МАТЕМАТИКА
В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
lf(x)dx=F(b)-F(a)
B.C. Зарубин, Е.Е. Иванова,
Г.Н. Кувыркин
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ
ОДНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Издательство МГТУ имени Н.Э.Баумана

Комплекс учебников из 20 выпусков
Под редакцией В. С. Зарубина и А. П. Крищенко
I. Введение в анализ
П. Дифференциальное исчисление функций
одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V. Дифференциальное исчисление функций
многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций
одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы.
Элементы теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X. Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования
и операционное исчисление
XII. Дифференциальные уравнения
математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики
XIV. Методы оптимизации
XV. Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI. Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX. Исследование операций

B.C. Зарубин, Е.Е. Иванова, Г.Н. Кувыркин
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ
ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Под редакцией
д-ра техн. наук., профессора B.C. Зарубина
и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко
Рекомендовано
Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
высших технических учебных заведений
Москва
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
1999

УДК 517.3
ББК 22.161.1
3-35
Федеральная целевая программа книгоиздания России
Рецензенты: доц. Н.В. Копченова, проф. В.И. Оселедец
3-35 Зарубин B.C., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н.
Интегральное исчисление функций одного переменного: Учеб. для
вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 528 с. (Сер. Математика в
техническом университете; Вып. VI).
ISBN 5-7038-1336-6 (Вып. VI)
ISBN 5-7038-1270-4
Книга является шестым выпуском комплекса учебников "Математика
в техническом университете". Знакомит читателя с понятиями неопреде-
ленного и определенного интегралов и методами их вычисления. Уделено
внимание приложениям определенного интеграла, приведены примеры и
задачи физического, механического и технического содержания.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы
читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических вузов. Может быть полезен
преподавателям и аспирантам.
Ил. 86. Табл. 3. Библиогр. 48 назв.
Выпуск книги финансировал
Московский государственный технический
университет им. Н.Э. Баумана
ISBN 5-7038-1336-6 (Вып. VI)
ISBN 5-7038-1270-4
УДК 517.3
ББК 22.161.1
B.C. Зарубин, Б.Б. Иванова,
Г.Н. Кувыркин, 1999
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана, 1999
Издательство МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 1999

ПРЕДИСЛОВИЕ
Наряду с поиском по заданной функции ее производной (и
производных высших порядков), что является задачей
дифференциального исчисления, часто возникает необходимость в
обратной операции — восстановлении функции по ее
производной. Эта операция составляет предмет изучения другого
важного раздела математического анализа — интегрального
исчисления. В этой книге, являющейся шестым выпуском серии
учебников „Математика в техническом университете",
вопросы интегрального исчисления рассмотрены применительно к
действительным функциям одного действительного
переменного, что и определило ее название.
Дифференциальное и интегральное исчисления как разделы
математического анализа оформились в XVII в. главным
образом благодаря трудам И. Ньютона и Г. Лейбница. В
современном изложении теоретической основой этих разделов является
теория пределов. Поэтому данный выпуск серии тесно связан
не только со вторым выпуском „Дифференциальное
исчисление функций одного переменного" [II], но и с первым выпуском
„Введение в анализ" [I], в котором изложена теория пределов.
При ссылке в тексте на конкретный выпуск серии „Математика
в техническом университете" указывается номер этого выпуска
(а для первого выпуска и соответствующий раздел). Например,
ссылка (см. 1.2) указывает на второй параграф первой главы
в данном выпуске, (см. Д.4.1) отсылает к первому дополнению
четвертой главы, в то время как [1-7.5] указывает на пятый
параграф седьмой главы в первом выпуске серии. Ссылки в
тексте на номера формул и рисунков набраны обычным
шрифтом (например, (2.1) — первая формула в главе 2, (рис. 1.5) —
пятый рисунок в главе 1).
Большинство используемых в этой книге обозначений
введено в [I]. Они помещены в перечне основных обозначений, где

Предисловие
наряду с их краткой расшифровкой указаны глава и параграф,
в которых можно найти их более подробное объяснение. После
этого перечня приведены написание и русское произношение
входящих в формулы букв латинского и греческого алфавитов.
В конце книги помещены список рекомендуемой
литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном
порядке (по существительному в именительном падеже) все
выделенные в тексте полужирным курсивом термины с
указанием страницы, где они строго определены или описаны.
Выделение термина светлым курсивом означает, что в данном
параграфе он отнесен к ключевым словам и читателю
должно быть известно значение этого термина. Читатель может
уточнить это значение, найдя при помощи предметного
указателя необходимую страницу, на которой используемый термин
определен или описан. Если термин введен в другом выпуске,
то в предметном указателе дан номер выпуска римской цифрой
(и страница для первого выпуска: например, [1-217]). Место,
где определен термин, следует искать при помощи предметного
указателя данного выпуска. В предметном указателе курсивом
приводится ссылка на место в этой книге или другом выпуске,
где о термине дана дополнительная информация.
Перед чтением этой книги предлагаем в целях самоконтроля
выполнить следующие несложные задания. В конце каждого
задания дана ссылка на тот выпуск, в котором при возникновении
затруднений можно найти все необходимые сведения.
Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым
полужирным шрифтом, далее будем считать известными (в
основном тексте книги эти термины не выделены и не входят
в предметный указатель).
Задания для самопроверки
1. Запишите представления множеств целых Z и
рациональных Q чисел при помощи множества N натуральных
чисел. Как выразить множество иррациональных чисел

через Q и множество R действительных чисел? Какое
множество называют бесконечным? Что такое объединение,
пересечение и разность множеств? [I]
2. Перечислите свойства абсолютной величины
(модуля) числа. Запишите неравенство треугольника. [I]
3. Каков ход доказательства по методу математической
индукции? Что понимают под рекуррентным
соотношением? [I]
4. Запишите с помощью неравенств условия
принадлежности точки х промежуткам числовой прямой: отрезку
[а, 6], интервалу (а, 6), полуинтервалу (а, 6],
бесконечному интервалу (-со, Ь) и бесконечному полуинтервалу
[в,+оо). [I]
5. Изобразите на числовой прямой окрестности
конечной и бесконечной точек расширенной числовой
прямой. В чем отличие этих окрестностей от проколотых
окрестностей и полуокрестностей? Какую точку
промежутка называют внутренней? [I]
6. Укажите области определения (существования) и
значений и постройте графики однозначных ветвей
многозначной действительной функции у2 = 1/х одного
действительного переменного х. [I]
7. Охарактеризуйте явный и неявный аналитические,
параметрический, графический, табличный,
алгоритмический и описательный способы задания функции.
Приведите примеры составной и периодической функций.
Как расположены относительно начала координат графики
четной и нечетной функций? [I]
8. Является ли сходящаяся последовательность
ограниченной? В чем различие между монотонной и
строго монотонной последовательностями? Сформулируйте
признак Вейерштрасса сходимости последовательности. [I]
9. Сформулируйте и запишите в символическом виде
определения (по Гейне и по Коши) конечного предела функции в

8 Предисловие
точке а € R. Выполните это задание, когда аргумент
функции стремится к бесконечной точке расширенной числовой
прямой. [I]
10. Приведите пример функции, ограниченной в
некоторой проколотой окрестности точки а, но не имеющей предела
в этой точке. [I]
11. Сформулируйте теорему о связи предела функции в
точке с односторонними пределами функции в этой точке
(елевым и правым пределами функции в точке). [I]
12. Определена ли функция 2x2/sinx в точке ж = 0?
Существует ли в этой точке предел рассматриваемой функции? [I]
13. При каком изменении аргумента функции sin г, 1/х
являются бесконечно малыми (б.м.), а функции я2, ctgx —
бесконечно большими (6.6.)? [I]
14. Какова связь между приращением функции и
приращением ее аргумента для функции, непрерывной в точке
и непрерывной в этой точке только слева? [I]
15. При выполнении каких условий сложная функция
(суперпозиция функций) непрерывна в точке? Сформулируйте
правило дифференцирования сложной функции. [I], [II]
16. Приведите примеры функций, которые имеют: а)
точки устранимого разрыва; б) точки разрыва первого
рода; в) точки разрыва второго рода. [I]
17. Приведите примеры функций, непрерывных в
интервале (а, 6), но не являющихся непрерывными на
отрезке [а, 6]. Каковы свойства функции, непрерывной на отрезке
[а, 6]? Имеет ли эти свойства функция, непрерывная лишь в
интервале (а, 6)? [I]
18. Перечислите основные элементарные функции.
Какие из этих функций определены и непрерывны на всей
числовой прямой? Какие функции относят к классу элементарных
функций? Входят ли в этот класс гиперболические
тангенс и котангенс? [I]
19. В чем различие между монотонной и строго
монотонной в некотором промежутке функциями? Каковы условия

существования в нем непрерывной и строго монотонной
функции, обратной заданной функции? Сформулируйте правило
лифференцирования обратной функции. Изобразите графики
возрастающей, убывающей, невозрастающей и
неубывающей в промежутке функций. [I], [II]
20. Приведите примеры бесконечно малых (б.м.) при х —> а
функций: а) одного порядка малости; б) более
высокого порядка малости; в) первого порядка малости; г)
несравнимых; д) эквивалентных. Сформулируйте свойства
эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших
функций. [I]
21. Каков смысл символов „о малое" и „О большое"? [I]
22. Запишите в виде степенной функции главную часть
функции, бесконечно малой при х —> а. [I]
23. Приведите примеры функций, графики которых имеют
вертикальную, односторонние и двусторонние
горизонтальные и наклонные асимптоты. [I]
24. Каким условиям удовлетворяет функция,
дифференцируемая в полуинтервале [а, 6)? [II]
25. Убедитесь, что вычисление производной и
дифференциала нетривиальной линейной комбинации функций
одного действительного переменного является линейной
операцией. [II], [III]
26. В чем различие между простым и кратным нулями
многочлена? Какие комплексные числа называют
сопряженными? Каким значениям дискриминанта
квадратного трехчлена соответствуют действительные и
комплексно сопряженные нули? [I]

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
-4 и ► — начало и окончание доказательства
# — окончание примера, замечания
а € А, А Э о. — элемент а принадлежит множеству А
(множество А содержит элемент а) 1-1.1
А С Ву В Э А — множество А включено в множество В (В
включает А) 1-1.2
А С Ву В Э А — множество А включено в множество Б или
совпадает с ним 1-1.2
N — множество натуральных чисел 1-1.3
Z — множество целых чисел 1-1.3
Q — множество рациональных чисел 1-1.3
R — множество действительных чисел 1-1.3
[а, Ь] — отрезок с концами в точках а и 6 1-1.3
(а, 6) — интервал с концами в точках а и 6 1-1.3
[а, 6), (а, 6] — полуинтервалы с концами в точках а и 6 1-1.3
|х| — абсолютная величина (модуль) числа х 1-1.3
■foo, -оо — бесконечные точки расширенной (пополненной)
числовой прямой 1-1.3
оо — объединение бесконечных точек +оо и -оо 1-1.3
(-оо, +оо), (-оо, а), (6, +оо) — бесконечные интервалы 1-1.3
(-оо, а], [6, -Ьоо) — бесконечные полуинтервалы 1-1.3
Зх :... — существует такое ж, что ... 1-1.5
Уж — для любого х 1-1.5
у = f[x) — переменное у — функция переменного х 1-2.1
/(а), /(х)|х=а — значение функции /(ж) в точке а 1-2.1

11
Mix'У) — точка М плоскости с координатами х (абсцисса)
и у (ордината) 1-2.5
— сумма п слагаемых ai, ..., a*, ..., an 1-2.6
*=i
fc = 1, n — число к принимает последовательно все значения из
множества N от 1 до п включительно 1-2.6
х _> а — переменное х стремится к значению а 1-7.1
lim f(x) — предел функции f(x) в точке а (при х -» a) I-7.1
(а + 0), /(о — О) — пределы функции f(x) в точке а справа
(х -> а + 0) и слева (х -+ а - 0) 1-7.2
Ах и Ау = Д/(я) — приращения аргумента ж и функции у =
= /(х) 1-9.1
fix) ~ д(х) — функции f(x) и д(х) являются эквивалент-
ными при х —> а 1-10.2
/'(о), f'(x)\x_a — значение производной функции f(x) в
точке а II-1.3
У(з), yj., dy/dx, у' — производная функции у = f(x) II-1.3
dx и dy = df(x) — дифференциалы аргумента х и функции
у = f(x) в точке х II-3.1
/"(а) и //;/(о) — значения производных второго и третьего
порядков функции f(x) в точке a II-4.1
рп'(а) — значение производной n-го порядка (n-й
производной) функции f(x) в точке а П-4.1
г (t) — вектор-функция скалярного аргумента t II-9.1
*> Ji Л — орты (единичные векторы) ортонормированного
базиса {г, У, к} П-9.1
Р и Ч> — полярные координаты (радиус и угол) точки на
плоскости 1-4.3
J f(x)dx — неопределенный интеграл от функции f(x) 1.2
б
J f(x) dx — определенный интеграл (Ньютона или Римана) от
функции f(x) по отрезку [а, 6] 5.1,6.2

12
Основные обозначения
Буквы латинского алфавита
Начертание
А а
В b
С с
D d
Е е
F f
G g
Н h
I i
J j
К k
L 1
M m
A a
В b
С с
D d
E e
F f
G 9
H h
I i
J j
К к
L I
M m

Произношение
a
бэ
ЦЭ
ДЭ
e
эф
же
аш
и
йот
ка
эль
эм
Начертание
N п
0 о
Р Р
Q q
R г
S s
Т t
U u
V v
W w
X х
Yy
Z z
N п
О о
Р р
Q я
R г
5 5
Т t
U u
V v
W w
X х
У у
Z z

Произношение
эн
о
пэ
ку
эр
эс
тэ
У
вэ
дубль-вэ
икс
игрек
зэт
Представлен наиболее употребительный (но не
единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда
говорят „жи").
Буквы греческого алфавита

Начертание
А а
в р
Г 7
Д S
Е £
z С
Н т?
е #в

Произношение
альфа
бета
гамма
дельта
эпсилон
дзета
эта
тэта

Начертание
I i
К х
Л Л
М /2
N v
О о
П 7Г

Произношение
йота
каппа
ламбда
ми
ни
кси
омикрон
пи

Начертание
Р Р
Е а
Т т
Т v
Ф </>
х х

Произношение
ро
сигма
тау
ипсилон
фи
хи
пси
омега
Наряду с указанным произношением также говорят
„лямбда", ..мю" и ..ню'
, „
„

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1. Вводные замечания
Введение понятия производной позволяет проводить
исследование свойств заданной функции и решать многие
прикладные задачи. Напомним, что понятие производной f'(x)
действительной функции f(x) одного действительного
переменного х с геометрической точки зрения соответствует
угловому коэффициенту касательной к графику этой функции. Бели
функция задает зависимость пройденного пути от времени, то
производная этой функции является скоростью движения.
Но ясно, что имеет смысл и обратная задача —
восстановление функции F(x) по известной зависимости ее производной
Ff(x) = f(x) от аргумента х. Решение задачи
восстановления функции по ее производной имеет большое прикладное
значение. Геометрически решение этой задачи означает
построение графика функции F(z), для которой функция }{х)
задает изменение углового коэффициента касательной к
графику у = F(x) при изменении х. В механике поставленная
задача возникает при нахождении пройденного пути s(t) по
известной зависимости скорости v(t) движения от времени t.
Аналогична и задача нахождения скорости v(t) по заданному
изменению ускорения a(t).
Измерение расхода жидкости через трубопровод, подводя-
Щий ее к емкости, позволяет судить об изменении во
времени количества жидкости в этой емкости. По зависимости от
вРемени силы электрического тока, проходящего через
конденсатор с известной емкостью, можно найти зависимость от
вРемени заряда конденсатора. Измерение теплового потока,
подводимого к телу с известной полной теплоемкостью, дает

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
возможность установить закон изменения во времени
температуры этого тела.
Общие методы решения рассматриваемой задачи,
составляющие содержание интегрального исчисления функций одного
переменного, опираются на основополагающие понятия
первообразной и неопределенного интеграла.
1.2. Понятия первообразной
и неопределенного интеграла
Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке
X (на отрезке, в конечном или бесконечном интервале или
полуинтервале).
Определение 1.1. Функцию F(x) называют
первообразной функции f(x) в промежутке X, если F(x)
дифференцируема в этом промежутке и для любого х € X значение
производной F'{x) совпадает со значением функции /(х), т.е.
eX (или dF(x) = f(x)dx Va?€X). (1.1)
Бели X = [а, 6], то под дифференцируемостью функции в
граничных точках х = а, х = Ь отрезка понимают
существование конечных правосторонней и левосторонней производных
соответственно.
Пример 1.1. Функция F(x) = x3 является первообразной
функции f(x) = Ff(x) = Зх2 на всей числовой прямой R. Для
функции д(х) = 1/у/х, определенной при х > 0, первообразной
будет функция G(x) = 2у/х (действительно, G'(x) — \/у/х =
= р(ж)). Несмотря на то что функция G(x) определена при
х ^ 0, первообразной функции д(х) она является лишь в
интервале (0, +оо). Функция Н(х) = 1/х является
первообразной функции h(x) = Я'(ж) = -1/г2 в промежутках (-оо, 0) и
(0,+оо). Первообразной функции v(x) = cosx при iGR
будет функция V(x) =sina:, так как V'(x) = (smx)' = cosa; = v(x)
#

1.2. Понятия первообразной и неопределенного интеграла 15
—
Нетрудно заметить, что если функция /(х) имеет
первообразную, то эта первообразная не единственна. Так, для
функции /(х) = Зх2 помимо F(x) = х3 первообразными будут
и функции х3+1, х3-2 и вообще х3+С, где С —
произвольное постоянное число, поскольку (х3 + С)' = Зх2 = f(x).
Теорема 1.1. Дифференцируемые в промежутке X
функции F(x) и Ф(х) будут в этом промежутке первообразными
одной и той же функции f(x) тогда и только тогда, когда
разность их значений для любого х € X постоянна, т.е. Vx € X
F(x) - Ф(х) = С = const. (1.2)
4 Если F(x) — некоторая первообразная функции f(x) в
промежутке Ху то, согласно определению 1.1, F'(x) = f(x)
Vx € X. Но тогда и функция Ф(х) = F(x) -С (С = const)
также является первообразной функции /(х) в этом промежутке,
поскольку Ф'(х) = (F(x) - С)' = F'{x) = f(x) Vx 6 X.
Обозначим F(x) — Ф(х) = (р(х) и найдем производную
iff {я) = (F{x) - Ф(х))' = F'(x) - Ф'(х) = /(х) - Дх) = 0 Vx € X.
Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции,
вытекающего из теоремы Лагранжа [II], равенство у'{х) = 0
Vx 6 X означает, что у?(х) = F(x) — Ф(х) = С = const Vx 6 А".
Итак, доказана эквивалентность (1.2) тому, что функции F(x)
и Ф(х) могут быть первообразными лишь одной и той же
функции. ►
Из теоремы 1.1 следует, что для заданной функции /(х)
достаточно найти в рассматриваемом промежутке какую-либо
°Дну первообразную -F(x), чтобы знать все первообразные
Функции /(х) в этом промежутке, поскольку они отличаются
от F(x) лишь постоянными слагаемыми. Геометрически это
^начает, что если построен график первообразной у = F(x)
Функции f[x) в промежутке Л", то графики всех остальных
иервообраэных можно получить параллельным сдвигом этого

16
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
графика вдоль оси ординат вверх на произвольное расстояние
С > О (рис. 1.1) или вниз (когда С < 0). При этом для
произвольной точки хо 6 X тангенс угла ао наклона касательной
к графику функции F(x)
F(x)4 ^ у
tge*0 = F'{x0) =
3/0
F(x0)
Чтобы из множества графиков
первообразных F(x) + С
выбрать одну кривую,
достаточно задать координаты одной из
точек кривой, например
точки М(хо\уо). Тогда из условия
у0 = F(xo) + С получим С =
Рис. 1.1
Определение 1.2. Множество всех первообразных
функции f(x) в некотором промежутке называют
неопределенным интегралом от этой функции в данном промежутке
и обозначают Jf(x)dx. При этом символ / именуют
знаком интеграла, f(x) — подынтегральной функцией,
f(x)dx — подынтегральным выражением, а х —
переменным интегрирования.
Если F(x) — какая-либо первообразная функции f(x) в
рассматриваемом промежутке, то правомерна запись
f(x)dx = {F(x)+C),
(1.3)
где С — произвольная постоянная величина, называемая
обычно постоянной интегрирования. Правая часть (1.3)
определяет бесконечное множество, состоящее из элементов F(x) +
+ С Однако обычно фигурные скобки в (1.3) опускают и пишут
просто
(1.4)

I 2. Понятия первообразной и неопределенного интеграла 17
нимая под J f(x) dx произвольный элемент этого множества.
Я данном случае ситуация аналогична обозначению символом
fix) не только функции, но и ее значения в точке х.
По определению 1.1 первообразной она является
дифференцируемой, а значит, и непрерывной функцией в
рассматриваемом промежутке. Поэтому неопределенный интеграл при
фиксированном значении произвольной постоянной С является в
этом промежутке непрерывной и дифференцируемой функцией
переменного интегрирования. Произвольность
(неопределенность) выбора постоянной и объясняет название интеграла.
Условие существования первообразной функции f(x)
рассмотрено в Д-1.1. Здесь же ограничимся лишь формулировкой
утверждения.
Утверждение 1.1. Всякая непрерывная в промежутке X
функция имеет первообразную в этом промежутке.
Пример 1.2. а. Найдем какую-либо первообразную F(x)
функции f(x) = 3\/^/2 и ее неопределенный интеграл. Эта
функция непрерывна в полуинтервале [0, +оо) и, согласно
утверждению 1.1, имеет в нем первообразную. Так как (ж3/2)' =
= Зу/х/2 при х ^ 0, то одной из первообразных заданной
функции в силу определения 1.1 будет функция F(x) = х3/2
(х ^ 0), а неопределенный интеграл от этой функции, согласно
(1.4), можно записать в виде
f (х); 4
F(x) T
Fix)
, х€[0,+оо).
На рис. 1.2 приведены графики
функции /(а?) и ее первообразной F(x)
при значении произвольной
постоянной С = 0.
б» Для функции f(x) = 1/х най-
Дем такую первообразную у = F(x) в
интервале (-оо,0), график которой
0
1
Рис. 1.2
2 х

18
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
f(x); F(x)A
-1
О
-1
Рис. 1.3
проходит через точку М(—2;0).
Поскольку (1п|х|)' = 1/х,
одной из первообразных
заданной функции, согласно
определению 1.1, будет функция In |х|,
а искомую первообразную
можно представить в виде F(x) =
= ln|x| + C. Постоянную С
определим из условия F(-2) =
= 0, или 1п2 + С = 0. Отсюда
С = - In 2 ив итоге
= !n|x|-ln2 =
51'
х €(-00,0).
Графики функции и найденной ее первообразной показаны на
рис. 1.3.
Пример 1.3. Функция f(x) = 2\x\ определена и
непрерывна на всей числовой прямой R. Согласно утверждению 1.1, эта
функция имеет на R первообразную F(g), причем в силу (1.1)
F'(x) = 2|ж|. При х ^ 0 (х2)' = 2х = 2|з|, т.е. в полуинтервале
[О, +оо) одна из первообразных F\(x) = x2 и, согласно (1.4),
неопределенный интеграл
/
г€[0,+оо),
а при ж<0 (х2)' = 2ж = -2|х|, т.е. в интервале (-оо, 0) одна
из первообразных F2(x) = -х2 и неопределенный интеграл
/2|x|dx=-x2 + C2, х€(-оо,0).
Рассмотрим при некоторых постоянных С\ и C*i функцию
F(x) =
x<0.

1.3. Свойства неопределенного интеграла
19
Эта функция будет непрерывна в точке х = 0, если
Последнее равенство верно при С\ = Сг = С. В этом случае
функцию F(x) можно представить в виде
F(x) = х2 sgn x + С.
Так как эта функция
дифференцируема при z^R и F'(x) = 2|ж|, то
она является одной из
первообразных функции f(x) = 2\х\. В итоге,
учитывая тождество |ж| = xsgnz, -1 У^ 0\ I I x
получаем
х € R.
Графики функции и ее первообразной при значении С = 0 даны
на рис. 1.4.
1.3. Свойства неопределенного интеграла
Пусть для функции /(х), определенной в некотором
промежутке Л", в этом промежутке существуют первообразная F(x)
и неопределенный интеграл (1.4). Нахождение неопределенного
интеграла от заданной функции называют ее
интегрированием. Рассмотрим основные свойства неопределенного
интеграла.
1°. Производная неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции, т.е.
(1.5)

20 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
или, что то же самое, дифференциал неопределенного
интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
d I f(x)dx = f(x)dx. (1.6)
Эти свойства непосредственно вытекают из определения 1.1
первообразной.
2°. Так как для функции F'(x) = f(x) одной из первообраз-
ных является сама функция F(x), то в силу (1.1)
f F\x)dx = F{x)+C, или fdF(x) = F(x) + C. (1.7)
Таким образом, интегрирование и дифференцирование
являются взаимно обратными операциями. Поэтому для проверки
правильности интегрирования достаточно
продифференцировать найденную первообразную F(x) и убедиться, что F'(x)
совпадает с подынтегральной функцией f(x).
3°. Если Л — отличное от нуля действительное число
(A(ER\{0}), то
fxf(x)dx = xff{x)dx. (1.8)
Действительно, если F(x) является первообразной функции
f(x) в промежутке Л", то \F(x) в силу определения 1.1 будет
в этом промежутке первообразной функции А/(ж), поскольку
(XF{x))' = XFf(x) = Xf(x) Vx € X.
Поэтому неопределенный интеграл JXf(x) dx является
множеством первообразных вида \F(x)+C, а неопределенный интеграл
Xjf(x)dx — множеством первообразных вида X(F(x) +Ci)-
Но в силу произвольности постоянных С и С\ при
условии А ф 0 всегда можно выполнить равенство С = ACi, т.е.
при фиксированном значении одной из этих постоянных
другую всегда можно выбрать так, чтобы указанное равенство

1.3. Свойства неопределенного интеграла 21
поЛнялось. Значит, множества AF(z)+C и \(F(x) + C
овП*адают, что доказывает справедливость (1.8).
Таким образом, при интегрировании ненулевую постоянную
можно выносить из под знака интеграла (или же вносить под
эТотзнак).
Замечание 1.1. Если в обеих частях равенства стоят
неопределенные интегралы, то говорят, что оно верно „с
точностью до аддитивной постоянной". #
4°. Интегрирование является линейной операцией, т.е. если
функции f\(x) и /г(я) имеют в промежутке X
первообразные Fi(x) и F2(x) соответственно, то в этом промежутке
функция Ai/i(x) Ч- Аг/гОО, ГДе Ai,A2€R, также имеет
первообразную, причем при Af + А^ > О
[
(1.9)
В самом деле, функция F(x) = XiF\(x) + Аг^(х) является
одной из первообразных функции Xifi(x) + \2f2(x) в
промежутке Л", так как, согласно определению 1.1 первообразной,
= AiFj(«) + A2FJ(*) = А,/х(«) + Аа/2(х) Vx e A".
Поэтому неопределенный интеграл в левой части (1.9)
представляет собой множество первообразных вида F(x) + С =
= AjFi(a:) + Аг^(х) -f С, а сумма неопределенных интегралов
в правой части (1.9) в силу свойства 3° — множество
первообразных вида Ai(Fi(z)+Ci)+A2(F2(a;)+C2). Но благодаря
пРоизвольности постоянных С, Си С-1 всегда можно считать
выполненным равенство С = AiCi + А2С2. Значит, эти мно-
ества совпадают, что доказывает рассматриваемое свойство,
^ываемое линейностью неопределенного интеграла.
ибобщая это свойство, можно заключить, что неопределен-
и интеграл от нетривиальной линейной комбинации функций

22 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
равен такой же линейной комбинации неопределенных
интегралов от каждой из этих функций. Использование этого свойства
при интегрировании иногда называют методом
разложения.
Пример 1.4. а. Функция w(x) = 2/у/х -х2 является
линейной комбинацией непрерывных при х > О функций д(х) =
= \/у/х и f(x) = За;2, первообразные которых установлены в
примере 1.1 и соответственно равны G(x) = 2\Jx и F(x) = х3.
В силу свойства 4° функция w(x) имеет первообразную при
х > 0. Используя линейность неопределенного интеграла,
получаем
1
о
Непосредственной проверкой убеждаемся, что
б. Найдем неопределенный интеграл от функции }\ (х) —
= €~'Х1, непрерывной на всей числовой прямой R и поэтому
в силу утверждения 1.1 имеющей первообразную на R. Если
х ^ 0, то {-е~х)' = е~х = е"'х' = Л(х). Поэтому, согласно (1.1)
и (1.4),
ffx(x)dx= f
Если же х ^ 0, то (ех)' = ех = е~'х^ = /i(x), поэтому
f fx{x)dx= f

1.3. Свойства неопределенного интеграла 23
еделим постоянные Ci и Сг так, чтобы выполнялось par
^яство (-е-' + С,) |1=0 = (е- + С,) Uo, или -1+ С, = 1 + С2.
^яст
Отсюда Ci = 2+C2 = 2+С, и так как левосторонняя про из вод-
ял функции ех + С в точке я = 0 совпадает с правосторонней
ооизводной функции —ех + 2 + С в этой же точке, то
составная функция
i *<0;
оказывается первообразной функции /i (х) при х € R, т.е.
5°. Пусть в промежутке X определена сложная функция
((x)), а функция t = u(z) дифференцируема в этом
промежутке. Бели функция f(t) имеет в промежутке Т Э и(Х)
первообразную F(t), то в силу определения 1.1 первообразной
dF(t) = f(t)dt (1.10)
и справедливо свойство инвариантности неопределенного
интеграла в виде
Jf(u(x)) du(x) = F(u(x))+C. (1.11)
< Так как функция F(t) определена в промежутке Т Э и(Х)}
то в промежутке X определена сложная функция F(u(x)).
Используя свойство инвариантности дифференциала первого
порядка [И] и учитывая (1.10), имеем
dF{u) = f(u) du, или dF(u(x)) = /(«(s))ti'(a:) dxy
т.е., согласно определению 1.1, F(u(x)) является одной из
первообразных функции f(u(x))u'(x). Поэтому в силу (1.4)
//(«(*)) du(x) = ff{u(x))u'(x)dx = F{u(x))+C,
ЧТо ^начает справедливость (1.11). ►

24 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Доказанное свойство позволяет свести вычисление
неопределенного интеграла от функции д(х) к следующей процедуре:
выделить в ней в качестве сомножителей производную и'(х)
некоторого промежуточного аргумента и и функцию f(u)
этого аргумента, т.е. представить д(х) в виде f(u(x))uf(x)^
а затем найти первообразную F(u) функции f(u):
I g(x)dx = I f(u(x))v!(x)dx =
= [f(u{x))du(x) = F{u{x))+C. (1.12)
Процедура нахождения неопределенного интеграла при помощи
(1.12) носит название интегрирования подведением под
знак дифференциала (производную и'{х) „подводят" под
знак дифференциала: и'{х)dx = du(x)).
Пример 1.5. В примере 1.1 установлено, что
cosxdx = s\nx + C. (1.13)
Использовав инвариантность неопределенного интеграла,
вычислим интегралы от функций 3x2cos(x3 + l) и (l/x)cosln|a:|.
В первом случае подведем множитель Зх2 = (х3 +1)' под
знак дифференциала и с учетом (1.12) и (1.13) получим
ISx2 cos(s3 + 1) dx = fcos(x3 + 1)ф3+ 1) = sin(s3+ 1) + С.
Во втором случае множитель 1/х является производной
функции 1п|х|. Поэтому, учитывая (1.12) и (1.13), находим
= /cosln |х| d(ln |ж|) = sin In |х| -h С
Применив правило дифференцирования сложной функции [II],
убедимся, что
/.til ^.\' 1 i i I coslnlaH
(sinIn \x\ + C) = cosln \x\ • - = —.

1.4. Основные неопределенные интегралы
25
1.4. Основные неопределенные интегралы
К основным относят неопределенные интегралы от
некоторых элементарных функций. Поскольку в силу свойства 2°
(см. 1*3) операции интегрирования и дифференцирования
взаимно обратные, эти интегралы можно найти при помощи
таблицы производных элементарных функций [II]. В связи с этим
такие неопределенные интегралы обычно называют
табличными интегралами. Мы ограничимся шестнадцатью
табличными интегралами, приведенными ниже. Каждая из
формул содержит произвольную постоянную С и справедлива в
каждом интервале из области непрерывности соответствующей
подынтегральной функции.
1
2
3
4
5
U'du=—— + C, s#-l.
5+1
/i
— = ln|u|+C.
и
/au
audu=-—+C, a>0, аф\.
In a
. I eudu = eu + C.
s\nudu= -cosn-hС
f
J
cosudu = smu
7
8
9
10.
11
12
С du
. /—5- =
J COS2U
. / -r^- = -ctgu
J sm2ti
f
. / shtidu = chu +
J
f
. /
J
f
. /
J
du
ch2ti
du
sh2u
= thи + С.
= -cthu
du
1
1
и
iл Г du 1
15./
167
\/a2 — w
= arcsin —
i a/0.
= — arccos —
a

26 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Замечание 1.2. Формулы 13-16 непосредственно не
следуют из таблицы производных, представленной в [И], но
справедливость этих формул нетрудно проверить
дифференцированием, используя свойство 1° (см. 1.3). Формула 16 в случае
А = 0 верна лишь при условии и > 0. Табличные интегралы 14
и 16 иногда называют „высоким" и „длинным" логарифмами
соответственно.
Пример 1.в. а. Найдем неопределенный интеграл от
функции f(x) = 2у/х — Зех. В силу линейности неопределенного
интеграла получаем
/ (2x/J - Зе*) dx = 2 / xx^dx - 3 fe*dx =
Здесь использованы табличные интегралы 1 и 4.
б. Для вычисления неопределенного интеграла от
подынтегральной функции }(х) = (у/х - 2^х)2/х) х > 0, сначала
возведем выражение в круглых скобках в квадрат и разделим
почленно на знаменатель х:
X
Представив теперь искомый неопределенный интеграл в виде
линейной комбинации трех табличных интегралов вида 1,
найдем
х>0.
в. При нахождении неопределенного интеграла от функции
l/cos2(x - 5) используем тот факт, что добавление к
переменному х постоянного числа 6 не изменяет дифференциал dx,

1.4. Основные неопределенные интегралы 27
т.е. d(x + 6) = dx. Учитывая свойство 5° инвариантности
неопределенного интеграла (см. 1.3) и используя табличный
интеграл 7, получаем
г. Чтобы неопределенный интеграл от функции sh7z
свести к табличному вида 9, следует под знаком дифференциала
получить выражение 7х, которое является аргументом
гиперболического синуса. Используя возможность вносить под знак
интеграла и дифференциала постоянный ненулевой
сомножитель, находим
=^ f
д. При вычислении неопределенного интеграла от функции
f(ax + b) также могут быть полезны свойства дифференциала,
использованные в двух предшествующих случаях:
/ f(ax + b) dx = - / f{ax + b) d(ax + b) = -F(ax + 6) + C,
J aj a
где F(u) — некоторая первообразная функции f(u). В
частности, для функции f(ax + 6) = (ах + Ь)7 получим
J(ax + b)7dx = ^ f (ax + b)7d(ax + 6) = ^^ + C.
Здесь снова использованы инвариантность неопределенного
интеграла и табличный интеграл 1.
Замечание 1.3. Целью первых четырех глав этой кни-
ги яаляется освоение техники интегрирования, т.е. освоение
Риемов и навыков построения „цепочки" преобразований, сво-
Д*Щи вычисление исходного неопределенного интеграла к та-

28 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
блинным интегралам. Поэтому впредь не будем обсуждать
области существования подынтегральной функции и ее
первообразной, кроме, разумеется, тех задач, где это требуется по
условию.
Замечание 1.4. В результате различных преобразований
подынтегральной функции можно прийти к разным
выражениям для первообразной. Надо помнить при этом, что в силу
теоремы 1.1 эти выражения могут различаться только на
константу. Покажем это на простейшем примере вычисления
двумя способами неопределенного интеграла от функции (2х — I)2.
В первом способе представим дифференциал dx в виде
dx = (\/2)d(2x — 1) и в силу инвариантности неопределенного
интеграла получим
(2*- l)2dx = i
Во втором способе выполним возведение в квадрат и разложим
исходный неопределенный интеграл на три табличных
интеграла 1:
f(2x-l)2dx = f
= 4 x2dx-4 xdx+ dx=-x3-2x
Выясним различие в полученных двух выражениях
первообразной, для чего преобразуем первое выражение:
• /О**. 1 W Q/>»3 I O/r* _1. ft/»» 1 A
6 = 6 = 3* "
Из сравнения полученных результатов видно, что оба
выражения для неопределенных интегралов совпадают, если принять
С2 = О\ — 1/6.

1.5. Интегрирование подстановкой и заменой переменного 29
1.5. Интегрирование подстановкой
и заменой переменного
При интегрировании подведением под знак дифференциа-
яспользуют инвариантность неопределенного интеграла и
предполагают, что в (1.12) первообразная F(t) функции f(t)
эвестна. Однако часто подведение под знак
дифференциала является лишь первым, подготовительным этапом перехода
от исходной подынтегральной функции д(х) к более простой
подынтегральной функции /(£), первообразную которой еще
предстоит найти. В этом случае (1.12) применяют в виде
= Jf(u(x))du(x) =
Таким образом, чтобы найти неопределенный интеграл в
левой части (Ы4), представляют д(х) в виде произведения
f(u(z))u'(x), подводят и'{х) под знак дифференциала,
обозначают и(х) через t и, подставляя в подынтегральное
выражение t вместо п(х), находят неопределенный интеграл от более
простой функции f(t). Затем, полагая t = u(x), возвращаются
к первоначальному аргументу х. Такую процедуру называют
интегрированием подстановкой.
Пример 1.7. а. Подынтегральное выражение в
неопределенном интеграле
exdx
1
е2х + 2ех-3
преобразуем к виду
exdx d(ex)
в знаменателе полный квадрат и использовав ра-
CTfio e*dx = d(ex)=d{es + l). Обозначая ех +1 через t,

30
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
приходим к табличному интегралу 14 относительно перемен-
ного t:
/
d(e
l) f dt _ 1
-4"У «2-4~41П
+ С.
Возвращаясь к исходному переменному х, окончательно
записываем
exdx
2х
- 3
ех-1
-НС.
б. В интеграле Jx3sin2 a;4rfx, подведя сомножитель х3 под
знак дифференциала и обозначив х4 через t, запишем
fx3s\n2x4dx = i fsm2(x4)d(x4) = i fs\n2tdt.
Чтобы свести полученный неопределенный интеграл к
линейной комбинации табличных, понизим степень
тригонометрической функции, перейдя к двойному углу, т.е. используем
равенство sin2* = (I -cos2£)/2. Принимая во внимание
табличный интеграл 6, получаем
j sin2tdt = - f(l-cos2t)dt=- [dt-- fcos2tdt =
t If
= 2 " 4 J
t s\n2t
2 "
Возвращаясь к исходному переменному х, находим
/
з
3
sin
sin(2s4)
16
. #
В предыдущих примерах при нахождении неопределенного
интеграла мы использовали подстановку вида и(х) = t.
Рассмотрим теперь интегрирование заменой переменного, т.е-
метод, основанный на замене вида х = cp(t).

Ч Интегрирование подстановкой и заменой переменного 31
_ ема1.2. Пусть функция x = <p(t) непрерывно диффе-
ма в промежутке Г, а функция у = f(x) непрерывна
X 2 У>СО- Пусть, кроме того, для функции (p(t)
выполнены условия:
1) производная <p'(t) отлична от нуля № € Г;
2) функция <p(t) имеет обратную функцию t = tp"l(x).
Тогда справедливо равенство
ff(x)dx= [f{<p(t)Wlt)dt . (1.15)
^ В силу условий теоремы подынтегральные функции в левой
я правой частях (1.15) непрерывны. Следовательно, согласно
утверждению 1.1, оба интеграла в (1.15) существуют. Для
доказательства теоремы покажем, что производные по переменному
х обеих частей (1.15) равны между собой.
В соответствии со свойством 1° неопределенного интеграла
(см. 1.3) производная левой части (1.15)
(1.16)
По условию теоремы (p'(t) фО Vt € Т. Поэтому в силу
теоремы 2.3 [II] о дифференцировании обратной функции
существует производная t'x и t'x = l/<p;(t). Правая часть (1.15)
является сложной функцией с промежуточным аргументом t.
Согласно правилу дифференцирования сложной функции [II],
= /МО) = /(*)■
I -Щ и (1.17) следует справедливость (1.15). ►
Фу в МеР 1«8» Вычислим неопределенный интеграл от
*/(яу/х2 - 1), используя замену переменного ж = 1/t.

32
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
При этом dx = -(1/*2)Л и t = 1/х, что позволяет исходный
неопределенный интеграл привести к табличному вида 15:
J ху/х^Л J
tdt
f dt I
1
= arccosd. .. +C = arccos — + C
it=l/x ~
Замечание 1.5. В записи выкладок при
интегрировании заменой переменного символ |<= _,< ^ обычно опускают,
а необходимую информацию о замене помещают в разрыве
равенств перед началом преобразований.
Пример 1.9. а. Неопределенный интеграл от функции
1/(ех + 1) можно вычислить, выполнив замену переменного
х = -\nt:
/
dx
х = -\nt
dx = -dt/t
-1
dt
t(l/t +
-_ f dt -
-~y i+*~
Ясно, что здесь использован табличный интеграл 2.
б. Для вычисления неопределенного интеграла от функции
х/у/х + 1 удобно сделать замену i = y/x
1
xdx
7Ш
dx = It dt
= 2 ft2dt-2 fdt = 2(j--
в. Неопределенный интеграл от функции х(2г + 5)10 можно
свести к линейной комбинации табличных при помощи замены

1.5. Интегрирование подстановкой и заменой переменного 33
/
10dx =
ж(2ж + 5)1О</ж =
= (t - 5)/2
dx = Л/2
-г
2"' У
(2s+ 5)"
12
12
_5_\ (2ж + 5)п 22ж-5
11/+ 4 132
г. Найдем первообразную F(x) функции /(х), для кото-
рои
* € (0,1];
t
При этом график искомой первообразной должен проходить
через точку (1п2;0). Положим х = Int. Тогда
х € (-оо,0];
Используя табличные интегралы 1 и 4, получаем
х е (-оо, 0];
+ С2, ж€
Ясно, что F(x) дифференцируема во всех точках числовой оси,
включая х = 0, и при этом F'(x) = f(x) Уж € R. Из условия
непрерывности первообразной при ж = 0 имеем С\ = 1 + Сг, а из

34
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
условия F(ln 2) = 0 прохождения ее
графика через точку (In 2; 0) — Сг = -2 и
С\ = — 1. В итоге искомая первообразная
«€(-оо, 0];
, +оо).
Рис. 1.5
Графики /(ж) и F(x) приведены на
рис. 1.5. #
При решении прикладных задач
часто возникает необходимость вычислять
неопределенные интегралы от функций,
содержащих квадратный трехчлен.
Простейшими из них являются
неопределенные интегралы вида
ТПХ -f" Tl
ax2 + Ьх + с
dx
тпх
и
л/ож2 + 6ж + с
(1.18)
Общий прием нахождения таких неопределенных интегралов
состоит в выделении из трехчлена полного квадрата с
последующей заменой переменного.
Пример 1.10. а. Вычислим неопределенный интеграл
от функции 1/(2х2 - 4х+ 7), представив ее знаменатель в
виде 2х2 - 4х + 7 = 2(ж2 - 2х +1) + 5 = 2(х - I)2 + 5. Используя
подстановку х - 1 = *, приходим к табличному интегралу 13:
dx
_ Г dx Г d(x
~J 2(ж-1)Ч5~7 2(ж-
d(x - 1)
1)45
dt
I
?* + С
1

1.5. Интегрирование подстановкой и заменой переменного
35
б. Поступая аналогично, найдем неопределенный интеграл
от функции (ж — 3)/(х2 — х + 2). Выделяем полный квадрат в
знаменателе: х2 - х + 2 = (ж2 - х +1/4) + 7/4 = (х - 1/2)2 + 7/4.
Используя подстановку а: - 1/2 = i, находим
J x2X-x + 2dX-J
х-3
(х- 1/2)2 + 7/4
х - 1/2 = t
х = « +
eta =
-г-
1/2-3
dt
-f
t-b/2
+ 7/4
dt
Разложим последний неопределенный интеграл на два и первый
из них найдем, подведя t под знак дифференциала и
использовав табличный интеграл 2, а для вычисления второго
используем табличный интеграл 13:
t-5/2
dt
"У t2Н-7/4 " 2У t2
dt
t2Н-7/4
4- 7/4)
+ 7/4
_ 1 /* rf(^2 4- 7/4) 5 [
~2J t2 + l/A 2J t2
dt
5 2
2L
у/7
Возвращаясь к исходному переменному ж, в итоге получаем
2(х -1/2)
1
-
2а; — 1
*• Для вычисления неопределенного интеграла от функции
"~ S)/Vl — ж —а:2 выделим под знаком радикала полный

36 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
квадрат: 1 - х - х2 = 1 - (х2 + х + 1/4) + 1/4 = 5/4 - (х +1/2)2.
Тогда найдем
/* 2з + 8 . /*
/ . ах = /
У v/1-s-z2 У
V5/4-(x+l/2)
x = t-l/2
dx = dt
zt — l + о , / ztat I at
t dt= / —== + 7 / —==
л/5/4 -*2 У л/5/4 -£2 У л/Н/Ч^
__ Г ri(5/4 -12) Г
~У л/5/4 - e2 + У
dt
HC 2Vl7^2 + 7i+ C. #
Для нахождения неопределенных интегралов вида (1.18)
можно использовать и другой способ. В первом из этих
интегралов преобразуем числитель, выделив производную
знаменателя:
2ах + 6 mb
ТИХ + П = 771 h П — ——,
2а 2а
и разложим исходный интеграл на два:
dx
/тх + п f m f 2ах-\-Ь , / mb\ [
ax2+bx+c 2a J ax2+bx+c \ 2a/ J a
Первый интеграл в правой части этого равенства сведем к
табличному вида 2, подведя 2ах + b под знак дифференциала,
а второй — к одному из табличных интегралов 13 или 14,
выделив в знаменателе его подынтегральной функции полный
квадрат:
/тх + п _ m [ d(ax2 + bx + с)
ах2 + bx -h с 2о У аж2 + 6ж + с
j.1- ■ ■ dx
"Г (П— -г—

1.5. Интегрирование подстановкой и заменой переменного
37
Аналогично можно привести к двум табличным интегралам
0 второй неопределенный интеграл в (1.18).
Пример 1.11. а. Найдем описанным способом
неопределенный интеграл от функции (Зж - 7)/(ж2 + Ах + 1):
Г Зж-7 _ />3(2ж+4)/2-6-7 3 Г (2x+4)dx
J x2+4x + l X~J z2+4s + l X~2J х*+4х + 1
iq f dx =3 fd{x4ix + l) f ф+2)
"" У х2+4ж + 1 2У ж2-Ь4ж + 1 У (* + 2)2-4 + 1
Здесь исходный неопределенный интеграл преобразованиями
приведен к табличным интегралам 2 и 14.
б. Аналогично вычислим неопределенный интеграл
-
У
л.
_ 1 Г
" 4У
/
dx
1
Используя табличные интегралы 1 и 16, в итоге получаем
\/2

38 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.6. Интегрирование по частям
Теорема 1.3. Бели функции и(х) и v(x) непрерывно
дифференцируемы в некотором промежутке X, то справедлива
формула
ju{x)dv(x) = u(x)v(x)- fv(x)du(x)y xeX. (1.19)
< По условию теоремы подынтегральные функции в (1.19)
непрерывны. Поэтому в силу утверждения 1.1 они имеют
первообразные и существуют входящие в (1.19) неопределенные
интегралы. Опуская обозначение аргумента х, по правилу
вычисления дифференциала от произведения дифференцируемых
функций [II] запишем d(uv) = vdu+udv, или udv = d(uv) - vdu.
Отсюда, используя линейность неопределенного интеграла,
получаем
/ udv = / (d(uv) - vdu) = / d(uv) - / vdu. (1.20)
В соответствии со свойством 2° (см. 1.3) имеем
d(uv) = uv + С. (1.21)
Относя произвольную постоянную С к неопределенному
интегралу Jvdu, из (1.20) и (1.21) получаем (1.19). ►
Использование формулы (1.19) целесообразно в том
случае, когда представление подынтегрального выражения в виде
u(x)dv(x)y приводящее к задаче определения функции v(x) и
интеграла fv(x)du(x), упрощает вычисление исходного
интеграла. Уместно дать некоторые рекомендации по процедуре
применения (1.19), называемой интегрированием по
частям.

1.6. Интегрирование по частям 39
1. Если подынтегральная функция является произведением
многочлена Рт{х) степени тп^О и одной из функций sin ах,
cosax, еая?, то в (1.19) следует выбрать и(х) = Рт(х).
2. Бели под знак исходного интеграла входит
обратная тригонометрическая функция (arcsin x, arccosx, arctgx,
arcctgx) или логарифмическая функция lnx, умноженная на
многочлен Рт(х) (т ^ 0), то в качестве dv(x) следует
выбрать Pm(x)dx.
Пример 1.12. Используя формулу (1.19) интегрирования
по частям, вычислим
i) / arcsin xcfx; б) / х arctgx dx\
\) Mx2 + 5x-3)lnxdx; г) Ixexdx.
а. Следуя высказанным рекомендациям, в первом
неопределенном интеграле обозначим и(х) = arcsinx и запишем
arcsin xdx =
и = arcsinж, du = dx/\/l - х2
dv = ds, v = х
f xdx . Ml-*2)
= x arcsin x - / . = x arcsin x + I
= x arcsin
Здесь использован табличный интеграл 1.
б. Во втором неопределенном интеграле подведем
сомножитель х под знак дифференциала:
/ f /я2\ х2
I х arctgxdx = I arctgxd( — J = arctgx • ——
fx2 Jt ч x2 I
- j у rf(arctgx) = - arctgx --

40 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Для вычисления полученного интеграла в числителе его подын
тегрального выражения добавим и вычтем единицу:
-h-h
dx ,~
= x — arctga + C
x2
В итоге получим
X2 1
xarctgxdx = — arctga; - -(x - arctgz -f C) =
arctgx — ^
2 2
в. Третий неопределенный интеграл вычислим, подведя под
знак дифференциала многочлен:
3 Ьх2 \
—
3 Ьх2 \ ((хъ
)(
С /ж3
(x2 + 5x-3)\nxdx= / \nxdl--
Ъх
г. В четвертом неопределенном интеграле примем и = х:
fxexdx = I xd(ex) = хех - f exdx = (х -
Нетрудно проверить, что выбор сочетания и = ех и cfv =
или и = хех и dv = dx после применения (1.19) приведет лишь
к усложнению подынтегрального выражения. #
По аналогии с последним примером при интегрировании
по частям функции f(x) = xnex (п 6 N) произойдет
понижение степени х под знаком интеграла, если в качестве и

1.6. Интегрирование по частям
41
добрать х
п.
rn = Jxne*dx = Jxnd(ex)
- J e
= xnex
= xnex-n j xn"lexdx.
Если п раз последовательно провести интегрирование по
частям, то можно найти искомый неопределенный интеграл /п.
Но можно поступить проще. Представив последнее выражение
в виде рекуррентного соотношения /п = хпех — n/n_i, получим
/п = хпех - п(хп^ех - (п - 1)/п_2) =
= хпех - пхп'1ех + п(п - 1) (хп~2ех - (п - 2)/п_3) = ...,
или
f
xnexdx =
(1.22)
В некоторых случаях интегрированием по частям
(иногда — повторным) можно получить в правой части цепочки
равенств выражение, содержащее исходный неопределенный
интеграл /, т.е. прийти к уравнению с неопределенным
интегралом / в качестве неизвестного.
Пример 1.13. Интегрированием по частям вычисляем
/ =
-x2dx =
и = у/а2—ж2, du= - j!LJL
= xy/a2 — x2 — I x . — = x у/а2 - x2 -f
7 уя — ^ 7 v« - я2

42 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Используя табличный интеграл 15, приходим к равенству
/ = xyja2 - х2 + a2 arcsin /.
а
Отсюда, учитывая, что равенство, в обеих частях которого
стоят интегралы, верно с точностью до произвольной постоянной,
получаем
у/а2 - х2 dx = \у]а2 - х2 + ^-arcsin - + С. (1.23)
2 2 а
Пример 1.14. Найдем неопределенные интегралы
/о = / еахcosbx dx и Jo = / еая;sin 6x йж.
В данном случае в качестве и можно выбрать как
показательную, так и тригонометрическую функции. Используя первый
вариант и интегрируя по частям
/о =
* ах • l a т
= 7« Sin ОХ- 7 »А)?
О О
приходим к интегралу Jo» который тоже возьмем по частям:
-eaarcos6x + ^/0. (1.24)
Подставляя это выражение в предыдущее, получаем
(\ecosbx +
О V О О
__ aa.6sin6a:-|-acosbx a2
в

1.6. Интегрирование по частям
43
откуда, согласно замечанию 1.1, следует
г f
/0=
У
ax » . .-acos&s-f 6sin6x
eax cosbz dx = eax 5—75 + C
2+ 6*
a2+ 6*
учитывая (1.25), из (1.24) находим
0Sin6z-6c0s6x
r
Jo
f
= /
У
ax • l . a.
eax sin баг (far = eear
Пример 1.15. Неопределенный интеграл
f
=У
при n = 1 переходит в табличный интеграл 13
dx 1 х
+ a? a
Г
= /
у
Для произвольного п € N
а2)» У
—2nxdx
+ 2п
У (г
2
2
Отсюда получим рекуррентное соотношение
(1.25)
(1.26)
л
°о которому последовательно, зная /i, можно найти /2, затем
По /г найти /з и т.д. вплоть до искомого интеграла /n+i. #
В некоторых случаях полезно сначала заменить перемен-
н°е интегрирования, а затем применить интегрирование по
частям.

44 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 1.16. Вычислим интеграл от функции cos
сделав предварительно замену переменного:
x = t
/cosy/xdx= dx = 2tdt =2 I tcostdt =
t = y/x J
= 2 ftd(smt) = 2(tsint- f sintdt) =
= 2 (t sin t + cos t) + С = 2 (\/x sin y/x -f cos >/я) + С
Дополнение 1.1. Первообразная
непрерывной функции
Из определения 1.1 следует, что первообразная F(x)
некоторой функции f(x) является функцией дифференцируемой,
поскольку Ff(x) = f(x). Это означает, что для существования
у функции f(x) в промежутке X первообразной необходимо
прежде всего, чтобы в этом промежутке была определена сама
функция f(x). Попытаемся выяснить, каким еще
требованиям должна удовлетворять в промежутке X функция f(x) для
того, чтобы она имела в этом промежутке первообразную.
С этой целью предварительно установим некоторые
свойства площади плоской фигуры, рассматривая ее как линейно
связное замкнутое ограниченное множество точек плоскости.
Напомним, что замкнутое множество содержит все свои
граничные точки, а ограниченное множество точек на плоскости
можно охватить окружностью достаточно большого радиуса.
Геометрически такую фигуру можно представить как часть
плоскости, ограниченную, например, замкнутым контуром,
причем точки контура также принадлежат этой фигуре (рис. 1.6).
На плоскости введем прямоугольную систему координат
Оху. Назовем двоичной сеткой ранга п € N совокупность
прямых, параллельных координатным осям Ох и Оу и
имеющим соответственно уравнения у = k/2n и х = fc/2n, к € Z.

Д. 1.1. Первообразная непрерывной функции
45
У
0
т
\
1
X
s
***
1
1
ч
^^
•*•
■^
^^
-*.
s
\
)
/
X
Рис. 1.6
Эти прямые делят плоскость Оху на квадраты со стороной
hn = 1/2п и площадью каждого квадрата hn = 1/4п.
Сумму площадей тех квадратов двоичной сетки ранга п,
которые полностью покрывают рассматриваемую плоскую
фигуру (см. рис. 1.6), т.е. имеют общие с этой фигурой точки,
обозначим 5П. Ясно, что при переходе к двоичной сетке
ранга п + 1 получим 5n ^ 5n+i. Действительно, каждый
квадрат сетки ранга п содержит четыре квадрата сетки ранга
п+\, каждый площадью /&£+1 = l/4n+1, и если сетка ранга
п покрывает фигуру Nn квадратами, то сетка ранга п + 1
будет покрывать эту фигуру уже </Vn+i квадратами, причем
iVn+1 ^ 4iVn. Поэтому
Таким образом, последовательность {Sn} не возрастает, т.е.
является монотонной, а кроме того, и ограниченной, посколь-
*У Sn > 0 при любом п € N. Поэтому, согласно признаку
оейерштрасса о сходимости монотонной ограниченной
последовательности, существует конечный предел
5 = lim Sn > О,
n-юо
°торый и называют площадью рассматриваемой плоской фи-
ГУРЫ.

46
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Площадь плоской фигуры имеет следующие свойства.
1°. Если фигура с площадью 5' составляет часть фигуры
с площадью S", то 5' ^ 5". В самом деле, для сетки
ранга п S'n ^ 5". Переходя в этом неравенстве к пределу
при п -» оо, получаем указанное свойство, которое называют
монотонностью площади.
2°. Площадь прямоугольника равна произведению длины
его основания на высоту. Для доказательства этого свойства
достаточно ограничиться случаем
прямоугольника со сторонами,
параллельными координатным осям.
В этом случае квадраты сетки
ранга п, покрывающие
прямоугольник ABCDy сами составляют
некоторый прямоугольник A'B'C'D'
(рис. 1.7), в котором вдоль
основания А'В' уложено р квадратов, а
вдоль высоты В1 С1 — q
квадратов. Значит,
У
о
D'
А
к
1 к
D
А
1
—I
i
J
г
В
С
В'
X
Рис. 1.7
n = pqh2n = phn • qhn = \A'B'\
(1.28)
где \А'В'\=р11п и \B'C'\ = qhn. Ясно, что при n-юо получим
\А'В'\ -¥ \АВ\ и |В'С"| -► \ВС\. Поэтому при переходе в (1.28)
к пределу при п -юо установим, что площадь
прямоугольника ABCD S=\AB\-\BC\. Если прямолинейный отрезок
рассматривать как прямоугольник с основанием, равным
длине отрезка, и равной нулю высотой, то придем к выводу, что
его площадь всегда равна нулю.
3°. Если плоская фигура, имеющая площадь 5, разделена
прямой L, параллельной оси Оу, на две части, имеющие
соответственно площади Sf и S", то S = S* + S".
Действительно, так как рассматриваемая плоская фигура является
замкнутым ограниченным множеством точек, то существует
отрезок АВ прямой L, такой, что точка А лежит ниже

Д. 1.1. Первообразная непрерывной функции
47
всей фигуры, а точка В — выше
этой фигуры (рис. 1.8). Сумму пло-
щадей квадратов двоичной сетки
ранга п, покрывающих всю
фигуру, обозначим 5П, а покрывающих
составные части фигуры, —
соответственно Sfn и S". Кроме
того, сумму площадей тех квадратов
этой сетки, которые имеют общие
точки с обеими частями фигуры,
обозначим Sn*. Тогда можно
записать
n —
tt
lU
Рис. 1.8
При n -> oo будем иметь 5n -> 5, S'n-> Sf н S% -> S".
Квадраты сетки с суммой площадей S£" входят в число тех
квадратов, которые покрывают отрезок АВ. Но площадь
этого отрезка в силу свойства 2° равна нулю. Поэтому S£; —► О
при п —> оо. Тогда при переходе в обеих частях последнего
равенства к пределу при п -» оо получим указанное свойство
S = 5' 4- 5", называемое аддитивностью площади.
Теперь применим установленные свойства площади плоской
фигуры к криволинейной трапеции, под которой
понимают часть плоскости Оху,
ограниченную снизу
отрезком [о, Ь] оси абсцисс Ох,
сверху графиком
непрерывной функции у = /(ж), при-
Нем /(*) ^ 0 Vx € [a, 6], a
с боков прямыми х = а и
= & (рис. 1.9). Отрезок
4 называют основани-
криволинейной тра~
аЬВА. В случае не-
У-
f(r\)
0
А.
с
MJ
ШИШ
I X
h
у
/
x-f'Ax 1
В
Ь х
Рис. 1.9

48 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
прерывной на [а, 6] функции f(x) криволинейная трапеция
является ограниченным замкнутым множеством точек плоскости,
что позволяет применить к такой трапеции понятие площади
плоской фигуры и использовать свойства этой площади.
Обозначим через S(x) (x € [а, 6]) площадь криволинейной
трапеции ахМА с переменным основанием [а, х] (эта площадь
заштрихована на рис. 1.9). Таким образом, каждому значению
х 6 [а, 6] отвечает единственное значение 5(х), равное площади
криволинейной трапеции ахМА^ т.е. S(x) — функция,
определенная на отрезке [о, 6], причем S(a) = 0 и 5(6) = 5, где 5 —
площадь всей криволинейной трапеции аЬВА.
Теорема 1.4. Бели функция у = f(x) неотрицательна
и непрерывна на отрезке [а, 6], то функция 5(з), равная
площади криволинейной трапеции ахМА (см. рис. 1.9), такова,
что S'(x) = f(x) Vx € [а, 6], т.е. S(x) является первообразной
функции f(x) на отрезке [а, 6].
< Дадим произвольному значению х £ [а, 6) такое приращение
Ах>0, чтобы х + Ах€ [а, 6], и обозначим через AS площадь
криволинейной трапеции, основанием которой служит отрезок
[ж, х + Ах] (см. рис. 1.9). По свойству 3° аддитивности
площади имеем S(x) + AS = S(x + Ах). Отсюда приращение
функции S(x) будет А5 = S(x + Ах) -S(s).
Согласно второй теореме Вейерштрасса [1-9.4],
непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих наибольшего и
наименьшего значений. Пусть /(£) и /(ту) — соответственно
наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке
[ху х-{-Ах] (см. рис. 1.9). На этом отрезке как на основании
построим два прямоугольника с высотами /(£) и f(rj). Первый
из них включает криволинейную трапецию, площадь которой
обозначена через А5, а второй включен в эту криволинейную
трапецию. Поэтому в силу свойств 1° и 2° площади плоской
фигуры f(r})Ax ^ AS ^ /(£)Дж, или

Д. 1.1. Первообразная непрерывной функции 49
Ясно, что полученное соотношение верно и при Az < 0, так
как в этом случае и приращение функции AS < 0.
Поскольку £ -* х и ту -* х при Дх -> 0, в силу
непрерывности функции f(x) имеем /(£)-* f(x) и /(?/)->/(ж). Поэтому,
согласно утверждению о пределе „промежуточной" функции
[1-7.1], предел отношения AS/Ах при Дж->0 существует и
равен f(x). Но по определению производной функции [II] этот
предел равен S'(x). Таким образом,
что и доказывает утверждение теоремы.
Замечание 1.6. Если функция y = f{x) неотрицательна и
непрерывна в полуинтервале [а, 6) и имеет конечный предел
lira /(*) = /(6 -0)^0, (1.29)
Х-+6—О
то функция
будет непрерывна на отрезке [а, 6] и в силу теоремы 1.2 для
площади S(x) переменной криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком функции д(х), справедливо равенство
S'(x)=g(x) Vx€[a, 6], т.е. S(x) является первообразной
функции д(х) на отрезке [а, 6]. Но при х € [о, 6) д(х) = /(ж),
8 поэтому S(x) является первообразной функции f(x) при
*€ [а, 6). Отметим также, что в силу непрерывности перво-
°6разной
lim
5 — площадь всей криволинейной трапеции abBA, имею-
основанием отрезок [о, Ь] (см. рис. 1.9).

50 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Бели функция у = f(x) неотрицательна и непрерывна в
полуинтервале (а, Ь] и имеет конечный предел
lim f{x) = /(а + 0) £ 0, (1.30)
Х-Ю+О
то аналогичным образом можно показать, что площадь S(x)
переменной криволинейной трапеции, ограниченной сверху
графиком непрерывной на отрезке [а, 6] функции
■{
будет первообразной функции f(x) в полуинтервале (а, 6],
причем
lim S(x) = 0.
Ясно, что неотрицательная и непрерывная в интервале (а, 6)
функция f(x) с конечными пределами (1.29) и (1.30) имеет в
этом интервале первообразную, равную площади S(x)
криволинейной трапеции (см. рис. 1.9), ограниченной сверху
графиком непрерывной на отрезке [а, 6] функции
/(а + 0), х = а;
*(*)={ /(*). *€(а,Ь); (1.31)
/(6-0), х = 6.
Таким образом, неотрицательная и непрерывная в конечном
промежутке X функция с конечными пределами
соответственно справа и слева на концах этого промежутка всегда имеет
первообразную в промежутке X.
Следствие 1.1. Любая непрерывная на отрезке [а, 6]
функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную.
А Если f(x) ^0 Vz € [a, 6], то существование первообразной
следует из теоремы 1.4. В противном случае в силу
ограниченности непрерывной на [а, 6] функции f(x) всегда можно
подобрать постоянное число К > 0, такое, чтобы f(x) + К ^ 0
Vx 6 [а, Ь]. Геометрически это означает, что график функции

Вопросы и задачи 51
fix) достаточно сдвинуть вверх вдоль оси ординат, чтобы
полупить криволинейную трапецию, образованную графиком
неотрицательной функции f(x) + К, Согласно теореме 1.4,
функция /(ж) + К имеет на [а, 6] первообразную, которую
обозначим Ф(ж), т.е. Ф'(я) = f(x) + К. Поскольку
(Ф(») - к*)1 = ф'(х) -к = (/(») + а:) - а: = /(*),
функция F(x) = Ф(х) — Кх будет первообразной функции /(ж)
на отрезке [а, 6]. ►
Замечание 1.7. Итак, достаточным условием
существования у функции первообразной на некотором отрезке является
непрерывность функции на этом отрезке. Функция,
непрерывная в некотором промежутке (конечном или бесконечном),
имеет первообразную на любом отрезке, включенном в этот
промежуток. Значит, такая функция имеет первообразную на
всем рассматриваемом промежутке, что и было
сформулировано в утверждении 1.1.
Вопросы и задачи
1.1. Функция f(x) имеет первообразную на всей
числовой прямой и является: а) периодической; б) знакопостоянной;
в) четной; г) нечетной. Будет ли в этих случаях обладать
свойствами периодичности, монотонности или четности
первообразная этой функции ?
1*2. Имеет ли первообразную на всей числовой оси функция
1*3. Найти первообразную, график которой проходит через
точку (жо;уо), для следующих функций:
а) VvS+sin(l + ж), х > 0, *о = Уо = 1;
б) 2/з - 3/ж2, х < 0, хо = -1, уо = 1;

52 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.4. Найти на всей числовой прямой неопределенный
интеграл от функций:
а) х|х|; б) |1 + х|-|1-х|; в) (2х-3)|х-2|; г) тах{1, х2};
1, х(Е(-оо, 0);
1 + х, х€[0, 1];
2х, х G (1, +оо).
1.5. Используя подведение под знак дифференциала и
подстановку, проинтегрировать функции:
a) tgx; б) cth4*; в) -L; г) tg3*; д) J-; е) -L;
1.6. Проинтегрировать заменой переменного функции:
а) х(5х - I)19; б) —J==; в) —?L=; г) *
1 е2г е31 1 1
); ж) /, ..; 3) м...; ■)
к) //.. .ч/« .т» л), . л . _; м) /г^-^; н)
sin2 x
о) y/(x-a)(b-x); n) >/sinxco85x; p) ——; с)
cos6a:
'а + х / х v /х-о
TI
1.7. Найти первообразную F(x) при ж>0 функции /(х),
если /'(я2) = 1/х и график этой первообразной проходит через
начало координат.

Вопросы и задачи 53
1.8. Интегрированием по частям найти неопределенные
0ятегралы от функций:
Л x2arccosx; б) (arcsinx)2; в) у/а2 - х2; г) 1п(х + \/4 + х2)\
A xarctgx2; e) x(arctgx)2; ж) xyl -х2 arcsinx; з) arctg\/x;
-sinх
о гъч . » ч * sinх ч
«О *V*2 + a; к) «п.сЬг; л) ^-^-^ м)
sarccoss ч In2 а:
1.9. Интегрированием по частям (см. примеры 1.14 и 1.16)
найти неопределенные интегралы
I s\n(\nx)dx и I cos(\nx)dx.
1.10. Построить рекуррентные формулы для
неопределенных интегралов /п (п 6 N, n > 2):
а) 1П = / cosns(fs; б) /п = / -г^-; в) /л = / LJ?_;
У J &т х J у/х2 + а
1.11. Доказать, что
к=0
гДе Рп(х) — многочлен степени п и а
1.12. Проинтегрировать функции:
*) е"хarctge*; б) cos2Inх\ в) a;7e"z2; г) In(>/\^x + \p\Tx);
ч arcsinx . lnsina: ч a:In(х + -\/1
; е) 5—; ж) ^-j—; з) К
X2 SHTX
ax2
х2 siirx (1-х2)-
х-1

2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Известно, что производная элементарной функции тоже
является элементарной функцией, и дифференцирование
выполняют по достаточно простым общим правилам. Но
неопределенный интеграл даже от сравнительно простой
элементарной функции может не принадлежать к классу элементарных
функций (например, интегралы от функций е~х , sin ж/ж,
coss/ж, sins2, cosz2, 1/1пж). О таких неопределенных
интегралах говорят, что они не берутся в конечном виде (не
выражаются через элементарные функции) и кратко их обычно
называют неберущимисл интегралами.
В отличие от дифференцирования общие правила
интегрирования существуют лишь для некоторых видов элементарных
функций. Наиболее важными из них являются
дробно-рациональные функции (или рациональные дроби). К интегрированию
рациональных дробей приводят многие рассматриваемые далее
варианты замены переменного. Поэтому очень важно уметь
интегрировать дробно-рациональные функции.
2.1. Дробно-рациональные
подынтегральные функции
Напомним, что дробно-рациональными называют функции
вида
Ш (2-1)
в общем случае являющиеся отношением двух многочленов
m
*=0

2.1. Дробно-рациональные подынтегральные функции 55
Я
п
Qn(x) = aoxn + a\xn l + ... + an-lx + an =
степени тип соответственно. Будем считать, что
многочлены Рт(х) и Qn(x) с действительными коэффициентами не
имеют общих нулей, т.е. дробь в (2.1) несократима.
В частном случае при п = О, когда Qn = по ф О, (2.1)
является просто многочленом степени т. Если п > т ^ 0, то
рациональную дробь называют правильной, в противном
случае — неправильной. Используя правило деления многочленов
[II], неправильную рациональную дробь можно представить в
виде суммы многочлена Pm_n степени т — п и некоторой
правильной дроби, т.е.
Qn(x) ~
где многочлен Pi(x) имеет степень / < п. Ясно, что если в
левой части (2.2) числитель и знаменатель не имеют общих
нулей, т.е. рациональная дробь несократима, то и правильная
рациональная дробь P\(x)/Qn(x) в правой части (2.2) также
несократима. Деление многочленов можно провести „уголком"
[II] или же преобразованием числителя неправильной
рациональной дроби, добавляя к нему пары слагаемых, равные по
абсолютной величине, но разные по знаку.
Пример 2.1. Числитель неправильной рациональной дроби
_, ч 2х3 + Зж2 - Ъх + 8
преобразуем так, чтобы в нем выделить слагаемое, кратное

56 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
знаменателю и включающее старшую степень аргумента ж:
2ж3 + Зж2 - 5ж + 8
_ 2ж(ж2 + Зж + 7 - Зж - 7) + За2 - 5ж + 8 _
-Зж2-19ж+8_о -3(ж2+Зж+7-Зж-7) - 19а+8
. , -3(ж2 + Зж + 7) + 9ж + 21-19ж + 8
= 2жН тг-
В данном случае преобразование числителя неправильной
рациональной дроби пришлось провести дважды. #
Таким образом, неопределенный интеграл от рациональной
дроби, согласно его свойству линейности, в общем случае
можно представить суммой неопределенных интегралов от
многочлена и от правильной рациональной дроби. Поэтому
далее рассмотрим интегрирование правильных рациональных
дробей.
2.2. Интегралы от простейших
рациональных дробей
Среди правильных рациональных дробей выделяют
четыре типа, которые относят к простейшим рациональным
дробям:
+ \ А лч В rt4 Mx + N aX Mx + N
1 » 2 7 чГ» 3 2 , . » 4
х о Vх °^ *

2.2. Интегралы от простейших рациональных дробей 57
где к > 1 — целое и р2 - Aq < О, т.е. нули квадратного трех-
ялена, стоящего в знаменателе дробей третьего и четвертого
типов, комплексно сопряженные (соответственно простые и
Кратные с кратностью нуля к), и поэтому трехчлен не
обращается в нуль ни при каком значении хбК.
Вычисление неопределенных интегралов от простейших
рациональных дробей двух первых типов не вызывает
затруднений:
Adr
^^- = >41п|х-а|+С, (2.3)
х — а
Я
Здесь использованы табличные интегралы 2 и 1
соответственно.
Дробь третьего типа сначала преобразуем, выделив полный
квадрат в знаменателе (см. 1.5 и пример 1.10.а):
Mx + N Mx + N
Так как нули знаменателя комплексно сопряженные, то q -
~Р2/А > 0, и поэтому можно обозначить q - р2/А = а2.
Обозначив также х + р/2 = t (х = t — р/2, dx = Л), преобразуем
знаменатель в (2.5) к виду х2 + рх + q = t2 + а2 и запишем
интеграл от дроби третьего типа в форме
/Mx + N . f Mx + N
—5 dx = 1 5 r— dx =
M(t-p/2) + N^_ fMt + N-pM/2
n CLL.
= rM(t-P/2HNdt=r

58 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Последний интеграл, используя линейность
неопределенного интеграла, представим в виде суммы двух и в первом из них
подведем t под знак дифференциала:
Mt±N-pM/2. шж f tdt , fKT pM\f dt
_M fd(t2 + a2) 2N-pM f dt
" 2 J *2 + a2 + 2 J *2 + a2~
Здесь использованы табличные интегралы 2 и 13. Возвращаясь
к исходному переменному з, в итоге для дроби третьего типа
получаем
Mx + N M 2
dx = yln|(a: - р/2)А+q -
. 2ЛГ-Мр __ х + р/2
М, |2 , 2N-Mp 2x\p _ /Л^Ч
—1п|х2+рх^д|+ /- larctg _^L-hC. (2.6)
Аналогичным образом преобразуем неопределенный
интеграл от дроби четвертого типа:
f Mx + N f
J (x2 + px + q)'<UX~-MJ
tdt
dt (2 7)
Для вычисления первого из неопределенных интегралов справа
используем интегрирование подведением под знак дифференци-

2.2. Интегралы от простейших рациональных дробей
59
ала и табличный интеграл 1:
1
1
2(*-l)(t2 +
Возвращаясь к переменному х, получаем
tdt 1
(t2 + a2)k 2(k - 1) (х2 + рх + д)*-]
(2.8)
Обозначим через /& второй интеграл в правой части (2.7).
Умножим и разделим его подынтегральную функцию яа а2,
затем добавим и вычтем в числителе t2 и, наконец, разложим
полученный интеграл на два:
k
_ f
~J
I f a*dt 1 f(tt+g*)-t2
-J -J
I f a*dt 1 f
1 f
Первый интеграл в правой части (2.9) представляет собой Ik-i,
а второй интеграл вычислим интегрированием по частям:
t2dt
du = dt
dv =
tdt
-1
1 f
-1)У
dt
t
1
Подставляя это выражение в (2.9), получаем
t 1
2а2 (к-
2a2(* -

60 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
В итоге для вычисления неопределенного интеграла h
приходим к рекуррентному соотношению
t 2ik 3
Ik= +
при помощи которого последовательно, используя табличный
интеграл 13
f dt ! * *
можно найти /2, затем по I<i найти /з и т.д. вплоть до
искомого интеграла Ik-
Переходя в (2.10) к переменному х и исходным
параметрам, запишем
2х + р 2(2А? - 3)
к~~ (4qp*)(k\)(x* + px + q)k-* + (4p*)(kl) к~1ш
Подставляя в (2.7) последнее соотношение и (2.8), для
интеграла от дроби четвертого типа получаем
Mx + N . М ___
« I
pMs 2(2fc-3) fdx
Г 2 ) J
) f
- l)J
Итак, неопределенный интеграл от простейшей дроби
четвертого типа можно выразить через элементарные функции,
а именно через правильные рациональные дроби и арктангенс
(при условии N - рМ/2 ф 0).
Пример 2.2. Найдем неопределенный интеграл от
функции
/(*) =

2.2. Интегралы от простейших рациональных дробей
Знаменатель этой функции имеет комплексно сопряженные
йули, поскольку в данном случае р = 2, q = 3 и р2 - Aq =
~z — 8 < 0, причем кратность нулей к = 3. Таким образом,
данная функция является простейшей рациональной дробью
четвертого типа.
Сначала выделим в знаменателе функции f(x) полный
квадрат:
ж-2 ж-2 х-2
2)
3'
Обозначив х + \ =t (x = t-\, dx = dt) и использовав линей
ность неопределенного интеграла, запишем
~J (t2 + 2)3 *J
dt
Первый неопределенный интеграл справа вычислим
подведением под знак дифференциала:
tdt lfd(t*
[ tdt lf
У (*2 + 2)3-"2У
Подынтегральную функцию во втором слагаемом правой части
(2-12) умножим и разделим на 2, в числителе добавим и вычтем
и получившийся неопределенный интеграл разложим на два:
(214)

62 2. ИИТЕГРИРОВА НИЕ РА ЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Последний интеграл вычислим интегрированием по частям:
[ tUt _ f tdt _ Г I 1 ч _
У (<2 + 2)3~У (<2 + 2)3"У \ 4(t2+2)V~
t 1 f dt
+ 4
Подставив это выражение в (2.14), получим
dt If dt t
Г dt If dt
J (*2 + 2)3~2У (*2 +
1 f dt t 3 f dt
8 У («2 + 2)2 " 8(*2 + 2)2 + 8 J («2 + 2)2* (2Л5)
Повторив описанные преобразования, понизим еще на единицу
степень квадратного двучлена в последнем интеграле:
f dt lf(2 + tyt» If
J {t* + 2)*~2j (t2 + 2)2 2У
dt
t2dt 1 t If tdt
1 f t2dt _ 1 t If
2} (<2 + 2)» " 2ч/2"аГ<Л8ч/2 2j
t 1/ t If
gv/2 2v, 2(tt + 2) + 2j
Подставив это соотношение в (2.15), запишем
dt t 3/ « 1
+ U +
f
У
(«2 + 2)3 ~ 8(«2 + 2)2 + 8 U(«2 + 2) + 4>/2
3/ « 1 J_ \
8 U(«2 + 2) + 4>/2 arCtg ^ + V

2.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие 63
______
с учетом (2.12) и (2.13) после возвращения к переменному х
оКОячательно ПОЛУЧИМ
ж-2 . f tdt
(*2 + 2)3
г х-2 _ Г
* l . + C!- *
9t
Зх+5 9(ж + 1) 9 яу + 1 ,^
arctg—=-+C,
32(х2+2ж4-3) 32л/2 \/2
где C = Ci-9C2/8.
2.3. Разложение правильной
рациональной дроби на простейшие
Пусть Pm(x)/Qn(z) — правильная рациональная дробь, т.е.
Рт(х) и Qn(x) — многочлены с действительными
коэффициентами соответственно степени тип, причем т<п. Будем
считать, что эти многочлены не имеют общих нулей (иначе
говоря, рассматриваемая правильная рациональная дробь
несократима).
Теорема 2.1. Бели число а € R является действительным
нулем кратности к 6 N (1 ^ к ^ п) многочлена Qn(s)» т.е.
Qn(x) = (* - a)*Qn_fc(x), Q^a) ^ 0,
То правильную несократимую рациональную дробь Pm(x)/Qn(z)
\ т(а) ф о) можно представить в виде
Л Р,(х)
Qn(x) -(х- в)* + (х - a)*-iQn_

64 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
где А ф О и Pi(x) — многочлен степени / < п — 1, т.е.
рациональная дробь
является правильной.
4 По условию теоремы справедливо равенство
Рт(х) = Pm(g)
Добавим в правую часть этого равенства слагаемые А/(х — а)к
(А € R) с разными знаками и преобразуем его:
Рт(х)_ Рт(х) А А
<?„(«) {х - a)kQn.k(x) (i-o)* (z-o)fc
В знаменателе второго слагаемого в правой части (2.17) стоит
многочлен степени п, а степень многочлена в числителе этого
слагаемого меньше п, поскольку и т < п, и п-к <п.
Следовательно, это слагаемое является правильной рациональной
дробью.
Поскольку по условию теоремы Рт(а) /0 и Qn-*(a) Ф^
то действительное число А ф 0 можно выбрать так, чтобы
многочлен Рт(х) - AQn-k(x) делился на ж —а, т.е. из условия
Рт(а) - AQn-k(a) = 0. Отсюда Л = Pm(a)/Qn_*(a) # 0. При
таком выборе числа А второе слагаемое в правой части (2.17)
можно сократить на х — а, записав его в виде
Рт{х) - AQn-k(x) Pj(x)
где Р/(ж) = (Pm(«) - AQn-k(x))/(x - а). Рациональная дробь
в правой части (2.18) получена сокращением правильной
рациональной дроби с действительными коэффициентами на
множитель х — а, где а — действительное число, и поэтому

2.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие 65
является правильной рациональной дробью с действительными
коэффициентами. Подставляя (2.18) в (2.17), получаем (2.16). ►
Замечание 2.1. К правильной рациональной дроби в пра-
части (2.18) при А: > 1 можно вновь применить теорему 2.1
вместо (2.16) в итоге записать
Р,(х) _ А
Здесь Р«(я)/СЗп-*(з) — несократимая правильная
рациональная дробь, так как в ином случае правая часть в (2.19) после ее
приведения к общему знаменателю является сократимой
дробью, а это противоречит условию теоремы. Бели многочлен
Qn-k(x) имеет другие действительные нули, то к последней
дроби в правой части (2.19) также применима теорема 2.1.
Замечание 2.2. Бели нуль а многочлена Qn(x) в (2.16)
является комплексным числом, то (2.16) по-прежнему
остается в силе, но число А и коэффициенты многочленов Pi{x) и
Qn-k(x) в таком случае, вообще говоря, будут
комплексными. #
Пусть многочлен Qn{x) степени п с действительными
коэффициентами имеет комплексный нуль z = a + 0i (a, /3 6 R,
0^0, i — мнимая единица, i2 = — 1) кратности k G N. Но
тогда сопряженное с этим нулем комплексное число J= a - fit
является для данного многочлена нулем той же кратности
[1-4.4], т.е. многочлен Qn{z) делится на многочлен
((х - z)(x -z))k = (х2
гДе р = —2о? и q = а2 + /З2 — действительные числа.
Теорема 2.2. Если комплексное число z = a + /3i (/3 ф 0)
Является нулем кратности А: € N (2 ^ 2к ^ п) многочлена
У с действительными коэффициентами, т.е.
+ q=(x-z){x-z),

66 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
причем Qn-2k(z):fi0 и Qn-2*(*)^0i то несократимую
правильную рациональную дробь. Pm(x)/Qn(x) (Pm(z) ф О, Pm(z) ф
ф 0) можно представить в виде
Рт(х) Mx + N Р,(х)
Qn(x) ~ +
где М, N € R и одновременно не обращаются в нуль, a Pi(x)
многочлен степени / < п — 1, т.е. рациональная дробь
является правильной.
4 По условию теоремы справедливо равенство
^ Рт(х)
Qn(x)
Добавим в его правую часть слагаемые (Мх + N)/(x2+px + q)k
(М, N € R) с разными знаками и преобразуем:
Рт{х) _ Mx + N Рт(х) - (Мх + N)Qn.2k(x)
Qn(x) +
В знаменателе второго слагаемого в правой части (2.21) стоит
многочлен степени п, а степень многочлена в числителе этого
слагаемого меньше п, поскольку и т<п, и п - 2к + I < п.
Следовательно, это слагаемое является правильной
рациональной дробью.
Выберем действительные числа М и N так, чтобы
многочлен Pm(x)-(Mx + N)Qn-2k(x) делился на x2+px + q. Для
этого достаточно, чтобы комплексное число z = а + /Зг
было корнем уравнения
Рт(х) - {Мх + N)Qn-2k(x) = О,

2.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие 67
( ) (2.22)
Тогда и сопряженное z комплексное число z = а — /?t также
будет корнем этого уравнения. Поэтому многочлен Рт(х) —
~(Mx + N)Qn-2k(x) делится на х2+ps + q = (ж — г)(х-Ъ). Из
(2.22) следует, что
Qn-2k(Z)
где К и L — некоторые действительные числа. Приравнивая
в этом равенстве действительные и мнимые части, получаем
Ma + N = K и M0 = L. Отсюда M-L/p и N = K-aL/P,
причем М и N одновременно не обращаются в нуль, так
как в противном случае Pm(z) = О, что противоречит условию
теоремы. При таком выборе М и N второе слагаемое в
правой части (2.21) можно сократить на х2 +рх + q, записав
его в виде
Pj(x)
-lQn-2k(xy K * ;
где Pt(x) = (Pm(x) - (Mx + N)Qn-2k(x))/(x2 +рж + q).
Рациональная дробь в правой части (2.23) получена сокращением
правильной рациональной дроби с действительными
коэффициентами на множитель x2+px + q, где р и q — действительные
числа, и поэтому является правильной рациональной дробью с
действительными коэффициентами. Подставляя (2.23) в (2.21),
получаем требуемое (2.20). ►
Замечание 2.3. К правильной рациональной дроби в
правой части (2.23) при к > 1 можно вновь применить теорему 2.2
* вместо (2.20) в итоге записать
Qn(x)~
г Р,(х)

68 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
где Ps(x)/Qn-2k(x) — несократимая правильная рациональная
дробь (см. замечание 2.1). Если многочлен Qn-2k(x) имеет
другие комплексные нули, то к этой дроби также применима
теорема 2.2. #
Любой многочлен Qn(x) степени п с действительными
коэффициентами можно представить в виде произведения
сомножителей вида (х-аг)кг (г=1,/) и (£2+Pj£ + 9j)/j (i = l,J).
Здесь аг — действительный нуль этого многочлена кратности
fcr, а х2 +pjX + qj = {х-z^x-lj), где Zj и J,—его
комплексно сопряженные нули кратности lj. При этом общее число
нулей с учетом их кратности должно быть равно п, т.е.
/ J
r=i ;=i
Тогда, объединяя утверждения теорем 2.1 и 2.2, с учетом
замечаний 2.1 и 2.3 можно заключить, что несократимую
правильную рациональную дробь можно разложить на простейшие
рациональные дроби следующим образом:
Рт(*) A А? <_,
"* * ' —- J 1 I I Kl l I I
()ki~l '" х-а\
Д« Л|) Д1-! A
J L I L I *г-1 i j I
( — ar)kr (x — ar)*'"1 x — ar ( )k*
()*/"1 "" х-а/ (2f+)/l (2++)lll
t l!illi { Mx+N
2++ '" (x2+pjx+qj)'j

2.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие 69
— ~~
Все п коэффициентов в (2.25) являются действительны-
числами. Для их нахождения можно использовать метод
неопределенных коэффициентов, состоящий в следующем:
правую часть (2.25) приводят к общему знаменателю и затем
дпяравнивают коэффициенты при одинаковых степенях
аргумента х у многочленов в числителях обеих частей
получившегося равенства. При этом в числителе правой части этого
равенства многочлен будет иметь степень п- 1, что позволит
составить систему из п линейных алгебраических уравнений
с п неизвестными коэффициентами. Из теорем 2.1 и 2.2
следует, что эта система имеет решение при различных наборах
коэффициентов ь огочлена Рт(х) в (2.25), т.е. при
различных правых частях системы. Поэтому определитель матрицы
СЛАУ будет отличен от нуля [IV]. Отсюда следует не
только существование, но и единственность решения этой системы
уравнений, т.е. единственность разложения (2.25) правильной
рациональной дроби на простейшие.
Замечание 2.4. Полезно отметить, что каждому
действительному нулю ог (г = 1,/) кратности kr многочлена Qn(x)
в разложении (2.25) соответствует серия из ровно kr
простейших дробей первого и второго типов. При этом степень
двучлена х — аг в знаменателях слагаемых серии уменьшается
от kr до 1.
Паре комплексно сопряженных нулей кратности /;
многочлена Qn(x) соответствует серия из lj дробей третьего и
четвертого типов также с уменьшающимся на единицу (начиная
с lj) показателем степени трехчлена x2+px + q в знаменателях
Дробей.
Пример 2.3. а. Разложим на простейшие правильную
рациональную дробь (Зх2 + 4)/(х(х - 1)(х + 2)), знаменатель
которой имеет три простых корня а\ = 0, ог = 1 и оз = -2. Ее
Разложение на простейшие дроби, согласно (2.25), имеет вид
х{х-1)(х + 2) х х-1 х + 2

70 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
После приведения правой части (2.26) к общему знаменателю
получим
= А(х - 1)(х + 2) + Вх(х + 2) + Сх(х - 1). (2.27)
Раскрывая скобки в правой части (2.27), запишем
Приравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых
степенях х, приходим к системе трех уравнений
-2Л =4
с тремя неизвестными. Из третьего уравнения находим А =
= -2. Складывая все три уравнения, получаем ЪВ = 7, откуда
В = 7/3. Подставляя найденные значения А л В в первое
уравнение, вычисляем С = 3 -А-В = 8/3. В итоге, согласно
(2.26), разложение исходной дроби на простейшие принимает
вид
2 2 7 8
х(х- 1)(х + 2) " х +
В данном случае неизвестные коэффициенты в (2.26)
можно найти более простым путем. Последовательно приравняем в
(2.27) х значениям действительных нулей знаменателя
заданной рациональной дроби. При х = 0 сразу получим -2Д = 4,
т.е. А = -2. Затем положим в (2.27) х = 1 и получим ЪВ = 7,
откуда Б = 7/3. Наконец, подставим в (2.27) х = -2 и из
равенства 6С = 16 найдем С = 8/3.
Последний способ нахождения коэффициентов особенно
эффективен, когда знаменатель рациональной дроби имеет
простые действительные нули. В общем случае полезно сочетать
оба рассмотренных способа.

