — ?о < йй < ато + s0 (при п ^ от0).
Эти числа и примем за границы первого интервала (Ь$, Сц):
и
h<aa< с0 ПРИ п ^ ^0-
Так как тх^т0, то и
^0 < Я/т < ^0-
При n^ztnv по условию, должно иметь место неравенство
\an — am\<*v
Поэтому ап при п^тх не может быть меньше аті— tt и не может
быть больше аті -f- s0:
дті—?1<йя<Лт1 + е2 (ПРИ rt^OTj.
Интервал между этими границами, равный 2ev меньше интервала
с0—60 = 2sn и середина его ят( лежит между Ь0 и ^; поэтому он или
весь умещается внутри первого интервала {Ь& с0) — и в таком
случае мы примем его за второй интервал (bv сх) — или только часть
его находится вне первого интервала. Но ни одно значение ал,
при п $г тх> не может находиться вне интервала (bb, cQ\ ибо, если
указатель п больше или равен mv то он больше и т0. Поэтому эту
внешнюю часть интервала {аті~ sv аті-^ге1\ если она существует, можно
отбросить и оставшуюся часть принять за второй интервал {bv гх).
Итак, и границы второго интервала Ьх и сг определены;
Ьг < аа < сх при п ^5 mv
причём
Ь§ ^ Ьх и г0 ^ сх.
Таким же способом, исходя из остальных неравенств (1), можно
образовать третий, четвертый и так далее интервалы(Ь# с2), (1% €$),.,.
271

«•¦)(*/' с/)> •?? і из КОТОРЫХ каждый умещается внутри предыдущего
^о < дл < *о при л 5* /эт0,
*і < дл < с1 » Л ^ ті>
h<an<c2 » л ^ ^2»
^ < йл < ?/ ПРИ Л ^ ^і»
Как вытекает из самого способа образования этих интервалов, числа
А)» ^і> ^а» • • •»**» • • • образуют постоянно возрастающую или по
крайней мере никогда не убывающую последовательность, а числа с0і сі7 с%,...
..., с$ ... — никогда не возрастающую. Разность между
соответственными числами этих последовательностей стремится к нулю, ибо
а ?/, по условию, стремится к нулю. Поэтому, согласно следствию
предыдущей теоремы, обе последовательности стремятся к одному
и тому же пределу:
Игл &:- = lim ct = A.
Но ап при возрастании указателя постоянно заключено между
соответственными членами последовательностей Ь-г и с?:
Ь( < ап <Сі при п ^= mt.
Следовательно, и эта переменная стремится к тому же пределу, ибо
если
|^-Л|<ен \Ci-A\<z,
Где е — любое сколь угодно малое число, то и подавно
\ап — А |< в, т. е. №аа = А,
Я-+СО
что и требовалось доказать.
Если переменная величина ап всё время, или по крайней
мере начиная с некоторого значения индекса /г, меньше
соответствующего значения другой переменной величины Ьп, т. е.
то предел первой не может быть больше предела второй, а
следовательно, будет или меньше или равен ему:
а -+ со п -> со
В самом деле, около \\тап группируется бесчисленное
множество значений ап, а около \\mbn — бесчисленное множество
значений Ьп; если 1італ не равен \'\тдп, то около каждого из этих
пределов можно отграничить такие интервалы, что всякое
число одного из них не принадлежит другому; выражаясь
геометрически, интервалы лежат один вне другого; следова-
?72

тельно, если бы lim ап был больше lim bn, то при
достаточно большом указателе п и при всех последующих значениях
этого указателя величина аа была бы больше величины Ь , что
противоречит условию; и потому, если яд<^#л, то
lim ап ^ lim ba.
п -* со я -> оо
Точно так же из неравенства &^>Ьп следует неравенство или
равенство
lira an^ lim b m
П -+ 00 Л -*- СО
Примеры переменных величин, принимающих
безграничный ряд значений и не имеющих предела. Не всякая
переменная величина, принимающая безграничный ряд значений,
стремится обязательно к пределу. Так, если
a ^l + t-lV,
то при нечётных п значение величины а равно-0, а при
чётных— единице; таким образом, а принимает ряд значений:
О, 1, 0, 1, 0, 1,..., и эти значения не стремятся к.какому-
либо пределу — переменная
_ 1+1=1)"
а
п
не имеет предела. Точно так же, если
то ряд значений её будет следующий:
т —1, -2- + 1, -д—1. Т+1' У""1' Г+1'-",
или
_3_ 2 5 4 7 6
2 ' 3 ' 4 ' 5 ' 6 ' 7 ' *• "
и не стремится к какому-либо пределу, хотя значения с
нечётным указателем а2«_х стремятся к пределу, равному —1, а с
чётным, й2П% — к пределу +-1:
2 4 б -
^2Л_і = 0, —у, — тг, — у, ... ; \\таы^х = — 1,
3 5 7 .. „ , т
Д2л=^Г, -4", -g-» - • • ; пта2л = +і.
18 Курс высшей математики ^'**

§ 3. Предложения о пределах суммы, произведения
и частного.
Задачу отыскания пределов сложных выражений стараются
прежде всего свести к отысканию пределов переменных
величин, составляющих исследуемое выражение. Основанием для
такого сведения служат следующие предложения, в которых
пределы составляющих переменных величин и составного
выражения предполагаются существующими.
Теорема 1. Предел суммы нескольких переменных
равен сумме пределов этих переменных:
lim (ап + Ьп-± са) = lim ап + lim ba + lim сд.
Доказательство. Пусть а, ?, с — пределы переменных
ап-> Ь?> сл:
lima = a, lim? =#, lime =c.
Требуется доказать, что разность
К + ЬП + сп)-(а-\-Ь + с)
есть величина бесконечно малая, т. е. может быть сделана по
абсолютной величине меньше сколь угодно малого
положительного числа е. Так как
(«в + *, + 0-(в + * + с) = '(вв-в) + (*в-&) + (с,-с),
то
і кжж„ж<ж+<о і =
Но разности ап — a, bn — Ь, сп — с, по условию, — величины
бесконечно малые; следовательно, число п можно сделать
настолько большим, чтобы
К—д1<т> \ьп—*]<і> ил—с\<ъ*
В таком случае
|в.-«1 + 1*я-*1+1«я-с|<е;
тем более
1К+*Ж«Ж«+*+')Ю.
т. е.
Нш(ая + *я + ^ ===(* + * + *)>
или
274

Теорема 2. Предел произведения нескольких переменных
величин равен произведению их пределов:
lim(а -ЪЛ = limа ЛхтЬ ,
Доказательство. Пусть а ц b — пределы переменных
ап и Ьп.
[ітаа = а, 1іпійя = *.
Теорема утверждает, что ub есть предел апЬпі т. е. что
разность апЬп—аЪ есть величина бесконечно малая.
Действительно,
апЬп — аЪ =anbn — abn + abn — ab==zbn{an — a) + a{bn — b),.
откуда
1ЛА—** 1 = 1 **(*« —*) + «(*„ — *) К
<IM*«-*)l+l*(V-*)|.
Так как значения ?л группируются около своего предела Ьр
то можно взять такое положительное число с, большее Ь,
которое будет превосходить при достаточно высоких значениях,
указателя п абсолютную величину Ьп, т. е. с^>|?Л| и потому
\апьп — аЬ\<с\ап— Л1 + 1«(*я — *)1-
По условию, разности ап — а и Ьп — b суть величины
бесконечно малые, множители же а и с — постоянные, и потому п
можно сделать настолько большим, чтобы
где ? — любое данное наперёд положительное число.
Следовательно,
и потому
lim {aab^ = аЬ = lim ап • lim bn.
Следствие 1.
. \1т(ая*Ья*са ... gn) = limanAlmba'llmcn ... lim*,.
Следствие 2. Предел целой степени переменной равен:
степени предела:
lim д*= (lim ая)*.
Теорема 3. ?<?ля предел переменной ап не равен нулюТ
то предел обратной величины — равен обратной величине
18* 27S

предела:
/л -.11 1
если lim а=а^ь09 то lim — = — = тт—-.
Доказательство. Докажем, что разность обратных
величин переменного и предела может быть сделана меньше
любого положительного числа е. Действительно,
1 1
ап а
ап — а
Пусть Ъ — некоторое положительное число, меньшее абсолютной
величины а:
ь<\а\>
Так как ап стремится к а, как к своему пределу, то, начиная
с некоторого номера я, она постоянно будет больше Ь.
Следовательно, для таких значений указателя п будем иметь;
1 1 \ап — а\ ^\аа — а\
аа а
аа-а\ ^ Ъ*
Но \а —а\ есть бесконечно малая величина. Полагая \а —а\
меньше положительного числа дг*е, где г — сколь угодно малое
лоложительное число, получим:
J 1_
а„ а
^\ап — а\^ЪЧ II 1 I -
Следствие. Предел частного двух переменных величин,
если предел знаменателя не равен нулю, равен частному
пределов этих переменных:
b„ lim Ьп
lim—= .- , если 1іта„ф0,
так как
а потому
/7 /7 Л*
"л "л
lim— — lim ( — •&„]=lim—lim? = rr——«lim b = - —
§ 4, Примеры нахождения пределов.
1. Определить, к чему стремится art =-у—- при /z,
стремящемся к бесконечности.
Предварительным преобразованием данного выражения можно
привести его к новому виду, к которому применимы основные
теоремы о пределах.
276

Разделим для этого числитель и знаменатель на п3:
Следовательно,
34 Х
п лз—1 ~", 1 •
л*
Нтая =
1іт(3+^)
"«¦С1-;?)'
Так ка к j^2* и ^з" *фи ^5 стремящемся к бесконечности, —
величины бесконечно малые, то
8+^)=8-.!Йв(1-і) = 1-
lim
Я -»¦ 00
Поэтому
1ігааи = 3.
п
И -* 00
Вопрос, Почему нельзя применить теоремы о пределах
непосредственно к данному выражению для ял?
2. К чему стремится дробь при а, стремящемся к нулю?
Числитель и знаменатель стремятся к определённым
пределам, но оба к нулю. Поэтому применить для отыскания предела
теоремы о пределе дроби нельзя. Нужно изыскать какой-либо
иной способ, который мог бы привести к решению поставленной
задачи.
Рассмотрим в окружности, радиус которой принят за
единицу, в каком соотношении находятся дуга а (или центральный
угол в дуговой мере), её синус и тангенс (черт. 2, стр. 26).
Очевидно, что
пл. ДОЛШ< пл. 0/Ш<пл. ДОЛГ. (2)
Определим эти площади, принимая во внимание, что радиус
окружности принят за единицу:
1
пл. Д ONM= y ON • NM = у cos a sin a;
пл. ОАМ = ^-АМ- 04 = 1а-1==-д-а;
пл.Д ОАТ=~-ОЛ- AT =y-l-tga=-itga.
277

Подставляя полученные выражения в неравенства (2), будем
иметь:
1 ./1^1,
у cos a sin а < у а-< jtga,
или, по сокращении на у и делении всех членов неравенств
на sin а,
cos а <С -— <С — .
^ sin а ^ cos а
Для обратных величин смысл неравенств будет обратный:
1 ^ sin а ^
> j> cos а.
COS а ^ а ^
Переходя к пределу, предполагая, что а стремится к нулю,
получим:
1 ^lim ^ 1,
так как из геометрического определения косинуса ясно, что
cos а стремится к единице, когда а стремится к нулю.
Следовательно,
,. sin а 1
lim — = 1.
•§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
различных порядков.
Кроме основных действий арифметики высшая математика
располагает при исследовании своих задач новой операцией —
переходом к пределу, операцией, состоящей в замене
переменных величин их пределами. С этой операцией, как мы видели,
тесно связано .понятие о бесконечно малых величинах, и сама
¦операция перехода к пределу может быть сведена к операциям
над бесконечно малыми. Поэтому высшая математика и
называется, когда обращается внимание на эту характерную её
сторону, исчислением бесконечно малых (calcul infinitesimal).
При этом исчислении необходимо различать порядок
бесконечно малых. Если приходится рассматривать одновременно
несколько бесконечно малых величин, стремящихся к нулю
в зависимости одна от другой, то естественно возникает вопрос
о сравнении их между собой. Каждая из бесконечно малых
стремится к нулю, но одна может стремиться быстрее, чем
другая. Бесконечно малые величины, стремящиеся к нулю не
одинаково быстро, будут величинами различного порядка.
27S

Так, из трёх величин ал=^, h — an, Y« = a« первая, ащ
стремится к нулю в убывающей геометрической прогрессии со
знаменателем, равным г^-:
_J_ _ J_ _ J_ _ 1
аі —Ю » а2—100 ' аз— 1000 ' ' " ' ап— іоя» ••• '
между тем как вторая стремится к нулю быстрее — именно
в геометрической прогрессии со знаменателем, равным -гг-;
Р1===Тоо' ^ = ПГбоо> ?3~ іоооооо' " •' Ря=== ко»» • • • 5
а третья ещё быстрее — в геометрической прбгрессии со зна-
1
менателем, равным ущ :
_ 1 _ 1 __ 1
Ъ 1000 J ^2— 1 000 000 J *** » *л— 1000Т**
Отношения второй и третьей величин к первой будут
величинами также бесконечно малыми:
Р„ і і і г L .
«7===iSS:I5S = № иЛтліТ = 0'
Поэтому величины f$n и yrt относительно переменной ап будут
бесконечно малыми высшего порядка.
Пусть ал, ая, Ря, .. ¦. , уя, .. • , »я, ... при безгранично
увеличивающемся указателе я—> бесконечно малые величины,
подлежащие сравнению между собой. Одну из них, ад, примем за
главную, или величину первого порядка. Если отношение ~
стремится, как к своему пределу, к конечному числу, не
равному нулю, то бесконечно малая величина а'л будет того же
порядка, т. е. первого по отношению к главной аа:
11т " "' -"'
Величина Ря будет бесконечно малой второго порядка, если
отношение —~2 стремится к конечному, не равному нулю пределу:
« _ я .М =*= °° •
Игл -н = В \
2
279
а- * 0.

Вообще величина Ь„ будет бесконечно малой порядка р, если
отношение — в пределе равно конечному, не равному нулю
числу;
hmTp=D 5o.
п
Пример. Сравнить бесконечно малые:
приняв первую из них за главную. Имеем:
ря 1 1 пР лР-\
ірп Vn+l' пР Vn+l
Y^H
lim rr 2 ,. p — n-
"Z Iim|/l + i-
Если p Ф -?, то n 2 стремится или к нулю (при р < —- J или к оо
. - і _ і_
( при р > -=-). Если р = -к-, то л 2 = л° = 1 и lira п 2 = 1.
Поэтому величина {*== = будет бесконечно малой порядка -тг срав-
нительно с бесконечно малой а_ = —.
« п
Точно так же найдём, что величина ул будет бесконечно малой
первого порядка:
Гл __ 2 1 2пр _ 2л*-1
при р=1
Пусть Ря — бесконечно малая величина порядка р
относительно бесконечно малой ал, т. е.
lim rfp==B,
280

где В — конечная постоянная величина, не равная нулю. На
этого равенства следует;
Ч.
где h — тоже бесконечно малая какого-нибудь порядка.
Следовательно,
Таким образом, бесконечно малая $п представлена нами в виде-
суммы двух бесконечно малых. Из них первая порядка ру
а вторая, как произведение двух бесконечно малых, из кото-
рых одна, порядка р, представляет бесконечно малую порядка
высшего, чем/?. Первое слагаемое 8%% называется главной
частью бесконечно малой $п и представляет эту последнюю
не только с бесконечно малой абсолютной погрешностью, но
и с бесконечно малой относительной, т. е. не только остаток
ho?n — бесконечно малая величина, но и отношение этого
бесконечно малого остатка к самой бесконечно малой $п будет
бесконечно малым:
Предел отношения двух бесконечно малых величин (5П и Уя-
одинакового порядка, например, р равен отношению их главных,
частей. Действительно, если
$n = Bapa + hai и уя = Са? + Ао&
где h и k — бесконечно малые величины, то
1ші -—=lim — - = 1іт- =-г .
т« с<+4 c+k с
Но точно так же
ВаР В
СаР С
Следовательно,
в$
Та Са?
1іШ?Ь =
п
Если предел отношения двух бесконечно малых равен
единице, то главные их части одинаковы,
28 Г

Бесконечно большие величины, так же как и бесконечно
малые, различаются по порядкам относительно одной из них,
принятой за главную. Таким образом, если М и N—
бесконечно большие величины, из которых N—главная, и
где А—> конечная, отличная от нуля величина, то Л/называется
бесконечно большой порядка р.
Пусть, например, п— безгранично увеличивающаяся величина,
а М — р/2/23—1. М будет бесконечно большой величиной
порядка y ПРИ безграничном увеличении /г, ибо
л* л2
По существу дела порядок бесконечно малой или
бесконечно большой величины— число положительное. Но если при
исследовании какой-либо переменной величины, мы находим
порядок её равным нулю или отрицательному числу, то такой
результат надо понимать следующим образом: бесконечно
малая величина нулевого порядка есть конечная величина,
бесконечно малая порядка —р есть то же самое, что и бесконечно
большая порядка р, и обратно.
Если а — бесконечно малая величина первого порядка и Ж —
бесконечно большая, удовлетворяющая условию
1ітЖа' = і4,
где А— постоянная конечная величина, отличная от нуля, то
порядок бесконечно большой М равен р.
§ 6. Непрерывность и прерывность функции.
Применим теорию пределов прежде всего к установлению
понятия непрерывности функции. Опираясь на
геометрические представления, можно было бы сказать так: функция
v =/(лг) будет непрерывной, если графически она
представляется непрерывной линией. Но, во-первых, понятие
непрерывности линии само требует определения; во-вторых,
функция может быть дана и не графически, а тем или иным
аналитическим выражением или какими-либо определяющими её
условиями. Будет ли график такой функции, т. е. совокупность
всех точек, ординаты которых представляют всевозможные зна-
282

чения функции, а абсциссы — соответствующие значения
аргумента, непрерывной линией или нет, решить это можно, лишь
зная, что исследуемая функция непрерывна и-ли прерывна. Таким
образом, необходимо установить критерии непрерывности
функции.
Мы будем рассматривать непрерывное изменение
аргумента х, т. е. будем предполагать, что аргумент х может
принимать все значения в рассматриваемом интервале, например,
от / до т. Вопрос теперь и заключается в том, как
располагаются соответственные значения функции. Под символом f{a)
разумеется значение функции f(x), соответствующее значению
аргумента д: = а, если только для этого значения аргумента
функция определена, иначе — результат подстановки в
выражение f(x) вместо х числа а, если только такая подстановка
имеет, согласно определению функции f(x), смысл. Пусть,
например, /(д;) = ;с3— 2х-\~2}); в таком случае
/(3) = 3«— 2.3 + 2 = 23.
Если /(#)= 1 «2-3 ...х, то
/(3)= 1.2-3 = 6, /(5)= Ь2.3.4.5=120,
но /(-о-) не имеет смысла, ибо рассматриваемая функция
определена лишь для целых значений аргумента. Функция /(*)==
= sin — определена для всякого значения аргумента за исклю-
л
чением ;с=0, так как деление на нуль !-^-і не имеет ариф-
метического смысла; если даже условиться считать -д-
предельным значением дроби —, когда х безгранично уменьшается до
нуля, то и тогда функция sin— для х~0 была бы не опре-
делена, ибо тригонометрические функции для бесконечно
большого значения аргумента не определены (стр. 255).
Для непрерывности функции в рассматриваемом интервале
прежде всего необходимо, чтобы она была определена для
каждого значения аргумента в этом интервале, т. е. чтобы
каждому значению аргумента соответствовало определённое
значение функции. Но одного этого условия недостаточно. В самом
деле, пусть для рациональных значений аргумента f(x)~x2,
а для иррациональных f(x)= — х2. Для каждого значения
]) Тремя чертами (г=) часто пользуются как знаком тождества.
283

аргумента функция определена; а между тем при
непрерывном изменении аргумента, т. е. когда аргумент последовательно
принимает все значения в каком-либо интервале, функция
постоянно . меняет свой знак, принимая то положительные, то
отрицательные значения, не обращаясь в нуль, если х=^0;
о непрерывности функции, как мы её представляем хотя бы
геометрически, не может быть и речи.
Чтобы подойти к тем условиям, которые определяют
непрерывность функции в каком-либо интервале, мы должны прежде
рассмотреть вопрос, что должно разуметь под непрерывностью
в точке, непрерывностью функции при каком-либо
определённом значении аргумента. Функция, непрерывная в каждой точке
какого-либо интервала, непрерывна и в этом интервале.
Непрерывность в точке. Выделим из непрерывной
последовательности значений аргумента ряд значений: аъ а2і а3;...,
ал,..., имеющий пределом число а, заключающееся в
указанном интервале (/, т)\
и пусть для каждого из этих значений аргумента функция f(x)
определена. Соответствующий ряд значений функции f(ax)y f(a2),
/(Яз)>---> /(#„)>••• составляет некоторую последовательность
чисел, которая, как мы видели, может либо иметь предел, либо
не иметь его.
Пусть такой предел есть; обозначим его через А Если
выделим какой-либо другой ряд зачений аргумента: хъ хъ лг8, . . . ,
х ,... с тем же пределом а (1ітхп = а),— предполагая, конечно,
что для каждого выделенного значения аргумента функция
определена, — то соответствующий ряд значений функции /(хг),
/(х2), /(а:3), ..., /(*я),... может стремиться к тому же
пределу А или иному, например В, или совсем не стремиться ни
к какому пределу. Если такого предела нет или этот предел
иной, то функция испытывает в рассматриваемом месте (лг = а)
разрыв. Но если предел тот же и равен1) значению
функции /(а), т. е. если
\lmf{xn) = limf(aa) = A=f(a)1
каков бы ни был выделенный ряд значений аргумента хъ
дг2, хв,..., хп,... с тем же пределом а (1ітл:я=а), то функ-
*) Есяи бы А не равнялось значению функции f(a) no прежнему
определению, то мы могли бы исправить прежнее определение
функции и разуметь под / (а) именно общий предел Л; функция / (х)
по первому определению испытывала бы в точке а разрыв, а по
исправленному была бы непрерывной.
284

цйя непрерывна при значении аргумента, равном а, или
непрерывна в точке а: около значения функции /{а)
группируется бесчисленное множество других бесконечно близких
значений той же функции. Таким образом, непрерывность
функции в точке а определяется равенством:
\imf(xn) = f(a)\ если lim хл = а,
или
lim/(jg=/(limjg, (3)
и это равенство должно иметь место для всякого перемен-
к своему пределу, уве-
ного хп, стремящегося к числу а, как
личиваясь или
уменьшаясь или колеблясь
около него. Знак предела
lim и знак функции /пе-
реместимы, если функция
в рассматриваемом -месте
непрерывна предел
функции равен функции
предела.
Если ряд значений
аргумента: хъ дг2, аг8,,..,
О
>>-<г
Я
•т
приолижается к
своему пределу, увеличиваясь,
указателя т:
Черт. 142.
по крайней мере,
а
-4»
с некоторого
х.
<*« + іО« + 2<- • <Хп< ••<«.
и имеет место равенство (3), то этим определяется
непрерывность функции с одной стороны — левосторонняя непрерывность
(соответственно геометрическому значению аргумента как
абсциссы; черт,
шаясь, т. е.
142), а если значение хп стремится к а умень-
то-равенством (3) определяется правосторонняя непрерывность.
Под непрерывностью функции в точке разумеется двусторонняя
непрерывность.
Можно дать непрерывности функции в точке и другое
определение, не отсылающее к- рассмотрению всевозможных
последовательностей значений аргумента, стремящихся к данной точке.
В § 8 гл. I ч. 1 мы сформулировали это определение
описательным образом, сказав, что функция непрерывна в
некоторой точке, если при бесконечно малом приращении
независимого переменного в этой точке она сама получает бесконечно
285

малое приращение. Теперь мы дадим точную формулировку
этому определению.
Функция f(x\ определённая в интервале, содержащем
внутри точку х = а> называется непрерывной в этой точке, если,
взяв любое положительное число е, можно подобрать,
сообразуясь с этим числом, достаточно малое положительное
число S так, что
при [Л]<^S будем иметь \f{&-\-h)—/И1<Се, (4)
или, если обозначим a-f-ft через х,
при \х — #|<С^ будем иметь |/(лг)— /(а)і<^е. (4;).
Аналогичным образом может быть определена
односторонняя непрерывность.
Функция f(x) непрерывна в точке х — а справа, если для
любого положительного числа е можно подобрать такое
положительное число 5, что
при 0<^А<^5 будем иметь \f(a-Arh)—/(д)|<^е.
Функция f(x) непрерывна в точке х-=а слева, если для
любого положительного числа е можно подобрать такое
положительное число §, что
при 0<^А<[§ будем иметь \f(a — h)—/(a)|<Cs.
При этом "в случае правосторонней (соответственно
левосторонней) непрерывности предполагается, что функция f(x), кроме
точки х = а, определена в некотором интервале, имеющем
эту точку своим левым (соответственно правым) концом.
Очевидно, для того, чтобы функция была непрерывна в точке,
необходимо и достаточно, чтобы она была в этой точке
непрерывна и справа, и слева.
Условие непрерывности функции можно записать в виде
1іш/(а + А) =?/(а).
Символ lim читается так: предел «при /г, стремящемся к нулю».
k -»о
При этом имеется в виду «непрерывное» стремление, h к нулю,
т. е. что h может принимать любое значение из некоторого
интервала, содержащего нуль, а не только из какой-то
последовательности hu А2,..., кп, ¦.. •
. Считая h положительным, будем иметь для левосторонней
непрерывности;
1іш/(а —А) =/(<і), (5)
286

для правосторонней:
lim/(a + A) = /(a), (6)
h -*¦ О
для непрерывности в точке а с той и другой сторон должно
иметь место равенство;
lim / (a + А) =lim f{& — Л), (7)
А-+0 А-> О
или сокращённо
/(a-fO)=/(a_0),
где символ а -f-О должен показывать, что аргумент jc
приближается к а уменьшаясь, а символ а — 0 — увеличиваясь.
Мы дали понятию' непрерывности функции в точке два разных.
определения. Поэтому мы должны доказать, что эти определения
равносильны, т. е. что из свойства, выражаемого одним —любым —из
этих определений, вытекает, как следствие, свойство, выражаемое
другим.
Пусть функция f(x) непрерывна в точке х-=^а ъ смысле второго
определения, т. е. для каждого е > 0 существует 8 > 0 такое, что
1 / (х) — / (а) К 6 для всех х, удовлетворяющих неравенству | х — а |< 5.
Покажем, что тогда функция непрерывна в этой точке и в смысле
первого определения, т. е. что для всякой последовательности хп,
стремящейся к а, последовательность/^) стремится к /(a). Действительно,
пусть I — число, соответствующее указанным во втором определении
способом произвольно заданному числу е > О- Так как ха стремится
к а, то найдётся такой номер N, что для всех л > # будет
выполняться неравенство іл;п—al<8. Но тогда для этих значений л
будет выполняться и неравенство I/(*„) — /(я) t < е. Таким образом, для--
всякого положительного е можно указать такой номер N, что \/(хл) —
— /(a)j <е для всех я> N Но это и означает, что f {хя) стремится
к /(a).
Пусть теперь, обратно, функция /(дг) непрерывна в смысле
первого определения, и покажем, что она непрерывна также и в смысле
второго определения. Действительно, предположим .противное, т. е. что
не для каждого е>0 можно указать о, обладающее тем свойством,
что \/(х)—/{а)\<г для всех |л*— а|<о. Иными словами,
предположим, что существует такое so. что для всякого 8 > 0 найдётся
значение х, удовлетворяющее неравенству 1 х — а | < о, и, вместе с тем, —
также неравенству |/(л*) — /(a) | S= s0. Возьмём какую-нибудь
последовательность 8л, стремящуюся к нулю, например, оя=—.Согласно только
что сказанному, для каждого номера п существует по крайней мере
одно значение хп такое, что |л_п —д| < —и !/(.*,()—/(a) |^е0.
Первое из этих неравенств показывает, что последовательность хп
стремится к а, из второго же неравенства ясно, что последовательность /(-*„)
не стремится к /(a), так как f(xn) всё время остаётся удалённым
от /(a) не меньше чем на е0. по это невозможно, так как, по
условию, fix) непрерывна в точке х===а в смысле первого определения,
т. е. для всякой последовательности лгл, стремящейся к a, f(xn) должно
стремиться к /(c). Следовательно, сделанное нами предположение не-
2ЬТ

верно, и f(x) непрерывна в точке лг = д также в смысле второго
определения.
Итак, мы доказали, что оба определения непрерывности функции
в точке вполне равносильны.
Если функция непрерывна в каждой точке какого-либо
интервала, то говорят, что она непрерывна в этом интервале.
При данном положительном числе g достаточно малое число 5,
удовлетворяющее условию (4) или (4'), для каждой точки
интервала может быть различно, может зависеть не только от е, но
и от jc и д. Но если для всех точек интервала независимо
от х или а для данного положительного числа е можно
подобрать одно и то же значение 5, большее нуля, то
непрерывность функции называется равномерной. При равномерной
непрерывности функции в данном интервале, если дано положительное
число е, можно указать такое число 5, что, где бы в этом
интервале ни взять два значения независимого переменного х' и х'\
¦удовлетворяющие лишь условию | х' — х" I <^ S, будет иметь
.место неравенство
!/(.*')-/(*") |< е.
Например, функция f(a) = x, очевидно, равномерно непрерывна
в любом конечном интервале, например, в интервале 0<^х^1:
каково бы ни было положительное число е, для 5 можно взять
какое-нибудь число, меньшее е. Но функция f(x)= — не будет
равномерно непрерывной в том же интервале 0<^д;^1,
Действительно, если х'^>х" и — — -у <Се> т0 х'—х'' должно быть
А Л
Х* yJf
меньше e-xV: . „ <^?> откуда х1 — х"<^$-хгх". Поэтому
для того, чтобы* неравенство — , <^е выполнялось для
всех х' и х'\ удовлетворяющих условию \х' — х" | <^ о, 5 не
должно превосходить s-х'х". Но х' и л*" могут быть взяты как
угодно близко к нулю; поэтому в*х'х?также сколь угодно
близко к нулю и, следовательно, § должно бы быть меньше сколь
угодно малого числа. Но положительного числа §, меньшего
сколь угодно малого числа, нет, и наше утверждение доказано,
§ 7, Теоремы о пределе суммы, произведения и
частного в случае непрерывного изменения переменных,
В предложениях о пределах суммы, произведения и
частного (§ 2) мы рассматривали переменные величины а , b ,..,,
принимающие бесконечные последовательности значений: аи аг,
Лзі»-»> #/,»•••> ^> *2>'«» Эти переменные являются функциями
288

от номера nt т. е. от независимого переменного, -принимающего
только целые положительные значения, и мы рассматривали
поведение этих функций, когда независимая переменная стремится
к бесконечности, пробегая целые значения. Но аналогичные
предложения, и притом таким же точно образом, могут быть
доказаны и для функций непрерывного аргумента х: их=/г(х),
«2=/2 (¦*)> • • •» uk—f%W» стремящегося к некоторому
пределу а. Теоремы о пределах суммы, произведения и частного
можно выразить теперь следующим образом:
Нт [Л (*) +Л (*)+.• .+Л <*) ] =
= 1ітЛ (*) + Пт/2 {х) +.. •+ Ifm Л Мі
х-+а х-*а х~+а
или сокращённо:
lim (иг 4~ к2 4"• • • + иь) =1іт и\ + 1*т «2 + • • • +1іт в# (8)
далее,
lim [Л (х)./, (х).. -Л (лг) ] = 1іт/а (х). 1іт/2 (*).,. lim Д (*),
ИЛИ
lim(u1««2.. .йА) = 1іта1«1ітиа.¦ .lim«ft; (9)
lim [f{x)]n=[limf{x)]n, или limun == (lim к)я; (10)
x-+a x-*a
lim /i(jc)
lim "; : = r:—^-r-r, или lim — = -—-; (11)
при этом предполагается, что эти функции при xt
стремящемся к а, имеют пределы, и, кроме того, в последнем
предложении (11) предполагается, что 1іт/2(*) = 1ітя2=^:0.
§ 8. Примеры разрывных функций.
1. Для непрерывности функции в точке а необходимо, чтобы
1іт/(;сл)=/(а), если 1іт*д = а,
каков бы ни был выделенный ряд значений аргумента: хи хг,
*s>"«> *а, •••> стремящийся к'данному числу а, как к своему
пределу. Но если при различных рядах значений аргумента хп,
л*',..., имеющих один и тот же предел a (lim #п = 1іт.Кд=...
t..-=a), соответствующие значения функции /(*„)> /(*),)»•¦ -,
имеют различные пределы или, хотя бы для одного такого ряда,
вовсе не имеют предела, то в точке а нарушается непрерыв-
19 Курс высшей математики ^°"

ность функции — функция разрывна* Так, функция sin л: при
всяких конечных значениях аргумента, как следует из её
геометрического определения, непрерывна; но функция sin — при
дг = 0 будет разрывна, какое бы значение в этой точке ей ни
приписать. .В самом деле, выделим из непрерывной
последовательности значений аргумента х значения
1
** =
2пк -[ (- аі
1 п
х„=
1 л 1 '
где п — целое число, безгранично увеличивающееся, а ах и а2 —
дуговые меры данных наперёд острых углов. Эти переменные
значения аргумента стремятся к одному и тому же пределу:
1ітл:л==1ігпл:^ = 0. Соответствующие значения функции
стремятся к различным пределам, если о^^о^:
limsin — = lim sin (2/m-f-— -\-ax) = lim sin (—~\~аЛ = sinat,
lim sin-?-= lim sin (2лтт + — -\-a2 J = lim sin Л--|-дП = sina2.
Таким образом, функция sin— при лг = 0 разрывна: непо-
средственная подстановка х = 0 не
имеет смысла, а при лг, стремящемся
к нулю, при различных законах
уменьшения х получаются различные
. 1
пределы для sin —, заключенные ме-
жду—1 и -|-1 (черт. 143).
2. При односторонней
непрерывности в точке а пределы, к
которым стремится значение функции,
для каждой стороны могут быть различны, и, таким образом,
при х = а функция испытывает разрыв, меняя своё значение
скачком;
3rw
Черт. 143.
lim/(a — h) —р\ lim/(a -4- Щ
Ч\ Р?=Я-
Пример такого разрыва даёт функция
_Р + <1 і Р — Я
2
290
/(*)
arcfcg
а
дг— а

где символом arctg мы обозначаем дугу, меняющуюся от — —
до -г-. Если х приближается к а (будем считать а
положительным) увеличиваясь, то х— а, а стало быть, и
а
х
а
, до пере-
хода к пределу всё время отрицательно. Следовательно,
а
х— а
стремится к —оо, a arctg- к —-0-, и, таким образом,
будем иметь:
Подобным же образом, если х приближается к а уменьшаясь,
находим:
а^ тс
2"'
lim arctg
х-+а
hm/{a + h)=p-±± +
х — а
2
о —У*
Если р^>д, то график этой функции имеет вид,
представленный на черт. 144. (Так как
lim arctg = 0
t'
И
lim f(x)=p-±Zf
->оо z
о
Т Р
Q
я г I
Черт. 144.
то прямая, параллельная оси
абсцисс и отстоящая от неё на рас-
^ , служит асимптотой этой кривой.)
стояние, равно!
3. Когда функция при стремлении аргумента к какому-либо
значению увеличивается по абсолютной величине безгранично и
превосходит любое наперёд данное число, то мы должны
считать функцию в этом месте разрывной. Например, /(#) =
при х, стремящемся к д, безгранично увеличи-
(х—а)
вается:
lim
/(*) = *>.
Значение функции при jc = a ві этом случае не определено,
ибо деление на 0 не имеет арифметического смысла, и потому
19* 291

условие непрерывности
Krnof(a + h)=f(a)
не выполняется, ибо /(а) не имеет смысла. Если же под f(a)
разуметь lim f(a-\-h)t т. е. со, то нельзя подобрать такого А,
чтобы имело место неравенство
1/(я + А)—/(а)|<8,
где s — любое сколь угодно малое положительное число,
так как
/(а + Л) =
1
(а + Л — й);
при сколь угодно малом А— конечная величина, а /(а) = оо
(черт. 145).
Уі
1
о
1 ¦
/1
~Ьь
X
Черт. 145.
Черт. 146.
4. Функция f(x)= при х = а испытывает разрыв та-
а '- х
кого типа, в котором совмещаются свойства разрывов типа 2
и 3 (черт. 146).
5. Функция /(лг) = — • sin— при лг= О испытывает раз-
X X
рыв такого типа, в котором совмещаются свойства разрывов
типа 1 и 3, ибо множитель sin — колеблется между — 1 и
-j-1, и эти колебания становятся чаще и чаще по мере
приближения х к нулю, а размах их, определяемый первым
множителем —-, безгранично при этом увеличивается.
292

§ 9, Непрерывность элементарных функций.
Предел степени равен степени предела (10):
Цтлгп = (Нт*)я)
к какому бы пределу ни стремилось ху а это значит, что
степень хп—непрерывная функция аргумента: если f(x)==x*1, то
Ит/(л:)=1іт.*я, a f (Пт х) = (ііт х)п, и следовательно, условие
непрерывности выполняется:
Нтл;я = (1іт#)я или Hm/(jt)=/(Hmjc).
Применяя предложения (8), (9), (10) § 7 к целой
рациональной функции
f{x) = а0х" -f ахх*-* -f... + ап,
мы должны заключить, что эта функция непрерывна:
ііш (а0хп + atx*-! +... + ап) =
= а0 (ііт х)п + й! (ііт *)"-! +... + ап>
т. е,
ііт/(.*)==/(ііт х).
Дробная рациональная функция также
непрерывна при л:, стремящемся к какому угодно постоянному числу
а, лишь бы это число не было корнем знаменателя, т. е.
не обращало бы знаменатель в нуль, так как при этом
условии мы имеем право применять предложение (11) (§ 7):
J w — b0xm -f Mw": +-.. + *,
'm
И
й0аж + Мй,"1 + --- + *«г^0;
Нт(а0*л + Лі*я-1+ ... + <**)
Мот + Mm"J+ ...+*« 1іт (Мт + М*-1 + • • • +*«)'
а0 (liraдг)я4-Л!-(Ига^)я-ч1 + ... +л/
х-»-а
*-»-а *-»-а
60 (Ига *)« + Ьі (ііт ;с)т~3 + • • • + 6ж *
Т. е.
1іт/(лг) —/(іітлг).
х-* а х-*-а
293

Таким образом, дробная рациональная функция непрерывна
в тех интервалах, в которых нет ни одного корня знаменателя.
Непрерывность тригонометрических
функций вытекает из их геометрического определения, причём для
tgx и sec# исключаются из пределов, непрерывности значения
аргумента + у-|-Атг, где k — какое нибудь целое число, а
для ctgx и соэесд: исключаются значения аргумента Атт; при
приближении к этим значениям аргумента указанные
тригонометрические функции стремятся к 4-оо,
Непрерывность круговых или
циклометрических функций непосредственно следует из общей теоремы
о непрерывности обратной функции. Прежде чем
формулировать эту теорему, введём следующее определение.
Функция f(x), заданная в интервале (а, Ь), называется
монотонно возрастающей, если при хг<^х2 также f{xx)<^f(x2),
и монотонно убывающей, если при хг<^х2, наоборот,
/(*і)>/(*2).
Теорема. Для всякой непрерывной и монотонной (т. е.
или ионотонно возрастающей или монотонно убывающей)
функции y = f(x), определённой в интервале [а, Ь),
обратная функциях — т (у) однозначно определена, монотонна и
непрерывна в интервале (а, р), где a=f(a)t $=f(b).
Доказательство. Предположим для определённости, что
f{x) ~~ монотонно возрастающая функция. Пусть _у0 — произвольная
точка из интервала (а, р): f(a) <у0 < /(?). В § 11 будет доказано, что
непрерывная функция, принимающая на концах интервала (а, Ъ)
значения /(a), f(b)} принимает внутри этого интервала любое
промежуточное значение. В частности, в интервале (а, Ъ) найдётся такое
значение х0: я<.г0<?) что y0=f(x0). Из монотонности функции f(x)
непосредственно следует, что это значение х0 — единственное.
Таким образом, уравнение y = f(x) однозначно разрешимо
относительно х для всякого значения у из интервала (а, р), и тем самым
обратная функция х=-у(у) однозначно определена для всех у из
интервала (а, р).
Из монотонности функции y = f (x) непосредственно следует, что
и функция х = у(у) монотонна. Покажем, что эта функция
непрерывна. Пусть >>0— произвольная точка интервала (а, р) : а<_у0< р, и
xQ = ^ (Уо), так что а < х0 < Ъ. Возьмём произвольное положительное
число г, ограниченное лишь условием, чтобы интервал {х0 — е, xQ -f- e)
заключался внутри интервала (а, Ь). В силу монотонности функции у(у\
для всякого уу заключённого между f(x0 — е) и /(*о + е). х = ч(у)
будет заключено между х0 — е и дго4-е> т- е- будет отличаться от xQ
меньше, чем на е. Поэтому, если мы обозначим через о наименьшее
из чисел у0— /(*0 —е) и /(*о + е) — у0, то получим, что для всякого
у, удовлетворяющего условию \у—j/o|<^ будет выполняться
неравенство ! <р ОО — ? (_Уо) I < ?- Тем самым непрерывность функции
х = 9(у) и доказана.
294

Как уже указывалось, из этой теоремы, в частности, следует,
что функции круговые или циклометрические,
как обратные тригонометрическим, будут также непрерывны в
тех интервалах, где они определены.
Чтобы судить о непрерывности показательной
функции (а*) и логарифма, нужно прежде всего определить
эти функции не только для рациональных значений аргумента,
но и для иррациональных; между тем показательная функция
определена лишь* для рациональных значений аргумента, а
логарифм— для тех значений аргумента, для которых он сам
рационален.
§10. Дополнительное определение показательной функции
и логарифма; их непрерывность.
Если какая-либо функция определена лишь для ра-
циональных значений аргумента, то её значения для
иррациональных значений аргумента могут быть дополнительно
определены совершенно произвольным образом независимо от
предыдущего .определения.
Но если мы желаем, чтобы определяемая функция была
непрерывной, то необходимо определять значение
функции для иррациональных значений аргумента как предел
ряда значений этой функции при рациональных значениях
аргумента. Пусть, например, ряд рациональных значений аргумента
Л» г2> гз> * • ¦ > гя> • • - имеет пределом иррациональное число р:
limr =р. Если для рациональных значений аргумента
функция f(x) определена, то под знаком /(/?) нужно разуметь ііщ f(rR):
/(/>) = 1іт/(гл).
Чтобы убедиться, что так определяемая функция
непрерывна, нужно ещё доказать, что при всяком ряде
значений аргумента, имеющем пределом число р, 1ітп/(л:л) будет тем
же самым, числом, которое мы обозначили через /(/>):
Urnf(хп) = 1ітf(x'n) = . ..^f(p)t
если
1іпися = 1ітдг^= . . . =р.
Применим такой путь дополнительного определения к
показательной функции.
295

Для рациональных значений аргумента 1) функция ах (т. е.
символ ах) вполне определена: если т и п — целые числа, то
_ ' т п
а» = а-а-а...а, аа = уа.а.а ?. л а>
Символ ах для рациональных значений аргумента обладает
следующими свойствами:
а*-аУ = а*+Уі ах:аУ=^ах'У; {аху = ахУ; {a-b)* = ax.bx.
Для показателя, равного нулю, символ а0 определён как
частное двух степеней с равными рациональными показателями,
и потому а°= 1:
ах: ах = ах'х = а0 = 1.
Но для иррациональных значений аргумента функция ах ещё
не определена2): символ а*, например, пока не имеет смысла.
Если я^>1, то с увеличением показателя и функция ах
увеличивается (мы, конечно, имеем право рассматривать пока
лишь рациональные значения показателя). Именно, для целых
показателей это предложение очевидно, ибо если п = т-\-1у
где т и /, а значит, и п, —целые числа, то
ап = ат+1 = ат*а\ но а1=а,'а*а . ,. а^> 1 и ап^>ат.
Чтобы убедиться в справедливости того же предложения для
дробных показателей, нужно предварительно доказать, что
а*^>1 при всяком (рациональном) положительном показателе.
Пусть х = — , где q— положительное целое число, и пусть
і q -
ая z=-\~]/'a=^a. Если бы а было меньше единицы, то и оЯ,
т. е. а, было бы меньше единицы, что противоречит условию
(а^>1); если бы а было равно единице, то и aq, т. е. а,
было бы также равно единице* что опять противоречит усло-
і_
вию. Следовательно, а, т. е. а? , больше 1.
Если х = —, где р и q— целые положительные числа, то
р. 1 1
aq = (aq)p; но aq, по доказанному, больше единицы, а потому и
і і
(а*)'>1, или а* >1.
J) То-есть, если х = —, где т и п — целые числа.
п
2) В §§ 2 и 3 главы I был лишь намечен путь обобщения.
296

Теперь мы можем доказать, что ах^>аУ, если х^>у.
В самом деле, ах:аУ = ах~ул Но х—у, по условию,
положительное число; следовательно,
ах'Уу\, или ->1,
откуда
ах>аУ.
Таким образом, если показатель х уменьшается (пока
принимая рациональные значения), то и функция а* уменьшается.
Пусть хъ Л"2,..., хпУШ?ь — ряд положительных рациональных
значений аргумента. Этому ряду соответствует ряд значений
функции а**) ах\..., а*л,... При этом а*п > 1. Если lim *л=0,
то из неравенства
а*«> 1
следует, что 1ітаГл^1 (стр. 273), Но какой из знаков
выбрать— знак равенства или неравенства — вопрос остаётся пока
нерешённым. Опираться при этом выборе на положение, что сР=Лу
нельзя, ибо а0 равно едицице потому, что символ а° определён,,
как частное двух степеней с равными рациональными
показателями, между тем как в предыдущем показателе хп
стремится к нулю, и мы должны судить о пределе ахп? Если
мы убедимся, что разность а*п—1, — обозначим её через h,—
величина бесконечно малая, то lim a*n= 1.
По условию, 111X1^=0; следовательно, хп — величина
бесконечно малая и может быть сделана по абсолютной величине
меньше любого сколь угодно малого положительного числа,.
например, —, где р — целое число. Таким образом, хд<^-
и, по доказанному выше,
Л А
а*я<ар или а*п — 1<ар— 1.
Следовательно,
А<д'—1, шшар>1+/г-
Возводя обе части этого равенства в степень р, получим:
<г>(і +h)p= 14-М+^т^ ** + ¦• •+**»
и тем более
a>l~\-ph,

откуда
г. s Л —1
^ Р
Число h положительное; следовательно,
0<А<^.
^ ^ Р
Но р можно взять сколь угодно большим, и следовательно,
——- может быть сколь угодно малым, а этЪ значит, что h
может быть сделано меньше любого наперёд заданного
положительного числа, т. е. h — величина бесконечно малая и
1ітЛ = 0. Таким образом,.
1іт(а*я— 1)=0
или
1іта*Л = 1, если 1ітхп = 0.
Так как предел обратной величины переменного равен
обратной величине предела (стр. 275—276), то мы должны иметь:
lima"*71 =llm —— =
ап Нш ап
и если 1ітхж=0. то и 1іта~*Л= 1. Таким образом, если х
стремится к нулю, принимая не только положительные значения,
но и отрицательные, или те и другие, то а*п стремится к
единице, как своему пределу.
Теперь можно показать, что, каков бы ни был ряд
рациональных чисел гь г2, гг,.. ., гя,..., стремящийся
к иррациональному числу t, как своему пределу,
lim rn = t;
соответствующий ряд значений функции: а\ аг*, аг*,..., arnt...
стремится к определённому пределу— обозначим его пока
через А. В самом деле, можно рациональное число гт взять
с достаточно большим указателем т так, чтобы оно отличалось
от всякого числа гп того же ряда с указателем ещё ббльшим
сколь угодно мало, т. е. чтобы разность хт = г —гт при п^>т
и безгранично увеличивающемся т была величиной бесконечно
малой: limxw —0. При этих условиях и разность аГп—ат
будет также величиной бесконечно малой. Действительно,
ап — ат = ат {аГп ~Гт — 1 )'= ат (а*т — 1) < а* (аХт — 1),
298

где R — произвольно выбранное определённое рациональное
число, большее, чем і, и, стало быть, большее, при достаточно
большом значении указателя т, чем любое г, если п^т, так
как рациональные числа гп с увеличением указателя
группируются около своего предела ' і. Но так как 1ітл:т:=0, то
разность ах™—1 есть, величина бесконечно малая и может
быть сделана меньше любого наперёд заданного
положительного числа, например,
S
|«*-1|<д.
Следовательно,
| агп — агт ] <^ е,
т. е. агп.— аг"1 — величина бесконечно малая, и потом}
(стр. 270) агп стремится к определённому пределу А:
limarn = A.
Если другой ряд рациональных чисел rrv /2, /д, . - -,/^, -..
стремится к тому же пределу t\ lim г = і, то при достаточно
больших указателях числа гп и г'п отличаются бесконечно мало
одно от другого, а потому и значения функций ar* и ага
отличаются бесконечно мало одно от другого;
агп — а/"* = аг'п (аг« ~" Тп — 1) <^ aR {ахп — 1 )т
где
R^>r и 1ітлгя = 0;
следовательно,
lim а?* = lim а*"* = А.
Обозначим этот общий предел А через af:
Hmar« = af, если limr =i*
В этом равенстве 1ітагя = а' мы имеем определение
возведения в степень с иррациональным показателем. Правила
действия над степенями с иррациональными показателями — те же,
что и правила действий над степенями с рациональными
показателями. В самом деле, пусть, например, lim rn=t и 1іт#д=«,
а следовательно,
Ит(гл-1-Яа) = * + в.
Под t и и мы разумеем иррациональные числа. Из равенства
arn. qR* ==¦ ar«+ %n
299

следует:
lim arn • lim cftn = lim arn + *я,
т. e.
Точно так же можно убедиться, что и остальные правила
действий с показателями имеют место и для иррациональных
показателей.
Кроме того, если иррациональное число t меньше
рационального или иррационального же числа и, т. е. і<С^Щ то иа'<^аи.
Это предложение выше было доказано лишь для рациональных
значений показателя. Можно доказать, что оно имеет место и
в случае, если один или оба показателя иррациональны. В самом
деле, пусть
lim rn== lira/¦„===*, а lim/?0=limJ?^:=a,
причем
rn<t<rn «Ra<u<R'n.
Таким образом, гп приближается к t увеличиваясь, в. гп —
уменьшаясь, а потому
и точно так же
а*я<ав<а*я.
Числа тп и гп группируются около t, а числа Rn и R'n—около и,
а потому указатели рациональных чисел rn> rn, Rn и R'n можно
взять настолько большими, чтобы г'п было меньше Rni в таком
случае интервал (га, гп) будет вне интервала (/?я, R'), Таким
образом, имеется следующий ряд неравенств:
а следовательно, имеют место и следующие неравенства:
Но а* заключается между cfn и/л, а аи — между cftn и aRny а
потому
Итак, показательная функция а* теперь вполне определена.
Остается лишь показать, что функция эта непрерывная,
300

т. е. что для неЗ имеет место определяющее непрерывность
функций условие:
1іт/(*д)=/(1ітлд,
или
ііт ахп = aVmxn
при всяких, не только рациональных, последовательностях чисел
xv лг2,..., #„,..., стремящихся к какому-либо пределу.
Если число лГд иррациональное, то всегда можно взять два
его рациональных приближения гт га~\—, одно с недостатком,
другое с избытком и отличающихся одно от другого на — :
Гп<*п<г, + Ъ*
так что
1іт/-л = 1іт (гл+ij=lim*ft.
Соответственные значения функции находятся в таком же
отношении:
г +1
агл<а*л<я а.
Следовательно,
lim атп ^ lim ахл ^ lim а я.
Но, по определению,
lim <fn=alimra = aUmxn
и
lim a* + "S = аш ('" + "*)= a""**
Итак,
аит*я -^ ilm axa ^ aIim*e.
Следовательно,
lim axn = alimJ4
Таким образом, показательная функция a* — непрерывная
функция. Если гг^>1, то при возрастающем аргументе функция ах
принимает всегда возрастающие значения, меняющиеся между
О и -f-oo:
— oo<je<^+°° и 0<^д*< + оо.
Если 0<^а<^1, то показательная функция убывает с
возрастанием аргумента:
— оо<лг<+оо и 4-°°>а*>°-
301

Логарифмическая функция у = logrt;e обратна показательной
и определяется равенством
х = а? (я>0).
Показательная функция теперь вполне определена и меняется
от 0 до -f-oo, в то время как показатель меняется от — оо до
-f-оо (при я^> 1). Поэтому логарифм вполне определён для
всех значений аргумента, заключённых между 0 и -[-оо:
0<*<+°с,
и принимает соответственно значения от —оо до -J-oo:
— oo<3/<-foo;
иначе — всякое положительное число имеет логарифм. Так как
показательная функция непрерывна, то и обратная ей —
логарифмическая непрерывна там, где она определена, т. е.
в интервале от 0 до -}- оо. При этом при лг, стремящемся к нулю,
логарифм стремится к —оо, и следовательно, при х^О
логарифм испытывает нарушение непрерывности, между тем как
непрерывность сохраняется при сколь угодно малых положительных
значениях аргумента: при значениях х, сколь угодно близких
к нулю, но не при х = 0.
Таков путь определения и обобщения понятий функций
показательной и логарифмической. Мы увидим далее, что те же
функции могут быть определены иначе и сразу как для
рациональных, так и для иррациональных значений аргумента.
§11. Основные свойства непрерывных функций.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые основные
свойства непрерывных функций. При эт.ом будем считать
функцию определенной в некотором интервале (а, Ь), который будет
или замкнутым, т. е. в котором независимое переменное х
принимает не только промежуточные значения, но и граничные
а и Ь\
а^х^Ь,
или незамкнутым, открытым, в котором независимое
переменное не принимает граничных значений:
а <^ х <^ Ь.
Интервал может быть также замкнутым с одного конца и
открытым с другого:
а> ^ х <^ Ь и а <С х ^ Ь.
302

Мы уже знаем, когда функция будет непрерывной в данном
интервале. Теперь нужно выяснить ещ* термин «ограниченная
функция». Если функция непрерывна в интервале (а, д), то, как
следует из определения непрерывности, значение функции
в каждой точке этого интервала конечно. Но из того, что
каждое значение функции конечно и, значит, ограничено,
ещё не следует, что функция ограничена. Ограниченной
в интервале (а, Ь) функция называется тогда, когда все её
значения в этом интервале не просто конечны, а заключены
между двумя конечными числами, например, М и N, т. е. когда
функция ограничена и сверху и снизу. Если все
значения функции заключены между двумя конечными числами,
то существуют и верхняя граница этих значений М и
нижняя ЛР, т. е. такие числа М и N\ которые обладают
следующими свойствами: они определяют интервал (Л/*, М),
заключающий все значения функции, но ни один из интервалов-.
(ЛГ, М'—е) или (ЛГ + е, Ж'), где е — сколь угодно малое
положительное число,—уже не вмещает всех значений этой
функции. В самом деле, значения функции f(x) следующим образом
распределяют рациональные числа на два класса: с одной
стороны, рациональные числа, которые не могут быть превзойдены
ни одним значением функции f(x), образуют верхний класс
(такие рациональные числа имеются: например, все числа, бблыыие
числа М)\ с другойг — остальные рациональные числа, к которым,
между прочим, относятся рациональные числа, меньшие N,
образуют нижний класс. Таким образом произведено сечение в
области рациональных чисел и тем самым определяется число М\
являющееся верхней границей значения функции fix). Точно так
же можно убедиться и в существовании нижней границы N1,
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в замкнутом,
интервале (а, Ь):
a^xz^b,
то она и ограничена в этом интервале.
Можно привести пример непрерывной функции в не-
замкнутом интервале, которая будет иметь конечные
значения, но не будет ограниченной. Именно — функция f(x) = ~
в интервале
незамкнутом при д:=0, не имеет верхней границы, ибо —
может превзойти любое сколь угодно большое, данное наперёд
число: для этого' стоит только взять х достаточно малым.
303.

