Академик Н. Н. ЛУЗИН
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ИЗДАНИЕ СЕДЬМОЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для вузов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва —196 1

ГЛАВА I
ИНТЕГРИРОВАНИЕ, ПРАВИЛА НЕПОСРЕДСТВЕННОГО
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 1. Интегрирование. Учащийся уже раньше познакомился с тем
фактом, что математические действия встречаются попарно, обра-
зуя пары двух взаимнообратных действий. Такими парами, напри-
например, являются: сложение и вычитание (-)-, —), умножение и деление
(X. О* возвышение в целую положительную степень п и извлечение
корня [( )». |л~].
Далее, учащийся знает, что характеристики функций можно рас-
рассматривать тоже как действия и что эти действия также распре-
распределяются попарно: на прямые и обратные. Если заданная фун-
функция обозначается через f(x), то, чтобы найти для характе-
характеристики / обратную характеристику ср, надо в равенстве j/=/(a;)
переменить местами буквы у и xt x—f(y), и затем решить полу-
полученное уравнение относительно буквы у, j/ = <p(jc). Характеристика ср
и будет обратной для /. Так, например, функции, написанные
в одной колонне, обратны функциям, стоящим в другой колонне:
, ±Ух—19
sin x, arc sin x.
При этом следует обратить внимание на то обстоятельство, что
в то время как прямые действия почти всегда однозначные, дей-
действия обратные чаще всего суть действия многозначные. Это
можно подметить и на функциях, стоящих в правой колонне, из ко-
которых первая ±]Лх— 1 имеет сразу два значения, последняя arc sin л:
имеет одновременно даже бесконечно много значений.
Учащийся имел дело еще с другими парами функций:
из которых левая есть первообразная, правая же есть ее про-
производная; это обстоятельство записывают в виде сопровождающего
дару равенства

4 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ«1
Дифференциальное исчисление имеет своей основной
задачей следующую прямую задачу.
Из заданной первообразной f(x) вывести ее производную
Эту задачу можно символически изобразить в виде:
Задачу эту дифференциальное исчисление решает при помощи
своего основного действия: дифференцирования (нахождения произ-
производной).
Интегральное исчисление имеет своей основной задачей
следующую обратную задачу.
По заданной производной Ф(х) отыскать ее первообразную
Эту задачу символически можно изобразить в виде:
Задачу эту интегральное исчисление решает при помощи своего
основного действия: интегрирования. Интегрированием называется
действие отыскания первообразной для заданной производной функ-
функции Ф (х). Поэтому, в широком смысле:
действие интегрирования обратно действию дифференциро-
дифференцирования.
В соответствии с этим названием действия отыскания первообраз-
первообразных, каждая отысканная перво@бразная f(x) для данной производ-
производной Ф (х) называется интегралом (индивидуальным) от функции Ф (х).
§ 2. Многозначность действия интегрирования: прибавочное
произвольное постоянное. Неопределенный интеграл. Дифферен-
Дифференцирование есть действие прямое и однозначное, ибо непрерывная
функция f(x) не может иметь двух различных производных Ф(х),
Интегрирование же есть действие обратное и, подобно большинству
обратных действий, оно есть действие многозначное, дающее для
заданной производной Ф(х) не один только резуль-
результат /С*)» но бесчисленное множество их.
Для того чтобы убедиться в этом, вспомним сначала, что произ*
водная постоянной равна нулю и докажем основную лемму.
Лемма. Если непрерывная функция имеет всюду на каком-
нибудь отрезке производную, равную нулю, тогда эта функция
на рассматриваемом отрезке есть постоянная величина.
Доказательство. Пусть функция F (х) непрерывна на отрезке
fa, b]t и пусть в каждой точке х этого отрезка имеем: F'(x) = 0.
Если рассматриваемая функция F(x) не есть постоянная величина на
этом отрезке, тогда на нем имеются такие две точки хл и лг2> х\ < хг>
в которых численные значения F(x^ и F(x2) функции F(x) заве-
заведомо не равны одна другой: F (xj Ф F (л;2).
С другой стороны, применяя к отрезку [xlt x2] теорему о сред-
среднем Лагранжа, мы имеем:
F (х2) - F (хх) = (х2 - х,) * F' (Е),

•§ 2 МНОГОЗНАЧНОСТЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 5
где ? есть величина, промежуточная между хх и хг% хх < ? < л;2.
И так как ? есть точка отрезка [а, Ь\, то мы должны иметь: F'(]z) = Q.
Отсюда предыдущее равенство дает: F(x2)— F(x{) = Q9 что проти-
противоречит неравенству jF (хх) Ф F (х2).
Отсюда заключаем, что F(x) есть постоянная величина на
отрезке [а, Ь\.
Теперь мы можем доказать предложения.
Прямая теорема* Если две функции отличаются одна от
другой на постоянную величину, тогда они имеют ту же самую
производную.
Доказательство. Ибо, если имеем f*(x)—/(*) —С, где С
есть постоянное и где функция f(x) дифференцируема, то тогда
J* (x) — f(x)-{-C и, следовательно, мы имеем:
df(x)=df(x) dC^dfjx)^
dx dx ' dx dx
Обратная теорема. Если две функции имеют ту же самую
производную, их разность есть постоянная величина.
Доказательство. Ибо, если имеем -= . * то тогда
CLX CLX
d [Г (x)-f(x)] _ df (x) df{x)
dx dx dx
и, следовательно, по доказанной основной лемме, мы имеем:
где С — постоянная величина.
Из доказанных предложений сразу же вытекает многозначность
действия интегрирования.
Ибо, если для заданной производной Ф(х) нам удалось отыскать
какую-нибудь индивидуальную ее первообразную /(#), то тогда:
во-первых, всякое выражение f(x)-\-C, где С есть любое вы-
выбранное постоянное, окажется также первообразной для рассматри-
рассматриваемой производной Ф(д:), потому что функции f(x) и /(л;)-)-С от-
отличаются на постоянную величину (прямая теорема);
во-вторых, каждая без исключения первообразная f*(x), какой
бы она ни была для производной Ф(х), выразится в виде /(jc)~|-C,
где С есть постоянное, потому что обе первообразные функции /* (х)
и f(x) имеют ту же самую производную Ф (л:), и значит, имеем
J*(x)—f(x) = C, где С, постоянное (обратная теорема). Следова-
Следовательно, /*(*)=/(*) +С.
Таким образом:
если f(x) есть какая-нибудь индивидуальная первообразная
для заданной производной Ф(х), то совокупность всех первооб-
первообразных для Ф(х) заключена в выражении /(*) + С, где С есть
произвольное постоянное*

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
Выше мы назвали какую-нибудь найденную первообразную f(x)
для заданной производной Ф(х) интегралом (индивидуальным) от
функции Ф (х).
Общее же выражение f(x) + С, где С — произвольное посто-
постоянное, носит название неопределенного интеграла от функции Ф (х).
Первое слагаемое f(x) этого выражения называется функцио-
функциональной частью неопределенного интеграла. Второе слагаемое С
называется постоянным интегрирования. Это число не зависит от
переменного х, называемого переменным интегрирования, и его
величина может быть выбрана по желанию; поэтому его называют
прибавочным произвольным постоянным, или произвольным по-
постоянным неопределенного интеграла.
Пример. Так как — (-j-) = x3t то функция ^ является первообразной
для хъ. Поэтому -J- есть индивидуальный интеграл от лс3. Такими же ин-
JK4 X*
дивидуальными интегралами от Xs будут, например, функции -j -f- 2, -g — 7
и так далее. Выражение же -j -f- С, где С есть произвольное по-
стоянное, есть неопределенный интеграл от х*. Первое слагаемое -j- есть
функциональная часть неопределенного интеграла от хъ. Второе слагае-
слагаемое С есть постоянное интегрирования; численную величину его можно
брать какой угодно.
Произволом постоянного интегрирования пользуются для того,
чтобы из всех первообразных для данной производной Ф (х) отыскать
ту, которая имеет какие-нибудь наперед предписанные свойства.
Например, в целях практики часто требуется решить задачу:
выбрать численное значение постоянного интегрирования так,
чтобы получить первообразную, имеющую в заданной заранее
точке х0 наперед предписанное численное значение у0.
Решение. Пусть Ф(х)—данная производная функция и/(д:)-(~С —
неопределенный интеграл от Ф (л;). Постоянное интегрирования С
нужно выбрать таким, чтобы первообразная /(лО + С для х = х0
была равна у0. Значит, мы должны иметь f(xo)-\~C = yo. Опреде-
Определяя из этого уравнения величину С, мы находим С= —/
Отсюда искомая первообразная будет:
Пример* Найти первообразную для х% имеющую в точке х = 2 вели-
величину 17.
Решение, Неопределенный интеграл от хг пишется в виде -j- + С. Тре-
буется выбрать С так, чтобы получилась первообразная -j- -\- С, имеющая

§ 3 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 7
при х = 2 величину 17. Это означает, что мы должны иметь равенство:
^ + С = 17, или
Отсюда С =з 13. Первообразная — +13 в самом деле имеет величину 17,
когда х = 2.
Учащийся должен обратить внимание на то, что решение задачи
есть решение единственное и вполне определенное, так как среди
всех первообразных /* (х) для функции Ф (х) имеется одна и только
одна первообразная f(x) -j- С, принимающая значение j/q в точке х0.
Ибо, решая эту задачу, мы получили только одно значение для
постоянного С, С — —/С*о)-+-.Уо» Дающее эту первообразную.
§ 3, Определенный интеграл. Хотя у всякой данной производ-
производной Ф(лг) имеется 0есчисленное множество первообразных, однако
все они обладают следующим общим свойством:
приращения, получаемые первообразными в концах какого-
нибудь данного отрезка [а, Ь ], все равны друг другу.
Доказательство. В самом деле, если fx(x) и /2(я) — Две ка-
какие-нибудь первообразные для Ф(х) на отрезке [a, Ь], их разность
f2(x) — fi(x) есть величина постоянная на этом отрезке. Значит,
имеем на [а, Ь] равенство /2(х)—/i(-*0=C, где С — постоянное. От-
Отсюда находим: /2 (х) — fx(x) + С. Следовательно, имеем: /2(&) =
= /х (&) + С и /2 (а) = /t (а) -j— С Вычитая второе равенство из пер-
первого, получаем:
0
Значит, приращения, испытываемые первообразными для задан-
заданной Ф(л;) при переходе их аргумента х от значения а к значе-
значению Ь, все равны друг другу, я. т. д.
Как важное следствие мы заключаем, что:
приращение f(b)—/(а) первообразной есть величина, от нее
не зависящая, но обусловленная только самой природой произ-
производной с Ф(х)ч да еще числами а и Ъ.
По этой причине приращение f{b)—/(а) обозначают просто че-
через 1а, не указывая первообразной f(x), от каковой это приращение
совсем не зависит, и называют определенным интегралом от функ-
функции Ф (х) между пределами а и Ь, причем число а пишется внизу
и называется нижним пределом, а число b пишется вверху и назы-
называется верхним пределом.
Не забудем, что при этом предполагается непрерывность данной
функции Ф (х) на отрезке [а, Ь\\ следовательно, ее течение на этом
отрезке не имеет никаких особенностей в виде разрывов, уходов
в бесконечность и т. д.
Пример. Вычислить определенный интеграл от функции х* между пре-
пределами 1 и 5.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. Г
v4
Решение. Неопределенный интеграл от функции х* есть -т- + С. Возь-
Возьмем какую-нибудь первообразную от xst например ^~. Имеем: l\ = -j-
= -— j = ~j- = 156. Следовательно, определенный интеграл /^ от функ-
функции х* равен 156.
Когда производная Ф(*) нам дана на каком-нибудь отрезке [А, В]„
на котором она непрерывна, и когда а и Ъ — две какие-нибудь данные
точки этого отрезка, тогда определенный интеграл /* есть проста
число. Но если нижний предел а есть величина постоянная, а верх-
верхний предел b есть величина переменная* не выходящая за отрезок
[А, В], тогда определенный интеграл 1ьа становится функцией своего
верхнего предела Ъ и тогда важно знать свойства этой функции.
С этой целью обозначим через х верхний предел Ь определенного
интеграла /*, положив Ь — х, и рассмотрим определенный интег-
рал 1а с переменным верхним пределом х.
Так как по самому смыслу определенного интеграла 1ьа мы имеем
равенство:
?
где f(x) есть какая-нибудь первообразная для Ф(х), выбранная про-
произвольно, то, делая в этом равенстве b — х, мы находим:
?=/(*)—/(«)¦
Поэтому, беря производную по х от обеих частей этого равен-
равенства, мы получаем:
dx ч f v J
dx dx
Таким образом, определенный интеграл la с переменным верх-
верхним пределом х есть первообразная функция для Ф(л). Эта
первообразная равна нулю при х = а, ибо
1а =/(«)— /(в) = 0.
Отсюда, на основании предыдущего, заключаем, что определен-
определенный интеграл 1ха есть та единственная первообразная для Ф(дг), ко»
торая уничтожается в точке а.
Выражение же
где С есть произвольное постоянное, является, очевидно,
неопределенным интегралом от функции Ф(х), ибо, при измене-
изменении С, дает все первообразные для Ф(лг).

§ 4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 9
Когда С задано, выражение /?-f-C дает первообразную, равную
С в точке х = а.
§ 4* Основная теорема интегрального исчисления о вычис-
вычислении определенного интеграла. В предыдущем параграфе мы ви-
видели, что определенный интеграл 1ьа от функции Ф(х) между преде-
лами а и Ь, будучи равен приращению f(b)—f(a) любой первооб-
первообразной f(x) для Ф (л:), от первообразных в действительности нисколько
не зависит, но зависит только от самой производной функции Ф (л:), да
еще от пределов а и Ъ. Однако эта зависимость определенного инте-
интеграла 1ьа от функции Ф (л:) и чисел а и b является зависимостью очень
темной, и интегральное исчисление поэтому начинается с указания
того действия, которое нужно выполнить прямо над отрезком [а, Ь]
и непрерывной на нем функцией Ф(л:), чтобы иметь определенный
интеграл
У* =/(*)-/(«). О)
На первый взгляд кажется, что получить определенный интеграл 1ьа
таким прямим образом через отрезок [а, Ь\ и функцию Ф(лг)
очень легко, так как для этого достаточно лишь применить теорему
о среднем Лагранжа (часть I, § 144), написав равенство
/(*)— f(a) = (b — в)ФF), B)
где Е обозначает величину, промежуточную между а и b (рис. 1).
Но, чтобы правая часть равенства B) стала известной, нам нужно
знать точное местонахождение средней величины Е. А теорема
Рис. 1
о среднем не дает никаких указаний на этот счет, она только гово-
говорит нам о том, .что Е лежит на отрезке [а, Ь] где-то между его
концами.
Для того чтобы смягчить эту неопределенность местонахождения
точки Е на отрезке [а, Ь], разбивают этот отрезок нал
мелких отрезков и применяют к каждому из них тео-
теорему о среднем. Делается это следующим образом.
Сначала наносят на отрезке [я, Ь] точки деления: они берутся
заранее нам известными и всего их будет п—1. Их обозначают по
порядку, двигаясь от а к Ь, через xv x2t ..., xit .... хп_х. Для
однообразия рассуждений начальную точку а обозначают через х0 и
конечную точку b через хп.
Сообразно этому, самый левый отрезок [а, хх] называют началь-
начальным, или нулевым; следующий отрезок [xlt x2] —первым, следующий

10 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
за ним [х2, х3]— вторим и т. д. Вообще, отрезок [xl9 xi+l\ на-
называют i-м. И, наконец, последний отрезок [хп_х> Ь] называют п— 1-м
(рис. 2).
Jj fh
Рис. 2
Если при пробеге отрезка [а, Ь] от точки а к точке Ъ рассмат-
рассматривать абсциссу xt как старую, а абсциссу xi+1 как новую, тогда
разность л^+1 — Xf нужно назвать приращением абсциссы xt и нужно
ее обозначить через kxi9 т. е. написать равенство
*,+ ! —*|=Д*,. C)
где i может явиться любым числом из ряда 0, 1, 2, ..., п—1.
С другой стороны, разность лг/+1 — xi9 очевидно, равна длине от-
отрезка [xit xi+x]. Таким образом, Ал:0 есть длина нулевого отрезка, Ajct
есть длина первого отрезка, Лх2 есть длина второго отрезка и т. д.
до последнего отрезка, длина которого есть kxn-x.
Теперь теорема о среднем дает равенства:
для нулевого отрезка:
П*д—№ = (*х - а) Ф (Ео) =
для первого отрезка:
для второго отрезка:
для г-го отрезка:
для /г—1-го отрезка:
где ?о, ?lt ?2» «..Дг»---» ^л-i СУТЬ Wfl-^ неизвестные точки, находя-
находящиеся соответственно на нулевом, первом, втором, ..., /-м
п — 1-м отрезках.
Складывая написанные равенства, мы получаем:
D)

§ 4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 11
Учащийся должен иметь в виду, что хотя равенство это и есть
совершенно точное, однако для окончательной нашей цели вычисле-
вычисления неизвестной величины f(b)—f(a) оно совсем не пригодно, ибо
мы не знаем местонахождения средних величин ?0,
Elf E2» •••• ?*» •••• ^л-1 на соответствующих отрезках. Эти средние
величины пишутся лишь на основании теоремы о среднем.
Если теперь вместо этих неизвестных нам точек ?0, ?х, ?2, • • •»
ii» .-•, 5Л_1 мы возьмем какие-нибудь другие точки ?*, ?*, SJ
?*, ..., ?*_г также по одной лежащие на указанных отрезках, то
тогда уже нет никаких оснований ожидать, чтобы аналогичная сумма
оказалась в точности равной f(b)—f(a). Зато мы можем вы-
вычислить, насколько может эта новая сумма уклоняться от f(b)—/(л).
Действительно, составляя разность
*, -+- • • • -4-
мы видим, что она получается вычитанием суммы E) из обеих частей
равенства D) и, значит, равна выражению:
-ф{К-г)]^п-г- G)
Для того чтобы оценить это выражение, обратим внимание на то,
что обе точки %t и ?* находятся на отрезке [xt, Xj+1]. Функция же
Ф(л:) предполагается непрерывной на отрезке [а, 6]. Это означает,
что для всякого сколь угодно малого положительного е имеется
такое положительное число т], что обязано быть справедливым не-
неравенство
|ф(*")_ Ф(*')|<е (I)
всякий раз, как будет удовлетворено неравенство
(II)
Отсюда следует, что если наибольший из отрезков [a, xt], [xl9 x2],
• ••» l^/i-i» ^] меньше по своей длине чем т), то тогда мы будем
иметь для всех величин / неравенство
и поэтому обязательно будет справедливо неравенство
для sc^jc величин

12 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. Т
А из неравенства (I*) следует, что абсолютная величина выраже-
выражения G) не может превосходить сумму
равную, очевидно, количеству s (b— а). Так как таковое делается
бесконечно малым, когда е имеет пределом нуль, то это указывает
на то, что разность F) есть обязательно величина бесконечна
малая. А отсюда следует, что f(b)—f(a) есть предел суммы E).
Таким образом, мы пришли к важнейшему предложению.
Основная теорема интегрального исчисления. Пусть Ф (х)
функция, непрерывная на данном отрезке [а, Ь], имеющая перво-
первообразную f(x). Разделим этот отрезок на п мелких отрезков*
длины которых суть Дл;0, Ajq, ..., &хп_1У и выберем соответ-
соответственно в каждом из них по одной какой-нибудь точке: ?*, Е*»
•••» ^_i- Тогда разность f(b)—f(a) есть предел суммы
1)Дл;л_1, E)
когда число п этих отрезков возрастает безгранично в то
время* как длина всякого из них стремится к нулю.
Из доказанной основной теоремы интегрального исчисления вы-
вытекает следующее общее правило нахождения определенных инте-
интегралов.
Чтобы найти определенный интеграл /* от заданной нам непре-
непрерывной на отрезке [а, Ь] функции Ф(лг), нужно выполнить следую-
следующие шаги.
Первый шаг. Разделить отрезок [а, Ь] на п отрезков,
длины которых {считая по порядку от точки а к точке Ь)
суть Дх0, Д*!, ..., Ьхп_х.
Второй шаг. В каждом из этих отрезков выбрать про-
произвольным образом по одной точке: ?*, ?* Е*-г
Третий шаг. Для каждого отрезка [xi9 xt+1] составить
парное произведение Ф(Е*)Длг? величины Ф(^) данной функции
Ф (х) в выбранной точке Е* на длину Дл^ этого отрезка и все
получившиеся п парных произведений сложить:
Ф (^) Д*о + Ф ($ A*t + ... + Ф (?;_,) А*,.,. E)
Четвертый шаг. Найти предел составленной таким
образом суммы п парных произведений, когда п безгранично
увеличивается и когда наибольшая из длин kxt стремится
к нулю как к пределу. Это и будет искомым определенным
интегралом I*=f(b)—/(а).

§ 5 ХАРАКТЕР ОСНОВНОГО ДЕЙСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 13
§ 5. Характер основного действия интегрального исчисления.
Обозначения определенного и неопределенного интегралов.
Мы знаем, что общее правило дифференцирования
(см. часть I, § 55) разбивается на четыре шага, причем три пер-
вые шага имеют в виду лишь составить выражение -~- при
конечном Ах, и только четвертый шаг есть завершающий, ибо
Ау
в нем предлагается отыскать предел составленного выражения -~-9
когда Да: приближается к нулю как к пределу.
Однако при этом не делается никаких указаний на то, каким
образом на деле, т. е. в действительности, мы должны искать
этот предел. Это отсутствие указаний вполне понятно, потому что
в общем случае их и невозможно сделать. Поэтому-то в дальнейшем
изложении дифференциального исчисления единое общее правило
дифференцирования заменяется системой 20 правил, указан-
указанных в двух таблицах, данных в § 57 и в § 90 части I. Эти 20 правил
являются системой гораздо более узкой, чем общее правило
дифференцирования, и не дают возможности дифференци-
дифференцировать любую функцию f(x), имеющую производную, но зато они
охватывают многие и многие практически встречающиеся случаи и,
что важнее всего, всякий раз доводят дифференцирование до
самого конца, тогда как четвертый шаг общего правила
дифференцирования не способен этого сделать и является,
в сущности, действием неоперабилъным9 т. е. вычислением не-
невычислимым.
Аналогично обстоит дело и в интегральном исчислении.
Его основным действием является нахождение определенных инте-
интегралов, и это действие также разбивается на четыре шага, из ко-
которых три первые шага имеют в виду составление суммы
Ф(?*)Дл;0 + Ф(?*)Дх1 + ... +Ф0*_1)Дх/1_1, а в четвертом за-
завершающем шаге предлагается отыскать предел этой суммы, когда
все Дл:? стремятся к нулю.
Таким образом, в то время как дифференциальное исчи-
исчисление ищет пределы отношения двух бесконечно малых, в это
самое время интегральное исчисление ищет пределы сумм
неограниченно возрастающего числа бесконечно малых слагаемых.
И отыскивание пределов таких сумм еще в большей степени является
действием неоперабильным и вычислением невычислимым. Но так как
при изучении природы (в физике, химии), в механике и геометрии
очень часто приходится искать пределы таких сумм, то интеграль-
интегральное исчисление предприняло обходной путь: формальным,
часто алгебраическим путем оно прямо разыски-
разыскивает первообразные f(x) для данных производных
Ф(л:), а после отыскания первообразной составле-
составление разности f(b)—f(a) сразу дает точную величину

14 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
определенного интеграла /*, являющегося, как мы сказали,
пределом ценных для естествознания сумм бесконечно малых.
Такая алгебраическая сторона интегрального исчисления делается
возможной лишь по установлении целесообразного обозначения для
определенного и неопределенного интегралов.
Для этого, прежде всего, сумму
E)
вообще очень длинную, пишут сокращенно в виде:
выписывая сначала латинскую букву S, как знак действия суммиро-
суммирования (сумма = summa), и под знаком суммы S выписывая так назы-
называемый «общий член» суммы, т. е. такое ее /-е слагаемое, которое
становится и начальным (нулевым) слагаемым, и первым, и вторым,
и, наконец, последним, п—1-м, когда дают / значения 0, 1, 2,
..., п— 1.
Затем, вспоминая, что ?* есть какая-нибудь выбранная точка на
отрезке 1х., */+1], принимают за Е* его левый конец, т. е. пола-
полагают ?* = хг Тогда сумма E) получает вид:
/ = /7-1
5 ф(*,)Д*,.
Далее, вместо указания внизу и вверху знака суммы 5 пределов
знака /, просто ставят указания на начальное значение xt, т. е.
букву а, и на последнее значение xt, т. е. букву Ь1. После указан-
указанного изменения сумма E) напишется в виде:
Потом просто опускают ставший ненужным значок / у абсциссы>
в силу чего сумма E) приобретает вид:
1 Строго говоря, последним значением абсциссы xt является не Ь, но
*„-!. Но оно бесконечно мало отличается от b и, притом, прибавление
к сумме бесконечно малого слагаемого Ф (Ь) Д&, разумеется, не изменит
предела этой суммы.

§ 5 ХАРАКТЕР ОСНОВНОГО ДЕЙСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 15
И, наконец, вспоминая, что приращение Ах независимого перемен-
переменного х и его дифференциал dx являются одним и тем же, ибо имеем
Дл: = dx, сумме E) дают окончательный вид:
ь
S Ф (*) dx. E*)
а
Но учащийся должен твердо помнить, что в формуле E*) речь
идет о настоящей сумме, состоящей из конечного числа слагаемых.
Об этом говорит поставленная впереди буква S (summa). Глядя на
формулу E*), учащийся легко может уже не сокращенно, но пол-
полностью выписать всю эту сумму: для этого он должен разделить
отрезок [а, Ь\ на конечное число отрезков [xit xl+l] и умножить
величину данной непрерывной функции Ф(х), вычисленную в левом
конце xt каждого отрезка, на его длину kxt = xi+1 — xt. Все по-
полученные таким образом парные произведения O(xi)^xi он должен
сложить. Это и будет полностью развитой суммой E), сокращенное
изображение которой написано в виде формулы E*).
Найдено было целесообразным дать такое обозначение пределу
суммы E*), которое носило бы на себе отпечаток происхождения
этого предела, т. е. следы суммы E*). Для этого оставляют внеш-
внешний вид суммы E*) тем же самым, только вместо буквы 5, обозна-
обозначающей настоящую сумму конечного числа слагаемых, пишут знак J,
представляющий собой сильно вытянутую букву S.
Таким образом, определенный интеграл 1Ь пишут в виде:
Ф(х)йх (8)
и произносят: «определенный интеграл от а до Ь эф икс дэ икс»т
Учащийся должен быть предупрежден, что формула (8) не обо-
обозначает никакой суммы; она отнюдь не есть какая-нибудь «сумма*,
хотя бы и бесконечно малых, но есть лишь предел такой суммы.
Смешивать же сумму (настоящую) с пределом суммы нельзя.
Таким образом, мы имеем право писать только
* ь
J Ф (jc) dx == lim 5 Ф (*) dx. (9)
или, в развитом виде:
ъ
ф(дг)^ = 1ш[Ф(Хо)Дхо + Ф(д;1)Ах1-Н ... +Ф(х„_1)Ь„_1]. A0)
Так как, с другой стороны, определенный интеграл Ра равен
разности значений f(jb) — f(a) какой-нибудь первообразной f(x) для

16 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
Ф (лг), то мы приходим к основной формуле интегрального исчисления:
A1)
где Ф (*)=/'(*).
Соответствующее практическое правило вычисления
определенных интегралов таково:
ъ
для фактического вычисления определенного интеграла Г Ф (х) dx
а
не нужно производить никакого перехода к пределу, а нужно вы-
выполнить следующие два шага.
Первый шаг. Постараться отыскать для заданной не-
непрерывной функции Ф(х) какую-нибудь ее первообразную f(x).
Эти поиски, вообще, не требуют никакого перехода к пределу,
так как ведутся формальным способом или даже чисто алге-
алгебраически*
Второй шаг. Найдя первообразную f(x) для Ф(лг), со-
составить разность f(b) — f(a).
Эта разность f(b) — f(a) и будет тем пределом суммы Ф (л:0) Алг0 +
+ ФОД-х^-Ь • • • +Ф(^я-1)^л-1» для разыскания которого у нас,
вообще, нет никаких других средств.
По поводу самого обозначения \ Ф(х)йх определенного инте-
а
грала следует заметить, что числа а и Ь, носящие соответственно
названия: нижний предел интеграла и верхний предел интеграла,
на самом деле никакими «пределами» не являются, будучи просто
границами изменения переменного х. Самое это переменное х также,
собственно, не является настоящим переменным, будучи в действи-
действительности лишь кажущимся переменным. Его иногда так и назы-
называют, но чаще всего применяют название «переменное интегриро-
интегрирования». Переменное интегрирования не есть настоящее переменное
и имеет лишь служебное назначение. Так, когда мы берем сумму
всех натуральных чисел от 1 до 100, то, вместо того, чтобы ее
выписывать полностью
1+2 + 3+- ... +100 = 5050,
мы можем написать ее сокращенно, указав «общий член» под знаком
суммы
/«100
5 / = 5050.

§ 5 ХАРАКТЕР ОСНОВНОГО ДЕЙСТВИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 17
Здесь / есть кажущееся переменное, а не настоящее, ибо
окончательный результат 5050 от / не зависит. Поэтому это кажу-
кажущееся переменное, являющееся лишь переменным суммирования,
т. е. развертывания, один за другим, слагаемых членов, можно обо-
обозначить и какой-нибудь другой буквой, например, J или к, ибо ре-
результат 5050 будет тот же самый:
/«100 ? = 100
S j = 5050, 5 * =
b
Точно так же и допредельную сумму S®(x)dx можно написать
а
ъ ъ
без изменения ее величины, в виде 5 Ф @ dt или 5 * (*0 ^v.
а а
Ь
Поэтому и определенный интеграл Г Ф (д:) dx имеет ту же величину,
а
как и определенные интегралы
ъ ь
Г Ф (t) dt или Г Ф (у) dv.
Основной отрезок [а, Ь\ называется областью определенного
интегрирования, или, чаще всего (но менее правильно), интервалом
интегрирования.
Самое действие отыскания величины определенного интеграла
ь
Г Ф (х) dx посредством перехода к пределу суммы Ф (jt0) Ajc0 -+-
а
-}-Ф(#1)Д#1+ ... +Ф(а:я-1)А^я_1 называется интегрированием.
Поэтому слово ^интегрирование» имеет двойное значение: во-пер-
во-первых, оно обозначает отыскание первообразной f(x) по ее произ-
производной Ф(лг) или по ее дифференциалу Ф(x)dx; во-вторых, оно
ь
обозначает отыскание прямым образом предела Г Ф {х) dx выше-
а
указанной суммы ФСх^Дхо + ФСлг^Дл;!-^ ... +Ф(д:л_1)Ал:л_1, т. е.
самое действие перехода к пределу. Чтобы различить друг от друга
эти два смысла слова «интегрирование», первое интегрирование
называют «неопределенным интегрированием», второе интегриро-
интегрирование называют «определенным интегрированием».
Оба рода интегрирования теснейшим образом связаны между
собой.
2 Интегральное исчисление

18 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
С одной стороны, знание неопределенного интеграла f(x)-\-C
от производной Ф(х) тотчас же дает возможность вычислить опре-
ь
деленный интеграл Г Ф (х) dx для любых пределов а и Ь9 так как
имеем:
а
С другой стороны, умение вычислить определенный инте-
х
грал \Ф{г)(И с переменным верхним пределом для функции Ф
а
тотчас же дает знание неопределенного интеграла f(x)-\-C от функ-
функции Ф(х), так как еще в § 3 мы видели, что выражение 1а-{~Су
при С произвольном постоянном, является неопределенным интегралом
X
от функции Ф (х). И так как мы имеем равенство 1ха = Г Ф (/) dt%
а
то неопределенный интеграл от функции Ф(лт) напишется в виде1:
Ввиду столь тесной связи обоих интегрирований, условились
обозначать неопределенный интеграл от данной непрерывной
функции Ф(аг) символом
не указывая пределов интегрирования и не указывая добавоч-
добавочного произвольного постоянного С. Это постоянное интегрирова-
интегрирования С подразумевается всегда уже включенным в знак \ Ф{х)йх
неопределенного интеграла, так что учащийся должен научиться
видеть в символе Г Ф(х)йх не одну какую-нибудь первообразную
для Ф(х), а сразу всю бесконечную совокупность их. Таким образом,
1 Писать Г Ф (х) dx нельзя, ибо не следует одной и той же буквой х
а
обозначать и кажущееся переменное (х внизу) и истинное переменное
(х вверху).

§ б ВЗАИМНАЯ ОБРАТНОСТЬ ЗНАКОВ 19
прибавочное произвольное постоянное С всегда должно сопровождать
найденный окончательно неопределенный интеграл |Ф(лг)^лг, хотя
в символе оно явным образом и не выписано. Например:
х3 dx == -j- -f- С, а не
только одну функциональную часть неопределенного интеграла -т-;
b) если Ф(л;) = со5л;, то Г cos x dx = sin x -\- С, следовательно,
не надо забывать прибавить С в окончательном результате;
c) если Ф(х)= « _, 2 , то / yq-~^- = arctgA:-|-C.
§ 6« Взаимная обратность знаков дифференциала d и неопре-
неопределенного интеграла Г. Мы знаем из предыдущего параграфа, что
неопределенное интегрирование есть действие отыскания первообраз-
первообразных f(x)-\-C по данному дифференциалу Ф(x)dx9 так что имеем:
О)
лричем
I == Ф (л:) dx, B)
ибо f (х) = Ф(х).
Дифференцируя обе части равенства B), мы имеем:
d j Ф (х) dx = d if(x)-\-C] = df(x) — Ф (x)dx,
т. е. окончательно
d J Ф (x) dx = Ф (x)dx. C)
С другой стороны, заменяя в левой части равенства A) дифферен-
дифференциальное выражение Ф(x)dx по формуле B) через df{x), мы
находим:
fdf(x) = f(x)-\-C. D)
Полученные равенства C) и D) очень ясно показывают, что
действие дифференцирования d и действие неопределенного инте-
интегрирования Г суть действия взаимнообратные. В самом деле, ра-
равенство C) говорит нам о том, что два взаимнопротивоположные
знака d и L будучи поставлены рядом (в комбинации d Г, где сна-
сначала стоит d и уже за ним П, уничтожают друг друга, так что мы
можем их просто зачеркнуть в левой части равенства C) и тогда
2*

20 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. Г
получится правая его часть. Равенство же D) говорит нам, что и
в комбинации Гd (где сначала стоит Г и уже за ним а\ оба знака
тоже взаимно уничтожают друг друга, так что их можно просто
зачеркнуть в левой части равенства D) и тогда получится правая
его часть, но без прибавленной постоянной интегрирования С.
Это прибавление нужно не забыть сделать, так как неопределенное
интегрирование есть действие многозначное, всегда дающее при-
прибавочное произвольное постоянное С.
Деля равенство C) на dxt мы получим:
C*)
С другой стороны, вспомнив, что df(x)=:ff(x)dx, мы можем
равенство D) переписать в виде
D*)
D**>
что равносильно равенству
df(x)
dx
^МаОЛТТЫГЛЙГ
dx
Мы видим, что знаки производной -т— и неопределенного инте-
интеграла Г не вполне противоположны, так как не могут без остатка
уничтожать один другого, ибо этому препятствует dx. Таким обра-
образом, истинно-противоположными оказываются только знаки диф-
/d
, а не производной ^— и инте-
интеграла / .
Поэтому основной задачей дифференциального исчисления
является осуществление спуска от данной первообразной f(x) к ее
дифференциалу Ф(x)dx^t основной же задачей интегрального исчи-
исчисления является осуществление подъема от данного дифференциала
<^(x)dx к его первообразной /(*)-+-С Схематически это изобра-
изобразится в виде:
/<*) №+c
I t
Ф (х) dx Ф (х) dx.
Как всякое обратное действие, интегрирование труднее дифферен-
дифференцирования. Притом, продифференцировать можно каждую функ-
функцию f(x), которая пишется в конечном виде через элементарные
функции, комбинируя их правилом «функция от функции». Проинте-
Проинтегрировать же можно далеко не каждую функцию Ф(х)э даже если
она и пишется очень просто.

§ 7 ВЗАИМНАЯ ОБРАТНОСТЬ ЗНАКОВ 21
Замечание. На символ I Ф{х)dx неопределенного интеграла уча-
учащийся должен смотреть как на знак, выражающий любую первообразную-
для Ф (х), подобно тому как в алгебре буквы а, Ь... обозначают любые-
числа. Сообразно этому С обозначает произвольную постоянную, и упо-
употребление ее столь своеобразно, что наверное будет вызывать у учащегося
первое время некоторое недоумение; например, мы, складывая С+С, будем
всегда писать в результате не 1С, а просто С, потому что, если С есть
произвольная постоянная, то и 1С есть тоже произвольная постоянная,
и, значит, ее можно обозначать просто через С.
Сумма скольких угодно произвольных постоянных и каких угодно чис-
численных постоянных пишется в виде только одной произвольной постоян-
постоянной С.
Учащийся, делая выкладки с неопределенными интегралами | Ф (х) dx,
всегда должен, имея в виду равенство A), представлять произвольную по-
постоянную С входящей в состав неопределенного интеграла.
§ 7. О вычисляемости и невычисляемости неопределенных
интегралов. Учащийся уже знает, что одной из важных задач инте-
интегрального исчисления является: для заданной производной Ф(х)
отыскать ее первообразную J {х).
Здесь учащийся вправе спросить:
Всегда ли имеется первообразная у заданной функции Ф(лг)?
Учащийся должен быть заранее предупрежден, что у всякой непре-
непрерывной на отрезке [а, Ь] функции Ф(х) действительно имеется
первообразная f(x).
Это значит, что:
всякая непрерывная на отрезке [а, Ь\ функция Ф{х) может
быть рассматриваема как производная от некоторой другой
непрерывной функции f(x)t т. е. f (х) = Ф(х).
Эта важная теорема математического анализа не допускает ника-
никаких исключений: безусловно у всякой непрерывной Ф(х) имеется
первообразная f(x). Совсем иной вопрос:
как отыскать для заданной непрерывной функции Ф(х) ее
первообразную f(x)?
Этот вопрос уже совсем иной природы, потому что математиче-
математический анализ, утверждая, что у всякой непрерывной Ф(лг) имеется
первообразная /(jc), вовсе не собирается утверждать, что ее можно
фактически (т. е. конечным образом) отыскать. И учащийся должен
быть предупрежден об истинности этой важной теоремы мате-
математического анализа, совсем независимо от того, умеет ли он оты-
отыскать первообразную для данной непрерывной Ф (х) и можно ли ее
вообще отыскать конечным образом.
Учащийся должен знать, что алгебраические и всякие иные ко-
конечные манипуляции необходимо приводят к весьма ограниченному
кругу неопределенных интегралов
/Ф (*)<**.

22 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
которые можно фактически (т. е. конечным образом) «взять», т. е.
выразить через комбинации известных нам функций, как-то: алгебраи-
алгебраических, тригонометрических, обратных круговых, логарифмических
и показательных, взятых в конечном числе. Каждые из перечислен-
перечисленных функций, а также и их всевозможные комбинации (в конечном
числе) составляют так называемый класс элементарных функций.
Этот класс, однако, далеко не исчерпывает всех непрерывных функ-
функций и, следовательно, далеко не всякий неопределенный интеграл,
существование которого доказано, может быть выражен через эле-
элементарные функции. Здесь наблюдаются на первых порах многие
неожиданности, которые можно приписать как бы капризу случая.
Рассмотрим, например, четыре интеграла:
dx Г \пх ,
f dx f
J sinx' J
Интегралы первой строчки очень похожи на интегралы второй
строчки, так как все их различие состоит только в том, что в них
вместо In написано sin. И, однако, между ними имеется большая раз-
разница. Первый интеграл первой строчки не берется в элементарных
функциях, второй же берется очень легко:
Наоборот, первый интеграл второй строчки берется:
/dx t , х
—^mtg
и /
второй же интеграл не берется (в конечном виде).
Тем не менее функции, которые изображаются интегралами / -г^—
s n x dxt существуют; значения этих функций могут быть вы-
X
числены с любой степенью точности посредством степенных рядов,
т. е. эти функции определяются с помощью бесконечного числа
простых алгебраических операций.
Интегральное исчисление предлагает ряд целесообразных приемов,
достаточных для довольно многих случаев. Но учащийся не должен
заблуждаться относительно силы этих приемов: приемы эти лишь
систематизируют и приводят в некоторый порядок первоначальный
подход при помощи непосредственного нащупывания и догадки, и ни-
ничего более.

§ 8 ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 23
§ 8. Таблица основных интегралов и непосредственное инте-
интегрирование* При современном состоянии науки интегрирование в сущ-
сущности есть процесс целесообразно направленных гаданий и попы-
попыток, для облегчения которых составлена таблица так называемых
основных интегралов.
Способ непосредственного интегрирования, о котором здесь
идет речь, состоит в том, что мы сравниваем данный дифферен-
дифференциал Ф(х)Aх, который надо проинтегрировать, с формулами
этой таблицы, и если окажется, что он там содержится^ то
интеграл найден.
Если же его там нет, тогда все-таки пробуют его привести
к одному из них, употребляя те или иные приемы, из которых неко-
некоторые требуют большого искусства или даже удачи, и достигнуть
этого искусства можно только практикой.
Ббльшая часть нашей книжки по интегральному исчислению будет
посвящена интегрированию таких функций, которые часто встречаются
при решении практических задач.
Таблица основных интегралов
II. J af(v)dv = aj f(v)dv.
III. f [f(v) + cp (v) — ф (v)] dv =
= lf(v)dv-\- fy(v)dv— Г ty
Vdv^^jpf + C, пф —
V.
VII. Jevdv = ev-
VIII. fs\nvdv = — cosv-\~C.
IX. j
XII. ftgvdv = — lncos^ + C.

24 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
XIII. Cctgvdv = lnsinv-\~C.
XVII*.
a' — vbdv^^-Ya* — v* + ¦?• arc sin -^ -j- C
§ 9. Формулы I, II и HI.
Доказательство I. Дифференциал левой части есть: d f df(v)—
=df(v), ибо знаки da Г в комбинации d Г взаимно уничтожаются (§ 6).
Дифференциал правой части есть также df(v). Следовательно, имеем
f df(y)—f(v) = C. Отсюда J df(v) = f(v)-{-C.
Доказательство II. Дифференциал левой части есть:
d С af(v)dv — af(v)dv, ибо комбинацию d Г надо зачеркнуть. Так
как а есть постоянное, дифференциал правой части есть: d (a jf(v) dv\=
= a • d Г f(y)dv = af(v)dv. В силу равенства дифференциалов, левая
часть отличается от правой на постоянное. Следовательно, имеем
Г af(v)dv — a J / (v) dv = C. Отсюда Г af(v)dv = a Г / (v) dv, где
выписывать произвольное постоянное С не имеет смысла, ибо оно
уже включено в знак неопределенного интеграла, стоящего в правой
частя.

§10 формулы iv и v 25
Словесно формула II читается так:
постоянный множитель можно писать или перед знаком
интеграла, или после него, не изменив результата.
Доказательство III. Дифференциал левой части есть:
d
l/
==== / (^0 dv ~~r~ 9 (^0 ^^ — Ф (^0 ^^#
Дифференциал правой части есть:
d Г \ f(v)dv-\- fy(y)dv— Сty(v)dv\ =
= d jf(v)dv-\-d J<f(v)dv — dj(
=f(v)dv-\-(f (v) dv — ф (v) dv.
Раз дифференциалы обеих частей равны, самые эти части разнятся
лишь на постоянное слагаемое, которое, однако, считается всегда
входящим в состав неопределенного интеграла.
Словесно формула III читается так:
интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме
интегралов этих же функций, взятых отдельно.
§ 10. Формулы IV и V.
, t -Ь С \ = vn dv, то мы
получаем:
Эта формула имеет силу для всякого численного значения пока-
показателя п, кроме одного: п = —1, ибо тогда в правой части фор-
формулы IV совершается деление на нуль.
Поэтому случай п = — 1 рассматривается особо в формуле V,
и он, действительно, дает совсем другой ответ.
Доказательство V. Так как d(\nv-\-C) — —— t то мы по-
получаем:
Эта важная формула читается:
если под знаком интеграла стоит дробь, числитель которой
есть дифференциал знаменателя, тогда интеграл есть нату-
натуральный логарифм знаменателя.

26 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. 1
ПРИМЕРЫ 1
Выполнить следующие интегрирования:
x^dx^-^-r-Y+C^^+Q по IV, где v = x и п = 6.
х2 2 —- 1
d* = —д— + С = -g- *2 + С по IV, где t/ = * и л = -^ .
/— Г
3. У ^~ = У лг-з rfjkr = ?^_ + с = — -g— + С по IV, где v = ^ и л = -~3.
4. / лл:5^д: = а / д:5 dx = -^ + с- по II и IV
5. Г B*з — 5*з — 3* + 4)rfJC =
= Г 2*з rf*— Г 5*аdx— С 3xdx + f 4dx= no III
= 2 С x*dx — 5 f x*dx — Z C xtfx + 4 f dx = no IV
—. j^ ° . ^ Ну I Г
- 2 з 2 -t-4*-t-u
Примечание. Хотя каждое отдельное интегрирование и требует
своего собственного прибавочного произвольного постоянного, мы пишем
только одно произвольное постоянное С, обозначающее алгебраическую сумму
всех этих отдельных прибавочных постоянных.
no HI
_А 1
Г2а* * dx— fbx~*dx+ Гзс*3 dx =
-I 2
2afx 2 dx — Ъ fx-*dx+3c Г *3 rf* = noil
^^^C= no IV
I 1
1 Когда учатся интегрированию, учащийся должен вслух произносить
интегрирование простых функций.

§ 10 формулы iv и v 27
Указание. Сначала развернуть куб разности.
8. / (* + bW)K dx =
Решение. Этот интеграл берется по формуле IV. Для этого помещаем
множитель 262 непосредственно левее xdx, т. е. под знаком интеграла;
обратную же величину -щ^ помещаем перед знаком интеграла. Эти постоян-
постоянные множители уравновешиваются друг другом по формуле II. Дальше срав-
сравнивают с формулой IV, полагая в ней v = а2 + №х\ п = -^ , dv = 2fc2;t djc
1 /»
Г (a2 + bW) * xdx = -^ J
¦ + с.
Примечание. Учащийся должен остерегаться выносить за знак ин-
интеграла какую-нибудь функцию аргумента х или, наоборот, вносить под.
знак интеграла какой-нибудь множитель, зависящий от х и стоящий перед
знаком интеграла. Эти операции он имеет право проделывать с постоянными
множителями (в силу формулы И), но отнюдь не с функциями, ибо от этога
обязательно изменится величина интеграла.
9.
Г Zaxdx Г
'J b* + cW=3aJ
х fix
Решение. I ,Г7 Г*~* = За / ,« , ^^ » по II
Это походит на V. Если мы поставим множитель 2с2 под знак инте-
интеграла, а его обратную величину у^- перед знаком интеграла, то величина
выражения от этого не изменится. Дальше сравнивают с V, где v = № 4- с^х*
dv = 2с2 xdx.
Весь процесс интегрирования таков:
Г Saxdx Г xdx 3 Г 2xdx _ За Г dx<*
J bt-\- fix* e J b*+ fc2*2 2 а J №-\- с2*2 ~~ 2 J
= За Г с^л:2 ^ За Г ^с2л:2 _ За /*
2с2 ,/ ^2 + c2jc2 2с2 ,/ Ь* + с*х* ~~ 2с2 «/

28 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
10.
Подставляем в интеграл, пользуемся Ш и интегрируем.
П. f'2?=±dx~x-
/x*dx л? , х* , , , 1Ч , п
__ = *__ + __ 1п(х+1) + С.
Решение. Сперва делим числитель на знаменатель.
Тогда
3 L
2Х 1 4
Решение. Делим: 2х + з ~ *""" 2^4-3 * подставляем, пользуемся III
и т. д.
ЗАДАЧИ
Выполнить и проверить следующие интегрирования:
8. f
f dx
' J x* x^b- 9. у
_ = —_
3. fxVTdx-ф + с. io /
, a, 11.
4. у yT C
T 12.
6. f C
14.
«. J
16.
,8.

10
формулы iv и v
29
20.
Г 3xdx _
2Ь J JxT+W
22. i xY2x* + 7dx
23.
24.
25,
26.
¦• J з^ —"~
A + |/^jc J dx =
i i
27.
28.
• /
оТзГ i ^"
32.
34.

30 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. t
36. f B+inx)dx ._ B + ln-*:J ] c
37. / sin* x cos x dx «= f (sin x)* cos x dx = (si^)8 + c.
Указание. Пользоваться IV, делая г> = sin jr, dv = cos
38. Г sin 2jc cos 2x dx = sin^ 2x + C.
. / sin^
2sin3-|-
39
«¦
•¦
51. f x + 2 dx = д; + 31 n (x — 1) + C
. J -i
52
54.
55>
ae'—b

§ 10 формулы iv и v 31
Выполните следующие интегрирования и проверьте ваши результаты
диф ференциров анием:
56. Г 2xdX
/2xd
-5*2
Решение,
С 2xdx Г dx* I rdF — 5x*)
, j j=^~ j ^__ — у у Jf=^ =
Проверка, d \—-^F— \
1
Г Г Г «о /* sin 6^0
57. [x*dx. 60. I (ЗуK dy. 63. / _/• й«
J J v ^ J V cos 9
6L|^,.
V —2
59. ffrWdt. 62. f-^Щг. 65. f %~2.
66. Г tg*wsc*w-dw. 74 /*(!!L?I^?
J " J 2*
jtl/4 — *2^лс. 75. I sc4ФtgФrfФ.
8 — 5 .
69.
J 2ctg
71. /"^i
78. I—**.
79
- sin a9
72. fex(ex + 2)*dx. 80. Г^1!1^^
7o. / I у ) dy. 81. / -г—1 dx.
J \ У / J e* — г
cos*

32 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
§11. Формулы VI и VII. Эти формулы следуют сразу из со-
соответствующих формул дифференцирования.
Пример. Доказать / bcF* dx = -^- \- С.
Решение. Г ЬсР* dx=*b Г а?х dx по II.
Это походит на VI. Полагаем 2х = v; тогда dv =* 2dx, Если мы по-
поставим теперь множитель 2 непосредственно перед dx и множитель -^ впе-
впереди знака интеграла, мы имеем:
Ь j a** dx = ^ f a**2dx^^ f a™dBx) =
ЗАДАЧИ
Выполнить следующие интегрирования:
1.
7. У\^« —e~)dx~* a\e« — e^J) + C.

§ 12 формулы vm-xv 33
Выполните следующие интегрирования и проверьте ваши результаты
дифференцированием:
16. Г #i-* dx. 22. / (?-?Щ dx. 27# f *sin *' cos nt dt.
J J \ €Г I J
x -
17. J \? dx. 23. j (?d?l . 28.fxe-**dx.
18. [ne* dx. 24. Г 2etg9 sc*9 db. 29, Г(^ — ^•О0^
J J J
19. J 6* dx. 25. / -—Jj йГл:, 30. f D^)* </.t.
//• rx*dx
(e* + x)dx. 26. I 0?**K?*. 31. / "-3".
J J в
21. У*^..
§ 12. Формулы VIII—XV. Формулы VIII—XI сразу вытекают из
соответствующих формул дифференцирования.
Доказательство XII.
/, Г sin v . С — sin v dv l*d cos v
ь J cosv J cos t/ ,/ cos v
= — In cos t? 4- С по формуле V.
Доказательство XIII.
'. no формуле V.
Доказательство XIV.
f _*_ Г ^ _ [ 4 в f'jLlL
I sin ?/ I « f v I v л v I v
J J 2sinTcosY J tgT.cos*T J «IT
Доказательство XV.
COS V
Пример 1. Доказать правильность равенства:
. о ^ cos %ах г-
sin 2ах йх=* ^ h С
3 Интегральное исчисление

34 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
Решение. Это походит на VIII. Полагаем v = 2ax; тогда dv = 2adxr
Если мы теперь поставим множитель 2а непосредственно левее dx и об-
обратный множитель -^- перед знаком интеграла, то получим:
/ sin 2ax dx = Y~ I sin %ax * ^а dx I = о~ /
Пример 2. Доказать следующее интегрирование:
(tg 2s— l)*ds = y tg2s + In cos 2s + C.
Решение, (tg 2s — 1)* = tg* 2s — 2 tg 2s +1, причем tg» 2s = ^J^ — 1.
Отсюда, подставляя, имеем:
Полагаем v = 2s; тогда dv = 2tfs. Формулы Х и XII побуждают нас сде-
сделать следующие шаРи:
J tg2sds ==y J tg2s ^ Bs) |^= 1 У* tgir rft; == — -j In cos w
ЗАДАЧИ
Проверить следующие интегрирования:
1. f sin^dx = — 2cosy+C
2. / cos 36 d0 = -g- sin 30 + С
3. I tgпФdФ~ In cos лФ + С.
4.
6' r^T
J S a

§ 12 формулы vni—xv 35
9. Гsc 20 • tg36 rf6 =-i-sc36 + C.
10. / esc -jctg-|-dty.= — 4cscr|--f C.
sin — dx
-
12.
13. / X tg (Jt2) djt = _ -L In COS (JC2) + C.
Указание. Умножить числитель и знаменатель на 1 — cosx и пре-
преобразовать до интегрирования.
i «x!» j ds
16.
Г s
»7- j
COS 5
sc2 x dx
18. Г ^ cos ё* dx = sin e* + С
sin« -g- cos -g db = sin» -j + C.
20. / (лг — cos 2x) dx = -j (x* — sin 2лг) + С.
21. Г
«/ /
22. r-^l
J 2sl4
Выполнить следующие интегрирования и проверить полученные резуль-
результаты дифференцированием:
23. / sin^rfjt. 26. / Xg-^db.
24 fl*L 27.
* J sin 4s *
25. i o, cos ^8 d§* 28.

36 ИНТЕГРИРОВАНИЕГЛ. I
Г dx 40 f
J sin (b —ax)* * J
Jdx
a
29.
30. I -?.. 41.
— COS 2X '
cos 2л г/j:
32.
44.
J cos/иФ л
• J sin7jc
33. / %&=rdx.
j* sin// dt 45 /* sc^rtg^^
J 4УТ * * •/ 2 + 3scj:
Ctg^dx 46. Г-^L.
ffi# J —F~ * л
*> 47. j x*sin(x*)d.
36. J (!+2sc6)«rf8. J
37. /B-
38. J(tgS-CtgS)^s. 49. j{l-
§ 13. Формулы XVI—XIX. Формулы XVI—XVIII легко выво-
выводятся из соответствующих формул дифференцирования.
Доказательство XVI. Так как
то мы получаем:
Доказательства XVII и XVII*. Докажем сперва XVII. Ал-
Алгебра дает нам равенство:
1 1 _ 2а
v — a v-\- а V'1 — а2 *
Отсюда
_J ±г_! i_l
v2 — &~2а\у— a v+aj*
Поэтому
Г dv _ 1 /* flft; 1_ Г dv _
J v2 — а2 2а J v — а 2а J v + a

§ 13 формулы xvi-xix 37
Та же алгебра для XVII* нам дает:
Остаток доказательства тот же самый.
Примечание. Интегралы XVII и XVII* связаны очевидным равен-
равенством:
Г dv _ Г dv
J ф — а*~~ J л» — о»'
Отсюда следует, что к каждому случаю применимы одновременно обе
формулы. Позднее мы увидим, что во многих случаях обстоятельства застав-
заставляют избрать только одну формулу, отбросив другую.
Доказательство XVIII. Так как
dv
d (arc sin — + Cj = -
то
dv
a
Доказательство XIX. Так как
то
dv
Пример. Произвести интегрирование:
dx
4х* +!
Решение. Это напоминает XVI. Ибо, полагая w2 = 4х2 и а2»9, мы
имеем: v ¦» 2х, dv = 2 dx и а = 3. Поэтому, если мы ставим множителем
при dx число 2, а перед знаком интеграла -^-, то получаем:

38
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ГЛ. 1
ЗАДАЧИ
Проверить следующие интегрирования:
dx 1 х . п
¦•/
3. f dy = arc sin L + C.
J /16 —y» 4
In (s + Y&~-
4.
— 4
* Г rfjC l In (
8,
9.
10.
'¦I
dt
dx
Zdw
2/6
dx
dx
dx
^- arc sin ~y
у In
i xYl
'¦ Tf= arc sin —~ \- С
zax =J-\n(x.y?> +/5^ + 2L-С
/5^ + 2 /5
Г cos t dt
14 /
• J 4 —sin^f
15. f 4xdX « 2 arc sin (jfi) + С
«/ у 1-х*
16.
17.
*fo
> arc sin
Выполнить следующие интегрирования и проверить полученные резуль-
результаты прямым дифференцированием:
19.
/i
rfy
20.
Г dt
J 9^+16*

§ 13 формулы xvi-xix 39
sin e „8
30 f dx
- J 4__B«-l)»#
28. / л 5^3.
В табличных формулах XVI — XIX в знаменателях — либо непо-
непосредственно, либо под корнем — содержатся выражения 2-й степени
только с двумя членами. Если же нам встречается интеграл анало-
аналогичного вида, но содержащий в знаменателе — непосредственно или
под корнем — полное выражение 2-Й степени с тремя членами,
то его надо сначала преобразовать в двучленное выражение.
Для этого берут сумму двух старших (переменных) членов и попол-
пополняют ее постоянной величиной так, чтобы образовался точный квадрат.
Эту постоянную величину подбирают надлежащим образом. Как это
делается, показано на трех следующих примерах.
Пример 1. Выполнить интегрирование:
dx 1 . х-\-\ . _
# + 2х + Ь = _-агс<§—2 +С
Решение, Имеем:
д:2 + 2х + 5 = (х* + 2х + 1) + 4 =- (х + 1 )* + 4.
Значит:
dx
Г d* - Л
J jfl + 2x + 5 J
Это походит на XVI, ибо можно положить г/ = дс-)-1 и « = 2. Тогда
dv авв dx. Поэтому интеграл становится
Пример 2.
Решение. Это походит на XVIII, ибо коэффициент при х* отрица-
отрицательный. Имеем:
1 3
Полагаем v=*x — -7rt _= —. Тогда dv =-dx.
dx
Л2 f r-^—¦ = 2arcslnil + c1=2arcsln——- + C. (no XVIII)
L J Va2__.t,_ a } 3

40
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ГЛ. I
Пример 3.
J
dx
— 7 в 10
10 3
Значит:
С dx Г
J а*» + 4ж — 7 ~J
dx
1 С dv_
T У И —л« '
(П0
ибо можно положить:
1 С dv I tf-
5
j. Тогда dv = dx и мы находим:
*а- 5
Г
ЗАДАЧИ
Выполнить следующие интегрирования:
¦•
4- У ^-
«/ 4л: —jc2
^ arc
3
: —4

§ 13
ФОРМУЛЫ XV1-XIX
41
14. / r — -=
"•/*=!
Взять каждый из следующих интегралов и проверить результаты диф-
дифференцированием:
Ых
,3./
, f dJL .
J 4x — x* — 2
'•/-г^Ьг-
-•/
/
19,
20
29,
30
x*dx
bdy
—2Г
22.
23.
24
25,
26.
4dt
6л^ + 5 '
Г dx
J /13 —12*— л:* #
31 Г dx
* ,/ /16 — 6jc — x} '
32 /* ^
33 Г *
l2da
9jc2 — 3jc—]
/ 4rfjt
Если интегрируемое выражение есть дробь, у которой анамена-
тель есть выражение 2-й степени или корень квадратный щ такового,
а числитель есть выражение первой степени, тогда интеграл при-
приводится к табличным интегралам, как это показывают следующие
примеры.

42 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
Пример 1. Доказать, что
4 2
Решение. Разбиваем интеграл на части:
dx
р
f y-i^^y f.*%-/
каждую из которых берем в отдельности по формулам IV и XIX.
Пример 2.
13. Зх — 2
¦зо)пз1+Т +
К 2 \* 251 2
¦*~*и"] 9~ Г Полагая у==^ + "з-
2
2
Подставим:
2
имеем: х = t/ 5* и
о
'(-4)-'
2х — 3 . *Д ЗУ " . 1 6«-13
¦dx= I —Ц '-K=-—dv = -7r
1 I 2t>rft> 13 j rfv
e/ V 9 J V 9
2
Пользуясь V и XVII и делая обратную замену v =* х + -т i мы получаем
искомый результат.
ЗАДАЧИ
Выполнить следующие интегрирования:
/" (блг—l)rf;c 1
- J 1-9^ =T
f B.-3)^ =1
./ Зл:2 —2 з
f B.-3)^ =1,3^-2)-!^m
/ З2 2 з ^4
5,
ZTT- InU + V^^I) + С
. Г (-у —l^f ^^./Г^^"— arc sin* + С
6.
7. Г O-g
J /1—

13
ФОРМУЛЫ XVT-XIX
43
2je—4jc2 — 5H arcsin
2
17. Г (^-
«/ /4х«_
JO /* (8x — 3)dx
Взять каждый из следующих интегралов и проверить результаты диф-
дифференцированием:
19.
0 f(x-Z)dx
- J xi-.\ -
Г Gx-3x)dx
1. J ъ_2х, •
Г (Q-x)dx
./ 5лг—л* '
f (x-&)dx
Г Cx^-5) dx
3 r
29,
30,
/Ejc—¦ 3)dx
x% — $x — 7 •
'* J *2—.8jc+18*
]-fvi
xdx
Y*x + 9x* '

44 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
34.
Г Fx + 5)dx
J Уб + х — х* '
— 4* + 5
§ 14. Формулы XX и XXI. Для получения этих формул мы
прибегнем к способу так называемого «интегрирования по частям»,
который будет разъяснен дальше и сущность которого заключается
в следующем.
Часто бывает трудно взять какой-нибудь интеграл С udvf где
и и v суть некоторые данные нам функции того или иного незави-
независимого переменного, но зато, взамен этого, иногда оказывается легко
взять интеграл jvdu, который можно записать, обменяв местами
буквы и и v в предыдущем трудно берущемся интеграле. Такие два
интеграла называются взаимными один по отношению к другому.
На первый взгляд кажется, что сумму двух взаимных интегралов
нзйти так же трудно, как и каждый из них в отдельности. Но такое
заключение обманчиво, ибо эта сумма вычисляется мгновенно и дает
чисто алгебраический результат: произведение и • v.
Чтобы видеть это, возьмем формулу Лейбница
A)
и проинтегрируем это равенство:
С d (uv) = f и dv-\- Г v du.
В левой части знаки интеграла и дифференциала, поставленные
рядом, взаимно уничтожат друг друга и дадут произведение и • v%
к которому не имеет смысла присоединять произвольное постоянное,
потому что в правой части стоят два неопределенные интеграла,
включающие в себя, и без того, прибавочные произвольные постоянные.
Следовательно, предыдущее равенство перепишется в виде:
и • v= f udv-\- j vdu. B)
А это и означает, что сумма двух взаимных интегралов равна
алгебраическому выражению и • v.
Из этого равенства следует, что если нам известен один из взаим-
взаимных интегралов, например fvduf то другой взаимный интеграл
С udv можно считать уже найденным, ибо из равенства B) мы имеем:
XXIL fudv — uv—fvdu.

ФОРМУЛЫ XX И XXI
45
Указанный прием есть излюбленный прием интегрирования, и <rfk
носит название «интегрирования по частям». Успех этого приема
зависит, разумеется, от удачи в выборе функций и и v.
Доказательство XX. Обозначим через / неизвестный нам
интеграл:
Умножая и деля на
2. имеем:
Первый интеграл легко берется по таблице:
D)
Второй же интеграл легко выразить опять через /. В самом
деле, имеем:
J Ya*—v* J 'lYcfl — vi J 21^*2 —t/* •'
[применив интегрирование по частям)
«х/ТЛх2 — tfa— J V<&-~V* dv^vYaP—v*—!. E)
Сделав подстановку в равенство C) результатов D) и E), имеем:
(б)
В это уравнение не следует вносить произвольного постоянного С,
ибо таковое включено в /. Таким образом, мы получили одно алгебраи-
алгебраическое уравнение F) с одним неизвестным /. Решая его относи»
тельно /, имеем:
и окончательно:
Доказательство XXI. Обозначим через / неизвестный нам
интеграл:

46
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ГЛ. I
Умножая и деля на у v2 ± а2, имеем:
Г v2±a* , Г v*dv I С ±a2dv
I'—" / — . — civ —: I ' —|— I -
Второй интеграл содержится в таблице:
J Yv2 ± a2 ^~ J V
Первый интеграл легко выразить опять через /. В самом деле,
имеем:
J Yv* ± а2 ^ 2 Yv2 ± л2 t/ 2 У"г/2 ± а2 •/
[применив интегрирование по частям]
—I. (9)
Сделав подстановку в равенство G) результатов (8) и (9), мы
получаем:
= ±
±
(Ю)
Решая алгебраическое уравнение A0) относительно буквы /, мы
находим:
± аг ± *!Lin
Пример 1. Доказать, что
Решение. Сравниваем с XX, где полагаем а2 = 4 и v = 3x. Тогда
= 3dx. Отсюда
Употребляя формулу XX и восстановив: т/ = 3* и а2 = 4, мы получим
ответ.
Пример 2.

§ 14
формулы хх и xxi
47
, 3** + 4* — 7 = 3f/* + ~? — ^
Решение,
2 5
где v = x+>7r и л==^-. Тогда dv = dx. Значит,
Г/3*2 + 4* —7rf* = /3 f /if* —aa dv.
Применив XXI и восстановив г/ =
2 5
^- и а = -5-, мы получим ответ.
1# Г /1 —.
2. Г
ЗАДАЧИ
-? У1 — 4л:2 4--1 arc sin 2дг + С.
С.
3. /|/ "Х — ltfA: = ^Vrl2^4---ln(Ar + T/3^
/25 — 9^2 ^=1-/25 — 9*2+ ±: arc sin 4?- +С.
• 5. Г
9
10.
" f^Z-~2x —
+ С.
arc sin * j/ -| + С
_2лг —x2 + 2 arc sin ^Ц=-! +С.
^r
С.
+У10 —
Взять следующие интегралы и проверить дифференцированием резуль-
результаты:
И. f /16 —
12.
13.
14. J /25 — 36*з dx.
15. Г/5 —
4*2
16. ГУз + 2л:--д:2 ^дг.
17. Г У д:2 + 4дг+ 13 dx.
18. Г /9*2 —12* tf*.
19. Г/8 + 6* —9*2 tf*.
20. Г/4*— 1 — *2 rfjc.

48 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
§ 15. Тригонометрические дифференциалы. Рассмотрим теперь
некоторые тригонометрические дифференциады, часто встречающиеся
и легко интегрируемые приведением к основным формулам путем
простых тригонометрических преобразований.
1. Найти f sinm x cosw х dx.
Если одно из чисел тип есть положительное нечетное число,
причем все равно, каково будет другое, то легко выполнить инте-
интегрирование посредством формулы (IV):
В самом деле, интеграл приводится к форме
С (члены, содержащие только cos x) • sin x dx%
если у sin л; — показатель нечетный, и к форме
{(члены, содержащие только sinx)*cosxdx9
если у cos jc — показатель нечетный» Поясним это примерами.
Пример 1. Найти f sin2jccos5.*rfjc.
Решение. Г sin2 jc cos5 jc dx » f sin2 jc cos4jc cos jc dx я
¦в f sin2 jc A — sin2 jcJ cos xdx— С (sin2 jc—2 sin4 jc + sin* jc) cos jc dx
sin3 jc 2 sin5 jc sin7 jc
Пример 2. Найти f cos^xdx.
Решение, f cos» jc rfjc = f cos2 jc cos jc rfjc « f A — sin2 jc) cos jc ^jc
ев / COS JC rfJC — / Sin2 JC COS JC dX s=s Sin JC —
ЗАДАЧИ
1. / s!n8jctfjc=s-^cos«jc — cosjc + C
2. f cos» 26 sin 26 48 ^ — C0S^ 26 + C.
3. /
S" ^

§ 15ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ49
' J
5- J -^
da
Г ~ 7 — 7 —
6. / sin 7 <f cos8 <p dtp = ^ sin ' 9 — -nj sin 7 <p -(- С
2. Найти ftgnxdx или fctgnxdx.
Эти выражения легко интегрируются при л целом, почти по
тому же плану, как и предыдущие примеры.
Пример* Найти Г tg4 x dx.
Решение. ftg*xdx=* Г tg* .* (sc* дг — l)dx= С tg^ x sc* x dx —•
— f tg*xdx=* f (tgx)*d(tgx) — f(sc*x—l)dx~^^—tgx+x+C
3. Найти f$cnxdx или fcscnxdx.
Эти выражения интегрируются легко, когда я есть целое поло-
положительное четное число.
Пример. Найти f sc*xdx.
Решение. С $<fi x dx =» Г (tg* jc +1)* sc* xdx «=
aa Г tg4 .* SC* JT ^ + 2 f tg* Jt SC* X dX + С 5C* XdX=*
4. Найти ftgmxscnxdx или f ctgm x c$cn x dx.
Когда п есть положительное четное число, поступаем, как в при*
мере 3.
Пример 1. Найти С tge x sc4 x dx.
Решение, f tg« x sc4 x dx =* f tg« x (tg* х + 1) sc* Jfrfj: =
щ* Jtg*xsc'*xdx+ f
4 Интегральное исчисление

50 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
Когда т — нечетное, можем поступить, как в следующем примере»
Пример 2. Найти Г tg5 х sc^ х dx =* Г tg4 x sc3 * sc x tg jc rf* =
= Г (sc2 * — IJ sc2 x sc jf tg x dx = l (sc6 .* — 2 sc4 x + sc2 *) sc jc tg х rf^ =
sc7 jc 2 sc5 .* J sc3 л* ^
ЗАДАЧИ
1. ftgbxdx^l^— ^^-— lncosjc+C.
2. f ctg*xdx = — cXg*X —lnslnjc + C.
/1 i
Ctg5 ada = — — ctg4 a + -j- Ctg2 a + In Sin a + С
5.
13. У (tg t + ctg О8 Л = -j (tg2 ^ — ctg31) + In tg21 + C.
5* Для нахождения интегралов типа С sinmxcosnxdx> когда или
т, или п есть нечетное положительное целое число, кратчайший
способ указан в пункте 1 этого параграфа. Когда же т и п — оба
четные положительные целые числа, данное дифференциальное вы-
выражение можно преобразовать посредством надлежащих тригономет-

§ 15 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 51
рических подстановок в выражение, содержащее синусы и косинусы
кратных углов, и затем интегрировать. Для этого служат формулы:
sin a cos и = ~2" sin 2а;
sin2 и = -н- — у cos 2а;
cos2 и = 7)—|-о- cos 2a m
Пример 1. Найти Г cos2 .*<!*.
Решение. I co$2xdx = I (-^ -{--^ cos 2x\ dx =
Пример 2. Найти Г sin2 x cos2 x dx.
Решение. I sin2 x cos2 x dx = -^ / sin2 2x dx
—2 ^
Пример 3. Найти Г sin4 jt cos2 л: dx.
Решение. Г sin4 jc cos2 x dx = Г (sin * cos *J sin2 x dx =
= / i.sin^2jcfi- — -lcos2rW=»
= -g- / sin22jcrfjc —^- / sin2 2л: cos 2д: ^л: =
=*~ / ^-1 —i-COs4^^ —i / sin2 2x cos 2л: йГа:
_?_ sin 4л: sinB2л:
16 ~64 ^"
Пример 4. Найти Г sin mx cos лл: fifjc, Г sin mx sin /г* д?л:
Г cos /«л: cos nx dx, если
Решение.
sin тл: cos лл: = у sin (яг + л) х + у sin (яг — п) х,
откуда
/ sin ягл: cos лл: dx = у / sin (яг + л) л- й?л: + у / sin (m — л) л: ^л: =
cos (m + n)x cos (яг — л) л:
2 (яг + п) 2 (яг — п)

52
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ГЛ. I
Подобно этому найдем:
sin mx sin nxdx=* —
, sin (m — n) x r
+ 2(m--n) +C*
sin (m + n) x , sin (/n — n) x , ^
cos /ил: cos лдг дГлг = —n\ \ \ ^ { [- C.
2(m-\-n) l 2(m — n) '
ЗАДАЧИ
s\n4x
\ + С.
7. / COS -j X Sin -j- JC rfJC =a *¦ COS JC + COS -^ Jf + C.
§ 16» Интегрирование выражений, содержащих У^а2 — хг ил»
У х2±а? ,при помощи тригонометрических подстановок, В боль-
большом числе случаев при интегрировании выражений этого типа весьма
быстро приводят к цели следующие подстановки:
для выражений, содержащих Уаг — хг% подстановка х —
» » » Ya2 + хг » х — atgz,
а2 » х
—-—
cos г
Можно воспользоваться также соответственно подстановкам»
Пример.
Решение, Положим ж = a sin z; тогда dx=*a cos z^/z и
dx Г a cos z dz 1 Г dz 1
Г dx Г
J j- J
2
a _ Л3 sln2 Z)
как
+ CL

§ 17 О МНОЖЕСТВЕННОСТИ ОТВЕТОВ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ 5&
§ 17. О множественности ответов при интегрировании. Уча-
Учащийся в первое время бывает немало смущен, видя, что самые разно-
разнообразные ответы на один и тот же неопределенный интеграл ока-
оказываются все одинаково верными, т. е. как будто мы имеем здесь
множественность верных ответов. Легко, однако, понять причину
этого кажущегося парадокса.
Возьмем самый простой пример:
/
с другой стороны,
Г sin 2хdx == f 2 sinx cos x dx = 2 Г sin x d sin x = sin2 x-f-C.
Ответы как будто различные.
На самом деле ответы всегда тождественны между собой*,
и кажущееся различие ответов всегда вызывается различием
произвольных, постоянных в этих случаях, обозначенных тем не*
менее одной и той же буквой С.
Это легко обнаружить на приведенном случае. Действительно, из^
тригонометрии учащийся знает, что
sin2 х — -о- — -я" cos 2x.
Различие произвольных постоянных (здесь на у) и создало*
здесь кажущееся различие самих ответов.
С обстоятельством подобного рода учащийся встречался уже
в самом начале этой главы, в таблице основных интегралов, где
одновременно
/dx
r . . ¦ = — arc cos x -4- C.
V1 — jc2
Но из тригонометрических соотношений
— уj s= д: и sin ,y = л
cos
следует:
— y = &tccosx и j/== arc sin х,
откуда после сложения вытекает, что arc sin л;-f-arc cos х =-п-¦

54 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I,
Таким образом, мы видим, что произвольное постоянное С второго
ответа равно произвольному постоянному первого ответа, увеличен-
увеличенному на ^*
ЗАДАЧИ
dx = у х2 — а2 — a arc cos \-C.
X
»•/
dx __ B.K2 — 1) y^ +J_
+ C.
dx
а2х
§ 18. Интегрирование по частям. Если а и v суть функции
одного независимого переменного, тогда по формуле дифференциро-
дифференцирования произведения мы имеем:
d (uv) = adv + vda.
Отсюда
udv = d {uv) — vda.
Интегрируя, мы находим:
XXII. Г udv = uv — Г vda.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Полученная формула XXII позволяет нам проинтегри-
проинтегрировать дифференциальное выражение udv% если мы
умеем выполнить интегрирования дифференциаль-
дифференциальных выражений dv и vdu.
Этот метод интегрирования по частям есть излюбленный метод
в интегральном исчислении.
Чтобы применить его в каком-нибудь данном случае, нужно уметь
разбить заданное дифференциальное выражение на два множителя,
именно: на и и на dv. Общих правил для этого, к сожалению, ни-
никаких нельзя дать, кроме:
a) dx всегда должен быть частью dv\
b) надо уметь интегрировать dv\

§ 18 интегрирование по частям 55>
с) когда интегрируемое выражение есть произведение двух
функций, тогда наиболее сложный множитель надо рассматри-
рассматривать как часть дифференциала dv.
Следующие примеры покажут, каким образом применяется на деле
правило интегрирования по частям.
Пример 1. Найти Г xcosxdx.
Решение. Пусть
и = х и dv =s cos x dx%
откуда
du=sdx n v=* I cos x dx =» sin x.
Подставляя в XXII, имеем:
и dv и v v du
I x cos x dx =* x sin x — I sin x dx •= x sin x -\- cos x + С
Пример 2. Найти I x In x dx.
Решение. Пусть
и =я In ^ и dv = xdx,
откуда
. <** Г . ^
Подставляя в XXII, имеем:
»/ 2. J 2. х 2, ^
Пример 3. Найти Г хеах dx.
Решение. Пусть
и = еах и dv ^ х dxt
откуда
d# = ^^ай^д; и v =1 xdx = -^.
Подставляя в XXII, имеем:
f xe«* dx =e«*^- f ^e«*adx~^P-~% f
Но xW dx интегрируется еще сложнее, чем хеах dx, а это показывает»
что мы здесь выбрали наши множители не надлежащим образом. По-
Положим вместо этого
и = х и dv^e^dx,
откуда
/еах
еах dx = •
а
Подставляя в XXII, находим:

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
Может случиться, что формулу интегрирования по частям придется при-
применять несколько раз, как в нижеследующем примере.
Пример 4. Найти Г jkV" dx.
Решение. Пусть
и =* ха и dv
откуда
и
Подставляя в XXII, имеем:
a
^L-Z- fxe**dx. A)
a a J v/
Интеграл в последнем члене был уже найден в предыдущем примере
•с помощью интегрирования по частям:
Подставляя этот результат в A), имеем:
а
Пример 5; Показать, что
/1 1
sc3zdz = y scz t22' + ~2 ln
Решение. Полагаем
и
тогда
dtdz и
Подставив в XXII, имеем:
С sc* zdz =*$cz*tg z — J sc г • tg« г • rfs.
В новом интеграле подставляем tg*?=*sc*2r—I. Это нам дает:
Г sc^ z йГг == sc z • tg z = Г scs г dz + In (sc г + tg г) + С.
Перенеся интеграл в левую часть и разделив на 2, мы имеем требуемый
результат.
Пример 6. Показать, что
е*х (a sin nx — n cos nx)
= ^ ^^ '-
/
Решение. Полагаем и=*еах и dv » sin nx dx.
Тогда
ЛА * cos nx
du === аеал dx и w = —

§ 18 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 5Г
Подставляя в формулу XXII, имеем:
fe°x sin nxdx = - *** C°S nX +± fea* cos nxdx. B>
Новый интеграл опять интегрируем по частям. Полагаем:
а = еР* и rfv ==» cos nx dx.
Тогда
л* . Sin ПХ
d axd и »=а— .
Отсюда по формуле XXII мы получаем:
/V* cos nx dx « *** Sin ** -~ fe**s\nnxdx. C>
J n n J v Л
Уравнения B) и C) суть система д^вух алгебраических у^р а в нений
с двумя неизвестными, каковыми являются интегралы I ^^sinnArJx
и Г еах cos njf dx. Уравнения эти первой степени относительно неизвестных
интегралов и чрезвычайно просто решаются. Решая эти уравнения, мы тот-
тотчас же получаем наш неизвестный интеграл I eax sin nx dx и еще раз, как
своего рода прибыль от метода или побочный продукт, другой интеграл:
Г е°х cos nx dxt который от нас не требовали, но который также полезен.
Среди наиболее важных применений метода интегрирования по
частям является интегрирование:
a) дифференциалов, содержащих произведения;
b) дифференциалов* содержащих логарифмы;
c) дифференциалов, содержащих обратные тригонометриче-
кие (круговые) функции.
ЗАДАЧИ
Выполнить следующие интегрирования:
1. j xsinxdx = sin* — л: cos x-\-C.
2. f lnxdx = x(lnx— 1) + C.
3. / х sin2x dx =• — i x cos 2дг+ i- sin 2x + С.
Г 1 1
4. / x cos 3xdx =-gx sin 3x + -g- cos 3* + C.
5. / xsc*2xdx = yA:tg2* + -^Incos 2jf + C.
6. I x sin2 -j dto = -^- *2 — -j jc sin x — -?• cos x + С

58 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. I
7. / x*sin2xdx =* — у д:2 cos 2д: + у д: sin 2дг +-^ cos 2дг + С.
8. / sin х cos Zx dx s=s -^- C sin л: sin Зл: + cos x cos Здг) + С.
9. fxnmxdx-^-^nx—^j + C.
10. I arc sin xdx = x arc sin д: + j^l — x2 + С
11. / arc tg jc ^дг =s x arc tg jc—^ In A + ^2) + C.
/1
arc ctg ydy = y arc ctg у + -н* In A + у2) + С.
13.
14. у J
15# [mtgxdx^ / ^ v arctg*
16.
17.
18. / e* sin tdt = -9- (sin t — cos t) + C.
e* cos 8 dQ = -j- (sin 8 + cos 8) + С
on /* sin Ф Д^Ф _ sin Ф + cos Ф j^ ^
e/ ^* 2^Ф
e* cos 3^ Л я -rr^ C sin 3^ + 2 cos 30 + C.
^-e sin 38 db » -^- (sin 38 + 3 cos 38) + C.
Г xe* dx __ x . ^
21
22,
23,
Взять каждый из следующих интегралов и проверить результаты диф-
дифференцированием:
25. fxcsc*3xdx. 27. fx*cos~dx.
:26. I xcos*~dx. 28, J sin Зл: cos д: dx.

§ 19 пояснение 59
29. Г sin e sin 30 d6. 38.
. ГсозФсоэЗФ^Ф. 39. J Bx + x*)*dx.
f
30.
40.
41. f
43.
L
e* sln2tdt.
/ e-^cosy^.
4- J
45. feKintdt
46.
§ 19. Пояснение. Интегрирование, в целом, является действием
более трудным, чем дифференцирование. В самом деле, каким бы
простым ни казался (на первый взгляд) интеграл
xsinx dx,
его взять нельзя, ибо,не существует никакой элементарной функ*
ции (т. е. являющейся комбинацией конечного числа х функции от
функций, начиная с написанных в таблице дифференцирований), про-
производная которой оказалась бы равной у х sin x. Вся трудность инте-
интегрального исчисления заключается в невозможности сразу сказать»
берется какой-то написанный интеграл или не берется. Чтобы помочь
технике интегрирования, составлены специальные таблицы типов беру-
берущихся интегралов. При этом, открытие того или иного широкого
класса берущихся интегралов всегда является результатом решения
трудной научной проблемы.
1 Число это может быть невообразимо огромным, например, исчисляю-
исчисляющим триллионы операций «функции от функций».

ГЛАВА II
ПОСТОЯННАЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 20. Определение постоянной интегрирования из начальных
условий. Как было выяснено в § 2, результат интегрирования со-
содержит произвольную постоянную величину, т. е. задача нахождения
первообразной функции по данной функции дает бесчисленное мно-
множество ответов. Однако многие задачи, решающиеся при помощи
интегрирования, Требуют нахождения одной определенной перво-
первообразной функции, а так как все первообразные функции отличаются
друг от друга только значением произвольной постоянной, то значит,
нахождение определенной первообразной функции сводится к нахо-
нахождению определенного значения произвольной постоянной. Очевидно,
в таком случае нам должно быть известно значение интеграла для
некоторого значения переменного. Поэтому условия задач такого
рода, помимо дифференциального выражения, содержат еще и неко-
некоторые дополнительные данные. Поясним это примером.
Пример. Найти функцию, производная которой есть З*2— 2х + 5, при-
причем значение функции должно равняться 12 при х = \.
Решение. (Злг2— 2x-\-b)dx есть данное дифференциальное выражение,
которое нужно интегрировать. Имеем:
J Cjc* — 2x + 5) dx =r xS —
где С—постоянная интегрирования. По условию задачи этот результат
должен равняться 12 при х = 1, т. е.
12 = 1 —1+5 +С, или С=*7.
Искомая функция будет, следовательно, л:3 —
§ 21. Геометрическое значение постоянной интегрирования.
.Поясним примерами.
Пример 1. Найти уравнение кривой, в каждой точке которой угловой
коэффициент касательной равен 2х.
Решение. Так как угловой коэффициент касательной к кривой в любой
dy dy
точке равен -j^, то по условию задачи имеем —- *= 2xt или dy = 2x dx.
-Интегрируя, находим:
y=*2jxdx, или

§ 21 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 61
где С—постоянная интегрирования. Если постоянной С дадим ряд значений,
например 6, 0, —3, то уравнение A) даст:
значит, наши кривые суть параболы, оси которых совпадают с осью OY,
причем эти кривые отсекают на оси OY отрезки 6, 0, —3.
dy
Для всех парабол A) (число их бесконечно велико) —- при заданном х
имеет одну и ту же величину, т. е. направление их (или, что одно и то же,
угловой коэффициент касательной) одинаково для одного и того же значе-
значения х. Легко также заметить, что у любых двух кривых разность ординат,
соответствующих одному и тому же значению х, остается неизменной. Сле-
Следовательно, можно получить все эти параболы, просто передвигая поступа-
поступательно одну из них вверх,или вниз на величину С, ибо в этом случае зна-
значение С на угловой коэффициент касательной не влияет (рис. 3).
Если в этом примере ввести добавочное условие, потребовав, например,
чтобы кривая проходила через точку A,4), то координаты этой точки должны
удовлетворять уравнению A), откуда 4 = 1 + С, или С = 3. Следовательно,
искомая, в этом частном случае един-
У ственная, кривая будет парабола у=*{3
Рис. 3
Рис.4
Пример 2. Найти уравнение такой кривой, чтобы угловой коэффициент
касательной к этой кривой в любой точке равнялся отношению абсциссы
к ординате со знаком минус.
Решение. Условие задачи выражается уравнением
dx в"~У
или, отделяя переменные (освобождаясь от знаменателей):
у dy = — х dx.
Интегрируя, найдем
* 2
ИЛИ
Уравнение представляет совокупность всех концентрических окружностей
с центром в начале координат (рис. 4).