2.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие 71
б. Разложение дроби (2ж2 + 1)/[{х — 1)2(х2 + 1)] на
простейшие, согласно (2.25), имеет вид
(х-1)2(х
(x-l)
После приведения правой части к общему знаменателю получим
-1)^. (2.29)
Подставив в (2.29) х = 1, найдем В = 3/2.
Далее, приравнивая в (2.29) коэффициенты при одинаковых
степенях х, получаем систему четырех уравнений
+ М = 0,
хл -Л + #-2М+ ЛГ = 2,
х л + M-2iV = 0,
+ ЛГ=1
с тремя неизвестными (поскольку коэффициент В уже
найден). Из первого и третьего уравнений видно, что N = 0. Из
последнего уравнения находим Л = В + #-1 = 1/2, а затем
из первого уравнения определяем М = -Л = -1/2. В итоге,
согласно (2.28), имеем
(х -
•"
+ 1) 2{х - 1) 2(ж - I)2 2(*2 +1) *
тг
Бели знаменатель рациональной дроби имеет кратные нули,
То Для нахождения коэффициентов разложения целесообразно
*спользовать сочетание описанных способов с дифференциро-
^ равенства числителей после приведения слагаемых раз-
к общему знаменателю.

72 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример 2.4. Найдем коэффициенты в разложении
правильной рациональной дроби
1 А В
х + 1 ' (х + 2):
+ -**- + C + Cl + °2
^х + 2^(х + 3)3 (х + 3)2^
После приведения правой части этого равенства к общему
знаменателю получим
1 = А(х + 2)2(х 4-3)4 В(х + 3
. (2.30)
Последовательно полагая, что ж = -1, х = — 2 и х = -3,
находим Л = 1/8, В = -1 и С = -1/2. Дифференцируя
(2.30) по х, выпишем справа лишь те слагаемые, которые не
обращаются в нуль
при х = — 2
при х= -3
Отсюда, учитывая, что Б=-1 и С =-1/2, соответственно
получим
0 = -l + 3-£i и 0=-l/2-2-2d
или В\ = 2 и Ci = -5/4. Для нахождения коэффициента Ci
следует дважды продифференцировать (2.30) по х, приняв
затем х = —3:
0 = (2С(х + 2) + 2С(х + 2) + 2С(х +1) + 2Ci(x + 2)2 +
=—3

2.4. Интегрирование дробно-рациональных функции 73
Огск>Да с учетом значений С = —1/2 и Ci = -5/4 найдем
0:-: 1 + 1 + 2-5/2- 10-4С2, т.е. С2 = -17/8.
Надо сказать, что каждое последующее
дифференцирование равенств вида (2.30) приводит к довольно громоздким
выражениям. В данном случае С2 проще найти, приравняв в
(2-30) коэффициенты при старшей (пятой) степени аргумента х:
А + В + С. Отсюда С2 = -А-ВХ = -1/8-2 = -17/8. #
В некоторых случаях разложение правильной рациональной
дроби на простейшие удается получить, не используя (2.25) и
не прибегая к методу неопределенных коэффициентов.
Пример 2.5. Для разложения рациональной дроби
на сумму простейших дробей проще всего провести
тождественные преобразования в числителе добавлением и
вычитанием х2:
В итоге исходная рациональная дробь представлена
алгебраической суммой простейших рациональных дробей.
2.4. Интегрирование
дробно-рациональных функций
Согласно (2.2), любую дробно-рациональную функцию f(x) =
5^>((x), где Pm(x) и Qn{x) — многочлены с действи-
и коэффициентами степени m ^ 0 и п > 0 соответ-
в общем случае можно представить суммой некоторого

74 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
многочлена Рт_.„(&) (если т^ п) и правильной
рациональной дроби. В свою очередь, в силу (2.25) эту дробь можно
разложить на простейшие. Многочлен Pm_n(x) определен на
всей числовой прямой R и его интегрирование не
представляет трудностей. Неопределенные интегралы от простейших
рациональных дробей, рассмотренные в 2.2, могут быть
выражены через дробно-рациональные функции, логарифмическую
и обратную тригонометрическую, а именно через арктангенс,
т.е. неопределенный интеграл от любой рациональной дроби
представим элементарными функциями.
Итак, интегрирование любой дробно-рациональной
функции состоит из следующих этапов:
1) выделение из нее целой рациональной функции —
многочлена (он может быть нулевым) и правильной рациональной
дроби;
2) разложение правильной рациональной дроби на
простейшие;
3) нахождение неопределенных интегралов от многочлена и
полученных простейших дробей.
Рассмотрим эти этапы подробнее на нескольких
характерных примерах.
Пример 2.6. Найдем интеграл от неправильной
рациональной дроби (х4 + х)/(х3 - 1). Преобразуем ее числитель так,
чтобы в нем можно было выделить слагаемое, кратное
знаменателю и включающее старшую степень аргумента х:
+х х(х3-1)+2х _. 2х
Многочлен фз(ж) = х3 - 1 в знаменателе выделенной
правильной рациональной дроби можно представить как разность
кубов: Q(x) = (х - 1)(х2 + х + 1). Он имеет простой
действительный нуль х = 1 и пару комплексно сопряженных нулей'
Поэтому разложение правильной рациональной дроби в (2.31)

2.4. Интегрирование дробно-рациональных функции 75
на простейшие, согласно (2.25), примет вид
2х A Mx + N
х3-1 х-1 х2 + х + Г
Цосле приведения правой части данного равенства к общему
знаменателю получим
2х = А(х2 + х +1) + (Мх + N)(x - 1).
Это равенство верно при любых значениях х. Полагая в нем
х=1, находим 2 = ЗЛ, т.е. А = 2/3. При х = 0 имеем 0 = А —
- N, откуда N = А = 2/3. Наконец, приравнивая
коэффициенты при а:2, получаем 0 = А + М, или М = —Л = —2/3. Итак,
вместо (2.31) запишем
х4 + х 2 2 х-1
+
х3-1
Таким образом,
/-=—-dx= I xdx + - I - / -г- —dx.
х3-1 J ЗУ х-1 3J х2 + х + 1
Первые два интеграла в правой части нетрудно найти при
помощи табличных интегралов 1 и 2. В знаменателе
подынтегральной функции в третьем интеграле выделим полный
квадрат: х2 + х + 1 = (х + 1/2)2 + 3/4 и обозначим х + 1/2 = t
(* = t-l/2, dx = dt). Тогда, используя линейность
неопределенного интеграла и применяя интегрирование подведением
tod знак дифференциала, получаем с учетом табличных инте-
гРалов 2 и 13
Л «-1 Лт. М-3/2 1 f
У S2 + 3 + !**-; WT3/4 2j
Л 1,12 3
1 +4
3 2 2t
t

76 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Возвращаясь к исходному переменному х, находим
или окончательно
fx4 + x J f J 2 f dx 2 f x-1 .
/ —5 ax = / a: ax + - / — - / —x dx =
J x3-l J ^ЗУ x-l ЗУ x2 + x + l
x2 2, , 1, . 2 „, 2 2a:+
= y + -ln|a:-l|--ln|x2 + ^ + l| + ^=arctg—^~
Пример 2.7. Функция
является правильной рациональной дробью. Разложим ее зна
менатель на множители:
= х2(х + \)(х2 - 1) = х2(х + 1)2(х - 1),
т.е. знаменатель имеет двукратные действительные нули х = О
и х = — 1 и простой действительный нуль х = 1.
Следовательно, согласно (2.25), разложение функции /(х) на простейшие
рациональные дроби имеет вид
х (х + 1)2 х + 1 х-Г
Из этого равенства после приведения его правой части к
общему знаменателю следует равенство многочленов
х4 + 1 = А(х +• 1)2(х -1)4- Aix(x + 1)2(х - 1) +
-f Bx2(x-l) + B!X2(x + l)(x-l)-f Dx2(x + 1)2. (2.32)
Последовательно полагая в (2.32) х = 0, х = — 1 и х = 1,
получаем 1 = -Л, 2 = -2В и 2 = 4Д откуда Л = -1, В = -1

2.4. Интегрирование дробно-рациональных функции 77
/2=1/2. Продифференцировав (2.32) по ж, выпишем справа
те слагаемые, которые не обращаются в нуль при ж = О
0пря ж =
Отсюда соответственно имеем 0 = -2 А + А — А\ и — 4 = 4Б +
^^-2Бь или с учетом значений Л = 5 = -1 получим Лх = 1
„ Ui = -1/2. Таким образом, заданная функция принимает вид
хъ + ж4 - ж3 - ж2 ж2 а:
+ J_ - -f — I /
/ • 4 \ О ■ 4 I «
Неопределенный интеграл от этой функции находим при
помощи табличных интегралов 1 и 2:
x* + x*-
■1
tli* 1
1
5" — "b In
1 X
' ж
ы x
1 ' Ж4-1
Ж-
1
2ln
I
hi :
2ln
i| +
ж -
1
i
Пример 2.8. Функция /(ж) = х4/(х4 -f 5ж2 + 4) является
неправильной рациональной дробью. Выделив из нее многочлен
и правильную рациональную дробь, запишем
х4
_
х4 + Ьх2 + 4"
"Ули многочлена в знаменателе являются корнями
биквадратного уравнения [II] z4 + 5s2 + 4 = 0. Обозначив ж2 = и, получим
квадратное уравнение и2 + Ъи + 4 = 0, имеющее простые корни
ui ^= — 1 и «2 = —4. Следовательно, знаменатель можно пред-
с*авить в виде

78
2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Тогда для правильной рациональной дроби, согласно (2.25),
имеем разложение
Ах Л-В Мх +
5ж2 + 4
~ж4 + 5ж2 + 4~~~ж
Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю,
приходим к равенству многочленов
-5ж2 - 4 = (Ах + В) (ж2 + 4) + (Мх + N) (ж2 4-1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж,
получаем систему линейных алгебраических уравнений
А +М
В
4А
= О,
= о,
4В
Из первого и третьего уравнений находим А = М
второго и четвертого — В = 1/3 и N = -16/3.
заданную функцию запишем в виде
0, а из
В итоге
=1+
16/3
Тогда с учетом табличного интеграла 13 получим
x4dx
1
3
8
3
ж
2
Пример 2.9. Найдем неопределенный интеграл от
функции /(ж) = (ж2 + ж)/(ж6 +1), представив его суммой интегралов
/2 i я. 1
,_ дж — —
2>6 _1_ 1 Q

2.4. Интегрирование дробно-рациональных функции
79
Первый интеграл в правой части (2.33) подстановкой х3 = t
водим к табличному интегралу 13, а второй подстановкой
-51 — к интегралу
Г d(x2) _ f dt f
J х6 + 1 У *3 + 1 У
dt
разложим правильную рациональную дробь на простейшие:
1 A Mt + N
Затем, приводя правую часть к общему знаменателю, получаем
Отсюда, полагая, что * = —1, находим 1 = ЗЛ, т.е. А = 1/3.
При t = 0 запишем 1 = А + N) откуда ЛГ = 2/3, а из равенства
нулю коэффициента при t2 следует, что М = — Л = —1/3.
Таким образом,
dt
зу t+i зУ <2-t+i #
Подынтегральная функция во втором интеграле справа
является простейшей рациональной дробью третьего типа (см. 2.2).
Поэтому
[ —
-3/2
(t-l/2)43/4
dt =
t-l/2 =
dt = dz
_ Г
"У
2-3/2
У
3 Г dz
2 У ^ 4-3/4
~2У 22-f3/4 = 2ln
3 2
2
1 i о

80
2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Следовательно,
dt
У
~зУ * + i зу ез — t +
1
2t - 1
arctg—^--h—ln^
\/3 1л x*—
Возвращаясь к аргументу я, вместо (2.33) в итоге получаем
X ~\~Х 1 о
dx = -arctgar-F
о
Замечание 2.5. При интегрировании
дробно-рациональной функции этап ее разложения на простейшие рациональные
дроби не всегда является обязательным. В некоторых случаях
удается найти интеграл более простым путем.
Пример 2.10. Ясно, что разложение правильной
рациональной дроби f(x) = х3/(х — I)100 на простейшие будет весьма
громоздким. В данном случае проще обозначить х -1 = t (x =
= t + 1, dx = dt) и вычислить
С х3 dx f
J (х -I)100 ~J
(t + l)3dt
"У
*100
_
dt
1
3
1
97t97 98t98 99t"
Возвратившись к переменному х, получим
х3 dx 1 3
(»-1)
100
97(г-1)97
98(х-1)
-1)98

Д. 2.1. Метод Остроградского 81
Дополнение 2.1. Метод Остроградского
Итак, неопределенный интеграл от любой дробно-рацио-
фльной функции можно выразить в конечном виде при помощи
пункций трех типов: дробно-рациональной, логарифмической и
арктангенса (см. 2.4), т.е. он является линейной комбинацией
одгебраической и трансцендентной функций. В ряде
прикладных задач важно уметь выделить эти функции или же найти
условия, при которых неопределенный интеграл содержит либо
только алгебраическую часть, либо только трансцендентную.
Интегрирование простейших рациональных дробей (см. 2.2)
приводит к выводу, что неопределенный интеграл от
дробно-рациональной функции будет содержать только
трансцендентные функции (логарифмическую и арктангенс), если ее
знаменатель имеет лишь простые нули (действительные и
комплексно сопряженные). Присутствие в таком интеграле
алгебраической части в виде рациональной дроби возможно лишь
при наличии кратных нулей у знаменателя подынтегральной
функции.
Пример 2.11. Выясним, при каком условии
неопределенный интеграл от правильной рациональной дроби
является рациональной функцией. Знаменатель этой
рациональной дроби имеет трехкратный действительный нуль х = 0 и
Двукратный действительный нуль х = 1. Согласно (2.25), ее
Разложение принимает вид
ах2 + Ьх + с А А\ Лг В
+ + + +
**втеграл будет рациональной функцией, если в этом
разложении равны нулю коэффициенты Аъ и В\. При таком условии

82 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
после приведения правой части последнего равенства к общему
знаменателю получим
ах2 + Ьх + с = А(х - I)2 + Aix(x - I)2 + Вх3 =
= (At + В)х3 + (А - 2Ai)x2 + (Аг - 2Л)ж + А.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х,
запишем систему из четырех лниейнъм? алгебраических уравнений
-2Л = 6 и Д = с,
содержащую три неизвестных коэффициента А, А\ и В.
Исключив из этой системы неизвестные коэффициенты, найдем
требуемое условие в виде а + 26 + Зс= 0. #
Общий метод выделения рациональной части при
интегрировании правильных рациональных дробей был
предложен в 1844 г. русским математиком М.В. Остроградским
(1801-1862). Существенная особенность метода
Остроградского состоит в том, что он позволяет без нахождения
нулей знаменателя правильной рациональной дроби выделить
рациональную часть неопределенного интеграла от такой
дроби.
Теорема 2.3. Пусть Рт(х) и Qn(z) — многочлены с
действительными коэффициентами степени т ^ 0 и п > 0
соответственно, причем т < п и многочлен Qn(x) имеет не
совпадающие с нулями многочлена Рт(х), вообще говоря, кратные
нули (действительные и комплексно сопряженные). Тогда
интеграл от правильной рациональной дроби Pm(x)/Qn(x) можно
представить в виде суммы рациональной и трансцендентной ча-
стеи*
/£jfU^/gfeU (2.34)
j
n(x) Qn-
где Qn-i(x) — наибольший общий делитель (НОД)
многочлена Qn(x) и его производной Q'n(x)\ Qi(x) = Qn(x)/Qn-l(x), *

Д.2.1. Метод Остроградского 83
р (х) и Pt(x) — многочлены с неопределенными
коэффициентами, степени которых на единицу меньше п — I и /
соответственно.
4 Согласно условию теоремы, запишем
/ J
Qn(x) = Ц(х - ar)k' Ц(х2 + Ъх + ъУ3>
г=1 j=l
где Or — действительный нуль кратности kr (r=l,/), a
х2 + PjX + Qj = (ж - Zj)(x - Jj), где Zj и 7, — комплексно
сопряженные нули кратности lj (j = 1,,/), так что
r=l
Тогда в разложении несократимой правильной рациональной
дроби Pm(x)/Qn(x) на простейшие, согласно (2.25), каждому
кратному действительному нулю аг будут соответствовать
слагаемые
(2.35)
ж - ог (ж - о,.)-* (ж - а
»
а каждой паре кратных комплексно сопряженных корней —
слагаемые
При интегрировании первых слагаемых в (2.35) и (2.36),
согласно (2.3) и (2.6), получим трансцендентные функции
(логарифмические и арктангенс). Интеграл от каждого из всех
^следующих слагаемых в (2.35), начиная со второго, будет,
с°гласно (2.4), правильной рациональной дробью, степень зна-
^енателя которой на единицу меньше степени знаменателя по-
Интегральной функции. Интеграл же от каждого (начиная

84 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
со второго) слагаемого в (2.36) в силу (2.11) содержит
циональную часть в виде правильной рациональной дроби ц
трансцендентную часть (арктангенс), которую можно предстал
вить как неопределенный интеграл от первого слагаемого в
(2.36) при М{Li = 0.
Бели объединить рациональные части всех упомянутых
интегралов и привести их к общему знаменателю, то получим
правильную рациональную дробь вида P8(x)/Qn-t(x) ($<n~l)}
знаменатель которой
r=l j=l
является многочленом степени п - /, где / = / 4- 2J.
Трансцендентную часть интеграла от рациональной дроби
Pm(x)/Qn(x) можно представить как сумму интегралов от
слагаемых вида
D Ex + F
и
х — аг х2 + pj
Приведение этих слагаемых к общему знаменателю даст
правильную рациональную дробь Pt(x)/Qi(x) (t<l), знаменатель
которой
Г=1 J=l
является многочленом степени / = / + 2J и имеет только
простые нули. Ясно, что
Qn(x) = Qn-l(*)Qi(*)- (2.37)
Таким образом, справедливость (2.34) доказана.
Чтобы правильную рациональную дробь Pm(x)/Qn(x)
разложить на простейшие, нужно знать все нули знаменателя
Qn(x). Однако многочлены Qn-i(x) и Qi(x) можно найти и не

Д. 2.1. Метод Остроградского 85
^ эти нули. В самом деле, производная Q'n(x) содержит все
сожители разложения многочлена Qn(x), но с показателями
аединицу меньшими. Поэтому многочлен
^-/(^являющийся НОД многочленов Qn(x) и Q'n(x), нетрудно определить,
«эаример, последовательным делением по алгоритму Евклида.
Затем делением Qn{x) на Qn-t(x) можно найти многочлен
Для нахождения в (2.34) многочленов Ps(x) и Pt(x)
используем метод неопределенных коэффициентов.
Дифференцированием (2.34) по х получим
Рт(х)_ nWQn-li*) - P,Wn-,(*) Pt(X)
Чтобы преобразовать первое слагаемое в правой части (2.38),
умножим и разделим его на многочлен Qi(x). Тогда с учетом
(2.37) получим
- P,(x)Q'n_,(x)
_
Qn-i(x)Qi(x)
P',(x)Q,(x) - P.(x)P(x)
Здесь Р(х) z=Qfn^i(x)Qi(x)/Qn^i(x) является многочленом
степени не выше / - 1, поскольку
x) Q'n(x)
н Qn(x) делится на Qn_/(x). Подставляя (2.39) в (2.38) и
приводя к общему знаменателю, придем к тождеству для двух
**Вогочленов степени не выше п — 1:
Рт(х) = P'.{x)Qi{x) - Р,{х)Р{х) + Pt(x)Qn.,(x). (2.40)

86 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в
обеих частях (2.40), получим систему из п линейных
алгебраических уравнений относительно п неизвестных коэффициентов
многочленов Ра(х) и Pt(x). Эта система имеет решение, так
как интеграл может быть представлен в виде (2.34). Такое
решение существует при произвольном наборе коэффициентов
многочлена Рт(х). Поэтому определитель системы отличен от
нуля, что обеспечивает единственность ее решения [IV].
Отсюда следует единственность представления (2.34). ►
Итак, метод Остроградского выделения рациональной
части интеграла от правильной рациональной дроби не связан
непосредственно с операцией интегрирования и состоит в
сочетании нахождения НОД знаменателя этой дроби и его
производной с методом неопределенных коэффициентов. Но методом
Остроградского удобно находить и трансцендентную часть
этого интеграла, так как при этом приходится интегрировать
более простую правильную рациональную дробь, знаменатель
которой имеет лишь простые нули. Поэтому интегрирование
можно свести в итоге к нахождению интегралов от простейших
дробей только первого и третьего типов, т.е. метод
Остроградского позволяет избежать трудоемкого интегрирования дробей
четвертого типа.
Пример 2.12. Найдем рациональную часть
неопределенного интеграла от правильной рациональной дроби
+ 6х4 -|- 13ж3 + 14ж2 + 12ж + 8*
В данном случае т = 0 и п = 5, причем Рт(х) = Р0(ж) = 1 и
Qn(x) = Q5(x) = х5 + 6з4 + 13з3 + Ux2 + 12ж + 8.
Сначала найдем Qn-i(x) как НОД многочлена Qs(x) него
производной Q'b(x) = 5а:4 + 24ж3 + 39ж2 + 28ж + 12, используя
алгоритм Евклида [II]. Напомним, что сперва делим Q$(x) на
Q's{x); если остаток равен нулю, то Q's(x) и является НОД; в
противном случае Qfs(x) делим на остаток, затем первый оста-

Д. 2.1. Метод Остроградского
87
на ВТОРОИ и т.д. до получения остатка, равного нулю; тогда
последний не равный нулю остаток будет НОД. Бели остаток
шлется числом (многочленом нулевой степени), то принимают
ИОД равным единице. При этом исходные многочлены будут
простыми (это означает, что многочлен Qs(x) не име-
кратных нулей, а интеграл от заданной рациональной дроби
содержит рациональной части). При делении любой из
многочленов можно умножать на число, не равное нулю. Поэтому
НОД определен с точностью до постоянного множителя. НОД
обычно записывают так, чтобы коэффициент при его старшей
степени был равен единице.
Итак, при последовательном делении „уголком" получим
5x430*4 65а3+ 70x4 60а+ 40
5s5+24a4+ 39а3+ 28а2+ 12а
6аЧ 26а3+ 42а2+ 48а+ 40
30а4+130а3+2Юа2+240а+200
30a4l44a3-h234a2-hl68a+ 72
- 14а3- 24а2+ 72а+128
7a3-f 12а2- 36а- 64
35а4+168а3+ 273а2 + 196а + 84
35а4 + 60а3- 180а2- 320а
108а3 + 453а2 + 516а+ 84
756а3+3171а2+3612а+ 588
756а3+1296а2 -3888а -6912
5а4+24а3+39а2+28а + 12
7а3+12а2-36а-64
5а | +108
1875а2+7500а+7500
а2+ 4а+
7а3Н-12а2-36а-64
7a3-h28a2-h28a
-16а2-64а-64
-16а2-64а-64
а2+4а+4
7а-16
0

88 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Таким образом, НОД Qs(x) и Qs(x) будет Qn-i(x) ^
= х2 + 4х + 4 = (х + 2)2, т.е. многочлен Qs(x) имеет трехкрат*
ный нуль х = — 2. Делением Q$(x) на Qn_/(x) получим
х5 +6х4+13х3+14х2+12х +8
х5+4х4+ 4х3
2х4 + 9х3+14х2+12х+8
2х4+ 8х3 + 8х2
4ж
2ж2+ 8а;+8
2а;2 +
О
Итак, Qi(x) = х3 + 2х2 + х + 2 = (х + 2)(х2 +1), т.е. / = 3.
Непосредственной проверкой нетрудно установить, что
(х + 2)3(х2 +1) = х5 + 6х4 + 13х3 + 14х2 + 12х + 8.
Правильную рациональную дробь Pt(x)/Qi(x) в (2.34)
представим суммой двух простейших и запишем
dx
х5 + 6х4 + 13х3 + 14х2 + 12х + 8 "
Ах + В .
Дифференцируя обе части этого равенства, получаем
1
х5 + 6х4 + 13х3 + 14х2 + 12х + 8
Ах + В D Ex + F
(х + 2)2 (х + 2)3 ' х + 2 ' х2 + 1
После приведения слагаемых в правой части к общему
знаменателю имеем
х + 2)3.

Д.2.1. Метод Остроградского 89
Приравняем в обеих частях этого тождества коэффициенты
Лря одинаковых степенях х и получим систему из пяти ли-
шейных алгебраических уравнений
X*
X3
X2
X
X
-А
2Л
-А
2А
-2В
-1В
D+ Е
+4D+ 6Е +
+5D+12E +
+4D + 8Е+]
+4£> +
—
F =
6F =
8F =
0,
о,
о,
1
относительно пяти неизвестных коэффициентов. Решая эту
систему, находим А = -4/25, В = -21/50, D = -E= 11/125
н F = 2/125.
В итоге рациональная часть интеграла равна
Ах + В 8ж + 21
: + 2)2"~
Значения коэффициентов Д Е и F позволяют найти и
трансцендентную часть этого интеграла:
-dx+ I —г—— rfx =
ж + 2 У ж2 + 1
Окончательно получим
ж5 + 6ж4 + 13ж3 + 14ж2 + 12ж + 8
8ж + 21 . И , (ж + 2)2 . 2
50(ж + 2)2 250 ж2 + 1 125
Пример 2.13. Проинтегрируем методом Остроградского
рациональную дробь /(ж) = ж/((ж - 1)2(ж + I)3).

90
2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
В данном случае нет необходимости находить в (2.34) Qn-i{x)
как НОД многочлена Qn(x) = (я - 1)2(х +1)3 и его произвол
ной, поскольку нули этого многочлена известны: двукратный
действительный нуль х = 1 и трехкратный действительный
нуль х = -1. Поэтому / = 2, n-/ = 5-2 = 3, Qi(x) =Qi(x) ^
= (x-l)(x + l)) Qn-i(x) = Q3(x) = {x-l)(x + l)2 и 5<п-/ = з.
Представив в (2.34) Pt(x)(x)/Qi(x) суммой двух простейших
рациональных дробей, запишем
[
J (*-
xdx
Ax2 + Bx
f dx f
7 х-\^Г J
dx_
x + 1
Дифференцируя обе части этого равенства, получаем
х 2 Ах + В
1)2~
E
После приведения слагаемых в правой части к общему
знаменателю запишем
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в
обеих частях этого тождества, придем к системе из пяти
линейных алгебраических уравнений
Е+ F=0,
-А +2Е = О,
х' А-2В -2F=0,
х -2Л+ B-3D-2E =1,
- В+ D- E+ F = 0

Д.2.1. Метод Остроградского 91
Ф0осятельно пяти неизвестных коэффициентов. Решая эту
систему, получим Л = Я = -1/8, D = -l/4 и #=-F = -l/16.
образом, в итоге
xdx
(х - 1)2(ж +1)3 8(х - 1)(х +1)2 16
а-1
Пример 2.14. Найдем методом Остроградского интеграл
оТ правильной рациональной дроби 1/[(а; + 1)2(ж2 + I)2]. Ее
знаменатель имеет двукратные действительный нуль х = -1
g комплексно сопряженные ж = ±i. Поэтому НОД
многочлена Qe(s) = (з + 1)2(я2 4-1)2 и его производной Qs(x) =
srQsC9) будет многочлен фз(з) = (я? Н- 1)(я?2 Ч-1), причем
частное Q6{x)/Qs(x) совпадает с <2з(я)- Таким образом, для
данного случая в (2.34)
Qn-i(x) = Qi(x) = Q3(x) =
и, согласно методу неопределенных коэффициентов, искомый
интеграл можно представить в виде
dx Ах2 + Вх + D
(^4 "
Дифференцированием (2.41) получим
1 2Ах
(Аа:2 + Вх + £>) (За;2 + 2ж + 1) ^ Fx + G
+ + 1 2 + 1
После приведения правой части к общему знаменателю запишем
1 ^ (2Ах + В) (х +1) (х2 +1) - (Ах2 + В* + Я) (З*2 + 2х +1) +

92
2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, придем
к системе шести уравнений
.5
X
Е + F = 0,
-Л + £+2F + G = 0,
-В + Я+ F + (3 = 0,
Л -Я -3D +2Я + 2F +2G = 0,
2Л -2D+ Е+ F+2G = 0,
В- D+ Е + G=l
с шестью неизвестными. Из первого уравнения имеем Е =
= — F. Тогда из третьего получим В = G, а четвертое и пятое
уравнения примут вид
и
откуда следует, что D = 0 и Д = —G. Теперь второе и шестое
уравнения приводят к системе уравнений
имеющей решение (2 = 1/4 и £ = 1/2. Затем найдем Л = —1/4,
Б= 1/4 и F= -1/2 и вместо (2.41) запишем
X" — X
2s-1
Последний интеграл справа разложим на два и в первом из
них подведем 2х под знак дифференциала. В итоге получим
dx
I
X2 -X
- In |
2
4
4

Л 2.2. Интегрирование рациональных функции, содержащих биномы 93
Дополнение 2.2. Интегрирование
рациональных функций, содержащих биномы
рассмотрим некоторые случаи, когда подынтегральная
рациональная функция содержит бином (двучлен) вида а + Ьхт
(д, &€R, meN).
1. Если эта функция является многочленом относительно
временного ж, то интеграл от такой функции по х будет
линейной комбинацией интегралов f(a + bxm)ndx (n€N).
Каждый из таких интегралов может быть найден путем
разложения (а + Ьхт)п по формуле бинома Ньютона.
% Если подынтегральная функция имеет вид х*(а + 6жт)п,
где к и п — натуральные числа, наряду с разложением бинома
возможно интегрирование по частям с понижением степени, в
которую возводится бином:
/xk(a + bxm)ndx= f(a
и=(а + Ьхт)п, du = птЪхт-1 (а + bxm)n~l dx
= xkdx, v = *
В частном случае к = т — 1 подведением под знак дифферен
циала множителя хт~1 найдем
l(a + bxm)ndx = ^ f(a + bxm)nd(a + Ьхт) -
. (2.43)
показатель степени А? можно представить в виде к =
^ + 1)т — 1 (/ 6 N), то целесообразно сначала применить

94 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
интегрирование по частям, обозначив и =
I х {п-\- bxm) dx = / х
и = xk~m+l, du = (к - т + \)хк~т dx
1)6
(2-44)
Используя (2.44), после / последовательных интегрирований
по частям придем к интегралу fxm~l(a + bxm)n+ldx,
вычисляемому при помощи формулы вида (2.43).
Пример 2Л5. Проинтегрируем функцию Xs(I + х2)33.
Ясно, что в данном случае при и = 33 применение формулы
бинома Ньютона не рационально. Согласно (2.44), при к = Ъ,
т = 2 и / = 2, дважды интегрируя по частям, получаем
34 д.
х
х) _2_ [X,1 + X
-70 17-70У V
68 17 У
^ »84 2 23 + ж2)36
68 1190 42840
Отметим, что (2.42) остается в силе при fc€Z\{-l} и
n€Z, a (2.44) — при fceZ и n€Z\{-l}. В частном случае,
когда бином линейный (т = 1) и fc € N,
/
- a)kXndX =
5)

п 2.2- Интегрирование рациональных функции, содержащих биномы 95
е Х = в+&ж> причем слагаемое в сумме при i = fc + n+l (это
присутствует при 1 ^ -п ^ fc +1) следует заменить
выражение
3. Если и к < О, и п < 0, то, обозначив х= -к и i/ = -п,
с учетом (2.45) можно написать
(Х/х -
i=0 I1I^-|-I/ г л\иж
причем слагаемое при i = х — 1 следует заменить под знаком
суммы на
(х-
х-1
-In
X
4. Если подынтегральное выражение (a + bx)n{p + qx)kdx
включает произведение двух линейных биномов, то заменой
переменного х = (z-p)/q это выражение можно привести к
уже рассмотренному виду zk (А + bz)ndz/qn+l, где А = aq - bp.
5. Рассмотрим подынтегральную функцию хк/(а+Ьхт)и
€ Z, I/6N) для некоторых значений т. При т = 2
в Учетном к = 21 + 1 (/ € Z) подынтегральное выражение
z dz/(a-\-bx2)u подстановкой х2 = z (2xdx = dz) можно
с*ести к выражению {\/2)zldz/{a-\-bzY^ содержащему линей-
*** бином. В случае четного к = 21 (I € N) интегрированием
По частям
ж2/-1 ^ 21-1 Г x2l-2dx
* i
21-1 f _j
v-\)b] (a
Ч-бж2)"-1

96 2, ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
следует последовательно понизить степень ж под знаком
г рала до нуля и затем воспользоваться обобщением рекуррент.
ного соотношения (1.27)
dx х
1 |"
(а + Ьж2)"
-3 Г dx
Ц, ">l. (2.47)
При интегрировании функции вида 1/(ж*(а + 6ж2)") (х, v e N)
проще всего использовать ее разложение на простейшие
рациональные дроби (см. 2.3).
В случае т = 3 можно пойти таким путем.
Подынтегральное выражение преобразуем при v>\ и &GZ к виду
xkdx _ xk~Zvdx _ s*-3"+4 &{alxz + b)
(a + 6s3)" " (а/ж3 + 6)" " За (а/ж3 + 6)"'
Далее интегрированием по частям
[
За У (а/ж3 + 6)"
*4А?-Зу + 4 Г
-1 3a(i/- 1) У (а
3a(i/- 1)(а/ж3
ik-3i/-h4 Г xkdx
v + 4 [_
"1)У (а
Н-бж3)"-1
последовательно понизим до единицы степень бинома в
знаменателе подынтегральной функции, а затем также
интегрированием по частям по формулам
С xkdx ж*"2 a [xk~3dx
J а + 6ж3~(*-2)6 bj а + Ьх*1 к> '
или
[ dx 1 ^ Г dx
^7 «б ^u» "г их у ^л "^ xfUfJu V* j Ju yUf

Вопросы и задачи
97
р0дем к одному из следующих неопределенных интегралов:
dx
at
(ж-fa)
+ bx* 6a"\x*-ax + a
xdx 1 , (ж + a)2
1 .
= —In
+ bx3) 3a
a + bx3
1
2x-a
<*уД
2x-a
где а = y/a/b. Аналогичный прием можно использовать и в
случае других значений т € N.
Вопросы и задачи
2.1. Доказать, что если в (2.1) числитель и знаменатель не
имеют общих нулей, т.е. рациональная дробь несократима, то и
правильная рациональная дробь, выделенная из (2.1), согласно
(2.2), также несократима.
2.2. Найти интегралы от функций:
2х2-5
; '
х5-х2-1
1
1
;
1
2.3. Найти рациональную часть интегралов от правильных
Рациональных дробей:
5 2-5х6 1 -64х7-7х8
; }(х6+1)2; В)
8)2
х8)
2 - Зх 4- х2

98 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
2.4. Применяя метод Остроградского, найти интегралы
рациональных функций:
2-Зж + а2 4а?5 -1 а?13 1
; ] BJ ; Г}
д) ;
2.5. Найти условие, при котором интеграл от заданной
функции является функцией рациональной:
. ax2 + bx + c
а) "s—JT4~i—я» б)
ж52ж4 + а:3 '
+ bix + cx 2
TL—Г^Т» 6^ - 4ос ^ 0 и о ^ 0;
4-6х-f с)2 ^ '
7 \ ,., где Рп(х) — многочлен степени п.
(ж — в)1**1"1

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Под иррациональным понимают выражение, в котором
независимое переменное х или многочлен Рп(&) некоторой
степени п 6 N входит под знак радикала (от латинского
foiix — корень), т.е. возводится в дробную степень. Таким
образом, в отличие от рационального выражения R(x)} в
котором при вычислении его значения над х проводят только
арифметические действия (сложение, вычитание, умножение
и деление) и возведение в целую степень, в иррациональном
выражении выполняют еще и извлечение корня.
В предыдущей главе изложены правила интегрирования
рациональных функций. Некоторые классы иррациональных
относительно х подынтегральных выражений заменой
переменного удается свести к рациональным выражениям относительно
нового переменного и применить уже известные правила
интегрирования. Ниже рассмотрены характерные случаи, в
которых возможно такое преобразование.
3.1. Рациональные функции от радикалов
Понятие рациональной функции одного переменного можно
Распространить на несколько аргументов. Бели над каждым
113 аргументов u, t/,..., w при.вычислении значения функции
Предусмотрены лишь арифметические действия и возведение в
Челую степень, то говорят о рациональной функции этих аргу-
еНтов, которую обычно обозначают Д(и, v,..., w). Аргумен-
1(1 такой функции могут быть сами функциями независимого
^^ннрго ж, в том числе радикалами вида 4{/х (m € N)
V^(j где Рп(х) — многочлен степени n€N. Например,

100 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
рациональная функция
U + V2
u, v, w) =
w
при и = ж, v = <§/х и w = vjcM-T является рациональной
функцией
R(,, &, у/^1) = ^2 = fix)
\ / /2 + 1
от х и радикалов ^ и \/ж2 + 1, тогда как функция /(х)
будет tippat^wowcwbwotJ (алгебраической) функцией одного
независимого переменного х.
Среди часто встречающихся в прикладных задачах
рациональных функций, аргументами которых являются радикалы,
следует выделить функции вида
W w
где пи € N и к{ £ Z (г = 1, /), а а, &, с, е € R,
R (х, у/ах2 + 6ж + с) , (3.2)
в частности
V ах2 + ох + с
где Д*(х) — дробно-рациональная функция аргумента х, и
вообще функции вида
R (х, \/^)) • (3.4)
Отметим, что подынтегральную функцию
R(ж, \/as4-6,

3.2. Интегрирование радикалов от дробно-линейной функции 101
переменного у/ах + Ь = и можно свести к виду (3.2).
Действительно, в этом случае
и2 — b t /с о сЬ rr—
х = , у/сх + е=\ -и* \-е = у/Аи
а V а а
= с/п) В = е — cb/а, и в итоге
Здесь через R\ обозначена рациональная функция аргументов
и и VAu2 + B.
Для функций вида (3.1)-(3.3) известны достаточно общие
приемы, позволяющие избавиться от радикалов, т.е.
преобразовать эти функции к рациональным функциям одного
независимого переменного.
3.2. Интегрирование функций, содержащих
радикалы от дробно-линейной функции
В (3.1) под знаками радикалов стоят целые степени дробно-
линейной функции (ах + 6)/(сж-Ь е), которая зависит от х
лишь при условии А = ае — be ф 0. Бели обозначить Т{ — к{/т{
(*% € Q, t = 1, /), то (3.1) можно записать в виде рациональной
Функции от х и рациональных степеней дробно-линейной
Функции (ах + Ь)/(сх + е):
(ax + b\ri (ax + b\r'\
UJ UJ ) (3'5)
m € N является общим знаменателем рациональных
rt- (t = l,/), т.е. n = pi/m (p,- € Z). Используем замену
^Ременного
сх

102 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Тогда
etm - Ь ,
и \^-^\ =ГГ' =
будут рациональными функциями переменного (ив итоге
'
. (з.в)
где подынтегральная функция
является рациональной функцией переменного £. Таким
образом, интегрирование функции (3.5) можно свести к
интегрированию рациональных дробей с последующим возвращением к
исходному переменному путем обратной замены
t
-t
сх + е
Ясно, что таким же путем можно найти интеграл вида
который следует из (3.6) при с = 0 и е = 1 (а ^ 0), и интеграл
получаемый из (3.7) при а = 1 и 6 = 0.
Пример 3.1. Найдем интеграл от функции l/(y/x + tyx),
который соответствует виду (3.8), так как подынтегральная

3.2. Интегрирование радикалов от дробно-линейной функции 103
,ункция является рациональной относительно переменных у/х
%/ В данном случае г\ = 1/2 и гг = 1/3, т.е. для
дробных показателей степени общий знаменатель m = 6.
Ъгда, сделав замену переменного ж = £6 (eta = 6t5cft), придем
интегралу
dx f t*dt e[t3dt
Г dx f t*dt _e[
J л/i+^J У fi + t* J
t+V
вляющемуся интегралом от неправильной рациональной дро-
II. Добавлением и вычитанием единицы в числителе подын-
егральной функции приведем дробь к сумме многочлена и
давильной рациональной дроби, а затем проинтегрируем сум-
возвращаясь к исходному переменному х, получаем
. #
Иногда к интегралам вида (3.6)-(3.8) удается прийти после
редварительных тождественных преобразований.
Пример 3.2. Подынтегральную функцию 1/ y/(2+x)(2-x)s
етрудно преобразовать к функции
^Циональной относительно переменных х и ^(2-a;)/(2 +
1 данном случае m = 3 и можно использовать замену
2 + х

104 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Отсюда
I2t2dt
и 2-х
Выполняя указанную замену переменного, получаем
[ dx _ [J
J ^/(2 + x)(2-s)5 J V
" J l (4t3)2
2-я dx
/■
3.3. Подстановки Эйлера
Неопределенный интеграл
/цж, yjах2 + Ьх + с) rfx, а, 6, c€R, а^О, 62^4ас, (3.9)
можно свести к интегралу от рациональной функции
переменного t при помощи одной из следующих замен переменного,
называемых подстановками Эйлера.
Первая подстановка Эйлера. Бели в (3.9) о > 0, то
полагают
у/ах2 + Ьх + с = ±ху/а + *. (3.10)
Выберем для определенности перед у/а знак плюс и после
возведения обеих частей (3.10) в квадрат получим
ах2 + Ьх + с = ож2
откуда x(t) и з'(£) будут рациональными функциями t:
и 2

3.3. Подстановки Эйлера 105
ТОГО,
f с = y/ax + t =
6 — 2ty/a
образом, подынтегральная функция в (3.9) после замены
станет новой рациональной функцией Ri(t)
переменного
R(ху \/ax2 + bx + c\ dx =
I
J
= 2У
= I
Вторая подстановка Эйлера. Бели в (3.9) О 0, то
полагают
+ c=xt±y/c. (3.11)
Выберем для определенности перед у/с знак плюс. Тогда после
возведения обеих частей (3.11) в квадрат будем иметь
ах2 + Ьх + с = x2t2 + 2xty/c+ с,
и» кроме того,
а —
1оДставляя эти выражения в (3.9), получаем

106 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
т.е. подынтегральная функция будет некоторой рациональной
функцией /?а(0 переменного t.
Замечание 3.1. Рассмотренный случай с > 0 всегда
можно привести к случаю а > 0 (и наоборот) заменой в (3.9)
х на 1/Zy т.е. можно применять только первую (или только
вторую) подстановку Эйлера.
Третья подстановка Эйлера. Бели квадратный
трехчлен ах2 + Ьх + с имеет действительные нули а, /? € R, то
можно положить
у/ах2 + Ьх + с = (х - а)*. (3.12)
Возводя обе части (3.12) в квадрат и учитывая разложение
получаем
о(ж - а)(ж - Р) = (з - а)2*2
и далее
Подстановка этих выражений в (3.9) приводит к тому, что
подынтегральная функция становится рациональной функцией
переменного t:
/ Я (ж,
) ds =
Замечание 3.2. В последнем случае при условии z
можно записать
V ах2 + 6з + с = (ж — а) */о —
V ж-а

3.3. Подстановки Эйлера 107
j подынтегральную функцию в (3.9) считать рациональной
кункцией аргументов х и у/а(х - Р)/(х — а). Этот случай
fJice рассмотрен в 3.2, причем подстановка у/а(х—/3)/(х—а) =
zt тождественна третьей подстановке Эйлера (3.12).
Замечание 3.3. Покажем, что первой и третьей
подстановок Эйлера достаточно, чтобы во всех возможных случа-
(Х рациональной подынтегральной функции аргументов х и
/ах2 + Ьх + с привести ее к рациональной подынтегральной
функции одного переменного t. В самом деле, если
дискриминант квадратного трехчлена б2 - 4ас > 0, то нули этого
трехчлена действительные и простые (различные) и тогда
применима третья подстановка Эйлера. Если же б2 - Аас < 0, то
!ули трехчлена комплексные сопряженные и подынтегральная
функция в (3.9) имеет смысл при условии а > 0, а тогда при-
1енима первая подстановка Эйлера. Наконец, при б2 - Аас = 0
[ули трехчлена действительные кратные (а = fi) и
подынтегральная функция в (3.9) является рациональной функцией
>дного переменного х.
Пример 3.3. а. Найдем интеграл от иррациональной
фунctftiu \/y/x2 + Л. Так как коэффициент при х2 положителен
а= 1), то можно использовать первую подстановку Эйлера,
фичем в данном случае целесообразно выбрать в (3.10) перед
= 1 знак минус, т.е. принять >/х2 + А = -ж +1. При этом
t2zA
2t '
Подставив эти соотношения в подынтегральное выражение,
dx f2t(t2 + A)dt fdt
к исходному переменному ж, получаем табличный
1н*пеграл 16 — „длинный логарифм":
f dx

108 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
6. У квадратного трехчлена 7х —10 - х2 оба коэффициент^
а и с отрицательны. Поэтому при нахождении интеграла от*
функции х/у/(7х- 10-ж2)3 ни первая, ни вторая подстановки
Эйлера не применимы. Но трехчлен имеет действительные нули
х\ — 2 и xi —Ъ. Следовательно, можно использовать третью
подстановку Эйлера
\Дх - 10 - х2 = у/(х-2)(5-х) = (x-2)t.
Отсюда 5 - х = (х - 2)*2 и
2 6tdt
Подставив эти соотношения в подынтегральное выражение,
получим^
xdx r(5 + 2t2)(t2 + l)36tdt _
У
J
Поскольку < = \/7ж - 10 - х2/(х - 2), то в итоге имеем
v/(7x - 10 - x2)3
5(x - 2)
= 2/
9\
y/lx - 10 - x2
2
^7х10х\
2 У"1"
_2 5(х-2)2-2(х-2)(5-х) 2 7х-20 ^
""9* (x-2)V7x-10-x2 + "" 9 ' у/1х - 10 - х2
3.4. Другие приемы интегрирования
Как было показано в 3.3, одна из подстановок Эйлера Henpg-
менно приводит интеграл от функции вида Д(х, у/ах2 + 6х + с)
(3.2) к интегралу от дробно-рациональной функции нового ар-

3.4. Другие приемы интегрирования 109
гумента t. Однако нужно иметь в виду, что, вообще говоря,
установки Эйлера ведут к громоздким выкладкам, и поэтому
^ ним следует прибегать лишь тогда, когда не видно других
к вычислению данного интеграла. Для вычисления
часто встречающихся интегралов от функций вида (3.2)
существуют более простые приемы.
Например, в 1.5 рассмотрены приемы нахождения
интеграла от функции (тх + n)/y/ax2 + bx + c, который выделени-
е# полного квадрата под радикалом с последующей заменой
t + 6/(2а) на t можно преобразовать к двум интегралам:
Mmx + n)dx _ f Mt + N dt^M Г tdt Г dt
J y/ax2+bx+c J Vat4K J y/at4K J y/at2+K'
где M, N и К — новые коэффициенты, получающиеся после
замены переменного. Первый из интегралов справа можно
привести к интегралу от степенной функции, а второй — к
логарифмической функции (при a > 0) или к арксинусу (при
о<0, #>0).
Ниже рассмотрим и другие приемы вычисления
неопределенных интегралов от функции вида (3.2), отличные от
подстановок Эйлера.
Функцию (3.2) тождественными преобразованиями можно
привести к сумме дробно-рациональной функции и функции
вида (3.3). Действительно, представим (3.2) дробью
, y/ax2 + bx + c =
P+(x)+Q.(x)y/ax2
Р*(х), Р*(х) и Q*(ar), Q*(x) — многочлены. Умножая
числитель и знаменатель этой дроби на выражение
~ Q*ix) Vax2 + bx + c
Пуская обозначение аргумента х у многочленов, получаем
* - Q*Q.{ax2+bx+c) + (Q*P* - P*Q.)Vax2+bx+c
P2-Q2(ax2

110 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
или в итоге
R (х,
= R(x)
у/ах2 + ох + с
где
ЩХ)"
- Ql(x)(ax2 + Ьх + с)
с)
Интеграл от дробно-рациональной функции R(x) нетруд,
но найти способами, рассмотренными ранее (см. 2). Дробно-
рациональную функцию Я*(х) всегда можно разложить на
многочлен Рп(х) = оохп + а\хп"х +... + вп-1Ж + <*п и простей-
шие рациональные дроби, так что функция Rm(x)/y/ax2 + 6з + с
представйма линейной комбинацией функций вида:
Рп(х) (3.13)
(а; - а)к\/ах2
Mx + N
1 =, (3.14)
(ж2 + рх + q)m>/ax2
(3.15)
Здесь Л, m € N и а, р, q б R, причем р2 < 4д, т.е. нули
квадратного трехчлена x2 + px + q комплексно сопряженные.
Перейдем к рассмотрению более простых по сравнению
с применением подстановок Эйлера способов интегрировании
функций (3.13)—(3.15). Сначала установим рекуррентное
соотношение для нахождения интеграла
ч
n€N. (3.16)

3.4. Другие приемы интегрирования 111
/ТдЛ этого найдем производную
(хп~1 у/ах2 + Ьх + с) =
2Vax2 + Ьх + с
_ 2(п - 1)жп-2(аа?2 + Ьх + с) + xn^l(2ax + Ь) _
2\/аа:2 + &я + с
хп / 1\,
= па-7====== + I n - г) о
\/ат.2 4- Ья? 4- /» V 2 /
у/ах2 + 6х + с = па/„ + (п - - J 6/п-! + (п - 1)с/п-3,
+ Ьх + с
g после интегрирования левой и правой частей этого равенства
запишем
а?*1"1 у/ах2
нли
па па па
Отсюда при п = 1
Ix = i у/ах2 + Ьх + с- —-/о. (3.17)
а 2а
Используя это выражение и полагая в предпоследнем равенстве,
Что п=2, получаем
2ах~36 /—г—: 362-4асж
h = —т-о—V ах2 + Ьх + с+ —т-7—/о-
х"'1 I—*—I . п - 1/2 r n - 1
/п = у/ах* + Ьх + с-Ь — /n_i -с
для п = 3 найдем
- ШЬх +1562 - 1бас / о L Збабс - 1563

112 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Поступая аналогичным образом, для произвольного ng
запишем
In = PZ-i (*) У/ах2 + Ьх + с+ Ая Jo,
где i^_j (ж) — многочлен степени п- 1, а Лп € R.
Таким образом, интеграл /п для произвольного п 6 N
можно выразить через интеграл
dx
-I
у/ах2 + Ьх + с
который, в свою очередь, после выделения под знаком радикала
полного квадрата и линейной замены x + b/(2a) = t (см. 1.5)
можно свести к одному из табличных интегралов 15 или 16,
выражаемых через арксинус или логарифмическую функцию.
В итоге получим, что интеграл от функции (3.13) будет
линейной комбинацией интегралов /о, /i, /2, ..., /п, т.е.
, (3-18)
где Qn-i (ж) — многочлен степени не выше п — 1, а Л € R.
Покажем, что такое представление единственно. После
дифференцирования (3.18) получим
V
2аж + 6
2/2 + б +
2у/ах2 + баг + с \/а«2 + ож + с
или
2Pn(x)=2Qn.1(x)(aa:2 + 6x + c)+gn-1(«)(2aaj+6) + 2A, (3.19)
т.е. в каждой части этого равенства стоят многочлены степени
не выше п. Пусть коэффициенты ао, аь ..., ап многочлен^
известны и
= ЬоХ4'1 + б!*П-2 + ... + Ьп.2Х + бп-L

3.4. Другие приемы интегрирования 113
ТоГДа вместо (3.19) запишем
-ix 4- on) =
x + 6) + 2A.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях я,,
получаем систему п+\ линейных алгебраических уравнений с
неизвестными 60, fti, ..., 6n-i и Л:
2ап = 2c6n_2 + 66n_i + 2Л,
2on_i = 366n_2 + 4c6n_3 + 2аЬп_ь
= 2(n — I)a6i + (2n —
Из последнего уравнения этой системы следует bo = по/(па).
Если п = 1, то 6n_i = 6o» &n-2 = 6i = 0 и из первого
уравнения системы находим Л = а\ — 6ao/(2a). Бели же п > 1, то,
подставляя выражение для &о в предпоследнее уравнение
системы, находим коэффициент
_ 2паах - (2п - 1)6оо
l" 2n(n-l)a2 '
Затем, подставляя выражения для 60 и 6Х в предшествующее
Уравнение, найдем b2 и т.д. вплоть до коэффициента 6n_i,
^торый получим из второго уравнения системы, а затем из
Первого уравнения этой системы вычислим
л = ап- соп_2 - -&n-i-
Итак, полученная система линейных алгебраических урав-
й имеет решение при любых значениях oq, ai, ..., an_i, an,

114 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
т.е. определитель этой системы отличен от нуля, а ее
ние единственно. Таким образом, (3.18) позволяет выделить
алгебраическую часть Qn-\>/ax2 + Ьх + с интеграла от функ*
ции вида (3.13), не прибегая к интегрированию, а лишь решал
систему линейных алгебраических уравнений. На практике
коэффициенты многочлена Qn-\(x) и Л в (3.18) находят ме~
тодом неопределенных коэффициентов.
Пример 3.4. а. Вычислим неопределенный интеграл от
функции х3/у/х2 + х +1. Воспользовавшись (3.18), запишем
Числа Л, В, D и Л найдем методом неопределенных
коэффициентов. Продифференцируем последнее равенство:
у/х2 + х + 1
Приведем это выражение к общему знаменателю и приравняем
числители левой и правой частей:
3 + 2A.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,
получаем систему уравнений для нахождения неизвестных
коэффициентов:
6Л =2,
5Л +4В = О,
4Л + ЗВ +2D = О,
х
о
2В+

3.4. Другие приемы интегрирования
115
решая эту систему, находим А = 1/3, В = -5/12, D =
Л/24, Л = 7/16. Таким образом,
x3dx
_/х2 Ъх 1 \ /
1~1з 12 24/V*
7 Г
1б7
dx
Поскольку
J
'-
то в итоге имеем
/
Х + 2
б. Подынтегральную функцию в интеграле Jx2y/x2
умножим и разделим на у/х2 +1:
\dx
Теперь применим (3.18):
Продифференцируем это равенство:
(Ax3 + Bx* + Dx
последнее выражение к общему знаменателю и при-
числители полученных дробей:
•Ч х2 =
+ 2Вх + D)(a;2 +1) + Ах4 + Вх3 + Dx2 + Яа; + Л.

116 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Для нахождения неизвестных коэффициентов составим систему
уравнений:
4А
ЗА
ЗВ
2В
+2£>
+Е
D
= 1,
= 0,
= 1,
= о,
+А = 0.
Отсюда получаем А = 1/4, В = Е = 0, D = 1/8, А = -1/8.
Итак, с учетом табличного интеграла 16
. #
Рассмотрим теперь интеграл от функции (3.14) и сделаем в
нем замену переменного х — а = 1/t. При этом dx = —dt/t2 и
+6
_ (аа2 + 6а + с)*2 + (2aa -f 6)t + a
Тогда интеграл от функции (3.14) примет вид
dx
i
(х-а
-I
"1 Л
й ^=. (3.20)
у/(аа2 + 6а + с)*2 + (2aa + b)t + a
В частном случае aa2 + 6a + с = 0, т.е. когда а является нулем
квадратного трехчлена ax2 + bx + c, получаем интеграл
tk'x dt
l
уже рассмотренный в 3.3.

3.4. Другие приемы интегрирования
117
Пример 3.5* Для вычисления неопределенного
интеграла оТ ФУНКЦИИ [ix - l)3\/x2 -2x-l]~l используем замену
переменного х - 1 = l/t. Тогда dx = -dt/t2y x2 — 2х - 1 =
- I)2 - 2 = l/t2 - 2 = (1 - 2t2)/t2 и
dx
-2х- 1 ~~ J
i*dt
J (х- 1)V*2
Интеграл справа, согласно (3.18), представим в виде
С t2dt
" J у/Т^п2'
Дифференцируя это равенство, получаем
После приведения к общему знаменателю придем к равенству
t2 = Л(1 - 2t2) - 2е(Л« -f В) + Л,
из которого следует система уравнений
t2
t
t°
-4A
A
-2B
= 1,
= 0T
+A = 0.
Отсюда А = -1/4, В = О, Л = 1/4 и тогда
7
4
4V2
вращаясь к исходному переменному х, находим
dx _у/х2 - 2а? - 1 1 . л/2
2 - 2а; - 1 " 4(ж-1) 4\/2
* -
+ С.

118 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Замечание 3.4. Использованная в примере 3.5 замена пере,
менного типична для подынтегральной функции, знаменатель
которой содержит натуральную степень бинома и квадратный
трехчлен под радикалом. С ее помощью удается избавиться от
бинома в знаменателе, а под радикалом будет многочлен не
выше второй степени относительно нового переменного, что
позволяет применить уже известные приемы интегрирования. #
Перейдем теперь к интегрированию функции вида (3.15).
Бели коэффициенты квадратных трехчленов х2 + рх + q и
ах2 + Ьх + с пропорциональны, т.е. р = b/а и q = с/а, то
интеграл от функции (3.15) можно привести к сумме интегралов:
С Mx + N , М Г (2x+p)dx
I — dx = —т= / '
J (x2+px + q)my/ax2+bx + c 2y/aJ
/ N рМ \ Г dx
Первый из них после замены и = х2 + рх -f q сводится к
табличному интегралу 1, а для нахождения второго удобно
использовать подстановку Абелл (Н. Абель (1802-1829) —
норвежский математик)
= U (3.21)
2у/х2+ px + q
После возведения средней и правой частей этого равенства в
квадрат получим Ах2 + Арх -f р2 = At2(х2 + рх + q), или Aq - р2 =
= 4(1 -12)(х2 + рх + q), откуда следует
Учитывая (3.21), запишем ty/x2 + px + q = x+p/2 и после
вычисления дифференциалов левой и правой частей этого
равенства найдем y/x2 + px + qdt + t2dx = dx, откуда
dx _ dt
у/х2+рх + q 1-t2

3.4. Другие приемы интегрирования 119
с использованием (3.22) и (3.23) получим
/ , Х = ( . 4 о 1 f{l-t2)m~ldt} (3.24)
т,е. интеграл от многочлена степени 2(m - 1). В частном
случае при m = 1 можно написать
f <Xpx + g)3 ,qA_rj-
^+с= ^х
В случае, если в (3.15) рф b/a, применяют такую
замену переменного интегрирования х} чтобы в обоих трехчленах
исчезли слагаемые с первой степенью заменяющего
переменного. Последовательность вычислений рассмотрим на несложном
примере.
Пример 3.6. В подынтегральной функции
„ ч х4-3
/(*) = , 2_д. . ^2 . д. . i
проведем замену переменного х = (fit 4- ^)/(^4-1), подобрав
значения ц и v так, чтобы в выражении
обратился в нуль коэффициент при заменяющем переменном ty
а именно
условие выполняется, если, например, да = —i/ = 1. В этом
2dt
л1 ^2-h3 /-=- —
- а: +1 = т -гх, V ж2 + ж 4-1 =
(*41)2

120 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
и для рассматриваемой подынтегральной функции
J
f(x)dx =
tdt
dt
(t2 + 3) V3?
К первому интегралу в правой части этого равенства
применим подстановку и = \/3t2 + l, du = {St/y/№ +1) Л, t2 + 3 ^
= (и2 + 8)/3 и найдем, учитывая табличный интеграл 13,
tdt
r/
1/3 Ztdt
1 J и
du
+ 8
3t2 -f 1
Для вычисления второго интеграла используем подстановку
Абеля в виде
зе
т.е.
3(3 -
27 - Sv2
3(3 - v2)'
2vcto
(3-v2)2)
и получаем, принимая во внимание табличный интеграл 14,
dt
T"7 *4
_ у 3-v2 3-v2 vdv Г dv
"~y 27-8v2V v2 (3 - v2)2 / 27 - 8v2 ~
1
4\/6
In
y/9t2 H- 3 -

3.5. Тригонометрические и гиперболические подстановки 121
Объединяя результаты и заменяя t на х, находим
Замечание 3.5. Бели в (3.15) p=b/a, но цфс/а^ то
обращения в нуль слагаемых с первой степенью t в обоих
трехчленах можно достичь более простой заменой переменного
1нтегрирования х = t - р/2.
3.5. Тригонометрические
и гиперболические подстановки
Рассмотренные в 3.3 и 3.4 способы интегрирования
функций вида R(x, y/ax2 + bx + c) и Rm(x)/y/ax2 + bx + c часто
связаны с достаточно сложными выкладками. Иногда
интегралы от этих функций можно найти более простыми способами,
например выделяя полный квадрат в трехчлене
Сделав линейную замену переменного t = x + b/ (2a), при a < О
н Ь2 - 4ос > 0 приведем подынтегральную функцию (3.2) к
Рациональной функции R\ (t, у/A2 -t2), а при о > 0 — к одному
83 Двух видов:
, \/t2 - А2) или
Для первой из них, выполнив замену t = Acosy, получим
Rt(t, у/А2 -*2) = JRi(Acos</>,

122 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
и тогда интеграл от функции (3.2) примет вид
[R(x,y/ax2 + bx + c)dx= f i*i(*, у/А2 -t2)dt =
= / R*(sirup, cos ip)d<p,
где R* — рациональная функция синуса и косинуса угла </?.
Наряду с рассмотренной подстановкой для
подынтегральной функции #i (t, у/А2 -12) можно применить замену
переменного t = Ав\п<р или t = Ath<p.
У функции Я2(*» Vt2 - А2) избавиться от радикала можно
с помощью одной из замен i = ch y>, t — A/cos<p или t = A/sin <p.
Функцию Яз(*» Vt2 + А2) можно упростить заменой
переменного t = Ash(f или t — Atg(p.
Общие способы интегрирования получающихся в
результате таких преобразований рациональных функций,
аргументами которых являются тригонометрические и гиперболические
функции, рассмотрены в гл.4, но в частных случаях к цели
можно прийти более быстрым путем. Рассмотрим несложный
пример.
Пример 3.7. Для иррациональной подынтегральной
функции х2/\/6 — 4ж — 2х2 имеем
х2 х2 х2
- (х + I)2
Для вычисления интеграла от этой функции сделаем замену х
= 2cosy>. Тогда dx = -2s\mpd<p и \/6 - 4ж - 2а:2 = 2>/2sinу>-
Учитывая, что <р = arccos ((x -f l)/2) и

3.5. Тригонометрические и гиперболические подстановки 123
С x2dx _ Г (2cosy>- l)2(-2s
J V"6 - 4x - 2a:2 " J 2v^sinv?
= -2\/2 / cos2 <pd<p + 2V5 / co&ipdip - ~=
= -\/2 / (1 -|- c
2y?) dip + 2V5sin <^> - ~-<p =
Для данной подынтегральной функции применима также
замена z + l = 2siny?. #
В заключение рассмотрим неопределенный интеграл от
функции [(хт + <х) чухт + (3 ] ~ , где m — любое натуральное
число, большее единицы. Преобразуем подынтегральную
функцию, вынося хт за скобки:
dx
[ *i =f
J (xm+a) ^/xm+P J
otx-m)
—I
)"т J
Полученный интеграл заменой l+flx~m = tm можно свести
Интегралу от рациональной дроби. Действительно, при этом
^-(т+1) dx = mtm'1 dt, откуда
и

124 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Обозначим /3 - а — у и получим 1 + ах"т = (atm + 7)//3.
Следовательно,
Г dx Г s-tm
J {хт + а) *фхт + Р~ J (I + ax-m)
J P(atm + y)t~ J atm + y
Итак, преобразования привели к интегралу от рациональной
дроби.
Пример 3.8. Для вычисления интеграла от функции
[(ж2 + 1)\/1 -ж2]"" вынесем х2 за скобки:
J
dx
-/
x~zdx
(I + x~2)Vx~2 - 1
Сделав замену х~2 - 1 = t2, при которой -2x~3dx = 2tdt,
1 -f x""2 = t2 -f 2, t = \Лс~2 - 1 = \/l - x2/xy придем к табличному
интегралу 13:
x~3dx Г tdt
/
Г x~3dx Г t
/ (l + x-VF2"^!""./ ф2
dt l
Возвращаясь к переменному х, получаем
dx 1
In

3.6. Интегралы от дифференциального бинома 125
3.6. Интегралы от дифференциального бинома
Согласно свойству 1° неопределенного интеграла (см. 1.3),
подынтегральное выражение является дифференциалом
первообразной подынтегральной функции. Бели подынтегральная
функция рациональная, то подынтегральное выражение иногда
0аэывают рациональным дифференциалом, а если она
иррациональная, то — иррациональным дифференциалом.
В неопределенном интеграле
(3.25)
подынтегральное выражение называют биномиальным
дифференциалом, но чаще — дифференциальным биномом.
При т, п, р € Z дифференциальный бином будет
рациональным дифференциалом, а если хотя бы один из показателей
степени не является целым числом, то дифференциал будет
иррациональным.
Рассмотрим неопределенный интеграл от
дифференциального бинома при т, п, р€ Q- Ясно, что в частных случаях
при п = 0 или р = 0 (3.25) переходит в табличный интеграл 1
или 2. Поэтому такие случаи исключим из дальнейшего
рассмотрения. Заменой переменного х= \/i=tlln (dx = t1/n~1dt/n)
преобразуем (3.25) к виду
~v% I 1
. (3.26)
Можно указать три случая, когда (3.26) удается свести к
интегралу от рациональной дроби.
Первый случаи: р € Z. Пусть q = г/к, где г 6 Z и А; € N.
да замена переменного t = zk (dt = kz^dz) приводит
w.26) к интегралу от рациональной дроби
=1 [{а+Ь2к)^к+г-Чг, (3.27)

126 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
поскольку к+г — 1 € Z. Для того чтобы после вычисления этого
интеграла перейти к исходному переменному интегрирования
х, следует использовать равенство z = tl/k = sn/*.
Отметим, что в первом случае интеграл (3.25) можно
вычислить непосредственно, не прибегая к преобразованиям (3.26)
и (3.27), а используя замену переменного x = yN} где N € N --.
общий знаменатель дробей тип. Действительно, из (3.25) с
учетом dx = NyN~l dy получаем интеграл
fxm(a + bxn)*dx = N f(a + byNnyyNm+N~ldy (3.28)
от рациональной функции, так как iVm, Nn б Z.
Второй случая: q € Z. Теперь пусть р = в//, где s € Z и
/€N. Заменой переменного z=(a-f^)1// преобразуем (3.26)
к виду
fxm(a + ftsn)p<fc = i /(a
W'*'+'~1(fz- (3'29)
Так как / + s - 1 € Z, то подынтегральная функция в правой
части (3.29) будет рациональной дробью. После вычисления
интеграла от этой функции для возвращения к исходному
переменному интегрирования х нужно использовать равенство
Третий случаи: р + q € Z. Снова положим р = з/l, где
8 € Z и / 6 N. Преобразуем (3.26) к виду
/хт{а+Ьхп)Чх = ^ I\а
Сделав в правой части (З.ЗО)замену
= -alzl~1dz/(zl- 6)2), получим
(t = a/(z'—6),

3.6. Интегралы от дифференциального бинома 127
Поскольку p + tf + 2 и / + S-1 — целые числа, то подынте-
ральная функция будет относительно аргумента z
рациональной дробью. После вычисления интеграла от этой функции для
перехода к исходному переменному интегрирования следует ис-
додьзовать равенство z = (b + a/t)1^ = (b + ax~n)1/1.
Таким образом, интеграл (3.25) от дифференциального
бинома можно свести к интегралу от дробно-рациональной
функции, если
p±i)P±iZ), (3.31)
п / \ п
т.е. будет целым одно из трех чисел р, (т+ 1)/п — 1 = g, p+q.
Условие (3.31) было известно, по существу, еще И. Ньютону,
а Л. Эйлер предположил, что ни для каких других
показателей степени m, n и р подынтегральную функцию в (3.25)
не удастся свести к дробно-рациональной. Для рациональных
чисел m, n и р, не удовлетворяющих условию (3.31),
предположение Л. Эйлера доказал П.Л. Чебышев, а для
иррациональных чисел — русский математик Д.Д. Мордухай-Болотовский
(1876-1952).
Пример 3.0. Проинтегрируем следующие функции:
а) , ^ ,2; б) уДт- Д=; в)
а. Из записи
бедует, согласно (3.25), что здесь m = 1/2, п = 1/3 и р = -2,
<е» показатель степени р — целое число (это отвечает первому
Jj Общим знаменателем дробей тип будет N = 6.
при замене переменного х = у6 (da: = 6y5dy), согласно

128 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
(3.28), получаем
f y/idx f y*dy Гу* + 2у« + у*
У (1 + Щ2 " У (1 + У2)2 У (1 + У2)2 У
Интегрированием по частям с учетом табличного интеграла 13
находим
f у2*у 1 [„л(-L-\ -Л(-1 (
У (1 + у2)2 ~ 2]*\\ + у*)~ 2Vl + y2 J l
1
2(1+у2) 2
В итоге, учитывая, что у = fyx, имеем
1 •+■
б. Интеграл
отвечает второму случаю, поскольку, согласно (3.25), з
т=1/2, п = -3/2, р= 1/4, т.е. д= (т+ 1)/п- 1 = -2

3.6. Интегралы от дифференциального бинома
129
р=1//=1/4 имеем 1 = 4. Выполним замену переменного
1 - ж~3/2. Отсюда
и
полученный интеграл по частям:
z4dz
(I-*4)2
Представив числитель подынтегральной функции в интеграле
справа в виде 2 = (1 + z2) 4- (1 - г2) и разделив почленно на
знаменатель, придем к двум табличным интегралам 14 и 13:
/
dz
l-z*
i±£
\-z
В итоге после перехода к исходному переменному
интегрирования получаем
J = [ y/i {Il-
У v у
l - ^/l -
Из записи
(3.25), следует, что m = 0, n = 4, p=-l/4, т.е.
n— 1 = -3/4 и p + g=-l€Z. Это соответствует
случаю, причем в силу равенства р = s/l = —1/4

130 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
можно выбрать 5 = -1, 1 = 4 и использовать замену
= (1 + х'4)1!4 = (1 + х4у/4/х. Тогда получим
х = (z4 - I)-1'4, dx = -(z4 - l)-*f4z*dz
и далее, используя табличные интегралы 14 и 13, запишем
Г dx Nz4-l)^4z3dz Г z2dz _
т
1 /" (^24-1) + {z2 — 1) , 1 /" cf^r I /* dz
= — / -—=—-—г^: -az=— I r / « =
9/ r«2j.iW»2_i\ О / 1 _ г2 О/ 1 j.,2
i±£
\-z
2
--arctg
. #
В случае больших по абсолютной величине показателей
степени р и q в правой части (3.26) непосредственное вычисление
интеграла даже при выполнении условия pVq\/p + q£2
мажет привести к весьма громоздким выкладкам. Эти выкладки
можно сократить, если использовать следующий прием.
Обозначая
и интегрируя по переменному t тождества
(а
= а(а
= (р+Ща
находим
(а

3.6. Интегралы от дифференциального бинома 131
получаем рекуррентные соотношения
2
/
£+9+2
решая эти уравнения относительно /p+i,? и Л>,<?+ь а потом
заменяя р +1 на р в первом выражении и q + 1 на g во
втором, при условии p + </-f 1/0 приходим к соотношениям
_ (д+ *)■*+' ар
7+ Т^ТТ7'-1-" (3-34)
1
Из соотношений (3.32)-(3.35), называемых формулами при-
ведения, можно выразить /р,9 через аналогичные интегралы
с большими или меньшими показателями степеней.
Если р € N или q 6 N, то соответственно (3.34) или (3.35)
позволяют эти показатели в интеграле вида /Р|9
последовательно свести к нулю, а если -р € N или -q € N, то
соответственно (3.32) или (3.33) дают возможность в аналогичном
интеграле эти показатели довести до —1. Ясно, что
вычисление интеграла вида 1РуЧ при р€ {-1, 0} или при q€ {—1, 0}
существенно упрощается. Третий случай (p + g€Z) заменой
переменного £ = 1/м можно свести ко второму случаю (q € Z).
Отметим, что формулы приведения можно применять, если ни
Р> ни д, ни р + 9 не являются целыми числами.
Пример ЗЛО. Рассмотрим неопределенный интеграл
xmdx
п = 2 и р=—1/2. Следовательно, как при m нечетном
)/n= (m + l)/2€Z, так и при m четном (w-|-l)/n-f р =
lm-f 1)/2 — 1/2 = т/2 £ Z, т.е. во всех случаях подынтеграль-

132 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ную функцию можно преобразовать в рациональную дробь.
Заменой переменного х = t1/2 (dx = t~lf2dt/2) получаем
Ш У 2(1 ~ 01/2 2 У 7-1/Мт-1)/2.
Бели ш> 1, то, применяя к /_i/2,(m-i)/2 (3.35) при а= 1
6=-1, р=-1/2 и g = (m - 1)/2, запишем
/-i/».(*.i)/8 = -^(l-«)l/4«(m-l)/a + !^!/-i/a.(»-8)/2. (3-36)
После замены x2 = t вернемся в (3.36) к исходному
переменному интегрирования х:
Jm = -I
m /
т т
При использовании этого рекуррентного соотношения значение
показателя степени т уменьшается сразу на 2 и вычисление
Jm последовательно сводится либо к
при т нечетном, либо к
f dx _,
Jo— I . =arcsins + C
при т четном.
Бели же т < — 1, то, применяя к /-i/2,(m-i)/2 (3.33),
получаем
—.ii \~ '/ - ' 11 - — х/л,1т«х*1/2' V
Принимая -т = fi> 1, при помощи той же замены х2 ='
переходим в (3.37) к исходному переменному интегрирований
х и записываем

Д.3.1. Геометрический смысл подстановок Эйлера 133
использовании этого рекуррентного соотношения эначе-
I1 уменьшается на 2, а вычисление «7_м последовательно
либо к
dx
fi нечетном, либо к
dx
четном.
Дополнение 3.1. Геометрический смысл
подстановок Эйлера
Подстановкам Эйлера можно дать наглядную
геометрическую интерпретацию. Уравнение
у = ±у/ах2 + Ьх + с, или у2 = аж2 + 6ж -Ь с, (3.38)
задает плоскую кривую второго порядка [III]. Из
канонического уравнения
= 1 (3.39)
Ь2 — 4ас Ь2 — Аас
4а2 4а
эт°й кривой видно, что она симметрична относительно оси
°*t а вертикальная ось симметрии имеет абсциссу —Ь/(2а).
*Рн а > 0 эта кривая будет гиперболой, причем в случае
> 4ас с осью Ох совпадает ее действительная ось (рис. 3.1),
а в случае б2 < Аас — ее мнимая ось (рис. 3.2). При о < О
^Ьвая будет эллипсом (рис. 3.3) (согласно замечанию 3.3, в
**^| случае квадратный трехчлен ах2 + Ъх + с должен иметь
/^ствительные нули, т.е. Ь2 > Аас). Все кривые изображены
^ с>0.

134 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Рис. 3.1
Рис. 3.3
Для координат произвольной точки
занных кривых справедливо равенство
Уо =
с.
Рис. 3.2
из ука-
(3.40)
Проходящая через эту точку секущая, представленная
уравнением
y-yo = t(x-xo)) (3.41)
пересечет гиперболу или эллипс еще только в одной точке
(ж;у). Координаты точки (я;у) можно выразить
рациональными функциями углового коэффициента t секущей.
Действительно, исключая у из (3.38) и (3.41), запишем
I2 2
x-xq)) = аж2 + Ьх + с

Д.3.1. Геометрический смысл подстановок Эйлера 135
учитывая (3.40), —
2yot(x - хо) + t2(x - so)2 = a(x2 - Xq) + b(x - x0).
Отсюда, сокращая на х - xq и принимая во внимание (3.38) и
, получаем
t2xo-2yot+axo + b
X— То »
' " (3.42)
а —
Таким образом, при изменении углового коэффициента £
секущей, проходящей через фиксированную точку (хо\ уо)
рассматриваемой кривой, вторая точка пересечения этой секущей
с кривой опишет всю кривую. Иначе говоря, угловой
коэффициент t в данном случае играет роль параметра, при помощи
которого соотношения (3.42) параметрически задают данную
кривую. Эти соотношения и определяют подстановки Эйлера,
позволяющие подынтегральную функцию в (3.9) привести к
рациональной функции одного переменного t. Конкретный вид
подстановки зависит от выбора точки (хо;уо).
Если квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет
действительные нули а и /?, то рассматриваемая кривая пересекает ось
абсцисс в точках (а;0) и (0;О) (см. рис. 3.1 и 3.3).
Приняв xq = а и уо = 0, придем к третьей подстановке Эйлера.
При с > 0 кривая пересекает ось ординат в точках (0; у/с) и
№ -у/с). Положив хо = 0 и уо = ±\/с, получим вторую под-
сТановку Эйлера. Так как в случае комплексно сопряженных
квадратного трехчлена радикал в (3.9) имеет действи-
значение лишь при а > 0 (см. замечание 3.3), то в
замены х на \/z получим
+ bz + a

136 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
т.е. кривая, заданная в плоскости гОу уравнением у2 = сг2
+ 6г + а, пересечет ось Оу в точках (0;\/л) и (0;->/а)-
этом вторая подстановка Эйлера примет вид
y/cz2 + bz + a =
или
z z
После обратного перехода к переменному х получим первую
подстановку Эйлера (3.10). Эту подстановку можно
трактовать иначе. При а > 0 значения ±у/а соответствуют
угловым коэффициентам наклонных асимптот ветвей гиперболы
(см. рис. 3.1 и 3.3), а прямая с уравнением y = xyfa + t или
у = -Xy/a + t, параллельная одной из асимптот, пересекает обе
ветви только в одной точке. Тогда параметр t будет
ординатой точки пересечения такой прямой с осью Оу.
Дополнение 3.2. Об интегрировании
функций вида
Большинство из рассмотренных в этой главе интегралов
можно представить в виде
', y)dxy (3.43)
где R(x, у) — рациональная функция переменного
интегрирования х и аргумента у, который, в свою очередь, является
алгебраической функцией х. Бели эта алгебраическая
функция обращает в нуль многочлен Р(з, у), то (3.43) называют
абелевым интегралом. В частности, интеграл от поды*'
тегральной функции вида (3.2) является абелевым, поскольку
алгебраическая функция у = у/ах2 + Ьх + с обращает в
многочлен Р(ж, у) = у2 — (ах2 + Ьх 4- с).