Можно привести также пример разрывной функции в
замкнутом интервале, которая принимает только конечные
значения, но не будет ограниченной. Такую функцию для
замкнутого интервала
можно определить следующим образом: если хфО, то
/(*) = ! а при х — 0 f(x) = Ot т. е. /(0) = 0. При х — 0
так определённая функция испытывает разрыв, ибо
Ит/(*)=^/(0),
и так же, как в предыдущем примере, f(x) не имеет .верхней
границы.
Но если функция непрерывна в замкнутом интервале,
то она и ограничена в этом интервале и сверху и снизу.
В самом деле, положим, что это утверждение неверно.
Пусть, например, не существует верхней границы для функции/(.г)
в замкнутом интервале
а ^ х ^ Ь.
Разделим интервал (а, Ь) пополам. По крайней мере в одной из этих
половин функция f(x) не будет ограничена сверху, ибо если бы в
каждой из этих частей она была ограничена, то она была бы ограничена
« в интервале (а, Ъ\ что противоречит сделанному предположению.
Обозначим концы этого интервала через а± и Ьъ причём одно из этих чисел
* аЛ-Ъ
совпадает с одним из данных чисел а или о, а другое равно —~— ,
С интервалом {аь Ьг) поступим так же, как и с первым. Получим новый
интервал (а2, &2)> совпадающий с одной из половин предыдущего, и
внутри этого нового интервала функция f(x) должна быть
неограничен, если сделанное предположение о неограниченности в интервале
(а, Ь) верно.
Продолжая эту операцию безгранично, получим бесчисленное
множество интервалов (я, b), (ah bx)t (аь Ь2),..., (ял, ?й), .••• из которых
каждый следующий лежит внутри предыдущего:
я ^ #і ^ а2 ^ сз ^ ¦ ¦ • ^ аа ^ • • •»
b^b^bz^ b3^s,..^2 ba^s...
При этом
& — а , ^і— а\ & — а Ь — а
Оі — ах— 2 * °2""~a2 — —§—— 22 ' *"' а~~аа:==~~2п~ ,'"
Увеличивая указатель л, можно достигнуть того, что ЬЛ — ап будет
сколь угодно малым. Отсюда вытекает, что последовательности а\>
&ь • • •» ат • •' и h> Ьъ..., bat... — обе сходящиеся, и притом к одному
и" тому же пределу с:
1шДд = Піп Ьа==с,
304

Но функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале (а, Ь), и гак
как, в частности, а ^ с ^ ?, то f{c) — конечное число, и по условию
непрерывности должно иметь место неравенство:
I/W-/WK8 при 1лг-с|<3,
где ? —сколь угодно малое положительное число, а о — достаточна
малое. Отсюда следуют неравенства:
/(с)-е </(*)</(<:)+ в при с-Ъ<х<с + 1
Таким образом, винтервале с — 8, с + 3 функция f(x)ограничена.
Но в этом интервале содержатся интервалы (аа, Ьп) для всех достаточно
больших значений л, а в каждом таком интервале, по самому его
построению, функция f(x) неограничена* Полученное противоречие
и доказывает теорему.
Теорема 2. В замкнутом интервале непрерывная
функция имеет наибольшее и наименьшее значения.
Мы уже видели, что ограниченная функция в данном
интервале имеет верхнюю и нижнюю границы. Теорема утверждает,
что для непрерывной функции в замкнутом интервале эти
границы принадлежат к значениям функции. Ограниченной
функция может быть и в открытом интервале, верхняя и
нижняя границы будут для неё существовать, но они могут и не
принадлежать к значениям функции. Например, пусть для
незамкнутого интервала
0<*<1 (12)
функция ©пределена следующим образом:
/(*) = 2* + 5. (13)
Значения функции f{x) = 2x-\-5, когда х меняется в
пределах между 0 и 1, заключены между числами 5 и 7. Эти числа
и будут нижней и верхней границами, но этих границ
функция f(x) в интервале 0<^*<^1 нигде не достигает.
Итак, пусть f(x) — непрерывная функция в замкнутом интервале
(д, &). Эта функция по первой теореме ограничена, а стало быть,
имеет верхнюю и нижнюю границы; пусть эти границы будут
т—нижняя и М^ верхняя. Требуется доказать, что имеются такие значения
аргумента — назовём их с и rf, — при которых значения функции
равны соответственно М и т:
f{c) — Mvi /(d) = «.
Докажем, что есть такое число с в интервале (at b\ которое
удовлетворяет требованию f{c) = M.
Делим интервал (а} Ь) пополам. По крайней мере в одной из этих
половин верхняя граница функции равна М. Назовём концы этой
половины через аъ Ъх. С интервалом {аъ Ьх) поступаем так же, как с
интервалом (а> Ь), и получим подобно тому, как при доказательстве
20 Курс высшей математики **"**

теоремы 1, безграничный ряд интервалов (а, Ь)> (аь Ь^), (л2, &2),...,
(яй, Ьд),..., причём
й ^«і ^ й2е^.. .^ ад ^..., ? ^ *і7* Ъ%^.. .^г ЬлS*... (14)
и
, ft — а
Следовательно, обе последовательности чисел д, ді, Лг»*-* и &» 'Ь\9
Ь2>-.. стремятся к одному и тому же пределу; назовём его с:
limaa = limbn = c.
В каждом из полученных интервалов верхней границей
функции f(x) будет число М. По самому определению верхней границы
функция f(x) может принимать в соответствующем интервале
значения, сколь угодно близкие к границе М. Поэтому в первом интервале
можно взять такое значение хп аргумента, при котором значение
функции /(^о) превзойдёт число М— е0, во втором интервале можно взять
значение аргумента хъ при котором значение функции f(x{)
превзойдёт число М — еь и т. д.:
f{xQ)>M-tU9 f (дгі) > М - elf f(x%)>M-t%%...
f(xn)> М-*„...,
или
М — / (дг0) < e0l M — f (хі) < еі, Af — / (*2) < e2(...,
Af-/W<'«e..., (15)
где e0) еъ е2і*'м Зд,... —любые сколь угодно малые положительные
числа. Можно выбрать их так, чтобы из них образовалась убывающая,
стремящаяся к нулю, как к своему пределу, последовательность,
например, можно положить
Числа JC|> Л"і, дг2,..., хп,... удовлетворяют неравенствам:
a^XQ^b, ах ^ л*і ^ ^і, а2 ^ х2 ^ ft2> • • • > ял ^ *л ^ &л> - • • (17)
Из неравенств (15) при условиях (16) следует, что М является
пределом переменной величины /(*„), а из неравенств (17) вытекает,
что ха стремится к тому же пределу, что и величины аа и Ьп;
limf(xa) = M и \ітха = 1ітаа = 1ітЬа = с. (18)
Но f(x)— непрерывная функция, и потому
Ига/(*в)=/(Кт-л-я);
заменяя обе части этого равенства на основании равенств (18) равными
им величинами, получим:
M = f(c),
т. е. верхняя граница непрерывной функции f(x) в замкнутом
интервале является значением функции f(x) при х — с, где с — число»
заключённое в интервале (ff, 6).
Точно так же можно доказать утверждение теоремы и относительно
нижней границы.
306

Примечание. Разность М — т называется колебанием
функции f(x) в интервале (а, Ь).
Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна в замкнутом
интервале (а, Ь), то она равномерно непрерывна в этом
интервале .
Доказательство. Мы должны доказать, что при
непрерывности функции в замкнутом интервале каждому сколь угодно
малому положительному числу е можно отнести такое положительное
число о, что для всяких двух значений хг и х!Г в интервале [a, b)t
удовлетворяющих условию
|*"-лг'|<$. <19>
имеет место неравенство
!/(*")-/(*') К е. (20>
Покажем прежде всего, что интервал (а, Ь) можно разбить
на столь большое число рапных частей, что колебание функции в каждой
из этих частей будет меньше —. Действительно, предположим, что это
не так, и разделим интервал (а, Ь) пополам. Тогда также одну,
по крайней мере, из этих половин нельзя будет разбить требуемым
образом на равные части. В самом деле, если бы интервалы (аУ —— j
(аЛ~Ъ' \
и I —~— , ЪJ можно было разбить требуемым образом на равные
части, например, первый — на р частей, а второй — на д частей, то
и разбиение интервала (а, Ь) на 2рд равных частей обладало бы
требуемым свойством. Продолжая этот процесс дальше, как в
доказательстве теорем 1 и 2, мы придём к точке с, являющейся общим
пределом последовательностей аа и Ъпі ап^Ъп, обладающих тем свойством,
что ни один из интервалов (ап, Ьп) нельзя разбить на равные части
так, чтобы в каждой из них колебание функции f{x) было
меньше -^-. Но, в силу непрерывности функции f(x) в точке с,
существует такое 8, что|/(лг) — f(c) \ < -*- для всех х, содержащихся в
интервале (с — 8, c-f-S). С другой стороны, так как ап и Ьа стремятся
к с, то для некоторого п интервал (аПУ Ьа) будет целиком содержаться
внутри интервала (с — 8, с -f- 8). Но тогда для любых двух значений
х', хи из интервала {аа> Ъа) будем иметь:
\f(x')-f(x«)\^\f(x')-f(c)\ + \f(x»)-f(c)\<^ + ^ = \.-
Таким образом, колебание функции f{x) в интервале (дл, &*) будет
меньше —, и тем более в каждой его части колебание будет мень-
ше -^-, Мы пришли к противоречию, так как по предположению ин-
тервал {аа1 bn) нельзя разбить на равные части таким образом, чтобы
в каждой из них колебание f{x) было меньше -^. Тем самым уста-
20* 307

новлено, что требуемое разбиение интервала (а, Ь) на части
возможно.
Легко видеть, что длину каждой из полученных частей можно
принять за нужное нам число 8. В самом деле, возьмём какие-либо значения
хг и хи в интервале (а, Ь\ удовлетворяющие условию (19). В интервале
(д:', х") будет находиться не более одной из точек деления, полученных
при разбиении всего интервала {а% Ь). Пусть это будет точка х^. Эта
точка разбивает интервал (xr, xtr) на два подинтервала (х', х{) и (хь xf,)t
В каждом из этих подинтервалов колебание функции должно быть
меньше -к-
Но тогда
следовательно,
l/M-/WI<Y" l/Ui)-/(*")l<-?.
!/(*•)—/(*')! <e.
Теорема 4. Если непрерывная функция f(x) при х = а
и при х = Ь имеет противоположные знаки, например,
/(а)<0, /(*)>0,
то, по крайней мере, при одном промежуточном значении
аргумента х = с, заключённом между а и Ь,
рассматриваемая функция обращается в нуль.
Примечание. Предложение это очевидно геометрически:
график непрерывной функции f(x), соединяя точку A (a, /(a)),
лежащую под осью абсцисс (черт. 147), с точкой B{b,f(b)\
лежащей над этой осью, чтобы перейти из
нижней части плоскости в верхнюю,
должен пересечь линию раздела, т. е. ось
абсцисс; ордината точки пересечения рая-
на нулю, т. е. некоторое значение
функции в интервале (а, Ь) обращается в нуль.
При аналитическом
доказательстве этого предложения не
геометрические представления, а аналитическое
определение непрерывной функции и
теория пределов должны служить основанием
для заключений. Геометрический чертёж может служить лишь
иллюстрацией аналитической мысли.
Доказательство. Разделим интервал (а, Ь) пополам; абсцисса
а-\~Ь
Черт. 147.
середины равна будет
Этой точкой интервал (я, Ь) разделится
на два меньших
интервала. Значение функции f(x) при лг = —і-
или
равно нулю, или положительно, или отрицательно. Если бы
Фыло равно нулю, то теорема была бы
равно нулю. Берём тот из двух интервалов
зоа
доказана. Пусть /! —^—
a~\-b\ fu~\-b
/№)
не
№¦№••)•

в концах которого значения функции /(х) имеют противополож-
н ы е знаки. Обозначим ради симметрии абсциссы концов этого меньшего
интервала через ah bh причём
/taKO, a f(bx)> О
и
Ь—а
а ^ аі < Ьх ^ Ь\ Ьі — ах =
2
С интервалом (ah Ьх) поступаем так же, как и с первым. Таким
образом, найдём третий интервал (я2> Ь2):
/(«К О, /(«і)<0, /(*>)<<),
№>Q, /(»i)>of /(&2)>о.
Продолжая такую операцию, в случае необходимости, безгранично,
получим безграничный рад интервалов;
(а, &), (аь Ьх\ (аъ Ь2), ..., (вл, ?л),
причём
/(«)?<>. /(аіХО,.... /Ю<о,...
/W>0f /(*і)>0, ..., /(*п)><>,...
и
, 6— а
&„ —а„ =
я "я
2«
Так как ряд чисел аа возрастает (не убывает), а ряд чисел Ъп
убывает (во всяком случае, не возрастает) и, кроме того, Ъа — а =«7" -'
при безграничном увеличении п стремится к нулю, то оба эти ряда
стремятся к одному пределу с, заключённому между а и Ь:
ііш аа = Ига Ьи = с и а < с < ?.
Но рассматриваемая функция непрерывна; следовательно, мы должны
иметь:
1іт/Ю=/(г) и 1іш/(&д) = /(^
или
1іга/(^) = Ит/(^)=/(с).
Так как, по условию,
/(«д)<0, а /(*д)>0,
то (стр. 272—273)
Игп/(ал)<0 и Ига/(*д)^0,
f(c)s^0 и /(<?)^0.
Следовательно,
/(с) = 0.
Таким образом, указанная операция приводит во всяком случае к
одному значению аргумента с, заключённому между а и Ь, при котором
рассматриваемая функция обращается в нуль.
Эта операция даёт, между прочим, способ, хотя и не особенно
удобный, для приближённого вычисления корня уравнения.
309

Пример. Вычислить корень уравнения
*а _ 2х - 1 = О,
заключённый между 1 и 2.
Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через f(x):
f(x)==x3—2x—lt
будем иметь:
/(1)=13 — 2-1 — I = — 2,
а
/(2)=:23_2.2-1= +3-
¦Следовательно, между 1 и 2 действительно находится, по крайней мере,
один корень данного уравнения:
1<с<2 и /(с) = 0.
I и 2 будут первыми приближёнными значениями этого корня.
Определение интервалов (аъ bi)t (а2) Ь%), (д3» h)> • • *
» ^-4= '(1)=(4),-4-'-^<«-
з
¦Следовательно, аі = -п-, #і = 2 —вторые приближённые значения иско-
мого корня.
» ^-r- /(4Мт)'-24-'=3-^>°-
3 ' 1
Следовательно, гг2 = Ді = -2-) ^2 — "й—третьи приближённые значения
корня.
3 7
„. Т+Т 13. ,ЛЗ\_/13\» .13 . 2197-2176..
6) — ~8' f[Tj-{-8) -*-W~1== Р >0-
3 13
Следовательно, а$~а% = -тт » h = "JT ~~ четвёртые приближённые
значения корня.
2 + 8 _25, ,/254/25X8 25 15 625 - 16 896 , Л
4) —2 -Тб' ;\,Тб^-\1б/ "~2*Тб"]^ IS» <0-
г 25 . - 13 е
Следовательно, я4 — Tg 1 *4 ^ ^з = "о— пятые приближенные значения
корня.
25МЗ
ъ 16_8 __51. /51\ /51\з 0 51 , 132 651-137 216 ^Л
5)—2 32' /V32j==V32/) " 32" 32* < °'"
51 13
Следовательно, а$ = ^, 2>5 = ^ = —; а5 и ?б буду.т приближёнными
310

значениями искомого корня, отличающимися от него меньше, чем
на gg:
ь _ „13 51_52-51_ 1
5 Б S 32 ~~" 32 "32*
Продолжая ту же операцию дальше, мы будем получать приближённые
значения искомого корня, всё более и более близкие к истинному.
Следствие. Непрерывная функция, принимающая при
х = а значение М и при x=zb значение N:
f(a) = M a f(b) = N9
принимает в интервале (а, Ь) любое числовое значение Р,
заключённое между М и N, ибо функция/(лг) — Р
удовлетворяет условиям теоремы 3.
УПРАЖНЕНИЯ.
х* 1
1. Найти предел функции у = г- при х —* 1.
Решение, 1-Й способ. Представим данную функцию в форме;
Приближая теперь х к единице, подучий:
lim i—— = 1-4-1 =2.
2-Й способ. Так как х стремится к 1, то разность х — 1 есть
величина бесконечно малая. Обозначим её через а: х— 1 = а или
х = \-\-ъ. Подставляя это выражение в данную функцию, получим:
Теперь у зависит уже не от х, а от а, причём а —»- 0. Приближая а
к нулю, получим: lim_y = 2. Но когда а стремится к нулю, х стремится
к 1. А потому lim у = 2.
х з
2. lim -л—Е—г-г = ? Отв. 1.
*-*з-^ — Ьх + 6
3. lim S—г— = ? 0/яв. -"-о" •
х-*1 ** — А о
JC-
1 — Vl — л:
5. Ига - Li—і = ? Отв. 1.
» |/ 4+6* + 2*«-*«==г >""• 7
311

Указание: умножить и разделить данное выражение на величину
1+VT=Z
6. 1іт(дг—Ух9 — 1) = ? Отв. 0.
7. ііш — = ? Отв. а.
jt-^O х
8. ііт &? = ? Отв. 1.
9. Нт •y7Sig>: = ? Отв. 0.
10. ііш arcsec^ = ?Ome. —.
Х% — 1
11. Будет ли функция --—— непрерывна при * = 1? К какому
X л.
из типов, указанных в § 8, относится нарушение непрерывности этой
функции при jc = 1?
12. Будет ли функция Arsin— непрерывна при * = ()? Как следует
исправить первоначальное определение этой функции, чтобы сделать
её непрерывной при л; = 0? Отв. Считать, что I хsin— =0.
Повторительные вопросы.
Бесконечно большие и бесконечно малые величины. 1. Что
такое бесконечно большая величина? 2. Если переменная величина по
абсолютному значению может быть сделана и оставаться далее
более любого наперёд заданного положительного числа, можно ли
сделать заключение, что она стремится или к положительной или
к отрицательной бесконечности? 3. Что такое бесконечно малая
величина? 4. Будет ли ОД1000 бесконечно малой величиной? 5. Что такое
бесконечно малая л-го порядка? 6. Что такое бесконечно большая
величина л-го порядка? 7. Какой смысл имеет отрицательный порядок
бесконечно малой или бесконечно большой величины? 8. Что такое
главная часть бесконечно малой величины? Какое значение имеют
главные части бесконечно малых величин в «исчислении бесконечно
малых»?
Предел. 1. Что такое предел переменной величины или предел
данной последовательности чисел? 2. Всякая ли последовательность
чисел имеет предел? 3. Какое соотношение имеет место между
понятием предела и понятием бесконечно малой величины? 4. Какие
существуют способы распознать, имеет ли данная переменная величина или
данная безграничная последовательность чисел предел?
Функция. 1. Что такое функция? 2. Когда функция называется
явной, когда неявной? 3. Что такое непрерывная функция? 4. В чём
заключаются условия непрерывности в точке и условия непрерывности
в интервале? 5. Когда непрерывность функции в данном интервале
называется равномерной? 6. Каких типов могут быть разрывы функции?
7. Какими основными двойствами обладают непрерывные функции?
8. Какие функции называются элементарными? 9. Какие функции
называются алгебраическими, какие из них рациональными,
иррациональными, целыми, дробными? 10. Какие функции называются
трансцендентными?
312

ГЛАВА III.
НАЧАЛА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.
§ 1. Ход изменения функции.
Первой ступенью изучения какой-нибудь функции является
исследование хода её изменения. Пусть мы уже имеем готовый
график непрерывной функции
¦У=/(*),
т. е. линию, ординаты точек которой представляют различные
значения рассматриваемой функции, а абсциссы —
соответственные значения аргумента. Положение этого графика
относительно оси абсцисс, а также его изгибы, если он — кривая
линия, и характеризуют ход
изменения рассматриваемой функции.
Рассмотрим сначала тот случай
(черт. 148), когда возможно разбить
ось абсцисс на интервалы так, что
функция в одних интервалах всё
время увеличивается, или
возрастает вместе с увеличением
аргумента (АВ, CD), в других — всё время
уменьшается, или убывает {ВС).
Такое изменение функций в интервале называется монотонным*
В момент перехода от возрастания к убыванию (точка В)
функция достигает максимума (ВМ), в момент перехода от
убывания к возрастанию (С) она достигает минимума (CN)»
Максимум и минимум определяются здесь не по сравнению этих
значений функций со всеми другими её значениями, а только
по сравнению с соседними, соответствующими значениям
аргумента, достаточно близкими с той и другой стороны к
рассматриваемому значению его.
Характер возрастания или убывания функции может быть
различный, смотря по тому, в какую сторону кривая обращена.
своей выпуклостью, в сторону ли положительного направления
оси ординат или в сторону отрицательного (черт. 149 и 150),
другими словами, лежит ли кривая в рассматриваемом интервале
всё время под касательной какой-либо точки кривой в этом
интервале или над касательной.
Если функция линейна, т. е. первой степени относительно
аргумента;
313-

то она изобразится прямой линией, и потому возрастание её
или убывание будет равномерным, т. е. при всех значениях
Ч
Ой В
Черт. 149.
У
0
М
і
fj
MS
I
Черт. 150.
аргумента равным приращениям аргумента будут соотЕетство-
вать и одинаковые изменения функции (черт. 151, 152). если
AB=BC=CD = ...9
то и
RN=SP=TQ = ...
Но если линия, изображающая функцию, — кривая, то
равномерного возрастания или убывания не будет: равным прираще-
У
У<
г?" а в с в *
Черт. 151.
А В С В 'х
Черт. 152.
л в с в
Черт. 153.
ниям аргумента соответствуют, вообще говоря, неравные
приращения функции. Так, если
AB = BC=CD = ...
и точки М, N, Р, Q (черт. 153) лежат на кривой линии, то
треугольники MRNt NSP, PTQ и т. д., хотя и имеют по
равному катету
•но не будут равны, так как гипотенузы неодинаково наклонены
к равным катетам.
Проведя касательную линию к кривой в какой-нибудь точке,
можно сравнить в некотором интервале возрастание или
убывали

ние ординат кривой линии с возрастанием или убыванием ординат
касательной. Можно указать геометрические признаки, когда
возрастание или убывание ординат кривой линии будет
быстрее или медленнее возрастания или убывания ординат
касательной. Мы назвали ход изменения ординат прямой линии
равномерным. Ход изменения ординат кривой линии
неравномерен и может быть возрастанием или убыванием
ускоренным или замедленным.
На черт. 154 мы имеем графики функций возрастающих
(в интервале АВ): а—равномерно, b — ускоренно, с —
замедленно. На черт. 155 — графики функций убывающих:
а—равномерно, Ь — замедленно, с — ускоренно.
Черт. 154.
У
о
1 1 ' ¦
1 1 < 1
1111
л
N
> •
8 *
од 8 ~*
ь
Черт. 155.
Изыскание количественных признаков для этих
качественных характеристик хода изменения функции,
выражаемых словами: возрастание, убывание,
равномерное, ускоренное или замедленное, и приводит
к таким основным понятиям, как производные функции и
дифференциалы. Эти понятия и служат ключом учения о функциях.
§ 2. Производная функция. Её геометрическое значение.
Пусть мы имеем непрерывную функцию
у=№- О)
Будем разуметь под х какое-либо определённое значение
аргумента и дадим ему некоторое- приращение, которое будем
315

обозначать через Дл:1). Значение функции при этом изменяется,
и это изменение мы будем называть также приращением,
которое может быть положительным или отрицательным. Обозначим
приращение функции через ку. Изменённому значению
аргумента х-\-кх соответствует и изменённое значение функции
3/ + Д_У, т. е.
y + ky = f{x + Lx). (V)
Приращение независимого переменного может быть взято нами
произвольно; приращение функции определяется равенством (Г).
Из равенств (1) и (1') следует:
Ду =/(*+**)—f(x). (2)
Рассмотрим теперь, какое значение может иметь отношение
приращения функции к соответствующему приращению
аргумента: ¦—-. Если это отношение положительно, то Ь.х и &у
имеют одинаковые знаки, и, значит, с увеличением-
аргумента функция увеличивается. При отрицательном
отношении -р приращения Дл; и Д_у имеют разные знаки, и, значит,
с увеличением аргумента функция уменьшается, ибо
Ly отрицательно. Таким образом, это отношение т~ должно
иметь значение при исследовании вопроса о возрастании
и убывании функции.
В случае линейной функции, т. е. двучлена первой степени
относительно аргумента х
у = ах-\~Ь, (3)
отношение т^ не зависит ни от х, ни от величины
приращения Дх, а будет для всех точек прямой и при всяком Дд:
постоянным и равным угловому коэффициенту этой прямой:
у -[- ку = а (х -|- Дх) -\- Ь,
Д^/ = аДдг и -2~ = а.
При прямоугольной системе координат угловой коэффициент
прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси абсцисс
(черт. 156):
&У +
х) &х читается: дельта х; Д (греческая буква) не обозначает
числа, а является лишь символом приращения, между тем как &х
есть число.
316

Угловой коэффициент прямой определяет быстроту возрастания
или убывания соответствующей линейной функции.
Если же рассматриваемая функция не линейна и,
следовательно, графиком её служит кривая линия, то отношение -р
будет зависеть и от места на кривой, т. е. от независимого
переменного лг, и от величины приращения Дл;. Геометрическое
У
Ч
* N N, 'Г
Черт. 156.
О
Черт. 157.
значение этого отношения вытекает из рассмотрения
прямоугольного треугольнику MPM-l (черт. 157), в котором катеты
равны приращениям абсциссы (аргумента) и ординаты (функции),
а. гипотенуза, продолженная в ту и другую стороны, является
секущей, соединяющей точки кривой М{х,у) и Мх(х-\-кх>
y-f-Ду). Тангенс угла ср наклона этой секущей к
положительному направлению оси абсцисс и будет определяться
рассматриваемым отношением:
(4)
Рассматривая на кривой какую-либо определённую точку
М(х,у) и изменяя приращение Длг, т. е. перемещая по кривой
точку M1(x-^r!^x,y-\-Ly)i мы тем самым изменим и
отношение |У . Если приращение аргумента Да: стремится к нулю, то
и приращение функции Ду- стремится к нулю, так как мы
рассматриваем функцию непрерывную. Пока Дл: не равно нулю,
отношение этих приращений имеет вполне определённый
арифметический смысл, как частное от деления одного числа на
другое, не равное нулю. Положить же непосредственно в этом
отношении Дл: равным нулю не имеет арифметического смысла.
Но если Дх стремится к нулю, то отношение ?j принимает
соответственно бесконечный ряд значений, и мы можем
поставить вопрос о пределе его; стремится ли при этом это пере-
317

менное отношение к какому-либо определённому пределу или
нет, это зависит от свойств рассматриваемой функции.
Возможно и то, и другое.
Пример 1. Функция f(x)^xsin^ определена для всякого значе-
ния х, кроме х = 0, ибо — не имеет смысла. Положим по дополни-
тельному определению /(0) = 0. Так определённая функция
непрерывна в точке дг = 0. В самом деле, хотя функция sin— и испытывает
при х =: 0 нарушение непрерывности (стр. 290), но эта функция
остаётся ограниченной, колеблясь между — 1 и 4-1, и
следовательно, произведение a:sin— стремится к нулю. Таким образом, уело-
вие непрерывности (стр. 286):
Пт/(*)=/(0)
выполняется.
Рассматривая два значения аргумента jc = 0 и х = 0 -{- Д.г = Ддг,
получим для функции соответственные значения:
/<0)=*0 и /(Длг) = Длг8іп~.
Поэтому
Ay=/<Ax)-/(0) = Ajr-slnzl> a g^sin^.
Но sin^- при Дд;, стремящемся к нулю, как мы уже знаем (стр. 251),
,. ду
не стремится к определенному пределу, следовательно, и Iim — не
А*
имеет определенной величины.
Пример 2. Функция f(x) — x2 непрерывна (стр. 293*). Составим
Ду
для этой функции отношение -г-:
у=:Х\ y + ?iy={X+(Lx)Zt
откуда
t\y = (x + bx)*— х* или ку~2хкх-\~(±х)\
а потому
Дат '
Прн стремлении А* к пулю х остаётся постоянным, и потому
(стр. 267)
Ay n
Iim -г^ =2дг.
Д* -* 0 At
318

Рассмотрим теперь, какое геометрическое значение имеет
предел отношения приращения функции к приращению
аргумента, если этот предел существует.
Само отношение -г1, как мы уже
видели, определяет величину тангенса угла
наклона секущей ММХ к оси абсцисс
(черт. 158):
— = t
Их * * '
Если Дл: стремится к нулю, то точка
Мх {х + Д*> У + 4у) приближается к точке Черт. 158.
М(х,у), а секущая ММЬ вращаясь около
точки М, приближается, если Ига ~ существует, к некоторому
предельному положению, при котором точка Мг слипается с
точкой М, и следовательно, секущая обращается в
касательную к кривой в точке М1).
*) Если бы левосторонний предел Ига ~ не совпадал с право-
сторонним, то в рассматриваемом месте кривой был бы излом (черт-
159). Если бы отношение ^, при различных способах
уменьшения Дл: до нуля, стремилось к р а з-
личным пределам, как в приме- и
ре 1, то в этом месте кривая,
несмотря на непрерывность, не имела
Л
ч\
о
^М ,'
Черт. 159.
Черт. 160.
1
бы определённой касательной. График функции y=x-sin--состоит из
бесчисленного множества волн, уменьшающихся и сгущающихся по
направлению к началу координат (черт. 160), Эти волны заключены
между прямыми у = -\~х и у =— х, ибо множитель sin— по мере
X
уменьшения х принимает значения, заключённые между +1 и — 1,
достигая этих значений при
1 1
дг = и jc =
1С
2**+2-
Я
^-т
319

Угол наклона секущей, т. е. <р, приближается, как к своему
пределу, к углу наклона касательной к той же оси — обозначим
этот угол через а:
lim tg<p = tga.
Дд-*0
Ay
(5)
Этим и определяется геометрическое значение предела -rj:
і- ДУ і. /(*+Л*)—/(¦*) *
1іГП g = lun Ax =tgg'
Угол а определяется как угол наклона касательной к
положительному направлению оси абсцисс, причём для
определения tga направление второй стороны угла а, т. е.
-касательной, не играет существенной роли; можно направление
касательной считать положительным от точки пересечения её
с осью абсцисс к точке прикосновения (черт. 161, я, Ь) или
можно условиться считать положительным то направление
касательной, которое соответствует направлению движения точки
по кривой при увеличении абсциссы (черт. 161, с, d). При том
или другом определении направления касательной углы наклона
«ё к оси абсцисс или согласуются между собой (a, d), или
<& — целое число), и следовательно, у колеблется между у=^~х и
у = — х* Всякая прямая, выходящая из начала координат и заключённая
в том же углу между прямыми у=-\-х и у = —х, в котором лежит
и ось абсцисс, имеет угловой коэффициент, могущий быть пределом
Av 1 •
-J-1 где j/ = Ar-sin—. Угловой коэффициент прямой у=-\-•*> т. е. 1,
является верхней границей предела ~, а угловой
коэффициент прямой у = — х, т. е. —1, —нижней границей. Ни при
каком способе уменьшения Ах до нуля lim r^ не может принимать
значений вне этих границ.
320

отличаются один от другого на половину полного оборота (?, с), что
ни на абсолютную величину тангенса, ни на егр знак не влияет.
Наклон касательной при переходе .от одной точки кривой
к другой меняется, т. е. зависит от л:. Следовательно, и tga
зависит от х, т. е. является функцией х. Эта новая функция
выведена, произведена указанной в равенстве (5)
операцией из данной функции й называется производной функцией; её
обозначают тем же знаком, как и данную., с прибавлением штриха
наверху:
lim
Ах-*- О
Ьх
lim
=/'(*) =У
Если мы переход к пределу выполним и найдём
производную функцию, то с помощью её мы сможем проследить ход
изменения данной функции, сможем указать, при каких
значениях аргумента она возрастает, при каких убывает и где
переходит от возрастания к убыванию или, наоборот, от убывания
к возрастанию, т. е. сможем определить места максимума или
минимума данной функции. Именно, если производная функция
f (х) или tga имеет для некоторого значения аргумента
положительный знак, то начальная функция в рассматриваемом
месте возрастает, ибо при положительном значении tg a
угол наклона касательной к положительному направлению оси
абсцисс будет острый (черт. 162) и, следовательно, в
рассматриваемой точке имеет место подъём кривой. Точнее можно
доказать это следующим образом Если lim ^- имеет положи-
тельный знак, то в достаточной близости к пределу
приращения Ау и Ад: имеют одинаковые знаки; если приращение
V
О
Черт. 162.
Черт. 163.
аргумента Д* положительно, то и приращение функции будет
положительным, т. е. с возрастанием аргумента
возрастает и функция.
Если для некоторого значения аргумента производная
функция/' (jc).= tga имеет отрицательный знак, то угол наклона
касательной к положительному направлению оси абсцисс будет тупой
(черт. 163), и, следовательно, в рассматриваемом месте ординаты
21 Курс высшей математики **лі

точек кривой с увеличением абсцисс убывают. Точнее можно
доказать это так. Если lim — имеет отрицательный знак, то
Д-*->0
Ьх
в достаточной близости к пределу приращения функции
и аргумента Ау и Л* имеют противоположные знаки: при
положительном Дд; приращение функции Ау отрицательно, т. е. с
увеличением аргумента функция убывает.
Если производная функция /' (jc), меняясь непрерывно,
переходит от положительных значений через нуль к отрицательным
или, наоборот, от отрицательных через нуль к положительным,
то в момент, когда f(x) — Q, функция f(x) переходит от
возрастания к убыванию или, наоборот, от убывания к
возрастанию, т. е. при тех значениях аргумента, которые обращают
производную функцию в нуль, иначе служат корнями уравнения
/'(*) = °,
начальная функция имеет или максимум или минимум. Так как
/'(x) = tga и в местах максимума или минимума tga=0, то
касательная к кривой,
У изображающей данную
функцию, параллельна
(а = 0) оси абсцисс
(черт. 164, ау Ь).
В самом общем
случае, когда промежуток
изменения аргумента
нельзя разбить на
интервалы, в которых
функция меняется
монотонно, мы примем следующее общее определение максимума
и минимума функции: мы будем говорить, что функция f(x)
имеет при х = х0 максимум, если её значение при х = х0
больше или равно её значению при всех лг, достаточно
близких к х0і как бблыыих, так и меньших его, т. е. f(xQ)^
^f(x0-\~Ax), где Ах может быть как положительным, так
и отрицательным, но по абсолютной величине достаточно мало.
Точно так же мы будем говорить, что при х^==х0 функция
f(x) имеет минимум, если при тех же обозначениях имеем
f(x^^f(x0~\~Ax). Легко заметить, что в предыдущем частном
типе изменения функции те значения аргумента, где функция
переходит от возрастания к убыванию или от убывания к
возрастанию, удовлетворяют только что данным общим
условиям максимума и минимума.
322
О
а
О
Черт. 164.

Легко показать, что в рассматриваемом общем, случае, если
при значениях аргумента, сообщающих функции максимальные
или минимальные значения, функция имеет определённую
производную, то эта производная равна нулю. Действительно, пусть
/(Xq) — максимум функции, В таком случае, если Да:—
достаточно малое положительное число, то
/(jfo + ^X/W. Л*о — Д*ХД*о)>
а потому
/(*о + А*)-/(*о) ^0 /(*о-А*)-/1*0)^0
Длг. *~*^ —Дд; "-' '
так как в том и другом случаях числитель отрицателен, а
знаменатель в первом случае положителен, а во втором отрицателен.
Следовательно,
Пш /(*, + /у-/(*о)<0 и lim/^°-^)-/W^0. (6)
Но по предположению, функция /(лг)при х = лг0 имеет вполне
определённую производную /'(лг0) (правосторонние и
левосторонние пределы совпадают), т. е,
11ш /(*о + **>-/(*о> =11ш /^о-^\-/^=Лхо).
Таким образом, из (5) следует:
/ (х0) <0и/'(х0)> 0.
Следовательно, /г (jc0) = 0.
Так же докажем, что /' (х0) = 0 и в случае минимума функция.
Пример 3. Определить, при каких значениях аргумента функция
у=х2 — блг+5
возрастает, при каких убывает, имеет ли максимум или минимум и,
если имеет, какова его величина?
Решение. Найдём производную функцию;
у 4- <Уу = (*-[- Д*)2 — 6{х + Дд;)+ 5
или
у + Ду = *2 _ 6х 4- 5 + (2дг - 6) Д* + (Д*)2,
откуда
Ду = (2^ — 6)^ + ^)2 и ^ = 2лс —б+Дяг.
Переходя к пределу, находим:
lira ^=2* —6, или уг = 2х — 6.
Ах -> о ^
21* 323

Производная данной функции равна 2# —6 или 2{х — 2>). При
^<3 она отрицательна, при х = Ъ равна нулю, а при х > 3
положительна. Следовательно, при увеличении х от — со до 3 данная
функция убывает, а при дальнейшем увеличении аргумента (дг>3)
функция возрастает. При дг = 3 функция переходит от убывания
К возрастанию, т. е- достигает своего минимума.
Чтобы определить величину этого минимума, нужно вычислить
значение -функции у = х2 — 6jf -f- 5 при значении аргумента, равном 3:
(>)х==з = 32 — 6.3 + 5 = 9 — 18 + 5=— 4/
Пример 4. Построить касательные к кривой, служащей графиком
функции примера 3, в точках пересечения этой кривой с осью абсцисс.
Решение. Найдём сначала абсциссы искомых точек пересечения,
т. е. тех точек кривой, ординаты которых равны нулю;
у = х2 — 6х -\- 5, для искомых точек: х2 — 6х + 5 = О,
откуда
^ х% — о.
Итак, кривая пересекает ось абсцисс в точках А (1, 0) и В (5, 0) (черт. 165).
Чтобы построить касательные к кривой в этих точках, нужно опреде-
и. лить их наклон к положительному направлению
оси абсцисс, т. е. вычислить значение
производной данной функции при дг= 1 и л: = 5.
Производная уже найдена (пример 3):
/=2лг-6.
Следовательно, обозначая через ах и а2 искомые
углы наклона, будем иметь;
/?2 М Вг
Черт. 165.
tg«i = (y)*=i = 2.1-6 = -4;
Ъя2 = (У)л.б = 2-5-6 = 4
Угол ах тупой (tg ах < 0), а угол а2 острый
(tg а2 >0). Чтобы построить касательные в точках
А и 5, нужно только построить надлежащим
образом расположенные прямоугольные
треугольники, у каждого из которых один (вертикальный)
катет в четыре раза больше другого
(горизонтального). Треугольники ААгА2 и ВВ±В2 и будут такими, а
гипотенузы их АА2 и ВВі — искомыми касательными. СЛ1 = ~4 будет
минимумом данной функции.
Примечание. Чтобы более или менее правильно вычертить
график-данной функции, кроме точек Л(1, 0), М(3, —4), ?(5, 0),
построенных по вычисленным координатам, следует
построить ещё несколько точек, вычислив предварительно их ординаты
например, при д; = 0, х = 2, х = 4:
(Я*=о = 02-6.0 + 5 = 5, 0/).= 2 = 22 —6-2+5 = -3,
СУ)х«4 = 4» —6-4 + 5 = —3.
Пример 5. Прямоугольник, имеющий постоянный периметр,
равный 2а, но меняющиеся стороны, имеет переменную площадь. Каковы
должны быть стороны его, чтобы площадь была наибольшей?
324

Решение. Если одна сторона равна х, то другая равна а — х;
а потому площадь у равна х (а — дг):
у = х (а — х) или у = ах — х\
С изменением х меняется и площадь у. Найдём производную этой
функции:
у+Ау=;а(х-{-Ах)-(х + Ах)*,
или
^-f Ay = ах — х2 + {а — 2л:) Д* ~ (Дд;)2.
Тогда
Ду
Д^=(л —2л-)Длг— (Дд:)2 и ^- = а — 2дг — Дд:.
Следовательно,
. Ду
у = lim -т^-= а. —- 2*.
При том значении аргумента х, при котором площадь у будет
наибольшей (максимум), производная должна обратиться в нуль, что
и даёт нам возможность найти это значение аргумента, т. е. величину
одной, а стало быть, и другой стороны прямоугольника, имеющего
наибольшую площадь:
а — 2х = 0, откуда х~~ъ и а — *; = -=-.
Итак, прямоугольник должен иметь форму квадрата. Но будет ли
площадь в этом случае наибольшей? Чтобы ответить на этот вопрос,
следует проследить ход изменения функции при возрастании аргумента.
При х < -7г производная yf = a — 2х положительна, и
следовательно, функция у (т. е. площадь) возрастает, а при дальнейшем
увеличении аргумента, когда х станет больше -^, производная становится
отрицательной, и, стало быть, функция у убывает. Следовательно, при
х--;?- функция переходит от возрастания к убыванию, т. е. достигает
действительнс своего максимума.
Пример б. Дана функция у=—; найти её* производную.
л
Решение. Давая аргументу х некоторое приращение Ах, мы тем
самым изменим и функцию, которая получит при этом некоторое
приращение Ду:
Следовательно,
Л 1 1 Л Д*
*у = 7+^-7 «™ АУ = ~х{х + іху
откуда
Ду 1
Дл: ~~ х (х -}- Ах)
И ,. Ау ,. Г 1 1 1_ 1
lim -?— = urn -,—[—*—: — — — ;—;—л—\ == 5 •
д*-»0-^- a*-*j L *(*-rA*)J bm х{х + Ах) х2

Таким образом, производная данной функции определилась;
§ 3. Вторая производная.
Различный характер изгибов кривой линии.
Производная фуннция не решает ещё вполне вопроса о ходе
изменения начальной функции. В простейших случаях
возрастание и убывание функции могут быть двоякими; кривая,
изображающая функцию в рассматриваемом месте, может быть
обращена или выпуклостью в положительную сторону оси ординат
(вверх) или выпуклостью в отрицательную сторону оси ординат
(вниз), другими словами, кривая может быть в рассматриваемом
месте расположена или под касательной или над касательной.
Такой характер изгибов кривой, изображающей начальную
функцию, зависит не от величины и не от знака производной
функции, а от хода её изменения. Ход же изменения
производной функции в той мере, в какой это необходимо,
можно определить так же, как и ход изменения
первоначальной функции.
Для этой цели нужно найти производную
производной функции, т. е. найти предел отношения приращения
производной функции f (х) к приращению аргумента Ах:
V — іьп /4*+^)-/'(*)_
Дат
Ига
Лд?->0
Ьх
Urn
= [/'(*)]'= 00'.
я
м,
Производная производной называется второй производной
начальной функции и обозначается короче тем "же знаком, что
и начальная функция,
с прибавлением двух
штрихов наверху:
[/»]' = (УУ =
Проследим ход
изменения производной
функции /' (х) в
зависимости от изгибов
начальную функцию,
/у
!
і
*м,
1
1
1
1
1.^
1 1
1 t
1 1
1 1
\Ms
X.
-*fc
о
эг. х+
хіЪг$
\ ff
?
А
»,!
А
"*
"я
Черт. 166.
кривой, геометрически изооражающей
для простейших видов этой кривой.
Возьмём на кривой ряд точек Мъ Жа, Мь, МіУ ..., абсциссы
которых последовательно больше одна другой (черт. 166 и 167);
хі <1 х2 <С -v3 <С хі <С • • w
326

