РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА
Современная математика — студентам и аспирантам
Ю. Г. РЕШЕТНЯК
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Интегральное исчисление функций
одной переменной.
Дифференциальное исчисление функций
многих переменных
Новосибирск
Издательство Института математики
19 9 9

УДК 517
ББК 22.16
Р47
Решетняк Ю. Г.
Курс математического анализа. Ч. I, кн. 2. — Новосибирск: Изд-во
Ин-та математики, 1999. — 512 с. — (Современная математика — студентам
и аспирантам).
ISBN 5-86134-067-6.
Учебник «Курс математического анализа» в двух частях написан на
основе лекционного курса, читавшегося автором в Новосибирском
государственном университете, и отражает опыт работы кафедры математического
анализа по совершенствованию преподавания этого предмета. Дается
оригинальное изложение ряда тем, составляющих традиционное содержание курса.
Читателю также представлены отдельные интересные вопросы,
примыкающие к основному материалу. Часть I, книга 2 учебника предназначена для
студентов первого курса математических факультетов университетов. Она
может быть полезна преподавателям математики в университетах и в других
высших учебных заведениях, где читается математический анализ.
Ответственные редакторы
ШВЕДОВ Игорь Александрович
ИОНИН Владимир Кузьмич
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
(код проекта 99-01-14013).
© Решетняк Ю. Г., 1999
© Институт математики
им. С. Л. Соболева СО РАН, 1999
'#
и
р 1602070000-07 у, п~т„
Р Я82(03)-99 Бе3 объявл-
ISBN 5-86134-067-6

КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
часть 1 * книга 2
Интегральное исчисление функций
одной переменной.
Дифференциальное исчисление функций
многих переменных
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 5. Интегральное исчисление функций
одной переменной 11
§ 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой
функции 12
1.1. Понятие первообразной 12
1.2. Интегрируемость линейной комбинации интегрируемых
функций 18
1.3. Первообразная функции постоянного знака. Произвол
в определении первообразной. Определенный и
неопределенный интегралы 20
1.4. Интегрируемость по объединению промежутков 26
§ 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства.... 28
2.1. Линейность определенных интегралов 28
2.2. Свойство монотонности интеграла 30
2.3. Свойство аддитивности интеграла 34
2.4. Критерий интегрируемости функций по замкнутому отрезку .... 37
2.5. Правило интегрирования по частям 41
2.6. Правило замены переменной интегрирования 45
2.7. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме . . 47
§ 3. Достаточные условия интегрируемости 49
3.1. Понятие аддитивной функции отрезка 49
3.2. Понятие нижнего интеграла 60
3.3. Основная теорема об интегрируемости функции
по промежутку 63
§ 4. Техника неопределенного интегрирования 67
4.1. Общие сведения о неопределенных интегралах 68
4.2. Интегрирование рациональных функций 74
4.3. Примеры неопределенных интегралов 85
§ 5. Интегральные теоремы о среднем значении 95

4 Курс математического анализа, ч. 1, кн. 2
5.1. Первая интегральная теорема о среднем значении 95
5.2. Лемма о приближении монотонных функций ступенчатыми 98
5.3. Вторая интегральная теорема о среднем значении 101
§ 6. Интегралы и суммы. Формулы численного
интегрирования 104
6.1. Интегралы и неравенства, содержащие суммы 104
6.2. Римановы суммы и понятие функции, интегрируемой -
в смысле Римана 109
6.3. Численное интегрирование функций. Формула трапеций 113
6.4. Формула Симпсона численного интегрирования 119
§ 7. Приложения интегрального исчисления 126
7.1. Площадь плоской фигуры 126
7.2. Объемы тел вращения 130
7.3. Длина кривой и площадь поверхности вращения 134
7.4. Некоторые физические приложения интеграла 141
7.5. Доказательство трансцендентности числа е 147
Задачи 154
Глава 6. Непрерывные отображения метрических
пространств 163
§ 1. Общие свойства метрических пространств 164
1.1. Определение и простейшие свойства метрических пространств . 164
1.2. Произведение метрических пространств 168
1.3. Шары и сферы в метрических пространствах 170
1.4. Понятие подпространства 172
§ 2. Общие сведения о векторных пространствах 173
2.1. Понятие векторного пространства 174
2.2. Общий принцип построения векторных пространств 179
2.3. Линейные отображения векторных пространств 182
§ 3. Нормированные векторные пространства 190
3.1. Понятие нормы в векторном пространстве 190
3.2. Нормы в пространстве Rn 193
3.3. Некоторые специальные подмножества пространства Rn 198
3.4. Норма линейного отображения 200
§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
метрических пространств 204
4.1. Понятие предела относительно оценочной функции 205
4.2. Общие свойства предела 212
4.3. Определение предела для отображений метрических
пространств 219
4.4. Теоремы о пределе сложной функции 223
4.5. Понятие полного метрического пространства 226
4.6. Предел и непрерывность для функций со значениями в Rn 229
4.7. Определение и простейшие свойства асимптотических
соотношений 231

5
§ 5. Открытые и замкнутые множества в метрических
пространствах 236
5.1. Определения открытых и замкнутых множеств 236
5.2. Операции над открытыми и замкнутыми множествами.
Замыкание, внутренность и граница множества 241
5.3. Непрерывные отображения и открытые и замкнутые
множества 248
5.4. Относительно открытые и относительно замкнутые
множества 251
§ 6. Компактные множества в метрических пространствах. 254
6.1. Определение и общие свойства компактных множеств 254
6.2. Критерий компактности множества в Rn 257
6.3. Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций
на компактных множествах 260
6.4. Некоторые приложения теоремы Вейерштрасса 263
6.5. Теорема о равномерной непрерывности непрерывного
отображения 267
6.6. Модуль непрерывности отображения 269
Задачи 272
Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих
переменных 279
§ 1. Понятие частной производной и дифференциала 280
1.1. Дифференцирование и интегрирование вектор-функций одной
переменной 281
1.2. Понятие производной функции вдоль данного вектора.
Частные производные 284
1.3. Понятие дифференцируемой функции многих переменных 290
§ 2. Общие свойства дифференцируемых функций 295
2.1. Лемма об оценке приращения функции 296
2.2. Лемма об интегрировании асимптотических соотношений 298
2.3. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке.... 302
2.4. Теорема о дифференцируемости сложной функции 303
2.5. Признак постоянства функции 305
2.6. Теорема Эйлера об однородной функции 308
§ 3. Производные высших порядков 310
3.1. Определение производных выше первого порядка * 311
3.2. Свойство симметричности производных второго порядка 314
3.3. Теорема о симметричности производных высших порядков 317
3.4. Мультииндексные обозначения 318
3.5. Классы Сг 321
§ 4. Формула Тейлора для функций многих переменных.... 324
4.1. Полиномы п переменных 324
4.2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 331
4.3. Асимптотическая характеристика полинома Тейлора 333
4.4. Формула для производной произвольного порядка функции
t—f(x+th). Понятие дифференциала Г-го порядка 335

6
Курс математического анализа, ч. 1, кн. 2
§ 5. Вычисление частных производных 338
5.1. Применение формулы Тейлора к вычислению частных
производных 339
5.2. Исчисление полиномиальных форм 344
§ 6. Экстремум функций многих переменных 358
6.1. Необходимые условия экстремума функции 358
6.2. Достаточные условия экстремума функции 364
§ 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения 367
7.1. Простейшая теорема о неявных функциях 368
7.2. Общая теорема о неявных функциях 374
Задачи 379
Глава 8. Интегральное исчисление на параметризованных
кривых в Rn 387
§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль
кривой 388
1.1. Свойства функций, представленных интегралами,
зависящими от параметра 389
1.2. Определение интеграла линейной дифференциальной формы
вдоль кривой 392
1.3. Понятия точной и замкнутой дифференциальной формы 400
1.4. Общая теорема о представимости дифференциальной формы
как дифференциала функции 407
§ 2. Приложения понятия интеграла дифференциальной
формы вдоль кривой 417
2.1. Понятие индекса точки на плоскости относительно замкнутой
кривой. Теорема о неподвижных точках 417
2.2. Доказательство основной теоремы алгебры 424
§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие
интеграла Стилтьеса 426
3.1. Функции ограниченной вариации 427
3.2. Функции ограниченной вариации со значениями в банаховом
пространстве 434
3.3. Интеграл Стилтьеса. Определение интеграла
дифференциальной формы первой степени по спрямляемой кривой 442
§ 4. Общее понятие кривой 453
4.1. Понятие отношения эквивалентности 454
4.2. Понятие кривой в метрическом пространстве 458
4.3. Натуральная параметризация кривой 465
4.4. Регулярные кривые в пространстве Rn 471
4.5. Кривизна кривой 475
Задачи 488
Послесловие 491
Указатель обозначений 492
Предметный указатель 495

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга вторая части 1-й учебника «Курс математического анализа»
содержит расширенный материал, основы которого также
рассказываются студентам-математикам на первом году обучения в пределах
отведенных лекционных часов программы — на механико-математическом
факультете Новосибирского государственного университета. Здесь
также, как и в книге первой части 1-й, по большей части, каждая отдельная
тема из дополнительного материала хотя бы один раз рассказывалась
автором на лекциях.
Книга вторая части 1-й учебника состоит из четырех глав — с 5-й
по 8-ю.
Глава 5 — «Интегральное исчисление функций одной
переменной». Принятая здесь схема изложения теории интеграла
является нетрадиционной. Понятие интеграла определяется на основе
понятия первообразной. Функция считается интегрируемой по некоторому
промежутку, если она имеет в этом промежутке первообразную. При
этом понятие первообразной понимается в более общем смысле, чем
обычно. Именно, — функция F(x) считается первообразной функции
f(x) на некотором промежутке /, если функция F непрерывна на этом
промежутке, и множество точек, где она либо не имеет производной,
либо равенство F'{x) = f(x) не выполняется, является не более чем
счетным. Таким образом, если F(x) есть первообразная функции /(ж),
то могут существовать особые точки, в которых производная F'{x) либо
не существует, либо F'{x) ф f(x). Таких особых точек, однако, должно
быть «не слишком много», а именно, — их должно быть не более чем
счетное множество. Понятие счетного множества впервые используется
именно в этой главе. Излагаемая в этой главе теория интеграла
допускает упрощенный вариант, который получается, если в определении
первообразной потребовать конечность множества особых точек.
Достоинством принятого здесь способа изложения теории интеграла функций
одной переменной является то, что операция интегрирования
становится обратной к операции дифференцирования — всегда и без каких-либо
дополнительных ограничений. Если функция f(x) является, в
указанном выше смысле, первообразной некоторой непрерывной функции, то,

8
Курс математического анализа, ч. 1, кн. 2
согласно определению, функция f(x) автоматически будет
интегрируемой. Это определение делает излишним специальное определение
понятия несобственного интеграла. Содержание интегрального исчисления
сводится к изучению формальных свойств операции интегрирования и
установлению достаточно удобных критериев интегрируемости
функции. Отметим, что при этом вся содержательная часть теории
несобственных интегралов полностью сохраняется. Понятие интеграла
имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и других
разделах науки. В книге приводятся отдельные примеры на приложение
понятия интеграла. В частности, приводятся формулы для вычисления
объема тел вращения в пространстве, длины кривой, площади плоской
фигуры и другие. (Заметим, что задача о вычислении площади сыграла
важную роль в истории развития интегрального и дифференциального
исчислений.)
Главы 6 и 7 посвящены изучению функций многих переменных.
Основная цель главы 6 — «Непрерывные отображения
метрических пространств» — построить теорию предела и
непрерывности в форме, достаточно общей с точки зрения дальнейших ее
приложений, и, в то же время, достаточно удобной для применений. Здесь
вводится понятие предела относительно оценочной функции. Иначе
говоря, определяется, что значит, что функция f(x) стремится к данному
пределу, когда некоторая фиксированная функция Х(х) (которая и
называется оценочной) стремится к нулю. Вводится общее понятие
метрического пространства и устанавливаются некоторые свойства таких
пространств. Отметим, что известны различные «общие концепции
предела». Излагаемая здесь «концепция предела» не является самой общей
из числа известных. Она приспособлена специально к случаю, когда
речь идет об отображениях метрических пространств. Достоинством
излагаемой здесь «концепции предела», по мнению автора, является ее
относительная простота. В то же время, она вполне достаточна для
решения рассматриваемых здесь задач. Для общей ситуации
доказываются аналоги теорем о предельном переходе в неравенстве, о зажатой
переменной, об операциях над пределами и другие. Понятие
метрического пространства без каких-либо дополнительных ограничений является
весьма общим. Для математического анализа нужны такие метрические
пространства, в которых определены некоторые операции над
элементами, а именно, — операции сложения элементов и умножения элемента
на число. Пространства, удовлетворяющие этим условиям, есть
нормированные векторные пространства. Здесь описан класс множеств в
произвольном метрическом пространстве, для которых верны теоремы,
аналогичные теореме Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем
значениях и теореме Кантора о равномерной непрерывности непрерывной

Предисловие
9
функции. Это так называемые компактные множества.
Доказываются аналоги теоремы Вейерштрасса и теоремы Кантора для функций на
компактных подмножествах произвольного метрического пространства.
«Дифференциальное исчисление функций многих
переменных» рассматривается в главе 7. В дифференциальном исчислении
функций многих переменных предполагается, что области определения
исследуемых функций есть открытые множества n-мерного
арифметического пространства W1. Здесь определяются понятия производной
функции многих переменных вдоль данного вектора и понятие
частной производной. Вводятся понятия дифференциала и
дифференцируемой функции многих переменных и устанавливаются достаточные
условия дифференцируемости функции многих переменных, дается
правило дифференцирования сложной функции, дифференциальная
характеристика постоянных функций, доказывается теорема Эйлера об
однородных функциях. Затем определяются производные высших порядков.
Приводится формула Тейлора для функций многих переменных и
описывается техника вычисления производных высших порядков.
Показывается, что свойства операции дифференцирования достаточны для
того, чтобы с их помощью вычислить любую частную производную,
которая требуется. Описываются приемы, позволяющие упорядочить и,
в некоторых случаях, даже сократить работу, которая необходима для
вычисления той или иной частной производной. Они могут применяться
также для установления разного рода общих соотношений между
функциями и их частными производными. В современных руководствах по
математическому анализу дифференциал порядка г > 1 определяется,
как некоторая симметрическая полилинейная форма. Обычно такой
подход требует достаточно пространного алгебраического введения.
Определение принятого здесь понятия дифференциала порядка г не требует
привлечения какой-либо алгебраической техники, кроме той, которая
нам уже известна. В главе 7 изучаются также вопросы применения
дифференциального исчисления к отысканию точек экстремума
дифференцируемой функции многих переменных. Заключительная часть 7-й
главы связана с теоремой о неявных функциях. Здесь приводятся
формулировка и доказательство этой теоремы и указываются некоторые ее
приложения. (К этой теме мы вернемся во второй части книги, где
теорема о неявных функциях будет доказана с помощью принципа
сжимающих отображений.)
Последняя тема во второй части «Курса математического анализа»
— «Интегральное исчисление на параметризованных кривых в
Rn» рассматривается в главе 8. Здесь определяется понятие интеграла
линейной дифференциальной формы вдоль параметризованной кривой.

10
Курс математического анализа, ч. 1, кн. 2
С его помощью решается задача о восстановлении функции многих
переменных по ее частным производным. Рассматриваются некоторые
приложения понятия интеграла дифференциальной формы вдоль
кривой. В частности, определяется понятие индекса точки относительно
замкнутой кривой, приводится доказательство основной теоремы
алгебры. Далее, в этой же главе изучаются понятия функции ограниченной
вариации и спрямляемой кривой. Доказывается основная теорема о
существовании интеграла Стилтьеса. В заключительной части этой
главы изучается общее понятие кривой. Приводятся некоторые сведения о
понятии кривизны кривой.
На титуле каждой главы под ее наименованием приводится
перечень «ключевых предложений», на которых читатель должен
сосредоточить свое внимание в процессе изучения темы. Это не означает, однако,
что все, что не включено в этот краткий список, менее существенно.
О содержании следующих семи глав — с 9-й по 15-ю будет
обозначено в предисловии ко второй части учебника «Курс математического
анализа».
Каждая глава книги сопровождается задачами по теме этой главы.
Основную часть из них составляют те, которые включались в разное
время в экзаменационные билеты на механико-математическом
факультете Новосибирского государственного университета. При отборе задач
автор старался подбирать такие, решение которых способствовало бы
лучшему пониманию теоретических аспектов данного «Курса».
В книге принята следующая система нумерации. Главы делятся
на параграфы, имеющие порядковую нумерацию. В свою очередь,
каждый параграф разбивается на пункты (или разделы), которые имеют
двойную нумерацию: первая цифра — номер параграфа, вторая цифра
— порядковая. Формулируемые в книге утверждения (предложения,
теоремы и леммы) и формулы имеют — в пределах параграфа —
аналогичную двойную нумерацию. Рисунки имеют порядковую нумерацию в
пределах главы. В конце приведены указатель обозначений в книге и
предметный указатель.

Глава 5
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Г
• Понятия первообразной и интегрируемой функции
• Понятие неопределенного интеграла числовой
функции • Лемма об условиях, выполняющихся в
основном • Понятие определенного интеграла и его свойства
• Теорема о линейности интеграла • Свойство
монотонности определенного интеграла • Правило
интегрирования по частям • Кратная формула
интегрирования по частям • Правило замены переменной
интегрирования • Формула Тейлора с остаточным членом
в интегральной форме • Достаточное условие
интегрируемости функции — основная теорема • Правила
интегрирования функций, техника неопределенного
интегрирования • Основные приемы вычисления
неопределенных интегралов элементарных функций •
Приближение монотонных функций ступенчатыми •
Первая и вторая интегральные теоремы о среднем значении
• Интегралы и суммы • Функции, интегрируемые
в смысле Римана • Формула трапеций и формула
Симпсона численного интегрирования • Приложения
понятия интеграла в геометрии и механике •
Доказательство трансцендентности числа е •

12
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
§1. Определение понятий интеграла и
интегрируемой функции
Многие математические задачи, в частности, и некоторые
задачи, возникающие в приложениях математики, сводятся к нахождению
функции по ее производной.
Пусть, например, рассматривается движение материальной точки
по прямой. Предположим, что известна ее скорость v(t) в каждый
момент времени t и требуется определить координату x(t) для каждого
значения t в некотором промежутке времени [ii, fe].
Величины x(t) и v(t) связаны между собой соотношением
•м = f м,
так что мы получаем как раз задачу указанного типа.
Другие примеры задач, решение которых сводится к отысканию
функции по ее производной, читатель найдет в § 8 этой главы.
Таким образом, требуется уметь выполнять операцию, в каком-то
смысле противоположную дифференцированию. Эта операция
называется интегрированием. Результат ее применения к функции называется
интегралом или первообразной функции. Определение того, что такое
интеграл функции одной переменной, и исследование основных свойств
интеграла и составляет содержание данной главы.
В настоящем параграфе приводятся определения понятий
интегрируемой функции, первообразной и интеграла от интегрируемой функции
и устанавливаются некоторые простейшие свойства всех этих понятий.
1.1. Понятие первообразной
1.1.1. Задача — найти функцию F, производная которой в
промежутке (a, ft) совпадает с данной функцией /, может формулироваться по-
разному. Приведем простейший вариант.
Пусть дана числовая функция / такая, что значение f(x)
определено для всех точек х из промежутка (a, ft). Требуется найти функцию F,
дифференцируемую в каждой точке х £ (a, ft), такую, что F'{x) = f(x)
для всех х £ (a,ft).
Если функция F является решением поставленной задачи, то будем
говорить, что F есть точная первообразная функции f в промежутке
(а,Ь).
Таким образом, функция F : (a, ft) —► С является точной
первообразной функции / : (а, ft) —> С, если для всех х £ (а, ft) выполняется
равенство F'{x) = f(x).

§ 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции 13
Как будет показано далее, всякая непрерывная в промежутке (a, ft)
функция имеет в нем точную первообразную.
Однако если функция / имеет разрывы в отдельных точках, то
даже в самых простых случаях она может не иметь точной первообразной,
как показывает следующий пример.
Пример 1. Пусть (a,ft) = Ки f(x) = sgn я, то есть
{1 при х > О,
О при х = О,
-1 при х < 0.
Предположим, что данная функция / имеет точную
первообразную, и пусть F есть эта первообразная. Тогда, по теореме Лагранжа
о среднем значении (см. глава 4, следствие 1 теоремы 4.2), для всякого
х > 0 выполняется равенство F(x) — F(0) = F'(£)x9 где 0 < £ < х.
Имеем: F'(£) — /(£) = 1и, значит, F{x) — x + F(0) при ж > 0. При
х < 0 точно так же найдем, что F(0) — F(x) = F'(£)(—я), где х < £ < 0.
В этом случае F'(£) = /(£) = —1. Отсюда F(0) - F(x) = x и, стало
быть, F(rr) = -ж + F(0) при х < 0.
Объединяя полученные равенства, заключаем, что F(a;) = |x|+F(0)
для всех х Е К, откуда видно, что функция F не имеет производной в
точке 0. Это противоречит тому, что, по предположению, функция F
является точной первообразной функции /.
Полученное противоречие доказывает, что функция / : х \-+ sgn x
не имеет первообразной в точном смысле.
Следующий пример показывает, что существуют функции,
которые, по сравнению с функцией sgn, ведут себя весьма «патологически»,
но в то же время имеют точную первообразную.
Пример 2. Положим:
±t Ч о • 1 2 1
f{x) — 2х sin — cos —
Xz X X*
при х ф 0, /(0) = 0. Пусть F(x) = ж2 sin (1/х2) при ж ^ 0, F(0) = 0.
Нетрудно показать, что F'{x) = f(x) для всех х Е Ш. В данном
случае 0 есть точка разрыва второго рода функции /, причем величина
f(x) является неограниченной в любой окрестности точки 0.

14
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
У
-АЩт^
Рис. 1
Рис. 1 дает представление о поведении / вблизи точки 0.
Таким образом, в приведенной выше формулировке задача
построения функции с данной производной, с одной стороны, не имеет решения
для некоторых простых функций, а с другой — для отдельных «плохих»
функций оказывается разрешимой.
В связи с этим такая постановка задачи представляется
неудовлетворительной. Поэтому мы будем рассматривать другую, несколько
более общую задачу, точная формулировка которой будет дана ниже.
Эта более общая задача будет отличаться от сформулированной
выше тем, что условия, налагаемые на искомую функцию F,
ослабляются. Допускается наличие отдельных точек недифференцируемости
функции F, а также точек, где F'(x) = ±oo. При этом, однако,
таких исключительных точек должно быть не слишком много: требуется
только, чтобы их множество было не более чем счетно.
Отметим, что первообразная в точном смысле непрерывна, в силу
того, что она дифференцируема в каждой точке своей области
определения. Но если допустить, что данная функция F имеет хотя бы одну
точку недифференцируемости, то непрерывность F уже не вытекает из
других ее свойств (как показывает пример функции sgn, которая
дифференцируема в каждой точке ж/0и является разрывной в точке 0).
Поэтому оказывается необходимым потребовать непрерывность F
отдельно.
Далее мы часто будем встречаться с ситуацией, когда то или иное
условие выполняется для всех точек данного множества А, кроме точек,
принадлежащих некоторому не более чем счетному множеству Е.

§ 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции 15
Введем терминологию, удобную при описании такого рода ситуаций.
Будем говорить, что некоторое условие Р(х) выполняется в
основном для х Е А, если множество Е, состоящее из всех тех точек х Е А,
которые не удовлетворяют условию Р(х), не более чем счетно.
В частности, множество Е может быть пустым, так что
условие, которое выполняется на А всюду, выполняется на А также и
в основном.
Будем рассматривать функции со значениями в множестве всех
комплексных чисел С, определенные на подмножествах расширенной
числовой прямой Й.
Далее удобно придерживаться следующей терминологии.
Будем говорить, что комплексная функция / определена на
множестве АсКв основном, если ее область определения М есть
подмножество К такое, что множество А\Мне более чем счетно.
Иначе говоря, функция / определена в основном на множестве А,
если точки х Е А, для которых величина f(x) не определена, образуют
не более чем счетное множество. Не предполагается, что множество
М — область определения функции /, содержится в А.
Будем говорить также, что числовая функция /, определенная в
основном на множестве Acl, непрерывна на множестве А в основном,
если совокупность всех ее точек разрыва (то есть точек, в которых она
не является непрерывной) не более чем счетна.
Аналогичным образом, если функция F такова, что F{x)
определено для всех х Е (а, ft) и множество тех х Е (а, Ь), для которых функция
F недифференцируема, является не более чем счетным множеством, то
мы будем говорить, что функция F дифференцируема в основном в
промежутке (a, ft).
Предположим, что / есть комплексная функция, определенная в
основном в промежутке J=(a,b)clc концами а и Ь, где а < ft.
Функция F : I —> С называется первообразной функции f на
промежутке I, если выполнены следующие условия:
функция F непрерывна на промежутке I и существует не более чем
счетное множество Е С (a, ft) такое, что в каждой точке х Е (а,Ь), не
принадлежащей Е, функция F дифференцируема, причем F'{x) — f(x).
Данное определение можно переформулировать
следующим образом.
Функция F : I —> С есть первообразная функции / в промежутке J,
если F непрерывна и F'{x) = f(x) в интервале (a, ft) в основном.
Пусть даны комплексная функция / и промежуток / = (a,b).
Будем говорить, что / интегрируема по промежутку /, если /
определена в этом промежутке в основном (то есть область определения /

16 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
содержит множество I \ Е, где Е не более чем счетно) и существует
функция F, которая является первообразной функции / в промежутке I.
В качестве синонима введенного термина допускаются выражения:
«/ интегрируема в промежутке J» и «/ интегрируема на промежутке
/», то есть предлог «по» можно в данном случае заменять любым из
предлогов «в» или «на», не меняя смысла высказывания.
Пример 3. Рассмотрим функцию /:жи sgn х. Функция F : х н->
н-» \х\ непрерывна и при каждом х ф О дифференцируема. При этом если
х > О, то F'{x) = 1 = sgn #, а если х < О, то F'(x) = — 1 = sgn x.
Согласно определению, отсюда следует, что функция F(x) = \x\ является
первообразной функции sgn. Точка, в которой функция F не имеет
производной, в данном случае единственна: это точка 0.
Пример 4. Пусть f(x) = {sgn (sinx)} cosх для всех х £ М.
Положим F(x) = | sinrc|. Функция F — непрерывна. Пусть Е есть множество
всех чисел х Е R вида ж = П7Г, где п — произвольное целое число. Тогда:
если х £ £", то ^Р(ж) /0,ив этом случае функция F
дифференцируема в точке ж, причем F'(x) = /(ж);
если же ж Е i?, то функция F не имеет производной в этой точке.
Так как множество Е счетно, то мы получаем, что F'{x) = f(x) в
промежутке / = (—оо,оо) в основном, и, значит, F есть первообразная
функции /.
В этом примере множество точек, в которых первообразная
функции / не имеет производной, оказывается бесконечным.
Пример 5. Определим функцию d : Ш —> R, полагая d(x) = 0,
если х — иррационально, и d(x) — 1, если х — рационально.
Функция d не является непрерывной ни в одной точке xGR.
Пусть F есть функция, тождественно постоянная на промежутке
[—оо,оо]. Функция F — непрерывна, и для всякого х £ Q имеет
место равенство F'{x) = 0 = d(x). Множество Q счетно. На основании
определения первообразной, отсюда вытекает, что функция F является
первообразной функции d на промежутке [—оо, оо], и, значит, d
интегрируема в этом промежутке.
Функция d, построенная в этом примере, известна под названием
функции Дирихле.
Если функция F является первообразной функции /, то мы будем
говорить, что, в свою очередь, / есть производная F, и писать

§ 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции 17
В общем случае величина
определена лишь в основном, то есть всюду, кроме, может быть, точек
не более чем счетного множества, и равенство
F'(x) = /(я)
также выполняется лишь в основном, — то есть всюду, кроме, может
быть, точек, образующих не более чем счетное множество.
1.1.2. Докажем предложение общего характера, которое в дальнейшем
позволит нам избежать многократного повторения совершенно
однотипных рассуждений.
■ Лемма 1.1 (об условиях, выполняющихся в основном). Пусть
А С К и Pi (ж), Р2(#), • • •, Рт(х) суть высказывания, каждое из которых
истинно в А в основном, то есть при каждом г = 1,2,..., га множество
Ei тех х € А, для которых Рг(х) есть ложное утверждение, является не
более чем счетным. Пусть
m
E = \jEi.
г=1
Тогда Е не более чем счетно и для всякого х, не принадлежащего Е,
истинны все предложения Pi{x) одновременно.
Доказательство. То, что множество Е не более чем счетно,
следует из теоремы 7.2 главы 1, которая утверждает, что объединение
любого не более чем счетного семейства не более чем счетных множеств
не более чем счетно.
Предположим, что х £ Е. Так как Ei С Е при каждом i = 1,2,
..., га, то, значит, х £ Ei для любого г.
Отсюда вытекает, что для данного х каждое из высказываний Pi(x)
является истинным, что и требовалось доказать. ■
Доказанное предложение кратко можно сформулировать
следующим образом.
Если имеется конечное множество высказываний и известно, что
каждое из них истинно в основном на множестве А, то все эти
предложения истинны одновременно на множестве А в основном, то есть
существует не более чем счетное множество Е С А такое, что для любого
х G А, не принадлежащего Е, каждое из данных предложений истинно.

18
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
1.1.3. Продолжим изучение понятия первообразной функции.
Справедливо следующее утверждение.
■ Лемма 1.2. Пусть функция f со значениями в С определена в
промежутке (a, ft) и интегрируема по промежутку I = (a, ft) и пусть
F — ее первообразная в промежутке I. Если комплексная функция д,
определенная в (a, ft), такова, что f(x) = g(x) в (a, ft) в основном, то g
также интегрируема по I, и F является ее первообразной.
Доказательство. Согласно условию леммы, существуют не
более чем счетные множества Е± и Еч такие, что для каждого х £ Е±
функция F дифференцируема, причем F' = /(ж), а для всякого х £ Еъ
выполняется равенство f(x) = g(x).
Пусть Е — Е\ U i?2. Множество Е не более чем счетно и, согласно
лемме 1.1, для каждого х £ Е одновременно F'(x) = f(x) и f(x) = g(x),
то есть F'(x) = g(x) в основном. Функция F — непрерывна в J и,
следовательно, является первообразной для функции д.
Лемма доказана. ■
Если функция / интегрируема по промежутку I = (а, Ь) и F есть ее
первообразная на /, то, как следует из леммы 1.2, любая другая функция
/i такая, что f(x) — fi(x) при х £ Е, где Е не более чем счетное
множество, также интегрируема по промежутку I и F является первообразной
функции /ь
Свойство функции / быть или не быть интегрируемой по
промежутку I, таким образом, не зависит от того, как функция / продолжена
на то не более чем счетное множество Е, на котором f{x) не
определено. Если / интегрируема по J, то свойство функции F быть или не
быть первообразной / на этом промежутке / также не зависит от выбора
продолжения.
Пусть / — произвольный промежуток, / = (a,b). Если функция
F является первообразной функции / на отрезке J, то из определения
первообразной непосредственно следует, что для любого промежутка
J = (с, d) ограничение F на J является первообразной ограничения / на
промежутке (с, d).
Таким образом, если функция интегрируема по промежутку J, то
она интегрируема также и по любому промежутку J С /.
1.2. Интегрируемость линейной комбинации интегрируемых
функций
1.2.1. Цель этого раздела — доказать, что сумма двух
интегрируемых функций интегрируема и произведение интегрируемой
функции на число также есть интегрируемая функция.

§ 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции 19
Докажем предложение, которое объединяет эти два утверждения.
■ Теорема 1.1. Если комплексные функции f и д интегрируемы
по промежутку I — (а, Ъ), то для любых чисел А Е С и ц £ С функция
h = А/ + fig также интегрируема в промежутке I. При этом если F
есть первообразная функции f, a G есть первообразная функции g в I,
то функция Н = XF + \iG является первообразной функции h в
промежутке I.
Доказательство. Функции f ид определены в интервале (а,Ь) в
основном. Согласно определению первообразной, найдутся не более чем
счетные множества Е\ и Еъ такие, что для всякой точки х Е (а, Ь) \ Е\
значение f(x) определено и выполняется равенство
/(*) =» F'(x)
и для любого х Е (a, b) \ Еъ величина д{х) определена, причем
д(х) = G'(x).
Положим Е = Ei U E2. Множество Е не более чем счетно и,
согласно лемме 1.1, для всякого х Е (a,b)\E одновременно
f(x) = F'(x), g(x) = G'(x).
Функция Н для всякого х Е (a,b)\E дифференцируема, причем
Н\х) = \F'{x) + tiG\x) = Xf(x) + /лд(х) = h(x).
Функции F и G на отрезке I непрерывны и, следовательно, Н также
непрерывна на этом промежутке.
Итак, функция Н непрерывна в промежутке /, и существует не
более чем счетное множество Е С (а,Ь) такое, что для всякого х Е
Е (a,b) \ Е имеет место равенство: h(x) = Н'(х).
Согласно определению первообразной, это и означает, что Н есть
первообразная функции h на промежутке /, а функция h интегрируема
по этому промежутку.
Теорема доказана. ■
▼ Следствие. Если для комплексной функции f ее вещественная
и мнимая части интегрируемы по промежутку I, то и сама функция f
интегрируема по этому промежутку.
Доказательство. Действительно, пусть u = Re/, v — Im/.
Тогда / = u + iv, откуда, в силу теоремы 1.1, непосредственно вытекает
утверждение следствия. ▼

20 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
1.2.2. Вопрос об интегрируемости комплексных функций сводится к
вопросу об интегрируемости вещественных функций. Справедливость
этого утверждения вытекает из следствия теоремы 1.1 и теоремы,
доказываемой далее.
■ Теорема 1.2. Пусть / есть комплексная функция, интегрируемая
по промежутку I = (a,b), и F — ее первообразная. Тогда функции
g = Re / и h = Im / интегрируемы по промежутку I. При этом G = Re F
есть первообразная функции д, а Н = Im F — первообразная функции h.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что каждая из
функций G и Н непрерывна в промежутке J. Согласно определению
первообразной, найдется не более чем счетное множество Е С (а, Ъ)
такое, что для всякого х Е (a,b)\E функция F дифференцируема, причем
f(x) = F'(x).
Отсюда следует, что для всякого х Е (а, Ъ) \ Е функции G и Н
также дифференцируемы в точке х. При этом
G'{x) = Re/(ж) - д(х), Н'(х) = Imf(x) = h(x).
Таким образом, G'{x) = д(х) и Н'{х) = h(x) в интервале (a.b) в
основном, откуда и следует, что ReF = G vilmF = Н суть
первообразные функций Re/ и Im/, соответственно.
Теорема доказана. ■
▼ Следствие. Пусть функция / интегрируема в промежутке I.
Если /(ж) 6 R для всех х из интервала (а, Ь), то / имеет в промежутке
I первообразную, которая является вещественной функцией.
Доказательство. Действительно, пусть F — произвольная
первообразная функции /. Тогда, согласно теореме 1.2, функция ReF
является первообразной для функции Re/ = /. Функция ReF и есть
требуемая первообразная /.
Следствие доказано. ▼
1.3. Первообразная функции постоянного знака. Произвол
В ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЕРВООБРАЗНОЙ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
■ Теорема 1.3. Пусть / есть вещественная функция,
интегрируемая на промежутке I = (а, Ь), и пусть F : I —> Ш есть ее первообразная
в I. Тогда:
если f(x) > 0 в основном в промежутке (a,b), то функция F —
возрастающая;

§ 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции 21
если f(x) < 0 в основном в промежутке (а,Ь), то функция F —
убывающая;
если f(x) = 0 в основном в промежутке (а, Ь), то функция F
является постоянной на промежутке I.
Доказательство. Предположим, что f(x) > 0 в основном. В
силу условия теоремы, найдутся такие не более чем счетные множества
Ei и #2, что в каждой точке х Е (a, b) \ Е\ имеет место f(x) = F'{x) и
для любого х е (а,Ь)\£,2 будет f(x) > 0. Положим: Е — E\\JE2> Тогда,
согласно лемме 1.1, множество Е не более чем счетно, и если х € (а, Ъ)
не принадлежит Е, то одновременно f(x) = F'{x) и f(x) > 0.
Таким образом, доказано, что существует не более чем
счетное множество Е такое, что для всех х £ (a,b)\E функция F
дифференцируема, причем F'{x) > 0.
Функция F — непрерывна. На основании теоремы 4.6 главы 4, все
условия которой здесь выполнены, отсюда вытекает, что F есть
возрастающая функция.
Аналогичным образом, применяя теорему 4.6 главы 4, получим,
что если f(x) < 0 в промежутке (а, Ь) в основном, то функция F —
убывающая.
Наконец, следствие 1 теоремы 4.6 главы 4 позволяет заключить,
что если f(x) = 0 в основном в промежутке (а, Ь), то функция F является
постоянной на/.
Теорема доказана. ■
▼ Следствие 1. Пусть f есть комплексная функция, интегрируемая
по промежутку I = (а, Ь) и F — ее первообразная в I. Если f(x) = 0 в
основном в интервале (а,Ь), то функция F тождественно постоянна на
отрезке I.
Доказательство. Предположим, что функции / и F
удовлетворяют условиям следствия.
Пусть g = Re/, G = ReF, h = Im/ и Н = ImF, G есть
первообразная функции #, H является первообразной h. Для всякого х G (а, Ь), для
которого f(x) = 0, также и g(x) = h(x) = 0. Функции дик,
следовательно, равны нулю в основном в интервале (а, Ь).
На основании теоремы 1.3, отсюда следует, что функции G и Н
постоянны в /, а значит, и F есть постоянная на промежутке / функция,
что и требовалось доказать. ▼
▼ Следствие 2. Предположим, что комплексная функция f
интегрируема по промежутку I = (a,b). Если функции F\ и F^ являются
первообразными функции f, то их разность F2 — F± постоянна в
промежутке I.

22 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Доказательство. Действительно, разность 1*2 — JFi, согласно
теореме 1.1, является первообразной функции /—• / = 0, откуда, согласно
следствию 1, вытекает, что функция F2 — F\ на множестве I постоянна,
что и требовалось доказать. ▼
Допустим, что комплексная функция / интегрируема по
промежутку J и F : J -+ С — первообразная функции / на этом промежутке.
Зададим произвольно комплексное число С.
Так как производная от постоянной тождественно равна нулю, то, в
силу теоремы 1.1, функция х \—> F(x) + C также является первообразной
функции / на / = (а, ft).
Следствие 2 теоремы 1.2 позволяет заключить, что таким образом
может быть получена любая первообразная функции /.
Совокупность всех функций вида х ь-> F(x) + С, где С —
постоянная, мы будем обозначать символом [-Р(ж)] •
Совокупность всех первообразных функции /в J называется
неопределенным интегралом функции f в промежутке I и обозначается
символом
/ f(x)dx.
Таким образом, мы получаем равенство:
ff(x)dx = [F(x)],
где F — произвольным образом выбранная первообразная функции /.
Формально, в этой записи не хватает указания на промежуток, в
котором определена первообразная функции. Такое указание должно
делаться отдельно каждый раз, когда возможно недоразумение.
Предположим, что комплексная функция / интегрируема по
замкнутому промежутку [а, Ь] С Й и функция F : [а, Ь] —* С есть
первообразная функции / на [а, Ь].
Разность F(b) — F(a) не зависит от выбора первообразной F
функции /. Действительно, предположим, что F\ есть другая первообразная
функции / на промежутке [а,Ь]. Тогда, согласно следствию 2
теоремы 1.3, разность Fi — F есть функция, постоянная на промежутке [а, Ь],
Fi(x) — F(x) + С, где С G С — постоянная, для всех х G [а,Ь]. Отсюда
следует, что
Fi(b) - Fi(a) = (F(b) + C)- (F(a) + С) = F(b) - F(a),
что и требовалось доказать.

§ 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции 23
Величина F(b) — F(a) называется определенным интегралом или
просто интегралом функции / по промежутку [а, Ь]. При этом пишут:
/
f(x)dx = F(b)-F(a).
Данное равенство обычно называют формулой Ньютона — Лейбница,
Одна из основных задач, решение которой способствовало созданию
математического анализа, — это задача о вычислении площади.
Существует связь между задачей об интегрировании функции и задачей
определения площади плоской фигуры. Откладывая описание этой связи в
полном виде до конца данной главы, ограничимся здесь некоторыми
общими замечаниями.
Понятие площади плоской фигуры само по себе нуждается в точном
определении. Такое определение будет дано только в главе 13 второй
части настоящей книги на основе теории кратных интегралов. Здесь
мы будем опираться на представления о площади, известные читателю
из курса математики средней школы.
На плоскости зададим декартову ортогональную систему
координат. При этом если точка Р имеет координаты (#,у), то, как обычно,
мы будем использовать обозначение Р = (х,у).
Пусть дана функция / : [а, Ь] —> М. Простоты ради, будем считать,
что функция / неотрицательна и непрерывна. Символом А обозначим
точку (а, 0). Пусть В есть точка (6,0). Точки A is. В лежат на оси
абсцисс. Положим М = (a,/(a)), N = (ft,/(b)).
Рассмотрим плоскую фигуру, состоящую из всех точек Р = (#, у)
на плоскости, которые лежат между дугой MN графика функции / и
отрезком АВ, то есть таких, что а < х <Ь и 0 < у < f(x) (см. рис. 2).
Эту фигуру назовем криволинейной трапецией.
Рис.2

24 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Пусть 5 есть площадь криволинейной трапеции AMNB. Покажем,
что имеет место равенство:
ъ
S= f f(x)dx. (1.1)
а
Зададим произвольно отрезок А = [#i,#2] С [а,Ь]. Положим: Х\ —
= (Я?1,0), Х2 = (Ж2,0), У1 = (*1,/Ы) И Y2 = (*2,/Ы).
Точки Yi и 12 принадлежат графику функции /. Множество всех
точек Р = (#,у), проекции которых на ось Оа; принадлежат отрезку
-Х1Х2, лежапщх между осью 0# и дугой Y1I2 графика функции /, то
есть таких, что выполняются неравенства xi<x<X2^0<y< /(#),
обозначим символом T{f\x\,X2)- Определим некоторую функцию
S : [а,Ь] —> М, полагая 5(a) = 0, а для случая а < х < Ь пусть S(x)
есть площадь криволинейной трапеции Т(/;а, ж).
Покажем, что для всех х £ [a, b] имеет место равенство
S'(x) = f(x).
Иными словами, докажем, что функция S(x) является
первообразной в точном смысле функции / на промежутке [а,Ь].
Пусть хо Е [а, Ь]. Зададим произвольно е > 0.
Пусть 6 > 0 таково, что для всякого х Е [а,Ь], удовлетворяющего
неравенству |ж — жо| < <$, выполняется неравенство:
|/(ж)-/Ы1<|.
Пусть х Е [а, Ь], причем ж ^ #о и \х — #о| < 6. Рассмотрим разность
S(x)-S(x0).
Рис. 3
Рис.4

§ 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции 25
В случае х > хо криволинейная трапеция Г(/;а, х) является
объединением множеств Г(/;а,хо) и T(f;xo,x) (см. рис. 3) и, значит,
S(x) = площ.Г(/; а, х) = площ.Т(/;а, #о) +площ.Т(/;жо,ж),
то есть 5(#) — 5(жо) = площ.Т(/;жо,ж).
Теперь заметим, что для всякого х\ лежащего между жоиж, имеем:
/(хо) - | < /Or') < f(xo) + а.
Отсюда следует, что множество T(f;xo,x) содержится в
прямоугольнике, основанием которого служит отрезок [жо,ж], а высота равна
£ £
f(%o) + -, и в случае, когда f(xo) > -, содержит в себе прямоугольник
с тем же основанием и высотой f(xo) — -. Тогда
(х - xq) \f(xo) - - I < площ.Г(/;а;о,а;) <(х- х0) |/(жо) +
(Левое из этих неравенств, очевидно, будет верно также и в случае,
когда f(x0) < -.)
Для данного х имеем, таким образом
S(x) - S(x0)
X — Xq
-/(so)
^2<£-
(1.2)
Рассмотрим случай х < хо (см. рис. 4). В этом случае, очевидно,
имеем
S(xo) — S(x) = площ.Т(/; х, хо)
и выполняются неравенства:
(хо - х) \f{xo) ~ 9 I - пл°Щ-т(/;ж^о) < (хо - х) \f(x0) + |
Отсюда получаем, что
S(x0) - S(x)
хо — х
- /Ы
S(x) - S(x0)
X — Хо
гы
S2<£
Таким образом, для всякого х Е [а, ft], отличного от жо и такого,
что выполнено неравенство \х — хо\ < 6, справедливо неравенство (5.2).

26
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Так как е > О произвольно, то из доказанного, очевидно, следует,
что f(x0) = S'(xq).
Так как хо есть произвольная точка промежутка [а,Ь], то
функция 5, таким образом, является первообразной функции / в промежутке
[а,Ь].
Приведенное рассуждение не может считаться доказательством
того, что всякая непрерывная функция на замкнутом отрезке [а, Ь] С М
интегрируема по этому отрезку, поскольку оно опирается на понятие
площади, точное определение которого не было дано. Цель, которая
преследовалась здесь, — вывести формулу для вычисления площади,
опираясь на интуитивные представления о ней.
1.4. Интегрируемость по объединению промежутков
Справедливо следующее утверждение.
■ Теорема 1.4. Пусть даны промежуток I = (а,Ь) и функция f :
(а, Ь) —> С. Пусть a < с <Ъ. Положим:
/х = /п [-оо,с], h — IП [с,оо].
Если функция f интегрируема по каждому из частичных промежутков
h и I2, то она интегрируема и по всему промежутку I.
Доказательство. Пусть F± есть первообразная функции / в
промежутке Д, F2 — первообразная / в промежутке /г.
Определим функцию F, полагая для х Е I:
в случае х < с — F(x) = Fi(x) — F\{c),
в случае х > с — F(x) = i*2(#) — ^(с)
и, наконец, в случае х = с пусть F(x) = 0.
Функция F — непрерывна в точке с. Действительно, так как
функции Fi и i<2 — непрерывны в этой точке, то
lim F(x)= lim (Fi(x) - Fi(c)) = 0 = F(c),
ж—*c—0 ж—КЗ—О
lim -F(z)= lim (F2(z) - F2(c)) = 0 = F(c)
x—►с+О ж—*-c+0
и, значит,
limF(a;) = F(c),
что и доказывает непрерывность функции F в точке с.
Функция F непрерывна и во всех других точках промежутка 7.

§ 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции 27
Действительно, пусть х G J, х ф с. Тогда в некоторой окрестности
точки х функция F совпадает: в случае х < с — с функцией F± — -Fi(c),
а в случае х > с — с функцией F<z — F2(c).
Так как функции Fi и F2 непрерывны, отсюда следует
непрерывность функции F в точке х.
Докажем теперь, что F' = f(x) в интервале (а, Ь) в основном.
Пусть Ei С (а, с) и Е2 С (с, Ь) не более чем счетные множества
такие, что для любого х G (а, с) \ £i функция F\ дифференцируема,
причем Fi{x) = /(ж), и во всякой точке ж G (с, Ь) \Е2 дифференцируема
функция i*2, причем iV(#) = /(ж). Положим J5 = i?i U £?2 U {с}.
Множество £" не более чем счетно.
Возьмем произвольно точку х G (а, Ь) \ Е. Тогда х £ Е\ и х g E2
и, кроме того, х ф с, откуда вытекает, что либо ж < с, либо х > с.
В случае х < с функция F\ дифференцируема в точке #, причем
F\{x) = f(x). Функция F в окрестности точки х совпадает с F\ — Fi(c),
и, значит, F дифференцируема в точке #, причем F'(x) = f(x).
В случае х > с функция F2 дифференцируема в точке х.
Так как в окрестности данной точки F — F2 — -р2(с), то F
дифференцируема в точке ж и на этот раз, причем F'(x) — f(x).
Итак, мы построили функцию JF1, непрерывную в каждой точке
iE/и такую, что во всякой точке х G (а, Ь) \ Е, где Е не более чем
счетно, функция F дифференцируема, причем F'{x) = /(#).
Функция F удовлетворяет всем условиям определения
первообразной функции / на промежутке /.
Теорема доказана. ■
Теорема 1.4 дает некоторое средство построения новых
интегрируемых функций из уже имеющихся. Именно, справедливо следующее
предложение.
▼ Следствие. Пусть даны промежуток I = (а, Ь), точка с G (а, Ь) и
функции Д : (а, с) —» С и /2 : (с, Ь) —» С. Положим:
Д = I n [—оо, с], 12 = I П [-с, оо].
Определим новую функцию f : (а, Ь) —» С, полагая f(x) = /1 (ж) при
х < с, f(x) = /2(2) при ж > с и задавая /(с) произвольно. Если функция
/i интегрируема по промежутку Д, a /2 интегрируема по промежутку
Д, то f интегрируема по I.
Доказательство. Действительно, из условий следствия
вытекает, что функция /, определенная указанным способом, интегрируема по
каждому из частичных промежутков Д и Д, и, значит, согласно
теореме 1.4, / интегрируема по целому промежутку / = Д U /г.
Следствие доказано. ▼

28
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
§2. Определенные интегралы и их простейшие
свойства
В § 1 было введено понятие определенного интеграла. Напомним,
что если комплексная функция f интегрируема по замкнутому
промежутку [а, Ь], а функция F есть первообразная функции f на [а, Ь], то
разность F(b) — F(a) не зависит от выбора первообразной F. Эта разность
называется определенным интегралом или просто интегралом функции
f по промежутку [а, Ь]. При этом полагают
ь
I
f(x)dx = F(b)-F(a).
Исследование основных свойств определенного интеграла является
главной задачей настоящего параграфа.
2.1. Линейность определенных интегралов
Пусть / есть комплексная функция, определенная в основном в
интервале (а, Ь) и интегрируемая по замкнутому промежутку [а, Ь], и
F : [а, Ь] —* С — первообразная функции / на [а,Ь].
Тогда, согласно определению, данному в п. 1.3,
ь
«) = J /0*0
F(b) - F(a) = / f(x) dx
Для произвольной функции Ф : [а, Ь] —* С разность Ф(Ь) — Ф(а)
обозначается следующим образом:
Ф(Ь) - Ф(о) = Ф(х)
х=Ь
= Ф(х)
Такая форма записи удобна в тех случаях, когда Ф(х)
представляется посредством некоторого громоздкого выражения.
Применяя эти обозначения, определение интеграла функции / по
отрезку [а, Ь] можно записать следующим образом:
ь
!
f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x)
= F(x)
(2.1)

§ 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства
29
Числа о и Ь в выражении
ь
f(x) dx (2.2)
/
называются нижним и верхним пределами интегрирования
определенного интеграла (2.2).
Символ х, стоящий в (2.2) под знаком интеграла, называется
переменной интегрирования, a f(x) dx называется подынтегральным
выражением.
Переменная интегрирования может обозначаться и любой другой
буквой, так что выражения
ъ ь ь
J f(x)dx, J f(t)dt, J /(у),
и т. д. обозначают одну и ту же величину.
При выборе обозначения для переменной интегрирования должны
соблюдаться следующие условия:
если в подынтегральное выражение входят еще какие-либо
величины, то переменная интегрирования должна обозначаться символом,
отличным от любого из тех, которые используются для их обозначения.
Например, в выражении
ъ
f(x,y)dx
I
вместо х можно поставить любую букву, кроме у.
Если пределы интегрирования есть переменные величины, то
выражения для а и Ь не должны содержать символ, используемый для
обозначения переменной интегрирования. (Это требование не имеет столь
категорического характера, как предыдущее. В математических
публикациях встречаются иногда формулы вида: / f(x) dx и подобные ей.)
■I

30
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Из теоремы 1.2, очевидно, следует, что если функция /
интегрируема по отрезку [a, ft], то также и функции Re/ и Im/ интегрируемы по
этому отрезку, причем
ь ъ ъ ь
Re / f(x)dx= / Ref(x)dx, Im / f(x)dx = / lmf(x)dx.
В Теорема. 2Л (о линейности интеграла). Если комплексные
функции fид интегрируемы по замкнутому промежутку [a, ft], то для любых
A,/i £ С функция А/ + fig интегрируема по [а,ft], причем выполняется
равенство:
ъ ь ь
I (\f(x) + fig(x)\ dx = X f(x) dx + fi g(x) dx. (2.3)
a a a
Доказательство. Пусть F и G суть первообразные на
отрезке [a, ft] функций /и j, соответственно. Тогда, согласно теореме 1.1,
XF + jiG есть первообразная функции А/ + fig на промежутке [a,ft].
Мы получаем, таким образом, что функция А/ + fig интегрируема
по промежутку [a,ft].
Согласно определению интеграла, имеем:
ъ
( (A/(s) + /j0(s)) dx = (AF(ft) + /xG(ft)) - (AF(o) + //G(a)) =
a
Ь Ь
= A(F(ft) - F(a)) + /i(G(ft) - G(a)) = A / /(ж) dx + fi f g(x) dx,
a a
что и требовалось доказать. ■
2.2. Свойство монотонности интеграла
Докажем, что если функция, интегрируемая по замкнутому
промежутку, неотрицательна, то интеграл от этой функции по данному
промежутку также неотрицателен. Это свойство интеграла
называется монотонностью. Употребление этого термина оправдывается теми
следствиями данного утверждения, которые будут далее доказаны.

§ 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства
31
■ Теорема 2.2. Предположим, что f есть вещественная функция,
определенная в основном и интегрируемая на замкнутом промежутке
[а,Ь]. Если функция f(x) неотрицательна, то
ь
I f(x) dx > 0. (2.4)
а
При этом если f(x) ф 0 в [а, Ь] в основном, то
ь
I f(x) dx > 0. (2.5)
а
Доказательство. Пусть функция / удовлетворяет всем
условиям теоремы и^:[а,Ь]^К есть ее первообразная на отрезке [а,Ь].
Как следует из теоремы 1.3, функция F — возрастающая, и, значит,
F(b) > F(a). Отсюда
ь
I f(x)dx = F(b)-F(a) > 0,
a
и неравенство (2.4) доказано.
Если f(x) ф 0 в интервале (а, Ь) в основном, то f(x) > 0 в (а,Ь)
в основном, и, значит, найдется не более чем счетное множество Е\
такое, что для всякого х Е (а,Ь) \ Е\ значение f(x) определено, причем
выполняется неравенство f(x) > 0.
Из определения первообразной следует, что найдется не более чем
счетное множество Е2 такое, что в каждой точке х Е (а, Ь) \Е2 функция
F дифференцируема и F'{x) = f(x).
Пусть Е = Ei U ife. Множество Е не более чем счетно. Если
х Е (а, Ь) \ Е, то х £ Е\ и, значит, для этого х определено f(x), причем
f{x) > 0. Далее, если х Е (а, Ь) \ Е, то х £ Е2 и, следовательно, для
данного х функция F дифференцируема и F'{x) = f(x).
Мы получаем, таким образом, что существует такое не более чем
счетное множество Е С (а, Ь), что в каждой точке х Е (a,b)\E функция
F дифференцируема, причем F'{x) > 0.
Пусть (&,(3) есть произвольный интервал, содержащийся в (а,Ь).
Этот интервал является несчетным множеством и, значит, найдется
точка £ Е (<*,/?), не принадлежащая множеству Е. Имеем: F'(£) > 0.

32
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
В силу следствия 2 теоремы 4.6 главы 4 из доказанного вытекает,
что функция F является строго возрастающей на промежутке [а,Ь]. В
частности, получаем, что F(a) < F(b). Отсюда заключаем, что
ь
F(b) - F(a) = I f(x) dx > 0.
Теорема доказана. ■
▼ Следствие 1. Пусть f и g суть вещественные функции,
интегрируемые по промежутку [а,Ь]. Если f(x) > g(x) в интервале (a,b) в
основном, то
ь ь
I f(x)dx> / g{x)dx. (2.6)
a a
При этом если f(x) > g(x) в (a, b) в основном, то неравенство в
соотношении (2.6) — строгое.
Замечание. Говорят, что неравенство (2.6) есть результат
почленного интегрирования неравенства f(x) > g(x).
Доказательство следствия 1. В силу условия следствия 1,
найдется такое не более чем счетное множество £, что для всех х Е
Е (а,Ь) \ Е выполняется неравенство f(x) > g{x). Для каждого х Е
Е (а, Ъ) \ Е имеем: f(x) — g{x) > 0, то есть f(x) — g(x) > 0 в (а, Ь) в
основном.
Согласно теореме 2.1, функция / — g интегрируема по промежутку
[а,Ь], причем
ь ь ь
0 < / [f{x) - g(x)] dx= I f(x) dx- f g(x) dx. (2.7)
Если же f(x) > g(x) в интервале (а,Ь) в основном, то также и
f(x) — g{x) > 0 в (а,Ь) в основном. Значит, согласно теореме 2.2, имеем:
ь ь ь
0 < / [f(x) - g(x)] dx= I f(x) dx- f g(x) dx. (2.8)

§ 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства
33
Из неравенств (2.7) и (2.8), очевидно, вытекают оба утверждения
следствия.
Следствие 1 доказано. ▼
▼ Следствие 2. Пусть даны комплексная функция f и
вещественная функция д, причем f и д интегрируемы по промежутку [а, Ь]. Если
\f(x)\ < д{х) в интервале (а, Ь) в основном, то имеет место неравенство:
ь ь
I f(x)dx\ < / g(x)dx. (2.9)
Доказательство. Положим
ь
z = I f(x)dx.
a
Функция #, как вытекает из условий следствия, в промежутке (а, Ь)
неотрицательна в основном и, стало быть, по теореме 2.2,
ь
/ д(х) dx > 0.
a
Если z = 0, то требуемое неравенство очевидно.
Будем считать, что z ф 0. Имеем, согласно теореме 2.1,
ь ь
|2
\z\z — zz — z I f{x)dx— I zf{x)dx.
a a
Далее,
\z\2
ь ь
= lto(W) = R.(/»/(.)*)-/».(./(.))*.
Для всякого комплексного числа w = u + iv, u, v G M,
выполняется неравенство: Kew = u < y/u2 + v2 = \w\. Отсюда следует, что в
интервале (а, Ь) в основном
Re (z/(*)) < \zf(x)\ = \z\\f(x)\ < \z\g(x).

34
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
В силу следствия 1 теоремы 2.2, это позволяет заключить, что
ь ь
\z\2 = / Re(zf(x)) dx< / \z\g(x)dx,
откуда
ъ
/ /(ж) da? =\z\< / g(x)dx,
что и требовалось доказать.
Следствие 2 доказано. ▼
▼ Следствие 3. Пусть функция f интегрируема по промежутку
[а,Ь]. Если —оо < а < Ь < оо и \f(x)\ < М, где М < оо — постоянная, в
промежутке (а, Ь) в основном, то
ъ
I
f(x)dx
<М{Ъ-а).
Действительно, это есть частный случай следствия 2, когда д(х) = М.
Следствие 3 доказано. ▼
▼ Следствие 4. Пусть функция f интегрируема по [a,b]. Если
функция |/| интегрируема по [a,b], то
ь ь
f f(x)dx\< I \f{x)\dx.
Достаточно воспользоваться результатом следствия 2, полагая в
нем д = |/|.
Следствие 4 доказано. ▼
2.3. СВОЙСТВО АДДИТИВНОСТИ ИНТЕГРАЛА
2.3.1. Докажем, что если объединение отрезков есть отрезок, то
интеграл по их объединению равен сумме интегралов по этим отрезкам.
Точнее, имеет место следующее утверждение.

§ 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства
35
■ Теорема 2.3. Если функция f, определенная в интервале (а, Ь),
интегрируема по промежутку [а, Ь], то для всякого с £ (а, Ь) имеет место
равенство:
Ъ с Ь
/ f(x)dx = / f(x)dx+ / f(x)dx.
Доказательство. Пусть F есть первообразная функции / на
промежутке [а, Ь]. Ограничение функции F на каждом из отрезков [а, с] и
[с, Ь], очевидно, является первообразной / на соответствующем отрезке.
Имеем:
ъ
I f(x) dx = F(c) - F(a), / /(ж) dx = F(b) - F(c).
Отсюда
с Ь
/ /(ж) drr + / f(x) dx = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) =
a c
b
= F(b)-F(a)= f f(x)dx,
a
что и требовалось доказать.
Теорема доказана. ■
2.3.2. Предположим, что функция / со значениями в С интегрируема
по промежутку / = (а,Ь). Пусть р Е / и q G /. Если р < #, то отрезок
[р, д] содержится в промежутке / и, следовательно, определено число
я
J f(x)dx = F(q)-F(p). (2.10)
В некоторых вопросах изложение упрощается, если выражению (2.10)
придать определенное значение также и в том случае, когда условие
р < q не выполняется.

36
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Пусть F есть первообразная функции / в промежутке / = (а,Ь).
Полагаем:
я
J f(x)dx = F(q)-F(p),
Р
как бы ни были выбраны точки р, q Е I. В частности, допускаются
равенство р = q и неравенство q <р.
Для всякого р, очевидно, имеем:
р
/ f(x)dx = 0
р
и для любых р, q из J
Я Р
J f(x) dx = -J f(x) dx = F(q) - F(p) = ~[F(p) - F(q)}.
Равенство (2.10), в соответствии с этим, может быть представлено
в следующей форме:
[ f(x)dx = F(x)
р
= F(x)
х=р
В соответствии с соглашением, сделанным сейчас, мы можем
несколько усилить теорему 2.3, а именно, справедливо следующее
предложение.
■ Теорема 2.3А. Предположим, что функция f интегрируема по
промежутку I = (а, Ь). Тогда для любого конечного множества точек
жо, #i, • •., хп, принадлежащих /, выполняется равенство:
[ f(x)dx = YJ f f(x)dx.
XQ Zfc-l

§ 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства 37
Доказательство. Пусть F есть первообразная функции / на
промежутке /. Тогда
хп
I
XQ
f(x) dx = -F(x0) + F(xn) =
= -F{x0) + F(xi) - F(xi) + F(x2) F(xn-i) + F(xn) =
X\ X2 Xn
= / f(x)dx+ / f(x)dx + ---+ / f(x)dx,
XQ Xl ^n-1
что и требовалось доказать.
Теорема доказана. ■
2.3.3. Предположим, что функция / : I —> С интегрируема по
промежутку /. Фиксируем произвольно точку хо Е I. Тогда для каждого
х Е / определено число
х
F(x) = J f(t)dt.
ХО
Определенная так функция F : / —> С является первообразной
функции / на промежутке J.
Действительно, пусть Fo есть первообразная функции / на
промежутке /. Тогда для всякого х £ I имеем:
F(x) = Fo(x)-Fo(x0).
Функции F и Fo, таким образом, отличаются одна от другой
постоянным слагаемым. Отсюда следует, что F также есть первообразная
функции /.
2.4. Критерий интегрируемости функции по замкнутому
отрезку
Результат этого раздела есть простое следствие определений
первообразной и интеграла функции.
■ Теорема 2.4. Предположим, что числовая функция f
интегрируема по замкнутому слева и открытому справа промежутку [а, Ь). Тогда

38 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
для того, чтобы f была интегрируема по замкнутому промежутку [а, Ь],
необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел:
lim / f(t)dt.
lim /
x-+bj
a
Значение этого предела, если он существует и конечен, есть
ь
I
f(x) dx.
Аналогично, если функция f интегрируема по промежутку (а, 6], то
для того, чтобы f была интегрируема по [а, Ь], необходимо и достаточно,
чтобы существовал конечный предел:
ь
lim /
x^aj
b
f(t)dt.
Значение этого предела, если он существует и конечен, есть интеграл:
ь
I
f{x) dx.
Доказательство. Необходимость. Предположим,
что функция / интегрируема по промежутку [а, Ь]. Пусть F есть
первообразная функции / на отрезке [а,Ь].
Функция F непрерывна на [a,b] и, значит,
F(a) = lim F(x), F(b) = lim F(x).
x—*a x—*b
Отсюда заключаем, что
6
/ f(x) dx = F(b) - F(a) = lim [F(b) - F(x)] = lim [F(x) - F(a)].
i *c ■■■* a us ' о

§ 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства
39
Имеем:
Ь х
F(b) - F(x) = f f(t) dt, F(x) - F(a) = f /(*) dt
и мы, следовательно, получаем, что
ь ь
\ f(x)dx = lim / f(t)dt= lim / f(t)dt.
J f x-+aj x-+bJ
Этим доказана необходимость условия теоремы.
Докажем достаточность. Предположим, что функция /
интегрируема по промежутку (а, Ь] и существует конечный предел:
о
lim /
Ь
f(t)dt.
Положим:
Ъ х
F(x) = - f f(t)dt= I f(t)dt.
x b
Функция F является первообразной функции / в промежутке (а, Ь].
Определим функцию F± : [а,Ь] —> С, полагая F±(x) = F(x) при
х Е (а, Ь] и
ь
Fi(a) = lim F(x) = - lim / /(t) dt.
x
Так как Fi(a:) = F{x) в каждой точке x G [a, Ь], отличной от a, то
Fi(a) = lim F(x) = lim Fi(ar).
X—*CL X—>CL
Отсюда следует, что функция F± непрерывна в точке а.
Пусть а < х < Ь.
Так как F непрерывна в точке жив некоторой окрестности точки
х функции F и Fi совпадают, то, следовательно, также и функция F\
непрерывна в этой точке. Мы получаем, что функция F\ непрерывна на
отрезке [а, Ь].

40
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Пусть точка х Е (а, Ь) такова, что функция F дифференцируема в
этой точке, причем
F'(x) = f(x). (2.11)
Так как F\ совпадает с F в интервале (а, Ь), то, значит, функция
F\ также дифференцируема в точке х. При этом
Fl(x)=F'(x) = f(x).
Множество Е точек х Е (а,Ь), для которых не выполняется
равенство (2.11), не более чем счетно. Если х Е (а, Ь)\Е, то F{(x) = /(ж).
Функция Fi, таким образом, непрерывна на замкнутом отрезке [а, Ь]
и /(ж) = F[{x) в интервале (а,Ь) в основном. Следовательно, F± есть
первообразная функции / на промежутке [а, Ь].
Функция / имеет первообразную в промежутке [а, Ь] и, значит,
согласно определению интегрируемой функции, / интегрируема по этому
промежутку.
Случай, когда изначально предполагается интегрируемость / по
отрезку [а,Ь), рассматривается аналогично.
Теорема доказана. ■
▼ Следствие. Предположим, что функция f интегрируема по
промежутку (а, Ь). Пусть F есть ее первообразная на (а, Ь). Если пределы
lim F(x) = K, lim F(x) = L
x—*а+0 х—*Ь—О
существуют и конечны, то функция f интегрируема по промежутку
[а, Ь], причем имеет место равенство:
ь
I f(x)dx = L-K.
а
Доказательство. Пусть функция / удовлетворяет всем
условиям следствия.
Зададим произвольно точку с Е (а, Ь). Функция / интегрируема по
каждому из отрезков (а, с] и [с, Ь). При ж Е (а, с] имеем:
с
У f(t)dt = F(c)-F(x).
X

§ 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства
41
лы:
Если же х Е [с,Ь), то
X
J f(t)dt = F(x)-F(c).
С
Из условий следствия вытекает, что существуют и конечны преде-
С X
lim / /(*) d< = F(c) - К, lim / f(t) dt = L-F(c).
X—K2+0 J Ж—►& — О У
В силу теоремы 2.4, отсюда следует, что / интегрируема по каждому
из отрезков [а, с] и [с, Ь]. При этом
с Ъ
J f(t) dt = F(c) -Кь f f(t) dt = L- F(c).
а с
Теорема 2.3 позволяет заключить, что функция / интегрируема по
промежутку [а,Ъ]. Согласно теореме 2.3, имеем:
ь с ь
I f{x) dx= I f(t) dt+ f f(t) dt = F(c) -K + L- F(c) = L-K,
что и требовалось доказать.
Следствие доказано. ▼
2.5. Правило интегрирования по частям
Введем некоторые дальнейшие обозначения.
Пусть даны интервал (а, Ь) и функция Ф : (а,Ь) —► С (функция
Ф : (а,Ь) —► К). Предположим, что существуют пределы:
lim Ф(х) = К, lim Ф(х) = L.
ж—>а+0 ж—>6—О
Полагаем:
|Ж=Ь-0
L - К = lim Ф(#) - lim Ф(#) = Ф(х)
х—*Ъ—0 х-ki+0
ж=а+0

42
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
В случае, когда Ф есть вещественная функция, в этой записи
допускаются бесконечные значения L и К. Требуется только, чтобы разность
L — K имела смысл, то есть не обращалась в одно из выражений
00 — оо или (—оо) — (—оо).
Далее нам потребуется следующее простое предложение.
■ Лемма 2.1. Пусть функции f и д интегрируемы по промежутку
1 — (а, Ъ) и пусть F и G — их первообразные в I. Тогда функция h =
= fG + Fg интегрируема по промежутку I и функция Н = FG является
ее первообразной в этом промежутке.
Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы.
Функция Н непрерывна в каждой точке х Е /.
Из условия леммы следует, что найдутся не более чем счетные
множества Ei и £?2 такие, что для всякого х Е (а, 6) \ Ei
№ = F'(x) (2.12)
и для любого х Е (а, Ь) \ Ei
g(x) = G'(x). (2.13)
Положим: Е = Eil)E2> Согласно лемме 1.1, множество Е не более
чем счетно и если х G (а, Ъ) \ Е, то для этого х выполняются равенства
(2.12) и (2.13) одновременно. Отсюда следует, что для всякого
такого х функция Н — FG дифференцируема, причем
Н'{х) = F'(x)G(x) + F{x)G'{x) = f(x)G(x) + F(x)g(x).
Функция i?, таким образом, непрерывна на / = (а, Ь) и Н'{х) = h(x)
в интервале (а, Ъ) в основном.
Согласно определению, это и означает, что Н есть первообразная
функции h.
Лемма доказана. ■
■ Теорема 2.5 (правило интегрирования по частям). Пусть
функции f ид интегрируемы в промежутке I — (а, Ь), F и G — их
первообразные в этом промежутке. Если функция Fg интегрируема по I, то также
и функция fG интегрируема по этому промежутку. При этом если Ф
есть первообразная Fg, то разность FG — Ф является первообразной для
функции fG.

§ 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства
43
Если функция Fg интегрируема по замкнутому промежутку [а,Ь] и
существуют конечные пределы
lim F(x)G(x), lim F(x)G(x),
x—+a+0 x—>Ь—О
то функция fG также интегрируема по [a,6]. При этом имеет место
равенство:
ь ь
/,ж=ь-о с
f(x)G(x)dx = F(x)G(x)\ - / F(x)5(x)dx. (2.14)
Замечание. Способ преобразования интегралов, который
дается равенством (2.14), называется правилом интегрирования по частям.
Доказательство теоремы. Пусть функции / и g
интегрируемы по интервалу (а, Ь).
Из леммы 2.1 следует, что тогда функция h = fG + Fg
интегрируема по (a,b), причем функция Н = FG является первообразной h.
Если функция Fg интегрируема по (а,Ь) и Ф есть первообразная
Fg, то функция fG = h — Fg также является интегрируемой по (а, 6) и
функция Н — Ф = FG — Ф есть ее первообразная.
Первое утверждение теоремы доказано.
Докажем второе. Предположим, что существуют конечные
пределы:
lim F(x)G(x), lim F(x)G(x).
x—кх+0 х—+Ъ—0
Тогда функция h интегрируема по [а,Ъ]. При этом
ь
I
h(x) dx = F(x)G(x)
х=Ь-0
(2.15)
ж=а+0
Если функция Fg интегрируема по [а,Ь], то отсюда вытекает
интегрируемость по [a, b] функции fG. При этом
ъ ъ ъ
/ f(x)G(x)dx= / h(x)dx— / F(x)g(x)dx.
Принимая во внимание равенство (2.15), отсюда получаем (2.14).
Теорема доказана. ■

44
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
■ Теорема 2.6 (о кратной формуле интегрирования по частям).
Допустим, что функции и и v, определенные на промежутке [а, Ь] С R,
принадлежат классу Сп"~1([а,Ь]), причем производные и^71"1^ и г/п_1)
дифференцируемы в основном в интервале (а, Ь). Тогда если функция
u^v интегрируема по промежутку [а, Ь], то функция ш/п^ также
интегрируема по этому промежутку. При этом имеет место равенство:
ъ
I
гП-1
u{x)v^n\x) dx =
^(-i)fcu(fc>v("-fc-x>
+
fc=0 J а
Ь
Ь
+ {-l)n [ «(n) (x)v(x) dx. (2.16)
a
Доказательство. Положим:
n-l
Ф(х) = ^(-llV4^'11"*-1'^. (2.17)
fc=0
Функция Ф непрерывна в промежутке [а, 6] и дифференцируема в
основном в интервале (а,Ь).
Пусть точка х такова, что в этой точке производная Ф(х)
определена и конечна. Дифференцируя сумму в правой части (2.17), получим:
П —1 71— 1
Ф'(х) = ^2(-l)ku{k\x)v(n-k)(x) + '£(-l)ku(k+1)(x)vln-k-1)(x).
fc=0 fc=0
Во второй сумме заменим индекс суммирования, полагая к + 1 = j,
а затем переименуем j в к. В результате получим:
п-1
Ф'(х) = J](-l) Vfc)(x)^(n-fc)(a:) + ^(-l)fc-^(fc)(x>(n-fc)(x).
fc=0 fc=l
Слагаемые, соответствующие значениям &, удовлетворяющим
неравенствам l<fc<n — 1,в эти суммы входят с разным знаком и после
приведения подобных членов в сумме сокращаются. В результате
получим:
Ф'(х) = u(x)vin)(x) + (-l)n-Vn)(a?)t;(aO. (2.18)

§ 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства
45
Функция Ф', в силу условий следствия, интегрируема по промежутку
[а,Ь]. Равенство (2.18) позволяет заключить, что если одна из функций
ш/п) и (—l)n~1u^v интегрируема по промежутку [а,Ь], то и другая
будет интегрируема по этому промежутку. При этом:
ь ь
/ц,У->(„* = .(Ч-.(.) + (-1г/.<->(,М.)*.
а а
Теорема доказана. ■
2.6. Правило замены переменной интегрирования
Исходя из формулы для производной суперпозиции (теорема 1.4
главы 4), установим один важный способ преобразования
интегралов, называемый правилом замены переменной интегрирования.
Ш Теорема 2.7. Пусть функция f интегрируема по промежутку
I = (а,Ь). Пусть F есть ее первообразная в I. Предположим, что дана
непрерывная функция <р : J —> Е, где J = (с, d), такая, что ip(t) £ I для
всех t £ J и выполнены следующие условия.
I. Функция ip дифференцируема в интервале (с, d) в основном.
П. Множество значений t £ J, таких, что <p(t) £ (а, Ь) и функция F
не является дифференцируемой в точке х = <p(t), не более чем счетно.
Тогда функция (/ о ф) ip' интегрируема в промежутке J и функция
F о (р является ее первообразной. При этом для любых p,q £ J
выполняется равенство:
q <p(q)
J f(<p(t))<p'(t) dt= J f{x) dx. (2.19)
p <p(p)
Перед доказательством отметим следующее.
Замечание. Функция (/ о ip) ip', вообще говоря, определена в
промежутке J лишь в основном.
Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия
теоремы. Так как функции F и ip непрерывны, то их суперпозиция
F о ip есть непрерывная на промежутке J функция.
Пусть Ei есть множество значений t £ (с, d) таких, что функция tp
не является дифференцируемой в точке £, а Е2 есть совокупность всех

46
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
t Е (с, d), для которых функция F не является дифференцируемой в
точке х — <p(t).
В силу условия теоремы, множества Е\ и Еъ не более чем счетны
и, значит, Е = Ei U E2 не более чем счетное множество.
Возьмем произвольно значение t Е (с, d) \ E. Тогда t не
принадлежит Ei и, следовательно, <р дифференцируема в точке t Е J.
Точка £ не принадлежит также множеству Еч и, значит, функция
F дифференцируема в точке х — <p(t). Отсюда вытекает, что G = F о ф
дифференцируема в точке t. При этом
G'{t) = F' [<p(t)) <p'(t) = (/ о tp){t)tp'{t). (2.20)
Мы получаем, таким образом, что функция G на отрезке J
непрерывна и дифференцируема в основном в интервале (с, d), и равенство
(2.20) выполняется в этом интервале в основном. Это означает,
что G = F о <р есть первообразная функции (/ о ip) ip' на отрезке J.
Пусть, далее, р is. q — две произвольные точки отрезка J. Тогда
q <P(Q)
j f(<p(t))<p'(t)dt = F(<p(q))-F(<p(p))= J f(x)dx.
P <P(P)
Теорема тем самым доказана. ■
Приведем некоторые простые критерии, достаточные для выполнения
условий теоремы 2.7.
Пусть даны функции / : (а, Ь) —> С и <р : J —> R, где / = (а, Ь) и
J = (с, d) — промежутки в Ё, причем <р(-0 С J.
Предположим, что функция / интегрируема по промежутку /, а <р
непрерывна и в основном дифференцируема в интервале (с, d).
Пусть F есть первообразная функции /.
Пусть Е' есть множество всех точек х Е (а,Ь), для которых н е
выполняется равенство F'(x) = f(x), E" — совокупность
всех точек t E (c,d), в которых функция tp не имеет конечной
производной.
Пусть S = Е" U <р~1(Е'). Если t ^ 5, то t g E"', функция ip в точке
t имеет конечную производную и С? = F о ^ дифференцируема в точке £,
причем
G,(t) = F,H*)]v,(«) = (/ov)(<y(')-
Отсюда ясно, что множество Е точек t E (с, d), для которых н е
выполняется равенство (2.20), будет не более чем счетным, если
множество S не более чем счетно.

§ 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства
47
Укажем два важных частных случая, когда можно утверждать, что S
не более чем счетное множество.
A. Множество S не более чем счетно, если <р есть строго
монотонная непрерывная функция.
Действительно, в этом случае <р отображает промежуток J в 1
взаимно однозначно, откуда следует, что множество у?-1 (£"'), а вместе
с ним и множество S не более чем счетны.
B. Если множество Е' пусто, то S не более чем счетно (очевидно,
в этом случае (р~1(Е/) есть пустое множество).
Как следует из сказанного выше, если для функций / и <р имеет
место один из случаев А, В, то эти функции удовлетворяют условиям
теоремы 2.7.
В случае А налагается некоторое достаточно жесткое ограничение
на функцию ip.
В случае В от функции <р ничего дополнительно не требуется, но
зато вводится некоторое ограничение на /.
В связи с этим полезно заметить, что, как будет показано далее (см.
§3), если функция / непрерывна в точке х е (а,Ь), то ее первообразная
F в этой точке дифференцируема, причем F'(x) = f(x).
Отсюда следует, что условие В выполняется, в частности, в том
случае, когда функция / — непрерывна.
2.7. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме
Докажем теорему, которая позволяет представить разность между
полиномом Тейлора функции в точке и самой функцией в виде
некоторого интеграла.
■ Теорема. 2.8 (формула Тейлора с остаточным членом в
интегральной форме). Пусть f : (а, Ь) —► С есть функция класса Cn_1.
Предположим, что ее производная порядка п — 1 дифференцируема в (a,b) в
основном. Тогда для любых ж, хо G (а, Ь) выполняется равенство:
71— 1 Х
/(*) = Ё ^ТГ1^ - ж°)* + T^TW / (* - *)n_1/(n)W dt. (2.21)
fc=0 * \ )• J
XQ
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, сделаем некоторые
напоминания.

48
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Функция / : (а, Ь) —> С, согласно определению, данному в § 3
главы 4, считается принадлежащей классу Ст, где т > О — целое, если /
имеет в (а, Ь) все производные порядка не выше га, причем производная
/(т) есть непрерывная в (а, Ь) функция.
В случае т = О вместо С0 мы пишем просто С.
Условие / Е С означает, что функция / — непрерывна.
Отметим еще, что в сумме, стоящей в равенстве (2.21) справа, под
производной нулевого порядка функции, как и ранее, понимается сама
функция.
Доказательство теоремы. Пусть функция / удовлетворяет
всем условиям теоремы. Фиксируем произвольно точку х и рассмотрим
функцию
r(t) = f(x)-J2^-(x-t)k (2.22)
fc=0
переменной t Е (а,Ь).
Функции /, /', /",..., /(n_1) непрерывны в каждой точке t E (а, Ь).
При к < п — 1 функция f^ дифференцируема во всех точках
интервала (а,Ь), а производная /(п-1) дифференцируема в (а,Ь) в
основном. Это означает, что существует не более чем счетное множество
Е С (а,Ь) такое, что функция /(n_1) дифференцируема во всякой точке
t е (а, Ъ) \ Е.
Из формулы (2.22), очевидно, следует, что определенная ею
функция г непрерывна в (а, Ь) и дифференцируема в каждой точке t Е (а, Ь)\Е.
Воспользуемся теперь результатом леммы 6.4 главы 4, согласно
которой
г'(<) = -^1)Т(ж~*Г~ (2,23)
для всякого t E (a, b) \ E.
Функция г, таким образом, непрерывна и дифференцируема в
основном в промежутке (а, Ь). Величина r(t) обращается в нуль при t = х.
Отсюда получаем, что
хо х
X Xq

§ 3. Достаточные условия интегрируемости
49
Подставляя сюда выражение для производной г'(£), которое дается
равенством (2.23), получаем:
X
Хо
Теорема тем самым доказана. ■
Теорема 2.8 решает задачу восстановления функции по
ее производной порядка п.
Формула (2.21), в частности, позволяет заключить, что функция /
однозначно определена, если известны ее производная порядка п в
интервале (а, Ь) и значения самой функции / и всех ее производных порядка
не выше п — 1 в произвольной точке хо G (а, Ь).
§3. Достаточные условия интегрируемости
Задача этого параграфа — указать достаточно общий класс
функций, интегрируемых по некоторому промежутку (а, Ь) С Ё.
Основной результат таков. Если множество точек разрыва
функции f, определенной на интервале (а, Ь), не более чем счетно и
существуют две функции (риф, интегрируемые по промежутку (а, Ь), такие,
что для всех х Е (а, Ь) выполняются неравенства <р(х) < f(x) < ^(ж), то
функция f также интегрируема по промежутку (а, Ь).
3.1. Понятие аддитивной функции отрезка
3.1.1. Далее, под словом «отрезок» понимается всегда замкнутый
отрезок
А = [xi,x2] С Й.
Пусть дан произвольный промежуток I = (a,b) С М. Множество
всех отрезков, содержащихся в /, будем обозначать символом Г(7).
Пусть А = [^1,^2] есть ограниченный отрезок в Ё. Это
означает, что xi и Х2 конечны, —оо < xi < Х2 < оо. Символом |Д| будем
обозначать его длину, то есть |А| = Х2 — х\.
Пусть хо есть точка промежутка / С 1и (An = [xn,yn])n€N —
последовательность отрезков, содержащихся в I.
Будем говорить, что данная последовательность отрезков стяги-

50
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
в а е т с я к точке хо при п —> оо, если хо Е Ап, то есть хп < xq < уп
при каждом п и
хо = lim xn = lim yn-
п—юо п-юо
Если точка xq конечна, то последовательность отрезков (An)n€N
стягивается к точке хо в том и только в том случае, если хо Е Ап при
каждом п и |АП| —» 0 при п —► оо.
Если последовательность отрезков (An)neN, содержащихся в
промежутке J, стягивается к точке хо Е /, то для всякой окрестности U
точки хо найдется номер п такой, что для любого п > п отрезок Дп
содержится в U.
Действительно, пусть Ап = [хп,Уп]- Тогда хп —> %о и уп -+ хо при
п —> сю и, значит, найдется номер п Е N такой, что хп G U и уп Е U при
каждом п > п. Так как окрестность U представляет собой некоторый
промежуток множества Ё, то для всякого п > п, очевидно, Ап С U, что
и требовалось доказать.
Предположим, что всякому отрезку А С I сопоставлено число
Ф(А) Е С. Тем самым определена функция Ф : Г(/) —> С.
Будем говорить, что Ф есть функция отрезка, заданная в
промежутке I.
Пусть, например, дана функция /, определенная в основном и
интегрируемая на промежутке I. Для произвольного отрезка А = [rci, жг] С I
положим:
Int/(A) = / f(x)dx.
хг
Величина Int/(A) определена для любого отрезка А С JT, и тем
самым мы получаем некоторую функцию отрезка Int/ в промежутке I.
Пусть Ф есть функция отрезка, заданная в промежутке L Пусть
также даны точка xq Е / и число L Е С.
Будем говорить, что L есть предел функции отрезка Ф(Д),
когда отрезок А стягивается к точке жо, если выполнено следующее
условие: для всякого е > 0 можно указать окрестность U точки хо
такую, что для любого отрезка А, который содержит точку хо и лежит в
окрестности U точки xq , выполняется неравенство:
\Ф(А)-Ц<е.
В этом случае мы будем писать:
L= lim Ф(А).
Д-+ж0

§ 3. Достаточные условия интегрируемости
51
Имеет место следующий аналог критерия Гейне
существования предела (глава 2, теорема 3.3).
■ Лемма. 3.1. Пусть даны промежуток /Сии функция отрезка
Ф, определенная в этом промежутке. Для того чтобы число L £ С
было пределом Ф(А), когда А стягивается к точке хо Е /, необходимо и
достаточно, чтобы для всякой последовательности (An)n€N отрезков,
содержащихся в I, стягивающейся к точке хо, выполнялось соотношение:
L= lim Ф(АП).
п—»оо
Доказательство. Докажем необходимость.
Предположим, что L = lim Ф(А). Пусть (An)n€N есть последовательность
Д-»ж0
отрезков, содержащихся в J, стягивающаяся к точке хо.
Зададим произвольно е > 0. Пусть U есть окрестность точки жо,
выбранная так, что если хо Е А и А С U, то |Ф(А) — L\ < е.
Так как последовательность отрезков (An)neN стягивается к точке
хо, то найдется номер п Е N такой, что для всякого п > п отрезок Дп
содержится в U. Для всякого п>п выполняется неравенство:
|Ф(Д„) - Ц < е.
Так как е > 0 было выбрано произвольно, то тем самым
доказано, что
L = lim Ф(АП).
п—юо
Необходимость условия леммы установлена.
Докажем достаточность этого условия. Предположим,
что для всякой последовательности отрезков (An)n€N, содержащихся в
/, стягивающейся к точке хо, выполняется равенство:
L = lim Ф(АП).
Зададим произвольно е > 0.
Докажем, что найдется окрестность U точки хо такая, что
если отрезок А Е Г(/) удовлетворяет условиям хо Е А С U, то
\Ф(А)-Ь\<е.
Допустим, напротив, что такой окрестности у данной точки хо не
существует.
Пусть ([/n = ^n(^o))nGN есть последовательность окрестностей
точки хо, которая является ее канонической базой. В силу сделанного
допущения, при каждом п найдется отрезок Ап Е Г(/) такой, что хо Е Ап С
С Un, и в то же время |Ф(АП) — L\> е.

52 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
При п —> оо последовательность отрезков (An)n€N стягивается к
точке хо и, значит, в силу условия леммы, Ф(ДП) —> L при п —> оо. Это,
однако, противоречит тому, что при каждом п выполняется неравенство
|Ф(ДП) - L\ > е.
Таким образом, допущение, что точка хо не имеет окрестности,
обладающей требуемыми свойствами, приводит к противоречию.
Следовательно, мы получили, что существует окрестность U точки хо
такая, что если Д £ Г(/), причем хо Е Д С U, то
|Ф(Д) - L\ < е.
В силу произвольности е > О, тем самым установлено, что
L= lim Ф(Д).
А-+х0
Лемма доказана. ■
3.1.2. Будем говорить, что функция отрезка Ф в промежутке J = (a, ft)
непрерывна в точке хо £ /, если
0= lim Ф(Д).
Д-ч-ЖО
Отметим, что длина, как функция отрезка, непрерывна в каждой
точке промежутка (—оо,оо) = R.
■ Лемма 3.2 (признак непрерывности функции отрезка в точке).
Пусть Ф есть функция отрезка в промежутке I = (а, 6). Предположим,
что существуют функции отрезка Фив, заданные в I, непрерывные
в точке хо 6 I и такие, что для всякого отрезка А С I, содержащего
точку хо, Ф(Д) лежит между в(Д) и Ф(Д). Тогда функция отрезка Ф
также непрерывна в точке хо.
Доказательство* Действительно, пусть (An)n€N есть
последовательность отрезков, содержащихся в промежутке /, стягивающаяся
к точке хо. Тогда, согласно лемме 3.1, при п —» оо будет в(Дп) —» 0
и Ф(ДП) —» 0. При всяком п величина Ф(ДП) лежит между в(Дп) и
Ф(ДП) и, стало быть, Ф(ДП) —> 0 при п —> оо.
Так как последовательность отрезков (An)n€N5 стягивающаяся к
точке хо-, была выбрана произвольно, то из доказанного, согласно лемме
3.1, следует, что
0= lim Ф(Д),

§ 3. Достаточные условия интегрируемости
53
и, значит, функция отрезка Ф непрерывна в точке #о, что и требовалось
доказать.
Лемма доказана. ■
3.1.3. Пусть Ф есть функция отрезка, заданная в промежутке J = (а, ft),
хо — внутренняя точка промежутка J = (а,Ь), #о £ (a, ft). Предел
lim Д, ,
A-.xo |А|
если таковой существует и конечен, называется плотностью функции
отрезка Ф в точке хо и обозначается далее символом 1?Ф(а;о).
Для произвольной функции отрезка ее плотность определена
только для внутренних точек промежутка, в котором
рассматривается данная функция отрезка, причем бесконечное значение плотности
не допускается.
Отрезки Ai = [ai,/3i] и Д2 = [а^/Зг] будем называть
примыкающими, если начало одного из них является концом другого,
то есть если либо /3i = #2, либо р2 = оц.
Если отрезки Ai и Д2 — примыкающие, то их объединение
представляет собой отрезок.
Предположим, что данные примыкающие отрезки являются
ограниченными, то есть числа <*i,/3i,a2,/32 все конечны. Тогда, очевидно,
имеет место равенство:
|AiUA2|-|Ai| + |A2|. (3.1)
Функция отрезка Ф, определенная в промежутке J = (a, ft),
называется аддитивной, если для любых двух примыкающих отрезков Ai и
А 2 выполняется равенство:
Ф(Ах U А2) = Ф(Ах) + Ф(А2).
Приведем примеры.
Пример 1* Пусть дана функция / : (a,b) —» R, интегрируемая
по промежутку (a,ft). Для произвольного отрезка А = [#1,2:2] С (а,Ь)
полагаем:
Int/(A)= / f(x)dx. (3.2)

54
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Тем самым мы получаем некоторую функцию отрезка, заданную на
промежутке (a, ft). Эта функция, в силу установленных выше (см. п. 2.3)
свойств интеграла, является аддитивной.
Пример 2. Пусть / = R = (—оо,оо). Равенство (3.1) показывает,
что функция I : А н-> |Д| — длина отрезка, является аддитивной.
Пример 3. Пусть F : J —> R есть вещественная функция,
определенная на промежутке J = (а, ft). Для произвольного отрезка А = [#i, #2]
положим Ф(А) = F{x2) — F(xi). Определенная так функция отрезка Ф,
как очевидно, является аддитивной.
3.1.4. Способом, указанным в последнем примере п. 3.1.3, может быть
определена любая аддитивная функция отрезка в произвольном
промежутке множества Ё, как показывает следующая лемма.
■ Лемма 3.3. Пусть I = (а, Ъ) С Ё и Ф : Г(7) —> R есть аддитивная
функция отрезка в промежутке I. Существует функция F : I —> R такая,
что для любого отрезка А = [д^жг] £ Г(/) выполняется равенство:
Ф(Д) = ^(ж2)-^(ж1). (3.3)
Доказательство. Пусть Ф : Г(/) —> R есть аддитивная функция
отрезка в промежутке J.
Определим некоторую функцию F : I —> R следующим образом.
Возьмем произвольно точку #о £ /. Для жб/ полагаем:
{— Ф([я,жо]), если х < хо;
О, если х — хо;
Ф([#о,#]), если х > хо.
Покажем, что определенная так функция F : I —» R и есть
искомая.
Зададим произвольно отрезок А = [ж^жг]. Требуется доказать,
что Ф(Д) = F(x2) ~ F(xi).
Если одна из точек xi, X2 совпадает с #о, то выполнение равенства
(3.3) следует из определения функции F.
Будем считать, что х\ ф #о, Х2 ф #о- Возможны три случая:
А) х\ <Х2 < хо; В) xi < х0 < Х2; С) хо < х\ < Х2.
В случае А), в силу свойства аддитивности Ф, имеем:
-F(Xl) = Ф([я?1,жо]) = Ф([хих2]) + Ф([я?2,я?о]) = Ф(А) - ^Ы-

§ 3. Достаточные условия интегрируемости
55
Отсюда Ф(А) = F(x2)—F(xi) и, значит, для этого случая равенство
(3.3) верно.
В случае В) имеем:
Ф(А) = Ф([ж1,я?0]) + Ф([хо,х2]) = -F(xi) + F(x2)
и равенство (3.3), таким образом, для данного отрезка А выполняется.
Наконец, в случае С) имеем:
F{x2) = Ф([хо,х2]) = Ф([жо,я?1]) + Ф([хих2}) = F(x!) + Ф(А),
откуда следует (3.3).
Лемма доказана. ■
Замечание 1. Всякая функция F, удовлетворяющая
условиям леммы, называется порождающей функцией для аддитивной
функции отрезка Ф.
Замечание 2. Пусть F : I —► Ш есть порождающая функция
отрезка для аддитивной функции отрезка Ф. Тогда любая функция i*i,
определенная равенством F±(x) = F(x) + С, где С — постоянная, для
всех х Е I также является порождающей функцией для Ф.
И обратно, если F\ есть произвольная другая порождающая
функция для аддитивной функции отрезка Ф, то разность F\ — F постоянна
на промежутке /.
Действительно, если Fi(x) = F(x) + C, где С — постоянная, то для
всякого отрезка А = [а?!,^] имеем:
F!(x2) - Fi(ari) = РЫ - F(X!) = Ф(А),
так что F\ является порождающей функцией для аддитивной
функции отрезка Ф.
Предположим, что F и F\ — две различные порождающие функции
для аддитивной функции отрезка Ф.
Докажем, что разность F\ — F постоянна на промежутке /. Для
любого отрезка А = [ari,^] имеем:
Ф(А) = F(x2) - F(Xl) = Fi(s2) - Fi(a?i),
откуда
Fi(s2) - F(x2) = Fi(m) - F{Xl). (3.4)
Фиксируем произвольно точку xq E /. Пусть x E /, причем х ф xq.

56
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Полагал в равенстве (3.4) х\ — х и Х2 = хо в случае х < хо, и
х\ — хо и Х2 = х в случае а; > жо, получим:
Fi(s) - F(s) = Fi(a?0) - F(a?o).
Отсюда
Fi(s)=F(aO + C,
где
С = Fi(xo) — F(xo) = const.
Это равенство верно также и для х = хо-
Таким образом, разность Fi — F постоянна в промежутке J, что и
требовалось доказать.
3.1.5. Докажем некоторое утверждение относительно связи свойств
аддитивной функции отрезка и ее порождающей функции.
■ Лемма 3.4* Пусть Ф : Г(/) —» Ш есть аддитивная функция
отрезка в промежутке I = (a, ft). Тогда для того, чтобы функция отрезка
Ф была непрерывна в точке хо G /, необходимо и достаточно, чтобы ее
порождающая функция F была непрерывна в этой точке.
Для того чтобы Ф имела плотность в точке хо G (а, ft), необходимо и
достаточно, чтобы ее порождающая функция F была дифференцируема
в точке хо. При этом если производная F'{xo) определена и конечна, то
F'(xo)=D$(xo).
Доказательство* Пусть Ф есть аддитивная функция отрезка,
заданная в промежутке / = (a, ft), F : J —» R — ее порождающая
функция. Предположим, что функция отрезка Ф непрерывна в точке хо G J.
Зададим произвольно последовательность (xn)neN точек
промежутка /, сходящуюся к точке хо и такую, что хп ф хо при каждом п. Пусть
Ап есть отрезок с концами хо и хп.
Последовательность отрезков (An)neN, очевидно, стягивается к
точке хо при п —► оо. Значит, Ф(ДП) —► 0 при п —► оо. Имеем:
|Ф(Дп)| = |^(ягя)--Р(я?о)|
при каждом п.
Мы видим, что \F(xn) — F(xo)\ —> 0 при п —> оо, откуда вытекает,
что F(xn) —> F(xo) при п —> оо.

§ 3. Достаточные условия интегрируемости
57
Так как последовательность (хп)пе^ такая, что хо = lim xn-> была
п—+оо
выбрана произвольно, то тем самым доказано, что функция F
непрерывна в точке #о.
Обратно, предположим, что функция F непрерывна в точке xq.
Зададим произвольно последовательность отрезков (An)n€N такую,
что хо Е Ап = [хп,Уп] при каждом п и хп —» хо и уп —» хо при п —» оо.
Так как функция F в точке хо непрерывна, то F(xn) —> F(xo) и
Р(Уп) —> -F(#o) при п —> оо. Отсюда вытекает, что Ф(Дта) —* 0 при
п —> оо.
Так как последовательность отрезков (An)n€N, стягивающаяся к
точке #о, была выбрана произвольно, то, согласно определению
непрерывности функции отрезка (см. п. 3.1.2), это и означает, что
0= lim Ф(А),
Д-+Х0
то есть аддитивная функция отрезка Ф непрерывна в точке xq.
Пусть функция отрезка Ф имеет в точке xq £ (а,Ь) плотность
£>Ф(жо) =L.
Покажем, что L = F'(xo).
Зададим произвольно последовательность точек (xn)n€N
промежутка (a, ft) такую, что хо = lim xn и хп ф хо при каждом п.
п—+оо
Пусть Ап есть отрезок с концами хо и хп.
Последовательность отрезков (An)neN, очевидно, стягивается к
точке хо при п —> оо. Отсюда следует, что
Ф(Ап) ; ,
"И"
Если хп < хо, то Ф(АП) = F(x0) - F(xn), |An| = хо - хп.
Если же хп > хо, то Ф(АП) = F(xn) - F{xq), |A
п\ — Хп Хо»
Отсюда видно, что во всех случаях
Ф(АП) = F(xn) - F(xp)
|А| Хп-хо
и, значит, для данной последовательности (xn)neN
F(xn) - F(x0)
—>• Lj
Xn Xq
при n —» оо.

58
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Так как последовательность (#n)neN, удовлетворяющая указанным
выше условиям, была выбрана произвольно, то тем самым доказано, что
L = lim
X—*XQ
F(x) - F(x0)
X — Xq
Это означает, что функция F дифференцируема в точке #о, причем
F\xo) = L = D${xq).
Докажем, что и обратно, если функция F дифференцируема в
точке хо Е (а,Ь), то функция отрезка Ф имеет в этой точке плотность.
Положим: F'(xo) = L.
Зададим произвольно е > О и найдем по нему 6 > О такое, что если
О < \х — хо\ < <5, то
\F(x)-F(x0)
X — Хо
-L
< е.
(3.5)
Пусть теперь А = [#i,a;2] С / есть произвольный отрезок такой,
что хо G А и |А| < 8. Докажем, что тогда
Ф(Д)
IAI
<£.
(3.6)
Если точка хо совпадает с одним из концов отрезка Д, то
Ф(Д) _ F(x) - F(x0)
|А|
X — Хо
где х есть другой конец этого отрезка, и в данном случае неравенство
(3.6) выполняется.
Предположим, что х± < Хо < Х2- Пусть
R = F{x2)-F{x1)^ p = F(s0)-F(si); Q = F(x2)-F(xq)^
Х2 — Х\
Хо - Хг
Х2 ~ Хо
Хо — Х\ Х2 — Хо
а= ; /3= .
Х2 — Х\ Х2 — Х\
Имеем: а > 0, /3 > 0, а + /3 = 1,
F(x2) - F(xi) __ JF(a?o) - F\xi) хо - x\ F(x2) - F\xo) x2 - x0
X2 — Xi
Xq — X\ X2 — X\
%2 — Хо Х2 — X\
то есть R — aP + /3Q.

§ 3. Достаточные условия интегрируемости 59
Так как \Р — L\ < e и \Q — L\ < s, то отсюда вытекает, что
\R-L\ = \a(P -L)+f3(Q-L)\< \a(P -L)\ + \(3(Q - L)\ < as + Ре = e,
и неравенство (3.6) доказано.
Число е > О было выбрано произвольно. Следовательно, мы
получили, что для всякого е > О найдется 6 > О такое, что для любого
отрезка А С /, содержащего точку жо, для которого |Д| < <5,
выполняется неравенство (3.6). Согласно определению, это означает, что
г г ф(Л)
L— lim ,\ , ,
д-яо |А|
то есть L есть плотность функции отрезка Ф в точке Хо-
Лемма доказана. ■
Т Следствие. Пусть функция / : (а, Ь) —> R интегрируема по
промежутку I = (а,ft). Тогда функция отрезка Int/, определенная
равенством (3.2), непрерывна в каждой точке х G /.
Доказательство. Действительно, пусть F есть первообразная
функции / в промежутке /. Согласно определению первообразной (см.
§ 1), функция F непрерывна на промежутке 7\
Так как F является порождающей функцией для функции отрезка
Int/, то, значит, согласно лемме 3.4, функция Int/ непрерывна в каждой
точке жЕ/, что и требовалось доказать.
Следствие доказано. ▼
Из лемм 3.3 и 3.4 вытекает следующее утверждение.
■ Теорема 3.1. Пусть Ф есть аддитивная функция отрезка,
заданная в промежутке I — (a, ft) и непрерывная в каждой точке
промежутка I. Предположим, что функция Ф имеет в интервале (а, ft) плотность
всюду, кроме точек, принадлежащих не более чем счетному множеству.
Тогда найдется функция f : (а, ft) —> R, определенная на промежутке I
в основном, интегрируемая по промежутку I и такая, что для всякого
отрезка А = [ж^жг] С / имеет место равенство:
Ф(Д) = 1п1;/(Д)= / f(x)dx.

60 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Доказательство. Предположим, что аддитивная функция
отрезка Ф удовлетворяет всем условиям теоремы. Пусть F есть ее
порождающая функция.
В силу леммы 3.4, функция F непрерывна в каждой точке х £ /.
Пусть функция / : (а,Ь) —> R такова, что f(x) = 2}Ф(ж) = F'{x) в
каждой точке, в которой Ф имеет плотность. Тогда f(x) = F'{x) в
интервале (а, ft) в основном и, значит, F есть первообразная функции / в
промежутке I. Отсюда следует, что функция / интегрируема по
промежутку I и для любого отрезка А = [2:1,2:2] С I выполняется равенство:
Ф(А) = F(x2) - F(xi) = I f(x) dx,
что и требовалось доказать.
Теорема доказана. ■
3.2. Понятие нижнего интеграла
Здесь вводится некоторое вспомогательное понятие — нижний
интеграл функции по отрезку. Устанавливаются нужные для дальнейшего
свойства нижнего интеграла. В частности, доказывается, что нижний
интеграл есть аддитивная функция отрезка.
Докажем некоторые предложения подготовительного характера.
Зададим произвольно промежуток I = (a, ft) С R и функцию / : (а, ft) —» R.
Пусть дан отрезок Д = [2:1,2:2] С /. Обозначим через Л/ (А)
совокупность всех функций (р : (2:1,2:2) —» М, интегрируемых по отрезку А и
таких, что <р(х) < f(x) для всех х G (2:1,2:2).
Пусть Lf(A) есть множество всех чисел j/GK, каждое из которых
равно интегралу по отрезку А функции, принадлежащей Л/(А).
Иначе говоря, у принадлежит Lf(A) в том и только в том случае,
если существует функция (р Е Л/ (А) такая, что
у - / (р(х) dx.
хх
Точная верхняя граница множества Lf(A) называется нижним
интегралом функции / по отрезку А = [2:1,2:2] и обозначается £ДД).
Мы получаем, таким образом, в промежутке J некоторую функцию
отрезка.

§ 3. Достаточные условия интегрируемости
61
Может оказаться, что не существует функция ip, которая была
бы интегрируема по отрезку Д = [0:1,0:2] и удовлетворяла условию:
¥>(#) < f(x) Для всех х £ (#i,#2). В этом случае множества Л/(Д) и
Lf(A) являются пустыми и, следовательно, If (Д) = —ос.
■ Лемма 3.5. Пусть дан отрезок Д = [0:1,0:2]. Предположим, что
функции А : (0:1,0:2) —► К и /х : (0:1,0:2) —► Ш интегрируемы по отрезку
[0:1,0:2] и таковы, что для всех х 6 (0:1,0:2) выполняются неравенства:
А(я) < f(x) < ц(х).
Тогда
/ \(х) dx < lf(A) < / ф) dx. (3.7)
Х\ Xl
Доказательство. Первое из неравенств (3.7) следует из
определения нижнего интеграла и из того, что, в условиях леммы, функция
Л принадлежит классу Л/(Д).
Для всякой функции (р 6 Л/(Д) при всех х 6 (0:1,0:2) имеем: <р(х) <
< f(x) < fJ>(x)- Отсюда вытекает, что для любой функции <р Е Л/(Д)
имеет место неравенство:
Х2 Х2
/ ip(x) dx < fi(x) dx.
Xl Xi
Мы получаем, что интеграл от функции /х по промежутку Д
является верхней границей множества Ь/(Д) и, следовательно, точная
верхняя граница Ь/(Д) не превосходит этот интеграл. Это означает, что
справедливо также и второе из неравенств (3.7).
Лемма доказана. ■
■ Лемма 3.6. Пусть Ai и Д2 — два произвольных прилегающих
отрезка, содержащихся в (а,Ь). Пусть Д = Ai U Д2 = [р,</]. Тогда если
для функции / : (а,Ь) —► R величина Х/(Д) — конечна, то конечны
также и величины J_JAi) и /ДДг), причем имеет место равенство:
lf(A)=lf(A1)+Lf(A2).

62
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Доказательство. Будем считать, что отрезок Дi лежит левее
отрезка Дг. Этого, очевидно, всегда можно добиться изменением
обозначений.
Пусть Дх = \р,г] и Д2 = [r,q].
Возьмем произвольно функцию (р 6 Л/(Д). Ее ограничение на
отрезке Дг, г = 1,2, есть функция класса Л/(Дг). Отсюда следует, что
каждое из множеств Л/(Дг) — непусто, и, значит, ХДДг) > —оо при
каждом г = 1,2. Имеем:
q r q
/ (p(x)dx= / y>(a:)da:+ / у>(ж) dx < lf(Ai) + //(Дг).
В силу произвольности функции (р 6 Л/(Д), отсюда следует, что
я
1/(Д)= sup / p(*)^<I/(Ai)+I/(A2). (3.8)
<p€Af(A)J
Р
Зададим произвольно и > —оо ии> —оо такие, что и < I_f(Ai) и
v < /^(Дг). Пусть функции в 6 Л/(Д1) и ф 6 Л/(Дг) таковы, что
9
.</»<.)*, .</*(.)*.
Определим функцию <р, полагая <р(а;) = в(х) при р < а; < г и
у?(а;) = ip(x) при г < а; < q. В точке г, являющейся общим концом
отрезков Дх, Дг, полагаем <р(г) = /(г).
Функция (р принадлежит классу Л/(Д) и, значит,
q r q
//(Д) > / (p(x)dx= / 9(x)dx+ / ф(х) dx > и + v.
р р г
Переходя в этом неравенстве к пределу при и —► I_^(Ai), получим:
If(b)>Lf(bi)+v. (3.9)
Отсюда, в частности, следует, что величина /ДДх) — конечна.
Аналогично устанавливается конечность ХДДг).

§ 3. Достаточные условия интегрируемости
63
Переходя в неравенстве (3.9) к пределу при v —► /^(Дг), в
результате получим соотношение:
//(A^/^AO+I,^). (3.10)
Из неравенств (3.8) и (3.10), очевидно, следует требуемое
равенство.
Лемма доказана. ■
3.3. Основная теорема об интегрируемости функций
по промежутку
Теперь мы можем доказать основной результат этого параграфа
— теорему, устанавливающую эффективное достаточное условие
интегрируемости функции на отрезке.
■ Теорема 3.2 (признак сравнения интегрируемости функции).
Пусть f есть вещественная функция, определенная и непрерывная в
основном в промежутке (а,Ь). Тогда если существуют функции и :
(а, Ь) —* Е и v : (а,Ь) —► R, интегрируемые по промежутку I = (a,b)
и такие, что u(x) < f(x) < v(x) для всех х 6 (а, Ь), то функция f
интегрируема по промежутку I.
Доказательство. Пусть функция / удовлетворяет условиям
теоремы. Для произвольного отрезка Д пусть Ф(А) есть нижний интеграл
функции / по промежутку Д.
Функции и и v интегрируемы по любому отрезку Д, содержащемуся
в /. На основании леммы 3.5, имеем:
Intu(A) <I/(A) <Int„(A).
Функции отрезка Intw и Intv непрерывны в промежутке /. Отсюда, в
силу леммы 3.2, вытекает, что функция Ф = X/ непрерывна в каждой
точке промежутка х 6 I.
Согласно лемме 3.6, функция отрезка Ф аддитивна.
Докажем, что в каждой точке хо 6 (а,Ь), — в которой
функция / непрерывна, — построенная функция отрезка Ф имеет плотность,
причем
£>Ф(жо) = /(я0).
Пусть точка хо 6 (а, Ь) такова, что функция / в точке хо —
непрерывна. Зададим произвольно е > 0. В силу непрерывности / в точке хо,
найдется 6 > 0 такое, что (хо — й, хо + 6) С (а,Ь) и для всякого х 6 (#о —£,
хо + S) выполняется неравенство: \f(x) — f(xo)\ < е/2.

64
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Для всех х Е (хо — £, хо + £), очевидно, имеем:
/Ы - е/2 < f(x) < /(хо) + е/2.
Пусть Д — произвольный отрезок такой, что |Д| < й и а; о € Д.
Функции Л : х н-» /(хо) — е/2 и/1:жн /(#о) + е/2 интегрируемы
на промежутке Д. При этом А (ж) < f(x) < /л(х) для всех ж Е Д и, стало
быть, согласно лемме 3.5,
Х2 Х2
(x2-xi)[f(x0)-e/2]= / Л(ж) <te < Ф(Д) < / n{x)dx =
Х\ Х\
= (x2-x1)[f(xo) + e/2].
Из полученных неравенств, очевидно, следует, что
[/(хо) - е/2]|Д| < Ф(Д) < [f(xo) + е/2]|Д|,
и, значит,
*(д) /(.»>
|Д|
<-\<-
Так как £ > О — произвольно и для достижения последнего
неравенства потребовалось лишь, чтобы отрезок Д содержал точку хо и
длина его была меньше й, то тем самым установлено, что
£>Ф(яо) = /Ы-
Таким образом, в промежутке / = (а, Ь) существует непрерывная
аддитивная функция отрезка, имеющая в (а,Ь) плотность, равную f(x)
всюду, кроме точек не более чем счетного множества. Отсюда, согласно
теореме 3.1, следует интегрируемость функции / по промежутку /.
Теорема доказана. ■
▼ Следствие. Если отрезок [а, Ь] ограничен, а функция / : [а, Ь] —► R
непрерывна, то / интегрируема по отрезку [а,Ь].
Доказательство. Действительно, если функция /
удовлетворяет всем условиям следствия, то в силу теоремы Вейерштрасса о
непрерывной функции (глава 2, теорема 5.2), функция / — ограничена.
Пусть I > — оо есть нижняя, L < оо есть верхняя границы функции
/ на отрезке [а, 6]. Положим: и{х) = /, v(x) = L. Для функций /, и и

§ 3. Достаточные условия интегрируемости
65
v и отрезка / = [а, Ь] выполнены все условия теоремы 3.2 и, значит, /
интегрируема по [а,Ь].
Следствие доказано. ▼
Замечание. Попутно установлено, что если функция /
удовлетворяет условиям теоремы и F есть ее первообразная, то в каждой
точке х Е (а,Ь), в которой функция / непрерывна, функция F
дифференцируема, причем F'(x) = f(x).
■ Теорема 3.3. Пусть функция f : (а,Ь) —► С определена на
открытом промежутке (а, Ь) С R. Тогда если функция f интегрируема на
всяком сегменте [а,/3] С (а,Ь), то она интегрируема также и по всему
промежутку (а, Ь).
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Требуется доказать, что существует непрерывная функция F : (а, Ь) —► R
такая, что ^'(я) = /(ж) в интервале (а,Ь) в основном.
Зададим произвольно точку хо £ (а,Ь) и пусть (an)ne^ и (/3n)n€N
есть последовательности точек промежутка (a,b), определенные
следующим образом. Если a = —оо, то an = хо — п, а если а > —оо, то
an = а-\ -, где I = хо — а, и аналогично, если Ь = оо, то /Зп = %о + п,
п + I
а если Ь < оо, то /Зп = Ь 7> гДе k = b — хо- При каждом п имеем:
п + 1
а < ап < #о < fin < b. Последовательность (an)ne^ — убывающая,
последовательность (/3n)neN — возрастающая и an —► a, bn —► Ь при
п —» оо.
Теперь определим некоторую функцию F : (а,Ь) —► С. Полагаем
F(xo) = 0. Пусть точка х Е (а,Ь) отлична от xq. Тогда, согласно
условию теоремы, функция / интегрируема на замкнутом промежутке
с концами х и хо. В этом случае мы полагаем:
х
F(x) = J f(t)dt.
Xq
Функция F является первообразной функции / на каждом из
промежутков [с*п>/3п]. В частности, ограничение функции F на
промежутке [an,/?п] непрерывно и существует не более чем счетное множество
Еп С {oLmPn) такое, что в каждой точке х Е (an,/3n) \ Еп функция F
дифференцируема, причем Ff(x) = f(x). Положим
ОО
E=(JEn.
n=l

66
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
В силу результатов § 7 главы 1, множество Е, как объединение
последовательности множеств, каждое из которых не более чем счетно, является
не более чем счетным множеством.
Пусть х Е (а, Ь). Тогда имеем: а < х < Ьт найдется номер п такой,
что ап < х < /Зп.
Пусть 6 > 0 таково, что окрестность U = (х — 5, х + 6) точки х
содержится в промежутке [ап,/Зп]. Ограничение функции F(x) на
отрезке [ап,/Зп] непрерывно. Мы получаем, следовательно, что в
некоторой окрестности точки х функция F совпадает с некоторой непрерывной
функцией. Отсюда вытекает непрерывность функции F в точке х. Так
как точка х Е (а,Ь) была взята произвольно, то тем самым доказано,
что функция F на промежутке (а, Ь) непрерывна.
Пусть х Е (а, 6) \ Е. Найдем п такое, что ап < х < /Зп. Так как
Еп С Б, то х £ Еп и, значит, функция F дифференцируема в точке х,
причем имеет место равенство: F'{x) == f(x).
Мы получаем, что функция F удовлетворяет всем условиям
определения первообразной функции / в интервале (а,Ь). В частности, это
означает, согласно определению, что функция / интегрируема по
промежутку (а,Ь).
Теорема доказана. ■
■ Теорема 3.4. У всякой монотонной функции, определенной на
произвольном интервале (а, Ь) множества R, множество точек разрыва
не более чем счетно.
Доказательство. Пусть / : (а,Ь) —► R есть монотонная
функция. Простоты ради, будем считать, что функция / — возрастающая.
Случай убывающей функции сводится к этому заменой / на —/.
Пусть R есть множество точек разрыва функции /. Для
произвольной точки х 6 (а,Ь) пусть 1(х) есть предел слева функции / в этой
точке, г(х)— предел / в точке х справа. Тогда, как было показано
ранее, для всякой точки х G (а,Ь) выполняется неравенство: 1(х) < г(х)
и точка х Е (а, Ь) является точкой разрыва функции / в том и только
в том случае, если 1(х) < г (ж). Пусть х £ R. Для этого х определен
интервал (1(х),г(х)). Как было показано ранее, всякий интервал (а,/3)
множества R содержит, по крайней мере, одно рациональное число.
Построим отображение множества R в множество всех
рациональных чисел Q, сопоставляя каждому х Е R рациональное число, лежащее
в интервале (1(х),г(х)). Пусть <р есть это отображение. Докажем, что
отображение ip взаимно однозначно. Возьмем произвольно элементы х\
и Х2 множества R такие, что х\ Ф хч. Будем считать, что х\ < Х2-

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
67
Возьмем произвольно х такое, что х\ < х < Х2. Тогда, согласно
теореме 3.1 главы 2, r(xi) = inf f(t) и, значит, r(x\) < f(x). Аналогично
te(xi,b)
заключаем, что так как 1{х2) = sup /(£), то f(x) < /(#2). Мы ПОЛуча-
ем, следовательно, что (р{х\) < r(x\) < f(x) < /(#2) < <р(#2) и? значит,
V>(*i) Ф ¥>(ж2).
Точки х\ и #2 множества R были взяты произвольно и, тем
самым, взаимная однозначность отображения ip установлена. Множество
Q счетно. Таким образом, R допускает взаимно однозначное
отображение в некоторое счетное множество. Отсюда следует, что множество R
не более чем счетно.
Теорема доказана. ■
▼ Следствие. Всякая функция f : I —> Ш, которая определена на
интервале I = (а, Ь) множества R и является монотонной, интегрируема
на этом интервале.
Доказательство. Пусть / : (а,Ь) —► R есть монотонная
функция. Зададим произвольно сегмент [с*,/3], содержащийся в интервале
(а,Ь). В силу монотонности функции /, любое значение функции / на
этом сегменте лежит между /(а) и /(/3) и, следовательно, функция /
на промежутке [а,/3] ограничена. В силу теоремы 3.4, функция / на
промежутке [а,/3] непрерывна в основном. Отсюда, в силу теоремы 3.2,
вытекает интегрируемость функции / по сегменту [а,/3].
Таким образом, данная функция / : (a,b) —* R интегрируема на
всяком сегменте [а,/3] С (а,Ь). В силу теоремы 3.3, отсюда вытекает
интегрируемость функции / по интервалу (а,Ь).
Следствие доказано. ▼
§4. Техника неопределенного интегрирования
Формально здесь речь идет о технике отыскания первообразных
некоторых элементарных функций. Производная произвольной
элементарной функции снова является элементарной функцией. Но для
первообразных это, вообще говоря, не так. Первообразная элементарной
функции может не быть элементарной функцией, и эта ситуация
является в некотором смысле типичной. Но в тех случаях, когда первообразная
элементарной функции f(x) также элементарная функция, важно уметь
найти эту первообразную. Если это имеет место, то говорят, что
неопределенный интеграл J f(x) dx берется в конечном виде. Напомним,
что согласно определению, данному в п. 1.3 этой главы, неопределенный
интеграл функции есть совокупность всех ее первообразных.