Д.3.2. Об интегрировании функции вида R[x, y/Pn(x)) 137
С геометрической точки зрения абелев интеграл связывают
0лоской алгебраической кривой, описываемой уравнением
Р(«, У) = 0. (3.44)
Так, интеграл от функции вида (3.2) связан с кривой второго
порядка, описываемой уравнением у2 = ах2 + Ьх + с.
Подынтегральную функцию в абелевом интеграле можно
преобразовать в рациональную функцию от нового
переменного интегрирования и затем выразить этот интеграл через
здементарные функции, если кривая (3.44) может быть
задана параметрически рациональными функциями х = г\ (t) и
у~**2(£) параметра t. Такую кривую называют уникурсалъ-
цой (от латинских слов unus — один и cursus — путь). Прямая
g любая плоская алгебраическая кривая второго порядка уни-
курсальны.
Интеграл
J{/K) (3.45)
от рациональной функции вида (3.4), где Рп(з) — многочлен
аргумента х степени п € N с действительными
коэффициентами, также является абелевым. Но (3.45) уже при п > 2 в
общем случае не удается выразить через элементарные функции,
поскольку не всегда кривая, задаваемая уравнением у2 = Рп(з)>
является унику реальной. При п = 3 и п = 4 (3.45) называют
эллиптическим интегралом, а при п > 4 — гиперэлли-
ъпгическим. Если эллиптический интеграл в частном случае
Удается выразить через элементарные функции, то его называ-
псевдоэллиптическим. Например, интегралы
***як>тся псевдоэллиптическими.
При рассмотрении эллиптических и псевдоэллиптических
**тегралов полагают, что многочлен в (3.45) имеет лишь про-
^ нули. В противном случае можно было бы вынести из под

138 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
знака корня линейный множитель и получить подынтегрально^
выражение уже изученного типа.
Эллиптические интегралы, получившие свое название из-за
их связи с задачей о вычислении длины дуги эллипса (см. Д.9.1)
стремятся преобразовать так, чтобы свести их к нескольким
типам интегралов, в состав которых входило бы как можно
меньше произвольных коэффициентов. Эти преобразования
достаточно рассмотреть для случая п = 4 в (3.45), поскольку
к нему всегда можно привести случай п = 3. В самом деле,
многочлен степени п = 3 с действительными коэффициентами
всегда имеет хотя бы один действительный нуль. Обозначим
этот нуль Л и запишем разложение
Используя подстановку а(х - А) = t2 (dx = 2tdt/a)y в (3.45) при
п = 3 получаем
IR(x, y/ax* + ...)dx=- I
Многочлен Ра(х) степени n = 4 с действительными
коэффициентами всегда можно представить произведением двух
квадратных трехчленов тоже с действительными
коэффициентами:
P4(x)=ax4+bx*+cx2+dx+e=:a(x2+px+q)(x2+p'x+qt). (3.46)
Бели р = р', то замена переменного х = t — р/2 (см.
замечание 3.4) уничтожает в обоих трехчленах слагаемые с первой
степенью t. В случае р ф j/ с той же целью следует выполнить
замену х = (/rt + i/)/(* +1) (см. пример 3.4) и найти
коэффициенты /i и v из условия равенства нулю коэффициентов при *
в выражении
2
Х

Д.3.2. Об интегрировании функции вида Я (я, у/Рп(х)) 139
3 аналогичном ему соотношении для трехчлена x
/( ) ( ) ' = О,
Отсюда следует, что /* и v являются корнями квадратного
уравнения
(р - p')z2 + 2(q -q')z + p'q - pq' = 0.
Чтобы рассматриваемая замена переменного х сохранила
смысл, корни этого уравнения должны быть действительными
н различными, т.е. должно быть выполнено неравенство
(?-?')2-(р-р')(р'?-Р?')>0. (3.47)
Обозначим нули двух трехчленов в (3.46) a, P и у, 6
соответственно. Тогда, подставляя
в (3.47), получаем
Бели все нули многочлена Р*(х) в (3.46) действительные,
10 Действительными будут и нули обоих трехчленов, а сами
можно выбрать так, чтобы а> /3>у> 6, что обес-
справедливость (3.47). Если же не все нули действи-
, то трехчлены в (3.46) будут определены однозначно и
рассмотреть два случая. Пусть в первом случае а и
"*"" комплексно сопряженные числа (/? = а), а у^ б£К. Тогда
"*7 = а-7 я /3 — 8 = а-8, т.е.
и

140 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Во втором случае все нули многочлена Ра(х) комплексные
причем как fi = а, так и 8 = у. Но тогда fi — 6 = а-7 ^
— 7 = а — £, т.е.
^^)>0 и
Таким образом, неравенство (3.47) будет выполнено в обоих
рассмотренных случаях.
Итак, замена переменного интегрирования в (3.45) позволь
ет перейти к рациональной подынтегральной функции вида
у/(М + Nt*)(M'+ №*) \ _
()2 )-
при отличных от нуля коэффициентах A, m и т!.
Интеграл от функции R способами, аналогичными
разобранным в 3.4, можно свести к интегралу от рациональной
функции аргумента t и функции
(3.48)
Рациональную функцию R*(t) представим в виде двух
слагаемых:
** W = —^2 ~ + ~^~2 "•
Первое слагаемое не меняет своего значения при замене t на
-£, и поэтому его можно свести к рациональной функции от 11
обозначив i?i(£2), а второе при такой замене меняет знак, т.в-
может быть представлено в виде R2(t2)t.
Тогда интеграл от подынтегральной функции (3.48) можб°
свести к сумме интегралов
R2(t2)tdt
Г Цг(Р)& | Г

Д.3.2. Об интегрировании функции вида R (х, у/Рп(х)) 141
u — t2 (du = 2tdt) второй интеграл приводится к уже
смотренному интегралу от функции вида (3.18), а первый —
называемой канонической форме эллиптического
/
RW' KK1, (3.49)
л которой к называют модулем эллиптического инте-
грала.
Обозначим для краткости у = у/А(1 + га*2)(1 + т'£2), огра-
0вчимся положительными значениями переменного
интегрирования (t > 0) и рассмотрим различные сочетания знаков Л, т
g m', положив без потери общности А = ±1.
1) Л = +1, т = -Л2, m/ = -hr2 (Л>Л'>0). Тогда у будет
иметь действительные значения при 0 < t < \/h и t> \jh!.
Полагая ht = z (dt = dz/h), получаем
2 6(0, 1) U {z: z > h/ti}.
Из сравнения с (3.49) следует, что в этом случае k = h'/h.
2) i4 = +l, т = -Л2, m' = h'2 (h} ^>0). Теперь y€R при
0< е < 1/Л. Положим /it = \/l-z2 (0 < г $ 1). Тогда
У
8 Для перехода к канонической форме эллиптического интегра-
^ нужно принять к =1/y/l+ h2/h/2.
3) А = 4-1, т = Л2, m' = h12 (h > hf > 0). В этом случае
R при tGR. Полагая ht = z/y/l^z2 (Q^ z< 1), находим

142 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
так что канонической форме интеграла соответствует к
4) Л = -1, т=-Л2, т' = Л/^_(Л, Л;>0). Теперь yeR при
> 1/Л. Принимая ht = 1/\Л - z2 (0< г < 1), получаем
- z2){\-
так что здесь к =
5) Л = -1, т = -Л2, т' = -кп (h>ti> 0). В данном слу,
чае y€R при t € (1/Л, 1/Л')- Пусть /i't = v/l - (1 -
Тогда
и из сравнения с (3.49) устанавливаем, что к = y/l -ha/h2.
Сочетание Л = -1 и т, т' > 0 приводит к тому, что
радикал у ^ R Vt € R. Бели 2г > h/h1 = \/k, то при первом сочетании
знаков Л, m и т! подстановка kz = £ обеспечивает
выполнение условия С < 1- Таким образом, во всех рассмотренных
случаях для переменного интегрирования в (3.49) можно
ограничиться значениями z < 1.
Ясно, что при всех рассмотренных сочетаниях знаков А,
т и т1 и подстановках функция R(t2) в (3.49) переходит в
рациональную функцию от г2. После выделения из этой
функции целой части в виде линейной комбинации степеней z2n,
п = 0, N (в частном случае целая часть может отсутствовать,
т.е. N = 0), останется несократимая правильная рациональная
дробь, которую можно разложить на простейшие
рациональные дроби вида l/(z2 - a)w, где а — нуль (действительный
или комплексный) кратности т знаменателя правильной Ра'
ционалыгой дроби. В итоге (3.49) можно представить линейной
комбинацией интегралов вида
[ z2ndz fdz _
" J y/(l-z2){l-Vz2) " m J («J-

Д.3.2. Об интегрировавши функций вида Л(х, у/Рп(х)) 143
Бели проинтегрировать непосредственно проверяемое
тождество
(
z2n~3
,2n-4
получим рекуррентное соотношение
z2n'3 y/(l-z2)(l-k2z2) = (2n - l)*2/n -
- (2n - 2)(fc2 + l)/n.i + (2n - 3)/n-2. (3.50)
Таким образом, /n при n > 1 можно последовательно
выразить лишь через два интеграла
■/
dz f z2dz
Отметим, что (3.50) верно и при n € Z, т.е. в интеграле
Нт можно ограничиться лишь случаем а ф 0, для которого
аналогично можно получить рекуррентное соотношение
+ (2т - 4) ((ik2 + 1)- 3*2а)#т_2 - (2т -
СиРаведливое при т 6 Z. Следовательно, Ят при т > 1
выразить через три интеграла: #i, Яо = /о и Я-i =
т.е. окончательно через Н\, /о и Д. Введением
(в общем случае комплексного) Л=— 1/о интеграл

144 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Н\ приводят к виду
dz
-1
Французский математик A.M. Лежандр (1752-1833) назвал
интегралы /о, h и Я] эллиптическими интегралами
первого, второго и третьего рода соответственно и заме*
ной z = sin у? (dz = cosip d<p) преобразовал их к виду
, ■ f
J
Г s\n2ipd<p _ 1 /4-(l-Jb2sin2y>)
l"7 y/l-k2s\n2<p~ &J y/i-k*8\n2<p 9"
-/
1 f dip 1 С I .
d<p
+ hsm2ip)\/\ -k2sm2ip
Интегралы в правых частях первого и третьего равенств
называют эллиптическими интегралами первого и
третьего рода в форме Лежандра, а
/ yl -k2sin2(pd<p —
эллиптическим интегралом второго рода в форме
Лежандра. Французский математик Ж. Лиувилль (1809-1882)
показал, что эти интегралы неберущиеся.
Достаточно часто встречающиеся в прикладных задачах
эллиптические интегралы первого и второго рода в форме
Лежандра хорошо изучены. Бели принять, что при ip ="
эти интегралы обращаются в нуль, то их можно представить
как функции независимого переменного у?, которые ЛежанДР
обозначил F(fc, <p) и Е(к) (р) соответственно. Значения
функций табулированы в обширных таблицах.

Вопросы и задачи 145
Вопросы и задачи
3.1. Проинтегрировать следующие функции:
I г.
■; д)
; 3)
1 n/xTT+2
1-v/F+T l
; 0J
. 1
' ° > ; )
3.2. Доказать, что интеграл от рациональной функции
, у) двух переменных х и у = ^/(з - а)р(я - б)9 является
лементарной функцией, если п € N, р, ^ € Z и (p + q)/n 6 Z.
3.3. Найти неопределенные интегралы от следующих функ-
[ий:
=; б) -ух24-2x4-2; в) -
hx2 х ' ]
!__, д) ^4 ,: 4
3.4. При каком условии интеграл
/
\[ах2 4- Ьх + с
алгебраической функцией?
dx,

146 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
3.5. Для интеграла
f
, , а#0, n€N,
V ах2 + ож + с
доказать справедливость рекуррентной формулы
na/n = xn~ly/ax2
n_i - (п - 1)с/Л_2.
З.в. Выделяя алгебраическую часть неопределенного
интеграла, проинтегрировать следующие функции:
Па?-6
А)
3)
3.7. Применяя подстановки Эйлера, проинтегрировать
следующие функции:
==; б) * ^; в) хл/*2-2* + 2;
'
.
1
1
\Л 4-
.
3.8. Найти неопределенные интегралы от следующих
функций:
1
? б)
: в)
ж)
1
; з)

Вопросы и задачи 147
$.9. При каких рациональных значениях показателя степени
интеграл f y/l + x* dx является элементарной функцией?
ЗЛО. Найти интегралы от следующих дифференциальных
биномов:
б) v^3x - *з. в) ^i + #?; г)
l
7 я;3 vl + Vх
3.11* Вычислить псевдоэллиптические интегралы от следу
ющих функций:
тТТ'
г) x + l х > 1
Г) ху/хА + Зж3 - 2х2 - Зх +1' Z
3*12. Выразить через элементарные функции и функции
, </?), Е(А;, ^>) эллиптические интегралы:
/ ^^ б) [ dx
J V36x4 - 13а:2 +1' У v"H-29«2+100a;4>
j У Vl -2x2-8*4; Г) У v/=i4lP^;
v f dx f dx
J *Vl44x4 + 7s2-i; ^ У y/TTv*'

4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕКОТОРЫХ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Напомним, что трансцендентной называют функцию,
значения которой не удается вычислить при помощи конечной
последовательности алгебраических операций (сложения,
вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень).
Рассмотрим приемы интегрирования трансцендентных
функций и выражений, содержащих такие функции.
4.1. Рациональные функции синуса и косинуса
Покажем, что рациональную функцию R(u(x), v(x)) при
u(x) = s\nx и v(z) = cosz всегда можно привести к дробно-
рациональной функции заменой переменного tg(z/2) = t, часто
называемой универсальной подстановкой. В самом деле, при
t = tg(z/2) имеем
х = 2arctg t, dx = —~2, (4.1)
2sin(s/2)cos(a:/2) 2tg(a/2) 2*
cos2(s/2) + sin2(a:/2) 1 + tg2(x/2) 1 +12' l ' '
cos2(a:/2) - sin2(a/2) 1 - tg2(x/2) 1 -12 ,
COSX~ cos2(x/2)+sin2(x/2) ~ l+tg2(x/2) " l + t2' [ ' }
Следовательно,
Пример 4.1. Проинтегрируем функцию l/(2sinx-cos£-f-5)'
используя замену переменного tg(x/2)=t. Учитывая (4.1)—(4.3)»

4.1. Рациональные функции синуса и косинуса 149
0ОЛучаем
[ dx „Г dt =
/ 2sina;-cos2; + 5 J /o 2* I-*2 Л,. . .2v
Л ^ Г dt
+t2) J
Вынесем за знак последнего интеграла 1/6 и выделим в знаме-
рателе подынтегральной функции полный квадрат:
dt 1 /" dt
Г dt I t
J 6t* + 4t + 4~ZJ
t2 + 2t/3 + 2/3
rf(t+l/3) _1 3 „ t + 1/3
ЗУ (t+l/3)2+(%/5/3)2 3^ e v/5/3
Здесь использован табличный интеграл 13.
Возвращаясь к переменному х, записываем
1 3tg(a/2) + l . „
= -= arctg &v '' + С.
2sinx — cosa
Пример 4.2. При помощи универсальной подстановки
Щх/2) = t найдем интеграл от функции 1/(3sin x 4-4 cosx + 5).
Используя (4.1)-(4.3) и принимая во внимание табличный инте-
гРал 1, получаем
dt
=
2 2
i+3+C= "3 + tg(«/2)

150 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
и
М
Рис. 4.1
Подстановке t = tg(x/2) (-7Г < х < тг) можно дать следую,
щую геометрическую интерпретацию. Аргументы u(z) = sin2
и v(x)=cosx рациональной
функции R(u(x)} v(x)) принимают
лишь те значения, которые на
координатной плоскости у О и
отвечают координатам точек
окружности единичного радиуса
(рис. 4.1), причем текущее
значение переменного
интегрирования х соответствует углу АОМ,
а значение ж/2 — углу АВМ.
Тогда новому переменному
интегрирования t будет отвечать
ордината точки D пересечения
луча ВМ с осью Он. При движении точки М по
окружности от точки В против хода часовой стрелки переменное t
пробегает значения в интервале (-со, +оо).
Таким образом, рассматриваемая подстановка позволяет
выразить ординату и абсциссу текущей точки М через
ординату точки D при помощи рациональных функций (4.2) и
(4.3). Эти функции, будучи подставлены в функцию R(u, v),
не нарушают ее рациональности.
Подстановка tg(z/2) = t, являясь универсальной, часто
приводит к громоздким выкладкам. В некоторых частных случаях
рациональной функции синуса и косинуса к цели можно прийти
более простым путем.
Пример 4.3. Применение подстановки t = tg(x/2) при
интегрировании функции 1 /(sin3 x cosx) приведет с учетом
(4.1)-(4.3) к интегралу от довольно сложной
дробно-рациональной функции:
dx
£ COS £
_1 [
"47

4.1. Рациональные функции синуса и косинуса 151
этого, используя известное соотношение sin2 х + cos2 х =
^ i9 находим
/dx __ Г sin2 х + cos2 x _ С dx f cosxdx
sin3xcosx J sin3xcosx J sinxcosx J sin3a;
Подынтегральную функцию первого интеграла в правой части
этого равенства умножим и разделим на cosx и затем подведем
\/cos2x под знак дифференциала, а во втором интеграле
подведем под знак дифференциала cosx:
/dx Г cosxdx _ f d(tgx) f d(s\nx) _
sinxcosx J sin3x J tgx J sin3x
Здесь использованы табличные интегралы 2 и 1
соответственно. #
Пусть рациональная функция R(u, v) не изменяет своего
значения при изменении знака одного из своих аргументов
(например, и), т.е. R(—tt, и) = Л(и, v). Будем называть такую
функцию четной по отношению к и. Бе можно привести к
некоторой рациональной функции Я*(u2, v), зависящей от v
н лишь от четных степеней и.
Пусть теперь при изменении знака и функция R(u, v)
сохраняет значение по модулю, но изменяет знак, т.е. R(—u} v) =
= "-Д(м, и) (Я(ад, v) — нечетная функция по отношению к
V- Тогда она представима функцией Я*(«2, v)uy что
вытекает из предыдущего свойства, если его применить к функции
Я(и, v)/u.
Пусть, наконец, функция R(u) v) не изменяет значения при
Ановременном изменении знаков и и и, т.е. Д(—щ —v) =
"~ Щи, v). Такая функция является четной по совокупности
РГУМентов и и v. В этом случае можно записать
К v) = я(%, „) = Яз(1, „) = «,(2, _,) = щ{1, ^),

152 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
поскольку при одновременном изменении знаков и и v
отношение u/v не изменяет значения.
Любую рациональную функцию R(u, v) можно
представить тождественным соотношением
Д(и, у) = Д(М' v)" Д("М' V
-ц, у) - Д(-и, -t>) , Д(ц, ю) + Д(-ц, -«
+
Первое слагаемое в правой части изменяет знак при изменении
знака и, второе — при изменении знака и, а третье слагаемое
сохраняет значение при одновременном изменении знаков и
и v. Итак, отмеченные выше свойства функции R(u} v)
позволяют записать ее в виде
R(u, v) = R ( )
Из сказанного следует, что если u = s\nx и v = cosz, то
функцию Я(и, v) = ii(sinx, cosx), нечетную по отношению к
sin я, можно привести к виду #J(sin2a;, cosx)sinx, функцию,
нечетную по отношению к cosx, — к виду /^(sinx, cos2x)cosx,
а функцию, четную по совокупности sinx и cosx, — к виду
^(sinx/cosx, cos2x). Наконец, произвольную рациональную
функцию R(u} v) = R(smx1 cosx) можно привести к виду
R(u, v) = #(sinx, cosx) = i?i(sin2x, cosx)sinx-h
_ , . о ч „ /sinx о \
+ /I2(sinx, COS X) COSX + /€з( , COS X I.
Vcosx /
Бели от этой функции необходимо найти
неопределенный интеграл, то в подынтегральных выражениях Rismxdx,
/?2cosxd*x и R^dx целесообразно сделать замены переменно'
го t = cosx (dt = -sinxdx), t = sinx (rft = cosxdx) и t = tg*
[dt = rfx/cos2x, dx = dt/(\ +12)) соответственно (в последнем

4.1. Рациональные функции синуса и косинуса
153
случае иногда удобна замена t = ctgz). При этом
-cos
(SinX о
—2, coszzjdz =
cosa:
Пример 4.4. Функция
R(sin ж, cos я) = —
1
sin3 x cos x
рассмотренная в примере 4.3, является четной по совокупности
аргументов sinx и cos я. Поэтому для ее интегрирования
целесообразно применить замену t = tgx:
J si
dx
sin°xcosa;
/tgxdx _
sin4x
t
x
dx
sin2x
tga:
arctgt
dt/(l+t2)
__ ft(l + t2)2dt _
_ [dt. fdt__
У t +У ^3"
результат, совпадающий с ответом в примере 4.3 при

154 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Пример 4.5. Найдем неопределенный интеграл от
функции l/(asinz-|-6cosa; + c). Преобразуем ее к виду
1 1
с + г sin
где г = у/а2 + Ь2 и <р = arcsin(6/r), и, согласно (4.4), запишем
—rs\n(x + (p) с .
= i ^' -| ш (45)
c2-r2sin2(x + (p) с2 - г2sin2(ж + <р)' ' '
Проинтегрируем каждое слагаемое в правой части (4.5). Для
первого из них применим замену rcos(z + <р) = t. При этом
= dt и
ж _ [ — г sin (ж + <p)dx _ Г dt
Х"У c2-r2sin2(x + ^)""7
Бели |с| > г, то с учетом табличного интеграла 13
г 1 . t I rco
h = П, 2-arctg П 1 = П 2-arctg А 1
У/С1 — Г* VС2 - Г2 У/С2 - Г2 у/С1 — Г2
Если же \с\ < г, то с учетом табличного интеграла 14
1 ln
2y/r2 -c2
t-y/r2-
t + y/r2-
1
2Vr2-
c2
c2
1
+
In
111
c-
rcos(x + (p)
rcos(x + (p)
-y/r2
+ Vr2
-c2
-c2
Наконец, при \с\ = г
1
7
ГСО8(Х

4.1. Рациональные функции синуса и косинуса
155
При интегрировании второго слагаемого в правой части
м 5) сделаем замену tg(x + <р) = t (dx/ cos2 (a; + ф) = dt):
cdx
/c
c2-r2sin2(* + y>)
/ cdx/cos2
c2/cos2(x + ч>)-r2tg2(x-+-</?)
- f cdt
У (c2-r2)t
>)t2 -f с2'
При |с|>г
arctgу/1 - (г/с)21 , ^ _ arctg(yi - (г/с)2 tg(*
г^
12=
а при |с| < г
/2 =
1
2vV2 - с2
In
~ с2 -f с
-^c2 — с
1
2vV2 - c2
In
VV2 - с2 tg(x -f ^)
y/r2-c2 tg(x
- с
+ С.
Наконец, если \с\ = г, то
-
-
Пример 4.6. Подынтегральные функции интегралов
sin x dx
inx + 6cosx
и
= /iS
cosxdx
Изменяют своего значения при одновременном изменении
в sinx и cos ж. Следовательно, для вычисления этих
тегралов можно использовать замену t = tgx. Но проще их

156 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
вычислить из следующих двух соотношений:
all +6/2= dx =
f
= /
J
acosx — 6sinx
—: — dx =
asinx + 6cosx
/d(asinx + 6cosx) ... . , л
—1—: ; = ln asinx + ocosx +C2.
asinx + ocosx
Отсюда
ax —61n|asinx + 6cosx
a2-ho2
6x + flln|asinxH-6cosx
h= ^гр
где С и С — линейные комбинации произвольных
постоянных С\ и Сг- #
В общем случае интеграл от дробно-линейной функции
а\ sin х + Ь\ cos х -|- ci
asinx + fccosx + c
может быть сведен к вычислению интеграла, рассмотренного в
примере 4.1. Действительно, выразим числитель этой функции
через ее знаменатель и производную знаменателя:
sin х + 61 cosx + c\ = i4(asin x+6cosx+c) + £(acosx-6sinx) + D-
Приравнивая коэффициенты при sinx, cosx и свободные
члены в левой и правой частях этого равенства, получаем
; \ ; c\ = Ac + D.
Отсюда
аа\ + bb\ ab\ -ba\
а ; B Dc

4.1. Рациональные функции синуса и косинуса 157
п лтоге исходный интеграл будет линейной комбинацией трех
/
dx =
asina;4-6cosa;4-c
/a cos a;-6 sin a; _ f dx
—: : dx + D / —: ;
asina;4-0cosa;4-c J a sin x 4- b cos x 4-
/dx
—:
Последний интеграл справа можно вычислить при помощи
заиены tg(x/2) = t.
Бели подынтегральная функция представляет собой
рациональную функцию синусов и косинусов различных, но кратных
аргументов, то путем тригонометрических преобразований
синус и косинус следует привести к одинаковому аргументу.
Пример 4.7. Функцию sin3z/(sin:rcos2s) с учетом
известных формул
= cos2a; -sin2 ж = 1 -2sin2s и sin За; = 3sina; -4sin3s
преобразуем к виду
sin3x 3sinx — 4sin3a; 3 —4sin2ar 1
— = = = 1- 2.
sinxcos2x sin x cos 2x cos 2a: cos 2a;
Интегрированием этой функции получаем
/ sin 3zda; f dx л f , f co&2xdx
-. — = / —— + 2 / dx = / 5— 4- 2x =
sma;cos2x J cos2x J J 1- sin2 2s
1 f d(sm2x)
_ 1 Г d(su
"2] 1-si
sin2 2a;
+ 2x = -
1 4- sin 2a;
1 - sin 2x
4-2a?4-C
использован табличный интеграл 14. #

158 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
При вычислении интегралов от произведений синусов и ко.
синусе оазличных аргументов полезно использовать формул^
sin ах cos/te = - (sin (а + ff)x + sin (а - /3)х);
sin ах sin /Зх = -fcos(a — /?)s-cos(a + /3)xj;
cos ax cos fix = -fcos(a + /3)s + cos(a-/?)a;J.
Пример 4.8. Функцию sin x sin (ж/2) sin (я/3) перед
интегрированием преобразуем к виду
. х . х 1 / х Зх\ . х
sins sin - sin - = 2 (c j
sin
х Зх\ . х
2 " cosyj 8Ш з =
= j(rs%+siny+siny-sin 6
В итоге получаем
. X . X
sins sin-sin-as =
Ъх 3 7ж 3 Их Л ,,
В общем случае, если аргументами рациональной
подынтегральной функции являются синусы и косинусы углов,
зависящих от произведений переменного интегрирования х на
различные рациональные числа, то следует найти общий
знаменатель п £ N этих чисел и после замены х = nt с помошы0
формул для тригонометрических функций с кратными углами
выразить аргументы подынтегральной функции через
натуральные степени sin t и cost, а затем использовать
тренные выше замены переменного.

4.2. Рациональные степени синуса и косинуса 159
4.2. Рациональные степени синуса и косинуса
Неопределенные интегралы вида
Imq= I &mmxcosgxdxy m, g € Q, (4.6)
заменой переменного t = sinz, t = s\n2x, t = cosx или t = cos2x
цожио свести к интегралу от дифференциального бинома. В
самом деле, принимая для определенности t = sin2 я ( тогда eft —
fc), запишем
=Vl-sinzx = vl-t, dx = — = —- dt.
2sinxcosx 2
Следовательно,
^ f ^1)!2 ^l^2. (4.7)
Этот интеграл можно выразить через элементарные функции
в трех случаях (см. 3.6): 1) (?-l)/2€Z, 2) (m+l)/2€Z,
3) (m + q)/2&Z, т.е. когда хотя бы один из показателей
степеней т или q является нечетным целым числом или в сумме
они дают четное целое число. Однако сведение интеграла вида
(4.6) к интегралу от дифференциального бинома (как и
применение универсальной подстановки tg(x/2) = i) может привести
к громоздким вычислениям. В рассмотренных ниже трех
частных случаях к цели можно прийти более простым путем.
Первый случай. Бели одно из чисел т или q в (4.6) по-
л°жительно и нечетно, то следует сделать замену, указанную
в 4.1 для рациональной функции A(sinx, cos ж), нечетной по
^Ношению к одному из ее аргументов. В некоторых случаях
^еграл удается вычислить подведением под знак
дифферента.
Пример 4.9. а. Найдем интеграл от функции cos3 x/ sin6 x,
я нечетной по отношению к cos я, причем q поло-