и в каждой точке проведём касательные к кривой, отметив
положительное направление их в сторону увеличения абсциссы.
Если же рассматриваемая дуга кривой обращена выпуклостью
вверх, то она лежит
под каждой своей
касательной и, когда
точка прикосновения
при увеличении
абсциссы последов ательно'за-
нимает положение Ми
М
Зі
касатель-
if
\ ff
уЛ
^Ш^^^ Ч
"<
»3
/1'
"г
4
Черт. 167.
в то же
М21
ная, проведённая в
положительном
направлении, перемещаясь вместе с точкой прикосновения,
время вращается по часовой стрелке.
Если же рассматриваемая дуга кривой обращена выпуклостью
вниз, то касательная, перемещаясь при увеличении абсциссы,
вращается против часовой стрелки.
Проведём теперь из центра какой-нибудь окружности радиуса,
равного единице, прямые О'А и О'В, параллельные осям
координат, и радиусы, параллельные касательным кривой в
положительном их направлении. Эти радиусы .отметят на касательной
к окружности в точке А отрезки ANV AN2, ANZ, ..., равные
тангенсам углов наклона касательных к оси абсцисс (черт, 166
и 167); таким образом, эти отрезки представляют значение
производной f (х) при x = xv х2і лг8, ...
Если дуга кривой обращена выпуклостью вверх, т. е.
в положительную сторону оси ординат, то касательная,
перемещаясь, вращается по часовой стрелке, а вместе с тем и
радиус окружности вращается по часовой стрелке, и
следовательно, тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс убывает
(черт. 166):
ЛЛ^>ЛЛГ2>ЛЛ^3>... или tgat>tgaa>tga3>...;
убывает, значит, и производная функция f'(x):
f(Xl)>f'(*J>f {*,)>••'
Если дуга кривой обращена выпуклостью вниз, т. е. в
отрицательную сторону оси ординат, то касательная, перемещаясь,
вращается против часовой стрелки, а вместе с тем и радиус
окружности вращается против часовой стрелки, и следовательно,
тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс возрастает
(черт. 167):
ЛЛ^<ЛЛГ2<ЛЛГ3<... или tga1<tga2<tga3<.-;
327

возрастает поэтому и производная функция /'(х):
/'(*і)</'(*2)</'(*з)< • • •
Но возрастанию производной функции f(x) соответствует
положительность второй прои*водной /"(аг), а убыванию —
отрицательность.
Следовательно, если при каком-либо значении аргумента
вторая производная f'(x) положительна, то график функции
f(x) в точке, соответствующей этому значению аргумента,
обращен выпуклостью вниз; там же, где fff{x)<C 0, выпуклость
кривой обращена вверх.
Если кривая в какой-нибудь точке непрерывно меняет
направление выпуклости, как на черт. 168 в точке Л или В,
то угол наклона . касательной перехо-
У\ дит в этой . точке от возрастания
к убыванию или, наоборот, от убывания
к возрастанию.
Следовательно, в этой точке первая
fyf ^^ производная достигает своего
максимума или минимума, а потому вторая
* производная в этой точке равна нулю.
х Обратно, если при каком-либо значении
- аргумента вторая производная обра-
Р " щается в нугіь, переходя от
отрицательных значений к положительным, или наоборот, т. е. изменяя
знак, то кривая в соответствующей точке изменяет направление
выпуклости, т. е. имеет точку перегиба.
Итак, для изучения хода изменения функции y = f(x) надо
найти первую и вторую производные, т. е. найти пределы:
и
HmJj=llm^?±^^=/'W=y
.. ду ,. f(x + bx) — f{x) ,„, v
hm -? = hm J v ^ ' /Л ' = f{x)=y,
если таковые существуют. В тех интервалах изменения аргу-
ментд, f де f'{x) — положительная величина, функция f(x)
возрастает, где f(x)—отрицательная величина, там функция f(x)
убывает. Степень или скорость убывания или возрастания
даётся величиной первой производной, которая геометрически
означает тангенс угла наклона касательной к кривой,
изображающей данную функцию, к оси абсцисс. Направление
выпуклости этой кривой определяется знаком второй производной:
если/"(дг)— положительная величина, то кривая обращена вы-
Я28

пуклостью вниз, т. е. в отрицательную сторону оси ординат.
Если f (х) — отрицательная величина, то кривая обращена
выпуклостью вверх, т. е. в положительную сторону оси
ординат. Если вторая производная обращается в нуль, переходя
от положительных значений к отрицательным, или наоборот,
то ,в рассматриваемой точке кривая имеет точку перегибав
Если f{x) лишь достигает нуля, сохраняя до и после свой
знак, то график начальной функции f(x) в этом месте не имеет
точки перегиба.
Максимум и минимум функции. Функция имеет максимум
или минимум при тех значениях аргумента, которые обращают
первую производную f'(x) в
нуль, причём, если при этом
значении аргумента f'(x) —
положительное число, то
функция имеет минимум, а если
f" (х) — отрицательное число,
то функция f(x)y имеет
максимум.
На черт. 169 представлен
график некоторой функции.
Внизу под соответственными
интервалами АВ9 ВС, CD, DE
и т. д. отмечены знаки первой
и второй производных, соответ- ерт*
ствующие ходу изменения функции f(x) в этих интервалах
Пример 1. Определить направление выпуклости графика функции
^ = ^ — 6^ + 5.
Решение. Для определения направления выпуклости нужно найти
вторую производную данной функции. Первая производная уже
найдена:
У=2* — 6.
Находим вторую производило:
У-f Ду' = 2(х + Д*) — 6, или У4- V =2д? — б+ 2 А*.
Тогда
ду_
! 5!
-.—о ¦» + + +¦»() Q ++•¦*-*¦
tf +¦ » 4- -f » +-Q
1+ + +¦ 4-4-4
Следовательно,
Ду = 2Ддг и ^- = 2.
У = lim -/-==2.
Так как вторая производная имеет положительный знак и не
зависит от х, то график данной функции у = х2— 6х-\-5 везде
имеет один и тот же изгиб, выпуклостью обращенный вниз.
329

Примечание. На черт. 165 мы строили график этой функции
по точкам и зная, что при ;с = 3 функция имеет минимум. Но
этих данных было все-таки недостаточно, чтобы судить об изгибе
кривой: между построенными по вычисленным координатам точками кривая
могла итти волнообразно, даже всё время убывая или (после минимума)
возрастая. Теперь же, когда мы знаем знак второй производной, эти.
возможности отпадают, и мы составляем вполне
определённое суждение об изгибе кривой.
Пример 2. Определить изгиб графика
функции
у = х* + 2.
Решение, Находим сначала первую
производную
У + Ау^(х + Ах)3 + 2,
или
у -}- Ду = *з -f 3*2 Ьх + Зл- (Ад:)2 + (**)3 4-2*
Следовательно,
X И
Ду = 3*2 Д* -f 3* (A.v)2 4- {Axf
Ах
Черт. $70.
Следовательно,
=з*2 4-3*Л-*:+(А^)2;
У=1іт ~^. = 3х\
A_t-*0 АХ
Находим теперь вторую производную:
У4-дУ = 3(* + Ад)3,
или
у 4- Ду' = 3 [*2 + 2х Ах + (Л*)2].
Ду' = 6х Ах 4- 3 (Д*)2 и ^ = 6* 4- 3 Ах\
Ау?
уи = lim -^— = 6.v.
дл-*-о Лх
Таким образом, при х отрицательном (х < 0) вторая производная
отрицательна, и график данной функции у = х3"~{~2 имеет изгиб,
выпуклостью обращенный вверх (черт. 170), а при х положительном (х > 0)
вторая производная положительна, и график обращен выпуклостью вниз.
При х = 0 вторая производная обращается в нуль, непрерывно переходя
от отрицательных значений к положительным: в точке А, абсцисса
которой равна нулю, а ордината равна 2 [(y)x-SQ = 2)> кривая имеет
перегиб. Касательная в точке перегиба параллельна оси абсцисс, ибо
(У')х=ъ = $х2)х=о — О- Н° первая производная уг = За'2 при л* Ф 0
сохраняет всегда положительный знак, и следовательно, функция
всё время возрастает и не имеет'при л- = 0 ни максимума, ни
минимума, хотя
330

§ 4. Дифференциал и его геометрическое значение.
По определению, производная есть предел отношения
приращения функции -к приращению независимого переменного при
безграничном уменьшении этого последнего:
У=/(Х), 1іШ ?; = /'(*)•
Из определения предела (гл. II, § 2) следует, что отношение т^
отличается от своего предела /'(*) на величину бесконечно
малую. Обозначим эту бесконечно малую через а:
?:=/'(*)+* (7)
Отсюда следует
Ау=f(x) Ах + а Ааг. (8)
Если теперь Ах будет стремиться к нулю, то f{x)Ax и аіх
будут бесконечно малыми величинами, и приращение функции Ау,
как сумма бесконечно малых, также будет бесконечно малой
величиной. Первое слагаемое — величина бесконечно малая
первого порядка относительно Ах, а зторое, как произведение двух
бесконечно малых, будет величиной бесконечно малой высшего
порядка (по крайней мере, выше первого порядка) (гл. II, § 5).
Первое слагаемое, т.е. /*{х)Ах, составляет главную часть
бесконечно малого приращения функции Ау. Она
пропорциональна приращению аргумента Ах.
Главная часть бесконечно малого приращения функции,
пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента,
называется дифференциалом г) этой функции и обозначается
через dy\
dy = f'{x)Ax. (9)
Бесконечно малое приращение независимого переменного Ад;
есть в то же время и его дифференциал.
Действительно, если /(х) = л% то f'(x)=\,
и потому из равенства (9) следует, что
¦<) Приращение аргумента Дд: можно
представить в виде разности двух значений х
_(черт. 171):
ЛВ = Ах = лг2 — Хіі
точно так же
Черт. 171. Ду=:_у2 — уг.
Разность —по-латыни differentia. Отсюда и название для
главной части приращения «дифференциал»,
331

дифференциал и приращение независимого переменного равны
между собой:
dx = Ax> (10)
Разница между этими понятиями только в том, что под Ах
можно разуметь и конечное, определённое приращение
аргумента, и бесконечно малое, т. е. стремящееся к нулю; под dx
разумеют только бесконечно малое приращение, т. е.
стремящееся к нулю. В равенстве (10) на Ах можно смотреть только
как на стремящееся к нулю, как на существенно переменное
число.
Таким t образом, дифференциал функции равен произведению
производной функции на дифференциал независимого
переменного:
dy=fr (x)dx.
Из этого равенства вытекает и
геометрическое значение дифференциала
функции.
Пусть АВ (черт. 172) — кривая,
изображающая данную функцию
У = /{х).
MQy касательная к этой кривой в точке
М(ху y)t наклонена к оси абсцисс под углом а. Тангенс этого
угла, как мы знаем, равен значению производной fl{x) для
рассматриваемой точки М:-
tg a = /'(*)•
Возьмём теперь на кривой АВ точку Мг с координатами
х-\-Ах, у~\-Ау
и проведём из точки М до пересечения с ординатой точки Мх
прямую, параллельную оси абсцисс. Как видно из чертежа,
Шх = МР = Ах, РМ1 = A/, Z.PMQ= «•
Из прямоугольного треугольника MPQ имеем:
PQ=MPtgaf или PQ = f(x)Ax = dy.
Таким образом, дифференциал функции в каждый момент
своего изменения выражает приращение ординаты
касательной к кривой в рассматриваемой точке (а не приращение
ординаты кривой!).
Нахождение дифференциала функции и нахождение
производной — операции равносильные: если найдена уже
332

производная, то, умножая её на дифференциал аргумента dx,
мы тем самым определим и дифференциал функции; обратно,
если из приращения функции выделилась главная его часть,
пропорциональная приращению аргумента, т. е. дифференциал
функции, то, деля эту главную часть на Ал;, мы найдём и
производную. Поэтому операция нахождения производной и
называется дифференцированием, а вся теория, обнимающая
свойства производных, способы их нахождения и их приложения,—
дифференциальным исчислением.
§ 5. Производная степени и постоянного.
Найдём производную степени:
у = хл
при целом и положительном показателе п.
Пусть Дл:— некоторое приращение аргумента х и \у —
соответствующее приращение функции:
у -f- Ay = (дг -J- Ax)a.
Разлагая вторую часть по биному Ньютона, будем иметь:
у + Ьу = х» + пх«-^х+Щ^х«~*(Ьх)2+...+ {±х)\
Следовательно,
Ьу = пх"~іЬх + Щ^хп-*(Ьх)*-Зг...-1г(Ьх)\
Таким образом, при бесконечно малом Ах и Ду будет бесконечно
малым1); так и должно быть, ибо степень у =
хп—непрерывная функция (стр. 293). Для нахождения производной делим
обе части равенства на Д#:
Пусть теперь Дд; стремится к нулю; отношение -Л будет
величиной переменной во время этого перехода к пределу,
состоящей из постоянной (т. е. не зависящей от Д*) части пх*"1
и переменной бесконечно малой
2i?zi)je-«A*+. • •+(А^)*-1.
1) Сумма конечного числа бесконечно малых слагаемых — величина
бесконечно малая (стр. 266).
333

которая в пределе стремится к нулю. Следовательно,
lim ~- = пха-1, или у = пхя-гш п\\
Таким образом, имеем следующее предложение.
1. Производная степени (хп) равна показателю этой
степени, умноженному на степень аргумента с показателем, на
единицу меньшим.
Примеры.
1. y = xs; У=3лг*. 2. у = хЬ; у = 5**.
3. у = х2\ у'~2х. 4. y=xt или у = хг; У=Ьл-о = 1.
Истолковать геометрически результат четвёртого примера.
Рассмотрим теперь функцию, которая сохраняет постоянное
значение при изменениях аргумента в каком нибудь интервале,
например а<х<^, или при неограниченных изменениях. Если
функция сохраняет постоянное значение при всех значениях
аргумента, мы имеем обыкновенное постоянное число,
рассматриваемое как функция лишь в обобщённом смысле. В самом
деле, какое-нибудь выражение может содержать независимое
переменное и, следовательно, может быть рассматриваемо как
функция этого переменного, а между тем, после приведений
или сокращений или каких-либо тождественных преобразований
оно может свестись к постоянной величине. Например:
1 ч г* ? (х) г> п\ sin2 х + cos2 х 1
1) У = с^)^ ти У==с' 2)-У = 2 ' или У = Т*
Итак, пустъу=/(х)—такая функция, которая сохраняет
постоянную величину, например С, при всех значениях аргумента:
.у+4у=/(*+Д*)=сі
4у=/(*+Д)—/(*) = о.
Следовательно, всегда, а стало быть, и в пределе, отношение ~
равно нулю:
Таким образом, имеем второе предложение:
2. Производная функции, сохраняющей постоянную
величину\ или просто — производная постоянного, равна нулю.
Если функция сохраняет постоянную величину лишь в
интервале [а, Ь), то предложение имеет силу только для изменения
аргумента в этом интервале.
334

§ 6. Общие правила дифференцирования функций,
В этом параграфе мы рассмотрим предложения,
устанавливающие способы дифференцирования функций, составленных:
прежде всего с помощью рациональных операций из других-
Эти способы дадут, например, возможность свести нахождение-
производной любой рациональной функции к нахождению
производной от степени (хп) или от постоянного.
/. Производная от произведения функции на постоянный
множитель равна произведению производной от функции на
этот постоянный множитель.
Пусть y=af{x), где а — постоянный множитель. Требуется
доказать, что/ = а/'(х).
Доказательство. Дадим аргументу х некоторое прира-*
щение Ах. Тогда у получит некоторое соответственное
приращение Д_у:
у + Ау = а/(х 4-Дл:),
следовательно,
Ау = af (х -\- Ах) — af (x).
Вынося а за скобки, получим:
Ay = a[f(x + Ax)—f(x)].
Делим обе части этого равенства на Ах и переходим к пределу
в предположении, что Ах стремится к нулю:
Ду ,. f(x + Ax) — f{x) ,. ,. /С* + Д*) —/М
Но а—постоянное число, и lima—я, а на основании
определения производной имеем:
Следовательно,
y = af'(x).
Примеры.
1. ^ = 3дг2; у=3-2* = 6лг. 2. у = 5х; уг = 5. 3. у = 6х™;
У = 6.10л« = 60Л 4.j/=i-; У==-5..Зд:3 = ^-.
/7. Производная алгебраической суммы нескольких функций
равна такой же сумме производных этих функций*
Пусть
^=AW+/iW-/*(¦*>» или ;>=*+*—»,
335*

где
«=/і(4 *~ft(x\ w = fz{x).
Требуется доказать, ч-цо
У=Л(*) + Л(*)-/з(*). или / = «' + *' — <
Доказательство. Давая аргументу-дг некоторое
приращение Ах> мы тем' самым изменим и функции й^ида, а вместе
с тем и данную функцию у. Пусть Аи, До, Aw и
Ау—соответствующие приращения этих функций:
у -j- Ay={и -f- Аи) 4- (? + Д^) — (w -}- Д^);
следовательно,
Д_у = Дм -J- Дгг —¦ Дву.
Разделив обе части этого равенства на Длг, переходим к
пределу, предполагая, что Дх стремится к нулю:
,. Ау ,. /Ди , &v Aw\
Iim*^=hm l~ + ~ — — \
На основании теоремы о пределах: предел суммы равен сумме
пределов, находим:
,. Ау Л. Ац . .. Av «. Aw
hm й==1іт S+Um Д^~1іШ ДГ>
а, по определению производной будем иметь:
y^u' + v' — tf, или /=/Цх)+Я(х)—/'{х).
Примеры.
5. у=гх*-2х +5; у=Здгя-2. 6. 3/ = 2.v34 бд-з — 7х+3;
У=Щг«+18*«-7. 7. .y = ^-|-+l; y=^-^..
///. Производная произведения двух функций равна сумме
произведений каждой из этих функций на производную другой.
Пусть
y = uv,
где и и v суть функции х: и=/х(х), v~f2(x). Требуете?*
доказать, что
у <=uv' A-vii\
Доказательство. Дадим аргументу некоторое
приращение Ах. Функции и, v и у изменятся при этом, получив каждая
336

своё приращение и сохраняя данное соотношение:
У +ДУ=(« + А«) (^ + to),
или
j/ + Ду = яв-J- и Дф -{--о Да + Да Дя$
следовательно,
Ду = а Д^ -J- © Да -j- Да Дт>.
Из последнего равенства между прочим вытекает, что если
а и «о — функции непрерывные, то и произведение их y = av
образует также непрерывную функцию, ибо если Дл:—
бесконечно малая величина, то, в силу непрерывности функций а и*с%
Да и &v — бесконечно малые величины, а следовательно (стр. 266),
и Ду— бесконечно малая величина.
Деля обе части последнего равенства на Дл; и переходя
к пределу, находим:
Функции и и г> не зависят от Дх и потому при переходе к
пределу, когда Да: стремится к нулю, сохраняют постоянную ве-
-. Ну Дя Ду
личину. Отношения /, j~, j- по определению в пределе дают
производные функции у, а' и v\ Последнее слагаемое Да-т^
содержит бесконечно малый множитель Да и потому стремится
к нулю, как к своему пределу. Следовательно, применяя к
последнему равенству теоремы о пределе суммы и произведения,
получим:
y'=Lttvr-\-im\
Пример 8.
у = х*-(хЗ~ 2.г+1);
У=**.(3*3 - 2) +(л;» — 2лг+ 1).2х = 5.V* - 6*3 4-2*.
Тот же результат можно было бы получить, предварительно выполнив
указанное в выражении функции умножение.
Предложение III можно обобщить на сколько угодно
множителей. Пусть, например, y = uvw. Будем рассматривать uv
как одну функцию. Тогда у можно дифференцировать, как
произведение двух функций:
y=z(av)w и у' = (uv) wl -j- w {uv)r.
Но по тому же предложению
(uv)' = uv' -\-vur.
122 Курс высшей математик» 337

Следовательно,
yr=:(UV)Wf-\-w(uVr-\~VUl), ИЛИ у'= VWUf ~\~ UWV1-]-UVW\
IV. Производная частного двух функций равна дроби,
у которой знаменатель равен квадрату делителя, а числитель
равен разности между произведением делителя на производную
делимого и произведением делимого на производную делителя.
Пусть
и
где и и v—некоторые функции х: u=fl(x)1 v=f2(x).
Требуется доказать, что
г vur — uvr
Доказательство. После прибавления к аргументу х
некоторого приращения, изменённые значения функций у9 и и х>
сохраняют данное между ними соотношение:
, . а 4- Да
Определяем Ау:
. и 4- Аа и А v Да — и Ду
Ау—... ; или Ду = -—г-г-г—.
Находим теперь отношение -Д;
Да Дг/
Ду_^Д^"ЦД?
Д# (г/-(-Дг/)г/ *
Переходя к пределу в предположении, что Ах стремится к нулю,
будем иметь:
Да Дг> „Да Д&
tf-r и-т— & Ига т a hm -г-
,. Д v і. *х Ьх &х-+о Д* д*^0 Ддг
lim -г" = It™ *7 і—л"ч = Г- ? Га—ч *
Д*->0
р af— ш/
©5
и следовательно,
Примеры.
о у-*"1 ¦ ..;-(*2 + ЗН*~-*)'-(*-1)-(*2 + ЗУ
•^^дга+З1 ^ (^2-j-3)2 —
_(л:2 + 3)-1 —(х-1)-2^г_—дг2-+-2дг4-3
(л;2+ 3)2 ~~ (дг2 + 3)2
338

іи,у ж» + 2*4-1' :У_(^ + 2аг4-1Я'
П. У — — ; У'= — ^ (стр. 325, пример 6).
12.,= '; у= «. 13.^=^;У=3^
На основании общих правил дифференцирования,
выведенных в этом параграфе, дифференцирование рациональных
функций, как видно из приведённых примеров, сводится к
дифференцированию степени (ха) и постоянного.
Дифференцирование других элементарных функций и вообще
техника дифференцирования составит содержание одной из
следующих глав. Тех правил дифференцирования, какими мы
располагаем сейчас, достаточно, чтобы иметь возможность
иллюстрировать положения развиваемой теории.
§ 7. Обозначение производных, введённое Лейбницем.
В § 4 дифференциал функции мы определили как
произведение производной функции на дифференциал независимого»
переменного:
.у =/(*); У =/'(*); dy=fr(X)dx.
Дифференциал аргумента dx не претерпевает изменения от
перехода от одной точки кривой к другой, он всё время
находится в нашем распоряжении3) и не зависит от изменения
аргумента: dx относительно х — постоянная величина.
Дифференциал же функции, как видно из его выражения;
dy = f(x)dx, {Щ
зависит от аргумента х> так как содержит множителем/'(л:) —
функцию х: при переходе от одной точки кривой к другой
dy меняется не только вместе с дифференциалом аргумента, но
и вместе с самим аргументом: dy есть функция х, и можно
говорить о производной этой функции и дифференциале её. При
дифференцировании функции dy=f* (x)<dx должно смотреть
на dxf согласно вышесказанному, как на постоянное:
(dyy = [f(x)dx]'=r(x)dx;
d {dy) — (dy)1 dx=/" (*) dx dx.
i) dx — бесконечно малая величина и может быть сделана по
абсолютной величине менее любого наперёд заданного
положительного числа и оставаться далее таковым.
22* 33?

Дифференциал дифференциала d(dy), который можно
обозначить и через ddy или короче d2y, называется вторым
дифференциалом. Произведение дифференциалов dxdx короче пишется
так: dx2*). Таким образом, имеем:
d*y = f{x)dx*. (13)
Второй дифференциал функции равен произведению второй
производной на квадрат дифференциала аргумента. Из
равенств (12), (13) и вытекает обозначение Лейбница для
производных:
-=^ читается: dy по dx\ -~^ читается: d два у по d икс квадрат.
ах ах*
Производная второй производной называется третьей
производной, производная третьей называется четвёртой производной
и т. д. Какое значение имеют эти высшие производные, об этом
речь впереди. Обозначения их по таким же основаниям
совершенно аналогичны обозначениям первой и второй производных:
[/"(*)]' =/'"(*) = %; [/'"(х)]'=/1V(х) = %...,
/<->(*>=g-
На выражение -р- можно смотреть как на частное (называется
ах
оно „иногда дифференциальное частное, дифференциальный
коэффициент), ибо dy содержит по самому определению
множителем dx или Ах и выражение dy можно разделить на Ах
или dx ещё до перехода к пределу, до того момента, когда dx
обращается в нуль и когда, стало быть, деление не имеет
арифметического смысла. Можно также смотреть на ~ как н%
ах
символ операции, равносильной операции lim •—-,
§ 8. Пример изучения хода изменения функции и построения
её графика.
Дана функция
у = 0,1*з — 0,9д;2 + 1,5л;.
Требуется проследить ход её изменения и построить график
этой функции.
г) йх% означает то же, что и {dx)2t но не d {x2)\
340

Найдём сначала первую и вторую производные этой функции:
g =0,3*» —1,8х+1,5;
g = 0,6*-1,8.
Точки пересечения с осью абсцисс. Данная функция
обращается в нуль при * = 0. Вынося 0,1л: за скобки, получим:
^ = 0,1лг(*2 — 9*+15).
Функция у обращается в нуль ещё
при тех значениях аргумента,
которые обращают в нуль трёхчлен
х* — 9лг-^— 15. Но корни этого
трёхчлена будут:
Х1— 2 2 2 '
или, с точностью до 0,1, хг ==s 2,2
и х2 =us 6,8. Следовательно, кри- .. . fc
ВаЯ, Изображающая Эту фуНКЦИЮ, i/SosfiffCffraeai Ч/бьЛает возрастаем
проходит через начало координат у + + + 0 -~- - 0 •+ + +
и пересекает ось абсцисс ещё і/ :0 + + + + +
в точках 5(2,2, 0) и Е (6,8, 0)
(черт. 173).
Черт. 173.
Данную функцию можно представить в виде произведения:
у = 0,\х іх
ЭД(*-ЭД.
или
3>%0,1лг(лг — 2,2) (х — 6,8).
Из этого её выражения видно, что функция имеет
отрицательные значения в интервале (—оо, 0), т. е. при ¦—оо<^*<^0,
положительные—в интервале ОБ: 0<^лг<^2,2, снова
отрицательные— в интервале BE: 2,2<^*<[6,8 и, наконец, опять
положительные — в интервале (?, ~f~oo): 6,8 ^.v^-^00*
Точка перегиба. Вторая производная
g==0,6*-l,8 = 0,6(*-3)
один раз обращает&я в нуль, именно при х — 3. При х<^&
вторая производная отрицательна, а при л:^>3 положительна*
Следовательно, в интервале от —оо до С(3, 0) кривая, изобра-
341

жающая начальную функцию, обращена выпуклостью в полржи-
тельную сторону оси ординат (вверх), а в интервале от С до
-)-оо кривая обращена выпуклостью в отрицательную сторону
оси ординат (вниз). При x = S кривая имеет точку
перегиба N. Ордината этой точки CN=(y)x_z:
О0Ляі8 = 0,1.3.(3» — 9-3+ 15) = — 0,9.»
Максимум и минимум функции. Первая производная
2? = 0,3*а — 1,8*+15, или ^- = 0,3(л; — 1)(лг — 5)
.два раза обращается в нуль: при х=\ и лг = 5. При х<^\
производная, как произведение положительного и двух
отрицательных множителей, — положительн-ая величина, и
следовательно, начальная функция в интервале от — оо до А(\, 0)
возрастает. При л:, большем 1, но меньшем 5, т. е. при
1<*<5,
у', как произведение двух положительных и одного
отрицательного множителей, — отрицательная величина, и
следовательно, в интервале от Л(1, 0) до D(5, 0) начальная функция
убывает. При дг^>5 у\ как произведение положительных
множителей, — положительная величина, и следовательно,
начальная функция в интервале от D до оо снова возрастает.
При х=\ и при х = 5 первая производная обращается в нуль,
и следовательно, начальная функция имеет или максимум или
минимум. При дг= 1 начальная функция переходит от
возрастания к убыванию (вторая производная отрицательна), т. е.
имеет здесь свой максимум, а при х, равном 5, переходит от
убывания к возрастанию (вторая производная положительна),
т. е. имеет здесь свой минимум. Чтобы определить величину
максимума и минимума, нужно вычислить значения функции при
этих значениях аргумента: АМ = (у)х=:1; DP = {y)x=:b. Имеем:
(Л=і = °>1-Ь(1-9 + 15) = 0,7;
0>),=5 = °>Ь 5(5^-9. 5+ 15) = -2,5.
Построение касательных в точках пересечения с осью
абсцисс и в точке перегиба. Тангенс угла наклона
касательной к оси абсцисс определяется значением производной при
соответствующем значении аргумента. Обозначим искомые углы
наклона в точках О, В, С и Е соответственно через av а2, а3
342

и а^ В таком случае
tga1 = (y)JC=0; tga2 = (/)^2(2; tga3=(y)^3; tga4^(y),=M;
<У)№о = °.3(*» —6* + 5)л0=1,5;
(/U3 = 0.3(3«—6.3+5)==—1,2;
(Уи2)2 «= 0,3 (2,22— 6 • 2,2 + 5) ^ — I;
(У Um ^ °>3 (6,82 — 6.6,8 + 5)^3.
Примечание. Следует обратить внимание на вычисление
приближённых значений (у')х=2А и (У)*=б,8- 2>2 и 6,8 суть
приближённые значения корней квадратного' трёхчлена х* — 9* +
4-15 — первый с недостатком, а второй с избытком. Если
истинное значение первого корня х1 = 2,2-г-«, где а< 0,1,
то истинное значение второго должно быть *2 = 6,8 — а, так
как (2,2-+- а)-+-(6,8 — а) = 9, т. е. коэффициенту с обратным
знаком при первой степени х в трёхчлене. Таким образом при
точном вычислении, должны иметь;
<У)*=*. = 0.3 К2'2 + *)2 ~ 6 (2,2 + «) + 5] =
= 0,3 (4,84 + 4,4а + «3 - 13,2 - 6а + 5),
или
(у')х=Хі = 0,3 [- 3,36 - 1,6а +¦ a2j = „ [1>003 _f 0,48а - 0,3а2].
Но 0,48а< 0,048, a a!< 0,01, и потому (УЬ=2(2 = — 1 (с
недостатком) отличается от истинного значения лишь в сотых долях
Точно так же найдём, что
(У) *=*2 = 3,132- 1,6а +вз
или
{у')х=Х2 = 3 - [1,6а _ (0,132 + *%
Но
1,6а <0Д6, 0,1324-а3>0Д32,
откуда
0,16а — (0,132 + а2)< 0,028.
Следовательно, {у')х=е$^3 больше истинного, но отличается от
него лишь в сотых долях.
Таким образом, по найденным тангенсам
tga1 = l,5, tga2=^ —1, tga8 = —1,2 и tga4^3
можно построить и касательные в точках О, В, Л/и В (черт. 173).
Вычислим ещё ординаты некоторых точек кривой, чтобы
точнее определить положение её. Хотя направление выпуклости
кривой везде определено, но этим ещё не определено
положение каждой точки кривой: чем больше точек кривой определено
вычислением их координат, тем точнее будет определено и
положение кривой. Однако, отсюда не следует, что можно
ограничиться знанием положения большого числа точек кривой
и пренебречь определением характера изгибов кривой, ибо
между двумя построенными точками кривой, хотя бы очень
близкими, кривая может иметь очень разнообразные колебания
343

и, лишь определив изгибы её между этими точками, можно
ограничить значительно это разнообразие возможного хода
данной кривой.
Вычислим ординаты при л: = —1; 4; 8:
CvU-i = 0,l-(—I)8 —0,9.(—1)«+1,5.(—1) = —2,5;
(У)х=і== 0,1.43 — 0,9 -42 + 1,5.4 = — 2;
00^8 = 0,1'8« — 0,9.82-f 1,5-8 =5,6.
Таким образом, можем ещё построить точки:
Q(-l, -2,5), Я(4, —2), 5(8,5,6).
Вычертив кривую, которая проходила бы через точки Q, О, Му
В, Mt /?, Р, Е и 5, касалась бы построенных касательных в
точках О, В, N, Е и имела бы найдёшіые направления
выпуклости, мы и получим график данной функции.
§ 9. Механическое и физическое значения
производных функций.
В предыдущих параграфах было выяснено геометрическое
значение первой и второй производных данной функции: первая
производная своим знаком указывает на возрастание или
убывание функции, а величиной оценивает быстроту этого
возрастания или убывания, определяет направление касательной
в каждой точке кривой, изображающей данную функцию,
вторая же производная своим знаком определяет характер изгиба
этой кривой.
Если две величины, находящиеся в функциональной
зависимости, имеют механическое или физическое значение, то
производная будет представлять величину особого рода, имеющую
также механическое или физическое значение.
Скорость и ускорение движения. Пусть s — расстояние
движущейся по некоторой линии точки М к моменту времени t
от некоторой начальной точки О; s является некоторой функцией
времени і:
S =/(/).
Если бы движение было равномерным, то путь,
пройденный за единицу времени, представлял бы скорость этого
движения. Пусть приращению времени Д^ соответствует
приращение пути Us. Отношение ~^, и выражало бы скорость этого
равномерного движения: Д? и As при равномерном движении
изменяются пропорционально, сохраняя постоянное отношение.
344

Если бы движение было неравномерным, то отношение
2ц не было бы постоянным для различных значений Д/. Для
данного значения Д^ отношение ~? представляет среднюю
скорость. Если бы некоторая новая точка двигалась с этой
средней постоянной скоростью, то за промежуток времени Аі
она прошла бы тот же путь As, как и данная движущаяся
точка, и эти. две точки, выйдя одновременно из положения М,
пришли бы 'одновременно и в положение М1У разойдясь в
промежуточные моменты. Чем меньше At, тем незначительнее это
расхождение истинного движения со средним, и когда At
стрелу
мится к нулю, отношение ^ стремится к некоторому
значению v, которое и будет выражать истинную скорость
движущейся точки в момент времени t:
Но
v = hm й .
есть производная функции /(/) по времени /. Следовательно,.
Таким образом, для определения скорости движения надо найти"
производную функции, выражающей закон этого движения.
При неравномерном движении скорость не постоянна, а
меняется в зависимости от времени /. Если v есть скорость
движущейся точки в момент времени t, то ко времени t-{-At скорость-
изменится, получив некоторое положительное или отрицательное
приращение Avt Если приращение скорости пропорционально
приращению времени At, то движение называется равномерна
ускоренным или равномерно замедленным (при Av отрицатель-
Д#
ном), и отношение дг оценивающее приращение скорости за
единицу времени, постоянно и называется ускорением этого
движения. Если движение неравномерно ускоренное или замедлен-
Д»
ное, то отношение -гг даёт среднее ускорение за
промежуток времени At, а в пределе, когда At будет бесконечна
малым, даёт истинное ускорение движущейся точки в момент
времени U Но lim-r^ есть вторая производная данной фун*
345

кции f{t):
Таким образом, если дан закон движения s=f(t), to первая
производная s' этой функции определяет величину скорости,
а вторая производная s"—величину ускорения движущейся
точки в момент времени t.
Пример. Закон движения свободно падающего тела выражается
¦функцией;
S~ 2'
Для определения скорости в момент времени t надо найти первую
тпроизводную этой функции:
s' = %-2tt или sT = gt
Для определения ускорения надо найти вторую производную:
Так как ускорение оказалось постоянным, то рассматриваемое
движение— равномерно ускоренное.
Скорость химической реакции. Если х — количество
вещества, подвергшееся за время t изменению в какой-либо,
химической реакции, то х является функцией времени і\ л: ===/(?),
а производная этой функции x'=f'(t) даёт скорость
химической реакции.
Теплоёмкость тел. Если Q—количество тепла,
притекающее к телу и идущее на повышение его температуры ty то Q
является функцией температуры /: Q=f(t)y а производная этой
функции по і даі'т теплоёмкость с данного тела:
Температурные коэффициенты. Пусть некоторая
физическая величина z зависит только от температуры, т. е. является
функцией температуры t\ z=f{t). При повышении
температуры на Дг величина z изменяется, положим, на Д^г.
Если это изменение идёт равномерно с изменением тем-
1 Az
пературы, то отношение — •дт, где z0—значение z при
температуре, равной 0°, называется температурным коэффициентом
величины z. Если -ц не постоянно, то температурным коэф-
346

фициентом будет предел отношения — • г| при At
М
= 0, т. е,
Таким образом, нахождение какого-либо температурного
коэффициента сводится к нахождению производной.
К числу температурных коэффициентов относится, например,
линейный коэффициент расширения. Если / — длина стержня
при температуре t, то l=f(t) и коэффициент расширения
равен:
'о
at
1 ra\ — v
При /0 = 1, т. е. если длина стержня при нуле равна единице,
его коэффициент расширения равен /'=/'(/),
Ot откладывается время t, а по
в бассейне в соответствующий
УПРАЖНЕНИЯ.
1. В бассейн проведены 3 крана А, В и С. Через кран А вливается
20 л\мин, через кран В 25 л\мищ а через кран С выливается 80 л\мж.
Кран В открывается через 5 минут после Ау а С через 10 минут после 5.
Представить графически количество воды в бассейне, как функцию
времени.
Решение. Пусть по оси абсцисс
оси ординат Оу — количество воды
момент времени. Единицы меры на
той и другой оси, как единицы
разнородные, можно выбрать совершенно
произвольно и независимо одна от
другой (черт. 174).
Через 5 минут от начального мо*
мента, когда открывается и
действует кран А, воды в бассейне бу~
дет 20-5= 100 л: РгР= 100. Процесс
прибывания воды в бассейн, по
условию, равномерен, и этот
равномерный процесс изобразится
графически прямой линией ОР:
ордината каждой точки этой прямой представляет количество воды в
бассейне в соответствующее время, измеряемое абсциссой этой точки.
В продолжение следующих 10 минут действуют два крана, вливая
каждую минуту 20-)-25 = 45л. За 10 минут прибудет воды 45* 10=450 л,
а всего с прежним количеством будет 450 -[-100 = 550 л: Q1Q = 550.
Процесс прибывания воды за этот промежуток времени изобразится
прямой PQ. Далее действуют все три крана, и убывает воды каждую
минуту 35 л (20 + 25 — 80 = —- 35). Через 10 минут воды останется
550 — 350 = 200 л: RRi = 200. Прямая QR изображает процесс
убывания воды в бассейне, когда все три крана открыты. Точка' пересечения
5 прямой QR с осью абсцисс отмечает тот момент времени, когда вода
вся вытекает из бассейна.
Черт. 174.
347

2. Представить графически движение поездов: Пс. 63, Кур. 1, Пс. 8,
Ск. 6, Пс. 12, Кур. 2 Октябрьской ж. д. между Москвой, Клином и
Калининым, при следующем расписании;
Пс. 63 Кур. 1
Ц25 930
9і4 |7«о і
90б \ 750
730 /6»
\ 623
0
84
157
Москва
Клин
Калинин
Пс. 8
70.0
( 881
\ 906
( 1029
1 1039
Ск. 6
goo
Юзз
1048
1205
1213
Пс. 12
93о
1138
Ц50
122
113
Кур. 2
цзо
1255
Г*
215
222
Эти данные использованы для* графика, изображённого на черт. 175.
980
На/іцццу157
450
]20
90
Клин 84-
60'г
30
15
Мос*8а
Время
?5 75 8- 9- Ю* U- !2г \? 2* «3-
Черт. 175.
3. Представить графически равномерное вращение стрелок часов,
откладывая время по оси абсцисс, а дугу круга циферблата по оси
ординат. Единицы меры для осей координат независимы одна от другой.
Точки пересечения графика движения минутной стрелки с
графиком движения часовой означают моменты совпадения стрелок.
4. Дифференцирование рациональных функций:
a) у = -g- . Отв. a)yf=ax*.
b) у=(а-\-Ьх + сх*)*. Отв. Ъ) У=п(а-{-Ьх + сх*)л-і(Ь-^2сх).
с) У = ~.
а
d) у =
е) у =
1
1
а-\~х ' а—х'
!±?
1— х%
f) У=^-~+Ъх+Ь
Отв. с)У = —^.
Отв. е)у' = -1-.
Отв. f)y* = *3— 5л:2 + 3.
348

Изобразить графически функции:
г)у = х2-7х+Ю\ і)у = х+\;
b) у = — х* — х + 6; g)y = xn (при п = 1, 2, 3, 4);
c) У = 2 + -|; h)j/ = -l(l^_7^+15^);
1
-v ' * 8 V 4 • j
d)y=x + ~; і) у = х*— 32*2 + 256;
х
5. Изобразить графически ход изменения функции
у=х* — 12*+ 9.
Решение. Найдём сначала, в каких точках кривая, изображающая
данную функцию, встречается с осями координат. Полагая х = 0,
находим у = 9. Следовательно, кривая встречает ось_у в точке (0,9).
Полагая .у =0, находим л:3 — 12л:+ 9 = 0; следовательно, кривая
встречает ось х в точках» абсциссы которых суть корни уравнения
*3— 12л* + 9 = 0.
Левую часть этого уравнения можно разложить на множители:
X* — 12дг + 9 = л-з — Зл:3 + Зл:2 — 9х — Зх + 9 =
= л:2 (* — 3) + Здг (* — 3) — 3 {х — 3) = (л: — 3) (дг«-Ь 3* — 3).
Следовательно, одним из корней уравнения является ^ = 3. Для
нахождения других корней решаем уравнение а-2 + 3* —3 = 0:
-з=нУ2і
х 2
JC3 5^:0,8, ДГ3 = — 3,8.
Таким образом, кривая пересекает ось х в трёх точках, абсциссы
которых:
— 3,8, 0,8, 3.
Данную функцию можно представить р виде произведения;
^ (л:+ 3,8) (л:-0,8) (л:-3).
Из этого выражения легко заметить, что в интервале (— со, — 3,8)
у < 0, в интервале (— 3,8, 0,8) у > 0, в интервале (0,8, 3) у < 0 и в
интервале (3, +оо) У > 0- Следовательно, в первом из этих интервалов
кривая лежит ниже оси х, во втором выше оси лг, в третьем опять
ниже оси xt в четвёртом опять выше оси х.
Определим характер изменения функции. Находим производную:
У = Зл:2 - 12 = 3 [х + 2) (* - 2);
она обращается в нуль два раза: при л; = — 2 и при х = + 2,
при этом в интервале (—со, — 2) у' > 0,
» » » » (—2, +2)/<0,
» » » » (+2, +оо)У>0.
34»

Следовательно, в первом интервале функция возрастает (кривая
поднимается вверх), во втором убывает (кривая опускается вниз), в третьем
опять возрастает (кривая опять поднимается вверх).
Отсюда следует, что при х == — 2 функция имеет максимум. Этот
максимум мы найдём, полагая л: =—2 в равенстве у = х3— 12лг + 9;
3W = -23-12(-2) + 9 = 25.
При х = + 2 функция имеет минимум
^тіп = 23-2.12 + 9 = -7.
Определим характер изгиба кривой. Находим вторую производную;
У = 6*.
Она обращается в нуль один раз, а именно прид: = 0. При х < 0 у <0,
а при х > 0 у > 0. Следовательно, в интервале (—оо, 0) кривая
обращена выпуклостью вверх, в интервале (0, + оо) она обращена
выпуклостью вниз.
Отсюда следует, что в точке с абсциссой х = 0 кривая имеет точку
перегиба.
Всё произведённое исследование можно записать в форме
следующей таблицы;
X
У
У'
Уп
00 • • • "
^~- • • •
+...
— ...
-3,8
0
-Ь
—
—2 0
+25 +9
0 —
— 0
0,8
0
—
+
2 3
-7 0
0 +
+ +
+ 00
+
+
+
Пользуясь этой таблицей, легко выполнить построение искомой
кривой.
6; Построить графики функций:
у=х* — 8а;3— 128; j/=*3— 12д;2=:45л:; _у = утг^з»
y = xb + 3x* + S; у*=х*-Ах + Ц y = l-x* ^±+-J_.
7. Определить характер изменения функции, если её производной
служит;
у=2дг+1;
/=**—1;
у'=(х + \)(х + 2);
у* = (х-\)(х~2)(х + 3);
у = С*-1)»;
У = (лг —2)3(дг — 3).
350

8. При каком значении аргумента функция у = 3х2—12*-f 28
растёт втрое медленнее, чем аргумент?
9. Прочность прямоугольной балки данной длины, при
определённой нагрузке и определённом расположении опор, пропорциональна
ширине поперечного сечения и квадрату его высоты. Из круглого-
бревна требуется вытесать прямоугольную балку наибольшей
прочности. Какова должна быть ширина этой балки, если диаметр 'бревна
равен а}
Отв. х = -т= — —т>— *
10. Поперечное сечение канала имеет форму равнобедренной
трапеции. Глубина канала Л, а площадь сечения /\ Определить форму
трапеции, наивыгоднейшую в смысле стоимости материала для ложа
канала, т. е. определить, при каком откосе боковых сторон сумма
боковых сторон и основания будет наименьшей.
Отв. а =60°,
11. Два источника тепла О и Uy из которых последний в 8 раз
сильнее первого, отстоят один от другого на расстояние 10 единиц.
Малая тонкая пластинка помещается в различных местах прямой,
соединяющей точки О н U. Изучить закон изменения количества тепла,
получаемого пластинкой от обоих источников в единицу времени, и
определить место наименьшего нагрева. На расстоянии, равном единице, от
источника О пластинка получает единицу количества тепла, а с
изменением расстояния — обратно пропорционально квадрату этого расстояния.
(За начало координат принять точку О, а за ось абсцисс прямую OU.}
Отв. Место наименьшего нагрева на расстоянии Зт единицы
от источника О.
12. План одноэтажного дома должен иметь форму прямоугольника
данной площади Л Нужно проектировать три комнаты
на этом плане помощью двух внутренних стен, 0 ™_
как на черт. 176. При этом AL должно составлять
2
-=- АВ. Стоимость внутренних стен за погонный метр *.
2
составляет лишь -^- стоимости погонного метра наруж- д
ной стены. Какой формы должен быть прямоуголь-
ный план здания ABCD, чтобы стоимость постройки черт. *'о.
была наименьшая?
У к а за ни е. АВ=х; стоимость постройки у; k— стоимость
подгонного метра наружной стены.
/34 , 8 ^\ 9 20F
У = к[Т5х + -$ "хГ минимуму при *3 = -уу-.
Отв. АВ:ЯС = 20:17.
13. На прямой у~Ъх + Ь найти точку, сумна квадратов
расстояний которой от точек (2,5)и(3, 5) была бы наименьшей из возможных.
361
і
р
- В

14. В данный треугольник вписать прямоугольник наибольшей
площади.
15. В данный круглый конус вписать цилиндр наибольшего объёма
16. В данный шар вписать конус наибольшего объёма.
ГЛАВА IV.
НАЧАЛА ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ.
§ 1. Функции, имеющие одну и ту же производную.
Теорема Ролля и теорема Лагранжа о конечных
приращениях.
Так как производная постоянного равна нулю, то две
функции F(x) и f{x)t отличающиеся одна от другой на постоянное
слагаемое:
F(x)=f{x) + C,
имеют одинаковые производные:
F'(x)=f(x).
Но можно ли сделать обратное заключение, т. е., ес^и две
функции имеют равные производные, можно ли утверждать, что
всегда такие две функции отличаются одна от другой на
постоянное слагаемое? Возможность
такого обратного заключения не
а х следует из предыдущего
утверждения. Доказательство
рассматриваемого обратного предложения о
функциях с равными производными
основывается на так называемой
теореме Ролля и теореме
Лагранжа о конечных приращениях.
Эти две теоремы с геометриче-
Черт. 177. ск0# стороны соответствуют ясному
и простому факту: к дуге
непрерывной кривой линии можно провести по крайней мере одну
касательную, параллельную стягивающей эту дугу хорде (черт.177, а),
если только рассматриваемая часть кривой не имеет острия
¦ (черт. 177, ?) или излома (черт. 177, с). В случае острия или
излома касательная, параллельная хорде, не всегда возможна,
Аналитическое .доказательство этих теорем основывается на
352

том, что непрерывная функция в замкнутом интервале имеет
наибольшее и наименьшее значения (стр. 305).
Теорема Ролля. Если функция f (х) непрерывна в
замкнутом интервале (а, Ь) и имеет для каждого значения
аргумента внутри этого интервала {определённую) производную, а
при х = а и х = Ь обращается в нуль:
/(а) = 0 и /(А)=0,
то производная функция f (х) по крайней мере при
некотором одном промежуточном значении аргумента ?
а<5<*
обращается в нуль.
Примечание. Непрерывности функции соответствует
геометрически непрерывность её графика (черт. 178;. То, что при
каждом промежуточном значении ар- #»
гуменга функция имеет (определённую)
производную, геометрически означает,
что дуга графика имеет в каждой
своей точке одну касательную. Этим
условием исключается существование у
дуги точки излома, так как в точке
излома левосторонний и правосторонний
F 4У v F • Черт. 178. '
пределы отношения —- неодинаковы.
Исключается также существование и острия или точки возврата:
касательная в такой точке, в силу однозначности функции, может
быть только перпендикулярной к оси абсцисс, но при подходе к
Ау
этой точке -с одной стороны -~~ стремится, например, к
положительной бесконечности, а при подходе с другой — к отрицательной,
и следовательно, производная не будет единственной. Однако,
условиями теоремы не исключается возможность того, что в
некоторых точках производная будет бесконечно велика, но только
определённого и единственного знака, т. е. на кривой будет не
точка возврата, а точка перегиба.
Доказательство. Пусть/(х) в интервале (а, Ь) не всё
время равна нулю — случай, когда теорема, очевидно, имеет
место. Мы уже знаем, что непрерывная функция в замкнутом
интервале имеет наибольшее и наименьшее значения. Пусть
при x = z рассматриваемая функция имеет наибольшее
значение. Если между а и b существуют и положительные значения
функции /(*), то, очевидно, S не равно ни а ни ?, так 'как,
по условию, /(а) =/(Ь) = 0. А если бы функция не имела
совсем положительных значений между а и Ь, то мы стали бы
рассматривать не наибольшее значение, а наименьшее, и
пришли бы к тому же заключению, что а<^?<^?.
23 Курс высшей математики 353