68
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Здесь рассматриваются только функции, определенные на
промежутках множества R. Две первообразные функции f на некотором
промежутке /CR отличаются на постоянное слагаемое.
Основное содержание параграфа, как уже сказано, составляет
описание техники неопределенного интегрирования, то есть основных
приемов для нахождения первообразной элементарных функций в тех
случаях, когда это возможно. В настоящее время имеются компьютерные
программы, реализующие все приемы неопределенного интегрирования,
которые здесь описываются. Тем не менее знание техники
неопределенного интегрирования является необходимым элементом
математического образования.
4.1. Общие сведения о неопределенных интегралах
4.1.1. Напомним, что функция называется элементарной, если она
может быть получена за конечное число шагов выполнением
арифметических действий и операции образования суперпозиции из некоторых
основных функций, а именно, — из степенной, показательной и
логарифмической функций, функций, тождественно постоянных в R, а также из
прямых и обратных тригонометрических функций.
Всякая элементарная функция в любом интервале, содержащемся в
области ее определения, непрерывна и, значит, в силу результатов § 3,
интегрируема.
Производная элементарной функции есть функция элементарная,
что с очевидностью следует из правил дифференцирования и формул
дифференцирования базисных элементарных функций (доказанных
ранее).
В противоположность этому первообразная элементарной функции
может и не быть элементарной. Это имеет место даже для достаточно
простых функций. Например, первообразные функций
1 sin ж ех _ж2
VTT&; ~; ^; е
не являются элементарными функциями. Доказательство этого факта,
однако, достаточно сложно и не может быть здесь приведено.
В том случае, когда первообразная какой-либо элементарной
функции не является элементарной функцией, неопределенный интеграл
/ f(x)dx
называют неберущимся.

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
69
Обозначим через £ совокупность всех элементарных функций.
Пусть Т>£ — множество всех функций, являющихся производными
функций из £.
Как следует из сказанного, Т>£ С £, причем Т>£ ф £.
Множество Т>£ есть в точности совокупность тех элементарных
функций, первообразные которых также элементарные функции.
Класс функций, у которых неопределенный интеграл является
элементарной функцией, весьма узок. В связи с этим приобретают
значение различные методы приближенного вычисления неопределенных
интегралов. Задача о приближенном вычислении неопределенных
интегралов представляет собой частныц случай задачи о численном
интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений.
В этом параграфе будут описаны основные случаи, когда
первообразная данной элементарной функции также является элементарной
функцией, и указаны приемы, с помощью которых первообразная может
быть найдена. Совокупность этих приемов составляет то, что обычно
называют техникой неопределенного интегрирования.
Предположим, что функция / интегрируема по промежутку / =
= (а,Ь). Всякая первообразная функции / в промежутке (а,Ь), как было
показано в § 2, есть функция вида F(x) + С, где F — некоторая
фиксированная первообразная функции /, а С — постоянная.
Совокупность всех первообразных функции / на промежутке (а, Ь),
согласно данному выше определению, есть неопределенный интеграл
функции f на промежутке I и обозначается символом:
(xel) f(x)dx.
Выражение (х £ I) в этой записи традиционно опускается. Также в
подобных случаях будем поступать и мы.
Пусть даны произвольный промежуток / С К и функция / : J —► С.
Тогда символом [f(x)]xei или просто [/] обозначается совокупность всех
функций g : / —> С таких, что разность / — g есть функция, постоянная
на промежутке /.
Пусть даны произвольные функции /:/—►Сир:/-»С. Тогда
определены классы функций [/] и [д]. Мы полагаем
[f] + [g] = [f + 9]
и для произвольного числа Л Е С
А[/] = [А/].

70
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Таким образом, операции сложения и умножения на произвольное
число определяются для классов функций, каждый из которых состоит
из функций, отличающихся в промежутке I на постоянное слагаемое.
Неопределенный интеграл функции / в промежутке /, согласно
определению, может быть представлен в виде:
/
f(x)dx = [F(x)]xeI = [F(x)],
где F — какая-либо первообразная функции / в промежутке I.
Из свойств первообразных, установленных выше (см. § 1), вытекают
следующие свойства неопределенных интегралов.
I. Для любых функций / и #, интегрируемых в промежутке / =
= (а,Ь), и любых чисел Л, /х имеет место равенство:
/ {Xf(x) + (ig(x)}dx = Л / f(x)dx + fi / g(x)dx.
II. Пусть / и д суть интегрируемые в промежутке / = (а, Ь)
функции, F и G — их первообразные. Если одна из функций fGngF
интегрируема в промежутке 7, то также и другая интегрируема в /. При
этом имеет место равенство:
Для последнего равенства удобна следующая форма записи:
/ F{x)dG{x) = [F(x)G(x)] - I G{x)dF{x).
III. Предположим, что функции / и у?, определенные в интервалах
I = (а, Ь) и J = (р, д), соответственно, удовлетворяют условиям теоремы
2.7. Тогда
J f[<p{t)]tp'(t)dt = J f(x)dx\
\x—ip{ty
где правая часть равенства понимается следующим образом: если
/
f(x)dx = [F(x)},

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
71
то
J Hz)d*LHt) = lF(<P(t))}teJ.
Интеграл
J fMt)W(t)dt
записывается также в следующем виде:
J fMt)}d<p(t).
Предложения I, II и III составляют перечень основных правил,
используемых для отыскания представления неопределенного интеграла
элементарной функции в тех случаях, когда это возможно.
4.1.2. Приведем список простейших интегралов, которые могут быть
выражены через элементарные функции.
1) Пусть а ф — 1. Тогда во всяком промежутке, в котором функция
ха определена, выполняется равенство:
/ ха dx =
Во всяком промежутке, не содержащем точки О,
(4.2)
(4.3)
3) Формулы для производных функций cos х и sin х, установленные
ранее, позволяют заключить, что имеют место равенства:
/ sinxdx — [— cos ж]; (4.4)
/ cos x dx = [sin x]. (4.5)
x
a+l
a + 1
(4.1)
/
^ = pnM].
X
2) Для всякого к G С
I
екх dx = \%

72
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
4) Во всяком промежутке (а, /3) таком, что cos ж ф 0 для всех
хе (а,Р),
/ -^- = [tg x]. (4.6)
J COS^X
5) Во всяком интервале (а,/3) таком, что sin x ф О для всех
х Е (а,/3),
6) Для всякого А > О
7) Для любого А > 0 в промежутке [—А, А]
/dx Г . ж 1 Г ж 1
: = arcsm — = — arccos T
VA2 - х2 L A J L A J
(4.9)
8) Пусть п ф — 1 — целое число, р = q + ir — комплексное число.
Тогда
|(х-рГ^=[;г1т(Ж-рГ+1] (4.10)
на всяком промежутке множества R, не содержащем точки р.
Если г ф 0, то справедливо равенство:
S x^-p = [ ^4(*-*)2 + r2]+;arctg *ZJ[ ] . (4.11)
9) Рассмотрим интеграл:
г"=/
<й
(*2 + i)n'
где n G N. Имеем: h = [arctgx].
Установим формулу, дающую выражение In+i через 1п при каждом
п g N. Имеем:
[ dt I - t2<lt j. /
"У (*2 + 1)« - J (<2 + 1)п+1+</
Л
(*2 + 1)п+1 у (*2 + 1)п+1

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
73
■/
t2dt T ,„ 1ПЧ
+ In+i. (4.12)
(t2 + 1)п+г
Интеграл справа преобразуем по формуле интегрирования по
частям. Имеем:
t2dt _ 1 td(f +
"+1 2n \{t2 + l)n)'
(t2 + l)"+x 2 (t2 + l)1
Отсюда
J (t2 + 1)п+г ~ 2n(t2 + l)n 2n J
(t2 + l)n *
Подставляя это выражение в правую часть равенства (4.12),
получим:
'-' = MFTW + ^'~ <4ЛЗ)
Значение Д нам известно. Равенство (4.13) позволяет по индукции
определить интеграл 1п для любого натурального п.
Явное выражение для интеграла 1п легко может быть написано для
любого п Е N. Мы предоставляем эту работу читателю.
Функция ctg не значится в приведенном в главе 3 списке базисных
cos х
элементарных функций. Она задается формулой ctg х = — , и область
ЫИ X
ее определения есть множество всех жЕ1, для которых sin x ф 0.
Имеет место равенство:
ctgz = tg ( | -х) .
Равенство (4.7) может быть получено из (4.6) заменой переменной
по формуле
согласно предложению III.
Равенства (4.8) и (4.9) получаются заменой переменной по формуле
•=!
из равенств:
/ ^2~—1 = tarctS *1> / /г—та = [arcsinfl = [-arccost],

74
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
которые, в свою очередь, суть следствия установленных ранее (см. п. 1.3
главы 4) выражений для производных функций arcsinx и arccosx.
Приведем вывод формул (4.10) и (4.11).
Равенство (4.10) следует из полученного ранее выражения для
производной функции (х — р)т, где т — целое число. Имеем:
/dx __ f dx _ f (x — q +
x-p~J x-q-ir~J (x-q)2
/(x — q)dx . Г
(x-q)2+r*+irJ Jx~
ir)dx
2 i rp2
q)2+r2-
Первый интеграл справа преобразуем, принимая во внимание
соотношение
(x-q)dx=^d[(x-q)2+r2].
Отсюда
/(х — q)dx 1 f
(x-q)2 + r2~2j
d[(x - qf + r2]
(x — q)2 + r2
l\n{(x-q)2 + r2}
Во втором интеграле произведем замену переменной
интегрирования, полагая
г
Тогда х = rt + g, откуда получаем:
r J J^WTV2 = r* J 7W+1) = [arctg t]-
Отсюда
гг
irj {x-%+r2=iVTC4X-r]
и формула (4.11) доказана.
4.2. Интегрирование рациональных функций
4.2.1. Рациональной называется всякая функция вида:
F:a:£R^aoa:TO + aia:TO"' + --- + ^-ia: + Q-, (4.14)
b0xn + b1xn-1 + --- + bn-ix + bn

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
75
где ао, ai,..., am_i, am, bo, bi,..., bn-i, Ьп — произвольные комплексные
числа.
Если степень числителя, стоящего в правой части равенства (4.14),
меньше степени знаменателя, то есть т < п, то говорят, что
рациональная функция F является правильной дробью.
Рациональные функции образуют важный частный случай
функций, у которых неопределенный интеграл берется в конечном виде, то
есть является элементарной функцией.
Отыскание неопределенного интеграла функции в случае, когда он
является элементарной функцией, часто можно свести к
интегрированию рациональной функции.
Интегрирование рациональных функций основано на
использовании некоторого специального представления рациональной функции.
Напомним некоторые сведения о полиномах и рациональных функциях
одной переменной, известные из курса алгебры.
Функция Р : С —► С называется полиномом степени не выше п,
если она допускает представление:
P(z) = с0 + cxz + c2z2 + • • • + cnzn, (4.15)
где c*o,ci,C2,... ,сп суть комплексные числа — коэффициенты
полинома Р. Число с Е С называется корнем полинома Р, если выполняется
равенство Р(с) = 0.
Справедливо следующее утверждение, обычно называемое
теоремой Везу.
Пусть P(z) есть полином степени п > 1, с — комплексное число.
Тогда имеет место равенство P(z) = Q(z)(z — с) + Р(с), где Q(z) есть
полином степени не выше п — 1.
Из теоремы Безу, очевидным образом, следует, что если число с Е
С является корнем полинома Р, то P(z) делится на разность z — с, то
есть
P(z) = Q(z)(z-c),
где Q(z) — полином.
Если коэффициенты полинома Р суть вещественные числа и число
с является корнем Р, то также и число с, сопряженное с с, есть корень
полинома Р.
Действительно, если коэффициенты полинома Р суть
вещественные числа, то для всякого zGC имеет место равенство:
P(z) = P(z).

76
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Отсюда следует, что если Р(с) — О, то также и Р(Ъ) = 0.
Справедливо следующее утверждение о разложении произвольного
полинома на простейшие множители, доказательство которого читатель
может найти в курсе алгебры.
Пусть
P(z) = A0zn + Axzn~x + •.. + An-iz + An, (4.16)
где Ao, Ai,..., An-u An — комплексные числа, причем Ао Ф 0, есть
полином степени п. Тогда P(z) допускает представление
P(z) = A0(z- Zl)ri (z - z2r ■■•(*- *k)rk, (4.17)
в котором z\, Z2,..., Zk суть попарно различные комплексные числа —
корни полинома, Р, г± > 0, г*2 > 0,..., г к > 0 суть целые числа, причем
г\ + г2 Ч h rfc = п.
Если все коэффициенты полинома P(z) суть вещественные числа,
то P(z) допускает представление
P(z) = A0(z - Xl)ri (z - х2)Г2 ... {z - xfc)rfe x
x(^2 +Plz + qi)Sl(z2+P2Z + q2)S2 .-.(z2 +Piz + <?*)*<, (4.18)
где x\, Ж2,.. • Xk, Pi, qi,... pi, qi суть вещественные числа, причем числа
Xj попарно различны, каждый из квадратных трехчленов z2 +PjZ + qj,
j = 1,2,..., l, не имеет вещественных корней и трехчлены z2 +PjZ + qj,
являются попарно различными. Выполняется равенство:
т\ + г2 + ... rk + 2(5i + s2 + h si) = п. (4.19)
Замечание 1. Число rj, j = 1,2,..., к, в равенстве (4.17)
называется кратностью корня Zj полинома Р.
Замечание 2. Представление полинома P(z), содержащееся в
равенствах (4.17) и (4.18), будем называть каноническим разложением
данного полинома. При этом будем говорить, что (4.17) есть разложение
в комплексной области, (4.18) есть разложение в вещественной области.
Замечание 3. Доказательство указанного выше
утверждения о разложении полинома на множители опирается на теорему Безу и
следующее утверждение, по традиции называемое «основной теоремой
алгебры».

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
77
Всякий полином P(z) степени п > 1 имеет, по крайней мере, один
комплексный корень.
Доказательство данной теоремы, также как и вывод из этой
теоремы сформулированного выше утверждения о разложении полинома на
простейшие множители, приводятся в курсе алгебры. (Позднее в главе 8
этой книги будет дано чисто аналитическое доказательство основной
теоремы алгебры.)
Всякая рациональная функция может быть представлена как сумма
некоторых элементарных функций простейшего вида, содержащихся в
списке, приведенном в п. 4.1.2. Справедливо следующее предложение.
Пусть Р и Q суть полиномы, причем О < deg Р < deg Q и
коэффициенты Р и Q — вещественные числа, и
Q(Z) = (z- Zip (Z - Х2У2 ...(*- ХШ)ГГП X
x(z2 +Plz + qi)Sl(z2 +p2z + q2)S2 ...(z2 +ptz + qi)Sl (4.20)
есть каноническое разложение полинома Q в вещественной области.
Тогда существуют вещественные числа Ujaj, где j — 1,2,..., m, и
для каждого j число aj принимает значения 1,2,..., rj, и числа Vk@k,
Wkpk, где к = 1,2,...,/, и для каждого к число /Зк принимает значения
1,..., Sk такие, что для каждого z, для которого отношение j [z) = ) '
Q(z)
определено, выполняется равенство:
m rj I sk
3 = 1 olj-\ fc=l /3*=1
С точностью до порядка слагаемых представление рациональной
функции вида (4.21) единственно.
Пусть P(z) и Q(z) суть произвольные полиномы с комплексными
коэффициентами, причем 0 < deg Р < deg Q и
Q(Z) = (* - 21)Г1 (Z - Z2Y2 ...(*- ZmY™
— разложение полинома Q на простейшие множители в комплексной
области.
Тогда существуют комплексные числа UjOLj, где j = 1, 2,..., m, и
при каждом j индекс aj меняется от 1 до rj, такие, что для всех z, для
которых Q(z) ф 0, выполняется равенство:
Ш = ?J ^ (z =W>' (4'22)
3 = 1 ctj=l

78
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
С точностью до порядка слагаемых представление (4.22) един-
с т в е н н о.
Доказательство сформулированной теоремы обычно излагается в
курсе алгебры, и по этой причине мы его не приводим.
Замечание. Правые части равенств (4.21) и (4.22)
называются разложением рациональной функции P/Q на простейшие дроби.
Равенство (4.21) есть разложение рациональной функции на простейшие
дроби в вещественной области, (4.22) — в комплексной области.
4.2.2. Приведем некоторые соображения относительно фактического
построения разложения рациональной функции на простейшие дроби.
Условимся относительно терминологии. Будем называть
старшими членами разложения данной рациональной функции на простейшие
дроби те слагаемые
и
jrj VkskZ + Wksk
(z-Xj)rJ (z2 +PkZ + qk)Sk
в правой части равенства (4.21), знаменатели которых содержат
выражения z — Xj и z2 + pkZ + qk в наибольших возможных степенях,
Для отыскания коэффициентов Ujp5, Vkpk и Wkpk в равенстве (4.21)
может быть применен так называемый метод неопределенных
коэффициентов, состоящий в следующем.
Умножая обе части равенства (4.21) на Q(z), получим равенство:
рм = Е (Е «*»i (* - x^~ai) ад+
I / sk
+ ХЛ £(^^ + ^/3j(^2+P^ + ^0Sfe"^)^(^)3 (4.
k=i^eh=i /
23)
fe=l 4/3fc = l
где Uj, j = 1,2,..., m, Vk, k = 1,2,..., /, — некоторые полиномы.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z слева и
справа, получим систему линейных уравнений относительно
подлежащих определению коэффициентов Uj^j, Vkpk и Wkpk.
Эта система разрешима, поскольку разложение рациональной
функции на простейшие дроби существует. Более того, эта система
однозначно разрешима.
Если числа Ujaj, Vkpk и Wkpk образуют решение полученной
системы, то равенство (4.23) верно для всех z.

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
79
Поделив обе его части на Q(z), получим искомое разложение
рациональной функции P(z)/Q(z) на простейшие дроби.
Точно так же можно действовать, если требуется построить
разложение рациональной функции на простые дроби в комплексном случае.
Достоинством метода неопределенных коэффициентов построения
разложения на простейшие дроби является его универсальность.
Вместе с тем следует отметить, что он ведет, зачастую, к достаточно
громоздким вычислениям.
Приведем соображения, которые во многих случаях существенно
упрощают отыскание коэффициентов в разложении рациональной
функции на простейшие дроби.
Если для рациональной функции
F(x) - ^
{) ~ Q(x)
все корни знаменателя Q — вещественные и числа ri,r2,...,rm —
кратности корней полинома Q не слишком велики, то разложение
данной рациональной функции на простейшие дроби можно получить
достаточно быстро, действуя следующим образом.
Пусть Q(z) — Qj(z)(z — Xj)Tj, где Qj есть полином такой, что
Умножим обе части равенства (4.21) на (z — Xj)rJ. В результате
получим:
J^L = Ujrj +(z- XjY'Fiiz).
Это равенство верно для всех z ф Xj. Обе части этого равенства
определены и непрерывны также и в точке z = Xj. Полагая в последнем
равенстве z = Xj, мы сразу получим:
_ P(Xj)
Ujrj-Qj(xj)'
Таким способом могут быть определены все коэффициенты Ujrj,
j = 1,2,..., га. В том частном случае, когда г\ = Г2 = • • • = гт = 1,
требуемое разложение данной рациональной функции на простейшие
дроби тем самым будет получено.
В общем случае, чтобы построить разложение на простейшие дроби
рациональной функции, можно действовать двумя способами.

80
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Первый способ. Предположим, что для некоторого j
коэффициент при
(Z-Xj)ri
определен. Будем искать последовательно коэффициенты при
1
(Z-Xj^j-V
для к = 1,2,..., г3; — 1. Имеем:
P(z) __ Ujrj __ P(z)-ujrjQj(z)
Q(z) (z-xjYs- Q(z)
Числитель и знаменатель этой дроби обращаются в нуль при z = Xj
и, следовательно, имеют общий делитель вида: (z — Xj)s, где 1 < s < rj.
Сократив на этот общий делитель, получим рациональную
функцию, разложение которой на простейшие дроби получается, если в
разложении на простейшие дроби исходной рациональной функции
т Q(z)
вычеркнуть слагаемое
Ujrj
(Z - Xj)ro *
Применяя аналогичное построение к полученной рациональной
функции, найдем коэффициент при
(z-xjYj-1'
Продолжая это построение дальше, найдем все коэффициенты Ujk,
где к = 1,2,..., г?.
Укажем общую формулу для этих коэффициентов.
Положим:
>«>-№■
Умножая обе части равенства (4.21) на (z — XjYj, получим
равенство:
гз
/i(*) = ^2^ih(z - Xj)rt-h + (z- xtY'R^z).

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
81
Здесь Rj есть рациональная функция — сумма всех тех слагаемых
в формуле (2.21), которые соответствуют номерам j, отличным от
данного. Сумма
Y^U3b{z - Xj)ri-k = Hj{z - Xj)
k=l
представляет собой полином степени не выше г^—1. При z —» ж^ функция
J?j (2) стремится к конечному пределу.
В результате получим, что
fj(z) = #,(* - *,-) + о(|* - ^р-\
откуда ясно, что Hj(z-Xj) есть полином Тейлора порядка г, —1 функции
fj в точке Xj. Отсюда получаем равенства:
1 <ri-kfj,
Ujk ~ (rj - к)\ dz'i-k {Xj)-
Другой возможный способ таков. Сначала найдем все
коэффициенты Ujrj, j = 1,2,..., га.
После того, как эти коэффициенты определены, рассмотрим раз-
ность*
p(z) ^ щг. = р(х) - ЕГ=1 ц*уф(*)
Числитель последней дроби обращается в нуль при
z = Xj, j = 1,2,...,m,
и, следовательно, делится на произведение
(г - а?1)(г - ж2)... [z - хт).
Знаменатель Q также делится на этот множитель.
Сократив числитель и знаменатель на их наибольший общий
делитель, получим дробь такую, что ее знаменатель делится на степень
z — Xj, которая, по крайней мере, на единицу меньше, чем у исходной
рациональной функции.
Продолжая построение дальше, аналогичным образом найдем
коэффициенты Ujrj-i, j = 1,2,... ,га, и через конечное число шагов
требуемое разложение данной рациональной функции на простейшие дроби
будет получено.

82
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
В том случае, если полином Q — знаменатель данной рациональной
функции
'-*
имеет комплексные корни (предполагается, что коэффициенты
полиномов Р и Q являются вещественными числами), то каноническое
разложение Q(z) в вещественной области содержит множители вида (z2+pz+
+q)s, где p,gGK. При этом оба корня квадратного трехчлена z2 +pz + q
— комплексные. Старшие члены вида
UZ + V (4.24)
(z2+pz + q)s
в разложении рациональной функции — на простейшие дроби могут
быть получены следующим образом.
Пусть Q(z) = [z2 +pz + q)sR(z), где s > О — целое число,
квадратичный трехчлен z2 + pz + q не имеет вещественных корней и полином
R(z) на z2 + pz + q не делится. Рассмотрим разность:
Р(*) _ Ц* + ™ _ Р(г)-(|7г + и;)Д(г)
Q(*) (*2+p* + <z)* (г2+рг + д)'Л(г) ' l j
где v vl w — вещественные числа, которые определим из условия:
числитель последней дроби, то есть полином P(z) — (vz + w)R(z),
делится на z2 +pz + q.
Сокращая числитель и знаменатель этой дроби на общий множи-
Pi(z)
те ль, получим рациональную функцию ; \ , знаменатель которой мо-
жет иметь делителем только такую степень полинома z2 +pz + #,
показатель которой заведомо меньше 5.
Покажем, что числа и и v такие, что полином P(z) — (vz + w)R(z)
делится на z2 +pz + q, существуют.
Пусть az + (3 есть остаток от деления полинома P(z) на
квадратный трехчлен z2 + pz + q. Тогда получим:
P(z) = Ai (z) (z2+pz + q)+az + (3.
Аналогично, пусть
R(z) = A2(z)(z2 +pz + q)+iz + 6,
где 72; + S есть остаток от деления полинома R(z) на z2 + pz + q.

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
83
По условию, R(z) не делится на квадратный трехчлен z2 + pz + q
и, значит, — по крайней мере, одно из чисел 7, 8 отлично от нуля.
Коэффициенты а,/3^,6 все суть вещественные числа. Имеем:
P(z) - (vz + w)R(z) =
= [Ai(z) - (vz + w)A2(z)](z2 + pz + q) + az + 0 - (vz+ w)(jz + 6).
Требуемая цель будет достигнута, если найдется число t такое, что
az + Р — (vz + w)(ryz + 6) = t(z2 +pz + q).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z слева и
справа, получим систему линейных уравнений относительно
неизвестных коэффициентов t,v,w:
t + 7V =0;
pt + 6v + jw — a;
qt + 6w = /3.
(4.26)
Определитель данной системы будет:
А =
1,
р,
я,
1,
6,
о,
01
7
6\
= б2 — pj6 + qj
(<-н2+И)
7
По условию, 7 и й не обращаются одновременно в нуль.
Так как квадратный трехчлен z2 + pz + q не имеет вещественных
Р2
корней, то q —— > 0. Отсюда следует, что А ф 0, и, значит, система
уравнений (4.26) однозначно разрешима относительно £, и и w.
Пусть £, и, w есть решение этой системы. Тогда
P(z) - (vz + w)R(z) = (z2 +pz + q)Pi(z),
где Pi(z) есть полином. В итоге мы получаем:
+
VZ + W
Q(z) Qx{z) ' (z*+pz + q)
(4.27)
Применяя к рациональной функции
ЕМ.
Qi(z)
аналогичные
построения, найдем член в разложении рациональной функции — на простей-
Q
шие дроби, предшествующий
VZ + W
(z2 +pz + q)s'

84
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Действуя таким образом и далее, через конечное число шагов мы
Р
найдем все члены разложения — на простейшие дроби, знаменатели
Q
которых суть степени квадратного трехчлена z2 + pz + q.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Построим разложение на простейшие дроби
рациональной функции:
№
(х- 1)(ж-2)...(ж-п)"
Имеем:
п
№ = Е
х — к
fc=i
Умножив обе части этого равенства на (х — к) и полагая затем
х — fc, получим:
Uk = (~~1)n~\k-l)\(n-k)V
и требуемое представление получено.
Пример 2. Найдем разложение на простейшие дроби
рациональной функции:
1
(х2-1)п'
Имеем: (х2 — 1)п = (х — 1)п(х + 1)п и, в соответствии с общей
теоремой, искомое разложение должно иметь вид:
1 Ul a U2 » Un
(x2-l)n х-1 (х-1)2 (ж-1)г
I / i 1 \ О ' * I
x + 1 (x + 1)2 (x + l)n'
Задача состоит в том, чтобы найти числа: г*1,г/2,... ,ип и v\^V2->...,Vn
Умножив обе части равенства на (х — 1)п, получим:
= wn + tin-i(a? - 1) + • • • + tii(ж - l)n +(x- l)nR(x).
(х + iy
Данное равенство можно переписать следующим образом:
F1(x) = U(x) + o[(x-l)n~1},

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
85
где Fi(x) = —, a U(x) = un + un-i(x- 1) Н Ьгл(ж-1)п есть
(ж + 1)
полином степени не выпге п — 1.
Отсюда видно, что С/(ж) есть полином Тейлора порядка п — 1
функции Р(ж) в точке ж = 1и, значит, ип = jFi(l),un_i = .Fi(l), и, вообще,
при каждом fc = 0,1,..., п — 1
_ Ц _ l4Jbn(n + l)...(n + fc-l) _ , l4fcCn+fe~i
^n"fc" fc! ~^ ; 2"+fcfc! ~l ; 2"+fc '
Коэффициенты Vk. можно найти аналогичными вычислениями. По-
ступим следующим образом. Заменяя в равенстве
п п
- i> "~ 2^ (х - r>fc 2^
Vfc
(Ж2 _ l)n Z-f (ж - 1)* ' Z^ (ж + 1)*
V У fc=l V ' fc=l V '
ж на -ж, получим:
1 _ V- ("1)*ЗД , V- (-1)4
2-J (x + l)k 2-J (x -
(x2 _ ]\n Z^ (Ж + 1)* ' Z_rf (Ж - l)fc '
Отсюда следует, что Vk — (—l)kUk при каждом к = 1,2,...,п, и
задача о разложении рациональной функции
(х2 - 1)п
на простейшие дроби, таким образом, решена.
4.3. Примеры неопределенных интегралов
Здесь будут рассмотрены некоторые важные случаи элементарных
функций, у которых неопределенный интеграл берется в конечном виде,
то есть является элементарной функцией.
Предположим, что каждой паре вещественных чисел (х,у)
сопоставлено некоторое число Р(х,у). Функция Р : (ж, у) Е R x R \-> Р(х,у)
называется полиномом относительно переменных х и у, если она
допускает представление:
р(х, у) = 2_^ а^х>му'

86
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
для любых ж, у G R, где число слагаемых справа конечно,
коэффициенты а^и — постоянные, а показатели /i и v суть неотрицательные целые
числа.
Функция F : (ж, у) GR2n F(x,y) называется рациональной
функцией двух переменных, если
F(*,y) =
PQp,y)t
Q(x,y)'
где Р vl Q суть полиномы относительно переменных ж, j/ G I.
<2Ж -4- £)
1) Пусть F(x) — — дробно-линейная функция, где ad—be ф О,
сх + а
и пусть R(x,y) есть рациональная функция двух переменных. Тогда
интеграл
/
R[x, y/F(x)] dx
сводится к интегралу от рациональной функции заменой переменной
п _ ах + Ъ
сх + d'
Действительно, из последнего равенства следует, что
dtn-b
х
a-ctn
n(ad - Ш"-1 ,Л
dx = ——, -rz—at,
(a - ctn)2
и, наконец,
r R l ,[Щ\ dx=[R \^Lz±)t} "<f-^:"d(,
У 'yca + d 7 La-ctn' J (a-ctn)2
Функция, стоящая здесь под знаком интеграла, — рациональна.
2) Интеграл
/*(*,v/™
(4.28)
в случае, когда ^(ж) есть полином второй степени с вещественными
корнями, сводится к уже рассмотренному.
Это можно сделать следующим образом.

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
87
Пусть F(x) = а(ж — х\){х — жг), где хг^Х2 G R. Тогда имеем:
Л/щ=|Ж_Ж1|/^Н5.
v у ж — ж1
Отсюда ясно, что в этом случае в каждом промежутке, в котором
выполняется неравенство F(x) > О, интеграл (4.28) есть интеграл вида,
рассмотренного в 1).
3) Рассмотрим интеграл вида (4.28), где R(ж, у) есть рациональная
функция двух переменных в предположении, что F(x) есть квадратный
трехчлен с комплексными корнями F(x) = х2 +рх + q.
Подстановкой
х + Р-
t= 2
-$
данный интеграл сводится к интегралу
f Ri(t,y/t* + l)dt,
где J?i есть рациональная функция двух переменных.
Функция и н-> -- (и 1 взаимно однозначно отображает полуось
2 V и)
(О, оо) на R.
Произведя подстановку t = - [и ) , после очевидных преобра-
2 \ и)
зований получим:
J Ri(t,^t2 + l)dt =
=/Bi [И- - =) ■ £ (u+=)] И1+г) *• - / Яг(и> *•
где i?2 есть рациональная функция.
4) Пусть i? — рациональная функция одной переменной.
Подстановка ех = г/, ж = 1пгл приводит к равенству:
/ R(ex) dx= I R{u) — = f JJi(ti) Ai.
Здесь J?i есть рациональная функция.

88
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
5) Пусть R есть рациональная функция двух переменных и
требуется найти неопределенный интеграл функции F(x) = i^cosa^sinrr) в
некотором интервале (а,Ь) С (—7г,7г). Предположим, что F(x)
определено для всех х из этого интервала.
Подстановка
х
и — tg —, х — 2arctgi/
приводит к равенству:
/R(cos х, sin x) dx = / J? I , ] du
v ' ; J \1 + и2'1 + и2/1 + и2
и интеграл, таким образом, сводится к интегралу от рациональной
функции.
6) Интегралы
/ хпекх dx, / хп coskxdx, / хп sinkxdx,
(4.29)
где п > 0 — целое, легко находятся с помощью правила интегрирования
по частям.
Рассмотрим первый из этих интегралов (4.29). Положим:
А7
Тогда получим:
= / хпекх dx.
Ап = \хпекх-^ I хп~гекхйх
к к J
-гх е j\n—\,
к к
Это позволяет последовательно понижать показатель степени
множителя, стоящего при екх под знаком интеграла.
Через конечное число шагов приходим к интегралу:
*=/«-*=[!«-]
В вычислениях, приведенных здесь, к может быть произвольным
комплексным числом. Поэтому два других интеграла в (4.29) сводятся
к рассмотренному применением формул Эйлера (см. главу 3):
eix + e-ix e eix _ e-ix
cos х = , sin х =
2i

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
89
Интегралы
/ Р(х)екх dx, / Р(х) cos kxdx, / Р(х) sin kx dx,
где Р(ж) — полином, сводятся к интегралам вида (4.29). Практически
удобнее вычислять их, пользуясь методом неопределенных
коэффициентов. Индукцией по числу п — степени полинома Р(х), легко
устанавливается, что
/ P(x)ekx dx = [Q(x)ekx] , (4.30)
где Q(x) — полином степени не выше п.
Пусть
Р(х) = аохп + сцх71'1 Ч Ь ап,
<2(ж) = iio#n + щ/"1 Н h wn.
Дифференцируя равенство (4.30) почленно, получим:
P(x) = Q'(x) + kQ(x).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях п в этом
равенстве, получим следующую систему уравнений:
кио = ао,
ки\ +пио = ai,
Ы2 + (п — l)ui = с&2,
из которых числа wo, wi,... ,nn легко определяются последовательно.
Аналогичным образом, если Р(х) есть полином степени не выше п,
то
/
Р(х) cos kx dx = [U(x) cos /гж + V(:r) sin kx],
где С/ и V суть полиномы степени не выше п. Отсюда:
Р(х) coskx = [U'(x) + kV'(x)] coskx + [-Ш'(ж) + V"(a?)] sin fcz.
Полагаем:
i/' (ж) + kV(x) = P(x),
-kU(x) + V'(ar) = 0.

90
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Это есть система уравнений, из которой легко определяются
коэффициенты полиномов U(x) и V(x). А именно, выражая U(x) через V'{x)^
из второго уравнения получим сначала равенство:
V"(x) + k2V(x) = P(x).
После этого, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
х слева и справа, приходим к системе уравнений, из которой легко
определяются коэффициенты полинома V. Затем U определяется по
формуле:
U = yV\
к
Аналогично находится интеграл
/ P(x)smkxdx.
7) Интегралы
/ P(x)lnxdx, / P(x)aictgxdx,
где Р(х) — полином, сводятся к интегралу от рациональной функции
интегрированием по частям. Чтобы показать это, достаточно
рассмотреть случай Р(х) = хп. Имеем:
f пл л Л J' ХП+1\ ХП+\ Г Хп+1 л
/ х тхах = / шха = -шх — / -атх =
J J \n + l) п + 1 J п + 1
xn+1 f xn #n+1 #n+1
.п+1 Г хп #n+1
:—-Inж— / zrdx — -In ж —
+ 1 J п + 1 п + 1
п + 1 J п + 1 п + 1 (п +1)2'
Аналогично:
/ xnarctgxdx = / arctgzdl
xn+1
п + 1
хп+1 Г жп+1
__arctga;_y _daictg* =
xn+1 f xn+1dx
^TiaTCtgx~J (n + iK^ + i)'

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
91
8) Интегралы
/ P(a;)arcsina;da;, / Р(х) arccos x dx,
где Р(х) — полином, сводятся к интегралам, рассмотренным в 5),
заменой х = sin* в первом, х = cos* — во втором.
9) Вычислим интеграл:
/
е cos mxdx.
Имеем:
p(a+im)x i (a—im)x
ах ^ Т" £J
е cos та; = ,
откуда получаем:
еах cos ma; dx =
/
1 / /Э(а+*гп)аг p(a—im)x \ аж
Н :— I = -5 «(acosma; + msinma;).
а + гт a — im) а2 + т2
10) Найдем первообразную функции /:жи >/Д2 — #2 в
промежутке [—Д,Д]. Положим:
ж
F(x) = / y/W^dx. (4.31)
о
Данный интеграл встречается достаточно часто. Он легко
находится с помощью приемов, описанных выше. Это требует, однако,
сравнительно громоздких выкладок. Приведем простые геометрические
соображения, позволяющие сразу указать, чему равен этот интеграл.
Используем связь между задачей вычисления площади и интегрированием
функции, отмеченную в п. 1.3 этой главы.
Кривая, задаваемая в декартовой ортогональной системе координат
уравнением у = \/R2 — а;2, очевидно, есть половина окружности радиуса
R с центром в начале координат, лежащая в верхней полуплоскости
У>0.
Пусть М есть точка (0, Д), О = (0,0) — начало координат на
плоскости (см. рис. 5).

92
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Возьмем произвольно х такое, что 0 < х < R. Пусть X — (ж,0),
Y = (x,VR2~x2).
Интеграл (4.31) равен площади криволинейной трапеции OMYX.
Последняя же равна сумме площади кругового сектора,
ограниченного радиусами ОМ и OY и дугой MY данной окружности и площади
треугольника OXY.
Угол сектора равен
х
(р = arcsin —
И
и, значит, площадь сектора равна
R2 . х
-— arcsin -=-.
2 R
Площадь треугольника OXY, очевидно, равна
-xyR2 — х2.
Li
Мы получаем, следовательно:
X
I
у/В? - х2 dx = ^- arcsin -| + lxy/R2-x2. (4.32)
2 R 2
В проделанных рассуждениях предполагалось, что х > 0.
Правая часть полученного равенства есть, как нетрудно видеть,
нечетная функция переменной х.
(Напомним, что функция / : М —► R, где Mel, называется
нечетной^ если для всякого х G М также и —х принадлежит М, причем
имеет место равенство: f{—x) = —f(x).)
Интеграл в левой части равенства также представляет собой
нечетную функцию х. Отсюда видно, что равенство (4.32) верно
также и при х < 0.

§ 4. Техника неопределенного интегрирования
93
Проделанный вывод, формально, не может считаться строгим,
поскольку понятие площади пока не имеет точного определения.
Дифференцирование правой части равенства (4.32), однако, немедленно
показывает справедливость полученного результата.
11) Геометрические соображения, аналогичные тем, которые
использовались в предыдущем примере, можно использовать для
вычисления интеграла:
X
I yjt2 + R2 dt. (4.33)
о
При этом, однако, построение оказывается несколько сложнее.
На плоскости рассмотрим кривую, которая в декартовой
ортогональной системе координат определяется уравнением: у = у/х2 + R2.
Пусть О = (0,0) — начало координат, М = (0,й).
Возьмем произвольно х > 0. Пусть
X = (ж, 0), Y = (ж, у/х2 + г2).
Найдем площадь сектора, ограниченного дугой MY этой кривой и
отрезками ОМ и OY (см. рис. 6). Обозначим эту площадь через С1(х).
Очевидно, Q(х) равно разности площадей криволинейной трапеции
OMYX и треугольника OXY, то есть
X
П(х) = / y/t2 + R2 dt ~ \xy/x2 + R2.
о
Вычислим величину Q(x) другим способом.
Рассматриваемая кривая представляет собой ветвь гиперболы
у2 - х2 - R2 = 0,
образованную точками, для которых у > 0.
На плоскости введем новую ортогональную систему координат,
принимая за оси координат биссектрисы первого и второго
координатных углов, то есть прямые ж — у = 0, а; + у = 0.
Пусть (£, г)) — координаты произвольной точки в этой новой
системе координат. Тогда £ есть расстояние точки до прямой
х + у = 0, взятое с надлежащим знаком, то есть

94
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Аналогично,
v = ±
-х + у
л/2
есть взятое с надлежащим знаком расстояние до прямой х — у = 0.
Знаки выберем так, чтобы обе координаты точки М в новой
системе координат были положительны. Это приводит к следующим
соотношениям:
х + у -х + у
€ =
Отсюда
х =
V2 '
Z-TJ
V
У =
л/2
V2 ' * л/2
и гипербола y2—x2 = R2B новой системе координат будет задаваться
следующим уравнением:
2Ztj = R2.
В точках рассматриваемой ветви гиперболы выполняются
неравенства у > |ж|, откуда у — х>0иу + х>0, то есть данная ветвь лежит в
квадранте £ > 0, г) > 0.
Ry/2 Ry/2
Точка М имеет координаты £ =
Пусть JVhT
VL Г) =
2 " ' 2
это основания перпендикуляров, опущенных из
точек МиУ, соответственно, на прямую rj = 0.
1 i?2
Площадь треугольника OYT равна -£г) = — и, следовательно,
не зависит от выбора точки У. В частности, и площадь OMN
R2
равна —.
Пусть G есть четырехугольник, ограниченный отрезком
ОМ дугой MY гиперболы, и отрезками YT и ТО. Очевидно:
площадь G = Q(x) + площадь OTY =
= площадь NMYT + площадь ONM.

§ 5. Интегральные теоремы о среднем значении
95
Отсюда
П(х) = площадь NMYT = \ I — = \ In \/2-| =
2 J т 2 R
R
V2
Окончательно получаем:
X
I ^t2 + R2dt = i in (« + ~л/^2 + ^2) + ^\/«2 + Я2- (4-34)
Это и есть искомое выражение для интеграла (4.33).
Перечень неопределенных интегралов, берущихся в конечном виде,
то есть являющихся элементарными функциями, далеко не
исчерпывается примерами, рассмотренными здесь.
Читатель, желающий получить более полную информацию, легко
найдет ее в изданиях справочного характера.
§5. Интегральные теоремы о среднем значении
Здесь доказываются некоторые соотношения для интегралов,
именуемые теоремами о среднем.
Теоремы о среднем служат основой для доказательства разного
рода оценок, позволяющих установить интегрируемость той или иной
функции на замкнутом промежутке в предположении, что на открытом
промежутке интегрируемость функции уже доказана.
Примеры на приложение теорем о среднем будут приведены во
второй части этой книги.
5.1. Первая интегральная теорема о среднем значении
Следующая теорема выражает собой сравнительно простой факт.
Наиболее тонкая часть доказательства состоит в установлении того, что
точку с, существование которой утверждается в теореме, можно считать
лежащей внутри промежутка интегрирования.

96
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
■ Теорема. 5.1 (первая интегральная теорема о среднем значении).
Пусть / : [а, 6] —► R есть непрерывная функция, д : [а, ft] —► R —
неотрицательная функция. Предположим, что функции g и fg интегрируемы
по [a,b]. Тогда найдется значение с такое, что a < с < Ъ и
ь ь
J f(x)g(x)dx = f(c)J
f(x)g(x)dx = f(c) / g(x)dx. (5.1)
Доказательство. Функция / по теореме Вейерштрасса
(теорема 5.2 главы 2) принимает в промежутке [а,Ь] свои наименьшее и
наибольшее значения.
Пусть
т = тот f{x),
а<х<Ь
М = max f(x)
а<х<Ь
и £ и г) — точки отрезка [a, ft] такие, что /(£) = m, f(rj) = М. Для всех
х е [a, ft] имеем:
mg(x) < f(x)g(x) < Мд{х).
Интегрируя данные неравенства почленно, получим:
ь ь ь
т J g(x) dx< f(x)g(x) dx < М [ д(х) dx. (5.2)
Если
ь
I
а
д(х) dx = О,
то из неравенств (5.2) вытекает, что тогда также и
ь
I
f(x)g(x) dx = 0.
В этом случае в качестве с можно взять произвольную точку
интервала (a, ft).

§ 5. Интегральные теоремы о среднем значении
97
Будем далее считать, что
д(х) dx > 0.
/
Положим:
ь
J f(x)g(x) dx
R=—b •
/ g{x) dx
a
Из неравенств (5.2) следует, что тогда т < R < М.
В силу теоремы Коши о промежуточных значениях (теорема 4.1
главы 2), найдется с, лежащее между £ и г?, и такое, что /(с) = R.
Если т < R < М, то с ф £ и с ф г?, и, значит, в этом случае либо
£ < с < 77, либо £ > с> г). В обоих случаях, очевидно, а < с < ft, так что
с есть внутренняя точка промежутка [а, Ь].
Предположим, что одно из неравенств (5.2) обращается в
равенство. Пусть, например,
а а
Функция <£>(#) = [/(ж) — т]д(ж) — неотрицательна и интегрируема
по [а,Ь]. Пусть Ф есть ее первообразная в промежутке [а, 6].
Функция Ф — возрастающая и, стало быть, Ф(а) < Ф(ж) < Ф(Ь) для
всех х Е [а,Ь]. В силу равенства (5.3),
ь ь
а а
и, следовательно, функция Ф на промежутке [a, ft] постоянна.
Отсюда вытекает, что Ф'(а;) = 0 для всех х Е (а, 6).
Согласно определению первообразной, Ф'(я) = [/(ж) — т]д(х) в
промежутке (a, ft) в основном.
Мы получаем, таким образом, что [f(x) — т]д(х) = 0 в
промежутке (a, ft) в основном, то есть множество Е точек х Е (а, ft) таких, что
[/0е)"~ тЫя) 7^ 0? не более чем счетно.

98
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Функция д — неотрицательна и интеграл от нее по промежутку
[а, Ь] отличен от нуля.
Отсюда следует, что множество тех точек х Е (а,Ь), для которых
д(х) > О, несчетно. Следовательно, найдется точка с Е (а, Ь) такая, что
д(с) > О и с £ Е. Для этого с имеет место [/(с) — т]д(с) = 0, так как
с £ Е, и, значит, /(с) — т = 0.
Таким образом, в этом случае /(с) = т и, в силу (5.3), мы
получаем, что равенство (5.1) выполняется для некоторого с Е (а, Ь).
Аналогично рассуждаем в случае, когда R = М.
Теорема доказана. ■
5.2. Лемма о приближении монотонных функций
ступенчатыми
Определим сначала некоторые вспомогательные функции. Для
iGl полагаем rj(x) = 0 при х < 0 и г?(а;) = 1 при а; > 0. Функция
Г7, очевидно, является возрастающей. В каждой точке х ф 0 функция г?
непрерывна. Имеем также: 7?(—0) = 0 = г?(0) и г?(+0) = 1. Пусть дано
произвольное число п Е N. Для жЕК полагаем:
г=1
(5.4)
Функция <тп является неубывающей, <тп(#) = 0 при ж < 0, так как
в этом случае все слагаемые в сумме, стоящей в (5.4) справа,
обращаются в нуль. И ап(х) = 1 при х > 1, поскольку в этом случае
все слагаемые в (5.4) справа будут равны 1. На рис. 7 показано,
как выглядит график функции ап(х) для п = 5.
У
О
к*
/I I
/1 i
^ i !
/! 1 ! I !
f 1
X
Рис. 7

5. Интегральные теоремы о среднем значении
99
■ Лемма 5.1. Для всех х из промежутка, [О,1] имеют место
неравенства:
х > an(x) > х .
~ п
Доказательство. Пусть х Е [О,1]. Если х = О, то <тп(х) = О, и,
значит, в этом случае неравенства леммы выполняются.
Далее будем предполагать, что 0 < х < 1. Пусть га — целое число
такое, что га — 1 < пх < га. Тогда, очевидно, 0 < га, га — 1<пи,
значит, 0 < га < п.
Отсюда заключаем, что
га — 1 ^ га
< х < —.
п п
Заметим, что для любых х и t будет rj(x—t) = О, если t > х, и r)(x—t) = 1,
если t < х.
Это позволяет заключить, что в сумме (5.4) те слагаемые, для
которых fc > га, равны нулю, а остальные равны 1 и, следовательно, вся
сумма равна га — 1.
Отсюда следует, что для данного х имеет место равенство:
, ч га — 1 , га
(Гп(Х) = < X < —.
п ~ п
Так как х G [0,1] взято произвольно, то лемма доказана. ■
Функцию т : Ш —» М мы будем называть простой ступенькой, если
она является убывающей, и существует число t такое, что т(х) = 1 при
х < t и т(ж) = 0 при х > t.
Ш Лемма 5.2 (о приближении монотонных функций
ступенчатыми). Пусть (р : [a,b] —у R есть невозрастающая функция такая, что
(р(а) = 1, и для всех х Е [а,Ь] выполняются неравенства: 1 > (р(х) > 0.
Тогда для всякого п Е N существует функция <рп : [а, Ь] —> М такая, что
п
(рп = — / т>, где каждая из функций Тк является простой ступенькой,
п *—**
fc=l
и для всех а; Е [а, Ъ] имеет место неравенство: <р(х) > (рп(х) > ^(^) •
ть
Доказательство. Будем считать, что функция ср определена
для всех a;GK, полагая ср(х) = 1 при х < а и ip(x) = 0 при х > Ь.
Воспользуемся результатом леммы 5.1. Пусть сгп есть функция,
определенная равенством (5.4). Полагаем: срп(х) = <Тп[<р(х)]-

100
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Так как ап есть неубывающая функция, то функция (рп является
невозрастающей (напомним, что по условию (р(х) есть невозрастающая
функция).
Согласно лемме 5.1, для всех t Е [0,1] имеем:
t>an(t) >i-l/n,
откуда следует, что
(р(х) > <рп(х) > <р(х) - 1/п
для всех х Е [а, 6].
Наконец, из (5.4) следует, что для любого х Е [а,Ь] имеет место
равенство:
1
<Рп(х) = ГгУ]7"^)'
г=1
где Тг(х) = г] (ср(х) j для всех х Е [а,6].
Для завершения доказательства осталось показать, что
функция т% является простой ступенькой при каждом г = 1,2,..., п.
Для ъ = 1,2,..., п пусть Ei есть множество тех х Е [а, Ь], для которых
п
Множество £?г — непусто, так как а £ Ei. Положим:
Xi = S\l])Ei.
Если х > ж», то х ^ £?», и, значит, для этого а; выполняется нера-
венство: <р(х) < —, откуда (р(х) < 0 и, следовательно, ъ(х) = 0.
ТЬ ТЬ
Если же х < Xi, то найдется х' Е #г такое, что х < х' < х%. Так
как <р есть невозрастающая функция, то имеем:
п
(р(х) > <р(х) > —
п
и, значит, в данном случае ъ(х) = 1.
Функция Ti — невозрастающая. Мы получаем, что п(х) = 1, если
х < Xi, и Тг(х) = 0, если х > xi.
Этим установлено, что т; является простой ступенькой
при всяком г = 1,2,...,п,и тем самым лемма доказана. ■

§ 5. Интегральные теоремы о среднем значении
101
На рис. 8 показано, как выглядит функция (рп(х) для функции (р.
График функции (р образован двумя сплошными линиями, лежащими
над отрезками [а,с] и [с,ft], где а < с < ft. В точке с функция (р имеет
разрыв.
У
1
1" ~
|_
L _
L _
1
Г "
Г "
Г "
1
i
а
f
i "^^iifc,
i^***^
О
1^^*Ч^
1^^.
! '^^**4
i
1
i
с
Ь
X
Рис.8
Специфическое строение функций (рп наглядно можно выразить, говоря,
что они образуют аппроксимацию функции (р типа слоеного торта.
5,3, Вторая интегральная теорема о среднем значении
■ Теорема 5.2 (вторая интегральная теорема о среднем значении).
Пусть даны промежуток [a, ft] С К и функции /: [а, ft] —>Жид: [а, ft] —» R.
Если функции </, \д\ и fg интегрируемы по промежутку [а, ft] и функция
f — монотонна, то найдется £ G [а, ft] такое, что имеет место равенство:
ь
!
о/
f(x)g(x)dx = f(a) / g(x)dx + f(b) / g(x)dx.
I
(5.5)
Доказательство. Сначала докажем некоторое вспомогательное
утверждение.
Предположим, что функция g абсолютно интегрируема на
промежутке {a, ft], то есть g и \д\ суть интегрируемые на [a, ft] функции.
Пусть дана функция <р, невозрастающая на промежутке [a, ft] и
такая, что произведение срд интегрируемо на [a, ft], (p(a) = 1и (р(Ь) > 0.
Докажем, что в этом случае найдется £ G [a, ft] такое, что
о с
= / (р(х)д(х) dx = I д(х) dx.
(5.6)

102 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Зададим произвольно п G N. Согласно лемме 5.2, найдется
функция <рп, для которой
(f{x) > ipn{x) > <p(x)
п
при любом х G [а, ft]. При этом
1 П
к=1
где каждая из функций Тк является простой ступенькой, то есть для
нее существует £*. G [a, ft] такое, что Тк(х) = 0 при х > ^ и г^ж) = 1
при ж < £*;. Пусть
<?(*)= / $(t)A.
а
Функция G непрерывна и, следовательно, принимает на [а, ft]
наименьшее и наибольшее значения. Пусть
р — min G(rr), g = max G(x),
жб[а,Ь] жб[а,Ь]
p = G(rri), g = G(rr2), где x\ G [a, ft] и x<i G [a, ft]. Имеем:
ь n ъ
In= (pn(x)g(x) dx = - ^ / rk(x)g(x) dx =
a a
= l-±J9{t)dt=l-±G{ik).
г 1 v и 1
fc = l " fc = l
Каждое из слагаемых в последней сумме лежит между р и q, из чего
следует, что р < 1п < Я-
При каждом n G N имеем:
\I-In\<^ J \g(x)\dx.
Отсюда вытекает, что 1п —» 7 при п —» оо и, значит, р < I < д.

§ 6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 103
Так как функция G непрерывна и р = G(rri), q = G{x2)<> где rri и #2
— точки промежутка [а,Ь], то найдется £ Е [а,Ь] такое, что I = G(£).
Существование £ Е [а, Ь], для которого выполняется равенство (5.6),
таким образом, доказано.
Пусть / и д — произвольные функции, удовлетворяющие всем
условиям теоремы.
Если /(а) = /(b), то равенство (5.5) выполняется, каково бы ни
было £ Е [а,Ь].
Будем считать, что /(а) ф /(b)- Для х Е [а,Ь] положим:
Функция tp — монотонна. Имеем: ip(a) = 1, <p(b) = 0.
Отсюда видно, что функция ip — невозрастающая. По доказанному,
найдется £ Е [а, Ь] такое, что
ь i
I ^(#ЖЖ) dx = I д(х) dx.
Подставляя в последнее равенство выражение для <р(х) согласно
формуле (5.7), получаем:
ь £
J №) - /№(*) <** = [/(а) - /(b)] J g(x) dx.
а а
Отсюда
ь t t ь
I f{x)g(x)d(x) = /(a) A ff(<r) drr - /(b) I g(x) dx + /(b) J g(x) dx =
a a a a
= /(a) / flf(rr) drr +/(b) / g(x)dx.
a t
Теорема доказана. ■
Замечание. Предположим, что в условиях теоремы дано,
что функция д : (а, Ь) —> R непрерывна в основном в промежутке (а,Ь).

104 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Если функции д и \д\ интегрируемы по промежутку [a,ft], a функция /
— ограничена, то функция fg интегрируема по [a, ft].
Действительно, функция fg, очевидно, является непрерывной в
основном. Пусть L < оо таково, что \f(x)\ < L для всех х Е [a,ft]. Тогда
\f(x)g(x)\ < L\g(x)\ для всех х £ (a, ft), откуда следует интегрируемость
функции fg по промежутку [a,ft].
§6. Интегралы и суммы. Формулы численного
интегрирования
В этом параграфе устанавливаются некоторые результаты,
касающиеся связи определенных интегралов с конечными суммами.
Доказываются некоторые полезные неравенства между
интегралами и конечными суммами. Эти неравенства найдут применение в
теории рядов, излагаемой во второй части книги в главе 11. Здесь же
приводятся только примеры на применение этих неравенств.
Доказывается теорема о представлении интеграла функции как
предела некоторых конечных сумм. Функции, для которых такое
представление возможно, называются функциями, интегрируемыми в
смысле Римана. Приводится определение понятия функции, интегрируемой
в смысле Римана, и понятие интеграла Римана функции.
Доказывается, что всякая функция, определенная и непрерывная
на замкнутом отрезке [a, ft] С М, интегрируема в смысле Римана и ее
интеграл по промежутку [а, Ь] является интегралом Римана функции f
по промежутку [а, ft].
В заключительной части этого параграфа описываются некоторые
методы приближенного вычисления определенных интегралов.
Теория численного интегрирования составляет обширный раздел
современной математики. Далее приводятся самые начальные
результаты из этой области. Описываются две формулы приближенного
интегрирования — формула трапеций и формула Симпсона.
6.1. Интегралы и неравенства, содержащие суммы
Интегральное исчисление может служить средством для
установления разного рода неравенств. Для этой цели полезно следующее
предложение.
В Теорема 6.1. Пусть тип — целые числа такие, что m < п, и
f : [га, п] —>• Ш есть монотонная функция. Тогда:

§ 6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 105
если функция f убывающая, то имеют место неравенства
п-1 '1 п
£/(*)>/ f(t)dt> Y, /(*);
fc=m fc=m+l
k=m+l
если f есть возрастающая функция, то
(6.1)
п-1 '1 п
k=m fc=m+l
(6.2)
Доказательство. Предположим, что / есть убывающая
функция. Дальнейшие рассуждения иллюстрируются рис. 9. Сумма в левой
части неравенства (6.1) равна площади фигуры, составленной из тех
прямоугольников на рис. 9, у которых нижнее основание лежит на оси
Ох, а верхнее располагается выше графика функции. Сумма справа
равна площади заштрихованной части этой фигуры.
Рис.9
Возьмем произвольно значение к такое, что га < к < п — 1.
Для всех t E [к, к + 1] имеем:
откуда, очевидно, следует, что
fc+i
/(*)> J f(t)dt>f(k + l).

106
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Суммируя данные неравенства почленно по к в пределах от к = т
до к — п — 1, получим:
П-1 71-1 ^l1 П-1
Ея*о>Е / л*)^>Е^+1)-
fc=m k=m , fc=m
Имеем:
п-1 fc+X
/(*)<Й = / /(*) dt,
Ё / f(t)dt=J
« га
п—1 п
fc=ra fc=ra+l
и справедливость неравенства (6.1) установлена.
Случай, когда / есть возрастающая функция, сводится к
рассмотренному заменой / на —/.
Лемма доказана. ■
Приведем два примера на применение неравенств (6.1) и (6.2).
Пример 1. Рассмотрим сумму
SA(n) = EfcA'
fc=i
где А / — 1 — вещественное число.
Предположим, что А > 0. Тогда функция хх является
возрастающей на полуоси [0,оо).
Применим первое из неравенств (6.2), полагая в нем f(x) = ггл,
т — 1 тд. заменяя пнап + 1.
Получим следующую оценку сверху для суммы S\{n):
n+l
п / ч ^ f \ j (п+1)Л+1-1
S\(n) < / xxdx=± ;
Л + 1
I
Полагая во втором из неравенств (6.2) m = 0, найдем, что
п
I
А
xAdx < S\(n),
п

§ 6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 107
откуда заключаем, что
пЛ+1
5^1 <AW-
Согласно теореме Лагранжа о среднем значении,
(п + 1)Л+1 - пЛ+1 = (Л + 1)(п + 0)\
где 0 < в < 1. Имеем:
0чА
(n + 0)A = nA(l + £) •
Величина (Ц—) является ограниченной на множестве N.
Из полученных неравенств вытекает, что для всякого Л > 0
выполняется неравенство:
5>Л = гп+0(пЛ)- (б-3)
Рассмотрим случай — 1 < Л < 0.
В этом случае функция хх является убывающей и требуемый
результат мы получим, применяя неравенство (6.1) к функции f(x) = хх.
Сначала воспользуемся первым из неравенств (6.1). Полагая
в нем f(x) = жЛ, га = 1 и заменяя п на п — 1, получим:
п+1
s»(
Применяя второе из неравенств (6.1), получим оценку снизу
для величины:
п
А+1
5Л(п)< I xxdx= П
А + 1
о
Из найденных неравенств вытекает, что и в этом случае
справедливо асимптотическое соотношение (6.3).
Рассмотрим случай Л = — 1.

108
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Применяя неравенства (6.1), получим:
n n+1 п п
Отсюда получаем неравенства:
п
l + lnn>J^~ >ln(n + l),
fc=i
из которых следует, что
1Ь
^-= Inn+ 0(1) при п->оо. (6.4)
fc=i
Рассмотрим разность
П 1
Дп = J]--lnn.
fc=i
При каждом п имеем: Rn+i = Rn -\ г ~ ^п(п + 1) + ^п?7" Для вся"
п + 1
кого х > О, согласно теореме 1.5 главы 3, выполняется неравенство:
Ых > . Отсюда вытекает, что
~~ х
In(» + l)-lnn = ln(l + l)>^lI,
и, значит, iJn+i < -Rn, при каждом п, то есть последовательность
(-Rn)nGN является убывающей. В силу соотношения (6.4), данная
последовательность является ограниченной и, стало быть, существует
конечный предел
lim < >^ -— Inп > .
fc=l
Этот предел называется постоянной Эйлера и обозначается символом С.
Приближенное значение постоянной Эйлера:
С = 0.577 215 664 901 532 860 60.

6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 109
Постоянная Эйлера возникает во многих вопросах. Об ее
арифметической природе известно очень мало. В частности, неизвестно,
является ли постоянная Эйлера рациональным числом или же она
иррациональна?
Пример 2. Укажем некоторую асимптотическую оценку суммы:
п
fe=i
Заметим, что ехрЕп = п! и исследование асимптотического
поведения суммы Еп при п —> оо позволит нам получить некоторую
информацию о том, как ведет себя п! при больших п.
Функция In является возрастающей на промежутке (0, оо).
Применяя (6.2), получим следующие неравенства:
п+1
ixdx>Yjn> I Inxdx.
i i
n-ti п
/ In x dx > En > /
Применяя правило интегрирования по частям, будем иметь:
В результате получаем неравенства:
(п + 1) In (п + 1) -п > Еп > nlnn-n + 1. (6.5)
Отсюда следуют неравенства, характеризующие рост п\ при п —» оо:
/ . i\ in+1
(п + 1)
>п! > е
[=]"• т
В главе 12 книги будет доказана так называемая формула Стир-
линга, существенно уточняющая неравенства (6.6).
6.2. РИМАНОВЫ СУММЫ И ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРИРУЕМОЙ
В СМЫСЛЕ РИМАНА
Пусть дан замкнутый промежуток [а, Ь] в множестве Ж.

110 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Будем говорить, что задано пунктированное разбиение £
промежутка [a, ft] или, иначе, разбиение с отмеченными точками отрезка
[а,Ь], если указана конечная последовательность точек
а = Хо < Х\ < • • • < Хт-1 < Хш = Ь
промежутка [а, 6] и при каждом г — 1,2,...,т задана точка U такая,
ЧТО Хъ-1 <U<Xi.
Формально, пунктированное разбиение есть пара
последовательностей
точек промежутка [а, ft], удовлетворяющая всем указанным выше
условиям.
Числа Хг называются узлами пунктированного разбиения £, а
числа U — его отмеченными точками.
Наибольшую из длин отрезков, на которые [a, ft] делится точками
Хг, то есть наибольшее из чисел х\ — жо,#2 — a?i,... ,хт — #m-i, будем
обозначать символом ||£|| и называть нормой пунктированного
разбиения £.
Пусть дана функция / : [а, 6] —► R. Возьмем произвольно
пунктированное разбиение £ отрезка [a,ft].
Пусть жо = а < xi < • • • < rrm_i < хш = ft суть узлы этого
пунктированного разбиения, ti,t2,... ,tm — его отмеченные точки. Положим:
771
Величина i?(/,£) называется интегральной суммой или суммой Ри-
мана функции f, отвечающей пунктированному разбиению £.
Пусть дана функция / : [a, ft] —► С.
Функция / называется интегрируемой в смысле Римана по
промежутку [a,ft], если существует число L Е С, для которого по всякому
е > 0, найдется 5 > 0 такое, что для любого пунктированного разбиения
£ промежутка [a,ft], удовлетворяющего условию ||£|| < 6, выполняется
неравенство:
|Я(/,0-Ь|<е.
В этом случае говорят, что L есть интеграл Римана функции f no про-
межутку [a,ft].

§6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 111
■ Теорема 6.2. Всякая функция f : [а, Ь] —► R, непрерывная на
промежутке [а, 6], где —оо<а<Ь<оо, интегрируема в смысле Ри-
мала по этому промежутку, и интеграл функции f по промежутку [а, Ь]
совпадает с интегралом Римала функции f по [а, 6].
Доказательство. Пусть / : [а, Ь] —► М есть непрерывная
функция. Согласно теореме Гейне о равномерной непрерывности
непрерывной функции на замкнутом отрезке (см. глава 2, п. 5.3.2, теорема 5.3),
функция / равномерно непрерывна в промежутке [а,Ь].
Пусть и есть модуль непрерывности функции /. Зададим
произвольно пунктированное разбиение £ промежутка [а, 6]. Пусть xq = а <
< #1 < • • * < хг = Ъ суть узлы этого разбиения,
t% G \Xi—l<) Xi\) % — 1, 2, ... Г,
— его отмеченные точки. Положим:
ь
r(0= / f(x)dx-R(f,£) =
Г
а
Имеем:
/ f(x)dx- f(U)(xi-xi-1)= / [/(я) -/(**)] Ac.
жг-1 жг-1
При х е [xi-i.xi] и t e [xi-\,xi]
\x-t\< |a?i-a?i-i|<||e||,
откуда следует, что при каждом г = 1,2,..., г
1/(*)-/(*01<"(0

112
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
для всех х G [xi-i,Xi]. Отсюда вытекает, что при каждом г = 1,2,... ,г
выполняются неравенства:
/
Яг-1
[/(я)-/(*0]<&
<Ш1Ш(^-^-1).
Полагая здесь г = 1,2,... ,г и складывая полученные неравенства
почленно, в результате будем иметь:
ь т
\ f(x) dx - У^ f(tj)(xj - Xj-x)
<
<^(11Ш2(^-^-1) = (Ь-аМ1Ш-
г=1
Таким образом, мы получаем, что для любого пунктированного
разбиения £ промежутка [а, Ь] выполняется неравенство:
6
/
f(x)dx-R(f,0
<(Ъ-а)и(№\)-
(6.7)
При t —> 0 будет u(t) —> 0.
Зададим произвольно s > 0. Пусть <5 > 0 таково, что для любого
t £ [0,6) выполняется неравенство:
w(t) <
Ъ — а
Тогда для всякого пунктированного разбиения £ промежутка [а,Ь],
такого, что ||£|| < 6 в силу неравенства (6.7), будем иметь:
ъ
I
f(x)dx-R(f,£)
< е.
В силу произвольности е > 0, тем самым установлено, что интеграл
функции / по промежутку [а, Ь] является также ее интегралом Римана
по тому же ■ промежутку.
Теорема доказана. ■

§6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 113
6.3. Численное интегрирование функций. Формула трапеций
Пусть дан произвольный отрезок [а, Ь] С М. Функции,
определенные на промежутке [а, 6], у которых первообразная является
элементарной функцией, составляют достаточно узкий класс в множестве всех
функций, интегрируемых по данному промежутку [а, Ь]. В связи с этим
возникает задача о построении методов, позволяющих строить
приближенные значения интеграла
ь
I f(x)dx,
а
сколь угодно близкие к его истинному значению, не зная первообразной
функции /.
В полном объеме эта задача рассматривается в курсах по теории
вычислений. Здесь мы укажем две простые формулы для
приближенного вычисления интеграла, которые дают удовлетворительное решение
задачи о приближенном вычислении интеграла.
Начнем с некоторых вспомогательных рассуждений.
Пусть функция / : [0,1] —► М интегрируема по промежутку [0,1].
Положим
1
T(f) = J f{x) dx - |[/(0) + /(1)]. (6.8)
0
Для любых двух функций / и д и любых вещественных чисел А и
/i, очевидно, имеет место равенство:
T(A/ + W) = AT(/) + mT(p). (6.9)
Далее, заметим, что Т(/) обращается в нуль для функций f(x) = 1
и f(x) = х. Отсюда следует, что Т(/) = 0 для всякой функции вида
f(x) = кх + Z, где к и I — постоянные.
Величина Т(/) есть значение ошибки, которая получается,
если для вычисления интеграла
1
/ f(x)dx (6.10)
о

114 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
заменить функцию f(x) полиномом не выше первой степени,
совпадающей с / на концах промежутка [0,1].
Предположим, что функция / принадлежит классу 2>2, и ее вторая
производная является ограниченной функцией. Полагаем:
2 = SUp \f"(x)\.
«€[0,1]
(б.и)
■ Лемма 6.1. Для всякой функции f класса V2 на промежутке [0,1]
имеет место неравенство:
\T(f)\
1
= \Jf(x)dx-±[f(0) +
/(1)]
< 11/112
S 12 '
(6.12)
Доказательство. Предположим сначала, что функция /
удовлетворяет условиям: /(0) = /(1) = 0. При этом предположении имеет
место равенство:
T(f) = J f(x)dx.
о
I
Введем вспомогательную функцию сг(х) = -zx(x — 1). Имеем: <т"{х) = 1.
z
Отсюда получаем:
1 1
/ f(x)dx= J <r"(x)f(x)dx.
Интеграл справа преобразуем, применяя кратную формулу
интегрирования по частям. В результате получим:
T(f) = a'(x)f(x)\ -<r(x)f'(x)
10
1
1 + ^ f f"(x)x(x-l)dx. (б.
13)
Заметим, что «внеинтегральные» члены в правой части
равенства (6.13) обращаются в нуль. Первое слагаемое обращается в
нуль в силу того, что, согласно предположению, /(0) = /(1) = 0, второе
равно нулю, потому что <т(0) = <т(1) = 0.

§6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 115
Мы получаем в результате, что для данной функции /
1
T{f) = \J f"{x)x{x-l)dx.
О
Отсюда вытекает, что
1
\T{f)\<\\fh(jJ\x(x-l)\dx\=№jl.
Теперь освободимся от ограничения /(0) = /(1) = 0.
Пусть / : [0,1] —► К есть произвольная функция класса V2.
Положим h{x) = f(x) -кх-l, где к = /(1) - /(0), I = /(0).
Очевидно, /i(0) = /i(l) = 0 и, следовательно, по доказанному,
\T(fi)\ < ' . Так как для функции ср(х) = кх + l имеет место равен-
ство T(ip) = 0, то T(/i) = T(/). Имеем также: f"(x) = f"(x), откуда
вытекает, что ||/||2 = Ц/ilb-
Таким образом, мы получаем, что для всякой функции / класса Х>2,
определенной на промежутке [0,1], выполняется неравенство:
1
■I/
T(f2) = T(f) = | / f{x) dx - i[/(0) + /(1)]
ll/ilh _ ll/l
12 12
Лемма доказана. ■
Пусть дана функция /, определенная и непрерывная на промежутке
[а, Ь] С R. Положим I = Ъ — а.
Зададим произвольно натуральное число п.
Промежуток [а, 6] разделим на п равных частей точками
Ы
Хк = а-\ ,
п
к = 0,1,2,...,п. Обозначим через Xk точку (xk,0) на оси Ох, Пусть
Ук = (xk)f(xk)) — соответствующая ей точка на графике функции /.
Пусть теперь /п есть функция, определенна^ условиями: fn{xk) =
— f(xk) для всякого к = 0,1,2,..., п и fn(x) = А^ж + 5fe в промежутке
[ajfc-i,ajfc] при каждом & = 1,2,... ,п.

116
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Рис. 10
График функции / есть ломаная, получаемая, если
соединить последовательно отрезками точки Уо и Yi, Y\ и Уъ и т. д. (см.
рис. 10). Если п достаточно велико, то функция /п, как это очевидно
из рисунка, будет близка к функции / и, значит, интеграл от функции
/п по промежутку [а, Ь] близок к интегралу от функции по этому же
промежутку [а,Ь].
Найдем интеграл от функции /п по промежутку [xk-i>Xk], где
1 < к < п. Положим: tk = -(xk-i + Xk), h = Хк — Xk-i = —.
Заметим, что Xk — tk = tk — Хк-i = —. Функцию /п в промежутке
[xk-i,Xk] представим в виде: fn(x) = Afc(x - **) + Cfc, где Ак к Ск —
постоянные. Полагая х = rcfc-i, ж = я;^, получим следующую систему
уравнений:
--А* + Ск = f(xk-i)i 2Ак + Ск = Дж*)>
которой удовлетворяют числа Ак и Ск-
Складывая эти уравнения почленно, получим:
Ck = -[f(xk-1) + f(xk)].
Величину Ак вычислять не нужно, ибо
хк tfe+fi/2 h/2
/ (x-tk)dx= / (x-tk)dx= I
x dx = 0.
ж*-1
tfc-b/2
-h/2

§6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 117
В результате получаем, что
хк
I
U(x)dx = Ckh = — [f(xk-i) + f(xk)].
xk-i
Отсюда
ь
I fn(x)dx = Y, J fn{x)dx = ^^[f(xk-1) + f(xk)}. (6.14)
a xk-l
Сумму, стоящую в правой части равенства (6.14), будем
обозначать символом Еп(/; а>, Ь). После приведения подобных членов
получаем:
£п(/;а,Ь) = -
п
(6.15)
Принимая величину Еп(/;а,Ь) за приближенное значение
интеграла функции / по промежутку [а, Ь], мы получим некоторый метод
приближенного вычисления интеграла. Правая часть равенства (6.15)
называется формулой порядка п для приближенного вычисления интеграла
методом трапеций или, короче, формулой трапеций для
приближенного интегрирования.
Величина Еп(/; а, Ь) допускает следующее геометрическое
истолкование. Предположим, что f(x) > О для всех х Е [а, 6].
Интеграл функции / по промежутку [а,Ь] есть площадь
криволинейной трапеции, определенной неравенствами:
а<х<Ъ, 0<у< /(ж),
и, значит, этот интеграл равен сумме площадей малых криволинейных
трапеций Xk-iYk-iYkXk.
Величина Еп(/; а, Ь) возникает, если в этом представлении
интеграла, как суммы площадей криволинейных трапеций, площадь
криволинейной трапеции Xk-\Yk-\YkXk заменить площадью обычной трапеции
с теми же вершинами Xk-\, Yk-i, Yk, Xk.
Следующая теорема дает оценку точности метода
трапеций численного интегрирования.

118
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
■ Теорема 6.3. Пусть функция f : [а, Ь] —► R принадлежит классу
V2 и ее вторая производная ограничена. Пусть £п(/; а, Ь) есть величина,
определенная равенством (6.15). Положим также I = Ь — а. Тогда для
всякого n G N справедлива оценка:
ь
I/
f(x)dx-'En(f;a,b)
<
I3
12п2
(6.16)
Доказательство. Пусть функция / : [а, Ь] —► R удовлетворяет
всем условиям теоремы. Положим:
/W<fa-ij [/(!,-,) +/(ад)].
ж*-1
Произведя в интеграле справа замену переменной
интегрирования по формуле:
I
х = rcfc-i H—t
п
и полагая
получим:
Ф)
= -/( ff*-i + -t ),
п \ n J
1
p(t) Л-5И0)+ р(1)] =Т(р).
Применяя неравенство (6.12), будем иметь:
/3
lw"<*)1 =
п*
-/"(*)
< 5ll/ll2-
71°
Отсюда получаем:
«Is 3?М*
Имеем, очевидно:
/ f(x)dx-T,n(f;a,b)
fc=i
^« <X)wi,
fc=i

§6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 119
откуда следует неравенство:
ь
v)dx-Y,n(f;a,b)
ъ
<
12п2
Теорема доказана. ■
6.4. Формула Симпсона численного интегрирования.
Точность формулы трапеций, как формулы численного
интегрирования, во многих случаях оказывается недостаточной. Приведем другую
формулу, которая позволяет, при той же затрате труда, достичь
существенно большей точности вычислений в предположении, что функция,
интеграл которой вычисляется, достаточно гладкая.
Сначала проделаем некоторые вспомогательные построения.
Рассмотрим отрезок [0,1]. Найдем числа а, (3 и 7 такие, что
величина af(0) +/3/(1/2) + 7/(1) равна интегралу по отрезку [0,1]
функции / в случае, когда f(x) есть произвольный квадратный трехчлен
Ах2 + 2Вх + С, где А, В и С — постоянные.
Очевидно, достаточно, чтобы равенство
1
/
/(i) dt = a/(0) + /3/(1/2) + 7/(1) (6.17)
было верным для случая, когда либо f(x) = 1, либо f(x) = x либо,
наконец, f(x) = х2.
Полагая в равенстве (6.17) f(x) = 1, затем f(x) = x и, наконец,
f(x) = ж2, получим следующую систему линейных уравнений
относительно неизвестных коэффициентов а, 0 и у:
а +
0
>
i'
+
+
+
7 =
7 =
7 =
1
1
2
1
з
Решая эту систему, получим:
1 а 4 1
а=б' /?=в' 7=6-

120
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Подставляя в равенство (6.17) найденные значения а, /3 и 7?
получим формулу:
1
/
f(x) dx = |[/(0) + 4/(1/2) + /(1)], (6.18)
верную для случая, когда функция f(x) есть квадратный трехчлен.
Отметим один приятный сюрприз. Полагая в (6.18) /(х) = ж3,
получаем, что это равенство верно также и для этой функции, а,
значит, равенство (6.18) выполняется для всякой функции /, являющейся
полиномом не выше третьей степени. Таким образом, множество
функций, для которых равенство (6.18) является точным, оказалось шире,
чем это требовалось с самого начала!
Для произвольной непрерывной функции /, определенной на
отрезке [0,1], равенство (6.18), вообще говоря, не выполняется. Положим:
1
S(f) = J /(*) At - i[/(0) + 4/(1/2) + /(1)]. (6.19)
О
Предполагая, что функция / принадлежит классу Х>4, мы
установим некоторую оценку для величины S(f).
Для произвольной функции / £ Т>4 в промежутке [0,1] положим:
||/IU= sup |/iv(t)|. (6.20)
t€[0,l]
■ Лемма 6.2. Пусть функция f, определенная на промежутке [0,1],
принадлежит классу V4, причем ее четвертая производная ограничена.
Тогда имеет место неравенство:
\S(f)\ < №. (6.21)
Доказательство. Предположим сначала, что / удовлетворяет
следующим дополнительным условиям: /(0) = /(-) = /(1) = 0 и
/(£) = /(1 — t) для всех t e [0,1]. Имеет место равенство:
1 i 1
S(f) = J /(<) dt = J f(t) dt + j f(t) dt.

§6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 121
Произведя в последнем интеграле замену переменной i = 1 — и, в
силу того, что f(t) = /(1 — t), получим:
Положим:
S{f) = 2Jf{t)dt.
О
Имеем: crlv (t) = 1 и, следовательно,
к
2
S(/) = 2y<riv(t)/(t)dt.
О
Применим кратную формулу интегрирования по частям (см.
теорему 2.6). Получим:
S(f) = 2<тт (t)f(t)\ -2a"(t)f'(t)
+ 2a'(t)f"(t)
-2<r(t)f'"(t)
+
i
2
+2 / a{t)f{t)dt.
(6.22)
Из условия f(t) = /(1 — t) вытекает, что для всякого t G [0,1]
/«(<) = (-l)fc/(fc)(l -1), где 1 < k < 4. Полагая < = i и fc = 1,3,
получим:
и
и,значит,
r(i) = -r(i)
В правой части равенства (6.22) 2<r,n(t)f{t)
так как, по условию, /(0) = 0 и / ( - ] =0.
обращается в нуль,

122
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Далее, 2a"(t)f'(t)
= 0 так как а"(0) = 0 и /'(^) = 0.
Наконец, 2<т'(t)f"(t)\ * = 0, так как а'(0) = ^'(|) = 0.
= 0.
Из равенств: <т(0) = 0 и /'"(«J = ° следует, что 2a(t)f"(t)\
Таким образом, все «внеинтегральные» слагаемые в правой
части равенства (6.22) обращаются в нуль. Это позволяет заключить,
что при сделанных предположениях имеет место равенство:
S(f)
Отсюда вытекает неравенство:
2 [ (T(t)fiv(t)dt.
о
|5(/)|<2||/||
1
2
/
24 36
dt
_ WSh
2880
Неравенство (6.21), таким образом, доказано в предположении, что
функция / удовлетворяет некоторым специальным условиям.
Теперь мы можем освободиться от этого ограничения.
Для любых двух непрерывных функций /i и /2, определенных на
промежутке [0,1], имеет место равенство:
5(/1 + /2) = 5(/1) + 5(/2)
и для всякой непрерывной функции / : [0,1] —► R и любого числа Л
5(Л/) = А5(/).
Наконец, отметим еще, что 5(/) = 0, если / есть полином не выше
второй степени.
Пусть дана произвольная функция / £ Р4, определенная на отрезке
[0,1]. Пусть и{х) = рх2 + qx + г есть квадратный трехчлен такой, что
«(0) = /(0),

§ 6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 123
и и(1) = /(1). Выписывая эти равенства полностью, мы получим
систему линейных уравнений относительно коэффициентов р, а таг.
Легко проверяется, что эта система разрешима и, значит,
квадратный трехчлен и(х), удовлетворяющий требуемым равенствам,
существует.
Положим Д = / - и. Имеем: 5(/i) = S(f) - S(u) = S(f). Функция
/i обращается в нуль в точках х = 0, - и 1.
Так как производная четвертого порядка от квадратного трехчлена
равна нулю, то Р\{х) = flv(x) для всех х £ [0,1] и, следовательно,
ll/ilU = ll/IU.
При выводе неравенства предполагалось, что функция /
удовлетворяет еще условию: f(x) = /(1 — х) для всех х £ [0,1].
Определим функцию /г, полагая
/2(*) = i[/l(z)+/l(l-x)].
Очевидно, /2(2) = /2(1 — #) и функция /г обращается в нуль для
ж = 0,|,1.
Функция /г, таким образом, удовлетворяет всем требуемым
условиям. Очевидно, 5(/г) = S(fi). Для всякого а; £ [0,1] имеем:
ЛЧх) = ±[Г(х) + Г(1-х)}.
Отсюда:
|/Г(*)1 < \[\f*{x)\ + |/iv(l - х)|] < |[||/|U + H/IU] = ll/IU.
Так как х £ [0,1] — произвольно, то мы, следовательно, получаем,
что Ц/2Ц4 < II/II4. По доказанному имеем:
s(/) = s(/l) = s(/2)<№<Mi,
и, таким образом, нами установлено, что неравенство (6.21) верно
для всякой функции / £ V4.
Лемма доказана. ■
Пусть / : [а,Ь] —► R есть произвольная функция, определенная на
промежутке [а, Ь] С Ш.

124
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Зададим произвольно номер п Е N. Положим I = b — a, h = — и
п
разделим промежуток [а, Ъ] на п равных частей точками хп = а + fc/i,
к = 0,1,2,... , п. Положим tfc = ~[xfc_i +£fc].
Метод приближенного интегрирования функции, который мы
рассмотрим сейчас, состоит в том, что за приближенное значение
интеграла функции предлагается брать сумму:
h n
0(/; а, Ь) = - $}/(a*-i) + 4/(*fc) + f(xk)]. (6.24)
После приведения подобных членов в этой сумме, получим:
е(/;а,&) = |
/(а) + 2 Y, /(**) + 4 ^ f(tk) + /(b)
fc = l fc = l
(6.25)
Формула (6.24) получается следующим образом.
Для функции / строится функция /п, определенная условиями: при
каждом к = 1,2,..., п ограничение fn на промежутке [xfc-i, Xk] есть
квадратный трехчлен и значения функций f и fn в точках Xk-i, tk и Xk
совпадают. Сумма в(/;а, Ь) равна интегралу от функции /п по
промежутку [а,Ь].
Сумма в правой части равенства (6.25) называется формулой
порядка п для приближенного вычисления интеграла методом Симпсона.
Метод приближенного интегрирования, получаемый таким
образом, называется методом Симпсона (по фамилии автора).
Следующая теорема дает оценку точности формулы
Симпсона при условии, что интегрируемая функция принадлежит классу
Р4 и ее четвертая производная — ограниченная функция.
■ Теорема 6.4. Пусть f : [a,b] —► Ш есть функция класса V4,
причем четвертая производная функции f ограничена. Пусть величина
0(/;а,Ь) определяется равенством (6.25). Тогда имеет место
неравенство:
I/
f(x)dx-e(f;a,b)
< i!ii% (6.26)
" 2880n4 *• '

§ 6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 125
Доказательство. Положим:
хк
f(x)dx - -[/(sfc_i) + 4/(tfc) + /(**)]. (6.27)
Sfc-i
Очевидно,
6
/
/(ar)£fa-0(/;a,b)
£<d<$>Z|.
fc=l
fc=l
(6.28)
В интеграле в правой части равенства (6.27) произведем
замену переменной интегрирования, полагая х = Xk-i + ht. Положим:
(p(t) = hf(xk-i + ht). После очевидных преобразований, будем иметь:
1
dfc = J <p(t)dt- 1^(0)4-4^(1) +<р(1)] = S(<p).
Применяя неравенство (6.21) к функции <р, получим:
|«|<
2880'
Имеем: <plv(t) = h flv(xk-i + ht). Отсюда вытекает, что
|dn|<^Mi
1 ' - 2880
при каждом fc = l,2,...,n. Суммируя по &, отсюда получаем, что имеет
место неравенство:
о
I/
f(x)dx-S(f;a,b)
i5\\f\U
2880n4
При приближенном вычислении интеграла методом Симпсона
порядка п требуется находить значения функции в 2п + 1 точках. В
методе трапеций порядка 2п должны быть определены значения функции
в тех же In 4-1 точках. Погрешность метода трапеций будет не больше
I3
48^||/112'

126
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Метод Симпсона дает погрешность, по крайней мере, в раз
™ ll/lh
меньшую, чем погрешность метода трапеции, где М = '' ',,
nl/lu
§7. Приложения интегрального исчисления
Понятие интеграла имеет многочисленные приложения в
геометрии, механике, физике и других разделах науки, и здесь не
представляется возможным рассказать о всех известных его приложениях.
В этом параграфе приводятся отдельные примеры, в которых
используется понятие интеграла. В частности, поиски эффективных
методов вычисления площади для произвольной плоской фигуры и объема
тела произвольной формы в пространстве сыграли важную роль в
становлении дифференциального и интегрального исчисления.
Заключительная часть этого параграфа посвящена приложению
интегрального исчисления к решению одной трудной математической
задачи. Именно, мы приведем доказательство классической теоремы
( 1\п
Эрмита, согласно которой число е — lim I 1 -\— ) трансцендентно, то
п-юс\ П/
есть оно не может быть корнем никакого полинома, коэффициенты
которого — целые числа. Отсюда, в частности, следует, что число е
иррационально.
7.1. Площадь плоской фигуры
Площадь плоской фигуры, так же как и объем тела в пространстве
— это математические понятия, которые сами по себе нуждаются в
точном определении. Такое определение будет дано в главе 13 второй части
книги на основе понятия кратного интеграла. Здесь мы будем
опираться на наглядные представления о площади и объеме из элементарной
математики.
Покажем сначала, как вычислять площади плоских фигур некоторого
специального вида.
Пусть дана функция / : [a,b] —► R. Предположим, что f(x) > О для
всех х £ [а,Ь]. На плоскости зададим декартову ортогональную систему
координат.
Если точка Р на плоскости имеет координаты (х,у), то мы будем
использовать обозначение Р = (х,у).
Пусть А есть точка (а, 0), В — точка (Ь, 0). Точки А и В лежат на
оси абсцисс. Положим: М = (a,/(a)), N = (b,f(b)).

§ 7. Приложения интегрального исчисления
127
Пусть А = [xi,^] — произвольный отрезок, содержащийся в [а,Ь].
Положим: Xi = (rci,0), Х2 = (ж2,0), Yi = (rci,/(rci)) и У2 = (ж2,/(ж2)).
Точки Y\ и У2 принадлежат графику функции /.
Множество всех точек (ж, у) таких, что Ж1<ж<ж2и0<у< /(ж),
будем обозначать одним из символов: Г(/; А) или T(/;#i,#2).
Множество Т(/;А) представляет собой плоскую фигуру,
ограниченную прямолинейными отрезками Yi-Xi, XiX2, Х2У2 и дугой Y1Y2
графика функции / (см. рис. 11).
Будем называть Т(/; А) криволинейной трапецией,
соответствующей отрезку А = [ж1,Ж2].
Здесь будет указан способ вычисления площади
криволинейной трапеции. Полученный результат может быть использован также и
для нахождения площадей геометрических фигур, которые не являются
криволинейными трапециями.
Для произвольной криволинейной трапеции Т(/; А) пусть 5/ (А) —
ее площадь. Тем самым в промежутке [а, Ь] определена функция
отрезка 5/.
Требуемый результат мы получим как следствие некоторой общей
теоремы.
■ Теорема 7.1. Пусть даны ограниченная и непрерывная в
основном функция f : (а, Ь) —> Ш и аддитивная функция отрезка S в
промежутке [а,Ь]. Предположим, что для всякого отрезка А = [xi,^] С [а,Ь]
выполнено следующее условие: если числа Н\ и Щ таковы, что для всех
х Е А выполняются неравенства —oo<Hi < f(x) < H2 < 00, то
Нх{х2 - xi) < 5(A) < Н2(х2 - xi).

128
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Тогда для всякого отрезка А = [#i, #2] С [а, Ь] будем иметь:
х2
5(A) = / f(x)dx.
Доказательство. Пусть выполнены все предположения.
Теорема будет доказана, если мы установим, во-первых, — что аддитивная
функция отрезка S непрерывна, а, во-вторых, — что исключая точки,
образующие не более чем счетное множество, плотность функции
отрезка S в точке х £ [а, Ь] равна f(x).
Пусть L < оо таково, что \f(x)\ < L для всех х £ [а,Ь]. Тогда,
в силу условия теоремы, для всякого отрезка А = [rci,^] имеют место
неравенства:
-L|A| < 5(A) < L|A|.
Отсюда следует непрерывность 5. (Здесь и далее | А| = Х2 — х\ — длина
отрезка А = [ал,^].)
По условию, функция / — непрерывна в основном. Это означает,
что множество точек разрыва функции / не более чем счетно.
Пусть точка хо Е (а,Ь) такова, что функция / непрерывна в хо.
Зададим произвольно е > 0. По нему найдется 6 > 0 такое, что
если \х — хо\ < 6, то
1/(ж)-/Ы1<|.
Пусть А С [а,Ь] есть отрезок такой, что |А| < £, и хо € А. Если
х Е А, то \х — хо\ < й, и, стало быть, для этого х выполняются
неравенства:
/Ы-| </(*)</Ы + |.
В силу условия теоремы, отсюда, очевидно, следует, что
[/(хо) - |] |А| < 5(A) < [f(x0) + |]
и, значит,
~ f[X0)
|А|
<-!<*■
Так как е > 0 — произвольно и для достижения последнего
неравенства потребовалось лишь, чтобы отрезок А содержал в себе точку
хо и длина его была меньше й, то тем самым установлено, что
f(xo) есть плотность функции отрезка S в точке xq.

§ 7. Приложения интегрального исчисления
129
Таким образом, S — это непрерывная аддитивная функция
отрезка и в каждой точке ж £ (а,Ь), в которой функция / непрерывна (то
есть для всех ж, исключая, может быть, некоторое не более чем счетное
множество значений ж), ее плотность равна /(ж). Отсюда следует, что
5(A) = f f(x)dx.
Хх
Теорема доказана. ■
Для произвольной криволинейной трапеции Т(/;А) пусть 5/(А)
есть ее площадь. Тем самым в промежутке [а, Ь] определена некоторая
функция отрезка Sf.
В силу известных из геометрии свойств площади, имеют место
следующие утверждения.
I. Функция отрезка Sf — аддитивна.
П. Если для всех х из промежутка А = [#i, жг] выполняются
неравенства Hi < f(x) < Н2, где Hi > О и Н2 < оо — постоянные, то
Hi\A\<Sf(A)<H2\A\.
Действительно, пусть Ai и Аг — произвольные, примыкающие
один к другому отрезки, лежащие в промежутке [а,Ь], До, есть их
объединение. Тогда Т(/; А0) = Т(/; Ai) U Т(/; А2).
Пересечение криволинейных трапеций Т(/; Ai) и Т(/; А2) есть
отрезок, параллельный оси Оу.
Площадь криволинейной трапеции Т(/;Ао), очевидно, равна
сумме площадей криволинейных трапеций T(/;Ai) и Т(/; Аг), то
есть
5/(Ao) = 5/(Ai) + 5/(A2),
и тем самым справедливость утверждения I установлена.
Предположим, что для всех ж G А = [жг,Ж2] выполняются
неравенства 0 < Hi < /(ж) < Н2 < 00. Пусть Pi есть множество всех точек
(ж, у) таких, что жЕ АиО< j/<ffi,aP2 — множество всех точек (ж, у)
на плоскости, для которых жЕАиО<у<Я2.
Очевидно, что Pi и Р2 суть прямоугольники, основанием
каждого из которых является отрезок А, причем высота прямоугольника Pi
равна fli, а высота прямоугольника Р2 равна Н2. Имеем:
Р1СГ(/;А)СР2,

130 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
откуда следует, что
площ. Pi < площ. Т(/; А) < площ. Р^.
Площадь прямоугольника Р\ равна i?i|A|, площадь
прямоугольника Р2 равна .Й2|А|, откуда получаем неравенства:
Я1|Д| <5/(Д)<Я2|Д|.
В силу теоремы 7.1, из доказанного следует, что для всякого
отрезка А = [ж1,Ж2] С [а, Ь] имеет место равенство:
5/(Д) = j f(x)dx.
хг
7.2. Объемы тел вращения
Всюду в этом разделе и далее Е3 означает обычное трехмерное
евклидово пространство, которое является предметом изучения курса
аналитической геометрии и школьного курса геометрии.
7.2.1. Общую задачу определения того, что есть объем множества в Е3,
мы оставляем пока без рассмотрения, имея в виду обратиться к ней в
главе 13 второй части этой книги.
Будем опираться на известные из школьной математики наглядные
представления о том, что есть объем тела.
Предположим, что в пространстве Е3 задана декартова
ортогональная система координат. Запись (x,y,z) подразумевает координатное
задание некоторой точки в этой системе координат.
Рис. 12

§ 7. Приложения интегрального исчисления
131
Пусть задана неотрицательная, ограниченная и непрерывная в
основном функция / : [а, Ь] —» R.
На плоскости z = О построим криволинейную трапецию T(f\a,b),
состоящую из всех точек, координаты которых удовлетворяют
неравенствам:
а<я<Ь, 0 <у < /(я).
Обозначим через if тело, зачерчиваемое плоской фигурой T(f;a,b)
при вращении вокруг оси ОХ (см. рис. 12).
Множество Н состоит из всех точек X = (х, у, г) пространства Е3,
координаты которых удовлетворяют неравенствам:
а < х < Ь, V?/2 + *2 < /(*)•
Требуется вычислить объем тела Н.
Пусть Д = [ж1,жг] С [а, Ь]. Обозначим через H(f,A) тело,
зачерчиваемое криволинейной трапецией Т(/; Д), где Д = [#i,#2] есть отрезок
на оси Ож, лежащий в промежутке [а, Ь]. Пусть Vf(A) есть объем тела
Я(/,А).
Мы получаем, таким образом, некоторую функцию отрезка,
обозначаемую символом V/.
7.2.2. Геометрически очевидны следующие свойства введенной
функции отрезка У/.
А. Функция отрезка V — аддитивна.
Б. Функция отрезка V — непрерывна, и в каждой точке х £ [a,b], в
которой функция / непрерывна, плотность аддитивной функции отрезка
V равна ir[f(x)]2.
Свойство А не нуждается в комментариях.
Поясним свойство Б. По условию, функция / — ограничена.
Пусть
О < f(x) < R = const < оо
для всех х £ [a,b] (см. рис. 13). Тогда тело На содержится в прямом
круговом цилиндре, высота которого равна
|Д| = х2 -хг,
а радиус основания равен R. Это и есть тот цилиндр, который
зачерчивается при вращении вокруг оси ОХ прямоугольника, одной стороной
которого является отрезок Д, а длина другой стороны равна R.

132
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Объем цилиндра равен 7rJ?2|A|, откуда получаем, что для всякого
отрезка А С [а, Ь] имеет место неравенство:
О < V>(A) < тгЯ2|Д|.
Мы видим, что здесь выполнены условия критерия непрерывности
функции отрезка, который содержится в лемме 3.1, и
непрерывность функции отрезка V/ тем самым установлена.
I ' ■ I
1 Ш . |—*?
: i г У
|щИ г
*ь ■■••. /У
Ал?. 7J
Предположим, что в точке хо функция / непрерывна.
Тогда, каково бы ни было е > О, по нему найдется 6 > 0 такое,
что если \х — хо\ < <5, то \f(x) — f(xo)\ < е, и для всякого отрезка
А = [ж1, жг] С [а, Ь], лежащего в интервале (хо — <5, хо + 5), тело i?(/, A)
будет содержать в себе цилиндр с высотой |А| и радиусом основания
|/(жо) — е|, и одновременно содержаться в цилиндре с той же
высотой и радиусом основания /(жо) + е.
Отсюда вытекает, что имеют место неравенства:
*[/Ы - е]2 < ^ < И/Ы + е]2.
Так как е > 0 — произвольно и для достижения последних
неравенств нужно было только, чтобы отрезок А содержался в интервале
(хо — <5, жо + <$), отсюда следует, что в точке хо плотность аддитивной
функции отрезка V'(A) равна 7г[/(ж)]2.
В силу теоремы 3.1 этой главы, из доказанного следует, что
справедлива следующая формула для вычисления объема тела вращения:
о
V(H) = 7rj[f(x)]2dx.

§ 7. Приложения интегрального исчисления
133
7.2.3. Установим формулу для вычисления объема тела,
получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси OY.
Пусть 0 < а < Ъ и функция / : [а, Ь] —► К ограничена и
непрерывна в основном в промежутке [а,Ь]. Пусть G есть множество точек
пространства Е3, зачерчиваемое криволинейной трапецией Т(/; а, Ь) при
вращении вокруг оси OY (см. рис. 14).
Рис. 14
Для произвольного отрезка А = [ж1,жг] пусть G(A) есть тело,
получаемое при вращении криволинейной трапеции Г(/;А) вокруг оси
OY, G(A) есть множество всех точек, координаты которых x,y,z
удовлетворяют неравенствам:
si < Vх2 + У2 <х^ 0 < ^ < /(*)•
Множество G(A) представляет собой своего рода «втулку». Пусть
V(A) есть объем тела G(A).
Функция отрезка V(A), получаемая таким образом, аддитивна.
Покажем, что эта функция отрезка непрерывна и в каждой
точке х G (а, Ь), в которой непрерывна функция /, плотность аддитивной
функции отрезка V равна 2irxf(x).
Действительно, пусть А есть отрезок [ж1,жг] С [а,Ь] и пусть /д
есть точная верхняя, а / — точная нижняя границы функции / на
промежутке А.
Криволинейная трапеция Т(/; А) содержит в себе прямоугольник,
основанием которого является отрезок А = [#1,Ж2], а высота равна / .
Множество Т(/; А) содержится в прямоугольнике с тем же основанием
и высотой /д.
Вращая эти прямоугольники вокруг оси ОУ, мы получаем две
цилиндрические «втулки», у каждой из которых внутренний радиус равен

134
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
#i, а внешний радиус — #2, высота одной «втулки» равна / , а высота
другой — /д.
Тело G(A) содержится в одной из данных «втулок» и одновременно
содержит другую. Отсюда вытекают неравенства:
ж{х\ - xl)lA < V(A) < ф1 - xl)fA. (7.1)
По условию, функция / является ограниченной. Пусть 0 < f(x) <
< L < оо для всех х G [а,Ь].
Из неравенств (7.1), в частности, вытекает, что
V(A) < тгЬФ(А),
где функция Ф определена соотношением:
Ф : А = [#i,#2] »-* ^2 — х\-
Функция отрезка Ф непрерывна и потому, как следует из леммы 3.2,
непрерывна также и аддитивная функция отрезка V.
Предположим, что функция / непрерывна в точке хо G (а,Ь).
Тогда х\ -» хо и х2 -* х0 при /д -^ /(жо) и /д -^ /(ж0).
Отсюда вытекает, что
тг/д\ 22
lim ,Л, = f(x0) lim ——— = 2тг/(#о)ж0,
и, следовательно, плотность аддитивной функции отрезка V(A) в
точке хо равна 27rf(xo)xo.
Применяя теорему 3.1, заключаем, что объем тела G может быть
вычислен по формуле:
ь
V = 2тг / xf(x)dx.
а
7.3. Длина кривой и площадь поверхности вращения
7.3.1. К рассмотрению понятия длины кривой мы вернемся в главе 8.
Здесь мы дадим определение того, что есть длина кривой и укажем
способ ее вычисления в простейшем частном случае, когда речь идет о
кривых, которые являются графиками функций одной переменной.

§ 7. Приложения интегрального исчисления
135
Пусть даны отрезок [а,Ь]сКи функция / : [а,Ъ] —* R. Определим
по / некоторую функцию отрезка А следующим образом. Для отрезка
А = [ж1,#2] С [а, Ь] полагаем А/ (А) равным длине отрезка на плоскости,
соединяющего точки Y\ = (#i,/(#i)) и Уг = (#2,/(#2)), то есть
А/(Д) = ^[/(*2)-/(31)]2 + (*2-*1)2.
Эта функция в общем случае не является аддитивной (см. рис. 15).
(Читателю предлагается описать все функции /, для которых функция
отрезка А/ аддитивна.)
Рис. 15
Функция А/(А) непрерывна в точке хо Е [а^Ь] в том и только в
том случае, если в этой точке непрерывна функция /. (Напомним, что
функция отрезка Ф называется непрерывной в точке хо Е [а,Ь], если
Ф(А) —► 0, когда отрезок А стягивается к точке #о, то есть если для
всякого е > 0 можно указать окрестность U точки хо такую, что если
хо Е А С U, то выполняется неравенство: |Ф(А)| < е.)
Аддитивная функция отрезка //, определенная в промежутке [а,Ь],
называется длиной дуги кривой у = /(#), если она непрерывна и
плотность Dlf(x) функции If определена в промежутке [а,Ь] в основном,
причем имеет место равенство:
Dlf(x) = DXf(x)
в промежутке [а,Ь] в основном. Этим условием аддитивная функция
отрезка Z/ определена однозначно.
Действительно, если h и h — две непрерывные аддитивные
функции отрезка такие, что
Dh(x) = D\f(x)
в промежутке [а,Ь] в основном, а также и
Dl2(x) = DXf(x)

136 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
в основном в том же промежутке [а,Ь]. Отсюда вытекает, что
Dh{x) = Dl2(x)
в промежутке [а, Ь] в основном.
Пусть jFi и F2 суть производящие функции для данных функций
отрезка. Эти функции непрерывны. При этом
Fl(x) = Dh(z)
в каждой точке, в которой величина Dl\{x) определена и
Ffa) = Dl2{x)
всюду, где величина Dl2(x) определена. Мы, следовательно, получаем,
что
Fi(x) = Fl(x)
в основном. Так как функции F\ и F2 непрерывны, то отсюда вытекает,
что jFi и F2 отличаются на постоянное слагаемое и, значит, Zi = 12.
Кривая у = f(x) называется спрямляемой, если для нее
существует функция отрезка //, удовлетворяющая всем перечисленным
условиям. Произвольному отрезку Д = [#1,0:2] С [а,Ь] отвечает дуга графика
функции /, состоящая из точек (#, f(x)) таких, что х Е Д.
Величину //(Д) мы будем называть длиной дуги графика функции
f(x), отвечающей отрезку Д.
Пусть точка хо Е [а, Ь] такова, что каждая из функций отрезка Z/ и
Л/ имеет плотность в точке жо, причем:
Dlf(x0) = D\f(xo).
Это означает, что
lim Ш = Цт М£>. (7.2)
Д—ж0 |Д| Д-ж0 |Д|
Так как If (А) > |Д|, то DXf(xo) > 1 и из равенства (7.2) вытекает,
что
ит !d*L = i.
Д—*0 А/(Д)
Это проясняет геометрический смысл условия
Dlf(xo) = D\f(x0).

§ 7. Приложения интегрального исчисления
137
Оно означает, что длина достаточно малой дуги кривой у = f(x),
содержащей точку Уо = (жо,/(#о)), почти равна длине прямолинейного
отрезка, соединяющего концы дуги.
Ш Теорема 7.2. Предположим, что функция f : [а, Ь] -+ К.
непрерывна и дифференцируема в основном в промежутке [а,Ь]. Если
функция \J[f'{x)}2 + 1 интегрируема по промежутку [a,b], то кривая у = f(x)
является спрямляемой. При этом для всякого отрезка А = [xi, жг] С [а, Ь]
имеет место равенство:
*/(Д)
ж2
(z)]2 + lcte.
я?1
Доказательство. Предположим, что функция / удовлетворяет
всем условиям теоремы. Аддитивная функция отрезка Ф,
определенная условием Ф([д?1,Ж2]) = /(^2) — /(#i)> непрерывна и в каждой точке
ж G [а, Ь], в которой функция / дифференцируема, имеет конечную
плотность. При этом справедливо равенство:
D<b(x) = f'(x).
Для всякого отрезка А = [ж1,Ж2] имеет место неравенство:
МД)
Ф(Д)
|А|
+ 1 =
/Ы - /(si)
#2 — #1
т2
+ 1.
Для всякой последовательности отрезков (An)n€N, стягивающейся
к точке х, отношение
Ф(Ап)
|Д»|
при п -+ оо, согласно лемме 3.1, стремится к пределу, равному f'{x).
Отсюда следует, что для всякой такой последовательности
отрезков отношение
Л/(Ап)
|Дп|
имеет своим пределом при п —* оо величину:

138
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Для А = [ж1,Ж2] положим:
If (A) = J y/[f>(x)}* + ldx.
хг
Определенная этим равенством аддитивная функция отрезка //
непрерывна, и ее плотность равна
\/[№)Р +1
в промежутке [а, Ь] в основном. Отсюда следует, что
Dlf(x) = DXf(x)
в промежутке [а, Ь] в основном.
Таким образом, мы получаем, что функция // отрезка
удовлетворяет всем условиям определения длины дуги кривой у = /(ж), данного
выше.
Теорема доказана. ■
7.3.2. Выведем формулу для площади поверхности вращения в
пространстве. Пусть функция / принадлежит классу С1 ([а, Ь]), причем
дополнительно потребуем, чтобы для всех х Е [а,Ь]
выполнялось неравенство f(x) > 0.
В пространстве зададим декартову ортогональную систему
координат. Пусть Ох, Оу и Oz — оси этой системы координат. В плоскости
Оху построим график данной функции / (см. рис. 16).
Пусть V есть поверхность вращения, зачерчиваемая в
пространстве при вращении графика функции / вокруг оси Ох.
Наша цель — указать формулу для вычисления площади
указанной поверхности вращения.
Сначала дадим определение того, что мы будем здесь понимать
под термином «площадь поверхности вращения». Определение, которое
будет дано здесь, относится только к случаю поверхностей данного
специального вида, а именно, — поверхностей вращения.
Вопрос о том, что есть площадь поверхности в общем случае, будет
рассмотрен во второй части книги.
Мы предполагаем известным, что такое площадь для простейших
поверхностей вращения, изучаемых в школьном курсе геометрии, в

§ 7. Приложения интегрального исчисления
139
частности, таких как цилиндр или боковая поверхность усеченного
конуса.
Рис. 16
Пусть А = [£i,#2] есть произвольный отрезок, содержащийся в
промежутке [a,ft]. Отметим точки Y\ = (xi,f(xi)) и Уг = (#2,/(#2)) на
графике функции /, и пусть Ф/(А) есть площадь полосы, зачерчиваемой
отрезком Y{Yi при вращении вокруг оси Ох (см. рис. 16). Эта полоса
представляет собой боковую поверхность усеченного конуса, радиусы
оснований которого равны f(xi) и /(#2), а высота равна |А| = Х2 — х\.
В силу формул, известных из курса элементарной математики, имеем:
Ф/(Д) = 7г|У1У2|[/(Ж1) + /Ы].
Заметим, что
\YlY2\ = у/(х2 - XlY + [f(X2) - /(ЯЯ)]2.
Мы получаем, таким образом, некоторую функцию отрезка в
промежутке [а,Ь]. Эта функция не является аддитивной. Если функция /
непрерывна в точке хо Е [а, Ь], то функция отрезка Ф/ также непрерывна
в этой точке.
Будем говорить, что поверхность, описываемая графиком функции
f при вращении в пространстве вокруг оси Ож, квадрируема,
если существует непрерывная аддитивная функция отрезка Р/ такая,
что в основном в промежутке [а,Ь] плотность DPf(x) определена и
DPf(x) = £>Ф/(ж)
в основном в промежутке [a,ft].
Этими условиями функция Pf определяется однозначно.

140
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Для отрезка А = [а^жг] С [а,Ь] величину Р/(А) мы будем
называть площадью части данной поверхности вращения, соответствующей
отрезку А. Эта часть зачерчивается дугой графика' функции /,
лежащей над отрезком А при вращении ее вокруг оси Ох.
Следующая теорема устанавливает некоторое достаточное условие
квадрируемости поверхности вращения, получаемой в результате
вращения графика функции.
■ Теорема 7.3. Предположим, что функция f : [a,b] —► Е
непрерывна и дифференцируема в основном в промежутке [а, Ь] и f(x) > 0 для всех
х G [а, Ь]. Если функция f(x) y/[f'(x)]2 + 1 интегрируема по промежутку
[а, Ь], то поверхность вращения, описываемая кривой у = f(x), является
квадрируемой. При этом для всякого отрезка А = [ж1,а?г] С [а, 6] имеет
место равенство:
х2
Р/(Д) = 2тг / f(x)y/\f'(x)]2 + ldx.
хх
Доказательство. Предположим, что функция / удовлетворяет
всем условиям теоремы. Аддитивная функция отрезка Ф,
определенная условием Ф([ж1,#2]) = /(#2) — /(#i)> непрерывна и в каждой точке
х G [а,Ь], в которой функция / дифференцируема, имеет конечную
плотность. При этом справедливо равенство ИФ(х) = f'(x).
Для всякого отрезка А = [#i,#2] имеет место равенство:
Ф/(Д)
*[/(я1) + /ЫЬ
Ф(А)
п2
+ 1 =
*[/(Sl) + /(*2)]<
Х2 — Х\
+ 1.
Для всякой последовательности отрезков (An)n6N, стягивающейся
к точке х, отношение
Ф(Дп)
|А«1
при п —> оо, согласно лемме 3.1, стремится к пределу, равному f'{x).
Отсюда следует, что для всякой такой последовательности
отрезков отношение
Ф/(Ап)
|Дп|

§ 7. Приложения интегрального исчисления
141
имеет своим пределом при п —> оо величину
2ff/0r)V[/'(*)]2 + l.
Для Д = [2:1,2:2] положим:
х2
Р/(Д) = 2тг / /(x)V[/'(i)]2 + l<fe.
Определенная этим условием аддитивная функция отрезка Р/
непрерывна и ее плотность равна
2тг/(*)Л/[/'(*)]2 + 1
в промежутке [а, 6] в основном. Отсюда следует, что
DPf(x) = 2?Ф/(я?)
в промежутке [а, 6] в основном.
Из доказанного видно, что все условия данного выше определения
квадрируемости поверхности вращения выполняются. Существование
функции отрезка, удовлетворяющей требованиям, содержащимся в этом
определении, установлено.
А именно, Pf и является такой функцией отрезка.
Теорема доказана. ■
7.4. Некоторые физические приложения интеграла
Понятие интеграла имеет многочисленные приложения в физике
(как и в других науках).
Приведем примеры, которые могут служить лишь весьма
неполной иллюстрацией этого.
1) Масса прямолинейного стержня. Пусть дан прямолинейный
стержень, изготовленный из некоторого неоднородного материала. Будем
считать, что этот стержень лежит на некоторой оси, а есть координата
одного его конца, 6 — координата другого, причем а <Ъ.
Пусть Д = [#i,#2] есть произвольный отрезок, содержащийся в
[а,Ъ].

142
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Обозначим через //(А) массу той части стержня, которая
образована точками стержня, координаты которых лежат между х± и Х2. Тем
самым на промежутке [а, 6] определена некоторая функция отрезка //.
Из физических соображений естественно считать, что эта функция
отрезка аддитивна. Полагаем, что функция отрезка /л непрерывна.
Физический смысл этого допущения состоит в следующем:
стержень не имеет точек, в которых была бы сосредоточена ненулевая
масса.
Пусть р(х) есть плотность функции отрезка // в произвольной
точке х G [а,Ь].
Величина р(х) называется плотностью в точке стержня с
координатой х.
Напомним (см. п. 3.1), что, по определению, плотность функции
отрезка // в произвольной точке х отрезка [а, Ь] есть предел отношения
//(А)
на множестве всех отрезков, содержащих точку х при условии,
что |А| —► 0.
Применяя теорему 3.1, получаем, что если множество точек, в
которых величина р{х) не определена, — не более чем счетно, то масса
прямолинейного стержня равна интегралу:
ь
I p(x) dx.
а
2) Работа, силы. Пусть дана материальная точка, которая
перемещается вдоль прямой под действием силы, направленной по этой прямой.
Если сила постоянна и F есть ее величина, то при
перемещении на расстояние, равное s, производится некоторая работа А,
значение которой выражается формулой:
A = Fs.
Выведем формулу для вычисления работы в случае, когда
значение силы есть величина переменная.
Будем предполагать, что значение силы зависит только от
положения материальной точки на прямой, то есть F является функцией
координаты х рассматриваемой материальной точки F = F(x).
Будем считать, что каждой точке х промежутка [а, Ь] сопоставлена
некоторая сила F(x).