62 постоянная интегрирования гл. и
Если бы в начале было дано дополнительное условие, чтобы кривая
проходила через точку C, 4), то мы имели бы:
Следовательно, уравнение требуемой кривой в этом частном случае
представляет окружность х* + у2 = 25.
§ 22. Физическое значение постоянной интегрирования»
Поясняем примерами.
Пример 1. Найти закон движения точки, движущейся по прямой с по-
постоянным ускорением.
Решение. Так как ускорение равное "-гг\ постоянное, например, рав-
равное у, то будем иметь:
—-7Т = у, или d v =s j dt
Интегрируя, найдем:
Для определения С положим, что начальная скорость равна v0, т. е.
пусть v = v0 при t = 0. Подстановка во B) дает:
v0 = 0 + Ct или С = Vq,
Следовательно, уравнение B) примет вид:
B*)
ds
Так как v = -гг, то из B*) найдем:
-— = jt 4- vQt или ds = jt dt + v0 dt
Интегрируя, получаем:
s = ±/fl + v<f+C. C)
Для определения С положим, что начальное положение (равное расстоя-
расстоянию при t = 0) будет s0, т. е. пусть 5 = s0 при t = 0. Подстановка этих
значений в C) дает:
s0 = 0 + 0 + С, или С = 50.
Следовательно, уравнение C) примет вид:
^ C*)
Положив J = g, vo = Q, s0 =s 0, s = A в B*) и C*), найдем закон движе-
движения падающего тела в пустоте, когда оно выходит из состояния покоя,
именно
г/ = gt и h = у gt\
Пример 2. Исследовать движение материальной точки, брошенной с на-
начальной скоростью vQi образующей угол а с горизонтом, пренебрегая сопро-
сопротивлением воздуха.

§22
ФИЗИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
63
Решение. Пусть движение происходит в плоскости XOY (рис. 5). Пред-
Предположим также, что в начальный момент точка находится в начале коор-
координат.
Пусть на материальную точку
действует только тяжесть. Тогда
ускорение в горизонтальном направ-
направлении будет нуль, в вертикальном
оно будет g.
Имеем:
= 0 и
dVy
dt ~v " dt
Интегрируя, найдем:
^ = C! и vy=: —
Рис. 5
Но горизонтальная и вертикальная проекции начальной скорости соот-
соответственно равны vQ cos а и Vq sin а; следовательно, (положив t = 0):
откуда
Сг = v0 cos а, С2 = Vo sin а;
vx = v0 cos a, vy = — gt -j- v0 sin a.
Далее по формулам B), C), часть I, § 107 имеем:
dx dv
D)
•следовательно, D) дает:
dx _
dt
¦ Vo COS a,
dt
или
dx = v0 cos а с
Интегрируя, найдем:
sin a,
— gtdt-\- Vo sin a Л.
V0 COS a- * + C3, у ==— y
a.f + Q.
E)
Для определения С3 и Q замечаем, что х = 0 и у = 0 при * = 0. Под-
Подстановка в уравнения E) дает: С3 = 0 и С4 = 0. Отсюда
Jf = vо cos a. ^ у » — — ^ + ^о sln a • *•
Эти уравнения дают законы движения проекций материальной точки на
координатные^ оси; с геометрической точки зрения их совокупность пред-
представляет собой параметрические уравнения траектории движения, исключая
из которых параметр (время) t, получим:
уравнение траектории в декартовой форме, показывающее, что точка опишет
параболу.

64 ПОСТОЯННАЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГЛ. It
ЗАДАЧИ
1. Найти функцию, первая производная которой равна:
a) 3+jc — Ъх\ зная, что при хяб функция равна —200.
Отв. |
b) уз — iflyt зная» что при у = 2 функция равна нулю.
1
ОТВ. 1у4—^2у2+2*2— 4.
c) sin a + cos а, зная, что при a a —- функция равна 2.
Отв. sin а — cos а 4-1.
d) у — 2 , зная, что при *=1 фукция равна нулю.
Отв. In B/ — /2).
e) sec2 в -|- tg 6, зная, что при 0 = 0 функция равна 5.
Отв. tg6 — tn cos 6 + 5.
2. Найти уравнение кривой, поднормаль которой постоянна и равна 2а.
По § 72, часть I, поднормаль равна у -~ .
Отв. Парабола у3 = 4а* + С.
3. Найти кривую, у которой подкасательная постоянна и равна я.
По § 72, часть I, подкасательная равна у -р- [ *
Отв. a In у =я jc + С.
4. Найти кривую, у которой поднормаль равна абсциссе точки касания.
Отв. у2—л^==»С, равносторонняя гипербола.
5. Найти кривую, у которой нормаль постоянна (— R), полагая, что у =» Л
при jfs=Q.
По § 72, часть I, длина нормали равна у у l-H-^-) » поэтому
— 1
в рассматриваемом случае dx = ± (#2 — у*) 2 у dy у
Отв. Окружность
6. Найти кривую, подкасательная которой втрое больше абсциссы точки
касания. Отв. jc2 =» су3.
7. Показать, что кривая, у которой полярная подкасательная [см. § 110,
часть 1] имеет постоянную величину, есть гиперболическая спираль.
8. Показать, что кривая, у которой полярная поднормаль (см. § ПО,
часть I] постоянна, есть архимедова спираль.
9. Найти кривую, у которой полярная поднормаль пропорциональна длине
радиуса-вектора. Отв. р =* се&.
10. Найти кривую, у которой полярная поднормаль пропорциональна
синусу полярного угла. Отв. р « с — a cos 6.
11. Найти кривую, у которой полярная подкасательная пропорциональна
длине радиуса-вектора. Отв. р =* се«ь.
12. Определить кривую, у которой полярная подкасательная находится
в постоянном отношении к полярной поднормали. Отв. р *К

§ 22 ФИЗИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 65
13. Найти уравнение кривой, у которой угол между радиусом-вектором
и касательной составляет половину полярного угла. Обозначая угол между
радиусом-вектором и касательной через ф, имеем: tg ф — р : -Jr .
Отв. р = с A — cos 8).
14. Полагая, что при t = О скорость v — и0, найти соотношение между v
и Л зная, что ускорение равно: а) нулю, Ь) постоянному j, с) а + Ы.
Отв. a)t/ = i>0» Ь) v = vo-\-jt, с) v = v + at\
15. Полагая, что s = О, при 1= 0, найти соотношение между s и t, зная,
что скорость равна: а) постоянному (= t/0), b) m + w^, с) 3 -f- 2t — З^2.
Отв. aM==v0^ b) s =mt + ~nt\ с) s =
16. Скорость тела, выходящего из состояния покоя, равна 5^2 ж/^л: по
истечении ^ секунд, а) Как далеко будет оно отстоять от точки выхода,
спустя 3 секунды? Ь) Во сколько времени.пройдет оно 360 м, считая от точки
выхода?
Отв. а) 45 м, Ь) 6 сек.
17. Тело выходит из точки О, и спустя t секунд скорость его в напра-
направлении оси ОХ равна 12?, а в направлении оси ОК равна № — 9. Найти рас-
расстояния, пройденные параллельно каждой оси, и уравнение траектории.
Отв. х = 6/2; у = -д-^8 — 9/; y
18. Тело движется таким образом, что скорости его по направлениям
осей ОХ и OY равны соответственно kx и —ky. Показать, что траекторией
его служит равносторонняя гипербола.
5 Интегральное исчисление

ГЛАВА III
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 23. Понятие определенного интеграла. Настоятельно ука-
указывая учащемуся на необходимость возвратиться к главе I
и перечесть три параграфа: § 3, § 4 и § 5» где были даны по-
подробные разъяснения, касающиеся определенного интеграла, мы
приводим здесь краткое напоминание сути дела.
Во-первых, у каждой непрерывной функции Ф(х) имеется
первообразная функция /(лг), т. е. такая, которая при дифферен-
дифференцировании даст Ф(х), f (х) — Ф(х). Нужды нет, что не всегда
мы эту первообразную умеем отыскать, и нет нужды, что эта
первообразная не всегда даже и выразима через элементарные
функции1, — она все-таки всегда существует.
Во-вторых, у каждой непрерывной функции Ф(х) имеется
не одна первообразная /(*), но бесчисленное множество, при-
причем все они отличаются друг от друга на постоянную вели-
величину.
В-третьих, приращение f(b) — /(а), получаемое
любой первообразной при переходе ее аргу-
аргумента от значения а к значению Ь, одинаково для
всех первообразных и, значит есть величина постоян-
ная? совсем не зависящая от взятой первооб-
первообразной f(x), а зависящая только от самой произ-
производной Ф(х)9 да еще от значений а и Ъ*
Это приращение f(b) — f(a) первообразных, одинаковое у всех
них, и называется определенным интегралом.
Временно мы обозначали определенный интеграл через 1ьа\ не
надо забывать, что определенный интеграл есть просто число.
§ 24. Теоретическое вычисление определенного интеграла.
Раз определенный интеграл 1ьа зависит от производной Ф(л:) и
1 Даже в случае очень простых Ф(*), каковы, например, е*а» Y хъ\ъхч
\ sin х
-j— и т. д.,первообразные не выразимы ни через какие элементарные
функции.

§ 25 ФАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 67
от чисел а и Ь, то он должен как-то через них вычисляться.
Это вычисление и было указано в виде следующего четырехчлен-
четырехчленного общего правила нахождения определенных
интеграл ов.
Первый шаг. Разделать отрезок \а, Ь\ на п отрезков,
длины которых (считая по порядку от точки а к точке Ь)
суть: Дх0, Axlf Дл;2, ..., bxn^t.
Второй шаг. В каждом из этих отрезков выбрать произ-
произвольным образом по одной точке ?*, 6*. ?*, . . ., S* _г
Третий шаг. Для каждого отрезка [xt, xi+1] составить
парное произведение ФA*Л^х1 величины Ф($*) данной производ-
производной Ф (х) в выбранной точке ?* на длину kx. этого отрезка и
все получившиеся п парных произведений сложить.
Четвертый шаг. Найти предел составленной таким об-
образом суммы и парных произведений, когда п безгранично увели-
увеличивается и когда наибольшая из длин kxt стремится к нулю
как к пределу. Этот предел и будет искомым определенным
интегралом 1ьа.
§ 25. Фактическое вычисление определенного интеграла.
В указанном виде вычисление определенных интегралов имеет только
часто теоретическое значение, никогда на деле не осуще-
осуществляемое. Ибо, за исключением трех или четырех редчайших случаев,
мы не умеем отыскивать прямо пределы указанных сумм. Поэтому
в действительности идут как раз обратным путем, при котором
для вычисления определенного интеграла 1а не бывает нужно
производить никакого перехода к пределу.
Соответствующее практическое правило вычисления определенных
интегралов таково.
Первый шаг. Постараться отыскать для заданной произ-
производной Ф(х) какую-нибудь ее первообразную f(x). Эти поиски.
сводятся к отыскиванию неопределенного интеграла \ Ф(х)йх
я, вообще, не требуют никакого перехода к пределу, ибо ведутся
формальным способом, или даже чисто алгебраически.
Второй шаг. Найдя неопределенный интеграл ГФ(х)dx
и, значит, какую-нибудь первообразную f(x) для Ф(х), составить
разность f(b) — /(а).
Эта разность f(b)—/(а) и будет определенным интегралом 1ьа%
т. е. тем пределом суммы Ф(!*)Дл:0+ ... +*(^_i)&*,,_!. для
разыскания которого у нас, вообще, нет никаких других средств*

6S ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. HI
§ 26. Обозначение определенного интеграла. Если у нас нет
никаких средств прямого вычисления определенного интеграла /*
как предела суммы
и если, за неимением таковых, приходится довольствоваться таким
косвенным способом, каким является использование неопределенного
интеграла \ Ф(х)Aх, далеко не всегда берущегося, но тем не менее
очень важно рассматривать пределы указанных сумм, во-первых,
в целях приложения к естествознанию и, во-вторых,
в целях приближенного их вычисления.
Имея это в виду, начинают с того, что дают удобное обозначе-
обозначение определенному интегралу /д.
Учащийся уже знает, что точки ?*, ?*, ..., ?* _х можно выбирать
произвольным образом на тех п отрезках, на которые разбит
основной отрезок [а, Ь]. Поэтому можно за эти точки взять те самые
точки xl9 x2i ..., xn_t деления, при помощи которых разбивают
отрезок [а, Ь], и где ради однообразия обозначений полагают а = х0
и Ь — хп. В этом случае предыдущая сумма напишется в виде:
Эту сумму обычно пишут в сжатом виде:
S Ф{хг)^х19
где член Ф(л^)Дл^ есть общий член суммы и где точка xi% раз-
развертывающая член за членом всю эту сумму, берется, начиная
с точки хо=си кончая последней точкой хп_и чрезвычайно близкой
к точке хп = Ь. Поэтому указанную конечную сумму\ называемую
часто ^интегральной суммой^, пишут в виде:
ь
S Ф (xt
или даже
где подразумевается, что буква х, стоящая за знаком о суммы,
пробегает отнюдь не все точки отрезка [а, Ь] непрерывным образом,
но лишь те его точки деления $i9 при помощи которых он разбит
на отрезки: таких точек имеется всего п9 начиная с л:0.

§ 27 ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА - НЬЮТОНА 69
Сам же определенный интеграл /*, являющийся пределом конеч-
конечной суммы Ф (х0) Ьх0 + Ф (*,) А*, + ... + Ф (хп_г) &хп^и пишут
в виде
ь
и читают «определенный интеграл от а до Ь эф икс дэ икс».
Необходимо указать со всей настойчивостью, что определенный
ъ
интеграл 1ъа= \ Ф(х)йх отнюдь не есть никакая сумма, но лишь
а
предел суммы:
Ь b
Г Ф (х) dx = lim vS Ф 00 Дл\
«
§ 27. Основная формула Лейбница — Ньютона и условие ее
лрименимости.
Из того, что выше было сказано о величине f(b) — f(a) onpe-
ь
деленного интеграла 1ьа = Г Ф (х) dx = f{b) — /(#), следует основная
а
формула Лейбница — Ньютона:
XXIII.
которая читается так: v
определенный интеграл от неопределенной функции Ф(дг) по
отрезку [а, Ь) равен разности f(b) — /(а) значений в концах
этого отрезка какой-нибудь первообразной для Ф (х).
Для практического вычисления определенных интегралов удобно
применять одно обозначение. Именно, имея какое-нибудь выраже-
выражение F(x)t содержащее переменное xt часто встречающуюся разность
F ф) — F(a) удобно писать сокращенно в виде [F(x)]ba.
Таким образом, мы имеем:
Поэтому формулу Лейбница — Ньютона можно теперь написать
в виде:
ь
XXIII*., f <!>(x)dx =
а

70 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. Ill
Этим обозначением и пользуются при практическом вычислении.
Заметим, что при вычислении определенных интегралов не стоит
заботиться о выборе произвольной постоянной, ибо она все равцо
всегда автоматически исчезает при вычитании.
Пример 1. Найти f x*dx.
Пример 2. Найти Г sin х dx.
/J Л
-——-. =5 — In 5 » — 0,134.
о
dx 1 Г 2дг—310
4ИГ = ТУ [1П 2T + 3J П0 XVI1
—1
Решение. Сравнивая с XVII или с XVII*, мы полагаем: v =* 2xt a
dv~2dx. Имеем:
о
2дг—310
3J.,
/dx С dx 1 г. 3+2jc1» v.mit
Следует употребить последнее равенство, а не первое, ибо в первом
встречаются логарифмы отрицательных чисел. Применение же формулы XVII*
дает ответ.
Важнейшая из всех формул—формула Лейбница — Ньютона — су-
существенно предполагает, что функция Ф (х) непрерывна на всем от-
отрезке [а, Ь\ и, значит, не имеет на этом отрезке никаких особенностей,
и в частности, ни уходов в бесконечность, ни, вообще, каких-либо
точек разрыва.

-§ 28 ВЗАИМООТНОШЕНИЕ ОПРЕДЕЛ. И НЕОПРЕДЕЛ. ИНТЕГРАЛОВ 71.
Если же этого не принимать во внимание и если начать применять
формулу Лейбница — Ньютона, не соблюдая этой осторожности, то
тогда легко прийти к грубейшим ошибкам и к неверным цифрам
в чисто технических вопросах.
Пример такой ошибки. Учащийся хочет вычислить определенный инте-
интеграл / (v> 9^2, но не обращает внимания на то, что подынтегральная
функция Ф (х) = 2 уходит в бесконечность на отрезке [1,3]. Ибо имеем,
очевидно, Ф (х) -> + оо, когда х ->• 2. Намереваясь применить формулу Лейб-
Лейбница — Ньютона, он пишет неопределенный интеграл / ^ и находит,
что он равен -д \- С. Наконец, положив f(x) = ~ , он пишет:
1-1—2-
Ясно, что произошла ошибка, ибо подынтегральная функция Ф(х) везде
положительна. Поэтому интегральная сумма Ф (xq) Ах0 + Ф (х{) kx% + ... +
+ &(xn-i) Ajcn-i, при а < Ь, должна быть положительной и, значит, ее предел
тоже должен быть положительным или равным нулю. Отрицательной
же величиной он быть никак не может1.
Ошибка произошла от незаконного применения формулы XXIII Лейб-
Лейбница— Ньютона, которая всегда предполагает непрерывность функции Ф(х)
на отрезке [а, Ь].
§ 28. Взаимоотношение определенного и неопределенного
интегралов.
Зная неопределенный интеграл Г Ф (х) dx = f (x) + С, мы легко
ъ
вычисляем определенный интеграл Г Ф (a:) dx при любых пределах а
а
и Ь. Об этом нам говорит формула Лейбница — Ньютона:
ь
XXIII. $<&{x)dx = f ф) — f (a).
1 Ошибку такого же характера мы сделаем, применив формулу суммы
членов геометрической прогрессии = = 1-\-х-{-х*-\-х*+ ... -\-хп -\- ...
1 ""¦¦¦ X
к случаю * = 2, где эта формула уже незаконна. Ибо мы тогда
получим: —1 = 1+2 + 4 + 8 + 16+... Сумма положительных чисел
не может быть отрицательной величиной.

72 определенный интеграл гл. ш
ъ
Наоборот, зная определенный интеграл \Ф{х)йх при любых
а
пределах а и Ь, мы легко получим неопределенный интеграл
Сф(х)йх при помощи той же самой формулы Лейбница—Ньютона.
Действительно, обозначив переменное интегрирования в опре-
ь
деленном интеграле Г Ф (х) dx какой-нибудь другой буквой, напри-
а
мер буквой tt мы можем переписать формулу Лейбница — Ньютона
в виде:
ь
= /(« —/(а).
Переменив теперь букву Ь на букву х, мы имеем:
X
/ф(<) Л = /(*) — /(<»). (О
а
Рассматривая нижний предел а как величину постоянную, а верх-
верхний предел х как независимое переменное, мы видим, что первая
часть равенства A) есть первообразная функция для подынтег-
подынтегральной функции Ф(#), иб° имеем:
B)
и, значит, дифференцируя обе части равенства A) по букве х>
находим:
X
XXIV. -?
х
Отсюда ясно, что, прибавив к ГQ'(f)dt произвольное постоян-
а
ное С, мы* получаем неопределенный интеграл для функции Ф(х)%
т. е. имеем равенство:
X
XXV. f
Замечательную эту формулу читают:
неопределенный интеграл есть сумма определенного интеграла
с переменным верхним пределом и постоянным нижним плюс
прибавочное произвольное постоянное*

§ 29 ПЕРЕМЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 73
§ 29. Переменное интегрирования в определенном и в не-
неопределенном интегралах.
Буква х9 стоящая под знаком интеграла в определенном и в не-
неопределенном интегралах
носит в обоих случаях одинаковое название переменного интегри-
интегрирования. Однако ее роль в обоих интегралах совершенно различная.
В определенном интеграле самый численный результат нисколько
не зависит от переменного интегрирования. В самом деле, здесь
роль буквы х чисто служебная, такая же, например, как рол?
/100
р
/«100
буквы i, когда мы хотим найти сумму чисел о * = 1+,2-}-3-|~
-{-...-+-100 = 5050. Определенный интеграл есть число, от пере-
переменного интегрирования не зависящее. Поэтому, в определенном
интеграле переменное интегрирования можно обозначать какой
угодно буквой. Таким образом, имеем:
ъ ъ ь
J<b(x)dx = JФ(t)dt = JФ(z)dz и т. д.
а а а
В неопределенном же интеграле переменное интегрирования
является вместе с тем и независимым переменным, т. е* аргументом
функции, получающейся после взятия интеграла. Поэтому перемен-
ное интегрирования нельзя обозначать различными буквами
в неопределенном интеграле, ибо тогда будут получаться разные
результаты, т. е. функции разных аргументов. Так, например, имеем:
Г cos х dx = sin x + С, Г cos* dt = sin
Г cos г dz = sin z + С
§ 30. Перестановка пределов интегрирования.
Так как

74 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. III
то отсюда заключаем:
Ф (*) dx = — j Ф (х) dx.
Словесно: перестановка пределов интегрирований равносильна
перемене знака определенного интеграла.
§ 31. Разбиение отрезка интегрирования. Пусть [а, Ь] есть
отрезок, по которому интегрируют какую-нибудь непрерывную функ-
функцию Ф (x)t и пусть этот отрезок разбит на два отрезка [а, с] и
[с, Ь] какой-нибудь точкой с, находящейся внутри первоначального
отрезка [а, Ь].
Имеем:
b
/Ф (*)<** =/(ft)—У (с). A)
С
Складывая два последние равенства, имеем:
с ь
f Ф (x)dx ¦+- / Ф {х) dx = f(b) — f (a). B)
а с
Значит:
дед
Г Ф (х) dx = С Ф (х) dx-^Сф {х) dx. C)
а а с
Словесно:
если разбивают отрезок интегрирования [af b] на несколько
других отрезков, то интеграл по целому отрезку равен сумме
интегралов по этим частным отрезкам1.
§ 32. Два простейшие свойства определенных интегралов.
1. Определенный интеграл от суммы равен сумме опреде-
определенных интегралов от ее слагаемых.
Доказательство. Имеем:
^ — w)dx= Гudx-\- Гvdx— Сwdx.
1 Следует заметить, что формула C) верна всегда, даже если точка
. с не будет лежать между пределами а и Ь интегрирования, ибо равен-
равенства A) и B) остаются в силе и в этом случае; следовательно, сохраняется
и равенство C), вытекающее из них.

§ 33 ОПРЕДЕЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 75
Отсюда
t| =\fudx-\- fvdx— f wdx\ =
И так как всегда
XXIII*.
а
то имеем окончательно:
ь
f(й + #—w)dx= \ udx-\- fvdx—fwdx.
а а а а
2. Постоянный' множитель можно выносить за знак опре-
определенного интеграла.
Доказательство. Имеем:
Г Аи dx = А Г и dx, где А — постоянное.
Отсюда
Поэтому в силу XXIII* имеем окончательно:
ь ь
Г Audx — A \ udx.
а а
§ 33. Определенное интегрирование по частям.
Имеем: {ttv)r = uvr -+¦ u'v. Отсюда
a
Следовательно,
ь
f uv' dx = [ttv]ba — J vuf dx.
a a
И так как v'dx = dv и и9 dx — du% то имеем окончательно:
ь ъ
XXVI. Judv = [uvfa — fvdu.
а а
Это и есть правило определенного интегрирования по частям.

76 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. III
§ 34. Определенное интегрирование подстановкой.
Это правило требует внимания и осторожности.
Пусть f(x) функция непрерывна на отрезке [Л, В].
Положим
где функция ср(?) такова, что для нее соблюдены следующие
условия'.
во-первых, функция <р (t) имеет непрерывную производную
ср'(О на отрезке [tlt t2], и
во-вторых, численные значения функции х = ср(t) на от-
резке [tl9 t2] не выходят за пределы отрезка [Л, В].
Обозначим через а и b соответственно величины функции
в концах отрезка [tu t2], т. е. положим
При указанных свойствах функции <p(t) на отрезке [tu t2] мы
имеем формулу:
XXVII. ff{x)dx = ffl<? (О] • ?' (О
Эта формула и выражает собой важное правило преобра-
преобразования определенного интеграла подстановкой.
Доказательство этого правила.
Рассмотрим две функции переменного t:
f
и найдем производные от той и другой по переменному t. Диффе-
Дифференцировать первую функцию приходится по правилу производ-
производной функции от функции, ибо ее можно написать в виде
f(y)y где x =
а
Дифференцируя по t, имеем:
х х
dff(y)dy dff(y)dy
dt dx dt
ft [по

§ 34 ОПРЕДЕЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ 77
Дифференцируя же по t вторую функцию, мы имеем прямо по
формуле XXIV:
t
t
ff I? (*I • Ч' (г). йг = / [с? (/)] ?' (О-
f
л
Следовательно, производные обеих функций оказались равными
друг другу везде на отрезке \tl9 t2]. Значит, на этом отрезке обе
функции отличаются одна от другой лишь на некоторую постоянную
величину Со.
Значит, имеем тождество на отрезке [tu t2]'
<p(f) '
f f(x)dx = ff[9(z)\-<?'(z)-dz+C0. A)
a tt
Чтобы вычислить постоянное Со, положим t — tv Имеем:
f f(x) dx = ff[9 (z)} . cp' B). dz + Co>
но cp(^) = a. И так как определенный интеграл между равными
пределами всегда есть нуль, то имеем:
J
= Q и J/[?(*)]•?'(*)• Л* = 0.
Отсюда предыдущее равенство пишется так: O = O-f-Q» Значит,
постоянное С0 = 0. Поэтому вместо A) имеем на [tlt tz] тождество:
a tt
Полагая t = t2 и вспоминая, что cp(?2) = ?, мы имеем оконча-
окончательно:
ь /3
XXVII. ff(x) dx = f f[<? (О] • <?' (О • Л.
А это и есть правило определенного интегрирования подста-
подстановкой.
Чтобы выразить это правило словесно, вспомним, что
Поэтому первая часть равенства XXVII напишется в виде

78 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. Ш
Наконец, вспомнив, что при подстановке функция ср(?) была обозна-
обозначена одной буквой х:
мы можем написать правую часть равенства XXVII просто в виде
Г f(x)dx. Таким образом, все равенство XXVII перепишется в виде
B)
a tt
Но здесь нужно большое внимание. В левой часта этого равен-
равенства переменным интегрирования является буква х; в соответствии
с этим пределы интегрирования поставлены при левом знаке опре-
определенного интеграла такие, которые служат границами для этого
переменного интегрирования. В правой часта рассматриваемого
равенства переменным интегрирования является отнюдь не перемен-
переменное xt но уже переменное t, ибо буква х здесь обозначает функцию
буквы /, x = y(t); в соответствии с этим и пределы интегрирования
поставлены при правом знаке определенного интеграла такие, кото-
которые служат границами для этого нового переменного интегрирова-
интегрирования t.
Таким образом, равенство B), выражающее самую сущность пра-
правила XXVII определенного интегрирования подстановкой, должно
читаться так:
при определенном интегрировании пределы всякий раз нужно
ставить только такие, которые являются границами того
переменного, которое выбирается за истинное переменное инте-
интегрирования.
те

Пример. Определенный интеграл I cosxdx=l, ибо f cos x dx =?
5 J
•к.
? f.
cos xdx — [sin дг]0 =1 — 0=1. Если же мы
о
сделаем подстановку x = t\ то, приняв во внимание, что dx = 2tdt, мы
должны пределы t\ и t2 у определенного интеграла J 2t cos №dt= I cos x dx
tt о
поставить не прежние 0 и -^, а такие, чтобы 0 = t\ и -^ — t*\ это означает,

§ 34 ОПРЕДЕЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ 79
что ^=(Х и t2*=y тр Таким образом, имеем равенство1:
- 4-1/Т
cos * d* =з Г 2t cos ^2 Л.
о
ЗАДАЧИ
Вычислить нижеследующие интегралы, применяя указанные подстановки:
— 21пЗ. Положить
4
Положить х =
Положить У —
Sin a COS2 a rfa = -77-. ПОЛОЖИТЬ Sitl а = 2.
о
/• (Sin е л_ COs 0) dQ In 3 _ , ft
5. / -—34- • 26 — =="~~# Положить sino —
0
1 С пределами t0 и t\ при интегрировании подстановкой х = y(t) при-
приходится соблюдать осторожность, как это явствует из примера: имеем, оче-
очевидно:
?1
•: I cos х dx == 2, ибо I cos д: dx = sin jc + С и, значит,
S
[ —(—1)=2.
Но, при подстановке х = t\ мы имеем пределы tQ и tb дающиеся равенствами
— ~ = t% + -|- =з ^. Предел ^0 получился мнимый, ибо всякое действи-
действительное число *о» возведенное в квадрат, даст положительный результат,
а не отрицательный. Во избежание подобных недоразумений, надо заранее
смотреть, чтобы пределы а и Ь соответствовали концам tQ и tx действитель-
действительного отрезка [*0, *i].

80
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ГЛ. ITI
1
6* / »х /.^ s=arctgg—~. Положить ех =?z.
о
а
,.
У ах —
о
3
Положить л: = a sin9 г.
8
3 (л: — 2K+3
In 5
— *х\о— d* = 4 —
In 5
,0. f.
»¦ I:
х\о
ydy =
In 2
I I "I/ лХ 1 //у .— ______^_
0
a
J 16
Положить *-2 = .в.
Положить е* — 1 =а г2.
Положить 2 + 4у»г.
Положить tg -^ == г.
2
Положить e* — l = A
Положить
Проверить следующие интегрирования:
15.
4
16. J
17.
18.
— t
19.
20.
21.
22.
23.

24. ftetdt^L
§ 35 ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 81
1 '^
28. Г е~ 2 sin 26 dQ = 0,429...
о
2
•/ Vl — jc2 12 8
о
/* 1 -
25. / ?9 sin 6 d0 = -тг (ек + 1)« 2
о 29,
'26. / —, = — In —. 2
з f 30.
6 4
27. Г sC38tf0 =1-|-ХД- 31. Г
о о
Найти определенные интегралы:
8 те
32. JC/S^H-^)^. 37.
0 о
4 ,
|2 38. I sin3 6 cos 6 db.
о
о
о
2
35.
" 2 ^"' 40,
о
f- J
i
4 б
§ 36. Теорема о среднем. Пусть функция Ф(лг) непрерывна на
отрезке [а, Ь]9 и пусть f(x) есть первообразная для Ф(л:),
Имеем:
ь
а
Написав теорему о среднем дифференциального исчисления (т. е.
теорему Лагранжа о «конечном приращении»), имеем:
где с есть значение, промежуточное между а и Ь.
6 Интегральное исчисление

82
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ГЛ. III
Сравнивая A) и B), находим:
j Ф (х) йх = ф — а)Ф (с).
C)
Это и есть теорема о среднем в интегральном исчислении.
Здесь Ф{с) есть промежуточная величина между наибольшей вели-
величиной М и наименьшей величиной т непрерывной функции Ф(х) на
отрезке интегрирования [а, Ь], так что из C) имеем:
ф —
Укажем, что величину
D)
E)
нередко называют средней величиной функции Ф (х) на отрезке
[а, Ь\.
В силу равенства C) величина E), в самом деле, является рав-
равной величине данной непрерывной функции Ф (х) в некоторой про-
промежуточной точке с, а <^с <С ?»
т. е. числу Ф (с).
§ 36. Определенный интеграл
как площадь. Рассмотрим непре-
непрерывную функцию Ф (х) и положим:
рис 6
Это есть уравнение некоторой
кривой ЛВ^рис. 6).
Пусть CD—неподвижная орди-
ордината, а РМ — подвижная. Обозна-
Обозначим через и величину площади
CPMD. Когда х получает прира-
приращение Дх, тогда и получает при-
приращение Да (= площади РР*М!М). Строя вписанный прямоуголь-
прямоугольник РР'КМ и описанный прямоугольник PP'M'L, мы видим, что
площадь РР'КМ < площади РР'М'М < площади PP'M'L, или
РМ . Дл: < Дй < Р'№ • Дх.
Отсюда, деля на Дл:, имеем х:
РМ < !~ < Р'ЛГ.
1 На чертеже РМ меньше, чем Р'М'. Если бы случилось, что РМ ока-
оказалось больше, чем Р'М', тогда в предыдущем неравенстве пришлось бы
перевернуть знаки < и сделать их знаками > .

§36
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПЛОЩАДЬ
83
Пусть теперь Ал: приближается к нулю как к пределу. Тогда
величина подвижной ординаты Р'М' приближается к величине непо-
неподвижной ординаты РМ тоже как к пределу (ибо у есть непрерывная
функция от х). Поэтому мы получим:
или, в дифференциалах:
du = ydx = Ф (х) dx.
Мы получили предложение.
Теорема. Дифференциал площади фигуры, ограниченной кри-
кривой, осью абсцисс, неподвижной ординатой и переменной орди-
ординатой, равен произведению переменной ординаты на дифферен-
дифференциал соответствующей абсциссы.
Из этого предложения следует, что рассматриваемая переменная
площадь у. = CPMD есть одна из первообразных функций для Ф (х),
так что, написав неопределенный интеграл от Ф (х) в виде
мы должны иметь:
CPMD = я =/(*) + CQ,
A)
где Со есть какое-то вполне определенное численное значение про-
произвольной постоянной интегрирования С.
Для того чтобы найти это число Со, достаточно заметить, что
площадь CPMD делается равной нулю, когда мы полагаем х = а.
Поэтому, полагая в равенстве A)
переменное х равным а, мы из ра-
равенства A) получаем:
д
Значит, Со = —/(я). Поэтому
равенство A) должно переписаться
в виде:
CPMD=f(x) —
B)
Рис. 7
Если мы теперь хотим этим спо-
способом получить вполне определен-
определенную площадь CEFD (рис. 7) для нашей кривой у = Ф (л:), тогда
достаточно в равенстве B) положить # —&.
Это нам дает:
площадь CEFD=f(b)—f(a).

84 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. ТТ!
6
И так как определенный интеграл \ Ф(х)йх как раз и равен
а
разности f(b) — /(а), то мы получаем окончательную формулу:
ь
площадь CEFD = j Ф(х)йх. C)
а
Словесно:
ъ
определенный интеграл \ Ф{х)йх от непрерывной функции Ф(х)
а
численно равен площади между кривой у = Ф(х), осью
абсцисс ОХ и двумя ординатами х = а и х — Ь.
Примечание. Иногда неправильно освещают дело, утверждая, что
«определенный интеграл есть площадь». Это неверно, ибо определенный
интеграл прежде всего есть число, а не какой-то геометрический образ.
А каково будет истолкование этого числа, это зависит уже от других
обстоятельств, а именно, от геометрического, или механического, или физи-
физического' смысла тех величин, которые изображены абсциссой и ординатой.
Например, когда х и у рассматриваются просто как координаты точки
ь
на плоскости, тогда определенный интеграл I у dx в самом деле есть пло-
а
щадь.
Но когда х есть время, а Ф (х) есть скорость движения точки, тогда
кривая у == Ф (х) является скоростным графиком движения, и тогда площадь
под нею и между двумя ординатами изображает пространство, пройденное
точкой в течение соответствующего отрезка времени. Поэтому в этом слу-
чае определенный интеграл I у dx, который по самому своему существу
а
является отвлеченным„ числом^ численно равен пройденному про-
пространству и, стало быть, изображает уже не площадь, а длину траекто-
траектории точки. Аналогично, определенный интеграл, дающий объем, поверхность,
массу, силу и т. д., геометрически всегда изобразим в виде площади.
ь
Основная формула*. площадь= Г у dx предполагает, что кри-
вая у — Ф(х) действительно ограничивает площадь. Это озна-
означает^ что эта кривая не уходит в бесконечность и что обе
абсциссы а и b конечны.
Пример 1. Найти площадь, ограниченную параболой у = х\ осью 0Хь
прямой х = 2 и прямой х = 4 (рис. 8).
Решение. Пользуясь предыдущей формулой, имеем:
площадь ABDC == / х* dx = Г-у
/

§37
ПЛОЩАДЬ КРИВОЙ
85
Пример 2. Найти площадь, ограниченную окружностью х* + у* = 25,
осью ОХ и ординатами х = — 3, .* = 4 (рис. 9).
Решение. Имеем у = 1^25 — х\ Отсюда площадь
25 лП4
— х* -f- -7Y- arc sin-=-
no XX
Сравнить ответ с площадью этого полукруга -^- я • 25 = 39,3 ...
У
О
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 10
§ 37. Площадь кривой, заданной уравнениями в параметриче-
параметрической форме. Пусть уравнения кривой даны в виде:
Мы имеем тогда y=zty(t) и dx—y'(t)dt. Отсюда
площадь = Г у dx= j ty(t)<?f (t) dt9
A)
где / = *1э когда л: —я, и t = t2, когда х = Ь,
Пример 3. Найти площадь эллипса, параметрические уравнения кото-
которого суть
х == a cos <р, у = b sin <p (рис. 10).
Решение. Здесь у = fe sin <р и rfjf = — a sin cp dcp.

86
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ГЛ. III
Когда х = 0, ср s= -^- и когда х = а, у = 0. Подставляя это в уравне-
уравнение A), мы получаем для первого квадранта:
площадь
л о
I у dx = — / ab sin2 <р Жр = —j-, ибо sin2 <р = т>- —о"
cos
Отсюда, целая площадь эллипса равна nab.
§ 38. Задача приближенного интегрирования* Если невоз-
ъ
можно вычислить точное значение интеграла Г f(x)dx, то приме-
а
няются методы приближенного интегрирования. Так как всякий
w определенный интеграл можно геометри-
геометрически представить в виде площади пло--
ской кривой, то тем самым задача при-
приближенного вычисления интеграла сво-
/г, t , | дится к приближенному измерению
I | [ ( площади.
i!,l § 39. Правило трапеций* Площадь,
1 [ ¦ 1 ограниченную кривой y — f(x), можно
с достаточной точностью заменить
"~Х суммой площадей вписанных трапеций.
Разобьем для этого отрезок оси ОХ от
х = а до х = Ь на п равных частей и
обозначим длину каждой такой части че-
через Дх (рис. 11). Так как площадь трапеции равна произведению
.полусуммы длин параллельных оснований на высоту, то будем иметь:
площадь первой трапеции = ¦
Уо\ %
а
рис#
площадь второй трапеции = -тгСУх + ^Дх
площадь я-й трапеции = -^- {уп^х + уп
Складывая площади этих трапеций, получим:
сумма^ площадей трапеций =
^
Правило трапеций состоит в том, что искомую площадь S
мы полагаем приближенно равной сумме площадей трапеций:
х- A)

§40
ПРАВИЛО СИМПСОНА
87
Очевидно, что чем на большее число делений мы разобьем
интервал (а, Ь) оси абсцисс, тем с большей точностью сумма пло-
площадей трапеции будет представлять величину искомой площади,,
ограниченной кривой.
12
Пример. Вычислить Г x*dx правилом трапеций.
Решение, Разобьем интервал оси ОХ от х = 1 до х = 12 на одиннадцать.
равных частей. Будем иметь:
12 — 1
— а
11
•• 1 = Длг.
Искомая площадь ограничена кривой у = х\ Подставляя в это уравне-
уравнение значения абсцисс je=l, 2, 3, ..., 12, найдем значения соответствующих
ординат у = 1, 4, 9 144. Следовательно, по формуле A) получаем:
^. + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 +121+ 1. шУ. 1 =
= 5771.
Эта же площадь, вычисленная при помощи интегрирования, выражается
числом
12
- =5754-
1
Следовательно, в данном случае правило трапеций дает ошибку, мень-
меньшую трети процента.
§ 40. Правило Симпсона (параболическая формула). Вместо
того, чтобы точки деления кривой соединять хордами и заменять
искомую площадь суммой площадей у
трапеций, можно получить лучшее при- щ
ближение к искомой площади, проводя
через точки делений, лежащие на кри-
кривой, дуги парабол и заменяя искомую
площадь суммой площадей,, ограничен-
ограниченных этими дугами и ординатами,
соответствующими точкам делений. Че-
Через какие-нибудь три точки, взятые
на кривой, можно провести параболу и го Г* Г2 Гд
с вертикальной осью; ряд дуг таких рис \2
парабол теснее прилегает к кривой,
чем ломаная линия, состоящая из хорд, соединяющих последова-
последовательно точки, лежащие на кривой.
Разобьем теперь интервал на оси ОХ от х — а = ОР0 до
х — Ь = ОРп на четное число частей п длиною Дл: каждая. Через-
каждые три последовательные точки Мо, Ми Мг\ Мг, Ж3, М4; ... про-
проведем дуги парабол с вертикальными осями (рис. 12). Тогда получим;-
М\
MfA
У,
Уп

88 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. III
площ. криволин. параболич. трапеции Р0М0М1М2Р2 = площ. трапе-
трапеции Р0М0М2Р2 ~\- площ. сегмента параболы М^МХМ2\ площ. трапеции
Р0М0М2Р2 = ^(у0-{-у2) • 2/ix = СУо + Уг)^х\ площ. параболич. сег-
сегмента М0МХМ2 = двум третям площади описанного параллелограмма
М0М'0М'2М2 ^^[ух—^( ^^
Следовательно,
площ. первой параболич. трапеции Р0М0М1М2Р2 =
Таким же образом
площ. второй параболич. трапеции =
площ. третьей параболич. трапеции =-у-(.у4 + 4.у5 + .Уе)»
площ. последней параболич. трапеции ==-у-(вуя_2-[-4<ул_11-|-#у||).
Складывая площади всех параболических трапеций, получаем:
Следовательно, по формуле Симпсона (п — четное число) полу-
получаем:
иском, площ. = S = ^ С, + 4л + 2^2 + 4jfs + 2jf4 + • • • + Л>- (П)
Как и в случае правила трапеций, чем большее число делений п
мы возьмем, тем более точные получим приближения к искомой
.площади.
ю
Пример. Вычислить по правилу Симпсона интеграл J *jfldx.
о
Решение. Разобьем интервал от х = 0 до х = 10 на 10 частей. Будем
иметь:
Ь — а 10 — 0 - ,
= тг: « 1 = аХ.
п 10
Искомая площадь ограничена кривой у =* х*. Подставляя в это уравне-
уравнение абсциссы л: = 0, 1, 2,..., 10, найдем соответствующие ординаты у = 0,
1, 8, 27,..., 1000. Следовательно, по формуле (II) получаем:
S = 4@ + 4+ 16+ 108+ 128 + 500 + 432 + 1372 +
+ 1024 + 2916 + 1000) я 2500.

§ 41 ИНТЕГРАЛ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 89 s
Интегрированием мы придем к тому же результату:
ю
S= f x*dx~№] =2500.
J L4J0
Совпадение, как легко показать, —не случайность. Природа формулы
Симпсона такова, что она дает точный результат для всех функций
f(x) я Ах* + Bx*+Cx+D.
ЗАДАЧИ
1. Вычислить интеграл последнего примера по правилу трапеций, раз-
разбивая интервал интегрирования на 10 частей. Отв. 2525,
5
2. Вычислить / — при помощи обоих правил, разбивая интервал ин-
1
тегрирования на 12 частей. Отв. По правилу трапеций 1,6182; по правилу
Симпсона 1,6098.
it
3. Вычислить Г л:3 dx при помощи обоих правил, полагая п = 10.
1
Отв. По правилу трапеций 3690, —Симпсона 3660.
ю
4. Вычислить I \gxdx при помощи обоих правил, полагая п =10.
1
Отв. По правилу трапеций 6,0656, —Симпсона 6,0896.
2
5. Вычислить / —-—- при помощи обоих правил, полагая п = 6.
о
Отв. По правилу трапеций 1,0885» —Симпсона 1,0906.
§ 41. Интеграл с бесконечными пределами. До сих пор пределы
интегрирования мы считали конечными. Но даже в элементарных
вопросах иногда приходится отказаться от этого ограничения и рас-
рассматривать интегралы с бесконечными пределами. В некоторых слу-
случаях это бывает возможно, если пользоваться следующими опреде-
определениями.
Если верхний предел бесконечен, то полагаем (по определению):-
/ср (х) dx— lim Г ср (х) dx,
Ь>+оо
а а
а когда бесконечен нижний предел, то полагаем (по определению):
ъ ь
/<р (х) dx — lim f ср (х) dx,
а ->--со "
а ¦>—со
—оо - а
предполагая заранее, что эти пределы существуют.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ГЛ. III
/dx
~х*'
Рис. 13
Истолкуем этот результат геометрически (рис. 13). Кривая, выражаемая
данной функцией, есть локон, уравнение которого и есть:
8а»
Значит,
площ. ОАВЬ =
8дЗ dx
х*
По мере того, как ордината ВЬ будет неограниченно удаляться вправо,
правая часть этого равенства всегда будет оставаться величиной конечной,
стремящейся к определенному пределу:
lim 4a* arctg ^- =
Как в этом случае, так и во всех аналогичных условимся называть этот
результат перехода к пределу величиной площади кривой,
+оо
/dx
.
X

§ 42 ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ ПРЕРЫВНОЙ 91
-гаи о
Решение, I —= lim / —
J X 6->+oo 1/ X
lim
Но при возрастании b до бесконечности предел In b не существует; сле-
следовательно, в этом случае интеграл не имеет смысла и соответствующей;
площади кривой у = — (гиперболы) нет.
§ 42* Интеграл от функции прерывной (уходящей в беско-
бесконечность). Рассмотрим теперь случай, когда подынтегральная функ-
функция от отдельных значений переменного, лежащих внутри пределов
интегрирования, претерпевает разрыв непрерывности.
Сначала рассмотрим случай, когда подынтегральная функция не-
непрерывна для всех значений х, лежащих между пределами а и Ь„
кроме значения х — а.
Если fl<Hs положительно, принимаем такое определение ин-
интеграла:
ъ ь
f cp (x) dx = lim \y(x)dxt A)
a S а+г
если же ср(лг) непрерывна при всех значениях х, кроме х = Ь, при-
принимаем такое определение интеграла:
ь ь-г
y(x)dx9 B>
предполагая, что пределы при в—>0 существуют.
а
Пример 1. Найти: / r x
J У а* — х*
о
Решение. Здесь г обращается в бесконечность при х = а. Сле-
Уаг х*
Уа х
довательно, по формуле B):
а а
i dx v Г dx
/ - =а lim / .
Пример 2. Найти: /*—.

92 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. Ill
Решение. Здесь — обращается в бесконечность при х = 0. Следовательно,
по формуле A):
Гdx ,. Г dx r /f 1\
J x 8_^о J •* e-^o\ e /
0 8
В этом случае никакого предела не существует, а следовательно, не
существует а интеграла.
Если с лежит между а и Ь и функция ср(лг) непрерывна для всех
значений х в этих пределах, за исключением значения х = с, то,
полагая, что е и в' — числа положительные, интеграл между айв
определяем формулой
а с—в Ь
Г <р (х) dx = Hm Г <р (*) d* + Hm Гср(л:)й?л:, C)
/ е >0 ^ sf->0 ^ .
Ь c+'
Ь
предполагая, что каждый предел в отдельности существует.
Пример 3. Найти: /
Зй
2xdx
Решение. Здесь подынтегральная функция обращается в бесконечность
при х = а, т. е. при значении лс, лежащем между пределами интеграции 0
и За. Следовательно, нужно обращаться к определению C). Итак:
За й-е Зй
3 0 8 '
д ** - а^K Jo + ши™о U (^ - а»K Ja+., =
— ер — ^ + За"^J + lim [3f"8a^~ 3 У{а + *у
е->0 ef>0
2 J 2
Чтобы интерпретировать этот результат геометрически,* рассмотрим кри-
кривую
у 2х
<рис. 14). Для нее прямая х = а есть асимптота.
й —е
Площ.

§42
ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ ПРЕРЫВНОЙ
93
По мере перемещения ординаты ЕР вправо к асимптоте, т. е. по мере
приближения е к нулю, правая часть этого равенства остается величиной
конечной и стремится к определенному пределу:
lim
—ер — а* + За
3 J =
Зя3
Как и в примере предыдущего § условимся этот результат За8 перехода
к тиределу считать величиной площади, ограниченной кривой ОР, асимптотой
и осью ОХ. Подобным же обра-
образом У
«1Ц
2xdx
площ.
Когда ордината ?'Q двигается
влево к асимптоте, т. е. когда е'
приближается к нулю, правая
часть этого равенства остается
величиной конечной и стремится
к определенному пределу 6#3.
Этот предел принимается за ве-
величину площади между кри-
кривой QR, асимптотой, ординатой
1 Рис. 14
для х = За и ОХ. Сумму 9а3 ре-
результатов принимают за величину площади между кривой, ординатой
для х = За и ОХ
2а
Пример 4. Найти
: / — ,
«/ (.* — ау
о
где а > 0.
о
Решение, Эта функция также обращается в бесконечность между пре-
пределами интегрирования. Следовательно, прилагая определение C), получим:
2а a—s 2а
— = hni I г^ 4- hm / ax —
(дг —аJ 6_^Oe/ (j: — a)« e'^o J (х — а)* ~"
а+&'
iimf !_T+5im Г ~Г =
В этом случае пределы не существуют и интеграл не имеет смысла.
Начертив кривую, изображающую данную функцию (рис. 15), и заметив
пределы, найдем, что, по-видимому, существует большое сходство с преды-

94
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ГЛ. III
дущим примером. Однако в этом примере для заштрихованной части (рис. 15)
нельзя создать того условного понятия величины площади, которое сделано
для предыдущего случая, так как интеграл в дан-
данном случае не имеет смысла.
Насколько важно исследовать, обра-
обращается или нет данная функция в беско-
бесконечность внутри пределов интегрирова-
интегрирования, обнаруживается тотчас же, если
приложить к нашему примеру формулу
интегрирования без всякого исследования.
Это дало бы:
9 л
,2Л
/ dx _ г_ 1 fa __2_
J (х — а)* [ х — а\0 — а3
— результат явно абсурдный, ибо подынтегральная функция поло-
положительна.
ЗАДАЧИ
О
¦I
dx
те
'2а-
dx
\l~1r
dx = 4r.
ч Г dX 1
+ОО
Г 1
4. / e~axdx = —.
J a
Г
9 f rdx = ?L
10.
» —1.
(а + х)п {п—\)ап-
11. / x^in
9#
dx
dt
-i-.

ГЛАВА IV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ.
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ,
§ 43. Введение. До сих пор мы рассматривали интегриро-
интегрирование, как процесс, обратный дифференцированию. Но
это является лишь только одной стороной дела. Другой стороной
и притом несравненно более важной для бесчисленных применений
интегрального исчисления к геометрии, механике и, вообще,
ко всему естествознанию, является то обстоятельство, что
интегральное исчисление дает нам в руки могущественный способ
фактически находить пределы сумм бесконечно увеличивающегося
числа бесконечно умаляющихся слагаемых. Стремление сводить
свои проблемы к отыскиванию пределов таких сумм естествознание
имело еще до эпохи Ньютона, и затем это стремление окончательно
оформилось, окрепло и систематизировалось. Таким образом, было
вызвано к жизни интегральное исчисление, даже несколько раньше
дифференциального исчисления. С этой точки зрения интегральное
исчисление получает вид уже не исчисления, обратного диф-
дифференцированию, но процесса суммирования.
Однако обе эти стороны интегрального исчисления тесно пере-
переплетаются между собою и, без обращения дифференцирования, ин-
интегральное исчисление как процесс суммирования не многого бы стоило.
Действительно, этот процесс суммирования есть процесс не прямой,
но косвенный. Прямым образом производить отыскивание пре-
пределов таких сумм мы до сих пор не умеем1. Но коль скоро мы
сумели решить проблему, обратную дифференцированию, т. е.
отыскали неопределенный интеграл Г Ф(х)йх, то тогда становится
решенной и проблема суммирования, ибо предел суммы
где хо=Ъ, xn = b и где п-*-\-оэ в то время, как все
равен:
1 Кроме двух-трех редчайших случаев, когда мы умеем найти величину
определенного интеграла с кисленными пределами, не зная соответствую-
соответствующего неопределенного интеграла.

96 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
Таким образом, вся сила интегрального исчисления основана на
возможности находить неопределенные интегралы \ <&(x)dx% не про-
производя никаких переходов к пределу. По этой причине начинающий
долго обучается искусству отыскивать неопределенные интегралы
всяческими приемами1. Но затем учащийся должен научиться при-
применять находимые им неопределенные интегралы к суммированию
бесконечно умаляющихся величин, необходимому для многочисленных
задач геометрии, механики и, вообще, всего естествознания.
§ 44. Общая схема применения интегрального исчисления.
Интегральное исчисление применяется к самым разнообразным вопро-
вопросам геометрии, механики, физики, химии, биологии и вообще есте-
естествознания, следуя всегда одной и той же схеме. Вот эта схема:
Если нам необходимо определить какую-нибудь величину V,
то мы разбиваем ее на большое число малых частиц:
и стараемся представить общий член этой суммы в виде пар-
парного произведениях
Ф (*,_!>-Ax,.!.
где непрерывная функция Ф(х) нам известна, но где численное
значение аргумента ^_v находящегося на отрезке [xlmmlt xt], нам
неизвестно. Если нам удалось это сделать и мы получили ра-
равенство
где хо = а и хп — Ь9 мы делаем переход к пределу, совершенно
рассеивающий влияние неизвестности аргументов ^ Slf %2, ..., %п_х
и дающий нам выражение искомой величины V в виде определен-
определенного интеграла:
Если мы сможем взять неопределенный интеграл Г Ф (х) dx,
мы вычисляем конечным образом искомую нами величину V по
1 Часть известных до сих пор неопределенных интегралов Ньютон
мог получать интуитивным методом. Систематический канон для поисков
неопределенных интегралов был дан Лейбницем. Петербургский академик
Эйлер довел систематизацию таких поисков до высокого совершенства.
После Эйлера было получено всего лишь несколько новых неопределенных
интегралов. Наш математик Ч е б ы ш е в показал, что в некоторых направ-
направлениях нельзя продолжить с успехом изысканий Эйлера, так как имеются
случаи, когда неопределенный интеграл невыразим через элементарные
функции.

§ 45 ПЛОШАДИ КРИВЫХ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 97
формуле Лейбница — Ньютона;
Заметим, что «общий член» Ф(х1_1)^х1^1 интегральной суммы
Ф(xo)^xQ-^rФ(x1)^xг~\- ... +Ф(хл„1)Ад:я_1 часто пишут просто
tE виде Ф(х)кх или даже в виде Ф{х)с1хх и называют «элементом»
величины V.
Сообразно указанной схеме, соответствующее правило примене-
применения интегрального исчисления должно разбиваться на следующие
три шага.
Первый шаг. Разделить искомую величину V на неогра-
неограниченное число частиц с/соль угодно малых размеров.
Второй шаг. Найти выражения для этих частиц так,
чтобы их сумма V имела вид:
Третий шаг. Определив надлежащие границы х = а и х =
написать переход к пределу.
ъ
и вычислить определенный интеграл по формуле Лейбница
Ньютона:
§ 45. Площади плоских кривых в прямоугольных координатах*
Наиболее ясным примером, на котором иллюстрируется общая
схема применения интегрального исчисления, является задача
о точном отыскании величины V площади плоской кривой.
Пусть мы хотим найти точную величину V площади, ограничен-
ограниченной непрерывной кривой х == Ф (х), осью абсцисс ОХ и ординатами,
восставленными в точках х = а и х = Ь (рис. 16).
Первый шаг. Делим отрезок \а9 Ь) на п каких-нибудь малых
отрезков и восставляем ординаты в точках деления xv x2, ••.,л:я_1.
Этим построением мы разрезаем искомую площадь V на п тонких
площадок, опирающихся на наши отрезки. Длины этих отрезков мы
обозначаем через Ax0, kxv ..., kxn_x (рис. 17).
Второй шаг. Тонкая площадка, опирающаяся на отрезок
[xit xi+1], очевидно, содержится между площадями описанного
и вписанного прямоугольников, опирающихся на этот же самый от-
отрезок [xiy xl+l] и имеющих самую большую и самую малую ординаты.
1 Нам безразлично, писать ли &х или dx, потому что, раз буква х обо-
обозначает независимую переменную, то Ах = dx.
7 Интегральное исчисление

98
ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ
ГЛ. IV
Значит, рассматриваемая тонкая площадка с кривым верхним осно-
основанием в точности равна площади прямоугольника, опирающегося
на отрезок [xit х^] и имеющего высотой ординату кривой Ф(^),
промежуточную между наибольшей и наименьшей ординатами
Рис. 17
на отрезке [xiy xi+l]. Это будет ордината кривой в некоторой нам
неизвестной точке %t отрезка [xit xi+1]. Следовательно, величина
Рис. 18
Рис. 19
кривой площадки, опирающейся на этот отрезок, в точности
равна Ф(^)Дл^ и, значит, имеем (рис. 18):
Третий шаг. Написав переход к пределу, имеем:
Следовательно,
= Г Ф (х) dx.
а
ь
площадь = Г у dx*

§ 46
УПРОЩЕНИЕ В ВЫВОДЕ ФОРМУЛ
99
Эту формулу легко запомнить, если сознательно допустить гру-
грубость в мышлении, представив себе, что интеграл есть сумма
(а не предел суммы, как происходит в действительности) элемен-
элементов площади ydx, т. е. прямоугольников (вроде KL) с высотой у
и основанием dx (рис. 19).
§ 46. Упрощение в выводе формул. В правиле примене-
применения интегрального исчисления, сформулированном в преды-
предыдущем параграфе, самым трудным является второй шаг, который тре-
требует, чтобы было строго доказано точное равенство /-й частицы искомой
величины V парному произведению Ф(^)Д.Х;. Иногда такое доказа-
доказательство представляется хлопотливым. Поэтому очень часто, когда
дело представляется совсем ясным, разбив искомую величину V на
частицы, не доказывают, что ?-я частица строго равна парному про-
произведению Ф(^)Дд;2, а просто бе-
берут сумму Ф(лго)Дл:о+Ф(л:1)Д*1 +
-|- .•.-(- Ф (хп_1) Длгл-1 парных про-
произведений Ф(хг)Дл:г и утверждают,
на основе данных интуиции1, что
эта сумма будет тем ближе к V, чем
мельче будут все kxiy и что в пре-
пределе сумма |Ф(л:|)Дл:| сделается
равной У.
В качестве примера возьмем опре- ц^с
деление величины V площади, огра-
ничейной: кривой х — Ф(у), осью
ординат О К и горизонтальными ли-
линиями у —с и y = d.
Первый шаг. Строим п че-
четырехугольников, как показано на
рис. 20. Искомая площадь V «оче-
«очевидно» является пределом суммы площадей этих четырехугольников,
когда число их безгранично увеличивается, а высота каждого из них
стремится к нулю.
Второй шаг. Обозначая через yv у2, .„., уп расстояния верх-
верхних оснований этих четырехугольников от оси ОХ> и через Д_у1э
&у2, ..., Lyn соответственно их высоты, видим, что размеры верх-
верхних оснований соответственно равны Ф (yt), Ф (у2), ..., Ф (уп).
Поэтому площадь /-го четырехугольника равна Ф(^)Д^, а их
сумма есть Ф(^)А)'1 + Ф(Л)дл4' •-• +ф(Уп)^Уп-
Рис. 20
1 Чтобы избегнуть обращения к непосредственной интуиции, обычно
прибегают к так называемому принципу интегрального исчисления, позво-
позволяющему при суммировании бесконечно малых пренебрегать бесконечно ма-
малыми равномерно-высшего порядка, сохраняя при этом всю точность оконча-
окончательного результата. Об этом см. § 55.

100
ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ
ГЛ. IV
Третий шаг. Написав переход к пределу, имеем:
Следовательно,
d
площадь— jxdy.
B)
Эта формула легко запоминается, когда, сознательно прибегая
к огрублению мышления, представляют себе (назаконно), что интеграл
есть сумма элементов
площади х dy, т. е. пря-
прямоугольников с высотой dy
и основанием х (рис. 21).
- - § 47# Смысл отрица-
Т^ тельного знака у площади.
площадь— Г ydx A)
предполагается, что а < ?.
Так как написанный направо
Рис. 21 определенный интеграл есть
предел суммы у0 Ал:0 -f-
4- ... + J'n-i Д*я-1» то, если у является отрицательной ве-
величиной, тогда каждое парное произведение yt^xt тоже отрица-
отрицательно. Поэтому в этом случае формула A) дает площадь со зна-
знаком минус. Но это означает только то, что площадь лежит ниже
оси ОХ.
Пример 1. Найти площадь одной волны синусоиды y=:sin* (рис. 22).
Решение. Так как sin л: = 0, когда лг = О, я, 2я, ..., то
Ь тс
площадь ОАВ = С у dx = Г sin x dx = 2,
а о
Ь 2тс
площадь BCD == Г у ^д: =» Г sia x dx = — 2.
Пример 2. Найти площадь, ограниченную полукубической параболой
= лг3, осью OF и прямыми y=*at у = 2а (рис, 23).

47
СМЫСЛ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЗНАКА У ПЛОЩАДИ
101
в у3
Решение. Элемент площади =*хdy = ав у3 dy.
Отсюда
площадь BMNC
1 2
—cfli^ — l) » 1,304 ... a\
Заметить, что площадь OLMB = а\
Пример 3. Найти площадь, заключенную между параболой ** = 4ау
« локоном Аньези у = ^ 4 2* (а >
А
Рис. 22
Рис. 23
Рис. 25
Решение.. Для определения пределов интегрирования решаем уравнения
данных кривых совместно, чтобы найти точки, в которых кривые пересе-
пересекаются. Найдем, что точки пересечения суть А (—2а, а) к С Bа, а).
Из рисунка 24 видно, что площ. АОСВ = площ, DEC В А — плсчц. DECOA.
Но
площ. DECBA =» 2 X площ. О?СЯ = 2
аи
±-dx — -^ a\

102 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
Следовательно,
площ. АОСВ » 2па* — ~ & = 2а* (п — -|А.
К решению вопроса можно подойти иным путем, рассматривая полоску MS
как элемент площади. Если обозначить ординату, соответствующую локону,
через у*, а ординату, соответствующую параболе, через у**, то дифферен-
дифференциальное выражение площади полоски MS будет (у* — у**) dx. Подставив
значения у* и у*1" в функции х из данных уравнений, получим:
2а
площ. ЛОСЯ = 2 X площ. ОСВ = 2 / (у* — y*r)dx =
о
2а
у-» л d
площ. ОАВ
О
Пример 4. Найти площадь эллипса
аъ -г ?2 - 1-
Решение. Ищем площадь квадранта эллипса, т. е. четверти эллипса ОАВ
(рис. 25), причем пределами служат * = 0 их = а, ау = -~У*а2 — jc2.
Подстановка в A) дает:
^ / / 9 оч2 . Г ^ / о ^2 , ab . х ~[а nab
= — / (а2 — д:2) ^ = -^-- (а« — ,*») -)- -^-arc sin — I = —^-.
о
Следовательно, площадь всего эллипса равна nab,
ЗАДАЧИ
1. Вычислить площадь, ограниченную прямой у = Ьх, осью ОХ и ордина-
ординатой * = 2. Отв. 10.
2. Вычислить площадь, ограниченную параболой у2 = 4л;, осью ОХ и пря-
прямыми х = 4 и jc = 9.
Отв. 25 1.
о
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = 9х и у = Зл:.
Отв^ 0,5.
4. Найти площадь, заключенную между равнобочной гиперболой ху =* а\
осью ОХ и ординатами х = а и л: = 2й.
Отв. a2 In 2.
5. Найти площадь, заключенную между кривой у = 4 — хг и осью ОХ.
Отв. 10 4-•
о
6. Найти площадь, заключенную между полукубической параболой у2 == х\
осью OY и прямой у = 4.
Отв. Щ-П
О
7. Найти площадь, ограниченную гипоциклоидой *3 +у3 =а3
Отв. -з-
о

§ 47 смысл отрицательного знака у площади 103
8. Найти площадь мевду цепной линией у=^\еа+е а/, осями ОХ и
OY и прямой х = а.
Отв. -g-(e2-l).
9. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = х*у прямой у = 8 и
осью OY.
Отв. 12.
10. Найти площадь, ограниченную кривой у = In х, осью ОХ и ординатами
* = 1 и х = а.
Отв. я
А 1.
11. Найти всю площадь, ограниченную кривой (—J3 + (-т-K = 1-
Отв. -г.
12. Найти всю площадь фигуры, ограниченной кривой а2у* = х*Bа — х).
Отв. па2.
13. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми х(у — е*) = sin x и
2ху 85= 2 sin л: + х3, осью О Г и ординатой х = 1.
Отв. j(ex — ~~x*\dx = e —~-= 1,552...
о
8а3
14. Найти площадь, содержащуюся между локоном Аньези у = —2 . 3-
и осью ОХ, асимптотой кривой.
Отв.
15. Найти площадь, заключенную между циссоидой у2 = -* и ее асим-
ZCL —— X
птотой х = 2а.
Отв. Зпа2.
16. Найти площадь, содержащуюся между параболами у2 = 2рх и х2 = 2ру.
Отв. то2.
о
17. Найти площадь, содержащуюся между параболой у2 = 2х и кругом
у2 = 4Х — X2.
Отв.
. 2 L — -|А = 0,9499 ...
18. Найти выражение площади, ограниченной равнобочной гиперболой
^2 — у^г=а2у осью ОХ и диаметром, проходящим через любую точку
(*. У)-
19. Найти путем интегрирования площадь треугольника, ограниченного
осью OY я прямыми 2jc + y + 8 = 0 и у = —4.
Отв. 4.
20. Найти интегрированием площадь круга х = г cos 9, у = г sin 9, где 9 —
параметр.
21. Найти площадь, ограниченную одной дугой циклоиды лг = дF — sin 6),
у = а A — cos в). [Так как jc изменяется от 0 до 2иа, то параметр б из-
изменяется от 0 до 2«].
Отв. Зъа2, т. е. утроенная площадь производящего круга.

104
ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ
ГЛ. TV
22. Найти площадь, ограниченную кардиоидой х = а B cos t — cos 2t\ у
«= a B sin t— sin 20-
ОТВ.
23. Найти площадь гипоциклоиды х — а cos3 8, у = a sin3 6, где 0 — параметр.
Отв.
2, т. е. -g- площади описанного круга*
24. Найти площадь, образуемую петлей декартова
листа хн-{-ув =* Заху (рис. 26).
Указание. Пустьу = tx; тогда
3at
ЗаР
и dx
Пределы для t суть 0 и сю.
Рис. 26
Отв. -L
25. Найти площадь фигур, ограниченных следующими линиями:
a) (y-xf = X\ y = Q;
b) (x-y2J=*ybtx~0;
c) <ру » л: (jc2 — д2)э у «. 0;
Отв. ij.
1
Отв.
2Т-
Отв.
1
е) д: = >2 (у — 1), д: = 0.
Отв. тс.
Отв. j2^
§ 48. Площади плоских кривых в полярных координатах.
Пусть ищется площадь V, ограниченная кривой р=/F) и двумя
радиусами-векторами с полярными
углами а и р.
Первый шаг. Искомая пло-
площадь V «очевидно» есть предел
суммы площадей круговых секторов,
указанных на рисунке 27.
Второй шаг. Пусть А60,
Д61э ...—центральные углы секторов
и pOtpu ... — их радиусы. Сумма пло-
площадей круговых секторов равна:
и**.-»
Рис. 27
ибо площадь кругового сектора равна половине произведения ква-
квадрата радиуса на радианную меру дуги.

48
ПЛОЩАДИ КРИВЫХ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
105
Отсюда площадь начального кругового сектора равна:
я т. д.
Третий шаг. Написав переход к пределу, имеем:
. la,
Следовательно,
3
площадь — ~- \ р2 </0.
C)
Для памяти: элемент площади есть круговой сектор радиуса р
и с центральным углом db. Его площадь = -^-
Пример 1. Найти площадь всей лемнискаты p2 = ^
Решение. Геометрическая лемниската представляет собой фигуру, напоми-
напоминающую восьмерку, расположенную так, как показывает рисунок 28. Кривая
проходит через начало прямоугольных декартовых координат 0 и имеет в этой
точке две различные касательные прямые, делящие пополам угол между
Рис. 28
Рис. 29
осями координат. Поэтому целая площадь лемнискаты ровно в 4 раза больше
заштрихованной ее части ОАа, получающейся, если заставлять изменяться
ТС
полярный угол от 0 до -j-. Поэтому вся площадь лемнискаты равна:
1С
1
Г 1
4 / -н- a2 cos 2cp Жр.
о
Первый шаг. Первообразная для -^Фcos2<? есть -j-л2sin2? + С,
«ак показывает непосредственная проверка.
Второй шаг. Составляем разность:
1 a sin 2<Л4 » 4"л2 sin 2^- — 0 = j-a2.
4 Jo ^ 4 4
Отв. Вся искомая площадь равна 4. -|- а2 = а2, т. е. площади квадрата со
стороной а.

106 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
Пример 2, Найти всю площадь кардиоиды
р =в а A + cos б)
(рис. 29).
Решение. Так как кривая симметрична относительно полярной оси, то
вся площадь равна удвоенной площади ОАВС. Эту площадь радиус-вектор
опишет при изменении б от нуля до тс. Отсюда подстановка в C) дает;
Я 1С
5 = 2 I у я2 A+cos 6J^6= а2 / (l + 2cos 6-f cos2
т. е. площадь кардиоиды равна ушестеренной площади производящего круга.
ЗАДАЧИ
1. Вычислить площадь, описываемую радиусом-вектором спирали Архи-
Архимеда р = яб при одном его обороте, при начале движения от 9 = 0.
ОТВ. -^ Т$пК
о
2. Вычислить площадь одной петли кривой р = a cos 26.
Отв. -g-rca2.
3. Доказать, что площадь трех петель кривой р = a sin 30 равна четверти
площади описанного круга.
4. Найти площадь, ограниченную параболой р = a sc2 -*- и хордой, пер-
перпендикулярной к ее оси и проведенной через фокус.
Отв. -J-.
5. Показать, что площадь, ограниченная любыми двумя радиусами-векто-
радиусами-векторами гиперболической спирали рб = а, пропорциональна разности этих ра-
радиусов.
аЧ2
6. Найти площадь эллипса Р2 = а, sina е + ^ €0S2 e -
Отв. nab.
7. Найти всю площадь кривой р = a (sin 20 -J- cos 26).
Отв. ъаК
8. Найти площадь, ограниченную одной петлей кривой р2 cos 6 = a2 sin 30.
Отв. ^ ±
9. Найти площадь, ограниченную кривой р2 = a2 sin 40.
Отв. аК
§ 49. Объемы тел вращения» Пусть V — объем тела, образо-
образованного вращением плоской фигуры ABCD около оси ОХЬ причем
уравнение плоской кривой DC есть
.У =/(*).
Первый шаг. Строим прямоугольники, вписанные в плоскую
фигуру ABCD, как показано на рисунке 30. Когда площадь вращается
около ОХ, каждый прямоугольник образует круглый цилиндр. Иско-

§49
ОБЪЕМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
107
мый объем V «очевидно» равен пределу суммы объемов этих цилин-
цилиндров (черт. 30).
Второй шаг. Основания прямоугольников обозначаем через
Дл;0, Lxx а их высоты через у0, у1У ... Тогда объем цилиндра,
образованного прямоугольником AEFD,
есть ку2кх0 и, значит, сумма объемов
всех этих цилиндров есть:
Написав переход
Третий- шаг.
к пределу, имеем:
V = lim [«.у*Ьх0+ .
= Г ny2dx.
Следовательно, объем тела вращения,
образованного вращением плоской кри- Рис. 30
вой DC около оси ОХ и ограниченного
двумя плоскостями, перпендикулярными к ней, проведенными в точ-
точках х — а и х = Ь, дается формулой:
ъ
объем = те Гy2dxt
D)
где, разумеется, надо иметь в виду, что y = j
Для памяти: элемент объема есть объем круглого цилиндра,
имеющего радиусом основания у, а высотой dx. Его объем есть ъу2йх.
у Если кривая CD дана уравнениями
в параметрическом виде
тогда нужно в выведенной формуле
объема подставить j/ = cp(?) и dx =
= fr(t)dt и переменить пределы инте-
интегрирования на 11 и t2, если t == tx при
х = а и t~t2 при х — Ь.
Пример 1. Найти объем, производимый
вращением эллипса около его оси (рис. 31).
Решение. Пусть уравнение эллипса
есть то- + тог=1. Мы находим отсюда
Рис. 31
о
У2 == ~2 (д2~-^2)* и так как!уравнение вращаемой кривой предполагается в виде
if
У =/(•*)• то поэтому мы заключаем, что в нашем случае /2(х) = -^-(а2—х2).
Так как ясно, что объем всегощанного тела вдвое больше объема того тела,

108
ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ
ГЛ. IV
которое получается вращением дуги аМЬ эллипса, то искомый объем всего*
тела равен:
/иг
dx.
Первый шаг. Первообразная для « —g-(а2 — х%) есть
У ъ
В
Второй шаг. Составляем разность:
[* ж (а2а - 4)] - °=т
Отв. Весь искомый объем равен^-
о
Если а = ?, тогда ясно, что вращается круг
радиуса я. Объем же шара радиуса а ра-
равен -я- тсл3. Это. как раз и выходит из полу»
ченной формулы, если сделать д = Ъ.
Пример 2. Найти объем тела, образуемого вращением вокруг оси ОХ
гипоциклоиды:
Рис. 32
3
/ 1 1YS" / Л 1\3
Решение. Здесь у = \л8 — л:3/ ; следовательно, F2(x)=s\a* *—х*) .
Кривая, а равно и полученное тело вращения (рис. 32), симметричны отно-
относительно оси ОК, поэтому
?
6
—
ЗАДАЧИ
1. Посредством интегрирования найти объем прямого конуса, произво-
производимого вращением вокруг оси ОХ прямой, соединяющей начало с точкой (а, Ь)*
ОТВ. -тг 7СД#3^
о
2. Найти объем кольца (тора), производимого вращением
Х2 _|_ (-у _ ^,J — а2 вокруг ОХ Отв.
3. Найти объем параболоида вращения, производимого вращением дуга
параболы уг = 4ах между началом и точкой (хъ уг) вокруг ее оси.
Отв, 2ъах\= ^"^i^i» т. е. половина объема описанного цилиндра-
круга

§ 49 ОБЪЕМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 109
4. Посредством интегрирования найти объем конуса, производимого вра-
вращением вокруг ОХ части прямой 4лг— бу + З — О» содержащейся между
осями координат. Отв> _9_я
5. Найти объем, производимый вращением вокруг оси ОХ кривой
(х — 4а) у2 = ах(х — За) между пределами х = 0 и х = За.
Отв. -~*аЗA5 —16 In2).
6. Найти объем тела, образуемого вращением вокруг оси ОХ каждой из
фигур, ограниченных следующими линиями:
a) Дугой параболы лт2+уй = л3 и прямыми х = 0, у = 0. Отв. -^.
b) Одной дугой синусоиды у = sin x. Отв. -4-.
c) Параболой у2 = 4д: и прямой д: =* 4. Отв. 32тс.
d) Кривой у=*хех и прямыми лг=»1, у = 0. Отв. -j(e2— 1).
e) Кривой у* = 9х и прямой у = Зд:. Отв. -^-.
7. Найти объем тел, образуемых вращением фигур, ограниченных сле-
следующими линиями:
Вокруг оса ОХ Вокруг оса OY.
a) у =г е*> х = 0, у = 0; Отв. -^; 2тс;
кч 128и 96*
b) у = х\ дг = 2, у = 0; --у-; ^-у-;
1 а
c) яу2 = лг3, з^ = 0, д: =г а; —
d) -jq- + -^- « 1; 48тс; 64тс;
— 1- — тга^2' —
S. Найти объем тела вращения, производимого вращением цепной линии
/ ?. -?,\
а [ а . a i
-\-е а) вокруг оси ОХ от х =*0 до
_ па*
Отв. -^
B6 26
е —е
JC3
9. Найти объем тела, производимого вращением циссоиды у2 = ~ —
вокруг ее асимптоты х^2а. Отв.
10. Показать, что объем конической верхушки высоты а, отрезанной от
тела, производимого вращением равносторонней гиперболы jc2 — уг = а3
вокруг оси ОХ, равен объему шара радиуса а.
11. Пользуясь параметрическими уравнениями гипоциклоиды
х = л cos3 б, y = asin36,
вычислить объем тела, производимого вращением кривой вокруг оси ОХ.
Отв-

ПО ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
12. Найти объем, производимый вращением дуги циклоиды:
х = а (8 — sin 6), у « а A — cos 6),
1) вокруг оси ОХ; 2) вокруг оси OY. Отв. 5п2а3 и 6я3я3.
13. Показать, что объем тела, производимого вращением кривой
Х2у2 -_ — (х — д) (х — Ь) вокруг оси ОХ, предполагая b > а, равен:
14. Найти объем, производимый вращением кривой х1 — а2х2 -\- сРуг = О
вокруг оси ОХ.
Отв. -Yg-тсаз.
Л
15. Найти объем тела, производимого вращением кривой х* + у3 = 1
вокруг оси ОК.
Отв. -=¦«.
о
§ 50. Длина кривой. Измерение длины какого-нибудь прямо-
прямолинейного отрезка делается непосредственно: для этого берут другой
прямолинейный отрезок, принимаемый за единицу масштаба, и, при-
прикладывая его к измеряемому отрезку, стараются сосчитать, сколько
раз уложится в нем эта единица масштаба.
Такое непосредственное измерение делается невозможным, когда
хотят определить длину кривой линии, ибо прямолинейная единица
масштаба не может совпасть с дугой кривой линии. Разгибать же
кривую дугу также не имеет смысла, потому
что при этом разгибании может измениться
ее «длина».
Поэтому, для измерения длины дуги упо-
употребляют другой прием:
рис зз делят кривую АВ на какое-нибудь число
частей, помещая на нее точки (например,
С, D, ?"), и затем соединяют каждые две соседние точки хордой
(таковы хорды: AC, CD, DEt ЕВ, рис. 33).
Длина кривой определяется как предел суммы длин хорд,
когда число точек деления безгранично увеличивается, в то время
как каждая из хорд в отдельности стремится по своему раз*
меру к нулю.
Этот прием измерения длины кривой дуги называется «выпрямле-
«выпрямлением» кривой.
Учащийся с этим приемом имел дело в элементарной геометрии,
когда там речь шла о длине окружности, как пределе периметра
вписанного (или описанного) правильного многоугольника, когда число
его сторон безгранично удваивалось.
Мы сейчас будем иметь дело с этим процессом нахождения длины
плоской кривой, и учащийся должен внимательно изучить, как он
применяется.

§51
ДЛИНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
111
§ 51. Длина плоской кривой в прямоугольных координатах.
Пусть дана кривая
и на ней две точки Р(а, с) и Q(b, d). Требуется найти длину
дуги PQ.
Первый шаг. Помещаем на дуге PQ всего п — 1 промежу-
промежуточных точек Ми М2, .<¦¦, Л4я-1. Ими дуга PQ разбивается на п дуг,
концы которых попарно соединяем хордами. Искомая длина дуги PQ
есть предел суммы длин этих хорд (рис. 34).
У
Рис. 34
Второй шаг. Рассмотрим какую-нибудь из этих хорд, напри-
например начальную PMV При этом мы координаты точки Mt обозначаем
через хг и yt и ради простоты обозначения полагаем Р = MQ9 a = xOt
c—yQt и также Q = Mn, b — xn, d—yn. Имеем:
PMt = МОМХ =
По теореме же о среднем имеем:
где So есть некоторая нам неизвестная точка отрезка [jc0, х
(рис. 35).
Таким образом, -д^- = /7(Е0) и, значит:
рмх = момх=V
Аналогично, для всех остальных хорд имеем:

112 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
Значит, длина ломаной линии, составленной хордами, равна:
Третий шаг. Написав переход к пределу, имеем:
а
Следовательно, обозначая длину кривой дуги PQ через st имеем:
ь
длина дуги = s = С V1 + у2 dx, E)
а
где производная У — -^ должна быть предварительно найдена из
уравнения кривой \у =/(*).
Эту формулу можно было бы вывести из выражения диффе-
дифференциала ds дуги кривой, найденного еще в дифферен-
дифференциальном исчислении (часть I, § 123). Действительно, там мы
получили:
V
откуда
Если кривая PQ дана уравнением
то тогда все сделанные рассуждения для вывода формулы E) остаются
в порядке, ибо роли оси ОХ и оси OY совершенно равноправны.
Отсюда мы сразу можем написать:
длина
d
дуги = s = Г Vx'2 -f- I • rfy. E*)
Если же кривая PQ задана параметрическими уравнениями
*=/@. .У =
то проще всего воспользоваться формулой, также симметричной по
отношению к осям координат ОХ и OY; ds2 = dxi-^-dy'i9 т. е.

§51
ДЛИНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
113
ds = Уйхг«+- dy2 и, значит, s = \Уйхг-\-йугт Отсюда:
длина дуга = 5 = Г J V(dxf + (dyf JJ =
E**)
ибо имеем dx—f'(x)dt и dy — y'(t)dt.
Для памяти: элемент дуги есть гипотенуза прямоугольника
с катетами dx и dty. По теореме Пифагора, ее длина равна:
Пример 1. Найти длину окружности (рис. 36)
Решение. Дифференцируя, находим:
dy _?
dx~~ у
Подстановка в E) дает:
Рис. 36
О с
Рис. 37
[подставляя ya=sra — *2 из уравнения круга для исключения у.]
Отсюда
дуга
С dx Г f д:Г иг
I r • «= г arc sin — =-тт—
Значит, для всей окружности длина дуги равна 2ят\
Пример 2. Найти длину цепной линии
а [ a
{рис. 37) от Jt = 0 до л: = а.
Ь Интегральное нечисление

114 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
Решение. Первый шаг:
(Х_ Х\ / _? Х\
., еа+е'а), f'(X) = Uea-e~a),
У~
1 ( )
Второй шаг. Первообразная для у \еа -\-е а) есть
1 ( ~
у \еа -
как показывает непосредственная проверка.
Третий шаг. Составляем разность:
ЗАДАЧИ
1. Вычислить длину дуги полукубической параболы ау^^х* от начала
до ординаты х = 5а.
335
Отв. -о=- я*
Л А А
2. Найти всю длину гипоциклоиды xz -\-у* =а8. Отв. 6а.
= ~\еа -\-е а)
3. Спрямигь цепную линию у = ~\еа -\-е а) от х = 0 до точки (*, у>.
Отв. у\еа— ^ а).
4. Спрямить кривую 9ау2 « л: (лг— ЗаJ от * = 0 до х = За. Отв.
5. Найти длину кривой I—J3 +("K =1 в одном квадранте.
Отв. — '
6. Найти длину кривой еу == .у^. ¦ от х =да до д; = 6.
Отв. In 2g 4~ Д—^
7. Найти длину ветви циклоиды л: = a (t— sin 0, у=*аA — cos t).
Отв. 8а.
8. Найти длину дуги от б = 0 до 8 = Ьх эвольвенты круга, уравнения
которой
х — а (cos 6 + 6 sin в), у =т a (sin 6 — 6 cos в). Отв. ira^i *

§52
ДЛИНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
115
§ 52. Длина плоской кривой в полярных координатах. Из фор-
формулы дифференциала дуги ds в полярных координатах (часть I, § 124)
мы выводим сразу:
длина ДУги = 5^
F)
где, разумеется, р и — должны быть получены из полярного урав-
уравнения кривой.
В случае, когда удобнее принять за независимое переменное не 0,
а р, мы имеем:
длина дуги = s = J у 1 + (о •—? dp,
F*)
где производная — должна быть предварите л ьйо найдена из поляр-
полярного уравнения кривой.
Рис. 39
Для памяти: элемент дуги есть гипотенуза прямоугольного
треугольника с катетами dp и длиной дуги кругового сектора pd0.
По теореме Пифагора ее длина = V^dpJ -|- (р d0J (рис. 38).
Пример. Найти периметр кардиоиды р = а A + cos 8) (рис. 39).
Решение. Здесь -ж-~—a sin 6.
Когда 6 изменяется от 0 до щ точка Р описывает половину кривой.
Подставляя в F), имеем:
1С
= 2а / cos-н
db = 4а.
Итак,
8*
8л.