Итак, пусть /($) — наибольшее значение. В таком случае,
как мы уже видели (стр. 323),
/(5) = О,
что и требовалось доказать.
В общем случае в интервале (ау Ь) возможно и не одно
значение аргумента, при котором производная функция
обращается в нуль.
Таким образом, если функция f(x) непрерывна, имеет
производную в интервале (а, Ь) и /(а) =/(?):= О, то /'(?)= 0,
где а<^?<^Ь.
Величина $ отличается от меньшего предела а интервала на
часть всего интервала b — а. Поэтому можно положить
5 = а+?(* — а), (1)
где
0<?<1.
Положительное число ?, меньшее единицы, может и не быть
известным; доказано только то, что это число существует.
Теорема Лагранжа о конечных приращениях. Если
функция непрерывна в замкнутом интервале (я, Ь) и имеет
{определённую) производную внутри этого интервала, то
существует такое значение аргумента лг = ?, при котором
производная равна отношению приращения функции при переходе
от одного конца (а) интервала до другого (Ь) к величине
самого интервала, т. е.
t(b)~f(a)
b—a
=/'(?)¦
Доказательство. Отношение ^-/—?—? — величина по-
о~ а
стоянная. Обозначим её ради краткости через А, Требуется
доказать, что
Образуем функцию
V (*)=/(*) —f{a) — {x — a) A.
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля> т. е. она
непрерывна и имеет производную:
<f'{x)=f(x) — A
и, кроме того,
<р(а)=Да)—Да) — (а — а)А=0,
v{b)=f{b)-f(a)-{b — a)A =
=/(*) -№ -ib-a) *™=Ш = 0.
354

Следовательно, производная этой функции
по теореме Ролля, при некотором значении ? аргумента в
интервале (а, Ь) обращается в нуль:
отсюда
ср'(5) = 0, т. е./'($> —Л = 0;
b — а
(2)
Значение аргумента ? отличается от нижнего предела а.
интервала (а, Ь) на часть всего интервала Ъ — а:
5==о+0(* —а), где О<0<1.
Поэтому можно написать и так;
?1*Ьр=/(«+ <>(*-«)). (3)
С геометрической стороны теорема выражает, что к дуге ММХ
(черт. 179) можно провести касательную, параллельную хорде
MMV так как тангенс угла
наклона этой касательной к оси
абсцисс равен /' (?), а тангенс угла
наклона хорды к той же оси равен:
ПЬ)4(а)
х
РМі _ f(b)~f{a\
MP ~ b—a '
если прямые п-араллельны, то углы
их наклона к положительному
направлению оси абсцисс равны,
равны поэтому и тангенсы углов.
Если f(x) выражает длину пути, пройденного движущейся
точкой к моменту времени х, то /'(¦%), как известно, выражает
скорость движения в рассматриваемый момент. Разность
/(и)—/(а)— длина пути, пройденного за промежуток вре-
t fib)— f(a)
мени о — а, а'—т—-—¦—средняя скорость движения
за этот промежуток времени. Теорема о конечных
приращениях выражает, таким образом, следующий, с механической
стороны совершенно ясный факт: скорость движущейся точки
не может быть постоянно меньше средней скорости
движения за данный промежуток времени и не может быть постоянно
больше этой средней скорости, и есть момент, когда эти
скорости равны.
23* 355

Следствия. 1. Если функция f (х) при 'всяком
значении х в интервале (а, Ь) равна нулю, то начальная
функция f{x) постоянна в этом интервале:
f (х) = О, f(x) = const, (a < х < b).
Доказательство. Пусть х1 и х% — два каких-нибудь
Значения аргумента из интервала (а, Ь)\
а^хг <^х2^Ь*
По теореме о конечных приращениях имеем:
где
Таким образом, ? заключено между а и ? и поэтому /'($) = 0;
следовательно,
откуда
/(•**)— /t*i) = 0» или /(^2)=/(^х), т. е. /(*)= const.,
что и требовалось доказать.
2. Если две непрерывные функции f(x) и ср (л-) имеют
одну и ту же производную, то они отличаются одна от
другой на постоянную величину.
Доказательство. Имеем:
/' (х) = ср' (х), или /' (х) — <р' (х) = 0. (4)
Составим новую функцию F(x), равную разности данных
функций:
F{x)=f(x) — tf(x)m
Производная этой функции в силу равенства (4) тождественно
равна нулю:
F(x)=f{x) — <e'(x)=*0.
Поэтому на основании первого следствия имеем:
F{x)=f(x) — <?{x) = C,
где С—некоторая постоянная величина; отсюда
Дх)=<е(х) + с.
Возвращаясь к вопросу, поставленному в начале этого
параграфа, именно — если две функции имеют равные производ-
356

ные, можно ли утверждать, что всегда такие две функции
отличаются на постоянное слагаемое, мы можем теперь
ответить на него утвердительно.
Таким образом, всякая функция, имеющая производную/'(а:),
имеет вид /(лг) + С, где С—какое-нибудь постоянное. Давая
этому постоянному С произвольные значения, мы и
получим различные функции этого вида.
Имея график одной из этих
функций f(x) (черт. 180) и перемещая его
так, чтобы ординаты каждой точки
увеличились на одну и ту же величину
Cv мы получим график другой
функции этого рода, а давая постоянному
С произвольные значения, мы люлучим
графики всех возможных функций,
имеющих одну и ту же производную.
Касательные этих линий в точках, лежащих
на одной прямой, параллельной оси Черт. 180.
ординат, т. е. в точках, имеющих одну
и ту же абсциссу, параллельны между собой, так как угловые
коэффициенты их равны между собой и равны именно
значению производной функции f(x) при данном значении абсциссы.
Через каждую точку (#0; у0) плоскости проходит одна
из этих кривых. В самом деле, уравнение определяемой кривой
должно иметь вид:
У =/(*) +Q (5)
где С пока не определено. Точка {х0і у0) лежит на этой
кривой, и следовательно, координаты её дг0, у0 должны
удовлетворять уравнению (о)
.Уо = /(*о) + с>
откуда
С = у0— f(xQ).
Таково значение постоянного С для кривой, проходящей через
точку (х0, у0). Уравнение этой линии можно написать теперь
в следующем виде:
У=/(х)+У*—/(хо)>
или
У—Уо-=/{х)—/{Хо)-
[Уо и f(xo)— постоянные].
Примечание. Теорема о конечных приращениях может
служить основанием для приближённого вычисления значений,
функции и для оценки пределов допущенной ошибки. Если нено-
357

следственное вычисление значений производной функции проще,
чем вычисление значений самой функции, то, зная величину функции
при одном значении аргумента, можно вычислить её при другом,
близком к первому, по формуле (3), из которой имеем:
/(&) = /(а)-Н* -a)f(a + t {b -a)).
Если при достаточно малом интервале (а, Ь) производная
функции f(x) всё время или возрастает или убывает, то крайние знаг-
чения её f (а) и f (Ь) будут представлять наибольшее и
наименьшее из всех остальных значений. Сообразно с таким изменением
производной f (х) в интервале (я, Ь) можно оценить пределы
допущенной при вычислении fib) ошибки.
Для выяснения такого значения теоремы о конечных
приращениях мы приведём примеры тогда, когда в нашем
распоряжении будут производные трансцендентных функций.
§ 2. Постановка задачи интегрального исчисления.
Мы предполагали до сих пор начальную функцию данной
и искали её производную или предполагали её найденной,
исследуя свойства той и другой. Такова задача
дифференциального исчисления. Теперь мы ставим обратную задачу: по
данной функции f(x) найти её начальную или первообразную
функцию, т. е. такую функцию—обозначим её через F(x),—
чтобы её производная F (х) равнялась данной функции:
F'{x)=f(x).
Так поставленная задача имеет не одно определённое
решение: если F(x) представляет одно решение этой задачи, то и
функция F(x)-\-C, где С—какое-нибудь постоянное, очевидно,
будет также представлять решение той же задачи, ибо, как
следует из теоремы Лагранжа о конечных приращениях,
функции, имеющие одну и ту же производную, всегда
отличаются постоянным слагаемым. Таким образом, функция F(x) -f- С,
где С—пр оизвольное постоянное, представляет общее
решение поставленной задачи.
Задача, обратная задаче дифференциального исчисления,
т. е. задача отыскания первообразной или начальной функции,
составляет задачу интегрального исчисления: искомая
первообразная функция и называется интегралом данной
функции.
Прежде чем приступить к решению или исследованию этой
задачи, рассмотрим, какой геометрический смысл имеет её
постановка.
Пусть данная производная функция означает тангенс
угла наклона касательной к графику искомой первообразной
358

функции:
/W = tga, или F'(x) = tga.
Если точка перемещается по кривой, то направление этого
перемещения в каждый момент определяется направлением
касательной к этой кривой. Таким образом, если дана
производная функция, то этим самым указано в каждом месте
плоскости направление перемещения для точки, движущейся в этой
плоскости. Пусть, например f(x)=x. Для определения
направления перемещения в каждой точке
плоскости имеем:
tg а = лг.
^0Т
Все точки плоскости, имеющие одну и
ту же абсциссу, т. е. лежащие на
одной-прямой, параллельной оси ординат,
должны двигаться в одном и том же
направлении (черт. 181), ибо для всех
этих точек tga имеет одну и ту же
величину. Таким образом, из каждой
точки, плоскости путь перемещения уже
предрешён (на чертеже указан
стрелками). Та функция, графиком которой служит этот путь, и
будет одним из, интегралов данной функции.
Если f(x) = x, то искомая первообразная функция будет;
Черт. 181.
так как
?(*) = ? +С,
F{x) = ~2x = x, т. е. F'(x)=f(x).
Поэтому те стрелки, которые указывают на чертеже
направление перемещения каждой точки, касаются парабол, имеющих
уравнение
На чертеже и вычерчена одна из этих парабол, именно
соответствующая значению постоянного С, равному —2.
Ясно геометрически, что если нам удалось определить одну
такую линию, мы можем получить сколько угодно их,
переместив поступательно найденную линию в направлении оси
ординат (ср. § 1). Но как найти одну из этих линий? Задача
интегрального исчисления и состоит в том, чтобы указать
способ составления или определения хотя бы одной начальной
359

функции, графиком которой и будет одна из рассматриваемых
линий. Здесь возникает прежде всего вопрос, определяет
ли данная функция f{x), как производная, начальную или
первообразную функцию, другими словами — существует ли
первообразная функция для данной функции?
Для некоторых функций уже сейчас мы можем ответить на
этот вопрос утвердительно. В самом деле, пусть мы имеем ряд
функций и их производные. При решении обратной задачи —
найти по данной функции её первообразную — мы ищем среди
производных данную функцию, и если таковую нашли, то та,
уже известная функция, от дифференцирования которой
данная функция получилась, и будет решением поставленной
задачи, будет интегралом данной функции.
Положим, например, что нам дана функция хп:
причём п-ф—1, и требуется найти первообразную функцию,
т. е. функцию, производная которой равнялась бы данной:
Ф'(х) = хп.
Из формул дифференциального исчисления мы знаем, что если
_у = лгт, то у' = тхт"1,
так что неизвестную первообразную функцию Ф{х) мы должны
искать среди степеней. Показатель первообразной функции на
единицу больше показателя производной. Следовательно,
показатель искомой степени должен быть п~\~\. Но степень х'і+1
мы не могли бы взять за искомую первообразную
функцию Ф (л;), так как производная' степени хп+1 равняется
(я-}- 1)лгл, а не хп, как нам дано. Вводя соответствующий
постоянный множитель, именно , .. , мы можем уничтожить
появляющийся в производной множитель я-{-1. Итак, за Ф(лг)
Л-л + 1
мы можем взять , .,, а приоавляя произвольное постоянное,
получим общее решение:
ф(*) = ^-+С- (6)
Применяя правило дифференцирования суммы (стр. 335),
мы могли бы найти и первообразную функцию целой
рациональной функции, так как сумма первообразных функций
слагаемых имеет производной данную функцию. Например, если
f(x) =х*-~ 4х2 -f 3* — 7>
?60

то первообразной функцией будет функция
фм=т—4?+3т—7х+а
Но такое обращение формул дифференциального исчисления не
даёт прямого ответа на поставленный вопрос, прямого способа
определения первообразной функции для любой данной
наперёд функции, даже если ограничить задачу — для любой
данной наперёд непрерывной функции. Чтобы изыскать такой
прямой способ, мы обратимся предварительно к другой
геометрической интерпретации начальной функции и её производной.
§ 3. Другое геометрическое значение начальной функции
и её-производной.
В § 2 предыдущей главы мы говорили о геометрическом
значении производной. Данную начальную функцию мы
рассматривали как переменную ординату точки, описывающей
график этой функции. Производная функция означает в таком
случае тангенс угла наклона касательной этого графика к
положительному направлению оси абсцисс, а вторая
производная своим знаком определяет характер изгибов этой линии.
Теперь мы будем рассматривать производную функцию
У ==/' (х) как ординату и построим график этой
производной. В таком случае вторая производная, как
производная производной^ будет обозначать
тангенс угла наклона касательной
графика первой производной к
положительному направлению оси абсцисс. Но
что теперь — при такой интерпретации
производной— означает геометрически
начальная функция _y=/(jj)? Прежде
чем ответить на этот вопрос,
рассмотрим площадь фигуры (черт. 182), Черт. 182.
ограниченной осью абсцисс, кривой
У =/'(*) и Двумя ординатами: АВ, соответствующей абсциссе
а, и MN, соответствующей абсциссе х. Предположим пока, что
У остаётся всё время положительным. Будем считать ординату
АВ неподвижной, т. е. а постоянным, ордината же MN пусть
перемещается вместе с изменением аргумента х. В таком случае
площадь фигуры ABNM будет переменной величиной,
зависящей от изменения абсциссы х, т. е. является некоторой
функцией аргумента х. Обозначим её через Ф(лг);
пл.АВ/ЛИ •== Ф (л;).
36?

Эта функция определена нами геометрически (как
площадь), аналитическое же её выражение остаётся пока
нам неизвестным. Но раз функция определена, хотя бы и
геометрически, то можно поставить вопрос о нахождении её
производной или, по крайней мере, о геометрическом значении
производной.
Дадим аргументу х некоторое приращение Дх; величина
функции Ф (х) при этом изменится и получит приращение,
которое обозначим через ДФ (х). Как видно из чертежа:
Ордината графика производной при этом также изменяется:
NM=yr—f{x); ЛГ7кГ'=У + ДУ.
Положим для определённости, что производная /' (х) в
рассматриваемом интервале с увеличением аргумента возрастает.
Проведя из точек М и М' кривой прямые MQ и M'Q\
параллельные оси абсцисс, получим два прямоугольника NN'QM и
NN'M'Q', из которых один больше, другой меньше
приращения площади ДФ(х): .
пл. NN' QM < пл. ЫММШ < пл. NN'M1 Qr
или
У Дх < ДФ {х) < {у1 + ДУ) Дх.
Деля на Дл: (считая его положительным), получим:
, ^ ДФ (х) ^ , , . ,
У• <-д7-<У + 4у.
Так как производную f(x) в рассматриваемом интервале мы
считаем непрерывной, то Ду стремится к нулю вместе с Дх,
и при переходе к пределу получим:
. т ДФ(лг) ^ ,
откуда
цт ?№=y или Ф'(*)=/'(*).
д*-*о ад:
Таким образом, функция Ф(лг), представляющая величину
площади, ограниченной указанным выше способом, такова, что её
производная равна производной данной функции:
Ф'(*)=/(*),
352

а следовательно (§ 1), сама функция Ф(х) отличается от
данной функции f(x) на постоянное слагаемое:
Ф(х)=/(х) + С.
Это постоянное слагаемое С можно легко определить. Пусть
подвижная ордината NM, перемещаясь, совпадает с начальной
(передвижной) ВА, т. е. пусть х, изменяясь, становится
равным а. В таком случае площадь рассматриваемой фигуры
обратится в нуль, т. е.
Ф(а) = 0, или /(а)-{-С = 0,.
откуда
С = -/(а).
Следовательно,
*(*)=/(*)—/(а).
Таким образом, если производная функция f (х)
представлена геометрически ординатой, то площадь, ограниченная
графиком этой производной, осью абсцисс и двумя ординатами,
из которых одна соответствует абсциссе лс, представляет одну
из начальных или первообразных функций. Таково то
новое геометрическое значение начальной функции, о котором
говорит заглавие настоящего параграфа. Но необходимо сделать
некоторое дополнение к этой интерпретации.
Функция Ф(л'), измеряющая ограниченную указанным
способом площадь, с увеличением аргумента возрастает, если
производная этой функции Ф' (х),
или, что всё равно,
производная данной функции fix),
положительна, и убывает, если эта
производная отрицательна. Это
значит, что измеряемая площадь
должна считаться
положительной, если она расположена над
осью абсцисс (черт. 183: пл. ABC
и пл. EFG), и отрицательной,
если она расположена под осью абсцисс (пл.CDE). Таким
образом, мы можем теперь отказаться от сделанного вначале
ограничения относительно знака у' и считать, что в общем
случае начальная функция геометрически означает алгебраическую
сумму положительных и отрицательных площадей, ограниченных
осью абсцисс, графиком производной и двумя ординатами, из
которых одна соответствует какой-нибудь определённой
(постоянной) абсциссе а, а другая — переменной абсциссе х*
363

§ 4. Определённый интеграл.
Новая интерпретация начальной функции и её производной
при некоторых условиях устанавливает эквивалентность
геометрической задачи вычисления площадей и аналитической —
определения первообразной функции.
Но при установлении этой зависимости мы опирались на
интуитивное представление о площади. Поэтому утверждение
этой эквивалентности логически не полноценно. Оно станет
полноценным лишь после того, как мы дадим точное
определение величины площади фигуры, ограниченной отрезком оси Оху
двумя ординатами, проведёнными в концах этого отрезка,
и другой кривой линии, представляющей график функции f(x).
Пусть дана такая фигура, при-
Unf(T) ч^м А и В — концы отрезка на
^" оси Ох (черт. 184) и дуга
кривой есть график некоторой
непрерывной функции /(лг).
Будем предполагать, что в
интервале (а, х) данная функция
положительна, т. е.
соответствующая кривая лежит над
осью абсцисс.
Если бы кривая пересекала
ось абсцисс, то мы прибавили
бы к данной функции
достаточной величины постоянное, т. е.
вместо функции f(x)
рассматривали бы функцию f(x)-\-A, график которой уже не пересекал
бы оси абсцисс. Найдя первообразную функцию изменённой
функции f(x)-]~A, легко найти потом и первообразную функцию данной.
Непрерывная функция f(x) в замкнутом интервале (а, Ь)
имеет наибольшее и наименьшее значения (стр. 305). Пусть
первое равно М, а второе т. .В таком случае ясно, что
т(Ь — а)^М(Ь — а),
так как входящие в это неравенство величины суть площади,
построенные на одном и том же основании, и первая составляет
часть второй.
Разделим теперь интервал (а, Ь) на меньшие $г, ¦§*, ?3,..., 5Я,
т. е. вставим между числами а и b какой-либо ряд
промежуточных чисел іъ 4, 4» • • ¦> '«-і:
в<*і<*2<'а<---<*в-і<\
*і = 'і— Л> 52 = г2 — іь ..., b? = ti+l — tv .. .,Ьп = Ь — іашт1.
364

В каждом из этих интервалов данная (непрерывная)
функция f{x) имеет по крайней мере одно значение, наименьшее из
всех значений в этом интервале, и одно наибольшее (стр. 305).
Первое обозначим через тіУ а второе через Міл где индекс і
указывает, к какому интервалу относятся эти числа. При
любом значении указателя і /побольше или равно т, а М- меньше
или равно М\
т^т и Мі<ьМ. (7)
Строим теперь на полученных интервалах Ьи 52, .¦., іп два
рода прямоугольников: одни с высотами /я/} другие с
высотами Мг Площади фигур, из которых одна составлена из
прямоугольников с наименьшими высотами (/яД а другая из
' прямоугольников с наибольшими высотами (Mt)t определяются
следующими суммами, которые обозначим через sn и S :
sn =і т& + /я2г2 +... +m/jn; Sn = МХЬХ + Afa3a -f... + М?п-
Площади ирямоугольникрв с наименьшими высотами (mt)
образуют площадь, не ббльшую той, которую образуют площади
прямоугольников с наибольшими высотами, следовательно:
Согласно смыслу обозначения $г = т (Ь — a), a Sx=M(b — а),
а на основании соотношений (7) имеем:
*і<*я. Sa<Sx.
Число интервалов мы можем увеличивать, подразделяя каждый
из интервалов ?,. (/=1, 2, 3, .."Г, я) на подинтервалы. Каждый
из интервалов bs по отношению к составляющим его подин-
тервалам играет такую же роль, как целый интервал {а, Ь) по
отношению к интервалам 5Z-, и потому построенные суммы s„/
и Snt для этого нового разбиения, составленные из сумм sn
и Sn заменой слагаемых первой числами ббльшими или, по
крайней мере, не меньшими, а второй — числами меньшими или, по
крайней мере, не ббльшими, находятся к этим суммам в
следующих соотношениях:
sn < snf и S„f ^ Sn при п' > я. (8)
Продолжим этот процесс увеличения числа интервалов 5/ так,
чтобы наибольший из них Ь стремился к нулю. Суммы sri и Sn
изменяются при этом монотонно, а разность между ними может
быть сделана сколь угодно малой. Действительно,
365

но рассматриваемая функция /(дг) непрерывна в замкнутом
интервале '(а, Ь), а следовательно, она равномерно непрерывна
в этом интервале (стр. 307), и потому при достаточно малых
значениях Ьи 52, ..., 8П разность каких-либо значений её, а стало
быть, и значений Mt и т., т. е. колебание функции во всех
рассматриваемых интервалах, будет меньше любого данного
наперёд, сколь угодно малого, положительного числа, например
--L- , одного и того же для всех интервалов;
Следовательно,
так как
= (ti—a) + (t2-t1)+... + {b — ta_1) = b — a.
Таким образом, сумма площадей входящих прямоугольников
5 и сумма выходящих Sn в указанном процессе стремятся
к одному и тому же пределу S:
1 im Sn = lim sn = S.
Этот общий предел обгих сумм мы и примем по определению за
величину площади нашей фигуры. Хотя получение этого предела
и связано с определённым способом раздробления интервала (а, Ь)
на мелкие части (именно, каждый из интервалов о. раздробляется
в свою очередь на мелкие части и т. д.), но, как будет
показано ниже (§ 9), самый предел не зависит от этого способа
разбиения и представляет собой величину, определяемую видом
функции f{x) и границами интервала (а, Ь). Таким образом,
площадь нашей фигуры представляет собой число, определяемое
границами интервала (а, Ь) и функцией fix).
Числа 's и S суть приближённые значения этой площади —
одно с недостатком, другое с избытком.
Для целей вычисления вид сумм s н S:
зл = даА + ліА + ... + іяяЗв,
не вполне удобен: не удобен в том именно отношении, что для
каждого интервала приходится определять наименьшее и
наибольшее значения функции fix). Неудобство такого
вычисления можно устранить следующим образом. В каждом из интер-
366

валов Ь? возьмём промежуточное или равное пограничному
значение аргумента х:
'?-!<*,<*, ('=1> 2,..., я; f0 = a, *e=ft)
и составим сумму площадей прямоугольников, построенных на
тех же интервалах iv S2,. -., 5П как основаниях и имеющих.
высотами значения функции f(x) при х = хи т2,,..,т :
я
Символ ^ читается: сумма от /=1 до і = я и означает сум-
/=г
му слагаемых вида /(т,)^, причём индекс г при суммировании
принимает значения 1, 2,..., я.
Так как в интервале ot наименьшее значение функции f{x)
равно т., а наибольшее МіУ то
ті^/(ті)^М1 (і=1, 2, 3, ...,я).
Поэтому
Но суммы s и 5Я стремятся, по доказанному, к одному
пределу 6". Следовательно, и сумма, заключённая между ними или
равная одной из них, стремится к тому же пределу, т. е. к S:
lim2/fc/)8,= &
Можно и это выражение ещё более упростить, пользуясь-
произволом выбора интервалов 3, и значений аргумента х..
Именно, будем считать все интервалы о, равными и обозначим
каждый из них через М, а т, примем равным тому или другому
пограничному значению аргумента того интервала, в котором,
заключено значение т:
хх = а, x2 = tu...t тд = /я-1; или xx = tv т2 = /8,..., тя=&.
В таком случае будем иметь:
S=lim 2/(/,)А«, или S=lim 2/(/,)Д*.
Геометрическое значение каждой из этих сумм до перехода*
к пределу представляет площадь элементарного прямоугольника
ЗбГ

с основанием &t и высотой f(t?). При стремлении Д< к нулю
каждое слагаемое будет бесконечно малым, а число их
бесконечно увеличивается. Таким образом, нахождение значений
функции Ф(х), имеющей данную производную, сводится к
бесконечному процессу: к суммированию бесконечно
большого числа бесконечно малых слагаемых определённого вида.
При этом процессе мы из частей составляем целое: отсюда
и название этого процесса — интегрирование (латинское слово
integer — целый), а название полученного результата — интеграл,
или, полнее,—определённый интеграл.
В обозначении операции нахождения интеграла, иначе —
п
операции интегрирования lim У]/(^)ДЛ заменяют греческое
начертание (^— сигма) первой буквы слова summa латинским
начертанием \ (несколько вытянутая буква S\ приращение Д?
заменяется дифференциалом dt, чтобы показать, что №
стремится к нулю, при этом опускают lim и указатель при t [f{t^]\
меняясь от а до b> i будет перемен ным суммирования:
вместо указания пределов изменения указателя і отмечают
внизу и вверху символа і пределы изменения аргумента /при
суммировании, т. е. а и Ь\
п ъ
lira y^f{t^t~\f{t)dU
«"¦«/si i
ь
Символ \f[t)dt читается: интеграл от а до b f(f)dt.
а
Давая различные значения верхнему пределу определённого
интеграла, мы будем получать для интеграла различные
значения. Если считать этот верхний предел переменным и обозначать
его буквой х, то наш интеграл представит собой некоторую
функцию от х:
х
Г/Ю# = Ф(*),
а
графически представляемую площадью криволинейной трапеции
с переменной крайней ординатой. Из предыдущего (§ 3)
следует, что эта функция является первообразной для функции,
стоящей под знаком интеграла.
Верхний предел интеграла, т. е. х, мы должны считать
переменным лишь после выполнения операции суммирования
368

и перехода к пределу, и это главное переменное х
существенно отличается от переменного суммирования или
интегрирования, т. е. от L
X
Интеграл \f{t)dt будет функцией верхнего предеяа дг,
а
именно искомой первообразной функцией Ф(х); производная её
равна подынтегральной функции (конечно, с заменой
переменного суммирования главным переменным), т. е. данной
функции f{x):
X
Ф (*) = $/(*)</*; Ф'(*)=/(*).
а
Переменное интегрирования, т. е. t, можно заменить в
обозначении интеграла иной буквой, смысл и результат операции от
этого не изменяются:
XXX
<1>(x) = ^f(t)dt=^f(y)dy=^f(z)dz=...
а а а
Можно даже переменное интегрирования обозначить той же
буквой, как и главное переменное, т. е, верхний предел:
X
Ф(х)= \f{x)dx;
но при этом нужно помнить существенную разницу того и
другого. Пусть, например, главное переменное получает
определённое числовое значение b (x = b). В таком случае из
предыдущего равенства соответствующее значение первообразной
функции, т. е. Ф(?), определяется так:
ь
<$(b) = ^f(x)dx.
а
Значение b подставляется вместо х, но х, обозначающего
главное, переменное, а не переменное интегрирования.
§ 5. Неопределённый интеграл.
Зная одну функцию Ф(л:), имеющую данную производную
f(x), /мы можем найти все другие функции, имеющие ту же
производную, прибавив к Ф(х) произвольное постоянное:
х
F (*) = Ф (лг) + С = $/(*) <** + С.
а
24 Курс высшей математики 369

F(x), содержа неопределённое, произвольное постоянное С,
называется неопределённым интегралом.
Неопределённый интеграл представляет общее решение
поставленной задачи нахождения первообразной функции,
имеющей данную функцию f(x) своей производной, а функция Ф(х),
т. е. определённый интеграл, как функция верхнего предела,
представляет только частное решение поставленной задачи.
Для составления общего решения можно было бы взять любое
частное решение, найденное подобным- же способом, т. е. путём
суммирования и перехода к пределу, иначе — интегрирования,
изменяя, например, нижний предел. Таким образом, будем иметь:
X
F(x) = <& (х) + С, Ф (х) = j /(*) dx,
а
х
F(х) = Ф1 {х) + Clt Фх (х) = [т dx,
X
F(x) = Ф2 (х) + С2, Ф2 (х) = j /(х) dx,
а.2
где частные решения Ф(х); Фх (х), Ф2{х) и.т. д. составлены
указанным способом, а С, Си С2, — произвольные,
постоянные.
Произвол в выборе нижнего предела, насколько он
допускается свойствами данной функции f{x)t можно отметить тем,
что опускаем нижний предел. Но в таком случае опускают
й верхний предел, разумея под ним аргумент х и обозначая
переменное интегрирования той же буквой, как и главное
переменное:
F(x)=\f(x)dx-\-C.
В обозначении интеграла [f{x)dx, которое по предыдущему
означает какое-нибудь (неопределённое) решение, можно
уже разуметь включённым произвольное постоянное, а потому
можно опустить и произвольное постоянное С и под символом
\f(x)dx разуметь неопределённый интеграл, т. е. общее реше-
ние поставленной задачи.
На символ \f(x)dx можно смотреть также как на форму-
лировку самой задачи: найти функцию, производная которой
равняется данной подинтегральной функции f{x), или иначе —
370

найти функцию, дифференциал которой равен f(x) dx. Каким
бы способом ни была решена эта задача, результат решения мы
будем называть интегралом, а решена она может быть
в некоторых случаях не только суммированием бесконечно
малых слагаемых и переходом к пределу, но также путём
обращения формул' дифференциального* исчисления, как об этом
говорилось при постановке задачи интегрального исчисления,
как задачи, обратной задаче дифференциального исчисления
(§ 2). Пусть, например, дана функция хп1 причём п=^=—1.
Первообразная функция Ф (#), как мы видели, равняется степени
же с показателем на единицу ббльшим, делённой на новый
показатель: хп+1
Действительно, дифференцируя Ф(х), мы получим данную функ-
Ф (X) = ?+\ = Хп.
За этой операцией, с помощью которой мы здесь нашли
первообразную функцию, сохраняется название и н т е г р и р о в а-
н и я, и результат операции будем называть интегралом,
хотя в ней и не было речи о составлении целого из
бесконечно малых частей. Сохраняется за ней и обозначение
интеграла \ (summa), хотя в ней и не было явно суммирования.
Таким образом, предыдущую задачу нахождения первообразной
функции степени мы можем обозначить и написать общее её
решение в следующем виде:
1**-2»+С
где С — произвольное постоянное. Левую часть этого равенства
можно читать так: «взять интеграл», или «взять
неопределённый интеграл», или просто «интеграл от xndx*. Описанная
операция носит название неопределённого интегрирования.
Смысл символа I, установленный прежним способом,
требует, чтобы этот символ и в неопределённом интеграле
ставился не просто перед данной производной, а перед данным
дифференциалом, т. е. перед произведением данной
производной на дифференциал аргумента.
Знаки дифференцирования и интегрирования, как следует
из их определения, связаны следующими соотношениями:
±^f{x)dx = f{x) „ J^<to = /(*) + C.
24* 371

Рассмотрим в следующих примерах применение обоих
способов нахождения первообразной функции по данной
производной.
Примеры.
1. Найти первообразную функцию, производная которой равна ху
иначе —взять интеграл \xdx.
a) Применяя предыдущую формулу, выведенную для общего
случая, получим:
С *1+1 х2
\ xdx = утгі+^—^ + С-
b) Чтобы найти общее решение поставленной задачи другим
способом, достаточно найти определённый интеграл, верхний предел кото-
х
рого равен х, а нижний какой угодно, например 0: \xdxt и прибавить
и
потом произвольное постоянное.
Геометрически вычисление этого определённого интеграла сводится
к определению площади Ф(дг), ограниченной осью абсцисс, линией,
дайной уравнением у=х, некоторой начальной ординатой и ординатой,
соответствующей какому-нибудь значению аргумента х.
Таким образом, задача сводится к определению площади
треугольника с основанием х и высотой у или, так как y = xt—с высотой х.
Благодаря простоте этой фигуры нам не приходится обращаться к
суммированию и переходу к пределу, и мы находим, что
х
х* Г х*
Ф(*) = _ или lxdx = ~-.
Таким образом, и этот способ, как и следовало, конечно, ожидать, даёт
то же аналитическое выражение для искомой первообразной функции;
?(х) = Ф(х) + е9
или
х dx = ^ + С,
2.\x*dx = F(x)=:'}
¦a)J
I
J
x2dxSfi+c=i+c-
b) Уравнение y = x2 представляет параболу. Ф(х)= \х* Лспред-
o
ставляет площадь, заключённую между этой параболой, осью х и
ординатой точки, имеющей абсциссу х. Элементарная геометрия не даёт
соответствующей формулы для этого случая, как в примере 1, и потому
372

мы должны обратиться к первоначальному определению интеграла:
¦*' п—і
ф (х) = U2 dx = lim 5 *2'Длг =Iim Дд; (л"о+
О
ИЛИ
Ф , ,
я-wo
(*)=Hra у *2Да==Пгп Да(a| + a*5+..+*;).
Я-+ОС -«bJ Я-WO
Можно вычислить с любой степенью точности значение Ф {х) для
всякого значения аргумента. Например, при x=U полагая Длг = —- или
п = 10, будем иметь для Ф(1) следующие приближённые значения:
Ф(1)^<*о+*іЧ".+ А «ли Ф(l)^l(*i+4f--+*?o).
Но
#0 = 0, а*і = 0,1, а2 = 0,2,..., а10=1.
Следовательно,
Ф (1)^-^(0,1*+..- + 0,9»), или ф(1)^1(0,12 + о,23-Ь..+ 12>>
т. е.
Ф(1)%1-2,85 = 0,285, или Ф(1)«=~3,85 = 0,385.
0,285 и 0,385 и будут приближёнными значениями Ф(1) или —
геометрически— рассматриваемой площади, одно с недостатком, другое
с избытком.
3. Найти первообразную функцию, производная которой равия*
1 ' Cdx
лась бы —, иначе — взять интеграл I—.
X \ X
Те формулы дифференциального исчисления,
которыми мы располагаем в данный момент, не дают нам возможности
найти искомую функцию по первому способу неопределённого
интегрирования; наш запас формул дифференциального исчисления
ограничен: мы можем отыскать пока лишь производные рациональных
функций, и среди этих производных нет данной функции —.
Второй способ даёт возможность вычисления значений одной из
искомых функций Ф (л-), представленной в виде определённого инте-
X
грала, например, Ф(а) = I —.
К *
Пусть, например, требуется вычислить значение этого интеграла
при х = 10.
10 „_і
f** = lim Х- - Игл Л* (1+1 + 1+ ... +-L) =
J X /з-»>сО JT?q xi д-юо \A*Q A"i A"2 xn~l*
= lim ?^ = lim A, (1 + 1 + 1+ - +1).
&~*°° f^t X* Я-ЮО \X\ X% A3 XaJ
373:

Полагая п = 9, будем иметь:
и
10
или
1
10
іт-г+т+т+-+и-*
і
Разность между этими приближёнными значениями равна 0,9.
Следовательно, 2,83 и 1,93 отличаются от точного значения интеграла
Ю
I _?. = ф (Ю), заключённого между ними, меньше, чем на 0,9.
і
§ 6. Основные свойства определённых интегралов.
1. Если нижний и верхний пределы равны, то интеграл
равен нулю;
а
J/(*)<& = 0, (9)
а
ибо интервал а — а = 0 и интервалы §1 = $2=. .. = 8^ — 0,
а яотому и
* 2
23/(^)^ = 0 т. е. \f(x)dx = 0.
2. Если верхний и нижний пределы определённого интеграла
переставить, то интеграл изменит лишь свой знак:
Ь а
[fWdt = —\f(t)dt. (10)
а ь
В самом деле, считая в определяющих суммах интервалы
819 52, ..., 5Л равными, мы для первого интеграла каждый из
этих интервалов должны принять равным ^И?, а для второго
а — Ъ
интеграла равным —^—, т. е. противоположного знака;
значения функции f(x) для того и другого интеграла одинаковы.
Следовательно, в определяющих суммах того и другого интеграла
соответственные слагаемые равны по абсолютной величине, но
374

противоположны по знаку, а потому и суммы и их пределы
равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.
3- Если а, с, b — три значения аргумента, то должно иметь
место следующее равенство:
ь с ъ
\if{x)dx=,^f{x)dx-\~^f{x)dx. (И)
а а с
Если с заключено между а и д, т. е. если а<^с<^Ь (или
а^>с^>?), то, составляя определяющие суммы для интервала
с
от а до с и переходя к пределу, получим yf{x)dx\ суммируя
*j
а
Ь
в интервале от с до Ь, получим интеграл \f(x)dx. Складывая
с
эти суммы до перехода к пределу, мы получим определяющую
сумму для всего интервала от а до Ь, т. е. в пределе
интеграл \f(x)dx. Следовательно,
а
а с о
\f(x)dx^\f(x)dxAr\f(x)dx.
а а.
Если а не заключено между а и Ь, например, если д<^?<^с,
то по предыдущему мы должны иметь:
с b с
j f[x) dx — J f{x) dx-\-\f (x) dx.
a a b
Но по второму свойству имеем:
с Ь
\fix)dx— — \iix)dx.
Поэтому
coo
\f{x)dx=\ f(x) dx — \ f{x) dx,
a a
откуда
а и v
J f{x) dx = J f(x) dx -j- J / (x) dx.
a
375

4. Если в интервале (а, Ь) подинтегральная функция f(x)
имеет наибольшее значение М и наименьшее т} то
ь
т{Ь — а)<$ /(*) dx <<M{b —a). (12)
а
Это предложение мы уже отмечали при самом установлении
понятия определённого интеграла (§ 4).
Из неравенств (12) вытекает:
^f(x)dx=ti{b — a),
а
где
Но данная функция f(x) непрерывна, непрерывна и
функция f(x) — р.. Пусть f(x) принимает наименьшее значение т
при х = хи а наибольшее Ж при х = х2:
f{xx) = m9 f(x2) = M.
В таком случае функция f(x) — ji при х=хг принимает
отрицательное значение т — ji, а при х — х2— положительное
значение М — }А. Следовательно, при некотором промежуточном
У*
значении S, которое, очевидно, заключено
между а и ду
/(5) — |і =о,
откуда
ъ
Р=/(5) и J/(*)<** = (A —*)/(5).
Это свойство определённого интеграла
означает, что на кривой y=f(x) есть такая
точка С, что измеряемая определённым
интегралом \f(x)dx площадь А1АСВВ1 (черт, 185) равнове-
а
лика площади прямоугольника AXP-QBX с основанием, равным
Ъ—а> и высотой, равной ординате некоторой точки С,
лежащей на кривой между А и В,
5. Постоянный множитель подинтегральной функции можно
вынести за знак интеграла:
ь ь
\jaf{x)dx = a^f{x) dx. (13)
а
а
376

В самом деле, если подинтегральная функция содержит
множителем постоянное число, то каждое слагаемое той суммы,
предел которой и составляет данный интеграл, будет также
содержать его множителем; этот множитель можно вынести до
перехода к пределу за знак суммы, а следовательно, и интеграла»
6. Интеграл суммы нескольких слагаемых равен сумме
интегралов этих слагаемых:
ъ ь ь ъ
'а а а а
В самом деле,
г
\[ЛМ+Л(*)—Л(*)]^= lim 2[Л(**)+Л(**)-Л(*ЛА*-
До перехода к пределу слагаемые' последней суммы можно
переставить и соответственной группировкой можно данную
сумму разбить на три суммы:
J] [Л (*,) + Д (*,)—/, {х,)] Их =
п п п
= 2 Л W **+ 2 Л (*/) Д*— 2 Л to) ***
/=1 /=1 *-1
Таким образом, в пределе получим:
а
ь ь ъ
= \f\{*)dx + \f2{x)dx — §fB(x)dxa
а а а
§ 7. Два общих правила-неопределённого интегрирования»
Правило вынесения постоянного множителя за знак интеграла
и правило интегрирования суммы можно отнести и к
неопределённым интегралам, так как, полагая верхний предел
независимым переменным, а нижний неопределённым, мы и получим
из определённого интеграла неопределённый, прибавляя или
разумея прибавленными в обеих частях равенств соответствующие
произвольные постоянные и опуская обозначения пределов.
Таким образом, будем иметь:
1. \а/(х)с?х = а^/(х)dx.
2. $ [Л М +Л W "Л Ml dx =
= ^fl(x)dx + ^f2{x)dx-\fB(x)dx.
377

Действительно, дифференцируя по общим правилам обе части
равенства 1 или 2 и опираясь на соотношения знаков
производной и интеграла (§ 5), мы получим в том или другом
случаях одинаковые производные:
1в 7х) af{x)dx — af{x)
и
dx
а \ f (x) dx — a-r- f(x) dx = a /(*).
2- |J № <*) +Л W —Л(*>]dx =Л (х) +Л W —ЛМ
и
=/і(*)+ЛМ-Л(4
Правила 1 и 2 дают возможность свести интегрирование любой
целой рациональной функции к интегрированию степени.
Примеры.
1. \(x*—Zx + b)dx=\x*dx—Z\xdx + b\,dx =
2. Г (6*3-7*2-8* +6) tf* = 6~ — 7~ —8~+6лг + С.
§ 8. Вычисление определённого интеграла с помощью
неопределённого интегрирования. Основное предложение
интегрального исчисления.
Задача нахождения первообразной функции по существу
требует бесконечного процесса, что прямо и указывается в самом
определении интеграла, как предела суммы бесконечно большого
числа бесконечно малых слагаемых, известным образом
составленных из одной функции:
\f{x)dx=s lira 2^f{x?)&x, где Д#== х~~а
а
Но та же задача, как мы видели, может быть решена и иным
путём — неопределённым интегрированием. При неопределённом
378

интегрировании мы стараемся угадать первообразную функцию
путём обращения формул дифференциального исчисления,
подобно тому как результаты деления чисел можно угадать,
обращая таблицу умножения. В это угадывание можно, как увидим
потом, ввести планомерность, установить для него некоторые
общие приёмы, которые являются в конце концов обращением
формул дифференциального исчисления, обращением тех
операций, с помощью которых для данной функции мы искали её
производную. Но нахождение производной по самому
определению требует также бесконечного процесса: lim ~ .
&х-+0Лх
Таким образом, и неопределённое интегрирование
соприкасается с бесконечным процессом, но он уже выполнен в обратной
задаче дифференцирования, а при неопределённом
интегрировании мы только ищем среди результатов дифференцирования,
среди результатов этого бесконечного процесса ту функцию,
которая нам дана, и если её нашли, то та функция, от которой
данная функция дифференцированием получена как производная,
и будет искомой первообразной функцией. Возможно, конечно,
что среди результатов дифференцирований и нельзя найти
данной функции. В таком случае неопределённое интегрирование
и не приведёт к решению' поставленной задачи. Но если
неопределённым интегрированием нам удалось найти первообразную
функцию, то естественно ожидать, что и при вычислении
определённого интеграла мы можем избавиться от выполнения
бесконечного процесса, требуемого его определением,
В самом деле, пусть F (х)— одна из первообразных
функций, найденная неопределённым интегрированием:
$f(x)dx = F{x) + Q F'(x)=/(x).
Здесь С— произвольное постоянное. Интеграл
\ f(x) dx — lim S /(**) Ьх
тоже одна из первообразных функций и потому отличается
от F{x) на некоторое определённое постоянное С0:
[f(x)dx = F{x) + Ct.
Здесь С0 — непроизвольное, но уже некоторое определён нос
постоянное, которое нужно подобрать.
379

При лг==а левая часть этого равенства обратится в нуль,
поэтому и
/?(а) + С0 = 0.-
Отсюда находим:
С0 = — F(a),
и следовательно,
X
^f{x)dx = F (х) — F (а). (14)
а
Полагая верхний предел равным Ь, будем иметь:
ь
\f{x)dx = F(b)—F{a\ (14')
а
Разность Двух значений функции обозначается символически
таким образом;
F{b)-F{a) = [F{x)]>.
Формулы (14) и (14') можно поэтому представить в следующем
виде:
х Ь
lf(x)dx = [F(x)]*; lf{x)dx=[F{x)]^
а а
Таким образом, мы пришли к основному предложению
интегрального исчисления:
Определённый интеграл равен разности значений
первообразной функции при верхнем и нижнем пределах.
Это предложение сводит вычисление определённых
интегралов к неопределённому интегрированию.
Примеры.
1. Пусть данная функция f(x)=-x2. Найти первообразную
функцию и определить площадь фигуры, ограниченной кривой у = jc2, осью
абсцисс и ординатой, соответствующей абсциссе х = 1.
По общей формуле для интеграла степени имеем:
і
x*dx = ~- + C.
о
X*
Следовательно, одна из первообразных функций будет F(x)-=-% ¦
о
Кривая, представляемая уравнением у — х2, — парабола.
Следовательно, искомая площадь;
і
I—и:=4-
380

В примере 2 § 5 мы, исходя из определения определённого интеграла,
вычислили приближённые значения этой площади 0,285 и 0,385;
0,285 < I < 0,385.
2. Вычислить площадь MNNxMx (черт. 186), ограниченную кривой
у — х3, осью абсцисс и двумя ординатами, из которых одна
соответствует абсциссе * = 1, а другая абсциссе
* = 2.
2
Решение. Пл. MNNiMi = \ x3dx9
I
Но
I
x*dx = ~ + C.
Следовательно,
пл. MNMM-
і'ні
= f JC^AVsa
L 4J I- 4 4
15
4
3-r кв. ед.
4
Черт. 186.
3. Вычислить площадь О AM (черт. 173), ограниченную кривой
j, = 0,1*3 — 0,9*2+1,5*,
осью абсцисс и ординатой, соответствующей абсциссе *=1.
Решение.
і
Пл. -ОАМ= Г (0,1*3 — 0,9*2 + 1,5*)гі*.
и
Но интеграл суммы равен сумме интегралов:
і ill
С (0,1*3 — 0,9*2 + lf5) tf* = Г 0,1*3 tf* — С 0,9*2dx + Г J^rf*.
О
о
о
а
Постоянный множитель подинтегральной функции можно вынести за
внак интеграла:
і і і
пл. СШ* = 0,1 { xtdx — Qfiitf dx + \$\xdx =
-» [тМті:+» №»U-°.»4+>.4=
= 0,025 — 0,3+0,75 = 0,475 кв. ед,
381

§ 9. Доказательство существования интеграла и
первообразной функции независимо от геометрических
интерпретаций.
Исходя из второй интерпретации начальной или первообразной
функций и производной (§ 3), мы свели вычисление значений
первообразной функции к вычислению площадей, определённым образом
ограниченных, и пришли таким образом к понятию определённого
интеграла как предела суммы бесконечно малых слагаемых. Но можно
доказать существование рассматриваемого предела независимо от
геометрических интерпретаций, доказать, что суммы sa и 5Л, т. е.
стремятся при некоторых условиях, налагаемых на функцию /(-с)»
к одному и тому же пределу при всяком законе разбиения
интервала (а, Ь) на подынтервалы 8/, если наибольший из этих подинтервалов 3
стремится к нулю. Действительно» если процесс увеличения числа
интервалов 3^ совершается по тому же закону, как мы рассматривали
раньше, т. е. начальный интервал разбивается на интервалы fy,
каждый из этих интервалов разбивается снова на подинтервалы о' и т.д.,
то по тем же основаниям (не связанным с геометрическими интер-.
претациями). как и раньше, заключаем, что, во-первых, $п < Sa и,
во-вторых, sn при увеличении числа делений п увеличивается, a Sa
уменьшается:
sB < S# sa < s'n и S'n < Sn при nr > п.
Если разность Sn—sn может, быть сделана при безграничном
уменьшении о и оставаться далее сколь угодно малой, т. е.
то sa и Sn стремятся к одному и тому же пределу.
При непрерывности данной^функции так и будет, ибо, как мы
видели (§ 4), при достаточно малом 5
Обозначим этот общий предел sa и Sn через /:
lim sa = lim Sa = /.
Теперь покажем, что не только при указанном законе разбиения,
при котором делящие интервал (а, Ь) точки остаются делящими и для
всех последующих разбиений, но и при всяком ином законе
соответствующие суммы s' и S'p стремятся к тому же пределу /, если
только наибольший из интервалов о стремится к нулю.
Действительно, пусть точки, делящие интервал (а, Ь) на п
делений, и точки, делящие на р делений, соединены в одну группу и дают
разбиение интервала (а, Ь) на интервалы, совокупность которых
обозначим через (п, р), а соответствующие суммы обозначим через s"
и Snpt Эти суммы являются последующими суммами по
первоначальному закону как по отношению к суммам sn и 5д)/так и по отноше-
382