§ 7. Приложения интегрального исчисления
143
Пусть А(А) = A{xi^X2) есть работа, которая производится данной
силой при прохождении отрезка Д = [#1,2:2] в направлении от х± К12.
Тем самым на промежутке [а, Ь] определена некоторая функция отрезка.
Пусть на прямой даны точки rri, X2 и жз, причем х\ < Х2 < #з.
Тогда работа, которая производится при прохождении промежутка [ая, #з],
равна сумме A{xi^X2) + А(х2,хз). Отсюда вытекает, что функция
отрезка А является аддитивной.
Из физических соображений очевидно, что большая сила
производит большую работу, то есть если Fi(x) < ^(rr) для всех х из
промежутка [2:1,2:2], то работа, производимая силой Fi при прохождении
отрезка [2:1,2:2], будет меньше, чем работа, которая производится силой
F2 при прохождении того же отрезка.
Предположим, что для некоторого отрезка Д = [2:1,2:2] С [а, 6]
существуют постоянные Hi и В.2 такие, что для всех х Е [2:1,2:2]
выполняются неравенства Hi < F(x) < H2.
Сравнивая работу, производимую силой F при прохождении
отрезка Д = [2:1,2:2], с работой, которая на этом же отрезке выполняется
постоянной силой, равной либо Hi, либо i?2, получаем, что имеют
место неравенства:
Hi(x2 - xi) < А(А) < Н2(х2 - хг).
Будем считать, что функция F ограничена и
\F(x)\ <H <оо
для любого х G [а, 6].
В силу теоремы 7.1, из сказанного, очевидно, следует, что если
функция F непрерывна в основном, то для любого отрезка Д = [2:1,2:2] С
С [а, Ь] работа силы F(x) на этом отрезке выражается формулой:
А(Д) = / F(x) dx. (7.3)
3) Определение пути материальной точки по ее скорости и
ускорению. Пусть рассматривается движение материальной точки вдоль
прямой и пусть x(t), a < t < Ь, есть ее координата в момент времени t.
Тогда для произвольного отрезка времени [*i,<2] разность xfa) — x{ti)
есть путь, пройденный точкой за промежуток времени [£i,*2].

144
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Как было отмечено в главе 4 (п. 2.4), скорость v(t) и ускорение
w(t) данной точки в момент времени t равны производным x'{t) и #"(£),
соответственно.
Часто возникает задача — описать движение точки, зная либо ее
скорость, либо ее ускорение, как функцию времени.
Из сказанного выше следует, что решение указанных задач
сводится к вычислению некоторых интегралов.
А именно, если x(t) = хо для t = а, то для произвольного t Е [а,Ь],
согласно формуле Ньютона — Лейбница (см. п. 1.3 этой главы), путь,
пройденный точкой за промежуток времени [а,£], выражается через
скорость формулой:
/•
x(t)-x(a)= / v(r)dr. (7.4)
Аналогично, если v(a) = vo, то для произвольного t Е [а,Ь]
скорость точки x(t) в момент времени t выражается через ускорение
равенством:
/
v(t) =v0+ w(t) dr. (7.5)
Чтобы выразить путь точки x(t) через ускорение, воспользуемся
формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме
(формула (2.21), п. 2.7). Полагая в формуле (2.21) п = 2 и принимая во
внимание, что х'{а) — v(a), a x"{t) = w(t), получим
t
h-
x(t) = x(a) + (t - a)v(a) + / (t - t)w(t) dr
4) Формула для движения тела, брошенного вертикально вверх
со скоростью, равной vq.
Рассмотрим задачу о движении тела, на которое действует сила
тяжести. Под действием этой силы тело получает ускорение, равное
—д. Пусть v(t) есть скорость тела, a x(t) его высота в момент времени
t Е [0,оо), причем xq = 0. Имеем: vf(t) = —д. Применяя равенство (7.5),
получим, что v(t) = vq — gt.

§ 7. Приложения интегрального исчисления
145
Формула (7.4) теперь позволяет написать формулу для движения
тела, брошенного вертикально вверх:
x(t) =х0+ v(t) dT = vQt-^. (7.6)
Здесь x(t) означает высоту брошенного тела в момент времени t.
5) Формула для величины кинетической энергии материальной
точки.
Предположим, что по прямой движется материальная точка с
массой га и постоянной скоростью, равной г;, и начиная с некоторого
момента времени, на данную точку начинает действовать направленная
против движения точки тормозящая сила и действие этой силы
продолжается вплоть до того момента времени Т, когда скорость точки
становится равной нулю. Покажем, что работа, произведенная
тормоши2
зящеи силой за промежуток времени, равна —— и не зависит ни от
z
величины этой силы, ни от характера изменения тормозящей силы со
временем.
Простоты ради будем считать, что торможение материальной
точки начинается в момент времени t = 0. Пусть v(t) есть скорость точки
в момент времени £, a w(t) — ее ускорение в этот момент.
F(t)
Имеем: w(t) = v'(t), w(t) = ^ и v(t) > 0 при 0 < t < Т.
Отсюда получаем, что для t E [0,Т] имеет место равенство:
F(t)
v(t) =v-
-dr.
m
Имеем v(T) = 0 и, следовательно,
т
f F(t)
J ™>
0
dr = v.
Пусть x(t) есть координата точки в момент времени t. При этом
считаем, что х(0) = 0.

146 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Для всякого t Е [0,Т) имеет место равенство x'{t) = v(t) > О, и,
стало быть, функция х является непрерывной и строго возрастающей
на промежутке [0,Т]. Положим Н = #(Т).
В процессе торможения рассматриваемое материальное
тело проходит, таким образом, отрезок [О, Я]. Пусть х Е [О, Я] и £ = t(x)
есть то значение £, для которого x(t) = ж.
Сила, которая действует на тело, когда оно находится в точке с
координатой ж, очевидно, равна F[t(x)].
Заметим, что х н-► t(x) есть функция, обратная функции х.
В соответствии с формулой (7.3), работа А, которая выполняется
данной силой, равна интегралу:
я
/ F[t(x)]dx.
о
Произведем в интеграле замену переменной интегрирования,
полагая х — x(t). Получим:
т т
А= J F(t) x\t) dt= J F(t)v(t) dt.
Далее имеем:
F(t)
v'{t)=w{t) = --
m
Отсюда F(t) = —mv'(t) и мы получаем, что работа, выполняемая
данной силой, вычисляется по формуле:
т
А = - J mv'(t)v(t)dt. (7.7)
о
Подынтегральное выражение является производной функции:
m[v(t))2
2
Отсюда получаем другое выражение для величины работы:
А = -
m[v(T)]2 _ rm?_
2 2
=£• (7-8)

§ 7. Приложения интегрального исчисления
147
Мы видим, что значение работы А, произведенной при торможении
материальной точки с массой га, движущейся со скоростью v, равно
mv2
ту mv2
и не зависит от характера тормозящей силы. Величина —— называется
кинетической энергией материальной точки.
7.5. Доказательство трансцендентности числа е
Число z G С называется алгебраическим, если оно является корнем
некоторого полинома, все коэффициенты которого целые числа. Если
число z не является алгебраическим, то оно называется
трансцендентным.
Иначе говоря, число z G С трансцендентно, если выполнено
следующее условие:
для всякого полинома Р степени п > —оо, коэффициенты которого
целые числа, имеет место неравенство Р(х) ф 0.
■ Теорема 7.4. Множество А С С всех алгебраических чисел не
более чем счетно.
Доказательство. Данная теорема представляет собой не
слишком трудное упражнение на тему: «счетные множества».
Пусть n G N, Vn — множество всех полиномов степени не выше п,
коэффициенты которых Ck, fc = 0,l,2,...,n, суть целые числа,
удовлетворяющие неравенствам \ск\ < п. Множество Vn — конечно, и число
его элементов не превосходит (2n + l)n+1.
Пусть An есть совокупность всех чисел, каждое из которых
является корнем хотя бы одного из полиномов Р, принадлежащих Vn-
Множество An — конечно, число его элементов не превосходит n(2n + l)n+1.
При всяком п G N справедливо Ап С А.
Для всякого С € А существует п G N такое, что ( G Лп.
Из доказанного следует, что
оо
п=1
Таким образом, множество А является объединением некоторой
последовательности конечных множеств, откуда вытекает, что А не более
чем счетно.
Теорема доказана. ■

148
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
* Всякое рациональное число х является алгебраическим.
Действительно, пусть х Е Q. Тогда х = -, где р — целое число, а
q G N. Отсюда следует, что qx — р = О, так что х является корнем
полинома с целочисленными коэффициентами.
Отметим без доказательства некоторые свойства алгебраических
чисел.
* Сумма и произведение любого числа алгебраических чисел также
алгебраические числа.
* Если X t *гъ, X Ф О, то также и — Е Л.
х
* Если Р есть полином, коэффициенты которого являются
алгебраическими числами, то все корни этого полинома есть алгебраические
числа.
Доказательство перечисленных свойств алгебраических чисел
требует привлечения некоторых нетривиальных соображений, относящихся
к алгебре, и мы его не приводим.
Так как множество всех вещественных чисел несчетно, то из
теоремы 7.4 следует, что подавляющее большинство вещественных чисел
суть трансцендентные числа. Однако задача — указать число,
которое было бы трансцендентным, — является весьма непростой.
Первые примеры трансцендентных чисел были построены Ж. Лиувиллем в
1844 г. Значительно труднее оказалось установить трансцендентность
тех или иных конкретных вещественных чисел. В 1873 году Ш. Эрмит
доказал трансцендентность числа е. В 1882 году Ф. Линдеман
установил, что число 7г также является трансцендентным.*^ Другие примеры
трансцендентных чисел были установлены уже в XX веке. Большая
заслуга в установлении трансцендентности некоторых конкретных чисел
принадлежит А. О. Гельфонду.
Приведем доказательство трансцендентности числа е,
принадлежащее Ш. Эрмиту.
■ Лемма 7.1. Пусть функция f является полиномом степени не
выше п. Тогда имеет место равенство:
h
I e~xf(x) dx = F(0) - e~hF(h), (7.9)
о
*^ Из этого результата Ф. Линдемана вытекает неразрешимость задачи о
квадратуре круга, то есть невозможность построить с помощью циркуля и
линейки квадрат, площадь которого была бы равна площади круга с данным
радиусом R.

§ 7. Приложения интегрального исчисления
149
где
F(x) = /(ж) + f'(x) + f"(x) + •■■ + /<">(*)•
Доказательство. Воспользуемся кратной формулой
интегрирования по частям (§ 2, формула (2.16)). Заменяя в ней п на п+1, получим:
/
u(ar)i;(n+1)(aOdc =
]T(-l)VfeVn-fc)
fc=0
+
п
(7.10)
Положим здесь v(rr) = (—1)п+1е~ж, г/(#) = /(#). Так как / есть полином
степени не выше п, то /^п+1^(#) = 0 и интегральный член в правой
части равенства (7.10) обращается в нуль. При каждом fc = 0,1,2,...,п
имеем:
Dku(x) = fw(x),(-l)kDn~kv(x) = (el)*+n-fc+n+ie-* = _e-*e
Подставляя эти выражения для Dku(x) и (—l)kDn~kv(x) в (7.10),
получим:
п
f(*)|
/
/(ж)е х dx =
-е-"Е/'
А:=0
-Л,
= F(0) - e"ftF(fc),
что и требовалось доказать. ■
Напомним некоторые сведения относительно натуральных чисел.
Число п Е N называется составным, если оно может быть
представлено в виде п = ab, где а Е N и Ь Е N, причем а > 1 и Ь > 1.
Число п Е N называется простым, если оно не является составным
числом.
Если п — простое число и п = аЪ, где а, Ь Е N, то одно из чисел
а и Ь равно 1, а другое равно п, ибо в противном случае п было бы
составным числом.
Всякое натуральное число п > 2 может быть представлено как
произведение конечного числа простых чисел. С точностью до порядка
множителей, такое представление единственно. Множество

150
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
всех простых чисел бесконечно. Отсюда, в частности, следует, что для
всякого п Е N существует простое число р > п.
■ Теорема 7.5. Число е = lim И— 1 — трансцендентно.
п—юо V Til
Доказательство. Будем доказывать теорему рассуждением от
противного. Предположим, что нашелся полином
U(x) = со + с\х Н h cmxm
степени га > 1, коэффициенты которого целые числа, такой что Р(е) = 0,
то есть имеет место равенство:
со + cie H h cmem = 0.
Мы можем считать, что коэффициент со отличен от нуля,
поскольку в противном случае обе части последнего равенства можно было бы
сократить на подходящую степень е.
Перепишем равенство (7.9) в следующей форме:
h
F(h) + eh I e~xf(x) dx = ehF(0).
о
Полагая h = 0,l,2,...,ra, умножая полученное равенство на с^ и
суммируя по Л, в результате будем иметь:
771 ТП л ТП
^chF{h) + ^cheh J e"xf(x)dx = J2chehF(0).
/i=0 /i=0 q /i=0
В силу предположения, правая часть последнего равенства равна
нулю и мы получаем, таким образом, равенство:
тп m л
J2 chF(h) + J2 c^h \ e~xf(x) dx = 0. (7.11)
/i=0 /i=0 q
Введем следующие обозначения. Положим:
m m *
^ chF(h) = Ф, J2 °heh / e~*/(a0dx = *• (7-12)
h=0 /i=0 %

§ 7. Приложения интегрального исчисления
151
В этих обозначениях равенство (7.11) принимает вид: Ф + Ф = 0.
Полином / в (7.11) произволен. Мы прийдем к противоречию,
выбирая полином / специальным образом.
Возьмем
/(Ж) = ^1)!Р(Ж)' (7-13)
где Р(х) = хр~г(х — 1)р(х — 2)р... (х — m)p, a р есть простое число,
большее каждого из чисел т и |со|. Степень п многочлена f(x) равна
тр + р— 1.
Покажем, что первая сумма в левой части равенства
(7.11), то есть величина Ф, представляет собой целое число, отличное
от нуля, и, значит, ее абсолютная величина не меньше 1.
Коэффициенты полинома Р{х) суть целые числа. Производная
порядка h полинома / также есть полином, коэффициенты которого числа
вида:
г(г - 1)... (г - h + 1)
(р-1)!
(7.14)
где Аг — целые числа, коэффициенты полинома Р.
Произведение любых последовательных р натуральных чисел
делится на р!. Действительно, пусть г Е N. Выражение
г (г - 1)... (г -р+ 1)
обращается в нуль при г < р, а при г > р есть не что иное, как
биномиальный коэффициент С% и потому является целым числом. Отсюда
следует, что при h>pmr>h
r(r - 1)... (г - h + 1) _
(р-1)!
г (г — 1)... (г — р + 1) __
= р(г — р)... (г — h + 1)
р!
= р(г-р)...(г-Л + 1)С?
и, значит, каждое из выражений (7.14) является целым числом,
делящимся на р.
Таким образом, мы получаем, что производная порядка h > p
функции / представляет собой полином, все коэффициенты которого целые
числа, делящиеся на р.

152
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Производные порядка не выше р — 1 функции / обращаются в нуль
в точках х = 1,2,..., т. Отсюда следует, что для к = 1,2,..., т
F(k) = f(k) + f(k) + • • • + /<*>(*) + • • • + /(n)(fc) =
= f{p)(k) + f^1\k) + -.- + fn\k).
В случае h > p производная .р , как мы установили, есть
полином, все коэффициенты которого целые числа, делящиеся на р. Отсюда
следует, что при к = 1,2,..., т величина F(k) является целым числом,
делящимся на р.
Рассмотрим слагаемое cqF(0) в левой части равенства (7.11).
Из равенства (7.13) следует, что
хр~г хр
f(x) = Ар-г ^—— + Avj^--у + ...,
где коэффициент Ap-i равен свободному члену полинома
Q{x) = {х- 1)р(х - 2)р ... (х - т)р
и, таким образом,
Ap.1=Q(0) = (-l)mp(mi)p.
Величина /^(0) обращается в нуль для h = 0,1,... ,р — 2. Далее,
^(р-!)(0) = =Ь(ш!)р. При h > р коэффициенты полинома /^ суть целые
числа, делящиеся на р. В частности, получаем, что при h > p число
fh(0) — целое, делящееся на р. Из доказанного следует, что
т
ф = Y^chF(h) = (-1)трс0(т\)р +pN, (7.15)
где N — целое число.
Предположим, что простое число р больше каждого из чисел |со|
и га. Если р выбрано так, то тогда произведение со(т\)р не делится
на р и, значит, правая часть равенства (7.15) представляет собой
целое число, отличное от нуля.
Докажем, что величина
™ h
т л
Ф = ]ГсЛе* / e-xf(x)dx
h=0 i

§ 7. Приложения интегрального исчисления
153
может быть сделана сколь угодно малым числом, если взять
достаточно большое значение р. Пусть М есть наибольшее из чисел Ic^e^l,
h = 0,1,2,...,т. Если ж € [0,т], то \х\ < т, и для всякого к = 1,2,...,т
\х — к\ < т. Заключаем, что для всех х € [0,т] справедлива оценка:
х*-1
l/(*)l = ^TijjКж - !)*(* " 2)Р • • • (* " тУ\ $
т?-1 mr> m™p+p-i
< " ,.mmp =
(р-1)! (P-I)!'
Отсюда следует, что при каждом h = 0,1,2, ...,ш справедливо
неравенство:
h
/ е xf(x)dx
о
< m
ттр+р-1 ттр+р
(р-1)! (р-1)!'
Принимая во внимание эту оценку, получим, что
Х>еь/ е-
/(ж) da;
mmp+p
* Мт(^П)Т- (7-16)
Положим: mm+1 = Д. Тогда правая часть неравенства (7.16) будет
равна
MmR
(Р-1)!'
7?П
Докажем, что для всякого Д > 0 отношение —г- стремится к
п!
нулю при п —> оо. Воспользуемся оценкой для п!, полученной в п. 6.1
этой главы (формула (6.6)).
[п~|п
— . Отсюда получаем, что
о<^<1[^1\
n! e L n J
При п —> оо имеем ► 0 и, значит, - — —► 0 при п
n e L n J
оо.

154
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
На основании теоремы о зажатой переменной (глава 2, теорема
1.5), отсюда вытекает, что
lim ^V = 0.
n-юо П\
Пусть п G N таково, что при всяком п > п выполняется
неравенство:
MmR—r < -.
п! 2
Если простое число р удовлетворяет условию р > п + 1, то выполняется
неравенство:
Равенство
(7.11)
MmR
имеет вид:
вр-
(Р-
-1
<
1
2*
Ф + Ф = 0,
где ФиФ определены равенствами (7.12).
Мы доказали, что при данном выборе полинома / и простого
числа р число Ф есть целое число, не делящееся на р. В частности, мы
получаем, что Ф отлично от нуля и, значит, |Ф| > 1. В силу равенства
Ф + Ф = 0, мы получаем, что |Ф| > 1. Это, однако, противоречит
тому, что, как мы показали, при надлежащем выборе простого числа р
выполняется неравенство:
|ф| < \-
Итак, допустив, что существует полином с целыми
коэффициентами, корнем которого является число е, мы получили противоречие.
Отсюда следует, что такой полином не существует и, значит, число е
трансцендентно.
Теорема доказана. ■
Задачи
5.1. Доказать, что одна из первообразных четной функции есть функция
нечетная, а всякая первообразная нечетной функции — четна.

Задачи
155
5.2. Доказать, что если / — непрерывная периодическая функция с периодом
Т, определенная для всех х Е R, то
а+т т
о
а+1 1
J f(x)dx= J .
при любом a G М.
5.3. Указать выражение для первообразной функции / : ж и sgn(sinx), не
используя понятие интеграла.
оо
5.4. Пусть Р : М —► R — многочлен. Доказать, что интеграл / Р(х)е~кх dx
а
сходится для любого к > 0.
5.5. Доказать, что для любых р, q > 0
1 1
о о
5.6. Пусть / : [0, оо) —> М — неотрицательная убывающая функция. Доказать,
что для любого п
п
/(1) + 2/(2) + •.. + nf(n) < j(t + l)f(t) dt.
о
n
nf(n)< f(
5.7. Пусть / : [0, оо) —► Ш есть неубывающая функция. Положим:
Лп = ^/(*)-//(<) Л, tfn= / /фА-])Г/(к).
fc=l ~ ^ fc=l
Доказать, что последовательности (i^n)neN и (^n)neN — невозрастающие.
5.8. Найти предел суммы
1 1 1
■+ : = = + ••• +
5.9. Предположим, что функция / : (a, b) —► R такова, что для всякого
отрезка А = [a?i,a?2] С [а, Ь] нижний интеграл If (А) функции / на отрезке А

156 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
конечен и функция / непрерывна в основном. Доказать, что тогда функция /
интегрируема по промежутку [а, Ь].
5.10. Пусть — оо < а < & < оо и / : (а,Ь) -► R непрерывна в основном.
Доказать, что если функция х »—> [/(ж)]2 интегрируема по промежутку [а, &],
то также и функция / интегрируема по [а,Ь]. Верно ли это в случае, когда
либо а = —оо, либо Ь = оо?
5.11. Пусть числа р > 0 и q > 0 таковы, что —|— = 1. Предположим, что
Р Q
f : (а, &) —> К. и д : (а, &) —► R суть непрерывные в основном функции. Доказать,
что если функции х »-* |/(ж)|р ижн |р(ж)|^ интегрируемы по промежутку [а, &],
то произведение f(x)g(x) также интегрируемо по этому промежутку, причем
имеет место неравенство:
/ f(x)g(x)dx\ <П |/(s)|*dxj ( J \g(x)\«dx\
(интегральное неравенство Гёльдера).
5.12. Функция и : (а, Ь) —► R непрерывна в основном и такова, что функция
ж ь-> |гх(ж)|р интегрируема по промежутку [а, &] для некоторого р > 1. Доказать,
что и интегрируема по интервалу (а, Ь). Верно ли, что и интегрируема по
замкнутому промежутку [а, &]?
Пусть F : (а, &) —► R есть первообразная функции и в промежутке (а, 6).
Доказать, что функция F удовлетворяет условию Гёльдера с показателем
а = 1 , то есть существует постоянная М < оо такая, что для любых
р
#Ъ#2 £ (а, &) выполняется неравенство:
\F(x2) - F(xi)\ < М\х2 - хг\а.
5.13. Пусть / : (0, оо) —► R есть непрерывная в основном функция. Доказать
справедливость равенства
оо оо
/-/(- + -) \nxdx-\na / -/(- + -) dx
х \а х/ J х \а х)
в предположении, что интегралы, стоящие з этом равенстве, определены.
5.14. Пусть / : (0, ос) -» R есть непрерывная в основном функция.
Доказать справедливость следующего равенства в предположении, что интегралы,
стоящие в нем, определены:
оо оо
/—/ I х Н— I arctg х dx — — I —f I x 4— ) dx-
ж V ж/ * 4 J x \ x)

Задачи
157
5.15. Пусть ip : [0, оо) —► М и ^/> : [0, оо) —► R — непрерывные строго
возрастающие функции, причем (р(0) = i/>(0) = 0 и каждая из функций (риф является
обратной по отношению к другой, <р = ф~г и ф = уГ"1. Положим:
= J (p(t)dt, Ф(у)= M(t)i
Доказать, что для любых чисел и > 0 и v > О выполняется неравенство:
ш; < Ф(м) 4- Ф(и)
(общее неравенство Юнга).
5.16. Пусть / : [а, оо) есть интегрируемая по промежутку [а, оо) непрерывная
в основном функция. Для /i > 0 и х G [а, оо) положим:
h
fh(x)=~ / f(x + t)dt.
о
-И
Доказать, что функция Д непрерывна и для всякого ж Е [а, оо), такого, что
функция / непрерывна в точке х, имеет место равенство:
lim fh(x) = /(ж).
5.17. Пусть / : [а, оо) —► R принадлежит классу V1. Доказать, что если
функция х »—► |/'(ж)| интегрируема в [а, оо], то существует конечный предел
lim f(x).
х—кэо
1
5.18. Положим: 1п = I (1 — х2)п dx. Доказать, что 1п —► 0 при п —> оо.
с: /п = / (1 -
-1
Доказать, что существует конечный предел limn->oo y/nln.
5.19. Пусть / : [—1,1] —► R — непрерывная функция. Найти предел:
1
c)dx
Ь-*+° У х2 + h2
-l
lim /Ц®
5.20. Найти предел:
lim
О
1
/* dx
1 / —5 7-
о J ex6 +1

158
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
5.21. Пусть / — непрерывная функция, определенная для всех х и равная
нулю при х, лежащих вне некоторого сегмента [а, Ъ]. Доказать, что если
■/
оо
2
е"г dt,
то
оо
1 f (*-_*)2
lim — / е ~~Т?~- f(t)dt = f{x)
" jh J
— оо
h->+0 7/1
для всех х. (В дальнейшем будет показано, что 7 = >/5г«)
5.22. Функция / : [— 1,1] —> R непрерывна. Найти предел:
,— . —— ах.
h-++o / х2 + h2
-1
5.23. Функция / : [0, оо) —► R непрерывна и ограничена. Найти предел:
оо
ч
—xh 4
О
lim ft / e-xtlf(x) dx.
h—юо
5.24. Доказать, что
тг/2
)п dx = 0.
о
7T/Z
lim / (sin ж
п—>оо /
5.25. Доказать, что
lim
п—юо
0
1
/Хп
dx = 0.
1 + х
5.26. Найти предел:
lim /
be
/(ж) ЙЖ
е-+0 J X
ае
где/Е С([0,1]), а>0, Ь >0.

Задачи
159
5.27. Пусть / : [0, оо) —► R есть монотонная убывающая функция. Доказать,
что если интеграл:
оо
/ f(x)dx
о
сходится, то xf(x) —► 0 при х —► оо.
5.28. Положим:
ж+1
/(ж)= / sint2dt.
Доказать, что |/(х)| < 2/х при х > 0.
5.29. Доказать, что функция
<р:жн-» / j
оо
е~*<И
+ хЧ
о
принадлежит классу С°° на всей прямой М. Построить полином Тейлора
порядка п для произвольного п функции <р в точке х = 0.
5.30. Доказать непрерывность функции
1
X Н-»
о
где 0 < а < 1, м(£) — непрерывна.
5.31. Доказать, что функция
1
г, 1 i e~~x dx
Ф : t E [0,1]
/
у/\х~*\
непрерывна.
5.32. Пусть / : [а,Ь] —► Ш — неотрицательная непрерывная функция.
Положим:
ь
м-/
ВД = / /(»)|Я5-»М».
Доказать, что функция F — выпукла.

160
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
5.33. Функция / : [0,1] —► R — непрерывна и строго убывает на отрезке [0,1].
Доказать, что функция
1
у?:жЕМи / min{:c,/(£)}dt
о
дифференцируема для х Е (/(1), /(0)). Найти <р'(х).
5.34. Пусть / : [—1,1] —► R — непрерывная функция. Доказать, что если
1
/Л.М.)—о
-1
для всякой непрерывной четной (нечетной) функции <р : [—1,1] —► R, то / —
нечетна (соответственно, четна).
5.35. Пусть / : [а, Ь] —► R есть строго положительная непрерывная функция.
Доказать, что
Ь
\^( fifixtfdx)
max f(x),
хе[а,ь]
а
Ь
lim ( /[/(*)]'АН = min /(*)
t—► —оо \ J J ж€[а,6]
5.36. Пусть / : (0, X) —► R, Z < со — непрерывная строго убывающая функция
такая, что /(ж) —► 0 при ж —► Z, и р : (0, Л) —► R — функция, обратная к /.
Здесь Л = lim f(x). Доказать, что
х—>о
I А
/ f(x) dx= g(t) dt.
о о
5.37. Пусть (а, Ь) С R. Даны числа a?i,:c2>-•-»#fe £ (а, Ь) и ai,ct2, • •• ><*&.
Доказать, что если для всякого полинома Р степени не выше га
]Р щР(хг) = 0,
г=1

Задачи
i6i
то существует функция G : (а,Ь) —► R такая, что для всякой функции
/ G 2>m+1(a, b) выполняется равенство:
г
*=1
5.38. Даны числа х±,Х2,...,#& Е [0,1] и с*1, с*2> • • • ? «fc- Предположим, что
для всякого полинома Р степени не выше т выполняется равенство:
}
/ P(x)dx = y^aiP(xi).
Доказать, что существует функция G : [0,1] —► R такая, что для всякой
функции / класса C(m+1) выполняется равенство:
1 * 1
г=1
5.39. Функция / : R —► С — периодическая с периодом Т = 27Г. Доказать, что
если / принадлежит классу Vk(M) и ее производная /W абсолютно
интегрируема на промежутке [0,27г], то
27Г 27Г
f f(x)einxdx \<± f\fM(x)\dx.
о
5.40. Пусть функция и : [О, оо) —► R — дифференцируема, и(ж) —»• оо при
ж —► оо, и'(ж) = о[и(ж)] при х —► оо. Доказать, что тогда
/
u(t)ektdt=ekX^x) [l + o(l)j
при ж —» оо.
5.41. Функция и : [0, оо) —> R принадлежит классу С1 и такова, что для
оо
некоторого к > О имеем u(x)e~fc:c —> 0 при ж —> оо, и / u(t)e~ dt сходится.
а
Предположим, что и'(ж) = о(и(ж)) при х —► оо. Доказать, что тогда
оо
/
u(t)e"fc:c А = - и(я?)[1 + о(1)].

162
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
5.42. Функция и : [0, оо) —► R принадлежит классу С2, и(х) —+ оо, и'(х) —► оо
при х —> оо, ип(х) = о(и'(х)) при ж —> оо. Доказать, что тогда для всякого
к>0
I
кх кх
u(t)ekt dt = ^—u(x) - ^ru'(x) + o{ekxu'(x)).
к кг
о
5.43. Функция и : [0, оо) —► R принадлежит классу С2 и такова, что для
оо
некоторого к > О имеем и{х)е~кх —> 0 при х —► оо и интеграл / u(t)e~kt dt
сходится. Предположим, что w'(a:)e кх —* 0 при ж-^Ои и"{х) = о(и'(х)) при
ж —> оо. Доказать, что
оо
/
u(*)e"fct dt = ^1е~кх + ^e"fc* + O(e-fcV(a0)
при ж —> оо.
5.44. Функция / : R —► R — непрерывна и обладает следующими свойствами:
какова бы ни была функция ip : [1, оо) —► R, абсолютно интегрируемая в [1, оо),
— функция д — / о ср абсолютно интегрируема в [1,оо). Доказать, что тогда
существует число L < оо, L > 0 такое, что \f(x)\ < L\x\ для всех х.
5.45. Функция / : R —► R — непрерывна и обладает следующим свойством:
какова бы ни была функция ср : [1, оо) —► R, интегрируемая в [1, оо), функция
д — f о ср интегрируема в [1, оо). Доказать, что тогда f(x) = кх, где к Е R.
5.46. Пусть / : [0,1] —> R — возрастающая функция. Доказать, что для
всякого т Е N выполняется неравенство:
2/(I)+4/(I)+... + 2»/(_L)£|
/(*)
t2 A.
1/2*

Глава 6
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Г
• Понятие метрики на множестве • Произведение
метрических пространств • Способы построения
новых метрических пространств • Шары и сферы в
метрическом пространстве • Понятие подпространства
• Прямоугольники в пространстве Rn • Общий
принцип построения векторных пространств •
Нормированные векторные пространства • Понятие предела
относительно оценочной функции, определения
непрерывности и предела для отображений метрических
пространств • Теоремы о пределе и непрерывности
суперпозиции • Непрерывные отображения, замкнутые и
открытые множества • Характеристика замкнутого
множества в метрическом пространстве посредством
понятия предела последовательности • Теоремы об
операциях над открытыми и замкнутыми
множествами метрического пространства • Понятие полного
метрического пространства • Линейные отображения
векторных пространств • Компактные множества в
метрических пространствах • Теорема о непрерывном
образе компактного множества • Теорема Вейерштрасса
о наименьшем и наибольшем значениях непрерывной
функции • Понятие равномерно непрерывного
отображения • Модуль непрерывности отображения •
Равномерная непрерывность непрерывных отображений
компактных множеств (теорема Гейне) • Теорема об
эквивалентности норм в конечномерном векторном
пространстве •

164 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
§1. Общие свойства метрических пространств
В этой главе будут определены понятия непрерывности и предела
функций многих переменных. Для этого мы воспользуемся понятием
метрического пространства.
Применение метрических пространств позволяет изложить теорию
предела и непрерывных функций в относительно простой и в то же
время достаточно общей форме.
Метрическое пространство есть произвольное множество, в
котором определено расстояние между его элементами, то есть каждой паре
элементов множества сопоставлено некоторое число — расстояние
между ними. При этом предполагается, что расстояние между элементами
множества удовлетворяет некоторым простым условиям.
В этом параграфе дается определение метрического пространства и
устанавливаются некоторые простые свойства метрических пространств,
непосредственно вытекающие из определения.
1.1. Определение и простейшие свойства метрических
пространств
1.1.1. Пусть М есть произвольное множество. Предположим, что
всякой паре (ж, у) элементов множества М сопоставлено некоторое
вещественное число р(х,у).
Функция р : (х,у) € М х М ь-> р(х,у) € Е, получаемая таким
образом, называется метрикой на множестве М, если она удовлетворяет
формулируемым далее условиям М1-М4, которые мы будем называть
аксиомами метрики.
Ml. Для всякого х £ М справедливо равенство
р(х,х) = 0.
М2. Для любых х е М и у € М имеет место равенство
р(х,у) =р(у,х). (1.2)
МЗ. Для любых х £ М, у е М и z e M выполняется неравенство
р{х, z) < р(х,у) + р(у, z). (1.3)
М4. Если пара (ж, у), где х е М ту е М, такова, что р{х,у) = 0,
то х = у.
1.1

§ 1. Общие свойства метрических пространств
165
Метрическим пространством называется всякое множество, на
котором задана некоторая метрика р.
Формально метрическое пространство есть пара (М,р), где М есть
множество, ар — метрика, определенная на М.
Элементы метрического пространства мы будем называть его
точками. Для произвольных точек х £ М и у £ М величина р(ж, у)
называется расстоянием между точками х и у в метрическом пространстве
(М,р).
Свойство метрики, выражаемое равенством (1.2), называется ее
симметричностью.
Неравенство (1.3) далее будем именовать неравенством
треугольника.
Аксиома М4 называется аксиомой отделимости метрики.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Пусть М — множество Е всех конечных вещественных
чисел. Для произвольных ж, у £ Е положим р(ж, у) = |ж — у\.
Данная функция р, очевидно, удовлетворяет каждому из условий
М1-М4 и, следовательно, является метрикой на множестве Е. Будем
называть ее естественной метрикой множества Е.
Пример 2. Пусть М — обычная плоскость Е2 элементарной
геометрии. Для произвольных точек X £ Е2, Y £ Е2 положим p(X,Y) = О,
если X = У, и пусть р(Х, У) есть длина отрезка, соединяющего данные
точки X и Y в случае X ^Y.
Выполнение аксиом Ml, М2 и М4 в данном случае очевидно.
В случае, если точки X, Y и Z не лежат на одной прямой,
неравенство (1.3) верно, в силу того известного факта, что длина стороны
треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.
Если же точки X, Y и Z лежат на одной прямой, то в случае, когда
Y принадлежит отрезку [XZ], имеем: р(Х, Z) = р(Х, Y) + p(Y, Z).
Если Y лежит вне этого отрезка, то отрезок [XZ] содержится в
одном из отрезков [XY], [YZ], откуда видно, что в этом случае р(Х, Z) <
<p(X,Y) + p(Y,Z).
Таким образом, аксиома МЗ в данном случае также
выполняется. Данная метрика р называется естественной метрикой
плоскости Е2.
1.1.2. Отметим некоторые простые свойства метрики,
непосредственно следующие из определения.
Зададим произвольно метрическое пространство (М,р).
I. Для любых двух точек ж, у метрического пространства (М,р)
выполняется неравенство р(ж, у) > 0.

166
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Действительно, пусть хту суть произвольные точки множества М.
Полагая в (1.3) z = ж, получим: 0 = р{х,х) < р(х,у) + р(у,х). В силу
свойства симметричности метрики (аксиома М2) р(х,у) = р(у, х).
Следовательно, имеем: 0 < 2р(ж,у). Отсюда р(х,у) > О, что и
требовалось доказать.
II. Для всякого конечного набора точек #о, #ъ .•., хп, п > 2,
метрического пространства (М, р) имеет место неравенство:
п
р(жо,жп) < y^^PJXk-iiXk). (1.4)
fc=l
Замечание. В случае, когда метрическое пространство (М, р)
есть обычная плоскость, неравенство (1.4) выражает собой тот
известный факт, что длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не
превосходит длину ломаной. В соответствии с этим, и в общем случае
соотношение (1.4) мы будем называть неравенством ломаной.
Неравенство (1.4) докажем индукцией по п. В случае п = 2
неравенство верно в силу аксиомы МЗ. Предположим, что для некоторого
п > 2 справедливость неравенства (1.4) установлена, и пусть дана
конечная последовательность из п + 1 точек жо, #i,..., жп, xn+i- Имеем:
p(X0,Xn+l) < р(хо,Хп) + p(Xn,Xn+l).
В силу индукционного допущения,
р(Х0,Хп) < y^ppEfc-brEfc).
k=l
Отсюда
П 71+1
p(xo,Xn+i) < 2^p(rCfc-l,rCfc) + p(xn,Xn+l) = У ^p(Xk-l,Xk),
k=l fc=l
что и требовалось доказать.
III. Пусть даны две произвольные пары a?i,j/i и #2,2/2 точек
пространства (М, р). Тогда имеет место неравенство:
\p(xUyi) - р(х2,У2)\ <Р(Х1,Х2)+Р(У1,У2). (1.5)

§ 1. Общие свойства метрических пространств
167
Замечание. Неравенство (1.5) в дальнейшем, учитывая
очевидную геометрическую аналогию, будем именовать неравенством
четырехугольника.
Воспользуемся результатом предложения II. Применяя неравенство
(1.4) к конечной последовательности точек rci,#2,2/2,2/ъ получим:
p(siiVi) <p(*i,S2) + p(s2,!fc) + p(y2,yi).
Применяя (1.4) к последовательности #2,#i,yi?2/2, получим:
р0&2, 2/2 ) < p(x2,Xi) + p(xi,yi) + p(i/l, J/2).
Так как р(х2,хг) = р(#1,ж2), р(у2,Уг) = p(?/i,2/2)> отсюда вытекает,
что
-p(si,s2)-p(!/i,!ft) <p(a?i,i/i)-p(a?2,I/2) <p(«i,«2) + p(!/i,ltt),
и неравенство (1.5) тем самым доказано.
IV. Для любых трех точек ж, у, z пространства (М, р) имеет место
неравенство:
\р(х, у) - р(х, z)| < р(у, z). (1.6)
Неравенство (1.6) есть частный случай (1.5), получаемый, если
в неравенстве (1.5) положить х\ — х2 = ж, у\ = у, у2 = z. Тогда
р(х±,х2) — О и (1.5), очевидно, обращается в (1.6), что и требовалось
доказать.
Пусть даны метрические пространства (Mi,pi) и (М2,р2).
Отображение / : М\ —> М2 называется изометрией пространств
(Mi.pi) и (М2,р2), если / есть отображение Mi на М2, и для любых
xi £ Mi и х2 £ Мг имеет место равенство:
P2(f(xi)J(x2)) = pi(xlyx2).
Если / : Mi —> М2 — изометрия метрических пространств (Mi,pi)
и (М2,р2), то / есть взаимно однозначное отображение.
Действительно, пусть точки xi,x2 £ Mi таковы, что х\ ф х2.
Тогда, в силу аксиомы М4, pi(rri,rr2) > 0, и, значит,
p2(f(xi),f(x2)) = pi(xi,x2) > 0. Отсюда следует, что f(xi) ф f{x2).
Мы получаем, таким образом, что если х\ Ф х2, то f{x\) ф f(x2),
то есть отображение / — взаимно однозначно.
Если / есть изометрия пространств (Mi,pi) и (М2,р2), то
обратное отображение /_1 также является изометрией этих пространств.

168
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Действительно, возьмем произвольно точки 3/1,3/2 £ М2. Так как /
есть отображение Mi на М2, то найдутся точки х\,Х2 £ Mi такие, что
f(xi) = yi и f(x2) = У2. Имеем: xi = /"^(l/i), х2 = /_1(у2) и
Pl(xi,X2) =p2(f(Xi)J(x2)) = Р2(У1,У2),
то есть pi(f~1(yi)J~1(y2)) = £2(3/1,1/2).
Это, по определению, и означает, что /_1 есть изометрия
пространств (М2,р2) и (Mi,pi).
Метрические пространства (Mi,pi) и (М2,р2) называются изоме-
тричнымщ если существует изометрия этих пространств.
Изометричные метрические пространства не отличимы
по тем свойствам, которые определяются метрикой.
Определение изометрии не исключает случай, когда Mi = М2 = М
и pi = р2 = р, то есть данные пространства совпадают. В этом
случае изометрия пространств (Mi, pi) и (Мг, рг) называется также
изометрическим преобразованием или движением пространства (М,р).
1.2. Произведение метрических пространств
Известны разные способы построения новых метрических
пространств из уже имеющихся. Ниже описывается один из них.
Пусть даны метрические пространства
(Mi,pi), (М2,р2),..., (Мп, рп).
Пусть М есть прямое произведение множеств Mi,M2,... ,МП,
М = Mi х М2 х • • • х Мп. Это означает, что М есть совокупность всех
конечных последовательностей х = (rri,rc2,... ,хп) таких, что Xk Е Мк
при каждом к = 1,2,..., п.
Для х = (#i,#2, • • •, хп) £ М точка Хк € М&, к = 1,2,...,п,
называется fc-й компонентой точки х.
Пусть х = (xi, X2,.. •, хп) и ?/ = (yi, ?/2,...,2/п) — два произвольных
элемента множества М. Определим для них число р(ж,у), полагая
п
^Г,\Рк(Хк,Ук)]2'
к=1
Покажем, что введенная таким образом функция р : М х М —> М
является метрикой на множестве М = Mi х Мг х • • • х Мп.
р(*>!/) =
n

§ 1. Общие свойства метрических пространств
169
Пусть даны произвольные элементы х = (rri,#2, • • • ->хп) и у =
= (2/1,2/2,.-. ,3/п) множества М. Если ж = у, то есть :£& = у*; при
каждом к — 1,2,...,п, то рк(хк,Ук) = 0 для любого fc = l,2,...,n, и,
значит, р(х,у) = 0, так что аксиома Ml для функции р выполняется.
Пусть даны точки ж £ М и у £ М, ж = (a?i,a?2,... , #п), У =
= (yi, у2, • • •, Уп). При каждом к = 1,2,..., п имеем рк(хк,Ук) = рк(Ук,хк),
откуда, очевидно, следует, что р(х,у) = р(у,ж), то есть аксиома
М2 также верна для функции р.
Пусть ж = (ж1,Ж2,...,жп) и У = (j/i>I/2,...5I/n) — произвольные
точки множества М. При каждом fe = 1,2,... ,п величина [рк(хк,Ук)]2
неотрицательна.
Если сумма конечного числа неотрицательных слагаемых равна
нулю, то и каждое из этих слагаемых в отдельности равно нулю.
Отсюда следует, что если р(х,у) = 0, то рк(хк,Ук) = 0, и,
следовательно, Хк — Ук при любом к = 1,2,..., п, то есть точки х € М и у € М
совпадают.
Мы получаем, таким образом, что если р(х,у) = 0, то элементы я;
и у множества М совпадают, то есть аксиома М4 выполняется
для функции р.
Осталось показать, что для функции р выполняется неравенство
треугольника.
ПуСТЬ X = (Ж1,Ж2,...,ЖП), У = (У1,У2,...,Уп) И Я = (j&i, 22, . . . , Zn)
— три произвольные точки множества М.
Требуется доказать, что имеет место неравенство:
p(x,z) <p(x,y)+p(y,z).
Положим: pk{xk,yk) = uk, pk(yk,zk) = vk, pk{xk,zk) = wk. Имеем:
Wk < ^fc + ^fc, откуда w/| < (г/fc + Vfc)2 при всяком fc = 1,2,...,п.
Суммируя полученные неравенства по fc, приходим к неравенству
[р(х,z)}2 = ^w2k< ^2(uk + vkf
fe=i
fc=i
Применим частный случай неравенства Минковского (см. главу 4,
теорему 8.7), соответствующий значению р = 2. Получим:
y^fc + ^fc)2
Lfc=l
.1/2
<
г П -|
-fc=i -I
1/2
+
Г п 1
Lfc=i J
-.1/2
= р(ж,у)+р(у,2).

170
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Отсюда
p(x,z) <p(x,y) + p(y,z),
что и требовалось доказать.
Метрическое пространство (М,р), построенное по пространствам
(Mfc,/?fc)5 к = 1, 2,... ,п, способом, описанным выше, называется их де-
картовым произведением и обозначается либо выражением
(М,р) = (Mi,рО х (Af2,p2) х ... х (Afnipn),
либо выражением:
п
(м,р)= XWk,Pk).
fc=l
1.3. Шары и сферы в метрических пространствах
Зададим произвольно метрическое пространство (М,р). Все
дальнейшие рассуждения настоящего раздела относятся именно к этому
пространству.
Пусть а есть точка пространства М, г > 0 — вещественное число.
Множество точек пространства М, расстояние которых до точки
а меньше г, называется открытым шаром с центром а и радиусом г и
обозначается символом В (а, г).
Совокупность всех точек х пространства (М, р), для которых р(ж, а)
в точности равно г, называется сферой с центром а и радиусом г и
обозначается символом S(a,r).
Наконец, множество всех точек х данного пространства (М, р), для
которых выполняется неравенство р(х,а) < г, обозначается символом
В(а,г) и называется замкнутым шаром с центром а и радиусом г.
Из определения, очевидно, следует, что замкнутый шар В (а, г)
получается из открытого шара В(а, г) присоединением к нему
всех точек сферы S(a,r). Таким образом, имеет место равенство:
B(o,r) = J5(a,r)U5(a,r).
В дальнейшем, употребляя слово «шар», мы всегда будем иметь
в виду открытый шар, опуская прилагательное «открытый» каждый
раз, когда это не может привести к недоразумению.
Часто встречается ситуация, когда рассматриваемое метрическое
пространство (М,р) является подмножеством некоторого другого
метрического пространства. В этом случае открытый шар, замкнутый

§ 1. Общие свойства метрических пространств
171
шар и сферу в пространстве М будем обозначать, соответственно,
символами:
Вм(а,г), Вм{а,г), 5м(а,г).
Если данное метрическое пространство М есть множество всех
вещественных чисел R с его естественной метрикой, то есть М = М, а
р(ж, у) = \х — у\ — для любых ж, у £ К, то, как нетрудно видеть,
открытый шар Б (а, г), в этом случае, есть просто интервал (а — г, а + г).
Шар В (а, г), в данном случае, есть замкнутый отрезок [а — г, а + г],
и, наконец, сфера есть множество, состоящее из двух элементов — точек
а — г и а + г, 5(а, г) = {а — г, а + г}.
В случае, когда метрическое пространство М есть обычная
евклидова плоскость Е2 с ее естественной метрикой (то есть за расстояние
между точками в Е2 принимается длина соединяющего их отрезка),
Б(а,г) есть круг на плоскости, центр которого есть точка a, a
радиус равен г. При этом точки, для которых расстояние до а в
точности равно г, к этому кругу не причисляются. Множество
5(а, г) есть окружность с центром а и радиусом г.
Отметим некоторые простые свойства введенных понятий,
непосредственно вытекающие из определения.
■ Лемма 1.1. Пусть даны метрическое пространство (М,р) и
точка a £ М. Тогда для любых чисел г\ и г 2 таких, что О < г\ < Г2,
справедливо включение: i?(a,ri) С Б(а,Г2).
Доказательство. Действительно, пусть выполнены все условия
леммы. Возьмем произвольно точку х £ Б(а,п). Тогда р(х,а) < ri, и
так как п < Г2, то р{х,а) < Г2, то есть х £ Б(а,г*2).
Мы видим, что всякая точка х шара В(а,п) принадлежит шару
Б(а,Г2), и тем самым лемма доказана. ■
▼ Следствие. Если 0 < п <Г2, то имеют место включения:
В(а,п) С В(а,г2), 5(а,п) С В(а,г2).
Доказательство. Действительно, если г\ = г*2, то указанные
включения превращаются в равенства. В случае п < Г2 имеем
включения: В(а,г\) С Б(а,п) С В(а,Г2) С Б(а,Г2), из которых очевидным
образом вытекает утверждение следствия. ▼
Следующее предложение устанавливает несколько более тонкий
результат относительно включений шаров.

172
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
В Лемма 1.2. Пусть даны точка, a G М, число г > О и точка
хо G В (а, г). Если О < rj < г — р(жо,а), то имеет место включение:
B(x0,v) C%r).
Перед доказательством леммы отметим следующее.
Замечание. Если хо G Б(а,г), то р(хо,а) < г, и, стало
быть, разность г — р(жо,а) положительна, так что числа rj такие, что
О < г) < г — р(жо, а)? существуют.
Доказательство леммы. Путь выполнены все условия леммы.
Возьмем произвольно точку х G В(хо,г)). Тогда, в силу неравенства
треугольника (аксиома М.З), имеем:
р(х, а) < р(х,хо) + р(хо,а).
Так как х G B(xo>r)), то р(ж,жо) < V (неравенство строгое!), и мы
получаем отсюда:
р(х, а) <г} + р(хо> а) < [г - р(х0, а)] + р(х0,а) = г.
Итак, если х G В(хо,г)), то р(ж, а) < г, и тем самым лемма доказана. ■
1.4. Понятие подпространства
Пусть дано произвольное метрическое пространство М.
Часто возникает необходимость рассмотрения функций,
определенных не на всем пространстве М, а на некотором его подмножестве А.
В частности, это оказывается необходимым при изучении понятий
непрерывности и предела.
В связи с этим можно предположить, что понятия предела и
непрерывности должны рассматриваться в общей ситуации, когда заданы
метрическое пространство и некоторое его подмножество, и речь идет
о функциях, определенных на этом подмножестве.
Можно, однако, избежать возникающих на таком пути громоздких
построений и рассматривать только функции, областью определения
которых является все метрическое пространство.
Для этой цели служит понятие подпространства.
Пусть даны метрическое пространство М с метрикой р и
множество А. Для всякой пары ж, у элементов множества А определено число
р(ж, у). Тем самым на множестве Ах А определена функция рл = Р\АхА-
Для этой функции, очевидным образом, выполняются все аксиомы
метрики, введенные ранее (см. п. 1.1 этого параграфа).

§ 2. Общие сведения о векторных пространствах
173
Метрическое пространство (А, рл) называется подпространством
пространства М. Множество элементов этого пространства есть
множество А и рл(х,у) = р(х,у) для произвольных х,у £ А. В дальнейшем
вместо рА будем писать просто р.
Ш Лемма 1.3. Пусть даны метрическое пространство М и
множество А С М. Тогда для всякой точки х £ А и любого числа г > О шары
Ва(х,г), Ва(х,г) и сфера Sa(x,t) в метрическом пространстве (А,р)
допускают представление:
ВА(х,г) = Вм(ж,г)ПА,
Ва(х,г) = Вм(х,г)ПА,
SA(x,r) = SM(x,r)nA.
Доказательство. Пусть у £ Ва(х,г). Тогда у £ А и
одновременно р(х,у) < г, то есть у £ Вм(х,г). Следовательно,
г/ £ ВА(х,г) =>у £ Вм(ж,г)ПА.
Обратно, если у £ Вм(х,г) П Л, то у £ А и р(х,у) < г, то есть
у £ Вм{х,г) ПА=>у £ БЛ(ж,г).
Из доказанного, очевидно, следует первое из равенств леммы.
Справедливость двух остальных равенств устанавливается
аналогично.
Лемма доказана. ■
§2. Общие сведения о векторных пространствах
Математический анализ имеет дело, главным образом, с
метрическими пространствами некоторой специальной структуры, а именно, с
теми, которые являются нормированными векторными
пространствами. Изучение векторных пространств, как самостоятельного
математического объекта, есть задача курса алгебры. Мы предполагаем, что
основы теории векторных пространств читателю знакомы.
Для полноты изложения приводятся некоторые определения и
простейшие свойства векторных пространств. Прежде всего, будет дано
определение понятия векторного пространства. Затем мы специально

174 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
рассмотрим частный случай векторных пространств, а именно, —
пространство Ш71. В случае п = 2 это пространство может быть естественно
отождествлено с обычной евклидовой плоскостью, а в случае п — 3 —
с обычным трехмерным евклидовым пространством.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
изучает функции, определенные на подмножествах пространства Rn.
2.1. Понятие векторного пространства
2.1.1. Векторное пространство есть множество элементов произвольной
природы, в котором определены операция сложения элементов и
операция умножения на число. При этом указанные операции должны
обладать свойствами, аналогичными свойствам операций над векторами в
аналитической геометрии.
Приведем точное определение.
Пусть К. есть либо множество всех вещественных чисел R, либо
множество всех комплексных чисел С. Будем говорить, что К есть
числовое поле.
Числовое поле К будем также называть полем скаляров данного
векторного пространства.
Пусть дано произвольное множество X. Говорят, что X является
векторным пространством над полем К, если выполнены следующие
условия: в X определены операция сложения элементов и операция
умножения элемента на число (то есть на произвольный элемент поля К),
причем эти операции удовлетворяют формулируемым далее восьми
аксиомам V.l—V.8.
Формально, это означает, что каждой упорядоченной паре (ж, у)
элементов множества X сопоставлен некоторый третий элемент z
множества X, называемый их суммой и обозначаемый х + у. Для любого
числа Л £ К и любого х £ X определено некоторое у £ X, называемое
произведением числа Л и элемента х и обозначаемое одним из
выражений: либо Л • х, либо \х.
Операции сложения элементов и умножения элемента
на число должны при этом удовлетворять следующим восьми условиям
— аксиомам векторного пространства.
Аксиомы сложения элементов.
V.1 (коммутативность сложения). Для любых х,у £ X
выполняется равенство
х + у = у + х.

§ 2. Общие сведения о векторных пространствах
175
V.2 (ассоциативность сложения). Для любых x,j/,zGX
(х + у) + z = х + (у + z).
V.3 (наличие нулевого элемента). Существует элемент О G X
такой, что для всякого х G X
О + х = х.
V.4 (наличие противополооюного элемента). Для всякого х G X
существует элемент —х такой, что
х + (-ж) = 0.
Аксиомы умножения элемента на число.
V.5 (аддитивность по второму аргументу). Для любых ж, у G X
и любого Л G К выполняется равенство:
Х(х + у) = Лж + Аг/.
V.6 (аддитивность по первому аргументу). Для любых чисел Л и
/i из К и любого ж G X
(Л + ц)х = Хх + \хх.
V.7 (мультипликативность по первому аргументу). Для любых
A,/i G К и любого ж G X имеет место равенство:
\(цх) = (А/х)ж.
V.8 (согласованность). Для всякого ж G X выполняется равенство
1 • ж = ж.
Замечание. Условия V.l—V.4 кратко формулируют так:
множество X является коммутативной (или абелевой) группой
относительно операции сложения элементов.
Элементы векторного пространства называют его векторами, а
элементы поля — скалярами данного векторного пространства. Из
условий V.l—V.4 легко выводится, что элемент 0, существование
которого требуется в V.3, — единственный.
Элемент —ж, удовлетворяющий V.4: х+(—х) = 0,
единственный для всякого х G X.

176
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Элемент 0, существование которого обеспечивает V.3, называется
нулевым вектором пространства X.
Для всякого элемента х векторного пространства X выполняются
равенства: 0 • х = 0 и (—1) • х = —х.
Вывод этих равенств из аксиом векторного пространства мы
предоставляем читателю.
2.1.2. Пусть X есть векторное пространство над полем К. Тогда в нем,
естественным образом, может быть определено понятие суммы
для произвольного конечного числа слагаемых.
Сумму векторов rci, #2, ... , хш будем обозначать с помощью одного
из следующих выражений:
т
Х\ + Х2 Н \~ Хт = 2^ Xi.
г=1
Числовое поле К само является векторным пространством с полем
скаляров К.
Множество, состоящее из единственного элемента 0, становится
векторным пространством, если положить 6 + 6 = 6vl\-6 = 6 для
любого Л £ К.
Единственный элемент в этого пространства является его нулевым
элементом. Пространство, определенное в этом примере, мы будем
называть одноточечным.
Аксиомы V.l—V.8 здесь, очевидным образом, выполняются.
Следующий пример — пространство Кп.
Пусть дано числовое поле К. Символ Кп означает совокупность
всех конечных последовательностей
X = (Ж1,Ж2,.. .,ЖП)
длины п, где Ж1,#2,.. - ,жп суть произвольные элементы поля К.
Числа zi, Х2У..., хп называются компонентами или координатами
элемента х = (ж1,#2, • • • >#п) множества Кп.
Определим в множестве Кп операцию сложения элементов и операцию
умножения элемента на произвольное число, принадлежащее полю К.
Суммой элементов (xi,X2,... ,хп) и (2/1,2/2,... ,J/n) множества Кп
называется z = (21,22,. •., zn) G 1КП такое, что при всяком j = 1,2,..., п
выполняется равенство Zj = хj + yj.

§ 2. Общие сведения о векторных пространствах
177
Если (ж1,Ж2,. • • ,Хп) £ 1КП и А Е К, то произведение элемента х и
числа Л есть у == (г/1,2/2,... ,уп) £ 1КП такое, что yj = Azj для всякого
j = 1,2,. ..,п.
Предоставляем читателю проверку того, что все восемь аксиом
векторного пространства для множества Кп с операциями сложения
элементов и умножения на число, введенными, как описано здесь,
выполняются.
В случае К = R получается так называемое вещественное
векторное пространство Rn, а в случае К = С — комплексное векторное
пространство Сп.
Элементами пространства Ш71 являются всевозможные конечные
последовательности х = (xi, #2, • • •, хп) из п вещественных чисел, а
элементами пространства Сп — всевозможные конечные
последовательности z = (zi, 22,..., 2П), где 2i, 22,..., 2П — комплексные числа.
Пусть X есть векторное пространство над полем К, Ж1,Ж2,. •. ,хт
— произвольная конечная система векторов этого пространства. Всякий
вектор х Е X, который может быть представлен в виде
х — \\xi + А2Ж2 Н Ь Атжт,
где Ai,A2,...,Am — произвольные элементы множества К,
называется линейной комбинацией векторов Ж1,Ж2,... ,жт. Числа Аг при этом
называют коэффициентами линейной комбинации.
Говорят, что векторы xi,X2,. •. , #m линейно независимы, если
всякая их линейная комбинация Ai^i + А2Ж2 + • • * + Am#m, в которой хотя
бы одно из чисел Аг, г = 1,2, ...,га, отлично от нуля, также отлична
от нуля. Иными словами, векторы #i,£2, • • •,% линейно независимы в
том и только в том случае, если равенство Ai^i + А2Ж2 Н Ь Атжт = О
имеет место только тогда, когда Ai = A2 = • * • = Am = 0.
Будем говорить, что векторы rri,X2,... ,жт пространства X
линейно зависимы, если существуют числа Ai,A2,...,Am такие, что
хотя бы одно из них не обращается в нуль и выполняется равенство:
Ai^i + А2Ж2 Н Ь Amrrm = 0.
Говорят также, что размерность векторного пространства X не
меньше п, если в нем существует система из п линейно независимых
векторов.
Векторное пространство X называется п-мерным, если верно,
что его размерность не меньше п,и не верно, что размерность
X не меньше п + 1. Число п называется размерностью векторного
пространства X.

178 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Иначе говоря, пространство X является n-мерным, если в нем
существует система из п линейно независимых векторов и невозможно
указать систему из п + 1 линейно независимых векторов.
Единственный элемент одноточечного пространства является его
нулевым вектором.
Размерность одноточечного пространства считается равной нулю.
Множество К есть векторное пространство над полем К. Его
размерность равна 1.
Предположим, что X есть n-мерное векторное пространство над
полем К. Всякая система из п линейно независимых векторов
пространства X называется базисом этого пространства.
Пусть ai,a2,... ,ап есть какой-либо базис пространства X. Тогда
всякий вектор х £ X может быть представлен как линейная комбинация
векторов вг, г = 1,2,..., п. Пусть
х = £iai + &a.2 H Ь £nan
есть такое представление вектора х. Здесь коэффициенты £i,£2> • •. ,£п
определяются по векторам ж и ai, а2,..., ап единственным образом
и называются координатами вектора х относительно данного базиса.
Выделим некоторый специальный базис в пространстве Кп.
Пусть 1 < г < п. Обозначим через ег вектор в пространстве Кп,
у которого i-я. координата равна 1, а остальные координаты равны нулю.
Пусть дан вектор х — (xi, #2,. • •, хп). Имеем:
х = (a?i, 0,..., 0) + (0, хи • • •, 0) + • - - + (0,0,..., хп) =
= хх (1,0,..., 0) + х2(0,1,..., 0) + • • • + хп(0,0,..., 1) =
= £iei + ^2в2 Н Ь жпеп.
Мы видим, что всякий вектор х G Кп может быть представлен как
линейная комбинация векторов е*, г = 1,2,..., п.
Векторы ei, ег,..., еп линейно независимы.
Действительно, пусть даны числа Ai, Аг,..., An- Тогда, как
нетрудно видеть, имеет место равенство:
п
J> Агвг = (Al, A2, . . . , Ап).
г=1
Отсюда видно, что линейная комбинация векторов ei,e2,... ,еп,
стоящая в левой части последнего равенства, является нулевым вектором
пространства Кп в том и только в том случае, если Ai = A2 = • • • = An = 0.

§ 2. Общие сведения о векторных пространствах
179
Линейная независимость векторов ег,г = 1,2,...,п, таким образом,
установлена.
Система векторов ei,e2,...,en называется каноническим базисом
пространства Кп.
Введем еще одно обозначение, которое в определенных случаях
позволяет формализовать рассуждения, связанные с использованием
канонического базиса пространства Кп.
Пусть г, j — натуральные числа, лежащие между 1 и п. Полагаем:
Г 1, если г = j;
^ 0, если г ф j.
Выражение Sij называется символом Кронекера.
Имеет место равенство:
©г = (^1г5^2г5 • • • >#пг)-
Действительно, при к ф г мы видим, что бы — О, а 8ц = 1. Таким
образом, г-я компонента вектора (6ц, 62%,•.. ,6т) равна 1, а остальные
его компоненты равны нулю, то есть этот вектор совпадает с е*, что и
требовалось доказать.
Пусть дано векторное пространство X. Множество Y С X
называется подпространством X, если для любых х,у Е Y и любых А,/г € К
вектор Хх + \iy принадлежит Y.
Всякое подпространство Y векторного пространства X является
векторным пространством относительно операций сложения элементов
и умножения на число, заданных в пространстве X.
Действительно, пусть Y есть подпространство векторного
пространства X. Из определения подпространства следует, что сумма
любых двух элементов множества Y всегда является элементом Y. Далее,
Хх Е Y для всякого х Е Y и любого А Е К.
Свойства операций сложения и умножения на число для элементов
Y, заключенные в аксиомах V.l—V.8, выполняются по той причине, что
они выполняются в X.
2.2. Общий принцип построения векторных пространств
Различные векторные пространства в математическом анализе
часто возникают как разного рода классы функций, определенных на
некотором множестве.

180 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Пусть Е — произвольное множество, X — векторное пространство
над полем К. Обозначим через Т(Е,Х) совокупность всех
отображений множества Е в векторное пространство X. В ^(Е^Х) естественным
образом определяются операция сложения элементов и операция
умножения элемента на число.
Пусть даны функции /:£->Хир:£->Х. Сумма их есть
функция h : Е —» X, определенная условием: h(t) = f(t) + g(t) для всех
t Е Е. Произведением функции / : Е —» X на число Л Е К называется
функция g : Е —► X, определенная условием: g(t) = Xf(t) для всех t E Е.
Сумма функций /,р Е !F(E,X) обозначается символом / + <?,
произведение функции / Е !F(E^X) на число А — символом А/.
■ Теорема 2.1. Для всякого множества Е и любого векторного
пространства X над полем К множество функций Т(Е, X) является
векторным пространством над полем К.
Доказательство. Проверим последовательно, что для Т(Е, X)
выполнены все аксиомы векторного пространства.
1. Для любых /,# Е ^(Е,Х) для всякого t E E имеем, очевидно:
f(t)+g(t) = g(t) + f(t). Это означает, что f + g = <? + / и, следовательно,
аксиома V.1 векторного пространства для Т(Е,Х) выполняется.
2. Пусть даны функции /, <?, h Е Т{Е, X). Для всякого £ Е J5
выполняется равенство:
[/(*) + s(t)] + л(«) = /(<) + ько + h(t)].
Это означает, что для любых f,g,h E Т(Е^Х) имеет место равенство:
(/ + 9) + h = f + (g + /i), так что аксиома V.2 для совокупности
функций Т(Е, X) также выполняется.
3. Пусть в Е Т(Е,Х) есть функция, тождественно равная нулю.
Для всякой функции / Е Т(Е,Х) имеем: f(t) + 6{t) = f(t) для всех
t Е Е, то есть / + в = /, и, следовательно, функция 0 есть нулевой
элемент пространства Т{Е,Х). Выполнение аксиомы V.3 доказано.
Функцию 0 далее будем обозначать просто нулем.
4. Для всякой функции / Е Т{Е,Х) имеем: f(t) + [—/(£)] = 0 для
всех £. Это означает, что / + (—/) = 0, так что аксиома V.4 для
Т(Е)Х) выполняется.
5. Зададим произвольно А Е К и функции / : Е —► X и g : I£ —> X.
Для всякого t E J5 имеем: А[/(£) + <?(£)] = \f(t) + Xg(t).
Тем самым мы получаем, что для любых /,<? Е Т(Е,Х), каково бы
ни было А Е К, имеет место равенство: А(/ + д) — А/ + Ар, то есть
аксиома V.5 выполняется для ^(Е^Х).

§ 2. Общие сведения о векторных пространствах
181
6. Зададим произвольно А ЕКи/i ЕКи функцию / : Е —> X.
Для всех t £ Е имеем: (А + /х)/(*) = А/(£) + fif(t). Мы получаем,
следовательно, что для любых А,/х Е К и / Е ^(f?, X) имеет место
равенство (А + //)/ = А/ + ///. Этим доказано, что аксиома V.6
для Т{Е, X) выполняется.
7. Зададим произвольно АеКи/хЕКи функцию / : Е —* X. Для
всех J Е J3 имеем: А[/х/(£)] = (A/z)/(J). Мы получаем, следовательно, что
для любых А,// Е К и / Е Т(Е,Х) имеет место равенство А(///) = (А//)/.
Этим доказано, что аксиома V.7 для Т(Е,Х) выполняется.
8. Для всякой функции / : Е —> X имеем 1 • /(£) = /(£) для любого
t € Е. Это означает, что 1 • / = / для всякой функции / : Е —* X, то
есть аксиома V.8 для пространства Т(Е,Х) выполняется.
Таким образом, мы показали, что все восемь аксиом
векторного пространства для множества функций Т(Е, X) выполняются, и тем
самым нами установлено, что F{E, X) есть векторное пространство над
полем К.
Теорема доказана. ■
Т Следствие. Пусть даны множество Е, векторное пространство
X над полем К и некоторый непустой класс функций М, имеющих
областью определения множество Е, а областью значений пространство X.
Если для любых функций f,g Е М и любых чисел А,/х Е К функция
А/ + fig принадлежит ЛЛ, то М. является векторным пространством.
Действительно, условия следствия означают, что заданный класс
функций М, есть подпространство векторного пространства Т{Е, X) и,
значит, сам является векторным пространством. Т
Теорема 2.1 и ее следствие дают способ проверки того, что то или
иное множество функций является векторным пространством.
Если задан некоторый класс функций Л4, определенных на
множестве Е и принимающих значения в векторном пространстве X, то для
того, чтобы проверить, что М, есть векторное пространство, нет
необходимости проверять выполнение всех восьми аксиом векторного
пространства.
Достаточно убедиться в том, что для любых двух функций / и
#, цринадлежащих множеству .М, и любых чисел А,// Е К линейная
комбинация А/ + fig также является элементом множества М..
Векторные пространства Rn и Сп могут рассматриваться как
частные случаи пространства Т(Е, X), получаемые при
некотором специальном выборе множества Е и векторного пространства X.

182 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Пусть 1п есть отрезок
{JfeeN|fc <n} = {l,2,...,n}
множества всех натуральных чисел N.
Всякая конечная последовательность х = (#i,X2, • • • 5#п)
представляет собой функцию, определенную на множестве 1П.
Совокупность всех вещественных чисел R, как было отмечено
выше, представляет собой векторное пространство над полем R.
Множество всех комплексных чисел С есть векторное пространство над
полем С. Отсюда следует, что пространство Мп совпадает с
пространством ^(I^R), а Сп совпадает с пространством
.F(I»,C).
2.3. Линейные отображения векторных пространств
2.3.1. Приведем некоторые сведения о линейных отображениях
векторных пространств. Изучение общих свойств линейных отображений есть
задача курса алгебры. Здесь мы приведем определение того, что есть
линейное отображение, и отметим некоторые простейшие свойства
таких отображений, имеющие значение для дальнейшего.
Пусть даны векторные пространства X и Y над числовым полем К.
Отображение ip : X —* Y называется линейным, если оно удовлетворяет
следующим двум условиям:
L 1. Для любых двух векторов xi, ж 2 Е X имеет место равенство:
<Р(Х1 + Х2) = <f(xi) + <Р(Я2).
L 2. Для всякого вектора х Е X и любого числа a £ К выполняется
равенство:
ip(ax) = a<p(x).
Совокупность всех линейных отображений пространства X в
пространство Y мы будем обозначать символом £(Х, Y).
Данное здесь определение не исключает случай, когда
пространство Y совпадает с числовым полем К. Всякое линейное отображение
tp : X —» К называется линейной формой. Множество £(Х, К) всех
линейных форм в пространстве X обычно обозначается символом X*.
Приведем примеры, иллюстрирующие введенное сейчас общее
понятие линейного отображения. (Они также будут использоваться в
дальнейшем.)
Пример 1. Отображение, ip : X —» Y, тождественно равное нулю, то
есть такое, что для всякого х £ X элемент (р(х) есть нулевой вектор
пространства Y, очевидно, является линейным.

§ 2. Общие сведения о векторных пространствах
183
Пример 2. Предположим, что X — конечномерно, и пусть {ai, аг,...
..., ап} есть произвольный базис пространства X. Для г = 1,2,..., п
пусть аг есть линейная форма в пространстве X, определенная
следующим условием: для х Е X значение аг(гг) есть г-я координата вектора х
относительно данного базиса.
Покажем, что аг суть линейные формы в пространстве X.
Пусть даны векторы ж, у Е X. Имеем:
— / v 3?гаг, У — у ^ yi&-ii
г=1 г=1
откуда получаем:
п п
х + у = 22(xi + Уг)аг, arc = 22 aXiSii-
г=1 г=1
Так как представление вектора в виде линейной комбинации
векторов базиса определено однозначно, то из последних равенств следует,
что г-я координата вектора х + у относительно базиса {ai,a2,... ,ап}
равна Xi+yi, то есть
а\х + у)=а\х) + а\у),
а г-я координата вектора ах равна ажг, то есть
а1 (ах) = авг(х).
Мы получаем, что для функции аг выполнены оба условия L 1 и
L 2, что и доказывает ее линейность.
Пример 3. Определение линейного отображения не исключает случай,
когда пространство X совпадает с числовым полем К. Если
отображение / : К —> Y линейно, то, как следует из данного выше определения
линейного отображения, для всякого t £К имеет место равенство:
f(t) = f(t.l) = tf(l)=tb,
где Ь есть вектор в Y.
Ясно, что верно и обратное: отображение / : К —> Y, определенное
равенством /(£) = tb, будет линейным, как бы ни был выбран вектор
beY.

184 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Пример 4. Пусть I : X —» X есть тождественное отображение
пространства X на себя, то есть для всякого х Е X выполняется равенство:
1(х) =■ х. Отображение /, очевидно, является линейным.
Пример 5. Пусть / : X —» К. есть линейная форма в пространстве
X и а есть произвольный вектор в векторном пространстве Y. Тогда
отображение ж^Хи f(x)a линейно.
Предоставляем читателю проверку этого факта.
Отметим некоторые свойства линейных отображений,
непосредственно вытекающие из определения.
1. Для всякого отображения (р Е £(Х, Y) имеет место равенство:
ф) = 0.
(В левой части этого равенства стоит нуль пространства X, в правой
— нуль пространства Y.) Действительно, <р(0) = ip(0 • 0) = 0 • (р(0) = 0,
что и требовалось доказать.
2. Для любых двух векторов #, у Е X и любых чисел а, /3 Е К имеет
место равенство:
фх + /Зу) = аф) + рф). (2.1)
Действительно, последовательно применяя сначала условие L 1, а затем
условие L 2, получим:
фх + (Зу) = фх) + фу) = аф) + Рф),
что и требовалось доказать.
3. Пусть tp : X —> Y — линейное отображение. Тогда для
любой конечной системы векторов Ж1,Ж2,...,жт пространства X и чисел
с*1, #2,..., «т имеет место равенство:
(m \ т
^«fc^/c I =^(Хкфк)- (2.2)
fc=i / fc=i
Справедливость данного утверждения легко устанавливается
индукцией по числу слагаемых га.
4. Пусть (fi и. (f2 суть произвольные линейные отображения
пространства X в пространство Y, ai и«2 — произвольные числа. Тогда
отображение
(Р — <*i(pi + 012^2,

§ 2. Общие сведения о векторных пространствах
185
определенное равенством
tp(x) = a\ipi(x) + a2ip2(x)
для всякого ж, также есть линейное отображение пространства X в
пространство Y. Данное утверждение доказывается непосредственной
проверкой того, что оба условия L 1 и L 2 (см. выше) для отображения
ai(fi + (*2<P2 выполняются. Утверждение 4, в частности, позволяет
заключить, что множество £(Х, Y) всех линейных отображений
пространства X в пространство Y представляет собой векторное пространство
над полем К.
5. Пусть даны векторные пространства X, Y, Z и пусть ip : X —» Y,
ф : Y —» Z суть линейные отображения. Тогда их суперпозиция ф о ip
также является линейным отображением.
Действительно, пусть х и у — два произвольных вектора в
пространстве X. Используя свойство линейности отображений ip и ф,
последовательно получаем:
ФМ* + У)\ = $[4>{x) + <рШ = Ф[<Р(х)] + ф[<р(у)],
и тем самым нами доказано, что для отображения ф о tp выполняется
условие L1.
Зададим произвольно х £ X и а £ К. Получаем:
^[^(аж)] = ^[а<р(х)] = а^[<р(х)],
и таким образом установлено, что суперпозиция ф о ip удовлетворяет
также и условию L 2.
Согласно определению линейного отображения, из доказанного
следует линейность ф о <р, что и требовалось доказать.
6. Пусть X и Y суть векторные пространства. Предположим,
что пространство Y конечномерно и в нем фиксирован некоторый
базис ai,a2,... ,aw, где т — размерность пространства Y. Пусть дано
отображение <р : X —► Y и пусть (pi(x), г = 1,2,..., га, — координаты
вектора (р(х) относительно данного базиса. Тогда отображение (р является
линейным в том и только в том случае, если каждая из вещественных
функций ipi(x) линейна.
Действительно, вещественная функция аг, которая каждому
вектору У £ Y сопоставляет его г-ю координату относительно данного базиса
в Y, линейна (см. выше пример 2). Имеем: (pi(x) = аг[<р(ж)], то есть

186 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
cpi = аг о ср. В силу утверждения 5, отсюда следует линейность каждой
из функций (fi.
Предположим, что отображение ср : X —» Y таково, что каждая из
функций (fi линейна. Тогда при каждом г = 1,2,..., га линейно
отображение жЕХи (рг(х)&г (см. выше пример 5). Имеем:
т
г=1
и утверждение 4 позволяет заключить, что (р есть линейное
отображение X в Y.
Итак, утверждение 6 доказано полностью.
2.3.2. Теперь обратимся к случаю, который для нас будет основным,
а именно, — к случаю, когда числовое поле К. есть множество всех
вещественных чисел RaX-Rn,Y = Rm.
Рассмотрим способы задания линейных отображений пространств
Rn, которые чаще всего будут нам встречаться.
Пусть ei,e2,... ,еп есть канонический базис пространства Rn, то
есть при каждом г — 1,2,..., п элемент ег есть вектор в Rn, у которого
г-я координата равна 1, а остальные координаты равны нулю. Зададим
произвольно вектор х = (#1,Ж2, • • • ,жп). Тогда имеем:
п
X = V^ Жгвг5 (2.3)
г=1
Предположим, что (р : Rn —> Rm есть линейное отображение, а х есть
произвольный вектор пространства Rn.
Подставляя в равенство (2.3) выражение вектора х через его
координаты, получим, что вектор у = (р(х) Е Rm выражается следующим
образом:
п п
<р(х) = ^2Xi ^(e*)= X^xiSLu ^2>4^
г=1 г=1
где а^ = <р(ег), г = 1,2,..., п, — векторы в Rm.
Равенство (2.4) дает нам некоторое представление линейного
отображения ip :Rn ->Rm.
Покажем, что векторы а*, г = 1,2, ...,п, из пространства
Rm, стоящие в равенстве (2.4), могут быть взяты произвольно. При
этом если линейное отображение ip : Rn —> Rm задано, то векторы
аг Е Rm определяются по <р единственным образом.

§ 2. Общие сведения о векторных пространствах
187
Действительно, пусть даны векторы аг, г = 1,2,... ,п, в
пространстве Rm. Для х = (ж1,Ж2,... ,жп) Е Мп полагаем:
п
р(ж) = ^ ХгЫ. (2.5)
г=1
Нетрудно видеть, что отображение <р, определенное равенством
(2.5), линейно. Найдем его значения для х = е^. в этом случае г-я
координата вектора ж равна 1, а остальные равны 0. Отсюда следует, что в
сумме, стоящей справа в соотношении (2.5), все слагаемые, номера
которых отличны от данного г, для рассматриваемого х обращаются в
нуль, а вся сумма равна а*.
Таким образом, мы получаем, что при каждом г — 1,2, ...,п
выполняется равенство:
ipfe) = a*. (2.6)
Этим доказано, что векторы а^ в представлении (2.5) определяются
по <р единственным образом.
Мы приходим, таким образом, к выводу: Всякое линейное
отображение пространства Ш.п в Rm можно получить следующим способом.
В Rm выберем произвольно векторы а*, г = 1,2,...,п.
Отображение (р : М71 —» Rm, определенное по данным векторам а*, г = 1,2,... ,п,
равенством (2.5), линейно. Так можно получить любое линейное
отображение (р : Еп —» Ет. При этом векторы а* в равенстве (2.5)
определяются по ip единственным образом, а именно, эти векторы
находятся посредством равенств (2.6).
Векторы B.i в соотношении (2.5) называются коэффициентами
линейного отображения ср.
Далее ег означает линейную форму в Мп, определенную следующим
условием: Для произвольного вектора х = (xi,£2, • - • >#п) Е Еп
выполняется равенство ег(х) = х%.
Согласно (2.5) и (2.6), для всякого вектора х Е Мп имеем:
п
4>{х) = ^a*e*(x),
г=1
и, следовательно, отображение ip может быть представлено в виде:
п
ср = У^агвг.
г=1

188
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Другой способ задания линейного отображения может быть
получен, если выписать в явном виде соотношения, выражающие
координаты вектора у = (р(х) через координаты вектора х.
Символ 1Г далее, как обычно, обозначает отрезок множества всех
натуральных чисел N, состоящий из всех п Е N таких, что 1 < п < г.
Пусть (р : Еп —> Ш™ есть линейное отображение и векторы а* Е Мт,
г = 1,2,... ,п, суть коэффициенты отображения <р. Для произвольного
вектора х — (xi,£2,... ,жп), согласно (2.5), имеем равенство:
<р(х) = aia?i + а2^2 Н Ь ап#п.
Вектор у = (р(х) есть линейная комбинация векторов ai,a2,...,an.
При этом коэффициенты линейной комбинации равны соответствующим
координатам вектора х.
Пусть tp(x) - у - (l/i,l/2,...,l/m). Пусть а* = (ан,а2г,...,атг).
Координата с номером fc, 1 < k < га, вектора у равна сумме:
п
flfcl^i + ак2Х2 Н h Q>knXn = ^/^ а^г^г.
г=1
В результате мы получаем следующую систему равенств,
дающих выражение координат вектора у = ip(x) через координаты
вектора х и координаты векторов аг, г = 1, 2,..., га:
yi = an#i + ai2#2 + ••• + flin^n,
у2 = a2lXi + tt2 2^2 + ... + 0>2пХгъ,
: : : : : : •. : (2-7)
Vm = ат1Ж1 + атгЖ2 + ... + а т пХп*
Для всякой пары г, j, где i Е 1п, J Е Im5 здесь определено число а^.
Задав произвольно линейное отображение у> : Rn —> Rm, мы, таким
образом, получили некоторую систему чисел a*j, где г = 1,2,...,га,
j = 1,2. ...,п, — коэффициентов при переменных я^ в правой части
равенств (2.7).
Всякая система чисел aij, где г принимает все значения из Im от 1
до га, a j пробегает все множество 1П, называется матрицей из га строк
и п столбцов или, короче, га х п-матрицей.
Матрица есть функция, определенная на множестве всех пар (г,^),
где г Е Im, a j Е 1П.

§ 2. Общие сведения о векторных пространствах
189
Числа aij называются элементами матрицы. При этом г есть
номер строки, j — номер столбца матрицы, в которых стоит элемент a%j
данной матрицы.
Для обозначения т х n-матрицы с элементами а^ применяются
либо сокращенная запись вида:
А = (atj)»=l,2,...,m,i=l,2,...,n = (aij)ielmjelni
либо развернутая запись, аналогичная следующей:
/an ai2 ... CLin \
I 0>21 0>2 2 ... Й2п
\^ml &m2 ... &тп /
(2.8)
Отображение <р : Еп —> Rm пространства Еп в пространство Rm,
сопоставляющее вектору iGln вектор у Е Rm, координаты которого
выражаются через координаты х формулами вида (2.7), является
линейным.
Коэффициенты а^ в равенстве (2.7) определяются по отображению
ср единственным образом. Матрица с элементами а^,
г = 1,2,... ,m, j = 1,2,... ,п, называется матрицей линейного
отображения (р.
Пусть (р : Еп —> Rm есть линейное отображение, А — матрица
этого отображения.
Вектор, определяемый правой частью равенства (2.7),
называется произведением матрицы А и вектора х и обозначается
символом Ах. Таким образом, ip(x) = Ах для всякого вектора xGln,
Получаем некоторую сокращенную форму записи правой части равенства
(2.7).
Пусть ipi : Rn -> Ет и <р2 : Еп -> Ет — произвольные линейные
отображения, Ai и Лг — вещественные числа. Положим:
<р = Ai^?i + А2<£2.
Мы получаем, таким образом, некоторое отображение:
ср :ЕП ->Ет.
Это отображение, в силу утверждения 4, линейно.

190 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Пусть даны линейные отображения ф : Rn —> Шт и ip : Rm —► Rk.
Тогда определено отображение:
в = if о ф : En -> Rh
— суперпозиция отображений (риф. Согласно утверждению 5,
отображение в линейно.
Пусть А есть матрица отображения ф, В — матрица отображения
<р, где предполагается, что отображения ф и (р удовлетворяют условиям
предыдущего определения. Тогда определено линейное отображение
в — ср о ф.
Матрица С отображения в называется произведением матриц А и
В и обозначается символом В А.
Предоставляем читателю самостоятельный вывод явного
выражения элементов матрицы В А через элементы матриц А и В.
§3. Нормированные векторные пространства
В этом параграфе вводится понятие нормы вектора в векторном
пространстве. По своим свойствам норма вектора аналогична модулю
числа. Задание нормы в векторном пространстве позволяет определить
в нем некоторую метрику, называемую метрикой, порожденной данной
нормой. Рассматривается специально случай пространства Ш71.
Определяется понятие нормы линейного отображения.
3.1. Понятие нормы в векторном пространстве
Пусть X есть векторное пространство над полем К. Напомним,
что К здесь означает либо множество всех вещественных чисел М, либо
множество всех комплексных чисел С.
Функция N : X —> Е называется полунормой, если она
удовлетворяет двум условиям:
N1. Для любых двух векторов х, у G X выполняется неравенство:
N(x + y) <N(x) + N(y).
N2. Для всякого х Е X и любого Л G К имеет место равенство:
N(Xx) = \X\N(x).

§ 3. Нормированные векторные пространства
191
Пусть N : X —> R есть полунорма. Полагая в условии N2 х = 0 и
А = 0 и замечая, что 0-0 = 0, получим:
N(0) = ЛГ(0 - 0) = 0 • ЛГ(0) = 0,
так что для нулевого элемента векторного пространства X выполняется
N(0) = 0. Для всякого вектора х Е X имеем:
0 = х + (-ж) = ж + (-1) • х
и, значит,
0 = N(x + (-1) • х) < N(x) + N((-1) • х) = 2N{x).
Отсюда получаем, что 0 < 2N(x). Следовательно, для всякого х Е X
справедливо N(x) > 0.
Функция N : X —> R называется нормой, если она является
полунормой и, кроме того, удовлетворяет условию отделимости:
N3. Если для вектора х Е X имеет место равенство N(x) = 0, то ж
есть нулевой вектор пространства X.
Условия N1—N3 называются аксиомами нормы в векторном
пространстве.
Будем говорить, что векторное пространство X нормировано, если
в нем задана некоторая норма.
Формально, нормированное векторное пространство — это пара
(X, ЛГ), где X — векторное пространство, N — норма в этом
пространстве.
Пусть N есть норма в нормированном векторном пространстве X.
Для х Е X величина N(x) называется нормой вектора х.
В дальнейшем норму вектора х будем обозначать символом |a:|jv
или какими-либо другими, аналогичными знаку модуля числа,
например, ||ж||, ||И||,|г|.
Пусть X = R. В множестве R определены операции сложения и
умножения элементов. Они удовлетворяют всем восьми аксиомам
векторного пространства (см. §2) и, следовательно, R есть векторное
пространство над полем R. Функция N(x) = |ж|, очевидно,
удовлетворяет условиям N1—N3 и, значит, является нормой в поле R,
рассматриваемой как векторное пространство над R.
Множество R, таким образом, представляет собой пример
нормированного векторного пространства над полем R.

192
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Множество всех комплексных чисел С является векторным
пространством как над полем К, так и над полем С. В обоих случаях
функция N(z) = \z\ есть норма в этом пространстве.
Рассмотрим векторы в обычном трехмерном пространстве.
Пусть |ж| означает длину вектора х. Функция N(x) = \x\
удовлетворяет условиям N1—N3, откуда следует, что множество всех
векторов трехмерного евклидова пространства есть нормированное
векторное пространство. При этом норма произвольного вектора х равна его
длине.
Следующая лемма полезна при проверке того, что та или иная
функция на векторном пространстве является полунормой.
■ Лемма 3.1. Пусть X есть векторное пространство и F : X —» К
— неотрицательная функция. Если для любого вектора х G X и любого
числа A G К выполняется неравенство
F(Xx) < \\\F(x), (3.1)
то
F(Xx) = \X\F(x) (3.2)
для любых х G X и А G К.
Доказательство. Предположим, что функция F удовлетворяет
условию леммы. Полагая в (3.1) А = 0, получим, что для всякого х G X
F(0 • х) = F(0) < 0 • F{x) = 0.
Так как jF(0) > 0, отсюда следует, что
F(Q-x) =F(0) = 0 = 0-F(x),
так что для А = 0 равенство (3.2) выполняется.
Пусть А ф 0. Возьмем произвольно х G X. По условию, имеет
место неравенство (3.1).
Положим х\ — Хх и Ai = -г-- Имеем: Ai^i = ж. Из условия леммы
получаем:
F(x) = F(Ai^i) < |Ai|F(a:i) = щ^М-
Отсюда
|A|F(a?) < F(Arc). (3.3)
Сопоставляя неравенства (3.1) и (3.3), заключаем, что F(Xx) = \X\F(x).
Лемма доказана. ■

§ 3. Нормированные векторные пространства
193
Пусть X есть нормированное векторное пространство. Норму
произвольного вектора х Е X будем обозначать символом |ж|.
Задание нормы в пространстве X позволяет ввести в нем
некоторую метрику, а именно, — для произвольных точек ж, у пространства
X полагаем:
р(х,у) = \х-у\. (3.4)
Покажем, что функция пары точек пространства X,
определенная равенством (3.4), является метрикой.
Для всякой точки х G X имеем: ж-ж = 0и, следовательно, р(#, х) =
= \х — х\ = 0, так что в данном случае аксиома Ml метрики
выполняется.
Для любых х,у Е X имеем: х — у — (—1){у — х) и, стало быть,
\х — у\ = \у — #|, откуда получаем, что р(х,у) = р(у,х), и аксиома
М2, таким образом, в данном случае выполняется.
Пусть #, у и z — три произвольные точки пространства X. Тогда
имеем:
\х - z\ = \(х -у) + (у- z)\ < \х - у\ + \у - z\9
то есть
p(x,z) <p(x,y)+p(y,z),
так что аксиома МЗ выполняется.
Пусть точки #, у таковы, что р(#, у) = 0. Имеем: р(#, у) = \х — у| и,
значит, в силу аксиомы отделимости нормы (аксиомы N3)
х — у = 0, откуда х = у.
Аксиома М4 для функции р, таким образом, выполняется и,
следовательно, мы доказали, что р есть метрика в пространстве X.
Построенная метрика р в нормированном пространстве X
называется метрикой, порооюденной нормой пространства. Мы будем также
называть ее естественной метрикой нормированного векторного
пространства X.
3,2. Нормы в пространстве Rn
3.2.1. Опишем некоторые конкретные нормы в пространстве Ш.п,
Пусть х = (х\,Х2,... ,#п) есть произвольный вектор в
пространстве М71. Полагаем:
\х\Т = max{|#i|, |ж2|, • • •, \хп\}- (3.5)
Величину \х\т будем называть чебышёвской нормой вектора х.

194 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Покажем, что функция N : х н-> \х\т удовлетворяет аксиомам
N1—N3, введенным в предыдущем разделе.
Пусть х = (#i, #2,..., хп). Из определения чебышёвской нормы
следует, что \xi\ < \х\т при каждом г = 1,2, ...,п. Это позволяет
заключить, что если |ж|т = 0, то х% = 0 для всех г = 1,2,... ,п, то есть из
равенства \х\т = 0 следует, что х = 0. Видим, что условие N3 для
функции N(x) = \х\т выполняется.
Пусть даны векторы х = {хи х2,..., яп), у = (Уь 2/2,..., Уп). Пусть
г = (zi, Z2,..., zn) есть их сумма. Тогда при каждом г = 1,2,..., п будем
иметь: ^ = Xi + У% и, значит,
\Zi\ = |Жг+Уг| < |Жг| + Ы
при каждом г = 1,2,..., п.
Имеем |#г| < |#|т и |у*| < |у|т, откуда вытекает, что |гг| < |ж|т+|Ут|
при каждом г, и, следовательно,
\z\t = max{|zi|, |z2|,..., |гп|} < |ж|т + \ут\-
Мы получаем, таким образом, что для любых векторов ж, у £ Мп
выполняется неравенство:
|я + !/|т < |ж|т + |ут|.
Это означает, что аксиома N1 для функции N(x) = \х\т выполняется.
Пусть дан произвольный вектор х = (#i,#2,... ,#п) 6 Кп и пусть
A Е К. При каждом i = 1,2,..., п имеем:
|А*<| = |A||z<| < |Л|Иг.
Отсюда следует, что
|Ая|т = max{|A||#i|, |А||ж2|,..., |А||жп|} < |А||ж|т,
то есть N{\x) < \X\N(x) для любых х Е Мп и А Е R. В силу леммы 3.1,
N(Xx) = \X\N(x)
для любого вектора х и любого числа А. Аксиома N2 для функции |ж|т,
таким образом, выполняется.
Итак, функция \х\т, определенная равенством (3.5), является
нормой в пространстве Ш71.

§ 3. Нормированные векторные пространства
195
В дальнейшем мы будем применять в основном некоторую другую
норму, определенную следующим образом.
Для произвольного вектора х = (xi,X2,--- ,Xn) в пространстве Rn
полагаем:
\Jx\ + х%-\ Ь xl
ч£
xf
(3.6)
Покажем, что функция |ж| является нормой в пространстве
Rra. В главе 4 было доказано следующее утверждение. Для любого числа
р > 1 и любых двух систем вещественных чисел х — {х\,Х2, ...,хп) и
У = (j/i,2/2, • • • ,Уп) имеет место неравенство Минковского:
*|El*i + !«lp< \
Ni=1
\ г=1
(3.7)
Полагая в неравенстве (3.7) р = 2, получим:
л|^[^+Уг]2<
Е*?+
М г=1 V г=1
D
В левой части этого неравенства стоит величина \х + г/|, справа
имеем сумму \х\ + \у\. Таким образом,
\х + у\ < М + |у|,
так что условие N1 для функции N(x) — \x\ выполняется.
Для всякого вектора х = (#i, £2,..., хп) и любого числа Л Е К имеет
место равенство:
|Ах| =
£(А*«)2 =
£>? = |А|М,
и выполнение условия N2 для функции N(x) = |ж| установлено.
Для всякого вектора а; = (ж1,Ж2,... ,хп) € Кп имеем:
х =
N
£*?>>/£? = И
(3.8)
г=1

196
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
при каждом г = 1,2,... , п. Из неравенства (3.8) следует, что если для
вектора х Е Ш71 имеет место равенство \х\ = О, то все компоненты
вектора ж равны нулю, то есть х = 0.
Таким образом, нами установлено, что функция N(x) = \x\
удовлетворяет также и условию N3.
Норма |ж| в пространстве Еп, определенная равенством (3.6),
называется евклидовой нормой в Rn. Норма в векторном пространстве, как
показано в п. 3.1, определяет в этом пространстве некоторую метрику.
Метрика в пространстве Rn, порожденная евклидовой нормой \х\ в
пространстве Мп, называется евклидовой метрикой в Rn.
Из (3.8) следует, что для всякого вектора х = (#i,#2,... ,жп) в Ш71
имеет место неравенство:
\х\ > тах{|ж1|,|я2|,...,|жп|} = \х\т.
Имеем:
Xi = \Xi\ < \х\Т.
Подставляя эту оценку в правую
получим, что для всякого вектора х Е Ш71
\х\ < у/п\х\Т.
Таким образом, евклидова норма и чебышёвская норма в
пространстве R71 связаны между собой неравенствами:
\х\т < \х\ < у/п\х\т (3.9)
для всякого вектора х G Мп.
3.2.2. Введем понятие, которое в дальнейшем будет часто применяться.
Пусть х = (Я1,ж2, •.. ,жп) и у = (j/i,2/2, ...,Уп) — векторы в
пространстве Rn. Величина:
п
Xiyi + Х2У2 Н h ХпУп = 2Z XiVi
г=1
называется скалярным произведением векторов х и у и обозначается
символом (ж,у).
Справедливо неравенство:
|(ж,у)|<|х||у|. (3.10)
Это есть неравенство Коши — Буняковского, доказанное в §8 главы 4
как частный случай неравенства Гёльдера.
часть неравенства (3.6),

§ 3. Нормированные векторные пространства
197
Для всякого вектора х Е Кп имеет место равенство: (#, х) = |ж|2.
Введенные здесь понятия могут быть определены также и для
пространства Сп. При этом определения чебышёвской и евклидовой норм
для этого случая формально получаются заменой в определениях,
данных выше, символа Жп на символ Сп.
Скалярное произведение векторов ж, у Е Сп определяется
следующим образом. Пусть х = (xi,X2,.--,xn) и ?/ = (j/i, у2,... ,2м) суть
произвольные векторы в пространстве Сп. Здесь х$,у$, j = 1,2,... , п,
— произвольные комплексные числа.
Скалярное произведение векторов х и у есть величина
п
(ж, ?/) = ^ж,-од.
Напомним, что для произвольного комплексного числа z символ z
означает комплексное число, сопряженное к z. При таком выборе
скалярного произведения в пространстве Сп для любого вектора х Е Сп
имеет место равенство: (ж, х) = |ж|2.
С помощью понятия нормы в пространстве Жп определяется
метрика. Норму в пространстве Rn можно вводить разными способами.
Однако все нормы в Rn в определенном смысле оказываются
эквивалентными, как будет показано в § 6 этой главы.
■ Теорема 3.1. Пусть даны метрические пространства (Mk,pk),
к — 1,2,..., п. Если каждое из этих пространств совпадает с
множеством всех вещественных чисел К, наделенным его естественной
метрикой, то их декартово произведение изометрично пространству Rn с
евклидовой метрикой.
Доказательство. Пусть Мк = М = R и рк(х,у) = \х — у\ при
каждом к = 1,2,..., п. В соответствии с общим определением прямого
произведения метрических пространств, элементами произведения Мп
в данном случае являются всевозможные наборы (xi,a?2,... ,жп) из п
вещественных чисел, взятых в определенном порядке, то есть Мп, как
множество, совпадает с Мп.
Пусть х = (#i, Ж2,. •., хп) и у = (2/1,2/2,..., Уп) — две произвольные
точки пространства Мп. Согласно определению декартова произведения
метрических пространств, имеем:
п
^{xi-yi)2 = \х-у\.
Р(х, У) =
N
Теорема доказана. ■

198 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Пространство Rn и функции, определенные на его подмножествах,
будут для нас далее одним из основных объектов исследования.
Пусть кит суть произвольные натуральные числа и п = к + т.
Тогда декартово произведение Rk x Rm изометрично пространству Мп.
Действительно, произвольному элементу (у, z) декартова
произведения сопоставим вектор х G Мп, получаемый следующим образом.
Последовательно выпишем компоненты вектора у и затем припишем к
ним, в порядке следования, компоненты вектора z. Полученный в
результате вектор х G Ш71 обозначим символом j(y,z). Формально, если
У = (l/i,l/2,...,l/*) £Rk nz = (zuz2,...,zm) G Mm, to j(y,z) есть вектор
x = (#i, #2, •.., a?n) £ ^n такой, что Xi = yi для г = 1,2,..., к и а:» = 2*-*
при г = fc + 1,fc + 2, ...fc + m — n.
Легко проверяется, что отображение
j : (у, г) GlfcxRroH. x = j(y,z) G Mfc+m = Mn
является изометрическим. Отображение j, полученное таким образом,
будем называть канонической изометрией пространств Шк х Мт и
Rn _ Rfc+m в дальнейшем вместо j(y,z) будем писать просто (у, г),
отождествляя пару (у, г) с элементом j(y,z) пространства Rn.
Пусть Е2 есть двумерная евклидова плоскость и расстояние между
точками X, Y G Е2 определяется как длина отрезка, соединяющего эти
точки. (В случае X = Y отрезок вырождается в точку.)
На плоскости зададим декартову ортогональную систему
координат. Пусть X G Е2, х и у — координаты точки X в этой системе
координат. Тогда, как следует из известных результатов аналитической
геометрии, отображение й:1и(ж,у) является изометрией плоскости
Е2 и метрического пространства М2.
3,3, Некоторые специальные подмножества пространства Rn
Пусть Ai — (аг, Ьг), где г = 1,2,..., п, — отрезки в множестве R.
Совокупность всех точек х = (#i, #2,..., жп) пространства Мп, у
которых г-я координата принадлежит Аг при каждом г = 1,2,..., п, будем
обозначать следующим образом:
п
Ai х А2 х - •. х Ап = X Ai (3-п)
г=1
и называть координатным прямоугольником пространства М71.
Всякое множество АсКп, допускающее представление вида (3.11), будем
называть n-мерным прямоугольником.

§ 3. Нормированные векторные пространства
199
Предположим, что n-мерный прямоугольник А является
произведением отрезков Al, А2,..., Ап.
Если каждый из отрезков Ai является открытым, то А
называется n-мерным интервалом.
Если отрезки Ai все замкнутые, то будем говорить, что А
есть n-мерный сегмент.
Пусть даны точка а = (ai,a2,... , оп) пространства Еп и число
г > 0. Полагаем:
Q(o,г) = (ai - г, сц + г) х (а2 - г, а2 + г) х • • • х (ап -г,ап + г),
Q(a, г) = [ai - г, ai + г] х [а2 - г, о2 + г] х • • • х [ап - г, ап + г].
В дальнейшем каждое из множеств Q(a,r) и Q(a,r) будем
называть кубом с центром а и длиной ребра 2г, причем куб Q(o,r) далее
именуется открытым, куб Q(o, r) — замкнутым.
Пространство Е2 будем отождествлять с обычной евклидовой
плоскостью, на которой задана некоторая декартова ортогональная
система координат.
Множество Q(a,r) в пространстве R2 представляет собой обычный
квадрат на плоскости, центр которого есть точка о = (ai,a2),
стороны параллельны координатным осям, причем длина каждой стороны
равна 2г.
Точно так же, в случае п = 3 пространство М3 может
быть отождествлено с обычным трехмерным евклидовым
пространством с фиксированной декартовой ортогональной системой координат.
Куб Q(a,r) в этой системе координат изображается обычным кубом с
центром в точке, имеющей координаты (01,02,03), и ребрами,
параллельными осям координат, причем длина каждого ребра равна 2г.
Пусть даны точка о = (oi, о2,..., оп) Е Кп и число г > 0.
Очевидно, Q(a,r) представляет собой множество пространства Мп,
состоящее из всех точек х = (#1,ж2,... ,#п), для которых выполняется
неравенство: \х — а\т <т.
Аналогичным образом Q(a,r) есть совокупность всех точек х =
= (^1,^2}... ,Хп) пространства Rn, для которых \х — о|т < т.
Очевидно, всегда имеет место включение:
Q(a,r)cQ(a,r). (3.12)
Если п и г 2 таковы, что 0 < Г\ < г г, то
Q(a,n)cQ(a,r2). (3.13)

200 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Действительно, пусть а = (ai,a2,... ,an) и 0 < ri < Г2. Возьмем
произвольно точку х G Q(a,ri). Пусть 0 < ri < Г2. Тогда \х — а\т < т\.
Если \х — а\т < ri, то |ж — а|т < ^2. Следовательно, если ж £ Q(a, п),
то # G Q(a,r2), и тем самым соотношение (3.13) доказано.
Пусть а — произвольная точка пространства Кп и г > 0 —
вещественное число. Тогда определены множества В(а,г) и J5(a, r) —
открытый и замкнутый шары с центром в точке а и радиусом г.
Напомним, что согласно определению, данному выше, J5(a, r) есть
множество всех точек х G Жп таких, что \х — а\ < г, а В(а,г) есть
совокупность всех точек ж G Мп, для которых выполняется неравенство:
\х — а\ < г.
■ Лемма 3.2. Для всякой точки а G Мп для любого г > 0 имеют
место включения:
B(a,r) С Q(a,r) С B(a,ry/n), В(а9г) С Q(a,r) С В(а,гу/п).
Доказательство. Пусть х G В (а, г). Имеем:
\х — а\т < \х — а\ < г
и, следовательно, х G Q(a,r). Включение J5(a,r) С Q(a,r) тем самым
доказано.
Пусть ж G Q(a,r). Тогда \х — а|т < г. Так как
|ж — а| < \/п|# — а|т,
то
|# — а| < г\Аг.
Значит, # G B(a, г-^/гг) и первые два включения леммы доказаны.
Доказательство утверждений леммы, относящихся к случаю, когда
рассматриваются замкнутые шары и кубы, проводится аналогично,
и мы предоставляем читателю рассмотрение всех связанных с этим
деталей.
Лемма доказана. ■
3.4. Норма линейного отображения
3.4.1. Зададим произвольно нормированные векторные пространства
X и Y. Пусть Nx есть норма в пространстве X, Ny — норма в Y. Для

§ 3. Нормированные векторные пространства
201
упрощения записи, для произвольного вектора я € X величину Nx(x) в
дальнейшем будем обозначать символом |ж|х или, когда недоразумение
невозможно, просто символом \х\. Аналогично, норму произвольного
вектора у € Y будем обозначать символом \у\у или просто \у\.
Пусть дано линейное отображение: (р : X —► Y. Точная верхняя
граница величины |<р(#)|у на совокупности всех х € X таких, что |ж|х < 1,
обозначается символом \\ip\\ и называется нормой линейного
отображения (р относительно норм Nx и Ny в пространствах X и Y. В
соответствии с этим определением, имеем:
\\(р\\ = sup \(p(x)\Y.
ж€Х,|ж|х<1
Нормы в пространствах X и Y могут задаваться разными
способами, и значение нормы линейного отображения зависит от выбора
норм в X и Y.
В общем случае — для произвольного отображения ip € £(X, Y)
величина \\ip\\ может оказаться равной оо.
Отображение (р Е £(X, Y) называется ограниченным, если его
норма конечна. Совокупность всех ограниченных линейных отображений
пространства X в пространство Y обозначается символом: #£(Х, Y).
Отметим некоторые свойства нормы линейного отображения,
непосредственно вытекающие из ее определения.
1. Если (р Е #£(X,Y), то для всякого ненулевого вектора х Е X
выполняется неравенство:
№(х)|у<|НМх.
Действительно, пусть (р : X —► Y есть линейное отображение, х ф 0
есть вектор в пространстве X.
Положим: £ = г-тх. Очевидно, |£| = 1 и, значит, согласно опреде-
\х\
лению величины ||<р||, имеет место неравенство:
И01 < IN-
Имеем: х = |ж|£ и, стало быть,
4>(х) = \х\<р(£).
Отсюда получаем:
\ф)\ = \х\\<р($\ < \х\\\<р\\,
что и требовалось доказать.

202 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
2. Для любых двух линейных отображений <рг и <р2 пространства
X в пространство Y имеет место неравенство:
||*>1 + HI <ll^ill
+Недействительно, положим: <р = ip\ + <р2. Для всякого вектора ж € X
такого, что \х\ < 1, имеем:
\<p(z)\y = \<Pi(x) + Мх)\у < \<Pi(x)U + \Ых)\у < \\<Pi\\ + \\Ы\-
Отсюда следует, что
|И1= SUP Иж)|у<||»>1|| + ||»>2||,
ж€Х,|ж|х<1
что и требовалось доказать.
3. Если (р : X —* Y есть ограниченное линейное отображение, то
для любого числа а € К отображение оир является ограниченным. При
этом выполняется неравенство:
IMI < HIMI- (3-й)
Величина \\а<р\\ неотрицательна для любого а € К.
Возьмем произвольно вектор ж € X такой, что \х\х < 1. Имеем:
\<*<p(x)\Y = \a\\(p(x)\Y < HIMI-
Отсюда, в силу произвольности вектора жбХ такого, что \х\ < 1,
вытекает, что величина \\окр\\ — конечна. При этом
\ы\\ < himi,
что и требовалось доказать.
4. Пусть даны векторные пространства X, Y и Т над числовым
полем К и пусть <р : X —► Y, ^ : Y —► Т суть ограниченные линейные
отображения. Тогда имеет место неравенство:
1№°И1<1МИМ1-
Зададим произвольно вектор х € X такой, что \х\ < 1. В силу
утверждения 1, имеем:
\Ф[Ф))\<М\\\Ф)\<\\Ф№\\-

§ 3. Нормированные векторные пространства
203
В силу произвольности вектора х, удовлетворяющего условию \х\ < 1,
отсюда следует, что
\\фо<р\\ = sup |^(ж)]|<М|И1,
ж€Х,|ж|<1
что и требовалось доказать.
5. Множество 2?£(Х, Y) всех ограниченных линейных отображений
нормированного векторного пространства X в нормированное векторное
пространство Y является векторным пространством и \\(р\\ есть норма
в этом пространстве.
Действительно, пусть (fi,(f2 Е 2?£(Х, Y). Тогда для любых а, /3 Е К
линейные отображения а<рг и fiip2 в силу предложения 3 являются
ограниченными. В силу предложения 2, отсюда вытекает ограниченность
отображения acpi + (3(р2-
Таким образом, линейная комбинация любых двух элементов
множества /3£(Х, Y) принадлежит 2?£(Х, Y). Следствие теоремы 2.1
позволяет теперь заключить, что #£(Х, Y) есть векторное пространство.
Из предложения 2 следует, что для нормы линейного отображения
выполняется аксиома N1.
В силу леммы 3.1, из предложения 3 вытекает, что для функции
(р Е 2?£(XY) и* \\ср\\ условие N2 выполняется.
Предположим, что (р Е /3£(Х, Y) таково, что \\ip\\ = 0. Тогда, в силу
утверждения 1, \(р(х)\ < 0 для всякого ненулевого вектора х Е X.
Так как норма вектора в пространстве Y — неотрицательна, то
И*)1 = о
ДЛЯ ВСЯКОГО X ф 0.
Для х — 0 это условие, очевидно, также выполняется. Отсюда
вытекает, что ср(х) = 0 для всех х Е X.
Таким образом, мы получаем, что если норма линейного
отображения (р равна нулю, то данное отображение тождественно равно нулю,
то есть (р есть нулевой элемент векторного пространства 2?£(Х, Y).
Итак, нами установлено, что условие N3 здесь также выполнено.
Утверждение 5 доказано.
3.4.2. Теперь обратимся к случаю, который для нас будет основным.
Именно, рассмотрим случай, когда числовое поле К есть множество всех
вещественных чисел R, а X = En, Y = Rm.
Пусть (р : Еп —у Ш™ — произвольное линейное отображение. Его
норму, определенную относительно евклидовых норм в М.п и Ет, будем
обозначать символом \\<р\\.

204
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
ф Предложение 3.1. Для всякого линейного отображения <р про-
странства Rn в пространство Ш™ его норма \\(р\\ конечна.
Доказательство. Действительно, пусть ai,a2,...,an —
коэффициенты линейного отображения (р. Это означает, что для всякого
вектора х = (#i, #2, • • • ? #п) будем иметь:
\Ф)\ =
У X%Sl%
г=1
<Y1 nm-
г=1
Отсюда, применяя к сумме справа неравенство Коти —
Буняковского (неравенство (3.10)), получим:
\ф)\ <
En2-
Мы видим, что
IMI <
aiEw2<o0'
\| г=1
Предложение доказано. 4
Если А есть произвольная т х n-матрица, то норма
определяемого ею линейного отображения жЕ1пи Ах £ Мт называется
операторной нормой матрицы А.
В качестве упражнения читателю предлагается указать явное
выражение операторной нормы матрицы через известные из курса алгебры
величины, относящиеся к матрицам.
i 4. Понятия предела и непрерывности для
отображений метрических пространств
В этом параграфе определяются понятия предела и непрерывного
отображения для случая, когда речь идет об отображениях
произвольных метрических пространств. Предварительно будет описала
некоторая общая концепция предела.
Существуют различные «общие концепции предела». Концепция,
излагаемая здесь, не является самой общей из числа известных. Она
приспособлена специально к случаю, когда речь идет об отображениях

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
205
метрических пространств. Достоинством излагаемой концепции
предела, по нашему мнению, является ее относительная простота. В то же
время она вполне достаточна для решения рассматриваемых задач.
Вводится понятие предела относительно оценочной функции.
Устанавливаются простейшие свойства предела. Основным результатом
является теорема, позволяющая устанавливать свойства предела,
используя понятие предела последовательности (рассмотренное в главе 2).
Доказываются аналоги теорем о предельном переходе в
неравенстве, о зажатой переменной, об операциях над пределами.
Определяются понятие непрерывности и понятие предела для
отображений метрических пространств. Основными результатами
являются теоремы о пределе суперпозиции. Формулировки этих теорем
аналогичны формулировкам теорем о пределе суперпозиции, установленным
в главе 2.
Другой вопрос, который рассматривается здесь, — понятие
полного метрического пространства. Точное определение читатель найдет
далее. Неформально же можно сказать, что полное метрическое
пространство есть такое, в котором верен критерий Коши — Больцано
существования предела последовательности.
В заключение специально рассматривается случай пространства
Rn. Устанавливается, что это полное метрическое пространство,
указываются некоторые простые критерии непрерывности отображения
метрического пространства в Шп.
4.1. Понятие предела относительно оценочной функции
4.1.1. Пусть М — произвольное множество и Л : М —► R —
функция, определенная на М. Мы будем предполагать, что Л удовлетворяет
следующему условию:
Е) точная нижняя граница функции А на множестве М равна нулю.
Наша цель — определить для произвольной функции / : М —» R,
что есть предел f(x) при А(#), стремящемся к нулю. В этой связи
функцию Л будем называть оценочной.
Итак, пусть даны функция А : М —> R, удовлетворяющая условию
Е), и функция / : М —► R.
Число L E R будем называть пределом функции f(x) при Х(х) —> 0,
если выполнено следующее условие: каково бы ни было е > 0, по нему
найдется 6 > 0 такое, что для всякого х Е М, для которого Х(х) < 6,
выполняется неравенство: \f(x) — L\ < е.