160 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
жительно. Подведем cos я под знак дифференциала и исполь
зуем равенство cos2 ж = 1 — sin2 ж:
/cos3z fcos2x M-siirz
. R dx= I . ,. d(sinx) = I —r-g d(sinx) =
sin6 ж J sin6 ж v ' J sin6 ж v '
/d(s\nx) Г d(s\nx) __ 1 1
sin°a? J sin4 ж 5sin°x 3sin°a:
б. Для подынтегральной функции sin3s/v^cos4s значение
m положительно и нечетно, т.е. эта функция нечетна по
отношению к sinx. Подведем sinx под знак дифференциала и
используем равенство sin2 ж = 1 - cos2 ж:
Г Sin3X J /'1-СО82Ж ,. ч
/ 3/—7-d* = " / 3/—i- d(C0SX) =
J УСО84Ж J УСС«4Ж
= / СО82/3ЖЙ(СО8Ж) - /
#
Второй случаи. Если и т, и q в (4.6) — четные и
неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть
равно нулю), то (4.6) при помощи замены t = tgx можно
свести к интегралу от дробно-рациональной функции. Однако
проще предварительно уменьшить сумму показателей вдвое
переходом к удвоенному аргументу по формулам
sin2x . о 1 — cos2x « l + cos2z
51ПЖСО5Ж=—-—, 81П Ж= , COS 07= '•
4ш it £i
Пример 4.10. Проинтегрируем функцию sin2 ж cos4 ж.
Используя формулы удвоения аргумента, запишем
. о 4 4вт2жсо82ж о
sin ж cos ж = cos ж =
4
__ вт22ж 1 + cos2x _ 1 -соз4ж 5ш22
~~~4 2 " 16 + 8

4.2. Рациональные степени синуса и косинуса 161
во внимание, что cos2xdx = (l/2)cf(sin2z), имеем
/sin2 x cos4 s = ~ / dx — — /
16 у 16 у
sin4x sin32x _
#
+
Третий случай. Бели и га, и <? в (4.6) отрицательны,
прячем их сумма является четным числом, т.е. m + q = -2n
(n€ N), то нужно числитель и знаменатель подынтегрального
выражения разделить на cos2nx, подвести множитель l/cos2x
под знак дифференциала, а остальную часть подынтегральной
функции выразить через tgx.
Пример 4.11. В подынтегральной функции l/vsin11^ cosx
оба показателя т = -11/3 и д = —1/3 отрицательны, причем
вхсумма m + q=—4 — четное число (п = 2, 2п = 4). Деля
числитель и знаменатель подынтегрального выражения на cos4 ж,
подводя l/cos2x под знак дифференциала и используя
равенство 1/cos2 х = 1 И- tg2 х, находим
/
_ f(l/cosAx)dx _
Vsin11XCOSX J з1тп11хсо8х
/l + tg2x
3/—L=d(tgx) =
= Jtg-n'3xd(tgx) + jtg-s'3xd(tgx) = -|
. #
В общем случае, если воспользоваться формулами приведе-
(3.32)-(3.35), то интеграл Im%q в (4.7) можно выразить

162 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
через аналогичные интегралы с большими или меньшими
каэателями степеней:
sinm+1 х
sinm+1 x
"1; (4-9)
sinm+1 a:cos'-1 x t q-l
sin*11"1 x
(4Л1)
Бели оба показателя степени являются целыми числами, то
последовательное применение этих формул позволяет привести
Im>q либо к одному из табличных интегралов, либо к
интегралам
или
. (4.12)
Пример 4Л2. а. Найдем интеграл от функции l/cos5z.
Можно применить замену £ = sin x, но проще дважды
прибегнуть к формуле приведения (4.8), принимая т = 0 и </ = -5 и
используя вторую формулу (4.12):
/dx _ slnx Z f dx _ sins 3 sinx
cos5ж 4cos4s 4У cos3x 4cos4ar 4 2cos2x
I [ dx sins 3sina;
тг
б. Для интегрирования функции cos4 x/sin3 x пригодна
замена t = cosx, но быстрее к цели приводит последовательна

4.3. Экспоненциальные и гиперболические функции 163
формул приведения (4.9) и (4.10) и первой форму-
£(4-12):
к2
/СО8АХ _ COS5 Ж 3 ГсО84Х _ 1 - 8Ш
sin3 х X~~2sm2x~"2j sinx * ~~ 2 sin2
х з
-cos ж —
X
3cos3x 3 fcos2xdx _ l-sin2s
cosx —
3 Г cos*,
~~ о / sin
2 3 2J sin ж 2sin2
3 П-si
2 У sin
— sin2 re . cosa;
dx = -TT-5 cosa: - -In tg-
2sin2a; 2 I 62
4.3. Экспоненциальные
и гиперболические функции
Неопределенный интеграл от рациональной функции (
аргументом которой является экспонента ех, заменой
переменного t = ex нетрудно привести к интегралу от
рациональной функции аргумента t.
Пример 4.13. Найдем интеграл от функции е2х/(\ + ех).
Используя замену t = ex (dt = exdx)> получаем
[e**dx _ f tdt = П1-Ю-1
У 1 + e* J 1 + t У 1 + t
. #
Бели рациональная подынтегрально* функция
R(eplX ePiX ePnX) i = T~n
от n € N экспонент, показатели которых являются
Р°вэведениями переменного интегрированил х на различные
числа р,- € Q, то заменой z = ех/^, где N € N —
знаменатель дробей р,- (t = ltn), интеграл от такой

164 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
функции можно свести к интегралу от рациональной
аргумента z. Этот путь пригоден и для интеграла вида
/
,*2, ..., shpnx, chpnx)dx}
если гиперболические функции выразить через экспоненты по
формулам
e j e-Pix
и h
Действительно, пусть р,- = г^/пц € Q, где г, G Z, а N —
наименьшее общее кратное натуральных чисел т,- € N (t =
= 1,п). Тогда, применяя замену z = er^ (dz = ex^Ndx/N))
получаем
I
= N f R(zk*r\ ...t 2r*jr«l ..., >ГЛ)— = IRm(z)dz,
где &; = 7V/m,- € N, a i?*(z) — рациональная функция нового
переменного интегрирования z.
Пример 4.14. Для подынтегральной функции
1
1 + е*/2 + W3 + 6х/6
общим знаменателем дробных коэффициентов при переменном
интегрирования х в показателях экспонент будет N = б-
Используя замену г = е*/6 (da; = 6dz/z), запишем
- У
J i
Подынтегральную дробно-рациональную функцию в правой чЭ'
сти этого соотношения представим суммой простейших pan»0'

4.3. Экспоненциальные и гиперболические функции 165
вадьных дробей (см. 2.3):
1 1 А В Mz + D
— __ ^. __— -1. .^^^^^___—
Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю,
0аяучаем
1 = Л(1 + *)(1 + z2) + Bz(l + z2) + (АГ* + D)z(l + г). (4.13)
Полагая 2 = 0 и * = —1, находим соответственно Л = 1 и Б =
--1/2. Для определения коэффициентов М и D приравняем
коэффициенты при г3 и z2 в правой и левой частях (4.13) и
получим систему двух уравнений
Отсюда М = D = -1/2. Таким образом,
з
61пz - 31п(1 + z) - -ln(l -f z2) - 3arctgz + С =
. #
Интегралы вида
R(s\ix,chx)dx и I s\imxc\Lqxdx, m^€Q, (4.14)
преобразовать аналогично интегралам от тригономе-
ких функций. Например, для первого из этих интегралов
°&но применить так называемую универсальную подстановку
^ ^Ь(х/2) и, учитывая известные формулы
- sh2x = 1, sh2s = 2shx cha?, сЬ2ж = ch2s

166 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
получить
snx <
СП Ж •
Л-
2sh(s/2)ch(s/2)
ch2(a;/2)-8h2(x/2) 1
ch2(a;/2)+sh2(x/2) 1
ch2(s/2)-sh2(s/2) 1
dx 1 - th2(x/2)
2ch2(s/2) 2
Следовательно,
2th(s/2)
-th2(s/2)
+ th2(s/2)
-th2(x/2)
dx и dx -
2t
l-t2)
О
i-t2>
l-t2#
где Ri(t) — рациональная функция нового переменного
интегрирования t.
Подстановке t = th(x/2) (как
и рассмотренной в 4.1
подстановке t = tg(x/2)) можно дать
геометрическое толкование.
Текущему значению переменного
интегрирования х на
координатной плоскости vOu
соответствует точка М с абсциссой
и = спж и ординатой u = shx.
Эта точка лежит на ветви
гиперболы (рис. 4.2). Из подобия
Рис. 4.2 треугольников АВМ и OBD
следует, что
1
OB
_ shs _ 2sh(a;/2) ch(s/2) _ fc ^
"1+cha;" 2ch2(ar/2) "" 21
т.е. ордината точки D равна th(x/2). При движении точки "
по гиперболе новое переменное интегрирования t изменяете*
в интервале (-1, 1).

4.3. Экспоненциальные и гиперболические функции 167
В конкретных случаях вместо универсальной подстановки
яасто быстрее к цели можно прийти при помощи замен t =
~~ch&, £ = shs и t = thx. Первые две из них удобны, если
0Одынтегральная функция нечетна относительно shx и chx
^ответственно, а последняя— если подынтегральная функция
нетна по совокупности аргументов shx и chx.
Пример 4.15. а. Для подынтегральной функции ch2x/sh3x
применим универсальную подстановку £ = th(x/2) и получим
1 l-t4 1, . . _ chx 1
б. Применение универсальной подстановки к
подынтегральной функции sh8 х ch3 x приводит к громоздким
выкладкам. Поскольку эта функция является нечетной относительно
, используем замену t = sha? (dt = chxdx) и вычислим
I sh8xch3xdx= /
Числитель подынтегральной функции
2shx + 3chx
4shx-|-5chx
в виде линейной комбинации знаменателя и произ-
энаменателя:

168 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Приравнивая коэффициенты при shx и chx, получаем
уравнения для определения коэффициентов А и В:
— I И
Отсюда А = 7/9 и В = -2/9. Следовательно,
[2ehx + Zcbxdx = l[dx-*[
г. Для четной относительно chx подынтегральной
функции ch4x вместо возможной подстановки t = thx
целесообразно дважды применить формулу понижения показателя степени
в виде сп2ж = (1 + сЬ2ж)/2. Тогда получим
fch4xdx = j f(l+ch2x)2dx = j f(l+2ch2x+]-+}-di4x)dx =
Второй интеграл в (4.14) можно привести к интегралу от
дифференциального бинома подстановками t = sh ж, £ = sh2 x,
t = chx или t = ch2x. Так, приняв t = sh2x (dt = 2shx chx dx),
запишем
xchz
Тогда получим интеграл
С, = f&bmxch'xdx = i f
аналогичный (4.7). Этот интеграл можно выразить
элементарные функции в тех же трех случаях: когда хотя

4.3. Экспоненциальные и гиперболические функции 169
из показателей степеней т или q является нечетным
числом или в сумме они дают четное целое число.
Пример 4.16. Функцию \/ЙГж = (V^J , показатели
в которой в сумме дают нуль (четное целое число),
проинтегрировать в элементарных функциях. В данном
случае удобно применить подстановку t = y/ihx. Тогда с
учетом равенства 1/ch2 ж = 1 — th2x = 1 -14 находим
1 dx l-t4 _ , 2tdt
dt=—■==-—5— = —-—dx и dx = - 7.
2\/П1жсп2ж 2t l-t4
Таким образом,
dt Г dt 1. :
-arctgi-hC=-In r arctgл/thx + C, x ^ 0.
2 1-ythz
Здесь знак абсолютной величины для аргумента
логарифмической функции опущен, поскольку
-4 € [0э
Поэтому (1 +1)/(\ -1) > 0 при всех ж ^ 0. #
Формулы приведения вида (4.8)—(4.11) позволяют выразить
ifnw через такие же интегралы, но с большими или меньшими
показателями степеней:
» shro+1 хch**1 ж , m + g + 2r,
+ / ^"1; (4Л5)
П^ТТ'" "1; (4Л6)
shm+1 ж ch9"1 ж q - 1 Т1> , . л ^
+i1^ * (4Л7)
m+q +
^'x m-1
т-2^ чф~т- (4Л8)

170 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
В случае, когда оба показателя степени т и q
ся целыми числами, последовательное применение этих
позволяет привести I^q либо к одному из табличных
гралов, либо к интегралам
fdx f dx f
J sh* У e*-e~* J
(e*)2-l
= ln
e*-l
e'-hl
ex/2 . e-
X
-,/2r~=ln|th2
/ -r— = 2 / = 2 I
J chx У e* + e-* У 1
Пример 4.17. Для интегрирования функции ch4x/sh3x,
нечетной относительно shar, пригодна подстановка t = chx,
но удобнее последовательно применить формулы приведення
(4.16) и (4.17):
l+sh2»
/'ch4xJ ch5x 3 [с\ьА
У sh3x 2sh2s 2 7 shx
2sh2
3ch3x 3 fctfxdx
3 f
2j
2
При вычислении интегралов от произведений
гиперболических синусов и косинусов различных аргументов целесообразво
использовать формулы
1 / \
shaxdi/Зх = -(
shaxsh/?x = -(
c\iaxc\\/3x = -f

4.4. Различные трансцендентные выражения 171
Пример 4.18. Функцию shzsh2zsh3x перед
интегрированием преобразуем последовательно к виду
= -(ch4sc — ch2g)sh2& = -(sh6rc — sh2ar — sh4x).
ТоГДа получим
~.. w-, ~« -w ch2x
sha:sh2xsh3a:<fx= ~^T"~ "TF" Б—^^'
4.4. Различные трансцендентные выражения
Для большинства выражений, содержащих
трансцендентные функции, не удается установить общие правила
интегрирования. В таких случаях вычисление интеграла (если
оно вообще возможно) обычно связано с подбором
подходящей замены переменного или использованием интегрирования
по частям. Однако можно выделить несколько типов
трансцендентных выражений, для которых существуют общие приемы
интегрирования. Наиболее простыми и часто встречающимися
типами таких выражений являются произведения многочлена и
экспоненциальной, логарифмической, тригонометрической или
обратной тригонометрической функций.
Ясно, что интеграл от произведения многочлена
"1 + ... + On-l* "I" On, «0
п € N и любой трансцендентной функции в общем слу-
^ можно представить как сумму интеграла от этой функции и
п интегралов от произведений данной функции на натуральные
переменного интегрирования х. Поэтому целесообраз-
Рассмотреть подынтегральные функции вида xnf(x), где
) — некоторая трансцендентная функция.
Если f(x) = ех — экспоненциальная функция, то интеграл
*пе* при помощи рекуррентной формулы, полученной

172 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
интегрированием по частям, можно представить в виде (1.22\.
fxn
exdx = п
К этому случаю нетрудно свести интегрирование функций
В более сложных случаях f\(x)=eaxcosbx и f2(x)=eax&inbx
интегрированием по частям (по аналогии с примером 1.14)
/хп \ С
xneaxco8bxdx = —eezcos6x — / nxn~leaxco&bxdx -
a aj
- i fxneax(-bs\nbx)dx = —eaxcosbx - -In-X + -Jn,
aj 'a a a '
/тп 1 Г
Jn ax • l j ex • l I л^1 ах * l j
x e sinDxax = —6 sin ox / nx € sin ox ox —
a aj
-il'"
xn n b
eaxbcosbxdx = —eaxsin6a; «/n_i —In
a a a
получим систему двух уравнений относительно интегралов /п
и Jn, решение которой приводит к рекуррентным формулам
ах п
asinbx-bcosx
Эти формулы позволяют по известным интегралам /о и Jo
от функций f\(x) — eaxcosbx и /2(3) = e^sinbs (см. пример
1.14), последовательно увеличивая показатель степени п Д°
требуемого значения, проинтегрировать функции xnf\(x) *
xnf2(x).

4.4. Различные трансцендентные выражения 173
Из этих же рекуррентных формул при a = О (еах = 1)
посредственно следуют формулы для интегралов
/ хпcosbxdx = — sinx - — I xn~l sinbxdx,
/xn n f
xns\nbxdx = ——СО&Х + -Г I xn"lcosbxdx.
В результате интегрирования по частям вычисление
интегралов от функций snarcsin(a;/a) и х11 arccos(x/a) сводится
к интегрированию иррационального выражения, содержащего
радикал Vо,2 — ж2, тогда как для интегралов от хп arctg(x/a) и
xnaicctg(x/a) такой путь ведет к интегрированию
рациональной функции переменного интегрирования х.
В случае f(x) = \nx интегрирование по частям приводит к
простой формуле
xn\nxdx = —--\пх-—- хп+1 — = (\пх
J п+1 п+1J х п+\\ п+1
а при f(x)=\nmx {тф—\) получаем рекуррентную формулу
/
Tn+linm
Tn+linmr m r
xn\nmxdx = - [±Л-Л0- Ix^^xdx. (4.19)
п+1 п+1/ v ;
Если в подынтегральном выражении сомножителем
трансцендентной функции f(x) является рациональная функция
Щх), то после выделения из R(x) целой части и
разложения оставшейся правильной рациональной дроби на простейшие
йРИдем к интегралам вида
/
/м случаем этих интегралов является интеграл от функ-
11 f{x)/xn (n G N). Рассмотрим этот случай подробнее.

174 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Если f(x) = In x, то нетрудно установить, что
In2*
/
In 2
ах =
2
+ С, п=1;
„ (п-1)хп'1\п-
а при /(х)=1птж (т^-1, я#1) достаточное (4.19) сменить
знак перед п. При п = 1 получим
m + 1
В случае п > 1 через элементарные функции можно
выразить интегралы, в которых f(x) является обратной
тригонометрической функцией:
/arcsin(x/a) , _ arcsin(x/a) 1 Г
х» X~~(n-l)xn~l * n-lj i^i
dx
f arctg(a?/a) arctg(a;/a) a f
J xn (n-ljg»-1 n-lj xn~l
dx
В связи с этим напомним, что arccos(x/a) = тг/2 - arcsin(x/a) и
arcctg(a:/a) = тг/2 - arctg(x/a). При п = 1 эти интегралы уже
не удается выразить через элементарные функции.
К неберущимсл относятся также интегралы от функций
ех 8tnx cos ж
Vn€N.
•£> «Ь Л
Интегралы от этих функций путем последовательного
интегрирования по частям можно выразить через элементарные
функции и три основных неберущихся интеграла
(4.20)

4.4. Различные трансцендентные выражения 175
, например,
г e*dx _ ех 1 Г exdx
J хп ~~ (та - l)xn~l n-lj х*1-1 ~~
неберущимся также относятся интегралы
I e~~x dx, I cosx2dx, I s\nx2dx, I-—. (4.21)
Последний из них заменой x = ez (dx = ezdz) можно свести к
интегралу от функции e*/z.
Можно привести достаточно много примеров неберущих-
ся интегралов от трансцендентных выражений. Некоторые из
таких интегралов часто встречаются в прикладных задачах и
хорошо изучены. С их помощью определяют функции, которые
не выражаются через элементарные, и поэтому их называют
специальными функциями. К ним относятся, например,
упомянутые в Д.3.1 функции F(k, <p) и Е(к, у),
определяемые эллиптическими интегралами. При помощи интегралов
(4.20) вводят специальные функции, называемые
интегральной показательной функцией, интегральными синусом
> косинусом соответственно. Первый интеграл в (4.21) связан
со специальными функциями, широко используемыми в теории
^роятностей, статистической физике, теориях теплопроводно-
ОД и диффузии. Функции, связанные со вторым и третьим
Интегралами в (4.21) и называемые интегралами Френе-
**i находят применение в оптике. При помощи последнего
**теграла в (4.21) определяют функцию, которую называют
Чн*Пегральным логарифмом. Ввиду важности для приложе-
^* упомянутых функций они изучены с той же полнотой, что
Элементарные функции. Поэтому их отличие от последних
^ достаточно условным.

176 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Таким образом, в отличие от дифференцирования
тарных функций их интегрирование далеко не всегда сно&&
приводит к элементарным функциям. Следует подчеркнут^
различие между существованием неопределенного интеграла и
возможностью его представления при помощи элементарных
функций. Но если такая возможность имеется, то ее
желательно реализовать. На это и направлены рассмотренные в этой и
предшествующих главах способы интегрирования.
Однако даже известная теоретическая схема
интегрирования того или иного класса функций не во всех конкретных
случаях быстрее всего ведет к цели. Обычно интегрирование
можно выполнить несколькими способами, среди которых
следует выбирать наиболее простой.
Рассмотрим элементарный пример. Интегрирование
рациональной дроби х2/(х + 1)п при достаточно большом значении
п (например, при п > 5) приведет к громоздким выкладкам,
если применить общее правило, связанное с разложением
функции на простейшие рациональные дроби. Проще применить
подстановку t = х + 1'
[ *2dx f(t-l)> fJL.o (JLa. [±-
J (* + l)« J Г J t-2 J «—» +У f"
12 1
-3 (n-2)(x + l)»-2 (n-l)(a;-f l)n-J
Следовательно, важно не только знать, какие способы
существуют для вычисления конкретного интеграла, но и выбрать
среди них наиболее экономный. Для такого выбора
необходимы изобретательность и определенный навык, приобретаемый
практикой при решении значительного количества примеров.
По существу, все рассмотренные способы интегрирования
были связаны с такими преобразованиями исходного интегр*'
л а, которые позволяли свести его к табличным интегралам-
Однако к табличным отнесено лишь небольшое число

Вопросы и задачи 177
интегралов. При решении прикладных задач, связанных
интегрированием довольно сложных функций, целесообразно
здьзоваться более полными таблицами интегралов, собранных
специальных справочниках. В приложении (в конце кни-
й) приведена таблица интегралов, сравнительно небольшая, но
остаточная для нахождения неопределенных интегралов в слу-
аях, часто встречающихся в инженерной практике.
Вопросы и задачи
4.1. Проинтегрировать следующие функции и проверить
еэультат дифференцированием:
1 sin2 s cos2 а;
' si
cosa;)sina;; ' sinz + 2cosa;; (
. sinxcosa: ч sin a; . 1 ч sin4 ж
I * ii) * el » ж) *
sinaH-cosa?' sin3a;+cos3a:' sin4z-f cos4 ж' cos6x'
sin2 x cos2 x . sin x cos x 1 1
; И) l+sin4x; K) sin4xcos4'
cos*a;; И) l+sin4x; K) sin4xcos4x
cos3ar ч 1 ч sin3x
) )
о) * : п)
sm^xcosx vsinx vsm 2x cosd x ycos4x
) ctg6 x; c) sin x sin (x+a) sin (ж+6); т) cos x cos 2x cos 3a:;
)sin32xcos23x; ф) ^cosxsin5a;; x) y/t&x\ ц)
4.2. Интегрированием по частям вывести формулы пониже-
показателя степени п € N для интегралов
/п = / sinnxda:; Kn= I cosnxrfa;, n > 2;
dx
, n>2,
sinna: J cosna?
c их помощью вычислить /в, Л> ^8 и L7.

178 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
4.3. Доказать, что
а\ sin2 х + 26i sin х cos ж + с\ cos2 x
asm я
+ D
= .Asinz
f
I —
J asin
a
и выразить коэффициенты Д Б и D через коэффициенты
а, 6, fli, 6i и С\.
4.4. Доказать, что при n € N\ {1}
— / «to __ Asinx + Bcosx
У (asin« + bcosx)n (asinx + 6cosa;)n~1 n~ '
и выразить коэффициенты А, Ел D через а и 6.
4.5. Доказать, что при n€N\{l} и а2 фЬ2
т — f
и выразить коэффициенты А, В е D через а и 6.
4.6. Проинтегрировать следующие функции и проверить
результат дифференцированием:
; б)
1 v 1
I v I . shx
м) th3a;; н) cth4x; о) cha?ch(x/2)ch(a;/3); п)

Вопросы и задачи 179
4.7. Интегрированием по частям вывести формулы
понижена показателя степени п € N для интегралов
I*= fshnxdx\ К* = fchnxdx, n>2;
dx
0 с их помощью вычислить /£, Jg, /Cg и Lj.
4.8. Найти интегралы от следующих функций и проверить
результат дифференцированием:
а)^3*; 6)s6sin5a; в) sVcoss; г) a;exsin2a:; д) ea*sin36s;
е) (1+ж2)2со5ж; ж) (ж2-2ж+2)е"аг; з) (ж-sinz)3; и)
к) e-'arcsine*; л) е*™™*; м) х2е^\ н) 1п
о) (2x+l)earctgar; n) y/xb.ictgy/x\ p) arcsin-y/^; с) x7arctga?;
а; . (х1пж)2
х cos х-sin х ч sin х-cos х . / 2\ _ ч /1пж\3
о 5 ш) г-? 5 щ)(1--)ея:; ы) ( ).
х2 smza: V ж/ \ х /
4.9. При каком условии можно выразить через
элементарные функции интеграл от функции (oq 4- a\ /x +... + an/xn)ext

5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
В 1.3 было показано, что дифференцирование функции
и ее интегрирование являются взаимно обратными
операциями. Различие между этими операциями состоит в том, что
производная функции, дифференцируемой в некотором
промежутке X, есть функция, однозначная в этом промежутке, а
неопределенный интеграл ff(x)dx от однозначной в X
функции f(x) представляет собой бесконечное множество перво-
образных, причем любые две первообразные F\(x) и F2(x) из
этого множества, согласно теореме 1.1, различаются между
собой на некоторую постоянную величину С*, т.е.
F2(x) = F1(x) + Cm VxeX. (5.1)
Учитывая свойство (5.1) множества J f(x)dx первообразных
функции /(ж), можно ввести одно из важнейших понятий
интегрального исчисления.
5.1. Понятие определенного интеграла Ньютона
Пусть у функции /(ж), определенной в некотором
промежутке X, существует в этом промежутке неопределенный
интеграл
[ (5.2)
[
где F(x) — одна из первообразных функции /(я), а С — п°~
стоянная интегрирования, и пусть а и b — любые две точки»
принадлежащие промежутку X. Разность F(b) - F(a) предст*'
вляет собой приращение первообразной F(x) при переходе f
точки о к точке 6.

5.2. Формула Ньютона — Лейбница 181
Теорема 5.1. .Приращения любых первообразных,
вызванные приращением Ах = Ь — а переменного интегрирования х,
одинаковы.
4 Пусть F\(x) и F2(x) — какие-либо две первообразные
функции f(x). Тогда в силу (5.1) имеем F2(a) — F\(a) + СШ
г F2W = Fi{b) + Ст. Поэтому
F2(&) - F2(a) = (Fi(6) -f-CJ - (Fi(a) + Cm) = Fx(6) -
ято доказывает утверждение теоремы. ►
Определение 5.1. Приращение F(b) — F(a) произвольной
первообразной F(x) функции f(x) при изменении
аргумента х от значения а до значения 6 назовем определенным
интегралом Ньютона (или просто интегралом
Ньютона) от функции }{х) с пределами интегрированил а и 6
(нижяшк и верхним пределами интегрированил
соответственно) и обозначим символом
б
f(x)dx.
1
Таким образом, интеграл Ньютона есть число,
соответствующее функции f(x) и пределам интегрирования а и 6. Это
число не зависит от того, как обозначено переменное
интегрирования:
ь ь ь
f f(x)dx= f f{t)dt= If(z)dz.
5.2. Формула Ньютона — Лейбница
Согласно определению 5.1 интеграла Ньютона,
ъ
f(x)dx = F(b)-F{a). (5.3)
f

162 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
Это равенство называют формулой Ньютона — Лейбнчцп
Она позволяет вычислить интеграл Ньютона от функции fu\
в пределах от а до 6, если известна любая первообразна*
Fix) этой функции на промежутке, содержащем точки а и />
Первообразную заданной функции иногда можно найти прй
помощи табличных интегралов, применяя рассмотренные в
гл. 1-4 способы интегрирования.
Разность значений первообразной, соответствующих верх,
нему т нижнему пределам интеграла, часто обозначают F(x)\b
rib
или [^(z)Ja (когда F(x) является сложным выражением), так
a
что (5.3) принимает вид
(5.4)
Пример 5.1. Рассмотрим простейшую линейную функцию
/(ж) = 2x и вычислим интеграл Ньютона от нее по отрезку
[О, 1]. Одной из первообразных этой функции будет
F{x)= ff(x)dx = f
Тогда, согласно (5.4), получаем
= х2,
[f(x)dx= Axda? = x2p = I2-0 = 1. #
Важно еще раз подчеркнуть, что в формуле Ньютона —
Лейбница можно использовать любую первообразную F(x)
функции f(x), поскольку постоянная интегрирования С все
равно взаимно уничтожается при вычислении разности
знамений первообразной, соответствующих верхнему Ь и нижнему
а пределам интеграла.
Пример 5.2. а. Для функции f(x) = 2|х|, х € R, в
примере 1.3 найден неопределенный интеграл в виде *

5.2. Формула Ньютона — Лейбница 183
4*0 одной из первообразных (при С = 0) будет F(x) = х\х\.
ЯвТрУДно убедиться, что на всей числовой прямой R F'(x) =
^ t(x) — 2\х\. Следовательно, эту первообразную можно исполь-
«овать для вычисления интеграла Ньютона по любому отрезку
Га Ч ^ ^' Пусть о = -1 и 6=1. Тогда получаем
1 1
-1 -1
б. В примере 1.4.а найден неопределенный интеграл от
функции /(a?) = e"W (xeR) в виде
ff(x)dx= fe-Wdx=i
Если положить С = 0, то получим первообразную функции
как составную функцию
для которой F'{x) = f(x) Ух € R. Согласно (5.4), интеграл
Ньютона от функции f(x) по отрезку [-1,1] равен
( )|
J —1 1х=1
~* 2
а:=-1 в
в. у функции /(ж) = 1/(х - I)2 не существует
первообразов на отрезке [0, 2], поскольку в точке х = 1 эта функция
определена и тем самым нарушено условие определения 1.1
Рвообразной. Следовательно, согласно определению 5.1, не
^Ч и интеграла Ньютона по отрезку [0, 2] от этой
#

184 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
Если функция /(х) на отрезке [а, Ь] имеет конечное число
чек разрыва первого рода сь ..., сп, то интеграл Ньютона
этому отрезку определяют как сумму интегралов по частичным
отрезкам [a,ci], [ci,C2], ..., [сп,6], для чего на каждом из этих
отрезков исходная функция доопределяется в концевых точках
односторонними пределами. На А?-м отрезке в силу
непрерывности функции существует первообразная Ffc(x), Л=
и формулу Ньютона — Лейбница можно записать в виде
b C\ C2 с*+1
/f(x)dx = (f(x)dx + jf{z)dx + ...+ f /(x)c*x + ...+
a a c\ ck
b
+ ... + (Fn+i (b) - Fn+i(cn+i+0)).
Пример 5.3* Вычислим интеграл Ньютона от составной
функции
f(x)=
Г з + 1, *€[-1,0);
=l sinx, x€(0, 1);
[ Зж, х €[1,2],
имеющей точки разрыва первого рода при x = ci=0hx = C2 =
= 1. Для этого функцию /i(x) = х + 1, совпадающую с f(x)
на промежутке [—1,0), доопределим в точке с\ =0 значением
1, а функцию /г(х) = sinx, совпадающую с /(х) на интервале
(0, 1), доопределим в точках с\ = 0 и с2 = 1 значениями 0 и sin 1
соответственно. Тогда
2 0 12
/[ г г (х2 \|0
f(x)dx= I (x + l)dx+ I sinxdx+ / 3xdx= (■^- + s) "
-1-1 0 1
1Ч3 22
— COSX + -X
lo 2
1 о
= -- cos 1 + 1 + 6 - x = 6 - cos 1 •

5.3. Свойства интеграла Ньютона 185
5.3. Свойства интеграла Ньютона
формула (5.3) Ньютона — Лейбница позволяет установить
некоторые важные свойства интеграла Ньютона.
1°. Перестановка пределов интегрирования в интеграле
Цьютона изменяет его знак, т.е.
6 а
ff(x)dx=-ff{x)dx. (5.5)
а Ь
Действительно, согласно (5.3), имеем
Перестановка пределов интеграла Ньютона в силу
определения 5.1 означает, что приращение первообразной
подынтегральной функции вычисляется при изменении переменного
интегрирования в направлении, противоположном
первоначальному.
В частном случае совпадающих верхнего и нижнего
пределов интеграла из (5.5) следует, что интеграл Ньютона равен
нулю, т.е. при b = a
а
г
f(x)dx = Q.
2°. Если функция f(x) имеет первообразную в промежутке
•* > то для любых точек о, 6, с из этого промежутка
6 с 6
ff{x)dx= If{x)dx+ If(x)dx. (5.6)
а а с
A ° самом деле, пусть F(x) — некоторая первообразная
f(x) в промежутке X. Тогда, согласно формуле

186 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
Ньютона — Лейбница (5.3),
с 6
Jf(x)dx = F(e) - F(a), Jf(x)dx=F(b) -F(c).
Следовательно,
с Ь
Jf(x) dx+Jf(x) dx = {F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)) =
= F(b)-F(a) = Jf(x)dx.
Бели отрезок, на котором функция /(ж) имеет
первообразную, разбит на несколько частей, то интеграл Ньютона от этой
функции по всему отрезку равен сумме интегралов Ньютона от
нее по всем частям, составляющим отрезок. Это свойство
называют аддитивностью интеграла Ньютона,
3°. Пусть функции fi(x) и /2(2) имеют в промежутке
X первообразные F\(x) и ^(х) соответственно. Тогда
для произвольных точек а, 6 € X и для любых Ai, A2 € R
выполняется свойство линейности интеграла Ньютона:
. (5.7)
4 Рассмотрим функцию F(x) = A1F1 (х) + A2F2(z). Она
является первообразной функции Ai/i(x) + A2/2(£) н*а отрезке [а, Я
так как, согласно определению 1.1 первообразной,
= \гР1(х) + А2*2>) = АгЛ (*) + \2f2(x)

5.4. Теорема о среднем значении и ее следствия 187
Поэтому в силу формулы Ньютона — Лейбница (5.3)
-(AiFi(e)+AaFa(a))=A1(F1(6)-F1(o))+Aa(Fa(6)-Fa(a)) =
ь ь
= Xi / fi(x)dx + \2 /a(«) dx.
Обобщая это свойство, заключаем, что интеграл Ньютона
от линейной комбинации функций, имеющих первообразные,
равен линейной комбинации интегралов Ньютона от каждой
13 этих функций, т.е. вычисление интеграла Ньютона является
линейной операцией.
5.4. Теорема о среднем значении и ее следствия
Для интеграла Ньютона можно установить соотношения,
которые либо связывают значение интеграла по отрезку [a, b]
(т.е. с пределами интегрирования a ^ 6) со значением
подынтегральной функции в некоторой внутренней точке этого
отрезка, либо оценивают его при помощи неравенств. Эти
соотношения следуют из теоремы, которая получила название теоремы
0 среднем значении.
Теорема 5.2. Бели определенная на отрезке [а, 6] функция
) имеет на нем первообразную F(x), то существует такая
с 6 (а, 6), что
6
Jf(x)dx = f(c)(b-a). (5.8)
а
с ^гласно определению 1.1 первообразной, Ff(x) = /(ж), х G
la> Ч, т.е. функция F(x) дифференцируема, а значит, и

188 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
непрерывна на отрезке [а, Ь]. Поэтому она удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа [II], согласно которой можно
записать
jf(x)dx = F(b) - F(a) = Р^ЦЬ-а) = /(c)(ft-a), (5.9)
a
где с€ (a, 6). ►
Замечание 5.1. Число
называют средним значением функции на отрезке [а, 6].
Таким образом, (5.9) означает, что для функции, имеющей
на [а, 6] первообразную, существует по крайней мере одна
внутренняя точка отрезка [а, 6], в которой значение функции
совпадает с ее средним значением на этом отрезке.
Следствие 5.1. Если функция f(x) имеет на отрезке [а, 6]
первообразную и f(x) ^ 0 Vs € (a, 6), то интеграл Ньютона от
этой функции по данному отрезку неотрицателен, т.е.
I
f(x)dx}>0. (5.П)
4 Так как f(x) ^ 0 Уж € (о, 6), то (5.11) следует из (5.8). ►
Следствие 5.2. Бели функции д(х) и h(x) имеют на
отрезке [а, Ь] первообразные и д(х) ^ h(x) Vx € (a, 6), то
б б
fg(x)dx2 fh(x)dx. (5.12)

5.4. Теорема о среднем значении и ее следствия 189
^ Поскольку f(x) = g(x) - h(x) ^ О Уж G (a, 6), то в силу
следствия 5.1
J(g(x)-h(x))dx^01
т.е. с учетом линейности интеграла Ньютона
I g(x) dx - I h(x) dx ^ 0,
откуда следует (5.12). ►
Следствие 5.3. Если функции д(х) и h(x) = f(x)g(x)
имеют на отрезке [а, 6] первообразные и
то
6
т
а
j g(x) dx $ ff(x)g(x) dx ^ M f g(x) dx. (5.13)
< Поскольку д(х) ^ 0, то
тд(х) ^ f(x)g(x) ^ Мд(х) Уж € (а, 6). (5.14)
Из определения 1.1 первообразной следует, что если функция
9(х) имеет первообразную G(x) на отрезке [а, 6], то функция
С9(х) также имеет первообразную на этом отрезке при любом
с€ R, равную cG{x). Применяя к (5.14) дважды следствие 5.2,
*°лучаем (5.13). ►
Следствие 5.4. Если функции д(х) и h(x) = f(x)g(x)
на отрезке [а, Ь] первообразные и
$0 Уж€(а, 6),

190
5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
то
т
ь ь ь
I g(x)dx ^ I f(x)g(x)dx ^ M I g(x)dx. (5.15)
< Так как тд(х) ^ f(x)g(x) ^ Мд(х) Vs € (а, 6), то (5.15)
можно получить двукратным применением (5.12). ►
Следствие 5.5. Бели функция f(x) имеет на отрезке [а,
первообразную и т ^ f(x) ^M Vx£ (a, 6), то
[f(x)dx^M(b-a).
При
= 1
[а, 6]
(5.16)
/ </(s) <fc = I dx = b — a
и неравенство (5.16) следует из (5.13). ►
Следствие 5.6. Бели функции f(x) и \f(x)\ имеют на
отрезке [а, 6] первообразные, то
о о
Jf(x)dx <j\f(x)\dx.
(5.17)
4 Поскольку -\f(x)\ < f(x)
применяя (5.12), получаем
V* € (о, Ь), то, дважды
ь ь ь
-j\f(x)\dx$ff(x)dx<J\f(x)\dx,
что равносильно неравенству (5.17). ►

5.4. Теорема о средней значении и ее следствия 191
Следствие 5.7. Пусть функция f(x) имеет
первообразную F(x) на отрезке [а, Ь] и /(ж) ^ 0 Уж € [а, 6], причем
fix) > 0 хотя бы в одной точке отрезка [а, 6]. Тогда
1
f{x)dx>0. (5.18)
4 При указанных условиях записанный интеграл в силу
следствия 5.1 неотрицателен. Предположим, что он равен нулю,
т.ем согласно (5.3), F(a) = F(b). Из условия F'(x) = f(x) ^
^ 0 Va: € [а, Ь] следует, что первообразная F(x) не убывает
на отрезке [а, 6], т.е. с учетом сделанного предположения
F(a) ^ F(x) ^ F(b) = F(a) Vx € [а, 6]. Это означает постоянство
F(x) на [а, 6], а тогда /(а?) = 0 Уж € [о, 6], что
противоречит одному из условий следствия. Поэтому неравенство (5.18)
верно. ►
Следствие 5.8. Если функции д(х) и h(x) имеют на
отрезке [а, 6] первообразные и д(х)^ h(x) Уж € [а, 6], причем
д(х) и h(x) различаются хотя бы в одной точке отрезка [а, 6],
то
6 б
g(x)dx> h(x)dx. (5.19)
Поскольку /(ж) = д(х) - h(x) ^ 0, ж € [а, 6], причем /(ж)
в некоторой точке, то в силу следствия 5.7 и свойства
**иейности интеграла Ньютона
следует (5.19). ►

192
5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
Замечание 5.2. Подчеркнем, что следствия 5.1-5.8 спра~
ведливы только для отрезка, т.е. в случае, когда нижний предел
интегрирования а не превосходит верхнего предела
интегрирования 6. Бели это ограничение снять, то в формулировки
следствий нужно вносить коррективы. Так, вместо (5.17)
следует писать
о о
Jf(x)dx < J\f(x)\d
(5.20)
Действительно, при а > 6, принимая во внимание изменение
знака интеграла Ньютона при перестановке пределов
интегрирования (см. свойство 1° в 5.3), соотношение (5.17) и
неотрицательность интеграла от неотрицательной функции \f(x)\ по
отрезку (см. следствие 5.1), имеем
6 а
Jf(x)dx = Jf(x)d
j
\f{x)\dx
a при a ^.b неравенства (5.17) и (5.20) эквивалентны в силу
неотрицательности функции
Пример 5.4. Найдем среднюю мощность электрического
нагревателя, имеющего сопротивление Я, если через
нагреватель проходит переменный ток, изменяющийся во времени t в
соответствии с законом I(t) = Io&inwt, где /о — амплитудное
значение силы тока, и — угловая частота.
Мгновенная тепловая мощность, выделяющаяся при
прохождении электрического тока силой / через сопротивление #
согласно известной из школьного курса физики формуле
уля — Ленца, равна W = I2R. В данном случае мгновенная
мощность является периодической функцией времени t с пере*
одом Т = 2п/и. Используя (5.10), найдем среднюю мощное?*
W нагревателя как среднее значение функции 2(^

5.5. Интеграл Ньютона с переменными пределами193
За этот период, т.е.
.0
т
j(l-ays2u,t)dt =
_ ! r2 p
2 8тг 2 °
Таким образом, средняя мощность нагревателя вдвое меньше
максимального значения его мгновенной мощности.
Пример 5.5. Установим, от какой из функций sin ж и х
интеграл Ньютона по отрезку [тг/8, ж/2] больше (не вычисляя
значений интегралов). Поскольку при z € (тг/8, тг/2) имеем
О < sin х < з, то в силу следствий 5.7 и 5.8 получаем
ir/2 it/2
0< / smxdx< I xdx.
тг/8 тг/8
5.5. Интеграл Ньютона с переменными пределами
Пусть F{x) — некоторая первообразная функции f(x) в
промежутке X. Тогда для произвольных точек а, 6бХ,
согласно формуле Ньютона — Лейбница,
Обозначим переменное интегрирования в интеграле справа че-
, а верхний предел интегрирования через х. Тогда получим
X
F(x)-F(a)=Jf(t)dt,

X
£jf(t)dt =
194 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
ИЛИ
х
jrf/g\ = I f(t)dt'\-F(d) х€.Х. (5 2l\
а
Интеграл Ньютона в правой части равенства (5.21)
называют интегралом Ньютона с переменным верхним
пределом.
Из формулы (5.21) следует, что производная интеграла
Ньютона по переменному верхнему пределу равна значению
подынтегральной функции при текущем значении этого предела,
т.е.
X
V* € [а, 6]. (5.22)
а
Следовательно, неопределенный интеграл функции f(x) можно
представить в виде
х
( f(x) dx = f f(t) dt + С V* € [a, 6]. (5.23)
a
Это соотношение устанавливает связь неопределенного
интеграла и интеграла Ньютона с переменным верхним пределом.
Интеграл Ньютона в правой части (5.23) является функцией
своего верхнего предела и представляет собой одну из
первообразных подынтегральной функции f(x). График этой
первообразной проходит через точку х = а на оси абсцисс.
Используя (5.3) и аддитивность интеграла Ньютона,
запишем (5.21) в виде
х Ь
F(x) = F(a) + J f{t) dt + F(b) - F(a) - f f(t)dt =
a a
6
= F(b)-ff(t)dt V«€[a,»]. (5.24)

5.5. Интеграл Ньютона с переменными пределами 195
Интеграл в правой части (5.24) называют интегралом Нъю-
с переменным нижним пределом. Так как Ff(x) =
, то из (5.24) следует, что производная от интеграла
Ньютона по переменному нижнему пределу х равна
£ //(О dt = -f(x) Vs € [а, 6], (5.25)
т.е. в отличие от (5.22) значение подынтегральной функции
f(x) при текущем значении этого предела должно быть взято
с обратным знаком.
Из (5.24) видно, что функция
о
F(b)-jf(t)dt
является одной из первообразных функции f(x) на отрезке
[о, 6], а тогда все множество первообразных этой функции
можно записать в виде
-Jf(t)dt+C,
гДе С — произвольная постоянная, т.е.
ь
ff{x)dx = - f f(t)dt + C Vs € [а, 6]. (5.26)
образом, взятый с обратным знаком интеграл Ньюто-
с переменным нижним пределом, будучи функцией своего
**Жнего предела, является одной из первообразных подынте-
гРальной функции f(x). График этой первообразной проходит
* точку х = 6 на оси абсцисс.

196 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
5.6. Геометрическая и механическая
интерпретации интеграла Ньютона
Пусть функция у = f(x) неотрицательна и непрерывна на
отрезке [а, 6]. В силу утверждения 1.1 (см. также теорему 1.4
и следствие 1.1 в Д.1Л) такая функция имеет на этом отрез,
ке первообразную 5(х), причем геометрический смысл этой
первообразной состоит в том, что она является площадью
криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [а, х] a
ограниченной сверху графиком функции у = f(x) (см. рис. 1.5).
Согласно (5.21), для первообразной S(x) можно записать
х
S(x) = S(a) + /f(t)dt V* € [а, 6].
а
Но в данном случае из геометрического смысла первообразной
S(x) следует, что 5(а) = 0, поскольку S(a) соответствует
площади криволинейной трапеции, длина основания которой равна
нулю. Следовательно, в рассматриваемом случае получаем
S(x) = ff(t) dt V* € [a, ft]. (5.27)
а
\
V
Итак, интеграл с переменным верхним пределом и нижним
пределом а от неотрицательной и непрерывной на отрезке
[а, 6] функции у = f(x) равен площади криволинейной трат
пеции, имеющей основанием отрезок [а, х] и ограниченной
сверху графиком этой функции. Поскольку dS(x) = S'(x) dx,
то подынтегральное выражение в (5.27) будет дифференциалом
площади указанной криволинейной трапеции в текущей
точке х.
Полагая в (5.27) х = 6, придем к интегралу Ньютона оТ
функции у = f(x) по отрезку [а, 6], равному площади ^
криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [°>

5.6. Интерпретации интеграла Ньютона
197
0 ограниченной сверху графиком этой функции, а с боков —
Прямыми х = а и ж = 6 (см. рис. 1.5). В этом состоит
геометрический смысл интеграла Ньютона.
Теперь, используя геометрическую интерпретацию
интеграла Ньютона, можно пояснить геометрический смысл теоре-
цЫ 5.2 о среднем значении и формулы (5.8): если
неотрицательная подынтегральная функция f(x) имеет на отрезке [а, 6]
первообразную, то на этом отрезке найдется хотя бы одна
такая точка х = с, что площадь
криволинейной трапеции с основанием
[а, 6] (на рис. 5.1 заштрихована)
будет равна площади
прямоугольника с тем же основанием и
высотой / = /(с) (для графика
функции f(x) на рис. 5.Г таких
точек две, с\, С2 £ [а, 6], для которых
=7).
У
7
'/Ш////ШУЛ
ШЖЯЖ
сг Ь х
Рис. 5.1
С геометрической точки зрения ясно, что для
тождественно не равной нулю, неотрицательной и непрерывной на отрезке
[а, 6] функции f(x) площадь 5 соответствующей
криволинейной трапеции не равна нулю. В силу свойства
аддитивности площади (см. Д. 1.1) 5 можно рассматривать как сумму
прямоугольных площадок dS(x) = f(x)dx, основания которых
заполняют весь отрезок [а, 6]. Такая трактовка определенного
интеграла будет детально рассмотрена в гл. 6. Здесь
ограничимся лишь замечанием, что введенный Г. Лейбницем знак
интеграла J является стилизацией удлиненной первой буквы
латинского слова Summa.
Пример 5.в. а. Для рассмотренной в примере 5.1 линейной
Функции f(x) = 2x
I
f(x)dx= 2xdx =
=12-O = l.

198
5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
Действительно, фигура, ограниченная графи,
ком этой функции, отрезком [0, 1] и прямой
х = 1, является прямоугольным треугольником
(на рис. 5.2 он заштрихован) с основанием и
высотой, равными соответственно 1 и 2, так
что площадь этого треугольника равна 1.
б. Для неотрицательной на отрезке [0, 2тг]
функции f(x) = 1 + sin x площадь
криволинейной трапеции, имеющей основание [0, 2тг],
равна
2тг 2* 2* 2*
/С Г Г 2* |2w
f(x)dx= I (l+a\nx)dx= jdx- ld(cosx) = x -cosx =2n
oo oo
и совпадает с площадью прямоугольника с тем же основанием
и высотой / = 1. Это означает, что среднее значение функции
f(x) = l + s\nx на отрезке [0,2л-] равно 1. Данная функция
достигает этого значения в точке с € [0,2тг], удовлетворяющей
условию
В рассматриваемом случае на отрезке [0,2л~] таких точек три:
d=0, С2 = 7г и сз = 2тг (рис. 5.3). #
Отметим, что определенную геометрическую трактовку
имеют при f(x) )0 и свойства интеграла Ньютона (см. 5.3)?
а также следствия теоремы 5.2 о среднем значении (см. 5.4)•
Так, равенству нулю интеграла Ньютона с одинаковыми преде-

5.6. Интерпретации интеграла Ньютона
199
дами интегрирования соответствует равенство нулю площади
криволинейной трапеции, имеющей равную нулю длину
основания. Аддитивность интеграла Ньютона можно трактовать
как равенство площади криволинейной трапеции, ограниченной
графиком функции f(x) ^ 0 и имеющей основанием отрезок
[а, Ь]у сумме площадей криволинейных трапеций, построенных
0а всех частях этого отрезка (рис. 5.4, а). Геометрически
линейность интеграла Ньютона означает равенство площади
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) =
~ fi(x) + /2(ж) ifi(x) ^ 0» h(х) ^ 0) и имеющей основанием
отрезок [а, 6], сумме площадей криволинейных трапеций с тем
же основанием, ограниченных графиками функций f\(x) и
f2(x) (рис. ЪЛу
I
a
Рис. 5.4
С геометрической точки зрения неравенство (5.12)
означает, что при д(х) ^ h(x) Vx € (а, 6)
площади соответствующих
криволинейных трапеций связаны таким
неравенством (рис. 5.5).
В случае неотрицательной на
Ч функции /(ж) геометриче-
смысл неравенства (5.16)
заключается в том, что значение
криволинейной трапеции Рис. 5.5
О a

200
5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
У
м
т
О
А
<- -
АГ
а
/
Я*)/
J
в.
1
в
Ж
1
> X
Рис. 5.6
abBA, ограниченной
графиком этой функции и
имеющей в основании отрезок
[а, 6], заключено между
значениями то(б-а) и М(Ь-~а)
площадей прямоугольников
аЬВ\А\ и аЬВ2А2
соответственно (рис. 5.6).
Интегралу Ньютона
можно дать и механическую
интерпретацию. Пусть точка движется прямолинейно и в
момент времени t имеет мгновенную скорость v(t) [II]. Если
текущее положение точки характеризовать расстоянием s(t),
отсчитываемым вдоль направления движения от ее начального
положения при t = to, то для мгновенной скорости получаем
v(t) = sf (t) = ds(t)/dt} т.е. s(t) является одной из
первообразных функции v(t). Тогда интеграл с переменным верхним
пределом
t
i(t)= fv(r)dr (5.28)
s
равен расстоянию, которое пройдет точка к моменту
времени £, если движение она начала в момент времени to* Таким
образом, путь, пройденный точкой к моменту времени t,
является для функции v(t) той первообразной, которая обращается
в нуль при * = to» поскольку пройденный путь отсчитываете*
именно от этого момента времени.
Подынтегральное выражение в (5.28) является
дифференциалом ds(t) = v(t) dt расстояния. Он соответствует расстоянию,
пройденному за промежуток времени dt точкой, которая
движется с постоянной скоростью, равной ее значению v(t) в
момент времени t. В случае dt > 0 знак дифференциала ds(t) *
момент времени t зависит от знака скорости v(t),
вычисленной в тот же момент времени.

5.6. Интерпретации интеграла Ньютона 201
За отрезок времени [to, U] точка пройдет расстояние
и
m= fv(r)dr.
(5.29)
(]ри этом средняя скорость точки за этот отрезок времени
составит
" - 8* - 1 f ( )d
t+ — to t^ — to J
to
Ясно, что при равномерном движении точки со скоростью v =
= const средняя скорость за любой отрезок времени совпадает
со скоростью равномерного движения, т.е. v* = v.
Поскольку между скоростью точки и ее ускорением a(t)
существует зависимость a(t) = dv(t)/dt, т.е. скорость является
первообразной функции a(t), то, согласно (5.21), можно
написать
t
v(t) = v(t0) + / а(т) dry (5.30)
to
гДв и (to) — скорость точки в момент времени to- За отрезок
времени [to, U] приращение скорости точки составит
Av = v(tm) - v(t0) = / а(т) dr,
to
гДе v(t+) — скорость точки в момент времени tm. Это еще одна
113 возможных механических трактовок интеграла Ньютона.
Пример 5.7. Найдем закон прямолинейного движения точ-
1(11 с постоянным ускорением а — const. Пройденное точкой
* Моменту времени t расстояние s(t) будем отсчитывать от
°*1ента времени to = 0, в который точка имеет скорость

202 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
Тогда, согласно (5.30), скорость точки в текущий момент
мени t будет равна
t
t
v(t) = vq + / adr = v0 H- ar
0
а пройденное ею расстояние, согласно (5.28),
t
s{t) = J(vo + aT)dT = [vor + |r2]* = vot + |
to
В частности, при падении тела в пустоте с постоянным
ускорением а = д, если движение началось из состояния покоя
(и0 = 0), скорость тела v(t) = gt, а пройденное им расстояние
5.7. Способы вычисления интеграла Ньютона
Применение формулы (5.3) Ньютона — Лейбница для
вычисления интеграла Ньютона от функции f(x) по отрезку [a, b]
требует знания на [а, 6] первообразной F(x) этой функции.
При нахождении первообразной мы применяли интегрирование
подведением под знак дифференциала, подстановкой, заменой
переменного и по частям (см. 1). Те же приемы используют
и при вычислении интеграла Ньютона, но при этом следует
учитывать некоторые особенности, связанные со свойствами
подынтегральных функций.
Сформулируем и докажем теорему о замене переменного в
интеграле Ньютона.
Теорема 5.3. Пусть на отрезке [a, ff\ определена сложная
функция f(g(t))y а функция х = g(t) непрерывна на этом
отрезке и дифференцируема в интервале (а,/?). Бели функций

5.7. Способы вычисления интеграла Ньютона203
/(а?) имеет на отрезке [а, Ь] = д([а, /3]), где a = g(a) и 6 =
первообразную F(ar), то
0
= Jf(g(t))g'(t)dt. (5.31)
а
4 Согласно правилу дифференцирования сложной функции,
(F{g(t))yt = f{d{t))9f(t)- Следовательно, функция F(g(t))
является одной из первообразных функции f(g{t))g'{t) на отрезке
[а,/?]- Поэтому к интегралу в правой части (5.31) можно
применить формулу (5.3) Ньютона — Лейбница и записать
0
f{9(t))g\t) dt = F{g(/3)) - F{g(a)) = F(b) - F(a).
Но тот же результат получим и применив (5.3) к интегралу в
левой части (5.31), что доказывает справедливость (5.31). ►
Как и при нахождении неопределенного интеграла, если
подынтегральное выражение представимо в виде /(gifyg'ifydt,
то производную g'(t) можно подвести под знак
дифференциала:
j
а
Обозначив g(t) = x> придем к равенству
0 0 Ь
ff{9(t)) 9f(t) dt = Jf{g(t)) d{g(t)) = Jf(x) dx, (5.32)
|J a = g(ct) и b = g(/3). В этом случае говорят, что в интеграле
**ьк>тона сделана подстановка.
Важно подчеркнуть, что в отличие от неопределенного ин-
*гР&ла, при вычислении которого на заключительном этапе

204 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
необходимо вернуться к первоначальному переменному
интегрирования, при использовании (5.31) и (5.32) для вычисления
интеграла Ньютона этого делать не нужно, поскольку полу,
ченное число в силу теоремы 5.3 равно значению интегралов в
обеих частях этих формул.
Пример 5.8. а. Вычислим интеграл Ньютона от функции
хех на отрезке [0,2]. Для этого используем подведение под
знак дифференциала с последующим использованием формулы
(5.3) Ньютона — Лейбница:
е*-1
б. Чтобы вычислить интеграл Ньютона от функции f(x) =
= у/ех - 1 на отрезке [а, 6] при о = 0 и 6 = In 2, сделаем замену
переменного t = у/е? - 1. При этом в (5.31) имеем х = g(t) =
= ln(l + £2), dx = 2tdt/(l +t2), значению а = 0 переменного х
соответствует значение а = 0 переменного £, а значению b =
= 1п2 соответствует значение /3 — 1. Используя табличный
интеграл 13 (см. 1.4), находим
In 2 1 1
i
О О
1 1
it
= 2*
7Г
-2arctg* =2--
в. При нахождении интеграла Ньютона от функции f(x) =
= 1/((х- 1)>/х2 + 1) на отрезке [2,3] целесообразно сделать
замену t = l/(x - 1) (см. замечание 3.4). Тогда в (5.31) будем
иметь х = g(t) = 1 + 1/t, dx = -dt/t2, а пределы
интегрирования a = 2 и 6 = 3 изменят значения на a = 1 и /3 = /%

5.7. Способы вычисления интеграла Ньютона 205
соответственно. С учетом табличного интеграла 16 получим
3 1/ 1
/dx _ Г tdt _ С
1х-\)>/х2+1 """У t2J(l+l/t)2 + l "~ J
2 1 1/2
*(*+1/2) _ 1 ,_L . 1
1/2
1... 1 /
J2 I 2 v
1/4 J2 I 2
1/2
Пусть четная функция <p(t) имеет первообразную на
отрезке [от, /?]. Проведем замену переменного t = — х (dt= —dx,
x = —t). В этом случае новому переменному х
соответствуют пределы a = —а и Ь = -/?. Поскольку для четной функции
<p(-t) = ¥>(£), то в силу (5.31) и свойства 1° (см. 5.3) смены знака
определенного интеграла при перестановке пределов, запишем
/8 -0 —а —а —о
J4>(t)dt= I <p(-x)(-dx)= [<p(-x)dx= f<p(-t)dt= [<p(t)dt.
Таким образом, интегралы Ньютона от четной функции по
отрезкам [ау /3] и [-/?, —а], симметричным относительно начала
координат, равны. Отсюда при а = 0 для четной функции
(, имеющей на отрезке [0,/?] первообразную, с учетом свой-
(5.6) аддитивности интеграла Ньютона получаем
0 0 /0 /9
A <p(t) Л = I <p{t) dt+ I (p(t) dt = 2 I <p{t) dt (5.33)
Для нечетной функции V>(0> имеющей первообразную на
[а, /?], та же замена переменного с учетом равенства

206 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
ф(—t) = -ф(г) позволяет написать
0 -0 -а -а -сг
'tl>(t)dt=J\/>{-z)(-dz)=jri>(-x)dx=j\/>(-t)dt=-jV
а —а — 0 —0 —0
т.е. интегралы Ньютона от нечетной функции по отрезкам
[а, /3] и [-/?, -а], симметричным относительно начала
координат, равны по абсолютной величине, но противоположны по
знаку. Следовательно, интеграл Ньютона от нечетной
функции по симметричному относительно начала координат отрезку
[-"/?* Р] равен нулю.
Любую функцию f(t) можно представить в виде суммы
четной <p(t) и нечетной ф(Ь) функций [1-3.4]:
Поэтому для любой функции /(t), имеющей первообразную на
отрезке [-/3, /?], с учетом (5.33) находим
0
^^ = |(/{0 + /Н))Л. (5.34)
-0 0 0
Бели периодическая функция f(t) с периодом Т имеет
первообразную на отрезке [а, а + Г], то для любого /?
а+Т ^+Т
j /(I)*- J f{t)dt. (5.35)
а ^
Действительно, согласно (5.6), запишем
а+Т /9+Т а+Т
у /(«)*= | /(*)*+ / /(*)*
а а 0+Т

5.7. Способы вычисления интеграла Ньютона 207
0 проведем замену переменного t = x + T во втором интеграле
0 правой части этого равенства, что приведет к замене в этом
00теграле нижнего предела на /?, а верхнего — на а. Тогда с
учетом dt = dx получим
/ /(*) А = f f(t)dt+ff(x+T)dx= f f{t)dt+ff(t+T)dt.
a a 0 a 0
Так как для периодической с периодом Т функции f(t + T) =
= /(0 [1-3.4], то в силу (5.6) приходим к равенству
а+Т &+Т а /?+Т
j f(t)dt= J f(t)dt+Jf(t)dt= J f(t)dt,
a
которое совпадает с (5.35).
Применим теперь для вычисления интеграла Ньютона
интегрирование по частям. Пусть функции и(х) и v(x)
непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, 6]. Тогда на [а, 6]
существуют неопределенные интегралы от подынтегральных
выражений v(x)du(x) и u(x)dv(x), причем, согласно (1.19),
/ u(x)dv(x) = u(x)v(x) — / v(x)du(x).
Рассматривая правую часть этого равенства как одну из
первообразных функции, стоящей под знаком интеграла в левой
части, и применяя формулу Ньютона — Лейбница в виде (5.4),
подучаем
б
/ u(x) dv(x) = u(x) v(x) - / v(x) du(x)
a
b
= u(x)v{x)Ь - fv(x)du(x). (5.36)

208 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
Пример 5.9. Применим (5.36) для вычисления интеграл*
Ньютона от функции 1пх по отрезку [1, 3], положив и(х) ^
= lns и dv(x) = dx (du(x) = dx/x vlv(x) = x):
з з
/з f dx
\nxdx = xlnx - I x— = 31n3 —2.
l J x
Вопросы и задачи
5.1. Найти интегралы Ньютона на указанных отрезках от
следующих функций, имеющих на этих отрезках
первообразные, и изобразить соответствующие криволинейные трапеции:
а) х3, [-1, 2]; б) tg4s, [J, J]; в) х3 - 2х2 + * - 1, [-1, 1];
г) Г, [О, 2]; д) 4?< [1. 4]; е) ^, [-1, 1]; ж) ^-, [1, 2];
X
з) :j^=, [0, 4]; и) ^+2g 2. [О, 1]; к) |1 - х|, [О, 2];
л) —j—, [е, е2]; м) arcsina;, 0, - ; н) xarctga?, [О, \/5];
X ТП 7Г1 1 Г 7Г1
ibVU'Sr П) l + 28in2»f I ' IJ'
5.2. Объяснить, почему не верны равенства:
1 1
/J Л /* 1 1
— = In \х\ =0; б) / darctg- = arctg -
х -i J х х
2тг
dx 1
в"
f
5.3. Можно ли в интеграле Ньютона от функции х \f\~
на отрезке [0, 3] провести замену переменного интегриров*'
ния х = sin tl

Вопросы и задачи 209
5.4. Доказать, что если функция f(x) имеет
первообразную на отрезке [0, 1], то
тг/2 w/2
/ f(s\nx)dx= I f(cosx)dx.
о о
5.5. Применима ли подстановка tgx = t при вычислении
интеграла Ньютона от функции 1/(1 +sin2 z) на отрезке
[0, *]?
5.6. Доказать, что если функция f(x) имеет на отрезке
[а, Ь] первообразную и /(о +1) = f(b -t) V* € [0, 6 - о], то
6 ь
/I L /•
xf(x)dx=-^-J
a a
5.7. Вычислить интеграл от функции (1 + х - \/х)ех*11х на
отрезке [1/2, 2], используя подстановку x + l/x = t.
5.8. Доказать, что одна из первообразных четной функции
есть функция нечетная, а любая первообразная нечетной
функции есть функция четная.
5.9. Найти интеграл Ньютона на отрезке [0, 2] от функции
х\ х € [0, 1];
2-ж, ж € (1,2].
5.10. Доказать, что первообразная периодической функции
с периодом Т есть сумма линейной функции и периодической
Функции с тем же периодом.
5.11. Доказать, что для функции /(х), имеющей на отрезке
Ь] первообразную, верно равенство
ь ь
ff{x)dx = (b-a) ff(a + {b-a)x)dx.

210 5. ИНТЕГРАЛ НЬЮТОНА
5.12. Установить знак интегралов Ньютона (не вычисляя их
значений) от функции хг2х на отрезке [-2, 2] и от функции
х2\пх на отрезке [1/2,1].
5.13. Доказать, что при к, т € Z интегралы на отрезке
[-7Г, тг] от функций sinkx sin тх (кфт), coskx cos тля (к -ф. щ)
и smkxcosmx равны нулю.
5.14. Доказать, что для п + 1 раз непрерывно
дифференцируемых на отрезке [а, Ь] функций и(х) и v(x) верно
равенство
п
5.15. Установить, для какой из функций, sin7x или sin3x,
интеграл Ньютона на отрезке [0, л*] имеет большее значение.
6.16. Выяснить, какой из интегралов Ньютона на отрезке
[1,2] имеет большее значение: от функции 1/х или от
функции 1/>/1 + х2,
5.17. Доказать неравенство
1
е-1 Г exdx е-1
1 Г
4-
ля

6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
рассмотренный в гл. 5 определенный интеграл Ньютона
jf(x)dx = F(b)-F(a)
существует лишь для таких функций /(ж), которые имеют на
отрезке [а, Ь] первообразную F(x). Но можно ввести понятие
определенного интеграла от функции f(x) по отрезку [а, ft],
не используя понятия первообразной этой функции.
в.1. Интегральная сумма и ее предел
Пусть функция f(x) определена на отрезке [а, 6].
Определение 6.1. Конечное множество точек
а = хо < х\ < ... < ж,-_1 < Х{ < ... < хп = ft
называют разбиением отрезка [а, ft] и обозначают
1 =
Длину отрезка [&s-i, xt] С [а, 6], который назовем частич-
*ъис отрезком разбиенил Т, обозначим Axt* = xt* - z;_i
(*=1,п). Число
/i = max Ax, (6.1)
t=l,n
Называют максимальным шагом разбиенил (или дисмсе-
разбиенил) Т. Заметим, что h ^ (6 - а)/п.

212
б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
На каждом частичном отрезке произвольным образом
фиксируем точку & € [а?«-ъ *«]•
Определение 6.2. Выражение
п
(6.2)
называют интегральной суммой для функции /(х) на
отрезке [а, 6] при заданном его разбиении Т и выборе точек (,-.
Для неотрицательной на отрезке [а, Ь] функции f(x)
геометрически каждое слагаемое интегральной суммы (6.2) равно
площади прямоугольника с основанием Дх,- и высотой /((,), а
вся сумма равна площади ступенчатой фигуры, объединяющей
такие прямоугольники на всем отрезке (рис. 6.1).
-1 *п=Ъ X
Рис. в.1
Определение 6.3. Число / 6 R называют пределом
интегральных сумм вида (6.2) для функции f(x) на отрезке
[а, 6] при стремлении к нулю максимального шага h разбиения
этого отрезка и обозначают
п
(6.3)
если для любого € > 0 найдется такое число 6 = 8(е) > "
что для любого разбиения Т с максимальным шагом h < Н

6.1. Интегральная сумма и ее предел 213
неравенство
71
!
!
выполняется при любом выборе точки & на каждом из
частичных отрезков [a?f-_i, Xi] (i=l,n) разбиения Т.
Замечание 6.1. Отметим, что при стремлению к нулю
шага разбиения h количество п частичных отрезков разбиения
неограниченно возрастает: п -» оо при h —► 0.
Пример 6.1. Пусть функция f(x) = А = const Vx 6 [о, 6].
В этом простейшем случае значения интегральных сумм не
зависят ни от разбиения отрезка [а, 6], ни от выбора точек
на частичных отрезках [x,_i, xi\ С [а, 6]:
п п
t=l t=l
Предел интегральных сумм для данной функции на отрезке
[а, 6], согласно (6.3), будет равен
п
5
1*=1
Пример 6.2. Для функции Дирихле
на любом отрезке [а, 6] С R не существует предела
интегральных сумм. В самом деле, если для любого из разбиений Т
ОтРеэка [а, 6] выбирать на частичных отрезках только
радикальные значения & € Q, г = 1,п, то любая из интегральных
сУмм примет вид
п п
5(Т) = У^ v(&) Аж; = У^ 1 • Ах; = b -a = const.
f=l (=1

214 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Тогда такие суммы в пределе при h -> О дают Ь - а. В случае
же выбора на частичных отрезках произвольного разбиения X
только иррациональных значений & 6 R \ Q любая
интегральная сумма равна нулю, так что в пределе такие суммы равны
нулю. Эта ситуация противоречит определению 6.3 предела
интегральных сумм, значение которого не должно зависеть от
выбора точек £,- на частичных отрезках разбиения. Поэтому
для функции Дирихле предел интегральных сумм
действительно не существует.
6.2. Интеграл Римана
Определение 6.4. Функцию f(x) называют
интегрируемой (интегрируемой по Риману) на отрезке [а, 6], если
существует конечный предел / € R ее интегральных сумм на
этом отрезке.
Здесь важно напомнить, что каждая интегральная сумма
функции f(x) на отрезке [а, 6] соответствует некоторому
разбиению Т этого отрезка и некоторому набору выбранных
точек £, на частичных отрезках [ж$*-ь xi]i • = 1>Л, этого
разбиения. Предел / интегральных сумм берут при стремлении
максимального шага h разбиения отрезка к нулю, и этот
предел, согласно определению 6.3, не зависит от выбора точек
на частичных отрезках. Этот предел обозначают
о
(6.5)
и называют интегралом Римана от функции f(x) по
отрезку [а, 6], поскольку именно немецкий математик Б. Риман
(1826-1866) впервые сформулировал в общей форме
определение предела интегральных сумм. Отметим, что обозначение
(6.5) совпадает с обозначением интеграла Ньютона,
рассмотренного в гл. 5. Однако понятие интеграла Римана является

6.2. Интеграл Романа 215
более удобным, так как его можно распространить на
многомерный случай. В дальнейшем вместо термина „интеграл
римана" будем использовать термин „определенный инте-
грол", а в случаях, не связанных с понятием неопределенного
интеграла, будем говорить просто об интеграле.
Итак, согласно (6.3) и (6.5), можно записать
(6.6)
Как и в случае интеграла Ньютона, интеграл Римана от
функции /(х) по отрезку [а, 6] является числом, которое не
зависит от обозначения переменного интегрирования.
Значение интеграла Римана определяется лишь подынтегральной
функцией f(x) и отрезком интегрирования. Концы
отрезка интегрирования, как и в случае интеграла Ньютона, мы
будем называть пределами интегрирования (левый конец
отрезка — нижним пределом интегрирования, а правый
конец — верхним пределом интегрирования).
Для неотрицательной на отрезке [а, Ь] функции /(ж)
геометрически интеграл (6.6), согласно определению 6.3 предела
интегральных сумм, является пределом (при стремлении
максимального шага разбиения h к нулю) площадей ступенчатых
фигур. Каждая из этих фигур объединяет на отрезке [а, Ь]
прямоугольники с основанием Дж,- = ж,- - x,_i и высотой /((,-)
(см. рис. 6.1). Этот предел естественно считать площадью*
криволинейной трапеции аЬВА, имеющей основанием отрезок
> 6] и ограниченной графиком функции у = f(x) и прямыми
= а и х = 6, если значения /(а) и /(6) функции отличны
нуля.
Необходимое условие интегрируемости функции /(ж) на
°трезке устанавливает следующая теорема.
Строгое определение площади плоской фигуры и ее свойства приведены

216 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Теорема 6.1. Бели функция /(ж) интегрируема на
отрезке [а, 6], то она ограничена на этом отрезке.
4 Предположим противное: функция /(я), интегрируемая на
отрезке [а, 6], не ограничена на этом отрезке. Согласно
определению 6.4 интегрируемости функции на отрезке, существует
конечный предел интегральных сумм для этой функции на
данном отрезке. Выберем произвольное число е > 0. Тогда в
силу определения 6.3 предела интегральных сумм найдется
такое число 6 = 6(е) > 0, что для любого разбиения отрезка [а, 6]
с максимальным шагом h < 5(е) и любого выбора точек & на
частичных отрезках будет выполнено (6.4), т.е.
п
1=1
Отсюда следует, что множество интегральных сумм с
максимальным шагом h < 8(е) ограничено. Выберем одну из таких
интегральных сумм. Поскольку по предположению функция
/(х) не ограничена на отрезке [а, 6], то найдется
частичный отрезок [Zf-ь xi]i на котором функция /(ж) является
неограниченной. Путем соответствующего выбора точки & €
6 [я»"-ъ хЦ слагаемое /(£,•)Да;,- в интегральной сумме можно
сделать сколь угодно большим по абсолютной величине, а
вместе с этим слагаемым сколь угодно большой по абсолютной
величине будет и интегральная сумма. Но последнее невозможно,
поскольку интегральная сумма была выбрана из
ограниченного множества интегральных сумм. Возникшее противоречие
опровергает принятое предположение и доказывает
утверждение теоремы. ►
Подчеркнем, что ограниченность функции на отрезке
является лишь необходимым, но не достаточным условием ее
интегрируемости на этом отрезке. Так, функция Дирихле (см.
пример 6.2) ограничена на любом отрезке [а, 6] С R, но не
интегрируема, поскольку не существует предел соответствующих
интегральных сумм.

6.3. Суммы и интегралы Дарбу 217
6.3. Суммы и интегралы Дарбу
Пусть /(ж) — функция, ограниченная на отрезке [о, 6],
а Т = {жо, х\}..., Sj_i, ж,-,..., жп} — некоторое фиксированное
разбиение отрезка [а, Ь] на частичные отрезки [2,-1, ж,], i —
:= 1, п. Точные верхнюю и нижнюю грани функции f(x) на
отрезке [а, Ь] обозначим
М= sup /(ж) и т= inf /(ж),
х€[о, 6] *€[а> 6]
а точные верхнюю и нижнюю грани этой функции на каждом
частичном отрезке —
Mt= sup /(ж) и m,= inf /(ж).
€[]
Разности М — т = и и Mi — m,- = Ui называют колебанием
функции на отрезках [а, 6] и [ж,-1, ж,] соответственно.
Суммы
п п
5(Т) = ^М,Аж|- и 5(Т) = ^т^Дж,- (6.7)
t=i i=i
называют верхней и нилсней суммами Дарбу для
функции /(ж), соответствующими фиксированному разбиению Т
(Ж.Г. Дарбу (1842-1917) — французский математик).
Значения этих сумм могут не совпадать ни с одной из
интегральных сумм 5(Т) для функции /(ж) и данного
разбиения отрезка [а, 6], поскольку эта функция может и не
принимать значений Mi или то,- на частичных отрезках [ж$_х, ж,]
(рис. 6.2).
Для ограниченной функции /(ж) суммы Дарбу определены
При любом разбиении Т отрезка, поскольку в этом случае
значения Mi и m,- (t = l,n) в (6.7) конечны. При этом для
любого разбиения отрезка [а, Ь]
i € [jCi_i,JC,-], i= l,n.

218
б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Рис. 6.2
Умножая это неравенство на Ах, > 0 и суммируя по г, для
любого фиксированного разбиения Т получаем
п
п
п
]T/(fc)Aa?t-
t=i
t=i
или
5(Т) ^ 5(Т),
(6.8)
где 5(Т) — интегральная сумма функции f(x) на отрезке
[а, 6] при его фиксированном разбиении Т и произвольном
выборе точек & на частичных отрезках [ar»_i, a?t] (t=l,n).
Ясно, что значения £(Т) и 5(Т) являются точной нижней и
точной верхней гранями множества интегральных сумм 5(Т)
функции /(я), соответствующих данному разбиению Т.
Пример в.З. Найдем суммы Дарбу для функции /(я) = £
на отрезке [-2, 3], соответствующие разбиению этого отрезка
на п равных частей. В этом случае
71
5t
= -2+— , t=l,n.
71
В силу непрерывности и возрастания этой функции при любом
разбиении отрезка она достигает наименьшего mt = z;Li й
наибольшего М, = xf значений на левом и правом кони**

6.3. Суммы и интегралы Дарбу 219
частичного отрезка [xt_i, хЦ соответственно. Согласно (6.7),
заходим
Е( ), ()£(

«=1 »=i
Принимая во внимание, что*
3

2 ' -^ ~ 6 ' ^ ~ 4 *
i <1
в итоге получаем
65 175 125 ,65 175 125
Определение в.5. Разбиение Т' отрезка [а, Ь] называют
измельчением разбиения Т этого отрезка, если
множество точек разбиения Т; получено добавлением к множеству
точек разбиения Т некоторого числа новых точек отрезка
[а, Ь], так что V D Т.
Теорема 6.2. Если разбиение Т' получено из разбиения
Т добавлением к новых точек отрезка [а, 6], то выполняются
неравенства
S(T'K5(T), £(TKS(T'); (6.9)
5(Т) - 5(Т') *$ kuh, 5(Т') - £(Т) ^ kuh, (6.10)
гДе h — максимальный шаг разбиения Т; и = М - т —
Колебание функции f(x) на отрезке [а, 6].
^ Пусть разбиение Ti получено из разбиения Т добавлением
4 одной новой точки ж', т.е. к= 1 и ж' € [zj-ъ *i]« Тогда
Mj(xj-xj-\) в сумме 5(Т) для отрезка [ж,--ь Xj
тождества можно доказать с помощью метода математической

2206. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
(см. (6.7)) в новой сумме ЩТ\) будет заменено суммой двух
слагаемых
где M'j и М" — точные верхние грани функции /(ж) на
отрезках [xj-i, х*\ и [х', Xj] соответственно.
Эти отрезки являются частями отрезка [zj-i, £>], и на них
точная верхняя грань множества значений функции не может
возрасти по сравнению с Mj [I-2.7], т.е. Mj^Mj и
Поэтому
$ М,(х'- xj-x) + Mj(Xj - х1) =
Отсюда следует, что ^(Ti) $ 5(Т) и
> - х1) < (А# - т)(^- - з,_!) ^ а;Л, (6.11)
поскольку Xj - Xj_i ^ Л, Mj ^M} m^Mj и т ^ М;''.
Бели к разбиению Ti отрезка [а, 6] добавить еще одну
точку, то получим разбиение Т2 D Ti Э Т. Как уже доказано,
5 ^ 5(Т) и
5(ТХ) - 5(Т2) ^ о;Л. (6.12)
Складывая почленно левые и правые части неравенств (6.11) и
(6.12), находим S(T) - 5(Т2) < 2а;Л.
Бели описанную процедуру последовательно провести для
всех к новых точек деления, то придем к первым неравенствам
в (6.9) и (6.10). Доказательство вторых неравенств в (6.9) и
(6.10) аналогично. ►
Итак, из теоремы 6.2 следует, что при измельчении
разбиения отрезка нижняя сумма Дарбу может только лишь возрасти,
а верхняя — только лишь уменьшиться.

6,3. Суммы и интегралы Дарбу 221
Теорема 6.3. Для любых двух разбиений отрезка [о, 6]
любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любую верхнюю.
4 Пусть Т' и Т"— любые два разбиения отрезка [о, 6]. Тогда
Т' С T'UT" и Т" С T'UT". В силу (6.8) и (6.9) получаем
5 (Г) ^ £(Т' U Т") ^ S(T' U Т") $
Согласно теореме 6.3, для функции }(х) при любых
разбиениях отрезка [а, 6] множество нижних сумм Дарбу ограничено
сверху любой верхней суммой, а множество верхних —
снизу любой нижней. Поэтому на множестве Т всевозможных
разбиений Т существуют конечные точные верхняя и нижняя
грани [1-2.7]
/• = sup £(Т) и Г = inf 5(T), (6.13)
причем
^ (6.14)
Числа /* и /* называют нижним и верхним интегралами
Дарбу функции f(x) на отрезке [а, Ь] соответственно.
Теорема 6.4. Для ограниченной на отрезке [а, Ь] функции
U = lim £(Т), Г = lim S(T), (6.15)
где h — максимальный шаг разбиения отрезка [а, 6].
4 Докажем справедливость лишь первого равенства (6.15),
поскольку справедливость второго можно доказать аналогично.
Для доказательства необходимо при произвольно выбранном
е > 0 найти такое 6(е) > 0, что для любого разбиения Т с
^аксимальным шагом h < 5(e) будет выполнено неравенство
ЩТ) — /„I < et которое с учетом (6.13) эквивалентно
неравенству
<e. (6.16)

222 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В силу свойств точной верхней грани [1-2.7] найдется такое
разбиение Т' отрезка [а, 6], что
/• - ! < 5(Т'К/*. (6.17)
Положим S = е/(2п'и), где п' — число частичных отрезков
разбиения Т', а а> = М — то — колебание функции f(x) на
отрезке [а, 6].
Пусть произвольному разбиению Т с максимальным шагом
h < 6 отвечает нижняя сумма Дарбу 5(Т). Тогда, согласно
теореме 6.2 и неравенству (6.17), имеем
т.е. с учетом определения I, (см. равенство (6.13))
0</.-£(ГиТ)<|. (6.18)
it
При объединении разбиений Т' и Т число к новых точек
деления отрезка [а, 6], добавленных к Т, не превышает п' - 1.
Поэтому, согласно теореме 6.2,
т.е. £(T'UT) <£(Т)+е/2. Учитывая это неравенство в (6.18),
приходим к (6.16), что в силу произвольности е доказывает
первое равенство (6.15). ►
6.4. Критерий существования
определенного интеграла
При помощи верхней ?(Т) и нижней 5(Т) сумм Дарбу
можно сформулировать необходимое и достаточное условия
интегрируемости функции на отрезке [а, 6], т.е. условия
существования на этом отрезке определенного интеграла.

6.4. Критерии существования определенного интеграла 223
Теорема 6.5 (критерий Дарбу). Для того чтобы
ограниченная на отрезке [а, Ь] функция f(x) была интегрируема
на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы совпадали
нижний 1т и верхний I* интегралы Дарбу, т.е. /* = /*.
4 Необходимость. Предположим, что функция f(x)
интегрируема на отрезке [а, 6], т.е., согласно определению 6.4,
существует конечный предел I интегральных сумм 5(Т) для
этой функции на данном отрезке:
п
Y,f{ti)&xi, (6.19)
t=i
где h — максимальный шаг разбиения отрезка [а, 6]. Тогда в
силу определения 6.3 предела интегральных сумм для любого
е > 0 найдется такое число 8 = 8(е) > О, что для любого
разбиения Т с максимальным шагом h < 8(e) и при любом
выборе точек & на частичных отрезках [xt-_i, xi\ будет
выполнено неравенство |/ — 5(Т)| < £, или
Так как при заданном разбиении отрезка значения 5(Т) и
?(Т) являются точными нижней и верхней гранями множества
интегральных сумм, то в силу свойств точной верхней (нижней)
грани [1-2.7], принимая во внимание (6.8), имеем
Поскольку это неравенство верно для произвольного числа £,
то Нт 5(Т) = lim !>(Т) = /. Отсюда на основании теоремы 6.4
получаем
Г = lim S(T) = lim 5(T) = J*.
Достаточность. Предположим, что выполнено
равенство /* = Д = \у где / — общее значение верхнего и нижнего
Интегралов Дарбу. Тогда из теоремы 6.4 следует
lim 5(T) = lim 5(T)) = /.
hЮ v ' AfO~"V "

224 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Поэтому для любого е > О найдется такое 6(е), что длл
каждого разбиения Т с максимальным шагом h < 8(e) имеем
В силу (6.8) справедливо неравенство
5(Т)<5(Т)<5(Т).
Тогда с учетом (6.20) получим I - е < 5(Т) < / + е.
Следовательно, существует предел (6.19), т.е., согласно
определению 6.4, рассматриваемая функция f(x) интегрируема на
отрезке [а, 6]. ►
Из критерия Дарбу следует,что для интегрируемой на
отрезке [а, 6] функции f(x)
ь
= I* = Im. (6.21)
а
Следствие 6.1. Для того чтобы ограниченная на отрезке
[а, 6] функция f(x) была интегрируема на этом отрезке,
необходимо и достаточно, чтобы
п
lim 2^<*>»ДЯ| = 0, (6.22)
1=1
где Ui = М{ — тп{ — колебание функции /(ж) на частичном
отрезке [я;-ь£«] разбиения Т.
4 Согласно теореме 6.5, ограниченная функция интегрируема
тогда и только тогда, когда /* = /*. Учитывая (6.15), получаем
равенство
Hm£(T) = limS(T),
откуда
lim (5(Т) - ^(Т)) = Jim (M,- - тгц)Ах> = О,
что эквивалентно 6.22. ►

6.4. Критерии существования определенного интеграла 225
Докажем еще одну теорему, имеющую важное значение в
теории определенного интеграла.
Теорема в.в (критерий Римано). Для того чтобы
ограниченная на отрезке [а, 6] функция /(ж) была интегрируема
на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого
е > О нашлось такое разбиение Т отрезка [а, Ь], что
5(Т) - 5(Т) < е. (6.23)
4 Необходимость. Пусть функция f(x) интегрируема на
отрезке [а, Ь]. При доказательстве теоремы 6.5 показано, что
для такой функции выполнено равенство
lim (5(Т) - 5(Т)) = lim 5(Т) - lim S(T) = Г - h = 0.
Следовательно, для любого е > 0 найдется такое S > 0, что для
любого разбиения Т с максимальным шагом h<8 справедливо
(6.23).
Достаточность. По условию теоремы для любого е > 0
существует такое разбиение Т отрезка [а, 6], что для
соответствующих верхней и нижней сумм Дарбу справедливо (6.23).
Тогда, согласно определению (6.13) верхнего и нижнего
интегралов Дарбу, имеем 0 </*-/*< 5(Т) - 5(Т) < е и в силу
произвольности е заключаем, что /* = /», т.е., согласно
теореме 6.5, рассматриваемая функция интегрируема на отрезке
Утверждение теоремы 6.6 также называют критерием
существования определенного интеграла. Согласно этому
критерию, для выяснения интегрируемости функции на
отрезке достаточно найти хотя бы одно разбиение Т этого отрезка,
Удовлетворяющее условию (6.23), тогда как определение 6.4 ин-
^грируемой функции в сочетании с определением 6.3 предела
*втегральных сумм требует проверки выполнения неравенства
№) для любых достаточно мелких разбиений этого отрезка.

226 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Следствие 6.2. Для того чтобы ограниченная на отрезке
[а, 6] функция f(x) была интегрируема на этом отрезке
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О нашлось
такое разбиение Т отрезка [а, 6], что
п
< e, (6.24)
где Ui — колебание функции f(x) на частичном отрезке
[xt_i,xt] разбиения Т.
4 Из соотношений (6.7) имеем
п п п
где М,- и ш, — точные верхняя и нижняя грани функции f(x)
на частичном отрезке [&«-ь£,-] разбиения Т. Поэтому (6.23)
можно записать в виде (6.24). ►
Пример 6.4* Для функции f(x) = х3 разность
верхней и нижней сумм Дарбу при равномерном разбиении Тп
отрезка [-2,3] на п частей составляет (см. пример 6.3)
S(Tn) - S.(Tn) = 175/n. Для произвольного € > 0 разбиение
этого отрезка на п> [175/е] равных частей приводит к
неравенству (6.23), т.е. в силу критерия Римана функция f(x) = х3
интегрируема на отрезке [-2,3].
Используя результаты примера 6.3 и учитывая, что при
h —► 0, согласно замечанию 6.1, п -¥ оо, находим
sup£(Tn) = и» (5 - §5 + Н}) - ?'
Тп п-юоЧ 4 2п 4п2/ 4
125
Г = inf 1(Т) < inf S(Tn) = lim (5 + £5 + 125) = «,
Т Тп п-чоо V 4 2п An2 / 4
откуда /* = /» = 65/4. Таким образом, интегрируемость
сматриваемой функции на отрезке [-2,3] установлена и пр#

6.5. Классы интегрируемых функции 227
ломощи критерия Дарбу. Более того, из (6.21) следует, что
интеграл от функции f(x) = ж3 по отрезку [-2,3] равен
I=[x3dx = ^.
J 4
-2
6.5. Классы интегрируемых функций
Теоремы 6.5 и 6.6 позволяют установить некоторые классы
интегрируемых функций.
Теорема 6.7. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[а, 6], то она интегрируема на этом отрезке.
4 Функция /(х), непрерывная на отрезке [а, 6], равномерно
непрерывна на нем [1-5.9]. Поэтому для любого € > О
найдется такое 6(е), что отрезок [а, Ь] можно разбить на частичные
отрезки длиной меньше 6(е)} на каждом из которых колебание
функции f(x) будет меньше е/(6-о), т.е. при максимальном
шаге h < 6(е) некоторого разбиения Т будет выполнено
неравенство 0 ^ Ui < e/(b - а). Умножая это неравенство на длину
Да:,- > 0 частичного отрезка и суммируя по t, получаем
п п
0 <
в силу следствия 6.2 доказывает утверждение теоремы. ►
Доказательство интегрируемости других классов функций
Даны в Д.6.1. Здесь же ограничимся лишь формулировкой
соответствующих теорем.
Теорема 6.8. Бели ограниченная на отрезке [а, 6] функ-
"** f(x) имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то
интегрируема на этом отрезке.

228 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Функцию f(x) называют кусочно непрерывной на
отрезке [а, 6], если она непрерывна во всех точках этого отрезка,
за исключением, быть может, конечного числа точек, в
которых функция имеет разрывы первого рода. Из теоремы 6.8
следует, что кусочно непрерывная на отрезке функция
интегрируема на этом отрезке.
Теорема в.9. Бели функции f(x) и д(х) на отрезке [а, 6]
различаются лишь в конечном числе точек, то интегрируемость
одной из этих функций равносильна интегрируемости другой,
причем
g(x)dx = f(x)dx.
а а
Замечание в.2. Из теоремы 6.9 следует, что если
интегрируемую на отрезке [а, 6] функцию изменить в конечном числе
точек, то она сохранит свойство интегрируемости, а значение
ее интеграла по отрезку не изменится. На интегрируемость
функции не влияет то обстоятельство, что она не
определена в конечном числе точек (например, в концах отрезка). В
этом случае ее можно доопределить в этих точках
произвольным образом, и заданные значения функции не отразятся на
величине интеграла.
Теорема в.10. Бели функция f(x) монотонна на отрезке
[а, 6], то она интегрируема на этом отрезке.
6.6. Свойства интегрируемых функций
Установим некоторые важные свойства функций,
интегрируемых на отрезке [а, 6].
Теорема 6.11. Бели функции f(x) и д(х) интегрируемы
на отрезке [а, 6], то их произведение f(x)g(x) также
интегрируемо на этом отрезке.

6.6. Свойства интегрируемых функции 229
4 В силу теоремы 6.1 интегрируемые на отрезке функции
ограничены на этом отрезке, т.е. |/(х)| ^ К, \д(х)\ ^ L Ух £
€ [а, 6]. Согласно следствию 6.1, для произвольного е > О
найдутся такие разбиения Т/ и Тд отрезка [а, 6], что
и
m=l
где и* и Wm — колебания функций f(x) и д(х) на частичных
отрезках [ж/.^ж^] длиной Axj и [ж^_1}а?4] длиной Ах?п
соответственно.
Рассмотрим разбиение Т = Т/ U Т5 отрезка [а, 6] на
частичные отрезки [xf_i,a?i], t = 1,п, где п^/ + А;. В силу
теоремы 6.2 для разбиения Т верны неравенства
п п
й и
1=1 1=1
где и\ и о;,-' — колебания функций f(x) и #(s) на частичном
отрезке [a:t_ 1? х,] длиной Дх,-, г=1,п.
Оценим колебание и>,- функции f{x)g(x) на частичном
отрезке [xt_bxt]. По определению колебания функции имеем
wt=M»-m,= sup (f(x)g(x)) - inf
Иначе говоря, колебание Ш{ этой функции можно определить
как точную верхнюю грань разностей /(0^(0 ~ fMgiv)^ гДе
f и т/ принимают значения на отрезке [gt_i,£t] независимо
Друг от друга, т.е.
<* = sup
для любых точек f, ту G [«i-i, a?t] верно тождество

230 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
из которого следует, что
о < 1/ШО - /0»Ш1 ^ 1/(011»Ю -
Поэтому для колебания функции f(x)g(x) на отрезке [xj-i, ж,-]
верно неравенство
О < щ < Lu>; + ffwf. (6.26)
Умножая (6.26) на Дх,- > 0 и суммируя по г, получаем
О ^ f>A*t- < L £>;Д*« + * £>f А»,- < ^
что в силу следствия 6.2 доказывает утверждение теоремы. *
Методом математической индукции нетрудно доказать, что
произведение конечного числа интегрируемых на отрезке
функций интегрируемо на этом отрезке. В частности, интегрируема
любая натуральная степень (f(x))n интегрируемой функции
Теорема в.12. Пусть функция д(х) интегрируема на
отрезке [а, 6] и inf |<7(я)| = m > 0. Тогда на [а, 6] инте-
х€[а, Ь]
грируема и функция 1/д{х).
< По условию теоремы |^(х)| ^ т и l/|flf(a;)| ^ 1/т Ух 6 [а, Ь].
Поэтому для любых точек х\ х" е [а, 6]
1
Согласно следствию 6.2, для произвольного е > О найдется
такое разбиение Т отрезка [а, 6], что для интегрируемой на
этом отрезке функции д(х) будет выполнено неравенство
п
О ^ Х^Дж,- < т2еу (6.28)

б. 7. Основные свойства определенного интеграла 231
где и?,* — колебание функции д(х) на частичном отрезке
[xi-\, Х{] длиной Аз,-, % = 1, п. На каждом частичном отрезке,
согласно (6.27), функция 1/д(х) имеет колебание u* ^ щ/т2.
Следовательно, учитывая (6.28), получаем
71 1 П 1
t=l m 1=1 Ш
т.е. в силу следствия 6.2 функция 1/д(х) интегрируема на
отрезке [а, 6]. ►
Из теорем 6.11 и 6.12 вытекает следствие.
Следствие 6.3. Пусть функции f(x) и д(х)
интегрируемы на отрезке [а, 6] и inf \д{х)\ > 0. Тогда на [а, Ь]
-' 1,6]
интегрируемо и частное f(x)/g(x).
6.7. Основные свойства определенного интеграла
1°. Бели функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6], то
6 а
f f(x) dx = - / f(x) dx. (6.29)
До сих пор мы говорили об интегрировании функции по
отрезку, т.е. подразумевали, что нижний предел
интегрирования а меньше верхнего предела интегрирования 6.
Определенный интеграл Римана можно распространить на случай а ^ 6,
Причем различными способами. Сформулированное свойство
есть общепринятый способ распространения понятия
интеграла, Римана на случай, когда нижний предел интегрирования
больше верхнего.
Разбиением Т, соответствующим паре точек а и 6, назо-
множество точек xq = а, х\,..., a?n-i > хп = 6, расположенных

232 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
в направлении от а к Ь, т.е. при а > 6 имеем
а = а?о > Ж1 > ... > жп__1 > хп = 6.
Обозначив Axi = я,- - Xi-i и выбрав точки & между
точками ж,-_1 и я,, составим интегральную сумму в
соответствии с формулой (6.2). Предел интегральных сумм при h =
= тах|Да;,| —► О назовем определенным интегралом, соответ-
t=l,n
ствующим нижнему пределу интегрирования а и верхнему
пределу интегрирования 6.
Очевидно, что это определение интеграла при а < b
совпадает с прежним. Однако новое определение, в отличие от
прежнего, допускает и случай а ^ Ь. При этом легко
убедиться, что из нового определения вытекает свойство 1°. Новое
определение является корректным и в „вырожденном" случае
а = Ь. Бели а = 6, все точки разбиения должны совпадать, а
интегралу следует приписать нулевое значение:
а
/
f(x) dx = 0. (6.30)
2°. Если функция }(х) интегрируема на отрезке [а, 6], то
она интегрируема на любом меньшем отрезке [а, /?] С [а, 6].
< Согласно следствию 6.2, для произвольного е > 0 существует
такое разбиение Т отрезка [а, 6] с частичными отрезками
i = T7n, что
п
w<Да?.- < е, (6.31)
где и = М{ — тп{; ^ 0 — колебание функции f(x) на частичном
отрезке [zt*_i,£t]. Добавив к разбиению Т точки а и fa
получим новое разбиение Т', для которого, согласно теореме
6.2, будем иметь
fi(T') ^ fi(T) < e.

6.7. Основные свойства определенного интеграла 233
Обозначим точки разбиения Т' через у,, j = l,m, и пусть
значения к и / индекса j соответствуют точкам аи/?:
Ук = а» У/ = & * < '• Точки у*, y*+i, ..., у/ образуют разбиение
отрезка [а,/5], для которого
m
^Ay,- ^ £«,• Ду,- = П(Г)
так как каждое слагаемое указанных сумм неотрицательно.
Согласно следствию 6.2, функция f(x) интегрируема на
отрезке [а, /?]. ►
3°. Если функция f(x) интегрируема на наибольшем из
отрезков [а, 6], [а, с] и [с, 6], то она интегрируема на двух
других отрезках и справедливо равенство
Ь с Ь
[f(x)dx=ff(x)dx + Jf(x)dx, (6.32)
каково бы ни было взаимное расположение точек а, 6 и с.
< Предположим сначала, что а < с < b и функция f(x)
интегрируема на отрезке [а, 6]. На основании свойства 2°
определенного интеграла заключаем, что f(x) интегрируема на
отрезках [а, с] и [с, 6], так как [а, с] С [а, 6] и [с, 6] С [а, 6].
Поэтому в дальнейших рассуждениях можно использовать
некоторый специальный вид разбиений этих отрезков.
Рассмотрим разбиение Тп
отрезка [а, Ь] на п частичных
отрезков, причем точку с будем
считать одной из точек деления это-
отрезка (рис. 6.3). Пусть при РиСф 6#3
Т* и Тт — разбиения отрезков [о, с] и [с, 6] на А; и
*** частичных отрезков соответственно (fc + m = n). Тогда ин-
Тегральную сумму функции f(x) для разбиения Tn = T* U Tm

234 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
отрезка [а, 6] можно записать в виде
£/№)Д*« = Х)/(^)А^ + £/(ОД*", (б.зз)
«=1 1=1 t=l
где первое слагаемое справа соответствует разбиению Т*
отрезка [а, с], а второе — разбиению Тт отрезка [с, 6]. При
стремлении максимального шага h разбиения Тп к нулю,
очевидно, стремятся к нулю и максимальные шаги Ы и h" раз.
биений Т* и Тт соответственно. Согласно определению 6.4
интегрируемой на отрезке функции, существуют конечные
пределы каждой из интегральных сумм в (6.33), равные
соответствующему определенному интегралу, что доказывает
справедливость (6.32).
Пусть теперь а < b < с. Тогда на основании доказанного
имеем
с Ь с
f f{x) dx=f f(x) dx+f /(*) dx.
a a b
Разрешая это равенство относительно интеграла по отрезку
[а, 6] и используя свойство 1° определенного интеграла,
получаем
6 с с с 6
ff(x)dx= ff(fi)dx- ff(x)dx= f f(x)dx+ ff{x)dx.
Аналогично это свойство можно доказать для любого
другого взаимного расположения точек а, 6 и с. ►
Доказанное свойство называют аддитивностью
определенного интеграла.
Замечание 6.3. Можно доказать, что если функция
интегрируема на двух из трех отрезков с концами а, 6, с'
то она интегрируема и на третьем. Пусть, например, а<с<Ь-

6.7. Основные свойства определенного интеграла
235
Тогда, если функция интегрируема на отрезках [а, с] и [с,
^о она интегрируема и на отрезке [а, 6].
Из сказанного вытекает, что если отрезок [а, Ь] разделен
ga n частичных отрезков так, что на каждом из этих
частичных отрезков функция f(x) интегрируема, то эта функция
интегрируема и на всем отрезке [а, 6].
Пример 6.5. Вычислим определенный интеграл от
функции f(x) = \п[х] по отрезку [1, п +1], п € N. В данном случае
[х] означает целую часть числа х. Следовательно, функция
f(x) не убывает, но имеет точки разрыва первого рода при
целых значениях ж* = к + 1, к = 1,п. В силу теоремы 6.8
эта функция интегрируема на любом отрезке из ее области
определения. Поскольку ln[x] = In А: = const Va; 6 [Л, к +1), то,