116 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
ЗАДАЧИ
1. Найти длину спирали Архимеда р = ав от начала до конца первого*
завитка.
Отв.
2. Спрямить спираль р = еа* от начала до точки (р, в).
Отв. -^
3. Найти длину всей кривой р =* a sin3 -5-*
о
4. Найти длину окружности круга р = 2r sin 6.
Отв. 2
5. Найти длину гиперболической спирали рб » а от (pi, 6j) до (р2, ^2).
Отв. -я-
Отв. у^-у^т?2+а ,„
6. Найти длину дуги циссоиды р =» 2л tg в sin в от в = 0 до в = —.
Отв. 2. 1/5-2-ТЛзШ
I
7. Найти длину дуги параболы р = a sec2 -^ от 6 = —^ до
Отв. 2
§ 53. Поверхность тела вращения. Поверхность тела вращения'
образована вращением плоской дуги CD кривой
y=f(x)
около оси ОХ.
Нужно измерить величину поверхности этого тела.
Первый шаг. Как раньше, мы разбиваем отрезок АВ на-
отрезки длин Д*о, &хи ... и восставляем ординаты yQt yl9 ... в точ-
точках xQt xl9 ... деления. Проводим хорды СЕ, EF, ... Когда кривая
вращается, каждая хорда описывает боковую поверхность усеченного
конуса. Искомая поверхность тела вращения определяется как предел
суммы боковых поверхностей этих усеченных конусов (рис. 40).
Второй шаг. Ради ясности чертим начальный усеченный конус
в увеличенном масштабе. Пусть М есть середина хорды СЕ. Тогда
боковая поверхность конуса
С?, A)
ибо боковая поверхность усеченного круглого конуса равна длине
окружности, описанной серединой образующей, умноженной на длину
этой образующей (рис. 41).

§53
ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
117
Преобразуем выражение A). Прежде всего:
се=
ибо по теореме о среднем имеем -^=/'A,,), где ^ есть какая-то-
нам не известная точка отрезка {xOt xt].
Затем отрезок ЛШ, будучи средней линией в трапеции СхоххЕ+
равен полусумме Уо~^^1.. Легко видеть, что эта полусумма отли-
Рис. 40
чается от ординаты /(?0) в точке ?0 на величину s0, сколь угодно-
малую. Ибо имеем:
^ 2
И так как вся кривая CD непрерывна, то функция /(х) непре-
непрерывна на отрезке [а, Ь]. Это означает, что для всякого положи-
положительного s, заранее заданного и сколь угодно малого, имеется такое*
положительное ?), что неравенство | х' — х" \ < tq непременно заставляет-
удовлетвориться неравенство \f(x') — /(д;А/)|<е. А отсюда следует*,
что когда длины Ajc0, hxu ..., А^л_1 отрезков станут меньше, чем т],
то тогда разность значений функции /(дг) в двух любых точках вся-
всякого отрезка будет меньше, чем е.
В частности, мы будем иметь:
Отсюда
-/(So)
Таким образом, мы имеем:
—f(^) = eQ, где е0 < е.

118 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
Так как отсюда следует, что MN = /(?0)-{-е0, то боковая поверх-
поверхность рассматриваемого конуса напишется в виде:
2rcNM • С? = 2тг • I/Go) —во] • VI +//2«о) **o-
Мы написали выражение для боковой поверхности начального
усеченного круглого конуса. Для боковых поверхностей остальных
усеченных круглых конусов мы имеем, разумеется, аналогичные выра-
выражения, т. е.
s2<8,
Сложив все полученные выражения, мы имеем:
2
Третий шаг. Напишем переход к пределу:
lim 2
1=0
Ясно, что этот предел равен сумме двух пределов, ибо
Поэтому искомая поверхность 5 тела вращения равна:
-lira 2 2^/E,) Vl +//1Ei) • Д*( + Нт 2 2та/1+/'2(У • Дх,.
i0 i0
Первый предел, очевидно, есть определенный интеграл:
ь
/2 dx.
Второй же предел есть нуль. Ибо, начиная с некоторого
момента времени, для всех е/ имеем неравенство zt < s, где / есть
любое число из 0, 1, 2, ..., п—1. Значит, тогда:

§53
ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
119
ибо сумма, написанная непосредственно перед интегралом, стремится
к нему, как к пределу, когда все Дл^->0, число же е есть фиксиро-
фиксированное.
Стоящий направо определенный интеграл, как мы знаем, равен
длине L всей кривой CD. Значит, начиная с некоторого момента вре-
времени, мы идоеем:
2*8,
< Згсе • L.
Так как положительное фиксированное s можно взять сколь угодно
малым, то величина, стоящая в левой части этого неравенства, есть
бесконечно малая, пределом которой служит нуль.
Отсюда мы заключаем окончательно, что поверхность 5 тела
вращения определяется формулой:
G).
dy
где у и — должны быть определены из уравнения вращающейся?
кривой, т. е. из y=f(x).
Формулу G) можно написать в виде:
ь
yds, G*)
ибо
ds =
О
Л
Рис. 42
Для памяти: элементом поверхности
является боковая поверхность бесконечно
тонкого усеченного круглого конуса,
имеющего образующей элемент ds дуги и окружностью среднего се-
сечения 2itj/. Значит, элемент поверхности равен 2пу ds (рис. 42).
Пример 1. Дуга кубической параболы
а2у =з хъ
между точками х = 0 и х = а вращается около оси ОХ. Найти поверхность,
тела вращения.
Решение. Имеем у'
—^
. Отсюда

120
ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ
ГЛ, IV
Элемент поверхности, следовательно, равен:
2%у ds =s -J
Поэтому по 7*
-5L
в ' (Ю у 10 — 1) а* » 3,6 ... А
Пример 2. Найти площадь поверхности вращения, производимой вра-
1. 1 1.
дцением гипоциклоиды л:3 +у3 =л3 вокруг оси ОХ
у Решение. Здесь
' з
2 1\Т
Рис. 43
Подставляя в G) и замечая, что дуга В А
произведет только половину искомой по-
поверхности (рис. 43), имеем:
S
Следовательно,
ЗАДАЧИ
1. Найти поверхность шара, производимого вращением круга хг-\-у* =г
«округ диаметра.
Отв. 47сг*.
2. Найти площадь поверхности, производимой вращением параболы
j/2 -я 4а^ вокруг ОЛ' от вершины до точки, в которой х = За.
Отв. -g-яЛ
3. Найти интегрированием площадь поверхности конуса, производимого
^вращением вокруг оси ОХ прямой, соединяющей начало с точкой (а, Ь).
Отв. ъЬ Y<& + Ь* •

§ 54 ТЕЛА С ИЗВЕСТНЫМИ СЕЧЕНИЯМИ 12!
4. Найти поверхность тора, производимого вращением круга
вокруг оси ОХ Отв. Ат&аЬ.
Указание. Положительное значение Y<& — х* дает внешнюю поверх»
ность, а отрицательное — внутреннюю.
5. Вычислить поверхность, производимую вращением цепной линии
у =*—\еа -\-е а } вокруг оси ОХ от х = 0 до х =* а. Отв. — (е2 — е~2 + 4).
6. Найти поверхность, производимую вращением вокруг оси ОХ кар-
кардиоиды х = а B cos в — cos 26), у = а B sin в — sin 26). Отв. —г- па*.
7. Показать, что поверхность, производимая вращением циклоиды
64
х = а F — sin 6), у =з а A — cos 6) вокруг оси ОХ, равна -^- яа2, а вокруг оси.
OF равна 16тс2Л
8. Показать, что если кривую у* + 4* = 2 In у вращать вокруг оси ОJ?
от у = 1 до у = 2, то произведенная поверхность равна -г- тс-
9. Найти площадь поверхности, образуемой вращением вокруг оси ОХ
дуги каждой из следующих кривых: __
a) у = ег* от jt =* 0 до х = со, Отв. * [У12 + In A +1^2)].
b) петли кривой 9ау* = х (За — х)\ Отв.
с) петли кривой 8а?у* =* а?х* — 4хК Отв. -j-.
10. Найти площадь поверхности, образуемой вращением дуги каждой из>
нижеследующих кривых: 1) вокруг оси ОХ; 2) вокруг оси ОУ:
jca v2 2%ab %Ь7 14-е
а) эллипс ~з + Та = 1- Отв- ^^2 Н arcsin е; 2тсл5 -\ In . __ >
где е^1 (эксцентриситет эллипса).
Ь) х =я ев sin 6, у =я ^е cos 6 от 9
§ 54. Тела с известными поперечными параллельными сече-
сечениями. В § 49 было показано, каким образом вычисляется объем
тела вращения посредством простого интегрирования. Очевидно, тело
вращения можно рассматривать как образованное движущимся кру-
кругом, центр которого лежит на оси вращения, а плоскость круга
к ней перпендикулярна, причем радиус круга изменяется. Так, на
рисунке 44 можно предположить, что круг ABCD, плоскость кото-
рого перпендикулярна к оси ОХ, производит тело вращения OEGFH,
в то время как центр его движется от О к N, а радиус МС(=у)
непрерывно изменяется с изменением М0(—х) по закону, опре-
определяемому уравнением плоской кривой, вращением которой можно
^произвести это тело.
Покажем теперь, каким образом можно приложить эту мысль
к вычислению объемов тел, не представляющих собой тел вращения,

122
ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ
ГЛ. IV
когда возможно площади параллельных плоских сечений тела пред-
представить функциями их расстояний от неподвижной точки.
Разобьем тело, изображенное на рисунке 45, на п слоев плоско-
плоскостями, перпендикулярными к оси ОХ, и примем начало координат за
Y
Рис. 44
упомянутую выше неподвижную точку. Пусть FDE есть одно из
сечений тела. Построим на этом сечении прямую призмочку, второе
основание которой лежит на следующем сечении тела.
Так как, по предположению, площадь сечения FDE есть функ-
функция ON, т. е. х, обозначим эту площадь через f(x)t и пусть Дд;
есть высота призмы.
Следовательно, f(x)kx есть элемент объема V тела и искомый
объем V есть предел суммы объемов призм при неограниченном воз-
возрастании числа делений п при условии, что все Да: стремятся к нулю.
Таким образом, получаем:
п Ъ
V^ Urn У/(*,)**,= ff(x)dx.
(8)
Очевидно, что тело О ABC (рис. 45) можно рассматривать как
тело, образованное сечением DEF, перемещающимся непрерывно при
изменении х от 0 до ОМ. Ниже-
Нижеследующие примеры служат иллю-
иллюстрацией этой идеи.
Пример 1. Вычислить объем трех-
X осного эллипсоида:
В
Решение: Можно предположить, что
эллипсоид образован движением пере-
переменного эллипса ABCD (рис. 46) от
точки Е к точке G, так что центр его М
находится на оси ОХ, а плоскость его
перпендикулярна к этой оси. Ясно, что оси У и с' переменного эллипса
ABCD (а следовательно, и его площадь) будут функциями абсциссы х = ОМ,
определяющей его положение.

§54
ТЕЛА С ИЗВЕСТНЫМИ СЕЧЕНИЯМИ
125
Чтобы найти ось Ь\ рассмотрим эллипс GHEJ в плоскости XOY, урав-
уравнение которого есть
Решая это уравнение относительно у (== &') в функции х (= ОМ), имеем:.
Подобным образом уравнение эллипса EFGI в плоскости XOZ дает:
OSA/M*/W\A>kA
Отсюда площадь сечения по эллипсу
ЛВСО будет:
Подставив в (8), имеем:
+а
=^ f (a* —
~
в
Рис. 47
Пример 2. Найти объем прямого
коноида х с круглым основанием, если
радиус основания есть г, а высота а.
Решение. Расположив оси координат, как показано на рисунке 47, рас-
рассмотрим сечение PQR, перпендикулярное ОХ. Это сечение в прямом коноиде-
всегда есть равнобедренный треугольник, а так как
= а и
(последнее находим, решая относительно у уравнение х2 + у1 = 2гх круга
ORAQ), то площадь этого сечения будет:
Подстановка в (8) даст:
..а Г Y2rx^
dx =s -^-
Это — как раз половина объема цилиндра с теми же основаниями и
высотой.
1 Рассматривая приложенное решение этой задачи, учащийся легко
поймет, каково определение коноаиа.

124 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
ЗАДАЧИ
1. Точка пересечения диагоналей квадрата перемещается вдоль диаметра
круга радиуса а; при этом плоскость, в которой лежит квадрат, все время
остается перпендикулярной плоскости круга, а две противоположные вер-
вершины квадрата перемещаются по окружности. Найти объем тела, образуе-
образуемого этим движущимся квадратом. 8 ч
итв» -Q- л*.
2. Равносторонний треугольник перемещается так, что плоскость, в кото-
которой он лежит, все время остается перпендикулярной оси ОХ, а вершины
основания движутся соответственно вдоль ветвей парабол у% = \§ах и
у2 = Аах, расположенных над осью ОХ. Найти объем тела, которое образо-
образовано движущимся треугольником, если он перемещается от начала коорди-
координат до точки, абсцисса которой равна а. 1/"~3
Отв. ^- а*.
3. Окружность перемещается таким образом, что одна из ее точек
-остается все время на оси OY, центр описывает эллипс -^ + гз- = 1. а пло-
<кость, в которой лежит окружность, все время перпендикулярна оси ОК.
Найти объем тела, описываемого окружностью. _ 8
™ Отв. -j-паЧ.
§ 55. О применении интегрального исчисления в естествознании.
Выше, в § 44, мы указали ту общую схему, по которой интегральное исчис-
исчисление прилагается к решению многих задач естествознания.
Эта схема состоит из трех шагов.
Первый шаг. Искомую величину V разбиваем на безгранично увеличи-
увеличивающееся число п бесконечно умаляющихся частиц.
Второй шаг. Частицы эти выражают так, чтобы их сумма получила
Третий шаг. Переходя к пределу, нолучают решение в виде:
ь
К=г Г Ф(х)йх.
При этом мы указали (см. § 46), что самым трудным является сделать
т торой шаг, т. е. выразить частицу в виде парного произведения
4> Fj) kxi% ибо это выражение должно быть абсолютно точным, без какой-
либо погрешности, как бы мала она ни была. Трудность подыскать для
часшцы такое выражение настолько велика, что чаще всего второго шага
«совсем не делают, а, взамен этого, просто указывают, что предел суммы
4»{*о) Д*о + ф C*i) Д*1+ ... +Ф (•*„_!) Д*л-1 «хорошо согласуется» с нашим
представлением об искомой величине V.
Чтобы избежать этой смутной ссылки на наше представление, доста-
достаточно доказать, что вовсе не нужно выражать частицу в виде парного
-произведения Ф F/) Д.к* с абсолютной точностью, ибо окончатель-
окончательный результат будет тем оке самым, когда частицы а эта произведения
разнятся друг от друга на бесконечно малые равномерно-высшего порядка.
Переходим к разъяснению сказанного
1. Равномерные бесконечно малые. Рассмотрим переменные величины
«, Р, т * О)
число которых т беспрестанно возрастает благодаря тому, что к ним справа
приписывают все новые и новые переменные величины. Такие переменные

$ 55 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ 125
величины A) называются равномерными бесконечно малыми, когда для вся-
всякого заданного положительного е, начиная с некоторого момента времени»
сбудут удовлетворяться сразу все, без исключения, неравенства:
|«1<«. 1Р|<«. 1тК«. ....И<«. B)
Смысл этого определения тот, что среди бесконечно малых a, (J, у, .... р.
«ет запаздывающих в своем стремлении к пределу нуль.
Примером такого запаздывания могут служить переменные величины
12 3
<х = — , В=* —, т =* —» ••• Каждая из них занимает какое-нибудь опое-
т т т
деленное место / в ряду A) и, значит, стремится к нулю, когда m безгра-
«ично увеличивается, ибо дробь —, при фиксированном числителе /, с воз-
возрастанием целого т бесконечно умаляется. Однако во всякий момент времени
неравенства B) все сразу никогда не соблюдаются, ибо всегда имеем
И а — а» 1. Значит, хотя каждая из переменных величин A), взятая в отдель-
отдельности, т. е. стоящая на определенном месте, есть величина бесконечно
шалая, однако все вместе они уже не суть равномерно бесконечно малые.
2. Равномерно-высший порядок. Если мы имеем две строки равномер-
равномерных бесконечно малых:
a, fc Г.-. (х, C)
то первая строка рассматривается как составленная из бесконечно малых
равномерно-высшего порядка по отношению к бесконечно малым второй
«троки, когда отношения
• т-f i *
суть равномерные бесконечно малые.
3. Равномерная равносильность. Равномерные бесконечно малые, обра-
образующие две строки:
«, Р, ъ .... i*. гб)
«', Р', I'— ^ С)
называются равномерно-равносильными, когда их разности
а-а', р-Р', т-^ .... f»-J*' E)
суть бесконечно малые равномерн о-в ысшего порядка.
Обозначая эти разности соответственно через а*, р*, у\ ..., [а*, мы
имеем равенства:
а«а' + .', р-Р' + Р*. T=T' + f ^{*Ч^ F)
которые словесно читаются так:
бесконечно малые a', p'f 7', ..., н«'» равномерно-равносильные данным
бесконечно малым а, р, т. •••¦ Н-» получаются из а, р, y» •••» И- отбросы-
еанием (зачеркиванием или опусканием) у кил: частей равномерно-высшего
порядка.
Это следствие очень важно, так как имеет уже практическое значение;
имея данными суммы: "
« = «' + «>, fs = r+r. т-т'+f f* = j

126 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
бесконечно малых, мы просто зачеркиваем в них бесконечно малые
а*, р\ ..о я* равномерно-высшего порядка; полученные новые бесконечно
малые
а', Р',Т',..., I*'
оказываются равномерно-равносильными данным а, р, y» ...» И-
Теорема, Для того чтобы бесконечно малые C) были равномерно*
равносильными, необходимо а достаточно, чтобы разности:
~1. ?-1. Ту-1 ?-1 G)
были равномерными бесконечно малыми.
Доказательство. Вводя обозначения для этих разностей:
мы находим:
«-«;-< ИГ-№". Т«Т' —ТЛ .... I*-!*' —W**. (8)
Сравнивая эти равенства с равенствами F), мы видим, что необходимым
и достаточным условием равномерной равносильности бесконечно малых C)
является равномерно-высший порядок бесконечно малых аа", рр", ??"» ...» М*"
по отношению к а, р, y, ...» м-. А для этого необходимо и достаточно, чтобы
переменные величины a", jS", y"» ...t н-" были равномерными бесконечно
малыми, ч. т. д.
4. Принцип интегрального исчисления в первой форме.
Основная теорема /. Предел суммы равномерных бесконечно малых
одного и того же знака-, а, р, ?, ...t p не изменится, когда мы заменим
эти бесконечно малые другими: а', р7, ?', ...» мЛ им равномерно-равно-
равномерно-равносильными,.
Доказательство. Предположим а, р, ?» ..., ja положительными. По
условию, бесконечно малые а', р\ ?'» ...» и' им равномерно-равносильны.
Это означает, что имеем равенства (8), где а", р", -f p" суть равно-
равномерные бесконечно малые. Поэтому, для любого фиксированного е, е > О,
начиная с некоторого момента, имеем неравенства:
Отсюда, из равенства (8), следуют неравенства:
а' — еа < а < а' -|- еа "|
сложив которые, имеем:
2а' — zla < 2а < 2а'
Отсюда находим:
Так как е может быть взято как угодно малым, то отсюда следует, что
-'

-§ 55 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ 127
Это и доказывает, что обе суммы а' + Р' + f' + ... -j-/J/tfa + P +
+ Т+ ••• +Н* имеют тот же самый предел: конечный, или бесконечный,
ила нулевой. ч. т. д.
5. Принцип интегрального исчисления во второй форме. Если бесконечно
малые а, Р, 7» • • •» к- имеют разные знаки, предыдущая основная теорема I
может оказаться ложной. Чтобы поправить дело, надо ввести одно допол-
дополнительное условие на бесконечно малые разных знаков а, р, у, ..., р..
Определение. Сумма a -(- Р + Y + ••• +1* бесконечно малых назы-
называется абсолютно-ограниченной, когда сумма их абсолютных величин | a | -f-
+ 1Р1 + 1тЦ--**+1М ограничена, т. е. если имеем сохраняющимся все
время неравенство
где К есть положительная постоянная величина.
Основная теорема II. При отыскании точного предела абсолютно-
ограниченной суммы бесконечно малых все их можно заменить равномерно-
равносильными, не изменив величины этого предела.
Доказательство. Пусть <s =* а-\-$-\-у-\- ... + f* — абсолютно-огра-
абсолютно-ограниченная сумма бесконечно малых, точный предел lim <j которой нам нужно
найти. Так как а есть, по условию/ абсолютно-ограниченная сумма беско-
бесконечно малых, то мы должны все время иметь неравенство:
где К есть положительная постоянная величина.
Пусть новые бесконечно малые а.', р', ?', .. .¦ р' равномерно-равносильны
данным бесконечно малым a, p, ?>•••> Р-5 обозначим через а' сумму новых
«бесконечно малых:
Вычитая из прежней суммы новую сумму а', имеем:
Из равенства (8) мы находим:
a_a' = -a"a, Р-Р' = -Р"Р, Т_т'«-Т"Т, .... ^ji'--,!>, A4)
где а", р", *[",..., у? суть равномерные бесконечно малые. Это означает,
что для всякого заданного е, е > 0, начиная с некоторого момента, имеем
неравенства:
|а"|<е, |П<«. 1Т'М<^ 1^1<^ A5)
Сопоставляя неравенства A4) и A5), мы имеем наравенства:
|a-a'|<e-l«|. |P-P'| <«-|PI,.... ||i-ji'| < •• If* t
|складывая которые, находим:
«-«'1 + 1Р-Р/1+.-. + 1«*-«*'1<вAв1 + 1Р1 + --.+/^1)<«-ЛAО
С другой стороны, из равенства A3) следует
В силу A6) имеем: |а — <?' | < s/<.
Так как /( есть постояниая величина, а е — произвольно малое, то имеем:
lim(cj — a') = 0,
откуда
lim <з =: lim q\ ч. т. д.

128 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
6. Заключение. Проще всего принцип интегрального исчисления приме-
применяется в виде следующего практического правила.
При вычислении предела абсолютно-ограниченной суммы бесконечно
малых всегда можно пренебрегать бесконечно малыми равномерно-выс-
равномерно-высшего порядка.
Действительно, пренебрегая бесконечно малыми равномерно-высшего
порядка, мы просто заменяем данные бесконечно малые другими, им равно-
равномерно-равносильными. Но принцип интегрального исчисления именно и по-
позволяет делать такую замену, когда дело идет о пределах абсолютно-огра-
абсолютно-ограниченных сумм бесконечно малых.
§ 56. Центр тяжести. Пусть имеем систему п материальных
точек Мх (xv уи zx), М2 (х2, у2, г2)9 ..., Мп (хп, уп, zn), массы
которых соответственно равны mv m2t ..., тп. Мы предполагаем
эти точки неизменно связанными друг с другом. Вес рг точки Mt
•есть вертикальная сила, величина' которой равна m(g, где g —
ускорение силы тяжести, одинаковое для всех тел. Масса т всей
системы равна сумме масс отдельных точек: т — тА-\-т2 -f- ... +/гая
и вес р всей системы также равен сумме весов отдельных точек:
Механика доказывает, что точка М (х, у, г), координаты х, у% г
которой определены по формулам:
_
тп т
тпУп _ s ЩУг
т
- _ т^х + т2г2 + ... + тпгп
nt\ -\- m2 -J- .., 4- тп т
A)
также является неизменно связанной с системой точек Мх, М2%
..., МпУ и что, если приложить в этой точке М силу р, напра-
направленную вверх, то эта система будет в равновесии в любом поло-
положении, если она была неподвижной.
Эта точка М(х, у, г) называется центром тяжести системы
точек Mv Мъ .... Жл.
Также механика доказывает, что, когда мы не знаем центра тя-
тяжести всей системы, но знаем центры тяжести отдельных ее частей,
на которые она мысленно разбивается, то центр тяжести всей си-
системы еще продолжает даваться теми же самыми формулами A),
но только под ти т2> .. •, тп надо разуметь массы уже не
точек, а этих отдельных частей систе мы, а под М1(хи
уи zx), М2(х2, уъ z2) Мп(хп, уп, zn), соответственно,
их центры тяжести.
Это предположение механики имеет чрезвычайную важность, ибо
на нем основано разыскание центров тяжести уже непрерывных
систем: линий, кусков поверхностей и тел. С этой целью пре-

§ 56 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ 129
вращают суммирования в интегрирования, предполагая, что ма-
материя распределена в данном теле непрерывно, т. е. без каких-либо
пропусков. Благодаря чему происходит превращение физических
задач в задачи чистой геометрии.
Для этого начинают с предположения об однородности
непрерывной системы; непрерывная система называется од-
породной, когда во всех своих точках она являет одно и то же
физическое строение. Ее плотность р есть тогда постоянное
отношение массы произвольной части этой системы к протяже-
протяжению (длине, площади, объему) этой части. Если т есть масса
рассматриваемой части системы, v — ее протяжение, а р — плот-
плотность всей системы, то мы имеем р== —, откуда m — p>v и, та-
таким образом, рассмотрение механического понятия массы т сводится
на рассмотрение пропорциональной ей геометрической протяжен-
протяженности V.
Далее, простейшие геометрические системы позволяют быстро
находить их центры тяжести, ибо они всегда совпадают с их гео-
геометрическими центрами, когда они у них имеются. Так, например,
центр тяжести прямоугольника или параллелепипеда совпадает с его
геометрическим центром, центр тяжести отрезка прямой есть его
середина и т. д.
Пользуясь этим, сначала разбивают мысленно данную не-
непрерывную систему, центр тяжести которой надо найти, на чрез-
чрезвычайно мелкие частицы, которые принимают за простые геометри-
геометрические элементы1 с легко находимыми у них центрами тяжести,
затем, при помощи формул A), отыскивают центр тяжести суммы
этих элементов и, наконец, переходя к пределу, т. е. заставляя
частицы безгранично уменьшаться и число их п безгранично уве-
увеличиваться, мы в пределе получаем искомый центр тяжести данной
непрерывной системы, причем суммы, стоящие в формулах A),
превращаются в интегралы:
Г xdm _ Г у dm _ Г
—Г . У = ~с . 2=7
I dm I dm I
г dm
dm
Если, как было сказано, рассматриваемую непрерывную систему мы
принимаем за однородную, то тогда имеем т = pv, где р — постоян-
постоянное (= плотность всей системы), т — масса части системы, av — ее
1 Пренебрегая бесконечно малыми равномерно-высшего порядка (см. пре-
предыдущий §).
9 Интегральное исчисление

130 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
протяжение. В этом случае имеем dm = pdv, и формулы B) пере-
переписываются в виде:
_ I xp dv р I х dv Г х dv
fPdv Pf
и, аналогично:
_ l У dv _ Г z dv
dv
C)
где V — протяжение (т. е. длина, площадь или объем) всей (т. е.
целой) данной непрерывной системы.
Если же данная непрерывная система неоднородна, тогда отно-
отношение массы к протяжению, т. е. —, зависит от той части системы,
которую вырезывают (мысленно) из системы, и в этом случае это
отношение носит название средней плотности. Когда же эта часть
системы стягивается в точку, тогда средняя плотность —
этой части стремится к пределу р, который называется плотностью
системы в точке. В этом случае мы имеем р = —, и р, как ве-
величину переменную, зависящую от рассматриваемой точки (х, у, г)
системы, т. е. как являющуюся функцией р (х, у, 2), уже нельзя
выносить за знак интегрирования. Следовательно, формулы B) для
неоднородных непрерывных систем получают вид:
_ I xp dv _ I yp dv __ I zp dv
х = ±y = Jz = J.D)
±- , y = - , z = -
ipdv \ p dv J p dv
Чтобы вычислить интегралы, входящие в по-
•X лученные формулы, подынтегральные выражения
должны быть выражены через одно переменное.
Рис. 48 Пределы интегрирования определяются конкрет-
конкретными условиями задачи.
Пример 1. Найти центр тяжести четверти окружности х" + у2 == а2,
расположенной в первом квадранте.
Решение. Разбиваем дугу окружности на п частей ds (рис. 48); обозна-
обозначив через р линейную * плотность кривой, получим:
dm = p ds.
1 Под средней линейной плотностью подразумевается отношение массы
точек, покрывающих дугу, к длине ее. Под линейной плотностью в точке
подразумевается предел средней плотности, когда дуга стягивается в точку.

§ 56 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ 131
Следовательно»
Г pxds j ру ds
/
р ds
Считая плотность постоянной, выносим р за знаки интегралов и сокра-
сокращаем. Тогда знаменатель каждой дроби становится равным просто s. Чтобы
вычислить числители, применяем известную формулу ds* = dx* -)- dy\ откуда
в нашем случае ds = — dx = dy, причем, так как за начало отсчета
у х
длины дуги s принимается точка А, то для ds > 0 dx есть величина поло-
положительная, a dy — отрицательная.
Следовательно:
О а
\ х ds = — Г a dy = а\ Г у ds = Г a dx «= а2, I ^5 = ^-.
а О
Таким образом, получаем:
- - 2а
ху
Пример 2. Найти центр тяжести четверти окружности примера 1 при
условии, что линейная плотность дуги изменяется пропорционально длине
дуги, отсчитываемой от точки В.
Решение. В этом случае
dm = ks - ds.
Для того чтобы легче выполнить интегрирование, воспользуемся урав-
уравнениями окружности в параметрической форме:
х я=з a cos ф, у = a sin ф.
Тогда получим:
F
/а3 ф cos
/
о 4я —8
о
тс

/I а3 ф sin ф dv
sy ds J o
_ =_ о 8a
9*

132
ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ
ГЛ. IV
Пример 3. Найти центр тяжести площади, ограниченной параболой
у2 __ 4рх, осью ОХ и ординатой точки (Л, k) кривой (рис. 49)»
Решение, Разобьем площадь фигуры на п частей. Тогда элементарная
площадь будет равна у dx, где у — ордината точки кривой. Обозначая по-
поверхностную плотность площади через р, будем иметь:
dm = ру dxt
и эту массу в случае, когда р = const, можно считать сосредоточенной
в точке 1х, -тН элементарной площади. Тогда
h h
Y
jxpydx
J pydx
pydx
Выражая у через х, из уравнения кривой по-
получаем:
h 1 Л 3
"а Г ~ъ 4
ydx = 2p I лг ал: =
5
,2- 2
п
о
h 1
kk.
Следовательно, считая плотность р постоян*
ной, имеем:
- 3 и - 3 и
Рис. 50
Пример 4. Найти центр тяжести сферического сегмента, образованного
вращением площади BDE (рис. 50) вокруг оси О К, причем известно, что
Решение. Разобьем сегмент плоскостями, перпендикулярными оси OYr
на п элементарных объемов. Объем элементов равен itx*dy, и поэтому
dm =з ръх2 dy.
Массу этого элемента, в случае р = const, можно представить себе со-
сосредоточенной в точке @, у), т. е. в центре основания элемента. Следова-
Следовательно, в этом случае абсцисса тяжести сегмента * = 0, а ордината
а ' а
а
f(a*-y*)dy
4 2а + с

§56 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ 133
Пример 5. Найти центр тяжести поверхности сферического сегмента
примера 4.
Решение. Разбиваем поверхность на элементы плоскостями, перпенди-
перпендикулярными оси OY. Тогда площадь элемента поверхности будет равна
2nxdst и
dm =з 2прх ds (р = const).
Массу этого элемента можно считать сосредоточенной в точке @, у).
Из уравнения окружности найдем: ds = ——, и, следовательно,
а
jxyds jydy
х = 0 ^ =»= = с- «- - ~*г-
1 У а
Г х ds С dy
ЗАДАЧИ 1
1. Найти центр тяжести полуокружности х2-\-у2 = а\ расположенной над
осью ОХ.
Отв. (О, — )¦
2. Найти центр тяжести дуги гипоциклоиды х +у = а , расположен-
расположенной над осью ОХ.
Отв. {0, у.
X* У2
3. Найти центр тяжести площади четверти эллипса ~з + р = Ь лежащей
в первом квадранте.
Отв. (g, g).
4. Найти центр тяжести тела, образованного вращением вокруг оси OY фи-
фигуры, ограниченной гиперболой ^ — р ^ 1 и прямыми у = 0, у = 6.
— 9
ОТВ. у sps — 6.
5. Найти центр тяжести тела, образованного вращением вокруг оси OZ
фигуры, ограниченной параболой у2 = 4/?лг, осью ОХ и прямой ;е = а.
Отв. jc = -~.
6. Найти центр тяжести площади, ограниченной полукубической параболой
ау2* =^и двойной произвольной ординатой.
Отв. I -=-, О J, где x = h — уравнение ординаты.
7. Найти центр тяжести площади, ограниченной дугой синусоиды и отрез-
отрезком оси ОХ от х = 0 до * =г те.
Отв. D, -^.
Во всех задачах предполагается, что плотность постоянна.

134 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
8. Найти центр тяжести площади, заключенной между параболой
1 А А
х2 + у2 = а2 и осями координат.
а( - -)
9. Найти центр тяжести дуги цепной линии у = -^\еа -\-е а) от точки,
а( -
имеющей абсциссу х = О, до точки, абсцисса которой
/ 2а
UTB*
10. Найти центр тяжести площади гипоциклоиды х = a cos3 <р, у = a sin Зср,
содержащейся в первом квадранте.
Отв
х*ь v2
И. Найти центр тяжести площади, ограниченной эллипсом -2 + ^2 = 1, ок-
окружностью х2 + у2 =3 а2 и осью ОУ, лежащей в первом квадранте.
Отв ^ 4< +
12. Найти центр тяжести дуги циклоиды х = а (^ — sin ?), у = а A — cos t)
между первыми двумя точками циклоиды, лежащими на оси ОХ.
Отв. (па, -з"я)-
13. Показать, что центр тяжести кругового сектора лежит на биссектрисе
2 slnT
центрального угла а, на расстоянии -=- а —— от вершины (а — радиус
о о,
~2
круга).
14. Найти центр тяжести поверхности, образованной вращением вокруг по-
полярной оси одной петли лемнискаты г2 = 2а2 cos 26.
Отв. J--J A/5 + 1).
15. Показать, что площадь поверхности, образуемой вращением дуги пло-
плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, равна произве-
произведению длины дуги кривой на длину окружности, описываемой центром
тяжести дуги вращающейся кривой.
16. Показать, что объем тела, образуемого вращением плоской фигуры во-
вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, равен произведению площади
фигуры на длину окружности, описываемой центром тяжести площади
фигуры.
§ 57. Давление жидкости. Работа. Перейдем теперь к рассмо-
рассмотрению вопроса о вычислении величины давления жидкости на вер-
вертикальную пластинку, погруженную в жидкость.
Предположим, что ABCD (рис. 51) представляет часть вертикаль-
вертикальной пластинки, погруженной в жидкость, например часть вертикальной
стенки резервуара, наполненного жидкостью. Требуется вычислить
величину давления жидкости на эту площадку. Расположим оси коор-
координат, как указано на чертеже, где ось OY выбрана совпадающей

§57
ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ
135
с уровнем жидкости. Разделим отрезок АВ на п небольших интер-
интервалов и построим п прямоугольников, как это сделано на рисунке 51.
Площадь одного прямоугольника (например, прямоугольника ЕМ)
равна у • Ах. Если бы этот прямоугольник был расположен в гори-
горизонтальной плоскости на глубине х, считая от уровня жидкости
в сосуде, то величина давления жидкости
на прямоугольник была бы равна wxykxlt
где w — вес единицы объема жидкости.
Так как давление жидкости во все сто-
стороны одинаково, то отсюда следует, что
<wxykx есть элемент величины давления Ь
на пластинку. Следовательно, величина
давления Р на всю пластинку ABCD бу- «¦
дет равна:
О свободная поверхность у
Рис. 51
Р = lim V •wxlyi Дхг = w Г ху dx. E)
Для фактического вычисления по фор-
формуле E) следует выразить у как функ-
функцию х из уравнения кривой CD, ограни-
ограничивающей пластинку.
В дальнейшем вес кубического метра
воды будем считать равным 1000 кг (=<ш).
Пример. Лежащая горизонтально труба,
поперечным сечением которой является круг
диаметра 6 м, наполовину наполнена водой.
Найти величину давления воды на вертикаль-
вертикальную заслонку, закрывающую трубу.
Решение. Уравнение окружности есть
*2 + у3 = 9, РиС 52
следовательно, у = Y§ — хг\ далее, w = 1 000, пределы интегрирования суть
а =з 0 и 6 = 3.
Подставляя эти значения в формулу A), получим величину давления на
вертикальную часть заслонки, расположенную вправо от оси ОХ (рис. 52):
1000
Следовательно, величина давления на всю заслонку:
Р = 2- 9000 = 18 000 *гг.
1 Величина давления жидкости на горизонтальную площадку равна весу
столба жидкости, имеющего эту площадку своим основанием и высотой —
расстояние площадки от свободной жидкости.

136 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ ГЛ. IV
ЗАДАЧИ
1. Найти величину давления на прямоугольник, вертикально погружен-
погруженный в воду, если известно, что основание его равно 8 м, высота 12 му верх-
верхнее основание параллельно свободной поверхности воды и находится на
глубине 5 м. Отв. 1056 т.
2. Плотина имеет форму трапеции, две горизонтальные стороны которой
имеют соответственно 400 м и 100 мч а высота равна 20 м. Верхнее, более
длинное основание лежит на уровне свободной поверхности воды. Найти
величину давления на плотину. Отв. 40000 т.
3. Найти величину давления на поверхность шара, имеющего диаметр,
равный 6 м, если шар погружен в воду так, что его центр находится на
глубине 10 м относительно свободной поверхности воды. Отв. ЗбООООлкг.
Указание. Беличина давления равна:
+з
у A0 + х) dst где ds = .
-з
Работа. Если величина силы, действующей по направлению
движения, постоянна, то под работой, произведенной силой, подра-
подразумевают произведение силы на путь sx — $0, пройденный материаль-
материальной точкой, где st обозначает конечную, a s0 — начальную точку
движения. Если сила переменная, то работа может быть определена
только с помощью предельного перехода. Мы разбиваем весь отре-
отрезок пути от s0 до 5Х на п частей и предполагаем, что в каждом
частичном небольшом интервале сила имеет постоянное значение, на-
например то значение /(s), какое она принимает в некоторой произ-
произвольно взятой точке s этого интервала. Тогда произведение f($)ds
дает нам элементарную работу, а полная работа W, произведенная
силой, выразится так:
*t
W = \im^f(s)ds= ff(s)ds. F)
Если направление действующей силы совпадает с направлением
движения, то произведенная работа положительна (положительно
затраченная работа), в противоположном случае работа отрицательна
(приобретенная работа).
Пример. Вычислить работу, производимую при растягивании пружины
на 5 см, если известно, что сила, которая требуется для растяжения пру-
пружины, пропорциональна удлинению х пружины и что для удлинения пру-
пружины на 1 см требуется сила, равная 1 кг.
Решение. Действующая сила в настоящем примере равна, очевидно, kx%
где к— коэффициент пропорциональности. Так как для удлинения пружины
на 1 см требуется сила в 1 кг, то при х= 1.сила &* = ?«0,01 = 1, откуда
k =s 100, Пружина растягивается от положения равновесия х0 = 0 до конеч-
конечного положения Xi = 0,05. Следовательно, по формуле F) будем иметь:
0,05
W = j WQxdx = 50 [хЧ$°~° = 0,125 кг. м.

§ 57 ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ 137
ЗАДАЧИ
1. Тело движется прямолинейно по закону x = ct\ где х — длина пути,
проходимого за время t. Сопротивление среды пропорционально квадрату
скорости. Найти работу, производимую сопротивлением при передвижении
тела от точки х = 0 до точки х = а.
ОТ з ,
Отв. -у &)Л?2л7, где k — коэффициент сопротивления.
2. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из
полусферического сосуда, диаметр которого равен 20 м (рис. 53).
Отв. 2,5 • 106 % кг-м.
Указание. Рассмотрим сечение резервуара плоскостью, перпендику-.
лярной оси вращения, на расстоянии х от свободной поверхности жидкости.
Площадь этого сечения равна лу2. На площадь рассматриваемой площадки
действует вес столба жидкости, имеющего площадку своим основанием
и координату х высотой, т. е. сила w%y2x, где
w — вес единицы объема жидкости. Эта сила мо-
может быть представлена^ приложенной к центру ^^ _
тяжести площадки и действующей по направле- ^g^iSSBSfi^^ \/
нию оси вращения, т. е. оси ОХ. Поэтому • ^^^^^^^^ *
сила f(x)t фигурирующая в формуле F), выра-
выразится теперь в виде w%y2xt и искомая работа W
выразится формулой:
ь
W-w.fx?dx. рис53
а
Рассмотрим еще несколько примеров, характеризующих методы
приложения интегрального исчисления.
Пример 1. С какой силой тонкий прямой однородный стержень АВ
всюду одинаковой толщины, имеющий длину / и массу М, притягивает ма-
материальную точку N массы т (рис. 54), лежащую на продолжении линии
стержня на расстоянии а от одного из его концов?
л? Аь»—х-—*\dx\ В
"у? * |Я
Рис. 54
|
Решение. Представим себе, что стержень разделен на равные бесконечно
малые части (= элементы) длины dx. Так как масса всего стержня равна М>
то масса элемента dx равна -у • dx, ибо масса единицы длины стержня
М
равна у.
По закону Ньютона, притяжение между любыми двумя массами выра-
выражается равенством:
произведение масс
сила притяжения = const X т г
(расстояние между нимиJ

138
ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС СУММИРОВАНИЯ
ГЛ. IV
Поэтому сила притяжения между точкой N и элементом стержня равна
т* у dx
где 5 = const, что и дает элемент искомой силы притяжения. Полное же
притяжение между точкой N и стержнем, будучи пределом суммы всех та*
ких элементарных притяжений от х = 0 до х = /, будет;
Mm
Полагая в этом примере, что точка N находится на перпендикуляре*
восставленном в середине стержня, на расстоянии а от него, найти силу,
с которой стержень притягивает точку.
Пример 2. Сосуд, имеющий вид прямого круглого конуса (рис. 55), на-
полнен водой. Если высота его h3 а радиус основания г, то сколько времена
нужно будет, чтобы он сам собою опорожнился че-
через отверстие площади а при его вершине?
Решение. Известно, что если пренебречь всеми,
осложняющими явление сопротивлениями, то ско-
скорость истечения через отверстие равна скорости,
приобретаемой телом, свободно падающим с вы-
высоты, равной глубине воды в сосуде. Следовательно,
обозначая эту глубину буквой х% имеем:
Рис. 55
Пусть в элемент времени dt вытекает объем dQ
воды, а соответствующее понижение поверхности,
назовем dx. В единицу времени вытекает из от-
отверстия объем воды a Y^gxt измеряемый прямым цилиндром, площадь
основания которого есть а, а высота v (= Y2gx). Следовательно, в течение
времени dt вытекает
Но объем воды, вытекшей за время dt, можно также рассматривать как
объем цилиндра А В, у которого площадь основания равна S, а высота
равна dx, отсюда:
dQ — S dx =
Приравнивая (а) и (b) и решая относительно dt, имеем: dt = -г — »
а№ у 2gx
откуда

§ 57 ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ 139
Пример 3. Идеальный газ, заключенный в цилиндрический сосуд, за-
закрытый подвижным поршнем, расширяясь, увеличивается в объеме, пере-
передвигая при этом поршень. Найти работу, совершаемую силой давления газа
на поршень, если известно, что объем газа увеличивается от величины v0
до Vi. Температуру предполагаем неизменяющейся.
Решение. Пусть с — площадь поперечного сечения сосуда. Если обозна-
обозначим через dv приращение объема газа, то выражение — даст соответствую-
с
щую приращению dv величину перемещения поршня.
На основании закона Боиля — Мариотта имеем: pv = k = const, откуда
k kc
p = — равно силе давления газа на единицу площади поршня и Я = —
равно силе давления на всю площадь поршня. Следовательно, работа, соот-
соответствующая приращению объема dv, равна
- (сила давления X перемещение поршня),
откуда
J V

ГЛАВА V
ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫМИ
ПРИЕМАМИ
§ 68. Введение. Интегрирование называется формальным, когда
его, в конце концов, сводят на использование таблицы интегралов.
Если в каком-нибудь рассматриваемом случае эта таблица не имеет
интеграла, похожего на заданный интеграл, часто все же оказы-
оказывается возможным так преобразовать этот последний, чтобы он зави-
зависел только от формул, образующих эту таблицу.
Различными* приемами такого сведения на таблицу являются:
a) интегрирование по частям;
b) применение теории рациональных дробей;
c) использование подходящей подстановки.
Первый прием мы уже рассмотрели в § 18. Изложим два
оставшиеся приема.
§ 59, Интегрирование рациональных дробей. Рациональная
дробь есть такая дробь, у которой числитель и знаменатель суть
многочлены, т. е. целые рациональные функции. Если степень числи-
числителя равна или больше степени знаменателя, то дробь может быть
обращена в смешанное выражение делением числителя на знаменатель.
Например,
**+а*щ —х*\х
лг2 + 2дг+1 ^
Последнее слагаемое есть дробь, приведенная к простейшему
виду, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Оче-
Очевидно, что целые члены интегрируются прямо, и, следовательно,
остается рассмотреть только эту дробь.
Для интегрирования такой дроби часто бывает необходимо раз-
разложить ее на так называемые простые элементы, т. е. заменить
алгебраической суммой новых дробей, вид и способы интегрирования
которых приведены дальше. В алгебре доказывается, что такое раз-
разложение всегда осуществимо, если мы умеем знаменатель разложить
на действительные множители — линейные или квадратные.
Случай 1. Множители знаменателя все первой степени и
не повторяются. В алгебре доказывается, что всякому неповторяю-
неповторяющемуся множителю первой степени, например х — а% содержа*

§ 59 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 141
щемуся в знаменателе F (х), будет соответствовать простой элемент
А
вида —37—• Такую дробь можно тотчас же интегрировать следую-
следующим образом:
Решение. Множители знаменателя суть хл х — 1, х + 2; полагаем:
А В С
х(х—1)(х + 2) ~ х "^jc-I ^ х
гдеД В, С—подлежащие определению постоянные. Освободив A) от дробей,
имеем:
— С)лг — 2А. B)
Так как это равенство есть тождество, то, следуя методу неопределен-
неопределенных коэффициентов, приравниваем коэффициенты одинаковых степеней х
в обеих частях и получаем три совместные уравнения:
А + 2В — С = 2, C)
— 2А =3.
Решив эти уравнения, найдем:
—2' ?' °-~""б"*
Подстановка в A) этих значений дает:
Отсюда
dx
J X(x-i)(x + 2)ax~~ 2J х ^3j х-1 6 J
х + 2
Более краткий способ нахождения значений Л, В и С из B) таков.
о
Положив в равенстве B) х=*0, имеем: 3 = —-2А, или А = —-5-. Положив
3
х=\, имеем: 5 = ЗД или В — -^. Положив х = — 2, имеем: — 1 = 6С, или

142 ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. V
¦¦/
ЗАДАЧИ
(л: — \)dx ~"
: — 2)J.
3- / (^з +^6^ " 1П ^Х {Х "" 2K (* + 3J + С
6.
Случай 2. Множители знаменателя все первой степени и
некоторые повторяются. В алгебре доказывается, что в этом слу-
случае каждому л-кратному множителю первой степени, например (х—а)п,
содержащемуся в знаменателе F(x), будет соответствовать сумма п
следующих простых элементов:
А , В , _ +. I
(х — а)" (х — а)"-1 х — а
где Л, В L суть постоянные.
Последняя дробь интегрируется, как в случае 1. Все осталь-
остальные интегрируются по формуле степени. Так:
— а)п
р. Най J
Решение, Так как х—1 входит множителем трижды, полагаем:
Пример. Найти J -_?-±_
1
лг(л:— 1K
Освобождаясь от дробей, получаем:
А (х —1K + ?*+ Сх(х — 1) +
)x — A.

§ 59 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 143
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, находим систему
четырех уравнений:
А + D = lf
— С+ ?> = 0, *
— А = 1.
Решая их, находим: А = — 1, ? = 2, С=1, ?) =
, ЗАДАЧИ
1 Г <*•* _ ! i ^ x~2
6. Г ^
7. J
— 2)
J
«— 1)8 djf=S~" (^91.1)8 +С«
Случай 3. Знаменатель содержит неповторяющиеся мно-
множители второй степени, не распадающиеся на действительные
линейные множители. В алгебре доказывается, что в этом случае
каждому неповторяющемуся квадратному множителю, например
x2-\-px-{z qt содержащемуся в знаменателе F (x)t будет соответство-
соответствовать один простой элемент вида
Ах + В

144 ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. V
Эту дробь можно интегрировать в общем виде следующим
образом:
Г
J
[прибавив к числителю и вычтя из него -~\
JAX + Pjdx f
_^4 Г Bx+p)dx , 2В — Ар Г
2 J *+„ + ,+ 2 J
dx
[дополнив знаменатель второго интеграла до полного квадрата]
Здесь следует заметить, что квадратный трехчлен Р
при изменяющемся аргументе х не может никогда обращаться
в нуль. Ибо если бы этот трехчлен обратился для какого-нибудь
действительного числа х в нуль, то это означало бы, что квадрат-
квадратное уравнение xz-\-px-\-q — 0 имеет один действительный корень а.
Но тогда и другой корень (J этого квадратного уравнения также
был бы действительным и тогда мы имели бы тождество:
А мы предположили, что трехчлен x2-{-px-\-q не распадается
на действительные линейные множители.
По этой же 4 причине трехчлен x2-\-px~\-q не может изме-
изменять знака (ибо тогда он имел бы действительный корень). Поэтому
он всегда положителен, как бы не изменялся аргумент х (ибо он
положителен при х = -f- oo).
Сущность этих замечаний та, что мы его всегда имеем право
логарифмировать и писать \n(x2-\-px-\-q), не боясь попасть на ло-
логарифм отрицательного количества.
Здесь же надо добавить, что мы имеем обязательное неравенство
р2 — 4#<0 и, значит, всегда Aq—/>2>0, ибо только при этом
неравенстве, как учит элементарная алгебра, уравнение x2-\-px-\-q = О
не имеет действительного корня. Поэтому выражение УЧд—р2 есть
положительное число.
/А/1
X

§ 59 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 145
4 Л Зх -4- С
Решение. Полагаем —. „ . А. = 1 ¦
х(х2 + 4) х '
( + )
Освобождаясь от дробей, имеем:
4 = А (х2 + 4) + х (Вх + С) = (А + В)х* + Сх + 4А
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:
откуда
так что
Следовательно,
~* dx Г xdx t 1 . / « , .. , f f ex
ЗАДАЧИ
/3
Случай 4. Знаменатель содержит множители второй
степени, не распадающиеся на действительные линейные мно-
множители, причем некоторые из них повторяются. В алгебре до-
доказывается, что в этом случае каждому /i-кратному квадратному
10 Интегральное исчисление

146 ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. V
множителю, например (x2-\~px-\-q)n, содержащемуся в знамена-
знаменателе F(x)t соответствует сумма п простых элементов вида
Лх + В . Cx + D Lx+N
Принимая во внимание степень знаменателя, самым старшим
является первое слагаемое этой суммы, а самым младшим — последнее.
Последнее слагаемое интегрировать мы уже умеем, ибо этому
посвящен разобранный случай 3.
Чтобы выполнить интегрирование старшего слагаемого, необхо-
необходимо пользоваться «формулой приведения»:
С da _ 1 Г а \ <2п 3) f da 1 ГВ>
J (Ф + Д2)" 2 (п — 1) Ф [(Ф + a?)*1 J (Ф + Ф)п-Х\ ' V
которая сводит интегрирование высшего простого элемента 3 , 2-^
на интегрирование более низкого простого элемента
( + )
В истинности формулы приведения (В) учащийся имеет возмож-
возможность убедиться прямым ее дифференцированием.
К указанным простым элементам сводится и общий случай,.
когда р не равно нулю, ибо мы можем пополнить квадрат в знаме-
знаменателе:
где обязательно Aq—рг > 0. Полагая jc-j-5- = K> -rDq—р2) = аг>
мы имеем x2-\-px-\-q~u2-\-a2, причем dx = du, x = u — ^-.
Значит, общий случай приводится так:
f Ах + В Г А*и + В* аа_А* Г 2а da
J (x*+px + q)n UX — J («3-|-й2)л «»— 2 J (И2_|_а2)п-т-
д, f da А" Г d(Ma + g2) /• da
— 2A-n)
Отсюда видно, что благодаря формуле приведения (В) интеграл
старшего слагаемого в формуле (А) приводится к нахождению инте-
интеграла того же вида, но в нем квадратный множитель стоит в сте-
степени только п — 1. Применяя формулу приведения (В) последова-
последовательно п—1 раз, мы, очевидно, в конце концов приведем наш
интеграл к показателю степени д=1. А показатель л=1 изучен
в случае 3.

§ 59 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 147
Таким же образом можно интегрировать все простые элементы
в формуле (А), кроме самого последнего, интегрирование которого
показано в случае 3.
Пример. Показать:
¦2* + х + 3.,
Решенае. Так как х2 +1 входит дважды как множитель, мы должны
«меть:
Ах + В Сх + Р
"
Освобождаясь от знаменателя, имеем:
Действуя по методу неопределенных коэффициентов, т. е. приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях буквы х и решая, мы находим:
Л = —1, Д = 3, С=*2, D = 0.
Значит:
I
2xdx
dx
Первый интеграл в правой части берется по формуле интеграла сте-
степени IV, а второй требует однократного применения редукционной фор-
формулы (В), где и = х, а = 1, rc=s2. Таким образом, мы получаем:
/
Делая приведение подобных членов, получаем ответ.
Заключение. Так как нетрудно убедиться, что всякую рацио-
рациональную функцию всегда можно привести к частному двух целых
рациональных функций, т. е. к рациональной дроби, то из преды-
предыдущих параграфов этой главы следует, что любую рациональную
функцию, знаменатель которой мы умеем разложить на действитель-
действительные множители первой и второй степеней, можно представить в виде
алгебраической суммы целых рациональных функций и простых эле-
элементов. Члены этой суммы все имеют такой вид, интегрирование
которого нами выполнено выше. Отсюда:
Теорема. Можно найти интеграл каждой рациональной
функции, знаменатель которой мы умеем разложить на дей-
действительные множители первой и второй степеней; этот инте-
интеграл выражается через алгебраические, логарифмические и обрат-
обратные тригонометрические {круговые) функции, т. е. в конце концов,
через элементарные функции.
10*

148 ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. V
ЗАДАЧИ
1. Найти:
Решение. Так как х2-^2 встречается множителем дважды, полагаем:
Ах + В , Сх+Р
Освобождаясь от дробей, имеем:
= Сх* + Dx* + (А + 2С) х + В + 2D.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях лг, найдем:
Отсюда:
Л = —2, S=0, C = l, D = l.
Следовательно,
2х , jc+1
-г-
(л:2 + 2J ~~ (х* + 2J ^ д;2 + 2
Г (x* + jfl + 2)dx __ Г 2xdx Г х dx Г
J /д;2 + 2J J (j^2 + 2J J X2 -4-2 J
Y~2
6 Г Cx д _J afC j^
J (д:2 — Зл: + 3J 3(д:2 —Здг + 3) ^ 3/3 /3
§ 60. Интегрирование подстановкой нового переменного;
рационализация. В последнем параграфе было показано, что все
рациональные функции (выражения), знаменатели которых мы умеем
разложить на действительные множители второй и первой степени,
могут быть проинтегрированы до конца. Что же касается алгебраи-
алгебраических функций, которые не являются рациональными функциями*
которые, например, содержат радикалы, то, говоря относительно,
только небольшая часть таковых может быть проинтегрирована до

§ 60 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ НОВОГО ПЕРЕМЕННОГО
конца, т. е. имеет интегралы, выражаемые через элементарные функ-
функции. Однако подстановкой нового переменного сказанные функции
в некоторых случаях можно преобразовать в такие, которые либо<
прямо содержатся в таблице, либо предстанут в рациональном виде.
Метод интегрирования функции, которая сама не является рацио-
рациональной, посредством подстановки старого переменного через функ-
функцию нового переменного так, чтобы результат подстановки представ
в рациональном виде, называется методом рационализации.
Это — чрезвычайно важный прием интегрирования, и мы должны?
рассмотреть некоторые важные случаи этого рода.
Дифференциалы, содержащие дробные степени одного х.-
Такое выражение можно преобразовать в рациональную форму-
посредством подстановки x = zn, где п и есть наименьший общийг
знаменатель дробных показателей х. Ибо таким путем х, dx m
каждый радикал (т. е. всякую дробную степень) можно выразить
рационально в функции z.
Пример. Найти:
dx.
Решение. Этот пример можно решить, непосредственно разделив числи-
числитель на знаменатель и представив интеграл в виде суммы двух интегралов;,
покажем теперь другой способ решения путем преобразования подынтеграль-
подынтегрального выражения в рациональную форму посредством подстановки. Так как.
общее наименьшее кратное знаменателей дробных показателей равно 12,.
полагаем
X = Z®.
Здесь
JL 1 L
dx = 12*и dz, xz = г», х4* = г3, х2 = А
Следовательно,
1 A
J x3—^x* dx = J г8._гв ^2^udz=il2 J(г13_г8) dz ^
[подставив обратное значение z в функции дт, именно z =
Общая форма интеграла от здесь рассматриваемых иррациональ-
иррациональных выражений есть
J R x*9
J
где а, р, ... суть рациональные числа и где R(x, у, 2...) есты
рациональная функция от букв хш у, z, ...

150 ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. V
Дифференциалы, содержащие дробные степени одного а + Ьх.
Такое выражение можно преобразовать в рациональную форму
посредством подстановки
где п— наименьший знаменатель дробных показателей выражения
а-\-Ьх. Ибо таким образом xt dx и каждый радикал (т. е. всякую
входящую в рассматриваемое выражение дробную степень а~\-Ьх)
можно выразить рационально в функции z.
Пример. Найти:
dx
Решение. Пусть
тогда:
Следовательно,
dz
+C
{подставив обратно значение z в функции х\.
Общая форма рассмотренного здесь интеграла есть
где R(x, yt г, ..•) есть рациональная функция от букв х, у, zt ...
т где а, р, ...—рациональные числа. Подстановка аХ~Г. =гп,
СХ ~J~ (L
где п — общий наименьший знаменатель рациональных чисел а, р
ЗАДАЧИ
Г х* dx 4 [ 1 f ( I , Л1 , п
. / —з = у lx — In \х + 1/J + С.
xT + l

§61
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ БИНОМ
151
3. / ** , ,ln^+1)'-1+C
4- J
xdx
(a+bx)
r
dx ^
2
8.
9.
у л — 2
§ 61* Дифференциальный бином. Так называется интеграл, имею-
имеющий вид:
f xm(a-+-bxnfdx,
где а и Ь — любые постоянные, отличные от нуля, а числа т, п и р-
суть рациональные.
Подстановкой
JL i JL_i
X11 == г, т. е, л —— г#*, ах = — г at
п
интеграл превращается в
~У f^ X (a + btfdt.
т 1 1
Полагая ^ = —— 1, имеем более простой вид интеграла от
дифференциального бинома:
Лемма, Интеграл ф(/?, q) рационализируется, когда одно
трех чисел р, gt p-\-q есть целое.

152 ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ. V
Доказательство.
Случай 1. Число р— целое. В этом случае интеграл ф(р, q) пи-
аыется, очевидно, так:
и, значит, интегрируется, по правилу предыдущего параграфа, т. е.
методом рационализации.
Случай 2. Число q — целое. В этом случае ф(р, q) пишется
в виде
, t\ dt
м, значит, интегрируется по правилу предыдущего параграфа.
Случай 3. Число p-\-q — целое. В этом случае имеем:
и, значит, опять интегрируется по правилу предыдущего параграфа.
ч. т. л.
Из леммы следует:
Теорема. Дифференциальный бином \ xm(a-\~bxn)p dx инте-
интегрируется методом рационализации и, значит, дает результат,
выразимый в алгебраических, логарифмических и обратных три-
тригонометрических (круговых) функциях, если одно из трех чисел:
±i ^
, p, ^+р есть целое.
Знаменитый отечественный математик Чебышев в 1853 году
доказал, что, если ни одно из указанных трех чисел не есть целое,
интеграл от дифференциального бинома уже невыразим через алге-
алгебраические функции и элементарные трансцендентные функции
я, значит, не может быть взятым никаким методом.
Указанные три условия носят название условий фактической
интегрируемости дифференциального бинома.
Пример 1. [ X*dX з = / *z («+ Ьх*) 2 dx.
Решение. /я = 3, я = 2, р = — -^ , так что ——— = 2, числу целому.
Следовательно, пример относится к случаю 1; полагаем
a -f- Ьх2 = г2,
откуда
Z2 — а . y J z dz
¦m1

§ 61
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ БИНОМ
153
Г
J
Итак,
x*dx
(а + bx*J
— а\! 1 zdz
—л)
1 Г/л 9
2
Решение. т = — 4, л = 2, /? = — -^-и —— h Р = — 2, числу целому..
Следовательно, пример относится к случаю 3; полагаем
откуда
далее
L—,
Г"'
и djc=s
Следовательно,
ЗАДАЧИ
2.
з. Г /^Ln
4. f dX -Ifa
5- / ^^-(l

154
ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ГЛ. V
. J a
. /
§ 62. Преобразование тригонометрических дифференциалов.
Теорема* Интеграл вида f /?(sin#, cos и) du, где R(x, у) есть
рациональная функция от букв х и у, рационализируется под-
подстановкой
= z, т. е. заменой:
sin и —
cosa =
du =
2dz
Доказательство. Формула тригонометрии говорит, что
i-rt
— cos a D , о и 1 — cos
« • Возвышая в квадрат, имеем tg2Y = T-f-5
cos
Полагая tg -^ = z и решая относительно cos u9
имеем:
22
Следовательно, в прямоугольном треуголь-
треугольнике (рис. 56) с гипотенузой \-\-z2 и гори-
Рис. 56 зонтальным катетом 1 — z2 угол, прилежащий
к этому катету, в точности равен и. Так как
другой катет равен, очевидно, 2z, то мы заключаем отсюда, что
sin и = * 2 . Из равенства z = tg -^ мы находим и = 2 arc tg z.
Отсюда du = 1 ^2 .
Из того обстоятельства, что sin#, cos# и du выражаются рацио-
рационально через букву z, следует рационализация всякого интеграла
вида Г /?(sin и, cos и) du, где R (х, у) — рациональное выражение от
букв х и у.
Отсюда же следует, что если тригонометрический дифференциал
содержит, кроме sin и и cos а, еще и tgw, ctgH, sc«, cscw, то это
нисколько не усложняет дела и не мешает рационализации, ибо
igu, ctg«, sou и esc и выражаются в виде дробей от sin# и cos и.
ч. т. д.

§ 63 РАЗНЫЕ ПОДСТАНОВКИ 155
Решение. Так как этот дифференциал рационален относительно sin* it
cos x, то, совершив указанную подстановку, тотчас имеем:
ЗАДАЧИ
i f
3 + 5 cos x 4 . „ (
sin x dx
cos xdx
, 8. Вывести по способу этого параграфа формулы (XIV) и (XV) § 8.
§ 63. Разные подстановки* Рассмотренные до сих пор подста-
подстановки приводили данное дифференциальное выражение к рациональ-
рациональному виду. Однако в большом числе случаев можно выполнять-
интеграции посредством подстановок, не приводящих данного диф-
дифференциала к рациональному виду. Для этих подстановок нельзя
дать никакого общего правила, а можно руководствоваться только-
опытностью, приобретенною упражнениями.
Вот одна из весьма употребительных подстановок:
Приведем пример на эту подстановку.

156
ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ГЛ. V
Пример. Найти:
Решение. Сделав подстановку
эдайдем:
_ 1 _ dz
х — z , ах — — ^ ,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
11.
12.
ЗАДАЧИ
* 1я
"" За»
2)-
Зх — 5
f
f
I
I
dx
(а* + х*У
dx
i cPYcP + x*
xV<P+x2 a
x*dx 3 ,
lln-
ex
a + ycP + x*
l
/¦
21
л:2 ^д: 1 дг т/*1
= — arc sin jc
Положить лс3 = г
Положить Jf—2
Положить jc=5— .
Положить х = —- •
Положить
Положить лг= —.
ПОЛОЖИТЬ 1 + !П X ss г
Положить ** + 1 =s z.
Положить ^ = г.
\- С. Положить х == cos <
I Уа? — jc2 dx = Y arc sln ~ + у У"л2—^а + С. Положить * = a sin z.

ГЛАВА VI
РЯДЫ
§ 64. Бесконечные последовательности. Последовательность чи-
чисел sv s2, ..., sn, ... называют бесконечной, если за каждым членом
этой последовательности имеется дальнейший. Такова, например,
последовательность натуральных чисел 1, 2, ..., nt ...
Задать последовательность — это значит указать способ
вычисления любого ее члена s^no его номеру п\ в этом смысле
последовательности:
I2, 22, З2, ..., я2,
2, 4, 8, ..., 2я, ...,
11 1
JL 1 А
2'' 3* 4*
л+Л * • #*
считаются заданными. В первом случае sn определяется по фор-
формуле 5я = /12, во втором 5Д = 2Й, в третьем sn=-^ и в четвер-
четверС изменением п меняется и sn; следует поэтому сказать, что sn
есть функция от п. Может случиться, что при неограниченном
возрастании п переменная величина $п будет иметь своим пределом
некоторое число А:
lim $n = Л.
Мы скажем тогда, что последовательность slf $2> ..., $п9 ...
имеет число А своим пределом. Так, например, из написанных
0
Рис. 57
выше последовательностей третья имеет своим пределом нуль, а чет-
четвертая единицу. В общем случае, если на прямой линии мы распо-

158 ряды . гл. vb
ложим точки с абсциссами sl9 s2, ..., sn, ..., то эти точки в конце
концов все окажутся заключенными в отрезке с центром в точке А
и как угодно малом (рис. 57), Вне такого отрезка будет находиться
лишь конечное число точек последовательности (см. часть I, § 29„
рис. 40).
§ 65. Признаки существования предела последовательности*
Для заданной последовательности slt 52, .... sn, ... чрезвычайно
важно уметь установить, имеет ли она предел, даже если бы мы не
могли точно вычислить величину этого предела.
Укажем ряд случаев, когда существование этого предела легко
установить.
Допустим* во-первых, что члены последовательности идут*
все время возрастая или, точнее, не убывая, tcozda n неограни-
неограниченно возрастает; другими словами, допустим, что для всякого п.
имеем:
Могут представиться два случая:
или sn неограниченно возрастает вместе с /г, т. е., как бы велика
ни было число Л/, члены последовательности, начиная с некоторого sn,
оказываются все больше N; это именно имеет место, например,
в последовательности натуральных чисел 1, 2, ..., п, ...;
или же все числа su s2t ..., sn, ... меньше некоторого фикси-
фиксированного числа В, и тогда sn при неограниченном возрастании п
стремится к пределу Л, меньшему или равному В.
Учащийся легко этому поверит; предложение это покажется ему
достаточно правдоподобным, если он рассмотрит на прямой точки su
$2» • - •» ?д» • • •» абсциссы которых равны числам sl9 s2, ...» sni •..»
Каждая точка, по предположению, правее предыдущей или совпадает
с ней; значит, либо точки неограниченно удаляются вправо, либо,,
если они должны все оставаться левее некоторой фиксированной
точки В, им приходится скопляться впереди некоторой точки Л>
к которой они неограниченно приближаются или с ней совпадают;
точка А находится левее В или совпадает с В (рис. 58).
В
Рис. 58
Допустим* во-вторых, что члены последовательности $t,
s2, ..., 5Л, ...^идут все время убывая или, точнее, не возра-
возрастая, когда п неограниченно возрастает, Это означает, что для
всякого п мы имеем:

§ 65 ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 159
Здесь опять представляются два случая:
или sn неограниченно (в алгебраическом смысле) убывает с воз-
возрастанием п, т. е., как бы велико ни было положительное Л/, члены
последовательности, начиная с некоторого sn, оказываются все
меньше — N;
или же все числа sv s2t ..,, snt ... больше некоторого фикси-
фиксированного числа В, и тогда sn при неограниченном возрастании п
стремится к пределу Л, большему или равному В.
Геометрически дело представляется очень ясным; на неко-
некоторой прямой нанесены точки с абсциссами sl9 s2, •••> $п> ••• Каж-
Каждая точка, по предположению, левее предыдущей или совпадает с ней;
значит, либо точки неограниченно удаляются влево, либо* если они
должны все оставаться правее некоторой фиксированной точки В9
им приходится скопляться позади некоторой точки Л, к которой они
неограниченно приближаются или с ней совпадают; точка А нахо-
находится правее В или совпадает с В (рис. 59).
-* о
« * \ » а < I
в
Рис. 59
Описанные оба рода последовательностей slf s2, ..., sn> .. ,
называются монотонными. Следовательно, мы имеем предложение:
Теорема* Монотонная последовательность чисел slt s2, ...,
sn, ... либо стремится к бесконечности определенного знака
(т. е. положительной, или отрицательной), либо стремится к вполне
определенному единственному конечному пределу.
Значит, для монотонной последовательности чисел sv s2\ ...,
sn, ... мы имеем:
либо lim 5Л = -{-оо и, соответственно, Hm srt = — со, либо
Urn sn = Л.
Полное доказательство изложенных фактов выходит из рамок
этого курса.
Но, кроме монотонных последовательностей, имеются еще и
немонотонные последовательности чисел sv s2, ..., sn, ...; это
имя носят такие последовательности, члены $п которых то воз-
возрастают, то убывают при безграничном увеличении значка п.
Иногда немонотонная последовательность su s2 sn, . . . имеет
предел, т. е. lim $п=Л. В этом случае члены sn последователь-
п >+
ности безгранично приближаются к числу Л, когда их значок п уве-
увеличивается. Например, хотя последовательность —^-, +-о", —-j-,

160 РЯДЫ ГЛ. Vf
-}-—, —-^ , ..., (—1)л+1 — , ..., очевидно, немонотонная, однако
она имеет предел, ибо Иш (—1)я+1-— = 0. Но иногда немонотон-
ная последовательность su s2, ..., sni ... не имеет никакого пре-
предела. Например, последовательность —1, +1, —1, -f-1, —1,-.-,
(—1)л+1, ... немонотонна и не имчеет, очевидно, никакого предела:
Полный признак существования конечного предела последовательности.
Вот предложение, которое в силу его чрезвычайной важности мы здесь при-
приводим, хотя и без исчерпывающего доказательства:
-л <=^
* «г
Рис. 60
для того чтобы последовательность sb s2, ...» 5Я, ... имела конечный
предел, необходимо и достаточно, чтобы для всякого положитель-
положительного числа е имелась такая грань N (зависящая от е), за которой всякие
два члена последовательности разнятся друг от друга не более, чем на е.
Это означает, что мы должны иметь:
| Sp — Sg | < е
при любых р и q, превосходящих N (рис. 60).
Условие это необходимо для существования конечного предела. Ибо
если А есть конечный предел последовательности sb $2, ..., sn, ..., то
lim sn « А.
А это означает, что имеем \А — sn\ < -?г для всякого л, превышающего
некоторое фиксированное число N. В частности имеем \ А — sp \ < -^ и
\А — sq | < -к-, когда р> N и q > N. Вычитая одно неравенство из другого,
находим | sp — sq | < е для любых р и <?, превосходящих грань N.
j , О.
Рис. 61
Условие это достаточно для существования конечного предела. Ибо,
когда оно выполнено, мы имеем \sn—sp \ < е для фиксированного р, р > N
и для всякого л, превосходящего грань N. А это означает, что за границами
фиксированного промежутка b = (sp — е, ^, + е) могут находиться только
точки sn со знаками п, не превосходящими грани N. Таких же точек имеется

§ 66 РЯДЫ 161
не больше N. Значит, вся совокупность точек sh % •• •» sn • • •» кроме
ограниченного числа их, охватывается фиксированным промежут-
промежутком Ъ, длина которого равна 2е, т. е. сколь угодно мала (рис. 61). А это
и указывает на то, что точки S\, s2» •••» sm ••• не могут накопляться в бес-
бесконечном числе: ни около + оо, ни около —оо, ни около двух различных
конечных точек А и В, АФВ. Таким образом, местом сгущения точек s1r
$2» • • •» 5я« • • • может служить лишь одна некоторая точка А, которая и явится
пределом последовательности slt % •••¦ sn, ..., т. е. Ит sn = А.
Л->-+оо
Численные ряды
§ 66. Ряды. Когда бесконечная последовательность чисел ии
иг ип9 ... задана, называют рядом бесконечный символ
«1 + я2+ ••• +««+ ..., A)
в котором члены этой последовательности написаны с сохранением
их порядка так, как если бы их прибавляли друг к другу; а19
^2» •••• ап* ••• называются членами ряда.
Обозначим через Sn сумму п первых членов ряда:
Sn — ul-)ru2-\- ... -\-ип.
Если Sn стремится к определенному конечному пределу А, когда п
неограниченно возрастает, то ряд называют сходящимся и число А
его суммой. В этом случае (и только в этом случае) мы пишем
условное равенство:
Л = «1-М2-Мз+ ... +ял+ ... B)
Если же Sn не имеет никакого конечного предела, тогда ряд A)
называется расходящимся. В этом случае он не имеет никакой
суммы и не обозначает, вообще, ничего1.
Рассмотрим, например, ряд
члены которого образуют геометрическую прогрессию со
знаменателем г; сумма п первых членов его
I Если мы пользуемся расходящимися рядами, как что-то обозначающими
мы можем быть втянуты в тяжелые ошибки даже в вычислениях. Например
еслиряд 1+2+ 4+ 8+ 16 + 32 + 64+... ^^ «сумму» А9 то А = 1 + 2 +
+ 4 + 8+16 + 32+... ДалееЛ = 1+2A+2 + 4 + 8+16+...). Значит,
А = 1 + 2А Отсюда 2А — А = — 1 или А =* — L Но сумма положительных
чисел не может быть отрицательным числом. Разгадка парадокса в том, что
ряд 1+2 + 4 + 8+16+... есть расходящийся и не обозначает ничего.
II Интегрально» исчисление

162 ряды гл. vi
Предположим, что |г|<1. Тогда
Значит, ягогда |г|<1, геометрическая прогрессия есть ряд
сходящийся, и его сумма равна ¦¦. __ .
Напротив, ряд
1 + 1 + 1+ ... +1+ ...
расходится, так как сумма его п первых членов равна я, т, е.
неограниченно возрастает.
Но ряд. может расходиться и без того, чтобы Sn безгранично
возрастало вместе с и. Таков, например, ряд
Здесь Sn либо единица, либо нуль, смотря по тому, будет ли п
нечетное или четное; Sn при неограниченном возрастании п не стре-
стремится ни к какому пределу.
Так как сумма сходящегося ряда есть число совершенно опре-
определенное, а сумма расходящегося ряда и вообще не существует, то
в любой задаче, где встречается бесконечный ряд, необходимо опре-
определить, сходится он или расходится. Это — проблема о существова-
существовании предела некоторой последовательности; вопрос сводится к тому,
чтобы установить, стремится ли Sn к какому-нибудь пределу, когда п
неограниченно возрастает.
§ 67. Необходимый признак сходимости. Для всякого ряда
имеем:
а потому
Если ряд сходится, то Sn стремится к определенному пределу Л,
5я-1 стремится к тому же самому пределу, а потому их разность ип>
т. е. п-й член ряда, стремится к нулю при неограниченном воз-
возрастании л.
Поэтому необходимое условие для сходимости ряда таково:
Игл иа = 0.

§ 67 НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ 163
Другими словами, если /t-й член ряда не стремится к нулю,
когда п неограниченно возрастает, то ряд расходится. Таков, напри*
мер, ряд
1 1 + 1+ ... -И4- •-.
Но это условие не является достаточным, т. е. если я-й член
ряда стремится к нулю, мы еще не можем утверждать, что ряд схо-
сходится. В самом деле, так называемый гармонический ряд
fH-(# ¦• + ~ + ...
расходится, хотя
lim an= lim ~ = 0.
Чтобы доказать расходимость этого ряда, напишем его в виде:
и для сравнения подпишем под ним ряд
Каждый член верхней строки больше или равен соответствующему
члену нижней строки, но сумма членов, сгруппированных в каждой
скобке нижней строки, равна -~ ; поэтому сумму первых членов
в нижней строке можно сделать как угодно большой, если только
взять достаточное число членов; следовательно, и сумма п первых
членов верхнего ряда неограниченно возрастает при неограниченном
возрастании п, т. е. ряд расходится.
Полный (необходимый и достаточный) признак сходимости ряда.
Мы доказали, что если ряд щ + и2 + ... + ип + ... сходится, то
должны иметь: lim un~0. '
Отсюда следует, что если ряд иг + и2 + ... + ип -f- ... сходится, то
должны иметь:
Нт (ип + ип+1+ ... +un+k)=0t
Л->-4-со
где k — какое-нибудь фиксированное число, ибо тогда в отдельности имеем:
Нт ип « 0, lim un+t = 0,..., lim un+k = 0;
сумма же фиксированного числа бесконечно малых есть величина бесконечно
малая.

164 РЯДЫ ГЛ. VI
Чрезвычайно важно теперь заметить следующее: когда ряд иг + и2 +
+ ... + «п + . •. сходится, равенство
lim (ип + ип+1 + ип+2 + ... +ил+&) = 0 C)
4
справедливо не только для фиксированного k, но и для k какого угодно,
даже неограниченно возрастающего при увеличивающемся п.
Но еще более важно обратное предложение, а именно, что если равен-
равенство C) соблюдается при всяком k, тогда ряд иг + и2+ .. ¦ + ип + ...
сходится.
Другими словами:
необходимым и достаточным условием сходимости ряда щ + и2 + ... -(-
+ ап + • • • 'является справедливость равенства C) при всяком k.
Доказательство. Для того чтобы ряд щ -\> и2 -f- ... -(- ип Н~
сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность
«1, 52, .... «*„,... D)
имела конечный предел «Л, где 5Л обозначает «1 + ^2+ ••• -\~ип* т- е«
сумму п первых членов ряда.
Но из предыдущего параграфа мы знаем, что необходимым и достаточ-
достаточным условием существования конечного предела А у последовательности D)
является соблюдение неравенства | sq — sp | < е, где р и q превосходят
грань N, зависящую только от е; число же е есть положительное и произ-
произвольно малое, но фиксированное. Полагая р~п — 1 и^ = л + й,мы видим,
что sp = щ + и2 + • • • + ип-\ и sq = «! + u2 + ... + un+k. Отсюда пре-
предыдущее неравенство напишется в виде:
|tf/i + %+i+ ••• +иЛ+Л|<?, E)
причем п> Nt* а число & любое.
А это и говорит нам, что для существования конечного предела у после-
последовательности D) и, значит, для сходимости ряда и\ + и2 + ... + ип + ...
необходимо и достаточно, чтобы было удовлетворено равенство C) при лю-
любом k. ч. т, д.
Заметим, что в то время, как необходимый признак сходимости
lim % = О
очень легок в применении, полный признак C) настолько громоздок, что
применять его прямо почти невозможно.
Поэтому, на практике, испробовав необходимый признак lim ип = О,
л>4о
>4
обращаются к группе достаточных признаков.
§ 68. Достаточные признаки сходимости. Сравнение рядов.
До сих пор мы рассматривали самые общие ряды. Остановим теперь
наше внимание на одном частном случае, а именно, на рядах с поло-
жителъными членами. Этот частный случай тем более важен, что,
как мы увидим в дальнейшем, к нему приводится огромное боль-
большинство других случаев.
Итак, пусть
— ряд с положительными членами; ясно, что при всяком п имеем:

§ 69 ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ Д'АЛАМБЕРА 165
поэтому возможны два случая: либо Sn неограниченно возрастает
при неограниченном возрастании nt и тогда ряд расходится; либо
сумма п первых членов остается при всяком п меньше некоторого
постоянного числа В\ в этом случае ряд сходится, и его сумма А
меньше или равна В (см. § 65).
Это замечание приводит нас немедленно к следующему способу
узнать^ сходится или расходится ряд с положительными членами.
Пусть
— ряд с положительными членами, относительно которого мы знаем,
сходится он или расходится; сравним с ним данный ряд с положи-
положительными членами:
•¦ +ил-Ь ... (и)
Допустим, что ряд сравнения (v) сходится, и пусть для всех
значений п имеем un^vn, тогда ряд (и) тоже сходится, потому что
сумма его первых п членов не больше суммы п первых членов
ряда (v) и, следовательно, его суммы В; значит, сумма ряда (и) не
превосходит В.
Допустим, что ряд сравнения (v) расходится и что для всех зна-
значений п имеем un^vn; сумма п первых членов ряда (v) может
превзойти любое положительное число, и подавно это будет иметь
место для ряда (и); значит, он расходится.
Пример 1. Исследовать ряд
Решение. Каждый член данного ряда, кроме первого и второго, меньше
соответствующего члена геометрической прогрессии
L -|~L + 4-J-4-
а этот ряд сходится (§ 66), следовательно, и данный ряд сходится.
Пример 2. Исследовать ряд
Решение, Этот ряд расходится, так как его члены больше соответствую-
соответствующих членов гармонического ряда, который, как мы видели в § 67, есть ряд
расходящийся.
§ 69. Признак сходимости Д'Аламбера. Принимая за ряд срав-
сравнения (v) геометрическую прогрессию с положительным знаменателем,
мы приходим к одному чрезвычайно удобному для практики признаку
сходимости, открытому Д'Аламбером.

166 РЯДЫ ГЛ. VI
Рассмотрим отношение я + 1-го члена ряда к я-му, т. е. от-
отношение
где все члены данного ряда «i-b^H" ... +ид+ ... положи-
положительны.
Допустим, что
Um
я^оо
Нам придется различать три случая.
1. Если р<1, то ряд сходится. В самом деле, как только
п станет достаточно большим, отношение -я+1- будет заключено
в промежутке (р — е, р + е), где е — очень малое число. Поэтому,
полагая г = р + е, имеем для всех п, начиная с некоторого /га,
неравенство:
поэтому
ит+2 < rum+t < r*um;
Следовательно, каждый член нашего ряда, начиная с /я 4-1-го,
меньше соответствующего члена геометрической прогрессии
которая сходится, так как г < 1 (г как угодно мало отличается
от р, а р<1, значит, г можно выбрать < 1). Поэтому и данный
ряд тоже сходится1.
2. Если р>1, ряд расходится. В самом деле, как только п
станет достаточно большим, будем иметь:
1 При исследовании вопроса о сходимости ряда мы имеем право не обра-
обращать внимания на любое конечное число первых членов. В самом деле, срав-
сравним между собой два ряда:
Докажем, что эти ряды или одновременно сходятся, или одновременно рас-
расходятся. Действительно, если Sn есть сумма п первых членов первого ряда,
a sn — сумма п первых членов второго ряда, то
sn—
Так как при неограниченном возрастании п величина т не меняется, то либо
Нтп Зп существует, тогда существует и lim snv (и обратно), либо оба эти пре-
предела одновременно не существуют.

§ 69 ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ Д'АЛАМБЕРА 167
как бы мало ни было е, значит Un+1 > 1, т. е. «л+1> ип, следова-
следовательно, члены ряда идут возрастая, т. е. не могут стремиться к нулю
при неограниченном возрастании п, значит, ряд расходится (рис. 62).
q сходимость
расходимость
Рис. 62
3. Если р=1, ряд может и сходиться и расходиться. Это
легко видеть на следующих примерах.
Рассмотрим для различных значений р ряд
1 + —+—+ — + • •• 1 Х 1 * 1 •••
Отношение
Цд-и _ пР _ !
поэтому
lim -fefcL= Urn
Следовательно, при всяком р будет р= 1. Но мы сейчас увидим,
что при р ^ 1 ряд расходится, а при р > 1 он сходится. В самом
деле, если р=\9 данный ряд обращается в гармонический, расхо-
расходимость которого уже была доказана. Если /? < 1, то члены данного
ряда больше соответствующих членов гармонического ряда, значит,
он расходится.
Наконец, если р > 1, имеем:
1 , 1^1 1 1 — 2 _ 1
2р ~Т" з^ ^ 2^ "* 2^ 2^ 2^"-1 '
4^*—4^" — 4^-1 — \2^-i/ •
т 15^ ^ 8J7 ' 8^ U * *" *^ 8^ 8^ 8^el \2^-1 у
и т. д. Ряд
\2Р-*
при р > 1 представляет геометрическую прогрессию со знаменателем,
меньшим единицы, и, следовательно, сходится. Но сумма первых

168 ряды гл* vi
членов данного ряда меньше соответствующей суммы для этой про-
прогрессии, как показывают предыдущие неравенства, поэтому данный
ряд сходится.
Мы убедились, что в случае, когда р = 1, признак Д'Аламбера
не решает вопроса о сходимости ряда; здесь нужны более тонкие
исследования, выходящие из рамок этого курса.
Пример 1. Исследовать вопрос о сходимости ряда
+ + + + +
Решение, л-й член есть
следовательно,
поэтому, в силу случая 1, ряд сходится. Сумма его равна неперову числу е.
Пример. 2. Исследовать ряд
10 ^ № -г 10з -г • ¦ •
Решение.
Ь2.3...п
поэтому
и, в силу случая 2, расходится1.
Пример 3# Исследовать ряд
1
Решение.
1
ип~ Bп—1Jп •
поэтому
. иш Bя—1Jя
»Г "" яГсо Bл + 1) Bл + 2) 1в
Признак Д'Аламбера ничего не дает. Но сходимость ряда можно дока-
доказать, заметив, что его члены меньше соответствующих членов ряда
1 + "ga""Ь"Jjpr"Ь"р""^ ••••
а этот ряд сходится (см. пример в случае 3, полагая р = 2).
1 Можно было бы убедиться в расходимости этого ряда, доказав, что ап
не стремится к нулю с возрастанием л. Это имеет место тогда, когда при-
признак Д'Аламбера указывает на расходимость.

