Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2. Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления - Егупов Н.Д., Коньков В.Г., Пупков К.А., Воронов Е.М., Корнюшин Ю.П.

Автор: Егупов Н.Д. Коньков В.Г. Пупков К.А. Воронов Е.М. Корнюшин Ю.П.
Теги: автоматика системы автоматического управления и регулирования интеллектуальная техника технология управления оборудование систем управления техническая кибернетика компьютерные технологии статистика автоматизация теория автоматического управления
ISBN: 5-7038-2190-8
Год: 2004
Похожие
Методы современной теории автоматического управления. Том 3
Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления. Методы ТАУ. Том 1
Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления. Методы ТАУ. Том 2
Актуальные проблемы ракетно-космической техники. Сборник материалов конференции. Том 2
Текст
                    СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ИДЕНТИФИКАЦИЯ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
МЕТОДЫ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Цикл учебников и учебных пособий
основан в 1997 году
Под общей редакцией заслуженного деятеля науки РФ,
доктора технических наук, профессора
К.А. Пупкова
МЕТОДЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
И СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ АВТОМАТИ-
ЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Учебник в пяти томах
ТОМ 2
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
И ИДЕНТИФИКАЦИЯ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Под редакцией заслуженного деятеля науки РФ,
доктора технических наук, профессора К.А. Пупкова
и заслуженного деятеля науки РФ,
доктора технических наук, профессора Н.Д. Егупова
Издание второе, переработанное и дополненное
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по машиностроительным
и приборостроительным специальностям
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2004
УДК 681.5:681.3 (075.8)
ББК 14.2.6
М54
Рецензенты'.	____________
1. Академик РАН \Е.П. Попов[
2. Кафедра автоматических систем Московского института радиотехники,
электроники и автоматики (заведующий кафедрой, член-корреспондент
РАН Е.Д. Теряев).
Авторы'.
д-р техн, наук, проф. К.А. Пупков, д-р техн, наук, проф. Н.Д. Егупов,
д-р техн, наук, проф. ЕМ. Воронов, канд. техн, наук, доц. В.Г. Коньков,
д-р техн, наук, проф. Ю.П. Корнюшин, канд. техн, наук, доц. В.И. Красно-
щеченко, канд. техн, наук, доц. AM. Макаренков, канд. техн, наук, доц.
Д.В. Мельников, д-р техн, наук, проф. В.М. Рыбин, канд. техн, наук, доц.
В.И. Сивцов, д-р техн, наук, проф. А.И. Трофимов, д-р техн, наук, проф.
Н.В. Фалбин, д-р техн, наук, проф. О.В. Шевяков
М54 Методы классической и современной теории автоматического управления:
Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т.2: Статистическая динамика и
идентификация систем автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова,
Н.Д. Егупова. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. — 640 с., ил.
ISBN 5-7038-2190-8 (Т.2)
ISBN 5-7038-2194-0
Во втором томе учебника изложены положения классической теории автоматического
управления, относящиеся к разделам статистической динамики линейных и нелинейных систем;
описаны методы фильтрации сигналов (фильтры Колмогорова-Винера, фильтры Калмана-
Бьюси). Значительное внимание уделено построению алгоритмов для ЭВМ, рассчитанных на
применение при решении задач расчета и проектирования сложных САУ.
Отдельная глава посвящена изложению методов идентификации линейных и нелинейных объ-
ектов управления. Большинство глав сопровождается задачами, решение которых помогает глуб-
же усвоить излагаемый материал.
Приведен вспомогательный материал в виде приложений и заданий для самостоятельной ра-
боты, которые позволяют студентам самостоятельно осваивать положения основных направлений
теории автоматического управления.
Материал является частью общего курса теории автоматического управления, читаемого сту-
дентам МГТУ им. Н.Э. Баумана, ТулГУ, ОУАТЭ и других вузов.
Учебник предназначен для студентов вузов. Может быть полезен аспирантам и инженерам,
а также научным работникам, занимающимся автоматическими системами.
УДК 681.5: 681.3 (075.8)
ББК 14.2.6
ISBN 5-7038-2190-8 (Т.2)
ISBN 5-7038-2194-0
© Пупков К.А., Егупов Н.Д. и др., 2004
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004
© Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004

175-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана
посвящается
ОБЩЕЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К УЧЕБНИКУ
I. Особенности учебника
Учебник издается в пяти томах и включает также задания для самостоятельной
работы. Для него характерно следующее:
1.	Учебник охватывает основные фундаментальные положения, составляю-
щие содержание методов теории автоматического управления. Главное досто-
инство университетского образования в России — упор на фундаментальные зна-
ния. Фундаментальность, интеграция образования и науки являются важнейшими
факторами подготовки кадров с уровнем, обеспечивающим адаптацию к творчест-
ву по приоритетным направлениям развития науки, включая теорию автоматиче-
ского управления, с целью разработки'.
•	теоретических основ конструирования современных сложных систем автома-
тического управления технологическими процессами и подвижными объектами;
•	алгоритмического обеспечения на основе последних достижений вычисли-
тельной математики;
•	информационных технологий, позволяющих наиболее эффективно проводить
автоматизацию процессов, реализуя предварительные научно-технические
исследования и расчеты на ЭВМ.
Такой подход обеспечивает освоение и широкое применение информационных
технологий, проявление инициативы и самостоятельности при решении сложных
технических проблем. Сказанное выше также способствует профессиональной уве-
ренности выпускника в результатах его деятельности.
В связи с этим в учебнике рассмотрены фундаментальные положения, являющие-
ся базой основных направлений теории автоматического управления (ТАУ). Изло-
жение материала начинается с основных понятий и определений (сущность пробле-
мы автоматического управления, определение системы автоматического управления
(САУ), фундаментальные принципы управления, основные виды и законы автомати-
ческого управления и др.) и заканчивается рассмотрением содержания некоторых
современных направлений теории автоматического управления.
Поскольку курс теории автоматического управления включен в учебные планы
различных инженерных специальностей и является одним из важнейших элементов
общетехнического образования, учебник может быть рекомендован студентам,
заново приобретающим знания в области теории автоматического управления, и
специалистам, которым приходится эти знания восстанавливать. Учебником могут
пользоваться также студенты тех специальностей, для которых курс является про-
филирующим, определяющим квалификацию инженера.
При изучении курса студент или специалист должен сделать выборку материала,
определяемого конкретной задачей и возможностями общего плана обучения.
2.	Инженерная направленность учебника. Поскольку учебник предназначен для
студентов вузов, обучающихся по машиностроительным и приборостроительным спе-
циальностям, чрезвычайно важным является этап подготовки, связанный прежде всего
с освоением инженерных расчетов. Органическое сочетание фундаментальных знаний
(о чем говорилось выше) и инженерных методов расчета и проектирования сложных
6 Статистическая динамика и идентификация САУ
автоматических систем обеспечивает подготовку специалистов, способных решать
сложнейшие проблемы в области аэрокосмической, ракетной и атомной техники, робо-
тотехники, автомобилестроения, медицины, автоматизации производственных процес-
сов и других современных систем и комплексов, а также наукоемких технологий.
Как указано в [130], классическую теорию автоматического управления в основном
создавали инженеры для инженеров и лишь частично — математики для инженеров.
Эти результаты отражены в первых трех томах и многие методы, например относящие-
ся к проблеме синтеза регуляторов, можно рассматривать как инженерные приемы,
показавшие высокую эффективность при решении сложных проблем проектирования
САУ (этот факт отражен в главе 6 третьего тома). Современная ТАУ разрабатывается в
основном математиками и инженерами, имеющими высокую математическую культу-
ру, поэтому освоение соответствующих разделов учебника требует определенной ма-
тематической подготовки. В условиях непрерывного повышения уровня математиче-
ской подготовки выпускников многих вузов данная проблема преодолевается доста-
точно просто (эти разделы изложены в 4 и 5 томах).
В основном же изложение ведется с инженерной точки зрения: подчеркиваются
главные идеи, лежащие в основе методов, но не всегда приводятся строгие математи-
ческие доказательства. Учитывая, что без освоения технического аспекта и глубокого
знания физических процессов, протекающих в элементах САУ (особенно при решении
задач синтеза регуляторов сложных систем, и это является одним из факторов, опреде-
ливших популярность частотного метода), изучение методов теории автоматического
управления не приводит к нужному результату, физическая и содержательная сторо-
на дела подчеркивается в течение всего курса. Более того, значительное внимание
уделено рассмотрению конкретных промышленных систем управления. Например, в
главе 6 третьего тома рассмотрены системы управления теплоэнергетическими пара-
метрами атомных электростанций, системы управления баллистическими ракетами,
высокоточным оружием, системы, используемые в противосамолетной и противора-
кетной обороне (ПСО и ПРО).
3.	Методы теории автоматического управления, рассмотренные в учебнике, в
большинстве своем ориентированы на применение ЭВМ. Интенсивное развитие
процессов автоматизации проектирования систем автоматического управления, обу-
словленное развертыванием высокопроизводительных вычислительных комплексов в
проектно-конструкторских организациях, перемещение центра тяжести процесса
проектирования от аппаратного обеспечения к алгоритмическому и программному
обеспечению приводят к необходимости разработки нового методологического обес-
печения, включая соответствующие вычислительные технологии [130].
Для содержания книги характерна, в известной мере, «вычислительная окраска» из-
ложенного материала, поскольку возможности современных ЭВМ позволяют значи-
тельно ускорить сроки проектирования САУ и, таким образом, налагают свой отпеча-
ток на вычислительную часть ТАУ. Успех в решении поставленных задач расчета и
проектирования с использованием ЭВМ зависит от многих факторов, основными из
которых являются: степень адекватности математической модели системы; степень
эффективности численных методов ТАУ, используемых в алгоритмическом обеспече-
нии; наличие высококачественного программного обеспечения; от того, насколько ус-
пешно используется творческий потенциал исследователя-проектировщика. При этом
решающий фактор остается за человеком, который может решать многие неформали-
зованные задачи.
Поскольку системы автоматизированного проектирования (САПР) являются в
настоящее время одним из наиболее эффективных средств повышения производи-
тельности инженерного труда и научной деятельности, сокращения сроков и улуч-
шения качества разработок, то в соответствующих главах и приложениях отражено
Предисловие
7
содержание используемых численных методов и вычислительных схем с необхо-
димым обоснованием.
Рассмотренное в пятитомнике методологическое обеспечение, ориентированное
на применение ЭВМ, может служить базой для решения весьма сложных задач ин-
женерного проектирования САУ.
4.	В учебнике с единых позиций изложены как основные методы классической
7/1 У. так и положения, определяющие содержание некоторых современных на-
правлений теории управления. В настоящее время имеют место различные трактов-
ки, связанные с выделением в ТАУ «классической» и «современной» теории. Неко-
торые из них отражены, например, в [11, 34, 88, 104, 130, 126, 142, 143].
В учебнике под современными методами понимаются методы, интенсивно разви-
ваемые в последние два десятилетия и в настоящее время внедряемые в практику
инженерных расчетов и создания новых систем, включающие аппарат синтеза гру-
бых систем автоматического управления в пространстве состояний, Нх -теорию
оптимального управления, задачи оптимизации многообъектных многокритериаль-
ных систем с использованием стабильно-эффективных компромиссов, синтез сис-
тем автоматического управления методами дифференциальной геометрии (гео-
метрический подход), использование нейрокомпьютерных управляющих вычисли-
тельных систем, основные положения теории катастроф, фракталов, хаоса, а
также задачи исследования и проектирования адаптивных и интеллектуальных
систем (они отражены в третьем, четвертом и пятом томах учебника).
Таким образом, учебник охватывает наиболее важные разделы теории автома-
тического управления; вместе с тем он не претендует на всесторонний охват про-
блематики теории автоматического управления. Не затронуты такие важные на-
правления, как инвариантность, теория чувствительности, методы и алгоритмы
оценивания динамических процессов, идентифицируемость и методы и алгоритмы
идентификации (отражены лишь содержание проблемы и подходы к ее решению),
системы со случайной структурой, стохастические системы, теория нелинейной
фильтрации и др.
5.	Основное содержание и структуру учебника определил коллектив авторов,
включающий представителей разных российский школ науки об управлении'.
К.А. Пупков (МГТУ им. Н.Э. Баумана), Н.Д. Егупов (МГТУ им. Н.Э. Баумана), А.И. Бар-
кин (Институт системного анализа РАН), И.Г. Владимиров (Университет Квинслэнда,
г. Брисбэйн, Австралия), Е.М. Воронов (МГТУ им. Н.Э. Баумана), А.В. Зайцев (Во-
енная академия РВСН им. Петра Великого), С.В. Канушкин (Серпуховский военный
институт РВСН), В.Г. Коньков (МГТУ им. Н.Э. Баумана), Ю.П. Корнюшин (МГТУ
им. Н.Э. Баумана), В.И. Краснощеченко (МГТУ им. Н.Э. Баумана), А.П. Курдюков
(Институт проблем управления РАН), А.М. Макаренков (МГТУ им. Н.Э. Баумана),
Л.Т. Милов (Московский государственный автомобильно-дорожный институт (МАДИ)),
В.Н. Пилишкин (МГТУ им. Н.Э. Баумана), В.И. Рыбин (Московский государственный
инженерно-физический институт (МИФИ)), В.И. Сивцов (МГТУ им. Н.Э. Баумана),
Я.В. Слекеничс (Обнинский университет атомной энергетики (ОУАТЭ)), В.Н. Тимин
(совместное конструкторское бюро «Русская Авионика»), А.И. Трофимов (Обнинский
университет атомной энергетики (ОУАТЭ)), Г.Ф. Утробин (Военная академия РВСН
им. Петра Великого), Н.В. Фалдин (Тульский государственный университет), О.В. Ше-
вяков (Министерство образования Российской Федерации).
II. Методические вопросы
Необходимо указать, что никакой учебник не может дать окончательных рецептов
для решения широчайшего спектра задач, порожденных практикой проектирования
сложных систем автоматического управления.
Изложенный в книгах материал призван служить базой, фундаментом, позволяющим
с большей скоростью и эффективностью находить пути для решения задач практики.
8
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 1. Структура цикла учебников и учебных пособий
«Методы теории автоматического управления»
Предисловие
9
В томах 1—5 изучаются
1. САУ; 2. Линейные САУ; 3. Нелинейные САУ; 4. Непрерывные САУ;
5. Дискретные САУ; 6. Непрерывно-дискретные САУ; 7. Стационарные САУ; 8. Нестационарные САУ;
9. САУ с сосредоточенными параметрами; 10. САУ с распределенными параметрами
								
	1-й том		2-й том					
	Детерминированный анализ систем: 1.	Устойчивость. 2.	Качество в пере- ходном режиме. 3.	Качество в устано- вившемся режиме и др.		Статистический анализ линейных и нелинейных систем		Линейная фильтрация (фильтры Винера- Колмогорова, фильтры Калмана- Бьюси); нелинейная фильтрация		Идентификация объектов управ- ления в классе линейных и не- линейных систем; задания для само- стоятельной работы	
								
3-й том
Синтез систем по заданным показателям качества.
Методы синтеза регуляторов:
1.	Группа методов, основанная на принципе
динамической компенсации.
2.	Группа методов, основанная на аппарате
математического программирования.
3.	Частотный метод.
4.	Модальное управление.
5.	Методы /I, -теории управления.
6.	Метод моментов и др.
7.	Задания для самостоятельной работы
4-й том
Синтез оптимальных систем.
Методы оптимизации:
1.	Вариационное исчисление.
2.	Принцип максимума, включая управление
при ограничениях на фазовые координаты.
3.	Динамическое программирование.
4.	Аналитическое конструирование регуляторов.
5.	Нелинейное программирование.
6.	Метод моментов.
7.	Синтез оптимальных обратных связей.
8.	Оптимизация многообъектных
многокритериальных систем и др.
9.	Задания для самостоятельной работы
5-й том
1.	Методы синтеза грубых систем.
2.	Адаптивные системы.
3.	Синтез систем методами дифференциальной геометрии.
4.	Основные положения теории катастроф, фракталов и теории хаоса.
5.	Нейросетевые методы для решения задач проектирования вычислительных систем.
6.	Интеллектуальные системы и др.
7.	Задания для самостоятельной работы
Рис. 2. Структурная схема, иллюстрирующая содержание пятитомника
«Методы классической и современной теории автоматического управления» (базовый уровень)
10
Статистическая динамика и идентификация САУ
Вместе с тем материал излагается таким образом, чтобы читателю были видны
пути практического применения рассматриваемых методов. В большинстве своем
методы доведены до расчетных алгоритмов, приводятся таблицы и другой вспомо-
гательный материал, облегчающий их применение. Положения, изложенные во всех
разделах, иллюстрируются подробно рассмотренными примерами расчета и проекти-
рования конкретных систем, которые нашли широкое применение'.
•	при решении задач управления баллистическими ракетами, зенитными управ-
ляемыми ракетами (ЗУР), в системах противосамолетной и противоракет-
ной обороны;
•	в атомной энергетике;
•	в турбиностроении;
• при создании систем вибрационных испытаний и др.
Весьма важным является вопрос методики изучения курса «Теории автоматического
управления» с целью стать специалистом в этой области, пользуясь циклом учебных
пособий и учебников, издаваемых указанным выше коллективом авторов.
Весь цикл учебников и учебных пособий можно условно разбить на две серии:
1-я серия — базовая; эта серия включает пять томов настоящего учебника.
2-я серия — базовая повышенного уровня, в которой основное внимание уделено
глубокому и достаточно полному изложению методов, определяющих содержание не-
которых современных направлений теории автоматического управления.
Сказанное выше иллюстрируется рис. 1.
Базовый уровень приобретается изучением предлагаемого учебника, в котором сис-
тематически изложены методы классической и современной теории управления и дано
достаточно полное представление о проблематике и путях развития науки об управле-
нии техническими объектами.
Содержание каждого из томов учебника серии базового уровня иллюстрируется
рис. 2.
После освоения базового уровня можно приступить к специализации в той или дру-
гой области теории автоматического управления, изучая соответствующие тома 2-й се-
рии, а также статьи и монографии по специальным проблемам теории управления и др.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам — академику РАН
|Е,П, Попову!и коллективу кафедры «Автоматические системы» Московского государ-
ственного института радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА), руководимой
членом-корреспондентом РАН Е.Д. Теряевым, за ценные замечания, способствовавшие
улучшению содержания книги. Авторы благодарят заслуженного деятеля науки и тех-
ники РФ, д-ра техн, наук, проф. А.С. Шаталова, заслуженного деятеля науки и техники
РФ, д-ра техн, наук, проф. Б.И. Шахтарина (МГТУ им. Н.Э. Баумана), которые своими
советами позволили значительно улучшить структуру учебника, углубить изложение
отдельных теоретических положений, улучшить окончательный вариант рукописи.
Авторы благодарят концерн «Росэнергоатом», департамент образования и науки
Правительства Калужской области, а также Издательский Дом «Манускрипт» за по-
мощь в издании учебника.
Большой объем книги и широта охваченного материала вызвали большие трудности
при ее написании. Конечно, эти трудности не всегда удавалось преодолеть наилучшим
образом. Читатели, вероятно, смогут высказать много замечаний и дать свои предложе-
ния по улучшению книги.
Авторы заранее признательны всем читателям, которые не сочтут за труд указать
на замеченные неточности, ошибки, на пути совершенствования структуры учебника
и его содержания.
КА. Пупков
Н.Д. Егупов
Предисловие к 2-му тому
11
ПРЕДИСЛОВИЕ К 2-МУ ТОМУ
При проектировании современных систем автоматического управления повыша-
ются требования к качеству их работы. В реальных условиях на системы управления
наряду с полезными управляющими сигналами действуют случайные возмущения.
Сами полезные сигналы во многих случаях также имеют вероятностный характер.
Поэтому для изучения динамики и оценки качества автоматических систем широко
применяются статистические методы анализа и синтеза. Исследование качества ра-
боты систем автоматического управления при случайных воздействиях составляет
предмет статистической теории, являющейся теоретической базой для анализа
эффективности существующих и оценки потенциальных качеств перспективных и
проектируемых автоматических систем. Эта теория прошла путь интенсивного раз-
вития в течение последних 60 лет. В настоящее время статистическая теория сис-
тем управления является сформировавшейся инженерной дисциплиной.
Целью второго тома учебника является изложение в основном корреляционных
методов инженерного анализа и синтеза автоматических систем, имеющих широкое
применение при решении практических задач.
Особенностью данного тома является:
1.	Изложение, с одной стороны, фундаментальных положений статистической
теории автоматических систем, с другой — глубокое рассмотрение инженерных ме-
тодов вероятностного расчета и проектирования сложных систем, описываемых ска-
лярными или векторно-матричными дифференциальными уравнениями высокого
порядка, содержащими нелинейные, нестационарные или случайные элементы и па-
раметры. Исследуемые или проектируемые системы могут задаваться как оператор-
ными уравнениями, так и структурными схемами.
2.	Наличие большого числа инженерных примеров, в которых отражены алгорит-
мы и результаты расчета вероятностных характеристик систем, работающих в усло-
виях случайных воздействий. Эти примеры относятся к различным отраслям техники
(электрогидравлические следящие приводы, системы автоматического управления
газоперекачивающих агрегатов, автоматические системы вибрационных испытаний
на случайные нестационарные нагрузки, системы самонаведения и командного теле-
управления ракет и др.), а изложение алгоритмов, результатов расчета и их анализ
приводятся непосредственно за теоретическим материалом. Такой методический
подход позволил экономно и стройно изложить теоретические вопросы и дать под-
робные инженерные приложения, во многих случаях достаточно сложные и требую-
щие глубокого изучения вопроса. Многочисленные примеры (включая и те, которые
отражены в заданиях для самостоятельной работы) помогут студентам, аспирантам и
инженерам различных специальностей шире применять излагаемые в учебнике мето-
ды анализа и синтеза.
3.	Наличие приложений (Приложения 1-6), цель которых — освоение соответст-
вующих теоретических положений (например, элементов функционального анализа и
теории приближения функций — Приложения 2, 3 и др.), разработка алгоритмов и
программного обеспечения детерминированного и статистического анализа систем
управления (Приложения 4-6 и др.) без обращения к другим источникам. Указанные
приложения относятся к материалу, изложенному в 1-м и 2-м томах учебника.
Если первые три главы посвящены изложению вероятностных методов инженер-
ного анализа и статистической оптимизации систем управления, то в последней главе
12 Статистическая динамика и идентификация САУ
отражены некоторые результаты направления, главным предметом исследования
которого является идентификация реальных объектов и их математических моде-
лей по результатам наблюдений над входными и выходными координатами. Разра-
ботка и применение научных методов идентификации возникли в связи с запросами
практики и современных методов проектирования автоматических систем. При из-
ложении этих методов авторы стремились по возможности ограничиться теми вопро-
сами идентификации, которые пересекаются со статистическими методами. Кроме
статистического подхода весьма эффективным является аппарат систем с переменной
структурой (СПС). Он позволяет решить задачу идентификации управляемого объек-
та, построить системы, осуществляющие поиск экстремума, и реализовать оптималь-
ную фильтрацию при изменении непредвиденным образом вероятностных характе-
ристик входных сигналов.
Соавторами отдельных разделов 2-го тома являются канд. техн, наук, доц. ДА. Аки-
менко (п. 1.8.2), инженеры К.И. Желнов и ЕЛ. Реш (пп. 4.1, 4.4, Задания для самостоя-
тельной работы), инженер А.А. Карышев (пп. 1.1, 2.6-2.9), инженер А.В. Кондратьев
(глава 4, Задания для самостоятельной работы), инженер А.Л. Репкин (Задания для са-
мостоятельной работы), канд. техн, наук, доц. А.В. Яковлев (п. 4.3), д-р техн, наук,
проф. Б.И. Шахтарин (Задания для самостоятельной работы). Параграф 3.3 написан
канд. техн, наук, доц. В.И. Краснощеченко.
Авторы выражают признательность сотрудникам редакционно-издательского от-
дела Калужского филиала МГТУ им. Н.Э. Баумана К.И. Желнову, С.Н. Капранову,
А.Л. Репкину, К.Ю. Савинченко, М.Р. Фишеру за подготовку рукописи к изданию и
создание оригинал-макета учебника.
Список используемых аббревиатур и обозначений
13
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АББРЕВИАТУР
АСУ	— автоматизированная система управления
АФЧХ	— амплитудно-фазовая частотная характеристика
АЧХ	— амплитудно-частотная характеристика
АЭС	— атомная электростанция
БИФ	— блочно-импульсная функция
БПУА	— быстрое преобразование Уолша-Адамара
БПФ	— быстрое преобразование Фурье
БПФ-У	— быстрое преобразование Фурье-Уолша
БШ	— белый шум
ВЧХ	— вещественная частотная характеристика
гд	— гидродвигатель
ГС	— генератор сигналов
ГФВН	— генератор функций вибрационных нагружений
ГОС	— гибкая обратная связь
дз	— дифференцирующее звено
ДЗР	— дифференциальный закон распределения
ДП	— датчик перемещений
дчх	— действительная частотная характеристика
ду	— дифференциальные уравнения
ЗУУ	— золотниковое управляющее устройство
из	— интегрирующее звено
ист	— инверсно-сопряженная система
ИЗР	— интегральный закон распределения
ИПФ	— импульсная переходная функция
ИУ	— исполнительное устройство
ИУр	— интегральное уравнение
ККФ	— кусочно-кубическая функция
КЛА	— космический летательный аппарат
КЛФ	— кусочно-линейная функция
КПФ	— кусочно-параболическая функция
КС	— критический стенд
кчх	— комплексная частотная характеристика
КУ	— корректирующее устройство
КФ	— корреляционная функция
ЛАЧХ	— логарифмическая АЧХ
лис	— линейная нестационарная система
ли	— линейное программирование
лс	— линейная система
лее	— линейная стационарная система
ЛФЧХ	— логарифмическая ФЧХ
лч	— линейная часть
МБПФ	— матричная бичастотная передаточная функция
МИПФ	— матричная импульсная переходная функция
мм	— математическая модель
МИК	— метод наименьших квадратов
14	Статистическая динамика и идентификация САУ
МНПФ МО МП МППФ МПФ мпчх мчх мои нэ нп НПФ нч О ОБИФ ок ОНБ оно ОС ОУ ПС ППФ ПФ пх пчх р РЛС САУ САР св сви свн ско СНАУ СП СПл СПФ	—	матричная нормальная передаточная функция —	математическое ожидание —	математическое программирование либо матрица перехода —	матричная параметрическая передаточная функция —	матричная передаточная функция —	матричная параметрическая частотная характеристика —	мнимая частотная характеристика —	метод статистических испытаний —	нелинейный элемент —	нелинейное программирование —	нормальная передаточная функция —	неизменяемая часть —	пространство оригиналов —	обобщенная блочно-импульсная функция —	основной канал в многомерных системах —	ортонормированный базис —	ортонормированная система —	обратная связь —	объект управления —	перекрестная связь в многомерных объектах —	параметрическая передаточная функция —	передаточная функция —	переходная характеристика —	параметрическая частотная характеристика —	регулятор —	радиолокационная станция —	система автоматического управления —	система автоматического регулирования —	случайная величина —	система вибрационных испытаний —	система вибрационных нагружений —	среднеквадратическое отклонение —	система нелинейных алгебраических уравнений —	случайный процесс —	спектральная плотность —	стандартная передаточная функция либо сопряженная передаточ- ная функция
СРП ссп СУЗ СФ сх ТАР ТАУ тпв тп УСО ФВН ФС	—	система с распределенными параметрами —	система с сосредоточенными параметрами —	система управления и защиты —	случайная функция —	спектральная характеристика относительно ОНБ —	теория автоматического регулирования —	теория автоматического управления —	тракт преобразования вибраций —	технологический процесс —	усилитель сигнала ошибки —	функции вибрационных нагружений —	фундаментальная система
Список используемых аббревиатур и обозначений 15
фф ФЧХ ЦАП ЭГСВ ЭГУ эмп ЯР ЯЭУ	—	формирующий фильтр —	фазочастотная характеристика —	цифро-аналоговый преобразователь —	электрогидравлический следящий вибратор —	электрогидравлический усилитель —	электромагнитный преобразователь —	ядерный реактор —	ядерная энергетическая установка
16
Статистическая динамика и идентификация САУ
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
А	— оператор системы
ytf) Y(0 х(/) W(s) wo)	—	входной скалярный сигнал —	входной векторный сигнал —	выходной скалярный сигнал —	выходной векторный сигнал —	передаточная функция скалярной системы —	передаточная функция системы в пространстве состояний
W(s, t) F(s)	— параметрическая передаточная функция — преобразование Лапласа функции/(/) — импульсная переходная функция скалярной стационар- ной системы
K(t) k(t, t)	— матричная импульсная переходная функция — импульсная переходная функция скалярной нестацио- нарной системы
K(/, t)	— матрица ИПФ нестационарной системы в простран- стве состояний
Ao	— коэффициент статистической линеаризации по мате- матическому ожиданию
	— коэффициент статистической линеаризации по центрированной составляющей
A(a>) />(«)	— амплитудная частотная характеристика — действительная частотная характеристика
c(®) Z(co)	— мнимая частотная характеристика — логарифмическая амплитудная частотная характери- стика
<p(co) Л(усо) £(/) *c(0	— фазовая частотная характеристика — амплитудно-фазовая частотная характеристика —	сигнал ошибки системы —	свободная составляющая выходного сигнала (свободные колебания)
*b(0	— вынужденная составляющая выходного сигнала (вынужденные колебания)
XyO) *n(0 7z(/) «(0 m(f)	— установившаяся составляющая выходного сигнала — переходная составляющая выходного сигнала — переходная характеристика — помеха — полезный входной сигнал (управляющее случайное воздействие)
I	— единичная матрица
К m	— мнимая единица — коэффициент усиления системы или элемента — порядок числителя передаточной функции
Список используемых аббревиатур и обозначений__________________________17
п	— порядок знаменателя передаточной функции
1уЛр	— время переходного процесса
5(0	— дельта-функция
Т	— постоянная времени
W0(s) или WH4(s)	— передаточная функция объекта или неизменяемой
	части системы
WP(s)	— передаточная функция разомкнутой системы
WKy(s)	— передаточная функция корректирующего устройства
	(регулятора)
ед	— преобразование Лапласа для сигнала ошибки
	— коэффициент демпфирования
К	— корни характеристического уравнения
®ср	— частота среза
	— коэффициенты ошибок
р(х,у)	— метрика
L2[0,T], С[0,Г]	— функциональные пространства
и	— норма элемента х
F= {fk(t): к = 1,2, ...}	— линейно независимая система
Ф=ШР=1,2, ...}	— ортонормированный базис или ортонормированная
	система
и	— матрица ортогонализации
С	— коэффициенты Фурье функции/(/)
	— полиномы Якоби
р„ (--)	— полиномы Лежандра
	— полиномы Чебышева 1 -го рода
Un(Z)	— полиномы Чебышева 2-го рода
cf	— одностолбцовая матрица коэффициентов Фурье
	функции ft)
Wal(k,t)	— к-я функция Уолша
x(/)	— вектор-функция состояния
xT(/)	— транспонированная вектор-функция
xB(0	— вектор-функция выхода
A(z), B(0	— матрицы коэффициентов векторно-матричного
	дифференциального уравнения
хф(0	— фундаментальная матрица
M	— оператор математического ожидания
Rxx Oi>G)	— корреляционная функция случайного процесса X(t)
^XY 01>G)	— взаимная корреляционная функция случайных
	процессов X(t) и Y(t)
^xvO)	— дисперсия СП X(t)
m^O)	— математическое ожидание СП X(f)
£ XX 0)	— спектральная плотность случайного сигнала X(t)
Aco	— эффективная полоса пропускания системы
°jrO)	— среднеквадратическое отклонение случайного
	сигнала X(t)
18 Статистическая динамика и идентификация САУ
о(/)	— случайный сигнал ошибки системы
С(О	— матрица уравнения наблюдения
р.	— вектор оптимизируемых параметров
р	— вектор оптимальных параметров
	— число обусловленности оператора А
	— интегральный закон распределения случайной величины X
	— дифференциальный закон распределения случайной величины X
м[х]	— математическое ожидание случайной величины X
Dxx	— дисперсия случайной величины X
	— среднеквадратическое отклонение случайной величины X
гхх (й > А)	— нормированная корреляционная функция случайного процесса X(t)
dUO	— дисперсионная матрица векторного сигнала ошибки фильтрации
Ан	— спектральная характеристика линейного нестацио- нарного элемента или системы, описываемой век- торно-матричным дифференциальным уравнением
А^о	— спектральная характеристика нелинейного элемента по математическому ожиданию
A^i	— спектральная характеристика нелинейного элемента по центрированной составляющей
Ф(р,/), W(s,t)	— параметрическая передаточная функция
^(ца)	— бичастотная передаточная функция
А(ц,т)	— нормальная передаточная функция
Я(/М)	— сопряженная передаточная функция ЛНС
	— нормальная ИПФ линейной нестационарной системы
(/Л )	— ИПФ сопряженной линейной нестационарной системы
	— нормальная ИПФ сопряженной линейной нестаци- онарной системы
А	— матричный оператор (спектральная характеристика) линейного элемента или системы, либо матрица коэффициентов векторно-матричного ДУ (стационарный случай), либо матрица условий, либо матрица состояния стационарной системы
Ацу	— СХ корректирующего устройства
Ад	— матрица оператора дифференцирования (спектральная характеристика дифференцирующего звена)
РТ=АИ	— матрица оператора интегрирования (спектральная характеристика интегрирующего звена)
Ау(Ц = С=и„(Ц	— операционная матрица умножения на функцию f (/) (спектральная характеристика множительного элемента)
W(M„)	— матрица перехода
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
19
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ: СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Статистическая динамика систем автоматического управления является ча-
стью общей теории управления, опирающейся, с одной стороны, на детерминиро-
ванное описание в классе дифференциальных и дифференциально-разностных урав-
нений собственно системы, с другой — на стохастическое описание управляющих и
возмущающих воздействий, приложенных к ней.
Одной из основных характеристик системы автоматического управления является
динамическая точность передачи или преобразования сигналов, которая определяет-
ся либо разностью, либо функционалом от разности между требуемым и действи-
тельным значениями сигнала во времени.
Всякая система автоматического управления должна передавать или преобра-
зовывать требуемым образом не один определенный сигнал управления, а целую со-
вокупность таких сигналов, причем характер изменения каждого из этих сигналов
заранее полностью предугадать невозможно. Это приводит к необходимости изу-
чать статистические характеристики всей совокупности сигналов, представляю-
щие собой случайные функции времени. При исследовании динамической точности
необходимо учитывать характеристики собственно системы, например, разброс па-
раметров от образца к образцу в пределах допуска или их изменение случайным об-
разом в тех или иных пределах в процессе эксплуатации, включая, конечно, и слу-
чайное изменение структуры системы. В связи с этим получили развитие методы ис-
следования динамической точности систем управления при случайных воздействиях.
Вначале методы исследования развивались применительно к проблемам физики.
Здесь достаточно указать работы А.А. Андронова, А.А. Витта и Л.С. Понтрягина о
статистическом рассмотрении динамических систем и работу, основанную на ис-
пользовании для определения функции плотности вероятности случайного процесса
уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Однако указанные подходы к статистиче-
скому анализу в теории управления не получили развития в связи с проблемой нахо-
ждения аналитического решения и необходимостью использования мощной вычис-
лительной техники. Тем не менее использование уравнения Фоккера-Планка-
Колмогорова является весьма перспективным для исследования точности динамиче-
ских систем при случайных воздействиях.
Начиная с основополагающих работ А.Я. Хинчина в области теории случайных
процессов и работ А.Н. Колмогорова и Н. Винера, посвященных решению проблемы
фильтрации в классе линейных систем, статистическая динамика систем автоматиче-
ского управления получила дальнейшее развитие в многочисленных исследованиях
отечественных и зарубежных ученых [3, 7, 8, 10, 11, 14, 16, 21, 23, 31, 35, 36, 43-51, 57,
58, 68, 71, 73, 75-79, 89, 95, 97-106, 112, 116, 117, 121, 124, 131, 140, 144, 146-151 и др.].
Важная роль в разработке и практическом применении статистических методов ис-
следования и проектирования САУ принадлежит В.С. Пугачеву и В.В. Солодовникову,
в работах которых получила развитие теория систем, работающих в условиях помех,
и рассмотрены пути к ее практическим приложениям.
1.1. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ, РАБОТАЮЩИХ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Пневмосистема с емкостью постоянного давления. На рис. 1.1 представлена
принципиальная схема системы. Кратко опишем ее работу.
20
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 1.1. Принципиальная схема системы автоматического регулирования давления
непрямого действия с жесткой обратной связью:
1 — ресивер; 2 — чувствительный элемент давления; 3 — патрубок подвода масла к струйной трубке
сервомотора; 4 — пружина чувствительного элемента; 5 — струйная трубка; 6 — пружина жесткой
обратной связи; 7 — подвижная опора пружины; 8 — рычаг жесткой обратной связи;
9 — шток сервомотора; 10 — сервомотор; И — дроссельная заслонка; 12 — подводящий патрубок;
13 — патрубок расхода (подачи воздуха потребителю)
Давление в ресивере изменяется в зависимости от положения дроссельной за-
слонки, интенсивности потребления воздуха и параметров системы (размер емкости,
протяженность линии раздачи воздуха и др.). Изменяющееся во времени потребление
воздуха из ресивера вызывает отклонение давления от заданного, определяемого за-
датчиком — пружиной чувствительного элемента 4. Чем больше жесткость этой
пружины, тем выше регулируемое давление.
В качестве чувствительного элемента используется мембрана датчика давления 2,
на которую сверху действует сила, пропорциональная давлению воздуха в емкости, а
снизу — восстанавливающая сила пружины. Нарушение равновесия сил, вызываемое
изменением давления, приводит к прогибу мембраны: вверх — при уменьшении и
вниз — при росте давления.
Пружина 4 нижним упором связана со струйной трубкой 5, положение которой оп-
ределяется натяжением пружины 4. К струйной трубке через линию 3 под давлением
подводится масло. Струя масла в положении равновесия создает одинаковое давление
в верхней и нижней полостях сервомотора 10, и регулирующий орган — дроссельная
заслонка 12 — остается неподвижной. При смещении струйной трубки от положения
равновесия давления в полостях сервомотора будут различными: в полости, к кото-
рой трубка повернется, — давление возрастет, а в противоположной — уменьшится.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
21
Поршень под воздействием разности давлений будет перемещаться в направлении,
противоположном перемещению струйной трубки, и увеличит проходное сечение под-
водящего патрубка 12. Давление в ресивере будет увеличиваться. Роль жесткой отри-
цательной обратной связи выполняет рычаг 8, вращающийся вокруг центра О и воз-
действующий посредством шарнира на подвижную опору пружины 6. При этом усилие
пружины 6 на струйную трубку уменьшится, и скорость ее перемещения будет меньше.
Положение регулирующего органа 11 будет определяться потреблением воздуха.
При максимальном расходе через патрубок 12 дроссельная заслонка полностью от-
крыта, при минимальном — частично открыта или закрыта полностью. Следователь-
но, положение поршня сервомотора будет определяться потреблением воздуха. В то
же время положение струйной трубки 5 в состоянии равновесия всегда одинаково.
Это возможно только при различных усилиях на мембрану чувствительного элемен-
та, зависящих от давления воздуха в ресивере; это определяет степень неравномерно-
сти регулятора p = p(q}.
А теперь обратимся к факторам, которые определяют необходимость исследова-
ния этой системы с использованием аппарата случайных функций.
В рассматриваемой системе задающим воздействием служит постоянный сигнал,
соответствующий номинальному расходу воздуха, а возмущающим — непрерывные
колебания Q(t), создаваемые подключением или отключением потребителей. Эти
колебания зависят только от потребителей и заранее не могут быть предугаданы.
Система регулирования частоты вращения автономного генератора пере-
менного тока. На рис. 1.2 приведена простейшая схема системы регулирования час-
тоты вращения автономного генератора переменного тока, используемого для элек-
троснабжения отдаленных малоосвоенных районов.
Любое изменение нагрузки на генератор приводит к изменению момента сопро-
тивления ротора генератора 10, а значит, и частоты вращения жестко связанного с
ним вала привода, в данном случае паровой турбины 11. Изменение регулируемой
величины — частоты вращения — на Дсо приведет к изменению положения муфты
чувствительного элемента 2 на величину Аг за счет нарушения равновесия регули-
рующей силы (центробежная сила грузов) и восстанавливающих сил (вес грузов, на-
тяжение пружины). Поворот жестко связанного рычага 3 вокруг оси О вызовет пере-
мещение поршней золотника 4. В состоянии равновесия отверстия в промежуточной
втулке 5 всегда перекрываются поясками поршней золотника. Давление в верхней и
нижней полостях сервомотора 7 одинаково и регулирующий орган неподвижен. В за-
висимости от направления движения золотника будут открываться отверстия для по-
ступления масла от источника постоянного давления в одну из полостей сервомотора 7,
при этом из другой полости будет открываться слив масла. Усилие, возникшее за счет
разности давлений масла в полостях, перемещает поршень 6 и связанный с ним регуля-
тор 8 подачи рабочего тела в турбину. Изменение положения регулирующего органа
будет происходить до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие крутящего момен-
та турбины и момента сопротивления генератора при требуемой частоте вращения.
Обратная связь осуществляется с помощью рычага обратной связи 9, переме-
щающего промежуточную втулку 5 золотника. При этом втулка всегда движется в
сторону, противоположную перемещению золотника, тем самым уменьшая проход-
ные сечения подвода и слива масла. Это улучшает качество переходного процесса.
Функции задатчика частоты вращения выполняет пружина 1, обеспечивающая
одинаковое положение муфты регулятора при разных частотах вращения. Рассмот-
ренный регулятор является статическим, так как различному пропуску пара — на-
грузке, определяющей положение поршня сервомотора, — соответствуют различные
положения промежуточной втулки и поршней золотника, в состоянии равновесия
всегда перекрывающих впускные и выпускные отверстия для масла.
22
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 1.2. Принципиальная схема системы регулирования частоты вращения
автономного генератора переменного тока:
1 — пружина; 2 — чувствительный элемент; 3 — рычаг; 4 — золотник;
5 — втулка; 6 — поршень; 7 — сервомотор; 8 — регулятор;
9 — рычаг обратной связи; 10 — ротор генератора; И — паровая турбина
Интенсивность потребления электроэнергии определяется временем года и су-
ток и, кроме того, в случайные моменты времени потребители могут изменять
нагрузку, включаясь в сеть или отключаясь от сети. Сказанное позволяет сделать
вывод, что процесс потребления энергии во времени носит заранее непредсказуемый,
случайный характер и, таким образом, система регулирования частоты вращения
автономного генератора подвергается воздействию случайных сигналов. Исследо-
вание этого класса систем может проводиться с использованием аппарата случай-
ных функций.
Обработка металлов шлифованием. На рис. 1.3 представлены результаты вы-
борочных измерений профиля шлифовальной поверхности [119].
Очевидно, сигнал X относится к классу случайных. Актуальной является задача
не только анализа систем управления процессом шлифования, но и синтеза САУ,
обеспечивающих такой режим, при котором вероятность выхода размеров из поля
допуска (т.е. брака) была бы минимальной. Эту задачу относят к классу задач, изу-
чающих исследование и синтез систем при воздействии случайных сигналов.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
23
-50 I----------1----------1-----------1----------1---►
250	500	750	1000
Рис. 1.3. Выборочные измерения профиля шлифовальной поверхности
Теплоэлектростанция блочного типа. На рис. 1.4 представлена упрощенная
принципиальная схема теплоэлектростанции блочного типа, состоящая из прямоточ-
ного котла и паровой турбины с промежуточным перегревом пара [119].
Работа схемы в упрощенном виде может быть представлена так. Изменение элек-
трической нагрузки приводит к изменению режима работы турбины, осуществляемо-
го путем открытия или прикрытия регулирующего органа, определяющего расход
пара через турбину (L/4(/)). Давление и температура пара после пароперегревателя
регулируются путем впрыска питательной воды в редукционно-охладительную уста-
новку (L/3(/)) и изменением режима работы питательного насоса (У2(0)- Регулирова-
ние производительности прямоточного котла производится изменением подачи топ-
лива к форсункам (U2 (/)), качество распыления которого зависит от параметров пара
перед форсунками (L/Д/)). Контуры регулирования давления и температуры пара за
пароперегревателем и производительности котла являются взаимосвязанными. Тем-
пература пара после вторичного перегрева (L/4(/)) также определяется режимом ра-
боты всего агрегата и регулируется впрыском питательной воды.
На рис. 1.5 представлены записи основных характеристик прямоточно-котельной
системы мощностью 500 МВт, работающей на сверхкритических параметрах [119].
Из рассмотрения рис. 1.5 легко сделать вывод, что сигналы теплоэлектростанции
блочного типа относятся к классу случайных, и этот факт необходимо учитывать при
расчете и проектировании систем теплоэлектростанции.
Транспортные системы. Рассмотрим проблему воздействия вибраций на орга-
низм человека. В частности, эта проблема имеет место в транспортных системах, на-
пример, при проектировании автомобилей, самолетов, вертолетов, железнодорожных
и водных средств.
Если в качестве транспортного средства рассмотреть автомобиль, а источником
вибраций — двигатель, то соответствующая функциональная схема может быть
представлена в виде, показанном на рис. 1.6.
С целью изучения этой проблемы проводился соответствующий эксперимент [119]
(рис. 1.7). На схемах — сигнал, являющийся вибрацией двигателя.
24
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 1.4. Принципиальная схема теплоэлектростанции блочного типа:
1 — дутьевой воздух; 2 — паровая топливная форсунка; 3 — прямоточный котел;
4 — первичный пароперегрев; 5 — вторичный пароперегрев; 6 — главный паропровод;
7 — паровая турбина; 8 — электрический генератор; 9 — питательный насос; 10 — дымосос;
))(/) —сигнал нагрузки (CH); К2(?) —давление пара в котле (ДПК); Ц(?) —температура пара
в пароперегревателе (ТПП); У4 (?) — температура пара после вторичного перегрева (ТПР);
Цф) —поток пара у форсунки (ППФ); U3 (?) —расход воздуха для горения топлива (ОВК)
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
25
С/з(ОВК) ^(ППФ) У4(ТПР) У3(ТПП) У2(ДПК) К1(СН)
О 100	200 300	400 500	600 700	800 900
О 100	200 300	400 500	600 700	800 900
▲
О 100	200 300	400 500	600 700	800 900
О 100 200 300	400 500	600 700 800 900
О 100	200 300	400 500	600 700	800 900
О 100	200 300	400 500	600 700	800 900
Рис. 1.5. Записи основных характеристик прямоточно-котельной системы
мощностью 500 МВт
Рис. 1.6. Функциональная схема системы
26
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 1.7. Нерегулярные вибрации легкового автомобиля (постоянная скорость 20 км/ч)
На рис. 1.8 представлены графики ускорений вертикальной вибрации двигателя и
кресла в процессе движения легкового автомобиля. Аналогичная ситуация имеет ме-
сто при управлении самолетом, вертолетом и другими транспортными средствами.
Очевидно, У(/) и X(t} —случайные сигналы.
Реакция водителя или пилота на вибрационное воздействие определяется ин-
дивидуальными особенностями организма, частотой и амплитудой вибрационных ко-
лебаний А(/). Как отмечается в [29], наличие процесса может вызывать не толь-
ко тошноту, повышенное сердцебиение, нарушение зрения, но и кровотечение в легких
и в желудочно-кишечном тракте. Внешние колебания в диапазоне частот 15-30 Гц ока-
зывают влияние на сосудистый тонус организма и двигательный анализатор [29].
Поэтому установлены некоторые количественные критерии допустимости раз-
личных режимов установившихся вибраций конструкции для экипажей, например,
летательных аппаратов. Практика показывает, что работоспособность пилотов сни-
жается уже при среднеквадратичном значении случайной виброперегрузки выше 0,2.
Затрудняется наблюдение за приборами. Вибрация со среднеквадратичным уровнем
перегрузки, превышающим 0,5, заставляет пилота изменять режим движения (высоту
и скорость полета) [29].
Рассматривая подобного вида системы, легко заключить, что их исследование
можно проводить только с привлечением аппарата случайных функций, поскольку
У(/) и X(?) (рис. 1.8) не относятся к классу детерминированных функций.
К основным силовым факторам относятся вибрационные воздействия на изделия
при их транспортировке по железной дороге, автомобильными средствами, а так-
же с помощью водного транспорта. Как показали многочисленные исследования,
вибрационные нагружения на изделия представляют собой случайные функции [119].
Поэтому изучение транспортных систем следует проводить в классе систем, под-
верженных не детерминированным, а случайным факторам (рис. 1.9).
Следящие системы радиотелескопов. В [54] описана следящая система радио-
телескопа, предназначенная для изучения процессов, происходящих во внеземном
пространстве. С помощью этих телескопов проводится исследование объектов,
удаленных от Земли на огромные расстояния, например слежение за звездами во
внеземном пространстве.
Поскольку поверхностные размеры элементов конструкции радиотелескопа ог-
ромны, на положение его зеркала в пространстве значительное влияние оказывают
всевозможные атмосферные возмущения, особенно температурные и ветровые.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
27
Рис. 1.8. Графики измерения ускорений вертикальной вибрации двигателя и кресла
в процессе движения легкового автомобиля
Рис. 1.9. Система «дорога-шина-автомобиль»
28
Статистическая динамика и идентификация САУ
Температурные возмущения возникают из-за разности температур между элемен-
тами конструкции радиотелескопа и могут привести к весьма значительным ошибкам
в положении его осей.
Ветровые возмущения действуют еще более интенсивно. При ветре со скоро-
стью 50 км/ч отклонение осей из-за упругости опор может достигать 18-25". По-
этому следящая система предназначена, главным образом, для компенсации ука-
занных возмущений.
Следящая система радиотелескопа относится к классу систем, в которых име-
ют место сигналы, которые носят случайный, непредсказуемый характер.
Система командного телеуправления и самонаведения ракет [60]. Функцио-
нальные схемы систем самонаведения и командного телеуправления представлены
на рис. 1.10 и 1.11. Управляющим (входным) сигналом является закон изменения во
времени угла У(/) между некоторой осью и направлением на цель (рис. 1.12). Ввиду
того что скорость цели, ее высота, ракурс, маневр и т.п. являются случайными, Y(t)
будет случайной функцией времени.
Рис. 1.10. Функциональная схема системы самонаведения
Отраженный от цели сигнал радиолокационной станции (РЛС) модулируется не
только частотой вращения луча, но и флюктуацией коэффициента отражения цели.
Этот эффект проявляется как для наземных целей, так и для воздушных целей.
Эффект флюктуационных помех при облучении РЛС наземных целей создает
фон земли и посторонних предметов. Земную поверхность можно рассматривать
как совокупность хаотически расположенных элементарных отражателей. Флюк-
туации отраженных сигналов возникают в том случае, если имеют место колеба-
ния элементарных отражателей или перемещения ракеты или цели. Сигналы, от-
раженные от кораблей, зависят от состояния моря. Сигналы, отраженные от лес-
ной местности, зависят от интенсивности ветра.
Флюктуации сигналов, отраженных от земных ориентиров, зависят от расстояния
до цели, размеров, формы и типа цели, высоты, скорости и курсового угла носителя,
облучающего цель. При этом для различных условий полета ракеты и носителя ши-
рина спектра флюктуации может меняться в десятки и сотни раз.
Флюктуации сигналов, отраженных от малоразмерных наземных целей (танк, орудие
и др.) могут быть настолько большими, что наведение ракет на подобные цели будет
сопровождаться большими ошибками, а иногда может привести и к потере цели.
Флюктуации коэффициента отражения воздушных целей также оказывают сущест-
венное влияние на точность наведения.
На рис. 1.13 приведена диаграмма мощности отраженного от самолета сигнала в
горизонтальной плоскости. Многолепестковый характер диаграммы направленности
приводит к тому, что сигналы, отраженные от летящего самолета, будут случайными
функциями времени [60].
Рис. 1.12. Входной сигнал системы наведения
f

1. Линейные САУ: статистический анализ
to
40
30
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 1.13. Диаграмма мощности отраженного от самолета сигнала
в горизонтальной плоскости
Так как ракета и воздушная цель совершают в полете колебания, зависящие от
их скорости полета, высоты, а также от интенсивности ветра, то, строго говоря,
характеристики помех, вызванных флюктуациями коэффициента отражения цели,
будут зависеть от времени, т.е. соответствующие случайные сигналы будут при-
надлежать к так называемым случайным нестационарным процессам.
На рис. 1.14 приведена осциллограмма сигнала на выходе приемного устройства
РЛС автоматического слежения за целью. По оси ординат отложена величина глуби-
ны модуляции и эквивалентное отклонение цели в тысячных долях радиана.
1.2. СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ
1.2.1. Одномерные законы распределения, математическое ожидание
И ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ X(?)
Рассмотрим методы описания случайных сигналов [11,71, 97, 112, 121, 125, 133, 149].
Функция, которая при каждом данном значении независимой переменной являет-
ся случайной величиной, называется случайной функцией (СФ). Случайные функции,
для которых независимой переменной является время t, называют стохастическими
процессами (СП).
Случайную функцию, зарегистрированную в той или иной форме по результатам
опыта, называют реализацией случайной функции (рис. 1.15):	—реали-
зации случайной функции Х(Г).
Случайную функцию Х(Г) можно рассматривать как систему случайных величин
(случайной величиной (СВ) будем называть такую величину, значение которой в ре-
зультате одного и того же эксперимента (эксперимента, проводимого в одинако-
вых условиях') может быть различным и заранее неизвестно).
Глубина
модуляции
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
0,67
0,33
0
-0,33
-0,67
0,67
0,33
О
-0,33
-0,67
0,67
0,33
О
-0,33
-0,67
0,67
0,33
О
-0,33
-0,67
0,67
0,33
О
-0,33
-0,67
8,0
12
12 лГ, _Ч'8 „ |3.2_13.’6 А14Л_Ч’4	14;8 л Г^2_^'6	I,6
г	f рчф
20
10
О
-10
-20
20
10
О
-10
-20
20
10
О
-10
-20
20
10
О
-10
-20
20
10
11°0
- -20
16	16,4	16,8	17,2	17,6	18	18,4	18,8	19,2	19,6	20
Рис. 1.14. Осциллограмма сигнала на выходе радиолокатора
Эквивалентное
отклонение
от цели хКУ,
радиан
32
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 1.15. Случайная функция А(/); xt(/),x2(/) —реализации СФ А(ф
Системой п случайных величин называется совокупность случайных величин
Х1, Х2,..., Хп, совместно рассматриваемых как единое целое (рис. 1.16).
Рис. 1.16. Рассмотрение СФ А(/) как системы случайных величин
(х1(/),х2(/),...,хи(/)^ —реализации СФ А(/)
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ 33
Пример: координаты какой-либо точки, случайным образом расположенной в про-
странстве ( п = 3 ).
Ясно, что при рассмотрении лишь одного сечения случайного процесса мы имеем
дело с одной непрерывной случайной величиной X (непрерывной случайной величи-
ной называется такая величина, возможные значения которой непрерывно заполня-
ют некоторый интервал (конечный или бесконечный)).
Изложим методы вероятностного описания одной случайной величины X.
Интегральным законом распределения (ИЗР) случайной величины называется
функция вида
f%(x) = P[X<x],
т.е. вероятность того, что возможные значения случайной величины X будут
меньше некоторого текущего значения х (рис. 1.17).
Рис. 1.17. К пояснению понятия ИЗР
Если рассматривать СВ X как случайную точку X оси Ох (см. рис. 1.17), кото-
рая в результате опыта может занять то или иное положение в заданном промежутке,
то Fx (х) есть вероятность того, что случайная точка X в результате опыта попада-
ет левее точки х, где х — текущее значение.
Функция F^(x) полностью характеризует СВ X с вероятностной точки зрения.
Очевидны следующие свойства интегрального закона распределения:
1)	Fx (х) — является функцией неубывающей;
2)	Fx (-оо) = 0; Fx (+оо) = 1;
3)	Р[а < X < р] = Fx (p)-F^(a) — вероятность попадания случайной величины
X в интервал [а,р];
4)	функция распределения Fx (х) есть неотрицательная функция, заключенная
между нулем и единицей.
ИЗР имеет недостаток, заключающийся в том, что по нему трудно судить о ха-
рактере распределения СВ X в небольшой окрестности той или иной точки число-
вой оси.
Более наглядное представление о характере распределения непрерывной СВ X в
окрестностях различных точек дается функцией, которая называется плотностью
распределения вероятности, или дифференциальным законом распределения (ДЗР).
34 Статистическая динамика и идентификация САУ
Вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал (х, х + Ах)
определяется формулой (рис. 1.18)
Р(х < X < х + Дх) = Fx (х + Ax)-Fy- (х).
Рис. 1.18. К определению дифференциального закона распределения
Составим отношение этой вероятности к длине участка Хх:
Хс
— средняя вероятность, которая приходится на единицу длины этого участка.
Считая функцию Fx (х) дифференцируемой, перейдем в равенстве (1.1) к преде-
лу при Лх н> О
Fx(x + Xc)-Fx(x)	dFx(x)
Av—>o	Xc	’ dx	’
Дифференциальный закон распределения обладает следующими свойствами:
, х dFy (х)
>) муху
2)	Fx(x) = J fx(x)dX
Г	1₽
3)	Fx(P)-Fx(a)= |/x(x)^x = Fx(x)| =Р[а< А<р] — вероятность попада-
a
ния СВ Xна участок [а, р];
4)	J fx (x)dx = Fx W|L = Fx (+go)-fx (-°°) = i;
5)	fx (x) > 0 (плотность распределения не отрицательна, так как Fx (х) есть про-
изводная от неубывающей функции).
Законы распределения (ИЗР и ДЗР) являются полными характеристиками случай-
ной величины X.
В некоторых случаях нет необходимости знать законы распределения, а доста-
точно ограничиться лишь некоторыми параметрами, определяющими закон распре-
деления. К таким параметрам относятся математическое ожидание и дисперсия
непрерывной случайной величины.
Основное их назначение — в сжатой форме выразить наиболее существенные
особенности того или иного распределения. С помощью этих параметров (числовых
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ 35
характеристик) и операций с ними удается в ряде случаев решать широкий круг веро-
ятностных задач до конца без использования ИЗР и ДЗР.
Математическим ожиданием (МО) неслучайной функции СВ X называ-
ют интеграл от произведения У (А) на ДЗР (х) СВ X (предполагается, что
функция у (А) такая, что интеграл существует):
J y(x)fx(x)dx.	(1.2)
Начальным моментом k-го порядка СВ X называется МО неслучайной функции
ч/(Х) = Хк
= j xk fx(x}dx.	(1.3)
Из всех начальных моментов наиболее часто применяются начальные моменты
первого и второго порядка.
Математическим ожиданием СВ X называется число, определяемое (1.2) при
V(X) = X:
= тх = J х fx (хД1х	(1.4)
— некоторое среднее значение, около которого группируются возможные значения СВ X.
В соответствии с формулой (1.4) есть результат вероятностного осредне-
ния функции у (А) = X, т.е. осреднение с весом, равным ДЗР.
Физическое содержание понятия МО СВ X выявляется наиболее наглядно, если
рассматривать дискретную случайную величину X.
Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая при про-
ведении опыта принимает некоторые заранее неизвестные дискретные значения.
Пусть при проведении п экспериментов случайная величина X приняла значения
х1 - т1 раз;
х2 - т2 раз;
х1 - т1 раз.
Найдем среднее значение случайной величины X:
х1т1 + х2т2 +... + xzmz
п
in	пр	т,
= х{ —L + х2 —— +... + xz — =
п	п	п
= xJi + X2f2 +... + xj* =	xv/v*,
V=1
где fv — относительная частота появления случайной величины X со значением xv.
При проведении большего числа опытов относительная частота стремится к со-
ответствующей вероятности. Формула для математического ожидания принимает вид
M[X] = ^xJ\„	(1.5)
V=1
где fv — вероятность появления xv.
Для непрерывной СВ X равенство (1.5) переходит в (1.4).
36 Статистическая динамика и идентификация САУ
Основные свойства математического ожидания случайной величины:
•	математическое ожидание неслучайной величины С равняется самой неслу-
чайной величине С;
•	постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания
М[СХ} = СМ[Х};
•	математическое ожидание произведения независимых случайных величин X
и Y определяется формулой
M[XY] = M[X]M[Y];
•	математическое ожидание суммы двух случайных величин определяется фор-
мулой
ТИ[Х + У] = 7И[Х] + 7И[У].
Легко заметить, что математическое ожидание является далеко не полной ста-
тистической характеристикой случайной величины. Рассмотрим рис. 1.19. В пер-
вом случае случайная величина X может принимать значения, находящиеся в ин-
тервале ДР Во втором случае случайная величина У принимает значения в проме-
жутке Д2. Легко видеть, что математические ожидания случайных величин X и У
одинаковы, но степень разброса относительно математического ожидания у них
различна.
Следовательно, с целью более полного вероятностного описания СВ X целесо-
образно ввести характеристику, определяющую степень разброса случайной величи-
ны относительно математического ожидания.
Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется инте-
грал вида
ух = м[(Х-М [Х])‘] = м	f (x-mx)k fx(x)dx.
Рис. 1.19. Случайные величины X и У, у которых математические ожидания одинаковы,
а степени разброса относительно МО — различны
Наиболее часто находит применение второй центральный момент Z)[X], кото-
рый характеризует возможные отклонения СВ, т.е. возможный разброс значений
СВ относительно ее МО. Второй центральный момент обычно обозначают Dxx и
называют дисперсией, указывая тем самым, что Dxx характеризует возможное рас-
сеивание СВ X относительно А/[Х].
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
37
Таким образом,
Dxx = М(Х-т^)21 = ( (х-тх)2 fx(x)dx,
(1-6)
или
J	-2т х x + mx^fx(x)dx = j	j xfx(x^dx +
+ mx f fx (pd)dx = a*-mx = [ fx(x)dx-
(1-7)
Дисперсия Dxx имеет размерность квадрата СВ. Во многих случаях вместо дис-
персии Dxx используют положительное значение квадратного корня из нее -\Jdxx,
которое имеет размерность самой случайной величины.
Величину -\Jdxx называют средним квадратическим отклонением (СКО) СВ X
и обозначают <зх, т.е.
Gx =ylDxx-
МО и СКО или Dxx являются наиболее часто применяемыми числовыми харак-
теристиками СВ.
f.dx) 4
Рис. 1.20. Кривые ИЗР и ДЗР (нормальный закон распределения)
38
Статистическая динамика и идентификация САУ
Эти числовые характеристики полностью определяют один из наиболее важных и
распространенных законов распределения СВ, а именно нормальный закон распреде-
ления (закон Гаусса), определяемый формулой
)x—mYy
fx(x) = —^=e	,	(1.8)
-yj ТС
где <зх = -\]DXX — среднеквадратическое отклонение.
Можно показать, что если некоторая случайная величина X является суммой не-
зависимых случайных величин, каждая из которых имеет произвольный закон рас-
пределения, то случайная величина X имеет нормальный закон распределения.
Основные свойства нормального закона распределения (рис. 1.20):
1)	максимальное значение нормального закона распределения определяется вы-
ражением 1/(аХу/2п^ при х = тх;
2)	нормальный закон распределения симметричен относительно тх;
3)	изменение математического ожидания приводит лишь к смещению закона
распределения, однако форма не меняется. Дисперсия же при заданном ма-
тематическом ожидании изменяет форму закона распределения.
Из рис. 1.21, а также из зависимости (1.8) легко сделать вывод: СВ X предпоч-
тительнее принимает значения, близкие к тх. Вероятность нахождения СВ X в
полосе ±<дх с центром тх составляет 68%, а в полосе +2<зх — 95%. Если же рас-
сматривать полосу ±3<5^ с центром тх, то вероятность попадания СВ X в эту
полосу равна 0,997. Поэтому величину 3<зх часто используют в практических расче-
тах в качестве верхней границы отклонения СВ X от ее математического ожидания.
Представим fx (х) в виде (рис. 1.21).
Рис. 1.21. Кривая /А-(х) нормального процесса
Теперь соотнесем приведенные выше рассуждения к случайным функциям. Мы
рассмотрели одно сечение СФ и задача свелась к анализу одной СВ, ее вероятност-
ному описанию. Но статистические характеристики каждого сечения СФ зависят от
времени t, поэтому как законы распределения, так и числовые характеристики СФ
будут зависеть от параметра t, т.е.
•	Fx (x,z) — интегральный закон распределения СФ X(С);
•	fx (x,z) — дифференциальный закон распределения СФ X(7);
•	тх (7), Dxx (Г), <зх (Г) — числовые характеристики СФ X (Г).
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ 39
Приведем соответствующие пояснения и определения [71].
Математическое ожидание СФ в области ее существования представляет со-
бой совокупность математических ожиданий СВ, равных СФ при всех возможных
текущих значениях ее аргумента t (рис. 1.22).
Рис. 1.22. Графики, иллюстрирующие отклонение СФ А(/) и У(/) от их МО (верхние
границы отклонений приблизительно равны 3oY(i) при нормальном законе распределения)
Сечения СФ при t = , t = t2,... представляют собой СВ Х1,Х2,..., каждая из ко-
торых имеет свой закон распределения F^ (хг-,/г) и fx (хг-,/г), в связи с этим ИЗР и
ДЗР СФ запишутся так: Fx(x,t) и /x(-V). На рис. 1.22 показано МО СФ Х(7) как
результат вероятностного осреднения.
МО неслучайной величины равно самой неслучайной величине. Поэтому при значе-
ниях аргумента t, для которых СФ является неслучайной величиной, совокупность
этих неслучайных величин образует МО случайной функции.
В общем случае МО СФ X(t) зависит от аргумента t и обозначается через тх (z):
тх (?) =	J х fx{x,t^dx.
Математическое ожидание — это такая неслучайная функция, около которой
группируются все реализации данного случайного процесса и которая полностью
определяется одномерным ДЗР.
Дисперсия СФ в области ее существования представляет собой совокупность
дисперсий случайных величин, равных СФ при всех возможных текущих значениях ее
аргумента.
В общем случае дисперсия СФ X(f) зависит от аргумента t и поэтому обознача-
ется через
Г)АУ(/) = 7иГ(х(/)-т^(/))21= J (x-mx(t))2 fx(x,t)dx.
40 Статистическая динамика и идентификация САУ
Дисперсия представляет собой среднее значение квадрата разности между СФ и
ее МО и характеризует интенсивность отклонений (меру рассеивания) относи-
тельно среднего значения; определяется одномерным ДЗР.
Вывод состоит в следующем: математическое ожидание СФ Х(7) представля-
ет собой некоторую среднюю кривую тх(С), около которой располагаются все
возможные отдельные реализации Х(7), а дисперсия	или <зх(С) харак-
теризует рассеяние отдельных возможных реализаций около тх (7) (при нор-
мальном законе распределения границы отклонений реализаций .у (ф от МО СФ
Х(7) приблизительно равны 3<зх (7) (рис. 1.21)).
На рис. 1.23 и 1.24 приведены различные виды СФ X(t} [71,112].
На рис. 1.25 изображены примеры реализаций различных СФ Х(ф,У(ф,7(ф,
имеющих не только одинаковые математические ожидания mx(f),mY(t) и mz(7),
но одну и ту же дисперсию, т.е. Dxx (ф = DYY (ф = Dzz (ф [71].
Как следует из рисунков, СФ X(f), Y(C) и Z(7), хотя и имеют одинаковые МО и
одну и ту же дисперсию £>(ф, по характеру своей изменчивости и неупорядоченно-
сти (по спектральному составу, под которым будем понимать модуль преобразова-
ния Фурье от реализаций СФ) весьма сильно друг от друга отличаются.
Это хорошо иллюстрирует то обстоятельство, что в том случае, когда для описа-
ния СФ используются лишь одни ее числовые характеристики, значения МО и дис-
персии СФ может оказаться далеко не достаточным для суждений о степени ее
неупорядоченности и изменчивости (или, что то же самое, о ее спектральном составе).
Рис. 1.23. Примеры реализации различных случайных функций Х(ф, Y(ф, Z (ф,
имеющих неодинаковые математические ожидания т х (ф, mY (ф, mz (ф
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
41
Рис. 1.24. Примеры реализации различных случайных функций X(t),Y(?), Z(?),
имеющих одинаковые математические ожидания и разные дисперсии:
а — реализации случайных функций Х(?), Y(?), Z(?) (сплошные линии)
и математические ожидания этих функций т х (?), ту (?), mz (?) (пунктирные линии);
б — дисперсии (?), Z>yy (?) и Z>zz (?) случайных функций Х(?), У(?), Z(?)
Рис. 1.25. Примеры реализаций случайных функций Х(?),У(?) и Z(?),
имеющих одинаковые математические ожидания и одну и ту же дисперсию,
но разные степени изменчивости (неупорядоченности)
42 Статистическая динамика и идентификация САУ
Если, например, СФ Х(7) (рис. 1.25) при некотором значении аргумента t при-
няла значение, лежащее выше тх (7), то почти с достоверностью можно утверждать,
что и ближайшее значение реализации Х(7) пройдет выше тх(Д. Для функции
Y(7) этого может и не быть, учитывая степень ее неупорядоченности. Разница меж-
ду Х(7) и У (7) проявляется в характере связи между значениями Х(7) и У (7) для
различных аргументов и t2 
Еще в большей степени разница в указанном смысле имеет место между сигнала-
ми Х(7) и Z(7).
Для суждений о ней необходимо знать моменты СФ, связывающие величины ее
при нескольких значениях аргумента t. В частности, весьма важную информацию о
степени изменчивости и неупорядоченности СФ можно получить с помощью ее кор-
реляционной функции.
1.2.2. Двухмерные законы распределения и корреляционная функция
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Х(7)
В предыдущем параграфе все рассуждения построены на использовании одномер-
ных законов распределения Fx(pc,C) и fx(x,t).
Более полными вероятностными характеристиками СФ Х(7) являются ее двух-
мерные ИЗР и ДЗР, использующие рассмотрение СФ как системы двух случайных
величин	и Х2 = А(/2) при произвольно выбранных значениях аргумента
и t2. Важно то, что здесь уже учитывается связь значений, принимаемых СФ Х(7)
в моменты времени и t2 (рис. 1.26).
Рис. 1.26. К рассмотрению случайной функции как системы двух случайных величин
Перейдем к более подробному рассмотрению вопроса.
Введем понятия законов распределения системы двух СВ.
Интегральным законом распределения системы двух случайных величин Х1 и Х2
называется функция Fx (х^хД), которая выражает вероятность того, что случай-
ные величины Х2 будут принимать значения соответственно меньшие некото-
рых неслучайных величин Х\,х2, т.е. вероятность случайного события, заключаю-
щегося в совместном выполнении двух неравенств
Xi < х1, Х2 < х2.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
43
Таким образом (рис. 1.27),
Fx(x1,x2) = P[(A1 <xj и (Х2 <х2)].
Рис. 1.27. К определению интегрального закона распределения
системы двух случайных величин
Основные свойства интегрального закона распределения:
1)	Fx(+oo,+oo) = l;
2)	Fx(x1,+oo) = FXi(x1);
3)	Fy(+oo,x2) = Fy2 (х2);
4)	F^(x1,-qo) = 0;
5)	Fx(-oo,x2) = 0;
6)	0 <	(x1?x2) < 1;
7)	Fx , x2) — функция, не убывающая по своим аргументам.
(1.9)
Рассуждая так же, как и при рассмотрении одномерного закона распределения,
можно ввести понятие двухмерного дифференциального закона распределения и за-
писать его основные свойства (рис. 1.28):
1)
/х(ла2) =
a2Fy(xi,x2)
дхг дх2
2) /у(х1,х2)>0;
3) J J fx(xl,x2)dx]dx2 =1;
Ч ц
4) Fy(x1,x2) = j j fx^,x2)dxvdx2-,
5)
dFx(xx,<x>)
dx{
fx, (^2) = J /х(ЛА2)^1-
= J fx(x{,x2)dx2 =fXx (xj,
Таким образом, если известен двухмерный закон распределения, то с помощью
последних формул можно получить одномерный закон распределения каждой из слу-
44
Статистическая динамика и идентификация САУ
чайных величин, входящих в рассматриваемую систему. На практике широко распро-
странены случаи, когда случайные величины Xt и Х2 независимы.
fxdxc Х2)а
Рис. 1.28. Поверхность нормального распределения