используя аддитивность определенного интеграла, получаем
Графики функций In ж и 1п[х] представлены на рис. 6.4
(заштрихованная площадь отвечает значению интеграла). #
lnx
6 х
4°. Если функции /i(x) и /а {х) интегрируемы на отрезке
[а, 6], то их линейная комбинация Xif\(x) -f ^2/2(2) (Ai, Л2 € R)
интегрируема на этом отрезке, причем
6 6 6
. (6.34)

236 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
4 Для некоторого разбиения Т отрезка [а, 6] при
произвольном выборе точек & (t = l,n) на каждом частичном отрезке
[x,_i, Х{] этого разбиения запишем очевидное равенство
п п п
1=1 «=1 1=1
В силу интегрируемости функций f\ (x) и /2(2) на отрезке
[а, 6] стоящие в правой части этого равенства интегральные
суммы имеют на основании определения 6.4 конечные пределы
при стремлении максимального шага h разбиения Т к нулю.
Но тогда существует конечный предел при h -> О и для
интегральной суммы в левой части этого равенства, что в силу
того же определения 6.4 доказывает интегрируемость функции
Ai/i(s) + Аг/зО*) на отрезке [а, 6]. Переходя в обеих частях
равенства к пределу при /i-fO, получаем (6.34). ►
Это свойство называют линейностью определенного
интеграла.
5°. Бели функция f(x) интегрируема и неотрицательна на
отрезке [а, 6], то
б
f(x) dx > 0. (6.35)
< Так как f(x) ^ 0 Vx € [а, 6], то для любого разбиения Т
отрезка [а, Ь] с максимальным шагом h и при любом выборе
точек &€[£t-ii£f] имеем
п
(6.36)
где Дж,- = Х{ - z;_i > 0. В силу определения 6.4 интегрируемой
функции существует конечный предел при h -> 0 интегральной
суммы (6.36). Переходя в (6.36) к пределу при А-*0, получаем
(6.35). ►

6.7. Основные свойства определенного интеграла 237
6°. Если функции /(ж) и д(х) интегрируемы на отрезке
[в, Ь] и /(ж) J> $(ж) Уж € [a, 6], то
ь 6
ff(x)dx> fg(x)dx. (6.37)
а а
4 В силу свойства 4° линейности определенного интеграла
функция /(ж) - д(х) ^ 0 Уж € [о, 6] интегрируема на отрезке
[а, Ь] и, согласно свойству 5° определенного интеграла,
J(f(x)-g(x))dxZO.
Отсюда, используя снова свойство 4°, получаем (6.37). ►
7°. Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы на отрезке
[а, 6], а также га $ f(x) ^М и д(х) ^ 0 Уж € [а, 6]. Тогда
ь
тп
a
о о о
Ig(x)dx ^ j f{x)g(x)dx ^ M f g(x)dx. (6.38)
< По условию m $ /(ж) ^ М Уж € [а, 6]. Умножая все части
этого неравенства на ^(ж) ^ 0, получаем
Отсюда в силу свойства 6° и линейности определенного инте-
града следует справедливость (6.38). ►
Если д(х) ^ 0 Уж G [а, 6], то, очевидно, справедливо
неравенство
6 6 6
М \ д(х) dx^. f(x)g(x) dx^.m g(x) dx.

238 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В частном случае при д(х) = 1 Vx € [о, 6] (6.38) переходит в
неравенство
ь
a
так как при этом
6 б
f f(x)dx^M(b-a), (6.39)
/ ^(х) dx = / dx = b - о.
а а
Свойство 7° иногда называют теоремой об оценке
определенного интеграла.
8°. Бели функция /(х) интегрируема и неотрицательна на
отрезке [а, 6] (а < 6) и существует точка х' € [о, Ь], в которой
/(х) непрерывна и положительна, то
ь
f(x) dx > 0. (6.40)
а
I
4 Согласно свойствам функции, непрерывной в точке [1-9.2], и
условию теоремы, существует окрестность точки х1 (или
полуокрестность этой точки, если х' совпадает с одним из концов
отрезка), в которой /(х) > 0. Выделим в этой окрестности (или
полуокрестности) отрезок [а, /?], на котором /(х) ^ А > 0.
Тогда в силу аддитивности определенного интеграла и свойства 5°
имеем
Ь а 0 Ь 0
Jf(x)dx = Jf(x)dx + Jf(x)dx+ ff(x)dx> Jf(x)dx.
a a a 0 a
Учитывая свойство 6°, получаем
Ь 0
Jf(x)dx> [f(x)dx>A(0-a)>O. ►

6.7. Основные свойства определенного интеграла 239
9°. Бели функции f(x) и д(х) интегрируемы на отрезке
[а, 6], f(x) ^ д(х) Vac € [а, Ь], причем существует точка х1 €
£ [а, 6], в которой f(x') > </(£') и обе функции непрерывны, то
ь ь
I f(x)dx> I g(x)dx.
а а
4 Функция u(x) = f(x) - g(x) удовлетворяет условиям
свойства 8° и поэтому
б 6
[u(x)dx = J(f(x)-g(x))dx>0.
Отсюда с учетом линейности определенного интеграла
получаем сформулированное утверждение. ►
10°. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6], то
функция \f(x)\ также интегрируема на этом отрезке, причем
ь
(f(x)dx ^ f\f(x)\dx, a<b. (6.41)
о
4 Согласно следствию 6.2, для произвольного е > 0 найдется
такое разбиение Т отрезка [а, 6], что
п
• < еу (6.42)
гДе а;, — колебание функции f(x) на частичном отрезке
l-ii Xi] длиной Ах,-, t = I7n. Учитывая неравенство [1-1.3]
11/(01-1/(ч)11< 1/(0-/(«1)1,
для любых точек ^, Г} € [а, 6], заключаем, что колебание
1 функции |/(х)| на частичном отрезке [x,-i, X{] связано

240
6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
с колебанием
ством Ui^Ui
функции f(x) на этом же отрезке
неравенt= l,n. Следовательно,
п
i < e.
*=i
Согласно следствию 6.2, функция \f(x)\ интегрируема на
отрезке [а, 6].
Так как
, »€[о,Ь],
то, согласно свойству 6° определенного интеграла,
б б б
-J\f(x)\dx$Jf(x)dx$J\f(x)\dx,
а а а
что равносильно неравенству (6.41). ►
Отметим, что из интегрируемости функции \f(x)\ на
отрезке [а, Ь] не следует интегрируемость функции f(x) на этом
отрезке.
Пример 6.6, Пусть f(x) = х(х) - 1/2, где х(х)— функция
Дирихле (см. пример 6.2). Функция |/(ж)| = 1/2 интегрируема
на любом отрезке [а, 6] С R, тогда как функция f(x) не
интегрируема на [а, 6]. Действительно, в противном случае
в силу линейности определенного интеграла функция xix) ~
= f(x) + 1/2 также была бы интегрируемой, но, как показано
в примере 6.2, это не так.
Замечание 6.4. Свойства 5° -10° справедливы лишь при
условии а $ 6, но их можно распространить и на общий случая.
Например, неравенство (6.41) при отсутствии условия а ^ &
следует записать в виде
j
f(x)dz
(6.43)

6.8. Теоремы о среднем значении для определенного интеграла 241
Действительно, при a^b неравенства (6.41) и (6.43)
совпадают в силу неотрицательности функции |/(х)|. Бели же а> 6,
то, принимая во внимание свойство 1° и неотрицательность
интеграла от неотрицательной функции \f(x)\ (свойство 5°),
имеем
baa
ff(x)dx = ff(x)dx < f\f{x)\dx =
a b
J\f{x)\dx = J\f(x)\d
6.8. Теоремы о среднем значении
для определенного интеграла
Докажем две теоремы, имеющие важное теоретическое и
прикладное значение.
Теорема 6.13. Бели функция f(x) непрерывна на отрезке
[а, 6], то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка с, для
которой справедливо равенство
ь
f(x)dx = f{c)(b-a). (6.44)
4 Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6], то
в силу теоремы 6.7 она интегрируема на нем. Кроме того,
согласно второй теореме Вейерштрасса [1-9.4], непрерывная на
°треэке функция достигает на этом отрезке своих наименьшего
*& и наибольшего М значений. Поскольку m ^ f(x) ^ М
[а, 6], то на основании неравенства (6.39) можно записать
m
ь
— [ f{x) d
М.

242
6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Обозначим среднюю часть этого неравенства через /i. Тогда
/х е [m, М]. Согласно теореме Больцано — Коши [1-9.4],
найдется хотя бы одна точка с € [а, 6], в которой /(с) = /л. Учитывая
определение числа /х, получаем (6.44). ►
Значение /(с) функции }(х) в (6.44) называют ее сред*
ним значением на отрезке [а, 6]. Обратимся к
геометрической интерпретации (6.44). При f(x) ^ 0 Уж 6 [а, 6]
определенный интеграл в левой части (6.44) представляет площадь
криволинейной трапеции аЬВА (рис. 6.5), имеющей
основанием отрезок [а, 6] и
ограниченную графиком функции }{х) и
прямыми з = а, х = Ь. Согласно
(6.44), эта площадь равна
площади прямоугольника с тем же
основанием и высотой,
совпадающей со значением /(с)
функции f(x) в точке с 6 [а, Ь].
Пример 6.7. Найдем среднее значение функции f(x) =
= VR2 - х2 на отрезке [О, R] и точку с, в которой функция
принимает это значение. Графиком данной функции на отрезке
[О, R] является четверть окружности радиуса R с центром в
начале прямоугольной системы
координат хОу (рис. 6.6). Поэтому
определенный интеграл
я я
У-
Ле)
О
А
а
V
fix) /
\ с
1
в
Ь х
Рис. 6.5
R x
Рис. 6.6
ff(x)dx= fy/R?-x2dx
о о
равен площади четверти круга, т.е.
nR2/4. Тогда, согласно (6.44),
п
( \fR?-x2dx = j R2 = f(c)R = y/R2-c2R.

6.8. Теоремы о среднем значении для определенного интеграла 243
Отсюда среднее значение функции f(x) на отрезке [а, 6]
равно
/(с) = у/Я* - с2 = jR и с= |
Замечание 6.5. Используя свойство 7° определенного
интеграла (см. в.7), можно доказать более общее утверждение, а
именно: если функция /(ж) интегрируема на отрезке [а, Ь] и
на этом отрезке га ^ f(x) ^ Л/, то существует такое число /i,
что
б
I
a
Теорема в.14. Бели функция }(х) непрерывна, а функция
д(х) интегрируема и знакопостоянна на отрезке [а, 6], то на
этом отрезке найдется хотя бы одна точка с, для которой
справедливо равенство
6 б
Jf(x)g(x)dx = f(c)Jg(x)dx. (6.45)
a a
< Примем a < b и д(х) ^ 0 Vx € [a, 6]. Так как функция
/(г) непрерывна на отрезке [а, 6], то, согласно второй теореме
Вейерштрасса [1-9.4], она достигает на этом отрезке
наименьшего m и наибольшего М значений и при этом m ^ f(x) ^ М
Vx ^ [a, 6]. В силу свойства 6° (см. 6.7) можно написать
ь ь ь
fg(x)dx < ff(x)g(x)dx ^ M f g(x)dx. (6.46)
га
а
Согласно свойству 5°, интеграл от неотрицательной функции
Неотрицателен, т.е.
6
/= f

244 в. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Если / = 0, то интеграл в средней части (6.46) также равен
нулю и (6.45) верно для любой точки с 6 [а, 6]. Если же / > О,
то, разделив (6.46) на /, получим
ь
Обозначим среднюю часть этого неравенства через /д. Так
как fi € [пг, М], то, согласно второй теореме Больцано —
Коши [1-9.4], найдется хотя бы одна точка с € [а, 6], в которой
/(с) = /г. Отсюда с учетом определения числа \i следует (6.45).
Аналогично доказательство справедливости (6.45) в случае
д(х) ^ 0 Vs e [о, 6]. ►
Пример 6.8. Оценим значение определенного интеграла от
функции 2х/у/\ + Зх по отрезку [0, 1]. Поскольку функция х
неотрицательна на [0, 1], то, применяя теорему 6.14 с f(x) = x
и д(х) = 2/\/1 + Зж, получаем
r f 2xdx 2 Г . 1
/ = / . = . / х ах = , ,
J уДТгх у/Г+ScJ vTT3c
о о
где с€ (0, 1), а интеграл /x<fx выражает площадь треуголь-
о
ника с вершинами (0;0), (1;0) и (1;1) и равен 1/2. Так как
1 < y/TpSc < 2, то в итоге имеем 1/2 < / < 1.
Замечание 6.6. Как и в случае теоремы 6.13, можно
доказать более общее, чем в теореме 6.14, утверждение: если
функции f(x) и д(х) интегрируемы на отрезке [а, 6] и на
этом отрезке т ^ f(x) ^ М, а функция д(х) знакопостоянна,
то существует такое число /i (m ^ р $ М), что
. #
Дальнейшее обобщение теорем о среднем значении ДлЯ
определенного интеграла дано в Д.6.4.

6.9. Определенный интеграл с переменным пределом 245
6.9. Определенный интеграл
с переменным пределом
Бели функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6], т.е.
существует определенный интеграл от этой функции по
данному отрезку, то, согласно свойству 2° (см. 6.7), существует
определенный интеграл от этой функции по любому отрезку
[а, х] С [а, Ь]. Такой интеграл называют определенным
интегралом с переменным верхним пределом. Согласно
тому же свойству, существует интеграл по любому отрезку
[г, 6] С [а, 6], называемый определенным интегралом с
переменным нижним пределом.
Ясно, что определенный интеграл с переменным пределом
обладает всеми свойствами, установленными выше для
интеграла по фиксированному отрезку [а, 6], но является функцией
этого переменного предела.
Теорема в.15. Бели функция f(x) интегрируема на
отрезке [а, ft], то на этом отрезке непрерывна функция
X
F(x)= ff(t)dt. (6.47)
а
< Так как функция /(х) интегрируема на отрезке [а, 6], то
она в силу теоремы 6.1 ограничена на нем, т.е. \f{x)\ $ М Vx £
[а, 6]. Придадим произвольному xq 6 [а, ft] приращение Ах, не
выводящее точку хо + Дх за пределы отрезка [а, 6]. Тогда
в силу аддитивности определенного интеграла приращение
Функции F(x), соответствующее приращению Ах, можно
представить в виде
хо+Дх хп
= F(x) -F(x0) = / f(t)dt- ff(t)dt =
xo xo+Ax xo
= Jf(t)dt+ j f(t)dt-Jf(t)dt=
f(t)dt.

246
б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Учитывая замечание 6.4, находим
хо+Дх хо+Дх
О < | AF| =
f{t) л
|/(01 л
Устремляя Дх к нулю, получаем lim AF = 0, что и докаэыва-
Дх-Ю
ет непрерывность функции F(x) в точке xq. При совпадении
точки х0 с одним из концов отрезка [а, Ь] функция F(x)
будет непрерывна либо справа в точке а, либо слева в точке
b [I-9.3]. Так как xq является произвольной точкой отрезка
[а, 6], то функция F(x) непрерывна на этом отрезке. ►
Теорема 6.16. Бели функция /(х) непрерывна в точке
£о € [а, 6], то функция F(x) (6.47) дифференцируема в этой
точке, причем
**Ы = /(*о). (6.48)
^ Пусть xq — точка непрерывности функции /(ж), е —
произвольное положительное число. Тогда в силу определения
непрерывности функции в точке [1-9.1] найдется такое 6 =
= 6(е) > 0, что при условии \х - xq\ < 6(e) будет выполнено
неравенство \f{x) - f(xo)\ < е/2. Так как
X
/
то можно записать
F(x) - F(x0)
X-Xq
- f(*o) =
X Хо X
= ^ (/ f(t)dt-Jf(t)dt-J f(x0) dtj =
а а
х х
X X
-//(ato) dt)=i/(/w"/ы) *

6.9. Определенный интеграл с переменным пределом
247
Отсюда, учитывая (6.43), находим
F(x) - F(*e)
Х-Хо
- /ы
\х - хо\
X
/(/(*)-/(*о)) А
х0
Х-Ж0|
х0
для всех х € [а, 6], для которых \х — жо| < 6(е). Следовательно,
в силу определения производной функции в точке [II] получаем
р,, ч ,. F(x) - F(x0)
F(xo)= hm —^ *-^ =
x-fxo Ж-Хо
x-fxo
что доказывает утверждение теоремы. ►
Следствие 6.4. Бели функция f(x) непрерывна на
отрезке [а, 6], то она на нем имеет первообразную, причем одной из
первообразных является интеграл с переменным верхним
пределом.
4 Согласно теореме 6.7, непрерывная на отрезке функция
интегрируема на нем. Поэтому утверждение следствия
непосредственно вытекает из теоремы 6.16 и определения 1.1
первообразной, поскольку хо в (6.48) является произвольной точкой
отрезка [а, 6]. ►
Таким образом, непрерывность функции на отрезке
является достаточным условием существования на нем у этой
функции первообразной, а значит, и неопределенного интеграла. На
основании следствия 6.4 можно заключить, что для
непрерывной на отрезке [а, 6] функции f(x)
т»е. на этом отрезке производная от интеграла с переменным
Верхним пределом равна подынтегральной функции,
вычисленной при значении верхнего предела.

248 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 6.9. Найдем на отрезке [0,1] производные от
функций
х 2 х3
a) j е* dt; б) j sin2 3t dt; в) j arcsin t dt.
ax 0
а. Подынтегральная функция f(x) = ex непрерывна на
всей числовой оси. Поэтому, используя следствие 6.4, получаем
X
dx"
б. На основании свойства 1° определенного интеграла
(см. 6.7) можно написать
2 х
4- /sin23tdt = -4- /sin23tdt = -sin23x Vx € R.
dx J dx J
x 2
в. Представим заданную функцию в виде сложной функции
аргумента х:
и
и(х) = ж3, F(u) = / arcsint Л, х, и € [0,1].
о
Так как функция arcsint непрерывна на [0,1], функция F(u)
дифференцируема на этом отрезке. Функция и(х) также
является дифференцируемой, поэтому и сложная функция F(u(x))
дифференцируема на отрезке [0,1] [II] и
du
=x*dx'
Здесь
и
—F(u)\ = [ — / arcsintdM
= arcsin и
= arcsin

6.9. Определенный интеграл с переменным пределом 249
и du/dx = Зж2. В итоге находим
J /*
— / arcsintdt = 3s2arcsina;3, a; 6 [0,1].
dx J
/
Следствие 6.5. Пусть функция f(x) непрерывна на
отрезке [а, 6]. Тогда
ь
f{t)dt = F(b)-F(a), (6.49)
а
где F(x) — любая из первообразных функции f(x) на этом
отрезке.
4 В силу теоремы 1.1 и следствия 6.4 любую первообразную
F(x) функции f(x) на отрезке [а, Ь] можно представить в
виде
F(x)=C+ff(t)dt.
При х = а получаем F(a) = С и затем
X
= F(a)+Jf(t)dt.
Полагая здесь, что ж = 6, приходим к (6.49). ►
Разность в правой части равенства (6.49) изображают сим-
ь
волом F(x) и (6.49) записывают в виде
б
f(t) dt = F(x) Ь,
a
a
f
Равенство (6.49), как и в случае интеграла Ньютона,
называют формулой Ньютона — Лейбница.

250 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример в.1О. Вычислим определенные интегралы
з 1
I ex dx\ б) I (x- sin ж) dx.
а)
-i о
а. Подынтегральная функция ех непрерывна на отрезке
[-1,3]. Поэтому, используя формулу (6.49) Ньютона —
Лейбница, получаем
з
/■
-1
б. Функция г-sins непрерывна на [0,1]. Учитывая
линейность определенного интеграла, находим
1 1 1
/ (x-8inx)dx= I xdx- I smxdx =
=—- + COSS = -+COS1 — l=COSl .
2 lo lo 2 2
Следствие в.в. Бели функция f(x) непрерывна на
отрезке [а, 6] и определенный интеграл от этой функции по любому
отрезку [а, /3] С [а, 6] равен нулю, то f(x) = 0 при х £ [а, 6].
4 Согласно следствию 6.4, непрерывная на отрезке [а, 6]
функция f(x) имеет на нем некоторую первообразную F(x),
которая в силу теоремы 6.16 непрерывно дифференцируема на [а, 6].
По условию для произвольных а, /? € [а, Ь] с учетом формулы
(6.49) Ньютона — Лейбница имеем F(0) - F(a) = 0, т.е. F(x) =
= const при х 6 [а, 6]. Поэтому на основании определения 1-1
первообразной F'(x) = f(x) = 0 при х 6 [а, 6]. ►
в.10. Вычисление определенного интеграла
Чтобы вычислить определенный интеграл, можно
использовать его представление через предел интегральных сумм "
этот путь обычно приводит к громоздким выкладкам.

6.10. Вычисление определенного интеграла 251
с тем это представление позволяет построить эффективные
численные методы приближенного вычисления определенного
интеграла (см. 10). Согласно следствию 6.5, для
вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке [а, 6]
функции f(x) применима формула (6.49) Ньютона —
Лейбница, т.е. достаточно найти любую первообразную этой функции
на данном отрезке.
Пример 6.11. Вычислим определенные интегралы
i) fxadx;
а. Одной из первообразных функции ха при аф-\ будет
F(x) = жв+1/(<* + 1). Поэтому
ь
xadx =
a
I
,a+l 6 &<*+! — aa+1
»
Это равенство имеет смысл там, где непрерывна функция ха.
б. Подынтегральная функция 1/у/х2 + 7 непрерывна на
отрезке [0,1] и имеет первообразную 1п|ж+\Лг2 + 7|. Поэтому
. #
Формула (6.49) Ньютона — Лейбница позволяет установить
Правило замены переменного под знаком определенного инте-
гР&ла, а также правило интегрирования по частям.
Теорема в.17. Бели функция }{х) непрерывна на отрезке
р Ч, а функция <p(t) непрерывно дифференцируема на отрезке
К , причем <р(а) = а, (р(0) = 6 и <p(t) € [о, Ь] при t € [а, /?],

252 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
то справедливо равенство
Ь 0
Jf(x)dx = Jf{ip(t)) <p'(t)dt. (6.50)
4 Так как функции f(x) и <p(t) непрерывны на отрезках [а, 6]
и [а, /?] соответственно и (p(t) 6 [а, Ь] при 16 [а, /?], то сложная
функция f(<p(t)) непрерывна на [а, /3]. Ввиду непрерывности
подынтегральных функций существуют не только определенные
интегралы в (6.50), но и соответствующие им неопределенные
интегралы. Поэтому при вычислении обоих интегралов в (6.50)
можно использовать формулу (6.49) Ньютона — Лейбница.
Бели F(x) является одной из первообразных функции f{x),
то
ff{x)dx = F(x)+C.
В силу инвариантности неопределенного интеграла
f
Используя формулу Ньютона — Лейбница, получаем
6
= F(6)-F(a)
I
И
If(<fi(t))<fi'(t)dt =
откуда следует (6.50). ►
Замечание 6.7. Отметим одну особенность, связанную
с применением неравенства (6.50). При вычислении
неопределенного интеграла заменой переменного х на £, получив

6.10. Вычисление определенного интеграла
253
первообразную, выраженную через переменное t, нужно
было возвращаться к исходному переменному х. При вычислении
же определенного интеграла в этом нет необходимости.
Однако не следует забывать, что при переходе к новому переменному
нужно пересчитывать пределы интегрирования.
Пример 6.12. Вычислим определенные интегралы
4
/
т
J
J
а. Чтобы вычислить интеграл от функции 1/(1 + у/х)>
сделаем замену х = t2. В этом случае dx = 2tdt и у/х =
= у£^ = \t\ = t при t^Q. Изменению х от 0 до 4 соответствует
изменение t от 0 до 2. Поэтому
/ dx ?2«Л =« /(1 + 0-1
J 1 + y/z J 1 + * J 1 + t
0 0 0
=ildt-fi
dt
= 2(2-ln3).
б. Сделаем замену cosx = t. Тогда — sinxdx = dt, значению
х = 0 соответствует £ = 1, а значению х = тг отвечает t = — 1.
Поэтому
Я" 7Г —1
smzxdx= [(l-cos2x)8mxdx = - [(l-t2)dt =
i
= f{l-t2)dt =
t
-l
-l
-l
-2-1-i
~ 3~3"

254 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 6.13. Покажем, что
ir/2 тг/2
[sinnxdx= I cosnxdx, n G N. (6.51)
Сделаем в интеграле справа замену переменного t = яг/2 - х.
При этом dt = -dx, пределам 0 и яг/2 интегрирования по
переменному х отвечают пределы яг/2 и 0 переменного t
соответственно. Учитывая, что cos a; = sin(7r/2 - ж), получаем
1г/2 к/2 0 */2
I cosnxdx= [ s\nn(n/2-x)dx=- /sinn*<fc= f&mntdt.
0 0 ir/2 0
Так как значение определенного интеграла не зависит от
обозначения переменного интегрирования, то (6.51) верно.
Теорема 6.18. Бели функции и(х) и v(x) непрерывно
дифференцируемы на отрезке [а, 6], то справедлива формула
fu{x)dv(x) = и(ж)ф)|6 - fv(x)du(x). (6.52)
< Используя правило дифференцирования произведения
функций [II], получаем (u(x)v(x))'= uf(x)v(x) + u(x)v'(x). В силу
непрерывности на [а, Ь] всех входящих в это равенство
функций существуют определенные интегралы от его обеих частей,
причем с учетом линейности определенного интеграла
6 6 6
/ (u(x)v(x))f dx = / v!(x)v(x)dx+ I u(x)v'(x)dx.

6.10. Вычисление определенного интеграла
255
Разрешая это равенство относительно последнего слагаемого
в правой части и учитывая, что и'{х) dx = du(x) и v'(x) dx =
= dv(x), находим
ь ь ь
fu(x)dv(x)= I(u{x)v(x))'dx - fv(x)du(x). (6.53)
Функция (u(x)v(x)) непрерывна на отрезке [а, 6] и имеет
первообразную, равную u(x)v(x). Поэтому
(u(x)v(x)) dx = u(x)v(x)\ .
la
Подставляя это выражение в (6.53), приходим к (6.52). ►
Рекомендации по выбору в подынтегральной функции
сомножителей и(х) и dv(x) те же, что и при вычислении
неопределенного интеграла (см. 1.6).
Пример в.14. Вычислим определенные интегралы
3ir/2
i) / x2\nxdx; б) / xcosxdx.
а. Поскольку в подынтегральное выражение входит
функция Inх, то ее целесообразно выбрать в качестве и(х):
x2\nxdx =
u = \nx, du = dx/x
- I —dx=- — = — -— + - =
1 / Зт Q Q м Q Q Q

256 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
6. Положим и(х) = х и получим
37г/2 Зтг/2 Зтг/2
/С Зтг/2 Г
xcosxrfa;= I xd(smx) — xsinx - / sin
о
3»r
= —— + cosz
2
Пример 6.15. Вычислим определенный интеграл от
функции sinnx, п € N, по отрезку [0, тг/2]. Положим м(я) =
= sin*1""1 ж (тогда du(x) = (n - l)sinn~2xcosa;(iz) и dv(x) =
= sinxrfx = —rf(cosx). С учетом (6.52) получим
тг/2 тг/2
/п = / sinnads = - / sinn-1 ж dcos ж =
= — sin
n
•к I л
n-1) /sin
n~2 х cos2 x dx =
0
0
тг/2
= (n-l) /(l-sin
Отсюда следует рекуррентное соотношение
/„ = —/„-2, (6-54)
71
при помощи которого интеграл /п можно привести в случае
четного п = 2т (т 6 N) к интегралу
тг/2 тг/2
/о= / sin°a:cte= / dx = —,

6.10. Вычисление определенного интеграла 257
а в случае нечетного п = 2т +1 — к интегралу
тг/2
1\ = / sin х dx = —
cos ж
= 1.
В итоге получаем
тг/2
_ [ • 2т 2т-1 2т-3 3 1 тг _ (2т-1)!! тг
()
о
tr/2
/ 2m+i j 2m 2m-2 4 2 (2m)!!
(напомним, что п!! обозначает произведение всех натуральных
чисел, не превосходящих п и имеющих с ним одинаковую
четность, причем по определению 0!! = 1).
Пример в.1в. Из формул для hm и /гт+ь полученных в
примере 6.15, следует установленная в 1655 г. английским
математиком Дж. Валлисом (1616-1703) еще до возникновения
интегрального исчисления формула в виде бесконечного
произведения
тг 2 2 4 4 2т 2т
2 13 3 5*" 2т-1 2т+1 '"
В самом деле, почленным делением произведений для hm и
/ находим
тг 2 2 4 4 2т 2т 12т
2 13 3 5'" 2т-1 2т+1 /2го+1'
Так как
0 < sin2m+1 х < sin2m x < sin2"1"1 z Vie (о, |),

258 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
то, применяя свойства 6° и 8° (см. 6.7), получаем 0 < hm+i
^ hm ^ hm-i» или с учетом (6.54) при п = 2т +1
1 < ^2m < h™-1 _ 2m 4-1
При т —► оо (2т+ 1)/(2т) —> 1. Поэтому, согласно теореме о
сходимости „промежуточной" последовательности [1-6.5],
т-юо
Используя этот результат и переходя в (6.56) к пределу при
т-юо, получаем (6.55). #
Требование непрерывности подынтегральной функции при
использовании (6.50) и (6.52) не является обязательным. Это
вытекает из формулировок следующих теорем, доказательство
которых приведено в Д.6.2.
Теорема 6.19. Пусть функции f(t) и у(х) интегрируемы
на отрезках [а, /3] и [а, 6] соответственно, а функция
X
x) = to+l
где to = $f(a)= const, не убывает на отрезке [а, 6] и д([а, Ь]) С
С [а,/?]. Тогда функция /(^(ж))7(х) интегрируема на отрезке
[а, 6], причем
6
f{g(x))y(x)dx= I f(t)dt. # (6.57)
д(а)
Бели функция у(х) непрерывна на отрезке [о, 6], то
= д'(х) Уж € [а, 6] и утверждение теоремы 6.19 сводится к
утверждению теоремы 6.17.

6.10. Вычисление определенного интеграла
259
Пример в.17. Вычислим определенный интеграл от
функции 2[ж2]ж по отрезку [0, 2,5]. Функция f(t) = [t] не убывает
на всей числовой прямой R и несмотря на то, что разрывна
при целых значениях £, интегрируема как монотонная на
любом отрезке из R согласно теореме 6.10. Функция у(х) = 2х
непрерывна на R и в силу теоремы 6.6 интегрируема на
отрезке [а, Ь] = [0, 2,5]. Наконец, функция
jxdx =
не убывает на отрезке [0, 2,5], причем [у(а), д{Ь)]= [0, 6,25].
Следовательно, по теореме 6.19 функция f{g(x))y(x) = 2[х2]х
интегрируема по Риману на отрезке
[О, 2,5] и, согласно формуле (6.57),
9(Ь)
J2[x2]xdx=: f[t]dt =
6,25
6,25
6
,25 - 6) = 16,5.
t;g(x)
Рис. 6.7
При вычислении интеграла от функции [t] использованы
результаты примера 6.5. Графики функций д(х) и f(t)
показаны на рис. 6.7, значение вычисленного интеграла соответствует
заштрихованной площади.
Теорема 6.20. Бели функции и(х) и v(x) интегрируемы
йа отрезке [а, Ь] и
X X
U(x) = [ u(t) Л, V(x) = / v(t) dt,

260 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
то функции U(x)v(x) и u(x)V(x) интегрируемы на этом
отрезке, причем
ь ь
fu(x)v(x)dx = U(x)V(x)Ь - fu(x)V(x)dx. # (6.58)
В частном случае, когда функции и(х) и v(x) на отрезке
[а, 6] непрерывны, имеем v(x)dx = dV(x) и u(x)dx = dU(x)
при х 6 [а, Ь], т.е. равенство (6.58) сводится к равенству (6.52).
Дополнение 6.1. Доказательство теорем
о классах интегрируемых функций
Приведем доказательства теорем, сформулированных в 6.5.
Начнем с теоремы об интегрируемости на отрезке
ограниченной функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.
Доказательство теоремы 6.8. Сначала рассмотрим
случай, когда функция }{х) имеет на отрезке [а, 6]
единственную точку разрыва на одном из его концов, например в точке
а. При произвольном е > 0 выберем точку х\ так, чтобы
^ (6'59)
где и — колебание функции f(x) на [а, Ъ].
На- отрезке [хь Ь] функция непрерывна и в силу
теоремы 6.7 интегрируема. Поэтому, согласно следствию 6.2,
найдется такое разбиение Т\ = {si, хг, ..., хп}) хп = 6, отрезка
, 6], ЧТО
п
i=2
где u>i — колебание функции f(x) на частичном отрезке
i-i» Х{]. Отсюда с учетом (6.59) и неравенства и\ ^ и Дл*

Д.6.1. Доказательство теорем о классах интегрируемых функции 261
разбиения Т = {жо = а, х\) •••> хп) отрезка [о, Ь] получаем
п п
^Wt АХ,- = иХ (ХХ - О) + ^LJi AXi < U— + - = £
.=1 *=2
откуда в силу теоремы 6.6 и (6.24) следует интегрируемость
функции f(x) на отрезке [а, 6]. Доказательство в случае
точки разрыва функции на правом конце отрезка [а, Ь]
аналогично.
Перейдем к общему случаю, полагая, что помимо
возможных точек разрыва на обоих концах отрезка [а, 6] функция
f(x) имеет еще га точек разрыва & <&<•••< €m B
интервале (а, 6). Выберем тп+1 точку щ, т/2» •••> Vm+i так, чтобы
были выполнены неравенства
О < VI < tl < m < & < -.. < Vm < Zm < Vm+l <
Тогда на каждом из отрезков
Kb
функция f(x) будет иметь не более одной точки разрыва,
причем каждая такая точка будет совпадать с одним из концов
отрезка. Значит, как доказано выше, функция интегрируема
на каждом из этих отрезков, а поэтому, согласно замечанию
6.3, она интегрируема на всем отрезке [а, 6].
Доказательство теоремы 6.9. Перейдем к
доказательству теоремы о том, что если две функции f(x) и д(х)
различаются лишь в конечном числе точек, то интегрируемость
одной из них равносильна интегрируемости другой.
Функция и(х) = д(х) — f(x) на отрезке [а, Ь] отлична
°т нуля лишь в конечном числе к точек. Поэтому она
ограничена, так как принимает лишь конечное число значений,
11 непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек.
Действительно, если хо 6 (а, Ь) и и(хо) = 0, то функция и(х)
Непрерывна в точке so, потому что обращается в нуль в
Интервале (xq — £, xq + 6), где 6 — наименьшее расстояние от

2626. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
точки хо до точек о, Ь и точек, в которых функция отлична
от нуля. Согласно теореме 6.8, функция и(х) интегрируема
на отрезке [а, 6]. Отметим, что при любом разбиении Т
отрезка [а, 6] точки & на частичных отрезках разбиения
можно выбирать так, что и((«) = 0. В этом случае разбиению
будет отвечать нулевая интегральная сумма. Переходя к
пределу, когда максимальный шаг разбиения стремится к нулю,
заключаем, что
б
и(х) dx — 0.
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6]. В
силу свойства линейности определенного интеграла функция
д(х) = и(х) + f(x) также интегрируема на этом отрезке, причем
/ g(x)dx— I u(x)dx+ I f(x)dx= I f(x)dx,
a a a a
что завершает доказательство теоремы.
Доказательство теоремы 6.10. Наконец, докажем
теорему об интегрируемости монотонной функции.
Пусть монотонная на отрезке [а, 6] функция f(x) для
определенности не убывает. При произвольном е > 0 выберем
разбиение Т этого отрезка на частичные отрезки [zt-_i, ж,],
i = 1, п, с максимальным шагом h <e/(f(b) — /(а)). Так как на
г-м частичном отрезке возрастающая функция имеет колебание
о;,- = f(xi) — /(«,--!), то получаем
п п п
JiAxi < hJ2"i = ^(/fo) - /(*»-i)) = Hf(b) - f(a)) < £•
«=i i=i i=i
Таким образом, согласно следствию 6.2, не убывающая на
отрезке [а, 6] функция интегрируема на нем. Доказательство
для случая не возрастающей функции аналогично.

Д.6.2. Доказательство теорем 6.19 и 6.20 263
Дополнение 6.2. Доказательство
теорем 6.19 и 6.20
Доказательство теоремы 6.10. Рассмотрим некоторое
разбиение Т = {хо = а} х\, ..., ж,-, ..., хп = Ь} отрезка [о, 6],
на п частичных отрезков [zt-ь х%] длиной Дх,-. Положим
*« = ^(^t) и т, = <7(&) в некоторых точках & 6 [х«-1, ««]• ^
силу монотонности функции у(х) имеем
и «i_i ^ rt ^ t,.
Итак, точки to, *ь • •-, tn (среди которых могут быть
одинаковые) образуют разбиение Т' отрезка [у(а), #(6)].
Интегральную сумму для функции /(у(х))7(х),
соответствующую разбиению Т, запишем в виде
t=l
t=i t=i
^t-, (6.60)

где At, = t» - tt-i и
г,- = y(£i)Axi — /
Используя неравенство (6.41), находим, что

264 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
где Ui — колебание функции у(х) на отрезке [ж,_1, ж,].
Интегрируемая на отрезке [а, /3] функция f(t) на основании
теоремы 6.1 ограничена на [а, /?], т.е. \f(t)\ ^ М V* € [а, /3].
Поэтому в силу (6.60) получаем, что
п п
1=1
п
(6.61)
t=l
Функция flf(x), согласно теореме 6.15, непрерывна на отрезке
[а, 6], причем в силу равномерной непрерывности на этом
отрезке для произвольного числа е > 0 найдется такое 6 = 8(е) > 0,
что если ХуХ1 € [о, Ь] и |ж-а?'| <S(e)1 то |^(х)-у(ж/)| <£ [1-5.9].
Отсюда следует, что если максимальный шаг разбиения Т
отрезка [а, Ь] удовлетворяет неравенству h < 8(e), то
максимальный шаг разбиения Т" отрезка \д(а), д(Ь)] удовлетворяет
неравенству
( ) (д({) g(^i)) < e.
t=l, n t=l,n
Таким образом, если h -> 0, то и W -> 0.
Функция /(i) интегрируема на отрезке [^(о), ^(6)] С [а, /3].
Поэтому в силу определения 6.3 предела интегральной суммы и
(6.6)
* = у /(*)А. (6-62)
Так как функция у(х) интегрируема на отрезке [а, 6], то,
согласно следствию 6.1,
п
Hm Y,"i Axi = 0. (6.63)
Переходя в (6.61) к пределу при h -* 0 (а значит, и при h' -4 0).
устанавливаем с учетом (6.62) и (6.63), что интегральная сумма
для функции f(g(z))y(x) на отрезке [а, 6] имеет предел, т.е*

Д.6.2. Доказательство теорем 6.19 и 6.20 265
эта функция интегрируема на [а, 6]. Этот предел в силу
(6.6) равен интегралу в правой части (6.57), что доказывает
справедливость (6.57).
Доказательство теоремы 6.20. Функции U(x) и V(x),
согласно теореме 6.15, непрерывны на отрезке [а, Ь] и потому
в силу теоремы 6.7 интегрируемы на нем. Следовательно, по
теореме 6.11 функции U(x)v(x) и u(x)V(x) интегрируемы на
отрезке [а, 6] как произведения интегрируемых функций, т.е.
определены интегралы
6 6
jU{x)v(x)dx и fu(x)V(x)dx. (6.64)
а а
Пусть Т = {хо = о, х\, ..., Х{, ..., хп = 6} — некоторое
разбиение отрезка [а, 6] на п частичных отрезков [zt--i, з«]
длиной Ах,. Тогда
Щх4) - Uixi-X) = I u(x) dx, V(Xi) - V(x,-_0 = J v(x) dx
и справедливо тождество
U(x)V(x)\ =
ь n
\
1=1
= i2\V(xi) J u(x)dx + U(xi.l) J v(x)dx\ =
1=1 «1 «i1
«1-1
П
n
t=i

266
б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
где
Xi Xi
i= I u(x)dx-u(xi)Axi} r" = I v
С учетом (6.41) находим, что
/ (u(x) - u(xi)) dx < / |u(s)-tt(xt)|<fe$u;{Ax.-,
где и'{ — колебание функции и(х) на отрезке [s,-i, а?,-].
Аналогично можно показать, что \г"\ $ ц^'Дж,-, где о;" —
колебание функции v(x) на том же отрезке.
Непрерывные на отрезке [а, 6] функции U(x) и V(x)
ограничены на нем, т.е. \U(x)\^M и |V(x)|^M V« € [a, 6].
Используя записанное тождество, получаем, что
ь
«=1 п п
^ М > u>iAxi + M > и'/Ах{. (6.65)
t=i t=i
Так как функции и(х) и v(x) интегрируемы на отрезке
[а, 6], то в силу (6.22)
п п
1=1 Л"*° 1=1
где h — максимальный шаг разбиения отрезка [а, 6].
Поскольку интегралы (6.64) существуют, согласно (6.6), имеем
б
(6.67)
ton ^2*{*i)V{xi)Azi = / u(x)V(x)dx,
Hm
;t- = / U(x)v(x)dx. (6.68)
Переходя в (6.65) к пределу при Л-fO и учитывая (6.66) -(6.68)»
приходим к (6.58).

Д.6.3. Связь интегралов Ньютона и Римана 267
Дополнение 6.3. Связь
интегралов Ньютона и Римана
Предположим, что функция f(x) интегрируема на отрезке
[а, Ь] и имеет первообразную, т.е. для нее на этом отрезке
существуют и интеграл Римана /д, и интеграл Ньютона /дг.
Естествен вопрос: совпадают ли значения этих интегралов?
Ответ на него дает следующая теорема.
Теорема в.21. Если функция f(x) интегрируема на
отрезке [а, 6] и имеет на этом отрезке первообразную F(x),
то интегралы Римана и Ньютона от этой функции по данному
отрезку совпадают.
4 Так как функция f(x) имеет на отрезке [а, Ь]
первообразную F(x), интеграл Ньютона можно вычислить по формуле
Ньютона — Лейбница. Покажем, что эту формулу можно
использовать и для интеграла Римана.
Возьмем произвольное разбиение Т отрезка [а, 6] на
частичные отрезки [g«-i,g«], г = 1, п. Согласно определению
первообразной, функция F(x) на каждом частичном отрезке
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа [II]. Поэтому для
любого i = 1, п найдется такая точка & € [«t-i» x%]i что будет
верно равенство
где Дж, = х,-х,_1, г = 1,п. Следовательно,
-F(a). (6.69)
t=i t=i
Левая часть равенства (6.69) представляет собой
интегральную сумму функции /(ж), соответствующую разбиению Т
отрезка [а, Ь] и специальным образом подобранным точкам (,-.
В силу интегрируемости функции f(x) существует предел
Указанной суммы при стремлении к нулю максимального ша-
га разбиения /г, причем этот предел равен интегралу Римана

268 б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
функции f(x) на отрезке [а, 6]. Так как интегральная сумма
на самом деле имеет фиксированное значение F(b) — F(a), то
для интеграла Римана приходим к формуле
= F(b)-F(a),
т.е. в условиях теоремы интеграл Римана можно вычислять по
формуле Ньютона — Лейбница. Это равносильно совпадению
интегралов Римана и Ньютона. ►
Замечание в.8. Доказанная теорема фактически
утверждает, что интегрируемость функции на отрезке и
существование на этом отрезке первообразной достаточны для формулы
Ньютона — Лейбница, которая в рамках интеграла Римана
была доказана лишь для непрерывной на отрезке функции.
Итак, интегралы Ньютона и Римана совпадают, если оба
существуют. Можно, однако, привести примеры, когда
существует один из этих интегралов, но не существует другой.
Пример 6.18. а. Нетрудно убедиться непосредственной
проверкой, что функция
■{
F(x) {
О,
является на отрезке [0, 1] первообразной функции
■{
/w ■
О, х = 0.
Следовательно, для функции f(x) по отрезку [0, 1]
существует интеграл Ньютона, равный, согласно формуле (5.3)
Ньютона — Лейбница, /jy = sin(7r/2) = 1. Но интеграл Римана от этоя
функции на том же отрезке не существует, так как функция
f(x) не ограничена на отрезке [0, 1].

Д.6.4. Обобщение теорем о среднем значении 269
6. Функция /(ж) = 2 sin (In х) ограничена и непрерывна на
отрезке [0,1] всюду, кроме точки х = 0. Согласно теореме 6.8,
она интегрируема на [0,1] и ее интеграл Римана равен
1
/ 2sin(lnx)dx = ж sin (In ж) — xcos(lnx) = — 1,
о
где под значением первообразной в точке х = 0 понимается ее
предел при х -4 +0.
Однако функция /(х) не имеет первообразной на отрезке
[0,1]. В самом деле, эта функция имеет первообразную F(x) =
= 2 sin (In x) -xcos(lnx) на любом промежутке (Л, 1]. Значит,
если /(ж) имеет первообразную, то ею является функция F(x),
доопределенная в точке х = 0 значением 0 своего предела
при х -* +0. Но доопределенная таким образом функция
оказывается недифференцируемой в точке 0, так как предел
hm —— — = lim (sin(lnAx) -cos(lnAx)) =
Лх Да:*0У V V "
hm
Д*-Ю Лх
= lim \/2sin(lnAx ]
Дх-ю V 4 /
4
не существует. Отметим, что точка х = 0 для функции
f(x) является точкой разрыва второго рода, так что интеграл
Ньютона для функции }{х) на отрезке [0,1] не существует и
в обобщенном смысле (см. 5.2).
Дополнение 6.4. Обобщение
теорем о среднем значении
Теорема 6.22. Бели функция д(х) непрерывна на отрезке
6], а функция /(х) неотрицательна, не возрастает и
непрерывно дифференцируема, то существует такая точка с€ [а, 6],
Что
6 с
ff(x)g(x) dx = f(a) fg(x) dx. (6.70)

270 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
4 В силу непрерывности на отрезке [а, 6] функция f(x)g(x)
интегрируема на этом отрезке. Согласно следствию 6.4, одну
из первообразных функции д(х) на отрезке [а, 6] можно
записать в виде интеграла с переменным верхним пределом:
X
G{x) = fg(t) dt Vs € [о, 6]. (6.71)
a
Функция G(x) как первообразная, согласно теореме 6.15,
непрерывна на отрезке [а, 6] и поэтому в силу второй теоремы
Вейерштрасса [1-9.4] достигает на этом отрезке наибольшего
М и наименьшего m значений, т.е.
т ^ G{x) ^ М Уж € [о, 6]. (6.72)
Учитывая, что dG(x) = g(x) dx и G(a) = 0, и интегрируя
левую часть (6.70) по частям, находим
6 6
f(x)g(x) dx = J f(x) dG(x) = f(x)G(x) [ -
a a
6 6
- ff(x)G(x)dx = f(b)G(b) - f f(x)G(x)dx. (6.73)
a a
Так как функция f(x) не возрастает на отрезке [а, 6], то
f'(x) ^ 0 Уж 6 [а, Ь], Поэтому с учетом (6.72), замечания 6.6
и неравенства f(b) ^ 0, вытекающего из неотрицательности
функции f(x) на [а, 6], можем записать
ь ь
f(b)G(b) - / f'(x)G{x) dx ^ Mf(b) - М ff'(x) dx =
a a
= Mf(b) - M(f(b) - /(a)) = Mf(a),
i Ь
f(b)G(b)-ff'(x)G(x)dx>m/(6)-m ff'(x)dx =

Д.6.4. Обобщение теорем о среднем значении 271
Объединяя эти неравенства с (6.73), получаем
6
f(x)g(x)dx<Mf(a).
Бели /(а) = 0, то из неотрицательности и невозрастания на
[о, Ь] функции f(x) следует, что f(x) = 0 Vx G [о, 6]. В этом
случае утверждение теоремы верно при любом выборе точки
с € [а, Ъ]. Если же /(о) > 0, то
ь
т < j^Jf(x)g(x)dx ^ М. (6.74)
а
Непрерывная на отрезке [а, 6] функция G(x) принимает
любое значение, лежащее между ее минимальным т и
максимальным М значениями [1-9.4]. Поэтому, сравнивая (6.74)
с (6.72), заключаем, что существует такая точка с€ [о, 6], в
которой с учетом (6.71),
с
G(c) = J
Ь
f(x)g(x)dx.
a a
Отсюда следует утверждение теоремы. ►
Таким же путем можно доказать следующую теорему.
Теорема в.23. Бели функция д(х) непрерывна на отрезке
[а, 6], а функция }(х) неотрицательна, не убывает и
непрерывно дифференцируема, то существует такая точка с€ [а, 6],
что
б б
f(x)g(x) dx = f(b) Jg(x) dx. # (6.75)
а с
Формулы (6.70) и (6.75) называют формулами Бонне по
Вмени французского математика П.О. Бонне (1819-1892).

272 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Теорема в,24. Бели функция д(х) непрерывна на отрезке
[а, 6], функция f(x) монотонна и непрерывно
дифференцируема, то существует такая точка с G [а, 6], что
Ь с Ь
f f(x)g{x)dx = f(a) Ig(x)dx + f{b) fg(x)dx. (6.76)
4 Допустим сначала, что функция f(x) не убывает на
отрезке [а, 6]. Тогда функция h(x) = f(x) — f(a) будет на этом
отрезке неотрицательной, неубывающей и непрерывно
дифференцируемой. Поэтому, согласно утверждению теоремы 6.23,
существует такая точка с € [а, 6], что
ь ь
I h(x)g(x) dx = h(b) I g(x)dx,
а с
или после подстановки выражения для функции h(x)
ь ь
J{f(x) - f(a))g(x)dx= {f(b) - f(a)) Jg(x)dx.
а с
Отсюда с учетом линейности и аддитивности определенного
интеграла
b 6,6
()dx
Jf(x)g(x)dx = f(a)Jg(x)dx-f(a)Jg(x)d
а с
6 с
что совпадает с утверждением теоремы.
Бели же функция }{х) не возрастает на отрезке [а, Ь],
функция w(x) = f(x) — f(b) будет на этом отрезке неотр**'
дательной, невозрастающей и непрерывно дифференцируемой-

Вопросы и задачи 273
Поэтому, согласно утверждению теоремы 6.22, существует
такая точка с € [в, 6], что
6 с
/ w(x)g(x)dx = w(a) I g(x)dx.
a a
Отсюда после подстановки выражения для функции w(x)
получаем
6 с
/(/(*) " №)§(*)** = (/(а) - f(b))Jg(x)dx.
a a
Таким образом, с учетом того же свойства аддитивности
определенного интеграла
6 с Ь
f(x)g(x) dx = f(a) Jg(x) dx + /(6) J g(x) dx -
a a a
с с b
- f(b) Jg(x) dx = f(a)J8(x) dx + f(b) Jg(x) dx,
a a c
что также совпадает с утверждением теоремы. ►
Вопросы и задачи
6.1. С помощью интегральных сумм найти интегралы от
следующих функций на указанных отрезках:
а) х\ [-1, 2]; б)ч/£, [0, 1]; в) sins, [0, тг/2]; г) I/*2, [1, 2];
Д)1/х,[1,2]; е)е*,[0, 1]; ж) xn (n6 Z\{-1}), [a, 6].
6.2. Построить неинтегрируемую на отрезке [—1,1]
функцию, квадрат которой интегрируем на этом отрезке.

274 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
в.З. Интеграл по отрезку [0, 1] от непрерывной функции
f(x) положителен. Доказать, что существует такой отрезок
[а, Ь] С [0, 1], что f(x) > 0 на этом отрезке.
6.4. Доказать, что для убывающей на отрезке [0, 1]
функции f(x)
1 А
\[f(x)dx$ff(x)dx, Л € (0, 1).
о о
6.5. Найти пределы при п —► оо следующих сумм:
71 -I ft Л - • Л -
n .** _!L , л :~ _!L o«7n
^ ( )г

в.в. С помощью формулы Ньютона — Лейбница вычислить
следующие интегралы:
е в
xs\nnxdx, s>0, n€N; б) [x]sm^dx.
в.7. Доказать, что если функция /(х) интегрируема на
отрезке [0, 1], то
7Г 1Г
/ xf(s\nx)dx= — / /(sin

7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Необходимым условием существования определенного
интеграла является ограниченность подынтегральной функции на
отрезке между конечными пределами интегрирования. Однако
при рассмотрении теоретических вопросов и решении
прикладных задач нередко появляется необходимость использовать при
интегрировании неограниченные функции и бесконечные
промежутки. Возникающие при этом интегралы принято
называть несобственными.
7.1. Интегралы по бесконечному промежутку
Пусть функция f(x) определена на бесконечном
полуинтервале [а, Н-оо) и интегрируема на любом конечном отрезке
[а, ft]. Тогда в полуинтервале [а, +оо) определена функция
Ф(Ь) =У/(*)«** (7.1)
как определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Определение 7.1. Предел функции Ф(6) (7.1) при ft-4+oo
называют несобственным интегралом от функции /(ж)
по бесконечному промежутку [а, +оо) (или несобствен-
+оо
ным интегралом первого рода) и обозначают J f{x)dx. Бели
а
Указанный предел существует и конечен, то этот интеграл
называют сходлщимсл (в этом случае говорят о сходимости
Несобственного интеграла по бесконечному промежутку).
Если же предел бесконечен или не существует, то несобственный
Интеграл расходлщийсл.

276
7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Итак, на основании определения 7.1 и формулы (7.1) имеем
+оо Ь
[ f(x)dx= lim Ф(Ь)= lim f f(x)dx. (7.2)
J 6-Ц-оо 6-»+oo J
fix)
В случае f(x) ^ 0 Vz G [a, +oo)
значение сходящегося
несобственного интеграла геометрически со-
^ ответствует площади бесконечно
х длинной криволинейной трапеции
Рис* 7Л (рис. 7.1), заключенной между
прямой х = о, осью Ох и графиком функции /(&).
Пусть функция f(x) определена в бесконечном
полуинтервале (—оо,6] и интегрируема на любом конечном отрезке [а, 6].
Тогда в полуинтервале (-оо, 6] определена функция
9(a)=Jf(x)d:
(7.3)
как определенный интеграл с переменным нижним пределом.
Определение 7.2. Предел функции Ф(а) (7.3) при а -> -оо
называют несобственным интегралом от функции /(я) по
ь
бесконечному промежутку (-оо, 6] и обозначают f f(x)dx.
—оо
Итак, согласно определению 7.2 и формуле (7.3), имеем
ь ь
f
J
—оо
f(x)dx= lim Ф(а)= lim [ f(x)dx. (7.4)
e—►—оо a—t—ooj
Как и в случае (7.2), говорят, что несобственный интеграл
(7.4) сходится, если предел при а -» -оо существует и
конечен, и расходится, если этот предел бесконечен или не
существует. При f(x) ^ 0 Va: € (—оо, 6] значение сходящегося не-

7.1. Интегралы по бесконечному промежутку 277
собственного интеграла (7.4)
равно площади криволинейной
трапеции с бесконечным основанием,
заключенной между прямой х =
= 6, осью Ох и графиком функ- О Ь х
ции f{x) (рис. 7.2). Рис. 7.2
Наконец, если функция f(x) определена на всей числовой
прямой R и интегрируема на любом конечном отрезке [а, 6],
то для произвольного с £ R соотношением
+оо с +оо
J /(») dx = j /(») dx + I f{x) dx (7.5)
—OO —OO
определяют несобственный интеграл от функции f(x) по
бесконечному промежутку (—оо, +оо) и говорят, что такой
несобственный интеграл сходится, если независимо один от другого
сходятся оба несобственных интеграла в правой части (7.5).
Утверждение 7.1. Сходимость и значение несобственного
интеграла (7.5) не зависят от положения точки с G R.
4 Для доказательства возьмем d € R (<Аф с) и покажем, что
с +оо d +oo
j /(») dx + f /(*) dx= f f(x) dx+ j f{x) dx.
—OO С —OO
В силу определений 7.1 и 7.2 несобственных интегралов и
аддитивности определенного интеграла можно записать
f f(x)dx+ [ f(x)dx= lim [f(x)dx+ lim f f(x)dx =
J J a-t-ooj .b-++ooj
—оо с о с
d с b
= lim ( [f{x)dx+ [f(x)dx)+ lim [f(x)dx. (7.6)
a-t-oo\J J J b-++ooj

278 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Поскольку определенный интеграл по отрезку с концами в
точках d и с от интегрируемой функции f(x) является
числом, то, учитывая аддитивность определенного интеграла,
перепишем (7.6) в виде
+ОО
/ f(x) dx+ [ f(x) dx = ^m^ / f{x) d
—oo с
с
-I- lim ( f f(x)dx+ [f{x)dx)= lim
b-++oo\J J / o-f-
d с
b d +oo
4- lim ff(x)dx= [ f(x)dx+ f f(x)dx,
6-»+oo J J J
d -oo d
откуда следует справедливость высказанного утверждения. ►
Вычисление несобственного интеграла основано на его
определении. Пусть, например, функция f(x) имеет
первообразную F(x) в промежутке [а, +оо) и интегрируема на любом
конечном отрезке [а, 6]. Тогда в силу формулы Ньютона —
Лейбница
/
= F{b) - F(a) = F(x) .
a
Отсюда следует, что при существовании первообразной
несобственный интеграл (7.2) сходится в том и только в том случае,
если существует конечный предел lim F(b) = F(-foo). Тогда
6-++ОО
для несобственного интеграла (7.2) имеем
+ОО
f(x) dx = F(+oo) _ F(a) = F(x) +°°. (7.7)
Аналогично, если функция f(x) имеет первообразную
в промежутке (-oo, 6] и интегрируема на любом отрезке [а» Ч

7.1. Интегралы по бесконечному промежутку 279
то получаем
6 6
[ f(x)dx = lim [f(x)dx = lira (F(6)-F(a)) =
J a—t—ooj a—>—oo
—oo
= F(6)- lim F(a) = F(b)-F(-oo) = F(x)\ , (7.8)
o—►—oo I—oo
откуда ясно, что при существовании первообразной несоб-
ственный интеграл (7.4) сходится тогда и только тогда, когда
существует конечный предел lim F(a) = F(—oo).
Наконец, если функция f(x) имеет первообразную F(x) в
бесконечном интервале (-оо, +оо) и интегрируема на любом
отрезке [а, 6], то для несобственного интеграла (7.5) можно
написать
+оо
/ f(x)dx= (f(c) - lim F(a)) + ( lim F(b) - F(c))y (7.9)
J V o—►—oo / \6->+oo /
—oo
т.е. этот несобственный интеграл сходится тогда и только
тогда, когда существуют и конечны пределы
lim F(a)=F(-oo) и lim F(6) = F(+oo).
a-»—oo ft-Ц-оо
Тогда из (7.9) имеем
+оо
f(x) dx = F(+oo) - F(-oo) = F(x) +°°. (7.10)
—oo
—oo
Соотношения (7.7), (7.8) и (7.10) иногда называют
обобщенными формулами Ньютона — Лейбница. В силу
определения несобственного интеграла по бесконечному
промежутку для их нахождения можно применять методы, исполь-
эУемые при вычислении определенных интегралов.

280 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пример 7.1. Выясним, сходятся или расходятся
несобственные интегралы
+ОО +ОО +ОО +ОО
ч f dx *ч f 2xdx ^ f xj ^ f
J **5 J TT**' ^ J ^ J CO8xdx>
10 -oo 0
и вычислим значения сходящихся интегралов.
а. В промежутке [1, +оо) функция 1/х2 непрерывна и
имеет первообразную F(x) = -1/х. Поскольку
lim F(x)= lim — = 0,
х-»+оо ж-^+оо X
несобственный интеграл от этой функции по указанному
промежутку сходится, и, используя (7.7), получаем
+оо
f dx _
J **-
+оо
1
1
+оо
б. Функция 2х/(1+х2) в промежутке [0,+оо) непрерывна
и имеет первообразную F(x) = ln(l + ж2). Несобственный
интеграл от рассматриваемой функции расходится, так как
F(x) —► +оо при х -* +оо.
в. Представим несобственный интеграл от функции ех по
промежутку (—oo, -f оо) в виде
+оо 0 +оо
f exdx= f exdx+ f exdx. (7.11)
—oo —oo
Функция ех непрерывна и имеет в этом промежутке
первообразную F(x) = ех. Поскольку ех -> 0 при х -¥ -оо, то в
силу (7.8)
/
exdx = ex =1,
—оо
—оо

7.1. Интегралы по бесконечному промежутку
281
т.е. этот несобственный интеграл сходится. Но при х -+ +оо
F(x) —► +00 и, согласно (7.7),
exdx = ex
+00
= +00,
т.е. второй несобственный интеграл в правой части (7.12)
расходится. Поэтому и несобственный интеграл в левой части
(7.11) расходится.
г. Функция cos ж непрерывна в промежутке [0,+оо), но
ее первообразная F(x) = sin ж не имеет при ж -» +оо ни
конечного, ни бесконечного предела. Следовательно,
несобственный интеграл от функции cos ж по бесконечному промежутку
[О, +оо) расходится.
Пример 7.2. Кривая
графика функции /(ж) = 1/(1 + ж2),
называемая локоном Анъези, имеет
горизонтальную асимптоту у = О
(рис. 7.3). Согласно (7.2), при
а = О находим
-2 -1
Рис. 7.3
= lim arctgs
Ь-Ч+оо
Нт arctg&
b-f+oo
7Г
2
Итак, несобственный интеграл по промежутку [0, +оо) от
функции f(x) = 1/(1 + х2) сходится, а заштрихованная на
рис. 7.3 площадь равна тг/2. В силу четности функции /(ж)
локон Аньези симметричен относительно оси ординат, поэтому
площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, будет равна
*. Это же можно установить, если вычислить несобственный

2827. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
интеграл
о о
dx
1+ж2
—оо а
О 7Г
= lim arctgx = - lim arctg(a) = -
a-f-oo a a-f-oo 2
и использовать (7.5) при с = 0. Отметим, что функция
1/(тг(1 + я2)) находит широкое применение в теории
вероятностей [XVI]: она задает стандартное распределение Коши
вероятностей случайной величины, рассмотренное французскими
математиками О. Коши (1789-1857) и несколько ранее С.
Пуассоном (1781-1840).
Пример 7.3. Исследуем на сходимость несобственный
интеграл
-, «>0,
в зависимости от показателя степени s € R. Ясно, что при
а > 0 и любом s € R функция 1/х9 непрерывна, а значит,
интегрируема на любом отрезке [а, 6]. Бели показатель степени
зф 1, то одной из первообразных функции 1/х3 будет F(x) =
= -l/((s - 1)жв"!). Тогда, согласно (7.7), находим
+оо
I
Xs 5—1 \*-Н-°°
тт--гт). (7-12>
.«-1 а8-1 J
a
В случае 5 > 1 при х -¥ +оо имеем \/х*~1 -> 0 и поэтому
+оо
dx a1'9
з-V
J х»~

7.2. Основные свойства интегралов по бесконечному промежутку 283
т.е. рассматриваемый несобственный интеграл сходится. Бели
же s < 1, то предел в (7.12) бесконечен, т.е. несобственный
интеграл является расходящимся. При * = 1 имеем
+ОО
— = lim In x - In a = +oo,
X х-Ц-оо
/
т.е. несобственный интеграл расходится.
В итоге установили важный для дальнейшего результат:
несобственный интеграл в (7.12) сходится при s > 1 и расходится
при 5^1.
7.2. Основные свойства сходящихся
несобственных интегралов
по бесконечному промежутку
Свойства сходящегося несобственного интеграла по
бесконечному промежутку аналогичны свойствам определенного
интеграла, и поэтому ограничимся лишь перечислением этих
свойств. Их доказательство читатель может провести
самостоятельно, используя определения 7.1 и 7.2 несобственных
интегралов, соответствующие свойства определенного
интеграла (см. 6.7) и свойства предела функции [1-7.4].
1°. Бели в сходящемся несобственном интеграле поменять
вестами пределы интегрирования, то его знак изменится на
противоположный, например:
+оо а
f f(x)dx = - f f(x)dx. (7.13)
а +оо

284 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2°. Пусть функция f(x) интегрируема на любом отрезке
[а, Ь] С [а, +оо) и О а. Тогда несобственные интегралы
+ОО +0О
f f(x)dx и f f(x) d:
либо оба сходящиеся, либо оба расходящиеся, причем в случае
сходимости этих несобственных интегралов верно равенство
+ОО С
J f(x) dx = J f(x) dx+ J f{x) dx, (7.14)
а а с
(свойство аддитивности сходящегося несобственного
интеграла).
3°. Сходящийся несобственный интеграл обладает
свойством линейности, т.е. если несобственные интегралы
+ОО +ОО
/ fi(x)dx и / f2(x)dx
а а
оба сходятся, то сходится и несобственный интеграл от
функции \\f\(x) + \2f2(x) (Ai,A2£R) по промежутку [а, +оо),
причем
+оо
+оо +оо
= Ai ( fi(x)dx + \2 f f2{x)dx. (7.15)
Отметим, что если в равенстве
+оо +оо
/ Ai/i(a;)(fa; = Ai / fi(x)dx

7.2. Основные свойства интегралов по бесконечному промежутку 285
при Ai ф О один из несобственных интегралов расходится, то
расходится и другой, поскольку если бы один из интегралов
сходился, а другой расходился, то это противоречило бы (7.15)
при Аг = 0.
4°. Для сходящихся несобственных интегралов от функций
f(x) и д(х) по промежутку [а, +оо), удовлетворяющих в этом
промежутке условию f(x) ^ д(х), справедливо неравенство
+ОО +ОО
f f(x)dx^ J g{x)dx. (7.16)
Пример 7.4. Исследуем на сходимость несобственные
интегралы
+оо +оо -2
dx
а]
I -о—: ^i б) I xsinxdx: в) /
J ж2 + 4хН-91 J J J J
—оо О —оо
г.
а. Функция 1/(х2 + 4х + 9) непрерывна на всей числовой
прямой R. Для нахождения ее первообразной выделим полный
квадрат в знаменателе дроби: х2 + 4ж + 9 = (х + 2)2 + 5.
Учитывая табличный интеграл 13 и (7.10), получаем
+ОО +0О
Г dx f d(x -h 2)
J а:2 + 4ж + 9~ J (x + 2)2 + 5 ""
—оо —оо
1 , х + 2
_ 7Г / 7Г \ _ 7Г
б. Так как функция xsinx непрерывна при хб[0,+оо),
°на интегрируема на любом отрезке [а, 6] С [0, +оо). Поэтому
+ОО 6
/xsinxdx = lim / xsinx dx.
о о

286 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Применяя для вычисления определенного интеграла
интегрирование по частям, находим
ь ь
I xsinxdx = I xd(-cosx) =
6
I6 /
= —xcosx\ + I cosxdx = -frcosb-f sin6.
0
Поскольку предел полученного выражения при 6 —f -foo не
существует, то рассматриваемый несобственный интеграл
расходится.
в. Функция 1/(х2(1 + х)) является рациональной дробью и
интегрируема на любом отрезке [а, -2] С (-оо, -2]. Разложим
ее на простейшие рациональные дроби:
1 А В D
х2(1 + х) = ~х+х2"*"~
Для нахождения неопределенных коэффициентов приведем
дроби справа к общему знаменателю и затем приравняем числители
в обеих частях равенства: Ах(\ + х) + В(\ + х) + Dx2 = 1.
Отсюда при х = 0 находим В = 1, при х = -1 имеем D = 1, а
из равенства коэффициентов при х2 следует Л = -1. Таким
образом, одной из первообразных функции f(x) будет
1
В данном случае при х -► -оо существует конечный предел
F(-oo) = 0. Поэтому, используя (7.8), получаем
-2
= F(~2) - F(-oo) = In
-
/
—оо
x2{l+x)

7.3. Признаки сходимости интегралов 287
7.3. Признаки сходимости интегралов
по бесконечному промежутку
Перед интегрированием функции по бесконечному
промежутку целесообразно предварительно убедиться, во-первых, в
том, что она интегрируема на любом отрезке, включенном в
этот промежуток, и, во-вторых, что соответствующий
несобственный интеграл от данной функции является сходящимся.
Рассмотрим некоторые признаки, которые позволяют
установить сходимость или расходимость несобственного интеграла
по бесконечному промежутку.
Прежде всего напомним, что если функция f(x)
интегрируема на любом отрезке [а, Ь] С [а, +оо), то в соответствии с
определением 7.1 сходимость несобственного интеграла от этой
функции по промежутку [а, +оо) равносильна существованию
конечного предела
lim Ф(6)= lim I f(x)dx.
Функция Ф(6), имеющая конечный предел при Ь-Ц-оо,
ограничена в некоторой окрестности точки -foo, т.е. на
интервале (6,+оо) для некоторого достаточно большого числа Ь
[1-7.4]. Кроме того, в силу теоремы 6.15 функция Ф(6)
непрерывна в промежутке [a,-foo), a значит, и на любом отрезке
к Ь] С [а, +оо).
В примере 7.1.г показано, что несобственный интеграл от
Функции cos а; по промежутку [0,-foo) является расходящим-
ся} несмотря на то что функция
ф(6)=|
ь
cosxdx =
Непрерывна и ограничена при 6 -> -foo. Следовательно,
непрерывность и ограниченность функции Ф(6) являются лишь не-

288 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
обходимыми условиями сходимости несобственного интеграла
от соответствующей функции f(x). Так, из геометрического
смысла несобственного интеграла по бесконечному
промежутку от знакопостоянной функции /(ж) следует, что если
существует конечный, отличный от нуля предел
lim
и функция /(ж) интегрируема на любом отрезке [а, 6] С
С [а, +оо), то несобственный интеграл от этой функции по
промежутку [a, -foo) расходится.
Достаточные признаки сходимости несобственного
интеграла по бесконечному промежутку установим сначала только
для неотрицательных функций. Аналогичные признаки будут
справедливы и для неположительных функций, так как,
согласно свойству 3° линейности (см. 7.2), несобственные интегралы
от функций /(ж) и Л (ж) = -/(ж) по бесконечному
промежутку ведут себя одинаково, т.е. либо оба сходятся, либо оба
расходятся.
Теорема 7.1. Пусть функции f(x) и д(х)
интегрируемы на любом отрезке [а, 6] С [а, -foo), причем 0 ^ f(x) ^
$ д(х) Уж ^ а. Тогда, если сходится несобственный интеграл
+ОО +ОО
/ g(x)dx, то сходится и интеграл J f(x)dx, а если расхо-
а а
+оо
дится несобственный интеграл J f(x)dxy то расходится и
а
+оо
а
4 Пусть сходится несобственный интеграл от функции д(ж).
В силу определения 7.1 это означает, что существует конечный
предел
V
im / g(x)dx-c< +00. (7.17)
H-00J
lim
6-»+OO
a

7.3. Признаки сходимости интегралов
289
Поскольку по условию теоремы д(х) ^ О Ух € [о, +оо), то>
ь
очевидно, Jg(x)dx ^ с V6 ^ а. В соответствии с условием
а
теоремы и свойством 8° определенного интеграла (см. в.7)
о
f
о
f
Так как f(x) ^ 0 Ух € [а, +оо), то функция Ф(Ь) = J f(x)dx
a
монотонно возрастает и ограничена сверху значением с.
Следовательно, такая функция имеет предел [1-7.3], причем
lim Ф(6)= ton ff{x)d:
(7.18)
+oo
что означает сходимость несобственного интеграла J f(x) dx.
a
Второе утверждение теоремы докажем от противного.
Предположим, что интеграл от функции д(х) сходится. Но тогда,
как только что было доказано, сходится и интеграл от функции
/(х), что противоречит условию теоремы. ►
Замечание 7.1. При использовании теоремы 7.1
функцию, для которой известно, сходится ли несобственный
интеграл, обычно называют функцией сравнения. В силу
аддитивности сходящегося
несобственного интеграла (см. 7.2, У
свойство 2°) ясно, что
теорема 7.1 справедлива, если
неравенство 0 ^ /(х) ^ <7(х)
выполнено не для всех х ^ а, а лишь
начиная с некоторого значения
по> а (рис. 7.4), поскольку оба Рис. 7.4
•fix)

2907. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
интеграла
f(x)dx и g(x)dx
а а
от интегрируемых функций f(x) и д(х) являются
постоянными числами и их значения не влияют на существование пределов
в (7.17) и (7.18). Отметим, что утверждение теоремы 7.1
верно и в случае, когда эти функции в интервале (а, ао) меняют
знак.
Пример 7*5. Исследуем несобственный интеграл от
функции /(ж) = 1/(а;2+2а:+2) по бесконечному промежутку [0, +оо).
Эта функция интегрируема на любом отрезке [0,6]. Ясно,
что 0 < f(x) < 1/х2 при всех х > 0. Однако непосредственно
использовать функцию 1/х2 в качестве функции сравнения
нельзя, так как она не определена при х = 0. Поскольку
несобственный интеграл
+оо
dx
X2
1
сходится (см. пример 7.3), то в силу теоремы 7.1 сходится и
несобственный интеграл от функции f(x) по бесконечному
промежутку [1, +оо), который отличается от исследуемого
интеграла на постоянное число, равное определенному интегралу
1
dx
/
+00 ,
Следовательно, несобственный интеграл J -^—-—- тоже
сходится. #
Докажем теперь предельный признак сравнения
несобственных интегралов.
Теорема 7.2. Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы
на любом отрезке [а, 6] С [а, +оо) и неотрицательны при х^а.

7.3. Признаки сходимости интегралов 291
Бели существует конечный положительный предел
lim Щ = \>0, (7.19)
++оо д(х)
то несобственные интегралы
+ОО +0О
f(x)dx и I g(x)dx (7.20)
f
либо оба сходятся, либо оба расходятся.
4 Из (7.19) в силу определения предела функции [1-7.1] для
любого е > 0 найдется такое число М > 0, что справедливо
неравенство
-е)д{х) < /(*) < (\ + е)д(х) V* > М. (7.21)
Будем считать, что a > М, так как, согласно замечанию 7.1,
утверждение теоремы достаточно доказать для случая a> M.
Выберем е так, чтобы было выполнено условие А - е > 0.
Бели сходится второй интеграл в (7.20), то в силу линейности
сходящегося несобственного интеграла (см. 7.2, свойство 3°)
+оо
сходится и интеграл / (\ + e)g(x)dx, а тогда, согласно тео-
а
реме 7.1 и (7.21), будет сходиться и первый интеграл в (7.20).
Бели же сходится первый интеграл в (7.20), то в силу теоре-
+оо
мы 7.1 и (7.21) сходится и интеграл J (\-e)g(x)dx, а тогда,
а
согласно линейности сходящегося несобственного интеграла,
будет сходиться и второй интеграл в (7.20).
Покажем теперь, что если расходится один из
несобственных интегралов в (7.20), то расходится и другой. Пусть
расходится первый интеграл в (7.20). Тогда из (7.21) и теоремы 7.1
следует расходимость интеграла J (\ + e)g(x)dx1 а значит,
а
в силу свойства 3° (см. 7.2) расходится и второй интеграл в
(7.20). Аналогично, используя левую часть неравенства (7.21),

292 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
теорему 7.1 и свойство 3° (см. 7.2), можно показать, что из
расходимости второго интеграла в (7.20) следует расходимость
первого интеграла. ►
Замечание 7.2. Если в (7.19) А = 0, то можно лишь
утверждать, что из сходимости второго интеграла в (7.20)
следует сходимость первого, а из расходимости первого —
расходимость второго. #
Применяя признаки, которые устанавливаются
теоремами 7.1 и 7.2, в качестве функции сравнения часто используют
функцию 1/х*.
Пример 7.6. Исследуем на сходимость несобственные
интегралы
а) [ . dX б) f {X + I)dx
1 2
а. Функция f(x) = l/Vx2 — 2х -f 3 интегрируема на любом
отрезке [1,6] С [1,+оо) и при х —► +оо является бесконечно
малой (б.м.), эквивалентной функции д(х) = 1/х, поскольку для
этих функций в (7.19) Л = 1. Так как несобственный интеграл
от функции 1/х по бесконечному промежутку [1, +оо)
расходится (см. пример 7.3), то в силу теоремы 7.2 расходится
и несобственный интеграл по этому промежутку от функции
/м-
б. При ж-»+оо функция f(x) = (x + 1)/ \/х7 - Зж - 2
является б.м., эквивалентной функции д(х) = 1/х4/3. Обе эти
функции интегрируемы на любом отрезке [2, Ь] С [2, +оо). Так как
несобственный интеграл по бесконечному промежутку [2, +оо)
от функции д(х) = \/х* при 8 = 4/3 > 1 сходится (см.
пример 7.3), то, согласно теореме 7.2, сходится несобственный
интеграл по этому промежутку и от функции f(x). #
Ясно, что признаки, устанавливаемые теоремами 7.1 и 7.2,
применимы и к несобственным интегралам вида (7.4).

7.3. Признаки сходимости интегралов 293
Пример 7.7. Рассмотрим несобственные интегралы
+ОО +ОО
О feaxdx; б) f e-*2dx.
—оо —оо
а. Используя (7.5) при с — О, запишем
+оо 0 +оо
f eax dx= f eax dx+ f eax dx. (7.22)
—оо —оо О
Напомним (см. 7.1), что интеграл в левой части (7.22) сходится,
если сходятся оба интеграла в правой части.
Функция f(x) = eax интегрируема и имеет первообразную
F(x) = eax/a на любом отрезке [а, Ь] С (—оо, +оо). Поэтому,
используя (7.7), получаем
+оо
/■
еах +оо i i
eaxdx=— =- lim eax--.
а о аат-м-оо a
0
Отсюда видно, что несобственный интеграл по бесконечному
промежутку [0, +оо) сходится при a < 0, причем его значение
равно — 1/а, и расходится при a > 0. Нетрудно установить,
что он расходится и при a = 0.
Аналогично, применяя (7.8), находим
0
/
—oo
€ax ° 11
?xdx= —
= --- lim eax,
-оо a a a?-f-oo
т.е. несобственный интеграл по бесконечному промежутку
(—оо, 0] сходится при а > 0, причем его значение равно 1/а, и
расходится при а < 0. Ясно, что он расходится и при а = 0.
Таким образом, при любом значении а 6 R один из
несобственных интегралов в правой части (7.22) расходится.
Следовательно, расходится и интеграл в левой части (7.22).

294 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
б. Функция е~х2 непрерывна, а значит, интегрируема на
всей числовой прямой R, но ее первообразная не выражается в
элементарных функциях. Применяя (7.5) при с = 0, находим
+оо 0 +оо
( е~* dx= f е-*3 dx+ ( е-*2 dx. (7.23)
—оо —оо О
Функции /(а?)=е~я?2 и д(х)=е~х являются б.м. при я-^+оо,
но f(x)/g(x) = е"х2+аг -> 0 при х ->•-|-оо, т.е. верно (7.19)
при Л = 0. Так как несобственный интеграл от функции
д(х) = е~х по бесконечному промежутку [0, +оо) сходится
(см. пример 7.7.а), то в силу замечания 7.2 сходится и второй
интеграл в правой части (7.23).
Аналогично функции f(x) = еГх и ех являются б.м. при
х -)• -оо, а их отношение f{x)/ex = еГх ~х стремится к нулю
при х -+ -оо, т.е. снова верно (7.19) при Л = 0. Поскольку
несобственный интеграл от функции ех по бесконечному
промежутку (-оо,0] сходится (см. пример 7.7.а), то, согласно
замечанию 7.2, сходится и первый интеграл в правой части
(7.23).
Итак, оба интеграла в правой части (7.23) сходятся.
Следовательно, сходится и несобственный интеграл в левой части
(7.23).
Рассмотренный интеграл играет важную роль в теории
вероятностей. Его значение равно у/п (см. пример 8.11).
Пример 7.8. Исследуем на сходимость несобственные
интегралы
+оо +оо +оо
v [ З + sinar ч Г dx ч f^.ol,
а) / -г= -==dx; б) / -=- —; в) / Vx3sin2-dx;
J Vx* + y/x+l J y/x + cos2x J x
i
+ y/+ y/ J
i l l
T (3
f
5 Д)У
(2«3-7)arcsin(l/a:)

7.3. Признаки сходимости интегралов 295
а. Функция f(x) = (3-hsinx)/(v^-f л/s+l) непрерывна,
а значит, интегрируема на любом отрезке [1,6]. Числитель
дроби не превосходит значения 4 для любого х ^ 1. Поэтому
/(*) < з * = 9(х) V* > 1.
4 + Ы
Функция у/х* + л/ж-f-1 является бесконечно большой (б.б.)
при х —> -foo и эквивалентна первому слагаемому. Поэтому
д(х) ~ 4/ у/х* = 4/х4/3 при ж -> +оо. Интеграл по бесконечному
промежутку [1,+оо) от функции 4/ж4/3 сходится, так как
показатель степени s = 4/3 > 1 (см. пример 7.3). Значит, в
силу теоремы 7.2 сходится несобственный интеграл от функции
д(х), а, согласно теореме 7.1, из сходимости несобственного
интеграла от функции д(х) следует сходимость интеграла по
промежутку [1, +оо) от исходной функции f(x).
б. Функция f(x) = l/(y/x + cos2x) непрерывна и поэтому
интегрируема на любом отрезке [1,6] С [1, +оо). Так как 0 ^
^ cos2 х ^ 1 при любом х ^ 1, то
^^^ ^,€[1,44»).
В этом случае показатель степени 5 = 1/2. Поэтому
несобственный интеграл от функции д(х) = 1/(2>/ж) по промежутку
[1, -foo) расходится (см. пример 7.3), а тогда, согласно
теореме 7.1, интеграл от функции }{х) тоже расходится.
в. Функция f(x) = -Уж^8т2(1/ж) непрерывна, а значит,
и интегрируема на любом отрезке [1,6] С [1,+оо). Функции
sin(l/z) и 1/х являются эквивалентными б.м. при х -¥ -f сю.
Поэтому подынтегральная функция f(x) является при х ->
->• +оо б.м., эквивалентной функции х3/4/х2 = 1/ж5/4. Таким
образом, если, применяя теорему 7.2, выбрать в качестве
функции сравнения д(х) = 1/ж5^4, то в силу сходимости
несобственного интеграла от такой функции по бесконечному промежутку

296 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[1,+оо) (см. пример 7.3) интеграл от функции f(x) по этому
промежутку тоже будет сходящимся.
г. Функция f(x) = xm arctgx/(xn + 1) непрерывна и
поэтому интегрируема на любом отрезке [1,6]. Бели п = т, то
lim f(x) = тг/2. Поэтому несобственный интеграл от функ-
х—f+oo
ции f(x) по промежутку [1,+оо) расходится. Если же пфт,
то при х—Ц-оо f(x) эквивалентна функции тг/(2жп~т).
Несобственный интеграл от функции 1/жп~т по бесконечному
промежутку [1, +оо) сходится при п - m = $> 1 (см.
пример 7.3) и расходится при n-ra ^ 1. Следовательно, в силу
теоремы 7.1 несобственный интеграл от функции f(x) по
этому промежутку будет сходиться лишь при п - т > 1.
д. Функция f(x) = (2х3 - 7) &тс&\п(1/х)/х/х6 + Ъх - 2
непрерывна, а значит, и интегрируема на любом отрезке [2,6]. Так
как arcsin(l/a;) ~ 1/ж при х -у +оо, то существует конечный,
отличный от нуля предел подынтегральной функции:
,. tt ч ,. (2s3-7)arcsin(l/s) r 2*3(l/s) _
hm f(x) = hm -—ay ' — ' = hm ~-^ = 2.
*+oo x-^-foo V3 + 5Ж - 2 x++o 2
Следовательно, несобственный интеграл от функции /(х) по
промежутку [2, +оо) расходится.
7.4. Интегралы от неограниченных функций
Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [а, 6) и не
ограничена при х —> b (это значит, что функция не является
ограниченной ни в какой окрестности точки 6, где точка 6
может быть как конечной, так и бесконечной). Предположим,
что эта функция интегрируема на любом отрезке [a, rj] С [а, 6).
Тогда в полуинтервале [а, 6) определена функция
(7.24)
как определенный интеграл с переменным верхним пределом.

7.4. Интегралы от неограниченных функции
297
Определение 7.3. Предел функции Ф(п) при п —► 6 — О
называют несобственным интегралом от неограничен"
ной функции f(x) по промежутку [а, Ь) (или несобственным
интегралом второго рода) и обозначают так же, как и
определенный интеграл на отрезке [а, 6]:
/
f(x)dx = Hm
г)-+Ь—О
V
= lim / f(x)dx.
(7.25)
При этом, если предел в (7.25) существует и конечен,
несобственный интеграл называют сходлщимсл (в этом случае
говорят о сходимости несобственного интеграла от
неограниченной функции), а если этот предел бесконечен или не
существует, то — расходлщимсл.
В случае /(ж) ^ 0 Уж € [а, Ь) сходящийся несобственный
интеграл в (7.25) геометрически
соответствует площади
бесконечно высокой криволинейной
трапеции, ограниченной отрезком [а, 6]
оси абсцисс, прямыми ж = а, ж = 6
и графиком функции /(ж),
причем прямая ж = 6 является
вертикальной асимптотой этого
графика (рис. 7.5).
Пусть теперь функция /(ж) определена в полуинтервале
(а, 6], не ограничена в окрестности точки а, но интегрируема
на любом отрезке [(, Ь] С (а, 6]. Тогда в полуинтервале (а, 6]
определена функция
Рис. 7.5
как определенный интеграл с переменным нижним пределом.

298
7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определение 7.4. Предел функции Ф({) при
называют несобственным интегралом от неограниченной функ-
ции f(x) по промежутку (а, 6] и также обозначают ff(x)dx,
т.е.
) (fa: =
(7.26)
Говорят, что несобственный интеграл (7.26) сходится, если
предел в (7.26) существует и конечен, и расходится, если
этот предел бесконечен или не
существует.
Геометрически значение
сходящегося несобственного
интеграла (7.26) при условии f(x) ^ О
Vz € (a, 6] равно площади
бесконечно высокой криволинейной
трапеции (рис. 7.6).
Бели функция /(ж) не
ограничена при х -¥ с для
некоторой точки с€ (а, 6), то
несобственный интеграл в этом
случае представляют суммой двух
несобственных интегралов (один
из них может оказаться и
определенным интегралом — рис. 7.7):
Ь
J
f(x)dx.
(7.27)
При этом по определению считают, что несобственный
интеграл в левой части (7.27) сходится, если независимо один от
другого сходятся оба интеграла в правой части (7.27).
Бели функция f(x) не ограничена при х -* b - 0, но имеет
первообразную F(x) и интегрируема на любом отрезке [а, г/]

7.4. Интегралы от неограниченных функции 299
внутри промежутка [а, 6), то, используя (7.25) и формулу
Ньютона — Лейбница, можно записать
ь п
[f(x)dx = lim ff(x)dx = lim FM-Ffa).
J V-+b-OJ 17-+6-O
a a
Отсюда ясно, что, если существует первообразная,
несобственный интеграл в левой части этого равенства сходится тогда и
только тогда, когда существует конечный предел lim F(rj) =
= F(b - 0), и в этом случае """* ~
ь
f(x) dx = F(b - 0) - F(o). (7.28)
Аналогично, если неограниченная при х —► а + 0 функция
f(x) имеет первообразную F(x) и интегрируема на любом
отрезке [£, 6] С (а, 6], причем существует конечный предел
lim F(£) = F(a -Ь 0), то для несобственного интеграла от
функции f(x) на промежутке (а, 6] имеем
ь
f(x) dx = F(b) - F(a + 0). (7.29)
Наконец, если функция f(x) не ограничена в окрестности
точки с, но имеет первообразные F(x) в промежутке [а, с) и
G(x) в промежутке (с, 6] и интегрируема на любых отрезках
[а,т/]с[а, с) и [(, 6]С(с, 6], причем существуют конечные
пределы
lim F(x)-F(c-0) и lim G(x) = <2(c + 0),
то для несобственного интеграла на отрезке [а, 6] имеем
ь
f(x) dx = F(c - 0) - F(a) -h G(b) - G(c+0). (7.30)

300 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Соотношения (7.28)-(7.30) иногда называют обобщенными
формулами Ньютона — Лейбница для несобственных
интегралов от неограниченной функции.
Пример 7.0. Вычислим несобственные интегралы
2 1/2
dx
или установим их расходимость.
а. Функция 1/V4 - х2 не ограничена при х -> 2 - 0, но
интегрируема на любом отрезке [0, г/] С [0,2) и имеет
первообразную F(x) = arcsin(a?/2), причем F(2 - 0) = тг/2 и F(0) = 0.
Следовательно, несобственный интеграл сходится. Поэтому,
используя (7.28), получаем
/dx
\4 — x
б. Функция 1/(з1пх) не ограничена при 14+0 и
интегрируема на любом отрезке [£, 1/2] С (0,1/2]. Поэтому в силу
определения 7.4, используя (7.26), имеем
1/2 1/2
1/2
/<& /* d(lnz) , ,
—:—= lim / —;—- = lim In I In si
жтж t-*+oJ In ж ^-f+o
0 £
= lnln2- lim
Следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл
расходится.
Пример 7.10. Исследуем на сходимость несобственный
интеграл
[_Jx_

7.4. Интегралы от неограниченных функции 301
в зависимости от показателя степени з € R. Отметим, что при
5^0 подынтегральная функция f(z) = l/(x — a)8 ограничена и
непрерывна на всей числовой прямой R и поэтому существует
определенный интеграл от этой функции по любому отрезку
[а, 6] в R.
В случае 5 > 0 функция f(x) не ограничена при х -> а + 0
и интегрируема на любом отрезке [{, 6] С (а, 6]. Бели $ = 1, то,
используя (7.26), получаем
ь ь
/dx f dx ,|Ь
= hm / = lim In a?-a =
X — a t-ba+Oj X — a £-Ю+0 l£
= In 16 - a\ - lim In If - a\ = +00.
Следовательно, при 5 = 1 несобственный интеграл (7.31)
расходится.
Если зф!) то одной из первообразных подынтегральной
функции 1/(х - а)8 будет функция F(x) = -(х - o)1~*/(s — 1),
которая имеет при х -> а + 0 конечный предел F(a + 0) = 0
только при условии s< 1. Итак, несобственный интеграл (7.31)
сходится при 0 < s < 1 и, согласно (7.26), равен
'"'
. (» -*)
При 5^1 этот интеграл расходится. В частном случае при
а = 0 получаем, что несобственный интеграл
ь
Ц (7.32)
о
сходится при 0 < s < 1 и расходится при $ ^ 1.
Замечание 7.3. Проведя исследование, аналогичное
выполненному в примере 7.10, можно установить, что несобственный

302 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
интеграл
ь
dx
(Ь-хУ
(7.33)
тоже сходится при 0 < 8 < 1 и расходится при s ^ 1. Бели
же 5^0, интеграл (7.33) является определенным интегралом
и существует на любом отрезке [а, 6] € R. Так как при 5^0
рассмотренные интегралы (7.31)-(7.33) являются
определенными, то можно считать, что исходные интегралы сходятся при
з < 1 и расходятся при О 1. #
Свойства несобственного интеграла от неограниченной
функции аналогичны свойствам определенного интеграла и
несобственного интеграла по неограниченному промежутку.
Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать и
доказать их. Однако уместно отметить, что не все свойства
определенного интеграла имеют аналоги для несобственных
интегралов. Например, произведение двух функций, интегрируемых
на некотором отрезке, также интегрируемо на этом отрезке.
Но по промежутку (0,1] несобственный интеграл от
произведения функций f(x)g(x) = \/х расходится (см. пример 7.10),
тогда как от каждого из сомножителей /(ж) = у(ж) = l/y/x
несобственные интегралы по этому промежутку сходятся.
7.5. Сходимость интегралов
от неограниченных функций
Приемы исследования на сходимость несобственных
интегралов по бесконечному промежутку и от неограниченной
функции имеют много общего. Необходимыми условиями
сходимости несобственного интеграла от неограниченной функции
f(x) по промежутку [а, 6) являются ограниченность и
непрерывность в этом промежутке функции Ф(х) (7.24). В
соответствии с определением 7.3 это следует из свойства
ограниченности функции, имеющей конечный предел [1-7.4], и теоремы 6.15.

7.5. Сходимость интегралов от неограниченных функции 303
Достаточные признаки сходимости несобственного
интеграла от неограниченной неотрицательной функции
аналогичны соответствующим признакам сходимости несобственного
интеграла по бесконечному промежутку, т.е. справедливы
следующие теоремы.
Теорема 7.3. Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы
на любом отрезке [а, г/] с [а, 6) и не ограничены при х -> Ь - 0,
причем при х б [а, 6) выполнены неравенства 0 ^ f(x) ^ д(х).
ь
Тогда, если сходится несобственный интеграл Jg(x) dx, то схо-
а
Ь Ь
дится и J f(x)dx1 a если расходится J f(x)dx, то расходится и
а а
6
Jg(x)dx.
а
Теорема 7.4. Пусть функции f(x) и д(х), интегрируемые
на любом отрезке [а, 77] С [а, 6), являются неотрицательными
при всех х 6 [а, Ь) и неограниченными при х -> b — 0, а функция
д(х) отлична от нуля в некоторой полуокрестности точки 6.
Бели существует конечный положительный предел
lim 44 = Л>0> (7-34)
х-+ь-од(х) v 7
то несобственные интегралы
ь
/ f(x)dx и / д(х) dx
либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Доказательства сформулированных теорем аналогичны
доказательствам теорем 7.1 и 7.2, и читатель может провести
их самостоятельно. Приведенные признаки применимы для
исследования сходимости интегралов не только вида (7.25), но
и вида (7.26), а также для интегралов в правой части (7.27).

304 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В качестве функции сравнения для несобственного
интеграла от неограниченной функции удобно использовать функцию
1/(х-а)8 или 1/(6 -х)8.
Пример 7.11. Исследуем на сходимость несобственные
инралы
тегралы
2 о 1
а'
1 -1 О
2 0 1
х f dx . Г dx ч f
О / / л =; б) / ; в) /
9 J у/Ьх-х*-Ь' 'У 1-е* Ч
1 1
dx
rj "
tgx-x
о о
а. Функция f(x) = 1/у/бх - х2 - 5 не ограничена при х
1+ 0 и интегрируема на любом отрезке [(, 2] С (1,2]. Ясно,
что 6х-х2-5= (х- 1)(5-х) и при всех а; 6(1,2]
2
Интеграл fg(x)dx сходится, так как показатель степени s =
1
= 1/2 < 1 (см. пример 7.10). Тогда в силу теоремы 7.3
рассматриваемый несобственный интеграл тоже сходится.
б. Функция f(x) = 1/(1 - ех) на любом отрезке [-1, rj\ С
С [-1,0) положительна и непрерывна, а значит, и
интегрируема, но не ограничена при х -> -0. Поскольку 1 - ех
то
т.е. верно (7.34) при Л= 1. Так как интеграл от функции д(х)
расходится (см. замечание 7.3 при b = 0), то в силу теоремы 7.4
расходится и рассматриваемый интеграл от функции f(x).
в. Подынтегральная функция }{х) = arcsin>/x/ln(H-^^)
удовлетворяет условиям теоремы 7.4 в промежутке (0,1] и при

7.6. Абсолютная и условная сходимость интегралов 305
+0 является бесконечно большой, эквивалентной функции
д(х) — у/х/\/х* = 1/х3/4. Поскольку интеграл от функции д(х)
сходится (см. пример 7.10), то исследуемый интеграл от
функции /(ж), согласно теореме 7.4, тоже сходится.
г. Функция f(x) = 1/(ех - cos ж) на любом отрезке [£, 1] С
С (0,1] положительна и непрерывна, а значит, и интегрируема,
но не ограничена при х —»• +0. Для исследования сходимости
несобственного интеграла от функции f(x) по промежутку
(0,1] добавим и вычтем 1 в ее знаменателе и получим f(x) =
= l/((er-l) + (l-cosx)). Слагаемое ех-1 является при х -» 0
бесконечно малой функцией, эквивалентной ж, а слагаемое
1-cosx при х-^0 эквивалентно х2/2 [1-10.2].
Алгебраическая сумма б.м. функций эквивалентна при х —► 0 своей
главной части [1-10.3], т.е. х. Таким образом, l/(ex-cosar) ~ \/х
при х -4 0. Поскольку несобственный интеграл по промежутку
(0,1] от функции 1/х расходится (см. пример 7.10), то
интеграл от функции f(x) по этому промежутку в силу теоремы 7.4
также расходится.
д. Функция l/(tgx - x) удовлетворяет условиям
теоремы 7.4 в промежутке (0,1] и при х —► +0 является бесконечно
большой. Представим функцию tgz в окрестности точки 0
формулой Маклорена третьего порядка [II]: tgs = х - ж3/3 +
+ о(ж3). Из этой формулы находим, что tgx — x ~ -:г3/3 при
ж—^0. Несобственный интеграл от функции 3/(х3) по
промежутку (0,1] расходится (см. пример 7.10). Следовательно, в
силу теоремы 7.4 интеграл от функции f(x) по этому
промежутку также расходится.
7.6. Абсолютная и условная
сходимость несобственных интегралов
Признаки сходимости несобственных интегралов от
знакопостоянных функций рассмотрены в 7.3 и 7.5. Выясним, как
ведут себя несобственные интегралы от функций,
принимающих в промежутке интегрирования значения разных знаков.

306 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Напомним прежде всего, что, согласно свойству 10°
определенного интеграла (см. в.7), если функция f(x) интегрируема
на отрезке [а, 6], то и функция \f(x)\ интегрируема на том
же отрезке. Поэтому можно рассматривать два несобственных
интеграла по бесконечному промежутку.
+ОО +ОО
J f(x)dx и J\f(x)\dx.
а а
Во втором из этих интегралов подынтегральная функция
неотрицательна, и поэтому к нему применимы все результаты,
полученные в 7.3. Это позволяет исследовать на сходимость и
первый из указанных несобственных интегралов, так как
справедлива следующая теорема.
Теорема 7.5. Бели функции f(x) и \f(x)\ интегрируемы
на любом отрезке [а, Ь] С [а, +оо) и несобственный интеграл
+оо +оо
J \f(x)\dx сходится, то сходится и интеграл j f(x)dx.
а а
4 Для всех х € [а, +оо) справедливо неравенство [1-1.3]
или 0<
Так как по условию теоремы интеграл от функции \f(x)\
по бесконечному промежутку [а, +оо) сходится, то в силу
линейности сходящегося несобственного интеграла (см. 7.2,
свойство 3°) сходится и интеграл по этому же промежутку
от функции 2|/(ж)|, а тогда, согласно теореме 7.1, сходится
и интеграл от функции f(x) + \f(x)\. На основании того же
свойства, используя (7.15) при Ai = 1 и Лг = -1, запишем
+0О +ОО +ОО
f(x)dx= J (/(x) + |/(x)|)&- J \f(x)\dx.
а а а
Поскольку сходятся интегралы в правой части этого равенства,
то сходится и интеграл в его левой части. ►

7.6. Абсолютная и условная сходимость интегралов 307
Определение 7.5. Бели наряду с несобственным
интегралом от функции f(x) по бесконечному промежутку [а, +оо)
сходится и интеграл по этому промежутку от функции |/(з)|,
то первый из этих интегралов называют сходящимся
абсолютно, а функцию }{х) — абсолютно интегрируемой, В
этом случае говорят об абсолютной сходимости
несобственного интеграла по бесконечному промежутку.
Пример 7.12. Исследуем на сходимость несобственный
интеграл
+0О
cm 1*
dx. (7.35)
/sin ж
Подынтегральная функция f(x) = sin xjy/\ + x3 непрерывна,
а значит, и интегрируема на любом отрезке [1,6]. Так как
она знакопеременна в бесконечном промежутке [1,-foo), то
рассмотрим поведение несобственного интеграла от функции
\f(x)\ по этому промежутку.
В силу ограниченности функции sin х при х ^ 1 имеем
i/wi- 8inx
sins! I
Ж3/2
Поскольку показатель степени s = 3/2 > 1, то несобственный
интеграл по промежутку [1,+оо) от функции д(х)
сходится (см. пример 7.3). Поэтому, согласно теореме 7.1, сходится
и несобственный интеграл по этому промежутку от функции
|/(х)|, а тогда на основании теоремы 7.5 несобственный
интеграл (7.35) сходится, причем, согласно определению 7.5,
абсолютно.
Определение 7.6. Бели несобственный интеграл от
функции f(x) по промежутку [а, +оо) сходится, а интеграл от
функции \f(x)\ по этому промежутку расходится, то первый
из этих интегралов называют сходлщимсл условно и говорят

308 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
об условной сходимости несобственного интеграла по
бесконечному промежутку.
Пример 7.13. Исследуем на сходимость несобственный
интеграл
+ОО #
— dx. (7.36)
X
1
TV
/
Подынтегральная функция sinx/x непрерывна в промежутке
[1,+оо), а значит, и интегрируема на любом отрезке [1,6].
Проинтегрируем эту функцию на отрезке [1,6] по частям:
6 6 6
cosx
1 1
6 6 б
/sinх . fd(-co8x) cosx ь f
dx- I — - = /
X J X X 1 J
Переходя в*этом равенстве к пределу при 6 -> +оо, получаем
+оо +оо
/sin а? . „ С cosx . /т ftw4
dx = cosl- / —j-dx. (7.37)
l l
Так как \cosx\/x2 ^.1/x2 при х^1, а несобственный интеграл
от функции 1/х2 по промежутку [1,-foo) сходится (см.
пример 7.3), то в силу теорем 7.1 и 7.5 интеграл в правой части
(7.37) сходится, причем абсолютно. Следовательно, интеграл
(7.36) сходится.
Аналогично можно показать, что при а ф 0 сходятся
интегралы
+0О +ОО
/sin ах . [ cos ах ,
dx и / ах.
х J х
1 1
Для исследования интеграла (7.36) на абсолютную
сходимость рассмотрим сначала на том же промежутке интеграл от
функции sin2x/x = (1 -cos2x)/(2x). На основании определе-