206
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Будем говорить, что L — оо (L = —оо) есть предел f(x) при
Х(х) —> 0, если для любого числа if G Е можно указать число 6 > 0
такое, что для всякого ж Е М, удовлетворяющего условию А(ж) < 6,
выполняется неравенство: f(x) > К (соответственно, неравенство f(x) < К).
Если число L ЕЙ есть предел функции f{x) при Л (х) —> 0, то будем
писать:
L= lim f(x). (4.1)
А(ж)-+0,ж€М
В этом случае будем также говорить, что f(x) стремится к L при Х(х),
стремящемся к нулю, сокращенно записывая это так: f(x) —> L при
Х(х) —► 0. Когда недоразумение невозможно, выражение: «ж Е М» в
обозначении для предела опускается.
Рассмотрим некоторую модификацию данного определения предела.
Будем говорить, что функция Л : М —► Ж есть оценочная функция
второго типа, если Л удовлетворяет следующему условию:
Е*) точная верхняя граница функции Л на множестве М равна оо.
Число L Е К будем называть пределом функции / : М —► R при
Л(я) —► оо, если выполнено следующее условие: каково бы ни было е > 0,
по нему найдется Н Е Е такое, что для всякого х Е М, для которого
А(х) > Н, выполняется неравенство \f(x) — L\ <e.
Будем говорить, что L = оо (L = —оо) является пределом функции
/(ж) при Л(ж) —> оо, если для любого числа К ЕЕ можно указать число
Л" Е М такое, что для всякого х Е М, для которого А{х) > if,
выполняется неравенство f(x)>K (соответственно, неравенство f(x) < К).
Пусть функция Л удовлетворяет условию Е*. Тот факт, что L 6Й
есть предел функции / : М —► М при Л(#) —► оо, символически
записывается следующим образом:
L = lim /(#)•
Л(ж)—*-оо,ж£М
Когда недоразумение невозможно, выражение: «я Е М» в этой
записи опускается.
Введенное здесь понятие предела при А(х) —> оо сводится к
предыдущему надлежащим изменением оценочной функции, как показывает
следующая лемма.
■ Лемма 4.2. Пусть функция А : М —* R такова, что sup Л(ж) = оо.
Положим: Х(х) = ехр[—Л(#)]. Тогда inf А(ж) = 0 и число К ЕМ явля-
х€М
ется пределом функции / : М —> R при Л(#) —* оо в том и только в том
случае, если К = lim f(x).
А(ж)-+0 ,

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
207
Доказательство. Предположим, что
К= lim fix).
Докажем, что тогда
К= lim f{x).
А(х)—юо
Пусть if — конечно. Зададим произвольно е > 0 и найдем по нему
5 > 0 такое, что если Х(х) < <5, то \f(x) — К\ < е. Положим:
Я = 1„{1 } = -!„«.
Если А(х) > Я, то Х(х) < 6 и, значит,
|/(Ж)-К|<£.
Таким образом, мы получаем, что каково бы ни было е > 0, по нему
найдется Я Е М такое, что если Л(#) > Я, то выполняется неравенство:
\S(x)-K\<e.
Согласно данному выше определению, это означает, что
К= lim Six).
А(х)—юо
Случай if = ±oo рассматривается аналогично.
Покажем, что если
К = lim f(x), то К — lim /(ж).
Л(ж)—»оо Л(ж)—»0
Пусть К — конечно. Зададим произвольно е > 0 и найдем по нему
ЯеК такое, что если А(х) > Я, то \f(x) — К\<е.
Положим 6 = ехр(—Я). Если А(#) < Я, то
Л(ж) = -1пА(аО > -In(5 = Я
и, следовательно, \f(x) — К\ < е. В силу произвольности е > 0, тем
самым установлено, что
К = Urn /(ж).
Случай if = ±oo рассматривается аналогично.
Лемма доказана. ■

208
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Будем далее говорить, что А есть оценочная функция с предельным
значением 0, а Л — оценочная функция с предельным значением сю.
Пусть А : М —> R есть оценочная функция, если L = lim /(#),
А(а:)-+0
L Е К, то мы будем говорить, что L есть предел /(ж) относительно
оценочной функции А или, короче, по оценочной функции А.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Пусть А есть произвольное подмножество множества
вещественных чисел Мир есть предельная точка множества А.
Предположим, что р — конечно. Положим: Х(х) = \х — р\. Пусть М = А \ {р}.
Тогда Х(х) > 0 для всех х Е М.
Для всякого е > 0 найдется х € А такое, что ж^р,ивтоже время
\х — р\ < е. Это означает, что 0 = inf \(x).
Простое сопоставление данного здесь определения с тем, которое
было приведено в главе 2, показывает, что понятие предела при Х(х) —> 0
в точности совпадает с понятием предела при х, стремящемся
к р по множеству А, введенным в главе 1.
Пример 2. Пусть А есть произвольное подмножество множества
вещественных чисел К. Предположим, что сю есть предельная точка
множества А. Положим: А(х) = х. Пусть М = А \ {оо}. Тогда &(х) < сю
для всех х Е М.
Сопоставляя данное здесь определение предела относительно
оценочной функции с предельным значением сю — с определением предела,
данным в главе 2, получим, что понятие предела при х —► оо по
множеству А совпадает с понятием предела f(x) при А(х) —► оо при
данном выборе функции Л.
В случае, когда — оо есть предельная точка множества АсМ,
полагаем Л(ж) = —х. Тогда понятие предела /
lim f(x)
в точности совпадает с тем, что здесь названо пределом f(x) при
А(х) —> оо по множеству М = А \ {—оо}.
Справедливость последнего утверждения устанавливается
сопоставлением определения, приведенного здесь, и определения, данного в
главе 2. Мы предоставляем читателю убедиться в этом самостоятельно.
Пример 3. Пусть М = N х N = N2 есть множество всевозможных
пар натуральных чисел (п,га), где п £ N и т Е N. Для (п,га) £ №
положим: Л(п,га) = min{n,m}. Имеем:
оо = sup Л(п,га).
(m,n)€N2

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
209
Предположим, что каждой паре п Е N, т Е N сопоставлено
некоторое ЧИСЛО Unm.
Всякая функция (п,т) GN2n unm называется двойной
последовательностью. Для ее обозначения будем применять одно из следующих
ДВуХ Выражений: (un,m)n€N,m€N или (^n,m)(n,m)€N2-
Предел двойной последовательности ип,т, (п,т) Е N2
относительно оценочной функции Л(п,га) на множестве № при Л(п,га) —► оо,
если таковой существует, обозначается символом: lim ип,т.
п—юо,т—+оо
Рассмотрим частный случай.
Пусть дана последовательность (xn)n£N- Для произвольной пары
номеров n,ra E N положим: ипш — хп — хт. Предположим, что двойная
последовательность (хп — #m)(n,m)€N2 имеет предел, равный нулю при
Л(п,га) —у оо. Согласно определению, это означает, что для всякого
е > 0 найдется К € Ж такое, что для всякой пары номеров (п,га), для
которой п > К и т > К, выполняется неравенство:
\Хп Хт\ ^ £•
Это, очевидно, означает, что для последовательности (хп)пеп
выполняется критерий сходимости Коти — Больцано (см. глава 2, теорема
3.2) и, значит, последовательность (#n)n€N имеет конечный предел.
Таким образом, мы получаем, что критерию сходимости Коти —
Больцано можно придать следующую равносильную форму:
для того чтобы числовая последовательность (хп)пея имела конечный
предел, необходимо и достаточно, чтобы двойная последовательность
(хп — #m)(n,m)€N2 имела предел, равный нулю при п->ооиш-^оо.
Пример 4. Пусть МсК. Предположим, что задана функция / : М —►
-* Е. Используя понятие предела относительно оценочной функции,
условие — функция f равномерно непрерывна на множестве М — можно
представить в иной форме, эквивалентной той, которая дается
определением п. 5.3 главы 2.
Пусть М2 = М х М — это множество всех пар (#i,#2) точек
множества М. Для произвольной пары (#i,#2) Е М2 положим: А(#1,Ж2) =
= \xi — жг|. Согласно определению, функция / равномерно непрерывна
на множестве М, если для всякого е > 0 можно указать такое 6 > 0,
что для любых #i,#2 Е М, для которых A(#i,#2) < 6, выполняется
неравенство:
l/W-/WI<«.
Сопоставляя это определение с определением предела
относительно оценочной функции, получим, что условие — функция f : М —► R
равномерно непрерывна — означает, что разность f{x\) — /(#2) имеет
равный нулю предел при \х\ — #2] —> 0.

210
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
4.1.2. Следующая теорема представляет собой аналог теоремы об
эквивалентности понятий предела в смысле Коти и в смысле Гейне
(см. главу 2). Она позволит свести доказательство свойств пределов в
общем случае к частному случаю предела последовательности
(см. там же).
Пусть дано произвольное множество М. Пусть Л : М —► R есть
оценочная функция на этом множестве. Далее речь всегда идет о пределе
при Х(х) —> 0.
Последовательность (#n)n€N точек множества М будем называть
сходящейся относительно оценочной функции А, если lim Х(хп) = 0.
п—»>оо
■ Теорема 4.1. Для того чтобы число L ЕЙ было пределом
функции f(x) при Х(х) —► 0, необходимо и достаточно, чтобы для всякой
последовательности (xn)n£Nk точек множества М такой, что
lim X(xn) = 0,
п—юо
выполнялось равенство: /^
L = lim f{xn).
n—+oo
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
L e R есть предел f(x) при Х(х) —► 0.
Пусть L — конечно. Зададим произвольно е > 0. Согласно
определению предела, по нему найдется 6 > 0 такое, что если Х(х) < 6, то
1/0*0 - Ц < е.
Пусть последовательность (xn)n€NAj элементов множества М
такова, что
lim X(xn) = 0.
п—юо
Тогда найдется номер п > к такой, что при всяком n > n имеет место
неравенство: Х(хп) < 6. Значит, для всех n > n выполняется
неравенство:
\f(xn)-L\ <e.
Так как е > 0 было выбрано произвольно, то тем самым доказано,
что
L = lim f(xn).
П—+00
Таким образом, мы получаем, что какова бы ни была
последовательность (xn)n€Nk точек множества М такая, что Х(хп) —► 0 при
п —> оо, верно соотношение: f(xn) —* L при п —» ос.

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
211
Пусть L = —оо. Зададим произвольно К > — ос. Согласно
определению предела, по нему найдется 6 > О такое, что если Л(х) < £, то
S{x) <К.
Пусть (sn)n€Nfc есть последовательность точек множества М, для
которой
lim \{хп) = 0.
п—юо
Тогда найдется значение n > fc такое, что Л(хп) < 6 при любом п > п.
Для всех таких п выполняется неравенство: f(xn) < К.
Так как К > — оо было взято произвольно, то тем самым
установлено, что f(xn) —> —оо при п —> оо.
Таким образом, для всякой последовательности (хп)пепк элементов
множества М, удовлетворяющей условию \(хп) —► 0 при п —► оо, имеем:
/(Яп) -> -00.
Случай L = оо, рассматривается аналогично.
Мы показали, таким образом, что если L 6 Ё есть предел функции
/ : М —> R при А(#) —> 0, то для любой последовательности (хи)ие^
элементов М такой, что Х(хи) —> 0, имеем: /(xi/) —> I/.
Необходимость условия теоремы установлена.
Утверждение, касающееся предела, равного оо, доказывается
аналогично. Необходимость условия доказана.
Достаточ нсо с т ь. Предположим, что для данной функции
/ : М —> R существует число L 6 Й такое, что для всякой
последовательности (£n)n€N точек множества М такой, что
lim Х(хп) = О,
п—юо
выполняется равенство:
L = lim /(яп).
п—>оо
Требуется доказать, что
L = lim /(#).
A(z)—О
Зададим произвольно окрестность V числа L. Если L — конечно,
то V есть интервал вида (L — е, L + е).
В случае L = оо окрестность V есть промежуток вида (if, оо].
Наконец, в случае L = —оо имеем: V = [—ос,If).
Покажем, что найдется £ > 0 такое, что если Л(х) < £, то
/(«) 6 V.

212 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Допустим, напротив, что такое 6 > О не существует.
Тогда для каждого п £ N найдется хп £ М такое, что Х(хп) < — и в то
п
же время f(xn) £ V, Полагая п = 1,2,..., получим последовательность
(#n)n€N элементов множества М такую, что \(хп) < — и в то же время
п
f(xn) £ V при каждом п.
При п —> оо будет А(#п) —> 0. В силу условия теоремы, отсюда
вытекает, что /(а?п) стремится к L при п —> оо, и, значит, найдется
номер п такой, что для всех п >п последовательность f(xn) принадлежит
окрестности V числа L. Но, по построению, f(xn) £ V при всяком п.
Итак, допустив, что требуемое число 6 > 0 не существует, мы
приходим к следующему противоречию. С одной стороны,
должно быть f(xn) $. V для всех п, но с другой — имеем: f(xn) £ У,
начиная с некоторого п = п.
Полученное противоречие доказывает, что для всякой
окрестности V числа L найдется 6 > 0 такое, что если х £ М
удовлетворяет условию А(#) < 5, то f(x) £ V. Согласно определению, это и
означает, что L есть предел функции f(x) при Х(х) —> 0.
Теорема доказана. В
В части достаточности условие теоремы 4.1 может быть усилено.
Если для всякой последовательности (xn)neNk элементов М такой,
что А(#п) —> 0 при п —> оо существует предел lim f(xn) (не требуется,
п-+оо
чтобы значение предела было равно одному и тому же числу L), то
функция / имеет предел lim /(#)•
\(х)->0,х£М
4,2. Общие свойства предела
Докажем свойства предела относительно оценочной функции,
непосредственно вытекающие из определения и результатов предыдущего
раздела.
4.2.1. Зададим произвольно множество М и оценочную функцию Л на
множестве М. Все функции, которые мы будем рассматривать в этом
разделе, предполагаются определенными на множестве М, и во всех
случаях нас будет интересовать предел при A(#), стремящемся к 0.
Введем два типа подмножеств М, связанных с данной
оценочной функцией А.
Множество Е С М будем называть протяженным, если для
всякого 6 > 0 существует х £ Е такое, что Х(х) < 6. Это, очевидно,
равносильно следующему утверждению.

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
213
Множество Е является протяженным относительно оценочной
функции Л, если ограничение Х\е функции Л на Е является оценочной
функцией на этом множестве с предельным значением 0.
Множество G С М назовем базисным относительно оценочной
функции А, если существует 6 > 0 такое, что всякая точка х 6 М,
для которой Х(х) < 6, принадлежит множеству G.
Всякое множество G С М, базисное относительно оценочной
функции Л, является также и протяженным относительно Л.
Действительно, пусть 8q > 0 таково, что всякое х 6 М, для
которого Х(х) < 6о, принадлежит G. Зададим произвольно 6 > 0. Пусть 6i
есть меньшее из чисел 6 ибо. Согласно определению оценочной функции
с предельным значением, равным 0 (см. выше п. 4.1.1),
inf Х(х) = 0
хем
и, значит, найдется х 6 М такое, что Х(х) < 6±. Так как 8± < 6о, то
Х(х) < 6о, и, стало быть, х Е G. Так как 6± < 6, то Х(х) < 6.
Таким образом, для всякого 6 > 0 существует х 6 G такое, что
Х(х) < 6.
ф Предлоясение 4.1. Множество Е С М является протяженным
относительно оценочной функции X : М —> R в том и только в том
случае, если существует последовательность (хп)пеп точек множества
Е такая, что Х(хп) —> 0 при п —► оо.
Доказательство. Пусть множество i? является протяженным
относительно оценочной функции Л. Тогда для всякого п 6 N найдется
точка xn G М такая, что А(#п) < —. Так как Х(х) > 0 для всех х Е М,
ть
то А(#п) —> 0 при п —► оо.
Обратно, предположим, что существует последовательность точек
(#n)n€N множества i? такая, что Х(хп) —* 0 при п —> оо.
Из определения предела следует, что для всякого 6 > О найдется
n E N такое, что А(#п) < 6.
Мы видим, что для всякого е > О существует х £ Е такое, что
А(#) < 6. (По условию, хп £ Е для всех п.) Тем самым
установлено, что множество Е является протяженным относительно оценочной
функции А.
Предложение доказано. ♦
■ Теорема 4.2 (общая теорема о предельном переходе в
неравенстве). Пусть функции /:М->1Кйр:М->Е таковы, что каждая из

214
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
них имеет предел при Х(х) —> 0. Предположим, что существует
множество Е С М, протяженное относительно оценочной функции А и такое,
что при всяком х G Е выполняется неравенство: f(x) < g(x). Тогда
справедливо также и неравенство:
К = lim fix) < L — lim g(x).
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Так
как множество Е является протяженным относительно оценочной
функции Л, то, согласно предложению 4.1, найдется последовательность
(#n)n€N точек множества Е такая, что Х(хп) —> 0 при п —> оо. Отсюда,
в силу теоремы 4.1, следует, что
К — lim f(x)= lim f(xn), L— lim g(x) = lim g(xn)-
Л(ж)—>0 n—юо \(x)—*0 n—*oo
При каждом n G N имеем, согласно условию теоремы, f(xn) < g(xn).
Отсюда, согласно теореме о предельном переходе в неравенстве
(глава 2, теорема 1.3), вытекает, что К < L, что и требовалось доказать. ■
Т Следствие. Функция f : М —» Ж может иметь не более одного
предела относительно оценочной функции.
Доказательство аналогично случаю, рассмотренному в главе 2. ▼
■ Лемма 4.2. Пусть L G М есть предел функции / : М —» Е при
Х(х) —* 0, причем L > —оо. Тогда для всякого К < L множество
тех х G М, для которых f(x) > К, является базисным относительно
оценочной функции Л.
Точно так же, если L < оо, то для всякого К > L множество
тех х G М, для которых f(x) < К, является базисным относительно
оценочной функции Л.
Доказательство. Рассмотрим утверждение, относящееся к
случаю, когда L > — оо. Пусть К < L и пусть U есть множество тех х G М,
для которых f(x) > К.
В случае L = оо, согласно определению предела, равного оо,
найдется 8 > 0 такое, что если Х(х) < 8, то f(x) > К. Это означает, что
если Х(х) < 8, то х G С/, и тем самым доказано, что С/ есть
базисное множество.
Пусть —оо <L<ooilK<L. Полагаем е = 109 в случае, если
К — —оо. Пусть е = L — К, если К — конечно.
Согласно определению предела, найдется 8 > 0 такое, что если
Х(х) < й, то \f(x) -L\<e.

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
215
Если х £ М таково, что Х(х) < 6, то f(x) > L — е > К, и, значит,
х £ U. Тем самым доказано, что множество U является базисным.
, Итак, нами установлена справедливость утверждения леммы,
относящегося к случаю, когда L > К" > — оо.
Утверждение леммы относительно случая L < К < оо
доказывается аналогично.
Лемма доказана. ■
4.2.2. Следующая теорема является аналогом теоремы о заоюатой
переменной, доказанной в главе 2 (теорема 1.5).
В Теорема 4.3 (общая теорема о зажатой переменной). Пусть дана
функция / : М —► R. Предположим, что существуют множество ДсМ,
базисное относительно оценочной функции X, и функции u : R —> Ж и
v : R —> Е такие, что при каждом хЕЙ функция f(x) лежит между и{х)
иу(х). Предположим, что К £ R является пределом каждой из функций
и и v при Х(х) —> О
X = lim m(#) = lim ?;(#).
А(ж)-+0,жеЯ А(аО-+0,ж€Я
Тогда справедливо соотношение:
К= lim fix).
А(х)-+ О
Если существуют базисное множество R С М и функция u : R —» R
такие, что для всех х £ R имеет место неравенство u(x) < f(x) и
lim м(а;) = оо,
А(ж)-*0,ж€Я
то также и
lim /(#) = оо.
Если существуют базисное множество R С М и функция u : R —> Ш
такие, что для всех х £ R имеет место неравенство u(x) > f(x) и
lim u(x) = —оо,
А(ж)-*0,ж€Д
то также и
lim fix) = —оо.
\(х)-+о,хем

216 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Доказательство. Пусть (хп)пекк — произвольная
последовательность точек множества М такая, что
О = lim \(xn).
п—♦сю
Согласно определению базисного множества (см. выше), найдется
6 > 0 такое, что всякая точка х Е М, для которой Х(х) < 6, принадлежит
R. Так как
О = lim A(#n),
то найдется номер га Е N& такой, что Х(хп) < 6 при каждом п > т и,
значит, хп Е R при каждом п > т. Последовательность (X(xn))neNm
имеет предел, равный нулю.
В силу теоремы 4.1, и(хп) —* К и v(xn) —> К при п —► оо. При
каждом п >т величина f(xn) содержится между и(хп) и v{xn).
На основании теоремы о зажатой переменной, приведенной в
главе 2, отсюда вытекает, что последовательность (/(#n))neNm имеет
предел, равный К. Следовательно, также и последовательность (f(xn))n£Nk
имеет предел, равный К.
Так как последовательность (хп)пеяк элементов множества М
такая, что Х(хп) —> 0, была выбрана произвольно, то, в силу теоремы 4.1,
отсюда вытекает, что
К = lim fix).
А(ж)-+0,жеМ
Теперь докажем утверждения теоремы, относящиеся к случаю
предела, равного ±оо. Предположим, что для функции / : М —> R
существуют множество R С М, базисное относительно оценочной функции
А, и функция и : R —» R такие, что
lim и(х) = оо
А(ж)—0,ж€Я
и Ц#) < /(#) для всех хЕЙ.
Зададим произвольно последовательность (xn)neNk точек
множества М такую, что А(#п) —* 0 при п —» оо. Пусть 6 > О таково,
что (Х(х) < 6) => х Е Д. Тогда найдется номер m Е N& такой, что
Х(хп) < 6 при каждом п > т. При всяком п > т имеем хп Е R и,
значит, /(#n) > ti(a;n) для любых таких п > га. Так как
lim гл(а;п) = оо,
?г—>оо

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
217
то из доказанного вытекает, что
lim f(xn) = оо.
п—юо
В силу теоремы 4.1, из доказанного следует, что
lim fix) = оо.
Л(я;)-*0
Аналогично рассматривается случай, когда для всех х Е R выполнены
f(x) < и(х) и lim и(х) = —оо.
Теорема доказана. ■
Пусть даны функции f : М —» Е и а : G —> Е, где G есть множество,
базисное относительно оценочной функции Л.
Будем говорить, что f(x) = о[а(#)] при А(#) —» 0, если для всякого
е > О можно указать 5 > 0 такое, что для любого х е М, для которого
Л(а;) < 5, выполняется неравенство:
|/(Ж)| < е|а(х)|.
В частности, выражение /(ж) = о(1) означает, что f(x) —> 0 при
A(s)->0.
▼ Следствие 1. Предположим, что для функции f : М —► Е
существуют множество G, базисное относительно оценочной функции
А : М —» Е, и функция a : G —► Е такие, что для всех х £ G
выполняются неравенства:
О < /(ж) < а(ж).
Если а(#) = о(1) при А(#) —► 0, то также и f(x) = о(1) при А(ж) —► 0.
Данное утверждение вытекает из теоремы 4.3, если положить в ней
и(х) = О и ?;(#) = а(х). ▼
▼ Следствие 2 (свойство локальности предела). Пусть дана
функция f : М —» Е. Предположим, что существуют множество Д С М,
базисное относительно оценочной функции А : М —> Е, и функция
g : R —» Е такая, что /(ж) = #(#) для всех х Е Д. Если существует
предел L = lim д(х),тоЬ=: Цт /(#)•
Л(ж)->0,жеЯ А(ж)-^0,хбМ
Для доказательства следует воспользоваться результатом теоремы
4.3, полагая в ней u = g, v = д. ▼

218
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Замечание. Если функция / : М —> Е имеет предел при
Х(х) —» 0 по некоторому множеству Е, протяженному относительно
оценочной функции А : М —> Е, то из этого, вообще говоря, нельзя
заключить, что существует предел
L = lim /(ж).
А(ж)-*0,жеМ
4.2.3. Докажем общую теорему об алгебраических операциях
с пределами.
В Теорема 4.4 (теорема об алгебраических операциях над
пределами). Пусть даны функции fi : М —* Е, г = 1,2,..., га. Предположим,
что при каждом г = 1,2,..., га существует конечный предел
lim /г(х) = L*.
А(ж)—О
Тогда сумма и произведение данных функций имеют конечные пределы
при Х(х) —» 0. Дри этом
lim [/i(s) + /2(ж) + • • • + /m(а;)] = Li + L2 + • • • + Lm,
Л(ж)—>0
lim [/i(rc)/2(a:)... fm(x)] = L1L2 ... Lm.
А(ж)-*0
Если функция f : M —* E имеет предел L = lim f(x)^0nR есть мно-
А(ж)->0
жество всех тех # € М, для которых f(x) ф 0, то — = lim />/ ч.
L А(*)-о,яея /(ж)
Доказательство. Для сокращения записи введем обозначения:
5 = /i + /2 + • • • + /m, Р = /l/2 • . . /m,
А = Li + I>2 H h Lm, В = L1L2 ... Lm.
Пусть (#n)neNfc есть произвольная последовательность элементов
множества М такая, что Х(хп) —► 0 при п -+ оо. Тогда, согласно теореме
4.1, при каждом г = 1,2,..., га справедливо соотношение:
lim fi(xn) = Li.
n—юо
В силу доказанных ранее в главе 2 теорем о пределе суммы и
произведения, отсюда следует, что существуют пределы:
lim S(xn) и lim P(xn).
п—юо п—юо

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
219
При этом lim S(xn) = -A, lim Р(хп) = В.
п-+оо п—юо
Последовательность (хп)пепк такая, что Х(хп) —► 0 при п —> оо,
была выбрана произвольно. Значит, согласно теореме 4.1, из доказанного
вытекает, что
lim S(x) = A, lim Р(я?) = В.
А(я)—0 А(ж)—О
Утверждение, касающееся предела дроби -7т~т> доказывается ана-
логичным образом. Лемма 4.2 позволяет заключить, что множество
R = {х 6 М | /(ж) ф 0} является базисным.
Для всякой последовательности (rrn)n€Nfc точек множества R
такой, что А(#п) —> 0 при п —► оо, имеем: /(жп) —► L. Отсюда следует,
что l/f(xn) —► 1/Ь при п —* оо. Применяя теорему 4.1 и следствие 2
теоремы 4.3, отсюда получаем, что
1 r 1 г 1
■=" = ШП Т7-Т = ШП
L \(x)-+0,xeR f(x) A(«)-*0,ж€М /(ж) "
Теорема доказана. ■
4.3. Определение предела для отображений метрических
пространств
Пусть М есть метрическое пространство, р — его метрика.
Предположим, что задано множество Т, на котором введена оценочная
функция от, имеющая предельное значение 0.
Будем говорить, что точка р Е М является пределом отображения
tp :Т —> М при <т(£), стремящемся к 0, если
lim p[(p(t),p] = 0.
<г(*)->0
Если точка р Е М удовлетворяет этому условию, то будем писать
р = lim (p(t)
и говорить, что ^?(<) стремится к р при <т(*), стремящемся к нулю, в
обозначениях: <p(t) —> р при сг(<) —► 0.
Если рассматривается оценочная функция а с предельным
значением оо, то аналогично мы будем говорить, что р Е М есть предел у>(£)
при <т(£) —> оо, если
lim p[<p(t),p]=0.
o-(t)—юо

220 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Покажем, что если отображение <р :Т —> М имеет предел при
a(t) —* 0, то предел этот единственный.
Действительно, пусть
р= lim {pit).
Предположим, что р' Е М также есть предел <p(t) при a(t) —> 0. При
каждом t £ Т имеем:
р(р,р) < р[р> У>(*)] + р[Ф),Р]-
Каждое из слагаемых справа стремится к нулю при a(t) —» 0.
На основании теоремы о предельном переходе в неравенстве (теорема
4.2), отсюда получаем:
р(р,р')< 0 + 0 = 0.
Так как, с другой стороны, p(p,pf) > 0, отсюда заключаем, что
р(р,р') =0,
и,значит,
Р; =Р-
Тем самым единственность предела при <т(£) —» 0 установлена.
Аналогично устанавливается единственность предела в случае,
когда речь идет о пределе при a(t) —* оо.
В частном случаеТ = М отображение ср : Т —► М есть
просто последовательность точек метрического пространства М.
Переформулируя общее определение для данного частного случая,
получим, что точка а метрического пространства М с метрикой р
является пределом последовательности (хп)пем точек пространства М в том
и только в том случае, если для всякого е > 0 можно указать номер п
такой, что для всякого п>п выполняется неравенство: p(xn,a) < е.
Пусть дано метрическое пространство Мир — его метрика. Для
произвольной точки a G М положим: ра(х) = р(х,а). Определенная
таким образом функция ра удовлетворяет условию Е) п. 4.1.1. Это
следует из того, что р(ж, а) > 0 и р(а, а) = 0 для всякого х G М.
Будем называть функцию ра оценочной функцией сходимости к
точке а.
Пусть даны метрические пространства М с метрикой р и N с
метрикой сг.

§4. Понятия предела и непрерывности для отображений 221
Будем говорить, что отображение / : М —> N непрерывно
в точке а £ М, если
/(а)= lim f(x)
р(х,а)—*0
или, что равносильно, если
lim <r[f(x),f(a)) = 0.
р(х,а)—уО
Перефразируя общее определение предела применительно к
данному частному случаю, получим, что отображение / : М —> N
непрерывно в точке а £ М в том и только в том случае, если
для всякого е > О можно указать 6 > О такое, что для любого х £ М,
для которого р(ж, а) < 6, выполняется неравенство:
p[f(x)J(a)]<e.
Отображение / : М —> ЛГ называется непрерывным, если оно
непрерывно в каждой точке ж метрического пространства М.
Определим понятие предела для функций, заданных на метрическом
пространстве (М, р).
Как и в теории предела для функций, определенных на
подмножествах множества R, если речь идет о пределе при ж, стремящемся к точке
р, рассматриваются только значения функции в точках пространства,
отличных от р.
В самой этой точке функция, предел которой разыскивается, может
быть даже и не определена.
Точка р метрического пространства М с метрикой р называется
предельной точкой пространства, если для всякого числа 6 > 0
существует точка х £ М такая, что 0 < р(х,р) < 6.
Данное определение, как очевидно, равносильно
следующему: точка р есть предельная точка метрического пространства (М,р),
если шар В(х,6) в этом пространстве, каково бы ни было 6 > О,
содержит точки, отличные от точки р.
Отсюда, в частности, следует, что если р £ М не является
предельной точкой пространства (М,р), то существует 6 > 0 такое, что
шар В(р,6) не содержит точек пространства, отличных от р, то есть
имеет место равенство:
В(р,6) = {р}.
Если р £ М есть предельная точка пространства М, то функция рр
является оценочной функцией с предельным значением 0 на множестве

222 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
М \ {р}, получаемом из М исключением точки р. При этом
рр(х) > О (неравенство строгое!) для всех х Е М \ {р}.
Пусть р — предельная точка метрического пространства (М,р).
Предположим, что заданы метрическое пространство (ЛГ, а) и
отображение / : М —> N.
Точка а £ N называется пределом отображения f при х,
стремящемся к р, если а есть предел ограничения отображения / на множестве
М \ {р} при рр(х), стремящемся к нулю. В этом случае будем писать:
а = lim f(x).
х—*р
Ш Теорема 4.5. Пусть даны метрические пространства М с
метрикой р и N с метрикой а и отображение: / : М —> N. Предположим, что
точка р £ М является предельной точкой пространства М. Для того
чтобы отображение f было непрерывно в точке р, необходимо и
достаточно, чтобы величина f(p) — значение f в точке р — было пределом
функции f(x) при х, стремящемся к р по множеству М \ {р}.
Доказательство. Необходимость. Пусть даны
метрические пространства М и iV, отображение / : М —> N и предельная
точка р пространства М. Предположим, что отображение / непрерывно
в точке р Е Т. Положим: рр(х) = р(х,р).
Функция ра является оценочной функцией с предельным
значением 0 на множестве М' = М\{р}, получаемом из М исключением точки р.
По определению, условие: «отображение / непрерывно в точке р»
означает, что
lim a[f(x),f(p)} = 0.
Зададим произвольно е > 0. По нему найдется 6 > 0 такое, что
если х G М таково, что рр(х) = р(х,р) < 6, то
*№),№]<*• (4-2)
В частности, если х е М' = М \ {р}, причем рр(х) < 6, то выполняется
неравенство (4.2).
В силу произвольности е > 0, этим доказано, что f(p) есть
предел отображения / при ж, стремящемся к р. Необходимость условия
теоремы установлена.
Достаточность. Предположим теперь, что для функции /
выполняется соотношение:
f(p) = lim f(x).
х—>р

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
223
Зададим произвольно е > 0. По нему найдется 6 > 0 такое, что
если х принадлежит множеству М' — М \ {р}, причем рр(х) < 6, то
a[f(x)J{p)\<e. (4.3)
Неравенство (4.3) выполняется для всякого х Е М такого, что
рр(х) < 6. Действительно, если х = р, то f(x) = /(p). В этом
случае
<r[f(x),f(p)} = 0<e.
Если же х ф р, то х Е М'. Неравенство (4.3) в этом случае
выполняется, в силу выбора 6.
Так как е > 0 — произвольно, то из доказанного следует, что
отображение / непрерывно в точке р Е М.
Теорема доказана. В
4.4. Теоремы о пределе сложной функции
В Теорема 4.6. Пусть даны метрические пространства (М,р),
(N.cr) и (Л,г). Если отображение f : М —> N непрерывно в точке
а Е М, а отображение g : N —> R непрерывно в точке Ъ — /(а), то
суперпозиция (jo/):xGMh d[f(x)] есть отображение, непрерывное в
точке а.
Доказательство. Пусть (xn)n^k есть произвольная
последовательность точек пространства М такая, что lim xn = a-
п—кэо
Согласно определению, условие — функция / непрерывна в точке а
— означает, что
lim f(x) = f(a),
р(ж,а)—*0
то есть
lim <r{f(x),f(a)] = 0.
р(х,а)—>0
В силу теоремы 4.1, отсюда вытекает, что lim cr[f(xn), /(a)] = 0.
п—юо
Положим: f(xn) = yn. Имеем: lim a[yn,b] = 0.
п—юо
Так как, по условию, функция g непрерывна в точке Ь, то отсюда
вытекает, что
lim g(yn) = lim g[f(xn)) = g(b).
п—юо n—юо
Итак, мы получаем, что для всякой последовательности (хп)пе^
точек пространства М, сходящейся к точке а, выполняется равенство:
(9 о /)(а) = g[f(a)] = lim g[f(xn)].

224
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Согласно теореме 4.1, отсюда следует, что
g[f(a)}= lim g[f(x)],
р(ж,а)—►()
а это и означает, что функция д о / непрерывна в точке а.
Теорема доказана. ■
■ Теорема 4.7 (первая теорема о пределе суперпозиции.) Пусть
даны метрические пространства (М,р), (N,a) и (R,r) и отображения
/ : М —> N и g : N —» R. Предположим, что a £ М есть предельная
точка пространства М и функция / имеет предел lim f(x) = Ь Е N.
х—ю,
Если отображение g : N —► R непрерывно в точке Ь, то
суперпозиция g о f : х G М ь-> #[/(#)] имеет предел при х —> а. При этом имеет
место равенство: lim </[/(#)] = #(Ь).
ж—ю,
Доказательство. Дальнейшие рассуждения следуют той же
схеме, что и в случае теоремы 4.6.
Пусть (xn)ne^k есть произвольная последовательность точек
множества М \ {а} такая, что lim xn = а. По условию, существует предел
П—+ 00
lim /(z) = 6.
р(ж,а)—+0
Согласно теореме 4.1, отсюда вытекает, что lim f(xn) = b.
П—ЮО
Положим: /(жп) = j/n- Имеем, таким образом: lim yn — Ь.
n—юо
Так как, по условию, функция g непрерывна в точке Ь, отсюда
вытекает, что
lim g(yn) = lim д[/(жп)] = #(Ь).
n—юо n—юо
Последовательность (rrn)neN точек множества М \ {а}, имеющая
пределом точку а, была выбрана произвольно. Мы получаем, таким
образом, что для всякой последовательности (xn)n£N точек множества
М \ {а}, сходящейся к точке а, выполняется равенство:
lim g[f(xn)] =g(b).
n—юо "*\' s
Согласно теореме 4.1, отсюда вытекает, что
lim g[f(x)]=g(b),
р(ж,а)—►О
то есть
lim g[f(x))=g(b).
Х—Ю,
Теорема доказана. ■

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
225
■ Теорема 4.8 (вторая теорема о пределе суперпозиции.) Пусть
даны метрические пространства (М, р), (N,a) и (Д, т) и отображения
f : М —> N и g : N —> R. Предположим, что a Е М есть предельная
точка пространства М и функция f имеет предел
lim f{x) = beN,
х—ю,
причем f(x) ф Ъ при х ф а. Тогда Ъ есть предельная точка метрического
пространства (N,a).
Если отображение g : N —> R имеет предел lim g(y), то суперпози-
ция ^o/:igMh d[f(x)] также имеет предел при х —* а. При этом
имеет место равенство:
lim g[f(x)] = Нта(у).
х—*a y—>b
Доказательство. И в этом случае получим нужный нам
результат применением теоремы 4.1. Сначала докажем, что Ъ является
предельной точкой метрического пространства (JV, a). Зададим
произвольно е > 0. Согласно определению предела, найдется точка х Е М
такая, что a[f(x),b] < е.
По условию, у = f(x) ф Ъ для всех х 6 М. Мы получаем,
таким образом, что для всякого е > 0 существует у G N такое, что
0 < а(у, Ъ) < е. Согласно определению, это и означает, что Ь есть
предельная точка пространства N.
Пусть (rrn)n€Nfc — произвольная последовательность точек
множества М \ {а} такая, что lim xn = а. По условию, существует предел:
п—юо
lim f(x) = b.
р(ж,а)—+0
Согласно теореме 4.1, отсюда вытекает, что lim f(xn) = b.
n—юо
Положим f(xn) = уп. Так как f(x) ф b при х ф а, то yn = f(xn) G
€ N \ {Ь} при всяком п. Имеем: lim yn = Ь.
п—юо
Так как, по условию, функция д(у) имеет предел при у —» Ь, то
отсюда вытекает, что существует предел:
lim д(уп) = lim fl[/(xn)].
П—»-С50 П—ЮО
Как следует из теоремы 4.1,
lim д(уп) = lim д(у).
п—юо у—*Ь

226 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Последовательность (xn)neNk точек множества М \ {а}, имеющая
пределом точку а, была выбрана произвольно.
Мы получаем, таким образом, что для всякой последовательности
(#n)n€Nfc точек множества М \ {а}, сходящейся к точке а, выполняется
равенство:
limg(y) = lim g[f(xn)].
y—*b п—юо
Согласно теореме 4.1, отсюда следует, что
lima(y) = lim g[f(x)].
у—*о х—ю,
Теорема доказана. ■
4.5. Понятие полного метрического пространства
4.5.1. Здесь мы определим некоторый класс метрических пространств
такой, что для отображений, принимающих значения в пространстве
этого класса, имеет место некоторый аналог критерия сходимости
Коти — Болъцано.
Пусть М есть метрическое пространство и р — метрика этого
пространства.
Последовательность (xn)neN точек пространства М называется
фундаментальной, если выполнено следующее условие: для всякого е > О
существует номер п Е N такой, что для любых ni > п и П2 > п
выполняется неравенство: р(хП1,Хп2) < £•
■ Лемма 4.3. Всякая сходящаяся последовательность точек
метрического пространства является фундаментальной.
Доказательство. Пусть (xn)neN есть произвольная сходящаяся
последовательность точек метрического пространства М и р € М есть
ее предел.
Зададим произвольно е > О и положим: е\ — -.
Согласно определению того, что значит, что точка р есть предел
данной последовательности, найдется номер n (E N такой, что для
всякого n > n выполняется неравенство:
р(хп,р) < £i-
Пусть ni, П2 € N таковы, что П\ > п и П2 > п. Тогда р(хП1,р) < £i
и р(хП2,р) < Ei. Отсюда получаем, что
р(х Til j Xri2 ) < р(жщ, р) + р(р, Хп2) < 2ei = е.

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
227
Так как е > О было выбрано произвольно и для достижения
последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы выполнялись неравенства
п\ > п и П2 > п, то тем самым установлено, что последовательность
(^n)neN — фундаментальная.
Лемма доказана. D
Замечание. В п. 4.1 было показано, как может быть
интерпретировано условие сходимости Коши — Больцано для последователь-
ности с помощью понятия предела относительно оценочной функции.
Применяя аналогичные соображения к случаю, который
рассматривается здесь, получим, что последовательность (xn)neN точек
метрического пространства (М, р) является фундаментальной в том и только в
том случае, если
lim p(xn,xm) = 0.
n—+ 00,га—+oo
4.5.2. Метрическое пространство (М,р) называется полным, если
всякая фундаментальная последовательность точек этого пространства
имеет предел.
Иначе говоря, метрическое пространство (М, р) называется
полным, если в нем верен признак Коши — Больцано существования
предела для последовательностей.
Ш Теорема 4.9. Пусть М есть полное метрическое пространство, Т
— произвольное множество с оценочной функцией X, имеющей
предельное значение 0. Для того чтобы отображение ср : Т —> М имело предел
при X(t) —> 0, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0
существовало 6 > 0 такое, что для любых t'', t" G Т, для которых \{t') < 6 и
\(t") < 6, выполняется неравенство: p[ip(t'),(p(t")] < е.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
отображение <р :Т —» М имеет предел при X(t) —> 0. Пусть
р= lim ф(х).
А(а:)—О
Зададим произвольно е > 0. Согласно определению предела,
найдется 6 > 0 такое, что для всякого t € Т такого, что X(t) < 6,
выполняется неравенство:
р\Ф)М < |-
Пусть t' £ Т и t" е Т таковы, что A(t') < 6 и \(t") < 8. Тогда
рЫ*Ы<\*рЫ<'Ы<\*

228 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Отсюда вытекает, что для таких t' и t" выполняется неравенство:
pW)Mt")] < рМ*),р] + Pip, <f(t")} < I + £ = е.
Необходимость условия теоремы доказана.
Докажем достаточность. Пусть отображение (р : Т —> М
обладает тем свойством, что для всякого е > 0 можно указать 6 > О
такое, что если A(t') < 6 и A(t") < 6, то p[y>(t'),(p(t")] < е. Требуется
доказать, что существует предел: lim <p(t).
Пусть (tu)U£^ — последовательность элементов множества Т такая,
что X(tu) —> 0 при v —> оо. Положим хи = ip(tv).
Докажем, что (хи)и^ есть фундаментальная
последовательность. Зададим произвольно е > 0.
Пусть 6 > 0 таково, что если A(t') < <5 и А(£") < <5, то
p[<p(t')Mt")] < е.
Так как, по условию, Х(хи) —> 0 при i/ —> сю, то найдется номер i/
такой, что если v > v, то А(^) < 6.
Пусть i/i > v и 1/2 > Р. Тогда X(tUl) < 6 и А(^2) < 5 и, значит,
имеет место неравенство:
p(xUl,xU2) =p[<p(U1),(p(U2)] < е.
Так как е > 0 было выбрано произвольно, и для выполнения
последнего неравенства требовалось лишь, чтобы выполнялись неравенства:
i/i > v и i/2 > Р, то тем самым доказано, что последовательность
(#i/)i/gn является фундаментальной.
По условию, М есть полное метрическое пространство и,
значит, существует р £ М такое, что р = lim Xj,.
I/—ЮО
Докажем, что о = lim cp(t).
A(t)->0
Зададим произвольно е > 0. По условию, по этому е найдется
6 > 0 такое, что для любых t',t" £ Т, для которых A(t') <йи А(£") < 6,
выполняется неравенство:
рИО,р(*")]<§-
Имеем последовательность (tu)u^^ для которой А(^) —> 0 при i/ —► оо и
точка р £ М является пределом последовательности (<p(£i/))^N.

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
229
Отсюда следует, что найдется номер vq такой, что выполняются
неравенства: А(^0) < 6 и
Пусть t £Т таково, что X(t) < 6. Тогда
p[<p(t),p] < p[<p(t),(p(U0)]+ p[<p(U0),p]. (4.4)
Так как X(t) < 6 и \(t„0) < 6, то
p[(p(t),(p(U0)] < -.
Поскольку также и
рМЮМ < 2'
то из (4.4) следует, что выполняется неравенство:
рМ*),р) <| + |=£- (4-5)
Элемент t ЕТ множества Т такой, что X(t) < е, был выбран
произвольно и мы, следовательно получаем, что для всякого такого t
выполняется неравенство (4.4).
Так как е > О было выбрано произвольно, то тем самым
установлено, что р — lim (p(t).
A(t)—0
Теорема доказана. D
4.6. Предел и непрерывность для функций со значениями в Rn
Пусть М есть произвольное множество. Предположим, что задано
отображение / : М —> Rn. Тогда для всякого х Е М определен вектор
f(x) в пространстве Rn.
Пусть fi(х), г = 1,2,..., п, есть г-я компонента вектора f(x). Тем
самым на множестве М определена система из п вещественных функций
fi(x). Будем называть их компонентами вектор-функции f(x).
■ Теорема 4.10. Предположим, что на множестве М задана
метрическая функция А (ж). Пусть дано отображение f : М —> Rn и
вещественные функции fi, г = 1,2, , п, суть компоненты вектор-функции f.
Тогда для того, чтобы вектор р — (pi,P2, •.. ,Рп) был пределом f(x) при

230 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Х(х) —> 0, необходимо и достаточно, чтобы при каждом г = 1,2,..., п
выполнялось равенство:
Pi = lim fi(x).
Л(Ж)^0
Доказательство. Необходимость. Пусть
Л(ж)->0
По определению, это означает, что
lim \f(x)-p\ = 0.
А(ж)-»0
При каждом г = 1,2,..., п имеем:
0<\fi(x)-pi\<\f(x)-p\.
В силу теоремы о заоюатой переменной (теорема 4.3 этой главы),
отсюда следует, что
lim \fi(x)-pi\ = 0,
Л(ж)—►()
то есть
Pi = lim fi (х)
при каждом г = 1,2,...,п. Необходимость условия теоремы доказана.
Докажем его достаточность. Имеем:
!/(*)-Р| =
xlY,Mx)-pi}2<J2\fiW-pi
\ г=1
г=1
В силу теоремы об операциях над пределами (см. выше теорему 4.4),
отсюда следует, что если pi = lim fi(x) при каждом г = 1,2,..., п, то
Л(ж)-»0
lim |/Or)-p| = 0,
\(х)—>0
то есть
р- lim f(x).
Теорема доказана.

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
231
▼ Следствие. Предположим, что М есть метрическое
пространство и a — произвольная точка М. Тогда отображение f : М —* Ш.п
является непрерывным в точке а в том и только в том случае, если
каждая из его компонент Д, /2,..., /п непрерывна в этой точке.
Доказательство. Данное утверждение непосредственно
вытекает из теоремы 4.10, если положить в ней Х(х) = р(#, а), где р есть
метрика пространства М. V
■ Теорема 4.11. Метрическое пространство Ш.п является полным.
Доказательство. Требуется доказать, что всякая
фундаментальная последовательность точек пространства Ш.п имеет предел.
Пусть (xu)U£N есть произвольная фундаментальная
последовательность точек пространства Мп. Пусть xv — {x\,v,X2,v>•• • ,#п,^)- Мы
получаем, таким образом, п числовых последовательностей (#;,i/)i/en,
г = 1,2,... ,п.
Докажем, что для каждой из этих последовательностей
выполнены условия критерия Коти — Болъцано существования
конечного предела. Зададим произвольное е > 0. Так как последовательность
(х„)„е1$ является фундаментальной, то найдется номер v такой, что для
любых v\ > v и V2 > v выполняется неравенство: \xUl — Xv21 < £• Так
как \хг,1/г —Xi,v21 < \x"i ~х»21 ПРИ каждом г = 1,2,..., п, то мы получаем,
следовательно, что для любых v\ > v и v<i > v выполняется неравенство:
Поскольку е > 0 было взято произвольно, то тем самым
установлено, что для каждой из числовых последовательностей (#2,i/)i/gn
выполнены условия критерия Коти — Болъцано существования
конечного предела (см. теорему 3.2 главы 2).
Из доказанного вытекает, что при каждом г — 1, 2,..., п
существует конечный предел: Km Xi,u = pi.
v—юо
Пусть р = (pi,2>2, •. • ,2>п)- Вектор р, очевидно, является пределом
последовательности (xu)U£N-
Мы установили, таким образом, что всякая фундаментальная
последовательность (xu)uei$ точек пространства Rn является сходящейся.
Тем самым установлено, что W1 есть полное метрическое пространство.
Теорема доказана. ■
4.7. Определение и простейшие свойства асимптотических
соотношений
Зададим непустое множество М и оценочную функцию Л на этом
множестве. Мы будем рассматривать только случай оценочной функции
с предельным значением 0.

232
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Все данные здесь определения очевидным образом переносятся на
случай оценочных функций с предельным значением оо, на чем мы не
будем останавливаться.
Рассматриваются функции, определенные на множестве М и
принимающие значения в С.
Пусть даны функции /:М->Си^:М->С.
Будем говорить, что функция /подчинена д при Х(х) —► О
по М (в обозначениях: f(x) = 0(д(х)) при Л(х) —> 0), если существуют
числа 8 > 0 и К < ос такие, что для любого х Е М, для которого
Х(х) < <5, выполняется неравенство: |/(#)| < К\д(х)\.
Будем говорить, что функция / : М —> С пренебрежима
сравнительно с функцией д : М —► С при А(#), стремящемся к 0, и писать:
«/(ж) = о(д(х)) при Х(х) —► 0», если для всякого е > 0 найдется 8 > 0
такое, что для любого х Е М, для которого Х(х) < 8, выполняется
неравенство: \f(x)\ < е\д(х)\.
Если f(x) = 0[(/(ж)] при ж —► р по множеству М, то говорят также,
что порядок роста f{x) при Х(х) —> 0 не превышает порядка
роста д(х).
Выражение /(ж) = о(д(х)) при Л(ж) —> 0 иногда читается так: <<f(x)
бесконечно мала по сравнению с д(х) при Л (х) —► 0».
Пусть даны множество М и оценочная функция Л : М —► R на
множестве М. Предположим, что заданы комплексные функции /, #, у>,
определенные на М. Тогда говорят, что справедливо соотношение:
/(Ж)=3(гг) + ОИЖ)) (4.6)
при Л(ж), стремящемся к 0, если f(x) — д{х) = 0(<р(х)) при Х(х) —► 0.
Если /(ж) — д(х) = о{чр(х)) при А(#) —► 0, то мы будем писать:
f(x) = g(x) + o(<p(x)) (4.7)
при Х(х) —> 0.
Соотношения, содержащие знаки О и о, называются
асимптотическими.
Отметим, что с соотношениями, которые рассматриваются здесь,
вообще говоря, нельзя обращаться как с обыкновенными равенствами.
Это может быть источником ошибок. Каждое из выражений: = о и = О
следует рассматривать как единый символ.
Зададим произвольно множество М, в котором предполагается
заданной некоторая оценочная функция Л : М —► К с предельным
значением 0.

4. Понятия предела и непрерывности для отображений
233
■ Теорема 4.12. Пусть даны функции f, Д, f2, #, #i, 52 и h. Тогда
справедливы следующие утверждения:
1) если fi(x) = 0(g(x)) при Х(х) —> 0 и /2(ж) = 0(g(x)) при Х(х) —> 0, то
/i(s) + /2(ж) = О(0(аО) при А(ж) -> 0;
2) если /i(z) = o(g(x))J2(x) = о{д(х)) при Х(х) -+ 0, то
/i(#) + /2(ж) = о(д(ж)) при А(ж) -» 0;
3) если fx(x) - 0(gi(x)), f2(x) = О (да (ж)) при А(ж) -» 0, то
fi(x)f2(x) = 0(gi(x)g2(x)) при А (ж) -» 0;
4) если /i(z) = 0(^i(ж)), /2(ж) = о(д2(х)) при Х(х) -» 0, то
fi(x)f2(x) = о(д1(х)д2(х)) при Х(х) -+ 0;
5) если /(ж) = 0(д(х)) при Х(х) —> 0, ^(ж) = 0(/г(ж)) при А(ж) —> 0, то
/(ж) = О(ВД) при А(я?) -> 0;
6) если либо f(x) — 0{д{х)) при Х{х) —> 0 и ^(ж) = o(h(x)) при Х(х) —» 0,
либо /(ж) = о(д(х)) при Х(х) —> 0, а ^(ж) = 0(h(x)) при Х(х) —> 0, ж Е М,
то
/(ж) = о(/г(ж)) при А(ж) —» 0.
Доказательство.
1. Пусть Дф = 0(</(z)) и /2(ж) = 0(</(ж)) при А(я?) -> 0.
Согласно определению, это означает, что найдутся числа Si > 0 и
62 > 0 и постоянные Li < ос, L2 < 00 такие, что если А (ж) < <$i, то
выполняется неравенство:
l/i(s)|<Li|0Cr)|,
а если Х(х) < 62, — неравенство:
1/2И1 < L2\g(x)\.
Пусть 6 > 0 есть наименьшее из чисел 6i и 62.

234
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Если х Е М таково, что Х(х) < <5, то Х(х) < 6i и в то же время
Х(х) < 62. Отсюда вытекает, что если Х(х) < <5, то |/i(#)| < L\\g{x)\
и |/2(ж)| < L2\g(x)\, и, следовательно, для этого х Е М выполняется
неравенство:
|Л(аО + /2(*)| < 1ЛИ1 + |/2(*)| < (Li+L2)\g(x)\.
Это, очевидно, доказывает, что
fi(x) + f2(x) = 0(д(х)) при A(s)->0.
2. Пусть /i(x) = o(g(x)), f2(x) = о(д(х)) при Х(х) -» 0.
Зададим произвольно е > 0. Тогда найдутся числа <$i > 0 и <!>2 > 0
такие, что если Х(х) < <5i, то |/i(#)| < ;г|</(ж)|, а если А(ж) < 62, то
выполняется неравенство: |/2(ж)| < -|^(ж)|.
Пусть 6 = min{<!>i,<$2}. Очевидно, 6 > 0. Возьмем произвольно
х Е М такое, что Л(ж) < <5. Тогда Л(ж) < <$i и одновременно
Л(ж) < ^2. Отсюда вытекает, что если Х(х) < <5, то |/i(#)| < ^\д(х)\,
I/2(ж)| < ^ЬС35)! и> значит,
\Ш + /а(*)1 < \Ш\ + \h(x)\ < £-\д{х)\ + £-\д(х)\ = е|9(Ж)|.
Таким образом, если х Е М и А(#) < £, то выполняется
неравенство: \fi{x) + f2(x)\ < е\д(х)\.
Так как е > 0 было выбрано произвольно, то тем самым доказано,
что
h{x) + /2 (х) = о(д(х)) при А (ж) -+ 0.
3. Пусть /i(rr) = ОЫж)), /2(ж) = 0(д2(я?)) при Х(х) -> 0. По
определению, это означает, что найдутся окрестности <5i > 0 и 62 > 0 и
постоянные Li < ос, L2 < оо такие, что если Х(х) < <5i, то выполняется
неравенство |/i(#)| < -^i|Pi(^)l? a если # < #2, то |/2(ж)| < L2\g2(x)\.
Пусть 6 = min{<$i,62}. Тогда 6 > 0.
Возьмем произвольно х Е М такое, что А(ж) < 5. Тогда Х(х) < <5i
и одновременно Х(х) < 62. Отсюда следует, что для данного х
\fi(x)f2(x)\ = |/i(x)||/2(a:)| < LlL2\g1(x)g2{x)\,
и тем самым доказано, что
h{x)h(x) = 0(gi(x)g2(x)) при Х(х) -» 0.

§ 4. Понятия предела и непрерывности для отображений
235
4. Пусть /i(a?) = 0(flri(a;)), /2(ж) = о(д2(х)) (при А(ж) -+ 0 по М).
Тогда найдутся число <5i > 0 и постоянная L < оо такие, что если
\(х) < 6, то \h(x)\ < L\gi(x)\.
Зададим произвольно е > О и положим £i = -.
L + 1
Так как /2(ж) = о(д2(х)) при А(#) -* 0, то найдется число 62 > 0
такое, что если х G М удовлетворяет условию: А(ж) < fe, то выполняется
неравенство:
|/2(x)|<ei|p2(a:)|.
Пусть б = min{5i,fe}. Тогда 6 > 0.
Если А (ж) < <5,,то А(ж) <^иодновременно А(ж) < 62.
Отсюда следует, что если Х(х)<6, то |/i(z)I < I/|#i(#)| и |/2(ж)| < ei |^2(rr)|.
Это позволяет заключить, что для всякого х 6 М такого, что
Л (ж) ^ 0, имеют место неравенства:
|/i(a0/2(s)| < Lei|fln(^2(^)| < e\gi(x)g2(x)\.
В соответствии с определением, в силу произвольности
е > 0, этим установлено, что
fi(x)f2(x) = o(^i(x)^2(^)) при А (ж) -+ 0,
и утверждение 4) доказано.
5. Пусть /(ж) = 0(</(#)), а д{х) = 0(/г(ж)) при Х{х) —> 0.
Это означает, что существуют постоянные <5i > 0 и fe > 0 и Li,
L2 Е М такие, что если Х(х) < 6±, то |/(ж)| < Li|^(x)|, а если А(ж) < <!>2,
To|fl(a?)|<L2|M«)l-
Пусть 5 = min{<$i, fe}. Тогда 6 > 0.
Возьмем произвольно a; Е М, такое, что А(#) < 6.
Тогда Х(х) < 6± и одновременно А(#) < fo.
Отсюда следует, что |/(#)| < L\\g(x)\ для данного ж и в то же время
\g(x)\<L2\h(x)\.
Комбинируя полученные неравенства, заключаем, что если жЕМ
таково, что Х(х) < <5, то \f(x)\ < Li\g(x)\ < LiL,2\h(x)\.
Тем самым установлено, что
f(x) = 0(Л(я?)) при А(ж) -> 0.
6. Пусть f(x) = 0{д{х)), д{х) = o(h(x)) при Х(х) -+ 0.
В соответствии с определением, это означает, что найдутся числа
6± > 0 и L < оо такие, что если Х(х) < 6i, то |/(ж)| < L|^(a;)|.

236 Гл. б. Непрерывные отображения метрических пространств
Зададим произвольно е > 0. Положим е\ = -.
L + I
Так как д(х) = o(h(x)) при Х(х) —» 0, то найдется число 52 > 0
такое, что если Х(х) < fe, то выполняется неравенство: \д(х)\ < ei\h(x)\.
Пусть 6 = min{<5i, 62}. Тогда 6 > 0.
Возьмем произвольно х Е М такое, что Х(х) < 6. Тогда Х(х) < 8\
и одновременно Х(х) < 62.
Отсюда следует, что для данного х выполняются неравенства:
\f(x)\<L\g(x)\, \g(x)\<ei\h(x)\.
Следовательно, если х Е М таково, что Х(х) < <5, то
\f(x)\ < LEl\h(x)\ = ^ylM*)! < Ф(*)1-
Так как £ > 0 было задано произвольно, то тем самым нами
установлено, что f(x) = o(h(x)) при Х(х) —» 0.
Утверждение, относящееся к случаю f(x) = о(#(ж)), ^(ж) = 0(h(x))
при Л (ж) —» 0, доказывается аналогично (полное рассмотрение всех
деталей доказательства мы предоставляем читателю).
Теорема доказана. ■
§5. Открытые и замкнутые множества
в метрических пространствах
В этом параграфе мы введем понятия открытого и замкнутого
множеств в произвольном метрическом пространстве. Открытые и
замкнутые множества естественно возникают при исследовании свойств
непрерывных отображений.
Будут приведены определения открытого и замкнутого множеств и
установлены некоторые их основные свойства.
Здесь доказаны также теоремы, определяющие связь открытых и
замкнутых множеств с непрерывными отображениями.
5.1. Определения открытых и замкнутых множеств
Пусть М есть произвольное метрическое пространство, р —
метрика этого пространства.
Пусть G есть произвольное непустое множество метрического
пространства М.

5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 237
-Точка х множества G называется его внутренней точкой, если
существует е > О такое, что шар В(х,е) содержится в G.
Множество U С М называется открытым множеством
метрического пространства (М, р), если все его точки — внутренние.
Из определения следует, что М есть открытое множество
пространства М.
По формальным соображениям, пустое множество также
удобно считать открытым множеством пространства М.
(Все точки пустого множества являются его внутренними точками,
поскольку оно вообще не имеет точек: приведенное в § 1 главы 1
изречение можно переформулировать так: «в пустом множестве все точки
зеленые, поскольку в нем нет никаких точек!»)
Предположим, что рассматриваемое метрическое пространство —
это множество вещественных чисел М.
Докажем, что всякий интервал (a, ft) представляет собой
открытое множество этого пространства.
Действительно, для жЕ1ие>0 шар В{х,ё) есть просто интервал
(х — £, х + s). Для всякого х, для которого выполняются неравенства:
a < х < ft, существует е > О такое, что a < х — е, х + е < ft.
Очевидно, имеет место включение:
(х - е,х + е) С (а,Ь),
то есть В(х,е) С (а, ft).
Таким образом, всякая точка х Е (a, ft) является внутренней
точкой (a,b). По определению, это и означает, что (a,b) есть открытое
множество совокупности вещественных чисел Ж, рассматриваемой как
метрическое пространство.
Всякий шар В (а, г) в метрическом пространстве (М, р)
представляет собой открытое множество данного пространства.
Действительно, возьмем произвольно точку х Е В (а, г). Тогда
р(х,а) < г. Положим е = г — р(х,а). Согласно лемме 1.3, имеет
место включение: В(х,е) С В(а,г). Это означает, что х есть внутренняя
точка шара В(а,г).
Так как х Е В(а,г) было взято произвольно, то тем самым нами
доказано, что все точки шара В(а,г) являются его
внутренними точками и, значит, В(а,г) есть открытое множество пространства
(М,р).
Для произвольного множества А С М множество М \ А будем
называть дополнением множества А в М. Дополнение множества АвМ
обозначается символом С А.

238 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Напомним, что, согласно определению, разность М \ А есть
совокупность всех элементов множества М, которые не являются
элементами А.
♦ Предложение 5.1. Для всякого множества А С М имеет место
равенство:
ССА = А. (5.1)
Действительно, пусть А' = СА. Так как А' состоит из элементов
множества М, не принадлежащих А, то
А'пА = 0. (5.2)
Если х Е М, то либо х Е А, либо ж^Аи, значит, х Е СА = А'. Отсюда
следует, что
A'UA = M. (5.3)
Из (5.2) следует, что А состоит из точек множества М, не
принадлежащих А'. Из (5.3) вытекает, что А содержит все такие элементы
множества М. Это означает, что А = СА! = С (СА) и равенство (5.1)
доказано. ♦
Множество А С М называется замкнутым множеством
метрического пространства (М,р), если его дополнение С А является
открытым множеством пространства (М, р). Из определения, очевидно,
следует, что если множество U' С М открытое, то множество А = С С/
замкнутое, так как в силу предложения 5.1 СА = C(CU) = U, то есть
множество С А — открытое. Из определения также следует, что
множество М всех точек метрического пространства (М, р) является
замкнутым множеством этого пространства, так как множество СМ пусто
и, значит, является открытым множеством.
Пустое множество 0 является замкнутым множеством
пространства (М,р), поскольку С0 = М есть открытое множество пространства
(М,р).
Следующая теорема объясняет связь понятия замкнутого
множества с понятием предела последовательности.
■ Тоорема 5.1 (критерий замкнутости множества в метрическом
пространстве). Пусть дано метрическое пространство (М,р). Для того
чтобы множество А было замкнутым в этом пространстве, необходимо
и достаточно, чтобы оно обладало следующим свойством: для всякой
сходящейся последовательности точек пространства (М, р), все члены
которой являются элементами множества А, предел этой
последовательности также принадлежит множеству А.

5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 239
Замечание. Теорема 5.1 дает иной способ
определения понятия замкнутого множества в метрическом пространстве.
Такое определение, однако, не может быть применено в более общих
ситуациях, которые будут описаны в главе 9 второй части.
Доказательство теоремы. Необходимость.
Предположим, что множество А является замкнутым. Согласно определению, это
означает, что U = С А есть открытое множество пространства (М, р).
Если U — 0, то А = М. В этом случае предел любой сходящейся в
пространстве (М, р) последовательности точек множества А, очевидно,
принадлежит множеству А.
Будем считать, что U Ф 0.
Пусть {xv)v£& — произвольная сходящаяся последовательность
точек множества А и
а = lim х„.
v—юо
Возьмем произвольно точку х Е U. При каждом i/EN имеем:
\р(х„,х) - р(а,х)\ < р{х„,а).
При v —> оо будет p{xv,a) —> 0, откуда следует, что р(хи,х) —> р(а,ж)
при v —» ос.
Так как U есть открытое множество, то найдется 6 > 0 такое, что
В(х,6) С U. Для всех i/GN имеем я^ ^ С/ и, значит, для всех z/ Е N
справедливо ж^ ^ В(х,ё). Поэтому р(х„,х) > 6 для всех и £ N.
Отсюда, согласно теореме о предельном переходе в неравенстве
(теорема 1.3 главы 2), следует, что
р(а,х) >6>0.
В частности, это означает, что а ф х.
Точка х Е U была взята произвольно и, таким образом, мы видим,
что а не совпадает ни с одной точкой множества U. То есть
а £ U и, значит, а Е А,
В силу произвольности последовательности (хи)и^^ тем самым
необходимость условия теоремы доказана.
Докажем достаточность. Пусть множество А С М
таково, что предел всякой сходящейся последовательности (xu)U£N, все
члены которой являются элементами множества А, также есть элемент
множества А.
Требуется доказать, что множество А — замкнутое, то есть его
дополнение является открытым множеством.

240 Гл. б. Непрерывные отображения метрических пространств
Пусть U = С А. Требуется доказать, что множество U — открытое,
то есть всякая точка х множества U является его внутренней точкой.
Возьмем произвольно точку х Е М. Предположим, что х не
является внутренней точкой U. Тогда, каково бы ни было v E N, шар В ( ж, — )
не содержится в U. Значит, для всякого i/GN существует точка xv
такал, что
р(хи,х) < -,
V
и в то же время xv £ С/, то есть хи € А при каждом v E N.
Таким образом, если жЕМне является внутренней точкой
множества U = С А, то существует последовательность (xu)ueN точек
множества А такая, что при каждом v E N
р(хи,х) < -.
V
Имеем: р(хи,х) —» 0 при iz-^оои, значит,
х = lim хи.
и—юо
Так как, согласно предположению, множество А — таково, что
предел любой последовательности точек множества А принадлежит
множеству А, то х является элементом множества А.
Мы получаем, таким образом, что если х Е М не является
внутренней точкой множества U = СЛ, то х Е А, и потому ж не является
элементом множества U. Отсюда вытекает, что все точки множества
U являются его внутренними точками, то есть множество U открытое
и, значит, множество А = CU — замкнутое. Достаточность условия
теоремы установлена.
Теорема доказана. ■
V Следствие. Пусть метрическое пространство М есть множество
R, наделенное его естественной метрикой. Тогда всякий замкнутый
промежуток [а, ft] является замкнутым множеством этого пространства.
Действительно, пусть (хп)п^ есть произвольная сходящаяся
последовательность точек отрезка [a, ft] и пусть х = lim xn. При каждом
п—юо
п имеем: a < xn < ft. Переходя к пределу при п —► оо, получим, что
a < х < ft.
Мы видим, что для множества А = [a, ft] выполнен критерий
замкнутости, содержащийся в теореме 5.1, и, значит, [a, ft] есть замкнутое
множество в метрическом пространстве R.
Следствие доказано. ▼

§ 5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 241
Замечание. Произвольное подмножество метрического
пространства может не быть ни замкнутым, ни открытым множеством
этого пространства.
Пусть, например, М = Е есть множество всех вещественных чисел
с его естественной метрикой.
Полуинтервал Е — [0,1) не является замкнутым множеством.
Действительно, пусть хп = 1 . При каждом п точка хп принад-
п
лежит Е и при п —» оо имеем хп —» 1. Но точка 1 не принадлежит Е.
Таким образом, здесь не выполнен критерий замкнутости
множества, содержащийся в теореме 5.1.
Множество Е = [0,1) не является также и открытым множеством
в Е, ибо, как нетрудно видеть, точка 0 множества Е не является
внутренней точкой множества Е.
5.2. Операции над открытыми и замкнутыми множествами.
Замыкание, внутренность и граница множества
5.2.1. Далее нам понадобится следующее общее утверждение об
операциях объединения и пересечения множеств.
■ Лемма 5.1 (лемма о тождествах Моргана). Пусть даны
множество М и произвольное семейство (At)teT подмножеств М. Тогда
имеют место равенства:
мет ' teT
c((]At\ = [JCAt. (5.5)
\ет ' teT
Замечание. Равенства (5.4) и (5.5) леммы 5.1 называются
тождествами Моргана.
Доказательство леммы. Докажем равенство (5.4).
Положим
U= [J At, U'=f]CAt.
teT teT
Предположим, что х Е CU. Это означает, что х £ U, и,
следовательно, х не принадлежит ни одному из множеств А*. Стало быть,
х Е CAt при каждом t E Т. Отсюда вытекает, что х принадлежит
пересечению множеств CAt.

242 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Итак, нами установлено, что если х Е С?7, то х Е U\ и,
значит, имеет место включение:
CU С U'. (5.6)
Возьмем произвольно х Е U'. По определению, это означает, что х
является элементом каждого из множеств С At и, значит, х не
принадлежит ни одному из множеств At. Это означает, что х не принадлежит
объединению U множеств A*, t Е Т, то есть х Е С?7.
Итак, если х Е С/7, то х Е С?7, и, тем самым, доказано
включение:
U' С CU. (5.7)
Из (5.6) и (5.7) следует (5.4).
Согласно предложению 5.1 (см. выше), для всякого множества
А С М справедливо равенство С(СА) = А (равенство (5.1)).
Равенство (5.5) получается применением равенства (5.1) к
семейству множеств (CAt)teT- Для t Е Т положим Et = СА*. В силу
доказанного, имеем:
c((JEt) = f]CEt.
Применяя (5.1), получаем
\JEt = c(f]CEt)=c(f]At)
teT \ет ' \ет '
и справедливость равенства (5.5) леммы, таким образом, установлена.
Лемма доказана. ■
5.2.2. Зададим произвольно метрическое пространство (М,р). Все
дальнейшие рассуждения относятся именно к этому пространству.
Имеет место следующее утверждение.
■ Теорема 5.2. Объединение любого семейства открытых
множеств метрического пространства есть открытое множество.
Пересечение конечного числа открытых множеств является
открытым множеством.
Доказательство. Пусть (Щ)^е есть произвольное семейство
открытых множеств в метрическом пространстве (М,р), U —
объединение множеств этого семейства, то есть совокупность всех точек х Е М,
каждая из которых принадлежит хотя бы одному из множеств U^.

§ 5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 243
Возьмем произвольно точку х Е U. Тогда, согласно определению
объединения семейства множеств, найдется £ Е Б такое, что х Е Е/$.
Так как множество Щ — открытое, то х есть внутренняя точка
множества и% и, следовательно, существует 6 > О такое, что шар В(х,ё)
содержится в Е/$.
Так как Щ С С/, то -В(ж, 6) С С/, и, значит, х есть внутренняя точка
множества U.
Поскольку х Е С/ взято произвольно, то тем самым доказано,
что множество С/ — открытое.
Пусть {E/i, [/2,. •., Е/п} — произвольное конечное множество
открытых множеств и У есть их пересечение.
Если V — пусто, то V есть открытое множество.
Предположим, что V — непусто. Возьмем произвольно точку х Е V.
Тогда х Е Uk при каждом к = 1,2,... ,п. Так как множества Uk —
открытые, то х является внутренней точкой каждого из них. Значит, при
любом к = 1, 2,..., п найдется 6k > 0 такое, что В(х, 6k) С Uk-
Пусть 6 есть наименьшее из чисел 6г, #2,. •., Sn- Тогда 6 > О
и 6 < 6к при каждом к = 1,2,... ,п и, значит, В(х,6) С В(х,6к) С [/&
для всех &. Отсюда следует, что шар В(ж, 6) содержится в множестве
У и, следовательно, х есть внутренняя точка множества V.
Так как х EV взято произвольно, то мы получаем, таким образом,
что все точки множества V — внутренние, то есть V есть открытое
множество.
Теорема доказана. ■
Замечание. Требование конечности рассматриваемого
семейства множеств в утверждении теоремы 5.2, касающемся пересечения
открытых множеств, не может быть отброшено.
Пусть, например, М есть множество всех вещественных чисел Ж
с его естественной метрикой. Рассмотрим последовательность
интервалов (—1 ,1-| ), п = 1,2,... . Каждый из них представляет
у п nj
собой открытое множество пространства Е. Их пересечение совпадает
с сегментом Е = [— 1,1].
Множество Е не является открытым множеством, так как точки
— 1ЕЕи1ЕЕне являются внутренними точками Е.
Рассмотренная последовательность интервалов представляет собой
бесконечное семейство открытых множеств пространства Е,
пересечение которого не является открытым множеством.
Из теоремы 5.2 вытекает некоторое утверждение относительно
объединений и пересечений семейств замкнутых множеств. Вывод
опирается на лемму 5.1 об операциях над множествами.

244 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
■ Теорема 5.3. Пересечение любого семейства замкнутых
множеств метрического пространства есть замкнутое множество.
Объединение любого конечного множества замкнутых множеств есть замкнутое
множество.
Доказательство. Пусть (i*f)f€S есть произвольное семейство
замкнутых множеств пространства (М, р), F — их пересечение.
Требуется доказать, что множество F — замкнутое.
Применяя равенство (5.5) леммы 5.1 (тождество Моргана),
получим:
CF = c(f)Fz\ = (JCFz.
Каждое из множеств U^ = CF% является открытым и, значит, как
следует из теоремы 5.2, объединение U множеств Е/$, £ Е S, есть
открытое множество. Имеем: CF = U.
Таким образом, дополнение множества F есть открытое множество
и, следовательно, множество F — замкнутое.
Утверждение теоремы, касающееся пересечений семейств
замкнутых множеств, доказано.
Теперь докажем утверждение теоремы относительно
объединений семейств замкнутых множеств.
Пусть дано конечное семейство множеств i*i, i*2, •.., Fm
пространства М и пусть G есть их объединение. Предположим, что каждое из
множеств Fi является замкнутым.
Требуется доказать, что тогда также и G есть замкнутое
множество пространства (М,р).
Применяя равенство (5.4) леммы 5.1, получаем:
(т \ т
\JfA =p\CFi. (5.8)
г=1 / г=1
Каждое из множеств CFi является открытым. Из равенства (5.8)
видно, что множество CG есть пересечение конечного числа открытых
множеств. В силу теоремы 5.2, отсюда вытекает, что множество CG —
открытое.
Итак, дополнение объединения G множеств i^, г = 1, 2,..., га, есть
открытое множество. Отсюда, согласно определению, следует, что
множество G — замкнутое.
Таким образом, нами доказано и то утверждение теоремы,
которое касается объединений замкнутых множеств.
Теорема доказана. ■

§ 5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 245
Замечание. Объединение бесконечного семейства замкнутых
множеств, вообще говоря, может и не быть замкнутым множеством.
Чтобы показать это, рассмотрим случай, когда метрическое
пространство М есть множество вещественных чисел К. с его естественной
метрикой.
п = 1,2,..., есть последовательность сег-
1,1,1",
Пусть — 1 Н—, 1
L п п\
ментов множества Ш. Объединение этой последовательности сегментов,
как нетрудно видеть, есть интервал (—1,1), который, не является
замкнутым множеством, поскольку для него не выполняется критерий
замкнутости, содержащийся в теореме 5.1.
5.2.3. Для произвольного множества в метрическом пространстве
могут быть определены некоторые другие множества — замыкание,
открытое ядро и граница множества.
Пусть дано метрическое пространство М и пусть Е С М.
Точка х G М называется точкой прикосновения мнооюества Е, если для
всякого е > 0 шар В(х,е) содержит точки множества Е.
Точка х 6 М называется граничной точкой множества Е, если для
всякого е > 0 шар В{х,е) содержит в себе как точки, принадлежащие
множеству Е, так и точки не принадлежащие Е. Иначе говоря, х есть
граничная точка множества Е, если х является точкой прикосновения
как множества J5, так и его дополнения СЕ.
Напомним, что точка х Е М называется внутренней точкой
множества Е, если существует е > 0 такое, что В(х, е) С Е.
Совокупность всех точек прикосновения множества Е в
метрическом пространстве М называется замыканием множества Е и
обозначается символом Е. Совокупность всех внутренних точек множества Е
называется внутренностью или открытым ядром множества Е и
обозначается символом: Е°. Совокупность всех граничных точек множества
Е называется его границей и обозначается символом ОЕ.
Отметим некоторые свойства введенных здесь множеств,
определенных по данному множеству А.
1. Для всякого множества А в метрическом пространстве М имеет
место включение А С А.
Справедливость данного утверждения следует из того, что всякая
точка множества А, очевидно, является его точкой прикосновения.
2. Для всякого множества А метрического пространства М его
замыкание А представляет собой замкнутое множество.
Чтобы доказать это утверждение, достаточно установить, что
множество СА — открытое.

246 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Пусть х — произвольная точка множества СА. Тогда х £ А, то
есть х не является точкой прикосновения множества А. Отсюда
вытекает, что не всякая окрестность точки х содержит элементы множества
А. Следовательно, найдется 6 > О такое, что шар В(х,ё) не содержит
точек множества А.
Возьмем произвольно точку х' Е В(х, 6). Положим г] = 6 — р(х',х).
Тогда г] > О и шар B{xr,rj) содержится в шаре В(х,6). Отсюда
вытекает, что шар В{х'\г)) не содержит точек множества А и, значит, х' не
является точкой прикосновения множества А. Точка х' Е В(х,6)
взята произвольно. Мы получаем, следовательно, что никакая точка шара
В(х,6) не принадлежит множеству А и, стало быть, В(х,ё) С С А. Так
как х Е СА взято произвольно, то мы, значит, получаем, что все точки
множества СА являются внутренними, то есть множество СА
открытое, что и требовалось доказать.
3. Если множество Е Э А замкнутое, то Е Э А.
Действительно, допустим, что х £ Е. Тогда х Е U = СЕ.
Множество U открытое и, значит, все его точки внутренние. Возьмем
произвольно х £ U. Так как U есть открытое множество, то найдется 6 > О
такое, что В(х^6) С U. Шар В{х,8) не содержит точек множества А и,
следовательно, х не является точкой прикосновения множества А.
Точка х Е U была выбрана произвольно. Мы, следовательно, получаем, что
U не содержит точек прикосновения множества А, и, значит, все точки
прикосновения множества А принадлежат дополнению множества С/, то
есть А С CU = Е, что и требовалось доказать.
Мы получаем, таким образом, что замыкание всякого множества
А в метрическом пространстве М есть замкнутое множество и любое
замкнутое множество, содержащее данное множество А содержит в себе
также и его замыкание. В частности, получаем, что замыкание
множества является пересечением всех замкнутых подмножеств пространства
М, содержащих множество А.
4. Для всякого множества А в метрическом пространстве его
замыкание совпадает с совокупностью всех точек х Е М, каждая из которых
есть предел последовательности точек множества А.
Действительно, предположим, что точка х Е М есть предел
некоторой последовательности (xu)u&a точек множества А. Зададим
произвольно е > 0. Согласно определению предела последовательности
существуют значения v E N, для которых p(xv,x) < £. Так как £ > 0 было
задано произвольно и xv E А при всех v, то мы получаем, что любая
окрестность точки х содержит точки множества А. Отсюда вытекает,
что х есть точка прикосновения множества А.

§ 5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 247
Совокупность всех точек х Е М, каждая из которых есть предел
некоторой последовательности точек множества А обозначим через А!.
Из доказанного следует, что имеет место включение:
А' С А. (5.9)
Пусть х есть произвольная точка прикосновения множества А. Для
всякого v Е N найдется точка xv Е А такая, что р(ж, а^) < —. Очевидно,
v
х — lim ж^и таким образом, мы получаем, что всякая точка прикосно-
вения множества А является элементом множества А1. Мы получаем,
таким образом, что
1 С А7. (5.10)
Из включений (5.9) и (5.10) следует, что А' = Аи утверждение 3,
тем самым, доказано.
5. Для всякого множества А С М имеют место равенства,:
дА = д(СА), дА = А ПСА.
Действительно, согласно определению, точка х является
граничной точкой множества А в том и только в том случае, если в любой ее
окрестности содержатся как точки множества А. так и точки
множества СА. Отсюда видно, что точка х Е М является граничной точкой
множества А в том и только в том случае, если х есть граничная
точка множества СА. Таким образом доказано первое равенство данного
утверждения. Второе равенство следует из того, что точка х есть
граничная точка множества А в том и только в том случае, если она есть
точка прикосновения каждого из множеств А и СА. Утверждение 5
доказано.
6. Для всякого множества А метрического пространства М имеет
место равенство: А0 = А\ дА.
Пусть х Е А0. Тогда существует 8 > 0 такое, что В(х,6) С А.
Шар В{х,8) не содержит точек множества С А. Отсюда следует, что х
не является граничной точкой множества А и, следовательно, х Е А\дА.
Таким образом, доказано включение:
А0 сА\дА. (5.11)
Предположим, что х Е А \ дА. Тогда х Е А и в то же время х не
является граничной точкой А. Для всякого е > 0 шар В(х, е) содержит
элементы множества А (например, точку х). Условие: х £ дА означает,

248
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
что найдется е > О такое, что шар В(х,е) не содержит элементы
множества С А. Если е > О таково, то все элементы шара В(х, ё) принадлежат
множеству А, то есть В(х,е) С А и, значит, х есть внутренняя точка
А, х G А°. Так как х £ А\ дА взято произвольно, то мы получаем,
следовательно, что имеет место включение
А\дАсА°. (5.12)
Из (5.11) и (5.12) вытекает требуемое равенство: А0 = А \ ЗА.
5.3. Непрерывные отображения и открытые и замкнутые
множества
5.3.1. Пусть даны метрические пространства М и N и отображение
f : М —> N. Для всякого множества А С N определено множество
/_1(А) — полный прообраз множества А относительно отображения /.
Напомним, что, по определению, /~"1(.А) есть совокупность всех
точек х G М, для которых f(x) Е А.
Нам потребуется следующее утверждение.
■ Лемма 5.2. Пусть даны произвольные множества Р и Q и
отображение f : Р —» Q. Тогда для всякого множества Е С Q имеет место
равенство:
r1(Q\E) = P\r1(E).
Доказательство. Положим Q\E = Е'. Множества Е и Е' не
пересекаются. Отсюда следует, что множества А = f~x{E) иА' = f^1(E/)
также не имеют общих элементов.
Действительно, если бы х € Р принадлежало обоим множествам А
и А', то f(x) было бы элементом каждого из множеств Е и Е1'.
Множества Е и Е\ однако, общих элементов не имеют.
Допущение, что существует ж, принадлежащее одновременно
как множеству А, так и А', стало быть, приводит к противоречию.
Для любого х € Р значение f(x) принадлежит Q и, значит, f(x)
есть элемент хотя бы одного из множеств Е и Е', поскольку
объединение этих множеств совпадает с Q. Отсюда следует, что всякое х Е Р
принадлежит хотя бы одному из множеств А и А\ то есть
A U А' = Р.
Так как пересечение А П А' множеств А и А' пусто, то отсюда
следует, что каждое из них является дополнением другого относительно

§ 5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 249
множества Р, то есть А' = Р\АиА = Р\А'. Отсюда, очевидным
образом, следует утверждение леммы.
Лемма доказана. ■
■ Теорема 5.4. Пусть даны произвольные метрические
пространства М и N и непрерывное отображение f : М —* N. Тогда:
1) для всякого открытого множества U С N множество f~x{U) есть
открытое множество пространства М;
2) для всякого замкнутого множества F пространства N множество
f~1(F) является замкнутым множеством пространства М.
Доказательство. Предположим, что отображение / : М —» N
непрерывно, и пусть U есть произвольное открытое множество
пространства N. Положим: G = f~x{U).
Докажем, что множество G является открытым в пространстве
(М, р). Если G — пусто, то доказывать нечего.
Будем считать, что множество G не является пустым.
Согласно определению множества /-1(С/), точка х Е М
принадлежит множеству G в том и только в том случае, если f{x) Е U. В
частности, для всякого х Е G точка f(x) принадлежит множеству U.
Пусть хо есть произвольная точка множества G и у о = /(#о)-
Так как множество U — открытое, то найдется е > 0 такое, что шар
Bn(vo-,s) содержится в U. По условию, отображение / — непрерывно.
В частности, оно непрерывно в точке xq.
Согласно определению непрерывного отображения, найдется 6 > О
такое, что для всякого х Е М, для которого выполняется неравенство
р(х,хо) < £, справедливо неравенство:
a(f(x)J(x0))<e.
Это означает, что если точка х Е М принадлежит шару Вм(#о,6),
то ее образ принадлежит шару Bn(vo,s) С U. Следовательно,
всякая точка х Е Вм{х$,8) принадлежит множеству /-1(?7) = G, то
есть Вм(хо,ё) С G.
Мы получаем, следовательно, что хо есть внутренняя точка
множества G = /_1(С/). Точка хо Е G была взята произвольно. Из
доказанного поэтому следует, что все точки множества G — внутренние, то
есть G есть открытое множество. Первое утверждение теоремы
доказано.
Докажем второе утверждение теоремы. Пусть А есть
произвольное замкнутое множество пространства N. Тогда, по определению

250 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
замкнутого множества, U = N\A есть открытое множество
пространства N. Значит, по доказанному, множество /""1(17) является
открытым. Согласно лемме 5.2,
Г\А) = м\г\и).
Отсюда следует, что множество f~1(A) является замкнутым в
пространстве (М, р).
Теорема доказана. ■
5.3.2. Свойства отображений, указанные в теореме 5.4, являются не
только необходимыми, но также и достаточными для непрерывности
отображения, как видно из теоремы 5.5 и ее следствия.
■ Теорема. 5.5. Пусть даны метрические пространства М и N
и отображение / : М —» N. Если для всякого открытого множества U
пространства N множество f1 (U) является открытым, то отображение
f — непрерывно.
Доказательство. Предположим, что отображение /
удовлетворяет всем условиям теоремы. Пусть р означает метрику пространства
М и g есть метрика N. Выберем произвольно точку хо Е М.
Докажем, что / — непрерывно в этой точке. Положим
у0 = f(xo). Зададим произвольное е > 0.
Множество Bn(vo^) — шар с центром уо и радиусом е в
пространстве N является открытым.
Пусть G = f~1[BN(yO'»s)]. Согласно условию теоремы, множество
G — открытое, причем хо Е G.
Согласно определению открытого множества, отсюда следует, что
найдется 6 > 0 такое, что шар Вм(хо,6) содержится в множестве G.
Пусть х Е М таково, что р(х9хо) < 6. Тогда х Е Вм(хо,6) Сби,
значит, х Е G. Отсюда, согласно определению множества G, следует,
что f{x) E Вм(уо^). Это позволяет заключить, что для этого х имеет
место неравенство:
*[/(s)iM>] = cr[f(x),f(x0)] < е.
Число е > 0 было задано произвольно. Мы, следовательно,
получаем, что для всякого £ > 0 существует 6 > 0 такое, что если р(х,хо) < 6,
то
*[f(x)J(x0)}<£.
Согласно определению непрерывного отображения, это и означает, что
/ — непрерывно в точке xq.

§ 5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 251
Поскольку хо было взято произвольно, то тем самым
непрерывность отображения / установлена.
Теорема доказана. Р
▼ Следствие* Пусть М и N суть метрические пространства. Если
отображение / : М —> N таково, что для всякого замкнутого множества
F пространства N его полный прообраз относительно отображения /
представляет собой замкнутое множество, то отображение / —
непрерывно.
Доказательство. Предположим, что отображение /
удовлетворяет всем условиям следствия. Пусть U есть произвольное открытое
множество пространства N. Положим F = N\U.
Множество F — замкнутое и, значит, в силу сделанного
предположения, его полный прообраз относительно отображения / есть
замкнутое множество. Согласно лемме 5.2,
Г\и) = м\гЧР)
и, следовательно, множество /_1(С/) — открытое.
Мы получаем, что полный прообраз всякого открытого множества
пространства N есть открытое множество пространства М. Согласно
теореме 5.5, отсюда следует, что отображение / — непрерывно.
Следствие доказано. ▼
5.4. Относительно открытые и относительно замкнутые
множества
Пусть дано произвольное метрическое пространство М, р —
метрика этого пространства. Предположим, что задано множество А,
содержащееся в М. Тогда определено метрическое пространство (А,р) —
подпространство пространства М.
Множество V С А называется открытым относительно
множества А, если V является открытым множеством метрического
пространства (А,р). В соответствии с определением, данным выше, это
означает, что для всякой точки х Е V существует 6 > 0 такое, что
BA(x,6)cV.
Аналогично, множество F С А называется замкнутым
относительно множества А, если F есть замкнутое множество метрического
пространства (Л, р).
Сформулируем следующее простое утверждение.
О Теорема 5.6. Пусть даны метрическое пространство М и
множество А С М. Для того чтобы множество V С А было открытым

252
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
относительно А, необходимо и достаточно, чтобы V допускало
представление: V = U П А, где U есть открытое множество пространства М.
Аналогично, множество F С А является замкнутым относительно
множества А в том и только в том случае, если оно допускает
представление: F = РП А, где Р есть замкнутое множество пространства М.
Доказательство. Сначала рассмотрим условия относительной
открытости множества. Докажем необходимость этого условия.
Предположим, что множество V является открытым относительно А.
Тогда для всякой точки х Е А найдется число 6Х > 0 такое, что шар
Ва(х,8х) в пространстве (А,р) содержится в множестве V. Согласно
лемме 1.3, имеем равенство:
Ва(х,6х) = В(х,6х) ПА.
(Здесь и далее в обозначении шаров пространства М индекс М
опускается.)
Таким образом, в пространстве М определено некоторое семейство
шаров:
(*w.)).€V.
Пусть U есть объединение данного семейства. Всякий
открытый шар В (у, г) в пространстве М представляет собой открытое
множество. Объединение любого множества открытых множеств есть
открытое множество и, значит, множество U является открытым.
Докажем, что V = U П А. Возьмем произвольно точку х Е V.
Тогда имеем:
х Е ВА(х,6х) С В(х,8х) С U
и, стало быть, x EU Г) А. Мы получаем, что V С U П А.
Пусть х Е U Г) А. Тогда найдется t Е V такое, что х Е B(t,6t).
Так как х Е А, то, значит,
хе B(t,6t)nA = BA(t,6t).
Имеем: J5a(^,^) С V и, следовательно, х Е V.
Точка х Е U Г) А была выбрана произвольно и, значит, имеет место
включение
U П А С У.
Из доказанного вытекает, что
V = UHA.

§ 5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 253
Таким образом, нами установлено, что множество, открытое
относительно А, может быть представлено, как пересечение
множества А с открытым множеством пространства М. Необходимость
условия относительной открытости множества установлена.
Теперь докажем достаточность этого условия.
Пусть ъа • х € A h^> х Е М есть отображение вложения множества
А в метрическое пространство М. Легко проверяется, что отображение
г а непрерывно. Для всякого множества Е С М имеет место равенство:
ЕГ)А = 1д1(Е).
Пусть V = U П А, где V — открытое множество в пространстве
М. Так как U есть открытое множество в М, то в силу равенства
U П А = i~A*(U) отсюда, согласно теореме 5.3, следует, что V является
открытым множеством в метрическом пространстве (А,р) —
подпространстве М, то есть множество V является открытым относительно
А, что и требовалось доказать.
Утверждение теоремы, касающееся множеств, открытых
относительно А, полностью доказано.
Докажем утверждение, касающееся относительной
замкнутости множества.
Сначала установим необходимость условия теоремы. Пусть
F есть множество, замкнутое относительно А. Требуется доказать, что
F допускает представление F = PDA, где Р есть замкнутое множество
в пространстве М.
Множество V — A\F является открытым относительно А. Имеем:
F — А \ V. Согласно только что доказанному условию относительной
открытости множества, найдется множество С/, открытое в
пространстве М и такое, что V = U П А, Пусть Р = С С/. Множество Р —
замкнутое. Имеем: CU (Л А — A\U — F ^ то есть мы получаем, что
F = РП А.
Таким образом, всякое множество, замкнутое относительно
множества А, является пересечением А с множеством, замкнутым в
пространстве М. Необходимость условия относительной замкнутости множества
установлена.
Теперь докажем достаточность этого условия.
Предположим, что множество F С А допускает представление F = АП Р, где Р
есть замкнутое множество в пространстве М. Имеем: F = г^х(Р). Так
как отображение %а непрерывно, а множество Р — замкнуто, отсюда
следует, что F есть замкнутое множество пространства (-А,р), то есть
А есть множество, замкнутое относительно А.
Теорема доказана. ■

254 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
§6. Компактные множества в метрических
пространствах
Цель настоящего параграфа — описать класс множеств в
произвольном метрическом пространстве, для которых верны теоремы,
аналогичные теореме Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем
значениях и теореме Гейне о равномерной непрерывности непрерывной
функции. Это — так называемые компактные множества.
Здесь приводится определение компактного множества и
изучаются простейшие свойства таких множеств. Устанавливаются
необходимые и достаточные условия компактности множества в
пространстве Ж1.
Доказываются аналоги теоремы Вейерштрасса и теоремы Гейне
для функций на компактных подмножествах произвольного
метрического пространства.
В качестве приложения теоремы Вейерштрасса
устанавливаются некоторые свойства конечномерных нормированных векторных
пространств.
6.1. Определение и общие свойства компактных множеств
Здесь мы определим и исследуем некоторый класс множеств в
метрических пространствах такой, что для непрерывных отображений
этих множеств верны аналоги теорем Вейерштрасса и Гейне о
непрерывных функциях на отрезке.
Доказательства указанных теорем существенно используют
следующее свойство замкнутого отрезка в R. У всякой
последовательности точек замкнутого отрезка существует сходящаяся
подпоследовательность, причем предел этой подпоследовательности
принадлежит отрезку. Это свойство мы принимаем за основное при определении
рассматриваемого здесь общего класса множеств.
Далее М означает произвольное метрическое пространство. Его
метрика обозначается символом р.
Пусть (xIy)I/GN есть последовательность точек пространства М.
Последовательность (yk)k£N называется подпоследовательностью
последовательности (rrI/)I/GN, если существует строго возрастающая
последовательность натуральных чисел (uk)keN такая, что при каждом к 6 N
выполняется равенство ук = xVk.
В дальнейшем выражения: «указать подпоследовательность»,
«построить подпоследовательность», наконец, «извлечь
подпоследовательность» рассматриваются как синонимы.

§ 6. Компактные множества в метрических пространствах
255
Множество А пространства М называется компактным, если из
всякой последовательности (xu)u£N точек множества А можно извлечь
сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит А.
Множество А в пространстве М называется предкомпактным, если
у всякой последовательности (хи)и^ точек множества А существует
подпоследовательность, которая является фундаментальной
последовательностью точек пространства М.
Метрическое пространство М называется компактным, если
множество всех его точек М компактно. Это условие, очевидно,
равносильно следующему:
Всякая последовательность точек пространства М имеет
сходящуюся подпоследовательность.
Множество всех вещественных чисел R есть метрическое
пространство с метрикой р, определенной равенством р(х,у) = \х — у\.
Всякий отрезок [а, Ь] С М является компактным множеством в этом
пространстве.
Действительно, отрезок [а, Ь] есть ограниченное множество и,
значит, как это было показано ранее (см. глава 2, § 5, теорема выбора Вей-
ерштрасса), из любой последовательности его элементов можно извлечь
подпоследовательность, которая имеет предел. В силу теоремы о
предельном переходе в неравенстве (см. глава 2, теорема 1.3), предел
всякой такой подпоследовательности принадлежит промежутку [а, 6]. Это,
в соответствии с данным выше определением, и доказывает
компактность промежутка [а, Ь] С М.
В Теорема 6.1. Всякое компактное множество в метрическом
пространстве является замкнутым.
Доказательство. Пусть А есть компактное множество в
метрическом пространстве М. Воспользуемся критерием замкнутости
множества в метрическом пространстве (см. выше, теорема 5.1). Пусть
(xv)v£N — произвольная сходящаяся последовательность точек
множества Аиа£М есть ее предел.
Докажем, что а принадлежит А. Так как А — компактно,
то, согласно определению компактного множества, последовательность
(#i/)i/gn имеет сходящуюся подпоследовательность (xUk)keN, предел
которой принадлежит множеству А. Имеем: lim p(xu,a) =0и, значит,
V—ЮО
также и lim p{xVk, a) = О, то есть а есть предел последовательности
к—юо
(x„k)keNi откуда следует, что а е А.
Сходящаяся последовательность (xu)u£N точек множества А была
выбрана произвольно.

256 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Мы доказали, таким образом, что предел всякой сходящейся
последовательности точек А принадлежит А. Тем самым установлено, что
множество А — замкнутое.
Теорема доказана. ■
■ Теорема 6.2. Всякое компактное метрическое пространство
является полным метрическим пространством.
Доказательство. Пусть М — компактное метрическое
пространство. Зададим произвольно фундаментальную последовательность
(#i/)i/gn точек пространства. Требуется доказать, что эта
последовательность является сходящейся. Так как пространство М компактно,
то из последовательности (xu)u^ можно извлечь сходящуюся
подпоследовательность .
Пусть (xuk)k£N есть такая подпоследовательность, а — ее предел.
Возьмем произвольно е > 0. Так как, по условию, последовательность
(xu)u£N — фундаментальная, то по этому е найдется номер Т> такой, что
при любых v' > v и v" > v выполняется неравенство:
p(xvi,Xv>>) <Si = -.
Зададим произвольно v > Т>. При к —+ оо будет xVk —* а, то есть
р(х„к, а) —> 0 при к —> оо.
При достаточно больших к справедливо неравенство Uk > v и,
значит, p(xu,Xvk) < £i, если к достаточно велико. Так как
\р(х„, х„к) - p[xv, а) | < р(х„к, а),
то
p(xv,xUk) -± p{xu,a)
при к —* оо.
В силу теоремы о предельном переходе в неравенстве (см. гл. 2,
теорема 1.3), отсюда вытекает, что p(xu,a) < Si < е. Так как v > v
взято произвольно, то, следовательно, для всех v > v выполняется
неравенство р(х„,а) < е. В силу произвольности е > 0, этим доказано,
что а есть предел последовательности (хи)^^.
Мы получаем, таким образом, что всякая фундаментальная
последовательность точек пространства М является сходящейся и тем самым
полнота пространства М установлена.
Теорема доказана. ■

§ 6. Компактные множества в метрических пространствах
257
Пусть А есть компактное множество. Из всякой
последовательности (xu)u£N точек множества А, согласно определению, можно извлечь
сходящуюся подпоследовательность.
Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной.
Следовательно, мы получаем, что если множество в метрическом
пространстве компактно, то оно предкомпактно.
■ Теорема 6.3. Если метрическое пространство М является пол-
ным, то всякое замкнутое предкомпактное множество в этом
пространстве компактно.
Доказательство. Пусть даны полное метрическое
пространство М и замкнутое множество А в этом пространстве. Предположим,
что А предкомпактно.
Пусть {хu)uen есть произвольная последовательность точек
множества А. Так как А предкомпактно, то из этой последовательности
можно извлечь фундаментальную подпоследовательность (x„k)keN- Так
как пространство М является полным, то эта подпоследовательность
является сходящейся. Так как х„к £ А при всех к £ N, а множество А
— замкнутое, то ее предел принадлежит А.
Таким образом, из всякой последовательности точек множества А
можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, предел которой
принадлежит А. Согласно определению, это и означает, что множество А
компактно.
Теорема доказана. ■
6.2. Критерий компактности множества в Ш71
Здесь мы установим необходимое и достаточное условие
компактности множества в пространстве Еп.
6.2.1. Предварительно докажем компактность некоторых
простых подмножеств Шп (n-мерный сегмент, n-мерный прямоугольник,
куб, шар).
■ Лемма 6.1. Всякий n-мерный сегмент является компактным
множеством пространства Ш71.
Доказательство. Лемма верна в случае п = 1.
Предположим, что для некоторого п £ N лемма доказана, и пусть
Н есть сегмент в пространстве IRn+1,
Н = [ai,fti] х • •• х [an,bn\ x [an+i,bn+i].

258 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Для произвольной точки х = (#i,... ,#n,#n+i) £ En+1 положим:
7Th(x) = (Ж1,Ж2,...,ЖП), Kv(x) = Хп+1-
Для любых ж,у £ Rn+1, очевидно, пн(х — у) = -кн(х) — тги(у) H7rv(x — y) —
= 7Гу(х) — 7Tv(y), и каково бы ни было х £ Mn+1, имеет место равенство:
\х\ = у/Ы*)\2 + Ы*)\2-
Пусть
F = [ai,6i] х ••• х [an,6n], G = [an+i,6n+i].
Зададим произвольно последовательность {xv)v^ точек множества
Н. Пусть уи = 7гл(ж^), ^ = 7г„(ж1/). Очевидно, у„ е F, z„ e G при
каждом I/.
Согласно индукционному предположению, множество F компактно,
и, значит, найдется строго возрастающая последовательность
натуральных чисел (v(k))keN такая, что последовательность (yv(k))keN сходится
к некоторой точке Ъ множества F.
В силу компактности G, из последовательности (zu(k))ken можно
извлечь сходящуюся подпоследовательность (zu(k(r)))reN, пределом
которой является с е G. Здесь fc(l) < fc(2) < • • < к (г) < Положим
/х(г) = и (к (г)). Очевидно, (/x(r))reN есть строго возрастающая
последовательность натуральных чисел. Имеем:
7Г^(жм(г)) = Vfi(r), ^v(x^r)) = Zp(r)
и при г —» оо выполняется ум(г) —» Ь, ^(г) —► с-
Пусть а есть точка в IRn+1, для которой пн(а) =
Очевидно, а £ Н. При каждом г £ N имеем: тгн(х^г)
Я4;(ям(г) — а) = ^/х(г) - с> и> значит,
|жм(г) - а\ = л/1^м(г) - Ь|2 + |гм(г) - с|2.
При г —> оо справедливы |г/м(г) — Ь| —*■ 0 и |zM(r) — с\ —> 0. Отсюда
вытекает, что |жм(г) — а| —> 0 при г —> оо, и, следовательно, последовательность
(^/x(r))r€N имеет своим пределом точку а Е Н.
Таким образом, задав произвольно последовательность (z^^n
точек п + 1-мерного сегмента Н, мы построили такую ее
подпоследовательность (#M(r))reN, которая сходится к некоторой точке а £ Н. Тем
самым установлено, что Н есть компактное множество пространства
Rn+1.
В силу принципа математической индукции, лемма доказана. ■
Ъ и 7Tv(a) — с.
а) = Уц(г) - Ь,

§ 6. Компактные множества в метрических пространствах
259
6.2.2. Непустое множество А в пространстве Еп называется
ограниченным, если существует число L < оо такое, что для всякого х Е А
выполняется неравенство \х\ < L.
Иначе говоря, множество А С Еп называется ограниченным, если
найдется L £ Е такое, что L > О и А содержится в шаре J3(0,L)
пространства Еп.
В Теорема 6.4. Для того чтобы множество А в пространстве Еп
было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было
ограниченным.
Доказательство. Необходимость. В силу полноты
Еп понятия сходящейся и фундаментальной последовательностей для
пространства Еп совпадают.
Пусть дано множество АсК. Предположим,что оно не является
ограниченным. Тогда для всякого i/GN найдется точка xv £ А такая,
что \xv\ > v. Очевидно, \xv\ —> оо при v —* оо.
Для любой подпоследовательности (xu)ue^ также имеем: \х„к | —» оо
при к —> оо, откуда ясно, что из последовательности (xu)U£N нельзя
извлечь сходящуюся подпоследовательность. Согласно определению,
это означает, что данное множество А не является предкомпактным.
Таким образом, доказано, что если множество А С Мне является
ограниченным, то оно не может быть предкомпактным. Следовательно,
всякое предкомпактное множество ограничено. Необходимость условия
теоремы установлена.
Докажем его достаточность. Пусть А —
произвольное ограниченное множество в пространстве Еп. Тогда найдется число
L < оо такое, что |ж| < L для всех х £ А.
Пусть Н есть n-мерный сегмент
[-L,L] х [-L,L] x ..-ix [-L,L].
Множество А, как нетрудно видеть, содержится в Н. Согласно
лемме 6.1, Н есть компактное множество в Еп.
Пусть (rrI/)I/eN — произвольная последовательность точек
множества А. При каждом v Е N имеем xv £ Н.
Так как Н — компактно, то из последовательности (xu)u^ можно
извлечь сходящуюся и тем самым фундаментальную
подпоследовательность. Мы получаем, таким образом, что из любой последовательности
элементов множества А можно извлечь фундаментальную
подпоследовательность. По определению, это и означает, что множество А — пред-
компактно.
Теорема доказана. В

260 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
▼ Следствие. Для того чтобы множество А С Ш71 было
компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и
замкнутым.
Действительно, пусть А есть компактное множество в Еп. Тогда,
в силу теоремы 6.1, оно является замкнутым. Всякое компактное
множество предкомпактно и, значит, в силу теоремы 6.4, А — ограничено.
Необходимость условия следствия установлена.
Докажем достаточность. Пусть А есть
ограниченное замкнутое множество пространства Ш71. Тогда, как следует из
теоремы 6.3, оно предкомпактно. Пространство Мп является полным
метрическим пространством. Так как А — замкнуто, то, значит, в силу
теоремы 6.3, оно компактно.
Следствие доказано. ▼
6.3. Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций
НА КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ
Теорема, являющаяся непосредственным аналогом
теоремы Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной
функции на сегменте множества Rn, — это теорема 6.5, которую мы
рассмотрим ниже. Она может быть доказана рассуждениями,
следующими той же логической схеме, что и доказательство теоремы
Вейерштрасса, данное ранее (см. главу 2, §6).
Здесь мы следуем несколько иному пути. Но предварительно
установим некоторые результаты, касающиеся связи между компактными
множествами и непрерывными отображениями.
■ Лемма 6.2 (лемма о непрерывном образе компактного
множества). Пусть М и N — произвольные метрические пространства и А
— компактное множество в пространстве М. Для всякого
непрерывного отображения / : А —» N множество f(A) является компактным в
пространстве N.
Доказательство. Пусть А С М есть компактное множество в
пространстве М и / : М —* N — непрерывное отображение.
Положим В = f{A). Требуется доказать, что В есть компактное множество
пространства N.
Зададим произвольно последовательность (уu)uen точек множества
В. Для каждого v £ N найдется точка хи £ А такая, что f(xv) = у»-
Так как множество А в пространстве М — компактно, то из
последовательности {xv)vq^ можно извлечь сходящуюся подпоследовательность
(xUk)k£N, предел которой принадлежит множеству А.

§ 6. Компактные множества в метрических пространствах 261
Пусть хо есть предел этой подпоследовательности. В силу
непрерывности функции /, имеем:
f(x0)= lim f(xUk).
к—юо
Это означает, что последовательность (yvk)keN является сходящейся в
пространстве JV, причем ее предел принадлежит В.
Последовательность (уи)ие^ точек множества В взята произвольно.
Мы доказали тем самым, что из любой последовательности точек
множества В можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, предел
которой принадлежит J3, и, значит, согласно определению, множество
В — компактно.
Лемма доказана. ■
▼ Следствие. Пусть М и N — произвольные метрические
пространства, f : М —► N — непрерывное отображение. Тогда для всякого
компактного множества А пространства М множество f(A) компактно
в пространстве N.
Для доказательства данного предложения достаточно заметить,
что если / : М —► N есть непрерывное отображение, то для любого
множества А С М ограничение / на А также является непрерывным
отображением. ▼
Замечание. Пусть М и N — метрические пространства
и / : М —► N — непрерывное отображение. Предположим, что А есть
произвольное замкнутое подмножество пространства М. Тогда, вообще
говоря, нельзя утверждать, что множество f(A) также является
замкнутым.
Пример. Пусть М = N = Ш и f(x) = ех. Пусть А = (-оо,0].
Множество А — замкнуто.
Действительно, пусть (хп)п^ есть произвольная сходящаяся
последовательность, все члены которой принадлежат множеству А. Это
означает, что хп < 0 при каждом п. Отсюда вытекает, что
a = lim xn < О,
п—юо
и, значит, a £ А. Так как последовательность (xn)neN точек множества
А была выбрана произвольно, то тем самым установлено, что А есть
замкнутое множество. Имеем, очевидно, f(A) = (0,1] и, стало быть,
множество /(А), в данном случае, не является замкнутым.

262
Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
■ Лемма 6.3. Всякое непустое компактное множество веществен-
ных чисел ограничено и имеет наименьший и наибольший элементы.
Доказательство. Пусть А С М, А ф 0, есть компактное
множество. Тогда А — предкомпактно и, значит, в силу того частного случая
следствия теоремы 6.4, когда п — 1, множество А — ограничено.
Пусть р — inf A, q = sup А. Тогда для любого v G N найдутся точки
х„ G А и yu G А такие, что
1 1
р < х„ <р+ -, g— <у» <q-
При z/ —» оо будет xu —» р, а yv —■> д. В силу теоремы 6.1, множество А
замкнуто и, следовательно, ему принадлежит предел любой сходящейся
последовательности точек множества А.
Отсюда р G А и g E А, что и требовалось доказать. ■
Используя результаты лемм 6.2 и 6.3? мы можем теперь доказать
аналог теоремы Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях
непрерывной вещественной функции для случая, когда область
определения функции есть произвольное компактное множество в метрическом
пространстве.
■ Теорема 6.5 (теорема Вейерштрасса о наибольшем и
наименьшем значениях). Пусть А есть компактное множество в метрическом
пространстве М. Тогда всякая непрерывная функция f : А —» М
является ограниченной и принимает на множестве А свои наименьшее и
наибольшее значения.
Доказательство. Пусть множество А и функция /
удовлетворяют всем условиям следствия. Тогда, согласно лемме 6.2, множество
/(А) — компактно. В силу леммы 6.3, отсюда следует, что /(А) имеет
наименьший и наибольший элементы.
Пусть р = min/(A), q = max/(A) и пусть u G А и v G А таковы,
что f(u) — р, f(v) = q. Для всех х G А имеем: f(x) G /(А) и, значит,
f(u)=p<f(x)<q = f(v).
Отсюда видно, что функция / является ограниченной и в точке и
принимает свое наименьшее, а в точке v — свое наибольшее значение
на множестве А.
Теорема доказана. ■

6. Компактные множества в метрических пространствах
263
6.4. Некоторые приложения теоремы Вейерштрасса
Напомним, что функция N : X —» R в векторном пространстве X
называется нормой, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) для любых двух векторов х,у £ X выполняется неравенство:
Щх + у) <N(x) + N(y);
2) для всякого х G X и любого A G К справедливо N(Xx) = |A|JV(a;);
3) если для вектора xGX имеет место равенство JV(a;) = 0, то ж
есть нулевой вектор пространства X.
Нормы JVi и JVb в пространстве X называются эквивалентными,
если существует число L такое, что 0 < L < оо, и для всякого вектора
ж G X выполняются неравенства:
N2(x) < LNxix), т(х) < LN2(x). (6.1)
Пусть (хи)ие^ — произвольная последовательность точек
пространства X.
Говорят, что эта последовательность сходится относительно нормы
N к вектору a G X, если N(xu — a) —■> 0 при v —» оо.
Если две нормы эквивалентны, то, как очевидно,
последовательность, сходящаяся относительно одной из данных норм, будет
сходящейся, и притом к тому же пределу, также и относительно другой
нормы. Иначе говоря, пределы, определяемые с помощью двух
эквивалентных норм, совпадают.
Справедливо следующее утверждение.
■ Теорема 6.6. Если векторное пространство конечномерно, то
любые две нормы в этом пространстве эквивалентны.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай норм в
пространстве Rn. Общий случай легко сводится к этому (это будет
показано в конце доказательства).
Пусть N есть произвольная норма в Мп.
I. Докажем сначала, что эта норма эквивалентна обычной
евклидовой норме х н-> \х\. Для этого мы должны показать, что
выполняются неравенства:
Li|z| > N(x) и \х\ < L2N(x), (6.2)
где Li и Z/2 — положительные постоянные, 0 < L\ < оо и 0 < L2 < оо.
Доказательство существования числа L\ < оо, такого что N(x) <
< Li\x\, не требует ничего, кроме известных нам свойств нормы (см.
п. 3.1). Чтобы доказать, что существует число L2 > 0, такое что

264 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
\х\ < L2N(x), мы воспользуемся теоремой Вейерштрасса (см. выше
теорему 6.5).
Для всякого вектора х = (гп, #2,..., хп) имеем:
N(x) = N(xiei + ж2е2 Н Ь жпеп) <
п
< \xi\N(ei) + \x2\N(e2) + • • • + |жп|ЛГ(еп) = ^ Afc|zfc|,
fc=i
где А& = JV(efe). Пусть А есть вектор (Ai, Аг,..., АЛ).
Применяя неравенство Коти — Буняковского, получим:
N{x)<L1\xl
где Li = |А|.
Пусть ж и ?/ — две произвольные точки пространства Rn. Тогда, в
силу известных нам свойств нормы (см. п. 3.1 этой главы),
\N(x) - N(y)\ < N(x -у)< Ьг\х - у\.
Отсюда, очевидно, следует, что функция N — непрерывна.
Сфера 5(0,1) есть ограниченное замкнутое и, следовательно,
компактное множество пространства Мп.
Значит, согласно теореме Вейерштрасса (см. теорему 6.5), N
принимает на 5(0,1) свое наименьшее значение в некоторой точке
хо. Так как \хо\ = 1, то хо ф 0, и, стало быть, N(xo) > 0.
Положим: N(xo) = Zo- Для всех х € 5(0,1) имеем:
Щх) > N(x0) = /о.
Докажем, что для всякого a;Gln выполняется неравенство:
N(x) >10\х\. (6.3)
Если х = 0, то это верно. Пусть х ф 0. Положим:
h= —
\х\'
Тогда \h\ = 1 и N(x) = \x\N(h). Отсюда получаем:
N(x)> \x\N(xo) = l0\x\,

§ 6. Компактные множества в метрических пространствах 265
и неравенство (6.3) тем самым доказано.
Положим:
/о
Из доказанного следует, что для всякого вектора х £ Ш.п имеют
место неравенства:
N(x)<L!\x\ и \x\<L2N(x).
Пусть L есть наибольшее из чисел L\ и L2. Тогда, очевидно,
N(x) < L\x\ и \х\ < LN(x) для любого вектора х.
Таким образом, доказана эквивалентность нормы N и
евклидовой нормы х н-> \х\.
П. Пусть N± и. N2 — две произвольные нормы в Еп. Тогда, по
доказанному, найдутся такие конечные постоянные L' > 0 и L" > 0, что
для всякого вектора х £ Ш71 выполняются неравенства:
т(х) < L'\x\, \х\ < L'Nxix) и N2(x) < Ь"\х\, \х\ < L"N2{x).
Положим: L = L'L". Тогда, как очевидно, для любого вектора
х G Ш71 выполняются неравенства:
т(х) < LN2(x), N2(x) < LN^x),
и тем самым эквивалентность норм N± и N2 в пространстве Шп
установлена.
III. Пусть X — произвольное конечномерное пространство, d —
размерность X. Тогда, в силу известных результатов алгебры, существует
биективное линейное отображение (р пространства Ша на X.
Предположим, что Niis. N2 — две произвольные нормы в
пространстве X. Полагая для х Е Rd
Ni(x) = т(ф))> N2(x) = N2(<p(x))>
мы получим некоторые нормы в Rd.
Несложную проверку этого факта мы предоставляем читателю.
Как было доказано, существует число L, 0 < L < оо, такое, что
для всякого вектора х G Md выполняются неравенства:
Ni(x) < LN2(x) и N2(x) < Шг(х).

266 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Зададим произвольно вектор у Е X. Имеем:
Щу) = Щр-^у)}, N2(y) = JVafoT^v)]. •
откуда получаем, что
N1(y)<LN2(y) и iV2(y)<LiVi(y)
и тем самым эквивалентность норм Ni и N2 установлена.
Теорема доказана. ■
Пусть дано множество А в метрическом пространстве М.
Точная верхняя граница расстояний между точками множества А
называется диаметром А и обозначается символом: diam A.
Пусть, например, А есть шар J5(a, r) в пространстве М. Для любых
х,у £ В(а,г) имеем:
Р(ж, у) < р(х, а) + р(а, у) < 2г,
откуда, очевидно, следует, что diamB(a, г) < 2г.
Предоставляем читателю убедиться, что в случае пространства Шп
диаметр шара В(а,г) равен 2г.
Если метрическое пространство (М, р) произвольно, то, вообще
говоря, нельзя утверждать, что diamB(a, г) = 2г.
■ Лемма 6.4. Если непустое множество А в метрическом
пространстве М компактно, то его диаметр конечен.
Доказательство. Пусть А есть непустое компактное множество
в метрическом пространстве М. Зададим произвольно точку a Е М.
Функция х «-» р(ж, а) непрерывна и, значит, в силу теоремы 6.5, является
ограниченной на множестве А.
Пусть L < оо таково, что р(ж, a) < L для всех ж Е А. Возьмем
произвольно точки х,у G А. Тогда, применяя неравенство треугольника,
получим:
P(z, 2/) < р(ж, а) + р(а, у) < 2L.
Отсюда вытекает, что
diamA = sup p(rr, у) <2L < 00.
х,уеА
Лемма доказана. ■

§ 6. Компактные множества в метрических пространствах
267
6.5. Теорема о равномерной непрерывности непрерывного
отображения
Зададим произвольно метрические пространства М и N. Далее pi
означает метрику пространства М, рч есть метрика N.
Пусть даны множество А С М и отображение f : А —> N.
Говорят, что отображение / равномерно непрерывно, если
выполнено следующее условие: каково бы ни было е > О, по нему найдется 6 > О
такое, что для любых х\,Х2 Е А таких, что р\(х\,Х2) < 6, выполняется
неравенство: p2(/(#i),/(#2)) < в.
Функция (х, у) н-» рг(х,у) является оценочной на произведении Ах А.
Поэтому данное определение можно переформулировать следующим
образом: функция f равномерно непрерывна на множестве А, если
величина p2[f(x),f(y)] стремится к нулю при pi(x, у), стремящемся к нулю.
Ш Теорема 6.7 (общая теорема Гейне о равномерной
непрерывности). Пусть даны метрические пространства М и N, множество А С М
и отображение f : М —> N. Тогда если множество А компактно, а
отображение f непрерывно, то f — равномерно непрерывно на
множестве А.
Доказательство. Рассуждения следуют той же логической
схеме, что и в доказательстве теоремы Гейне для функций, определенных
на отрезках множества М.
Пусть / есть непрерывная функция, определенная на компактном
множестве А пространства М. Так как множество А компактно, то
множество f(A) также является компактным. Согласно лемме 6.4, отсюда
следует, что найдется число L < оо такое, что для любых р, q Е f(A)
выполняется неравенство: p2(p,q) < L.
Определим по / некоторую функцию cjf(t) переменной t Е [0,оо).
Пусть Dt есть множество всех пар (х, у) точек множества А таких, что
р(х)У) < *• Обозначим через Uf(t) точную верхнюю границу величины
p2[f(x),f(y)] на множестве всех пар (х,у) Е J9t- Для любых х,у Е А
величина р2 [/(#), f(y)] не превосходит L и, значит, Uf(t)<L<oo для
всех t, так что величина Uf(t) конечна при любом t E [0, оо).
Пусть х, у — две точки множества А. Положим р\ (х, у) = t. Тогда,
очевидно, (х,у) Е Dt и, значит, P2[f(x),f(y)] < u>f(t) для любого t > 0.
Если ti < £2, то, очевидно, D^ С Dt2. Отсюда, в силу известных
свойств точной верхней границы функции, вытекает, что
a7/(ti)'= SUp P2[f(x),f(y)\ < SUp P2[f(x)j(y)\ = Wffo),
(x,y)eDtl (x,y)€Dt2
и таким образом мы получаем, что функция о;/ — неубывающая.