Тогда можно записать
Fx(x1,x2) = FXi (х2); fx(xl,x2) = fXi (х2).
Рассмотрим некоторые числовые характеристики системы двух случайных вели-
чин. К таким характеристикам относятся начальные и центральные моменты [71].
Пусть имеется неслучайная функция системы двух случайных величин Х{ и Х2,
которую обозначим через Ч7 (Xt, Х2 ).
Операцией МО функции Ч^Х^Х-,) системы двух случайных величин Х1 и Х2 на-
зывается двухкратный интеграл от произведения iказанной ф)ткции на ДЗР
Л/[Ч/(Х1,Х2)] = J J 4z(x1,x2)/x(x1,x2)t7x1t7x2.	(1.10)
Воспользовавшись предыдущим определением, введем понятия смешанных мо-
ментов.
Смешанным начальным моментом k-го порядка называется МО при
Ч/(Х1,Х2) = Х1а’1 Х22
аАХ = J J X1х22 fx (х Аг )dxrdx2 = М [х^1,Х22 ],
где к = к{ + к2.
Широко применяются начальные моменты 1-го порядка, которые приводятся к
математическим ожиданиям случайных величин Х1 и Х2.
Смешанным центральным моментом к-го порядка называется величина
Рад = J* I (xi - Г (х2 "тх2 fx (хъх2^хДх2.
Отсюда (пусть кх =,1,к2 = 0 )
Р20 = J (х -тх} )’ Zy (xf)dx — дисперсия х{.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ 45
Аналогично можно найти дисперсию х2.
Пусть кг = к2 =1. Тогда
Рад = J f (л-^1)(^2-^2)Лг(ла2)^А2	(1-И)
— момент корреляции, или корреляционный момент Овух случайных величин Х{ и Х2,
который характеризует статистическую зависимость между указанными величинами.
Таким образом, из числовых характеристик системы Овух случайных величин
наибольшее применение нашли'.
"h = f xifxt(xi)dxi^ * = 1,2;
р /	х2
Dxx: = J [xi-mxJ fxt (xi)dxi, i = 1,2;
Rxixj = f J* (xi-mx.^xj-mx^fx^^j^dxidxj, i,j = l,2.
Ясно, что Rx.x =Rx x ’ дисперсии CB Dx.x. могут рассматриваться как частные
случаи корреляционных моментов, т.е.
®х;х; =''1T^AZ-тх. )(Уг- ~тх.)] = Rx;x;, * = 1,2.
Две случайные величины Х1 и Х2 называются коррелированными, если их корре-
ляционный момент Rxpy не равен нулю. Наоборот, две случайные величины Х1 и Х2
называются некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю'.
=0-
Часто вместо корреляционных моментов рассматривают коэффициенты корреля-
ции, определяемые соотношением
R V V	R V V	R V V
_ ____а1а2___ _ ____а1а2___ _ а1а2
rx2x2 ^DxpCi dx2x2 GJT2
Корреляционный момент, определяемый формулой (1.11), является характеристи-
кой не только зависимости СВ хг- и Xj, но и их рассеивания [71]. Величина Rxx при
одной и той же степени связи величин хг- и Xj будет различной в зависимости от
того, какими будут отклонения этих величин от своих математических ожиданий —
большими или малыми [71].
Коэффициенты же корреляции характеризуют статистическую зависимость в
«чистом» виде.
Коэффициенты корреляции являются безразмерными величинами, поэтому они
удобны в качестве характеристик степени некоррелированности случайных величин.
Отметим одно важное свойство корреляционного момента [71]:
х21 \lRx}x} Rx2x2 = \]dx2x2 dx2x2 ,
или
Это свойство применительно к коэффициенту корреляции гх х2 записывается так:
|*ад|^1, или ±*ад ^1-
46 Статистическая динамика и идентификация САУ
Коэффициент корреляции гх х определяет степень и характер коррелированно-
сти случайных величин и Х2. Если коэффициент корреляции гХ)Х равен нулю,
то случайные величины являются некоррелированными.
Если абсолютное значение коэффициента корреляции равно единице, то случай-
ные величины Х1 и Х2 являются полностью коррелированными (связаны линейной
зависимостью).
Значение коэффициента корреляции определяет степень коррелированности слу-
чайных величин. Знак коэффициента корреляции определяет характер связанности
случайных величин. Положительное значение коэффициента корреляции означает,
что при отклонении случайной величины Х1 от ее математического ожидания слу-
чайная величина Х2 будет иметь в среднем тенденцию к отклонению от своего МО
по знаку в ту же сторону, что и СВ Х1. При этом эта тенденция будет проявляться
тем сильнее, чем ближе к единице будет значение гх х^.
Наоборот, отрицательное значение гх х^ будет означать, что при отклонении СВ Х1
от ее математического ожидания СВ Х2 будет иметь в среднем тенденцию к отклонению
от своего МО по знаку в другую сторону по сравнению со случайной величиной Х{.
Эта тенденция будет проявляться тем сильнее, чем ближе к (-1) будет значение гх х^.
Действительно,
Поэтому, если гх х< > 0, то
м[(X ~тХ. )(х2 ~пС)] > 0.
Отсюда получаем, что при гх х > 0 в среднем знаки отклонений Х1 - тх и
Х2 ~ тх2 одинаковы. Если же гх х^ < 0, то
М [(X	)(Х2 -тХ, )] < 0,
и в среднем знаки отклонений Х{ - тх и Х2 - тх^ различны.
Отметим одно важное обстоятельство: коэффициент корреляции гХрг2 характе-
ризует степень тесноты линейной статистической зависимости между СВ Хг и
Х2, т.е. такой зависимости, когда при возрастании одной из них другая имеет тен-
денцию возрастать или убывать в среднем по линейному закону (рис. 1.29 и 1.30)
(в общем случае равенство нулю корреляционного момента не означает независимо-
сти СВ, однако для нашего изложения эти случаи интереса не представляют) [71, 112].
Соотнесем все рассуждения к СФ X(t), представленной на рис. 1.31.
Сечения СФ при t = 6, t = t2,... ,t = tn породили СВ Хъ X2,..., Xn, являющиеся
значениями СФ. Найдем корреляционные моменты между СВ Хг и СВ Х1,Х2,...,Хп;
в результате получим строчку корреляционных моментов:
Аналогично найдем корреляционные моменты между СВ Х2 и случайными вели-
чинами Х1,Х2,...,Хп; результат имеет вид
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
47
Рис. 1.29. К пояснению положительной
корреляции между двумя случайными
величинами Х\ и X,
Рис. 1.30. К пояснению отрицательной
корреляции между двумя случайными
величинами Х\ и X
Продолжая аналогичные рассуждения, найдем корреляционные моменты между
случайной величиной Хп и случайными величинами ХъХ2,...,Хп; запишем результат
RX А ’ RX X ’ RX X ’RXX’-"’RXXi’---’ RX X 
Рис. 1.31. Случайная функция Х(ф
Запишем всю совокупность корреляционных моментов в виде матрицы:
Эта матрица симметрична относительно диагонали, так как
Rxx ’fj) = RXX = RXX = Rxx
Корреляционная матрица дает информацию о корреляционных моментах лишь
для значений СФ при дискретных значениях аргумента
t t\-> t t2, t t3,..., t tfj,....
А теперь возьмем любые два произвольных сечения СФ X(7) (в отличие от слу-
чая, когда мы брали сечения при t = , t2, t3,...) при непрерывном времени t. В этом
случае система «столбиков», порожденная матрицей R, превратится в поверхность
причем g[0,T] и t2 е[0,Т]. Эта поверхность представлена на рис. 1.32.
48 Статистическая динамика и идентификация САУ
Из изложенного ясно, что корреляционная функция характеризует степень зависимо-
сти, корреляции между значениями X(7) при t = tY и t = t2.
Рис. 1.32. Графическое изображение корреляционной функции случайного процесса Х(ф
Дадим определение. Корреляционная функция СФ Х(7) в области ее существо-
вания представляет собой совокупность корреляционных моментов двух СВ А(д) и
Х(72), равных случайной функции Х(7) при аргументах и t2, где значения и t2
представляют собой любые сечения всех текущих возможных значений аргумента t
случайной функции.
Таким образом, согласно определению
Rxx (W2) =	тх	~ тх (О)]-
Корреляционная функция Rxxih’C) может быть выражена через двухмерный
дифференциальный закон распределения fx	, х2, , t2 ):
f \{\-mxM}{xi-mx(t2))fx(xx,x2,tx,t2)dxxdx2.
На рис. 1.25 представлены сигналы X(t}, и Их корреляционные функ-
ции для фиксированных значений представлены на рис. 1.33 [71].
Свойства корреляционной функции:
1.	Имеем две зависимости:
dax(0= J (х-тх(1)У fx(.xd)dx-,
Rxx^hdi)= f f ^-^(11))(х2-mx{t2)')fx^xx,x2,d,t2)dxxdx2.
Из сравнения последних выражений видно, что если аргументы КФ (корреляци-
онной функции) равны между собой, т.е. =t2 = t, то Rxx = Dxx (f) (рис. 1.34, a).
Таким образом, нет необходимости в дисперсии как отдельной характеристики
СФ, поэтому в качестве основных характеристик СФ достаточно рассматривать
ее МО и КФ.
СФ, у которой МО зависит от времени, а корреляционная функция зависит от
двух аргументов и t2, называется нестационарной.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
49
Рис. 1.33. Дисперсия D(t} случайных функций	и Z(4) (рис. 1.25)
и их корреляционные функции R	, У ), /?;т (, У ) и Rzz (, У )
при двух значениях t[ и t’[ аргумента :
/Э(/|) и б>4''} —значения дисперсии 7Э(Д при t = t[ и t = t"; Rxx(t[,4)> ^уу(Сгз) и /CzOiA)
— значения корреляционных функций Rx_x(h’4)’ ^уу(г1,г2) и Rzz(h>4) ПРИ t =
В-хх^ъЧ)’	и Rzz(l"’4) —значения тех же функций при t = t”
Рис. 1.34. К определению свойств корреляционной функции в случаях:
а npn?1=?2=^ Rxx (Ч’Ч) = B_XY (t)', б Rxx(h’4) = Rxx^l’h)’
e Rxx(КЧ)= Rxx(ЧЛ) ’г	(?i>Ч)|-Rxx(г14i)Rxx(Ч’Ч)
2.	Так как корреляционный момент двух СВ А(Д) и ) не зависит от после-
довательности, в которой эти величины рассматриваются, то КФ симметрична отно-
сительно своих аргументов, т.е. (рис. 1.34, б)	,6 ) = &хх
50
Статистическая динамика и идентификация САУ
Если изобразить Rxx(hdi) в виде поверхности (рис. 1.34, а), то эта поверхность
симметрична относительно плоскости, перпендикулярной к координатной плоско-
сти Qt2 и проходящей через биссектрису угла Qt2 
3.	Значение корреляционной функции в любой точке (^, /2) не может превосходить
по модулю среднее геометрическое ее значений на главной диагонали в точках ее пересе-
чения с прямыми, проведенными из данной точки параллельно осям , t2 ) (рис. 1.34, г).
4.	Пусть	тогда
Ауу (Д,/2) = ф(/1)ф(/2)^.хх
Когда имеет место система случайных функций, используется понятие взаимной
функции корреляции. Она определяется формулой
Rxyy (Мг)= J* f (*i ~тх, ~тх} (t2^fx[x[,x2,tx,t2^dxxdx2, (1.12)
где /уW2) — смешанный двухмерный закон распределения случайных
функций Хг(/) и Xj(ty
Случайные функции называются коррелированными, если их взаимная корреляцион-
ная функция не равна тождественно нулю. Случайные функции, взаимная корреляци-
онная функция которых тождественно равна нулю, называются некоррелированными.
1.2.3. Стационарные и эргодические случайные сигналы
СФ, имеющая нулевое математическое ожидание, называется центрированной и
обозначается .
СФ называется стационарной в широком смысле, если ее математическое
ожидание постоянно, а КФ зависит только от разности аргументов x = t2-tx (см.
рис. 1.35, а):
тх (0 = тх = consC Rxx (W2) = R-xx (С _/)) = Rxx (т).
Рис. 1.35. Стационарный X(t) (а) и нестационарный У(ф (б) (для сравнения)
случайные сигналы
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
51
Дисперсия стационарной СФ согласно формуле Dxx (/) = Rxx (л,/2)
равна
Dxx ~ Rxx (C h )[ _t _t ~ Rxx (0),
следовательно, дисперсия стационарной СФ постоянна и равна значению КФ в нача-
ле координат.
На основании свойства симметрии КФ можно записать
Rxx (й > й)= Rxx (h ~ й) = Rxx (й _ h) = Rxx (т) = Rxx (-т)>
где т = С _ й •
Таким образом, КФ стационарного СП является четной функцией.
Поскольку справедлива формула
\Rxx (й>й)| - ^Rxx (й’й) Rxx (й>Й )>
то для стационарных СФ можно записать
\Rxx (т)| - Rxx (О),
т.е. значение КФ стационарной СФ нигде не превосходит по модулю ее значения в
начале координат, т.е. дисперсии. Можно показать, что КФ непрерывной СФ также
непрерывна. Если СФ содержит периодическую составляющую, то КФ также со-
держит периодическую составляющую той же частоты.
Часто пользуются понятием нормированной корреляционной функции, опреде-
ляемой зависимостью ГХХ (Т) - Rxx (Т)/Дхх •
Еще раз остановимся на физическом содержании функции Rxx (т) [121]. Оно со-
стоит в определении вероятности того, что если СФ в момент t приняла значе-
ние то в момент времени / + т она имеет значение Х2, т.е. характеризует вза-
имную связь (степень зависимости, корреляцию) между X(t} и Х(/ + т). Если т
мало, то связь между и А(/ + т) велика, т.е. при очень малых т вероятность
того, что значение функции А(/ + т) мало отличается от значения X(t), близка к
единице и близка к достоверности. По мере увеличения т связь между значениями
и Х(/ + т) ослабевает, они делаются взаимно независимыми, а	>0.
Другими словами, при достаточно больших т вероятность того, что Х(/ + т) будет
мало отличаться от X (/) практически равна нулю.
Случайный процесс X(/) называют эргодическим, если все его статистические
свойства могут быть определены по одной единственной реализации х{ (/). Эргоди-
ческим также можно назвать такой СП, для которого среднее значение по времени
равно средним значениям по ансамблю. Другими словами, для стационарных эргоди-
ческих процессов статистические характеристики, полученные осреднением по мно-
жеству и по времени, равны друг другу.
Для определения статистических характеристик можно ограничиться одним
опытом, проводимым в течение достаточно большого интервала времени, т.е.
ограничиться обработкой одной реализации вместо множества опытов, необхо-
димых для определения характеристик СФ, не обладающей свойствами эрго-
дичности.
Вместе с тем необходимо иметь в виду, что не всякая стационарная СФ является
эргодической.
52 Статистическая динамика и идентификация САУ
Можно показать, что стационарная СФ эргодична, если ее КФ /?%%(т) неограни-
ченно убывает по модулю при |т| оо, т.е. если Vs > О ЯТ0 такое, что
Vt>Tq.
Таким образом, особенно важное значение эргодическое свойство имеет для
экспериментального определения МО функции 4х стационарной СФ X(t},
так как оно дает возможность найти приближенное значение пр, не по множе-
ству реализаций Х(7), а по данным одной ее реализации на достаточно большом,
но конечном интервале времени Т, т.е. из зависимости
1 Г
пр, = — [Ч^х^рх.
Т о
На основе использования свойства эргодичности МО и КФ стационарного СП вы-
числяются по формулам:
ад	т
тх = | х fx (x)<7x = lim —j x(O)dx',	(1-13)
-ад	Rо
Rxx СО = J J (а - тх )(*2 - тх )fx (а > х2 ,^dxxdx2 =
1 -о ’Ю_С°	1	(1Л4)
= lim----- j x(t}x(t + x}dt = lim--- j [х(?)-7и¥][х(£ + т)-ти¥]Л;
Т^адТ-T 0	г^адТ-T 0 '-----v----------v-------
,r(f)	.г(Г+?)
1 T о
RXY (t) = lim— Ix(t)y(t + i)dt.
t^aj P J
0
Уменьшение времени интегрирования в формулах и на интервал т обусловлено
тем, что второй сомножитель известен только до (7 + т) < Т (рис. 1.36, а).
Рис. 1.36. К пояснению формул:
а — (1.13) и (1.14); б — (1.15)
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
53
Для определения Rxx (т) можно воспользоваться формулой
т
р О о
Я„(т)= lim —
Г^оо / — т
(1-15)
Последней формулой определяется левая ветвь КФ (рис. 1.36, б). Взаимная корре-
ляционная функция	=
х(фуф + т)
характеризует меру статистической
связи двух случайных процессов.
Для взаимных корреляционных функций /?%г(т) и Ryx(t) справедливо равенст-
во Rxy (т) = Ryx (-т) (рис. 1.37).
В самом деле,
А^у(т) = 7И[Х(г)У(г + т)] = 7И[Х(г-т)У(г)] = 7И[у(г)Х(г + т)] = А}Т(т).
Рис. 1.37. График корреляционной функции /?уг(т) стационарной
случайной функции Х(ф и взаимных корреляционных функций
Rxy (т) и Ryx (т) случайной функции X(ф и ее производной Y(ф = dX(t)/dt:
а — корреляционная функция Rxx (ф;
б — взаимные корреляционные функции 7?хт(т) и Лп-(т)
54
Статистическая динамика и идентификация САУ
Взаимная корреляционная функция при изменении сдвига т на -т изменяет по-
рядок своих индексов. Начальное значение RXY (т) равно среднему значению произ-
ведения случайных процессов. Если средние значения тх и mY отличны от нуля, то
lim RXY (т) = mxmY.
На рис. 1.38 показан возможный вид взаимнокорреляционных функций двух про-
цессов.

Рис. 1.38. Возможные графики взаимных корреляционных функций Rx х^ (т) и Rx х (т)
Еще раз обратим внимание на то, что любая статистическая характеристика,
определяемая в общем случае осреднением по множеству реализаций, для эргодиче-
ских процессов, с вероятностью сколь угодно близкой к единице, равна соответст-
вующей характеристике, определяемой осреднением по времени любой одной, дос-
таточно продолжительной реализации этого процесса.
Приведем некоторые примеры корреляционных функций.
Если СП содержит постоянную или периодическую составляющие, то эти же
составляющие будут иметь корреляционные функции. При практических расчетах
КФ наиболее часто аппроксимируют выражениями (рис. 1.39 и 1.40):
Rxx (т) =	Rxx (т) = Е>^е“а|т| cospT.
Рис. 1.39. График корреляционной функции
Rxx(x) = Dxe а|т|
Рис. 1.40. Примерный вид корреляционной
функции процесса Х(ф, содержащего
в своем составе, кроме случайной, также
и периодическую составляющую
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ 55
Белый шум — это случайный процесс X(t), который характеризуется отсут-
ствием какой-либо взаимной статистической связи между любыми двумя значе-
ниями Х(7).
КФ белого шума равна нулю для любого т, кроме т = 0, и ее можно представить
в виде дельта-функции или практически в виде импульса достаточно малой ширины,
площадь которого равна единице (рис. 1.41).
◄-
-С)
+ (т)
Рис. 1.41. Корреляционная функция белого шума
1.2.4.	Спектральная плотность стационарного случайного сигнала
Во временном представлении СП в качестве его характеристики рассматрива-
лась КФ. Более наглядным является частотное представление.
Функция	определяемая зависимостью
со
$хх (ю) = ~ I* Rxx (т)е j™dx,
2Л
называется спектральной плотностью (СПл) стационарного СП. Тогда
&хх (т) = J $хх (со)е+7Ютб7®.
(1-16)
(1-17)
Таким образом, КФ и СПл связаны между собой парой преобразований Фурье —
прямым и обратным.
Рассмотрим физический смысл понятия СПл.
Обозначим через хТ реализацию СП, определенную на [0,Т]. Тогда
или
.00	. 00	. Т
—	I* Кхх (т)е-7СОТ^т=— I* Нт — [лу (t)xT (t + C\dt e~j™dx.
2л J	2л J	T J
—co	—co	0
Последнюю зависимость перепишем в виде
.	00	.	.	00	Т
—	I* Кхх (т)е = Нит------------I* хт(С {хт (t+ C\e~-i<indtdi.
2 л J	г^оо Т 2 л J *.
—со	—со	О
Тогда, поскольку e~J('ne+J('n = 1, получим
1	1	00	Т
Sxx (®) = li111-----I* *т (t)e+jmtdt I* ту (t + т)е 7ЮР+Т)(/Т.
Г—>оо Т 2л J	‘
-со	О
Введем замену / + т = О; dx = d^; тогда
56
Статистическая динамика и идентификация САУ
1	1 1
Sxx (®) = — |* хт (0ejatdt lim — f хт (/ + т)е dx =
2	л i	Т \
-00	О
= — 7 хт (О e+jatdt lim - [хт (О)e~j<^d§ .	(1 ’18)
2л J Т v 7 т^т\ту ’
-00	О
^(-7®)	liniy^f + zfi)
Из последней формулы имеем
sxx (®) = ~-Гхт U^)xt (->) =
= Ит H + jQx (®))(^ (®)~JQx (®)) =	(1-19)
7->oo 7 2л
= 'im “(РЙ®)+Qi H) = 'im ^:\хт 0“)Г •
Г—>оо/ 2л	' Т->оо/ 2.TI
Выше введены в рассмотрение функции Хт (у со) и Sxx (со).
Функцию |хг (jсо)| называют спектральной функцией, или спектральной плот-
ностью амплитуд (амплитудной спектральной плотностью). Спектральная функция
(текущий спектр процесса лу(/)), являющаяся преобразованием Фурье реализации
СФ X(t}, определенной на промежутке [0,Г], характеризует спектральный со-
став этой реализации.
В отличие от амплитудной спектральной плотности \хТ (усо)|, определяющей
плотность амплитуд на участке спектра do, спектральная плотность (со)
характеризует распределение мощности составляющих на интервале частот do.
В самом деле, средняя мощность стационарного СП может быть выражена так:
1 г
РсР =-\xT(t)dt.
1 о
Или, воспользовавшись равенством Парсеваля, имеем
1 Т	|	|	00	2
lim — I Xr (t)dt = lim-[ \ХТ (/со) dсо.
Г->со Т J V 7 Т^оо Т 2л J 1 V 71
О	-00
Обозначим
Отсюда получим зависимость
т
ср*
(1-20)
Интеграл в левой части характеризует мощность во всем диапазоне частот. Элемен-
тарная же составляющая Sxx(o}do = dP определяет мощность в бесконечно узкой
полосе частот dсо, а коэффициент Sxx (со) соответствует крутизне нарастания мощно-
сти по частоте Sxx (со) = dP/do. Отсюда следует, что СПл представляет собой предел
отношения спектральной энергии функции хТ (/) к интегралу длительности при неог-
раниченном возрастании последнего. СПл, таким образом, определяет мощность СП.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
57
Из формулы (1.19) следует, что функция SXx (со) тесно связана со спектральным
составом СП, характеризующим степень его неупорядоченности.
Формулы (1.18) и (1.19) являются основными формулами спектральной теории
стационарных СП, впервые математически строго разработанной А.Я. Хинчиным.
Свойства спектральной плотности:
1.	СПл является вещественной четной неотрицательной функцией частоты со.
В самом деле, имеем
| 00	| 00
5%%(со) =— Г Rxx (т) [cos сот-j sin сот] с/т = — [ /?%% (t)coscotc/t-
2л J	2л J
(1.21)
|	00	|	00
-j— [ (r)sin сотс/т = — [ Rxx (t)coscotc/t.
/ тг *	/ ТГ *
Из последней зависимости видно, что SXx (со) — функция вещественная и чет-
ная, так как Rxx (т) cos сот — четная функция частоты со, поскольку
cos сот = cos (-сот):
Неотрицательность Sxx (ю) для данного класса СП следует из формулы
Выражение для Sxx (ю) можно переписать в виде
1 GO
^ХХ (Ю) = — I RXX (т)cos сот с/т.
71 о
(1-22)
2.	Если Rxx (т) — монотонно убывающая функция от т, то Sxx (ю) — моно-
тонно убывающая функция.
3.	Интеграл от СПл равен дисперсии или квадрату СКО стационарной СФ.
Имеем
Rxx (Т)|т=о - Dxx -
j 5АУ(со)е+7Ютс/со ,
®хх -	- f $хх (®)с/со,
(1-23)
т.е. дисперсия стационарной СФ пропорциональна площади, ограниченной кривой
СПл Sxx (ю) и осью абсцисс.
Для взаимной СПл будем иметь
sxx (со) = lim ±-ХТ (j(»)YT (_ую)
Т 2.1
Если Z(/) = Х(/) + У(/), то
Szz (со) = Sxx (со) +	(со) + 5'}Т (со) + 5уу (со).
Если Х(/) и У (/) независимы, то
Szz (со) = Sxx (со) + 5уу (со).
Таким образом, если СПл X(t} и Y(C) независимы, то корреляционная функция
их суммы равна сумме корреляционных функций составляющих, а спектральная
58
Статистическая динамика и идентификация САУ
плотность суммы составляющих так же равна сумме СПл отдельных составляю-
щих. Нормированная спектральная плотность определяется зависимостью
ёхх(<А = ^-
Пример 1.1. Найти СПл СФ с корреляционной функцией	(т) = D^e (рис. 1.42).
Имеем
(со) = — [ D^e^e-^dx = f ек,-^г +	= Dxx .
2л Д ‘	2л Д	J	я а- + го-
Зависимость кривых КФ и СПл от значений а иллюстрируется рис. 1.42. В общем случае, чем шире
график КФ, тем уже график СПл (чем медленнее процесс, тем меньшее значение в СФ имеют высокие
частоты).
Рис. 1.42. Графики спектральной плотности (а) и корреляционной функции (о)
Положим, что КФ СП имеет вид
Rxx^) = DxxCa^ cos 0Т.
Найдем (го):
S'vv (0)) = “ j Dxxe “lTlcosPTe“7'“TA.
Имея в виду, что
получим
SUro) = l| — J Dxxe-^e-j^dT + — ? e~j^dA
21 2яД ‘	2яД ‘	I
Отсюда следует
Arc
2л
a	a
a2+(co-0)2 a2+(co + 0)2
Пусть = 40 — дисперсия, a = 0,5 c 1 — параметр затухания, 0 = 2 с 1 — резонансная частота.
СПл имеет вид
1
2л
20	20
0,25 +(2-го)2 0,25 +(2 +го)2
(1.24)
Графики 7?гг(т) и .S'rv(ro) представлены на рис. 1.43.
Часто КФ аппроксимируют зависимостью
(т) = D^e “1г1
Тогда спектральная плотность имеет вид
_ а п 20-го	20 + го
2я0	|_°Г+(0-®) оГ + (0 + го)
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
59
Рис. 1.43. Спектральная плотность и корреляционная функция случайного процесса
Белым шумом называют стационарный СП с постоянной спектральной плотностью
= ^о- Так как
7?^(т)= J Sxx(G))e+jaTdG) = S0 J eJ™da>	(1.25)
и дельта-функция определяется выражением
5(т) = —??COTJco,	(1.26)
2 71
из (1.25) и (1.26) следует, что
«п(') = мад	(1-27)
есть корреляционная функция белого шума.
Следовательно, корреляционная функция белого шума с точностью до постоянно-
го множителя представляет собой дельта-функцию (рис. 1.44)
Рис. 1.44. Графики спектральной плотности и корреляционной функции:
а — при белом шуме; б — при постоянной х = а
Из предыдущих рассуждений ясно, что дисперсия белого шума (БШ) равна оо9
т.е. хх ~
60 Статистическая динамика и идентификация САУ
Физический процесс типа «белый шум» реализовать невозможно, так как мощ-
ность этого процесса должна быть бесконечно большой. БШ является удобной ма-
тематической абстракцией. При некоторых условиях в практическом диапазоне
частот работы реальной системы «вход» можно аппроксимировать белым шумом,
что существенно упрощает исследование (рис. 1.45).
Рис. 1.45. К пояснению понятия «белый шум»
На рис. 1.46 представлены конкретные СФ, их КФ и СПл. На рис. 1.47 представ-
лены конкретные виды КФ и соответствующие им спектральные плотности.
= (42/2)coscoiT
к
X(t) н Ж) =А sin (соД+ф)
W-W
‘Т	- (01	О
0
Рис. 1.46. Графики спектральных плотностей и корреляционных функций
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
61
Рис. 1.47. Корреляционные функции, отличающиеся друг от друга масштабом по оси т,
и соответствующие им спектральные плотности [71 ]
На рис. 1.48 изображены графики нормированных корреляционных функций
спектральных плотностей. Для удобства построения масштаб кривой gAA(co) при
oc/coq =0,1 уменьшен в пять раз по сравнению с масштабом других кривых (со).
Рис. 1.48. Нормированные корреляционные функции (т) = е alTl cosco0t
и соответствующие им нормированные спектральные плотности g хх (со) [71]
62
Статистическая динамика и идентификация САУ
1.3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ, ОСНОВАННЫЙ НА ОПИСАНИИ СКАЛЯРНЫМИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛАМИ
ДЮАМЕЛЯ И КОШИ (АНАЛИЗ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ)
Рассмотрим конкретный пример, иллюстрирующий необходимость исследования
САУ с привлечением теории случайных функций. Ви. 1.1 была рассмотрена система
самонаведения, в которой управляющим сигналом является случайная функция
К(7), а ее ИЗР, ДЗР, а также математическое ожидание и КФ mY(t) и
определены такими факторами, как скорость цели, ее высота, ракурс, маневр, возму-
щающие моменты, связанные с изменением подъемной силы и являющиеся функ-
циями величины и направления скорости порывов ветра и д.р. Не надо забывать и об
организованных помехах, которые являются случайными функциями времени.
Входной случайный сигнал Y(t} поступает на элементы системы самонаведения
(усилительные, исполнительные, измерительные элементы, объект управления — ракету)
и в соответствии с их математическими моделями имеет место преобразование про-
цесса Y(t) в выходной случайный сигнал X(t), характеризующий точность наведения.
Если рассматривать наведение в одной плоскости, то условно преобразование Y(t)
определяется законом
ya,.(z)^''>(z) = yi„(z)r''>,	(1.28)
v=0	v=0
где av (t}, v = Q,n; bv (7), v = Q,m — коэффициенты ДУ, определяемые параметрами
процесса самонаведения (рис. 1.49).
до Г~
____Система самонаведения,
описываемая ДУ (1.28)
Рис. 1.49. Функциональная схема
Под ошибкой наведения (промахом) ракеты понимается величина отклонения ее
центра массы от цели в плоскости рассеивания. Важным является понятие «пора-
жение цели», которым обозначается событие, состоящее в том, что цель, на ко-
торую наводиться ракета, перестает выполнять свои функции.
Очевидно, факт поражения цели определяется величиной промаха.
Из сказанного легко сделать следующие выводы:
•	поскольку выходной процесс X(t), определяющий промах, является реакцией
на воздействие Е(/), являющееся случайной функцией, то промах (обозначим
его h ) также является случайной величиной, при этом h = X(/)|	, где Т —
момент окончания наведения',
•	для расчета вероятности поражения цели необходимо знать статистические
характеристики промаха h = X (/)|	, для чего необходимо изучить закон
преобразования воздействия Y(t}, связывающего статистические характе-
ристики Y(f), X(7) и динамические характеристики системы самонаведения.
Именно этому вопросу и посвящено содержание излагаемого далее материала.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
63
Итак, при решении конкретных задач исследования систем автоматического управ-
ления необходимо получить ответ на ряд вопросов, например:
•	какова вероятность того, что в любой момент времени работы системы в
установившемся режиме выходной процесс X(t} не выйдет за пределы до-
пустимого диапазона [ос, р];
•	каковы статистические характеристики выходного сигнала X(t} системы в
рамках корреляционной теории, т.е. для СП Х(С) вычисляются только его
математическое ожидание и корреляционная функция в переходном или ус-
тановившемся режимах в зависимости от постановки задачи.
В общем же случае статистический анализ систем — это изучение законов
преобразования случайных сигналов конкретными классами систем.
Если САУ описывается ДУ (1.28), то очевидны следующие зависимости:
если Lx (t),L (7) линейные дифференциальные операторы
п	jv	т	jv
с (О = Ё W-?; Ц- (0=(')-?•
v=0	at	г=0	at
TO
и
^x (C)^XX (W2) =
или в развернутой форме
(1-29)
(1-30)
(1-31)
^yy(Zl’Z2)-
U=° dt2 )
Формулы (1.29, 1.30) определяют МО и КФ выходного сигнала А(/), если из-
вестно МО и КФ воздействия У(/) и ДУ САУ.
Если av (/) = av = const, г = Q,n и bv (/) = bv = const, v = Q,m, то применяя к (1.29)
одномерное преобразование Лапласа, а к (1.30) — двухмерное, определяемой зави-
симостью
F (’1. ) = И f ('1 X) ^’,'1	dt,dt2 = L- {/((„(,)),
о о
получим изображения для тх(ф и Rxxih^i)'-
h т -i- h т ~1 ।	। Д
L{mpt)} = Mps) = ^y---------|S	-	(1.32)
ans +an-ls +--. + Я0
L2 (W2)}= ^xx (л A2)= гуд ^Ryy (л A2),	(1.33)
Lx (Л )LX (*Л)
причем
СуМ = ЬтзГ+Ьт_^+... + Ь0, z = 1,2;
Lx (л) — anSj + an_xsi +... + Gq, z —1,2.
64
Статистическая динамика и идентификация САУ
Применяя обратное преобразование Лапласа к формулам (1.32) и (1.33), получим
выражения, определяющие тх (/) и Rxx^h^i)-
Далее рассмотрим задачу статистического анализа для наиболее простого класса
систем — линейных, используя интегралы Дюамеля и Коши.
Положим следующее:
1)	имеется стационарная устойчивая линейная система с импульсной переход-
ной функцией
2)	на вход системы поступает входной случайный сигнал Y(7);
3)	исследователя интересуют как неустановившийся, так и установившийся
режимы работы системы.
Необходимо найти зависимость, связывающую автокорреляционные функции
входного и выходного сигналов (рис. 1.50).
у(0	ИПФ системы
Случайный	£(т)
Рис. 1.50. К постановке задачи статистического анализа
до
Случайный
выходной сигнал
Решение поставленной задачи. Входной и выходной сигналы в неустановив-
шемся режиме связаны соотношением
Из этой формулы имеем
M\_X(t)]=M
Поскольку М
f()<4
.0
t
= JjVf находим
о
t
тх (0 =	(/-т)я?т.
о
(1-34)
(1-35)
(1-36)
о
о
Последняя формула справедлива для случая, если У(7) — нестационарный СП.
Если же Y(7) — стационарный СП, то mY(t - т) = mY = const и, следовательно,
тх (7) = mY	(1.37)
о
Полагается, что имеет место неустановившийся режим.
Для установившегося режима имеем
тх (/) = mY$k(i:)dT = mYK = mx = const,
о
Окончательный результат для установившегося режима таков:
mx=KmY.	(1.38)
Получим формулы, связывающие корреляционные функции входного и выходно-
го сигналов линейной стационарной системы.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
65
Положим, что Y(?) — нестационарная СФ. Из (1.34) и (1.37) имеем
X(t}-mx (?) = |^(т)[У(?-т)-ту]<7т, или А(?) = |&(т)У(?-т)й?т.
о	о
Запишем последнюю формулу для моментов времени tx и ?2, перемножим пра-
вые и левые части и воздействуем оператором МО:
^2	"	о
М X(tl)X(t2) = J f ^(T1)^(T2)J^ ^(?1 -Т1)У(?2 -Тг)
-I О О	L
(1-39)
Поскольку
А7 X[t^X[t2^ - Rxx (Ч-йгУ
м Y(t\-Т1)У(С "Ъ) =^уу(6-тьС-т2),
из (1.39) следует
fi h
Я^(?1Л) = ||£(т1)£(т2)Яуу(?1 -ть?2-т2)<7т1<7т2.	(1.40)
о о
Последняя формула определяет корреляционную функцию СФ А(?), если имеет
место неустановившийсярежим, a Y(С) — нестационарный СП.
Пусть У(?) — стационарная СФ, а режим работы системы — неустановившийся.
Тогда
RYY (б — Т1 ’С — т2 ) = RYY (С — Т2 — 6 + Т1 ) =
= Луу(?2 -?1 +л -т2) = Луу(^ + т1 -т2),
где u = t2-t1.
Справедливо выражение
h Ч
Яхг(?1Л) = ||£(Т1)£(т2)Яуу(?2-?1 + л -т2)^т^т2.	(1.41)
о о
Теперь рассмотрим установившийся режим, для которого основная формула
(1.34) принимает вид
А(?) = |А:(т)У(?-т)<7т.	(1-42)
о
Тогда (1.41) перепишется в виде
/?AA(w) = J |^(т1)А:(т2)Луу(^ + т1 - т2) dxxdx2.	(1-43)
о о
Дисперсия выходного сигнала определяется зависимостью (полагаем и = 0)
Rxx(ty = Dxx =П^(Т1МТ2)ЛуИТ1	(!-44)
о о
Некоторые выводы:
1)	если известна ИПФ системы, то МО выходного сигнала определяется как ре-
зультат одномерного интегрального преобразования МО входного сигнала,
(формулы (1.36) и (1.37)), а КФ выходного сигнала и его дисперсия — как ре-
Статистическая динамика и идентификация САУ
зулътат двухмерного интегрального преобразования КФ входного сигнала
(формулы (1.41) и (1.44));
2)	для определения дисперсии выходного сигнала требуется задать КФ входного
сигнала {знание дисперсии входа недостаточно для расчета дисперсии выход-
ного сигнала).
В теории стационарных систем можно было выделить такие задачи, которые
связаны только со стационарными, эргодическими случайными процессами [121].
При подаче на вход ЛНС стационарного сигнала на выходе процесс не является
стационарным, поэтому статистическая динамика ЛНС обязательно должна
обеспечивать возможность оперирования с нестационарными случайными процес-
сами. В силу сложности общей теории нестационарных случайных процессов рас-
смотрим здесь некоторые вопросы статистической динамики ЛНС в рамках лишь
корреляционной теории.
Связь корреляционной функции Rxx (б Л2) выходного сигнала ЛНС с корреляци-
онной функцией ^уу(^Л2) входного сигнала можно получить следующим образом.
Согласно определению корреляционной функции (1.41), с учетом интеграла суперпо-
зиции можно записать
о	^2 о
о	о
h	h Г
= J kfa^dxf s М
о	о I
У(т)ф)
k(t2,'k>)d'k,
так как операция математического ожидания линейна. Выражение в фигурных скоб-
ках, согласно определению (1.41), есть Ryy (т,Х), поэтому
fi	h
Rxx (h’C) =	Ryy (t,X)&(/2	(1-45)
о	о
Корреляционная функция установившейся реакции примет вид
fl	Г
Лах(6Л) = J к(ф,тд)йх j Луу (тД)&(/2Д)я?Х.	(1-46)
Формула (1.46) наглядно иллюстрирует тот факт, что и при стационарном входе
Луу (т,Х) = Луу (Х-т)	(1-47)
даже установившаяся реакция не представляет собой стационарного сигнала, так как
Л^у (б Л2 ) не является функцией, зависящей от t2 - 6.
Наиболее часто (1.46) записывается в виде
h h
Rxx (б’С) = J J	H1}RyY (Т1Л2)^Т1^Т2’
° °	(1.48)
Dxx (0 = J|^(Сл)^(Ст2)Луу (т1,т2)^т1^т2.
00
На основании анализа приведенных выше формул можно сделать вывод: выход-
ной сигнал линейной системы представляет собой стационарный СП тогда и толь-
ко тогда, когда рассматривается устойчивая стационарная линейная система в
установившемся режиме при стационарном случайном входном сигнале.
В этом случае математическое ожидание и Dxx являются постоянными величи-
нами, а корреляционная функция выходного сигнала зависит от разности x = t2-tl
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
67
Нестационарный выходной сигнал может быть порожден одной из трех причин'.
1)	нестационарностъю входного сигнала; тогда для стационарной системы для
t = да имеем
Rxx (б’С) = J J^(Ti )^(т2 )^гг (б —	— т2)dxidx2;
о о
2)	нестационарностъю системы; тогда корреляционная функция выхода опреде-
ляется выражением
fi h
Rxx (б dz ) = J J	) RYY (Т15Т2 }dTidx2;
о о
3)	нестационарностъю режима работы системы (переходной режим); тогда для
стационарной системы имеет место зависимость
fi h
Яхт(бЛ) = П£(лМъ)Яуу(С-6 + Т1 -т2)^т^т2.
о о
Рассмотрим случай, если Y(7) — белый шум; тогда
Луу (т) = 2лЛ05(т).
Найдем формулу, определяющую дисперсию выходного процесса стационарной
системы в установившемся режиме; имеем
Rxx($) = Dxx =2дЛ0|£(лИл|£(ъЖл “Ъ)^2-
о о
Воспользуемся свойством дельта-функции
|/(т)5(/-т)д?т = /(/);
о
тогда
]Жт2)б(т1 -т2)<7т2 =^(tj).
о
Окончательно найдем
Dxx = 2tlS'q (r)i7T.
о
Таким образом, установившееся значение дисперсии на выходе линейной стацио-
нарной системы при подаче на вход белого шума характеризуется интегральной
квадратической оценкой ИПФ.
Если же имеет место неустановившийся режим, то дисперсия выходного СП оп-
ределяется зависимостью
Dxx (0 = 2л5о|
о
В случае воздействия на нестационарную систему белого шума с КФ
Луу (бЛ2) =	_С)
при Ло (0 =	= const получим
Dxx(t} = S()\k (t,x)dx.
о
68 Статистическая динамика и идентификация САУ
Пример 1.2. На вход системы с передаточной функцией [149]
JV(s) = ——
V ! Ts + \
в момент t = 0 поступает случайный центрированный стационарный сигнал с автокорреляционной функ-
цией /?}у (т) =	а1т1. Необходимо рассчитать корреляционную функцию и дисперсию выходного сиг-
нала DYY в переходном и установившемся режимах.
Исходные данные: Л? = 10, Т = 10 с, Dty =1, а=0,05. С'труктурпая схема системы представлена на
рис. 1.51.
R
ПО
ДО
Рис. 1.51. Принципиальная схема системы Т = RC
Найдем НПФ системы; характеристическое уравнение имеет вид
Ts +1 = 0; у = —-
Т
1
~RC
Выражение для НПФ
Далее воспользуемся основной формулой
Rxx («) = jf	j^е-^тО„е-а^-^2 ~DYY j]e~^T e~^T e~a\u+^d^2
о 1	о 1	0 0
— КФ выходного сигнала в установившемся режиме.
Подробно рассмотрим вычисление дисперсии в неустановившемся режиме; имеем
t t	t 1	t 1
Dxx =Rxx^,t2)\h=h=t = ||/с(т1)/с(т2)А]Т(т1,т2)й?т1й?т2 =Л?2П]Т|-е“Т1/Гй?т1|-е“Т2/ге“а|т1“т4т2.	(1.49)
1 2 oo	о1	о1
Вычислим внутренний интеграл. Здесь необходимо принять во внимание следующее (рис. 1.52):
1-а(т.-т2)
е v 7 ирит; >т2;
е v ’ при т2 > Тр
т2 < Tj	т2 > Tj
—•-----------------•
0	Т1
Рис. 1.52. Пояснение к вычислению интеграла
Имеем
j /со Цг )e"alT1 ”Т2^т2 = j /с0 (т2 )e“a(T1 ~Н/т2 + j /с0 (т2 )е“а(т2“Т1)<7т2 =
0	0
тд	t
= e-ctT1 j ye^e^d^ +еал' j	е’аТ2 dx2 =
°	ч
= —5—^—уГ(у + а)е-а1:1 -2ae-YT1 -(у-а)еаТ1е (у+а)2”|
у -a L	J
Подставим вычисленные значения внутреннего интеграла в выражение для DYY
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
69
= я2х = К2 DYY fуе уТ1 ——-—уГ(у + а)е аТ1 -2ае уТ1 -(у-а)еаТ1е ^у+а^”|<5?т1 =
J у -а L	J
=	11 -—Г2уе’а/ - (у + а)е-И1
у + а	у-аЛ
Последняя формула определяет дисперсию в неустановившемся режиме.
В установившемся режиме, когда t = со, дисперсия определяется соотношением
D =а2 _ ^My K2Xy/t K2Xy
™ у + а	1/Т + а 1 + 2Г
Наиболее сложной является задача расчета вероятности нахождения выходного
процесса А(/) в пределах допустимого диапазона [-8,+8].
Наиболее просто она решается в случае, если Y(7) — нормальный СП. Тогда ес-
ли известно, что входной процесс Y(t} является нормальным и центрированным, то
установившаяся реакция также нормальна и центрирована с дисперсией, вычисляе-
мой согласно формуле (1.49).
Если X(t} — нормальный СП, то ДЗР определяется формулой
/ад Е') = / 1	/Д* тх«)•	(1'50)
у/^^ХХ (/) I Л-'ХХ (О	J
В последнюю формулу входят mx(t) и Dxx(f), которые определены выше, и,
таким образом, установлен одномерный ДЗР выходного сигнала А(/).
Если тх (/) = 0, Dxx (0 = Dxx-> т0
fx(t\	= —।	ехР1-------—%2 С	(1-51)
Щ ’ P«dP Ч 2£>„ J
для рассматриваемого случая ДЗР не зависит от времени t.
Зная fX(tj (х), легко получить ответ на основной вопрос анализа: какова вероят-
ность Р5 того, что в любой момент времени работы системы в установившемся ре-
жиме СФ не выйдет за пределы отрезка [-8,+8].
Решение задачи дается формулой
+ 8	,	(	2 'I	( е X
Г 1	х ,	,	8
Р5 = I . exp <-----------ах = Ф ----- ,
_5Д2лЕ)уу [ IDxx]
где - \1^хх-> а *4* (z) _	1е — интеграл вероятностей.
Vkj0
Если 8 = 3<Ту, то Р5 >0,99.
Если распределение СП X(/) отлично от нормального, то можно воспользоваться
оценкой вероятности выхода из допуска по известным математическому ожиданию и
дисперсии.
Эта оценка следует из классической теоремы Чебышева [88]:
Если 8 = 3<Ту и тх = 0, то
7>[|х(()|>8]<1/9.
70 Статистическая динамика и идентификация САУ
Если известно, что кривая fx (х) симметрична и «одногорба», то [88]
. Z \2
При 5 = 3<зх
р[|а(/)| > 8] < 0,05.
Воспользовавшись приведенными формулами, можно дать вероятностную оценку
возможного «размаха» и невыхода его из допуска [88].
В предыдущем рассмотрении вопроса предполагалось, что
Х° = (х(0),х'(0),...,х(”-1) (0)) = 0.
Если поведение системы рассматривается при случайных начальных условиях,
то движение в силу принципа суперпозиции можно рассматривать как сумму двух
движений:
1) вынужденной составляющей, порожденной входом Y(ty
2) свободной составляющей, порожденной XQ 0 (случайный вектор).
Тогда А(/) = Ав(/) + Ас(/) и, следовательно,
Rxx = RxBxB (W2) + RxBxc (W2) + RxcxB (W2) + Rxcxc (h’h)-
Поскольку
X(t) = J^(t)E(/-t)<7t + x(0)x1 (/) + x'(0)x2 (/) + ... + %(” (0)хи (/),
о
где |(/),x2 (/),...,xn (/)} — нормальная фундаментальная система, то (полагаем,
что СВ и СФ центрированы):
h h
Rxx (М2) = J J*^(e )k(x)ryy (h -Tl,t2-x2)dTldx2 +
о 0
+ Ё jк(Т1 )xk	p(ti -Ti )*(/c_1) (O)pTi +
/c=1°	(1.52)
+ Ё j K (T2) хк (h )M ГЛ (0) Y(t2 - т2 )Ът2 +
Zc=l 0	L	J
+ Ё Ё M I"x(A|1} (°)%(/C21} (0)"| (л) xk2 (л) •
Zc1=l/c2=l L	J
Так как XQ — случайный вектор начальных условий и /(z) в задачах практики
обычно всегда независимы, то для вычисления дисперсий и корреляционных функ-
ций выходных сигналов достаточно сложить соответственно дисперсии и корреляци-
онные функции вынужденной и свободной составляющих выходного процесса Х(^у
fi h
КХх(Ч^2) = \\КМКЬ2)КГг(Ч -Т1,/2-Т2)^Т1^Т2 +
00	(L53)
+ Ё Ё ^p/C1-1) (Ф(/С2-1) (°)"К (л)ч М-
к =1 /с, =1 L	J
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
71
В заключение отметим, что рассмотренный метод носит в основном теоретиче-
ский интерес и в инженерных расчетах сложных САУ используется редко.
1.4. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ,
ОСНОВАННЫЙ НА ОПИСАНИИ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ В ФОРМЕ КОШИ
И ИНТЕГРАЛОМ КОШИ (АНАЛИЗ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ)
Выше было введено понятие пространства состояний (см. главу 1, т.1), поэтому
здесь будем пользоваться этим понятием. В предыдущем параграфе одномерная САУ
описывалась скалярным ДУ; здесь будем пользоваться описанием ДУ в форме Коши
(описанием в пространстве состояний).
Имеем
Х(/) = A(7)X(7) + B(7)Y(7) — уравнение состояния,
Хв (7) = С(7)Х(7)— уравнение выхода, X(7)1 _ =Х°,
I t—tft
воздействия и сигналы представляют собой вектор-функции, компоненты которых
являются скалярными функциями. Пусть Y ф) — случайная m-мерная вектор-
функция
Ее полной статистической характеристикой является многомерный закон совме-
стного распределения всех т случайных функций — компонентов этой случайной
вектор-функции. Даже для вектор-функции невысокого порядка такой закон громоз-
док и сложен, поэтому ограничимся рассмотрением только средних значений слу-
чайных функций-компонентов
mY. (7) = М(7)], i = l,m	(1.55)
и их авто- и взаимнокорреляционных функций
RY1YJ(t^) = M МОМ'О ’ 77
= l,w,
(1.56)
т.е. будем рассматривать задачи в рамках корреляционной теории. Если все эти
корреляционные функции расположить в виде квадратной т-матрицы
ryy (7,т) =	(/,т)|, i,j=\,m,	(1.57)
то с учетом выражения (1.56) легко заметить, что
Ryy(7,t) = TH Y(7)YT(t)
(1-58)
Матрица Ryy(7, т) называется матрицей корреляционных функций случайной
вектор-функции Y(7).
Если расположить средние значения случайных функций-компонентов случайной
вектор-функции в виде вектора
mY (/) =	(/),тУ2 (t),...,rnYm (/)]\
то из выражения (1.55) видно, что
ту(/) = 7И[У(/)].
72 Статистическая динамика и идентификация САУ
Вектор mY (О называется средним значением вектор-функции Y (7).
Матрица [Ryy (Ст)]	= Ryy (/,/) = Руу (/) называется матрицей корреляцион-
ных моментов вектор-функции Y(0, так как компонентами этой матрицы, как это
видно из соотношений (1.56), (1.57), являются корреляционные моменты случайных
величин, получающихся из случайных функций (О при одном и том же фиксиро-
ванном значении t их аргумента. Тогда по диагонали располагаются дисперсии
DYiYi(t) = M Yi(t)Yi(t)
случайных функций !)(/), поэтому матрицу Руу(0 называют еще иногда диспер-
сионной матрицей.
Рассмотрим вопрос вычисления среднего значения состояния и выхода ЛНС. Вы-
полнив над левой и правой частью выражений (1.54) операцию математического
ожидания и учитывая, что операции математического ожидания и дифференцирова-
ния коммутативны, получим
тх (/) = А(/)тх (/) + B(/)mY (/);
тхв (О = С(Отх(О’ [тх(0Lo = тх
(1-59)
Из сравнения уравнений (1.59) и (1.54) видно, что средние значения состояния и
выхода определяются по средним значениям входа и начальных условий с помощью
тех же алгоритмов, которые используются для определения самого состояния и
выхода ЛНС по ее входу и начальным условиям.
Получим уравнение, определяющее дисперсионную матрицу ЛНС. Вычитая из
уравнений (1.54) уравнения (1.59), имеем
о
(1.60)
(1-61)
Согласно формулам (1.58) и (1.59), получим
Продифференцировав это выражение, с учетом коммутативности операций диффе-
ренцирования и математического ожидания находим
(1-62)
Транспонируем уравнения (1.60), (1.61):
X т(/) = Хт (/)АТ (0 + YT (0в? (О’	(1’63)
<
ХЦГ) = Хт (г)С1 (/).	(1.64)
Подставив теперь в формулу (1.62) выражение для Х(0 и Хт (0 из соотношений
(1.60), (1.63), получим
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
73
Поскольку
(1-65)
(1.66)
где Ф(7,ф) —матрица перехода ЛНС (1.54), то
(1-67)
так как выходной сигнал и начальные условия обычно не коррелированы.
Уравнения (1.65) упрощаются для
Y(/) = N(/),
(1.68)
т.е. когда входной процесс есть вектор-функция, компоненты которой представляют
собой белые шумы. Если связь между компонентами также «белая», тогда
Кж(/Д) = 8(/)а(/-Х),	(1.69)
где 6(7-X) — диагональная m-матрица, составленная из смещенных дельта-функций;
SWHMOU j = 1,т — матрица интенсивности векторного белого шума N(7).
Если компоненты i = l,m взаимно независимы, то матрица S(7) —диагональная.
Если процесс N(7) имеет размерность, например, напряжения (Вольты), то раз-
мерность компонентов матрицы S(7) = |Дгу (/)}, i,j = 1,т равна, в соответствии с
физическим смыслом интенсивности белого шума, квадрату напряжения, поделенного
л g-	л
на круговую частоту — = В2с . Дисперсии Dn n компонентов пг(7) равны, согласно
В2
определению понятия белого шума, бесконечности, но если процессы являются реаль-
ными белыми шумами с ограниченным частотным спектром, шириной Дсог [с-1], то
7^и;иг. —	>
и члены, входящие в последнюю формулу, имеют размерность Su [В2-с], Доу в [с-1],
следовательно, Dnn в [В2].
С учетом формул (1.68), (1.69) выражение (1.67) приводится к виду
М N(/)XT(/) = |8(фё(^-л)Вт(л)Фт(л>ф/Л=|[8(фВт(л)Фт(цл)]__/.
74
Статистическая динамика и идентификация САУ
Множитель 1/2 учитывает тот факт, что момент приложения дельта-функции
совпадает с верхним пределом интегрирования [104]. Имея также в виду, что
Ф(/,/) = 1, получим
М N(/)XT(/)
|s(/)BT(<).
Аналогично нетрудно показать, что
М X(/)NT(/)