7.6. Абсолютная и условная сходимость интегралов 309
ния 7.1 несобственного интеграла по неограниченному
промежутку запишем
2
/sin2 a: fsixrx
dx = lim / ax =
X 6-H-oo J X
1
b +oo +oo
f f dx f cos2x ,\ f dx f cos2x rtft4
= lim [ / — - / ——dx)= / — - / ——rfx. (7.38)
b^+oo^y 2x J 2x J J 2x J 2x v ;
li li
Первый интеграл в правой части (7.38) расходится (см.
пример 7.3), а второй — сходится. Следовательно, интеграл в левой
части (7.38) расходится. Но
2. ._
Vx€[l,+oo),
sin's |sinx|
X X
и поэтому, согласно теореме 7.1, несобственный интеграл
от функции |sins|/z по промежутку [1,-foo) расходится.
Отсюда в силу определения 7.6 заключаем, что интеграл (7.36)
сходится условно. #
Для несобственного интеграла от неограниченной функции
справедливо утверждение, аналогичное теореме 7.5. Его
доказательство нетрудно провести самостоятельно.
Утверждение 7.2. Пусть функции f(x) и \f(x)\
интегрируемы на любом отрезке [а, тЦ С [а, Ь) и не ограничены при
ь
!> —0. Если несобственный интеграл J\f(x)\dx сходится,
6
то сходится и интеграл Jf(x)dx.
a
Аналогично можно дать определение сходящегося условно
и абсолютно несобственного интеграла от неограниченной
Функции.
Определение 7.7. Если несобственный интеграл от
неограниченной при х -> b - 0 функции по промежутку [а, Ь)

310 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
сходится, а интеграл от функции \f(x)\ по этому же
промежутку расходится, то первый из них называют сходящим*
сл условно. Бели сходится второй из этих интегралов, то
первый из них называют сходящимся абсолютно. При
этом функцию f(x) называют абсолютно интегрируемой
в промежутке [а, 6). В этих случаях говорят соответственно
об условной или абсолютной сходимости несобственного
интеграла от неограниченной функции.
Пример 7.14. Рассмотрим несобственный интеграл
С08(1/*1**. (7.39)
Подынтегральная функция f(x) знакопеременна в
промежутке (0,1], не ограничена при х -> +0 и интегрируема на
любом отрезке [{, 1] С (0,1], причем при х € (0,1]
|cos(l/x)|
1 1
Интеграл от функции 1/ж1/3 по промежутку (0,1] сходится,
так как s = 1/3 < 1 (см. пример 7.10). Следовательно, в
силу теоремы 7.3 сходится интеграл от функции | соз(1/ж)\/%/х
по этому промежутку. Значит, согласно утверждению 7.2,
интеграл (7.39) сходится абсолютно.
7.7. Другие признаки сходимости
несобственных интегралов
Наряду с рассмотренными признаками сходимости и
расходимости несобственного интеграла для каждого из его
типов (по бесконечному промежутку и от неограниченной
функции) можно сформулировать и доказать критерий сходимости,
включающий как необходимое, так и достаточное условия.

7.7. Другие признаки сходимости интегралов
311
Теорема 7.в. Для сходимости интеграла от функции f(x)
по промежутку [а, +оо) необходимо и достаточно, чтобы для
любого числа е > О нашлось такое число А(е) ^ а, что при
любых 6', 6" > Д(е) выполнялось бы неравенство
ь"
I
f(x)dx
(7.40)
4 Сходимость рассматриваемого интеграла, согласно
определению 7.1 сходящегося несобственного интеграла, равносильна
существованию конечного предела при х -* +оо функции (7.1)
х
*(x)=Jf(t)dt.
Для этого, согласно критерию Коши существования конечного
предела функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого
е > 0 нашлось такое Д(е) ^ а, что при любых 6', 6" > Д(е)
выполнялось бы неравенство
Но тогда, используя аддитивность определенного интеграла,
имеем
6" Ь'
ff(x)dx = Jf(x)dx-ff(x)d
Ь'
что доказывает утверждение теоремы. ►
Теорему 7.6 называют критерием Коши сходимости
несобственного интеграла по бесконечному промежутку.
Этот критерий удобно использовать для доказательства
расходимости таких интегралов.

312
7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пример 7.15. Рассмотрим функцию f(x)=8in2x/xx при
О < А < 1 и х ^ а ^ 1. Выберем А ^ а и п € N так, чтобы
выполнялось неравенство пп > Д. Полагая bf = пп и 6" = 2птг,
получаем
J f(x)dx = J -
2П7Г
sin2 ж
rvn
2mr
/ s\n2xdx =
1
2nir
2(2nn)<
I (1 —
П1Г
1
- -sin2s
J
2nir
1-A
2(2тг)<
т.е. в случае 0 < Л < 1 правая часть этого неравенства
неограниченно возрастает при п —у оо. Следовательно, существует
число е > (я-/2)п1"А/(2тг)А, такое, что для любого А ^ а
найдутся числа V = пп > А и 6" = 2пп > А, для которых левая
часть (7.40) будет больше е. Поэтому в силу теоремы 7.6
интеграл по промежутку [а, +оо) от функции f(x)
расходится. #
Доказательство критерия Коши сходимости несобственного
интеграла от неограниченной функции аналогично. Поэтому
ограничимся лишь формулировкой соответствующего
утверждения.
Утверждение 7.3. Для сходимости несобственного
интеграла от неограниченной при х -> 6 — 0 функции }(х) по
промежутку [а, 6) необходимо и достаточно, чтобы для
любого е > 0 нашлось такое 8 > 0, что при любых т/, г/ 6 (0, S)
выполнялось бы неравенство
ь-у
/
6-т,
f(x)dx

7.7. Другие признаки сходимости интегралов 313
В случае функции, неотрицательной в промежутке [а, +оо),
можно доказать еще один критерий сходимости несобственного
интеграла.
Теорема 7.7. Для сходимости несобственного интеграла
по промежутку [а, +оо) от неотрицательной функции f(x)
необходимо и достаточно, чтобы функция Ф(х) (7.1) была
ограниченной при х ^ а, т.е. чтобы существовало число М > О,
для которого справедливо неравенство
ф(х) = f f(t)dt ^ М Чх>а. (7.41)
4 Необходимость. Пусть несобственный интеграл от
функции f(x) по промежутку [о, +оо) сходится, т.е.
функция f(x\ интегрируема на любом отрезке [а, 6] С (а, +оо) и
существует конечный предел функции Ф(х) при х -> +оо, a
тогда Ф(ж) ограничена при х -> -foo [I-7.4]. Согласно
теореме 6.15, функция Ф(х) непрерывна, а значит, и ограничена на
любом отрезке [а, 6] С [а, +оо). Следовательно, функция Ф(г)
ограничена при х ^ а.
Достаточность. Пусть функция Ф(х) ограничена при
х ^ о, т.е. выполнено неравенство (7.41). Так как по условию
теоремы f(x) ^ 0 Vx ^ а, то функция Ф(х) не убывает при
х ^ а. В самом деле, если о ^ к х', то в силу аддитивности
определенного интеграла и его свойства 5° (см. в.7)
х' х х'
Ф(х')-Ф(х)= ff(t)dt- ff(t)dt= f
Итак, функция Ф(х) не убывает и ограничена сверху при
х^а. Поэтому она имеет конечный предел при х -> +оо [1-8.4],
а тогда в силу определения 7.1 несобственный интеграл от
функции f(x) по бесконечному промежутку сходится. ►

314 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В некоторых случаях условную сходимость несобственного
интеграла позволяет установить следующий признак.
Теорема 7.8 (признак Дирихле). Бели функция f(x)
интегрируема на любом отрезке [а, 6] С [а, +оо) и функция
Ф(х) (7.41) ограничена, т.е. для некоторого числа М > О
X
f
f(t)dt
М Vx ^ а,
а функция д(х) при х ^ а непрерывно дифференцируема
и монотонна, причем д(х) -> 0 при х -> +оо, то сходится
несобственный интеграл
+00
J f(x)g(x)dx. (7.42)
а
< Докажем утверждение теоремы в более слабом варианте:
будем считать, что функция f(x) непрерывна в промежутке
[а, +оо), а следовательно, в силу теоремы 6.7 и интегрируема на
любом отрезке [а, 6] С [а, +оо). Произведение f(x)g(x) также
интегрируемо на таком отрезке в силу его непрерывности
при х ^ а. Согласно следствию 6.4, функция Ф(х) является
одной из первообразных функции /(#), т.е. f(x)dx = dfo(x)).
Интегрируя по частям, получаем
X
= Jg(t)d{*(t)) =
а а
х
= Ф(х)д(х) - Ф(а)д(а) - j *(t)g\t) dt. (7.43)
а
Так как по условию теоремы |Ф(х)| ^ М при х ^ а и
д(х) -+ 0 при х -> +00, то Ф(х)д(х) — функция, бесконечно

7.7. Другие признаки сходимости интегралов 315
малая при х —► +оо, т.е.
lim Ф(х)д(х) = 0.
Если функция д(х) не возрастает, то д'(х) ^ 0 Vx ^ a и
|#(«У(«)|Л < MJ\g'{t)\dt = -MJg\t)dt =
так как <7(ж) ^ 0. Бели же функция ^(а:) не убывает, то
g'{x)>0 Vx^a и
J\i>(t)g'(t)\dt$M J\g'(t)\dt = M Jg'(t)dt =
поскольку в этом случае g(a) ^g(x)^ 0. Следовательно,
согласно теореме 7.7, несобственный интеграл от функции |Ф(х)^'(а:)|
по промежутку [а, +оо) сходится, а значит, в силу теоремы 7.5
сходится и интеграл от функции Ф(х)д/(х) по этому
промежутку. Поэтому в соответствии с определением 7.1 существует
конечный предел
х
Um f*(t)g'(t)dx.
-++ОО J
Х-++ОО
а
Таким образом, все слагаемые в правой части (7.43) имеют
конечный предел при х -¥ +оо. Поэтому и левая часть (7.43)
имеет конечный предел при х -> +оо, что, согласно
определению 7.1, доказывает сходимость несобственного интеграла
(7.42). ►

316 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Сходимость несобственного интеграла вида (7.42) можно
установить и при помощи следующего признака.
Теорема 7.9 (признак Абеля). Если функция f(x)
интегрируема на любом отрезке [а, Ь] С [а, +оо) и несобственный
интеграл от нее по промежутку [a, -f оо) сходится, а функция
д(х) при х ^ а непрерывно дифференцируема, ограничена и
монотонна, то интеграл (7.42) сходится.
4 В силу ограниченности и монотонности функция д(х) имеет
конечный предел [1-8.4]
lim g(x) = A.
На основании свойства линейности определенного интеграла
запишем
XX X
Jf(t)g(t)dt = If(t)(g(t) - A)dt + Ajf(t)dt.
а а а
Переходя к пределу при х —► +оо, получаем
+ОО +ОО +ОО
j f(x)g(x) dx= J f(x) (g(x) -A)<Ix + aJ f(x) dx. (7.44)
a a a
Второй интеграл в правой части (7.44) сходится по
условию этой теоремы. Для доказательства сходимости первого
интеграла заметим следующее: поскольку по условию
теоремы несобственный интеграл от функции f(x) по промежутку
[а, +оо) сходится, а функция
х
F(x) = Jf(t)dt
непрерывна на любом отрезке [a, b] С [а, +оо) (см. теорему
6.15), то она ограничена в промежутке [а,+оо). Кроме

7.7. Другие признаки сходимости интегралов 317
того, функция д(х) - А стремится к нулю при х -f +oo.
Следовательно, для первого интеграла в правой части (7.44)
выполнены все условия теоремы 7.8, и он сходится.
Таким образом, несобственный интеграл в левой части
(7.44) сходится, поскольку сходятся оба несобственных
интеграла в правой части, что доказывает справедливость признака
Абеля. ►
Пример 7.16. Применяя признаки Дирихле и Абеля,
исследуем на сходимость при Л > 0 несобственные интегралы по
промежутку [1, +оо) от функций
v - / ч sins ч , Л sin ж
a) fi(x) = —г-; б) /2(ж) = —r-arctgx.
хл хл
а. Функция f(x) = sin x интегрируема на любом отрезке
[1, Ь] как непрерывная (см. теорему 6.7), функция
Ф(х)= I f(t)dt= /si
х
= cosl-coss
1
ограничена при х ^ 1, а функция д(х) = 1/хх при Л > 0
ограничена, монотонна и непрерывно дифференцируема в
промежутке [1,.+оо), причем д(х) ->• О при х -> +оо. Поэтому в
силу признака Дирихле интеграл по промежутку [1, +оо) от
функции /i (х) = f(x)g(x) = 81пж/жЛ сходится при любом Л > 0.
б. При А>0 для функции f2(x) = fi(x)g(x), где Л(ж) =
= sinx/xA и д(х) = arctgx, выполнены условия признака Абеля:
интеграл по промежутку [1, +оо) от функции /i(x), как
показано в этом примере, сходится, а функция д(х) ограничена,
монотонна и непрерывно дифференцируема. Поэтому интеграл
от функции /г(ж) = sina;arctga;/a;A по промежутку [1, -foo)
при Л > 0 сходится. #
Отметим, что все рассмотренные выше признаки
применимы для исследования на сходимость и интегралов вида (7.4).

318 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
По аналогии с теоремами 7.8 и 7.9 можно сформулировать и
доказать признаки Дирихле и Абеля для интегралов от
неограниченных функций.
7.8. Примеры исследования
несобственных интегралов на сходимость
Бели требуется вычислить несобственный интеграл или
доказать его сходимость или расходимость, то прежде
всего следует установить, почему он является несобственным
(либо в силу неограниченности промежутка интегрирования,
либо вследствие неограниченности подынтегральной функции
в окрестности некоторой точки конечного промежутка
интегрирования). Далее необходимо выяснить, знакопостоянна ли
подынтегральная функция во всем промежутке
интегрирования. Бели она знакопостоянна, то исследовать несобственный
интеграл на сходимость можно при помощи признаков,
изложенных в 7.3 и 7.5. Бели же подынтегральная функция f(x)
меняет знак в этом промежутке, то требуется исследование
несобственного интеграла на абсолютную и условную
сходимость. При этом удобно начинать с исследования на
абсолютную сходимость, т.е. с исследования на сходимость интеграла
от функции |/(х)|, и если он является расходящимся, то затем
следует выяснить поведение несобственного интеграла от
функции f(x). Такая последовательность исследования одинаково
применима к несобственным интегралам как по бесконечному
промежутку, так и от неограниченной функции.
Пусть несобственный интеграл от функции f(x) по
промежутку [а, +оо) сходится и функция д(х) ограничена в этом
промежутке. Обязательно ли сходится интеграл от функции
f(x)g(x) по этому промежутку?
Бели интеграл от функции f(x) сходится условно, то
интеграл от функции f(x)g(x) может и расходиться. Например,
интеграл от функции f(x) = sin х/х сходится в силу признака
Дирихле, g(x) = s\nx — ограниченная функция, а интеграл от

7.8. Примеры исследования интегралов на сходимость 319
функции f(x)g(x) = s\n2x/x расходится (см. пример 7.13). Но
для той же функции f(x) = sin х/х и ограниченной функции
д(х) = 2cosх интеграл от их произведения f(x)g(x) = sin 2x/x,
согласно признаку Дирихле, сходится.
Бели же интеграл от функции f(x) сходится абсолютно
и \д{х)\ ^ М Уж ^ о, то интеграл от произведения функций
f(x)g(x) сходится тоже абсолютно. Действительно, по условию
\f(x)g(x)\ ^ M\f(x)\ Уж ^ а. Так как интеграл от функции |/(ж)|
сходится, то в силу теоремы 7.1 и свойства 3° линейности
сходящегося несобственного интеграла (см. 7.2) также сходится и
интеграл от функции \f(x)g(x)\ по бесконечному промежутку
[а,+оо). Следовательно, интеграл от произведения f(x)g(x)
функций по этому промежутку сходится абсолютно.
Пример 7.17. Исследуем на сходимость интеграл от
функции l/(xp + xq), p, q€R, по промежутку [0, +оо). Этот
интеграл может быть несобственным интегралом смешанного
типа, так как промежуток интегрирования бесконечен, а
подынтегральная функция может оказаться неограниченной при
х -+ +0. Представим исследуемый интеграл / в виде
+оо а +оо
_ f dx f dx f dx _ _
J хр + хя J xv + x<* J xp + x*
о о о
Ясно, что при р = q = 8 один из этих интегралов расходится:
если 8 ^ 1, то расходится 1\ (см. пример 7.10), а если в ^ 1, то,
согласно примеру 7.3, расходится h (при 5=1 расходятся оба
интеграла). Следовательно, при p=q исследуемый интеграл
/ расходится.
Рассмотрим случай p<q. Интеграл 1\ сходится, лишь если
р < 1, а 1г сходится, лишь если q > 1, т.е. при одновременном
выполнении условий р < 1 и q > 1 оба интеграла сходятся, а
значит, сходится исследуемый интеграл /.
В случае q < р, наоборот, 1\ сходится, лишь если q < 1,
и /2 сходится, лишь если р > 1, т.е. / сходится только при
одновременном выполнении условий q<\ и р> 1.

320
7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рис. 7.8
В итоге получаем, что
интеграл / сходится, если
одновременно min{p, q} < 1 и max{p, q} > 1,
и расходится в остальных случаях,
причем при р > 1, q > 1
расходится интеграл /i, а при р < 1,
g < 1 расходится интеграл /г. На
рис. 7.8 заштрихована область
значений р и qy при которых
сходится интеграл /.
Пример 7.18. Исследуем на сходимость несобственные
интегралы по промежутку (0, +<х>) от следующих функций:
т
ч arctgz
а)
ЖР кТЛ"
а. Заданный промежуток можно представить как
объединение двух промежутков: (0, +оо) = (0, a] U [а, +оо), а > 0.
Бели р ^ 0, то несобственный интеграл по бесконечному
промежутку [а, +оо) от функции &icX,gx/xv расходится.
Рассмотрим его поведение при р>0. Поскольку arctgx -* тг/2 при
х -> +оо, то при р > О
arctgx тг
Интеграл по промежутку [о, -f оо) (а > 0) от функции 1/хр
сходится лишь при условии р > 1 (см. пример 7.3). Поэтому
в силу теоремы 7.2 сходится при р > 1 интеграл по этому
промежутку и от функции arctgx/xp.
Теперь рассмотрим поведение интеграла от неограниченной
при х -*> +0 функции по промежутку (0, а], учитывая, что
р> 1. Так как
arctga; 1
а интеграл от неограниченной при х -> +0 функции ^(аг) =
= 1/ж* по промежутку (0, а] сходится лишь при условии $ < 1

7.8. Примеры исследования интегралов на сходимость
321
(см. пример 7.10), то, согласно теореме 7.4, при s = р- 1 < 1
(т.е. при р<2) сходится интеграл по этому промежутку и от
функции arctgx/xp, а при р ^ 2 он расходится.
Итак, исследуемый интеграл по промежутку (0, +оо)
сходится лишь при условии 1 < р < 2.
б. При п = 0 несобственный интеграл
+оо
/xmdx
1 + z*
расходится при любом значении m € R (см. пример 7.17 при
р — q = — m). Для случая п > 0 запишем
•яг
1
1
обозначив р= -т и д = п - то,
причем р < q. Согласно примеру 7.17,
интеграл I сходится, если одновременно
р=-т<1 и д = п-т>1, т.е. п>
> т + 1 > 0. На рис. 7.9 заштрихована
область значений тип, при которых
интеграл / сходится.
в. Функция }(х) = ха\х — 1|^ в зависимости от значений
а и 0 может быть не ограничена в промежутке (0, +оо) при
стремлении аргумента х к значениям хо = 0, х\ = 1 и при
х -4 +оо. Исключим из этого промежутка точку х\ = 1 и,
выбрав а и Ь так, что 0 < о < 1 < 6, запишем
(О, +оо) \ {1} = (0, a] U [а, 1) U (1, 6] U [6, +оо).
В силу теоремы 7.4 и примера 7.17 интеграл от функции f(x)
сходится по промежутку (0, а] лишь при -а < 1, а по
промежуткам [а, 1) и (1, 6] — лишь при -/3 < 1. По
промежутку [6, +оо), согласно теореме 7.2 и примеру 7.3, интеграл

322
7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
от этой функции сходится, если только
-(сг +0) > 1. В итоге получаем, что
несобственный интеграл от функции f(x)
по промежутку (0,+оо) сходится лишь
при одновременном выполнении условий
а>-1, /?>-1, а + 0< -1. На рис. 7.10
заштрихована область значений аи/?,
при которых исследуемый интеграл
сходится.
Пример 7.10. Исследуем на условную и абсолютную
сходимость (см. определения 7.5 и 7.6) несобственный интеграл от
функции f(x) = xm8inx/(l + xn) (m€R, n^O) по
промежутку (0, +оо).
Точкой х = тг разобьем этот промежуток на два
промежутка: (0, тг] и [тг, +оо). Поскольку f(x) ~ a?m+1, а интеграл от
функции д(х) = 1/хш по промежутку (0, тг] сходится при
условии 8 < 1 (см. пример 7.10), то в соответствии с теоремой 7.4
при з = -т - 1 < 1 (т.е. при m > —2) сходится интеграл по
этому промежутку и от функции /(а?), причем абсолютно, так
как f(x) = \f(x)\ при ж€(0, тг]. Преобразуем функцию f{x)
к виду f(x) = .w^a?n.fn» При п - то > 0, или т<п,
интеграл от функции f(x) по промежутку [тг, + оо) сходится, так
как для этой функции выполнены все условия признака Дирихле
(см. пример 7.16.а). Итак, интеграл от функции f(x) по
промежутку (0, +оо) сходится, если -2 < т < п. Нетрудно показать,
что при тех же условиях сходятся интегралы
+0О ^ +00
/sin ах , f cosax
И
+ОО
J Х'п
ах.
где
Так как при з = п-
1 ^ г
^ Va: € К+оо),

7.8. Примеры исследования интегралов на сходимость 323
то} согласно примеру 7.3, интеграл от функции /(а?) по
промежутку [п> +оо) сходится абсолютно, если п-т = «>1, т.е.
при т < п - 1. Покажем, что при п - 1 $ m < n интеграл
от функции f(x) по промежутку [л*,+оо) сходится только
условно. Для этого рассмотрим поведение интеграла от
неотрицательной функции д(х) = sin2a:/(x~m + а?п~т) по указанному
промежутку, представив этот интеграл суммой двух:
+оо +оо
8inx fca.l f l~mi*
~т + хп~т 2 J х~т + жп"
+О0 +ОО
2\У a:-m + arn-m
Первый интеграл справа — это несобственный интеграл,
сходящийся лишь при п - m > 1, или m < n -1 (см. пример 7.3),
и расходящийся при п - m ^ 1, т.е. при m ^ n - 1. Второй
интеграл сходится при m < п. Таким образом, интеграл от
функции д(х) по промежутку [тг, +оо) сходится лишь при
m < n - 1 и расходится при m ^ n -1. Но
, Ч| |sins| sin3 a; ,.
/(ж) = —! ! > = д[х).
х"m + *cn~m ж~т4-жп""то
Следовательно, согласно теореме 7.4, при m ^ n - 1
интеграл от функции |/(я)| по промежутку [тг, 4-сх>)
расходится, а в силу определения 7.6 несобственный интеграл от
функции f(x) по тому же
промежутку сходится условно. В итоге
полунаем, что интеграл от функции f(x)
по промежутку (0, 4-оо) сходится
абсолютно лишь при одновременном вы- _£ _JJJ|Jjj
полнении условий m>~2 и п-m> 1,
т.е. при -2 < m < n - 1. На рис. 7.11 Рис. 7.11

324 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
заштрихована область значении тип, при которых интеграл
от функции f(x) = xmsinx/(l + xn) по промежутку (О, -И»)
сходится, причем вертикальной штриховкой отмечена область
условной сходимости, а горизонтальной — абсолютной
сходимости.
7.9. Преобразование несобственных интегралов
Покажем на примерах, что при помощи замены переменного
и интегрирования по частям несобственный интеграл может
сводиться к обычному определенному интегралу.
Пример 7.20. а. Рассмотрим несобственный интеграл от
неположительной неограниченной при х—► +() функции In sin я
по промежутку (0, тг/2]. Покажем сначала, что этот интеграл
сходится, а затем вычислим его. Чтобы убедиться в его
сходимости, используем интегрирование по частям:
/*/2 f COS X
In sin s da; = £ In sins — / x—.— dx =
о у sin ж
о о
7Г/ А 7Г/ t
= — lim (ojlnsina;)— / xctgxdx = — I xctgxdx,
поскольку, согласно правилу Бернулли — Лопиталя,
,. / , . ч ,. lnsinx cosa:
lim (a?lnsinx)= hm -—,— = hm •. . . O4 .— = 0.
4+0v **+0 l/X ж>+0(1/ж2)81ПЖ
Определенный интеграл в правой части предыдущего
равенства существует, так как функция zctga; непрерывна и
ограничена в промежутке (0, тг/2] и в точке х = 0 может быть
доопределена значением 1. Таким образом, интеграл /
сходится.

7.9. Преобразование несобственных интегралов 325
Для вычисления несобственного интеграла от функции
In sin x по промежутку (0, тг/2] проведем сначала замену
переменного х = 2z (dx = 2dzy 2 = 0 при х = 0 и z = тг/4 при
х = тг/2) и запишем
тг/2 тг/4 тг/4
f ( f ,
1=1 lnsinzax = 2 / Insin2-2:az = 2 / ln(2sinz
0 0 0
Так как интеграл / сходится, то, используя свойства
логарифмической функции, несобственный интеграл в правой части
этого равенства можно представить в виде суммы интегралов:
тг/4 тг/4
п Г Г
/=—1п2 + 2 / \nsinzdz + 2 I Incoszdz.
2
/ \iismzdz + 2 I
Теперь в последнем интеграле заменим z = 7г/2 -t (dz= -dt,
при z = 0 и * = тг/4 при z = n/4):
тг/4 тг/4
/ /
Mnsin2rdz + 2 /lncos(^-t) (-Л) =
тг/4 тг/2
7Г
2
[ f
J П&1П2 *+ J
ж/А
тг/2
yinrfn*
Отсюда /=-(7г/2)1п2.
б. Для вычисления интеграла от функции \ппх (n ^ О
Целое), неограниченной при х -> Н-0, по промежутку (0, 1]

326 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
используем интегрирование по частям:
1
/n= f\nnxdx =
, n ' In*"1»
= sln x
1 f
-п /
о J
о у а:
о
поскольку, применяя n раз правило Бернулли — Лопиталя,
получаем
lim х lnn x = lim -—— = lim
х-¥+ох(—1/х*)
= -n lim ^т-^ = ...= (-1)п+1п! lim a = 0.
1/Х х-4+0
Так как /о = 1, в итоге находим /п = (-1)пп!
В этом примере значение /п найдено без исследования
несобственного интеграла на сходимость.
Замечание 7.4. Отметим, что несобственный интеграл от
функции f(x) no бесконечному промежутку [а, +оо) заменой
переменного х = \/t можно преобразовать к интегралу по
конечному промежутку:
+оо 1/л
Подынтегральная функция в преобразованном интеграле
будет, вообще говоря, неограниченной при t -f 0. Наоборот,
несобственный интеграл по конечному промежутку [а, 6) от
неограниченной при х -> Ь функции }(х) заменой
переменного
а+Ы Ь—а х-а

7.9. Преобразование несобственных интегралов 327
нетрудно привести к интегралу по бесконечному промежутку
[О, +оо):
Ь +оо
dt
a 0
Бели равный нулю нижний предел не удобен для дальнейшего
исследования преобразованного интеграла, то заменой
переменного х = 6 — l/t (t = 1/(6 — х)) можно получить
+оо
где с= 1/(6-а).
Возможность перехода заменой переменного
интегрирования от одного типа несобственного интеграла к другому еще
раз подтверждает существование аналогии свойств и признаков
сходимости несобственных интегралов обоих типов.
Пример 7.21. Покажем, что если интеграл от четной
функции f(z2) по промежутку [0, +оо) сходится, то
+оо +оо
/ f(z2)dz = A f f((Ax-^)2\dx, A,B>0. (7.45)
о о
Проведем замену переменного z = Ах - В/х, полагая, что
х > 0. В данном случае х —► + 0 при z -> —оо, х -> +оо
при z -> +00 и cfe= (A + B/x2)dx. С учетом свойства 3°
линейности сходящегося несобственного интеграла (см. 7.2)
получаем
+ОО +00 +ОО
—оо

328 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Второй интеграл в правой части этого равенства заменой
переменного х = -B/(At) (t -> -00 при х -> +0 и t -► -0
при х -»+оо, dx = Bdt/(At2)) преобразуем к виду
+оо
2Bdt
At2 "
—oo
О О
= А f f U At - - М dt = A f f((Ax- - У) dx. (7.46)
-oo —oo
Таким образом, с учетом свойства 2° аддитивности
сходящегося несобственного интеграла (см. 7.2) имеем
+ОО +ОО
f(z2)dz = A j f ((Ax - |)2) dx,
—OO —OO
что для четных подынтегральных функций равносильно (7.45).
Пример 7.22. Пусть несобственный интеграл от
функции f(x) по промежутку [а, +<х>) сходится. Должна ли она
быть при х -+ +оо бесконечно малой (б.м.) функцией? Можно
привести контрпримеры, из которых следует, что это не
обязательно.
Функция f(x) = cos ж2 не имеет предела при х -> -f оо, хотя
интеграл от нее по промежутку [0, +оо) сходится. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим два несобственных интеграла
а +оо
1 /*cos*j4 1 f cost ,
У dt и 2j^rdt (747)

7.9. Преобразование несобственных интегралов 329
для произвольно выбранного а > 0. Первый из них от
неограниченной при t —► +0 функции f(t) = cost/уД
сходится в силу теоремы 7.5 (в качестве функции сравнения можно
выбрать g(t) = 1/лД, интеграл от которой сходится по
промежутку (0, а] согласно примеру 7.10). Второй интеграл по
промежутку [а, +оо) сходится в соответствии с признаком
Дирихле: функция f(t) = cos* интегрируема на любом отрезке
[а, 6] С [а, +оо) как непрерывная, функция
t t
= / /(г) dr= I co&rdr = sin r
= sin t — sin a
ограничена при t ^ а, а функция g(t) = l/y/i при t ^ a
непрерывно дифференцируема и монотонна, причем g(t) ->• 0
при t-t+oo.
Сумма интегралов (7.47) оказывается сходящимся
несобственным интегралом по промежутку (0,+оо). Поэтому,
используя замену t = х2 (х = уД} dx = аЧ/(2уД)), получаем
+оо +оо +оо
1 [cost . 1 Г cost . f cost . f 2 . /p_ лп.
- I —^dt + - / —=-dt= / —7=dt= / cosx2<te, (7.48)
2J Vi 2 J y/i J 2уД J 'V/
откуда следует, что несобственный интеграл в правой части
(7.48) сходится. Его (как и интеграл от функции sin я2 по
тому же промежутку) называют интегралом Френеля по имени
французского физика О.Ж. Френеля (1788-1827), создателя
теории дифракции света. Напомним, что для функций cos ж2
и sin х2 не существует первообразных в классе элементарных
функций (см. 4.5).
Несобственный интеграл по промежутку [a, -foo) может
сходиться и в случае, если подынтегральная функция f(x) не
ограничена при х -¥ +оо. Например, функция f(x) = xcosx4
не ограничена при х —»• +оо, однако, используя подстановку

330 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
х2 = z в интеграле по промежутку [0, +оо), получаем
+оо +оо
/ xco8X4dx = - / cos z2dz1
о о
т.е. интеграл в левой части равенства сходится, поскольку
сходится (как это установлено выше в этом примере) интеграл
Френеля в правой части равенства.
Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что если
несобственный интеграл по промежутку [а, +сх>) от
неотрицательной при х > о функции f(x) сходится, то f(x) -> 0 при
х -У +оо, т.е. f(x) является функцией, б.м. при х -* +оо.
7.10. Главные значения несобственных интегралов
Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой R
и интегрируема на любом отрезке [а, 6] С R. Если существует
конечный предел
im / f(x) dx,
■М-оо J
lim
Я-f+oo
-я
то этот предел называют главным значением несобствен'
ного интеграла и обозначают
+оо
V.
—оо
+ОО
.p. I f(x) di
(V.p. — начальные буквы французских слов Valeur principal —
главное значение).
В случае неотрицательной функции главное значение
несобственного интеграла равно площади неограниченной области
между осью абсцисс и графиком этой функции.
Интеграл от нечетной функции по любому симметричному
относительно начала координат отрезку [-Д, R] равен нулю.

7.10. Главные значения несобственных интегралов 331
Поэтому и главное значение несобственного интеграла от
такой функции также равно нулю. Главное значение интеграла
от четной функции существует, если несобственный интеграл
от этой функции по промежутку [0, +оо) сходится, и равно
удвоенному значению этого интеграла. Поскольку любую
определенную на R функцию f(x) можно представить как сумму
четной <р(х) и нечетной функций ф(х) [1-3.5] в виде
+
то для функции f(x) получим
+00 +00
V.p. f f(x)dx = 2 I (p(x)dx
—oo
(если, конечно, несобственный интеграл в правой части этого
равенства сходящийся).
Пример 7.23. Функция f(x) = (1 + х)/(1 + х2) является
суммой четной (р(х) = 1/(1 + ж2) и нечетной ф(х) = х/(1+ х2)
функций. Поэтому с учетом примера 7.2 находим
+ОО +ОО
dx „
—oo
Бели функция f(x) не ограничена при а?-► с € (а, 6), то
несобственный интеграл от этой функции на отрезке [а, 6]
можно представить в виде (7.27)
сь
f(x)dx = jf(x)dx+ ff(x)dx =
X 0
= lim [f(t)dt+ lim [f(t)&,

332 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
причем он расходится, если один или оба предела в правой
части этого равенства не являются конечными. Но если
существует конечный предел
с-е Ь
I f(x) dx+J f(x) dx^j, (7.49)
c+e
то его называют главным значением несобственного
интеграла от неограниченной функции и обозначают
ь
V
.р. / f(x) dx.
Пример 7.24. Используя пример 7.10, можно установить,
что несобственные интегралы от функции f(x) = \/(х - с) по
промежуткам [а, с) и (с, 6] расходятся. Однако главное
значение несобственного интеграла от этой функции существует:
V.p.[f(x)dx= lim (T—+ (
J v ' e-H-o\/ х-с J
a a c+e
(ic-e b \
In |ж-см +1п|ж-с| I =
1 'la ' c+e/
— hm I In +"4 I =ln .
e-++o\ a-cl I e \) с-a
Может сложиться неверное впечатление, что главное
значение несобственного интеграла от неограниченной функции
можно вычислить по формуле Ньютона — Лейбница как
разность значений первообразной F(x) = In (x — с) на концах
отрезка [а, 6], игнорируя неограниченность функции f(x) —
= 1/(х — с) при х -► с 6 (а, 6). Но совпадение результатов в
данном случае является исключением, а не правилом. Покажем

Вопросы и задачи 333
на простом контрпримере, что игнорирование
неограниченности функции во внутренней точке отрезка интегрирования
может привести к абсурдному результату.
Например, в случае формального применения формулы
Ньютона — Лейбница к вычислению интеграла на отрезке
[—1,1] от функции g(x) = l/x2 получаем
I" X -]
-1 -1
тогда как подынтегральная функция положительна.
Так как функция д(х) = 1/х2 не ограничена при х -* 0, то
проверим, существует ли конечный предел вида (7.49):
0-е
•2 + lim -.
e-»+o ------
-1 O+e
.. (*7dx f dx\ .. / 1 -« 1 Л
Um ( / -r+ / -y = Um (— -- )=-
f-^+O\y X2 J X2) e-4+0\ Ж -1 X */
Именно второе слагаемое в правой части этого соотношения,
стремящееся к бесконечности при е -+ +0, было упущено при
вычислении главного значения несобственного интеграла с
помощью формулы Ньютона — Лейбница. Поэтому главное
значение несобственного интеграла от функции д(х) = 1/х2 на
отрезке [—1,1] не существует.
Вопросы и задачи
7.1. Можно ли сходящийся по промежутку [а, Ь) интеграл
от неограниченной при х —► b — 0 функции f(x)
рассматривать как предел соответствующих интегральных сумм?
7.2. Вычислить несобственные интегралы по промежутку
[О, +оо) от следующих функций:
v I fix 1 ч 1 v arctgx
' -2 i - i о» °/ /-.2 i -. i 1\2» В Г

334 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
7.3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость
несобственные интегралы по промежутку [1, +оо) от функций:
б) ч. -; в) Z-? -; г) е
-е
д)
7.4. Найти все значения параметра а, при которых
сходятся интегралы по промежутку [1, +со) от следующих функций:
ч 4*/з yft ^ 1п(1 + ж) ч
a) x4of/3arctg--^—; б) ; ;; в)
7.5. При каких показателях степени п € N сходятся
интегралы по промежутку [а, +оо) от функций /(x)sinnar и
f(x)cosnx, если f(x) — непрерывно дифференцируемая,
монотонная и ограниченная при х ^ а функция?
7.6. Вычислить интегралы по промежутку (0, 1] от
следующих функций:
у/х) ^ 1 ч 1пж ч s3arcsinx
a) v ' 1. ' ; б) * ; в) ^; г
7.7. Исследовать на абсолютную и условную сходимость
интегралы по промежутку (0, 1] от функций:
sin(l/a)
7.8. Определить все неотрицательные значения параметра
а, при которых сходятся (абсолютно и условно) интегралы по
промежутку (0) +оо) от следующих функций:
а)
Iе

Вопросы и задачи 335
7.9. Найти области значений параметров а и 0, при
которых сходятся (абсолютно и условно) интегралы по промежутку
(О, +оо) от функций:
arctg* х 1
В
1+х
1па(е*-з) ч 1п(1 + *2)-21пх
7.10. Найти главные значения несобственных интегралов:
+оо 4 it ir/2
а
0 1/2

8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ
ОТ ПАРАМЕТРА
Подынтегральная функция f(x) в рассмотренных выше
интегралах зависела только от переменного интегрирования х.
Однако в ряде случаев (например, при исследовании
сходимости несобственных интегралов) в подынтегральную функцию
входили некоторые коэффициенты или показатели степени,
которые могли принимать те или иные значения. В таких случаях
можно говорить о зависимости интеграла от значений этих
коэффициентов или показателей степеней, называемых обычно
параметрами. В простейшем варианте, когда
подынтегральная функция /(ж, у) помимо переменного интегрирования х
зависит еще от значений одного параметра у, говорят об
интеграле, зависящем от этого параметра. Использование
свойств зависящего от параметра интеграла существенно
расширяет возможности интегрального исчисления как в
теоретических вопросах, так и в прикладных задачах.
8.1. Определенные интегралы,
зависящие от параметра
Пусть функция /(ж, у) интегрируема на отрезке [а, 6]
при любых значениях параметра у € [с, d\. Тогда существует
определенный интеграл
/(У) = //(*. У)
называемый определенным интегралом, зависящим от
параметра у.

в.1. Определенные интегралы, зависящие от параметра 337
В общем случае от того же параметра у могут зависеть
и пределы интегрирования, т.е. а = <р(у) и 6 = У>(у). Бели
функция f{x, у) интегрируема на отрезке с концами в точках
<р(у) и ф{у) при любых значениях параметра у G[c, d\, то
существует определенный интеграл
Ф(у)
, (8.2)
зависящий от параметра у.
Теорема 8.1. Бели функция двух переменных /(я, у)
непрерывна в прямоугольнике
Р={(х;у): х € [а, 6], у € [с, d]}, (8.3)
то интеграл, зависящий от параметра у,
/(у) = //(*, у) *
как функция переменного у непрерывен на отрезке [с, d\.
< Прямоугольник Р является компактным множеством, а
непрерывная на таком множестве функция /(х, у) равномерно
непрерывна на нем [1-5.5], т.е., согласно равномерной
непрерывности, для произвольного € > 0 найдется такое S = 6(е) > О,
нто для любого х 6 [а, Ь] и любых у, t/o € [с, с2] при условии
1у ~ Уо| < £(£) верно неравенство
учетом лимей»м>сти определенного интеграла и его
свойства 10° (см. в.7) для любого у € [с, d\% удовлетворяющего

338
8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
неравенству \у-уо\<6(е)> имеем
6 б
а а
Ь
f {/(*,*)-f(*,Vo))d*
Итак, для произвольного € > 0 найдется такое S = 8(е) >
> 0, что для любых у, уо € [с, rf], для которых \у-уо\< 6(е),
будет выполнено неравенство \1(у) - 1(уо)\ < £, т.е. функция
1(у) непрерывна в произвольной точке уо € [с, (/], а значит, и
на отрезке [с, </]. ►
Замечание 8.1. Из хода доказательства этой теоремы
следует, что при уо € [с, d\
1(у0) = \т^ 1(у) = / (\т^/(ж, y))dx= I /(ж,
x
т.е. в случае непрерывной в прямоугольнике (8.3) функции
f(xi У) разрешен переход к пределу по параметру у под
знаком интеграла на отрезке [а, 6].
Пример 8.1. а. Вычислим предел
lim
V-+O
—к
Поскольку подынтегральная функция непрерывна в
прямоугольнике

8.1. Определенные интегралы, зависящие от параметра 339
и 0 € [—1,1], то, согласно замечанию 8.1, находим
lim / (х + cosy*) e"inydx = / iim (x + cosyz) exeinydx =
-/
— I -<r* ±<r 1 —27Г
—1Г
б. Выясним, можно ли перейти к пределу под знаком
интеграла в выражении
lim /4
Переход к пределу под знаком интеграла в данном случае
неправомерен, поскольку подынтегральная функция /(я, у) =
= (х/у2)е~(х/у) имеет разрыв в точке (0;0), принадлежащей
любому прямоугольнику
, 1], уе[-е,е]}, е>0,
в котором она должна быть непрерывна (см. замечание 8.1). В
зтом примере нужно сначала вычислить интеграл
а затем перейти к пределу. Тогда получим
1
lim / Vlw^ = ^lim I1 - «" /r) = ^ #
y-*oj y2 2y-fOv 7 2
о
Теорему 8.1 можно обобщить применительно к интегралу
(8.2) с зависящими от параметра пределами интегрирования.

340
8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Бели функции <р(у) и ф(у) непрерывны на отрезке [с, d] и
их значения не выходят за пределы отрезка [а, 6], а
подынтегральная функция /(&, у) непрерывна в прямоугольнике (8.3),
то интеграл (8.2) как функция переменного у непрерывен на
отрезке [с, <f].
В самом деле, для любой точки уо € [с, d\ в силу
аддитивности определенного интеграла можно представить (8.2) в виде
J(V)=
Первый интеграл в (8.4) имеет фиксированные пределы
интегрирования. Поэтому из теоремы 8.1 следует, что он
непрерывен по параметру у на отрезке [с, d\ и при у -+ уо стремится
к значению 1(уо). Остальные два интеграла в (8.4), согласно
следствию 6.3, можно оценить следующим образом:
, V)dx+ j f(x, y)dx- J f(x, y)dx. (8.4)
Ф(уо)
Ф(у)
jf(x, y)dx
, y)dx
где М — наибольшее значение функции |/(з, у)\ в
прямоугольнике (8.3). Поэтому при у-*уо эти интегралы в силу
непрерывности функций ф(у) и <р(у) стремятся к нулю. Это
доказывает непрерывность интеграла (8.2) в точке у = уо*
Поскольку уо является произвольной точкой отрезка [с, d\,
интеграл (8.2) непрерывен на [с, d\.
Например, полагая \у\ < 1 и используя непрерывность
функций у, 1 + у и 1/(1 + х2 + у2) в точке у = 0, вычисляем
lim
у-И)
1+У
/г
dx
dx
+ х<
Л"
4

8.2. Дифференцирование интегралов по параметру 341
8.2. Дифференцирование
интегралов по параметру
В 8.1 получены условия непрерывности функций /(у) и
«/(у), задаваемых при помощи (8.1) и (8.2) соответственно.
Приведем без доказательства утверждение, устанавливающее
условия дифференцируемости функции /(у).
Утверждение 8.1. Если функция /(х, у) и ее частная
производная f'y(x, у) непрерывны в прямоугольнике (8.3)
то определенный интеграл"
= Jf(x,y)dx,
зависящий от параметра у, дифференцируем как функция
переменного у на отрезке [с, cQ, причем
(8.5)
Формулу (8.5) называют формулой Лейбница
дифференцирования интеграла по параметру под знаком интеграла.
Пример 8.2. Функцию f\ (x) = х2 приближенно
представим на отрезке [1,3] линейной функцией fi(x) = kx + b так,
чтобы была минимальной так называемая средняя
квадратичная погрешность, а именно:
mm.
/(*, Ь) = j(Л(х) - h(x))2dx = J(x* -кх- b)2dx

342 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
В данном случае интеграл зависит от двух параметров к и
6, т.е. является функцией двух переменных. Подынтегральная
функция
/(*, *, Ь) = (х2 -kx- Ь)2
при любых х € [1, 3] и любых значениях к и 6 непрерывна
и имеет непрерывные частные производные как по параметру
&, так и по параметру 6, т.е. в силу утверждения 8.1 можно
применить (8.5) для дифференцирования интеграла /(&, Ь) по
каждому из этих параметров.
Напомним, что необходимым условием существования
экстремума дифференцируемой функции 1(к, Ь) в некоторой
точке (к;Ь) является равенство нулю в этой точке частных
производных по каждому из аргументов, т.е., учитывая (8.5),
получаем
з з
/£(*, Ь)= ff'k(x, fc, b)dx=f2(x2-kx-b)(-x)dx =
1 1
3
/{(*, 6)= [ f'b(x, k, b)dx= J2(x2-kx-b)(-\)dx =
l l
з 52
Из этой системы двух линейных алгебраических уравнений
находим к = 4 и 6 =-11/3. Итак, в точке (4;-11/3) может
существовать экстремум функции /(&, Ь). Убедимся, что в
этой точке функция достигает минимума. Поскольку
функции I'k(k, b) и I'b(k, b) линейные, вторые частные производные
функции 1(к, 6) имеют постоянные значения, причем 1кк =
— S9/3 Т1.1 — А. и 7" — ft Ta.ir хеше Ttf sfl n 7" 7" — f 7" ^2 —
•^ w4/W) iu — 1 И •'JUfc — O» leHv l\<Uv -*ljl ^ v И *кк ЬЬ \ kb) "~"
= (52/3) • 4 - 82 = 16/3 > 0, то, согласно достаточному уело-

8.2. Дифференцирование интегралов по параметру
343
вию существования экстремума функции
двух переменных [V], функция I(k, b)
достигает в точке (4; -11/3) минимального
значения.
Таким образом, функция /г(^) = 4х -
— 11/3 приближенно описывает на отрезке
[1,3] функцию fi{x) = х2 с
минимальной средней квадратичной погрешностью.
Графики этих функций представлены на
рис. 8.1. #
Утверждение 8.1 можно обобщить
применительно к интегралу (8.2) с
зависящими от параметра пределами интегрирования.
Теорема 8.2. Бели функция /(я, у) и ее частная
производная /у (я, у) непрерывны в прямоугольнике (8.3)
^= {(Х\У): х € [а> Ч> У € [cj <(]}»
а функции <р(у) и ф(у) дифференцируемы на отрезке [с, d\ и
их значения не выходят за пределы отрезка [а, 6], то интеграл
(8.2) как функция переменного у дифференцируем на отрезке
[с, с(|, причем
Ф(у)
fy{x, У)4х + /(ф(у), у)ф'(у)-/(<р(у), у)^'(у). (8.6)
v>(v)
< Представим интеграл </(у) (8.2) в виде (8.4). Первое
слагаемое в правой части (8.4) в силу утверждения 8.1 имеет
производную, равную
V'(vo)
I
Функция /(х, у) непрерывна в прямоугольнике Р. Поэтому,
преобразуя второе слагаемое в (8.4) в соответствии с теоре-

344 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
мой 6.13 о среднем значении, получаем
7
где £ — точка, заключенная между ф(уо) и ф{у)> Согласно
определению, производная этого слагаемого по у в точке у =
= у0 равна
lim —— / f(x,y)dx =
lim
>у-ус
Ф(уо)
Аналогично для производной третьего слагаемого в (8.4) имеем
Объединяя полученные результаты, убеждаемся в том, что
производная J'(yo) в произвольной точке y = yo€[c,d\
существует и справедливо утверждение теоремы. ►
Пример 8.3, Докажем, что если функция f(x)
непрерывна на числовой прямой R, то функция
при а > 0 имеет на R непрерывную производную, и
найдем выражение для /'(у). Использовать (8.5) в данном случае
неправомерно, поскольку функция f(x) по условию лишь
непрерывна, но не дифференцируема на R. Сделаем замену
переменного х + у = z (dx = dz) и, согласно теореме 6.17,
запишем
у+о
1(У)= I f(z)dz.
у-о

8.3. Интегрирование по параметру 345
Теперь от параметра у зависят лишь пределы интегрирования,
причем функции у + а и у — а дифференцируемы на R.
Производная fy(z) = 0 Vz € R, поэтому не только /(<?), но и f'y(z)
непрерывны на всей числовой оси, т.е. выполнены все условия
теоремы 8.2. Следовательно, функция 1(у) дифференцируема
на R. Используя (8.6), получаем
Таким образом, производная /'(у) непрерывна на R в силу
непрерывности на R функции f(x).
8.3. Интегрирование по параметру
Бели функция /(ж, у) непрерывна в прямоугольнике (8.3)
то в силу теорем 6.7 и 8.1 функция 1(у) (8.1) интегрируема
на отрезке [с, d\ как непрерывная на этом отрезке. Таким
образом, существует определенный интеграл
d ь
и можно говорить об интегрировании по параметру
определенного интеграла (8.1), зависящего от этого параметра.
При указанных условиях существует и определенный
интеграл
а с
Такие интегралы называют повторными. Внутренние
скобки в них обычно опускают и пишут
d Ь Ь d
I dyl /(з, y)dx, j dzl /(x, y)dy.

346 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Теорема 8.3. Бели функция /(ж, у) непрерывна в
прямоугольнике Р = {{х;у): х € [а, 6], у € [с, d]}, то
Ь d
> y)dy. (8.7)
< Рассмотрим при t € [с, d[ функции
t Ь Ь t
F(t)=JdyJf(x, y)dx и G(t) = Jdxj/(*, y)dy.
с а ас
Функция F(t) дифференцируема на отрезке [с, d\ в силу
теоремы 6.16 как определенный интеграл с переменным верхним
пределом от непрерывной функции
ь
а функция G(t) дифференцируема, согласно утверждению 8.1,
как зависящий от параметра t интеграл от функции
непрерывной в прямоугольнике Р и имеющей на нем
непрерывную частную производную по £, равную /(&,£). После
дифференцирования в соответствии с (6.48) и (8.5) получим
Ff(t)=Jf(x,t)dx1 G'(t) = Jf(x,t)d
т.е. F'(t) = G'(t) и, следовательно, F(t) - G(i) = С = const
Vt € [с, <f|. Так как при t = с F(c) = G{c) = 0, то и С = 0, т.е.

8.4. Равномерная сходимость несобственных интегралов 347
F(t) = G{t) V* € [с, d\y в частности F(d) = G(d) при * = d, что
доказывает справедливость (8.7). ►
Пример 8.4. Вычислим интеграл от функции (xb-xa)/\nx,
О < a < by на отрезке [0, 1]. Нетрудно заметить, что
б
хь — ха
а
Функция /(&, у) = xv непрерывна в прямоугольнике
{(«;у):«€[0, 1], у€[о, 6]},
если при х = 0 и х = 1 ее доопределить значениями 0 и 1
соответственно. Поэтому, согласно (8.7), получаем
1 . 16 6 1
»б
= / —: dx = / dx I xydy = j dy I xvdx =
ЛУ \b i
rfy= / -ТТ =
о У У+1
8.4. Равномерная сходимость
несобственных интегралов
При распространении теории интегралов, зависящих от
параметра, на случай несобственных интегралов особую роль
играет понятие равномерной сходимости интегралов.
Пусть функция f(x) у) определена на множестве
Роо = {(*;у): * > а, у € У С R} (8.8)
и при каждом значении у € У существует несобственный
интеграл
+оо
/(У)= / f(*,y)dx, (8.9)

348 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
который называют несобственным интегралом по
бесконечному промежутку, зависящим от параметра у £Y.
Бели при каждом фиксированном значении у 6 У
несобственный интеграл (8.9) сходится, т.е. существует конечный
предел
lim F(6,y)= lim / f(x,y)dx,
то несобственный интеграл (8.9) называют сходящимся
на множестве У.
Определение 8.1. Бели для любого е > 0 найдется такое
не зависящее от у число &о ^ Д> что при 6 ^ &о неравенство
+00 6 +ОО
I f(x,y)dx- I f(x,y)dx = I f(x,y)d
<e (8.10)
будет выполнено одновременно для всех значений у 6 У, то
несобственный интеграл (8.9), зав шедший от параметра
у, называют равномерно сгоддибшме* на множестве У
(иногда его называют равномерно сходящимся по параметру у € У,
относительно параметра у € У или при у 6 У).
Пример 8.5. Исследуем на сходимость интеграл от
функции /(ж, у) = уе~**у, y€R, по промежутку [0, +оо). Для этого
вычислим при 6 > О
+ОО +ОО
= / f(x,y)dx= j ye xydx =
ь ь
+00
= - lim
6 x-^+oo
Если у отрицательно, то е~ху -> +оо при ж -► +оо, т.е. при
у < 0 несобственный интеграл от функции /(х, у) расходится.

8.4. Равномерная сходимость несобственных интегралов 349
Если у = 0, то /(ж, у) = 0, а значит, и F(y)|y=o = 0, т.е. вэтом
случае интеграл сходится.
Если же у > 0, то F(y) = e~6y, и при фиксированном
значении у имеем е~Ьу -> 0 при Ь -* +оо. Следовательно, для
любого еб (0,1) неравенство F(y) = e"by < e будет
выполнено для всех положительных значений 6, удовлетворяющих
неравенству Ь ^ Д(е, у) = -lne/у. Но сколь большим ни взять
Д(е,у), функция е"уД —> 1 при у-» 0, так что для
достаточно малых значений у значение функции F(y) будет больше
любого выбранного числа е < 1. Таким образом, при у > О
рассматриваемый интеграл сходится, но неравномерно. Если
же у ^ с > 0, то найдется не зависящее от у такое число А,
что при 6 > А неравенство (8.10) будет выполнено сразу для
всех значений у. При £ £ (0,1) достаточно в качестве А
принять Д(£, с) = -lne/с > 0. Тогда при Ь > А получим
е-6у ^ е-6с < е-сД = elne = £j
т.е., согласно определению 8.1, несобственный интеграл F(y)
сходится равномерно на любом промежутке [с, +оо), с > 0.
Итак, исследуемый интеграл расходится при у < 0 и
сходится при у ^ 0, причем равномерно на любом промежутке
[с,+оо)гс>0. #
Пусть функция /(я, у) определена на множестве
не ограничена при x-tb-0 (b> a) и при каждом
фиксированном у € У существует несобственный интеграл
(8.11)
который называют несобственным интегралом от
неограниченной функции, зависящим от параметра

350 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Бели при каждом фиксированном у €Y несобственный
интеграл (8.11) сходится, т.е. существует конечный предел
Ь-8
lim / /(ж,
£-f+0 J
а
то интеграл (8.11) называют сходлщимсл на множестве У.
Определение 8.2. Бели для произвольного е>0 найдется
такое не зависящее от у число Д(е) > 0, что для любого
6} удовлетворяющего условию 0 < S < А (г), будет выполнено
неравенство
f f(x,y)dx <е (8.12)
б-*
одновременно для всех значений у €Y, то несобственный
интеграл (8.11) от неограниченной функции, эавислщий
от параметра у, называют равномерно сходлщимсл на
множестве У.
Аналогично можно ввести понятие зависящего от параметра
несобственного интеграла от функции, определенной на
множестве
и неограниченной при х -* а + 0 (а < 6).
Отметим, что иногда именно точка х = а (или х = 6)
оказывается особой для интеграла (8.11) при тех или иных
значениях у. Но определение 8.2 формально сохраняет силу и
тогда, когда интеграл (8.11) при всех значениях у оказывается
определенным.
Пример 8.6. Рассмотрим интеграл
ydx

8.5. Признаки равномерной сходимости интегралов 351
где у € [0,3]. Для каждого значения у € [0,3] этот интеграл
существует как определенный. Однако для указанного
промежутка у сходимость интеграла не будет равномерной из-за его
поведения в точке ж = 0. Действительно, неравенство
I
V
ydx
в случае О < е < тг/2 не может быть верным одновременно для
всех значений у > 0, потому что, сколь малым ни взять т/,
функция arctg(i//y) -+ тг/2 при у -* +0, так что для достаточно
малых значений у > 0 левая часть этого неравенства будет
больше, чем любое выбранное число е € (0,7г/2).
8.5. Признаки равномерной сходимости
несобственных интегралов
Как было показано (см. замечание 7.4), заменой
переменного интегрирования несобственный интеграл от неограниченной
функции можно привести к несобственному интегралу с
бесконечным пределом. Поэтому далее ограничимся изучением
свойств равномерно сходящихся несобственных интегралов
вида (8.9) по бесконечному промежутку.
Теорема 8.4. Для равномерной сходимости интеграла (8.9)
на множестве У С R необходимо и достаточно, чтобы при
произвольном € > 0 нашлось такое Д(е) ^ а, что для любых
6', 6"> А(е) и любого y€Y будет выполнено неравенство
< е. (8.13)
< Необходимость. Бели интеграл (8.9) равномерно
сходится на множестве У, то, согласно определению 8.1, для
произвольного е > 0 найдется такое А = А(е) ^ а, что для любого

352
8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
у € У и любых 6', 6" > А (г) будут выполнены неравенства
+оо . . +оо
s
<2
И
//(*,»)*
6' 6"
Тогда, учитывая аддитивность определенного интеграла и
неравенство треугольника, получаем
Ь"
/
6'
+оо +оо
/ /(ж, у)(*ж- / /(
V Ь"
+оо
f(x,y)dx
J f(x,y)dx
6' 6"
Достаточность. Бели (8.13) выполнено для любого
у € У и любых 6', 6" > А (е), то в силу критерия Коши
сходимости несобственного интеграла (см. теорему 7.6) интеграл
(8.9) сходится при всех y€Y, причем для произвольного е> О
найдется такое А(е) > 0, что (8.10) будет выполнено для любых
у € У и любого 6 > Д(е), а это соответствует определению 8.1
равномерной сходимости зависящего от параметра
несобственного интеграла (8.9) на множестве У. ►
Утверждение этой теоремы называют критерием Коши
равномерной сходимости несобственного интеграла,
зависящего от параметра.
Пример 8.7. Исследуем на сходимость интеграл
+оо
1+(ДУ)1 <8Л4)
О
при значениях параметра у € [0, +оо). Вычислим
б"
I
Ь'
dx
- У) \b, = arctg(b" - у) - arctg(6' - у).

8.5. Признаки равномерной сходимости интегралов 353
В силу критерия Коши сходимости несобственного интеграла
(см. теорему 7.6) интеграл (8.14) сходится, поскольку для
произвольного е > О и фиксированного значения у € [0, +оо)
будет выполнено неравенство
arctg(6" - у) - arctg(6' - у) < е (8.15)
для любых 6', 6"> Д(е, у), где Д(£, y) = y+tg{n/2-e). Однако
сколь бы велико ни было значение Д(?) > 0, всегда при
некоторых 6', Ь" > А(е) можно найти такое значение у € [0, +оо),
что неравенство (8.15) будет нарушено. Это противоречит
критерию Коши равномерной сходимости (см. теорему 8.4), так
что интеграл (8.14) сходится при у 6 [0,+оо), но неравномер-
но. #
В некоторых случаях равномерную сходимость
несобственного интеграла удается установить при помощи следующего
достаточного признака.
Теорема 8.5 (признак Вейерштпрасса). Бели при
каждом у € Y функция /(я, у) интегрируема на любом отрезке
[а, 6] С [а, +оо) и
V*€[a,+oo), (8.16)
а несобственный интеграл
f g(x)dx (8.17)
a
от функции д(х), называемой мажорирующей, сходится, то
несобственный интеграл (8.9) сходится абсолютно и
равномерно на множестве У.
4 По условию теоремы интеграл (8.17) сходится, и, поскольку
выполнено неравенство (8.16), интеграл (8.9) сходится
абсолютно при любом у € Y (см. теоремы 7.1 и 7.5). Из сходимости

354 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
интеграла (8.17) следует, что для произвольного е > 0
найдется такое А(е) > 0, что при любом b > А(е) будет выполнено
неравенство
+ос
g(x)dx<e.
Но тогда при любом у € У в силу свойства 4° сходящегося
несобственного интеграла (см. 7.2) для любого Ь> А(е)
+ОО +ОО +0О
j f(x,y)dx ^ j \f{x,y)\dx^ j g(x)dx<e,
ь ь ь
что соответствует определению 8.1 несобственного интеграла,
равномерно сходящегося на множестве У. ►
Пример 8.8. Исследуем на сходимость интеграл от
функции /(х, у) = 1/ху по промежутку (0, 1] при значениях
параметра у > 0. Проведя замену переменного х = 1/t, получим
+00
J xv- J *\ #)- J t*-w-
+оо
При у ^ 1 интеграл в правой части равенства расходится
(см. пример 7.3), а при 0 < у < 1 — сходится. Так как при
О < у ^ Jfo < 1 имеем I/*2"* $ l/t2'* Vt € [1, +оо), а
интеграл от функции 1/*2~*° по промежутку [1,+оо) сходится, то,
согласно признаку Вейерштрасса, исследуемый интеграл
сходится равномерно в промежутке (0, уо] (0 < уо < 1). Однако
при уо = 1 признак Вейерштрасса применить нельзя вследствие
расходимости интеграла от функции 1/*2-1Л) = \/t по
промежутку [1, +оо). Заметим, что признак Вейерштрасса является
лишь достаточным.
Исследуем на равномерную сходимость несобственный
интеграл по промежутку (0,1] с помощью критерия Коши. Для

8.5. Признаки равномерной сходимости интегралов 355
ЭТОГО ВЫЧИСЛИМ
6"
f dt ty-1 ь" _ -(6
Для произвольного е > О сколь бы велико ни было значение
Д > 0, всегда найдется такое значение у 6 (0,1), что при
некоторых &', 6" > Д
1 - {ь'
Это противоречит критерию Коши равномерной сходимости
несобственного интеграла в промежутке (0,1) (см.
теорему 8.4), так что при 0 < у < 1 исследуемый интеграл сходится,
но неравномерно. #
Аналогично признаку Вейерштрасса можно доказать
достаточный признак равномерной сходимости зависящего от
параметра несобственного интеграла от неограниченной функции.
Утверждение 8.2. Бели при каждом у € У функция
/(ж, у) определена в полуинтервале (о, 6], не ограничена при
х -¥ a 4- 0, но интегрируема на любом отрезке [(, Ь] С (а, 6] и
1/(3) У)\ ^ 9(х) Vх € (а, 6], причем интеграл от мажорирующей
функции д(х) по промежутку (а, Ь] сходится, то
несобственный интеграл
ь
(8.18)
сходится абсолютно и равномерно на множестве Y.
Под абсолютной сходимостью несобственного интеграла,
зависящего от параметра, понимается сходимость интеграла
ь
| при каждом у€У.

356
8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
8.6. Непрерывность и дифференцируемость
несобственных интегралов по параметру
Теорема 8.6. Бели функция /(&, у) непрерывна на
множестве (8.8) Pqo = {(x;y):i^o, y^VCR} и зависящий от
параметра несобственный интеграл (8.9)
+оо
1(У)= J f(x,
является равномерно сходящимся на множестве У, то функция
/(у) непрерывна в промежутке У.
< Пусть уо — произвольная точка промежутка У. Тогда с
учетом свойств 2° и 3° аддитивности и линейности сходящегося
несобственного интеграла (см. 7.2), свойства 10°
определенного интеграла (см. 6.7) и неравенства треугольника запишем
при произвольном 6 > а
|'М-'Ы| =
ь
+оо
, У) - /(«, ft)) dx
6 +оо +оо
/ (/(«, У) - /(*, Уо)) dx+ I f(x, y)dx- I f(xy уо) d
a 6 6
6 +00
J{f{*,y)-f(*,yo))dx -h j f(xyy)d
f(x1y0)dx
+
В силу теоремы 8.1 для произвольного с > 0 и любого jfo € У
найдется такое £ = 6(е) > 0, что для любого у € [с, cfl при
условии |у - j/o| < £(?) будет выполнено неравенство
- y)ix-jf{x, yo)d:

8.6. Непрерывность и дифферешщруемость по параметру 357
Согласно определению 8.1 равномерно сходящегося зависящего
от параметра несобственного интеграла, для любых у, уо € У
и произвольного е > О найдется такое А = А(е) ^ а, что для
любого Ь > А(е) будут справедливы неравенства
ff{*,V)d*
€
<з
И
+оо
е
В итоге из записанных неравенств следует, что для любых
у, уо € К при условии |у - уо| < 8(е)
т.е. функция /(у) непрерывна в любой точке уо € У, а
следовательно, и в промежутке У [II]. ►
Замечание 8.2. Из хода доказательства этой теоремы
следует, что при уо € Y по аналогии с замечанием 8.1
+ОО +00
/Ы = Um /(») = I (Urn /(x, у)) dx= f f(x,
а а
т.е. для несобственного интеграла от непрерывной в
прямоугольнике Роо функции, равномерно сходящегося на
множестве У, переход к пределу по параметру возможен под знаком
интеграла. #
Приведем без доказательства утверждение об условиях диф-
ференцируемости несобственного интеграла по параметру.
Утверждение 8.3. Бели функция /(г, у) и ее частная
производная f'y{x, у) непрерывны на множестве Роо (8.8) и
интеграл /(у) (8.9) сходится, а интеграл
+оо
/
(8.19)

358 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
сходится равномерно при у G У, то функция /(у) непрерывно
дифференцируема в промежутке У, причем
+оо
- (8.20)
= f
Пример 8.9. Вычислим несобственный интеграл
+00
DM-/*
+оо
sin as . _
dxy а€К,
x
о
называемый интегралом Дирихле. При а = 0 имеем D(a) =
= 0, а при а ф О, согласно примеру 7.13, D(a) сходится.
Однако непосредственно применить для вычисления D(a)
дифференцирование по параметру а нельзя, так как интеграл
вида (8.19)
+оо +оо +оо
[ , Г /sinewy /
/ Ja\xt »)«*== / I 1 dx= I cosaxdx
ooo
не только не сходится равномерно на R, как это требует
условие утверждения 8.3, а вообще расходится при любых
значениях параметра а. Поэтому рассмотрим интеграл
+оо и
МП /VT
:, 0>О, (8.21)
О
который отличается от интеграла Дирихле так называемым
множителем сходимости е~&х. Ясно, что если функцию
sin (ax) /х при 2 = 0 доопределить значением а, то
и |e*"^xcosas| ^ e~^x Vx € [0, +оо).
+ и
/(о) = / *
J
I х I
Так как интеграл
+0О +0О
Jg(x)dx= J
+оо

8.6. Непрерывность и дифференцируемость по параметру 359
сходится, то в силу признака Вейерштрасса (см. теорему 8.5)
/(а) и интеграл
+00 +ОО
//sinox *х\' * Г -в* л
( е р ) ах = I е р совах dx
V х /а У
о о
равномерно сходятся на R по параметру а при любом /?,
т.е. интеграл /(а) удовлетворяет условиям теоремы 8.5 и
утверждения 8.3. Поэтому, согласно (8.20), получим
+оо
1'(а) = / e~^xcosQxdx.
о
Подынтегральной функции e"^xcosax в этом интеграле
соответствует одна из первообразных (см. пример 1.14)
л. —fi cos ax + a sin ax
которая имеет конечный предел F(+oo) = 0 при х -)> -f oo.
Поэтому, используя (7.7), находим
+oo
0
Отсюда, интегрируя по а и учитывая табличный интеграл 13
(см. 1.4), получаем неопределенный интеграл
/W-/
/Jdo a
При а = 0 и arctg(a//?) = 0, и в (8.21) 7(а) = 0. Поэтому С = 0,
и можно записать
+оо t
™!±0 > 0. (8.22)

360
8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Этот интеграл при фиксированном а равномерно сходится
в промежутке [0, +оо) по параметру 0. В самом деле, согласно
теореме 6.24, для любого /3^0 имеем
Ь' ^ldx + e-0b" /«^
X J X
6' Ь' с
где с € [6', &"] С [0, +оо). Так как интеграл Дирихле сходится,
то в силу критерия Коши сходимости несобственного
интеграла (см. теорему 7.6) для произвольного е>0 найдется такое
А(е) ^ 0, что при любых &', Ь" > А(е) будет выполнено
неравенство
L"
ь
/
sm
dx
4
V
Поскольку е~0Ь" ^ е~&ь' ^ 1, то из предыдущего равенства
получаем
I
6'
что означает выполнение критерия Коши равномерной
сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра
(см. теорему 8.4).
Итак, в (8.22), согласно замечанию 8.2, допустим переход к
пределу при 0 -> 0 + 0 под знаком интеграла:
lim arctg
+ОО
-= / lim
sinax _
е
+ОО
вх\ , Г si
J J
sinax
= D(a).
о о
Значение предела в левой части этого выражения зависит от
знака а: п/2 при а > 0 и -тг/2 при а < 0. В итоге получаем
+оо
sin ах , тг
аж= — sgna =
х 2
тг/2, а>0;
0, а = 0;
1-1Г/2, а<0. #

8.7. Интегрирование несобственных интегралов по параметру 361
В случае неограниченной функции можно доказать
утверждения, аналогичные теореме 8.6 и утверждению 8.3.
Утверждение 8.4. Если функция /(х, у) непрерывна на
множестве
{(x;y):xe(a,b], убУСК} (8.23)
и при фиксированном у € У не ограничена при х-^о + 0, но
интеграл в (8.18) сходится равномерно на множестве У, то
функция J(y) (8.18) непрерывна на этом множестве.
Утверждение 8.5. Бели функция /(&, у) и ее частная
производная Гу(Х)у) непрерывны на множестве (8.23) и интеграл
J(y) в (8.18) сходится, а интеграл
!
fti*,v)dx
сходится равномерно на множестве У, то функция «/(у)
непрерывно дифференцируема на этом множестве, причем
> У) d
8.7. Интегрирование несобственных
интегралов по параметру
Теорема 8.7. Бели функция /(ж, у) непрерывна на
множестве {(х;у): х ^ а, у 6 [с, d\} и несобственный интеграл (8.9)
+оо

362
8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
равномерно сходится на отрезке [с, <£), то
d +00
+00 d
JdyJ /(*, y)dx= j dxjf(xy y)dy. (8.24)
4 Согласно теореме 8.3 при 6 ^ а, свойству 2° аддитивности
сходящегося несобственного интеграла /(у) (см. 7.2) и
линейности определенного интеграла, запишем
б d
d b
Jdxjf(x, y)dy = jdyjf(x, y)dx =
a c
с а
d +00
+00
-, y)dx) =
(2 +00 d +00
= Jdyjnx,y)dx-JdyJ f(x, y) dx. (8.25)
Согласно определению 8.1 равномерной сходимости
несобственного интеграла, для произвольного е > 0 найдется такое
А(е) ^ а, что для любого у € [с, d\ и любого 6 > А(е) будет
выполнено неравенство
+оо
f(xy у) dx
d-c
Тогда с учетом свойства 10° определенного интеграла (см. 6.7)
находим
d -foo d +00
fdyj f(x,y)dx <| J f(x,
с Ь с Ь

8.7. Интегрирование несобственных интегралов до параметру 363
Следовательно, рассматривая последний интеграл в правой
части (8.25) как функцию нижнего предела 6, получаем
d +oo
Ь-Н-оо
lim fdyf /(*, у) dx = 0. (8.26)
-H-oo J J
с b
Переходя в (8.25) к пределу при b -> +оо и учитывая (8.26),
приходим к (8.24). ►
Пример 8.10. Найдем значение интеграла
,-ох _ Р-Ьх
а, 6 > 0,
путем интегрирования под знаком интеграла. Согласно
признаку Вейерштрасса (см. теорему 8.5), интеграл
+00
= -, у>о,
+
/
сходится равномерно на множестве [уо> +оо), уо> 0. Пусть
Уо<а и уо < Ь. Проинтегрируем полученное равенство по у от
а до 6, причем в силу теоремы 8.7 слева интегрирование можно
провести под знаком интеграла. Тогда получим
6 +ОО +ОО 6 +ОО
fdyf e'vx dx= f dx ft'** dy = -
a 0 0 a
+<»
J У а
В итоге имеем
+00
= ln-.
a

364 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
8.8. Эйлеровы интегралы
Интегралы
1 +0О
В(а, Р) = / ха'1 (I - х)0-Чх и Г(а) = / ха-хе
J J
от параметров а > 0 и /3 > 0, называют
эйлеровыми интегралами первого и второго рода
соответственно. Первый из них при а ^ 1 и /3^1 является
определенны* интегралом от непрерывной функции, при а 6 (0,1)
или /? € (0,1) — несобственным интегралом. Исследуем его на
сходимость, записав в виде
1 1/2 1
fxa-l(l-xf-ldx= [ x—l{l-x)fi~ldx+ f xa-l{l-x)0~ldx.
О 0 1/2
Так как xa~l(l - xf"1 ~ xa~l при х -> 0 + 0 и ««^(l - x*
~ (1 - ж)^"1 при х -► 1 - 0, а несобственные интегралы
с
fxa~ldx и f(l-x)fi-ldx,
О с
согласно примеру 7.10, сходятся при <*,/?€ (0, 1), то в силу
теоремы 7.4 сходятся оба несобственных интеграла в правой
части последнего равенства. Следовательно, интеграл В (а, /?)
сходится при а, /3 6 (0,1). Поскольку при а ^ а0 > 0 и /? ^
-1 V*€(0, 1),
а интеграл от мажорирующей функции сходится, то, согласно
утверждению 8.2, интеграл В(а, 0) сходится равномерно при
^>0 и

8.8. Эйлеровы интегралы 365
Таким образом, интеграл В(а, /3) определяет функцию,
непрерывную по параметру а и по параметру 0 (в силу
утверждения 8.4) при а > О и /? > 0. Эту функцию называют
бета-функцией.
Интеграл Г (а) при а ^ 1 является несобственным
интегралом от непрерывной функции по бесконечному промежутку.
Поскольку функция ех является бесконечно большой более
высокого порядка, чем степенная с любым положительным
показателем з, то, начиная с некоторого значения xq > 0,
хе < -L
X2
Так как интеграл от мажорирующей функции 1/х2 по
промежутку [&о,+оо) сходится, то несобственный интеграл от
функции ха~хе~х по промежутку [хо, +оо) равномерно
сходится на множестве а ^ 1. Следовательно, и интеграл Г,
взятый по промежутку [0, +оо), сходится равномерно на
множестве а ^ 1.
Рассмотрим поведение интеграла Г (а) при 0 < а < 1,
представив его в виде
+ОО 1 +ОО
f f
+
f x"->e-*dx = fx"-xe-xdx + / za"lt"iz. (8.27)
Первый интеграл в правой части (8.27) в силу утверждения 8.2
равномерно сходится при а ^ а0 > 0, поскольку ха"1е'х ^
^ ха°~1 при х 6 (0, 1], а интеграл от мажорирующей функции
ж*0"1, согласно примеру 7.10, сходится при ао > 0.
Рассмотрим второй интеграл в правой части (8.27).
Поскольку при а ^ а0 за+ао/е* < 1 \/х 6 [1, +оо) [II], то
справедливо неравенство

366 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
т.е. функция 1/ж1+ао является для функции жа"1е~а?
мажорирующей при х € [1, +оо]. Так как интеграл от функции
\/х<*о+1 по бесконечному промежутку при ао > 0 сходится
(см. пример 7.3), то второй интеграл в правой части (8.27),
согласно признаку Вейерштрасса, сходится равномерно
относительно параметра а при а ^ ао.
Следовательно, интеграл Г(а) определяет функцию
параметра от, непрерывную (в силу утверждения 8.4) при а > 0.
Эту функцию называют гамма-функцией.
Бели принять а = 1 + в, 8 > 0, то интегрированием по
частям получаем рекуррентное соотношение
+0О +ОО
x"le~xdx
о
1)= /Ve-*ds = -s'e-r|+OO + e f
Таким образом, если в > n, n € N, то
(8.28)
При любом 5 > 1 можно выбрать п таким, чтобы 0 < s - п =
= а ^ 1, и тогда Г(з) при помощи (8.28) можно выразить через
значения Г (а) при а € (0, 1].
Так как Г(1) = 1, то из (8.28) следует (с учетом того, что
0!=1)
Г(п) = (п-1)!, n€N, (8.29)
т.е. гамма-функция Г(а) является продолжением функции (9-1)1,
определенной лишь при 8 € N, на множество значений а > 0.
Более того, используя (8.28), можно продолжить
гамма-функцию и на множество значений s € (-п, 1 - п), полагая
Г(*)= ,ш|!(* + >>)/ , г:, n€N. (8.30)
e(5+l)(s + 2)(s + nl)T v

8.8. Эйлеровы интегралы
367
Итак, гамма-функция
определена на всей числовой прямой,
за исключением точек 5 = 1-
- n, n € N. График функции
T(s) представлен на рис. 8.2.
Возвращаясь к
бета-функции В (а, /?), выясним
некоторые ее свойства.
1°. Для любых a > О и р >
> О В(а, Р) = В(0, а), что
легко установить, если в
интеграле В (а, Р) выполнить подстановку l-x = t.
Рис. 8.2
2°. Для любых а > О, Р > 1 или or > 1, Р > 0 соответствен
но справедливы равенства
а, 0-1), В(а, Р) =
а- 1, Р).
В самом деле, интегрированием по частям с учетом равен
ства ха = х*""1 - ха~1(1 — х) получаем
в<„ »=
a
1
~ til. J х«-1 {i ^
a, 13-1)-
Отсюда следует первое соотношение, а в силу свойства V
симметрии и второе соотношение свойства 2°.

368 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3°. Для любых а > 0 и п € N с учетом симметрии верно
равенство
что нетрудно установить последовательным применением
свойства 2°, начиная со значения В(а, 1) = 1/а. В частности, при
m, n€N имеем В(т, п) = (т-1)!(п-1)!/(т + п-1)!.
Известная формула Эйлера для бета- и
гамма-функций устанавливает связь между этими функциями:
' a>0-/J>0- (8-31)
Для ее доказательства в интеграле Г (а) положим х = (1 + t)y,
+ОО +ОО
I» = J x«'le-*dx = j
о о
а затем заменим а на а + /3:
+oo
J
о
Умножим обе части этого равенства на Р"1 и проинтегрируем
по t от 0 до £ > 0:
У'""1** / ^"1"(Ж)|Г*. (8.32)
О 0 0
Функция /(у, t) = r-V^"^"414"* при a > 1 и /3 > 1
непрерывна на множестве {(y;t): у ^ 0, t ^ 0}, и интеграл
/(у,
О

8.8. Эйлеровы интегралы 369
согласно признаку Вейерштрасса, равномерно сходится
относительно параметра t на любом отрезке [0, 6], так как
сходится интеграл от мажорирующей ее при t € [0, 6] функции
£a-iyor+0-ie-y Поэтому в правой части (8.32) в силу
теоремы 8.7 можно поменять порядок интегрирования, одновременно
сделав в левой части подстановку z = t/(1 + i) (dz = dt/(l + t)2}
T(a+0) fz°"-l(l-z)0"ldz = [tf+fi-le-*dy ft^e'^dt (8.33)
При £—Ц-оо внутренний интеграл стремится к Г(а)/уа,
а интеграл в правой части (8.33), согласно признаку
Вейерштрасса, равномерно сходится относительно параметра £ на
любом отрезке [0, а], поскольку сходится интеграл от
функции Г(а)у^~1е~у, мажорирующей подынтегральную функцию
при f € [0, а]. Следовательно, выполнены условия теоремы 8.6
и в соответствии с замечанием 8.2 возможен переход в (8.33)
к пределу при ( -> +оо под знаком внешнего интеграла, чему
в левой части (8.33) отвечает переход к пределу при г/-» 1. В
итоге интеграл в левой части (8.33) стремится к В(а, /?), а в
правой части — к Г(а)Г(/?), откуда следует (8.31).
Напомним, что справедливость (8.31) установлена при а > 1
и 0 > 1, это позволило изменить в (8.32) последовательность
интегрирования. Бели же а > 0 и (5 > 0, то вместо (8.31)
справедливо лишь равенство
Но отсюда снова следует (8.31), если к гамма-функции
применить (8.28), а для бета-функции использовать свойство 2°.
Пример 8.11. Найдем значение Г(1/2). Так как Г(1) = 1,
из (8.31) заменой переменного х = sin2* (dx = 2s\ntcostdt,

370 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
£ = 0 при х = 0 и t = тг/2 при х = 1) получим
/ /
/2sintcost<ft Л /* _
=2 / Л = тг.
Л sin«vl-sin2i -(
Итак,
Используя это значение гамма-функции, можно вычислить
несобственный интеграл
+оо
р
О
= f е-*2ах, (8.34)
играющий важную роль в теории вероятностей. Этот интеграл
называют интегралом Пуассона по имени французского
механика, физика и математика С.Д. Пуассона (1781-1840).
Иногда (8.34) называют также интегралом Эйлера —
Пуассона.
Бели в (8.34) провести замену х2 = t (2xdx = dt), то можно
записать
+о° 11^
Лг(1) = ^.
В силу четности функции е"*2 получим
+оо
/
—оо

Вопросы и задачи 371
Для подынтегральной функции е~хР заменой переменного
х = t1/* (dx = t1^"1 dt/p) с учетом (8.30) получаем
+ОО +ОО
l~^^~^€~~*dt =
p \p
t~ dt = —Г1 — j =Г(1Н— 1.
Интересно, что при р —)• +00 интеграл стремится к значению
Г(1) = 1. При s > 0 функция Г(з) достигает минимального
значения 0,8856 в точке s = 1,4616. Для сравнения при s = 3/2
Г(3/2) = Г(1/2)/2 = v/5F/2 = 0,8862.
Вопросы и задачи
8.1. Найти пределы при у->0 следующих интегралов:
1 2 1
а) / y/x2 + y2dx\ б) I x2cosxydx\ в) /
8.2. Из условия минимальной средней квадратичной
погрешности на отрезке [0, 1] найти коэффициенты к и Ь в
приближенной формуле у/\ + х2 « кх + 6.
8.3. Найти производные по параметру у следующих
интегралов:
У 81ПУ
а) / dx\ б) / dx\ в)
а+у О сову
8.4. Можно ли вычислить производную функции
1
о
при у = 0, используя (8.5)?

372 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
8.5. Доказать, что
mjy (/(« + ») - /(«))* = /(.) - f(a),
если функция f(x) непрерывна на отрезке [0, 6] и О < а <
<х<Ь.
8.6. Выяснить, при каких значениях х и у верно (8.7) для
следующих подынтегральных функций:
*2-у2 . , х-у (£!_!
8.7. Применяя интегрирование по параметру, вычислить
интегралы
Гхь-ха . д 1\_, Гхь-ха л 1\_,
/— sinlln —]аж, / —: соб[1п-)аж, 0 < а < 6.
J таг V х/ J \пх \ ж/
о о
8.8. Доказать, что интегралы Френеля сходятся и
+ОО +ОО
/ 8inx2dx= I co8x2dx = -w-.
8.9. Доказать, что Г(п +1/2) = (2n - l)!!^^, n 6 N.
8.10. Выразить через значения гамма-функции интегралы
по промежутку [0, +оо) от следующих функций:
а) хре-*4, р>-1, д>0; б) е'*!** x~(n+l\ q > 0, п € N;
в) 1/(1 + *2)', р> 1/2; г) epx~eS, р> 0.

9. ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Интегральное исчисление является одним из наиболее
широко применяемых на практике разделов математического
анализа. Сначала рассмотрим общую схему применения
определенного интеграла, а затем перейдем к его геометрическим
приложениям и примерам его использования при решении
прикладных задач в механике, физике, технике.
9.1. Общая схема применения интеграла
Пусть вне зависимости от существа изучаемого
геометрического, физического или технического объекта его некоторое
свойство связано с промежутком X. Этот промежуток
может соответствовать протяженности объекта, периоду
времени движения точки, приращению температуры тела или
разности электрических потенциалов на обкладках конденсатора,
а рассматриваемыми свойствами могут быть масса объекта,
пройденный точкой путь, аккумулированное телом количество
теплоты или накопленный конденсатором электрический
заряд соответственно. Бели количественная характеристика
рассматриваемого свойства является аддитивной, т.е. итоговое
значение этой характеристики в промежутке является суммой
вкладов всех частей этого промежутка, то обычно ее удается
вычислить при помощи определенного интеграла.
Отметим два характерных подхода, связанных с
применением определенного интеграла.
Первый подход состоит в составлении выражения для
дифференциала функции, количественно характеризующего
изучаемое свойство объекта на элементарном участке Ах про-

374 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
межутка X. Бели этот дифференциал удается представить
в виде f(x)dx и функция f(x) является интегрируемой в
промежутке Л", то далее необходимо вычислить определенный
интеграл от этой функции по данному промежутку.
Поскольку функция /(я), непрерывная в промежутке X, имеет на
любом отрезке [а, Ь] С X первообразную, то в таком случае
для вычисления определенного интеграла можно найти одну из
первообразных этой функции и затем воспользоваться
формулой Ньютона — Лейбница. В некоторых достаточно простых
случаях выражение для первообразной можно получить
непосредственно при составлении упомянутого дифференциала.
Бели известно, что определенный интеграл, описывающий
количественно рассматриваемое свойство объекта, существует,
т.е. существует предел соответствующих интегральных сумм,
то возможен второй подход. Он заключается в составлении
одной из интегральных сумм по совокупности частичных
отрезков разбиения промежутка X для функции /(х),
характеризующей проявление изучаемого свойства в окрестности
любой точки х € X, Тогда предел такой интегральной
суммы при стремлении максимального шага h разбиения к нулю
и даст искомое значение определенного интеграла от функции
f(x) по промежутку X, поскольку этот предел при условии
h —у О не зависит ни от разбиения промежутка на частичные
отрезки, ни от выбора точек, в которых на каждом из
частичных отрезков вычисляют значение функции f(x).
9.2. Длина кривой
Напомним, что кривая как множество точек трехмерного
пространства R3 может быть задана либо в векторном, либо
в координатном представлении. Введем прямоугольную
систему координат Oxyz и будем использовать далее координатное
представление кривой Г в виде
Г ={(*;y;z)€R3: * = *(*), y = y(t), z = z(t), t£[a,b)}. (9.1)

9.2. Длина кривой
375
лг=м.
п-1
Бели функции x(t), y(t) и z(t)
непрерывны, то при изменении
параметра кривой t на отрезке [а, 6] от
начального значения t = о до
конечного t = 6 точка Af(x;y;z) € R3 с
текущими координатами x(t), y(t) и
z(t) описывает непрерывную кривую
MqN (рис. 9.1), причем точки Мо и
7V называют соответственно
начальной и конечной точками кривой. При
совпадении начальной и конечной
точек кривую называют замкнутой
(замкнутым контуром).
Кривая может иметь точку самопересечения (узловую
точку). Например, кривая, задаваемая уравнениями
*€(-оо,+оо),
Рис. 9.1
Рис. 9.2
имеет такую точку с абсциссой х = 1
на оси Ох (рис. 9.2).
Если функции x(t), y(t) и z(t) непрерывно
дифференцируемы на отрезке [а, 6] и
{At))2 + (А*))2 + (At))2 Ф О V» € [а, »],
то кривую называют гладкой. Непрерывную кривую,
состоящую из конечного числа гладких участков, называют кусочно
гладкой.
Покажем, что гладкая кривая Г является спрямляемой^ т.е.
ее длина «г конечна. Точками
п_1 <tn =

376 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
разобьем отрезок [а, 6] на частичные отрезки [t«_i,t«] (t =
= 1,п). Этим значениям параметра t на кривой Г
соответствуют точки Mo, Mi, M2, ..., Mi_i, Mi, ..., Mn_i, Mn = N
(см. рис. 9.1), которые являются вершинами ломаной, вписанной
в кривую Г. Длина звена ломаной между соседними точками
,-1 и Mi (t = l,n) равна
. (9.2)
Для непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, 6] функций
x{t), y(t) и z(t), согласно теореме Лагранжа [II], имеем
x(U) - х(и-г) = х'(Ь)At{, y(U) - yfc-i) = у*(гц)At»
z(U) - z(ti-x) = г*(Ь)Аи, 6, r;t-, 0 € fc--i, U],
где At,- = ti -ti-i > 0 (t = 1, n). Подставив эти выражения в
(9.2), получим
U = V Иб-
где Мх, Му и Mz —наибольшие значения функций |з'(£)|,
|t/(t)| и |-г'(0| на отрезке [а, 6]. Это неравенство приводит к
оценке сверху периметра рассматриваемой ломаной:
п
(9.3)
Длиной 5р кривой Г называют предел (если он
существует) периметра р вписанной в эту кривую ломаной при
max Ati = А -> О [II]. При измельчении разбиения отрезка [а, 6]
1=1 ,П
любая новая точка деления tm 6 [а, 6] добавит новую вершину
М* ломаной, что не уменьшит периметр р. Таким образом,
при любом измельчении разбиения отрезка последовательность
значений р будет неубывающей и в силу (9.3) ограниченной.
Согласно признаку Вейерштрасса сходимости ограниченной
монотонной последовательности, такая последовательность

9.2. Длина кривой 377
имеет конечный предел. Рассуждая так же, как и в
доказательстве теоремы 6.4, можно показать, что указанный предел
не зависит от выбора последовательности измельчающихся
разбиений. Это доказывает спрямляемость гладкой кривой Г.
Ясно, что кусочно гладкая кривая также спрямляема,
причем ее длина является суммой длин гладких участков, что
непосредственно следует из свойства аддитивности длины.
Перейдем непосредственно к вычислению длины зг гладкой
кривой Г.
Дифференциал длины дуги пространственной кривой Г,
координатное представление (9.1) которой содержит непрерывно
дифференцируемые на отрезке [а, ft] функции, равен
ds(t) = h(t)dt = ^(х'(*))Н(уЧ*))2+И'))2<*'- (9.4)
Геометрически значение функции h(t) равно длине вектора
\r'(t)\ производной вектор-функции r(t), годографом
которой является кривая Г. Функция h(t) непрерывна на отрезке
[а, ft] и поэтому имеет первообразную. Одной из
первообразных является функция s(i), значения которой равны длине
дуги кривой от начальной точки Мо до текущей точки М
(см. рис. 9.1), соответствующей текущему значению
параметра t. Длина всей кривой Г равна
8Г= fds(t)= fh(t)dt =
. (9.5)
Кривую, лежащую в некоторой плоскости, называют
плоской. Выбрав эту плоскость за координатную плоскость хОу,
получим представление плоской кривой Г в виде
a, ft], (9.6)

378
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
причем уравнение z = О обычно опускают. Бели функции x(t)
и y(t) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, 6], то
плоская кривая Г спрямляема, причем дифференциал длины
ее дуги, согласно (9.4), равен
= g(t)dt =
(9.7)
Непрерывность функции g(t) на отрезке [а, 6] позволяет для
длины кривой Г получить
6 6 6
= Jds(t) = Jg(t) dt = J y/{x'(t))*+(y'(t))2dt. (9.8)
Бели плоская кривая Г
задана уравнением р = р((р), (р£
6 [а, /5]), в полярной системе
координат (рис. 9.3) с полюсом
в начале прямоугольной
декартовой системы координат и
полярной осью Ор, направленной
по оси Ох абсцисс, то вместо
(9.6) можно записать
х = р(<р)со&<р, у = p(y>)sin<p, <p e [а, 0\.
(9.9)
Здесь роль параметра кривой выполняет полярный угол (р.
Бели функция р((р) непрерывно дифференцируема на отрезке
[а, /?], то получаем
*'{<Р) = р\ч>) cosy? - р(у?) sin у?, у'(у?) = р'(<р) sin у? + р(у?) cosy?
и вместо (9.7) и (9.8) имеем соответственно
. (9.10)

9.2. Длина кривой
379
График непрерывно дифференцируемой на отрезке [а, 6]
функции /(х) является гладкой (а значит, и спрямляемой)
плоской кривой с координатным представлением
Г = {(х;у) € R2: х = х, у = /(ж), х € [а,Ь]}.
(9.11)
В этом случае роль параметра кривой выполняет аргумент х,
а вместо (9.7) и (9.8) получаем соответственно
и
(9.12)
Именно при явном задании плоской кривой Г в виде у =
=/(х), х € [а, 6], нетрудно установить связь формулы для
длины 5г с соответствующей интегральной суммой.
Разбиению Т = {хо = о, хи ..., хп = 6} отрезка [а, Ь] на
кривой Г отвечают точки Мо, Ми •••> Mn = N (рис. 9.4)
с ординатами уо> Уь --ч 2/п соответственно. Эти точки
являются вершинами ломаной, которую образуют отрезки,
попарно соединяющие соседние точки M,-_i и М,- (i= l,n).
Длина эвена ломаной между точками M,--i и М,- равна
I fr
Xg=a Xj X^j Xj
Рис. 0.4

380
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
На любом частичном отрезке [a?,_i, ж,] С [а, Ь] длиной Ах,- для
непрерывно дифференцируемой на отрезке [а, 6] функции у =
= f(x) выполнены условия теоремы Лагранжа [II], так что
Тогда длину всей ломаной можно записать в виде интегральной
суммы
»=Е «=
функции ^(ж) = л/1 Н- (/'(ж)) на отрезке [а, Ь].
Пусть А = max Aa:t. Согласно определению длины кри-
«=1,п
ВОЙ [II],
«Г = ]im sn,
причем этот предел существует и конечен, поскольку в силу
непрерывности функции д(х) он равен определенному интегралу
в (9.12) (см. 6.2).
Пример 9.1. Дугу эвольвенты окружности зададим
уравнениями
М
Рис. 9.5
t € [0, 7г], (9.13)
где a — радиус окружности,
а параметр t соответствует
центральному углу точки
касания касательной при
движении этой точки по окружности
(рис. 9.5). Для нахождения
длины дуги эвольвенты, учитывая
(9.7) и (9.8), последовательно

9.2. Длина кривой 381
вычислим
x'(t) = at cost, y'(t) = at sin t,
ds(t) = \f(x'(t))2+ (tf(t))2dt = y/(atcost)2+{ats\nt)2dt = atdt,
1 2
= тэт a.
= fds(t)= fatdt = -at2
Пример 9.2. Вычислим длины: а) витка архимедовой
спирали, заданного уравнением р = ay?, у? € [0, 2тг], в полярных
координатах; б) дуги параболы f(x) = ах2, х € [О, Ь].
а. Используя (9.10) и интегрирование по частям, получаем
sr= I ay/l + <p2d(p = a<p>/l + V>2 - a /
d<p =
2* ° 2ir
, (9.14)
о о
Отсюда с учетом табличного интеграла 16
находим
2»r 2w
«Г = а / \/l + ¥>2<fy> = *Wl + 47r2 + £ /
о
.|2w

382
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
б. Используя (9.12) и прием, примененный при вычислении
интеграла в предыдущем примере, получаем
ь
ь ь
= / Vl + (2ax)2dx = y { y/l + (2ax)2d{2ax) =
о о
+ (2ab)* + i- In (2ab + y/l + (2a6)2) . #
Плоская кривая Г может быть задана уравнением вида к =
= k(s), где к — кривизна плоской кривой, as — переменная
длина дуги этой кривой, отсчитываемая от ее некоторой точки
Mo (s называют натуральным параметром кривой). Кривизна
плоской кривой может быть
вычислена по формуле [II]
da(s)
*(•)=
ds
(9.15)
х x+dx х
Рис. 0.6
где oe(s) — угол между
касательной к кривой в точке
М, соответствующей
значению 5, и осью Ох (рис. 9.6).
Бели задано уравнение k = k($), называемое иногда
натуральным уравнением кривой, то при помощи определенного
интеграла с переменным пределом из (9.15) можно получить
da(8) = k(s) ds и
а
/ k(t) Л,
(9.16)
где е*о — угол наклона касательной к кривой в точке, от
которой отсчитывают натуральный параметр 8.
Поскольку dx = cosa(s)ds и dy = sin a(s)\ds (см. рис. 9.6),
координаты текущей точки кривой можно найти также при

9.2. Длина кривой 383
помощи интегрирования:
S
x(s) = xq + / cosa(s) ds, y(s) = yo+ I sina(s) ds. (9.17)
Здесь хо и j/o — координаты точки отсчета параметра в.
Таким образом, путем интегрирования по заданному
натуральному уравнению кривой можно восстановить ее
координатное представление.
Пример 9.3. Пусть задано соотношение R2(s) = 2as для
радиуса R(s) кривизны плоской кривой. Согласно определению
кривизны [II], k(s) = \/R{s) = l/\/2ai, и в силу (9.16)
—. (9.18)
а
Выберем а0 = 0, т.е. примем, что в точке отсчета параметра s
касательная к кривой параллельна оси Ох, и из (9.18) найдем
s = ао?/2 и ds = aotda. Используя эти равенства при замене
переменного интегрирования в (9.17), для координат текущей
точки кривой получаем
а
х(а) = хо + a I (cos(d£ = xq + a I
о
a
ia f
sinf -a I sinfd( = «o + o(asina-|-co8a- 1),
'o J
о
a a
J/И = !ft> + a / ^sin^df = yo + a (d(-cos£) =
о
a
= Уо-в^сов( 4-a / cos^df = jto + a(8ina —acoea).
lo у

384 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА*
Бели отсчитывать параметр s от точки Mq кривой с
координатами хо = а и уо = 0, то придем к координатному
представлению эвольвенты окружности в виде (9.13), причем в этом
случае a = t (см. рис. 9.5), а значение а соответствует
радиусу окружности.
9.3. Площадь плоской фигуры
Возможность применения определенного интеграла к
вычислению площади плоской фигуры непосредственно следует из
его геометрического смысла. Строгое обоснование этой
возможности опирается на понятие площади многоугольника, т.е.
плоской фигуры, составленной из конечного числа
треугольников и (или) прямоугольников, а способы вычисления площади
треугольника и прямоугольника предполагаем известными.
Дадим определение площади плоской фигуры, отличное от
приведенного в Д.1.1, но не противоречащее ему. Пусть
множество А состоит из многоугольников, целиком включающих
в себя некоторую плоскую фигуру Р, а множество В — из
многоугольников, целиком содержащихся в этой фигуре. Ясно,
что любой многоугольник из А целиком включает в себя
любой многоугольник из В. Поэтому множество Sb площадей
всех многоугольников из В ограничено сверху площадью
любого многоугольника из А и, следовательно, имеет единственную
точную верхнюю грань S*. Множество 5д площадей всех
многоугольников из А ограничено снизу (например, нулем) и