§ 70 РЯДЫ С ЧЕРЕДУЮЩИМИСЯ ЗНАКАМИ 169
§ 70* Ряды с чередующимися знаками. Так называют ряды,
в которых члены попеременно положительны и отрицательны;
таков будет ряд
если предполагать, что все числа ult и2% .... ип, ... положительны.
Признак Лейбница:
если
и
lim un = 0,
л>оо
то ряд (и) сходится, и его сумма А <; uv
Доказательство. Рассмотрим сумму S2n первых 2/г членов
ряда; ее можно написать в двух видах:
Каждая разность в скобках положительна (или равна нулю).
Поэтому из первой строки мы видим, что S2n есть величина
положительная (или равная нулю) и возрастает (не убывает) вместе
с п\ из второй строки видно, что S2n<Cuv Положительные вели-
величины S2n возрастают с п, оставаясь все время меньше числа ах;
значит, они стремятся к определенному пределу А, меньшему или
равному uv Равенство
в котором «2я+1 стремится к нулю при неограниченном возрастании п,
показывает, что и S2n+l стремится к тому же пределу А\ значит*,
данный ряд сходится и имеет А своей суммой (рис. 63).
О S2n А
Рис. 63
Замечание. Если мы примем сумму А равной сумме п первых
членов ряда ut — и2"+" ••• Н~(—О wn» т0 мы сДеяаем ошибку,
абсолютная величина которой будет меньше un+l9 так как отброшен-
отброшенный нами ряд есть тоже знакочередующийся, и его первый член
есть (—l)nun+v а потому его сумма по абсолютной величине меньше
или равна un+i.

170 . ряды гл. vi
Пример. Исследовать ряд с чередующимися знаками
Решение. Так как
lim Ufi = Нш — = О,
Л->оо я-» оо л
то ряд сходится. Если принять его сумму равной
мы сделаем ошибку меньше, чем .
§ 71. Абсолютная сходимость. Возьмем какой-нибудь ряд
... +*„+ .... A)
члены которого суть действительные числа, могущие быть и поло-
положительными, и отрицательными. Одновременно с рядом A) рас-
рассмотрим ряд
l«il + l«a| + l«sH- ••• +KJ+ .... B)
составленный из абсолютных величин членов данного ряда A).
Теорема. Если ряд B) абсолютных величин сходится, тогда
данный ряд A) также должен быть сходящимся.
Доказательство. Ряд B) абсолютных величин есть ряд
знакоположительный и, по условию, сходящийся. Обозначим его
сумму через В.
Сделаем, во-первых, следующее: заменим в данном ряде A)
все отрицательные члены нулями, оставив все положительные члены
на их прежних местах. Мы получим некоторый новый ряд м*-|-и*-4-
+ и*3 + ... + и*п + ..., уже не имеющий отрицательных членов
и заведомо сходящийся, ибо его члены не могут превосходить
соответственные члены сходящегося ряда B).
Сделаем, во-вторых, следующее: заменим в данном ряде A) все
положительные члены нулями, оставив все отрицательные члены
на их прежних местах. Мы получим некоторый новый ряд tf!j* •+-а**+
+ «з Н~ • • • "Ь и*п ~^~ • •" • состоящий только из отрицательных чле-
членов и из нулей. Этот ряд заведомо сходится, ибо, переменив у всех
его членов знаки на обратные, мы получаем ряд, не имеющий совсем
отрицательных членов, причем его члены не могут превосходить
соответственные члены сходящегося ряда B).

§ 71 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ 171
Теперь данный ряд A) есть, очевидно, сумма обоих полученных
сходящихся рядов, ибо имеем для любого целого п тождество
И так как обе переменные величины, написанные в скобках,
по доказанному имеют конечные пределы, когда я—>>оо, то суще-
существует и lim (#i + #2+ ••• ~Ьйл)* А 9ТО означает, что данный
ряд A) сходится.
Эта теорема позволяет для широкого класса рядов свести вопрос
об их сходимости к вопросу о сходимости ряда с положительными
членами. В самом деле, заменив все члены ряда их абсолютными
величинами, мы получим ряд с положительными членами; допустим,
что, применив к нему один из признаков сходимости для рядов
с положительными членами, мы доказали его сходимость; тогда и
данный ряд сходится.
Определение. Ряд называется абсолютно сходя-
сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных вели-
величин всех его членов.
Доказанная теорема говорит о том, что всякий абсолютно схо-
сходящийся ряд есть ряд сходящийся. Но не следует думать, что
верно и обратное, ибо далеко не всякий сходящийся ряд является
рядом абсолютно сходящимся.
Например, знакочередующийся ряд
есть ряд сходящийся, согласно предыдущему параграфу, но ряд
абсолютных величин
есть ряд гармонический и, следовательно, расходящийся.
Такие ряды, которые сами сходятся, но имеют ряд абсог
лютных величин их членов расходящимся, называются не абсо-
абсолютно сходящимися рядами.
Эти ряды просто сходятся, без того, чтобы быть абсолютно
сходящимися. Их называют иногда даже «условно сходящимися»
рядами, называя абсолютно сходящиеся ряды «безусловно сходя-
сходящимися».
Рядами не абсолютно сходящимися пользоваться можно, ибо они
все же сходятся, но делать это следует с большей осторожностью,
так как они обладают свойствами, совершенно непривычными для

172 ряды гл. vi
обыкновенной суммы и кажущимися странными на первый взгляд*
Так,
в ряде не абсолютно сходящемся нельзя переставлять члены*
так как от этого может измениться сумма всего ряда.
Возьмем, например, знакочередующийся сходящийся ряд
 + 5
и переставим у него члены так, чтобы за всяким положительным его членом
следовали два не написанные ранее ближайшие отрицательные члена:
1 1 1,1 1 1 ,
Т~™Т~г У" "+ '•'
Ясно, что при такой перестановке членов ни один член первоначального-
ряда не будет ни утрачен, ни написан по нескольку раз, но только по одному
разу.
Легко видеть, что сумма нового ряда будет равна лишь половине
прежней, т. е. -д-.
Для этого достаточно каждый его положительный член сложить с непо*
средственно следующим за ним отрицательным.
Это нам дает:
2 4~1~6 в","*
или, после выноса общего множителя -^-, имеем:
1 Л 1.1

Этот факт, кажущийся сначала очень странным, удивляет меньше»
если мы обратим внимание на то, что в каждом не абсолютно схо-
сходящемся ряде сумма положительных членов всегда равна +°°»
а сумма отрицательных членов всегда равна —оо. Таким образом,
переставляя надлежащим образом его члены, легко добиться, чтобы
суммой переставленного ряда явилось какое угодно заранее заданное
число. Нужно помнить, что отыскание суммы А не абсолютно схо-
сходящегося ряда я1 + я2*+" ••• + #Л + .-• есть отыскание пре-
предела lim Sn, где Sn = ut-\~u2-\- ... + «„, т. е. это отыскание
есть всегда раскрытие неопределенности вида оо — оо.
Ничего подобного нет в абсолютно сходящихся рядах: их члены
можно переставлять как угодно, не боясь, что от этого ряд изменит
свою сумму или перестанет быть сходящимся. В этом отношении
абсолютно сходящиеся ряды сильно напоминают конечные суммы*
слагаемые которых можно брать в каком угодно порядке.
Для доказательства возьмем сначала какой-нибудь сходящийся
ряд щ + а2 + • • • + ип + • • • с положительными членами и обозначим его

§ 72 ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ 173
сумму через А. Переставим как-нибудь его члены и обозначим через
«1 + М2 + • • • + и*п + • • • полученный новый ряд. Во-первых, он будет
сходящимся, ибо сумма S* его первых п членов, 5* = и\ -\- и\ + ... + и*,
всегда меньше, чем А. В самом деле, члены uv ttg, ..., #*, при фикси-
фиксированном л, должны встретиться в сумме Sm = иг + и2 + ... + ит, когда т
достаточно велико; значит, мы должны иметь S*n< Sm< А (рис. 64). Таким
образом, 5* с возрастанием знака п увеличивается, но остается всегда
меньше, чем А. Отсюда следует, что lim S* существует; обозначим его че-
через А*. Во-вторых, из сказанного видно, что сумма А* переставленного
••
Рис. 64
ряда никогда не больше суммы А первоначального ряда, т. е. А*^А. Но
так как первоначальный ряд можно в свою очередь рассматривать как пере-
переставленный ряд «* + «2+ ••• +ая+ •••» то имеем обратное неравенство:
А ^ А*. Отсюда и следует, что имеем точное равенство: А = А* и, значит,
знакоположительный сходящийся ряд не изменяет своей суммы от пере-
перестановки его членов.
Если теперь данный ряд и\ + щ + ... + ип + ... имеет и положитель-
положительные, и отрицательные члены, но при этом сходится абсолютно, то его надо
рассматривать как разность двух частных знакоположительных сходя-
сходящихся рядов. А так как, по доказанному, можно переставлять их члены как
угодно, не утрачивая ни их сходимости, ни их прежней суммы, то отсюда
следует, что у всякого абсолютно сходящегося ряда можно изменять
порядок его членов, причем этот ряд не утрачивает ни своей сходимости,
ни величины своей суммы. ч. т. д.
§ 72, Интегральный признак Коши. Для рядов с положитель-
положительными членами
«1-1-«2+ «8 + •-. +"п+ ••• (О
имеется еще один признак распознавания сходимости и расходимости,
но требующий для этого, чтобы члены ряда монотонно убывали
до нуля, т. е. чтобы имели:
и^иг^щ^ ...^я„^ ... и lim ял = 0. B)
Мы уже знаем, что общий член ип ряда есть функция значка п9
где, строго говоря, буква п пробегает только поцелым
положительным числам 1, 2, 3, 4,... Но в большинстве
случаев функция <р(я) дается как функция непрерывно изменяюще-
изменяющегося аргумента nt и когда члены ип ряда монотонно убывают
до нуля, тогда производящая их функция
D)

174
РЯДЫ
ГЛ. VI
есть непрерывная монотонно убывающая до нуля функция при
непрерывном возрастании независимого переменного п до беско-
бесконечности, т. е.
<р(я)->-0 при п—>-f-oo.
Геометрически это означает, что уравнение и = ср (л) изображается
непрерывной линией, текущей, начиная с некоторого &, над осью ОМ
и монотонно спускающейся к этой оси, как своей асимптоте (рис. 65).
U-0C&
Рис. 65
Ясно, что площадь фигуры, ограниченной осью ON, кривой а = с
и ординатой, восставленной в точке я = й, равна определенному
интегралу
+ ОО
Г y(ri)dn.
Ясно, что эта площадь меньше суммы площадей выступающих
наружу прямоугольников, имеющих нижними основаниями 1, а высо-
высотами uk, uk+1, uk+2» ... и больше суммы площадей внутренних
прямоугольников, имеющих точно так же нижними основаниями 1,
а высотами uk+u ufc+2, uk+s, . ..
Это означает, что мы имеем неравенство:
E)
Из этого неравенства следует, что рассматриваемый ряд A)
сходится тогда и только тогда, когда определенный инте-
грал Г y{n)dn имеет конечную величину.

§ 72 ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ 175
Этот признак носит название интегрального признака
К о ш и, и его применение подчинено следующему правилу.
Первый шаг. Имея убывающий знакоположительный ряд
#i~b#2+ • • • йл4- • • ¦» найти монотонно убывающую не-
непрерывную функцию ср (я), производящую члены ряда, т. е,
такую, что #д=:ср(/г).
Второй шаг. Вычислить определенный интеграл Т ср(п)dn.
к
Если он равен + оо, ряд расходится; если он имеет конеч-
конечную величину, ряд сходится.
Интегральный признак Коши дает возможность моментально рас-
распознать сходимость и расходимость громадного числа очень важных
знакоположительных рядов, и в этом отношении имеет чрезвычайную
ценность.
Пример 1. Установить расходимость гармонического ряда
N
Решение. Имеем / — = [In л]^= inN—\пЛ = In —г-* Когда N-> + оо,
J П Л к
тогда In — -> + °°« Значит, / — = + °°- ^ЯД расходится.
Пример 2. Исследовать ряд \-—+ •.. + —+ ¦••
Решение, Имеем / — = / ri~p dn = 1- С.
J пР J — р + 1
N
У* Ип 1 N 1
^И „. _i_ [пх-р\ь « - \Nx-p — &
пр 1—р R \-~p
ается, что показатель степени
-foo
отличное от 1. Если р < 1, ясно, что / —— +оо. Ряд расходится. Если
е/ Т\Р
к
р > 1, ясно, что
+ ОО
v flp \ —» П р —• 1 fa," *
Ряд сходится.
Пример 3. Исследовать ряд _1_ + _1—+ ;..
Значит,
N
где предполагается, что показатель степени р есть положительное число,

176 РЯДЫ ГЛ. VI
п о Г dn Г d\nn \nl~pn , „ о
Решение, Вычисляем / = / = \- С. Значит,
J п\прп J \прп 1— р
N +оо
f —%- « -J— [In1-* N- \al~p k]. Если p>lt ясно, что f -Щ- =
•/ n\npn 1—p J n\np n
k k
= ——y In1"* k < + oo, т. ё. ряд сходится. Если р < 1, ясно, что
-foo Л/"
Г dn , л Г
] ^- OOf т# е# ряд расходится. Если р = 1, тогда /
«/ /г lnpn J
ft k
dn
/гInn
k
N N
= I —; = [^n ^n я]ь^. Значит, при iV -> 4- oo, имеем / —-t > + oo.
ft ft
Итак, / —j «= + oo, т. е. ряд расходится.
ft
§ 73. Действия над рядами. Какой-нибудь сходящийся ряд
h ++ ••• часто обозначают более коротким спо-
собом, а именно 2йя.» т- е* выписывают его общий член ип под
оо
знаком полной суммы 2» гДе указано, что значок ^ пробегает все
п=>1
числа 1, 2, 3, 4, ... т
Сложение и вычитание рядов. Если ряди А = ^S un
и B = ^vn сходятся, тогда будет сходящимся и ряд 2(й« — vn)*
полученный сложением или вычитанием их соответственных
членов* причем его сумма равна А± В.
Доказательство. По предположению, мы имеем:
А^ lim (tf! + tf2+ ... +ип) и ?= lim
Отсюда, складывая или вычитая, имеем:
А±В= lim [(ul±vi) + (u2±v2)-\- ... +(un±vn)].
оо
А это выражает, что ряд 2(#я±*>я) есть сходящийся и что
его сумма равна А ± В.
оо оо
Умножение рядов. Если ряды А = ^ип и В = 2^я
л-1 /1=1
оо
абсолютно сходящиеся, тогда полный ряд 2 *W

§ 73 ДЕЙСТВИЯ НАД РЯДАМИ 177
ставленный из всех парных произведений членов первого ряда
на члены второго ряда, расположенных в любом порядке, есть
также абсолютно сходящийся, причем его сумма равна АВ.
Доказательство. Обозначим через 2 uDva сумму первых
N
оо
iV членов полного ряда 2 aova> и чеРез k наивысшую величину
значков о ио, имеющихся в сумме У\и va. Ясно, что имеем:
N Р Ч
И тем более, будем иметь неравенство:
2
N
оо
Это неравенство показывает, что полный ряд 2 игРа есть
р, q=l P 9
абсолютно сходящийся.
OQ
Легко доказать, что сумма полного ряда 2 aova равна произ-
ведению АВ. Действительно, так как полный ряд есть, по доказан-
доказанному, абсолютно сходящийся, его члены можно располагать в любом
порядке. Обозначим через Ап сумму первых п членов первого ряда,
Ап = й1 + «2+ • • • +дя» и через Вп сумму первых п членов вто-
второго ряда, BJl==w1-r-tr2+ ••• ~b~vn' Располагаем теперь члены
оо
полного ряда 2 aova B следующем порядке: сначала единственный
Рг q=l Ч
член произведения AtBu потом к нему присоединяются 3 недостаю-
недостающие члена произведения АгВг% потом к ним присоединяем недостаю-
недостающих 5 членов произведения АгВъ и т. д. Вообще, имея написанными
все члены произведения АпВД9 мы затем к ним присоединяем все
члены произведения Аа+1Вя+1 и т. д. Когда мы таким образом на-
оо
пишем полный ряд 2 ио°а* тогДа делается ясным, что его сумма
,^сть предел произведения АпВп, т. е. равна АВ. ч. т. д.
Из доказанного следует еще раз, что с абсолютно сходящимися
рядами % + й2+ ... Ч-«Р-+- ... и ^-+-«2+ ... +1^+ .. .
позволено обращаться как с обыкновенными конечными суммами,
а именно: перемножать их члены и располагать получающиеся
парные произведения в любом порядке, лишь бы при этом ни одно
12 Интегральное исчисление

178 . ряды гл. vi
парное произведение upvq не было, по невнимательности, пропущена
или повторено дважды.
Чтобы избежать таких ошибок, обычно располагают члены пол*
со
ного ряда 2 uova B следующем порядке: называют весом парного
произведения upvq сумму рЦ-д значков р и q. Тогда все члены
полного ряда, имеющие вес п -J- 1, выпишутся в виде: -
Поэтому, если обозначить их сумму через wn+1
'•• +»Л. F)
то полный ряд 2 #Л пишется очень просто:
со
2 ttp^==
Таким образом, мы приходим к предложению:
оEа ряда A=sal-\-u2-^ ... +йп-|~ ... и B = *1
-f- • - • суть абсолютно сходящиеся* тогда ряд
также абсолютно сходящийся и имеет суммой произве-
произведение АВШ
Примечание. Для просто сходящихся рядов теорема эта уже не верна,
с» .со *
ибо когда ряды 2 ип и 2 Vfl СУТЬ сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся,
1 1
тогда ряд 2 (uiVn+UbVn~i + ... + unv{) может расходиться. Например, про-
со -со
vi (—1) V4— 1)
изведение двух сходящихся знакочередующихся рядов У. г- и 2j г—1
л«1 г л-1 f
со
дает расходящийся ряд 2 дая» и^о ^л» определенное равенством F), не мо-
Л-2
жет стремиться к нулю, когда п -» + оо.

75 общий обзор 179
§ 74* Остаток ряда. Возьмем какой-нибудь сходящийся ряд
Ь ••• A)
Если мы отбросим у него первые п членов, то получим новый
сходящийся ряд яЛ+1 "+-^+2 + ^/1+3-1- .... сумма которого обозна-
обозначается буквой Rn и называется остатком данной сходящегося
ряда A):
г + ап+г+ ••• B)
Так как сумма первых п членов ряда A) обозначается буквой Sn\
то при всяком п мы имеем равенство
D)
А так как мы знаем, что lim 5Л = Л, то из равенства D) сле-
Л->+оа
дует, что
lim Rn ss= 0,
Словесно это прочитывается так:
остаток Rn всякого сходящегося ряда стремится к нулю,
когда его номер п стремится к бесконечности.
Чем меньше остаток Rn% тем точнее получают сумму А ряда,
если его берут не весь, но останавливают на я-м члене ип> и,
значит, тем выше будет полученное приближение.
Расходящиеся же ряды не амеют ни суммы, ни
остатка.
§ 75* Общий обзор. Все сказанное о численных рядах можно
резюмировать следующим образом.
I. Когда задан какой-нибудь численный ряд их-\~иг-\-.. .-\-ип-\-...,
нужно прежде всего посмотреть, стремится ли его общий член ип
к нулю, когда значок п безгранично увеличивается: если мы не имеем
равенства lim ип = 0, ряд расходится и его надо оставить.
Л>+О0
II. Если же имеем lim ял = 0, тогда надо посмотреть, не есть
ли это знакочередующийся ряд и не убывают ли по абсолютной
величине его члены: если эти условия для данного ряда соблюдены,
тогда ряд сходится, и его сумма А заключена между Sn и Sn+1
для всякого п.
III. Если данный ряд не оказывается знакочередующимся и моно-
монотонно убывающим, тогда нужно посмотреть, не будет ли он
12*

180 ряды гл, vt
абсолютно сходящимся, и для этого надо отыскать предел
lim i**"*1' = р. Если р < 1, ряд абсолютно сходится, если р > 1,
л->+оо \ип\
ряд расходится; если р= 1, ряд еще не раскрыл своей природы,,
ибо он может оказаться и сходящимся и расходящимся.
IV, В случае, когда р = 1 и когда | ип \ монотонно убывает
до нуля, надо попробовать применить интегральный признак Коша.
Для этого берут производящую монотонную функцию ср(п), такую»
+О0
что | ип | = <р (л), и вычисляют определенный интеграл Г <р (п) dn~
к
Если он равен конечной величине, данный ряд есть абсолютна
сходящийся. Если интеграл равен +°°» а данный ряд есть знако-
знакопостоянный, тогда он расходится. Если же он содержит и поло-
положительные, и отрицательные члены, он еще может быть сходящимся,
но уже не абсолютно.
ЗАДАЧИ
Применив признак Д'Аламбера, показать, что нижеследующие ряды
сходятся:
* ~* 3" ' Ж *~ #в* *
ЬЗ, 1*3-5 , 2 , 2>5 , 2-5-8 t 2-5-8-11
Путем сравнения рядов показать сходимость нижеследующих рядов.
Показать также, что признак Д'Аламбера для первых двух рядов неприменим.
7 1++ +
Указание. Сравнить с рядом
Указание.

§ 75 общий обзор 18t
Показать, что нижеследующие ряды расходятся.
10 -1 + 1 + -! +
Указание.
-2*~Ь" б + ••• в" \ ~^~2"^"~3~"^" •••)•
и 1-2 , Ь2-3 , 1-2-3-4 t
• "То"" То5"-**1 щз |" •••
Указание. Применить признак Д'Аламбера.
ю 1 ¦ 1+2 . ]+3 . !+4 .
Указание.
_ 1 + n 1+n
13. 2 + 1 + 1
Указание.
Выяснить, какие из нижеследующих рядов сходятся абсолютно и какие?
не абсолютно:
15 1 1 4- Х -1+ 1 -
Сходится абсолютно, так как | ап \ =* (~ , ч2 < — •
lfi 1 11,11 11,
17 Л L+_J
1Л 1п2 1пЗ + In 4
18. -1+1JL + JL
-1, JL + -JL
/2 /3 ^ /4
sjn g i S^ 2a , sin 3a
~ ' 4 ' 9~
^ ^ i i I sin № | _ 1
Сходится абсолютно, так как [ ип \ = -1 ^ ^ —г"*
20 1_± + ±_± + 1_
Указание. См. задачу 9.

182 ряды гл. vi
Функциональные ряды
§ 76. Ряды функций. До сих пор мы изучали численные ряды
и\^гаг-\- • • • ~\~ип~\~ • • •» т* е* имевшие своими членами числа.
Теперь мы приступаем к изучению рядов
«i (*) + «*(*) + ••• +««(*)+ ..., A)
члены которых являются функциями независимого переменного х.
Когда х получает определенное численное значение, тогда функцио-
функциональный ряд A) становится численным рядом и тогда к нему ста-
становится применимым все, что было сказано выше о численных
рядах.
Если при каком-нибудь численном значении х6 функциональ-
функциональный ряд A) расходится, тогда такое численное значение х0 нужно
отбросить, ибо расходящиеся ряды вообще не служат ни к чему.
Таким- образом, имея функциональный ряд A), надо сохранить
только те численные значения х9 при которых ряд A) сходится.
-Совокупность всех таких численных значений х, при которых ряд A)
сходится, называется областью сходимости ряда.
Если х находится в области сходимости ряда, ряд сходится и
ийеет вполне определенную сумму, которая очевидно будет зависеть
от х и, значит, является функцией независимого переменного х.
Обозначив эту сумму через f(x), мы имеем равенство
f(x) = ut(x) + u2(x) + ... +ип(х)+ .... B)
¦справедливое лишь в области сходимости функционального ряда A).
Вне этой области равенство B) не существует, ибо функциональный
ряд там расходится, если бы даже там. функция f(x) и существо-
существовала. В области же сходимости равенство B) законно и называется
.разложением функции f(x) в ряд функций их(х)ш иг(х), ...
• • •, и л уХ j9 • • •
Пример. Геометрическая прогрессия 1 + х -f- х* + ... хп + ... сходится
в промежутке (—1, + 1) и расходится всюду вне его. Областью сходимости
здесь поэтому является промежуток (—1, +1) и в ней сумма ряда равна
функции -г-^—, так что в промежутке (—1, -И) можно писать:
Вне промежутка (—1, +1) функция ~? — продолжает существовать,
1 """' X
но ряд перестает существовать, ибо делается расходящимся Ряд расходится
.даже в обеих граничных точках * = + 1 илг = — 1 промежутка (—1, +1).
Поэтому не отрезок [—1, +1] является областью сходимости, но только

§ 77 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 183-
промежуток^—1, +1). В этом промежутке функция разложена в ряд.
степеней 1, х. х\ х\ ...
§ 77. Равномерная сходимость. Рассмотрим какой-нибудь функ-
функциональный ряд
«i(*)+«2(*)+ ••• +*»(*)+ ••- d>
который мы предположим сходящимся в каждой точке х некото-
некоторого отрезка [a, ft]. Ряд A) может оказаться сходящимся где-нибудь
еще и вне этого отрезка, но такие точки мы сейчас не берем во'
внимание.
Из того, что ряд A) сходится в каждой точке х отрезка [a, ft],
следует, что он имеет в точке х определенную сумму /(*):
= *! (*) + *«(*)+ ••• + ««(*) + ••• B>
Если мы через Sn(x) обозначим сумму п первых членов нашего-
ряда и через Rn(x) его остаток, то имеем:
Rn(x) ^ ип
причем всегда
Так как ряд A) предположен сходящимся в каждой точке х
отрезка [a, ft], то остаток Rn(x) обязан стремиться к нулю, когда п
безгранично возрастает, т. е. имеем:
lim Rn(x) = Q. D)
Это обозначает, что последовательность абсолютных величин
остатков
ведет себя так, что для всякого наперед заданного положитель-
положительного в имеется такая грань N {зависящая от е), начиная с ко-
которой все члени последовательности E) меньше, чем е, т. е.
имеем:
лишь только значок п остатка сделается ^N»
Здесь мы должны быть очень осторожны и должны принять
во внимание, что хотя неравенство F) и имеет место в каждой
точке х отрезка [a, ft], однако при этом точка х предполагается
фиксированной, т. е. уже выбранной для исследования, и что

184 ряды гл. vi
для нее и только для нее речь идет об ее грани N. Если же мы
будем менять точки х, беря из отрезка [а, Ь\ то одни, то другие,
тогда будет, вообще, изменяться и их грань N, ибо она зависит от
точки х. Для одних точек х отрезка [а, Ь\ неравенство F) наступает
раньше, а для других точек х оно может наступать много позже,
так что здесь, вообще, никакого однообразия (равномерности) может
и не оказаться. Поэтому грань N для точки х следует обозначать
через Nx% ибо она зависит от х.
Так происходит в общем случае сходящихся функциональ-
функциональных рядов A). Но в некоторых частных случаях наблюдается
независимость грани Nx от местонахождения точки х на от-
отрезке [а, Ь]. В этих случаях можно указанную грань обозначать
просто одной буквой Nt не проставляя внизу ее указателя х, ибо
он делается в этих случаях ненужным потому, что остаток Rn(x)
с одинаковой скоростью для всех точек х отрезка устремляется
к нулю. Такие функциональные ряды A) называются равномерно
.(т. е. однообразно) сходящимися.
Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Определение» Функциональный ряд
сходящийся всюду на отрезке [а% Ь]9 называется равномерно
•сходящимся на нем, если неравенство |Лл(#)|<е будет
соблюдено сразу для всех точек х отрезка, лишь только зна-
значок п остатка превысит грань N, п^М, зависящую от е.
Пример равномерно сходя*щегося ряда. Геометрическая
прогрессия 1 + х + л:2 + • • • + хП + • • • равномерно сходится на отрезке
{—а, + а], где а— положительное число, меньшее единицы.
Доказательство. Прогрессия 1 + х + х* + ... + хП + • • • схо-
сходится на промежутке (—1, +1) и имеет суммой -г ; вне этого проме-
промежутка она расходится. Имеем: Sn (х) = 1 -f- х + х* -\- ... + хп ~х и Rn (дг) =
_)e J?_e так как ~
1Х iX
возрастает по мере увеличения х и приближения его к 1, то имеем для
.всех, точек х отрезка [—а, + а1» гДе 0 < а < 1, неравенство:
хп I _ ап
Но так как ап -> 0, когда п безгранично возрастает, ибо а < 1, то для
всякого е имеется такая грань N> за которой у—— < е. Поэтому мы бу-
будем иметь
\Rn{x)\<*
сразу для всех точек отрезка [— a, -f а], лишь только п превысит грань N.
А это и есть равномерная сходимость.

§78
ПРИЗНАК ДЛЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ
185
Пример ряда неравномерно сходящегося. Берем функ-
функциональный ряд иг(х) + а2 (х) + .. • +tin(x)+ ..., где функция у = ип (х)
изображена на рисунке 66. Здесь видно, что эта функция изображается
боковыми сторонами равнобедренного треугольника, имеющего основанием
отрезок Го, — , а высотой 1. Вне же от-
отрезка [0, — мы имеем ип(х) = 0. Ясно,
что ип{х) есть неотрицательная функция,
непрерывная везде. Ясно далее, что ряд
иг(х) + и2(х)+ ... +ип(х)+ ... схо-
сходится всюду на основном отрезке fO, 1],
ибо в начале jc = O все члены ряда равны
нулю, а вне начала, т. е. для х положи-
положительного и фиксированного, имеется та-
такое Nt что х окажется вне отрезка 0, —
для п> N и, значит, будем иметь тогда
О = ип (х) = И/i+i (х) =* иЛ+з (х) — . •. По-
этому ряд абсолютно сходится в любой ™с* DD
точке х основного отрезка [0, 1]. Но его
сходимость не есть равномерная, ибо всякий остаток ип (х) + «Л+1 (х) +
+ «л+2 W + •'• •. имеет точки, где он больше 1, например точку х = -^— >
где мл(л:) = 1, а остальные члены остатка неотрицательны.
§ 78. Признак для равномерной сходимости. Ввиду большой:
важности равномерной сходимости, необходимо дать признак для рас-
распознания равномерной сходимости заданного функционального ряда.
Теорема, Если все члены функционального ряда иг(х)-\~
+ «2 C*)-h ••• + я л С*) • • • на отрезке [atb] no абсолютной ве-
величине меньше соответственных членов некоторого сходящегося
знакоположительного численного ряда ах-\-а2-\- ... -j-^-h ...,
то функциональный ряд на этом отрезке равномерно сходится.
Доказательство. Пусть численный ряд с положительными
членами 0i + a2+ ••• Н~ал+ ••• сходится, и пусть на отрезке
[а, Ь] имеем неравенства
справедливые для всякого п и во всех точках х этого отрезка.
Из неравенства A) прежде всего следует, что функциональный ряд
есть абсолютно сходящийся во всякой точке х отрезка [а, Ь].
Далее, обозначая через гп остаток «л+1 + ая+24- • • • нашего-
сходящегося знакоположительного ряда

186 ряды гл. vi
мы видим, что lim rn = 0. Отсюда для заданного е имеется грань N,
Л-М-оо
такая, что гп < е для я > N.
И так как очевидно, что
если п > Л/", то имеем:
|Дя(#)|<е на всем отрезке [а, Ь) для каждого я>ЛЛ А это
« есть равномерная сходимость функционального ряда B) на
отрезке [a, &J. ^ ч. т. д.
Для удобства формулировки этого признака равномерной сходи-
сходимости обычно пользуются такой терминологией:
функциональный ряд иг(х) + и2(х) + ... называется пра-
правильно сходящимся на отрезке [а, Ь]9 если его члены по
абсолютной величине соответственно меньше членов сходяще-
сходящегося знакоположительного ряда tfi-b#2-4- •• •» называемого
мажорантой данного функционального ряда.
Эта терминология позволяет теперь сказать:
всякий правильно сходящийся на отрезке \а9 Ь\ функциональ-
функциональный ряд есть равномерно сходящийся на этом отрезке.
Найденный признак равномерной сходимости есть лишь признак
достаточный, но необходимости он не представляет.
§ 79. Свойства равномерно сходящихся рядов. Свойство К
Сумма f(x) равномерно сходящегося на отрезке [а, Ь] ряда
ui W Ч~ а2 (х) Ч-* • • • "h un (x)"+" • • • непрерывных функций есть
непрерывная функция.
Доказательство. Пусть каждая функция ип(х) непрерывна
на отрезке [a, b], a ряд их(х)-\-иг{х)-\- ... сходится на нем равно-
равномерно. Это означает, что для & имеется такой значок п, что всюду
на отрезке [а, Ь] справедливо неравенство | Rn (х) | < х • ^ Другой
стороны, при данном п сумма Sn(х) = иг(х)-)-и2(х) + ... -]-ип(х)
есть, очевидно, непрерывная на [а, Ь] функция. Это означает, что имеем
неравенство | Sn (х") — Sn (х') |< ~, лишь только | х" — xr |< tj.
Так как f(x) = Sn(x) + Rn(x), то имеем: f(x") = Sn(x")+Rn(x")
и f(xr) = Sn(x')-+-Rn(xf). Вычитая эти равенства, находим:
/(*") — fix') = Sa (x") — Sn (*') + Rn {x») - Rn (*0.
Отсюда
<^+~ + ^<8, если только \х" — х*\<ц.
А это и доказывает непрерывность суммы f(x). ч. т. д.

§79
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
187
Примечание. Если ряд непрерывных функций сходится, но неравно-
неравномерно, его сумма может оказаться разрывной функцией. В последнем примере*
§ 77 указан ряд положительных непрерывных функций щ (х) + щ (х) +
сходящийся всюду на отрезке [0f 1]» но имеющий суммой разрывную функ-
функ*0 и /(-к-)
б
цию f(x), ибо имеем /@)=*0 и /(-к-) > 1 ПРИ всяком натуральном п.
Геометрическое изображение равномерной сходи-
сходимости ряда функций. На рисунке 67 изображена пунктиром кривая
y=sf(x). Когда ее сначала поднимают вверх на е и потом опускают вниз,
на е, тогда получают криволинейную полоску, ограниченную сверху кривой
у sas f(x) + е, а снизу кривой у =* f(x) — е. Так как для е имеется такая грань N,
Рис. 67
Рис. 68
зависящая от е, начиная с которой имеем | Rn (x) | < е, когда
означает, что имеем неравенство
!/(•*) — Sn(x)\<*
то это
A)
для всех точек отрезка [а. Ь], когда n^N. Геометрически это означает,
что допредельная кривая х = Sn (x) будет всеми своими точками протекать
й ^N П S ()
дрд р n () уд ра
внутри указанной плоскости, когда n^zN. Поэтому кривую у = Sn (x) сле-
следует рассматривать как приближение окончательной, т. е. предельной кри-
кривой у=:/(х), причем это приближение тем будет лучше и, значит, погреш-
погрешность тем будет меньше, чем меньше будет е.
Неравенство A) очень походит на те неравенства, которыми мы опре-
определяли в главе V пределы переменных величин. Только там пределом было
число, а здесь пределом является функция f(x). Там приближающейся была
переменная величина, а здесь приближающейся является изменяющаяся до-
допредельная функция Sn(x). Там переменная величина изображалась движу-
движущейся точкой, с течением времени попадающей в промежуток, окружающий
предел, и навсегда впредь в нем остающейся. Здесь изменяющаяся допре-
допредельная функция Sn (x) изображается движущейся кривой у = Sn (x), с тече-
течением времени попадающей в указанную полоску, окружающую неподвижную
предельную кривую у=*/(х), и навсегда впредь в ней остающейся.
Если ряд их (х) + и2 С*) Нг • • • сходится, но неравномерно, и имеет сум-
суммой функцию /(*), то, когда мы начертим кривую y=*f(x) и полоску ши-
ширины 2е около нее, тогда приближенная кривая y=*Sn (x) уже не может,
начиная с некоторого момента, целиком укладываться в этой полоске, когда е
достаточно мало, но должна для бесконечно многих п частично выходить

188 ряды гл. vi
«з нее, образуя выступающий из полоски гребень (рис. 68). Когда значок п
безгранично увеличивается, гребень этот совсем исчезнуть не может, но лишь
сдвигается вправо или влево, ибо для всякой фиксированной точки х0 отрезка
[ау х] остаток Rn (х) все же обязан стремиться к нулю, lim Rn (x0) = 0.
л->»+оо
Значит, мы обязаны иметь |/С*о)— Sn(xo)\ <s Для п достаточно большого.
Но это не означает уничтожение гребня, но только уход его с абсциссы лг0
на другие абсциссы. Таким образом, неравномерная сходимость есть «фено-
«феномен движущейся волны».
Свойство II. Равномерно сходящийся ряд непрерывных
функций можно интегрировать почленно.
Доказательство. Если ряд «iW-f^W+ ••• -han(x)~h
+ ..., составленный из непрерывных функций, равномерно схо-
сходится на отрезке [at b]t его сумма f(x), как мы доказали выше, есть
непрерывная на этом отрезке функция. Мы имеем: f(x)—Sn(x)-\-Rn(x)%
где Sn(x) = ul(x)-\-u2(x)Ji- ... +ип(х). a Rn(x) есть остаток.
Этот остаток есть непрерывная функция, ибо она есть разность двух
непрерывных функций f{x) и Sn(x). Интегрируя предыдущее равен-
равенство, причем переменное интегрирования мы обозначаем буквой t%
имеем:
XX X
f f f A)
В силу равномерной сходимости первоначального ряда, имеем:
\Rn(t)\<^B для всех точек t отрезка [а, Ь\, когда значок п пре-
превзойдет некоторую грань N. Следовательно, для я > N, имеем:
X
JRn{t)dt
B)
Так как число е произвольно мало, когда грань N достаточно
велика, то отсюда следует, что
X
Jun.^fRn(t)dt = O C)
для любого х на отрезке [а, Ь]. Поэтому мы имеем:
X X
;= lim fSa(t)dt. D)
ft _^.^QO **
И так как
X
E)

§ 79 СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 189
то из равенства D) следует, что ряд
хх х
.. F)
а
х
есть сходящийся и имеет суммой интеграл Г f(t)dt.
а
х х
Так как остаток ряда F) есть jttn+t(t)dt-\- С ttn+2(t)dt-\- ...,
а а
х
т. е. по доказанному f Rn(t)dtt то, в силу неравенства B), ряд F)
а
есть равномерно сходящийся на [а, Ь\.
Таким образом, мы получили предложение: если ряд непрерыв-
непрерывных функций
есть равномерно сходящийся на отрезке [а, Ь], тогда
имеем право его интегрировать почленно, т. е. напи-
написать:
X
u2dx-\- .•• -f-Jundx-\-
причем проинтегрированный почленно ряд будет заведомо рав-
равномерно сходящимся на отрезке [а, Ь].
Полагая, в частности, л; = #, мы имеем:
ъ
]*... G)
Ч. Т. Д.
Примечание. Если функциональный ряд щ(х) + и2(х)+ ... нерав-
неравномерно сходится на отрезке [а, Ь], то, хотя бы члены его ип (х) и были все
непрерывными функциями на [а, Ь] и хотя бы его сумма f(x) была
тоже непрерывной функцией, его, вообще, уже нельзя интегрировать
почленно, ибо ряд G) может быт^ и расходящимся, или, если он и схо-
ь
дится, его сумма может оказаться уже неравной интегралу Г f(x)dx.
а
Свойство III. Если все члены сходящегося ряда /(*) =
= и\С*0*+¦ и20*0Ч~ ••• имеют непрерывные производные иг±(х)9
и'2(х) ...на отрезке [а, Ь] и если ряд и[ (х) + а'2 (х) + .... со-
составленный из этих производных, равномерно сходится

190 ряды гл. vi
на [а, Ь]9 тогда данный ряд можно дифференцировать почленно*
т: е. имеем право писать /'ДО—*?(¦*) ~Ь «?(*)-+- •••
Доказательство. Это предложение сводится на предыдущее.
Действительно, обозначая через ср(лг) сумму равномерно сходящегося
ряда и[ ДО -+- ид ДО -f- ... непрерывных функций, <р ДО = и[ ДО4-
+ и'2 ДО + .... мы по доказанному имеем право интегрировать его
'почленно и писать:
ххх х
f <?(t)dt = f u'^dt-t- f a'2(t)dt+ ... +ju'n(t)dt+ ... (8)
а а а а
х
С другой стороны, имеем С u'n(t)dt = un(x) — ип(а). Поэтому
а
сходящийся ряд (8) можно переписать в виде:
X
/ <Р (О Л = t«t(*) — «i(«)l+ [«*(*)—и2(а)]+ ... +
-Не. (я)— «,(*)]-+-... (9)
оо со
По условию, ряды 2 #яДО и 2 ап(а) СУТЬ сходящиеся и их
суммы соответственно равны /ДО и /(а). Поэтому формула (9)
перепишется в виде Г(p(t)dt=f(x)—/(«). Отсюда ясно, что функ-
а
ция срДО есть производная от функции /ДО, т. е, /' ДО = ср (х).
А так как через срДО мы обозначили выше сумму равномерно схо-
сходящегося ряда u/1{x)-\-uf2{x)'Jr • • •» то отсюда заключаем, что
.. ч. т. д.
Замечание. Если данный ряд функций /ДО = Щ ДО+ «2ДО + •••
сходится и имеет все свои члены дифференцируемыми, но если ряд произ-
производных и± (х) + И2 ДО + • • • неравномерно сходится, тогда данный ряд,
вообще, уже нельзя дифференцировать почленно, ибо его
сумма f(x) может оказаться недифференцируемой, или, если она и имеет
производную /' (*), то таковая может оказаться уже неравной сумме
§ 80, Степенные ряды. Степенным рядом называется ряд вида
где а0, av a2t •. • суть постоянные, называемые коэффициентами
степенного ряда.
Область сходимости степенного ряда. Первое, что
нужно узнать о степенном ряде, это определить его область схо-
сходимости.

80
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
191
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в какой-нибудь
точке х09 отличной от нуля, х0Ф09 тогда он есть правильно
сходящийся на всяком отрезке, лежащем внутри промежутка
(—1*0|, -М*в|).
Доказательство. Пусть степенной ряд A) сходится в точке л;0,
отличной от начала координат О К Нанесем на оси ОХ промежуток
(—| jc0 j, H— | лг01), имеющий начало О своей серединой, и рассмотрим
какой-нибудь отрезок [а, Ь\, лежащий в этом промежутке (рис. 69).
Если х — какая-нибудь точка отрезка [а, Ь\9 ясно, что абсолютная
величина | л; | не может равняться абсолютной величине |лго|, но всегда
Рис. 69
будет меньше |#0| — е, где е есть некоторое положительное число,
т. е. |jc|<|jco| — е. Отсюда следует, что — <1 — г-^-г==6, где
0 есть определенное положительное число, меньшее единицы, 0< 8 < 1.
Мы предполагаем, что степенной ряд A) сходится в точке xQ.
оо
Следовательно, общий член ряда 2 апхо стремится к нулю, когда
/t-^-^-оо, а потому имеем I апх$ < т], когда л>ЛГ. Здесь ч\ есть
сколь угодно малое положительное число.
Если теперь х произвольная точка отрезка [а, Ь\9 мы имеем не-
неравенство:
где n>N,
хп
из которого следует, что степенной ряд в 142+ Ь
Ц~ апхп + ... имеет на отрезке- [а, Ь\ все свои члены, начиная с не-
некоторого, по абсолютной величине меньшими, чем соответственные
члены геометрической прогрессии 1 -+- 0 -f- в2 -+- ... -f- 9Л +
где 0 —положительное фиксированное число и где n>N. А это и
обозначает, что степенной ряд правильно сходится на отрезке [а, Ь]9
ибо геометрическая прогрессия 1-4-9 + 02-f- •.. +0л-(- ... слу-
служит его мажорантой. ч. т. д.
Теорема Абеля дает ясное представление об области сходимости
степенных рядов. Окрасим (мысленно) в красную краску всякую
точку расходимости степенного ряда A) ив голубую краску
1 На рисунке 69 точка х0 взята направо от начала О, т. е. дг0 взято
положительным. Все рассуждения остаются теми же, если х0 отрицательно*
лишь бы х0 =f=- 0.

192 ряды гл. vi
каждую его точку сходимости. Ясно, что точка л: = 0 всегда
будет голубой. Если степенной ряд везде сходится, вся ось абсцисс Х'Х
будет голубой. Если степенной ряд везде расходится, вся ось
абсцисс Х'Х будет красной, кроме начала О. Если какая-нибудь
точка л:0, отличная от начала О, голубая, то, в силу теоремы Абеля,
все точки оси абсцисс, лежащие ближе к началу О, чем точка х0,
по обе его стороны, также будут голубые. Если какая-нибудь точка хх
красная, то, в силу теоремы Абеля, красными будут все точки оси
абсцисс, лежащие дальше от начала О, чем хи по обе его стороны.
Так как всякая точка оси абсцисс есть либо голубая, либо крас-
красная, то из сказанного следует, что, идя от начала О вправо по оси
абсцисс, мы сначала будем встречать лишь голубые точки, а потом
только красные, причем самая граничная точка Е голубой и красной
части может оказаться того или другого цвета. И то же самое
происходит налево от начала О, причем обе граничные точки 6 и V
разноцветных частей лежат по разные стороны от начала О на оди-
одинаковом расстоянии р.
Указанный промежуток (—р, +р) называется промежутком схо-
сходимости данного степенного ряда A), так Как внутри него имеется
сходимость ряда, а за его границами расходимость/ В са-
самих же граничных точках ?' = — р и E=:-f-p может быть, в зависи-
зависимости от случая, и то, и другое (рис. 70).
j * i
^+1х
-р +р
Рис. 70
Практическое определение длины промежутка
сходимости степенного ряда.
Лемма. Если для степенного ряда ао-\-ахх-{-а2х2-\- ... -f-
4-апхп-\~ ... имеем lim l?s±li —?f то р = -^-
п ->.+со \ап\ Ь
Доказательство. Применим признак Д'Аламбера к ряду
| + || + |2l+ +II+ Составим для этого
отношение Д?+1^ ¦ и найдем его предел при п~+ + оо. Имеем:
\апх \
^ Wl.l'l. B)
я >+оо I •*«•* J п ->+со
Отсюда ясно, что при |*|<-?* этот предел строго меньше еди-
единицы, и поэтому имеем сходимость. Но при | х I > -т- этот пре-
дел строго больше единицы, и поэтому, имея с некоторого момента
неравенства | апхк | < | ак+1хк+11< ... < | апхп \ < ..., мы видим,
что невозможно, чтобы член апхп стремился к нулю при л->Н-оо.

§ 80 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 193
\
ОС
А это говорит, что ряд V апхп расходится при |*|>-7"»
Отсюда следует, что -у- = р. ч. т. д.
Пример 1. Найти область сходимости ряда
х^ х^ х^
X ^2* + "§2 Г + ' # • (*'
Решение. Применение практического правила -для определения р дает:
р = Hm , |flwl, == lim ~ = lim
Итак, промежуток сходимости есть (—1, +1). Теперь надо
исследовать область сходимости. Для этого надо исследовать лишь
самые граничные точки л; = + 1 и .* = — 1.
Если *=* + 1, ряд 1— 2^"+з^ ^г+ ••- щ ] п—
есть убывающий знакочередующийся, значит,
сходящийся. Если * = — 1, имеем —1—тр*— Рис.71
— "О2" — "Ж — • • • ^яд сходится (см. § 69, случай 3). Область сходимости
изображена на рис. 71.
Пример 2. Найти область сходимости ряда
14- — 4~_ 4- t
1+ 2! + 4! + ••' ^ Bл)!
Решение. Применяем практическое правило:
^+00 Bл + 2)! Bл) I п ++т Bл + 1) Bл + 2)
Поэтому данный ряд сходится для всех х.
ЗАДАЧИ
Найти области сходимости следующих Графическое изображение
рядов: областей сходимости х
1. 1 + х + х*-{-х*+ ... у
Отв. — 1 < х < + 1. ~; */
jfl х з х^ О
2т Х 2" +  4~+ ••• _f ) и
Отв. —1
3.
Отв. — 1 < х < + 1. Рис. 72
1 Если граничная точка промежутка сходимости (—р, +р) входит
в область сходимости, мы ее отмечаем черной точкой; если не входит, мы
не отмечаем никак.
13 Интегральное нечисление

194
РЯДЫ
ГЛ. VI
Графическое изображение
областей сходимости
Отв. Все 6.
фЗ ф5 ф7
7* 1~ 3! + ~5Г~"
Отв. Все Ф.
1 л* ЬЗ
8.
•3-5 jfl .
о
I
Рис. 73
Отв. —
Отв. — 1 < х < + 1.
10. 1
12.
13.
14.
X
1 +
2х
2
Отв.
¦ + ЗТ
Отв.
Отв.
, 22^
Все
— 3
— 1
%
х.

-X4
<
2Ь
Т(
—7
'х
Ч
лг
г
J3
<
<
+
1 •**
+ 4-34
+ 3.
+ 1.
... +
хь+ .
15. 1
^733"
Отв. — 6 < х < + 6.

§ 81 СУММА СТЕПЕННОГО РЯДА 195
17 Х I 2Х* I
Отв. — 2 ^ х < + 2.
18.
i * *2 *з
20. 4; + ^ + ^ + ^
з2 з3 з4 з5
21. 1 + a: + 2*2 + 3*3+ ...
22. 10* + 100*2 _|_ ю00*з ...
23. 1 +
§ 81. Сумма степенного ряда. Пусть
л+- ... A)
данный степенной ряд, имеющий промежутком сходимости
(—р, +р)« Тогда, по теореме Абеля (§ 80), ряд A) правильно
сходится на всяком. отрезке [а, Ь]> содержащемся в промежутке
О
а а?о Ъ
Рис. 74
сходимости (рис. 74). Отсюда следует, что если мы обозначим через
/(*) сумму степенного ряда в его области сходимости
то /(*) есть непрерывная функция на всяком отрезке [а, Ь]9
лежащем в промежутке сходимости.
В частности /(*) непрерывна во всякой точке *0> содержащейся
в промежутке сходимости.
§ 82. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Пусть степенной ряд
имеет промежуток сходимости (—р, +р). Продифференцируем фор-
формально почленно этот степенной ряд. Мы получим новый степенной
ряд
ах +~ 2а2х +- Ъаъхг +-...-{- папхп~х +- ... B)
13*

196 ряды гл. vi
Лемма. Продифференцированный степенной ряд имеет тот же
самый промежуток сходимости, что и первоначальный степен-
степенной ряд.
. Доказательство. Во-первых, по теореме Абеля (§ 80)
мы знаем, что на всяком данном отрезке [а, ?], лежащем в проме-
промежутке сходимости (—р, +р), первоначальный ряд A) есть правильно
сходящийся и имеет мажорантой некоторую геометрическую про-
прогрессию 1 —|— 9 —[— G2 —{— ... -f-e^-f- ..., где б есть фиксирован-
фиксированное для отрезка [а, Ь] положительное число, меньше единицы,
0 < 6 < 1. Это означает, что на отрезке [а9 Ь\ имеем неравенство
| ал-*;" |< 6Л, когДа п превысит надлежащую грань TV, n^N.
Для общего члена продифференцированного ряда B) мы имеем
неравенство:
когда n^N\ здесь х — какая-нибудь фиксированная точка отрезка
[a, b\t отличная от начала О.
Так как ряд 1 -|-29-4-302-f~ ... _|~я0л-1 есть сходящийся для
0<б< 1 (это следует из признаков сходимости, но можно и прямо
указать его сумму: .« ^ ), то отсюда следует, что степенной ряд B)
сходится всюду в промежутке сходимости (—р, + р) ряда A).
Во-вторых, если какая-нибудь фиксированная точка х нахо-
находится за границами промежутка сходимости (—р, +р), т. е. если
| х | > р, то из доказательства теоремы Абеля (§ 80) следует, что
общий член апхп первоначального ряда A) не может стремиться
к нулю, когда /г—> — оо х. Отсюда же следует, что и апхп~х не может
стремиться к нулю, и тем более произведение папхп~г не может
стремиться к нулю, когда п-+-\-оо. А это и означает, что продиф-
продифференцированный ряд B) наверное будет расходящимся в рассматри-
рассматриваемой точке х.
Таким образом, продифференцированный ряд B) сходится в про-
промежутке (—р, +р) и расходится за его границами. Следовательно,
(— р, -f-p) служит промежутком сходимости для обоих
степенных рядов: первоначального A) и продиффе-
продифференцированного B), ч. т. д.
1 Отсылая учащегося к самому доказательству теоремы Абеля (§ 80), мы
указываем на то, что оно, собственно, и не требует непременной сходимости
степенного ряда A) в точках лг0, но лишь только того, чтобы член апх*
оставался ограниченным по абсолютной величине, когда п -> + оо. Ибо нам
совсем не нужно, чтобы величина*], где апх" | < т), стремилась к нулю.
Все доказательство Абеля остается в силе по-прежнему, откуда еяедует, что
во всякой точке х, находящейся за границами промежутка сходимости
(—о» +р), не только степенной ряд uq + агх + а2х^ + ••• расходится, но его
общий член апхп не может оставаться даже ограниченным, когда п -> + оо.

§ 83 БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД МАКЛОРЕНА 197
Так как степенной ряд есть равномерно сходящийся на каком
угодно фиксированном отрезке [а, Ь], лежащем в его промежутке
сходимости (—р, +р), то из свойств II и III равномерно сходящихся
рядов (§ 79) следует, что степенной ряд
+ ... +апх*+ ... C)
можно какое угодно число раз почленно дифференцировать
и интегрировать в его промежутке сходимости (—р, -f-p),
причем получаемые таким образом степенные ряды
будут иметь тот же самый промежуток сходимости
(—P. +P).
Таким образом, дифференцируя, имеем: •
f" (*)= 2а2 4-3-2.03*4- ... +л(я— 1)апхп~2
/'"(*) = 3-2. 1а3-Ь ..
и, интегрируя, имеем:
и т. д.
Отсюда мы прежде всего заключаем, что сумма f(x) всякого сте-
степенного ряда C)
f(x) = ao + a1x + a2x2 + ... +алл:«+ ... C)
есть совершенно особенная функция, ибо она имеет не только пер-
первую производную /'(*)» н0 и вторую f"(x) и третью ///7(д:), и,
вообще, любую П'Ю производную /(Л) (х)9 каково бы ни было нату-
натуральное число /г, причем все эти производные непрерывны в каждой
точке х9 лежащей в промежутке сходимости (—р, +р).
Можно коротко назвать суммы f(x) степенных рядов безгранично
дифференцируемыми функциями.
§ 83, Бесконечный ряд Маклорена. Пусть степенной ряд
* + *2*а+ ... +*1.*я+ ••• A)
имеет промежутком сходимости (—р, +р), где р>0.
Дифференцируя его бесконечное число раз:
(Х)=

198 ряды гл. vi
и полагая всюду х = О, мы получаем
= e0. f'@)=*l.au f(Q)=l.2-at. /'"(()) = 1 • 2 . 3 • а3 ...
Отсюда мы приходим к следующему важнейшему заключению:
зная, что безгранично дифференцируемая функция/(х) является
суммой степенного ряда
но не зная его коэффициентов, мы можем их все определить
по формуле Маклорена:
a-f@) e-ilW. а -?Ж д -/(Л)(°)
п\
Когда степенной ряд а0-|~^i^ + &2х2 + ••• +лял^я+ ••• имеет
промежутком сходимости (—р, +р) и в нем суммой функцию f(x):
/(х)^ао + а1х + а2х^+ ... 4-V-f- .... A)
тогда мы говорим, что функция f(x) разложена в промежутке
(—р/ + р), в степенной ряд, и тогда, в силу формул B), мы имеем
тождество '
Шгт ^Ж О)
Разложение A) носит название бесконечного ряда Маклорена.
§ 84. Сопоставление бесконечного ряда Маклорена с конеч-
конечной формулой Маклорена. Не следует думать, что бесконечный ряд
Маклорена A) сам по себе чрезвычайно ясен и что не стоит, поэтомур
спрашивать о его законности. Здесь кроется большая тонкость.
Именно, на первый взгляд кажется, что когда мы имеем какую-
нибудь безгранично дифференцируемую функцию f(x), то весьма
просто ее «разложить в степенной ряд»: для этого стоит только
вычислить все ее производные для jc = O, т. е. подсчитать /@), f'@)9
/"@), ///7@) далее, разделить их соответственно на 1, 1!, 2!,
3!, ... и, наконец, составить из полученных коэффициентов беско-
бесконечный ряд Маклорена A). И на первый взгляд кажется, что здесь
нет места никаким сомнениям, ибо представляется, что бесконечный
ряд Маклорена должен сходиться и должен иметь суммой раз-
разлагаемую функцию f(x). Но в действительности дело обстоит гораздо
сложнее и тоньше.

§ 84 СОПОСТАВЛЕНИЕ РЯДА И ФОРМУЛЫ МАКЛОРЕНА 199
Во-первых, составленный по правилу Маклорена для заданной
функции f(x) бесконечный ряд (I) может оказаться расходящимся
всюду (кроме точки х = 0). Это происходит тогда, когда подсчитан-
подсчитанные производные /@), /'(О), /"@) /(л) @), ... с чересчур
большой силой возрастают гго величине, когда п—>-|-оо. Например,
если /(л) @) = (я!J, ряд Маклорена всюду расходится (кроме л: = 0)
и не служит ни к чему.
Во-вторых, составленный по правилу Маклорена для заданной
функции f(x) бесконечный ряд (I), хотя и может оказаться сходя-
сходящимся в его промежутке сходимости (—р, +р), р > 0, однако сум-
суммой этого степенного ряда может ^оказаться вовсе не заданная функ-
функция /(л:), а совершенно посторонняя функция Ф(лг), чуждая функ-
функции f(x) и никак с нею не связанная [кроме равенств /(л) @) == Ф(л) @)].
i_
Например, если f(x) =е *\ причем мы полагаем /@) = 0, то имеем
О = /' @) = /" @) = fm @) =з ... Поэтому степенной ряд, вычисленный по
правилу Маклорена, будет 0 + 0*-f-Ол:* + ..., + 0хп-\- ..., его сумма
тождественно равна нулю и, значит, вовсе не равна «разлагаемой» функ-
1
ции е х*.
Все, что можно извлечь из формулы Маклорена, это только то,
что, если р асе м атр ив а ем а я функция f(x) сп о со бн а с л у-
жить суммой степенного ряда, то такой ряд имеется только
один и его коэффициенты должны тогда определяться по правилу
Маклорена. Но на основной вопрос:
может ли данная безгранично дифференцируемая функция f(x)
быть суммой степенного ряда, т. е. возможно ли ее разложение
в ряд степеней, бесконечный ряд Маклорена ответить не
может.
В целях решения этого вопроса обычно прибегают к конеч-
конечной формуле Маклорена, устанавливающей оценку разности
между рассматриваемой функцией f(x) и суммой п первых членов
бесконечного ряда Маклорена; эту разность обозначают через Rn (x):
Ясно, что для того, чтобы сумма бесконечного ряда Макло-
Маклорена A) была равна функции f(x) в промежутке сходимости
(—р, 4~Р) этого ряда, необходимо и достаточно чтобы имели
lim
всюду в промежутке (—р, +р).

200 ряды гл. vi
Так как равенство A) можно переписать в виде:
B)
то называют это равенство конечной формулой (не «рядом») Мак-
лорена, а количество Rn(x), стоящее последним в правой части,
дополнительным членом (или, неправильно, «остатком»)»
Для того чтобы безгранично дифференцируемая функция раз-
разлагалась в промежутке (—р, + р) в сходящийся ряд степеней,
необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член стре-
стремился к нулю всюду в этом промежутке, когда п безгранично
возрастает.
Исследование дополнительного члена Rn(x) иногда представляется
трудным и, чтобы уйти от такого исследования, обычно разлагают
в степенные ряды функции комплексного переменного, для которых
имеются могущественные общие,принципы, делающие совершенно не-
ненужным рассмотрение члена Rn(x). Эти принципы составляют пред-
предмет теории функций комплексного переменного (см. следующую
главу). Но поскольку здесь речь идет о действительном пере-
переменном, приходится войти в оценку этого дополнительного члена
я,(*).
В целях наибольшего удобства ему дают различные формы. Одни
из этих форм удобны для одних функций f(x), другие — для других.
Общих правил здесь нет. Мы здесь укажем простейшую из форм
дополнительного члена Rn(x), вытекающую из теоремы о среднем
Тейлора (см. часть I, § 145). Именно, полагая в формуле среднего
Тейлора а = 0 и а=л;, мы находим:
C)
где $ есть величина средняя, находящаяся между 0 и л;. Из этого
равенства следует простейшая форма дополнительного
члена, а именно:
^-х11- D)
Правую часть этого равенства принято называть «остаточным чле-
членом в форме Лагранжа». Пользование этой формой во многих слу-
случаях затруднительно, так как неизвестно, в каком месте отрезка [0, х\
находится средняя величина Е. Однако для трех функций: ех, sin л:
и cos л: остаточный член в форме Лагранжа довольно быстро приво-
приводит к цели.

84 СОПОСТАВЛЕНИЕ РЯДА И ФОРМУЛЫ МАКЛОРЕНА 201
Пример 1. Разложить в степенной ряд /(^) ^.
Решение. Имеем /' (х) = е* /" (х) = ** ..., /<л> (дг) = **... Значит,
/@) = 1, /' @) = 1, /" @) = 1, и остаточный член в форме Лагранжа будет
Дп (х) s= et • —р, где € промежуточное число между 0 и х Отсюда следует,
что
со
Но ряд /. -—г— есть везде сходящийся. Значит, имеем Игл —i- = 0.
ло
Поэтому Rn (х) -> 0, когда п -» + оо для любого лг.
Окончательно, для всякого х:
Пример 2. Разложить в степенной ряд /(*) = sin*.
Решение. Имеем /' (х) = cos лг, /" (х) = — sin x, fm (x) =* — cos x и
УIV (х) = sin x. Дальше производные, очевидно, повторяются периодически.
Общая формула для я-й производной: /<Л> (х) = sin (лг + /i -^- J. Для лг = О
«меем /@) = 0, /' @) = 1, /"@) = 0, /w@) = —1 и т. д. Следовательно,
мы имеем период из четырех чисел: 0, 1, 0, —1. Остаточный член в форме
-Лагранжа будет:
Следовательно, | Rn (х) \ ^ -—j—> 0 для всякого х при п -» + °°« Окон-
Окончательно, имеем сходящееся всюду разложение:
Пример 3. Разложить в степенной ряд f(x) = cos x.
Решение. Можно было бы проделать такое же исследование остаточного
¦члена в форме Лагранжа, какое было сделано для sin дг. Но ясно, что делать
это не стоит, потому что можно воспользоваться правом дифференцировать
сходящиеся степенные ряды. Таким образом, дифференцируя почленно раз-
разложение F), мы сразу получаем разложение Маклорена для cos x:
* X2 . X* X* ,
cos*=l—2Г + -4Г — ег+ .... G)
сходящееся для всякого х.
Для того, чтобы произвести разложение в степенные ряды других
функций, необходимо сначала придать остаточному члену Rn(x) дру-
другую форму, ибо форма Лагранжа оказывается уже недостаточной, и
уже затем, пользуясь этими другими формами, устанавливать сходи-
сходимость рядов Маклорена к заданным функциям f{x) в их промежутке

202 РЯДЫ гл. vi
сходимости. Но такое исследование даже для элементарных функций
представляется затруднительным.
К счастью, помимо этого прямого пути, состоящего в переходе
от конечной формулы Маклорена к бесконечному ряду Маклорена,
имеется косвенный путь, чрезвычайно богатый различными возмож-
возможностями. Этот путь состоит в том, что рассматривают прямо бес-
бесконечный ряд Маклорена, сначала определяют его промежуток
сходимости, а потом, на основании арифметического состава
коэффициентов этого ряда, узнают, какую именно функцию он
изображает. Этот способ мы применим к биномиальному ряду»
§ 85, Биномиальный ряд. Этот важный ряд имеет вид:
где коэффициенты вычисляются по формуле:
Гп _ т(т— 1) ... (т — п — 1)
Ясно, что в случае, когда число т есть натуральное, т. е. целое
положительное, тогдй коэффициент Спт равен «числу сочетаний из т
предметов по пъ% и что тогда ряд A) автоматически обрывается на
члене хт% ибо все дальнейшие члены имеют коэффициенты равными
нулю. И в этом случае сумма ряда A) равна A-|-л;)ш, как этому
учит бином Ньютона.
Если же число т не есть натуральное и не равно нулю, тогда
никакой из коэффициентов Спт не делается равным нулю, и степен-
степенной ряд A) является действительно бесконечным. Мы хотим опреде-
определить в этом случае его промежуток сходимости (—р, -+р) и
найти в нем его сумму.
Составляя, по признаку Д'Аламбера (§ 69), отношение
т— п
мы видим, что имеем:
..¦-4 1
I — П
\CJx\
lim ! "* ' = lim
\СтХ
\Х\ I у I
Поэтому биномиальный ряд A) сходится, когда |*|<1 и расхо-
расходится, когда |л:|>1, ибо тогда его члены не могут .стремиться
к нулю.
Таким образом, промежуток сходимости биномиального ряда A)
есть (—1, +-1), когда число т не есть натуральное или
равное нулю.

•§ 85 биномиальный ряд 203
Чтобы найти сумму биномиального ряда A), мы ее обозначим
я+ ... A*)
Дифференцируя это равенство (что мы имеем право делать), мы
находим:
/'(х) = Cl-\-2С%х -+-.••+ пСптх"~1 + ... C)
Умножив на х обе части этого равенства, имеем:
*/' (х) = С1ах + 2CJU* + • • • + пС%хп 4- ...
Прибавив к предыдущему, получаем:
-•• 4-
. D)
Вычислим коэффициенты ряда D). По формуле B) находим
—я—-1)
/г!
Значит, равенство D) перепишется в виде:
что дает
(l+x)f'(x) = mf(x). E)
Соотношение E) немедленно нам дает неизвестную функцию
В самом деле, имеем:
/' (х) т d
7^=Т+Т ИЛЙ 5S
Интегрируя, находим:
1п/(*)=
Отсюда
вС-A4-лЛ (б)
И так как при х = 0 биномиальный ряд имеет величину, рав-
«ую 1, то /@)= 1, Полагая в равенстве F) jc = O, находим 1 =^с.

204 ряды гл. vi
Поэтому
Таким образом, мы имеем важное разложение:
A+х)т=1+С1тх + С2тх2+ ... +СЪхп+ ... G)
в промежутке сходимости (—г 1, +1).
Пример. Найти 1^630 с хорошим приближением, пользуясь биномиаль-
биномиальным рядем.
Решение. Ближайший к 630 точный квадрат есть 625 » 25*. Поэтому
1
В нашем случае биномиальный ряд есть
Полагаем х = y«j= = 0,008. Отсюда
(\ + ^Л 2 = 1 + 0,004 — 0,000008 + 0,000000032 — ...
Значит
25(l + j~\ 2 ^25 + ОД — 0,0002 + 0,0000008 » 25,099801.
Так как разложение есть убывающее и знакочередующееся, то ошибка
в найденном числе не превышает последнего взятого члена, т. е. < 0,0000008.
ЗАДАЧИ
1. Пользуясь биномиальным рядом, показать, что
1
Проверить результат прямым делением.
2. Пользуясь биномиальным рядом, найти приближенные величины еле*
дующих чисел:
а) /404 d)/S> ^ ^

§ 86 логарифмические ряды 205
3. Пользуясь разложением синуса F) (см. § 84), вычислить sin 1 с точ-
точностью до 4 десятичных знаков.
Решение. Имеем:
sini-i — gr + gf — yj-i-gj —-..
Суммируя отдельно положительные и отрицательные члены, имеем:
1 = 1,00000 1 = 0,16667
~ = 0,00833 1 = 0,00020
1,00833 0,16687
Значит: sin 1 = 1,00833 — 0,16687 = 0,84146.
Результат точен в пятом десятичном зн^ке, ибо ошибка меньше, чем
^ = 0,000003.
§ 86. Логарифмические ряды. Геометрическая прогрессия
1
1 — х ~\-х-[~х -\- ••• \х "г •••
имеет промежуток сходимости (—1,+1). Заменяя х на —х, мы
получаем:
Интегрируя этот ряд, мы имеем:
X
Наконец, выполняя интегрирование в левой части, мы оконча-
окончательно находим разложение ln(l-|-;t) в ряд Маклорена.
^^т -1)"+1^+ ... A)
Мы знаем (см. § 82), что интегрирование не изменяет промежутка
сходимости. Поэтому разложение A) имеет промежутком сходимости
(—1, + 1) и в нем суммой \п(\-{-х).
Но для вычисления логарифмов пользуются, однако, не рядом A),
но разложением в степенной ряд функции In 1 ~ . Чтобы его иметь,
заменим в разложении A) х на —х. Мы получаем ряд:

206 ряды гл. vi
с тем же самым промежутком сходимости (— 1, -f-1). Вычитая из A)
этот ряд, мы находим:
????] B>
Промежуток сходимости полученного ряда (—1, +1).
Пример. Оценка логарифмов.
Чтобы привести ряд B) к форме, более удобной для оценки, возьмем
два положительные числа М и N, причем пусть М > N. Полагая
_M — N М_1+х
х~ м + N' ИМеем ~W~ T=x9
причем, очевидно, что 0 < х < 1 для всех положительных М и Nt M > N.
Ряд B) дает:
Этот ряд сходится для всех положительных М и N, М > Nt и хорошо
приспособлен к оценке.
Например, пусть М = 2 и N = 1. Тогда In —?т = In2 и ,. , „ = -о* •
Подстановка в C) дает: In2 = 0,69315...
Далее, пусть М = 3 и N = 2. Тогда
Необходимо вычислить логарифмы лишь простых чисел, ибо логарифмы
составных чисел находятся при помощи их. Например,
In 8 = In 23 = 3 In 2 = 2,07944...
In6=ln3 + In 2 = 1,79176...
Вычисленные логарифмы суть логарифмы натуральные или логарифмы
Непера, имеющие основанием число <? = 2,718281828459045... Чтобы иметь
логарифмы Бригга или логарифмы обыкновенные, имеющие основанием 10,
надо переменить основание посредством формулы
1 in л
lOg Л =
In 10
Например,
In 2 0,693..

§ 87 РАЗЛОЖЕНИЕ АРКУС-СИНУСА 207
§ 87. Разложение аркус-тангенса. Берем разложение
1
получающееся заменой в разложении -* = 1
буквы х на —х2. Поэтому промежуток сходимости его тот же
самый: (—1, +1). Интегрируя написанный ряд A) от 0 до х% мы
прямо получаем:
[arctg*l = *-^ + ^-^+...+(-iy-*|^+ .... B)
это разложение имеет промежуток сходимости (—1, +1), ибо про-
промежуток сходимости не изменяется ни дифференцированием, ни инте-
интегрированием (§ 82). Суммой этого разложения является основная
ветвь arctgue (см. часть 1, § 100), а не какая-нибудь иная. Поэтому
arctg.*; написан в квадратных скобках.
§ 88. Разложение аркус-синуса. Возьмем разложение
п+ .... A)
имеющее промежутком сходимости всегда (—1, +1), кроме того
случая, когда ряд A) автоматически обрывается, т. е. когда т це-
целое положительное или нуль. Полагая #t = ^ и заменяя букву х
на —х2, мы имеем:
2
Интегрируя от 0 до х, находим:
--I-5 -т7
... B)
Левая часть равенства B) есть основная ветвь arc sin л:, т. е.
[Bgcsinx], а не какая-либо другая (см. часть I, § 100). Остается
найти вид коэффициентов в правой части. Имеем:
_
1-3-5.,.Bя—

208 ряды гл. vi
Следовательно, равенство B) перепишется в виде:
, 1 х» , ЬЗ jk6 , ЬЗ-5 *7 . ЬЗ-5-7 дг» ,
Разложение имеет промежутком сходимости (—1, +1).
ЗАДАЧИ
Проверить следующие разложения функций в ряды Маклорена и опре-
определить их промежутки сходимости:
^+^—2Г—-зГ+4Г + -5Г —-gr-TTj
Отв. Все х.
2. 1н(а + д:) = 1па + — ~gS + g^T-—+(^1)ая-1 + —
Отв. (—
Проверить следующие разложения:
^8 2^5 , 17д:7
3. tg*-*-r-3"i~l5""i~~315~i~ —
4. scat=1+ + +
5. !
6. tg (|
7. a
9.
Ю.
_____
Найти три члена разложения Маклорена для каждой из следующих
функций:
П. cos(*~j). 13. esin0.
12. sin (x + 1). 14. еХ—?~Х .
Получить следующие величины прямой подстановкой в степенные ряды
и подсчетом достаточного количества членов:
15. е = 2,7182...
X Х^
Решение. Берем разложение ^:=1 + -7у + -2г4- ... и полагаем в нем
* = 1. тогда 6=1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ^+.-.

§ 89
ДЕЙСТВИЯ НАД СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ
209
Первый член
Второй >
Третий >
Четвертый »
Пятый > =0,04167.
Шестой > =0,00833.
Седьмой » = 0,00139.
Восьмой ъ =0,00020.
1,00000
1,00000
0,50000
0,16667... (деля предыдущий на 3)
( ъ > ъ 4)
Итого:
16, arctg(^-) = 0,1973...
17. cosl ^0,5403...
18. cos 10° = 0,9848...
19. sin0,l =0,0998...
= 2,7182...
20. arc sin 1 = 1,5708..
21. sin-^- = 0,7071...
22. sin 0,5 =
23. e* =
°'479? •
7,3891...
23-3
+-" + 1,6487...
§ 89, Действия над степенными рядами. Пусть даны два сте-
степенные ряда:
2{ п+
Предполагается, что промежуток сходимости первого ряда есть
<—Л, +Л) и второго (—В, +-?), где Л>0 и В > 0.
Эти ряды можно комбинировать между собой посредством сле-
следующих действий:
I. Сложения. Получаем новый степенной .ряд:
II. Вычитания. Получаем новый степенной ряд:
III. Умножения. Получаем новый степенной ряд:
+ O'lh) * + («0*2
Эти действия законны для таких численных значений х, которые
лежат в промежутке сходимости и первого фяда (—Л, +-Л), и
второго ряда (—В% +5), ибо тогда ряды абсолютно сходятся и
их можно складывать, вычитать и перемножать, как обыкновенные
конечные суммы (§ 71). Поэтому полученные новые степенные
ряды имеют промежуток сходимости заведомо не меньший,
чем самый малый из обоих промежутков сходимости (—Л,
-4-Л) и ( — В. -+В).
14 Интегральное исчисление

210 ряды гл. vi
Совсем другое дело, когда приходится делить степенные ряды.
IV. Деление. Когда делим степенные ряды один на другой:
то, если а0 отлично от нуля, их частное представимо в виде степенного ряда
тогда и только тогда Ьо Ф 0, ибо иначе величина /@) будет бесконечно
большой.
Прибавим к этому, что промежуток сходимости нового степенного ряда
?о + с\х + С2р°г + • • ¦ i получающегося в результате деления, трудно опре-
определим и он может оказаться много меньше, чем оба промежутка сходимости
(—А +А) и (-Я, +В).
Чтобы получить коэффициенты eQi сь с2..., надо перемножить ряды
^о + Ь\Х + Ь2х* -f- ... и с0 + с\х + V2 + ... и приравнять коэффициенты
этого произведения коэффициентам ряда aQ + ахх-f-л2лс2 + ..., т. е. надо
написать:
а0
Тогда мы имеем уравнения, из которых, один за другим, находим неиз-
неизвестные коэффициенты частного ряда с0, ^ь С2>
Пример 1. Найти степенной ряд для e*sin.r.
Решение. Имеем:
х* х% х* х~°
+ Т + 24 +120+'••
X* . X'»
х~~-^ + т-...
Перемножая ряды, находим:
хь хь
е* sin х = х -j- х* + -^ огГ + члены с х* и т. д.
Пример 2. Найти ряды для sc -^ из ряда для cos x.
Решение. Имеем sc х д • qs и cos лг = 1 ~ -—. -|- — — __[-,.,
Здесь проще всего, при делении, прибегнуть к следующему приему.
Х^ X* Х^
Полагаем cos* = l — z. Тогда z — -* Ш + 720—""*
С другой стороны, scх = . =l + -2' + ^2 + '2'3 + -.. Для |г| < 1.
Ясно, чтогг2 = -т *94+ •••» -г3!=-к-+ ... Отсюда
ЗАДАЧИ
Проверить следующие ряды:
уу ; л ^ 1 13^ [

§ 89 ДЕЙСТВИЯ НАД СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ 21Л
о sin* , „ , 5*з 5*4 .• 101л:5 .
л • ч * 2xi I 32-**
4. 8Ш»ДС-ДС«—др + ^щ-
5. (l+
г% гЗ З*5
81++
. sin х cos i/^ = х — ^ ^-
1U* cos* •*Ti6^ 2 h#-#
11. A— *)arcsin* = * — xz + -q —-g- + -4Q 0"
12. (l+*)arctg* ^^ ^4^
.o , * *2 *4
is. *81пт = т-^
./- t 3* , 25*2 331*3 -
14. e-*cos 1/3=1 + +
15.
х х%
Для следующих функций найти все члены рядов, содержащие степени
меньше чем *5.
X X
17, е cos *. • t/*i i ^2" *
sin 2*
• cos*# 21. /2— cos*.
19. бг* ln^l ^-^. 22. J/T+^ln(l--*).
Пользуясь логарифмическим рядом C) (см. § 86) и зная, что In 2 =» 0,69315
я In 3 = 1,09861, вычислить следующие логарифмы.
23. In 5 = 1,60944... 25. In И = 2,39790...
24. In 7 = 1,94591... 26. In 13 = 2,56495...
27. Найти ряд для sc-*, дифференцируя ряд для tg*.
28. Найти ряд для In cos *, интегрируя ряд для tg *.
1
29. Найти приближенную величину интеграла Г sin (*г) dx.
14*

212 ряды гл. vr
л:3 хь
Решение. Заменяя в разложении sin* — * —от + "гт — ••• букву х на
Ol и!
XQ X10
х2, имеем sin (*2) = *2 —^ -f- -^ ... Отсюда
о! 01
1 1
о о
- — ж + twI ~ °>3333—°*0238 + °»0008 = °'3103-
Употребляя ряды, найти приближенно величины следующих интегралов!:
1 1
30. Г cos V"xdx. Отв. 0,764. 36. Г е* cos V*Зс ^/дг.
о о
1 !
31. f e~~x*dx. Отв. 0,747.
о 37. / 1п
32. Г In A + Y^c) dx. Отв. 0,071. / cos x dx
g 38. / -,
^ ^ /4-х
1 *L о
ЗХ Гв~Т^лг. Отв. 0,9226.
о
о 39. fl/2 — cosxdx.
34. /j^^.. Отв. 0,0214. V
0. f
J
40. f **?=*! dx.
J cos*
35. [eVxdx.
о
§90. Ряды Тейлора. Бесконечным рядом Тейлора называется ряд„
расположенный по восходящим степеням разности х — аи имеющий
постоянные коэффициенты, т. е. ряд вида:
Если мы положим
х — а = z,
то тогда ряд Тейлора A) напишется в виде:
и, значит, явится бесконечным рядом Маклорена для не-
независимого переменного г. Мы знаем, что ряд Маклорена B) должен
абсолютно сходиться в некотором промежутке (—р, +р) и должен
расходиться за его границами, так как там его члены не могут

§ 90 РЯДЫ ТЕЙЛОРА 21$
стремиться к нулю. Итак, ряд B) сходится, когда |«г|<р, и рас-
расходится, если | z | > р.
Так как |(г| = |д: — а\, то отсюда имеем предложение: ряд Тей-
Тейлора b0 -f- bx (х — а) -4- Ь2 (х — аJ -+- ... абсолютно сходится вну-
внутри некоторого промежутка (а — р, a~f~p) и расходится за его*
границами, так как его члены там не могут стремиться
к нулю.
Этот промежуток (а — р, а + р), имеющий своим центром (сере-
(серединой) точку а, называется промежутком сходимости ряда Тей-
Тейлора (рис. 75), а про функцию /Ос), являющуюся суммой ряда
Рис. 75
Тейлора в промежутке (а — р. л + р), говорят, что она «разложена
в ряд по степеням х — а» или что «функция f(x) разложена
в ряд Тейлора в точке а». В этом случае равенство:
имеющее силу во всем промежутке (а — р, л-+-р), называют «раз-
ложением функции f(x) в ряд Тейлора в точке а».
Эта терминология тем более уместна, что коэффициенты b0, bu
Ь2, ... ряда Тейлора C) определимы через значения функции /(#)*
и всех ее производных в точке а.
Чтобы видеть это, достаточно обозначить через у (г) сумму ряда
Маклорена B) в его промежутке сходимрсти (—р, +р):
Мы знаем, что в этом случае функция ср(г) есть функция без-
безгранично дифференцируемая по аргументу z и что коэффициенты
#0» ^i> ^2» • • • определяются по формуле Маклорена:
Но после подстановки г = х — а ряд Маклорена D) переписы-
переписывается в виде ряда Тейлора C). Значит, имеем тождество
дифференцируя которое по букве х раз за разом, мы находим:
<р'(х —*) = />(*). ср"( ) /"()Г( 0 ГЧ)
Полагая в F) и в эти
тельно:
<Р(О)=/(а). Т/@)=//
р( ) /(). р( ) /() Г( 0 ГЧ). ...
Полагая в F) и в этих равенствах л; —а, мы получаем оконча
тельно:

'214 ряды тл. vi
Подставляя в равенство E) найденную величину <рл@), мы имеем
правило Тейлора:
*.-*&- <»>
б силу которого ряд Тейлора C) в точке а получает окончательный
вид:
Мы еще раз указываем на .то, что ряд Тейлора сходится в неко-
некотором промежутке (а — р, а-f-p)», имеющем точку а своим цент-
ром, и расходится за его границами. Сумма f(x) ряда Тейлора (I)
безгранично дифференцируема в промежутке сходимости (а — р, д + р),
самый же ряд Тейлора (I) есть правильно сходящийся на всяком
о т р е з к е [с, d\t содержащемся в промежутке сходимости (а—р, я+р).
Число р, служащее половиной длины промежутка сходимости ряда
Тейлора (I), во многих случаях можно узнать по правилу определе-
определения промежутка сходимости ряда Маклорена D), т. е» найдя предел
отношения
111X1 ,—р- = Lf
мы имеем:
Ряд, стоящий в правой части равенства (I), носит название беско-
бесконечного ряда Тейлора, и его не нужно путать с конечной форму-
формулой Тейлора:
выведенной нами в части I, § 145, и названной нами тогда теоре-
теоремой о среднем Тейлора1, ибо число 5, содержащееся в по-
последнем слагаемом конечной формулы Тейлора, есть число среднее,
содержащееся между а и л:, но где именно лежит оно внутри
отрезка [а, х], мы не знаем.
Там мы вместо буквы х писали букву Ь.

§ 90 ряды тейлора 215*
Этот последний член конечной формулы Тейлора называется
дополнительным членом (или, менее правильно, «остаточным чле-
членом») и его обозначают через Rn(x).
Этому дополнительному, члену Rn(x) дают различные формы*
Форма дополнительного члена, написанная в формуле
где 6 есть число промежуточное между а и ху носит название
«остаточного члена в форме Лагранжа».
Для того, чтобы безгранично дифференцируемая функция /(х}
в промежутке (а — р, а + р) была разложима в сходящийся ряд-
Тейлора, в этом промежутке необходимо и достаточно, чтобы
имели lim Rn (x) = 0 для всякого х в промежутке (а — р, а + р).
Иногда бесконечному ряду Тейлора (I) дают другой вид, полагая
а=-х0 и х — а = &. Тогда, подставляя эти значения в ряд Тейлора (I),
мы имеем:
Мы видим, что новая величина функции f(x), получаемая при
замене х0 на xo-{-h, пишется в виде разложения по степеням буквы h.
Замечание. Исследование дополнительного члена Rn(x) в конеч-
конечной формуле1 Тейлора даже для элементарных функций представляется-
затруднительным. Поэтому для разложений в ряды Тейлора всегда
прибегают к принципам теории функции комплексного переменного,
делающим исследование дополнительного член^ Rn (x) совсем не-
ненужным.
ЗАДАЧИ
Для каких величин переменного следующие ряды сходятся?
1. 1 — 2(лг— l)-t-3(jt--lJ — 4(дг— 1)В+ ... Отв. 0<л:<2*
2. 1 + (,_2) +if^2>l + J^)L+(^i2)l+ ... 1<х<8.
3. 1_
5. Br_
6. \—
7. Разложить in х в ряд Гейлора в точке х = 1.