268 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Докажем, что u>f(t) стремится к нулю при t —► 0.
Так как функция ujf(t) неотрицательна и является неубывающей,
то существует конечный предел:
limuifU) = a.
t-o J v у
Для всякого v G N
wf\z) = sup P*lf(x)> /(»)]
VZ// Pi(a;,y)<l/i/
и, значит, согласно признаку точной верхней границы функции (см.
глава 1, лемма 5.2), найдется пара хи, уи точек множества А такая,
что
p\{xv,yv) < -
и
Р2[/Ы,/Ы1 >"/(£)-£• (6.4)
При каждом z/ G N имеем:
«/(^)>Р2[/Ы,/Ы]. (6-5)
Из неравенств (6.4) и (6.5), очевидно, следует, что
P2[f(xu), fbfv)] -+ а при z/ -» оо.
Множество А компактно и, значит, последовательность (хи)и^ имеет
сходящуюся подпоследовательность (хик)кеп* Пусть р £ А есть предел
этой подпоследовательности.
При v —» оо величина р{хи^уи) стремится к нулю. Отсюда следует,
что также и p{xVk, y„k) стремится %к нулю при к —► оо.
При каждом fc имеем:
О < р\{р,Уик) < Pl(p,Xvk)+pi(xUkJyvh).
Правая часть этого неравенства стремится к нулю при к —► оо,
откуда следует, что рг(р,Уик) —» 0 при fc —► оо. Мы получаем, таким
образом, что последовательность (yi/ib)fc€N также имеет своим пределом
точку р.

§ 6. Компактные множества в метрических пространствах
269
По условию, функция / непрерывна в каждой точке множества А.
В частности, она непрерывна и в точке р. При к —» ос будет xVk —» р, а
также и у^ —> р.
В силу непрерывности /, из доказанного следует, что f(xnk) —► /(р)
и f{Vnk) —> fip) при fc —> ос. При каждом fe G N выполняется
неравенство:
О < P2{f(Xuk),f(yuk)] < P2[f(x„k)J(p)}+P2[f(p),f(yvk)}.
Отсюда следует, что величина p2[f(xvk),f(yvk)} стремится к нулю при
к —► оо. Имеем:
lim P2[f(xuk),f(yuk)} = a.
к—+оо
Мы, следовательно, получаем, что а = limt-+o u>f(t) = 0.
Пусть дано произвольное £ > 0. Предположим, что 6 > О таково,
что если 0 < t < £, то о;/(£) < е. Для любых точек х, у £ А таких, что
pi(x,y) < б, выполняется неравенство: p2[f(ж), f(y)] < Uf[pi(x,y)] < е.
Теорема доказана. ■
6.6. Модуль непрерывности отображения
В связи с доказанной теоремой 6.7, введем понятие модуля
непрерывности отображения.
Пусть, как и ранее, заданы метрические пространства М и N,
множество А С М и непрерывное отображение / : М —► N.
Вещественная функция и, определенная на отрезке [0, бо), где 6о > О,
называется модулем непрерывности отображения f : М —■> JV, если она
удовлетворяет следующим условиям:
A) функция ш — неубывающая, о;(0) = 0 и lim u>(t) = 0;
i—+0
B) для любых хг,х2 £ А таких, что pi(xi,x2) < #о» имеет место
неравенство:
P2[f(xi)j(x2)} < ш[Р1(хиХ2)}. (6.6)
■ Лемма 6.5. Если отображение f : М —* N имеет модуль
непрерывности а;(£), t Е [0,6о), то оно равномерно непрерывно.
Действительно, предположим, что для функции ш и отображения
/ выполняются указанные выше условия А) и В).
Зададим произвольно е > 0. Тогда найдется 6 > О такое, что
6 < 6о, и если 0 < t < 6, то u(t) < е.
Пусть точки х,у Е А таковы, что р±(х,у) < 6. Тогда из
неравенства (6.6), в силу выбора £, следует, что p2[f (ж), f(y)] < е. Так как

270 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
е > 0 выбрано произвольно, то тем самым отображение / равномерно
непрерывно.
Лемма доказана. ■
Говорят, что отображение f : М —► N удовлетворяет условию
Липшица с постоянной С, где 0 < С < оо, если f имеет модуль
непрерывности u(t) = Ct, 0 < t < 6q.
Если функция С£а,0 < t < <5о, где С и а — постоянные, причем
0<С<оои0<а<1, является модулем непрерывности /,
то говорят, что / удовлетворяет условию Гёлъдера с показателем а и
постоянной С.
Покажем, что если отображение / : М —> N равномерно
непрерывно, то оно имеет модуль непрерывности.
Пусть даны метрические пространства М и N, множество А С М
и отображение / : М —■> N. Для произвольного вещественного t > 0
обозначим через Dt — множество всех пар (х,у) точек множества А
таких, что pi(x,y) < t. Полагаем:
uf(t)= sup P2 №),/(!/)]. (6.7)
(x7y)eDt
Тем самым определена функция u)f(t).
Ш Лемма 6.6. Пусть даны множество А С Mi и отображение
f : М —> N. Пусть функция о;/ определена, как указано выше. Тогда:
если отображение f равномерно непрерывно, то найдется 6о > 0
такое, что Wf(t) конечно при 0 < t < 6о и функция Uf является его
модулем непрерывности;
если и) : [0, 8q) —> М есть произвольный другой модуль
непрерывности f, то для всех t Е [0,6о) имеет место неравенство Uf(t) < u>(t);
если множество А компактно и функция f непрерывна, то Uf (t) —
конечно для всех t > 0.
Доказательство. Возьмем произвольно t\ и t2 такие, что 0 <
<t\ < £2. Тогда Dt± С Dt2, откуда вытекает, что
w/(*i) = sup P2(/(ж),/(у)) < sup P2(/(я?),/(»)) = о;/(*2),
и тем самым доказано, что ш/ есть неубывающая функция.
Если (х,у) е Аь то х — у, и, значит, p2(f(x),f(y)) = 0, когда
(ж,у) G А). Отсюда следует, что о;/(0) = 0.
Предположим, что функция / : М —► N равномерно непрерывна.

§ 6. Компактные множества в метрических пространствах
271
Докажем, что в этом случае найдется ёо > 0 такое, что для
* G [0,<5о) число Uf(t) конечно и cj/(£) —> 0 при t —> 0.
Зададим произвольно е > 0. По нему найдется 6 > 0 такое, что
если р±(х,у) < <5, то P2(f(x),f(y)) < е/2- Если t таково, что 0 < t < <5,
то для любой пары (#, у) G -Dt имеем:
Р2(/(*),/(у))<е/2.
Отсюда следует, что для любого t G [0,6) справедливо cj/(t) < е/2 < е.
Так как е > 0 было взято произвольно, то тем самым установлено,
что ujf(t) —> 0 при £ —> 0. В частности, из доказанного вытекает
существование числа <5о > 0 такого, что если 0 < t < So), то Uf(t) < ос. В
качестве 6q можно взять, например, значение <5, отвечающее е = 1010.
Пусть хо и у о — две произвольные точки множества А. Положим:
t = pi(xo,yo). Тогда (хо,уо) G Dt и, следовательно, p2(f(xo),f(yo)) не
превосходит точной верхней границы на множестве Dt функции (ж, у) н->
ь->р2(/(я),/Ы), то есть
P2(/(s0),/(l/o)) < w/(*) =w/[pi(ar,y)].
Из доказанного следует, что если отображение / : М —> N
равномерно непрерывно, то функция Uf является его модулем непрерывности.
Предположим, что ш : [0,S) —> Е есть произвольный модуль
непрерывности отображения /. Пусть t G [0,6). Тогда для любых х,у G А
таких, что pi(x,y) < t, имеем:
P2(f(x)J(y))<u[p1(x,y)]<u(t).
(Мы воспользовались здесь тем, что модуль непрерывности, согласно
определению, — неубывающая функция.)
Отсюда
u>f(t) = sup p2[f(x)J(y)] < w(t),
Pl(x,y)<t
что и требовалось доказать.
То, что, в случае компактности A, Uf(t) — конечно для всех t > 0,
было установлено при доказательстве теоремы 6.7.
Лемма доказана. ■

272 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Задачи
6.1. Доказать, что аксиомы М2 и МЗ в определении метрического
пространства можно заменить следующим утверждением: для любых ж, у, z Е М
p(x,y) + p(x,z) >p(y,z).
6.2. Множество S С Кп таково, что р(х,у) = \х — у\ для любых х,у Е S есть
рациональное число. Доказать, что S — счетно.
6.3. Пусть Е С К3 есть множество всех точек (ж, у, z) Е М3 таких, что х > О,
у > 0, z > 0, и существует треугольник со сторонами х, у и z.
Доказать, что множество Е открытое.
6.4. На плоскости задано произвольное ограниченное множество А, не
лежащее на одной прямой. Пусть Е С К2 есть множество точек (ж, у) Е М2
таких, что на плоскости можно построить прямоугольник со сторонами х и у,
содержащий множество А.
Доказать, что Е является замкнутым подмножеством R2.
6.5. Множество А в метрическом пространстве (М,р) таково, что его
пересечение с любым замкнутым шаром В (а, г) есть замкнутое множество.
Доказать, что А само является замкнутым множеством.
6.6. Пусть Нп есть совокупность всех конечных последовательностей а —
— (o:i, «2, • • •, OLn), таких, что при каждом г — 1,2,..., п число щ равно либо О,
либо 1. Возьмем произвольно
а = (ai,QJ2,...,CKn) £ Нп,
Р = (/3i, /?2,...,/?п)ЕЯп.
Пусть d(a,/3) равно числу номеров г, для которых а^ 9^ Pi-
Доказать, что d есть метрика на множестве Нп.
6.7. Пусть А — замкнутое множество в метрическом пространстве (М,р),
х Е М. Доказать, что если р(х, А) = inf р(ж, у) = 0, то ж Е -А.
6.8. Указать пример замкнутого множества, которое не было бы замыканием
своего открытого ядра.
Пусть дано множество М. Характеристической функцией множества
Е С М называется функция хе '- М —► Ш, определенная условиями: хе(х) — О,
если х (£ Е, хе(х) = 1 Для всякого х Е Е.
6.9. Доказать, что если характеристическая функция множества Е в
метрическом пространстве М непрерывна в каждой точке х Е Е, то Е — открытое
множество.
6.10. Пусть Е — множество в метрическом пространстве (М,р).
Доказать, что если его характеристическая функция непрерывна в
каждой точке х £ Е, то Е замкнуто.
6.11. Доказать, что для любых множеств А и В в метрическом
пространстве М справедливо A U В = A U В.

Задачи
273
6.12. Пусть (М, р) — метрическое пространство и А С М. Построить пример,
когда А ф А.
6.13. Даны метрические пространства М и N. Пусть А С М, В С N,
А х В С М х N — их декартово произведение.
Доказать, что если А и В замкнутые (открытые) в соответствующих
пространствах, то множество А х В замкнуто (соответственно открыто) в
М xN.
6.14. Пусть Mi х М2 — декартово произведение метрических пространств
(Mi,pi); (M2,p2); Pi : (х,у) Е Мг х М2 ■-> ж и Р2 : (ж,у) G Mi x М2 и у
— канонические проекции Mi x М2 на Mi и М2, соответственно. Пусть
G С Mi х М2 — открытое множество в Mi x М2.
Что можно сказать о множествах P\(G) С Mi и Р2((3) С М2?
Будут ли замкнутыми проекции Р\(А) и Р2(-А) замкнутого множества
А С Mi х М2?
6.15. Пусть (At)^^т есть произвольное бесконечное семейство замкнутых
множеств метрического пространства М. Предположим, что для всякой точки
х Е М существует £ = £(ж) > 0 такое, что шар В(х,6) пересекается лишь с
конечным числом множеств данного семейства. Доказать, что тогда
множество I J At является замкнутым.
6.16. Доказать, что для того, чтобы множество U в метрическом
пространстве М было открытым, необходимо и достаточно, чтобы для всякой
сходящейся последовательности (xu)v£N точек пространства М, предел которой
принадлежит множеству U, существовал номер V такой, что если v > 17, то xv
является элементом множества U.
6.17. Пусть S — п-мерный сегмент. / : Б —» Rm — непрерывное отображение.
Доказать, что для любого а Е М771 множество /_1(а) замкнуто.
6.18. Пусть (М,р) — метрическое пространство, / : М —* R — непрерывная
функция. Доказать, что множество {х Е М : f(x) < а} замкнуто в М.
6.19. Функция / : R —» Ш дифференцируема для всех х.
Доказать, что если для всех у множество {х Е К | ff(x) = у} замкнуто,
то производная /; непрерывна.
6.20. Указать границу, замыкание и открытое ядро следующих множеств
вМ2:
1) прямоугольника [ai,bi) х [а2,Ь2) С М2,
2) замкнутого круга с выброшенным радиусом
Е = {(х,у) : х2 + у2 < 1} \ {(х,у)\у = 0, 0 < х < 1},
3) графика функции у = sin7r/x, x ф 0.
6.21. (М, р) — метрическое пространство, А и В — замкнутые подмножества
М, АП В = 0. Верно ли, что inf p(x, у) ф 0?
х£А,у£В
6.22. Пусть даны метрические пространства (Mi,pi), г — 1,2, ...,т.
Доказать, что если каждое из этих пространств полно, то их декартово
произведение также является полным метрическим пространством.

274 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
6.23. Пусть / : [а, Ь] —» R есть ограниченная функция. На плоскости Ш2
построим график функции /.
Доказать, что функция / будет непрерывной в том и только в том случае,
если ее график есть замкнутое множество в метрическом пространстве R2.
6.24. Пусть А С Кп есть непустое замкнутое множество, xq Е Мп. Доказать,
что найдется точка уо Е А такая, что \xq — уо\ = inf \xo — у\.
6.25. Пусть (М,р) — метрическое пространство. Будем говорить, что шар
В(а,г) строго вложен в шар В(Ь,г), если замкнутый шар В(а,г) содержится
вВ(Ъ,г).
Доказать, что если М есть полное метрическое пространство, то для
всякой последовательности шаров (Вп)п^ такой,что при каждом п шар J3n+i
строго вложен в шар Вп и радиус шара Вп стремится к нулю при п —> оо,
существует, и притом только одна, точка хо, принадлежащая всем шарам
последовательности.
6.26. Функция / : М —» М в метрическом пространстве М называется
полунепрерывной снизу (сверху) в точке xq Е М, если для всякого е > 0 можно
указать такое 6 > 0, что для всех х Е М, для которых р(х,хо) < 6,
выполняется неравенство f(x) > /(жо) — £ (соответственно, f(x) < f(xo) + e).
Функция / : М —» М называется полунепрерывной снизу (сверху) на М,
если она полунепрерывна снизу (сверху) во всех точках множества М.
Доказать, что для того, чтобы функция / : М —*• М была
полунепрерывной снизу (сверху) в точке xq E М, необходимо и достаточно, чтобы для всякой
последовательности (xn)neN точек пространства М, сходящейся к хо,
выполнялось неравенство /(жо) ^ lim f(xn) (соответственно, f(xo) > lim f(xn)).
n—>-oo
6.27. Доказать, что для того, чтобы функция / : М —*■ R была полунепрерывна
снизу на М, необходимо и достаточно, чтобы для всякого h E К. множество
{х Е М : f(x) < /i} было замкнутым.
6.28. Доказать, что для того, чтобы множество Н С М было открытым,
необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была
полунепрерывна снизу.
6.29. Доказать, что для того, чтобы множество А С М было замкнутым,
необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была
полунепрерывна сверху.
6.30. Доказать, что если пространство М — компактно, то всякая
полунепрерывная снизу функция принимает на М свое наименьшее значение.
6.31. Пусть / : [а, Ь] —> R — функция, удовлетворяющая условию Гёльдера с
показателем а на [а, Ь]. Положим:
||/||e= sup |/(x)|+ sup l/(.;i)-/(.:2)l.
хе[а,Ъ] xltx2e[a,b] !ж1 ~ х2\
Доказать, что / —» ||/||а есть норма.
Будет ли пространство Са([а, Ь]) функций, удовлетворяющих условию
Гёльдера, снабженное этой нормой, полным?

Задачи
275
6.32. Пусть А есть совокупность всех чисел отрезка [0,1], разложения которых
в десятичную дробь содержат только числа 0 и 5.
Доказать, что А замкнуто.
6.33. Множество А С Кп называется выпуклым, если всякий отрезок, концы
которого принадлежат А, содержится в А, то есть для любых х\, Х2 Е А ж
любого t £ [0,1] точка (1 — i)x\ + tx2 Е А.
Пусть А — замкнутое множество. Доказать, что если для любых х\ £ А,
. Х\+Х\ .
Х2 £ А точка Е Л, то множество А выпукло.
6.34. Пусть U С Мп — открытое множество.
х\ + Х2
Доказать, что если £ U для любых х±,Х2 £ U, то множество U
выпукло.
6.35. Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые множества в метрическом
пространстве М с метрикой р.
Доказать, что если А — компактно, то найдется число 6 > 0 такое, что
для всякого ж £ А и любого у Е В выполняется неравенство р(х, у) > 6.
Доказать, что в этом случае существует точка хо £ А такая, что p(xq, у) —
= inf ' р(х,у).
х£А
6.36. Пусть р > 1. Для произвольного вектора х = (#i,#2, • • •»хп) Е ^п
положим:
х
— V
Доказать, что \x\v есть норма в Шп.
6.37. Пусть X есть нормированное конечномерное векторное пространство
над полем М, X* есть множество всех линейных форм на пространстве X.
Доказать, что X* есть векторное пространство той же размерности, что
и пространство X.
Пусть \х\ означает норму вектора х £ X. Для и £ X* полагаем
\\и\\ = sup \u(x)\. (*)
\х\<1
Доказать, что функция \\и\\ есть норма в X*.
В случае X = М.п указать явное выражение для нормы линейной формы
и через ее коэффициенты в предположении, что норма в равенстве (*) есть
евклидова норма.
Найти явное выражение для \\и\\ через коэффициенты линейной
функции и:
а) в случае, когда под \х\ в равенстве (*) понимается чебышёвская норма;
б) для случая, когда \х\ = \х\р (см. задачу 6.36).
6.38. Пусть М есть произвольное метрическое пространство и (An)n£N есть
последовательность непустых подмножеств М. Предположим, что каждое из
множеств Ап компактно и последовательность Ап является убывающей, то
есть при каждом п выполняется включение: Ап Э Ап+\.

276 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Доказать, что существует точка xq Е М, принадлежащая всем
множествам Ап.
6.39. Пусть (Mi,pi), (M2,p2) — компактные пространства, (М, р) — их
декартово произведение. Пусть / : М —» R — непрерывное отображение. Для
всякого х Е Mi положим: F(x) = inf f(x,y).
у£М2
Доказать, что функция х »—» F(x) непрерывна.
6.40. Пусть Е — компактное множество на плоскости.
Доказать, что среди всех содержащих его треугольников есть
треугольник наименьшей площади.
6.41. А С Кп — компактное множество. Доказать, что среди всех замкнутых
шаров в Rn, содержащих А, есть шар наименьшего радиуса.
6.42. Пусть (М, р) — компактно и / : М —» М — отображение такое, что
р[/(ж), f(y)] > р(х, у) для любых х,у е М.
Доказать, что / есть изометрическое отображение М на себя.
6.43. Даны метрические пространства Mi и Мъ и отображение / : Mi —> М2.
Рассмотрим прямое произведение Mi x Мг, и пусть Г^ есть график
отображения /, то есть множество всех точек (ж, у) Е Mi х Мг таких,что у — f(x).
Доказать, что если пространство Mi компактно, то для того, чтобы
отображение / было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы множество
Tf было компактным подмножеством Mi x М^-
6.44. Пусть {А^} — произвольное семейство компактных подмножеств
метрического пространства (М,р). Предположим, что для всякого конечного
подсемейства {А^г, А^2,..., А^п } семейства {А^} существует точка,
принадлежащая всем множествам А^г, А^2,..., А^п одновременно.
Доказать, что тогда существует, по крайней мере, одна точка xq, которая
принадлежит всем множествам семейства {А^} одновременно.
6.45. Пусть (М,р) — метрическое пространство. Для произвольных
множеств А С М и В С М положим: р(А, В) = inf р(х,у). (Наглядно:
x£A,y£B
р(А, В) — длина самого короткого моста, соединяющего А и В.)
Доказать, что если для любых двух непересекающихся замкнутых
множеств А и В р(А, В) > 0, то пространство (М, р) компактно.
6.46. Пусть дана конечная последовательность ai,a2,... am векторов в
пространстве Ш.п. Для вектора х Е Ш71 положим:
т
г=1
Доказать, что N(x) есть полунорма в Rn. Каким условиям должна
удовлетворять система векторов а$, г = 1,2,..., га, для того, чтобы функция N(x)
была нормой в Rn?
6.47. Пусть даны метрические пространства (Mi, pi) и (М2, рг) и пусть (М, р)
есть их декартово произведение. Доказать, что если множества Ai С Mi и
А2 С Мо — компактны, то А\ х А2 есть компактное множество пространства
(М,р).
Щх)
N

Задачи
277
6.48. Пусть / : [а, Ь] —*• Ш и д : [а,Ь] —> Ш — две непрерывные функции.
Ь
Положим р(/, д) = J \f(x) — д{х)\ dx. Доказать, что р есть метрика в С([а,Ь]).
а
Будет ли пространство (С([а,Ь]), р) полным?
6.49. Пусть Н есть множество всех точек х = (#i, #2, • • • > %) Е D£n таких, что
для любого £ Е [0,1] выполняется неравенство: Irci+a^H h^n^n_1-b^n| < 1.
Доказать, что множество Н — компактно.
6.50. Пусть М — компактно. Доказать, что для того, чтобы функция / : М —►
—*• К. была полунепрерывна снизу на М, необходимо и достаточно, чтобы
существовала последовательность (/п : М —*• R)n^N непрерывных функций такая,
что числовая последовательность (/n(#))n€N является возрастающей при
каждом ж Е М и fn(x) —► /(ж) Для всех ж Е М.
6.51. Доказать, что для того, чтобы множество Н С М было открытым,
необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была
полунепрерывна снизу.
6.52. Доказать, что для того, чтобы множество А С М было замкнутым,
необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была
полунепрерывна сверху.
6.53. Пусть (М,р) есть компактное метрическое пространство, (хи)и^ есть
последовательность точек этого пространства.
Доказать, что если для всякого х Е М существует предел lim p(xu,x),
и—*оо
то последовательность xv является сходящейся.
6.54. Пусть дано метрическое пространство М с метрикой р.
Доказать, что если всякая непрерывная вещественная функция,
определенная на М, принимает свое наибольшее значение, то М — компактно.
6.55. Для х = (a?i, X2,..., хп) Е Шп пусть
\х\р= sup |a?i 4- x2t + ж3*2 Ч Vxnt71"1^
0<t<l
Доказать, что \х\р есть норма в пространстве Шп.
6.56. Пусть Р(х) есть полином степени не выше п. Положим
L2(P) =
N
1
/
[P(x)]2dx.
Доказать, что существует число Мп < оо такое, что для всех х Е [0,1]
выполняется неравенство: |Р(ж)| < MnL,2(P)
6.57. Множество К в пространстве М.п называется выпуклым конусом, если
для всякого х Е Т и любого числа Л > 0 точка Хх принадлежит К и х + у Е К
для любых х Е К и у Е К. Вектор h E Мп называется нормалью конуса К,
если для всякого х Е К выполняется неравенство: (h, x) > 0.
а) Пусть К* есть множество всех нормалей конуса К.

278 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств
Доказать, что множество К* замкнуто и представляет собой выпуклый
конус в пространстве Rn.
Доказать, что если выпуклый конус К является замкнутым множеством,
то К является множеством нормалей конуса К*.
б) Пусть К\ есть множество тех точек х = (#i,#2, • • • ,#п)5 у которых
Х{ > 0 для всех х, К2 — множество всех точек х = (#i,#2, • • •»#п)
пространства Rn таких, что
Л/х1 ~Ь ж2 ~^~ *"' ~^~ жп—1 — Жп>
и, наконец, Кз — множество всех точек х пространства Rn, для которых
\xi\ + |Ж2| Н 1" l#n-l| < Хп-
Доказать, что множества К±, К2, К% являются выпуклыми конусами в
пространстве Мп. Найти конус нормалей для каждого из этих конусов.
6.58. Пусть N есть произвольная норма в пространстве Rn. Для
произвольного вектора и Е Ш1 положим:
*N(u) = sup (и, х).
N(x)<l
Доказать, что функция и ь-> *N(u) есть норма в Ш.п.
Доказать, что для всякого х Е W1
N(x) — sup (и, х).
*N(x)<l

Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Г
• Дифференцирование и интегрирование
вектор-функций одной переменной • Понятие производной функции
вдоль данного вектора • Частные производные
• Дифференциальная характеристика постоянных
функций • Понятие линейно связного множества
• Производные высших порядков • Классы Сг
функций многих переменных • Формула Тейлора с
остаточным членом в форме Пеано для функций многих
переменных • Асимптотическая характеристика
полинома Тейлора функции • Условия экстремума для
функций многих переменных • Условные экстремумы
• Лемма об оценке приращения функции •
Лемма об интегрировании асимптотических соотношений
• Достаточное условие дифференцируемости функции
в точке • Теорема о дифференцируемости сложной
функции • Теорема Эйлера об однородной функции
• Теорема о симметричности производных высших
порядков • Формула для производной порядка Г
функции: f[X-\-th) • Применение формулы Тейлора к
вычислению частных производных • Исчисление
полиномиальных форм • Простейшая и общая
теоремы о неявных функциях •

280 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§1. Понятия частной производной
и дифференциала
В этом параграфе рассматриваются функции, определенные на
открытых подмножествах пространства М71, где п > 1. Именно, такие
функции мы имеем в виду, говоря о функциях п переменных. Такое
ограничение на выбор области определения рассматриваемых функций
связано с тем, что открытое множество в Ш71 устроено, в некотором
отношении, одинаково во всех своих точках.
Ко всякой точке открытого множества в Ш71 можно приближаться
с любой стороны. В главе 15 будет показано, как распространить, хотя
бы частично, дифференциальное исчисление функций многих
переменных на случай функций, имеющих областью определения произвольное
подмножество Ш71. При этом, однако, существенно используются
результаты, относящиеся к случаю функций, определенных на открытых
подмножествах Шп.
Здесь приводятся определения основных объектов, исследование
которых составляет главную цель данной главы, а именно, — понятие
частной производной функции многих переменных и понятия
дифференцируемой в точке функции и ее дифференциала.
Пусть f(xi,X2,.--,xn) есть функция п переменных, определенная
для всех #i, #2, •. •, хп таких, что точка х = (xi, #2,. •., хп) принадлежит
открытому множеству U пространства Ш71.
Выберем произвольно номер к такой, что 1 < к < п. Фиксируя
в выражении f(xi,X2,... ,хп) значения переменных х%, где i ф fc, мы
получим функцию одной переменной — переменной х^. Производная
этой функции, если таковая существует, и есть частная производная
функции f относительно переменной Xk.
Здесь также вводится понятие функции, дифференцируемой в
точке. Функция f(x) дифференцируема в точке а области ее определения,
если в малой окрестности точки а приближенно можно считать, что
разность f(x) — /(а) является линейной функцией х — а с ошибкой,
бесконечно малой относительно \х — а\ при х —> а.
Существование частных производных не гарантирует даже
непрерывность функции. Дифференцируемость функции в точке
автоматически влечет непрерывность функции и существование всех ее частных
производных в этой точке.
Рассматриваются функции со значениями в векторном
пространстве. Поэтому изучению функций многих переменных предшествует
небольшой раздел, посвященный исследованию функций одной
переменной со значениями в векторном пространстве.

§ 1. Понятия частной производной и дифференциала
281
1.1. Дифференцирование и интегрирование вектор-функций
одной переменной
Зададим произвольно отрезок / = (а, Ь) С М. Пусть дана функция
/ : (а, Ь) —> Rn. Для всякого t £ I определен вектор f(t). Пусть
/i(t),/2(*),...,/»(*)
суть компоненты вектора /(£).
Таким образом, в промежутке (а, Ь) определены вещественные
функции /г,г = 1,2,...,п, — компоненты вектор-функции / : / —► Rn.
Возьмем произвольно точку to Е I и рассмотрим отношение
/(«) - /(*>)
t-t0 '
где t e /, £ ^ to • Имеем:
/(*)-/(«о) = /7i(*) ~ Л(«о)} ЛОР - М°),..., /"(*) - ^(*°)
£ — to V t — to t — to t — to
Предел
t->to t — to
если таковой существует, называется производной вектор-функции f в
точке to и, как и в случае функций со значениями в R, обозначается
одним из символов: /'(to), "тг(^о), Df(to).
at
В силу свойств предела, установленных ранее (см. главу 6), для
того, чтобы существовал предел (1.1), необходимо и достаточно, чтобы
каждое из отношений
Щ - fijto)
t-to
г = 1,2,... ,п, имело конечный предел при £, стремящемся к to, то есть
чтобы каждая из функций fi была дифференцируема в точке to. При
этом имеет место равенство:
/'(*0) = (/1(*0),/2(*0).---»/»(*0))-
Пусть / = (а,Ь).
Говорят, что вектор-функция / = (/i, /2,..., /п) интегрируема по
замкнутому отрезку [а,Ь], если каждая из вещественных функций

282 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
/г,г = 1,2, ...,п, — компонент вектор-функции / определена в
промежутке / в основном и интегрируема по [а, 6].
Интегралом функции f : I -+ Ш.п по промежутку [а,Ь] мы будем
называть вектор z, у которого компонента с номером г равна
ь
I fi(t)dt
а
при каждом г = 1,2,...,п. Таким образом,
ъ ь ь ь
[ № dt=(jh (t) dt, J f2(t) dt,...,f fn(t) dtj.
a a a a
Ш Лемма 1.1. Пусть даны отрезок [а, Ь] С М и функция f: (а, Ь) —► R*
интегрируемая по [а, Ь]. Предположим, что существует вещественная
функция а, интегрируемая по промежутку [а, Ь] и такая, что
\№\<a(t)
в основном в промежутке (а,Ь). Тогда имеет место неравенство:
ь ь
I f(t)dt\ < / a(t)dt. (1.2)
Доказательство. Пусть /;,i = l,2,...,n, суть компоненты
вектор-функции /. Функции /г интегрируемы по промежутку [а, 6].
Положим
■/
/(*)Л.
Если z = 0, то неравенство (1.2) верно.
Будем считать, что z ф 0. Положим г*:
U = (t4i,t42,...,^n). ПОЛОЖИМ (f(t) = U\f\{t) +^2/2^) Н Ь Unfn{t)
Будем считать, что z ф 0. Положим и = т—г Тогда \и\ = 1. Пусть
Л

§ 1. Понятия частной производной и дифференциала
283
Функция (р интегрируема по промежутку [а, Ь]. При этом имеет
место равенство:
ь п ь ь
J ip(t) dt = ^Tuk J fk(t) dt = (u, J f(t) dt) = (щ z).
a a a
Применяя неравенство Коши — Буняковского (см. §8 главы 4),
получим:
<p(t) = (u,f(t))<\u\\f(t)\ = \f(t)\,
так как \и\ = 1. Отсюда заключаем, что <p(t) < a(t) в промежутке (а, Ь)
в основном и, значит,
ь ь
I (p(t) dt< a(t) dt.
Осталось заметить, что
ь ь
j (p(t)dt= (u,z) = (u,u)\z\ = / f(t)dt
Лемма доказана. ■
Т Следствие. Пусть f : (а,/3) —> М.п есть непрерывная функция,
дифференцируемая в основном в интервале (о;,/3). Предположим, что
существует постоянная М < оо такая, что \ff(t)\ < М в (а,/3) в
основном. Тогда для любых ti,t2 E (#,/3) выполняется неравенство:
|/(*2)-/(tl)|<M|*2-ti|. (1.3)
Доказательство. Пусть / = (/ь/г,. ..,/п). Функции /;,
г = 1,2,...,п, непрерывны и дифференцируемы в (а,/3) в основном.
Следовательно, каждая из них является первообразной для своей
производной, то есть функции /г' интегрируемы по промежутку (о;,/3).
Возьмем произвольно точки *i,<2 £ («,/3).
Если ti = ^2, то неравенство (1.3), очевидно, выполняется.

284 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Пусть t\ ф #2. Положим а = *i, 6 = ^2 в случае ti < £2 и а = fo,
Ь = t2 в случае £i > fo. Полагая в лемме 1.1 a(t) = М, получим:
ь
|/(*2)-/(*l)|= / /'(*)*
-/Л
< Af|*2 —*i|,
что и требовалось доказать. ▼
1.2. Понятие производной функции вдоль вектора.
Частные производные
Пусть U — открытое множество в пространстве Rn, a — точка
множества U и h — вектор в Rn. Так как U есть открытое множество,
то найдется е > О такое, что В(а, е) С 17.
Положим 6 = гт-т. Если \t\ < <5, то
1 + |Л|
\a + th-a\ = |*| |Л| <£:,
и, значит, точка a + th принадлежит множеству 17.
Пусть дана функция / : U —► Rm.
Зададим произвольно вектор /iERnH для £ Е R положим
<ph(t) = f(a + th).
Функция ^/г, заданная этим равенством, определена для всех t из
некоторого интервала (—<5, <$).
Производная ^4(0), если таковая существует, называется
производной функции f в точке а вдоль вектора h и обозначается dhf(a)-
Данное определение формально допускает значение т = 1, то есть
случай, когда / есть вещественная функция. Для функции / : U —► R
будем считать, что производная dhf(a) определена в том и только в том
случае, если предел
t->o £
существует и конечен. Его значение и есть производная dhf(a).
Таким образом, если т = 1, то производная dhf(o>) считается
определенной в том и только в том случае, если функция iph : £ »—► /(а + th)
дифференцируема в точке 0. При этом dhf(a) = ^4(0).

§ 1. Понятия частной производной и дифференциала
285
Пусть ei,e2,... ,еп — канонический базис пространства Ш71. Про-
изводная dGif(a), если таковая существует, обозначается ——(а) либо
OXi
Dif{a) и называется частной производной функции f no переменной Xi
в точке а.
Объясним употребление слова «частная?» в выражении «частная про-
изводная».
Производная -—(а) может быть найдена следующим образом.
OXi _
Определим некоторую функцию /г, полагая для Xi E E
fi(xi) = /(ai,... ,а»_1,ж»,а»+1,. ..,ап).
Функция /г определена для всех #г из некоторого интервала
(а,г — <5, а; + <5). Имеем, очевидно:
/(а + top - /(а) _ fi(aj + t) -fi(aj)
t ~ i
откуда ясно, чТО частная производная »£(.) есть о**™*, произвол
функции Ji{xi) в точке Xi — ai. Производная -—, таким образом, может
OXi
быть получена, если мы продифференцируем / по переменной Жг, как
если бы / была функцией только одной этой переменной, а остальные
переменные считались бы некоторыми постоянными параметрами.
В случае, когда п — мало, компоненты произвольной точки Ш71
обычно обозначают не одной буквой с индексами, а разными буквами.
В этом случае в обозначении для частной производной —— вместо Xi
OXi
пишется тот символ, который обозначает г-ю компоненту точки х Е Ш71.
Пусть, например, п = 2и компоненты произвольной точки R2
обозначаются буквами х жу. Тогда для обозначения частных производных
используются выражения:
fo(x,V) или fx(x,y), -qz(x>V) или К(Х'У)-
В соответствии с данным выше общим определением,
OX t-*0 t

286 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
дуК "У) t->0 t
Пусть дано отображение / : U —► Rm и вещественные функции
/i, /2, •.., /m суть компоненты вектор-функции /.
■ Лемма 1.2. Пусть U есть открытое множество в пространстве
Ж1. Лусть дана функция f : С/ -» Rm,
для всех х Е U. Тогда функция f имеет в точке a E U производную
dhf(a) вдоль вектора h GKn в том и только в том случае, если каждая
из ее компонент fi,i = 1,2,..., га, имеет производную dhfi(a). При этом
имеет место равенство:
dhf(a) = (dhf1(a),dhf2(a),... ,dhfm(a)).
В частности, функция / имеет в точке a Е U производную ——(а) в том
OXj
и только в том случае, если каждая из ее компонент /г, г = 1,2,..., га,
имеет производную: —-(a). При этом справедливо равенство:
OXj
df t \ (®h ( \ ®h / ч dfm ( Л
^-(a) = ^(a)'^-(a)'--'^7(a)J-
Доказательство. Пусть a eU. Положим
ф) = /(о + И = (/1(0 + ht), /2(0 + /it),..., /m(a + Ы)).
Функция ip(t) определена в некотором интервале (—6,6).
Как показано в п. 1.1, вектор-функция <p(t) имеет производную (р'(0)
в том и только в том случае, если каждая из вещественных функций
(fi(t) = fi(p + ht) дифференцируема для t = О, причем
<p'(0) = (<Pi(0),V'2(0),...tV'm(0))-
По определению производной вдоль вектора Л, справедливы
равенства: р'(0) = dhf(a), vi(0) = dhfi(a).
Лемма доказана. ■

§ 1. Понятия частной производной и дифференциала
287
Замечание. Пусть даны функция f : U —> М™ и вектор
h Е Мп. Положим <ph(t) = f(a + th), где а Е Мп. Отображение t Е R н-*
н-* ^>/г(£) непрерывно и, значит, согласно теореме 5.4 главы 6 множество
G тех t G К, для которых а + th Е С/, есть открытое подмножество
М. Предположим, что функция (рн дифференцируема для некоторого
значения to E G. Тогда имеет место равенство:
<Ph(to) = dhf(a + t0h). (1.4)
Действительно, положим хо = а + to Л. По определению
производной, будем иметь:
,{) = Ит Mto+u)-Mto) = Um /(хо+Ц/г)-/Ы =
= dhf(x0) = dhf(a + t0h),
откуда, очевидно, и вытекает соотношение (1.4).
Пусть U есть произвольное открытое множество в Rn.
Если функция f : U -+ М™ имеет частную производную ——(х) в
ОХ %
каждой точке х Е 17, то мы будем говорить, что / имеет в U частную
df
производную ——.
OX i
Отметим, что лемма 1.2 и замечание к ней избавляют нас
от необходимости заново выводить для функций многих переменных
правила для определения производных суммы, произведения и частного,
доказанные ранее для функций одной переменной (см. § 1 главы 4).
Чтобы иметь полный набор правил для вычисления частных
производных, необходимо еще добавить формулы для нахождения частных
производных суперпозиции. (Это будет сделано позднее (см. п. 2.4).)
Если функция, определенная на некотором интервале множества R,
имеет конечную производную, то она является, в определенном смысле,
«хорошей» функцией. В частности, можно утверждать, что эта
функция непрерывна в данном интервале.
Для функций многих переменных ситуация сложнее..
Существование в каждой точке области определения функции частных производных
и даже производных вдоль любого вектора h не обеспечивает даже
непрерывность функции, как показывают следующие примеры.
Пример 1. Пусть п = 2, U = R2. Определим функцию f(x,y)
переменных (#,у) Е М2, полагая /(О,0) = 0, а при х2 + у2 ф 0
х2 + у2

288 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Данная функция f(x,y) имеет частные производные — и — для любых
CJJb Оу
(a;,2/)Gl2. Действительно, при у ф 0 функция
2ху
X г
х2 + у2
переменной х дифференцируема при любом у ф 0 и, значит, производная
— существует в каждой точке (ж,у), у которой у Ф 0.
ох
Далее, /(ж,0) = 0 при всяком х и, значит, — (ж, 0) = 0 при всех х.
С/Х
df,
Мы получаем, таким образом, что частная производная —(х,у)
определена для любых (ж,у).
' Аналогично устанавливается, ,то . производная §£(,,,) олреде-
лена в каждой точке (ж, у) Е М2.
Докажем, что данная функция f(x,y) не является непрерывной
в точке (0,0). Действительно, положим x(t) = tcosy?, y(t) = £sin^>, где
£ > 0. Тогда получим:
лг / ч / чт 2£2cosu?sinu? . л ,„ _ч
/[*(*), y(i)] = ^f—- = sin 2^. (1.5)
При t -> 0
(s(t),y(i))->(0,0).
В то же время величина f[x(t),y(t)], как видно из равенства (1.5),
может иметь пределом при t —► 0 любое число / такое, что — 1 < I < 1.
Отсюда ясно, что данная функция / не является непрерывной в точке
(0,0).
Пример 2. Будем рассматривать функции в!2. В качестве U снова
возьмем всю плоскость R2.
Искомый пример удобно описать геометрически (см. рис. 1).
Пусть G есть множество всех точек (х,у) Е R2, для которых
выполняется неравенство: ж4 < у < х2. Если (ж, у) Е G, то очевидно, что
?/>0и—1<ж<1, причем х ф 0.

§ 1. Понятия частной производной и дифференциала
289
Рис. 1
Область G состоит из двух лунок, симметричных относительно оси
Оу и ограниченных сверху параболой у = ж2, а снизу кривой у — хА.
Точка (0,0) не принадлежит G. Полагаем f(x,y) = 1 при (х,у) Е G и
/(ж, у) = 0, если (ж, у) g G.
Функция / является разрывной в точке (0,0). Действительно, пусть
для п = 1,2,...
1 1
Хп —
п + 1'
Уп =
(п+1)3'
При каждом п
3^77.
(П + I)4 (П + I)3
Уп <
(п + \у
— хг.
и, значит, (жп,2/п) Е G. При п —► оо будет жп —► 0,уп —► 0. Для всех
п справедливо f(xn,yn) = 1 и, следовательно, f(xn,yn) -+ 1 Ф /(0,0)
при п -^ оо. Отсюда следует, что функция / не является непрерывной
в точке (0,0).
Докажем, что в этой точке данная функция / имеет
производную dhf для любого вектора h = (p, g) ^ (0.0). Для этого покажем,
что для всякого такого вектора h найдется 6 > 0 такое, что th (£ G при
|£| < 6. Действительно, если q — 0, р ф 0, то th £ G для всех tGl.
Пусть q ф 0. Отношение £2|р|/|£#| стремится к нулю при t-^Ои,
значит, найдется значение 6 > 0 такое, что t2|p2|/|tg| < 1 при |*| < <5.
Для таких значений t точка th не принадлежит области G.
Действительно, пусть |*| < 6. Если q < 0, t > 0, то th не принадлежит G, так
как в этом случае вторая координата точки th отрицательна.
Если же q < 0, t < 0, то \tq\ = *g. В силу неравенства £2р2/|£#| < 1,
имеем: £2р2 <tqm, значит, и в этом случае th (£ G.
Аналогично рассматривается случай q > 0. При \t\ < 6 имеем:
f(th) — /(0) = 0, откуда, очевидно, следует, что производная dhf(0)
существует и равна нулю для любого вектора h G К2.

290 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
1.3. Понятие дифференцируемой функции многих переменных
Пусть U есть произвольное открытое множество в пространстве
Ш71. Наша цель — определить понятие функции, определенной на
множестве U и дифференцируемой в точке a Е U.
Для случая функций одной переменной мы называем функцию
дифференцируемой в некоторой точке ее области определения, если она
имеет в этой точке конечную производную.
Существование частных производных в точке, как видно из
примеров, рассмотренных в предыдущем разделе, не гарантирует даже
непрерывность функции.
В главе 4 было установлено, что для функции одной переменной
свойство дифференцируемости в точке равносильно следующему:
приращение функции с точностью до слагаемых, бесконечно малых в
сравнении с приращением независимой переменной, пропорционально
приращению независимой переменной, то есть имеет место равенство:
f(x) — f(a) = k • (х — а) + о(\х — а\) при х —> а.
Определяя, что есть дифференцируемая функция многих
переменных, мы возьмем за основу некоторый аналог этого свойства
дифференцируемых функций одной переменной.
Свойство дифференцируемых функций одной переменной, о
котором идет речь, может быть сформулирован следующим образом.
Функция f(x) дифференцируема в точке a G К ее области
определения, если существуют число к £ Ж и функция а(х) такие, что
a(a) = 0, а(х) —► 0 при х —► а и для всех х имеет место равенство:
f(x) = /(а) + к(х - а) + а(х)\х - а\.
Функция х Е К. \-> кх является линейной.
Таким образом, функция /, определенная на некотором
подмножестве R, дифференцируема в точке а, если ее приращение f(a + h) — f(a)
вблизи точки а хорошо приближается линейной функцией kh
переменной h — и тем лучше, чем ближе точка х = а + h к точке а.
Приведем теперь определение понятия, которое нас интересует.
Пусть U есть произвольное открытое множество в Rn и / : U —► Шт
— произвольная вектор-функция, определенная на множестве U'. Будем
говорить, что функция / дифференцируема в точке a G С/, если
существуют линейное отображение L : Ш71 —► Rm и функция a : U —► Mm
такие, что a(a) = 0, a(x) —► 0 при х -+ а и для всех х Е U имеет место
равенство:
f(x) = f(a) + L(x - a) + a(x)\x - a\. (1.6)

§ 1. Понятия частной производной и дифференциала
291
Линейная функция L, стоящая в этом равенстве, называется
дифференциалом отображения f в точке а и обозначается символом df(a)
либо символом dfa-
Значение дифференциала на векторе h £Шп при этом обозначается
одним из выражений: df(a;h) или dfa(h).
Приведем примеры.
Пример 1. Если функция / постоянна на множестве J/, то она
дифференцируема в каждой точке х G U. При этом ее дифференциал
тождественно равен нулю. Действительно, в этом случае равенство (1.6),
очевидно, выполняется с L = 0 и а(х) = 0.
Пример 2. Отображение А : Rn —» Mm называется аффинным, если
оно допускает представление: А(х) = а + !/(#), где а — вектор в Mn, a
L : Шп —» Шт есть линейное отображение.
Линейное отображение L называется линейной частью аффинного
отображения А.
Для всякого вектора h £Шп имеет место равенство
A(x + h)-A(x)=L(h),
каково бы ни было х G Мп, так что линейное отображение L
определяется по данному аффинному отображению единственным способом.
Всякое аффинное отображение дифференцируемо в каждой точке
р G Мп. Действительно, пусть А(х) = a + L(x), где a = const G Mn,
a L : M71 —» Шт есть линейное отображение. Для всякой точки р G Ш71
имеем: А(х) = Л(р) + 1/(х — р).
Мы видим, что для функции f(x) = А(х) равенство (1.6)
выполняется с функцией а(х) = 0.
Таким образом, мы получаем, что всякое аффинное отображение
дифференцируемо в каждой точке х G Шп и его дифференциал совпадает
с линейной частью аффинного отображения.
В частности, мы получаем, что всякое линейное отображение
дифференцируемо и его дифференциал совпадает с ним самим.
Ш Теорема 1.1. Пусть U есть открытое множество в пространстве
Шп. Тогда если отображение f : U —» Ш™ дифференцируемо в точке
a G U, то оно непрерывно в этой точке и для всякого вектора h G Шп
существует производная функции f в точке а вдоль вектора h. При этом
имеет место равенство: dhf(a) = df(a;h). В частности, для всякого
% = 1,2,..., п имеет место равенство:
^-(a) = d/(o;ei),
где ei, ег, • • •,е„ суть векторы канонического базиса пространства Еп.

292 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Доказательство. Пусть функция / : U —► Шт дифференцируема
в точке a £ U. Тогда, согласно определению дифференцируемой в точке
функции (см. выше), найдутся линейное отображение L : Шп —» Шт и
функция a : U —> Шт такие, что а(0) = 0 и а(х) —» 0 при х —» а и для
всех х G U имеет место равенство:
f(x) = f(a) + L(x - а) + а(х)\х - а\. (1.7)
Линейное отображение L, согласно данному выше определению,
есть дифференциал отображения / в точке a, L = df(a).
Функция а, как следует из ее определения, непрерывна в точке а.
Всякое линейное отображение пространства Шп в Мт, как было
установлено в § 3 главы 6, является непрерывным.
Равенство (1.7) показывает, что если функция f(x)
дифференцируема при х = а, то она может быть представлена как сумма трех функций,
непрерывных в точке а и, следовательно, является непрерывной в этой
точке.
Зададим произвольно вектор /iGKn. Пусть е > 0 таково, что шар
В(а,е) содержится в множестве U. Положим
г g
1 + 1ЛГ
Если \t\ < 6, то х = a + th Е !7. Полагая в равенстве (1.7) х = a + th,
получим:
/(а + th) = /(а) + L(*/i) + о(а + *Л)|*Л|.
В силу линейности L, L(t/i) = tL(h). В результате мы получаем:
На + Щ-На) = т + ЩЩф + fh) (1 g)
ь ъ
При t —» 0 величина а(а + £/ь) стремится к нулю, -j-\h\ = ±1 • |Л| есть ве-
личина ограниченная и, значит, правая часть равенства (1.8) при t —» О
стремится к пределу, равному L(/i) = df(a;h).
Мы получаем, таким образом, что для всякого вектора h £ Шп
существует предел
т. f(a + th)-f(a) ^, t4
lim ^—-—}-—J-±J- = df(a\ h).
t-*o t
Отсюда заключаем, что для всякого вектора h E Rn существует
производная dhf(a). При этом имеет место равенство: dhf(a) = df(a\ h).

§ 1. Понятия частной производной и дифференциала
293
Полагая h = e», получим
deif(a) = ^-(a)=df(a;h).
Теорема доказана, а
Применим результаты § 2 главы 6 о представлении линейных
отображений к интересующему нас случаю, когда линейное отображение
есть дифференциал.
Пусть L : Шп —> Мт. Тогда (с учетом указанного результата) для
всякого вектора х = (#i, #2,.. •, хп) будет выполняться равенство
L(x) = у ^LjXj,
г=1
где Li,L2,... ,Ln суть векторы в пространстве Мт — коэффициенты
линейного отобраэюения L. Векторы Li определяются по отображению
L однозначно, — как следует из равенства
Li = £(ег),
для всякого г = 1,2,..., п.
Пусть L есть дифференциал отображения f : U —* Ш™ в точке
а £ U. (Здесь [7 есть открытое множество пространства Мп.) Для
произвольного вектора h = (/ii, /12,..., hn)'.
L(h) = df(a;h) = /^df(a\ej)hi
г=1
Справедливо равенство
4f(a;e») = ^тИ'
и мы получаем, таким образом, следующее представление для
дифференциала функции / в точке а:
df
df{a;h) = Y,^io,)hi
г=1
Символ dxi далее означает линейную форму в Еп, определенную
условием: dxi(h) есть г-я компонента вектора /iGln, dxi{h) = hi.

294 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Используя это обозначение, представим дифференциал функции /
в точке а в следующей форме:
#(а) = £|£(а)(*г,. (1.9)
2=1
Фактически dxi есть то же самое, что и линейная форма ег,
определенная в п. 2.3 главы 6.
■ Лемма 1.3. Для того чтобы функция f : U —> Ш™ была
дифференцируема в точке a Е U, необходимо и достаточно, чтобы каждая из
вещественных функций /i,i = l,2,...,ra, — компонент вектор-функции
f, была дифференцируема в этой точке. При этом для всякого h Е Шп
имеет место равенство:
df(a;h) = (dfi(a;h),df2(a;h),...,dfm(a;h)).
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
/ дифференцируема в точке a Е ЕЛ Тогда имеем:
f(x) = /(а) + L(x -a) + a(x)\x - а|, (1.10)
где L = d/(a) — линейное отображение, а функция a : U —> Mm —
непрерывна в точке а, причем а(а) = 0.
Приравнивая компоненты левой и правой частей равенства (1.10),
получим, что при каждом % = 1,2,..., га имеет место равенство:
/г(#) = /»(a) + L\x - a) + а»(ж)|ж - a|.
Здесь Ll суть линейные функции, а функции аг — непрерывны в
точке а, причем аг(а) = 0 при каждом г = 1,2,... ,га. Это означает, что
для каждой из вещественных функций /г выполнены все условия
определения функции, дифференцируемой в точке а. Необходимость условия
леммы установлена.
Докажем его достаточность. Предположим, что при
каждом % — 1,2,..., га функция /г- дифференцируема в точке а. Тогда
/г(#) = /г(а) + Ьг(ж - а) + а»(ж)|ж - а|,
где V суть линейные формы в!п,а функции щ таковы, что для каждой
из них оц(а) = 0 и ai(x) —► 0 при х —> а.

2. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке 295
Положим L = (L1,!/2,... ,Lm) и а = (ai,a2,... ,am).
Определенное таким образом отображение L -*- линейно.
Имеем также: а(а) = 0 и а(х) —» 0 при х —> а. Для всех х £ U
выполняется равенство:
f(x) = f(a) + L(x - а) + а(ж)|ж - а|,
и тем самым нами установлено, что отображение / — дифференцируемо
в точке а £ U.
Лемма доказана. В
§2. Общие свойства дифференцируемых функций
В этом параграфе устанавливается, прежде всего, некоторый
критерий дифференцируемости функции в точке. Оказывается, что
существование частных производных вместе с их непрерывностью влечет
дифференцируемость функции. Доказательство этого факта опирается
на некоторые оценки приращения функции через ее частные
производные. Эти оценки найдут применение и в дальнейшем. Поэтому
основное утверждение об оценке приращения функции через ее производные
(оно называется леммой об интегрировании асимптотических
соотношений) доказывается в форме, более общей, чем это необходимо для
доказательства критерия дифференцируемости функции в точке.
Здесь также рассматривается правило дифференцирования
суперпозиции. Этот факт следует добавить к правилам
дифференцирования функций одной переменной для того, чтобы получить полный набор
правил дифференцирования функций многих переменных, позволяющий
найти все частные производные любой функции.
В заключение этого параграфа приводятся некоторые простые
приложения дифференциального исчисления функций многих переменных.
Если функция постоянна на некотором открытом множестве
пространства Шп, то все ее производные равны нулю.
При некоторых предположениях относительно области
определения функции верно и обратное утверждение: если частные производные
функции тождественно равны нулю, то функция постоянна во всех
точках своей области определения. Условие, при котором это имеет место,
наглядно означает, что область не должна распадаться на несвязанные
между собой куски.
Другое приложение дифференциального исчисления, которое
приводится здесь, — характеристика так называемых однородных функций.
Соответствующий результат носит наименование теоремы Эйлера.

296 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
2.1. Лемма об оценке приращения функции
Множество Я С Кп называется n-мерным интервалом, если оно
допускает представление
Н = (ai,6i) x (a2,Ь2) х • • • х (an,bn),
где (di,bi) суть открытые промежутки в М. Это означает, что Н есть
совокупность всех точек х = (гп, #2,..., жп) таких, что
ai < £i < fti, a2 < ^2 < 62, ..., an < жп < Ьп.
■ Лемма 2.1. Пусть Н есть n-мерный интервал. Предположим, что
функция f : Н —* Мт имеет частные производные df/dxi(x) в каждой
точке х £ Н для любого г = 1,2,...,пл существует конечная постоянная
М такая, что для всех х £ Н
&м
<М
при каждом х Е Н. Тогда для любых точек p,q £ Н выполняется
неравенство
\f(q)-f(p)\<MV^\q-p\-
Доказательство. Пусть Я = (ai,6i) x (02,62) x ••• х (an,ftn),
где ai < bi при каждом % = 1,2,..., п.
Пусть р = (pi,P2,... ,Рп) и g = (gi, #2,.. •, ?п) — Две произвольные
точки if. Тогда при каждом г = 1,2,..., п
Q>i <Pi < Ьг, di < qi < bi.
От точки р к точке # можно перейти в конечное число шагов,
меняя на каждом шаге только одну координату точки: сначала первую
координату, затем вторую и т. д.
В результате получим конечную последовательность точек
р(0),р(1),...,*>(п),
гдер(0) = р, pw = (91,Р2,... ,Рп) и, вообще, p{k) = (<?i,..., qk,Pk+i,... ,Pn)
при 1 < fc < п. В частности, р^ = #.

§ 2. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке 297
Все точки р^г\ очевидно, принадлежат n-мерному интервалу Н.
Имеем
f(q)-f(p) = f(p{n))-f(p(0)) =
= [f(pW) ~ HpW)} + [f(p(2)) ~ fiPW)} + ■■■
П
■■■ + Wn)) - /(р(п_1))] = 5>(pw) - /(p('-1})].
2=1
Отсюда
n
ш - m\ < E i^(i)) - /(p{i_1))i- (21)
г=1
Докажем, что при каждом г = 1, 2,..., п
|/(рС0) - /СРС*_1>)1 < Af|«jr* - р*|. (2.2)
Для t Е (сц, Ы) положим <pi(t) = f(qi,..., g»_i, *,p»+i,... ,pn)- Тогда
Vi(Pi) = /(P(i_1)), Vi(ft) = /(p(0) и, значит,
^(дО-^(рО = /(Р(0)-/(Р(*_1))-
Функция (fi(t) дифференцируема в каждой точке отрезка (a^bi).
При этом
<Pi(t) = nj— (^1,...,9г-1,^РгН-1,...,Рп).
Из условий леммы следует, что для всех £ Е (fli5bi) имеет место
неравенство |^(t)| < М.
Следствие леммы 1.1 позволяет заключить, что
|*>»(9») -<РгЫ| < Af|ft-p»|,
то есть |/(р^) — /(р^~^)| < М|^г — р%\ для любого г = 1,2,...,п, и
неравенство (2.2) тем самым доказано.
Подставляя оценку (2.2) в правую часть неравенства (2.1),
получим:
п
\f(q)-f(p)\<M^2\Qi-Pi\-
г=1
Применяя неравенство Коши — Буняковского к векторам
и = (1,1,..., 1), v = (|gi ~ pi|, |» - P2I,.. -, |9n - Pn|),

298 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
найдем, что
71
$^l«i-Pi| = (u>v) < \u\\v\ = y/n\q - р\,
г=1
и, следовательно,
l/(«)-/(p)l<Mv^k-p|,
что и требовалось доказать. ■
2.2. Лемма об интегрировании асимптотических
соотношений
Пусть даны точка а = (ai,a2,... ,an) пространства Мп и число
г > 0. Положим
Q(a,r) = (ai ~ r, ai + г) х (a2 ~ r, a2 + г) х • • • х (an -r,an+r).
Множество Q(a,r) есть n-мерный интервал, который мы называем
кубом с центром а и длиной ребра 2г.
Ранее (лемма 3.2 главы 6) было доказано, что для всякой точки
a G Ш71 и любого числа г > 0 имеют место включения
В(а,г) С Q(a,r) С B(a,iVn). (2.3)
Пусть U есть открытое множество в Rn. Предположим, что даны
функции /:£/-> Ш™ nh:U ->R.
Выражение
f(x) = o(h(x)) при х —у a,
где a eU, означает, что для всякого е > 0 существует £ > 0 такое, что
если 0 < \х — а\ < £, то \f(x)\ < e\h(x)\.
Предположим, что даны функции F : U —► Шт и Ф : U —► Rm.
Напомним, что запись
F(x) = Ф(х) + o(h(x)) при х —у а
означает, что
F(x) — Ф(х) = о(Л,(ж)) при ж —> а.

§ 2. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке 299
Отметим здесь один простой факт, касающийся частных производных.
■ Лемма 2.2. Пусть даны открытое множество U в пространстве
Шп и функция u : U —> Ш™. Предположим, что и имеет в U частную
du
производную ——. Тогда если для точки a E U существует предел
их%
lim 7йг№=р> т0 р=7ьГ(°)-
х-+а ОХ% OXi
Доказательство. Рассмотрим случай, когда и есть
вещественная функция. (Общий случай очевидным образом сводится к этому
рассмотрением компонент вектор-функции.)
Пусть 6о > 0 таково, что шар В(а,6о) содержится в U. Положим
<ф(г) =u{a + tei).
Для t Е (—бо,6о) точка a+tei принадлежит шару В (а, £о). Функция
ф дифференцируема в каждой точке t Е (—6о,£о). При этом
^'(t) = ^-(a + tei).
Отсюда следует, что ф непрерывна в промежутке (—6о,6о).
В силу условия леммы, существует предел
lim^'(t) = lim^-(x).
t-+0 х-+а OXi
Следствие 2 первой теоремы Лопиталя (теорема 5.1 главы 4)
позволяет заключить, что функция ф дифференцируема в точке t — 0. При
ии ди
этом ф'(0) = limi/;'(t) = lim тг(х)- Так как, очевидно, ф'(0) = -=—(а),
t-+0 x-+a OX OXi
то лемма, тем самым, доказана. ■
■ Лемма 2.3 (лемма об интегрировании асимптотических
соотношений). Пусть даны открытое множество U в пространстве Ш71,
функция v : U —у Ет и точка a Е U. Предположим, что функция v имеет в
dv
U частные производные —— для всех « = 1,2,...,пи существует А > 0
OXi
такое, что ——(х) = о(\х — а\ ) при х —» а при каждом i = 1,2,... ,п.
OXi
Тогда если v(a) = 0, то v(x) = о(\х — а|л+1) при х —* а.

300 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Перед доказательством отметим следующее.
Замечание. Если Л = 0, то условие леммы означает просто,
dv ( \ -а
что производные ——(х) стремятся к нулю при х —* а. В этом случае
ох%
утверждается, что v(x) = о(\х — а\) при х —* а.
Доказательство леммы. Пусть <50 > 0 таково, что шар Б(а, 6о)
содержится в U. Из условий леммы следует, что частные производные
при х —* а стремятся к нулю. Значит, согласно лемме 2.2, все эти
производные в точке а обращаются в нуль.
Зададим произвольно числа е > 0 и £i > 0. По условию, при
каждом г = 1,2,..., п найдется 6i > 0 такое, что если \х — а\ < 6%, то
й(х)
< ei\x - a\
(2.4)
Пусть 7 > 0 есть наименьшее из чисел £о, £i,..., 5П,. Если точка
х G Шп такова, что \х — а\ < 7? то х Е U и для любого г = 1,2,..., п для
данного ж выполняется неравенство (2.4).
Положим 6 = j/2y/n. Возьмем произвольно точку х Е U такую,
что 0 < \х — а\ < 6. Положим I = \х — а\.
Пусть Н — n-мерный интервал Q(a, 2Z). Имеем Q(a, 2Z) Э i?(a, 2Z).
Так как \х — а\ < 2Z, то х Е B(a, 2Z) и, значит, х Е Q(a, 2Z) = Н.
Включения (2.3) позволяют заключить, что
Н С B(a,2ZVn) С В(а,26у/п) = В(а9у).
Таким образом, Н С В(а,7) и, стало быть, для всякого у е Н
выполняется неравенство
dv . .
< ei|y-a|
Так как £Г С В(а,21л/п), то |г/ — a| < 2Z^/n для всякого у Е if и,
следовательно,
< 2ЛпЛ/2/Л£1
для любого у £ if.

§ 2. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке 301
Теперь, применяя лемму 2.1, получаем, что для всякого у £ Н
имеет место неравенство
\v(y)\ = \v(y) - v(a)\ < 2xnx/2lxe1V^\y ~ a\.
Полагая здесь у = x и принимая во внимание, что I — \х — а|,
приходим к неравенству
\v(x)\ < 2VA+1)/2ei|z - a|A+1. (2.5)
Точка х £ В(а, 6) была взята произвольно. Из доказанного поэтому
следует, что для всякого х <Е В (а, 6), х ф а выполняется неравенство
(2.5). Это неравенство верно также и для х = а.
Число е\ до сих пор было совершенно произвольно.
Выберем конкретное значение ei, полагая
е
61 ~ 2Ап(А+1)/2-
Тогда для всех х Е В (а, 6) будем иметь
К*)|<ф-а|Л+1.
Ввиду произвольности е > 0, лемма доказана. ■
Замечание. Пусть U есть открытое множество в Rn.
Предположим, что функция /:[/—► Мт непрерывна в точке а <Е U. Тогда
условие f(x) = о(\х — а\х) при х —► а, где Л > 0, равносильно
следующему. Функция f допускает представление
f(x) = a(x)\x-a\x,
где a(a) = 0 и а(х) —► 0 при х —► а.
Действительно, пусть f(x) = о(\х — а\х) при х —► а. Положим
сг(#) = /(#)|# — а|~Л при хф аж а(а) = 0. Так как функция /
непрерывна в точке а, то /(а) = 0, откуда ясно, что равенство f(x) = бг(#)|# — а|л
выполняется для всех х € U.
Зададим произвольно е > 0 и найдем по нему 5 > 0 такое, что если
0 < \х — а| < 5, то \f(x)\ < (е/2)\х — а|Л. Для всякого х £ U такого, что
0 < \х — а\ < <5, будем иметь: \а(х)\ < е/2 < е.
В силу произвольности е > 0 этим доказано, что а(х) —► 0 при
# —► а.

302 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Обратно, пусть верно равенство f(x) = а(х)\х — а|Л, где <т(х) —* 0
при х —> а п а(а) = 0.
Зададим произвольно е > 0. По нему найдется 6 > 0 такое, что
если 0 < \х — а\ < 6, то |бг(ж)| < е. Для всякого такого х, очевидно,
будем иметь \f(x)\ < е\х — а|Л.
В силу произвольности е > 0, это, согласно определению, означает,
что f(x) = о(|ж - а|Л) при # —► а.
2.3. Достаточное условие дифференцируемости функции
в точке
Как было показано ранее (см. п. 1.2 этой главы), существование
частных производных во всех точках области определения функции н е
гарантирует даже ее непрерывность и тем более
дифференцируемость во всех точках ее области определения!
Здесь мы докажем, что если к производным функции предъявить
некоторые дополнительные требования, то тогда дифференцируемость
функции в точке будет иметь место.
■ Теорема 2Л. Пусть U есть открытое множество в пространстве
Еп. Предположим, что функция / : U —> Еп имеет в U все частные про-
изводные -—-. Тогда если эти производные непрерывны в точке a £ U,
ох%
то функция / дифференцируема в этой точке.
Доказательство. Пусть a = (ai, 02,..., an).
ДЛЯ X = (#i, Х2, • . • , Хп) ПОЛОЖИМ
v(x) = f(x) - /(a) - ^2 ^r(a)(^ " a0-
г=1
df
J W ~ ./ W ~ / v
г=1
Имеем: v(a) = 0 и
в каждой точке ж £ U. В частности,
а*>) = 0
при каждом г = 1,2,..., п.

2. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке 303
Так как, по условию, функция -— непрерывна в точке а, то также
OXi
dv
и функция —— непрерывна в этой точке, откуда следует, что
OXi
-—(х) — oil) при х —► а.
OXi
Функция v удовлетворяет всем условиям леммы 2.3 для случая
Л = 0 и, значит, согласно этой лемме, v(x) = о{\х — а\) при х —> а.
Это означает, что v(x) = а(х)\х — а|, где а(а) = 0 и <т(х) —> 0 при х —► а.
Имеем линейное отображение
L :h= (/ii,/i2,...,/in) i-> ^ — (g)/i2-.
г=1
Как доказано выше,
/(ж) — /(а) — Ь(ж — а) = v(ar) = (т(ж)|я; — а|,
где а(а) =0и а(х) —> 0 при ж —> а. Отсюда получаем:
/(ж) = /(а) + L(x - а) + а(х)\х - а|,
и, значит, отображение L является дифференциалом отображения / в
точке а. Мы получаем, таким образом, что функция / дифференцируема
в точке а.
Теорема доказана. ■
2,4. Теорема о дифференцируемости сложной функции
В силу определения частных производных, их вычисление сводится
к дифференцированию функций одной переменной. Поэтому все
основные правила дифференциального исчисления могут быть применены
при вычислении частных производных и дифференциалов функций
многих переменных. к,
Чтобы получить полный набор правил дифференциального
исчисления функций многих переменных, необходимо указать еще
правило дифференцирования суперпозиции.
■ Теорема 2.2. Пусть даны открытое множество U в
пространстве Шп, открытое множество V в Ш™ и отображения f : U —► Шт и

304 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
д : V —► Шк, причем f(U) С V. Тогда если / дифференцируемо в точ-
ке a G U, а g — дифференцируемо в точке Ь = /(а) £ V, то функция
ф = g о f дифференцируема в точке а. При этом йФа = dgb о dfa.
Доказательство. Пусть отображения / и g удовлетворяют всем
условиям теоремы. Тогда для у EV
9(У) = 9(b) + К(у -Ь) + т](у)\у - Ы (2.6)
где К = dgb есть линейное отображение, 7?(Ь) = 0 и г](у) —> 0 при у —► Ь.
Так как функция /, по условию, дифференцируема в точке a (E С/,
то
/(а) = /(а) + L(s - а) + £(х)\х - а|, (2.7)
где L = dfa — линейное отображение, £(а) = 0 и £(х) —► 0 при ж —► а.
Полагая в (2.6) у = /(ж), получим:
Ф(х) = 5[/0г)] = 5(b) + #[/(*) - 6] + г?[/(*)]|/(х) -Ь\ =
= g[f(a)) + K[f{x) - /(a)] + i?[/(x)]|/(aj) - /(a)|. (2.8)
Мы воспользовались здесь тем, что, по условию, /(a) = Ь.
Разность /(ж) — /(a) представим с помощью равенства (2.7). В
результате будем иметь:
Ф(х) =
= Ф(о) + ВДя - а)] + #[£(*)]|ж - а| + r,[f(x)]\L(x - а) + £(х)|я - а|| =
= Ф(а) + (К о L) (х - а) + С(я)|ж ~ а1>
где £(а) = 0.
При х ф а будет
С(ж) = 1Щ20]+7?[/(я)]
Х,(ж — а) ., .
\х — а\
(2.9)
При х —*• а будет £(#) —► 0 и /?[/(#)] —> ??[/(а)] = 0. Множитель при
f][f(x)] в правой части (2.9) не превосходит ||L|| + |£(#)| и, следовательно,
он есть величина типа 0(1) при х —► а. Отсюда следует, что ((х) —» О
при ж —► а. (Здесь ||L|| означает норму отображения L (см. § 3 главы 6);
для всякого вектора h еШ71 имеем : \L(h) < \\L\\\h\.)
Тем самым нами установлено, что функция Ф дифференцируема в
точке а. При этом <2Фа = К о L.
Теорема доказана. ■

§ 2. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке 305
Приведем формулы для вычисления частных производных
суперпозиции функций.
Предположим, что функции / и д удовлетворяют всем условиям
теоремы. Пусть Ф = д о f.
Дифференциал функции д в точке Ъ = /(а) допускает представление
Здесь значения производных берутся в точке Ъ — /(a), a dyj : М.т —► М
есть линейная функция, определенная условием:
для произвольного u Е Mm величина, dyj (u) есть компонента с
номером j вектора и.
Отсюда заключаем, что для любого вектора h £ Шп имеет место
равенство
дд
m
ёФ(а; h) = dg[b; <*(/; h)] = J^ ^(b)dyj[df(a; h)}.
В соответствии со сказанным, dyj[df(a;h)] есть компонента с
номером j вектора d/(a; /i), то есть dyj[df(a; h)] = d/j(a; /г), и,
следовательно,
<*Ф(а; h) = J2 J^[/(*)]4fi(a; Л)- (2.Ю)
Далее, имеем:
5Ф
— (a) = <№(a;e»),
где ег, i = 1, 2,... , п, суть векторы канонического базиса пространства
Полагая в (2.10) /г = ег, получим искомое выражение для частных
производных функции Ф = д о /:
£<•>=£&»>!*<•>■ р.п)
2,5, Признак постоянства функции
Предварительно определим некоторый подкласс в совокупности
всех открытых множеств пространства Rn.

306 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Путем или параметризованной кривой в пространстве Rn
называется всякое непрерывное отображение £ : [0,1] —» Rn отрезка [0,1]
множества R в Rn.
Будем говорить, что путь £ лежит в множестве Е С Rn, если для
всех t G [0,1] точка £(£) принадлежит Е.
Пусть даны произвольные точки p,gGRn.
Говорят, что путь £ соединяет точку р с точкой q, если £(0) =ри
*(!) = «■
Пусть U есть открытое множество в Rn. Множество U называется
открытой областью, или, просто, областью в пространстве Rn, если
для любых двух точек p,q G U существует путь в пространстве Rn,
который соединяет точку р с точкой q и лежит в множестве U, то есть
существует непрерывное отображение £ : [0,1] —► Rn такое, что £(0) = р,
£(1) =ди £(*) G C7 для всех t G [0,1].
ф Предложение 2 Л. Всякий шар В (а, г) в пространстве Rn
является областью.
Доказательство. Действительно, пусть р G B(a,r) идЕ В(а,г).
Для £ G [0,1] положим £(£) = (1 - t)p + £#. Имеем: £(0) =p £(1) = g,
так что путь £ соединяет точку р с точкой q.
Легко проверяется, что £(£) G В (а, г) для всех £ G [0,1].
Таким образом, для любых точек р, q шара В(а, г) существует путь,
соединяющий эти точки и лежащий в данном шаре.
Аналогично устанавливается, что всякий прямоугольник
(ai,bi) х (02,62) х ••• х (ап,Ьп)
в пространстве Rn представляет собой область в Rn. ф
■ Теорема 2.3. Пусть U есть открытая область в пространстве
Rn. Предположим, что функция f : U -+ Rm имеет в каждой точке
х € U все частные производные:
dxi' 9^2 ' ' 5жп "
Тогда для того, чтобы функция f была постоянной на множестве U,
необходимо и достаточно, чтобы каждая из функций ——, % = 1,2,..., п,
ох%
была тождественно равна нулю.
Доказательство. Необходимость условия теоремы
очевидна.

§ 2. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке 307
Докажем его достаточность. Пусть U есть открытая
область в!пи функция / : U —» Ет имеет частные производные ~^-
OXi
для всех г = 1,2,..., п в каждой точке х Е С/, причем
для всех х GU при любом г = 1, 2,..., п.
Требуется доказать, что функция / постоянна на множестве U.
Предположим сначала, что U есть га-мерный прямоугольник.
Зададим произвольно точку хо Е U.
Функция / удовлетворяет всем условиям леммы 2.1 с постоянной
М = 0. На основании этой леммы получаем, что для всякой точки х Е U
\f(x) - f(x0)\ < Му/п\х - х0\ = 0,
и, значит, f{x) = f(xo) для всех х Е U.
Рассмотрим общий случай.
Фиксируем некоторую точку хо Е U. Возьмем произвольно точку
х Е U. Так как U есть область, то найдется путь £ : [0,1] —* Rn,
лежащий в множестве U и соединяющий точку хо с точкой х.
Положим u(t) = /[£(£)]. Возьмем произвольно точку to E [0,1].
Имеем: а = £(to) E С/. Так как множество С/ — открытое, то найдется
6 > 0 такое, что шар В(а,6) содержится в U.
Положим г = bjyfn. В силу леммы 2.2, куб Q(a,r) содержится в
шаре Б(а, 5), а, значит, и в множестве С/. Из доказанного следует, что
функция / в кубе Q(a,r) постоянна и, следовательно, f(x) = /(a) для
любого х Е Q(a,r).
В силу непрерывности £, найдется е > 0 такое, что если
\t - *о| < £, * Е [0,1], то |£(£) - £(to)\ < г*. Для всякого t E [0,1] такого,
что \t — to\ < е, точка ^(t) E Q(a,r), и, стало быть, ?/(t) = f(£(t)) = f(a)-
Мы получаем, таким образом, что функция и постоянна на
пересечении отрезка [0,1] с интервалом (to — e, to + e).
Отсюда вытекает, что производная и' (to) существует и
равна нулю.
Точка to E [0,1] взята произвольно. Мы получаем тем самым, что
?/(£) = 0 для всех t E [0,1], и, значит, функция и в промежутке [0,1]
постоянна. В частности, мы получаем, что
/(яО=«(1) = «(0) = /(*,,).

308 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Точка х £ U взята произвольно и, следовательно, f(x) = /(хо) для
всех х £ U.
Теорема доказана. ■
Условие — множество U есть область — в теореме 2.3 существенно,
как показывает следующий пример.
Пример. Пусть U есть множество всех точек х = (xi,X2, • • • >хп)
пространства Rn, у которых первая компонента xi отлична от нуля.
Обозначим через 17+ множество тех х £ U, у которых х\ > 0, и пусть
Счесть совокупность всех х £ U таких, что х\ < 0.
Каждое из множеств Е/+ и Е/_ является открытым и С/ = [7+ U {/_.
Определим функцию / : U —► R, полагая /(х) = — 1, если х £ J7_, и
/(х) = 1, если х £ Г/+. На каждом из множеств С/- и U+ данная
функция / постоянна, откуда следует, что ее частные производные все
тождественно равны нулю.
В то же время функция / не является постоянной на всем
множестве U.
Понятие открытой области является частным случаем общего
понятия связного множества, которое мы здесь не приводим.
2.6. Теорема Эйлера об однородной функции
Пусть U есть открытое множество в пространстве Rn.
Множество U называется коническим, если оно удовлетворяет
следующему условию: для всякой точки х £ U и любого Л > 0 точка Лх
принадлежит U.
Пусть U есть открытое коническое множество в пространстве Rn.
Функция / : U\ {0} —> R называется однородной степени г, где г есть
вещественное число, если для всякой точки х £ U и любого t > 0
выполняется равенство f(tx) = trf(x).
Ш Теорема 2.4 (теорема Эйлера об однородных функциях). Пусть
U есть открытое коническое множество в Rn. Предположим, что функ-
ция / : U\ {0} —> R имеет в U\ {0} частные производные ——, причем
С/Хг
при каждом г = 1,2,..., п эта производная есть функция, непрерывная
на множестве U\{0}. Для того чтобы функция f была однородной
степени г, необходимо и достаточно, чтобы для всех х £ U \ {0} выполнялось
равенство:
г/(*) = Х>*|£(*).
fc=i

§ 2. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке 309
Доказательство. Предположим, что / есть однородная степени
г функция, причем производные —— определены и непрерывны в каждой
ох%
точке множества U\ {0}. Возьмем произвольно точку х Е U. Тогда для
любого t Е (0,1] имеем:
f(tx) = ff(x).
Дифференцируя обе части этого равенства по £, получим:
rf-1f(x) = J2xk^f(tx).
fc=l
Полагая здесь t = 1, приходим к равенству:
г**) = £>!£<*)■
fc=i
Необходимость условия теоремы тем самым доказана.
Докажем достаточность. Предположим, что функция
/ : U —» R такова, что для всех х Е Щ = U\ {0} выполняется равенство:
(Предполагается, что все производные в правой части данного
равенства всюду определены и непрерывны.)
Возьмем произвольно точку х Е U такую, что х ф 0, и для t > 0
положим (p(t) = f(tx). Тогда для всех t > 0 имеем:
fc=i fc=i
В случае, если г = 0, отсюда следует, что 4>'{t) = 0 для всех £ > 0,
и, значит, функция у? постоянна на промежутке (0,оо). В частности,
получаем, что
f(tx) = <p(t) = <р(1) = /(*),
то есть / есть однородная функция степени 0.

310 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Пусть г ф0. Тогда из равенства (2.12) следует, что t(p'(t) = r(p(t).
Отсюда получаем:
0= ¥>'(*) Mt) = d (<p(t)\
tr Г+1 dt \ tr J
Это позволяет заключить, что функция 11-> Z^J- B промежутке
ъ
(0, оо) — постоянна. В частности, получаем, что для всех t > 0
Г
= ¥>(1),
то есть cp(t) = f(tx) = tr(p(l) = trf(x) для всех х > 0.
Теорема тем самым доказана. ■
§3. Производные высших порядков
Предположим, что функция /, определенная на открытом
множестве U пространства Rn, в каждой точке х G U имеет частную произ-
водную -— (х). Тем самым на множестве [7 определена функция -—.
Частные производные этой функции, если они существуют, называются
частными производными второго порядка исходной функции /.
Частные производные от производных второго порядка функции f
называются ее производными третьего порядка и т. д.
Для всякого целого г > 1 определено понятие производной порядка г
функции. Исследование свойств частных производных высших порядков
и есть основная задача настоящего раздела.
Первое важное свойство заключается в следующем. Пусть даны
произвольно номера г и j, лежащие между 1 и п. Функцию f можно
попытаться продифференцировать сначала по переменной xi, а затем
по переменной Xj. Можно попробовать проделать процесс
дифференцирований в другом порядке: сначала найти производную по
переменной Xj, а затем по переменной Х{. Оказывается, что при достаточно
общих предположениях относительно данной функции в обоих случаях
мы получим один и тот же результат. Утверждение, устанавливающее
условия, при выполнении которых это имеет место, будем именовать
теоремой о симметричности вторых производных.
Аналогичный результат об изменении порядка дифференцирований
устанавливается здесь также и для производных выше второго порядка.

§ 3. Производные высших порядков
311
В связи с понятием производной порядка г, где г Е N, естествен-
но возникают классы функций С. Исследование простейших свойств
функций этого класса — последний вопрос, который рассматривается в
этом параграфе.
3,1, Определение производных выше первого порядка
Относительно всех рассматриваемых функций далее
предполагается, что они определены на открытом множестве U пространства Мп и
принимают значения в пространстве Ш™.
Пусть даны функция /:[/"—> Мт и точка хо Е U. Предположим,
что во всех точках некоторой окрестности V = В(хо,е) С U точки хо
существует частная производная ——(х).
Ох%
Если функция pi = ——, определенная таким образом на множестве
ох %
У, в свою очередь, имеет в точке хо частную производную по переменной
#j, то эту новую производную обозначают символом:
d2f , ,
dxidxj
и называют производной второго порядка функции f в точке хо по
переменным х% и Xj.
Далее, если функция
d2f
%3 dxidxj
определена во всех точках некоторой окрестности точки хо и имеет в
этой точке производную по переменной хи, то последняя обозначается
символом:
а3/
dxidxjdxk
и называется производной третьего порядка функции f в точке хо по
переменным х%, Xj и Xk-
Продолжая данное построение, приходим к понятию производной
порядка г функции f по переменным xix, xi2,..., х%г для любого г € N.
Формально оно определяется по индукции.
Предположим, что для некоторого г Е N определено, что есть
производная
drf
ox%y ох%2 • • • ох%г
функции / в точке хо по переменным х%г, Хг2,..., Xir.

312 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Предположим, что точка хо имеет окрестность V = В(хо,е) такую, что
для всех х G V определена производная
/АА....,*г(Ж) = дХгхдХг2^.дХг}Х)'
Набору индексов в этом выражении слева предшествует запятая —
для того чтобы избежать смешения с индексами, означающими номера
компонент вектор-функции /.
Производная функции /}2i,i2,...,ir в точке хо по переменной Xir+1,
если таковая существует, называется производной порядка г+1 функции
f по переменным х%х,..., xir, Xir+1.
Производную
erf
ОХ%-^ ОХ%2 • • • OX%r
будем обозначать также одним из следующих выражений:
Dir...Di3Dilf(x) или fgiia,...,ir(x).
Обозначим конечную последовательность (ii, 22,..., гг) символом /.
Тогда вместо Dir ... Di2Dixf будем также писать: Dif или fy.
Для обозначения производных
a2f a3/
dxidxj' dxidxjdxk
используются также выражения вида: fXixj, fxiXjxk и т. п.
Если компоненты точки х обозначаются не одной буквой с
индексами, а разными буквами (как это обычно делается в случае, когда п
мало), то в обозначениях для производных обычно вместо х% пишут
символ, которым обозначается г-я компонента вектора х.
Для производных применяются также и другие обозначения, о
которых целесообразно говорить лишь после того, как будут установлены
некоторые дальнейшие свойства частных производных порядка г.
Наибольшее число различных частных производных порядка г,
которые может иметь произвольная функция п переменных, как очевидно,
равно пг. Однако, как будет показано далее, при определенных
достаточно общих предположениях относительно функции оказывается, что
среди этих производных некоторые тождественно совпадают, так что
практически число производных порядка г в случае г > 1 значительно
меньше пг.

§ 3. Производные высших порядков
313
Будем говорить, что функция / : U —> Мт, где U — открытое
множество в Мп, принадлежит классу Cr(C/,Mm) или, короче, классу Сг(£7),
или, наконец, просто классу Сг, если / имеет в каждой точке х Е U
все частные производные порядка г, причем эти производные являются
функциями, непрерывными в U.
Будем говорить, что функция / : U —> Мт принадлежит
классу C°°(l7,lRm) или, короче, что / есть функция класса С°°, если / Е
Cr(U,Rm) Для любого г > 1.
Под производной нулевого порядка функции f понимается сама
функция. В связи с этим условимся, что если г = 0, то Сг(и,Ш.ш)
означает просто множество всех непрерывных функций f :U —+ Mm. В этом
случае вместо С0 пишут просто С.
Пусть /:С7—» Мт — функция класса С и пусть ip есть какая-либо
из производных порядка г — 1 функции /. Тогда, согласно определению
класса Сг, функция ip имеет частные производные ——, г = 1,2,...,п,
ОХ {
причем каждая из них непрерывна в С/.
Как было доказано в § 2 этой главы, отсюда следует, что функция
(р дифференцируема в каждой точке множества U и, следовательно,
непрерывна в U. В частности, полагая г = 1, получаем, что если / есть
функция класса С1, то / — непрерывна.
Таким образом, мы видим, что если функция / принадлежит классу
Сг, то любая ее производная порядка г — 1 в U непрерывна и, значит, /
принадлежит классу Cr_1. Мы получаем, что имеет место включение
Cr(^,Kw)cCr"1(C7,lRm).
По индукции, отсюда заключаем, что для всякого целого к такого, что
0<fc<r, Cr(U,R ) CCfe(C7,Mm).
Пусть дана функция / :U —> Mm и пусть fj,j = 1,2,...,ш, суть ее
компоненты, так что для произвольного х G U имеем:
f{x) = (/l(Ж), /2(Ж), . . . , /m(s)).
Тогда из утверждений, доказанных ранее для производных первого
порядка, с очевидностью следует, что функция / имеет производную Dif
в том и только в том случае, если каждая из вещественных функций fj
имеет производную Difj. При этом
DIf(x) = (DIf1(x),DIf2(x),...9DIfm(x))
для всякого х G U. Вектор-функция / принадлежит классу С в том
и только в том случае, если каждая из ее компонент — вещественных
функций /j, j = 1,2,..., m, принадлежит классу Сг.

314 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
3.2. СВОЙСТВО СИММЕТРИЧНОСТИ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Как было сказано выше, общее число производных порядка г
произвольной функции класса Сг на самом деле существенно меньше, чем
можно было бы предположить, исходя из определения. Этот факт
следует из теоремы, касающейся производных второго порядка,
доказательство которой есть цель этого раздела.
■ Теорема 3.1. Пусть U есть открытое множество в Мп.
Предположим, что для некоторых i,j, где гф j, функция f имеет в U частные
производные
Dif, Djf, DjDif.
Тогда если производная DjDif в точке хо £ U непрерывна, то в точке
хо существует производная DiDjf(xo), причем имеет место равенство:
DiDjf(x0) = DjDif (хо).
Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда / есть
функция со значениями в 3R. Предположим, что функция / имеет
производные Dif, Djf, DjDif, причем производная DjDif непрерывна в
точке хо-
Зададим произвольно е > О и найдем по нему 6г > О такое, что
всякая точка жЕ1п, для которой \х — хо\ < 6±, принадлежит множеству
U, причем выполняется неравенство:
\DjDifix)-DjDif (х0)\<^. (3.1)
Положим 6 = —. Для любых чисел t и и таких, что |t| < 6 и \и\ < 6,
точки xo+tei, xo+uej и xo+tei+uej принадлежат шару В(хо,6±) и,
следовательно, принадлежат множеству U. Для произвольных t, и Е (—6,6)
пусть
cp(t, и) = f(x0 + te» + uej) - f(x0 + tei) - f(x0 + uej) + f(x0).
Фиксируем произвольно значение и £ (—6,6). Имеем, очевидно:
¥>(*,и) = [f(xo + ^ + uej) - f(x0 + tei)] - [f(xo + uej) - f(x0)]. (3.2)
Положим F(t) = f(x0+tei+uej)-f(xo+tei). Из равенства (3.2) следует,
что имеет место равенство: (f(t,u) = F(t) — F(0).

§ 3. Производные высших порядков
315
Величина F(t) определена для всех t G (—6,6). Так как функция /,
по условию, имеет частную производную
g(.)-D./<«)
в каждой точке х G U, то функция ф : t -+ f(x + tei)
дифференцируема по t для любых х, t, удовлетворяющих условию: х + tei G U. При
этом справедливо равенство: ^'(t) = Dif(x + tei). Отсюда следует, что
функция F дифференцируема в каждой точке
te(-M).
При этом F'(t) = Dif(xo + tei + uej) — Dif(xo + tei). Применяя теорему
Лагранжа о среднем значении, отсюда получаем, что
<p(t,u) = F(t) - F(0) = tF'(at) =
= t[Dif(xo + atei + uej) - Dif(xo + ate»)],
где 0 < a < 1.
Для и G (—5,5) положим G(u) = Dif(xo + atei + uej)
это обозначение, равенство (3.3) можно записать в виде:
<p(t,u)=t[G(v)-G№-
Так как, согласно условию теоремы, функция / имеет вторую
производную DjDif(x) в каждой точке х G U, то функция G
дифференцируема при всяком и G (—6,6). При этом
G'(u) = DjDif(xo + atei + uej).
Применяя теорему Лагранжа о среднем значении еще раз, получим:
(p(t, и) = tuG'(pu) = tuDjDif(x0 + atei + Puej), (3.4)
где 0 < /3 < 1. Если t, и € (—6,6), то каждое из чисел at и /Згл также
принадлежит интервалу (—6,6) и, значит, для точки х = xo + atei+(3uej
выполняется неравенство: \х — xq\ < 6\. В силу неравенства (3.1), это
позволяет заключить, что
\DjDif(x0 + atei + fiuej) - DjDif(x0)\ < |. (3.5)
(3.3)
Используя

316 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Предположим, что |*| < 6 и \и\ < <5, причем t ф О и и ф 0. Тогда
имеют место равенство (3.4) и неравенство (3.5), из которых следует,
что для любых таких t л и имеет место неравенство:
(p(t,u)
tu
DjDifixo)
е
<2'
(3.6)
Фиксируя значение t, найдем предел отношения — при и
Имеем:
1
tu
и
(p(t,u)
f(x0 + tei + uej) - f(x0 + ta) f(xQ + uej) - f(x0)
и
и
При и —» 0 правая часть этого равенства стремится к пределу, равному
Djf(xo + tei) — Djf(xo)- Переходя в неравенстве (3.6) к пределу при
и —» 0, мы, следовательно, получим, что для любого t E (—6,6),
отличного от нуля, выполняется неравенство:
Djfjxo + tei) - Djf(x0)
- DjDif(xo)
<-!<*■
(3.7)
Так как е > 0 было задано произвольно и для выполнения
неравенства (3.7) потребовалось лишь, чтобы выполнялись условия: |£| < 6 и
t ф 0, то из доказанного следует, что
DjDiffxo) = Ит
t->o
Djf{x0 + tej) - Djfjxp)
Последний предел, согласно определению частной производной,
равен DiDjf(xo). Мы получаем, таким образом, что частная производная
DiDjf(xo) существует, причем имеет место равенство:
DiDjf(x0) = DjDif(xo).
Теорема доказана. ■
▼ Следствие. Пусть U есть открытое множество в 3Rn.
Предположим, что для некоторых i,j, где i ф j, функция f имеет в U частные
производные Dif, Djf, DiDjf, DjDif.
Тогда если производные DiDjf и DjDif в точке хо Е U
непрерывны, то их значения в этой точке совпадают.
Данное утверждение вытекает из теоремы 3.1 очевидным
образом. Т

§ 3. Производные высших порядков
317
3.3. Теорема о симметричности производных высших
порядков
Предварительно введем некоторые обозначения.
Пусть г £ N. Символом Яг обозначим отрезок {1,2, ...,г}
множества всех натуральных чисел N.
Набором индексов длины г мы будем здесь называть всякую
конечную последовательность I = (ii,«2,• •• ,«г), где ii,i2? • • • >*г — целые
числа, лежащие между 1 и n, ik £ In при каждом к = 1,2,..., г. Набор
индексов длины г есть отображение / : 1г —»1п.
Предположим, что каждому номеру г £ Яг сопоставлено некоторое
значение а* £ Иг, причем разным значениям г отвечают различные
значения щ. При г, меняющемся от 1 до г, oti, как очевидно, пробегает все
множество Яг. Будем говорить, что тем самым задана некоторая
перестановка а = (ai, #2,..., ar) ранга г.
Формально перестановка ранга г есть просто биективное
отображение а : г Е 1Г •-» «г £ Яг множества Яг в себя. Пусть даны наборы
индексов I = (ii, г2,..., гг) и J = (ji, j2,..., jr) длины г.
Будем говорить, что J есть перестановка набора индексов /, если
существует перестановка а = (qji, «2,..., ar) ранга г такая, что jk = ia*
при каждом fc = 1,2,..., г.
На языке отображений это условие можно сформулировать таким
образом.
Набор индексов J является перестановкой набора индексов J, если
существует перестановка а ранга г такая, что имеет место равенство:
J = I о а.
Ш Теорема 3.2. Пусть U есть открытое множество в пространстве
Rn и / :U —> Ш™ есть функция класса Cr(C/, Rm) и пусть ti, $2, -.., ir G Яг.
Тогда для всякой перестановки a : Яг —► Яг справедлива формула
Dh...Dirf = Dia(1)...Dia(r)f.
Доказательство. Будем доказывать теорему индукцией по г.
Для случая г = 2 требуемый результат вытекает из теоремы 3.1.
Предположим, что для некоторого г теорема доказана, и пусть
/ :U -* Rm есть функция класса Cr+1.
Пусть 2 < 5 < г + 1. Все частные производные порядка 5 функции
/ определены и непрерывны на множестве U.
Определим функцию 0, полагая в = / в случае 5 — 2 = 0, и
e = Di8_2...Dhf, если 5-2 > 0.

318 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Функция в непрерывна и производные DisDis_19 и Dis_xDise
непрерывны. В силу теоремы 3.1, отсюда следует, что эти производные
совпадают. Следовательно, мы получаем, что производные
DisDis_1...Dilf = DisDis_ie и Dis_1Dis...DiJ = Dis_1Dise
тождественно совпадают на множестве U. Отсюда ясно, что в
последовательности дифференцирований Dir ... D^D^f любые два соседних
дифференцирования можно поменять местами, сохраняя окончательный
результат.
Пусть 7 и J — два набора индексов длины s < г + 1 такие, что
один из них является перестановкой другого.
Требуется доказать, что Dif = Djf.
В случае s < г справедливость этого следует из индукционного
допущения. Наша задача сводится к тому, чтобы установить, что
доказываемое предложение верно также для s = г + 1.
Предположим, что ir+i — Jr+i = t. Обозначим через I' и J' наборы
индексов длины г, получаемые из / и J, соответственно, зачеркиванием
последнего члена. Так как J получено перестановкой 7, то также и
набор индексов J' есть результат перестановки набора индексов /'.
Имеем:
Djf = Dt{Dvf), Djf(x) = Dt(Dj,f).
В силу предположения индукции, Dj> f = Dj/f, откуда получаем,
что в данном случае также и Dif = Djf.
Рассмотрим случай, когда jr+i ф гг+ь Пусть jr+i = г&, где
к < г + 1.
Переставляя элемент %к в последовательности (ii,..., г&,..., ir+i)
с его соседями справа, мы получим через конечное (не более г) число
шагов набор индексов Н = (hi, hi,... ,for+i) такой, что hr+i = jV+i-
Каждой такой перестановке соответствует изменение порядка
дифференцирований, при котором, как мы показали, значение производной
остается неизменным. Отсюда следует, что £>я/ = Dif.
Очевидно, Н есть перестановка набора индексов J. Последние
члены этих наборов индексов совпадают и, значит, по доказанному,
Djif = Djf. Следовательно, Djf = Dif, что и требовалось
доказать. ■
3.4. Мультииндексные обозначения
Опишем здесь некоторую систему обозначений, удобную для
вычислений с частными производными высших порядков.

§ 3. Производные высших порядков
319
Набор индексов I = (ii, 22,..., гг), где 1 < i\ < n, 1 < 22 < п,..., 1 <
< гг < п, назовем возрастающим, если 2i < 22 < • • • < гг.
Всякий набор индексов 7, как очевидно, допускает перестановку
J, которая представляет собой возрастающий набор индексов. Эту
перестановку мы будем именовать возрастающей перестановкой набора
индексов 7.
Введем понятие n-мерного мультииндекса.
Формально n-мерный мультииндекс есть вектор в пространстве Мп,
координаты которого суть неотрицательные целые числа.
Термин «мультииндекс» к таким векторам применяется лишь в
определенном контексте, описание которого и есть наша ближайшая
задача.
Пусть дан набор индексов I = (2*1,22,... ,гг), где 1 < i\ < п,
1 < гг < п,..., 1 < гг < п. Обозначим через as, s < n, число членов
набора 7, равных s. Этим определен некоторый n-мерный мультииндекс
а = (ai,QJ2,.. . ,«п).
Будем обозначать его символом а(1) и называть индикатрисой
набора индексов 7.
ф Предложение 3.1, Если два набора индексов I и J являются
перестановками друг друга, то их индикатрисы совпадают. Верно и
обратное: если a(I) = a(J) = а, то I есть перестановка J.
Доказательство. Действительно, если a = (ai, «2,..., OLn) есть
индикатриса набора индексов 7, то его возрастающая перестановка
имеет вид:
ТС =(l,l,...,l,2,2,...,2,...,n,n,...,n).
N v 'v v ' v V '
<х\ раз с*2 раз an раз
(Для некоторых i может оказаться, что ai — 0; в этом случае
соответствующие члены в последней записи пропускаются.)
Мы видим, что возрастающая перестановка К набора индексов 7
однозначно определяется его индикатрисой a(I). Поэтому если
индикатрисы наборов индексов 7 и J совпадают, то их возрастающие
перестановки тоже совпадают, откуда следует, что в этом случае каждый из
этих наборов является перестановкой другого. ♦
Если a — (ai,a2, • • • ,«п) есть индикатриса набора индексов 7, то
сумма a\ + 0L2 Л V OLn равна г.
Пусть дан набор индексов 7 = (ii, 22,...,2Г) и К = (fci, &2, • • •, kr)
— его возрастающая перестановка. Предположим, что / есть функция

320 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
класса Сг, определенная на открытом множестве U пространства 3Rn.
Тогда, согласно теореме 3.2,
Dir . ..Di2DiJ(x) = Dkr . ..Dk2Dklf(x).
Пусть а = (ofi,Qf2,... -,OLn) = Qf(г). Тогда первые qji из индексов fc
равны 1, следующие «2 равны 2 и т. д., так что мы получаем:
Dir . ..Di2Dhf(x) = Dn...Dn...D2...D2D1...D1 f(x).
Последнее выражение записывается в виде:
D?...D?D?f(x)
либо в виде:
дх%п ...дх^дх?1'
В том случае, если набор индексов К не содержит некоторое
значение fc, лежащее между 1 и п, то есть ак — 0 для этого fc, то
соответствующие члены в указанных обозначениях естественно пропускаются.
Введем некоторые дальнейшие обозначения, связанные с
использованием мультииндексов.
Пусть а = (c*i, «2,... ,ап) есть произвольный n-мерный мультиин-
декс. Тогда полагаем:
М = оц + OL2 Л Ь аП9 а\ = ai!c*2!... ап!
Число |а| называется порядком мультииндекса а.
Если ж = (ж1,Ж2,...,жп) есть произвольный вектор в Мп, то мы
полагаем:
JU — *£» -| "•'О • • • "^71 *
Наконец, если / есть функция класса Сг, где г = |а|, то
производную
D?...D?D?f(x)
будем обозначать символом Daf(x). Если мультииндекс а = 0, то
считаем Daf(x) = f{x). Для любых двух n-мерных мультииндексов имеем:
|а + /3| = |а| + |/9|, xV=^, Da(D0f) = Da+0f.

§ 3. Производные высших порядков
321
Последнее равенство верно в предположении, что / есть
функция класса С7*, где г = \а\ + \(3\.
Будем говорить, что мультииндекс а = (а±, аъ, •.., oin) мажорируй
ется мультииндексом /3 = (/3i,/?2,.. • ,/?п), и писать a < /3, если при
каждом г = (ii,i2,... ,гп) выполняется неравенство: ai < 0i.
Ясно, что если a < /3, то также и |а| < |/3|, причем знак равенства
имеет место в том и только в том случае, когда a = /3.
Символом 6г далее обозначается n-мерный мультииндекс, г-я
компонента которого равна 1, а остальные компоненты равны нулю.
3.5. Классы Сг
Пусть U есть открытое множество в пространстве Шп. В п. 3.1
этого параграфа определены классы отображений Cr(C7,Em), где г > О
— целое число, обозначаемые также просто символом Сг.
Напомним, что, согласно определению, данному в п. 3.1, / : U —» Ет
есть функция класса Cr(U, Em) в том и только в том случае, если /
имеет в U все частные производные порядка не выше г, причем каждая из
этих производных есть непрерывная в U функция.
Установим некоторые общие свойства функций классов Сг.
Из определения класса Сг непосредственно следует, что если
функция f, имеющая областью определения открытое множество U
пространства Ш71 и принимающая значения в Шт, принадлежит классу Сг,
то любая ее частная производная порядка s, где 1 < s < г, принадлежит
классу Cr~s.
Справедливо и обратное утверждение.
Если функция f имеет bU в с е частные производные порядка s и
каждая из них принадлежит классу Cr~s, то f есть функция класса Сг.
Пусть
f(x) = (h(x),f2(x),...,fm(x))emm
для всякого х Е U. Функция / принадлежит классу Сг в том и только
в том случае, если каждая из вещественных функций /г,г = 1,2,...,га,
— компонент вектор-функции / принадлежит классу Сг.
Ш Теорема 3.3. Если каждая из функций f%:U -* Ш.™ i = 1,2,..., fc,
принадлежит классу Сг, то также и f — /i + /2 Н Ь fk есть функция
класса Сг, и для всякого n-мерного мультииндекса а порядка г
выполняется равенство:
Daf = Dah + Daf2 + ■■■ + Dah-
Доказательство — очевидно. ■

322 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
■ Теорема 3.4. Пусть f и д — вещественные функции,
определенные на открытом множестве U пространства Жп и принадлежащие
классу Сг. Тогда их произведение fg также является функцией
класса Сг.
Доказательство. Теорема доказывается индукцией по г. Пусть
г = 1 и f и g — произвольные функции класса С1. Тогда функции / и g
df dg
непрерывны и имеют в и частные производные —— и ——, причем эти
ох% ох%
производные непрерывны в U.
Отсюда следует, что функция h = fg — непрерывна и имеет в U
частную производную ——. При этом, согласно правилу ДИфференВДфО-
вания произведения, имеет место равенство:
d(fg) = df g | fdg
dxi dxi dxi
Функции ——, ——, j и g непрерывны и, значит, как следует из
ох% ох%
равенства (3.8), производные -j?—- суть непрерывные в U функции.
О X i
По определению, это и означает, что h = fg E С1.
Предположим, что теорема доказана для г = s.
Докажем, что тогда она будет верна также и для г = s + 1.
Итак, пусть / и g — функции класса Сг, где г = 5 + 1. Тогда /
и g принадлежат классу С1 и, значит, по доказанному, их произведение
h — fg есть функция класса С1. Для всякого i = 1,2,..., п имеем:
dxi dxi dxi'
Функции —— и —— принадлежат классу Сг"1 = Cs. Каждая из
OXi OXi
функций / и g принадлежит классу Сг, а, стало быть, также и классу
Сг-1=Сав
*dg df
В силу предположения индукции, произведения /—— и д-^*— суть
OXi OXi
функции класса Cs и, значит, их сумма, то есть производная —^—-,
OX i
принадлежит классу Cs.
Таким образом, все производные первого порядка функции fg
принадлежат классу С5. Отсюда следует, что произведение fg есть функция
класса Cs+1 = Сг.
Теорема доказана. ■

§ 4. Формула Тейлора для функций многих переменных
323
■ Теорема 3.5. Пусть U есть открытое множество в Ш.п, V —
открытое множество в Rm. Предположим, что заданы отображения
f :U —* Rm и g :V —► Шк, причем при каждом х Е U точка д{х)
принадлежит V. Тогда если f и g — функции класса Сг, то их суперпозиция
h = g о f также является функцией класса С.
Доказательство. Если f e С1 и g e С1, то f дифференцируема
в каждой точке х Е U, a g дифференцируема в каждой точке у Е V.
Отсюда следует, что функция h дифференцируема в каждой точке
х Е U. При этом ее частные производные выражаются через частные
производные функций / и g по формуле:
dxi 2^1
&•<)'£ ™
Из этого равенства видно, что если функции / и g и их первые
производные непрерывны, то все первые производные функции h = gof
также непрерывны, то есть h E С1.
Предположим, что теорема верна для г = 5, и докажем, что тогда
утверждение теоремы верно также и в случае г = s + 1.
Итак, пусть г = « + 1и/ир суть функции класса Сг. Тогда /
и g принадлежат классу Cr~x = Cs и, значит, согласно предположению,
функция h также принадлежит классу С3. В частности, получаем, что
he С1.
Отсюда следует, что h имеет непрерывные первые производные,
причем эти производные выражаются через производные функций / и
g равенствами (3.9).
Так как / и g принадлежат классу Сг, то они принадлежат также
и классу Сг~1 = Cs. Их первые производные суть функции класса Cs.
Отсюда, в силу индукционного предположения, следует, что функ-
ции —— ° / принадлежат классу Cs. Значит, по теореме 3.4, каждое из
слагаемых в правой части равенства (3.9) есть функция класса Cs.
Мы получаем, таким образом, что все производные первого порядка
функции h = g о f — это функции класса Cs. Отсюда вытекает, что
функция g о f принадлежит классу Cs+1 = С'.
В силу принципа математической индукции, теорема доказана. ■

324 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§4. Формула Тейлора для функций многих
переменных
В этом параграфе формула Тейлора, доказанная в главе 4 для
функций одной переменной, распространяется на случай функций многих
переменных.
Сначала излагаются некоторые начальные сведения теории
полиномов от п переменных.
Функция Р(х) переменной х — (#i, #2, •.., xn) Е Шп называется
полиномом степени не выше т, если она может быть представлена как
сумма конечного числа слагаемых вида: Ах-^х1^2 ...х1^1, где ki > О,
г = 1,2,..., п, — целые числа, причем к\ + &2 Н Ь кп < га.
Всякий полином принадлежит классу Сг при любом г > 1.
Полином Р называется полиномом Тейлора порядка г функции f
в точке а, если Р есть полином степени не выше г и значения всех
производных полинома Р порядка не выше г равны значениям в точке
а соответствующих производных данной функции.
Здесь устанавливается оценка поведения разности между
функцией и ее полиномом Тейлора в точке а при х, стремящемся к а (формула
Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). С помощью понятия
полинома Тейлора, находятся выражения для производной
произвольного порядка по переменной t 6 К функции f(a + th). Указываются
некоторые приложения полученной формулы.
4.1. ПОЛИНОМЫ П ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим функции, определенные в пространстве Rn и
принимающие значения в пространстве Ш™.
Функция tp : Мп —> Ет называется мономом степени не выше г,
если существуют вектор А Е Ет и n-мерный мультииндекс а такие,
ЧТО \а\ < Г, И ДЛЯ ЛЮбОГО X = (х±, Х2, • . . , Хп) Е МП
ф) = Аха = Ах^х%2 ... х%п.
Функция Р : Rn —► Rm называется полиномом степени не выше г,
если она может быть представлена как сумма конечного числа мономов,
степени которых не превосходят г.
Два монома Аха и Вх^ называются подобными, если а = /3.
Пусть Р есть полином степени не выше г. Представим Р как сумму
конечного числа мономов, степени которых не превосходят г.

§ 4. Формула Тейлора для функций многих переменных 325
Объединяя в этом представлении подобные слагаемые, получим,
что полином Р может быть представлен в виде суммы
|а|<г
в которой никакие два слагаемых не являются подобными мономами.
Суммирование в (4.1) ведется по множеству всех мультииндексов
а, степени которых не превосходят г.
Равенство (4.1) называется каноническим представлением
полинома Р. Векторы Аа в правой части (4.1) называются коэффициентами
канонического представления полинома Р.
Сокращенной записью высказывания: «Р есть полином степени не
выше г», является формула: «deg P < г». Как синоним данного
высказывания далее мы будем употреблять также фразы типа: «Р есть
полином, степень которого не превосходит г» и им подобные.
Функция, тождественно равная нулю, есть полином, степень
которого считаем равной — оо.
Далее &, где 1 < г < п, — целое число, означает n-мерный муль-
тииндекс, г-я компонента которого равна 1, а остальные равны нулю.
Имеем:
Si = (£г1,#г2, • • • ,<$гп),
где 6и = 1 и 6ij = О при г Ф J (6ij есть уже известный нам символ
Кронекера).
Формально 6г есть то же самое, что и е*. Различие здесь лишь
в контексте, в котором используются обозначения. Если |а| = 1, то
|а| = 6i для некоторого г.
Для х = (#i,#2,. • • ,жп) имеем: х6* — Xi — г-я компонента
вектора х. Для полинома Р : Rn —> Жш не выше первой степени каноническое
представление имеет вид:
Р{х) = А0 + A6lxSl + Аб2х62 + • • • + А6пх6п =
= ао + aixi + C12X2 Н Ь сьпхп,
где Ао = ао, Asi = а*, г = 1,2,..., п, — векторы в Ет.
Будем говорить, что Р есть однородный полином степени г, если
Р имеет каноническое представление вида:
/ АаХ .
|а|=г

326 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Коэффициенты Аа при |а| < г, таким образом, все равны нулю.
Функцию, тождественно равную нулю, также будем считать
однородным полиномом степени г при любом г > 0.
Однородный полином нулевой степени есть постоянная.
Однородный полином первой степени с вещественными
коэффициентами называется линейной формой, однородный полином второй
степени с коэффициентами в R называется квадратичной формой.
В общем случае однородный полином степени г с вещественными
коэффициентами называется полиномиальной формой степени г.
Предположим, что коэффициент Аа в каноническом
представлении полинома Р есть вектор (Aia, А2<х,..., Аша) Е Rm, где Aia Е R,
г = 1,2,..., га, при всяком а, таком что |а| < г. Положим:
\а\<г
Каждая из функций Pi представляет собой полином степени не
выше г. Для любого х Е Rn имеем: Р(х) = (Pi (ж), Р2 (ж),... ,Рт(х)), так
что полиномы Pi : Rm —» R суть компоненты вектор-функции Р.
Обратно, если заданы вещественные функции Pi : Rn —» R, каждая
из которых есть полином степени не выше г, то функция
Р:^Кпи (Pi(a;), Р2(аО,..., Pm(s)) E Rm
есть полином степени не выше г.
Отметим некоторые простые свойства полиномов, используемые
в дальнейшем.
I. Сумма любого конечного числа полиномов степени не выше г
есть полином, степень которого не превосходит г.
Данное утверждение, очевидным образом, следует из определения
полинома степени не выше г.
II. Пусть функции Pi : Rn —> R, г = l,2,...,fc, суть полиномы,
причем
deg Pi < n,deg P2 < r2,...,deg Pk < rk.
Тогда произведение Р = P1P2 ... Pk есть полином, степень которого не
превосходит г\ + г2 Н h rk.
Действительно, пусть
Pi(x)= ^ 4^°% » = 1,2,...,*:.
|ач1<*4

§4. Формула Тейлора для функций многих переменных 327
Перемножая почленно выражения для Р*, i = 1,2,..., fc, получим,
что для всех жЕКп
*>(*)= Е Е ••• Е ^11)^?...<)*в1+в>+-+в*.
|ai|<ri |а2|<^2 1<**1<ПЬ
Функция Р, таким образом, есть сумма конечного числа мономов,
степень каждого из которых не превосходит г\ + Г2 + • • • + г к.
Следовательно, Р есть полином степени, не большей г\+ Г2 + h г*, что и
требовалось доказать.
III. Пусть <р : Е9 —» Еп есть полином, степень которого не
превосходит г, Р : Еп —* Ет — полином степени не выше 5. Тогда суперпозиция
Р о <р представляет собой полином степени не выше г s.
Действительно, пусть
Р(х) = ]Г Аажа
|а|<г
есть каноническое представление полинома Р. Тогда имеем:
\ct\<r
Пусть (p(t) = (<pi(t),(p2(t),... ,(pn(t)), где (pi,i = 1,2,...,п, суть
полиномы степени не выше s со значениями в Е. Для произвольного
п-мерного мультииндекса а = (ai, «2,..., ап) имеем:
И*)Г = Ы*)РЧЫ<)Р2-^Ы<)Г-
Правая часть этого равенства представляет собой произведение
|а| = ах + QL2 + - - • + otn полиномов степени не большей s и, значит, в
силу предложения II, является полиномом степени, не превосходящей
\ot\s. Отсюда видно, что функция Р о <р есть сумма конечного числа
полиномов, степени которых не превосходят гs и, следовательно, функция
Р о ip есть полином степени не выше rs, и предложение III доказано.
Всякий полином Р : En —» Em, как следует из результатов,
установленных ранее (см. п. 3.5 этой главы), представляет собой функцию
класса С°°.

328 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Выведем формулы для частных производных некоторых специальных
полиномов.
Пусть даны точка а — (ai, 02,..., ап) Е Шп и n-мерный мультиин-
декс а = (ai, с*2,..., #п). Функция
ж = (а?1,а?2,...,жп) •->(#- a)a = (a?i - ai)ai(^2 - аг)"2 ... (жп - an)an
есть полином степени не выше г = \а\ как произведение г полиномов
вида х I—> —di + Xi — —di + x6i, степени которых не превосходят 1.
Пусть а = (ai, «2,..., an) и /3 = (/?i,/?2,... ,/3n) — два
произвольных n-мерных мультииндекса. Условие /3 < а означает, что /3% < ai при
каждом г — 1,2,..., п. Если условие /3 < а не выполняется для данных
мультииндексов а и /3, то /3* > #г хотя бы для одного значения г.
■ Лемма 4.1. Пусть даны n-мерные мультииндексы а и (3. Тогда:
если (3 < а, то имеет место равенство:
если же условие /3 < а не выполняется, то D^{x — а)а = 0.
Доказательство. Будем говорить, что функция / : Rn —» Е
является расщепленной^ если она допускает представление
f(x) = h(x1)h(x2)...fn(xn), (4.2)
то есть f(x) является произведением п множителей, первый из которых
зависит только от xi, второй зависит только от Х2 и т. д.
Предположим, что каждая из функций /г,г = 1,2,...,п,в
представлении (4.2) принадлежит классу Сг, где г = |/3|. Чтобы найти
производную функции / по переменной Жг, как очевидно, достаточно заменить
множитель fi(xi) в представлении (4.2) на /г'(#г), так что производная
df/dxi также является расщепленной функцией.
Применяя эту процедуру повторно, найдем, что для n-мерного
мультииндекса /3 = (/3i,/32,... ,/Зп) имеет место равенство:
Dpf(x) = (DfVifri)) (D^f2(x2)) ... (D£n/n(*n)) •
Пусть /(ж) = (х - a)a. Данная функция /, очевидным образом,
является расщепленной. При этом множитель /г в представлении (4.2)
есть функция Xi н-> (xi — ai)a*.