нию к суммам s' и S' Следовательно,
н
Sti "^ Sllp И
*'р<*"пр и
Но s"np < S"ap и потому
sa < S"np < S'np < S'p и
$пр < ?да
5p < 5«j <Snp
Л1
откуда
^<5я н sn<S'p-
Эги соотношения справедливы при всяком п и /г. Переходя к пределу,.
оставляя р каким-нибудь постоянным, а п безгранично
увеличивающимся (вследствие безграничного уменьшения о), получим:
sp ^ Urn Sa и ііщ $я ^ SP,
откуда при всяком значении /? имеем:
Но разность Sp — $р по тем же основаниям, как и разность б'д — sa,
может быть сделана сколь угодно малой, тем более разности / — s'
и Sp — / могут быть сделаны меньше любого наперед данного
положительного числа е:
т. е.
lim$p = hmSp = L
Следовательно,- при всяком законе разбиения интервала (а, Ъ), если
наибольший интервал о стремится к нулю, суммы sa, 5Я, s' S' имеют
один и тот же предел; к тому же пределу стремятся и суммы,
заключённые между sa и Sn или sp и 5', т. е. существует интеграл
данной непрерывной функции в рассматриваемом интервале (я, Ъ):
и
Указанный процесс составления сумм приводит таким образом,.
независимо от геометрической интерпретации, к определённому числу,
интегралу данной функции, и если верхний предел интеграла
меняется, меняется и это число, т. е. определённый интеграл можно
рассматривать как некоторую функцию верхнего предела:
X
г»
Ф(х)^\}{х)йх.
383
а

Но
Такое определение ингеграла, не связанное с геометрическим
значением первообразной функции и её производной (§ 3), ещё не означает,
что Ф(х)— первообразная функция, т.е. что её производная Ф'{х)
равна подинтегральной функции f{x)\ но можно доказать,
основываясь на свойствах определённых интегралов, не зависящих от
геометрического значения интегралов, что
Ф'<*) = /(*),
т. е. что функция Ф(х) и есть первообразная функция для данной
функции / (х). Действительно, по определению, имеем:
л/, ч і. Ф(дгН-Длг) — Ф(х)
Ф'(л?) = 1іт v ~ ' i-s.
х+±х
Ф\х + Ьх)= 5 f[t)dt;
а
х+ьх х
Ф(х + &х)-Ф(х) = J fW.dt-fy<t)dt.
а а
По второму и третьему свойствам определённых интегралов (§ б)
имеем:
х+Ьх х
Ф(*+Д*)-Ф(лг)= j f(t)dt-^f(t)dt =
а а
а х-\-Ьх х+Ьх
*J/(0*+ J f{t)dt= J f{t)dt.
x a x
По четвёртому свойству:
х+Ьх
J f(t)dt=(x + \x-x)f?)=aXf(Z),
X
где
x-\-&x>t>x.
Следовательно,
Ф'С*)=ііщ*?±^*?)=ііт/<Ь
Но /(лг) — непрерывная функция, и потому
lira /(?) = / (lira ?) = / (-с), так как Ига 5 = х.
Таким образом,
Ф'(*)=/(*),
что и требовалось доказать.
-384

Ф (х) будет одной из первообразных функций данной, а общим
решением задачи отыскания первообразной функции будет функция
Ф(*) + С.
Данную функцию f(x) мы брали непрерывной. Но предел суммы
я
2/(т/)8/ может существовать при некоторых условиях и в
случае прерывной функции f(x), именно если для каждого t > О
существует такое S > 0, что
2 (Md - щ) 8, <е при оі < S,
где под Mt и /я/ разумеются соответствующие интервалу 8/ верхняя
и нижняя границы функции /(.*;).
Такого рода функции называются интегрируемыми: непрерывная
функция интегрируема, но не всякая интегрируемая функция
непрерывна.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Вычислить неопределённые интегралы:
a. f(*3 — 2x*-\-l)dx. b. \x3{l—x)*dx.
с. \(2x + 2)dx. d. [(cP + xV)dx.
2. Вычислить определённые интегралы:
5 1
а. [ (*з _ 2х* +1) dx. b. f д:3 (1 - xf dx.
2 О
5 *
с ^{2x + b)dx. d. f(<ia+ **)</*.
i a
3. Вычислить площадь, ограниченную линией jy = 2r + 3, осью
абсцисс и двумя ординатами, из которых одна соответствует абсциссе О,
другая — абсциссе 4.
4. Построить график функции _у = —лг2-|~2д: + 3 и вычислить
площадь, ограниченную этой линией и осью абсцисс.
4
5. Какое геометрическое значение имеет интеграл \ (— х2~{-2х-\-*
о
4- з)Лс?
6. Определить среднее значение /(&) функции f(x) = — x2-f2jc4-
ь
-f3 в интервале от — 1 до 3 соответственно формуле \f(x)dx =
а
= (b—a)f(Z) и определить потом 5.
25 Курс высшей математики 335

Г Л А В А V.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ.
§ 1. Дифференцирование функции от функции.
Если переменная величина у зависит от другой
переменной и, являющейся, в свою очередь, функцией аргумента х9
то первая называется функцией от функции.
Так, например,
y=zasinx} или у = аа, где u = s'mx
есть функция от функции: у зависит от и, а а есть sin*.
Точно так же
у= yx2-\-3x-\-l, или yz=y/'a, где и = х*-\-Зх-\- 1,
есть функция от функции.
Пусть y=f{u), a K = cf(jc), причём каждая из этих
функций имеет производную по соответствующему переменному.
Согласно формуле (8) § 4 гл. III, имеем:
Ду=/' (и) Да + fit Да
и
Д# = ср' (х) Дх -j- р Дх,
где а и Р—величины бесконечно малые, соответственно, при
Дк~->-0 и Дл:—»-0. Подставляя первое из этих равенств во
второе и деля на Дл:, получаем:
%=f'W (*) + Р/(«)+а Л*) + «Р.
Пусть теперь Д*—»-0. Тогда и Д#—*¦ 0 (ибо иначе -г- не могло бы
стремиться к конечному пределу <р' (х)); следовательно, не только
р, но и а стремится к нулю. Поэтому, переходя к пределу,
получаем:
y=/ww, ««?==?•?.
Таким образом, при дифференцировании функции от функ~
ции по независимому переменному нужно взять её
производную по промежуточному переменному (и) и умножить эту
производную на производную промежуточного переменного
по независимому переменному.
Примеры. 1. у=(х*-\-1)вя Обозначим ;c3-f-I через и. В таком
случае
У~~ dx da' их их *
386

Но —=2лг, следовательно,
Тот же результат получим, если предварительно возведём двучлен
*2-|-1 в куб.
/х- 1\2 х~\ . „
^1 = 2//-—=2^-Ші , х*Л— (х— 1)-2лг _2 Глг — 1)(2 — дг)
Лс flfAT дг2 " л:4 л:6
Можно образовать функцию от функции через посредство
нескольких промежуточных функций. Например,
y=F(u), u=f(v) и гг=<р(лг), или J/= ^{/і ?(*)]}•
Подобно предыдущему, при условии дифференцируемости
функций F, а и v, получаем:
dy dy da dv dy dF (.a) d f {v) dy (x)
d* rfu dv dx dx du dv dx *
§ 2. Производная степени с дробным и отрицательным
показателями.
Правило дифференцирования степени, выведенное для
целого положительного показателя, распространяется и на
случай дробных и отрицательных показателей.
Пусть, например,
У=&, (1)
где ряд — целые и положительные числа. Требуется
доказать, что
Возведя обе части равенства (1) в степень д} получим:
У*=хрл (V)
Левая и правая части этого равенства представляют одну и
ту же функцию аргумента х: правая часть выражена
непосредственно через дг, а левая через посредство у7 т. е.
представляет функцию от функции, именно—степень^ с показателем #,
aj/ равняется данной функции (1).
25* 387

Производные той и другой частей равны между собой:
d(y9) d(xP)
dx dx
Так как р и q — целые положительные числа, то ту и другую
части равенства (V) можно дифференцировать, применяя уже
установленное правило дифференцирования степени с целым
и положительным показателем. Производная правой части равна
рхр~1, а производную левой находим по правилу
дифференцирования функции от функции:
d(ye) = d{y9)dy_ g_1 dy
dx dy dx ЧУ dx *
Следовательно,
dx
Из этого равенства можно определить искомую производную
dy р хр-1
dx q уч-і *
Подставляя- вместо у его выражение (1) через х и выполняя
указанные действия над степенями, находим:
dy р хр-1 р хр-1
dx— q* ?^_і)_ q P-L
или
&^%=:РХ>-К
~ данной функции у:
ИЛ
х"
%L = JLx7-\ (2)
dx q
Таким, образом, правило дифференцирования степени и в
случае дробного показателя остаётся тем же самым.
Если бы показатель степени был отрицательным, то,
освобождаясь от отрицательного показателя, можно привести
данную функцию к виду дроби или частного; применяя правило
дифференцирования частного, убедимся, что правило
дифференцирования степени распространяется и на случай
отрицательных показателей. Действительно, пусть
у = х'т,
где т — положительное число. Освобождаясь от
отрицательного показателя, получим:
1
388

По правилу дифференцирования дроби имеем:
или, по выполнении действий над степенями,
у' = — т*х'т-1і (3)
Дифференцирование алгебраических функций.
Распространив правило дифференцирования степени на случай дробных
и отрицательных показателей, мы можем находить производные
любых алгебраических функций явных или неявных. О
дифференцировании рациональных целых или дробных функций
мы уже говорили раньше (§ б гл. III). Приведём теперь
несколько примеров дифференцирования иррациональных функций.
__ і
Примеры. 1. у = у хі или у — х 3 ;
А—1 _ 2
у' = —jc 3 z=~r*x 3 » или у=
з~ з •"¦'-3.^-
2. j;=:l/,*3+2A-* + i, или^ = (а:3-Ь 2*г+1)2.
Обозначив выражение, заключённое в скобки, одной буквой,
например а, мы будем иметь функцию от функции:
1
у = и2, где и = х*-\-2х2+1.
(.і)
1 -1
dy dy da dy d\ul} du 1 2 ,0 a , , .
rfjt; dtt tf.r tf* du dx 2 l ;
1 * 3*2 4- 4jc
g = |«-2(3^ + 4,) = ^(3^ + 4,)=2/_5___..
1
3. _у==У"Лдг3 + Я*г + C, или „у = я2, где ц = Л*2 + Я* + С
і
1 „Т"1 „, 2Ах+В
у = --.ил -W
2 2/Лд:аЧ-5д:+С
При дифференцирований неявных алгебраических функций
применяются те же общие правила дифференцирования (§ 6 гл. III):
правило дифференцирования степени и постоянного (§ 5 гл. III)
и правило дифференцирования функции от функции. Следует
'только заметить, что в выражение производной неявной (т. е.
определяемой уравнением) функции входит, кроме аргумента,
и сама функция.
389

Положим, например, что требуется найти производную
функции у, определяемой уравнением
у*-}~(ах-\-Ь)у-{-тх*-±п = 0. (4)
Левая часть этого уравнения представляет функцию аргумента,
входящего явно и через у. Так как у должно быть таково,
чтобы левая часть постоянно была равна нулю, то и
производная левой части, как производная постоянного, должна равняться
нулю. Находим производную левой части, применяя правила
дифференцирования суммы, произведения и функции от
функции:
d(y5) ¦ d[{ax + b)y] , d(mxS)_
dx "г dx Т dx
v5 есть функция от функции: именно — пятая степень у, а у
^есть функция х, определённая данным уравнением (4).
Следовательно,
dx dy dx У У'
Далее находим:
d[aX?b)y] = (ax + b)?+ydJ^ = (™ + b)y' + W
d-^ = 2,mxK
dx
Итак,
5j/4/ -f (ах + Ь) У + «У + 3/илг8 = 0.
Из этого уравнения искомая производная у* неявной функции
может быть определена:
,_ ау + Ътх* ,
У — 5у* + ах + Ь ' 1 '
В это выражение производной входит не только аргумент х,
но и функция у. Если бы мы захотели выразить производную
в зависимости только от аргумента, то пришлось бы решить
уравнение (4) относительно у и вставить полученное решение
в выражение производной. Но здесь мы встретились бы с
затруднением алгебраического характера: уравнение степени выше
четвёртой в общем случае требует для своего решения
операций более сложных, чем те, которыми мы располагаем
(сложение, вычитание, умножение и деление, возведение в степень
и извлечение корня).
Замечание.- Проведённое вычисление производной от
неявной функции, определяемой уравнением (4), было бы
совершенно строгим, если бы мы уже знали заранее, что эта
390

функция дифференцируема; но дифференцируемость её отнюдь
не доказывается нашим вычислением. Им доказано лишь, что
если функция у дифференцируема, то её производная равна
правой части формулы (4'). Теорема о существовании и диф-
ференцируемости неявной функции будет доказана во втором
томе этого курса.
Это замечание в равной степени относится и к дальнейшим
случаям дифференцирования функций, заданных неявно, с
которыми мы встретимся в этой главе.
§ 3. Предел выражения (1-J- — J .
Отыскание производных показательной и логарифмической
функций требует, как мы увидим, определения предела
выражения (1 —] ) при л, стремящемся к бесконечности
(положительной или отрицательной). Поэтому мы и рассмотрим
предварительно эту задачу.
Положим сначала, что п увеличивается безгранично,
принимая целые положительные значения. Выражение П-{—\
принимает следующие числовые значения:
или
О 9 1 912 9^
^ *"4 > *2Т 256'* "
Стремится ли этот ряд чисел к какому-либо пределу и, если
стремится, каков этот предел—этот вопрос и предстоит нам
решить.
Разлагая выражение (1-[—) по биному Ньютона1),
получим:
(л \ х\п— і_і_« * і я(я—1) 1 ! я(я-1)(я-2) I ,
. я(я — 1)...2-1 2.
"*~Г Ь2-3...я "л*'
і) Биномиальные коэффициенты в рассматриваемом случае мы
пишем без сокращений:
ГР _ П (Я — !)¦ > > ГЯ — </У — 1)] гя _ t _ Я(Я—1)...[л—(Я— 1)]
с«"~ Т^ЗТТТБ ' <-*— * — 1-2.3...я
г«-і— - _ я (я — 1)... [я — (я — 2)]
ия _я_ _т^___т- и т. д.
391

Переставляя множители в числителях и знаменателях, можно
представить это разложение в следующем виде:
(!+±)'-'+М-гі-т-!?і+
. 1 п п — 1л — 2 г
+ Г2Я'ЦЛ— л Г'-'
j 1 л л — 1 л — 2 п — (л — 1)
•""*" 1.2-3...л' л * "1Г" ' л '•' л '
или
(,+і)--Н.і + ^(._і) + г^(,_і)(1_2) +
+ -+гтЫ,~г)(1-і)-(,-"-*і)- <5>
Из этого разложения следует, что число (\-\ } при увели-
12 3
нении п увеличивается, так как дроби —, — , —, ... умень-
- 1 , 2
шаются, а потому разности 1 , 1 ,..¦ увеличиваются-
увеличиваются, следовательно, третий, четвёртый и так далее
члены разложения, а кроме того, с увеличением л в конце
разложения (5) прибавляются новые положительные члены.
Все члены разложения (5) положительны, а сумма первых
двух равна 2. Следовательно,
(•+^Г>2-
С другой стороны, отбрасывая в скобках у каждого слагаемого
12 3
разложения (5) вычитаемые —, —, —,¦.., мы увеличим эти
слагаемые и получим сумму, ббльшую первоначальной:
Заменяя в знаменателях второй части этого неравенства
множители 3, 4, 5, ,¦. двойками, мы увеличим каждое слагаемое,
в котором такая замена производится, и усилим, стало быть,
неравенство:
Ещё более будет усилено это неравенство, если ко второй
части прибавить ряд положительных чисел §л ~Ь о^ті ~і~ * * • до
392

бесконечности:
Но члены правой части, начиная со второго, образуют теперь
бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со
знаменателем, равным -?. Сумма такой прогрессии равна 2;
1"і"2"~г'2"г"Т" "р ~Г • • •= Y ==
1~"2
Следовательно,
2<(і+і)"<3.
Итак, при всяком целом и положительном значении п число
П -\——) заключено между 2 и 3. Но с увеличением п оно,
как было показано выше, увеличивается. Следовательно
(стр. 268), оно стремится к определённому пределу,
заключённому между 2 и 3, Этот предел обозначают буквой е:
Мы предполагали в предыдущем выводе, что п безграничйо
увеличивается, принимая целые и положительные значения.
Покажем теперь, что выражение (1-|—J стремится к тому же
пределу е, если п стремится к положительной или
отрицательной бесконечности, изменяясь непрерывно. Обозначим непрерывно
меняющееся положительное число, стремящееся к бесконечности,,
через z. Требуется доказать, что
}™{1+тУ=°-
2-+00
В каждый момент своего изменения число z заключено между
двумя последовательными целыми числами, которые обозначим
через л и п-\-\\
n<^z<^n-{-\.
Вместе -с увеличением z будут увеличиваться и целые числа п
и л -\-1. Обратные величины чисел л, z уі п-\-\ находятся
в следующем соотношении:
393.

и, следовательно,
Возводя первую сумму этих последних неравенств в степень
л-{-1, вторую в степень z и третью в степень п, т.е. возводя
ббльшую сумму в более высокую степень, мы усилим эти
неравенства:
'('+4Г>0+Й*>(чтЬ)'-
или
0+4)*('н4)>('+#>(і^Йг"
Так как крайние члены этих неравенств стремятся к одному
и тому же пределу при безграничном увеличении nt то и
средний член стремится к пределу, причём (стр. 273)
lim(l + I)".lira(l+-^)>lim(l+l)^
или
п-*оо ч " я-»оо ч ' г-?Оо
и» (i+JL)""
" ііт Сц L-^
е> Ит (l Jr~Y^e.
Следовательно,
llm(l+i)* = «.
2-»оо
Если г стремится к отрицательной бесконечности, то
предел в&ражения \\ +—J будет тот же, т. е. е. В самом деле,
пусть ? = — (t-\~l)y где ? — положительное число; таким
образом, будем иметь:
=0+тГ=(«+і)'0+т).'
и следовательно,
Z
394
^Л'+тУ-^О+^О+тН

Итак, каким бы способом z по абсолютной величине ни
увеличивалось, переменное число f 1 -\ j стремится к одному и
тому же пределу е.
Число е играет такую же важную роль в анализе, как и
число тс, т. е. число, выражающее отношение длины окружности
к диаметру. Между прочим, число е служит основанием так
называемых натуральных или неперовых или также
гиперболических логарифмов, о которых речь будет впереди, и называется
часто основанием неперовых логарифмов.
Вычисление основания неперовых логарифмов» т. е.
числа е. Приближённые значения числа е — основания неперовых
логарифмов — можно получить, вычисляя выражение (1-) J
при различных значениях п. Например, при я=1000 для
приближённого значения е имеем 1,0011000. Но непосредственное
вычисление очень высоких степеней практически граничит с
невозможностью. Поэтому естественно искать другие способы
вычисления.
Обозначим, ради сокращения письма, вторую часть
неравенства (6) через 5Д:
sn= 1 +Т +Т2* + Ь2^3+~* • - + 1..2.3...л ' (7>
Неравенство (6) можно теперь написать в таком виде:
о(ч4У- т
При переходе к пределу в предположении, что п стремится
к бесконечности, будем иметь:
lim s ^г lim (1 -{-—Y , или lim sn ^ е. (8)
С другой стороны, если в разложении (5) возьмём тол&ко
часть всей совокупности слагаемых, то получим следующее
неравенство:
('+і)">Ч"г+га('-т)+
+гЬ('Ч)('-4)+-
-+i*bO-4)('-D-(il-eii)>
где р—целое число, меньшее я.
395

Считая р постоянным, а и переменным, переходим к пределу,
предполагая, что п стремится к бесконечности; предел левой
части будет оставаться больше предела правой части или
сделается равным ему (стр. 273);
или
е ^ V (9)
Но если п стремится к бесконечности, а р<^п, то р можно
считать каким угодно целым положительным конечным числом.
Таким образом, при всяком таком значении р имеет место
неравенство:
sp<e. (9')
Следовательно, считая р переменным и стремящимся к
бесконечности, из предыдущего неравенства будем иметь:
lim s ^e. (10)
р ~*°°
Сопоставляя соотношения (8) и (10), мы должны заметить, что
lim sa=lims ,
р-+ 00 р -»¦ ОО
так как sn и s —одинаковые переменные величины лишь при
различном обозначении переменного указателя. Но в таком
случае из отношений (8) и (10) следует, что
lim sn = e. (И)
Я -+00
Таким образом, число е может быть определено как сумма
бесконечно большого числа слагаемых, иначе — как бесконечный
ряд:
*=1*| + 1^ + Г^З+ — + 1-2.3.. .!«+¦" <12>
Величина sn (7) 'увеличивается, приближаясь к своему
пределу еу и потому представляет его приближённое значение с
недостатком. Чтобы найти приближённое значение того же числа
с избытком и, таким образом, иметь возможность оценить
степень точности вычисления, поступим следующим образом. В
определяющем ряде (12)'заменим в знаменателях каждый множитель,
превышающий л-{-1, числом л —[— 1; тем самым мы увеличим
396

правую часть этого равенства и обратим его в неравенство:
+ 1-2.3...л(л+1) + Ь2.3...л(л + 1)»,+
"т" 1-2.3... л (л + 1)» +•-•»
ИЛИ
^<1+т+А+гтЬ+---+гтап-л+
+ Ь2*3...літ+Т + (л+1)а~'"(л+ 1)3 + -"-J"
Члены правой части, заключённые в скобки, образуют
бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумма которой
равна в пределе —*:
1
1 _і. * і * і _ _ *+Д _ 1
л + 1~г<л + 1)« -Г(Л + 1)3"Г- 1 — ~.
л + 1
Таким образом, имеем неравенство:
^<1+Т + "іГ2+Ь2Тз + ---1.2.3...л+ Ь2-3...л"й^1а^
или
Так как
lim ( ¦?„-!-< ~'z • — )=lim.s 4-lim , _ . • — = e.
то число 5.,-т-.. о о • — будет приближённым значением
» ' 1 • Z • О. . .Л Л
числа ?, именно, в силу неравенства (13'), приближённым
значением с избытком. Заменяя число е числом sa или
sд-f-i 9 о • —» мы делаем ошибку, меньшую дроби
~. Члены ряда 5 легко вычисляются: начиная с треть-
1-2-3...л л ^ я
его, надо, делить предыдущее слагаемое на новый множитель
знаменателя.
Полагая, например, я=10, будем иметь:
—^зо4 = 0'000000027--
397

Следовательно, вычисляя s10 с девятью десятичными знаками,
получим семь точных десятичных знаков для е:
sl0 = 2,718 281 801...
е==2,7182818...
Иррациональность числа е. Число е не может быть рациональным,
т. е. дробью с целым числителем и целым знаменателем. В самом деле,
мы имели:
'"<«<*«+ 1.2-3...л 4'
* = *д+-іЛ „ ¦ -^ , где 0 < 6 < 1,
откуда следует, что
1 *2 »3.. .л и
или
е=1+Т+ГГ5+Т^^З+**'+Ь2^^Г+Ь2.3...Л ' я-,(14)
Число в зависит от л, заключено между нулём и единицей и не может
быть равным ни нулю, ни единице.
Допустим, что число е рационально, например равно —, где а
и ? — целые числа. В равенстве (14) для п можно брать какое угодно
целое число, например bt соответственно подбирая число 0» Таким
л
образом, если *=—, то должно иметь место равенство:
7~1+T"t"b2"t~l-.2.3"t'''*"1"l,.2.3..^"^ 1-2.3...** Ъл
По умножении обеих частей этого равенства на произведение 1-2-3...&
все члены его, кроме последнего -т-7 будут целыми числами. Таким
образом, определяя -г, будем иметь:
е
— = целое число или нуль.
д
Но Ь меньше единицы и не равно нулю, и потому-г- —
правильная дробь и не может равняться целому числу или нулю.
Следовательно, допущение наше неверно: число е не может быть
рациональным.
Доказывается, кроме того, что число е не может быть корнем
алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами и
представляет поэтому, как и число тс, число трансцендентное.
398

§ 4. Производная показательной функции и
соответствующая формула интегрального исчисления.
Найдём производную показательной функции
У = &. (15)
По общему приёму составления производной мы должны
определить предварительно для данного приращения аргумента Дх
соответственное приращение функции Ду:
Следовательно,
Ду = а*+А* —ах, или Ду = а*(а4* —1).
Составим теперь отношение приращения функции к
соответственному приращению аргумента:
Длг-а Д* •
Разность а4* — 1 при Дх, стремящемся к нулю, — величина
бесконечно малая (стр. 298). Положим
а**—1=1,
где л — число, стремящееся к бесконечности1). Отсюда
Следовательно,
&у _ я* Ду а*
Переходим теперь к пределу, предполагая, что Длг стремится
к нулю, а стало быть, п — к положительной или отрицательной
бесконечности:
.. Ду ,. а^ ах
lim •r-=lim ГТя == 7 і"Тя*
1) Если Дд: стремится к нулю, оставаясь положительным числом
(при правостороннем подходе-* к рассматриваемой точке графика), то
аьх — і При а > 1 есгь положительное число и п должно стремиться
к + °°* Если же Дд; стремится к нулю, оставаясь отрицательным
числом, то а**— 1 (при а>1) будет числом отрицательным» так
как (— Д*) — число положительное и а-& > 1, а а*х < 1. В этом
случае число п должно стремиться к —оо7
399

-Логарифмическая функция для тех значений аргумента, для
которых она определена, т. е. для значений, ббльших нуля,—
функция непрерывная, и потому
Hmlogfl(l+l)n = logfllim{l+!)a
(1іт/(хп)=/(1ітхй)]. Но
Следовательно,
lim -™=. , или -г- = і (16)
В частном случае, если а = #, мы имеем показательную
функцию
у = е*. (17)
Производная этой функции равна самой же функции:
dx — e>
так как \ogae==\ogee==\.
Формулу (16) можно преобразовать так, чтобы в неё входил
логарифм при основании е, т. е. логарифм натуральный, иначе —
неперов или гиперболический. Натуральней логарифм будем
обозначать символом In без особого указания на основание.
Пусть встречающийся в формуле (16) логарифм имеет
величину с:
logae==c.
По определению логарифма при основании а (стр. 253) имеем:
ас=е.
Берём натуральные логарифмы от обеих частей этого
равенства:
с-\па== 1 (1п?= 1),
откуда
с ==.— или log„e =====,— ¦
In а Ьа lna
Подставляя это выражение в производную показательной
функции у== ах, получим:
¦g = a*lna. (16')
400

Итак, имеем следующие формулы дифференциального
исчисления:
y = **t % = е*> dy = e*dx. (W)
y=ax, Q=a*lna, dy = ax\nadx. (16")
Примеры.
1. v = ?*" или y = e*t где и = лг2; y=-?-. ^=e^ul=e^-2x:
du dx '
2. _у = г-*; у=«тл(-.і)я=- *-*
3. .y = <?-*'; з/'= *-a (— 2x) = — 2**-*a.
4. y = 3^-б*+і; y=s3**«-**+-i. (2дг—5). 5. у = <?<?<-*); yf= eM^Xx).
6 = ??• '— * (g8*)f — *s* • (*') __ jc ¦ g8* - 3 — e** __ g8*(3.r—1)
>3; л: ' '^ -4 *2 ¦ "" Л'2 "" дга
Примечание- Функция — достигает минимума при х = -5-.
7. j/ = дг**; _у' = дге* + ** = ** (ж +1).
8. у = а*\ y = a**ln я • 2л: = 2л*9л; In д.
Формулы (17') и (16") можно обратить, считая найденные
производные данными функциями, а прежде данные
функции — искомыми первообразными функциями. Таким
образом, получим соответствующие формулы интегрального
исчисления:
Г exdx = ex + C. (18)
Г ах In.a dx = ax-\- д, или In a (V dx = a?-{- С,
или, наконец,
(Почему вместо -— можно писать просто С?)
§ 5. Производная логарифмической функции и
соответствующая формула интегрального исчислений.
Производную логарифмической функции
y=\ogax (20)
можно найти или общим приёмом, составляя отношение -А и
переходя к пределу, или рассматривая логарифмическую
функцию как функцию, обратную показательной. Придерживаясь
26 Курс высшей математики 401

общего приёма, находим приращение логарифма:
Следовательно,
ИЛИ
A^log/-±^ = bga(l + ^).
Находим теперь отношение приращения функции к
приращению аргумента;
Прежде чем перейти к пределу для нахождения производной
логарифмической функции, положим:
х п ^ п *
При изменении приращения аргумента Ах аргумент х
рассматривается как постоянное. Поэтому, когда Дд; стремится к нулю,
Ддг 1 ¦
стремится к нулю и — = тг> а следовательно, п стремится
к бесконечности.
При этих обозначениях
Ау * іл л г і\ ьу loga(1+^Y
-^- = — log f 1-4— , или тс-— —¦
ьх х &Л V 1 п J ' Ддг х
Следовательно,
Д^-^0 "Л' п -» со х
ЕЛИ
lim ^=Цт
о
1 \«
4У_
limloga(l + —)
В силу непрерывности логарифма
logc Jim (1 + -)
4у=_
<?лг д;
іо lim П -] J = г; следовательно,
402
(21)

Так как logae = j^ (§ 4), то
гіл: ~ х in а * ^1 '
Если рассматривается логарифмическая функция при неперовом
основании #, т. е.
3> = In лг,
то производная имеет более простой вид:
¦*!.—і.
(22>
(а = е, 1па = 1пг=1). Формулы (2Г) и (22) можно получить
иным путём, именно рассматривая^ = 1о?ал; как функцию»
обратную показательной:
х — аУ.
Дифференцируем обе части этого определяющего равенства,
рассматривая правую часть как функцию от функции:
1 =^^
— dy dx *
Производная показательной функции нам уже известна:
Следовательно,
откуда
Но-й/ = лг, и потому
da? yt
4У
tfy 1
tf;e а^ In a
dy _ 1
й?лг * In а '
(21')
Подобным же образом, если у = \пх илид; = ^, то,
дифференцируя обе части последнего равенства, получим:
л deydy 1 vdy
1 =-г- -г-, или 1 = е? ---,
dy dx ' dx '
откуда
dx еУ dx х
26* 403.

Примеры дифференцирования функций, содержащих логарифм*
1. y==\nf(x)} или ,у=1пн, где «=/(*);
, _ d In и du __ 1 , _f(x)
2.3' = 1п(^);у = і2д;=|г,иначе>г = 3п(^) = 21пд:;у==-|.
о _ Ш* , (-у-1)^-]п-дг1 _х-1-*1п*
4. У = loga (*» - 2х + 1);
^ = "(лг* - 2* + 1) to а '(3** ~ 2)~ (л:»- 2* +1) In а*
_ , х — 1
Первый способ:
1 (дг + 1).1-(ж-1).1
У
1 (* + 1)2 *¦ —Г
дг + 1
Второй способ:
^=in(*_i)-in(* + i); -V=7^i-j^i==f^1-
Соответствующие формулы интегрального исчисления.
Формулу дифференциального исчисления
d\nx 1 ,і dx /noif\
— = г, или rfln*=T> (22")
можно обратить и получить соответствующую формулу
интегрального исчисления, считая найденную производную данной
(подинтегральной) функцией, а прежде данную искомой
первообразной функцией или интегралом.
Символ _? означает следующий вопрос: какая функция имеет
производную, равную данной подинтегральной функции, т. е»
1 dx
-т ? Иначе — какая функция имеет дифференциал —?
7* X
Формула дифференциального исчисления (22) даёт ответ на
этот вопрос: одна из таких функций есть In х, так как ^х = — ;
общее же решение получим, прибавляя к этой функции
произвольное постоянное:
|т = 1п*+а (23)
404

Задача, Вычислить площадь, ограниченную ветвью гиперболы,
данной уравнением
осью абсцисс и двумя ординатами, из которых одна соответствует
абсциссе 1, а другая — абсциссе х,
X
Решение. Искомая площадь равна определённому интегралу ] —.
j х
Но
Следовательно, искомая площадь
X
г
d— = [In x]f = In x (In 1=0),
X
Отсюда становится ясным, почему неперовские или натуральные
логарифмы называются также гиперболическими.
10
Cdx
Еслилг=10, то искомая площадь равна \ —= 1п10. По перво-
і
начальному определению In 10 равняется показателю степени числам,
равной 10:
10 = **; 2г = 1п10.
Вычисление логарифмов непосредственно по этому определению, как
уже было отмечено (стр. 254), представляет затруднения, граничащие
10
с невозможностью. Но вычисляя определённый интеграл I ?? согласно
Iх
его определению, мы можем получить его числовое значение с лю$рй
степенью точности. На стр. 373—374 такое вычисление было сделано и
получены приближённые значения с избытком и недостатком с ошибкой,
меіьшей 0,9;
10 10
1 1
Но и этот способ вычисления логарифмов ещё не представляется
лучшим. Практический способ вычисления логарифмов основывается на
разложении в ряды.
§ 6. Графики показательной и логарифмической функций.
Исследуем показательную и логарифмическую функции с
помощью их производных.
405

Показательная функция.
у 1= ех\ у' = ех; у" = ех.
Показательная функция, её первая и вторая производные
положительны при всяком значении аргумента. Следовательно,
функция эта постоянно возрастает, а график её расположен над
осью абсцисс и выпуклостью постоянно обращен вниз.
Вычислим координаты нескольких точек этой кривой,
например, при л: = — 3, — 2,— 1, 0, 1, 2, 3, пользуясь
обыкновенными логарифмическими таблицами:
log10e~* = 2,69713, *~« = 0,0497 .
log10<T2 =J,13142, е~2 = 0,1353 .
log10*^*= 1,56571, *~і = 0,3679 .
log10e = 0,43429, е =2,718 .
bg10*a= 0,86858, е2 = 7,389-.
log10e3 = 1,30287, ег = 20,085 .
Итак,
(А=-з * 0.05; (^=_2 = 0,14; (у)х^_г = 0,37; (у\х^=\;
(^Ui*2,7; Ы*=2 = 7,4; (У)х=в = 20.
Определим ещё направление касательной в точке
пересечения кривой с осью ординат:
Hoy = tga, следовательно,
<«),=,<. = «°.
Этими данными достаточно определяется вид
кривой (черт. 187).
Нетрудно вывести очень простое правило
построения касательной в каждой точке этой
кривой.
Пусть ТМ — касательная в точке М,
Из прямоугольного треугольника ТРМ имеем:
TP-\ga = PM или ТР-у'=уя
-2-10
Черт. 187.
Но у-=у', и следовательно,
ТР=\.
Таким образом, проекция касательной (т. е. отрезка от точки
Пересечения касательной с осью абсцисс до точки
прикосновения М) на ось абсцисс всегда для рассматриваемой кривой
постоянна и равна единице принятого масштаба данного чертежа.
405

Такая проекция, касательная к кривой, носит название подко
сагпельной.
Логарифмическая функция.
у = \пх; у = 1; У' = -1.
X
Логарифмическая функция определена (стр. 302) только для
положительных значений аргумента, а при таких значениях
аргумента первая производная положительна. Следовательно,
логарифмическая функция постоянно возрастает. Так как вторая
производная отрицательна,
то кривая, изображающая
рассматриваемую функцию,
обращена постоянно
выпуклостью вверх.
Так как (j>)*=i = О и
(У)д=1 = 1, то кривая
пересекает ось абсцисс в точке
(1, 0) и имеет в этой точке
касательную, наклонённую к
оси абсцисс под углом в 45°.
Кривая имеет вид,
представленный на черт. 188.
Нетрудно заметить родство
этой кривой с графиком
показательной функции. Если
перевернуть чертёж около биссектрисы координатного угла, то
график показательной функции совпадёт с графиком
логарифмической, и обратно. В самом деле, при таком перемещении
плоскости координат ось абсцисс совпадает с осью ординат, а ось
ординат — с осью абсцисс, и уравнение
Черт. 188
преобразуется в уравнение
у = е:
или у = 1плг.
§ 7. Применение показательной функции.
Показательная и логарифмическая функции имеют довольно
частые применения при описании явлений природы и жизни.
Рассмотрим некоторые из этих применений.
Органический рост. Пусть капитал К0 отдан в рост по
сложным процентам р°01 причём капитализация наросших
процентных денег производится ежегодно. В таком случае капитал
407

Kt> который получится при таком росте через і лет,
вычисляется по следующей известной формуле:
**=#o(l + jgo) ¦
Если капитализация процентных денег происходит чаще,
например, через каждую — года, то предыдущая формула принимает
вид
ИЛИ
г, ts Г Л I 1 \ПЛті 100>Я Р
Для перехода к непрерывной капитализации нужно, щ а стало
- 100/и * ж,
быть, /г — , безгранично увеличивать. Мы получим:
*<- 4л(1+ЙТ=^[;-(і+і)Т-
или
Обозначая і- через х% Kt через _у, а К0 через .у0, будем иметь:
Таким образом, процентный рост при непрерывной
капитализации совершается по закону показательной функции. Всякий
органический рост, как, например, увеличение населения
больших городов или государств, рост организма как собрания
продуцирующих клеточек и т. п., когда количество
продуцируемого в каждый момент пропорционально количеству уже
накопившихся продуктов, совершается или имеет тенденцию
совершаться по этому закону.
Убывающая показательная функция. Довольно часто
пользуются показательной функцией с отрицательным показателем
при описании физических и химических явлений, когда какая-
либо величина, например, действие радиоактивных веществ,
количество вещества, не вступившего ещё в соответствующую
химическую реакцию и т» п., убывает более или менее быстро
с течением времени. Показательная функция
у = ае~кх,
где аи к — параметры, определяемые начальными условиями
408

рассматриваемого явления, в этих случаях довольно близко
соответствует результатам опыта. График этой функции (черт. 189)
пересекает ось ординат в точке, отстоящей от начала
координат на расстояние,
равное единице принятого
масштаба, а касательная
в этой точке имеет
направление, определяемое
производной
у = — a'k*s~kx
и
(У)*=о = — «*•
На черт. 189
а=1,& = 1 и&=-
Черт. 189.
Чем больше значение А, тем более быстрое убывание
изображает рассматриваемая функция.
§ 8. Производные тригонометрических функций
и соответствующие формулы интегрального исчисления*
Все тригонометрические функции могут быть выражены
через одну какую-нибудь из них (гл. I, § 5), Поэтому для
нахождения производных всех тригонометрических функций
достаточно определить непосредственно, исходя из определения,
производную только одной какой-нибудь функции, например,
синуса. Выразив всякую данную тригонометрическую функцию
через синус, мы по правилам дифференцирования суммы,
произведения, дроби и -функции от функции найдём производную
и этой функции.
Производная синуса: jrssinx. Давая аргументу х
приращение Д*, находим соответствующее приращение Ау
рассматриваемой функции:
у -J- Ау = sin {х -[- Ах) и Ау = sin {х -f- Ах) — sin лг.
Но разность синусов равна удвоенному произведению косинуса
полусуммы их дуг на синус полуразности этих дуг; следовательно,
Д*\ . Ах
sin -тт.
Ay==2cos fx~\"Yjsi
Определим теперь отнощекце приращения функции к соответ-
409

ствующему приращению аргумента:
. &х . Длг
^ = 2 cos^ + tJtF"' ИЛИ K=cos(* + t)
Переходя к пределу, будем иметь:
2
-р = lim cos (л?4"т) l*m
2
Так как cosx — функция непрерывная, то
COS [X-f-
AX-+Q
lim cos (x + -? ] = cos л:.
С другой стороны, мы знаем (стр. 278), что отношение синуса
к дуге его, когда-эта дуга безгранично уменьшается, стремится
к единице:
Sin у
Следовательно,
rfy rf sin х frk. ч
Производная косинуса; jtercosx Так как cos х = sin (у—дгУ
то дифференцирование косинуса сводится к дифференцированию
функции от функции:
у=&тщ где ^ = -о- — #*
Дифференцируя, находим:
Но
rfsinn /тс \ du d \2 "*7 -
= cosa = cos (ту—«t , а т- = —^ -= — 1.
dy
dx'
тс
2""
(і sin
-4
а
а
da
dx'
du
dx
du \2 /' dx dx
Следовательно,
- = _cos(T-^, или ^=__=_8in*. (25)
410

Примеры.
1. .у = 3sin(*2 — х\ или у=Ъ$\пщ где и — х2 — х]
S=3^^e=3cos(x2"x)(2x™1):=3^--1)cos^2--,:)-
^ л:2 л^
, х-2 . д:
д;3 ' л:2
3. Закон простого колебания или гармонического движения, иначе —
колебания по закону синуса:
s = a sin (-^r+ а)>
где 5 — отклонение колеблющейся точки от начальной точки О к
моменту времени t, t — переменное время, Т—период колебания, а —
амплитуда (величина наибольшего отклонения от начальной точки О),
а — фаза (величина, определяющая положение колеблющейся точки
в начальный момент). Определить скорость и ускорение
движущейся точки (гл. Ill, § 9).
ds (<Ы . \ 2к 2ка /2іс* . \
- = а coe^-jr+e) .7=T-coe(-r + «J;
d2s 2-я . (Ы . \ 2я 4%*а . /2я* . \
4. у = ae~kx sin х\ у'=-а f^-^cos х -{-sinx-e~te-{— ОД
у' = ае~~kx (cos x —*k sin x).
Производная тангенса: у = tg x. Производную тангенса
можно найти как производную дроби, так как
sin л:
tg х = .
to cos л1
Применяя правило дифференцирования дроби (стр. 338), находим;
d tg x __ cos x (sin x)' — sin x (cos *)'
dx cos2.*:
cos x cos x — sin x (— sin x) cos2 x -f- sin2 л?
COS2.*" COS8 X *
или
??*=_L- = sec«*. (26)
tf;e cos2 л: % '
Производная котангенса: y = ctgx. Точно так же, применяя
правило дифференцирования дроби, найдём производную
котангенса:
cosat dctgx sin x (cos x)r~ cos x (sin x)'
Ct%X— sin* ; dX ~~ Sin2* ~
sin *(— sin x) — cos x cos x — (sin2 x -f- cosg лг)
sin*2 sin** '
411

или
,s = гт— = — cosec2 *. (27)
dx sin8 x v '
Что касается производных тригонометрических функций sec*
и cosec х, то их мы выводить не будем, так как они требуются
реже, к тому же их нетрудно найти, заменив sec* через
, a cosec* — через -—.
cos х ' r sin *
Производные тригонометрических функций, как следует из
формул (24), (25), (26) и (27), суть функции также
тригонометрические.
Примеры.
5. у =х 5 tg (1 — л:2), или у = 5 tg и, где и = 1 — *а.
? = в^.? = Б * .(-2*) =
10*
dLv d« tf* cos2и v cos2 (1 — л*2)
=s — Юл: sec (1 — x2).
1 __2tg*_
cos2 x cos2 л;
6.3> = l + tg**; y = 2tg*;^ = i?i = 2tg*sec»*.
7. v = sec2 *, или j/ = —— ;
"^ ' ^ cos2*'
cos2*«0 — l-2cos*(— sin*) 2 sin* 2tg*, CS
У= ЕЗіГГ L=__ = _J_(cp. с примером 6).
С08 (т+т; 2cos4t+t)
9. jf = In tg (-? + f-)> или j/=lna, где a = tg(j + ^");
din a da 1 1 1
y=
da d* *« (т+т) «"(t+t) 2
1 2 1
а-Кт+тНт+т) 8іц(т+*)
10. ^ = esin *; у=cos * *sin *.
3 1
11, v = 3sec2* + cosec*, или y = —гг--!—:—;
•^ ' -^ cos 2* ¦ sin *
, cos 2**0 — 3-(—sin2*)*2 . sin**0 — bcos*
У ~~ cos22* "T" sin2* ~~
cos*
6 sin 2* cos* _6tg2* ctg*
cos2 2* sin2 * ~~ cos 2* sin * *
412

Соответствующие формулы интегрального исчисления.
Будем теперь считать в формулах (24), (25), (26) и (27)
найденные производные данными функциями, а прежде данные —
искомыми первообразными функциями или интегралами. Обращая
таким образом эти формулы дифференциального исчисления,
получим соответственные формулы интегрального исчисления.
Формулы
дифференциального исчисления
dsinx
COSJC,
dx
dsln x — cos x dx\
dcosx .„ „
- = Sill X,
dx
d (— cos x) = sin x dxi
dtgx _ I
dx cqs'2x *
«, dx
dctgx 1
dx
d(—ctgx) =
sin2 x'
dx
sin? x
Формулы
интегрального исчисления
I cos xdx=sinx-\-C*
1 sin x dx = — cos x -f- C.
f-^- = — cigx-f С.
J sin гх ^ '
(28)
(29)
(30)
(31)
§ 9. Графики функций: sinjc, cos я, tgx и ctg*.
Исследуем ход изменения рассматриваемых функций помощью
первой и второй производных и соответственно этому
исследованию построим графики
этих функций.
Синусоида: у=sin x.
График синуса называете?
синусоидой. Найдём перзую
и вторую производные
синуса:
у = sin х\ у1 = cos x;
у" = — sin jc.
При х = 0, тг, 2тг, Зтт, ,.. , kit, где k — целое положительное
или отрицательное число, sin х обращается в нуль.
Следовательно, в точках, абсциссы которых равны knt синусоида
пересекает ось абсцисс.
Так как у" =—.у, то дуги синусоиды, расположенные над
осью абсцисс, выпуклостью обращены вверх, а расположенные
под этой осью — вниз. В точках пересечения с осью абсцисс
синусоида имеет точки перегиба (черт, 190),
413
Черт. 190.