216 ряды гл. vi
Решение. f{x) = In х, /A) = 0;
/'<*)=-j« /'(D==l;
Г(х)- i, ГA) = -1;
/'"W = Jf. /'"(I)-2.
Подставляя в ряд Тейлора A) эти величины, имеем:
(* 1)з
Промежуток сходимости этого ряда Тейлора есть @, 2) (см. § 86).
8. Разложить cos x в точке —.
4
Решение. f(x) = cos дг,
М--CO.*
Следовательно,
31 V2 V 4.
COS X =^ ¦—у.— *"-" г— I X •~~> "-г-1 -~~ _ л. I ДГ —* —г-
Ряд сходится везде, т. е. для всех х,
D. Разложить sin (jc0 + Л) по степеням К
Решение. Дх) = sin x f(xQ) = sin x0
f (х) = cos х /' (лг0) =з cos д:0
/" (л:) =s —. sin м /" (xQ) =s — sin л:0.
Подставляя в формулу (И), находим;
cos xQ t sinx0 .* cos
^/t h
10. Проверить приближенные формулы:
(a) sin x = sin л + cos я • (д: — а)
(b) sin jc =s sin л + cos a • (Л' — л) — sin а • -—-Z
(c) cos д: = cos а — (х — а) • sin а
(d) inClO + Jt)» 2,303+^-
(e) sin (j + •«) = 0,5 + 0,8660*
(О

§ 90 РЯДЫ ТЕЙЛОРА 2Г7
Проверить следующие разложения в ряд Тейлора:
12. sin х = sin a -f- (х — a) cos а —ТГ sin a ¦ "Г cos a +
sina-f
JC X
15. cos (д + x) = cos а — x sin а ^т- cos a + -^r- sin a -f- ...
18. Написать первые четыре члена разложения sin х в ряд Тейлора в точке j *
отв.
/2L т\ 4/ 2!\ 4/ 3!
J
19. Написать первые три члена разложения tg* в ряд Тейлора в точке— -
Отв. tg*=(|) (J
20. Разложить In д: в точке х = 2 с точностью до четырех членов.
21. Разложить е? в точке jc = 1 до пяти членов.
22. Разложить sin х в точке х = ~ до четырех членов.
23. Разложить ctg* в точке л; =з ~ до трех членов.

ГЛАВА VII
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ
§ 91. Арифметика и алгебра комплексных чисел. Из алгебры
шзвестно, что комплексные числа
а + Ы A)
подчиняются всем действиям арифметики и алгебры, которым под-
подчинены действительные числа. Так, в частности, их можно скла-
складывать, вычитать, перемножать и делить. Во всех
этих выкладках нужно обращаться с буквой i так, как если бы
она была действительным числом, но в окончательном резуль-
результате никогда не нужно забывать заменять квадрат буквы i, i2,
через отрицательную единицу —1, т, е. везде в производимых
выкладках и в окончательном результате полагать
Р = -1. B)
Так, /3 надо заменять через —i, ибо p = i2i = —1./==—г;
далее, /4 надо заменять просто через -f-1, ибо
/* = /2. /2 —(_!)(_!) =+1 И Т. Д.
Число а называется действительной частью комплексного
"числа a -\~bit второе слагаемое Ы называется мнимой частью ком-
комплексного числа; самое же число b называется коэффициентом при
мнимой единице.
Сложение комплексных чисел. На основании сказан-
шого правила* оно производится так:
Окончательно:
(а -Ь W) + {р? + ЬЧ) = (а + а') + (* +- *') /. (О

§ 91 АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 219"
Вычитание комплексных чисел. Применяя сказанное
правило* мы имеем аналогично:
{а + Ы) — {а' + ЬЧ) = а + Ы — ar — ЬЧ = (а — a')-\-(b — b')i.
Окончательно:
(а + bi) — {а' 4- ЬЧ) = (а — а') + (Ь — ft') L (И>
Умножение комплексных чисел. Применяя полностью
сказанное правило, нахолим:
(а 4- bi) • (а' + ЬЧ) =
+ а'Ы — **г= (аа' — bV)
Окончательно:
(а + bi%a'
Несколько сложнее деление комплексных чисел, и для его облег-
облегчения приходится ввести два важные понятия.
A)Сопряженные комплексные числа. Два комплексные
числа называются сопряженными, когда они отличаются только зна-
знаком при /.
Таким образом, комплексные числа
а-{-Ы и а — Ы C>
суть сопряженные.
Сопряженные комплексные числа важны в том отношении,,
что их произведение есть неотрицательное число.
Чтобы убедиться, достаточно положить в формуле (III) произве-
произведения двух комплексных чисел af = a и Ь'= — Ь. Мы получаем,
очевидно:
ибо коэффициент при i оказывается в этом случае нулем.
B) Абсолютная величина комплексного числа, или
модуль. Пусть а-\-Ы—какое-нибудь комплексное число. Абсо-
Абсолютной величиной егоу или модулем его, называется неотрицательное:
число
где радикал всегда берется в арифметическом смысле, т. е..
неотрицательным.
Абсолютная величина, или модуль, комплексного числа а-
обозначается символом |a + W|, так что имеем:
где радикал арифметический.

*220 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ ГЛ. VII
Ясно, что модуль |fl-|~Wj равен нулю тогда и только тогда,
ясогда а = 0 и одновременно # = 0, так что написать \а-\-Ы\ = 0—
это означает написать а = 0 и 6 = 0, т. е. написать а-{-Ы — 0.
Таким образом, модуль комплексного числа тогда и только
тогда обращается в нуль, когда само комплексное число стано-
становится нулем.
Заметим, наконец, что не напрасно и не случайно модуль ком-
комплексного числа а~\-Ы называется абсолютной величиной комплекс-
комплексного числа а-\-Ы и обозначается знаком \a-\-bi\, ибо когда 6 = 0,
тогда комплексное число a-^-bi становится действительным числом а>
и тогда модуль \a-\-bi\ становится равным Л л
| |
т. е. равняется абсолютной величине действительного числа а.
Таким образом, модуль \a-\-bi\ есть понятие более
общее, чем абсолютная велична \а\ действитель-
действительного числа а.
Деление комплексных чисел. Желая найти частное
а Та-*' от Деления двух комплексных чисел a'-\-bri и а-\-Ы%
мы умножаем числитель и знаменатель написанной дроби на ком-
комплексное число а — Ы, сопряженное знаменателю. Заранее должны
оговориться, что на нуль делить нельзя и что поэтому знамена-
знаменатель а-\-Ы заранее предполагается отличным от нуля; это
-означает, что его модуль |a-j-^| =rfаг-\-Ьг есть число сущест-
существенно положительное, т. е. не равное нулю.
Имеем выкладки:
'l _ (a' + b'i)(a — bt) _ (ааг + ЬУ) + (аУ — а'ЬI
Окончательно:
a + bi
'l _aa'+bb' аЬ'-а'Ъ
Формула (IV) показывает, что отношение двух комплексных чисел
•есть комплексное число, если только знаменатель дроби не есть
нуль. Деление же на нуль невозможно так же, как и в случае
действительных чисел.
Общее заключение из формул (I), (II), (III) и (IV): все
четыре действия арифметики, проделанные над комплексными числами,
дают в результате опять комплексное число, могущее оказаться,
в частном случае, и действительным.
Из того, что во время выкладок позволено обращаться с мнимой
единицей / как с действительным переменным, заменяя
только всюду, по дороге и в окончательном результате, I2 через —1,
следует, что все законы арифметики и алгебры распространяются

92
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН
221
полностью на комплексные числа. В частности, произведение ком-
комплексных чисел а • р • f • • • V* обращается в нуль тогда и только
тогда, когда хотя бы один из множителей является ну-
нулем.
Заметим шнюнец, что из формул (I), (И), (III) и (IV) вытекает
важное следствие: если в сумме, разности, произведении и част-
частном комплексных чисел заменить каждое комплексное число
ему сопряженным, то результаты явятся также сопряжен-
сопряженными.
Значит, в каждом соотношении между комплекс-
комплексными числами, состоящем только из комбинации
четырех действий арифметики, всегда можно заме-
заменить i на —/.
§ 92. Геометрическое изображение комплексных величин.
Мы знаем, что всякое действительное число а изобразимо
в виде точки М, лежащей на прямой линии, и что, обратно,
О
м
а
Рис. 76
всякая такая точка М изображает некоторое действительное число а,
называемое абсциссой тЬчки М (рис. 76). Абсцисса точки М есть
отвлеченное действительное число, выражающее длину направленного
отрезка ОМ, измеренного единицей мас-
масштаба.
Аналогично, всякое комплексное число
а-\-Ы изобразимо в виде точки М(а, Ь)
плоскости, имеющей абсциссой и орди-
ординатой действительные числа а и Ъ, и
обратно: всякая точка М плоскости,
имеющая абсциссой действительное число а
и ординатой действительное число Ъ, слу-
служит изобраэнением комплексного числа
a + ?i (рис. 77).
По аналогии с предыдущим, это ком-
комплексное число а-\-Ы называется аффик-
аффиксом точки, М. Таким образом; всякое комплексное число а-{-Ы
<есть аффикс единственной вполне определенной точки Ж, лежащей на
плоскости XOY, и всякая точка М{а, Ь) этой плоскости имеет своим
аффиксом комплексное число a-\-bL
Если точка М лежит на горизонтальной координатной оси ОХ,
то аффикс такой точки М есть действительное число а, потому что
в этом случае Ъ = 0. Поэтому ось абсцисс ОХ носит название оси
)
/V,
0
f
1
а
м
ъ
р
Рис. 77

222 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ ГЛ. VII
действительных чисел или сокращенно: действительная ось.
Аналогично, когда точка М лежит на вертикальной координатной
оси OY, аффикс такой точки М есть чисто* мнимое число W, потому
что в этом случае я = 0. Поэтому ось ординат OY носит название
оси мнимых чисел или сокращенно (но неправильно): мнимая ось.
%/ Точка М оси ординат О К, находящаяся
выше начала О и отстоящая от него на
единицу масштаба 1, имеет своим аффик-
аффиксом мнимую единицу /. Аффикс начала О
есть нуль.
Если мы соединим точку М с нача-
началом О прямолинейным отрезком, то по-
получим вектор ОМ, направленный из на-
—-= ^ X чала О в рассматриваемую точку М
* Г (рис. 78).
рис# 7Й Этот вектор ОМ также хо-
хорошо может служить для геометри-
геометрического изображения комплексного числа а-\~Ы, как и его ко-
конец М.
Учащийся заметит, что и действительное число также, собственно»
изображалось двумя способами: и точкой М (см. рис. 76), и направ-
направленным отрезком (т. е. вектором) ОМ. Если действительное
число а было положительным, точка М находилась направо от
начала О, и вектор ОМ,, лежащий на оси ОХ* был направлен в поло-
положительную сторону оси абсцисс; если же число а было отрицатель-
отрицательным, точка М находилась налево от начала О, и вектор ОМ, лежащий
на оси ОХ, был направлен в отрицательную сторону.
Абсолютной величиной \а\ действительного числа а являлось рас-
расстояние точки М до начала О, оцениваемое всегда положительно,
т. е. длина вектора ОМ.
В случае же комплексного числа а-\-Ы вектор ОМ уже не лежит
на оси абсцисс ОХ, но направлен по плоскости. Его длину мы обо-
обозначим через г, а его наклон к положительной части оси ОХ обо-
обозначим через ср- Из прямоугольного треугольника ОРМ мы имеем
известные прямые формулы преобразования прямоугольных коорди-
координат a, b в полярные г, ср:
a==rcoscp» ft = rsincp F)
и обратные формулы перехода от полярных координат г, ср к пря-
прямоугольным а, Ь:
G)
Так как функция arctg;t есть многозначная, то надо условиться
в оценке угла ср. Угол ср отсчитывается всегда в положительном направ-

§ 92 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН 223
лении (против стрелки часов), т. е. вращением положитель-
положительной части, оси ОХ до положения вектора ОМ. Если этот угол есть ср,
то остальные значения будут: <р + 2тс, ср—(—4тс и т. д., когда вектор ОМ
проходится многократным непрерывным вращением положительной
части оси ОХ против стрелки часов, и ср — 2тс, ср — 4тс и т^ д., когда
вектор ОМ проходится многократно вращением положительной части
оси ОХ по стрелке часов. Угол ср называется аргументом комплекс-
комплексного числа а-\-Ы.
Что же касается длины г вектора ОМ, то первая из формул G)
доказывает, что это есть модуль комплексного числа а + й/, т. е.
имеем:
г. (8)
Равенство (8) не только замечательно тем, что в силу него модуль
комплексного числа является естественным обобщением понятия абсо-
абсолютной величины действительного числа, но еще и тем, что из него
следует ряд теорем о модуле. Чтобы видеть это, укажем сначала
геометрический смысл четырех действий арифметики над ком-
комплексными числами.
Сложение* По формуле (I) § 91 имеем:
Нанесем на плоскости ХО Y комплексные слагаемые a-\-bi и af -\-b'i
ъ виде векторов ОМ и ОМ'. Координаты точки М суть at b
и координаты точки Мг суть а', Ь'
<рис. 79).
Если мы с векторами ОМ и ОМ'
-будем обращаться так, как в механике
обращаются с силами, т. е. будем скла-
складывать и вычитать векторы по правилу
параллелограмма, то для того, чтобы
найти сумму векторов ОМ и ОМ', мы
должны приставить к концу М первого
вектора ОМ вектор MNt равный век-
вектору ОМ'. Тогда вектор ON и есть
геометрическая сумма векторов ОМ Рис. 79
и ОМ'.
Но ясно, что ОР' = МК = PL, PM^LK и P'M'=KN. Значит,
OL — a-\-a' и LN~b-\-b\ Следовательно, результирующий век-
вектор ON, равный диагонали параллелограмма OMNM'y построенного
на данных вектора ОМ и ОМ\ и является геометрическим образом
суммы комплексных чисел.
Таким образом, чтобы иметь сумму двух комплексных чисел
а-\-Ы и а'-j-b'i, изображенных в виде двух векторов, надо гео-
геометрически сложить эти векторы по закону параллелограмма

224
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ
ГЛ. VII
и тогда его диагональ есть вектор, изображающий сумму
(\b) + (' + b')
Ясно, что этот закон распространяется на суммы какого угодно
конечного числа комплексных чисел:
Если каждое слагаемое изобразить в виде вектора и приставить,
последовательно, к концу каждого вектора начальную точку следую-
следующего, как показано на рисунке 80, то мы, приставив последний
вектор a-\-bf"i% придем к точке 5,
такой, что ее аффиксом и будет
сумма данных комплексных чисел.
В самом деле, результирующий век-
вектор 05 имеет, очевидно, проекцией
на ось ОХ сумму а-\-а! -\-а" -\-а!"
проекций данных векторов на
эту ось и проекцией на ось OY
сумму b + V + Ъ" + Ъм их проекций
на OY.
А так как прямолинейный путь 05,
очевидно, короче ломаного пути
ОМ, MN, NP, PS, составленного
из прямолинейных звеньев ОМ, MN,
NP, PS, то
модуль суммы комплексных чисел меньше суммы их модулей.
Если, следовательно, данные комплексные числа суть а, р, f • &f
то имеем неравенство:
причем равенство осуществляется лишь тогда, когда векторы а, р, т» 8
лежат на одной прямой, проходящей через начало О, и когда они
направлены все в одну сторону, ибо тогда * отрезок 05 равен сумме
отрезков ОМ, MN. NPt PS.
Формула (9) еще раз показывает, что модуль |a-|-?i| комплекс-
комплексного числа а-(-Йи абсолютная величина \а\ действительного числа а
подчинены одним и тем же законам.
Вычитание. Пусть <x = a + W и а'ггга' + У/. Согласно фор-
формуле (II) § 91, мы имеем:
Рис. 80
а — а' = (а —
— V)t.
Если комплексное число а изображено вектором ОМ (рис. 81)
и число c/f — вектором ОМ', то координаты точки М суть a, b
и координаты точки М/ суть а\ Ь\ Тогда ясно, что Р'Р = а — а'

§ 92 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН 225
и KM — b — br. Значит, замыкающий вектор М'М и есть вектор,
изображающий комплексное число {а—#')-)-(?—b')L
Таким образом: разность а — а' двух комплексных чисел а и а'
изображается в виде вектора, имеющего начальной точкой конец
вычитаемого а' и конечной точкой конец уменьшаемого а.
Так как в треугольнике ОМ' Ж сторона МГМ имеет длину ббль-
шую, чем разность длин двух других его сторон, то отсюда заклю-
заключаем, что
У
A0)
или
модуль разности двух комплекс-
комплексных чисел не меньше разности их мо-
модулей.
Равенство возможно лишь тогда, когда
векторы а и а' лежат на одной прямой,
проходящей через О, и направлены в одну
сторону.
Формула A0) аналогична формуле
| a — а' | ^ | а | — | а' | для абсолютных ве-
величин |а|, |а'| двух действительных чи-
чисел а и а!'.
Для оставшихся двух действий: умножения и деления, необходимо
рассмотреть сначала тригонометрическую форму комплексных чисел.
Пусть комплексное число а = а-\-Ы имеет г своим модулем
и ср своим аргументом. Из формул
р> р
Рис. 81
мы получаем:
a = г (cos ср -)- i sin cp).
F)
(И)
Это и есть тригонометрическая функция комплексного числа.
Умножение. Пусть
ч
a == г (cos ср + / sin ср) и а! = г' (cos ср' -f- i sin cp').
Составим произведение:
aa' = rrr (cos ср + ^ sin ср) (cos ср' + / sin cp') =
= rrr [(cos ср cos <р' — sin ср sin ср') + i (cos ср sin ср' -\- sin ср cos ср')].
Значит,
oca' = /-r'[cos(cp + cp') + /sin(cp + cp')]. A2)
Из формулы этой следует, что гг' является модулем произведе-
произведения aa', а 9 + ?' его аргументом.
15 Интегральное исчисление

226 'комплексные числа, переменные, функции гл. vii
Таким образом, мы заключаем:
модуль произведения двух комплексных чисел а и а' равен
произведению их модулей:
|аа'| = 1а|.|а'| A3)
И
аргумент произведения двух комплексных чисел а и а' равен
сумме их аргументов:
arg аа' == arg а + arg а', A4)
где знаком arg(a + 6i) обозначается аргумент комплексного числа
a-\-dit т. е., согласно второй формуле G), arc tg-~.
Формулы A3) и A4) распространяются на произведение не только
дву.х, но и трех, четырех и т. д. комплексных чисел. В самом
деле: .
^ | = I а | • | а'а^аГ | = | а 1 - |лХ I • I ^a/ir 1 = I«I • I«'1 • I «^ I • I«"" I
arg (aa'aV) = arg а -f- arg (а'аV") = arg а + arg a' -f- arg (aY;/) =
= arg a -j- arg a! -f- arg a" -|- arg a'".
В частности, если все множители равны между собой, мы имеем:
arg (ап) = п arg а.
Следовательно, если а = г (cos cp -f- i sin cp), то имеем так называемую
формулу Моавра:
[г (cos cp -f- i sin v)]n = гл (cos щ-\-1 sin дер). A5)
Формула A5) дает правило возвышения комплексного
числа в целую положительную степень.
п
Чтобы получить правило извлечения корня ]/а из данного ком-
комплексного числа а (неравного нулю), где показатель п есть целый
п
положительный, мы пишем равенство р = у а, где комплексное число
а, — г (cos cp -f- / sin cp) нам дано, а комплексное число р = р (cos б ~|-
п
+ /sinO) ищется. Возводя в n-ю степень обе части равенства р = |/а,
мы находим рл = а, и, по формуле Моавра,
рп (cos пЬ +1 sin пб) = г (cos cp -J— / sin cp). A б)

§ 92
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН
227
Уравнение A6) выражает равенство двух комплексных чисел,
причем оба они написаны в тригонометрической форме. Поэтому
модули этих чисел должны быть равны:
?n = rf A7)
а аргументы могут отличаться лишь ria целое число окружностей, т. е.
пв — <р==2тс&, A8)
где k — целое число.
Уравнения A7) и A8) дают решение:
p = yV, где радикал цоложителен,
6 = -?- -| kt где k — целое число.
п ' п
A9)
B0)
Ясно, что здесь целому числу k надо давать лишь значения
& = (), 1, 2, 3 п — 1, ибо дальше получаются аргументы 6,
совпадающие с прежними, с точностью
целого числа окружностей.
Геометрически действие извлечения
п
корня У а из комплексного числа а равно-
равносильно отысканию окружности С pa-
part ™_
диуса р—уг, описанной из начала О,
и нанесению на ней п вершин Ах, Л2„
Лг Ап правильного вписанного
п-угольника, причем первая вершина Л1
имеет
аргументом —,
Рис. 82
другие же —
— • 1, —-| • 2 и т. д., вплоть
до последней вершины Ап (рис. 82). Эти п точек Аг, А2, ..., Ап
п —
и будут всевозможными значениями корня у а из комплексного
числа а. Корень квадратный ]/^а изображается в виде двухугольника
и поэтому имеет лишь два значения.
Деление. Частное
двух комплексных чисел —, данных
а
в тригонометрической форме а = г (cos <р +1 sin ср) и а' = rr (cos 9' ~Н
4-/SUKP'), можно написать в тригонометрической форме ?l = p(cos0 4-
+ i sin 8).
Так как из равенства — = р следует равенство а' == а^, то имеем:
г* (cos 9' + i sin ер') = rp [:os
15*

228 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ ГЛ. VII
Отсюда следует, что г' = гр и <р'— ср — 0 = целому числу окруж-
окружностей = 2тс&, где k — целое число.
Решая эти уравнения относительно неизвестных р и 0, мы нахо-
находим окончательно:
г' й ,
Таким образом, мы заключаем:
модуль частного двух комплексных чисел а' и а равен част-
частному их модулей:
И
аргумент частного двух комплексных чисел а' йа равен раз*
ности их аргументов:
arg (~-) = arg а' — arg а. B2)
Учащийся замечает, что аргументы arg a, arg а', ... ком-
комплексных чисел ведут себя как логарифмы: скла-
складываются при умножении и вычитаются при деле-
делении комплексных чисел.
§ 93. Комплексное переменное. Комплексная величина называется
переменной, если она изменяет, с течением времени, свое численное
значение. Обычно комплексную перемен-
переменную величину обозначают буквой z, при-
причем пишут
A)
где х и у суть действительные перемен-
переменные величины.
Комплексная переменная величина z
геометрически изображается двиэюу-
щейся по плоскости точкой М, аффикс
рис зз которой z — x-{-iy изменяет, с течением
времени, свое значение, вследствие чего
точка М изменяет свое положение, т. е. движется по плоскости,
описывая тот или иной путь (рис. 83).
Так как, с одной стороны, теория пределов для действи-
действительных переменных величин вся построена на неравенстве
\а — х|<8, B)
где а есть предел переменной величины х, и так как, с другой
стороны, для комплексных чисел модуль подчинен тем же самым

§93
КОМПЛЕКСНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ
229
правилам, которым подчинена абсолютная величина для дей-
действительных чисел, то вся теория пределов строится для комплекс-
комплексных чисел точно таким же образом, каким она строилась выше для
действительных чисел.
Более того, ее даже строить не нужно, ибо все правила и тео-
теоремы теории пределов переносятся без изменения на комплексные
числа.
Таким образом,
комплексное число а есть предел комплексной
переменной величины z, если для любого задан-
заданного положительного числа е наступит такой момент1
времени, начиная с которого удовлетворится и бу-
будет всегда впредь оставаться удовлетворенным
неравенство v
|а — *|<в. B*)
Геометрически это означает, что движущаяся по плоскости XOY
точка М, имеющая своим аффиксом комплексную переменную вели-
величину 2, настолько с течением времени приблизится к неподвижной
точке А, которая имеет своим аффиксом постоянное комплексное
число а, что попадет в надлежащий момент времени внутрь круга С
О
ч V
Рис. 84
Рис. 85
радиуса г, описанного из точки А как из центра, и будет впредь
всегда оставаться в нем, никогда не выходя из него. Число же е,
служащее радиусом, может быть назначено сколь угодно малым
(рис. 84).
Следует помнить, что расстояние AM точек А и М есть не что
иное, как модуль разности |а—г\.
Все теоремы теории пределов сохраняются и для комплексных
переменных, в частности и понятие бесконечно малой комплексной
величины Zy как такой, для которой имеем неравенство
И<е. C)
остающееся с некоторого момента всегда удовлетворенным. Значит,
если z есть комплексная бесконечно малая величина, точка M{z),

230
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ
ГЛ. VII
имеющая аффиксом z, с течением времени настолько приблизится
к началу О, Что будет всегда ч оставаться в круге С радиуса s
и центра О (рис. 85).
Приходится лишь добавить несколько слов о комплексных бес-
бесконечно больших величинах.
Комплексная переменная величина z называется бесконечно боль-
большой, когда для нее с некоторого момента будет соблюдаться нера-
неравенство
\z\>R,
D)
где R — любое большое положительное число, заранее указанное.
Геометрически это означает, что точка М (z) движется так, что
с течением времени будет оставаться всегда вне круга С центра Ov
и любого большого радиуса /?, заранее
заданного (рис. 86).
В действительном переменном мы
различали 4~"°° от —°°« В ком-
комплексном переменном такого различия
-делать не нужно, и если точка M(z)
удаляется в бесконечность по какому-
нибудь пути, мы пишем
Рис. 86
не задавая себе вопроса о том, ка-
какого рода эта бесконечность. Следо-
Следовательно, в комплексном перемен-
переменном все бесконечности объединяются
в одну бесконечно удаленную точку, потому что в плоскости
комплексного переменного считают, что имеется только одна беско-
бесконечно удаленная точка, которой мы и достигаем, безгранично уходя
от начала О по любому пути. Поэтому, в комплексном переменном,
плоскость XOY рассматривают как сферу бесконечно большого
радиуса, на которой точкой, диаметрально противоположной началу О,
служит точка оо. Переменная величина — удаляется в* оо, когда z
приближается к началу О, т. е. имеем:
>оо, когда z -> 0.
Таким образом, в комплексном переменном оо рассматривается
как одна точка, и считают, что в нее переходит начало О, когда
мы берем преобразование z* = —, заставляющее переходить вообще
какую-нибудь точку z в точку z*, и обратно.

§95
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
231
Отметим, наконец, что равенство lim z = <z, где z = x-±- yl
я а = а-\-Ы, равносильно двум одновременным действительным равен-
равенствам: Нтл: = д и \\ту — Ь.
§ 94. Перенос теории численных рядов на комплексные числа.
Основанная только на пределах теория численных рядов без
изменения переносится на комплексные числа.
Только вместо промежутка сходимости
— 1 < *-< -+-1 геометрической прогрессии
1+лг + лс24- ... -+-л;л4~ ... приходится
говорить о круге сходимости \ z | < 1 про-
проесть комплексное число: она сходится вну-,
три круга С радиуса 1 и центра О и рас-
расходится всюду на его периферии и за нею
<рис. 87).
Далее, признак Д'Аламбера имеет силу
для рядов их -\- иг + ... 4~ ип ~Ь
— X
Рис. 87
с комплексными членами и„
Ит
если имеем
-= р, то ряд сходится, когда р< 1, расходится при
р > 1 и представляет неопределенность при р = 1.
Наконец, ряд с комплексными членами ах-\-иг-\- ... -\-ип-\- ...
сходится, если сходится ряд модулей его членов | «х | —]— | jx2 | —|— ...
... -(-1 «я | -Ь • • • Такие ряды их •+¦ и2 -f- ... по-прежнему называются
абсолютно сходящимися. Их свойства остаются прежними.
§ 95. Понятие функции комплексного переменного. Когда
имеем две переменные комплексные величины w — u-\-ivnz = x-\-iy,
связанные между собой тем условием, что при
постоянстве z сохраняет постоянное значение
и w, а при изменении z изменяется идо, тогда перемен-
переменную величину w называют зависимой переменной или функцией
от z и пишут
w=f(z). A)
Переменное z в этом случае называется независимым пере-
переменным.
Функции у = f (x) действительного переменного задаются обычно:
или на всей оси ОХ, или на отрезке, или в промежутке. Аналогично,
функции <w = f (z) комплексного переменного задаются: или на всей
плоскости комплексного переменного, или внутри какой-нибудь
замкнутой линии С, включая контур, или только внутри С, самый
контур исключается при этом (рис. 88),
Обычно кривые берутся имеющими непрерывно перемещающуюся
по ним касательную прямую (так называемые «гладкие кривые») или
контуры, состоящие из конечного числа гладких дуг («криволинейные
многоугольники»).

232
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ
ГЛ. VII
В комплексном переменном нельзя упускать из вида того важного
обстоятельства, что мы не можем здесь иметь цельного
геометрического образа функции w — f(z)f но нам до-
доступны лишь его разрозненные части. Причина этого заключается
о
V
0
/
f
X
\Vf№>
р
Рис.
Рис. 89
в следующем: в действительном переменном цельным геометрическим
образом функции y=zf(x) является кривая линия y — f(x), начер-
начерченная на плоскости XOY, (рис. 89>. Она служит объединяющим
синтезом представления двух разрозненных осей ОХ и OY (рис. 90),
по которым движутся точки М(х) и N(y)t когда изменяется незави-
независимое переменное х и когда вследствие уравнения у=
О
¦2-х
Рис. 90
должно изменяться и зависимое переменное у. Объединяя эти две
разрозненные оси в имеющемся у нас представлении пло-
плоскости, мы получаем цельный образ кривой (рис. 89), уже совер-
совершенно не зависящий от времени и вполне характеризующий дан-
данную функцию у = / (jc).
В комплексном же переменном, хотя и имеем дело с одной функ-
функцией w = f (z), но здесь у нас уже четыре действительные перемен-
переменные, ибо мы имеем w^u + iv и 2 = x-)-iy. Поэтому для геомет-
геометрического изображения нам нужны четыре действительные оси ОХ%
OYt OU и OV, т. е. необходимо пространство четырех измерений.
А так как мы не имеем непосредственного представления такого
пространства, то нам недоступен и синтез четырех указанных осей,
и, значит, мы не имеем геометрического цельного образа функции
w~fB) комплексного переменного. Вместо этого нам приходится
довольствоваться двумя разрозненными плоскостями X0Y и UOV,

§ 96 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 233
причем на первой из них изображается изменение независимого пере-
переменного z, а на второй—изменение зависимого переменного w (рис. 91).
и
" О
Рис. 91
§ 96. Непрерывность функции комплексного переменного*
Непрерывность эта определяется таким же образом, как и в действи-
действительном переменном. Функция w~f(z) называется непрерывной
в точке z0, если будет удовлетворено неравенство
\f(z)-f(zQ)\<e (I)
всякий раз, как удовлетворяется неравенство
I z z I < 7], (II)
где положительное е произвольно задается, а положительное ч\ надле-
надлежащим образом подбирается для заданного е.
V
О
-и-
о
Рис. 92
Геометрически это означает, что точка w, где w = f(z)t пло-
плоскости зависимого переменного остается в круге Г радиуса е, описан-
описанном из неподвижной точки wQi Щ — /(г0), как из центра, когда
точка г остается в круге С радиуса tj, описанном из точки zQ как
из центра (рис, 92).

234
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ
ГЛ. VII
Приращение Lw функции w=f(z) определяется так же, как и.
раньше, т. е. равенством
(I)
где Дя — Ал: -\- i Ly есть приращение независимого переменного «г»
a Lw = Аи -\-ibkV есть приращение функции.
Геометрически, приращение Lz есть вектор, исходящий иа
точки z и кончающийся в (близкой) точке z-\-kz (рис. 93). Не-
Непрерывность функции f(z) в точке z означает, что приращение
функции kw=zf(z-\-kz)—/Сг). делается бесконечно малым, когда
О
о
Рис. 93
Рис. 94
приращение Az независимого переменного z бесконечно мало, ибо
неравенство (I) переписывается в виде
а неравенство (II) переписывается в виде
|Д2|<7], (II*)
когда мы пишем начальную точку z0 просто в виде z, а близкую
к z0 точку z в виде z-\-Lz,^
Все теоремы о непрерывности, поэтому, остаются в силе,
в частности, теоремы о равномерно сходящихся рядах чьепре- ,
рывных функций ul(z)-\-u2(z)~\- ... +un(z)-\- ..., а именно;
если этот-ряд составлен из функций комплексного переменного z,
непрерывных внутри замкнутого контура С (рис. 94), включая его
периферию, и если этот ряд равномерно сходится внутри С, со
включением самого контура С, тогда сумма f(z) этого ряда есть
непрерывная функция внутри С cq включением самого С.
§ 97. Производная и моногенность. Определение производ-
производной функции комплексного переменного остается прежним.
Мы говорим, что функция w = f(z) комплексного переменного
z имеет производную в точке 2, если отношение
Lz)—f(z)
Az

§ 98 СОХРАНЕНИЕ ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 235
стремится к вполне определенному единственному пределу,
когда приращение Lz независимого переменного стремится
к нулю независимо от того пути, по которому kz при-
приближается к нулю.
Когда функция f(z) имеет производную в какой-нибудь точке z0,
тогда функцию f{z) называют моногенной в точке zOi а саму про-
производную продолжают обозначать обычным образом через /' (z0).
Таким образом, если рассматриваемая функция моногенна в точке z,
мы пишем:
/(»+у-/(^ГD (П
Ясно, что моногенная функция в точке z автоматически является
непрерывной в этой точке, ибо написанное в числителе прираще-
приращение f(z-{-&z)—f(z) функции обязано быть бесконечно малым,
когда Az->0.
Функция /B), моногенная в каждой точке z, лежащей внутри
замкнутого контура С, называется моногенной внутри С.
§ 98. Сохранение формул дифференциального исчисления.
Все теоремы о дифференцировании функций и, что важнее всего,
все формулы дифференцирования алгебраических выраже-
выражений (часть I, гл. VII, § 57) остаются в полной сохранности, будучи
перенесенными на функции комплексного переменного. В частности,
остаются в прежней силе формулы производной суммы, разности,
произведения, частного, функции от функции и обратной функции.
По-прежнему производная постоянной равна нулю и производная
независимого переменного z по нему самому равна 1.
Отсюда вытекают сразу же весьма важные следствия.
1. Всякий многочлен P(z), Р(;г) —ao-f~0i2 + ... -\-anzn, есть
моногенная функция в каждой конечной точке z плоскости.
P(z)
2. Всякая рациональная функция jjj^*
есть моногенная функция всюду, кроме корней уравнения Q(z) = Ot
в которых моногенности может и не быть.
3. Всякая алгебраическая функция w(z), определенная уравне-
уравнением P{zt те>) —0, есть моногенная всюду, кроме конечного числа
точек. Здесь Р (z, w) — многочлен от z и w.
Таким образом, имеется бесчисленное множество моногенных
функций от 2, но все они алгебраические. Чтобы иметь
трансцендентную моногенную функцию, необходимо рассмотрение
степенных рядов.

236
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ
ГЛ. VII
§ 99. Степенные ряды. Коэффициенты степенного ряда
суть, вообще, комплексные числа и z— комплексное переменное.
Для степенных рядов с комплексным независимым переменным г
сохраняется доказательство теоремы Абеля (§ 80), которая поэтому
получает такую формулировку:
если степенной ряд A) сходится в какой-либо точке z0, то
он будет сходящимся с силой геометрической прогрессии внутри
всякого круга, имеющего своим центром О, а радиусом \zo\— е,
где г сколь угодно малая фиксированная величина. Если же-
степенной ряд A) расходится в точке zQ, он будет расходя-
расходящимся всюду вне круга \z\^\zo\, ибо его члены вне этого
круга не могут стремиться к нулю (рис. 95).
\/
Рис. 95
Рис. 96
Из этой теоремы вытекает как следствие:
для всякого степенного ряда A) имеется такой круг С центра О
и радиуса р, что внутри него степенной ряд будет всюду схо-
сходящимся, а вне его всюду расходящимся.
Этот круг С называется кругом сходимости степенного ряда A).
На самой окружности сходимости С поведение степенного ряда
неопределенно, ибо она (окружность) может срдержать как точки
сходимости, так и точки расходимости.
Из того факта, что степенной ряд A) равномерно сходится и
на периферии всякого круга С*, концентрического кругу сходи-
сходимости С и радиуса р* (рис. 96), меньшего, чем радиус сходи-
сходимости р, следует непрерывность суммы f(z) степенного ряда:
..+«„*«+... B)
внутри круга сходимости С.

§99
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
237
Но гораздо более важной является первая (прямая) тео-
теорема Коти. Сумма f(z) степенного ряда моногенна всюду
внутри круга сходимости С этого
степенного ряда.
Доказательство.- Пусть сте-
степенной ряд B) имеет радиус сходи-
сходимости р, р > 0. Круг сходимости С
ряда B) имеет центром О и радиу-
радиусом р (рис. 97). Пусть г' есть какая-
нибудь фиксированная точка внутри
этого круга. Тогда очевидно, что имеем
| z | < р. Обозначив модуль комплекс-
комплексного числа z через г, | z | — г, мы по-
получим г < р. Поэтому к числу г можно
прибавить столь малое положитель-
положительное 8, 8 >» 0, чтобы мы продолжали
иметь неравенство г + 8<р. Так как точки г и г + 8 находятся
Рис. 97
внутри круга сходимости С, то ряды с положительными членами
Я=0
2
л=0
сходятся. Вычитая из второго ряда первый, мы имеем сходящийся
ряд с положительными членами
л=о
Разделив на наше фиксированное положительное 8, мы имеез«
по-прежнему сходящийся ряд с положительными членами
~- Гп
который можно переписать в виде:
оо
2|aJ.{nr«-t+ ^=-^«-25+ ... +8»-»}. C)
0
Если мы теперь составим выражение ^- f » т<> оно на-
напишется в виде сходящегося ряда:
f
/1=1

238 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ ГЛ. VII
который можно переписать в виде:
оо
21Q" {
hz
пгП~1+п (" 72 Х) г"~2 Аг + ••• +(Мп-1}. D)
Сравнивая ряды C) и D)» мы замечаем, что, в силу равен-
равенства |z| = r и когда Lz, стремясь к нулю, удовлетворит неравен-
неравенству |Д.г|<В, ряд D) есть правильно сходящийся при фиксирован-
фиксированном z и при Lzt стремящемся к нулю. В самом деле, при | Д-г | < В
ряд D) имеет своей мажорантой численный ряд C) с положитель-
положительными неизменяющимися членами. Поэтому ряд D) есть равномерно
сходящийся, когда Дг—>0, и изображает непрерывную функцию
от приращения Дг, имеющую предельной величиной при Д<г->0
сходящийся ряд
Поэтому, заставляя Lz стремиться к нулю по любому пути, мы
видим, что сумма ряда D), т. е. отношение z) — f\2) t стре-
стремится к вполне определенному пределу, каковым является сумма
оо
абсолютно сходящегося ряда ^jnanzn~~x. Следовательно, f(z) есть
моногенная функция в точке z, и при этом мы имеем равенство
оо
f'(z)=J!lnanz*-\ E)
говорящее о моногенности сумм степенных рядов в круге их сходи-
сходимости и о возможности . их там почленно дифференцировать,
ч. т. д.
Эта важная теорема Коши служит источником образования бес-
бесчисленного множества новых и новых моногенных функций *.
1 Получать моногенные функции вовсе не столь просто чи легко, как
это кажется на первый взгляд. Начав образовывать какую-нибудь функ-
функцию / (z) не оперативным способом над самим независимым перемен-
переменным z, а при помощи специальных условий и соглашений (как это обычно
делают, определяя функции лействительного переменного j (лг)], мы чаще
всего попадаем на немоногенные функции. Например, переменная
величина w = х—iy есть, очевидно, непрерывная функция комплексного
переменного z~x-[-iyy но она немоногенна ни в какой точке z. Чтобы
получить моногенную функцию, должны быть соблюдены многие усло-
условия. Поэтому-то первая (прямая) теорема Коши и имеет такую важность,
являясь надежным способом получать только моногенные функции.

§99
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
239
Но еще более важное значение имеет вторая {обратная) теорема
Коши> смысл которой тот, что этим способом можно получить все
моногенные функции, не пропустив ни одной из них.
Точная формулировка этой важнейшей из всех теорем следующая.
Вторая {обратная) теорема Коти. Всякая функция f{z).
моногенная в каждой точке z, лежащей внутри круга Г ра-
радиуса R с центром «г = 0, есть сумма степенного ряда
ao-\-axz-\~:a2z2-{~ ,.. -\-anzn-\- ..., заведомо сходящегося внутри
круга Г (рис. 98).
Эта теорема — одна из самых важных в математическом анализе
и ее следствия — неисчислимы. Но самое доказательство этой тео-
теоремы в настоящее время еще не упрощено в такой мере, чтобы его
Рис. 98
Рис. 99
можно было изложить в нашей книге» Поэтому мы ограничиваемся
здесь доказательствами лишь непосредственных ее следствий.
Следствие I. Имеется тождество между, с одной
стороны, функциями f{z), моногенными внутри круга Г
с центром z — a а радиусом Ry и, с другой стороны, функ-
функциями, разложимыми в сходящиеся в Ьтом круге степенные ряды
F)
G)
Доказательство. Степенной ряд
bo + btiz — а)-\-Ьг{г — a
получает вид ряда:
когда делаем замену переменного z переменным С посредством фор-
формулы z — д = С (рис. 99). Эта формула показывает, что переменный

240 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ ГЛ. VII
вектор ОМ есть сумма постоянного вектора ОЛ и переменного век-
вектора AM, причем аффиксом точки М служит z и аффиксом
точки А — постоянное комплексное число я. Поэтому новое ком-
комплексное переменное С изображается вектором AM. Так как степен-
степенной ряд G) -имеет определенный круг сходимости С радиуса р и
центра Л, то первоначальный степенной ряд F) сходится внутри С
и расходится снаружи С. Радиус р есть радиус сходимости ряда F).
В силу первой (прямой) теоремы Коши, сумма Ф(С) степен-
степенного ряда G):
Ф(С) = *о + »^Ч-^2+ ... +*«*¦+ •¦• (П
есть моногенная функция относительно С внутри круга сходимо-
сходимости С, как имеющая комплексную производную по С, Ф'(?)— !,, .
Переходом на старое комплексное переменное С = z — а мы получаем
функцию /(?) = ФB — а) комплексного переменного zt являющуюся
суммой степенного ряда F):
*_„)«4- ... F*)
внутри круга сходимости С. И так как по теореме дифференциро-
дифференцирования функции от функции мы имеем:
то отсюда мы заключаем, что f(z) моногенна по z внутри круга
сходимости С.
Мы доказали прямое предложение, а именно: если функ-
функция f(z) служит суммой степенного ряда F) вну-
внутри его круга сходимости С, то тогда /(г) есть моно-
генная функция по букве z внутри этого круга С,
Докажем теперь обратное предложение: если функция f(z)f
данная нам каким-нибудь способом, оказалась
моногенной относительно z внутри некоторого
круга Г радиуса R и центра z = a, то тогда такая
функция f(z) служит суммой степенного ряда (б),
наверное сходящегося внутри Г, а может быть еще
и вне его, т. е. в круге сходимости С большего ра-
радиуса р, р>/?.
В самом деле, если f(z) моногенна относительно z внутри Г,
то, полагая 2 = я-{-С, получим функцию /(fl + C), моногенную
в круге радиуса R и центра С = 0. Отсюда, применив вторую

§ 99 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 241
(обратную) теорему Коши, мы видим, что /(а + ^) есть сумма
степенного ряда G)
наверное сходящегося внутри круга радиуса R и центра С = 0. Зна-
Значит, имеем равенство:
+ ... G**)
Делая в нем ? = 2 — а, мы получаем равенство:
которое мы и хотели иметь.
Заметим, что круг сходимости С ряда F*) не обязан быть
тождественным с кругом Г, но может быть и много больше его.
Примечание. Функции, являющиеся суммами степенных рядов
в их кругах сходимости, называют аналитическими функциями. Таким
образом, следствие 1 говорит о тождественности понятий моногенная
функция и аналитическая функция внутри какого-нибудь круга.
Следствие 2. Моногенная функция f(z) внутри какого-
нибудь замкнутого контура К есть безгранично дифференцируе-
дифференцируемая функция всюду внутри К,
Доказательство. В первой (прямой) теореме Коши было
доказано, что всякий степенной ряд
имеющий кругом сходимости круг С радиуса р и центра 2 = 0,
имеет свою сумму f(z) моногенной внутри С, причем ее производ-
производная /' (г) равна сумме почленно продифференцированного перво-
первоначального ряда, т. е. имеем равенство:
/' (^) = я 1 + 2<*2* -г- Зяз*2 + ... + гшпгп~1 + ... (8)
Таким образом, продифференцированный ряд (8) наверное схо-
сходится внутри круга С и имеет своей суммой f (г). А так как
ряд (8) есть степенной и сходящийся внутри С, то к нему пол-
полностью применимо все только что сказанное. Это означает, что
первая производная f'(z) есть функция, моногенная внутри С, и
что ее производная /" (z) получается почленным дифференцирова-
дифференцированием ряда (8), т. е.
.. +п(п— \)апгп~*-+- .... (9)
причем этот ряд наверное сходится внутри С.
16 Интегральное исчисление

242 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ ГЛ. VII
Повторяя еще раз сделанное рассуждение, мы убеждаемся*
что f'(z) моногенна внутри С и что ее производная f'"(z) полу-
чается почленным дифференцированием ряда (9), что дает
/"'(*) = 1 . 2 . За3+ ... +п(п— l)(n — 2)anz»~*+. .., A0)
причем этот степенной ряд опять сходится внутри круга С, и так
далее безгранично.
Таким образом, сумма f(z) степенного ряда
/B) = ао + ayZ + а222+ :.. +anzn + ...
безгранично дифференцируема внутри его круга сходимости.
Отсюда сразу же вытекает, что сумма f(z) более общего сте-
степенного ряда
№ = Ьъ + Ьх(г — a) + b2(z-a?+...+bn{z-ay... (И)
безгранично дифференцируема внутри его круга сходимости С, ибо,
при помощи подстановки 2 = a-f-?» мы преобразуем предыдущее
равенство в
которое показывает, что функция /(а + ?) безгранично дифференци*
руема по С внутри круга сходимости С. И так как имеем, очевидно*
__ т
X то аналитическая функция f(z}
безгранично дифференцируема по z
Рис. 100 внутри круга сходимости С ее
степенного ряда A1).
Пусть теперь f(z) — моногенная функция внутри некоторого
замкнутого контура К. Пусть z — какая-нибудь точка, лежащая вну-
внутри К. Ее всегда можно покрыть некоторым кружком Г, лежащим
целиком внутри К и имеющим центром постоянную точку а (рис. 100)*
Так как f(z) мояогенна внутри круга Г, то она есть аналитическая
внутри Г и, значит, имеет все производные f (z)> f"(z), f"(г), ...
в точке z. А это и доказывает безграничную дифференцируемость
данной функции f(z) в точке z.

§ 100 РЯД ТЕЙЛОРА И ЕГО КРУГ СХОДИМОСТИ 243
§ 100. Ряд Тейлора и его круг сходимости. Если имеем сте-
степенной ряд
/(*) = 0о+'*!* +0*8*4- •.. +апг*+ .. ., . A)
сходящийся в круге Г радиуса R и центра 2 = 0, то из равен-
равенства A) и из формул (8), (9), A0) предыдущего § следует, что
Д0) = а0, //(О)=Ьа1. /"@) = Ь2-а2, /'"@) = 1 • 2 . 3 ¦ а3> . . .
и вообще
Из этого равенства следует формула Маклорена
un=j^p_ B)
и, следовательно, степенной ряд A) есть ряд Маклорена:
:»+••¦¦ (О
Следовательно,*
моногенная функция f(z) в круге Г радиуса R и центра О
разлагается в степенной ряд единственным образом, ибо его
коэффициенты определяются по формулам Маклорена, т. е.
через величину функции f(z) и всех ее производных f (z), f" (г),
f" (z), ... б одной только точке z — 0. Этот ряд Маклорена
заведомо будет сходящимся в круге Г, а может быть, в кон-
концентрическом круге еще большего радиуса.
Возьмем теперь функцию f(z), моногенную в каком-нибудь
круге Г радиуса R и центра z = a. Мы уже знаем, что такая
функция f(z) разложима в более общий степенной ряд:
C)
заведомо сходящийся в этом круге Г. Делая преобразование пере-
переменного z по формуле B = fl + ^ мы превращаем общий ряд C)
в обычный степенной ряд:
• ФС)=/(а + С) = ^0 + ^С-(-^2+...+^-^..., D)
сходящийся в круге радиуса R и центра С = 0 и являющийся, как
мы видели, рядом Маклорена для функции Ф(^). Это означает, что
его коэффициенты b0, frv b2> ... определяются по формулам
Маклорена.
16i:

244
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ ГЛ. VII
Но так как имеем, очевидно,
Ф'(С) = /'(* +С) = /'(*). Ф"(С)=Г(*)..... Ф<я>(С) =/<«>(*), ¦ ¦.,
то, полагая С = 0, имеем г== а и
Ф(й\0)=/(л)(а). E)
Поэтому имеем для определения коэффициента Ьп формулу
Тейлора
ч/по иное.
(II)
п\
и, следовательно, общий степенной ряд C)
как ряд Тейлора:
(z — ay+...t
заведомо сходящийся внутри круга Г радиуса R и центра
а к заданной функции /(г), моногенной внутри Г.
Теперь спрашивается: каков круг сходимости С ряда Тей-
Тейлора (II)?
Если данная функция f(z) моногенна всюду внутри замкнутого
контура К, то круг Г можно увеличить до размера круга Г'9
еще находящегося внутри контура
У (рис. 101) К, но уже прикасающе-
прикасающегося изнутри к контуру К* Схо-
Сходимость ряда Тейлора (II) внутри
такого круга Гг гарантируется пред-
предположенной моногенностью функ-
функции f(z) внутри Г'. Дальнейшее
увеличение круга П может не со-
состояться, если функция f(z) не до-
допускает моногенного расширения за
ближайшей к кругу Г' частью кон-
контура/С. Но чаще всего круг сходи-
л мости С больше круга Г (рис. 101).
В этом случае функция f(z)t рас-
рассматриваемая раньше только внутри
контура /С, допускает моногенное
расширение так, что прежняя часть функции f(z), находящаяся
внутри контура К, и новая пристроенная часть этой функции, опре-
определенная в выступающей доле круга сходимости С, образуют одно
целое, в смысле моногенности, дающееся суммой ряда Тейлора (II)
в его круге сходимости С,
Рис. 101

§ 100
РЯД ТЕЙЛОРА И ЕГО КРУГ СХОДИМОСТИ
24&
То обстоятельство, что за кругом сходимости С ряд Тейлора
расходится, показывает, что на окружности этого круга имеются
точки, за которые уже невозможно произвести моногенное рас*
ширение рассматриваемой функции f(z). Такие точки называются
особыми для моногенной функции f(z).
Чаще всего моногенная функция f(z) дается так, что о всех ее
особых точках мы заранее имеем отчетливое представление. В этом
случае определить радиус сходимости р ряда Тейлора очень просто:
нужно найти ближайшую особую точку к точке z = a и про-
провести через нее окружность С, имеющую центр в точке z = a\
этот круг С и будет кругом сходимости разложения в ряд
Тейлора в точке z — a рассматриваемой функции f(z).
Это и есть знаменитый принцип функций комплексного пере*
менного, освобождающий нас от ставшего ненужным исследования
остаточного члена ряда Тейлора (см. § 84).
Пример. Функция действительного переменного ^ л-х2' безгРанично
дифференцируема по всей оси ОХ, но разлагается в ряд Маклорена:
1 1
сходящийся лишь в промежутке сходимости (— 1, +1). Указать истинную
причину этого.
Решение. С точки зрения действительного переменного понять это не-
невозможно, ибо функция у-г—§" безгранично дифференцируема вдоль всей
оси ОХ. Но объяснить промежуток сходимости (—1, +1) с точки зрения
комплексного переменного чрезвы-
чрезвычайно легко. Именно, функция ком-
плексного переменного . , 2 не-
моногенна только в двух точках, ко-
которые обращают знаменатель ее
в нуль, т. е. при 1 + z* = 0. Эти
точки суть z\ = -f- / и z2 = — i.
В них функция становится бесконеч-
бесконечностью. Во всех же других точках
она моногенна. Поэтому разложе-
разложение Маклорена: 1 — г2 + г4 — z* +
+ г8 — ..., дающее функцию 1 а,
имеет круг сходимости С, упираю-
упирающийся в особые точки + / и — /.
Если бы мы разлагали эту функцию
в какой-нибудь точке а действитель-
действительной оси, то получили бы ряд Тейлора,
сходящийся в круге С* радиуса р, упирающимся в особые точки + / и — Г
(рис. 102). Поэтому р = У +а2 и интервал сходимости этого ряда^
Тейлора (в действительном переменном) будет (а — Y\-\-a\ a + >^1 -(- <&)-
Предвидеть это можно только при помощи комплексного переменного.
Рис. 102

246 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ ГЛ. VII
§ 101. Показательные и тригонометрические функции с ком-
комплексным переменным* Если функция f(z) комплексного перемен-
переменного разлагается в степенной ряд:
/02) = ao + ai2 + a222+ m e m +anz«-\- . . ., A)
.сходящийся для всякого действительного или комплексного числа z9
тогда такую функцию f(z) называют целой функцией. Целая функ-
функция моногенна во всей плоскости. Простейшими примерами служат
многочлены Р(-г), содержащие только конечное число степеней z,
ибо коэффициенты при остальных степенях суть нули.
Но кроме многочленов имеются еще и другие целые функции,
^содержащие в их степенных рядах бесчисленное множество членов
-с коэффициентами, отличными от нуля. Это так называемые целые
трансцендентные функции.
С такими тремя целыми трансцендентными функциями мы уже
познакомились (см. § 84), ибо разложения:
C)
D)
fL
которые мы тогда рассматривали лишь для действительного пере-
переменного х, оказались сходящимися для всякого действительного х.
Поэтому ряды эти должны быть сходящимися и для каждого ком-
комплексного значения г, когда мы вместо буквы х напишем букву z.
В самом деле, если бы какой-нибудь из этих рядов расходился для
некоторого комплексного значения zQ> то этот ряд был бы наверное
расходящимся за кругом радиуса |<го| и, значит, не мог бы оказаться
сходящимся по всей действительной оси ОХ.
Итак, ряды
'Сходятся для всякого комплексного z и, следовательно, являются
разложениями некоторых трех целых трансцендентных функций,
которые мы будем обозначать по-прежнему соответственно через ezt
и cos z.
Таким образом мы пишем:
I zmzf( I)
n\ ' Sm Z — Zi ^ i} Bл + 1) 1'
-iy^,. E)

§ 101 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 247'
Из этих равенств вытекают все свойства показательных и триго-
тригонометрических функций.
Так, дифференцируя ряды почленно, мы немедленно получаем,,
как и для действительного переменного:
de* у d sin z d cos г
е = CO$Z
Далее, для z* фиксированного, функция ez+z* есть моногенная-
везде от буквы z. Дифференцируя, имеем
Следовательно, функция ez+z* при дифференцировании по
сохраняется, и, значит, вообще, —^~—?-
Разлагая ez+z* в ряд Маклорена, имеем:
/1=0 л = О
Таким образом, мы получили основное свойство функции ez,.
выражаемое равенством
ez+z* = ег • ег\ G)
где z и 2*— два произвольные комплексные числа.
Из равенства E) мы непосредственно имеем:
cos( — z)~ cos 2, sin( — г)— — sin z, (8)
ezi =s cos 2 + / sin 2, e-*4 = cos 2 — / sin 2. (9)
Отсюда, складывая и вычитая равенства (9), мы приходим
к самым основным формулам, впервые открытым Эйлером:
zi
(Ю)
Наконец, если мы положим z = x-\~iy, где хну суть дей-
действительные переменные, то имеем:
ег — е*^1У == в* • № — ех (cos у-\-1 sin у). A i>

'248
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ
ГЛ. VII
Из этой формулы следует, что модуль выражения е\ равен ext
а аргументом служит просто у:
\ez\ =
arg ег = у.
Так как, ех никогда не обращается в нуль ни при каком дей-
действительном jc, то функция ez не обращается нигде в нуль.
Заметим, что из (9) следует, что е2те/=1.
Поэтому
ег _ ег . | _ ez.2ni _ ez+2%i9
Значит, показательная функция ez есть периодическая функция
с чисто мнимым периодом 2ir/.
§ 102. Гиперболические функции. Обычные тригонометрические
функции: синус, косинус, тангенс являются прямолинейными отрез-
отрезками РМУОР и AQ, построенными для окружности (рис. 103), урав-
уравнение которой есть х2-\-у2=1. При этом, угол ср можно измерять
Рис. 103
Рис. 104
<не только дугой AM, но и удвоенной площадью кругового сек-
сектора АОМ, так что, полагая 2 площ. Л0Л4 = ср, мы имеем
РМ=: sin <p, OP — cos <p, ^Q = tgcp.
Аналогично, если вместо окружности х2~\~у2=1 возьмем равно-
равностороннюю гиперболу х2 — з>2=1, то для нее можно провести
такие же прямолинейные отрезки РМ, ОР и AQ (рис. 104), какие
мы проводили раньше для окружности, и можно назвать их соот-
соответственно гиперболическими синусом, косинусом и тангенсом.
При этом за аргумент берут удвоенную площадь гиперболического
сектора АОМ; обозначая этот аргумент через ср, пишут: РМ — sh ср,
OP = chcp и ^Q = thcp.
Нашей целью является получение рядов для sh ср, ch ср и уста-
установление связи с тригонометрическими и показательными функциями
.при помощи мнимостей.

§ 102 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 249
Введя обозначение координат точки М буквами х и у, мы можем
написать равенство:
площ. ЛСШ —площ. РОМ— площ. РАМ.
Но площадь
Площадь же РАМ= Г ydx= \Y^2—* dt, ибо из уравнения
г 1
гиперболы х2 — j/2=l следует, что y = YxZ—1» и надо еще при
этом, во избежание недоразумений, обозначить переменное интегри-
интегрирования не буквой х, но другой буквой, например буквой t.
Итак:
X
, АОМ = ~ xV*2 — 1 — / V^^dt. A)
площ,
Обращаясь теперь к формуле XXI таблицы основных
интегралов (см. § 8), мы видим, что неопределенный интеграл
берется до конца:
f
^^l dx = ?LyW=\ — ~ In(x
Поэтому определенный интеграл равен:
Подставляя найденную величину определенного интеграла в фор-
формулу A), имеем:
площ. АОМ =1'1п (* + ]/>— l),
т. е.
2 площ. ЛСШ = ср = 11
Отсюда следует, что
— cp = ln( -i^—^Win^ — Y~x*^\) = \n(x — y).
Поэтому
= ^ И X V=:?-<P.

250 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ ГЛ. VII
Складывая и вычитая, находим:
и у =
И так как ОР = ch ср и РМ = sh cp, то окончательно получаем:
shcp= 2е , chy==: Y . D)
Что же касается отрезка AQ, то он определяется из пропорции
~|_ = ~—, и так как О А = 1, a AQ = th cp, то имеем:
4**-«-'. E)
Полученные формулы D) и E) выражают гиперболические
функции sh<p, ch cp и th cp через показательные функции при дей-
действительном значении аргумента ср.
Сохраняя те же формулы D) и E) при всяких значениях аргу-
аргумента как действительных, так и комплексных, мы должны на-
написать:
Если мы теперь обратимся к формулам Эйлера [101, A0)], то
.немедленно замечаем, что
^ G)
Можно поэтому сказать, что гиперболический косинус ch г на
действительной оси есть не что иное, как обычный тригономе-
тригонометрический косинус на мнимой оси, а гиперболические синус и
тангенс суть обыкновенные синус и тангенс на мнимой оси, раз-
разделенные на L
Формулы G), выражающие гиперболические функции через обыч-
обычные тригонометрические, позволяют сделать и обратное, т. е.
выразить обычные тригонометрические функции через гиперболиче-
гиперболические. Это важно для того, чтобы превращать всякое соотношение
между обычными тригонометрическими функциями в соотношение
между гиперболическими функциями. Всякая формула тригоно-
тригонометрии круга превращается в формулу тригонометрии гапер*
болы, когда сделают замену cos г через chz и sin z через i$\\z.

§ 102 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 251
Таким образом, например, соотношение sin2 z + cos2 z = 1 пре-
превращается в
Формулы сложения:
sin {z -f- 2*) = sin z cos 2* -f- cos z sin 2*
и
cos B -f- z*) = cos 2 cos 2* — sin 2 sin z*
превращаются в формулы сложения гиперболических функций:
sh (z -(- z*) = sh 2; ch z* -(- ch 2 sh 2*,
Таким же образом получаются формулы:
sh z = г ¦¦¦¦, сп ? =
/l h«
Более интересными являются функции, обратные гиперболиче-
гиперболическим, а именно: argshz, argent и atgth^, благодаря тому, что
они выразимы через логарифмы. Именно, решая уравнения F) отно-
относительно буквы z, мы имеем:
arg sh z = In (z + V& 4- 0. '
—l),
argth2 =ln |/ -j-^j.
Дифференцируя соотношения G) и A1), мы получаем:
, dchz , dihz 1 i
Ch2 Sh2 l
1 ^ arg ch z 1 d arg th z 1
Ряды для разложения sh cp и ch cp по степеням ср получаем из
формулы D), производя разложения е1? и е~ч. Таким образом, по-
получаем:
A3)
Эти ряды сходятся всюду, ибо sh z и ch z суть целые функции.

252
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ
ГЛ. VII
§ 102а. Понятие о конформном отображении. Наиболее естественно
приходят к этому понятию, рассматривая географическую карту какой-ни-
какой-нибудь поверхности S. Мы называем «географической картой» по-
поверхности «S такое ее отображение на плоскость, при котором их точки
соответствуют друг другу взаимно однозначно и взаимно непрерывно.
Наиболее интересными картами являются те, в которых сохранены
углы, т. е. в которых угол, образуемый двумя какими-нибудь пересекающи-
пересекающимися кривыми линиями, начерченными на плоскости, всегда равен углу
между кривыми, соответствующими им на поверхности. В этих условиях
бесконечно малые части на поверхности и на карте подобны друг другу.
Таким именно образом наносятся на бумагу обычные географические карты
земной поверхности: при правильном ее нанесении всякий небольшой уча-
участок суши почти подобен соответствующему изображению его на карте и,
следовательно, у нас на карте нет чувствительного искажения, но имеется
лишь пропорциональное уменьшение, благодаря чему мы имеем возмож-
возможность верно судить об очертаниях участка и взаимном расположении его
элементов.
При точно начерченной карте, сохраняющей углы, чем меньше размеры
рассматриваемого участка поверхности S, тем ближе к истинному подобию
его изображение на карте. Поэтому, вместо того, чтобы сразу дать изобра-
изображение всей поверхности S на карте, предпочитают разбивать S на участки
и изображать на карте каждый из них в отдельности. Так составляется гео-
географический атлас.
Ясно, что если имеем карту какого-нибудь участка поверхности S, то
из этой карты мы можем получить бесконечное множество других таких
карт: для этого достаточно карту D* этого участка поверхности S подвер-
подвергнуть преобразованию, сохраняющему углы, заставив ее перейти в плоскую
область D. Ясно, что в этих условиях область D точно так же окажется
картой рассматриваемого участка поверхности «S.
Для большей точности прибавим, что обе области D* и D являются
внутренностью: первая замкнутой не пересекающей саму себя кривой С*,
лежащей в плоскости UOV, вторая аналогичной замкнутой кривой С.
.лежащей в плоскости X0Y (рис. 105).
Рис. 105
Таким образом, для получения всех карт D заданного участка поверх-
поверхности S достаточно уметь преобразовывать известную нам плоскую об-
область D* в какую-нибудь другую плоскую область D посредством взаимно
непрерывного преобразования, сохраняющего углы.
Такие преобразования плоских областей одна в другую называются
конформными отображениями. Их очень удобно себе представ-
представлять осуществляемыми посредством функций комплексного переменного.

§ 102а понятие о конформном отображении 253
В самом деле, обозначая через w и z две точки, лежащие в облас-
областях D* и D и соответствующие друг другу в конформном отображении, мы
можем аффикс точки w написать в виде комплексного числа и -f- /Ч/, где
и я v суть координаты точки w. Аналогично, аффикс точки z пишем в виде
х -|- iy. Сохраняя для аффиксов те же самые обозначения, как и для самих
точек, мы можем написать:
w =s и + iv;
z = x + iy.
Если теперь комплексное переменное z изменяется и, значит, точка z
начинает двигаться в области Д то соответственная точка w в конформном
отображении тоже приходит в движение и, значит, начинает изменяться
комплексное переменное w. Наоборот, при постоянном z является постоян-
постоянным и w.
Из сказанного следует, что комплексное переменное w является функ-
функцией комплексного переменного z; следовательно, мы можем написать
w~f(z)t A)
где/(г) есть непрерывная функция на области D, включая сюда и
самый контур С, принимающая существенно различные зна-
значения Wi и w2 для всякой пары z\ и <г2 различных значений независимого
переменного zt т. е. мы имеем:
/0*1) ф /Сг2)> если гг ф z2.
Это следует из того, что двум различным точкам области D отвечают
две существенно различные точки области ?>*. Такие функции f(z) назы-
называются однолистными из области D.
В этих условиях ясно, что и переменное z является функцией перемен-
переменного w, т. е. мы имеем:
*«*(»), B)
где функция g (w) есть непрерывная в области ?>*, включая сюда перифе-
периферию С*, и также однолистная в этой области.
Но самым важным при этом является то требование, при котором пре-
преобразование A) дает конформное отображение области D на об-
область ?>*, т. е. сохраняет углы внутри этих областей. Ясно, что преобра-
преобразование B) дает это же самое конформное отображение и что оно полу-
получается решением уравнения A) относительно буквы г.
Лемма 1. Линейная подстановка w = az -j- by а Ф 0, дает конформ-
конформное преобразование плоскости самой в себя с сохранением бесконечно
удаленной точки z = оо.
Доказательство. Общая линейная подстановка w = az-\-Ь полу-
получается применением трех частных линейных подстановок. А именно, напи-
написав постоянный коэффициент а в тригонометрической форме
мы можем разбить подстановку w~az-\~b на три элементарные подста-
подстановки
zl = Rzh C)
w*=z2 + b.)
В самом деле, исключая две вспомогательные буквы z\ и z2 из трех
уравнений C), мы получаем, очевидно, подстановку w — az-\-b.
Но первая элементарная подстановка гл =е1ф >z есть вращение г-пло-
г-плоскости около начала О на постоянный угол Ф, ибо, полагая z = pe^t мы

254
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ПЕРЕМЕННЫЕ, ФУНКЦИИ
ГЛ. VII
имеем zx = ре1 &+ф\ т. е. точка Z\ получается поворотом всей ^-плоскости
около начала О на постоянный угол Ф. А вращение, разумеется, сохраняет
углы в поворачиваемых фигурах (рис. 106).
Рис. 106
Вторая элементарная подстановка г2 = Rzv где R >0 и
есть величина постоянная, есть преобразование подобия в z\-плоскости,
ибо, полагая z\ = p\elb\ мы имеем z2 = Rp\etb\ т. е. точка z{ отодви-
отодвигается от начала О по прямой, соединяющей ее с ним, на пропорциональ-
пропорциональное расстояние Ярг. Сказанное относится к случаю, когда R > 1; если, на-
наоборот, имеем R < 1, тогда точка г\ придвигается к началу О. Из
элементарной геометрии известно, что преобразование подобия изменяет
лишь размеры фигур, оставляя без изменения их форму т. е. углы их ли-
ний.
Третья элементарная по д с т ановка w ~z2-{~b есть проста
перенос всей ^-плоскости как твердого тела, без всякого вращения, харак-
характеризуемый вектором 6, ибо мы имеем w = z2 + b, т. е. точка z2 перено-
й. Такое поступательное дви-
сится в конец вектора Ь, приставленного к ней.
у
жение фигур, разумеется»
сохраняет их размеры и
форму, т.е. сохраняет углы
их линий.
Как следствие сказан-
сказанного вытекает, что об-
общая линейная подстановка
w =s az + by являясь комби-
комбинацией вращения плоскости,
преобразования подобия и
поступательного движения,
сохраняет углы фигур, т. е.
дает конформное преобра-
преобразование.
Лемма 2. Функция
f(z) =з znnpu n > 1 не мо-
жет быть однолистной
в области Д содержащей
начало О.
Доказательство. Пусть начало О лежит внутри кривой С, огра-
ограничивающей область D. Проведем какую-нибудь окружность *\ радиуса R
с центром О, целиком лежащую внутри области D (рис. 107). Разделив
окружность 7 на п равных дуг, мы проводим в точки деления радиусы.
Таким образом, мы получаем п равных круговых секторов. Легко видеть,
что в каждом из них функция w =/(г) однолистна и имеет значения, сплошь
покрывающие в ш-плоскости круг Г, описанный из начала О как из центра
радиусом Rn. Чтобы это доказать, заметим, что когда точка z = pelB вы-
вычерчивает весь сектор, крайние радиусы которого имеют наклоны ? и
Рис. 107
тогда соответствующая точка w = zn = j
заштриховывает

§ 102а понятие о конформном отображении 255
весь круг Г в w-плоскости, потому что длина вектора w изменяется от 0
до Rnt а его наклон от щ до щ + 2%. Таким образом, при пробеге точ-
точкой z круга f точка w пробегает п раз круг Г. Поэтому при п > 1 функ-
функция f(z) не однолистна в области D. * ч. т. д.
Из доказанных лемм следует основное предложение.
Прямая теорема. Если однолистная функция f(z) моногенна всюду
внутри области Д отображение w=f(z) есть конформное.
Доказательство. Пусть в области D функция f(z) однолистна
и моногенна (рис. 105). Мы знаем, что всякая моногенная в области D
«функция f(z) разложима в степенной ряд
-z0)'* + ... +an{z-zQ)n'+...1 D)
сходящийся внутри круга 7» имеющею центром точку zQ и не выходящего
за область D. Здесь коэффициенты oq, alt ... суть постоянные числа, ибо
они зависят только от точки z& причем мы знаем, что
Л6~/(*а> и at** f (зь). E)
Легко видеть, что ни в какой точке г0 области D производная /' (г)
не может обратиться в нуль. Ибо если мы имели f (z0) = 0, то тогда а\ — 0
и, значит, вблизи точки z0 и пренебрегая бесконечно малыми высшего по-
порядка, разложение D) напишется в виде:
w — а0 + ап (z — zo)n, где п < 1. F)
Но по лемме 2 функция F) не может быть однолистной в области Д
содержащей точку Zq. По этой причине не может быть однолистной внутри
D и хама функция f(z), что противоречит предположению.
Итак, во всякой точке zQ области Д мы имеем f (z0) = а^ФО. Поэтому,
вблизи точки zQ и пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, раз*
ложение D) напишется в виде линейной подстановки
w^aQ-\-ax(z — zQ). G)
А в силу леммы 1. она сохраняет углы кривых, пересекающихся в
точке z0. Поэтому отображение w = f(z) должно быть конформным всюду
в области D. ч. т. д.
Обратная теорема. Всякое конформное отображение области D
на область ?)* осуществляется только моногенными однолистными
функциями w=f(z), причем можно подобрать так функцию f(z),
чтобы точка а области D перешла в произвольно выбранную точку а*
области D* и точка b кривой С перешла в произвольно выбранную
точку Ь* кривой С*. При сделанном выборе точек а* и Ь* функция /(г)
определяется единственным образом.
Доказательство этой важной теоремы нельзя дать в элементарном курсе
анализа. Важность теоремы в том, что она вполне отождествляет конфор-
конформные отображения и однолистные моногенные функции.

ГЛАВА VIII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 103. Дифференциальные уравнения. Их порядок и степень.
Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое
содержит производные или дифференциалы неизвестной функции.
С дифференциальными уравнениями мы уже имели дело. Так, из
дифференциального уравнения (см. § 21)
мы нашли, интегрируя,
B)
Далее (там же), проинтегрировав дифференциальное уравнение
мы получили решение
2\2 = 2С. D)
Уравнение A) и C) суть уравнения первого порядка, а B) и D)
их общие решения.
Другим примером является
Это есть дифференциальное уравнение второго порядка, назы-
называющееся так согласно порядку производной.
Вообще, порядком дифференциального уравнения называется
порядок наивысшей производной, содержащейся в нем.
Порядок дифференциального уравнения следует отличать от
его степени: высшая производная может содержаться в диффе-
дифференциальном уравнении в различных степенях: самый большой пока-
показатель степени называется степенью дифференциального уравнения.
Так, дифференциальное уравнение
У2K F)
есть уравнение второго порядка и второй степени.

§ 104 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 257
§ 104. Решение дифференциальных уравнений. Постоянные
интегрирования. Решением или интегралом дифференциального
уравнения называется такое соотношение между переменными вели-
величинами, следствием которого является данное диф-
дифференциальное уравнение. Так, соотношение
y — asmx A)
есть решение дифференциального уравнения
Ибо, дифференцируя дважды соотношение A), имеем:
-0= — a sin*. C)
d1^ v
Подставляя же величину у и -j-у из A) и C) в данное диффе-
дифференциальное уравнение B), мы получаем тождество:
— a sin х -\- a sin х =з 0. D)
Значит, уравнение B) тождественно удовлетворено и притом при
произвольном постоянном а. Точно так же
y — b cos х
является решением уравнения B) при всяком постоянном Ь.
Соотношение же
у = Сх sin х 4- С2 cos х E)
является еще более общим решением дифференциального уравне-
уравнения B), ибо указанные выше решения A) и D) включаются, оче-
очевидно, в это решение E), когда мы даем произвольным постоян-
постоянным Сг и С2 частные численные значения, полагая сперва С^=а,
С2 — 0, а потом Сх — О, C2 = ft.
Произвольные постоянные С{ и С2, содержащиеся в E), назы-
называются постоянными интегрирования. Всякое решение вроде E),
которое содержит столько же произвольных постоянных, сколько
единиц содержится в поряЛке уравнения (в рассматриваемом при-
примере— две), называются общим решением1. Решения, выводимые
1 Доказывается, что общее решение всегда содержит п произвольных
постоянных, когда дифференциальное уравнение есть я-ro порядка. Здесь
и выше имеются в виду лишь независимые друг от друга произвольные
постоянные, число их уже нельзя уменьшить.
17 Интегральное исчисление

258 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
из общего решения путем задания произвольным постоянным опре-
определенных численных значений, называются частными решениями.
На практике частное решение ищется из общего решения не прямым
заданием произвольным постоянным определенных численных зна-
значений, но исходя из тех условий, которым должно
удовлетворить искомое частное решение.
Пример. Общее решение дифференциального уравнения
о A)
есть: у = С\ cos х 4- С% sin x
Найти частное решение, такое, что имеем:
у =» 2 и у' =г — 1, когда х = 0. B)
Решение. Из общего решения
у = Q cos x+ C2 sin х C)
дифференцированием получаем:
у' = — d sin jc + С2 cos *. D)
Учитывая условия B), налагаемые на искомое частное решение у (х),
мы получаем С] = 2 и С2=»—*• Вставляя эти численные значения посто-
постоянных С*! и С2 в общее решение C), мы получаем искомое частное реше-
решение в виде у = 2 cos х — sin x.
Обычно считается, что решение дифференциального уравнения
доведено до конца, когда его удалось получить в виде выражения,
содержащего неопределенные интегралы («квадратуры»), нужды нет,
можно ли их «взять» или нет.
§ 105. Проверка решений дифференциальных уравнений. Прежде
чем приступить к задаче решения дифференциальных уравнений, покажем,
каким образом проверяется найденное или данное решение.
Пример 1. Показать, что
у = Сг х cos In х + С2 х sin In x + x In x A)
есть решение дифференциального уравнения
•*'¦§— *-?r + 2y = *ln*. B)
Решение. Дифференцируя A), мы получим:
$1- = (С2— СО sin Inx + (C2+ Q) cos \nx+ Inx+ 1, C)
<С + С)MCCrf+ D)
dv cfiу
Подставив из A), C) и D) величины yt-j- и ^~- в уравнение B), мы
находим, что уравнение B) тождественно удовлетворено.

§ 105 ПРОВЕРКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 259
Пример 2. Показать, что
¦уз —4* = 0 E)
есть частное решение дифференциального уравнения
*уЧ —1=0. F)
Решение. Дифференцируя E), мы получаем:
У/ —2 = 0,
откуда
Подставив эту величину производной у' в F) и выполнив приведение,
мы находим:
<})'—»¦
т. е.
4л: —у-= 0.
А этот результат тождественно верен в силу равенства E).
ЗАДАЧИ
Проверить следующие решения соответствующих дифференциальных
уравнений.
Дифференциальные уравнения Решения
dx% х dx
2. ^
r dr
^
6-
И. х-%- — y + xVx* — у* =0. arcsin-^ ==C — x.
17*

260ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯГЛ. VIII
13.
14.
15.
16.
%+**=
ds 2ts
dt ' /2-4-
10 sin 3/.
8 sin 2t.
1
1 ~~ t *
Jf S3
2 (sin 2f— sin 30-
2 (l — *) cos 2Л
1
Y ^2 + In t
§ 106. Дифференциальные уравнения первого порядка и пер-
первой степени. Все такие уравнения могут быть написаны в виде
Mdx-\-Ndy = Q, (A)
где М и N суть непрерывные функции букв х и у. Наиболее часто
встречающиеся дифференциальные уравнения этого рода подразде-
подразделяются на следующие четыре типа.
Тип I. Уравнения с отделимыми переменными.
Когда члены дифференциального уравнения можно распределить так,
чтобы оно приняло вид:
f(x)dx + F{y)dy = Q, A)
где f(x) есть непрерывная функция только х, a F (у) есть непре-
непрерывная функция только у, то процесс приведения уравнения к на-
написанной форме называется отделением переменных. Решение та-
такого уравнения получается прямым интегрированием. Так, интегри-
интегрируя A), получаем общее решение:
J/ (х) dx+ J> (у) dy = С, B)
где С — произвольное постоянное.
Уравнения, заданные не в такой простой форме, как A), часто
можно бывает привести к этому виду, пользуясь нижеследующим
правилом отделения переменнщх.
Первый ша'г. Освобождаемся от дробей и, если уравне-
уравнение содержит производные, умножаем его на дифференциал не-
независимого переменного.
Второй шаг. Соединяем в один член все члены, содержа-
содержащие один и тот же дифференциал. Если после этого уравне-
уравнение примет вид
X
где Хи Х2 суть функции только х, a Ylf Y2 — функции только у,
то его можно привести к виду A), разделив на Х2, Yv
Третий шаг. Интегрируем каждую часть отдельно, как
в B).

§ 106 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 261
Пример 1. Решить уравнение
dy 1 + уа
dx A+х*)ху л
Решение. Первый шаг.
Второй шаг.
A + у*) dx — x{\
Чтобы отделить переменные, мы теперь делим на х A -f-•**) О + У2)-
Это дает
ydy
х(\+л*)
Г dx Г xdx Г ydy
J 1с J Т+Ж J Т+7Г-С'
In A + х*) A + у9-) = 2 In X — 2C.
Результат этот можно написать в более сжатом виде, если мы заме-
заменим — 2С через In С, т. е. если мы дадим новый вид произвольному посто-
постоянному. Наше решение тогда становится:
In A + *0 A + У2) == In *3-fin С,
in A + х*) A + У4) = In Cx\
Отв.
Пример 2, Решить уравнение
( dy . п \ dy
а\х ~т— + 2у —лгу--г-.
\ dx l J ) J dx
Решение.
Первый шаг.
ах dy + 2ay dx = xy dy.
Второй шаг.
2 d\()d 0.
Для отделения переменных делим на ху:
2а dx , (а —
= 0.
х • у
Третий шаг.
2а / \~ а I —— / dy = С,
' ,_ Су
2а In х + a In у — у = С, л In ^у == С + у, in jt2y =* \- —.
Переходя от логарифмов к показательным функциям, можем этот ре-
результат написать в форме:
jt-y =.0а Л> или х'*у~еа *еа%

262 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
Наконец, обозначив постоянное еа буквой С, имеем общее решение
в виде
Тип II. Однородные уравнения. Дифференциальное
уравнение
Mdx-\-Ndy = 0 (к)
называется однородным, когда М и N суть однородные функции
от х и у одинаковой степени1. Такие дифференциальные урав-
уравнения всегда можно интегрировать посредством подстановки
y = vx. C)
Эта подстановка приводит к дифференциальному уравнению от-
относительно iV и х9 в котором эти переменные отделимы и которое,
следовательно, можно интегрировать по правилу типа I.
В самом деле/из '(А) мы получаем:
А после подстановки C) имеем в левой части равенства D)
Правая же часть равенства D) становится функцией одного
только v, 'когда сделана подстановка (ЗJ. Поэтому, пользуясь E)
и C), мы получаем из D):
$Z F)
и, значит, переменные х и v легко отделимы.
Пример. Решить уравнение
J dx J dx
Решение,
у2 dx + (л:3 — ху) dy = 0.
1 Какая-нибудь функция от х и у называется однородной относительно
этих переменных, если результат замены х и у количествами \х и \у (где А.
произвольно) приводит к первоначальной функции, умноженной на некото-
некоторую степень буквы X. Эта степень называется степенью рассматриваемой
однородной функции.
М(х,у) M(x%xv) xmM(hv) M(l,v)
2 В самом деле' Щ^У)ГТТЬЫ" *WUv) ^ЩпО' ГАе т~
ЩУ)Ь
степень однородных функций М и N.

§ 106
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
263
Здесь М =* у3, N =я х2 — ху\ оба они однородны и второй степени от-
относительно букв х и у. Таким образом» мы имеем:
dy _ у*
dx ху — х* *
Подставим у =а шг. Результатом подстановки будет:
или
1tvГШ
Чтобы отделить переменные, делим на vx. Это дает:
—t> = С,
Но y = I.
Поэтому общее решение есть у = Сеу *
ЗАДАЧИ
Найти общее решение каждого из следующих дифференциальных урав-
уравнений.
1. A+у)йГдг —(l-^)rfy-O.
2. ху dx + /l —.к* dy = 0.
3. (/^1 — у^~ д^дг ss "(/"l -|- д;2 й?у#
4. /l + y3 rf* = (l — j
7.
8. A+2у)хй?л:+ A
9.
10.
11.
12. jerfy — у dx
13. JC^rfy
14. (x'i — 2ya) Лс + 2*y dy *= 0.
In (л2 + y2) — 2arc tg -^ = С
Cx*

264 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII!
15. (л:2 + У2) dx = 2л:у dy. y2 = x* + Cx.
da \А-Ф C + v
16
dv I
П. У\ —x2dy + Vl — У2 dx = 0.
18. 2л:2у dy = A
26. (Зд: + 4у) dy = Bл: -~ у) dx.
27. (л: + .гу2Lу — 3rfjc = 0.
28. ху dy — A — у2) rfjc =f 0.
29. A+ x)dy — A
В каждой из следующих задач отыскать частное решение, определяе-
определяемое данными численными значениями переменных х и у:
30. — + — =» 0; л: =» 3, у = 4. Отв. д:2 + у2 = 25.
у дг
31. х (х + 2у) dy — у2 tf* = 0; х = 1, у = 1. д:у + у2 == 2jc
32. A + У2)^ —Atyrfy=O, jc=»1, у=0. л:2 —y2='L
33. (x + y)dy + (x — y)dx~Q;x^0, у » 1.
34. Найти уравнение кривой, тангенс наклона которой во всякой точке ра~
у
вен ~— и которая проходит через точку A, 1).
Отв. уа + 2лгУ = 3-
35. Найти уравнение кривой, тангенс наклона которой в каждой' точке ра-
l/"l — у2
вен ¦ t 1 9 ' и которая проходит через начало координат.
1 ~\- хи
Отв. х = -
Тип III. Линейные уравнения. Линейное дифференци-
дифференциальное уравнение первого порядка относительно у имеет вид:
где Р и Q суть непрерывные функции одного л: или же суть по-
постоянные' величины.
Аналогично, уравнение:
? = ./, (С)

§ 106 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 265
где Н и J суть непрерывные функции одного у или константы,
есть линейное дифференциальное уравнение.
Чтобы интегрировать (В), полагают
y = uz% G)
где и и z суть неизвестные функции независимого переменного х,
подлежащие определению. Дифференцируя равенство G), имеем:
ALa dz 42 da (я\
dv
Внося у и -~^ из равенства G) и (8) в уравнение (В), получаем:
udz +2Au +p Q
dx ; dx l ^
или
Мы всегда имеем право предположить, что первая неизвестная
функция и (х) уничтожает круглую скобку этого равенства, обра-
обращая ее в нуль, т. е. что
¦^ + Ри = 0. A0)
Действительно, чтобы отыскать такую функцию и(х), нужно
только проинтегрировать дифференциальное уравнение A0), что
сделать нетрудно, ибо переменные х и и в этом уравнении отде-
отделимы.
Пользуясь же найденной функцией и(х), мы отыскиваем вто-
второй неизвестный множитель z(x), решая оставшуюся часть урав-
уравнения (9), после уничтожения в нем круглой скобки:
U.JC /
В этом уравнении переменные х и z также легко отделимы. Ясно,
что найденные функции и(х) и z(x) удовлетворяют уравнению (9)
и, значит, решение линейного уравнения (В) будет дано формулой G).
Следующие примеры укажут детали.
Пример 1. Решить уравнение
dy_ 2y Y
Решение. Ясно, что это уравнение есть линейное и имеет вид (В), где
2 i
и 0 = (лг + 1J •
Пусть у = иг. Тогда
dy dz , du

266 . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. V1H
Подставляя в данное уравнение A2), имеем:
ИЛИ
Первый множитель и (х) определяем, приравнивая круглую скобку нулю.
Это дает:
dx 1+х ~и'
или
da 2dx
и -1+х*
Интегрируя, находим In и я 2 In A + «*), откуда
С такой функцией и(х) уравнение A2) становится:
e|Le(.r+lO A3*)
ибо член с множителем z выпадает. Приняв во внимание A4), мы можем
переписать A3 *) в виде
dz , . 1 чтг
Интегрируя, имеем:
т. е.
2 -
z = ±(x + l)*+C A5)
Подставив A4) и A5) в равенство у = uz, мы окончательно достигаем общего
решения:
7
Пример 2. Вывести формулу общего уравнения (В).
Решение. Решая A0), имеем:
\пи+ С Pdx = Ink,
где In k есть постоянное интегрирования. Отсюда
~/Pdx
1 Из самого определения натурального логарифма следует, что всегда
elnN = N. В целях простоты, определяя и (х)% мы опустили произвольное по-
стлшшое, положив его равным нулю (см. об этом следующий пример 2).