имеет единственную точную нижнюю грань 5*.
Определение 9.1. Плоскую фигуру Р называют ква-
дрируемой (т.е. имеющей площадь), если точная верхняя грань
5* множества площадей всех включенных в эту фигуру
многоугольников равна точной нижней грани 5* множества
площадей всех многоугольников, включающих в себя эту фигуру,
причем число S = 5* = S* называют площадью данной
плоской фигуры.

9.3. Площадь плоской фигуры 385
Легко видеть, что для существования площади плоской
фигуры Р (квадрируемости фигуры Р) необходимо и
достаточно, чтобы для любого е > О нашлись такие два
многоугольника ?i и ?2 с площадями S\ и 5г соответственно, что
РгСРсР2 и 52-5i<e.
Действительно, необходимость этого условия вытекает из
основных свойств точных граней [1-2.7], а именно: для
выбранного е > 0 найдутся такие многоугольники Р\ С Р и Pi Э Р
с площадями S\ и 5г соответственно, что S\ > 5 — г/2 и
5г < 5 + е/2, где 5 — площадь фигуры Р. Из указанных двух
неравенств вытекает неравенство 5г - Si < e. Чтобы доказать
достаточность сформулированного условия, запишем
неравенство
$ 5* $ 5* ^ 5г,
которое выполняется по определению значений 5* и 5*,
вычисленных для фигуры Р, для любых многоугольников с
площадями Si и 5г- Бели для произвольно заданного £>0
выполняется неравенство 5г — Si < £, то также верно и
неравенство 5* — 5* $ 52 - 5i < е. Но это возможно только при
S* = S*, что равносильно квадрируемости фигуры Р.
Доказанный критерий квадрируемости можно
перефразировать следующим образом. Для того чтобы фигура Р была
квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы существовали
последовательности многоугольников {Ап} и {Вп},
содержащихся в Р и содержащих Р соответственно, площади
которых имеют общий предел:
lim S*= ton S? = S.
П **»»* к/и
П-ЮО П-+ОО
Этот предел, очевидно, и будет площадью фигуры Р.
Доказанный критерий в той или иной формулировке
останется верным, если в нем вместо многоугольников рассмотреть
произвольные фигуры, квадрируемость которых уже
установлена. В частности, если для данной фигуры Р
построены две последовательности прямоугольников {Рп} и {Qn},

386
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
для которых Рп С Р С Qn, п = 1,2,..., и площади которых
стремятся к общему значению 5, то фигура Р квадрируема,
а ее площадь равна 5.
Отметим без доказательства, что если граница плоской
фигуры состоит из одной или нескольких гладких (кусочно
гладких) кривых, то эта фигура квадрируема.
Пусть плоская фигура в виде криволинейной трапеции
имеет основанием отрезок [а, 6] и ограничена графиком
неотрицательной интегрируемой на [а, 6] функции /(&). Верхнюю ~5
и нижнюю S. суммы Дарбу
п
п
и
1=1
t=l
функции /(х), имеющей точные верхнюю и нижнюю грани
{ = sup f(x)
[ ]
m,= inf f(x)
и
на каждом частичном отрезке [х,_1,х,] некоторого
разбиения отрезка [а, 6], можно рассматривать как элементы
множеств Sa и Sb площадей многоугольников, целиком
включающих эту фигуру и целиком содержащихся в ней
соответственно (на рис. 9.7 заштрихована площадь из множества
Sb)- В силу критерия Дарбу для интегрируемой на
отрезке [а, Ь] функции f(x) нижняя и верхняя точные грани,
достигаемые на
всевозможных разбиениях этого
отрезка верхней и нижней
суммами Дарбу соответственно,
совпадают и равны
определенному интегралу. Поэтому,
согласно доказанному крите-
рию квадрируемости, криво-
линейная трапеция, ограни-
ченная интегрируемой на от-
хЛ=Ь х
Рис. 9.7

9.3. Площадь плоской фигуры
387
резке [а, 6] неотрицательной функцией f(x), квадрируема, и
площадь этой трапеции равна
= Jf(x)dx.
(9.19)
Прежде чем перейти к вычислению площадей более сложных
фигур, выясним геометрический смысл определенного
интеграла от функции д(х), интегрируемой на отрезке [а, 6] и
неположительной на нем: д(х) ^ 0 Vs € [a, 6]. Рассмотрим
функцию f(x) = —д(х) ^ 0 Vx € [a, 6], график которой,
очевидно, симметричен графику
функции д(х) относительно оси Ох
(рис. 9.8). Поэтому площади 5'
и 5 фигур аЪВ'А* и аЬВА
соответственно равны между собой.
Используя (9.19), имеем
ь ъ
S' = S = Jf(x)dx=f{-g(x))dx.
<* « Рис. 0.8
В силу линейности определенного интеграла получаем
аг
А*
У
/0
%
I
i
В
Ь х
В1
о
J
g(x) dx = -5 = -5;,
т.е. определенный интеграл на отрезке [а, Ь] от
неположительной на нем функции д(х) равен взятой с обратным знаком
площади криволинейной трапеции, имеющей основанием
данный отрезок и ограниченной графиком этой функции.
Если функция f(x) на отрезке [а, Ь] конечное число п раз
меняет знак (рис. 9.9), то интеграл по этому отрезку, используя
аддитивность определенного интеграла, можно разбить на

388
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
сумму интегралов по таким отрезкам, на которых данная
функция знакопостоянна:
Ь Х\ Х2 Ь
f f(x)dx = J f(x)dx+ f f(x)dx + ...+ f f{x)dx.
b x
Рис. 9.9
b
Тогда получим, что
интеграл на отрезке [а, Ь]
будет равен алгебраической
сумме площадей
криволинейных трапеций, имеющих
основаниями отрезки зна-
копостоянства
рассматриваемой функции:
/
Пример 9.4. Используя геометрический смысл
определенного интеграла, вычислим интегралы
I sin7 xdx; б) / cos4xdx.
о о
а. В силу аддитивности определенного интеграла
3ir/2 ir/2 ж 3w/2
/ sin7xdx— j sin7s<te+ / sin7a;(fo+ / sin7xdx.
ir/2
y
1
0
-1
Рас. 9.10
График функции sin7x на
отрезке [тг/2, Зтг/2]
симметричен относительно точки
оси Ох с абсциссой х = тг
(рис. 9.10). Поэтому
площади 5г и 5з равны между

9.3. Площадь плоской фигуры
389
собой, т.е.
п Зтг/2
/ sin7xdx = — I s\n7xdx.
тг/2 ir
Тогда, используя результаты примера 6.15, получаем
Зтг/2 1г/2
2 46 16
б. График функции cos4 а; на отрезке [0, тг] симметричен
относительно прямой х = тг/2 у
(рис. 9.11). Следовательно,
*/2 *
I cos4xdx= I cos4xdxi
и */а Рис. 9.11
и поэтому с учетом результатов примера 6.15
X X
/
/ cos4£<te = 2 /
= 2 / cos4xdx = 2—- — = —. #
Пусть плоская фигура ограничена отрезками прямых х = а
и х = 6, которые, в частности, могут вырождаться в
точки, и интегрируемыми на отрезке [а, 6] функциями f\(x) и
/2(ж), причем 0 ^ fi(x) ^ /2(3) при
х € [а, 6]. Тогда площадь такой фи- У
гуры равна разности площадей
криволинейных трапеций аЬВА и abDC
(рис. 9.12) и может быть найдена по
формуле
= J{f2(x)-h(x))dx. (9.20)
Ь х
Рис. 9.12

390
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Рис. 9.13
Рассмотрим плоскую фигуру,
ограниченную отрезками прямых ж = а,
х = 6 и графиками интегрируемых на
отрезке [о, 6] функций /i(s), /2(3),
причем /i(x) ^ /г (ж) Уж € [а, 6] и эти
функции на этом отрезке могут
конечное число раз менять знак (рис. 9.13).
В силу теоремы 6.1 интегрируемые на
отрезке функции ограничены на нем.
Поэтому найдется такое число М > 0,
что
9i(x) = h(x) + M J>0 и д2(х) = /2(ж) + М > 0
[о, 6].
Тогдазаштрихованные на рис. 9.13 площади S и S' будут
равны и, используя (9.20), для площади рассматриваемой плоской
фигуры получаем
6 б
5 = S1 = I {д2(х) - дг{х)) dx = J (/2(ж) - /,(ж)) с/ж. (9.21)
Иначе говоря, для нахождения площади плоской фигуры,
ограниченной на отрезке [а, 6] сверху и снизу графиками функций
h (х) и /i(s) соответственно, нужно вычислить определенный
интеграл по данному отрезку от разности /г(ж) - f\(x) этих
функций.
Площадь плоских фигур более сложной формы на основании
аддитивности площади можно представить алгебраической
суммой вычисляемых при помощи (9.19) площадей
криволинейных трапеций.
Пример 9.5. Вычислим площадь 5, ограниченную
эллипсом Г, заданным в прямоугольной декартовой системе
координат Оху каноническим уравнением (ж/а)2 4- (у/Ь)2 —
= 1 (рис. 9.14). В силу симметрии эллипса и аддитивности

9.3. Площадь плоской фигуры
391
УА
площади достаточно
вычислить площадь 5/4
фигуры, расположенной в
первом квадранте
координатной плоскости. Эта
фигура — криволинейная
трапеция, имеющая
основанием отрезок [0, а] и
ограниченная графиком непре-
рывной функции f(x) =
= by/1—x2/a2, получаемой
из уравнения эллипса,
если разрешить его относи- рис, 9.14
тельно у. Используя (9.19)
и замену переменного х = a cost (dx = - a sin tdt), находим
T = / 6\/l —~dx = -ab I sin2tdt = —r-<-ran2t = -nab
4 У V a2 J 2 L 2 Jir/2 4
tr/2
Отсюда S = nab.
Пример 9.6. Вычислим площадь плоской фигуры,
ограниченной линиями, заданными уравнениями у2 = z +1 и х - у = 1
(рис. 9.15). Решая систему указанных уравнений, находим
точки Mi(0;-l) и М2(3;2)
пересечения этих линий. На
рис. 9.15 видно, что нижняя
граница фигуры на разных
частях отрезка [-1,3]
задана двумя различными
функциями. Поэтому искомую пло-
Щадь представим суммой
площадей Si параболического
сегмента на отрезке [—1,0] и Рис. 9.15
У
2
JL
/oOnN
*
•
г
■
2
3 х

392 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
на отрезке [0,3]. Параболический сегмент, ограниченный
дугой параболы у2 = х + 1 и отрезком [-1,1] оси Оу,
симметричен относительно оси Ох, и поэтому
Используя (9.20), получаем
- (* -1)) dx = (|(х +1)3'2 - у + *)
о
""3 2+ 3"" 3 2'
В итоге искомая площадь S = 5i + S2 = 4/3 + 14/3 - 3/2 =
= 6 - 3/2 = 9/2.
Площадь этой фигуры можно найти проще, если принять у
за независимое переменное, а ж за функцию х(у). Тогда на
всем отрезке [—1,2] изменения у верхней границей фигуры
будет прямая х = у+ 1, а нижней границей — парабола х =
= у2 — 1. Снова применяя (9.20), находим
-44-2 8 ( 2) 1
_4 + 2---(-2)-5
Пусть непрерывная плоская кривая Г задана уравнением
p = p[tp)1 <р£ [а, /?], в полярных координатах (рис. 9.16).
Назовем криволинейным сектором плоскую фигуру,
ограниченную этой кривой и двумя лучами, составляющими с полярной
осью углы а и ^. Вычислим площадь криволинейного
сектора. Квадрируемость криволинейного сектора Р и значение

9.3. Площадь плоской фигуры
393
его площади установим, построив подходящие
последовательности квадрируемых фигур {Qn} и {Rn}, содержащихся в Р
и содержащих Р.
Рис. 9.16
Для произвольного разбиения
отрезка [a, /3] на каждом частичном отрезке [<А"_ъ ^
= 1, п, построим круговые секторы, радиусы которых равны
наименьшему г,- и наибольшему Л,- значениям непрерывной
функции р(<р) на отрезке [у?»-ъ <^i]- Площадь каждого из
этих секторов равна соответственно г?Ау?,/2 и Я?Ау?,/2,
где Ay>j = <fii — Vt-i- Эти секторы составляют две плоские
фигуры, первая включена целиком в криволинейный сектор, а
вторая целиком накрывает его. Эти фигуры имеют площади
соответственно
и i
(9.22)
t=l
1=1
(на рис. 9.16 первая из названных плоских фигур
заштрихована).

394
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Непрерывная на отрезке [а, /?] функция д(<р) = р2((р)/2
интегрируема на нем по Риману. Поэтому нижняя и верхняя
суммы Дарбу для этой функции, совпадающие с выражениями
(9.22), на всевозможных разбиениях отрезка [а, /3] достигают
в силу критерия Дарбу равных между собой точных верхней
S* и нижней 5* граней соответственно, причем
(9.23)
Поэтому криволинейный сектор квадрируем, а (9.23)
определяет его площадь.
Пример 9.7. Найдем площадь витка архимедовой
спирали, заданного уравнением р = <нр (у? € [0, 2тг]) в полярных
координатах (на рис. 9.17 искомая
площадь заштрихована). В соответствии с
(9.23)
2тг
2тг
О
Рис. 0.17
Виток целиком включен в круг радиуса
2тга и площадью 4тг3а2, в 3 раза большей площади витка (этот
результат был известен еще Архимеду). #
Бели ограничивающая криволинейный сектор плоская
кривая Г задана параметрически в виде
x = x(t), y = y(t), *€[a,6],
причем функции x(t) и y(t) непрерывно дифференцируемы
на отрезке [а, 6], то вместо (9.23) можно написать
о
S=y(x(t)yl(t)-x'{t)y(t))dt.
(9.24)

9.3. Площадь плоской фигуры
395
В самом деле, полярный угол равен: <p(t) = arctg(y(t)/x(t)) +
+ С, где С принимает значения 0, ж или —яг. Поэтому с учетом
равенства p2(t) = x2(t) +y2(t) получаем
Mt)=v>№= «СУМ-
(l+(y(t)/x(t))2)X*(t)
Подстановка этого выражения в (9.23) приводит к (9.24).
Отметим, что (9.24) можно использовать для вычисления площади,
ограниченной замкнутым контуром Г, если параметр t
изменяется монотонно.
Пример 0.8. Для вычислении площади 5, ограниченной
эллипсом, вместо канонического уравнения эллипса используем,
в отличие от примера 9.5, параметрическое представление
x(t) = acos£, y(t) = 6sint, t 6 [0, 2тг]
(параметр t соответствует углу, показанному на рис. 9.14).
Тогда, используя (9.24), находим
2тг
1 /* L /*
5 = - / (a cos tb cost - (-as\nt)bs\nt) dt= — I dt = nab.
о о
При a = b получаем площадь па2 круга радиуса а. При
помощи последнего интеграла нетрудно установить, что
площадь заштрихованного на рис. 9.14 криволинейного сектора
О AM, ограниченного дугой эллипса, бу- у
дет St = abt/2 = (a/6)5t;, где S't = b4/2 —
площадь кругового сектора 0А!М*.
Пример 0.9. Вычислим площадь
криволинейного сектора 0АМ}
ограниченного дугой равнобочной гиперболы
с каноническим уравнением х2 — у2 = 1
(рис. 9.18). Точка Л(1;0) является
вершиной правой ветви Г гиперболы, а точ- Рис. 9.18

396 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
ка М(х;у) лежит на этой ветви в первом квадранте
координатной плоскости (х > 1, у > 1). Разрешая уравнение
относительно у, получаем непрерывную функцию у = f(x) = у/х2 - 1,
график которой ограничивает криволинейный сектор дугой AM.
Используя (9.19) и интегрирование по частям, вычисляем
сначала площадь криволинейной трапеции АВМ:
Отсюда с учетом табличного интеграла 16 и выражения для
ординаты у точки М получаем
Sabm = § V^l - jln (* + V^l) = Ц- - i|n(* + у).
Так как первое слагаемое в правой части этого равенства равно
площади Sobm треугольника ОВМ, то, согласно
аддитивности площади, искомая площадь 5 криволинейного сектора
О AM равна
S = Sobm - Sabm = - In (ж + у). (9.25)
Вычислим эту же площадь исходя из представления
рассматриваемой ветви Г гиперболы в виде
s(t) = ch*, y(t)=sht, t€[0, +oo).
Ясно, что точке А в вершине гиперболы отвечает значение
параметра t = 0, а текущей точке М(ж; у) будет
соответствовать его значение, определяемое при помощи равенств
y = sh*. (9.26)

9.3. Площадь плоской фигуры 397
Используя (9.24) и учитывая равенство ch2r-sh2r = 1,
находим
t
5 = ^ ((chrchr-shrshr)rfr = ^ /<fr = ^. (9.27)
о
Сравнивая с учетом (9.26) выражения для площади 5 в
(9.25) и (9.27), можно убедиться в их тождественности:
5l(h* + hO
Замечание 9.1. Геометрический смысл параметра t как
аргумента гиперболических функций (9.26) отвечает
удвоенной площади криволинейного сектора, ограниченного дугой
равнобочной гиперболы. Это послужило поводом для выбора
названия этих функций. Для сравнения аргумент
тригонометрических функций можно трактовать как удвоенную площадь
соответствующего сектора круга единичного радиуса (в связи
с этим тригонометрические функции иногда называют
круговыми).
Подставляя в равенство t = \n(x + y), вытекающее из (9.28),
у = у/х2 — 1 (х = у/у2 + 1), получаем
t = In (x + у/х2 - 1) = Archx (t = In (у + у/у2 +1) = Arshy).
Функции Archx и Arshy называют соответственно ареако-
синусом и ареасинусом (иногда к этим названиям добавляют
слово „гиперболический"). Приставка wapeatt происходит от
латинского area — площадь. Области определения и значений
ареасинуса соответствуют всей числовой прямой R. Ареако-
синус определен лишь при х ^ 1. В силу четности функции
cht ареакосинус при фиксированном значении х > 1 наряду
с положительным значением, отвечающим удвоенной площади

398
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
сектора О AM, принимает равное по абсолютной величине
отрицательное значение, отвечающее удвоенной площади сектора
О AM1 (см. рис. 9.18). Поэтому ареасинус и ареакосинус
связаны между собой равенством
Arsh z = (sgn z) Arch y/z2 + l = In (z + y/z2 +1) V* € R. (9.29)
Они принадлежат к обратным гиперболическим
функциям, включающим также ареатангенс Arthz и ареакотан-
генс Arcth z, которые определяются соотношениями
Arthz = Arcth-=-In , z2 < 1;
z 2 1 -z
Arcth z = Arth - = - In -, z2 > 1.
z 2 z-1
(9.30)
(9.31)
Через обратные гиперболические функции можно выразить
табличный интеграл 16. #
Бели кривая, ограничивающая криволинейную трапецию,
задана параметрически в виде х — x(t), у = y(t), t e [a,/?],
причем функция x(t) непрерывно дифференцируема на
отрезке [а, /?], то для вычисления площади этой криволинейной
трапеции можно использовать (9.19). Проведя в (9.19) замену
переменного, получаем (в предположении, что х = а при t = a
и х = Ь при t = ft)
b 0
S= ff(x)dx= fy(t)x'(t)dt. (9.32)
a
-o
Рис. 9.19
Пример 9.10. Найдем площадь 5
фигуры, ограниченной астроидой
(рис. 9.19), заданной уравнениями
x(t) = acos3*, y(t) = asin3*, t € [0,2тг].
В силу симметрии астроиды
достаточно вычислить площадь четвертой

9.3. Площадь плоской фигуры
399
части фигуры, расположенной в первом квадранте
координатной плоскости. При возрастании х от 0 до а параметр t
убывает от тг/2 до 0. Поэтому, используя (9.32), записываем
о о
- = [ y(t)x'(t)dt= I asm3t(-3acos2ts\nt)dt =
тг/2 тг/2
тг/2 тг/2
= За2 I sin41 cos21 dt = За2 / (sin41 - sin61) dt.
о о
Учитывая линейность определенного интеграла и результаты
примера 6.15, получаем
тг/2
S = 12а2 f (sin41 - sin61) dt =
о
t к * О п к О О 7Г \ «7 о/^ w\ О о
В примере 7.2 схо^я^и^ся несобственный интеграл по
промежутку [0, Н-оо) от функции /(ж) = 1/(1 + ж2)
геометрически был интерпретирован как площадь неограниченной плоской
области между графиком этой функции и осью Ох. Для
выяснения вопроса о квадрируемости неограниченной области
следует выразить в виде определенного интеграла площадь
квадрируемой плоской фигуры, включенной в эту область и
заполняющей ее при стремлении к пределу одного из
размеров фигуры, а затем исследовать сходимость получающегося
при предельном переходе
несобственного интеграла.
Пример 9.11. а.
Криволинейная трапеция, имеющая
основанием отрезок [0, 6] и
ограниченная графиком непрерывной
Функции f(x) = e~x (рис. 9.20), Рис. 9.20
У
1
«г*
ж-
/

400
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
согласно (9.19), имеет площадь
S{b)=ff(x)dx=fe-
= -6
.-ь
о
Поскольку 5(6) -* 1 < +оо при 6 -> +оо, то неограниченная
плоская область между графиком функции f(x) = e~x при
z)0 и осью Ох квадрируема, а ее площадь 5=1.
б. График функции g(x) = ctgx и отрезок [а, тг/2] (о > 0)
оси Ох вместе с прямой х = а ограничивают плоскую фигуру
(рис. 9.21) с площадью
5(о)= / ctgzdz = lnsinz
тг/2
= -In sin a.
О а
Рис. 9.21
При а—»+0 прямая ж = а
неограниченно приближается к оси Оу, и эта
плоская фигура переходит в неограниченную
плоскую область, не имеющую конечной
площади, т.е. неквадрируемую, так как
при а->+0 S(a)-> -boo.
9.4. Объем тела
Под телом будем понимать замкнутое ограниченное
множество точек трехмерного пространства, т.е. тело содержит
все свои граничные точки.
Будем опираться на понятие объема так называемого
многогранника, представляющего собой объединение конечного
числа треугольных пирамид, способ вычисления объема каждой
из которых предполагаем известным. Как и в случае площади
плоской фигуры (см. Д.1.1), можно показать, что объем
обладает свойствами монотонности и аддитивности, т.е. объем
тела, целиком включенного в другое тело, не больше объема

9.4. Объем тела 401
этого включающего тела и объем тела равен сумме объемов
составляющих его частей.
Пусть множество А состоит из многогранников, целиком
включающих в себя некоторое тело, а множество В — из
многогранников, целиком содержащихся в этом теле. Ясно, что
любой многогранник из А целиком включает в себя любой
многогранник из В. Поэтому множество У в объемов всех
многогранников из В ограничено сверху объемом любого
многогранника из А (в соответствии со свойством монотонности
объема) и, следовательно, имеет единственную точную
верхнюю грань V*. Множество Va объемов всех многогранников
из А ограничено снизу (например, нулем) и имеет
единственную точную нижнюю грань У*.
Определение 9.2. Тело называют кубируемым (т.е.
имеющим объем), если точная верхняя грань V* множества
объемов всех включенных в это тело многогранников равна
точной нижней грани Vm множества объемов всех
многогранников, включающих в себя это тело, причем число V = V* = V*
называют объемом данного тела.
Для объемов, так же как и для площадей, справедливы
следующие утверждения:
1) для кубируемости тела Р (существования его объема)
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлись
такие многогранники Р\ в Р2 с объемами V\ и %, что
РхСРсРг и V2-Vi<£;
2) для кубируемости тела Р необходимо и достаточно,
чтобы существовали такие последовательности многогранников
{Ап} и {Вп}, содержащихся в Р и содержащих Р, объемы
которых V* и V£ удовлетворяют соотношению
lim Кл = lim К? = V.
п-Юо ** п-Юо
При этом общий предел V и будет объемом тела Р;

402
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
3) если для тела Р существуют последовательности куби-
руемых тел {Qn} и {Лп}, содержащихся в Р и содержащих
Р, имеющих объемы Vn и VJ*, для которых
lim V$= lim V* = V,
то тело Р кубируемо, а его объем равен V.
Последнее утверждение дает удобное достаточное условие
кубируемости тела, позволяя использовать для проверки не
только многогранники, но и другие тела, кубируемость
которых уже установлена.
Тело в виде прямого цилиндра высотой Я, основанием
которого является квадрируемая плоская фигура с площадью
5, имеет объем V — SH, В самом деле, на всевозможных
многоугольниках, включающих и включенных в эту плоскую
фигуру, построим прямые призмы высотой Я. Эти призмы
кубируемы, причем либо включают в себя цилиндр целиком,
либо целиком включены в него. Точная нижняя грань S+H
множества объемов призм, включающих цилиндр, и точная
верхняя грань S*H множества объемов призм, включенных
в него, совпадают и равны SH. Следовательно, в силу
определения 9.2 рассматриваемый прямой цилиндр кубируем и
его объем V = SH.
Введем прямоугольную систему координат Oxyz и
рассмотрим некоторое тело, заключенное между плоскостями х = а
и х = Ь (рис. 9.22). Пусть все
сечения этого тела
плоскостями, перпендикулярными
координатной оси Ох, квадрируе-
мы, причем зависимость S(x)
площади сечения от абсцис-
х сы х € [а, 6] является
заданной функцией, непрерывной
на отрезке [а, Ь].
Рис. 9.22

9.4. Объем тела 403
Отметим, что два таких сечения, спроектированных на
какую-либо плоскость, перпендикулярную оси Ох, могут либо
содержаться одно в другом (рис. 9.23, а), либо частично
накладываться одно на другое (рис. 9.23,6), либо не пересекаться
(рис. 9.23, в). Близость значений площади не гарантирует
выбор одного из этих вариантов.
в
Предположим, что для любого из всевозможных разбиений
Т = {хо = а, х\, ..., ж,_i, х,-, ..., xn = b}
отрезка [а, 6] в любом г-м слое тела между плоскостями х =
= г,-1 и х = Х{ (г = 1,п) сечение, имеющее наибольшую
площадь М,-, целиком включает в себя любое сечение в указанном
слое, а сечение, имеющее наименьшую площадь то;, содержится
в любом другом сечении этого слоя. На этих сечениях
построим прямые цилиндры высотой Дх,- =* ж,- -s»_i. Тогда цилиндр
объемом MiAxi будет целиком включать в себя г-й слой тела,
а цилиндр объемом т,-Дз,- будет целиком включен в этот слой.
Ступенчатые тела, составленные из всех цилиндров,
включающих слои тела, и из всех включенных в эти слои цилиндров,
согласно аддитивности объема, кубируемы, причем их объемы
равны соответственно
п п
У^М{Ахх и y^mjAxj.
t=i t=i
Эти суммы являются соответственно верхней и нижней
суммами Дарбу для интегрируемой на отрезке [а, 6] функции S(x).
В силу критерия Дарбу существования определенного
интеграла точная нижняя грань верхней суммы и точная верхняя грань

404
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
нижней суммы совпадают и равны
о
= fs(x)dz.
(9.33)
Согласно сформулированному выше критерию кубируемо-
сти, это означает, что при сделанном предположении
рассматриваемое тело кубируемо, а его объем V равен интегралу в
(9.33).
Принятое предположение о форме тела выполнено, в
частности, для тела, образованного вращением вокруг оси Ох
криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [а, 6] и
ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на [а, Ь]
функции f(x) (рис. 9.24). В этом случае S(x) = тг/2(ж), так что
б
Vx = n ff2{x)dx.
(9.34)
Аналогично объем тела, образованного вращением вокруг
координатной оси Оу криволинейной трапеции, имеющей
основанием отрезок [с, d\ и ограниченной графиком непрерывной и
неотрицательной на [с, d\ функции х = д(у) (рис. 9.25), равен
d
Vy = w g*(y)dy. (9.35)
Рис. 0.24
Рис. 0.25

9.4. Объем тела
405
fix)
Ь х
Пусть тело образовано
вращением вокруг оси Оу
криволинейной трапеции, имеющей
основанием отрезок [а, 6] (а ^ 0) оси Ох и
ограниченной графиком
непрерывной и неотрицательной на [а, 6]
функции /(ж) (рис. 9.26).
Примем за элемент объема такого
тела объем его части, образованной Рис* 9#2в
вращением вокруг оси Оу прямоугольника с основанием dx и
высотой /(х), отстоящего от оси Оу на расстоянии х (иными
словами, эта часть тела представляет собой цилиндрическую
оболочку радиуса ж, толщиной dx и высотой f(x)). Тогда
получим дифференциал объема тела dV = 2nxf(x) dx и объем
тела
= 2n f
xf{x)dx.
(9.36)
Объемы тел, образованных вращением плоской фигуры,
ограниченной графиками непрерывных функций /i(x), /2(2)
и прямыми х = о, х = 6, где 0 ^ а ^ Ь и 0 ^ /1 (x) ^ /2(х) при
х 6 [а, 6], вокруг координатных осей Ох и Оу,
соответственно равны
б
= 2njx\f2(x)-fl(x)\dx.
В общем случае взаимного расположения сечений можно
утверждать лишь следующее: если тело кубируемо, то его
объем выражается формулой (9.33).
Бели кривая, ограничивающая криволинейную трапецию,
задана параметрическими уравнениям х = ж(£), у = y(t)y t 6
€ [а, /?], то для вычисления объема тела, образованного
вращением такой криволинейной трапеции вокруг оси Ох, нужно

406 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
выполнить в (9.34) замену переменного. Предполагая, что при
х = а t = a и при х = b t = /?, получаем
Vx = n fy2(t)x'(t)dt. (9.37)
Читатель может установить самостоятельно, что объем
тела, полученного вращением сектора, образованного дугой
кривой р = р((р) и двумя полярными радиусами <£> = <*, <р = 0,
вокруг полярной оси, равен
(9-38)
а
Пример 9.12. Вычислим объем тела, ограниченного
трехосным эллипсоидом, заданным каноническим уравнением
о о о
«* СГ С1
где а, 6 и с — полуоси эллипсоида. Ясно, что при любом
разбиении отрезка [-а, а] принятое при получении (9.33)
предположение будет выполнено. Плоская фигура в перпендикулярном
оси Ох сечении эллипсоида, имеющем абсциссу х 6 [-а, а],
ограничена эллипсом с полуосями b(x) = by/I — х2/а2 и с(х) =
= су/1 - х2/а2, т.е. площадь такого сечения (см. пример 9.5)
о/ \ l/ \ t \ КОС. 2 2\
S(x) = nb[x)c{x) = —=-(а - х ).
Тогда, используя (9.33), получаем
а
nbc f, 2 2ч , тгбсг 2 1 -л* 4 /л „лЧ
= —5- / (а2 - s2) dx = -^ а2ж - -ж3 = - тгабс. (9.39)
о2 J ' о2 L 3 J-o 3
—о

9.4. Объем тела
407
Отсюда без интегрирования можно получить объем
эллипсоида вращения, ограниченного поверхностью вращения,
которая образована вращением эллипса вокруг оси Ох (афЬ = с),
Оу (6 ф а = с) или Ох (сфа = Ь). В частном случае а = b =
= с = R получаем объем (4/3) тгЯ3 шара радиуса Я.
Пример 9.13. Шаровой сектор можно рассматривать как
тело, полученное вращением вокруг его оси Ох
криволинейной трапеции в виде кругового сектора ОАВ (рис. 9.27).
Объем V шарового сектора удобнее представить, используя
свойство аддитивности объема, суммой
объемов VK и Vc, где VK — объем
конуса с вершиной в центре О
шара, Vc — объем шарового сегмента
высотой h, имеющего с конусом
общее основание — круг радиуса г =
= JR2 - (Я - К)2 = Jh(2R - К) (Я — о л w
V V / V \ f \ Рея4* Q 97
радиус шара).
Конус образован вращением треугольника ODB вокруг
оси Ох, ограниченного на отрезке [О, Я — h] прямой ОВ,
имеющей уравнение у = rx/(R — h). Принимая в данном случае
в (9.34) f(x) = rx/(R — К), находим
R-h 2 2 я_л
Vr -_ il \ j_ _3 __2 /л ji/%4
к = 7Г 1 I •—^-~ I CLX = X ~ 1ГГ . (У.4и)
У v/t — Л/ о^Л — Л^ О о
о
что соответствует известной из элементарной геометрии
формуле для объема конуса, равного произведению площади
основания и трети высоты.
Шаровой сегмент образован вращением вокруг оси Ох
криволинейной трапеции DAB, ограниченной графиком функции
/J[«) = VR2 — х2 на отрезке [Я - h, Я]. Используя снова (9.34),
вычисляем
R
Vc = 7r f (R2-x2)dx = ir\R2x-lx3]R =тгЛ2(я-£). (9.
J I о J R~n V «$ /

408
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Объединяя (9.40) и (9.41), в итоге для шарового сектора
получаем V = VK + Vc = {2/3)nR2h.
Пример 9.14. Для вычисления объема тела, образованного
вращением вокруг оси Ох одной арки циклоиды (рис. 9.28),
заданной параметрическими уравнениями
x(t)=a(t-s\nt),
используем (9.37):
= a(l-cost), *е[0,2тг], (9.42)
2тг
= тг Iy2(t)x'(t)dt = n I a?(l -cost)2a(l -cost)dt =
a
2tr
= тга3 / (1 - 3cost + 3cos21 - cos31) dt =
2*
= тга3 f(l -
- (1 -sin21)cost) dt =
4
2ir
= 5тг2а3.
Пример 9.15. Найдем объем тела, образованного
вращением вокруг полярной оси кривой р((р) = asm2(p. Эта кривая
определена при кр G [0, тг/2] U [тг, Зтг/2] (рис. 9.29), и в силу
симметрии полный объем равен удвоенному объему тела вращения
2а
2ка х
Рис. 9.28
Рис. 9.29

9.4. Объем тела 409
одного лепестка кривой. Используя (9.38), находим
тг/2 к/2
Vp = 2— I p3(<p) sin(pd(p = -тга3 / si
о
32 f 32 f
= —-7го3 / s\n4(pcos3(pd(p=— na3 I (sm4(p-sm6ip)d(s\iup) =
о
32 ,/sin5(p sin7v\ */2 64
105"" ' *
Как и в случае площади неограниченной плоской области
(см. 9.3), можно исследовать вопрос о кубируемости
неограниченной области в пространстве. Для этого следует выразить
в виде определенного интеграла объем такого кубируемого
конечного тела, включенного в рассматриваемую
неограниченную область, которое заполняет ее при стремлении к пределу
одного из размеров этого тела, а затем исследовать сходимость
получающегося при предельном переходе несобственного
интеграла.
Пример 9.16. Рассмотрим непрерывную на всей числовой
прямой R функцию f(x) = 1/(1 + ж2). В примере 7.2
вычислена площадь неограниченной области между графиком этой
функции и осью Ох. Бели криволинейную трапецию, имеющую
основанием отрезок [0, Ь] и ограниченную графиком данной
функции, вращать вокруг этой оси, то получим тело с объемом
б б
dx fl + x2-x2, 7г / л , . Ь
2
о о
а если вращать вокруг оси Оу, то объем тела будет равен
б

410
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
(Vr(6) вычислено с использованием (9.34) и интегрирования по
частям, a Vy(b) — с применением (9.36)). При 6-Ц-оо
имеем Vx(b) -f 1^. = (тг/2)2 < +оо, т.е. полученное таким образом
неограниченное тело кубируемо. При вращении всего локона
Аньези вокруг оси Ох получим тело, напоминающее по форме
веретено и имеющее (в силу симметрии) конечный объем тг2/2.
Наоборот, объем Vy(b) дискообразного тела, похожего на
„летающую тарелку", при b -» +оо неограниченно возрастает, а
получающееся при этом тело не является кубируемым.
9.5. Площадь поверхности
В отличие от понятия площади плоской фигуры понятие
площади произвольной поверхности является существенно
более сложным. Здесь ограничимся рассмотрением лишь двух,
но достаточно распространенных классов таких поверхностей:
поверхностей вращения и цилиндрических.
Пусть гладкая плоская кривая Г лежит в координатной
плоскости хОу прямоугольной системы координат Oxyz и
задана параметрическими уравнениями
ж = ж(£), У==у(0> $€[в»6]. (9.43)
Такая кривая является спрямляемой (см. 9.2), т.е. ее длина зг
конечна. Значения параметра t = а и t = Ь отвечают
начальной и конечной точкам А и В соответственно (рис. 9.30).
Поскольку на гладкой
кривой Г особые точки
отсутствуют, то можно перейти к
натуральному параметру s —
переменной длине дуги этой кривой,
отсчитываемой от точки А.
Тогда уравнения кривой примут
вид х = ((«), у = ф), s e [0, «г].
где зг — длина всей дуги АВ.
Пусть ф) ^ 0 Vs € [0, «г]«
Рис. 9.30

9.5. Площадь поверхности 411
Разобьем дугу АВ в направлении от Л до Б
точками Ао = А, А\, Лг, ..., Ап = В и рассмотрим ломаную
AoAiA2...An, вписанную в кривую. При вращении кривой Г
вокруг оси Ох эта ломаная опишет некоторую поверхность.
За площадь 5г поверхности вращения кривой Г принимают
предел, к которому стремится площадь поверхности,
описываемой ломаной при стремлении к нулю наибольшей из длин As,-
(i= l,n) частичных дуг при измельчении разбиения дуги АВ.
Такое определение площади 5г позволяет вычислить ее.
Точкам Ао = Л, А\, Лг, ..., Ап = В на кривой Г
соответствуют возрастающие значения s:
О = Sq < 5i < $2 < • • • < «1-1 < Si < ... < Sn =
Каждое звено ломаной при вращении описывает боковую
поверхность усеченного конуса (в частных случаях конуса или
цилиндра, также могут быть круг или кольцо). Бели обозначить
ординаты точек Л,_х и Л,- через y,_i = f?(s»-i) и у,- = rj(si)
соответственно, а длину звена А{-\А± через /, (см. рис. 9.30),
то площадь поверхности, описываемой эвеном с номером t,
будет 2тг(у,_1 +y«)'i/2, а площадь поверхности, описываемой всей
ломаной,
Полагая Asi = s,- — s,-_i, t = l,n, представим эту сумму
следующим образом:
п п
5n = ir^iy(e,-.i)Aei -f 7Г^7/(50А5,- -
п
-TT^y^ + yOiA^-/,). (9.44)
Неотрицательная функция у = rj(s) непрерывна на отрезке
[0, $г]« Следовательно, она ограничена на нем, т.е. существует

412 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
такое число М > О, что V* = 1, п 0 ^ y,_i + У% ^ 2М. Поэтому
для последней суммы в (9.44) с учетом /,-^ As,-, t=l,n,
запишем
О ^ т = 7г> (x/,_i + y,)(As,- - /,) < 2nMlsr - ХЛ J• (9.45)
t=i t=i
Согласно определению длины дуги кривой, при разбиении
кривой на все более мелкие части разность
п
стремится к нулю, а значит, и
lim т = О, (9.46)
д-ю v '
где А = max As,.
t=l,n
Первая и вторая суммы в правой части (9.44) являются
интегральными суммами функции y = rj(s) на отрезке [0,$г].
Эта функция непрерывна на [0, sp]. Поэтому существует
интеграл от функции у = r}(s) на этом отрезке, а значит,
существуют равные между собой пределы каждой из указанных
интегральных сумм при А -> 0. Переходя в (9.44) к пределу при
А -* 0 и учитывая (9.45) и (9.46), получаем
п
1=1
+ я" limлУ ^rf(si)Asi — Hmr = 2тг / rf(s) ds.
о
Следовательно, рассматриваемая поверхность вращения имеет
площадь
«г
fv(s)ds. (9.47)
о
^ , 7
w lim У, VKSifAsi — lim т = 2ж I
t— 1 Л

9.5. Площадь поверхности 413
Бели вернуться к заданию гладкой плоской кривой Г в
виде (9.43), то, проведя в интеграле (9.47) замену переменного,
получим
ь ь
S = 2тг jy(t)ds(t) = 2n jy(t)}J{x'(t))2 + {y'(t))2dt. (9.48)
а а
В частности, если гладкая плоская кривая Г задана
уравнением у = /(х), ж € [а, 6], т.е. в роли параметра t выступает
переменное ж, то вместо (9.48) будем иметь
ь
5 = 2тг f f(x) ds(x) = 2тг f f(x)}Jl + (f'(x))2dx. (9.49)
а а
Вращение этой кривой вокруг оси Оу (при a ^ 0) образует
поверхность площадью
6 Ь
= 2n fxds(x) = 2тг Ixyj\ + (f'{x))2dx. (9.50)
а а
Отметим, что формула (9.49) сохраняет смысл и тогда,
когда функция /(х) изменяет знак на отрезке [а, Ь]. В этом
случае в подынтегральном выражении сомножитель f(x)
следует заменить на \f(x)\.
Если кривая Г задана в полярной системе координат
уравнением р = р((р), <р£ [а,/?], то из (9.47) для площади
поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг полярной
оси, получим формулу
0 0
j
= 2тг jy(<p)ds{<p)=2n jp(<p)siniPyJp2(<p)^(pf(ip))2d<p. (9.51)
a a
Пример 9.17. а. Найдем площадь поверхности,
образованной вращением петли кривой 9у2 = ж(3 - х)2 вокруг оси Ох.

414
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Кривая симметрична относительно оси Ох (рис. 9.31).
Поэтому при вращении верхняя и нижняя части петли образуют одну
и ту же поверхность. Для верхней
ветви кривой при 0 ^ х $ 3
имеем у(х) = (3 - х)у/х/Ъ ^ 0. Отсюда
дифференциал длины дуги
Рис. 9.31
Используя (9.49), получаем
з
S =
7Г
3
б. Вычислим площадь поверхности вращения вокруг оси
Оу одной арки циклоиды (см. рис. 9.28), заданной в виде (9.42).
В данном случае дифференциал длины дуги
= Jа?(1 - cost)2 + a2sin2 tdt = 2asm-dt.
Выражая в (9.50) х через t, находим
2ir
5 = 2тг jx{t)ds(t) = 2тг I a(t-sin
о
= 4па2
2ir
^ -8тга
2ir
f sin2^cos^dt =
= -SnaHcos - + Swa2 I cos - dt - —
2*3^
na sin -
о
.2
= -8тга2(-2тг) + 167ra2sin - =

9.5. Площадь поверхности
415
в. Найдем площадь поверхности вращения кардиоиды р(<р) =
= a(l-j-cosy>) вокруг полярной оси Ор (рис. 9.32).
Дифференциал длины дуги кардиоиды
= у а2 (1 + cos<p)2 +a2sin2 <pd<p =
= 2a cos — d<p.
Рис. 9.32
Поскольку кардиоида симметрична
относительно оси Ор, ее верхняя и нижняя части при вращении
вокруг этой оси образуют одну и ту же поверхность. Верхней
части кардиоиды соответствует изменение параметра t на
отрезке [0,7т]. Тогда, используя (9.51), получаем
1Г
5 = 2л- / a(l+cos<p)s\n<p'2acos^d(p =
о
ir
о / A^P ^P ^^
= 2л-а • 8 / cos4 -^ sin ^ d<p = - -—;
7 2 2 5
2 5
СО8&
* 32 2
= —тга .
о 5
г. Вращение вокруг оси Ох трактрисы, заданной
уравнениями
x(t) = a
(0, тг),
образует поверхность, называемую псевдосферой. Эта
поверхность не ограничена, поскольку х -* -оо при t —>► 0 + 0 и
х —► +оо при t —> тг — 0. Выясним, конечна ли площадь
псевдосферы.
Трактриса симметрична относительно оси Оу (рис. 9.33),
причем эта ось является касательной к ветвям кривой в точке
(0;а), соответствующей значению параметра t = тг/2.
Вычислим сначала площадь ограниченной поверхности вращения при

416
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
условии 0 < г ^ t
тг/2
S*{t)=2тг j asmt
"/2 I—Г
= 2тга2 / sint\ —=~
У V sin2*
7г/2, используя (9.48):
+(acost)2dt=
/ cosidt=27ra2(l— sinr).
Так как S*(t) -> 2wa2 при г -> -fOt площадь псевдосферы
конечна и равна 4тга2, т.е. совпадает с площадью сферы
радиуса о. #
Перейдем теперь к способу вычисления площади
цилиндрической поверхности. Пусть опять гладкая плоская кривая Г
лежит в координатной плоскости хОу прямоугольной
системы координат Oxyz и задана в виде (9.43). Примем ее за
направляющую цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными оси Ог (рис. 9.34). По этой поверхности
проведем гладкую кривую Гь пересекающую каждую образующую
лишь в одной точке. Чтобы задать эту кривую, к (9.43)
достаточно добавить еще третье уравнение z = z(t)y где z(t) —
неотрицательная и непрерывно дифференцируемая при 16 [a, 6]
функция.
Рассмотрим часть цилиндрической поверхности,
ограниченной кривыми АВ, CD и образующими AC, BD (см. рис. 9.34).
Введем для кривой Г натуральный параметр з,
отсчитываемый от точки А. Тогда кривая 1\ может быть описана

9.5. Площадь поверхности
417
D
параметрическими уравнениями
У =
где «г — длина дуги АВ, а функции £(s), r)(s) и C(s)
непрерывно дифференцируемы на отрезке [0, sr]. Вписав в дугу АВ
ломаную i4Ai...Aj_iAt-...i4n-.ii4n (ДП = В), а в дугу CD —
соответствующую ломаную СС\... Q_ i С»... Cn_ i Cn (Сп = £>),
из трапеций А{-.\А{С%С%-\ с высотами /i = |At_ii4j| составим
призматическую поверхность, вписанную в рассматриваемую
часть цилиндрической поверхности.
За площадь 5Ц цилиндрической поверхности принимают
предел площади призматической поверхности, вписанной в эту
поверхность,
п
•/
,
t=l,n,
1=1
при А—>0, где А —максимальная из длин As,- дуг А±-\А{.
Повторяя рассуждения, проведенные ранее для поверхности
вращения, придем к вычислению предела при А -> 0
выражения
1
n
I

418 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
которое состоит из интегральных сумм функции С(5) на
отрезке [0, sr]« В силу непрерывности £(s) на [О* $г] существует
интеграл от этой функции по данному отрезку, а значит,
существуют равные между собой и равные этому интегралу пределы
каждой из указанных интегральных сумм при Л -> 0, т.е.
1 п 1 п

t=i 0
Таким образом, рассматриваемая цилиндрическая поверхность
имеет площадь
=
. (9.52)
о
Возвращаясь к параметру £, получаем
6 б
5Ц = Jz(t)ds(t) = Jz(t)y/{x'(t))2 + {y'(t))2dt. (9.53)
а а
Бели кривая Г задана уравнением у = /(ж), хб[а, 6], то
вместо (9.53) будем иметь
6
5Ц = J z(x) ds(x) = f z(x) y/\ + (f'(x))2dx. (9.54)
а
Пример 0.18. Вычислим площадь участка цилиндрической
поверхности с направляющей х2 + у2 = Rx и образующей,
параллельной оси Oz, который ограничен сферой радиуса R
с центром в начале координат. Цилиндрическая поверхность
пересекает сферу по кривой Вивиани, задаваемой уравнениями
x(t) = Rsm2t, y(t) = #sintcost, z{t) = flcost, t € [0, 2тг),

9.6. Вычисление масс и моментов инерции
419
Рис. 9.35
напоминающей изогнутую восьмерку и имеющей кратную
точку (А;0;0) (рис. 9.35), соответствующую значениям параметра
t = тг/2 и t = Зтг/2. В силу симметрии кривой
относительно плоскостей хОу и уОг в первом октанте расположена
четвертая часть (по площади) рассматриваемого участка
цилиндрической поверхности, причем t € [0, тг/2] и аппликата
точек кривой Вивиани неотрицательна. Используя (9.53),
получаем
тг/2
•j= I Rcosty (2Rs\nt cost) + (R cost cos t- R sin t sin t) dt =
о
тг/2 ir/2
= Д2 I costy/s\n22t + cos22tdt = R2 f costdt = R2.
о о
Отсюда искомая площадь участка поверхности S = 4R2.
9.6. Вычисление масс и моментов инерции
Для любого объекта его масса является характеристикой,
обладающей свойством аддитивности. Масса системы
дискретных материальных точек равна сумме масс всех точек

420 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
системы. Для объекта с непрерывным распределением массы
задают зависимость плотности р(М) от положения текущей
точки М в области, занимаемой этим объектом.
Ясно, что при постоянном значении плотности р тела его
масса т равна произведению этой плотности и его объема V,
т.е. т = pV. Аналогично масса плоской фигуры с площадью 5
и постоянным значением поверхностной плотности ps равна
psSy а масса линии с длиной s и постоянным значением
линейной плотности ps, — pss. Но при неоднородном распределении
массы, характеризуемом функцией р(М) положения точки М,
для вычисления массы любого объекта необходимо применять
интегральное исчисление. Использование определенного
интеграла позволяет решить эту задачу в ряде простых случаев.
Пусть гладкая пространственная кривая Г задана в
прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями
x = x(t), y = y(t), z = z{t)} *€[a,6],
а интегрируемая на отрезке [а, Ь] функция ps(t) линейной
плотности описывает распределение массы по длине этой
кривой, причем
, Am Am(t)
ps(t)= lim —— = lim . Д/, (9.55)
r v ' д*ю As Д«+о As(t) v '
где Am — масса участка дуги кривой длиной Д$,
соответствующего изменению параметра t на отрезке [t, t + At] с [а, 6].
Согласно (9.55) и теореме о связи функции, ее предела и
бесконечно малой функции [1-7.5],
Am(t) =ps(t)As(t) +7(Д0Д*(0»
где y(At) — функция, бесконечно малая при At -¥ 0. Тогда с
учетом инвариантности формы записи дифференциала,
определения дифференцируемой функции и выражения (9.4) для

9.6. Вычисление масс и моментов инерции 421
дифференциала длины дуги пространственной кривой запишем
dm(t) = p,{t) ds(t) = p,
а масса всей дуги будет равна
m
б ь
= Jdm(t) = fp,(t)yj{x'(t))2 + {y'{t))2 + И*))а А. (9.56)
Отметим, что подынтегральная функция в (9.56) интегрируема
на отрезке [a, 6]f согласно теореме 6.11, как произведение
функций, интегрируемых на этом отрезке. В частном случае
масса гладкой плоской кривой, заданной дифференцируемой
на отрезке [а, 6] функцией у = f(x) и имеющей линейную
плотность ра(х), равна
m =
Бели интегрируемые на отрезке [а, 6] функции р(х) и
S(x) задают зависимость от х € [а, 6] плотности тела и
площади его поперечного сечения, перпендикулярного
координатной оси Ох, то масса соответствующего отрезку [х, х + Ах]
участка этого тела приближенно равна
а масса всего тела
б
m
= fp{x)S(x)dx. (9.57)
a
Для частных случаев тела, образованного вращением вокруг
оси Ох или Оу криволинейной трапеции, имеющей
основанием отрезок [а, 6], а ^ 0, и ограниченной графиком
непрерывной неотрицательной на [а, 6] функции /(я), его масса по

422 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
аналогии с (9.34) и (9.36) равна соответственно
ь 6
= тг Ip(x)/2(z) dx, my = 2тг J p(x)xf(x) dx. (9.58)
х
а
Пусть интегрируемая на отрезке [а, Ь] функция р$(х)
задает зависимость от х 6 [а, 6] поверхностной плотности
плоской фигуры в виде криволинейной трапеции, имеющей
основанием этот отрезок и ограниченной графиком неотрицательной
функции f(x) ^ 0 Vz € [о, 6]. Тогда масса участка
криволинейной трапеции с основанием [х, х + Ах]
•
Am « ps(x) dS = ps(x)f(x) Axy
а масса всей фигуры
б
m
а
б
= Jps(x)f(x)dx. (9.59)
Если такая же функция ps{x) описывает распределение
массы по поверхности, образованной вращением вокруг
координатной оси Ох или Оу гладкой плоской кривой, заданной
дифференцируемой на отрезке [а, 6] функцией у =/(я), то по
аналогии с (9.49) и (9.50) можно написать соответственно
Ь
т
а
Ь
= 2wj ps(x) \f(x)\ v'l + (f'(x))2dx, (9.60)
m. = 2irjps(x)xy/l + (f'{x))2dx, a}0. (9.61)
a
Все рассмотренные случаи вычисления массы различных
объектов можно обобщить в рамках общей схемы применения
определенного интеграла (см. 9.1). Бели при изменении некото-

9.6. Вычисление масс и моментов инерции 423
рого параметра t € [а, 6] функция p(t) задает распределение
массы (линейное, поверхностное или объемное, т.е. плотность),
то массу любого объекта, соответствующую отрезку [а, 6],
можно выразить в виде
т
= fdm(t) = fp(t)da(t)t (9.62)
где da(t) — дифференциал геометрической характеристики
объекта: длины дуги, площади плоской фигуры,
цилиндрической поверхности или поверхности вращения, объема тела,
a dm(t) — дифференциал массы объекта. Отметим, что в
(9.57)-(9.61) в роли параметра t выступает абсцисса х.
Масса любого объекта характеризует свойство инерции при
его поступательном движении. При вращении материальной
точки массой т вокруг некоторой прямой / инерционные
свойства этой точки количественно выражает момент
инерции J\ — тг2 относительно оси /, где г — расстояние от
точки до прямой /. Момент инерции системы п
материальных точек (каждая массой mt, i=l,n) относительно любой
оси вращения / обладает свойством аддитивности, т.е.
является суммой моментов инерции всех точек системы относительно
той же оси /:
1=1
Совместим ось вращения с координатной осью Оъ
прямоугольной декартовой системы координат Oxyz. Тогда для
каждой материальной точки с координатами xt-, t/t, г,- квадрат ее
расстояния до оси вращения будет г? = х2 + у?, и вместо (9.63)
получаем
п п
= JyOz + ЛОг, JyOz =

424 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
т.е. момент инерции системы относительно оси Oz равен
сумме моментов инерции Jyoz и Jxoz относительно
каждой координатной плоскости (yOz и xOz), содержащей
эту ось.
Вычисление моментов инерции объектов с непрерывным
распределением массы требует применения интегрального
исчисления. Бели известна зависимость от некоторого параметра
t £ [а, 6] дифференциала dm(t) массы объекта и расстояния
r(t) до оси вращения его произвольного участка,
соответствующего приращению At, то в силу общей схемы применения
интеграла (см. 9.1) можно написать
б
J = fr2(t)dm(t). (9.65)
а
Так, для заданной в виде (9.1) гладкой пространственной
кривой Г, распределение массы по длине которой описывает
функция ps(t) (t € [a, 6]), момент инерции относительно оси
вращения Oz, согласно (9.56) и (9.65), равен
ь
(9.66)
Отсюда несложно получить формулы для моментов инерции
этой кривой относительно координатных плоскостей, а также
перейти к частному случаю плоской кривой.
В роли параметра в (9.65) может выступать одна из
координат (например, х). Для тела с задаваемыми при помощи
функций р(х) и 5(х) зависимостями от х 6 [а, Ь] плотности
тела и площади его поперечного сечения, перпендикулярного
координатной оси Ох, имеем dm(x) = p(x)S(x)dx и момент
инерции относительно координатной плоскости yOz
6
JyOz= Г p(x)S(x)x2dx. (9.67)

9.6. Вычисление масс и моментов инерции 425
Бели функция ps(x), ж€[а, ft], задает поверхностную
плотность криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок
[а, ft] и ограниченной графиком функции /(я), то моменты
инерции этой трапеции относительно координатной плоскости
yOz и координатной оси Оу совпадают и равны
6
= Joy = I Ps(x)\f(x)\x2dx. (9.68)
a
Чтобы найти момент инерции Jox этой трапеции
относительно координатной оси Ох, совпадающий с моментом инерции
относительно плоскости xOz, предварительно вычислим
момент инерции AJox(x) относительно этой оси
прямоугольной полоски, имеющей высоту |/(х)| и основанием отрезок
[ж, х+Ах]. Так как масса прямоугольного участка этой полоски
высотой Ду > 0, удаленного на расстояние у от оси Ох,
равна ps(x)AxAy) а момент инерции этого участка приближенно
равен ps{x)y2AxAy, то
AJOx(x) « dJOx(x) = ps(x)Ax j y2dy = ^ps(x) \f(x)\3Ax.
0
Тогда в силу аддитивности момента инерции получаем
ь ь
Jox = JdJOx(x) = ^ Jps(x) \f(x)\3dx. (9.69)
а а
В итоге момент инерции плоской фигуры относительно оси Ог
равен
6
Joz = Jox + Joy = Jps(x) \f(x)\ (i/2(s) + x2) dx. (9.70)

426 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Пример 9.19. Рассмотрим прямой круговой конус высотой
#, основанием которого является круг радиуса R. При
заданной постоянной плотности р запишем приближенное
выражение для массы
т([г, г + Дг]) « P^jr-H • 2тггАг (9.71)
цилиндрического слоя с внутренним радиусом г, толщиной Дг
и высотой H(R-r)/R (рис. 9.36). Тогда, учитывая (9.65), для
массы конуса и его момента инерции
относительно оси Ог получаем
Six) R
то = mp-fi
Дг о
R
R г J = 2яу>— ПЯ - r)r3dr = ртгД4—.
Рис. 9.36 0
Чтобы вычислить момент инерции конуса относительно его
основания, предварительно запишем выражение для площади
(9.72)
параллельного основанию конуса сечения, расположенного на
расстоянии х от его основания (см. рис. 9.36). Затем, согласно
(9.67), найдем
Н 2 И
= JpS(x)x2dx = *P§jf(H - x)2x2dx =
о о
Несложно проверить, что подстановка (9.72) в (9.57) приведет
к уже полученному выше соотношению для массы конуса. #
Моменты инерции при значении функции плотности,
тождественно равной единице, называют геометрическими.
Они характеризуют, в частности, сопротивление изгибу
упругих конструкций.

9.7. Статические моменты и координаты центра масс 427
9.7. Статические моменты
и координаты центра масс
Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz с орто-
нормированным базисом {г, j, k} положение каждой
материальной точки (xn]yn;zn) массой тп задано при помощи
радиус-вектора гп. Линейную комбинацию векторов
N
К^^тпГп (9.73)
п=1
назовем вектором статического момента системы N
материальных точек относительно начала координат. Центром
масс этой системы называют такую точку С, относительно
которой вектор статического момента системы равен
нулевому вектору 0, т.е.
N
п=1
где г с — радиус-вектор центра масс. Отсюда, учитывая (9.73),
N I N
1 N I N
re = — Y\mnrn = —К, m = У)тп, (9.74)
Y\nn
m *—* m л
n=l n=l
где m — масса всей системы.
С учетом разложения радиус-вектора гп = snt + ynj -h znk
в базисе t, j и к вместо (9.74) получаем координаты центра
масс к к к
выраженные через статические моменты системы
N N N
Кх = ^2тпхП1 Ку = щ^2тпуп, kz = ^2mnZn (9.76)
n=l n=l n=l
относительно плоскостей yOz, zOx и хОу соответственно.

428 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Вычисление статических моментов, а по ним и координат
центра масс объектов с непрерывным распределением массы
связано с использованием интегрального исчисления. Бели
известна зависимость от некоторого параметра t € [а, Ь]
дифференциала dm(t) массы объекта и расстояний до координатных
плоскостей его произвольного участка, соответствующего
приращению At, то, согласно общей схеме применения интеграла
(см. 9.1), можно написать
6 6 6
Kx=fx(t)dm(t)1 Ky=fy{t)dm(t), Kz= fz(t)dm(t). (9.77)
a a a
Из (9.77) следует, что для объекта с симметричным
относительно какой-либо координатной плоскости распределением массы
статический момент относительно этой плоскости равен нулю,
т.е., согласно (9.75), центр масс объекта лежит в этой
плоскости. Обратно, равен нулю статический момент относительно
любой плоскости, проходящей через центр масс объекта.
Пусть для заданной в виде (9.1) гладкой пространственной
кривой Г распределение массы по длине описывает
интегрируемая на отрезке [а, 6] функция p8(t). Статический момент
этой кривой относительно плоскости yOz, согласно (9.56) и
(9.77), будет равен
6
К* = jx(t)pa{t)y]{x'(t))2+ (y'(t))2 + (z>(t))2dt. (9.78)
a
Аналогична запись статических моментов Ку и Кг для этой
кривой. Отсюда нетрудно получить формулы для статических
моментов Кх и Ку гладкой плоской кривой, лежащей в
плоскости хОу.
Параметром в (9.77) может быть одна из координат
(например, абсцисса х). Для плоской фигуры, лежащей в плоскости
хОу, Кх и Ку обычно называют статическими моментами

9.7. Статические моменты и координаты центра пасс 429
относительно осей Оу и Ох соответственно. Бели
интегрируемая на отрезке [а, 6] функция ps(x) задает зависимость от
х 6 [а, 6] поверхностной плотности криволинейной трапеции,
имеющей основанием этот отрезок и ограниченной графиком
неотрицательной функции f(x) ^ 0 Vs G [а, 6], то с учетом
(9.59) и (9.77) получаем
Кх= fxps(x)f(x)dx. (9.79)
а
Чтобы найти статический момент Ку этой криволинейной
трапеции относительно оси Ох, предварительно рассмотрим
прямоугольную полоску, имеющую основанием отрезок [ж, х+Ах]
и высоту f(x). Так как масса прямоугольного участка этой
полоски высотой Ду > 0, отстоящего от оси Ох на
расстоянии у, равна ps(x)AxAy, астатический момент этого участка
приближенно равен ps(x)yAxAy1 то
ydy= -ps(x)f2(x)Ax.
/(
/
Тогда в силу аддитивности статического момента находим
6 Ь
= y ps(z)f2(x)dx. (9.80)
а а
6
Пусть такая же функция ps(x) описывает распределение
массы по поверхности, образованной вращением вокруг
координатной оси Ох гладкой плоской кривой, заданной
дифференцируемой на отрезке [а, 6] функцией y = f(x). Тогда в
силу (9.60) и (9.77) получаем
Кх = 2njxps(x) \f(x)\ y/l + (f'(x))2dx, (9.81)

430 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
а Ку = 0 (в силу симметрии поверхности вращения
относительно оси Ох), так что центр масс такой поверхности лежит на
оси Ох.
Статический момент относительно плоскости yOz тела,
образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной
трапеции, имеющей основанием отрезок [а, Ь] и ограниченной
графиком непрерывной на [а, 6] функции /(х), согласно (9.58)
и (9.77), равен
ь
Кх = п fxp(x)f2(x)dx, (9.82)
где р(х) — зависимость от х € [о, Ь] плотности тела.
При значении функции плотности, тождественно равной
единице, статический момент называют
геометрическим, но точку, относительно которой вектор такого момента
равен нулевому вектору, по-прежнему именуют центром масс
(иногда центром тяжести). Так, для гладкой плоской кривой Г,
заданной дифференцируемой на отрезке [а, Ь] функцией у =
= f(x) и имеющей, согласно (9.12), длину sp» ордината центра
масс равна
{f'(x))2dx. (9.83)
У криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [а, 6]
и ограниченной графиком неотрицательной функции f(x)1
ординату центра масс можно найти из (9.80), полагая р(х) = 1
и учитывая выражение (9.19) для площади 5, по формуле
(9.84)

9.7. Статические моменты и координаты центра масс
431
Бели все части равенства (9.83) умножить на 27г$г,
(9.84) — на 2тг5, то получим соответственно
S* = 2тг Jf(x)y/l + (f'(x))2dx =
b
* = nS = тг / /2 (ж) efc = 2тгу£5.
(9.85)
(9.86)
Следовательно, площадь S* поверхности вращения плоской
кривой вокруг не пересекающей ее оси равна длине $г дуги
этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной при
вращении кривой ее центром масс, а объем V* тела,
образованного вращением плоской фигуры вокруг не пересекающей
ее оси, равен площади 5 этой фигуры, умноженной на длину
окружности, описанной при вращении фигуры ее центром масс.
Эти формулировки составляют содержание теорем,
установленных швейцарским математиком П. Гульдином (1577-1643)
и носящих названия первой и второй теорем Гулъдина.
Пример 9.20. Вычислим поверхность и объем тора
(тела, образованного вращением круга вокруг оси, расположенной
в плоскости круга и не пересекающей его)
(рис. 9.37). Ясно, что центры масс круга
и ограничивающей его окружности радиуса
г совпадают с их центром. Бели
расстояние от центра круга до оси вращения
равно Я, то длина окружности, описываемой
центром круга при вращении, l = 2nR.
Тогда поверхность тора, согласно (9.85), 5* =
= 2nR • 2лт = 4тг2гЯ, а его объем в
соответствии с (9.86) V* = 2тгЯ • 7гг2 = 2тг2г2R. #
Теоремы Гульдина позволяют
установить ординату центра масс плоской кривой Рис. 0.37

432
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
или плоской фигуры, если известны длина дуги кривой и
площадь поверхности, образованной при ее вращении вокруг оси
Ох, или площадь плоской фигуры и объем тела, образованного
при вращении вокруг этой оси данной фигуры.
Пример 9.21. Найдем ординаты центров масс
полуокружности и полукруга радиуса г, диаметр которых лежит на оси
Ох. При вращении такой полуокружности, имеющей длину яг,
вокруг оси абсцисс получаем сферу с площадью поверхности
4ят2. Поэтому, согласно (9.85), ордината центра масс
полуокружности ус = 2г/п « 0,6366г. Полукруг, имеющий площадь
лт2/2, при вращении вокруг оси абсцисс образует шар объемом
47гг3/3. Следовательно, в силу (9.86) ордината центра масс
полукруга у£ = (4/3)г/я-« 0,4244г.
Пример 9.22. Уравнение
задает поверхность, напоминающую подводную часть корабля
(рис. 9.38). Одно из важнейших мореходных качеств корабля
Рис. 9.38

9.7. Статические моменты и координаты центра масс 433
состоит в его способности после отклонения внешним
воздействием от положения равновесия и прекращения этого
воздействия возвращаться в исходное положение. Это качество
называют остойчивостью и количественно характеризуют метацен-
трической высотой, т.е. превышением положения метацентра
корабля над его центром масс. В положении равновесия
метацентр М совпадает с центром водоизмещения (центром масс
тела, отвечающего по форме подводной части корабля и
заполненного водой), причем аппликата метацентра zm = Kz/V> где
V и Кг — объем и статический момент этого тела
относительно плоскости хОу.
Заметим, что сечение заданной поверхности плоскостью,
перпендикулярной оси Oz, является эллипсом с полуосями а и
bz/c, т.е. площадь этого сечения (см. пример 9.5) S(z) = nabz/c.
Тогда объем тела, ограниченного заданной поверхностью и
плоскостью z = с, согласно (9.33),
с с
= / S(z)dz= / zdz — -тгабс,
а его статический момент относительно плоскости хОу
Кг = /zS(z)dz=^ fz2dz = 1-nabc
Отсюда zm = 2c/3, причем в силу симметрии метацентр М
лежит на оси Оъ (см. рис. 9.38).
Для обеспечения остойчивости корабля необходимо, чтобы
*М > *с, где zc — аппликата его центра масс. Тогда при
некотором отклонении корабля от положения равновесия возникнет
момент выталкивающей силы воды относительно центра масс,
стремящийся восстановить положение равновесия. Чем больше
значение h = zm — zc метацентрической высоты, тем больше

434 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
этот момент и выше остойчивость корабля. На положение
центра масс zc влияют расположением балласта в нижней части
корабля.
9.8. Работа, энергия, сила давления
Из элементарной механики известно, что сила,
приложенная к движущейся прямолинейно точке и постоянная как по
абсолютной величине F, так и по направлению, совершает
механическую работу
A = Fs cos а, (9.87)
где s — перемещение этой точки, а а — постоянный угол
между направлениями силы и перемещения. Работа обладает
свойством аддитивности, т.е. является суммой вкладов
работы, совершенной силой на каждом частичном перемещении
точки.
Пусть точка М движется по гладкой пространственной
кривой Г, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz
с ортонормированным базисом {t, j, k) векторным
представлением
r = {r€R3:r = r(*), *€[a,6]},
где r(i) = x(t)i + y(t)j + z(t)k — радиус-вектор точки М.
Напомним, что для гладкой кривой функции x(t), y(t) и z(t)
непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, 6].
Таким образом, текущее положение точки M(t) на этой
кривой однозначно определено значением параметра t € [а, Ь].
Силу, действующую на движущуюся по кривой Г точку М(£),
зададим вектор-функцией
F(t) =f(O*-f^)i + C(Ofc, t <E [a, 6], (9.88)
где £(t), rj(t) и С(0 — интегрируемые по Риману на отрезке
[а, Ь] функции параметра t.
Вклад в работу, совершаемую силой при перемещении точки
по участку кривой Г длиной As(t), соответствующему отрез-

9.8. Работа, энергия, сила давления 435
ку [£, t + At) С [а, 6], представим приближенным выражением
A([t, t + Щ « \F(t)\As(t)cosa(t). (9.89)
Здесь a(t) — меняющийся с изменением параметра t угол
между вектором F(t) силы и вектором v(t) скорости точки
М. Последний определяет направление движения этой точки и
направлен по задаваемой вектор-функцией
касательной к кривой Г. Используя формулу для вычисления
скалярного произведения векторов, запишем
-\F(t)\\r'(t)\~ №)\\v(t)\
и вместо (9.89) с учетом приближенного выражения As(t) «
« ds(t) = |r'(t)| At в итоге получим
Подчеркнем, что выражение (9.90) приближенное,
поскольку вектор силы F(t), приложенной к точке М, и угол a(t),
образованный вектором силы с направлением движения, в
пределах участка кривой приняты постоянными, а длина As
этого участка заменена дифференциалом длины дуги ds(t).
Нетрудно установить, что погрешность в (9.90) есть бесконечно
малая при At—>0 более высокого порядка по сравнению с At.
Следовательно, (9.90) является дифференциалом работы dA(t).
Поэтому работу, совершаемую при перемещении точки М по
кривой Г из начальной точки А(х(а); у(а); z(a)) кривой в ее
конечную точку B(x(b)] y(b); z(b))} можно найти
интегрированием на отрезке [а, 6] ее дифференциала:
А = JdA(t) = J №*'(*) + iW{*)+C№lt)) Л- (9

436
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Отсюда несложно получить выражение для работы силы,
приложенной к точке, движущейся по заданной плоской кривой,
в частности, по кривой, являющейся графиком функции /(ж)
(х € [а, &]), непрерывно дифференцируемой на отрезке [а, 6].
В простейшем случае, когда направления перемещения s и
зависящей от него силы F(s) совпадают (в (9.87) cos a = 1),
совершаемая такой силой работа на суммарном перемещении
зк равна
= IF(s)ds.
(9.92)
Бели направления перемещения и действующей силы
противоположны (cosa=-l), то Ак < 0, и считают, что работу
совершают против действующей силы.
Пример 9.23. Для увеличения первоначальной длины
упругой винтовой пружины, закрепленной неподвижно одним своим
концом (рис. 9.39, а), к ее другому концу необходимо приложить
направленную вдоль ее оси растягивающую силу F(s) = ks,
где 5 — перемещение конца пружины и к — коэффициент
пропорциональности, называемый жесткостью пружины. Бели
растягивающая сила возрастает постепенно, то при заданном
перемещении зК конца пружины эта сила в соответствии с
\\\\у
Рис. 0.39

9.8. Работа, энергия, сила давления 437
(9.92) совершит работу
«к «к
Ак= I F(s)ds = k I sds=-ksl.
о о
Так как перемещению sK соответствует растягивающая
пружину сила FK = ksK1 то ту же работу, затраченную на
растяжение пружины, можно записать в виде Ак = FKsK/2.
Геометрически значение Ак отвечает заштрихованной на рис. 9.39, б
площади прямоугольного треугольника, имеющего основанием
отрезок [О, 5К] и ограниченного графиком функции F(s) = ks.
Эта работа будет равна запасенной в пружине потенциальной
энергии деформации ее витков. Уменьшение растягивающей
силы (F < FK) вызовет перемещение конца пружины в
обратном направлении. При этом часть потенциальной энергии будет
израсходована на совершение отрицательной работы против
действующей растягивающей силы, поскольку направления
перемещения конца пружины и приложенной к этому концу силы
будут противоположны.
Бели к свободному концу пружины (см. рис. 9.39, а) сразу
приложить постоянную растягивающую силу FK, подвесив груз
весом FK, то при перемещении sK этого конца пружины сила
совершит работу A = FKsK = 2AK. Половина этой работы
перейдет в потенциальную энергию деформации витков пружины, а
половина пойдет на сообщение пружине с грузом кинетической
энергии.
Пример 9.24. Согласно закону Ньютона всемирного
тяготения, на тело массой тп действует сила притяжения Земли,
равная
_/f4 Mm
F(h) = у
где 7 — гравитационная постоянная; М и R = 6371 км —
масса и средний радиус Земли; h — высота тела над
поверхностью Земли. Ускорение свободного падения на поверхности

438 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Земли (h = 0) без учета вращения Земли вокруг своей оси
равно д0 = yM/R2 = 9,820м/с2, т.е. F(h) = mg0R2/(R + h)2.
Чтобы тело массой т поднять с поверхности Земли на
высоту Я, к этому телу на каждой промежуточной высоте h
нужно прикладывать силу, равную F(h), но противоположно
направленную силе притяжения, и в итоге совершить, согласно
(9.92), работу
я я
/С
F{h) dh = mgoR2J
Отсюда следует, что для удаления тела от Земли на бесконечно
большое расстояние (Я -> +оо) нужно затратить энергию
, приравняв которую кинетической энергии mv2/2 тела,
можно найти значение скорости v = J 2goR = 11,186 км/с,
которую необходимо сообщить телу на поверхности Земли,
чтобы оно (без учета сопротивления атмосферы) преодолело
тяготение Земли. Это значение называют второй космической
(или параболической) скоростью.
Пример 9.25. Прямой круговой конус с высотой Я и
основанием радиуса R имеет постоянную плотность р и
вращается вокруг своей оси с угловой скоростью и>о. Найдем
кинетическую энергию W вращающегося конуса. Вклад в нее
цилиндрического слоя толщиной Аг (см. рис. 9.36), имеющего
окружную скорость и>ог, с учетом (9.71) составит
Wo ([г, г + Дг]) « т([г, г + Дг])
С учетом этого вклада получаем
R R
= JdW0(r) = P*j£>
«

9.8. Работа, энергия, сила давления 439
где J = pirR*H/10 — момент инерции конуса относительно
его оси (см. пример 9.19). Правая часть этого соотношения
является аналогом выражения mv2/2 для кинетической
энергии материальной точки массой т, имеющей скорость v
поступательного движения. Таким образом, при вращательном
движении мерой инерции тела является его момент инерции
относительно оси вращения.
Пусть в некоторый момент времени t = О, принимаемый за
начало отсчета, к оси конуса прикладывают тормозящий
момент М(и), зависящий от значения w(t) угловой скорости
в текущий момент времени t. Затраты мощности (работы
в единицу времени) M(u>)u(t) на преодоление сопротивления
вращению будут уменьшать исходный запас Wq
кинетической энергии со скоростью dW(t)/dt = —M(u)u(t), где W(t) =
= Ju2(t)/2 — текущее значение кинетической энергии
вращающегося конуса. Таким образом, в произвольный момент
времени t имеем
dW(t) du{t)
Отсюда, учитывая, что при t = 0 а;(0) = о>о, находим
J
J M(u) J
Время t», прошедшее от начала торможения до полной
остановки конуса, когда u(t+) = 0, составляет
И)
- -j f' JUL. - j ['
U~ JJ M(u,)-JJ

440 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Если принять, что М(и) = Моуш/шь, то получим
сходящийся несобственный интеграл от неограниченной функции:
о
_ Jy/UQ
/ ~Т= =
Af0
Найдем число оборотов конуса после начала торможения до
полной остановки. Для этого при помощи (9.93) установим
зависимость u(t) от t:
w(*)
/
Отсюда, учитывая, что угловая скорость — это скорость
изменения угла (p(t) поворота конуса вокруг своей оси, получаем
<М*) _ . .U\ _ - I. . ™w \ = //t)
dt w и0 \ u 2 J J
Первообразной функции f(t) является
2 Mo2*3
Если принять, что </?(0) = 0 при t = 0, то С = 0, и в момент
£* = 2Juo/Mq остановки конуса найдем
Углу <р* отвечает число оборотов у>»/(2тг) = Jw%/(3nMo)
конуса от начала торможения до полной остановки.
Пример 9.26. Пятой называют опорную часть 1
вертикально расположенного вращающегося вала (рис. 9.40), а
подпятником — неподвижную опору 2, в которой эта пята вра-

9.8. Работа, энергия, сила давления
441
щается. Равномерный износ
трущихся поверхностей пяты и подпятника
возможен, если эти поверхности
являются участками псевдосферы [II]. В
изображенном на рис. 9.40 случае вал,
нагруженный осевой силой Р,
опирается на подпятник плоской торцевой
поверхностью в виде кругового
кольца с внутренним #о и внешним R
радиусами (в частности, при Rq = 0
опорная поверхность будет кругом).
Силу Р уравновешивает равная
ей сила давления подпятника на пяту
через ее торцевую поверхность,
являющаяся в данном случае аддитивной
характеристикой по отношению к
давлению р> приходящемуся на единицу
площади пяты. Вклад в силу давления
кольцевого участка пяты,
ограниченного окружностями радиусов г и
ближенно равен
Рис. 9.40
Н-Аг (см. рис. 9.40), при-
Р([г, г + Аг]) « р • 2ятДг
(погрешность вызвана приближенным выражением 2тггАг для
площади кольца и пренебрежением возможной зависимостью
давления от радиуса, но является при Аг -> 0 бесконечно малой
более высокого порядка по сравнению с Аг). Отсюда получаем
= 2тг / prdr.
Яо
(9.94)
При вращении пяты в подпятнике на каждом ее
участке возникает пропорциональное давлению напряжение трения

442 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
fip (fi — коэффициент трения), т.е. сила трения,
приходящаяся на единицу площади пяты и направленная противоположно
перемещению участка пяты относительно подпятника. Это
напряжение дает вклад ррг в момент сопротивления вращению,
который в силу симметрии относительно оси вращения
одинаков для всех участков, расположенных от оси на одинаковом
расстоянии г. Таким образом, вклад в суммарный момент М
сопротивления вращению кольцевого участка пяты,
ограниченного окружностями радиусов г и г + Дг, можно представить
приближенным соотношением
М([г, г -Ь Дг]) «fjtpr • 2ятДг.
Тогда для суммарного момента получим
я
М
п
= 2nfi fpr2dr. (9.95)
Отметим, что мощность W (работа в единицу времени),
развиваемая моментом сопротивления, равна Ми, где и —
угловая скорость вращения вала.
Для того чтобы связать нагружающую вал осевую силу Р
с моментом М и мощностью W, расходуемой на
преодоление сопротивления вращению, необходимо конкретизировать
зависимость давления р от радиуса. Бели принять р = const,
что соответствует новой, неприработанной пяте, то из (9.94) и
(9.95) следует, что
л R
Р=2пр jrdr=np(R2-Rl), M=2nw [r2dr=-n
До Ло
Отсюда р = P/Sn и М = (2/3)тгМР(Д3 - B*)/Sn, где 5„ =
= тг(#2 - i$). В частности, при До = 0 имеем М = (2/3)/хРД.
При вращении пяты ее участки, более удаленные от оси
вращения, имеют большую скорость относительно подпятника, так

9.8. Работа, энергия, сила давления 443
что износ этих участков и контактирующих с ними участков
подпятника более интенсивен. Благодаря этому происходит
перераспределение давления р и оно возрастает на более близких
к оси менее изношенных участках. Для приработанных пят
обычно принимают, что приходящаяся на единицу площади
пяты мощность црги, развиваемая силами трения, а значит, и
интенсивность износа постоянны, т.е. pr = const = с. Тогда из
(9.94) и (9.95) находим
Я Я
Р = 2пс fdr = 2тгс(# - До), М = 2тг/хс jrdr =
Яо Яо
Отсюда c = P/(2n(R-R0)) и M = nP(R+Ro)/2 (вчастности,
при До = О М = (l/2)/iPjR, т.е. для приработанной пяты
момент, а значит, и мощность, расходуемая на преодоление
сопротивления вращению, меньше, чем для новой пяты). #
Известно, что сила давления на площадку 5 столба
жидкости высотой Л, имеющего основанием эту площадку, равна
pghS, где р — плотность жидкости, a g — ускорение
свободного падения. Таким образом, на глубине h давление жидкости
р = pgh, причем, согласно закону Паскаля, оно не зависит от
расположения площадки.
Пример 9.27. Найдем силу давления воды на
прямоугольную створку ворот судоходного шлюза и момент этой силы
относительно оси вращения створки при наибольшем перепаде
h уровней в верхнем и нижнем бьефах. Пусть высота
створки Н и ее ширина В. Координатную ось Ох совместим с
осью вращения створки, а ось Оу — с верхним уровнем воды
(рис. 9.41).
Сила давления на горизонтальную полоску створки,
соответствующую отрезку [ж, х + Ах] С [0, /*], приближенно равна
Р\([х1 х + Ах]) ы

444
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
а для полоски, отвечающей отрезку [ж, х + Ах] С [h, Я],
Рг ([ж, х + Дж]) « рдхВАх — рд(х — h)BAx = pghB.
Тогда сила давления на створку равна
А И
Р= pgxBdx + / pghBdx =
о h
= pg—B + pgh(H-h)B=pgh(H--)B.
Сила давления на любую горизонтальную полоску приложена в
ее середине, т.е. на расстоянии В/2 от оси вращения
створки. Следовательно, и сила давления на створку приложена на
таком же расстоянии, так что момент этой силы М = РВ/2 =
= pghB2H(2 - h/H)/4. #
Интересно отметить, что сила давления жидкости
б
P=pgjx{f2{x)-fi(x))dx

Д.9.1. Движение в центральном поле тяготения 445
на погруженную вертикально плоскую фигуру с
прямолинейными верхней и нижней кромками и криволинейными
боковыми кромками, соответствующими графикам функций fi(x) и
/2 (х) (х € [а, &]), пропорциональна геометрическому
статическому моменту площади этой фигуры относительно оси Оу,
отвечающей уровню жидкости (х = 0), а момент силы
давления
V
= pgJx2(Mx)-fl(x))dx
относительно оси Оу — геометрическому моменту инерции
площади погруженной фигуры относительно этой оси.
Дополнение 9.1. Движение материальной точки
в центральном поле тяготения
Напомним, что в зависимости от расположения плоскости
относительно круговой конической поверхности можно
получить в сечении окружность, эллипс, параболу, гиперболу или
две пересекающиеся прямые. Указанные кривые объединяют
общим названием конические сечения. Кроме того, эти кривые
связывает то, что все они являются траекториями движения
материальной точки в центральном поле тяготения.
Пусть материальная точка массой т в некоторый момент
времени t = 0 находится в положении Mq на расстоянии ро
от центра тяготения О и имеет скорость Vq> направленную
перпендикулярно прямой OMq (рис. 9.42). Совместим полюс
полярной системы координат с центром тяготения, а полярную
ось Ор направим по лучу OMq.
Известно, что при условии vfi/po = go, где go —
ускорение свободного падения на расстоянии />о от центра
тяготения, материальная точка будет описывать вокруг этого центра
окружность (штриховая линия на рис. 9.42) радиуса ро,
лежащую в плоскости, содержащей прямую OMq и вектор скорости

446 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Рис. 9.42
материальной точки. При этом на точку действует
направленная к центру тяготения сила притяжения тд0,
уравновешиваемая центробежной силой mvg/po- При нарушении условия
VQ/po = go траектория точки будет отличаться от окружности.
Бели в текущий момент времени t материальная точка
массой т имеет скорость v и находится в положении М на
расстоянии р от центра тяготения О (см. рис. 9.42), то,
согласно закону Ньютона всемирного тяготения, на нее действует
сила притяжения F(p) = mgo(po/p)2. Работу, совершаемую
против силы притяжения при удалении материальной точки из
положения М на бесконечно большое расстояние от центра
тяготения, принимают за меру потенциальной энергии массы т
в положении М, т.е.
4-ОО 9
_ гпдорй
+0° +°°
/f dr 1
F(r)dr=-mgopl I -^ = rngoPo-
p
Р
p p
Сумма потенциальной и кинетической энергии материальной
точки при движении в центральном поле тяготения неизменна:
mv2 mK 2
— — = const, К = sroP
z р

Д.9.1. Движение в центральном поле тяготения 447
или, учитывая заданные значения в положении
tr = Н = Vq = Vq - 2gopo = const. (9.96)
P Po
Значение Н характеризует энергетический уровень
материальной точки. В частности, при Я ^ 0 скорости vo ^ y/2gopo
достаточно, чтобы точка удалилась от центра тяготения на
бесконечно большое расстояние (см. пример 9.24).
Пусть s — расстояние по дуге траектории материальной
точки между положениями Мо и М (см. рис. 9.42). Тогда с
учетом (9.10) имеем
и вместо (9.96) получаем
где функция р((р) описывает траекторию материальной точки
в полярных координатах. Производная d^p/dt = и определяет
угловую скорость вращения точки относительно центра
тяготения. При движении в центральном поле тяготения момент
импульса точки относительно центра тяготения неизменен, т.е.
тшр(<р)р(<р) = тр2 ((р) -j- = mvopo = mc = const, (9.98)
at
где с = vopQ. В дальнейшем интерес представляет лишь случай
О 0, поскольку при с = 0 либо />о = 0 (материальная точка
совмещена с центром тяготения), либо vo = 0 (центробежная
сила отсутствует, и материальная точка под действием силы
притяжения устремляется к центру тяготения).
Подставляя (9.98) в (9.97), запишем
2К _н

448 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
откуда, опуская аргумент <р в обозначении функции
получаем
Н+ r =
где р = р/ро и vo = vo/y/gopo. В правой части (9.99) следует
выбрать знак ,,+", поскольку при щ > 1 центробежная сила
превышает силу притяжения и dp/dip > 0, а при «о < 1 —
наоборот и dp/dip < 0.
Применяя подстановку
0-100)
вместо (9.99) получаем d<p/du = -\/у/\ — и2 и с учетом
табличного интеграла 15 <р = arccosu + C, или u = cos(y? —С).
Так как при <р = 0 (материальная точка в положении Мо на
рис. 9.42) р=1 и и=1,то C = 2for (A; GZ). В итоге, учитывая
(9.100), находим
(9Л01)
Итак, траекторию материальной точки в центральном поле
тяготения описывает уравнение (9.101) кривой второго
порядка в полярной системе координат, причем совмещенный с
центром тяготения полюс этой системы координат совпадает с
одним из фокусов кривой [III]. При значении
эксцентриситета е = 0 (tJo = 1, vq = y/gopo) траектория является
окружностью, а при 0 < € < 1 — эллипсом с полуосями а = р/(1 - е2)
и 6 = р/у/\ — е2 = ау/l -£2, причем центр тяготения
совпадает с ближним к точке Мо фокусом эллипса, если 1 < tJ0 < \/2,
или с дальним фокусом, если 0 < tJo < 1 (см. рис. 9.42).
Траектории в виде окружности или эллипса, являющиеся
замкнутыми плоскими кривыми, принято называть орбитами. При

Д.9.1. Движение в центральном доле тяготения 449
е = 1 (tJo = \/2) траектория является параболой, а при € > 1
(tJo > у/2) — гиперболой. Эти траектории не являются
замкнутыми и по ним материальная точка удаляется от центра
тяготения на бесконечно большое расстояние.
За период Т полного обращения материальной точки по
орбите полярный угол <р изменяется от 0 до 2тг. Поэтому,
учитывая (9.23) и (9.98), записываем p2((p)d<p = vopodt и
Согласно (9.23), интеграл в левой части этого равенства
является площадью плоской фигуры, ограниченной орбитой.
Площадь эллипса (см. пример 9.5) в данном случае равна тгаб =
= кр2/у/(1 -£2)3 = ла2у/1 - £2 (в частном случае окружности
е = 0 и а = ро). Таким образом,
voPo у/(1-е2)3 vopo Роу/9о
т.е. квадрат периода пропорционален кубу большой полуоси
орбиты, что составляет содержание одного из законов небесной
механики, установленных немецким математиком и
астрономом И. Кеплером (1571-1630).
Найдем длину sr эллиптической орбиты в случае 1 < vo <
< \/2- Для этого вместо (9.101) удобнее использовать
координатное представление эллипса
Г= {(ж;у) € R2: s = asinr, y = 6cosr, т G [0, 2тг]}
в прямоугольной системе координат Оху, ось Ох которой
направлена по полярной оси, а начало координат О
расположено между фокусами эллипса. В силу симметрии эллипса
достаточно вычислить лишь четверть его длины,
соответствующей изменению параметра г на отрезке [0, тг/2]. При этом

450 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
г = тг/2 - £, где t — угол, показанный на рис. 9.14. Тогда,
согласно (9.7), получим
ds(t) = \/(acosr)2 4- (-ftsin r)2 dr = у a2 - (о2 - б2) sin2 rdr
и, обозначив к = y/l -62/a2, в со9тветствии с (9.8) запишем
тг/2 тг/2
j = / ds(t) = a f y/l-k2sin2rdr = aE(Jk), (9.102)
о о
где E(fc) — полный эллиптический интеграл второго
рода с модулем к, не выражаемый в элементарных функциях
(см. Д.3.1). Поводом для выбора названия интегралов такого
типа и послужила задача о вычислении длины дуги эллипса.
При а = b (к = 0) эллипс переходит в окружность радиуса
о, так что «г = 2тга и Е(0) = тг/2, а при 6 = 0 (к = 1) он
вырождается в отрезок, т.е. 5р/4 = а и Е(1) = 1.
Интересно отметить, что полная длина эллипса с полуосями
а^Ь совпадает с длиной волны синусоиды, описываемой
уравнением г] = aksm((/b) (£ € [0, 2тг6]). Дело в том, что такой
эллипс является линией пересечения цилиндрической
поверхности радиуса 6 плоскостью, наклонной к образующей этой
поверхности, а если цилиндрическую поверхность разрезать по
одной из образующих и развернуть на плоскости, то линия
пересечения без искажения длины перейдет в синусоиду.
Вопросы и задачи
0.1. Доказать, что при задании гладкой плоской кривой Г
уравнением (р = ц>(р) (р € [п, г2]) в полярных координатах ее
длина равна
V
Г1

Вопросы и задачи 451
9.2. Вычислить длину дуги кривых, заданных уравнениями:
y = Vx*, ж€[0, 4]; б) у2 = 2рж, х € [0, 6]; в) у = ех, х € [О, 6];
r) ^VV^, y6[1,e]. д) y=-.n(l-g), ,6 [О, J];
О < 6 ^ у ^ а; з) у = 1псозж, a? € 0, —I; и) /> = a(l + cosy?),
, 2тг]; K)p = asin3|,v?€[0,37r]; л) p=oth|, v?€ [0, 2тг];
м) V=2(^ + ~)'^€[1»3]; Н)^ = \^'Р^[О, 5];
J
о
9.3. Найти площади плоских фигур, ограниченных
графиками следующих функций:
а) у = 2х - ж2, у = -ж; б) ay = ж2, ож = у2; в) у = ж2, у = 2 - ж;
(ж \
l-p-J,y = O; д) у2 = ж2(а2-ж2); е) p = a(l+cos<p);
ж) р2 = 1 — <р2; з) <р = р — sin/>, у? = тг; и) (р = sin тгр, р 6 [0, 1].
9.4. Пусть для кубируемого тела площадь сечения,
нормального оси Ох, изменяется по закону 5(ж) = Лж3 + Вх2+Сх + Д
ж 6 [а, 6]. Доказать, что для вычисления объема этого тела
применима формула Симпсона
(Т. Симпсон (1710-1761) — английский математик).

452
9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
9.5. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями,
заданными следующими уравнениями:
Ж2 1У2 Z2
*) -1 "Г L2 " С2 "" Х> ^ ~"
б)
v
в) г2 = 6(а-
/2
т/
= аж; г)
еж
T I5 ,— ,« = 0;
а* о* а
\ 2 2 2 2 2 2
ж) ж + у + z = о , ж + У —
9.6. Доказать справедливость формулы (9.36).
9.7. Найти объемы выпуклой и выпукло-вогнутой линз,
ограниченных двумя соосными параболоидами вращения и
имеющих размеры, указанные на рис. 9.43.
9.8. Найти объем плоско-вогнутой линзы, ограниченной
плоскостью и соосными цилиндром диаметром d и
параболоидом вращения. Линза имеет толщину h по оси и Я по краю
(рис. 9.44).
Рис. 9.43
Рис. 9.44
9.9. Каково отношение объемов частей прямого
кругового конуса высотой Я, рассеченного плоскостью, параллельной
образующей конуса и проходящей через центр основания
диаметром D1
9.10. Вычислить площадь поверхности вогнутого зеркала,
являющейся сегментом параболоида вращения высотой h
(радиус основания сегмента R).

Вопросы и задачи 453
9.11. Вычислить объем и площадь поверхности бочки с
высотой Н и основаниями, имеющими диаметр D. Боковая
поверхность бочки образована вращением вокруг ее оси
параболы с вершиной, удаленной от оси на расстояние R.
0.12. Найти объемы и площади поверхности тел,
полученных при вращении куба вокруг его диагонали и диагонали его
грани.
9.13. Вычислить объем и площадь поверхности тела,
ограниченного двумя круговыми цилиндрами радиуса А, оси
которых пересекаются под углом а.
9.14. Найти объем и площадь поверхности тела,
ограниченного тремя круговыми цилиндрами радиуса Я, оси которых
взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке.
9.15. Найти длину дуги кривой Г и площади поверхностей,
образованных вращением кривой вокруг осей Ох и Оу. Найти
площадь плоской фигуры, ограниченной кривой Г и участком
оси Ох, если кривая Г не замкнута. Найти также объемы
тел, образованных вращением этой фигуры вокруг осей Ох
и Оу:
а) Г = {х = a(t - sint), у = а(1 - cost), t € [0,2тг]} (циклоида);
б) T = {x = 2t-t2, у = 2*2-*3, *€
в) Г = {х = acos3*, у = asin3*, t € [0, тг]} (астроида);
г) Г = {* = а*/(1 + *4), у = а*3/(1-И4), *б[0,+оо)};
д) Г = {х = acosf cos2*, у = asin2* cost, t € [0, тг/2]};
е) Г = {х = (с2/a)cos3t, у = (с2/*)sin3*, * € [0, тг]} (с2 = а2 - б2,
эволюта эллипса).
9.16. Доказать, что объем тела, образованного вращением
вокруг полярной оси плоской фигуры, ограниченной кривой с
уравнением р = />(</?) ((р б [а, /?]) в полярных координатах и

454 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
лучами (р = а и <р = (3, равен
lit Г
9.17. Найти геометрические моменты инерции:
а) площади треугольника относительно его основания;
б) площади квадрата относительно его диагонали;
в) площади, ограниченной эллипсом, относительно его осей;
г) сферы и шара относительно их диаметра;
д) полусферы и полушара относительно их основания.
9.18. Найти центры масс полусферы и полушара.
9.19. Проанализировать остойчивость (см. пример 9.6)
заполненного нефтью достаточно длинного танкера, считая (для
упрощения) его поперечное сечение равносторонним
треугольником с равномерным распределением массы по длине сторон.
9.20. Найти число оборотов до полной остановки
однородного прямого кругового цилиндра с массой т, высотой Я и
основаниями, имеющими радиус Я, после начала торможения
приложенным к оси цилиндра моментом М(и) = Мо(1 -fw/uo),
если до начала торможения цилиндр вращался относительно
этой оси с угловой скоростью а>о.
9.21. Вычислить работу, совершаемую при откачке воды
через верхнее отверстие наполовину заполненной горизонтальной
цилиндрической цистерны диаметром D и длиной L.
9.22. Найти силу давления на вертикальную плотину в
форме трапеции с верхним а и нижним Ь основаниями и
высотой Я при перепаде АН уровней воды между верхним
и нижним бьефами и возвышением h верхней кромки плотины
над уровнем воды в верхнем бьефе (h + АН < Я).