и уравнение (1.65) принимает вид
рхх (0 = А(')рхх W+ рхх (0 Ат (?) + В(<)S(<)Вт (1).	(1.70)
Матричному уравнению (1.70) — дисперсионному уравнению — эквивалентно п
скалярных уравнений, так как матрица ₽хх(/) имеет размерность пхп, но в силу
ее симметричности
?ХХу (0 = ?XXji (О’
,, ПЛ..	И2-П п(п + 1)
следовательно, уравнение (1.70) эквивалентно системе только —----\-п = ——-
скалярных уравнений с таким же числом неизвестных.
Если сигнал У(0 небелый (цветной) шум, то можно построить формирующий
фильтр, генерирующий сигнал Y(7) из белого шума N(/) [104]:
Y(0 = F(/)Y(0 + N(0,	(1.71)
где F(0 — известная матрица формирующего фильтра.
Введя в рассмотрение расширенный вектор состояния
исходную систему (1.54) и формирующий фильтр (1.71) опишем в виде единой сис-
темы
Хр (/) = Ар (z)X p(z) + Bp (/)N(z);	(1.72)
здесь матрицы
Га(/) в(/)1 Го"|
А (/) = V7 )';BdM= •
pV 7 |_ °	F(/)J	pV 7 L1
На входе системы (1.72), имеющей описание, аналогичное описанию исходной
системы, действует белый шум, и, следовательно, методика составления дисперсион-
ного уравнения (1.70) распространяется и на случай цветного воздействия. Диспер-
сионное уравнение, записанное для вектора Хр (/), помимо искомой информации о
рхх(0 несет не требующуюся в данном случае информацию о матрицах корреляци-
онных моментов
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
75
так как
PxA('W Xp«XpTW
Рхх(?)
Ryx(/)
Rxy (?)
Руу (?)
Это приводит к увеличению расчетной работы, так как размер матрицы F(/j фор-
мирующего фильтра окажется г и новому дисперсионному уравнению соответствует
(« + г)(« + г + 1)	г(г + 1)
--------------- скалярных уравнений, т.е. на nr -I——- уравнений больше.
Рассмотрим вопрос вычисления матрицы корреляционных функций ЛНС. Сущест-
вует несколько равноценных с позиции объема вычислений способов определения
матрицы Rxx(/,t). В качестве примера рассмотрим один из них.
Формула (1.66) описывает реакцию в момент t физически реализуемой системы
на начальные условия и сигнал, приложенный в момент ?0 (здесь ?0 < ?); следова-
тельно, должно быть Х(?) = 0, t < ?0.
Чтобы отразить этот факт, формулу (1.66) представим как
о	f	о
Х(?) = Ф(?,?0)1(?-?0)Х(?0) + 1(?-?0)|ф(?Д)В(Х)¥(Х)й?Х.	(1.73)
f0
Здесь I(? — ?0) = I • 1 [? — ?0 ] — диагональная «-матрица, составленная из смещен-
ных единичных функций
1[?-?о] = о, ?<?0;
<i[?-?0] = i, ?>?0;	С1-74)
1[? —?о] = 1/2, ? = ?0.
Согласно определению (1.58) матрицы корреляционных функций, формуле (1.73)
при t > т > ?0, свойству линейности операции математического ожидания, при усло-
вии (1.68) имеем
Rxx(',t) = JH Х(()Хт(т)
= М\ Ф(?,т)1(?
г
т)х(т)+1(?-т)|Ф(?д)в(х)х(х)<а
т
= Ф(?,т)1(?-т)М
Х(г)Хт(т)
+
Хт(г)
t
+1(?-т)|ф(?Д)В(Х)М
т
N(X)Xt(t) cCk,
так как информация о поведении системы на интервале [?q,t] заключена в сигнале
Х(т). С учетом формулы (1.73),
76
Статистическая динамика и идентификация САУ
М N(X)Xt(t) =
Г	пт'
т
= м N(X) ®(t,/0)I(t-^0)X(/0) + I(t-/0)J*®(t,^)B(^)N(^)<7^ •
\м N(^)NT(y Вт Ц)ФТ (гЛ)Л-1(т-/0) =
= /ккДи)ВтЦ)Фт(г,г;И-1(г-/о),
так как входной сигнал и начальные условия обычно не коррелированы,
М N(X)XT(/0) =0.
С учетом условия (1.69),
М N(X)Xt(t) = |8(Х)б(Х-^)Вт(^)Фт(т,ф^1(т-/о) = О,
так как дельта-функции, приложенные в момент = X, оказываются приложенными
вне пределов интегрирования этого интеграла, поскольку ^еД^ = [/0,т] и
X е ДХ = [т,/] (рис. 1.53).
0
У.	АХ
tQ	Т	t
Рис. 1.53. К определению пределов интегрирования
Тогда
Rxx(/,t) = M Х(/)Хт(т)
= Ф(/,т)1(/-т)Рхх(т), tQ<T<t.
(1-75)
Если tQ < t < т, то из формулы (1.73) при условии (1.68)
Х(т) = Ф(т,/)1(т-/)Х(/) + 1(т-/)|ф(т,Х)В(Х)Х(Х)^Х,
t
и аналогично предыдущему случаю нетрудно получить
Rxx(/,t) = A7 Х(/)Хт(т)
= рхх(01(т-0фТ(М’
(1-76)
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
77
Из физического смысла матриц	видно, что для получения описа-
ния Rxx(Ct) во всей области изменения аргументов достаточно сложить правые
части выражений (1.75) и (1.76):
кхх(?Л) = Ф(/,т)1(/-т)Рхх(т) + Рхх(/)1(т-/)Фт (v).	(1.77)
Формула (1.77) при t = т с учетом выражения (1.76) дает верный результат
Rxx (М) = 1\х (О’
Для вычисления матрицы корреляционных функций в соответствии с алгоритмом
(1.77) нужно располагать дисперсионной матрицей Рхх (7).
Согласно формулам (1.61), (1.64), определению понятия матрицы корреляцион-
ных функций (1.56) и свойству линейности операции математического ожидания
R
(1-78)
1.5. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
(АНАЛИЗ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ)
Этот метод можно отнести к основным методам статистического анализа ста-
ционарных систем [121]. Его достоинства — хорошая физическая наглядность, воз-
можность алгоритмизации и реализации на ЭВМ, пригодность для исследования
сложных автоматических систем, включая и случаи, когда динамические характе-
ристики (частотные характеристики) систем определены экспериментально.
Пусть на вход устойчивой стационарной САУ поступает стационарный СП У (7)
со спектральной плотностью Вуу(у>)- Требуется найти СПл и дисперсию выходно-
го сигнала системы в установившемся режиме.
Известно, что выходной сигнал в этом случае является стационарным процессом
А (7). Ранее для рассматриваемого случая была получена формула, определяющая
автокорреляционную функцию выходного сигнала А (7)
= f ]*£(еМт2)Яуу(т + Т1 -т2)«?т1Й?т2.
о о
Поскольку
00
^'xv(®) = z— ( ^Уг(т)е
271 Д
ТО
‘Sjct (®) = ~—j* j J^(Ti)^(T2)^yy (T + Ti-т2)е”7ЮТ<7т1<7т2<7т.	(1-79)
2 71 -00 О О
Так как
_ е-ую(т+т1-т2)e-JC0T2
то, записывая (1.79) в форме
^хх (®) = J£(т1)е/ЮТ1 j£(т2)е”7ЮТ2 — j Ryy	-т2)е 7f''(T+T| Т2^т<7т1<7т2
О	О	2Л -оо
78 Статистическая динамика и идентификация САУ
и учитывая, что
— I* Ryy (т + ч -т2)е 7®(T+T1	= Syy (со);
2л
jk{r^ej(S>Xxdxx = W(-Jco); j^(т2)е”7ЮТ2<7т2 = FF(jco),
о	о
получаем
Sxx (®) = W^W^-J^Syy (co).	(1.80)
Поскольку
(-/to) = (-P(ra) + У6(<о))(Р(га) - ;e(ra)) =
= [p2 (o>) + C2 (to)] = \W(,/<o)|2 = A2 (to),
TO
Sxx (®) = |^(>)| ^уу(со) = Л (со)5уу (co).
Таким образом, СПл выходного сигнала Sxx (со) стационарной устойчивой линей-
ной системы в установившемся режиме при стационарном случайном входном сиг-
нале равна произведению квадрата АЧХданной системы на СПл входного сигнала.
Теперь легко найти КФ и дисперсию выходного сигнала. В самом деле,
Лху(т)= J 5Л-Л-(со)еЛ"тс/со= ||1Т(./7о)|2 (со)еЛ',тс/со;	(1.81)
так как Dxx = Rxx (т) при т = 0, из (1.81) находим
Л«-(0) = £>„ = J|»'(yto)|2S1T(to)</to.	(1.82)
Имеем: дисперсия выходного сигнала устойчивой линейной стационарной систе-
мы в установившемся режиме определяется как интеграл от произведения квадра-
та АЧХ системы на СПл входного сигнала.
Формулы (1.81) и (1.82) позволяют определить КФ, дисперсию и СКО выхода по
СПл входа и АЧХ системы. Dxx и су^ значительно проще выражаются через СПл
воздействия, чем через его КФ.
Кроме того, при вычислении Dxx и <з2х через SYY (со) в качестве характеристики
системы используется АЧХ Ч(со) = |1К(,/со)| системы, которая явным образом может
быть выражена через параметры системы (ИПФ, как правило, явно не выражается
через параметры системы).
Формула
Dxx =g2x =2p2(co)Syy(co)<7co	(1.83)
о
весьма широко применяется при вычислении дисперсии и СКО выходного сигнала.
В задачах практики стационарная линейная система часто имеет полосу пропус-
кания, более узкую по сравнению с полосой частот входного процесса У(/). В таких
случаях оказывается возможным считать СПл У(/) постоянной в пределах полосы
пропускания САУ (рис. 1.54).
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
79
Положим, что СПл воздействия Syy (со) ® Sq, т.е. на вход поступает сигнал типа
белого шума. Тогда
D
i=2S0j'|>F(7Co)pCo.
О
При со = О
где К — коэффициент усиления системы. Представим
^(У<о)2.
2
2
тогда Dxx = <з2х « 21$,0Х2Дсо, где
W (усо)
<7 со
о
— эффективная полоса пропускания системы.
Величина Дсо имеет размерность частоты. Она является одной из характеристик
системы, связанной с ее АЧХ. Ясно, что если в пределах полосы пропускания САУ
СПл входа постоянна, то такой сигнал можно считать белым шумом по отношению к
этой системе (рис. 1.54).
Заметим, что применение приведенных формул по существу равноценно замене
действующего на систему стационарного случайного сигнала У (/) белым шумом с
постоянной спектральной плотностью. Если такое допущение неприемлемо, задача
вычисления дисперсии выходного сигнала А(/) получает следующее решение. Если
ограничиться классами СФ У(/), имеющих дробно-рациональные СПл, то
/ 2\ ^УуМ
м® =—Н?	<L84)
v ’ е«-(®)
где Руу(со2) и 2уу(со2) —многочлены.
Спектральную плотность, определяемую зависимостью (1.84), можно факторизи-
ровать, т.е. представить ее в виде
е ( 2\ ^уу (v®)^yy (_7®) _ е+ / . \	\	/1
5уу(со / . ч т _ ^уу (7®)^уу ( 7®)-	(1.85)
V 7	//>т(./со)Лг>,(-7со)
80
Статистическая динамика и идентификация САУ
С учетом (1.85) зависимость, определяющую дисперсию выходного сигнала,
можно представить в виде
Dxx = J 7 (ro)gyy (co)dco = 2л7и,	(1.86)
где
J- = 1 7 Лф'®)Вуу (/со) Вуу (-/со)	= J_7	Gn (У®)
N(j&)N(-j&)AYY(j&)AYY(-j&) “ 2л_'ооЯи(/со)Яи(-/со)
где Нп (/со), Gn (/со) — многочлены вида
нп (У®) = (У®)” + К f 1 + • • • + К;
Gn (У со) = g0 (У®)2” 2 + gi (У®)2” 4 + • • • + g„-i •
Вычисление Dxx по формуле (1.86) сводится к вычислению стандартного инте-
грала вида (см. Приложение 4).
Теперь можно записать алгоритм расчета дисперсий выходных сигналов систем,
заданных своими структурными схемами:
1-й этап. Нахождение ПФ замкнутой системы W(s) по ПФ отдельных элементов.
2-й этап. Нахождение спектральной плотности входного сигнала Syy (со).
3-й этап. Представление Спл Syy (со) в форме (1.85) (факторизация СПл)
5уу (со) — 5уу (/со)5уу ( /со).
4-й этап. Вычисление интеграла
1 CXJ
4 = — [ И^(/со)РГ(-/со)5’у7 (/со)*У^ (-/со)Ясо.
2л J
5-й этап. Вычисление дисперсии
®хх =	
Если АЧХ Л (со) и 5уу(со) определены экспериментально, то дисперсия может
быть найдена по формуле
D хх — j* S Хх (со) Ясо — j* A (co)gyy (co)cZco.
Значение последнего интеграла можно найти графически или вычислить на ЭВМ,
пользуясь известными методами.
Для нестационарных систем для частного случая удается получить удобную связь
статистических характеристик входа и выхода в частотной области.
Поскольку корреляционная функция Ryy (л-т) стационарного сигнала есть обрат-
ное преобразование Фурье от спектральной плотности Syy (со) этого сигнала, то
(1.87)
1 (JJ
Ауу(Х-т) = — j Syy (co)7ro^-T7co.
Выражение (1.46) с учетом формул (1.47) и (1.87) приведем к виду
Включив в подынтегральное выражение сомножители
= р	= ]
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ 81
а также поменяв порядок интегрирования, получим
1	00
= J	(1.88)
Отсюда видно, что RXx (tv,t2) есть обратное преобразование Фурье (в котором роль
временной переменной выполняет сдвиг 0 = /2 - h) от выражения в квадратных скобках
из (1.88). В связи с этим по аналогии с теорией стационарных систем обозначим через
SYY (®)w* (Мh)W(усо,t2) = sxx (усо,t{,t2)	(1.89)
текущую спектральную плотность установившегося выходного нестационарного
сигнала, которая в силу формулы (1.88) должна представлять собой преобразование
Фурье от Rxx (Д ,/2) п0 сдвигу 0 = t2 -
Sxx Лг) = J Rxx (?ьС)е /м°<'/0 = J Rxx (h ~+0)^ /м°<70.	(1-90)
Формула (1.89), являющаяся своеобразным аналогом формулы (1.79), из теории
стационарных систем показывает, как можно текущую спектральную плотность вы-
ходного установившегося сигнала ЛНС при стационарном входе вычислить с помо-
щью ее параметрической передаточной функции [104].
Формула для вычисления текущей дисперсии выходного установившегося сигнала
ЛНС при стационарном входе Dxx (?) легко получается из (1.88), (1.89) при tx = t2 = t
Dxx (?) = Rxx (t-j} = ~х~ f ^хх	(1-91)
Z71 Д
где
Sxx	= Syy (co)|FK(yco, t)\.	(1.92)
При подаче на вход ЛНС стационарного белого шума интенсивности 50 с корре-
ляционной функцией
(?1,/2) = SQ<O>(t2 -^)
формулы для дисперсии выходного сигнала приобретают наиболее простой вид: из
(1.45) с учетом условия = t2 = t имеем
Dxx (^)= Sq JА; (?,Х)б7Х;
о
из формул (1.91), (1.92)
Dxx = 2л J (7C0,Z)|2 d&'
Рассмотренный метод нашел широкое инженерное применение при статистиче-
ском исследовании и синтезе достаточно сложных стационарных линейных систем,
работающих в установившимся режиме. Важную роль в этом подходе играет физиче-
ская прозрачность процессов, возможность использования экспериментальных дан-
ных, связанных как с определением динамических характеристик САУ (АЧХ), так и
построением спектральных плотностей действующих в системе сигналов.
Пример 1.3. На вход системы с передаточной функцией W(5) = K^Ts +1) поступает сигнал с КФ
RYY(r) = DYYe~a^.
Найти дисперсию выходного сигнала, предполагая, что при t = 0 система имела нулевые начальные
условия, а режим работы — установившийся.
82
Статистическая динамика и идентификация САУ
Найдем спектральную плотность
S„ (со) = F {R„ (т)} =	?
л: а +со л (jco + a)|_(-jco) + aJ
Дисперсия выходного сигнала определяется выражением
^(-уЮ)>г(>)(;ю+^ю)+п](/ю.
_ 2лР)ТаА' ( 1 J__________________1__________________d J =
71	t2л i [Г(>Ю) + 1][Г(->Ю) + 1](>Ю + а) [(->) + а]	)
_ 2пОууиК | 1 7	1	j | _
71	^2nJoo[(7’(jco) + l)(jco + a)][(7’(-jco) + l)((-jco) + a)] J
_ 2~Dyyc).K f 1 J G(jco)
п ^2n: *ooH(jco)H(-jco) J
2лОууаК T/a	2~DyyK 1	2nK2 Dyy	K2DYY
n 27’(7’a + l) n	2(Га + 1) 2л(Га + 1) ra + l
Пример 1.4. Рассмотрим важную при решении широкого спектра практических проблем проектирова-
ния изделий, установленных на движущихся объектах, задачу исследования их надежности, когда в усло-
виях эксплуатации действуют случайные вибрационные нагружения.
Один из путей решения поставленной задачи — натурные испытания: изделие устанавливается на
транспортное средство и далее реализуется процесс транспортирования по соответствующему полотну и
нужное время.
Несмотря на высокую достоверность результатов, натурные испытания имеют ряд существенных не-
достатков: испытания являются чрезвычайно дорогостоящими, требуют больших людских и материальных
ресурсов, больших затрат времени.
Второй путь, позволяющий устранить указанные выше недостатки, состоит в том, что близкое к ре-
альному вибрационное воздействие на изделие можно реализовать с помощью специального оборудования
— системы вибрационных испытаний (СВИ), структурная схема которой представлена на рис. 1.55.
Рис. 1.55. Типовая структурная схема однокомпонентной СВН:
1 — регулятор; ЭВМ с преобразователями «код-аналог» и «аналог-код»; 2 — усилитель мощности;
3 — вибростенд; 4 — изделие с амортизатором; 5 — датчики; 6 — идентификатор динамических
характеристик системы «вибростенд-амортизатор-изделие»
Назначение СВИ — с необходимой точностью воспроизводить испытательные сигналы т(/). По-
скольку динамические характеристики СВИ изменяются за счет присоединенной массы «амортизатор-
изделие», для идентификации динамических характеристик системы «вибростенд-амортизатор-изделие»
служит элемент 6 (идентификатор ). Информация от идентификатора поступает на элемент 1, назначение
которого — расчет параметров и реализация корректирующего фильтра (в классе цифровых фильтров),
обеспечивающего воспроизведение испытательного сигнала с заданной точностью.
В качестве изделий могут служить подвижные узлы связи, установленные на транспортных средствах,
вертолетах, самолетах и др.
Основные положения важного направления в теории автоматического управления «Идентификация»
изложены в главе 4.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
83
Для примера положим, что изделием является подвижный узел связи, установленный на автомобиль-
ном транспорте.
При транспортировании изделий подвижных узлов связи автомобильным гране портом внешние воз-
действия со стороны дорожного полотна носят явно выраженный случайный характер. Функции распреде-
ления неровностей дорог близки к нормальным, а процесс нагружения при постоянной скорости движения
агрегата является квазистационарным и эргодическим [29].
Поскольку эти сигналы являются случайными, то задача определения статистических характеристик
испытательных сигналов сводится к вероятностному исследованию системы <щорога-шина-автомобиль» [29].
Выходной сигнал этой системы определяет вибрационное нагружение, действующее на изделие, и, та-
ким образом, является испытательным сигналом СВИ.
Известно, что с помощью электродинамических вибростендов можно имитировать случайные колеба-
ния с дискретным и непрерывным спектром в очень широком диапазоне частот. Найдем статистические
характеристики случайных вибраций кузова автомобиля. Положим, что имеет место микропрофиль доро-
ги, когда воздействия на левые и правые колеса как передней, так и задней пары равны. Тогда передаточ-
ная функция от дороги к вертикальному перемещению подрессоренной массы при некоторых допущениях
имеет вид [29]
м =, „	. •
Н- U\S И- (2 2-S’ "I” dyS И- (2q
где я4 — М  т, а2 — М(/^ + гш) + т • rj,, а2 — М(?, + Сш) + Срт + rj, • гш, щ — СрГш + СшГр, Oq — СрСш, *2 —	’
Для автомобиля ЗИЛ 130 имеем [29]:
•	М = 2,05 кГс-с2/см —подрессоренная масса;
•	т = 0,5 кГс • с2/см — неподрессоренная масса;
•	Ср = 300 кГс/см — жесткость рессоры, являющейся функцией деформации рессоры;
•	гр = 10 кГс • с/см — коэффициент сопротивления амортизатора;
•	Сш = 1200 кГс/см —жесткость шины;
•	гш = 1,5 кГс • с/см — коэффициент вязкого трения в шине.
Тогда
W (А . Г(5) _ __________15?+124505 + 360000__________
“	~ X (5) “ 1,025? + 28,575? + 3240? +124505 + 360000 ’
Пусть источник вибрационного нагружения имеет следующую корреляционную функцию:
Ryy (т) = /)ууе''^.
Спектральная плотность определяется соотношением
<г 1 = ^YY а = a^YY_______________1________
77 п с?+со2 п (jco + a)((-jco) + a)
АЧХ системы Л (со) с передаточной функций (1.93) имеет следующий вид:
j2 / \ _64СО4 +Ь2(О2 +Ь0
\ /	8	6	4	2	’
+ 6Z2CO + (2q
где
й4 =225; *2 =144202500; *0 =129600000000;
а8 =1,050625; а6 = -5825,469375; а4 = 10524082,5; а2 = -2177797500; а0 = 129600000000.
Тогда
$ХХ (®) = А2 (со) 77 у-
Л a + со
Перепишем (1.94) в форме
42	=*2(jco)4+*;(jco)2+*o 1
(2д (у©) + Cly ^усо) + $2 (^усо) +	+ Cl^ ^4 (	“Ь ^2 (	( J®*) +
Л2 (to) =_________/ЦСР4 ~*1К>2 +*0__________________________1_________________
(а4со4 -а2(о2 +«о) + jl -я3со3 +я1со) («4со4 - а2(о2 +а0 )- 71 -алх + «[со)
Q
Q
84
Статистическая динамика и идентификация САУ
Тогда
2 / \	Z?20) ДсО + Z)g	Z?2CO ДсО Т Z)q
[Р(го) + ;д(го)][Р(го)-Л?(го)] Р2(со) + 22(со)’
где
Р (А) + Q (®) = ^4	+ ) — 2<72<74 + $3 ) СО + ^2cZgCZ4 + С12 — 2cZ|CZ3 ) СО + )—2<7g<72 + CZ3 ) СО + CZg .
Приравнивая (1.94) и (1.95), находим систему алгебраических уравнений:
Z>2 = Z>4; Д = —Z>2; b0 = b0;
a4=a8; -2a2a4 + a2 = a6; 2a(la4+ a2-2а^а3 = a4; _2a0a2 + a2 = a2; а$=а0.
Отсюда находим значения коэффициентов:
b2 = 225;	= -144202500; b0 = 129600000000;
а4 =1,0125; а3 =28,575; а2 =3240; а3 =12450; а0 =360000.
Имеем
=J	j------------—-----------------------------------_4м,
-» a4(jco) + a3(jco) + a2(ja>) +«ijco + a0 l(jco+a)
P\ \' — A (со)5уу<7со— 2аТ>ггД,
где
=J_ j____________________________b2(j^ +bj(jm}2 +b0__________________________
271-/ |<74(/?о)5 + (a3 +a4a)(jco)4 +(a2 + a3a)(jco)3 + (а3 +a2a)^j(o)2 + (a0 +a1a)jco+a0a|
Далее воспользуемся табличным интегралом (см. Приложение 4)
С = {,Sob2h3h4h5 -gah2h5 -g0^iA^5 +	-Zzog1A3A4A5 + /z0g1/z2/z5 +hahig2h4h5 —
—Zz0A1A2g3A5 + b^h^g^ — /г0Д g4h4 — h0 g2h5 + Z?o h3g3h3 — Z?o g4h3 +h 0 A । g4h3
I(—2Z/qA^ (—hih2h3h4 + h\h2 b4 4- Zz3 h4 4 — 2Л3ЛдЛ4Л3 + ^0^3 b4 — hah3h2h3 + Лд h 3 )^,
где
g0=0; g1=0; g2=b2; g3=bi, g4=b0;
h0=a4; hi=(a3+a4ay, h2=(a2+a3ay, Л3=(а1+а2а); Л4=(^о+^1а)^ h5=aoa;
тогда
= (-1)—A =/37202947774689416693a + 346473341660096001a2 +1242817760985470 la3 +
2ИцМ5 V
+92965385650500111481)/(185930771301000222963a + 6430105840826259756a2 +
+1673376941709002077a3+14758254972016906a4 +529386223843126a5).
Далее рассмотрим конкретные дорожные покрытия [29]:
•	для a = 8, Dyy = 1 (покрытие асфальтное)
Д = 0,14791627579575; Dxx = 2,36666041273201 см2;
•	для a = 4, Dyy = 9 (щебеночное шоссе)
Ц =0,25898819096004; Dxx = 18,64714974912267 см2;
•	для a = 4, Dyy =16 (проселочная дорога)
Ц =0,25898819096004; Dxx = 33,15048844288474 см2;
•	для a = 2, Dyy = 50 (дорожное покрытие находится в плохом состоянии)
Д =0,41062145955086; Dxx = 82,12429191017213 см2.
На рис. 1.57, 1.58 приведены графики спектральных плотностей, а на рис. 1.56 — испытание телеграф-
ного аппарата (ТА) на действие транспортных вибраций.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
85
Рис. 1.56. Испытание ТА на действие транспортных вибраций
Рис. 1.57. Спектральная плотность ( а = 8,	= 1; а = 4, D}T = 9 )
Рис. 1.58. Спектральная плотность ( а = 4, D}T =16; а = 2, D}T = 50 )
86 Статистическая динамика и идентификация САУ
1.6. ФОРМИРУЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ
Важное значение при создании современных систем управления приобретает во-
прос практической реализации случайных процессов с заданными статистическими
характеристиками. Этот вопрос имеет большое значение при решении таких задач,
как задача статистического анализа, оптимальной фильтрации, идентификации и т.д.
Эта проблема, рассматриваемая в рамках корреляционной теории, получила в
теории управления название задачи о формирующем фильтре. При этом форми-
рующий фильтр представляется как система, выходной сигнал которой X(t} име-
ет заданную корреляционную функцию Rxx^h^i) (или, в стационарном случае, за-
данную спектральную плотность Sхх(со)) при условии, что на ее вход поступает
белый шум У(/). Предполагается также, что сигнал А(/) является непрерывным в
среднеквадратичном процессом. Отметим, что сформировать случайный процесс
можно не только из белого шума, но и из другого процесса, который имеет более ши-
рокий спектр, чем тот, который требуется сформировать. Использование понятия
белого шума существенно упрощает аналитические расчеты, хотя и создает про-
блемы в плане практической реализации, поскольку белый шум является физически
нереализуемым процессом. Это означает, что на практике в качестве белого шума
используются процессы, имеющие постоянную спектральную плотность только в
некоторой ограниченной полосе частот.
При решении задачи о стационарном формирующем фильтре требуется показать,
что X(t} может быть представлен в виде
t
x(t) = /Чф (z -т)	С1-96)
о
где £фф (т) — ИПФ формирующего фильтра, и дать конструктивный метод нахожде-
ния £фф(т) или передаточной функции Jf^(,y) фильтра.
Задача о формирующем фильтре получила решение для стационарных, в широком
смысле, процессов, спектральная плотность которых является абсолютно непре-
рывной и удовлетворяет неравенству
г|---(1.97)
-00 1 + СО
В частном случае дробно-рациональной спектральной плотности требуется,
чтобы передаточная функция И^ф (5) относилась бы к классу минимально-фазовых.
Рассмотрим вопрос определения передаточной функции формирующего фильтра.
Как известно, при прохождении случайного стационарного сигнала через линейную
устойчивую стационарную систему (в качестве которой в данном случае выступает
формирующий фильтр) имеет место следующее соотношение, определяющее спек-
тральную плотность установившегося случайного процесса на выходе системы:
м®Нм.н|Ан®)>	о-98)
где 5уу(со) — спектральная плотность входа, Sxx (ю) — спектральная плотность
выхода, 1Кфф (/со) — передаточная функция системы.
Поскольку входным сигналом является белый шум, то
SyY (со) = 50 = const.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ 87
Для простоты будем считать 50 = 1. Таким образом,
Sxx (®)= |^фф (7®)| ’	0 -99)
т.е. квадрат АЧХ формирующего фильтра должен совпадать (с точностью до постоян-
ного множителя) со спектральной плотностью сигнала, подлежащего формированию.
Для дальнейших рассуждений важно отметить, что спектральная плотность
стационарного случайного процесса является действительной, четной, неотрица-
тельной функцией со при действительных значениях со.
Так как рассматривается случай дробно-рациональной спектральной плотности, то
М«>)=44	(1л00)
7 Л(со)
где Л (со) и 5 (со) —многочлены с действительными коэффициентами, содержащие
только четные степени со (это следует из четности спектральной плотности).
Спектральная плотность SXx (со) может быть представлена в виде
(®) = ^'7% (7®)^ат (./®)->	(1.101)
где бДД/со) содержит нули и полюсы функции SXx (со), расположенные в верхней
полуплоскости, и является ограниченной и аналитической функцией в нижней полу-
плоскости; 5')^ ( /со) содержит нули и полюсы функции SXx(со), расположенные в
нижней полуплоскости, и является ограниченной и аналитической функцией в верх-
ней полуплоскости.
Для действительных значений со
^хх(./ы)= ^хт(_7®)	(1.102)
и, следовательно,
*$хт(®) = ^хт(7®)^хт(_7®) = |^ах(7®)| •	(1.103)
Очевидно, функция 5'^ (/со) обладает всеми свойствами, которыми должна обла-
дать передаточная функция устойчивой линейной стационарной минимально-фазовой
системы.
Имеем
Sxx С/®) Sxx ("7®) = |^фф С/®)|2 = ^фф (7®) ^фф (-7®) •	0•1°4)
Отсюда следует
^ФФ ( 7®) = Sxx ( 7®) •	(1.105)
Таким образом, разложив спектральную плотность формируемого сигнала на
комплексно-сопряженные множители, легко определить передаточную функцию
формирующего фильтра.
Пример 1.5. Пусть необходимо сформировать случайный сигнал, имеющий следующую спектраль-
ную плотность:
(1.106)
сх + со
(соответствующая корреляционная функция R-,x (т) = De	).
Разложим спектральную плотность на комплексно-сопряженные множители
=	(1.107)
а +со	l + jco/а 1-уго/а
Очевидно, что передаточная функция формирующего фильтра в этом случае будет иметь вид
0108)
где К = yj2D/a, Т = 1/а.
88
Статистическая динамика и идентификация САУ
При более высоких степенях полиномов разложение спектральной плотности на
сомножители может составить определенные трудности. Тогда можно воспользо-
ваться следующим приемом.
Пусть в общем случае
w ,' bmsm+bm_lsm~l+... + b0 M(s\
ФС1Л } ansn+an_lsn~l+... + а0 N(sY
g(co) Вт^т+Вт^т^+... + В0
И Лисо2и +	+... + Л
Тогда несложно получить следующие зависимости:
А)= ао '>
Д = а2 - 2а0а2;
А2 =а2 - 2^03 + 2 а0 а4;
А3 = а% -2а2а4 +2ага5 -2а0а6;
А4=а% - 2а3а5 + 2а2а6 - 2аха1 + 2д0д8;
(1.109)
(1.110)
(1-111)
Bq — ’
В\ = — 2&0&2;
S2 = b2 - 2Ьф3 + 2bQb4;
З3 = bj - 2b2b4 + 2Ьф5 - 2bQb6;
В4 = b4 - 2b3b5 + 2Ь2Ь6 - 2^67 + 2ЬцЬ%;
Эти формулы позволяют вычислить коэффициенты в формуле, определяющей
спектральную плотность выходного сигнала системы по известным коэффициентам
передаточной функции системы. Но, с другой стороны, эти же соотношения можно
рассматривать как две несвязанные системы уравнений, которые позволяют по из-
вестным коэффициентам полиномов в дробно-рациональной спектральной плотности
определить неизвестные коэффициенты передаточной функции формирующего
фильтра. При решении систем можно считать, что все коэффициенты дг > 0, что вы-
текает из необходимого условия устойчивости фильтра, и все bj > 0, что соответст-
вует минимально-фазовой системе.
Решение указанных систем уравнений можно заменить решением одного уравне-
ния. Если разложить полином Л(со) в виде произведений двучленов
Л (со) = Ап (со2 +с1 j1 (со2 +с2) 2 х...х(со4 +qco2 -i-cZj1 (со4 +е2со2 + d2 )2...,	(1.113)
где к; и /г — кратности вещественных и комплексно-сопряженных нулей этого по-
линома относительно со2, то полином A(^) в знаменателе передаточной функции
будет иметь вид
z _______________ 4	(1.Н4)
С| + 2^s + yj| (.v + ^с?2 + 2^с/25 + с/2 | ....
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ 89
Таким образом, основные вычисления сводятся к определению корней полинома
Л (со) относительно со2, т.е. к решению алгебраического уравнения
A„z"+A„_lz"-'+... + A<>=0,	(1.115)
где z = со2.
Очевидно, что все приведенные рассуждения касаются и полиномов 5(со) и М (5).
Пример 1.6. Пусть спектральная плотность выходного сигнала определяется формулой
е ( 4	2500
о уу I СО ) — о <	л	о
v ’ го8-9гоб+559го4 +3069га2 +2500
Найдем корни знаменателя. Решение уравнения четвертой степени
z4 - 9z3 + 559z2 + 3069z + 2500 = 0
дает следующие значения корней:
Z1 = ®1 = — U z2 = ®2 = —Т -3.4 = ®3,4 = 2 — j24.
Соответственно полином в знаменателе (го) может быть представлен так:
А (го) = (го2 + 1)(го2 + 4)(го2 - 7 - у24)(го2 - 7 + J24) =
= (го2 + 1)(го2 +4)(го4 -14га2 +625).
Тогда полином А^(>у) будет иметь вид
N(s) = (s + l)(s + 2)(s2 +65 + 25).
В результате получим следующую передаточную функцию формирующего фильтра:
w / ч ______________________________50________
(5+1)(5 + 2)(s2 +65 + 25)
Значительно более сложной является задача формирования нестационарных слу-
чайных процессов [11].
1.7.	АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ
Количественная оценка качества системы составляет основу задачи анализа и ин-
женерного расчета.
Для количественной оценки качества системы применяются показатели качества.
Показатель качества — это число, характеризующее в принятой системе единиц
свойство системы. Этот показатель зависит от характеристик системы, ее парамет-
ров, входных функций и возмущений. Различают анализ по априорным и апостери-
орным данным. Анализ по априорным данным состоит в определении показателей
качества по известным вероятностным характеристикам входных переменных и па-
раметров исследуемой системы [48]. Именно в такой постановке ведется дальнейшее
рассмотрение вопроса исследования точности САУ.
В [50] подробно рассматриваются вероятностные показатели качества САУ.
К ним относятся:
1)	средний квадрат ошибки;
2)	обобщенный средний квадрат ошибки;
3)	вероятность превышения сигналом ошибки заданного значения;
4)	показатель накопления ущерба;
5)	показатель правдоподобия;
6)	число выходов ошибки из заданного интервала;
7)	обобщенный средний функционал.
Кроме того, в [50] рассматривается понятие показателя эффективности, которым
является критерий эффективности — вероятность получения заданного результата,
90 Статистическая динамика и идентификация САУ
причем под эффективностью САУ понимается успешность выполнения поставлен-
ной задачи.
Далее будет рассмотрен вопрос анализа точности САУ при случайных воздейст-
виях в традиционной постановке (1.59).
Пусть т(/) — полезный сигнал; — помеха; А(7) — выходной сигнал сис-
темы; т(/) и не коррелированы,	=Л/[«(7)] = 0.
Сигнал ошибки <т(/) — это отклонение фактического выходного сигнала от по-
лезного сигнала m(t}. Сигнал ошибки есть случайная функция времени, а при фик-
сированном времени — случайная величина (рис. 1.60).
У(/)=т(/)+и(/)
Система
ДО
Рис. 1.59. К постановке задачи анализа точности
Рис. 1.60. Сигнал ошибки
На основании понятия сигнала ошибки вводят функцию потерь
Z(ct(z)) = Z(x(/),w(z)),
характеризующую потери в качестве динамической системы в текущий момент
времени t. Функция потерь также случайная. Поэтому за показатель качества сис-
темы принимают МО функции потерь — средний безусловный риск
+00 +оо
р = м[/(Х(/),т(/))]= f f	,m}dxdm,
где /(x, m) — дифференциальный двухмерный закон распределения.
При различных формах функции потерь l^X(t},m(tty получаются конкретные
показатели качества. В практических задачах анализа применяют следующие показа-
тели качества:
1) СКО — среднеквадратическая ошибка
М [а2 (/)] = М X (/) - т (/))2 ];
2) вероятность превышения ошибкой заданного значения
р = р{|а(/)| = |у(/)-т(/)|>б}.
При решении инженерных задач наиболее часто используется СКО.
Из анализа рис. 1.61 можно сделать вывод, что общая ошибка состоит из ошибки,
обусловленной неполной «отработкой» полезного сигнала m(t}, и ошибки, обуслов-
ленной отработкой сигнала «(/).
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
91
Рис. 1.61. К постановке задачи анализа точности автоматических систем
Перейдем к соответствующим аналитическим рассуждениям.
Имеем <т(/) = т(/)-А(7) — мгновенное значение сигнала ошибки. Тогда (после
формального применения преобразования Лапласа)
=M(s)~ A(s) =Л/(5')-Лг(5')[Л/(5') + А(5')] =
= M(S)-IV(S)M(S)-IV(S)N(S)=	(1]]6)
= (1 - Л^))лф) - Иф)А(^) =
ПФ Wa (5) = 1 -17(5) называют передаточной функцией сигнала ошибки.
Из (1.116) следует структурная схема формирования сигнала ошибки (рис. 1.62).
Имеем (/) = X^t)- X2(t} — мгновенное значение сигнала ошибки; тст = т = тх^ = 0.
Рис. 1.62. Структурная схема системы, формирующей сигнал ошибки <т(ф
Найдем формулы, определяющие автокорреляционную функцию, спектральную
плотность и дисперсию сигнала ошибки:
(т) = М[(X, (/)-Х2 (/))(X! (/ + т)—Х2 (/ + г))] =
= Af[x, (ЩЩ + ЩХ, (t)X2 (г + т)-Х, (Щ, Щт) + Х2 (l)X2 Щт)] =
= йад (т)-йвд (y~Rxx (X)+Rx2x2 (т)-
Поскольку т(/) и не коррелированы, a и Х2(Г) порождены некорре-
лированными сигналами и, следовательно, сами не коррелированы,
Rxx. (т) = Rx-x} (т) = °,
и, таким образом,
RXPRxx(XRxxP)	О-ИТ»
— корреляционная функция сигнала ошибки.
92 Статистическая динамика и идентификация САУ
Преобразуя обе части (1.117) по Фурье, найдем
(®) = ^ХгХг (®) + $Х2Х2 (®)
— спектральная плотность сигнала ошибки.
Теперь легко записать выражение для дисперсии сигнала <у(/) стационарной ус-
тойчивой системы в установившемся режиме:
+оо	+оо
Лта = СУ2 = J 5СТСТ (со)с/cd = j	(со) + SX1X2 (со)] с/со = СУ-I- СУ2.
Ясно, что СПл сигнала ошибки состоит из двух составляющих и :
1) составляющей, определяемой выражением
sx^ (®) = |1 - (Усо)|2 Smm (со) = |j+CT (усо)|2 Smm (со)
(эта формула описывает СПл составляющей сигнала ошибки через СПл полез-
ного сигнала т(/) и через передаточную функцию ошибки J+CT(jco); эта со-
ставляющая определяется тем фактом, что полезный сигнал т(/) из-за «конеч-
ности» и «непрямоугольности» АЧХ отрабатывается не полностью, с искаже-
ниями (рис. 1.63));
2) составляющей, описываемой выражением
sx2x2 (®) =	(>)|2 Snn (со)
(эта формула определяет СПл составляющей сигнала ошибки через спек-
тральную плотность помехи 5ии(со) и через ПФ замкнутой системы по от-
ношению к возмущающему воздействию).
Рис. 1.63. К иллюстрации понятия составляющей ошибки системы:
А (®) — АЧХ идеальной системы, обеспечивающей отработку сигнала /«(/) без ошибки;
Др (со) —АЧХ реальной системы
Рис. 1.64. К иллюстрации понятия составляющей ошибки <т(ф
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ 93
Ясно, что в идеальной системе сигнал «(/) не должен отрабатываться, но в связи
с тем, что АЧХ ЧДсо) реальной системы и 5ии(со) «перекрываются», появляется
составляющая X2(t) в сигнале ошибки (рис. 1.64).
Из сказанного следует, что отработка сигнала т(/) без ошибки возможна в слу-
чае, если спектры Snn (со) и Smm (со) не «перекрываются», а АЧХ системы является
прямоугольной (рис. 1.65).
Рис. 1.65. К иллюстрации понятия ошибки <т(/)
У(р=т(0+ц(0 +	£(/)
Рис. 1.66. Структурная схема замкнутой системы
На основе изложенного выше выражение для СПл сигнала ошибки имеет вид
5аа (со) = 11 - 1F(7Co)|2 Smm (со) + И»!2 Snn (со).	(1.118)
Положим, что рассматривается замкнутая система (рис. 1.66). Тогда
V 7 l + lFp
1-Иф) = 1-
1
(1-Н9)
Подставив в формулу (1.118) полученные зависимости, получим
2
2
1
(1.120)
Последняя формула позволяет определить спектральную плотность сигнала
ошибки 5стст(со) по заданным спектральным плотностям полезного сигнала 5';я;я(со)
и помехи Snn (со) и ПФ разомкнутой системы РКр (/со).
Среднее значение квадрата сигнала ошибки (дисперсия) определяется выражением
2	+00
$тт (го)с7сО+ J
2
$пп	— <5т + СТ„.
+оо
=а2 = Г
1
94
Статистическая динамика и идентификация САУ
Анализ точности САУ включает выполнение следующих шагов:
1.	На основании кривых случайного процесса полезного сигнала т(/) и помехи n(t}
определяют соответствующие им корреляционные функции Rmm (т) и Rm (т).
2.	По графикам корреляционных функций определяют функции спектральных плот-
ностей З';я;я (со) и 5ии(со) в форме дробно-рациональных выражений.
3.	Методом неопределенных коэффициентов представляют З';я;я(со) и 5ии(со) в виде
(факторизация)
^тт (®) — ^тт (У®)^тт (У®)> $пп (®) — $пп (У®) $пп (У®)•
4.	Записывают общее выражение для среднего значения квадрата сигнала ошибки
(дисперсии сигнала ошибки) через СПл и ПФ системы.
5.	Определяют с помощью таблицы стандартных интегралов составляющие а^рз2
(см. Приложение 4).
6.	Путем суммирования составляющих находят дисперсию сигнала ошибки сг.
Часто задача исследования точности работы САУ ставится так.
На вход системы подается управляющее детерминированное воздействие g(t) и
помеха n(t}, т.е.
где — стационарная случайная функция.
Задача заключается в нахождении значения показателя качества, определяемого
формулой
—2 _ 1 , —2
где г(/) =	---— — установившаяся ошибка отработки детерминированного
/с=о !
сигнала g(/),	— составляющая помехи, порожденная действием помехи n(t}.
Может рассматриваться и случай, когда
T(y)=#W+wW+zzW’
где g(/) — детерминированная составляющая полезного сигнала, m(t} — случай-
ная составляющая полезного сигнала, n(t} —помеха.
Тогда
—2	2	—2	—2
СУ — £ + СУ„, + СУ,,
Пример 1.7. Пусть к системе (рис. 1.67) приложены полезный сигнал т(1) и помеха и(1). Заданы
спектральные плотности сигналов /«(/) и и(ф:

^тт (®)
’ $пп (®)	^0-
Y(t)=m(t)+n(t) +
Рис. 1.67. Структурная схема системы
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
95
Сигналы /«(/) и и(/) не коррелированы; их математические ожидания равны нулю. Сигнал X (Г) на
выходе системы должен быть близок к полезной составляющей т(1), поэтому ошибка системы равна
су (7) = m(t}~ х (1).
Найдем W (у со) и 1УП (yco):
У(,ю), ” " = ' I =__________________«______;
1 + 1Кр(усо) Т52+5 + 7С|5=у(О тую)2+j(i> + K
W(j^ =_____*____=	+	= Г(»2+>
1 + 1Кр(усо) 5(75+1) + К s=j!si T(jn)2+jn+K
Найдем спектральную плотность сигнала ошибки
Уо (®) =	(>)5mm (со) + W(ja)Snn (со) =
усо(7усо + 1)
^(j®)2 + j® + K

Дисперсия равна
= j 5аа(со)с/со.
Вычислим значение интеграла, пользуясь формулами для стандартного интеграла. Представим Smm (со)
в виде
Имеем
2 о '	/ г/ ап 1	[	+7®][^(-7®) +(-7®)]
m=2n — j	=4Dmma— J R L ------------L---------------,	=
L2jIi	J —+ja+K T(-yco)2-yco+7C (a+yco)(a+(-yco))
1 г	[7"2co4+ co2]c/co
271-co {|V(yco)2 +yco+K?][yco+a]|^7’(-yco)2 +(-yco)+7c][(-yco) + a)]J
1	т-2 4 ।	2
_ 1 r	T co + co	.
Д— P----------------------------------------=n=-------------------------------------=r«CO =
2л, I T'(y'co) + (7a +1)(yco) + (7C + a)(yco) + Kcl T’(-yco) +(7a+l)(-yco) + (A? + a) (-yco) + K?a |
-Д ' ? GC°)
2л Д, 77 (yco) 77 (-yco)	1 Л()Т/3
Вычисляя значение (1.121), получим
—2 = ^Dmma(l + aT + KT)
°т К + а + а2Т2 ’
Найдем (см Приложение 4)
(1-121)
Л
271-оо [г (у со)2 + у со + Тс] [г (-у со)2-усо + 7с]
Дисперсия сигнала ошибки равна
-2 _2Dmm^ + ^T + KT)
СТ —	+ ТТо л л.,
К + а + а2Т2
Рассмотрим еще один случай, когда на вход поступает сигнал вида [64]
т(0=^(0+и(0’
где g(l) —детерминированный полезный входной сигнал; и(/ ) —помеха.
Ясно, что расширение полосы пропускания системы приводит к тому, что сигнал g(l) отрабатывает-
ся с меньшей ошибкой, но вместе с тем увеличивается составляющая ошибки, связанная с отработкой
помехи и(1).
96 Статистическая динамика и идентификация САУ
Для рассматриваемого случая критерием качества системы является
2	2	—2
о = е +о„,
где !:(/) —установившаяся ошибка отработки полезного сигнала g(z), которая определяется выражением
е (0 = Cog (г) +	g' (ф +... +	gW (г).
Здесь Ск — коэффициенты ошибок; для них справедлива формула
4 = 0.1,2.
Составляющая й3 определяется уже приведенным выше выражением
°« = j |^(>)|25ии(го)с/го.
Рассмотрим конкретную систему (рис. 1.68). Полезный входной сигнал имеет вид g(z) = hyt, а помеха
— белый шум с нулевым средним и спектральной плотностью Snn (со) = So. Динамическая ошибка равна
где — ПФ замкнутой системы.

СО»
ф+2^со„)
Рис. 1.68. Структурная схема системы
Имеем
= ^„/s(s + 2^„) = со3 = со"
1 + ®«/ф + 2^сой)	ф + 2£гой) + го„ s2+2t,a>„s + m2
— ПФ замкнутой системы.
Тогда
гл/ / 1 _ 1 _ [ {/ Л Д — I_22^______—	~	Д2£)(О;,Х
уу& I? 7 “1 УУ V 7 “1	2 .	. 2 “	2 .	.	2	“ 2 .	.	2 ’
у + 2^cowy + оу, у + 2^cowy + cow у + 2^cowy + cow
Ясно, что Со = 0 (этот вывод следует из того, что система имеет один интегратор в прямой цепи и,
следовательно, является астатической первого порядка);
(25 + 2^сои)со„
(Д +2^С0„5 + сой)
2^со3„
д
®«
Таким образом, динамическая ошибка равна
8(0 = cog (0+qg (0 = 0^ (0+^ = &
Найдем ошибку, обусловленную наличием помехи и(?). Имеем
Д = ||1ДД|Дйй(®И® = 2л 2л J Гг • ГхЭ? / L 21 Z .
Д	-оо (j®) +2^co„(jco) + co„ g2(-jco)
k t,_____________________J
я(;<о)
- 2лсои50
-LJ ,GA) '<fo

где
g2 (J®) = «о (J®)2 +ai(jco) + a2; <я0=1; a!=2^co„; a2=m2;
h2 (J®) = b0 (jco)2 + bx; b0 = 0; by = 1.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
97
По формулам, определяющим значение стандартного интеграла, находим
2а0 Д/2
-1 1
2 4(2^Х-0)”4^3й’
Дисперсия сигнала ошибки равна
2 _
”	2S, •
Общая ошибка системы может быть найдена по формуле
Пример 1.8. Рассмотрим весьма сложную задачу расчета ошибки наведения ракеты на цель при ко-
мандном управлении. Предварительно изложим некоторые положения общего характера [72].
Процесс наведения ракеты на цель — это процесс слежения ракеты за целью таким образом, чтобы
центр массы ракеты оставался на линии, соединяющей пункт управления с целью (рис. 1.69).
Рис. 1.69. К иллюстрации процесса наведения по методу совмещения
Величина промаха при наведении ракеты на цель определяется радом факторов [60]:
•	установившейся ошибкой при отработке регулярного сигнала, определяемого характером переме-
щения цели и пункта управления (этот процесс определяет кинематическую (опорную) траекто-
рию, по которой должна двигаться ракета);
•	инструментальными ошибками (погрешность ЭВМ, КРУ, УФК и др.);
•	флюктуационными ошибками, которые вызываются случайными факторами:
-	флюктуациями амплитуды и эффективного центра отражения радиосигналов, поступающих от
цели на радиолокационные измерители координат;
-	флюктуациями параметров сигналов, обусловленные непостоянством условий распростране-
ния радиоволн;
-	внутренними шумами элементов САУ;
-	активными и пассивными помехами;
-	флюктуациями вектора скорости ве ща, причиной которых является турбулентность атмосферы и др.
Рассмотрим более подробно содержание некоторых факторов, определяющих ошибку наведения [60].
Спектральная плотность отраженных радиолокационных сигналов. Отраженный от цели сигнал ра-
диолокатора модулируется не только частотой вращения луча, но и флюктуацией коэффициента отраже-
ния цели. Этот эффект проявляется как для наземных, так и для воздушных целей.
Р1нтенсивность и ширина спектра флюктуаций резко возрастают с уменьшением длины волны.
Воздушные цели более контрастны, чем наземные, однако флюктуации коэффициента отражения воз-
душных целей также оказывают существенное влияние на точность наведения.
Если рассматривать некоторые стационарные условия полета цели и ракеты, то можно в первом при-
ближении считать процесс стационарным.
98
Статистическая динамика и идентификация САУ
Вычисления показывают [60], что нормированная корреляционная функция rzz (т) этого процесса со-
ответствует корреляционной функции, приведенной на рис. 1.70.
Нормированная спектральная плотность gzz(co), соответствующая корреляционной функции (рис. 1.70),
показана на рис. 1.71 (кривая А). В области низких частот спектральную плотность отраженных от цели
сигналов можно считать величиной постоянной. Ракета обладает значительной инертностью и, следова-
тельно, является системой узкополосной. Поэтому с достаточной для практики точностью можно считать,
что помехи, вызванные флюктуацией коэффициента отражения цели, представляют собой случайный
процесс (белый шум), имеющий постоянную спектральную плотность [60].
Рис. 1.70. Корреляционная функция сигнала
на выходе радиолокатора
Рис. 1.71. Нормированная спектральная
плотность фазового различителя
Спектральная плотность ветра. Существуют различные виды воздушных течений: постоянные
ветры, восходящие и нисходящие потоки, порывы ветра, завихрения и т.п. Причиной возникновения воз-
душных течений является неравномерное давление воздуха в атмосфере, зависящее от времени года и
суток, рельефа местности, наличия паров в атмосфере и т.п.
У ракеты, попавшей в турбулентные слои атмосферы, начинает сильно вибрировать корпус, а сама она
совершает беспорядочные броски вверх, вниз или в стороны. Установлено, что при горизонтальном полете
вертикальные броски могут достигать десятков и даже сотен метров [60].
Порывы ветра увеличивают перегрузки.
При значительной турбулентности воздуха не только увеличиваются перегрузки, но и ухудшается
управляемость ракеты, что может привести к значительным ошибкам наведения.
В достаточно ограниченной области пространства и времени ветер можно считать процессом стацио-
нарным в пространстве и времени. Такое представление о стационарности ветра целесообразно, если рас-
сматривать влияние ветра на полет ракеты малой дальности.
Возмущающие моменты, связанные с изменением подъемной силы, являются функциями вели-
чины и направления скорости порывов ветра. В соответствии с этим в общем случае необходимо
иметь спектральные плотности как величины, так и направления скорости порывов. Однако можно
ограничиться лишь учетом скоростей порывов ветра, так как именно они определяют величину от-
клонения ракеты [60].
Приближенно корреляционная функция порывов ветра может быть аппроксимирована выражением
(т) =	(1.122)
где В и а — постоянные величины. Спектральная плотность, соответствующая корреляционной функ-
ции (1.122), будет иметь вид
s„(»>)=-^A	<|Л23>
а +го
Спектральная плотность, вычисленная по формуле (1.123), приведена на рис. 1.72, а.
На рис. 1.72, б приведена спектральная плотность вертикальных порывов ветра, полученная М. Пелег-
реном [60]. Из кривой рис. 1.72, б видно, что спектральная плотность имеет максимум в области низких
частот.
Из приведенных кривых спектральной плотности видно, что спектр порывов ветра имеет весьма узкую
полосу и находится в области низких частот. Это дает возможность при исследованиях контура управле-
ния в первом приближении считать, что порывы ветра представляют собой скачок.
Кроме указанных в настоящем параграфе возмущений, на ракету действует целый ряд других факто-
ров. К ним следует отнести упругие колебания корпуса, перемещение жидкости в баках, неравномерное
сгорание топлива, внутренние шумы системы управления и др.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
99
Рис. 1.72. Спектральная плотность не гра:
а — спектральная скорость не гра; б — спектральная плотность вертикальных порывов не гра
по Пелегрену; в — спектральная плотность вертикальных порывов негра по Горелику
Учет всех факторов требует рассмотрения процесса наведения в классе нелинейных систем, поэтому
будем полагать, что случайным процессом является сигнал А/< — флюктуации коэффициента команды,
поступающей на автопилот (рис. 1.73) [72].
Рис. 1.73. Структурная схема системы командного наведения ракеты на цель в вертикальной плоскости
На схеме использованы обозначения: 0Ц —угол наклона вектора скорости цели; /',(/), (/) —соот-
ветственно расстояния пункта управления до ракеты и до цели; /скр — коэффициент передачи координа-
тора; /суф,Гф — коэффициент усиления и постоянная времени устройства формирования команд (УФК);
100
Статистическая динамика и идентификация САУ
/скру —коэффициент передачи командной радиолинии управления (КРУ); АА'(/) —флюктуации сигнала,
поступающего на автопилот; 8р — угол отклонения руля; 80 — установочный угол руля, вызванный необ-
ходимостью компенсировать силу тяжести; ю0 — собственная частота колебаний угла атаки; — коэффи-
циент затухания угла атаки; A{}=7\ fr/V — постоянная величина, обусловленная действием силы тяжести; Tv
— аэродинамическая постоянная времени ракеты; а5 — относительный коэффициент эффективности руля.
В системе наведения полагается [72]:
•	/скру, кь, /скр, /<7 ф — постоянные параметры;
•	пункт управления неподвижен и координатор вырабатывает сигнал Ли (параметр рассогласова-
ния), пропорциональный углу
8у(г)“8р(г) = ^);
•	случайным процессом является сигнал АК(?).
При указанных условиях ПФ системы, вход которой — сигнал ЛК (?), выход — сигнал ht (промах) при
гр = гу определяется зависимостью (при этом До = 8(| = (Д, = 0 ) [72]
1ГМ=—,----------------,------,
VA +2^т0гцТ^ + гц7>0у + /скр/с5иа5/суф/скруГуф5 + /скр/с5иа5/суф/скру
где и —скорость.
Пусть Ллу — случайная составляющая промаха, порождаемая действием радиопомех, вызывающих
искажения ЛА'(/), тогда по формуле hny=W(^0^AK находим
5,=	(1124)
кр U ^уф кру ^кр ^уф кру
где hny = Л'/|^/7||у^| — математическое ожидание случайного отклонения, характеризующего координаты
точки, в которую в среднем будет попадать центр массы ракеты.
Анализ полученного выражения показывает, что для уменьшения A7p?llyJ необходимо увеличивать
коэффициенты k^Jc^Jc^ и проектировать командную радиолинию управления так, чтобы помехи при-
водили к уменьшению значения Л/фДАГф Кроме того, целесообразно устранение зависимости /с2 от гц, где
Г
/с2 =---2----.
^кр^уф^кру
Далее найдем дисперсию случайной функции (?) при наведении ракеты по методу совмещения.
Пусть 5й(0) —спектральная плотность флюктуаций коэффициента АА'(?) на частоте со = 0. Дис-
персия определяется формулой [72]
=-^Сксгц25й(0)Д^эф,	(1.125)
'с\
где /сд —/скр/суф/скру,
2ПГЦ 0
Из выражения (1.125) видно, что для отыскания ст|у при заданных значениях /сд, Кмакс и 5й(0)
достаточно вычислить :
7 2;2 2 2
7 _ 'СА'С5 а511
эф 4п
_____________________1____________________
йЛ (>)4 +2та';Л (j®)3 +';Лм С/®)2 Чр^^уф^у^я+^А’’"
б^уф^крУ
Имеем
z	-h^h^gi+hohih^-h^hj^+h^h^
I —“I- ^4 “I- V3 j
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
101
Для рассматриваемого случая имеем
g0 =0, g! = 0, g2 =0, g3 = 1;
Ло=гц7;, =2^со0гц7;, /г2=/цТДу, /г3 =/скр/с6иа6/суф/скруТуф, /г4 =/скр/с6иа6/суф/скру.
Подставив значения коэффициентов g0, g1; g2, g3, й0, Ai, й2, й3, й4 в выражение (1.126), получим
_	2^7^(£)о^уф — Я8^/с§/сд7^ф
эф 4 (чсМ^уф -	- 4гцС^2®о )
Отсюда следует
а2 _ ^макс^^кк (0)	АЛЛА Д,|, ~	АДф	(1
"у 4/сд 2гц7^(с>о^уф -а8и^8^дАф _4гцС^2(По
Из полученного выражения, позволяющего рассчитывать дисперсию промаха ракеты при заданных
значениях параметров системы радиоуправления и спектральной плотности для флюктуаций коэффициен-
та команды, видно, что величина с2у, как и 47p?llyJ, существенно зависит от гц. Для исключения по-
добной зависимости в контур управления необходимо ввести звено с переменным коэффициентом
передачи г который в конце процесса наведения становится равным гц.
Если наведение ракеты осуществляется по угловому отклонению не и гра массы ракеты от вектора г
то при /с^/с^/Суф/с^у =100в/рад, 7Смакс=30в, гц=10км, Tv=3 с, 2<7со0=0,7 1/с, а6=50 1/с2, и = 200 м/с,
Туф = 0,4с, «>о =501/с2, ДА?кп=0,01, GK (0) = 9 -10”5 с, /с3 = 0,5 рад/в в соответствии с формулами
(1.124) и (1.127) получим что 47 р?ггу J ® 30 м и среднеквадратическое значение промаха гск =	® 25 м.
1.8. МЕТОД ПРОЕКЦИОННО-МАТРИЧНЫХ И СЕТОЧНО-
МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
ЛИНЕЙНЫХ (СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ)
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Постановка задачи. Известны структурная схема нестационарной одномерной
системы или ее дифференциальное уравнение (1.28). На вход системы поступает
нестационарный сигнал У(/) с автокорреляционной функцией RYY(tl,t2). Необхо-
димо найти зависимости, определяющие автокорреляционную функцию RX\ (^,/2) и
дисперсию DXx(t) выходного сигнала X(t) и построить алгоритм корреляционного
анализа.
1.8.1. Метод проекционно-матричных операторов [105]
Положим, что известен проекционно-матричный оператор системы А, найден-
ный с использованием или структурных преобразований или с помощью матричного
представления дифференциального уравнения системы (см. п. 2.9, т.1).
Для решения поставленной задачи рассмотрим формальное разложение центри-
рованного выходного сигнала по ОНБ
Х(/) = £сДру(/) = Фт(/)СА',
где С
т
— вектор-столбец коэффициентов Фурье сигнала X(t}
или его спектральная характеристика в выбранном ортонормированном базисе
102 Статистическая динамика и идентификация САУ
Элементы спектральной характеристики (СХ) определяются соотношением
т
сх =	i = l,l.
о
Известна зависимость, связывающая спектральные характеристики входного Y (7)
и выходного X(7) сигналов системы и ее матричный оператор А (см. п. 2.9, т.1):
Сх =АСУ.
(1.128)
Из последней формулы имеем
= М
М
АС
АС
= ХМ
(1.129)
где М — оператор математического ожидания.
Более подробно рассмотрим соотношения, определяющие
М
и М
Имеем
(тт
J Jх{к)х(h)фг- (к )Фу (С)dkdti
<0 0	)iJ=i
(1.130)
г т Т
J J Rxx {к> h) Ф/ {к) Фу (С) dkdti
<0 0	JU=1
где CRxx — матрица коэффициентов Фурье разложения корреляционной функции
Rxx
Таким образом, справедливы соотношения
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
103
( т т	V
J J Rxx (h ,t2) ф/ (h) ф7- (t2) dtrdt2
A°°
(1-131)
— матрица коэффициентов разложения автокорреляционной функции Rxxih’h) в
двойной ряд Фурье по ОНБ	Матрицу CRxx будем называть спектраль-
ной характеристикой функции Rxx(hd2) в ОНБ Ф(/)хФ^).
Аналогично
С С
М
( т т	V
J J Ryy (б > С) ф/ (б) Фу (С) dtidt2
^v°°	Am у
CRyy
— спектральная характеристика автокорреляционной функции RYY(tl,t2>) в ОНБ
ф(/)хф(/).
Поскольку имеет место выражение
то, подставляя в него соотношения
М
М
С С
можно записать зависимость, определяющую СХ случайного выходного процесса:
qrxx = АСЛугАт.	(1.132)
Сформулируем основной результат: если известен матричный оператор системы
А, то по известной матрице CRyy коэффициентов Фурье корреляционной функции
RYY(hd2) входа У(/) по формуле (1.132) можно рассчитать матрицу CRxx коэффи-
циентов Фурье автокорреляционной функции Rxxih’h) выходного процесса X (ty
автокорреляционная функция выходного сигнала находится с помощью зависимости
Л„(11У2) = ФТ(11)АСХ"АТФ(1,).	(1.133)
Аналогичные формулы можно записать относительно математического ожидания:
С^=АС”\	(1.134)
/77А.(^ = (С/7Ъ)ТАТФ(^.	(1.135)
Из (1.133) легко получить выражение, определяющее дисперсию выхода:
Ла.а.(;) = Фт(;)АС/?>>АтФ(4	(1.136)
Формулы (1.132), (1.133), (1.134), (1.135) и (1.136) являются ключевыми, состав-
ляющими содержание метода проекционно-матричных операторов корреляционного
исследования линейных одномерных стационарных и нестационарных систем авто-
матического управления.
104 Статистическая динамика и идентификация САУ
Укрупненная структурная схема алгоритма расчета математического ожидания
mx(t} и автокорреляционной функции Rxx{tx,t2) приведена на рис. 1.74.
Рис. 1.74. Структурная схема алгоритма корреляционного анализа
САУ методом проекционно-матричных операторов
Зависимость, определяющую статистические характеристики выходного сигнала
с использованием метода проекционно-матричных операторов, можно записать в
интегральной форме.
Поскольку
Сх = АСУ,
где А — матричный оператор системы А =
(см. и. 2.9, т.1), то справедливо
соотношение
причем
^W = Ec?(PvW’
V=1
су ~ аукск •
/с=1
(1.137)
(1.138)
т
О 2 о
Учитывая, что cf = |у(т)ф/с (т)я?т, из (1.137) и (1.138) следует
о
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
105
о	I
X(‘)=Y
V=1
/ л °
Ему(т)ф/с(Фт
Zc=i о
Фу (0 =
ту I I	По	т
= f SEav/c<Pv WMT) 5г(т)й?т = |г>/(/,т)Г(т)«?т,
ol_v=l/c=l	J	о
(1.139)
где
z z
Di М=EEflv/c<Pv (Ф/c W-
v=l Zc=l
Функция	называется ядром Дирихле.
Легко сделать следующие выводы:
1)	ядро Дирихле очень просто вычисляется, если известно ДУ ЛНС, в то время
как для ИПФ ЛНС необходимо решать параметрическое ДУ в общем случае с
переменными коэффициентами;
2)	пределы интегрирования в (1.139) определяются интервалом задания функций
У(/), X(7) (в интеграле Коши интегрирование ведется на текущем промежут-
ке [0, Z]).
Из формулы (1.139) сразу же следует зависимость, определяющая автокорреляци-
онную функцию и дисперсию выходного процесса линейной системы:
тт
Кхх (Д’С)= J (Д (С’т2)^уу (т1,т2)</т1<7т2;	(1.140)
о о
тт
DXx(tl,t2) = ^Di(t,Tl)Di(t,T2)RYY^l,T2)dTldT2.	(1-141)
о о
Напомним, что автокорреляционные функции входного У (7) и выходного X(t}
случайных процессов связаны интегральным соотношением
h Ч
Rxx{hd2} = \\K(ti,T^K(t2,T2}RYY(xi,T2)d\dT2,	(1.142)
о о
где К(/,т) —ИПФ системы.
Последняя формула является основой решения многих задач теории нестационар-
ных систем, в том числе таких важных задач, как фильтрация нестационарных про-
цессов, идентификация объектов с переменными параметрами, синтез регуляторов,
построение оптимальных программных управлений и оптимальных программ (на-
пример, методом моментов) и др.
Если в (1.139) ядро Дирихле Dl (Дт) определяется с необходимой точностью, то
решение указанных выше задач значительно упрощается, а алгоритмы их решения
практически не требуют пояснений.
Для решения широкого спектра задач, в том числе задач статистического иссле-
дования нестационарных систем, весьма полезным с инженерных позиций является
аналитический аппарат, построенный на основе понятия порождающих функций, в
том числе зависимость, определяющая выходной сигнал с помощью ядра Дирихле
(см. том 1, глава 2, и. 2.9.3.3).
Если система имеет ненулевые случайные начальные условия, то случайный про-
цесс Хс (/), порожденный х(0),х'(0),...,х(и-1)(0), можно представить так:
106
Статистическая динамика и идентификация САУ
^cW=Ex(v)(°)xvW’
v=0
где xv(/), v = 1, п-1 — нормальная фундаментальная система.
С учетом сказанного выражение для выходного нецентрированного сигнала мож-
но записать в виде
7*	/7— 1
X(t) = Jr>z (/,т)У(т)<7т+ £x(v) (0)xv (/).	(1.143)
0	v=0
Математическое ожидание выходной переменной на основании (1.143) вычисля-
ется по формуле
Т	И-1 Г / ч -1
тх(^ = |г>/(/,т)т3?(т)^т+^7И xW(0) xv(/),	(1.144)
о	v=o L J
а для корреляционной функции справедлива зависимость
тт
Rxx {к Л) = J J Di {к ^1)D1 (h > Ъ) Ryy (ь > Ъ) d\dx2 +
о о
и-1 и-1
+ S S RxX)(q\x^(q\XV\ (^)%v2 (Л)’
v1=0v2=0 v v ’
если начальные условия не коррелированы с входным процессом.
Метод обобщается на нестационарные многомерные и дискретные системы. Учи-
тывая возможности ЭВМ, метод проекционно-матричных операторов имеет инже-
нерную направленность и эффективен при исследовании сложных нестационарных
систем, заданных как ДУ, так и структурными схемами.
К числу проекционных методов относится метод моментов. Его содержание из-
ложим в п. 1.8.2.
Пример 1.9. Рассмотрим линейную нестационарную систему, описываемую дифференциальным уравне-
нием
=	(1.145)
k = 0
Z?o(0 = 1-
Рис. 1.75. Структурная схема системы
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
107
а0(<)1 Г0,5596	1,8918	2,5825	1,7855	0,6277	0,09091	1
a^t) 0,7113	2,3843	3,2220	2,1975	0,7588	0,1065	Z
а2(1) _ 0,3717	1,2333	1,6449	1,1038	0,3728	0,0507
а3(1) “ 0,1002	0,3278	0,4300	0,2827	0,0930	0,0122	?
а4(1)	0,0140	0,0449	0,0576	0,0369	0,0118	0,0015	Д
а5(г)_| [1,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	o,ooooj	t5
Построим проекционно-матричный оператор системы на конечном временном интервале [0, Г] при
Т = 5 с по системе ортогональных блочно-импульсных функций размерностью 7 = 80, для чего воспользу-
емся проекционно-матричными операторами интегрирования и умножения на функции. Структурная схе-
ма системы изображена на рис. 1.75.
Пусть Аи — проекционно-матричный оператор интегрирования в базисе
i = 0,4 — матричные операторы умножения на коэффициенты дифференциального уравнения (1.145). Для
рассматриваемой задачи вышеперечисленные проекционно-матричные операторы определяются следую-							
щим образом (приводятся вырезы матриц размером 6 х				6):			
	’0,0316	0	0	0	0	0	
	0,0633	0,0316	0	0	0	0	
	0,0633	0,0633	0,0316	0	0	0	
Аи =							
	0,0633	0,0633	0,0633	0,0316	0	0	
	0,0633	0,0633	0,0633	0,0633	0,0316	0	
	0,0633	0,0633	0,0633	0,0633	0,0633	0,0316	
	’о, 5596	0	0	0	0	0	
	0	0,6901	0	0	0	0	
	0	0	0,8442	0	0	0	
Ау[а0(?)] =							
	0	0	0	1,0250	0	0	
	0	0	0	0	1,2357	0	
	0	0	0	0	0	1,4801	
	’о,7113	0	0	0	0	0	
	0	0,8757	0	0	0	0	
	0	0	1,0694	0	0	0	
А Га,(г)~| =							
У L 1 \ / J	0	0	0	1,2962	0	0	
	0	0	0	0	1,5603	0	
	0	0	0	0	0	1,8661	
	0,3717	0	0	0	0	0	
	0	0,4566	0	0	0	0	
	0	0	0,5565	0	0	0	
AvkMl =							
У L 2 \ / J	0	0	0	0,6732	0	0	
	0	0	0	0	0,8088	0	
	0	0	0	0	0	0,9656	
	’о,1002	0	0	0	0	0	
	0	0,1227	0	0	0	0	
	0	0	0,1492	0	0	0	
А Га3 (?)~| =							
У L J \ / J	0	0	0	0,1800	0	0	
	0	0	0	0	0,2157	0	
	0	0	0	0	0	0,2569	
	’0,0140	0	0	0	0	0	
	0	0,0171	0	0	0	0	
	0	0	0,0207	0	0	0	
Ау[а4(г)] =	0	0	0	0,0249	0	0	
	0	0	0	0	0,0297	0	
	0	0	0	0	0	0,0353	
108
Статистическая динамика и идентификация САУ
Применяя аппарат структурных преобразований, получаем (см. рис. 1.75)
А1 = Ап [l + Ау [«4 (0] Ап] Г-
Выполняя последовательно аналогичные структурные преобразования, вычислим
А2 = АпА1 С1 + Ау [«3 (/)] АпА1] 1’
А3 = АпА2 С1 + Ау [«2 (0] АпАг]
А4 =АпАз[1 + Ау[а1(0]АпАз]
A = A„A4[l + Ay[ao(0]AiiA4] 1
— проекционно-матричный оператор системы, он имеет вид (представлен вырез матрицы оператора раз-
мером 6x6)
"0,0003	0	0	0	0	0
0,0032	0,0003	0	0	0	0
0,0159	0,0032	0,0003	0	0	0	,
А =	-пт4.
0,0539	0,0159	0,0032	0,0003	0	0
0,1426	0,0539	0,0158	0,0032	0,0003	0
0,3173	0,1425	0,0539	0,0158	0,0032 0,0003_
Найдем решение задачи статистического анализа системы, если автокорреляционная функция случай-
ного входного сигнала определяется выражением
^1т(Сг2) = е I2
На рис. 1.76 приводится график автокорреляционной функции.
Рис. 1.76. График автокорреляционной функции случайного входного процесса
Воспользуемся следующим представлением для автокорреляционной функции входного процесса:
Ат (w2) = Ф (‘1) Сйп' ФТ ы = Е Е Гу” 9/ 01) 9; Ог )>
7=1
= j j Ат () 9/ 0|) 9; 0 2 ) dtldt2
0 0
Автокорреляционная функция выходного сигнала рассчитывается по формуле
Alt 01Л ) = ® 01) АС*”' АТфТ Ог) >
или, что то же самое (рис. 1.77, 1.78),
/ /
Я.П- (»| Л ) =	Ф,- (<1 ) <Р; (<2 )•
rae[^]'.j=c^=AC^Al.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
109
Рис. 1.77. График автокорреляционной функции случайного процесса на выходе системы
Рис. 1.78. График дисперсии случайного процесса на выходе системы
Пример 1.10. Рассмотрим задачу статистического анализа системы самонаведения на временном ин-
тервале [0, 4] с.1 Корреляционная функция входного сигнала системы G(l) имеет вид
^GG (йл) = 100[4^2 +(1 + ?1)(1 + ?2)]-
Найдем автокорреляционную функцию выходного сигнала	и дисперсию	методом
проекционно-матричных операторов с использованием смещенных полиномов Лежандра. Решение задачи
проведем в системе Matlab 6.12.
Матрицы коэффициентов Фурье разложений корреляционных функций входного и выходного сигнала
системы по базису ортонормированных на отрезке [0, 4] полиномов Лежандра имеют вид (приводятся
вырезы матриц размерностью 5x5)
1 Структурная схема, скалярное и векторно-матричное ДУ, матричные операторы элементов и систе-
мы в целом приведены в и. 1.2 (т.1) и в заданиях для самостоятельной работы.
но
Статистическая динамика и идентификация САУ
qrgg —		’1,00000 0,50807 0	0,50807 0,26667 0	0 0 0’ 0 0 0 0 0 0	•104;	
		0	0	0 0 0		
		0	0	0 0 0		
	’ 5,27601	2,72645	-1,09099	-0,82842 -0,11287’		
	2,72645	1,46040	-0,53753	-0,44449 -0,06302		
qR-hh —	-1,09099	-0,53753	0,23899	0,16294	0,02094		•103
	-0,82842 -	-0,44449	0,16294	0,13529	0,01922		
	—0,11287	-0,06302	0,02094	0,01922	0,00284		
График корреляционной функции	входного сигнала G(7) приводится на рис. 1.79, график
корреляционной функции	выходного сигнала Щ1) —на рис. 1.80. На рис. 1.81 представлены
дисперсии DGG(t} и Опп(1] входного и выходного сигналов.
Рис. 1.79. График корреляционной функции входного сигнала системы самонаведения
Рис. 1.80. График корреляционной функции выходного сигнала системы самонаведения
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
111
Рис. 1.81. Графики дисперсий входного (пунктирная линия)
и выходного (сплошная линия) сигналов системы самонаведения
1.8.2. Метод моментов
Положим, что поведение САУ описывается ДУ (1.28) и эквивалентным ему инте-
гральным уравнением 1-го рода вида (см. том 1, и. 2.3.4)
=	+	(1.146)
О	о
где
<1-147)
v=0 СЧ	v=0
A (.v) — член, учитывающий ненулевые случайные начальные условия
х(0),/(0),...,х^-1\0).
Для упрощения положим, что правая часть в (1.146) имеет вид (рассматривается
укороченное ДУ)
5(5) = Г(^) + Г1(5).	(1.148)
Тогда из (1.146) с учетом (1.148) находим
f J хх (йЛг)^г (л Аг A A)^AC =Ат(л Аг),
о о
где
5уу(лА2) = у(л)у^2) + у(л)У1(а) + У1(л)у(а) + У1(л)У2^2),
причем У(л)У(Д2) = Ryy(лАг) — двухмерное преобразование Лапласа автокорре-
ляционной функции случайного воздействия; У(л)^1(*уг) и ^1(л)^(5,г) — члены,
учитывающие статистическую связь между случайным воздействием и случайными
начальными условиями; ^(л)^*^) — член, учитывающий случайные начальные
112
Статистическая динамика и идентификация САУ
условия;H2^sx,s2,tx,t2^ = H Х^8Х,1^Н x^s2,t2^ — сепарабельное ядро. Свойство сепа-
рабельности ядра Н2^sx,s2,tx,t2^ позволяет избежать необходимости решения задачи
синтеза ортогональных функций от многих переменных (в частности, двух).
Алгоритм включает следующие этапы (теоретические положения метода момен-
тов изложены в и. 2.9.3.2, т.1):
1.	Подготовительный этап — построение интегрального уравнения (1.146), описы-
вающего поведение системы.
2.	Синтез моментной системы F на основе ядра уравнения