При х = kn первая производная cos х принимает
значение -р-1, если k — чётное целое число, и —1, если k —
нечётное целое число. Следовательно, в точках (О, 0), (2тг, 0),
(4тг, 0) и т. д. касательная к синусоиде наклонена к оси
абсцисс под углом в 45°, так как tga= 1, а в точках
(тг, 0), (Зтг, 0), (5тг, 0),... — под углом в 135°, так как
tga = —1.
Максимума синус достигает при дг=у, "2">-"» -j-J-^tf,
где k — целое число (положительное, отрицательное или нуль),
так как при таких значениях аргумента первая производная
обращается в нуль, а вторая имеет отрицательные значения.
Величина максимума равна единице:
sin
¦?+2Атг) = 1,
тс
При х = — y -\~ 2kn синус достигает минимума, равного
отрицательной единице, так как при таких значениях аргумента
первая производная обращается в нуль, а вторая имеет
положительный знак.
Косинусоида: y=scosx. Подобное же исследование можно
сделать и для косинуса. Но можно также построение графика
косинуса свести к построению синусоиды, так как
cos х = sin ( y -\- х J.
Таким образом, график
косинуса в то же
время служит графиком
синуса
v = sin (-? + *)>
Черт. 191. \2 і ;»
аргумент которого увеличен на -^ : ордината синусоиды при
абсциссе -^-{-х Равна ординате косинусоиды при абсциссе х%
Следовательно, если передвинуть на соответственное
расстояние влево синусоиду по оси абсцисс, не меняя осей
координат, то мы и получим косинусоиду (черт. 191).
График тангенса: y = tgx, Находим первую и вторую
производные тангенса:
414
V + 2cos;e.sinA* 2tgAT
У cos4 л- cos2 х *

Тангенс обращается в 0 при х = кк7 где k — какое-нибудь
целое число (положительное, отрицательное или нуль): tgfor = 0.
Следовательно, тангенсоида пересекает ось абсцисс в
точках... ( —2тг, 0), ( — тт. 0), (0, 0), (тт, 0), (2тг, 0),... (черт. 192).
Значение первой
производной при этих
значениях аргумента рав
но 1:
1
00*.*.=
cos*?tc
Следовательно,
касательные к тангенсоиде
в точках её
пересечения с осью абсцисс
наклонены под углом
в 45° к
положительному направлению этой
оси, так как
tga=l и а = 45°.
VI
О
п
Черт. 192.
Первая производная при всяком значении аргумента
положительна, и потому і%х—-функция всегда возрастающая.
2 tt? х
Так как знак второй производной —^— совпадает со
знаком самой функции tgjc, то те части тангенсоиды, которые
расположены над осью абсцисс (у^>0), выпуклостью обращены
вниз (У'^>0), а части тангенсоиды, расположенные под осью
абсцисс {у<^0), выпуклостью обращены вверх (уа<^0). При
х — ^г-\-ктх, где k — какое-нибудь целое число
(положительное, отрицательное или нуль), рассматриваемая функция \gx
обращается в ±°°- Тангенсоида состоит из бесчисленного
множества ветвей. Прямые, проходящие через точки у -\- кк
параллельно оси ординат, разделяют плоскость на
параллельные полосы; в каждой из этих полос лежит одна ветвь
тангенсоиды.
График котангенса: y = ctgx. График котангенса
можно получить из графика тангенса следующим образом.
Так как
ctg* = -tg(.j4-*)>
415

то график котангенса в то же время служит графиком функции
y=—tg (?+*).
Сдвигая тангенсоиду (черт, 192) влево на расстояние -^, как
это мы делали с синусоидой, мы получим график tg ("тЧ"*)»
Теперь нужно изменить знак каждой ординаты этого графика,
чего можно достигнуть, поворачивая плоскость около оси
абсцисс так, чтобы прежнее положительное направление оси
Черт, 193.
ординат совпало с отрицательным (черт. 193). После таких
перемещений тангенсоиды мы и получим график котангенса.
Задача 1. Вычислить площадь, ограниченную дугой синусоиды
и осью абсцисс.
Обозначая искомую площадь через /, будем иметь:
1С
/ = \ sin х dx, \ sinxdx = — cos x-\-C,
о
Следовательно (гл. IV, § 8),
/= I sin л* <?*=[ — cos x]l = — cost:— ( —cosO)=. 1+ 1 = 2 кв. ед.
о
Задача 2.* Построить график затухающего колебания,
совершающегося по закону
s = ae-*tsm -=г,
416

где s — отклонение колеблющейся материальной точки от центрального
положения, a k и Т — постоянные (будем считать а = 6, ? = -4- и
о
71 —6), ?—-переменное время. По такому закону, например,
совершаются колебания маятника в сопротивляющейся среде, колебания
магнита, электрические колебания у^
под влиянием самоиндукции.
Будем t рассматривать как
положительную абсциссу, а
5—как ординату,
определяемую уравнением
t
s = be sin-r.
Кривая (график
рассматриваемой функции, черт. 194)
пересекает ось абсцисс при таких
значениях tt при которых
sin-г- обращается в нулы
о
sin т = 0;
t = 0, 3, б, 9,..., Зл j..,
хд
Черт. 194.
Направление касательных в точках пересечения определяется
значениями первой производной при г = 0, 3, б, 9,...:
Г ' '
sr = 2e * / ncos-g- —sin -g-J;
(0/-o = 2«. (A-8 = -~. (0/.e = -5, <•>*«• =-7T,-.
Таким образом, тангенсы углов наклона касательных в точках
пересечения с осью абсцисс уменьшаются по абсолютной величине в
убывающей геометрической прогрессии.
Первый множитель рассматриваемой функции бе 3 при всяком
значении t положителен и безгранично уменьшается, а второй sin -x-
принимает положительные и отрицательные значения, колеблющиеся
между +1 и — 1. Следовательно, волны изучаемого графика,
лежащие над осью абсцисс, касаются кривой
s=6e 3,
27 Курс высшей математики
417

а волны, лежащие под осью абсцисс, касаются кривой
^
s = — бе 3>
Точки прикосновения имеют абсциссы:
^ = "2*» ~2~T~3t "гтб,..*
Ординаты этих течек не будут давать ни максимумов, ни минимумов.
Максимума и минимума изучаемая функция достигает при тех
значениях t, при которых первая производная обращается в нуль:
« —я* ( ъ? , гі \ Л , rd
sr—2e а I ^cos-q—sin-5-J =0, или tg — = *,
откуда
— —arctg к-f-mz.
о
Обозначая через tb t2,\.., tn,... последовательные значения ty при
которых колеблющаяся точка достигает наибольшего отклонения в ту или
другую сторону, будем иметь:
3 3 3
/, = — arctg тс, ^2 = — arctg л+ 3, t3 = —arcignA-6t.„
ЦК ТС
Каждый максимум или минимум функции s представляет величину
размаха или амплитуду колебания. Отношение последовательных
амплитуд постоянно:
-А , _Л ,
f 3 . ЯЧ г- Я . Kit)
s^i s$ = 6e siq -x±:6e ° sin -~=* = — e,
о о
так как ?2 — *і = 3. Величина
= h называется коэффициентом
іі
So
затухания, a In Л — логарифмическим декрементом; для данного
примера 1пЛ = -{-1.
3
Вычисляя ^, нетрудно убедиться, что іх < -«-, т. е. максимума
или минимума функция s достигает в каждом интервале, образованном
последовательными точками пересечения кривой с осью абсцисс, не
в середине его, а ближе к левой границе.
§ 10. Производные обратных тригонометрических или
круговых функций и соответствующие формулы
интегрального исчисления.
Переходим теперь к определению производных круговых
функций, т. е. функций, обратных тригонометрическим.
1. Рассмотрим прежде всего функцию _y = arcsin;t. Так как
у есть дуга, синус которой равен х, то
х = $іпу. (32)
418

Таким образом, функцию у можно рассматривать как неявную
функцию, определяемую уравнением (32). Вторая часть этого
уравнения, если считать ' х за независимое переменное, будет
функцией от функции, так как она зависит прежде всего от уу
а у зависит от дг. Производная левой части равенства (32)
равна 1, а производная правой части находится по правилу
дифференцирования функции от функции:
dsmy dy
dy ' dx •
Но производная sin у по уу как по главному переменному,
dv
равна cos^, а ~ —искомая производная функции у = arcsin х.
Итак,
і dy
откуда
#* = —. (зз>
dx cosy ^ '
Таким образом, производная arcsin х найдена, но в зависимости
от самой функции у. Выразим её непосредственно через х*
По основной формуле тригонометрии имеем:
cos^= ]/і — sin2 .у.
Подставляя х вместо sin у согласно равенству (32), получим;
cos^y = ]/ 1 —
X
2
Следовательно, производная arcsin дг, определяемая
равенством (33), выражается через х следующим образом:
dy 1 darcsinx I /Qa\
-— = у или —-j = , . (34)
d* У 1-х* dx У 1 — x* v
График arcsin л:. Для получения графика функции у=.
= arcsin л* мы, зная первую производную этой функции и
найдя вторую её производную, могли бы изучить ход её
изменения. Но, так как arcsin x есть функция, обратная синусу,
мы можем поступить проще: именно, повернуть плоскость с
начерченной на ней синусоидой (y = sinx) около биссектрисы
координатного угла на 180° так, чтобы ось абсцисс совпала
с прежней осью ординат, и обратно. Тогда координаты точек
синусоиды в новом положении будут удовлетворять
уравнению
л: = sin .у,
27* 419

т. е. синусоида в новом положений (черт. 195) будет служить
графиком функции
у = arcsin x\
arcsin л; принимает действительные значения только для
значений аргумента х, заключённых в интервале от —1 до -f-1:
Но каждому значению аргумента в этом .интервале
соответствует бесчисленное множество значений функции yt из кото-
Черт. 195.
рых одно и только одно заключено в пределах от —-^ до
~Ьт* Обозначая через Arcsin x рассматриваемую функцию со
всей совокупностью её значений, а через arcsin .г— ту ветвь её
{часть кривой,, черт. 195), которая даёт значения^,
заключённые между—у и -f- -?-, будем иметь:
гс _ . ^ . те
— тг <! arcsin x^-f-Y
и
Arcsin х = arcsin х -f- 2?тт, или Arcsin x = (2k -\- 1) тг — arcsin x%
так как
х = sin .у = sin (.у + 2^7т) = sin (тт—у-\- 2ku),
420

где k — какое-нибудь целое положительное или отрицательное
число.
2. Рассмотрим теперь функцию у= arccos лг. Так как у
есть дуга, косинус которой равен лг, то
х = cos у.
Дифференцируя обе части этого равенства по х и
принимая во внимание, что вторая часть зависит непосредственно от
у, а у есть рассматриваемая функция лг, получим:
~~dy~
откуда
Но
dy - dу
-г-, или 1= — siny~,
dx ' J dx'
dy_
dx
sm.y
slny = yi — cos2.*:, a cosy
ЛГ,
следовательно,
dx
1
УТ^ГЯ '
или
d arccos д:
dx
VT
x<
(35)
График arccos x. Для получения графического изображения
функции у = arccos х
надо плоскость с
косинусоидой повернуть
около биссектрисы
координатного угла на
180° (черт. 196).
Действительные
значения arccos х
принимает только для
значений аргумента в
интервале (— 1, 1):
1
х
+і.
Рассматриваемая
функция многозначна,
причём одно и только
одно значение для
каждого значения
аргумента заключено
между 0 и тс.
Обозначая через Arccos х рассматриваемую функцию со всей
совокупностью её значений, а через arccos х — ту её ветвь, ко-
42?
Черт. 196.

торая (черт. 196) даёт значения, заключённые между 0 и тт,
будем иметь:
Oss: arccos лг^тт
и
так как
Arccos х = 2kn 4: arccos х.
х = cos jy = cos(у-\-2кті) = cos (2къ—у),
где k — какое-нибудь целое положительное или отрицательное
число.
3. Пусть теперь ;/ = arctgх. Та же функциональная
зависимость х и у определяется и уравнением
х = tgy.
Дифференцируя обе части этого уравнения по х% находим:
dy ' dx '
или
dy
cos-' у dx'
=r откуда
dy _
dx
= cos*y.
Ho
cosy =
1
secj/ =
sec.y'
= ]/ l+tgsj,, a tgey=*;
следовательно,
4У_
d.r
или
Черт. 197.
rf arctg x
dx
1
1+x*
1
1 +x* ' )
I (36)
Так как производная arctg л; всегда положительна, то эта
функция — всегда возрастающая.
Графическое изображение функции у = arctg jc получим,
повернув плоскость с тангенсоидой около биссектрисы коорд№-
натного угла (черт. 197). График функции _у= arctg .#• состоиг
из бесчисленного множества ветвей, и одна из них даёт
значения arctgх, заключённые между —~ и +-тт. Обозначая
рассматриваемую функцию со всей совокупностью её значений
через Arctgх9 а ту ветвь её, которая даёт значения, заключён-
422

ные между —у и -f-y, через arctg.*;, будем иметь:
— ~<arctg*<-f--|>
и
Arctg л: = arctg х -\- kit,
так как х= igy = tg (j>+Атг), где А — какое-нибудь целое
положительное или отрицательное число.
4. Таким же образом находится производная arcctg-r и
строится график этой функции. Пусть y — arccigx; следовательно,
x = c\gy.
Дифференцируя обе части этого уравнения, получим:
d ctgj/ dy
dx'
1
или
dy
1
dy
откуда
Но
sin2 .у dxy
d± — —
dx
1
snr_y.
cosec^y
cosec.y
= l/l+ctg2j/, a ctg3/ = x;
следовательно,
dy_ L_ 1
dx
или
tfarcctg_?_
dx
1+*2
1
(37)
Черт. 198,
Производная arcctg# всегда отрицательна; следовательно,
эта функция всегда убывает. Графическое изображение её мы
получим, повернув около биссектрисы координатного угла
плоскость с котангенсоидой (черт. 198).
Этот график состоит из бесчисленного множества ветвей,
одна из которых даёт значения функции, заключённые между О
и п. Если обозначить рассматриваемую функцию со всей
совокупностью её значений через ArcctgAr, а ту ветвь её,
которая даёт значения, заключённые между 0 и тг, — через arcctg*,
то будем иметь:
O^arcctgAT^TC, Arcctgjc=arcctg.<:-J-&n,
так как
x = c\gy = ctg{y-{-kTt),
423

где k — какое-нибудь целое положительное или отрицательное
число.
Тригонометрические функции и им обратные круговые суть
функции трансцендентные, и определения их коренятся не
в алгебре, а в геометрии. Но, как видно из формул (34), (35),
(36) и (37), производные круговых функций суть функции
алгебраические. Если поэтому присоединить к операциям
алгебраическим также операции перехода от данной
производной функции к неизвестной первоначальной, т. е. операции,
изучение которых составляет предмет интегрального
исчисления, то мы будем в состоянии дать аналитические
определения тригонометрическим и круговым функциям.
Соответствующие формулы интегрального исчисления
получим, обращая формулы (34), (35), (36) и (37).
Формулы
дифференциального исчисления
d arcsin x 1
Формулы
интегрального исчисления
dx
d arcsin х=
dx
dx
v~
»-a
= arcsin x-\-C. (38)
/ 1 —**'
d arccos x 1
dx
d(—arccos дг)
dx
V\ — x*
d arctg x 1
dx ~~ l+*a>
, , dx
d arctg x = jnr?i;
rf arcctg* 1_
dx ~ l+x*>
d I— ««:? x) =? Y^i»
fy dx ——arccos x-1-C. (39)
f j-^5 = ^Ctg ДГ-f-C.
(40)
Jj^^-arcctgx+C (41)
Примечание, arcsin x и — arccos x имеют одну и ту же
производную, иначе, получаются при интегрировании одной и той
же (подинтегральной) функции. Следовательно (стр. 356), эти
функции отличаются на постоянное. Действительно,
arcsin х — (— arccos x) = arcsin х-\~ arccos #=~.
То же самое дбджно сказать относительно arctg х и — arcctg x:
arctg х — (— arcctg дг) = arctg x + arcctg x = у ,
424

При этом эти соотношения имеют место для rex ветвей
рассматриваемых функций, которые отмечены самым обозначением и*
(агсвіпд:, а не Arcsin*, и т. д.)*
Примеры.
1. j/ = arctg —, или .y = arctgtt, где к = —;
х х
г d arctg и du 1 — 1 1 1
у- da 'dx-l + u*' & ~~(1+ Пж2~~Г+^
Сравнить производные arctg— и arcctg*; что следует из этого срав-
х
нения?
2. у = arcsin]/"l — л*2, ила y = HTZslnut где а = (1 — д;2)2;
, rfarcsinw da 1 1 .. -,"2 , Л ,
х 1
Y 1 -(1 -**)./! -*а ]Л -л*» *
Сравнить с производной arccos*.
arccos * ,
d arccos x
Х? arccos л:
, dx
У — х% — -^
dx \ \
— х — ) — arccos *4
г __х±У~1—х2 «arccos л;
™ x*YT^x*
4. .у = In arctg x;
У =
arctg * 1 + х* (1 -}- *2) • arctg х *
5. у = arctg (In*);
, 1 1 _ 1
У l + (In*)2 ' * *U + (in*)2J*
У\ х2
6..y = arcctg- — ;
X
1 х—Ц-х*)*2 .(-2дг)-Т^ПГТз.1
У = і_ -2 7$
1 I.1"*2 *'
__дгЗ + (1 —-у2)
Уі-х* Уі-л;3
425

7. Вычислить площадь, ограниченную осями координат, линией,
данной уравнением
У =
1
2'
и ординатой этой линии, соответствующей абсциссе 1.
Рассматриваемая кривая линия, как видно из её уравнения, имеет
наибольшую ординату при х=0,
^* симметрично расположена
относительно оси- ординат и
асимптотически приближается к оси
абсцисс (черт. 199). Точки пе-
\? ^1 -/ V$q\ 7/v 2 3 ** ¦ региба имеют координаты
~2 ( 1 і\ Л_ 3 іЛ
Черт. 199. \уъ' 4/ И \ YT' А]*
.которые определяются помощью уравнения у =0.
і
Г dx ~*
пл. OAMN— 1 і ^2 — [arctg jcjfr = arcig 1 =— .
о
Этой формулой даётся способ приближённого вычисления я. В
самом деле, по определению имеем;
і я—і л
dx *г\ Дд: «. \^ Д*
о
. , „ = Игл > ==1іт > г.
Следовательно, полагая, например, п = 10 и потому Д* = —ттг- =
= 0,1, будем иметь два приближённых значения:
і
],г&=т-°4т+м^+-"+да]=0-803--
dx
1+*
од
1
.1 + ОД2 ^ 1 + 0,2'
..+т
+ 12
= 0,758,..
Разность этих значений равна 0,0.5;
ОД (1-і)==0Д.і = 0,05,
1С
и потому каждая из этих сумм даёт приближённое значение -j*
с ошибкой меньше 0,05, а следовательно, я можно вычислить с
ошибкой меньше 4-0,05 = 0,2;
т. е.
426
яг&0,Ь(8|08...)-4 = 31234...| я^-3,2,
я % ОД. (7,58... И = 3,034..., я=^3.

Среднее арифметическое найденных приближений будет ближе
к истинному значению:
Для более точного вычисления по этому способу пришлось бы
интервал от 0 до 1 разбить на большое число частей. Впоследствии мы
рассмотрим способы лучшего использования тех же самых числовых данных,
§ 11. Применение логарифмической производной при
дифференцировании некоторых функций.
Если правила дифференцирования, изложенные в
предыдущих параграфах, неприменимы непосредственно к какой-либо
функции, то иногда предварительное логарифмирование обеих
частей равенства, определяющего данную функцию, значительно
упрощает задачу.
Пользуясь предварительным логарифмированием, можно,
например, доказать, что правило дифференцирования степени
распространяется на какие угодно показатели, а не только на
рациональные, как было указано раньше. Пусть, например,
у = хт,
где т — какое угодно число, хотя бы и иррациональное. Прежде
чем найти производную этой функции, логарифмируем обе части
данного равенства:
іп^ = т\пхш
Берём производную от обеих частей этого равенства, приняв
во внимание, что левая часть есть функция от функции:
din у dv dlnx 1 dy m
- . ¦ • -г- = —-— , или — • —¦ = — і
dy dx dx ' у dx ху
откуда
dy ту
dx x *
Но у=хт) следовательно,
dy тхм т л
— = = тхт *,
dx х '
т. е. правило дифференцирования степени остаётся тем же и для
иррациональных показателей..
Примеры.
l.y = xy~2, yr = Y~2.xyJ-1. 2. у = х*, y=zfx*~l.
Рассмотрим теперь функцию такого вида:
y=\f {х)} 9 (*), или у = и\ (42)
427

где u=f(x), a v = tp(x). Эту функцию нельзя
дифференцировать как степень, так как показатель v — не постоянная величина,
а переменная, зависящая от х; но нельзя эту функцию
дифференцировать и как показательную функцию, так как
основание и — не постоянная величина. Функция эта сложная.
Производную её мы найдём, предварительно логарифмируя обе части
равенства (42):
lny = vlnu.
Производные обеих частей этого равенства равны между собой;
кроме того, 1п_у иіпд мы должны дифференцировать как
функции от функции:
dIn у dy din и du . , dv
dy dx du dx ' dx
или
і^=*ів' + 1пв.*',
у dx и l *
откуда
Пример. Рассмотрим наиболее простую из этого рода сложных
функций
у = х*.
Логарифмируем обе части равенства и дифференцируем по х:
Ыу = х1пх; ¦—>' = * —+1плг,
откуда
y=j/(l + lnx), или У = лг*(1-(-In*).
Предварительное логарифмирование даёт возможность легко
найти производную произведения скольких угодно функций.
Пусть, например,
у = uvw,
откуда
іпу = In a-J~ In г/ —[— In w.
Дифференцируя, находим:
У и' , у' ,_w[
у и * v ' w'
или
, / Uf , Vf , Wr\ , . r f ,
У = ( [ (-—¦¦) UVW = VW>U -\-UW'V -f-ltV-W у
что согласуется с выведенной ранее формулой (стр. 337).
428

§ 12, Таблица основных формул дифференциального
и интегрального исчислений.
Основные формулы дифференциального и интегрального
исчислений, выведенные в предыдущих параграфах, сведём теперь
в одну таблицу, которая и будет служить базой для
дифференцирования и интегрирования составных функций.
2. у = е*; % = ех; 2. ("«*<** = «* +С.
de* = e*dx.
2'.у = а*\ ^=а*Ъа; 2'. Lxdx = -^ + C.
3. ^ = 1плг; ~^- = —; 3. J_ —Ьдг^-С.
<?1плс =—.
х
to« j: In а іпд l
4. 7 = sin *; ^^=cosat; 4. j cos лг^лг.= sin л:-f-C.
d sin * = cos л: <i*r.
5. -y==cosAr; d^X = —sin-y; 5. J sinxdx=—cos#-f C.
d (— cos x) = sin л; */лг.
6. ,«**; ^ = ^; 6. J^tg^ + C.
rf(—ctg*) = -^-.
v ъ ' sin2 л:

о . d arcsin x
8. <y = arcsmjc; —^
d arcsin л:
0 cf arccos x-
9, у = arccos a:; —-3
<2 (— arccos x)
1 n a d arctg л:
Ю. ,y=arctgx; —-^—
d arctg л::
- - , d arcctg x
ll. .y = arcctg*; jf-
d (— arcctg л:)
dx
i
dx
= arcsin x-\-C*
dx
9' J У i - x*
= — arccos x -\-C.
vt=
1,-2
1
1+A-2'
dx
1 + лг2*
1
l+A-aJ
dx
dx
1+ДГ2*
= arctg л;-{-C.
= — arcctg x -{-C.
§ 13. Общие правила неопределённого интегрирования.
Способ подстановки. Интегрирование по частям.
Правило вынесения постоянного множителя за знак
интеграла и правило интегрирования суммы (гл, IV, § 7) позволяют,
как мы видели, свести задачу интегрирования целой
рациональной функции к интегрированию степени и постоянного» Точно
так же можно довести до конца и задачу интегрирования
многочлена, составленного из функций, интегралы которых даны
основными таблицами.
Пример 1.
[(5x* + 2slnx4--\ ~ + * +тх~0 dx =
J \ l ' cos2 х х [ Y\— Xth 1+*2/
= 5 ix*dx + 2 (sinxdx + 3 Г ff^ 5 fdx +
COS2 X
J X
4-2Г *?_ + з\**—5*_ 2cosA; + 3tg.y —
— 5 In x -f- 2 arcsin дг -j- 3 arctg .r -j- С
Кроме этих двух правил, для той же цели сведения
неопределённых интегралов к основным таблицам служат способ
подстановки, или введения новой переменной, и
способ интегрирования по частям.
430

Способ подстановки. Пусть требуется найти неопределённым
интегрированием первообразную функцию
^/{x)dxt
причём интеграла этого в основных таблицах нет. Введём
новую переменную t, заменяя х некоторой функцией <f(t) этого
нового переменного, функцией, которая должна быть
соответственным образом подобрана; при этом сіх заменится
дифференциалом этой функции:
х = <р (/), dx = <pf (t) dU
Следовательно,
j f(x) dx=[/(<p (*)) <p'(/) dt = J Ф (i) dt,
где Ф (t) есть обозначение подинтегральной функции /((p (t)) шг (/).
Если функция <p (t) подобрана так, что преобразованный
интеграл I <&{t)dt можно найти по основным формулам, то
поставленная задача и будет решена, причём в полученном результате можно
снова вернуться к прежнему переменному х. В этом и состоит
способ интегрирования помощью подстановки или введения
нового переменного.
Пример 2. Положим, нужно взять интеграл
$
sin 2x dx.
В основных формулах такого интеграла нет. Вводим новую перемен.*
ную t, полагая
2x = t,
откуда
х = -к- и dx=.-^dt.
Следовательно,
sin 2x dx = 1 sin t^ dt = — sin t dt = — -rj- cos t -j- C,
или
I sin 2x dx = — ~2 cos 2x -f- С
Пример 3. Взять интеграл I • х . Вводим новую переменную,
подагая
откуда
1-f *2=*2 и * = У**"1ПГ, а бГлг= Ыі
431

Следовательно,
J Vl + x* J ' У **-1 J
Возвращаясь к прежнему переменному, получим:
С xdx i
Пример 4. Взять интеграл \ — , '—^г-. Вводим новую пе-
ременную, полагая
In .г = t%
откуда
л:
Следовательно,
f*ii+?nw]°frfy=,retg'+u
Возвращаясь к прежнему переменному, получим:
Ас
1
= arctgln jt-|-C
* [1-h In (*)*]
Как видно из приведённых примеров, главная трудность
этого способа заключается в выборе функции ср (/), При
рассмотрении интегрирования отдельных классов функций можно
будет указать некоторые правила выбора подстановок.
Способ интегрирования по частям. Способ интегрирования
по частям основывается на формуле дифференцирования
произведения двух функций:
(uv)r= uv'-\-vu\
«ли, в дифференциалах:
d{uv) = udv-\-v du,
где а и v — функции одного и того же независимого
переменного. Если возьмём интегралы от обеих частей этого равенства,
то будем иметь:
uv=.\ udv~\- \vda
и отсюда получаем формулу интегрирования по
частям:
і и dv = uv — \ v du.
Если нам требовалось найти \ a dv, то предыдущая формула
432

позволяет свести задачу к нахождению другого интеграла, именно
і vdu, который может оказаться проще, чем данный, и этим
упростится наша задача.
Пример 5. Пусть требуется взять интеграл
Г хп In х dx.
Такого интеграла в основных формулах нет. Попытаемся применить
способ интегрирования по частям. Полагаем
ln# = a, x"dx = dv.
Из последнего равенства получим:
f WJ xn+i
v = \ ха dx или v = | .,
Следовательно,
J
ха In х dx = 1 In д; rf—г-гг =
я+1 J /г-f-l п + 1 л+lj л;1
или
Г я . . ХЛ+1 In X 1 - f и .
Последний интеграл берётся по основным формулам, и мы находим:
і
xnlaxdx= -1Г+Г -(?+1)2 +с-
Пример 6. Часто приходится применять вместе оба
вышеуказанных способа. Например, чтобы взять интеграл
\ arctg х dxt
полагаем сначала
arctg х = й, dx = dv, т. е. v = x]
следовательно, применяя способ интегрирования по частям, будем иметь
\ arctgхdx = хarctgх — I лггі(arctg*)===*arctg* — J jqrjV
Для интегрирования I =—?—^ применим способ подстановки, именно
положим:
dt
t = 1 -[- х\ откуда <# = 2*dx% xdx=^;
следовательно,
Поэтому
Г arctg х dx = х arctg л- — in }^ 1 + л-3 -f- С
28 Курс высшей математики ™ъ

§ 14. Введение нового переменного и интегрирование
по частям в применении к определённым интегралам.
Преобразование помощью введения нового переменного
может быть применено и непосредственно к определённому
интегралу или в целях упрощения вида его или даже в целях
его вычисления без предварительного определения первообразной
функции в старом переменном. Но здесь необходимо сделать
некоторое добавление к тому, что было сказано относительно
этого способа выше.
Пусть однозначная функция x = y{f) меняется как
угодно, но непрерывно в интервале (tQt /:), принимая при
t=ztQ значение а, а при t = tx значение Ь\ непрерывной будем
предполагать и производную функцию <р' (*) в том же
интервале (?0, іг). С помощью подстановки х=<р (t) интеграл
b
\f(x)dx, где /(#)— непрерывная функция для всех значений ху
а
которые оно принимает при изменении t от tQ до tlt преобра-
зовывается в интеграл \/(©(*)) <р' {f)dt, равный дан-
'9
ному, хотя бы, в случае колебательного изменения <р (t), между
элементами того и другого и не было взаимно однозначного
соответствия. Действительно, если Ф (х) — какая-либо
первообразная функция данного интеграла, т. е. если Фг (x)=f(x),
то та же функция, если в ней положить x=z(p(t), будет
первообразной функцией преобразованного интеграла, ибо
По основному положению имеем:
ь и
{/(*)** = Ф(4)-Ф(а) и {/(Ч}(0)<р^)Л = Ф(?(*1))—Ф(?(*0)).
Но, по условию,
Ф(а) = Ф((р(*0)) и Ф(*) = Ф(?(г1));
следовательно,
\f{x)dx=\f^{t))i?'(t)dt
Если функция tf{f) не может принимать значений, равных
пределам а и b данного интеграла, то она и не может
434

служить для преобразования последнего. Так, нельзя преобра*
2
зоаать \ xdx с помощью подстановки x=:sinf. При пользо-
0
вании для преобразования интеграла многозначной функцией
нужно выделить из неё однозначную непрерывную
ветвь; если ни одна ветвь своими значениями не заполняет
всего интервала (а, Ь)у то нужно разбить интеграл на
соответствующие части и преобразовать каждую из них отдельно.
2
Пример 1. Преобразовать интеграл \ (х — I)3 dx помощью под-
о
становки(х — 1)2=? Функциях, определяемая уравнением^ — l)3 = tf,
имеет две ветви; х = 1 —У t и а- = 1-j-T^ i. Первая не может
принимать значений х > 1, а вторая — значений х < 1. Часть данного
интеграла от 0 до 1 можно преобразовать с помощью первой ветви, а
остальную часть от 1 до 2 — с помощью второй ветви; для первой
для второй
J dt
dx = —=.
Получаем;
2 12
\{х- l)2dx= f(jc-l)3tf.r-r- [{x-Y)*dx =
0 0 1
0 1 1
1 О 0
Пример 2. Преобразовать интеграл
1 х* .
1= 2 [e~2s™dxt
х2
полагая =— = &.
2spq
Из данной подстановки выделяются две однозначные и
непрерывные ветви:
x = tV%sp~q и * = — tV^sfq.
Возьмём первую из них:
x=tV2spq; dx = dtV2spq; l = gV2spq,
28* 435"

где g-—значение t, соответствующее верхнему пределу данного
интеграла; если х = 0, то и ? = 0. Следовательно,
'=йгР*
Интегрирование по частям, применённое непосредственно
к определённому интегралу, может иногда значительно
упростить вычисление.
Интегрируя дифференциал произведения
d(uv) = udv -\-v du
в пределах от а до Ъ для независимого переменного л;, от
которого зависят функции и и v, мы получим формулу
интегрирования по частям для определённых интегралов;
х = * х=а х=. ь
\ d (uv) = \ udv-\- \ vdu
или
¦откуда
x-=za х = а х = а
х — Ъ х =.Ь
[uv]xZ.a~ \ udv-\- \ vdu,
х = а , x=za
b b
\ a dv = [uv]a —\ v du,
a a
где пределы, разумеется, относятся к независимому
переменному X*
Т
Пример 3. Вычислить определённый интеграл \ sitfxdx»
ПК Я
*2 Т те_ 2
[ sin2xdx=— \ slnxdcosx^^ [sin л: cos лг]д + \ cosxds'mx;
но
[sin дг cos x]q = 0, a d sin * = cos л: ^дг,
следовательно,
яте tt тс
7 2* 2 2"
f sin2 at dx ss С cos* дг dxt или f sin2 дг dx = f (1 — sin2 x) dx,
436

откуда
« к к
Т 2 ~2
\ sin2^:rfjr= \ Лс— \ siu2.*</.*r>
и далее
« п
2* it 2
2\ sin2 х dx = [х]^, а \ sin2 * &г =-|-.
\ sin2 х dx = [х]^, a f sii
і
Пример 4. Вычислить интеграл /- я= \ *« (1 — x)*dxt где /и н
п •— целые положительные числа.
Полагая (1 — х)п = ц и x^dx = dv или t>==—-—г, интегрируем
по частям в пределах от 0 до 1:
О О
или
1
fm,n = ^pi]xm+l(l-x)n-idx, т. е. /я,д = ^ф|/«+і,в-і.
а
Таким образом, для вычисления интеграла 1т п мы составили р е-
куррентную формулу, понижающую второй 'указатель. Применяя
эту формулу п раз, получим:
Т П 7
//и, л = f^pi !mJr\ a-1 =
_ Я(Я-1) __ В(Я-1).,.[Д"|В-1)1 г
"(лі + 1)(я + 2) Уэт+2>«-1 (и + 1)(т + 2)...(ж+л)'«+*>«*
Но
і
о
Следовательно,
__ я (я — 1) (я — 2).. .3-2*1 _ /я! иі
'«,л — (W-f і)(« + 2)...(« + л)(іи + л + 1) (лі + л-И)* •
где от!= 1-2.3...«,я!= 1.2-3...л,(« + я+1)! = 1-2-3...(« + л +1).
В частности,
1
^^1-^^ = ^ = й:РО"^^=Ж=5Н'
437

Повторительные вопросы.
Производная функция и дифференциал. 1. Что такое
производная функция? 2. Какое геометрическое значение имеет производная?
3. Какое механическое значение имеют первая и вторая производные
данной функции, устанавливающей закон движения точки? 4. Если
функция y=f(x) непрерывна, всегда ли отношение её приращения
by ,
к приращению независимого переменного, т. е. г- , стремится к
(определённому) пределу? 5. Какое геометрическое-значение могут иметь
места разрыва производной функции? 6. Как можно по производной
судить о возрастании и убывании функции? 7. Как можно судить об
изгибах графика непрерывной функции? 8. Что такое точка перегиба
кривой? 9. Что такое максимум или минимум функции? 10. Как найти
максимум или минимум функции? 11, Как целесообразно строить график
данной функции? 12. Какие трансцендентные функции имеют
алгебраические производные? Какие из них имеют рациональные и какие
иррациональные? 13. В чём состоят общие правила дифференцирования?
14. Основные формулы дифференциального исчисления? 15. Что такое
дифференциал функции?
Первообразная функция. Интеграл. 1. Что такое первообразная
функция? 2. Почему первообразная функция может быть названа
интегралом? 3. Что такое определённый интеграл? 4. Что такое
неопределённый интеграл? 5. Какое геометрическое значение имеет
определённый интеграл? 6. В чём состоят различные геометрические
интерпретации первообразной функции и её производной? 7. Какими
-способами можно вычислить значение первообразной функции при
¦каком-либо значении аргумента? 8. Каким образом вычисление
определённого интеграла может быть сведено к неопределённому
интегрированию и какое значение имеет это сведение для геометрической
задачи вычисления площадей? 9. В чём состоят основные свойства
определённых интегралов? 10. Каковы общие правила
неопределённого интегрирования? И. Основные формулы интегрального
исчисления? 12. Какую особенность должно отметить при преобразовании
определённого интеграла способом введения нового
переменного?
Теоремы Ролля и Лагранжа. 1. В чём состоят теорема Ролля я
теорема Лагранжа о конечных приращениях? 2. Какое значение имеет
теорема Лагранжа для обоснования интегрального исчисления?
УПРАЖНЕНИЯ.
Дифференцирование функций.
1. y = {a*-xfy.
а у = (х + УТ+7ё)*.
5. у = е<*х+ь.
х *
438
4. у = г-/± — &.
х$
8. у = lnf{x).

9. y = ln(x + Vl+x*). 10. y = ln ^-if.
CI ~-" Л
11. ^ = sin2*. 12. y = tfsin—-.
13. у = cos л: + sin x 14. .y = sin Ъх.
15. y=z — -\ _„ 16. y — siniax-^b).
17. j/ = *cos x, 18. 3/ = sin x cos л\
-л . « я sin дг
19. .y=:sin2x. 20. .y =
1 -f- COS Л"
21. j/ = -?&? . 22. 3/ == In tg л:.
sm x
(x t\ 2 1
У + -Т j. 24. .y = sin# — — sin3 лг +-g-siu5.r.
25. ,y = л; sin лг -f cos x.
26. 3/ = — jc3 cos дг + 3.v2 sin a: + Gx cos x ~ 6 sin x.
27. 3/ = cos2 ~ — sin- j . 28. ^ — sin л*.
29. j/ = sin {ал-2 -f ?>* -f c). 39. v = ^"SlU.
11 y ^ 1— COS*'
X 1
31. ^ = arcsin - — . 32. .y=arctg —.
V 1 + x* x
33. .y = arccos —. 34. у = arcctg —.
X X
r\ n r — л4 + 6x2 — 6л:
Отв. 2. у' = } .
X X
Ct\
7. y = -I<*e — e
2
8. у=?і?і. ft У = - 1 —- 15. y = coss*.
/И Уі-f-*2
22.у = -тЛ-. 23. y=-i-. 31.y = rr-,.
^ sin 2л" cos л: -* 1 + дг-
32. У = 1— . 33. у' = —* 34. у = —!_.
1+дг2 *іЛг*-1 1-f-*2
35. Вырезать из бумажного круга радиуса а сектор так, чтобы нз
него можно было сделать конус (воронку) наибольшего объёма. Как
велик центральный угол а этого сектора и как велик радиус
основания х образованного конуса? Отв. х — ау -к- ; а ^294.
36. Построить равнобедренный треугольник ЛВС наибольшей
площади, две вершины которого при равных углах В и С лежат на
параболе у2 = 2хр, а третья А — на её оси на расстоянии а от вершины
(предполагая, что абсциссы точек В и С не превосходят абсциссы
точки Л). Ошв, Абсцисса точки В: х — -^-,
439

Построить графики функций:
37. у = sin х + cos х, 38. у=—Ц?—.
39. jy = **"*'*. 40. ,у = 1п(1+.дг).
41. .у = лг In дг, 42. > = In (л: + l/Tf^).
43. .у == arcsec дг. 44. .у = х — arctg дг.
45. .W-*?. 46. ^ = д*-*.
47. 3/ = ^-^. 48. jr = sin2;c.
Интегрирование с помощью основных формул.
49. Г бдг? 4д: = ~ дг* + С. 50. f (а3 + дг2) <*дг = а*х + ^ -f-C.
51. ГзУл^дг = 2У"л! + С, 52. Г(д+А + ^)^дг.
53. Г* =2/ж + С. 54. Га+^+1^
Интегрирование с помощью введения нового переменного.
55. Г [/(и)]*/' (дг) dx = М^я+\ + С. Указание; *=/ (дг).
56. Г ,ff_ = 2Vfl4=je + ^ Указание; 1) г = гг + л% или
J Уа + х 2) *=T^F^
57. I e**dx=-jre** + Ce Указание: t=*e***
58. Г^^? = іп/(д:)-{-С. Указание: *=/(*).
J о *» w *-
.* „ = ln(l-f- лг^+С Указание: в числителе диф-
1+*ЛГ- ференциал знаменателя.
SO. fctg;r<te= fC0S.*'rf,*s=ln8ta* + C.
61. \ tg д: й?дг = — In cos x 4- C.
J й + hnu ? ч ' l
63. j"
(1 ±xn) arctg x ^ln ^arctg *^** Указание- * = arctg#.
64. j 1 ^([y\^ja = arct2 ^ W + c- Указание: * = у (*).
65- j i+(^L2)2===arctg(;C"2) + C-
66-Irr5S = arctg(sin;")+C' 67.Г|^-1п(^-1) + С.

68. J у *'™ d*]a = arcsiq у (x) + С. Указание: *=?(*).
69. 1 ¦ JL-f— = arcsia x2 -f С. Указание: ^ = Л
J У 1 —j^
70. Г ?*•** = 2 УHf*2 + с. Указание: 1) t = 1 -f- x\ ил»
Интегрирование по частям.
71. \ In A-^ = jf (hue — 1)+C. Указание: и = 1плг, o = ;e.
72. С (л:—1)2 ** dx=e* (а:2—4*-f 5)4-C. Указание: u = <*—I)2
dv=ze* dx,
73. t sin2 л: rfAr = x ~~ siq 'Y'cos * + С. Указание: « = slnx, rfr=
J ^ =sinxrf.t, после под
интегралом cos2 x заменяете»
через 1 — siq2 лг.
74. ^хах^Х + ая*соах+С.
75. \ x2cosjcrfA: = A:2sinx + 2^cosjc —2sinj;-bC
Указание: к = .г2, cos x dx = dtv
76Ч ?о^=*^*^1псоздг"'"С' Указание: x=sa> То$~х=йи*
Вычисление определённых интегралов.
77. Определить площадь гиперболического сектора с вершиной
в начале координат и дугой равносторонней гиперболы (ху = \),
один конец которой имеет абсциссу 1, а другой х.
Отв. пл. ОЛВ=In х.
78. Определить площадь, ограниченную дугой параболы ^=6 —
— 4х-|-л:2 и осью абсцисс в пределах от 0 до 4. Отв. 13 -j кв. ед,
79. Определить точки пересечения параболы у = х2 — бд: -f- 5
с осью абсцисс и вычислить площадь, ограниченную дугой параболы
и осью абсцисс.
2
Отв. Точки пересечения: (1, 0) и (5, 0). Площадь: —10 у кв. ед..
80. Вычислить определённые интегралы:
12 "2 Т
a)frfe"2' Ь) |(ж* —*+!)<**; с) jeln2*<**; d)jctg*<i*;;
0 1 о *
4
1С
т
е) I sin»***. Ош. а)-^-; b) 1-g-; с) у; d) -jp е) -^.

ГЛАВА VI.
ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
(Обобщения, приближённое вычисление и оценка.)
§ 1, Интегралы с бесконечными пределами.
ъ
В определении интеграла \f(x)dx предполагалось [гл. IV,
а
•§ 4], что пределы интегрирования а и Ь — числа конечные и
подинтегральная функция f(x) в интервале (а, Ь) непрерывна.
Поэтому мы не имеем пока права говорить об интеграле
функции, если не выполняется хотя бы одно из
вышеприведённых условий. Но соответствующим дополнением можно
распространить определение интеграла и на те случаи, когда
интервал интегрирования бесконечно велик или когда
подинтегральная функция испытывает разрывы непрерывности» в пределах
интегрирования. Таким обр'азом мы получим обобщённые или
несобственные интегралы. Рассмотрим из них сначала
интегралы с бесконечными пределами.
Пусть функция определена для всякого конечного
значения х, большего а, и непрерывна в интервале от а до оо.
Таковы, например, будут функции х™1, sin л:, sin(^r2); но не
таковы функции у\—х1, arcsin;c или агссо^д:, которые имеют
действительные значения лишь для |лг|^1. Для всякого
конечного значения верхнего предела х^а интеграл такой
функции существует, существует для неё и непрерывная
первообразная функция Ф(х) [гл. IV, §§ 4 и 9], т. е. функция,
имеющая производную, равную данной функции: Ф'(дг) =/(x).
По основному предложению [гл. IV, § 8] имеем;
х
j / (х) dx = [Ф (*)]* = Ф (х) - Ф (а).
а
Если это выражение при безгранично увеличивающемся х
стремится к определённому пределу, то предел этот и называется
интегралом данной функции от а до оо:
СО X
\f{x)dx = Vxm \/{х)ах = 1іт[Ф(х)—Ф(а)1 (1)
X л->оо х х-+<х>
Таким образом, вычисление определённого интеграла
оо
f{x) dx требует двойного бесконечного процесса: вопер-
442

вых, интегрирования в первоначальном смысле и, во-вторых,
перехода к пределу в полученном выражении при безгранично
00
возрастающем л:. Геометрически \ f(x) dx означает измеряемую
а
от некоторой начальной ординаты площадь, заключённую между
кривой y=f(x) и осью абсцисс, распростирающимися в
положительном направлении до бесконечности.
Согласно с предыдущим обобщением понятия определённого
интеграла имеем также, если функция f(x) соответствующим
образом определена:
ь ь ь ъ
\ f(x) dx = lim Г f(x) dx; [ f{x) x= lira С f{x) dx;
+ 00 x'1
\ f(x)dx — lira \ f(x)dx.
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную осью ординат, осью
абсцисс, продолженной в-положительном направлении, и кривой,
данной уравнением
Рассматриваемая кривая, как видно из её уравнения, имеет
наибольшую ординату при х = 0, симметрично располо-кеиа относительно оси
ординат и асимптотически приближается к оси абсцисс (черт. 199).
Определяемая площадь равна интегралу рассматриваемое функции,
взятому в пределах от нуля до бесконечности:
00 X
ГлГй^1*111 TXTs—1"1 [arctgJf]J = lim arctgA-=r^-.
J * Т* ХЧ-ОГі J *~Т~Х Х-+-Хі Х->Х *
О О
Вся площадь, ограниченная данной кривой и осыо абсцисс, равна
интегралу той же функции, взятому от — оо до -f- оо, и так как подинге-
гральная функция четна *) (кривая симметрично расположена относи-
ij Если /(jf)— функция чётная, т. е. /(х) = /(— х)у то график ее"
симметрично расположен относительно оси ординат. В силу этой сим-
о а
метрии интегралы \ j (х) dx и [} {х) dx равны, и потому
—а о
4-й 0 а
J f(x)dx= J f{x)dx+[f(x)dx = 2ij}f{x)dx.
— a ~a
443

тельно оси ординат), то
+ 00 00
J r$p-2jr?p=*-
— со О
оо
Cdx
Пример 2. вычислить \ — .По определению имеем:
і
оо х
I — = Шп і —= 1іт1п;с = оо.
J Х JF-+QO J X #-fCO
1
00
Пример 3. Вычислить \siax dx. По определению имеем:
оо
\ sin х dx = lira [— cos x] q = lim [— cos x -f-1].
0 *"«0 X-400
Ho cos* при безграничном возрастании x не стремится ни к какому
00
пределу, и потому символ 1 sinxdx, не имея определённой величины,
о
не имеет значения.
§ 2. Интегралы прерывных функций.
Если функция f(x) непрерывна внутри интервала (a, b)t но
прерывна в обоих или в одном из концов его, то нельзя
говорить об определённом интеграле этой функции в пределах
от а до Ь, опираясь на данное выше [гл. IV, § 4] определение
интеграла, ибо колебание функции (Mt — т?) в концах
интервала в случае прерывности не бесконечно мало, как
предполагается в этом определении. Но можно соответствующим
дополнением распространить указанное определение и на этот
случай.
Пусть функция f{x\ непрерывная внутри интервала (а, Ь)у
испытывает разрыв в одном или обоих концах этого интервала.
Если а<?, то в интервале (д + е, b — 7j), где е и
aj.—достаточно и сколь угодно малые положительные числа,
рассматриваемая функция непрерывна и в концах его, интеграл этой
функции существует, существует и непрерывная первообразная
функция Ф (л;) 1). Следовательно, по первоначальному определе-
_____ ^
*) Под Ф(л") можно разуметь, например, V f{x)dx, где с—какое-
с
нибудь определённое число из интервала (a, b)t а х-— переменная
величина из того же интервала; я < с* < ? и а<х < ?.
444

нию и основному предложению имеем:
1 /(*> dx = [Ф (*)]?; = Ф (ft - ц) - Ф (а + е). (2)
Предел этого выражения при еит], стремящихся к нулю,
если только этот предел существует, и называется в
обобщённом смысле интегралом от а до Ъ данной функции:
[f(x)dx^llm \ /(*)Жс = Нт[Ф(* —г,) —Ф(а + е)]. (3)
Первообразная функция Ф(дг) определена и непрерывна, как
следует из первоначального определения интеграла, внутри
интервала (я> А). Если ИтФ(а-?-е) и Jim Ф (ft— г,), при е и 7),
стремящихся к нулю, существуют, то под Ф{а) и Ф(Ь) мы
и будем разуметь соответственно эти пределы:
lim Ф (а + е) = Ф (a), lim Ф (ft — ц) = Ф (ft). (4)
Таким образом, и для обобщённого интеграла имеет место
основное предложение:
\f(x)dx = lim [ /{х)4х = Ф{Ь) — Ф{а)л (5)
В частности, если функция f(x) прерывна в одном из
концов интервала (а, ft), будем иметь соответственно следующие
обобщённые интегралы:
ь ъ ъ г»—7і
[f{x)dx=\\m [ f{x)dx, или' [f{x)dx = \\m § f{x)dx. (6)
К подобному же обобщению определения интеграла
приводит и случай, когда подинтегральиая функция/(*) испытывает
разрыв непрерывности внутри интервала (at ft).
Пусть функция f(x) прерывна при х = с и непрерывна
внутри интервалов (а, с) и {с, ft). По предыдущему
определению будем иметь:
с с—t Ь Ь
(/(*)** = lim \ f{x)dx и \f(x)dx = llm \ f{x)dx. (7)
? —о і с и 4ч,
Если эти обобщённые интегралы сущестэуют, то под инте-
445

градом от а до Ъ мы будем разуметь сумму их:
Ь с Ъ
\f\x)dx— \f{x)dx-\-\f{x)dx^
a b с
с—в Ъ
= 1іш \ /(лг)^лг + 1іт \ f(x)dx. (8)
Если первообразная функция, найденная, например, путём
неопределённого интегрирования, непрерывна во всём
интервале (а, Ь), то существуют и несобственные интегралы от а
до с и от с до Ь, а стало быть, и от а до ?. Действительно,
пусть Ф(х) — такая непрерывная в интервале (а, Ь)
первообразная функция данной. К интервалам (а, с — е) и (с —[— т], Ь)
применимо основное предложение:
С—г Ь
J f{x)dx = Ф{c — г) — Ф(а) и С f^dx^t&W — t&ic-^r^
Переходя к пределам, полагая s и т\ стремящимися к нулю,
получим:
с—в
lim \ /(х)с1х = 1ітФ(с — в) — Ф(а)
и
ь
lim \ /{х)Ох = Ф(Ь) — 1ішФ(с + ч)-
Но, по условию, пределы lim Ф (с — е) и Игл Ф (с -{- 7]) суще-
ствуют:
lim Ф (с — е) = Ф (с) и Jim Ф {с + Ч) = ф (*)•
Следовательно, интегралы от а до с и от с до ?, а стало быть,
и от д до b существуют.
Обратно, если существуют эти интегралы, то можно
построить первообразную функцию, непрерывную во всём
интервале (а, Ь\ полагая
Ф(х) = Г/(лг)Лсдля а^х<^с
а
И
С X
Ф (х) ¦= (/(*) dx -f [f(x) dx для с <дг < А.
446

При Ху стремящемся к с, то и другое выражение стремятся
к одному и тому же пределу — интегралу от а до с, который
мы примем за значение Ф(с):
х с х с
lim[f{x)dx — lim\[f(x)dx-{-[f{x)dx]==[f{x)dx = <&(c)>
x-*cJ х-*с L^ J J J
так как
x - ь ь _
ton С/(*)<**== lira f/(*)<** — С f{x)dx = 0.
? <T X
Поэтому основное предложение интегрального исчисления
имеет место и для обобщённого на этот случай определённого
интеграла. Действительно, по предыдущему имеем:
с Ь
^f(x)dx = <&{c) — <&(a\ [f(x)dx = Ф{b) — Ф(c). (9)
а с
По сложении этих интегралов получим:
ь
^/(х)4х = Ф(Ь)—Ф(а). (10)
а
Если бы несобственные интегралы от й до с и от с до b
не существовали, то, как следует из предыдущего, невозможно
было бы построить первообразной функции, непрерывной во
всём интервале (а, д\ а потому не могли бы иметь места
равенства (9), так как Ф(с) не существует, и не имело бы места
поэтому также равенство (10).
Если подинтегральная функция имеет не один, но конечное
число разрывов между пределами интегрирования, например
при x = clt с2>..., сп, и интегралы от а до cv от сх до сг и т. д.,
наконец, от сп до b существуют, то сумма их и называется
интегралом от а до Ь:
Ъ cL с* Ь
?/(*)<** = J f{x)dx+ J /(*)<**-Ь •• • + \f{x)dx
а а Сі сп
ИЛИ
а
$f(x)dx =
а
;=ИтГ [ f{x)dx+ [ f(x)dx+...-\- { f{x)dx].
44T

Для такой функции, для которой эти обобщённые интегралы
существуют, может быть, подобно предыдущему, построена
непрерывная первообразная функция Ф(х) и имеет место
основное предложение интегрального исчисления:
ъ
\/{х)<1х = Ф(Ь) — Ф{а).
а
Обобщённый интеграл геометрически означает, так же как и
в первоначальном определении, площадь, но ограниченную
соответственно обобщению (черт. 200).
Если разрывов между пределами интегрирования
бесконечное множество, то не-
У* обходимы дальнейшие
обобщения.
Пример 1. Вычислить
измеряемую от оси
ординат площадь,
заключённую между осью абсцисс
и кривой, данной уравнен
ни ем
> =
1
У"! —**'
Черт. 200.
до ординаты,
соответствующей абсциссе лг = 1.
Рассматриваемая кривая имеет, как следует из её уравнения,
наименьшую ординату при л- = 0 и заключена в полосе между ординатами,
соответствующими абсциссам -J- 1 и —1, приближаясь к ним
асимптотически. Определяемая площадь равна интегралу данной функции
взятому в пределах от 0 до 1. Но при верхнем пределе
подынтегральная функция обращается в бесконечность. Согласно предыдущему,
имеем:
і 1-е
J—===== =-Шп Г ш = Iim Tarcsin лг]1~е==Ит arcsin(l—s) = -тг •
Пример 2. Вычислить интеграл \ дг-л dx при л> 0. Рассмотрим
Л
2
два случая: я> 1, например, п = 2, и п < 1, например, л==--
і
а) Интеграл I x-2dx представляет положительную величину,
Л
так как подинтегральная функция х-2 для каждого значения аргумента
443