10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Нахождение числового значения интеграла является одной
из наиболее распространенных вычислительных процедур при
проведении научных исследований и инженерных расчетов.
Если заданная подынтегральная функция имеет первообразную
в виде сравнительно простого аналитического выражения, то
эта процедура не вызывает осложнений и состоит в
проведении вычислений, связанных с подстановкой числовых значений
пределов интегрирования в формулу Ньютона — Лейбница.
Однако в случае сложной первообразной ее использование для
вычисления может быть не всегда рационально. Бели же
интеграл неберущийся или подынтегральная функция задана
табличным способом (например, в виде результатов
экспериментальных измерений), то аналитическое выражение интеграла
вообще отсутствует. В таких случаях приходится проводить
численное интегрирование, под которым понимают
процедуру нахождения приближенного значения интеграла методами
вычислительной математики.
10.1. Существо подхода
к численному интегрированию
Пусть необходимо найти числовое значение /
определенного интеграла
= Jf(x)dx
(10.1)
от подынтегральной функции }(х) на отрезке [а, 6].
Большинство распространенных способов численного интегрирования
объединены достаточно простой общей идеей: функцию f(x)

456 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
на отрезке [а, 6] приближенно заменяют элементарно
интегрируемым интерполяционным многочленом, вычисляют при
помощи формулы Ньютона — Лейбница значение J
интеграла от этого многочлена и полагают, что / « J.
Подынтегральную функцию представим на отрезке [а, 6]
линейной комбинацией
п
Лт\ — \ "* f(r-\m-(r\ А- г(т\ ИП 1\
х) —• / JIJ\x\)Yt\x) > Г\х) \L\J.4)
«=0
многочленов <р%(х) степени не выше п, где Х{ 6 [а, Ь] — узлы
интерполяции, a r(x) — возникающая при интерполировании
погрешность, причем в узлах интерполяции г(х{) = 0, г = 0, п.
Тогда подстановка (10.2) в (10.1) приведет к так называемой
квадратурной формуле
Г
= / f(x)dx = Y^Aif(*i
а «=°
Подчеркнем, что значения коэффициентов
6
А{ = / (fi(x) dx, % = 07n, (10.4)
a
называемых весовыми (иногда весами квадратурной
формулы), не зависят от вида функции f(x). На эти значения
влияют только степень интерполяционного многочлена и
расположение на отрезке [а, 6] узлов интерполяции £;, называемых
в данном случае узлами квадратурной формулы, так как
лишь от этого зависит вид каждого из многочленов ч>%(х) в
(10.2) и (10.4). Бели в (10.3) погрешностью квадратурной
формулы
R= fr{x)d:
(10.5)

10.1. Существо подхода к численному интегрированию 457
пренебречь, то придем к приближенной рабочей формуле
п
t=0
которую часто называют также квадратурной. Выражение в
правой части (10.6) называют квадратурной суммой.
Таким образом, рассмотренный подход к численному
интегрированию приводит к квадратурной формуле в виде
линейной комбинации значений подынтегральной функции в
конечном числе узлов. Обычно наиболее трудоемкой операцией
при использовании (10.6) является вычисление значений /(&,)
подынтегральной функции в узлах квадратурной формулы.
Поэтому при сравнении квадратурных формул предпочтение
отдают той, которая позволяет вычислить интеграл с
заданной погрешностью при меньшем числе узлов.
В связи с этим важной характеристикой квадратурной
формулы является оценка ее погрешности, зависящей не только
от степени п интерполяционного многочлена Рп(х), числа и
расположения узлов, но и от вида подынтегральной функции.
Для функции /(я), имеющей на отрезке [а, 6] непрерывную
производную /(п+1)(з), погрешность интерполяции при
равномерном его разбиении на п частичных отрезков длиной
hn = (b-a)/n пропорциональна /ij|+1 [II]. При использовании
Рп(х) для построения квадратурной формулы ее погрешность
будет пропорциональна пЛ£+2 = (6 — а)Л£+1. В этом случае
говорят, что квадратурная формула имеет (п + 1)-й порлдок
точности.
Следует иметь в виду, что числовые значения /(я,)
функции }{х) в узлах квадратурной формулы можно вычислить
лишь с ограниченным количеством верных знаков. Это
приводит к возникновению дополнительной вычислительной
погрешности квадратурной формулы. Теоретически при вычислении
определенного интеграла погрешность вычисления непрерывно

458
10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
зависит от отклонений в значениях подынтегральной
функции. Действительно, если абсолютная погрешность
вычисления^ значения функции f(x) в точке х е [а, Ь] равна Д(х) =
= f(x) - /(ж), где f(x) — приближенное значение функции в
этой точке, то с учетом свойства 10° определенного интеграла
(см. в.7) для абсолютной погрешности вычисления интеграла
(10.1) получим оценку
Д/ =
/(7м -
dx
I A{x)dx ^ f\A{x)\dx^(b-a)A.
Здесь Д= max |A(x)|. Для любого е>0 справедливо нера-
я?€[о,Ь]
венство Д/ < г, если выполняется условие Д < 6(е) = е/(Ь - а).
В данном случае 6 — а является абсолютным числом
обусловленности задачи вычисления интеграла, характеризующим
чувствительность ее решения к погрешностям исходных
данных. Использование (10.6) для вычисления интеграла (10.1) не
ухудшит обусловленность этой задачи, если
(10.7)
так как даже в случае, когда в каждом узле я, значение
f(xi) функции имеет наибольшую абсолютную погрешность
Д, ошибка Д/ при вычислении интеграла будет близка к
(Ь-а)Д:
п
U(f{*i) -
t=0
п
«=0
i=0

10.2. Формула трапеции
459
fie) -
10.2. Формула трапеций
Пусть функция }(х) интегрируема на отрезке [а, 6],
причем /(з) ^ 0 Уж € [а, Ь]. Интеграл (10.1) будем
интерпретировать как площадь криволинейной трапеции, имеющей
основанием отрезок [а, Ь] и огра- у.
ничейной графиком функции
f{x) (рис. 10.1). Замена дуги
графика стягивающей ее
хордой, проходящей через точки
Л(а;/(а)) и 13(6;/(&)), будет
соответствовать
приближенной замене площади криво-
линейной трапеции площадью гис# xv'x
{b-a)(f{a) + f{b))/2 обычной трапеции. Тогда (10.6) примет
вид
Ь х
6
= J
f{x) dx*J=
а) + /(6)),
(10.8)
т.е. в (10.6) п = 1 и Ло = М = (Ь - о)/2, причем
обусловленность задачи вычисления интеграла (10.1) сохранена, так как
А) + А\ = Ь — а.
Это одна из простейших квадратурных формул, которую
можно назвать формулой трапеции. Отметим, что (10.8)
можно получить и путем подстановки в (10.1) приближенного
представления подынтегральный функции в виде многочлена
первой степени
« Рг (х) = /(а)
-а -'«»-.
х — а
что соответствует линейной {двухточечной) интерполяции этой
функции.

460 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Погрешность квадратурной формулы (10.8) представим как
функцию длины h = b — a отрезка [а, 6]:
б
R(h) = '-</ = / /(«) dx - ^ (/(а) + f(b)) =
а
а+Л
а
Пусть функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема на
отрезке [а, 6]. Учитывая теорему 6.16 о дифференцировании
интеграла по переменному верхнему пределу и дифференцируя
(10.9) по h дважды, получаем
причем R(0) = #'(0) = 0. Используя теорему 6.14 о среднем
значении, интегрированием находим
ftfya + t)dt=^h1 (10.10)
о о
где |у(Л)€(а, а + Л).
Замечание 10.1. Согласно теореме 6.15, определенный
интеграл с переменным верхним пределом h от непрерывной
на отрезке [0, Ь — а] функции R"(h) является непрерывной
функцией h на этом отрезке. Поэтому функция R'(h) в
(10.10) непрерывна на этом отрезке, а при h > 0 непрерывна
в полуинтервале (0,6-а] и сложная функция f"(n(h)) в
(10.10). Так как n(h) -> а при h -+ 0, то эта сложная функция
непрерывна справа в точке h = 0, поскольку функция }"{х)
дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [а, 6], a
значит, непрерывна справа в точке х = а. Следовательно, к

10.2. Формула трапеции 461
интегралу от функции В!(К) можно применить теорему 6.14 о
среднем значении. #
Учитывая замечание 10.1, интегрированием (10.10)
получаем
\ I £^"(S), (10.11)
BHh)dh=-\
где £ 6 (a, 6). В частности, для функции /(ж), строго выпуклой
вверх в интервале (а, 6), имеем f"(x) < 0 Уж € (а, 6), т.е.
формула (10.8) трапеции дает заниженное значение вычисляемого
интеграла. Бели /(х) является многочленом первой степени,
то /"(х) = 0 Vx € (о, 6), и формула трапеции дает точный
результат, что следует и из ее геометрической интерпретации.
С увеличением длины отрезка интегрирования погрешность
формулы трапеции быстро растет. Для уменьшения
погрешности используют аддитивность определенного интеграла, вводя
разбиение
Тп = {хо = а, «1, ..., Si-i, Xj, ..., xn = b} (10.12)
отрезка [a, b] на п частичных отрезков [xt-_i, xt], i = 0,n,
так, чтобы в каждой точке х,- значение /,- = /(х,-) функции
}(х) было известно или его можно было вычислить. Применяя
(10.8) к каждому частичному отрезку, получаем формулу
трапеций
/1 _z_
J\X)ax ~j — - У\х* *«-1Д/«-1 т /tj
(10.13)
с погрешностью
4 n
1=1

462 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
При равномерном разбиении ж,- - xt_i = hn = (b - а)/п
= const вместо (10.13) и (10.14) имеем
Так как f"(x) непрерывна на отрезке [а, 6], то на нем найдется
точка £, в которой
(юле)
(правая часть в (10.16) ограничена наименьшим и наибольшим
значениями функции }"{х) на [а, 6]).
Тогда погрешность в (10.15) можно записать в виде
~hlf"(O< «€[a,6]. (10.17)
Если /"(з) имеет на отрезке [а, 6] точки разрыва, но |/"(а;)| ^
^ Мг Vx G (а, 6), то при равномерном разбиении можно
получить оценку абсолютной величины погрешности в виде
b^ (10.18)
Таким образом, абсолютная величина погрешности
формулы трапеций при равномерном разбиении отрезка
интегрирования пропорциональна Л£, т.е. эта формула имеет второй
порядок точности. Оценку (10.18) можно использовать и при
неравномерном разбиении, если в качестве hn взять
максимальный шаг разбиения.
10.3. Формула парабол
Заменим дугу графика функции f(x) на отрезке [а, Ь]
(см. рис. 10.1) дугой квадратной параболы с уравнением
(10.19)

10.3. Формула парабол 463
проходящей через три точки с координатами (а; /(а)), (с; /(с))
я (b\f{b)), где с= (а + 6)/2 — середина отрезка [а, 6]. Такая
замена соответствует квадратичной (трехточечной)
интерполяции функции f(x) на этом отрезке.
Коэффициенты а, /3 я у в (10.19) находим из решения
системы линейных алгебраических уравнений
7 =/(с),
получаемой последовательной подстановкой в (10.19)
координат всех трех указанных точек. Это решение единственно, так
как через три заданные точки можно провести лишь одну
параболу [II], которая, очевидно, переходит в прямую, если эти
точки расположены на одной прямой. В итоге вместо (10.19)
имеем
_«)., (шо)
где h = b — a — длина отрезка [а, 6].
Площадь криволинейной трапеции, имеющей основанием
отрезок [а, Ь] и ограниченной этой параболой, равна
6
J
= / УМ dx =

464 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Нетрудно установить аналогию (10.21) с формулой Симпсо-
на для вычисления объема тела по трем значениям площади
поперечного сечения этого тела. Заменяя площадь
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)
(см. рис. 10.1), площадью криволинейной трапеции,
ограниченной параболой, получаем для вычисления интеграла (10.1)
квадратурную формулу
Ь с+Л/2
I=ff{,)dx= f f(X)dx*J=hf(a)+4fj:c)+m, (10.22)
a c-k/2
которая соответствует формуле Симпсона. Сравнивая (10.22)
с (10.6), нетрудно установить, что в данном случае п =
= 2, Ао = А2 = Л/6, Ах = 4Л/6 и Ао +Ai +A2 = h = Ь-а,
т.е. обусловленность задачи вычисления интеграла (10.1) не
ухудшена.
Погрешность квадратурной формулы (10.22) представим
как функцию аргумента rj = Л/2:
с+т?
^C-Tl)+Aflc)+^C+T>) (10.23)
Пусть функция f(x) трижды непрерывно дифференцируема
на отрезке [а, Ь] и имеет непрерывную четвертую
производную flw(x) Vx € (а, 6). Учитывая теорему 6.16 о
дифференцировании интеграла по переменному верхнему пределу и
дифференцируя (10.22) трижды по ?7? после применения теоремы
Лагранжа [II] получаем

10.3. Формула парабол 465
f"(c
где &(*/) € (с - q, с+ т/). При этом Я(0) = Д'(0) = #"(0) = 0.
Используя теорему 6.14 о среднем значении и принимая во
внимание замечание 10.1, последовательным интегрированием
находим:
H"fo) = J R"'(t) dt=-\j t2/IV (&(«)) * = - Ц-Г Ш),
где
где ^1(77) € (с - ?/, с-f- ty), и в итоге погрешность
Л/2 Л/2
= R(h/2)= J Rf(t)dt = -± J t*
где £ 6 (с- Л/2,с + Л/2). Если /(ж) является многочленом
третьей степени, то flv(x) = 0 Vs € (а, 6), и (10.22) дает
точный результат.
Если известны значения /, = /(а?,-) функции f(x) в узлах
равномерного разбиения отрезка [а, 6] на четное число п = 2т
частичных отрезков [x,-i,x$], г=1,п, длина каждого из
которых hn = (b- a)/ny то в силу аддитивности определенного
интеграла можно применить (10.22) последовательно к парам
частичных отрезков между узлами xq и х2, ..., zn-2 и хп

466 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
(h = 2hn) и в итоге получить формулу парабол
ь
) dx » J = ^
3
т
m m—1
53/й) (10.24)
t=i
с погрешностью
m
Если /IV(x) непрерывна на отрезке [а, 6], то на нем
существует точка £, в которой
поскольку правая часть в этом равенстве ограничена
наименьшим и наибольшим значениями функции /IV(z) на [а, 6].
Тогда вместо (10.25) получим
(Ю.26)
Если же /IV(x) разрывна на отрезке [а, 6], но |/IV(x)| ^
^ М4 Vx 6 (а, 6), то возникающую при использовании (10.24)
погрешность можно оценить так:
(10.27)
Итак, абсолютная величина погрешности формулы парабол
при равномерном разбиении отрезка интегрирования
пропорциональна h^, т.е. (10.24) имеет четвертый порядок точности.

10.4. Формулы прямоугольников 467
Формулу парабол можно построить на отрезке [а, 6] и
в случае его неравномерного разбиения вида (10.12), если
известны или могут быть вычислены значения функции f(x)
не только на концах частичных отрезков [xt_i, ж,] (i = l,n), но
и в их средних точках я?«—1/2 = (ж»'-1 + х%
= /
1
где Л, = ж, - «j-i и /,_1/2 = /(««-1/2)« Вклад каждого
частичного отрезка в суммарную погрешность такой же, как и
для отдельно взятой формулы Симпсона (10.22). Поэтому для
(10.28) получим
1*1 =
п
2_
2880
где ( )
t=l,n
i=l
< Ш*м*'
10.4. Формулы прямоугольников
Бели на отрезке [а, Ь] взять лишь один узел с= (а + 6)/2
квадратурной формулы в его середине, то для
интерполирования функции /(х) получим интерполяционный многочлен
нулевой степени Ро(х) = /(с) = const, что будет соответствовать
приближенной замене криволинейной трапеции
прямоугольником (см. рис. 10.1). Это приведет к квадратурной формуле
ь
1= f f(x) dx&J = {b- a)f(c), (10.29)
a
которую назовем формулой прямоугольника.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и
дважды непрерывно дифференцируема в интервале (a, b). Тогда в

468 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
любой точке х G [а, Ь] ее можно представить формулой
Тейлора второго порядка с остаточным членом в форме Лагранжа:
/(«) = /(с) + /'(с)(х - с) + /"(,(«))1*^!, (10.30)
где rj(x) заключено между ж и с, а для погрешности формулы
(10.29) прямоугольника получим
= I-J = J{f(x)-f(c))dx =
где f € (а, 6). При интегрировании использована теорема 6.14
о среднем значении с учетом замечания 10.1.
Замечание 10.2. Как и формула трапеции (10.8),
формула прямоугольника (10.29) дает точный результат, если f(x)
является линейной функцией, что отвечает геометрической
интерпретации (10.29) (см. рис. 10.1). Но в отличие от (10.8)
для функции /(ж), строго выпуклой вверх в интервале (а, 6),
(10.29) дает завышенное значение вычисляемого интеграла.
Следовательно, точное значение интеграла заключено между
результатами вычислений по формулам (10.29) и (10.8). Бели
третью часть разности этих результатов вычесть из
результата вычислений по формуле (10.29), то получим более точное
значение интеграла. #
Бели в случае разбиения (10.12) отрезка [а, 6] ввести
обозначения Sj_i/2 = (s,-i + ж,)/2 и /t_i/2 = /(sj-i/2)> то
с учетом аддитивности определенного интеграла, применяя

10.4. Формулы прямоугольников 469
(10.29) к каждому частичному отрезку [xt_i, ж,] С [а, Ь] этого
разбиения, придем к формуле прямоугольников
1=1 f(x)dxaJ = £
(Ю-32)
с погрешностью
(Ю.ЗЗ)
При равномерном разбиении xt - zt_i = fon = (6 — a)/n =
const и вместо (10.32) и (10.33) получим
Д=;гг> /"(&)• (Ю.34)
i=l t=O
Бели /''(ж) непрерывна на отрезке [а, 6], то на нем найдется
точка £, для которой справедливо равенство (10.16), так что
получим
^*1Н€). ?б[в.Ч- (Ю.35)
Если f"(x) имеет на отрезке [а, 6] точки разрыва, но
^ М2 Vx 6 (a, 6), то при равномерном разбиении для
абсолютной величины погрешности имеем
^f (10.36)
Оценку (10.36) можно использовать и при неравномерном
разбиении, если в качестве hn взять его максимальный шаг Д*.
Наряду с выражением (10.32), называемым иногда форму-
лой центральных прямоугольников (или коротко
формулой средних), можно построить формулы левых и правых

470 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
прямоугольников соответственно
п п
/ « J = Y^(xi - *i-i)A-i, / « J = X>« - *,-i)/*. (Ю.37)
При равномерном разбиении они приобретают вид
п п—1 п
i=l i=0 «=1
Эти формулы редко используют, поскольку они имеют лишь
первый порядок точности, тогда как формула (10.32) имеет
второй порядок точности.
Замечание 10.3. Квадратурные суммы формул
прямоугольников совпадают с интегральными суммами функции
}{х) на отрезке [а, 6], которые для интегрируемой функции
f(x) стремятся к одному и тому же значению интеграла при
стремлении к нулю максимального шага разбиения hm.
Подстановка же конечного значения hn в различные формулы
прямоугольников приводит к различным результатам. #
Отметим, что площадь прямоугольника, вычисляемая по
(10.29), совпадает с площадью трапеции, одна из боковых
сторон которой является касательной к графику функции f(x) в
точке (с; /(с)) (см. рис. 10.1). Поэтому можно считать, что
(10.29) построена на основе интерполяции функции f(x) не
многочленом Ро(х) = /(с) нулевой степени, а линейной
функцией Pi(x) = /(с) + /'(с)(я - с), т.е. точка с является кратным
узлом интерполяции. Благодаря выбору этого узла в середине
отрезка слагаемое, содержащее значение /'(с) производной,
исчезает при интегрировании и это значение не входит ни в
(10.29), ни в (10.31).
По этой причине точность вычислений по (10.32) выше,
чем по (10.37), причем порядок точности формулы (10.32) и
формулы (10.13) трапеций одинаков, но оценки абсолютных
величин погрешности вычислений по этим формулам в (10.36)
и (10.18) соответственно отличаются в 2 раза.

10.5. Приближение многочленами высших степеней 471
10.5. Приближение
многочленами высших степеней
Сравнение между собой квадратурных формул
прямоугольников, трапеций и парабол показывает, что порядок их
точности связан со степенью многочлена, используемого при
интерполировании подынтегральной функции. Так, переход от
линейной интерполяции к квадратичной привел к росту
порядка точности сразу на две единицы. Поэтому возникает
естественное стремление повышать порядок точности
квадратурных формул путем использования интерполяционных
многочленов более высоких степеней.
Однако не все в этой ситуации столь очевидно. Например,
замена на отрезке [а, Ь] функции f(x) кубической параболой
у(х) при условии совпадения значений f(x) и у(х) в точках
х = а, а + hn, а + 2ЛП, а + ЗЛп (Лп = (Ь-в)/3) приводит к
квадратурной формуле Ньютона
ь
= J
(так называемому „правилу трех восьмых") с погрешностью
(для четырежды дифференцируемой на этом отрезке функции),
т.е. эта формула имеет тот же порядок точности, что и
формула (10.22) параболы, хотя и требует вычисления значения
функции еще в одном узле квадратурной формулы.
Причина этого та же, что и в случае с формулой
прямоугольника, когда узел квадратурной формулы совпадает или
не совпадает с серединой отрезка [а, 6]. Выбор средней
точки с= (а + 6)/2 отрезка в качестве одного из трех узлов
квадратурной формулы (в формуле Симпсона) позволяет
рассматривать его как кратный узел интерполяции, в котором

472 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
помимо значения функции /(с) задано еще и значение /'"(с).
Соответствующий интерполяционный многочлен будет уже не
квадратной параболой (10.20), а кубической
(х_с)
+ fm(c)(x - a){x - c){x - 6), (10.38)
где h = b — a — длина отрезка [о, b]. Последнее слагаемое в
(10.38), обращаясь в нуль в каждом узле и являясь нечетной
функцией аргумента х — с, при интегрировании не даст вклада
в квадратурную формулу, так что конечный результат
совпадет с (10.21). Отметим, что (10.38) описывает все кубические
параболы, проходящие через три заданные с постоянным шагом
точки. Поэтому (10.22) точна, если f(x) = Рп(х) при п ^ 3.
Бели при интегрировании в (10.21) использовать
квадратную параболу, совпадающую с интерполируемой функцией
f(x) на концах отрезка и в любой его внутренней точке,
отличной от его середины, то получим квадратурную формулу,
имеющую порядок точности на единицу меньше. Напомним,
что также на единицу уменьшается порядок точности
квадратурной формулы прямоугольника, если узел не совпадает с
серединой отрезка.
Ясно, что любое разбиение отрезка [а, 6] вида (10.12)
при четном п = 2гп, симметричное относительно узла хт в
середине отрезка, позволяет к интерполяционному многочлену
Рп{х) степени п, совпадающему с интерполируемой функцией
f(x) в (п+ 1)-м узле, добавить слагаемое
Это слагаемое также обращается в нуль во всех узлах и, являясь
нечетной функцией аргумента х-хт1ие дает вклада при
интегрировании, но обеспечивает (n-f 2)-й порядок точности
квадратурной формулы, тогда как использование произвольного

10.5. Приближение многочленами высших степеней 473
интерполяционного многочлена степени п гарантирует лишь
(п+1)-й порядок точности. Таким образом,
предпочтительнее использовать квадратурные формулы, соответствующие
симметричному разбиению отрезка интегрирования на четное
число п частичных отрезков.
Квадратурные формулы, построенные по
интерполяционным многочленам на равномерном разбиении отрезка [а, 6]
интегрирования, называют формулами Ньютона — Ко-
теса (Р. Котес (1682-1716) — английский математик, ученик
И. Ньютона). При длине h — (b-a)/n частичного отрезка
разбиения, обозначив B{ = Ai/h, % = 0, п, вместо (10.4) и (10.6)
запишем
Bi = I [<Pi(x)dx, /« J = h^Bifi, (10.39)
где (fi(x) — многочлены степени не выше n € N и /,- = /(я,).
В качестве <р%(х) выберем интерполяционные многочлены Ла-
гранжа степени п:
n
X — Xi
Отметим, что многочлен <Л"(я) равен единице в узле с номером
г, а в остальных узлах равен нулю, т.е. <pi(xi) = 1, zt = a + t/i,
и <Pi(xj) = 0} зфг.
Используем замену х = a + th (dx = hdt). Тогда узловым
значениям я, будут соответствовать значения U = i, г = 0, п,
а для коэффициентов Д в (10.39) с учетом (10.40) получим
*•
Ясно, что коэффициенты Б,*, i = 0, п, называемые
коэффициентами Котеса, являются рациональными числами, которые

474
10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
при фиксированном п можно привести к общему знаменателю
N и представить в виде Д = Zi/N, где Z,- € Z. В табл. 10.1
приведены значения N и Z{ для п = 1,10 (в силу симметрии
Таблица 10.1
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Zo
1
1
1
7
19
41
751
989
2857
16067
Zx
4
3
32
75
216
3577
5888
15741
106300
12
50
27
1323
-928
1080
-48525
Zs
272
2989
10496
19344
272400
Za
-4540
5778
-260550
z*
427368
N
2
6
8
90
288
840
17280
28350
89600
598752
Первая строка этой таблицы отвечает формуле (10.8)
трапеции, а две последующие строки — формулам (10.22) параболы
и Ньютона соответственно. Нетрудно проверить, что для
формул Ньютона — Котеса справедливо равенство
п
*=о
До п = 7 включительно все коэффициенты Котеса
положительны, так что условие (10.7) сохранения обусловленности задачи
вычисления интеграла (10.1) выполнено. Но при п > 8
некоторые коэффициенты становятся отрицательными, что приводит
к неравенству
п
t=0 1=0
и повышает абсолютное число обусловленности квадратурной
формулы, т.е. ухудшает обусловленность этой задачи. Так,

10.5. Приближение многочленами высших степеней 475
i//(b — a) «3,1, 8,3 и 560 при п= 10, 20 и 30 соответственно.
Вследствие ухудшения обусловленности формулы Ньютона —
Котеса при n ^ 10 практически не применяют.
Бели на концах отрезка [а, 6] помимо значений f(a) и
/(&) функции f(x) известны еще и значения /'(а) и f'(b) ее
производных, то на нем можно построить кубический
интерполяционный многочлен Эрмита
А = Ь-а, (10.42)
называемый также кубическим сплайном. Бели (10.42)
подставить вместо f(x) в (10.1), то получим квадратурную
формулу Эйлера
(10.43)
погрешность которой для функции /(ж), имеющей на
отрезке [а, 6] непрерывную четвертую производную, равна R =
=/i5/IV(f)/720, ( 6 (а, 6). Первое слагаемое в правой части
(10.43) отвечает формуле (10.8) трапеции, но учет значений
производных на концах отрезка повышает порядок точности
(10.43) по сравнению с (10.8) сразу на две единицы.
При равномерном разбиении отрезка [а, 6] на п частичных
отрезков длиной hn = (6 - а)/п и применении (10.43) на
каждом частичном отрезке значения производных во внутренних
узлах взаимно уничтожаются. В результате получаем формулу
трапеций (10.15), но с так называемой концевой поправкой:
«) dx « J = Ь. J2(fi-i+fi) + hi ^&, (Ю.44)

47610. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
где fi = f(xi), Xi = a + ihni /£ = /'(а) и /£ = /'(&)• Эта
формула имеет погрешность R = (Ь — a)/iJ/IV(£)/720 и соответствует
интерполяции функции f(x) на отрезке [а, 6]
фундаментальным кубическим сплайном.
Бели значения /'(а) и /'(6) не заданы, то их можно
найти численным дифференцированием, причем для сохранения
четвертого порядка точности квадратурной формулы
необходимо использовать формулы второго порядка точности [II]:
(ю.45)
Бели же производные в (10.44) заменить соответственно на
правую и левую конечные разности ff(a) « (f\ — fo)/hn и
f'(b) w (/n — fn-i)/hny имеющие лишь первый порядок точности,
то (10.44) будет иметь только третий порядок точности.
Интересно отметить, что при п = 2 замена в (10.44)
производных при помощи (10.45) приведет к формуле (10.22)
параболы, причем такая замена изменит выражение для погрешности
и, вообще говоря, сместит положение точки £ 6 (а, 6), для
которой следует взять значение /IV(£). Именно путем такой замены
шотландский математик и астроном Д. Грегори (1638-1675)
еще в 1668 г. вывел формулу параболы, вновь полученную
Т. Симпсоном лишь в 1743 г.
10.6. Квадратурная формула Гаусса
Рассмотренные выше квадратурные формулы построены
исходя из заранее принятого разбиения отрезка [а, 6], на котором
необходимо вычислить интеграл (10.1). При этом оказалось,
что вне зависимости от расположения на отрезке узлов
квадратурной формулы она является точной, если подынтегральной
функцией является любой многочлен, степень которого на
единицу меньше числа этих узлов. Но если есть возможность
выбора расположения на этом отрезке некоторого
фиксированного числа N узлов, то ее целесообразно использовать для

10.6. Квадратурная формула Гаусса 477
построения формулы, точной для многочленов возможно более
высокой степени. Формулу, удовлетворяющую такому условию,
называют квадратурной формулой Гаусса.
Путем замены переменного интегрирования х = (а + Ь)/2-\-
+ (b- a)t/2 интеграл (10.1) можно привести к интегралу на
отрезке [-1,1], записав квадратурную формулу в виде
-,]. (10.46)
Именно для этого отрезка находят расположение узлов t{ G
в [-1,1] и значения весовых коэффициентов а,-, при которых
она является точной для многочлена Pm(t) возможно более
высокой степени га, т.е.
/
(10.47)
Сразу отметим, что не существует набора коэффициентов
at, t = 1, N, обеспечивающих выполнение (10.47) для любого
многочлена степени т = 2N и выше. В самом деле,
рассмотрим многочлен
Pm(t) = (t-tl)2(t-t2)2...(t-tN)2
степени т = 2N, для которого узлы квадратурной формулы
являются нулями кратности 2. При подстановке этого
многочлена в (10.47) слева получим положительное число, а справа —
нуль.
В силу линейности определенного интеграла для
выполнения равенства в (10.47) необходимо и достаточно, чтобы оно

478 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
было верным для степенной функции tk, k = 0,m. Отсюда
получаем т +1 условие
'Л=
/
fe+i I
Эти условия образуют систему нелинейных уравнений
относительно 2N неизвестных значений U и а;, г = 1,7V. Однако
пока не ясно, существует ли решение этой системы для любого
N, и если существует, то все ли искомые значения являются
действительными числами и все ли значения U принадлежат
отрезку [—1,1].
В случае N = 1 имеем два уравнения (ц = 2 и a\t\ = 0, из
которых находим а\=2 и ti = 0, т.е. квадратурной формулой
Гаусса при N = 1 является формула (10.29) прямоугольника с
центральным узлом на отрезке [-1,1] длиной h = 2, точная
для линейной подынтегральной функции (т=1). При N = 2
из (10.48) следует система четырех уравнений
\ \ = -, а^ + a2^ = О,
«5
решением которой будут значения а\ = п2 = 1, ti = -l/\/3 и
fc2 = 1/л/З. Следовательно, квадратурная формула Гаусса с
двумя такими узлами (N = 2) точна для многочленов степени до
т = 2N -1 = 3 включительно, т.е. в этом смысле равноценна
формуле (10.22) Симпсона с тремя узлами.
Для произвольного N € N решение системы (10.48) можно
получить при помощи многочленов (полиномов) Лежандра
' п = 0,1,2,..., (10.49)
названных по имени французского математика А. Лежандра
(1752-1833). Из (10.49) следует, что P0(t) = I, Pl(t) = t. Далее

10.6. Квадратурная формула Гаусса
479
можно использовать рекуррентное соотношение
-(П-1)РП-2М.
(10.50)
nPn(t) = (2n-
Графики Pn(0 До п = 4 на
отрезке [—1,1] изображены
на рис. 10.2. Многочлен Рп(0
имеет на этом отрезке п
действительных простых нулей.
Многочлены Лежандра с
четным номером являются
четными функциями, а с
нечетным — нечетными. Поэтому
для любого нечетного п
всегда t(n-i)/2 = 0, а остальные
узлы расположены на отрезке
[-1,1] симметрично. Также
симметрично расположены узлы и в случае четных п.
Важнейшее свойство многочленов Лежандра состоит в том,
что
1 1
/ £ Рп(0 Л = / t dt = 0 Vfc < п. (10.51)
-i -i
Действительно, интегрированием по частям находим
1
= Г
' к [
_Г У
Так как многочлен (i2 - 1)п имеет в точках t = ±1 нули
кратности п, то все его производные до порядка п -1
включительно обращаются в этих точках в нуль. Поэтому равен нулю
первый член в правой части последнего равенства. Аналогично

480 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
последовательным интегрированием по частям получаем
—IF1—dt
1)dt (k
1*—dt--(k-
2
что убеждает в справедливости (10.51) при к < п.
Если в качестве узлов U £ [-1,1], t = 1,ЛГ, квадратурной
формулы (10.47) взять N нулей многочлена Рдг(£) Лежандра,
то можно найти такие значения о,*, г = 1, N} что эта формула
будет точна для любого многочлена степени до 2N — 1
включительно. Действительно, многочлен Pm(t) степени
можно представить в виде
где Qm_yv(O — частное от деления Pm(t) на Pjv(£), a R(t) —
остаток от этого деления, являющийся многочленом степени не
выше N - 1, причем R(t{) = Pm(tt), t = 1, N. Тогда получим
11 1
J Pm{t)dt = jQm-N(t)PN(t)dt + J
N
-l -l
*=1
поскольку в средней части равенства первый интеграл в силу
(10.51) обращается в нуль, а второй интеграл от многочлена
степени N - 1 можно точно выразить через N узловых
значений этого многочлена.
Для вычисления весовых коэффициентов а, в (10.47)
рассмотрим многочлены степени q = N - 1
Pq(t) = ^U = cf[(t- tj), С = const, / = 17Ж
l

20.6. Квадратурная формула Гаусса 481
Подставляя многочлен Pm(t) = P%(t) степени га = 2N — 2 в
(10.47), получаем
Отсюда находим
т.е. все весовые коэффициенты квадратурной формулы Гаусса
положительны, что ограничивает ее абсолютное число
обусловленности. Кроме того, весовые коэффициенты в симметрично
расположенных парах узлов одинаковы.
Бели функция }(х) в (10.46) не является многочленом
степени до 2N - 1 включительно, то квадратурная формула
Гаусса с N узлами дает погрешность Я#. Для функции
непрерывно дифференцируемой 27V раз на отрезке [а, 6],
((2Л0!)3(2ЛГ+1)
Коэффициент адг быстро убывает с ростом N: ai«4-10~2;
0L2 « 2 • 10""4; аз&Ь-10~7; а4 « 6 • 10"10, так что при
интегрировании функций, имеющих не слишком большие по
абсолютной величине производные достаточно высокого порядка,
формула Гаусса обеспечивает хорошую точность уже при
небольшом числе узлов. Бели в выражении для Rjv выделить
сомножитель 6 - а, равный длине отрезка интегрирования, и
ввести максимальный шаг h разбиения этого отрезка, то
порядок точности этой формулы будет равен 2N.

482 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Все весовые коэффициенты квадратурной формулы Гаусса
положительны, что не ухудшает обусловленность задачи
вычисления интеграла, сохраняя абсолютное число
обусловленности этой формулы равным длине отрезка интегрирования.
Некоторое неудобство применения формулы Гаусса связано лишь
с иррациональностью чисел t, и (в общем случае) а,-, что,
однако, не имеет принципиального значения при вычислениях на
ЭВМ.
Ни один из узлов квадратурной формулы Гаусса не
совпадает с концами отрезка [-1,1]. Поэтому она может быть
использована для вычисления интеграла от функции, определенной
лишь в интервале (-1,1). Русский математик А.А. Марков
(1856-1922) несколько изменил постановку задачи поиска
значений U и а, в (10.47), дополнительно потребовав, чтобы
один из N узлов совпадал с концом отрезка. Полученные
им квадратурные формулы точны для многочленов степени
^ 2N — 2. Точную для многочленов степени ^ 2N - 3
квадратурную формулу с N = п+1 узлами, два из которых
совпадают с концами отрезка интегрирования, построил голландский
математик Р. Лобатто (1797-1866). При N = 2 она идентична
формуле (10.8) трапеции, а при N = 3 — формуле (10.22)
параболы. Формула Лобатто при N = 4 на отрезке [-1,1] имеет
*i,4 = :Fli *2,з = Т1/5> <Ч,4 = 1/6, аг,4 = 5/6 и точна для
многочленов до пятой степени, тогда как квадратурная формула
Ньютона с равномерно расположенными четырьмя узлами
точна лишь для многочленов не выше третьей степени.
10.7. Практическая оценка погрешности
численного интегрирования
Полученные выше выражения для погрешности квадратур-
ных формул, имеющих fc-й порядок точности, содержат
значение производной /W(0 подынтегральной функции f(x) в
точке (, положение которой на отрезке интегрирования [а, 6],
вообще говоря, не известно. Оценка же абсолютной величины

10.7. Практическая оценка погрешности интегрирования 483
этой погрешности по наибольшей абсолютной величине
производной /(*)(х) может оказаться слишком грубой, да и
не всегда возможной из-за отсутствия информации о значении
М&. На практике используют ряд подходов, позволяющих, в
частности, строить вычислительные процедуры на ЭВМ с
автоматическим выбором рационального разбиения отрезка [а, 6].
Бели есть уверенность, что подынтегральная функция f(x)
имеет на отрезке интегрирования [а, 6] непрерывную
производную k-ro порядка, значение которой входит в
выражение для погрешности применяемой квадратурной формулы, то
главная часть погрешности этой формулы имеет порядок
малости к при стремлении максимального шага h разбиения
отрезка [а, 6] к нулю. Это позволяет для количественной
оценки возникающей погрешности применить метод Рунге,
приводящий в случае численного интегрирования к следующей
процедуре.
Пусть по применяемой квадратурной формуле fc-ro порядка
точности при равномерном разбиении отрезка [а, 6] с шагом h
вычислено значение J интеграла / (10.1). Тогда возникшую
погрешность можно представить в виде
I-J = Chk + o(hk)y (10.52)
где С ф 0 и не зависит от h. Напомним, что символ „о малое"
обозначает бесконечно малую функцию более высокого
порядка малости, чем ее аргумент (в данном случае hk) при /i -> 0
[1-10.1]. Бели теперь по той же квадратурной формуле
провести вычисление интеграла (10.1) с шагом h\ = Л/г, то получим
значение J\ и вместо (10.52) запишем
/ - Jx = C(h/r)k + o(hk). (10.53)
Вычитая (10.52) из (10.53), для главной части погрешности
значений J и J\ получаем соответственно
J-Ji
k _ J-Ji r(h/r\k _
1/г*-Г CW } ~1/г*-1г*~г*-1

484 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
и более точную формулу для вычисления значения искомого
интеграла
/ = Л + 4^ + о(Л*) = ^^ + о(Л*). (10.54)
гк — 1 г* — 1
Для формул трапеций и прямоугольников к = 2, а для формулы
парабол к = 4, так что при дроблении шага разбиения отрезка
а, 6] пополам (г = 2) из (10.54) находим соответственно
и Ik
При последующем дроблении шага разбиения поправка к
значению J\, вычисленному при меньшем шаге, должна
уменьшаться по абсолютной величине. Вычисления прекращают на
том этапе дробления шага, когда будет выполнено условие
\J\ - J\/(2k -1) < е, т.е. поправка станет меньше заданной
максимально допустимой погрешности € вычисления интеграла /.
Бели же, начиная с некоторого этапа дробления, поправка не
уменьшается или даже возрастает по абсолютной величине, то
это, как правило, означает, что заданная точность не
достижима из-за влияния вычислительной погрешности.
Метод Рунге можно применить не только для
количественной оценки главной части погрешности, но и для получения
более точных квадратурных формул. Например, на отрезке
[а, 6] для формулы трапеции имеем
Первый этап дробления шага пополам приведет к значению
-±»
еш
±,
а последующее уточнение за счет поправки даст формулу
Симпсона:

10.7. Практическая оценка погрешности интегрирования
485
Метод Рунге не применим, если подынтегральная функция
f(x) не имеет производной нужного порядка, непрерывной на
отрезке интегрирования [а, 6], так как это не позволяет
выделить главную часть погрешности квадратурной формулы. В
случае кусочно непрерывной и ограниченной на [а, 6]
производной /(*)(z) при известном наибольшем значении М* ее
абсолютной величины возможна лишь упомянутая выше грубая
оценка абсолютной величины погрешности. Бели функция }(х)
имеет на [а, Ь] ограниченную и кусочно непрерывную
производную порядка p<k, то это, как правило, снижает порядок
точности квадратурной формулы до значения р. Для этого
случая в табл. 10.2 приведены оценки абсолютной величины
погрешности некоторых квадратурных формул с использованием
наибольшего на [а, Ь] значения Мр абсолютной величины
соответствующей кусочно непрерывной производной. Стрелки в
таблице означают перенос оценки из столбца слева, т.е.
наличие у функции f(x) производной более высокого порядка, чем
fc, не улучшает оценку.
Таблица 10.2
Формула
трапеций

прямоугольников
парабол
Гаусса при
N=4, 6-а=2
р=1
Ь~аЛМ
о—а , -..
~4~ 1
0,276Afi
р = 2
IT*2"'
0,022М2
р = 3
0,0024М3
р = 4
180 4
0,0003М4
р=8
ю-8л/8
Из табл. 10.2 видно, что для функций, имеющих лишь
первую или вторую производную, лучшие результаты дает
формула (10.34) прямоугольников, а для функций, имеющих
производные высоких порядков, выгоднее применять квадратурную
формулу Гаусса.
В ситуации, когда отсутствует информация о производных
подынтегральной функции на отрезке интегрирования или же

486 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
производные не ограничены, можно формально предположить,
что существует главная часть погрешности применяемой
квадратурной формулы в виде /? = C7i9, где С и q не зависят от
шага h разбиения отрезка и постоянны для конкретной
задачи вычисления интеграла / (10.1). Бели выбрать три варианта
разбиения отрезка [а, 6] с шагами h\ = &, /12 = гЛ, Л3 = **2А и
вычислить соответствующие приближенные значения J\, J2,
J3 интеграла /, то можно составить систему трех уравнений:
J-J1=/3, J-J2 = 0rq, J-J3 = 0r2q, (10.55)
где J — искомое уточненное значение /. Исключая отсюда (3 и
г9, получаем
Второе слагаемое в правой части (10.56) является поправкой, в
которой числитель и знаменатель имеют одинаковый порядок
малости, что не приводит к заметной погрешности вычислений.
Поэтому, чтобы избежать потери точности, при вычислениях
не целесообразно приводить правую часть (10.56) к общему
знаменателю. Попарным вычитанием уравнений (10.55) можно
прийти к выражению для эффективного порядка точности
применяемой квадратурной формулы в виде
<">■">
Рассмотренный прием использования трех расчетов (в
отличие от двух расчетов в методе Рунге) предложен английским
математиком А. Эйткеном (1895-1967) для ускорения
сходимости итерационной последовательности, когда погрешность
убывает примерно со скоростью геометрической прогрессии.
Это отвечает в данном случае постоянной кратности г
дробления шага разбиения отрезка интегрирования на каждом этапе
вычислений.

10.7. Практическая оценка погрешности интегрирования 487
Пример 10.1. Определенный интеграл на отрезке [0,1]
от функции f(x) = у/х равен 2/3 « 0,6667. Бели для
вычисления этого интеграла использовать квадратурные формулы, то
применить полученные оценки погрешности не удастся из-за
того, что в точке х = 0 производная f'{x) = 1/(2\/ж)
подынтегральной функции не ограничена. По значениям /(0) =
= 0,0000, /(1/4) = 0,5000, /(1/2) = 0,7071, /(3/4) = 0,8660 и
/(1) = 1,0000, используя формулу (10.15) трапеций, вычислим
значения J\ = 0,6433, Ji = 0,6036, J$ = 0,5000
соответственно при шагах разбиения отрезка h\ = 1/4, h2 = 1/2, /13 = 1 и
по (10.56) найдем уточненное значение интеграла J = 0,6680,
отличающееся от точного менее чем на е = 0,0015.
В данном случае эффективный порядок точности формулы
трапеций, согласно (10.57), g«l,38<fc = 2, т.е. он меньше
установленного для дважды непрерывно дифференцируемой на
отрезке подынтегральной функции и не является натуральным
числом. Поэтому метод Рунге, строго говоря, не применим
и может дать непригодные результаты. В самом деле, при
уточнении методом Рунге получаем значения
у W = J2 + J-±zll = о)6381, JO = J, + J-1^1 = 0,6565,
5 о
эквивалентные вычисленным по формуле парабол с шагами /*2
и hi соответственно, а при уточнении, в свою очередь,
значения jM приходим к поправке (jW — j(2))/15 = 0,0012 < е,
согласно которой в качестве конечного результата с
погрешностью не выше е можно принять 0,6577. Но отличие этого
значения от точного составляет 0,0090 = бе.
Бели при шаге /i0 = 1/8 вычислить по формуле парабол
j(°) = 0,6631 и использовать его как третье значение наряду с
jM и J(2\ то, согласно (10.56), получим уточненное значение
интеграла 0,6668, а эффективный порядок точности формулы
парабол в соответствии с (10.57) составит q « 1,48 < к = 4.
Столь существенное отклонение эффективного порядка
точности от теоретического является следствием особенности в

488 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
поведении на отрезке интегрирования производной
подынтегральной функции и объясняет непригодность в данном случае
результатов уточнения методом Рунге.
Отметим, что в отсутствие особенностей это отклонение
обычно мало, оно вызвано вкладом в погрешность
квадратурной формулы не только главной части и исчезает при h -> 0.
Это обстоятельство позволяет контролировать правильность
программ численного интегрирования на ЭВМ, поскольку
большое отличие эффективного порядка точности от
теоретического при интегрировании функции, имеющей непрерывную
производную нужного порядка к, свидетельствует об ошибке
в программе.
10.8. Учет особенностей поведения
подынтегральной функции
Подынтегральная функция f(x) или ее производные на
отрезке [а, 6] интегрирования могут иметь промежутки резкого
изменения, точки разрыва или быть неограниченными
(последний случай для функции f(x) будет рассмотрен в 10.9). В
перечисленных случаях функция f(x) плохо представима
многочленом, так что использование обычных квадратурных
формул для вычисления интеграла от функции f(x) на отрезке
[а, 6] оказывается не эффективным.
Бели функция f(x) или ее производные имеют на [а, 6]
точки разрыва, то разбиение этого отрезка целесообразно
провести так, чтобы на частичных отрезках функция и ее
производные были непрерывны.
Пример 10.2. Функция f(x) = x\x\ и ее производная
непрерывны на отрезке [—1,2], но ее вторая производная при
х = 0 имеет точку разрыва первого рода. Бели разбиение
отрезка [-1,2] провести так, чтобы точка х = 0 была узлом
квадратурной формулы, то несложно проверить, что формула

10.8. Учет особенностей поведения подынтегральной функции 489
парабол (10.24) даст точный результат для интеграла
2 0 2
x\x\dx = - x2dx + x2dx = -
-l -l
уже при разбиении [-1,2] на два (п = 2) частичных отрезка
[-1,0] и [0,2]:
.1/2 + Д) =
e,. ;-l + 4(-l/4)+0) + 2(0 + 4-:
По формуле трапеций (10.13) при таком разбиении получим
а при разбиении отрезка [—1,2] точками х = -1/2, х = 0 и
~ 8 > 9 ~3"
На каждом из частичных отрезков подынтегральная функция
дважды непрерывно дифференцируема. Поэтому формула
трапеций сохраняет второй порядок точности, и по двум
проведенным по этой формуле расчетам можно получить методом Рунге
результат, соответствующий формуле парабол:
, </2-Л 21 , 1/21 7\7

490
10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Если же на отрезке [—1,2] сгущать равномерную сетку
последовательным делением шага hn разбиения пополам, то
точка х = 0 разрыва непрерывности второй производной
подынтегральной функции не будет узловой для квадратурных
формул. В этом случае сходимость результатов вычислений
оказывается более медленной (табл. 10.3).
Таблица 10.3
Квадратурная
формула
трапеций
парабол
Шаг разбиения
Лп = 3
4,5000
Лп=3/2
2,6250
2,0000
hn = 3/4
2,4375
2,3750
hn = 3/8
2,3555
2,3282
Лп->0
2,3333
2,3333
Нетрудно проверить, что использование этих результатов
для уточнения по методу Рунге не эффективно. #
В прикладных задачах возникает необходимость
вычисления интеграла от функции f(t) вида A(t)smwt или A(t)cosut,
которая описывает колебания с несущей частотой ш и
модулированной амплитудой A(t) (t — время). При больших
значениях w такая функция становится быстро осциллирующей,
причем период Г = 2п/и одной осцилляции может оказаться
очень малым по сравнению с отрезком интегрирования [а, 6].
Тогда при медленном изменении во времени амплитуды A(t)
интеграл от функции f(t) на отрезке [а, 6] будет суммой
большого числа пар величин, близких по абсолютной величине, но
противоположных по знаку (каждая пара величин
соответствует площадям криволинейных трапеций, ограниченных
соседними полуволнами). Бели использовать обычные квадратурные
формулы, то, чтобы избежать потери точности, необходимо
каждую из площадей вычислять с высокой точностью, т.е. в
пределах периода осцилляции брать достаточно много узлов,
выбирая шаг hn разбиения отрезка [а, 6] из условия uhn < 1
(много меньше 1). При Г< (6-о) это приведет к
значительному объему вычислений.

20.8. Учет особенностей поведения подынтегральной функции 491
Однако при сравнительно медленном за период Т
изменении функции A(t) можно выбрать более крупный шаг hn =
= (6 - a)/n > Т и на каждом из частичных отрезков [t;_b £,-]
j = ihn, i = 0, n) использовать линейное приближение
A(t) » Л,-.! + Л/
где Л, = a(ti). Тогда в случае (для определенности) f(t)
= A(t)s\nut получим
ь п и
о l=1t
■А
2 0 ' sin-~
.=l cj2fen 2
Л,
t_!/2 coswt,- H
где tt-«i/2 = *i-i 4- Лл/2. Известно [II], что погрешность
линейной интерполяции на отрезке [£t_i,£t] дважды
непрерывно дифференцируемой на нем функции A(t) не превышает
Мг/^/в, где Л/г — наибольшее значение |j4"(i)| на этом
отрезке. Тогда суммарная погрешность полученной квадратурной
формулы не превысит MJ(6-a)^/8 (здесь MJ —
наибольшее значение |Д"(£)| на отрезке [а, 6]). Нетрудно проверить,
что при u>hn -¥ 0 рассматриваемое соотношение переходит в
квадратурную формулу трапеций.
Аналогично можно построить квадратурные формулы при
квадратичной интерполяции функции 4(0 на частичном
отрезке [£,-i,tt] или при ее интерполяции на нем многочленом
более высокой степени. Их называют формулами Филона.
Прием представления подынтегральной функции /(я),
имеющей на отрезке [а, 6] интегрирования какие-либо
особенности, в виде произведения р(х)д(х) двух сомножителей
используют и в более общем случае. При этом стремятся подобрать
один из сомножителей (пусть для определенности р(х)) таким,

492 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
чтобы он имел те же особенности, что и функция /(ж), но
интеграл от функции хтр(х) (m€NU{0}) был берущимся.
Бели при этом второй сомножитель д(х) будет достаточное
число раз непрерывно дифференцируемым на [а, 6], то на
каждом частичном отрезке [z,-_i, г,*] его можно интерполировать
многочленом соответствующей степени и в итоге построить
квадратурную формулу с известным порядком точности. Так,
для дважды непрерывно дифференцируемой функции д(х) при
ее линейной интерполяции можно получить квадратурную
формулу второго порядка точности.
Описанный прием называют мультипликативным
выделением особенности в противоположность ее
аддитивному выделению, когда подынтегральную функцию f(x)
удается представить суммой <р(х) + ф(х), причем функция
(р(х) содержит ту же особенность, что и f(x), но интеграл от
нее является берущимся, а для вычисления интеграла от
функции ф{х) используют квадратурную формулу.
10.9. Приближенное вычисление
несобственных интегралов
Сначала рассмотрим особенности вычисления сходящегося
несобственного интеграла по неограниченному промежутку
(ясно, что процедура вычисления расходящегося интеграла
лишена смысла). Один из возможных путей состоит в такой
замене переменного интегрирования, которая приводит к
интегралу по конечному промежутку. Так, замена х = а/(1 -1)
позволяет промежуток [а, +оо) интегрирования функции f(x)
преобразовать к промежутку [0,1] интегрирования функции
которая в общем случае может иметь особенность в точке t = 1.

10.9. Приближенное вычисление несобственных интегралов 493
Второй путь состоит в использовании свойства
аддитивности сходящегося несобственного интеграла:
+ОО 6 +ОО
[ f(x)dx= I f{x)dx + f f(x)dx, 6e(a,+oo).
а а Ь
Число 6 можно выбрать так, чтобы второе слагаемое в правой
части этого равенства по абсолютной величине не
превосходило е/2, где е — заданная точность вычисления несобственного
интеграла по промежутку [а,+оо). Тогда первое слагаемое
достаточно вычислить с точностью е/2 по одной из
квадратурных формул. Число 6 можно уменьшить, если удастся
приближенно оценить второе слагаемое и использовать эту оценку
как поправку к результату, полученному при применении
квадратурной формулы к первому слагаемому.
Пример 10.3. Чтобы вычислить с точностью е = 10~2
интеграл / от функции 1/(1 +ж3) по неограниченному
промежутку [2, +оо], запишем
/./*./*+/* (10.58)
J 1 + а;3 J 1 + s3 J 1+а:3
0 2 6
Так как при 6 6 (2, +оо)
+оо
-foo +00
/dx f dx _ 1
то из условия 1/(262) = е/2 получаем b = 10. Тогда, согласно
(10.58), с точностью е/2
+00 10
dx f dx

494 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Применяя формулу парабол, при шаге 2 получаем 1\ и 0,1206, а
при шаге 1 — 1\ «0,1159. Поскольку эти значения отличаются
менее чем на г/2, с точностью е принимаем / « 0,12. #
Рассмотрим теперь сходящийся несобственный интеграл по
конечному отрезку [а, 6] от неограниченной функции f{x).
Бели на этом отрезке данная функция имеет конечное число
точек, в которых ее предел бесконечен, то разбиением [а, 6] на
частичные отрезки можно добиться, чтобы на любом
частичном отрезке [&,--i,z,] было не более одной такой точки и она
являлась бы одним из его концов. Пусть такой точкой является
г,*. Тогда в силу свойства аддитивности запишем
2,- Xi—8 Xi
f f(x)dx= j f(x)dx+ j f(x)dx, 8>0.
*«-l «1-1 Xi—$
При достаточно малом значении 6 вторым слагаемым в правой
части этого равенства можно пренебречь и в качестве
приближенного значения интеграла на отрезке [x,_i,x,] принять
вычисленное по одной из квадратурных формул значение
первого слагаемого. Бели второе слагаемое удается приближенно
оценить, то эту оценку целесообразно использовать как
поправку. Для вычисления интеграла на таком отрезке возможно или
мультипликативное, или аддитивное выделение особенностей,
а также применение одной из квадратурных формул Гаусса,
узлы которой не совпадают с тем концом отрезка, где
подынтегральная функция имеет бесконечный предел.
Пример 10.4. Вычислим интеграл / от функции cosx/y/x
на отрезке [0,1]. Эта функция имеет бесконечный предел при
х -+ +0. При достаточно малом значении S

10.9. Приближенное вычисление несобственных интегралов 495
Поэтому
/= [bt2V6+ /^
J y/x J y/x
О 6
где Is — приближенное значение интеграла на отрезке [5,1],
вычисленное по одной из квадратурных формул.
К данной подынтегральной функции применимо
мультипликативное выделение особенности, если положить со&х/у/х =
= р(х)д(х)у где р(х) = 1/у/х и д(х) = cosx. Тогда при
линейной интерполяции функции д(х) на отрезке [0,1] получим
д(х)ы 1 - (1 — cos\)x и
1
. f 1 - (1 -cosl)x . _ ^1
J y/x
-cosl
r «1,6935,
3
а при линейной интерполяции на двух частичных отрезках —
1/2
,1-2(1-003(1/2))*^
J y/i
О
1
/•cos(l/2)-2(cos(l/2)-cosl)(x-l/2) ,
J Vх
1/2
При квадратичной интерполяции на отрезке [0,1] имеем
и приближенное значение интеграла
1
/и / 2}-' dxzz 1,8081.
J Vх
о

496 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Ясно, что этот результат можно уточнить, если использовать
квадратичную интерполяцию функции д(х) = cos 2 на двух
частичных отрезках [0,1/2] и [1/2,1] и т.д.
Используем теперь аддитивное выделение особенности,
записав
/COS*7(*U№ (10.59)
7U+№
y/x J у/х
О О
Функцию <р(х) целесообразно выбрать так, чтобы в первом
интеграле в правой части (10.59) подынтегральная функция
и ее производные не имели особенностей, а второй интеграл
был бы берущимся. Тогда первый интеграл можно будет
вычислить с необходимой точностью по одной из квадратурных
формул. Например, формула трапеций обеспечит второй
порядок точности, если подынтегральная функция будет дважды
непрерывно дифференцируемой на отрезке [0,1]. Для
этого достаточно взять в качестве <р(х) представление cosx в
окрестности точки х = 0 многочленом Тейлора второй
степени, т.е.
\
lx=0
х2 х2
1
| х х
(cosx)' x + (cosx)" -тг = 1 —тт-
0 l0 I I
x + (cosx) тг 1 тт
Несложно проверить, что функция h(x) = (cosx — \ + х2/2)1у/х,
будучи доопределенной в точке х = 0 значением h(0) = 0,
действительно дважды непрерывно дифференцируема на отрезке
[0,1].
Использование формулы трапеций на отрезке [0,1] и на
двух частичных отрезках [0,1/2] и [1/2,1] дает
приближенные значения первого интеграла в правой части (10.59) 0,0202
и 0,0110 соответственно.
Второй интеграл в правой части (10.59) является
берущимся:
J
ь= ) /^ = 2 4 = ^000.
y/x J y/x J 2 5
0

10.10. Особенности вычисления неопределенных интегралов 497
*
Таким образом, приближенное значение исходного интеграла
не превышает 1,8202.
Выбор <р(х) = 1 - х2/2 + &4/24 обеспечит функции h(x) =
= (cos ж — 14- х2/2 — а:4/24)/у/ж, доопределенной в точке х = 0
значением Л(0) = 0, непрерывность на отрезке [0,1]
четвертой производной. Это позволит для вычисления первого
интеграла в правой части (10.59) использовать формулу парабол
четвертого порядка точности. При шаге 1/2 получим
примерно -0,00024, а при шаге 1/4 вклад первого интеграла по
абсолютной величине не превысит 2 • 10~4. Поэтому с
такой точностью в качестве приближенного значения интеграла
/ можно взять значение второго интеграла в правой части
(10.59):
= 2 1 1 й
5 9 12
10.10. Особенности вычисления
неопределенных интегралов
Пусть функция f(x) определена и ограничена в
некотором промежутке I ив этом промежутке необходимо
численным интегрированием найти приближенные значения F(g,) ее
первообразной F(x) на конечном множестве точек Х{ € Х>
i = 1, п. В этом случае можно говорить о приближенном
вычислении значений F(a?t) + С неопределенного интеграла (С —
произвольная постоянная).
Значения неопределенного интеграла вычисляют по тем же
квадратурным формулам, что и значения определенного
интеграла. При этом нижнему пределу придают некоторое
фиксированное значение xq € X, которому отвечает нулевое значение
первообразной F(x), т.е. F(x0) = 0, и находят числовое
значение этой первообразной, соответствующее каждому значению

498 10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Х{ (% = 1,п) верхнего предела. Точки Х{ целесообразно
перенумеровать так, чтобы значения Х{ возрастали, и вести
численное интегрирование последовательно на частичных
отрезках [zt*-i,x,'], приняв xo^xi, т.е. использовать свойство
аддитивности определенного интеграла в виде
J
f(x)dx, t=M. (10.60)
Следует иметь в виду, что в этом случае будут накапливаться
ошибки округления, связанные с представлением чисел в ЭВМ
ограниченным количеством разрядов. Кроме того,
погрешность вычисления каждого из значений F(xi) будет зависеть
от положения точки х,- на отрезке [х<>, хп].
Распространенным на практике является случай, когда
значения подынтегральной функции f(x) заданы таблицей на том
же множестве точек х,- € A" (i = l,n). В этом случае для
вычисления интеграла в (10.60) непосредственно можно
использовать лишь формулу трапеции, которая может и не обеспечить
необходимой точности вычислений, поскольку использует лишь
линейное представление функции f(x) на отрезке [x,_i,x,].
Точность представления f(x) на каждом частичном отрезке
можно повысить при помощи интерполяционного многочлена
более высокой степени, использующего значения функции f(x)
за пределами этого отрезка. При этом целесообразно привлечь
табличные значения функции f(x) в ближайших к
рассматриваемому частичному отрезку узлах, взяв (по возможности)
одинаковое число узлов с каждой стороны отрезка. Однако
для частичных отрезков вблизи концов промежутка X такой
возможности нет, поэтому следует использовать
интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед или
назад.
Поскольку для первообразной F(x) функции f(x)
справедливо соотношение Ff(x) = /(х), которое можно рассматривать

Вопросы и задачи 499
как обыкновенное дифференциальное уравнение первого
порядка, то нахождение первообразной равносильно решению этого
уравнения. Поэтому для приближенного вычисления значений
первообразной можно использовать численные методы решения
такого уравнения [VIII].
Вопросы и задачи
10.1. Вычислить по формулам трапеций, парабол и
прямоугольников интеграл / от функции 1/(1 +я2) на отрезке [0,1]
(точное значение / = тг/4), разбив отрезок интегрирования на
пять равных частей. Использовать формулу Гаусса при N = 5.
Провести сравнение результатов и оценить погрешность
вычислений.
10.2. Вычислить с точностью 10~4 по формулам трапеций,
парабол и прямоугольников несобственный интеграл от
функции In sin х на отрезке [0, тт], используя равенство In sin я =
10.3. Вычислить с точностью 10~4 несобственный
интеграл от функции 1/v^l - хА на отрезке [—1,1], используя
линейную интерполяцию функции 1/у/1-\-х2 на частичных
отрезках.
10.4. Вычислить с точностью 10~4 несобственные
интегралы от функций \1(у/х(\+х)) и 1па?/(1 - х2) на отрезке [0,1].

ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ*
Интегралы от алгебраических функций
-.L-.
kin-k
4. /am(a* + &)p*?=-^j- f(t-b)mtpdt, t = ax + b (см.
интеграл 3).
5 /
J
xm(ax4-b)n ^m+n-i i^ m—Jk—1
*B формулах для краткости опущена постоянная интегрирования.
Параметры тип принимают натуральные значения (m, n € N), остальные
параметры принимают действительные значения (исключая те значения,
при которых выражения в формулах не определены). В некоторых случаях
область изменения параметров специально оговорена.
**Если р € [—п — 1, —1] — целое, то в формуле слагаемое для А: = —р — 1
следует заменить на ,., * .Х1 акЬп~к\п\х\.
fc!(n—к)\

Интегралы от алгебраических функций
501
f
J
f(az + b)dx ax bc-ad .
в. / - Г1~-— + 5—ln \
J cx + d с с2
■!
dx
■It,
•fr*
J \
■Ir,
+ b)(cx
xdx
1 \cx + d\ . , .
ml —r\} Ьсфай;
be —ad I ax
1
k~c(as + 6)'
be = ad.
b-d
xdx
(6 - d)(a:-hd) (6 -
In
+ 6
ж2 da;
(d-b)(x
(d?-2bd)\n\x
(d-
11.
xdx
b+d
x+b
ln
12
■h
x2dx
-\ ( b2 d2 2bd
= (b-dyXxTb^T+d^T^d1*
x + d\)'
13.
14.
15.
16.
dx
1
bx
dx
2a6 I
x
2\n 2 / ^я2 + ^л1
2n-l
2no2
:2, m € Z.
dx
17. /J
J a
x2dx
2г = a;-aarctg-.
2 + ж2 а

502
Приложение. Таблица неопределенных интегралов
18
19.
f x2dx
• / 2_ 2=~:
x2dx
20.
а2 ± х2)"*1
dx
а
?+2
a + x
a-x
2пУ (a
1 1 х
—г arctg-.
а3 а
а2х
21
22
•л.
•/я
dx
(а2 + х2)2
dx
1
_3_
2а5
о
In
t
2d x\
—arctg— ).
ас а/
a — x
1
4а5
а —ж
25./
dx
2(а2с2-
|a2-x2| ac
d I a+x
l
26./
ax2+6x+c
2 2ах + Ь
arctg
\^4ас — b2 ° y/Aac—b2
1
vP —4ас
2
In
4ac > 62;
, 4ac<62;
27.
dx
2ax + b
(ax2 + 6x + c)n+1 n(4ac - 62) (ax2 + 6x + c)n
-h
2(2n-l)a Г
n(4oc-62)7
dx
28./
xdx
ax2 + bx
-
(ax2 + 6x + c)n
dx

Интегралы от алгебраических функции 503
, xdx 6x + 2c
(ax2 + bx + c)n+1 n(4oc - 62) (ax2 + bx + c)n
dx
(2n - 1)6 Г
n(4ac - б2) У
(ax2 + 6x + с)п'
xmdx _ xm~*
(ax2 + 6x + c)n~~(2n-m-l)a(ax2 + 6x + c)n~l
(m-l)c Г хм'2 dx
In — m — l)aj
(21
хт"^х
(n - m)b Г
~ (2n-m-l)o7
31
(ax2 + 6x + c)n aj (ax2 + 6x + с)""1
с f x2n""3 dx 6 f
a / (ax *4" ox *4* c)** a /
32 - " • J Ь Г dx
/" rfg _ 1 |n x b f
' J x(ax3 + bx + c) 2c ax2 + bx + c 2c J
33. / dx
x(ax2 + 6x -h c)n+1 2nc(ax2 -f 6x + c)n
dx 1 f dx
b Г dx 1 f
~2cJ (ax2 + 6x + c)n+1 + c7
34./
x(ax2-h6x-|-c)n'
1
xm(ax2 + 6x + c)n (m- l)cxm-1(ax2 + 6x + c)n~1
n ■+• wi — 3) a /" dx
(m-l)c У xm~2(ax2 + 6x + c)n
[n + m-2)6 /* dx
(m-l)c У xm-1(ax2 + 6x + c)n*

504
Приложение. Таблица неопределенных интегралов
dx
(а±ж)2
а3±ж3 6а2
xdx
ба
1
arctg
arctg
38
39
жта<*ж
40
41
У x(a
■I
■l
'/(a
3 ± ж3) За3
,m-2
m-2
7
.m—«
a?±x3
, m>2.
dx
xm(a3±x3)
_ 1 1 Г dx
~~ (m-l)a3xm~l a3 J xm-3(a3±x3)'
xmdx
.m+l
3 ± ж3)я
ж3)я 3(n -
a3(a3
+ 4-3n
3(n-l)o3
^T> m^z-
42.
43.
44.
dx
In
* 16a3 x2 - 2ax + 2oJ ^ 8o3
xdx 1 ж2
4 4o2 2a2
+ ^15 arctS
2аж
4a4 -f ж
1_ ж2 -f 2аж + 2а2 J_ 2ож
~"8 22 + 22 + 4^ 82а2-ж2
ж
ж
ж
а

Интегралы от алгебраических функции
505
47.
xdx
,_ Г x2dx 1 .
48. / -: i = ^-ln
J о4 —ж4 4а
a? — x2
а + х\ 1 х
-—arctg-.
а — х I 2а а
?dx 1
«. f dx l .
50. I . . —77 = ——? In
у х(а*±х*) 4о4
a*±x*
-3
"з
m~A
, m>3.
' У xm(a4 ± x4) (m - 1) a4»"1"1 a4
f xmdx a?TO+1
У (а4±ж4)л " 4(n- 1)а4(а4±х4)л-1 "
ia:4)'
m + 5-4n Г
" 4(n - l)a4 У
54./
6s
ax
55. [хшу/(ах+Ь)Ых = —тг [{t-b)mte
у am+1 у
теграл 3).
. ИН-
вв.
dx
xy/ax
у/ах+Ъ—
+ b+Vb
>/ах
, 6>0;
6<0.

506 Приложение. Таблица неопределенных интегралов
67./
dx
У
dx
■I
2п-1
2п-3
dx.
+ b)n
Xm+l
dx = —
mbxm
(2m-n-2)q [ \Дох
2mb
n
60. A
, m,n€Z.
61
+ Ьх +
-^=ln|2ax-f 6 + 2^c
-1 . 2ax + 6
arcsm
—a
, a>0,
a > 0, 62 = 4ac;
а < 0t 62 > 4ac.
62. /
—
4a
4ac - b2
8a J y/ax2 + bx + с

Интегралы от алгебраических функций
507
63.
64.
dx
2{2ax + 6)
у/{ах2 + bx + с)3 (4ас - б2) >/ах2 + Ьх + с
dx 2(2ах+6)
(2n-1) (4OC-62) ^/(
8(n-l)a /* ax
-ft2) У
вб./
(2п-1){4ас-Р) J у/(ах2+Ьх+с)2п-1
л.*П — 1
(2m-2n-hl)6
2(тп-2п + 2)а
,m—1
+ bx +
(m-l)c
,ш—
+ 6x +
ее. \ I \п
с)2»-1
2n—3
(2п-3)ач/(а«2+Ы-с)2п-
1
■f -
+ 6х + c)2n"3
вг7
dx
xy/ax2 + 6x -h с
6x + 2c 4- 2 у^
sgn(6x
In
X
X
6x + 2c
1
arcein
\x\y/b2-4ac
с > 0, Ь2ф 4ас;
с > 0, б2 = 4ас;
с < 0, б2 > 4ас,
2y/ax2 + bx
bx
= 0.

508 Приложение. Таблица неопределенных интегралов
68. " dX 1
(2л - 1) су/{ах2 4- Ьх + с)2»"1
1 /* dx Ь_ Г dx
cj xJ(ax2 + bx + c)2n-1 ~ 2с У ^/f^x5
69.
+ 6х + с)2»*1
1
-1 mcxm ^/(ox2+6х+с)2п"3
(2m+2n-3)6
7
2mc J xmy/(ax2+bx+c)2n-1
(?n-|-2n-3)a /* dx
J x"»-1
70./-
me J xm~l y/(ax2 + 6x + c)2""1
rfx 2
(2m+2n-3)&xmv/(ax2+6x)2n-3
2n-3)b
71. / V(
ax2 + bx + c)2^1 rfx =
(2n-}-1) (4oc - 62)
72.
m
l)6 /• m-1
a У *
(m-l)c
J
_o / v/(a« + bx 4- c)
J
aa:
x In -1
- / y/(ax2 + bx + c)2n-3dx + c I
4-- / y/(ax2 + bx + c)2n-3dx + c I -Z-± dx.

Интегралы от алгебраических функции
509
■/
у/(ах2 4- Ьх + с)*»-* & = у/(аз:2 + Ьх + с)2"*1
75
■/
j
(2n-2m+l)6
+ Ьх
2mc J xm
(2n — m+ I) a
тс
I
.т+1
a)2"-1 Jtm _ 2y/(ax2 -f 6ж)2п-И
" (2n - 2m -
2(m-2w)a f уДах2
(2п-2т-1)бУ
.т
rfx.
777
rfx 2sgnx a
—. = arccos -^^.
xyxn — a2 wa ^/xn
78. / / = -arcsin\i ( - | .
fl3 _ «3 з
. fxm(axn
npb
m-fnp+1 m+np+l
[xm(axn+b)p-1dx =
т
(m-f 1)6
np+l)a
+ np-fl)
^/.—(«•+»)>*.

510
Приложение. Таблица неопределенных интегралов
Интегралы от трансцендентных функций
81
82
83
. f Pn(x)
./
./
eqxdx =
*=0
1
+ b b bq
xe4Xdx
e""
84. / \ =
1
In
b -
85./
dx
1
In
, ab < 0.
• *>0;
2 A у/аея* + 6 . л
arctg t==—, 6 < 0.
86. /x5
In ж dx =
.«+1
(*
Г ln*+1
dx =
«+1 J
kln|lna?|,
s=—l

Интегралы от трансцендентных функции
511
88.
89. [xm\nnxdx = ?^—\ппх — Ixm\nn~lxdx =
J m+1 m+iy
fn + l)!lnw-fc«
eo7
-A;)!(m +
(m+1)
ax-f-6
(m-t+l)e*
v
x^
m
k=0
_1\т+1л2т
2m
93. fx2m\n\x2-a2\dx =
a2m
2m
2l
"~ c* I
m
2m+l +
a2m-»-l / . m
2m + l
)
94. fx2m-1\n\x2-a2\dx =
X2m _
2m
k=l

512
Приложение. Таблица неопределенных интегралов
95.
\nxdx
y/ax+b
' \nx-2
2
a
y/ax+b+y/b
y/ax+b—
—b
6>0;
6<0.
f
J
\nxdx
1
ln(l/s)
(ax+b)' " (e-l)a
s) f dx \
»-1 У *(a*+6)*-V"
= ^—- In(
S+l V
1 Г
- -^- /
8+1J
y/xT±cfl
f .
98. / sin ps cos qx dx =
У
f .
. / si
У
/* .
.1 si
У
f
У
/ . .
99.1 sin ps sin ox as =
У ¥
2(p + q)
100. / cospx cosgxdx =
У
101
rsinm
V cos11
x
x
sin
™*1
(n-l)cos
x m-n-f2 /* sinmx _
П-1Х П—1 У COSn~2X
sinw"! x
m-1 Г sinw-2
m — n У cosn x
(m - n) cos11"1 x m
p m-1 f sinm"2 x _
1"1Ж П- 1 У COSn~2X
sin111"1»
(n- l)cosn'
sinm+1 x
m — n
l)cos
sinm+1 x
n"1
(m-n)cosn+1x
m — nj cosr
sin"1"»-2 x
cosnx
m M
cosn+2 x
, 971, Tl € Z.
P-l

Интегралы от трансцендентных функции
513
103
104
1, 1+COSX
--In- .
2 1 — cosx
x\i lf 1+sinx
f dx
J sinx
■/
/sinx _ sinx 1 f cosx __
dx
sinx
dx
cosx
sinx
x
cosx
xm
cosx
771 € Z.
COSX
(m -
1 f sinx _
~1 m-l J xm~l
sinx
sinx
2 :arctg-6+atg(x/2)
sgna
In
b->/b*-a?+utz(x/2)
a2>62;
f a2<62.
sinx
109. /
a+bcosx
1
:1П
(6-o)tg(*/2)-Vb^
110
/t
dx
-hcosx
x
2"
111.
-cosx
x
= -ctg-.
&2
112.
dx
1
acosx + 6sinx
In

514
Приложение. Таблица неопределенных интегралов
113.
dx
a2 + 62sin2x ay/a2 + b2
1 ^ y/a2 + b2tgx
arctg —
a
ЛЛА f dX
114m 2 1Л '2 ~
J a* — o2sin*x
y/a2-b2tgx 22
arctg :——, a*>bz\
a
1
In
115.
dx
1
2-a2tgx-a
atgx
, a2<62.
a2 + 62cos2 x ay/a2 + b2 y/a2 + b2
116.
dx
a2 — 62cos2x
1 . atgx
: arctg
1
[2ay/b*-a2
In
atga: -
atgs+\/62-a2
117
/dx _ 1 6tgx
x + 62sin2x a6
1 , \bigx
^^ "^^~* In I
2b
2cos2x-62sin2x 2ab l6tgx-ai
ax 4-bin la cos x
+ btgx
asin6x-6cos6x
. dx _ ax-61n|asinx + 6cosx|
a-f 6ctgx "" a
121.
122./ earcos6xdx =
123./eaa;sinn6xafx =
acosbx + bsmbx
■•/
asin6x-n6cos6x
a2 + n262
n(n -
a2 + n262
a2>62;
a2<62.
feaxs\nn-2
bxdx.

Интегралы от трансцендентных функции 515
+ ~л f ax til л a cos 6ar+ n& sin 6s ax n_lt ,
124. / eax cosn bx dx = = ^ eax cosn l bx -f
J a2 + n2b2
sinbx)
i (-l)k+lm\xm~k+l
i!(a2+62)*/2
6
Uo&(bx + kt)]
I sin(6x + kt) J
sint = —
у/a2 -f 62'
126. / xparcsin — dx = -arcsin —
J a p+1 a
/ p^>i n г
xp arctg — dx— arctg /
a p+1 a p+lj

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
Учебники и учебные пособия
Амосов А. А., Дубинский Ю.А., Копчено в а Н.В. Вычислительные
методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.
Бахвалов Н.С., Жидков И.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.:
Наука, 1987. 600 с.
Бугров Я.С, Никольский СМ. Высшая математика:
Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1984. 432 с.
Зорин В.А. Математический анализ: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1981. 544 с;
Т. 2. М.: Наука, 1984. 640 с.
Ильин В.А., Познлк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 т. Т. 1.
М.: Наука, 1982. 616 с; Т. 2. М.: Наука, 1980. 448 с.
Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ:
Начальный курс / Под ред. А.Н. Тихонова. М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 с.
Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ:
Продолжение курса / Под ред. А.Н. Тихонова. М.: Изд-во МГУ, 1987. 358 с.
Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.
Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ. М.:
Наука, 1984. 448 с.
Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные
методы: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1976. 304 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т. М.: Высш. шк.,
1988. Т. 1. 712 с; Т. 2. 576 с; Т. 3. 352 с.
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления:
Пер. с нем. и англ: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1967. 704 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т.
Т. 1. М.: Наука, 1985. 432 с.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.
Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. 320 с.
Уваров В.Б. Математический анализ. М.: Высш. шк., 1984. 288 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления: В 3 т. Т. 2. М.: Наука, 1969. 800 с.

517
Фролов СВ., Шостак Р.Я. Курс высшей математики: В 2 т. Т. 1. М.:
Высш. шк., 1973. 480 с.
Хинчин А.Я. Краткий курс математического анализа. М.: Гостехтео-
ретиздат, 1953. 624 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ: Функции одного переменного:
В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1969. 528 с.
Справочные издания
Александрова Н.В. Математические термины: Справочник. М.: Высш.
шк., 1978. 190 с.
Бронштейн И.И., Семендлев К.А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.
Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь
высшей школы / Под ред. Ю. С. Богданова. Минск: Вышэйш. шк., 1984.
528 с.
Герасимович А.И., Рысюк Н.А. Математический анализ: Справочное
пособие для студентов втузов и инженеров: В 2 т. Т. 1. Минск: Вышэйш.
шк., 1989. 288 с.
Градштейн И.С, Рыжик ИМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.
Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы:
Пер. с англ. М.: Наука, 1964. 228 с.
Дороговцев А.Я. Математический анализ: Справочное пособие для
преподавателей математики, инженерно-технических работников и
студентов. Киев: Выща шк., 1985. 528 с.
Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров.
М.: Сов. энцикл., 1988. 848 с.
Прудников А. П., Брычков Ю.А., Марине в О.И. Интегралы и ряды.
Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. 800 с.
Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и
математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган: Пер.
с англ. М.: Наука, 1979. 832 с.
Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей
математики / Л.И. Бородич, А.И. Герасимович, Н.П. Кеда, И.Н. Мелешко.
Минск: Вышэйш. шк., 1986. 190 с.
Форсайт Док., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы
математических вычислений: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 280 с.
Шуп Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике: Пер. с
англ. М.: Высш. шк., 1990. 256 с.

518 Список рекомендуемой литературы
Задачники
Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и
упражнения по математическому анализу / Под общ. ред. В.А. Садовничего. М.:
Изд-во МГУ, 1988. 416 с.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах: В 2 т. Т. 1. М.: Высш. шк., 1986. 304 с.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнении по математическому
анализу. М.: Наука, 1977. 528 с.
ДороговцевА.Я. Математический анализ: Сборник задач. Киев: Выща
шк., 1987. 408 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под
ред. Б.П. Демидовыми. М.: Наука, 1970. 472 с.
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков:
Изд-во Харьк. ун-та, 1971. 500 с.
Копченова И.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах
и задачах. М.: Наука, 1972. 368 с.
Марон И.А, Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах
и задачах: Функции одной переменной. М.: Наука, 1970. 400 с.
Математический анализ в вопросах и задачах / Под ред. В.Ф. Буту-
зова. М.: Высш. шк., 1984. 200 с.
Михайленко В.М., Антонюк Р.А. Сборник прикладных задач по
высшей математике. Киев: Выща шк., 1990. 168 с.
Садовничий В.А.+ Григорьлн А.А., Конлгин СВ. Задачи студенческих
математических олимпиад. М.: Изд-во МГУ, 1987. 311 с.
Садовничий В.А., Подколзин А.С. Задачи студенческих олимпиад по
математике. М.: Наука, 1978. 208 с.
Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы
математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича:
В 3 т. Т. 1. М.: Наука, 1981. 484 с.
Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды / Под
ред. Л.Д. Кудрявцева. М.: Наука, 1986. 528 с.
Сборник задач по методам вычислений / Под ред. П.И. Монастырного.
М.: Физматлит, 1994. 320 с.

предметный указатель
Аддитивность интеграла Ньютона
186
- определенного 234
- площади 47
Алгоритм Евклида II
Ареакосинус 397
Ареакотангенс 398
Ареасинус 397
Ареатангенс 398
Арктангенс 1-129
Астроида 398
Базис ортонормированный III
Бета-функция 365
Бином 1-86, 93
- дифференциальный 125
- Ньютона 1-86
Вектор-функция II
Вершина гиперболы III
Веса квадратурной формулы 456
Выделение особенности аддитивное
492
-- мультипликативное 492
Выражение иррациональное 99
- подынтегральное 16
- рациональное 99
Гамма-функция 366
Гипербола III
Годограф П
Грань точная верхняя 1-88
- - нижняя 1-89
Делитель многочленов общий
наибольший II
Диаметр разбиения 211
Дифференциал биномиальный 125
- длины дуги кривой II, 577
- иррациональный 125
- рациональный 125
Дифференцирование численное II
Длина кривой П
Дробь рациональная 1-133, 54
- неправильная 1-133, 55
-- правильная 1-133, 55
- - простейшая 56
Единица мнимая 1-149
Знак интеграла 16
Значение главное несобственного
интеграла 330, 332
- среднее функции на отрезке 188,
242
Измельчение разбиения отрезка
219
Инвариантность интеграла
неопределенного 23
Интеграл абелев 136
- гиперэллиптический 137
- Дарбу верхний 221
- нижний 221
- Дирихле 358
- зависящий от параметра 336
- неберущийся 54

520
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Интеграл неопределенный 16
- несобственный 275
- второго рода 297
- зависящий от параметра 348,
349
сходящийся 348» 350
равномерно 348, 350
- от неограниченной функции 297
- первого рода 275
- - по бесконечному промежутку
275 .
- - расходящийся 275, 297
-- сходящийся 275, 297
абсолютно 307, 310
условно 307, 310
- Ньютона 181
- с переменным верхним
пределом 194
нижним пределом 195
- определенный 215
- - зависящий от параметра 336
- Ньютона 181
-- с переменным верхним
пределом 245
нижним пределом 245
- повторный 345
- псевдоэллиптический 137
- Пуассона 370
- Римана214
- табличный 25
- Эйлера — Пуассона 370
- эйлеров второго рода 364
- первого рода 364
- эллиптический 137
- второго рода 144
полный 450
- в форме Лежандра второго
рода 144
первого рода 144
Интеграл эллиптический в форме
Лежандра третьего рода 144
- первого рода 144
- третьего рода 144
Интегралы Френеля 175
Интегрирование 19
- заменой переменного 30
- подведением под знак
дифференциала 24
- подстановкой 29
- по параметру 345
- частям 38
- численное 455
Интерполирование II, 456
- вперед (назад) II
Интерполяция квадратичная
(трехточечная) II
- линейная (двухточечная) П
Кардиоида II, 415
Касательная (к кривой) II
Колебание функции 217
Комбинация линейная векторов III
Контур замкнутый П, 375
Косинус интегральный 175
Коэффициенты весовые 456
- Котеса473
Кратность нуля 1-159
Кривая II
- алгебраическая на плоскости III
- Виви&ни II, 418
- гладкая II, 575
- замкнутая II, 375
- кусочно гладкая II, 375
- непрерывная U
- плоская П, 577
- спрямляемая II, 375
- уникурсальная 137
Кривизна плоской кривой II

521
Критерий Дарбу 223
- Коши равномерной сходимости
несобственного интеграла 352
- существования конечного
предела функции 1-270
- сходимости несобственного
интеграла 311
- Римана225
- существования определенного
интеграла 225
Линейность интеграла
неопределенного 21
- Ньютона 186
-- определенного 236
Логарифм интегральный 175
Локон Аньеэи 1-125, 281
Матрица СЛАУ III
Метод неопределенных
коэффициентов 69
- Остроградского 82
- разложения 22
- Рунге II, +88
Многочлен интерполяционный II
- Лагранжа П, ±18
-- Ньютона II
-- Эрмита кубический II, 475
Многочлены Лежандра 478
Множество замкнутое 1-186
- компактное 1-189
- линейно связное V
- ограниченное 1-183
-- сверху 1-87
- снизу 1-88
Множитель сходимости 358
Модуль интеграла эллиптического
141
Момент инерции геометрический
426
- относительно оси 423
плоскости 424
- статический 427
- геометрический 430
Монотонность площади 46
Направляющая поверхности
цилиндрической III
Нуль многочлена 1-159
Образующая поверхности
цилиндрической Ш
Обусловленность II
Объем тела 401
Определитель матрицы Ш
Основание трапеции криволинейной
47
Ось полярная III
Отрезок разбиения частичный 211
Парабола III, 7-107
Параметр 1-115, 836
- кривой И, 875
- натуральный П, 882
Первообразная 14
Переменное интегрирования 16
Площадь фигуры плоской 384
Поверхность вращения III
- коническая III
- цилиндрическая III
Погрешность квадратурной
формулы 456
Подстановка Абеля 118
Подстановки Эйлера 104
Полиномы Лежандра XII, 478
Полуось эллипсоида III, 406
Полюс III

522
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Порядок малости 1-358
- точности квадратурной формулы
457
Последовательность итерационная
1-100
Постоянная интегрирования 16
Правило Бернулли — Лопиталя II
- дифференцирования сложной
функции II
Предел интегрирования верхний
181, 215
- нижний 181, 215
- сумм интегральных 212
Пределы интегрирования 181, 215
Представление кривой векторное II
- координатное II
Признак Абеля 316
- Вейерштрасса 353
-- сходимости ограниченной
монотонной последовательности
1-231
- Дирихле 314
Продолжение функции 1-73
Произведение векторов скалярное
III
Производная частная V
Псевдосфера П, 415
Радикал 99
Радиус-вектор II, Ш
Радиус кривизны плоской кривой II
Разбиение отрезка 211
Разложение вектора в базисе Ш
Разность конечная левая II
-- правая П
Сектор криволинейный 392
Секущая П
Сечение коническое III, 445
Синус интегральный 175
Система координат декартова
прямоугольная Ш, /-77
- полярная Ш
- линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) Ш
Спираль архимедова 394
Сплайн кубический U, 4^5
- фундаментальный П
Способ задания функции
табличный 1-116
Сумма Дарбу верхняя 217
- нижняя 217
- интегральная 212
- квадратурная 457
Сходимость несобственного
интеграла 275, 297
абсолютная 307, 310
условная 308,310
Тело 400
- кубируемое 401
Теорема Гульдина вторая 431
-- первая 431
- о среднем значении 187
Точка кривой конечная II, 375
- кратная П
-- начальная II, 575
-- особая II
- множества граничная 1-184
- самопересечения (узловая) II
Трактриса П, 41*
Трапеция криволинейная 47
Угол полярный III, I-151
Узел интерполяции U
- кратный II
- квадратурной формулы 456

523
Уравнение гиперболы каноническое
III
- эллипса каноническое III
- эллипсоида каноническое Ш, 406
Фигура плоская 44
-- квадрируемая 384
Фокус кривой второго порядка III
Форма каноническая интеграла
эллиптического 141
Формула квадратурная 456
- Гаусса 477
-- Ньютона 471
- Эйлера 475
- Лейбница 341
- Ньютона — Лейбница 182, 249
обобщенная 279
- парабол 466
- прямоугольника 467
- прямоугольников 469
-- левых 469
- правых 469
- центральных 469
- Симпсона451
- средних 469
- Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа II
- трапеции 459
- трапеций 461
- Эйлера для бета- и
гамма-функций 368
Формулы Бонне 271
- Ньютона — Котеса 473
- приведения 131
- Филона 491
Функции гиперболические
обратные 398
- специальные 175
Функции тригонометрические
обратные 1-129
Функция алгебраическая 1-134
- выпуклая (строго) вверх (вниз) в
интервале II
- Дирихле 1-107, 213
- дробно-рациональная 1-133
- интегрируемая 214
- абсолютно 307, 310
- по Риману 214
- иррациональная (алгебраическая)
1-134
- кусочно непрерывная 228
- линейная 1-132
- логарифмическая 1-127
- мажорирующая 353
- подынтегральная 16
- показательная интегральная 175
- равномерно непрерывная на
множестве 1-206
- рациональная целая 1-133, 74
- сравнения 289
- трансцендентная 1-127, Ц8
Центр масс 427
Циклоида II, 408
Мисло комплексное 1-149
- обусловленности абсолютное II
Шаг разбиения максимальный 211
Эвольвента II, 380
Эксцентриситет кривой второго
порядка П1
Эллипс Ш
Эллипсоид вращения III
- трехосный Ш, 40в

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Основные обозначения 10
1. Неопределенный интеграл 13
1.1. Вводные замечания 13
1.2. Понятия первообразной и неопределенного интеграла 14
1.3. Свойства неопределенного интеграла 19
1.4. Основные неопределенные интегралы 25
1.5. Интегрирование подстановкой и заменой переменного 29
1.6. Интегрирование по частям 38
Д. 1.1. Первообразная непрерывной функции 44
Вопросы и задачи 51
2. Интегрирование рациональных дробей 54
2.1. Дробно-рациональные подынтегральные функции . . 54
2.2. Интегралы от простейших рациональных дробей . . 56
2.3. Разложение правильной рациональной дроби на
простейшие 63
2.4. Интегрирование дробно-рациональных функций ... 73
Д.2.1. Метод Остроградского 81
Д.2.2. Интегрирование рациональных функций, содержащих
биномы 93
Вопросы и задачи 97
3. Интегрирование иррациональных выражении 99
3.1. Рациональные функции от радикалов 99
3.2. Интегрирование функций, содержащих радикалы от
дробно-линейной функции 101
3.3. Подстановки Эйлера 104
3.4. Другие приемы интегрирования 108
3.5. Тригонометрические и гиперболические подстановки 121
3.6. Интегралы от дифференциального бинома 125
Д.3.1. Геометрический смысл подстановок Эйлера . . . . . 133
Д.3.2. Об интегрировании функций вида Я (я, у/Рп(х)) .. 136
Вопросы и задачи 145

525
4. Интегралы от некоторых трансцендентных
функции 148
4.1. Рациональные функции синуса и косинуса 148
4.2. Рациональные степени синуса и косинуса 159
4.3. Экспоненциальные и гиперболические функции ... 163
4.4. Различные трансцендентные выражения 171
Вопросы и задачи 177
5. Интеграл Ньютона 180
5.1. Понятие определенного интеграла Ньютона 180
5.2. Формула Ньютона — Лейбница 181
5.3. Свойства интеграла Ньютона 185
5.4. Теорема о среднем значении и ее следствия 187
5.5. Интеграл Ньютона с переменными пределами .... 193
5.6. Геометрическая и механическая интерпретации
интеграла Ньютона 196
5.7. Способы вычисления интеграла Ньютона 202
Вопросы и задачи 208
6. Определенный интеграл 211
6.1. Интегральная сумма и ее предел 211
6.2. Интеграл Римана 214
6.3. Суммы и интегралы Дарбу 217
6.4. Критерий существования определенного интеграла . 222
6.5. Классы интегрируемых функций 227
6.6. Свойства интегрируемых функций 228
6.7. Основные свойства определенного интеграла 231
6.8. Теоремы о среднем значении для определенного
интеграла 241
6.9. Определенный интеграл с переменным пределом . . . 245
6.10. Вычисление определенного интеграла 250
Д.6.1. Доказательство теорем о классах интегрируемых
функций 260
Д.6.2. Доказательство теорем 6.19 и 6.20 263
Д.6.3. Связь интегралов Ньютона и Римана 267
Д.6.4. Обобщение теорем о среднем значении 269
Вопросы и задачи 273

526 ОГЛАВЛЕНИЕ
7. Несобственные интегралы 275
7.1. Интегралы по бесконечному промежутку 275
7.2. Основные свойства сходящихся несобственных
интегралов по бесконечному промежутку 283
7.3. Признаки сходимости интегралов по бесконечному
промежутку 287
7.4. Интегралы от неограниченных функций 296
7.5. Сходимость интегралов от неограниченных функций 302
7.6. Абсолютная и условная сходимость несобственных
интегралов 305
7.7. Другие признаки сходимости несобственных
интегралов 310
7.8. Примеры исследования несобственных интегралов на
сходимость 318
7.9. Преобразование несобственных интегралов 324
7.10. Главные значения несобственных интегралов .... 330
Вопросы и задачи 333
8. Интегралы, зависящие от параметра 336
8.1. Определенные интегралы, зависящие от параметра . 336
8.2. Дифференцирование интегралов по параметру .... 341
8.3. Интегрирование по параметру 345
8.4. Равномерная сходимость несобственных интегралов 347
8.5. Признаки равномерной сходимости несобственных
интегралов 351
8.6. Непрерывность и дифференцируемость несобственных
интегралов по параметру 356
8.7. Интегрирование несобственных интегралов по
параметру 361
8.8. Эйлеровы интегралы 364
Вопросы и задачи 371
9. Приложения определенного интеграла 373
9.1. Общая схема применения интеграла 373
9.2. Длина кривой 374
9.3. Площадь плоской фигуры 384
9.4. Объем тела 400
9.5. Площадь поверхности 410
9.6. Вычисление масс и моментов инерции 419
9.7. Статические моменты и координаты центра масс . . 427

527
9.8. Работа, энергия, сила давления 434
Д.9.1. Движение материальной точки в центральном поле
тяготения 445
Вопросы и задачи 450
10. Численное интегрирование 455
10.1. Существо подхода к численному интегрированию . . 455
10.2. Формула трапеции 459
10.3. Формула парабол 462
10.4. Формулы прямоугольников 467
10.5. Приближение многочленами высших степеней .... 471
10.6. Квадратурная формула Гаусса 476
10.7. Практическая оценка погрешности численного инте-
грирования 482
10.8. Учет особенностей поведения подынтегральной функ-
ции 488
10.9. Приближенное вычисление несобственных интегралов 492
10.10. Особенности вычисления неопределенных интегралов 497
Вопросы и задачи 499
Приложение. Таблица неопределенных интегралов 500
Интегралы от алгебраических функций 500
Интегралы от трансцендентных функций 510
Список рекомендуемой литературы 516
Предметный указатель 519

Учебное издание
Математика в техническом университете
Выпуск VI
Зарубин Владимир Степанович
Иванова Елена Евгеньевна
Кувыркин Георгий Николаевич
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Редакторы Н.Г. Ковалевская, Г.А. Нилова
Художник С.С. Водчиц
Корректор Е.В. А» ало б а
Оригинал-макет подготовлен в издательстве
МГТУ им. Н.Э. Баумана
под руководством А.И. Канатникола
Изд. лиц. №020523 от 25.04.97
Подписано в печать 22.06.99. Формат 60x88 1/16.
Печать офсетная. Бумага офсетная № 1.
Усл. печ. л. 33. Уч.-иэд. л. 32,42.
Тираж 1000 экз. Изд. № 118. Заказ Jfr 2135
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
107005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ
140010, Люберцы, Октябрьский пр., 403.