3.	Построение ортонормированного базиса с помощью процесса Грамма-Шмидта:
ф=!ф/с(0=ЕспХИ:
I V=1	J
4.	Расчет спектральной характеристики автокорреляционной функции выходного сиг-
нала в ортонормированном базисе ФхФ с помощью проекционного матрично-опе-
раторного соотношения CRxx = U2M2 = (су™)	, где М2 = Syy (51,52)|‘si=/fi	,
\ S\gi) gbg2=l	v J's2-k2____
Zq ,/c2
или в развернутой форме
gl g2	_	.	__
сй"2 = X	; g„g2=O-
/q=l/c2=l	Л|А
“> 2 =У
5.	Построение функции корреляции выходного сигнала	с помощью зави-
симости
яиСл)=Х	о-149)
Д|=1 ft=l
Структурная схема алгоритма имеет вид (рис. 1.82).
Пример 1.11. Пусть система описывается уравнением вида
Xav(1)ХМ = Y(?), Х° = Гх(0), JT(0),..., Х(4) (0)1 = 0,
v=0	L	J
где
5
a/(0=Sv7’
7=0
т.е.
’a0(i)l Г0,5596	1,8918	2,5825	1,7855	0,6277	0,0909 "I	1
a^t)	0,7113	2,3843	3,2220	2,1975	0,7588	0,1065	Z
a2(i) _	0,3717	1,2333	1,6449	1,1038	0,3728	0,0507
a3(i) ”	0,1002	0,3278	0,4300	0,2827	0,0930	0,0122 ’	t3
a4(t)	0,0140	0,0449	0,0576	0,0369	0,0118	0,0015	t4
a5(l)_|	0,0008	0,0025	0,0031	0,0019	0,006	0,00007 _|	p
Случайный входной процесс имеет функцию корреляции
R'Y (йА ) = е I2 ’I-
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
113
Рис. 1.82. Структурная схема алгоритма построения
автокорреляционной функции выходного сигнала системы
Исходными данными для реализации алгоритма являются:
ядро
(s) + Л (s}t + ... +
и правая часть
ryy Cs'i>s2) = 7 ТуЛ 1	Г = I? {ryy (h’h.)}
(5i +2)(s2 +2)(5! + 5г)
— двухмерное преобразование Лапласа автокорреляционной функции входа У (/).
(1.150)
114
Статистическая динамика и идентификация САУ
Введем следующую векто]	эно-матри	ЧН	ую зависимость: /11	/12	”	/16 Al /22 ” /26 /з1 /з2 ” /зб ./и /92 ” /эб _	"Г t / t
				тр)
	F1C)			
Далее приведем поэтапные результаты расчетов на ЭВМ:
1 этап. Построение моментной системы F.
Поскольку ядро	определяется формулой (1.150), то для элементов моментной системы можно
записать соотношение (полагаем sk = к, к = 1,1)
fk(t) = H(k,t) =
v=0
причем
л(5)=Е(-1)7сГ'л!7’,')(5)|	4*(5)=4т[2>/
J=V	ds |_/~0
(см. том 1, и. 2.9.3.2).
Результаты расчетов, связанные с реализацией первого этапа:
71(ФГ									Г
		0,0034	-0,3405	-0,6873	0,0189	0,6090	0,2620		
/2 ок		-0,1672	-0,8585	-0,4422	1,6680	2,035	0,6315		t 'У
/з(ф3/		-0,3987	-0,7680	2,3148	6,5513	5,199	1,3387		t
		-0,3932	1,6317	10,8737	17,5739	11,3119	2,5771		t3
КК	=	0,4741	9,2827	30,3442	38,9431	22,0401	4,6035		t4
/6(Ф6/		3,2515	26,6760	68,0374	76,4043	39,5819	7,7472		t5
		9,5256	60,1610	133,8473	137,4773	66,7384	12,4189		t6
		21,4905	118,2488	240,6320	231,6922	106,9876	19,1197		.7
AOK									t
		42,0773	211,9291	404,5956	370,8257	164,5570	28,4505		
/9(Ф9\									t*
2 этап. Ортонормированная система, полученная в результате реализации процесса ортогонализа-
ции, определяется векторно-матричным соотношением (1 = 9)
Ф1(0 <p2 (0		‘ 0,0629 -0,0337	0 0,7178	0 0	0 0	0 0	0 0	0 0	0 0	0 0		/1(0 /2(0
Фз(0		0,0249	-0,7916	1,8094	0	0	0	0	0	0		/з(0
q>4 (?)		-0,0207	0,7916	-2,8883	2,3818	0	0	0	0	0		/4(0
ф5(0	=	0,0234	-1,0386	5,0483	-6,3933	2,5021	0	0	0	0		/5(0
Фб(О		-0,0260	1,3849	-9,3361	19,3259	-15,4856	4,3345	0	0	0		/б(0
Ф7 (0		0,0270	-1,7193	15,4419	-46,9338	63,0652 -	-39,1587	9,2397	0	0		/7 (0
ф8(0		-0,0278	2,0819	-23,977	99,5408	-196,162 -	-200,844	-103,748	21,4476	0		Л(0
_фэ(0.		0,0296	-2,5808	36,9572	-199,355	533,9619 -	-791,800	664,3888	-296,333	54,735_		/9(0_
3 этап. Расчет моментной матрицы М2						по формуле	М2 =R	1т(51>52 )|«i «2	=4j , К, ^2	= К р	е:	улыа1
представлены в табл. 1.1.
4 этап. Расчет коэффициентов Фурье разложения автокорреляционной функции выходного сигнала
Х(1) по синтезированному ортонормированному базису
Rxx^,t2) = ^c^ (г1М2 (/),	(1.151)
V1 -I V2 -I
где
СШ'2 = j j &ХХ (й Л ) Cpv, 0| ) Ф,, 02 )	,
о о
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
115
соответствующая матрица имеет вид							
	 0,0013	0,0080	0,0060	0,0003	0,0024	0,0002	-0,0003
	0,0080	0,0553	0,0461	-0,0025	0,0170	0,0027	-0,0031
	0,0060	0,0461	0,0433	-0,0015	0,0143	0,0040	-0,0035
wL,=cB=	0,0003	-0,0025	-0,0015	0,0003	-0,0009	0,0002	0,0001
	0,0024	0,0170	0,0143	-0,0009	0,0053	0,0007	-0,0010
	0,0002	0,0027	0,0040	0,0002	0,0007	0,0008	-0,0004
	-0,0003	-0,0031	-0,0035	0,0001	-0,0010	-0,0004	0,0004
	Таблица 1.1
Численные значения моментов Ryy(/c1,/c2)	
к2	Л						
	1	2	3	4	5	6	7
1	0,333333	0,194444	0,133333	0,100000	0,079365	0,065476	0,055555
2	0,194444	0,125000	0,090000	0,069444	0,056122	0,046875	0,040123
3	0,133333	0,090000	0,066667	0,052380	0,042857	0,036111	0,031111
4	0,100000	0,069444	0,052380	0,041667	0,034391	0,029166	0,025252
5	0,079365	0,056122	0,042857	0,034391	0,028571	0,024350	0,021164
6	0,065476	0,046875	0,036111	0,029166	0,024350	0,020833	0,018162
7	0,055555	0,040123	0,031111	0,025252	0,021164	0,018162	0,0115873
Пользуясь формулой (1.151), можно построить автокорреляционную функцию
выходного процесса Х(/).
Повторяя аналогичные рассуждения, можно достаточно просто получить расчет-
ные зависимости, определяющие центральные моменты произвольного порядка q
выходного сигнала Х(7); соответствующая формула имеет вид
ОО 00	00	/ \
у у... у e^gvSi (ч )<рг, (ч)..^ (/,),
gl=lg2=1 gq=i
где коэффициенты ортонормированного разложения определены формулой
С ж
g\gl'' 'Sq
gl gl Sq
= S S cgxhCg2k2  CgJ^YY
kY=\k2=\ kq=l
причем P^(5iA2,---A(/)=Af Х^),Х^2)
— центральный момент q-ro по-
рядка выходного процесса;
Pit (л’s2’---Ag)— L <М У(д),У(л)
— ^-мерное
преобразование Лапласа центрального момента q-ro порядка входного сигнала Y(7).
Метод эффективен при решении достаточно сложных инженерных задач (основ-
ная трудность — получение скалярного ДУ высокого порядка нестационарной сис-
темы, заданной ее структурной схемой) и ориентирован на ЭВМ.
1.8.3.	Метод сеточно-матричных операторов
КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
В предыдущем изложении подробно рассмотрены и обоснованы сеточные методы
математического описания и детерминированного анализа как стационарных, так и
116
Статистическая динамика и идентификация САУ
нестационарных систем САУ, описываемых ДУ высокого порядка в скалярной и век-
торно-матричной формах (см. и. 2.10, т.1).
Сеточные методы отличает простота вычислительных схем, наличие теоретиче-
ского обоснования, включая оценки погрешности, инженерная направленность и
ориентация на ЭВМ.
Постановка задачи сформулирована выше (см. и. 1.8.1). Если нестационарная
САУ описывается ДУ вида
П~1	fH
х(п»+уа„(/)Ц'’»(/) = у*,,(/)/'’(/),
v=0	v=0
где Y(7) — входной случайный сигнал системы, X (7) — выходной процесс, кото-
рому эквивалентно ИУ Вольтерра 2-го рода
Х(/)-|^(/,т)Х(т)<7т = /(7),	(1.152)
о
где
*л'О.т) = -уЕА-уТ[аДт)(/-т)”4];	(1.153)
t,0(n-l)!rfT L	J
f(t) = |£у(7,т)У(т)<7т,	(1.154)
о
причем
‘L j t [мт)о - г].	о-155)
k=0[n-l)ldx L	J
то методом квадратурных формул (конечных сумм, механических квадратур), идея
которого состоит в замене интегрального уравнения аппроксимирующей системой
алгебраических уравнений, в которое входят дискретные значения функций X (7) и
/(^) (сеточные функции), можно получить уравнение с сеточно-матричным опера-
тором. В самом деле, если (рис. 1.83)
Т	N
О	г=1
то (1.152) можно ^‘1 7 + )	переписать в виде '-АхКп	0	о ...	о л —Л1^21 —^2-^22	0	...	0 ~^2^N2 ~^3^N3 ••• ~ANKNN у		II
^N	^N '	о	о ... о a2ky22 о ... о A2KN2 A3kN3 ... anknn y	Y2	Хдг 5
		Хдг	
где^, = Х((), Y,=Y(t,),	К?=КГi,j = l,N.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
117
Или, что то же самое,
Хдг + А^Хдг = А ;
тогда (l + А^Хдг = А^Удг и, следовательно,
Х^у=А Ад/УдД A =(l + Ajy)
Оператор Ac=fl + A^j А^ —будем называть сеточно-матричным оператором
системы. Тогда основная формула принимает вид
Ху = \Ду-
(1.156)
Далее, пользуясь такими же рассуждениями, как и при рассмотрении проекцион-
но-матричных операторов, имеем
М
Из последней зависимости получаем формулу, аналогичную той, которая имеет
место в случае применения проекционно-матричных операторов:
=Асй1т(/,,/,.)|"=1 AJ.	(1.157)
Формулы (1.132) и (1.157) позволяют рассчитывать автокорреляционную функ-
цию выходного процесса системы X (7) с той лишь разницей, что в случае примене-
ния проекционно-матричных операторов Rxx^h^i) находится в форме разложения
по выбранной ортонормированной системе, а при использовании сеточно-матричных
операторов — в форме сеточной функции Rxx
Пример 1.12. Уравнение САУ имеет вид
tav(0xM(0 = r(0,	(1-158)
v=0
118
Статистическая динамика и идентификация САУ
где аг(ф = ^аг>А (z = 0,5).
7=0
Пусть
а0(1)		’0,5596 1,8918 2,5825 1,7855 0,6277 0,0909’		Г
«1(0		0,7113 2,3843 3,2220 2,1975 0,7588 0,1065		t
а2(0		0,3717 1,2333 1,6449 1,1038 0,3728 0,0507		t1
«з(0		0,1002 0,3278 0,4300 0,2827 0,0930 0,0122		t3
а4(1)		0,0140 0,0449 0,0576 0,0369 0,0118 0,0015		t4
_а5(1)_		0,0008 0,0025 0,0031 0,0019 0,006 0,00007		_t5_
Случайный входной сигнал имеет функцию корреляции
RYY(h,t.) = е-2^.
Требуется определить корреляционную функцию /?Лу ; t2) выходного случайного процесса.
Для перехода к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода перепишем (1.158) в следующем виде:
(0 + ZX (0 = йот(0’	(1.159)
v-0
где
Запишем интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, эквивалентное (1.159):
x(l) +j/cT	(1,т) у(т)й?т,	(1.160)
о	о
где
. z А Л(-1)* dk Г / v	. z х Л(-1)* dk Г. z v z4“|
^(m)=E 4, ,	) zc(^T)=E 4, , I-
k=o 4. Дт L	J	k=0 4. d~ L	J
Пусть исследование проводится на промежутке [О, Г], где Т = 2,5 с, a h = 0,1; при построении се-
точно-матричных операторов будем использовать формулу трапеций.
Матрицы А^г и Ас имеют вид (приведены клетки матрицы размера 5x5):
	 0,53333333333333			0		0	0		0	
	-0,44760734953799		0,53146505298252			0	0		0	
Ax =	0,04769999490431		-0,90165563571342		0,53094720572464		0		0	
	0,08705341662401		0,11435730755556		-0,92065106448149		0,53340118259510		0	
	0,07982666435775		0,11630370877948		0,17725478050480		-0,95965867519383		0,53978920843354	
										
		0		0		0		0	O’	
		0,00026041666667		0		0		0	0	
Адг =		0,00416666666667		0,00038455597368		0		0	0	
		0,02109375000000		0,00615289557881		0,00028758988449		0	0	
		0,06666666666667		0,03114903386772		0,00460143815189 0,00021599353319 0				
	0	0	0	0
	0,00013840235755	0	0	0
A =	0,00197747386872	0,00020417891967	0	0
	0,00744516564220	0,00292791991161	0,00015340078449	0
	0,01651199605863	0,01097739709986	0,00220781853011	0,0001165909783
О
О
О
О
О
Найдем ссточио-матричный оператор методом структурных преобразований. Дифференциальному урав-
нению соответствует эквивалентная структурная схема, представленная на рис. 1.75, в которой в качестве
динамических характеристик используются матричные операторы умножения и множительных элементов.
Обозначим структурные эквиваленты соединений элементов через А1,А2,А3,А4. Тогда матричный
оператор Ас можно определить последовательным вычислением матричных операторов А1,А2,А3,А4,
воспользовавшись структурными преобразованиями:
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
119
А1 = Ап [l + Ау [МО] Ап] 1’
А2 = АпА1 [l + Ау [а3 (0] АпА1] 1’
А3 = АпА2 [l + Ау [«2 (0] АпАг]
А4 = АпА3 [l + Ау [а1 (0] АпАз] 1’
А = А„А4 [i + Ay [«о (0] АпА4] 1 Ау (/?о (О)-
В результате расчетов по этим формулам (матричные операторы интегрирования и умножения соответст-
вуют формуле гранений с h = 0,1) найдем матричный оператор системы (приводится клетка размера 5x5):
0,00017345856394	0
0
0,00073569374316
0,00300678312952
0,00805025338090
0,01622922785551
0,00012738945039
0,00107999927304
0,00441090307088
0,01179920364423
0
0,00009505514311
0,00080620950609
0,00329401124429
0
0
0,00007171376215
0,00060927829136
О
О
О
0,00005451092303
Матрицы оператора Ас, полученные сеточным методом решения уравнения Вольтерра и с помощью
структурных преобразований, будут незначительно отличаться друг от друга при уменьшении шага, а
также при использовании более точных к вад рагу р. Метод структурных преобразований позволяет получить
Ас с меньшей точностью, так как имеет место накопление ошибок из-за аппроксимации операторов ин-
тегрирования сеточно-матричными операторами (число таких операторов определяет порядок ДУ). Кроме
того, имеют место операции обращения матриц и другие операции, способствующие накоплению ошибок.
На рис. 1.84, 1.85 представлены графики дисперсии и корреляционной функции выходного сигнала.
Приведем матрицу Rvv рассчитанную с использованием формулы (1.157) (приведена клетка
размером 11x11):
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000'
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0001	0,0001	0,0002	0,0003	0,0004	0,0004	0,0005
0,0000	0,0000	0,0000	0,0001	0,0003	0,0006	0,0009	0,0014	0,0018	0,0021	0,0024
0,0000	0,0000	0,0001	0,0003	0,0008	0,0016	0,0027	0,0039	0,0051	0,0061	0,0070
0,0000	0,0000	0,0001	0,0006	0,0016	0,0033	0,0055	0,0080	0,0105	0,0128	0,0147
0,0000	0,0000	0,0002	0,0009	0,0027	0,0055	0,0092	0,0135	0,0178	0,0218	0,0250
0,0000	0,0000	0,0003	0,0014	0,0039	0,0080	0,0135	0,0198	0,0262	0,0321	0,0370
0,0000	0,0000	0,0004	0,0018	0,0051	0,0105	0,0178	0,0262	0,0348	0,0428	0,0495
0,0000	0,0000	0,0004	0,0021	0,0061	0,0128	0,0218	0,0321	0,0428	0,0528	0,0612
0,0000	0,0000	0,0005	0,0024	0,0070	0,0147	0,0250	0,0370	0,0495	0,0612	0,0710
120
Статистическая динамика и идентификация САУ
В табл. 1.2 приводятся дискретные значения дисперсии выходного сигнала.
Таблица 1.2
Дискретные значения дисперсии выходного сигнала
?,с	Сеточный метод, h = 0,1	Сеточный метод, h = 0,05	Структурные преобра- зования, h = 0,1	Структурные преоб- разования, h = 0,05
0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,1	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,2	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,3	0,0001	0,0001	0,0002	0,0001
0,4	0,0008	0,0007	0,0009	0,0007
0,5	0,0033	0,0029	0,0033	0,0029
0,6	0,0092	0,0086	0,0089	0,0085
0,7	0,0198	0,0190	0,0191	0,0188
0,8	0,0348	0,0341	0,0340	0,0339
0,9	0,0528	0,0523	0,0520	0,0521
1	0,0710	0,0706	0,0702	0,0704
1,1	0,0866	0,0859	0,0856	0,0857
1,2	0,0971	0,0959	0,0957	0,0956
1,3	0,1013	0,0996	0,0996	0,0992
1,4	0,0992	0,0973	0,0975	0,0968
1,5	0,0921	0,0902	0,0906	0,0898
1,6	0,0817	0,0802	0,0806	0,0799
1,7	0,0698	0,0688	0,0693	0,0686
1,8	0,0579	0,0574	0,0580	0,0574
1,9	0,0468	0,0467	0,0474	0,0469
2	0,0371	0,0374	0,0380	0,0376
2,1	0,0290	0,0294	0,0300	0,0297
2,2	0,0224	0,0227	0,0232	0,0230
2,3	0,0170	0,0173	0,0177	0,0175
2,4	0,0127	0,0129	0,0132	0,0130
2,5	0,0093	0,0094	0,0096	0,0094
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
121
Пример 1.13. Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, имеет вид
v-0
где
5	___
(?) = ауе~^ > z = 0,5.
7=0
Процессы изменения коэффициентов дифференциального уравнения определяются матрицей & =
	1,0000 1,1716	3,5489 4,1050	5,1523 5,8550
&=	0,5579	1,9211	2,6761
	0,1349	0,4537	0,6125
	0,0165	0,0539	0,0699
	0,0008	0,0025	0,0031
3,8608 1,5192 0,2620
4,2732	1,6091	0,2511
1,8881	0,6743	0,0973
0,4146	0,1405	0,0190
0,0452	0,0146	0,0018
0,0019	0,0006	0,00007
Случайный процесс имеет функцию корреляции
RYY(tl,t2) = e-2^.
Требуется определить корреляционную функцию Rxx (?t, t2) выходного случайного процесса.
Как и в предыдущем примере, разделим левую и правую части исходного ДУ на коэффициент а5 (?)
при старшей производной выходного сигнала системы. ДУ принимает вид (1.159).
Запишем интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, эквивалентное (1.159); оно имеет вид (1.160).
Результаты расчетов (при построении сеточно-матричных операторов использовалась формула трапе-
ций с h = 0,1):
	’0,4704956726986	0	0	0	0
	-0,530823017325	0,4718018802413	0	0	0
Ах =	0,2465821446544	-1,058224949293	0,4730797852422	0	0
	0,0450921458428	0,4816633973459	-1,05484147381	0,4743229423524	0
	0,0340651157303	0,0956887958216	0,4705748261583	-1,051511159037	0,4755257315239
	0	0	0	0	0
	0,00002322556670	0	0	0	0
А^ =	0,00037160906726	0,00005591068027	0	0	0
	0,00188127090301	0,00089457088435	0,00006652924308	0	0
	0,00594574507618	0,00452876510204	0,00106446788930	0,00007828872694	0
	0	0	0	0	О’
	0,00001095786604	0	0	0	0
А =	0,00015122286359	0,00002645021262	0	0	0
	0,00051152819925	0,00036533858963	0,00003155634633	0	0
	0,00102626972785	0,00123920322925	0,00043622563024	0,00003722830415	0
Матрица сеточно-матричного оператора, полученная методом структурных преобразований, имеет вид
(приведена клетка размера 5x5)
0,00001270709980	0000
0,00005203076063 0,00001536654605	000
0,00020371752723	0,00012595068414	0,00001836795589	0	0
0,00051858955320	0,00049367172306	0,00015067802357	0,00002170912043	0
0,00098802346819	0,00125832690187	0,00059120326167	0,00017822947224	0,00002537932906
Найдем корреляционную функцию выходного сигнала, используя квадратурную формулу трапеций с
шагом h = 0,1.
На рис. 1.86, 1.87 приведены дисперсия и корреляционная функция выходного сигнала.
Приведем матрицу Rxx(ti’tj} размером 11x11 (первые 11x11 элементов матрицы), полученную се-
точным методом решения уравнения Вольтерра:
122
Статистическая динамика и идентификация САУ
R.VY ( Ь ’?/ )[.
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0002
0,0002
0,0003
0,0004
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0005
0,0007
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,0010
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0003
0,0005
0,0008
0,0011
0,0014
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0004
0,0007
0,0010
0,0014
0,0019
Рис. 1.86. График дисперсии выходного сигнала X(?)
Рис. 1.87. График автокорреляционной функции выходного сигнала X(?)
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
123
Пример 1.14. Рассмотрим пример решения задачи статистического анализа системы управления самона-
водящейся ракеты. Дифференциальное уравнение системы при следующих исходных данных о движении раке-
ты и цели: скорость ракеты— К(1) = 200(1 + 1) м/с, скорость цели— Кц (1) = 400 м/с, изменение расстояния
между ракетой и целью— г(1) = 100(45 -61-I2 I, значение константы навигации— и = 2, —имеет вид
, d4h(t) d3h(t) d2h(t) dh(t)
fl4+fl3( + fl2 + fll+a°=
at	ai	ai	at
, ,d3g(t}	, \ d2g(t) , , ~,dg(t)	,	,
= b3 W~ТГ2 + b2	+ 61 (0 —У + b0 W# W’
at	at	wt
где
800	(3 + 1)2	1 (-4095-77791+ 215512 +10569? + 463014 + 500?)
a0 (1) =-----i------=; a, (1) = —------------------------,---------------
3 (-45 + 61 + 12)	3	(-45 + 61 + 1 )(1 + 1) (3 + 1)
i (171 +489т+ 430? + 100?)	9 (54 + 771 + 20?)
a2(0=-------------------2-----яз(0=-Ц—г?—-A a4 (0=i;
’ з (3+i)(i+i)2	3 (3+l)(l+l)
i (171 + 4891+ 43012 +10013)	i (171 + 4891 + 430? + 100?)
A (0 = —------------ту--------h (1) = -4---------------------?
3	(1 + 1) /(3 + 1)	3	(3 + l)/(l + l)
7 (54 + 771 + 20?)
b2(t) = -^--------Л; Z>3(1) = 1.
2V ! 3 (3 + l)(l + l)	3V !
Запишем интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, эквивалентное исходному ДУ:
/г(1) + ]Х(1,т)/г(т)</т =j/cg (1,т)^(т)б/т,
о	о
где
7 1 \ v1 (-1)* с,к Г ( \(	\31
3. dx L	J
Пусть T?gg(l1,l2) = 100[411l2 +(1 + 11)(1 + 12)]. Приведем матричные операторы (квадратурная формула
трапеций с h = 0,1 на интервале [0,4] (приводится клетка размера 5x5)):
	"0,03125000000000	0	0	0	0
	0,05795954781812	0,03115103532278	0	0	0
А =	0,05164125317985	0,11621743118007	0,03106796116505	0	0
	0,04929241749228	0,10331171352284	0,11646999257773	0,03099710982659	0
	0,04792939491664	0,09853422442478	0,10332572461893	0,11668659752651	0,03093587521664
Матричный оператор системы, полученный с помощью структурных преобразований:
А =
0
0
о
0,04996827411168
0,04988373069537
0,04958646163777
0,04901220334728
0,04815046202044
0
0,04996676708011
0,09975704208584
0,09913778184176
0,09794461372863
о
о
о
о
0
0
0,04996520226185
0,09974614720757 0,04996357495281
0,09910080957157 0,09973475593811 0,04996187998924
Применяя в качестве квадратуры формулу трапеций с h = 0,05 на интервале [0,4], получим следую-
щий оператор системы (приводится клетка размера 5x5):
0
0
0
0,01923076923077	0
0,02642260227375
0,02578172564179
0,02536394056409
0,02506031619811
0,01921115776845
0,05287065936842
0,05157585195451
0,05073170609945
0
0
0
0
0
0
0,01919324577861
0,05289401754304 0,01917681312864
0,05158704070742 0,05291553327953 0,01916167664671
124
Статистическая динамика и идентификация САУ
Матричный оператор системы, полученный с помощью структурных преобразований (h = 0,05 ):
	"0,02499743616039	0	0	0	0
	0,02499027010402	0,02499737579554	0	0	0
А =	0,02496370289128	0,04998009504629	0,02499731430591	0	0
	0,02490824254512	0,04992578995813	0,04997964073524	0,02499725164705	0
	0,02481761987657	0,04981250744492	0,04992413803987	0,04997917702600	0,02499718777243
Воспользовавшись формулой (1.157), найдем корреляционную функцию выходного сигнала ( h = 0,1).
Приведем клетку матрицы	размером 11x11:
0,0001	0,0003	0,0007	0,0011	0,0015	0,0019	0,0024	0,0028	0,0033	0,0038	0,0043'
0,0003	0,0009	0,0020	0,0032	0,0045	0,0058	0,0072	0,0087	0,0102	0,0118	0,0134
0,0007	0,0020	0,0048	0,0077	0,0109	0,0142	0,0177	0,0215	0,0254	0,0294	0,0336
0,0011	0,0032	0,0077	0,0125	0,0176	0,0232	0,0291	0,0354	0,0419	0,0488	0,0559
0,0015	0,0045	0,0109	0,0176	0,0250	0,0330	0,0416	0,0508	0,0604	0,0705	0,0810
0,0019	0,0058	0,0142	0,0232	0,0330	0,0438	0,0553	0,0677	0,0808	0,0945	0,1089
0,0024	0,0072	0,0177	0,0291	0,0416	0,0553	0,0702	0,0861	0,1030	0,1208	0,1394
0,0028	0,0087	0,0215	0,0354	0,0508	0,0677	0,0861	0,1059	0,1270	0,1492	0,1724
0,0033	0,0102	0,0254	0,0419	0,0604	0,0808	0,1030	0,1270	0,1525	0,1795	0,2078
0,0038	0,0118	0,0294	0,0488	0,0705	0,0945	0,1208	0,1492	0,1795	0,2116	0,2452
0,0043	0,0134	0,0336	0,0559	0,0810	0,1089	0,1394	0,1724	0,2078	0,2452	0,2846
На рис. 1.88, 1.89 приводятся графики дисперсии и корреляционной функции выходного сигнала.
Рис. 1.88. Дисперсия выходного сигнала
Рис. 1.89. Корреляционная функция выходного сигнала
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
125
В табл. 1.3 приводятся дискретные значения дисперсии выходного сигнала.
Таблица 1.3
Дискретные значения дисперсии выходного сигнала
1,с	Сеточный метод, h = 0,1	Сеточный метод, h = 0,05	Структурные преобра- зования, h = 0,1	Структурные преоб- разования, h = 0,05
0	9,7656е-02	3,6982е-02	2,4968е-01	6,2487е-02
0,1	8,5444е-01	1,0571е+00	1,1093е+00	1,1112е+00
0,2	4,8258е+00	4,9442е+00	4,9678е+00	4,9781е+00
0,3	1,2502е+01	1,2562е+01	1,2550е+01	1,2577е+01
0,4	2,5019е+01	2,5080е+01	2,5036е+01	2,5087е+01
0,5	4,3753е+01	4,3849е+01	4,3775е+01	4,3856е+01
0,6	7,0198е+01	7,0350е+01	7,0242е+01	7,0362е+01
0,7	1,0593е+02	1,0614е+02	1,0600е+02	1,0616е+02
0,8	1,5253е+02	1,5283е+02	1,5264е+02	1,5285е+02
0,9	2,1159е+02	2,1197е+02	2,1173е+02	2,1201е+02
1	2,8460е+02	2,8507е+02	2,8476е+02	2,8511е+02
1,1	3,7290е+02	3,7347е+02	3,7310е+02	3,7352е+02
1,2	4,7764е+02	4,7833е+02	4,7787е+02	4,7838е+02
1,3	5,9970е+02	6,0051е+02	5,9997е+02	6,0057е+02
1,4	7,3962е+02	7,405 6е+02	7,3993е+02	7,4064е+02
1,5	8,9755е+02	8,9864е+02	8,9791е+02	8,9873е+02
1,6	1,0732е+03	1,0744е+03	1,0736е+03	1,0746е+03
1,7	1,2657е+03	1,2672е+03	1,2662е+03	1,2673е+03
1,8	1,4738е+03	1,4754е+03	1,4744е+03	1,4756е+03
1,9	1,6955е+03	1,6973е+03	1,6961е+03	1,6975е+03
2	1,9281е+03	1,9302е+03	1,9289е+03	1,9304е+03
2,1	2,1685е+03	2,1708е+03	2,1693е+03	2,1710е+03
2,2	2,4127е+03	2,4152е+03	2,4136е+03	2,4154е+03
2,3	2,6561е+03	2,6589е+03	2,6572е+03	2,6592е+03
2,4	2,8936е+03	2,8966е+03	2,8948е+03	2,8969е+03
2,5	3,1194е+03	3,1226е+03	3,1207е+03	3,1230е+03
2,6	3,3271е+03	3,3306е+03	3,3286е+03	3,3310е+03
2,7	3,5101е+03	3,5138е+03	3,5117е+03	3,5142е+03
2,8	3,6613е+03	3,6652е+03	3,6630е+03	3,6656е+03
2,9	3,7736е+03	3,7776е+03	3,7754е+03	3,7781е+03
3	3,8400е+03	3,8441е+03	3,8418е+03	3,8445е+03
3,1	3,8536е+03	3,8578е+03	3,8555е+03	3,8583е+03
3,2	3,8085е+03	3,8127е+03	3,8104е+03	3,8132е+03
3,3	3,6997е+03	3,7038е+03	3,7015е+03	3,7042е+03
3,4	3,5235е+03	3,5275е+03	3,5252е+03	3,5279е+03
3,5	3,2785е+03	3,2823е+03	3,2801е+03	3,2827е+03
3,6	2,9660е+03	2,9695е+03	2,9673е+03	2,9698е+03
3,7	2,5907е+03	2,5938е+03	2,5916е+03	2,5941е+03
3,8	2,1620е+03	2,1646е+03	2,1625е+03	2,1648е+03
3,9	1,6949е+03	1,6970е+03	1,6949е+03	1,6970е+03
4	1,2121е+03	1,2136е+03	1,2114е+03	1,2135е+03
1.9. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ОСРЕДНЕНИЯ
ПРОЕКЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
Исследование стохастических систем управления остается одним из основных
направлений в статистической теории систем автоматического управления. При
проектировании современных систем управления предъявляются высокие требова-
ния к их точности и надежности, поэтому важным является поиск новых методов
исследования, позволяющих учесть дополнительные, в том числе случайные, факто-
ры, влияющие на данные показатели.
126 Статистическая динамика и идентификация САУ
Причиной возникновения случайных процессов в системах управления могут
быть случайные изменения параметров самой системы и соответственно коэффици-
ентов в дифференциальных уравнениях, описывающих ее математическую модель.
В рассматриваемом случае мы имеем дело с классом стохастических систем — сис-
темами со случайными параметрами.
Анализ стохастических систем является достаточно сложной проблемой. Даже
простая стохастическая система, описываемая линейным дифференциальным урав-
нением со случайными коэффициентами, является нелинейной по отношению к па-
раметрическим (мультипликативным) шумам [36]. Нелинейность такого рода во
многом определяет специфические особенности поведения стохастических систем,
такие, например, как обогащение спектров сигналов, изменение среднего значения
выходного сигнала, которые присущи нелинейным системам. Математические мо-
дели стохастических систем описываются стохастическими дифференциальными
уравнениями. Условимся называть стохастическими только дифференциальные урав-
нения со случайным дифференциальным оператором и, возможно, случайными на-
чальными условиями.
Систематическое изложение современной теории стохастических дифференци-
альных систем можно найти в монографии В.С. Пугачева и И.Н. Синицына [99].
Наиболее общим подходом к анализу систем со случайными параметрами являет-
ся получение уравнений, определяющих законы распределения вектора фазовых ко-
ординат динамических систем. Этот подход основан на теории марковских случайных
процессов и использовании уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК). При-
менение такого подхода к исследованию систем управления со случайными парамет-
рами описано в монографии Л.Г. Евланова и В.М. Константинова [36], где отмечает-
ся, что методы, построенные на основе этого подхода, практически пригодны только
для решения сравнительно простых задач, поскольку решение уравнения ФПК для
определения закона распределения фазовых координат систем большой размерности
остается проблематичным. Таким образом, непосредственное применение теории
марковских случайных процессов для анализа стохастических систем оказывается
практически малоэффективным для сложных систем управления, а слишком общая
теоретическая направленность большинства работ в этой области и абстрактная
математическая форма изложения результатов затрудняют их использование.
Другим общим подходом является выполнение приближенного статистического ана-
лиза методом статистических испытаний [20, 98, 118, 138]. Этот подход применим
для любых стохастических систем, в том числе содержащих нелинейности, но реализа-
ция метода встречает известные трудности при анализе математических моделей слож-
ных систем управления. Например, для каждого опыта (испытания) необходимо сфор-
мировать реализации в общем случае нестационарных входных случайных процессов
и всех случайных параметров системы в соответствии с определенными для реальных
сигналов законами распределения. Число опытов должно быть достаточно большим,
поскольку точность результатов, получаемых методом статистических испытаний, от-
носительно медленно возрастает с увеличением числа опытов (см. главу 2). Данный
подход является вычислительным и не дает возможности определить явные зависимо-
сти между вероятностными характеристиками выходных сигналов системы и вероят-
ностными характеристиками ее случайных параметров (что требуют задачи синтеза).
Упомянутые недостатки общих методов сделали актуальной проблему разработ-
ки методов анализа стохастических систем, ориентированных на решение практи-
ческих задач исследования сложных технических систем. Оказалось, что в ряде слу-
чаев можно упростить задачу статистического анализа за счет уменьшения полноты
получаемых вероятностных характеристик, тем более что такое полное решение, как,
например, определение многомерных законов распределения, для большинства прак-
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
127
тических задач, в том числе задач анализа и синтеза систем управления, не требуется.
Здесь обычно бывает достаточно ограничиться определением моментов фазовых ко-
ординат системы и, в частности, первых двух моментов — математических ожиданий
и корреляционных функций. Можно также использовать в качестве статистических
мер кумулянты, обладающие, в отличие от моментов, свойством уменьшения значи-
мости с увеличением порядка, что позволяет выполнять более точный анализ нели-
нейных систем [36, 73].
Возможность указанного упрощения послужила предпосылкой появления группы
методов корреляционного анализа стохастических систем [3, 15, 36, 91, 131, 147].
Вопросы построения и анализа параметрических моделей стохастических систем
рассматриваются в монографии А.А. Грешилова [31].
К методам корреляционного анализа относится метод, основанный на структур-
ном представлении стохастической системы. Этот метод получил развитие в работах
Е.А. Федосова и Г.Г. Себрякова [84, 140], а также в работах П.С. Матвеева, А.С. Си-
ницына [75, 76, 78] и В.Г. Конькова [58]. Он основан на подходе, согласно которому
система рассматривается как совокупность линейных операторов и пропорциональ-
ных звеньев, соединенных прямыми и обратными связями через элементы сравнения
(сумматоры). Для стохастической системы пропорциональные звенья будут иметь
случайные коэффициенты усиления, соответствующие случайным коэффициентам
дифференциального уравнения математической модели системы. Такое структурное
выделение случайных коэффициентов с последующим представлением каждого из них
в виде элемента умножения на внешний случайный сигнал позволяет перейти к «не-
параметрическому» описанию стохастической системы в виде структурной схемы
нелинейной системы со случайными возмущениями, прикладываемыми к ее нелинейным
входам (входам элементов умножения). Корреляционный анализ этой преобразованной
системы выполняется с принятием гипотезы о нормализации выходных сигналов эле-
ментов умножения инерционными линейными элементами. Конструктивность опи-
санного подхода обусловлена тем, что обычно структурная схема хорошо согласуется с
функциональной схемой системы управления, а ее отдельные звенья соответствуют
тем или иным элементам реальной системы. Такая наглядность способствует исполь-
зованию методов, основанных на структурном подходе, в инженерной практике.
С начала 70-х годов в теории автоматического управления начинают использо-
ваться методы исследования систем, основанные на применении матричных операто-
ров. Эти методы, известные как проекционные или спектральные, предполагают ко-
нечномерную аппроксимацию уравнения математической модели системы, описывая
систему линейным матричным оператором, который представляет собой числовую
матрицу, называемую проекционной или спектральной характеристикой системы.
Первыми такой подход к описанию и исследованию систем управления со случай-
ными параметрами предложили В.В. Солодовников и В.В. Семенов [126].
Актуальной является разработка эффективных компьютерных методов анализа
систем со случайными параметрами. Это объясняется, в частности, тем, что автома-
тизированное проектирование современных систем управления во многом опирается
на использование оптимизационных процедур, требующих многократного решения
задачи анализа [1, 2]. С другой стороны, повышенные требования к точности и на-
дежности проектируемых систем приводят к необходимости учитывать большее чис-
ло возмущающих факторов, в том числе возможность случайных изменений пара-
метров системы, что ведет к принципиальному усложнению ее математической мо-
дели и увеличению времени решения задачи анализа.
Ярко выраженная компьютерная ориентация проекционных методов стала пред-
посылкой разработки на их основе комбинированных методов анализа стохастических
систем [38, 80] построенных с использованием уже ставших традиционными методов
128 Статистическая динамика и идентификация САУ
и подходов, сформировавшихся в этой области за последние десятилетия. К таким
комбинированным методам корреляционного анализа стохастических систем отно-
сится метод, рассматриваемые в данном параграфе. В его основе лежит использова-
ние осредненных проекционных моделей.
1.9.1. Аппроксимация математических моделей
Рассмотрим проекционную аппроксимацию математических моделей систем управ-
ления со случайными параметрами с использованием техники матричных операторов.
В качестве исходного описания системы используется ее математическая модель в
форме линейного дифференциального уравнения или системы линейных дифференци-
альных уравнений со случайными коэффициентами. Аппроксимированная модель
строится в виде матрично-операторного уравнения, связывающего проекционные ха-
рактеристики входного и выходного сигналов системы, представляющие собой дис-
кретные разложения этих сигналов по ортогональному базису функций Уолша.
Матричный оператор системы со случайными параметрами представляет собой
случайную матрицу, которую будем называть стохастическим матричным операто-
ром. Введение понятия стохастического матричного оператора позволяет с единых
позиций рассматривать задачи исследования детерминированных и стохастических
систем. Это означает, например, возможность использования для решения задач анализа,
синтеза и идентификации систем управления, рассматриваемых в классе стохастиче-
ских систем, методов и алгоритмов, разработанных для детерминированных систем.
Стохастический матричный оператор для системы со случайными параметрами
может быть получен теми же методами, что и матричный оператор для детерминиро-
ванной нестационарной системы.
Рассмотрим системы со случайными параметрами, описываемые математической
моделью в форме линейного дифференциального уравнения и-го порядка со случай-
ными коэффициентами
П~1	ТИ
(')+£> (Щ(,) (') =	(Щ(;) (0	(ыбг)
z=0	7=0
или в форме системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка со
случайными коэффициентами
(1162)
7=1	1=1
представляемой в векторно-матричной форме
Х'(/) = A(/)X(/) + B(/)Y(/).
Все коэффициенты (/), bj (?) в (1.161) и а^ (/), Ьи (?) в (1.162) полагаем слу-
чайными функциями времени. Начальные условия в (1.161) заданы вектором
Х° = [х(0),Х'(0),...,Х(”_1) (0)]Т, в (1.162) —вектором Х° =	(0),...,Хи (0)]Т.
Для данных систем могут быть применены известные методы проекционной ап-
проксимации нестационарных детерминированных систем, основанные на использо-
вании матричных операторов [66]. В частности, для системы управления, описывае-
мой уравнением (1.162), наиболее естественной является схема проекционной аппрок-
симации с использованием матричных операторов интегрирования и умножения.
Система управления, описываемая уравнением (1.161), может быть либо аппрокси-
мирована с использованием матричных операторов дифференцирования и умноже-
ния, либо дифференциальное уравнение и-го порядка сводится к системе из п диф-
ференциальных уравнений первого порядка и применяется упомянутая выше аппрок-
симация с использованием матричных операторов интегрирования и умножения.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
129
Применяя соответствующие схемы проекционной аппроксимации [66], получим
математическую модель системы со случайными параметрами в виде матрично-
операторного уравнения, связывающего проекционные характеристики входного и
выходного сигналов, которые представляют собой дискретные разложения этих сиг-
налов по некоторому ортогональному базису.
Для систем управления, математическая модель которых описывается уравнением
(1.161), матрично-операторное уравнение имеет вид
С^=АСУ+С°,	(1.163)
где А — стохастический матричный оператор одномерной системы; С° — случай-
ный вектор-столбец, учитывающий начальное состояние системы.
Для систем управления, описываемых системой уравнений (1.162), матрично-
операторное уравнение имеет вид
С(УЦ	+	(1.164)
где Ая — стохастический матричный оператор системы размерности рп х рк; Xх
— стохастический матричный оператор преобразования начального состояния сис-
темы размерности рп х рп; р,п,к — размерности блочных матриц; р — число
членов разложения по ортогональному базису.
Буквами С с соответствующими индексами в (1.163), (1.164) обозначены спек-
тральные (проекционные) характеристики сигналов, представляющие собой вектор-
столбцы коэффициентов разложения этих сигналов по ортогональному базису
Ф(1) = [<р1(1),...,<рД1)] , где <рг(/), i = 1,р — элементы системы орто нор миро ван-
ных функций, в качестве которой будем использовать систему функций Уолша.
Стохастические матричные операторы в уравнениях (1.163), (1.164) представляют
собой случайные числовые матрицы, выражения для которых определяются с использо-
ванием матричных операторов интегрирования Рт и умножения [66]. В соответст-
вии с этим стохастический матричный оператор в уравнении (1.163) определяется так:
A = (l + A^)-1 Ау,	(1.165)
где
У =(р")ТуиДр-')Т;
2=0
у 777	у
Ау=(рИ) £иЬу(р-у) .
7 7=о
Стохастические матричные операторы в уравнении (1.164) определяется выраже-
ниями
B^f^xpt);	(1.166)
А(р„хр„) =^I(p„xp„)+(A0	,	(1.167)
где \pnxpn) — единичная матрица;
(АЛ =-(Аи\	;
\ и Црпхрп) V *\pnxpn)\ У )(рпкрпу
В’'(р„хрЧ = (А„	( Ау у	.
130
Статистическая динамика и идентификация САУ
В указанные выражения входят следующие блочные матрицы: матрица