§ 106 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 267
Подставляя эту величину функции а(х) в A1) и отделяя переменные г
и х, мы находим:
О [ Pdx
dz^^ej dx.
k
Интегрируя и подставляя в G), мы получаем окончательно:
-(Pdxff f Pdx \
у^е J у Qej dx + C).
Надо обратить внимание вот на что: постоянное k выпадает аз окон-
окончательного результата. По этой причине его просто не пишут, решая урав-
уравнение A0).
Тип IV. Уравнения, приводимые к линейному виду.
Некоторые уравнения, не будучи сами по себе линейными, однако
могут быть приведены к линейной форме посредством надлежащих
преобразований. Один из типов таких уравнений есть:
где Р и Q суть непрерывные функции одного только х или константы.
Уравнение (D) приводится к линейному виду (В) посредством подста-
подстановки z== y-n+1. Впрочем, такое приведение не является необходи-
необходимым, если мы используем тот же самый прием для нахождения его
решения, какой был дан вообще для всего типа III.
Это обнаруживается на примере.
Пример. Решить уравнение
Решение. Написанное уравнение имеет форму уравнения (D), ибо здесь
Полагаем у == иг. Тогда —• = #^- + ^ -т^-.
Подставляя в A6), находим:
d d
dz da , uz
т. e,
u Ibc "I" \SaT + "JJ ^ ^ л ln ^ •tt^2- A7)
Определяем первый множитель и, приравнивая круглую скобку нулю.
Это дает
du . и ~ du dx

268 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIH
Интегрируя, имеем: 1п и = — In х = 1п —; следовательно,
« = -!• A8)
После подстановки найденной функции а(х) в уравнение A7), мы имеем:
и -з— ее л Jn jc • tf-г2, откуда -з— = л In л: • «г2.
dx ax
Внося сюда величину функции а{х\ даваемую равенством A8), мы по»
лучаем:
dz х & dz . dx
—— = a In x • —, т. е. —5- — л In д: • .
dx х z* х
ля \ a (In *)* . „
Интегрируя, мы находим ¦=* —^—— + С откуда
z
A9)
Подставляя найденные множители и и z из A8) и A9) в равенство
у ss u-z, мы приходим к общему решению:
^^J 2
или
ху [a (In xf -4- 2С] + 2 = 0.
ЗАДАЧИ
Найти общее решение каждого из следующих дифференциальных урав-
уравнений:
1. —• -f У = е—х. Отв. у = (х + С) е-^.
^ х ~~
3 tfy | яу =
хп
ds
4. -JJT cos ^ + s sin t = 1. 5 = sin / -J- С • cos ^.
1 — а а *
9. ^ -^ + )f =* y2 In x — -* 1 + Cx + I n x.

§ 107 ДВА СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 269
11.
I9
14.
15.
dy A-2.
dy . у
A—л?
tfy f 4лгу
dx ' л:2 +1
dv
dx
j: +V l —
1
= y3 csc *.
Отв. у =
60уЗ(дг + 1J =
- Юл* + 24*5+15л^ +С.
X
у (л:2 + О2 ^ arc tg x + С.
sin*
20 ^У _l ^
21. -^ —
П. --L Sin t л. 2$ cos t = sin 2t. 22 jc —
dv v3
23. y^ + i-
^ ' Vx*+\ ~ J dx x X
19# J12L + 2y = e&*. 24. *3 ¦—— + 4y = 12.
В каждой из следующих задач найти частное решение, определяемое
заданными численными значениями для хну.
25. х — 2у =s хъех\ х = 1, у =* 0. Отв. у =» х2 (е* — е).
27.4^-
* + 2 + *
29. Найти уравнение кривой, тангенс наклона которой во всякой точке
равен у + 2х и которая проходит через начало координат.
Отв. у г^2(е* — х— 1).
30. Найти уравнение кривой, тангенс наклона которой во всякой точке
равен ху (хгу2—1) и которая проходит через точку @, 1).
. 107. Два специальные типа дифференциальных уравнений
высшего порядка.
Первый тип. Встречается часто:
Чх^—х* (Ь)
где К есть непрерывная функция одного х% или константа.

270 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
Чтобы интегрировать его, умножим сперва обе его части на dx.
Интегрируя, находим:
Дальше мы повторяем этот процесс п—1 раз. Тогда у нас полу-
получится общее решение, содержащее п произвольнык постоянных.
d^v
Пример. Решить —^^х^.
Решение. Умножив обе части на dx и интегрируя, получаем:
ИЛИ
Повторяя процесс, имеем:
т. е.
== / хе* dx— I 2e*dx+ I Ctxdx+ I
Наконец,
Окончательно
у = Хех —
Второй тип имеет очень большое значение:
где У есть непрерывная функция одного у.
Чтобы интегрировать, поступаем следующим образом.
Пишем сначала равенство
dy' = Ydx
и умножаем обе его части на у'. Получаем:
Но yf dx = dy\ поэтому имеем:
yfdyr =

§ 107 ДВА СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 271
Переменные у и у теперь отделены. Интегрируя, находим
В правой части этого равенства стоит функция буквы ул Извлекая
из обеих частей корень квадратный, мы можем отделить перемен-
переменные х и у и снова интегрировать в последний раз. Это и будет
искомым решением.
Следующий пример показывает применение метода.
Пример. Решить 7?^
dv* dPv
Решение. Здесь -4— = -j~ = —Фу. Уравнение принадлежит к типу (F).
Умножив обе части на у' dx% поступая» как выше было указано, мы имеем:
у' dyf = — cpydy.
Интегрируем:
где Ci =з 2С, причем радикал берется с положительным знаком. Разделяя
переменные, имеем:
dy ,
Интегрируем еще раз:
1 IZ V Л V
— arc sin _• = х -\- С2, т. е. arc sin ¦ _ = ах -\- аС2.
а УСг , УСг
Но это равенство равносильно, как мы знаем из определения обратных
тригонометрических (круговых) функций, равенству:
—~г = sin а (х + С2) = sin лд: cos aC2 + cos ax sin aC2.
У Cj
Значит, имеем:
— cos aC2 • sin ax +
у
Отсюда окончательно,
у =ci sin auc + с2 cos ajc.x
ЗАДАЧИ
Найти общее решение каждого из следующих дифференциальных урав-
уравнений:
Ь-Ж = ^ ' Отв. * = -?¦ +Сх< +С*
2. ¦$• = *•
1 Ниже, на стр. 288, показано другое, более простое решение этого урав-
уравнения; предлагаем учащимся сравнить два возможные способа решения.

272 ' ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
Отв. x = — sin2t + C1t-{- С.
3.
4.
**•
6.
•
8.
Q
У.
Л*
"Ж
d2s
~dP
= 4 sin 2t.
-л
1
" (s+1K-
1
a
I A 1 1
+ C2.
I A 1 1
= 2а4 (s2 -2d) E2 + CjJ + C2.
Отв. Vdy* + У - y= Ш (УСгу
Найти ^, зная, что s== а и —г- = 0, когда / == 0.
§ 108. Случаи понижения порядка. Укажем несколько случаев,
когда дифференциальное уравнение допускает, после надлежащих
преобразований, понижение порядка.
Случай 1. Когда дифференциальное уравнение не содержат
самой- неизвестной функции у, а только х и производные у', у", ...,
его можно заменить другим, порядка на единицу ниже,
В самом деле, имея дифференциальное уравнение Ф(х, _у\ у", ....
..., y«)) = 0, не содержащее буквы уч, мы можем рассматривать как
неизвестную функцию не букву у, а величину у\ Тогда
Следовательно, имеем дифференциальное уравнение относительно
неизвестной функции у' уже не порядка nt а порядка п—1.
А когда мы сумеем найти эту новую неизвестную функцию у\
выраженную через х, то само у получается уже одной квадратурой
(т. е. взятием одного неопределенного интеграла).
Пример, Найти кривую, кривизна которой равна заданной функ-
функции ср' (х) абсциссы.
Решение. Приравнивая функции у(х) выражение кривизны {ем. часть 1„
^ 130, формула A)], получаем дифференциальное уравнение искомой кривой

§ 108 СЛУЧАИ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА 273
В этом уравнении нет самой неизвестной функции у. Поэтому его поря-
порядок 2 можно понизить на одну единицу, взяв за неизвестную функцию у*'.
Таким образом, имеем:
*'(лг)Ае.
Отсюда, интегрируя один раз и называя через с произвольное постоян-
постоянное, находим:
У =
Решая алгебраически это уравнение относительно неизвестной у', полу-
получаем:
, __ <р + с
У ~
Значит,
Отсюда неизвестная функция у получается при помощи одной квадратуры:
-/¦
где С есть вторая произвольная постоянная, как это и должно быть, ибо
дифференциальное уравнение, определяющее неизвестную функцию, есть вто-
второго порядка.
Случай 2. Когда дифференциальное уравнение не содержит
явным образом независимого переменного ху всегда можно заме-
заменить это уравнение другим, порядка на единицу ниже,
В самом деле, пусть
dy
d
данное уравнение. Так как
d^y_ d"y\_ 0
dx' dx* dxn ) ~~ U
dx
то:
dx* ~ dx ~ dy * dx~y dy *
\ dy } у \ У — •--
dx* dy\_df-y
Мы замечаем, что, беря за неизвестную функцию у', а букву у
за независимое переменное, мы понижаем порядок уравнения на одну
18 Интегральное исчисление

274 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
единицу, так что теперь предложенное уравнение напишется уже
в виде:
Когда же мы найдем yf в функции буквы у, т. е.
У=фО0.
то разделением переменных получим и у, ибо из
следует, что
и, значит:
.= f dy
Пример. Найти кривую, радиус кривизны которой пропорционален
нормали.
Решение. Взяв выражение радиуса кривизны R [см. часть I, § 133, фор-
A _{_ у'2K/а
мула G)], R = L-=^ , взяв выражение длины нормали в виде
у у 1+у'2 и обозначив через постоянное я коэффициент пропорционально*
сти, мы получаем дифференциальное уравнение искомой кривой
или, короче:
у «у- (i>
Это уравнение не содержит буквы х. Согласно указанному правилу, мы
dy' " dy'
полагаем у =-J-=—.y.
Поэтому дифференциальное уравнение напишется в виде
1+/•—>/¦§?¦
или, короче:
yr dy' _ dy
~~ У #
Интегрируя и называя через с произвольное постоянное, находим;
т. е.
п
су = A + у'У. A)

^ 108 СЛУЧАИ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА 275
Здесь можно было бы поступить согласно указанному правилу, т. е. сна*
чала определить из этого уравнения у' в функции буквы у и далее инте-
интегрировать полученное равенство разделением переменных, как это рекомен-
рекомендуется в тексте. Но проще поступить так: дифференцировать написанное
равенство: '
cy'dx=*ny'(l + y'*J dy\
упростить
cdx^nil + y'2)* dy'
л интегрировать
B)
Это равенство B), после выполнения написанной квадратуры, вводящей
второе произвольное постоянное С, дает прямое выражение буквы х через
букву у\
Сопоставляя вместе полученные равенства A) и B) и исключая из них
букву у\ мы имеем окончательное взаимоотношение букв у и х, вместе
с двумя произвольными постоянными с и С, каким оно и должно быть, по-
потому что основное дифференциальное уравнение A) кривой есть уравнение
второго порядка.
Если коэффициент пропорциональности п есть число целое, уравнение B)
всегда дает х выраженным в букве у' посредством алгебраических или ло-
логарифмических функций (включая сюда и arc tg). Наиболее интересными
случаями являются такие:
1) п= 1. Имеем тогда из уравнения B)
) B)
Мы не пишем постоянного С, ибо введение его приводит только к пре-
преобразованию координат. Исключение же буквы у' из уравнений A) и B) дает
Эта кривая есть цепная линия.
2) п = — 1. Имеем тогда из уравнения B):
опустив С по указанной выше причине. Исключение у' из A) и B) дает
сх2 + су2 = 1,
т. е. окружность.
3) п = 2. Имеем из уравнения B)
сх = 2/. B)
Исключение у' из A) и B) дает
т. е. параболу.
ф 1
4) п = —2, Полагая у' = tg -^- и — = 2д, имеем из уравнения B)
B)
18*

276 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
А из уравнения A) имеем:
(l+) A)
Изменяя <р на п-—ср, а также х-\-а% на х% мы имеем окончательно:
у =з а A — cos f), х = а (? — sin q>).
Это есть циклоида.
Таким образом, самые разнообразные классические кривые получаются
изменением только численных значений целого п и, значит, фактически они
обладают одним и тем же геометрическим свойством.
Случай 3. Когда уравнение однородно относительно у>
-^, -j^g можно понизать его порядок.
Для этого достаточно положить
[zdx
y = eJ
Тогда
•¦"•?
Если внести эти выражения в предложенное уравнение, тогда вся-
[ zdx
кий член уравнения получит множителем eJ в степени, равной
степени однородности уравнения. Вынося этот общий множитель
за-уравнение и зачеркивая его, ибо он не может уничтожаться, мы
получаем новое дифференциальное уравнение относительно буквы z.
И так как производная —\ выражаемся через производные буквы z
dxn
по х порядка не выше k—1, то новое дифференциальное уравнение
будет иметь порядок, меньший порядка данного уравнения.
Пример. Понизить порядок уравнения хуу" + лгу'2 — уу' = 0.
Решение. Так как уравнение однородно относительно букв у, у' и у'\
[zdx [zdx
то, согласно общему правилу, полагая у = е•' t находим: у' = eJ • z и
[zdx [zdx
у" = eJ г2 + е- • г'. Отсюда, подставляя выражения букв у, у' и у
в предложенное уравнение, находим:
[zdx( [zdx [zdx \ 2 [zdx 2 Г zdx
xeJ \e-} z*+eJ г') + xe J z^ — eJ г = 0.
2 f zdx
После сокращения множителя е J имеем:
x (г3 + z') + xz* —. z = 0.
Это есть уравнение уже первого порядка и, следовательно, мы понизили по-
порядок первоначального уравнения на одну единицу.
Легко, впрочем, до конца проинтегрировать предложенное уравнение.
В самом деле, заметив, что (уу')' = уу" + у/2, мы можем предложенное урав-
уравнение переписать в виде х (уу У =» уу\ Отсюда, полагая уу' =» «, имеем хи' ~ и.

§ 109 ФОРМА ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛА 277
Следовательно, — = — , т. е. (In и)' = —. Интегрируя, находим In и = \nx-\-
It X X
+ In cf где с есть произвольное постоянное. Поэтому и = сх. Подставив най-
найденную функцию а в уравнение у у' = и, имеем ууг = сх. Отсюда 2уу' — 2сх,
т. е. (у2)' = 2хс. Новое интегрирование дает у2 = сх1 + С где С есть второе
произвольное постоянное. Окончательно, мы имеем у ~
§ 109. Форма общего интеграла линейного однородного урав-
уравнения второго порядка. Дифференциальное уравнение
@
где р и q суть непрерывные функции одного только х (в частности
могут быть постоянными величинами), называется линейным однород-
однородным уравнением второго порядка, или еще иначе: «уравнением без
правой части».
Если же в правой части уравнения, вместо нуля, стоит какая-
нибудь непрерывная функция X одного только х:
(И)
тогда такое уравнение называется неоднородным линейным уравнением
второго порядка, или еще иначе: «уравнение с правой частью».
Нашей целью является теперь отыскание формы общего
интеграла однородного уравнения.
Для этого мы опираемся на следующее предложение1, не имеющее
никаких исключений, которое мы возводим в принцип при указанном
отыскании:
если коэффициенты р и q однородного уравнения оба суть
непрерывные функции от х на отрезке [я, Ь], тогда всякое част-
частное решение у(х) этого уравнения обязано быть непрерывным
на [я, Ь].
Для отыскания формы общего решения возьмем заранее опреде-
определенное, хотя и не важно, какое, частное решение уг(х) однородкога
уравнения, не тождественное нулю. Пусть у1 (х0) Ф 0, где х0 фикси-
фиксированная точка отрезка [а, Ь].
Обозначая через у(х) произвольное частное решение однородного
уравнения, мы имеем:
B)
1 Доказательство его содержится в более обширных курсах анализа.

278 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
Умножая тождества A) на ух и B) на j/, потом вычитая, имеем:
у^у — у&уг , y\dy
5^ 1~Р
Полагая
yxdy~ydyx _
dx
мы видим, что C) перепишется в виде:
Отсюда отделение переменных нам дает:
X
z = C2.e *° , E)
где С2 — произвольное постоянное.
С другой стороны, равенство D) перепишется в виде:
Это есть линейное уравнение первого порядка относительно
буквы у, а все другие буквы: ух и z нам уже известны. Поэтому,
применив к F) правило интегрирования линейных уравнений первого
порядка (§ 106, тип III), мы находим выражение:
у = ех° \ I — • е х° dt -4- СА I, G)
где Сх есть произвольное постоянное. Это выражение очень упро-
упрощается после вычисления интеграла
и внесения его величины в выражение G). В самом деле, мы получаем:
Внося же сюда выражение буквы 2 по формуле E)» мы получаем
окончательно:
t
х - j P(*)da
у(х) = С1Ух(х) + С2у,(х). / ^ '°2 Л. (8)

§ 109 ФОРМА ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛА 27&
Таким образом, общий интеграл однородного уравнения вто-
второго порядка пишем в виде
У (*) = Схух (х) + С2у2 (х), (9)
где ух(х) и у2{х) суть два частные решения этого однородного
уравнения, а Сх и С2— произвольные постоянные1.
При этом важно отметить, что первое частное реше-
решение ух(х) взято не уничтожающимся в точке х0, ибо
мы имели неравенство ух(х0) ф 0. А второе частное ре-
решение:
х - J Р («) da
у2 (х) = Ух (х). f е * аи (Ю)
наоборот, уничтожается в точке х09 ибо интеграл между
равными пределами равен нулю.
Для того, чтобы самый смысл этого замечания стал ясен, введем
важное определение.
Определение. Два какие-нибудь частные решения Yx и К2
однородного уравнения называются линейно независимыми
друг от друга* если они не могут дать тождества
alY1-\-a2Y2=0* где ах и аг суть постоянные* не равные оба
вместе нулю.
Ясно, что из обоих линейно независимых решений Yt и Y2
ни одно не может быть тождественным нулю, ибо если, на-
например, Kt=H(bTO будем иметь и тождество a1Yl-\~a2Y2 ==0, где
аг= 1 и а2 = 0.
Если К, и Y2 суть линейно зависимые решения, то из тождества
^^ где, например, а2 Ф 0, мы выводим очевидное
тождество Y2==—— Yx и, значит, из двух линейно зависимых реше-
решений одно получается из другого умножением на постоянную*
величину.
В свете данного определения рассмотренные выше частные реше-
решения ух(х) и у2(х) суть линейно независимые решения, ибо одно
из них уничтожается в точке х0, y2(x0) — Qt а другое заведомо
отлично от нуля, ух(х0) Ф 0. Поэтому никакое из них не выводится.
из другого умножением на постоянную величину.
1 Что уЛ (х) есть частное решение однородного уравнения, это
ясно без дальнейшего, ибо ух (х) взято таковым. А что у2 (х) есть тоже
частное решение однородного уравнения, это ясно из того, что при
всяких численных значениях постоянных Сх и С2 формула (9) всегда дает
частное решение однородного уравнения, и, значит, также при Сх = 0 и.
С2 = 1, когда получается выше у2 (х).

280 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
Теорема I, Общее решение однородного уравнения пишется
в виде C1K1-f-C2K2, где Yv й Y2 суть два любые линейно неза-
независимые между собой частные решения, а Сх и С2— произвольные
постоянные.
Так как Yx нетождественно нулю, мы полагаем yt(х) = Ух(х).
С другой стороны, мы имеем тождество
где С[ и С* суть вполне определенные постоянные.
Но постоянное С* заведомо отлично от нуля, .так как в против-
противном случае мы имели бы тождество Y2 (х) = С*1у1 (х), т. е.
Y2(x)==zC1Yl(x)t что невозможно, ибо Ух и Уг линейно независимы
.друг от друга.
Итак, обязательно С2 ф 0 и поэтому имеем:
y2(x)^-^Yi(x) + Y2(x), A1)
Подставляя в выражение С1у1(х)-{-С2у2(х) общего интеграла
вместо ух(х) функцию Ух(х) и вместо у2(х) формулу A1), мы
получаем для общего интеграла однородного уравнения выраже-
выражение вида
где Сг и С2 суть произвольные постоянные. ч. т. д.
Теорема II. Если уг(х) есть какое-нибудь частное решение,
нетождественное нулю, то уравнение ух (х) = 0 не может иметь
кратных корней, но имеет лишь простые корни.
В самом деле, если ух{х) и у(х) суть два какие-нибудь линейно
независимые частные решения однородного уравнения, мы имеем,
в силу формул D) и E), тождество
где постоянное С2 обязано быть отличным от нуля.
Действительно, если бы С2=0, мы имели бы У\~г- — у-р-=~=09
т. е. -^-=-^1, откуда у — Су19 где С — постоянное; значит, реше-
решения Ух и у были бы линейно зависимы.
Итак, в формуле A2) постоянное С2 Ф 0. Теперь, если бы какое-
нибудь число % оказалось кратным корнем уравнения yl(x) — 0,
.тогда и сама функция yv и ее производная ~^- уничтожались бы,

§ 109
ФОРМА ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛА
281
когда х = Ь. А тогда в формуле A2) мы обязаны были бы иметь
С2 = 0, что невозможно. ч. т, д.
Теорема III, Никакие два линейно независимые решения
ух{х) и у(х) однородного уравнения не могут уничтожаться
в одной и той же точке.
В самом деле, если бы ? было общим корнем обоих уравнений
0 и у(х) = 0, тогда в точке Е мы имели бы ух — 0 и y = Q
значит, опять формула A2) нам дала бы С2 = 0, что невозможно,
ч. т. д.
Теорема IV. Между двумя соседними корнями уравнения
ух(х) = 0 содержится один и только один корень уравнения
у(х) = 0щ Иначе говоря, точки уничтожения двух линейно
независимых частных решений ух и у взаимно отделяются.
В самом деле, возьмем двз соседние корня ах и pj уравнения
j/j (х) = 0. Геометрически это означает, что течение функции ух (х)
между корнями ах и pt изображается непрерывной дугой Du опираю-
опирающейся своими концами на точки аг и $х и не пересекающей между
ними оси ОХ. Значит, дуга Dx лежит вся по одну только сторону
этой оси (на рис. 108 выше ее). К тому же касательная в точке М„
О
ос,
Рис. 108
когда М описывает непрерывно дугу Du вращается также непре-
непрерывно, образуя острый угол с осью ОХ в концевой точке ах и,
наоборот, тупой угол в концевой точке р1# Это означает, чта
производная -~- имеет разные знаки в концах отрезка [ах, PJ.
Сама же функция ух(х) в концах этого отрезка уничтожается, т. е.
имеем ух (<хх) = 0 и ух ($х) = 0.
Обратимся теперь к тождеству A2). Правая его часть не может
переменить зна^а и поэтому сохраняет всюду на отрезке [av p,{
свой знак (т. е. знак постоянного С2). В частности, правая часть
тождества A2) имеет один и тот же знак в концах отрезка [а,, р,).
В левой же части тождества A2) уменьшаемое У\-т- уничтожаете*

282 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VT1I
в концах этого отрезка. Значит, вычитаемое —у —- должно сохранять
знак. А так как второй его множитель —^ заведомо имеет в кон-
концах отрезка [alt PJ разные знаки, то отсюда следует, что и первый
его множитель у(х) также обязан иметь в концах отрезка [alt PJ
разные знаки и, значит, будучи непрерывной функцией, у(х) обра-
обращается в нуль в некоторой точке а, лежащей внутри отрезка [alt pj.
Таким образом, между двумя соседними корнями at и р, уравнения
ух(х) — 0 лежит корень а уравнения у(х) = 0. И он там имеется
только один, потому что, если бы их там было несколько, то между
двумя соседними корнями уравнения у(х) = 0 лежал бы корень
и уравнения ух (х) = 0, что невозможно, ибо внутри отрезка [alt §г]
это уравнение не может иметь корней. * ч. т. д.
Пример. Однородное уравнение —~ + у = О имеет общий интеграл
у = Сг sinх-\- C2cos х. Частные решения sin* и cos x линейно независимы.
Поэтому точки, где sin х уничтожается, т. е. точки х = k%, k целое, и точки,
где cos х = 0, т. е. точки х » k% + -^, попарно чередуются, взаимно отде-
отделяя друг друга.
Теорема V, Однородное уравнение всегда можно привести
к виду, называемому каноническим:
где G есть функция только буквы х.
В самом деле, взяв однородное уравнение A) и сделав подста-
подстановку y = uv, мы находим:
Выбирая теперь функцию и так, чтобы иметь
„для чего достаточно взять
мы видим, что для функции v(x) уравнение A3) получает канони-
ческий вид. ч. т. д.
Теорема VI. Интегрирование линейного однородного уравнения
второго порядка всегда можно привести к интегрированию

§ 109 форма общего интеграла 28?
нелинейного уравнения первого порядка^ называемого уравне-
уравнением Риккати,
В самом деле, делая в однородном уравнении A) подстановку
у = е* г *, где z — неизвестная функция, причем yf=zeJZ х • z^
у" = *J zdx -z2-{-eJ zdx -z't и, сокращая неуничтожающийся множи-
множитель eJ гйх , мы получаем искомое уравнение Риккати:
ч. т. д.
Вообще, уравнением Риккати называется дифференциальное урав-
уравнение вида
4L
A5),
где Р% Q и R зависят только от х. Это уравнение, хотя и первого
порядка, но нелинейное, потому что здесь содержится член с уг.
Подстановкой j/ — оно, очевидно, приводится к виду A4).
Уравнение Риккати обладает рядом весьма важных свойств, как
в теоретическом отношении (аналитическая теория дифференциальных,
уравнений), так и в практическом отношении (механика железно-
железнодорожного транспорта). Уравнение Риккати, к сожалению, нельзя
проинтегрировать в общем виде, но оно послужило первой моделью,
на которой был открыт и с успехом испробован акад. С. А. Чаплы-
Чаплыгиным его известный метод приближенного интегрирования дифферен-
дифференциальных уравнений1.
Общий интеграл уравнения Риккати имеет вид:
где С — произвольное постоянное, a /lt /2, /3 и /4 некоторые опре-
определенные функции буквы jc, которые, к сожалению, нельзя получить.
квадратурами.
Доказанная теорема I о линейных однородных дифференциальных
уравнениях второго порядка распространяется без всяких ограниче-
ограничений на уравнения п-го порядка, а именно,
1 С. А. Чаплыгин, Новый метод интегрирования общего дифферен-
дифференциального уравнения движения поезда, 1919. «О методе приближенного
интегрирования», ЦАГИ, 1932. См. также Б. Н. П е т р о в, О границах при-
применимости теоремы акад. С. А. Чаплыгина (§ 3 «Защитное уравнение Р
кт), ДАН, 1946.

284 ДИФФЕРЕНиИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
общее решение дифференциального уравнения
У{п) +РгУ{п~1) +/>2У-2) + ... +Рп-1У' +РпУ = О,
где pv р2, ..., рп суть непрерывные функции одного х% имеет
вид
У^СхУх{х) + СгУг{х)+ ... +CnYn(x)t A8)
Yu K2, ..., Yn суть частные решения уравнения A7), связанные
только тем условием, чтобы ни одно из них не оказалось
линейной комбинацией других, т. е. чтобы между ними не было
тождественного соотношения
при коэффициентах cv отличных от нуля. Такие частное реше-
решения Уи К2, ..., Yn называются независимыми. 5>
§ 110, Уравнения с правой частью. Общее решение неодно-
неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.
(И)
где /?, q и X суть непрерывные функции одного х, получается так:
сначала ищут какое-нибудь частное решение у* (х) неоднородного
уравнения (II)
и затем вычитают из уравнения (II) равенство A).
Имеем:
B)
Это есть однородное уравнение второго порядка, ибо, обозначая
разность у — у* через Y, мы имеем:
Мы видели, что общий интеграл этого уравнения имеет вид:
2t C)
где Yu Y2 суть два частные линейно независимые решения одно-
однородного уравнения A).

§ 1 11 МЕТОД ЛАГРАНЖА ИЗМЕНЕНИЯ ПОСТОЯННЫХ 285
Так как, с другой стороны, Y = y— у\ то имеем:
и окончательно:
y^CxYt + C2Yz + y\ D)
Отсюда получается предложение:
общее решение уравнения с правой частью у" + РУ* -Ь ЧУ = X
имеет вид у = CXY^ -j- C2Y2-\- у*, где Cv С2—произвольные постоян-
постоянные, у* — какоегнибудь частное решение уравнения с правой
частью, a Yu Y2 — два линейно независимые частные решения
уравнения без правой части.
Это предложение расширяется на линейные уравнения любого
лорядка с правой частью:
общее решение уравнения с правой частью
где рх и X суть непрерывные функции одного х, имеет вид
у z=^CiYl -ЬС2К2+ ... -\-CnYn ~\-y*t где у* — какое-нибудь частное
решение уравнения с правой частью, a C1K1-f-C2K2~|- .. ,-\-CnYn —
общее решение уравнения без правой части.
§ 111. Метод Лагранжа изменения постоянных. Этот метод изобретен
для отыскания частного решения у* уравнения с правой
частью, когда извеаНно общее решение уравнения без правой части
Пусть имеем уравнение с правой частью:
& & Х (И)
и пусть
СгП A)
общее решение уравнения без правой части
#+*?+„-* („
Метод разыскания частного решения у* уравнения (И) состоит в том,
что на Clf Co мы перестаем смотреть как на постоянные и, предполагая их
функциями от х, ищем определить их так, чтобы искомое частное реше-
решение у" было бы дано формулой
у^СгУг + Ср* (Г)
Дифференцируя два раза это равенство, имеем:
2L e (C'ji + C2Y2) + (CXY[ + C2Y'2), B)
^ ^+< ^)+2 (cjy;+cjrj)+(ctr;+cy2\ C)
До сих пор мы не налагали на функции Сь С2 никаких ограничений.
Предположим теперь, что их производные C'v С2 удовлетворяют системе
двух уравнений:
D)

286 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
Дифференцируя первое уравнение этой системы, мы имеем
О. E)
Приняв во внимание равенства D) и E), легко видеть, что уравнения (I1),
B) и C) перепишутся так:
v"
*2
Умножив первое уравнение этой системы на q, второе на р% третье на 1
и сложив, мы имеем
&+Р& + &-Х. G)
ибо должны иметь Yi+pY^ + qV-i — O и Y\ + pYf2 + qY2 = 0, потому что
Yi и К2 суть решения уравнения без правой части.
Уравнение G) показывает, что функция у*, определенная равенством (Iй),
в самом деле является частным решением уравнения (II) с правой частью,
если производные С[, С'2 функций Cv C2 удовлетворяют системе алгебраи~
ческих уравнений D).
Решая эти уравнения, мы находим:
С =и С2 =^
и, далее, двумя квадратурами получаем С\ и С2.
§ 112. Линейные дифференциальные уравнения второго по-
порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнения без правой части. Возьмем
где р и q суть постоянные.
В целях иметь частное решение уравнения (G), мы пробуем найти
такое постоянное г, чтобы (G) было удовлетворено функцией
у = егх. A)
Дифференцируя A), мы имеем:
$ ?? B)
dx dx*
Подставляя в уравнение (G) величины A) и B) и сокращая на
неуничтожающийся множитель егх, мы получаем
= Q C)

§112 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 287
квадратное уравнение, дающее искомое постоянное г. Его корна
я суть нужные нам значения постоянной г.
Уравнение C) называется вспомогательным или характеристи-
характеристическим уравнением для уравнения (G).
I. Если корни гх и г2 характеристического урав-
уравнения C) различны, тогда
Yl = eri* и Y2 = er>* D)
являются двумя частными линейно независимыми
решениями уравнения (G).
Отсюда следует, что общим решением уравнения (G) в этом
случае будет:
у = Сгег>* + С2е^, гх Ф гг. E)
d^v dv
Пример 1. Решить -т-4-— 2-p- 3y=»0.
dx dx
Решение. Характеристическое уравнение есть г2 — 2г — 3 = 0. Его корни
суть -[*• 3 и — 1. Поэтому общее решение предложенного уравнения есть
С2е~х.
Когда корни ги г2 характеристического уравнения C) действи-
действительны и различны, общее решение E) уравнения (G) есть решение
окончательное.
Когда же корни ги> г2 характеристического уравнения C) суть
комплексные числа, тогда общее решение E) уравнения (G)
надо немного преобразовать, чтобы оно могло быть применено к за-
задачам естествознания и техники.
Так как коэффициенты /?, q дифференциального уравнения (G)
•суть действительные, то комплексные корни г,, г2 квадратного
уравнения C) суть сопряженные, т. е. имеющие вид
гх = а-\-Ы и гг = а — Ы. F)
Поэтому, при действительном xt по формуле Эйлера (§ 101),
имеем:
sin bx) )
Отсюда общее решение E) получит вид:
у — еах \{СХ + ф cos bx + / (Сх — С2) sin bx]. (8)
Введя же обозначения: сг = Сх-\-С2 и cx=t(Ct — С2), мы можем
написать общее решение уравнения (G) в виде
у = еах (сх cos bx + сг sin bx), (9)

288 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VI»
где сх и с2 суть произвольные постоянные. Из этой формы общего
решения следует, что
К, —eaxcosbxt Y2 — eax$mbx A0)
суть два действительные частные линейно независимые .решения
уравнения (G) и что общим действительным решением уравне-
уравнения (G) будет
A1)
где С, и С2 суть действительные произвольные постоянные.
Пример 2. Решить j-™ + k?y » 0.
Решение. Характеристическое уравнение есть г* + Л9=0. Его корни:
гЛ = ikt г2 =— ik. Поэтому, сравнивая с F), имеем а = 0, b ~ k. Значит,
в си.ру A1), общее решение есть.
у -з С\ cos ^х + С2 sin kx.
II. Если корни г, и г2 характеристического
уравнения C) равны, то тогда они обязательно дей-
действительны и оба равны /* — —.—-# В этом случае
К1==^ и К2 =х*г*. г== —f
являются двумя частными линейно независимым •»
решениями уравнения (G).
Следовательно, общим решением уравнения (G) в этом случае
будет
Чтобы все это доказать, напишем выражение корней квадрат-
квадратного уравнения C): —-|- ± |/ ^— q.
Следовательно, корни равны друг другу тогда и только тогда,
когда ~z=sq. И в этом случае имеем; /¦1==г2==г = — у. Таким
образом, первым частным решением уравнения (G) будет:
К/=*~, г = —1# A4)
Индуктивно можно прийти ко второму частному решению Уг так:
когда корни гх и г2 характеристического уравнения C) не равны, имеем два
частные решения уравнения (G): еГхХ и е7*. Отношение также
есть частное решение уравнении (G). Но по теореме Лагранжа отношение

§ 112 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 289
¦ 1~2_ в точности равно производной /' (с) для промежуточного с,
а < с <Ь. Полагая f(r) = erx% a = rit Ь = гъ мы имеем -— =
\erx I de*x l
-:— , где г* промежуточное между гх и г2. Так как —— = xerxf
то имеем равенство:
ет.х е^х ^хе^
Го— Г\
причем выражение, стоящее направо, есть частное решение допредельного
уравнения (G) с корнями rt и г2 своего характеристического уравнения.
Заставляя оба этих корня стремиться к одному и тому же пределу г, т. е.
полагая г{ -> г и одновременно с этим г2 -> Л мы в пределе получаем
характеристическое уравнение C) с двумя корнями, равными числу г,
/•l = r2=r= — -тр И так как г* содержится между rt и г2, когда они еще
не совпадали в пределе, то необходимо г* -> г. Следовательно, частное реше-
решение A5) допредельного уравнения (G) станет в пределе
хегх, где г = — —•» A6)
и естественно думать, что оно явится частным решением предельного
уравнения (G).
Дедуктивно, рецюние A2), К2 проверяется так: полагаем
у2 — хегх. Дифференцируем Yf% == егх -}- rxerx% Y"^ = 2rerx + flxerx.
Отсюда Y"% -f- pY'2 -+• gY2 = xerx (r2 -f-pr -+¦ ^) -f- ^х (р ~f- 2r). Ho
первая скобка есть нуль, ибо г служит корнем характеристи-
характеристического уравнения C); вторая же скобка есть нуль, ибо г = — —-.
Таким образом, К2 есть частное решение уравнения (G): ясно при
этом, что К/ и Y2 суть решения линейно независимые.
Пример 3. Решить ^tI+2-^ + s =* 0 и найти такое частное решение,
л ds п л л
$ = 4 и —=—2 для ^ = 0.
Решение. Характеристическое уравнение таково: г2 + 2г +1 = 0, т, е.
(r-f-lJ = 0. Отсюда оба корня его равны —1. Поэтому, общим будет
решение
s = Схе-* + C2te-r = е-* (Сг + C2t).
Для отыскания частного решения, удовлетворяющего двум поставленным
условиям, сначала ищем -~. Имеем: -зт^ССг—Ci)^*—C2fe~'. Полагая
rfs Г^5 "I
/ s= 0 в формулах для 5 и для ~тг, получаем: 5 @) = d и г^7 = Са — С\.
at l"*j^o
Значит: d = 4 и d—d^ —2. Отсюда С% — 2. Поэтому искомое частное
решение есть s = ^-* D + 2?)
19 Интегральное исчисление

290 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
ЗАДАЧИ
Найти общее решение каждого из следующих дифференциальных урав-
уравнений:
l.§-4;? + 3s = 0. Отв. в-
2- % ~ Тх ~ 6у в °- у =
4+Лх0 Х
5. ^i - 9s = 0.
7- Ж"S + 13je = a * = **(Cl cos 3< + Ci sin3°*
В следующих примерах отыскать частные решения, которые удовлетво-
удовлетворяют данным условиям:
d% х dx I dx ^
П тштл R ^ _L fi у .— Л« у | 7IJICT
19. j~
~-
21 * djk~^~y~0' У==4 для дг = 0< У~° для
23. ^- + 2^ + 2x = 0; дг=3, ^ = -Здля^ = 0. л: = Зе-' cos <.
24. j^ + 2g. + 5s = 0; s = l, ^=1 для * = 0. »=е
25-S+3f+2s=0; «--^i-8 для '-*

§ 112 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 291
27.
cPs ds _.
dt dt
d^x dx
dt dt
Уравнения
Возьмем
s-0 —-
)• s - 0 — -
2y = 0; y-1,
с правой
= Vq ДЛЯ t
- п для t
¦?-»
частью.
= 0.
ДЛЯ
ДЛЯ
где р vl q суть постоянные и X непрерывная функция только л:.
Из § 110 мы знаем, что для получения общего решения неодно-
неоднородного уравнения (Н) необходимо сделать три шага.
Первый шаг. Решить однородное уравнение (G). Пусть его
общее решение будет
y = CxYx + C%Y2. A7)
Это общее решение однородного уравнения (G) называется
дополнительной функцией для неоднородного уравнения (Н).
Второй шаг. Разыскать, путем испытаний, частное реше-
решение у* уравнения (Н).
Третий шаг. Общим решением у неоднородного уравне-
уравнения (Н) тогда будет
y = ClY1+C2Y2 + y\ A8)
Наибольший труд представляет шаг второй, чтобы облег-
облегчить его, полезно следующее правило (все буквы, кроме буквы х,
суть константы).
Правило разыскания частного решения
Общий случай
форма функции X форма решения у*
Х=а-\-Ьх вынуждает у* = А-\-Вх.
Х=аеь? вынуждает у* = АеЬх.
Х=ах cos Ъх + а2 sin bx вынуждает у* = А х cos Ъх -\- А2 sin bx.
Исключения имеют место в нижеследующих специальных случаях.
Специальные случаи.
1. Вынужденную форму надо умножить на х:
1) если jc = O есть простой корень характеристического урав-
нения^(З) и Х=а-\-Ьх;
2) если х = Ь есть простой корень характеристического урав-
уравнения и Х=аеЬх;
19*

292 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ' ГЛ. У1И
3) если х— ± Ы суть корни характеристического уравнения и
X=al cos bx -+- а2 sin bx.
И. Вынужденную форму надо умножить на x2t если:
1) д: = 0 есть двойной корень характеристического уравнения
и Х=а-\-Ьх\
2) jc == 6 есть двойной корень характеристического уравнения и
Х=аеЬх.
Самый же метод разыскания решения у* состоит в подста-
подстановке указанных выражений для у* в предложенное неоднородное
уравнение (Н) и, далее, в определении постоянных А, В, Av A2
так, чтобы уравнение (Н) было удовлетворено.
d^v dv
Пример 4. Решить -~~ — 2 -^- — Зу = 2х.
Решение. Первый шаг. Решаем однородное уравнение
._2-&-_ 3y = 0.
dx* dx J
Согласно примеру 1 имеем дополнительную функцию:
Второй шаг. Так как х = 0 не есть корень характеристического
уравнения, то у* = А + Вх. Подставляя в предложенное неоднородное урав-
уравнение, имеем — 2В — ЗА — ЗВх = 2х. Приравнивая коэффициенты правой и
левой частей, находим: —2J5—ЗЛ=0 и —3? = 2. Отсюда:
о .42
Значит: У =-д~^Хл
Третий шаг.
d^v dv
Пример 5. Решить ~^ — 2-^ Зу=*2е~х.
Решение. Первый шаг. Дополнительная функция прежняя:
Второй шаг. Здесь — 1 является простым корнем характеристического
dy*
уравнения, поэтому у* = Ахе"х. Дифференцируем: —— = Ае~х A — x)t
-~~^- == Ае"х (х — 2) и подставляем в предложенное неоднородное уравне-
уравнение. Имеем: Ае-Х(х-— 2) — 2Ае~х (I — *) — ЗАхе~х = 2е~х. Упрощая, на-
находим: — 4АеттХ = 2е~х. Значит, А = —^-. Поэтому у* = — -^ хе~х.
Третий шаг. у = Схе*х+ С2е-Х — -<?-хе-х.
d^s
Пример 6. Отыскать частное решение уравнения -—- + 4s = 2 cos 2tf
такое, что 5 =« 0 и -«г «= 2 для * = 0.
—-
Решение. Первый шаг. Решаем однородное уравнение

§ ИЗ ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЯ у* В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 293
Его общим решением будет Q cos 2t + С2 sin 2t.
Второй шаг. Здесь ± 21 суть корни характеристического уравнения,
поэтому s* = t (Аг cos 2t + А2 sin 2t). Дифференцируем:
~ = Лг cos 2* + А2 sin 2* — 2t (Лг sin 2/ — А2 cos 20,
^ == __ 4Ла sin 2* + 4Л2 cos 2^ — М (Лг cos 2/ + А2 sin 2Q.
Подставляя в заданное неоднородное уравнение и упрощая, получаем:
— 4Аг sin 2t + 4А2 cos 2t = 2 cos 2^.
Отсюда Л2 =0 и Л2 = ^- Значит: s* = y*sin2/.
Третий шаг. Общее решение предложенного неоднородного уравне-
уравнения есть s = C\ cos 2t + C2 sin 2t -\- -^ t sin 2t. Нужно распорядиться постоян-
постоянными Сь С2 так, чтобы получить s = 0 и -тг = 2 для ? = 0. Первое условие
дает Сг = 0. Значит, s = C2 sin 2t + -^ t sin 2?.
Дифференцируя, имеем: ~гг = 2С2 cos 2^ + -s- sin 2^ + -н- ^ • 2 • cos 2?. Пола-
Полагая ? = 0, имеем: -тт =2С2.
Значит, С2 — 1. Искомое частное решение есть: 5 = sin 2t + -^ ^ cos 2f*
Пример 7. Решить -~^-=2лг.
Решение. Первый шаг. Решаем однородное уравнение
Дополнительная функция С\ + 2
Второй шаг. Здесь х — 0 является двойным корнем характеристиче-
характеристического уравнения. Поэтому у<: = Ах% + Вх2.
Подставляя в предложенное неоднородное уравнение, имеем 6Ах-{-2В = 2х.
Значит, А = -з"» ^ = 0.
о
Третий шаг. у = Q + С2лг + -g-д:3.
§ ИЗ. Отыскание решения у в общем случае. Пусть дано уравнение
где р я q суть постоянные, а X — непрерывная функция одного jc.
Обращаясь к методу Лагранжа (см. § 111) разыскания частного реше-
решения у* уравнения (Н), мы видели, что оно дается формулой
ОД, A)

294 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIH
где Y\ и Y2 суть линейно независимые частные решения однородного урав-
уравнения
Sl * <°>
где С± и С2 суть функции от х, производные С[ и С2 которых даются фор-
формулами Лагранжа:
Формулы эти пригодны для всех случаев, т. е. и тогда, когда р и q за-
зависят от х. В случае же постоянных р к q формулы Лагранжа получают
простой вид.
Случай 1. Характеристическое уравнение г2 -{-pr + q = 0 имеет
действительные различные корни Г\ и г2.
Здесь
Значит,
?e,e.-'i>* и 1п^ = (г2-гг)х
Поэтому
Подставляя в формулы B), мы имеем:
л X ~/ X
Bп)
Отсюда
х х
Ci«—-Ц- [xe-^dt и С2 = —Цг [Xe-r>*dL C)
Г2 — Г! »/ Г2 — rj «/
Jfo Xo
Подставляя найденные функции Сх и С2 в формулу A), мы находим:
X X
У Г2--П J ^ Г2 — Гг J
Хо Хо
или, после несложного упрощения;
х
Г2 — Гг
Хо
Эта формула имеет общий характер, так как не нуждается ни
в каких предположениях относительно вида функции X
Случай 2. Характеристическое уравнение r*+pr-\-q = 0 имеет
комплексные корни гг и г2.
В этом случае корни эти суть сопряженные, и мы имеем /*i = а — Ы%
г2 = а-\- Ы. Полученная выше формула (I) целиком приложима и к этому
случаю, но только ее надо освободить от мнимостей и дать ей действитель*
ный вид.
Имеем прежде всего: г2~гг~2Ы.

§113 ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЯ у * В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 295
Затем ег^х-()=^а+Ь1)^^^еа(х^-е1Ь^-^; значит, по формуле
Эйлера:
@ </) (x — t) + i sin b(x — t)]. D)
Так как гг отличается от г2 только знаком при /, то можно сразу на-
написать:
егх ix-t) ^ еа (*-
Вычитая из D) равенство E), находим:
<л <*-0 _ <л <*-*> = 2iea (*-/
Наконец, подставляя все полученное в формулу (I), имеем:
х
=i- iXea<<x-'f)s\x\b{X'-t)dL
(И)
Формула эта, имеющая также общий характер, освобождена от мни-
мнимостей.
Случай 3. Характеристическое уравнение г5 + pr + q = 0 имеет
Р
равные корна г5 = г2 — /* = —к •
Чтобы получить нужную нам формулу для у*, мы рассматриваем этот
случай как предельный, когда оба корня гг и г2, до предела различные,
в пределе делаются равными г.
Переписывая формулу (I) в виде
X
X.I i dt%
Ъ — Гг
мы видим, что написанное под знаком интеграла отношение есть отношение
приращения функции ег^х~^ к приращению независимого переменного л
когда оно переходит от значения г\ к значению г2. По теореме о среднем
Лагранжа (см. ч. I, гл. XIV), это отношение в точности равно производной
er(x-t) для некоторого численного значения г\ промежуточного между
корнями г\ и г2. Значит, до перехода к пределу имеем:
у* = Г х (х — t) е1* <*-*> dt
*0
Когда же мы заставляем оба корня Г\ и г2 характеристического уравне*
ния безгранично приближаться к фиксированному численному значению г,
тогда и среднее г\ находясь между обоими корнями гг и г2, также будет
иметь пределом число г. Таким образом, переход к пределу дает нужную
нам формулу:
X
S-- 1 (III)
частного решения у* неоднородного уравнения (Н) в случае равных корней,
характеристического уравнения.

296 • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
ЗАДАЧИ
Найти общее решение каждого из следующих дифференциальных урав-
уравнений:
Отв. х =* Сл ее
19. 4^-4у = *-2.
d*x „ dx , л п ол ж ,^ cos 2t ^_ Cg slfl 2Г) + 3
&У dy Ок _о, __r о* ^Г*-*А. te
°' dt* 1Г~~гу~в • У-Чб -1-^2^ -t- з #
7. ~^? 4- 9^ = 9бЧ х = Сг cos'3* 4- Cj sin 3* + -g- Л
8. -j^- + 9л: = 5 cos 2*. x~Cx cos 3* 4- C2 sin 3* 4- cos 2*.
9. -r? 4- 9лг == 3 cos 3*. A:=tC1cos3*4-C2sin3*4-ir*sin3*.
10. -^ — 9* =s 6 cos 3*. x = Cie3^ 4- С2е~ы — -5- cos 3*.
11. -^~-4-Ax =10 sin3*. At=C1cos2*4-C2sin2* — 2sin3?
12. -3~ + 4Ar = 8sin2*. x = Ci cos 2t + Co sin 2* — 2* cos 2*.
13. ±У^,2-?—3y = 8cos2*. у ^ Схеы + С2е'г ~^-sin2t —
—hf- cos 2*.
00
x = e (Cj cos zr 4~ ^2 s^112*) 4"
4- 2 sin * — cos *.
15* *^""4r + 55===10sit1^ s = ef(Cicos2*4-C2sin2*L-
4-2 sin * +cos*.
16. ~— 2^ + Ьх = П $\n2t. Ar = ^(C!COs2*4-C2sin2*) +
CLt Ctt
4-4 cos 2* 4-sin 2*.
= 4. 20. 4з

§ 114 приложения к задачам механики 297
24. 2-^--y = sin^. 26. -^f--16s = 2 cos 4*.
В следующих задачах разыскать частное решение, удовлетворяющее
поставленным условиям:
27. ^l_4s = 4; s = 1, -^-=0 для *=0. Отв. s =
28. •^Г + 45 = 8^ « = 0. "Ж^4 для 's=a°' s =
31. ^ + x=sin2t\ л: = 0, -^ = 0 для * = 0. х = у
32. ^- + jc = 2cosft л: = 2, -^ = 0 для г = 0. д: = 2 cos
33. ^ — 9у^2 — х; з>=0, -^ = 1 Для дг = О.
з4- Ж^24г + ^==4; * = 4' -Ж^2 для ^а
35. -5r+24r+j"==3^; ^^а w^^2 для *e0-
5 = 4, -Ir^0 для ^ = а
37^-^- + 45 = 2 cos 2t; s = 0, -^- = 4 для * = 0.
38. ^- — 4>f = 4eaA;; y = 0, -^j = 0 для x = Q.
^ 5 = 0, 4г = 0 для ^ = 0.
40. J + 5 = r42; s = o, -g^ = o для ^а
§ 114. Приложения к задачам механики. Очень многие задачи
механики и физики решаются методами, изложенными в этой главе.
Например, задачи прямолинейного движения очень часто приводят
к дифференциальным уравнениям первого или второго порядка так,
что решение этих задач зависит от решения сказанных уравнений.
Напомним сперва, что:
ds . d2s dv dv /1Ч

298 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
где v и j суть скорость и ускорение в какой-нибудь момент вре-
времени tt a 5^ есть расстояние движущейся точки от фиксированного
начала на траектории в рассматриваемый момент времени t.
Пример 1. В прямолинейном движении ускорение обратно пропорцио-
пропорционально квадрату расстояния 5 и равно —1 для 5 = 2. При этом дано, что:
о = 5и5 = 8 для t = 0.
а) Найти v, когда s = 24.
Решение. Согласно первому условию, имеем:
ускорение « J = — ~. {2)
Согласно последнему равенству A), имеем:
dv 4
v C>
Переменные разделяются, и умножение на ds вместе с последующим
интегрированием дает:
Согласно второму условию v = 5, 5 = 8. Отсюда Сг = 24. Поэтому
уравнение D) пишется в виде:
t>2 = ~ + 24. E),
1
Из него получаем, что если 5 = 24, то v = -^ у 219 = 4,93.
Ь) Найти время, употребленное точкой во время пробега от 5 = 8 до»
Решение. Решая E) относительно v, получаем:
Отделяя переменные s и t и интегрируя dt между заданными пределами
8 и 5 = 24, получаем искомую величину Т времени:
Т =1 /_?^ = 3,20.
2/2 J f + 3*
Примечание. Можно было бы воспользоваться первым равенством A)
d2s 4
и написать -т^- = %-* Для интегрирования этого уравнения следует обра»
титься к § 107, в котором уравнение (F) имеет рассматриваемый здесь вид»
Важный тип прямолинейного движения тот, где ускорение J и
расстояние s находятся в постоянном отношении и разных
знаков.
В этом случае мы имеем:
где k'z—величина ускорения при расстоянии, равном единице.

§ 114 приложения к задачам механики 299
Вспоминая, что сила и ускорение, вызываемое ею, совпадают до
постоянного множителя, мы видим, что действующая на точку сила
всегда направлена к точке s = 0 и, по величине, прямо пропорцио-
пропорциональна расстоянию s. Такое движение называется простым гармо-
гармоническим колебанием.
Пользуясь равенством A), мы получаем из (8):
2F + ** = 0f (9)
т. е. линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффи-
коэффициентами. Интегрируя (см. пример 2 предыдущего параграфа), мы
получаем общее решение:
s = Cx cos kt + С2 sin kt. A0)
Дифференцируя это равенство, мы имеем:
oskt). (И)
Легко видеть, что движение, определяемое формулой A0), есть
периодическое с периодом -г, причем его колебание совершается
между крайними положениями:
|- и s==-
Действительно, заменяя постоянные Сх и С2 двумя другими А и
J5, такими, что
Сх = В&пА и C2 = ?cosA A2)
мы имеем:
s = B?n(kt + A)9 A3)
причем ясно, что -в = -|-У"С*4-С! и что s есть функция периоди-
2%
ческая от t с периодом -г.
В следующих примерах мы указываем случаи, когда простое
гармоническое колебание возмущается другими силами. Во всех
случаях задача зависит от решения уравнения или однородного (G),
или неоднородного (Я), изученных выше.
Пример 2. Дано прямолинейное движение j = —-j-s—v, причем v = 2,
-s = 0 для t = 0.
а) Найти уравнение движения (т. е. s в функции от *).
Решение, Из равенств A) мы выводим:
+ +S ° A4)

300 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
Это есть однородное уравнение (G). Характеристическое уравнение г2 + г +
4- j- = 0 имеет корнями: /*! = — "о"^ * и Г2==: — *9—'• ^0ЭТ0МУ общее ре-
решение уравнения A4) есть
s = e a (Сгсо$ t~\-C2 sin t). A5)
Так как для t = 0 мы должны иметь 5 = 0, то Cj = 0 и, значит, имеем:
5 = С2е 2 sin f. A6)
Дифференцируя по t, чтобы найти v, мы получаем:
t
( sint ,
+
И так как для ? = 0 мы должны иметь v = 2, то С2 = 2.
Значит, уравнение движения есть
5 = 2е % sin t A8)
b) Для каких величин времени t имеем v = 0?
Решение. Формула A7) показывает, что, когда v ==0, тогда скобка в ней
должна уничтожаться. Написав ее равной нулю, мы имеем:
tg* = 2. A9)
Значит, мы должны иметь:
t = 1*10 + п% (п — целое). B0)
Последовательные величины переменного t формулы B0) отличаются
друг от друга всегда на промежуток времени %.
Исследование. Этот пример поясняет заглушаемое гармоническое
колебание. Действительно, в первоначальном уравнении j =—ys — v уско-
ускорение j является суммой двух компонент:
Простое гармоническое колебание, соответствующее компоненте /^ воз-
возмущается заглушаемой силой, дающей ускорение /2> и именно силой, про-
пропорциональной скорости и направленной против движения. Эффект этой за-
заглушающей силы двоякий.
В о-п ервых, промежуток времени последовательными положениями
точки, где v = 0, удлинен заглушающей силой. Ибо для простого гармони-
гармонического колебания fa = j- s мы имеем, сравнивая с (8), k =* — Y$ =s
— 1,12 ..., причем половина периода равна 0,89 ... п. А в заглушаемом
гармоническом колебании соответствующий промежуток времени равен те.
В о-в торых,' величины s для последовательных крайних положений,
где v = 0, вместо того, чтобы быть равными, теперь образуют убывающую
геометрическую прогрессию. Доказательство опускаем.
Пример 3. Дано прямолинейное движение
ye —4s+ 2cos 2ft B2)
причем 5 = 0, v = 2 для t = 0.

§ 114
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
301
а) Найти уравнение движения.
Решение. Из формул A) имеем:
B3)
Требующееся частное решение было найдено в примере 6 § 112.
Таким образом, имеем:
B4)
b) Для каких величин t имеем v = 0?
Решение. Дифференцируем B4), чтобы найти vt и написав, что резуль-
результат равен нулю, мы получаем:
B + 0 cos 2t + -i- sin 2t = 0 B5)
или, разделив на cos 21, имеем:
1
B6)
Корни этого уравнения могут быть найдены, как разъяснено в ч. I
гл. XII. Рисунок 109 показывает линии
1 -пл y^—2 — t, B7)
и абсциссы точек пересечения приблизи-
приблизительно равны:
tt = 0,88, t2 = 2,36 и т. д.
Исследование. Этот пример по-
поясняет усиляемое гармоническое колеба-
колебание. Действительно, в B2) компонента /
есть сумма двух компонент:
jx =з — 4s и j2 = 2 cos 2t.
Простое гармоническое колебание, со-
соответствующее компоненте Д с периодом тс,
теперь возмущается силой с ускорением j2,
т. е. силой периодической, у которой пе-
период (= п) есть тот же самый, как и
период невозмущаемого простого гармонического колебания. Эффект этой
возмущающей силы двоякий.,
В о-п е р в ы х, промежуток времени между последовательными положе-
положениями точки, где v = 0, уже не является постоянной величиной, но убывает
и приближается к^-. На это обстоятельство указывает и чертеж.
В о-в торых, величины s для последовательных крайних положений,
где v = 0, теперь увеличиваются и по абсолютной величине становятся
бесконечно большими.
ЗАДАЧИ
В каждой из следующих задач даны ускорения и начальные условия.
Найти уравнение движения.
1. ./ = — 4s; s = 0; v=10 для * = 0. Отв. s = 5 sin 2/.
Рис. 109
2.
-4s;
= 8; v = 0 для t = 0.
s =з 8 cos 2t

302 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIH
3. ] = — 4s; s = 2, v = 10 для t = 0. Отв. s = 2 cos 2* + 5 sin 2t.
4# у = _ S _^_ ?; 5 = 0, U = 0 ДЛЯ * = 0. S = fc A — COS t).
5. / = — 2v — 5s; s = 5, t; = — 5 для t = 0. s = 5e~' cos 2?.
6. J =s — 2t/ — 5s; s = 0, i/ = 12 для * = 0. s = 12e-' sin 2/.
7. / = sin2/ — s; s = 0, t/= 1 для * = 0. s = f-sint — Tsin2/.
о о
8. У = sin 2t — 4s; s = 0, t/ = 0 для * = 0. s = -g- sin2^ —-j-/cos.2/.
9. j = — |-; s = 0, v = 4 для ^ «= 0.
10. у = 9 A — s); s = 0, v = 0 для ^ == 0.
11./ = — 4ty — 5s; s = 0, v = 5 для^ = 0.
12. / = cos ^ — 4s; s = 0, v = 0 для * = 0л
13. / = cos 2t — 4s; s = 0, v = 0 для t = 0..
14./ = — 4t/—13s; s = 0f t/ = 6 для ^ = 0.
15. Ускорение частицы дано равенством / = — As + 3 sin t.
a) Если частица приходит в движение, отправляясь из начала с нуле-
нулевой скоростью, найти уравнение ее движения.
Отв. s = sin t ^ sin 2L
b) Каково наибольшее расстояние от начала, достигаемое точкой?
16. Ответить на вопросы предыдущей задачи, если ускорение дается фор-
формулой
/ =^= — 4s — 8 sin 2t.
Отв. a) s = 2t cos 2t — sin 2t; b) s = 2t cos2/ + sin 2/.
17. Тело падает, выйдя из состояния покоя, под действием его веса и ма-
малого сопротивления, изменяющегося как скорость. Доказать следующие
соотношения:
/ = ^~ kv.
18. Тело падает, выйдя из состояния покоя, пройдя расстояние 80 футов.
Принимая /='32 — v, найти время. Отв. 3,47 сек.
19. Движущееся судно в тихой воде подвержено замедлению, пропорцио-
пропорциональному его скорости в рассматриваемый момент. Показать, что ско-
скорость судна, спустя t секунд после остановки двигателя, дается форму-
формулой v = с?~*', где с есть скорость судна в момент остановки двигателя.
20. В некоторый момент судно, дрейфующее (сносимое ветром) в тихой воде,
имеет скорость 4 мили в час. Одну минуту спустя эта скорость стала
2 мили в час. Найти пройденное расстояние.
21. В известных условиях отклонение гальванометра дается уравнением
Показать, что, если fi > k, отклонение его может стать нулем. Найти пол-
полное решение при {д. < k.

§ 115 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ П-ТО ПОРЯДКА 303
115. Линейные дифференциальные уравнения я-го порядка
с постоянными коэффициентами.
Однородные уравнения. Они имеют вид:
где ри р2 рп суть постоянные числа.
Сделав подстановку у — егх, мы получим в левой части:
Это выражение является нулем тогда и только тогда, когда удо-
удовлетворено уравнение
гп+РхГп-1+РгГп--2+ m # # +Ря_1Г+рл = 0. A)
называющееся характеристическим уравнением для дифференци-
дифференциального уравнения (/С). Если г есть корень характеристического
уравнения, тогда еТХ есть решение дифференциального уравнения (К).
Корни характеристического уравнения A) порождают частные ре-
решения дифференциального уравнения (/С). Это делается точно таким
же образом, как и в случае уравнений второго порядка. Ничего
существенно нового здесь нет, и мы сразу даем соответствующее
правило интегрирования уравнения (/С), отсылая за доказательствами
к более обширным учебникам.
Правило решения уравнения (К)
Первый шаг. Написать характеристическое уравнение
= 0. A)
Второй шаг. Полностью решить характеристическое урав-
уравнение, найдя все его п корней, действительных или комплексных,
неравных между собой или равных.
Третий шаг. Для корней характеристического уравнения
составить соответствующие частные решения дифференциала
кого уравнения по следующему закону:
Характеристи- Ди^фференциальнре
ческое уравнение уравнение
а) Всякий отдельный дей- } д ( ,
ствительныи корень rx J [

304
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛ. VIII
b) Всякая отдельная пара
комплексных корней
а±Ы
c) Кратный корень, встре-
встречающийся s раз,
дает
дает
два частные решения
eaxcosbx и eaxsinbx>
s (или 2$) частных ре-
решений, получаемых
умножением частных
решений а) [или Ь)] на-
1 *• у2 yS —1
Четвертый шаг. Умножить каждое из полученных п не-
зависимых решений1 на произвольное постоянное и сложить все
эти п парных произведений. Эта сумма и является общим ре-
шением у дифференциального уравнения.
Пример 1. Решить-тр — 3^ + 4^ = 0.
Решение. Прилагаем указанное правило.
Первый шаг. Пишем характеристическое уравнение:
Второй шаг. Решаем его; его корни суть — 1, 2, 2.
Третий шаг. а) Корень — 1 дает частное решение е-*, с) Двойной
корень 2 дает два частные решения:
Четвертый шаг. Общее решение есть
у == de-* + С2е2х'+
Пример 2. Решить
dx
Решение. Прилагаем указанное правило.
Первый шаг. Характеристическое уравнение:
Г4_ 4гЗ + Юг*— 12г + 5 = 0,
Второй шаг. Решаем его; его корни суть 1, 1, 1 ±2/.
Третий шаг. Ь) Пара 1 ± 2/ комплексных корней дает два частные
решения: е* cos 2x и е* sin 2x. с) Двойной корень 1 дает два частные ре-
решения е* и хех.
1 Проверка аккуратности работы основывается на том, имеем ли мы,
после совершения первых трех шагов, на самом деле п независимых част-
частных решений, или меньше. Если работа велась аккуратно, мы должны иметь
в точности п линейно независимых решений.

§ 115 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ П-ТО ПОРЯДКА 305
Четвертый шаг. Общее решение есть
у = Схе* + Сохе* + Съех cos 2х + С^ех sin 2дг,
т. е.
у = е* (Сг + С2х + С8 cos 2х + С4 sin 2х).
Уравнения с правой частью. Они имеют вид:
где ри pz, . •., рп суть постоянные числа, а X—непрерывная функ-
функция одного х.
Из § ПО мы уже знаем, что общее решение у неоднородного
уравнения (L) пишется в виде:
у = C.Y, + CZY2 + ... + CnYn + У. B)
где С^! + С2К2 + ... -\~CnYn есть общее решение однород-
однородного уравнения (К), получить которое мы уже умеем, а последнее
слагаемое у* есть какое-нибудь частное решение предложенного
уравнения (L) с правой частью.
Таким образом, все дело сводится к получению только одного
какого-нибудь частного решения у* уравнения (Z,), но здесь, при
произвольном виде непрерывной функции X, стоящей в правой части,
мы встречаемся со значительными трудностями.
Однако когда функция X имеет специальный вид, рассмотренный
в § 112, то тогда поиски частного решения у* значительно облег-
облегчаются и, в этом случае, можно с успехом применить к уравне-
уравнению (L) п-го порядка все то, что мы делали для уравнений второго
порядка. Это суть случаи, когда:
1) функция X есть многочлен Р(х) от буквы х;
2) функция X есть произведение Р (х) • еах многочлена Р (х) на
показательную функцию еах\
3) функция X есть произведение P(x)cosbx или P(x)siubxt где
Р(х) есть многочлен.
В этих трех случаях определение частного решения у* делается,
как было показано на примерах, способом неопределенных коэф-
коэффициентов.
В этих случаях можно также руководиться следующим приемом.
Правило разыскания частного решения у*.
Первый шаг. Последовательно дифференцировать данное
уравнение (L) и получить либо непосредственно, либо путем
исключения, новое дифференциальное уравнение, хотя и более
высокого порядка т% но зато уже однородное, т. е. типа (/0.
20 Интегральное исчисление

306 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VIII
Второй шаг. Решить это новое дифференциальное уравне-
уравнение по правилу решения однородных уравнений и написать его
общее решение в виде:
где часть* содержащаяся в скобках, является общим решением
того первоначального однородного уравнения, которое получаем*
заменяя в данном уравнении функцию X через нуль.
Третий шаг. Подставить выражение Cn+lYn+1 + ... + CmYm
в данное уравнение (/,). приравнять коэффициенты при одинако-
одинаковых членах, стоящих в левой и в правой частях полученного
тождества, определить отсюда постоянньсе С^, ..., С$ и под-
подставить их в выражение Сп+1Уп^.1-\- ... ~\-CmYm. Это выраже-
выражение
и явится искомым частным решением данного уравнения (/,).
Этот метод мы разъясняем на нижеследующем примере.
Примечание. Важно заметить, что решение характеристиче-
характеристического уравнения нового дифференциального уравнения сильно облег-
облегчается тем обстоятельством, что его левая часть всегда делится без
остатка на левую часть характеристического уравнения старого диф-
дифференциального уравнения.
Пример. Решить
" 3'+2:хех. C)
Решение. Характеристическое уравнение предложенного уравнения есть
г2 — Зг + 2 = 0. Его корни суть 2, 1. Значит, общее решение соответствую-
соответствующего однородного уравнения есть
Сге1х+С2ех. D)
Первый шаг. Дифференцируем C):
уш — з/' + 2у' = хе* + е*. E>
Вычитая из E) уравнение C), имеем1:
у» — 4/' + Ьу' — 2у=* е*. (б>
Снова дифференцируя, имеем:
-yiv — 4/" + by" — 2у' = е*. G)
1 Этого вычитания не следует бояться, ибо, дифференцируя предложен-
предложенное уравнение, мы всякий раз получаем новое уравнение, содержащее в себе
все решения старого уравнения. Поэтому оба уравнения: новое и старое,
можно комбинировать сложением и вычитанием.

¦§116 МЕТОД ЯАГРАНЖА ИЗМЕНЕНИЯ ПОСТОЯННЫХ 307
Вычитая из G) уравнение F), имеем:
yiv_ 5//' + 9/' — 1у' + 2у = 0. (8)
Значит, имеем уравнение уже типа (К), т. е. однородное.
Второй шаг. Решаем (8). Его характеристическое уравнение есть
г4 — 5г3 + 9г2 — 7г + 2 — 0. Его левая часть обязана делиться без остатка
на левую часть г2— Зг + 2 характеристического уравнения предложенного
неоднородного уравнения C). И, действительно, имеем, деля:
Г4 __ 5/-з + 9г2 —• 7г + 2 = (г2 — Зг + 2) (г — 1 J.
Значит, корни характеристического уравнения
Г4 —5гЗ + 9г2—.7г + 2 = 0 (9)
суть 1, 1, 1, 2. Поэтому общее решение уравнения (8) есть:
(Рх** + С2ех) + Свхех + С,х*е*. A0)
Третий шаг. Сравнивая A0) и D), мы видим, что%
у* = С^хе* + СФ>х*е* A1)
является частным решением предложенного неоднородного уравнения C)
при надлежащих численных значениях С$\ С^ произвольных постоянных
С3 и С4.
Чтобы найти CJP и Cf\ дифференцируем дважды A1). Имеем:
^ = Cf {хе* + ех) + Cf (хЧх + 2хе*) .
^ = Cf {хе* + 2ех) + с?°> (дг%-г + 4^в* + 2ех).
A2)
Подставляя A1) и A2) в предложенное уравнение C) и сокращая на ех
обе части, после приведения подобных членов мы имеем:
— 2Cf х + BСD0) — С?°>) = х. A3)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменного х, мы
имеем —2Cl°> = 1 и 2Ci°>-4°>=0. Отсюда: С<°> = - 1 и С<0) = ~^.
Подставляя в A1), имеем:
() A4)
Таково частное решение уравнения C). Общее же его решение будет
у в сгё* + С2ех-хех ( 1
§ 116. Метод Лагранжа изменения постоянных. Он применим для
разыскания частного решения у* дифференциального уравнения
когда известно общее решение
... +CnYn A)
20
*

308
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛ. VIII
однородного уравнения
у(") +piy{n-l) -\-p2y(n~2) + ... +рпУ = 0. (К)
Как было сделано в § 111 для уравнений второго порядка, методЛагранжа
начинается с того, что заранее пишут алгебраическую систему п линейных
уравнений с п неизвестными С[, Сгг, ..., С*п
B)
Эта алгебраическая система B) определит нам неизвестные С[С2, ..., Сгп
в виде функций буквы х. Рассматривая эти неизвестные как производные
некоторых функций С\, С2, ..., Сп переменного х, мы их находим простыми
квадратурами:
Определив таким образом п функций Сь С2, ..., Сп переменного х,
мы берем выражение
* CY + CV+ ... +СпГп C)
и доказываем, что оно обязательно является частным решением данного
неоднородного дифференциального уравнения (L).
В самом деле, написав выражение C) и дифференцируя его п раз, мы,
в силу уравнений алгебраической системы C), имеем:
У=> С1У1+ C2Y2+ ... +СпУп
dx
С2У'2+ ...+СпУ'п
С2У;+ ... +CnY"n
dxn~
D)
E)
dxn "~
Умножая эти уравнения в нижеследующем порядке соответственно
на Pw Рп-ъ Рп-ъ •••» Р\ и 1 и складывая, мы находим:
dny* dn-xy* , df_
dxn Pl dxn~x #" ^Pn dx
ибо Yb Y2, ..., Yn суть частные решения однородного уравнения (/() и, зна-
значит, при сложении по вертикальным колоннам, все дадут в суммах нули.
Таким образом, у*, определенное формулой C), есть частное решение
данного уравнения (L).
Заметим, что здесь коэффициенты рь р2, ..., рп и правая часть X могут
быть любыми непрерывными функциями независимого переменного х.

§ 116 МЕТОД ЛАГРАНЖА ИЗМЕНЕНИЯ ПОСТОЯННЫХ 309
ЗАДАЧИ
Найти общее решение каждого из следующих дифференциальных урав-
уравнений:
3-
Отв. s = Схе* + С?* + Cscos2t + C4:sin2t
d'°s A ds л
-ж-4ж=0-
Отв. 5 = Cx + С$~У<и + Cse-1^8* + Ci cos /2. < + C5 sin /2 • f.
Отв. у = CxeV %x + dtf~V 2'* + C3 cos 2д: + Q sin 2л:.
7. Jg._l2 *5- + 27>-a Отв. аЧзв ^3"в^
ОТВ* * =
Z dx +^-u-
dx* Z dx
Отв. у = e* (Q + C2x) + CB cos x -f C4 sin л:.
5l=°- 0TB- '
Отв. у = (Ci + Соре) • cos п* + (С3 + С4^) • sin nx.
t —1
12.-^=5. Отв. s^Ctft + e 2fc2cosJ-2 hQsin
ig-
14. -^=>r + jc3# з^ = Сгех + Ctf-* + C3 cos x + C4 sin л: —
6 У Я ^У
Отв. у =з Cie*+C
17 -^JL _ о -^- 4- 20s — ^а^ Отв

310ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯГЛ. VIII
18. -^ +
Отв. s =
21.
x2 dx
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
Найти общее решение каждого из следующих дифференциальных урав-
уравнений:
Отв. сД =
3. (^JK^
.5. ^- + 4у =» 5 sin 3^ — 10 cos 3^.
Отв. у == Ci cos 2^ + С2 sin 2^ + 2 cos 3* — sin 3^.
6. ^. + 4y=4e2t +4t2. y = CiCOs2t + C2sin2t + ~e2t + t2 — 2.
7.
8. -7^- -f 4y = Se2t + 15 sin ^-. у = Сг cos 2^ + C2 sin 2t + e2t + 4 sin ^-«
9. у dx + (л: + y) dy = 0, у2 + 2д:у = С.
rf25 4
12. jtsin(-^-Jdy — у sin B-J • rf^ + x dx = 0. Отв. Сх =
cosl^,
13. _^?__|-5tg* = tg*. 5 = l + Ccos^.

§ 116 МЕТОД ЛАГРАНЖА ИЗМЕНЕНИЯ ПОСТОЯННЫХ 311
dr'X dx ч* ч* * q*
at4 at
I sin ^•'y —i ь. ' q
17. (л:2 + у2) rfjc — 2ху dy = 0. Отв. Сл: = х2 — j
у = Qe 2 + е^ (С2 cos Jf + С3 sin x)^
20. —jl" "Т* л*. I Г" =5= "Т" •
4-13s — 4 cos At — 12 sin 3*.
V2 ¦. —. i — n ** — — S^ — П/ — I S
A ^ dt ЬХ~ ^ ^ 1Ь*
i.
24. -^- + -^-=: Зл:2у3. 27. x*y dx — (a:3 + y*) dy = 0.
OK Q ^^ t ^^ "*¦ OQ ¦ '
Решить каждое из следующих дифференциальных уравнений, пользуясь-
указанными преобразованиями:
29. & -^—2sf — s3 = o. Полагаем s = —. Отв. -g^T + ^ ^ С-
30. (*а _[- 0 ds = (/2 + 2s^ + s) dt. Полагаем 5 =*vt.
Отв. s~Ct\
31. C + 2^0 5 dt = C — 2sO ^ t/s. Полагаем s* = t/.
32. (x + yJ -^ =2^ + 2^ + 5. Полагаем л: + у = v.

ГЛАВА IX
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 117. Двухмерная интегральная сумма» Мы уже знаем, что
интегральной суммой называется сумма
составляемая по следующему правилу.
Первый шаг. Делим данный отрезок [а, Ь\ на п отрезков:
[а = х0, хх]> [х1У х2], ..., [xi9 xi+xl .... [Хп-ь хп~Ь\.
Второй шаг. Выбираем в каждом из этих п отрезков про-
произвольным образом по одной точке:
М»
я—!•
Третий шаг. Составляем п парных произведений f (?^ X Д^
помножая длину отрезка на коэффициент, равный значению дан*
ной непрерывной функции f(x) в выбранной точке этого отрезка.
Четвертый шаг. Складываем полученные парные произвел
дения все вместе.
Такие интегральные суммы мы будем теперь называть простым*
или одномерными.
Совершенно по такому же правилу составляются двухмерные инте-
интегральные суммы, к рассмотрению которых нам и следует перейти.
Представим себе, что на плоскости XOY у нас имеется замкнутая
кривая С, не пересекающая саму себя. Совокупность точек пло-
плоскости XOY, лежащих внутри кривой, а также на кривой, будем
называть замкнутой областью D. Слово замкнутая и говорит
о том, что в рассматриваемую совокупность точек включены точки,
принадлежащие кривой С — границе области. Без этих точек область
была бы незамкнутой *. Легко провести аналогию между понятиями
1 В дальнейшем там, где это не поведет к недоразумению, т. е, где уча-
учащийся может ясно видеть, о какой области идет речь: замкнутой или не-
незамкнутой, мы для сокращения будем просто говорить «область».

§ 117
ДВУХМЕРНАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА
313
замкнутой и незамкнутой области и уже знакомыми нам понятиями
отрезка (замкнутого интервала) и промежутка (незамкнутого интер-
интервала, т. е. отрезка без концов).
Пусть в замкнутой области D нам задана непрерывная функция / (х, у}
двух независимых переменных х и у* Это значит, что всякой точке
М (х, у\ принадлежащей области D или ее границе (т. е. кривой С),
отвечает вполне определенное численное значение рассматриваемой
непрерывной функции f(x, у).
Определение. Двухмерной интегральной суммой называется
сумма
f(M0) • ао + /(ЖА) . аг + ... + f(Mt) .<,,+ ...+ f(Mn^). *п_и
составляемая по следующему правилу.
Первый шаг. Разбиваем данную замкнутую область D
(рис. 110) на п площадок о0, olf o2, ..., °«-i> которые перечисляем
в каком угодно порядке.
Второй шаг. Выбираем в каж-
каждой из этих п площадок по одной
точке М0з М1з М2 Ми ..., Мп_1%
беря ее каждый раз* где придется:
внутри площадка или на ее контуре.
Третий шаг. Составляем п пар-
парных произведений:
»
/(Щ)
д
Ш
Рис. ПО
помножая всякий раз величину пло-
площади площадки на коэффициент,
равный значению данной функции f (х9 у) в выбранной точке
площадки. Для удобства значение функции f(x, у) в точке
М(х, у) с координатами х и у мы обозначили просто через
/(Ж).
Четвертый шаг. Складываем все вместе полученные таким
путем п парных произведений:
Ясно, что для данной области D и для заданной непрерывной
функции f(x, у) можно образовать не одну только интегральную
сумму, но бесчисленное множество интегральных сумм, потому
что и область D можно по-разному разбить на площадки и по-раз-
по-разному можно в них выбрать по точке. Отсюда читатель видит, что
численная величина интегральной суммы S зависит от двух обстоя-
обстоятельств:
1) от способа разбиения области D на площадки;
2) от выбора в этих площадках по одной точке.