имеет положительное значение и dx при интегрировании от
— 1 до + 1 положительно. Неопределённым интегрированием получаем;
I
Х2 - + <"
X
Но основной формулы интегрального исчисления в данном случае
применить нельзя, так как не только подинтегральная функция дг~2, но
и первообразная — х~1 в пределах интеграции, именно при л- = 0,
обращается в бесконечность. Если бы, не обратив на это внимания, мы
применили основную формулу вычисления определённых интегралов, то
получили бы невозможный результат:
+і
|?=Н]>-*
+ 1
т. е. что положительная величина \ x-2dx равна отрицательному числу.
-1
Кривая у — х-2, как видно из её уравнения, состоит из двух
ветвей, симметрично расположенных относительно оси ординат,
асимптотически приближающихся к оси ординат в положительном направлении
Черт. 201.
и коси абсцисс одна в положительном, другая в отрицательном (черт. 201).
Рассматриваемый интеграл выражает площадь, построенную на данном
основании, но по оси у простирающуюся в бесконечность. Так как
подинтегральная функция в пределах интеграции обращается в
бесконечность, то, согласно определению такого интеграла, имеем:
—t
+1
¦Г
J X* t-j.oJ.-*8 4-+oJ„* ¦ e-*0 L *J-1 4-*)L *J+T)
віішГ-fi.
e->oL e
29 Курс высшей математики
449

, dx
b) Подобным же способом находим и интеграл I —у:
+1 — +1 Г П— Г U+1
Г^^ИшГ^ + Нгп Г^=1ігпіЗл-3]-і + іігп[з^.|Ті =
-1 л:3 -ід:3 ч х:з
lim [-3 У г + Зі + lim Гз - 3 */і» 1
= 6.
График функции y=z.x (черт. 202) будет такого же вида, как
и график функции у = х~\ с тем только ¦ различием, что ветви первой
быстрее приближаются к оси ординат [с уменьшением \х\]. Поэтому-то
определяемая площадь в одном случае получается конечная, а в другом —
бесконечно большая; порядок бесконечности
подынтегральной функции в первом случае меньше, в другом больше единицы.
§ 3. Механические квадратуры. Формула трапеций
и формула Симпсона.
Применяя основное предложение интегрального исчисления
(гл. IV, § 8), мы сводили вычисление определённого интеграла
к отысканию первообразной функции путём неопределённого
интегрирования. Но не всегда, как мы уже знаем,
первообразная функция данной может быть выражена помощью
элементарных функций в конечном виде, и поэтому не всегда
сведение вычисления определённого интеграла к неопределённому
интегрированию приведёт к решению поставленной задачи.
Наоборот, тогда непосредственное вычисление определённого
интеграла по его первоначальному определению
[f(x) dx = lim У\/{х?) 4х = lim У\/М Л*
может служить основанием изучения и первообразной функции;
по крайней мере, такое вычисление даёт значения первообразной
функции, соответствующие различным значениям аргумента
(верхнего предела в определённом интеграле). Но
непосредственное вычисление определённого интеграла по его
первоначальному определению чаще всего может быть только
приближённым, именно, можно вычислить сумму ^/(х^Ах, где z = 0,
1, 2,..., п—1, полагая число слагаемых этой суммы конечным,
другими словами — располагая конечным числом значений
данной подинтегральной функции,
450

Имея в виду геометрическое значение определённого
интеграла, можно сказать, что приближённое вычисление его
сводится к приближённому вычислению площади, ограниченной
осью абсцисс, двумя ординатами и данной кривой, путём
измерения конечного числа ординат этой ограничивающей кривой.
Такое приближённое вычисление определённого интеграла или
площади носит название механической квадратуры.
Способ трапеций. Пусть интервал (а, Ъ) разделён на п
равных частей; обозначая каждую часть через Дх, будем иметь;
Ах
а
п
Значения функции при х0 = а,хг =
—а-\-Ьх, х2 = a-j-2A.v,..., xn=b
вычислены, или, если мы имеем дело
с графиком функции,—ординаты,
соответствующие абсциссам ау а-\-Аху
а-\-2\х и так далее, измерены.
Обозначим их через у0> уь j2»"m Уп
(черт. 203).
Площадь АСОВ выражается интегралом данной функции. По
определению интеграла имеем:
[№dx
Черт. 203.
X / W1х; \ /(*)dx *= ? f W ^
или
\f{x)dx
а
\м
dx
b —a
п
b — а
іУо+Ух+У2+ • •• +Л-і]- О1
— Ьі+л+л+.--+л].
(12)
Если ордината кривой, ограничивающей измеряемую площадь,
всё время возрастает или всё время убывает, иначе — если
производная подинтегральной функции не меняет знака, то одна
из сумм (11), (12) будет меньше^ а другая — больше
вычисляемого определённого интеграла, а потому среднее
арифметическое этих сумм, вообще говоря, точнее выражает этот
интеграл, иначе — ближе подходит к измеряемой площади:
ь
\f{x)dx
b— a
п
УЬ +,У,
2
+Л+У2+---+Л-з
(13)
29*
45і

Таким образом, располагая величинами )'0, уь •.., уа и величиной
интервала b—а, можно вычислить по формуле (13) приближённо
интеграл
\т
dx.
а
Ту же формулу мы могли бы получить, определяя площади
трапеций АСММЪ MXMNNU.. .yR^DB и складывая их, т. е.
определяя площадь многоугольной фигуры ACDB. Действительно,
і Ь — а уп-і+Уп__
•'•"I ~ 2 —
b — a
п
п
Уо+Уп
2
+ Л+Л+--+Л-і]-
Поэт.ому и способ приближённого вычисления определённого
интеграла по формуле (13) носит название способа трапеций.
Кривая, ограничивающая измеряемую площадь, заменена,
при вычислении её по способу трапеций, ломаной вписанной
линией CMN. ..RD. При изгибе кривой,
обращенной вогнутостью к оси абсцисс,
способ трапеций даёт площадь, по
абсолютной величине меньшую измеряемой, и,
таким образом, мы получаем приближённое
значение интеграла с недостатком. Но
можно установить другую формулу, для вы-
¦*г числения приближённого значения
интеграла с избытком, и, таким образом, иметь
критерий для оценки точности
полученного результата. Разделим для этого
каждое из прежних делений пополам. Таким' образом, весь
интервал (#, Ь) разделится на 2п частей. В новых точках
деления проводим и измеряем или вычисляем
соответствующие ординаты. Перенумеруем все измеренные ординаты
заново: y0t ylt у^.. мЗг2д(чеРг« 204). Из них прежние ординаты
будут с чётными, а новые — с нечётными указателями. Проведя
в концах новых ординат касательные к кривой до пересечения
с продолжениями соседних (чётных) ординат, получим ряд тра-
b — а
Хо^і %2 Х3 *<*
Черт. 204.
пеций с .общей высотой
Ъ — а
п
Уь
п
Ъ — а
п
? Площади этих трапеций
Ъ — а
•Л.
п
•У2П-Х
452

в сумме дадут приближённое значение интеграла с избытком,
если кривая в рассматриваемом интервале обращена вогнутостью
к оси абсцисс:
f(x)dx
Ъ — а
п
Ьі+л+-..+.У2*-і]
= 2A[y1'4-^8+...+j^i]. (14>
При новой нумерации ординат формула (13), дающая
приближенное значение интеграла с недостатком, примет вид;
ъ
f(x)dx
j
* —в
п
¦¦ЦЛй+Л+Л+...+Л«-»2
Вычислив обе-суммы (14) и (13'), можно определить и степень
точности; каждое из этих приближённых значений определённого
интеграла отличается от
истинного на величину, меньшую их
разности.
Формулу (13') можно
заменить другой, более удобной
для вычислений и определения
степени точности. В эту
последнюю, так же как и в формулу
(14), войдут все ординаты с
нечётными указателями и,
кроме них, только первая и
последняя. Эту новую формулу мы получим, определив сумму площадей
трапеций, параллельными сторонами которых служат у0 и уи
Уі и у?і yz и ^в».*-і^2я-з и уы-и У2п~г и у2п (черт. 205).
Первая и последняя имеют, каждая, высоту, равную -у—і а
Ь — а
средние — высоту .
При выпуклости кривой, обращенной от оси абсцисс, сумма
этих площадей
Ь-а Уо+Уі і Ъ — а уг+уь , Ь — а уь+уь ,
...+
п
2 Г —п 2
представляет величину, меньшую измеряемой, и даёт, таким
453

образом, приближённое значение интеграла с недостатком:
ъ
і
а
f(x)dx
b — а
Уа+Уі | Уі+УЪ | [ >2я-3+.У2Л-1 I УЪп-і+УЪп
п
или
ь
4 12
I ( ш I >2Я-3+.У2Л-1 I УЪп-1+УЪгЛ
I
а
А /у
/(*) dx ^ -=- [уг +ys + ... +Ля-і1 +
1 Ъ — а[Уо+У%п Уг+Уи-х] меч
~Г~2^~[~~2 2 J" <1Й>
Обозначим выражение (14) через /^ выражение (13') через/2
и выражение (15) через /3. Степень погрешности /j и /а можно
вычислить заранее, не вычисляя /2 и /3. Действительно,
/ / —Ь-аТУо+Уіп Уг +^зя-і1 /іс\
^з—уі —~2^~[ 5 2 J' ^1D'
Нужно знать, таким образом, только две первые и две
последние ординаты. Эту разность /3 — 1Х легко построить и
графически. Соединим хордами первую точку кривой с последней
и вторую с предпоследней; эти хорды пересекут среднюю
ординату уп в точках Р и Q, ординаты которых как ординаты
середин будут:
Уо+У2п и Уг +^2а-і
2 " 2
Следовательно,
2 2
Строя прямоугольник с основанием -^— и высотой PQ, мы и
представим геометрически площадь, которую не превосходит
погрешность. Вычислив заранее степень погрешности, мы можем
определить число необходимых десятичных знаков в ординатах
у. (г = 0, 1, 3, ..., 2п—1, 2/z) и тем самым избавимся от
ненужных и лишних вычислений.
2
Пример 1. Вычислить \ х~л dx. По основным формулам
интегрального исчисления имеем:
PQ=
2
і
X
f
*? = Ы2.
1
454

По первоначальному определению In 2 есть показатель степени, в
которую нужно возвести 5 = 2,718..., чтобы получить 2:
е^~2 или (2,718...)* = 2; z = ln2.
Но вычисление по этому определению In 2 практически граничит с
невозможностью. Так, например, для вычисления In 2 с двумя десятичными
знаками пришлось бы обе части равенства ег = 2 возвести в сотую
степень:
(2,718 .. ,)10te = 2100,
Пришлось бы, таким образом, находить 21(ю, потом перемножать число
5 = 2,718... само на себя до тех пор, пока не получили бы
подходящего к 2100 чпсла.
Механические квадратуры дают возможность сравнительно легко
определить In 2 с большою точностью. Делим интервал ^—д=2— 1=1,
например, на 16 равных частей:
Ъ—а 2-1.1 Ь-а 1
2n = 16t __ = _ = -, -^--Гб.
Вычислим предварительно предел погрешности по формуле (16):
1 1 lfi
Уі=&* -Уо = 1. Уі = — = 1^ = 0,9411...,
1Ге
і 1 r
.Уіб = 0,5 , Уи = j- = зТ = 0,5161 —,
Ц 2~W 1,4572...
4572...'
, , I [1,5 1,
= 0,0013...
Таким образом, мы можем ожидать погрешности не более 0,0013...
и потому для действий с восемью ординатами достаточно знать по
четыре десятичных знака.
Выпуклость данной кривой обращена к оси абсцисс, и потому /3
больше In 2, a /L меньше. При вычислении /8 будем последний
оставляемый знак ординаты увеличивать на единицу, а при вычислении /^
не увеличивать, хотя бы первый отбрасываемый десятичный знак и был
больше пяти; этим мы внесём новую погрешность, во всяком случае
не превосходящую
-g (0,0008 + 0,0008) = 0,0001.
Таким образом, In 2 можно вычислить помэщью десяти ординат
уі {i=Qt 1, 3,..., 13, 15, 16) с погрешностью, не превосходящей 0,0015:
— I— 1
* 1+~'
* і -і
16
4S5

Л= 15 = 0,9411
Л= jg = 0,8421
>5=^ = 0,7б19
1 = 0,6956
Уі
3,2407
-^ = 25 = °'64
^11 = ^ = 0,5925,
^ = ^5 = 0,5517.
Лб = gy = 0,5161,
3,2407
1
A?s §--5,5410... = 0,6926
. - 1
8
5,5417 + 0,0013... < 0,6941
5,5410..,
2
fdx
— = In 2 <0,6941.
Sfk
Среднее арифметическое Д и /3 будет отличаться от In 2 меньше, чем
на —- - 0,0015 = 0,00075, хотя остаётся неизвестным, будет ли оно больше
или меньше In 2:
2
fdx
— ^ 0,693 (с ошибкой < 0,00075).
і
Истинное значение; In 2 = 0,69314...
Формула Симпсона. Ещё лучшее приближение при том
же числе измеренных или вычисленных ординат даёт формула
Симпсона, При составлении
формулы трапеций мы заменяли
данную кривую, ограничивающую
измеряемую площадь, ломаной
линией. По Симпсону, заменяются
части, ограничивающей кривой
дугами парабол, соответственно
подобранных.
Разделяя интервал (а, Ь) на п
равных частей, разобьём
измеряемую площадь на п полос ММгРхР,
PPrRxR, ...(черт. 206). В
каждой из этих полос проведём, сверх
того, среднюю ординату.
Вычислим приближённо площадь первой
полосы ММгРгР, заменяя дугу MNP данной кривой дугой
параболы у=*А + Вх+Сх\ (17)
подобрав коэффициенты A, В9 С так, чтобы эта парабола про-
456
С\; M,tiiP,QtR,
4;»
Черт. 206.

ходила через точки М, N, Р> т. е, чтобы имели место
следующие соотношения:
уг = А + Вхг-\-Сх*, \ (18)
Эти три соотношения обращаются в уравнения для
определения неизвестных коэффициентов Л, В, С. Но можно, не
определяя, исключить эти коэффициенты в окончательном результате.
Так как точка Nx лежит в середине отрезка МХРЬ то лгх =
= °Т 2, и соотношения.(18) можно представить в следующем
биде:
Уь = А+ВХъ + Сх% )
4у3=4Л +2В(х0 +х2) + С(хі4-2х0х*-{-хі)Л (18')
y% = A + Bxt + Cx*r J
Исходя из геометрического значения определённого интеграла,
имеем:
X.
пл. ММХРХР— ^f(x)dx
Хо
и, заменяя кривую y=f{x) параболой (17), получим:
Хг Хі
f f{x)dx == j" (Л-f- Bx-\~Cx*)dx.
с
Xq Xq
Интегрируя, находим:
х%
f(x)dx ъА{х,-х0)-J-fidzfl + С%^,
х0
или
1
*а
Г //~W~ -_ ^2 — *0
/ (*) ^ ^ iS_±0 [6А + 35 (^ + Хо) _J_ 2С (jf2 + чч _|_ л.2)]
Как следует из соотношений (18'):
6 А + ЪВ (xQ + лг2) + 2C(*f + лг0*2 + х§ =Уо + 4у, -f .у*
Следовательно,
J /(х) rfx =, *2=2В (yQ 4-4Л +Л).
457

Обозначая -^—- = -«— через k, получим:
Х0
Подобным же образом находим:
f{x)dx^ — (Л + 4Уа+Л)»
Хг
'2і
С h
f{x)dx^z -j (у2п-2 + 4У2Я-1 +Л*)'
2л—2
Складывая соответственные части этих приближённых равенств
и полагая jc0 = a, а Х2п = Ь, получим приближённое значение
измеряемой площади или вычисляемого интеграла:
ь
[ f(x) dx ^ 4 [СУо + 4^і +Л) + (Л + 4Л +Л) + • • •
или
• . • + (^2я-2 + 4уа*-1 -\~У2п)],
Мы уже обозначили величину приближённого значения
интеграла по формулам трапеций (14) и (13') соответственно через
У| /j и /2. Обозначим соответствующую
величину по формуле Симпсона через Л
В Нетрудно убедиться в следующем
соотношении этих величин:
д
Черт. 207.
Пример 2. Вычислить приближённо число я по формуле Симпсона,
зная, что
X 1
Г dx , Г dx , - ¦«
о о
Криваяиу = (1+^3)"1имеет вид, указанный на черт. 207. Разделим дан-
458

ный интервал b — а = 1 на десять равных частей и вычислим
соответственные ординаты;
Уіс, = 0?
1,5:
Уі = Щ =0,990099...;
д>3-щ=0,917431...;
^7=^=0,671140...;
j/9 = 1_іг = 0,552486...;
3,931156 + * Ц
Х4
1
^2 =Yq4 =0,961538...
Л = ^=0,862068...
У* = Щ = 0,735294...
'і
Ув =
1,64
= 0,609756...
3,168656+*
Х2
6,337312+8.
15,724624+1в
f
dx
0,1
J1+* 4
О
~ [1,5 + 6,337312 f 15,724624]
о
~ -2,3561936 + 24;
о
4 Q 4247744
о о
Сравнивая полученный результат с известным значением к8), мы
видим, что он точен до пятого десятичного знака включительно. Но
установить критерий для оценки ошибки, допускаемой при вычислении
по формуле Симпсона, мы могли бы только на основании разложения
функции в ряд; разложение функций в ряды входит во вторую часть
дифференциального и интегрального исчислений, излагаемую во
втором томе этой книги.
§ 4. Оценка.значения определённого интеграла.
В предшествующем параграфе мы рассматривали способы
вычисления значения того или другого определенного интеграла
с желаемой степенью точности, которой можно достигнуть,
увеличивая число делений рассматриваемого интервала. Но часто,
особенно в вопросах теоретических, требуется знать только
грубо приближённое значение интеграла, знать только пределы,
хотя бы и не близкие между собой, в которых оно заключено.
Для такого грубого определения значения интеграла могут
служить следующие три предложения.
*)Для результата с избытком прибавляется к последнему знаку 4.
2) ж :*= 3,1415926536...
459

1. Если в интервале (а, Ь) подинтегральная функция f(x)
имеет наибольшее значение М и наименьшее т, то
ь
т(Ь — а) <?/(*)dx<^M{b — а), <20)
а
откуда
ъ
\ f(x) dx = ц {b — а), где т < ц < Ж. (20')
Функция /(дг) предполагается непрерывной в интервале (а, Ь)
и потому принимает всякое значение, заключённое между т
и М\ следовательно, существует такое значение с, аргумента,
заключённое между а и 6, при котором значение этой
функции равно числу \і:
ь
\f(x)dx=f$-{b—a), где /(5) = ц и а<$<?. (20")
а
Это предложение мы уже имели среди основных свойств
определённых интегралов (стр. 376).
При разбиении интервала b — а на равные части Адг:= ~-
мы, по определению, должны иметь:
ь а
\f(x)dx = \imYf{xi)bx =
= ііш 4* [/(х,) +/(х2) +... +/<*«)]=
П-ЮО П
ИЛИ
а J л-*оо га
л-*оо
а
Вторая часть предыдущего равенства есть предел среднего
арифметического ровноотстоящих значений функций f'(x)t а
первая по предыдущему (20") равна /($). Поэтому /(;) или
ь
т——\f(x)dx и называется средним значением функции f(x)
а
Ъ
в интервале b — а. Интеграл ?f(x)dx геометрически означает
a
460

площадь, известным образом ограниченную (черт. 185 на
стр. 376). Для получения среднего значения функции в
интервале (а, Ь) нужно соответствующую этому интервалу площадь
разделить на основание (интервал) b — я.
Пример 1. В каких пределах заключается значение интеграла
і
Г dx
Наибольшее значение функция в интервале (О, I) имеет
У \-\~хп
где л> 1?
Наибо.
при jc = 0:
а наименьшее— при х = 1:
Г 1 1 I У"2
Следовательно,
0,707... < Г . dx < 1.
Замечание. Рассмотренное выше предложение в форме
равенства (20") есть не что иное, как теорема о конечных приращениях
(стр. 354), только в ином виде. Действительно, полагая, что
\ f (х) dx — F {х) + С, и следовательно, F' {х) = / (х),
имеем по основному предложению интегрального исчисления:
ь
ij.f(x)dx = F(b)-F(a).
В силу же формулы (20")
ъ
^f(x)dx=F(b)-~F(a)=(b-a)f{t)y где д<$<*,
а
или, наконец, так как / (х) = F* (х);
F(b)-F(a)=(b-a)F'$).
А эта формула и выражает теорему о конечных приращениях.
461

у*
2. Положим, что три функции у{х)9 f(x) и ф(дг) таковы,
что в интервале (а, Ь) имеют место неравенства
<Р (*)</(*)<*(*)• (21)
Черт. 208 показывает геометрическое значение этих неравенств:
график функции f(x) заключён между
графиками функций <р (х) и ф (х), не
пересекая их в пределах рассматри-
у=ф(т1 ваемого интервала.
>y-ftx) Ясно геометрически, что площадь,
•у~ tftx) ограниченная кривой у =/(х), будет
какой-нибудь средней между
площадями, ограниченными кривыми
Х У = Ч(х) и яу = ф(Аг).
Черт. 208. Действительно, по условию, /(х) —
— ср (х) ^> 0 и ф (х) —f(x) ^> 0 для
всякого значения х, заключённого между а и Ъ* Поэтому,
предполагая а<^?, будем иметь:
а а
Из этих неравенств следует:
ь ь ь ь
\f(x) dx — jcp (x) Ac > 0 и ^ф (х) dx — \f(x) dx> 0,
0
а
а
а
ИЛИ
ъ . ъ ь
j <р (х) rf.v < ? /(*) dx < j ф (*) дГаг. (22)
а а в
Если функции ср(лг) и ф(х) таковы, что мы можем
определить их интегралы, то мы будем знать, между какими
пределами заключён и интеграл данной функции.
Пример 2. Оценить по этому способу определённый интеграл
_і
dx
V\+xn %
и
где я> 1.
Так как в рассматриваемом случае 0<^<1,а/г>1,то для этого
интервала имеют место неравенства
0<лг*<лг,
462

и поэтому
уТ Vi+xn Yi + x *
Отсюда, применяя формулу (22), будем иметь:
і і і
f. . Г dx ^ С dx
dx > —==— >
У\+ХП JV 1 +JC
о о ' о
Производя, где можно, интегрирование, находим:
О
т. е.
і г
1 > f т==- > 2 (іЛ?- 1) или 1 > Г Jf_ > 0,828...
JV 1+х* J> l+jf«
и о
3. Теорема о среднем значении интеграла. Наконец,
можно предложить и такой способ для приближённой оценки
интеграла. Положим, что подинтегральную функцию /(х) можно
представить в виде произведения двух функций <р(х) и ф(лг)г
причём одна из них, пусть y(x)t в рассматриваемом
интервале (а, Ь) не принимает отрицательных значений.
Предполагается, что /(#), ®{х) и ф (jc) — функции непрерывные. Пусть
наибольшее из всех значений функции ф (х) в этом
интервале будет М> а наименьшее пи Поэтому для значений ху
заключённых в интервале (а, Ь), имеют место неравенства:
/и<ф(х)<ЛГ.
Умножая на ср(дг), — по условию, не отрицательную величину при
всяком значении аргумента в интервале (а, Ь)7 — будем иметь:
m '$ (х)< <р (х) ф (*)< Ж 'f (*).
Предполагая, что а<^Ь, будем иметь на основании
предыдущего свойства:
ь ь ъ
m j to(х)dx<^f {х}dx<АГ\ <р(х)dx. (23>
а а а
Если а^>?, то каждый элемент каждого из этих
интегралов изменит свой знак и потому
ъ ъ ъ
m Г ср (х) dx > J / (jc) Ас >Ж j у (*) dx. (24)
а о а
463

Если мы знаем значения'от и Ж и, кроме того, значение
интеграла функции <р(лг), то мы будем знать и в каких
пределах заключено значение интеграла данной функции.
Можно написать далее
ь ъ
\f(x)dx = \i\(f(x)dxy где т<^\х<^М.
а
Так как функция ф(л-) в интервале (а, Ь) непрерывна, то при
некотором значении аргумента она принимает значение \і (гл. II
§Н):
ц = ф(5), где <*<?<*,
и следовательно,
^f(x)dx=№) J <p {x)dx. . (25)
а а
Это равенство и составляет теорему о среднем
значении интеграла.
В частном случае, положив у(х) = \ и, следовательно,
f(x) = ф (х), получим рассмотренное выше соотношение (20"):
ь ь
J/(*) dx == ф ($) j dx=f(% (*— а).
1
Пример 3. Оценить интеграл \;t3?-*'tf.r.
о
Каждый из множителей лг2 и е~~х% подинтегральной функции в
пределах интегрирования не принимает отрицательных значений; поэтому
любой из них можно принять за у(х). Пусты» {х)=^х27 а $(х) = е~х* .
Для значений аргумента в пределах интегрирования имеем:
— s^-^^l, т. е. /и=і. и М=\.
е е
Умножая члены этих неравенств на положительное число х^ dx, будем
иметь:
х2 dx ^ „ „хг , __ п t
< х2е х dx ^ х2 dx,
откуда
Г *'**<
о о
1 1
или
1
•464

УПРАЖНЕНИЯ.
00
1. [e*dx = 7
0
со
4. \"=?
6
7 Г ^
J 3/(x - a?
a Y
4
3
9. Г ¦*rf*
J Y'6x + 4
-з;
i
„32
2/
Д 00
2.
—00
5. (-1^ = 2. 6. [sinxdx-?
\xVx J
r _ Г дг dx
0
о
it
"2"
ГЛАВА VII.
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ГЕОМЕТРИИ.
§ 1. Квадратура площадей в прямоугольных и
косоугольных координатах.
Задачу измерения площади, ограниченной кривой линией
двумя ординатами и осью абсцисс, мы уже рассматривали при
самой постановке задачи интегрального исчисления. Связь
между той и другой задачами настолько тесная, что самое
название задачи измерения площади — квадратура —
перенесено на задачу вычисления интеграла, и принято говорить,
что вопрос, хотя бы и не геометрический, сводится к
квадратуре, если удалось привести его к интегрированию некоторого
выражения.
1. Если ограничивающая кривая дана уравнением y=.f{x)
относительно прямоугольной системы координат, то площадь,
заключённая между этой кривой, осью абсцисс и двумя
ординатами, соответствующими абсциссам а и д, представляется
в виде определенного интеграла:
ь ь
Iz=^f(x)dx=\iydx, (1)
а о,
Элемент этого интеграла f(x)dx или ydx представляет
площадь элементарного прямоугольника, который соответственно
различным значениям х, заключённым между а и Ь7 меняет
30 Курс высшей математики 465

01 4КЦ t *
Черт. 209.
свою высоту, занимая различные положения в измеряемой
площади. .
Если кривая y=f{x) . пересекает ось абсцисс в пределах
интегрирования (а, *), то интеграл от а до Ь дифференциала
f(x)dx даёт разность площадей,
расположенных над осью абсцисс, и
площадей, расположенных под этой осью
(стр. 363).
2. Случай косоугольной
системы координат.
Ограничивающая кривая y = f{x) может быть
отнесена к косоугольной системе
координат. В таком случае площадь /,
ограниченная этой кривой, осью абсцисс и
двумя ординатами, соответствующими
абсциссам а и *, разбивается на элементарные
параллелограммы, а не прямоугольники (черт. 209).
Высота элементарного параллелограмма равна ysmu>, а
площадь его равна у sin со dx, где ш-координатный угол, и потому
ъ
/z=sin(o \^ydx. (2)
а
Пример. Вычислить площадь
какого-либо сегмента параболы. Примем
за ось абсцисс диаметр, сопряжённый
хорде, служащей основанием
параболического сегмента, а за ось
ординат—касательную в конце этого дна- ч 2ю
метра (черт. 210). Уравнение,
параболы, отнесённой к этим осям, имеет
вид у~ — 2о'х. Ось абсцисс делит площадь сегмента / на две_ча-
сти Л и Л>; для одной из них у=У2р'х, а для другой у = — У 2р'х\
следовательно, обе части по абсолютной величине равны между собой,
и потому
/ = 2/i = 2sin» {VtyYxdx==2sm<uV2p'-jXi:d *
о
где jn— абсцисса конечной точки дуги сегмента. Так кгкУ^Р'хі=Уі>
то
I=-^-xy2y1sir\<i>.
Нолгі-2уі sin <о представляет величину площади параллелограмма с
основанием/равным основанию сегмента, и высотой, равной расстоянию
между этим основанием и осью у% а этот параллелограмм равновелик
466

треугольнику1), образованному основанием сегмента и касательными
к параболе в концах этого основания. Таким образом, площадь
параболического сегмента равна двум третям площади описанного
треугольника.
§ 2. Вычисление площади, ограниченной замкнутой кривой
линией.
Из формул предыдущих параграфов можно вывести способы.
вычисления площади фигуры,
ограниченной замкнутой не пересекающей
себя кривой линией. Рассмотрим
сначала фигуру, ограниченную двумя
кривыми линиями y1=f1(x) и y2=zf2(x)
и двумя ординатами,
соответствующими абсциссам а и Ь. Пусть в
интервале (а, Ь) соответствующие значения -z
функций удовлетворяют неравенству
Уі<Су2> т- е* кривая y1=fl(x) or- Черт. 213»
раничивает рассматриваемую фигуру
снизу, а кривая у2 =/2 (х) — сверху (черт. 211). Как видно-
из чертежа,
пл. АХВХВ2А2 = пл. АВВ2А2 — пл. АВВХАХ.
Следовательно,
и v и
пл. А1В1В2А2= \y2dx— \y1dx= \ (у2 — yx)dx.
а а а
(3)
Если а и Ь суть абсциссы двух последовательных точек
пересечения данных кривых, то интеграл (3) определяет
площадь, заключённую между дугами этих кривых. Та же
формула (3) даёт возможность определить и площадь фигуры,
ограниченной замкнутой не пересекающей себя кривой линией,
если только с любой прямой, параллельной оси ординат и за'
ключённой между двумя параллельными этой оси касательными,
эта кривая пересекается в двух точках. Таковы, например,
фигуры эллипса, окружности и других выпуклых овалов. Из
уравнения такой кривой F(x, у) = 0 должно определить
сначала две ординаты ух и у2, соответствующие одной и той же
абсциссе.
J) Уравнение касательной и в косоугольных координатах имеет
вид у — Уі=/'(Хі)(х — Хі); в частности, уравнение касательной к
параболе у* = 2р'х имеет вид У Уі=--р'(х-\~ хг\ откуда, при у=0,
х = — Д"і, ат это значит, что отрезок диаметра, заключённый между
сопряжённой этому диаметру хордой и касательной в конце ее,
делится параболой пополам.
30* 467

Пример 1. Определить площадь / окружности х2 +.V2 = а2. Из
уравнения окружности имеем;
Уі = _ У^=ж*, уа = V 5^Т2.
Следовательно,
—а —з
Но
j У *=* tf* =^-^ + ? arcsin J + С
Следовательно,
+.* - -
хУ& — & , я2 . *
/ = 2 jV —*3rf* = 2
arcsin —
= яА
2 1 2 а
х2 у2
Пример 2. Вычислить площадь эллипса —5-Ьт2 = 1- ^3 УРавне_
¦а
л.
ния эллипса имеем;
^і a a
Следовательно,
2& Г ,/-
/ = I (_у2 — j/i) rf-*" = — I V л3 — л:2 tfд* = iraft.
—а —а
§ 3. Случай параметрического представления кривой.
Если в уравнении y=f{x) (при прямоугольных осях
координат) абсцисса точки дана как некоторая функция
параметра f, то и ордината ег будет некоторой определённой
функцией того же параметра:
* = ?('), .У = фО, где ф(*) =/(?(*)). (4)
При таком параметрическом представлении кривой
вычисление площади сводится к вычислению интеграла (1),
преобразованного с помощью подстановки x = (p(t), и потому здесь
нужно иметь в виду те условия и особенности, которые были
указаны (гл. V, § 14) по вопросу о преобразовании
определённого интеграла помощью введения нового переменного. Таким
образом, если функция <!>(/) =/(ср(/)), а также функция ср(^)
и её производная <р'(/.) непрерывны в интервале (/0, tx) для t,
соответствующем интервалу (а, Ь) для х, то
ь h
1= ^ydx=[d>(t)<?f(t)dt.
а Го
468

Черт. 212.
Пример, Вычислить площадь /, ограниченную одной ветвьк>
циклоиды.
Линия, описанная точкой окружности, катящейся без скольжения
по прямой, называется циклоидой. Пусть точка М, описывающая
циклоиду, в начальном положении
окружности радиуса а была в
начале координат (черт. 212). За
параметр, определяющий положение
точки М, примем угол ty на
который повернулся радиус катящейся
окружности, идущий в почку Af,
от своего начального
(вертикального) положения. Координаты
точки М в каком-либо её положении
можно выразить в зависимости от
этого угла t и радиуса а катящейся
окружности. Действительно, пусть Р— точка прикосновения
окружности к оси абсцисс, a Q — основание перпендикуляра, опущенного из
точки М на вертикальный радиус окружности; как видно из чертежа,
x = ON = OP — MQ, y = NM = PA — QA;
но согласно условию и из треугольника MQA имеем:
OP~PM = att iWQ = asinf, QA = acost и РА = а.
Следовательно,
х = a (t — sin t), y = a(l — cos t).
Таково параметрическое представление циклоиды. При изменении
угла t от 0 до 2л, х изменяется от 0 до 2тся, а точка М описывает одну
ветвь циклоиды.
Определим теперь искомую площадь А Полагая у = а (1 — cos f)
и dx = a(l — cos t)dt, будем иметь:
/= С уйх = Ф С (1— costfdt.
Но
2тс
2*
2*
Г(і — cost)*dt={ dt — 2 С zostdt-\-\ cosa*df,
о ooo
2* 2n
[dt = [t\f = 2*, \ cos t dt = [sin t)f = 0,
0
2*
2rc 2re
Г ,^ fl + cos2^ J4
zos4dt= —3-^ rff = «.
Таким образом,
2я
/ = Д2 Г (і __ cos f)з d* = 2ітл2 + *Д3 — Зка2,
о
f. е. искомая площадь равна утроенной площади катящейся
окружности.
46?

§ 4. Квадратура криволинейного сектора в полярных
координатах.
Пусть кривая ллния дана уравнением в полярных
координатах
где г — радиус-вектор, 'а ш — амплитуда, т. е. угол между
полярной осью и радиусом-вектором. Вычисление площади
сектора, ограниченного двумя данными радиусами-векторами и
дугой кривой линии, может быть сведено к вычислению
некоторого определенного интеграла.
Площадь / сектор т О AM, начальный радиус которого
неподвижен, а конечный перемещается вместе с изменением <р,
будет некоторой функцией амплитуды ср; площадь сек-
-, тора OMMv полученного при малом измене-
^Х ' нии у, будет приращением этой функции:
J$W "пл. ОММх = Д/.
/$\1/ Будем предполагать, что при достаточно
t^^r^ >. малом изменении амплитуды радиус-вектор
9 либо всё время возрастает, либо всё время
Черт. 213. убывает. Тогда площадь ОММг будет
заключена между круговыми секторами OMN
и ОМхР (черт. 213), где MN и МгР—дуги окружностей
радиуса— одна г, другая г-\-Аг; если г возрастает вместе с
увеличением (р, ТО
пл. ОМЫ<і пл. ОММг < пл. ОМгР,
или
пл. ОМЛ/*< Д/ < пл. ОМгР. (5)
Но площадь кругового сектора равна произведению радиуса
на половину дуги сектора, а дуга окружности равна радиусу,
умноженному на дуговую меру центрального угла. Таким
образом, _
ш.ОММ= ОМ^=гг-^ = \ г* Д?|
пл. ОМгР= ОМі - -^?- = \ (г + Д/f А?.
Неравенства (5) принимают поэтому вид:
іг2Д?<Д/<1(г + Д/-)2Д?,
470

откуда
Т'в<Е<Т^ + М'.
r*dy.
(6)
а после перехода к пределу имеем;
1 о _ dl ^ 1 о
2Г ^ <*? ^ 2 Г '
Следовательно,
с?/ 1 9 ,г 1
dy 2 2
Таким образом, мы нашли дифференциал площади /,
рассматриваемой как функция амплитуды ср. Если начальный радиус-
вектор, ограничивающий эту площадь, соответствует
амплитуде <ри то
7 = |*/ = 1|/*<Лр. (7)
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную лемнискатой Бернулли.
Уравнение лемнискаты в декартовых координатах;
(*Н^)2 = я3(*2-У2). (8)
Уравнение той же кривой в полярных координатах получим, полагая
х — rcos<p. у =/-sin<p:
г2 = с? cos 2tp, или r = ± Kcos 2?T). (9)
L) Из уравнения (8) видно, что лемниската симметрично
расположена относительно осей
координат, ибо х и у входят только
в чётных степенях. Из уравнения
(9) следует, что в періюЙ
четверти г есть действительная величина
только при
Черт. 214.
2?<|
или
?<х;
наибольшее значение по
абсолютной величине радиуса-вектора будет а] наибольшее значение ординаты
-,-г тг • -. /cos 2ф (1 — cos2ср)
у = а у cos2f - sin у = а у 2_і_ —
по абсолютной величине равно
aVi
; соответствующая абсцисса
аУ§
# = a|/"cos2!p-costp
. Сопоставляя эти результаты, можно убедить-
имеет величину 2z 4
ся, что лемниската имеет вид восьмерки в горизонтальном положении
{черт. 214).
471

Радиус-вектор опишет четверть искомой площади, если у меняется
от 0 до -у;
1С ТС ГС
¦4"/==Т ]r2dcp==T ]a2cos2<p^==x)cos2(f ^-Т^2'^?
0 0 0
Следовательно,
Если /(<р)— однозначная- непрерывная функция,
принимающая при ср == 2тт то же значение, что и при <р = 0, то кривая,
данная уравнением г=/(<р), будет замкнутой, и интеграл
2тс
ЧИ?
даст величину площади, ограниченной этим замкнутым
контуром.
Пример 2. Уравнение окружности в полярных координатах, если
за полюс принять центр окружности, имеет вид r = at где а —
постоянная величина, и, таким образом, не содержит полярного угла у. Согласно
предыдущему площадь окружности определяется следующим интегралом;
§ 5. Площадь криволинейного сектора при параметрическом
представлении кривой.
Площадь криволинейного сектора можно выразить также
непосредственно в декартовых координатах, которые будем
предполагать функциями некоторого параметра t:
* = ?(0, У = Ф(').
Пусть, при изменении і от t0 до Г, функции y(t) и ф (f) и
производные их ср' (/), d/ (t) меняются непрерывно; соответствующая точка
опишет при этом дугу АВ? Если впишем в эту дугу ломаную
линию ААХА2.. ,АГ .. Лл_гВ и" будем сближать вершины этой
472

ломаной так, чтобы каждое звено её стремилось к нулю, то
площадь сектора ОАВ можно рассматривать как предел
площади многоугольника ОААгА2 ... At.-.. Ая_гВ или как предел
суммы площадей треугольников ОААи ОАгА29..., ОАп_хВ.
Будем обозначать координаты точки Аі через хі9 у?і
соответствующее значение параметра через /„ разность (приращение)
двух последовательных значений ііУ xit yt соответственно через
А'* ^ ДЛ:
4+і — 4 = Д/;> xt+i —хі = Ьх* У и \ — Ь = АУ/
(і = 0, 1, 2,..., п),
откуда
'/+і = ?# + д'/» **+і = ** + **/. Л+і=Л + АЛ-
Определяя площадь прямоугольника OAtAul по известной
формуле аналитической геометрии (стр, 42), будем иметь:
пл. ОЛ,<4,+1 = т (AT/fy/+1 —xi+ly?) =s
= Т [** < ¦* + ДЛ>~~ <** + ^Лі
или по приведении:
пл. 0^/+1==-g-(^A^— ^Ддг;) (* = 0, 1, 2,..., п— 1).
Следовательно,
я-1
и
пл. ОААгА2. ..Аг. .Ап_гВ = т ? (х^—^Ьх^
я —г
Л->00 /^Q
И — А
пл. ОАВ = у lim ^ (** АУ/ —Уі Д^/)»
или
а—1 я—1
пл. ОАВ = -о" Ит 2-**дЛ— Т lim ^-V/A^/>
Будем предполагать, что ср'(2) и ф'(г) в интервале (/0, Т)
не меняют знака, т. е. x = y(f) и.у = ф(*) меняются монотонно
(не колебательно). При таких условиях как первая, так и
вторая суммы, по определению (гл. IV, § 4), стремятся к ин-
47S

тегралам, и следовательно,
t~T t=.T i—T
пп.ОАВ = — xdy— у ydx = Y (хсіУ—У4х).{\0)
Этот интеграл соответственно тому, каково направление
против или по часовой стрелке) движения точки по контуру,
ограничивающему площадь ОАВ, будет иметь положительную
или отрицательную величину.
Если бы x=w(t) и y = b(l) не подчинялись для данной
дуги условию монотонности, то мы разбили бы такую дугу на
части, удовлетворяющие этому условию (предполагая, конечно,
что это возможно). Для каждой такой части имеет место
равенство (10). Складывая почленно эти равенства, найдём, что
и для всей дуги это равенство имеет место. Предполагается
пря этом, что число частей конечно1). Интеграл (10) для
такого рода дуги даёт алгебраическую сумму положительных
и отрицательных частей, что в окончательном итоге даст
площадь сектора, ограниченного дугой и двумя
радиусами-векторами, идущими в концы этой дуги.
Если кривая х = ср (і\ у = ф (г) замыкается, т. е. ср (/0) =
= ср(Г) и сЬ (^0) = сЬ (Г), то формула (10) даст площадь,
ограниченную этой замкнутой кривой.
Пример. Вычислить площадь / эллипса.
Координаты точки эллипса можно выразить с помощью параметра
следующим образом:
х — a cos t, y = b sin t.
Действительно,
±=cost, j = sint и § + g=l.
При изменении t от 0 до 2тс точка (х^ у) опишет весь эллипс в
направлении, противоположном движению часовой стрелки, и потому
1= -у \ (xdy — ydx) = — \ [acost-bcost-{-b sin* -a sin*] dt =
t=Q 0
2тс fct
= y ab (cos2* + sin20^ = 4-^ dt~%ab.
l) Точки, которые разбивали бы должным образом дугу АВ,
соответствуют тем значениям параметра іл которые обращают в нуль
производные у'(f) и ф'(*). Мы предполагаем число корней той и другой
производных конечным.
474

§ 6. Спрямление дуги плоской кривой линии.
То, что разумеется под длиной дуги кривой линии,
должно быть определено так, чтобы иметь возможность
количественно сравнивать дугу кривой с прямолинейным отрезком.
Как бы ни была мала криволинейная дуга, она несравнима не
посредственно путём наложения с прямолинейным отрезком.
Под длиной дуги кривой линии, по определению,
разумеется предел, к которому стремится периметр
вписанной в эту дугу ломаной, когда звенья ломаной при
безграничном увеличении числа их стремятся к нулю. При этом
концы ломаной совпадают с концами дуги, а порядок
вершин определяется их последовательным расположением на
кривой.
Пусть дана плоская кривая уравнением y = f(x), где f(x)—
непрерывная, имеющая производную, функция. В дугу LM этой
кривой вписываем ломаную ЬАУА2 ... AL... Ап_гМ;
координаты вершины А} обозначим через х., yt (г = 0, 1, 21в..., п),
причём х0 = а, у0=/(а) и хп — Ь, yn=f{b) — координаты
концов дуги LM. По формуле расстояния определяем длину
звена этой ломаной:
аіаі+і = V(xt+i—*i)* + (Л+1 —Уі)2-
По теореме Лагранжа о конечных приращениях (стр. 354)
разность уі+х—Уі можно заменить выражением, содержащим
производную данной функции:
Уі+г— Уі = (хі+і— *t)f$i)> где xi<ti<xt+i (ПРИ *<*)¦
Следовательно,
V,+i = (*,+i-*,)/i+[/№
ИЛИ
где Ьі = хі+Х—xt. Обозначая длину измеряемой дуги через s,
будем иметь согласно вышеприведённому определению:
5=іітвукі+[/'(ад2»,.
475

Но по определению (гл. IV, § 4) правая часть этого равенства
представляет определённый интеграл функции V \ 4~ [/'М]2»
и потому
у.
я
0
і
т
/
ч
t
(м
і *-
У 2
ИЛИ
а
Черт. 215.
Пример. Уравнение
а
y=Y\ea +*
*)
определяет так называемую цепную линию (черт. 215); форму
этой линии принимает свободно подвешенная в двух точках
однородная цепь. При дг = 0, у = а будет минимумом функции у.
Вычислить длину дуги AM, где точка А (0, а) — вершина цепной линии,
а М(хЛ у) — какая-нибудь её" точка.
Решение»
2 \
х_
а
х
а
1-НУ
f4
?\2
а
ds = ^[ea+e a)dx;
AM=[-L\ea +e
X X
<-Tf's'(5)-fJ'~'(-T)
0
/ — — —
Этот результат приводит к следующему свойству цепной линии.
Как видно из чертежа,
Но
QM — РМ* sin а, или QAf=.ysiaa.
Л.=.^=^==-^1==і(Д-.Г7)4(Д+Г7)1
Уі 4- tg2 a Vl +У« 2
476

откуда
QM =^sina==~(ee"—<?" J ,
т. е.
QM -= AM.
Таким образом, проекция ординаты точки М на касательную в этой
точке равняется спрямлённой дуге AM цепной линии (черт. 215).
Задача. Доказать, что PQ—a (черт. 215).
§ 7. Элемент дуги плоской кривой.
Будем рассматривать на кривой, данной уравнением _у =
=/Wj переменную дугу LM=s. Точку L, имеющую
координаты а и /(а), будем считать начальной неподвижной
точкой этой дуги, а точку М(х, у) — перемещающейся по
кривой вместе с изменением х (черт. 216). Длина дуги s
будет при этом меняться в зависимости от
изменения х, будет функцией х\ вид этой
функции уже определён в предыдущем
параграфе;
X
$=^]Л + у*Жс. (11)
а Черт. 216.
Если условимся брать перед радикалом положительный знак,
то s будет функцией всегді возрастающей, при х<^а
принимающей отрицательные значения, а при х^>а — положительные.
Дифференцируя эту функцию по х, найдём производную её,
а потом и дифференциал или элемент дуги:
g = VT+7*, ds = VT+y*dx. (12)
Принимая во внимание, что у' dx — dy, можно выразить
элемент дуги через дифференциалы dx и dy:
ds = Ydx* + dy*. (13)
Элемент дуги ds, как следует из определения
дифференциала, является главной частью бесконечно малого
приращения дуги As и составляет также главную часть бесконечно
малой хорды КД#2-|-Ду2, соответствующей этой дуге. Это
последнее утверждение вытекает из следующей теоремы.
Теорема. Отношение дуги кривой линии к стягивающей,
эту дугу хорде стремится к единице как своему пределу,
когда концы дуги стремятся к совпадению.
417

Доказательство. Действительно, пусть х к у—
координаты точки М кривой y=f(x) и х + Д*, ^ + Aj/
—координаты точки Мх (черт. 217). Дуга ММг равна Д^
а хорда ММХ = У&х2-\- Дуа. Следовательно,
-. ЛЩ" ,. Д.у ,. Д.*
Т/"ДГ2 + Ду2 |/"l + /AV\a>
Черт. 217.
откуда на основании равенства (12):
,. 1ШСХ s'
lim -= = 1,
ЛШ* Vl+У2
что и требовалось доказать.
§ 8, Спрямление дуги кривой при параметрическом
представлении кривой и в полярных координатах.
Пусть кривая представлена параметрически: Jf = ср (*), j/=
= cb(*). Определяя из этих уравнений dx и dy, будем иметь
из соотношения (13):
rfs = V dx* + rfy? = VW it)f + [ф' (*)]a dty (H)
и следовательно,
tx
* = J/[v'W]a + [*'«]2*, (15)
'0
где г^0 и /t—значения параметра для начальной и конечной
точек дуги.
Нетрудно также получить формулу спрямления дуги в
полярных координатах с помощью формул преобразования
декартовых координат в полярные:
х —г cos у и у = r sin if.
Дифференцируем обе части этих равенств, считая ху yt г и <р
переменными:
dx = cos <р dr — г sin ср dy,
dy = sin® dr-{-r cos cp dyt
откуда
^лг2 = cos2 ер rfr2 — 2r cos cp sin <fdrdy-\- r2 sin2 <p dy2,
dy2 = sin2 $ tfr2 -{- 2/- cos cp sin cp afr d<q -\~ r2 cos2 ^ d'f2,
478