§ 4. Формула Тейлора для функций многих переменных 329
Если Pi < oti, то
Отсюда заключаем, что если /3 < а, то
"v* - -н=П т^. Йс - -г- - ^(. - .)-'•
г=1 г=1
Если соотношение /3 < а не выполняется, то найдется г такое, что
fa > oii. Для этого г
Df'(^-ai)e'=0.
Отсюда следует, что в этом случае производная D^[(x—a)a]
является произведением п множителей, один из которых равен нулю и, значит,
D*[(x-a)a] = 0.
Лемма доказана. ■
▼ Следствие 1. Пусть Р(х) = (х - a)a, где а = (ai,a2,... ,an).
Тогда (£>aP)(a) = а!. Если р ф а, то {ррР) (а) = 0.
Действительно, если условие р < а не выполняется, то производная
D^P тождественно равна нулю, и, стало быть, в этом случае равенство
(DpP) (a) = 0 выполняется.
Если р < а и Р ф а, то найдется значение % такое, что pi < oti.
В этом случае производная D^(x—a)a содержит множитель (#г—ai)ai~^
который обращается в нуль при х — а.
Наконец, производная Da(x — a)a, как следует из леммы 4.1,
тождественно равна постоянной а!, в частности, также и
(DaP) (a) = а\
Следствие 1 доказано. ▼
▼ Следствие 2. Если Р : Rn —► Rm есть полином степени не
выше г, то все производные порядка большего г функции Р равны нулю.
Доказательство следствия 2 — очевидно. ▼
■ Лемма 4.2. Всякая функция Р : Шп —► Ет, определенная
равенством
Р(х)= J2 A«(x-a)a (4.3)
|a|<r

330 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
для всякого x£Rn, где а — точка вЖп, Аа — векторы в Ш™, является
полиномом степени не выше г. При этом коэффициенты Аа в равенстве
(4.3) определяются заданием функции Р однозначно, а именно, — имеют
место равенства:
_ (DaP)(a)
а!
для всех а таких, что \а\ < г.
Перед доказательством отметим следующее.
Замечание. В случае а = 0 считаем, что а\ = 1 и DaP = Р.
Формула (4.3) называется формулой Тейлора для полинома Р.
Доказательство леммы. То, что Р есть полином степени не
выше г, следует из предложений I и II, доказанных выше. Запишем Р
следующим образом:
p(x)=j2Mx-*f-
\Р\<г
Зададим произвольно n-мерный мультииндекс
a = (ai,a2,...,an).
Имеем:
Dap{x) = ^2 A^°a [о* - *)0] •
Положим в обеих частях этого равенства х = а. На основании
следствия 1 леммы 4.1, все слагаемые справа, для которых /3 Ф а, тогда
обратятся в нуль, и мы получим в результате
(DaP)(a) = Aaal
Лемма тем самым доказана. ■
Т Следствие. Если полиномы Р : Шп -> Ет и Q : En -> Rm
таковы, что Р(х) = Q(x) для всех х Е Шп, то канонические представления
полиномов Р и Q совпадают.
Действительно, пусть
Р(х) = ]Г Ааха, Q(x) = ^TBaxa
а. а

§ 4. Формула Тейлора для функций многих переменных
331
суть канонические представления данных полиномов Р и Q. Из условия
следствия, очевидно вытекает, что DaP(x) = DaQ(x) для всех х Е Мп.
В частности, получаем, что
_ РаР(0) _ D«Q(Q) _
для всякого мультииндекса а, что и требовалось доказать. ▼
4.2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Условимся относительно обозначений.
Пусть дана функция / : U —> Мт, где U — открытое множество в
М71. Если n-мерный мультииндекс а равен 0, то есть все его компоненты
равны 0, то мы полагаем Daf = f. Под производной нулевого порядка
функции, таким образом, подразумевается сама эта функция.
Напомним, что для нулевого мультииндекса а — 0 мы полагаем
также 0! = 1 и х° = 1 для любого вектора х £Шп.
а Лемма 4.3. Пусть U — открытое множество в Rn и / : U —> Rm
— функция класса Сг', где г > 0. Предположим, что точка a E U такова,
что /(а) = 0и (Daf)(a) — 0 для всякого а такого, что \а\ < г. Тогда
справедливо соотношение:
f(x) = о(\х — a\r) при х —> а.
Доказательство. Лемма доказывается индукцией по г. Пусть
г = 0. Предположим, что функция / принадлежит классу С, причем
/(а) = 0. В силу непрерывности, f(x) —> /(а) при ж —> а, то есть
/(ж) = о(1) при х —> а.
Для г = 0 лемма, таким образом, верна.
Предположим теперь, что для некоторого целого г > 0 лемма
доказана и / есть функция класса Cr+1, причем /(а) = 0и Daf(a) — 0
для любого а такого, что |а| < г + 1. Положим р; = ^—• Каждая из
ох%
функций pi, г = 1,2,... ,п, принадлежит классу Сг, причем Рг(а) = 0.
Для любого а такого, что |а| < г, имеем: Dapi = Da+6i f.
Так как |а + &| = \a\ + \6i\ < г + 1, то, значит, Dapi(a) = 0 для
всякого n-мерного мультииндекса а, удовлетворяющего условию |а| < г. В
силу индукционного допущения, отсюда вытекает, чторг(^) = о(\х—а\г)
при х —> а для любого г = 1,2,..., п.

332 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
На основании леммы об интегрировании асимптотических
соотношений (см. лемму 2.3), из доказанного следует, что
f(x) = о(\х — a\r+1) при х -> а.
В силу принципа математической индукции, лемма доказана. ■
Пусть / :U —> Шт есть функция класса Cr (U — открытое
множество в Шп).
Возьмем произвольно точку а Е U и положим:
p(*)=£^^(*-«r. (4-4)
|а|<г
(Как обычно, при а = О полагаем а! = 1, Da/ = /.)
Функция Р есть полином степени не выше г, называемый
полиномом Тейлора порядка г функции / в точке a Е U.
Согласно лемме 4.2, коэффициент при (х — а)а в правой части (4.4)
DaP(a)
равен ~^-.
Oil
Следовательно, для любого а, для которого \а\ < г, мы получаем:
DaP(a) = £>Q/(a)
а! а!
то есть DaP(a) = Daf(a) для любого а такого, что |а| < г.
■ Теорема 4.2. Пусть / : Е7 —> Мт есть функция класса Cr (U —
открытое множество в Шп) и Р есть полином Тейлора порядка г функции
f в точке a E U. Тогда справедливо соотношение:
f(x) - Р(х) = о(|ж - а|г) при х -» а.
Доказательство. Положим р = f — Р. Функция р, очевидно,
принадлежит классу Сг. Для всякого мультииндекса а, для которого
|а| < г, имеем:
Г>°>(а) = Daf(a) - L>"P(a) = 0.
В силу леммы 4.3, отсюда следует, что р(х) = о(|# —а|г) при ж —> а,
и тем самым теорема доказана. ■

§ 4. Формула Тейлора для функций многих переменных 333
Заметим, что условие и(х) = о(\х — а\г) при х —> а для
произвольной функции и : U —> Мт равносильно следующему:
7/(ж) = сг(#)|# — а|г,
где сг(ж) —> 0 при ж -* а. Принимая во внимание это замечание и
используя выражение для полинома Тейлора функции /, результат теоремы 4.1
можно представить в следующей форме.
Для всякой функции /:[/—> Шт класса Сг выполняется
соотношение:
fix) = J2 ^Ц\^(х - а)а+м* - air' <4-5)
\a\<r
где ar(x) —> 0 при х —> а.
Равенство (4.5) называется формулой Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано.
Правая часть равенства (4.5) не изменится, если произвольным
образом изменить значение функции аг в точке а.
Из соображений удобства, в дальнейшем мы будем всегда считать,
что аг(а) = 0. При этом соглашении функция аг становится
непрерывной в точке а.
4.3. Асимптотическая характеристика полинома Тейлора
■ Лемма 4.4. Пусть Р : Rn —> Шт есть полином степени не выше г,
где г > 0. Если существует точка a E Шп такая, что
Р(#) = о(\х — a\r) при х —» а,
то функция Р тождественно равна нулю.
Доказательство. Пусть Р удовлетворяет всем условиям леммы.
Дальнейшие рассуждения опираются на результат, установленный
ранее для функций одной переменной со значениями в R.
Поэтому сначала мы рассмотрим случай, когда Р есть
вещественная функция.
Итак, пусть Р : М71 —> R есть полином степени не выше г такой,
что для точки aGKn справедливо соотношение: Р(х) — о(\х — a\r) при
х —> а.
Возьмем произвольно точку жЕКп такую, что х ф а, и для t G К
положим
<p(t) = P(a + t(x-a)).

334 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Функция tEMb» a + t(x — а) есть, очевидно, полином не выше
первой степени и, значит, согласно предложению III п. 4.1, (р есть полином
степени не выше г.
Из условий леммы следует, что Р(х) = а(х)\х — а|г, где а(х) —> О
при х —* а.
Заменяя в этом равенстве х на а + t(x — а), получим:
tp(t) = Р(а + t(x - а)) = а[а + t(x - а)]\х - а|г|*Г = <п(*)|*Г.
Очевидно, cri(t) —> 0 при t —► О и мы получаем, что ip(t) = o(\t\r)
при t —> 0.
Функция (р есть полином степени не выше г. Значит, <p(t) =0, как
следует из доказанного ранее для полиномов одной переменной.
Полагая, в частности, t = 0, t = 1, получим, что Р(а) = <р(0) = 0,
Р(а:) = ^(1) = 0.
Так как точка жбКп, х ф а была выбрана произвольно и Р(а)
также равно нулю, то тем самым доказано, что Р(х) = 0.
Рассмотрим случай, когда Р есть функция со значениями в Ш.т.
Пусть Pi, г = 1,2,..., т, суть компоненты вектор-функции Р. При
каждом г вещественная функция Р$ представляет собой полином степени
не выше г.
Из условий леммы следует, что Pi(x) = о(\х — а\г) при ж —> а.
Значит, по доказанному, Рг(#) = 0 при каждом г = 1,2,... , т. Отсюда
вытекает, что Р(ж) = 0.
Лемма доказана. ■
■ Теорема 4.2 (теорема об асимптотической характеристике
полинома Тейлора функции). Пусть U есть открытое множество в Ш71,
f : U —> М7П — функция класса Сг', Р — полином степени не выше г и
a E С/. Тогда если
f(x) = P(x) + o(\x-a\r)
при х —> а, то Р есть полином Тейлора порядка г функции f в точке а.
Доказательство. Пусть Ро есть полином Тейлора порядка г
функции / в точке а Е С/, Р — полином степени не выше г такой, что
f(x) — Р(#) = о(\х — a\r) при х ^> а.
Согласно теореме 4.1, имеем: /(ж) — Ро(х) = о(\х — а\г) при х —► а.
Из этих соотношений, очевидно, следует, что
Р(#) - Ро(#) = о(\х - а\г) при ж —> а.

§ 4. Формула Тейлора для функций многих переменных 335
Так как Р — Ро есть полином степени не выше г, то, на основании
леммы 4.1, отсюда следует, что Р — Ро = 0, то есть полином Р
тождественно совпадает с полиномом Ро, что и требовалось доказать. ■
▼ Следствие (формула Тейлора для полиномов). Для всякого
полинома Р : W1 —» Ет и любой точки a E Rn имеет место равенство:
Р(*)=£^^(*-«)в. (4-6)
|а|<г
Доказательство. Имеем: Р(х) — Р(х) = 0. В частности, это
означает, что Р(х) — Р[х) = о(\х — a\r) при х —> 0. Отсюда вытекает,
что Р, как полином степени не выше г, совпадает с полиномом Тейлора
порядка г в точке а функции х Е Ш71 »—► Р(^), то есть с полиномом,
стоящим в правой части равенства (4.6).
Следствие доказано. ▼
Следствие леммы 4.4, в частности, позволяет заключить, что
всякий полином Р степени не выше г может быть представлен в виде
\ос\<г
Ранее (см. п. 4.1) мы доказали, что всякая функция, допускающая
такое представление, есть полином степени не выше г.
Теперь мы установили, что в такой форме может быть представлен
любой полином, степень которого не превосходит г.
4.4. Формула для производной произвольного порядка
функции t н-> fix + th). Понятие дифференциала г-го порядка
Зададим произвольно открытое множество U в пространстве Rn и
отображение / : С7 —> Rm.
Пусть a G U и h — произвольный вектор в Еп. Положим
<p(t) = f(a + th).
Отображение ^ : t 6 R н-> а + tft непрерывно и принадлежит классу
Сг при любом г > 1. Имеем: ip = f о £.
Область определения ip есть совокупность всех t G R, для которых
^(t) G С/, то есть множество ^"~1(С7).
Так как ^ — непрерывно, то ^~1(С7) есть открытое множество.

336 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Если / принадлежит классу Сг, то также и функция (р = / о £
принадлежит классу Сг.
Ш Теорема 4.3. Если функция f : U —► Rm, где С/ — открытое
множество в Жп, принадлежит классу Cr, a — точка множества U, h —
произвольный вектор в Еп, то для любого целого к такого, что 1 < к < г,
для всякого t, удовлетворяющего условию: a + th G £/, выполняется
равенство:
|a|=fc
Доказательство. Зададим произвольно значение t = to такое,
что точка Хо = а + toh принадлежит U.
Применим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
(см. (4.5)). Имеем:
/(Ж)= у Daf\Xo\x-xo)a + ar(x)\x-xo\r,
^—' a:
\а\<г
где сгг(х) —*• 0 при ж-^жо и <тг(х0) = 0.
Полагая х = a + th, получим ж — хо = (а + th) — (а + tofo) = (* — ^о)^
и, значит, (х - Хо)а = (t — <о)'а'Ла. Отсюда
<p(t) = /(а + *Л) = ]£ Да^о) (t ~ to)1"1^ + <гг(а + *Л)|ЛГ1< " *оГ
\а\<г
Объединяя в сумме, стоящей справа, слагаемые, содержащие
одинаковые степени t — to, получим равенство:
^') = Е( Е ^^ba)(*-*o)h+l>(*)\*-*o\r> (4-8)
fc=0 ^ \a\=k ' '
где p(t) = сг(а + t/i)|/i|r. При t —> to, как очевидно, <т(а + th) —► 0, и,
значит, p(t) —> 0 при t —^ to-
Для функции <р, таким образом, получено представление:
*w = Е 4f(*"to)k+0{lt ~<оГ)' (4-9)
fc=0

§ 4. Формула Тейлора для функций многих переменных
337
где
к\
Ak=J2 ^D«f(xb)h". (4.10)
|а|=Дв
В силу теоремы 6.2 главы 4, полином, стоящий в правой части (4.9),
есть полином Тейлора порядка г функции <р в точке to и, стало быть,
Ak = <pw(t0).
Имеем:
dk
Ак = dt^^a + toh^
Отсюда, в силу (4.10), следует равенство (4.7) для t = to. Так как to —
произвольно, то теорема тем самым доказана. ■
Пусть /:£/—► М™ есть функция класса С и пусть к, 1 < к < г, —
целое число. Тогда для всякой точки х Е U определена функция:
h e Rn н-> ]Г —}Daf(x)ha, (4.11)
\*\=к
которая представляет собой однородный полином степени к
относительно переменной h £ Rn.
В случае к = 1 этот полином может быть записан в виде:
х>*/)(*)л5'=£!£(*)*,
г=1 г=1
откуда видно, что при к = 1 он совпадает с дифференциалом функции
/ в точке ж.
В общем случае однородный полином степени ifc, определенный
формулой (4.11), будем называть дифференциалом к-го порядка функции f
в точке х и обозначать символом dkf(x).
В соответствии с этим обычный дифференциал функции / есть ее
дифференциал первого порядка. Значение, которое дифференциал fc-ro
порядка функции / в точке х принимает для вектора /iGKn,
обозначается одним из следующих выражений: dkf(x;h) или dkf(x)(h).
Используя введенные обозначения, равенство (4.7) теоремы 4.3
допускает следующее представление:
±-j;[f{x + th)] = dkf{x + th;h).

338 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
В качестве примера рассмотрим приложение формулы (4,7)
теоремы 4.3.
Пусть U = Шп и функция / : Rn —► R определена равенством
для всякого х = (ж1, ^2,..., жп). Для любого г = 1,2,..., п имеем:
= eXl ...Di(eXi)...eXn = е*1+Ж2+-+ж".
Отсюда, очевидно, следует, что для любого мультииндекса а
В частности, получаем, что для данной функции / при всяком а.
выполняется равенство (Da/)(0) = 1. Положим h = (а?1,Ж25 • • • ,жп),
a = 0. Пусть p(t) = et(*1+aJ2+-+*").
Имеем:
vW(t) = е*(Я1+Яа+-+Яп)(а:1 + я2 + • • • + хп)г
и, значит,
<р(г)(0) = (ял + ж2 + ■ • • + хп)г.
Применим формулу (4.7) теоремы 4.3. Значения производных,
стоящих в этой формуле справа, при а = 0, t = 0 равны 1, откуда
получаем равенство:
(xi + Х2 Ч Ь Хп)г = ]Р "1^-
a|=fc
Полагая в полученном равенстве п = 2, приходим к
соотношению, известному под именем формулы бинома Ньютона. Выведенное
здесь общее тождество представляет собой ее многомерный
аналог.
§5. Вычисление частных производных
Свойства, операции дифференцирования достаточны для того,
чтобы с их помощью вычислить любую частную производную, которая
требуется.

§ 5. Вычисление частных производных
339
В этом параграфе описываются приемы, позволяющие упорядочить
и в некоторых случаях даже сократить работу, которая необходима для
вычисления той или иной частной производной. Они могут применяться
также для установления разного рода общих соотношений между
функциями и их частными производными.
Полезным средством для нахождения частных производных может
служить теорема об асимптотической характеристике полинома
Тейлора функции, доказанная в предыдущем параграфе.
Другой подход к задаче вычисления частных производных основан
на использовании понятия дифференциала функции порядка г > 1. В
современных руководствах по математическому анализу дифференциал
порядка г > 1 определяется как некоторая симметрическая
полилинейная форма. Такой подход требует достаточно пространного
алгебраического введения. Определение понятия дифференциала порядка г,
принятое здесь, не требует привлечения какой-либо алгебраической техники,
кроме той, которая нам уже известна.
5.1. Применение формулы Тейлора к вычислению частных
производных
Предположим, что функция / : U —> Rm определена на
некотором открытом множестве U пространства Шп некоторой аналитической
формулой. Мы понимаем под этим то, что отыскание значений функции
/ сводится к выполнению конечного числа алгебраических действий и
вычислению значений элементарных функций.
Предположим, что для функции /:[/—> Мт, принадлежащей
классу С', построен полином Р степени не выше г, такой что
f(x) = P(x) + o(\x-a\r)
при х —» а. Тогда, согласно теореме 4.3, Р есть полином Тейлора
порядка г функции / в точке а и, значит, его производные в данной точке
равны соответствующим производным функции /.
Задача вычисления производных функции тем самым сведена к
задаче определения производных полинома, то есть к задаче, в принципе,
более простой.
Если с самого начала полином Р дан в форме разложения по
степеням х — а, то отыскание его производных в точке а, вообще, не вызывает
трудностей. А именно, пусть
Р(х)= J2A<*(x-a)a-
\а\<г

340 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Тогда, как мы знаем,
DaP(a) = a\Aa.
Приведем простые соображения, которые могут быть полезными при
применении сказанного выше.
Пусть /* : £/ —> Mm, г = 1,2,..., fc, — произвольная конечная
система функций, определенных на открытом множестве U пространства
Rn, F есть их сумма. Тогда:
если fi(x) = о(\х — а\г) при х —> а при каждом г, то также и
F(x) = о(|я? — а\г) при ж —> а;
если и(х) — о(\х — a|fc), a v(x) = 0(|# — a|z) при ж —> а, причем
fc + / > г, то iz(ar)v(a;) = о(\х — а\г) при ж —► а;
наконец, если гл есть функция вида и(х) = Л(х —а)а, причем |а| > г,
то г*(#) = о(|ж — а\г) при ж —> а.
Справедливость данных предложений, очевидным образом, следует
из свойств пределов и бесконечно малых функций, установленных ранее.
Рассмотрим некоторые примеры на приложение теорем 4.1 и 4.2
относительно формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
1. Построим аналог формулы Лейбница для частных
производных функций многих переменных.
Пусть fi : U —> R, г = 1,2,..., т, — функции класса Сг, г > 1,
определенные на открытом множестве U пространства Еп и / = /1/2 ... fm
— их произведение. Возьмем произвольно точку р Е U.
Наша ближайшая цель — построить полином Р степени не выше г
такой, что f(x) = Р(х) + о(\х — р\г) при х —► р. Для этого мы напишем
сначала формулы Тейлора порядка г в точке р для каждой из функций
/г, г = 1,2,..., т. Имеем:
\<*i\<r
где <7г(#) —► 0 при х —> р.
Перемножим почленно равенства, получаемые, если
последовательно положить здесь г = 1,2,..., га.
Раскрывая скобки, получим некоторую конечную сумму. Те
слагаемые этой суммы, которые содержат в себе множители вида: (п{х)\х— р\г
(эти слагаемые, очевидно, возникают из остаточных членов
перемножаемых формул Тейлора), суть величины порядка о(\х — р\г) при х —> р.
Сумма будет содержать в себе также слагаемые вида:
D°*h{p)Da42(p) ■. ■ D°"»/m(p),
_ \Q:i+Q!2H \-Oim (5 1)
ai!a2!...am!

5. Вычисление частных производных
341
Каждое такое слагаемое в случае, если для него |ai| + |a2|H h|<*m| > r,
есть величина порядка о(\х — р\г) при х —► р. Принимая сказанное во
внимание, получим:
f(x) = P(x) + o(\x-p\r),
где Р есть сумма всех возможных мономов вида (5.1), удовлетворяющих
условию: |ai| + |аг| Н Ь \otm\ < г.
Очевидно, Р есть полином степени не выше г и, значит, в силу
теоремы 4.2, Р есть полином Тейлора порядка г функции / = /1/2 ... /т
в точке р.
Производная Daf(p) равна умноженному на а\ коэффициенту при
(х — р)а в разложении полинома Р по степеням х —р.
Слагаемое Ва(х —р)а этого разложения полинома Р является
суммой всех тех выражений вида (5.1), для которых а\ + а.2 Л Ь &т = ol.
Имеем: Daf(p) = a\Ba.
Окончательно заключаем, что производная Daf(p) равна
следующей сумме:
где суммирование производится по множеству всех наборов п-мерных
мультииндексов ai, аг,..., ат таких, что а\ + «2 Н Ь <*т = а.
Это и есть искомое обобщение формулы Лейбница.
2. Пусть С/ есть множество всех точек х = (#1,2:25...,#п) таких,
что а?г < 1 при каждом 1 = 1,2,...,п, и пусть функция 0 : U —► R
определена равенством:
0(хи х2, ...,хп) = jz —гг, —ч тл —Г-
(1 - Х\)(1 - Х2) - • • (1 ~ #п)
При каждом г = 1,2,..., п имеем:
1,2 г <+1
= 1 + Xi + х\ + .. ■ + я£ + —s .
J- #г -L #г
Полагая здесь г = 1,2,...,п, перемножая полученные равенства
почленно и раскрывая скобки, получим некоторую конечную сумму,
которую обозначим Ег. Имеем:
^—=о(\хП
1 — Xi

342 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
при х —у О при каждом г = 1,2,...,п, откуда следует, что те слагае-
хг+1
мые, входящие в сумму Ег, которые содержат множитель — , суть
1 — Xi
величины порядка о(|#|г) при х —» 0.
Все остальные слагаемые, входящие в Ег, имеют вид:
1 2 •••**/7i —— «^ )
где числа с*г — целые, 0 < с*г < г при каждом г. При этом слагаемое ха
в сумме Ег появляется в точности один раз как результат
перемножения члена с номером а\ первого множителя произведения (нумерацию
мы начинаем с нуля), которому равна Ег, члена с номером #2 второго
множителя и т. д.
Те слагаемые, входящие в Ег, для которых \а\ > г, суть величины
порядка о(|#|г) при х —> 0.
Окончательно получаем:
в(х) = Y, х* + °(\*П (5-2)
\а\<г
при х —» 0. Сумма справа есть полином степени не выше г. В
силу теоремы 4.2 о характеристическом свойстве полинома Тейлора,
отсюда следует, что 2_, х<* есть полином Тейлора порядка г функции в
\ct\<r
в точке 0.
В частности, сумма тех членов этого полинома, для которых
|а| = г, равна
<Г0(О;а?)
г\ '
Мы получаем, таким образом, что имеет место равенство:
<Г0(О;х) = г\ ]Г ха. (5.3)
|а|=г
Равенство (5.3) применим для решения одной комбинаторной задачи,
представляющей определенный интерес с точки зрения обсуждаемых
здесь вопросов.
Пусть г > 0 и п > 1 — целые числа. Обозначим через М(г,п)
множество всех n-мерных мультииндексов, порядок которых не превосходит
г, N(r,n) — множество всех n-мерных мультииндексов а, для которых
\а\ = г. Число элементов множества М(г,п) обозначим через ц(г,п).

§ 5. Вычисление частных производных
343
Пусть v(r,n) означает число элементов множества N(r,n). Пусть
дан п-мерный мультииндекс a £ М(г,п).
Через j(а) обозначим п + 1-мерный мультииндекс /3 такой, что
fa = oti при 1 < г < n, a /3n+i = г - |а|.
Тем самым определено отображение j : M(r,n) —> N(r,n + 1).
Нетрудно видеть, что это отображение биективно. Отсюда
вытекает равенство
1л(г,п) = i/(r,n + 1). (5.4)
Покажем, как с помощью равенства (5.3) найти числа //(г, п)
и */(r, n). В равенстве (5.3) в качестве х возьмем вектор, все компоненты
которого равны 1. Тогда каждое слагаемое в правой части (5.3) будет
равно 1 и мы, следовательно, получаем:
<f0(O;a;) = r!i/(r,n).
Найдем величину сГ0(О;#), применяя для этого формулу:
В данном случае
9{tx) = Х
Для всякого Л имеем:
d 1 А
dt (1 - <)л (1 - *)л+!'
Применяя это равенство, найдем, что
<Г 1 _ п(п + 1) • • ■ (п + г - 1)
dr (1 - t)n ~ (1 - *)n+r
Отсюда
£w*>]
= n(n + 1)... (n + г — 1)
t=0
и, значит,
r!i/(r, n) = <f 0(0; x) = n(n + l)...(n + r-l),

344 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
откуда
, ч П(П + 1) . . . (П + Г - 1) „г
"(Г**) = — —^ = Gn+r-Ь
где Cm суть обычные биномиальные коэффициенты. Применяя
равенство (5.4), получаем:
ц{г,п) = Сп+г.
Значения чисел 1л(г,п) и v{r, n) можно найти также и без помощи
той аналитической техники, которая была нами использована.
Каждое из множеств М(0,п) и ЛГ(0,п) состоит из единственного
элемента — мультииндекса 0, так что /i(0,n) = 1, i/(0,n) = 1.
Очевидно,
г
M(r,n)= \jN(k,n).
fc=0
Так как множества N(k,n) попарно не пересекаются, отсюда
вытекает равенство:
г
1л(г,п) = ^i/(fc,n). (5.5)
fc=0
Заметим, что для любого г
i/(r, 1) = 1. (5.6)
Соотношения (5.4), (5.5) и (5.6) достаточны для того, чтобы найти
значения чисел fJ>(r,n) и v(r,n) для любых г и п.
5.2. Исчисление полиномиальных форм
Пусть U есть открытое множество в пространстве Rn.
Предположим, что дана функция / : U —> Мт, принадлежащая классу Сг. Тогда
для всякой точки х Е U определен однородный полином степени г —
дифференциал порядка г функции / в точке х:
heRn^ drf(x;h) = ^2 —}Daf(x)ha.
\a\=r
Введем некоторый общий класс объектов, который включает
в себя понятие дифференциала порядка г функции, определенной на
множестве U.

§ 5. Вычисление частных производных
345
Рассмотрим прямое произведение U хШп, то есть множество всех
пар (#, fa) таких, что х G U и fa G Mn.
Полиномиальной Жш -формой степени г на множестве U
называется функция F : U x IRn —> Mm, такая, что при каждом х G U
функция fa I—► F(x,h) переменной fa представляет собой однородный
полином степени г. Степень полиномиальной формы F обозначается
символом degF.
Если г = О, то величина F(x, fa) не зависит от fa, F(rr, fa) = /(ж) при
каждом х € U и любом fa GRn.
Полиномиальная Шт-форма нулевой степени, таким образом,
определяет некоторую функцию f :U —> Mm.
Обратно, если дана функция / : U —> Мт, то, полагая F(x,h) = /(#)
для произвольных (ж, fa) G [/ х ]Rn, получаем полиномиальную форму
степени 0. Будем отождествлять полученную так Мт-форму нулевой
степени с данной функцией / : U —» Мт. Совокупность всех
полиномиальных Мт-форм степени г на множестве С/ будем обозначать символом
Vr(U,Rm)-
Если / : U —» Мт есть функция класса Сг, то ее дифференциал
порядка г есть полиномиальная Мт-форма степени г на множестве U.
Пусть F есть полиномиальная Мт-форма степени г, определенная
на открытом множестве U пространства Мп. Тогда для всякого х G U
функция fa »-> F(x,h) есть однородный полином степени г.
Пусть
F(z,fa)= JZ ^"W
\a\<r
есть каноническое представление этого полинома. Как было показано
ранее (см. п. 4.1), оно определяется однозначно по F. Тем самым на
множестве U определены функции Fa : U —> Mm. Эти функции будем
называть коэффициентами полиномиальной формы F.
Будем говорить, что полиномиальная форма F степени г
принадлежит классу Cfc, если все ее коэффициенты являются функциями
класса С*.
Символом dxi будем обозначать линейную функцию в Мп,
определенную следующим образом.
Для всякого fa = (fai, /i2,..., fan) G Ш71 величина dxi(h) есть г-я
компонента вектора fa, dxi(h) = fai.
Выражение для дифференциала первого порядка функции f :U —»
—» Mm можно, используя введенное выше обозначение, представить в
следующей форме:
г=1

346 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Выражение dx^dx^ ...dxir означает однородный полином Р erne-
пени г, который есть произведение линейных форм dxix^dx%2^.. .,drrir,
понимаемое в обычном смысле, то есть P(h) = hi±hi2 .. ,hir для всякого
h = (huh2,...,hn) GKn.
Будем также применять мультииндексные обозначения.
Для произвольного n-мерного мультииндекса а символ dxa
означает однородный полином, определенный равенством dxa(h) = ha.
Чтобы не спутать, выражение dxa с дифференциалом
функции х н-> #а, — в случае, когда функция задается некоторой формулой,
— дифференциал этой функции условимся записывать, ставя после
знака d выражение для функции, заключенное в фигурные скобки.
Например, дифференциал функции х н* ха обозначается символом:
d{xa}.
Полиномиальные формы dxa будем называть базисными.
Если переменная точка открытого множества U вместо х
обозначается каким-либо другим символом, например, одной из букв у, z, t и
т. д., то вместо dxi и dxa мы будем писать dy», dya или, соответственно,
dzi и dza и т. п.
Если компоненты вектора х обозначаются не одной буквой с
разными индексами, а просто разными буквами, как это обычно делается
в случае, когда размерность пространства невелика, то в используемых
обозначениях вместо dxi следует писать символ, обозначающий г-ю
компоненту вектора х.
Пусть F есть полиномиальная Ет-форма степени г > О на
множестве [/СКП. Для произвольного х eU и любого h eRn имеем:
F(x,h) = ]Г Fa(x)ha = ^ Fa(x)dxa(h)>
|a|=r |a|=r
и, следовательно,
F(x) = ]Г Fa(x)dxa (5.7)
\a\=r
для всякого х G U.
Равенство (5.7) будем называть каноническим представлением по-
линомиалъной формы F.
Величины Fa(x) в каноническом представлении полинома F(x)
определяются однозначно заданием полинома, и тем самым на множестве
U определены функции х ь+ Fa(x) £ Mm, \a\ = г, — коэффициенты
полиномиальной формы F.
Будем говорить, что полиномиальная форма F принадлежит классу
Сг, если все ее коэффициенты Fa есть функции класса Сг.

§ 5. Вычисление частных производных
347
В частности, для дифференциала порядка г функции f : U С Шт
класса С каноническое представление имеет вид:
<ff{x) = Y, ^D«f(x)dxa.
|a|=r
Если / : U —> lRm есть функция класса Сг, то ее дифференциал
порядка г есть полиномиальная Мт-форма степени г на множестве U.
Установим некоторые простые правила действий с
полиномиальными формами, полезные при вычислении дифференциалов высших
порядков.
Далее все рассматриваемые формы предполагаются
определенными на открытом множестве U пространства lRn.
Пусть Fi, г = 1,2,...,/, суть полиномиальные Мт-формы
степени г. Их суммой называется полиномиальная форма F, определенная
равенством
i
F(x,h) = ]TVi(z,/i)
г=1
для любых х Е £/ и h Е Ш71.
Отметим, что сумма полиномиальных форм является
полиномиальной формой в том и только в том случае, если степени этих
форм совпадают, а их коэффициенты принадлежат одному и тому же
пространству Шт.
Произведение полиномиальных форм определено только в случае,
когда все формы, кроме — самое большее — одной, суть М-формы.
Пусть даны:
1) полиномиальные М-формы F;, г = 1,2,...,/, степени которых
равны, соответственно, ri,r2,... ,п;
2) полиномиальная Мт-форма G степени s.
Произведением данных форм называется функция F = F1F2 ... -FiG,
определенная равенством:
F(x, h) = Fi(x; h)F2(x; h)... Fi(x; h)G(x; h),
для любых (ж, h) E U x Rn.
Нетрудно видеть, что функция F является полиномиальной формой
степени г = п + r2 H Ь r\ + s.
Для базисных полиномиальных форм имеет место равенство:
dxaidxa* ...dxak = dxai+a*+'"+ah. (5.8)

348 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Каноническое представление произведения полиномиальных форм
можно получить, перемножая канонические представления этих форм
как обычные многочлены. При этом произведение базисных форм в
канонических представлениях определяется согласно формуле (5.8).
Обычные свойства операций сложения и умножения функций
сохраняются и для полиномиальных форм.
Основная операция в исчислении полиномиальных форм есть
операция дифференцирования.
Пусть
F{x) = Y^ Fa(x)dxa
\a\=r
есть полиномиальная форма степени г > О, принадлежащая классу Cfc,
где к > 1.
Согласно определению, это означает, что все коэффициенты F суть
функции класса Ск.
Дифференциалом формы F называется форма dF степени г + 1,
определенная равенством:
dF{x) = ^ dFa{x)dxa.
Здесь dFa(x) означает дифференциал функции Fa(x), то есть
полиномиальную Мт-форму первой степени, определенную равенством:
dFa(x) = Ys^x)dXi- (5'9)
г=1
В соответствии с этим определением, для произвольных х Е U и h Е Mn
выполняется равенство:
dF{x\h) = ]Г dFa(x;h)ha.
Ш Лемма 5.1. Для всякой полиномиальной Ж™-формы F класса Ск,
где к > 1, для любых xEU,heRnHteR такого, что х + th E U,
выполняется равенство:
4- [F(x + th; h)] = dF(x + th; h).
at

§ 5. Вычисление частных производных
349
Доказательство. Имеем:
F(x + th; h)=^2 F<*(x + th)ha- (5-10)
|a|=r
При всяком a имеем:
±- [Fa{x + th)] = V ^(x + th)hi = dFa(x + th; h). (5.11)
Cut * * OX%
Дифференцируя обе части равенства (5.10) почленно и принимая
во внимание (5.11), получим:
— [F(x + th; h)] = V dFa(x + th;h)ha = dF(x + th;h).
at ^—'
\a\=r
Лемма доказана. ■
Замечание. Лемма 5.1, в частности, позволяет доказать, что
для произвольной функции / :U —> Штп класса Cfc, k > 1, ее
дифференциал порядка г+1, где г+1 < fc, является дифференциалом полиномиальной
формы drf(x), то есть имеет место равенство:
dr+1f(x) = d{drf}(x). (5.12)
Действительно, возьмем произвольно х Е £/, h Е Мп, и пусть t Е М
таково, что х + th EU. Положим (p(t) = /(ж + th),
m = £м.
В силу теоремы 4.3, имеем:
ij;(t) = drf(x + th;h).
Далее, из теоремы 4.3 следует, что
dr+1f(x + th;h) = ^-(t)=^(t).

350 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Согласно лемме 5.1,
tl>'(t) = d{drf}(x + th;h),
и мы получаем, таким образом, что выполняется равенство:
dr+1f(x + th; h) = d{drf}(x + th; h).
Полагая t = 0, получим, что dr*1f(x;h) = d{drf}(x;h) для любых
x e U и h в Mn.
Тем самым равенство (5.12) доказано.
Отметим некоторые свойства понятия дифференциала
полиномиальной формы.
1) Пусть даны полиномиальные Мт-формы F», г = 1,2,..., /,
степени г и класса Cfc, к > 1. Тогда
dCFi + F2 + • • • + Fi) = dF1 + dF2 + • • • + dFj.
Справедливость данного утверждения непосредственно вытекает
из определения дифференциала полиномиальной формы.
2) Пусть Fi,F2,...,F; суть полиномиальные М-формы класса Ск,
G — полиномиальная Ет-форма того же класса гладкости Cfc, к > 1.
Тогда F = FiF2 ... FiG есть полиномиальная форма класса Ск и имеет
место равенство:
dF = dFxF2 ... FiG + FxdF2 ... FiG + • • • + FiF2 ... <£FZG+
+FiF2...F^G. (5.13)
Коэффициенты формы F алгебраически выражаются через
коэффициенты данных полиномиальных форм, из чего следует, что F
принадлежит классу Ск.
Чтобы доказать равенство (5.13), воспользуемся леммой 5.1.
Положим для г = 1,2,...,/
ipi(t) = Fi(x + th; Л), tl>(t) = G(x + th; Л),
9(t) = F(x + th; h) = (p!(t)... М*Ж*)-
В силу леммы 5.1, имеем: dF(x;h) = 0х(0). Правило дифференцирования
функций одной переменной позволяет заключить, что
0'(О) = vi(0)... ^(0)^(0) + • • • + vi(0)... vi(0)tl>(0)+

§ 5. Вычисление частных производных
351
+^i(0)... ^(0)^(0). (5.14)
Имеем: <Рг(0) = Fi(x;h), ф(0) = G(x;h). Согласно лемме 5.1,
<^(0) = dFi(x; К) при каждом г = 1,2,..., J, и, далее, ^'(0) = dG(x\ К).
Подставляя эти выражения для производных в (5.14), получим (5.13).
Предположим, что / : U —> Мт, где U — открытое множество в Мп,
есть отображение класса Сг,г > 1. Тогда при к < г, к > 1 для всякого
х Е U и любого вектора ftEKn имеет место равенство:
£/(* + **)
= ^ ^в/Илв = <**/(*;Л). (5.15)
*=° \а\=г
Найдем производную, стоящую в левой части равенства (5.15), иным
путем. Прежде всего заметим, что справедливо равенство:
d f(x + th) = Y^-^-(x + th)hh. (5.16)
dt *—J dx
Дифференцируя его почленно, найдем, что
*1=1
Заменяя в равенстве (5.16) / на ——, получим:
4 ' 22=1
Отсюда
¥«' + "" = IEsrir(I + '**'.'
. гх<^г2
21=1 22 = 1
Продолжая рассуждение далее по индукции, получим равенство:
2*1=1 22=1 »fc=1

352 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Полагая t = О, получим:
P(x + th)
dkf
ЕЕ-'Е^г-аГ^-^'
. _ __ OXi^OXio • • • OXiu
*=0 гх = 1г2 = 1 г* = 1 х " *
(5.17)
Мы получили, таким образом, два различных выражения для ве-
dk
личины -jr-j^f(x + ^OL-o* одно Дается равенством (5.15), другое —
равенством (5.17). Очевидно, правая часть равенства (5.17) может быть
преобразована в выражение, стоящее в правой части равенства (5.15).
Исследуем, как это можно сделать.
Заметим, прежде всего, что, в силу теоремы 3.2, величина
д / , v __ Jk) / ч
dxhdxi2... dxik {х)" ;ал- ■•**(х)
не меняется, если произвольным образом переставить индексы ii, г'г,...,
%к- Произведение ?цк ... кг2Ыг, в силу известных свойств операции
умножения, при этом также сохраняет свое значение. Отсюда ясно, что
сумма в правой части равенства (5.17) содержит много одинаковых
слагаемых.
Пусть дана последовательность индексов / = (ii,i2,... ,«*), где
1 < i\ < п, 1 < %2 < п,..., 1 < ik < ^? и пусть n-мерный
мультииндекс а = (ai,a2,... ,ап) есть индикатриса а(1) этой
последовательности. Напомним, что согласно определению, данному в §3, это означает,
что при каждом s = l,2,...,nae есть число членов последовательности
(«i, 22,.. • ,ifc), равных s. Тогда, как показано в п. 3.3 этой главы, имеет
место равенство:
/iiA.....**И*** -ЬьЫг = (Daf)(x)h<*.
Обозначим через С (а) число наборов индексов / = (ii,«2,.. • ,u),
индикатрисой которых является n-мерный мультииндекс а. Объединяя
в сумме (5.17) совпадающие слагаемые, получим:
£/<*+**)
= £ C(a)(Daf)(x)ha. (5.18)
*=0 \а\=к

§ 5. Вычисление частных производных
353
Таким образом, мы получаем, что для всякой точки х Е U, каков
бы ни был вектор ftGKn, выполняется равенство:
P(h) = ^f(x + th)
= J2 C(a)(Daf)(x)ha = J2 ^Daf(x)h<*.
It=0 \a\=k \a\=k
(5.19)
Функция h н-> P(/i), таким образом, есть однородный полином
степени к переменной Л, и каждая из двух сумм в правой части равенства
(5.19) представляет собой каноническое представление этого полинома.
Так как каноническое представление полинома единственно, мы
получаем, что
C(a)(Daf)(x) = ^Daf(x). (5.20)
Положим U = Мп,ж = 0, f(x) = exp(xi + Х2 + • • • + хп). Как мы
знаем, Daf(x) = f(x) для любого а и /(0) = 1. Подставляя в (5.20)
данную функцию /, получим:
С(а) = -. (5.21)
к\
Таким образом, установлен комбинаторный смысл множителя —- в
а\
выражении для дифференциала порядка к функции п переменных. Ве-
к\
личина —^, где а — n-мерный мультииндекс такой, что Ы = fc, равна
а\
числу наборов индексов / = («i,«2,. • • ,«*), индикатрисой которых
является данный мультииндекс а. В частности, отсюда следует, что отно-
шение — где к = \а , всегда есть целое число,
а!
Приведем здесь еще некоторые сведения алгебраического характера.
Предположим, что всякому набору индексов I — («i,*2,.. •, ik)
длины fc, где 1 < %\ < п, 1 < %2 < п,..., 1 < ik < n, сопоставлен
вектор Uixi2„,ik £ Mm. Получаемый таким образом набор векторов и =
= (uhi2^.ik) будем называть тензором в пространстве Шп. Число к
при этом называется валентностью тензора и. Формально и есть
отображение множества
I* = 1п X In X • • • X In
s v y
к множителей
в пространство Mm. Будем говорить, что и : 1п —> Мп есть !:т-значный
тензор в Rn валентности к или, короче, и есть (п,&,т)-тензор.

354 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Пусть дан тензор
и : (ii,i2,...,ifc) £ I* ^ ^n^-u £ ^П-
Тензор и называется симметричным, если для любой перестановки
а : Ik —► Ife ранга fc имеет место равенство:
Иначе говоря, тензор и симметричен, когда величина Ui1i2...ik не
меняет свое значение, если произвольным образом переставить индексы
*i,t2,•••,**.
Пусть С/ — открытое множество в Rn, / : U —> Мп — произвольная
функция класса Сг, где г > к. Для всякой точки ж £ U и любого набора
индексов / = (ii, гг,..., г*) £ I* определен вектор
Для всякой точки х области С/, таким образом, определен
некоторый Мт-значный тензор валентности &, а именно тензор
/€!*•-> !>//(*).
Этот тензор, согласно теореме 3.2, является симметричным.
Данный пример объясняет причину нашего интереса к
описываемой здесь, на первый взгляд, экзотической алгебраической
конструкции.
Для обозначения тензора J 6 ^ и Dif(x), определенного здесь,
представляется целесообразным применять выражение (Vkf)(x).
Пусть u : (ii,«2,... ,ik) £ In *-* uhi2...ik £ Mm есть симметричный
Мт-значный тензор валентности к в пространстве Мп. Для
произвольного вектора h — (/ii, Л2» • • •»Лта) £ Мп положим
п п п
Р(Л) = (u, /ife) = ]Г J] ""' 12 *гЬ-ьЪь • • • hi2hh. (5.22)
li=l 22 = 1 *Л = 1
Функция h н-> АЛ^ . .*hi2hix, где А £ Rn, является мономом
степени fc. Правая часть равенства (5.22), таким образом, есть сумма
конечного числа мономов степени к и, следовательно, функция Р есть
однородный полином степени к.

§ 5. Вычисление частных производных
355
Равенство (5.22) будем называть тензорным представлением
полинома Р.
Пусть даны наборы индексов I = (ii, гг,..., г*) и J = (ji,J2, • • •, jk)-
Тогда один из них может быть получен перестановкой другого в том
и только в том случае, если их индикатрисы а(1) и a(J) совпадают.
Если a(I) = Oi(J) = а, то, в силу симметричности тензора u, Ui1i2...ik =
— u3iJ2--Jk- Общее значение векторов щ^...^, соответствующих всем
наборам индексов / = (ii,«2, • • • ->ik) таких, что а(1) = а, обозначается
символом и^. Объединяя в сумме (5.22) одинаковые слагаемые,
получим:
P(h) = (u,/ifc) = ]Г C(a)u{a}ha = J2 ^\u{a}ha. (5.23)
\a\=k \a\=k
Равенство (5.23) представляет собой каноническое представление
полинома Р. Для дальнейшего существенное значение имеет следующее
утверждение.
♦ Предложение 5.1. Пусть функция Р : Rn —> Rm является
однородным полиномом степени к > 1. Тогда функция Р может быть и
притом единственным образом представлена в виде
P(h) = (u,hk) = 22 z2 '" z2Uili2"'ikhik •••hi2hh>
где u : (г*1,г2,..., ik) £ In ^ uiii2...ik £ Rm есть симметрический тензор.
Действительно, пусть
J2A°ha
\a\=k
есть каноническое представление полинома Р. Зададим произвольно
набор индексов I = («1,^2,...,гп) £ !*• Пусть a = a(I) есть индикатриса
этого набора. Полагаем:
_ а!
Uhi2...ik — ^||Ла.
Тем самым вектор Щг12..лк определен для любой
последовательности индексов (н,г2,..., и) £ I*. Получаемый таким образом тензор

356 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
u : (ii,i2,.-. jifc) ■-► uiii-2---ik является симметричным. Рассуждения,
предшествующие данному предложению, позволяют заключить, что
Существование тензорного представления для полинома Р, таким
образом, установлено.
Пусть дано представление вида (5.22) полинома Р. Пусть I =
— (ii,22,..«,ifc) — произвольный набор индексов длины & и а = а(1)
есть его индикатриса. Тогда Щ1г2..лк = и^ и каноническое
представление полинома Р имеет вид
р(*> = Е ^{aV-
|a|=fc
Так как каноническое представление полинома единственно, то
из доказанного следует, что коэффициенты Uixi2...ik определяются по
полиному Р единственным образом, что и требовалось доказать. ♦
Отметим, что правая часть равенства (5.17) дает тензорное
представление дифференциала порядка к функции / в точке х. Это
представление полезно записать в несколько иной форме. Заметим, что для
вектора h = (/ii, /12,..., hn) dxi(h) = hi и, значит,
hix Ы2 ... hik = dxix (h)dxi2 (h)... dxik (h).
В результате получаем, что тензорное представление дифференциала
dkf(x) может быть записано в виде:
71 п п як*
dkn*) = Е Е • • • Е dXildXi2...dXikix)dXi* • • • dXi>dXh ■
2i = l г2 = 1 гк = 1
Пример. Покажем, как применить правила описанного здесь
исчисления полиномиальных форм к вычислению производных высших
порядков суперпозиции.
Пусть U С Мт, V С Мп — открытые множества и / : U -> Мп,
д : У —► Rk — функции класса С\г > 1. Предположим, что /(17) С V.
Тогда функция F = д о / определена на множестве U и принадлежит
тому же классу Сг.

§ 5. Вычисление частных производных
357
Пусть х означает произвольную точку Кт, произвольную точку Жп
будем обозначать символом у. Имеем:
dF
дх
дд_
(5.24)
при каждом г = 1,2,... , га. Умножая обе части этого равенства на <2жг
и суммируя по г, получим:
*f)'E¥N*=Es"«
j=i
dyj
i=i
%j
Отсюда
d2F(x) = d(dF(ar)) = J^ d
0£_
ofdfj
Применяя правило дифференцирования дифференциальных форм,
получим:
d2F(x) = '^2d
3 = 1
дд_
dyj
о/
<&+ЕЙо/)^
Заменяя в равенстве (5.24) <? на ——, получим:
^w=EE
j = l t=l
Имеем:
p=i
Окончательно получаем
^ = Е^ж^ = Е^*'
9=1
п п I п п
'ад-ЕЕЕЕ
р=1 д=1 \р=1 9=1
о/
мм
CfXp CfXn
ахpQ/X о~т~

358 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
»=l «=i i=i V yj / р я
+
р=1 q=l з-
Осталось отметить, что выражение
£Х
д29 dfj dfi
dyjdyi дхр dxq
j=l г=1
симметрично относительно р и q.
Правая часть равенства (5.25), таким образом, дает нам тензорное
представление полинома d2F(x). Коэффициенты тензорного
представления однозначно определены. Согласно равенству (5.16) заключаем, что
dxpdxq к ) ^^\ dyjdyi J дхр dxq £^\ dVj J j dxpdxq '
§6. Экстремумы функций многих переменных
Понятие точки локального экстремума для функций многих
переменных определяется совершенно аналогично случаю функций одной
переменной (см. главу 4) .
Точка а из области определения некоторой функции f есть точка
локального минимума функции, если для всех х, достаточно близких
к a, f(x) > f(a), и, аналогично, а есть точка локального максимума
функции f, если /(а) > f(x) для х, достаточно близких к а (точные
формулировки см. далее).
Здесь устанавливаются некоторые необходимые и некоторые
достаточные условия локального экстремума для вещественных функций,
определенных на открытых множествах пространства Ш71.
Простоты ради, мы будем далее применять термин «точка
максимума», вместо «точка локального максимума». Аналогичным образом
понимаются термины: «точка минимума» и «точка экстремума».
6.1. Необходимые условия экстремума
Пусть даны метрическое пространство (М,р), функция F : М —* R
и точка a Е М. Говорят, что а есть точка локального минимума
функции /, если существует е > О такое, что для всякого х Е М, для которого
р(х,а) < е, выполняется неравенство: F(x) > F(a).

§ 6. Экстремумы функций многих переменных
359
Точка a Е М называется точкой локального максимума функции
F : М —> М, если существует £ > 0 такое, что для всякого х Е М, для
которого р(х,а) < е, имеет место неравенство: -Р(ж) < ^(а).
Будем говорить, что а Е М есть точка локального экстремума
функции F : М —> М, если а есть или точка локального максимума, или
точка локального минимума этой функции.
Если а есть точка локального минимума функции F : М —> R, то
а будет точкой локального максимума функции F± = — F, а если а есть
точка локального максимума функции F, то а есть точка локального
минимума функции F\ = — F.
Данное замечание позволяет утверждения, касающиеся локальных
максимумов функции, получать как следствия аналогичных
утверждений относительно локальных минимумов, и наоборот. Далее, как
указано в аннотации, термин «локальный», как правило, опускается.
Следующее утверждение также будет использовано нами в
дальнейшем.
■ Лемма 6.1. Пусть даны метрические пространства (Mi,pi) и
(М2,/>2), отображение (р : Mi —> Mi и функция F : Мг —► М.
Предположим, что функция (р непрерывна в точке a Е Mi и b = (p(a) есть точка
максимума (минимума) функции F. Тогда а является точкой
максимума (соответственно, минимума) функции G = F о (р.
Доказательство. Предположим, что Ъ есть точка минимума
функции F. Согласно определению, это означает, что найдется е > О
такое, что если р2(у,Ъ) < е, то F(y) > Ъ.
Так как отображение ср, согласно предположению, непрерывно в
точке а, то найдется 6 > О такое, что если pi(x, a) < 6, то p2(ip(x),b) < e,
и, значит, в силу выбора е > О, F[(p(x)] > F(b). По определению, это
означает, что а есть точка минимума функции F о ср.
Случай, когда Ъ есть точка максимума функции F,
рассматривается аналогично. Следует только надлежащим образом изменить знаки
неравенств в проделанных рассуждениях.
Лемма доказана. В
Напомним некоторые сведения относительно квадратичных форм.
Вещественной квадратичной формой п переменных называется
функция Q : Шп —► R, допускающая представление
п п
Q(x) = у у aijXiXj,
г=1 j=l
где aij — вещественные числа такие, что aij = aji для любых г,
j = 1,2,...,п.

360 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Если Q есть квадратичная форма п переменных, то для всякого
числа АбЕи любого х &Rn имеет место равенство: Q(Xx) = \2Q(x).
Квадратичная форма называется неотрицательной
(неположительной), если Q(x) > 0 (Q(x) < 0) для любого вектора х.
Говорят, что Q — положительно определенная форма, если Q(x) >
0 для всякого ненулевого вектора жЕКп.
Если для любого х ф 0 имеет место неравенство Q{x) < 0, то
говорят, что Q есть отрицательно определенная квадратичная форма
п переменных.
Ясно, что если квадратичная форма Q неотрицательна, то форма
—Q неположительна, и обратно, из неположительности формы — Q
следует неотрицательность формы Q.
Аналогичным образом, если форма Q — положительно
определенная, то форма — Q является отрицательно определенной, а если форма
Q — отрицательно определенная, то форма — Q является положительно
определенной.
В курсе алгебры устанавливаются критерии неотрицательности и
положительной определенности квадратичной формы. Известно, что
для всякой квадратичной формы Q от п переменных существует
невырожденное линейное отображение L : Шп —± Шп такое, что имеет место
равенство:
QiL(y)] = у\ + • • • + Уг - Уг+i yl+m, (6.1)
где г > 0, т > 0, г + т < п.
Напомним, что линейное отображение L : Rn —> Rn называется
невырожденным, если оно взаимно однозначно отображает Rn на себя.
Из алгебры известно, что для того чтобы линейное отображение
было невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы определитель
матрицы этого отображения был отличен от нуля.
Правая часть равенства (6.1) есть квадратичная форма п
переменных 2/1,2/2, • • • ,2/п- Обозначим ее символом Dr,m(y). Имеем, очевидно:
Q(x) = Dr,m[L-1(x)].
Форма Dr,m в равенстве (6.1) называется диагональным
представлением формы Q.
Если квадратичная форма Q — неотрицательна, то в
ее диагональном представлении отсутствуют слагаемые со знаком «—»,
то есть диагональное представление Q в этом случае есть форма Dr,o-
Действительно, если г = п, то доказывать нечего.

§ 6. Экстремумы функций многих переменных
361
Предположим, что г < п и т > 0. Пусть Р есть множество всех
тех у £ Мп, у которых первые г координат равны нулю, Р есть
подпространство Rn.
Так как, по предположению, г < п, то Р содержит векторы,
отличные от нуля.
Пусть у Е Р и yr+i ф 0. Если т ф 0, то Dr,m{y) < 0.
Положим ж = 1/(у). Имеем:
Q(s) = Dr,m[L-\x)] = Dr,m(v) < °-
Мы приходит к противоречию с тем, что квадратичная
форма Q неотрицательна.
Если квадратичная форма Q — положительно определенная,
то ее диагональное представление есть форма Dn,o(y) = \y\2•
Действительно, в силу неотрицательности формы Q, ее
каноническое представление есть форма Dr,o-
Предположим, что г < п. Тогда для вектора у, у которого yr+i — 1
и?/г = 0 при г ф г + 1, выполняется равенство:
DrM = °-
Пусть х — L(y). Так как L есть невырожденное линейное
отображение, то х ф 0. В тоже время имеем:
Q(aO = £>r>o(l/) = 0,
что противоречит тому, что форма Q — положительно
определенная.
а Лемма 6.2. Если квадратичная форма Q : Rn —► R является
положительно определенной, то существует постоянная Л > 0 такая,
что для всякого вектора х Е Мп выполняется неравенство Q(x) > Л|ж|2.
Доказательство. Пусть Q — положительно определенная
квадратичная форма. Функция Q непрерывна в Rn.
Сфера 5(0,1) есть ограниченное замкнутое множество в
пространстве Жп и, значит, как было показано в § 6 главы 6 (следствие теоремы
6.4), 5(0,1) является компактным множеством.
В силу теоремы Вейерштрасса о наименьшем и наибольшем
значениях (теорема 6.5 главы 6), найдется точка хо Е 5(0,1) такая, что
Q(x) > Q(xo) для любого х Е 5(0,1). Положим Л = Q(xo).
Так как квадратичная форма Q — положительно определенная и
|жо| = 1, то хо ф 0 и, стало быть, Л > 0.

362 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Возьмем произвольно х £ Ж71. Докажем, что имеет место
неравенство Q(x) > \\х\2.
Если х = 0, то это верно. Пусть х ф 0. Положим
Л = £.
Pi
Имеем: |/г| = 1и, значит, /i Е 5(0,1) и Q(/i) > Л. Для всякого * 6 R,
каково бы ни было х £ Rn, имеет место равенство
Q(to)=*2Q(a;).
Отсюда получаем:
Q(x) = Q(№) = |z|2Q(fc) > A|z|2.
Лемма доказана. В
Установим некоторые необходимые и некоторые достаточные условия
локального экстремума для функций, определенных на открытых
подмножествах пространства Rn.
Справедливо следующее предложение.
а Теорема 6.1 (необходимые условия экстремума). Пусть U есть
открытое множество пространства Жп и F есть вещественная функция,
определенная на множестве U. Предположим, что a Е U есть точка
экстремума функции F. Тогда:
если функция F дифференцируема в точке а, то ее дифференциал
в этой точке тождественно равен нулю;
если функция F принадлежит классу С2, то ее второй
дифференциал в точке а есть квадратичная форма: неотрицательная,
если а есть точка минимума F, и неположительная, если a
есть точка максимума F.
Доказательство. Пусть выполнено условие теоремы. Зададим
произвольно вектор h еШп и. рассмотрим вектор-функцию <р : t G R ь-*
|—> a + th. Вектор-функция <р — непрерывна, множество U — открытое.
Так как (р(0) = а, то найдется 6 > 0 такое, что если |£| < 5, то
(p(t) e U. В силу леммы 6.1, 0 есть точка экстремума функции
g:te(-6,6)>-+F[<p(t)].
Из условий теоремы следует, что функция g в точке 0
дифференцируема. Так как 0 есть точка экстремума функции #, то в силу свойства

§ 6. Экстремумы функций многих переменных
363
точек экстремума для функций одной переменной, которое выражается
теоремой Ферма (теорема 4.1 главы 4), </(0) = 0.
Имеем: </(0) = dF(a]h). Вектор /iGln был выбран произвольно.
Следовательно, для всякого /iGin выполняется равенство dF(a; h) = 0.
Это и означает, что дифференциал функции F в точке а равен нулю.
Докажем теперь утверждение, относящееся к случаю, когда
функция F принадлежит классу С2. Зададим произвольно вектор /iGin
и положим, как и ранее, g(t) = F(a + th).
Функция д принадлежит классу С2. Если а есть точка минимума
функции F, то 0 есть точка минимума функции д, и, значит,
0(0) = 0, д"(0)>0.
Имеем:
g"(0) = d2F(a;h).
Мы получаем, таким образом, что для всякого /гЕ tn значение
второго дифференциала функции F в точке а на этом векторе h —
неотрицательно. Тем самым нами доказано, что
он представляет собой неотрицательную квадратичную форму.
В случае, когда а есть точка максимума функции F, рассуждения
проводятся аналогично.
Теорема доказана. ■
Замечание. Пусть дана функция F : U —> R, где U есть
открытое множество в пространстве Rn. Тогда условие —
дифференциал функции F в точке а тождественно равен нулю — равносильно
следующему.
Функция F дифференцируема в точке а и все ее частные произвол-
ЯЫв *£(.) в гочхе а равны нулв, Справ^восхь этого слмуеТ из
UXi
представления:
n 8F
dF(a) = J2—(a)dxi.
г=1
Предположим, что функция F, определенная на открытом
множестве U пространства Мп, дифференцируема в точке a G U. Точка a
называется стационарной точкой функции F, если
для всех г = 1,2,..., п.

364 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Теорема 6.1 утверждает, таким образом, что если точка а Е U, где
U — открытое множество в Еп, есть точка экстремума функции F, то
а есть стационарная точка функции F.
Обратное, вообще говоря, неверно, как видно из нижеследующих
примеров.
Пример 1. Пусть U = Ж2 и F есть квадратичная форма
F(x) = xl-xl
Точка 0, очевидно, есть стационарная точка функции F. В то же
время в любой окрестности точки 0 она принимает как значения,
большие 0 = -Р(О), так и значения, меньшие -F(O) = 0.
Пример 2. Пусть, как и в предыдущем примере, U= Ж2 а = (0,0) = 0.
Положим Fi(xi,X2) = х\ + х\, F2(xi,X2) = x\ + х\. Начало координат
0 является стационарной точкой для каждой из функций F\ и F2.
Имеем: F\ (0, —) > 0 и F\ (0, J < 0. Отсюда ясно, что 0 не
является ни точкой минимума, ни точкой максимума функции F\. Для
любых х\,Х2 F2{x\,X2) > 0 = 1*2(0,0), откуда следует, что 0 есть точка
минимума функции F2.
Особенность данного примера, отличающая его от предыдущего,
состоит в следующем. В примере 1 второй дифференциал функции F
в точке 0 есть квадратичная форма 2dxi — 2d#2- Эта квадратичная
форма не является ни неотрицательной, ни неположительной. Поэтому
тот факт, что 0 = (0,0) не есть точка локального экстремума функции
F, непосредственно вытекает из теоремы 6.1.
В данном случае, как для функции Fi, так и для функции 1*2,
второй дифференциал в точке 0 есть квадратичная форма 2dx\. Эта
квадратичная форма — неотрицательна. В то же время, как мы видим, 0
есть точка экстремума для функции F2 и не является точкой экстремума
для функции F\.
6.2. Достаточные условия экстремума
Следующая теорема показывает, что если несколько усилить
требования, налагаемые на второй дифференциал функции в данной ее
стационарной точке, то мы получим достаточные условия экстремума,
похожие на необходимые условия, устанавливаемые теоремой 6.1.
■ Теорема 6.2 (достаточные условия экстремума). Пусть даны
открытое множество U в пространстве Жп и функция F : U —> Е класса С2.

§ 6. Экстремумы функций многих переменных
365
Предположим, что точка a Е U является стационарной точкой функции
F. Тогда:
если второй дифференциал функции F в точке а есть
положительно определенная квадратичная форма, то а является точкой минимума
функции F;
если второй дифференциал функции F в точке а есть отрицательно
определенная квадратичная форма, то а есть точка максимума
функции F.
Доказательство. Пусть F : U —> R есть функция класса С2.
Предположим, что в точке a Е U первый дифференциал функции F
равен нулю, а второй представляет собой положительно определенную
квадратичную форму.
Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано,
получим:
F(x) = F(a) + \d2F(a;х - а) + а(х)\х - а\2, (6.2)
где а(х) —> 0 при х —» а.
По условию, квадратичная форма d2F(a;£) — положительно
определенная и, значит, согласно лемме 6.2, найдется Л > 0 такое, что для
всякого вектора (GKn выполняется неравенство: d2F(a;£) > А|£|2.
Применим это неравенство к правой части неравенства (6.2),
полагая в ней х — а — £. В результате получим, что для всех х Е U
выполняется неравенство
F(x) > F(a) + (| + «(я)) \х - а|2, (6.3)
Предел выражения — + а(х) при х —► а равен — > 0 и, значит, в
силу известных нам свойств предела, найдется 6 > 0 такое, что для
всякого х G U, для которого \х — а\ < 6, выполняется неравенство
± + а(х)>0.
Для таких х будем иметь:
F{x) = F(a) + (^ + Ф)) \х - а\2 > F(a).
Тем самым доказано, что а есть точка минимума функции
F на множестве U.
Заметим, что если \х - а\ < 6 и х ф а, то F(x) > F(a)
(неравенство строгое!).

366 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Предположим, что а есть стационарная точка функции F и ее
второй дифференциал в этой точке есть отрицательно определенная
квадратичная форма. Положим F±(x) = —F(x).
Функция Fi принадлежит классу С2, точка а является ее
стационарной точкой, а ее второй дифференциал есть квадратичная форма
d2jFi(a;£) = — d2F{a\£) и, следовательно, представляет собой
положительно определенную квадратичную форму.
В силу доказанного, отсюда вытекает, что а есть точка локального
минимума функции JFi, и, значит, а есть точка локального максимума
функции F — —F\.
Теорема доказана полностью. ■
Читатель может заметить, что между необходимыми
условиями теоремы 6.1 и достаточными условиями теоремы
6.2 имеется некоторое «расхождение». Если a £ U есть стационарная
точка функции F £ С2 и второй дифференциал функции F в точке a
есть неотрицательная квадратичная форма, то примеры, приведенные
выше, показывают, что в этом случае точка а может не быть точкой
экстремума функции F. Единственное, что мы можем утверждать в этом
случае, — если второй дифференциал функции F в точке а не равен
тождественно нулю, то а не является точкой максимума функции F. Если,
однако, несколько усилить требования, налагаемые на второй
дифференциал функции F в точке а, а именно, — потребовать, чтобы второй
дифференциал функции F в этой точке был положительно определенной
квадратичной формой, то а будет точкой минимума функции /.
Для функций одной переменной в случае, когда в некоторой точке
первая и вторая производные функции обращаются в нуль, ответ на
вопрос — будет ли эта точка точкой экстремума функции — можно
найти, привлекая производные более высоких порядков. Для функций
многих переменных имеются лишь отдельные результаты, полезные при
исследовании функции на экстремум в случаях, когда ответ не удается
получить, используя производные первого и второго порядка (см. далее
задачу 7.26).
Необходимость в нахождении точек экстремума функции возникает
при решении задачи об отыскании наибольшего и наименьшего
значений функции. Для функций многих переменных эта задача оказывается
значительно сложнее, чем для функций одной переменной. Ее решение
требует весьма кропотливого исследования, рассказать о котором даже
в самых общих чертах здесь не представляется возможным. Теоремы,
доказанные в этом параграфе, представляют собой лишь один из этапов
такого исследования.

§ 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения
367
§ 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения
Для функций одной переменной в главе 4 была доказана теорема о
дифференциальных свойствах обратной функции. Для функций многих
переменных мы пока не имеем теоремы такого рода. Более того, в нашем
распоряжении нет подходящих общих теорем о существовании обратной
функции. Цель настоящего параграфа — восполнить хотя бы частично
этот пробел в изложении дифференциального исчисления для функций
многих переменных.
Следует сказать, что для функций многих переменных ситуация
оказывается существенно сложнее, чем для функций одной переменной.
Рассмотрим следующую задачу. Дано открытое множество U в
пространстве RN, где N — n + m, и функция F :U —> M™.
Изучим уравнение F{x\,X2,.. .xn,yi,.. .ym) = 0. Данное уравнение
равносильно следующей системе из m уравнений, левые части которых
есть вещественные функции:
F(X1,X2, ...Xn,yi,... Ут) = 0,
F(xi,X2, . . .Xniyu . . .ут) = 0,
F(Xi,X2, . . .Xn,yi, . . .ут) = 0.
Пусть с = (ai, a2,..., an, b±,... Ъш) есть решение этой системы,
то есть
Fi(ai,d2,... ,an,bi,.. -bm) = 0
при каждом % — 1,2,..., m. В этом параграфе устанавливаются
условия, когда данная система в выбранной надлежащим образом
окрестности точки с G RN может быть разрешена относительно переменных
у\, ?/2,..., Ут, то есть заменена эквивалентной ей системой вида:
1/1 = (pi(xi,X29-..9Xn),
У2 = Р2(Ж1,Я2,...,Жп),
Ут — <Рт (ж1,Ж2,...,Жп).
Исследование вопросов, рассматриваемых здесь, будет продолжено
во второй части этой книги — в главе 10. Там же приводятся
доказательства основных результатов этого раздела, основанные на других
соображениях.

368 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
7.1. Простейшая теорема о неявных функциях
Здесь мы докажем простейший частный случай теоремы о
неявных функциях, получаемый, когда система уравнений состоит из одного
уравнения. Доказательство общего результата, который будет приведен
в п. 7.2, выводится отсюда с помощью некоторых формальных
преобразований.
Условимся относительно обозначений, используемых в формулировке
и доказательстве теоремы 7.1.
Пусть z — (#i,... ,#n,£n+i) — произвольная точка пространства
Mn+1. Полагаем #n+i = У и символом х обозначим точку пространства
Мп, определяемую первыми п компонентами точки z, то есть х = (х\, #2,
... ,#п). В соответствии с этим точку z будем рассматривать как пару
(ж, у).
Для произвольной функции /, заданной на подмножестве
пространства Rn, величину /(г), в соответствии с этим, будем обозначать сим-
волом fix,у). Для производной — (z) будем использовать также
ОХп+1
обозначение -т— (х,у).
дук
Ш Теорема 7.1 (простейшая теорема о неявных функциях). Пусть
U есть открытое множество в пространстве Rn+1, F : U —> R —
непрерывная функция, имеющая частную производную
OF dF, .
dxn+i dy
dF
в каждой точке z £ U, причем функция z i—► -rr~(z) на множестве U
dy
непрерывна. Предположим, что существует точка с = (а, Ь) множества
U, где а е Жп, b e Ж, для которой выполняются условия:
F(c) = 0, Щ(с)фО.
Тогда найдутся числа 6 > О и 7] > О такие, что всякая точка z = (х,у),
для которой \х — а\ < 6 и \у - Ь\ < г/, принадлежит множеству U, и
существует непрерывная функция ср : Б (а, 5) —> Ш такая, что для всех
х Е Б(а, 6) величина <р(х) принадлежит интервалу (Ь — г],Ь + rj) и
выполняется равенство:
F[x,<p(x)] = 0.

7. Теорема о неявных функциях и ее приложения
369
Для х £ -В(а, 6) значение у, лежащее в интервале (b — r],b + rj) и такое,
что выполняется равенство F(x,y) = 0, единственно и равно tp(x).
Замечание 1. Относительно функции <р, указанной в
формулировке теоремы, говорят, что эта функция определяется неявно
уравнением: F[x,(p(x)] = 0.
Замечание 2. Утверждение теоремы равносильно
следующему. Уравнение F(x,y) = 0 на множестве W = В(хо,6) х (b — r],b + rj)
эквивалентно уравнению <р(ж) = у. Действительно, если <р(х) = у, где
а; £ В(а,6), а у £ (Ь — г},Ъ + г)), то F(x,y) = 0. Обратно, если (о;,у) £ W,
то, согласно теореме, у = <р(#), то есть <р(ж) = у. Таким образом, всякое
решение одного из уравнений F(x,y) = 0 и у?(ж) = у, принадлежащее
области W, является также решением другого уравнения.
Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия те-
dF
оремы. Будем считать, что -jr— (а,Ь) > 0 (в случае, когда указанная
производная отрицательна, F заменяем на — F). По условию,
производная dyF = -^— является функцией, непрерывной на множестве £/.
OF
Имеем: -^— (с) > 0. В силу непрерывности функции c^F, найдется
г > 0 такое, что шар В(с,г) содержится в множестве £/, и для всех
z £ В(с,г) выполняется неравенство: dyF(z) > 0. Положим ц = —у= и
пусть р = (а, Ь — г/), g = (а, Ь + 7?). Пусть точка z = (ж, у) £ En+1 такова,
что |ж — а\ < г], а у Е [Ь — г/, Ъ + rj\. Тогда
\z — с\ = у |ж — а|2 + (у — Ь)2 < уг}2 + г)2 = 7?л/2 = г
и, следовательно, для любых ж £ Rn и у £ [Ъ — г/, Ь + rj\ точка z = (#, у)
принадлежит шару В(с,г) С U. Из определения шара В(с,г) следует,
что для таких ж и у выполняется неравенство: dyF(x,y) > 0. Для
х £ Rn такого, что |а: — а| < г/ положим Gx(y) = F(x,y). Имеем:
(%(?/) = dyF(x,y) и, значит, по доказанному, G^(y) > 0 для любого
2/ £ [Ь — г\,Ъ + rj\. Отсюда вытекает, что если \х — а\ < г?, то функция
Gx(y) является строго возрастающей на промежутке [Ь — г], Ъ + rj\.
В частности, функция Ga ' У •—> F(a,y) является строго
возрастающей в промежутке [Ь—г/, b+rj\ и потому F(p) = F(a, Ъ—rj) < F(a, b) = 0 <
< F(a,b + 77) = ^(д). Отсюда вытекает, что F(p) < 0, а F(q) > 0.
Функция F, по условию, непрерывна и, значит, найдутся 6± > 0 и <$2 > 0
такие, что если |ж — а| < 6i, то F(x,Ь — rj) < 0, а если \х — а| < #2, то
F(^,b + r?) >0.

370 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Пусть 6>0 есть наименьшее из чисел £i, 62 и 7?. Пусть W =
= В(М) х [Ь — т|,Ы-1|], W = В(а,«) х (Ь — т|,Ь + т|)- Имеем: W CW.
Так как <$ < г/, то множество ТУ содержится в шаре В (с, г).
Множество W представляет собой цилиндр, нижнее основание
которого состоит из точек z = (#,6 — 77)5 а верхнее образовано точками
2? = (ж, Ь + гу). При этом х в обоих случаях должно быть таково, что
\х — а\ < 6.
Если xGln таково, что \х — а\ < 6, то \х — а\ < <5i, и одновременно
|ж — а| < ^2- Отсюда вытекает, что для данного х выполняются
неравенства: F(x,b — 77) < 0 и F(x,b + г]) > 0. Мы получаем, что функция
F(x,y) на нижнем основании цилиндра W всюду отрицательна, а на
верхнем его основании — всюду положительна. Из условия \х — а\ < 6
следует, что \х — а\ < г] и, значит, по доказанному, функция F(x,y)
является строго возрастающей на всяком отрезке, соединяющем точку
(x,b — rf) нижнего основания цилиндра W с точкой (x^b + rj) его верхнего
основания.
Отсюда вытекает, что для всякого х ЕЖп такого, что \х — а\ < 6,
найдется значение у Е (Ь — т],Ь + г/), для которого F(x,y) — 0. Такое
значение у — единственно, в силу того, что для данного х функция Gx
является строго возрастающей на промежутке [Ь — г], Ъ + г}}.
Таким образом, нами установлено, что существуют числа 6 > 0 и
г) > 0 такие, что множество W = В(а,6) х [6 — ry, b + rj\ содержится в
множестве U и для всякого х Е Б (а, 6) существует и притом только одно
значение у = <р(#) такое, что Ъ — г)<у<Ъ + г),ж выполняется равенство
F[x,ip(x)} = 0.
Докажем непрерывность построенной функции (р. Возьмем
произвольно точку хо Е В(а,6). Пусть уо = <р(хо). Зададим
произвольно последовательность {xu)v&* точек шара В (а, 6), имеющую пределом
точку хо. Положим: yv — cp(xv). При каждом v E N точка г/ь,
принадлежит сегменту [b — rj^b + rj]. Последовательность (yv)veN, таким образом,
является ограниченной. Пусть (уик)ке^ есть произвольная ее
сходящаяся подпоследовательность, у = lim yUk. Очевидно, b — r]<y<b + r].
к—>оо
При каждом /с Е N имеем: F{xVk,yVk) = 0. Переходя к пределу при
Аг —> оо, в силу непрерывности F, получим, что F(^o,y) = 0. Так как
значение у Е [6 — г),Ъ + г/], для которого F(xo,y) = 0, единственно, то,
следовательно, мы получаем, что у = у0 = <р(#о)-
Из доказанного вытекает, что все частичные пределы
последовательности (yv)v& равны уо- В частности, верхний и нижний пределы
этой последовательности равны уо. Следовательно, мы получаем, что
у о = Ит ?/„.
1/—>оо

§ 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения
371
Так как последовательность (^i/)i/gn точек шара В(а, <5), сходящаяся к
точке #0, была выбрана произвольно, то, в силу критерия Гейне
существования предела, выполняется равенство:
ср(х0) =Уо= Ит ср(х).
X—+XQ
Тем самым доказано, что функция ср непрерывна в точке xq.
Так как хо Е В(а,6) взято произвольно, то тем самым
непрерывность функции ср установлена.
Теорема доказана. ■
Исследуем дифференциальные свойства функции ср,
заданной неявно уравнением F[x,ip(x)] = 0. Мы сможем установить наличие
«хороших» дифференциальных свойств у функции ср при условии, что
функция F принадлежит классу Сг для некоторого г > 1.
Далее используются те же обозначения, что и в теореме 7.1.
■ Теорема 7.2. Пусть U есть открытое множество в пространстве
En+1 и F : U —> Е — функция класса Сг, где г > 1. Предположим,
что открытое множество G пространства Ш71 и определенная на нем
непрерывная вещественная функция ср таковы, что для всякого х Е G
точка z(x) — (я, ср(х)) принадлежит множеству U, причем выполняется
равенство
F[z(x)] = F[xM*)]=0
dF
и производная -jr-(z) в точке z(x) отлична от нуля. Тогда функция ср
принадлежит классу С ив каждой точке х Е G для всякого % — 1,2,..., п
имеет место равенство:
dxi(X) dF{ * ^Л)
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Рассмотрим сначала случай, когда функция F принадлежит классу С1.
Докажем, что функция ср в каждой точке х Е G имеет част-
ные производные ^-(я), причем эти производные выражаются равен-
ох%
ством (7.1). Зададим произвольно точку хо Е G. Положим уо = ср(хо),
zo = (х0,уо) = z(x0).

372 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Функция х Е G ь+ z(x) Е Rn+1 непрерывна. Точка zq принадлежит
множеству U. Множество U — открытое и, значит, найдется ei > О
такое, что B(zo,£i) С U.
8F
Функция "тг— на множестве U непрерывна и ее значение в точке zo
ду
отлично от нуля. Отсюда следует, что найдется в2 > 0 такое, что если
dF
\Z - 2о| < 62, ТО -£-(z) ф 0.
Пусть е = min{ei, 62}, £ > 0. Так как множество G — открытое,
то найдется <5i > 0 такое, что B(xq,6i) С G.
Так как отображение z : x Е С? ь-> (ж, ^(ж)) непрерывно, то найдется
<?2 > 0 такое, что если х Е G удовлетворяет неравенству \х — хо\ < #2,
то |jz(:e) — z(xo)\ < е.
Пусть 6 = min{<5i, #2}, <5 > 0. Оставляя остальные координаты
точки хо неизменными, придадим ее г-й компоненте хог приращение h
такое, что \h\ < 8.
Пусть х есть полученная в результате точка пространства Rn.
Имеем: х = хо + hei и \х — хо\ = |/г| < <5 < <5i и, стало быть, х € G.
Положим у = ^(#)5 и пусть ^ = (я, у). Имеем: -Р(г) = 0 и -Р(^о) = 0.
Пусть u(t) = F[zo+t(z—zo)]. Так как |ж—#о| < <5, то |^г:—^гто| < £ < £i,
и, значит, ^о + t(z — zo) Е U для любого £ Е [0,1]. Отсюда следует, что
u(t) определено для любого t Е [0,1]. Так как, по условию, функция
F принадлежит классу С1, то функция и дифференцируема для всех
значений t Е [0,1], причем и(1) = F(z) = 0 и гг(0) = i^o) = 0.
В силу теоремы Ролля (теорема 4.2 главы 4), найдется в Е [0,1]
такое, что и'{в) = 0. Подставляя выражение для величины и'{О) через
производные функции F, получим:
0 = и'(в) = dF[z0 + 0(z - zo),z - zo) =
^ dF dF
У вектора z — zo компонента с номером г равна /г, компонента с
номером п + 1 равна у — уо = ¥>(#) — ^(#о), а все остальные компоненты
вектора z — zo равны нулю. Из равенства (7.2) поэтому следует:
^-[zo + 0(z - z0))h + §^0 + 0(z - го)][ф) - фо)] = 0. (7.3)
Так как, по условию, \х — хо\ < 6 < #2, то \z — zo\ < e < £2-
Это позволяет заключить, что точка zo + 0(z — zq) отстоит от точки

§ 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения
373
zo на расстоянии, меньшем £2, и, значит, значение в этой точке
производной dyF функции F отлично от нуля.
Принимая во внимание, что х = хо + hei, из (7.3) получаем:
dF
ф0 + 1ге1)-фо)__ д^[го + Нг-го)\ {1Л)
h !*L[xo + 6{z-zo)\
При h —> О будет z = z(x) —> z(xq) = zq и, стало быть, в силу
непрерывности производных функции F, правая часть равенства (7.4)
при h —> О стремится к конечному пределу, равному
~~ ~Wf *
— [х0,(р(х0)]
По определению, предел
,. <р{хо + hej) - <р(хр)
/i—o h
есть частная производная ——(#о)-
Точка жоЕб была выбрано произвольно и, следовательно,
доказано, что функция ср имеет производную -р~-{х) в каждой точке х множе-
OXi
ства G для любого номера г такого, что 1 < г < п. При этом
выполняется равенство (7.1).
Производные функции F непрерывны. По условию, функция ip так-
же непрерывна. Из (7.1) поэтому следует, что функции —— непрерыв-
ох%
ны. Тем самым доказано, что функция ср принадлежит классу С1. Для
случая г = 1 теорема, таким образом, доказана.
В общем случае справедливость утверждения теоремы 7.2
устанавливается индукцией по г.
Для г = 1 требуемый результат установлен.
Предположим, что для некоторого г доказано, что если F Е Сг, то
также и (р Е Сг. Пусть F есть функция класса Cr+1. Тогда F
принадлежит также и классу Сг, откуда следует, что (р Е Сг.

374 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
8F
Производные —— функции F принадлежат классу Сг. Из (7.1) по-
OXj
этому следует, что функция —— есть функция класса Сг.
ОХг
Мы получаем, таким образом, что все производные первого порядка
функции (р являются функциями класса Сг. Отсюда следует, что сама
функция (р принадлежит классу Cr+1.
По индукции, таким образом, установлена справедливость
утверждения теоремы о принадлежности функции ср классу Сг.
Теорема доказана. ■
7.2. Общая теорема о неявных функциях
Пусть X и Y суть произвольные конечномерные векторные
пространства, L : X —> Y — линейное отображение. Множество Н = L(X)
представляет собой некоторое подпространство Y.
Размерность dimH подпространства Н = L(X) называется
рангом отображения L. Размерность Н не превосходит размерность
каждого из пространств X и Y, то есть dimi? < dimX и одновременно
dim Я < dimY.
Линейное отображение L называется невырожденным, если его ранг
равен наименьшему из чисел dimX и dimY.
Далее мы будем рассматривать функции, определенные в
пространстве Rn+m, где п > 1 и га > 1 — целые числа. Для произвольной точки
z Е Rn+m пусть 7Th(z) есть точка х = (х\,Х2,... ,хп) Е Rn, Х{ = zi при
всяком г — 1,2,..., п, и 7rv(2:) есть точка у = (j/i,..., Ут) Е Rm, yj = zn+j
для любого j = 1,2,... т.
Пространство Rn+m будем рассматривать как прямое произведение
Rn х Rm, отождествляя произвольную точку z Е Rn+m с парой (я,у),
где я = 7гь(г), У = nv(z).
В соответствии с этим, если даны множества А С Rn и J5 С Rm, то
множество А х Б мы отождествляем далее с совокупностью всех точек
z Е Rn+m, для которых 7rh(z) Е А и ttv(z) Е J5.
Для произвольной функции / : А —> Rm, где А С Rn+m, ее
значение в точке z = (ж,у), ж Е Rn, у Е Rm обозначим символом f(x,y).
(Формально следовало бы применять обозначение /((ж,у)).)
Пусть U — открытое множество в пространстве Rn+m, /:£/—► Rm
— отображение класса Сг, г > 1. Тогда в каждой точке z E U
определено линейное отображение dfz — дифференциал отображения f в точке z.

§ 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения
375
Матрица линейного отображения dfz имеет вид:
Л
I дхг
df2
дхх
\ дх\
дх2
df2
дх2
дх2
. Ell.
дхп '
. df2
дхп '
dfm
дхп '
UIl. .
дУ1
df2 .
dyi
dfm
&У1
дУт
дУт
дут
(7.5)
где значения частных производных берутся в точке z.
Данная матрица называется матрицей Якоби отображения f в
точке z и имеет га строк и п + т столбцов.
Отображение / называется невырожденным в точке z E С/, если
линейное отображение dfz является невырожденным, то есть его ранг
равен т — размерности пространства Rm. Это условие, как
известно из алгебры, означает, что, по крайней мере, один из миноров
порядка т матрицы линейного отображения dfz отличен от нуля.
Далее мы будем предполагать, что отличен от нуля минор,
образованный элементами последних т столбцов матрицы (7.5).
Общий случай, очевидно, сводится к этому изменением
нумерации компонент вектора z — (ж, у).
■ Теорема 7.3 (теорема о неявных функциях). Пусть U есть
открытое множество в пространстве Rn+m, F :U -► Mm — отображение
класса Сг, где г > 1. Предположим, что точка с = (яо,Уо) £ U такова,
что F(c) = F(xo,yo) = 0, и минор, образованный последними m
столбцами матрицы Якоби отображения F, отличен от нуля. Тогда найдутся
открытое множество V пространства Rn и открытое множество W в
пространстве Rm такие, что V х W С U, a £ V, b £ W, и для всякого
х G V существует и притом только одна точка у = ср(х) Е W такая,
что точка z = (х,у) принадлежит множеству С/, причем выполняется
равенство F(x,cp(x)) = 0.
Определенная таким образом функция <р : V —► Rm принадлежит
тому же классу гладкости Сг, что и исходное отображение F.
Доказательство. В случае m = 1 условие, касающееся матрицы
8F
Якоби отображения F, сводится к условию: -тг~(с) Ф 0- Из теорем 7.1 и
ay
7.2 поэтому следует, что при m = 1 теорема верна, каково бы ни
было п.
Предположим, что для некоторого m > 1 справедливость теоремы
установлена при любом п.
Докажем, что в этом случае теорема остается верной, если
заменить га на га + 1. Произвольную точку z пространства fl£n+m+1

376 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
будем представлять как тройку (я, £, и), где х = (ал, #2,..., жп) ЕМП —
вектор в Еп, образованный первыми п компонентами вектора £, £ есть
(п + 1)-я компонента вектора г, г* = (г*1,г/2,. • • ,^m) G Мт — вектор,
образованный последними m компонентами вектора я.
Имеем: ж* = £г при каждом г = 1,2,... ,n, £ = zn+i, %' = £n+j+i
при любом j = 1,2,..., m.
Пусть U есть открытое множество в пространстве Kn+m+1 и пусть
F :U —> Rm+1 — отображение класса Сг,
F(s) = (Fi(z),..., Fm(s), Fm+i(*)).
Предположим, что в точке с = (жо, to, г/о) G U минор порядка т +1,
образованный последними столбцами матрицы Якоби отображения F,
отличен от нуля. Отсюда, в силу известных из алгебры свойств
определителей, следует, что среди миноров порядка т этой матрицы,
образованных элементами последних т столбцов, по крайней мере, один
отличен от нуля.
Будем считать, что отличен от нуля минор, образованный
элементами первых т строк и последних т столбцов. Этого, очевидно, всегда
можно добиться, изменяя нумерацию компонент вектор-функции F.
Положим: F(x,t,u) = (Fi(x,t, u),F2(x,t,u),... ,Fm(x,t,u)).
Минор m-го порядка матрицы Якоби отображения F,
образованный элементами ее последних т столбцов, совпадает с тем
минором порядка т матрицы Якоби отображения F, который стоит на
пересечении первых т строк и последних т столбцов этой матрицы и,
следовательно, отличен от нуля.
В силу предположения индукции, найдутся открытое множество
G в пространстве Rn+1 и открытое множество Н в М™ такие, что
(xo,to) G G, uq G H, G х Н С U и для всякой точки (ж, t) G G существует
и притом только одна точка и — х(#, t) G V такая, что F[x, £, х{х-> *)] = 0.
Функция х-, определенная таким образом, принадлежит тому же классу
гладкости Сг, что и отображение F.
Положим Ф(я,£) = Fm+i[x,t,x(xit)).
дФ
Докажем, что производная — (яо,£о) отлична от нуля.
Дифференцируя соотношение Ф(я,£) = Fm+i[x,t,хОМ)] п0 *>
получим:
¥(M) = -rW + ^-^-W¥(M), (7.6)
где z = (ж,*>х(М))-

§ 7. Теорема о неявных функциях и ее приложения
377
Из условия F[x, £, х(#> *)] = 0 следует, что при каждом г = 1,2,..., т
имеет место равенство: Fi[x,x(x>t)>t] — 0 для любой точки (x,t) Е G.
Дифференцируя это равенство по переменной £, получим:
772
где, как и выше, г = (ж,<,х(#5*))-
дФ
Предположим, что производная -~r(xo,to) равна нулю.
С/Ъ
Положим —jT^-(xo,to) = Aj. Полагая в (7.7) ж = хо и t = to и
z = с = (жо,х(#о,£о),£о), выпишем равенства, получаемые при
изменении индекса г в пределах от 1 до ш:
Л (с) + S^WAi + ... + |^-(c)Am = 0
^(с) + ^(c)Ax + ... + |^-(c)Am = 0
-(с) + -5—(c)Ai + ... + ^—(c)Am = 0
(7.8)
dum+i du\ dur
дФ
Предположим, что производная -^-r(xo,to) равна нулю. Тогда, в
силу (7.6), имеет место равенство:
Ж^Г(С) + ~^T(c)Al + • • •+ -а^(с)а- = °- (7'9)
Рассмотрим систему линейных уравнений:
dum+i dui ди
т
m(c)i+a£ml + -+^(c)(m = o,
dum+i dui диш
dFm , Л S-Fm / \ > . . &Fm / ч ^ Л
(7.10)
5um+i ди\ дит

378 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
- (с)£ + —5 (c)fi + • • • + 5 - (c)gm = 0.
Определитель этой системы в точности совпадает со
значением в точке с = (xo,to,uo) минора матрицы Якоби отображения F,
образованным элементами последних m +1 столбцов и, по условию,
отличен от нуля. Отсюда, в силу известных из алгебры теорем о решении
системы линейных уравнений, вытекает, что £ = £i = £2 = • • • = £m = 0.
Из равенств (7.8) и (7.9) вытекает, однако, что система чисел 1, Ai,
A2,...Am является решением системы уравнений (7.10). Но поскольку
1 ф 0, то тем самым получено противоречие.
дФ
Итак, допущение, что производная -тг-(#о,£о) обращается в нуль,
at
приводит к противоречию и, следовательно, эта производная отлична
от нуля.
Применим теперь теоремы 7.1 и 7.2 к уравнению
Ф(М) = 0. (7.И)
Согласно теореме 7.1, найдутся числа 6 > 0 и г/ > 0 такие, что если
\х — хо\ < <5, a \t — *о| < Ч? то (x,t) Е (?, и для каждой точки х Е Мп,
удовлетворяющей условию |гг — гсо| < 8, существует и притом только
одно значение t £ (to — rj,to + rj) такое, что Ф(я,£) = 0. Это значение t
обозначим через ф(х).
Определенная таким образом вещественная функция ф
принадлежит тому же классу гладкости, что и функция Ф, то есть ф Е Сг. Для
всякого х Е В(хо,6) имеем: Ф[х,ф(х)] = 0.
Положим W = В(хо, 6) и V = (to — rj.to + г]) х Н, W есть
открытое множество в пространстве Rn, V является открытым множеством
в пространстве ]Rm+1.
Для всякого х Е W = В(хо,6) точка t = ip(x) принадлежит
интервалу (to — rj, to +г)) и, значит, (х,ф(х)) Е G. Отсюда следует, что для
этого х определена точка х[х^Ф(х)] = 0(х).
Положим (р(х) = (ф(х),в(х)). Имеем:
F[x,cp(x)] = F[a?,t,x(M)]i
где t = *ф(х).
Покажем, что F[x,<p(x)] = 0 для всякого х Е В(х,6). При
г = 1,2,...,т имеем: Fi[x,t,x(x>t)] = 0 на множестве G С Mn+1.
Полагая в выражении Fi[x,t,x(x>t)] t = ф(х), мы, очевидно, получим
выражение Fi[x,(p(x)], так что все компоненты вектора F[x,<p(x)], номера
которых не превосходят т, тождественно равны нулю.

Задачи
379
Имеем: Fm+i[:c,t, х(х^)] = &(x,t). Функция ф была выбрана так,
что равенство Ф[х,,ф(х)] = 0 выполняется для всех х Е В(хо,8).
Полагая t = ф(х) в Fm+\[x,t,x{x)t)\-> мы5 очевидно, получим выражение
Fm+i[x,i/;(x), в(х)]. Отсюда следует, что для всякого х Е В(хо, б) также
и компонента с номером т + 1 вектора F[x,ip(x),0(x)] равна нулю.
Функция х н-» (г1>(х),0(х)) Е Rm+1 принадлежит классу Сг, как
следует из доказанных ранее теорем о свойствах функций классов Сг (см.
§3 этой главы).
Итак, построены открытые множества W в Rn и V в Rm+1
такие, что для всякого х Е W существует у = <р(х) Е V такое, что
F[(x,<p(x)]=0.
Покажем, что такое у единственно. Действительно, пусть
у = (t,u), где t Е R, а и Е Rm таково, что F(x,t,u) = 0. Имеем:
V* = (to ~ ^7, to + г]) х Н. Отсюда следует, что t E (to — V^o + г?), и,
значит, (#,t) E В(жо,<5) х (to - ??,to + v) С G.
При г = 1,2,..., т выполняется равенство: Fi(x, t, и) = 0. Отсюда
следует, что и = x(#,t). В частности, мы получаем, что для данных
ж, t и гх имеет место равенство:
-Fm+i(M,u) = Fm+i[x,t,x(x,t)] = Ф(ж,«).
Так как ж Е -В(жо,<5), at E (to — ry, to — ту), это позволяет
заключить, что t = ^(ж)- Окончательно получаем, что t = ^(ж)? а
г/ = х[^5^(ж)] = 0(ж)> то есть у = (t,u) = (гр(х)в(х)) = р(х).
Единственность у доказана.
Мы получаем, таким образом, что если утверждение теоремы верно
для некоторого га, то оно остается верным, если га заменить на т + 1.
Для т = 1 теорема верна. По индукции из доказанного вытекает, что
доказываемое утверждение верно для всех п и га.
Теорема доказана. ■
Задачи
7.1. При каких значениях а > 0 функция
/:(ж1,ж2,...,жп)ЕМпн-> (х\ + x* + --- + xl)a/2 :
1) дифференцируема в точке (0,0,..., 0)?
2) принадлежит классу СГ(МП), где г > 1?
7.2. Найти второй дифференциал функции
1 1
(где г — вещественное) в точке а Е Rn, а ф 0.

380 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
7.3. Найти второй дифференциал функции
Xi Xi
7.4. Определить дифференциалы первого и второго порядка функции
/п-1 \ Л/2
/: (ж1,а?2,...,яп) «-> 1 У^ ж? - ж2
7.5. Функция f : U -+ R, U С Кп, принадлежит классу С°°. Выразить через
дифференциалы функции / дифференциал порядка г функции р(ж) = [/(ж)]2.
ж
7.6. Определить дифференциал функции ср : х Е Мп \ {0} «-> ——г в произволь-
|ж|2
ной точке хо ф 0 ее области определения.
7.7. Пусть и = /(г), где / : (0, со) —* R, г = уж2 + у2 -f z2. Показать, что
д2и д2и д2и „, ч „
—— + -—5- + т—г- = F(r). Вычислить функцию F(r).
oxz дуг oz*
7.8. Исследовать на дйфференцируемость функцию ж Е Мп «-» 1 + |ж| — е^ж' в
точке ж = 0.
7.9. Доказать, что функция / : ж >-» sin |ж| — |ж|, ж € W1, дважды
дифференцируема в точке ж = 0. Найти-d3/(0).
7.10. Доказать, что функция (х,у) ь-> |ж| + |у| не является дифференцируемой
в точке (0,0) ем2.
7.11. Найти дифференциал в точке (0,0,0) функции
(жьЖ2,жз)
ап +Ж1 а\2 ^13
^21 ^12 + Х2 CL23
аз1 ^32 азз + х$
7.12 Доказать, что функция cos yjx\ + ж| принадлежит классу С°°(М2).
<92u <92и <92гг
7.13. Найти значение величины —о + тт~о Н •" 7Г~Т для Функции
дх\ дх% дх^
и : (ж1,Ж2,...,жп) ь-» cos ( уж| +х\ Л Ь ж2 1
в точке (0,0,... ,0).
д4и
7.14. Определить значение в точке (0,0) производной -———- функции
дх\гдх2г
и:{хих2)^ ~2 -J-
1 - «1 - «2

Задачи
381
sin \х\
7.15. Доказать, что функция F : х Е Rn\0 н-» , , , F(0) = 1, принадлежит
\х\
классу Сг при любом г > 0.
7.16. При каких значениях а функция
f(x,y) = (x2 + y2r/2sm
yjx2 + 2/2
если х2 +у2 ф 0, /(0,0) = 0: 1) непрерывна в точке 0 Е Мп?
2) дифференцируема в этой точке?
7.17. Доказать, что функция (х\,хъ) "-*■ тт(ж1,Ж2) в R2 непрерывна.
Будет ли эта функция дифференцируема: 1) в точке (1,1); 2) в точке (1,2)?
7.18. Функции / : (-1,1) х (-1,1) -> R и # : (-1,1) х (-1,1) -> R
дифференцируемы в точке (0,0), причем все их частные производные обращаются в
нуль в точке (0,0), /(0,0) = #(0,0) = 0. Пусть h(x,y) = mm{f(x,y),g(x,y)}.
Доказать, что h дифференцируема в точке (0,0).
7.19. Даны открытое множество U С Rn, отображение / : U —> W71 is. точка
\f(x)- f(x0)\
xq G U. Доказать, что если ; : ► 0 при а; -> жо, то функция /
\х - хо\
дифференцируема в точке xq. Чему равен дифференциал функции / в этой
точке?
7.20. Функция / : W1 —► Rn принадлежит классу Сг, причем \Daf(x)\ < М
при |а| = г и Daf(0) = 0 при |а| < г.
Указать 6 > 0 такое, что /(В(0,£)) С В(0,6).
7.21. Дано уравнение х3 + рх + q = 0. Пусть ро = _3, до = —2. Указать
числа 6 > 0 и г) > 0 такие, что при |р — ро| < £> |<7 — Яо\ < в уравнение
х3 + рх + q = 0 имеет и притом единственное решение xi, удовлетворяющее
условию |а?1 — 2| < 77.
7.22. Множество всех квадратных матриц порядка п будем рассматривать
2
как пространство Rn . Элементы матрицы X = ||^ijlU, j=i,2,...,n есть ее коор-
2
динаты как точки пространства Шп .
Определить дифференциал функции
х ем*2 ь+detxeK.
2
7.23. Пусть D С Мп есть множество всех квадратных матриц порядка п,
определитель которых отличен от нуля. (Используются обозначения задачи
2
7.22). Доказать, что D есть открытое множество пространства Rn . Найти
дифференциал отображения X Е Rn ь-» Х-1 в произвольной точке Хо Е D.
Доказать, что это отображение принадлежит классу C°°(D,R).
7.24. Пусть XGMn , X = ||aij||t,j=i,2,...,n. Положим
j=l г=1 /

382 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Найти первый и второй дифференциалы функции F в точке X = Е, где Е
единичная матрица в W1 (относительно обозначений — см. 7.22-7.23).
7.25. Пусть U есть открытое множество в пространстве W1 is. f : U —*• R
функция класса Cr+1. Для х, у £ U положим
p(x,y) = f(x)- V —Ш.{х-уГ.
\а\<г
Найти производные ——(ж, у) и ——(ж, у), г, j = 1,2,..., п.
oxi ayj
7.26. Пусть U есть открытое множество в Rn и / : U —> R функция класса С7*.
Пусть точка р £ U такова, что все производные порядка, меньшего г в точке
р обращаются в нуль.
Доказать, что если г нечетно и дифференциал порядка г функции / в
точке р отличен от нуля, то р не является точкой экстремума /.
Доказать, что если г — четно и р есть точка минимума функции /, то
для любого h Е Mn величина drf(p; К) неотрицательна, а если р есть точка
максимума /, то drf(p; h) < О для всякого вектора h Е Rn.
Пусть точка р Е U такова, что все производные функции / порядка,
меньшего г обращаются в нуль в точке риг четно. Доказать, что если
дифференциал порядка г функции / в точке р представляет собой положительно
определенную полиномиальную форму степени г, то есть
VA E Rn(h ф О => drf(p;h) > 0),
то р есть точка локального минимума функции /, а если
Vfc E Rn(h ф0=> drf(p; h) < 0),
то р есть точка локального максимума функции /.
7.27. Найти определитель матрицы Якоби отображения
(*Ь*2,*з,*4) ■-» (2/1,2/2,2/3,2/4),
где
2/1 =*i +t3,
2/2 =*2 +*4,
= 5(*1-*2)+*1*3-*2*4,
2/3 2
2/4 = *1*2 + *2*з + ti*4.
7.28. Найти определитель матрицы Якоби отображения
(*Ь*2,*з,*4) ■-* (2/Ь 2/2,2/3,2/4),

Задачи
383
где
У1 = з*1 ~ tlf2 + ('? ~ <!)*з - 2<it2<4,
3/2 = *i*2 - "*2 + 2ti*2*3+(*i - *1)*4,
О
2/3 = -*i - -*2 + *1*3 - *2*4,
2/4 = *1*2 + *2*з + tit4-
7.29. Вычислить определитель матрицы Якоби отображения
(г,(р) ЕПи (г cos <£, г sin <£>) G М2,
П — полуполоса, 0 < <р < 7г, г > 0.
7.30. Найти определитель матрицы Якоби отображения
где Ж1 = cos<pi; Х2 = sin<pi • cos<£2,- • •; хп = sin<pi • sin<£2 • • . sin<pn_i cos<pn.
7.31. Вычислить определитель матрицы Якоби отображения
(а?1,а?2,#з) ь-> (#1 +а?2 + #3,#i#2 + Ж1#з + #2#з,Ж1#2Жз).
Найти дифференциал обратного отображения в точке (p,q,r) Е М3.
7.32. Найти определитель матрицы Якоби отображения
/ : (ж1,а?2,...,жп) *""* (^1(ж)>сг2(ж),...,о-п(ж)),
где (Ji есть элементарная симметрическая функция степени г:
(Л (х) = xi 4- #2 И Ь жп;
СГ2(ж) = Ж1Ж2 + Ж1Ж3 + * * * + #п-1#п>
СГтг(ж) = Ж1Ж2 •• .Жп.
7.33. Пусть U С Мт — открытое множество. Доказать, что если отобра-
2 2 2
жения Т : U -+ W1 и 5 : U —> Мп (Мп рассматривается как пространство
квадратных матриц порядка п) дифференцируемы в точке #о Е 17» то
отображение Q : ж G Т(ж) • 5(ж) также дифференцируемо в точке хо- При этом для
любого heRm
dhQ(x0) = dhT(x) • S(x) + Т(ж) • dhS(x)
(порядок множителей в каждом из слагаемых существен!)

384 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Найти выражения для второго и третьего дифференциалов функции Q в
предположении, что Т и S дважды, соответственно, трижды,
дифференцируемы в точке xq.
7.34. Пространство квадратных матриц порядка п отождествим, естествен-
2
ным образом, с пространством Rn . Пусть U С Мт — открытое множество,
2
Т : U —> Rn . Предположим, что отображение Т дифференцируемо в точке
#0, причем detT(#o) Ф 0. Доказать, что тогда отображение S : х »-* Т""1(ж)
(Т""1(ж) обозначает матрицу, обратную к Т(ж)) определено в некоторой
окрестности точки #о и дифференцируемо в точке хо. При этом для всякого вектора
h справедливо равенство
dhS(x0) = -Т-1(Ж0)[^Т(х0)]Т-1(Ж0).
7.35. Пусть Q = [ai,bi] х [а2,&2] х ••• х [an,bn] — n-мерный сегмент.
Предположим, что функция / : Q —» R имеет в Q частные производные ——, ,
дх\ дх2
и существует постоянная М такая, что
OXi
< М для всех х £ Q
дхп
и для всех г = 1,2, ...,п. Доказать, что функция / равномерно непрерывна
на Q.
7.36. Пусть / : [а, Ь] —» R есть неотрицательная выпуклая функция класса С1.
Зададим в отрезке [а, Ь] произвольным образом точки #о = а < #i < #2 <*•*<
< хт = Ь, и пусть М0 = (жо, /(жо)); A^i = (жь /(#i)); • • •; Мт = (хт, f(xm))\
А = (0,0); В = (6, 0). Соединим последовательно точки Mo, Mi,..., Mm_i, Mm
отрезками, и пусть 5г — площадь сегмента, ограниченного отрезком M{-\Mi
и дугой Mi-\Mi графика функции /.
т
Доказать, что сумма S = ^Г Si будет достигать своего наименьшего значения
г=1
в том и только том случае, если при каждом i = 1,2,..., га — 1 касательная
графика функции / в точке Mi параллельна прямой Mf_iMi+i.
7.37. Пусть / : [а,Ь] —*• R есть положительная выпуклая функция класса С1.
Зададим в отрезке [а, Ь] произвольным образом точки хо = а < х\ < Х2 <•••<
< хт — Ь. Пусть Mi = (xi,f(xi)), г = 0,1,...,га — 1. В каждой точке Mi
проведем касательную графика функции /. Пусть Yi есть точка
пересечения касательных графика в точках M^-i и Mi. Обозначим через Si площадь
криволинейного треугольника, ограниченного дугой M^-iM^ графика / и от-
п
резками Mi-iYi is. YiMi. Пусть S = У^ Sj. Доказать, что величина S будет
г=1
достигать минимума в том и только в том случае, если точка Mi является
серединой отрезка Yi~iYi при г — 1,2,..., га — 1.
7.38. Дана функция п2 переменных жу, г = 1,2,..., n, J = 1,2,..., п,
(п п \ п/2
SXH -»n/2det||xy||.
г=1 j=l /

Задачи
385
Найти минимум функции F. Вывести из результата неравенство Адамара:
п ( п \ х/2
|det||a:y|||<II £4 •
7.39. Пусть £7 С Rn — открытое множество, xq Е U. Функция ip : U —► Rn
(r — 1)-кратно дифференцируема в U.
Доказать, что функция / : х н-> (х — хо)аср(х) (а = (c*i, с*2, • • • ,«п) —
мультииндекс такой, что |а| = г) r-кратно дифференцируема в точке #о-
7.40. Даны: n-мерный куб Q С Rn и функция / : Q —► Rm, принадлежащая
классу Cr(Q). Оценить остаток формулы Тейлора, хо Е Q,
/М- £ ^(.—Г
^—-^ а!
0<|а|<г
через модули непрерывности производных порядка г + 1 функции /.
7.41. Дана вещественная функция /, определенная и r-кратно
дифференцируемая на шаре B(xq,R) пространства Rn. Предположим, что /(жо) = 0 и
dkfXQ = 0 при к = 1,2,... ,7* — 1. Доказать, что если \Daf(x)\ < М, где
М = const < 00 для всех х Е B(xq, R) и всех а таких, что |а| = г, то для всех
xeB(x0,R)
Mnrl2
\f(x)\<-^~\x-xo\r.
rl
7.42. Пусть / : U —> R (С/ С Rn — открытое множество) функция класса
Ck(U), к > 1, хо Е U. Зададим произвольно векторы fti,ft2»---,ftfc Е Rn и
положим:
j=l 1<п< — <ц<к
Доказать, что
,. Akf(x0,th1,th2,...,thk)
hm — =^fe •••dh2Oh1j{.XQ).
Доказать, что существует
Akf(xo,tihi,t2h2,.. .,tkhk)
11m
(ti,*2>---*fc)-+0 ti -t2 .. .*fc
(предел берется по множеству всех (ti, £2?..., tk) E Rfe, для которых £i • £2 *.. • •
tk Ф 0).
7.43. Пусть В = В(жо,7») — замкнутый шар в пространстве Rn. Функция
/ : В —► R непрерывна в В is. дважды дифференцируема в шаре В0 = -В(жо> ?")•

386 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Предположим, что функция / обращается в нуль на границе шара B(xo,r), a
ее вторые производные ограничены.
Оценить величину sup \f(x)\ через величину
хев(хо,г)
Mi = sup
хев°
ЕЕ
г=1 j=l X J '
1/2
Оценить величину sup |/(ж)| через величину:
хев(х0,г)
Мъ = sup
хев<>
U (24)
1/2
7.44. Пусть 5W есть множество всех точек (ж1,Ж2?#з) Е М3, для которых
имеет решение следующая система уравнений:
*4 + zit2 + Ж2* + хз = О,
4*3 + 2xit + Ж2 = 0.
Найти все точки (ж1,Ж2>#з) Е SW, в которых ранг данной системы уравнений
равен 1, а также точки, в которых этот ранг равен 0.
(Примечание. Множество, определяемое данной системой уравнений,
встречается в теории особенностей дифференцируемых отображений, в
которой оно имеет название «ласточкин хвост» {"swallowtail" или "dovetail").)
Исследовать кривую, получаемую в пересечении множества SW плоскостью
хз = h.
При каких значениях h это сечение есть кривая, имеющая точки возврата?
Для каких h можно утверждать, что эта кривая не имеет точек возврата?

Глава 8
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НА
ПАРАМЕТРИЗОВАННЫХ КРИВЫХ В Rn
Г
• Свойства функций, представленных интегралами,
зависящими от параметра • Интеграл линейной
дифференциальной формы вдоль кривой • Понятие
замкнутой дифференциальной формы • Общая теорема
о представимости дифференциальной формы как
дифференциала функции • Лемма о континуальном
принципе индукции • Понятие индекса точки на плоскости
относительно замкнутой кривой • Доказательство
теоремы о неподвижных точках с использованием
понятия индекса точки • Доказательство основной
теоремы алгебры с использованием понятия индекса
точки • Функции ограниченной вариации со значениями
в банаховом пространстве • Свойство аддитивности
вариации функции • Теорема о непрерывности
вариации как функции параметра • Длина кривой
• Представление длины кривой в виде интеграла
• Интеграл Стилтьеса • Свойство аддитивности
интеграла Стилтьеса • Основная теорема о
существовании интеграла Стилтьеса • Определение
интеграла дифференциальной формы первой степени по
спрямляемой кривой • Интегральная кривизна кривой
• Теоремы о приближении интегральной кривизны
кривой кривизнами вписанных ломаных • Теорема
Александрова • Неравенство Фенхеля •

388 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в R'
§1. Понятие интеграла дифференциальной
формы вдоль кривой
Здесь будет определено и исследовано понятие интеграла
дифференциальной формы первой степени вдоль параметризованной кривой.
При этом рассматриваются только те дифференциальные формы,
коэффициенты которых суть непрерывные функции, и параметризованные
кривые, удовлетворяющие условию кусочной гладкости.
Произвольная вещественная функция f класса С1, заданная на
открытом множестве U пространства Rn, определяет на множестве U
некоторую линейную дифференциальную форму df — дифференциал
функции /.
Возникает, естественно, следующий вопрос. Предположим, что на
множестве U определена линейная дифференциальная форма F(x).
Существует ли функция f(x) класса С1, дифференциалом которой
является эта форма?
Это равносильно следующему. Пусть даны вещественные функции
jFi, F2,..., Fn, определенные на множестве U С Мп.
Существует ли функция f такая, что
Fi(x) = ^7 (ж), i = 1,2,...,п,
для всех х £ U? Необходимое условие для этого вытекает
из теоремы о симметричности вторых производных (глава 7,
теорема 3.1). Если функция f, для которой выполняются данные равенства,
принадлежит классу С2, то имеют место равенства:
9*{ W = ^rW.
dxidxj dxjdxi
Отсюда следует, что для любых г, j = 1,2,..., п имеют место равенства
Здесь доказывается, что при некоторых предположениях
относительно строения области определения формы F условие выполнения
последних равенств является также и достаточным для того, чтобы
дифференциальная форма F была дифференциалом некоторой функции.
В этом и последующих параграфах используются свойства
функций, представленных интегралами. В полном объеме эта тема будет
исследоваться во второй части книги. Простейшие результаты,
которые понадобятся здесь, приводятся в начале данного параграфа.

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 389
1.1. Свойства функций, представленных интегралами,
зависящими от параметра
Зададим произвольно открытое множество U в пространстве Rn
и отрезок [а,Ь] С М. Предположим, что для всякой точки х Е U и
любого числа t Е [а, Ь] определено некоторое вещественное число /(#,£),
причем для всякого х Е U функция /(#,£), как функция переменной £,
интегрируема по промежутку [а,Ь]. Положим:
6
F(x)= [ f(x,t)dt. (1.1)
Согласно предположению, величина F(x) определена для всех х Е U.
Таким образом, мы получаем некоторую функцию F : U —> R.
Говорят, что функция F задается интегралом, зависящим от
параметра. Функции, получаемые таким образом, часто возникают при
решении самых различных задач математического анализа.
Здесь мы докажем два простых результата относительно свойств
функции F, определенной равенством (1.1). (Более детальное
исследование функций, представленных интегралом, зависящим от параметра,
будет выполнено во второй части этой книги.)
■ Лемма 1.1. Пусть U есть открытое множество в пространстве
Rn. Тогда если функция f : U х [а, Ь] —► R переменных х Е U и t E R
непрерывна, то функция F, определенная по функции f равенством (1.1),
является непрерывной на множестве U.
Замечание. Из условия теоремы следует, что при каждом х Е U
функция t ь-> /(rr,t) непрерывна на промежутке [а,Ь] и, следовательно,
интегрируема по этому промежутку, так что интеграл (1.1) для данной
функции / определен для всех х Е U.
Доказательство леммы. Зададим произвольно точку гго Е U.
Пусть 6 > 0 таково, что шар В(хо,26) содержится в множестве U.
Замкнутый шар Во = Б(гго,й) содержится в множестве С/.
Произведение Во х [а,Ь] представляет собой ограниченное
множество в пространстве IRn+1. Это множество замкнуто и, следовательно,
компактно. Согласно условию, функция f{x,t) непрерывна на
множестве Во х [а,Ь] и, стало быть, она является равномерно непрерывной на
множестве Во х [а,Ь].