элементами (блоками) которой являются матрицы операторов умножения иЯу размер-
ности рхр; матрица (Ау)^йХ/7^, элементами которой являются матрицы операторов
умножения и*'7
размерности р х р; матрица
(Аи),	.
\ п /{рПХрП)
элементами которой являются
т
матрицы операторов интегрирования Р размерности р х р. расположенные по ее главной
диагонали, остальные элементы матрицы Аи — нулевые матрицы размерности р х р.
Непосредственное использование стохастических матричных операторов, пред-
ставленных в форме (1.165)-(1.167), затруднено тем, что в выражения для них входят
случайные обратные матрицы. Избежать проблем, связанных с необходимостью их
дальнейшего осреднения, можно, если воспользоваться приемом, предложенным в
[126]. Он состоит в разложении обратной матрицы в матричный ряд. Применим
данный прием к выражению (1.165).
Представим матрицу в виде суммы известной неслучайной матрицы Xх и
случайной матрицы :
А^А^+АУ	(1.168)
где
\х = (ри)т]Ги7 (р-г')т;	(1.169)
2=0
У =(p")TZu“r(p")T	(1.170)
2=0
Такое представление случайной матрицы соответствует представлению слу-
чайных коэффициентов дг(/) исходного дифференциального уравнения (1.161) в
виде суммы неслучайных о] (/) и случайных составляющих:
«г(0 = ^(0 + й!Г(0-	С1-171)
При этом матрица иЯ; в (1.169) является неслучайной матрицей оператора умно-
жения на функцию щ (/), а матрица Ua‘ в (1.170) — случайной матрицей оператора
умножения на функцию агсл(/).
Тогда, учитывая (1.168), обратную матрицу (l + А^ j можно представить в виде
(l + А^)~‘ = Ам (I + А*АН( ,	(1.172)
где
А^° =(l + A^)-1	(1.173)
является неслучайной известной матрицей.
Разложим обратную матрицу (l + A^A^0)	в выражении (1.172) в матричный
ряд, представляющий собой геометрическую прогрессию со знаменателем -А^А^° :
_1	00
(l + A^f=A«^(-l)''(A^AM)V.	(1.174)
v=0
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
131
Вид и сходимость этого ряда зависят от выбора матрицы А^°. Сходимость здесь
будем понимать в среднем квадратичном.
С учетом (1.174) выражение (1.165) примет следующий вид:
[1	\V
т 1	Т I	т	т
(ри) ^1ПСЛ А^° х(ри) U7(P“7') .	(1.175)
2=0	J
Применяя аналогичный прием к выражениям (1.166) и (1.167), представим их в виде
00	/	\V
(ан\ п=(ахо) У(-1У1(а^)	(аХ0) ИвУ) ’ с1-176)
V J{pnxpk) \ ^рпхрп^^\ J СЛ/(ртхрт)\ J(pnxpn)) \ Црпхрк} V ’
А(УР„)=(А“)	У(-1)" (аД кч А о-177)
у11)	\ /{рпхрп) ^0	'{рпхрп) \ '(рпхрп) J
Таким образом, получены выражения для стохастических матричных операто-
ров (1.165)-(1.167) в форме (1.175)—(1.177), удобной для их дальнейшего осреднения.
Рассмотрим частный случай систем со случайными параметрами, описываемых
математической моделью в форме дифференциального уравнения и-го порядка
П~1	ТИ
х(и)(0+Еа2х(г)(0 = Е^у(7)(0’ п-т-	(1.178)
z=0	j=0
где все коэффициенты bj являются случайными величинами, коррелированными
между собой. Начальные условия предполагаются нулевыми.
Уравнение (1.178) можно рассматривать как модель системы, на вход которой по-
ступает случайный процесс, представленный множеством реализаций, причем пара-
метры системы для каждой реализации являются постоянными случайными величи-
нами. Такая модель описывает, например, множество систем (серию изделий), пара-
метры которых имеют случайный разброс в пределах технологических допусков,
либо одну систему, параметры которой случайным образом медленно изменяются во
времени, так что в пределах одной реализации входного сигнала их можно считать
постоянными.
Стохастический матричный оператор для данной системы определяется выраже-
нием (1.175). С учетом того что матричный оператор умножения на постоянную ве-
личину а для используемого ортогонального базиса можно представить как
Ufl = аЛ,
выражение (1.175) примет вид
[1	X V
п—\	т	\	т
2>гсл(ри“г') А^° ^(ри“7') ,	(1.179)
2=0	J
где А^° определяется выражением (1.173), в котором
А* =£а,.(р"-)Т	(1.180)
2=0
Модель системы с переменными случайными параметрами можно свести к мо-
дели с постоянными случайными параметрами, если воспользоваться каноническим
разложением случайных функций. Рассмотрим систему, модель которой описывается
линейным дифференциальным уравнением и-го порядка
П~1	ТИ
Ц">(2)+уа,(1)Щ(2)=Уй;(2)У('>(2),	(1.181)
2=0	7=0
132
Статистическая динамика и идентификация САУ
где все коэффициенты, а также входной сигнал Y (?) полагаются некоррелированны-
ми нестационарными гауссовыми случайными процессами, для которых заданы ма-
тематические ожидания та (/),	(?) и автокорреляционные функции
Аяя (бД2), ^ьь- (h’h)- Начальные условия будем полагать нулевыми.
Каноническое разложение случайных процессов аг (/) и в (1.181) позволяет
представить их в виде линейной комбинации некоррелированных случайных величин
V/“ и V^j, являющихся коэффициентами канонических разложений этих случайных
процессов по системе неслучайных координатных функций (/) и Ч//’/- (z):
(о+(щ(,) w+zix'j'b- (о=
z=0	z=0 /с=1
(1.182)
где ma (t} и mh\t) —математические ожидания соответствующих случайных ко-
эффициентов.
Выполним проекционную аппроксимацию модели (1.182) с использованием мат-
ричных операторов интегрирования и умножения [66]. Для этого разложим функции
времени, входящие в уравнение (1.182), в ряды Фурье по заданной системе ортонор-
мированных функций:
тД/)=Фт(/)с"’;	;
^(z) = ®T(z)C^; ^(z) = ®T(z)cA
X(i)(z) =	Р“'Ф((); У(/)(z) = (С1)7Р”-'Ф(г),
(1.183)
z = 0, п -1; j = 0, т; s = 1,1.
Подставляя разложения (1.183) в уравнение (1.182) и учитывая свойство
ф(/)фт(/)су =(иу)тФ(/),
где (V — матричный оператор умножения, имеем
Р“иФ(/) + (с^)Т	(u/7% V Ф(/) + (с^)Т ^P“Z'2L^ "l Ф(/) =
z=0	z=0	/с=1	'
®(z).
В силу линейной независимости базисных функций последнее уравнение равно-
сильно матричному уравнению относительно спектральных характеристик входа и
выхода системы:
(1.184)
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
133
Вводя обозначения
ах =(p'JT^u/7% (р-г')Т;
2=0
у=(р”)т (рч)Т;
2=0 /с=1
(1.185)
перепишем уравнение (1.184) в виде
(l + Ах + )СХ = АУСУ.
(1.186)
Матрично-операторное уравнение (1.186) представляет собой проекционную мо-
дель системы, описываемой дифференциальным уравнением (1.181). Учитывая обра-
тимость матрицы (l + Ах + A* j при достаточно большом р, что следует из теорем
о единственности решения уравнения (1.186), об условиях сходимости и вычисли-
тельной устойчивости проекционных аппроксимаций систем, описываемых линейными
операторными уравнениями 2-го рода [66], можно записать выражение, определяющее
зависимость между спектральными характеристиками входа и выхода системы:
Cx=ACy,	(1.187)
где
(1.188)
Случайная матрица А размером р*р, определяемая выражением (1.188), пред-
ставляет собой спектральную характеристику системы со случайными парамет-
рами, описываемой моделью (1.181), т.е. ее стохастический матричный оператор.
Для устранения проблемы его дальнейшего осреднения воспользуемся описанным
ранее приемом разложения обратной матрицы в матричный ряд:
-1	-1	00	X,
(I + А* + Г = Ан (I + А* А«Г‘ = а“£(-1Г [аЦ")' ,	(1.189)
v=0
где
(1.190)
тогда выражение (1.188) примет вид
777 7-, . W 1 L
и
/с=1
(1-191)
Для вычисления матриц умножителей на функции Ч7" (/) и 4^(7), обозначен-
фа
ных в (1.191) как U ki и U kJ, необходимо сначала определить эти функции, вос-
пользовавшись, например, следующим алгоритмом. Автокорреляционные функции
Raa.	и &ьь . заданные для каждого коэффициента исходного уравнения
(1.181), раскладываются по ортонормированному базису Ф(^), в результате чего
R	Rbb-
получаются матрицы их спектральных характеристик С w и С 7 7. Затем для каж-
134 Статистическая динамика и идентификация САУ
дой из этих матриц с помощью алгоритма Холецкого вычисляется матрица Uo,
удовлетворяющая условию
c*=uouj.
Наконец, для каждого коэффициента исходного уравнения строится система ко-
ординатных функций его канонического разложения
t(0 = (uo)t®0).
Таким образом, использование канонических разложений переменных случайных
коэффициентов в исходном дифференциальном уравнении (1.181) позволяет аппрок-
симировать модель системы с переменными случайными параметрами проекцион-
ной моделью системы с постоянными случайными параметрами, что значительно
упрощает задачу ее анализа.
1.9.2. Структурное представление моделей
Представление математических моделей систем в виде структурных схем, описы-
ваемых в терминах передаточных функций, является традиционным подходом, при-
меняемым при исследовании и проектировании систем управления. Используя поня-
тие стохастического матричного оператора, можно распространить такой подход на
стохастические системы управления, обеспечив наглядную форму представления
проекционной модели. Рассмотрим метод анализа систем управления со случайными
параметрами, основанный на использовании стохастических матричных операторов
и структурного представления проекционной модели системы. Этот метод особенно
удобен для построения проекционных моделей сложных систем управления. В каче-
стве исходного описания системы используются модели ее отдельных элементов в
виде дифференциальных уравнений и-го порядка со случайными коэффициентами.
Последовательность действий при построении модели системы следующая:
1.	Определяются выражения для спектральных характеристик (СХ) всех элемен-
тов системы и строится структурная схема системы в спектральной области. Такая
схема внешне отличается от обычной структурной схемы только тем, что вместо пе-
редаточных функций ее элементов используются выражения для их СХ. Выражения
для СХ отдельных элементов определяются стандартными методами проекционной
аппроксимации их моделей (заданных в виде линейных дифференциальных уравне-
ний, в том числе со случайными коэффициентами) с использованием матричных опе-
раторов интегрирования и умножения [66] и представляют собой матричные форму-
лы. В качестве ортогонального базиса используются функции Уолша. Выражения для
СХ элементов, имеющих случайные параметры, содержат случайные коэффициенты
в виде случайных чисел или случайных матриц операторов умножения.
2.	Определяется выражение для СХ всей системы, которое получается как резуль-
тат преобразования («свертывания») полученной на предыдущем этапе структурной
схемы, построенной по проекционным моделям (спектральным характеристикам)
отдельных элементов, охваченных прямыми и обратными связями. Используемые
при этом правила структурных преобразований [122] во многом похожи на те же
правила для передаточных функций с учетом специфики нестационарных систем.
Если структурная схема содержит перекрестные связи, то СХ системы может быть
получена путем записи выражений для СХ выходных сигналов всех ее отдельных
элементов и последовательного исключения переменных (векторов СХ выходных
сигналов элементов схемы) из этих выражений. В результате получается выражение,
связывающее только СХ входа и выхода.
3.	Выражение для СХ всей системы, полученное на предыдущем этапе, содержит
обратные матрицы вида (1 + а) , где А — случайная матрица. Чтобы избежать
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ 135
проблемы осреднения обратной матрицы применяется описанный выше прием раз-
ложения обратной матрицы в матричный ряд (с предварительным представлением
матрицы А в виде А = А + АСЛ, где А —ее математическое ожидание; Асл —слу-
чайная составляющая):
1	00	X,
(I+A)’ =а,)У(-асда')) .	(1.192)
v=0
где А0 = (l + А) \
Матрица Асл представляет собой матричный оператор умножения на случайную
функцию времени, соответствующую случайному параметру одного из элементов
структурной схемы. Если этот параметр является случайной величиной дсл, то
Асл = асл -I, где I — единичная матрица. Если же он является случайной функцией
времени, то применяется следующее разложение, представляющее собой спектраль-
ный аналог канонического разложения случайной функции:
Асл=2ХиУ	(1.193)
/с=1
где Vk — гауссовы случайные величины с единичной дисперсией и нулевым сред-
ним значением; иФ/с — матрицы операторов умножения на неслучайные координат-
ные функции Т к.
Таким образом, выше изложена процедура преобразования исходного выражения
для СХ всей системы, полученного на втором этапе, к виду, удобному для дальней-
ших вычислений, т.е. это выражение теперь не содержит случайных матриц и пред-
ставляет собой сумму произведений неслучайных матриц на случайные числа и в
таком виде легко поддается осреднению.
1.9.3.	Анализ систем, параметры которых являются
СЛУЧАЙНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ
Зависимость между спектральными характеристиками входа и выхода системы,
описываемой моделью (1.178), имеет вид
Cx=ACy,	(1.194)
где стохастический матричный оператор определяется выражением (1.179).
Определим математическое ожидание выходного сигнала системы. Осреднив
(1.194) по множеству реализаций, получим соотношение
С™х =м[аС/’7>-] = М[а]С/’7>- =АсрС/7\	(1.195)
согласно которому спектральная характеристика математического ожидания выход-
ного сигнала С™х определяется как линейное преобразование спектральной характе-
ристики математического ожидания входного сигнала С/77>' детерминированным мат-
ричным оператором Аср, который представляет собой математическое ожидание
случайной матрицы стохастического матричного оператора А.
Определим матричный оператор Аср как
т оо
лр = л/[л]=л!"уу(-1)'д/
7=оv=o
(1.196)
136
Статистическая динамика и идентификация САУ
Вводя обозначение
запишем выражение для v-ro приближения матричного оператора Аср :
т	\Т
(Аср) =(acp)v_1+Aa'0^(-1)vM,.v(p”--') ;	(1.198)
7=о
при этом нулевое приближение определяется следующим образом:
т / \Т
M = A“£M/0(rJ).	(1.199)
7=о
Выражения для моментов (1.197) могут быть раскрыты для каждого v, например:
Муо = M[bj~\ = mb.;
Мд = М [a^bj ] РтА^° +... + М [a^bj ] (ри )Т А^° =
= |ЪеЛ, +т m ть ЬтА^°+... + |Хслй +»и%кр';|ТАл\
\ an-lbj an-l	\ ао	1 )\	)	'
где буквами т и D с индексами обозначены соответственно математические ожи-
дания и взаимные корреляционные моменты случайных коэффициентов, используе-
мых в качестве индексов.
Стохастические моменты выше второго порядка, например появляющиеся в вы-
ражении для М -2 моменты третьего порядка, для нормально распределенных дг, bj
можно разложить на моменты первого и второго порядка, пользуясь известными со-
отношениями [97].
На практике редко приходится учитывать статистическую связь между случайными
коэффициентами исходного дифференциального уравнения (1.178), поэтому вместо
совместных моментов для коэффициентов дг и Ь- можно с целью упрощения рас-
сматривать произведения их моментов. При этом для нормально распределенных ко-
эффициентов достаточно выражать эти моменты через моменты первого и второго по-
рядков, т.е. через математические ожидания и дисперсии. Если закон распределения слу-
чайных коэффициентов отличен от нормального, то задания первых двух моментов
уже недостаточно — здесь целесообразно использовать другие числовые характеристи-
ки вероятностных распределений, к которым относятся кумулянты [73]. Это позволяет
ограничиться конечным числом кумулянтов, поскольку в отличие от моментов, зна-
чимость которых с ростом их порядка не убывает, кумулянты обладают свойством
уменьшения значимости с увеличением порядка. Для нормального (гауссова) закона
распределения вероятности все кумулянты выше второго порядка равны нулю. При этом
кумулянт первого порядка равен первому начальному моменту — математическому ожи-
данию, а кумулянт второго порядка равен второму центральному моменту — дисперсии.
Связь между начальными моментами аг и кумулянтами у,, порядка г скалярной
случайной величины определяется соотношением, являющимся тождеством по X [36]:
GO	у Г	GO	| Л Г |
Е“гЛ7=ПехР2Ц-•	(1-200)
г=0	г! г=1	[ r! J
Разлагая экспоненту в правой части (1.200) в ряд
= Ё
/с=0
/ v \ь
хА ] 1
v r! J к-
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
137
перемножая члены этого ряда и сравнивая члены полученного в результате ряда с
членами при тех же степенях X ряда в левой части (1.200), можно получить форму-
лы, связывающие начальные моменты и кумулянты. Например, для начального мо-
мента четвертого порядка имеем
«4 = Х4 + 4Х1Хз + 3x1 + 6х 2 Xi2 + X? •
Для нормально распределенной случайной величины ее стохастические моменты
порядка г всегда могут быть выражены через моменты первого и второго порядков
согласно соотношению
(1.201)
из которого, сравнивая члены при одинаковых степенях X в его правой и левой час-
ти, можно получить соответствующие формулы. Например,
М = оц = Зо| + бо^а2 +	= 37)^ + 6Daтп^ + пр,
где ma,Da — соответственно математическое ожидание и дисперсия случайной ве-
личины а.
Таким образом, математическое ожидание выходного сигнала системы
может быть вычислено с требуемой точностью, определяемой номером используемо-
го приближения матричного оператора Аср и числом удерживаемых членов разло-
жения по ортогональному базису р.
Для определения корреляционной функции выходного сигнала воспользуемся со-
отношением
QRxx
(1.202)
где спектральная характеристика второго начального момента C°vv определяется так:
= м
Q&XX
асу(асу)т
АСУ(СУ)ТАТ
С учетом того что квадратную случайную матрицу Су(су1 можно осреднить
отдельно, поскольку она является статистически независимой, последнее выражение
примет вид
Q&XX
(1.203)
= 7и[АСб1ТАт] = 7И
аГс^+С^ (с"71- )Т Ат
В итоге получаем выражение
(1.204)
связывающее спектральную характеристику корреляционной функции выходного
сигнала CRxx со спектральными характеристиками корреляционной функции вход-
ного сигнала СЛуу, математического ожидания входного сигнала СОТу и математиче-
ского ожидания выходного сигнала С™х.
Запишем выражение для 5-го приближения спектральной характеристики второго
начального момента выходного сигнала Свхх, определяемого выражением (1.204),
используя представление стохастического матричного оператора (1.179):
138
Статистическая динамика и идентификация САУ
Последнее выражение может быть раскрыто для различных к подобно выраже-
нию (1.197). Например, нулевое приближение Се-И' имеет вид
т т	т (	Т Л
с?" =Аа1,£ у [Dhithp+mh.mbi; (р”-Д СХ»-+С">(С”>) Р”~Л.	(1.206)
Л=о72=0	'
В итоге корреляционная функция выходного сигнала системы
Rxx (Мг) = Ф(Р) (Л )С(^р)Ф(р) (z2)
вычисляется с требуемой точностью.
1.9.4.	Анализ систем с переменными случайными параметрами
Выражение для спектральной характеристики математического ожидания вы-
ходного сигнала системы с переменными случайными параметрами совпадает с вы-
ражением (1.195), получаемым для системы с постоянными случайными парамет-
рами. Выражение для автокорреляционной функции выходного сигнала в спектраль-
ной области также совпадает с выражением (1.204) для системы с постоянными
случайными параметрами (см. п. 1.8).
Стохастический матричный оператор в выражениях (1.195) и (1.204) определяется
согласно (1.191). Тогда для вычисления этих выражений необходимо вычислить сле-
дующие моменты:
т оо	Z	т \v
Af[A] = A^0££(-l)v (ри) М
7=0v=0	V У
Т	Т	W 'ОС	/	т
х(а^°) (ри) \Tbj (р“у) +А^° jr^(-l)vUpw) j X	(1.207)
j=0v=0 v '
для выражения (1.195) и
для выражения (1.204).
Заметим, что вычисление моментов (1.207), (1.208) сводится к осреднению слу-
чайных величин, т.е. к вычислению моментов
М^У r = l,v; i = 0,n-l; k = l,l; j = 0,m.
Указанные стохастические моменты всегда могут быть выражены через моменты
первого и второго порядков согласно (1.201). Тот факт, что все коэффициенты кано-
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
139
нических разложений в (1.191) имеют нулевые математические ожидания и диспер-
сии, равные единице, дополнительно упрощает расчет.
Спектральные характеристики математического ожидания и автокорреляци-
онной функции выходного сигнала, определяемые согласно (1.195), (1.204), позволяют
в итоге определить эти статистические характеристики во временной области для
заданного конечного числа членов разложения по ортогональному базису р\
RXX (б Л ) = Ф0?) (б ) С^)Ф(р) (Z2 ) •
1.9.5.	Оценка сходимости матричных рядов
Оценим сходимость матричных рядов, используемых для приближенного пред-
ставления стохастических матричных операторов при решении задачи анализа сто-
хастических систем по их проекционным моделям. Такие ряды имеют вид
(I + Aj-1 = Sf-AcX	(1.210)
v=0
где случайная матрица Асл имеет представление:
А» =(Р”)Т£и',-"(р-,)ТАм в(1.175);
2=0
АСЛ=-(АИ)/ JaM (ахо) в (1.176) и (1.177);
ел \ *Ю(рпхрп)\ У )(рпхрп}\ \pnxpn) V 7 V 7
АгаЛ£а“(р"--)ТА-™ в (1.179);
2=0
Аел =(Р")Т	(РА АХ0 В (1.191).
2=0 /с=1
При решении задачи анализа этот ряд осредняется и переходит в ряд
^[(1 + АелГ‘] =
v=0
Условие сходимости такого ряда можно найти, исследуя сходимость ряда из соб-
ственных значений матрицы Асл:
-	1 “I 00
м (1 + у)“ = ^(-1Гм[у] = 1-м[у]+м[Ц]-....
L	J v=0
Последний ряд является полусходящимся. Условие его сходимости
< э 77’
7 2v0+l
где Dx — дисперсии собственных значений случайной матрицы Асл; v0 —
номер последнего удерживаемого члена ряда (номер наибольшего возможного при-
ближения стохастического матричного оператора).
Дисперсии собственных значений Dp могут быть выражены аналитически через
дисперсии случайных коэффициентов однако для практических целей часто бы-
вает проще найти их приближенные значения численным осреднением. В алгоритме
статистического анализа можно предусмотреть оценку абсолютной погрешности
приближения матрицы М (1 + Асл) 1 сравнением последующего v-ro приближе-
140 Статистическая динамика и идентификация САУ
ния с предыдущим, что дает возможность контролировать выполнение условия
v < v0, достигая наибольшей возможной точности приближения вблизи v0.
1.9.6. Особенности алгоритмической и программной реализации
Особенностью метода анализа систем со случайными параметрами, рассмотрен-
ного в данном параграфе, является использование приближенного представления
стохастического матричного оператора. Точность этого представления определяется
числом членов матричного ряда, удерживаемых в соответствующем приближении.
Другой особенностью является необходимость вывода формул, уникальных для каж-
дого приближения v и сочетания порядков п и т левой и правой частей исходного
дифференциального уравнения модели стохастической системы. При этом для обес-
печения приемлемой точности получаемых результатов часто требуется рассматри-
вать приближения достаточно высоких порядков, что порождает проблему вывода
очень громоздких матричных формул. С другой стороны, процесс вывода этих фор-
мул включает в себя ограниченный набор многократно повторяющихся типовых ана-
литических преобразований, выполняемых при перемножении полиномов и раскры-
тии стохастических моментов при каждом слагаемом результата, что позволяет сде-
лать вывод о возможности автоматизации указанных аналитических преобразований.
В связи с описанными особенностями алгоритмы, построенные на основе рас-
смотренного метода анализа стохастических систем, являются, по своей сути,
численно-аналитическими. Они должны, в общем случае, включать в себя два основ-
ных этапа — аналитический вывод формул для заданных v, п, т и вычисление по
этим формулам конкретных значений характеристик выходного сигнала системы
для заданных характеристик входного сигнала и случайных параметров. Среда про-
граммной реализации таких алгоритмов должна обеспечивать, наряду с эффектив-
ным выполнением чисто вычислительных операций над матрицами, возможность
выполнения аналитических преобразований. Наиболее удачно сочетанию указанных
требований удовлетворяет известная система Matlab (MathWorks, Inc.) версии 6 и
выше с установленным пакетом символьных вычислений Symbolic Mathematics Toolbox.
Пример 1.15. Рассмотрим модель системы управления, которая описывается дифференциальным
уравнением
X"{t) + ai{t)X'{t) + aQ{t)X{t) = Y{t),
где коэффициент а0 (1) является случайной функцией времени (гауссовым случайным процессом) с мате-
матическим ожиданием	(7) = 1 + 0,2 Sinи корреляционной функцией	= 0,2е 3IZ1 /:L Ко-
эффициент аДД —детерминированная функция времени (7) = 0,5 + 0,2 Sm . Начальные условия
положим нулевыми. На вход системы поступает детерминированный сигнал У(/) в виде единичной сту-
пеньки У(7) = 1(7).
Требуется вычислить методом осреднения проекционных моделей математическое ожидание тх (ф, дис-
персию и корреляционную функцию	выходного сигнала X(t) на интервале времени t =[0,10] с.
Воспользуемся каноническим разложением случайной функции а0(г)- Стохастический матричный
оператор системы будем представлять в форме (1.191). Спектральную характеристику математического
ожидания определим по формуле (1.195), спектральную характеристику корреляционной функции — по
формуле (1.204). Стохастический матричный оператор осредняем в соответствии с формулами (1.207),
(1.208). Статистические характеристики во временной области для заданного конечного числа р членов
разложения по ортогональному базису вычисляем согласно (1.209). Зададим следующие дополнительные
параметры: число членов разложения по ортогональному базису — 32; число удерживаемых членов в
канонических разложениях случайных функций — 8. Для 3-го приближения стохастического матричного
оператора получаем результаты, приведенные на рис. 1.90-1.92.
Для оценки точности полученных результатов на графиках приводятся решения, полученные методом
статистических испытаний для множества из 4000 реализаций выходного сигнала системы, вычисленных
методом имитационного моделирования.
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
141
Рис. 1.92. Корреляционная функция выходного сигнала системы
142
Статистическая динамика и идентификация САУ
1.10. РАСЧЕТ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ С ПОМОЩЬЮ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Рассмотрим применение положений, изложенных в главе 3 (т.1), для статистиче-
ского исследования непрерывно-дискретных систем [63, 125, 144, 152 и др.].
Распространенные способы расчета случайных ошибок в динамических системах
частотным методом связаны, как известно, с интегрированием спектральных плотно-
стей. Получающиеся при этом соотношения позволяют определять лишь установив-
шиеся значения характеристик случайных функций, оставляя открытым вопрос о
поведении системы в переходном режиме. Применение многомерных интегральных
преобразований позволяет снять это ограничение. Причем для стационарных линей-
ных систем возможность анализа переходных процессов при случайных воздействиях
не сопровождается сколько-нибудь заметным усложнением расчетных соотношений.
Что касается оценок математического ожидания, то очевидно, что для линейных
систем расчетные формулы не отличаются от соответствующих соотношений для
детерминированных сигналов, и мы не будем на них останавливаться, переходя сразу
к оценкам вторых моментов.
Начнем с рассмотрения непрерывных систем.
Определим спектральную плотность	случайного сигнала, заданного на
(0, go) и отвечающего корреляционной функции	которая описывает в об-
щем случае нестационарный процесс соотношением
Sff ^s,p) = J (t,x)e~ste~pTdxdt.	(1-211)
о о
Другими словами, спектральная плотность определяется как двухмерное инте-
гральное преобразование корреляционной функции. Применение многомерных преоб-
разований позволяет распространить частотный метод, широко используемый для
описания стационарных систем и сигналов, на нестационарные процессы.
Если случайный сигнал является стационарным, корреляционная функция зависит
от разности переменных t и т:
й#(г,т) = Л#(/-т).
Для автокорреляционной функции, симметричной относительно своих аргумен-
тов, найдем
S-^ (s,p) = j jRyy (j - T^e~ste~pxdxdt =
о о
= j j*7?^ {t - T^e~ste~pTdtdx + j Rff (t - x)e~st e~pT dxdt.
0 т	0 t
Обозначив
=	(1.212)
о
для спектральной плотности стационарного процесса получим соотношение
sps,p)H^+SdpY	(1.213)
77	S + р
Как и следовало ожидать, это выражение является симметричным по аргументам
s и р, поскольку соответствует автокорреляционной функции с аналогичными
свойствами. Взаимная спектральная плотность, определяемая тем же соотношением
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
143
(1.211), этим свойством обладать не будет в силу известных свойств соответствую-
щей корреляционной функции.
Для белого шума с корреляционной функцией
учитывая известные свойства 5-функции, спектральную плотность запишем в виде
с2
Sff(s,p) =----.	(1.214)
77 s + р
Спектральные плотности случайных сигналов используются для расчета случай-
ных ошибок, характеризуемых дисперсиями или соответствующими среднеквадрати-
ческими отклонениями.
Процедура вычисления изображения дисперсии по спектральной плотности носит
название ассоциации переменных и отвечает операции отождествления переменных
t и т в корреляционной функции
С+JGO
j ерхSj-j-(s,p^dp ds,
Отталкиваясь от обратного преобразования для вычисления корреляционной
функции по спектральной плотности
1 с+уоо
J
С—
(1-215)
отождествляя t и т, найдем
Откуда видно, что изображение дисперсии получается ассоциацией переменных
s и р по формуле
. с+jx>
Dff^ = Dff(.sy=^— / sff(s-p,p)dp.	(1.216)
J с— JOO
Заметим, что последнее выражение можно также вывести из известного свойства
преобразования Лапласа, которое операцию умножения во временной области связы-
вает со сверткой в области комплексной переменной.
Для установления связи «вход-выход» между спектральными плотностями будем
исходить из известного соотношения между автокорреляционными функциями входа
Ауу(/,т) и выхода /?л-л-(/,Г):
h h
Rxx(t\dz) = J*J* k(tx,^k(t2,y\)RYY(T,y\)dTdy\.
о о
Применяя к последнему соотношению в соответствии с (1.211) двухмерное пре-
образование Лапласа и выражая корреляционную функцию /?}Т(цт) с помощью об-
ратного преобразования через $уу(8,р}, будем иметь
1 ОО ОО	?2
Sxx (51 >s2) =---2 J J	е~^2 ^2^6 ’ j j к (б, т) к (t2, т) dt2dtx х
(2л/) оо	оо
с+jwc+jw
х f f SYY(p^P2)ep^ep^dp2dpv
c-jw c-jw
144
Статистическая динамика и идентификация САУ
Меняя порядок интегрирования и учитывая определение бичастотной передаточ-
ной функции, получим искомую зависимость (см. главу 3, том 1)
1	с+joo с+jx>
V(^1A2) = -—-7 J* J* ^(sl,pl)r(s2,p2)SYY(pl,p2)dpldp2. (1.217)
J c—j^c—j^
Для стационарных систем интегральное выражение заменяется алгебраическим.
В самом деле, вспомним, что Г(s,p} и связаны соотношением
r(s,/?) = lF(s)—!—
s — р
перепишем сначала (1.217) в виде
. с+уоос+уоо	С (	\
- / /	rruw?)	i i
(2ту)2 ДД(«1-а)(«2-л)
Интегрируя вычетами в полюсах д = и р2= s2, приходим к простому алгеб-
раическому выражению
(51А2) = ^Л(*у1)^Л(*у2)^'уу (51А2)-	(1.218)
Напомним, что 5Л-Л-(.v,p) характеризуют нестационарный случайный процесс и,
в частности, позволяют оценивать переходные процессы по дисперсии. Проиллюст-
рируем это простым примером.
Пример 1.16. Будем рассматривать прохождение белого шума через динамическое звено с передаточ-
ной функцией
W(s} = —
v 7 Д+1
Спектральная плотность сигнала на выходе звена
„ / X _ к К S2
$хх \S’P)~ ~ “Г’~	' •
Г,\ + 1 Тар + 1 s + p
Ассоциируя переменные (1.216), найдем изображение дисперсии:
D,, (5) = —7 К------------------—dp =-------К^2
2ту < Ta(s -р) + 1Тар + 1 sp +р	(Та А
I 2	)
Откуда, переходя к оригиналу, найдем дисперсию как функцию времени:
Традиционный путь, базирующийся на одномерном преобразовании Фурье, позволяет выявлять лишь
установившиеся значения дисперсии (в нашем случае Dxx = K2S2 /(2Та)).
Найдем теперь связи «вход-выход» для взаимной спектральной плотности. Во вре-
менной области для корреляционных функций имеем
Rxy (?,т) = ^k(t, т|)7?уу(т|, т)й?т|.
о
Преобразуем последнее выражение в соответствии с определением (1.211)
$XY (S’P) ~
j |&(7,т|)Ауу(т|,т)й?т| е pTdx dt.
xOVO	J у
Корреляционную функцию входного воздействия /?}Т(г|,т) выразим через спек-
тральную плотность
1	с+ 700 с+jx>
( 2 Л/ ) c—j'/j c—j'/j
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
145
Учитывая, что
1
о
1 c+joo J
— ; Г Syy (г,ц)йД1 = Syy (v,p\
2ni < O-Ll
a Г— 7CO	‘
и меняя порядок интегрирования, получим искомое соотношение
1 с+уоо
sxy(s’P) = — ( r(s,v)Syy(v,p)dv.
Z717	.
J С— 700
(1.219)
Для стационарных динамических звеньев, у которых бичастотная передаточная
функция представлена зависимостью
r(s,v) = lF(s)—
s— v
интегральное соотношение заменяется простым алгебраическим
=	(1.220)
Снова подчеркнем, что фигурирующие в (1.220) спектральные плотности описы-
вают нестационарные случайные процессы.
Обратимся теперь к описанию дискретных сигналов. Случайная последовательность
х(тг), и = 0,1,..., которой во временной области отвечает корреляционная функция
в комплексной области характеризуется спектральной плотностью SxX{.z2->z\):
о-221»
и=0 m=Q
Изображение дисперсии Dxx(n) = Rxx(n,n} найдем, ассоциируя переменные zx
и z2. Для этого в формуле обратного преобразования
Rxx( 1 .2 ^z2~lzr~^AX(z2)dzxdz2	(1.222)
(2л/)
отождествим переменные п и т и заменим сначала выражение для оригинала:
откуда видно, что изображение дисперсии определяется формулой
Найдем спектральную плотность белого шума, для которого корреляционная
функция
Rxx (п,т) = 52A(tz - т) = Р’ П = W’	(1.224)
[О, п^т.
Прямыми вычислениями из (1.221) получим
5„(z2,.-1) = S2^i-.	(1.225)
Z2Z1 1
Для стационарных последовательностей Rxx(nmd)= Rxx(n-т). Для спектраль-
ной плотности стационарного сигнала сначала запишем
Sxx(z2,zA= У У Rxx(n-rn\z~nz7m + У У Rxx(m-n\z~n z7m.
ЛЛ \ Z “ 1 /	ЛЛ у	/ _	1	ЛЛ у	/ Z 1
т=0и=т	и=0 т=п
146
Статистическая динамика и идентификация САУ
Обозначив
=	(1-226)
и=0
для стационарного сигнала получим соотношение
5h(--2.Zi) = [Sh(--2) + Sh(-i)]^£4.	(1.227)
Z2Z1 1
При установлении связей «вход-выход» между спектральными плотностями будем
исходить из соотношения, которому отвечает известная зависимость между корреля-
ционными функциями входа и выхода (см. главу 3, т.1):
z=0 1=0
Воспользуемся определением (1.221) для спектральной плотности Sxx(^z2,ziy
выразив /?}Т(/,/) с помощью обратного преобразования через SYY(z2,ziy.
go go	п т	1
) =	V Xdvd\i.
n=0m=0	i=0l=0	(2л/)
Вспоминая определения передаточных функций, из последнего получим искомое
соотношение
sxx(z2’zi) = —^-уЙЙг(г2А)Г(г1,ц)5уу(г,ц)й?гй?ц.	(1.228)
(2л/')
Взаимную спектральную плотность будем искать, преобразуя по формуле (1.221)
связь «вход-выход» для корреляционных функций:
RXY(n,m) = YJk(n,l)RYY(l,m),
1=0
где, как и выше, вместо Ауу(/,т) используем соответствующие проставления через
^yy(z2’zl):
ОО ОО п	1
—(v,jli)vz
и=0т=0/=0	(2л/)
Учитывая тождество
1	00
“	Е $YY (г,ц)й?Ц = Syy (v’zl)’
2лу т=0
получим искомую зависимость
Если динамические звенья являются стационарными, то интегральные
ния (1.228) и (1.229) упрощаются. Поскольку для стационарных систем
r(z2,Z1) = W(z2) /2_
Z1 \Z2 Z2 )
то, интегрируя, получим выражения:
Sxy(Z2’Z1) = ^(Z2)'^(Z1)' Syy(Z2’Z1)’
Sjt(Z2’Z1) = ^(Z2)' Syy(Z2’Z1)-
(1.229)
соотноше-
(1.230)
(1.231)
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
147
Пример 1.17. Будем оценивать дисперсию сигнала в дискретные моменты времени на выходе динами-
ческой системы, состоящей из экстраполятора нулевого порядка и непрерывного апериодического звена с
постоянной времени, равной 1 с, при белом шуме на выходе. Передаточная функция динамического звена
(Т — период квантования)
\-е~т
z-е
Поэтому для спектральной плотности реакции системы на белый шум будем иметь
Ассоциируя переменные z2 и zt, изображение реакции запишем в виде
z2
z2 -!
1	А________Z1 '6/zi______
27У (z2/zl-e“7')(z1-«’“7')
, найдем изображение дисперсии
Интегрируя с помощью вычета в точке Zj = е
,2
z2
XX
Вычисляя оригинал, получим дисперсию реакции как функцию дискретного времени
Заметим, что традиционный путь, связанный с использованием одномерных спектральных плоскостей,
позволяет оценить лишь установившееся значение дисперсии:
2	1 - е~т
DVV=S2^—.
Перейдем к описанию случайных сигналов в непрерывно-дискретных звеньях.
Корреляционную функцию определим естественным образом как математическое
ожидание центрированных сигналов:
R^(nTp) = M[x(nT)Y(t)];	(1.232)
RXY(t,nT) = M[x(t)Y(nT)~\.	(1.233)
Спектральная плотность вводится как двухмерное преобразование корреляцион-
ной функции вида
SXY(z,s) = Yjz~n^RXY(nT,t)e~stdt;	(1.234)
и=0 о
5^(^,z) =	(1.235)
О «=0
Связи «вход-выход» между спектральными плотностями найдем, отталкиваясь от
соответствующих зависимостей для корреляционных функций, которые для звеньев с
непрерывным сигналом на входе и дискретным на выходе могут быть записаны в виде
пТ
RXy(nT,t}= j Ауу	(т,/)й?т,	(1.236)
о
пТ тТ
Rxx(nT,mT^ = j j к(пТ,t}k(mT^Ryyit^dtdT.	(1.237)
о о
Применив к обеим частям последних равенств двухмерное преобразование (1.232)
и (1.221), получим требуемые соотношения:
с+joo
j Y(z,p)SYY(p,s)dp-,	(1.238)
с-JOO
1
2л/
148
Статистическая динамика и идентификация САУ
1	с+joo с+jx>
SXx(z2’Zl) = ~----“Г f f r(z2,5)r(z1,jp)5yy(5,jp)^.
^zjy j c_jQfjC-jQf:j
(1.239)
При выводе (1.238) учтено тождественное преобразование
Пример 1.18. Проиллюстрируем применение связей «вход-выход» на простом примере непрерывно-
дискретного звена, составленного из последовательного соединения интегрирующего звена и ключа. Най-
дем дисперсию как функцию времени на выходе ключа при белом шуме на входе интегратора.
Такое соединение описывается передаточной функцией
Спектральную плотность реакции найдем согласно (1.239)
с + у со с + у со	2
Sxx (z2 > Z1) =---Г f f-----------22 т ---------------dpcls.
У	(2nj)2	z2-esT zx-epT s + p
Изображение дисперсии получим, ассоциируя переменные z2 и zp.

1 C + J C-f-ycw	1
j j ( sr\7 Z\pr SD(S + D\dpds
(2л/) c_jxc_^zv\z2lzv-e )zt-e sp(s + p)
zt ldzl.
Результатом ассоциации будет выражение
2 с + усос + усо
Dxx (z2)=-----т f ( —-------г-----“Г—г- dpds,
(2л/) c_jooc_joo sp(s + Р) z2 -е^+рр
интегрируя которое, получим изображение дисперсии
ГЛ / \ S2z2T
DXx(z2)-~	—р-
(Z2~l)
Как и следовало ожидать, дисперсия реакции линейно возрастает:
Dxx(nT) = S2nT.
Для звеньев с дискретным сигналом на входе и непрерывным на выходе соотно-
шение «вход-выход» для корреляционных функций записывается в следующем виде:
mT <t
RxY(t,n) = к(^,т^Яуу(т,пу,	(1.240)
и=0
пТ<t тТ<т
Rxx(k^)=	(1.241)
и=0 т=0
Связи «вход-выход» между спектральными плотностями найдем, применив к по-
следним соотношениям преобразования (1.235) и (1.211) соответственно. В результа-
те с учетом определения бичастотной передаточной функции и соотношения (1.221)
получим искомые соотношения:
^лх(а/?)=-^^гФФг(^а)Г()9,ц)5уу(у,ц)й?уй?ц.
При выводе (1.242) учтено очевидное тождество
00	1
и=0	27У
(1.242)
(1.243)
Глава 1. Линейные САУ: статистический анализ
149
Пример 1.19. Проиллюстрируем полученные связи «вход-выход» на методическом примере. Дис-
кретно-непрерывное звено представлено экстраполятором нулевого порядка, на вход которого поступает
дискретный белый шум. Найдем спектральную плотность на выходе. В соответствии с (1.243) имеем
Sxx =	1 2 J^1УцГэ0 (5,т)Гэ0 (>,ц),
(2л/)
l-е-57,
где Гэ0(5,г) = —;-----—
Snn (т, ц) •
ГЦ -1
Непосредственным вычислением получаем

1 —p~sl
где W(5) =-------.
5
Пример 1.20. Шаг квантования сигнала по уровню (см. главу 3, том 1) определяется разрядностью пре-
образователя С и соответствует величине q = 1/2с. Цифровое значение аналогового сигнала, равное целому
числу шагов квантования, из-за конечного значения шага отличается от истинного. Значащие цифры меньше
последнего разряда исчезают. Остаток либо просто отбрасывают, отсекая таким образом младшие разряды,
либо округляют до ближайшего целого числа. Величина ошибки лежит в пределах шага квантования:
|§| < q — при усечении,
|§| < Q,5q —при округлении.
Статистическая модель ошибок квантования строится в предположении, что эти ошибки порож-
даются быстроменяющимися сигналами и могут моделироваться белым шумом, равномерно распреде-
ленным в интервале шириной, равной шагу квантования q. Уровень белого шума, определяемый его дис-
персией, зависит от величины шага q:
ст2=^-.	(1.244)
Таким образом, при квантовании аналогового сигнала получается дополнительный источник шумов со
спектральной плотностью
5(z) = fp	(1.245)
При расчете влияния этих шумов на систему используют известную связь между спектральными
плотностями на входе и выходе системы с передаточной функцией If '(z)
5ВЫХ (г) = 1Р(г) 1г(г_1)5вх (г).	(1.246)
Дисперсии соответствующих случайных сигналов получают интегрированием их спектральных плот-
ностей
ст2 = — J S(z)z~ldz.	(1.247)
1л/ lAi
Разрядность преобразователя аналог-код, равная С +1 (число и знак), определяется диапазоном изме-
нения аналогового сигнала и шумами квантования. Этот диапазон зависит от соотношения минимального
emin и максимального етах значений аналогового сигнала. Уровень квантования зависит от отношения
этих величин и определяется разрядностью преобразователя:
q = £min_ = 2-С
f>
^max
Решая это уравнение относительно С, найдем минимальное значение С:
C = log2^.	(1.248)
f> 
nun
Разрядность преобразователя код-аналог, управляющего работой исполнительный устройств, оказы-
вает существенно меньшее влияние на точность системы. На низких частотах коэффициенты передачи
практически постоянны, но фазовые запаздывания могут быть значительны. Разрядность, как и выше,
определяется диапазоном изменения сигнала
C = log2^.	(1.249)
‘Itiiti
150
Статистическая динамика и идентификация САУ
Влияние шума квантования на систему:
при усечении — сту
2 q
при округлении — <то = —
3 ’
2-2(Со+1)
(1.250)
(1.251)
где Су = Со+1.
Шумы квантования должны быть много меньше уровня полезного сигнала, поэтому отношение сиг-
нал/шум следует ограничивать. Считая, что входной аналоговый сигнал имеет нормальное распределение
с максимальным значением 1 (так что Зете =1), дисперсию этого сигнала следует принять равной 1/9. То-
гда отношение сигнал/шум
1/9 22Су
[з J1/3	3
Выражая это отношение в децибелах F и разрешив его относительно искомого числа разрядов, получим
Су^ + 0,8.	(1.252)
Из двух чисел (1.248) и (1.252) выбирают наибольшее.
Шум квантования преобразуется арифметическим устройством процессора и при реализации алгорит-
мов может подчеркиваться. Отношение уровней шумов на выходе и на входе арифметического устройства
зависит от передаточной функции алгоритма IP(z)
------- [fl	1 jz ldz.
(1.253)
Обозначая требуемое отношение сигнала к шуму через F, для разрядности арифметического устрой-
ства получим соотношение
F	5
С> —+ 0,8 +—lg/cm.	(1.254)
6	6
Изменение коэффициентов уравнений из-за ограниченной разрядности слов в памяти меняет динами-
ческие свойства системы. Оценим влияние коэффициентов на изменение положения корней. Пусть макси-
мально допустимое изменение корня Р в 5-плоскости ограничено значением ДР. Соответственно найдем
перемещение корня в z-плоскости, которое соответствует наименьшему разряду:
Az = e~(p^=2~с.
Разрешая последнее соотношение относительно С, найдем
С = -log2 РТе-рт -log2—.	(1.255)
Заметим, что разрядность, определяемая соотношением (1.255), зависит как от абсолютного значения
полюса Р, так и от отношения ДР/Р. Очевидна также зависимость разрядности от периода квантования:
с уменьшением периода разрядность увеличивается.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
151
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
В данной главе изложены методы статистического анализа нелинейных систем
автоматического управления, получившие широкое распространение при решении
конкретных инженерных задач.
Применение линеаризации нелинейных функций, входящих в математическое опи-
сание динамики системы автоматического управления в «малом», и использование в
связи с этим линейных методов исследования точности во многих практических зада-
чах не привело к желаемым результатам из-за того, что нелинейные функции не были
«гладкими», а диапазон изменения зависимых переменных был слишком велик.
Использование уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для исследования точно-
сти нелинейных систем было бы весьма предпочтительным, но оказалось достаточно
сложным при практическом применении, конечно, на определенном этапе развития.
И.Е. Казаков и Р. Бутон (1954 г.) предложили в отличие от линеаризации самих не-
линейных функций в окрестности некоторой так называемой рабочей точки, линейное
описание в виде эквивалентного коэффициента, определяемого при минимизации
среднего квадрата разности между случайным процессом на выходе реального нели-
нейного элемента и эквивалентного линейного (статистическая линеаризация). К полу-
ченной после статистической линеаризации линейной системе могут быть применены
хорошо разработанные методы анализа и синтеза линейных систем. В этом состоит
основное достоинство методов статистической линеаризации. Эти методы обобщены
на дискретные системы, многомерные САУ, на системы с переменными параметрами.
Хотя метод статистической линеаризации и является приближенным, он нашел
широкое применение при инженерных расчетах нелинейных систем автоматическо-
го управления, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка.
К.А. Пупков разработал метод исследования динамической точности нелиней-
ных систем, основанный на использовании статистически эквивалентной переда-
точной функции для нелинейного элемента [103]. Им показано, что коэффициенты
линеаризации являются частными случаями статистически эквивалентной переда-
точной функции. Такой подход позволяет распространить на нелинейные системы
частотные методы, широко применяемые для проектирования непрерывных и
дискретных систем.
Характерной чертой книги К.А. Пупкова [103], в которой изложено содержание
рассматриваемого метода, является ее практическая направленность, наличие под-
робных таблиц и графиков, облегчающих применение излагаемого метода для инже-
нерных расчетов.
В начале 60-х годов Н.А. Лившицем и В.С. Пугачевым опубликованы основные по-
ложения метода баланса математических ожиданий и спектральных плотностей [71].
Последние два метода, в отличие от метода статистической линеаризации, учитывают
обогащение спектра выходного сигнала нелинейного статического элемента.
Широкое распространение при исследовании сложных САУ получил метод ста-
тистических испытаний (метод Монте-Карло). Сущность метода заключается в непо-
средственном моделировании работы исследуемой САУ в условиях, близких к реальным,
с учетом всех случайных возмущений. Очевидными достоинствами метода статистиче-
ских испытаний являются универсальность и простота. С его помощью определяются
152 Статистическая динамика и идентификация САУ
законы распределения выходных координат или, что проще, отдельные характеристики
этих законов. Метод допускает использование не только математических моделей сис-
тем, но также и полунатурных моделей, содержащих отдельные блоки системы.
К недостаткам метода статистических испытаний следует отнести необходи-
мость накопления больших массивов информации о выходных координатах систе-
мы, что связано с выполнением значительного объема вычислений. Существенным
недостатком является громоздкость модели, включающей генераторы случайных
возмущений, и, следовательно, большая трудоемкость. Все это ограничивает при-
менимость метода.
В.С. Пугачевым разработан строго теоретически обоснованный аппарат представ-
ления случайных процессов, исследования нелинейных преобразований случайных
функций и синтеза оптимальных систем, получивший название метода канонических
разложений [97].
Этот метод дает возможность приближенно исследовать весьма общие виды не-
линейных преобразований случайных функций. Он является общим теоретическим
методом прикладной теории случайных функций, дающим возможность решать ос-
новные задачи статистического анализа и синтеза САУ. Он позволяет объединить
статистические методы исследования СА У общей точкой зрения, общим подходом
к решению различных задач и, таким образом, может служить основой для по-
строения стройной статистической теории САУ\9Т\.
Метод эквивалентных возмущений разработан Б.Г. Доступовым в конце 60-х го-
дов [35]. Этот метод предназначен для приближенного определения вероятностных
характеристик выходных координат нелинейных САУ по заданным моментам связи
для входных случайных параметров. Существует класс задач, для решения которых
метод эквивалентных возмущений оказывается более эффективным, чем метод ста-
тистических испытаний [35]. Вместе с тем существуют границы, при которых метод
сохраняет свои преимущества. Как указано в [35], прямая попытка применения мето-
да при большом (порядка десятков и сотен) числе случайных параметров, влияющих
на динамику САУ, приводит к столь сложным вычислениям, что использование ме-
тода статистического моделирования оказывается более целесообразным.
В 60-х годах В.И. Чернецким разработан метод статистического исследования не-
линейных САУ, использующий аппарат интерполирования функций многих пере-
менных. Метод получил название интерполяционного [147].
Интерполяционный метод разработан для расчета не только моментов выходных
координат, но и дифференциальных законов распределения на выходе нелинейных
систем, т.е. обладает такой же универсальностью, что и метод статистических испы-
таний [147]. Интерполяционный метод можно применять и для решения задачи синте-
за оптимальных систем, под которой понимается определение таких значений кон-
структивных параметров элементов систем, при которых вероятность попадания вы-
ходных координат САУ в заданную область достигает своего наибольшего значения.
Задачи с нестационарной параметрической и структурной неопределенностями
стали изучаться сравнительно недавно. Динамические системы с нестационарной
параметрической и структурной неопределенностями получили название систем со
случайно изменяющейся структурой.
Построить достаточно общую аналитическую теорию систем со случайной струк-
турой удалось лишь на основе специального подкласса марковских процессов со
случайной структурой (разрывных марковских процессов) с поглощением и восста-
новлением реализаций, а метод анализа систем со случайными скачкообразными из-
менениями структуры развит на основе рассмотрения их динамики в пространстве
состояний и интегрирования обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова.
Теория систем со случайной структурой вплотную примыкает к развиваемой в на-
стоящее время теории интеллектуальных систем.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 153
2.1.	ОСОБЕННОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ И СИСТЕМАМИ
Кратко рассматривая процесс преобразования случайных сигналов нелинейными
статическими элементами (НЭ), которые, как правило, являются звеньями сложных
нелинейных САУ, выявим качественные и количественные особенности прохожде-
ния сигналов через НЭ, порождающие необходимость разработки приближенных
методов корреляционного анализа ввиду отсутствия точных подходов к решению
задач вероятностного исследования рассматриваемого класса систем.
Элементы с нелинейными статическими характеристиками вызывают искажение
случайного входного сигнала.
Положим, что на вход нелинейного элемента действует случайный стационарный
сигнал
У(?) = ту(?) + У(?),
где mY (?) = const — математическое ожидание входного воздействия; Y (?) — цен-
трированная случайная составляющая входного сигнала. Рассмотрим искажение про-
цесса Y (?), полагая, что он поступает на вход статического нелинейного элемента с
зоной насыщения (рис. 2.1).
При малом уровне помех выходной сигнал равен (сигнал не выходит за пределы
линейного участка)
Х(?) = КУ(?) = K[mY + У(?)] = тх + Х(?),
где К = tg а — коэффициент усиления элемента.
Х(?)
Рис. 2.1. Прохождение синусоидального сигнала через нелинейный элемент
С ростом уровня помех, когда имеет место нелинейный режим работы элемен-
та, среднее значение выходного сигнала уменьшается, а при очень большом уровне
помех оказывается близким к нулю.
В качестве примера рассмотрим физическую картину прохождения синусоидаль-
ного сигнала через нелинейный элемент. Предположим, что на вход нелинейного
элемента с характеристикой F(y) поступает сигнал вида
У = mY + sin со?.
Тогда сигнал на выходе нелинейного элемента будет иметь следующий вид:
X = F(my + sin со?).
154
Статистическая динамика и идентификация САУ
При прохождении регулярного сигнала (рис. 2.1) (сумма синусоидального и по-
стоянного) через нелинейный элемент постоянная составляющая на выходе умень-
шается на величину KmY - тх, где KmY — постоянная составляющая при неогра-
ниченной зоне линейности, а тх — действительная постоянная составляющая.
Уменьшение постоянной составляющей обусловлено тем, что синусоидальная со-
ставляющая ограничивается несимметрично, в результате появляется «вредная» со-
ставляющая, усредненная за период синусоиды, которая уменьшает значение KmY.
Если же на вход нелинейного элемента поступает полезный сигнал и помеха, при
нелинейном преобразовании при большом уровне помех эффект действия полезного
сигнала значительно уменьшается.
При прохождении случайного сигнала через нелинейный элемент изменяется его
дифференциальный закон распределения (плотность распределения вероятности).
Рассмотрим этот вопрос более подробно. Положим, что на нелинейный элемент
типа насыщения поступает случайный сигнал, имеющий нормальный закон распре-
деления (рис. 2.2).
Если /у (у) — закон распределения на входе нелинейного элемента, то при
|у(7)| <Ь ДЗР на выходе нелинейного элемента пропорционален ДЗР на входе. Если
нелинейный элемент работает в нелинейном режиме, то, очевидно, fx (х) = 0 при
Y(t) >Ъ (рис. 2.3).
Очевидно, при значениях входного сигнала Y > b или Y < -b, X = В или
X = -В, поэтому вероятность получения величины В или -В на выходе нелиней-
ного элемента сильно возрастает. Она становится равной величине заштрихованной
площади под участком кривой плотности распределения вероятности входного сиг-
нала /у(у), лежащей в пределах от Y = b до Y = оо (рис. 2.3) [133]. Это выразится в
том, что плотность распределения вероятности выходного сигнала в точках X = ± В
будет представлять собой 5-функции [133].
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
155
Таким образом, выражение для плотности распределения вероятности сигнала на
выходе нелинейного элемента, работающего в нелинейном режиме, можно записать так:
fY(y)b/B при |^| <
fx (*)= 5(т±6)
О
при |y| = Z>;
при |у| > b.
Общая площадь под кривой плотности распределения вероятности выходного
сигнала остается равной единице.
Плотности распределения вероятностей сигналов на выходе некоторых нелиней-
ных элементов приведены в [133].
б
Рис. 2.3. Плотности распределения вероятности:
а — на входе нелинейного элемента; б — на выходе нелинейного элемента
2.2.	СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ,
ОПИСЫВАЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ РЯДАМИ ВОЛЬТЕРРА
Как указывалось выше, в отличие от линейных, для произвольных нелинейных
САУ не существует общего точного метода решения задач вероятностного исследо-
вания. Однако для класса систем, описываемых функциональными рядами Вольтер-
ра, имеют место все положения, которые были использованы при рассмотрении зада-
чи статистического анализа линейных систем во временной области (и. 1.1).
156 Статистическая динамика и идентификация САУ
Рассмотрим линейную систему (рис. 2.4).
------► k(t,x) ---------------
Рис. 2.4. Линейная нестационарная система
Случайный выходной сигнал системы определяется интегральным соотношением
(начальные условия положим нулевыми, т.е. Х° = 0 )
t
Х(?) = |&(?,т)У(т)й?т.	(2.1)
о
Из этой зависимости, пользуясь осреднением по множеству, легко записать фор-
мулу, определяющую математическое ожидание сигнала X (?):
t
(?) = j4(?,r)my (т)й?т.	(2.2)
о
А теперь положим, что рассматривается нелинейная нестационарная система,
описываемая рядом Вольтерра
Х(0 = Е|---|^(/’т1’т2---Аг)1л(т1)Г(т2)...У(тг)й?т1...й?тг-.	(2.3)
г=1 О О
Для рассматриваемой системы формула, определяющая математическое ожида-
ние (начальный момент первого порядка) выходного сигнала, имеет вид
= M[x(t)]=M Ef---J4(Z’Tj
_ г=1 О О
О)
..,тг)У(т1)...У(тг)й?т1...й?тг-
(2.4)
Поскольку интегральный оператор и оператор математического ожидания пере-
становочны, то из (2.4) следует
N t t
=	|^(/,Т1,...,тг)аУ (трТз,...,^)^...^,	(2.5)
г=1 О О
где c44(tj,...,tz) = Л/[У(т1)...У(т/)] —начальный момент z-ro порядка воздействия У(?).
+оо
В формуле (2.5), если mY (?) = [ yfY (y,t)dy — момент первого порядка, который
определяется через одномерный ДЗР сигнала У(?), то
+оо 4-оо 4-оо
(?1,?2,...,?г) = J J ••• J У1У2 ••• yifr	di}dyx dyi
— начальный момент z-ro порядка, определяемый через z-мерный ДЗР.
Начальный момент второго порядка сигнала X (?) определяется так:
.	N N h h
а ш w2) = Е Е f • • J М zi ’т 1 ’ • • • ’т J М ?2 ’т 1 ’ • • • ’ Ч) х
г1=1г2=10	0	(2.6)
ха^2^^,^,...,^. ,т;,Т2,...,<2)й?т1...^.
При выводе формул (2.5) и (2.6) использовалось свойство линейности оператора
М Г(-)1 и менялась последовательность операций интегрирования и осреднения.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
157
Начальный момент порядка р сигнала X (?) может быть определен с использо-
ванием рассуждений, которые аналогичны приведенным выше. Записывая (2.3) для
моментов времени tx,t2,...,t , перемножая полученные зависимости и используя
осреднение по множеству, находим	, t2,   , tp).
Для рассматриваемого класса нелинейных систем (2.3) корреляционная функция
определяется с помощью таких же рассуждений, как и в случае линейных систем.
Поскольку
Rxx (tx,t2) = (ф)-тх (ф ))(х(?2)-тх (t2))] =
=	(Д ’ h) - тх (б ) тх (с ) =	(W2 ) - V^XX (Д ) А'Т (Д ) ’
где
+оо +оо
OjCT (/1 ’ ^2 ) = J J xxx2fx(xx,x2,tx,t2}dxxdx2,
ТО
Rxx(hdz) = ^(hdz)= J J (x1-m^(?1))(x2-m^(?2))+v(x1,x2,?1,?2)t/x1tA2 =
N N h h.
z'i=lz2=10	0
TV 7\A Д
-££Г--Ьг1(/1’то-..,+ )^2(сп;,...,тг'2)сс^(т1,...,тг.)а^(Д,...,<2)й?т1...й?тг'2 =	(2’7)
*1=1*2=10	0
N N h h
=EEj-4Mzi’Ti’---’TJMz2X---,4)x
г1=1г2=10 о
xр(Д2)(ti,...,Д,...,<2)-oc^(т15...,тг-)(Д,...,Д)]dxx...dx'h.
Если в рассматриваемой системе почти все выборочные функции случайного
входного процесса непрерывны и с вероятностью единица принадлежат области
сходимости этого ряда в пространстве непрерывных функций, то ряд Волътерра
сходится почти для всех выборочных функций и, значит, по нему можно вычислить
моменты всех порядков выходного сигнала системы.
Вычисления по формулам (2.6) и (2.7) существенно упрощаются, если —
нормальный случайный процесс с нулевым средним. В этом случае все моменты не-
четного порядка процесса Y(?) равны нулю:
(т19. ..,тг) = О, z = 1,3,5,....	(2.8)
Моменты четного порядка представимы через корреляционную функцию сле-
дующим образом:
а^(т1,...,тг-) = ^ПЛ1т(т7’^), / = 2,4,6,....	(2.9)
В (2.9) суммирование производится по всем разбиениям величин У(т1),...,У(тг-)
на все возможные пары, а произведение вычисляется для всех пар в каждом разбие-
_ _	z!
нии. Общее число членов суммы равно —-------------.
2 (z/2)!
Начальный момент порядка р определяется соотношением
158
Статистическая динамика и идентификация САУ
N N	N h *р
zi=1 г2=1 У=|о о	(2-Ю)
хк{ [tp,xp ,...,хр j а^+г2+’”+г/,^т},...,т^ j й?т{ ...dxp .
Из последней формулы следует, что для того, чтобы выходной сигнал X (?) имел
конечный момент порядка р, необходимо и достаточно, чтобы входной сигнал
У(?) имел конечные моменты порядка вплоть до Np и система (2.3) была устойчи-
ва в пространстве непрерывных функций [106].
Очевидно, если С = t2 = ... = t = t и процесс X (?) — стационарный, то
+оо
ай(Л---Д) = ай = j* xpfx(x)dx.
Даже для линейных систем весьма сложной является задача определения ИЗР или
ДЗР выходного процесса. Только в частном случае, когда процесс на входе линейной
системы нормальный, указанная задача решается просто, так как в этом случае закон
распределения процесса на выходе линейной системы остается нормальным и изме-
няются только математическое ожидание и функция корреляции. В том частном
случае, когда ширина полосы пропускания линейной системы мала по сравнению с
шириной спектра входного воздействия, закон распределения процесса на выходе
системы близок к нормальному, даже если входное воздействие имеет распределе-
ние, существенно отличное от нормального. При этом можно приближенно пола-
гать, что закон распределения выходного процесса полностью определяется его ма-
тематическим ожиданием и функцией корреляции.
Весьма сложной является задача построения закона распределения процесса на
выходе нелинейной системы. Для рассматриваемого класса систем можно получить
зависимость, определяющую ДЗР выходного процесса. Известно, что конечномерные
законы распределения (интегральный и дифференциальный) характеризуют «тонкую
структуру» стохастического сигнала.
Моментные функции, в частности начальные моменты k-ro порядка
дают более «грубое» вероятностное описание сигнала и не характеризуют его одно-
значно в том смысле, что у двух разных сигналов, ДЗР которых не совпадают, могут
быть одинаковые начальные моменты (до некоторого порядка).
Вместе с тем если известно достаточное число начальных моментов сигнала
X (?), то приближенно можно восстановить ДЗР этого сигнала [106].
С целью рассмотрения этого вопроса введем понятие кумулянтов. Пусть
(®) =111
(2.Н)
— кумулянтная функция, где 0А-(со)= j fx(x}ej(axdx—характеристическая функция.
Кумулянты определяются зависимостью
Д) _ а
''кхх -	,
а со
к = 1,2,....
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 159
Рассматриваемый подход используется в тех случаях, когда кумулянтную функ-
цию можно представить в замкнутой форме. Для численных расчетов часто исполь-
зуется связь кумулянтов с начальными моментами. Дифференцируя (2.11) по аргу-
менту со, получим [106]
Мю)='Гг(®)-Ыю)-	Р-12)
Повторным дифференцированием находим при со = 0
а(*+1) = У f^v(/+1)a(M	(2 13)
U'XX Zj • А-ХХ U'XX 
i=0VlJ
Из последней зависимости можно получить рекуррентное соотношение для опре-
деления кумулянтов по известным моментам
к~1 ( 1 Л
(Аг+1) (Ar+l) V'1 М 0+1) (^“0	/-Э 1 /1 х
Тхх -Ыхх’-П • Дх	(2-14)
где
= J* хк fx(x)dx.
Положим, что сигнал X (?) на выходе анализируемой системы является стацио-
нарным. Тогда, очевидно,
_OW (t t t \|
и-ХХ ~	Л	>
Ц=^2=---=Д=^
а закон распределения не зависит от времени, т.е. fx (x,t) = fx (х).
Формулы, определяющие первые пять кумулянтов, имеют вид [106]
у(°) - О’
ххх ~ U’
уО) _а(1) .
XXX - 'Ххх-’
(2) _ (2) ( (0 V _ r(2)
lxx~axx (аХх) -РхХ’
(3) _ (3) ? (2) (0 , о/ (0 V _ r(3) .
1хх~ахх ^аХХаХХ+^\ахх j -РхХ’
-3(а^П +12a^-(a^') -б(а^Й = Рхх ,
где — центральные моменты, определяемые формулой
+оо
Р® = f (* - тх )к fx W dx
0)
где тх = ауу — математическое ожидание.
Далее воспользуемся рядом Грама-Шарлье [106]
где
(2-15)
причем Нп (х) — полиномы Эрмита; для них имеет место формула
Я,(х) = (-1)”ГАге-?, и = 1,2,....
ах
160 Статистическая динамика и идентификация САУ
Полиномы Эрмита можно определять с помощью рекуррентного соотношения
Яи+1(х) = 2хЯи(х)-2нЯи_1(х), «>1;
Я0(х) = 1; Н1(х) = 2х.
Положим, что выходной сигнал нелинейной системы является стационарным, а
(х) — ДЗР нормированного случайного процесса Х(/). Тогда первые одиннадцать
коэффициентов разложения ДЗР в ряд Грама-Шарлье определяются формулами [106]
Я_1. Я _Я _п. Я_1(3). Я_1(4). Я_1(5).
Я	С1 -с2 -У сз -	Я -	с5 ~ 5^хх’
cf = 1L(6) +10М3) Л- cf =-(y(7) +35y(4M3) V
6	\fXX ) Г 7	^хх^хху
Т =	+84x»x® +126хДД +280(х(а)
<™=7Ki(x£f +12охйх*ц + 210х(ц.Х(ц.+12б6(щ.) +2100хШ%Ш 1.
Связь кумулянтов нормированной случайной величины с кумулянтами
ненормированной случайной величины определяется зависимостями
(О
ДО __ Хтх
Л XX	Г ~ 
\ (2) \
V' ' 1
01 кхх I
ДЗР fx (х) и /v(x) нормированной и ненормированной случайных величин свя-
заны соотношением
Путем перегруппировки слагаемых в (2.15) получаем ряд Эджворта, который для
нормированной случайной величины имеет вид
51у +35тЛ4^
ЛххЛхх кхх
8!
210°x'S(x®)
Я8«+------^ЯЯя10(х)+...
Если фиксируется максимальный порядок используемых кумулянтов, то ряд Эд-
жворта, как правило, обеспечивает лучшую аппроксимацию ДЗР, чем ряд Грама-
Шарлье [106]. И тот, и другой ряды используются при симметричных или слабо
асимметричных ДЗР.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
161
Пример 2.1 [97]. Пусть система задана структурной схемой (рис. 2.5).
На вход системы поступает центрированный нормальный случайный сигнал Y (t) с корреляционной
функцией Луу(^Д2)-
Требуется найти математическое ожидание и корреляционную функцию выходного процесса X(г).
Рис. 2.5. С грук гурпая схема системы
Вход и выход системы, как было показано выше, связаны интегральным соотношением
Х(7) = j j k2 )У (т1)У(т2)d\dx2.	(2.17)
о о
Осредняя обе части последнего равенства по множеству, находим
тх (0 = j j /с2 (б Ъ> )Pit ("И Л2)d Vt2 ,
о о
где	,т2) = М [У (tj ) У (т2 )] = Ryy (ti ,т2 ) — центральный момент второго порядка.
Окончательно имеем
тт(0 = j j/c2(?’Tl>T2 )Яуу(Т1,Т2)А1йЙ2.	(2.18)
о о
Для нахождения Rxxih’h) запишем (2.17) для моментов времени /, и t2, перемножим полученные
равенства и осредним по множеству.
Результат имеет вид
Rxx (11 >6) = j j j\к2 (1^1 п2 )/с2 (б >ЙЛ2 )Р1Т
оооо
Момент четвертого порядка Руу (т1,т2,т|,т2), с учетом того что сигнал У(/) имеет нормальный закон
распределения, имеет вид
Pit (Ti>T2 AiA2) = ryy (ti >Ti)^yy (г2 Л2) + At (ti Л2)Ат(т1 Л2)-
А теперь положим, что система, представленная на рис. 2.5, стационарна. Тогда
тх (0 = j jк2 (й Л2 ) Ат (ti - т2)б/т1б/т2;
о о
d^XX (1) = j j j\к2 (Т1 >т2 )/с2 (т1,Т2)Руу (т1,т2,т;,т2)<5?т1<5?т2<5?т;<5?т2,
0 0 0 0
где
Р(4)(т1,т2,т;,т2) = м[у(г-т1)У(г-т2)У(г-й)У(г-т2 )] =
= Ryy (Tj -Т2)Ауу (Й -Т2) + Ryy (Tj -Tq)Ayy (т2 -Т2) + Ryy (Tj -Т2) Ryy (т2 -Tl).
Если система устойчива и работает в установившемся режиме, то выражения для математического
ожидания и дисперсии принимают вид
тх = j jк2 (й А2 )ryy (й - Ъ}d\dx2;
о о
Dxx = J JJWT1 ,T2)*2 (4 Т>) Pit (т1,т2,Д,т2)^ММйЛ2-
0 0 0 0
Пример 2.2 [97]. А теперь рассмотрим случай, когда система имеет стохастическую нелинейность, т.е.
нелинейность имеет случайные параметры. Пусть система имеет структурную схему, изображенную на рис. 2.6.
Нелинейный элемент описывается зависимостью
Z(t) = aY-bY3,
где а и b —случайные параметры с дифференциальными законами распределения /а(а) и /6(Ъ).
162
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 2.6. Сгрукгурпая схема системы
Кроме этого, положим, что Y(?) — нормальный случайный процесс, имеющий математическое ожи-
дание mY и функцию корреляции /?}т(т). Выражение для выходного процесса имеет вид
Х(?) = бг|/с(т)У(?-т)б7т-/>|/с(т)У3(?-т)б7т.	(2.19)
о	о
Формула для условного среднего, вычисляемого при фиксированных а и Ь, запишется так:
М^Х (t )|a,Z>] = amYjk(r)dT-bj к (т) М У3 (?-т)]б/т.
о	о
Поскольку
м[у3(?)] = ш^+ЗшуСу,	(2.20)
ТО
М\^Х(?)|б?,/>] = [amY -b[mY	(2-21)
о
Воздействуя оператором М по а и b на (2.21), находим абсолютное среднее значение
М^М^Х(?)|a,Z?]J = [м[a] mY -M[b](mY + 3znrOy^ J/c(t)?Zt.
о
Заменим выражение для условного второго момента
(?)|a,Z?J = а2 j|/г(ц)/г('с2)[^уу (т2 -г, ) + /я(^б/т,б/т2 _
°°	tt	(-222^
-2abj |/с(т1)/с(т2)а1т (Ti ,т2)А1<5?т2 + b2 j |/с(т1)/с(т2)а^(т1,т2)б?т1б/т2,
оо	оо
где
а(т (tj ,т2) = mY +3mYcyY + 3/?}Т (ij -T2)(»iy + cyY
осуу(ц,^) = ту + 3mY<5Y^2mY + 3cyYj + 9/?}T (т^ -т2)(»?у + Чу) + 18А^г(т1 - т2)/я}2 + 6/?(г (т^ -т2).
Осредняя (2.22) по а и Ь, получим зависимость, определяющую второй момент:
М^М^Х2 (?)|a,Z>JJ = j j/c(г, )/с(т2 )|л/	J^Ayy (tj -т2) + Шу]-2М[а]м[/>]а£у (ц ,г2) +
о о
+M^b2 Joiyy (ц ,т2)^<5?т1<5?т2 = mY ^М^а2 J -2М [а]М [b](mY + 3n(j + Л/ р?2 J(m}4 + 6mYcyY + 9cyYх
X j|/с(т1)/с(т2)б7т1б7т2 +J J/c(Ty )/l (т2 )|.17 ^б/2 J/?гг (Т| - т2 )-6Л/[б/],1/[/)]/?;; (Т| -Т2)(/Я}2 +(Уу) +
0 0	0 0
+ M\j)2 J^9Ayy (tj-'z2){mY +ат) + 18А^г(т1 -т2)ту + 6А^у(т1 -т2) ^j>A1<5?T2.
При t = оо результаты будут соответствовать установившемуся режиму. Рассмотрением этих приме-
ров было проиллюстрировано, что аппарат функциональных рядов Вольтерра позволяет получить конст-
руктивные результаты при решении вопросов статистического анализа классов нелинейных систем, вклю-
чая и стохастические нелинейные системы.
Пример 2.3 [97]. Рассмотрим еще один типичный пример — систему, представленную на рис. 2.7.
Положим, что на вход системы поступает случайный сигнал, задаваемый соотношением
У (?) = qcpj (?) + с2ср2 (?) + с3ср3 (?) + ...,
где Cj — случайные величины с известным дифференциальным законом распределения. Для определен-
ности положим, что
У(?) = a + bt; /q(T) = e 71Т; /с2(т) = е 721 cos(co0t).
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
163
Рис. 2.7. Сгрукгурпая схема системы
Имеем
X1(?) = je Y’(z (а +/?т1)<5?т1;
о
X2(?) = je Y2^z l2-*cos[(t-t2)<»o](« + ^2)^t2-
о
Выходной сигнал определяется выражением
Х(4) = j j/c2 (tj ,т2)(а + /?т1)(а + /?т2)<5?т1<5?т2,
о о
где
к2 (л л2) = С71"1 “72Т2 cos(ro0x2)•	(2.23)
Последнюю зависимость можно представить в виде
X(t) = a2Al(t) + abA2(t) + b2A3(t),	(2.24)
где
Д(г) = j je Y’(z T’) Y2(z 4os[H-qh]-A‘A	(2.25)
о о
A(O = jje Y'(Z T') Y2^Z 12 cos[( t - т2 )ю0]т1<5?Т1<5?Т2 +
° °	(2.26)
+ jje Y1^ T') Y2^ T2'*cos[(z-T2)a>0]T2<iT1<ir2,
о 0
A3(t) = j je Y’(z T’) Y2(z I2)cos[(z-t2)®0]t1t2^t2.	(2.27)
о о
Поскольку функции A2(t) и Л3(7) случайных составляющих не содержат, то из (2.24) легко
получить зависимость для момента любого порядка сигнала X(г). Полагая известными дифференциаль-
ные законы распределения параметров а и Ь, можно определить статистические характеристики выход-
ного сигнала для любого t, включая и установившийся режим (t = оо ).
Пример 2.4 [97]. Пусть требуется вычислить статистические характеристики выходного сигнала нелинейной
системы, содержащей два канала: линейный и квадратичный. Тогда выходной сигнал определяется формулой
X(t) = j/q (4,т)У	+ j |/с2(^,т1,т2)У(т1)У(т2)б/т1б/т2.
О	0 0
Положим, что У (?) — нормальный случайный стационарный процесс с нулевым математическим ожи-
данием.
Повторяя приведенные выше рассуждения, легко записать зависимости, определяющие математиче-
ское ожидание и автокорреляционную функцию выходного сигнала X(t^:
тХ (0 = j j к2 (*> ^2 )RYY	^2 ) d\d^2 '>
00
h.
Rxx (h>h) = M [(25(?1) - rnx (t3)) (x(t2) - mx (t2))] = j j /q (t3, iq)/q (t2,t2 )Ryy (и,t2 )+
о о
+2Ш 1 /f2 (Z’T1 ’T2 ) /C2 (Z’ ’ T2 )RYY (И > Й )RYY (b > ^2 ) d\d^2dAd^2 •
0 0 0 0
164 Статистическая динамика и идентификация САУ
Дисперсия	согласно определению, может быть получена, если в последней формуле поло-
жить Ц=12 = Ц соответствующая формула имеет вид
Dxx (0 = JJ /ci (Z’Ti )/с1 т2 )ryy (ц Л2 )<Мт2 +
о о
+ 2j j j j (t, Tj, T2) k2 (t, 4, t2) Ryy (T1,4) Ryy (t2 , T2) dydx2dx'yK2.
0 0 0 0
В частности, если входной процесс Y (?) — нормальный стационарный белый шум интенсивности 50
с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией Ryy (т) = 2л508(т), то формулы,
определяющие математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала, имеют вид
mx[t} = 2л50|/с2(?,т,т)<5?т;
о
Dxx (0 = 2л50 j/q2 (?,т)<5?т + 4л50 j j/c2 (?,т1,т2)<5?т1<5?т2.
о	оо
Установившееся значение этих характеристик на выходе системы можно получить, если положить
нижний предел равным -оо, т.е. считая, что входное воздействие поступило в бесконечно удаленный в
прошлое момент времени. Для стационарной системы математическое ожидание и дисперсия неустано-
вившегося процесса принимают вид
тх (?) = 2л50 j/c2 (т,т)б/т;
о
Dxx (0 = 2л50 j/q2 (т)<5?т + 4л50 j j k2 (y,T2}dydT2.
о	оо
Из теоретических положений и примеров следует, что для определения математического ожидания
выходного сигнала нужно знать TV-мерные моменты воздействия, а для определения начального момента
второго порядка — 2У-мерные моменты.
Очевидно, с увеличением N возрастает сложность и трудоемкость вычислений. Поэтому метод стати-
стического анализа с помощью рядов Вольтерра при больших N с практической точки зрения является
весьма громоздким.
2.3. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
ВЕРОЯТНОСТНОГО АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Метод статистической линеаризации предложен одновременно И.Е. Казаковым
(Россия) и Р. Бутоном (США) в 1954 году.
Рассмотрим основные положения этого метода [46, 48, 50]. Можно указать три типа
нелинейных систем, в которых нелинейный элемент имеет место в прямой цепи и в
цепи обратной связи. Структурные схемы этих систем представлены на рис. 2.8, а-в.
В методе статистической линеаризации вводится понятие статистической экви-
валентности нелинейного и линейного элементов.
В структурных схемах, согласно методу статистической линеаризации
(рис. 2.8, a-в}, нелинейный элемент заменяется статистически эквивалентным
линейным элементом.
Используются два критерия статистической эквивалентности:
1. Критерий равенства математического ожидания и дисперсии случайного про-
цесса на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента.
1. Критерий минимума математического ожидания квадрата разности случайных
процессов на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного эле-
мента.
Статистической линеаризацией называется замена безынерционного нелинейного
элемента статистически эквивалентным ему безынерционным линейным элементом.
Рассмотрим подробно процедуру замены нелинейного звена линейным и прове-
дем анализ правомерности такой замены.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
165
Рис. 2.8. Структурные схемы нелинейных систем:
а — нелинейный элемент в цепи ОС; б, в — нелинейный элемент в прямой цепи
Обозначим безынерционное нелинейное преобразование в обобщенной форме та-
ким образом, как показано на рис. 2.9.
Рис. 2.9. Безынерционный нелинейный элемент
Для простоты изложения предположим, что рассматривается нелинейный элемент
с нечетной однозначной характеристикой
хр) = Цу(/)),
т.е.
F(-T) = -F(y).
При рассмотрении четных характеристик необходимо учитывать выпрямляющее
свойство нелинейных элементов, которое приводит к отличному от нуля матема-
тическому ожиданию выходного сигнала, если входной сигнал имеет даже нулевое
математическое ожидание.
Случайные процессы на входе и выходе нелинейного элемента представим так:
У(/) = ту(/) + У(/);	(2.28)
Х(/) = т^(/) + Х(/),	(2.29)
где mY(t}, mx(t} — математические ожидания входного и выходного сигналов со-
ответственно, включающие медленно меняющиеся регулярные составляющие;
У (7),	— центрированные случайные составляющие процессов на входе и вы-
ходе нелинейного элемента соответственно (рис. 2.10).
166
Статистическая динамика и идентификация САУ
б
Рис. 2.10. Структурные схемы нелинейного элемента (д) и его линейного эквивалента (б)
Заменим нелинейный безынерционный элемент двумя статистически эквива-
лентными линейными безынерционными элементами с передаточными функциями
(для стационарных систем) W0(s) = K0 и	сигнал на выходе линейного
элемента определяется формулой
ХЦ1) = Котг(1) + Кр1).
Таким образом, линейный эквивалент с передаточной функцией W0(s) = Ко имеет
отношение только к процессу отработки математического ожидания воздействия, а с
передаточной функцией Wl(s) = Kl — к отработке центрированной составляющей
входного сигнала.
Поэтому часто говорят, что нелинейный безынерционный элемент заменяется
двумя безынерционными линейными элементами', по математическому ожиданию с
коэффициентом усиления Ко и по случайной центрированной составляющей с ко-
эффициентом усиления К{.
Структурные схемы нелинейного элемента и его статистически эквивалентного
линейного элемента представлены на рис. 2.10.
Коэффициенты Ко и называются коэффициентами статистической линеа-
ризации соответственно по математическому ожиданию и по центрированной со-
ставляющей.
Рассмотрим решение важнейшего вопроса, связанного с определением коэффици-
ентов статистической линеаризации.
Воспользуемся первым критерием статистической эквивалентности, в соответст-
вии с которым математическое ожидание и дисперсия на выходе нелинейного эле-
мента и эквивалентного ему линейного элемента равны.
Учитывая основное положение сформулированного критерия, имеем
Dxx(‘) = Dx„x„(t)-
Исходя из сказанного, можно записать
= Dxx(t) =	(2.32)
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
167
Отсюда сразу же запишем соотношения, определяющие коэффициенты Ко
о _
(2.33)
Поясним соотношение (2.32). Имеем
2
(2-34)
Отсюда получим
п1/2
(2-35)
поскольку
+00
П1/2
1
(2.36)