Следовательно,
Л=]/>*-|-г'аЛр1) и 5 = j]/r2 + /-/2^ (16)
где <р0 и срх—амплитуды концов измеряемой дуги.
§ 9, Спрямление дуги пространственной кривой.
Пространственная кривая как линия пересечения двух
поверхностей определяется двумя уравнениями, которые можно
представить в следующем виде:
у = <о{х), z=b(x).
Дуга пространственной кривой, так же как и плоской,
определяется как предел периметра вписанной ломаной, когда число-
звеньев безгранично увеличивается, а каждое звено безгранично
уменьшается до нуля. Пусть в дугу АВ вписана ломаная
ААгА2 •.. Аі... Ап_1В; xt, у., zi— координаты вершины At (* =
= 0, 1, 2,..,, п); х0 = а, хп=Ь — абсциссы концов дуги АВ.
По формуле расстояния имеем:
Можно преобразовать это выражение, заменяя разности
уі+г—Уі и г/+х—zt по теореме Лагранжа о конечных
приращениях (стр. 354):
Уі+г — Уі={хі+і—хі) <р' (У > */+1 — zi={xi+l —*,) ф' (5/)
х) Эту же формулу можно получить непосредственно из чертежа
(черт. 218). Пренебрегая малыми высших порядков, можно
криволинейный треугольник МРМ\ считать за
прямолинейный с прямым углом при вершине Р, так что к\\м
ммі = ]/"л5р2+рЩ-
Но _ _
лШх = ^st мр=г д«, рліі=Vi
и следовательно,
Д^=У7«Л?з4 Дг«,
откуда
479

тде
*i<%<xt+x и Xt<K<*i+v
Преобразуем радикальное выражение так, чтобы под знак
радикала входило только одно значение аргумента, например
$,. интервала (х^ лг/+1).
Два радикала У А и У В, из которых каждый не меньше
единицы, отличаются один от другого меньше, чем на половину
разности подкоренных количеств. Действительно,
У'Л-УЪ==Ш^ и Wa-Vb\^\a-b\
Применяя это общее положение к радикалам
Vi + foW+N'W и V\+ [<?%)}*±№Ш>
из которых каждый, очевидно, не меньше единицы, будем
иметь:
VTTWW4WW2=VWwWTWW+ч
причём
где Mt — максимум, т? — минимум функции у [сЬ'(л-)]2 в
интервале (хі9 хі+х).
После таких преобразований периметр Р вписанной
ломаной можно представить в следующем виде;
где 8f=v:/+1—xv При переходе к пределу в
предположении, что л—і-оо и §,—*0 (і = 0, 1, 2,..., п—1), пер-
вый член этого выражения стремится к интегралу функции
y\JtW{x)f^r[^{x)f, а второй, т. е. 2аД., —к нулю, ибо
в силу соотношения (17) и определения интеграла
х) Предполагается, что ?' (дг) и ф' (х) — функции непрерывные;
следовательно, функция -^-[Ф'(*)]2 интегрируема, т. е. 2^А* и 2 «А
ъ
стремятся к одному пределу: у W(x)]2dx.
480

Таким образом, дуга пространственной кривой может быть
вычислена помощью определённого интеграла
ь
s = lim Ра = $ ]Л 4-1?' (*)]« + [ф' (*)]» **. (18)
а
Пример. Вычислить длину дуги кривой пересечения двух цилин-
дров у = уА'2у 2 и z =з — х\ считая от начала координат до
точки, абсцисса которой равна а:
а а
s=[Vl + 2x*+x*dx= \0> + x4dx=[x+^YQ=a + j'
о о
Если в интеграле (18) верхний предел переменный, то дуга 4
будет функцией верхнего предела:
X
a = $Кі+[?'(*)]"+ №'(*)? dx. (19)
а
Дифференцируя этот интеграл, получим и производную
и дифференциал или элемент дуги пространственной кривой:
И
&=Ki-M?'W]s+№'W]a^-
(19')
Так как <рт (x)dx = dy и tyr(x)dx — dz9 то элемент дуги
пространственной кривой может быть представлен в следующем
виде:
ds — Vdx* + dy*-\-dz\ (20)
Это выражение является главной частью соответствующей
бесконечно малой хорды K^2 + ^24~^3» где Ax=#/+1—х#
Ду=я^+1—yl9 bz = zM-—zr Действительно, нетрудно
убедиться в справедливости теоремы, из которой это положение*
вытекает, аналогичной теореме для дуги плоской кривой:
Теорема. Отношение дуги пространственной кривой
к соответствующей хорде стремиітя к единице, как своему
пределу, когда концы дуги сближаются до совпадения.
31 Курс высшей математики 4**

Доказательство, Обозначим бесконечно малую Дугу
через Д$, соответствующая хорда равна Y^x2 + ky2, -{- bzK
Составляем отношение дуги к хорде и, преобразуя его,
переходим к пределу:
и д5 ,. Д*
lim _,... -¦'. , . ¦¦ ¦¦ = hm
tx-+ 0 УЬх*+Ьу* + Д*2 Д*-Ю Л , / Aj/\ 2 , /
Д?\2
5'
Vl+y't + z** *
Но, как следует из выражения для производной s' (19f),
числитель предыдущей дроби равен знаменателю.
Следовательно,
lim г Д* = = 1,
что и требовалось доказать.
Если предел отношения двух бесконечно малых величин
равен единице, то главные части их равны (стр. 281).
Следовательно, главная часть бесконечно малой хорды |/Длг2-4-Д^2-[-Д?3
равна элементу дуги ds, т. е. У dx2 -\- dy2 -[- dzl.
§ 10. Кубатура тел.
Вычисление объёма, иначе — кубатуру тела, во многих
случаях можно свести к квадратуре, т. е. к вычислению
определённого интеграла. Пусть требуется вычислить объём тела*
Ьграниченного некоторою поверхностью и двумя плоскостями,
перпендикулярными к оси абсцисс: х = а и х — Ь.
Площадь сечения, перпендикулярного к оси Ох, будет меняться
вместе с перемещением секущей плоскости, т. е. с изменением лг,
будет, следовательно, некоторой функцией <р'{х). Если эта
функция дана или определена, то кубатура тела сводится
к квадратуре. Действительно, делим интервал (а, Ь) на подин-
тервалы 80, 5:, $а,..м &а-и вставляя между а и Ъ ряд точек
хиі — *і=Ъі C = 0t ]> 2,..., п; xQ=za, хйт=Ь).
Через точки деления проводим секущие плоскости, перпенди*
кулярные к оси абсцисс, разбивая тем самым тело на ряд слоев.
Площади оснований слоя, соответствующего значку /, будут
V(xt) и Фіхі+і)* а толщина &,. Заменим каждый слой
цилиндром с тем же основанием <р {х^ (/==0, 1, 2,..,, л—1) и той
482

же высотой bt. Объём такого цилиндра равен tp (xt) Ъ{, а объём V
всех так образованных цилиндров — сумме слагаемых вида
? (хі) ^/» г^е і ПРИ переходе от одного слагаемого к другому
принимает значения 0, 1, 2,..., п — I;
*v=sW,)»,.
*ssO
(21)
Предел этой суммы при безграничном увеличении числз
делений (л—*оо) с одновременным уменьшением до нуля
толщины каждого цилиндрического слоя (8,—* 0), т. е. интеграф
функции <р(х) в пределах от а до Ь, и составит, по определен
нию, объём рассматриваемого тела:
V=llm Ул = 1іт 2 <Р (*Д = 9W&. (22)
Объём тела вращения. Таким образом легко вычислить,
например, объём тела вращения, для которого ось абсцисс
служит осью вращения (черт. 219).
Действительно, пусть тело
образовано вращением площади,
ограниченной осью абсцисс, кривой
у—/(х\ не пересекающей оси
Ох (_у^>0), и двумя ординатами,
соответствующими значениям
абсциссы х = а и х = Ь. Площадь
перпендикулярного к оси абсцисс
сечения, как площадь
окружности радиуса у, равна тгу2.
Следовательно, y(x) = j:[f(x)]2, объём
элементарного слоя <р (х?) S,, образованного вращением
прямоугольника M0MfQQM (черт. 219), равен тгу* Же, и
Черт. 219.
V О
V=^y\dx = ^[f{x)fdx.
Пример 1. Объём шара. Шар получается при вращении
полуокружности j/=]/V2—х2 около диаметра, служащего осью абсцисс
При интегрировании х меняется от — г до -{-г:
V=1t{y*dX = K Г(Г2-*2)<** = *Г
-Г —I1
+г
~-*L
J «Л
31*
483

Пример 2. Определить объём сегмента параболоида, полученного
вращением параболы у2~2рх около оси её, при высоте сегмента,
равной х (черт. 220).
X X
V = rc \y*dx = x \ 2pxdx=npx2.
о о
Если вращается около оси Ох площадь, ограниченная двумя
кривыми ух =fx (х) и j/2=/2W (У2^>Уі^>^\.И Двумя
прямыми х = а и х = Ь, то объём образовавшегося тела
вращения определяется как разность объёмов
двух тел предыдущего типа;
ъ
а
Черт. 220.
Таким способом можно вычислить,
например, объём тела, образованного
вращением замкнутой плоской кривой линии, не
пересекающей оси абсцисс.
Пример 3. Вычислить объём тора. Тор получается вращением
окружности около не пересекающей её прямой, находящейся с ней в
одной плоскости. Пусть центр окружности лежит на оси ординат, на
расстоянии h от начала, а радиус равен а:
Из уравнения окружности имеем ух = h — Ya2~х2 и yz — h-\-
rJ-У а2—х2. Следовательно,
а а
V = я С Су| - у\) dx = Ыг Г VЖ^х2 dx = 2ir2ft<ft
—Л
—а
так как
4
і
-~д
Va2__x2 ^д.
Пй3
(половина площади окружности).
Приведём теперь примеры вычисления по формуле (22)
объёмов тел, ограниченных поверхностями, не являющимися
поверхностями вращения.
Пример 4. Определить объём эллипсоида
a2~T?2"rc2 — i-
Уравнение эллиптического сечения, перпендикулярного к оси
абсцисс на расстоянии х от начала, имеет вид:
,2 9% у2 і/2 %2
У* . Z* л Xй
Т, + ~о ^ 1 к ИЛИ
Ь2 ' с2 а2
484
О^Г [&*=*]
=1.

Полуоси этого эллипса:
с'_ Ь і/"л—~ ь,__ С
а площадь (стр. 468):
Следовательно,
—а
Пример 5. Даны два эллипса, лежащих в перпендикулярных
плоскостях Оху и 0;сг:
а2 і Ь1 а1 ' г?2
Треугольник ЛВС переменной формы перемещается так, что
плоскость его всегда остаётся перпендикуляром к оси абсцисс, вершины В
и С остаются на первом эллипсе, а вершина А — на втором.
Определить объём тела, образовавшегося при таком перемещении
треугольника.
При данном значении х сторона треугольника ВС = 2у, а высота
AH~z, Следовательно,
be
пл. ABC=yz = ^{cfi-x*)3
а<
так как
Таким образом,
а а
»(*)=? (*-¦*•)
и
v-g|>-*,*,-5[-,-f?-4.*
—Я
Принцип Кавальери. Формула (22) служит основанием так
называемого принципа Кавальери: два тела, заключённых между
двумя параллельными плоскостями, равновелики, если сечения
их любою плоскостью, параллельною ограничивающим
плоскостям, равновелики. Действительно, объём того и другого тел
выражается, согласно условию, одним и тем же интегралом (22)
§11. Компданация поверхности вращения.
К квадратуре сводится и вычисление или к мпланация
поверхности вращения, ограниченной двумя плоскостями,
перпендикулярными к оси вращения. Пусть y—f (х) — уравнение той
32 Курс высшей математики ™*

линии, не пересекающей оси абсцисс, вращение которой
образует рассматриваемую поверхность (черт. 221). Вписываем в
дугу ЛВ этой кривой ломаную ААгА2...Аі ...Ля-15; х{, у{ —
координаты точки А(> xQ = at xn = b— абсциссы концов А и В,
Звено AtA{+l при вращении описывает боковую поверхность
усеченного конуса:
пов. (ЛДЧ1) = 2^'+-^ • А~А~[ =
С М м В х Мы предполагаем, что у =f(x) —
Чеот 221 функция непрерывная и потому принимает
каждое промежуточное значение между
значениями^ и^+1, а следовательно, и значение, равное -J-O^isl #
Пусть
т==Уі±Уііі.л где *,<е,0*+і-
Кроме того, по теореме Лагранжа
Таким образом,
где 8/ = ;с/+3—xt. Но по тем же соображениям, какие были
применены в § 9, имеем:
УЧЛГШ = /! + [/'№ + а„
ПрИЧёМ
1^1<т{[/'(^]2-[/(^)]2Г<^-%.
где Aff—максимум, a /я(.— минимум функции -^[/'(х)]2 в
интервале (хі9 хиі).
Поверхность S, образованная вращением дуги АВ> является,
по определению, пределом поверхности Рл, образованной
вращением ломаной AAXA2... А{*. .АП_ХВ:
S== lim Р„= lim S2n/(S,) /l + [№]4 + «»22it/(S,) «Л-
Первое слагаемое, по определению, есть интеграл от а до ?
функции 2tt/(x)JA -j-[/'(x)]2' Второе же слагаемое стремится
486

к нулю. Действительно, пусть N—наибольшее значение
функции J{x) в интервале (а, д); в таком случае
JlimJ] 271/(2;) а1Ь[\<і2тіЫ lira JJ ]а,|8,<
< 2тгЛ^ [Urn 2 Щ ^ — Нш 2WA J-
Н°2^А и 2ОТА стремятся к одному и тому же пределу (мы
предполагаем функцию [f(x)]z интегрируемой), именно к
интегралу функции [/' (х)]К Следовательно, lim 2 2тг/"(5,-) аД = 0.
Итак,
5= lim Рп = 2тг С / (*) /1 4- [/' (а:)]2 Лг
а
или, принимая во внимание, что f(x)=zy и V\-\-yt2dx^=ds,
х=Ь
S=2nf\yVl'-t-yi*dx = 2it ^yds.
Пример. Вычислить поверхность сегмента параболоида,
полученного вращение^ параболы у2~2рх около её оси при высоте сегмента
равной х (черт. 220).
х х Г 3-1 j:
5= 2itfy ds = 2кУ7Гk 3F+7>йдг = |*/JL(2r-bP)2 J„ =
§ 12. Механическое и физическое значения
определённого интеграла.
5 предыдущих параграфах было рассмотрено геометрическое
значение определённого интеграла. Оно зависело от того, какое
геометрическое значение имела подинтегральная функция. Если
подинтегральная функция выражала величину ординаты точки
кривой в зависимости от абсциссы, то интеграл представлял
площадь этой кривой; если подинтегральная функция выражала
площадь одного из параллельных сечений какого-либо тела
в зависимости от расстояния плоскости сечения от начального
положения, то интеграл представлял объем данного тела; при
других значениях подинтегральной функции интеграл имел
другое значение: он мог, как мы видели, представлять длину дуги,
поверхность тела и т. п. Если подинтегральная функция имеет
32* 487

механическое или физическое значение, то интеграл будет
представлять некоторую величину, также имеющую механическое
или физическое значение.
Работа силы. Пусть тело, находящееся под действием
некоторой силы Р, перемещается по прямой линии, направление
которой совпадает' с направлением действующей силы. Принято
говорить, что при таком перемещении тела сила Р совершает
некоторую работу R. При' этом, если величина силы Р
оставалась неизменной при движении тела, то работа R силы Р
измеряется произведением этой силы на длину пути S,
пройденного телом: R = P-S. Если сила Я при движении тела изменяет
свою величину, то работу этой силы измеряют следующим
образом. Допустим, что в каждой точке пути сила Р имеет
определённую величину. Обозначив через х переменную величину,
пути, отсчитываемую от некоторой точки О прямой, мы можем
сказать, что сила Р есть некоторая функция х: P=f(x), Пусть
начальная и конечная точки пути отстоят от начала О
соответственно на расстояния а и Ь. Делим, интервал между этими
крайними точками на подинтервалы й0) Ьи §2, ...,3Я_1, вставляя
между а и Ь ряд точек xv хъ х3,. .. ,хп_ь причем
хі+і—хі = &і (' = °> !> 2'-"> п> Хо = а> хп = д).
Величина силы Р в начале подинтервала, соответствующего
значку /, будет f{x^b^ Предположим, что на всем этом под-
интервале сила не изменялась и сохраняла ту величину, которую
она имела в начале этого подинтервала. В этом предположении
работа силы во взятом подинтервале будет f(xt)br
Сделав такое же предположение для всех подинтервалов
вычислим работу силы в каждом из них и составим сумму всех
этих работ;
Предел этой суммы при безграничном увеличении числа
делений (п—> оо) с одновременным уменьшением до нуля длины
каждого подинтервала, т. е. интеграл от функции f(x) в
пределах от а до Ь, и составит по определению работу силы на
данном участке пути:
/? = Нш 2/(*/)*/==\/<*)**-
Пример. Рассмотрим материальную частицу М, находящуюся под
действием силы притяжения Д прямо пропорциональной расстоянию
частицы М от центра притяжения О. Допустим, что частица лереме-
488

щается по прямой, проходящей через центр притяжения О. Обозначим
через х переменную абсциссу частицы М на взятой прямой,
отсчитываемую от центра притяжзния О, и вычислим величину работы силы
на участке пути между точками х~а и x=zb. По условию Р~~К?х,
где /С2 — коэффициент пропорциональности; знак минус взят потому,
что направление силы противоположно положительному направлению
отсчёта пути. По определению работы;
b
R=-[K2xdx==^(a*--b2).
а
Давление жидкости на стенку сосуда. Допустим, что
в сосуд с какою-либо жидкостью погружена плоская пластинка
заданной формы. Определим общее давление жидкости на одну
сторону этой пластинки.
Как известно из физики, давление жидкости на каждую
частицу боковой стенки сосуда равно весу цилиндрического
столба жидкости, имеющего основанием эту частицу, а высотою —
расстояние частицы от >уровня жидкости в сосуде. Заметив
это, разделим всю поверхность погружённой в жидкость
пластинки на достаточно узкие горизонтальные полосы. Для этой
цели разделим вертикальное расстояние между самой верхней
и самой нижней точками пластинки на п частей: 50, dlf 52)...,
8 _j и проведём через точки деления гори.онтальные прямые.
Глубину, на которой находится каждая полоса, обозначим
соответственно через hQt hu А2>- • •» ^й-і> а длины этих полос —
через /?0, рь /?2'**" Pn-v Площадь горизонтальной полосы,
соответствующей значку /, при беспредельном возрастании п
будет на бесконечно малую высшего порядка отличаться от
площади прямоугольника, основание и высота которого суть
соответственно рь и Дй,, т. е. от величины р^кг При этом pt
есть функция кіч определяемая формой данной пластинки:
pi=f(h{). Так как частицы взятой нами горизонтальной
полосы находятся на одинаковой глубине, то давление жидкости
на эту .полосу будет равно
где р — плотность данной жидкости.
Общее же давление на все полосы будет равно сумме
2pWi)a*<-
Предел этой суммы при безграничном возрастании п с
одновременным уменьшением до нуля ширины каждой полосы, т. е.
489

интеграл
p[hf(h)dh,
и составит, по определению, общую величину давления. Этой
а формулой пользуются, например, при
определении давления воды на шлюзы плотины.
Пример. Шлюз плотины имеет форму
равнобедренной трапеции, верхнее основание которой
находится на уровне воды и равно а, а нижнее
погружено в воду и равно Ь. Высота шлюза от
поверхности воды до нижнего основания равна Н
(черт. 222). Определить давление воды на шлюз
плотины.
В данном случае длина р полосы, находящейся на глубине Л, мржет
бцть найдена следующим образом:
р _Ь
-2—Т + **
Черт. 222.
но
а — Ъ
И
Отсюда
Следовательно,
H-hb
xj?-b){H^~K)
И
р = Ь-\ _ (ft— h).
Искомое, давление найдём в форме интеграла:
Я И
Р [phdh = ? [ (ь +
о
v ' (//— h) I hdh =
H
н
= р \bhdh+2p(aipb) (H~h)hdh =
о а
__ № 2p(a-b)(H* Я3\ Ь + 2а
-Р*Т+—tj—1т~Т j"P-6"™№-
В рассмотренных выше примерах мы пользовались
определением интеграла как предела суммы. Во многих вопросах
механики, физики и других областей прикладного знания
находит себе широкое применение также и другое определение
интеграла, именно, как разности двух значений первообразной
функции.
Длина пути. В § 9 гл. Ill было показано, что скорость
движения теда по прямой линии равна производной пути до
490

ds
времени: v = - t Пусть тело движется по прямой линии,
причём скорость движения изменяется с течением времени по
некоторому заданному закону, выражаемому формулой v =f(t),
и требуется определить длину пути, пройденного телом в
данный промежуток времени. Из равенства v = — следует, что $
есть первообразная функция для /(/), т. е.
Для нахождения длины пути, пройденного в промежуток
между моментами времени tt и t2l нужно, очевидно, взять
разность значений этой первообразной функции при t=zf2
и t = tv Эта разность представится определённым интегралом;
/я
Задача, Тело движется по прямой линии, причём скорость его
меняется по закону: v = a cos Ы (гармонические колебания).
Определить длину пути, пройденного телом в первые t сек. после
начала движения.
Решение.
і
s= \ azosktdt~Y sin А*.
о
Количество вещества! вступившего в химическую
реакцию. Определим количество вещества, вступившего в реакцию
в данный промежуток времени, предполагая известным закон
изменения скорости v этой реакции.
Пусть v=f(f). В § 9 гл. III было указано, что если дг —
количество вещества, вступившего в реакцию к моменту
времени ty — есть некоторая функция времени t: х = <{(?), то
скорость реакции представляется формулой
dx
Отсюда следует, что dx=vdt. А так как г> =-/(/), то
dx=f(t)dt.
Следовательно, х есть первообразная функция для функции/(*):
Количество вещества, вступившего в реакцию в промежуток
491

«а
і
между моментами времени іл и t2> выразится определённым
интегралом
к
f{t)dt
Количество тепла, притекающего к телу. Пусть
некоторое тело подвергается нагреванию, причём температура его
повышается от температуры t\ до температуры h. Удельная
теплоемкость тела с есть некоторая функция температуры:
c=zf(t). Будем считать эту функцию известной (при
небольших колебаниях температуры она считается обычно величиной
постоянной) и определим количество тепла Q, которое должно
р
получить данное тело при повышении его температуры от і\
до 4
В § 9 гл. III было указано, что
dQ
Отсюда dQ=zc dt=f(t)dfy следовательно, Q есть первообразная
функция L Искомое количество тепла выразится определенным
интегралом
h
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Определить площадь, ограниченную дугами двух
пересекающихся парабол: .у == — 3+• Sjt; — 2.г2 и у — 6 — Ах -f- х\ Отв. 4 кв. ед.
2. Определить площадь сегмента параболы у- = 2рх, отсекаемого
Р Р%
от неё прямой х — •?- = 0. Отв. -^ •
3. Определить площадь, заключённую между кривой у = хг и
прямой у = х. Отв. — .
а
4. Определить площадь сегмента, отсекаемого от равносторонней
я3
гиперболы хг — уг = а1 прямой у = 2 (х — а). Отв. — (4 — 3 Jn 3),
5. Определить площадь астроиды
¦L 1. 1.
л:3 4-.у3 = Д3.
Указание. Астроида — замкнутая кривая, симметричная
относительно осей координат, имеющая в точках (а, 0), (0, а)л (— я, 0),
(О»—а) точки заострения (точки возврата) и обращенная выпуклостью;
т

в сторону начала координат. Следует вычислить сначала площадь части
кривой, заключённую в первой четверти. Отв. 5 =— яд*.
о
6. Вычислить площадь астроиды, данной параметрическими уравне-
о
ниями х— a cos3*, у = a sin31, по формуле § 5. Отв. S = •— га2.
8
7. Кривая /* = я 4-^ cos ср носит название улитки Паскаля. Частным
видом её при а~Ь является кардиоида. При д<& кривая есть
замкнутая линия без заострений. Вычислить площадь этой кривой
а2 + -к ) «.
8. Вычислить длину кардиоиды г =•- a cos <р -j- а. Отв. 8а.
9. Определить объём тела, образованного вращением астроиды
около оси абсцисс. Выполнить вычисления как в случае, когда кривая
2 1 1
дана уравнением в декартовых координатах je3-f-y3 = л3, так и »
случае, когда она дана параметрическими уравнениями .*r==acos8*
у = a sin3*. Отв. т^хіа\
2 2 2
10. Определить длину астроиды xz 4-_у3 = а3. Отв. 6а,
11. Определить поверхность тела, образованного вращением
астроиды около оси абсцисс. Отв. -=~%а*.
о
12. Определить объём тела, образованного вращением кардиоиды
около оси абсцисс. Отв. ^ ка%.
13. Определить площадь криволинейного сектора с вершиной
в начале координат и гиперболической дугой ху = 1, один конец
которой имеет абсциссу 1, а другой х. Отв. пл. ОАВ^=\п х.
14. Уравнение в полярных координатах г = a cos <р -+- а представляет
замкнутую кривую, называемую кардиоидой. Построить эту кривую
и вычислить ограничиваемую ею площадь. Отв. у ил2.
15. Уравнение _v3 -\-yz = Zaxy представляет декартов лист.
Полагая - = *, можно представить эту кривую параметрически. Когда *
меняется от 0 до а, точка описывает замыкающуюся часть кривой,
которая собственно и называется декартовым листом. Вычислить
площадь этого листа. Отв. у а2.
16. Определить длину одной ветви циклоиды (§ 3). Отв. s = Sa.
17. Определить длину дуги логарифмической спирали r = <w*? от
какой-либо её точки (г, <?) до полюса. Отв. \ s | = т п
18. Определить длину дуги пространственной кривой y — Zx*,
х = 6хд между точками, абсциссы которых 0 и 1. Отв. s = 7.
19. Определить объём эллипсоида вращения: а) удлинённого;
4 4
Ь) сжатого (сфероида). Отв. Vy ™ -^ каЬ2, V% ==— г.аЧ.
4&

20. Определить объём тела, полученного вращением одной ветви
циклоиды около оси абсцисс. Отв. У-=Ыгай.
21. Определить объем тела, ограниченного параболическим
цилиндром у2 = 2рх, плоскостью х=у> плоскостью Оху и плоскостью
х-=а. Отв. V= — .
22. Определить^ поверхность удлинённого эллипсоида вращения.
Отв. S=2mb\yT^^+ arcsin e "
23. Определить поверхность циклоидального тела вращения.
_ _ б4тса"2
Отв. 5-=—г—.
о
24. Перв-начальное количество некоторого вещества до начала
химическое реакции, в которую оно вступает, равно а. Определить,
какое количество вещества вступит в реакцию через t сек. после её
начала, если известно, что скорость реакции в каждый момент времени
пропорциональна количеству вещества, ещё не вступившего в
реакцию к этому моменту времени.
Указание. Если о означить количество вещества, вступившего
в реакцию к моменту времени tt через х, то
— =zk(a— x\
где # — коэффициент пропорциональности.
Отсюда
dx-=kdt,
или
а — х
dx
— kdt.
Следовательно,
х — а
d In (х — а) = d (— kt) и т. д.
Отв. а{\ —е-Ы).
25. Пластинка, имеющая форму круга радиуса г, погружена
в воду до середины, так что её центр находится на уровне воды.
Определить общее давление воды на одну сторону погружённой части
пластинки. Отв. -$¦ ргд; о — плотность воды.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ
ПЕРВОГО ТОМА.
1. Главными идеями, установлению и развитию которых
посвящен первый том настоящего курса высшей математики,
являются метод координат, понятия функции, предела,
производной и интеграла.
2. Метод координат служит основанием аналитической
геометрии, основанием изучения геометрических форм с
помощью вычисления. Координаты суть числа, с помощью которых
определяется положение точки на прямой (х), на плоскости
(х, у) а в пространстве (х, >у1 z). Смотря по тому, как
интерпретируются эти числа геометрически, координаты могут быть
прямолинейными (прямоугольными или косоугольными) и
криволинейными, к которым, как частный случай, относятся полярные
координаты. Установление той или другой системы координат
составляет первую задачу аналитической геометрии.
Второй задачей является установление основных
формул, дающих возможность геометрическое измерение и
простейшие построения свести к вычислению. Таковы формулы
расстояния, формулы для вычисления координат точки, делящей
данный координатами своих концов отрезок в данном
отношении, и формула для вычисления площади треугольника или,
более обще, многоугольника. Основные формулы должны
обладать общностью, которая и выводится из правил действий
с направленными отрезками.
Третья задача аналитической геометрии — интерпретация
уравнений. Переменные или текущие координаты, не связанные
никакими ограничениями или зависимостями в своём изменении,
представляют всю совокупность точек, смотря по числу
координат, прямой (х) или плоскости (х, у) или пространства {xty, z).
Но если две переменные координаты связаны в своём
изменении уравнением, то на плоскости тем самым выделяется
геометрическое место точек — линия, соответствующая этому
уравнению. Уравнение, связывающее три текущие координаты,
т

определяет в пространстве поверхности а два таких уравнения —
линию. Таким образом, то, что в алгебре называется
неопределённым уравнением или неопределённой системой уравнений, в
аналитической геометрии представляет определённую геометрическую
форму — линию или поверхность. Изучение этих
геометрических форм сводится к исследованию соответствующих
уравнений.
3. Исследование уравнений первой степени в этой третьей
задаче имеет особое значение, сближающее этот вопрос со
второй задачей. Соответствующие этим уравнениям
геометрические формы, т. е^ прямая и плоскость, — основные формы
геометрии, которые могут быть поставлены наряду с элементом
пространства — точкой. С этими формами главным образом
и имеет дело геометрическое построение и измерение. Исходя
из герметрического значения коэффициентов уравнений прямой
и плоскости, устанавливаются основные формулы, определяющие
угловые соотношения, в частности,
перпендикулярность и параллельность. Сюда же относится и
определение расстояния точки от прямой или плоскости. Эти
формулы вместе с прежними основными и дают возможность
перевести геометрическую задачу на язык аналитический, на
язык вычисления и обратно — аналитическую задачу
иллюстрировать геометрически.
4. Изучение уравнений степени выше первой представляет
уже специальную задачу аналитической геометрии, применение
метода координат к исследованию новых, более сложных,
геометрических форм. Вопрос здесь может быть поставлен
двояким образом. Та или другая линия или поверхность
определяется геометрически, и на основании такого определения
составляется её уравнение, исследование которого приводит
к изучению свойств соответствующей геометрической формы.
Таким способом мы изучили окружность, эллипс, гиперболу
и параболу.
Второй путь изучения форм высших порядков состоит в
полном исследовании общего уравнения данной степени. Эту
цель преследовал в настоящем курсе очерк общей теории
кривых второго порядка. В этой общей теории отметим
следующие пункты. 1) Изыскание бесконечно удалённых точек кривой
приводит кдискриминанту старших членов уравнения, даю-
-щему возможность различить по уравнению тип кривой.
2) Параллельное перенесение осей координат даёт возможность
отыскать центр кривой. 3) Изменение направления осей
координат приводит к установлению понятия сопряжённых
диаметров и главных осей кривой. 4) Установив тип кривой,- можно
496

путём соответствующего преобразования координат привести
уравнение кривой к каноническому виду. 5) Кривая второго
порядка может распадаться на пару прямых (действительных
или-мнимых).
В пространстве в настоящем курсе ради краткости общее
уравнение второй степени не исследуется, а прямо даются
уравнения в каноническом виде, как определения
соответствующих поверхностей второго порядка и как исходный пункт
изучения их вида.
5. Понятие функции является главным предметом
изучения дифференциального и интегрального исчислений.
Первоначальное представление о функции мы получаем, если в том
или ином выражении, имеющем арифметический смысл, мы
рассматриваем какую-лиио букву как переменную величину,
могущую принимать различные значения. Таким образом
устанавливается соответствие между значениями этой переменной
величины, независимой переменной, и величиной рассматриваемого
выражения, т. е. значениями зависимого переменного или
функции. Признак соответствия сразу приводит к общему
определению понятия функции. Но в анализе соответствие прежде всего
определяется вычислением. Понятие вычисления претерпевает ряд
обобщений, соответственно обобщениям понятия числа. В этих
обобщениях существенную роль играет введение в элементарно
арифметические представления бесконечного процесса
переход к пределу, с понятием предела тесно связано понятие
бесконечно малых. Помощью понятия предела и бесконечно
малых из общего понятия функции выделяется класс непрерывных
функций, изучение которых представляет наибольший интерес
для приложений.
6. В изучении функций, помимо их классификации, ставятся
прежде всего вопросы о возрастании и убывании функции,
о максимуме и минимуме её. Для решения этих вопросов
вводится понятие производной как предела отношения бесконечно
малого приращения функции к соответствующему приращению
независимого переменного. Но существование такого предела
не вытекает с необходимостью из непрерывности
рассматриваемой функции. Таким образом, из класса непрерывных функций
выделяется класс дифференцируемых функций, которые,
собственно, и имеют основное значение в приложениях и которые
рассматриваются в настоящем курсе. Так кладётся основание
дифференциальному исчислению.
7. Чтобы избежать в каждом частном случае нахождения
производной согласно первоначальному определению,
устанавливаются общие правила дифференцирования и основные фор-
4*7

мулы дифференциального исчисления, дающие производные
элементарных функций.
8. Данная начальная функция с помощью метода координат
интерпретируется геометрически как переменная ордината
точки, описывающей некоторую линию, график рассматриваемой
функции. Производная определяет направление касательной
к этому графику, а производная производной, т. е. вторая
производная, своим знаком даёт указание о характере изгиба
её. Таким образом, первая и вторая производные могут дать
достаточно полную картину хода изменения начально, функции.
9. Произведение производной на приращение или
дифференциал аргумента называется дифференциалом функции
и составляет главную часть приращения функции,
пропорциональную приращению аргумента. Таким образом,
дифференциал представляет понятие, параллельное понятию производной
(но никоим образом не совпадающее с ним). Под
дифференцированием можно разуметь и нахождение производной и
нахождение дифференциала, ибо одно можно свести к другому.
Во многих случаях удобнее иметь дело с производными, но
иногда необходимо оперировать с дифференциалами;
дифференциальное исчисление тогда явно будет исчислением
бесконечно малых.
10. Интегрирование, т. е. обратная
дифференцированию операция, состоит в изыскании начальной или
первообразной функции по данной её производной. Простое
обращение формул дифференциального исчисления не даёт
исчерпывающего ответа на вопрос об изыскании первообразной
функции; нужно указать прямой путь вычисления её значений.
Если интерпретировать производную функцию как переменную,
соответственно изменению аргумента, ординату, то начальная
или первообразная функция, при каком-либо определённом
значении аргумента как абсциссы, означает площадь,
ограниченную осью абсцисс, графиком данной производной функции
и двумя ординатами, или точнее — алгебраическую сумму такого
рода площадей, расположенных над осью и под осью абсцисс.
Таким образом вычисление значений первообразной функции
можно свести к вычислению площади, определенным образом
ограниченной. Это вычисление тоже представляет бесконечный
процесс, а именно: суммирование бесконечно малых слагаемых,
иначе — вычисление предела суммы элементарных
прямоугольников, стремящихся заполнить измеряемую площадь. Этот-то
предел и называется интегралом, полнее — определённым
интегралом. Обратно, установив этот процесс, мы могли бы
считать его определяющим геометрическое понятие площади.
493

П. Определение интеграла, как предела суммы бесконечно
малых слагаемых, можно применить не только к функциям
непрерывным и конечному интервалу интегрирования. Когда
подинтегральная функция в пределах интегрирования
испытывает разрыв непрерывности или когда один или оба предела
становятся бесконечно большими, требуются обобщения, к
описанному процессу суммирования приходится присоединить новый
переход к пределу. Таким образом мы приходим к понятию
обобщённых интегралов. Вычисление интеграла есть
бесконечный процесс — переход к пределу; вычисление
обобщённого интеграла означает двойной переход к пределу — предел
предела.
12. Интеграл, если у него рассматривать верхний предел
как переменный, определяет непрерывную функцию верхнего
предела для тех его значений, при которых интеграл имеет
смысл, иначе существует. Эта непрерывная функция и будет
первообразной функцией данной иодинтегральной функции.
Давая различные значения нижнему пределу интеграла, мы
будем получать различные первообразные функции, отличающиеся
одна от другой на какое-либо постоянное. Общее решение
задачи определения первообразной функции по данной
производной должно содержать произвольное постоянное и потому
называется неопределенным интегралом.
13. Для многих функций общее решение может быть
найдено путем обращения соответствующих формул
дифференциального исчисления или, как говорят, путём неопределённого
интегрирования. Таким образом получаются сначала основные
формулы интегрального исчисления; к этим основным формулам
с помощью общих правил интегрирования и стараются потом
свести, если это возможно, интегрирование других функций.
Но не для всякой функции можно найти таким способом
первообразную функцию. В таком случае процесс суммирования
является определяющим первообразную функцию и исходным
пунктом её изучения.
14. Интегрирование как обращение формул
дифференциальное) исчисления и интегрирование как процесс суммирования
находятся в соотношении, устанавливаемом основным
предложением интегрального исчисления, по которому определённый
интеграл вычисляется с помощью неопределённого, как разность
значений какой-либо первообразной функции при верхнем
и нижнем пределах. Для приложений это предложение имеет
существенное значение, ибо здесь мы имеем способ точного
вычисления без выполнения присущего задаче бесконечного
процесса, который на самом деле уже выполнен, хотя и в иной
499

форме, при установлении основных формул дифференциального
исчисления.
15. К процессу суммирования бесконечно малых слагаемых
сводится вычисление многих конкретных величин. Так,
вычисление площадей, дуг кривых, объёмов и поверхностей сводится
к интегрированию, и если неопределённое интегрирование
соответствующих функций выполнимо, то имеется возможность
точно вычислить эти основные геометрические величины.
16. Приближённое вычисление тех же величин основано на
понятии интеграла как предела суммы (формула трапеций).-
Замена подинтегральной функции более простой подходящей
функцией даьт возможность достигнуть лучшего приближения
(формула С им пеона). Формулы приближённого вычисления
интеграла, иначе — механические квадратуры, представляют
также удобный способ вычисления значений тех трансцендентных
функций, которые могут быть представлены как интегралы
простых алгебраических выражений; таковы, например, функции
In л; и axctgx.
TajcHM образом введение понятия интеграла не только
расширяет понятие вычисления, но и дает указания упрощений
способов вычисления.
Заканчивая этот обзор, мы отметим в заключение, что
в установлении основных идей анализа: функции, предела,
производной и интеграла, элементарно-математическая мысль
получает дальнейшее своё развитие; а придавая помощью метода
координат этим отвлечённым понятиям форму конкретных
представлений, подготовляет себя к конкретным приложениям.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(цифры обозначают страницы)
Абсолютная погрешность 23
Абсцисса 33,177
Аксонометрическое построение 179
Аксонометрия 179
Алгебраические функции 250
Амплитуда 41
Аналитическая геометрия 31
Аполлоний 84
Аппликата 178
Аргумент 25
Арккосинус 260, 420
Арккотангенс 260, 423
Арксинус 260, 419
Арктангенс 260, 422
Архимеда спираль 172
Асимптота 52, 100
Асимтотический конус 229
Бесконечно большая величина 28, 262
— малая величина 264
, порядок 278
— удалённые прямые, точки 132
Бесконечность 262
Бесконечные пределы интеграла 442
Бернулли 172
Большая ось эллипса 92
Верхняя граница 303
Вершины гиперболы 100
— эллипса 92
Внешнее деление отрезка 38
Возведение в степень 299
Возрастание функции 316
Вторая производная- 326
Второй дифференциал 340
Выпуклость кривой 327
Геометрическое значение
дифференциала 331, 332
первообразной 375
производной 361
Гипербола 83, 86, 96, 100,134
Гиперболическая спираль 173
Гиперболический параболоид 235
Гиперболоид 227
— двухполосгный 229
— однополостный 229
Гиппократ 84, 120
Главная бесконечно малая 279
— часть бесконечно малой 281
приращения 331
Главные оси гиперболы 100
кривой 2-го порядка 142, 143
эллипса 92
Градусная мера угла 259
Граница верхняя, нижняя 303
Графики функций 405 407 423, 428
Давление жидкости 489
Двухполостный гиперболоид 229
Действительная ось гиперболы 100
Дедекиид 19
Декарт 19
Декартовы координаты 32
, преобразование в полярные 168
Декремент логарифмический 428
Деление отрезка в данном отношении
38,181
Делийская задача 83,120
Детерминант 42
— третьего порядка 158
Диаметры сопряженные 146,147
Директриса 87
Директрисы гиперболы 104
— эллипса 102
Дискриминант 134
Дифференциал 331, 332
— второй 340
Дифференциальное исчисление 313,332
, таблица формул 429
— частное 340
Дифференциальный коэффициент 340
Дифференцирование 332, 389
-!-, общие правила 335
Длина дуги 475
Дробные рациональные функции 252
Дуга, спрямление дуги 475
— , элемент дуги 477
Дуговая мера угла 259
е, число 393, 395, 398
Жидкости давление 489
Зависимая переменная 25
Замыкающая 183
Затухания коэффициент 428
Затухающее колебание 426
Изменение функции 313
Инварианты 156, 159, 161
Интеграл 358
— неопределенный 369, 371
— определённый 364, 368, 374, 459
Интегралы несобственные (обобщённые)
442, 444
Интегральное исчисление 352, 358
. , основное предложение 378, 380
, приложения к геометрии 465
, таблица формул 429
Интегрирование 368
— неопределенное 371, 377, 430
— по частям 430, 432, 436
Интегрируемые функции 385
Интервал замкнутый, открытый 302

Иррациональное число 19
Иррациональные функция 251
Иррациональность числа е 398
Кавальера принцип 485
Каноническое уравцение гиперболы 97
эллипса 89
Касательная 106, 110,116, 319
Квадратура механическая 450
— площадей 465
«— криволинейного сектора 470, 472
Кеплер 84
Колебание затухающее 426
— функции 307
Компланация поверхности вращения 485
Конечных приращений теорема 352, 354
Конические сечения 83, 162
Конус 223
— асимптотический 229
— круговой 224
— эллиптический 224
Координат начало оси, система 33
— преобразование 123
Координата точки на прямой 32
— — на плоскости 32
— — в пространстве 34, 177
Координатные плоскости 177
Координаты полярные 166, 168
Косинуса производная 410
Косинусоида 424
Косоугольная система координат 33,71
Котангенса производная 411
Котангенсоида 425
Коэффициент затухания 423
— углевой 55
Коэффициенты направлений 202
Кривая линия, длина дуги 475
— — пространственная, спрямление 479
Кривые второго порядка 123, 130, 131
Криволинейный сектор, квадратура 470,
472
Круговой конус 224
Круговые сечения поверхности второго
порядка 200, 243
— функции 260, 428
Кубатура тел 482
Лагранжа теорема 352, 354
Лейбниц 340
Лемниската Бернулли 471
Линейная функция 313
Линия непрерывная 283
Логарифмическая производная 427
— спираль 427
— функция 253, 401, 404, 405, 407
Логарифмический декремент 428
Логарифмы натуральные (неперовы) 395
Лучи проектирующие 60
Максимум 321, 322, 329, 342
Малая ось эллипса 92
Механические квадратуры 450
Механическое значение интеграла 487
производной 344
Минимум 321, 322, 329, 342
Мнимая ось гиперболы 100, 140, 141,
144
Мнимые кривые 144
— плоскости 222, 223
— прямые 140, 141
— точки 132
Многоугольника площадь 41, 43
Множитель нормирующий 64,197
502
Наибольшее (наименьшее) значение 305
Направление прямой в пространстве 185
Направлений коэффициенты 202
Направляющие гиперболоида 235
Натуральные логарифмы 395
Начальная ордината 55
Начертательная геометрия 179
Независимая переменная 25
Неопределённое интегрирование 371
, основные правила 377 430
Неопределённый интеграл 369, 371
Неперовы логарифмы 395
Непрерывная величина 17
Непрерывность функции 47, 282, 284, 302
равномерная 288
Непрерывные линии 282
Неявные функции 250
Нижняя граница 303
Нормальное уравнение плоскости 196
прямой 63
Нормальный октант 178
Нормирующий множитель 64, 197
Ньютон 84
Обобщённые интегралы 442
Образующие гиперболоида 230, 233
— параболоида 236
Объём тела вращения 483
Ограниченная функция 303
Однополостный гиперболоид 229
Округления точки 244
Окружностей пучок 81
Окружность 49, 75
Октанты 178
Определённый интеграл 364, 368
— — , введение нового переменного 434
— — , вычисление с помощью
неопределённого 378
, основные свойства 374
, оценка значений 459
— — , физическое и механическое
значение 487
Определитель 42
Органический рост 407
Ордината 33, 178
— начальная 55
Ортогональные проекции 60,94
Оси координат 33, 177
— проекций 60, 182
— эллипса 92
Ось радикальная 80
Относительная погрешность 23
Оценка значений неопределённого
интеграла 459
Парабола 83, 87,112, 134
Параболоид 235
Параллельная проекция 94, 179
Параллельное перенесение осей 124.
187
Параллельность плоскостей 200
— плоскости и прямой 205
— прямых 58, 204
Параметр 24, 39, Ш, 156,171
Параметрическое представление кривой
468, 472
Первообразная функция 358
— — , геометрическое значение 382
, существование 382
Первого порядка бесконечно малая
величина 279
Перегиба точка 328, 341
Переменные величины 24

Пересечение кривой с осью абсцисс 341
Периодические функции 255
Перпендикулярность плоскостей 200
— плоскости и прямой 205
— прямых 58, 187, 204
Перспектива 94
Платон 84
Плоскости координат 177
— уравнение 192,194,196
Площадей вычисление 465
Площадь треугольника, многоугольника
41, 43
Поверхности уравнение 192
Поверхность вращения, коипланация 485
Поверхность второго порядка 218, 485
Поворот осей 126, 188
Погрешность абсолютная» относительная
23
Подкасательная 407
Подобные кривые 2-го порядка 240
— эллипсоиды 220
Подстановки способ 430, 431
Подъём кривой 321
Показательные функции 252, 399, 405, 406.
407,408
Польке теорема 179
Полюс 168
Полярное уравнение кривой 2-го порядка
170
Полярные координаты 166, 168
Полярный угол 168
Понселе теорема 110
Порядок бесконечно малой величины 279
— кривой 131
Постоянные величины 24
Предел, переход к пределу 29
-- обратной величины 275
*- , признак существования 269
-- суммы, произведения, степени, частного
274, 275, 276, 278
Пределы определенного интеграла 368
Преобразование координат 123, 187
Прерывные функции 47, 444
Приближенное вычисление корней 309
Приращение 315
Проектирующие лучи 60
Проекции 60, 179, 182
Проекция ломаной 62
— окружности 94
— ортогональная 94
— параллельная 94,179
— центральная 179
Производная 315, 321
— вторая 326
*- логарифмическая 427
— логарифмической функции 400, 404
— , механическое значение 344
—, обозначение Лейбница 333
— обратных тригонометрических функций
428
— показательной функции 399
»- постоянного 334
— произведения 336
*- степени 333
— суммы 335
— тригонометрических функций 409
— , физическое значение 345
Пространственная кривая, спрямление 472
Прямая линия 54, 56, 63
— — в пространстве 201, 202
Прямолинейные образующие
гиперболоида 230,233
— параболоида 236
Прямоугольная система координат 33,178
Пучок окружностей 86
Работа силы 488
Равномерная непрерывность 288
Радикальная ось 80
Радикальный центр 83
Радиус-вектор 41, 86, 88, 168
Разрыв 284
Разрывная функция 289, 290
Распадение кривой 139,140
— поверхности 221
Растянутый эллипсоид вращения 226
Расстояние между двумя точками ЗН#
— точки от плоскости 207
— — от прямой 65, 67
Рациональная функция 251
Рациональное число 18
Рекуррентная формула 437
Ролля теорема 352, 353
Саррюса правило 158
Сечение 19, 20, 268
Сечения конические 83, 162
— поверхности 2-го порядка 239, 242
— _ круговые 242
Сжатый эллипсоид вращения 226
Симпсона формула 456
Синуса производная 409
Синусоида 423
Система координат 32, 33
Скорость 344
— химической реакции 346
Слившиеся прямые 141
Сопряжённые диаметры 146,147
Спирали 172,173,174
Среднее значение определённого
интеграла 463, 464
Спрямление Дуги 475, 478
Степень (функция) 258
—- точки 78 *
Стремление к бесконечно exit 262
~ к пределу 266
Существование первообразной функций
382
Сфероид 226
Таблицы формул дифференциального И
интегрального исчислений 429
Тангенса производная 411
Тангенсоида 425
Текущие координаты 45
Теловращения, объём 483
Температурный коэффициент 343
Тихо де Браге 84
Точка перегиба 328, 341
— округления 244
— пересечения двух прямых 70
Трансцендентные кривые 163
— функции 250
Трапеций формула450, 451
Треугольника площадь 42
Трехосный эллипсоид 226
Тригонометрические функции 26, 254, 409.
413, 423
Убывание функции 316
Удвоение куба 83
Угловой коэффициент 56
Угол между двумя плоскостями 199.
~» прямыми 67,185, 186, 203

Угол между прямой и плоскостью 204
— полярный 168
Ускорение 344, 345
Физическое значение интеграла 487
— — производной 344
Фокус 86,87, 94, 96
Формула расстояний 35
Формулы дифференциального и и:
трального исчислений, таблицы 429
Функция 25
— алгебраическая 250, 389
— круговая 260,294
— интегрируемая 385
— иррациональная 251
— линейная 313
— логарифмическая 253, 295
— непрерывная 47, 282
— равномерно непрерывная 288
— неявная 250
— ограниченная-303
— показательная 252, 295
— периодическая 255
— разрывная 289
— рациональная 251
— тригонометрическая 26, 254, 294
— элементарная 248 250
*- явная 250
Химическая реакция, скорость 34В
, количество вещества 497
Ход изменения функции ЗіЗ, 326
Целые рациональные функции 252
Цеьтр гиперболы 98
— радикальный 83
— эллипса 92
Центральная проекция 94, 179
Циклометрические функции 260
Цилиндры 220
Число 15
— дробное 17
— иррациональное 19
— отрицательное 'Л
— рациональное 18
— целое 15
Эксцентриситет 95, 97
Элемент дуги 477
Элементарные функции 248
Эллипс 83. 85, 87, 137
Эллипсоид 225
— вращения 226
Эллиптический конус 224
— параболоид 235
Явные функции 250