390 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ш71
Пусть ш есть модуль непрерывности функции f(x,t) на множестве
Во х [а,Ь]. Для всякого х Е Во имеем:
6 6
\F(x)-F(x0)\ = \[[f(x,t)-f(x0it)]dt\ < J \f(x,t) - f(x0,t)\dt.
a a
При x E Во и t E [а, Ь] точки z = (x,t) и zo = (xo,t) принадлежат
множеству Bo x [a,ft]. Имеем: |z — ^o| = \x — xo\ и, значит,
\f(x,t)-f(xo,t)\<Lj(\x-x0\).
Отсюда получаем, что для всякого х Е Во имеет место неравенство
6
\f(x,t)-f(x0,t)\dt< (Ъ - а)ш(\х - х0\)
I
и, следовательно, для всех х Е U таких, что \х — хо\ < 6, выполняется
неравенство:
\F(x) - F(x0)\ < (Ь - а)и(\х - х0\).
Правая часть этого неравенства стремится к нулю при х —► гго- Отсюда
вытекает, что
F(rr0) = lim F(x).
X—*-XQ
Тем самым установлено, что функция F непрерывна в точке хо.
Так как точка хо Е U взята произвольно, то мы получаем, что
функция F непрерывна на множестве U.
Лемма доказана. ■
■ Лемма 1.2. Пусть U есть открытое множество в Rn.
Предположим, что функция /(#,£), определенная на множестве U x [a,ft],
непрерывна и при каждом t Е [а,Ь] для любого х Е U имеет частную
производную: ——(#,£). Тогда если функция f'x. = ——(#>£) непрерыв-
OXi г ОХг
на на множестве U х [а, Ь], то функция F, определенная по f равенством
dF
(1.1), имеет в каждой точке х £ U частную производную ——(ж). При
этом для всех х Е U имеет место равенство:
ь
dF(x) = j ^(x,t)dt. (1.2)
&Гг

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 391
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Зададим произвольно точку хо Е U и найдем 6 > О такое, что В(хо, 26) С U.
Замкнутый шар Во = В(хо,6) содержится в шаре В(жо,2<5), и, значит,
U D Во. Множество Я = Во х [а, 6] в пространстве Mn+1 компактно и
содержится в множестве U х [а,Ь]. Функция fx. непрерывна и,
следовательно, равномерно непрерывна на множестве Н.
Пусть и есть модуль непрерывности функции fXi на
множестве Н = Во х [а,Ь]. Пусть /iGl таково, что |/i| < <5 и /i ^ 0.
Рассмотрим отношение:
f(x0 + hei,t) - f(x0,t)
/i
5/
предел которого и есть частная производная ——(#, £). (Здесь, как
Обычае
но, вг, г = 1,2,...,п, суть векторы канонического базиса
пространства Шп.)
Применяя теорему Лагранжа о среднем значении (глава 4,
следствие 1 теоремы 4.3), получим:
/(s0 + te«,«)-/(s0,«) = |/ h
h oxi
где 0 < в < 1. Отсюда:
f(xo + hej,t) ~/(a?o,t) __ _#/_
(жо,*)
^(Xo + eheut)-^(x0,t)
< w(9h) < w(h).
Положим:
Фг
Имеем:
h(x) = J %l(x,t)dt.
а
F(x0 + het) - F(x0)
- Фг(ж0) =
(1.3)
b
-I
f(x0 + hej,t) - f(x0,t) df_. .
h dxi{X0,t)
dt.
(1.4)

392 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в R'
Подынтегральное выражение в правой части (1.4), согласно оценке (1.3),
не превосходит u>(h). Отсюда вытекает, что если \h\ < <5, h ф О, то имеет
место неравенство:
фо + к)-^о)_ад
< (Ъ-а)и>(К).
Правая часть этого неравенства стремится к нулю при h —> 0. Отсюда
получаем, что
Фг(ж0) = lim —* ^ ^—S
/i—о h
то есть
OF
Так как точка хо £ U была выбрана произвольно, то тем самым
установлено, что функция F имеет частную производную в каждой
точке х G U, причем имеет место равенство (1.2).
Лемма доказана. ■
1.2. Определение интеграла линейной дифференциальной
формы вдоль кривой
Параметризованной кривой или путем в пространстве Шп
называется всякое непрерывное отображение х : [а,Ь] —> Мп.
Говорят, что параметризованная кривая х : [а,Ь] —> Шп соединяет
точку р G Шп с точкой g G Мп, если х(а) = р, а ж(Ь) = #.
Параметризованная кривая х : [а,Ь] —> Мп называется кусочно-
гладкой, если вектор-функция х дифференцируема в промежутке [а, Ь]
в основном, ее производная х' непрерывна в основном и функция |ж'(<)|
интегрируема по промежутку [а,Ь].
Будем говорить, что параметризованная кривая х : [а, Ь] —> Мп
лежит в множестве £/, если ж(£) £ £/ для всех t 6 [а,6]. В этом случае
будем также говорить, что кривая х : [а, Ь] —> Шп проходит в множестве
U или содержится в U.
Открытое множество U называется связным, если для любых двух
точек р G U и q G U существует параметризованная кривая, лежащая в
множестве U и соединяющая точки р и q.
Связное открытое множество в пространстве Rn будем также
называть областью в пространстве Шп.
Параметризованная кривая х : [а, 6] —> Мп называется
полигональной, если можно указать конечную последовательность to,ti,..., tm_i,

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 393
tm значений параметра t такую, что to = а < t\ < • • • < £m-i < tm = b
и при каждом г — 1, 2,...,га для t Е [t»-i,<*] имеет место равенство:
Xi(t) = x(U-i) + (t- t»-i)Zi,
ж(<») - rr(**-i) TT
где /г = —-— -. Часть параметризованной кривой ж, отвечаю-
*i £г—1
щая промежутку [ti-i,ti], есть параметризация отрезка, соединяющего
точки x(U-i) и x(U).
Наглядно, полигональный путь можно рассматривать как
последовательность параметризованных отрезков, последовательно
соединяющих точки Ai = x(U), г = 0,1,2,..., га.
Далее будет полезно следующее простое утверждение.
■ Лемма 1.3. Пусть х : [а,Ь] —> Мп есть параметризованная кривая
в пространстве Шп. Для всякого е > О существует кусочно-гладкая
параметризованная кривая £ : [a,b] —> Мп такая, что £(а) = х(а), £(Ь) = ж(Ь),
и для любого t Е [а, Ь] выполняется неравенство |£(£) — x(t)\ < е.
Доказательство. Действительно, пусть дана
параметризованная кривая х : [а,Ь] —> Мп. Вектор-функция ж непрерывна и,
следовательно, она равномерно непрерывна.
Зададим произвольно е > 0. В силу равномерной непрерывности
функции ж, найдется 5 > 0 такое, что для любых £', t" Е [а,Ь] таких,
что |*; —1"\ < <5, выполняется неравенство:
1*(0-*(*")!<§•
„ _ _ , Ъ — a c
Пусть га Е N таково, что п = < о.
га
Построим последовательность £* = a + г/i, г = 0,1,...,га — 1,га,
значений параметра t. Возьмем произвольно значение t Е [а, Ь]. По нему
найдется номер i такой, что U-i < t < U.
Искомую кусочно-гладкую параметризованную кривую получим,
последовательно соединяя отрезками точки x(to) и x(ti), x(ti) и xfa) и
т. д., наконец, точки x(tm-i) и x(tm) is. параметризуя каждый отрезок
так, чтобы область изменения параметра для отрезка с концами x{ti-i)
и x(U) совпадала с промежутком [*t-i,tt].
Формально, функция £(t) может быть определена следующим
образом. При каждом г = 1,2,..., га для t E [tt-i, U] полагаем:
£(*) = xiti-г) + - ~/^~1 [x(U) - x{U-x)l

394 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ж
где h = U — U-i при каждом г = 1,2,..., га. При t = U-i имеем:
£(t) = s(fc-i),
при t = U:
Очевидно, функция £, определенная таким образом, непрерывна и
в каждом из интервалов (U-i,U) дифференцируема. При этом ее
производная на интервале (ti-i^U) постоянна. Параметризованная кривая
£ : [а,Ь] —> Мп, следовательно, является кусочно-гладкой.
Для произвольного t £ [a, ft] оценим разность: |£(t) — ar(t)|. Найдем
г такое, что t^—i < t < U. Имеем:
К(*) - *(*)1 < |*(fc_i) - x(t)\ + - "^-1 \x(U) - rc(ti-i)|.
Так как £ — t^—i <U — U-i — h < <5, то
|a?(ti_i) - a?(t)| < | и |я?(*0 - a?(*i_i)| < |.
Отношение г~ неотрицательно и не превосходит 1. Оконча-
h
тельно заключаем, что
1€(*)-*(*)!< § + § = *■
Так как точка £ Е [а, 6] была взята произвольно, то тем самым
лемма доказана. ■
Пусть
п
F(x) = YlF^x)dxi
есть дифференциальная форма первой степени, определенная в области
U пространства Шп.
Дифференциальные формы первой степени будем называть также
линейными дифференциальными формами.
Коэффициенты Fi(x) формы F(x) далее будем всегда предполагать
функциями, непрерывными на множестве U. Будем говорить, что форма
F(x) принадлежит классу С7*, где г > 1, если ее коэффициенты Fi(x)
представляют собой функции класса Сг.

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 395
Для всякой кусочно-гладкой кривой, лежащей в множестве £/,
может быть определено число, которое называется интегралом
дифференциальной формы F вдоль данного пути.
Пусть х : [а, Ь] —> М71 есть кусочно-гладкий путь, лежащий в
области U. Для t Е [а, Ь] положим:
и(г)=^Рг[х(ф'&).
г=1
Функция и определена в промежутке [а, Ь] лишь в основном, то есть
область определения и есть множество, получаемое из промежутка [а, Ь]
исключением точек, образующих не более чем счетное множество.
Функции Fi[x(t)] непрерывны и, значит, согласно теореме Вейер-
штрасса (теорема 5.2 главы 2), ограничены.
Согласно определению кусочно-гладкой функции, каждая из
функций x'i{t) непрерывна в основном в промежутке [а,Ь]. Отсюда следует,
что функция Fi[#(£)]#;(£) непрерывна в основном. Функция Fi[x(t)\
является ограниченной, |-Fi [#(*)] I ^Mi — const < оо. Отсюда вытекает, что
\Fi[x{t)}x\{t)\<Mi\x\t)\.
Так как, согласно определению кусочно-гладкого пути, функция
\x'(t)\ интегрируема по промежутку [а,Ь], то, применяя критерий
интегрируемости функции, доказанный в главе 5 (теорема 3.2), получим,
что каждая из функций Fi[x(t)]xfi(t) интегрируема по промежутку [а,Ь].
Отсюда следует, что их сумма также интегрируема по этому
промежутку и, значит, определено число:
ь п ь
I ^ #[*(«)]*#)* = / F[x(t),x'(t)]dt,
а а
которое называется интегралом дифференциальной формы F вдоль
пути х. Для обозначения этого интеграла далее используется одно из
следующих выражений:
ъ п b
п
It
Fi[x(t)]dxi(t) или / F[x(t),dx(t)]
I

396 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в R'
ф Предложение 1.1. Если дифференциальная форма F является
дифференциалом некоторой функции f класса С1, определенной на
множестве U, F = df, то для всякого кусочно-гладкого пути х : [a, b] —> Rn,
лежащего в множестве U, имеет место равенство:
ъ
J F[x(t),dx(t)] = f[x(b)]-f[x(a)}.
a
Доказательство. Рассмотрим функцию cp(t) = f[x(t)}. Функция
<р непрерывна и для всякого t G [а,Ь], для которого вектор-функция х
имеет производную, функция <р также имеет производную. При этом:
г=1
Согласно определению кусочно-гладкого пути, вектор-функция х
дифференцируема в промежутке [а, Ь] в основном, и, стало быть,
множество тех х G [а, Ь], для которых последнее равенство не выполняется, не
более чем счетно. В соответствии с определением интеграла, имеем:
ь ъ
<р(Ъ)-<р(а)= / <p'(t)dt= / df[x(t),x'(t)]dt,
а а
то есть
Ъ
J df[x(t),x\t)} dt = f[x(b)] - f[x(a)]9
a
что и требовалось доказать, ф
Пусть U есть область пространства Rn.
Говорят, что в области U задано векторное поле F, если для всякой
точки х G U определен некоторый вектор F(x) G Mn. Иначе говоря, если
задано некоторое отображение F области U в пространство Шп.
Пусть F(x) = (Fi(rr),F2(x),... ,Fn(x)) есть векторное поле,
заданное в области U пространства Жп. Векторное поле F определяет на U
дифференциальную форму:
Ф(х) = F!(x)dxi + F2(x) + • - - + Fn(x)dx.

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 397
Для произвольного вектора h £ Ш.п во всякой точке х £ М имеем:
Ф(х,Ъ) = (¥(х),Ъ).
Дифференциальная форма Ф, определенная таким образом,
называется формой, двойственной векторному полю F(x) на мноэюестве U, и
обозначается символом: (F(x),dx).
Интеграл от формы (F(x),dx) вдоль произвольного
кусочно-гладкого пути х : [а, 6] —> Шп, лежащего в множестве С/, обозначается одним
из следующих выражений:
ь ь
J (F[x(*)],^(*)) dt = J(F[x(t)},dx(t)).
а а
Пример 1. Пусть п — 2. Координаты произвольной точки z £ М2
далее будем обозначать буквами хну.
Рассмотрим линейную дифференциальную форму в = ydx.
Интеграл от этой формы вдоль параметризованной кривой имеет
определенный геометрический смысл. Попытаемся разъяснить его,
рассмотрев сначала некоторые простейшие ситуации.
Пусть дана параметризованная кривая z : [a,b] —► М2, z(t) = (x(t),
y(t)). Предположим, что функция х является строго монотонной и имеет
место неравенство y(t) > О для всех t £ [а, Ъ].
Функция х отображает промежуток [а, Ъ] на некоторый замкнутый
промежуток [р,д], где р = х(а), q = x(b) в случае, если функция x(t)
есть функция возрастающая, ир = ж(Ь), g = х(а) в случае, когда х есть
убывающая функция.
Пусть £ = ж-1 есть функция, обратная к ж. Положим /(ж) = ?/[£(#)]
и рассмотрим интеграл:
q
I f(x)dx. (1.5)
р
Функция / непрерывна и интеграл (1.5) есть площадь
криволинейной трапеции, определенной неравенствами: р < х < д, 0 < у < fix).
Произведем в интеграле (1.5) замену переменной, полагал х = x(t).
Получим: f[x(t)] = г/(£), откуда:
/ f(x)dx = I y(t)x'(t)dt = / 0[s(t),<fe(t)]
pa a

398 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Шп
в случае, когда х есть возрастающая функция, и
q Ь Ь
I f(x)dx = - f y(t)x'(t)dt=- f 6[z(t),dz{t)]
в случае, когда функция х является убывающей.
В результате получаем, что интеграл от формы 0{z) = ydx вдоль
данной параметризованной кривой равен умноженной на ±1 площади,
заметаемой отрезком, параллельным оси Ох, один конец которого есть
данная точка z(t), а другой лежит на оси Ох.
Знак «+» следует брать в том случае, если при изменении
параметра t величина x(t) возрастает, а знак «—», если x(t) есть убывающая
функция переменной t.
Общая ситуация, когда промежуток [а, Ь] можно разбить на
конечное число отрезков, в каждом из которых функция х строго монотонна,
сводится к уже рассмотренному.
Обозначим через С(t) проекцию точки z(t) на ось Ох. Тогда можно
сказать, что интеграл
Ь Ь
I e[z(t),z'(t)]dt= / y(t)dx(t)
есть площадь, заметаемая отрезком z(t)((t). При этом площадь берется
со знаком «+» там, где функция х возрастает, и со знаком «—»
на участках, где функция х убывает.
В качестве приложения найдем площадь, ограниченную
одной аркой циклоиды и осью Ох.
Циклоида есть кривая на плоскости, имеющая параметризацию:
x(t) — t — r sin -, y(t) — г — г cos -.
Циклоида, как было показано в § 9 главы 4, состоит из равных дуг,
каждая из которых имеет форму арки, опирающейся концами на ось
Ох. Всякой такой дуге соответствуют значения параметра £, лежащие
в промежутке [2тггп, 2кг(п + 1), где п — произвольное целое число.
Чтобы найти искомую площадь, достаточно рассмотреть случай
п = 0. Имеем:
x'lt) = l-cos- > 0
г

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 399
для всех t G (0,27гг), так что функция х является строго возрастающей
в промежутке [0,2ят]. Искомая площадь равна:
27ГГ 27ГГ
/ (г — гcos - ] (1 — cos -) dt = г / (1 — cos - j dt.
„ t
Произведя замену - = гх, после очевидных преобразований,
получим, что искомая площадь равна:
27Г 2тт
г2 / (l-cost)2dt = r2 / (--2cost+icos2t) dt = Зтгг2.
о о
Пример 2. Этот пример, как и предыдущий, относится к случаю
кривых на плоскости. Для произвольной точки z G М2 ее координаты
будем далее обозначать через ж и у.
На плоскости R2 рассмотрим дифференциальную форму
a- -(xdy-ydx).
Пусть z(t) — (x(t),y(t)) , t G [а,Ь], — произвольная кусочно-гладкая
параметризованная кривая на плоскости М2. Тогда для всякого t G [а, Ь],
для которого вектор-функция z дифференцируема, имеем:
<*№,*(*)] = \[x(t)y'{t)-y{t)x'(t)] = \
x(t), y(t)
x'(t), y'(t)
Рассмотрим случай, когда параметризованная кривая
представляет собой параметризацию отрезка прямой.
Пусть а = (ai,a2) и b = (61,62) — две произвольные точки на
плоскости М2. Положим:
z(t) = (l-t)a + tb,
где t G [0,1]. Имеем z(t) = (x(t),y(t)), где x{t) = ai + t(bi — ai),
y(t) = a2 + t(b2 -a2).
Очевидно, z(0) = a, z(l) = b, и когда £ пробегает отрезок [0,1],
точка z(t) описывает отрезок, соединяющий точки а и b (справедливость
этого утверждения устанавливается в курсе аналитической геометрии).

400 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в R'
Для данной функции z(t) имеем:
«[*(*).*'(*)] = !
ai + t(bi - ai), a2 + t(b2 - a2)
b\ — ai, 62 — ^2
Л1, ^2
Из аналитической геометрии известно, что величина
ai, аг
bi5 &2
равна aS, где 5 — площадь треугольника с вершинами в точках О, а и
Ь. При этом а = 1, если пара векторов (а, Ь) является правой, и
о- = —1, если эта пара — левая.
Пара векторов (а, Ь) называется правой, если луч Oz(t), где
z(t) = (1 — £)а + £Ь, вращается против часовой стрелки при £,
монотонно возрастающем от 0 до 1.
Если луч Oz(t) вращается п о часовой стрелке, то пара векторов
(а, Ь) считается левой.
В общем случае, когда z : [a,6] —> Шп есть произвольная кусочно-
гладкая кривая на плоскости, интеграл
/
a[x(t),dx(t)]
будем называть ориентированной площадью, которая зачерчивается
радиус-вектором Oz(t) точки z(t) при изменении параметра t от а до Ь.
1.3. ПОНЯТИЯ ТОЧНОЙ И ЗАМКНУТОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
1.3.1. Пусть U — открытое множество в пространстве Еп и F(x)
— дифференциальная форма первой степени, определенная на
множестве U.
Дифференциальная форма F(x) называется точной, если
существует функция / : U —► Ж класса С1 такая, что F(x) является
дифференциалом / в области U, F(x) = df(x) для всех х Е U. Согласно этому
определению, дифференциальная форма
F(x) = ^Fi(x)dxi
2=1

1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 401
является точной на множестве С/, если существует функция
/ : U —> R такая, что при каждом г = 1,2,..., п для всех х £ U
Введем еще некоторый другой класс линейных дифференциальных
форм. Линейная дифференциальная форма F(x), определенная на
открытом множестве U пространства Rn, называется замкнутой, если для
всякой точки р £ U можно указать 6 > 0 и функцию / : В(р, 6) —> Rn,
принадлежащую классу С1, такие, что шар J5(p, 5) содержится в
множестве U и для всех х £ В(р,6) выполняется равенство: F{x) = df(x).
Иными словами, дифференциальная форма F(:r) является
замкнутой, если она локально удовлетворяет условию точности на
множестве U в том смысле, что у всякой точки х £ U есть окрестность
G С U такая, что ограничение дифференциальной формы F(x) на
множестве G является точной дифференциальной формой.
Если форма F(x) является замкнутой, то из определения, вообще
говоря, не следует существование функции /, определенной на всем
множестве U и такой, что форма F{x) является ее дифференциалом. Таким
образом, из замкнутости линейной дифференциальной формы, вообще
говоря, не следует, что эта форма является точной. Пример,
подтверждающий это утверждение, см. в конце п. 1.3.
Установим некоторое достаточное условие точности
дифференциальной формы.
Пусть а и Ъ — две произвольные точки пространства Rn.
Напомним, что отрезком с концами в точках а и Ъ называется
совокупность всех точек х £ Rn, представимых в виде х = (1 — t)a + tb, где
t £ [0,1]. Отрезок с концами а и Ь в пространстве Rn будем обозначать
символом [ab].
Множество А в пространстве Rn называется звёздным
относительно точки р £ А, если для всякой точки х £ А отрезок \рх] с концами
в точках р и х содержится в множестве А.
Шар B(a,r) и куб Q(a,r) суть множества, звёздные относительно
точки а.
Открытое множество U = Rn\{0} дает пример множества, которое
не является звёздным относительно р GU, как бы ни была выбрана
точка р.
Действительно> пусть р £ U. Положим х = —р. Отрезок с
концами в точках р и — р содержит точку 0, которая не является элементом
множества U и, следовательно, для этого отрезка не выполнено условие

402 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Rn
определения множества, звездного относительно точки: он не
содержится в множестве U.
Ш Теорема 1Л* Пусть U есть открытое множество в пространстве
Ш71, звёздное относительно точки р (Е U. Тогда для того, чтобы линей-
п
ная дифференциальная форма F{x) = \. F%{x) dxi класса С1, определен-
г=1
нал на множестве U, была точной, необходимо и достаточно, чтобы для
всякой точки х (Е U для любых г, j = 1,2,...,п выполнялись равенства:
Доказательство. Докажем необходимость.
Предположим, что дифференциальная форма
F(x) = ^2Fi(x)dxi
г=1
первой степени, определенная на множестве U, является точной. Тогда
найдется функция / класса С1, определенная на множестве U и такая,
что F{x) = df{x) для всех х £ U. Тогда при каждом i = 1,2,..., п для
всех х € U выполняется равенство: FAx) = -—(х).
OXi
Предположим, что форма F(x) принадлежит классу С1. Из
последнего равенства вытекает, что производные функции / суть функции
класса С1, то есть / есть функция класса С2. При этом для функций Fi,
как очевидно, выполняются соотношения:
dFj _ d2f dFj _ d2f
dxj dxidxj dxi dxjdxi
В силу свойства симметричности вторых производных, доказан-
d2f
ному в §3 этой главы (см. теорему 3.1), производные ——-—(х) и
OX j ОХ%
а2/ , ,
——7z— (х) совпадают.
OXiOXj
Мы получаем, таким образом, что для каждого х £ U для любых
i, j = 1,2,...,п имеют место равенства:

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 403
Необходимость условия теоремы, таким образом, установлена.
Теперь докажем достаточность условия теоремы. Пусть
U есть область в пространстве Rn, звёздная относительно точки р 6 U.
Предположим, что F есть линейная дифференциальная форма класса С1,
принадлежащая классу С1 и такая, что для ее коэффициентов
выполняются равенства (1.6). Возьмем произвольно точку х Е U и положим:
1
г п
/(*)= / ^2Fi\p + t(x-p)}(xi-pi)dt. (1.7)
о i=1
Тем самым на множестве U определена некоторая вещественная
функция /. Докажем, что эта функция и есть искомая. Положим:
Ф(М) = ^Fi\p + t(x-p)](xi -pi).
*=i
Тогда равенство (1.7) может быть представлено в следующей форме:
1
/(*)= f Hx,t)dt. (1.8)
Функция Ф определена для любых х Е U и любого £ Е [0,1]. При
этом, как нетрудно видеть, функция Ф на множестве U х [0,1] непрерыв-
дФ
на и имеет все частные производные -—(х, t), j = 1,2,..., п, в каждой
точке (#,£) Е U х [0,1]. Имеем:
п
£ = 51^\р + *(х-рМ**-р*) + рЛ\р + *{*-р)])- (1-9)
5xj ^--^ dxj
г=1
По условию, тт^(^) = -тг^-(х) для всех х е U. Преобразуя выра-
OXj OXi
жение, стоящее в правой части равенства (1.7), в соответствии с этим
равенством получим:
п
^ = 1р^ь+*(*-р)Мх*-р*)+ы\р+*(*-р)])-
г=1

404 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ш.п
Дифференцируя выражение Fj\p + t(x— p)] по переменной £, найдем,
что
dt
■(Зд + *(ж-р)]) =^-Л\р + г(х-р)]&-рг),
г=1
и, следовательно,
.щ{х,г) = г±(р31р + г(х-р)])+ъ(\р + г(х-Р)]) =
(*Fj[p + t(lF-p)]).
Согласно лемме 1.2, из равенства (1.8) следует, что функция / в ка-
ждой точке х £ U имеет частную производную ——. Эта производная,
OXj
согласно лемме 1.2, равна интегралу:
1 1
/t£<«.«)*-/|(tfjb> + «(x-,»])*.
Последний интеграл равен tFj\p + t(x — р)] L 0= Fj(x)-
Таким образом, мы получаем, что
для всякого х Е U.
Теорема доказана. ■
Т Следствие. Пусть U — открытое множество в пространстве Шп и
F(x) = ^Fi(x)dxi
i=i
есть линейная дифференциальная форма класса С1 на множестве U.
Для того чтобы форма F была замкнутой на множестве С/,
необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки х области U для любых i,
j = 1,2,..., п выполнялись равенства:

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 405
Действительно, если форма F G С1 является замкнутой, то у всякой
точки р G U существует окрестность В(р,6) С U такая, что в этой
окрестности форма F является дифференциалом некоторой функции /
класса С2.
В силу теоремы 1.1, отсюда следует, что в каждой точке шара
В(р,6) выполняются равенства (1.6). В частности, эти равенства
выполняются и в точке х = р. Так как точка р G U была выбрана
произвольно, то тем самым необходимость условия доказана.
Обратно, предположим, что форма F(x) такова, что для всех х G U
выполняются равенства (1.6). Возьмем произвольно точку р GU.
Так как множество U — открытое, то найдется 6 > 0 такое, что
шар В(р,6) содержится в множестве U.
Шар В(р,6) представляет собой множество, звёздное относительно
точки р, и, значит, согласно теореме 1.1, найдется функция / класса С2
такая, что F(x) = df(x) в каждой точке х шара Б(р, 6).
Так как точка р G U была выбрана произвольно, то, согласно
определению, это и означает, что форма F является замкнутой.
Следствие доказано. Т
1.3.2, Теперь мы можем привести пример замкнутой линейной
дифференциальной формы, определенной на некотором открытом
множестве, которая не является точной.
Пример. Пусть п > 2 и U С Мп есть множество всех таких точек
х = (#i,£2, • • • >#n) G Мп, что х\ + х% > 0. Множество U получается
исключением из Rn точек подпространства Л^, определенного системой
уравнений: х\ = 0, Х2 = 0, U = Rn \ iV2.
В случае п = 2 имеем: U = Ш2 \ {0}. Множество N2 замкнутое и,
значит, множество U — открытое.
Зададим на множестве U дифференциальную форму о;(ж), полагая:
«1/1 \^ **/2 1 1^ 2
Покажем, что форма о;(ж), заданная таким образом, является
замкнутой на множестве U. Коэффициенты формы и суть функции
«А/1 П^ •Я'О 1 «^ 2

406 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Rn
_ dF1( dF2 ^
Достаточно показать, что ——(х) = ——. Простые вычисления пока-
ОХ2 дх\
зывают, что
dF1 3 ( х2 \ -{xl + xl) + 2xl ^ х\-х\
дх2 [Х) дх2 V x\+xl) "' {х\ + ж2)2 [х\ + х%У'
Аналогично
0F2 д ( хг \ х\-х\
дх\ дх\ \х\+х\) (х^ + х^)2'
Коэффициенты Fi(x), соответствующие значениям г > 2, равны
нулю.
Заметим еще, что коэффициенты F\(x) и ^(я) в рассматриваемом
случае зависят только от переменных xi и Х2. Отсюда следует, что
равенства (1.6) для дифференциальной формы и выполняются.
Предположим, что существует функция / : U —» R такая, что
и(х) = df(x) всюду на множестве U.
Рассмотрим параметризованную кривую х : [0,27г] —» Мп,
для которой xi(t) — г cost, X2(t) = rsint и #г(£) = 0 при г > 2 для всех t.
Согласно предложению 1.1,
2тг
/ u,[x(t),dx(t)] = /И2тг)] - /[*(())] = 0,
о
так как точки #(0) и #(27г) совпадают.
Подставляя явные выражения для компонент вектор-функции x(t)
в (j[x(t),x'(t)], получим:
г /.ч // xi —rsmt(-rsmt) г cost(r cost)
Lj[x(t)9x(t)] = — г-^ 7ГТ + ТГ, ^ 4т = I-
L w' wJ r2 (cos21 + sin21) r 2 (cos21 + sin2 t)
Отсюда u[x(t))X'(t)] = 1 и, значит,
27Г 27Г
/ o;[x(t),dx(<)] = / dt = 27r.
Таким образом, один и тот же интеграл, с одной стороны, равен 0,
а с другой — равен 27г.

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 407
Итак, допущение, что существует функция / : U —» Ш такая, что
и) = d/, приводит к противоречию, и, значит, такая функция
/ не может быть построена.
Для того чтобы всякая замкнутая линейная дифференциальная
форма F, определенная в области U пространства Мп, была точной,
область должна удовлетворять некоторым геометрическим условиям,
которые будут описаны далее (см. теорему 1.5).
1.4. Общая теорема о представимости дифференциальной
формы как дифференциала функции
■ Лемма. 1.4. Пусть U есть открытое множество в метрическом
пространстве М. Предположим, что множество Н С U компактно.
Тогда найдется 6 > 0 такое, что для всякого х £ Н замкнутый шар В(х,6)
содержится в множестве U.
Замечание. Данное предложение может быть получено как
следствие некоторого общего результата о компактных множествах в
метрическом пространстве (доказательство которого будет приведено в
главе 9 части 2 книги), называемого теоремой Лебега.
Доказательство леммы. Пусть выполнены все условия
леммы. Предположим, что требуемое число 6 > 0 не существует. Тогда,
каково бы ни было 6 > 0, найдется точка х £ Н такая, что шар В(х, 6)
не содержится в множестве U.
Положим 6 — —, где v £ N. В силу сделанного предположения, най-
v
дется точка xv £ Н такая, что шар В ( ж, — 1 не содержится в множестве
U. Отсюда следует, что при каждом и £ N найдется точка zu £ М
такая, что р{ги,Ху) < —, и в то же время: zv £ СС/.
Полагая v = 1,2,..., получим такие последовательности (хи)и^ и
(zu)veN точек пространства М, что xv £ Н, zv £ А — CU и p{xv, zu) < —
при каждом v £ N.
В силу компактности Н, из последовательности {xu)U£^ можно
извлечь подпоследовательность (xUk)keN, сходящуюся к некоторой точке
хо множества Н.
Имеем: хо £ U. При v —> оо величина p(xv,zu) стремится к нулю.
Получим:
p(zuh,хо) < p(zUk,xUk)+ p(xUk,хо)•
Правая часть последнего неравенства стремится к нулю при к —> оо,
откуда следует, что также и p(zVkixo) стремится к нулю при к —> оо.

408 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Rn
При каждом к G N, по построению, точка z„k принадлежит замкнутому
множеству А = CU = М \U. Отсюда следует, что предел
последовательности (z„k)keN принадлежит множеству А, то есть хо G А. Это,
однако, противоречит тому, что хо G Н, а множество Н, по
условию, содержится в U.
Итак, допущение, что утверждение леммы не верно, приводит к
противоречию.
Лемма доказана. ■
Т Следствие. Пусть U — открытое множество в пространстве Шп,
х : [а,Ь] —> Ш71 — параметризованная кривая, лежащая в множестве U.
Тогда найдется 6 > 0 такое, что для всякого t G [а,Ь] nrap B[x(t),6]
содержится в множестве U.
Доказательство. Так как промежуток [а,Ь] есть компактное
множество в пространстве М, а отображение х — непрерывно, то
множество Н = x([a,b]) С U — компактно и, значит, согласно лемме 1.4,
найдется 6 > 0 такое, что для всякого х G Н замкнутый шар В(х, 6)
содержится в области U. Для всякого t G [а,Ь] шар B[x(t),6] содержится
в области С/. Это значение <5, очевидно, и есть требуемое.
Следствие доказано. Т
Доказательства некоторых утверждений, которые приводятся
далее, опираются на следующее предложение.
■ Лемма 1.5 (о континуальном принципе индукции). Пусть дан
промежуток [a,b] С М. Предположим, что множество Е С [а,Ь] таково,
что выполнены следующие условия:
1) точка а принадлежит Е;
2) предел х G (а, Ь] всякой возрастающей последовательности точек
множества Е является элементом множества Е;
3) если х G Е, причем х < Ъ, то для всякого 6 > 0 найдется х' G Е
такое, что х < х' < х + 6.
Тогда множество Е совпадает со всем промежутком [а, Ь].
Доказательство. Пусть множество Е С [а,Ь] удовлетворяет
всем условиям леммы. Допустим, что нашлась точка г G [л, Ь], не
принадлежащая Е. В силу условия 1), a G Е. Так как, по предположению,
г ^ Е, то г ф а и, значит, т > а.
Положим: Е' = Е П [а,т]. Тогда Е' ф 0, ввиду того, что точка а
принадлежит множеству Е1.
Пусть А = sxapE1. Построим последовательность (х»)»^ точек
множества Е' следующим образом. Пусть х\ есть точка множества Е'
такая, что А — 1 < xi < A.

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 409
Предположим, что для некоторого v Е N точка xv Е Е' определена.
Если xv — А, то полагаем a^+i = А. Если же xv < А, то в качестве xv+\
выбираем произвольный элемент х множества Е' такой, что
А — <х
v+ 1
и одновременно xv < х.
По индукции последовательность (rrl/)l/eN, таким образом,
определена.
При каждом I/, как следует из определения xu+i, имеет место
неравенство: xv < xv+\ и, значит, построенная последовательность (х^)»^
является возрастающей. При каждом и имеем также:
А < xv < A,
v
откуда следует, что
А = lim xu.
В силу условия 2), отсюда вытекает, что A Е Е.
Так как г есть верхняя граница множества Е\ то А < т. Так как
г £ Е) то А ф г и, значит, А < г. Положим 6 = т — А. В силу условия
3), найдется х' Е Е такое, что Х<х'<Х + 6 = т. Так как х' Е Е и
ж' < т, то ж' Е J5' и, стало быть, ж' < А.
Мы получаем, таким образом противоречие: с одной
стороны, должно выполняться неравенство х' > А, а с другой стороны,
имеем: х' < А.
Итак, допустив, что существует точка г Е [а, Ь], не
принадлежащая множеству I?, мы приходим к противоречию. Стало быть, такое г
не существует, то есть всякая точка t E [a, ft] принадлежит
множеству Е.
Лемма доказана. В
Опишем некоторое отношение между параметризованными
кривыми в области пространства Мп, называемое гомотпопией.
Пусть х : [a, ft] —> Rn и у : [а, ft] —► Мп — две произвольные
параметризованные кривые в пространстве Мп, лежащие в области U
пространства Шп и соединяющие точку р Е С/ с точкой q EU.
Будем говорить, что кривая х гомотопна кривой у в области С/,
если существует непрерывная функция z(t,X) переменных t E [a, ft] и
А Е [0,1] такая, что для для любых (£, А) Е Р = [a, ft] x [0,1] точка z(t, A)
принадлежит множеству U\ z(a,X) = p, z(ft, A) — q для всех А Е [0,1] и
z(£,0) = x(t), z(t, 1) = y(t) для любого £ Е [a,ft].

410 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ж1
Непрерывное отображение z прямоугольника Р = [а, Ь] х [0,1] С М2
в Мп, удовлетворяющее всем этим условиям, будем называть гомото-
пией в области U параметризованных кривых x(t) и y{t), соединяющих
точку р G U с точкой q G £/.
Наглядный смысл введенного понятия таков. Параметризованные
кривые х : [a, ft] —► Шп и у : [а, ft] —» Rn, соединяющие точку р G U с
точкой q € U, гомотопны в области U, если кривую ж(£)
можно непрерывно деформировать в кривую y(t) таким образом, что
начало и конец параметризованной кривой в процессе деформации
остаются неизменными, а кривая при этом не выходит из области U.
Область U в пространстве Мп называется односвязной, если для
всякой пары точек р, q области U любые две параметризованные кривые
х : [a, ft] —► Шп и у : [а, ft] —> Мп, лежащие в области U и соединяющие
точку р с точкой <?, — гомотопны.
Пример. Открытый шар Б (с, г) в пространстве Шп является од-
носвязной областью в Шп. Действительно, возьмем произвольно точки
р, g G В (с, г). Пусть х : [а, Ь] —► Мп и у : [а, ft] —> Мп — две произвольные
параметризованные кривые, проходящие в шаре В (с, г) и соединяющие
точку р с точкой q. Для произвольных t G [a, ft] и Л G [0,1] полагаем:
^(t,A) = (l-A)a;(t) + Ay(t).
Предоставляем читателю проверить, что определенная таким
образом функция z : [a, ft] х [0,1] —> Мп есть гомотопия
параметризованных кривых ж и у в области С/ = В (с, г).
Аналогичным образом устанавливается, что открытый куб и,
вообще, любой n-мерный интервал в Rn являются односвязными областями.
Пример неодносвязной области: рассмотрим область С/,
описанную в п. 1.3.2. Именно, — пусть U есть множество, получаемое
исключением из пространства Rn точек подпространства Afe, определенного
системой уравнений: х\ — 0, Х2 = 0, U = Rn \ Л^. Используя свойства
данной области С/, установленные в п. 1.3.2, и применяя результат
теоремы 1.2, доказываемой ниже, можно показать, что эта область не-
односвязна.
Ш Лемма. 1.6. Пусть U есть область в пространстве М.п и F(x)
есть замкнутая дифференциальная форма первой степени, определенная
в области U, причем коэффициенты формы F(x) суть непрерывные на
множестве U функции.
Пусть р и q — две произвольные точки области U, а х : [a, ft] —> Шп
— кусочно-гладкая параметризованная кривая, лежащая в области U,
причем x(a) = p, a x(b) = q. Предположим, что г > 0 таково, что для
всякого t G [a, ft] шар B[x(t),r) содержится в области U.

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 411
Если кусочно-гладкая параметризованная кривая у : [a, ft] —> М.п
удовлетворяет условиям: y(a) = р, y(b) = q и для всех t £ [a, ft]
выполняется неравенство \x(t) — y(t)\ < г, то
ь ь
j F[x{t),dx{t)} = J F[y(t),dy(t)}. (1.11)
Доказательство. Пусть р, q — произвольные точки области ?7,
х : [a, ft] —> Мп и у : [а, ft] —> Мп кусочно-гладкие пути, лежащие в области
U и такие, что х(а) = у(а) = р, ж(Ь) = ?/(Ь) = д, для всякого t £ [а, Ь] шар
B[x(t),r] содержится в U и выполняется неравенство: |#(t) — ?/(£)| < г.
Для произвольного u £ [a, ft] положим:
U U
X(u) = J F[x(t),dx(t)}, Y(u) = J F[y(t),
dy(t)\.
Левая часть равенства (1.11) равна X(ft), а правая равна
У (ft). Требуется доказать, что X(b) = Y(ft).
Пусть £W(A) = (1 — X)x(u) + Xy(u), где 0 < А < 1. Интеграл от
дифференциальной формы F вдоль пути £и обозначим символом: R(u).
Введем обозначение: у (и) — х(и) = z(u). Имеем: £ЦА) = z(u) для
всех А £ [0,1]. Согласно определению, имеем:
1 1
R(u) = I FKtt(A),&(A)] d\ = / F[s(u) + A*(ti),*(u)] dA.
Покажем, что для всякого и £ [a, ft] имеет место равенство:
Y(u)=X(u) + R(u). (1.12)
Обозначим символом £7 — множество всех и £ [а,Ь], для которых
(1.12) верно. Очевидно, а £ J3, так как Х(а) = У(а) = R(a) = 0.
Имеем:
n X
(u) = f^J Fi
R(u) = У/ Л[ж(и) + Az(u)]zi(u) dA.
г=10

412 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Шп
Так как функции #, z и Fi непрерывны, то при каждом г — 1,2,..., п
функция Fi[x(u) + Xz(u)]zi(u) переменных (t, A) Е [a, ft] х [0,1] —
непрерывна. В силу леммы 1.1, отсюда следует, что функция
1
Ri(u) — I Fi[x(u) + Xz(u)]zi(u) d\
о
непрерывна в промежутке [а,Ь]. Отсюда вытекает, что функция R
непрерывна в [a,ft].
Функции X и Y также непрерывны. Предположим, что для и Е [a, ft]
существует последовательность (uu)ueN точек множества Е такая, что
и = lim uu.
и—юо
При каждом v имеем:
У(и„) =X(uu) + R(uu).
В силу непрерывности функций X, Y и R, отсюда получаем, что
Y(u)=X(u) + R(u),
так что условие 2) принципа континуальной индукции, очевидно, в ы-
полняется.
Докажем, что условие 3) также выполнено. Пусть точка
и Е [a, ft] принадлежит множеству Е.
Будем считать, что и < Ь. Положим w = х(и). Функция \z(u)\
непрерывна и, значит, по теореме Вейерштрасса о непрерывных
функциях на отрезке (см. главу 2), принимает в промежутке [a, ft] наибольшее
значение.
Пусть р — maxt€[a?b] z(t). Так как \z(t)\ < г для всех t E [a,ft], то
р < г. Положим е = г — р. В силу непрерывности #, найдется 6 > 0
такое, что если |t — u| < <5, то |#(t) — #(u)| < £• Для всякого такого t
имеем:
|y(t) - s(ti)| < \y(t) - ж(*)| + |ж(4) - rc(fi)| < р + е < г.
Мы получаем, таким образом, что если \t — и\ < <5, то точки x(t) и
y(t) принадлежат шару B(w,r) С U.

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 413
Шар B(w, r) представляет собой множество, звёздное относительно
его центра w = х(и). Отсюда следует, что найдется вещественная
функция / класса С1, определенная в этом шаре, такая, что ее дифференциал
совпадает с формой F.
Пусть t Е [а, ft] таково, что и < t < и + 6. Имеем:
t t
Y(t) = Y(u) + J F[y(a),dy(a)}, X(t) = X(u) + / F[x(a),dx(a)}.
Часть пути у, соответствующая значениям параметра из
промежутка [it,t], лежит в шаре В(ги,г). В этом шаре лежит также и часть
пути #, соответствующая тому же промежутку [u,t]. Отсюда следует,
что
X(t) - Х{и)
j F[x(a),
dx(a)] = f[x(t)]-f[x(u)],
-I
Y(t)-Y(u)= / F[y(a),dy(a)] = f[y(t)}- f[y(u)}.
Параметризованные кривые
A G [0,1] h+ x{u) + \z{u) и Аб[0,1]и x(t) + \z(t)
целиком лежат в шаре B(w,r) (см. рис. 1).
x(b)=y(b)
х(а)~у(а)
Рис. 1

414 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в ]Rn
Величина R(u) есть интеграл от формы F(x) вдоль первой из этих
параметризованных кривых, R(t) есть интеграл от этой формы вдоль
второй параметризованной кривой. Отсюда вытекает, что
Щи) = f[y(u)) - /[*(«)], R(t) = f[y(t)} - f[x(t)}.
Далее имеем:
[Y(t) - Y(u)} - [X(t) - X(u)) = {f[y(t)} - f[y(u)}} - {/[*(*)] - f[x(u)]} =
= {fivit)} ~ f[x(t)]} - {f[y(u)} - /[*(«)]} = R(t) - R(u).
Отсюда
Y(t) - X(t) - R(t) = Y(u) - X(u) - R(u).
Согласно предположению, и G E, то есть Y(u) = X{u) + R(u) и
Y{u) - X(u) - R(u) = 0. Отсюда: У(«) - X(t) - R(t) = 0 и, значит,
У(*)=Х(*) + Д(«).
Мы получаем, таким образом, что любое t £ [u, гл + й) принадлежит
множеству J5. Отсюда, очевидно, следует, что условие 3) принципа
континуальной индукции в данном случае выполняется.
Согласно лемме о принципе континуальной индукции, из
доказанного вытекает, что Е = [a, ft], то есть Y(t) = X(t)+R(t) для всех t £ [а, ft].
Лемма доказана. ■
Т Следствие. Пусть U есть область в пространстве Шп и F есть
дифференциальная форма первой степени в области U пространства Мп,
принадлежащая классу С. Предположим, что форма F является
замкнутой. Пусть х : [a, ft] —> М71 и у : [а, ft] —> М.п суть кусочно-гладкие
параметризованные кривые, лежащие в области U и такие, что х(а) = у(а) = р,
х(Ь) = у(Ъ) = q.
Тогда если существует гомотопия кривой х в кривую у в классе
кривых, соединяющих точку р с точкой q и лежащих в области U, то
ъ ъ
J F[x(t),dx(t)] = J F[y(t),dy(t)].
a a
Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия.
Согласно определению, существует непрерывное отображение z : (t, Л) н+

§ 1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой 415
«—>• z(t, A) G Мп прямоугольника Р = [а, ft] х [0,1] в область U такое, что
выполнены следующие условия: z(t, 0) = x(t), z(t,l) = y(t) для всех
t G [a, ft] и z(a, Л) = р, z(ft, Л) = q для всех A G [0,1]. Полагаем if = z(P).
При каждом А G [0,1] имеем параметризованную кривую жл(*) =
= z(£, А). Изменяя параметр А в пределах от 0 до 1, мы
трансформируем непрерывно кривую x(t) = Xo(t) в кривую х±({) = y(t), и Н
есть множество, заметаемое кривыми х\ при изменении t.
Множество Н — компактно. На основании леммы 2.1, найдется 6
такое, что для всякой точки х G Н шар В(х, 6) содержится в множестве
U. Отображение z : Р —► Еп — непрерывно. Так как Р есть компактное
множество в пространстве М2, то z равномерно непрерывно. Поэтому
найдется г/ > 0 такое, что если |Ai — Аг| < ??, то для всех t E [а, Ь] будем
иметь:
k(*,Ai) -^(*,A2)| < |.
Пусть т G N таково, что — < т?. Положим Xk(t) = zlt,— 1,
т V га/
к = 0,1,... , га — 1,га. Очевидно, #о(£) = #(£), #m(t) = y(t).
При каждом fc = 0,l,...,ra — 1, га построим кусочно-гладкий путь
£ь : [а, Ь] —> Мп такой, что
&(*)-**(*)!<£
для всех £ G [а, Ь]. Для всякого £ G [а, ft] имеем:
откуда вытекает, что
В
6(*)>¥l CBWt),«]CK
4
Пусть 0 < к < т. Тогда
|6(*) - 6+1 (*)1 < 1Ы*) - xk(t)\ + \xk(t) - xk+1(t)\+
ОС
+\*k+i(t) - tk+i(t)\ < —.
(ОС \
£k(t), — J
ОС
содержится в множестве U и \£h(t) — £fc+i(t)| < —. В силу леммы 1.6,

416 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Мп
отсюда вытекает, что при каждом fc = 0,l,...,ra — 1 имеет место
равенство:
ъ ъ
J F[£k(t)>db(t)} = J ^[&+i(*),«ib+i(*)].
a a
Это позволяет заключить, что
ъ ь ь
J F[x(t),dx(t)} = / FfcoW, <%(*)] = / F[Zm(t),dU(t)} =
b
-I
F[y(t),dy(t)},
что и требовалось доказать.
■ Теоремв 1.2. Пусть F есть дифференциальная форма первой
степени, определенная в области U пространства Мп. Тогда если форма
F является замкнутой, а область U односвязна, то существует функция
f класса С1 такая, что f(x) = df(x) всюду в области U.
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Фиксируем произвольно точку р G U. Для всякой точки х G U существует
кусочно-гладкий путь х : [a,b] —> Мп, лежащий в области U и
соединяющий точку р с точкой х. Полагаем:
о
/
f(x)= / F[x(t),dx(t)}.
Значение последнего интеграла не зависит от выбора пути х, так
как область С/, по условию, односвязна и, значит, любые два пути,
лежащие в этой области и соединяющие точку р с точкой х, гомотопны
в области U. Тем самым в области U определена некоторая функция /.
Докажем, что эта функция и есть искомая.
Возьмем произвольно точку q E U. Найдется 6 > 0 такое, что
B(q,6) С U. Шар B(q,6) есть множество, звёздное относительно точки
q9 и, значит, согласно определению понятия замкнутой
дифференциальной формы (см. п. 1.3.1), найдется функция /, определенная в этом
шаре и такая, что F(x) — dj(x) для всех х Е B(q, 6).

§ 2. Приложения понятия интеграла формы вдоль кривой
417
Пусть £ : [a, ft] —► Мп есть параметризованная кривая, лежащая
в области U и соединяющая точку р с точкой д. Выберем произвольно
точку х € B(q,6) и доопределим вектор-функцию £(t) на отрезке [а, Ь+1],
полагая £(t) — q + (t — Ь)(х — q) для t £ [ft,ft + 1]. Имеем:
ь+i ь ь+i
/(*) = У *•[£(*),#(*)] = J *Ш,<Ш + / F[£(*M£(*)]. (1.13)
а а Ь
Так как в шаре B(q,6) выполняется равенство: F(x) = dj(x), то,
согласно предложению 1.1, имеет место равенство:
Ь+1
У FK(t),<«(*)] - №(ъ +1)] - /К(ь)] = /(*) - /to). (i.i4)
ь
Точка ж G B(q,8) взята произвольно и из равенств (1.13) и (1.14)
вытекает, что функции / и / в шаре J3(g, 5) отличаются на постоянное
слагаемое. Это позволяет заключить, что в данном шаре функция /
дифференцируема, причем df(x) = dj(x) = F(x) во всех точках шара
B(q,6). Так как точка q £ U была выбрана произвольно, то из
доказанного следует, что функция / дифференцируема в области U всюду и
для всех ж G U выполняется равенство: F(x) = df(x).
Теорема доказана. ■
§2. Приложения понятия интеграла
дифференциальной формы вдоль кривой
Здесь приводятся некоторые приложения понятия интеграла
линейной дифференциальной формы вдоль параметризованного пути к
изучению отображений на плоскости.
Рассмотрение некоторых конкретных замкнутых линейных
дифференциальных форм позволяет доказать теорему о неподвижной
точке для отображения круга на плоскости. Приводится доказательство
основной теоремы алгебры, то есть теоремы, которая утверждает, что
всякий полином степени п > 1 имеет хотя бы один комплексный корень.
2.1. Понятие индекса точки на плоскости относительно
замкнутой кривой. Теорема о неподвижных точках
Пусть п = 2 и (л) есть дифференциальная форма
xxdx^ — x^dxx
X-i —г* Х*2

418 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в М.п
Эта дифференциальная форма определена на множестве Ш2 \ {0} и
является замкнутой. В то же время она не является дифференциалом какой-
либо функции, определенной на множестве R2 \ {0} всюду, как это было
показано ранее (см. пример п. 1.4).
Параметризованная кривая х : [a, ft] —> Мп называется замкнутой,
если имеет место равенство: х(а) = х(Ь).
Пусть х : [a, ft] —> Ш.п есть замкнутая параметризованная кривая в
области U пространства Мп.
Будем говорить, что эта кривая стягиваема в точку в области U,
если она гомотопна в области U параметризованной кривой
у : [a,ft] —► Rn такой, что y(t) = x(a) = x(b) для всех t £ [a,ft].
Переформулируя общее определение применительно к данному
случаю, мы можем сказать, что замкнутая параметризованная кривая
х : [a, ft] —> Еп, лежащая в области С/, стягиваема в этой области, если
существует непрерывное отображение z : [a, ft] х [0,1] —> ?7 такое, что
z(t,0) == #(£) для всех £ E [a,ft], 2:(а,Л) = z(ft, A) = x(a) = х(Ъ) для всех
A £ [0,1] и z(£, 1) = ж(а) = х(Ъ) для всех t.
Отображение z, как отсюда следует, отображает в точку #(а) =ж(Ь)
три стороны прямоугольника Р = [a, ft] х [0,1], а именно, стороны
{а}х[0,1], [а,Ь]х{1} и {Ь}х[0,1].
Наглядно — замкнутая кривая x(t) стягиваема в точку, если ее
можно непрерывно деформировать в одноточечное множество {р} не
выходя из области U таким образом, чтобы концы кривой при этом все
время совпадали с точкой р = х(а) = ж (ft).
Пусть х : [a, ft] —► М2 — произвольная замкнутая кусочно-гладкая
кривая на плоскости такая, что \x(t)\ > 0 для всех t. Пусть
вещественные функции Xi(t) и X2(t) суть компоненты вектор-функции х. Тогда
определено число
*>=hI»■*>■*<'»-h/ "1*$;£($(,)* (->
Величина j(x) называется индексом замкнутой кривой x(t).
Интеграл в правой части (2.1) имеет смысл только для кусочно-
гладких кривых.
Определим понятие индекса для произвольной замкнутой
параметризованной кривой ж : [а,Ь] —> М2, удовлетворяющей условию: \x(t)\ > 0
для всех t £ \а, Ь] не предполагая, что эта кривая — кусочно-гладкая.

§ 2. Приложения понятия интеграла формы вдоль кривой
419
Пусть г = min |ж(*)|, г > 0. Положим: 6 = -.
t€[a,b] 3
Пусть £ : [a, ft] —>• М2 есть кусочно-гладкий путь такой, что £(а) =
= х(а) = х(Ь) = £(Ь), и для всех t G [а, ft] выполняется неравенство:
|£(£)—#(t)| < <5. Тогда, подставляя в равенство (2.1) компоненты вектор-
функции £(t), получим некоторое число j(£).
Величина j(£) не зависит от выбора параметризованной кривой £,
удовлетворяющей указанным выше условиям.
Действительно, пусть 77 : [а, Ь] —> R2 есть произвольный другой
путь такой, что 77(a) = х(а) = х(Ь) = 77(b) и |77(£) — ж(£)| < <5 для всех
t £ [a,6]. Тогда для всякого t E [a,ft] имеем: |£(t) — r](t)\ < 26.
Для всякого t имеем:
\£(t) - x(t)\ + 26 <36 = г,
и, значит, круг B(£(t),2<5) содержится в круге B(#(t),3<5),
который лежит в области U = R2 \ {0}.
Лемма 1.6 теперь позволяет заключить, что интеграл (2.1) для
параметризованных кривых £(£) и r)(t) принимает одно и то же значение,
что и требовалось доказать.
Далее полагаем j(x) = j(£), где £ : [a, 6] —> М2 есть
параметризованный путь в М2, удовлетворяющий указанным выше условиям.
■ Лемма 2.1. Пусть х : [a,ft] —> R2 и у : [a,b] —► М2 суть
произвольные замкнутые параметризованные кривые, лежащие в области
JJ = Е2 \ {0} плоскости R2. Тогда если кривые х и у в области U
гомотопны, то j(x) = j{y)'
Доказательство. Пусть z(t,X), a < t < Ъ, 0 < А < 1, есть
гомотопия путей х и у. Пусть Р — [a, ft] x [0,1].
Множество z(P) компактно и содержится в области R2 \ {0}.
Величина г = min \z\ положительна.
Зададим произвольно е такое, что 0 < е < г, и найдем кусочно-
гладкие параметризованные кривые £ : [a, ft] —> R2 и 77 : [a, ft] —> М2
такие, что £(а) = х(а) = #(Ь) = £(Ь) и 77(a) = ?/(а) = ?/(ft) = 77(b), и для
Bcext Е [a, ft] выполняются неравенства: \£(t)—x(t)\ < ел \f](t)—y(t)\ < е.
Полагаем:
ф, А) = (1 - A)fc(t) - x(t)\ + Afo(t) - y(t)] + z(t, A).
Имеем:
ICC*» A) - *(*, А)| < (1 - A)|e(t) - s(t)| + А|т?(*) - y(t)| < e

420 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Мп
и, значит, для любых £, А будет:
C(t,A)GC/ = E2\{0}.
Далее, ф, 0) = £(t) - x(t) + z(t, 0) = £(t) и C(t, 1) = r?(t) - y(t) + z(t, 1) =
= 77(t). Наконец, заметим, что £(a, А) = #(a) = y(a) и £(ft, А) = ж(Ь) = y(b).
Таким образом, £ есть гомотопия путей £ и 17 в области
[7 = М2 \ {0}. Применяя следствие леммы 1.6 к замкнутой форме о;,
получим, что j(£) = j(ri).
Если е достаточно мало, то j(£) — j(x), а j{rj) = j(y).
Следовательно, j (х) =j(y).
Лемма доказана. ■
■ Лемма 2.2. Пусть f : 23(0, г) —> М2 есть непрерывное
отображение замкнутого круга Кт = В(0, г) в плоскость и
x(t) = (rcost, rsint), 0 < t < 27Г,
есть параметризация его граничной окружности Гг. Пусть
y(t) = f[x(t)], 0 < t < 2тг.
Тогда если точка 0 не принадлежит множеству f(Kr), то величина j(y)
равна нулю.
Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Для
произвольного A G [0,1] положим:
z{t, A) = (r(l — A) + rAcost, rAsint).
Имеем: z(t, 1) = (гcost,rsint), z(£,0) = (г,0). Для всех t G [0,27г]
при любом A G [0,1] точка z(t, А) лежит в круге К. Это следует из того,
что z(t, А) есть точка отрезка, соединяющего точку ж(£) G Гг с точкой
ж(0) = я(2тг) = (r,0) G Гг.
Положим £(£, A) = f[z(t,\)]. Функция £, как видно из ее
определения, есть гомотопия параметризованной кривой у : [0,27г] —> М2 и
тождественно постоянного отображения гу : [0,27т] i—► р = у(0) = у(27г).
Для любых t G [0,27г] и A G [0,1] точка £(£, А) принадлежит множеству
f(Kr). По условию, множество f(Kr) не содержит точку 0, и, значит, С
есть гомотопия кривой у в кривую w = const в области М2 \ {0}.
На основании леммы 2.1 отсюда вытекает, что j(y) = i(w). Так
как, очевидно, j(w) = 0, то, значит, также и j(j/) = 0.
Лемма доказана. ■

§ 2. Приложения понятия интеграла формы вдоль кривой
421
Здесь нам понадобится некоторое важное понятие, касающееся
множеств в произвольных метрических пространствах.
Пусть даны метрические пространства М± и Мг. Говорят, что
множество А С М± гомеоморфно множеству В С Мг, если
существует отображение / : А —> Мъ такое, что выполнены следующие
условия:
1. f(A)=B.
2. Отображение / взаимно однозначно.
3. Каждое из отображений / и /_1 непрерывно.
Если эти условия выполнены, то говорят также, что / есть
гомеоморфизм множеств А и В. В этом случае обратное отображение
f1 также представляет собой гомеоморфизм множеств А и В.
В качестве приложения леммы 2.2 докажем следующую
теорему.
■ Теорема 2Л (теорема Брауэра о неподвижной точке для
двумерного случая). Пусть G есть множество в произвольном метрическом
пространстве, гомеоморфное замкнутому кругу К = В(0,1) на плоско-
сти Ж2. Тогда для всякого непрерывного отображения f множества G в
себя существует, по крайней мере, одна точка х Е G такая, что f(x) = х.
Замечание. Для произвольного отображения / значение х,
такое, что f(x) — х, называется неподвижной точкой отображения /.
Доказательство теоремы. Сначала рассмотрим случай,
когда множество G есть круг К — В(0,1). Общий случай сводится к
этому, как будет показано в конце доказательства.
Пусть дано непрерывное отображение / : К —> К. Предположим,
что искомая точка х Е К не существует, то есть для всякого х Е К
точка f(x) не совпадает с точкой х,х ф f(x), для всех х Е К. Построим
по / некоторое другое непрерывное отображение g : К —> К.
Геометрически оно описывается следующим образом (см. рис. 2). Для
всякого х Е К из точки f(x) испускается луч, проходящий через точку х.
Символом д(х) обозначим точку пересечения этого луча с
окружностью Г, отличную от точки f(x). (Точка f(x) может оказаться
лежащей на окружности Г, и в этом случае указанный луч пересекает
указанную окружность в двух точках, одна из которых есть f(x), a
другая есть д(х).)

422 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Rn
Рис.2
Если х Е Г, то из определения точки д(х) следует, что д(х) = х.
Покажем, что отображение д непрерывно. Для этой цели
найдем явное выражение для д(х) через х и /(ж). (Это требует выполнения
некоторых вычислений, совершенно элементарных по существу, хотя и
несколько громоздких.)
Луч, начало которого есть точка у = f(x) и который проходит через
точку #, есть совокупность всех точек z(t) =y + t[x — у], где t > 0.
Условие z(t) Е Г приводит к уравнению: \z(i)\ — 1. Возводя обе
части последнего уравнения в квадрат, получим:
Ш\2 = \У\2 + Щу,х- у) + t2\x - у\2 = 1. (2.2)
Имеем: д(х) = z(t) = f(x)+t[x — f(x)], где t есть решение уравнения
(2.2), удовлетворяющее условию t > 0.
По условию, у = /(ж) Е if, откуда следует, что |г/|2 < 1.
Квадратное уравнение (2.2) имеет два решения:
_ -(у,х- у) ± 1/[(г/,ж - у)]2 + [1 - \у\2]\х - г/|2
Полагаем:
. _ -(У,ж ~ I/) + y/Rj/Гз; ~ I/)]2 + [1 ~ M2]|s - у\2
*~ \^уТ2 • { }
Имеем: [1 — |г/|2]|ж — у\2 > 0, откуда вытекает, что
\/[(у,* - у)}2 + [1 - М2]|* - у|2 > у/[{у,х- у)]2 = \{у,х- у)\,
и, следовательно, t > 0.

§ 2. Приложения понятия интеграла формы вдоль кривой
423
Если \у\ = \f(x)\ = 1, то один из корней уравнения (2.2) равен
нулю. Легко проверяется, что в этом случае значение £, которое дается
формулой (2.3), будет не меньше 1 и, значит, точка z(t) Е Г и в этом
случае отлична от точки /(#)•
Таким образом, значение £, соответствующее точке пересечения
с окружностью Г луча, исходящего из точки у = f(x) и проходящего
через точку ж, дается равенством (2.3).
Функция t = t(x,y) переменных ж, у Е К, заданная равенством
(2.3), определена и непрерывна на множестве Н всех пар точек (ж, у)
таких, что х Е М2, у Е М2 и а; ф у. Отсюда следует, что £[#,/(#)]
есть непрерывная функция в круге К. В силу теорем об операциях
над непрерывными функциями, доказанных в главе 6, это позволяет
заключить, что функция
д(х) = f(x) +t[xj(x)}[x - f(x)}
является непрерывной.
Мы получаем, таким образом, следующую ситуацию. Построено
непрерывное отображение д круга К — В(0,1) в окружность Г = 5(0,1),
при котором каждая точка окружности Г переходит в себя.
Наглядно это можно представить так. Пленка из растяжимого
материала, натянутая на окружность Г, посредством отображения д
«стягивается» непрерывным образом на эту окружность. При этом все
точки самой окружности остаются на своих местах. Интуитивно ясно, что
этого не может быть. Понятие индекса точки относительно замкнутого
пути позволяет превратить наши интуитивные подозрения в точное
доказательство.
Пусть x(t) = (г cos £, г sin t), 0 < t < 27г, есть параметризация
окружности Г. Положим y(t) = g[x(t)]. Множество д(К) не содержит точку 0
и, значит, согласно лемме 2.5, j(y) = 0. Но, как следует из построения,
y(t) = x(t) и, значит, j(x) = j(y) = 0. Непосредственное вычисление
показывает, однако, что
2тг
J(X) = ±J U>[x(t)9dx(t)] = lj:0.
О
Таким образом, мы получаем противоречие.
Итак, допустив, что рассматриваемое отображение / не имеет
неподвижных точек, мы приходим к противоречию.
Значит, f имеет неподвижные точки.

424 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Шп
Рассмотрим общий случай, когда G есть произвольное
множество, гомеоморфное кругу.
Пусть дано произвольное непрерывное отображение / множества
G в себя.
Требуется доказать, что найдется х £ G такое, что f(x) = х.
Пусть ср : G —► К есть гомеоморфизм множества G и круга К.
Отображение ср взаимно однозначно, <p(G) = К. Отображения <р и. (р~г
непрерывны.
Положим / = ipofotp"1. Тогда / является непрерывным
отображением круга К в себя и, значит, по доказанному, оно имеет неподвижную
точку. Это означает, что найдется £ Е К такое, что £ = /(£)> т0 есть
vifVP'1^)]} = £• Отсюда заключаем, что /[^"*1(0] — (Р~1{0- Точка
х = <£_1(£) принадлежит множеству G.
Мы получаем, что имеет место равенство: х — /(ж), то есть х есть
неподвижная точка отображения /.
Таким образом, установлено существование неподвижной точки х
у всякого непрерывного отображения / множества G в себя для случал,
когда G есть произвольное множество, гомеоморфное кругу К.
Теорема доказана. ■
2.2. Доказательство основной теоремы алгебры
Приведем доказательство теоремы, которую часто называют
основной теоремой алгебры, использующее понятие индекса точки
относительно замкнутого пути.
D Теорема 2.2. Всякий алгебраический полином степени п > 1
имеет, по крайней мере, один комплексный корень.
Доказательство. Пусть дан полином
P(z) = zn + az71'1 + • • • + Cn-iz + cn.
Для г > О пусть Кг есть замкнутый круг В(0,г) и (r(t) = r(cost+isint),
О < t < 27г, есть параметризация его граничной окружности Гг.
Положим: wr(t) = P[Cr(t)].
Докажем, что для достаточно больших значений г имеет место
равенство j(wr) = п ф 0. Для таких значений г точка 0 принадлежит
множеству Р(КГ). В противном случае, согласно лемме 2.2, j(wr) — 0.
Если 0 Е Р(КГ) для некоторого г, то, значит, 0 = P{z) для некоторого
z £ Кг- Это z и является корнем уравнения P(z) = 0.

§ 2. Приложения понятия интеграла формы вдоль кривой
425
Р(г)
Положим zr(t) = — [(r(t)]n. Тогда выполняются равенства:
zr(0) = гг(2тг) = wr(0) = wr(27r) = P(r).
Докажем, что если г достаточно велико, то параметризованные
кривые zrvLWr гомотопны в области Е2 \ {0}. Для таких значений
г выполняется равенство: j(wr) = j(zr).
Имеем:
Р(*) = zn (l + ±р(*)) ,
где
/ \ . C2 i . Cn
Положим также
i \( \ iii lC2l . i lc™l
^»n—1 '
где r E E, r > 0. Очевидно, |р(я)| < |р|(И) для всякого z E C.
Пусть 2GC таково, что |г| = г. Имеем:
дм - т - ^ ...{т.Щ.,. [i,(2) _ i,(r)].
Отсюда получаем следующую оценку:
Д(г)
<
щИ(И) + ^ИИ
= -Шг)
и, значит, отношение
Д(«)
стремится к нулю при г —> оо.
Р(г) , 1
Теперь заметим, что отношение: v у = 1 + —р(г) при г —■> оо
стремится к пределу, равному 1. Отсюда .вытекает, что найдется значение
R > 0 такое, что при всяком г > R выполняется неравенство:
А(*)
<
Р(г)|
Для всякого 2 такого, что |г| = г > R имеем:
I Р(г).
|Д(*)| =
Р(») ~ ^?*'
<

426 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Rn
Полагая здесь z = Cr(t) = r(cost + isintf), получим, что для всех
t G [0,27г] выполняется неравенство: \wr(t) — zr(t)\ < \zr(t)\. Величина
1^(^)1 не зависит от t.
Круг радиуса 8 = \zr(t)\ с центром в точке zr(t) содержится в
области U = К2 \ {0}. Из леммы 2.3 теперь непосредственно следует, что
j(Wr) =j(zr).
Вычислим величину j(zr)> Имеем: zr(t) = cr(cosnt + г sinnt),
где сг — комплексное число. Отсюда
zr(t) = |cr|(cos(nt + <р) + ism(nt + ср)).
Пусть zr{t) = xi(t) + ix2(t). Тогда имеем:
J_ [ x1(t)x2(t)-x2(t)x'1(t)
j{Zr)-2*J Ы*)Р + [*2(*)]2 **
0
Подставляя сюда значения
x±(t) = |cr|cos(nt +^), #2(2) = |cr|sin(nt + y>),
получим, после очевидных преобразований:
2тг
j(^r) = 2^ / ndt = n.
о
Отсюда получаем, что для всякого г > R также и j(wr) = п.
На основании леммы 2.2, из доказанного следует, что 0 Е Р(КГ),
то есть существует z £ Кг такое, что P(z) = 0.
Теорема доказана. ■
§3. Длина параметризованной кривой.
Понятие интеграла Стилтьеса
В этом параграфе будет определено понятие длины
параметризованной кривой в произвольном метрическом пространстве.
Определяются понятия спрямляемой параметризованной кривой и понятие
функции ограниченной вариации. Устанавливаются свойства таких
функций, доказываются некоторые критерии спрямляемости
параметризованной кривой.

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 427
Приводится понятие интеграла Стилтьеса и доказывается основная
теорема о существовании такого интеграла. С помощью этой теоремы
оказывается возможным определить понятие интеграла линейной
дифференциальной формы вдоль произвольной спрямляемой
параметризованной кривой. Для кусочно-гладких кривых, как будет показано далее,
это определение эквивалентно определению, данному в § 1.
3.1. Функции ограниченной вариации
Зададим произвольно метрическое пространство М с метрикой р.
Цепочкой на промежутке [а, Ь] Cl будем называть всякую
конечную последовательность чисел а = {£o,ti,... ,*&} такую, что a < to <
< t\ < • • * < tk < b. Числа U называются узлами цепочки а.
Пусть дано отображение / : [а, Ь] —> М. Всякой цепочке а =
= {^о, h,..., tk} на промежутке [а, Ь] сопоставим некоторое число
v(f,a), полагая
к
г=1
Точная верхняя граница сумм. и(/,а) на совокупности всех
цепочек, лежащих в промежутке [a,ft], называется вариацией функции f
на промежутке [a, ft] и обозначается символом: \/ /.
Определением допускается значение \J f = оо.
Говорят, что / есть функция ограниченной вариации, если
величина \J f конечна.
Пусть х : [а,Ъ] —> М есть произвольная параметризованная кривая
в пространстве М, то есть непрерывное отображение отрезка [a, ft] в
пространство М.
Будем говорить, что указанная параметризованная кривая
спрямляема, если х есть функция ограниченной вариации в смысле данного
выше определения. Величину \Jах в этом случае мы будем называть
ъ
длиной кривой и обозначать также Sx.
а
Для произвольного отрезка [a, j3] С [а, Ь] величина S х называется
а
длиной дуги пути х, отвечающей промежутку [а,(3] в множестве
значений параметра t.
Термины «длина» и «вариация» обозначают, таким образом, одно
и то же понятие. Первый из этих терминов мы будем применять в
связи с задачами геометрического характера. В задачах, относящихся к

428 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Rn
математическому анализу, будет применяться второй термин, то есть
слово «вариация» и связанные с ним обозначения.
Отметим, что разделение задач на «геометрические» и
«аналитические» в данном случае весьма условно.
Функции ограниченной вариации существуют. Например,
всякая функция, постоянная на промежутке [а, Ь], является функцией
ограниченной вариации. В этом случае, как нетрудно видеть, \J / = 0.
Пусть пространство М есть множество М, наделенное его
естественной метрикой. Для всякой функции / : [а, Ь] —► R имеем:
p[f(ti-i),f(ti)} = \f(U)-f(n-i)\
для произвольных точек U-i и U из промежутка [а, Ь]. В этом случае
имеем:
v(f,a) = Y,\f(ti)-f(U-i)\.
г=1
Всякая монотонная функция / : [a, ft] —» R является функцией
ограниченной вариации.
Действительно, пусть / : [а, ft] —> R есть монотонная функция.
Зададим произвольно цепочку а = {*о>*1>«-•>**} на промежутке [а,Ь] и
рассмотрим сумму
v(f,a) = J^\f(ti)-f(ti-1)\.
г=1
Так как функция / монотонна, то все разности f(U) — f(U-i) имеют
один и тот же знак. Отсюда вытекает, что
£ \т - f(u-i)\ = hr пи) - /(ti-i)
г=1 ' г=1
= l/(*fc)-/(*o)| <!/(&)-/(а)|.
Таким образом, для всякой цепочки а, лежащей в промежутке [а, Ь],
выполняется неравенство:
v(f,a)<\f(b)-Ha)\.
Знак равенства здесь имеет место, в частности, для цепочки а,
состоящей из двух узлов — точек to = a,£i = ft. Отсюда следует, что /

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 429
есть функция ограниченной вариации. При этом вариация функции /
на промежутке [a, ft] равна |/(Ь) — /(о)|.
Пусть М = Мп. В этом случае сумма v(f,a) имеет простой
геометрический смысл (см. рис. 3).
Рис. 3
При каждом г — 1,2,..., к величина \f(U) — f(U-i)\ есть длина
прямолинейного отрезка, соединяющего точки Xi-i = f(U-i) и Xi = f(U).
Эти отрезки вместе составляют некоторую ломаную и v(f, а) есть
длина этой ломаной.
Отметим специально следующий частный случай. Пусть дана
функция / : [а, Ь] —> R. Ее график есть некоторая кривая. Длина
этой кривой, в смысле того определения, которое было дано в п. 8.3
главы 5, как будет показано позднее, есть вариация вектор-функции
x:te [а,6] i->(t,/(t)) ЕМ2.
Величина \/а/, таким образом, не равна длине графика
функции y = f(t).
Установим некоторые свойства понятия вариации функции.
Далее М есть метрическое пространство с метрикой р.
■ Теорема ЗЛ (об аддитивности вариации). Пусть дана функция
/ : [о, Ь] —> М. Тогда для всякого числа с такого, что a < с < Ь, имеет
место равенство:
ь с ь
\Jf = \Jf + \/f- (3.1)
a a с
Для всякого отрезка [*i,fe] С [а, Ь] выполняется неравенство:
t2 ь
\/ f<\/ f- (3-2)
ti а

430 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в М71
Доказательство. Сначала сделаем несколько простых
замечаний относительно величины v(/, а), где а есть произвольная цепочка на
промежутке [a, ft]. Будем говорить, что цепочка /3 содержит цепочку а,
если всякий узел цепочки а является узлом цепочки /3. Если цепочка /3
содержит цепочку а, то имеет место неравенство:
»(/;<*) <«(/;£). (3.3)
Действительно, если /3 содержит а, то /3 можно получить из а в
конечное число шагов, добавляя на каждом шаге к уже построенной
цепочке еще один узел.
Иначе говоря, можно построить последовательность цепочек ао =
= a, ai,..., am = (3 такую, что при каждом г = 1,2,...,га цепочка а%
получается из оц-i добавлением одного узла. Неравенство (3.3) будет
доказано, если мы установим, что при каждом г = 1,2,...,га имеет
место неравенство:
«(/,a»-i) <«(/,«*)•
Таким образом, для доказательства (3.3) достаточно рассмотреть
случай, когда цепочка /3 получается из а добавлением одного
нового узла.
Итак, пусть а = {to>*i, - • • >**;}, где to < *i <•••<**> и цепочка /3
получается из а добавлением в качестве нового узла — точки и £ [a,ft].
Если и < to, то
v(f,0) = v(f,a)+p[f(u),f(to)]>v(f,a).
Если и > tfc, то
«(/,/3) = «(/.*) + p[/(t*),/(ti)] > «(/>«).
Предположим, что to < w < tfc. Тогда для некоторого г будем
иметь:
*»—1 < гх < ti.
Величина v(/,/?) получается заменой слагаемого p[/(ti), /(ti-i)] в сумме,
представляющей г;(/,а), выражением:
p[/(*«_i),/(«)]+p[/(«),/(t*)] > Pi/(t*-i),/(**)],
откуда следует, что и в этом случае
v(f,P)>v(f,a).

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 431
Таким образом, (3.3), в силу сказанного выше, доказано.
Пусть а есть произвольная цепочка на промежутке [а, Ь] и а' —
цепочка, получаемая из а присоединением в качестве новых узлов точек
а, с, и Ь.
Пусть Р есть цепочка, образованная теми узлами цепочки а',
которые лежат на отрезке [а, с], 7 — цепочка, образованная узлами цепочки,
лежащими в промежутке [с, Ь]. Точка с является узлом каждой из
цепочек /3 и 7 и, мы, очевидно, имеем:
v(f,a')=v(f,0) + v(f,>y).
Применяя неравенство (3.3) к цепочкам а и а\ получаем, что
v(f,a)<v(f,a').
Отсюда вытекает, что
с Ь
*(/, а) < t/(/, /3) +1/(/, 7) < \/ / + V /•
а с
Так как цепочка а точек отрезка [а, Ь] была взята произвольно, из
полученного неравенства следует, что
Ь с Ь
\l / = supV(/,a)<\/ / + \/ /. (3.4)
OL
а ас
Здесь точная верхняя граница, в соответствии с определением вариации
функции на отрезке, берется по множеству всех цепочек, лежащих на
отрезке [а,Ъ].
Величина \Jca /, по определению, есть точная верхняя граница сумм
v(f,/3) на множестве всех цепочек, лежащих на отрезке [а,с]. В силу
известных нам свойств точной верхней границы (см. главу 1), найдется
последовательность (/Зи)ие^ цепочек, лежащих на отрезке [а,с], такая,
что
с
lim «(/,/?„) = W-
и—юо v
а
Аналогично заключаем, что существует последовательность (7^)^€N
цепочек, лежащих на отрезке [с,Ь], для которой
ь
]imt/(/,7*) = V/-

432 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ж
Пусть аи есть цепочка, получаемая объединением цепочек f}v и j».
Пусть cv есть самый правый узел цепочки ^, а с^ — самый
левый узел цепочки ju. Тогда при каждом v E N имеем:
v(f,a„) = v(f,Pv)+p(f(c„)J(c'„)) + v(fnv) > v(fM + v(f,-Y»)-
Отсюда
ъ
a
Переходя в этом неравенстве к пределу при v —» оо, получим:
ь с ь
\Jf>\/f + \lf. (3.5)
Из (3.4) и (3.5) вытекает (3.1). Неравенство (3.2) следует из
того, что всякая цепочка а, лежащая в промежутке [*i, *г] С [а, Ь], лежит
также и в промежутке [а, Ь] и, значит, для любой такой цепочки
v(f,a)<\J f.
Отсюда следует, что точная верхняя граница величины v(f,a) на
множестве всех цепочек, лежащих в промежутке [*1,*г], не превосходит
V/-
Справедливость неравенства (3.2), таким образом, установлена.
Теорема доказана. ■
▼ Следствие. Если f : [a,b] —» М есть функция ограниченной вари-
ации, то сужение функции f на всяком промежутке [ti, £2] С [а, Ь] также
есть функция ограниченной вариации.
Данное утверждение следует из (3.2). ▼
Пусть / : [a,b] —» М есть функция ограниченной вариации.
Определим функцию Vf : [а, Ь] —» R, полагая
„(*) = {° ДЛЯ* = а; (3.6)

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 433
Будем говорить, что v/, как функция переменной *, есть
вариация /.
Для любых *i,*2 £ [я?Ь] таких, что t\ < £2, имеет место равенство:
У f = vf(t2)-vf(t1). (3.7)
ti
Для t = а справедливость равенства (3.7) следует из определения
функции V/. Если а < h < £2, то, согласно теореме 3.1, будем иметь:
t2 ti t2 *2
Vf(t2) = \/ f = \/ f + \/ f = Vf(t1) + \/ f,
a a t± t±
откуда получаем (3.7).
Левая часть равенства (3.7) неотрицательна, и, значит, функция
V/ является неубывающей на промежутке [а,Ь].
ф Предложение 3.1. Пусть дана функция f : [a,b] —► М. Для
всякого отрезка [*i, *г] С [а, Ь] выполняется неравенство:
p[f(*i)J(t2)]<\/ f. (3.8)
*i
Действительно, левая часть неравенства (3.8), очевидно, есть
величина v(/, а), вычисленная для цепочки, имеющей ровно два узла —
точки ti и £г, и справедливость неравенства (3.8) следует из определения
вариации функции на отрезке [tijfe]. ♦
■ Теорема 3.2 (о непрерывности вариации). Пусть f : [a>b] —► М
есть функция ограниченной вариации. Тогда если функция f
непрерывна в точке to E [а,Ь], то вещественная функция Vf, определенная
равенством (3.6), также непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть / : [а, Ь] —► М есть функция
ограниченной вариации. Предположим, что / непрерывна в точке to E [а,Ь].
Пусть to < Ь. Зададим произвольно е > О и найдем по нему цепочку а,
лежащую на промежутке [£о,Ь] и такую, что
ь
«(/,«) >V/-f ■
«о

434 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ж'
Будем считать, что точка to является узлом цепочки а. Этого
всегда можно добиться, добавляя к а точку to в качестве нового узла.
Величина г;(/, а) при этом не уменьшается. Пусть ti > to есть
следующий по порядку узел цепочки а. Так как функция /, по условию,
непрерывна, то найдется 6 > О такое, что to + 6 < ti, и для всякого
t £ [to, to + 6) выполняется неравенство:
р[/(£),/(<о)]<|-
Возьмем произвольно точку t такую, что to < t < to + 6. Пусть at
есть цепочка, получаемая из а заменой точки to на точку t. Имеем:
«(/, at) = v(f, а) - p[f(t0), №)] + p[f(t), fit,)} >
b b
> v(f,a)-p[f(t),f(to)} >V/-|-f = V^-£-
Согласно определению вариации функции на отрезке, верно
неравенство:
ъ
У f>v(f,at).
t
Следовательно, для всякого t £ (to, to + 6)
V/>V/>W-£=W+V/—
to t to to t
Отсюда вытекает, что
t
0<vf(t)-vf(to) = \J <е
to
для всех t G (to, to + 8). Так как е > 0 было выбрано произвольно, то
тем самым доказано, что функция Vf непрерывна справа в точке to.
Аналогичным рассуждением устанавливается, что если а < to, то
функция Vf непрерывна слева в точке to.
Теорема доказана. ■
3.2. Функции ограниченной вариации со значениями
в банаховом пространстве
Зададим произвольно банахово пространство X. Пусть ||#|| есть
норма вектора жЕХ. Расстояние между произвольными точками
ж,г/ G X определяется по формуле: р(х,у) = \\у — х\\.

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 435
Для функций, определенных на произвольном отрезке [а, Ь] и со
значениями в пространстве X, определено понятие функции ограниченной
вариации.
■ Теорема 3.3. Если f : [a9b] —► X и д : [а,Ь] —> X суть функции
ограниченной вариации, то для любых вещественных чисел А и /х
отображение h = \f + /лд : [а, Ь] —► lRm также есть функция ограниченной
вариации. При этом
ь ь ь
\/h<\\\\/ / + HV 5- (3-9)
а а а
Доказательство. Пусть / : [а,Ь] —► X и g : [a,b] —» X суть
функции ограниченной вариации, Л, ц Е М.
Для всякой цепочки а = {io^bte,.. .,£&}, лежащей в промежутке
[а,Ь], имеем:
«(Л,а) = ^||Л(**)-М*<-1)11-
г=1
При каждом г
||fc(ti) - h(ti-i)\\ = ||A[/(ti) - f(U-i)] + »Ш ~ 9(U-i)]\\ <
< \Ч\\№ - /(*i-l)|| + Ы||$(*г) - P(*i-l)||.
Суммируя по г эти неравенства, получаем неравенство:
ъ ъ
v(h, a) < \X\v(f, a) + \»\v(g, a) < | A| \J f + \ц\ \J g,
a a
из которого следует, что
b b b
У h = supv(h,a)<\\\\/ f+\n\\/ д.
a.
a a a
Теорема доказана. ■
▼ Следствие 1. Множество всех функций ограниченной вариации,
определенных на отрезке [а, Ь] и принимающих значения в пространстве
X, представляет собой векторное пространство.

436 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ш71
Справедливость следствия 1 вытекает из теоремы 3.3 и следствия
теоремы 2.1 главы 6. Т
▼ Следствие 2. Если / : [а, Ь] —► Ш™ есть функция ограниченной
вариации, то для всякого А £ Ш выполняется равенство:
ь ь
\J^f = \M\Jf- (з.ю)
а а
Доказательство* Пусть V есть множество всех отображений
/ : [a,b] —> Mm, являющихся функциями ограниченной вариации.
Согласно следствию 1, V есть векторное пространство. Каждому элементу
/ пространства V отвечает некоторое вещественное число V(f), равное
viz-
Полагая в условиях теоремы 3.3 g = 0, получим, что для всякого Л
выполняется неравенство:
V(\f) < \X\V(f).
В силу леммы 3.1 главы б, отсюда следует, что для всякой функции
/ Е V и любого А имеет место равенство:
V(Xf) = \X\V(f).
Следствие 2 доказано. ▼
▼ Следствие 3 (критерий Жордана ограниченности вариации
вещественной функции). Для того чтобы функция f : [a,b] —* Ж была
функцией ограниченной вариации, необходимо и достаточно, чтобы она
могла быть представлена как разность двух неубывающих функций,
определенных на промежутке [а,Ъ].
Доказательство. Необходимость. Пусть / : [а, Ь] —> Ш
есть функция ограниченной вариации. Для t E [а, Ь] положим
t
«/(*) = V /
а
при а <t <Ь, v(a) = 0.
Пусть <p(t) = \[vf{t) + /(*)] и m = \[v}{t) - f(t)\.

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 437
Зададим произвольно точки £i,£2 £ [а,Ь] такие, что t± < £2. Тогда,
применяя неравенство (3.8), получим:
Поэтому
t;/(t2)-t;/(*i)>/(*2)-/(ti)
и одновременно
«/(*2)-«/(*l)>-[/(fa)-/(tl)].
Отсюда следует, что
(p(t2) - 4>(ti) > 0 и ^(t2)-^(*i)>0.
Так как точки ti и £г из промежутка [а, Ь] такие, что t\ < £2, были
выбраны произвольно, то мы получаем, что функции (риф
неубывающие.
Имеем, очевидно: /(£) = <p(i) — ip(t) для всех £ б [а,Ь] и, таким
образом, функция / является разностью двух неубывающих
функций.
Необходимость условия следствия 3, таким образом, доказана.
Достаточность вытекает из того, что, как было показано
выше, всякая монотонная функция есть функция ограниченной
вариации, и, значит, согласно теореме 3.3, разность двух монотонных
функций есть функция ограниченной вариации.
Следствие 3 доказано полностью. ▼
Пусть даны нормированные векторные пространства X и Y.
Норму вектора и в том, и в другом пространстве будем
обозначать символом || • ||.
Пусть L : X —> Y есть линейное отображение. Напомним, что
нормой отображения L называется величина ||L||, равная sup ||L(/i)||. В
11*И<1
общем случае допускается значение ||L|| = 00.
Линейное отображение L называется ограниченным, если его норма
конечна.
Пусть L : X —► Y есть ограниченное линейное отображение. Тогда
для всякого /iGX выполняется неравенство (см. п. 3.4 главы 6):
\L(h)\ < \\L\\\h\.
(3.11)

438 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ш71
■ Теорема 3.4. Пусть X и Y — произвольные нормированные
векторные пространства и L есть ограниченное линейное отображение X
в Y. Тогда если / : [а, Ь] —> X есть функция ограниченной вариации,
то g : t н-+ L [/(£)] £ Y есть функция ограниченной вариации. При этом
выполняется неравенство:
ь ь
\J 9<\\L\\\I f.
a a
Доказательство. Зададим произвольно цепочку
ol — {£o,£i,...,£fc},
лежащую в промежутке [а, Ь]. Имеем:
к
v(L о /, а) = £ ||L[/(t,)] - L[/(t,-i)]|| =
г=1
= 53 \W(U) - /(«*-i)]ll < E Ш№ - /ft-OII = \\L\\v(f,a).
г=1 г=1
Отсюда следует, что для всякой цепочки а, лежащей в промежутке
[а^Ь], выполняются неравенства:
ь
v(Lof,a)<\\L\\v(f,a)<\\L\\\/ f.
a
В силу произвольности цепочки а, лежащей в промежутке [а, Ь],
получаем, что
ь ь
\/Lof = supv(Lof,a)<\\L\\\Jf.
OL
a a
Теорема доказана. ■
▼ Следствие (критерий Жордана ограниченности вариации
вектор-функции). Пусть дана функция
f:t€[a,b]~ (/i(«),/2(*) /m(t)) € Rm.

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 439
Для того чтобы f была функцией ограниченной вариации, необходимо и
достаточно, чтобы каждая из вещественных функций fi, i = l,2,...,m,
компонент вектор-функции f, была функцией ограниченной вариации.
Доказательство. Необходимость. Пусть / : [а, Ь] —► Ш™
есть функция ограниченной вариации. Пусть ег : Ш™ —> Ж есть линейная
функция, которая вектору у £ Ш™ сопоставляет его г-ю компоненту.
Имеем: fi(t) = ег [/(£)]. Из теоремы 3.4 немедленно следует, что fi
есть функция ограниченной вариации.
Необходимость условия следствия установлена.
Докажем достаточность. Пусть вектор-функция /: [а, Ь] —» Ш™
такова, что ее компоненты fi, i = 1,2,... ,га, суть вещественные
функции ограниченной вариации. Пусть векторы е^, i = 1,2,..., га, образуют
канонический базис пространства Rm.
Отображение t £ R н-> tei — линейно. Отсюда, согласно
теореме 3.4, вытекает, что вектор-функция £ н-> fi(t)ei £ Mm при каждом
i = 1,2,..., га является функцией ограниченной вариации. Имеем:
г=1
В силу теоремы 3.3, отсюда вытекает, что / есть функция
ограниченной вариации.
Следствие доказано. Т
■ Теорема 3.5. Пусть вектор-функция х : [a,b] —► Шт непрерывна и
дифференцируема в основном в промежутке [a,b]. Тогда если функция
t ь-► \x'(t)\ интегрируема по промежутку [a,b], то параметризованная
кривая x(i) спрямляема и ее длина равна интегралу:
ь
I \x(t)\dt.
a
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Для
всякого промежутка [*1,£г] С [а, Ь], где ii < *2, имеем:
\x(t2) -x(ti)\ = / x{t)dt\ < I \x(t)\dt.

440 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Rn
Отсюда следует, что для всякой цепочки а = {to,ti,... ,t*} точек
промежутка [а, Ь] имеет место неравенство:
i. и *г tm
Л Го л л
v(z,a) = ^T\x(U)-x(ti-i)\<^2 / \x'(t)\dt= \x'(t)\dt. (3.12)
i=l г=1 . ^ /
Таким образом, для всякой цепочки а = {to,ti,... ,tfc} точек
промежутка [а,Ь] имеет место неравенство (3.12). Отсюда следует, что для
любого промежутка [р, q] С [а, Ь] величина \/q x конечна, причем имеет
место оценка:
V х< / Irc'OI*- (3-13)
^ р
В частности, получаем, что данная кривая х спрямляема.
Положим vx(t) — У х при а < t < Ъ и vx(a) = 0. Согласно
теореме 3.2, функция vx непрерывна. Пусть S есть первообразная функции
t *-» |ж'(*)|. Предположим, что точка to G [a,b] такова, что функции х и
S дифференцируемы в этой точке, причем S'(to) = |#'(to)|.
Множество точек to, которые не удовлетворяют этим условиям, не
более чем счетно. Для всякого t / to при t < to имеем неравенства:
\z(t)-x(tp)\ < ^(tQ)-i;g(t) = 1 \°/ /3 14ч
|* — *о| " *o-t to-* V • v ' ;
11 t
Если t > to, то справедливы неравенства:
|a?(t) - Д?(*о)1 Va?(t) -Vg(to)
It — to I "'" t — to t — to
Неравенство (3.13) позволяет заключить, что при t < to будет:
'(t)|dt = 5(to)-S(t).
to *2
t
Таким образом, если t < to, то
|g(t)-s(t0)| < vx(to)-vx(t) < 5(t0) - S(t) e
|t — to | """ to — t ~~~ to — t

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 441
В случае t > to, применяя аналогичным образом неравенства (3.13)
и (3.15), получим:
\x(t)-x(t0)\ < vx{t)-vx{U) < S(t)-S(t0)
\t — to\ ~~ t — to "~ t — to
Левая и правая части неравенств (3.16) и (3.17) при t —> to
стремятся к одному и тому же пределу, равному |a/(to)|. Отсюда следует, что
vx является первообразной функции |#'(£)|. В частности, мы получаем,
что
ъ
vx(b) — vx(b) - vx(a) = / \x'(t)\ dt.
a
Теорема доказана. ■
Замечание 1. Теорема 3.5 сформулирована и доказана для
кривых в пространстве Еп. Теорема верна и в общей
ситуации, когда х есть вектор-функция со значениями в произвольном
банаховом пространстве. Единственный факт из интегрального исчисления
вектор-функций, который существенно здесь используется, — это
следующая оценка:
ь ъ
I//(*)*!< [ \\f(t)\\dt, (3.18)
а а
где вектор-функция / : [а, Ь] —► X со значениями в банаховом
пространстве X такова, что сама функция f(t) и вещественная функция ||/(*)||
интегрируемы по промежутку [а, Ь]. Это неравенство для интегралов
верно и в случае, когда X есть произвольное банахово пространство,
но его доказательство в данном случае оказывается существенно более
сложным.
Простейший путь к получению оценки вида (3.18) в общем случае
основан на использовании теоремы Хана — Банаха, которая, однако,
не может быть здесь доказана, так как это потребовало бы более
детального исследования свойств банаховых пространств, что выходит за
пределы данной книги.
Замечание 2. Из теоремы 3.5, в частности, следует, что
определение понятия длины кривой, данное в § 8 главы 5 для кусочно-
гладких кривых, эквивалентно тому, которое приводится здесь.
Рассмотрим функцию отрезка АЖ(Д), полагая АЖ(А) = \х(/3) — х(а)\ для

442 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Жп
А = [а,/3]. Аддитивная функция отрезка в промежутке [а,Ь], согласно
§8 главы 5, называется длиной дуги, если она непрерывна и ее
плотность совпадает в основном в промежутке [а, Ь] с плотностью функции
отрезка \х. Из теоремы 3.5 очевидным образом следует, что для всякой
кусочно-гладкой кривой х : [а,Ь] —► Мп этим условиям удовлетворяет
функция отрезка /, определенная условием: 1(A) = \J для А = [а,/3].
3.3. Интеграл Стилтьеса. Определение интеграла
дифференциальной формы первой степени по
спрямляемой кривой
Пусть дан промежуток [а, Ь] С М.
Будем говорить, что задано разбиение промежутка [а,Ь], если
указана конечная последовательность £ = {to^ti,.. Лт} точек промежутка
[о,Ь] такая, что to = a, tm = Ь и U-\ < U при каждом г == 1,2,... ,ш.
Точки U называются узлами разбиения £.
В п. 7.2 главы 5 было определено понятие пунктированного
разбиения отрезка. Напомним, что пунктированным разбиением промежутка
[а,Ь] называется пара £ конечных последовательностей {<o,ti,... ,<т}
и (*1,<2,--. Дт} точек промежутка [о,Ь] такая, что to = a, tm = Ь и
ti-i < ^г, a ti_i <U<U при каждом г = 1,2,..., га. Точки U
называются узлами пунктированного разбиения £, а числа 1г — его отмеченными
точками.
Пусть £ есть пунктированное разбиение отрезка [о,Ь], to = а <
< *i < • • • < *m-i < *m = Ь — узлы этого разбиения.
Наибольшая из длин частичных отрезков [i»-i,ti], на которые
промежуток [а,Ь] разбивается точками U, обозначается ||£||. Согласно
определению, имеем:
||£||= mK{|ii-«i_i|}.
1<г<га
Пусть даны функции / : [о, 6] —► Ш.п и д : [о, 6] —► Мп. Выберем
произвольно пунктированное разбиение £ промежутка [а,Ь].
Пусть *0j*ij • • .*m-ij*m суть узлы разбиения £, ^г, г = 1,2,... ,т, —
его отмеченные точки. Величина
п
m,f,9) = J^(f(ii), 9(U)-g(ti))
г=1
называется суммой Римана — Стилтьеса для функций fug.

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 443
Сопоставляя произвольному пунктированному разбиению £
промежутка [а, Ь] величину ||£||, мы получим некоторую функцию на
совокупности всех пунктированных разбиений промежутка [а, Ь]. Ее точная
нижняя граница, очевидно, равна нулю. По этой причине можно
говорить о пределе относительно оценочной функции £ н+ ||£||.
Предел
если таковой существует и конечен, называется интегралом Стилтъеса
функции / относительно функции д и обозначается символом:
ь
I
(f(x), dg(x)).
Данным определением допускается случай п = 1, то есть случай,
когда / и д суть вещественные функции. Для п = 1 скалярное
произведение превращается в обычное произведение. В соответствии с этим, —
в случае, когда / и д суть вещественные функции, — интеграл
Стилтьеса функции / относительно функции д представляется выражением:
ь
!
f(x)dg(x).
Отметим некоторые свойства интеграла Стилтьеса,
непосредственно вытекающие из определения.
ф Предложение 3.2. Если функции Д : [а, Ъ] -> Еп и /2: [а, 6] -» Ш.п
интегрируемы относительно функции g : [а, Ь] —* Мп? то для любых X,
/iEl также и функция A/i + /i/2 интегрируема относительно g и имеет
место равенство:
ъ ь ь
I <A/i(a?) + /х/2(я), dg(x)) = Х I </i(ar), <to(s)) + /х / (/2(я?), dp(aO).
Действительно, для всякого пунктированного разбиения £
промежутка [а, Ь], как очевидно, выполняется равенство:
S(e,A/i+/i/2,p) = AE(^,/i,P)+/iE(^,/2,p).

444 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ш71
В силу теорем об операциях над пределами, доказанных в § 4
главы б, отсюда следует справедливость данного предложения, ф
ф Предложение 3.3. Если вектор-функция f : [о, 6] —► Rn
тождественно постоянна на промежутке [а, 6], /(*) = h Е Шп, то интеграл
Стилтьеса функции f относительно функции g существует, какова бы
ни была функция д. При этом справедливо равенство:
!
(f(x),dg(x)) = (h,g(b)-g(a)). (3.19)
Действительно, если f(x) = h для всех х Е [а,Ь], то для всякого
пунктированного разбиения £ промежутка [а, Ъ] имеет место равенство:
£(£,/,<?) = (У^Ь,д(и) -g(U-i)\ = /h, JTfofc) - 5(*i-i)] ) .
Как очевидно,
]£[ff(*0-ff(*«-i)]=ff(b)-p(a).
г=1
Следовательно, для всякого пунктированного разбиения £ промежутка
[а, Ь] справедливо соотношение:
E(£,/,5) = (h,5(b)-5(a)>.
Отсюда следует, что
(h,g{b)-9ia))=Vmom,f,g).
Стало быть, в данном случае интеграл функции / относительно д
существует, причем имеет место равенство (3.19).
Предложение доказано, ф
ф Предложение 3.4. Пусть функция f : [a, b] —► Ш.п интегрируема
в смысле Стилтьеса относительно функции g : [a, b] —> Ш.п по
промежутку [a,b]. Тогда для всякого с такого, что a < с < Ь, функция f

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 445
интегрируема в смысле Стилтьеса по каждому из промежутков [а, с] и
[с,Ь], причем имеет место равенство:
ь с ь
J (f{t), dg(t)) = J </(*), dg(t)) + j (f(t), dg(t)).
Доказательство. Пусть вектор-функции / и g таковы, что /
интегрируема в смысле Стилтьеса относительно g по промежутку [а,Ь].
Положим
/
(f(t),dg(t)).
Зададим произвольно е > О и найдем по нему 6 > О такое, что для
всякого пунктированного разбиения £ промежутка [а, Ь] такого, что ||С|| < 6,
выполняется неравенство:
||S(C,/,5)-/||<£i = |.
Фиксируем произвольное разбиение rj с пунктированными точками
промежутка [с,Ь], удовлетворяющее условию: \\т]\\ < 6. Пусть £i и £2
суть разбиения с пунктированными точками промежутка [а, с] такие,
что ||£i || < 6 и ||^21| < 6. Разбиения £i и rj вместе образуют некоторое
разбиение £i с пунктированными точками промежутка [а, Ь] такое, что
||£г|| < 6. Точно так же £г и rj составляют разбиение Сг промежутка
[а,Ь], удовлетворяющее условию: ЦСгЦ < 6.
Из определения сумм Римана — Стилтьеса следует, что
E(Ci,/,fl) = E(fc,/,0) + Efo,/,0), E(C2,/,0) = E(&,/,0) + Efo,/,0).
В силу выбора 6 > О имеют место неравенства: | T,(Ci,f,g) — I\ < £i и
|Е(С2,/,5) - I\ < ex. Отсюда |E(Ci,/,5) - Е(С2,/,<?)| < £i +ei = е.
Осталось заметить, что
E(Ci,/,</) -E(C2,/,5) =Е(6,/,5) -Е(£2,/,<г),
и, таким образом, мы получаем, что для любых двух пунктированных
разбиений £i и & промежутка [а, с], удовлетворяющих условиям ||£i || < 6
и ||£г|| < #, выполняется неравенство: | E(£i,/, #) — Е(^2,/,р)| < £•

446 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Шп
Таким образом, мы получаем, что для функции £ н-► £(£, /, д)
пунктированных разбиений отрезка [а, с] выполняется критерий Коши —
Больцано существования конечного предела при ||£|| —» 0. Тем самым
установлено, что функция / интегрируема относительно функции д по
промежутку [а,с].
Интегрируемость функции / относительно д по промежутку [с, Ь]
устанавливается аналогичными рассуждениями.
Положим
с b
J (f(t),dg(t)), h = j
(№,dg(t)), h= / (№,dg(t)).
Пусть (£i/)iy£N и (?jiy)iyGN суть последовательности пунктированных
разбиений промежутков [а, с] и [с, Ь], соответственно, такие что ||£„|| —» 0
и \\riu\\ —* 0 при г/ —> оо. Обозначим символом ^ пунктированное
разбиение промежутка [а, Ь], составленное из пунктированных разбиений £^ и
?7i/. Очевидно, ||Ci/|| —► 0 при г/ —> оо. При каждом v £ N имеем:
£(С„/,з) = £(6,/,0) + £(^,/,5). (3-2°)
При z/ —► оо, очевидно, имеем: Y,(£v,f,g) —► J, Е(£^,/,(/) —> Д и
^(^j/jP) -> ^2- Переходя в равенстве (3.20) к пределу, при i/ —► оо
получим 7 = /i + /2-
Предложение доказано, ф
ф Предложение 3.5. Пусть функция / : [а, Ь] —► Мп интегрируема
в смысле Стилтьеса относительно функции g : [а, Ь] —> Мп по
промежутку [а, Ь]. Тогда функция f интегрируема в смысле Стилтьеса
относительно функции g по любому промежутку [а,0] С [а, Ь] и функция
отрезка, определенная равенством
Ф(А) = J (f(t),dg(t)),
a
где А = [а,/3], является аддитивной.
Данное утверждение представляет собой очевидное следствие
предложения 3.4. ф
Следующая теорема устанавливает некоторые условия,
выполнение которых для данных функций / и g гарантирует
существование интеграла Стилтьеса.

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 447
■ Теорема 3.6 (о достаточном условии существования интеграла
Стилтьеса). Если функция / : [а, Ь] —► Шп непрерывна, а д : [а,Ь] —► М71
есть функция ограниченной вариации, то интеграл Стилтьеса функции
f относительно функции д существует.
Доказательство. Пусть / — непрерывная функция, д —
функция ограниченной вариации на промежутке [а, 6]. Положим
ь
М = \1 д.
а
Так как функция / непрерывна, то она равномерно непрерывна на
промежутке [а, Ь].
Зададим произвольно е > О, и пусть е\ = ——-. Очевидно, £\ > О
и в силу равномерной непрерывности функции по нему найдется 6 > О
такое, что для любых #i, #2 £ [а,Ь] таких, что |a?i — Х2\ < 25,
выполняется неравенство: |/0п) — /(^г)| < £\-
Зададим произвольно пунктированные разбиения £ и т/ промежутка
[о,Ь] такие, что ||£|| < (5 и ||ц|| < 6.
Пусть С есть разбиение промежутка [а, Ь], получаемое, если к узлам
разбиения £ добавить все узлы разбиения 7?. Пусть U, i = 0,l,...,fc,
суть узлы разбиения £, ?i, i = 1,2,..., fc, — его отмеченные точки, iij,
jf = 0,1,...,/, — узлы разбиения 7?, щ, j — 1,2,...,/, — отмеченные
точки пунктированного разбиения т/. Имеем:
к
£(£,/,<?) = £</&), $(*<) -ff(*i-i)>, (3.21)
г=1
г
2(г/,/,р) =-£(/(^), РК) - <?K-i)>. (3.22)
Пусть vo,vi,...,i7m-i,i7m — узлы разбиения С- Рассмотрим
промежуток [t»_i,t«]. Пусть vp = ^-1 < vp+i < • * * < vq = t% —
узлы разбиения £, лежащие между U-\ и U. Имеем:
ч
g(U) - g(U-i) = g(v9) - g(vP) = ^ \9Ы - 9(vs-i)}. (3.23)
s=p+l
(Не исключается случай, когда q = р + 1. Тогда в правой части
последнего равенства будем иметь единственное слагаемое.)

448 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Ш.п
Подставляя представление для g(ti)—g(U-i) в виде суммы, которое
дается равенством (3.22), в правую часть равенства (3.20) при каждом
г = 1,2,..., fc, получим:
771
Е(£,/,3) = ^2(f(v's), дЫ-д^-г)). (3.24)
5 = 1
Промежуток [vs-i,vs] при всяком s = 1,2,..., т содержится в одном
и только в одном из промежутков [t»-i,ti]. Пусть v^ есть отмеченная
точка разбиения £, соответствующая этому промежутку [U-i,U], то есть
v's -U.
Аналогичным образом получим, что
т
ШЫ = £</Ю, J(».)-J(«.-i)>. (3.25)
s=l
В этом случае v" = uj, где j таково, что имеет место включение:
[vs-i,vs] С [uj-i,uj]. Этим условием номер j определяется однозначно.
Из равенств (3.23) и (3.24) получаем:
771
| £(£, /,5) - Efo, /,5)| < J] 1/Ю - /ЮНзЫ " ff(«.-i)l- (3-26)
5 = 1
При всяком 5 число v's есть точка промежутка [U-i, *г]5 содержащего
промежуток [i7e-i,t;e], a v" есть точка промежутка [гх^_1,г4^],
содержащего тот же промежуток [ve-i,i7e].
Отрезки [iij-ijiij] и [<г-1,*г] имеют общие точки и каждый из них
имеет длину, меньшую 6, Отсюда следует, что \v'8 — v'J\ < 26 при всяком
s = 1,2,... ,га. В силу выбора 5 > 0, это позволяет заключить, что
i/(«:)-/«)i<ei = ]i~:
для всех s = 1,2,... , га. На основании (3.25) отсюда вытекает, что
771
| £(£,/,5) - £07,/,5)| < Yl Jfp[\9(vs)-g(vs-i)\ =
5 = 1
m
= мТТ £1^-) - '("-01 < мТТ^ <£- (з-27)
s=l

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 449
Для пунктированных разбиений £ и 7? требовалось только, чтобы
выполнялись условия:
нен<* и ы\<б.
Число е > О было взято произвольно. Следовательно, мы получаем,
что для всякого е > 0 можно указать 6 > 0 такое, что для любых
двух пунктированных разбиений £ и rj отрезка [а, Ь], удовлетворяющих
указанным условиям, выполняется неравенство:
12(£,/,<?)-Eft,/,<?)|< е.
Таким образом, для функции £ н-> Е(£,/,#), определенной на
множестве всех пунктированных разбиений промежутка [а, Ь],
выполняется критерий Коти — Больцано существования конечного предела при
11*11-0.
Следовательно, существует конечный предел:
Согласно определению, этот интеграл и есть интеграл Стилтьеса
функции f относительно а.
Теорема доказана. ■
Во многих вопросах бывает полезна оценка интеграла Стилтьеса,
устанавливаемая следующей леммой. (Заметим, что слово «оценка» в
математике имеет смысл, не вполне совпадающий с тем, который ему
придается в обычном словоупотреблении. Как правило, под оценкой
в математике понимается некоторое неравенство, позволяющее делать
определенные заключения качественного характера о том или ином
математическом объекте.)
■ Лемма 3.1. Пусть f : [a,b] -+ Мп есть непрерывная функция,
g : [а, Ь] —> Шп — функция ограниченной вариации. Пусть постоянная
L < оо такова, что \f(x)\ < L для всех х £ [а,Ь]. Тогда имеет место
неравенство:
ъ
I
(f(x), dg(x))
<L\Jg. (3.28)

450 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Rn
Доказательство. Зададим произвольно пунктированное
разбиение £ отрезка [а, Ь]. Тогда определена величина:
771
£(£,/,<?) = 2</(*<), g(U) - g(ti-i)).
г=1
Имеем, очевидно:
m
\m,f,9)\ < ^\(f(ti), д(и)-д(и-г))
г=1
При каждом г = 1,2,..., га выполняются неравенства:
|</(*о> »(*<) - »(**-i)> | < i/(*oi ь(*о -p(**-i)i < ь|д(*о -p(*«-i)|.
Отсюда, суммируя по i эти неравенства, получаем:
m Ь
\m,f,g)\ <ь^,Ш-g(u-i)\ <l\J д.
s=l a
При ||£|| —► 0 величина |Е(£,/,р)| стремится к пределу, равному
интегралу от функции / относительно функции д.
На основании теоремы о предельном переходе в неравенстве (см.
§4 главы 6), из доказанного вытекает неравенство (3.28).
Лемма доказана. ■
В Теорема 3.7. Предположим, что функция / : [о,Ь] —► Шп
непрерывна, а функция g : [а, Ь] —* Ш71 непрерывна и дифференцируема в
основном в промежутке [а,Ь], Тогда если функция \g'(t)\
интегрируема по [a,b]9 то функция f интегрируема относительно g по промежутку
[а, Ь], причем имеет место равенство:
ъ ъ
J(f(t),dg(t)) = J(f(t),g'(t))dt. (3.29)
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Тогда функция g является функцией ограниченной вариации, как следует
из теоремы 3.5, откуда следует, что интеграл, стоящий в левой части
равенства (3.29), для данных функций / и # определен.

§ 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 451
Для произвольного отрезка А = [а, 0] С [а, Ь] положим:
1(A) = J (f(t),dg(t)), S(A) = J \g'(t)\ dt.
a a
Функции отрезков /(А) и 5(A), определенные таким образом, являются
аддитивными.
Так как функция / : [а, Ь] —» Ш71 непрерывна, то она является
ограниченной. Пусть L < ос таково, что |/(*)| < L для всех t £ [а, Ь].
В силу леммы 3.1, для всякого промежутка А = [a, ft] имеем:
\I(A)\<b\J g = LS(A).
Аддитивная функция отрезка S является непрерывной, откуда
следует непрерывность аддитивной функции отрезка I.
Пусть точка to £ [а, Ь] такова, что функция д дифференцируема в
точке to и |#'(£о)| является плотностью аддитивной функции
отрезка S. Множество точек £, для которых эти условия не выполняются,
не более чем счетно. Для h > О пусть u(h) есть точная верхняя граница
величины \f(t) — f(to)\ на множестве всех значений t £ [а,Ь] таких, что
|* — *о| < h. В силу непрерывности функции /, u(h) —► 0 при h —► 0.
Пусть А = [а,/3] С [а, Ь] есть произвольный отрезок такой, что
to £ А, и длина |Д| отрезка А не превосходит h. Положим:
I(A)-(f(to),g(0)-g(a)) = e(A).
Применяя предложения 3.2 и 3.3, получим, что
-I
в(А) = J (f(t)-f(t0),dg(t)).
ot
Отсюда, в силу леммы 3.1, следует, что имеет место неравенство:
|0(Д)|<ц;(|Д|)5(Д).
Имеем:
1(A) _ g(0)-g(a)) 0(A) , .
-Щ- - <Д*о), щ> + |д| • (3.30)

452 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Кп
Так как функция д дифференцируема в точке to, то выражение
9(0) - 9(a)'
f(to),
|А|
при |Д| —► 0 стремится к конечному пределу, равному (/(to),g'(to)).
Далее, имеем:
' 0(A)
<Ц|Д|)^). (3.31)
При |Д| —► 0 величина о;(|Д|) стремится к нулю. Так как функция
отрезка S имеет в точке to конечную плотность, то отношение
. . стремится к конечному пределу при |Д| —* 0. Отсюда вытекает,
что правая часть неравенства (3.31) стремится к пределу, равному нулю.
Это позволяет заключить, что отношение . . стремится к нулю при
|Д| —► 0. В результате получаем, что правая часть равенства (3.30) при
|Д| —► 0 стремится к пределу, равному (f(to),gf(to)).
Таким образом, предел lim . Л . существует и равен (f (to), g'(to))-
A—j-to |Д|
Следовательно, аддитивная функция отрезка 1(A) непрерывна в каждой
точке промежутка [а, Ь] и имеет в промежутке [а, Ь] плотность, равную
(f(t),g'(t)) всюду, кроме, может быть, точек, образующих не более чем
счетное множество. Отсюда вытекает, что
ь
I([a,b]) = J(f(t),g'(t))dt.
Теорема доказана. ■
Пусть U есть открытое множество в пространстве Шп и F есть
линейная дифференциальная форма с непрерывными коэффициентами,
определенная на множестве U. Для произвольной точки х £ U и всякого
вектора z = (21,22,. • •, zn) £ Мп имеем:
F(x,z) = ^Fi(x)zi.
г=1
Обозначим символом F*(x) вектор (Fi(x),F2(x),... ,Fn(x)) в
пространстве Мп. Тогда для всякого вектора z £ Rn имеем:
F(x,*) = (F*(x),z).

§ 4. Общее понятие кривой
453
На множестве U, таким образом, определено некоторое векторное
поле х I—► F*(x).
Будем говорить, что векторное поле F*(x) является сопряженным
линейной форме F(x). Пусть х : [а,Ь] —» Ш71 — произвольный
спрямляемый путь, лежащий в множестве U. Вектор-функция F*[x(t)]
непрерывна, 11—* x(t) есть функция ограниченной вариации. Отсюда, в силу
теоремы 3.6, вытекает, что определен интеграл Стилтьеса:
ь
j (F*[x(t)],dx(t)). (3.32)
а
Будем называть данный интеграл интегралом дифференциальной
формы F(x) вдоль пути х : [а, Ь] —► Шп. Для его обозначения далее будет
применяться также запись:
ь
j F[x(t),dx(t)].
а
Из теоремы 3.7 вытекает, что если параметризованная кривая x(t)
является кусочно-гладкой, то
ь ь п
f F[x(t),dx(t)} = / Y^FilxWHWdt.
{ a i=1
Отсюда следует, что в этом случае введенное понятие интеграла
дифференциальной формы вдоль спрямляемой кривой эквивалентно
понятию, определенному в § 1 этой главы.
§4. Общее понятие кривой
Кривая на плоскости или в пространстве есть объект, который
задается указанием некоторой параметризованной кривой. Чтобы
определить его, необходимо условиться, какие параметризованные кривые
определяют одну и ту же кривую. Для этой цели введем отношение
эквивалентности на множестве параметризованных кривых.
Предварительно здесь будет рассмотрено общее понятие отношения
эквивалентности на произвольном множестве.

454 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Пусть дана некоторая совокупность математических объектов.
Часто возникает ситуация, когда два формально различных объекта,
принадлежащих этой совокупности, удобно рассматривать как одинаковые
или равные друг другу. С ситуацией такого рода мы встречаемся даже в
самых начальных разделах математики. Например, дроби -, -, —, 0,5
формально различны — у них разные знаменатели и разные числители,
но они представляют собой одно и то же рациональное число и в этом
отношении должны рассматриваться как одинаковые. В этом
параграфе приводится абстрактная схема, которая служит логической основой
для описания подобного рода ситуаций.
4.1. Понятие отношения эквивалентности
Зададим произвольно множество А. Говорят, что на множестве А
задано отношение а, если указано некоторое множество Ra С А х А.
Если элементы х и у множества А таковы, что пара (х, у)
принадлежит множеству Ra, то будем говорить, что х находится в отношении
а к у, и писать: хау.
Если пара (х, у) не принадлежит Ла, то считаем, что х не
находится в отношении а к элементу у множества А.
Высказывание хау, таким образом, равносильно высказыванию:
(х,у) Е Ra- Символически данное утверждение выражается
следующей формулой:
хау О (х,у) Е R<*.
Отношение а на множестве А называется рефлексивным, если оно
удовлетворяет следующему условию:
R. V (х Е А) хах,
Отношение, согласно определению, задается указанием некоторого
множества Ra С А х А.
Пусть Da есть совокупность всех пар элементов множества А вида
(х,х). Множество Da называется диагональю прямого произведения
Ах А.
Условие R означает, что всякая пара вида (х, х) принадлежит
множеству Ra, то есть Ra D Da-
Говорят, что отношение а, заданное на множестве А, симметрично,
если оно удовлетворяет следующему условию.
S. \/х Е AM у Е А(хау => уах).
Отношение а на множестве А называется транзитивным, если для
него выполняется следующее условие.
Т. \/х Е AM у E AMz E A{((xay) &{yaz)) =>> xaz}.