где fY (у) — дифференциальный закон распределения случайного процесса
имеющего место на входе нелинейного элемента.
Знак в выражении, определяющем коэффициент статистической линеаризации
необходимо выбирать из условия совпадения знаков x(t) и Хл (7).
Получим решение задачи нахождения формул, определяющих коэффициенты
статистической линеаризации Ко и при использовании второго критерия ста-
тистической эквивалентности
ё2 =М
(2.37)
Подставляя в последнее выражение зависимости, определяющие x(t) и Хл (/),
находим
= min.
2
8 2 =М
= min.
(2.38)
Отсюда имеем
2 °,
-2к[2\
(/)У(/)-2А(/)Х0Щу(/)-2Х^2) А(/)У(/)+2Х0Х^2)щу(/)У(/) =	(2.39)
2
= тх (/) + Dxx (t}+K^mY(t)- 2К0ту
В последней формуле mx(t) — математическое ожидание случайного процесса
на выходе нелинейного элемента; Dyy (t), Dxx (0 — дисперсии центрированных
случайных процессов на входе и выходе нелинейного элемента соответственно;
Rxy (О) — математическое ожидание произведения двух случайных функций
и K(z), равное начальному значению взаимной корреляционной функции /?АУ(0):
’z о Д
Г)УУ(/) = 7И У(/)
2
; Rxy(Q)=M X(t)Y(t) .
168
Статистическая динамика и идентификация САУ
При заданных значениях тх (7), DYY (/), Dxx (t}, RXY (0) величина s2 является
функцией параметров Ко и Кр\
Значения KQ и при которых выполняется (2.38), найдем, если приравняем
нулю частные производные функции ё2 по параметрам Ко и
Найдем частную производную по Ко:
<Эё2
----= 2KQmY (t)-2mY (t)mx (/) = 0.	(2.40)
Отсюда получаем
/х	/х	,ПУ (/)
Komr ( = тх Z ; А), = -ЛЛЛ	(2.41)
mY[t)
Таким образом, в случае нечетной характеристики нелинейного элемента полу-
чаем выражение для коэффициента Ко таким же, как и при статистической ли-
неаризации по первому критерию.
Частная производная от (2.39) по имеет вид
д—2
А- = 2Х1(2)В1т-2Яя,(0) = 0.	(2.42)
дК[2’
Тогда
(0); р2> = 1М21	(2.43)
Dyy
Поскольку
Xxy(°)= f (y-mY}F[y}fY(y)dy,
то коэффициент статистической линеаризации можно выразить через диффе-
ренциальный закон распределения входного сигнала Y (7) и нелинейную характери-
стику F:
* +GO
^1(2’=т—<2-44)
UYY (о
Обычно значение коэффициента К^\ определенное из первого критерия по
(2.35), является несколько завышенным, а к[2\ определенное из второго критерия
по (2.44), — несколько заниженным, поэтому при практических расчетах рекомен-
дуется брать их среднее арифметическое значение, т.е.
Из приведенных выше рассуждений следует, что формулы, определяющие коэф-
фициенты статистической линеаризации по математическому ожиданию с использо-
ванием первого и второго критериев статистической эквивалентности, совпадают.
Анализ зависимостей, определяющих коэффициенты статистической линеариза-
ции по математическому ожиданию и дисперсии, с использованием двух критериев
эквивалентности показывает, что для расчета KQ, и необходимо знать
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 169
функции F(y(/)) и fY (у). Нелинейная функция F(y(/)) известна, неизвестным ос-
тается дифференциальный закон распределения. При расчетах полагают
=	2°" •	(2-46)
2/К1-Ууу
т.е. предполагается, что закон распределения случайного процесса на входе нелиней-
ного элемента является нормальным.
Тогда коэффициенты Ко, и определяются формулами
(2.47)
(2.48)
(2.49)
Из последних трех зависимостей следует, что при использовании предположения
о нормальности дифференциального закона распределения fY (у) каждый из коэф-
фициентов статистической линеаризации зависит лишь от математического
ожидания mY и дисперсии DYY процесса У(/), т.е.
Ка=КЦту,О„)- F* =K^(mY,D„)- к[2> = к[2> (mY,D„).
Таким образом, справедлива структурная схема, изображенная на рис. 2.11.
Рис. 2.11. Схема замены нелинейного элемента статистически эквивалентным
линейным элементом
Факт, что коэффициенты Ко и зависят от численных значений mY и DYY сиг-
нала на входе нелинейного элемента, отражен на рис. 2.11 пунктирными линиями.
С учетом статистической линеаризации, каждая из нелинейных систем, структур-
ные схемы которых представлены на рис. 2.8, a-в, заменяется двумя замкнутыми свя-
170
Статистическая динамика и идентификация САУ
занными линеаризованными системами: по математическому ожиданию и по цен-
трированной случайной составляющей (рис. 2.12, а-в).
Рис. 2.12. Структурные схемы линеаризованных по методу статистической линеаризации
замкнутых систем управления
Рассмотрим решение задачи статистического анализа устойчивых стационар-
ных нелинейных замкнутых систем с использованием метода статистической ли-
неаризации. Как и ранее, полагаем, что нелинейный элемент имеет однозначную не-
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 171
четную характеристику. Положим, что на вход системы (рис. 2.12) поступает стацио-
нарный случайный сигнал У(/) с математическим ожиданием mY и автокорреляци-
онной функцией Ryy (т). Задача заключается в нахождении математического ожида-
ния тх и дисперсии Dxx выходного сигнала X(t) при предположении, что иссле-
дуемая система работает в установившемся режиме.
Подробно рассмотрим систему, в которой нелинейный элемент находится в цепи
обратной связи (рис. 2.12, а). Передаточные функции замкнутой статистически ли-
неаризованной системы по математическому ожиданию и по центрированной состав-
ляющей можно записать соответственно в виде
w ы =__________47__________	(2 50)
’ l + K0(mx,Dxx)W(s)'
»Го(Д =------, А , v	(2-51)
В связи с тем что рассматривается установившийся режим работы стационарной
устойчивой системы, из (2.50) находим зависимость, определяющую математическое
ожидание выходного сигнала
/ \	W(0)my
тх =	0 % =------z V х .	(2.52)
В последнюю формулу входит коэффициент статистической линеаризации
Лф	) п0 математическому ожиданию. Численное значение его неизвестно,
поскольку для его расчета по формуле (2.33) необходимо знать математическое ожи-
дание и дисперсию сигнала на выходе нелинейного элемента. В связи с этим рассчи-
тать математическое ожидание тх по формуле (2.33) не представляется возможным.
Вместе с тем зависимость (2.52) можно рассматривать как уравнение, содержащее
два неизвестных: тх и Dxx. Для получения второго уравнения запишем формулу,
определяющую дисперсию сигнала Х(/):
+ОС	( •	\
'Ъ = f , г! nW - 1 V(®)rf<0,	(2.53)
-00 X + K^mx^Dxx)W(j&)
где 5уу(со) — спектральная плотность воздействия.
Последняя зависимость, как и (2.52), содержит два неизвестных: Dxx и тх.
Выражения (2.52) и (2.53) можно рассматривать как систему двух уравнений с
двумя неизвестными Dxx и тх, совместно решая которые, можно приближенно
найти математическое ожидание и дисперсию выходной переменной рассматри-
ваемой нелинейной системы.
Приближенное решение системы уравнений (2.52) и (2.53) может быть найдено
графоаналитическим методом. Один из таких путей состоит в построении кривых,
соответствующих уравнениям (2.52) и (2.53) в координатах [mx,Dxx^, и нахожде-
нии их точки пересечения, которая дает решение указанной системы уравнений.
Изложим достаточно простой метод, основанный на графоаналитическом подходе
нахождения Dxx и тх.
Заменим уравнение (2.52) равноценной системой вида [48]
W(0}mr
mx=ri; и =---------—----------.	(2.54)
l+Xo(m%,D„))F(0)
172
Статистическая динамика и идентификация САУ
На графике с координатами (т^,т|) уравнению тх =т| соответствует биссектри-
са координатного угла (рис. 2.13).
Перепишем уравнение (2.54) в виде
Л =	(2.55)
Как видно из последней зависимости, функция fx зависит от двух переменных.
Будем считать аргумент Dxx параметром. Задаваясь конкретными значениями пара-
метра Dxx •> рассчитаем семейство кривых
Л = f\(mx,D^-, т| = fx(mx,D^y, ц = fx(mx,D^-,...	(2.56)
и построим соответствующие графики в координатах (т|,т^) (рис. 2.13).
Поскольку точки пересечения кривых ц = /J тх,
с биссектрисой
/=1,2,3,...
соответствуют ц = тх, то графики, представленные на рис. 2.13, позволяют постро-
ить кривую Dxx = Dxx(mx) в координатах (DXx,mx) (кривая 1 на рис. 2.14).
Аналогичным образом поступим с уравнением (2.53).
Полагая
+оо
Dxx = л; л =
1 + ^1^,/)^) IF (/со)
2
$yy со,
получим
Л = fi(mx,Dxx).
(2-57)
(2-58)

В последней зависимости полагаем, что тх — параметр; построим функции
т[ = f2{pххпри тех значениях параметра тх, которые имеют место на графи-
ках (2.33) и (2.34) по оси тх. В результате легко построить графики (см. рис. 2.15).
На основе этих графиков можно построить кривую 2, представленную на рис. 2.14.
Точки пересечения кривых 7 и 2 определяют математическое ожидание тх и
дисперсию Dxx в установившемся (равновесном) состоянии нелинейной системы.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
173
При проведении инженерных расчетов, связанных со статистическим анализом
сложных нелинейных систем, для нахождения тх и Dxx часто используется метод
последовательных приближений.
Численное решение задачи целесообразно проводить в следующей последова-
тельности:
1)	задают, учитывая опыт расчета близких по назначению систем, нулевые
приближения т$ и D^;
2)	рассчитывают коэффициенты статистической линеаризации Ко и Кх по
формулам (2.33), (2.35) и (2.44);
3)	проводят расчет системы, используя зависимости (2.52) и (2.53); в результа-
те находят первое приближение mty и D^.
Вычисления повторяются до выполнения условий
|/4+1) - т$ | < 8!;	| < s2,
174 Статистическая динамика и идентификация САУ
т.е. до тех пор, пока в итерационном процессе последующие значения математиче-
ских ожиданий и дисперсий не будут с достаточной степенью точности совпадать с
предыдущими значениями.
Аналогичным образом проводится статистический расчет нелинейных систем,
представленных на рис. 2.12, бив.
Метод статистической линеаризации может быть применен к системам с не-
сколькими нелинейными элементами [48, 143]. В общем случае безынерционные не-
линейные элементы САУ можно рассматривать как многомерные функциональные
зависимости вида
Х = ^(У1,У2,...,У„),	(2.59)
где F — произвольная однозначная нелинейная функция. Для статистической линеа-
ризации рассматриваемой нелинейности выходная переменная представляется в виде
х = р„+^к,х„ i=P>.
Z=1
Далее можно воспользоваться вторым критерием статистической эквивалентно-
сти нелинейного элемента и линейного эквивалента
	(	и * Y		
м	\F(Yl,Y2,...,Yn)-Fl>-YK,Yi X.	z=l	J	= min.	(2.60)
В результате получим уравнения
F„	(2.61)
	^К^у=Ор,, J = l,n, 7=1			(2.62)
где				
Dy=M	y,(7)y,(0	; df. = m	FYj(t)	(2.63)
Решение последней системы приводит к следующему результату [48, 143]:
П . . Дг.	__
;=1’и’	Р-64’
А J
где А — определитель системы (2.62), Дг- — алгебраическое дополнение элемента
z-ro столбцау-й строки определителя А.
Если переменные 1)	Уи (/), поступающие на нелинейный элемент,
некоррелированы, то
М FYi
Ъ =	/ =	(2.65)
Положим, что плотность вероятности совместного распределения переменных
}](/),Y2 (/)Yn (/) является нормальной:
1 —
/Г(У1,У2,...,У„) = е2А,	(2.66)
V2"zt”A
где А — окаймленный определитель, получаемый из А путем приписывания одного
(п +1) столбца и (п +1) строки из членов Yr -mY], Y2 -mYYn-mY , 0.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 175
Если продифференцировать зависимость
^=М|>Ц,Г2.-Л)]	(2-67)
по mY при нормальном законе распределения, то можно получить новое выражение
для коэффициентов статистической линеаризации
Ki=^, z = U.	(2.68)
dmY
Кратко остановимся на вопросе вычисления коэффициентов статистической ли-
неаризации Ко, и к[2\
При нормальном законе распределения коэффициенты Ко, и выража-
ются через функцию Крампа (функцию Лапласа)
O(x) = -^Lfe-z2/2dz.	(2.69)
у/2п 0
Для проведения расчетов достаточно знать математическое ожидание mY и дис-
персию Dyy случайного процесса У(/) на входе нелинейного элемента и значения
функции Крампа для аргументов, определяемых mY и DYY.
С целью упрощения реализации метода статистической линеаризации построены
формулы и графики для расчета коэффициентов статистической линеаризации
Kq, и к[2^ для некоторых типовых нелинейных элементов. Здесь (табл. 2.1)
приведем указанные формулы для некоторых нелинейных элементов с нечетными
характеристиками. Полная информация приведена, например, в [47, 50, 143] и др.
Выше были изложены основные теоретические положения метода статистической
линеаризации и алгоритмическая сторона вопроса, связанная с вероятностным расче-
том систем управления.
Далее изложим некоторые положения, которые необходимо учитывать при ис-
пользовании этого метода для инженерных расчетов конкретных систем.
Классы систем. Метод статистической линеаризации особенно эффективен при
анализе стационарного режима работы систем автоматического управления с по-
стоянными параметрами. В этом случае mY = const, DYY = const и коэффициенты
статистической линеаризации не зависят от времени. Линеаризованная система явля-
ется при этом стационарной, и ее исследование может быть проведено с использо-
ванием хорошо разработанного аппарата теории линейных систем с постоянными
параметрами.
Положение становится сложным, если рассматривается нестационарный режим
работы системы с постоянными параметрами, вызванный переходным процессом или
нестационарностъю воздействия. Аналогичная ситуация имеет место в случае, если
параметры системы меняются во времени. Во всех указанных случаях выходной сигнал
нелинейной системы относится к классу нестационарных и линеаризованная система
оказывается системой с переменными параметрами, поскольку даже для стационар-
ной системы коэффициенты статистической линеаризации изменяются во времени.
Для решения задач, имеющих практический интерес при исследовании процессов
управления в нестационарных нелинейных системах, на которые действуют случай-
ные возмущения, успешно применяются методы канонических разложений и интег-
рирования уравнений вероятностных моментов, основанные на статистической
линеаризации нелинейностей. Однако в этих случаях статистическое исследование
систем значительно усложняется.
176
Статистическая динамика и идентификация САУ
Таблица 2.1
Формулы и графики для определения коэффициентов статистической
линеаризации некоторых типовых нелинейных элементов
Типовой нелинейный элемент
Идеальная релейная
характеристика
Формулы для коэффициентов статистической линеаризации
при
при
при
Однозначная релейная
характеристика с зоной
нечувствительности
Линейная характеристика
с насыщением
при у > 0;
Линейная характеристика
с зоной нечувствительности
1-4Ф
2В
у! Dyy 2 л
В
 0
-В
к[2’ =
В	1 (l+mj' 2^ cjj	11 1-^1 2^ (J, _|_ О < J J	
^'ZtzDyy		1 t-	
			
где т1 =
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
177
5
Продолжение табл. 2.1
Линейная характеристика
с зоной нечувствительности
и насыщением
X	К = tg а
-Ь -а	/4L5 у
-П	а b
В	при >	Ь;	
К(,У-а)	при <	У<	zb;
0	при |j	2|<	а;
К (у + а)	при -	-ь	<У
-В	при у	<-	-Ъ
Кубическая
характеристика
Нечетная квадратичная
х = Ку2 sign у
ко =---Д)ф	- (1 - mt)x
my (1 - v Д	<7 J
Al-m,] /	\ . | m, + v ] /
хф ----L - (mt + v )Ф —1
Cj Г	Ф + Д
(l-v)2V2^X[(1 + mi“2v)e 4 ai +(l-^i-2v)x
„(2) В 1	. I 1 + т, ]	. [ 1-т, ]
КД =-------Ф -----L + ф ----L _
Ь 1 - V
где v = a/b
Ко — KDyy [з + /Иу 11 Dyy J ;
Д(1) = KDyy [15 + 3 6 m2Y /Dyy + 9	J
Д(2) = 3KDyy [1 +	IDyy ]
2K»j
mY
mY
^2hDyy
Спектральный состав выходного сигнала безынерционного нелинейного эле-
мента и его линейного эквивалента. Метод статистической линеаризации основан на
представлении безынерционного нелинейного элемента эквивалентными безынерци-
онными линейными элементами.
Если 5уу(со) — спектральная плотность входного сигнала нелинейного элемента,
то спектральный состав случайного сигнала на выходе этого элемента изменяется
178 Статистическая динамика и идентификация САУ
в сторону его обогащения как более высокочастотными, так и низкочастотными
гармониками. Поэтому при исследовании точности работы систем автоматического
управления очень важно учитывать искажения спектра, так как в сложных системах
сразу после нелинейности может быть установлен дифференцирующий фильтр, ко-
торый резко подчеркивает высокочастотные гармоники, а это может привести к до-
полнительным ошибкам управления.
В связи с этим статистическая линеаризация не отражает достаточно полно
истинную физическую картину прохождения случайного сигнала через нелинейный
элемент, так как при рассматриваемой аппроксимации изменяется только ампли-
туда сигнала и не изменяется его спектр. В действительности случайный сигнал,
имеющий определенную форму спектральной плотности на входе нелинейного эле-
мента, изменяет ее на выходе (рис. 2.16).
Из рис. 2.16 можно заключить, что искажение спектральной плотности выходно-
го сигнала Sxx(q)) в полосе |^0, соср а также факт обогащения спектрального со-
става, т.е. 5'ЛТ(со)>0 при со>соср, в методе статистической линеаризации не
учитываются.
Рис. 2.16. Графики спектральных плотностей:
5уу(со) —спектральная плотность входного сигнала Г (г); 5^ (со) —спектральная плотность
выходного сигнала нелинейного элемента; Sx х (со) = K^Syy (<») — спектральная плотность
на выходе статистически линеаризованного элемента
Ограничение, связанное с необходимостью принять спектральную плотность про-
цесса x(t) пропорциональной спектральной плотности воздействия У(/), может
оказаться приемлемым в случае, когда 5”^ (со) по характеру своего частотного
распределения мало отличается от Syy (со) или когда указанные спектральные
плотности существенно отличаются лишь в области частот, где линейная часть
системы обладает ярко выраженными фильтрующими свойствами.
Во многих практически важных случаях нелинейный элемент резко изменяет ха-
рактер частотного распределения спектральной плотности 5%%(со) по сравнению с
5уу(со), т.е. 5”^ (со) может сильно отличаться по своему частотному распределе-
нию от Syy (со) ив области частот, где линейная часть системы не обладает доста-
точными фильтрующими свойствами [50].
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 179
В этих случаях погрешность метода статистической линеаризации может оказать-
ся чрезмерно большой.
Для устранения указанного недостатка разработаны достаточно эффективные
методы.
Аппроксимация дифференциального закона распределения на входе нели-
нейного элемента нормальным. Еще одним ограничением метода статистической
линеаризации является требование, чтобы на входе нелинейного элемента случайный
процесс имел нормальный закон распределения.
Следует отметить, что при узкополосном фильтре, установленном за нелинейностью,
закон распределения случайного сигнала после сглаживающего фильтра стремится к
нормальному. Сущность этого явления состоит в том, что после усреднения случайный
процесс с любым законом распределения стремится к нормальному. Это объясняется
условием центральной предельной теоремы: распределение суммы случайных величин,
распределенных по любому закону, стремится к нормальному распределению.
Однако при расчете следует убедиться в достоверности предположения, что закон
распределения после инерционного фильтра является нормальным, так как нормали-
зация случайного процесса с распределением, отличным от нормального, в сильной
степени зависит от фильтрующих свойств инерционного звена, от глубины его
«памяти».
Кроме того, коэффициенты статистической линеаризации Ко, и опре-
деляются интегральными соотношениями (2.33), (2.35) и (2.44), и этот факт умень-
шает степени зависимости указанных коэффициентов от вида закона распределения.
Хотя метод статистической линеаризации и является приближенным, он нашел
широкое применение при инженерных расчетах нелинейных систем автоматического
управления, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка. Точ-
ность метода статистической линеаризации тем выше, чем уже полоса пропускания
линейной части систем и чем больше плотность вероятности на входе нелинейного
элемента приближается к нормальной [50]. Кроме того, достоинство метода заклю-
чается и в возможности его использования для статистической оптимизации.
Весьма эффективной с точки зрения решения сложных инженерных задач анализа
и статистического синтеза является реализация метода статистической линеаризации
с помощью аппарата проекционных и сеточных матричных операторов, причем сте-
пень эффективности практически не зависит от того, является нелинейная система
высокого порядка стационарной или нестационарной. Проиллюстрируем этот факт.
Пример 2.5. Рассмотрим задачу исследования надежности изделий, на которые в условиях эксплуата-
ции действуют случайные вибрационные нагружения.
Машины, оборудование, системы управления и аппаратура, транспортные средства, промышленные и
оборонные технические комплексы в процессе эксплуатации подвергаются вибрационным и ударным воз-
действиям.
По некоторым данным, вибрационное нагружение является причиной примерно 22% отказов само-
летного электрического оборудования и 40% гидравлических и пневматических систем [29].
Поэтому любое впервые созданное изделие должно пройти испытания, чтобы определить, насколько
полно изделие отвечает требованиям, закладываемым при проектировании. При испытаниях можно сокра-
тить материалоемкость изделия за счет устранения «запаса надежности на незнание», т.е. имеется возмож-
ность приблизиться в известном смысле к оптимальной конструкции изделия и учесть основные внешние
факторы, воздействующие на изделие.
В период транспортирования изделия вибрация его конструкции описывается стационарным или не-
стационарным случайным процессом, параметры которого зависят от характера кинематического воздей-
ствия со стороны соответствующих транспортных агрегатов,. Данный режим вибрационного нагружения
характеризуется сравнительно небольшими уровнями перегрузок, но значительным числом циклов коле-
баний. При этом спектр возбуждаемых частот колебаний является преимущественно низкочастотным [29].
Интенсивные вибрации элементов конструкции наблюдаются в процессе старта летательного аппара-
та. Они характеризуются как широким диапазоном частот, так и высокими уровнями перегрузок. Основ-
ным источником этих вибраций является работа силовой установки летательного аппарата. В переходном
режиме работы двигателей указанная вибрация носит существенно нестационарный характер.
180 Статистическая динамика и идентификация САУ
В [29] подробно рассмотрены случаи, в которых главным фактором, определяющим возможность от-
каза аппаратуры, является внешнее вибрационное воздействие.
Под надежностью понимается свойство изделий выполнять требуемые функции в течение требуе-
мого времени в реальных условиях воздействия окружающей среды при соблюдении регламентированных
правил эксплуатации [29].
Одним из основных видов испытаний изделий являются вибрационные испытания, поскольку в усло-
виях воздействия вибрационных нагрузок причиной отказа изделий являются различные дефекты, прежде
всего в механических узлах. Разработка конструкций изделий на этапе проектирования, имеющих высокую
вибропрочностъ и виброустойчивостъ, во многом определяется качеством проведения вибрационных испы-
таний. В этой связи испытания на вибропрочностъ и виброустойчивостъ часто являются определяющими.
Натурные испытания имеют ряд существенных недостатков: испытания являются чрезвычайно доро-
гостоящими, требуют больших людских и материальных ресурсов, больших затрат времени; подобные
испытания несовместимы с быстрой переналадкой технологического процесса, выпуском надежных изде-
лий малыми партиями. В связи с этим этот способ используется главным образом на заключительном
этапе разработки изделия.
По указанным причинам в основном используются испытания на вибрационных стендах. Эксперимен-
тальная отработка надежности изделий на указанных стендах производится на всех этапах их разработки.
Испытания в искусственно создаваемых лабораторных условиях, по возможности близко имитирую-
щих действительные условия эксплуатации, являются надежной проверкой самой конструкции изделия и
технологии его изготовления.
Таким образом, одним из важнейших требований, предъявляемых к испытаниям, является требование:
условия проведения эксперимента должны быть близки к реальным. Практически все реальные вибраци-
онные нагружения, действующие на изделия, носят случайный характер. В связи с этим возникает задача
имитации случайных вибрационных нагружений в лабораторных условиях.
Вибрационные нагружения, создаваемые в различных точках изделия с помощью стендов, позволяют
имитировать не только условия, близкие к реальным, что принципиально снижает стоимость и продолжи-
тельность испытаний, но и проводить ускоренные испытания с форсированными режимами.
Как показали многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, в общем случае
вибрационные нагружения представляют собой нестационарные случайные функции. Большой практиче-
ский интерес представляют переходные режимы движения, характеризуемые нестационарными вибраци-
онными нагружениями, параметры которых зависят как от сил сцепления колес с покрытием, так и от
материальной части (состояния поверхности шин колес, наличия зазоров в сопрягаемых частях конструк-
ции транспортного средства и т.д.). Нестационарными режимами являются режим резкого торможения,
торможение автомобиля до юза без выключения сцепления, трогание с места с «раскачкой», резкое от-
пускание педали сцепления, наезд на большие препятствия и т.д. [29].
При транспортировке изделий железнодорожным транспортом нестационарные нагружения ха-
рактеризуются сравнительно большими значениями продольных перегрузок, обусловленных соударения-
ми вагона с вагоном или локомотивом.
Исходя из сказанного, математической моделью вибрационного нагружения является модель неста-
ционарного случайного процесса, характеризуемого в рамках корреляционной теории математическим
ожиданием my(l) и функцией корреляции RYY(tl,t2).
Для построения автокорреляционных функций случайных вибрационных нагружений можно идти двумя
путями. Первый путь состоит в том, что в необходимых точках изделия закрепляются датчики и поступаю-
щая информация обрабатывается на ЭВМ (рис. 2.17).
Эффективным является подход, когда оценка ФВН определяется расчетным путем.
Рис. 2.17. Структурная схема, иллюстрирующая расчетный метод оценки
случайных ФВН, действующих на изделия:
1 — первичный источник вибраций (ПИВ); 2 — тракт преобразования вибраций (ТПВ); 3 — изделие;
У(7) —сигнал, порожденный ПИВ; A'f/) —функция вибрационного нагружения,
действующая на изделие в условиях эксплуатации
Положим, что статистические характеристики случайного вибрационного нагружения, действующего
на испытуемое изделие, известны. Генератором испытательных сигналов генерируется сигнал, идентичный
по своим статистическим свойствам вибрационному нагружению. Он поступает на вход СВИ, на столе
которого закреплен испытуемый образец. Испытательный сигнал, поступающий на вход СВИ, может быть
в общем случае искажен за счет инерционности вибростенда, а также под действием присоединенной под-
системы «виброзащитное устройство-изделие». СВИ представляет собой нелинейную динамическую сис-
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
181
тему (в общем случае многокомпонентную СВИ), включающую корректирующее устройство, усилитель,
стенд, демпфирующее (амортизирующее) устройство, изделие, систему датчиков, промежуточные при-
способления, с помощью которых аппаратура жестко крепится к столу вибростенда. Необходимо исследо-
вать точность воспроизведения СВИреальных вибрационных нагружений, действующих на изделие.
Алгоритмическое обеспечение СВИ включает следующие алгоритмы:
•	алгоритм оценки функций вибрационного нагружения, действующих на изделие в реальных усло-
виях эксплуатации;
•	алгоритм формирования испытательных сигналов, адекватных реальным вибрационным нагру-
жениям;
•	алгоритм оценки точности воспроизведения испытательных сигналов конкретными типами виб-
ростендов;
•	алгоритм для построения математических моделей (алгоритм идентификации);
•	алгоритм контроля и диагностики",
•	алгоритм, осуществляющий управление всеми устройствами СВИ и необходимую взаимосвязь
между ними в процессе испытаний, контроля и диагностики;
•	алгоритм прогнозирования исправной работы изделий на определенный период времени;
•	алгоритм для оценки надежности изделий.
Надо сказать, что вибростенды с гидравлическим приводом малоэффективны на сравнительно высо-
ких частотах, при которых сказывается влияние сжимаемости жидкости. Но они позволяют получить дос-
таточно большие усилия в области низких частот. Для имитации низкочастотных нестационарных кинема-
тических воздействий (имеющих место при наземном ядерном взрыве) фирмой MTS Systems использова-
лась электрогидродинамическая установка, представляющая собой тяжелую подвижную платформу весом
около 5,7 тонн, которая приводится в движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях системой
гидравлических толкателей.
При максимальном весе испытуемых объектов порядка 5,4 тонн на этой установке реализовывались
пиковые вертикальные перегрузки порядка 32g, а горизонтальные — около 18g [29]. Имитация функций
нагружения оборудования и аппаратуры систем летательных аппаратов баллистического типа в части
реализации одновременного воздействия вибрационных и квазистатических перегрузок может быть осу-
ществлена путем установки вибростенда на центрифугу.
Далее рассмотрим математическую модель электрогидравлического следящего вибратора и статистиче-
ский анализ СВИ с использованием метода статистической линеаризации и аппарата матричных операторов.
Поскольку СВИ работает в области низких частот, применение метода статистической линеаризации является
обоснованным.
Основным исполнительным механизмом электрогидравлического вибрационного стенда является
электрогидравлический следящий вибратор (ЭГСВ) [12, 13]. Функциональная схема ЭГСВ изображена на
рис. 2.18.
Рис. 2.18. Функциональная схема ЭГСВ
ЭГСВ представляет собой гидродвигателъ (ГД) поршневого типа, приводимый в движение потоком
рабочей жидкости (минеральное масло). Управление потоком рабочей жидкости производится золотнико-
вым управляющим устройством (ЗУУ), золотник которого приводится в движение по заданному закону
электромеханическим преобразователем (ЭМП). ЭМП и ЗУУ образуют электрогидравлический усилитель
(ЭГУ). Золотник, перемещаясь по заданному закону, открывает и закрывает рабочие окна, соединяя полос-
ти гидродвигателя с напорной или сливной магистралями. Контроль за положением исполнительного
органа осуществляется за счет главной отрицательной обратной связи (датчиком перемещений ДП). Это
позволяет обеспечить необходимую точность воспроизведения формы вибровоздействия. На функцио-
нальной схеме ЭГСВ также обозначены: ГФВН — генератор функций вибрационных нагружений (генера-
тор входных сигналов); УСО —усилитель сигнала ошибки.
На рис. 2.19 показана принципиальная схема ЭГСВ.
Отслеживание входного воздействия [7ВХ (1) исполнительным органом (поршнем гидродвигателя)
ЭГСВ можно описать следующим образом. При подаче напряжения [7ВХ на вход усилителя сигнала ошиб-
ки на выходе УСО появляется напряжение U, которое подается на обмотку катушки управления ЭМП.
Под действием этого напряжения якорь 6 ЭМП, закрепленный на корпусе ЭМП посредством пружины,
182 Статистическая динамика и идентификация САУ
провернется, например, против часовой стрелки относительно точки крепления (направление проворота
зависит от знака напряжения U на входе УСО). При этом создается перепад давлений на торцах золотни-
ка 7, под действием которого золотник переместится влево на определенную величину (величина этого
перемещения зависит от жесткости второй (консольной) пружины якоря 6 ЭМЛ, непосредственно соеди-
ненной с золотником). Рабочие окна золотника откроются, жидкость с линии нагнетания с давлением рк
поступит в левую полость гидродвигателя 4. Под действием образовавшегося перепада давлений на поршне 8
гидродвигателя поршень начнет движение вправо. Движение поршня будет продолжаться до тех пор, пока
напряжение Uoc на выходе датчика перемещений 5 не достигнет по модулю значения входного воздействия
[7ВХ. При этом напряжение U на входе УСО станет равным нулю, якорь 6 ЭМП займет среднее положение,
давления на торцах золотника 7 уравняются и золотник также займет среднее положение, закрыв рабочие
окна. Закрытие рабочих окон золотника приведет к останову движения поршня 8 гидродвигателя. Таким
образом, значению входного напряжения [7ВХ соответствует положение поршня гидродвигателя Y.
Рис. 2.19. Принципиальная схема ЭГСВ:
7 — усилитель сигнала ошибки (УСО); 2 — электромеханический преобразователь (ЭМП);
3 — золотниковое управляющее устройство (ЗУУ); 4 — гидравлический двигатель (ГД);
5 — датчик перемещений (ДП); 6 — якорь электромеханического преобразователя;
7 — золотник золотникового устройства управления; 8 — поршень гидравлического двигателя;
9 — гидравлический дроссель
Примем следующие основные допущения при составлении математической модели ЭГСВ. Будем пре-
небрегать:
1)	противо-ЭДС, возникающей в обмотке управления ЭМП,
2)	влиянием гидродинамических сил на якорь (заслонку) ЭМП,
3)	объемами торцевых полостей золотника ЭГУ,
4)	утечками и перетечками рабочей жидкости по поршню гидродвигателя;
используем линеаризованное уравнение расходов гидравлического исполнительного механизма с учетом
насыщения, возникающего при полном открытии рабочих окон золотника (это является причиной возник-
новения кусочно-линейной нелинейности).
При принятых допущениях динамику ЭГСВ можно описать следующими уравнениями:
1.	Уравнение электронного усилителя и электрической отрицательной обратной связи
U = Kyc(UBX-KocY),	(2.70)
где Кус — коэффициент усиления электронною усилителя; Кос — коэффициент передачи электрической
обратной связи; С/вх — входное напряжение; Y — перемещение поршня гидродвигателя; U — напряже-
ние на выходе электронного усилителя.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
183
2.	Уравнение электрического равновесия обмотки управления ЭМП
L— + RJ = U-KW^,	(2.71)
dt	dt
где L — индуктивность обмотки управления; R3 — активное сопротивление обмотки управления; I —
ток в обмотке управления; Kw — коэффициент, учитывающий влияние противо-ЭДС; сря — угол поворо-
та якоря ЭМП.
С учетом принятых допущений Kw = 0.
3.	Уравнение движения якоря ЭМП
Л dt* + ^я ~df~+	+ ^ст) = К Mil - КМру ру - КМЖХ,	(2.72)
где ./я — момент инерции якоря относительно оси его вращения; /гя — коэффициент вязкого трения
якоря; КМч> и КМ1 — коэффициенты внешней моментной характеристики ЭМП;
Алое =	 Jcr  A }/lcT — коэффициент обратной связи по перемещению золотника; Кст = Кмос  /ос
— коэффициент пропорциональности; Ест — модуль упругости консольной пружины якоря; JCT —
момент инерции сечения консольной пружины якоря относительно главной центральной оси, перпендику-
лярной плоскости изгибающей силы; /ос — расстояние от оси поворота заслонки (якоря) до оси золотни-
ка; 1СТ —расстояние от оси сопел до оси золотника; X —перемещение золотника ЭГУ; КМр —коэф-
фициент, учитывающий влияние гидродинамических сил на заслонку; ру — перепад давлений на торцах
золотника (давление управления).
С учетом принятых допущений Км = 0.
4.	Линеаризованное уравнение расходов ЭГУ
А ^Ру '	г dX
2В dt +KQypypy~KQ^ р dt’
— коэффициенты линеаризации расходно-перепадной характеристики элемента типа
(2.73)
где К,
сопло-заслонка; F3 — площадь торца золотника; Гу — средний объем торцевых полостей золотника
ЭГУ; В —модуль объемной упругости рабочей жидкости.
С учетом принятых допущений Гу = 0.
5.	Уравнение движения управляющего золотника ЭГУ
Л2 V
(2.74)
3	7 2	3	1.
dt dt
где m3 — масса золотника; h3 — коэффициент вязкого трения золотника о гильзу золотника; С3 — же-
сткость консольной пружины якоря, соединенной с золотником плюс жесткость гидродинамической пружины.
6.	Уравнение расходов гидравлического исполнительного механизма
— • —+	p+Kp+^\p = KQXf(X\ -F-,
2В dt [ Qp п 2 У QXJ V 7 dt
где V — средний объем полостей гидроцилиндра; К(Рр и К(РХ — коэффициенты линеаризации расходно-
перепадной характеристики золотника; F — площадь поршня рабочая; р — перепад давлений на поршне;
(2-75)
/(Х)= Ъ, х>ь-
— коэффициент утечек, учитывающий утечки жидкости из
Ь — ширина рабочих окон золотника; А'п — коэффициент перетечек, учитывающий перетечки рабочей
жидкости по поршню гидродвигателя; А'у|
полостей гидроцилиндра.
С учетом принятых допущений А'п = А',
7.	Уравнение движения поршня гидродвигателя
.1/^- + /7^ + С„Г = Ар,
dt dt
где М — приведенная масса нагрузки; h — коэффициент вязкого трения поршня; Сн — жесткость пру-
жины нагрузки.
0.
(2.76)
184 Статистическая динамика и идентификация САУ
Приведенным уравнениям (2.70)-(2.76), описывающим динамику ЭГСВ, соответствует структурная
схема, изображенная на рис. 2.20. Параметры в этих уравнениях имеют следующие значения [12, 13]:
L = 0,4 Гн; 7?а=80Ом; ,/я = 3 • 10 7 кт-м2; //я =7-10 5 Н-м-с; Км<9 = 0,1 Н-м;
Асг=0,ЗН-м; КМ[ = 1 Н-м/А; АМОС=10Н; Д = 1-109Па; Kq р = 1-10-6 м4-с/кг;
Kq ф = 1-10“3 м3/с; F3 = 0,785-10-4 м2; т3 = 1-10“2 кг; h3 =0,5 Н-с/м; С3 =2Н/м;
V = 1,2935-10"4 м3; F = 1,99-10"3 м2; М = 5000 кг; h = 10 Н-с/м; Сн=2-106Н/м;
Кус =0,5; Кж =5 В/м; KQX =4,3 м2/с; KQp =1-1О“10 м4-с/кг; /? = 2-10”3м.
Соответственно параметры, приведенные в структурной схеме, имеют следующие значения:
= ИПКХ, w	КЧМ----- Щ = КХРУ------;
7> + 1	ГУ+2^+1	73V+2^ + 1
^=^- = 0,0125 (Ом)’1; К^м= \	= 2,5 (Н-м)’1; Агу =—— = 1-Ю6 -^;
^QyPy	М С
КХр = — = 3,925-10~5—; Кг = — = 1-1O10 KY= — = 9,95-1О"10 —;
Ар	, /L ’АР Г'	Т-Г
'-'з	-Н.	l\.Qp	м С	'-'н	-Н-
Тэ = — = 5-10“3 —; Г2 =-----------= 7,5-10-7с2; Г32 =^ = 5-10-3 с2;
Q Ом КМч+Кст	С3
Тт=—— = 6,4675-10 4 с; Гн2 = — = 2,5-Ю-3 с2; тг =F = 1,99-10“3 м2;
ТГУ =F3 =7,85-10-5 м2; 2^ЯГЯ =--------= 1,75 -10 4 с;
+ ^ст
2^3Г3 = — = 0,25 с; 2^НГН = —= 5-10-6 с.
С	Qi
Введем новые обозначения: входной сигнал системы (входное напряжение [7ВХ(1)) обозначим через
У(1); выходной сигнал системы (перемещение поршня X(z)) обозначим через A(z), сигнал на входе
нелинейного элемента (перемещение золотника Хр)) обозначим через Z(z). Эквивалентная структурная
схема ЭГСВ с новыми обозначениями сигналов системы представлена на рис. 2.21.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
185
Передаточные функции ir2(.s), ^(s) имеют следующий вид:
»:(’)=—s—з—¥—i;
^50*^ "I- ^40^ "I- й30* "I- ^20^ "I- ^10* "I- ^00
»Щ) =—s------Ь-т-------:
Cly\S Cl^yS + 6Zj + 6Zqj
1^3 (^) = ^ОС-
Коэффициенты имеют значения:
а50 =1,875-10’11; а40 = 9,06-10“9; а30 =2,52-ПТ5; а20 = 6,29-ПТ3;
а1о=О,26; а00 =1,98; Ьоо = 6,136-10”4;
а31 =1,617-10“6; а21 = 2,5-10”3; ап = 2,04-Ю"2; а01=1; д01 =42,785; Кос=5.
Статистический анализ электрогидравлического следящего вибратора. Проведем статистический
анализ ЭГСВ методом матричных операторов с использованием статистической линеаризации — определим
математическое ожидание тх (/) и дисперсию DYY (?) на выходе системы в переходном режиме работы.
Заданы математическое ожидание mY и корреляционная функция 7?уу(?],?2) входного сигнала системы:
my=2B; 7?уу(?1,?2) = Г>ууе“а|'2“/11,
где Dyy = 75 В2, а = 20 с
Рис. 2.22. Структурная схема статистически линеаризованной системы ЭГСВ
Статистически линеаризованной системе ЭГСВ соответствует структурная схема, изображенная на
рис. 2.22, где для данного типа нелинейного статистического элемента коэффициенты статистической
линеаризации по математическому ожиданию Ко (mz (?), Dzz (?)) и по центрированной составляющей
A (mz (О’ Dzz (0) определяются следующими выражениями:
186
Статистическая динамика и идентификация САУ
(2.77)
(2.78)
где = 2-10 3,	(?) = ^Dzz(t); Ф(с,) —функция Крампа (Лапласа).
Эквивалентная структурная схема статистически линеаризованной системы ЭГСВ относительно мат-
ричных операторов представлена на рис. 2.23.
Рис. 2.23. Эквивалентная структурная схема статистически линеаризованной системы ЭГСВ
относительно матричных операторов
Статистический анализ проведем в соответствии со следующим алгоритмом:
1.	Задается нулевое приближение математического ожидания (?) и дисперсии Dzz (?) на входе
нелинейного элемента (см. рис. 2.24 и рис. 2.25 соответственно)
т^0) (?) = 1-10-3 (1-е-5/) м; (?) = 1-10“5	м2.	(2.79)
при различном числе итераций п
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
187
при различном числе итераций п
2.	По заданным (?) и (?) определяются коэффициенты статистической линеаризации нуле-
вого приближения по математическому ожиданию	(?)^ и по центрированной состав-
ляющей	(?))
(2.80)
Р-si)
'	'	’’ ( а?(0 ) ( 4°'(<) )
где ой (?) = 7^zz (О-
Графики коэффициентов статистической линеаризации (тй (О’ ^zz (О) и ^1°‘> (/ИЙ (О’ ^zz (О)
представлены на рис. 2.26 и рис. 2.27 соответственно.
3.	Определяются спектральные характеристики математического ожидания С'”1 и корреляционной
функции Сйу7 входного воздействия как результат одномерного и двухмерного БПФ соответственно;
г	. (0)
матричные операторы нулевого приближения нелинейного элемента по математическому ожиданию А>Кц
„ .(о)
и центрированной составляющей
А® = (а№ ; А?) = ^а№ .	(2.82)
Тогда матричные операторы первого приближения замкнутых систем по математическому ожиданию
А« и по центрированной составляющей А^ находятся из следующих выражений:
А(с2 = А2 АЙ At (l + А3А2АЙА1 )-1;	(2.83)
АЙ=А2АЙА1(1 + А3А2АЙ)А1) ,	(2.84)
где А1; А2 и А3 определяются следующим образом.
188
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 2.26. Графики коэффициентов статистической линеаризации
по математическому ожиданию при различном числе итераций п
(и)
Рис. 2.27. Графики коэффициентов статистической линеаризации 7
по центрированной составляющей при различном числе итераций п
Для первого элемента имеем
d5Z	d^Z	d3Z	d2Z	dZ	o_.
«50 ,5 + «40 .4 + «30	+ «20 ,2 + «10	+ «00^-^00S-	(2.85)
dt5	dt	dt3	dt	dt
Проинтегрировав (2.85) 5 раз и преобразовав полученное выражение в спектральную форму, можно
получить
	Af = а501 + а40Ап + а30А2 + а20А^ + а10А^ + а00А5„;	(2.86)
	Af =Z>00At	(2.87)
тогда	Ai = (Aj ) Aj1.	(2.88)
Для второго элемента имеем		
	d'X	d2X	dX «31 —— + «21 —— + «п — + «о iX = Z?oiA- dt	dt	dt	(2.89)
Проинтегрировав (2.89) 3 раза и записав полученное выражение относительно спектральных характе-		
ристик, найдем	Ax2 = a31I + а21Ап + anA2 + а01АГ;	(2.90)
	A^ =^о1Аи,	(2.91)
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
189
тогда
А2 = ( А2 ) А2 .
Для третьего элемента имеем
X2(t) = KocX(t),
или, относительно спектральных характеристик,
СХ>=КЖСХ = А3СХ,
(2.92)
(2.93)
(2.94)
откуда
А3=^ос1-
(2.95)
4.	Определяются спектральные характеристики первого приближения математического ожидания С“х и
корреляционной функции CRxx выходного сигнала системы
(см-)(1)=а2см-	(2.96)
(Сй-)(1)=АЙС^(А£)Т.	(2.97)
5.	По спектральным характеристикам	и ^CRxx рассчитываются математическое ожидание
(?) и корреляционная функция Я^-(?1,?2) первого приближения как результат обратного соответст-
венно одномерного и двухмерного БПФ (при ?1=?2=? получим дисперсию D^(?) первого приближения).
6.	Определяются матричные операторы первого приближения замкнутых систем по математическому
ожиданию и по центрированной составляющей по сигналу Z(t) на входе нелинейного элемента
Ac2z = А1^1 + А3А2аЦа1^ ;	(2.98)
А(Х = A (l + А3 А2аЦа1 J’1.	(2.99)
7.	Определяются спектральные характеристики первого приближения математического ожидания С,К/
и корреляционной функции CRzz сигнала Z(z) на входе нелинейного статического элемента. Эти СХ
можно рассчитать двумя способами:
первый способ:
(c"')W = a2zC"'; (с'ДСаЙ/С'ДайД;	(2.100)
второй способ: имеем (см. рис. 2.23)
(с^)(1)=А2АЙ(сМ2)(1),	(2.101)
откуда, умножив слева выражение (2.101) на матрицу вида ( д2 А^ j , найдем
(cfflz)W =(а2АЙ)-1(с^)(1).	(2.102)
Имеем также
[сл- ](} = а2 Ag (cRzz )(1) ( А2аЦ )Т.	(2.103)
Z	\-1	/	т\“1
(	(°) V	(/ м) \т )
Умножив выражение (2.103) на матрицу А2 АХ1	слева и на матрицу А2А^( справа, получим
[cRzzf =(а2АЙ^(сй-)(1)Г(а2АЙЛ .	(2.104)
8.	По СХ	и (сй//У ) определяются математическое ожидание (t) и корреляционная
функция 7?2z(?i,?2) первого приближения сигнала Z(?) на входе нелинейного элемента как результат
соответственно одномерного и двухмерного обратного БПФ.
Выделив главную диагональ матрицы fizz (h ^2)’ получим дисперсию	первого приближения.
Графики »zP(?) и Z>2z(l) показаны на рис. 2.28 и рис. 2.29 соответственно.
190
Статистическая динамика и идентификация САУ
(и)
Рис. 2.28. Графики математических ожиданий ту на выходе системы
при различном числе итераций п
при различном числе итераций п
Далее выполняются пункты 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 (соответственно увеличивается и номер приближения) до
тех пор, пока не выполнятся условия
<0,001
(2.105)
(2.106)
на всем интервале исследования [0,Г] (принято Т = 1,5 с) (tK — значения точек дискретизации интервала
[0,Г]).
Как видно из рис. 2.25 и 2.29, итерационный процесс быстро сходится. В установившемся режиме ра-
боты системы значения математических ожиданий и дисперсий принимают следующие значения:
/и™ = 2,06472 ДО-2 м; Dyx = 4,0944• 10“3 м2;
/Иу = 5,87358-10м м; = 2,10399-10-6 м2.
Расчеты производились в среде пакета Matlab с использованием библиотеки SML. Использовался ба-
зис функций Уолша с удержанием 128 членов разложения по базису.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
191
Пример 2.6. Статистический анализ нелинейной нестационарной системы самонаведения [67, 127].
Структурная схема системы самонаведения представлена на рис. 2.30.
Рис. 2.30. Структурная схема нелинейной системы самонаведения:
1,2 — кинематические звенья; 3 — система стабилизации; 4 — блок выработки команд,
реализующий алгоритм наведения; 5 — координатор цели, измеряющий скорость вращения
линии визирования; 6 — нелинейный элемент типа «насыщение»
В данной системе используется метод пропорционального сближения с целью.
На рис. 2.30: /г(1) — выходной сигнал системы: линейное смещение ракеты относительно опорной
невращающейся линии визирования; g(l) — задающее воздействие, учитывающее маневр цели и началь-
ную ошибку прицеливания; Тсс — постоянная времени системы стабилизации; Тс — постоянная времени
координатора цели; п —константа навигации; и(1) —помеха.
Параметры системы самонаведения:
V (1) = 200 + 2001 м/с;
г(1) = 4500 — 6001 —10012 м/с;
г(1) =-600-2001;
Тсс=0,1; 7). =0,3; п = 2.
Нелинейный элемент типа «насыщение» описывается выражением
~A<i\ll„ ’ A(P<t < ~d’
< Acp,. , -d<&s?k <d;
_ А<У.,„ >^<A(iy
дФн =
(2.107)
(2.108)
Параметры нелинейного элемента:
Афн =<7 = 2 град = 0,03490658503989 рад.
Автокорреляционная функция случайного процесса на входе системы имеет вид
7?Gg(t1A2) = 100[4'CH2 +(1 + т1)(1 + т2)] м2/с2-
Математическое ожидание входного случайного процесса mG (1) е= 0.
Помеха и(/) есть результат прохождения белого шума с уровнем спектральной плотности
50 = 4 -10-5 рад2/с2 через формирующий фильтр в виде апериодического звена
^^ + и(1) = 11(1).
Определим корреляционную функцию и дисперсию помехи и(1). В установившемся режиме
Sm (со) = А2 (со)51Т1 (со) = А2 (со)50 =
где Л (со) —АЧХ формирующего фильтра. Тогда
Rnn(t1,t2) = 2A0-5e-^;
Т>йй (1) = 2-10”5.
Используя аппарат статистической линеаризации и метод матричных операторов, построим авто-
корреляционную функцию выходного сигнала системы ^„„(Ч’Ъ) на интервале времени [0, 4] с. В каче-
192
Статистическая динамика и идентификация САУ
стве базиса используем ортонормированные на интервале [0, 4] смещенные полиномы Лежандра, а
также ортогональную систему блочно-импульсных функций.
Согласно методу статистической линеаризации, заменим нелинейный безынерционный элемент двумя
статистически эквивалентными линейными безынерционными элементами с коэффициентами передачи
Ко(1) и (см. рис. 2.31).
Рис. 2.31. Структурные схемы нелинейного элемента (а) и его линейного эквивалента (б)
Для нелинейности данного типа коэффициенты статистической линеаризации определяются следую-
щими формулами:
. х А(Р/< Kn(t}~—	1	1, т^к (0		, т^к (0	
т^к (0	d		d	7^Афл (? j/^ )
(2.110)
(2.1И)
(2.112)
В выражениях (2.109)-(2.111) Ф(х) = |/>/2п • je z l2dz — функция Крампа (функция Лапласа).
о
Поскольку в данном примере математические ожидания полезного входного сигнала 6-'(/) и помехи
и(7) равны нулю, то в линеаризованной схеме на рис. 2.31, б математическое ожидание входного сигнала
нелинейного элемента (/) также оказывается равным нулю, даже если предположить, что Ко (1) Ф 0.
Но, как следует из формулы (2.109), при /иА(р (/) = 0 имеем А'о (/) = (). Поэтому в данном примере расчет
производится лишь по нижней ветви линеаризованной структурной схемы (рис. 2.31, б), где коэффициент
статистической линеаризации определяется формулами (2.110)-(2.112).
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 193
Будем использовать итерационную процедуру статистической линеаризации. Для выполнения первой
итерации зададимся нулевым приближением коэффициента X’|0](i) = l. Итерационный процесс заканчи-
вается на цикле, в котором выполняется критерий сходимости. За критерий сходимости итерационного
цикла на z-й итерации примем выполнение условия
(2.113)
Для проведения статистического анализа необходимо выполнить структурные преобразования ли-
неаризованной системы самонаведения (см. рис. 2.32).
Рис. 2.32. Структурная схема преобразованной системы самонаведения
На схеме использованы обозначения