314
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. IX
§ 118. Геометрический смысл двухмерной интегральной суммы.
JVlbi видели, что простая (одномерная) интегральная сумма S имеет
очень несложный геометри-
v ческий смысл: это есть
просто площадь ступенчатой
v$\ J^\ \ 1 фигуры, составленной из
vr ! ! ' 1 прямоугольников, имеющих
своими основаниями от-
отрезки Длгп, Дл;*, ..., Длгя и
а высотами ординаты
i - -
i I I j I j ! т. е. значения рассматривае-
| | i I j I .1 мой функции / (л:) в выбран-
i J i ! ! ! ! ! ных точках ?0, 6,,
(рис. 111).
Можно дать геометри-
геометрическое истолкование и для
Рис. 111 двухмерной интегральной
суммы S,
Для этой цели представим себе в трехмерном пространстве OXYZ
<рис. 112) непрерывную поверхность, имеющую своим уравнением
* = /(*, у).
где /(jc, у) как раз и есть заданная нам непрерывная функция
в замкнутой области D, ограниченной контуром С.
Этот последний лежит на плоскости XOY. Если мы через его
точки проведем перпендикуляры к плоскости ХО Y, доводя их лишь
до пересечения с нашей по-
поверхностью и обрывая их на
ней, мы получим цилиндр,
образующие которого па-
параллельны оси OZ, нижнее
основание которого плоское
(именно, область) и верхнее
основание которого кривое
(именно, кусок нашей поверх-
поверхности, ограниченной кривым
замкнутым контуром Сг).
Представим себе, что
область D разбита на п ма-
малых площадок о0, ot, <з2, ...,
an-f Если мы теперь в гра- рис Ц2
ничных точках каждой пло-
площадки восставим точно так же перпендикуляры к плоскости XOY,
доводя их до пересечения с нашей поверхностью, мы будем иметь п
-тонких цилиндров, образующие которых параллельны оси OZ. Ниж-

§ 119 ДВОЙНОЙ (ОПРЕДЕЛЕННЫЙ) ИНТЕГРАЛ 315
ними основаниями этих цилиндров служат плоские площадки oit
а верхними основаниями — кривые куски нашей поверхности, лежа-
лежащие внутри кривого контура С, начерченного, как сказано выше,
на поверхности (рис. 112). Ясно, что объем всего цилиндра в точ-
точности равен сумме объемов п этих тонких цилиндров.
Выберем в каждой из плоских малых площадок о0, olt o2 ал_1
по одной точке Мо, Ми М2, ..., Mn_v Если мы теперь восставим
в каждой из этих точек Mt перпендикуляр к плоскости XOY, доводя
его по-прежнему до пересечения с поверхностью, и если мы проведем
через его конец, лежащий на этой поверхности, плоскость, парал-
параллельную горизонтальной плоскости XOY, мы,получим цилиндр, имею-
имеющий теперь уже оба свои основания плоскими и параллельными.
Нижнее основание этого цилиндра есть малая площадка о{.; верхнее
основание его по размерам и форме тождественно с площадкой о^
только поднято на высоту, равную значению функции / (л:, у) -в вы-
выбранной точке Mt, т. е. равную f(Mt). Образующие же нашего»
цилиндра, разумеется, параллельны оси OZ, т. е. вертикальны.
Мы для удобства называем этот цилиндр с плоскими основаниями
столбиком. Ясно, что столбик, опирающийся на площадку о^, есть.
либо вписанный в цилиндр с кривым верхним основанием, опираю-
опирающийся тоже на off либо описанный около него, либо промежуточ-
промежуточный. Все дело в том, как выбрана точка Mt в площадке af. выбрана ли
точка Mt так, что f(Mj) есть наименьшее из всех значений функ-
функции f(x, у) в площадке о^, или значение /СМ/) есть наибольшее,
или промежуточное между наименьшим и наибольшим.
Итак, над каждой малой площадкой аг возвышается тонкий верти*
кальный столбик с параллельными (горизонтальными) основаниями.
Из элементарной же геометрии известно, что объем прямого цилиндра
равен произведению площади основания на высоту. Следовательно*
объем рассматриваемого столбика в точности равен ^парному произве-
произведению /(Mj)-Cf, потому что площадь основания столбика равна о^,.
а высота его равна f (Mj).
Если мы теперь построим указанный тонкий столбик над каждой,
площадкой О;, мы получим ступенчатое тело, составленное из п стол-
столбиков, объемом которого будет служить наша интегральная сумма!
S = f(M0) • со + /(М1).а1+ ... 4-/(^.0,+ ... +/(ЖЛ_1) . ап_^
Таким образом, двухмерная интегральная сумма S численна
равна объему ступенчатого тела, составленного из вертикальных
столбиков, имеющих площадки о/_1 своими основаниями и аппли-
аппликаты /(Л1/_1) поверхности своими высотами.
§ 119. Двойной (определенный) интеграл. Мы знаем, что простая
(одномерная) интегральная сумма

316
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. IX
стремится к совершенно определенному пределу, когда наибольший
из отрезков Ал:0, Ajq, .... Дд^, ...» Аа:л-1, на которые мы разде-
разделили данный отрезок [а, Ь], бесконечно умаляется. При этом функ-
функция f(x) предполагается непрерывной на всем отрезке [а, Ь]. Далее,
мы знаем, что этот предел интегральной суммы S называется опре-
определенным интегралом от функции f(x), взятым по отрезку [а, Ь\,
ь
и обозначается знаком Г f(x)dx.
а
Затем мы знаем, что определенный интеграл фактически вычисляется
но формуле Лейбница — Ньютона:
J
тде F(x) обозначает первообразную для f(x), т. е. F' (х) = / (а:).
И, наконец, мы знаем, каков геометрический смысл определен-
определенного интеграла: простой {однократный) определенный интеграл
В
а Ъ
Рис. 113
Рис. 114
геометрически обозначает величину площади АаЬВ (рис. 113),
ограниченной: отрезком [а, Ь], ординатами в его концах а дан*
ной кривой y = f(x).
Перейдем теперь к рассмотрению двухмерной интегральной суммы:
Предположим, что площадки а0, о1э о2, ....о^^ на которые мы
разбили область ?>, заданную контуром С (рис. 114), изменяются
с течением времени и начинают безгранично умаляться (и не
s смысле одной только величины площади площадок, но и в смысле

§ 119 ДВОЙНОЙ (ОПРЕДЕЛЕННЫЙ) ИНТЕГРАЛ 317
размера их диаметров), так что даже самый большой из их диамет-
диаметров1 и тот безгранично умаляется. Это значит, что площадки
о0, olf o2 ап_1 делаются все более и более мелкими. И так как
они должны заполнять постоянную площадь внутри контура С, то
их число неизбежно должно безгранично увеличиваться. С другой
стороны, непрерывная функция f(x,y) есть ограниченная', поэтому
для всех точек М (я, у) мы имеем неравенство:
\Пх.у)\<К.
где К есть постоянная величина* Отсюда следует, что «общий член»
f(Mt) • Oj двухмерной интегральной суммы 5 имеет абсолютную ве-
величину, меньшую чем К • at, и, значит, безгранично умаляется.
Таким образом, когда наибольший из диаметров площадок
с0' °i» °2» •••• cw-i безгранично умаляется, двухмерная инте-
интегральная сумма S становится суммой безгранично увеличивающе-
увеличивающегося числа бесконечно умаляющихся слагаемых,
В этих условиях двухмерная интегральная сумма S стре-
стремится к определенному пределу\ всегда одному и тому же,
какую бы форму ни имели бесконечно умаляющиеся площадки
Go» °i» °2» •••» °n-i u каким бы образом ни выбирались в них
точки Мо, М1я М2, ..., Mn_v
Мы не можем в рамках настоящей книги входить в доказатель-
доказательство этого важного предложения. Мы ограничимся тем, что просто
предупредим читателя об его истинности для областей, ограниченных
спрямляемыми кривыми, т. е. кривыми, имеющими конечную длину;
доказательство же можно найти в более подробных курсах ана-
анализа.
Предел двухмерной интегральной суммы S называется двойным
(определенным) интегралом и обозначается знаком, аналогичным
знаку простого (однократного) интеграла, именно:
fff(x,y)dxdy.
Читается этот знак так: «двойной интеграл по области D эф
мкс игрек дэ икс дэ игрек».
1 Диаметром d какой-либо плоской фигуры F называется наибольшая
из хорд этой фигуры. На прилагаемом рисунке 115 диаметром, очевидно,
является хорда d. Если фигура с течением времени изме-
изменяется так, что ее диаметр безгранично умаляется, то
это значит, что она стягиваемся в точку. Если же
только площадь фигуры безгранично умаляется, то отсюда
еще не следует, что она должна стягиваться в точку,
так как фигура может оставаться весьма длинной и только
безгранично утончаться. Рис. 115

318
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. IX
Подстановка буквы D под знаком двойного интеграла f Г есть
указание на то, что интегрирование (т. е. суммирование, сопро-
сопровождающееся затем переходом к пределу) ведется по всей области D,
Примечание. Как и простой (однократный) определенный интеграл
ь
Г f(x)dx% двойной (определенный) интеграл получил такое символическое
а
обозначение, которое всегда бы нам напоминало, пределом какого именно
выражения он служит. Именно, двухмерная интегральная сумма
может быть составлена в предположении, что плошадки ао, ot, ..., an_t
являются прямоуюльниками, полученными от разбиения области D прямыми
линиями, параллельными осям координат
у ОХ и OY (рис. 116).
Предположить это мы всегда влраве,
так как предел интегральной суммы не
зависит от формы площадок а0, alt ..., art_j,
лишь бы они все безгранично умалялись
(диаметром). Но если мы дадим площад-
площадкам с0, olf ..., сл-1 прямоугольную форму,
как было указано, то «общий член» инте-
интегральной суммы напишется в виде тройного*
у. произведения
Рис. 116 л _ „ л
потому что «общей площадкой* будет те-
теперь та, которая составлена из точек
М(х, у), абсциссы которых х удовлетворяют неравенствам */<*<.*j+i
и ординаты которых удовлетворяют неравенствам yj ^ у •< Уу+i» Поэтому
площадью такой площадки будет произведение А^ • Дуу.
Выбирая же точку Му с координатами jq, у/ (т. е. нижнюю левую вер-
вершину) на этой «общей» площадке, мы получаем общий член интегральной
суммы в виде f(xit yj) Д^«Дуу, и, значит, сама интегральная сумма напи-
напишется в виде:
i J
где первое суммирование делается по значку J, что дает вертикальную
полоску^ содержащуюся внутри контура С, а второе суммирование, по
значку /, заставляет эту полоску двигаться слева направо, описывая таким
образом внутренность всего контура С.
Если теперь общее приращение абсциссы ?ixt написать просто в виде Д^»
а общее приращение Дуу ординаты написать просто в виде Ду, то интегралы*
ная сумма напишется в виде:

§ 120
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
319
Естественно поэтому и предел интегральной суммы, т. е. двойной (опре-
(определенный) интеграл, написать так, чтобы некоторые следы интегральной
суммы были сохранены в обозначении предела. Отсюда и получилось обо-
обозначение двойного (определенного) интеграла в виде символа
', у) dx dy.
§ 120. Геометрический смысл двойного интеграла. В силу
изложенного ранее о геометрическом смысле двухмерной интеграль-
интегральной суммы, геометрический смысл двойного (определенного) интеграла
очень прост. Мы видели, что двух-
двухмерная интегральная сумма обозначает
объем ступенчатого тела, составленного
из вертикальных столбиков, имеющих
площадки al_l своими основаниями и
аппликаты f (М^^ поверхности своими
высотами.
Обозначим через V объем вертикаль-
вертикального цилиндрического тела (рис. 117),
образующие которого параллельны
оси OZ, нижним основанием которого
служит область D, лежащая на пло-
плоскости XOY, а верхнее основание ко-
которого кривое, представляющее собой
кусок поверхности z — f(x, у), при-
прикрывающий сверху рассматриваемое
цилиндрическое тело. Если, приняв какое-нибудь разбиение области D
на площадки а0, аи <з2, ..., an_lt мы выберем точки Мо, Ми М2, . ..
.-., Л4Л_1 в них так, чтобы соответствующие аппликаты f(Mt)
всегда были минимальными в этих площадках, тогда столбики,
имеющие а1 своими основаниями и f(Mt) своими высотами, понятно,
будут вписанными в вертикальные цилиндры, имеющие а{ своим
нижним основанием и кусок поверхности z — f(xt у) своим верхним
основанием. Значит, раз столбик является частью цилиндра, в кото-
который он вписан, то объем столбика будет меньше объема этого
цилиндра. И так как объем столбика равен / (Жг) • aif то отсюда
следует, что сумма объемов всех п столбиков, равная, очевидно,
интегральной сумме
Рис. 117
сбудет меньше суммы объемов всех п цилиндров; эта же последняя,
-очевидно, равна объему V всего цилиндрического тела. Итак, мы
Заходим, что при выборе точек AI0, Ml9 Ж2, ..., Мп_и дающих
-минимальные аппликаты, 5 < V. Поэтому и предел интегральной

320
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. IX
суммы «S не может быть больше, чем V. Следовательно,
Если теперь мы сделаем другой выбор точек Жо, Ми ..,, Мп_и
выбирая их так, чтобы аппликаты f(Mt) были максимальными
в площадках <si9 то рассматриваемые столбики* имеющие основани-
основаниями ai и высотами f(Mj)% будут, очевидно, уже описанными около
соответствующих цилиндров, и, значит, ступенчатое тело, составлен-
составленное из столбиков, будет содержать все цилиндрическое тело. Так
как объем ступенчатого тела есть интегральная сумма, то поэтому
при таком выборе точек
и значит,
М
о,
Мъ ..., Мп_1 мы получим S>V,
Сопоставление двух предыдущих неравенств дает:
d
Ус
—
—
r
M
г
Q
Следовательно, двойной (определенный) интеграл от непрерыв-
непрерывной функции f(xt у) по области D численно равен объему вер-
у тикального цилиндрического тела,
имеющего область D одним своим
основанием и кусок поверхности
z = f(x> у) другим своим основа-
основанием.
Заметим, что если поверхность
z=zf(x, у) расположена под пло-
плоскостью XOY% то двойной инте-
интеграл, а стало быть, и объем V
тела отрицательны, потому что
в этом случае функция f(xt у)
отрицательна.
§ 121. Вычисление двойного интеграла. Случай прямоуголь-
прямоугольной области. Случай этот самый простой, и с него естественно
начать вычисление двойного интеграла.
Возьмем прямоугольник PQTR (рис. 118), все точки М(х, у)
площади которого имеют абсциссу х, заключенную между а и Ь, и
ординату у, содержащуюся между с и йь т. е. а^х^Ь и c^y^d.
Пусть функция f(x,y) есть непрерывная внутри этого прямо-
прямоугольника, включая контур.
i 4*1
Рис. 118

§ 121 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 321
Чтобы вычислить двойной интеграл
/
PQTR
естественно разбить прямоугольник PQTR на маленькие прямоуголь-
прямоугольники, проводя прямые, параллельные осям координат. Разделим для
этого отрезок [я, Ь], лежащий на оси ОХ, на п малых отрезков при
помощи точек деления а < хх < х2 < ... < xn_t < b и проведем
через эти точки деления прямые, параллельные оси OY. Аналогично
разделим отрезок [ct d]t лежащий на оси О К, на т малых отрезков
при помощи точек деления с < ух < у2 < ... < ут-\ < d и про-
проведем через эти точки деления прямые, параллельные оси ОХ.
Ясно, что вследствие этого данный прямоугольник PQTR разо-
разобьется на п X м прямоугольников, для которых и следует составить
интегральную сумму; при этом для удобства мы выбираем точки М
в нижнем левом углу каждого из этих четырехугольников. Таким
образом, в прямоугольнике
заштрихованном на чертеже, нами будет выбрана точка (л:,, yj).
Этот прямоугольник мы будем рассматривать как «общий». Его
площадь, очевидно, равна Ал:/ X ^У/-
Поэтому «общий» член интегральной суммы будет
Следовательно, вся интегральная сумма будет
п—1т—1
Оба указанные суммирования здесь производятся одновременно.
Но рассматриваемая интегральная сумма есть конечная, а во всякой
конечной сумме можно изменять как угодно порядок суммирова-
суммирования. Естественно поэтому в целях удобнейшего вычисления предла-
предлагаемой интегральной суммы попробовать вычислить ее двумя следую-
следующими способами.
Первый способ
Сначала суммирование ведется по переменной у и уже затем
по переменной х.
Так как буква у снабжена значком У, а буква х — значком /,
то нужно сначала суммировать по значку J и уже затем по /.
21 Интегральное исчисление

322
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. IX
Значит, мы имеем:
Заметим при этом, что просуммировав по значку jf мы у полу-
полученной частной суммы имеем право вынести за знак суммирования
множитель Дл^, так как он один и тот же у всех членов рассматри-
рассматриваемой частной суммы.
Напишем эту двухмерную интегральную сумму для простоты
иначе, именно: уничтожим значки у букв х и у, предполагая, что
значения этих переменных изменяются не непрерывно, а скачками,
причем х пробегает числа а, хи хг> ..., хп_х и у пробегает числа
с* У и У г* •••» Ут-v Тогда наша двухмерная интегральная сумма
напишется так:
1
d
с
0
У
i
R
а
г
Q у
> х
Рис. 119
Геометрически такой порядок расположения слагаемых в двух-
двухмерной интегральной сумме означает, что сначала набираются слагае-
слагаемые по вертикальной полоске, так как
при первом (внутреннем) суммировании х
предполагается постоянной (рис. 119).
И уже затем, набрав слагаемые по всем,
вертикальным полоскам, мы производим
второе (наружное) суммирование, склады-
складывая все вертикальные суммы, для чего
теперь уже нужно изменять х>
Будем теперь безгранично умалять
диаметры одновременно всех прямоуголь-
прямоугольников, на которые был разбит данный
прямоугольник PQTR, Мы знаем, что
тогда двухмерная интегральная сумма стремится к совершенно опре-
определенному пределу, который есть двойной интеграл
f ff(x>y)dxdy
PQTI?
по площади прямоугольника PQTR.
Так как бесконечное умаление прямоугольников мы вольны про-
производить, как нам вздумается, то мы можем сначала бесконечно
умалять высоты ky этих прямоугольниковх, оставляя неприкосновен-
неприкосновенными их основания Ад;. Но вследствие того, что первая (внутренняя)

§ 121 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 323
сумма, есть, очевидно, простая (одномерная) интегральная сумма, то
ее пределом при этом приближении высот ку прямоугольников
к нулю будет простой (однократный) определенный интеграл
d
ff(x,y)dy,
с
взятый между постоянными пределами с и d по букве у в пред-
предположении, что буква х постоянная.
Значит, подводя все ky к нулю, мы имеем как промежуточный
этап вычисления двойного интеграла количество
ff(x,y)dy.
Наконец, подводя к нулю Да:, мы находим уже окончательный
результат:
Ь d
///(*, y)dxdy^f dxff(x, y)dy.
PQTR а с
Итак, вычисление двойного интеграла по прямоугольнику требует
таких действий: .
Правило. Первый шаг. Предпо- У
t/гагая переменную х постоянным чис-
числом, проинтегрировать функцию f (x, у)
по переменной у между пределами
cud, определяющими ее изменение.
Второй шаг. Полученный после
первого шага результат проинтегриро-
проинтегрировать по переменной х между преде-
пределами а и Ь, определяющими ее изме-
изменение.
Прилагаемый рисунок 120 служит читателю для напоминания
о том, что интегрирование сначала идет по вертикальным полоскам
(значит, х постоянно) и уже после этого интегрирование ведется
по х от а до Ь.
Второй способ
Сначала суммирование ведется по переменной х, а уже
затем по переменной у.
1) Кажущаяся рискованность этого рассуждения не дает места, даже
формально, каким-либо сомнениям, так как ведь мы с самого начала пред-
предполагаем существование предела двухмерной интегральной суммы.
21*

324
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. IX
Все, что было сказано выше о первом способе, приложило и ко
второму, потому что свойства переменных х и у совершенно одина-
одинаковы. Только здесь все идет наоборот, так как переменные х и у
здесь меняются ролями.
Прежде всего мы еще раз изменяем порядок слагаемых в двух-
мерной интегральной сумме, производя сначала суммирование по
значку / и уже потом — по значку у. Это дает право написать двух-
двухмерную интегральную сумму в виде
т-1 Г я-1
S k
Здесь мы, производя частное суммирование по значку /„ выносим
количество Aj/7-, как постоянный множитель, за знак этого частного
суммирования.
Полученную формулу мы напишем в виде
лредполагая, что сохраняется прежнее соглашение о том, что пере-
переменные х и у пробегают не все возможные значения, но лишь
у a, xlt x29 ..., хп_х и с, уи у2, ...,
d
с
0
R
Р
а
4
¦
т
Ъ
Рис. 121
Я»1
Геометрически такой порядок рас-
расположения слагаемых в двухмерной
интегральной сумме означает, что сна-
сначала набираются слагаемые по горизон-
горизонтальной полоске (рис. 121), потому
что при первом (внутреннем) суммиро-
- X вании у предполагается постоянной.
И уже затем, набрав слагаемые по всем
горизонтальным полоскам, мы произво-
производим второе (наружное) суммирование,
складывая все горизонтальные суммы, для чего теперь уже нужно
изменять у.
Для полного вычисления двойного интеграла \ \ / (л:, у) dx dy
pqtx
мы должны одновременно бесконечно умалять стороны Ал: и Ау
наших прямоугольников в выражении двухмерной интегральной суммы.
Производя сначала бесконечное умаление сторон Ал:, мы имеем
в качестве промежуточного этапа вычисления предела двухмерной
интегральной суммы количество
а ь

§ 121
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
325
Наконец, приближая к нулю Д.у, мы находим уже окончательный
результат:
f f f(*> y)dxdy = fdy ff(x,y)dx.
PQTX с а
Правило. Первый шаг. Предполагая переменную у посто-
постоянным числом, проинтегрировать функцию f(xfy) поперемен-
попеременной х между пределами а и Ь, определяющими ее изменение.
Второй шаг. Полученный после первого шага результат
проинтегрировать по переменной у между пределами end,,
определяющими ее изменение.
У
Г R
Рис. 122
Прилагаемый рисунок 122 послужит читателю напоминанием того,
что интегрирование сначала идет по горизонтальной полоске (у по-
постоянно) и уже затем по букве у от с до d.
Пример 1. Вычислить интеграл
J J xydx dy
P
PQTR
по прямоугольнику PQTR, вершины которого лежат соответственно в точ-
точках B, 1), A0, 1), A0, 7), B,7) (рис. 123).
Первый способ
Решение
Первый шаг. Предполагая букву х постоянной, интегрируем функ-
функцию ху по переменной у между пределами 1 и 7, определяющими ее
изменения:
Второй шаг. Полученный после первого шага результат интегри-
интегрируем по переменной х между пределами 2 и 10, определяющими ее изме-
изменение;
ю
24 J xdx ^?°
2
24Г^
24.48 =» 1152.

320
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. IX
Короче вычисление следует записывать так:
10 7 10 7
j f xydxdy=* \ С xydxdy= f dx fxy dy
PQTR 2 1 2 1
10 10
2 1
Второй спрсоб
Меняя порядок интегрирования, т. е. интегрируя сперва по xt а затем
7 10 7 10
Г Г xydxdy= С j xydydx= Г dy fxydx=*
по у, получим:
PQTR
12
Пример 2. Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда * (рис. 124)»
основанием которого служит прямоугольник примера 1, а высота равна 5.
f
Q
T
\
\
/ /
г
f
V
"V
/
Рис. 124
Рис. 125
Решение.
Положим f(x, у)=з5. Тогда двойной интеграл Г Г bdxdy согласно его
геометрическому смыслу (§ 120) дает искомый объем параллелепипеда:
10 7 10 7
Р<ЭГ# 2 1
10 7 10
Г i/JC J dy = 5 J ly^
5 Г Сdxdy
2
2 1
10
.5-6-8 = 240.
i Разумеется, для вычисления объема параллелепипеда нет нужды пользо-
пользоваться интегральным исчислением, и рассматриваемый пример служит только
иллюстрацией исследуемого вопроса.

§ 122
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
327
Пример 3. Вычислить объем прямого параллелепипеда, срезанного сверху
параболоидом г = 4—х%— .у2 и стоящего над квадратом,* который образуется
в плоскости XOY прямыми *=±1, у = ±1 (рис. 125).
Решение. Здесь /(*, у) = 2" = 4 — хг— у2, и мы будем иметь;
+1
l l
+1
+i
— у*) dx
§ 122, Вычисление двойного интеграла. Общий случай
области, ограниченной криволинейным контуром. Мы сначала
предполагаем, что область D ограничена криволинейным контуром С,
таким, что всякая вертикальная пря- ^
мая встречает его не более как
в двух точках (рис. 126). Случай
этот мы рассматриваем по аналогии
с предыдущим1.
Если абсцисса точки Р есть х% у.
то длины обоих отрезков РМг У
и РМ29 где Мх и Мг суть две точки
встречи криволинейного контура С
с вертикальной прямой, проведенной
через точку Р, понятно, зависят от х.
Следовательно, длины отрезков РМХ
и РМ2 будут две некоторые функции
аргумента х.
Мы вводим обозначения: PM1^=z^l{x) и РМ2 = ср2(•*;) и предпо-
предполагаем, что наш контур С таков, что функции уг(х) и <р2(л;) непре-
непрерывные.
Пусть f(xt у) есть данная нам непрерывная функция в замкну-
замкнутой области D, т. е. включая и самый контур.
Чтобы иметь двухмерную интегральную сумму, мы делим
область D на весьма малые прямоугольники, проводя прямые, парал-
параллельные осям координат ОХ и ОК. Образующиеся при этом прямо-
прямоугольники будут двух сортов: полные и урезанные криволинейным
контуром С. Первые будут лежать внутри контура С, вторые будут
пересекаться с контуром С, Этими последними мы будем всегда пре-
пренебрегать, потому что тот добавок, который они вносят в двухмер-
двухмерную интегральную сумму, будет безгранично умаляться с бесконечным
Рис. 126
1 Мы отсылаем для строгого рассмотрения этого случая к более пол-
полным курсам математического анализа.

328 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. IX
умалением диаметров всех прямоугольников. Действительно, обозна-
обозначая площади этих урезанных контуром С прямоугольников через ши
ш2 <ор и выбрав в них как-нибудь по одной точке М\ М!\ ...
..., JV^P\ мы видим, что этими неполными прямоугольниками будут
внесены в двухмерную интегральную сумму слагаемые:
2(^у
Но функция /(л:, у), будучи непрерывной, есть функция ограни-
ограниченная. Это значит, что имеем всегда
|/(*. У)\<К.
где К — положительная постоянная.
Поэтому слагаемые, внесенные в двухмерную интегральную сумму
урезанными прямоугольниками, все вместе составят количество, по
абсолютной величине меньшее, чем
К* ^х + ^К • <*>2~Ь •«•
или
Ho (bj + Wg-f- ... +сор есть вся площадь этих урезанных кон-
контуром С прямоугольников. Читатель должен рассматривать, как оче-
очевидный, тот факт, что сумма «^-f-Og-l- ... -\~юр площадей уре-
урезанных контуром С прямоугольников стремится к нулю вместе
с бесконечным умалением диаметров этих прямоугольников.
Таким образом, имеем Urn К (<о5 -f- «>2 + ••• -*-(°р) = 0. что доказы-
вает, что неполными прямоугольниками всегда можно пренебрегать.
Что же касается полных, то мы берем их все и для того, чтобы
иметь двухмерную интегральную сумму, выбираем в каждом из них
точки М в нижнем левом углу его. Поэтому если прямоугольник
(дГ| ^ х ^ xi+t, У;^у <С У/+г) есть «общий» полный четырехуголь-
четырехугольник, то он внесет в двухмерную интегральную сумму слагаемые
/ (xit yj) • Axj • Lyj9
и, значит, вся двухмерная интегральная сумма (кроме слагаемых,
происходящих от неполных четырехугольников) будет:
0 О
oOf(xi% yf)*bxrbyf,
1 t
где значки / и j должны браться лишь такими, чтобы соответствую-
соответствующий прямоугольник (xi-^x^xl+1, У}^У^.У;+1) непременно попал
внутрь контура С и не был ни урезанным, ни внешним для кон-
контура С.

§ 122 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 329
Написав эту двухмерную интегральную сумму сокращенно в виде
SSf(x.
где х и у пробегают отнюдь не все возможные числа, а лишь те
числа х( и yjy которые послужили для покрытия внутренности кон-
контура С сетью четырехугольников и притом с тем ограничением,
чтобы соответствующие четырехугольники попадали полностью внутрь
контура С, мы производим перегруппировку слагаемых.
Именно, мы сначала набираем слагаемые для прямоугольников,
составляющих вертикальную полоску. Значит, набирая вертикальную
полоску, мы обязаны рассматривать переменную х как постоянное
число; поэтому у всех этих слагаемых множитель Дд: будет одина-
одинаковым, и его, следовательно, можно вынести за знак этого частного
(по вертикальной полоске) суммирования. И уже затем, набрав сла-
слагаемые по вертикальным полоскам, мы должны будем сложить все
эти вертикальные суммы, для чего теперь нужно изменять перемен-
переменную х.
Если мы выполним указанную перегруппировку, двухмерная инте-
интегральная сумма примет вид: о A^Xu/U, У)&У I.
х L У J
Для вычисления двойного интеграла Г \ f (x% y)dxdy мы дол-
жны одновременно бесконечно умалять стороны Лд: и Ly наших
прямоугольников в выражении двухмерной«интегральной суммы. Произ-
Произведем сначала бесконечное умаление сторон Л^у, как было объяснено
в сумме прямоугольного контура интеграции. Мы будем иметь в ка-
качестве промежуточного этапа вычисления предела двухмерной
интегральной суммы количество о Дд: X J f(x>y)dy, потому, что
х ъ (х)
при х постоянном точки М (х9 у), выбранные в прямоугольниках
рассматриваемой вертикальной полоски, находятся только на от-
отрезке MxM2t деля его на бесконечно умаляющиеся части. Поэтому
при х постоянном переменная интеграции у пробегает лишь отре-
отрезок МхМг, и, значит, при интегрировании по у мы имеем:
?i (¦*) ^ У <^ ?2 (¦*)• гДе х в этот момент рассматривается лишь как
постоянная величина.
Наконец, приближая к нулю Дд:, мы имеем уже окончательный
результат:
Ь фя (JP)
Я/(х, y)dxdy= f dx Г f{xt y)dy9
j j

330
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. IX
где а и Ь — это те два крайние значения абсциссы х, которые
вообще только возможны для абсцисс вершин прямоугольников, лежа-
лежащих в области D. Значит, a ti b суть такие два числа, что верти-
вертикальные прямые л: = а и х — Ь прикасаются к контуру С слева и
справа, содержа его между ними.
Таким образом, для вычисления двойного интеграла по области D,
ограниченной контуром С, не пересекающимся с собой и притом
таким, что всякая прямая, параллельная оси OY, пересекает его не
более чем в двух точках (рис. 127), имеем:
Правило.
Первый шаг. Найти уравнение у = <fx(х) нижней линии
контура С и уравнение у = у2(х) его верхней линии.
О а о
Рис. 127
Рис. 128
Второй шаг. Предполагая переменную х постоянной, про-
проинтегрировать функцию f(x, у) по у между пределами срх(лг>
и <р2(Х).
Третий шаг. Полученный после второго шага результат
проинтегрировать по х между двумя постоянными числами а
и Ь, находимыми из того условия, чтобы прямые х = а и х = Ь
касались слева и справа заключенного между ними контура С.
Так как роли переменных х и у одинаковые, то учащийся без
всяких новых рассуждений видит справедливость и следующего вто-
второго правила для вычисления двойного интеграла по облает D,
если только всякая прямая, параллельная оси ОХ, пересекает кон-
контур С, ограничивающий эту область не более чем в двух точках
(рис. 128).
Первый шаг. Найти уравнение х = Ф1(у) левой линии кон-
контура С и уравнение х — Фг(У) его правой линии (рис. 128).
Второй шаг. Предполагая переменную у постоянной, про-
проинтегрировать функцию f(xt у) по х между пределами Фг(у)
и Ф2(у).

§ 122
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
331
Третий шаг. Полученный после второго шага результат
проинтегрировать по у между двумя постоянными числами с
и d9 находимыми из того условия, чтобы прямые у = с и y = d
касались сверху и снизу заключенного между ними контура С.
Если контур С пересекается прямыми вертикальными и прямыми
горизонтальными не более чем в двух точках, то к нему приложимы
сразу оба предыдущие правила и тогда надо поступать как удоб-
удобнее.
Если контур С пересекается прямыми, параллельными осям коор-
координат, более чем в двух точках, тогда площадь, содержащуюся внутри
контура С, разбивают на такие части, к которым можно уже при-
применить предыдущие правила.
Рис. 129
Рис. 130
Например, достаточно рассечь область D, представленную на
рисунке 129, по пунктирным линиям, чтобы предыдущие правила
оказались применимыми к каждой из трех областей Dl9 D2, D3
в отдельности. Ясно, что двойной интеграл по области D будет
равен сумме трех двойных интегралов по областям Du D2, Ds.
Пример. Проинтегрировать функцию f(xty)
гея значения ее в области, ограниченной линиями у2
ваются
(черт. 130).
Решение. Искомый интеграл есть
x-\-2yt если рассматри-
4 + и jc = 5
/ Г
С Фг(У)
/«J J (x + 2y)dydx.
причем первое интегрирование мы будем производить по х.
Первый шаг. Находим уравнения х = Фг (у) и х = Ф2 (У) левой и
правой линий контура, ограничивающего рассматриваемую область. Левой
линией является парабола. Поэтому из уравнения ее находим х = уг — 4.
Правая линия есть прямая ^ = 5. Следовательно, х =» Фг (у) =» у2 — 4 и
•* =¦ ф2 (У) «»5.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. IX
В юрой шаг. Предполагая у постоянным числом, интегрируем функ-
функцию х + 2у по х между найденными пределами х=*у2 — 4 и л: =* 5:
5
f
t -Y
Третий шаг. Полученный результат надо теперь проинтегрировать
по у между двумя постоянными пределами cud, которые определяются из
того соображения, чтобы контур С содержался между прямыми у =? с и
у = d, касаясь их. Очевидно, в этом случае такими прямыми являются пря-
прямые, параллельные оси Ох и проходящие через точки пересечения прямой
х = 5 с параболой. Для определения координат точек В и С решаем сов-
совместно уравнения параболы и прямой и
находим: В E, 3); С E, —3). Следовательно,
уравнения искомых прямых будут: у = —3,
у = Н-3. Итак, искомыми пределами
являются с = —3, d = -f-3. Поэтому пишем:
1
*
A
L о
* *
ay../,
В
<l
-f-o
= J B
-3
Рис 131
Когда у учащегося приобретается на-
навык в решении такого рода задач, можно
вычисление интегралов производить и короче, сразу найдя значения преде-
пределов внутреннего и внешнего интегралов. Таким образом будем иметь:
+3
-3
+3
f [
+3
-з
1.
Решим теперь этот же пример, изменив порядок интегрирования:
ь
: + 2y)dxdy.
Первый шаг. Находим уравнения у»<pj (x) и у =»<р2(х) нижней и
верхней линий, ограничивающих рассматриваемую область (рис. 131). Ниж-
Нижней линией является нижняя ветвь параболы у2>=4-{-х> а верхней — верх-
верхняя ее ветвь. Поэтому получим:
?2 (х

§ 123 ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 333
Второй шаг. Предполагая х постоянным числом, интегрируем функ-
функцию х-\-2у по у между найденными в первом шаге пределами:
+
J
-ViTx
Третий шаг. Полученный результат надо теперь проинтегрировать
по х между двумя постоянными пределами а и Ь, которые определяются из
того соображения, чтобы контур С содержался между прямыми х = а и
х = 6, касаясь их. Очевидно, что таковыми прямыми являются в нашем
случае слева — прямая, проходящая через вершину параболы параллельно
оси О У, а справа — прямая х = 5. Уравнение левой прямой есть х = —4,
ибо точка А имеет координаты (—4,0). Таким образом а = — 4, 6 = 5.
Поэтому будем иметь:
+5
J 2xY4-\-xdx =50^-.
-А
Заметим, что при интегрировании вторым способом мы пришли к необ-
необходимости вычислить более трудный интеграл. Поэтому при выборе порядка
интегрирования следует принимать во внимание сложность получающихся
после первого интегрирования функций. В примере § 125 мы покажем, что
при выборе порядка интегрирования следует принимать в соображение также
и характер контура, ограничивающего область интегрирования.
§ 123. Двойной интеграл в полярных координатах. Мы знаем,
что при вычислении двойного интеграла Г f /(дг, y)dxdy вовсе не
D
обязательно пользоваться непременно бесконечно умаляющимися пря-
прямоугольниками, имеющими стороны, параллельные осям координат ОХ
и OY: здесь возможен бесконечный произвол. Мы знаем, что всегда
f f
D
f
D
где бесконечно умаляющиеся площадки о0, alt ..., ал_1, на которые
разбивается область D, могут быть какой угодно формы. Важно
только, чтобы точки Жо, Мг, М2, ..., Мп_х выбирались на соответ-
соответственных площадках о0, olf о2, ..., оп„х.
Иногда оказывается чрезвычайно удобным пользоваться при вычи-
вычислении двойного интеграла полярными координатами.
В этом случае площадки о0, ои .... ол_1 образуются двумя се-
семействами линий: прямыми, исходящими из полюса О, и окруж-
окружностями, имеющими полюс О своим центром (черт. 132).
В этих условиях ясно, что величина «общей» площадки будет
приближенно равна prfprfO, если эту площадку рассматривать как
прямоугольник со сторонами prf6 и dp.
Значит, двойной интеграл напишется в виде

334
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. IX
Простое рассмотрение рисунков 133 и 134 покажет учащемуся,
как надо производить фактическое вычисление двойного интеграла
в полярных координатах:
еа * @)
I. J //(*» y)dxdy = JdQ j /(pcos9, p sin б) р dp (рис. 133)
D 6, * (9)
к <Mp)
II. f $ f(x, y)dxdy= fpdp f /(pcosG, psin6)rf6 (рис. 134)
/> Pi Ф, (o)
Рис. 132
Рис. 133
Пример. Вычислить интеграл функции /(р, 8) = р2 по области, ограни-
ограниченной окружностью р = 2а cos в (рис. 135).
Решение. Нам надо вычислить интеграл
г
• р
где р = f 1 (б) =5 0, как это непосредственно видно из рис. 135, а р =» ср2 F)=
= 2а cos 0 из уравнения контура. Что касается значений Ьг и 82, то легко
Рис. 135
видеть,-что 0! = jj и 02= +-к*, так как при изменении угла от—~
, % z z л *
до + -о- мы охватим все секторы, на которые разбиваем область интегри-
рования. Таким образом, будем иметь:
2fl cos Ь
/Г
J
Г Гр4Т
J LTJ,
2а cos В
О
t
4а* cos4 8 tf0 =

§ 124 ОБЪЕМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА 335
Проверить
а ь
1 / \ (
1 1 "^
0 0
Т а
ЗАДАЧИ
вычисленные интегралы г:
У)иуах ^ [и а), о.
0
а х
1 j х dx dy й uO
f J хг-\-у* J 2
Л Л A + COS б)
2./
2./ /
о a cos 6
а. 2,
3.
о »-* ° * ^
JL 2а а
ь
Яч 9. Г Г (да+ 2u)dudto = 11,2а3.
+"F 3cos6
0 ~" 2
Ь j
0 0
11. Проинтегрировать функцию /(p, 8)s=sin6 по области, ограниченной
верхней частью окружности р = a cos 6. ^ л2
UTB. ¦¦ _ ' •
о
12. Проинтегрировать функцию /(л:, у) = -¦- по области, ограни-
у ах—л2
ченной осью OY и параболой у**=ф — ах. Отв. 4а.
13. Проинтегрировать функцию / (х, у) = хг + уа по области, ограни-
ограниченной осью ОА" и прямыми у = л: и х = 2а. п 16а4
Отв.
"Г*
Приложения двойного интеграла
§ 124. Объем цилиндрического тела, В § 120 было уже пока-
показано, что если функция z — fix, у) представляет собой уравнение
поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело, образующие
которого параллельны оси OZ, а направляющая кривая С лежит на
плоскости X0Y, то двойной интеграл этой функции по области D,
ограниченной контуром С, выражает объем этого цилиндрического
тела:
= f ff{x. y)dxdy.
1 Первое интегрирование совершается по той переменной, дифференциал
которой, а соответственно и интеграл, занимают последнее место.

336 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. IX
В § 121 нами был рассмотрен пример (см. пример 3) на вычисле-
вычисление объема цилиндрического тела.
ЗАДАЧИ
1. Найти объем тела, ограниченного цилиндрическими поверхностями
у = jc2t х = у2 и поверхностью z = 12 -\- у — х2. л А 9
UTB 4l
2. Найти объем тела, ограниченного плоскостью XOY% цилиндром
•*2 + У2 = 1 и плоскостью х + у + * =* 3. Отв. Зте.
3. Найти объем тела, расположенного в первом октанте и ограничен-
ограниченного цилиндром (х— IJ -(- (у — IJ = 1 и параболоидом *у = г. Отв. тс.
4. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью XOY, цилиндром
jf2 _|_ ^2 — 2д* = 0 и поверхностью прямого кругового конуса, вершина ко-
которого расположена в начале координат, ось совпадает с осью OZ и угол
осевого сечения при вершине равен 90°. ~ 32 3
у
5. Найти объем тела, ограниченного поверхностью шара радиуса а и
поверхностью прямого кругового цилиндра, радиус поперечного сечения ко-
а
торого равен у и одна из образующих которого проходит через центр шара.
Отв. -^а*Cп — 4).
6. Вычислить объем тела, которое снизу ограничено площадью лемни-
лемнискаты р2 = a2 cos 20, расположенной в плоскости XOY, сверху — поверхностью
шара х2-\-у2-\~ z2 = а2, а с боков — цилиндрической поверхностью, напра-
направляющей для которой служит лемниската. 1 2,~ „ ШтЛГ*
У
7. Найти объем тела, ограниченного плоскостью XOY% параболоидом
аг = х2 + у2 и цилиндром х2 4- У2 = 2ах. о 3 3
§ 125. Площади, ограниченные плоскими кривыми. Как выше
было обнаружено, двойной интеграл функции f(xty) по области D9
ограниченной контуром С, выражает собой объем цилиндрического
тела, образующие которого параллельны оси OZ и которое ограни-
ограничено поверхностью z = f(xt у). Положим f(xt y)=l. Тогда, оче-
очевидно, интеграл
Г С dxdy или Г Г р dp dQ
D D
будет выражать объем прямой призмы; построенной на основании D,
ограниченном контуром С, и имеющей высоту, равную единице.
Численно этот объем равен величине площади области D, огра-
ограниченной контуром С. Отсюда следует, что площади плоских фигур
могут быть вычислены при помощи двойных интегралов
С С dxdy (в прямоугольных координатах)»
р dp db (в полярных координатах).

§ 125
ПЛОЩАДИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ
337
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у2 = 4лг + 4
и прямой у =2 — х (рис. 136).
Решение. Решая уравнения данных линий совместно, найдем точки пере-
пересечения параболы и прямой: А (О, 2) и В (8, —6). Интегрируем сперва по х.
Тогда уравнение левой ограничивающей линии х = Ф\ (у) найдем из уравне-
v2 —• 4
ния параболы: х = —j—» а уравнение правой ограничивающей линии
х = Ф2 (у) =- 2 — у есть уравнение прямой. Постоянные пределы с и d равны,
очевидно, —6 и +2. Таким образом, будем
иметь: У
2 2-у
5=
f
—6 у3-
_____
2-,-
64
Замечание. Если бы мы сперва стали
интегрировать по у, то все вычисление было
бы более сложным: слева от оси ОУ надо
было бы интегрировать между пределами
у = — Y^x + 4. у = Н- У 4л: + 4, а справа между пределами у = —
2 С S б
Рис. 136
+ 4
у Y + у Н У р у р у у +
и у = 2 — х. Следовательно, искомая площадь S выразилась бы суммой двух
двойных интегралов:
S =
-1 -VU+Z
;
dxdy.
ЗАДАЧИ
1. Посредством двойного интегрирования найти площадь, содержащуюся
между параболами Зу2 = 25л: и 5л:3 = 9у. Отв. 5.
2. Вычислить площадь в первом квадранте, лежащую между параболой
v2 = ах и окружностью у2 = 2ах—л:2. л 1 9 2 „
J VJ Отв. — теа2—-тга'
3. Посредством двойного интегрирования найти площадь, содержащуюся
между кругами р = a cosO, р = b cos б (b > а), интегрируя сперва по р.
ОТВ. ^(^_Л2).
4. Посредством двойного интегрирования найти площадь фигур, ограни-
ограниченных следующими линиями:
1 г 1
а)* Л-У =я . л: + у = а.
b) лгу -= 4, х + у —. 5 = 0.
c) у2 = 4ал: + 4а2, у2 = — АЬх + 4#*.
d) у s=3 sinjc, у = cos x% x = 0.
22 Интегральное исчисление
Отв.
1
т-
A5 —8 In 4).

338 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. IX
f)
_
§ 126* Центр тяжести плоской фигуры. Если обозначим через х
и у координаты центра тяжести плоской фигуры, то, как было
показано в § 56:
_ I х dm __ I у dm
x^+j , У = АТ
I dm I
dm
где х и у— координаты точки, в которой сосредоточена масса dm
элемента площади. Следовательно, мы можем положить dm = wdx dy
или dm, —up dp db, где u> есть поверхностная плотность рассмат-
рассматриваемой области. Благодаря этому в качестве
В
пределов суммы слагаемых вида тх dx dy>
wy dx dy и о dx dy получим теперь двойные
\й\ интегралы. Таким образом, будем иметь:
/ _ Г \<oxdxdy _ Г \ aydxdy
гл х — * У— ГС
Рис. 137 J J * dx аУ J J '
причем интегралы должны быть вычисляемы по площади, центр
тяжести которой мы ищем.
Для случая полярных координат вышеприведенные формулы при-
принимают вид:
_ С С <ор2 cds б tfp db _ Г Г юр3 sin p dp dft
Х= /• /• » Уz=z 7» 75 •
I I <ор rfp db I I top rfp t/в
Если плотность ш постоянна, то, вынося о> за знаки интегралов»
получим формулы в более простом виде. В дальнейшем мы всюду
ограничимся рассмотрением именно этого простейшего случая, а потому
в нижеследующих примерах будем подразумевать ш постоянной, не
оговаривая этого.
Пример 1. Найти центр тяжести сегмента эллипса —3~ + -Tjr = l» 0ГРа*
ниченного прямой Ьх + ау == аЪ (рис. 137).
Решение, Нижний <ра (л:) и верхний ?2 (л:) пределы для внутреннего инте-
интегрирования находим соответственно из уравнений прямой и эллипса:
ah — Ьх
Пределами внешнего интегрирования являются х = 0 и ;с =

§ 126 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 339
Вычисляем теперь интегралы, входящие в формулы, которые определяют
координаты центра тяжести:
Ь у 8_ а
а ~а
J I
О аЪ—Ьх
f j >**">--&
о аЬ-Ъх о
а
А
а а
f /
О аЪ~Ьх
а
Следовательно,
Пример 2. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной окружностями
a cos 6, р = b cos б (рис. 138). Предполагается b > а.
Решение. Из симметрии фигуры непосредственно заключаем, что у = 0.
Вычисляем интегралы, входящие в формулу, определяющую абсциссу х.
 6COS0 2
Г Г р2 cos в rf9 rfp » 1. (*з — аз) J cos^ 0 db = ^« (^s —
w a cos в
6 cos 9
J I
а cos б
/
Следовательно,
ЗАДАЧИ
(Для практики рекомендуем проделать любую из задач 1, 3, 6, 7, 8, 10,
И, 13 § 56 с помощью двойного интегрирования.)
Найти центры тяжести фигур, ограниченных линиями:
a) Петлей f = d> cos 26. Отв. х = ^Хг^-» ~У = 0.
о
b) Петлей кривой р = a sin 28.
c) Кардиоидой р = a A + cos 6).
22*

340
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. IX
§ 127. Моменты инерции плоской фигуры. Моментом инер-
инерции материальной точки относительно оси называется произ-
произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси. Мо-
Моментом инерции системы и материальных точек относительна
оси называется сумма моментов инерции отдельных точек*
Пользуясь этим определением, можем сле-
следующим образом распространить понятие
момента инерции на плоскую фигуру.
Разобьем площадь данной фигуры (об-
ласть D) на элементарные площадки так, как
указано на рис. 139.
Пусть PG — одна из таких площадок.
Обозначим координаты точки Р через (х, у).
Площадь элемента равна dxdy. Положим
раз навсегда плотность фигуры равной еди-
единице во всех точках; Тогда масса элемента
будет равна dxdy. Если требуется найти момент инерции относи-
относительно оси ОХ, то * за момент инерции площадки PG можно при-
приближенно принять произведение у2 dx dy*
Тогда, следуя общему методу, за момент инерции всей фигуры
относительно ОХ примем:
Рис. 139
lim SSy2dxdy— Г С у* dxdy.
Обозначая момент инерции фигуры относительно оси ОХ через.
получаем:
Ix=ffy2dxdy.
D
Аналогичным образом найдем:
/у= f fx2dxdy.
D
Если осью, относительно которой вычисляется момент инерции,
является прямая, перпендикулярная к плоскости координат, то, обо-
обозначая через R расстояние точки Р от основания О этой оси (рис. 139)»
для момента инерции / всей фигуры таким же образом получим вы-
выражение:
где R теперь уже является функцией аргументов хну. Этот мо-
момент инерции называется полярным моментом инерции, или мо-

§ 127
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
34 Г
ментом инерции относительно точки О. Его обозначают через /0*
Так как, очевидно, /?2 = х2-\~у2, то имеем:
Последняя формула дает:
!0 = f f(x2+y2)dxdy = f fy2dx
D D
Итак, получаем теорему.
Момент инерции плоской фигуры относительно начала
координат равен сумме ее моментов инерции относительно*
осей координат, лежащих в плоскости данной фигуры.
Принимая во внимание, что элементарная площадка в полярных,
координатах выражается произведением pdddp и что A: = pcos0,,
ey = psin0t х2-*-у2—р2, получим формулы моментов инерции в по-
полярных координатах:
Ix = J J р3 sin2 б db dp, /y = J Jp3cos2 0 d6 dp,
D D
Пример 1. Найти /0 фигуры, ограниченной параболой
'-2а и осью OY (рис. 140).
, прямой-
Рис. 140
Рис. 141
Решение. Интегрируем сперва по х. Тогда, применяя формулу момента?
инерции относительно начала координат, получаем:
у!
у!
2а 4а
2а
о о
Ж

'342 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. IX
Пример 2. Найти /0 петли кривой p = asln26 (рис. 141),
Решение. Применяя соответствующую формулу, получаем:
it те
Т a sin 26
Г P2tf6rfp = ia4 С
ЗАДАЧИ
1. Найти /0 фигуры, ограниченной прямыми х = д, у = 0, у = —лс.
Отв. t
2. Вычислить /о прямоугольника, ограниченного прямыми х = л, у!
и координатными осями.
3. Найти [у эллипса — Ч-тг^*»
4. Найти /0 эллипса —у- + "if = !• Отв.
5. Найти /0 области, заключенной между прямой и параболой, осью
которой является ось ОХУ если каждая из них соединяет начало координат
ч: точкой (а, Ь).
^ аЬ (а2 . №\
Отв. — _ + — ).
6. Найти /0 круга р == 2а cos 8. Отв. «g- тел*
7. Найти /0 лемнискаты р2 = л2 cos 29. Отв. -g- лЛ
8. Найти /0 площади кардиоиды р =s а A — cos 0). Отв. —^-
9. Найти /д. гипоциклоиды дг3 +У2
? 1 JL
г3 +У2 ^л3
Отв. -?L*aK
10. Вычислить момент инерции области, ограниченной параболой у2 = ах
и прямой л: = а, относительно прямой у = — а, п 8
итв. -^а.
§ 128. Общий метод вычисления площади поверхности. Метод
нахождения площади поверхности, данный в § 53, приложим только
к поверхностям вращения. Дадим теперь общий метод. Пусть уравне-
уравнение поверхности KL на рисунке 142 будет
z = f(x, у),
и пусть требуется вычислить площадь участка 5' этой поверхности.
Обозначим ортогональную проекцию 5' на плоскость XOY бук-
буквой S, Проведем плоскости, параллельные YOZ' и XOZ, на рас-

§ 128
ОБЩИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
343
стояниях друг от друга, равных соответственно Ах и Ау. Эти пло-
плоскости дадут усеченные призмы (например МО), ограниченные сверху
частями (например MN) данной поверхности, проекции которых на
плоскость XOY суть прямо-
прямоугольники площади Ах Ау
(например PQ)t причем эти
прямоугольники служат также
нижними основаниями призм.
Рассмотрим теперь каса-»
тельную плоскость к поверх-
поверхности KL в точке М, коорди-
координаты которой xf у, г.
Очевидно, тот же самый
прямоугольник PQ будет проек-
проекцией на плоскость XOY части
касательной плоскости (MR),
AzQ
высекаемой призмой MQ.
Обозначим через f угол,
образуемый нормалью к поверх-
поверхности в точке М и осью OZ.
Этот угол равен углу, образуемому касательной плоскостью в точке М.
с плоскостью XOY; поэтому
площ. PQ = площ. MR • cos 7,
[проекция площади на другую плоскость равна проектируемой площади,
умноженной на косинус угла между обеими плоскостями
или
Но
Ay Ax = площ. MR • cos -
COS Y t=
Это есть формула косинуса угла, составляемого касательной плоскостью
с плоскостью A0K. Следует заметить, что радикал в знаменателе берется
со знаком плюс, т. е. в данном случае из двух углов, образованных
осью OZ и нормалью к поверхности, выбирается острый.
Следовательно,
площ.
COS
Примем это за «элемент» площади поверхности, тогда пло-
площадь части S' поверхности понимается как число, данное следую-
следующей формулой:

344 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. IX
причем суммирование распространяется на область 5. Обозначая ве-
величину площади части S' поверхности y = f (x, у) буквой Л, имеем,
значит:
=//[' +№+$
причем пределы интегрирования зависят от проекции на пло-
плоскость XOY той части поверхности, площадь которой вычис-
вычисляем. Следовательно, пределы интегрирования даст нам кривая или
кривые, ограничивающие область 5 в плоскости XOY, совершенно
таким же образом, как мы находили их в предыдущих пара-
параграфах.
Проведенное рассуждение будет справедливо лишь при условии,
что в каждой точке рассматриваемой части Sf поверхности z = f(xt у)
имеется определенная касательная плоскость и что эти касательные
плоскости, переходя непрерывно одна в другую, не занимают поло-
положения, перпендикулярного к плоскости XOY.
Аналитически эти условия сводятся к существованию непрерыв-
непрерывных частных производных v- и ^- от функций z = f(xf у). При на-
нарушении этого условия подынтегральная функция в полученной фор-
формуле не будет непрерывной функцией переменных х и у.
Если было бы удобнее проектировать рассматриваемую поверх-
.ность на плоскость XOZ, то мы имели бы формулу:
причем пределы найдутся из уравнения кривой, ограничивающей
область «S,, где теперь 5 есть проекция части 5' поверхности на
плоскость XOZ.
Подобным же образом имеем:
я пределы находим, проектируя рассматриваемую площадь на пло-
плоскость YOZ.
Иногда в задачах требуется вычислить площадь некоторой части
одной поверхности, отсекаемую другой поверхностью. В таких слу-
случаях частные производные, фигурирующие в формулах, надо вы-
вычислять, разумеется, из уравнений той поверхности, площадь части
которой мы ищем.

§ 128
ОБЩИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
345
Так как границы области интеграции находят проектированием
части S' поверхности на одну из координатных плоскостей, то нужно*
помнить, что:
для нахождения проекции части Sf на
плоскость XOY нужно из уравнений по-
поверхностей, пересечение которых дает
замыкающую эту площадь кривую, исклю-
исключить z.
Подобным же образом для нахожде-
нахождения границы проекции на плоскость XOZ
надо исключить у, а для нахождения
проекции на плоскость YOZ надо исклю-
исключить х.
Пример 1. Найти поверхность шара
Рис. 143
Решение. Возьмем восьмую часть искомой площади: А В С (рис. 143)~
Имеем:
дг х_ dz __ у
И" z* ~ду 7
и
V2.
Проекция вычисляемой площади на плоскость XOY есть АО В, область,,
ограниченная линиями х = О (ОВ), у = О (АО), х2 + у2 = г2 (BGA).
Интегрируя сперва по у, мы суммируем все элементы полосы (например
EDFC), проектирующейся на плоскость лОУ в форме также полосы (QPFG),
т. е. пределы у суть нуль и PF( = Yr2 — х2). Затем, интегрируя по ху сум-
суммируем все полосы, образующие поверхность A&Q
Z т. е. пределы х суть нуль и О А ( = г). Подставляя
• в соответствующую формулу, находим:
^1
r
4
г dxdy
о о v *
Пример. Центр шара радиуса г находится на
поверхности прямого цилиндра, радиус основания.
которого ~2". Вычислить поверхность части цилиндра»
высеченной шаром.
Решение. Взяв начало координат в центре шараг
образующую цилиндра за ось Z, а диаметр пря-
прямого сечения цилиндра за ось К, найдем, что урав-
уравнение шара будет х2 + у2 + г3 = г2, а цилиндра х2 + У2 = гу. Очевидно,
ONAMB (рис. 144) есть четверть искомой цилиндрической поверхности.
Так как эта поверхность проектируется на плоскость XOY в виде дуги ON A
полукруга, то на этой плоскости нет области S, по которой можно было бы*
определить пределы интегрирования в этой плоскости; поэтому проектируем,
нашу поверхность, например, на плоскость YOZ. Область 5, на которую рас-
распространяется интегрирование, будет ОАСВ, ограниченная в плоскости YOZ
Рис. 144

'346 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. IX
линиями г = 0(ОЛ), у=*0(О?), z2 + гу =* г2 (АСВ), причем последнее
уравнение найдем, исключив х из уравнений обеих поверхностей. Интегрируя
сперва по г, что означает суммирование всех элементов вертикальной пло-
плоскости (например MN), будем иметь пределами для z нуль и У г2 — гу. Затем
янтегрируем по у, т. е. суммируем все эти полоски, причем пределами бу-
будут 0 и г.
Так как искомая поверхность лежит на цилиндре, то частные производ-
производные, требуемые соответствующей формулой настоящего параграфа, должны
быть найдены из уравнения цилиндра.
Имеем:
дх __ г — 2у дх
ду 2х dz
Таким образом,
Подставляя значение х в функции у из уравнения цилиндра, найдем:
У" dydz
J
ЗАДАЧИ
!. В последнем примере вычислить площадь части шаровой поверхности,
«высекаемую цилиндром.
Отв. 4г/ ]'"*%_ -* = (.-**
0 0 ^
2. Оси двух равных прямых круглых цилиндров, у которых основания
имеют радиус г, пересекаются под прямым углом; найти площадь части
.поверхности одного цилиндра, высекаемую другим.
Указание. Уравнение цилиндров пусть будет
х2 4- z2 = г2 и jfl + у2 = г2.
dydx ___ft.
Отв. Sr С С
J J
3. Найти часть площади поверхности сферы х2 -{- у2 -{- z2 = 100, заключен-
заключенную между плоскостями лс = —8 и лг = 6. Отв. 280тс.
4. Найти часть площади поверхности цилиндра х2 + у2 = г2, содержа-
содержащуюся плоскостями z == тх и плоскостью XOY. Отв. 4ram.
5. Найти площадь поверхности г2 + (х cos a -f- у sin аJ = г2, содержа-
содержащуюся в первом октанте. ^ г2
sin a cos а *
X V 2Г
6. Найти площадь части плоскости \-4- -\— = 1, заключенной между
-координатными плоскостями. Qn }_

§ 129 нахождение объемов 347"
7. Найти площадь части поверхности параболоида у2 + г2 =* 4длг, отсе-
отсекаемой цилиндром у* = ах и плоскостью х = За.
Отв. -^™2.
8. Найти площадь части поверхности цилиндра уг = ах, отсекаемой,
параболоидом у2 + г* = 4л;е и плоскостью л: = За.
Отв. ^L
9. Найти площадь цилиндрической поверхности
2 2 2
отсекаемой поверхностью, проектирующейся на плоскость XOY в виде
2 2 2 12
о ? . "з Т. Отв.-=-а3.
кривой ** +>* = яг 5
10. Найти площадь части поверхности шара х* + У2 + ** = 2ayt отсе-
отсекаемой конусом л2 + г2 = у*. Отв. 2лЛ
§ 129* Нахождение объемов посредством тройного интегри-
интегрирования. Иногда объем тела, ограничиваемого поверхностями, урав-
уравнения которых даны, можно вычислить посредством трех последо-
последовательных интегрирований, — процессом, который есть просто рас-
расширение метода, изложенного в предыдущих параграфах этой главы.
Представим себе, что рассматриваемое тело разделено на прямо-
прямоугольные параллелепипеды, с ребрами Ал:, Aj;, Hz, плоскостями,
параллельными плоскостям координат. Объем одного из таких парал-
параллелепипедов будет равен Ах • ку • Ая, и мы примем его за элемент
объема.
Будем теперь суммировать все такие элементы внутри области Ry
ограниченной данными поверхностями, суммируя сперва все элементы
столбца, параллельного одной из координатных осей; затем сум-
суммируя все такие столбцы, заполняющие слой, параллельный одной
из координатных плоскостей, содержащих эту ось; наконец суммируя
все такие слои, распространяя это суммирование на всю рассматри-
рассматриваемую область. Объем V тела будет, следовательно, пределом этой
тройной суммы, по мере того как Дг, kyt Ал:, каждое, приближается
,к пределу нуль, т. е.
^ '
причем суммирование распространяется на всю область R, ограни-
ограниченную данными поверхностями; обычно вместо A) пишут:
= f f jdxdydz.
B)

348
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ГЛ. IX
причем пределы интегрирования зависят от уравнений ограничиваю-
ограничивающих поверхностей.
Таким образом, обобщая сказанное в начале § 125, мы рас-
рассматриваем объем как результат интегрирования постоянной функ-
функции f(x% у, 2) = 1, распространенного на всю данную область.
Но часто некоторые задачи требуют интегрирования уже перемен*
ной функции от xt у9 г, распространенного на всю область, что
обозначается символом
f f ff(x> У* z)dxdydz9
C)
каковой, разумеется, есть предел некоторой тройной суммы, ана-
аналогичной уже исследованной нами двойной сумме. Метод вычисле-
вычисления такого тройного интеграла совершенно аналогичен уже рас-
смотренному в § 122 методу
* вычисления двойного интеграла.
Найти объем
" с2
Решение. Пусть восьмая часть
эллипсоида будет О ABC (рис. 145);
уравнения ограничивающих по-
поверхностей будут:
f
/
1
1
с
¦ «ч
л
-и
/
\
Л. 3v»
Пример 1.
эллипсоида
Рис. 145
2)
3)
4)
0 (OAB)t
0(OAC)t
0(ОВС).
MN есть элемент, т. е. один из прямоугольных параллелепипедов
4: ребрами Ах, Ау, Дг, на которые область разделяется плоскостями, парал-
параллельными координатным плоскостям.
Интегрируя сперва по г, мы составляем сумму всех таких элементов
в столбце (например RT), причем пределами интегрирования будут нуль
4из 2)] и
77?
[из 1), решая относительно'г].
Интегрируя затем по у, мы суммируем все такие столбцы в слое
DEPQFG, причем пределами у будут нуль [из 3)) и PG =
Х^ У^
из уравнения кривой AGBt а именно —^- + -р- = 1, решенного относи-
относительно у\.

129
НАХОЖДЕНИЕ ОБЪЕМОВ
349
Наконец, интегрируя по х, мы составляем сумму всех таких слоев
8 целой области О ABC, причем пределами для х будет нуль [из 4)] и
ОА
Итак,
/ / /
0
¦"""*
ЫсЪ Г
4а* J
4nabc
Рис. 146
Пример 2. Найти объем тела, заключенного между параболоидом вра-
вращения х* -f" У2 = az% цилиндром X** + у% = 2ау и плоскостью z == 0 (рис. 146).
= —' J ,
решением уравнения параболоида относительно z).
Пределы для х суть нуль и NP ( = У lay —у2, найденное
уравнения цилиндра относительно х).
Пределы для у суть нуль и О А (== 2а).
Эти пределы относятся к телу ОРАВ, составляющему половину тре-
требуемого. Следовательно,
найденное
решением
2а У2ау
= 2 J J
ЗАДАЧИ
1. Найти объем одного из клиньев, вырезаемых из цилиндра
-¦ г2 плоскостями z = 0 и z = тх.
Уг*-хл тх
Отв. 2 / / dxdydz = -|-
0 0 0
2. Найти объем прямого эллиптического цилиндра, ось которого сов-
совпадает с осью ОХ, а высота равна 2а, если уравнение основания есть
^2 + ^3^^^
abb
Отв
. 2 / / /
0
0 0 0
3. Найти весь объем, ограниченный поверхностью
ill
2%abc.
о,.. *.

350 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. IX
? а 2 4
4. Найти весь объем, ограниченный поверхностью х3 * уг * гг ~~а3 *
о„. ~.
5. Найти объем, вырезаемый в шаре радиуса а прямым круговым ци-
цилиндром, у которого радиус основания есть Ь, а ось проходит через центр
шара. о 4 Г М
6. Центр шара радиуса г лежит на поверхности прямого кругового-
цилиндра» у которого радиус основания есть ~^л Найти объем части ци-
цилиндра, вырезаемой шаром. 2
ОТВ. ~qf" ТЬГ**.
7. Найти объем, ограниченный гиперболическим параболоидом cz = лгу»
ПЛОСКОСТЬЮ XOY И ПЛОСКОСТЯМИ X ass alt ^ = й2, у = ?j, у = ^2-
8. Найти объем тела, ограниченного поверхностями двух цилиндроа
9. Найти объем тела, ограниченного параболоидом у* -f* г2 = 4д^ и.
поверхностью цилиндра ** + У3 = 2лдг. Отв^ ^ф Д6 ^^
3
10. Найти объем тела, ограниченного параболоидом хг-\-уг — z = 1 и;
плоскостью X0Y.
И. Найти объем тела, ограниченного параболоидом
цилиндром у2 = ах и плоскостью х = За. Отв. (бтс
12. Найти объем, ограниченный плоскостью z = 0, поверхностью ци-
цилиндра (л: — лJ + (у — Ь)г =s г2 и гиперболическим параболоидом лгу = сг.
Отв. »
с
13. Найти объем тела, ограниченного плоскостью z = 0 и поверх-
поверхностями х2 + у2 = 4д<г, jc2 + у2 = 2ех. З*
14. Найти объем тела в первом октанте, ограниченного поверхностями
+ + ^^
15. Найти объем, содержащийся между плоскостью z = 0, цилиндром
2:—д:2 и параболоидом я*2 + &Уа я 2-г. О тссА_ /5 4> А)
о

ГЛАВА X
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 130. Обозначение криволинейного интеграла. Оно таково:
м
(L) fPdx + Qdy, A)
м0
где Р и Q суть непрерывные функции, определенные на дуге L,
интегрирование совершается вдоль этой дуги в направлении от ее
начальной точки Мо к ее конечной у
точке М. Эти две концевые точки
называются пределами криволиней-
криволинейного интегрирования (рис. 147).
Когда, в частном случае,
за путь L интегрирования берут от-
резок [а, Ъ\ оси абсцисс ОХ, тогда
криволинейный интеграл A) стано-
становится обыкновенным определенным
интегралом
ь
Pdx
4-
B)
Рис. 147
cm непрерывной функции Р, определенной на прямолинейном
отрезке [а, Ь], взятом между пределами а и Ь, в направлении
от а к Ь.
Таким образом,
криволинейный интеграл является расширением обычного
определенного интеграла, который, с этой точки зрения, оказы-
оказывается берущимся вдоль прямолинейного отрезка, лежащего на
оси абсцисс.
§ 131. Происхождение криволинейного интеграла. Оно совер-
совершенно аналогично возникновению обыкновенного, т. е. прямоли»
нейного, определенного интеграла.
Напомним вкратце это последнее. На отрезке [а, Ь\ оси абсцисс
нами была взята непрерывная функция F(x), имеющая непрерывную
производную /(я), т. е. Z7'(*) = /(*) (Рис- 14)

352
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
ГЛ. X
Этот отрезок [а, Ь\ мы разделили на п малых отрезков точ-
точками деления х19 х2> .... хп-\ и написали тождество:
F{b) — F (a) = [F (хг) — F (а)] + [F (х2) — F (х,)} +
Рис. 148
Общий член F{Xi+l) — F(x^ этой суммы мы изобразили, на
основании теоремы о среднем Лагранжа, в виде:
так что предыдущее тождество приняло вид:
F(b)-F(a)=S1f(li)bxi.
Наконец, делая rt->-f-oo и вместе с этим длины А^ всех
отрезков стремящимися к нулю, мы в пределе получили формулу
Лейбница — Ньютона:
ь
— F(a)= f f(x)dx,
Рис. 149
дающую разность двух значений
первообразной F (х) по ее производ-
производной /С*).
Точно так же возникает и кри-
криволинейный интеграл. Пусть на
плоскости XOY лежит некоторая кри-
вая дуга АВ, не пересекающая са-
мою себя и вместе с тем «гладкая»,
т. е. имеющая непрерывно переме-
перемещающуюся вдоль нее касательную
или состоящая из конечного числа таких гладких частей. Пусть на
этой плоскости XOY вдоль дуги АВ и вблизи нее дана непрерывная
функция F(x, у) от двух независимых переменных х, у, имеющая
там же непрерывные частные производные двух первых порядков
(рис. 149).
Делим дугу АВ на п малых дуг точками деления Ми М2 ...,
Мл-1» где точка Mt имеет xif yt своими координатами, причем
начальную точку А и концевую точку В, для симметрии обозначе-
обозначений, пишем с их координатами в виде M0(xQt y0) и Мп(х, у). Обо-
Обозначив через Fg численное значение функции F{x% у) в точке Mi%

§ 131 ПРОИСХОЖДЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 353
т. е. положив Fi = F(xit yt), Fo — F(xOtyo) и F = F(x, у), мы
имеем тождество:
О)
Общий член Fl+l — Ft этого тождества, написанный в развер-
развернутом виде, есть
На основании теоремы о среднем Лагранжа, он в точности равен:
F'x (xt + в, A*,., yt + в, byt) ¦ А*, 4- F'y
где в2 есть величина средняя, заключенная между 0 и 1. Геометри-
Геометрически, точка р.;, имеющая своими координатами х^Ь^х^ ^/+9/Ду/,
лежит на хорде М^+1, соединяющей концы jMi;;Mi+1 кривой дуги
Л1?УИт. Для краткости координаты точки- \bt будем обозначать
через ^ и 7|/э положив
Таким образом, мы имеем:
Fm - Ft = F; (E|f т],). A^ + F; E|f щ). Дл. B)
Поэтому тождество A) напишется в виде:
F (*, y) — F (х0, у0) = S[K E|. Ч/>д^* + /", E|. 1|) Д^]- A *)
Заметим, что равенство A*) есть абсолютно точное благо-
благодаря специальному выбору точки ^(??, ^) на хорде
-М^М^! по теореме о среднем Лагранжа. Если же мы
точку [Aj($/, t\i) сдвинем в другое место хорды MiMi^.l или же
перенесем куда-нибудь на саму кривую дугу М{М1+и тогда, разу-
разумеется, равенство A*) нарушится. Однако, в силу непрерывности
обоих частных производных F'x(xt у) и F' (х, у) нарушение ра-
равенства (*) будет тем незначительнее, чем меньше будут все дуги
MtMl+l9 так что в пределе, когда мы заставляем п безгранично
увеличиваться, а все дуги MtMl+l безгранично умаляться, нарушен-
нарушенное равенство A*) восстановится1.
1 Совершенно аналогичное явление, как мы знаем, происходит в обыч-
обычном определенном интеграле, где сдвиг средних точек ^ Лагранжа оказы-
оказывает влияние лишь на конечные допредельные интегральные суммы, но без-
безразличен для самого их предела.
23 Интегральное исчисление

354 криволинейный интеграл гл. х
Предел правой части равенства A*) называется криволинейным
интегралом и обозначается символом
f F'x(x. y)dx + F'y(x. y)dy. C)
(*о. Уо)
так что равенство A*) напишется теперь в виде:
<*,у)
F (*, y) — F (*0. у0) = f F'x (х, у) dx + F'y (x, у) dy. (I)
Обычно частную производную -^— обозначают буквой Р и
обозначают через Q; следовательно, Р(дг, ^) и Q(x9 у) суть две
непрерывные функции независимых переменных х, у, определен-
определенные вдоль дуги АВ*и вблизи нее и служащие частными произ-
производными некоторой функции F(x,y):
Формула (I) теперь получает вид:
(*,у)
F (х, y) — F (*0, Л) = f Pdx + Q dy9 (I*)
где нужно помнить, что дифференциальное выражение Рdx-\-Qdy
является полным дифференциалом функции F{x% у).
Только с этой оговоркой формула (I*) верна и является в этом
случае истинным расширением формулы Лейбница — Ньютона и рас-
распространением ее на криволинейные пути интегрирования. Если же
дифференциальное выражение Рdx-\-Qdy не является полным
дифференциалом, то тогда формула (I*) вполне бессмысленна, по-
потому что, хотя криволинейный интеграл
(*у)
J Pdx-\-Qdy,
(*о, Уо)
стоящий в правой части, и имеет определенное численное значение,
будучи существующим пределом интегральной суммы

§ 132 ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 355
однако неизвестно, что он собой выражает, ибо функции F(x, у),
имеющей Р dx-\-Qdy своим полным дифференциалом, теперь уже
нет1.
Так как xOi у0 суть координаты начальной точки Мо дуги АВУ
а х, у координаты конечной ее точки М, то формулу (I*) нередко
пишут в виде:
м
F (х, y) — F (*0. у0) = (L) f Pdx + Q dy, (I**)
м0
подставляя в качестве пределов интегрирования обозначения началь-
начальной и конечной точек дуги, вдоль которой ведется интегрирование,
а впереди знака криволинейного интеграла ставя в скобках указание
на тот криволинейный путь, по которому совершается интегриро-
интегрирование.
Нередко указывают на чертеже стрелкой то направление, по
которому интегрируют: эта стрелка ставится вдоль дуги, от началь-
начальной ее точки Мо к концевой точке М (см. рис. 149).
Формула (I**) показывает, что криволинейное интегрирование
охватывает, как частный случай, обычное (прямолинейное) инте-
интегрирование, ибо, когда за криволинейный путь (IS) берут кусок
(отрезок) оси абсцисс [я, b]* тогда в формуле (I**) нужно опустить
букву у, положив: y = Q, dy = 0, Р(х, 0) = /(д:), F(x, 0) =
= F(x)t М0 = а, М = х, и тогда мы получим формулу Лейбница —
Ньютона:
X
f(x)dx.
f
Вся разница прямолинейного и криволинейного интегрирования
состоит в том, что в первом случае дифференциальное выражение
f(x)dx всегда есть дифференциал некоторой функции F(x), тогда
как во втором случае дифференциальное выражение Pdx-\-Qdy
очень редко является полным дифференциалом и, чтобы это было
так, нужно соблюдение специальных ограничений) налагаемых на
функции Р и Q.
§ 132. Вычисление криволинейного интеграла. Это вычисление
ведется методом формального «выпрямления» данного криволи-
криволинейного интеграла:
)
= J P(x9y)dx + Q(x9yydy9 E)
1 Здесь точка н-*E*,*1*) уже не дается теоремой Лагранжа (неприме-
(неприменимой теперь за отсутствием функции F (х, у\ ибо Р dx -f Q dy уже не есть
полный дифференциал) и является просто произвольной точкой кривой дуги
23*

356 криволинейный интеграл гл. х
т. е. превращения его в обычный прямолинейный интеграл при по-
помощи надлежащей подстановки.
Для этого прежде всего в формуле E) сделаем различие пере-
переменных интегрирования от переменных х, у, написанных в верхнем
пределе:
(*,у)
/ = J P(a, P)rfa+Q(a, Р)</р. E*)
Первый способ. За ведущий параметр s интегрирования
берем длину дуга $=zAN, отсчитываемой от начальной точки А
до движущейся точки N, описывающей кривую АВ (рис. 150). Коор-
Координаты a, р точки N поэтому предполагаются функциями от дуги $.
Деля и умножая подынтегральное выражение формулы E*) на ds и
вспоминая, что ^==cosjjb и ^ =
где |х есть наклон касательной в точке N
к горизонту и, следовательно, опреде-
определенная функция от дуги s, мы имеем
окончательно:
i
/= J[P(a, P)cosji,4-Q(a, p)siti{jL]^,
— X ^
Здесь / есть длина целой дуги АВ.
Рис. 150 Формула F) и приводит вычисление
криволинейного интеграла / к вычис-
вычислению обыкновенного определенного ^нтеграла. Заметим, что здесь Р
и Q суть любые непрерывные функции от х9 у, так что дифферен-
дифференциальное выражение Рdx-\~Qdy может и не быть полным диффе-
дифференциалом.
Второй способ. За ведущий параметр интегрирования при-
принимаем любой параметр t, так что аир предполагаются известными
функциями от t:
a = cp(?) и р = ср#). G)
Когда ? = д, точка Af(a, P) предполагается совпадающей с на-
начальной точкой А дуги АВ; когда t = b, точка N(a, p) предпола-
предполагается пришедшей в конечную точку В дуги АВ. Когда t возра-
возрастает от с до, Ь9 точка N (а, р) предполагается описывающей
дугу АВ постоянно в одном направлении от точки А к точке В.
Преобразуя криволинейный интеграл E*) подстановкой G), мы
получаем:
ь
1 = / [р (* Ю- ¦('))• <?' @ -Ь Q («р @, ¦ @) f @] • Л. (8)

§ 133 СЛУЧАЙ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИН. ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 3">7
Производные ср'(?) и <]/(?) предполагаются непрерывными всюду
на [a^t<^Ь], кроме ограниченного числа точек, ибо предполагается,
что дуга АВ или вся целиком гладкая, или состоит из конечного
числа гладких дуг. Формула (8) также сводит вычисление криволи-
криволинейного интеграла к вычислению обыкновенного определенного ин-
интеграла.
§ 133. Случай, когда криволинейный интеграл Г Pdx-\-Qdy
не зависит от пути интегрирования, но зависит только от по*
ложения концевых точек. Пусть на плоскости XOY имеется какая-
нибудь непрерывная замкнутая кри- v
вая /С, не пересекающая сама себя
(рис. 151). Пусть внутри К даны
две функции Р(х, у) и Q(x, y)t
непрерывные в каждой внутренней
точке. В этих условиях криволиней-
криволинейный интеграл ГРdx-\-Qdyt взятый
между какими-нибудь двумя точ-
точками Мо и М, лежащими внутри К,
л о пути, который также находится
весь внутри /С, является вполне опре-
определенной величиной. Но если мы, рис# 151
сохраняя неподвижными концевые
точка Мо и М, будем изменять путь интегрирования, взяв сначала,
например, путь /,, а потом путь L*, то величина криволинейного
интеграла может очень измениться, потому что, вообще,
м
Мо
м
*) fPdx-\~Qdy.
С такими криволинейными интегралами, которые изменяют свою
величину от изменения пути интегрирования, нам нечего делать.
Поэтому следует поставить вопрос о том, когда величина криволи-
криволинейного интеграла не зависит от пути (L) интегрирования,
а только от положения его концов.
С этим явлением независимости криволинейного ин-
интеграла от пути интегрирования мы уже встретились
в § 131, когда доказали формулу
м
F (х, у) — F (х0, з>о) = {L)j
м0
(I**)
где F(x>y) есть непрерывная функция от двух независимых пере-
переменных xt у внутри которых К вместе со своими частными

358 КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. X
производными первых двух порядков, и где дифференциальное выра-
выражение Р dx-\-Qdy есть полный дифференциал dF этой функции.
В самом деле, правая часть формулы (I**) есть криволиней-
криволинейный интеграл, взятый по пути L от заданной неподвижной точки
М0(х0, j/0), лежащей внутри контура К (рис. 152), до любой фикси-
фиксированной точки М (xt у), также помещенной внутри /С, причем по
пути интегрирования L требуется лишь одно: чтобы он весь цели-
целиком лежал внутри контура К, не имея на нем никаких точек; в осталь-
остальном же путь L может быть произ-
произвольным.
Левая же часть формулы(I**)
есть численная величина, от пути
интегрирования L совершенно не за-
зависящая, но зависящая лишь от его
концевых точек М и MQ.
Для ббльшего понимания этой
исключительно важной формулы (I**)
мы должны добавить, что функ-
¦—— X Ция F (х> У) имеет своим полным
" дифференциалом dF заданное диф-
Рис. 152 ференциальное выражение Pdx-\-
-{-Qdy, стоящее под знаком криво-
криволинейного интеграла, и что хотя таких функций F(x, у) имеется
бесчисленное множество (если, вообще, имеется из них хотя одна,
ибо таких функций F(x, у) может и совсем не оказаться), но все
она отличаются одна от другой на постоянную величину, так
что разность значений их в (заданных точках М и Мо есть одна и
та же, какую бы функцию F(x, у), имеющую Р dx-^-Qdy своим
полным дифференциалом, мы ни брали.
В самом деле, если F*(x, у) — какая-нибудь другая непрерывная
функция, имеющая внутри контура К то же самое выражение
Pdx-\-Qdy своим полным дифференциалом, тогда имеем:
и dF* =
откуда d(F* — F) = 0. Следовательно, разность F* — F есть непре-
непрерывная функция внутри контура /С, имеющая полный дифферен-
дифференциал внутри К равным нулю. Отсюда следует, что эта разность
есть"величина постоянная внутри К, т. е. имеем F* — F = C,
откуда F* = F-\-C всюду внутри /С. Поэтому мы должны иметь
равенство:
F (*, у) — F (х0, у0) = F*(x,y) — F* (*0, у0),
и, значит, левая часть формулы (Г*) не зависит ни от пути интегри-
интегрирования, ни от той функции Z7, которую выбирают среди имеющих

<§ 133 СЛУЧАЙ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИН. ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 359
выражение Рdx-\-Qdy своим полным дифференциалом. Из сказан-
сказанного следует предложение.
Прямая теорема* Если выражение Р dx-\~ Qdy является
внутри контура К полным дифференциалом, тогда криволиней-
криволинейный интеграл
м
fPdx + Qdy
м0
не зависит от пути интегрирования L, выходящего из Мо и
примыкающего к точке М, лишь бы этот путь целиком лежал
внутри контура /С, не имея на нем ни одной точки.
Из того, что было изложено, ясно, что в этом случае криволи-
криволинейный интеграл
м
fPdx + Qdy
м0
как раз и является той самой непрерывной внутри К
-функцией, которая имеет подынтегральное выраже-
выражение Pd^ + Q^ своим полным дифференциалом. Функ-
Функция эта, очевидно, уничтожается в точке Мо.
Обратная теорема. Если криволинейный интеграл
Jpdx + Qdy
не зависит, внутри контура К, от пути интегрирования, а за-
зависит только от положения его концевых точек, тогда подын-
подынтегральное выражение Рdx-\~Qdy есть полный дифференциал
внутри /С.
Доказательство. Пусть криволинейный интеграл
(JT. У)
f Pdx + Qdy,
(*о, Уо)
взятый от фиксированной точки М0(х0, у0)яо переменной точки М (л:, у),
не зависит от пути интегрирования L, ведущего от Мо к М. Тогда
такой криволинейный интеграл нужно рассматривать как некоторую
функцию F(xt у) переменных х и у, непрерывную внутри контура К.
Найдем ее частные производные -^— и -^—.
Чтобы иметь численное значение /^(аг + Дл:, у) функции F, мы
должны взять какой-нибудь путь, выходящий из неподвижной точки Мо
и оканчивающийся в точке Mf (x-\-kxt у).