§ 4. Общее понятие кривой
455
Отношение а на множестве А называется отношением порядка,
если оно рефлексивно и транзитивно. Если а — отношение порядка,
то в формулах типа хау вместо символа а, обозначающего отношение,
обычно используют какие-либо значки, напоминающие символы < или
>, например, -<<, < или -<.
а.
Отношение а называется отношением эквивалентности, если оно
рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если на множестве А задано
отношение эквивалентности, то вместо выражения хау обычно
применяется запись, в которой символ а заменен каким-либо значком,
напоминающим обычный знак равенства, например, ~, == и т. п.
Приведем примеры.
Пусть А есть множество всех вещественных чисел Ж. Для всякой
пары (х, у) элементов множества Ш соотношение х < у либо
выполняется, либо нет. Отношение а, определенное условием: хау <$> х < у, —
рефлексивно и транзитивно.
В соответствии с определением, данное отношение есть отношение
порядка.
Пусть С\ есть множество всех прямых на плоскости.
Напомним, что прямые на плоскости называются параллельными,
если они не имеют общих точек. Отношение параллельности, очевидно,
симметрично. Оно, однако, не является рефлексивным, поскольку, по
определению, прямые параллельны в том и только в том случае, если
они не имеют общих точек. В соответствии с этим определением прямая
не может быть параллельна самой себе. Если прямая к параллельна
прямой I, а прямая I параллельна р, то мы можем утверждать, что р
параллельна к лишь в том случае, если р фк.
Условие транзитивности для отношения параллельности, таким
образом, также не выполняется.
Таким образом, отношение «прямая к параллельна прямой Ь>,
заданное на множестве всех прямых, из перечисленных выше условий R,
S и Т удовлетворяет только условию S.
Определим на множестве прямых на плоскости некоторое другое
отношение, которое уже является эквивалентностью.
Прямые к £ C\ is. I £ С\ называются коллинеарными, если они либо
параллельны, либо совпадают. Тот факт, что прямая к коллинеарна
прямой I, сокращенно записывается так: к \\1. Всякая прямая
коллинеарна самой себе, так что отношение коллинеарности рефлексивно. Если
прямая к коллинеарна прямой I, то и I коллинеарна к, то есть отношение
коллинеарности симметрично.

456 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Наконец, заметим, что если k\\l, a I ||р, то также и к\\р, то есть
отношение коллинеарности удовлетворяет также условию
транзитивности.
Таким образом, отношение коллинеарности на множестве всех
прямых пространства является отношением эквивалентности. Его
естественно рассматривать как небольшое видоизменение отношения
параллельности.
Определим некоторое отношение на множестве вещественных чисел R.
Зададим произвольно число р > 0. Говорят, что х Е R и у £ R
сравнимы по модулю р, и пишут: х = у (mod р), если х — у = тр, где га
— целое число, га Е Z.
Покажем, что отношение, определенное таким образом,
является отношением эквивалентности на множестве R.
Действительно, для всякого жЕК имеем: х — х = 0 = 0 • р. Так
как 0 Е Z, то мы, следовательно, получаем, что х = #(mod p), так что
условие рефлексивности R для данного отношения выполнено.
Пусть х = y(modp). Тогда, по определению, х — у = тр, где
m E Z. Отсюда следует, что у — ж = —тр. Так как — га Е Z, то тем
самым доказано, что у = #(modp), так что рассматриваемое
отношение удовлетворяет также и условию симметричности S.
Пусть даны произвольные числа х, у, z £ R. Предположим, что
х = y(mod р) и у = ;z(mod р). Тогда имеем: х — у = тр, y — z~ np, где га
ип — целые числа. Отсюда получаем: х — z = (x — y) + (y—z) — (m+n)p.
Число га + n — целое и, значит, х = z(mod p).
Таким образом, введенное отношение также и транзитивно.
Отношение «х сравнимо с у> по модулю га — широко
используется в теории чисел. При этом обычно рассматривается случай, когда р
есть произвольное натуральное число, большее 1. В этом случае
данное отношение часто применяется при изучении вопросов, связанных с
задачами делимости чисел.
Пусть А — произвольное множество, на котором задано
некоторое отношение эквивалентности а. Выражение хау будем записывать
символом х~у. Для произвольного х € А пусть
а
С1а(х) = {у € А |ж~у}.
а
Множество С1а(х) называется классом эквивалентности
элемента х множества А по отношению эквивалентности ~. В силу свой-
ства рефлексивности отношения эквивалентности (см. выше условие
R), имеем: х~х и, стало быть, х Е С1а(х).
а

§ 4. Общее понятие кривой
457
■ Лемма 4.1. Пусть а есть отношение эквивалентности на
множестве А. Если х Е А и у Е А таковы, что Cla(x) П Cla(y) ф 0, то х~у и
а
множества Cla(x) и Cla(y) совпадают.
Доказательство. Пусть х Е А и у Е А таковы, что существует
z £ А, которое принадлежит каждому из множеств Cla(x) и С7а(у).
По определению, С1а(х) = {t E A \ x~t}. Так как z E С1а(х), то,
значит, х ~z.
а
Точно так же заключаем, что y~z. В силу симметричности
отек
ношения эквивалентности, выражаемого условием S, отсюда следует,
что z~y. Таким образом, имеем: x~z и z~y. Так как отношение
эквивалентности транзитивно (см. выше условие Т), то, значит, х~у.
а
Возьмем произвольно t E С1а{у). Согласно определению, y~t. По
OL
доказанному, х ~ у, и, значит, в силу свойства транзитивности отноше-
ния эквивалентности, имеем: х ~ t.
а
Итак, мы получаем, что
Vt(t Е С1а(у) => t E С1а(х)).
Отсюда вытекает, что
С1а(у) С С1а(х).
Меняя в рассуждениях х и у местами, получим, что
С1а(х) С С/а (У),
и, следовательно,
С1а(х) = С1а(у).
Лемма доказана. ■
Предположим, что на множестве А задано отношение
эквивалентности а. Тогда определено множество классов эквивалентности
элементов множества А по отношению а.
Всякий элемент множества А принадлежит хотя бы одному из этих
классов и, как следует из леммы 4.1, если классы Cla(xi) и С1а(х2) —
различны, то они не имеют общих элементов.
Мы получаем, таким образом, что если на некотором множестве А
введено отношение эквивалентности, то множество распадается на
попарно непересекающиеся «слои» — классы эквивалентности элементов
множества А.

458 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Совокупность М всех классов эквивалентности С1а(х) элементов
множества А обозначается символом А/а и называется
фактормножеством множества А по отношению эквивалентности а.
Говорят, что множество М получено факторизацией множества А
по отношению эквивалентности а, М — А/а.
Факторизация множества по некоторому отношению
эквивалентности есть способ построения новых множеств из уже имеющихся, часто
встречающийся в различных разделах математики. Наглядный смысл
факторизации состоит в том, что мы как бы перестаем различать
эквивалентные элементы множества А и начинаем рассматривать их как
представляющие собой один и тот же математический объект.
4.2. Понятие кривой в метрическом пространстве
Зададим произвольно метрическое пространство М с метрикой р.
Кривая в метрическом пространстве определяется как класс
эквивалентных параметризованных кривых или, как мы будем говорить,
путей в этом пространстве. Из соображений простоты, определим
понятие эквивалентности только для параметризованных кривых,
удовлетворяющих некоторому дополнительному условию.
Пусть дано произвольное метрическое пространство М с
метрикой р. Параметризованной кривой или путем в пространстве М
называется всякое непрерывное отображение х : [а,Ь] —> М.
Кривая есть геометрический объект, который определяется
заданием параметризованной кривой. Понятие кривой может рассматриваться
как математическое понятие, уточняющее наглядные представления о
линии на плоскости или в пространстве.
Понятие кривой определяется посредством понятия
параметризованной кривой введением соглашения, устанавливающего, в каких
случаях две параметризованные кривые считаем определяющими одну и ту
же кривую.
Пусть дано произвольное множество К в пространстве М.
Говорят, что х : [а,Ь] —► М представляет собой параметризацию
множества К, если К = x([a,b]). В этом случае будем говорить также,
что множество К есть носитель параметризованной кривой х.
Множество К в метрическом пространстве М называется простой
дугой, если существует непрерывное взаимно однозначное отображение
отрезка [а,Ь], где а < Ь, на множество К. Всякое такое отображение
называется параметризацией простой дуги К.
Естественно возникает идея понимать под кривой всякое множество
в метрическом пространстве М, которое является носителем некоторого
пути. При этом, однако, возникает трудность, состоящая в том, что при

§ 4. Общее понятие кривой
459
таком определении многие важные характеристики (например, — длина
— не могут быть однозначно определены.
Носителем параметризованной кривой может оказаться множество,
весьма далекое от наглядного представления о линии, уточнение
которого хотелось бы видеть в понятии кривой. Существует, например,
непрерывное отображение отрезка на квадрат, однако, вряд ли будет
удачным считать, что квадрат является линией.
В различных разделах математики слову «кривая»
приписывается разный смысл. Определение кривой, которое будет изложено далее,
принадлежит М. Фреше.
Пусть даны параметризованные кривые х : [а, Ь] —» М и у : [с, d] —>
—» М. Будем говорить, что кривая у может быть получена из х заменой
параметра, если существует неубывающая функция ф : [с, d] —► М такая,
что г/>([с, d]) = [a,b], и для всех и Е [с, d] выполняется равенство:
у(м) =х[ф(и)].
Заметим, что из условия ф([с, d]) = [a,b], в силу монотонности
функции фу следует ее непрерывность.
Пусть х : [а,Ь] —* М есть параметризованная кривая в
пространстве М, то есть непрерывное отображение отрезка [а, Ь] в
пространство М.
Будем говорить, что путь х является безостановочным или
нормальным, если функция х не постоянна ни на каком промежутке (а, /3) С
С [а, Ь], то есть во всяком промежутке (а,/3) С [а,Ь], где a < /3, можно
указать значения ti, £2 Е [<*,/3] такие, что x(t\) ф x(t,2).
Предположим, что путь х : [а, Ь] —* М является безостановочным.
Возьмем произвольно точку to E [а, Ь]. Тогда если to < Ь, то для
всякого е > 0 найдется £' Е [а,Ь] такое, что to < t' < to +e и x(t) ф ж (to).
Действительно, если для некоторого е > 0 такое £' не существует,
то для всех t E [*о,*о + в) имеет место равенство
rr(t') = rr(to)
и, значит, функция х постоянна на интервале (to, to + s) С [а, Ь],
что противоречит тому, что по условию путь х является
безостановочным.
Определение кривой, которое приводится ниже, представляет собой
некоторую модификацию определения, данного М. Фреше.
Кривая в произвольном метрическом пространстве определяется
здесь как класс эквивалентности в множестве всех безостановочных
путей в этом пространстве. Первое отличие от определения М. Фреше

460 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
состоит в том, что мы рассматриваем только безостановочные пути.
Это предположение упрощает изложение. С другой стороны, данное
ограничение представляется не очень существенным, как вытекает из
теоремы 4.1, которая будет приведена ниже без доказательства
(последнее, будучи простым по существу, оказывается чрезмерно длинным и
не может быть здесь дано).
Замечание. Пусть х : [а,Ь] —> М и у : [с, d] —> М —
безостановочные пути в пространстве М. Предположим, что непрерывная
неубывающая функция ф : [с, d] —> R такова, что для всех и Е [с, d]
выполняется равенство у (и) = х[ф(и)]. Тогда функция *ф является строго
возрастающей.
Действительно, допустим, что функция ф не является строго
возрастающей. Тогда найдутся значения u\,U2 Е [с,d] такие, что u\ < U2
и tp(ui) = ip(u2). Так как гр есть неубывающая функция, то для любого
u Е (ui,U2) имеем:
1p(ui) < *ф{и) < *ф{и2)
и,значит,
ф(и) = ip(ui) = ф{и2)
для всех таких значений u E (ui,U2)> Из равенства у (и) = х[ф(и)],
очевидно, следует, что функция у — постоянна в промежутке [111,112].
Это противоречит тому, что по условию параметризованная
кривая у : [с, d] —» М является безостановочной.
На множестве всех путей в метрическом пространстве М
определено отношение, выражаемое словами: «путь у : [с, d] —► М получен из
пути х : [а, Ь] —> М заменой переменной».
Следующая лемма показывает, что это отношение является
отношением эквивалентности на множестве всех нормальных путей.
В Лемма 4.2. Пусть J\f(M) есть совокупность всех нормальных
параметризованных кривых в метрическом пространстве М. Отношение
а на множестве М{М), определенное условием: «х находится в
отношении а к у в том и только в том случае, если параметризованная кривая
у получена из х заменой параметра», есть отношение эквивалентности.
Доказательство. Пусть а есть отношение на множестве
параметризованных кривых, определенное как указано в формулировке
леммы.
Пусть х : [а,Ь] —» М есть произвольная нормальная
параметризованная кривая в пространстве М. Тогда имеем: x(t) = x[^(t)\ для всех
t E [а, Ь], где ip(t) = t. Этим доказано, что для всякого х Е ЛГ(М)
справедливо соотношение: хах, то есть отношение а рефлексивно.

§ 4. Общее понятие кривой
461
Пусть х : [а, Ь] —» М и у : [с, d] —> М — нормальные
параметризованные кривые в пространстве М. Предположим, что у получено из
х заменой параметра, то есть у{и) = я?[^(г*)], где ^ : [с, d] —> R —
непрерывная неубывающая функция, отображающая промежуток [с, d] на
[а, Ь]. Тогда функция ip — ip'1 является непрерывной и неубывающей.
При этом (р([а,Ь\) = [с, d] и #(£) = y[<p(t)] для всех £ E [а,Ь].
Таким образом, мы получаем, что если хау, то, в свою очередь,
у ах, то есть отношение а симметрично.
Пусть даны нормальные параметризованные кривые х : [а,Ь] —> М,
у : [с, d] —» М и 2; : [р, q] —» М. Предположим, что существуют
непрерывные неубывающие функции 9:[р,д]-»1и^: [c,d]-»l такие, что
0(\p,q]) = [с, d], а г/>([с, d]) = [о,Ь], причем для всех v Е [p, g] выполняется
равенство:
ф)=»[0(г;)],
и для любого u Е [c,d] имеем: у(гд) = х[ф(и)].
Положим: ip = фоб. Функция ip является непрерывной и
неубывающей и отображает промежуток [р,д] на [а, Ь], причем z(v) = x[cp(v)]
для любого v £ [р, в]. Этим доказано, что параметризованная
кривая х находится в отношении а к параметризованной кривой z.
Таким образом, установлено, что отношение а транзитивно.
Лемма доказана. ■
Лемма 4.2 содержит все, что требуется для того, чтобы определить
понятие кривой в произвольном метрическом пространстве.
Пусть х : [а, Ь] —» М и у : [с, d] —» М — нормальные
параметризованные кривые в метрическом пространстве М. Будем говорить, что
путь х эквивалентен пути у, и писать: х ~ у, если параметризованная
кривая у получена из х заменой параметра. В силу леммы 4.3,
отношение х ~ у, определенное таким образом на множестве Л/"(М) всех
нормальных параметризованных кривых в пространстве М, рефлексивно,
симметрично и транзитивно.
Множество Л/"(М) распадается на классы эквивалентных
путей. Каждый такой класс и называется кривой в пространстве М.
Если. К есть кривая в пространстве М, то есть класс эквивалентных
нормальных параметризованных кривых в пространстве М, то
элементы этого класса называются параметризациями кривой К.
Таким образом, можно сказать, что две нормальные
параметризованные кривые в метрическом пространстве М определяют одну и ту
же кривую в том и только в том случае, если они эквивалентны.
Чтобы задать кривую в метрическом пространстве, достаточно
указать некоторую нормальную параметризованную кривую.

462 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Исследование геометрических аспектов понятия кривой опирается
на следующее предложение.
■ Лемма 4.3. Пусть х : [а,Ь] -» М и у : [с,d\ -» М —
нормальные параметризованные кривые в пространстве М. Предположим, что
существует непрерывная неубывающая функция гр : [с, d\ —» К. такая,
что ф(с) = a, ^(d) = Ь, и для всех гл Е [c,d] выполняется равенство:
у (и) = х[ф(и)]. Функция ф является строго возрастающей и для
данных нормальных параметризованных кривых х иу может существовать
только одна функция гр, удовлетворяющая указанным условиям.
Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. То, что
функция гр является строго возрастающей, доказано ранее (см.
замечание, предшествующее лемме 4.2).
Пусть х : [a,b] —» М и у : [c,d] —» М — нормальные
параметризованные кривые. Предположим, что, вопреки утверждению леммы,
существуют две различные непрерывные неубывающие функции tpi и
ч/>2, определенные на промежутке [c,d] и такие, что ^i(c) = ^2 (с) = а,
^i(d) = ^(d) = Ь, и для всех u Е [c,d] выполняются равенства:
у (и) = x[%l>i(u)] и у(и) = х{ф2(и)]. (4.1)
По доказанному, функции ^и^2 — строго возрастающие.
Функция ip = гр2 о ^f1 является непрерывной и строго
возрастающей. Она отображает промежуток [a,b] на себя. Так как, согласно
предположению, функции ipi и ip2 — различны, то функция ip не
является тождественным отображением отрезка [а, Ь] на себя. Имеем:
у (и) =х[ф1(и)).
Полагая здесь и = ^^~1(t), где t Е [а,Ь], получим:
я?(*) = У[^Г1(*)]-
Подставляя во второе из равенств (4.1) значение n = i0^"1(t)?
получим:
(г(*) = ф(«)]. (4.2)
Функция ip не является тождественным отображением промежутка [а, Ь]
на себя, то есть существуют значения t Е [л, Ь], для которых равенство
t = ip(t) — не выполняется. Пусть ti есть одно из таких значений
t. Положим t2 = <p(ti)- Имеем t2 Ф t±. В то же время выполняется
равенство
x(t2) =x[tp(ti)] =x(ti).

§ 4. Общее понятие кривой
463
Пусть [а, /3] есть промежуток, концами которого являются точки ti
и fe. Так как функция х является нормальной, то, согласно
определению, она не постоянна на промежутке [а,/3] и, следовательно, найдется
значение г Е [а,/3] такое, что ж(т) / rr(ti).
По индукции, построим некоторые последовательности значений
параметра (£n)neN и (тп)пеп. Полагаем: £2 = ¥>(£i), *з = р(*г) и, вообще,
*n+i =: <f(tn)- Далее, положим п = г. Если для некоторого п точка тп
определена, то пусть rn+i = (р(тп)-
Функция ip — строго возрастающая. Точка т = ti лежит между ti
и ^2. Если *i < ri < ^2, то
*2 = ¥>(*l) < ^(П) < ^(*2),
то есть t2 < Т2 < £з.
Далее, индукцией по п, устанавливается, что последовательность
(^n)neN является возрастающей, причем tn < тп < tn+i при каждом п.
В случае, когда ti > £2, точно так же устанавливается, что
последовательность (tn)n€N является убывающей, причем тп лежит между tn
и tn+i при любом п. Из равенства (4.2) следует, что
x(tn) = а#(*п)] = a?(*n+i)
и
я(т») = а#(тп)] = a?(rn+i)
при каждом п, откуда, по индукции, x(tn) = rc(ti) и #(тп) = #(т) для
всех значений nGN.
Из доказанного следует, что существует предел:
lim tn = to Е [a,ft].
п—юо
Так как тп лежит между tn и tn+i5 то также и тп —»to при п —» ос.
В силу непрерывности функции ж, получаем, что
x(to) = lim #(£n) = lim х(тп).
n—+oo n—юо
Отсюда, в частности, следует, что
p[x(tn),x(rn)] -> О
при п —» оо. Но, как вытекает из построения,
p[x(tn),x(Tn)] = p[x(ti),x(r)] > О
при каждом п. Тем самым получено противоречие.

464 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Таким образом, допущение, что существуют две различные
непрерывные неубывающие функции г/>2 и ф±, отображающие
промежуток [с, d] на [а, Ь] и такие, что для всех и Е [с, d] выполняются равенства
(4.1), приводит к противоречию.
Отсюда следует, что для нормальных параметризованных кривых
х : [а, Ь] —> М и у : [с, d] —» М в пространстве М может существовать,
самое большее, — одна непрерывная неубывающая функция ф,
отображающая промежуток [с, d] на [а,Ь] и такая, что у(и) = х[ф{и)] для всех
и £ [c,d].
Лемма доказана. ■
Рассмотрим некоторые дальнейшие вопросы, связанные здесь с
понятием кривой.
Пусть К — кривая в пространстве М, х : [а, Ь] —> М и у : [с, d] —» М
— какие-либо две ее параметризации. Тогда, согласно данному здесь
определению, каждая из параметризованных кривых х и у
представляет собой безостановочный путь в пространстве М и эти пути
эквивалентны. Отсюда следует, что существует непрерывная неубывающая
функция ф : [с, d] —» Ш такая, что
ф(с) = a, ф(д) = Ъ и Ми е [c,d] y(u) = я#(и)]. (4.3)
Это позволяет заключить, что множества #([а, Ь]) и у([с, d])
совпадают. Полагаем: x([a,b]) = y([c,d]) = Supp(i^). Множество Supp(.K)
будем называть носителем кривой К.
Непрерывная неубывающая функция ф, удовлетворяющая условиям
(4.3), согласно лемме 4.3, — единственна.
Пусть tE [а,Ь] имЕ [с,d] таковы, что t = ф(и). Будем говорить,
что t и и — соответствующие значения параметров в параметризациях
х : [а, Ь] —> М и у : [с, d] —» М кривой К.
Пусть ж : [а,Ь] —■> М есть произвольная параметризация кривой
К в пространстве М. Возьмем произвольно значение t E [а,Ь]. Будем
говорить, что данное значение параметра t определяет точку X = x(t)
кривой К. Если у : [с, d] —> М есть другая параметризация кривой .К' и
гл — значение параметра, соответствующее £, то у (и) = ж(£). Условимся
считать, что и определяет ту же точку X кривой К, что и значение t.
Пусть даны кривая К и ее параметризация х : [а, Ь] —> М. Для
произвольной точки X £ Supp(.K) может существовать более одного
значения параметра t такого, что x(t) — X.
Пусть, например, пространство М совпадает с множеством
всех вещественных чисел М.

§ 4. Общее понятие кривой
465
Рассмотрим функцию s : t G [0,7г] \—у sin t 6 М.
Функция s определяет некоторую кривую в пространстве R. При £, меня-
7Г
ющемся от 0 до —, точка s(t) = sin £ пробегает отрезок [0,1], двигаясь
в направлении от 0 до 1, а при дальнейшем изменении параметра точка
s(t) пробегает тот же отрезок, но — в обратном направлении.
В рассматриваемом случае множество Supp(.K') есть отрезок [0,1].
Пусть X G [0,1]. Тогда если X ф 1, то существуют два различных
значения t G [0,7г] таких, что s(t) = X.
Точка кривой есть объект, который определен, если указана точка
X носителя кривой, и для всякой параметризации х : [а, 6] —> М данной
кривой указано значение параметра £ Е [a, ft] такое, что ж(£) = X. При
этом должно выполняться условие: значения параметра, соотносимые
разным параметризациям кривой, должны быть соответствующими, то
есть переходить одно в другое при замене параметра, превращающей
одну из данных параметризаций в другую.
Пусть К есть кривая в метрическом пространстве М, х : [a, ft] —> М
— произвольная параметризация кривой К. Точки кривой К,
соответствующие значениям а и ft, называются концевыми точками кривой.
При этом точка, отвечающая значению параметра t = а, называется
началом кривой К, а точка, отвечающая значению параметра £ = Ь, —
концом кривой К. В заключение этого раздела приведем теорему,
которая позволяет распространить понятие эквивалентности на
параметризованные кривые, не удовлетворяющие условию нормальности.
(Доказательство теоремы, как и было сказано выше, опускается, ввиду его
громоздкости.)
■ Теорема 4.1. Пусть х : [a, ft] —> М есть произвольный путь в
метрическом пространстве М. Тогда если функция х не является
тождественно постоянной на промежутке [а,ft], то существуют
безостановочный путь £ : [0,1] —> М и непрерывная неубывающая функция
г/>: [а, Ь] —» R такая, что ч/>([а, Ь]) = [0,1] я для всех t G [а, ft] имеет место
равенство: x(t) = £ft/>(£)]. Если безостановочные пути £ : [0,1] —» М и
г) : [0,1] —> М таковы, что путь ж может быть получен из каждого из
них заменой параметра, то пути £ иг) эквивалентны.
4.3. Натуральная параметризация кривой
Докажем, что длина параметризованной кривой при замене
параметра сохраняется.
■ Лемма 4.4. Если путь у : [с, d] —» М в метрическом пространстве
М получается из пути х : [а, Ь] —> М заменой параметра, то длины путей
х и у равны.

466 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Доказательство. Пусть х : [а, Ь] —► М и у : [с, d] —► М — пути
в пространстве М такие, что у (и) = ж[^(г*)] для всех гл Е [с, d], где
гр : [с, d] —> R есть неубывающая функция такая, что ^([с, d]) = [a, 6].
Пусть а = (to,ti,... ,tm) — произвольная цепочка в промежутке
[а, Ь]. Имеем: to < t\ < • • • < tm. Для данной цепочки а определена
величина:
га
t/(s,a) = y*]p[x(U-i),x(tj)].
г=1
Так как гр отображает промежуток [с,d] на [a, ft], то для каждого
г == 0,1,... ,т найдется значение г^ £ [с,d] такое, что ^(г^г) = U. При
каждом г имеем: щ-\ < щ.
Действительно, если бы для некоторого г > 1 имело место
неравенство
то так как функция ф — неубывающая, для этого г выполнялось бы
неравенство:
U-l = ^(u»-i) > ф(и%) = ti,
но по условию U-i < U при каждом г = 1,2, ...,т. При каждом г =
= 0,1,... , га имеем:
y(ui) =x[<p(y,i)] =x(U).
Мы получаем, таким образом, некоторую цепочку /3 = (зд, гл,..., ит) в
промежутке [c,d], для которой выполняется равенство:
га
t/(y,/3) = 5^p[y(tit-i),»(ui)] =
г=1
га
= ]Р p[a?(*i-i), a?(*»)] = v(ar, a).
г=1
Далее имеем:
d
v(a?,a) = i/(y,/3) < \/?Л
с
Так как а есть произвольная цепочка на промежутке [о, 6], отсюда
вытекает, что
ъ a
\1 х = supv(x, a) <\JУ- (4.4)
ex.
a c

§ 4. Общее понятие кривой
467
Зададим произвольно цепочку /3 = (uo,ui,..., ит) на
промежутке [с, d]. Положим U = гр(щ). Так как функция ф — неубывающая,
то при каждом г = 1,2,..., т получим £i-i < U- Имеем:
г=1 г=1
Может оказаться, что для некоторых значений г будет ti-i = U. Точки
to, *i,..., *т образуют некоторое конечное множество.
Перенумеруем элементы этого множества в порядке их расположения в
промежутке [о,Ь]. Получим некоторую цепочку
а = (so,si,...,sr)
точек отрезка [о,Ь]. При этом г <т.
Пусть si-i = tj-i, sz = i*. Тогда j < fc и точки t*, номера которых
лежат между j — 1 и fc до некоторого значения г, совпадают с tj_i,
а затем совпадают с £&. Отсюда следует, что в сумме
У^р[х(и-!),х(и)]
1=3
отлично от нуля единственное слагаемое, а именно то, для которого
U-i = i/_i = sj_i, a U = tj = si, и вся эта сумма равна p[x(si~i),x(si)].
Следовательно,
v(y,P) = 5^p[y(tit-i),y(u»)] = 5^p[&(*i-i),a(*i)] = v(s,a) < \Jx.
i=l Z=l a
Так как цепочка /3 на отрезке [c,d] была взята произвольно, то,
значит,
d ь
\/у = supt/(y,/3) <\/x. (4.5)
с a
Из (4.4) и (4.5), очевидно, вытекает утверждение леммы.
Лемма доказана. ■
Заметим, что, как может видеть читатель из рассуждений,
проделанных выше, в доказательстве леммы, то есть в установлении
сохранения длины пути при замене параметра, существенно используется то,

468 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
что замена параметра осуществляется посредством монотонных
функций.
Если кривая является спрямляемой, то среди всех возможных ее
параметризаций можно выделить естественным образом некоторую
специальную параметризацию, как вытекает из следующей леммы.
■ Лемма 4.5. Всякая спрямляемая параметризованная кривая К в
метрическом пространстве М допускает параметризацию £ : [0,L] —» М,
где L — длина кривой, такую, что для всякого s E [О, L] выполняется
равенство:
S
\Jt = s. (4.6)
О
Параметризация £ кривой К, удовлетворяющая этому условию, —
единственна.
Доказательство. Пусть х : [а, Ь] —> Шп есть произвольная
параметризация кривой К. Для t Е [а,Ь] положим: s(t) = va(t).
Искомую параметризацию £ : [0,L] —» М кривой К построим
следующим образом.
Пусть s Е [0,L]. Так как функция s(t) непрерывна, s(a) = Ои
s(b) — L, то найдется значение £, для которого s(t) = s. Полагаем
£(s) = x(t). Точка x(t) не зависит от выбора значения t Е [л,Ь],
удовлетворяющего условию s(t) = s.
Действительно, предположим, что для некоторого s существуют
два различных значения t\ и <2 таких, что s{t\) = $(£2).
Будем считать, что t\ < £2. Имеем:
p[a?(*i),a?(*2)] <\/x = s(t2) - s(h) = 0.
ti
Отсюда заключаем, что rr(ti) = #(£2). Видим, что величина £(s) не
зависит от того, какое значение t, удовлетворяющее условию s(t) = 5,
будет выбрано. При всяком £ Е [а,Ь], согласно данному здесь
определению, имеем: x(t) = £(s), где s — s(t). Следовательно, мы получаем,
что
Vte[a,b]x(t)=£[s(t)].
Докажем, что построенная таким образом функция £ : [0, L] —> М
— непрерывна.

§ 4. Общее понятие кривой
469
Зададим произвольно si,S2 G [0,L]. Пусть fa, fa 6 [о,Ь] таковы,
что 5i = s(fa), S2 = «(fa). Согласно определению, £(si) = #(fa), a
£($2) = #(fa) и, значит,
pK(ei),€(*2)]=p[a?(ti),a?(*2)].
В случае fa < fa имеем:
p[a?(fa),rr(fa)] < S = s(fa) - s(fa) = s2 - 5i.
В случае fa < fa аналогичным образом приходим к неравенству:
p[a?(fa),a?(fa)] < ei - «2-
Окончательно получаем, что для любых si, 52 G [0,L] имеет место
неравенство:
pK(*iU(*2)] = p[2?(ti),2?(t2)] < |*2 - 8г\. (4.7)
Тем самым непрерывность функции £ установлена.
Покажем, что для любого промежутка [<ji,<72] С [0,L]
выполняется равенство:
<т2
\J £ = а2 - (П.
Воспользуемся результатом леммы 4.4. Пусть fa,fa G [a,b] таковы, что
s(fa) = <Ji, a s(fa) = (j2.
Для всякого t G [fa,fa] имеем: x(t) = £[s(t)]. Применяя лемму 4.4
к параметризованным кривым £ G [fa,fa] »-> ж(£) и s G [<7i,0"2] »—► £(s),
получим, что
t2 0"2
и, следовательно,
\J f = S(fa) - s(fa) = <72 - (71.
Тем самым установлена справедливость равенства (4.7)
рассматриваемой леммы.

470 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Докажем, что параметризованная кривая £ является
нормальной. Действительно, зададим произвольно промежуток [а,/3] С [0,L]
такой, что а < (3. По доказанному, имеем:
У £ = (3-а>0. (4.8)
Если бы функция £ была постоянной на промежутке [а,/3], то
выполнялось бы равенство \J ^ £ = 0, что противоречит (4.8).
Промежуток [а,/3] С [0,L] был выбран произвольно. Мы получаем,
следовательно, что функция £ не постоянна ни на каком невырожденном
промежутке, содержащемся в [0,L], то есть параметризованная кривая
£ является нормальной.
Имеем x(t) = £[$(£)] для всех t G [л,Ь]. Отсюда следует, что
параметризованные кривые х и £ — эквивалентны и, значит, £ есть
параметризация данной кривой К. В силу равенства (4.7), эта параметризация
и есть требуемая.
Докажем единственность параметризации
£ : [0, L] —» М, удовлетворяющей требуемым условиям.
Пусть 7? : [0,Ь] —» М есть произвольная другая параметризация
кривой iiT такая, что \/* 77 = s для всех 5 Е [0, L].
Параметризованные кривые £ и 7? — эквивалентны и, стало быть,
£(5) = ri[%l>(s)]. Имеем: ^(0) = 0и, значит, £(0) = 7/(0).
Пусть 5 G (0,L]. Положим а = ^(s). Применяя лемму 4.4 к
параметризованным кривым t : [0,5] ь-> £(£) и т/ : [0,<т] i-> 77(u), получим,
что
о о
Имеем:
О О
откуда вытекает, что s = <т, то есть ^j(s) = 5 для всех 5 Е (0,L]. Для
5 = 0 это равенство, очевидно, также выполняется. Мы получаем, что
£(s) = rj[ip(s)] = 77(5) для всех s E [0,L], и совпадение
параметризованных кривых £ и 7/, таким образом, установлено. Этим доказана
единственность параметризации кривой К, удовлетворяющей условию
леммы.
Лемма доказана. ■

§ 4. Общее понятие кривой
471
Параметризация £ : [0,L] —» М спрямляемой кривой К,
существование которой утверждается в лемме 4.5, называется натуральной
параметризацией кривой К или, иначе, параметризацией, получаемой, если
в качестве параметра берется длина дуги кривой К, отсчитываемая от
начала кривой.
4.4. Регулярные кривые в пространстве Шп
Выше рассматривались кривые в произвольном метрическом
пространстве. Для параметризованных кривых в пространстве Жп может
быть определено понятие производной. В связи с этим рассмотрим
случай кривых в Мп, у которых существует параметризация, являющаяся
дифференцируемой функцией.
4.4.1. Параметризованная кривая х : [а,Ь] —» Шп называется регулярной
класса Сг, где г > 1, если вектор-функция х принадлежит классу Сг и
для всякого t G [a,b] производная x'(t) отлична от нуля.
Кривая К называется регулярной класса Сг, если хотя бы одна из
ее параметризаций представляет собой регулярный путь класса Сг.
Из определения условия регулярности пути, очевидным образом,
следует, что если х : [а,Ь] —» Шп есть регулярный путь класса Сг, то он
является безостановочным. Регулярный путь класса Сг является
спрямляемым, как следует из теоремы 3.5 этой главы.
Следующая теорема характеризует дифференциальные свойства
натуральной параметризации кривой класса Сг.
■ Теорема 4.2. Если кривая К в пространстве Ш71 является
регулярной класса Сг', то ее натуральная параметризация £ : [0,L] —» Ш.п
(L — длина кривой К) есть регулярная параметризованная кривая
класса Сг. Для всякой регулярной параметризации х : [а, 6] —» Ж1 кривой К
имеем: х = £ о s, где функция s принадлежит классу Сг и такова, что
s'(t) ф О для всех t G [а, 6].
Доказательство. Пусть кривая К удовлетворяет условию
теоремы. Предположим, что параметризация х : [а, 6] —» Жп кривой К
является регулярной параметризованной кривой класса Сг. Положим:
s(t) = \J0 x. Согласно теореме 3.5, имеет место равенство:
t
8(t)= J \x\u)\du. (4.9)
a

472 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Функция x'(t) принадлежит классу Сг 1. Отсюда следует, что
функция
*■-* \x'(t)\ =
л | £[*i(*)]S
\ г=1
принадлежит классу Cr 1 и, значит, в силу равенства (4.9), функция
s(t) принадлежит классу Сг. Имеем:
s,(t) = \x'(t)\>0
для всех t Е [0,L]. Отсюда следует, что функция s является строго
возрастающей на промежутке [а,Ь].
Имеем: s(a) = 0и s(b) = L = s(if). Функция 5 отображает
промежуток [а,Ь] на промежуток [0,L]. Так как s'(t) > 0 для всех t Е [а, 6],
то, как было показано в теореме 3.3 главы 4, обратная функция s"1
принадлежит тому же классу Сг, что и функция s.
Для упрощения записи положим: ф — g"1. Функция ^ отображает
промежуток [0,L] на [а,Ь]. Положим: £(s) = x[tp(s)]. Очевидно, имеем:
x{t) = Z№]
для всех t Е [a,b]. Вектор-функция £ принадлежит классу Сг. Для всех
t Е [а, 6] выполняется неравенство: s'(t) > 0.
Покажем, что £ есть натуральная параметризация кривой К.
Имеем:
Согласно определению ф, s[V>(5)] = s. Отсюда s'[i/>(s)]ip'(s) = 1.
Но s'fVK5)] = |#'[^(s)]| и, следовательно, мы получаем, что |£'(s)| = 1.
Отсюда следует, что для всякого s Е [0,L] имеет место равенство:
(гл)| du = 5.
Согласно определению, это и означает, что £ есть натуральная
параметризация данной кривой К.
Теорема доказана. ■
▼ Следствие. Пусть х : [а, Ъ] -> Мп я у : [с, d] —► Rn суть
регулярные кривые класса Сг в пространстве Жп. Предположим, что эти
параметризованные кривые эквивалентны. Тогда у(и) = х[ср(и)], где (р
есть строго монотонная функция класса Сг, отображающая промежуток
[с,d] на [a9b].

§ 4. Общее понятие кривой
473
Доказательство. В доказательстве нуждается только
утверждение, что функция (р принадлежит классу Сг. Кривые х и у являются
параметризациями одной и той же регулярной кривой К класса Сг. В
силу теоремы 3.5, эта кривая спрямляема.
Пусть £ : [О, L] —» Rn есть натуральная параметризация кривой К.
Тогда x(t) = £[s(t)], а у (и) = £[0"(^)], где s и a — строго возрастающие
функции, отображающие промежутки [а, 6], и, соответственно, [с, d] на
[0,L]. Имеем, очевидно:
у(и) =ж{5'"1[а(п)]}.
Функция s"1 ост является строго возрастающей. Она принадлежит
классу Сг как суперпозиция двух функций класса С и
отображает промежуток [с, d] на промежуток [а,Ь]. В силу леммы 4.3,
отсюда следует, что s"1 о a = <p, что и требовалось доказать.
Следствие доказано. ▼
Приведем некоторые определения, относящиеся к общему случаю
произвольной параметризованной кривой в пространстве Rn. Сначала
отметим следующее. Пусть даны вектор u/Ои точка a E Mn.
Множество р всех точек х £ Мп, допускающих представление: # = £(t) = a+tu,
где t GM есть некоторая прямая в Мп. Имеем: a = £(0), так что a £ р.
Мы будем говорить, что р есть прямая, проходящая через точку а и
ко л линеарная вектору и.
Чтобы ввести понятие касательного орта в точке кривой,
определим некоторые вспомогательные понятия.
Пусть х : [а, Ь] —> Rn есть произвольная параметризованная кривая
в пространстве Rn. Предположим, что значения параметра ti,t2 Е [a, Ь]
таковы, что x(ti) ф x(t2). Тогда определен вектор:
( X(t2)-X(t!) ^
Г77~\ лГТГ' если *i < *2'
I x(ti) - x(t2) . ^ .
^ \x(ti) -x(t2)\
Длина вектора t(ti,t2) равна единице и он направлен от точки,
соответствующей меньшему из значений t\ и t2, к точке, которая
отвечает большему из этих двух значений.
Пусть х : [а, Ь] —► Жп есть произвольный нормальный путь в
пространстве Шп. Зададим произвольно значение to Е [a,b].
Определим понятия левого и правого касательных ортов в точке
кривой.

474 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Вектор t называется левым касательным ортом пути х в точке
to и обозначается символом t^(to), если to > а, и выполнено условие:
существует 6 > О такое, что для всякого t Е [а,Ь], удовлетворяющего
неравенствам to — 6 < t < to, точка x(t) отлична от точки ж (to) и
t = lim t(t,to).
t-»t0-o
Вектор t называется правым касательным ортом пути х в точке
to < Ь и обозначается символом t£(to), если существует 6 > О такое, что
для всякого t Е [a,b], удовлетворяющего неравенствам to < t < to + 6,
точка x(t) отлична от точки x(to) и
t = lim t(t,to).
t—to+o
Вектор t называется касательным ортом в точке to пути х и
обозначается символом ta.(to), если существует 6 > 0 такое, что для любого
t из промежутка [a,b], отличного от to и такого, что \t — to\ < 6, точка
x(t) отлична от точки х(to) и
t = lim t(t,to).
t-*to
Рассмотрим специально тот частный случай, когда
рассматривается регулярная кривая К класса Сг, где г > 1.
Пусть х : [a,b] —> Шп есть регулярная параметризация класса Сг
кривой К.
Условие регулярности класса Сг означает, что вектор-функция х
имеет непрерывную производную порядка г, причем первая производная
x'{t) отлична от нуля для всех t E [а,Ь].
Для всякого to E [a, b] имеем:
«'(«)= Km g(t)-g(4
t-*t0 t — to
Отсюда следует, что найдется 6 > 0 такое, что при \t — to\ < 6 разность
x(t) — x(to) отлична от нуля. Для таких значений t определен вектор
t(t, to). Легко проверяется, что
t(t,t0) = Х® ~~ Ж^0^ : И*)-3^)!.
t — to \t — to |

§ 4. Общее понятие кривой
475
Отсюда вытекает, что рассматриваемый путь х : [а,Ь] —» Rn имеет в
/. ч ~ #'(*о)
точке x{to) касательный орт, причем значение этого орта равно -j—)——.
F (*о)|
В заключение сделаем еще одно замечание, которое будет
использовано в дальнейшем. Пусть К есть регулярная кривая класса Сг и
£ : [0,L] —> Мп есть ее натуральная параметризация, L — длина
кривой. Тогда для всякого s Е [О, L] определен касательный орт кривой t(s)
кривой К в точке £(s). При этом t(s) = £'(s) для любого s Е [0,L]. В
частности, в данном случае |£'(s)| = 1 для всех s Е [0,L].
4.5. Кривизна кривой
Для всякой регулярной кривой класса Сг в пространстве Шп
определим величину, характеризующую меру искривленности кривой.
Предварительно рассмотрим некоторые вопросы, связанные с понятием угла
между векторами в пространстве Шп.
Пусть вектор t является либо левым, либо правым касательным
ортом в точке x(to) параметризованной кривой х : [а,Ь] —» Шп. Прямая
Z, проходящая через точку x(to) и коллинеарная вектору t, называется
касательной в точке x(to) параметризованной кривой х : [а,Ь] —» Мп,
левой касательной, если t есть левый касательный орт в этой точке,
правой касательной, если вектор t является правым касательным ортом
данной кривой в точке х(to). Прямая I есть совокупность всех точек
z Е Мп, представимых в виде: z = x(to) + (t — £o)t.
В случае, если в точке x(to) параметризованной кривой левый и
правый касательные орты совпадают, то левая и правая касательные
кривой в этой точке представляют собой одну и ту же прямую,
которая называется касательной в точке x(to) параметризованной кривой
х: [а,Ъ] -»1Р.
Приведем необходимые определения и установим некоторые
простейшие свойства углов между векторами.
Для каждой пары (а, Ь) ненулевых векторов в пространстве Rn
определим некоторое число Z(a, b), которое будем называть углом
между данными векторами.
Пусть а ф 0 и b ф 0. Тогда \а\ > 0 и \Ь\ > 0. В силу неравенства
Коти — Буняковского (см. главу 4, следствие теоремы 8.6), имеем:
|<a,b>|<|a||b|,
и, значит, имеют место неравенства:
_i < i£d?> < 1.
- lallbl -

476 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Полагаем
Z(a,b) = arccos(^).
В случае п = 2 и п = 3, в силу известных результатов
аналитической геометрии, данное определение полностью согласуется с обычным
геометрическим определением угла.
Из определения следует, что значение угла между ненулевыми
векторами а и b не изменится, если умножить данные векторы на
произвольные положительные числа.
Пусть ip = Z(a,b). Тогда из определения угла непосредственно
вытекает равенство:
(a, b) = |a||b|cos<p.
Рассмотрим особо случаи, когда для данных ненулевых
векторов а и b угол <р = Z(a, b) равен либо 0, либо тг.
Пусть tp — 0. Тогда cos ^ = 1и, значит, для данных векторов а и
b имеет место равенство
<a,b> = |a||b|,
то есть неравенство Коши — Бунжковского для данной пары векторов
обращается в равенство! Для всякого t > 0 имеем:
|а - tb|2 = (а - tb, а - tb> = |а|2 - 2*(а, Ъ) +12|b|2 =
= |а|2 - 2t|a||b| + *2|b|2 = (|а| - t|b|)2.
|ai
Последнее выражение обращается в нуль для t = —. Для этого £,
|Ь|
следовательно, мы получаем: |а — tb| = 0 и, значит, а = tb.
Таким образом, мы получаем, что если угол между данными
векторами а и b равен нулю, то один из них получается из другого
умножением на положительное число.
Легко проверяется, что и обратно, если а = £Ь, где t > 0, то
угол между векторами а и b равен нулю.
В случае, когда угол между а и b равен 7Г, аналогичным образом
устанавливается, что а = £Ь, где t < 0. (Формально, этот случай легко
сводится к предыдущему, если заметить, что (а, —Ь) = —(а, Ь).)
Для углов между векторами справедливо некоторое неравенство,
устанавливаемое в следующей лемме.

4. Общее понятие кривой
477
■ Лемма 4.6. Пусть а, Ь и с — произвольные ненулевые векторы
в пространстве Шп, ср = Z(a, b), <ф = Z(b, с) и в = Z(a, с). Тогда имеет
место неравенство
в<<р + ф. (4.11)
Замечание. Неравенство (4.11) называется неравенством
треугольника для углов.
Доказательство леммы. Так как угол между векторами в
Rn не меняется, если каждый из рассматриваемых векторов умножить
на какое-либо положительное число, то мы можем считать, что
|а| = |Ь| = |с| = 1.
При этом предположении определим векторы
и = — [cos (рЪ — а], v = ——- fcos гЬЪ — с].
smip sinip
Векторы и и v, как легко проверяется, ортогональны вектору Ь, и
длина каждого из них равна 1. Имеем:
а = cos (p b — sin (p u,
(4.12)
с = cos^ b — sin^ v.
Найдем скалярное произведение векторов а и с. Имеем, с одной
стороны,
(а, с) = cos0.
Используя представления векторов а и с, которые содержатся в
равенствах (4.12), получим:
cos в = (а, с) = cos <p cos <ф + sin ip sin ^(u, v) >
> cos (p cos ф — sin^sin^ = cos((p + ф). (4-13)
Если <р + ф > 7г, то неравенство в < (p + ф — выполняется, в
силу того, что в есть число из промежутка [0,7г].
Если же (р + *ф < 7Г, то, так как функция 11—► cos t является строго
убывающей на промежутке [0,7г], из (4.13) следует, что в < (р + ф.
Лемма доказана. ■

478 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
4.5.1. Пусть К есть регулярная кривая в Еп класса Сг, где г > 1.
Предположим, что х : [О, L) —► Мп, где L = ^(JfiT) — длина кривой 1<Г, есть
натуральная параметризация X. Тогда для всякого s E [О, L] определен
касательный орт t(s) кривой К в точке x(s). При этом t(s) = #'(s) для
любого 5 £ [0,L]. Фиксируем произвольно точку жо = ж($о) кривой К.
Пусть to = x'(so) есть касательный орт кривой x(s) в точке #о = x(so).
Возьмем произвольно точку s ф so, и пусть t(s) есть касательный
орт кривой х в точке х = #($). Обозначим через tp(s,so) угол между
векторами to и t(s). Предел отношения у-^—( при s —> so, если тако-
|s — so|
вой существует, называется кривизной кривой К в точке хо = #($о) и
обозначается символом А;($о).
Геометрический смысл величины A; (so) — скорость вращения
вектора t(s) IipVL S = 5о-
Покажем, что если кривая К является регулярной класса С2, то
она имеет кривизну в каждой своей точке яо, и выведем формулу
для вычисления кривизны.
Пусть rc(s), s Е [0,L], есть натуральная параметризация кривой К.
Используя те же обозначения, что и выше, получим:
|*(S) - t(S0)| = 2sin M£l££) .
Отсюда заключаем, что
<p(s,s0) _ <p(s,so)
sol
2sini^£0)
x'(s) - x'(sq)
s — so
При s —► so величина <p(s, so) стремится к пределу, равному нулю.
гл <P(s,So) Л
Отсюда следует, что отношение -( г- стремится к 1 при s —> so-
2 sin
4>(s,sp)
Функция х принадлежит классу С2 и, значит, существует предел:
\x'(s) - x'(so)
lim
S-*SQ
SO
= |s"(5o)|.
Таким образом, мы получаем, что кривая К имеет кривизну в
точке x(sg), причем выполняется равенство:
k(so) = \x"(so)\.

§ 4. Общее понятие кривой
479
Дифференцируя равенство
\x'(s)\2 = {x'(s),x'(s)) = l,
получим:
0 = 2(x"(s),x'(s)).
Мы получаем, таким образом, что x"(s) ортогонален вектору х1 (s).
В случае, когда кривизна k(s) в точке x(s) данной кривой отлична от
нуля, определен единичный вектор
Вектор п называется вектором главной нормали в точке x(s)
рассматриваемой кривой.
4.5.2. Полезно иметь представление для кривизны в точке кривой в
параметризации, не являющейся натуральной.
Пусть ж(£), t G [а, Ь], есть произвольная регулярная параметризация
кривой К, £(s), s Е [0,L], — натуральная параметризация этой кривой.
Тогда имеем: x(t) = £[$(£)], где функция s(t) определяется из условия:
s'(t) = \x'(t)\.
Дифференцируя равенство x(t) = £[s(t)], получим:
*'(*) = *'[*№'(*),
x"(t)=am[s'(t)]2+z'nt)}s"(t).
Условимся производные по переменной s обозначать посредством
точек, стоящих над символом, обозначающим соответствующую
функцию (число точек равно порядку производной). Производные по £, как
и ранее, будем обозначать штрихами.
Опуская обозначения для аргумента, последние равенства можно
переписать следующим образом:
х =£s , х =£(s) +£s .
Векторы £ и £ — ортогональны. Умножая обе части последнего
равенства скалярно на х' = £$' = £|#'|, получим:
(х ,х ) = \х \s .

480 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Отсюда получаем:
// 1 / // /\
Окончательно получаем равенство:
(4.14)
Принимая во внимание ортогональность векторов £ и £, получим:
где к = |£| — кривизна кривой. Из равенства (4.14) получаем:
, „ __ \х'\*\х"\*-[{х\х')]>
\Х'
Принимая во внимание предыдущее равенство, окончательно
заключаем, что
к =
^\x'\2\x"\2-[(x",x')Y
\х
/|3
4.5.3. Рассмотрим особо случай кривых на плоскости R2.
Предварительно напомним некоторые факты из векторного исчисления на
плоскости.
Пусть а = (ai,a2) и b = (61,62) — произвольные векторы в М2.
Величина:
ai, a2
axb =
bi, 62
называется внутренним произведением векторов а и Ь.
В силу известных из алгебры свойств определителей, справедливы
тождества:
а х b = -b x а,
(Aai + /хаг) xb = A(ai x b) + /х(а2 х b),
а х (Abi + /xb2) = А(а х bi) + //(а х Ь2).
Пара векторов (а, Ь) называется правой, если а х b > 0, и левой,
если а х b < 0.

§ 4. Общее понятие кривой
481
Геометрически эти условия могут быть истолкованы
следующим образом. Для произвольного вектора uGt2 пусть Ли есть
луч, состоящий из всех точек х = tu, где t > 0. Будем говорить, что Ли
есть луч, порожденный вектором и.
Пара (а, Ь) является правой, если луч Ла совмещается
кратчайшим путем с лучом Ль вращением вокруг точки О = (0,0)
в направлении против часовой стрелки.
Если же такое совмещение осуществляется вращением луча Аа по
часовой стрелке, то данная пара векторов (а, Ь) является левой.
Угол между произвольными ненулевыми векторами на плоскости
целесообразно определять несколько иначе, чем в случае векторов в
пространстве.
Пусть даны векторы а и b на плоскости М2, причем а^ОиЬ^О.
Углом между векторами будем называть число в Е (—7г,7г] такое,
что выполняется равенство:
(a,b) = |a||b|cos0,
причем в > 0, если пара (а, Ь) — правая, и в < 0, если эта пара векторов
— левая.
Если ненулевые векторы а и b — коллинеарны, то b = £а, где t ф 0.
В случае t > 0 векторы а и b направлены одинаково и угол
между ними, определенный указанным здесь способом, равен нулю.
В случае t < 0 векторы а и b направлены противоположно и
величина 5, определенная согласно указанному здесь правилу, равна я\
Угол между ненулевыми векторами а и b на плоскости будем
обозначать символом Z*(a, b).
Для всякого вектора и такого, что |и| = 1, как мы знаем,
существует (р такое, что и = (cos<p,sin<p).
Применяя это утверждение к векторам -г—? и тт-т, получим, что
существуют числа ip и *ф такие, что
а = (|а| cos ip, |a| sin ip)
и
b = (|b| cos V7^ |b|sin^).
Отсюда после простых вычислений найдем, что
(a,b) = |a||b|cos0,axb= |a||b|sin0, (4.15)
где в = (р — ф.

482 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Равенствами (4.15) число в определяется с точностью до
слагаемого, равного 27гт, где т — целое число. В частности, существует
единственное значение в Е (—7г, 7г], для которого выполняются
равенства (4.15).
Если в Е (—7г,7г] удовлетворяет равенствам (4.15), то знак в
совпадает со знаком величины а х b и, значит, в равно углу между
векторами а и Ь. В результате получаем, что имеет место равенство:
а х b = |a||b|sinZ*(a,b). (4.16)
Пусть £(s) = (#(s), y(s)) есть произвольная регулярная кривая
класса С1 на плоскости, где параметр s — длина дуги.
Фиксируем произвольно точку хо = £(so) кривой. Пусть to = £'(5o)
есть касательный орт кривой £(s) в точке хо = £(so). Символом п
обозначим единичный вектор, ортогональный t и такой, что пара векторов
(t,n) является правой. Этим условием вектор п определяется
однозначно.
Если t = (а,/3), то, как очевидно, п = (—/3,а).
Возьмем произвольно точку s ф so, и пусть t(s) есть касательный
орт кривой £ в точке £(s). Пусть 0(s,so) = Z*(to,t(s)).
тт 9(s,so)
Предел отношения: — при s —> so, если таковой существует,
s — so
называется кривизной плоской кривой К в точке хо = £(so) и
обозначается символом х($о).
Геометрический смысл величины x(so) — скорость
вращения вектора t(s) для s = so, определенная с учетом направления
вращения. Величина x(so) в случае, рассматриваемом здесь, может
принимать значения произвольного знака. Имеем:
sin0(s, so) = to x t(s).
При s —» so имеем: 0(s,so) —* 0. Отсюда заключаем, что
Um g(*'5Q) == lim to x *(*) = lim to x [t(s) - to] ^
s—>so S — So «—►«o S — So 5—>so S — So
Получаем:
x(s0)=t(s0) xt'(s0). (4.17)
Вектор t'(so) ортогонален вектору t(so) и, значит,
t'(s0) = An(s0),

§ 4. Общее понятие кривой
483
где А Е М. Из равенства (4.14) вытекает, что Л = x(sq).
Таким образом, мы получаем формулу, связывающую кривизну и
вектор нормали в точке кривой:
t'(so) = x(s0)n(so).
Напомним определение кривизны, данное в п. 4.5.1, а именно,
согласно этому определению, кривизна в точке x(so) есть предел fc(so)
отношения —^—-. Имеем: (p(s,so) = |0(s,so)|. Отсюда вытекает, что
s — so
кривизна fc(so) в смысле определения п. 4.5.1 связана с понятием
кривизны плоской кривой определенным здесь соотношением:
k(s0) = |x(s0)|.
Найдем выражение для кривизны регулярной плоской кривой
относительно произвольной регулярной параметризации.
Пусть x(t) = (x(t),y(t)) есть регулярная кривая класса С2 на
плоскости Ш2.
Пусть £(s), s G [0,L], есть натуральная параметризация кривой.
Имеем: x(t) = £[s(t)]. Как и выше для кривых в Rn, получаем:
Отсюда
х хх' = (^xl){sf.
Осталось заметить, что £ х £ = t x x(rr)n = x(s)t x n = х($о), а
s' = \x'\. В результате получим:
_ х' х х" _ х'у" - х"у'
Х(5о)~ И3 ~ {(х'У + (у')2]3/2'
Значения производных справа берутся для значения t = to, для
которого 5(to) = so-
4.5.4. Рассмотрим некоторую интегральную характеристику кривой.
Пусть К есть регулярная кривая класса Сг, где г > 2. Пусть
х : [0,L] —» Мп есть натуральная параметризация кривой К и k(s) —
кривизна в точке х = x(s) данной кривой. Функция k(s) переменной
L
s E [0,L] непрерывна и, значит, определена величина / k(s)ds.

484 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Положим:
L
ЩК)= J k(s)ds. (4.18)
о
Будем называть Q(K) интегральной кривизной или поворотом
кривой К, Понятие поворота кривой в пространстве Rn может быть
распространено на случай произвольных кривых, как было показано А. Д.
Александровым еще в 1947 г.
Приведем некоторые соображения наводящего характера. Пусть К
есть регулярная кривая класса С1, х : [0,L] —> Шп — ее натуральная
параметризация. Тогда (см. выше) для всякого s E [0,1/] определен
единичный вектор t(s) = x'(s). Тем самым определена некоторая
параметризованная кривая t : [0,L] —> Rn.
Для всех s имеем: |t(s)| = 1, и, стало быть, эта кривая лежит на
сфере 5(0,1) пространства М.п. Эта кривая называется индикатрисой
касательных кривой К. Если кривая К принадлежит классу С2, то
вектор-функция t(s) = x'(s) — дифференцируема. При этом
it'(*)i = i*"(*)i = fc(*).
Отсюда и из равенства (4.15), определяющего величину П(К),
вытекает, что если кривая К принадлежит классу С2, то
L
П(К)= J \t'(s)\d8.
о
Мы получаем, что в этом случае поворот кривой К равен длине ее
индикатрисы касательных. Это подсказывает нам способ
определения поворота кривой для случая кривых класса С1. Мы можем
определить его как длину индикатрисы касательных данной кривой. Такой
способ имеет, однако, тот недостаток, что он применим только к
регулярным кривым класса С1. Определение, имеющее смысл для
произвольных кривых, мы получим, используя некоторое обобщенное
понятие касательного орта.
Приведем описание того, как может быть определена
интегральная кривизна кривой по А. Д. Александрову, опуская доказательства,
которые оказываются сравнительно трудоемкими. Понятие
интегральной кривизны кривой представляется почти столь же классическим, как
и понятие длины кривой. Теория, посвященная изучению свойств
кривых, связанных с понятием интегральной кривизны кривой, известна,

§ 4. Общее понятие кривой
485
однако, лишь узкому кругу специалистов. Единственная публикация,
содержащая полное изложение этой теории, — вышедшая в 1989 г.
монография А. Д. Александрова и Ю. Г. Решетняка "General Theory of
Irregular Curves."
Пусть К есть произвольная кривая в пространстве Rn. Зададим
произвольно нормальную параметризацию х : [а,Ь] —> Rn кривой К.
Если вектор-функция х является регулярной класса С1, то под
интегральной кривизной кривой будем понимать длину ее индикатрисы
касательных. Если же вектор-функция х не принадлежит классу С1, то
индикатриса касательных не может быть построена.
Пусть х : [а, Ь] —» Rn есть произвольный безостановочный путь в
пространстве Мп. Зададим произвольно значение to E [а,Ь].
Вектор t будем называть частичным касательным ортом пути х
в точке to, если выполнено следующее условие.
Существует последовательность значений параметра (tu)ue^ такая,
что x(tv) ф я (to) при каждом u, tv —> to при v —» оо и векторы
t„=t(to,ti/) (4.19)
при v —> оо сходятся к вектору t.
Путь х имеет, по крайней мере, один частичный касательный
орт в точке x(to) при любом to G [а, Ь]. Действительно, пусть (tu)u^
есть произвольная последовательность значений t из промежутка [а,Ь]
такая, что при каждом v точка x(tu) отлична от x(to) и tv —» to при
v —» оо. При каждом u £N определен единичный вектор t„ = t(to>tu).
Таким образом, мы имеем последовательность векторов (tu)ueN, где
вектор tu определяется равенством (4.19).
Векторы tv все лежат на единичной сфере 5(0,1) пространства Ш71.
Эта сфера представляет собой компактное множество, и, значит, из
последовательности (tz/)z/^N можно извлечь сходящуюся
подпоследовательность (глава 6, теорема 6.4). Предел этой подпоследовательности,
очевидно, будет частичным касательным ортом в точке x(to).
Будем называть цепочкой касательных ортов кривой х всякую
конечную последовательность векторов
£ = |to5 ti,..., tm},
удовлетворяющую следующему условию. При каждом г = 0,1,2,..., т
вектор U является частичным касательным ортом пути х в точке t = U,
где числа U удовлетворяют условиям: to < *i < *2 < • • • < *т. Векторы
ti при этом называются элементами цепочки £, значения ti параметра
t — узлами цепочки £.

486 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых
Будем говорить, что цепочка касательных ортов £ взята на
промежутке (а,/3) С [л,Ь], если все ее узлы лежат в этом промежутке.
Пусть дана произвольная цепочка £ касательных векторов
параметризованной кривой х : [a,b] —> Rn, £ = {to,ti,... ,tm}. Полагаем:
га
Q(s,£)==^Z(t*-i,ti).
k=l
Предположим, что задан интервал (а,/3) С [а,Ь]. Точную
верхнюю границу сумм Q(x,£) на множестве всех цепочек £, узлы которых U
лежат в интервале (а,/3), будем обозначать символом Q.&X и называть
поворотом или интегральной кривизной кривой х на промежутке (а, /?).
Точную верхнюю границу величин С1(х,£) на множестве всех
цепочек £ касательных векторов пути х будем называть поворотом или
интегральной кривизной параметризованной кривой х и обозначать
символом Q(x).
Отметим, что в данном определении не предполагается
существование касательных ортов в обычном понимании в точках
пути х. Заметим еще, что если нормальные параметризованные кривые
х : [а, Ь] —* Rn и у : [с, d] —> Rn — эквивалентны и и есть
частичный касательный орт пути х в точке #(£), то и является частичным
касательным ортом пути у в точке, отвечающей x(t), согласно
определению эквивалентности. Это позволяет заключить, что
Qbax = Qdcy.
Величина £1ъах, следовательно, не зависит от выбора
параметризации кривой К, В связи с этим будем называть эту величину
интегральной кривизной или поворотом кривой К, параметризацией
которой является путь ж, и обозначать ее символом Q(K).
Легко проверяется, что в случае, когда кривая К является кривой
класса С1, величина ft (К) равна длине индикатрисы касательных
кривой К.
Рассмотрим еще случай, когда кривая К является
замкнутой, то есть для любой ее параметризации х : [а, Ь] —> Rn выполняется
равенство:
х{а) = х(Ъ).
Пусть £ есть произвольная цепочка касательных ортов, и», г = О,
1,2,..., т, — элементы этой цепочки. В этом случае полагаем:
га
Щх, О = X/ ^(u*-1'u*)+ ^(U™> u°)-
г=1

§ 4. Общее понятие кривой
487
Поворот замкнутой кривой определим так же, как точную
верхнюю границу величин Q(x,£) на множестве всех цепочек касательных
ортов кривой.
Понятие поворота кривой допускает также другое определение,
использующее только представления, относящиеся к элементарной
геометрии.
Параметризованная кривая х : [с, d] —» Rn называется
параметризованной ломаной, если существует конечная последовательность
значений to = а < ti < • • • < tm-i < tm = b такая, что при каждом г функция
х на отрезке [U-i,ti] допускает представление:
/ .ч t — ti-1
X(t) = З.г-1 + Рг r ,
где Лг = U — ti-i, а рг Ф 0. Очевидно, аг = x(U) при каждом г =
= 0,1,2,... ,т и рг = аг - аг_1.
Векторы рг называются звеньями ломаной, точки аг — ее
вершинами. Кривая называется ломаной, если она допускает параметризацию,
которая представляет собой параметризованную ломаную.
Легко проверяется, что у всякой ломаной поворот конечен. При
этом имеет место равенство:
т—1
n(aO = 5^Z(pi,pi+i). (4.20)
г=1
(В случае, если ломаная замкнута, к последней сумме следует добавить
еще одно слагаемое, а именно, — угол между векторами рт и pi.)
Пусть х : [а, Ь] —> Rn — произвольный безостановочный путь в
пространстве Ж71. Параметризованная ломаная у : [а,Ь] —> Мп называется
ломаной, вписанной в кривую х, если существует последовательность
значений параметра to = а < t\ < • • • < tm_i < tm = ft такая, что точки
а«; = #(t;) = y(t2) являются последовательными вершинами
параметризованной ломаной у.
Пусть К есть кривая, параметризацией которой служит путь х, L
— ломаная, имеющая параметризацией путь у. Будем говорить, что L
есть ломаная, вписанная в кривую К.
Имеет место следующая теорема, принадлежащая А. Д.
Александрову.
■ Теорема 4.3 (теорема Александрова). Поворот произвольной
кривой К в пространстве Ш71 равен точной верхней границе поворотов
ломаных, вписанных в эту кривую. Если поворот кривой К конечен, то

488 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Rn
кривая К спрямляема. При этом если кривая К содержится в
замкнутом шаре радиуса R в пространстве Ш71, то длина L кривой К допускает
оценку L < Ф[Г^(К), R], где Ф есть некоторая функция двух переменных.
Доказательство теоремы 4.3 оказывается сравнительно громоздким
и по этой причине не может быть здесь приведено.
Замечание. Явное выражение для функции Ф известно (здесь
оно не приводится). ■
Из теоремы А. Д. Александрова 4.3 вытекает, в частности,
следующее утверждение.
Т Следствие. Для всякой замкнутой кривой К в пространстве Ш71
ее поворот удовлетворяет неравенству: С1(К) > 2ж (неравенство
Фенхеля).
Действительно, пусть х : [а, ft] —» Rn есть параметризация
замкнутой кривой К. Имеем: х(а) =х(Ь). Путьгг является безостановочным, и,
значит, найдутся значения *i,*2 € [a,ft] такие, что x(ti) ф xii^). Пусть
L есть вписанная в данную кривую замкнутая ломаная, состоящая из
двух звеньев — векторов pi = xfo) — x(ti) и рг = x(ti) — xfa) = —Pi.
Поворот этой ломаной Q(L) будет:
Q(L) = Z(pi, р2) + Z(p2, Pi) = тг + тг = 2тг.
В силу теоремы А. Д. Александрова, поворот Q(L) ломаной L не
превосходит поворот данной кривой К, что и требовалось доказать. ▼
Задачи
8.1. Доказать, что дифференциальная форма
F(x, у) = ех sin ydx + ex cos ydy
является точной в R2. Найти функцию / : R2 —> R, дифференциалом которой
является форма F.
8.2. Доказать, что дифференциальная форма
F(x, у, z) = (х2 - 2yz)dx + (у2 - 2xz)dy + (z2 - 2xy)dz
является точной в М3. Найти функцию и : М3 —► R, дифференциал которой
есть данная форма F.

Задачи
489
8.3. Найти все функции и : Rn \ {0} —► R класса С1 такие, что
дифференциальная форма
п
F(x) = и(х) \ Xidxi
г=1
является замкнутой.
8.4. Пусть функция д : R —> R определена условием: р(ж) = 1 при х > 0 и
#(ж) = 0 при ж < 0. Доказать, что д есть функция ограниченной вариации на
L
промежутке [—L,L] при любом L > 0. Чему равен интеграл: J f(x)dg(x),
-L
где / есть функция, определенная и непрерывная на промежутке [—L,L]?
8.5. Пусть р : [а,Ъ] —► R есть неубывающая функция. Положим
F(s)= / \x-t\dg(t).
-/"-
Доказать, что F есть выпуклая функция на множестве R.
8.6. Пусть jE?(x) есть вещественная функция, определенная следующим
образом. Для произвольного х G R справедливо Е(х) = к, где к — целое число
такое, что к < х < к + 1. Доказать, что для всякого п Е N функция
дп'-х*-+ -Е ( - )
является функцией ограниченной вариации на промежутке [0,1].
Пусть / : [0,1] —> R есть непрерывная функция. Найти значение инте-
1
грала J* f{x)dgn(t).
о
7Г
8.7. Функция / : [—1,1] —> R определена равенством: f(x) = xa sin — при
х
х Ф 0, /(0) = 0. При каких значениях а > 0 функция / будет функцией
ограниченной вариации?
8.8. Дана квадратная матрица второго порядка
А= fai1' ai2V
V «21, «22/
все элементы которой суть неотрицательные числа. Доказать, что она
имеет, по крайней мере, один собственный вектор, все компоненты которого
неотрицательны, то есть существуют вектор h = (/ii,/&2) и число Л такие, что
Ah = АЛ, или иначе:
«11^1 -f «12^2 = A/li
«21^1 + «22^2 = A/i2-
(Указание. Рассмотреть отображение отрезка [0,1] в R, определенно равен-
лл «11*4- «12 . _ ГЛ п1 ч
ством: <p(t) = для всякого t £ [0,1].)
ant 4- ai2 4- «21* 4- «22

490 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в М'
8.9. Дана квадратная матрица третьего порядка:
«lb «12, а13
«21, «22, «23
«31, «32, «33
все элементы которой есть неотрицательные целые числа. Доказать, что А
имеет, по крайней мере, один собственный вектор, все компоненты которого
неотрицательны. {Указание. Воспользоваться теоремой Брауэра, применяя
прием, аналогичный указанному в предыдущей задаче.)
8.10. Пусть N\ : x i—► \\x\\N и N2 : х н-► \\x\\N — две произвольные нормы
в пространстве Rn, pi и рг — метрики в Rn, которые определяются этими
нормами, то есть pi(x,y) = \\х - y\\Ni и р2(х,у) = \\х - 1/Ц^. Доказать, что
если параметризованная кривая х : [а, 6] —> Rn спрямляема относительно одной
из этих метрик, то она является спрямляемой также и относительно другой
метрики.
8.11. Дана кривая х : [а, Ь] —► Rn класса С1. Доказать, что если для всякого
t G [а, Ь] касательная в точке x{t) проходит через точку 0, то вектор-функция
х имеет вид: x(t) = <p(£)u, где вектор и не зависит от £, а <р есть вещественная
функция.
8.12. Пусть / : [а, Ь] —> R — функция ограниченной вариации, д : [а, &] —+ R
— непрерывная функция. Доказать, что в этом случае интеграл Стилтьеса
ь
f(x) dg(x) существует. Доказать, что справедливо равенство:
а
Ь Ь
J f(x) dg(x) = f(b)g(b) - f(a)g(a) - / д(х) df{x).
а а
8.13. Пусть / : [а,Ь] —> R и д : [а,Ь] —► R суть непрерывные функции,
удовлетворяющие условию Гёльдера с показателями а и /5, соответственно. Дока-
ь
зать, что если си + /3 > 1, то существует интеграл Стилтьеса Г /(ж) dg(x).
а
8.14. Пусть функция / : [а, Ь] —► R такова, что для всякой функции
ограниченной вариации (р : [0,1] —► R, все значения которой лежат в промежутке [а,Ъ],
суперпозиция / о <р является функцией ограниченной вариации. Доказать, что
тогда функция / удовлетворяет условию Липшица, то есть найдется
постоянная L < оо такая, что для любых rci, Ж2 6 [«, Ъ] выполняется неравенство:
|/(aji)-/(s2)| <L|*i-a?2|.
8.15. Пусть Sn есть сфера 5(0,1) в пространстве Rn+1. Пусть х и у —
произвольные точки на сфере §п. Обозначим через <т(х,у) угол между векторами х
и у в пространстве Rn+1. Доказать, что определенная так функция а : Sn x Sn
является метрикой на сфере Sn. Доказать, что для всякой кривой на сфере Sn
длина относительно метрики а совпадает с длиной той же кривой
относительно метрики пространства Rn+1.
/

ПОСЛЕСЛОВИЕ
Первую часть «Курса математического анализа» я закончил
теоремой Александрова. Автор ее — академик Российской Академии Наук
Александр Данилович Александров — выдающийся математик 20-го
столетия, лауреат Золотой медали Леонарда Эйлера.
Александр Данилович Александров был моим учителем.
21 июля его не стало ...
Однажды Александр Данилович написал это стихотворение:
Человек
Когда в последнем взрыве катаклизма
Земля сгорит, как новая звезда,
и человечество исчезнет навсегда
Без поминанья, памятника, тризны,
Когда помчится раскаленный газ
В бескрайние межзвездные пространства
И Дух слетит с Земли для новых странствий,
то, знаю, будет не в последний раз.
Когда-нибудь и где-нибудь опять
Он воплотится в теле для мученья,
ДЛЯ ПОДВИГА И ПРЕТВОРЕНЬЯ,
ДЛЯ БЕГА ВВЕРХ И ВОЗВРАЩЕНЬЯ ВСПЯТЬ.
Ты, вечный Дух упорного стремленья,
Что породил Собой добро и зло,
кто не оставил в мире ничего
Вне сферы знания и воли превращенья,
Твори, Великий Дух, и обращай Природу
в громадную арену мощных сил,
Которые Собой Ты породил,
Чтобы в борьбе завоевать свободу
и вызвать катаклизм, а может быть, и смерть
Материи костной и ничтожной,
Но сделать невозможное возможным
И к новой жизни возродиться впредь!
Александр Данилович был необыкновенным человеком и его Дух
будет еще долго привлекать математиков будущего своими
удивительными геометрическими теориями, прокладывающими
бесконечные пути в нескончаемом течении пространства и времени. Одна из
ярчайших звезд в этом бесконечном мире будет очаровывать молодых
исследователей красотой постановки математических проблем,
освещать им путь для новых математических открытий таинственных
островов в безбрежном океане абстракций с проникновением в его
математические глубины.
Ю. Г. Решетняк

Указатель обозначений
№)], 22
ff(x)dx, 22
Т(/;я?1,я?2),24
Ф(ж)
Ф(ж)
Ф(ж)
х=Ь
,28
Ь
,28
а
ж=Ь-0
,41
1ж=а+0
Г(/), 49
|А|, 49
lim Ф(Д), 50
А-*х0
2}Ф(жо), Ф — функция отрезка, 53
Int/(A), 53
1/(Л), 60
(ж€7)/ /(ж) da;, 69
[/(aOJxeJ. 69
[/], 69
||£||, £ — разбиение, 110
ИЛЬ, 114
Еп(/;в,Ь), 117
II/IU, 120
9(/;а,Ь), 124
Т(/;Д), 127
Т(/;ж1,ж2), 127
5/(Д), 127
В(а,г), 170
5(а,г), 170
В(а,г), 170
<Р(Е,Ж), 180
J2f(X,Y), 182
X*, 182
е% 187
11*11, 191
111*111, 191
|ж|, 191
\х\т, 193
(ж, у), 196
<Э(а,г), 199
Q(a,r), 199
#Jgf(X,Y), 201
lim /(ж), 206
Л(а;)-»0,хбМ
/(ж) -» L при Л(ж) -* 0, 206
lim /(ж), 206
Л(ж)—юо,жЕМ
(wn,m)n6N)mE]^, 209
^^)(n,m)€N2'209
A(n,m), 209
lim %,m, 209
71 —ЮО, Ш—ЮО
y>(t) -* p при or(t) -* 0, 219
lim f(x), 222
ж—*p
f(x) = 0(p(rc)) при \(x) -> 0, 232
/(ж) = g(x) + Ofo>(a:)) при X(x) -* 0,
232

Указатель обозначений
493
f(x) — д(х) + о((р(х)) при Х(х) -» О,
232
СА, 237
diam Л, 266
»ь/(а), 284
J£(a), £>*/(а), 285
d/(a), d/a, 291
df(a;h),dfa(h), 291
£L(a) = df(a;ei), 291
ЙЖг, 293
#(а)=£Ла)А&»,294
i=l
Эж
305
a2 f a2 f
Ы, тг-t-, 3ii
dxidxj dxidxj
d3f
я я ^ (До), 311
OXi&XjOXk
drf
OXi-^OXi2 • • • G^ii
-(ж), 312
JDir...£>iaAi/(aO,312
JD//, /(7r), 312
ifr(P,Rm), УГ(Р),УГ, 313
^°°([/,Rm), ^°°, 313
<*(/), 319
(a = (ai,a2,...,an) Vz G Z,
«г > 0) -» |аг| = ai + «2 + • • •
• • • + an, a! = ai!a2!. • • an!, 320
жа, где о: — n-мерный
мультииндекс, 320
D°f = D°»...D%*D°1f,
ol\ > 0, OL2 > 0,..., an > О
— целые, 320
/ ^ Aq,X , О 2,0
\a\<r
deg P < r, 325
/3 < a -* £>^(ж - a)a =
= fS^O* ~ а)"-", 328
"«(/5 < a) -* JD*(a: - a)a = 0, 328
£/(a + th) = 53 $£>«/(a + th)h°
|a|=fc
336
**/(*), 337
dkf(x;h), dkf(x)(h), 337
^p [/(ж + th)] = <**/(* + th; h), 337
ft!
(ж1+ж2 + ---+жп)г = УЗ ~7^Q, 338
|a|»fc al
Af(r,n), 342
N(r,n), 342
/x(r,n), 342
i/(r,n), 343
<foQ, 346
F(aj) = 5] Fa(x)dx° -* dF(x) =
\a\=r
= 53 dFa(x)dxa, 348
|a|=r
dr+1f(x) = d{drf}(x), 349
ь
f F[x(t),x'(t)]dt, 395
a
b n
/ J] Fi[x(t)]cfci(t), 395
а г=1
b
/ F[s(t),Ac(t)], 395
(F(x),dx), 397
/<F[x(*)],— (i)>«tt, 397
a
b
/(F[«(t)],4c(t)>, 397
a
/ \ —X2dx\+X\dX2
Ля),
a =
»(/,.
b
V/
b
Src,
,418
{*(h*b-
a), 427
,427
427
Жч —г* «Сл
••,**}, 427

494
Указатель обозначений
S х, 427 4(*о), 474
" с t£(t0),474
Шь £ — пунктированное
разбиение, 442 *
, ч fc(eo), 478
/</(я?), dfl(x)>,443 n,479
» а х Ь, 480
/ /(*)*,(*), 443 *(«°)' 482
* n(Jf), 484
<Ж(М), 460 П(ж,0, 486
t(*i,t2), 473 ft£x, 486

Предметный указатель
га х тг-матрица, 188
га х тг-матрица, номер столбца, 188
га х тг-матрица, номер строки, 188
га х тг-матрица, элементы
матрицы, 188
тг дважды факториал, I, 51
тг-кратно дифференцируемая в
точке функция, I, 305
тг-мерное векторное пространство,
177
тг-мерный интервал, 199
тг-мерный прямоугольник в
Rn — см. координатный
прямоугольник пространства
Rn, 198
n-мерный сегмент, 199
тг-факториал, I, 51
тг-я производная функции, I, 305
абелева группа — см.
коммутативная группа, 259
абсолютная величина
вещественного числа, I, 30
абсцисса точки М на плоскости,
I, 55
аддитивная функция отрезка, 53
аддитивность и монотонность
вариации как функции
отрезка, 429
аксиома непрерывности множества
вещественных чисел, I, 35
аксиомы алгебраической структуры
множества R, I, 27
аксиомы векторного пространства,
174
аксиомы метрики, 164
аксиомы нормы в векторном
пространстве, 191
аксиомы порядка в множестве
R, I, 28
алгебраические операции для
пределов по оценочной
функции, 218
алгебраическое число, 147
амплитуда точки на плоскости,
I, 297
аналог формулы Лейбница для
функций многих переменных,
340
ареакосинус гиперболический,
I, 233
ареасинус гиперболический, I, 232
ареатангенс гиперболический,
I, 233
арифметический квадратный
корень из числа х > 0, I, 48
арккосинус, I, 224
арксинус, I, 223
арктангенс, I, 225
асимптота графика функции в
направлении х —> —со, I, 409
асимптота графика функции в
направлении х —> со, I, 409
асимптотическая характеристика
полинома Тейлора

496
Предметный указатель
асимптотически ограниченная при
х —► р по М С К. функция, I, 98
асимптотические соотношения, 232
астроида, I, 293
базис векторного пространства, 178
базисные полиномиальные
формы, 346
базисные элементарные функции,
I, 228
безостановочный путь, 459
бесконечно малая при х —> р,
х £ М, функция, I, 88
бесконечные элементы множества
Й, I, 29
биективное отображение, I, 21
биномиальные коэффициенты,
I, 310
Брауэра теорема о неподвижной
точке в двумерном случае, 421
вариация функции на промежутке
[а, Ь], 427
Вейерштрасса теорема выбора,
I, 153
Вейерштрасса теорема о
наибольшем и наименьшем
значениях, общий случай, 262
Вейерштрасса теорема о
наименьшем и наибольшем
значениях, I, 155
вектор главной нормали в точке
кривой, 479
вектор на плоскости или в
пространстве, I, 279
вектор-функции предел, I, 283
векторное поле в области
U С Мп, 396
векторное пространство над
полем К, 174
вертикальная асимптота графика
функции в направлении
у -» -оо, 409
вертикальная асимптота графика
функции в направлении
у -* оо, I, 409
верхнее число последовательности
(*n€R)n€Nm,I, 163
верхний и нижний пределы —
характеристика посредством
понятия частичного предела,
I, 173
верхний предел последовательности
(*neM)neNm,I, 165
верхняя граница вещественной
функции, I, 56
верхняя граница множества
А С R, I, 33
вещественная функция,
определенная на произвольном
множестве, I, 52
вещественная часть комплексного
числа, I, 62
взаимно однозначное отображение,
1,21
взвешенное среднее арифметическое
чисел, I, 389
взвешенное среднее геометрическое
чисел, I, 389
включение множеств, I, 13
внутреннее произведение векторов
на плоскости, 480
внутренняя точка множества в
метрическом пространстве, 237
вогнутая функция, I, 379
возрастающая функция на
множестве А С М, I, 53
вторая интегральная теорема о
среднем значении, 101
вторая производная функции, I, 304
вторая теорема Лопиталя, I, 341
второй основной постулат
аналитической геометрии, I, 55
выпуклая сверху функция — см.
выпуклая функция, I, 379
выпуклая снизу функция — см.
вогнутая функция, I, 379
выпуклая функция, I, 379
выпуклое множество на плоскости,
I, 380
Гейне теорема о равномерной
непрерывности, I, 160

Предметный указатель
497
Гейне теорема о равномерной
непрерывности в общем
случае, 267
Гёльдера неравенство для
сумм, I, 391
гиперболический косинус, I, 229
гиперболический синус, I, 229
гиперболический тангенс, I, 229
гипотрохоида, I, 291
гипоциклоида, I, 291
гладкая точка кривой, I, 284
гомеоморфизм множеств в
метрических пространствах,
421
гомеоморфность множеств, I, 151
гомеоморфные множества в
метрических пространствах,
421
гомоморфизм групп, I, 260
гомотопия в области U путей,
соединяющих данные
точки, 410
гомотопность в области U кривой
х : [а, Ь] —> U и кривой
у : [а, Ь] —> U такой, что
х{о) = т/(а), х(Ъ) = 2/(6), 409
график отображения, I, 25
график функции в полярной
системе координат, I, 298
группа, I, 259
Дарбу теорема о производной,
I, 324
двойная последовательность, 209
двойственная векторному полю
линейная дифференциальная
форма, 397
декартова ортогональная система
координат на плоскости, I, 54
декартово произведение
метрических пространств, 170
диаметр множества А, 266
дизъюнктные множества, I, 17
дизъюнкция высказываний, I, 14
Дирихле функция, 16
дифференциал k-го порядка
функции / в точке х, 337
дифференциал отображения /
в точке а, 291
дифференциал полиномиальной
формы класса ^fe, к > 1, 348
дифференциальная форма класса
^г, 394
дифференциальная форма первой
степени в области U С Мп, 394
дифференцируемая в точке
функция одной переменной,
I, 265
дифференцируемость и
существование частных
производных, 291
длина дуги пути, 427
длина параметризованной
кривой, 427
для отображений метрических
пространств модуль
непрерывности, 269
для отображений метрических
пространств условие
Гёльдера, 270
для отображений метрических
пространств условие
Липшица, 270
дополнение множества А С М в
множестве М, 237
достаточное условие постоянности
функции в промежутке, I, 331
достаточное условие
представимости
вектор-функции интегралом,
439
достаточное условие существования
касательной, I, 284
достаточные условия экстремума,
364
евклидова метрика в Мп, 196
евклидова норма в Rn, 196
единица группы, I, 259
единичная точка оси, I, 53
единственность предела
относительно оценочной
функции,214
единственность предела, I, 98

498
естественная метрика множества
R, 165
естественная метрика
нормированного векторного
пространства — см. метрика,
порожденная нормой в
векторном пространстве, 193
естественная метрика
плоскости Е2, 165
Жордана критерий
ограниченности вариации вектор-функции
со значениями в Rn, 438
Жордана критерий
ограниченности вариации вещественной
функции, 436
задача о брахистохроне, I, 295
замена параметра для
параметризованных кривых,
459
замкнутая дифференциальная
форма в области U С Мп, 401
замкнутая дифференциальная
форма в односвязной области
является точной, 416
замкнутая параметризованная
кривая, 418
замкнутая параметризованная
кривая, стягиваемая к точке
в области U С М2, 418
замкнутое множество метрического
пространства, 238
замкнутое множество метрического
пространства, критерий
замкнутости, 238
замкнутый куб в Rn, 199
замкнутый промежуток в R, I, 30
звездное относительно данной
точки множество в Rn, 401
знак числа — см. функция
sgnx, I, 32
значение отображения на элементе
множества, I, 19
изометричные метрические
пространства, 168
Предметный указатель
изометрия метрических
пространств, 167
импликация высказываний, I, 15
индекс замкнутой кусочно-гладкой
кривой на плоскости, 418
индекс произвольной замкнутой
кривой в R2, 418
индикатриса набора индексов, 319
индуктивное множество, I, 38
интеграл Римана, 110
интеграл дифференциальной
формы вдоль данного пути, 395
интеграл по промежутку
вектор-функции / : (а,
/> -> Rn, 282
интегральная кривизна кривой, 484
интервал в R — см. открытый
промежуток bR, I, 30
инъективное отображение, I, 21
иррациональное число, I, 39
Иенсена неравенство, I, 382
каноническая база точки р £ R,
I, 106
каноническая изометрия
пространств Rk x Rm и
Rn = Rfe+m, 198
канонический базис пространства
Кп, 179
каноническое представление
полинома п переменных, 325
каноническое представление
полиномиальной формы, 346
канторова таблица, I, 71
касательная графика функции,
I, 279
касательной в точке
параметризованной кривой,
I, 284
касательный орт в точке
параметризованной кривой, 474
касательный орт
параметризованной кривой, I, 283
квадратичная форма в Rn, 326
кванторы, I, 16
класс функций ^°°(Л,М), I, 306

Предметный указатель
499
классы функций ^п(А1 R) и
#П(А,И), 1,305
коммутативная группа, I, 259
компактное метрическое
пространство, 255
компактное множество в
метрическом пространстве, 255
компактности критерий для
множеств в Rn, 260
комплексного числа основная форма
представления, I, 62
комплексное число, сопряженное
z e с, I, 62
комплексные числа, I, 59
комплексных чисел геометрическое
представление, I, 64
композиция отображений — см.
суперпозиция отображений,
1,21
конечная вещественная функция,
I, 52
конечное множество, I, 44
конечность нормы линейного
отображения Rn в Rm, 204
конечные элементы множества
R, I, 29
коническое множество в Rn, 308
континуальный принцип индукции,
408
концы промежутка, I, 30
конъюнкция высказываний, I, 14
координата точки на оси, I, 54
координатный прямоугольник
пространства Rn, 198
координаты вектора относительно
базиса векторного
пространства, 178
координаты точки на плоскости,
I, 55
корень n-й степени из числа
У > 0, I, 204
корень полинома, 75
косинус, I, 215
Коши — Больцано критерий
существования конечного
предела, I, 130
Коши — Больцано признак
сходимости — см. Коши
— Больцано критерий
существования конечного
предела, I, 130
Коши — Больцано признак
сходимости для
последовательности, I, 133
Коши — Буняковского неравенство
для сумм, I, 392
Коши неравенство между средним
арифметическим и средним
геометрическим, I, 389
Коши теорема о среднем значении,
I, 320
Коши теорема об оценке
приращения для комплексных
функций, I, 322
коэффициенты линейного
отображения, 187
коэффициенты полиномиальной
Мт-формы степени г, 345
коэффициенты полиномиальной
формы F, 346
кратная формула интегрирования
по частям, 44
кратность корня полинома, 76
кривая в метрическом
пространстве, 461
кривизна регулярной кривой в
точке хо = x(sq), 478
криволинейная трапеция, 127
криволинейная трапеция, 23
критерий Гейне для существования
предела, I, 135
критерий бесконечной малости
относительно оценочной
функции, 217
критерий замкнутости
дифференциальной формы
класса сё?1, 404
критерий монотонности всюду
дифференцируемой функции,
I, 326
критерий относительной
открытости и относительной

500
Предметный указатель
замкнутости множества, 251
критерий постоянности функции
на отрезке, I, 332
критерий строгой монотонности
всюду дифференцируемой
функции, I, 328
критерий точности
дифференциальной формы класса
в области, звездной
относительно точки, 402
куб с центром а и длиной ребра
2г, 199
кусочно-гладкая
параметризованная кривая в Rn, 392
Лагранжа теорема о среднем
значении, I, 322
левое обратное отображение, I, 22
левый касательный орт
параметризованной кривой, 474
левый касательный орт
параметризованной кривой,
I, 284
Лейбница формула для производной
порядка п произведения
функций, I, 310
лемма о непрерывном образе
компактного множества, 260
лемма о полном прообразе
разности, 248
лемма о существовании предела
и локальной ограниченности,
I, 95
лемма об интегралах замкнутой
дифференциальной формы
вдоль близких путей, 410
лемма об интегрировании
асимптотических соотношений
для функции одной
переменной, I, 350
лемма об оценке интеграла
вектор-функции, 282
лемма об условиях,
выполняющихся в основном, 17
линейная дифференциальная
форма, 394
линейная комбинация векторов, 177
линейная комбинация векторов,
ее коэффициенты, 177
линейная форма в Еп, 326
линейная форма в векторном
пространстве, 182
линейно зависимые векторы, 177
линейно независимая система
векторов, 177
линейное отображение векторного
пространства, 182
линейность определенного
интеграла, 30
логарифмическая спираль, I, 300
локального максимума точка
вещественной функции,
определенной в метрическом
пространстве, 359
локального минимума точка
вещественной функции,
определенной в метрическом
пространстве, 358
локального экстремума точка
вещественной функции,
определенной в метрическом
пространстве, 359
мажоранта множества АсМ — см.
верхняя граница множества
А С Й, I, 33
матрица Якоби дифференцируемого
отображения, 375
матрица линейного отображения
(р, 189
метод Ньютона решения уравнения
f(x) = 0, I, 366
метод касательных решения
уравнения f(x) = 0 — см.
метод Ньютона, I, 366
метод хорд приближенного
решения уравнения f(x) = 0,
I, 368
методу деления пополам
приближенного решения
уравнения f(x) = 0, I, 361
метрика на множестве М, 164
метрика, аксиома отделимости, 165
метрика, ее симметричность, 165

Предметный указатель
501
метрика, неравенство треугольника
для метрики, 165
метрика, порожденная нормой в
векторном пространстве, 193
метрическое пространство, 165
метрическое пространство,
расстояние между его
точками, 165
Минковского неравенство, I, 393
миноранта множества ЛсМ — см.
нижняя граница множества
А С R, I, 33
мнимая часть комплексного
числа, I, 62
множество Nfc, I, 41
множество базисное относительно
оценочной функции Л, 213
множество всех вещественных
чисел R, I, 26
множество всех комплексных
чисел С, I, 59
множество всех рациональных
чисел Q, I, 39
множество всех целых чисел
Z, I, 39
множество значений отображения,
I, 19
множество натуральных чисел,
I, 38
множество протяженное
относительно оценочной
функции Л, 212
множество точек разрыва
монотонной функции, его не
более чем счетность, 66
множество, I, 12
модуль вещественного числа —
см. абсолютная величина
вещественного числа, I, 30
модуль комплексного числа, I, 62
модуль непрерывности функции
на множестве А, I, 157
моном степени не выше г, 324
монотонная функция на множестве
А С R, I, 53
монотонность определенного
интеграла, 30
монотонные функции, критерий
непрерывности, I, 147
монотонные функции, теорема о
существовании и величине
предела, I, 127
Моргана тождества, 241
мультииндеке, 319
набор индексов возрастающий, 319
набор индексов длины г, 317
надграфик функции, I, 380
наибольший элемент числового
множества, I, 33
наименьший элемент числового
множества, I, 33
накрывающее отображение, I, 20
натуральная параметризация
кривой, 471
натуральный логарифм ж, I, 199
не более чем счетное множество,
I, 67
невозрастающая функция — см.
убывающая функция, I, 53
невырожденное линейное
отображения, 374
невырожденность в точке
дифференцируемого
отображения, 375
нейтральный элемент группы,
I, 259
неопределенность типа ^, I, 336
неопределенность типа ^, правило
Лопиталя отыскания ее
предела — см. первая теорема
Лопиталя, I, 337
неопределенность типа ^|, I, 336
неопределенность типа —, правило
отыскания ее предела — см.
вторая теорема Лопиталя,
I, 341
неопределенный интеграл функции
в промежутке, 22
неотрицательная вещественная
квадратичная форма в Rn, 360

502
Предметный указатель
неподвижная точка отображения,
421
неположительная вещественная
квадратичная форма в Rn, 360
непрерывная обратная функция
— теорема существования
в случае функции одной
переменной, I, 149
непрерывная функция, I, 94
непрерывное отображение
метрического пространства
М в N, 221
непрерывности вариации
критерий, 433
непрерывность в точке
отображения / : М —► N
метрических пространств, 221
непрерывность функции отрезка
в точке, 52
неравенство Бернулли, I, 47
неравенство ломаной, 166
неравенство треугольника для
углов между векторами, 477
неравенство четырехугольника, 167
несчетность отрезка множества
R, I, 137
неубывающая функция — см.
возрастающая функция, I, 53
нечетная функция, I, 218
неявно заданные функции, общая
теорема о существовании и
регулярности, 375
нижнее число последовательности
OzneR)n€Nm,i, 163
нижний и верхний предел
интегрирования, 29
нижний интеграл функции / по
отрезку А = [ж1,Ж2], 60
нижний предел последовательности
(я;„бК)п€Мт,1, 164
нижняя граница вещественной
функции, I, 56
нижняя граница множества
А С R, I, 33
номер элемента не более чем
счетного множества в заданной
нумерации, I, 67
норма в векторном пространстве,
191
норма в векторном пространстве,
условие отделимости для
нее, 191
норма линейного отображения, 201
нормальный путь — см.
безостановочный путь, 459
нормированное векторное
пространство, 191
нулевая точка оси, I, 53
нулевой элемент коммутативной
группы, I, 260
нумерация элементов не более чем
счетного множества, I, 67
о вложенных отрезках, теорема,
I, 129
о зажатой переменной, теорема,
I, 100
о непрерывности суперпозиций
непрерывных функций,
теорема, I, 115
о пределе сложной функции, вторая
теорема, I, 117
о пределе сложной функции, первая
теорема, I, 116
о предельном переходе в
неравенстве, теорема, I, 97
о произведении бесконечно малой и
асимптотически ограниченной
функций, теорема, I, 110
о точках разрыва монотонной
функции, теорема, I, 142
об операциях над функциями,
имеющими бесконечный
предел, теоремы, I, 121
об операциях над функциями,
имеющими бесконечный
предел, теоремы, I, 122
об операциях над функциями,
имеющими бесконечный
предел, теоремы, I, 123
об операциях над функциями,
имеющими конечный предел,
теорема, I, 112

Предметный указатель
область в Rn — см. открытая
область в Rn, 306
область в Rn, 392
область определения отображения,
I, 19
образ множества при данном
отображении, I, 20
обратное отображение, I, 23
обращение производных в нуль
и порядок малости функции
— случай функции одной
переменной, I, 351
объединение множеств, I, 16
ограничение функции
(отображения), I, 25
ограниченная на множестве А
функция, I, 56
ограниченная сверху на множестве
А функция, I, 56
ограниченная снизу на множестве
А функция, I, 56
ограниченное линейное
отображение, 201
ограниченное множество А С R,
I, 33
ограниченное сверху множество,
I, 33
ограниченное снизу множество,
1,33
ограниченной вариации функции
со значениями в банаховом
пространстве, их свойства, 435
ограниченные линейные
отображения и функции
ограниченной вариации, 438
ограниченный промежуток в
R, I, 30
однородная степени г функция, 308
однородный полином степени г, 325
односвязная область в Rn, 410
односторонние пределы функции,
определенной на отрезке, I, 139
окрестность числа р G R, I, 82
операция возведения в степень,
I, 205
503
операция сложения комплексных
чисел — геометрическое
истолкование, I, 65
операция умножения комплексных
чисел — геометрическое
истолкование, I, 65
определенный интеграл функции
по отрезку [a,b] CM, 23
ордината точки М на плоскости,
I, 55
ослабленный критерий
монотонности, I, 329
ослабленный критерий строгой
монотонности функции, I, 332
основная теорема алгебры, 77
основная теорема алгебры,
доказательство, 424
основные числовые группы, I, 260
остаточный член формулы
Тейлора, I, 352
ось, I, 53
открытая область в Rn, 306
открытое множество метрического
пространства, 237
открытый куб в Rn, 199
открытый промежуток в R, I, 30
относительно замкнутое
множество, 251
относительно открытое множество,
251
отношение порядка в множестве
R, I, 28
отношение порядка в множестве
R, I, 29
отношение эквивалентности на
множестве безостановочных
путей, 460
отношение, общее понятие, 454
отображение множества А на
множество В, I, 20
отображение числовой прямой R
на окружность S, I, 212
отображение, I, 19
отображения в Rn, предел и
непрерывность для них, 229

504
Предметный указатель
отображения метрических
пространств, вторая теорема
о пределе суперпозиции, 225
отображения метрических
пространств, непрерывность
и существование предела, 222
отображения метрических
пространств, непрерывность
суперпозиции, 223
отображения метрических
пространств, первая теорема
о пределе суперпозиции, 224
отображения метрических
пространств, предел
отображения, 222
отрезок 1П множества N, I, 44
отрицание высказывания, I, 15
отрицательная часть
вещественного числа, I, 31
отрицательно определенная
квадратичная форма в Rn, 360
оценочная функция второго
типа, 206
оценочная функция сходимости
к точке метрического
пространства, 220
оценочная функция, 205
параметр кривой, I, 281
параметризация кривой, 461
параметризованная кривая в Rn
— см. путь вМп, 306
параметризованная кривая в
Rn, 392
параметризованная кривая в
пространстве, I, 281
параметризованная кривая на
плоскости, I, 281
параметрическое представление
прямой, I, 280
Пеано кривая, I, 282
Пеано теорема, I, 282
первая интегральная теорема о
среднем значении, 96
первая производная, I, 305
первая теорема Лопиталя, I, 337
первообразная функции на
промежутке, 15
первый основной постулат
аналитической геометрии, I, 54
переменная интегрирования, 29
пересечение множеств, I, 17
перестановка набора индексов
длины г, 317
перестановка ранга г, 317
периодическая функция, I, 218
периодическая функция, её
период, I, 218
плотное в себе множество
А С R, I, 264
плотность функции отрезка в
точке, 53
поворот (интегральная кривизна)
кривой на промежутке
К/3), 486
подграфик функции, I, 381
подпоследовательность, I, 152
подпоследовательность,
извлеченная из
последовательности, I, 152
подпространство векторного
пространства, 179
подпространство метрического
пространства, 173
подынтегральное выражение, 29
позитивный полином, I, 243
показательная функция
комплексного аргумента, I, 226
поле скаляров векторного
пространства, 174
полигональная параметризованная
кривая в Rn, 392
полинома каноническое
представление, I, 345
полинома коэффициенты, I, 345
полинома разложение по степеням
х — а, I, 347
полиномиальная Мт-форма
класса ^г, 346
полиномиальная Мт-форма степени
г на множестве U С Rn, 345

Предметный указатель
505
полиномиальная форма степени
г в Мп, 326
полиномом Тейлора порядка п
функции / в точке а, I, 352
полиномом степени не выше п,
I, 345
полиномы, формула Маклорена
для полиномов, I, 349
полиномы, формула Тейлора для
полиномов, I, 348
полное метрическое пространство,
227
полное метрическое пространство,
критерий Коти — Больцано
существования предела
отображения в такое
пространство, 227
полный прообраз множества
ГНЛ), 20
положительная часть
вещественного числа, I, 31
положительно определенная
квадратичная форма в Rn, 360
полунорма в векторном
пространстве, 190
полуоткрытый промежуток
в R, I, 30
полярная система координат на
плоскости, I, 297
полярный радиус точки на
плоскости, I, 297
понятие эквивалентности норм в
векторном пространстве, 263
порождающая функция аддитивной
функции отрезка, 55
порядка п функции / в точке а, I,
порядка отношение, 455
последовательность отрезков,
стягивающаяся к точке, 50
последовательность элементов
множества, I, 41
постоянное отображение, I, 20
правила дифференцирования
суммы и произведения
полиномиальных форм, 350
правила дифференцирования
суммы, произведения и'
частного двух функций, I, 267
правило дифференцирования
обратной функции, I, 269
правило дифференцирования
сложной функции, I, 271
правило интегрирования по
частям, 42
правое обратное отображение, I, 22
правый касательный орт в точке
параметризованной кривой, 474
правый касательный орт
параметризованной кривой,
I, 284
предел двойной
последовательности, 209
предел отображения ср : Т —* М
относительно оценочной
функции на Т, 219
предел последовательности, I, 91
предел слева функции,
определенной на отрезке, I, 139
предел справа функции,
определенной на отрезке, I, 139
предел функции / : М —» Е при
Х(х) -+ 0, 205
предел функции / : М —► R. при
А(х) -» оо, 206
предел функции отрезка при
стягивании отрезка к точке, 50
предел функции при ж,
стремящемся к р £ J£im{M)
по множеству М С R, I, 87
предел функции при ж,
стремящемся крЕ j£fгга(М)
по множеству М С R, I, 89
предел функции при х,
стремящемся к р Е <£fim(M)
по множеству М С М, I, 89
предел функции со значениями
в С, I, 107
предельная точка метрического
пространства, 221
предельная точка множества
М С R, I, 83

506
Предметный указатель
предельный переход в неравенстве
для предела относительно
оценочной функции, 213
предкомпактное множество в
метрическом пространстве, 255
предкомпактности критерий для
множеств в Rn, 259
представленная интегралом,
зависящим от параметра
функция, достаточное условие
дифференцируемости, 390
представленная интегралом,
зависящим от параметра
функция, достаточное условие
непрерывности, 389
приближение монотонной функции
ступенчатыми, 99
признак непрерывности функции
отрезка в точке, 52
признак сравнения бесконечной
малости функции, I, 102
признак сравнения
интегрируемости функции по промежутку, 63
признак сравнения существования
бесконечного предела, I, 102
признак точной верхней (точной
нижней) границы множества
А С R, I, 35
примыкающие отрезки, 53
принцип Архимеда, I, 40
принцип математической
индукции, I, 38
продолжение функции
(отображения), I, 25
произведение матриц, 190
произведение матрицы А и
вектора ж, 189
произведение полиномиальных
форм, 347
производная n-го порядка суммы
га функций, I, 309
производная в точке функции
/ : А -+ R, I, 265
производная левая функции
/ : А -+ R, I, 265
производная порядка п — см. п-я
производная функции, I, 305
производная правая функции
/ : А -+ R, I, 265
производная функции в точке
вдоль вектора, 284
производные порядка п > 2,
применение к отысканию точек
экстремума, I, 378
произвольная показательная
функция, I, 210
промежутки [а, 6], (а, &], [а, 6),
(а, Ь), 30
промежуток в множестве R, I, 30
промежуточные значения функции,
теорема Коши, I, 144
прообраз множества при
отображении, I, 20
прообразы замкнутых множеств и
непрерывность отображения,
251
прообразы открытых и замкнутых
множеств для непрерывных
отображений, 249
прообразы открытых множеств и
непрерывность отображения,
250
простая дуга, I, 286
простая замкнутая кривая, I, 286
простая ступенька, 99
простейшая теорема о неявных
функциях, 368
пространство Сп, 177
пространство Кп, 176
пространство Кп, операция
умножения на число, 177
пространство Кп, сумма элементов,
176
пространство Rn, 177
пространство Rn, его полнота, 231
прямое произведение п множеств
(декартово произведение п
множеств, I, 18
прямое произведение множеств,
1,17

Предметный указатель
пунктированного разбиения
норма, 110
пунктированного разбиения
отмеченные точки, 110
пунктированного разбиения
узлы, 110
пунктированное разбиение отрезка
[а, Ь], 110
пустое множество, I, 13
путь в Rn — см.
параметризованная кривая в Rn, 392
путь в Rn, 306
равенство множеств, I, 14
равномерная непрерывность, I, 156
радиус-вектор точки, I, 280
разбиение отрезка [а, 6], 442
разбиение с отмеченными
точками отрезка [а, Ь] — см.
пунктированное разбиение
отрезка [а, 6], 110
разложение полинома на
простейшие множители, 76
разложение рациональной функции
на простейшие дроби в
вещественной области, 78
разложение рациональной функции
на простейшие дроби в
комплексной области, 78
разложение рациональной функции
на простейшие дроби, метод
неопределенных коэффициентов
его построения, 78
размерностью векторного
пространства X, 177
разность множеств, I, 17
ранг линейного отображения, 374
распознавание точек экстремума по
поведению производной вблизи
стационарной точки, I, 376
распознавание точек экстремума
функции в концах области
определения, I, 375
распознавание точек экстремума
функции среди угловых
точек, I, 375
507
расширенное множество
вещественных чисел R, I, 29
расщепленная функция п
переменных, 328
рациональное число, I, 39
регулярная кривая класса с€т', 471
рефлексивное отношение, 454
Ролля теорема, I, 319
свойство Дарбу, I, 147
свойство аддитивности
определенного интеграла, 35
свойство локальности для предела
по оценочной функции, 217
свойство локальности предела,
I, 103
связное открытое множество
в Rn, 392
сегмент в! — см. замкнутый
промежуток bR, I, 30
секущая графика функции, I, 278
секущая параметризованной
кривой, I, 283
символ Кронекера, 179
симметричное отношение, 454
симметричность частных
производных второго порядка,
достаточное условие, 314
симметричность частных
производных порядка г > 1 для
функций класса ^r(C/,Mm), 317
Симпсона метод приближенного
интегрирования, 124
синус, I, 215
скалярное произведение векторов
в Rn, 196
скорость и ускорение, I, 301
сложение и умножение
комплексных чисел —
определение, I, 59
совпадение индекса замкнутых
кривых, гомотопных в
R2 \ {0}, 419
совпадение интегралов замкнутой
дифференциальной формы
вдоль гомотопных путей,

508
соединяющих данные
точки, 414
соотношение /3 < а для п-мерных
мультииндексов, 328
спираль Архимеда, I, 299
спираль Архимеда, ее
отрицательная ветвь, I, 300
спираль Архимеда, ее
положительная ветвь, I, 300
степенная функция, I, 208
степенная функция, производная
степенной функции, I, 272, 274
степенной функции показатель,
I, 208
степень регулярности неявно
заданной функции, 371
Стилтьеса интеграл тождественно
постоянной функции
относительно функции р, 444
Стилтьеса интеграл функции
/ : [а, Ь] —> Rn относительно
функции д : [а, Ъ] -+ Rn, 443
Стилтьеса интеграл, достаточное
условие представимости
обычным интегралом, 450
Стилтьеса интеграл, достаточное
условие существования, 447
Стилтьеса интеграл, оценка
интеграла по характеристикам
функций /ир, 449
Стилтьеса интеграл, свойство
аддитивности, 444
Стилтьеса интеграл, свойство
линейности относительно
функции /, 443
строго вогнутая функция, I, 380
строго возрастающая функция на
множестве А С М, I, 53
строго выпуклая сверху функция
— см. строго выпуклая
функция, I, 379
строго выпуклая снизу функция
— см. строго вогнутая
функция, I, 380
строго выпуклая функция, I, 379
Предметный указатель
строго монотонная функция на
множестве А С К, I, 53
строго убывающая функция на
множестве А С К, I, 53
сужение функции (отображения)
— см. ограничение функции
(отображения), I, 25
сумма Римана — Стилтьеса для
вектор-функций / : [а, Ь] —► Мп,
g : [а, Ь] -» Rn, 442
сумма и произведение двух
конечных вещественных
функций, I, 52
сумма полиномиальных форм, 347
суперпозиция отображений, I, 21
существование
подпоследовательности, имеющей предел, I, 154
существование предела lim a ,
I, 211
существование предела
Ши ill^l, I, 209
существование предела lim ехрж~ ,
х-+о х
I, 198
существование предела
lim l£iU±£i, I, 200
х—»-0
существование предела
lim (l+§)**, 1,190
существование предела
и асимптотическая
ограниченность, I, 99
существование предела
последовательности, критерий,
I, 167
сфера в метрическом пространстве,
170
сходящаяся последовательность,
I, 92
счетное множество, I, 68
сюръективное отображение, I, 21
тангенс, I, 215
Тейлора формула с остаточным
членом в форме Пеано
(случай функции одной
переменной), I, 352

Предметный указатель
509
теорема Безу, 75
теорема Гейне для предела
относительно оценочной
функции, 210
теорема Лопиталя о
неопределенности вида ^, 337
теорема Лопиталя о
неопределенности вида ~, 341
теорема о вложенных отрезках, 129
теорема о зажатой переменной
для предела по оценочной
функции, 215
теорема о сумме бесконечно малых
функций, I, 109
теорема о существовании у/х
для х > 0, I, 49
теорема о таковой, I, 353
теорема об ассоциативности
суперпозиции, I, 21
теорема об операциях над
семействами замкнутых
множеств, 244
теорема об операциях над
семействами открытых
множеств, 242
тождественно постоянная функция,
ее производная, I, 272
тождественное отображение, I, 20
топологическое отображение, I, 151
точка возврата кривой, I, 284
точка локального максимума
функции — см. точка
максимума функции, I, 316
точка локального минимума
функции — см. точка
минимума функции, I, 316
точка локального экстремума
функции — см. точка
экстремума функции, I, 316
точка максимума функции, I, 316
точка минимума функции, I, 316
точка перегиба функции, I, 394
точка разрыва второго рода, I, 140
точка разрыва первого рода, I, 140
точка экстремума функции, I, 316
точки метрического пространства,
165
точки экстремума функции,
усиленная теорема Ферма,
I, 372
точная верхняя граница
вещественной функции, I, 56
точная верхняя граница числового
множества, I, 34
точная верхняя и точная нижняя
границы числового множества
как пределы, I, 144
точная дифференциальная форма
в области U С Мп, 400
точная нижняя граница
вещественной функции, I, 56
точная нижняя граница числового
множества, I, 34
точная первообразная функции в
промежутке (а, 6), 12
транзитивное отношение, 454
трансцендентное число, 147
третья производная функции, I, 304
тригонометрические функции,
формулы приведения, I, 215
трохоида, I, 289
убывающая функция на множестве
А С R, I, 53
угловой коэффициент прямой, I, 278
угол между векторами на
плоскости, 481
угол между векторами, 475
упорядоченная пара, I, 17
упорядоченная система из п
элементов, I, 18
условие Гёльдера с показателем
а, I, 157
условие Липшица, I, 157
условие постоянности функции в
области пространства Rn, 306
условие, выполняющееся в
основном, 15
условия представимости
аддитивной функции отрезка
в виде интеграла, 59

510
Предметный указатель
фактор-множество по отношению
эквивалентности, 458
факторизация множества по
отношению эквивалентности,
458
Ферма теорема, I, 318
формула Тейлора для полинома
п переменных, 329
формула Тейлора порядка п
функции класса ^n+1,
общая оценка остаточного
члена, I, 355
формула Тейлора с остаточным
членом в интегральной
форме, 47
формула трапеций для
приближенного
интегрирования, 117
фундаментальная
последовательность точек метрического
пространства, 226
функции п переменных,
асимптотическая
характеристика полинома
Тейлора, 334
функции п переменных, критерий
дифференцируемости функции
в точке, 302
функции п переменных,
лемма об интегрировании
асимптотических соотношений,
299
функции п переменных,
необходимые условия
экстремума, 362
функции п переменных, обращение
в нуль производных и
асимптотическое строение
функции, 331
функции п переменных, полином
степени не выше г, 324
функции п переменных, полиномом
Тейлора порядка г функции
/ в точке а, 332
функции п переменных, правило
дифференцируемости
суперпозиции, 303
функции п переменных,
производная второго порядка
функции в точке хо, 311
функции п переменных,
производная порядка г, 311
функции п переменных,
производная третьего порядка
функции в точке жо3 311
функции п переменных, формула
Тейлора с остаточным членом
в форме Пеано, 333
функции п переменных, функции
класса с€т — см. функции п
переменных, функции класса
#r(l7,Rm), 313
функции п переменных, функции
класса ^r(C/,Rm), 313
функции п переменных, функции
класса ^^ — см.функции п
переменных, функции класса
^°°(C/,Rm), 313
функции п переменных, функции
класса ^°° (С/, Rm), 313
функции sin ж и cos ж, их
производные, I, 276
функциональное уравнение
Коши, I, 251
функция ах, ее производная, I, 275
функция ех, ее производная, I, 273
функция / : М —► С подчинена
g : М -» С при А(ж) -> 0, 232
функция / : М —+ С пренебрежима
сравнительно с g : М —* С
при А(я?) -► 0, 232
функция п переменных,
дифференцируемая в точке, 290
функция п переменных, оценка
приращения по границам
частных производных, 296
функция агссовж, ее производная,
I, 276
функция arcsina:, ее производная,
I, 276
функция log ж, ее производная,
I, 273

Предметный указатель
511
функция arctgrc, ее производная,
I, 277
функция sgn#, I, 32
функция tan ж, ее производная,
I, 276
функция ограниченной вариации,
427
функция, I, 19
функция, интегрируемая по
промежутку, 15
функция, непрерывная в точке
Р, I, 94
функция, определенная неявно
уравнением F[x,(p(x)] = 0, 369
характеристика предельной
точки через понятие предела
последовательности, I, 106
целая часть числа х £ R, I, 43
целое число, I, 39
цепочка касательных ортов
кривой ж, 485
цепочка на промежутке [а, Ь], 427
цепочка на промежутке [а, Ь],
узлы цепочки, 427
циклоида, I, 288
частичный касательный орт в
точке to пути ж, 485
частичный предел
последовательности (хп € R)neNm, I, 170
частная производная функции по
переменной Х{, 285
частное двух комплексных
чисел, I, 60
частное двух конечных
вещественных функций, I, 52
чебышёвская норма в Мп, 193
четная функция, I, 218
число 7г, I, 212
число е, I, 193
число элементов конечного
множества, I, 44
числовая прямая — см. множество
всех вещественных чисел, I, 26
числовое поле К, 174
шар замкнутый в метрическом
пространстве, 170
шар открытый в метрическом
пространстве, 170
Эйлера теорема об однородной
функции, 308
эквивалентности класс, 456
эквивалентности отношение, 455
эквивалентность норм в
конечномерных векторных
пространствах, 263
элементарные функции, I, 228
элементы множества, I, 12
эпитрохоида, I, 291
эпициклоида, I, 291
Юнга неравенство, I, 390
явление радиоактивности, I, 302
явление радиоактивности, период
полураспада, I, 303

Учебное издание
РЕШЕТНЯК Юрий Григорьевич
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Часть 1, книга 2
Ответственные редакторы
Шведов Игорь Александрович
Ионин Владимир Кузьмич
Редактор издательства
И. И. Кожанова
Издание подготовлено с использованием макро-пакета ^АД/^-ТЁХ,
разработанного Американским математическим обществом.
This publication was typeset using ДД/^-ТЁХ,
the American Mathematical Society's T^X macro system.
Подписано в печать 20.11.99. Формат 70x100 1/16. Печать офсетная.
Усл.-печ. л. 40.5. Уч.-изд. л. 30.6. Тираж 500 экз. Заказ № 453.
Лицензия ЛР № 065614 от 8 января 1998 г.
Издательство Института математики.
630090 Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.
Отпечатано в Редакционно-полиграфическом объединении СО РАСХН
633128 Новосибирская обл., пос. Краснообск.