z(i)=r(i) + «(i)-A(p11(i).
Алгоритм статистического анализа нелинейной системы самонаведения с использованием ста-
тистической линеаризации
1.	Задаемся нулевым приближением коэффициента /f[°](z) = l и мерой близости 8А- = 10 15 критерия (2.113).
2.	Определяем дисперсию случайного процесса на входе нелинейного элемента при автокорреляционной
функции входного воздействия (2.108) по формуле
Г)Кдг) = ф(г)А[1]{сйее +Сй»»}^А[1]]Тфт(?) ,	(2.114)
где Ф(1) —вектор-строка базисных функций, dim Ф(/J = 1 х/; CR°e —матрица коэффициентов Фурье
автокорреляционной функции полезного входного сигнала,
ТТ	__
с£° = П Agg (W2 к (о )<Р/2 (h }dtrdt2, iy i2 =1,1;
о о
CR'"‘ — матрица коэффициентов Фурье автокорреляционной функции помехи,
тт	_
cib	)Мг1)Мг2й,/2=1,/;
о о
. [11
AL J — матричный оператор системы относительно входа нелинейного элемента на первом шаге итераци-
онного процесса.
3.	Первое и все последующие приближения коэффициента статистической линеаризации Кх (t} осуществ-
ляются по формуле
4. Проверяется выполнение критерия сходимости итерационного процесса по формуле (2.113). Если кри-
терий не выполнен, переходим к шагу 2. Если критерий выполняется, итерационный процесс считаем
завершенным.
5. Вычисляем автокорреляционную функцию и дисперсию выходного сигнала системы при полученном
коэффициенте статистической линеаризации K^t).
194
Статистическая динамика и идентификация САУ
Для выполнения этапов 2-4 получим матричный оператор линеаризованной системы самонаведения,
приняв за новый выход системы вход нелинейного элемента Дф7. (?). Вход системы g(t} приведем к
точке воздействия помехи n(t}, новый вход системы обозначим q(t). Структурная схема системы пред-
ставлена на рис. 2.33.
Рис. 2.33. Структурная схема модифицированной системы
Обозначим входы и выходы каждого из элементарных звеньев системы переменными Xj,...,x10. Запи-
шем соотношения вход/выход для каждого элементарного звена, входа и выхода системы:
Xj(?) = |х10(т)г/т + х1(0);
о
х3 (?) = х2 (?)-</(?);
( х 1 Г / ч ,	1 г . ( х ,	т4(0)
х4 (?) = -—]х4(т)<7т +—]х3(т)?7т + —;
0	0	1с
( X 1 f ( X ,	1 f ( х ,	Х7(0)
1 сс о	1 сс о	1 сс
X8(0 = -^y%7(0;
х9 (?) = jx8 (т)б/т + х9 (0);
о
До(О = г(г)х9(г);
^(?) = г(?) + и(?);
ДфА.(?) = х4(?).
Пусть {срд. (?)) — ортонормированный с весом р(/)=1 базис гильбертова пространства £2[(), Г].
Пусть Ф(?) = [cpj(?),..., ср/(?)] —вектор-строка базисных функций, сйтФ(?) = 1х/. Тогда, согласно ме-
тоду матричных операторов, векторы коэффициентов Фурье разложений входных и выходных сигналов
каждого из элементов системы, а также входа и выхода системы по базису (ср^ (/)} будут связаны сле-
дующими соотношениями:
с-> =АПС^ +х1(0)ФЛГ;
С*2 = А(1/г(?))С*>;
СЧ =С-Ц _с<7.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
195
СА = А(1/И(?))СЛ'7; СА = АПСЛ‘8 + л9 (0)Флг;
Сл'10 =А(К(;))С\ С1’= A(l/r(?))AnCg;
Сд=Су+С"; СА^=СТН
В данных соотношениях: Аи —матричный оператор интегрирования в базисе (ОК-i ’ ^(-^(0)
— матричный оператор умножения на функцию /(i) в базисе (ОК-i ’ —единичная матрица;
т	т
|<ро(гМ •••
.0	о
Положим начальные условия для системы самонаведения нулевыми и введем ряд обозначений:
А1 □ Ап; А2 □ А(1/г(;));
А3 □
А4 □ A(^(i)); А5 □ А(и|г(г)|);
а7 □ а(1/к(0);
A8DAn; A9DA(f(?));
Ag = A2Aii*
На рис. 2.34 представлена структурная схема системы самонаведения с учетом введенных обозначений.
Рис. 2.34. Структурная схема модифицированной системы самонаведения
в терминах матричных операторов
Используем аппарат структурных преобразований для нахождения матричного оператора модифици-
рованной системы. Обозначим
Аю □ А2А1А9А8А7А6А5А4.
Структурная схема модифицированной системы самонаведения после структурных преобразований
изображена на рис. 2.35.
Рис. 2.35. Структурная схема преобразованной системы самонаведения
196 Статистическая динамика и идентификация САУ
Запишем выражение для матричного оператора линеаризованной системы относительно входа нели-
нейного элемента:
AD А3[1 + А10А3]-1.	(2.116)
Матричный оператор А используется в итерационном процессе алгоритма статистической линеари-
зации. Отметим, что матричные операторы АР...,А3 и А5,...,А9 при выполнении итераций не требуется
вычислять повторно, а операторы А4, А10 и А следует рассчитывать на каждом шаге итерационного
процесса.
Приведем результаты решения задачи по окончании процесса статистической линеаризации в базисе
ортонормированных на интервале [0,4] полиномов Лежандра размерности 8. Матричный оператор интег-
рирования в данном базисе имеет вид
	’2,0000	-1,1547	0	0	0	0	0	0
	1,1547	0	-0,5164	0	0	0	0	0
	0	0,5164	0	-0,3381	0	0	0	0
Аи =	0	0	0,3381	0	-0,2520	0	0	0
	0	0	0	0,2520	0	-0,2010	0	0
	0	0	0	0	0,2010	0	-0,1672	0
	0	0	0	0	0	0,1672	0	-0,1432
	0	0	0	0	0	0	0,1432	0
Матричные операторы А2, А3, А5, А6, А7, А9, А10 рассчитаны по приведенным выше формулам,
а оператор А имеет вид
0,0290	0,3150	-0,0470	0,0537	-0,1059	-0,0634	-0,0279	0,0016
-0,7806	0,9832	00038	0,0359	-0,1479	-0,1174	-0,0566	-0,0023
-0,4563	0,0043	0,8397	-0,0274	-0,1509	-0,1586	-0,0931	-0,0161
0,0138	-0,3603	0,2447	0,7332	-0,1832	-0,1970	-0,1374	-0,0438
-0,0601	0,0191	-0,2499	0,3391	0,5767	-0,2702	-0,1933	-0,0914
0,0188	-0,0755	0,0449	-0,1837	0,3545	0,4391	-0,2972	-0,1746
-0,0191	0,0156	-0,0553	0,0513	-0,1468	0,3334	0,3601	-0,3483
0,0010	-0,0133	0,0088	-0,0409	0,0517	-0,1401	0,3610	0,1602
Спектральные характеристики автокорреляционных функций полезного сигнала и помехи имеют вид				
		’1,0000 0,5081 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000’		
		0,5081 0,2667 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000		
		0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000		
С	RGG —	0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000	•104;	
		0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000		
		0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000		
		0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000		
		0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000		
	’ 0,3087	0,0000 -0,0457 0,0000 -0,0019 0,0000	0,0005	0,0000 ’			
	0,0000	0,1669	0,0000 -0,0369 0,0000	0,0000	0,0000 -0,0118			
	-0,0457 0,0000	0,0968	0,0000 -0,0257 0,0000 -0,0083 0,0000			
	0,0000 -0,0369 0,0000	0,0608	0,0000 -0,0259 0,0000	0,0071			•IO-4.
	-0,0019 0,0000 -0,0257 0,0000	0,0352	0,0000 -0,0094 0,0000			
	0,0000	0,0000	0,0000 -0,0259 0,0000	0,0360	0,0000 -0,0189			
	0,0005	0,0000 -0,0083 0,0000 -0,0094 0,0000	0,0185	0,0000			
	0,0000 -0,0118 0,0000	0,0071	0,0000 -0,0189 0,0000	0,0392			
На рис. 2.36, 2.37 приводятся графики, иллюстрирующие процесс статистической линеаризации.
Решим теперь задачу статистического анализа линеаризованной системы самонаведения (см. струк-
турную схему на рис. 2.32).
С учетом всех введенных обозначений структурная схема системы примет вид (рис. 2.38).
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
197
Рис. 2.36. Приближения коэффициента статистической линеаризации (?) (а);
коэффициент статистической линеаризации и его составляющие
по окончании итерационного процесса(б):
1- K^ty, 2— кУ\г\, 3 — K[2)(t)
Рис. 2.37. Приближения дисперсии на входе нелинейного элемента £>Дф (?) (а);
дисперсия на входе нелинейного элемента по окончании итерационного процесса (б)
Рис. 2.38. С грук гурпая схема линеаризованной системы самонаведения
в терминах матричных операторов
198
Статистическая динамика и идентификация САУ
Обозначим
Далее, пусть
АцО A(r(i)).
^12 □
Ав □ А12[1 + А12]
Построение матричного оператора системы самонаведения в замкнутой форме не представляется
возможным в силу особенностей структуры данной системы. Порядок расчета автокорреляционной
функции и дисперсии выходного сигнала следующий:
(yRGG
С^2в = j jRGG (?1 ’ г2 )	(г1 )^2 (г2 )
00	-к,Ц=1
CRyy = AgC*GGAj;
СЙ” = 11А««(г1’г2)<Рг1(г1)<Рг2(г2)^А
00	-kj2=l
= А13	+ Сй“ ] Af3;
£'-^Д(рД(р ___
CRhh = A11C*A<pA<pA?'1;
*яя(м2) = ф(о)сйжфт(12);
Drh (?)= rhh (h-h.)|Zi =h =t 
(2.117)
(2.118)
(2.119)
Приведем результаты решения задачи статистического анализа системы в базисе ортонормированных
интервале		[0,4] полиномов		Лежандра размерности 8.						
Матричные операторы Аи				, А12, А13 имеют вид						
	’2,7667		-1,1547	-0,1193	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000’	
		1,1547	2,6600	-1,0328	-0,1047	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	
		0,1193	-1,0328	2,6905	-1,0142	-0,1022	0,0000	0,0000	0,0000	
А —	0,0000		-0,1047	-1,0142	2,6956	-1,0079	-0,1013	0,0000	0,0000	1
А11 -	0,0000		0,0000	-0,1022	-1,0079	2,6974	-1,0050	-0,1008	0,0000	• i
	0,0000		0,0000	0,0000	-0,1013	-1,0050	2,6983	-1,0035	-0,1006	
	0,0000		0,0000	0,0000	0,0000	-0,1008	-1,0035	2,6988	-1,0026	
	0,0000		0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	-0,1006	-1,0026	2,6991	
		’2,5390	-1,3931	0,0262	-0,3043	0,1421	0,0396	0,0168	-0,0010"	
		3,0231	-1,3362	-0,1721	-0,4375	0,1498	0,0705	0,0356	0,0045	
		0,0286	-0,5644	-0,1818	-0,4754	0,0357	0,0681	0,0562	0,0189	
А		1,1461	-0,2280	0,0397	-0,3534	-0,1163	0,0137	0,0591	0,0398	
А12		0,6407	-0,1405	0,0941	-0,1128	-0,1375	-0,0864	0,0223	0,0567	
		0,3562	-0,0827	0,0474	-0,0094	-0,0212	-0,1121	-0,0604	0,0531	
		0,1997	-0,0527	0,0284	-0,0089	0,0321	-0,0305	-0,0975	0,0131	
		0,0992	-0,0232	0,0143	-0,0032	0,0149	0,0150	-0,0443	-0,0206	
		’1,1585	-0,3821	-0,0785	-0,2388	0,0107	0,0351	0,0352	0,0101 ’	
		1,1128	-0,0177	-0,2334	-0,3426	-0,0446	0,0517	0,0621	0,0232	
		0,4220	0,4168	-0,1182	-0,3657	-0,1479	0,0269	0,0767	0,0410	
А		0,0887	0,3114	0,1496	-0,2262	-0,2447	-0,0440	0,0631	0,0613	
А13		0,0304	0,1168	0,1675	0,0063	-0,1958	-0,1409	0,0077	0,0728	
		0,0201	0,0427	0,0765	0,0719	-0,0302	-0,1444	-0,0844	0,0603	
		0,0170	0,0122	0,0368	0,0343	0,0386	-0,0399	-0,1163	0,0127	
		0,0044	0,0077	0,0171	0,0177	0,0196	0,0150	-0,0524	-0,0233	
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
199
Рис. 2.39. Автокорреляционная функция полезного входного сигнала RGG (^Д2)
Рис. 2.40. Автокорреляционная функция помехи Rnn (^Д2)
Рис. 2.41. Автокорреляционная функция выходного сигнала RHH )
200
Статистическая динамика и идентификация САУ
в нелинейной системе (7) и линейной системе (2) при п = 2
Спектральная характеристика автокорреляционной функции выходного сигнала системы определяется		
матрицей		
	’1,5921	1,1515	0,0980 -0,0807 -0,0073 0,0060 0,0075 0,0066’	
	1,1515	0,7738 -0,0138 -0,0966 -0,0087 0,0063 0,0061 0,0020	
	0,0980 -0,0138 -0,1130 -0,0576 -0,0053 0,0030 0,0015 -0,0035	
QRHH —	-0,0807 -0,0966 -0,0576 -0,0189 -0,0020 0,0008 0,0001 -0,0020	•ю4.
	-0,0073 -0,0087 -0,0053 -0,0020 -0,0005 0,0000 0,0000 -0,0002	
	0,0060	0,0063	0,0030	0,0008	0,0000 -0,0001 0,0000 0,0001	
	0,0075	0,0061	0,0015	0,0001	0,0000	0,0000 0,0000 0,0001	
	0,0066	0,0020 -0,0035 -0,0020 -0,0002 0,0001 0,0001 -0,0001	
Графики, иллюс трирующие результаты решения задачи, изображены на рис. 2.39-2.42.		
Рис. 2.43. Среднеквадратические значения промаха оя (?) для различных значений
константы навигации п (а); зависимость среднеквадратического значения промаха
в конечной точке Т = 4 с от константы навигации (б)
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
201
Рис. 2.44. Приближения статистического коэффициента линеаризации Кх (t} (а);
коэффициент статистической линеаризации и его составляющие
по окончании итерационного процесса (б):
Рис. 2.45. Приближения дисперсии на входе нелинейного элемента (г) (аУ->
дисперсия на входе нелинейного элемента по окончании итерационного процесса (б)
Рис. 2.46. Автокорреляционная функция выходного сигнала RHH (/, ,t2)
202 Статистическая динамика и идентификация САУ
На рис. 2.43 изображены графики СКО функции промаха оя (ф для различных значений константы нави-
гации и = 1,10, а также график зависимости конечного значения СКО промаха оя(7’) от константы навигации.
Представлены результаты решения задачи статистического анализа нелинейной системы самонаведения с
использованием ортогональной системы блочно-импульсных функций размерности / = 300 (рис. 2.44—2.48).
в нелинейной системе (7) и линейной системе (2) при п = 2
Рис. 2.48. Среднеквадратические значения промаха оя (ф для различных значений константы
навигации п (а); зависимость среднеквадратического значения промаха
в конечной точке Т = 4 с от константы навигации (б)
2.4. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ОСНОВАННЫЕ
НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ РАЗЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ
ФУНКЦИИ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА НЕЛИНЕЙНОГО
СТАТИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА ПО СТЕПЕНЯМ НОРМИРОВАННОЙ
КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Метод эквивалентной передаточной функции (метод К.А. Пупкова). Выше
подчеркивалось, что нелинейный элемент резко изменяет функцию спектральной
плотности процесса на выходе по сравнению со спектральной плотностью воздей-
ствия. В частности, это имеет место в системах, где линейная часть не обладает дос-
таточными фильтрующими свойствами.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
203
В связи с отмеченными фактами, погрешность в определении статистических ха-
рактеристик случайных процессов в нелинейной системе при применении метода
статистической линеаризации может оказаться чрезмерно большой.
В этом случае можно воспользоваться методами, изложенными в настоящем па-
раграфе.
Г(<)	, , „ I М<)
—ИЦ)) —
Рис. 2.49. Нелинейный статический элемент
Перейдем к изложению содержания методов, основанных на разложении функции
корреляции выходного процесса нелинейного статического элемента по степеням
нормированной функции корреляции входного сигнала [100, 103, 105].
Представим функцию корреляции процесса на выходе нелинейного статистиче-
ского элемента в виде разложения по степеням нормированной функции корреляции
воздействия, предполагая, что вход — нестационарная случайная функция (рис. 2.49).
Имеем
+оо +оо
^(*1+2) = f f [^(у1)-т^(?1)][+(у2)-т^(?2)]/у(у1,у2,?1,?2)б/у1б/у2,	(2.120)
или, что то же самое,
+оо +оо
+оо +оо
~тх (й) f f F(У2)/у (я> У2 >й +2 )dyxdy2 -
+оо +оо
~тх (й>) J f F(и)/у (зй’У2dyyly2 +
+оо +оо
+тх )тх (t2) j j fY ,y2,tr,t2)dyyly2.
В связи с тем что
(2.121)
+00
f /у (з+З+Й’й)^!
+00
f /у{УъУ2^Ч,Ь^у2
dy2=-mx(ti)mx(t2);
dyi =-mx(tx)mx(t2y,
+00 +оо
J J /г(УъУ2Л,ЧУу^у2 =1,
находим
+oo +oo
Rxx(hd2)= \ f ^(у1) + (у2)/у(у1,у2+1,?2)б/у1б/у2-т^(?1)т^(?2).	(2.122)
Если же входной сигнал У(й) является стационарным, то зависимость (2.122)
принимает вид
+оо +оо
Rxx(^)= f f ^(у1) + (у2)/у(у1,у2,т)б/у1б/у2-т|.
(2.123)
204
Статистическая динамика и идентификация САУ
Положим, что входной сигнал Y (?) подчиняется нормальному закону распреде-
ления. Обозначим
mYx = м[г(б)] = mY (к); W2 = M\_Y(t2)\ = mY
где Гуу (?i,?2) — нормированная корреляционная функция случайного входного сиг-
нала т(?).
Запишем выражение, определяющее двухмерный дифференциальный закон рас-
пределения:
/(Т1’Т2’6
2
1
,2
хехр<
п	У1~тУ1
- 2Гуу (?i, ?2)--L--------
T2~W2
(2.124)

,2
Воспользуемся новыми переменными
е	е J;2-W2
^i=------Ч 4 =----------
(2.125)
Тогда формула для корреляционной функции выходного сигнала ¥(?) принимает вид
+оо -Кю
Яж(к,{2)= f f F(mY +^i)F(mY2 +c^2)x
x fo (Л Ti ,t2 )d^2 - mXi mX2,
(2.126)
где
/0 fe Л2 Ti ,t2) =-/	exp <
2л^1-Гуу (k’h)
+^2 ~2гуу
2[1 ~rYY
(2.127)
Последняя зависимость определяет двухмерный нормальный дифференциальный
закон распределения нормированных случайных величин
У(?1)-ту(?1) K(c)-Wfe)
Оу(?1)	Оу(?2)
Эти случайные величины имеют нулевые математические ожидания и равные
единице СКО.
Введем в рассмотрение функцию ф(^), которая со своей и-й производной связана
следующим соотношением:
2МУ=(-1)”яп(уч,(у,	(2.128)
ЙС,
где Нп (£,) — полином Эрмита.
Для двухмерного нормального дифференциального закона распределения построе-
на формула разложения по степеням нормированной корреляционной функции [71 ]
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
205
fo Ц1> 6 ,h ) = Ё Гп'(<1,’<2)ф(") U1) <Р("’ (£.2 ),	(2-129)
я=0 п-
где
Подставляя (2.129) в (2.126), найдем
^х(М2)=Е V 2 f f F(mY, +	+°уЛ2)Х
п=о п- -ж-ж	(2.130)
Воспользовавшись обозначением
= fF(mYt	= 1,2,	(2.131)
получим зависимость
(2.132)
В связи с тем что справедливо соотношение [71 ]
Z	ч2
1 Y-i-my
+ЭО	1 +оо	— — -----
c0(zny оу ) = f F(mY + оу^)ф(^1)^1 = -==— f F(y{)e 1 °У1 dy{ = mx (2.133)
>/2лоУ1 Д,
получим
RXX = 2-Sn [mYxF>Yx )cn(mY2^Y2)--------—-	(2.134)
n=l	n-
Последняя зависимость определяет корреляционную функцию процесса на выходе
нелинейного статического элемента в виде ряда по степеням нормированной корре-
ляционной функции случайного входного сигнала.
Если зависимость (2.134) переписать в виде
”	rn (t ??)
Rxx ) = Е А (W (б )> °г GiЖ (W (С)> °у (С)) 77 , А (2.135)
И=1	п •
то легко заключить, что при нестационарном воздействии Y (?) коэффициенты раз-
ложения зависят от и t2.
Если же У (?) — стационарный случайный сигнал, то
mY (б) = mY (с) = mY> °У (б) = °У (л) = °У’	(2.136)
следовательно,
си(ту(?1),оу(?1)) = си(ту(?2),оу(?2)) = си(ту,оу).	(2.137)
Тогда формула, определяющая корреляционную функцию выходного процесса,
принимает вид
(2.138)
С помощью приведенных выше выражений можно получить явные зависимости
для коэффициентов разложения в формулах (2.135) и (2.138).
206 Статистическая динамика и идентификация САУ
Если нелинейная характеристика статического элемента аппроксимируется поли-
номом
Ft(Y)=AtYk	(2.139)
т
И X = F(Y)='£Ft(Y)’ ™
/с=0
си(ту,оу)= ^си/с(ту,оу),	(2.140)
/с=0
причем коэффициенты си/с(ту,оу) для к = 0, 7 определяются зависимостями [71]:
1.	к = 0:
С00 (mY’°Y ) = Д)-
2.	к = 1:
c0l(mY,<5Y) = AlmY;
cll(mY,oY) = -AloY.
3.	к = 2\
c02(zny,oy) = 4>(zny + oj);
<42 (mY,<3Y) = -2A2mY<5 Y;
c22 {mY’aY) = ^^2aY-
4.	k = 3:
c03 (mY,uY) = A3 (mY + 3mY<3Y j;
q3 (my,<jy) = -3A3 ^mY<3Y + oy j;
С2з (my ’	~	;•,
C33 (fflY, C5y ) — 6A3GY .
5.	k = A\
c04 (my,<jy) = Л4 {mY +6mYoY +3oY j;
<44 (my,(5y) = -4A4 (mYoY + 3mYoY j;
C24 (mY, c>y) = 12^4 ^rnY<3Y + oy 5
c34 (mY,<3Y ) = -24Л4туоу;
C44 (mY, c>y) = 24^4 c>y.
6.	k = 5\
c05 (wy’Gy) = ^mY +l0mYaY +15mYGY j;
(45 (mY, c>y ) = -5A5 {mY(sY + 6myoy + 3oy j;
C25 (Wly •> ^Y ) ~ 20A5 ^777yC5y + 3/77yC5y ,
C35 ^/77y ? ^Y — 00A^ ^/77yOy "T C^y 5
C45 (ffly 9 C5y ^) — 120yl^/77yC5y,
645 (ffiY ,Gy ^) — 120A^c^y
ИТ.Д.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
207
Поскольку коэффициенты рассматриваемого разложения обладают свойством
(ту,Оу) = 0 при п> т, то легко заключить, что для нелинейных элементов с по-
линомиальными характеристиками число членов разложения в (2.135) будет конечным:
т	rn (t Л 1
&ХХ = tC. (mY (/1)> ° К (б))Си (ШУ (л)’ °}' (с))—		(2.141)
и=1	П •
Если, например,
X = F(Y^ = A2Y2 и Гуу (т) = е-а1т1 cosсо0г,
то
-с2
2 2
(2.142)
где
Тогда получаем окончательную зависимость
2	/ \ , 1 2 2
В-ХХ (Т) “ 4Л|оу ШуГуу
Если нелинейный элемент имеет релейную характеристику [103]
X = F(Y) =
-В при - оо < у < 0;
В при 0 < у < оо,
(2.143)
а Гуу (т) = е а1т1, то
о
=-Я2
71
Гуу(т) + |г^у(т) + ^г^у(т) + ^-4(т) + ...
(2.144)
Дальнейшие рассуждения с целью их упрощения проведем применительно к ста-
ционарным системам при предположении, что на вход поступает стационарный
случайный сигнал, а система работает в установившемся режиме.
В рассуждениях будем пользоваться понятием спектральной плотности процессов
на входе и выходе нелинейного элемента, поскольку в этом случае становится ясной
физическая сторона рассматриваемого вопроса.
Метод эквивалентной передаточной функции основывается на замене нелиней-
ной характеристики безынерционного элемента системы управления эквивалентной
в вероятностном смысле линейной системой.
Этот критерий положен в основу введенного К.А. Пупковым понятия эквива-
лентной передаточной функции
'YY
Зная корреляционную функцию
”	гп (т)
=	(2.146)
«=1 п-
сигнала на выходе нелинейного элемента, с помощью преобразования Фурье мож-
но получить искомую спектральную плотность этого сигнала. Для определения
W(j(u, ту,<5у^ достаточно знать значения коэффициентов сп (my,<5Y^ и спектраль-
ные плотности от степеней корреляционной функции сигнала У (7). Тогда
W(jG), ту,<5у^ будет иметь вид [103]
208
Статистическая динамика и идентификация САУ
1 I 00 о
W(усо, mY, оу) = —J Е с2 (mY,uY)bn (со),	(2.147)
С>у у п=1
где
Ъп = q77 ? \ и (®) r^Y (т)‘	(2.148)
5уу(со)
Эквивалентная частотная характеристика позволяет оценить прохождение че-
рез нелинейный элемент случайной составляющей сигнала X(t). Поэтому можно
ввести понятие эквивалентного коэффициента усиления по среднему значению, т.е.
коэффициента, характеризующего прохождение регулярной негармонической со-
ставляющей сигнала. Этот коэффициент можно определить как отношение вида
KQ=mxlmY.	(2.149)
Метод эквивалентной передаточной функции позволяет проводить статисти-
ческий анализ нелинейных стационарных систем, работающих в установившемся
режиме, и достаточно полно учитывает истинную физическую картину прохожде-
ния случайного сигнала через нелинейный элемент.
Метод баланса спектральных плотностей и математических ожиданий. Этот
метод позволяет проводить вероятностный анализ нелинейных систем в рамках кор-
реляционной теории при предположении, что замкнутая стационарная система ра-
ботает в установившемся режиме и содержит один нелинейный элемент (рис. 2.50).
К такому виду можно преобразовать любую замкнутую систему с одним нели-
нейным элементом вне зависимости от того, в какой части исходной системы нахо-
дится нелинейный элемент, а также независимо от числа и места приложения воздей-
ствий на систему [71].
Рис. 2.50. Структурная схема нелинейной системы
Полагаем, что замкнутая нелинейная система во всем возможном диапазоне при-
ложенных к ней воздействий устойчива и не имеет автоколебаний. В этом случае
если Y (?) — стационарный случайный сигнал, то в установившемся режиме X (?)
— стационарный процесс.
Для системы (рис. 2.50) справедливы зависимости
mY = тх + те;
/ ч / ч \ ч Г / ч”1	(2.150)
Sn- (®) = 8ХЛ (<о) + Sa (<о) + 2 Re	(®)].
Очевидна справедливость равенств линейной части системы
тх,=к?тХ’ Sx}x} (®) = |^Р(7®)|2^(®)-	(2.151)
Далее рассмотрим нелинейное преобразование сигнала s(?) статическим элемен-
том с характеристикой f[s(?)]. Предположим, что справедливо допущение о том,
что случайное воздействие на входе нелинейного элемента является нормальной слу-
чайной функцией или близка к ней.
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 209
Тогда имеют место зависимости [71]
”	гп (т)
(2Л52)
И=1 п-
где
г8е(т) = Я8е(т)/О’.	(2.153)
Найдем нормированные спектральные плотности, соответствующие нормирован-
ным корреляционным функциям.
Обозначим
Г8,И(Т)=Г88(Т),	(2.154)
для нахождения спектральной плотности воспользуемся преобразованием Фурье
*	+00
^8,1(®)=— j Г88(Т)е“7“Т^=^88(®)-	(2‘155)
2 Л
Очевидна справедливость зависимостей
<	+00
Z71 _Д
<	+00
= КУ(тХ'“Л;	(2.156)
Z71 До
<	+00
ge,n (®) = J 4 (ТК“/С (т)е“7ЮЖ
где к — целое число ( к < п ).
Воспользовавшись формулой для преобразования Фурье от произведения двух
функций, найдем
+оо
ge,«(®) = J &,«-4®iM®’®iW	(2.157)
С учетом приведенных выше рассуждений выражение для спектральной плотно-
сти выходного сигнала нелинейного статического элемента определяется формулой
, ч + cl (mF, <5f )	, 4
W®) = Z	,	-gU®);	(2-158)
n=l	•
при этом на малых частотах ряд (2.158) сходится значительно быстрее, чем при
больших со. Этот ряд имеет ясный физический смысл [71]. Его первое слагаемое со-
ответствует той компоненте выходного сигнала X (?), спектральная плотность кото-
рой совпадает по форме со спектральной плотностью воздействия s(7). Остальные
слагаемые соответствуют искажениям, вносимым нелинейным элементом. Эти иска-
жения при известных условиях незначительны, поскольку коэффициенты убывают
как 1/и!. Существенные искажения могут иметь место в области высоких частот
спектральных плотностей.
Для того чтобы полученная система равенств была замкнутой, необходимо иметь
зависимости для расчета о.. и (со).
Очевидно, для нахождения о,. можно воспользоваться формулой
+оо
°8 = f ^88
210 Статистическая динамика и идентификация САУ
где gee(co) —нормированная спектральная плотность сигнала s(?):
=	(2-159)
Зависимость для нахождения S^x (со) имеет вид
(to) = -C1('”e’CeVp(y<o)5a;(Co).	(2.160)
Приведем совокупность уравнений, которые позволяют определить характери-
стики случайных процессов в системе [71]:
L sxx (®) = L;—s£,n («)
n=i п-
2.	^ад(и) = |и;(;®)ри(®).
3.	Srf, (®) = -	(j№)See(<о).
4.	5еДи) = 5„.(®)-^ад (и)-2Ке[^ (<»)].
+оо
5.	<jg = j У... (со)dо.
6.	их=с0(иЕ,бЕ).
7.	ту = Кмпу.
Л1 р л
8.	т,. = ту -ту .
е z а.
10‘ ge,«(®) = J #8л-1 (® 1)#ее (co-coJcZcoi, где geд (со) = gee (со).
Приближенное решение полученной системы уравнений можно получить итераци-
онным методом [71]. Один из возможных подходов к учету частотных искажений, вно-
симых нелинейным элементом, изложен в [71] и сводится к решению методом последо-
вательных приближений нелинейного интегрального уравнения в частотной области.
Естественно, все известные подходы основываются на учете того факта, что в
разложении (2.138) главную роль играет первое слагаемое, а остальные вносят лишь
сравнительно малые поправки.
Как при решении системы 1-10, так и интегрального уравнения не следует стре-
миться к построению большого числа приближений, так как метод является принци-
пиально приближенным в силу наличия исходной гипотезы о нормальности сигнала
на входе нелинейного элемента.
2.5. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
Наиболее эффективным инженерным методом вероятностного анализа нели-
нейных систем, включая нестационарные и стохастические, является метод ста-
тистических испытаний (МСИ).
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 211
Изложим идею метода. Положим, что спроектирована система и создан ее серий-
ный экземпляр. На серийных экземплярах системы проводится заключительный этап
натурных испытаний. Полученная при этом информация о характеристиках системы
(например, о параметрах, характеризующих точность работы САУ) позволяет выне-
сти окончательное суждение о соответствии их требованиям технических условий и,
как следствие, техническому заданию на проектирование.
Оценим точность работы системы, проводя соответствующие натурные испыта-
ния серийных экземпляров. В качестве примера можно рассмотреть такую характе-
ристику точности системы управления летательным аппаратом (ЛА), как вероятность
его попадания в заданную область. Проводя соответствующие эксперименты, каж-
дый раз фиксируется попадание или непопадание летательного аппарата в заданную
область. Тогда искомая величина задачи Р(Л) — вероятность попадания ЛА в за-
данную область — принимается равной относительной частоте
Р(А) = т/п,	(2.161)
где т — число случаев попадания ЛА в заданную область, п — общее число экспе-
риментов. При этом п должно быть выбрано таким, чтобы обеспечить достаточную
точность и надежность в определении оценки искомой вероятности попадания ЛА в
заданную область.
Таким образом, в рассматриваемой задаче искомая величина равна вероятности
появления события Л и ее приближенное значение можно принять равным относи-
тельной частоте появления этого события. В общем случае приближенные значения
искомых величин, которые находятся путем статистической обработки результа-
тов эксперимента, на основании закона больших чисел стремятся к истинным ис-
комым величинам.
Выше было изложено решение задачи оценки точности работы системы с помо-
щью натурного эксперимента. Недостатки такого подхода очевидны', дороговизна',
необходимость иметь серийные образцы системы', большой объем испытаний за-
ставляет совершенствовать испытательную аппаратуру и оборудование', большие
временные затраты', трудность решения задач синтеза и т.д.
Значительно проще поставленная задача может быть решена путем моделирования.
Сущность моделирования заключается в замене исходных систем другими системами,
называемыми моделями. Под цифровым моделированием понимают имитацию усло-
вий работы тех или иных реальных систем с помощью вычислительных алгоритмов,
которые реализуются в виде программ на ЭВМ или в виде специализированных ЭВМ.
Центральным при моделировании является понятие математической модели.
Математическая модель системы отражает в той или иной мере свойства ре-
альной системы. Она составляется в математических терминах и имеет количест-
венное описание, например соответствующими дифференциальными уравнениями.
Рассмотрим решение задачи методом моделирования, предполагая, что известно
ДУ системы и статистические характеристики входного сигнала Y (?).
На вход модели, которая реализуется на ЭВМ в виде соответствующей програм-
мы решения дифференциального уравнения системы, подается конкретная реализа-
ция yk (?) входного случайного сигнала У(?), генерируемая с помощью программы
формирования воздействий. На выходе модели фиксируется соответствующая реали-
зация xk (?) выходного сигнала А (?) (решение дифференциального уравнения сис-
темы). Описанная процедура повторяется п раз.
При этом каждый раз фиксируется попадание или непопадание выходного про-
цесса xk (?) при t = T в заданную область. Тогда искомая величина, как и при на-
турных испытаниях, принимается равной относительной частоте (2.161).
212 Статистическая динамика и идентификация САУ
Структурная схема решения задачи на ЭВМ представлена на рис. 2.51.
ЭВМ
Рис. 2.51. Структурная схема решения задачи на ЭВМ:
1 — программа-генератор белого шума; 2 — программа, реализующая формирующий фильтр;
3 — программа решения ДУ системы; 4 — счетчик числа т; 5 — счетчик числа п; 6 — делитель т/п
Таким образом, математическое моделирование на ЭВМ при решении задач
исследования САУ позволяет заменить натурный эксперимент равнозначным в
плане ценности получаемой информации экспериментом на ЭВМ.
Метод статистических испытаний предполагает, что с достаточной точно-
стью известны математическая модель как нелинейной нестационарной системы в
форме, например, дифференциальных уравнений, так и математические модели всех
стохастических процессов, действующих на САУ, включая и статистические ха-
рактеристики случайных параметров.
При наличии такой информации можно на ЭВМ провести полное моделирование
работы системы. В случае, когда точно известны математические модели системы и
сигналов, результаты натурных испытаний и результаты моделирования должны
совпадать. По известным причинам, при вероятностном анализе сложных систем
управления такое совпадение практически недостижимо.
Часто применяют полунатурное моделирование, когда часть элементов систе-
мы моделируется на ЭВМ (полагается, что их математические модели известны с
необходимой точностью), а в качестве второй части используются реальные эле-
менты (например, автопилот — при моделировании систем управления летательны-
ми аппаратами).
Теперь можно сформулировать определение метода статистических испытаний:
метод статистических испытаний заключается в непосредственном моделирова-
нии систем при действии на них случайных возмущений и обработке полученных ре-
зультатов с целью определения искомых величин рассматриваемой задачи.
Этот метод применяют и для оценки допустимости использования приближенных
методов анализа.
Изложим основные теоретические положения метода статистических испытаний.
Пусть нестационарная стохастическая нелинейная САУ описывается системой
дифференциальных уравнений
ду
—!- = ./;(/,,4,г,Г2,...,Г4);	(2.162)
at
*z(°) = */0>	(2.163)
где Xt (?) — фазовые координаты; х{ (0) — случайные начальные условия; Y{ (?) —
случайные процессы, действующие на САУ; Vf — случайные числа, от которых за-
висят параметры системы.
Таким образом, исследуемая система может иметь ненулевые начальные условия,
случайные параметры, рассматриваемые как случайные величины или как случайные
процессы, стохастические помехи, приложенные в различных точках системы. Схема,
реализующая метод статистических испытаний, включает следующие этапы [11, 87, 112]:
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 213
1.	Генерирование случайных сигналов, действующих на САУ
С помощью датчиков случайных чисел и генераторов случайных функций генери-
руются случайные начальные условия, случайные параметры и все воздействия, по-
ступающие на систему. Будем полагать, что случайные функции Y{ (?) (j = 1, tnj
включают все случайные факторы (кроме случайных начальных условий).
Поскольку в МСИ в общем случае используется осреднение по множеству, то по
известным статистическим характеристикам процессов (?) строятся их реализации
yis (?) (s = l,N; s —номер реализации).
2.	Решение системы дифференциальных уравнений САУ
При выбранных N реализациях случайных функций yis (?) (i = 1, т; s = 1, выпол-
няется интегрирование системы уравнений (2.162) на ЭВМ.
Другими словами, МСИ предполагает последовательное многократное интегри-
рование уравнений, описывающих работу системы при различных реализациях слу-
чайных входных сигналов. При практической реализации МСИ на ЭВМ строится дис-
кретная модель системы, которую было бы удобно реализовать на вычислительной
машине [11, 87]. Обычно исходная анализируемая система задается системой диффе-
ренциальных уравнений (2.162). В этом случае переход к дискретной модели осуще-
ствляется на основе использования численных методов решения систем дифференци-
альных уравнений. Теория точности численного интегрирования систем дифферен-
циальных уравнений хорошо разработана.
3.	Обработка результатов эксперимента
Пусть искомые величины задачи равны параметрам случайного процесса Х(?).
Тогда приближенные значения искомых величин на основании закона больших чисел
можно принять равными оценкам параметров процесса X (?), получаемым на осно-
вании статистической обработки экспериментальных данных.
Центральным этапом применения МСИ является задача генерации случайных па-
раметров х{ (0), z = 1,п и случайных функций yis (?), i = 1,п.
Существует несколько принципиально различных подходов к генерации случай-
ных функций в МСИ. Один из них основан на применении специальных устройств —
датчиков случайных величин, в которых используются случайные физические явле-
ния (радиоактивный распад, тепловые шумы и т.д.). Такие датчики дают последова-
тельность истинно случайных величин, которые не могут быть предсказаны или
повторно воспроизведены.
Во втором подходе используются программные методы получения реализаций
случайных чисел, с помощью которых происходит непосредственная генерация слу-
чайных чисел в ЭВМ. Строго говоря, эти числа не являются истинно случайными,
так как всегда можно предсказать будущее случайное число и повторно воспроизве-
сти всю последовательность. Поэтому такие последовательности чисел называются
псевдослучайными.
Как показывает теория и эксперимент, к результатам моделирования при исполь-
зовании псевдослучайных чисел можно применять те же самые формулы оценок, что
и при использовании истинно случайных чисел. Причем возможность повторного
воспроизведения псевдослучайной последовательности упрощает процедуру провер-
ки используемых алгоритмов.
Обычно моделирование случайных или псевдослучайных функций разделяется на
две подзадачи. Сначала вырабатывается последовательность независимых равномер-
но распределенных на отрезке [0,1] чисел (белый шум). Затем с помощью стацио-
214 Статистическая динамика и идентификация САУ
парного или нестационарного формирующего фильтра из последовательности рав-
номерно распределенных чисел генерируются случайные функции yis (?) с заданны-
ми статистическими характеристиками.
После генерации случайных функций yis (?) производится численное решение
дифференциальных уравнений исследуемой автоматической системы. В результате
получается N реализаций xis (?) (i = 1, п; s = 1,	.
На последнем этапе, как указывалось выше, производится статистическая обра-
ботка полученных результатов, использующая осреднение по множеству полученных
решений ДУ (2.162).
Для одномерной системы структурная схема реализации МСИ имеет вид, пред-
ставленный на рис. 2.52.
Рис. 2.52. Структурная схема реализации метода статистических испытаний:
7 — генератор белого шума; 2 — стационарный или нестационарный формирующий фильтр;
3 — генератор входного сигнала; 4 — ЭВМ, на которой решаются ДУ исследуемой
автоматической системы; 5 — ЭВМ для обработки результатов эксперимента
Первый этап, содержание которого состоит в синтезе как стационарных, так и не-
стационарных формирующих фильтров, подробно рассмотрен в главе 1.
Второй этап, содержание которого состоит в численном решении дифференци-
альных уравнений анализируемой САУ, изучен достаточно хорошо; с основными
методами можно познакомиться в[1,30, 113]идр.
Кратко изложим некоторые теоретические положения третьего этапа. Положим, что
в результате моделирования получены N значений векторов фазовых координат сис-
темы при t = T (Т —заданный момент времени): х17-(Т),х2у	7 = 1, N.
Оценки моментов фазовых координат системы можно рассчитать по формулам [11]
7=1 „ <2-1б4>
м[х^у.	ф)‘=	+ч
где Ху — реализация фазовой координаты Ху, N — общее число реализаций. При вы-
числении вероятности того, что некоторая функция фазовых координат у (2Q,Х2,...,Хп)
будет принимать значения в пределах а < у < Ь, расчеты ведутся по формуле
Р[а Х2,..„ Х„) <ф Р‘[а<1 <Ь] = уу,	(2.165)
где N — общее число реализаций случайных функций и величин; М — число этих
реализаций, при которых выполняется неравенство в формуле [11].
Очевидно, что величина каждой из оценок а^- и а^+ +/Си^ зависит от числа N,
т.е. является случайной величиной, и, таким образом, степень отличия оценки от ис-
тинного значения зависит от числа испытаний. В связи с этим естественной является
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
215
задача: определить такое число реализаций случайных величин N, чтобы оценка
заданного параметра отличалась от своего истинного значения на заданную вели-
чину с заданной вероятностью [11]. Или, что то же самое: определить число N для
заданных доверительного интервала и доверительной вероятности PN.
Воспользовавшись законом больших чисел, в соответствии с которым среднее
значение большого числа слагаемых приближается к соответствующему математиче-
скому ожиданию, и положением центральной предельной теоремы, из которого сле-
дует, что это среднее есть случайная величина, распределенная по закону, близкому к
нормальному, можно записать [11]

где sN — абсолютная погрешность: если
х _|Xtv|-^[xJ
°N ~ I Г 1
(2.166)
(2.167)
то
СА'	[хи ],
(2.168)
Ф (□) — функция Лапласа.
Оценки математического ожидания и дисперсии случайной фазовой координаты
Х(7) системы
(2.169)
с учетом факта, что если все реализации случайной величины X независимы, то дис-
персия суммы случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых, могут быть оп-
ределены из зависимостей [11]
АфтИ0]=^л/
= Л/[хД/)] = тт(г);
X k-1
(^)l = Гх/с (О- тХ (О]
N ~1 к-1
D[Dxx (/)] = X~\D^'X (О’
(2.170)
откуда получаем формулы для вычисления относительных средних квадратических
отклонений оценок математического ожидания и дисперсии:
<4 (О _ 1
рх (0
(0 р~
Dxx(t) \N-1'
(2.171)
216 Статистическая динамика и идентификация САУ
Полагая, что оценки тх и D хх распределены по нормальному закону, соглас-
но равенству (2.166) для заданных относительных доверительных интервалов
для математического ожидания и v2 для дисперсии (соответствующие абсолютные
доверительные интервалы равны = vl^Dxx (?), s2 = v2DAA- (?)) и доверительной
вероятности р, можно построить табл. 2.2 и 2.3, показывающие, какое число опы-
тов нужно выполнить, чтобы для заданной доверительной вероятности оценки ма-
тематического ожидания и дисперсии соответственно оставались в заданном дове-
рительном интервале.
Таблица 2.2
Число испытаний
V1	Р	0,2	0,15	0,10	0,05	0,01
0,6		18	31	70	281	7 000
0,7		27	47	108	431	10 800
0,8		41	73	164	651	16 400
0,9		68	121	272	1090	27 200
Таблица 2.3
Число испытаний
V2 Р	0,2	0,15	0,10	0,05	0,01
0,6	37	63	141	563	14 000
0,7	55	95	217	863	21 600
0,8	83	147	239	1300	32 800
0,9	137	243	545	2180	54 400
Из приведенных рассуждений можно заключить, что для уменьшения довери-
тельных пределов в 10 раз (повышение точности метода на один порядок) требует-
ся увеличить число экспериментов в 100 раз, т.е. на два порядка. Можно считать,
что ошибка метода при заданной доверительной вероятности уменьшается обратно
пропорционально \[n. С увеличением доверительной вероятности (повышение на-
дежности-достоверности метода) число опытов тоже возрастает. Поэтому при оценке
вероятностей с достаточно высокой точностью и достоверностью требуется большое
число экспериментов. Это существенный недостаток метода статистических испыта-
ний, и его целесообразно применять, когда относительная точность в определении
статистических характеристик не превышает 15-20% [11].
В [11] рассмотрен ряд способов, с помощью которых можно уменьшить требуе-
мое число испытаний для получения оценок с заданной точностью.
В заключение изложим алгоритм построения оценок математического ожидания и
автокорреляционной функции фазовых координат с использованием разложения по
ортонормированным базисам. Представим сигнал, оценки математического ожида-
ния и корреляционной функции которого необходимо найти, в виде разложения по
некоторому ОНБ
Ф(0 = (ч>1 (<) Ч>2 (/)>• Ч>< W)T:	(2.172)
Х(0 = £у9;(') = ФТ(7)СГ	(2.173)
Z=1
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
217
где Сх = {сх,с2 ,...,сх) — вектор коэффициентов разложения сигнала Х(7) по
ОНБ Ф(?) или спектральная характеристика сигнала X(t}. Тогда его математиче-
ское ожидание можно представить в виде
тх (/) = М {Х(/)} =	(0 = Z'V'P. (О = фТ (Z)C"V •	(2.174)
Z=1	Z=1
/	\Т
где Стх = 1с™х, с2х,..., с™х I — вектор математических ожиданий коэффициентов
разложения сигнала Х(7). То есть для определения математического ожидания сигнала
X(t) необходимо знать математические ожидания его коэффициентов разложения.
Корреляционная функция сигнала X(t} может быть представлена следующим
образом:
Rxx	= M{(^(б)-тх (h))(х(t2)-тх (t2))} =
(2.175)
=	~cix -стх )}фг- (фу (с) = Фт (б)СЛ-Ф(?2),
Z=1 J=1
где CRxx —квадратная матрица размерности /х/, элементами которой являются кор-
реляционные моменты cRxx = М {(<4^ ~СТХ )(б / ~С1Х )| коэффициентов разложения
сигнала X (рф То есть для определения корреляционной функции Rxx (?1??2) необходи-
мо знать корреляционную матрицу коэффициентов разложения сигнала X (?).
Для расчета оценок математических ожиданий и корреляционных моментов ко-
эффициентов разложения сигнала X (?) воспользуемся формулами [11]
Xх =-£4, i=~l-	(2.176)
"4=1
‘J=~c	(2.177)
»-Ц=Л Л /
где п — число реализаций сигнала 2f(?); cik — i-й коэффициент разложения к-й
реализации.
Алгоритм реализации метода статистических испытаний при изложенном подхо-
де к обработке результатов изменится следующим образом. На втором этапе после
получения каждой очередной реализации исследуемого сигнала производится ее раз-
ложение по ОНБ и в дальнейшем хранится не сама реализация, а только коэффици-
енты ее разложения. На этапе статистической обработки сначала вычисляются
оценки математических ожиданий и корреляционных моментов коэффициентов раз-
ложения по формулам (2.176) и (2.177), а затем по формулам
чА);	(2-178)
Z=1
/ /
R’k (АЛ) = ZZAM'ib Ф)	(2.179)
Z=1 J=1
218 Статистическая динамика и идентификация САУ
рассчитываются оценки математического ожидания и корреляционной функции ис-
следуемого сигнала Х(7).
Сокращение объема вычислений и промежуточных данных при таком подходе к
статистической обработке зависит от используемого ОНБ. Так, например, при ис-
пользовании ОНБ функций Уолша и удержании I = 32 членов разложения потребу-
ется хранить 32x1000 чисел (128 Кб памяти). Для вычисления же оценок по форму-
лам (2.176) и (2.177) с учетом использования быстрого преобразования Уолша при
разложении реализаций по ОНБ на втором этапе потребуется выполнить
1,53  106 операций умножения и 5,6НО6 операций сложения (т.е. число операций по
сравнению с классической обработкой сокращается более чем на два порядка).
2.6.	МЕТОДЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО АНАЛИЗА
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ,
ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЗАМЕНУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ЗАДАЧЕЙ
Содержание метода статистических испытаний, рассмотренного в предыдущем
параграфе, состоит в компьютерном моделировании реальных процессов, протекаю-
щих в исследуемой САУ: компьютерная модель, заданная, как правило, в форме
дифференциальных уравнений, ставится в те же условия, что и реальная система,
и подвергается тем же внешним воздействиям, которые имеют место при ее экс-
плуатации. Очевидно, чем точнее описывается система и воздействия, тем ближе в
известном смысле результаты натурного и компьютерного эксперимента. Более того,
компьютерное моделирование имеет более широкие возможности, чем натурные ис-
пытания, поскольку за достаточно короткий промежуток времени и без больших ма-
териальных затрат можно получить информацию о качестве работы системы при
самых разных условиях, включая и такие, которые связаны с вопросами безопасности.
Дальнейшего рассмотрения требуют вопросы, связанные с:
•	уменьшением требуемого числа испытаний для получения оценок с заданной
точностью',
•	решением задач статистической оптимизации для широкого класса САУ,
включая системы со стохастическими операторами',
•	формированием нестационарных случайных процессов при исследовании слож-
ных нелинейных систем.
Поскольку основные «вычислительные фрагменты» полных компьютерных про-
грамм исследования МСИ имеют инженерную базу, МСИ «прозрачен» с физической
точки зрения и допускает возможность варьирования как условий эксплуатации,
так и параметров системы (включая и параметры корректирующих устройств).
МСИ можно отнести к разряду основных инженерных методов.
В связи с ярко выраженной инженерной направленностью МСИ, его высокой эф-
фективностью с учетом больших достижений в области вычислительной техники
(что касается ресурсов ЭВМ), продолжались и продолжаются разработки в указанном
направлении. Ключевым положением одного из таких направлений является замена
случайных воздействий эквивалентными неслучайными, и, таким образом, ста-
тистическая задача заменяется эквивалентной детерминированной. При решении
многих задач такой подход показал достаточно высокую эффективность и, что сущест-
венно, позволяет рассматривать в соответствующей постановке задачи статистической
оптимизации [35, 147]. Далее кратко изложим содержание соответствующих подходов.
Для применения группы методов, рассматриваемых в данном параграфе, необхо-
димо, чтобы все случайные функции, действующие в системе, были представлены
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
219
совокупностью случайных величин, например, отрезком канонического разложения,
представлением случайных сигналов по ОНБ и др. Кратко рассмотрим соответст-
вующие положения.
Спектральное представление случайных сигналов в ортогональных базисах. Бу-
дем рассматривать центрированные случайные сигналы. Пусть Ф(?) =	: А: = 1,2,...)
— ортонормированный базис. Представим случайный процесс в виде
й(О = ХАч\.(О.	(2Л8°)
V=1
где
cYv = |г(?)фу(?)Л, v = 1, I.	(2.181)
о
В (2.180) и (2.181): фу(?), v = 1,Z — система детерминированных функций, орто-
гональных на промежутке [0,Г]; cY, v = 1,Z —случайные коэффициенты Фурье.
С учетом (2.180) для корреляционной функции СП Y (?) можно записать выражение
Ауу (?i,?2) — М
V1=lv2=l
(2.182)
V!=1V2=1
Обозначим М ^cfcf, ] = rfff  Тогда (2.182) можно переписать в форме
Vi=lv2=l
(2.183)
где CRyy — корреляционная матрица коэффициентов Фурье:
qRyY —	(Ryy С11 Луу С21	Луу С12 Луу С22	С11 Rn "	С2/	Л
	Луу	Луу	Луу	
	Lei	С12	 сп	
Случайные величины cf имеют нормальное распределение, если имеет нормальное
распределение случайный процесс У(?), поскольку cf получаются в результате ли-
нейной операции над случайной функцией У(?), являющейся гауссовским процессом.
где
Многомерный дифференциальный закон распределения случайных величин
cf, cf,..., cf задается известной формулой
(2.184)

(2.185)
220
Статистическая динамика и идентификация САУ
Су =	j — вектор, компонентами которого являются случайные величи-
ны qy, су,..., С/У. Обратная матрица (cRyy j всегда существует, так как определитель
| CRyy | симметричной неотрицательно определенной матрицы всегда отличен от нуля.
Каноническое представление случайных функций. Аппарат канонических разло-
жений разработал В.С. Пугачев (основные положения этого аппарата изложены в [97]).
Коррелированность коэффициентов Фурье в (2.180) значительно усложняет алго-
ритмы описания случайных процессов и анализа нелинейных систем. Более рациональ-
ной, с практической точки зрения, формой описания случайной функции через случай-
ные величины является представление ее в виде линейной комбинации некоррелирован-
ных случайных величин, имеющих равные нулю математические ожидания, т.е. в виде
Y(t) = mY(t) + YVi\yi(t),	(2.186)
Z=1
где — случайные некоррелированные величины, математические ожидания кото-
рых равны нулю; —неслучайные функции. Отдельные слагаемые вида
называются элементарными случайными функциями.
Всякое представление случайной функции в виде суммы ее математического
ожидания и некоррелированных элементарных случайных функций называется кано-
ническим разложением случайной функции. Случайные величины Vj называются ко-
эффициентами канонического разложения, а функции VzG) — координатными
функциями канонического разложения. Каноническое разложение случайной функ-
ции в общем случае представляет собой бесконечный ряд (в частных случаях оно
может быть представлено конечной суммой).
Канонические представления случайных функций очень удобны для выполнения
различных операций анализа над случайными функциями, особенно линейными.
Объясняется это тем, что в каноническом представлении случайной функции ее зави-
симость от аргумента t выражается при помощи вполне определенных, неслучайных
координатных функций, что дает возможность свести выполнение различных опе-
раций над случайными функциями к соответствующим операциям над неслучайными
координатными функциями.
На основании принципа суперпозиции линейное преобразование случайной функции,
выраженной каноническим представлением, сводится к преобразованию тем же
линейным оператором математического ожидания всех координатных функций.
Перейти от коррелированных случайных величин qy, су,..., cY к некоррелированной
и, следовательно, в данном случае, независимой системе случайных величин Vr, V2,...,
можно с помощью линейного преобразования. Такое линейное преобразование может
быть построено на основе алгоритма, аналогичного процессу ортогонализации.
Вектор V = (Vl,V2,...,Vl}T связан с вектором CY =(cY,с2 ,...,с[} следующим
соотношением:
^2
Ycn	0	0
С21	С22	0
С31	С32	С33
уС11	С12	С13
(Р
о
о
С1Щ
221
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
или в векторно-матричной форме
V = U„Cr,	(2.187)
где Ua — аналог матрицы ортогонализации (именно она подлежит определению при
переходе от системы Су к системе V ).
Матрица Ua определяется из условия, что случайные величины Vl,V2,...,Vl
предполагаются некоррелированными, имеющими нулевые математические ожида-
ния и дисперсии, равные единице, т.е.
M\vt\ = <52Vk=\, к = 1,1;
Af[^1^2]=0 при ^^2.
Процесс расчета матрицы Ua аналогичен процессу ортогонализации [97].
Рассмотрим другой достаточно конструктивный подход к расчету матрицы Ua.
Из (2.187) имеем
(2.188)
cr=u;1v = uov,
где U0 = U”1 — матрица, обратная матрице ортогонализации.
Из (2.189) получим
"	/ ч т"1	Г	-Г П	I-
__	_ v / _ v \ 1	__	z	\Т __	т
(2.189)
= М
Поскольку М Су(су)