360
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
ГЛ. X
Этот путь мы составляем из двух частей: из основного пути L+
выходящего из Мо и оканчивающегося в Ж, и из добавочного пря-
прямолинейного отрезка (рис. 153) ММ'. Имеем поэтому:
М М'
= (L) f
м
f P(a.y)d*9
ибо вдоль отрезка ММ' имеем: dy = 0, потому что у есть по-
стоянное, а переменное интегрирова-
интегрирования а изменяется от х до
Значит,
X Так как Р есть непрерывная функция
X Х+Ах внутри /С, то правая часть этого ра-
Рис. 153 венства является величиной, содержа-
содержащейся между наибольшим и наимень-
наименьшим значением функции Р(х, у) на отрезке ММ': это утверждение
есть просто теорема о среднем в интегральном исчис-
исчислении (см. §35). Когда Дх-^0, тогда, в силу непрерывности функ-
функции Р, оба указанные наибольшее и наименьшее значения функции Р
на отрезке ММ' стремятся к значению функции Р в точке М как
к пределу; следовательно, имеем:
lim
Длг-^О
Иначе говоря, находим:
6F
= Р.
A)
Аналогичным способом мы находим:
ду ~ч*
Отсюда следует, что выражение Р dx-\-Qdy есть полный
дифференциал криволинейного интеграла
B)
<*.у>
/ Pdx + Qdy,
*о, Уо)

§ 133 СЛУЧАЙ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛЙН. ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 361
рассматриваемого как функция своего верхнего предела M(xt у),
ч. т. д.
Отсюда' следует важное предложение, имеющее частое примене-
применение в физике.
Теорема. Условие необходимое и достаточное, чтобы выра-
выражение Pdx-{-Qdy было полным дифференциалом внутри
контура К, состоит в том, чтобы криволинейный интеграл
СРdx-\~Qdyt взятый по любой замкнутой кривой Г, лежащей
внутри контура /С, был нулем.
Доказательство. В самом деле, в силу предыдущих прямой
и обратной теорем, чтобы выражение Р dx-\-Qdy было полным
дифференциалом внутри контура К>
необходимо и достаточно, У
чтобы всякие два криволинейные инте-
интеграла
м
м0
м
Л1о
О
Рис. 154
взятые по различным путям L и Z,*,
исходящим из точки Мо и оканчиваю-
оканчивающимся в точке Ж, оказались бы рав-
равными по численной величине (рис. 154). Так как перестановка пре-
пределов криволинейного интегрирования равносильна перемене направ-
направления этого интегрирования, т. е. равносильна перемене1 знака всеми
элементами интегрирования, без изменения их абсолютной величины,
то имеем:
м0 м
(L) f Pdx-JrQdy = — (
м м0
и отсюда выводим равенство,
интегрирования MQA*MAMQ:
м
обозначив через Г замкнутый путь
м0
м0
м
м
ибо уменьшаемое равно вычитаемому.
м
MQ

362 КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. X
Таким образом, утверждать независимость криволинейного инте-
интегрирования от формы пути интегрирования — это означает утверждать,
что криволинейный интеграл (Г) \ Рdx-\-Qdy по любому замкну-
замкнутому пути (Г) будет нулем. Это и доказывает предложение.
ч. т. д.
Примечание. Эта важная теорема безусловно верна, когда контур К
ограничивает площадь S без отверстий, т. е. когда он непрерывен, не имея
никаких оторванных друг от друга частей. Следовательно, предполагается,
что контур К может быть описан сразу весь непрерывным движением кон-
кончика (точки) карандаша, не отрывающегося от плоскости, на которой он
вычерчивает кривую /С. Таков, например, случай, когда К есть окружность
или эллипс.
Но теорема становится ложной, когда контур К ограничивает площадь S
с дырками (черт. 155 вверху). В этом случае контур К составлен из отор-
оторванных друг от друга кривыхКъ Къ и /C, ибо он должен служить и внеш-
внешней границей площади «S, и в то же самое время быть границей
для ее отверстий: /( = /(i + /G + #з- Для такого рода контуров К
теорема легко может оказаться неверной, ибо замкнутая кривая Г\ по кото-
которой берется криволинейный интеграл (Г') I P dx + Q dy, может охватывать
дырку, и тогда этот интеграл может отличаться от нуля. Он должен быть
нулем лишь в том случае, когда кривая Г' может быть непрерывным дви-
движением стянута в одну точку внутри площади S, не проходя при этом через
отверстия этой площади, но минуя их. Такой интеграл (Г') Г Р dx-\-Q dy
обязан быть нулем.
Пример. Выражение
dx+ *У
есть полный дифференциал от функции arctg—. Э10 легко проверить, ибо-
X
х х dy — у dx
И, однако, криволинейный интеграл от этого выражения, взятый по окруж-
окружности Л имеющей центром начало О и какой-нибудь радиус /?, оказывается
равным не нулю, а 2%. Это также легко проверить. Положим
За ведущий параметр интегрирования принимаем угол в, образуемый радиу-
радиусом ON с положительной частью оси ОХ. Имеем:
а = R cos б, C s=s # sin 6, <fo = — Я sin б tf 0, d$ = R cos
Сделав эти подстановки, находим:
2ic 2л
Г — R sin в • — R sin 6 JD , /? cos 0 . R cos 6 ,Q /* ..
/ ^s I ¦" ¦ ¦¦" "— M 0 —r— —^———————^—— ДО r= I ЛI

§ 134 АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
363
Это кажущееся противоречие теореме о нулевой величине интеграла
(Г) ГPdx~\-Qdy по всякому замкнутому пути /"объясняется следующим
образом: в рассматриваемом случае функции
разрывны в начале координат О, т. е. в точке х = О, у = 0. Поэтому пло-
площадь S, в каждой точке М (х, у) которой обе функции Р и Q обязаны быть
непрерывными, ни в каком случае не мо-
может содержать начало О« Если за такую
площадь 5 мы примем так называемое
ъкоаъцоъ, т. е. часть плоскости между
двумя концентрическими окружностями Ki
и /С2 (рис. 155 внизу), то эта площадь «S
имеет одну внутреннюю дырку, контур К
этой площади S—разрывный, ибо состоит из
двух концентрических окружностей Кг и /ч2»
К = Кг + Кч- Поэтому нет никаких осно-
оснований ожидать, что интеграл
Рис. 155
взятый по окружности Л содержащей
дырку, будет нулем. И в самом деле, мы
получили / = 2тс.
§ 134. Аналитический признак
полного дифференциала* Этот анали-
аналитический признак очень прост и дается
предложением:
Теорема. Для того чтобы вы-
выражение Рdx-\-Qdy, где Р и Q —
непрерывные функции вместе с их первыми производными вну-
внутри контура К, было полным дифференциалом всюду внутри К
от какой-нибудь непрерывной функции F(x.y), необходимо и
достаточно, чтобы всюду внутри К выполнялось тождество
дР _. 6Q
ду ~ дх *
Условие необходимо.
В самом деле, если выражение Pdx-\-Qdy есть полный диффе-
дифференциал от некоторой непрерывной функции F (х> у), то мы должны
иметь тождество:
dF =
^- dy = Р dx+Q dy.
Отсюда
дх
ду

364
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
ГЛ. X
А так как численная величина частной
не зависит,
производной . от по-
пото имеем всюду внутри К
ч. т. д.
рядка дифференцирований
тождество
д (dF\_ д (дР\
dy\dx)~~5Z\dy)'
которое, очевидно, переписывается в виде
дР _ dQ
ду дх *
Гораздо труднее обратное предложение (т. е„ достаточность
этого условия), и это требует предварительной леммы.
Лемма. Если внутри контура К имеем всюду тождество
дР = dQ}
ду дх
и если тс есть какой-нибудь прямоугольник, имеющий стороны^
параллельные осям координат, и содержащийся целиком вну-
внутри /С, то тогда выражение Р dx-\~Qdy есть полный диффе-
дифференциал на всем прямоугольнике % (т. е. считая и его внутрен-
внутренность, и его периметр).
З начальную точку М0(х0, у0) пути ин-
инлевую вершину прямоугольника тс, за
конечную точку этого пути берем какую-
нибудь точку М(х, у) прямоугольника.
Самый путь L интегрирования составлен
из двух прямоугольных звеньев: из го-
горизонтального звена M0R и вертикаль-
вертикального звена «RAJ (рис. 156).
Имеем:
м
тег
У
0
Док азат
рирования
Г
( к
Рис
ельство. За
берем нижнюю
i
у
/
\ *
. 156
м0
Уо
Ясно, что 1(х,у) есть непрерывная функция всюду на
слим первые частные производные от /(х, у).
Имеем:
. Вычи-
ВычиУо
. У)—Р(х, у? =
, у)

§ 134 АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
365
Отсюда следует, что выражение Р dx-\-Qdy есть полный диффе-
дифференциал от непрерывной функции 1{х, у) всюду на тт. ч. т. д.
Теперь мы можем перейти к доказательству второй половины
сформулированной теоремы.
Условие достаточно.
Пусть всюду внутри контура К имеем удовлетворенным тождество
дР _ dQ
ду ~ дх *
Надо доказать, что выражение Р dx-\-Qdy есть полный дифферен-
дифференциал на целой внутренности контура К. Для этого достаточно дока-
доказать, что криволинейный интеграл v
(DfPdx + Qdy
В
Рис. 157
по любой замкнутой кривой Г, лежа-
лежащей внутри контура К, равен нулю.
Здесь полезно сделать предвари-
предварительное применение: пусть 5 и S* — ка-
какие нибудь две области, ограниченные
соответственно замкнутыми контурами
АВСА и DCBD, имеющими общую
часть ВС.
Пусть / и /* — два криволинейные
интеграла от выражения Р dx + Q dyf
взятые, соответственно, по этим контурам, причем интегрирование
совершается по каждому контуру в положительном направлении,
т. е. так, чтобы наблюдатель, обходящий контур в этом направлении,
имел ограничиваемую им область постоянно с левой руки. На ри-
рисунке 157 напраэление каждого интегрирования указано стрелками.
Ясно, что общая граница ВС будет при этом пройдена два раза и,
что очень важно, в противоположных направлениях. Поэтому мы
будем иметь, сложив оба интеграла / и /*:
= {АВСА) fPdx-\-Qdy-\-(DCBD) J"Pdx
= (ABDCA) jPdx + Qdy,
ибо интегрирование по общей части ВС, совершенное в противопо-
противоположных направлениях, само себя уничтожает.
Формула A) доказывает, что криволинейный интеграл по кон-
туру, ограничивающему площадь S, сложенный с криволинейным
интегралом по контуру, ограничивающему площадь S*, равен
криволинейному интегралу по контуру, ограничивающему пло-
площадь S + S\

366
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
ГЛ. X
При этом нужно еще раз указать, что все эти три интегрирова-
интегрирования по трем замкнутым контурам производятся в положительном
направлении.
Применим это к доказательству достаточности условия
дР _ dQ
ду дх
для того чтобы выражение Р dx-\-Qdy было полным дифферен-
дифференциалом.
Пусть К (рис. 158)—какая-
нибудь непрерывная замкнутая
кривая, не пересекающая саму
себя. Пусть внутри К функ-
функции Р(х, у) и Q(xf у) непре-
непрерывны вместе с их частными
производными первого порядка
и удовлетворяют тождеству
дР
ду
дх '
Надо доказать, что в этих
условиях выражение Р dx-{-
-\-Qdy есть полный диффе-
X ренциал для всей внутренности
контура К, т. е. что имеется
некоторая функция F (дг, у)>
определенная всюду внутри К
и непрерывная там вместе с ее первыми частными производными,
которая удовлетворяет всюду внутри К тождествам
Рис. 158
-' » ?-
т. е. тождеству
= Pdx-\-Qdy.
B)
C)
Мы знаем, что для этого достаточно доказать, что криволинейный
интеграл (Г) Г Р dx-\-Qdy по любой непрерывной замкнутой кривой
Г, лежащей целиком внутри К, равен нулю.
Начертим эту кривую Г. Раз она лежит целиком внутри кон-
контура К у то ограниченная ею область S не приближается нигде к нему
ближе, чем на расстояние 8, где 8 есть некоторое фиксированное
положительное число, 8 > 0.
Это означает, что всякий прямоугольник, диагональ которого
меньше, чем 8, и который содержит точку области S, должен лежать
весь внутри контура К.

§ 134 АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА 367
Разделим плоскость на прямоугольники с диагоналями < 8. Ясно
после сказанного, что те из них, которые содержат точки области 5,
лежат целиком внутри К (рис. 158).
С другой стороны, из леммы мы знаем, что выражение
Pdx-{-Qdy есть полный дифференциал на всяком прямоугольнике тс,
лежащем внутри /С. Это означает, что интеграл (f) С P dx-\-Qdy>
взятый по какому-нибудь замкнутому контуру *j, не выходящему за
периметр прямоугольника тс, равен нулю:
Отсюда следует, что если мы отберем те 'прямоугольники, кото-
которые содержат точки области S, и возьмем криволинейные интегралы
в положительном направлении по контурам f тех кусков области 5,
которые вырезываются из 5 каждым из них *, то все эти криволинейные
интегралы суть нули:
Значит, и сумма их тоже есть нуль. Но, согласно замечанию, сделан-
сделанному выше, при сложении этих криволинейных интегралов будут
взаимно уничтожаться интегралы по общим границам этих кусков
области S, как дважды пройденные интегрированием в противополож-
противоположных направлениях. Следовательно, все дорожки интегрирования,
проникающие внутрь области S, т. е. разрезавшие ее на части, сами
себя уничтожат, и куски площади S срастутся в одно целое. Неуни-
чтожениыми останутся лишь проходимые в положительном направле-
направлении дуги контура Г> ограничивающего целую площадь S. И так
1 Следует заметить, что мы имеем право предполагать наличие в каж-
каждом из отобранных прямоугольников только одного куска области S. Это
само собой разумеется, когда рассматриваемый прямоугольник не выступает
за контур Г, ибо тогда вся внутренность такого прямоугольника является
куском области S. Значит, неясность может возникнуть лишь для прямо-
прямоугольников Я, частично выступающих за контур -Г. Но в таком случае надо
учесть природу контура Г; контур этот есть: ила весь гладкий, или соста-
составленный из конечного числа гладких дуг. Поэтому его можно разрезать на
конечное число столь малых гладких дуг, что изменение наклона касатель-
касательной к горизонту вдоль каждой из них не будет превышать е, где t — любое
малое фиксированное число, в > 0. В этих условиях весь криволинейный
контур Г уподобляется обыкновенному многоугольнику. А для
многоугольных контуров Г деление плоскости XOY на прямоугольники, каж-
каждый из которых вырезает из S не более одного куска, является легким, при-
причем все прямоугольники Я, частично выступающие за Г, могут быть сделаны
даже квадратами.
Это построение сохраняется без изменения для криволинейного кон-
контура Я и дает прямоугольники Я с такими *же свойствами (см. рис. 158).

368 -КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. X
как составленная из них сумма является криволинейным интегралом
взятым по всей замкнутой кривой Г в положительном направлении,
то этот интеграл должен быть равным нулю, что доказывает тео-
теорему. • ч. т. д.
Как следствие мы получаем:
если непрерывные функции Р и Q, имея непрерывные частные
производные первого порядка, удовлетворяют внутри контура К
соотношению
дР _ dQ
ду ~ дх 9
тогда выражение Р dx-\-Qdy есть полный дифференциал, инте-
интегрирование которого выполняется криволинейным интегралом
<*.у)
/ Pdx + Qdy,
{*о> У о)
в этом случае не зависящим от пути интегрирования и дающим
искомую функцию F(xf у), уничтожающуюся в точке М0(х0, у0)
и имеющую полный дифференциал dFf равный выраоюению
Pdx + Qdy.
§ 135. Зависимость криволинейного интеграла от пути. Работа
силы. Если условие интегрируемости
дифференциального выражения
Pdx-\-Qdy> B)
не выполнено, тогда, как мы знаем, нельзя требовать, чтобы уравне-
уравнение в полных дифференциалах:
dz = P dx-\-Qdy C)
определило функцию z(x, у) двух независимых переменных, т. е.
на куске плоскости. Однако на какой-нибудь кри-
кривой L, заранее нами выбранной, дифференциальное уравнение C)
может быть удовлетворено: достаточно для этого написать криво-
криволинейный интеграл
м
f Pdx + Qdy.
Mo

§ 135 ЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ
369
и тогда мы имеем функцию 2, определенную вдоль кривой L, прини-
принимающую в исходной точке Мо (х0, у0) заданное начальное значение z0
и удовлетворяющую, вдоль кривой L, дифференциальному уравне-
уравнению C) (рис. 159).
Однако следует заметить, что величина переменной z, определен-
определенной криволинейным интегралом D), вовсе не есть функция точки
М(х, y)t при всяких ее координатах х и у\ переменная величина z
зависит не только от положения концевой точки М на кривой Z,,
но еще и от самой этой кривой Ь. Если представить себе,
что точка Мо перемещается по плоскости вдоль кривой Lt
чтобы, в конце концов, прийти в точку М, то можно сказать, что,
Рис. 159
Рис. 160
для того чтобы знать численное значение 2, не достаточно знать лишь
само положение точки Ж, но нужно знать еще и ее историю, т. е.
знать, каковы были ее последовательные положения после того, как
она покинула начальное положение Мо. Можно сказать, что криво-
криволинейный интеграл D) выражает собой явление наследственности
в том смысле, что если точка М занимала в прошлом последова-
последовательные положения на кривой L, то след этого прошлого сказы-
сказывается в настоящем численном значении переменной г.
Другим истолкованием криволинейного интеграла является важное
в механике понятие работы.
Если на точку М(х, у, z) действует сила F, имеющая своими
компонентами по осям координат Xf Y, Z, и если точка Ж, вычерчи-
вычерчивая в пространстве кривую траекторию /, переходит в бесконечно
малый промежуток времени из положения М в положение М',
то элементарной работой силы F называется произведение
F* MM' •cos(F, MM')t т. е. Fdscos(Ft ds), ибо хорда ММ' и
дуга ММ'> будучи бесконечно малыми, равносильны друг другу
(рис. 160). .
24 Интегральное исчисление

370
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
ГЛ. X
Аналитически, обозначая через dx, dy, dz проекции перемеще-
перемещения ММ' на оси координат, элементарная работа имеет своим выра-
выражением:
Xdx+Ydy + Zdz.
Работой силы F вдоль конечной дуга М0М называется сумма
элементарных работ вдоль этой дуги, т. е. пространственный криво-
криволинейный интеграл
м
/=(L) f
которой можно написать в виде:
{х, у, г)
I=(L) f Xdx+Y
)
и который взят вдоль дуги L (рис. 161), имеющей начальной точ-
точкой Л10(л:0, yQt zo) и концом — точку M(xt у, z).
Пространственный криволинейный интеграл Г Xdx ~f- Y dy + Z dz
вычисляется так же, как и плоский кривс^линейный интеграл
I Pdx-{--Qdy. Именно, берут
параметрические уравнения про-
пространственной дуги L: а = ср(т;),
Р == ф (т), 1 = а)(т) (рис. 161) и,
делая эту подстановку в криво-
криволинейный интеграл /, пишут
м
м0
Рис. 161
dx.
где предполагается, что при т = t0 получаем начальную точку Мо
дуги L, а при г — t — ее конец М.
§ 136. Формула Остроградского. М. В. Остроградскому удалось
найти точную величину криволинейного интеграла
I = (F)fPdx-\~Qdy
по замкнутому контуру Г в общем случае, когда условие интегри-
интегрируемости -д— —-^р- может быть и не соблюдено.

§ 136
ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
371
Пусть функции Р и Q непрерывны внутри контура /С, как и их
первые производные. Пусть Г какая-нибудь замкнутая, не пересекаю-
пересекающая саму себя кривая, лежащая целиком внутри К. Мы обозначим
через 5 часть плоскости, ограниченную
кривой Г.
Разобьем плоскость XOY на прямо-
прямоугольники, имеющие стороны парал-
параллельными осям координат и диагонали
меньшими, чем фиксированное число
8, 8 > 0. Из этих прямоугольников мы
удерживаем только те, которые содер-
содержат точки области S. Если мы возьмем
криволинейные интегралы (у) Г Р dx-\~
-\-Qdy в положительном направле-
направлении по контурам (f) тех кусков об-
области S, которые вырезаются из S
каждым удержанным прямоугольником
и, затем, сложим все эти интегралы,
то, согласно § 134, их сумма будет в точности равна криволиней-
криволинейному интегралу от выражения Рdx-\-Qdy по всему контуру Г в по-
положительном направлении. Следовательно, мы имеем:
а+да
Рис, 162
f Pdx + Qdy = (D JPdx + Q dy.
A)
Мы должны теперь оценить слагаемые левой части.
Случай первый: рассматриваемый прямоугольник не выхо-
выходит за контур А Пусть ABCD такой прямоугольник (рис. 162).
Имеем:
1abcda=
Аа
= f P{a+t,
Д6
J
Да
~-f Q(a,
= — f [P(a+t,
— Q{a,
24»

372 КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. X
Применяя теорему о среднем Лагранжа, находим:
Аа
_ Aft . JРу (а-Н, ft + 6i Aft) dt + La . JQ^
где 0Х и 02 положительны и оба, < 1.
Так как Ру и Qx суть непрерывные функции, то, применяя теперь
теорему о среднем для определенного интеграла (см. § 35), мы
находим:
/ = — Aft. Да-Р'у (а
—Ру(а+03Да, ft-Hi Aft)] • Да Aft.
Мы замечаем, что уменьшаемое и вычитаемое, написанные в квад-
квадратной скобке, являются ничем иным, как численными значениями
dQ дР
производных -~ и -5— в некоторых двух точках, лежащих внутри
рассматриваемого прямоугольника ABCD.
Поэтому, если мы берем все такие прямоугольники ABCD и,
составив сумму соответствующих им криволинейных интегралов
(ABCD) ГРdx-\-Qdy, заставим положительное © безгранично при-
приближаться к нулю, то, в силу самого определения двойного инте-
интеграла (§ 119), мы будем иметь:
Ит У\ (ABCDA) fpdx+Qdy =
Случай второй: рассматриваемый прямоугольник частично
выступает за контур Г. Как мы знаем из § 134 (см. примечание
в сноске), такой прямоугольник тс всегда можно предполагать: либо
квадратом, либо составленным из двух равновеликих квадратов
путем склеивания вдоль общей им стороны, причем дуга контура Г,
пересекая его, соединяет точки А и В двух противоположных сторон

§ 136
ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
373
(рис. 163). Отсюда сразу следует, что длина контура f куска обла-
области 5, вырезанного из S прямоугольником тс, не может превышать-
шести длин дуги АВ контура Г. Поэтому общая длина всех кон-
контуров 1 кусков области 5, вырезаемых прямоугольниками тс, не
превышает 6L, где L — длина всего контура Г.
Найдя это, рассмотрим интеграл (у) \Р dx-\-Q dy, взятый в положи-
положительном направлении по контуру f. Пусть М0(х0, у0) — какая-нибудь»
точка дуги АВ (рис. 163). Обозначив че-
через Ро и Qo численные значения функ-
функций Р и Q в точке Мо, мы имеем:
— QQ)dy. C)
0
П
А.
С
1
!
в
1 ' М
)
Но первый интеграл в правой части
равенства C), очевидно, равен нулю, ибо р 163
контур т есть замкнутый, а подынте-
" тральное выражение Ро dx 4- Qo dy есть
полный дифференциал. Второй же интеграл в правой части очень-
мал, ибо диагональ всякого прямоугольника тс меньше чем 8, где 8 —
сколь угодно малое фиксированное число. Отсюда следует, что
имеем неравенство
\Р—Р0\<г и |Q_Q0|<e
на всем прямоугольнике тс, где е > 0 есть фиксированное сколь угодно-
малое число.
Поэтому мы видим, что абсолютная величина этого интеграла не
может быть больше, чем:
где ds есть дифференциал дуги контура у.
Следовательно, сумма У,(т) \ Рdx-\-Qdy всех криволинейных
интегралов по контурам у, соответствующим прямоугольникам тс, не-
неможет превысить
12. L

374 КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. X
(согласно сказанному вначале), где L — длина всего контура /\ И так
как е сколь угодно мало, то мы видим, что
HmV(T) fP tfjt+Qd.y = O, D)
где знак суммы распространяется на все прямоугольники тс, частично
выступающие из Г.
Окончательно сопоставляя равенства A), B) и D), мы ви-
видим, что
f ff(?%)xdy. E)
А это и есть формула Остроградского. ч. т. д.
Следствие. Из формулы E) Остроградского сразу следует
уже известное нам предложение: для того, чтобы интеграл
(Г) Г Р dx-\~Qdy no любой замкнутой кривой Г, лежащей вну-
внутри контура /С, был равен нулю, необходимо и достаточно,
чтобы имело место всюду внутри К равенство -*— = -р-.
Достаточность ясна из того, что при соблюдении этого
равенства подынтегральное выражение двойного интеграла обра-
обращается в нуль.
Необходимость ясна из того, что если в какой-нибудь точке
М0(х0, у0), лежащей внутри /С, разность -?*- — -^— будет отличной
от нуля, например положительной, то тогда, в силу предполагаю-
предполагающейся непрерывности первых частных производных от функ-
функций Р и Q, мы будем иметь неравенство -~-—-^— > 0 вблизи
точки Мо. А тогда, беря окружность /"достаточно малого радиуса р,
имеющую центром точку уИ0, мы внутри Г будем иметь двойной
интеграл E) положительным и, значит, невозможно, в силу
формулы Остроградского, чтобы криволинейный интеграл, стоящий
в ней налево, был нулем.
§ 137. Дифференциальное уравнение, левая часть которого
есть полный дифференциал. Мы знаем, что всякое дифференциаль-
дифференциальное уравнение первого порядка может быть написано в виде
0. A)
где Р и Q суть функции от двух независимых переменных х и у*

§ 138 интегрирующий множитель 375
Если выражение Р dx-\-Qdy есть полный дифференциал, т. е.
если имеется некоторая функция F (х, у) двух независимых пере-
переменных хну такая, что
dF = P dx~\-Qdy, B)
то данное дифференциальное уравнение A) указывает, что вдоль вся-
всякого его решения. у{х) мы имеем dF = Q и, следовательно, что
вдоль решения у(х) функция F(x, у) сохраняет постоянную вели-
величину.
Это означает, что самое решение у(х) дифференциального урав-
уравнения A) получается теперь из конечного уравнения
F(xt у) = С, C)
где С есть постоянная величина.
Полагая С произвольным постоянным, мы получаем все реше-
решения у(х) дифференциального уравнения A) и, значит, C) является
общим решением.
Из предыдущего мы знаем:
1) что для того, чтобы левая часть дифференциального уравне-
уравнения A) была полным дифференциалом, необходимо и достаточно нали-
дО дР
чие тождества -~^ = -^—;
2) что при наличии этого тождества нужная нам функция F (х, у)
получается одним криволинейным интегралом
(*, у)
L j Pdx+Qdy
(*о, Уо)
по какому-нибудь пути L, идущему от начальной точки М0(х0, yo)^
к точке М(х, у), причем результат внутри контура К от пути инте-
интегрирования L не зависит. Можно также получить F(x, у), выполняя,
согласно § 134, две квадратуры:
F(x. y) = f
Xq Уо
§ 138. Интегрирующий множитель. Если выражение Р dx-\-Qdy
не есть полный дифференциал, то тогда естественно искать такой
множитель [х(х, у), чтобы новое выражение \ъР dx -*- jj-Q dyt полу-
полученное из старого умножением на [л, стало полным дифференциалом.

376 КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛ. X
Польза отыскания этого множителя jx, называющегося интегрирую-
интегрирующим множителем, та» что старое и новое дифференциальные урав-
уравнения:
PdAQd Q и
являются, собственно, одним и тем же уравнением, но интегриро-
интегрирование нового уравнения, как вообще интегрирование всякого полного
дифференциала, требует только двух квадратур.
Для того, чтобы новое уравнение
pPdx + pQdy = O A)
было точным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы
имели место тождества
или
Следовательно, интегрирующий множитель \ь(х, у) служит
решением уравнения в частных производных B) и, обратно,
всякое решение \ь(х, у) уравнения в частных производных B)
является интегрирующим множителем для выражения Р dx-{-Q dy.
Доказывается в более полных учебниках, что уравнение B) всегда
имеет решения и, значит, всегда имеются интегрирующие множители
, у) для всякого выражения Рdx-\~Qdy.
Большинство дифференциальных уравнений
C)
интегрирование которых выполняется до конца квадратурами, таковы,
что нам известны их интегрирующие множители р.
Пример 1. Однородное уравнение Pdx-\-Qdy = Ot где Р и Q суть
однородные функции той же самой степени т от х и у, имеет дробь
своим интегрирующим множителем.
Доказательство. Укажем сначала характеристическое свойство одно-
однородных функций. Если /(л:, у) есть однородная функция от двух аргумен-
аргументов х и у, причем ее степень однородности равна /и, то это означает, что
при умножении обоих аргументов х и у на произвольное число t наша
функция f(xt у) воспроизводится, приобретая лишь множитель tm*
Например, функция 2х* + 5ху2> — 7х2у есть однородная степени 3, ибо
умножение ее аргументов х и у на t дает: 2 (xf)% •+- 5 (xt) • (yt)* — 7 (xfjp (yt) ==
« t* • B*3 -f Ьху* — 7x*y).
Таким образом, если f(x, у) есть однородная функция степени mt то
это означает, что имеем тождество по трем буквам я, у и t
, у). D)

§ 138
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
377~
Дифференцируя это тождество по букве t, имеем:
xfx{xU yt) +y/y (xt, yt)^mtm-1f(xJ у).
Полагая t = 1, получаем тождество по аргументам хну
Проверим теперь, будет ли множитель Q интегрирующим для;
выражения Pdx-\-Qdy.
Имеем:
а „
дх Рх + Qy
(Px +
дх * дх
Аналогично имеем:
(*
%-'%)-
«>
(Px+Qy)*
Отсюда
Но, в силу однородности функции Q, первая скобка равна mQ; а в силу
однородности функции Р вторая скобка равна тР, где т — степень одно-
о mPQ — mQP Л о
родности. Значит, предыдущее выражение равно / р > q ч2 = °* Значит^
есть интегрирующий множитель.
Пример 2. Найти интегрирующий множитель линейного уравнения,
dv
-г--\- Ру — Q, где Р и Q суть функции одного переменного дг.
Решение. Переписываем данное линейное уравнение в вида
dy + (Ру — Q) dx =s 0. Если р. — интегрирующий множитель, мы должны иметь.
•J- = -jr- (Ру — Q) + fAP. Этому уравнению удовлетворяем, ища интегрирую-
интегрирующий множитель у,, зависящий только от х. Тогда имеем -^ = 0, и пре-
предыдущее уравнение напишется в виде
/
= / Pdx и (х =
_.г
-~-
—
т. е. — = Я rfjc, откуда.

378 криволинейный интеграл гл. х
Интегрируя полный дифференциал
J P dxdy + JPdx {py _ Q) dx
но правилу, указанному в § 137, мы находим:
откуда имеем полученное прежде общее решение

ГЛАВА XI
РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 139. Тригонометрические ряды. Тригонометрическим рядож
называется всякий ряд, имеющий вид:
+ (апcosпх-рЪпsin пл:-(-) • • •» A)
где постоянные числа #0, аи а2, .. . и ftx, #2> ¦ • • называются коэф-
коэффициентами тригонометрического ряда. Они предполагаются дей-
действительными, так же как и переменное х.
Если тригонометрический ряд A) сходится для всякого дей-
действительного х, тогда его сумма зависит от х; ее обозначают
через f(x):
^ (ancosnx-\-bnsin
B)
и в этом случае говорят, что функция f(x) разложена в триго-
тригонометрический ряд. Очевидно, что f(x) есть периодическая функ-
функция с периодом 27U.
Для многих чисто практических целей науки и техники нужно
уметь разлагать заранее заданную периодическую функцию f(x)
с периодом 2тг в тригонометрический ряд. Для этого надо уметь
делать две вещи:
во-первых, надо уметь по заданной функции f(x) оты-
отыскивать коэффициенты того тригонометрического ряда, в кото-
который должна разложиться заданная функция f(x);
во-вторых, надо уметь доказать, что найденный таким
образом тригонометрический ряд в самом деле есть ряд схо-
сходящийся и притом имеет своей суммой как раз ту самую
функцию /(*)» которая нам была задана и которую мы хотели
разложить в тригонометрический ряд.
§ 140, Формулы Фурье, Первая задача очень простая. Прежде
всего тригонометрический ряд A) надо рассматривать не на всей
оси ОХ, а только на каком-нибудь отрезке длины 2тг. Ибо,
если мы к численному значению х прибавим (или вычтем) 2тс, то

^380 РЯДЫ ФУРЬЕ ГЛ. XI
все члены ряда нисколько не изменятся, так так все они периоди-
периодические и имеют периодом 2тг. В самом деле, мы имеем тождество:
ап cos п (х ± 2тс) -|- bn sin п (х ± 2тс) = ап cos nx -[- bn sin ял;. A)
Поэтому тригонометрические ряды рассматривают обычно только
на отрезках: или [0, 2тс], Я./Ш [—те, -j-ic], ибо за пределами этих
отрезков рассматривать эти ряды излишне.
Для того, чтобы найти те формулы, по которым должнм вы-
числяться коэффициенты ал, Ьп тригонометрического ряда для
заданной заранее его суммы /(*), мы сначала возьмем такой
тригонометрический ряд, который должен заведомо сходиться и,
значит, должен иметь определенную сумму f(x): таковы абсолютно
сходящиеся тригонометрические ряды, у которых ряд абсолютных
их коэффициентов ^ 1 & 1 ап 1 +1 &п I есть Ря& сходя-
сходявеличин
щийся. л=1
Если этот последний ряд сходится, тогда ясно, что и тригоно-
тригонометрический ряд A) также будет сходящимся и притом пра-
правильно сходящимся (см. § 78) на отрезке [0, 2тс], ибо его
общий член ап cos nx -f- bn sin nx удовлетворяет неравенству
|алcos/** + &„
Ясно, что такой тригонометрический ряд B) есть равномерно
сходящийся (см. § 78) на отрезке [0, 2тс] и, значит, его сумма/(а:)
«есть непрерывная на отрезке [0, 2т:] функция.
Для того, чтобы отыскать коэффициенты а0, ..., ая, Ьп рас-
рассматриваемого тригонометрического ряда
-\~(ancosnx-{-ansinnx)-\- ... + B)
по его сумме f(x), примем сначала во внимание следующие
равенства:
Г cos mx cos nx dx = 0, если т Ф nt
о
2ic
\ cosmxsinnx dx = 0t даже если т = п9
о
Г sin mx sin nx dx = 0, если т Ф п,
о
2те 2* 2*
Г cos2 nx dx = Г sin2 nx dx = тс и Г rfx = 2тт.

§ 140 формулы фурье 381
Если мы теперь умножим обе части разложения B), в котором
предварительно заменим х через а на coswarfa и интегрируем1
между пределами 0 и 2тс, то найдем:
2ic
ап = — / /(a) cos na da. C)
о
Точно так же, умножая на sinmxda и интегрируя, получаем:
bn=~ f f (a) sin na da. D)
6
Наконец, для я = 0, имеем:
О
и, таким образом, формула C*) является частным случаем общей
формулы C), в которой надо только положить гс = 0.
Формулы C) и D) обычно пишут вместе:
ап — — J / (a) cos na da
о
?л = — Г/ (а) sin na da
= 0, 1, 2, 3, ... E)
и называют формулами Фурье. Сообразно с этим тригонометри-
тригонометрический ряд
^ + (°xcos* + *isin-*:)-b _. -\-(апcosnx-[-bnsinnx)+t. .., A)
коэффициенты которого aQt an, bn определяются по формулам
Фурье E), называется рядом Фурье для функции /(*), причем
обыкновенно пишут символически
... -f-
ап cos nx +¦ bn sin nx) + ..., F)
показывая этим, что функция f(x) образовала стоящий направо
от знака ~ тригонометрический ряд по формулам Фурье E), даю-
дающим его коэффициенты.
Вместо символического знака ~ писать обыкновенное равен-
равенство == нельзя, ибо имеются даже непрерывные функции f(x), для
1 Это почленное интегрирование законно, ибо рассматриваемый ряд B)
равномерно сходится. См. об этом § 79.

382 ряды фурье гл. xi
которых их ряды Фурье расходятся (по крайней мере в неко-
некоторых точках). Но когда коэффициенты а0, ап% Ъп дают абсолютна
сходящийся ряд 2j\ ап ИЧ *л!» тогДа вместо знака — заведомо можно
л-1
писать обыкновенный знак равенства =. В других же случаях этого
делать без предварительного исследования нельзя, ибо еще неиз-
неизвестно, будет ли ряд Фурье, образованный для заданной функции/(л:),
сходиться именно к ней, а не к какой-нибудь посторонней функции
Ф(х), если он, вообще, окажется сходящимся рядом.
§ 141. Предварительные леммы. Для того, чтобы исследовать
ряды Фурье и доказать, что они сходятся к образующим их функ-
функциям f(x), по крайней мере для некоторых* видов функций /(х),
необходимо дать некоторые вспомогательные предложения.
Лемма /. Если функция f(x) непрерывна на каком-нибудь
ь
отрезке [а, Ь], тогда оба определенные интеграла i f (a) cos na da
ь J
/а
f (a) sin na da стремятся к нулю, когда п безгранично воз-
а
растает.
Доказательство. Рассмотрим только первый интеграл, так
как доказательство для второго интеграла такое же.
Обозначим же первый интеграл через Ап
ъ
Ап = Г/(а) cos na da. A)
а
Так как для любого <р имеем —cos(cp — ir) = coscp, то
cos na = — cos (/га — it). Поэтому
ь ъ
Ап = — / /(a)cos(/wc — ir)da = — I f(a)cosn(a——\da.
a a
Обозначив a — ~ = B, мы имеем: a = B-| и da = dB. Отсюда
n r l n l
ь—
n
П
= — / /(a+—icosMfifa,

§ 141 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ 383
ибо переменное интегрирования р мы можем написать снова в виде
буквы а.
Итак, одновременно с равенством A) имеем:
ь—
п
Ап = — f /(a+ -^) со? «a da. B)
1С
а
п
Складывая равенства A) и B), находим:
Ь~Т
/ [/(«)— /(a+-^-j|« cosnada+ / /(a) cos иа da.
C)
Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [а, р], то она
на нем ограничена, т. е. имеем неравенство \f(x)\^M для всех
точек х отрезка [а9 Ь\. Поэтому оба крайние интеграла, стоящие
в правой части равенства C), не превышают каждый, по абсолют-
абсолютной величине, количества М • ~. Что же касается среднего инте-
интеграла, то его абсолютная величина не превышает
«г—=¦
п
f
Значит имеем неравенство
В силу того, что функция f(x) есть равномерно непрерывная
на [а, Ь], мы имеем для достаточно большого числа п неравенство
/(а)—/Ia-f- — J < е, где е — фиксированное произвольно малое
положительное число. Таким образом, для п достаточно большого
имеем:
^ + еф-а), D)

384
РЯДЫ ФУРЬЕ
ГЛ. XI
и так как 2М *0, когда я~>+оо, то отсюда заключаем, что
lim Лп = 0.
Аналогично доказываем, что второй интеграл Вп доказываемой
леммы
ъ
Вп = Г/(а) sin па da
также стремится к нулю, когда п безгранично возрастает, т. е.
имеем:
lim Я =:0. ч. т. д.
Доказанная лемма 1 имеет такие следствия.
Следствие 1. Если кривая y — f(x) на отрезке {а, Ь]
состоит из конечного числа непрерывных дуг, тогда оба инте-
ь ь
грала \ f (a) cos na da и С f (a) sin na da по-прежнему стремятся
а а
к нулю у когда п безгранично возрастает.
Y
С Г
Ч г ^
В
В самом деле, в этом случае интеграл Г / (a) cos na da разби-
а
? V Ъ
вается на сумму конечного числа частных интегралов \ -\~ \ Л" \
а 5 V
(рис. 164), каждый из которых имеет функцию f(x) непрерыв-
непрерывной между пределами интегрирования, включая сюда эти самые
пределы. Поэтому, по доказанной лемме 1, каждый из этих част-

§ 142 ВЫРАЖЕНИЕ СУММЫ ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ РЯДА ФУРЬЕ 385
ных интегралов стремится к нулю, когда я —> + оо. Следовательно,
ь
и сумма их, т. е. весь интеграл |/(a)cos/iarfa—>0, когда/г—>-)-оо.
а
ь
Аналогично имеем I f (a) sin па, da-* 0, когда /г-^-f-oo.
а
Следствие 2. Если кривая y = f(x) на отрезке [О, 2тг]
состоит из конечного числа непрерывных дуг, то коэффициенты
ряда Фурье ап и Ьп для функции f(x) стремятся к нулю, когда
п ~> -|- оо, т. е. имеем lim ая = 0 и lim Ьп == 0„
В самом деле, согласно формулам Фурье E) § 140, мы имеем
ал=— / f (a) cos па da и bn = — I f(a)sinnada. Значит, согласно
о о
лемме 1, имеем ал->0 и Ьп—>0, когда я-> + °°-
Лемма 2. Для всякого натурального числа п имеем тожде-
тождество
—. ~±. cos a -f- cos 2a -f~ .. • -j- cos na =± —. E)
2sln-J
Доказательство. Имеем очевидное тождество:
(k -}~y)(X~ sin(k ~<5*)a= 2 # cos
sin(k -}~y)(X~ sin(k ~<5*)a= 2 # cos Aa ' sin " ^
для & = 0, 1, 2, 3, . •., n.
Переписав это тождество в виде:
sin (k -h-2")a — sin(&— l+yja = 2cosAa sin у
и суммируя для &= 1, 2, 3, •«,, я, мы находим:
yja — sin -^-— (cosa-+-cos2a-f- ... +cosna) • 2sin-|-.
Отсюда, пегренося sin у в правую часть и деля все на 2 sin -g-,
получаем тождество E). ч. т. д.
§ 142. Выражение суммы ft-f-1 первых членов ряда Фурье.
Пусть функция f(x) изображается на отрезке [0, 2тг] конечным
числом непрерывных дуг (рис. 165).
Пусть
^ A)
25 Интегральное исчисление

386
РЯДЫ ФУРЬЕ
ГЛ. XI
есть ряд Фурье для f(x). Это означает, что коэффициенты ап, Ьп
вычисляются по формуле Фурье:
2тс 2тс
ап = — / /(a) cos /га tfa- и bn = — J /(а) sin яа den.
B)
или сокращенно:
(*) = y + 2 (aft cos йл: + ^ sin ftx).
Обозначив через 5л(х) сумму первых я-|-1 членов ряда Фурье,
мы имеем:
C)
D)
Общий член akcoskx~\-bksmkx этой конечной суммы Sn(x),
по внесении в него выражения коэффициентов ak и Ьк по формулам
Фурье, примет вид:
ak cos kx -f- bk sin йлГ=
== — / / (a) [cos Ы cos ftx -f-
o
-+- sin fox sin kx] da ==
= — / /<a) • cos & (a — л;) • da.
E)
Рис. 165 °
Поэтому вся сумма Sn(x) напишется в виде:
Л Г " 1
о L k=i J
F)
Выражение, написанное под знаком интеграла в квадратных скоб-
скобках, при фиксированном дг, есть периодическая функция от a
с периодом 2тс. Что же касается функции /(а), то она опреде-
определена пока только на основном отрезке [0, 2тс]. Но мы можем опре-
определить ее вдоль всей оси ОХ, сделав ее также периодической с пе-
периодом 2тс; для этого достаточно сначала разделить всю ось ОХ
на отрезки длины 2тс, откладывая последовательно такой отрезок
вправо и влево от начала координат О, и затемв каждом из этих
отрезков повторить тот самый график, который нам дан на основ-

§142 ВЫРАЖЕНИЕ СУММЫ ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ РЯДА ФУРЬЕ 387
ном отрезке [0, 2те] (см. рис. 165). Когда это мы выполним, функ-
функция /(а) явится определенной на всей оси ОХ и имеющей перио-
периодом 2те. После этого произведение /(<*)•[ ], стоящее под знаком
интеграла F), будет определенным вдоль всей оси ОХ и периоди-
периодическим, с периодом 27с. А так как интеграл от периодической функции,
взятый на отрезке длины, равной периоду, есть, очевидно, величина
постоянная, не зависящая от положения этого отрезка, то мы имеем
право в формуле F) заменить отрезок [0, 2те], по которому берется
интеграл, отрезком [х— те, л;-}-те], также имеющим длину 2те. Это
нам дает:
Сделав подстановку а — х = р, мы имеем: а = х + р и da = dp.
Отсюда
г « -I
L ««I . J
Написав переменное интегрирования р снова в виде а и вспо-
миная лемму 2 предыдущего параграфа, мы находим окончательно:
= 4 J /(^ + a> —-•*«• G)
2sinT
Этот интеграл, выражающий сумму дЦ~1 первых членов ряда
Фурье для заданной нам функции f(x), называется интегралом
Дирихле. Его назначение — сделать возможным исследование схо-
сходимости рядов Фурье, для чего нужно заставить число п безгранично
увеличиваться. Имея в виду эту цель, можно несколько уменьшить
трудность исследования интеграла Дирихле, заменив его жест-
жесткие пределы интегрирования —те и -f-rc более гибкими преде-
лами —е и +s.
Чтобы доказать законность такого упрощения интеграла Дирихле G),
заметим, что функция f(x) предполагается изображаемой на основном
отрезке [0, 2те] конечным числом непрерывных дуг. Так как зна-
знаменатель 2sin-^- не уничтожается на отрезках [—те, —е] и [+s,
-|-~те], где е>0 и весьма мало, то оба выражения:
a .. a
cos-^- sin-^
и
2 sin-у
25*

388
ряды фурьн
гл. XI
на отрезках [—т, —е] и Ц-е, -+-тс] изобразили, каждое конечным
числом непрерывных дуг.
Поэтому, в силу следствия 1 леммы 1 (см. предыдущий §),
мы имеем все четыре интеграла
/2=4
+е
2 sin
sin
2 sin
cos
2 sin
sin-
2
a
2"
{~2
a
T
a
T
2sln
sin mx da,
> cos not, da,
sin na da,
cos /ta da,
стремящимися к нулю, когда
А так как мы имеем:
2sin~
то оба эти интеграла —>0, когда л—>--f-oo.
Отсюда следует, что сумму Sn (x) первых п -f-1 членов ряда
Фурье для f(x) можно написать в виде:
r
2 sin T
(8)
где ч\п есть величина бесконечно малая, когда л-^оо.
Интеграл, стоящий в правой части равенства (8), называется усе-
усеченным интегралом Дирихле. В нем число е, стоящее в пределах
интегрирования, есть число положительное, малое как угодно, но
заранее заданное (т. е. фиксированное).

§ 143 сходимость ряда фурье 389
§ 143, Сходимость ряда Фурье. Мы ограничиваемся практически
важным случаем, когда разлагаемая в ряд Фурье функция f(x)
изобразила конечным числом отдельных непрерывных дуг, имею-
имеющих в каждой их точке касательную прямую.
Здесь, для наиболее ясного понимания, мы делаем то указание,
что каждая из этих отдельных дуг, каковыми на рисунке 165
являются дуги ABt CD и EF, во всякой своей точке имеет опре-
определенную касательную прямую, даже в их концевых точках А
и Я, С и D, Е и F.
Если х есть точка непрерывности функции f(x) на каж-
каждой из этих дуг, тогда х не может быть абсциссой ни одной конце-
концевой точки и тогда функция f(x) имеет в такой точке производную / (л:),
т. е. отношение
a)-f(x)
стремится к определенному пределу, когда а->0, имея любой знак:
а > О или а < 0.
Если жеv точка Е есть концевая точка какой-нибудь дуги, то
тогда ? есть абсцисса двух концевых точек, например, точек В и С
(см. рис. 165). Ясно, что в этом случае /(? — 0) = отрезку lBt
а / E -Ь 0) = отрезку ?С, вообще отличному от отрезка %В. Поэтому
в такой точке % функция f(x) не может иметь производной, но зато
должны иметься два предела:
/(s+Q)t гдеа>0
llm /ff + «>-/ff-<P , гдев<0.
Ясно, что первый предел A) равен тангенсу наклона каса-
касательной прямой к дуге CD в точке С, а второй предел B) равен
тангенсу наклона касательной прямой к дуге АВ в точке В.
Заметив это, возьмем ряд Фурье для рассматриваемой функции f(x):
(апcosnx-\-bnsinnx)-\- ... C)
Сумма Sn(x) его первых /i + l членов напишется в виде
1 У
4 J
где ?]л->0, когда я->-| оо.

390 РЯДЫ ФУРЬЕ ГЛ. XI
Случай первый. Сходимость ряда Фурье во внутренней
точке х дуги.
По лемме 2, § 141, имеем:
sin (п + -j\ а
-х-+ cos a + cos 2а + ... + cos/nz = - '—.
2 sin Л
Умножив на — da и интегрируя между пределами 0 и -j-^» имеем:
] о ¦
о 2 sin -2-
Аналогично имеем:
Каждый из интегралов E) и F) можно разбить на две части:
из которых вторые части стремятся к нулю, когда п~>-\-оо (см.
§ 142). Следовательно, имеем:
E*)
±=i fsiny
2 те J o
2 sin ~
2 sin
F*)
где к)*—>0 и H™-+Q. когда л-^ + с0-
Складывая E*) и F*), мы находим:
± fsln{n
2 sin -j
Умножив равенство G) на постоянное /(х), мы получаем:
, 1
/» ы11(/г+-н-)а
= ± J f(x) i AJ-da + ft + ifi.fix). (8)
2sini

§ 143 СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ 39JL
Вычитая равенство (8) из равенства D), мы получаем:
Полученное равенство (9) чрезвычайно важно, ибо из него прямо
следует сходимость ряда Фурье к функции /(х) во всякой
ее точке непрерывности л\
В самом деле, первая дробь *\х*а' *^х' 9 стоящая под
интегралом, есть непрерывная функция аргумента а в точке a = О,
ибо эта дробь стремится к определенному пределу /' (л;), когда a —> О
по любому закону и будучи любого знака. Но эта дробь также
непрерывна и во всякой другой точке а отрезка [—es^a^-j-s],
ибо разрыв мог бы случиться только по причине разрыва уменьшае-
уменьшаемого /(jc+a). А чтобы этого не произошло, мы можем взять число е
меньше расстояния точки непрерывности х до ближайшей концевой
точки дуги. В этих условиях ясно, что /(jc+a) будет непрерывной
функцией на всем отрезке [
Вторая дробь —- есть непрерывная функция на отрезке
2 sin ~
[—s^a^ + sl» ибо она стремится к 1, когда а-»0 по любому
закону, и непрерывна в других точках отрезка [—es^a^-f-e].
Поэтому к интегралу (9) применима л е м м а 1 § 141, и, следова-
следовательно, вся правая часть равенства (9) стремится к нулю, когда
л->-|-оо.
Таким образом, имеем равенство:
lim Stt (*) = /(*), A0)
П->+оо
выражающее сходимость ряда Фурье к f(x) во всякой внутрен-
внутренней точке х дуги.
Случай второй. Сходимость ряда Фурье в конце Е дуги.
В этом случае; усеченный интеграл Дирихле D) разбиваем на
две половины:
j /» sin
frt +
о 2 sin -j
2 sin у
где мы через ln обозначим первый интеграл, а через ?п — второй.

392 ряды фурьв гл. х!
Вычислим предел первого интеграла 1Пш когда я->-+оо. Для
этого умножим равенство F*) на /(S+0) и вычтем из 1п. Имеем:
/' /(8+0) 1
о ^ sin "
X sin (л +4*)а ' d0L — С
По-прежнему заключаем, что первая дробь /I +«)—/( + )
есть непрерывная функция аргумента а на отрезке
ибо, во-первых, она непрерывна справа в точке a = 0 и ее предел
в этой точке равен тангенсу наклона касательной в конце С дуги CDt
и, во-вторых, она непрерывна во всякой другой точке а отрезка
[О s^ a s^-f-s], когда число s взято меньшим расстояния от точки раз-
разрыва ? до ближайшей из других концевых точек.
Поэтому интеграл, стоящий в правой части равенства A2), в силу
леммы 1 § 141, стремится к нулю, когда я->+-оо. Отсюда сле-
следует, что
Hm In= y^TU/ . A3)
Л>+со ^
Совершенно так же вычисляется предел второй половины 1п инте-
интеграла Дирихле A1): умножая равенство E*) на /E— 0) и вычитая
из 1п, находим:
X sin (я
2S14-J
da — ^(E — 0).
Так как первая дробь v —— непрерывна на отрезке
], то, в силу леммы 1 § 141, интеграл, стоящий в пер-
первой части равенства A4), стремится к нулю, когда я->-|-оо. Следова-
Следовательно, имеем:
шп C^ll^L. A5)
Принимая во внимание то, что в равенстве A1) т)л->0, когда
п—>-j-oo, мы на основании формул A3) и A5) получаем оконча-
окончательно:
^ + 0)+^°>. A6)
Таким образом, мы пришли к следующему важному предложению:
Основная теорема. Если функция f (x) изобразила на отрезке
длиной 2ъ конечным числом отдельных непрерывных дуг, имею*

143
РЯДЫ ФУРЬЕ
393
щих во всякой точке касательную прямую, тогда ряд Фурье для
функции f (х) сходится в каждой точке: если х есть точка
непрерывности функции / (л:), сумма рассматриваемого
ряда Фурье равна f (х); если ? есть точка разрыва функ-
функции f (х)% сумма этого ряда равна среднему арифметическому
2 пределов справа и слева в точке ?.
Пример 1. Показать, что тригонометрический ряд
sin х + y sin 2x + -тг sin 3* + ••• Л Sinn*-}-...
всюду сходится и имеет сумму / (х) = -^ (к — х) внутри отрезка [0, 2я],
сходясь к нулю в его концах.
Решение. Разлагая в ряд Фурье указанную функцию, имеем:
1 С i
О
*-—SJ 1
a) cos па da = 0, п = 0, 1, 2, ...
1
1Г'
Поэтому ряд Фурье имеет написанный вид и обязан сходиться
тс — (тс — х) внутри [0, 2те]. В его концах находятся точки разрыва разла-
разлагаемой функции, ибо она должна быть периодической с периодом 2тс.
Поэтому сумма ряда Фурье в концах отрезка [0, 2тс] должна быть полу-
полусуммой значений слева и справа, т. е. должна быть равна нулю (рис. 166).
Рис. 166
Рис. 167
Пример 2. Разложить в тригонометрический ряд функцию /(*), равную
постоянной с внутри [0, те] и равную — с в н у т р и [— тс, 0] (рис. 167).
Решение, Имеем:
••4 /-
С COS na da +
тс
1 Г
cos na da = 0,
w -hit
— / — с sin na da -j / -)- с sin na da = — , если п нечетное.
0, если л четное.

394
РЯДЫ ФУРЬЕ
ГЛ. XI
Значит, ряд
Ас
—
sinZx , sin 5л: , sin 7л:
5 i R I 7
имеет суммой +с внутри @, тс) и — с внутри (—л, 0). В их кон-
конца х сумма ряда определяется по закону среднего арифметического предель-
предельных значений слеваи справа, ибо это — точки разрыва для разлагаемой
функции.
ЗАДАЧИ
1. Разложить непрерывную функцию, показанную на графике (рис. 168).
- 4 / . sin Зх . sin Ъх \
Отв. -{зпх+
2. Разложить непрерывную функцию, показанную на графике (рис. 169).
л х 2 / о , cos 6* , cos 10* , \
Отв. -4- — — (cos 2л:Ч р [-___+...].
-7Г
f «
! *
Рис. 168
3. Показать, что ряд sin x —
мой -cj- внутри [—те, +те].
1
Рис. 169
sin 4л: ,
имеет сум-
сумл „ cos 2л: . cos Зл: cos 4л:
4. Показать, что ряд cos ^ 1 ^ ^—• -
Z О 1О
г г-на [—те, -h те].
... изображает
5. Показать, что
~=СО8
6. Показать, что
' ъх
cos Зл: cos 5x
_ | _
внутри [— у,
= sin х —
sin Зл: . sin Ъх
Г те те!
§ 144. Гармонический анализ. Вообще исследование чиста
периодического явления нередко называют гармоническим анализом.
Таковы, например, в электротехнике явления напряжения в машинах
переменного тока, в акустике — музыкальные тона, в медицине —
кардиограммы, в астрономии — явления переменных звезд (Цефеиды)
и т. д. Имея какое-нибудь явление f (t), протекающее во времени,
и которое предполагают периодическим с периодом Р, обычно ста-
стараются «анализировать» это явление, «разложив» его на простейшие
периодические «слагающие», за каковые обычно принимают «гар-

§ 145 о наименьшей средней квадратичной погрешности 395
моники», т. е. слагающие, протекающие по закону синуса и косинуса:
пп cos -^ t-\-bn sin ~^-1. Написанное выражение называют «/г-й
гармоникой», или «гармоникой п-порядка».
Когда хотят разложить предполагаемое периодическим с перио-
периодом Р какое-нибудь явление f (f) на простые гармоники, для этого
пишут равенство
.cos^f + ft. sin ^ *)+... A)
и определяют коэффициенты ап, Ьп этого разложения по формулам
Фурье
р
*«=;?.//(«) cos тг»
0 р > « = 0, 1, 2, 3 B)
2
J f (a) sin -^ па da
Эти формулы выводятся из данных выше формул Фурье с помощью
простой подстановки x = —p-t.
Для того чтобы несколько упростить вычисления, руководятся
тем соображением, что в случае четной функции f(t), т. е. не
изменяющей своей величины при замене t на —tb /(—t) — f(t),
в ряде Фурье должны остаться одни косинусы, а синусы должны
исчезнуть, ибо при них все коэффициенты Ъп будут нулями. И, на-
наоборот, если f(t) есть функция нечетная, т. е. такая, что /(—?) =
= — /@. т0 тогда все косинусы должны исчезнуть и остаться одни
синусы.
Написанное разложение A) годится во всяком отрезке длины
периода Р. Чаще всего применяют его в отрезке [0, Р] или в отрезке
Чтобы совсем освободиться от всяких вычислений, применяют
{когда могут) особые аппараты, называемые гармоническими анали-
анализаторами и дающие прямо, при обводе иглой эмпирической периоди-
периодической кривой f(t), большое число коэффициентов Фурье для / (/)
(в лучших аппаратах до 45 гармоник). Применяют иногда немехани-
немеханические методы: катодные лучи, резонанс и т. д.
§ 145* О наименьшей средней квадратичной погрешности,
К коэффициентам Фурье приводит еще и другая задача. Пусть / (х)
¦есть всюду непрерывная периодическая функция с периодом 2iu.

396 РЯДЫ ФУРЬЕ ГЛ. XI
Обозначим через Тп(х) какой-нибудь тригонометрический многочлен
f )t A)
оканчивающийся на члене ancos пх -{- bnsin пх.
Если мы заменим функцию / (х) через Тп (х), мы совершим неко-
некоторую ошибку. Дело сводится к ее оценке. Для этого пишут интеграл
2л
I=j[f{x)-Tn{x)fdx B)
О
и называют его величину средней квадратичной погреш-
погрешностью.
Для одних тригонометрических многочленов Тп(х) она велика»
и тогда такие Тп(х) не годятся для приближенного изображения
функции / (х); для других она мала. Вопрос ставится теперь об оты-
отыскании такого тригонометрического многочлена Tn(x)t для которого
эта погрешность была бы наименьшей.
Для этого нужно сделать интеграл / наименьшим по величине,
подобрав для этого надлежащим образом коэффициенты я0, alt bl9 ...
..., ап% bn. Этот интеграл / есть, следовательно, функция 2/г+1
действительных переменных, и мы должны искать ее минимум по
принципу функций многих переменных, т. е. написав уравнения
где k = 0, 1, 2, .. ., п.
Ясно, что
2ic
*L = - f 2[f (х)-Т„(х)]. coskx . dx
О
о
2%
щ = - f 21/ (x) — Tn(x)). dnkx • dx.
Произведем указанные вычисления:
2я 2%
jTn(a)cosk0Lda =
) О
= — 2 / f(a.)coskoLda-\-2v:ak

§ 145 О НАИМЕНЬШЕЙ СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧНОЙ ПОГРЕШНОСТИ 397
и, аналогично,
2п
В силу равенства C), мы должны иметь:
2*
ак — — / / (a) cos ka da
о
2ж
bk = — I / (а) sin ka da.
E)
А это и есть формулы Фурье.
Таким образом, из всех тригонометрических многочленов Тп(х)
только тот делает среднюю квадратичную погрешность мини-
мальной, у которого коэффициенты суть коэффициенты Фурье.

ГЛАВА XII
МЕТОД АКАД, С. А. ЧАПЛЫГИНА ПРИБЛИЖЕННОГО
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 146. Дифференциальные неравенства С. А. Чаплыгина.
В заданном дифференциальном уравнении
мы предполагаем правую часть f(xfy) непрерывной функцией
в некоторой части плоскости XOY и, кроме того, удовлетворяющей
в этой части плоскости какому-нибудь условию, обеспечивающему
единственность инте-
У грала. Например, мы можем
просто предположить, что
в этой части плоскости ~
ду
имеет везде конечную
величину. В этом предполо-
предположении в рассматриваемой ча-
части плоскости (рис. 170) че-
ы х рез всякую точку М0(х0, у0)
9 проходит заведомо един-
единственная интегральная кривая
Рис. 170 у = у(х). К сожалению, эта
интегральная кривая почти
всегда нам неизвестна. Поэтому в целях практики необходимо
искать другую кривую, нам уже известную, проходящую через
эту же точку М0(х0, у0) и заведомо столь близкую к известной
интегральной кривой у — у(х), что практически можно брать вместо
ординат интегральной кривой у = у (х) ординаты этой приближенной
кривой.
К отысканию приближенной кривой служит весьма замечательная
х чрезвычайно простая теорема С. А. Чаплыгина, получившая название
теоремы о дифференциальных неравенствах.
Вот ее формулировка.

§ 146
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С* А. ЧАПЛЫГИНА
399
Непрерывная кривая y — v(x)t вдоль которой справедливо диф-
дифференциальное неравенство -^—f(x, v)>0 и которая проходит
через точну М0(х0, уо)9 при x>Jt0 лежит выше интегральной
кривой у = у(х), проходящей через ту же самую точку Мо. Анало-
Аналогично, непрерывная кривая у<=и(х), проходящая через Мо, лежит
ниже этой интегральной кривой, если вдоль нее справедливо диф-
дифференциальное неравенство -— — f(x> #)< 0.
Доказательство. Прежде всего обе кривые у(х) и v(x)
выходят из точки Mq. Поэтому у0 = у (х0) = v (л:0) = v0 и, следова-
следовательно,
B)
т
Дифференциальное же неравенство
т.
C)
Это указывает на то, что наклон кривой v(x) к горизонту в точке х0
более крутой, чем соответствующий наклон кривой у(х). Отсюда
Рис. 171
следует, что кривая v(x), выйдя из начальной точки Мо, сначала
лежит безусловно выше интегральной кривой у(х). Сущность же
. теоремы состоит в том, что при дальнейшем своем течении кривая v(x)
никогда не может пересечь интегральной кривой у(х) и, значит,
поэтому вынуждена и дальше продолжать оставаться выше нее.
В самом деле, если бы кривая v(x) пересекалась в дальнейшем
с интегральной кривой у(х), то тогда имелась бы среди точек
пересечения и самая первая. Пусть это будет точка Mt(xx, ух).

400 МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГЛ. XII
Но в силу дифференциального неравенства в точке Ми как и раньше
в точке Мо> мы обязаны иметь неравенство 1-?-) > (-г-) $
\ ах /XmXi \ их )ХшХх
показывающее, что наклон кривой v(x) к горизонту в точке хх
также более крутой, чем соответствующий наклон кривой у(х).
А это невозможно, потому что в этом случае кривая v(x) должна
была бы влево от точки Мх лежать под интегральной кривой у(х)
и, значит, точка Мх не была бы первой точкой пересечения после Мо
обеих кривых v(x) и у(х) (рис. 171).
Итак, необходимо имеем обыкновенное неравен-
неравенство v(x)>y(x) до тех пор, пока имеется дифферен-
дифференциальное неравенство -% /(х9 v)> 0.
Аналогично, необходимо имеем обыкновенное не-
неравенство и(х)<Су(х), если имеется дифференциаль-
дифференциальное неравенство —^ — f(x, a)<0, причем кривая и(х) про-
проведена через начальную точку Мо. ч. т. д.
§ 147. Метод С. А. Чаплыгина, Когда дается дифференциальное
уравнение
ig-e/(*..y). О)
его, вообще говоря, проинтегрировать нельзя, кроме очень редких
случаев. Поэтому, когда наудачу подставляют в уравнение A) вместо
неизвестной нам функции у(х) какую-нибудь случайно взятую функ-
функцию z(x), то всегда будем иметь дифференциальное неравенство
Важность теоремы С. А. Чаплыгина о дифференциальных нера-
неравенствах заключается в том, что по самому знаку дифференциального
неравенства мы можем с уверенностью судить о том, по какую сто-
сторону неизвестной нам интегральной кривой у(х) ляжет взятая нами
кривая z(х); если знак неравенства >, то г(х) лежит выше у(х);
если же знак неравенства <, то г(х) лежит ниже у(х) (рис. 172).
Имея пару [v(x)t tt(x)] кривых, проходящих через начальную
точку MOi из которых первая удовлетворяет дифференциальному
неравенству
?L — fix.v)>0. B)
а вторая — дифференциальному неравенству
-2J —/<*. «)<0. C)
мы теперь знаем, что первая кривая v(x) лежит строго выше второй
кривой и(х) (кроме начальной точки MQ) и что неизвестная нам

МЕТОД С. А. ЧАПЛЫГИНА
401
интегральная кривая у(х) заведомо должна содержаться между ними
(рис. 173).
Такая пара кривых, удовлетворяющая дифференциальным нера-
неравенствам, называется начальной парой и обозначается сокра-
Рис. 172
щенно через [a, v) ввиду того, что из нее выводятся по определенному
правилу — одна по одной, каждая следующая из предыдущей — даль-
дальнейшие пары:
[unt vn]9 ....
D)
также удовлетворяющие
дифференциальным неравен-
неравенствам:
dx
dvn
dx
Рис. 173
а все теснее и теснее охватывающие искомую интегральную кри-
кривую у(х) (рис. 174).
Таким образом тратить силы на поиски всех дальнейших пар
{ип, vn\ нет необходимости, потому что все они, одна за другой,
получаются по определенному правилу. Но, к сожалению, для поисков
начальной пары [ut v] нет никаких правил и поэтому ее приходится
получать из каких-нибудь сторонних соображений, геометрических
или алгебраических.
26 Интегральное нечисление

402
МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ГЛ. XU
Ясно, что имеются начальные пары [ut v] с кривыми v(x) и и(х),
идущими столь же далеко, как простирается сама интегральная кри-
кривая у(х). Это следует из того, что для всякого положительного е„
s > 0 два дифференциальные уравнения:
-
E)
дают верхнюю v(x) и нижнюю и(х) кривые начальной пары [ut
4
ибо имеем -~ — /(*. г;)>0 и 4jL —
. y)>0.
К сожалению, дифференциальные уравнения D) интегрировать
столь же трудно, как и само первоначальное уравнение A),
Рис. 174
Здесь полезно заметить следующее: если нам удалось отыскать
две непрерывные функции /г(х, у) и /2(х, у), между которыми
заключена данная непрерывная функция f(x, у), т. е. если
AC*. jO</(*. yXfzi*. уУ
F)
и если эти две функции ft и /2 таковы, что оба дифференциальные
уравнения
& % у) G)
(8)
легко интегрируются, то их интегральные кривые U(x) и V(x)

§148
БЕЗГРАНИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
403
проходящие через начальную точку М0(х0, у0), образуют пару [?/, V],
охватывающую с обеих сторон искомую интегральную кривую у(х)
данного дифференциального уравнения A).
В самом деле, из алгебраических неравенств F) и дифференциаль-
дифференциальных уравнений (8) следуют оба дифференциальные неравенства:
L
и -; .
(9)
Метод, который дал С. А. Чаплыгин для построения бесконечной
последовательности D) пар, все теснее и теснее охватывающих искомую
интегральную кривую у (х), как раз и состоит в подборе таких функ-
функций ft(xt у) и f2(x, у), для которых оба дифференциальные урав-
уравнения G) интегрировались бы без труда. Для этой цели С. А. Чап-
Чаплыгин прибегает к линейным дифференциальным уравне-
уравнениям, т. е. уравнениям вида
^^Ау-^-В, A0)
где Л и В зависят только от х.
§ 148. Безграничное приближение. Для того чтобы было воз-
возможно ограничиться при построении сжимающихся пар D) только
Рис. 175
линейными дифференциальными уравнениями A0), С. А. Чаплы-
гин сделал естественное предположение, что производная ~» сохра-
сохраняет неизменный знак в рассматриваемой части плоскости XOY. В этом
предположении поверхность ?=/(#, у) разрезается плоскостями,
перпендикулярными к оси ОХ, по кривым, обращенным своей выпук-
выпуклостью либо вниз, если
, либо вверх, если -~ < 0,
26*

404
МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ГЛ. XII
На рисунках 175 и 177 изображены оба эти случая: на первом —
случай положительной -^~, на втором — случай отрицательной —^.
Имея л-ю пару кривых \ип{х\ vn(x)] уже построенной и удо-
удовлетворяющей дифференциальным неравенствам:
dun ., % ^ л
dx
dvn
dx
—fix, vn)>0, (И)
мы замечаем, что при за-
заданном х и переменном уу
изменяющемся в границах:
an(x)<y<vn(x)< ДУга АВ
кривой С = f(x, у) лежит между
хордой АВ и касательной AT
(или ВТ), проведенной в конце
А (или В) к этой дуге. На
рис. 176 и 178 секущая пло-
плоскость, раньше (т. е. на рис. 175 и 177) проводившаяся в пространстве
через точку х перпендикулярно к оси ОХ, теперь положена на самую
Рис. 177
плоскость чертежа. Из этих рисунков 176 и 178—нам сразу понятно,
что численные значения функции С=/(х, у), при любом заданном х
и при переменном у, изменяющемся в границах ип {х) ^ у ^ vn (x\

§ 148
БЕЗГРАНИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
405
заключены между двумя линейными от буквы у функциями,
t() и L2O0. где
, ия)
ибо Ьг(у) выражает ординату хорды АВ, восставленную в точке у,
a L2(y) выражает ординату касательной АТ% восставленную в той же-
точке у.
Если касательная берется в точке В, то функцию L2(y) следуег
заменить функцией
+/(*, vn).
A3*)
Отсюда мы заключаем, что,
если напишем два линейные по
букве у дифференциальные урав-
уравнения
~-jt = Lx(y) и -^- = I2(j>), A4)
или соответственно
?L = Lx(y) и -^ = 1*0;), A4*)
ил ил "
и„М У vnfxj
Рис. 178
то искомая интегральная кривая у(х) дифференциального уравнения A)*
содержится между обеими интегральными кривыми ух(х) и у2(хУ
соответственно первого и второго дифференциальных уравнений A4)
или A4*), проведенными через начальную точку М0(х0, у0).
.Значит, если мы обозначим через vn+1(x) верхнюю из этих двух
интегральных ^кривых ух(х) и (у2)х, а через ия+1(х) — нижнюю, то-
будем иметь алгебраические неравенства:
1 (*)<
< Vn+1 (Х)9
A5)
указывающие на то, что мы уже имеем построенной следующую пару
)
кривых
va+x(x)]9 причем это построение осуществлено
фф
a
через интегрирование только двух линейных дифференциальных
уравнений A4) или A4*), т. е. является трудом, в принципе не пред-
представляющим никакого теоретического препятствия, ибо все делается
только через квадратуры: мы ведь знаем, что интегрирование линей-
линейного уравнения первого порядка требует только выполнения квад-
квадратур.

406 МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГЛ. XII
Чтобы доказать, что новая пара кривых [и„+1(х), *>Я+1С*)Ь только
что выведенная из прежней (т. е. предыдущей) пары кривых [ип(х)>
^л(-*0Ь действительно лежит внутри нее, нам достаточно просто при-
прибегнуть к теореме С. А, Чаплыгина о дифференциальных неравен-
неравенствах.
Здесь нам нужно разобрать только два случая: во-первых,
когда -j^f > 0, и, в о-в т о р ы х, когда -j— < 0.
В первом случае определим функции vn+1(x) и ип+1(х) из
уравнений A4). Мы имеем рис 176, на котором сразу видно, что
Л(*)>Л(*) и» значит, vn+1(x)^y1(x) и ия+1(х) = уЦх). Итак,
имеем:
Подставим теперь в эти равенства вместо vn+1 функцию vn9
а вместо ип+1 — функцию ап. Мы получим, на основании предполо-
предположенных неравенств A1), дифференциальные неравенства:
обнаруживающие, что vn(х)> vn+l(х) и «„(*)< йл-м(*)> т- е- что
выведенная пара [ип+1, vn+i] действительно охватывается предыдущей
парой [ап, vn].
Во втором случае определим функции vn+1(x) и ип+1(х) из
уравнений A4*). Мы имеем рис. 177, из которого ясно, что yt (jc)<
< У г (х) и» значит:
Итак, имеем: i^L_^(^+1) = 0 и ib±L_Z1(iill+1) = 0-
Подставим теперь в эти равенства вместо vn+l функцию vn(x),
а вместо un+i — функцию ип(х\ Мы получим:
Первое выражение положительно, а второе отрицательно в силу
неравенств A1).

§ 149 БЫСТРОТА СХОДИМОСТИ ПРОЦЕССА С, А. ЧАПЛЫГИНА 407
Таким образом, и в этом случае выведенная пара [un+l, vn+1\
охватывается предыдущей парой [ип, vn].
В заключение мы устанавливаем, что нигде не остана-
останавливающийся процесс составления и интегрирова-
интегрирования линейных уравнений 1-го порядка, указанный
С. А. Чаплыгиным, развертывает безграничную по-
последовательность пар кривых
[«!• «J. [«2» ^l» №3, VS], ... t [Un> Vn], ...,
проходящих через начальную точку М0(х0, у0), содер-
содержащих каждая все следующие за ней и всетеснее и
теснее охватывающих, искомую интегральную кри-
кривую у(х).
Остается узнать, какова быстрота, т. е. сила сходимости этого*
процесса.
§ 149. Быстрота сходимости процесса С, А. Чаплыгина,.
Для оценки я-f-1-го приближения по методу С. А. Чаплыгина,,
т. е. для оценки величины разности vn+1(x) — #л+1С*0 = 8л+1(л:),
следует обратиться к дифференциальным уравнениям A4), потому что
Одно из них дает верхнюю функцию vn+1(x) а другое — нижнюю
функцию tin+l(x). Приняв во внимание теорему о среднем Лагранжа,
мы переписываем линейную функцию Ьг(у) в более удобном виде.
(для уравнений A4*) рассуждения аналогичные):
где z есть число, заключенное между числами ап и vni un4^.^.n
Но так ка*с fy(x9 z)—fy{x9 un)-j-(z—un)fy2(x9 С), где С—число,
заключенное между числами ип и z9 т, е. в свою очередь содержа-
содержащееся между ап и vn, я<;СОл, то имеем:
Вычитая теперь из того дифференциального уравнения A4), ко-
которое дает vn+l9 другое, дающее ип+19 мы имеем, очевидно,
где берется верхний знак +» если из первого дифференциального-
уравнения A4) вычитается второе, и где берется нижний знак —,,
если, наоборот, из второго уравнения A4) вычитается первое.

408 МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГЛ. ХИ
Обозначая через X и через р, два положительные числа, превы-
превышающие соответственно абсолютные величины I/' (л:, у)\ и \f'.J(x , у)\
в рассматриваемой части плоскости XOYt
и приняв во внимание, что числа у и г заключены между числами ип uvn,
а также, что 8rt+1(x) есть величина «положительная, мы видим, что
равенство A6) дает неравенство
«*). A7)
ибо имеем, очевидно,
U—«. !<»„(*) и \у—ап\<Ьп(х).
Если мы теперь, вместо дифференциального неравенства A7) для
«функции 8я+1(л:), рассмотрим дифференциальное линейное уравнение
относительно некоторой, пока нам еще неизвестной, функции Дл+1(л:),
равной нулю для jc = jc0, An+i(xo) = O,
:*). (is)
то в силу теоремы С. А. Чаплыгина о дифференциаль-
дифференциальных неравенствах мы заключаем, что должны иметь алгебраическое
неравенство
ДЛ+1(х), A9)
если справедливо алгебраическое неравенство
8Л(х)<ДЛ(х). B0)
Чтобы убедиться в этом, достаточно взять вспомогательное диф-
*ференциальное уравнение
ц&!(*) = 0 B1)
•с начальным условием и>(л;о) = 0.
Так как замена в нем функции ш (л:) функцией 8я+1(д:)в силу A7)
дает дифференциальное неравенство:

§ 149 БЫСТРОТА СХОДИМОСТИ ПРОЦЕССА С. А. ЧАПЛЫГИНА 40$
то мы должны иметь всюду алгебраическое неравенство:
С другой стороны, замена в дифференциальном уравнении B1) ин-
интеграла <ь(х) функцией Дл+1(л;) дает положительный результат,,
ибо имеем:
J (х) — рЛ? (х) = р [Д* (х) — 8» (л:)] =
Значит, мы должны иметь алгебраическое неравенство:
<о(*)<Дл+1(*). B3)
Сопоставляя неравенства B2) и B3), мы окончательно получаем::
Таким образом, чтобы оценить быстроту сходимости процесса^
С. А. Чаплыгина, достаточно проинтегрировать линейное уравнение-
A8), определяя интегральную функцию Ал+1(дг) начальным условием.
Дл-и(*о) —° и рассматривая предыдущую функцию Ал(лг) как уже
известную. Это интегрирование (§ 106) нам дает х
или
х
Дя+1 (х) = р f *M*-i) Д* (f) dt. B4)
Мы предполагаем, что приближенное интегрирование-
рассматриваемого дифференциального уравненияA)
мы проводим на заранее нам заданном отрезке [Хо^лг^л^].
Длина этого отрезка поэтому является для нас известной нам
постоянной величиной, которую мы обозначим через L, L > О, т. е.
xi — xo = L. Другими такими же известными нам положительными
постоянными величинами являются рассмотренные нами выше постоян-
постоянные X и р, X > 0 и р > 0. Эти три постоянные L, X и [а являются
для нас основными.
Заметив это, введем теперь для удобства три положительные
постоянные К, С и е, не основные, но вспомогательные^

410 МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГЛ. XII
потому что они выражаются через основные. Именно, мы полагаем:
г
К
1
B5)
Так как в формуле B4) буквы х и t обозначают числа, содержа-
содержащиеся в отрезке [л:0, хх], то разность х—t, будучи положительной,
не превосходит его длины L. Поэтому, равенство B4) дает неравенство
il(t) dt. B6)
Предположим теперь, что для какого-нибудь целого неотрицатель-
неотрицательного числа п справедливо неравенство
A,2(*)<C[s(* — лго)]2"-1 B7)
для всех х, содержащихся в отрезке [л:0, jtj. Тогда имеем очевид-
очевидное неравенство
благодаря которому неравенство B6) переписывается в виде
х
Ал+1 (х)< К f С2 [е (t — xo)F+1-2 dt. B8)
После взятия определенного интеграла правая часть неравенства B8)
становится равной
Так как в силу второй и третьей формулы B5) мы имеем, оче-
очевидно, /CC = s и так как число 2n+t—1 для всякого п есть целое
и положительное, то неравенство B8) переписывается просто в виде
Дл+1 (х) <С[г(х- хо)Г+1~\ B9)
Отсюда мы выводим важное заключение.
Формула B7), которую мы допустили быть вер-
верной для значка п% оказывается необходимо верной и

§149 БЫСТРОТА СХОДИМОСТИ ПРОЦЕССА С. А, ЧАПЛЫГИНА 4]Л
тогда, когда значок п увеличиваем на единицу;
поэтому она справедлива и для всех дальнейших
величин значка л,
В частности, достаточно выбрать для отрезка [л;0, хх]
начальную пару [и(х), v(x)]t удовлетворяющую диффе-
дифференциальным неравенствам С. А. Чаплыгина
такой, чтобы начальное приближение, осуществляе-
осуществляемое этой парой
8 (х) = Д(*) = v (х) — и (х),
было меньше постоянной С:
Ь(х)<С
на всем отрезке [х0, хг]9 как все дальнейшие приближения
\(*)» ^2С*)» • • • • ^л(х) развертываемые по методу
С. А. Чаплыгина, необходимо удовлетворяют везде
на этом отрезке неравенству
К (х) < \ (х) < С [е (* — xJ]*-K C0)
Чтобы оценить быстроту сходимости этого процесса, достаточно
заметить, что на отрезке [xQ, xx] мы имеем О^д:—-xo<^L и что
по формуле B5) имеем 8 = ^7. Следовательно,
Необыкновенная сила сходимости этого процесса становится броса-
бросающейся в глаза, когда мы сравним ее со сходимостью процессов, фигу-
фигурирующих в классическом анализе: там быстрота сходимости счи-
считается счастливо достигнутой, когда она типа геометрической
прогрессии, т. е. когда в знаменателе стоят числа 22*; она счи-
считается перевыполняющей все требования, могущие к ней
быть предъявленными, когда в знаменателе стоит факториал п\ —
== 1.2.3. ... /г. Но в рассматриваемом процессе в знаменателе
стоят числа Ферма 22/\ рост которых неизмеримо превосходит даже
рост факториала п\ В этом отношении метод С. А. Чаплы-
Чаплыгина является собственно не имеющим прецедентов..

412 МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГЛ. XII
Без сомнения можно получить еще сильнее сходящиеся процессы,
хотя бы оставляя нетронутыми лишь некоторые члены какого-нибудь
•сходящегося ряда, расставленные на надлежащих местах, и заменяя
все прочие нулями. Но в данном случае мы имеем дело с геометром,
ле имевшим обыкновения составлять искусственные примеры
для подтверждения того или другого мнения: он обычно удовлетво-
удовлетворялся теми процессами, которые естественным образом выте-
вытекали из хода его практических изысканий.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Глава I. Интегрирование. Правила непосредственного интегри-
интегрирования
A) Интегрирование. B) Многозначность действия интегрирования:
прибавочное, произвольное, постоянное. Неопределенный интеграл.
C) Определенный интеграл. D) Основная теорема интегрального исчи-
исчисления о вычислении определенного интеграла. E) Характер основного
действия интегрального исчисления. Обозначения определенного и не-
неопределенного интегралов. F) Взаимная обратность знаков: дифферен-
дифференциала d и неопределенного интеграла f. G) О вычисляемости и не-
невычисляемости неопределенных интегралов. (8) Таблица основных инте-
интегралов и непосредственное интегрирование. (9) Формулы I, II и Ш. A0)
Формулы IV и V. A1) Формулы VI и VII. A2) Формулы VIII—XV.
A3) Формулы XVI—XIX. A4) Формулы XX и XXI. A5) Тригонометри-
Тригонометрические дифференциалы. A6) Интегрирование выражений, содержащих
Уf а? — д:2 или Yx* ± Д2 при помощи тригонометрических подстановок.
A7 а) О множественности ответов при интегрировании. A8) Интегри-
Интегрирование по частям. A9) Пояснение * . • 3
Глава II. Постоянная интегрирования
B0) Определение постоянной интегрирования из начальных усло-
условий. B1) Геометрическое значение постоянной интегрирования. B2) Фи-
Физическое значение постоянной интегрирования 60
Глава III. Определенный интеграл
B3) Понятие определенного интеграла. B4) Теоретическое вычис-
вычисление определенного интеграла. B5) Фактическое вычисление опре-
определенного интеграла. B6) Обозначение определенного интеграла. B7)
Основная формула Лейбница—Ньютона и условие ее применимости.
B8) Взаимоотношение определенного и неопределенного интегралов.
B9) Переменное интегрирования в определенном и в неопределенном
интегралах. C0) Перестановка пределов интегрирования. C1) Разбие-
Разбиение отрезка интегрирования. C2) Два простейшие свойства опреде-
определенных интегралов. * C3) Определенное интегрирование по частям.
C4) Определенное интегрирование подстановкой. C5) Теорема о сред-
среднем. C6) Определенный интеграл как площадь. C7) Площадь кривой,
заданной уравнениями в параметрической форме. C8) Задача прибли-
приближенного интегрирования. C9) Правило трапеций. D0) Правило Сим-
псона (параболическая формула). D1) Интеграл с бесконечными преде-
пределами. D2) Интеграл от функции прерывной (уходящей в бесконечность). 66
Глава IV. Интегрирование как процесс суммирования. Приложе-
Приложения интегрального исчисления
D3) Введение. D4) Общая схема применения интегрального исчис-
исчисления. D5) Площади плоских кривых в прямоугольных координатах.

414 ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
D6) Упрощение в выводе формул. D7) Смысл отрицательного знака
у площади. D8) Площади плоских кривых в полярных координатах.
D9) Объемы тел вращения. E0) Длина кривой. E1) Длина плоской
кривой в прямоугольных координатах. E2) Длина плоской кривой в по-
полярных координатах. E3) Поверхность тела вращения. E4) Тела
с известными поперечными параллельными сечениями. E5) О примене-
применении интегрального исчисления в естествознании. E6) Центр тяжести.
E7) Давление жидкости. Работа 95
Глава V. Формальное интегрирование различными приемами
E8) Введение. E9) Интегрирование рациональных дробей. F0) Ин-
Интегрирование подстановкой нового переменного; рационализация.
F1) Дифференциальный бином. F2) Преобразование тригонометри-
тригонометрических дифференциалов. F3) Разные подстановки 140
Глава VI. Ряды
F4) Бесконечные последовательности. F5) Признаки существования
предела последовательности. F6) Ряды. F7) Необходимый признак
сходимости. F8) Достаточные признаки сходимости. Сравнение рядов.
F9) Признак сходимости Д'Аламбера. G0) Ряды с чередующимися зна-
знаками. G1) Абсолютная сходимость. G2) Интегральный признак Коши.
G3) Действия над рядами. G4) Остаток ряда. G5) Общий обзор.
G6) Ряды функций. G7) Равномерная сходимость. G8) Признак для
равномерной сходимости. G9) Свойства равномерно сходящихся рядов.
(80) Степенные ряды. (81) Сумма степенного ряда. (82) Дифференциро-
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. (83) Бесконечный ряд Мак-
лорена. (84) Сопоставление бесконечного ряда Маклорена с конечной
формулой Маклорена. (85) Биномиальный ряд. (86) Логарифмические
ряды. (87) Разложение аркус-тангенса. (88) Разложение аркус-синуса.
(89) Действия над степенными рядами. (90) Ряды Тейлора 157
Глава VII. Комплексные числа, переменные, функции
(91) Арифметика и алгебра комплексных чисел. (92) Геометриче*
ское изображение комплексных величин. (93) Комплексное переменное.
(94) Перенос теории численных рядов на комплексные числа. (95) По-
Понятие функции комплексного переменного. (96) Непрерывность функ*
ции комплексного переменного. (97) Производная и моногенность.
(98) Сохранение формул дифференциального исчисления. (99) Степен-
Степенные ряды. A00) Ряд Тейлора и его круг сходимости. A01) Показа-
Показательные и тригонометрические функции с комплексным переменным.
A02) Гиперболические функции 218
Глава VIII. Дифференциальные уравнения
A03) Дифференциальные уравнения. Их порядок и степень. A04) Ре-
Решение дифференциальных уравнений. Постоянные интегрирования.
A05) Проверка решений дифференциальных уравнений. A06) Диф-
Дифференциальные уравнения первого порядка н первой степени. A07) Два
специальные типа дифференциальных уравнений высшего порядка.
A08) Случаи понижения порядка. A09) Форма общего интеграла
линейного однородного уравнения второго порядка. (ПО) Уравнения
с правой частью. A11) Метод Лагранжа изменения постоянных.
A12) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с по-
постоянными коэффициентами. A13) Отыскание решения у* в общем
случае. A14) Приложения к задачам механики. A15) Линейные диф-
дифференциальные уравнения я-го порядка с постоянными коэффициен-
коэффициентами. A16) Метод Лагранжа изменения постоянных 256

ОГЛАВЛЕНИЕ 415
Стр.
Глава IX. Кратные интегралы
A17) Двухмерная интегральная сумма. A18)Геометрический смысл
двухмерной интегральной суммы. A19) Двойной (определенный) инте-
интеграл. A20) Геометрический смысл двойного интеграла. A21) Вычисле-
Вычисление двойного интеграла. Случай прямоугольной области. A22) Вы-
Вычисление двойного интеграла. Общий случай области, ограниченной
криволинейным контуром. A23) Двойной интеграл в полярных коорди-
координатах. A24) Объем цилиндрического тела. A25) Площади, ограниченные
плоскими кривыми. A26) Центр тяжести площади плоской фигуры.
A27) Моменты инерции площади плоской фигуры. A28) Общий метод
вычисления площади поверхности. A29) Нахождение объемов посред-
посредством тройного интегрирования 312
Глава X. Криволинейный интеграл
A30) Обозначение криволинейного интеграла. A31) Происхождение
криволинейного интеграла. A32) Вычисление криволинейного инте-
интеграла. A33) Случай, когда криволинейный-интеграл I Pdx-\-Qdy
не зависит от пути интегрирования, но зависит только от положения
концевых точек. A34) Аналитический признак полного дифференциала.
A35) Зависимость криволинейного интеграла, от пути. Работа силы.
A36) Формула Остроградского. A37) Дифференциальное уравнение,
левая часть которого есть полный дифференциал. A38) Интегрирую-
Интегрирующий множитель 351
Глава XL Ряды Фурье
A39) Тригонометрические ряды. A40) Формулы Фурье. A41) Пред-
Предварительные леммы. A42) Выражение суммы п-\-\ первых членов
ряда Фурье. A43) Сходимость ряда Фурье. A44) Гармонический анализ.
A45) О наименьшей средней квадратичной погрешности 379
Глава XII. Метод акад. С. А. Чаплыгина приближенного интегри-
интегрирования
A46) Дифференциальные неравенства С. А. Чаплыгина. A47) Ме-
Метод С. А. Чаплыгина. A48) Безграничное приближение. A49) Быстрота
сходимости процесса С. А. Чаплыгина 398

Лузин Николай Николаевич
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Редактор С. И. Новосёлов
Редактор издательства Д. А. Тальский
Технический редактор В. А. Мурашова
Сдано в набор 27/Н 1960 г.
Подписано к печати 30/Х 1961 г.
Бумага 60Х90У1б. 26 печ. л. 30,4 уч.-изд. л.
Тираж 50000 экз. Цена 1 руб. Заказ 2933.
Государственное издательство «Высшая школа»
Москва, Б-62, Подсосенский пер., 20.
Печать с матриц тип. № 2 им. Евг. Соколовой
УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.