Ryy — матрицы корреляционных
моментов соответствующих случайных величин, то
CRyY =и0УЛуги1.
Учитывая условия (2.188), приходим к выводу, что УЛуг =1 — единичная матри-
ца, и, следовательно, имеет место равенство
СЛуг=иои1.	(2.190)
Полученное соотношение имеет тот же вид, что и разложение Холецкого [97].
В разложении (2.190) нижняя треугольная матрица
< о
и0 =
с°21
О
<>
с22
О
О
4
4
о
имеет положительные диагональные элементы, а для определения ненулевых эле-
ментов ее нижнего треугольника можно воспользоваться формулами [97]
Ео о
cikcjl
(2.191)
при этом Су = U0V.
222 Статистическая динамика и идентификация САУ
Полученные в результате рассмотренного преобразования случайные величины
Vl,V2,...,Vl распределены по нормальному закону с единичной матрицей
\ryy	= j |уЛуг | = 1. Многомерный дифференциальный закон их распреде-
ления выражается формулой
1	1	_i	I 1	(
=	--(v*j“ V(V)T =П-/5=ехр --i- .
(>/2^) L 2	J k=\ л/2л 2 J
Из предыдущих рассуждений также следует, что существует единственное ли-
нейное преобразование, приводящее коррелированные случайные величины
с? ,с2,...,с% к совокупности некоррелированных (а в случае нормального закона
распределения — к совокупности независимых) случайных величин Vi,V2,...,Vl,
имеющих нулевые математические ожидания и дисперсии, равные единице.
Структурная схема алгоритма построения канонического разложения случайной
функции У(?) приведена на рис. 2.53.
Рис. 2.53. Структурная схема алгоритма построения канонического разложения
случайной функции Х(7)
Неканонические разложения случайных функций [147]. В некоторых случаях
могут оказаться эффективными представления случайных процессов в нелинейной
форме. Рассмотрим конкретный пример.
Случайный стационарный процесс У(?) имеет математическое ожидание mY и
автокорреляционную функцию 7?уу(т). Задача состоит в нахождении случайного
процесса Z (t, , V2,..., ) такого, что
mz = my; Rzz (т) = RYY (т).	(2.192)
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 223
Будем искать сигнал z(?) в виде
Z(t, VY, Г2) = Оу	cosF2?) + my.	(2.193)
Очевидно, последнее представление является нелинейным относительно Vr и Г2,
причем и Г2 —независимые случайные величины; Л/[Г1] = 0;	/(г2)
— дифференциальный закон распределения случайной величины Г2 — является
четной функцией.
Имеем
+оо
М [Z(?, V{, Г2)] = gyM [sin Г2?] + my = Оу j sin Гу f (V2)dV2 +mY = mY,
так как
+oo
j sin Гу/(Г2)«?Г2 =0.
Для корреляционной функции Rzz (т) справедлива зависимость
Rzz(т)_
z(?i)z(c)
= М Г Оу (sin V2tY sin V2t2 +
+rt2 cos V2tx cos V2t2 + cos V2tx sin V2t2 + Vx sin V2tx cos V2t2
= Оу [sin V2tx sin V2t2 ] + M ^rt2 J M [cos V2 tx cos V2t2 ]
= oY { M [sin V2tx sin V2t2 ] + M [cos V2tx cos V2t2 ]} =
= Oy [М [sin Г2й sin V2t2 + cos V2t\ cos V2t2 ]} =
= Л/[созГ2т]= j созГ2т/(Г2)dV2,
(2.194)
где т = 6 -12. Поскольку
1 +oo	1 +oo
Rzz (T) = ryy (T) =— f б'уу (co)e7COTJco = — [ 5yy (co)coscotJco,
2л	2л
из (2.194) и (2.195) получим
f(V ^1т(Л) _ SYy(V2)
dV2)~ Q n ~	2 •
/л/Дуу	2 л Oy
Очевидно, что выполнены условия: /(Г2)= /(-Г2) (спектральная плотность яв-
+оо
ляется четной неотрицательной функцией), /(г2)> О и j /(Г2)б7Г2=1. Отсюда
(2.195)
(2.196)
легко сделать вывод: представление случайного процесса Z(t, Г1? Г2) в виде (2.193)
при условии, что rt и Г2 независимы и оу = ^/Dyy = у]Ryy (0), Л/[Г1] = О,
М Г rt2 "I = 1, f (Г2 ) =	2^, обеспечивает выполнение условий (2.192).
L 3	2 л Dyy
В [147] показана возможность представления квазистационарных случайных функ-
ций в форме
Z (?, rt, Г2, Г3) = mz (?) + sin V2t + Г3 cos V2t,
(2.197)
224 Статистическая динамика и идентификация САУ
обеспечивающей абсолютную точность в пределах корреляционной теории, т.е. тож-
дественное совпадение двух первых моментов — математических ожиданий и корре-
ляционных функций.
Если учесть другие условия, накладываемые на случайные аргументы, то можно
добиться равенства для функций У(?) и Z(t, V{, F2,---,CZ) моментов более высоких
порядков, или, например, равенства моментов первого и второго порядков и одно-
мерных законов распределения [147].
Далее перейдем к задачам анализа нелинейных систем, предполагая, что все воз-
действия представлены в виде канонических разложений и, таким образом, характе-
ризуются случайными величинами Vl,V2,...,Vl.
Нелинейная нестационарная система со случайными параметрами описывается
системой ДУ вида
лу	__
-^- = f,(t,Xx,X,,...,Xll,Vi,V,,...,Vl), i = l,n, Х(0) = 0,	(2.198)
где (?),...,Хп (?) — фазовые переменные системы; V{, V2,..., — случайные па-
раметры; t — время.
Интегралы уравнений (2.198) можно записать в форме
X,(t) = X,(tYV,_,.1 = Ы	(2.199)
Функции (2.199) непрерывны относительно аргументов t, V{, V2,..., Vh если пра-
вые части системы (2.198) непрерывны относительно параметров Vl,V2,...,Vl и до-
пускают лишь разрывы первого рода относительно аргумента t.
Функции (2.199) неизвестны, и их нахоящение связано с большими трудно-
стями. В связи с этим они служат основой для построения как теоретических по-
ложений, так и алгоритмов исследования нелинейных систем.
В [35, 97, 147] используются приближения функций (2.199), на основе которых
решаются задачи вероятностного исследования. В [97] в качестве аппарата прибли-
жения применяются ряды Маклорена. В этом случае, кроме непрерывности функций
(2.199), необходимо существование их производных до определенного порядка, что
накладывает известные ограничения на функции (2.199). Разложение имеет вид
q л N N N ( рку А
АД?) = А(?,0,0,...,0) + У — У У ...У --------------- ЕЕ ...К- =
dV:dV: ..XV:	Л
J\~Xh~' Jk~l \ Jl J2 Jk /
k=lK- Л=172=1 Л=1
В последней зависимости функции Aj 	(?) неизвестны, поскольку неизвестна
функция Xi(t,Vl,V2,...,Vl).
В [97] показано, что функции Aj  j (t) определяются системой линейных диф-
ференциальных уравнений.
Для вывода системы уравнений, определяющих функции Aj j у (?), достаточно
продифференцировать все уравнения системы (2.200) по случайным величинам
Vj Vj после подстановки в них разложений
<2-201)
и заменить в полученных таким образом уравнениях все случайные величины Р) ну-
лями [97].
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
225
В задачах практики можно производить вычисление указанных коэффициентов, за-
менив в формуле (2.200) производные их выражениями через конечные приращения.
Тогда вычисление коэффициентов разложения Aj 	(t} сводится к интегрированию
системы уравнений (2.198) при различных частных значениях случайных величин Vj. Это
дает некоторое упрощение при решении задачи нахождения вероятностных характери-
стик случайных функций X; (t, Vx,..., Pj) при помощи цифровых вычислительных машин.
2.7. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
(МЕТОД Б.Г. ДОСТУПОВА)
Формулы, определяющие математическое ожидание и дисперсию выходного сиг-
нала на основе (2.200), имеют вид
«=4 W+Z X - X .......................л (0	(2.202)
^=1 К- J1=1 J2=l л=1
V =	A Z f-у 4,.;,.. А)х
k=li=l K-l-jl=lj2=l л=1г1=1г2=1	г;=1
(2.203)
хАг1,г2,...,г; (Фгг -[^(0-4) (О]2’
где ^v=M[VjVh...Vjk}.
Важной является задача нахождения такого приема, который позволил бы из-
бежать вычисления коэффициентов Aj (7).
Эта задача получила решение в работах Б.Г. Доступова [35]. Изложим основное
содержание метода. Положим, что система имеет нулевые начальные условия; тогда
1 I I
к=\ К • 4=1 j2=l 7/с=1
аг,-аг,- •••аг,-
\	71	72 Jk
xV,- V,- •••Г,- .
71	72	7/с
(2.204)
Зависимость (2.204) не изменится, если вместо случайных параметров рт , рт ..., VJ-/
подставить некоторые конкретные неслучайные величины 5, <ys
Подставим в последнее выражение неслучайные значения вместо рУ; тогда
(2.204) принимает вид
q 1 i i i ( Hv
,Ц=.Щ,0,0,..,0) + £-££...£	(2-205)
К_ 1 А! ;	: _1 (У V ; V V ; ’ ’ ’ (У V ;
*-1	71-172-1 Л“1\ Л 7г Jk /
Неслучайные величины tv s называют эквивалентными возмущениями [35].
Выберем N различных комбинаций эквивалентных возмущений £,7/5> ^5 = 1, N
£>2i’---’ £>zi’
£>12’ £>22’---’ £>/2’
£>W’ £>27V’---’ ^>IN-
Подставляя последовательно 1-ю, 2-ю,..., N-ю комбинации эквивалентных возму-
щений в (2.204), получим N равенств вида (2.205). Таким образом, с одной стороны,
226
Статистическая динамика и идентификация САУ
имеется зависимость (2.204), в которую входят случайные параметры Vj ,Vj	и
на основе которой путем осреднения получена формула (2.202), определяющая мате-
матическое ожидание выходного сигнала тх(ф. С другой стороны, получены N
равенств вида (2.205), в которые входят неслучайные величины
Идея подхода состоит в нахождении статистической эквивалентности между
формулой (2.202) и зависимостями (2.205).
Возможность получения такой статистической эквивалентности становится
очевидной, если воспользоваться следующими рассуждениями. Умножая обе части
равенств (2.205) на некоторые, пока что неопределенные коэффициенты a.s
S = 1, N j и суммируя полученные равенства почленно, получим
S =	=X(t, 0, 0,...,0)x^a5 +
5=1	5=1
q 1 I I I (	X	N
Xasysys-ys-
к=1к-у=1у=1 jk=\oyjXyj2-"oyjk) S=l
Или, что то же самое,
S = XaSXS = 4 W’E°4 +
5=1	5=1
А.'.Х ,Л
к=1К- Л=172=1 Л=1	S=1
(2.206)
(2.207)
Сравнивая (2.202) и (2.207) легко заключить: статистическая эквивалентность в
смысле получения одного и того же результата при статистическом исследовании
системы будет иметь место при следующих условиях'.
(2.208)
5=1	5=1
k = l,q; ф, j2,...,jk=l,l.
Из равенств (2.202) и (2.206) следует, что сумма S приближенно определяет ма-
тематическое ожидание выходного сигнала А (7), т.е.
S = faA=M') = MA)]-	(2'209)
5=1
В связи с тем что статистические характеристики случайных величин , V2,   ,
известны (при использовании канонических представлений случайных процессов
Vi,V2,...,Vj — некоррелированные случайные величины) и, таким образом, известны
моменты
рЧрЧ^Ч^Л-а]’
k — 1, q, у), j2, • • •, jk ~ 1? Л
то легко сделать вывод, что (2.208) — система алгебраических уравнений относи-
тельно эквивалентных возмущений и as, S = 1, N. При определенных условиях
система (2.208) имеет действительное решение. Приведенные выше рассуждения
позволяют указать этапы, реализация которых приводит к решению задачи нахожде-
ния математического ожидания выходного сигнала:
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 227
1.	Решение системы уравнений (2.208); результатом решения являются конкретные
значения эквивалентных возмущений £,7/5> и численные значения коэффициентов
as, S = ^N.
2.	Решение численным методом исходного дифференциального уравнения (2.204)
при условии, что случайные величины F), V2,   , равны неслучайным величинам
£,7/5> — эквивалентным возмущениям (рассчитывается N неслучайных решений
ХУ),Х2(у..„ XN (?) дифференциального уравнения (2.205), порожденных N
различными комбинациями эквивалентных возмущений).
3.	По формуле (2.209) производится расчет математического ожидания выходного
сигнала mx(t}.
Проводя аналогичные рассуждения, можно найти алгоритмы, определяющие мо-
менты выходного сигнала более высокого порядка.
Обозначим
X>’(t) = Xl’(t,VI,V2,...,V/) = V(t,VI,V2,...,Vl).	(2.210)
Для начального момента порядка р можно записать
Д/Гл"’(гЯ = Ч'.)+У — У У-У |---------—------------!' Щ..(2.211)
L V 1J VO	aVBVj...BV,
К~' Jl-iJl-i Jk-iy Л ./2 Jk J
Если же теперь в функцию \|/(?,	Е2,...,Е/) вместо случайных величин
^,^2,...,^/ подставить эквивалентные возмущения (неслучайные величины) и
разложить указанную функцию в ряд Маклорена по эквивалентным возмущениям, то
легко записать
1 i i i (	А
ХР =у0+У— У У---У ---------------------- XSXS...XS. (2.212)
i /1 6V-dV-...dV- J'S j2S
К-1 Jl -i ./2 -1 Jк -1 \ Л J 2	J к /
Далее дословно повторяются те же рассуждения, которые использовались при на-
хождении математического ожидания тх (?):
•	равенства (2.212) умножаются на коэффициенты as (5 = 1, А);
•	производится суммирование по S полученных соотношений;
•	строится система алгебраических уравнений (2.208);
•	находятся эквивалентные возмущения путем решения системы алгебраических
уравнений (2.208).
Для определения начальных моментов р-го порядка справедлива зависимость
=	(2-213)
5=1
т.е. для расчета М ^Хр (?) J достаточно вычислить р-е степени ранее найденных
решений и результат подставить в формулу (2.213).
Если же рассчитаны начальные моменты высших порядков, то, пользуясь извест-
ными соотношениями, легко рассчитать соответствующие центральные моменты.
При практическом применении метода, следуя [35], целесообразно учитывать сле-
дующие факторы:
•	метод развит только для вычисления моментных характеристик, что не все-
гда достаточно для анализа точности систем управления;
•	необходимость решения систем нелинейных алгебраических уравнений;
228
Статистическая динамика и идентификация САУ
• объем вычислений при реализации метода резко возрастает при увеличении I
и q; сложность вычислений возрастает также и при учете связей, сущест-
вующих между случайными параметрами, а также за счет неоднородности
законов их распределения [35].
Укрупненная структурная схема алгоритма определения вероятностных характе-
ристик выходной координаты представлена на рис. 2.54.
Входные данные
Рис. 2.54. Укрупненная структурная схема алгоритма,
реализующего метод эквивалентных возмущений
2.8.	ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ТОЧНОСТИ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
(МЕТОД В.И. ЧЕРНЕЦКОГО)
Случайные функции XY(t^,X2(t},...,Xn(t}, являющиеся стохастическим решени-
ем системы дифференциальных уравнений (2.198), можно представить в виде неко-
торых детерминированных функций времени и случайных величин , V2,   , , т.е.
Х1(/) = Х1(/,К1,Г2,...,Г;);
хщ) = хщу^,...,уу	(2214)
хл(/) = хл(ЫГГ2,...щ).
Интерполяционный метод предполагает использование аппарата интерполиро-
вания для приближения функций (2.214) [147].
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
229
Кратко напомним основные положения, связанные с интерполированием функций
одного переменного [147].
Положим, что известны значения функций при конкретных значениях аргу-
мента V (рассматривается одна из функций (2.214), зависящая от одного аргумента V )
где V0,Vl,V2,...,Vn — конкретные значения аргумента V.
Задача состоит в построении функции А'(К) такой, которая в заданных точках
Ко, V{, V2,..., Vn принимает значения Х(К0), Х^),..., Х(КИ), т.е.
х(к0) = х(г0),...,х(ги) = х(ги),
а в остальных точках промежутка, принадлежащего области определения X(l/),
приближенно представляет функцию с той или иной степенью точности. За-
дача построения функции Х(Т) называется задачей интерполирования.
Точки Vo, Vi, V2,..., Vn называются узлами интерполирования.
Будем находить решение задачи в виде
Х(Г) = Л-(Г0)Ф0(К) + Л-(К1)Ф1(К) + ... + Х(Г„)Ф„(Г),	(2.215)
где ФО(К),Ф1(К),...,ФИ(К) — известные функции, удовлетворяющие условию
/ \ [0, если z ф /;
фДг.. =	. .
7	(1, если z = j.
Пусть Ф; (г) определяются зависимостью [147]
ф . У-У«)У-УУ-(У-У,-УУ-УМ)-У-У„)
Л ’ (Г-Г>)(Г-’!)-(Г-Г-1)(Г-Г+1)-(Г-Г)'
Тогда задача интерполирования имеет следующее решение [147]:
\	/ ч	\ (К-Ко (К-К2)...(Г-ГИ)
X (К) = X (К) -4-12—V-12_ + х (К) -1----22—1---22_
7	v Ао-Г)-(Г>-Г)	щ-М(г-Щ-(г-г)
(2.216)
(2.217)
(2.218)
Многочлен (2.218) называется интерполяционным многочленом Лагранжа [147].
Воспользуемся обозначением
Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа может быть записан в форме
Х(Г)=Ух(ГА-—v	(2.219)
’ it { Цу-уХпУ)
Построим интерполяционные многочлены Лагранжа функций многих перемен-
ных X1(t,Vl,V2,...,Vl), X2(t,Vl,V2,...,Vl),...,Xn(t,Vl,V2,...,Vl), для чего выберем
следующие узлы интерполирования:
по переменной Vl:	t, К12, К13,...,	;
по переменной К2: К21, Г22, К23,..., V2^;
по переменной Vp. Vn, Vl2, Vl3,..., VlcJi.
230
Статистическая динамика и идентификация САУ
Пользуясь формулой интерполяционного многочлена Лагранжа для функций
многих переменных Vl,V2,...,Vl, будем иметь
2^2
(2.220)
Полученная формула является ключевой при разработке интерполяционного ме-
тода [147]. Проведем ее анализ. В постановке задачи интерполирования функций
одной или многих переменных коэффициенты интерполяционных многочленов
х(Иг) (для функций одной переменной) и А) (ф, Ущ,	,..., Vlki j (для функций мно-
гих переменных) полагаются известными. В рассматриваемой же задаче функции
(2.214) неизвестны, следовательно, и Хг^t,Vlki, Vlk^Vlk[ j также неизвестны. Но
поскольку известны узлы интерполирования по всем переменным, т.е. конкретные
численные значения переменных И1,И2,...,И/ в уравнениях (2.198), то функции
Хг, I)/,.,..., Vlki j могут быть найдены путем численного интегрирования
уравнений (2.198). Таким образом, еще раз обратим внимание на этот факт: функции
^=1,^, ^2 = 1><?2> •••> ^i=\,qi являются реализациями
случайных функций (2.214), полученными в результате решения системы дифференци-
альных уравнений (2.198) на ЭВМ для указанных выборок случайных величин Vl,V2,...,Vl.
В (2.220)
^(r) = (r-r,)(r-rJ-(r-%)	(2.22!)
— полином степени а: относительно случайной величины С,-; со' I Vik ) — значе-
* J	J Qj \ Jj I
ния производной от полинома (2.221) по переменной Vj, вычисленные в точке Vj = Vjk,.
Из теории интерполирования следует, что величина
т	СО„ ( Vj )
П------—---------- (2.222)
At чдчд^-^д
равна единице в узлах интерполирования VY = Vik, V2 =	,..., Vt = Vlk .
Поэтому в узлах интерполирования выполняются равенства
X,(t,Vl,V2,...,Vl') = Xl(t,Vlti,V2k2,...,Vlky	(2.223)
К = 1,#1> ^2 =1^2> ’ kl = ^Ql-
Из приведенных рассуждений следует, что в зависимости (2.223) обеспечивается
совпадение интерполяционного полинома и реализаций случайных функций, получен-
ных в результате решения системы дифференциальных уравнений (2.198) на ЭВМ
для выбранных узлов интерполирования.
Положим, что заданы вероятностные характеристики случайных параметров
Vx, V2,..., Vj в виде их моментов или законов распределения и выбрана система
функционалов Фг от выходных координат
Ф,. [X! (/, И, V2,..„ V, ).	Х„ v2,..„ г,)] =	(2 224)
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 231
Для вычисления математического ожидания z-й фазовой переменной формула,
определяющая т|, имеет вид
11(/,K1,K2,...,r;) = X,.(/,r1,K2,...,K,).	(2.225)
Для дисперсий фазовых переменных имеет место формула
11(Kl,K2,...,r„/) = (x,(rl,r2,...,r„/)-Af[x,.(/)])2.	(2.226)
При вычислении корреляционного момента М Xi(t}Xj(t}
функция т|(?,^,Г2,...,^)
принимает вид
ц(?,Е1,Е2,...,Е/) =
= Д(о Р), К2,..., У,) - М [Л-,, (г)]) -Д (г.Р) ,К2,..., V,) - М [Л-,. (/)]).
(2.227)
Если необходимо вычислить интегральный закон распределения сигнала А) (?), т.е.
Fx: (*i (?)) = P[Xt (?) < Xi (?)],
(2.228)
то [147]
11(/,К1,Г2,...,Г;) = 1 1-
I-YHz.Fj, V2,..„ K,)-x, (z)|y
(2.229)
Необходимо найти оценку математического ожидания функции ц (?,Д, Е2,..., Д)
от фазовых переменных в момент времени t, т.е. вычислить оценку выражения вида
ОО	00	/
Af[i-|(?,F1,F2,...,F/)] = j... j	(vy)«?vy =
—00 —00	j~ 1
00	00 q} q2 %
= J ••• J E E^E^^iv^v
—00	—00 ^1— 1 ^2 —~'
<h яг ch
= E ^l^\tXklX2k2’---Xikl
kx =1 k2 =1 k2 =1
(2.230)
’ Vlki
ch9i	i
= E Е"’Е11(?Ац1А2д,---А^)Пр^’
^=1Д=1 kt=\	j=l 1
где
1	®z, I Г ,• ) fv I V : ) dv;	/
П J I \	(=ГК-	(2.23!)
7=1—то	7=1
Рд. — числа Кристоффеля.
Расчетную формулу интерполяционного метода можно записать в следующей
форме [147]:
м h ] = £ X    i Л (л	Щ,..., vlkl )Пр* ,	(2.232)
kl=lk2=l kl=l	J=1
где Рд. — число Кристоффеля для стандартной случайной величины А ;-.
Зависимость, определяющая математические ожидания фазовых переменных,
имеет вид
232
Статистическая динамика и идентификация САУ
91 92	ch	I
м[тW]=тх,W=ZЁ • • ЕйЩлх,-,v,tl)Пр/ 	<2-233)
^=1^2=1 kt=\	J=1 J
Корреляционная функция рассчитывается по формуле
RXtXi (А ’ А ) =	(А ) - mxt (А ))  (^Т (А ) - mxt ( А ))] =
eh Qi
= S " S \_^i (?i’ Av Ait2 )~тх: (#	(2.234)
/< =1 /<2 =1 к[ =1
Z
Х |_^Т ( А ’	’ Vlki ’Vllq}- mXt (A ) J П Pity .
7=1
Дисперсия определяется зависимостью
91	92	9/ г	-,2 1
ПРь- <2'235>
^1=U2=1	^=1	7=1	'
Соотношение, определяющее интегральный закон распределения, запишется так:
Ay(x*W) = p[x/W-xd =
91 9г 4i 1
=ее-е|
/<i =1 /<2 =1 kt=l
(22Ъб)
По вопросу об оптимальном выборе узлов интерполирования можно сказать сле-
дующее [147]: если в качестве узлов интерполирования берутся корни ортогональ-
ных полиномов по весу, равному плотности распределения случайной величины V
(одномерная задача'), в этом случае при использовании п узлов интерполирования
интерполяционный метод дает точные значения в классе полиномов всех степеней
до степени q = 2п-1 включительно. Если случайные величины Vl,V2,...,Vl незави-
симы, то сформулированный результат переносится и на многомерный случай.
Интерполяционный метод анализа точности нелинейных систем обеспечивает
сходимость приближений для любых нелинейных систем при единственном условии’,
узлы интерполирования выбраны таким образом, что соответствующие числа Кри-
стоффеля положительны.
Можно показать, что для каждой плотности распределения вероятностей, являю-
щейся весовой функцией, существуют единственная ортогональная система полиномов.
В [147] рассмотрены подходы к решению задач статистической оптимизации.
2.9.	МЕТОД ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЭКВИВАЛЕНТОВ
Метод основан на той же теоретической базе, что и рассмотренные выше методы.
Исследуемая система управления описывается системой дифференциальных
уравнений вида
_______________________________________________
-^ = fi(t,Xl,X2,...,Xn,Vl,V2,...,Vl), i = l,n, Х(0) = 0,	(2.237)
где Хг, Х2,..., Хп — фазовые координаты системы; Vx, V2,..., — случайные неза-
висимые величины с известными дифференциальными законами распределения
fVx,fv2,...,fVl', t —время.
Пусть правые части системы (2.237) непрерывны относительно параметров
Vv,V2, ...,Vj и допускают разрывы первого рода относительно аргумента t. Тогда
интегралы уравнений (2.237) можно записать в форме
=	i = Pt.	(2.238)
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 233
Пусть область значений аргумента Vz функций (2.238) есть промежуток [az,bz],
т.е. Vz t[az,bz\, z = l,l.
Положим, что
Тг.(^1,Г2,...,К/)е£2([а1,^]х[а2,Д]х...х[а;,Ь/]), i = \n,
т.е. решение =Х{..,V^ интегрируемо с квадратом по переменным V{, V2,...,
Такая функция может быть разложена по ортонормированному базису (ОНБ). Полу-
ченный ряд будет сходиться в среднеквадратичном. Для каждого аргумента Vz на сег-
менте [az,bz] определим систему ортонормированных полиномов Рк = | Ду ,P^z ,P2Z,.. J
с весом pVz, z = 1,1.
Для аргумента : Р^1 (X) = ^2 Су К/, с весом р1'1:
7=о
^А) = 4о+4Т1+4г2;
Для аргумента Г2 : Р^2 (^2)= ^2	К27' ’ с весом р^2:
7=0
Г (г) = (Х() + г21 Г + с22^2 ’
Для аргумента К/: Р^1 (Р)) =	, с весом pv‘.
7=о
Разложим функции Хг (t, Vx, V2,..., К/) по ортонормированным многочленам
л-угл.-.гцу £-АА,.У,(г)<'(г)лДг)-лДг). (2.239)
V1=0v2=0 vz=0
где
А2..у/7 = Г/---Р'ЙГ)р’-(Г)...р,''(Г)Л(лГТ2....,Г)х
С: »,	(2-240)
х(Г) Д’ (Vp...P^(V,)dVldV2...dVl
— коэффициенты Фурье; Nz +1 — количество полиномов разложения по перемен-
ной Vz, z = 1,1.
Коэффициенты Фурье (2.240) вычислить не представляется возможным, посколь-
ку функции ЙД = Хг-(7,К1? К2,..., Kz) неизвестны. Поэтому вычисление коэффициен-
тов Фурье производится численным методом.
234
Статистическая динамика и идентификация САУ
Пусть совокупности чисел Vlk, V2k ,...,Vlk , кл = 1, qv, k2 = 1, q2,..., кг = l,qi явля-
ются некоторыми выборками случайных величин , V2,..., Vj соответственно ( qz —
количество выборок случайной величины Vz, z = 1,1). Для всевозможных комбинаций
выборок численным решением системы дифференциальных уравнений (2.237) можно
найти функции Хг(t, Ущ, У2к^,..., Viki) —реализации случайных функций Хх,Х2,...,Хп.
Число необходимых интегрирований системы определяется формулой N = qxq2 ...qi-
Известно, что нахождение I -кратного интеграла для областей общего вида может
быть приведено к последовательному вычислению I однократных интегралов. Каж-
дый из них может быть вычислен по какому-либо правилу. Выбор правила должен
быть, во-первых, согласован со свойствами интегрируемой функции и, во-вторых,
учитывать геометрическую форму области интегрирования. В рассматриваемом слу-
чае область интегрирования является прямоугольным параллелепипедом с ребрами,
параллельными координатным осям. Это позволяет воспользоваться формулой прямо-
го произведения соответствующих одномерных формул численного интегрирования
для нахождения кратных интегралов, определяющих коэффициенты Фурье:
,2-241’
А?! =1 kt =1
где ,...,	— некоторые коэффициенты, зависящие от используемых квадратур-
ных формул.
В случае применения аппроксимаций (2.241) оказывается, что остаточные члены
приближения одномерных интегралов в значительной мере компенсируются, и вы-
числительная погрешность незначительна.
Запишем представление функции Xi(^t,Vl,V2,...,Vl^ с учетом (2.240) в виде
«х хх 1	хх хухх = (2.242)
v1=0v2=0	vl=0jl=0j2=0 jl=0
М X N[ Vj v2 vz
= E E---E E E---E%c2...vz
v1=0v2=0	vz=0j1=0j2=0 jz=0
где cx‘ (?) — известные функции, cp;; , — известные постоянные величины,
У{, V2,..., Vi — независимые случайные величины с известными дифференциальными
законами распределения.
Зависимость (2.242) является основой для вычисления статистических характе-
ристик фазовых переменных. Для этого необходимо найти математическое ожидание
функции т| (t, У{, V2,..., Vi) путем ее осреднения с весом, равным плотности распреде-
ления случайных величин
bi	I
т,1(г) = Л/[п(/,К1,К2,...,К,)] = ]'.../п(гТ1.Г,...,К/)ПА(Г)«'Г.	(2.243)
az az	Z=1
Для вычисления математического ожидания z-й фазовой переменной формула,
определяющая т|, имеет вид
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
235
Для дисперсий фазовых координат имеет место формула
^(1,^,7,,...,Vl) = (xl(t,VI,V2,...,Vl)-mXi (/)(.
При вычислении корреляционной функции z-й фазовой переменной формула, оп-
ределяющая т|, запишется так:
При вычислении корреляционного момента между фазовыми переменными А) (?)
и А; (?) функция т|(?,Г^,Г^,...,Р/) принимает вид
11(/^,к2,...^) = (хД/л1Т2,..,Г)-тА.(/))(х/(/,К1Т2,..,Г)-тА..(/)).
Если необходимо вычислить интегральный закон распределения сигнала Аг (?), т.е.
Fxi(xi(t)) = p\_Xi <хг (?)]>
то
п(г,К1,К2,...,К;) = ^ 1-
X,(t,Vl,V2,...,Vl)-xl(t)''
|х,(/,К1,К2,..„Г,)-х,.(/)|у
Интегралы (2.243) в некоторых случаях можно вычислить аналитически, а в общем
случае — численным методом. Подынтегральное выражение (2.243) при большом ко-
личестве случайных величин и больших Л?-, z = 1,1 может быть очень громоздким,
поэтому вычисление даже первых моментов (дисперсии и корреляционные момен-
ты, моменты невысоких порядков) может оказаться весьма трудоемким. С целью уп-
рощения расчетов функции т| (?, У{, V2,   , Vf) можно представить в виде
X	(Г)-Д'(Г),	(2.244)
V1=0v2=0 V /=0
где коэффициенты Фурье рассчитываются численным методом
<v2.. v,w4: •  	(г41  <' (г*, )•	(2.245)
кг =1 kj =1
В этом случае функция (2.244) определяется более простым выражением. В послед-
ней зависимости функции т| (t, Ущ, ЙД2,...,	, kz = 1, qz, z = 1,1 — реализации функ-
ции т| при конкретных значениях случайных величин, которые можно определить
через реализации фазовых переменных Аг (?,Ущ,У2^ ,...,yikij.
Реализации функции т| для расчета математического ожидания совпадают с реа-
лизациями фазовых переменных Аг (^Ущ ,р2к2 ’’Fikl) ПРИ конкретных значениях
случайных величин, т.е.
л”'7 (г,	T2t; , • , Ц ) = X (/, VUi, V2ti, Vlti).	(2.246)
Реализации функции т| для вычисления дисперсии, корреляционной функции фа-
зовой переменной, корреляционного момента между фазовыми переменными А) (?)
и • (?) и интегрального закона распределения сигнала А/ (?) при конкретных зна-
чениях случайных величин рассчитываются по формулам:
'A ('Tlt|, Щ , Ц) = [Т (z,	, V2ti, Vlti) - тХ/ (< ;	(2.247)
236
Статистическая динамика и идентификация САУ
Л х'х'	-У1к2 ’’Vik,) _ [^4	-У1к2	) тХ; (б)]х	(2 248)
Х [^4 (С ’	’ ^2к2 ’’^lkl)~ mXt (?2 )] ’
ц x,Xj (ty^y2k2,...ylk^ = ^Xi(tyYh,V2k2,...,Vlk^-mXi (z)]x	(2 249)
х [Xj {t, Ущ,	,..., Vlki ) - mx. (z)J;
X(>Xlt,Xn2,-X№,) = ^ !-|	------	<2-250)
^i(t’^lk1’^2k2’---’^k/ ) Xi\^
Общая структурная схема алгоритма расчета статистических характеристик мето-
дом детерминированных эквивалентов приведена на рис. 2.55.
Рис. 2.55. Структурная схема алгоритма, реализующего
метод детерминированных эквивалентов
В большинстве практических приложений задача статистического анализа пони-
мается в рамках корреляционной теории, т.е. состоит в определении первых двух
статистических моментов выходных сигналов.
Покажем, что выбор определенным образом ортонормированных базисов разло-
жения каждой случайной величины позволяет построить простые алгоритмы расчета
вероятностных характеристик. Так, если для каждой переменной Vz определить сис-
тему полиномов Рк = \Pqz ,P^Z ортонормированную на сегменте [az,bz] свесом,
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 237
равным плотности распределения fv случайной величины Vz, z = \,l, то выражение
(2.243) для расчета математического ожидания будет иметь вид
-^(^)= 52---(0/А (ri)<‘	<I 2-251)
Vi=0 vz=0	Я1	Я;
Так как многочлены ортонормированы, то интегралы в (2.251) равны нулю при
Vj > 1 и равны 1 при Vj = 0, поэтому последние выражение преобразуется к виду
W = М [Л- (t, , Г,..., К,)] = с„\ (<).	(2.252)
Аналогичное выражение можно записать и для расчета математического ожида-
ния функции т| (7, VY, V2,..., Vt)
=	=	0(/).	(2.253)
Таким образом, для расчета статистических характеристик, в случае если для ка-
ждой случайной величины Vz используется система полиномов Рк, ортонормиро-
ванная с весом, равным плотности распределения fv , z = \,l, необходимо найти все-
го лишь один (нулевой) коэффициент Фурье разложения функции
Расчетная формула метода детерминированных эквивалентов в этом случае записы-
вается в форме
<2-254)
кх =1 kt =1
Если же системы ортонормированиях полиномов выбраны иначе, необходимо
вычислять несколько коэффициентов Фурье функции	(вычислять
необходимое количество /-кратных интегралов). Рассчитав коэффициенты Фурье,
необходимо строить разложение (2.244). Это разложение можно построить на ЭВМ в
математических пакетах, использующих символьные вычисления. Далее необходимо
по формуле (2.243) вычислить соответствующую вероятностную характеристику.
Рассчитать интегралы (2.243) в простых случаях можно аналитически, а в общем
случае — численным методом.
Формула (2.254) позволяет рассчитать приближенно значения любых вероятност-
ных характеристик, необходимых для статистического анализа систем управления.
Использование в качестве базиса для разложения функции Xt(t, , V2,   , ) сис-
тем ортонормированных полиномов Рк с весом, равным ДЗР случайных величин
Vz, z = \,l, позволяет в рамках корреляционной теории определить вероятностные
характеристики фазовых переменных через коэффициенты Фурье разложения
Хг(^t,Vl,V2,...,Viy Математическое ожидание представляет собой коэффициент Фу-
рье со всеми нулевыми индексами (2.252).
Определим дисперсию (7):
bl b2 bt
»Х)=П-!
v1=0v2=0 vz=0
-i2


I
хП/е -wa(0-
j=i
238 Статистическая динамика и идентификация САУ
Учитывая ортонормированность полиномов, последнее выражение преобразуется
к виду
X	A-^'oW2-	(2.255)
Vj =0 V/ =0
Аналогично можно определить выражения для вычисления корреляционной
функции А) (?) и корреляционного момента между А) (?) и X- (?) :
Rxtxt (6Д2) = S ••• S	(А)-со.'.о (А)со/.о (М’	(2.256)
Vj =0 Vj =0
Rx,x, «= Z-	v,
Vj =0 vz =0
Таким образом, если для каждой случайной величины выбрать систему полино-
мов, ортонормированную с весом, равным ее ДЗР, то статистический анализ в рамках
корреляционной теории полностью определяется коэффициентами Фурье представ-
ления случайной функции (t, , V2,   , . Для этого необходимо вычислить се-
рию многомерных интегралов, т.е. рассчитать коэффициенты Фурье функции
Хгг(?,Г1,Г2,...,Г/), при этом разложение (2.239) строить нет необходимости. Ясно,
что точность вычисленных статистических характеристик зависит от количества и от
точности найденных коэффициентов Фурье. Для их вычисления необходимо иметь
реализации случайных функций Аг(?,К1,К2,...,К/), которые находятся численным
интегрированием системы дифференциальных уравнений при конкретных значениях
случайных величин. Общее число интегрирований системы резко возрастает при уве-
личении количества выборок случайных величин N = qxq2 Qi- Следовательно, необ-
ходимо выбирать такие методы вычисления кратных интегралов, которые обеспе-
чивают при возможно меньшем количестве выборок случайных величин как можно
более точное вычисление коэффициентов Фурье. Это — ключевое положение метода.
Одним из способов расчета многомерных интегралов является метод прямого
произведения соответствующих одномерных формул численного интегрирования
(формулы (2.241), (2.245)). По каждой переменной может быть выбран свой метод
расчета одномерного интеграла. Точность расчета кратного интеграла будет зависеть
от точности вычисления соответствующих однократных интегралов. Для его вычис-
ления можно воспользоваться распространенными в приложениях квадратурными
формулами, позволяющими приближенно находить значение интеграла в форме ли-
нейной комбинации нескольких значений функций
Л/) = J* РW/W ~ Е4/(^) = Qn (/)>	(2.258)
а	к=1
где [a, Ь] — любой конечный или бесконечный отрезок числовой оси, f — произ-
вольная функция некоторого класса, р(х) — некоторая фиксированная функция
(вес), которая применительно к статистическому анализу представляет ДЗР случай-
ной величины. В зависимости от того, как определяются коэффициенты Ак и узлы
хк , получаются различные методы интегрирования. Узлы хк можно выбрать детер-
минированным и случайным образом.
Опыт применения квадратурных формул Гаусса показал их превосходство в точ-
ности по сравнению с другими видами квадратурных формул. Однако в вычисли-
тельной практике известны случаи, когда они дают худшие результаты, чем простые
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 239
формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и др. Это происходит в тех случаях,
когда интегрируемая функция имеет невысокий порядок дифференцируемости. Если
для нахождения коэффициентов Фурье использовать квадратурные формулы Гаусса
по всем переменным интегрирования, то выборки случайных величин производятся
детерминированным образом.
Квадратурные формулы Гаусса имеют наивысшую алгебраическую степень точ-
ности, а именно 2«-1 при р(х)>0, т.е. эти формулы позволяют точно вычислить
интеграл для всех многочленов степени < 2zz — 1, если функция f задана в п узлах.
Коэффициенты Ак для квадратур Гаусса (гауссовы коэффициенты) определяются
по формуле
4 = J р(х)-----(2.259)
где Рп (х) — многочлен степени п, ортонормированный с весом р(х) к любому
многочлену степени меньше п; хк — узлы квадратурной формулы, являющиеся кор-
нями многочлена Ри(х). Корни многочлена Рп (х) в нашем случае и будут опреде-
лять выборки случайных величин, что говорит об их детерминированной природе.
Теорема о существовании многочлена Рп (х) формулируется так: пусть весовая
функция р(х) не изменяет знак на [а, Ь] и является неотрицательной. Тогда при
всяком п определен, и притом единственным образом, многочлен Рп(х^, ортого-
нальный с весом р(х) к любому многочлену степени меньшей п.
Таким образом, для каждой весовой функции, являющейся ДЗР случайной величины,
существует единственная ортогональная (ортонормированная) система многочленов.
Воспользовавшись тождеством Дарбу-Кристоффеля, (2.259) можно преобразо-
вать к виду, удобному для нахождения коэффициентов Ак на ЭВМ:
А=—------------!.	(2-260)
Рп (хк)Рп-1(х к)
где ап — старший коэффициент Ри(х); ап_г — старший коэффициент Р^^х);
причем все коэффициенты Ак положительны.
Если отрезок [а, Ь] — конечный и функция f непрерывна на нем, то
lim ^Akf(xk\= fp(x)/(x)Jx,	(2.261)
и^°°£=1
где р(х) >0; Ак — коэффициенты квадратурной формулы наивысшей степени точ-
ности (гауссовы коэффициенты).
Согласно этому положению, теоретически можно точно вычислить интегралы
(2.258), если f е С [а, Ь] и при этом известна бесконечная таблица значений этих
функций. Следовательно, можно вычислить точно и многомерные интегралы, т.е.
коэффициенты Фурье, что позволяет определить статистические характеристики
сколь угодно точно при условии, что 4 е С.
Если для расчета коэффициентов Фурье по формулам (2.241), (2.245) по всем пе-
ременным выбраны квадратурные формулы Гаусса, то коэффициенты A^z рассчиты-
ваются по соотношениям
240
Статистическая динамика и идентификация САУ
At‘=—--------------Г~Г~,-----v Z = l,z,	(2.262)
где Vzk — корни многочленов Р^: , z = 1,1, kz =\,qz , которые и являются выборка-
ми случайных величин, при различных комбинациях которых и находятся реализа-
ции фазовых переменных.
Выясним, какое количество многочленов необходимо взять в разложении (2.239)
по каждой случайной величине, если коэффициенты Фурье находятся методом Гаус-
са, т.е. определить Ni,N1,...,Nl.
Рассмотрим простейший случай, когда случайная функция А) зависят от одной
случайной величины с ДЗР . Пусть задано число выборок q{ случайной вели-
чины F).
Разложение имеет вид
<2-263)
Vj=O
Д	(2'264)
К -1
где Р1' = { 7^' , Р^'",..., Р^ — система ортонор мированных многочленов с весом Д.
Если функция Аг- (V^P^1 (PQ точно приближается многочленом степени < 2q{ -1,
то коэффициент Фурье вычисляется точно, при этом сама функция Az ) будет
точно приближаться многочленом степени <2<?1-1-г1 (P^(Pi) —многочлен сте-
пени гД. Отсюда следует
2q} -1 - г, < .
Поскольку степень многочлена есть число целое, последнее неравенство выпол-
няется при qx-l<vx. Поэтому в разложении (2.263) необходимо положить
= q^ -1, т.е. брать qx ортонормированиях многочленов. Аналогично и в много-
мерном случае следует в выражении (2.239) положить Nz = qz -1, z = 1,1.
Выше было показано, что простейший алгоритм метода детерминированных эк-
вивалентов имеет место в случае, если ортонормированные системы выбираются с
весом, равным ДЗР соответствующих случайных величин. Структурная схема расче-
та статистических характеристик в этом случае приведена на рис. 2.56, где интегралы
рассчитываются методом Гаусса. Погрешность определяется зависимостью
я((и[п]) = £я\	(2.265)
2=1
где

RVz
Zz &	Z = ^L
(2.266)
В рамках корреляционной теории алгоритм представлен на рис. 2.57.
Как уже говорилось ранее, в случаях невысокого порядка дифференцируемости
подынтегральной функции квадратуры Гаусса дают худшие результаты, чем другие
формулы интегрирования. При вычислении кратного интеграла (коэффициентов Фу-
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 241
рье) не обязательно использовать формулы Гаусса по всем переменными. По некото-
рым переменным или по всем можно воспользоваться и другими известными форму-
лами вычисления одномерных интегралов, например формулами Ньютона-Котеса,
которые имеют степень алгебраической точности не выше п -1.
Рис. 2.56. Структурная схема алгоритма метода детерминированных эквивалентов,
использующего спектральное представление функций ц
Известно, что при вычислении интегралов очень высокой кратности (что соот-
ветствует большому количеству случайных величин в системе (2.237)) практиче-
ски невозможно получить значения интеграла с гарантией малой оценки погреш-
ности. В этих случаях можно применить метод Монте-Карло расчета интегралов,
который оценивает погрешность не с гарантированной оценкой, а лишь с опреде-
ленной вероятностью. Теоретической основой метода Монте-Карло является за-
кон «больших чисел».
Перейдем к вопросу выбора систем ортонормированных полиномов с весом, рав-
ным ДЗР случайных величин. Для каждого ДЗР существует единственная система
ортонормированных полиномов. Существуют методы построения ортонормирован-
ных полиномов. Для часто встречающихся на практике весовых функций такие по-
линомы известны.
Чтобы для каждого закона распределения случайной величины не строить орто-
гональные полиномы, можно преобразовывать исходные случайные величины к той
или иной стандартной форме классических законов распределения (равномерному,
нормальному, экспоненциальному, распределению типа «арксинус»), т.е. к тем зако-
нам, для которых уже известны системы ортогональных полиномов.
242
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 2.57. Структурная схема алгоритма метода детерминированных эквивалентов,
использующего спектральное представление фазовых координат
Если случайная величина X имеет равномерный закон распределения на проме-
жутке [a, bj, то с помощью линейного преобразования
, b-ct Ь + а
Л =----V +-----
2	2
промежуток [a, bj приводится к промежутку [-1,1], при этом случайная величина
V имеет равномерный закон распределения на промежутке [-1,1]- Ортогональная
система полиномов на промежутке [-1,1] с f(Vj = 1/2 — система полиномов Ле-
жандра, элементы которой определяются соотношениеми:
(2.267)
(« +1) А1 (Г) = (2л + 2)гт; (Г)-(Г);
d (1Л	12п + 1 *
Pn\V J = J—-—Pn — ортонормированные полиномы.
Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с парамет-
рами и (математическое ожидание и дисперсия), то, осуществив линейное
преобразование

Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ
243
получим случайную величину V, также имеющую нормальный закон распределения
с параметрами mv = 0 и <5у = 1. Ортонормированная система полиномов на проме-
жутке (-оо, оо), когда f(V) = 1/>/2л • e~v определяется соотношениями:
я0*(г)=1; h[(v\ = v-
V 7 V 7	(2.268)
я;+1(К) = РНДк)-(Я + 1)я;_1(К);
Нп (Г) = J—Я* — ортонормированные полиномы Эрмита.
V п\
Если случайная величина X имеет экспоненциальный ДЗР /'(X) = це-ц\
X е [0,оо), то при помощи линейного преобразования
V = цХ	(2.269)
можно перейти к экспоненциальному закону распределения с параметром ц = 1.
Ортонормированная система полиномов на промежутке [0, оо) с /(Е) = е-Г есть
система полиномов Лагерра:
Д(К) = 1;	=
(И) = [Г-(2« + 1)]4 (r)-«24_, (Г);	(2.270)
(Г) = I——ортонормированные полиномы.
Ц"!)
Систему полиномов, ортогональную с весом ЦК) = 1/^тУ1 - И2 j (ДЗР типа
«арксинус») на промежутке [-1,1] образуют полиномы Чебышева первого рода:
ЩсЩ; 4(Г) = К;
ЩгЦгггЩгЦСДГ);	(2.271)
Т„(1-) = ^2Т; — ортонормированные полиномы п > 1.
В заключение отметим, что метод достаточно эффективен при статистическом ис-
следовании сложных нелинейных систем и обобщается на САУ с распределенными
параметрами; нашел применение в инженерной практике как при решении задач ана-
лиза, так и статистической оптимизации.
Пример 2.7. Система автоматического управления описывается дифференциальным уравнением вида
^+х2=(Е+1)2, х(о) = о,
где Е —случайная величина с нормальным законом распределения: Л7(Е) = 0, 7Э(Е) = 0,01. Требуется
определить математическое ожидание и дисперсию в момент времени 1 = 1.
Перепишем дифференциальное уравнение в виде
^ + Х2=(0,Щ1 + 1)2, х(о) = о,
где Е: М(Е) = 0, £>(Е) = 1.
Точные значения математического ожидания и дисперсии равны
Т/[Х(1)]|г=1 = 0,76263; £>[Х(1)]|г=1 = 0,01381.
Найдем решение задачи методом детерминированных эквивалентов при различных количествах выбо-
рок случайной величины.
Ортонормированной системой для данной плотности распределения является система многочленов
Лежандра:
244 Статистическая динамика и идентификация САУ
^о(^1) = 1; ^1(С1) = С1; Р2(К1) = 0,7074 -0,707;
р3 (Fj) = 0,4084 -1,225^;	4) = 0,2044 ~Ь2254 + 0,612.
Возьмем количество выборок q = 2. В этом случае Fn = -1, F12=l (корни /^(FJ), А^ = А^1 =0,5.
Требуемые решения дифференциального уравнения можно найти численным интегрированием. Одна-
ко в рассматриваемом случае решение имеет аналитическую форму:
2С+1> -1
л-(АЧ)=(и,+1)
е ’ +1
Из этой формулы следует, что
X 4^)4 =0,64467; %(/,Fl2)|,_l =0,88055;
тогда математическое ожидание в момент времени t = 1
m(l)4 = 441,Fn)4 + 441,F12 ) 4 = 0,76261.
Реализации функции г| для расчета дисперсии в момент времени t = 1:
4 (СИц)|Z=1 = (0,64467 -m(OLn)2J 4 (СК12)|,=i = (0,88055 -m(l)4)2 ;
тогда
О(1)|г=1 = 4>ПР(1,И11)|г=1+4>ПР(1,И12)|г=1 = 0,01391.
Вычислим дисперсию через коэффициенты разложения выходной координаты:
^|г=1-41^(^Т11)|г=1/’о(И11) + 41Х(г,И12)|г=1Ро(И12) = О,76261;
4|г=1«4х(1,И11)|г=1Р1(И11) + 4х(1,И12)|г=1Р1(И12) = 0,11794.
Имеем
Хк’ *1)|г=1 * £cv |г=Л 41) = 0,76261 + 0,11794Fi;
v=0
тогда
40и = Е(4)2-(^)2=0’ 01391.
v=0
Возьмем количество выборок случайной величины q = 3. В этом случае Fn = -1,73205, F12 = 0,
F13 =1,73205 (корни Д(^)), 4 =0,1(6), 4 = 0,(6), 4 =0,1(6). Тогда
^4^)4 = 0,56119, Х(1,И12)|г=1= 0,76159, X(t,Vl3)\t=l = 0,96824;
т(1)|г=1 = 4х(1,И11)|г=1+4х(1,И12)|г=1 + 4х(1,И13)|г=1=0,76263.
Реализации функции г| для расчета дисперсии в момент времени t = 1:
п4,Кп)Ц=(0,56119-т(1)|гД2;
4(1А12)4=(0,76159-т(1)|г=1)2;
44М4 =(0,96824-т(0|г=1)2;
д(04=444^04+444^)4+444^)4=0,01381.
Вычислим дисперсию через коэффициенты разложения выходной координаты:
4 4 « 4х(1, Fn)4 Ро (Fn) + 4>Х(?, F12 )4 Ро (F12) + 4'1(1,F13 )4 Ро (F13) = 0,76263;
4|г=1 «4x4^01^714и)+4^4к12)|г=1р1412)+4^4к13)4р1(и13) = о,11751;
4|г=1«4х4и11)|г=1р2(и11)+4х4и12)|г=1р2(и12)+4х4и13)|г=1р2(и13) = 0,00147.
Имеем
2
^(lAOI^i ^44^(^1) = °,76263 + 0,11751^ + 0,0014713(0,7074-0,707);
v=0
я(1)4 = £(4)2-(^)2= 0’01381.
v=0
Хорошая сходимость метода в данном случае объясняется высокой степенью гладкости функций 4,4-
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 245
Пример 2.8. Исследование динамики регулирования паровой турбины при случайных возмущениях.
Для современной энергетики характерна тенденция всемерного повышения надежности энергетиче-
ского оборудования в интересах как потребителей, так и производителей энергии. Среди многих факторов,
определяющих безотказность и долговечность энергетической турбины, существенное значение имеет
степень повреждаемости ее деталей при изменениях режимных параметров в процессе эксплуатации. Сис-
тема регулирования турбины, контролируя эти изменения, призвана не только гарантировать требуемое
качество производимой энергии, но и обеспечивать надежность функционирования самого агрегата. Сле-
довательно, необходимо стремиться к тому, чтобы возможно большее число показателей качества системы
регулирования было согласовано как с условиями, выдвигаемыми энергосистемой, так и с условиями экс-
плуатации турбоагрегата.
Исследования систем регулирования при детерминированных возмущениях, например ступенчатых или
импульсных, позволяют определить структуру и параметры систем, исходя из требований быстродействия
и устойчивости. Однако большую часть времени эксплуатации турбины ее система регулирования не испы-
тывает таких возмущений, а находится под воздействием малых отклонений, носящих случайный характер.
Источники подобных отклонений находятся как в самой системе — это, прежде всего, пульсации парамет-
ров рабочего тела, используемого для привода элементов, так и вне ее — это колебания параметров энер-
гоносителя до и после проточной части турбины и, наконец, колебания нагрузки у потребителей энергии.
К внутренним источникам случайных возмущений относятся также изменения в процессе эксплуатации
параметров настройки системы: коэффициентов усиления, постоянных времени, уровней срабатывания.
Реагируя на случайные возмущения, система регулирования меняет режим работы турбины. Следова-
тельно, качество поддержания регулируемых параметров в длительной эксплуатации существенно зависит
от поведения системы в этих условиях. С другой стороны, реакция системы на поступающие постоянно
случайные воздействия снижает качество вырабатываемой энергии, ускоряет износ подвижных деталей
системы, а также приводит к образованию усталостных повреждений в турбине. Особенно вредны колеба-
ния клапанов и газодинамически связанного с ними лопаточного аппарата. Во влажнопаровых турбинах на
АЭС колебания клапанов сопровождаются смещением зоны спонтанной конденсации, что расширяет
опасную область повреждений лопаток и дисков. Поэтому динамика регулирования турбины при случай-
ных возмущениях играет важную роль при анализе и синтезе системы регулирования, во многом опреде-
ляя ее качество функционирования и надежность.
Исследуем динамику регулирования паровой турбины ПТ-25/30-90/10М производства Калужского
турбинного завода. Модель этой турбины, работающей на конденсационном режиме, можно представить
следующим образом.
Уравнение движение ротора турбогенератора:
7'’^+0ф=(1"0)(5"х('))-
где Т —постоянная времени ротора, 7^ = (У®ном)/Л/ном (J —момент инерции ротора турбогенерато-
ра, соном — номинальная частота вращения, Л7||ом — номинальный момент движущих сил турбины); 0
— некоторый эквивалентный коэффициент самовыравнивания; ср — относительное отклонение угловой
частоты вращения ротора от номинального значения соном, ср = (®-®ном)/®ном '> 7 — относительное
отклонение расхода пара; X — относительное отклонение электрической нагрузки генератора.
Уравнение эквивалентного аккумулятора пара (между регулирующими органами турбины и проточ-
ной частью):
т de
^37 = ^-^
dt
где — постоянная времени камеры объема (время полного заполнения камеры при определенном рас-
ходе пара); л0 — относительное изменение давления свежего пара; ц — относительное отклонение
поршня сервомотора турбины.
Рис. 2.58. Формы кромок отсечного золотника
Уравнение движения поршня сервомотора зависит от формы кромок отсечного золотника (рис. 2.58):
форма отсечного золотника вида «а»:
z2 .
0,5----signz
d\n[dt =
z - 0,5Azosign z при |z| > Az0;
246
Статистическая динамика и идентификация САУ
форма отсечного золотника вида «б»:
dpfdt =
z2
0,5z + 0,25---signz при|г|<Дг0;
Л-7	1 1
z-O,25Azosignz при|г|>Дг0.
где — постоянная времени сервомотора; z — относительное изменение положения поршня отсечного
золотника; Az — относительная высота треугольного профиля кромок отсечного золотника.
Уравнение движения отсечного золотника сервомотора:
гт dz
Т. — = ~z
dt
’(рО ’
е.
е<ро >
где Tz — постоянная времени отсечного золотника сервомотора; е(р0 — величина, характеризующая
настройку системы регулирования (степень нечувствительности по частоте вращения).
Таким образом, динамика регулирования паровой турбины, работающей на конденсационном режиме,
описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, причем относительное отклонение
электрической нагрузки генератора относительное изменение давления свежего пара л0 в реальных
условиях работы турбины являются случайными процессами.
Непременным условием применения статистического подхода к анализу регулирования должно быть
использование близких к реальным характеристик случайных возмущений. Для отклонений частоты сети,
которые являются наиболее существенными внешними возмущениями в системах регулирования энерге-
тических турбин, сведения о законе регулирования, дисперсии, корреляционные функции и спектральные
плотности приведены во многих работах. Закон распределения, как правило, принимается нормальным.
Примем корреляционную функцию изменения нагрузки генератора /. следующего вида:
т'к (0 = °, R'k w = cos (0т);
= 0,015, h = 0,007 с-1, 0 = 0,0019 с-1.
Статистические характеристики пульсаций давления свежего пара аппроксимируем выражением
«ко(0=1; ^о(^)=^оАА
<> л0 = 0,04; h = 0,03 с-1.
В некоторых работах приводятся примеры полученного экспериментального процесса пульсаций дав-
ления масла в напорном коллекторе системы. Пульсации давления масла в системе регулирования влияют
на реальные постоянные времени сервомоторов и отсечных золотников. Действительно, время сервомото-
ра определяется следующим выражением:
у, _ ^цтцшах | рм
(2.272)
(2.273)
(2.274)
''пкА’У \(Рн-РС)’
где числитель представляет собой объем масла плотности рм, засасываемый и в то же время вытесняемый
поршнем активной площадью /ф в течение его максимального рабочего хода тцтах, а знаменатель —
секундный расход жидкости при полностью открытых окнах золотника на величину 5max; b — суммар-
ная ширина прямоугольных окон в одном ряду; у — коэффициент расхода; рн — давление нагнетаемой
жидкости перед окнами золотника; рс — давление в сливной системе за окнами золотника.
Таким образом, время сервомотора определяется через давление масла в гидравлической части регуля-
тора, которое, как показывает практика, является случайной функцией. Следовательно, в полученной мо-
дели 7ф является случайной функцией. Случайный характер носит и постоянная времени отсечного зо-
лотника Tz, так как она также определяется через давление масла в системе регулирования. Ее статисти-
ческие характеристики можно также аппроксимировать выражением, подобным (2.272). С учетом этого
времена сервомоторов и отсечных золотников можно выразить следующим образом:
= 0,2/у]1 + рсл ;
т; =0,05Д/1+Рсл;
0 = °; *pjT) = ^yANc°s(pT);
= 0,12; h = 0,005 с-1; 0 = 0,4 с-1.
Силы трения гране форматора давления, регуляторов давления, золотников, сервомоторов не поддают-
ся какому-либо точному расчету, так как носят случайный характер, поэтому степень нечувствительности
системы регулирования по частоте вращения нельзя считать постоянной величиной. Степень нечувстви-
(2.275)
т.
(2.276)
Глава 2. Методы исследования нелинейных САУ 247
тельности системы регулирования турбины производства Калужского турбинного завода по частоте вра-
щения лежит в пределах 0,1-0,15%. Ее статистические характеристики аппроксимируем следующим образом:
тЕ (0 = 0,0012; 7? (т) = ^
М \	’ е<р0 \ / есрО ’	(2 277)
<г = 0,0003;/г = 0,05 с-1.
£<р0	’	’	’
Статистический анализ проводился методом детерминированных эквивалентов. Результаты анализа
(среднеквадратические отклонения — СКО) представлены на рис. 2.59-2.62. Результаты анализа показы-
вают, что поршни сервомотора и отсечного золотника практически постоянно перемещаются относитель-
но некоторого среднего положения. Для эксплуатационного персонала эти перемещения являются вполне
привычными, а их прекращение свидетельствует о возможном заедании или ином отказе.
Достаточно хорошо известны две причины таких перемещений: отработка сравнительно малых внеш-
них возмущений и воздействие внутренних возмущений в системе регулирования. Постоянное возвратно-
поступательное движение при значительной частоте и амплитуде приводит к ускоренному износу элемен-
тов системы регулирования. Поэтому стараются ограничить амплитуду и частоту движения клапанов. На
практике борьбу с последствиями влияния названных факторов ведут искусственным введением зоны
нечувствительности. Снижение точности системы регулирования обычно считается единственным нега-
тивным последствием увеличения ее нечувствительности. Между тем, как показывают результаты анализа,
само по себе наличие зоны нечувствительности может являться еще одной причиной возникновения пере-
мещений исполнительных органов. Вместе с тем небольшие колебания приносят некоторую пользу, сни-
жая нечувствительность системы (преодолеваются силы трения и другие сопротивления), подобно вибра-
ции, и тем самым повышается приемистость агрегата.
Рис. 2.59. СКО относительного изменения частоты вращения ротора
ПТ-25/30-90/10М (отсечной золотник формы «а»)
Рис. 2.60. СКО относительного изменения частоты вращения ротора
ПТ-25/30-90/10М (отсечной золотник формы «б»)
248
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 2.61. СКО относительного изменения положения поршня сервомотора
ПТ-25/30-90/10М (отсечной золотник формы «а»)
Рис. 2.62. Качество регулирования частоты вращения ротора турбины
ПТ-25/30-90/10М при случайных отклонениях нагрузки
Качество регулирования частоты вращения регуляторами турбогенераторов при случайных отклоне-
ниях нагрузки принято характеризовать отношением среднеквадратических отклонений <т(р и частоты
и нагрузки кк = о	(рис. 2.62). Чем меньше показатель кК, тем эффективнее регуляторы турбоге-
нераторов энергосистемы выполняют требование ограничения отклонений частоты сети от заданного
уровня при отклонениях режима энергосистемы.
Оценку качества системы регулирования на основании рис. 2.62 можно произвести следующим образом.
Если принять среднее для энергосистемы значение показателя качества кК = 4 при среднеквадратическом
отклонении нагрузки <тЛ = 0,005, получим, что соответствующая этим характеристикам область значений
степени нечувствительности отвечает даже жестким требованиям Международной электротехнической
комиссии ( Б(ро/§! = 0,015 при 8 = 0,04 или 0,06% номинального значения частоты сети).
Из рис. 2.62 видно, что при фиксированном значении степени нечувствительности е(р0 приращение
среднеквадратичного отклонения нагрузки сц сопровождается меньшими приращениями среднеквад-
ратичного отклонения частоты о . Если среднеквадратическое отклонение нагрузки оказывается
выше уровня 0,005, то в данном случае расширяется область, где показатель /ск и степень нечувстви-
тельности Б(ро остаются в допустимых пределах.
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
249
ГЛАВА 3. МЕТОДЫ СИНТЕЗА СТАТИСТИЧЕСКИ
ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Методы синтеза оптимальных линейных систем при случайных воздействиях име-
ют необходимое теоретическое обоснование и широко используются при решении
инженерных задач. К таким методам можно отнести методы, использующие парамет-
рический синтез, основанные на решении уравнений Винера-Хопфа, Калмана-Бьюси.
Основы статистической теории оптимальных систем, изучающей методы получе-
ния наиболее вероятной, оптимальной, в известном смысле, оценки сигнала, связан-
ного с полезным сигналом некоторой заданной операции, заложены в работах
А.Н. Колмогорова и Н. Винера. В русле развития этих работ построена теория ли-
нейной фильтрации как для скалярного случая, так и в пространстве состояний. По-
лучены одномерные и многомерные уравнения Винера-Хопфа, определяющие им-
пульсные переходные функции оптимальных линейных фильтров.
Наиболее общие результаты в теории линейных статистически оптимальных систем
получены В.С. Пугачевым [97].
Методы решения важных задач расчета оптимальных в статистическом смысле
динамических характеристик САУ (стационарных, нестационарных, дискретных и со
случайными параметрами) разработаны В.В. Солодовниковым и П.С. Матвеевым.
Ценный вклад в развитие теории фильтрации внес Р.Е. Калман. Построена общая
теория фильтров Калмана-Бьюси, включая фильтры Калмана-Бьюси для несмещен-
ной оценки. Результаты обобщены на дискретный вариант: разработана теория дис-
кретных фильтров. Наиболее существенным результатом теории является описание
оптимальных фильтров с помощью дифференциальных и разностных уравнений.
Это обстоятельство становится решающим в тех случаях, когда формирующий
фильтр имеет высокий порядок, ибо при этом решение интегральных уравнений
крайне усложняется.
Применение теории фильтров Калмана-Бьюси позволяет достаточно просто по-
строить структурные схемы оптимальных фильтров. Разработана теория оптималь-
ной фильтрации при небелых шумах.
Существенно более сложной как по постановкам задач, так и по методам их реше-
ния и теоретического обоснования является проблема нелинейной фильтрации сигна-
лов. Эта теория недостаточно разработана и развивается по нескольким направлениям.
Приведем некоторые примеры задач, решение которых связано с проблемой не-
линейной фильтрации [54, 106].
Важными являются задачи по обнаружению сигналов, когда их появление пред-
шествует заранее неопределенный период ожидания, задачи по классификации сиг-
налов в условиях наличия мешающих факторов, а также оценивание параметров сиг-
налов в разной помеховой обстановке.
Задача обнаружения актуальна для станций обнаружения (радиолокация, гидро-
акустика, сейсмология и др.), когда в зоне действия средств обнаружения спонтанно
возникают те или иные возмущения, вызванные самыми различными причинами, или
когда обнаружению подлежит начало работы какой-нибудь локационной станции.
В этих условиях надо не пропустить, более того, как можно скорее обнаружить
появившийся сигнал.
250
Статистическая динамика и идентификация САУ
Обнаружение сигнала позволяет своевременно предпринимать те или иные неот-
ложные действия, например подать команду на изменение курса движения судна при
обнаружении другого судна, идущего встречным курсом.
Важной является задача классификации сигналов, под которой понимается опреде-
ление принадлежности параметров сигналов к одному из возможных распределений.
При решении практических задач это — распознавание объектов, поскольку распозна-
ваемым объектам свойственны разные распределения параметров сигналов. Стохас-
тичность сигнала и наличие помех требует последовательной процедуры классификации,
при этом алгоритм классификации должен минимизировать ошибки классификации.
Большую практическую ценность имеет задача оценивания параметров сигналов.
Например, в навигационных системах по параметрам сигналов вычисляются коорди-
наты и элементы движения объектов. Байесовский подход позволяет наиболее полно
осуществить решение этой задачи.
Содержание каждого из направлений теории нелинейной фильтрации определяет-
ся тем обстоятельством, что полезный сигнал и помеха имеют распределение, отлич-
ное от нормального. Одно из направлений предполагает, что оцениваемый вектор
состояний представляет собой условный марковский процесс и находится дифферен-
циальное уравнение, определяющее первую условную функцию распределения век-
тора состояний. Второе направление состоит в оценки вектора постоянных случай-
ных параметров, с помощью которых можно представить информацию, сообщение,
полезный сигнал или состояние объекта. Общий подход этого направления основы-
вается на байесовском критерии в оценке постоянных случайных параметров, нели-
нейно связанных с наблюдаемым полезным сигналом, при наличии аддитивной гаус-
совой коррелированной нестационарной помехи.
Наибольшее развитие получила теория нелинейной фильтрации при аддитивной
гауссовой помехе в наблюдаемом сигнале.
Цель настоящей главы — изложение некоторых подходов к синтезу статистиче-
ски оптимальных систем, знакомство с основными идеями и положениями проблемы.
Приведены некоторые положения, лежащие в основе теории фильтров Колмо-
горова-Винера; рассмотрены скалярные и векторно-матричные уравнения Винера-
Хопфа и методы их решения.
Широкое применение в инженерной практике нашли фильтры Калмана-Бьюси.
Теория этих фильтров также изложена в этой главе.
3.1. ФИЛЬТР С ЗАДАННОЙ СТРУКТУРОЙ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
Оптимальной среди систем данного класса называют ту систему, для которой
показатель ее качества имеет экстремальное значение (минимум или максимум в
зависимости от смысла показателя). Выбранный показатель качества называют, как
говорилось выше, критерием оптимальности.
Рассмотрим случай, когда заданы структура системы и статистические харак-
теристики входных сигналов. Требуется найти такие значения параметров системы,
при которых обеспечивается экстремум критерия оптимальности. Эти значения па-
раметров называют оптимальными параметрами системы.
Такая задача широко распространена на практике, так как структура системы час-
то выбирается, исходя из ее функционального назначения. Можно специально вво-
дить корректирующие звенья с изменяемыми параметрами [125].
Перейдем к рассмотрению задачи. Ясно, что ошибка системы состоит из двух со-
ставляющих. Одна из них вызвана тем, что система не может абсолютно точно вос-
производить полезный сигнал m(t}, а другая — реакцией на помеху n(t}. Стремле-
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 251
ние уменьшить первую составляющую приводит к увеличению второй составляющей
ошибки и наоборот. Задача синтеза состоит в том, чтобы обеспечить минимально
возможную сумму обеих составляющих при заданной структуре системы (рис. 3.1).
Наиболее простым является случай, когда полезный сигнал имеет более низкочас-
тотный спектр, чем помеха (рис. 3.2).
m(t)
Рис. 3.3. К постановке задачи фильтрации
Перейдем к рассмотрению общего случая, когда спектры Smm (со) и Snn (со) пере-
крываются.
Пусть в структуру системы (рис. 3.3) введено корректирующее устройство с ПФ
^Лку(*у,р), причем параметры рх,р2,...,рг могут меняться. Для простоты положим,
что параметры остальной части системы фиксированы; эта часть имеет ПФ ^(л1).
Тогда ПФ замкнутой системы имеет вид
252
Статистическая динамика и идентификация САУ
Запишем выражение для СКО в предположении, что полезный сигнал т(/) и по-
меха n(t} не коррелированы, a Smm (со) и Snn (со) —дробно-рациональные функции
частоты со, и, следовательно, СП можно факторизовать:
^тт (®) ^тт (j®*) ^тт (У®) ^тт ^тт ( У®)»
Snn (со) = S„n (/со)Snn (/со) = Snn (/со)Snn (-/со).
Справедлива зависимость
j |1 - JV(s,р)|2
5отот(со)с7со+ Г |^0,р)|2	Snn (со)с7со =
5= /«>	*	IS=JG)
= j (l-fK(5,p))(l-fK(-7CO,p))5OTOT(7Co)5OTOT(-7Co)c7co +
(3-2)
(3.3)
+ ^(У®,р)^(-У®,р)^ии(У®)^ии(-У®)^® =
= 2^(а---Рг) + 2л/2(а---Рг) = °2(РнР2,-,Рг)-
Таким образом, ст (рх, р2,..., рг) является функцией параметров д, р2,..., рг
(см. Приложение 4).
Оптимальной системе соответствуют такие значения д ,..., рг, при которых <52
достигает минимума.
Предположим, что минимум выпуклой функции <52 существует и единственен,
а ограничения на параметры отсутствуют. Тогда условие минимума находится при-
равниванием частных производных от <52 по д к нулю, т.е.
с7о2(д,д,...,д)	—
----'------------= 0; у = 1, г.	(3.4)
dpv
Введем векторные обозначения: р = (д,...,д)Т — вектор-столбец параметров;
Vo2 (р) — градиент вектор-столбец частных производных:
2/ \	д-2/ \ Гдо2	Эд2
Vo (p) = grado (р)=	.
дрг др2	дрг )
Тогда систему уравнений (3.4) можно записать в виде одного векторного урав-
нения
Vo2(p) = 0.	(3.5)
Решение этого уравнения и определяет оптимальный вектор параметров
*	/ *	*	* \Т
Р=Р =\Р^Р^...,Рг) .
Для решения системы (3.5) наиболее часто используют численные методы; кроме
того, для нахождения mino2(p) можно применять методы оптимизации.
Если на параметры системы наложены ограничения, то для решения задачи опти-
мизации необходимо использовать аппарат нелинейного программирования.
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
253
Пример 3.1. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.4.
ПО = §(0 + ^(0
А(0
Рис. 3.4. Структурная схема системы
На вход системы поступает аддитивная смесь полезного сигнала т(7) и помехи /?(/), причем
Smm^)= jD2mm\v 5««(®) = 5о-
ли со +а I
Между помехой и полезным сигналом отсутствует корреляция.
Исходные данные: 7] = 0,1 с; Dmm = 100 град2; 50 = 0,01 град2 /Гц.
Необходимо определить оптимальное значение коэффициента усиления К , соответствующее мини-
муму СКО.
Имеем зависимость, определяющую СКО через параметры системы:
-2	= 2Dmm^ + aT + KT) +
v 7 К + а + а2Т2
Кроме того,
5<52(К) 2Отта7’^1 + а + а27’2^-2Отта(1 + а7’ + КТ}	—
=	й й	н Лч/У) =0.
дК	К + а + а2Т2	V
Отсюда находим
2DmmaT(к + а + а2Т2)- 2Dmma(1 + аТ + КТ) = -nS0 (к + а + а2Т2) ;
2DmmaTK - 2DmmaKT + nS0 (к + а + а2Т2 )2 = -2DmmaT (а + а2Т2) + 2Dmma (1 + 2Т).
Последняя зависимость определяет оптимальное значение К*.
Пример 3.2. Рассмотрим систему автосопровождения цели; структурная схема представлена на рис. 3.5.
Требуется определить среднее значение квадрата общей ошибки системы автосопровождения [64].
Рис. 3.5. Система автосопровождения цели
Структурная схема системы автосопровождения имеет вид (рис. 3.6).
Пусть g(l) —детерминированный полезный входной сигнал, /?(/) —приведенная на вход системы
помеха, включающая и влияние флюктуаций отраженного сигнала.
Положим
Snn^) = s2.
254
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 3.6. Структурная схема системы автосопровождения цели
Точность работы системы в установившемся режиме оценивается критерием
^2(0 = e2(0+^«’
где 8(7) —установившаяся ошибка отработки детерминированного сигнала g(t\, п2 —составляющая
ошибки, порожденная действием помехи и (7).
Задача состоит в нахождении параметра ®0, при котором с2 принимает минимальное значение.
Поскольку
4
W (s, ®0) = —--------------------------------
s + 2, 6cOqi£ + 3,4с0д1У + 2, 6с0д5 + сод
— ПФ замкнутой системы автосопровождения цели, а
ГО Л •
где Со =0, Cj = 2, б/®0, то
2,6
Составляющая ошибки сопровождения цели, порожденная помехой , определяется формулой
2
1
cy — 2n5,ocoo I 4	3	2
2^ Д (y®) + 2,6®0 (J®) + 3, 4coq (yco) + 2,6®oja> + ®o
Имеем (см. Приложение 4)
_ h^h3h4g0 - h$go ~	+ h0hlh4g2 -	+ h^h3g3
14 —	7	; тг	•
d«>.
Для рассматриваемого здесь случая
g0 =0, gt = 0, g2 = о, g3 = 1;
Aq — 1,	— 2,6coo,	— 3,4coo, /ц — 2, 6cOq ,
тогда
й2 = 27г504/4 = 2л5Х = S0®q = 2,1.S0®0 = °2 (®o)-
91®o	91®o
Теперь можно записать формулу, определяющую ошибку автосопровождения цели, в которую входит
неизвестный параметр ®0.
Имеем
А2
— hA + 2,15>0 =с2(®0).
®о )
Последнее выражение показывает, что с увеличением ®0 составляющая скоростной ошибки (первое
слагаемое) уменьшается, а составляющая помехи (второе слагаемое) — наоборот, увеличивается. Опти-
мальное значение ®0 можно получить, исследуя на минимум выражение
4й2(®0)_ 13,52/г2
j -	3 Ь z,io0.
а ©о	®0
Приравнивая эту производную к нулю и решая полученное уравнение относительно ®0, находим
6,44/г2
So
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 255
3.1.1. Принципы комплексирования
Для решения задач управления самолетами, ракетами, кораблями часто применя-
ются системы, использующие принципы комплексирования, предполагающие получе-
ние информации о координатах и параметрах движения с помощью измерителей,
отличающихся по используемым в них физическим законам. Примером может слу-
жить стабилизация антенных систем радиотехнических головок самонаведения ракет
с помощью сигналов гироскопических датчиков. Здесь осуществляется комплексиро-
вание измерителей, работающих на различных принципах. Гироскопы измеряют по-
ложение продольной оси в инерциальном пространстве, а радиотехнический пеленга-
тор определяет положение цели относительно этой оси. Комплексные угломерные
устройства решают стоящие перед ними задачи значительно более успешно, чем уст-
ройства, работающие независимо [19].
Изложим некоторые положения, связанные с принципами построения комплекс-
ных систем радиоавтоматики, следуя [19].
Схема компенсации [19] очень удобна для выявления физической сущности вы-
игрыша, который можно получить в результате комплексирования двух измерителей.
6У2
Г (?) = m(t) + пх (?)	+ X(t)
ву'Чу~Т~^ w(s)
у2(?) = т(?) + и2(?) т
Рис. 3.7. Структурная схема системы
Сигналы первого и второго измерителей (рис. 3.7) 1) (?) = т^ + щ (?) и
Y2 (/) = m(t} + n2 (t), содержащие измеряемую величину m(t} и помехи nx(t) и n2(t},
поступают на вычитающие устройство ВУ, в результате чего выходной сигнал вычи-
тающего устройства (в точке А) равен разности n\(tj-n2(ty Пусть щ (?) имеет спек-
тральную плотность в низкочастотной области, а спектр п2 (?) — весьма широкополо-
сен (рис. 3.8, а). Если теперь фильтр W(я) выбрать так, чтобы он с минимальными
искажениями пропускал помеху щ (?) и возможно полнее подавлял помеху n2(t), то
на его выходе (в точке 5) будет почти полностью воспроизведена помеха щ (7). Если ее
вычесть из сигнала У[ (7), то полученный на выходе сигнал будет очень близок к тре-
буемому значению т(ф. Действительно, если бы с помощью фильтра удалось полно-
стью подавить помеху п2 (?) и пропустить без искажений помеху nx(t), то сигнал на
выходе воспроизводился бы идеально точно:
X(t} = m(t} + nx (/)-«! (/) = m(t}.
В действительности такую фильтрацию осуществить не удается, и в выходном
сигнале помимо требуемой функции т(7) будет содержаться ошибка <э(7):
X(t} = m(/) + (5(7).
Ошибка <э(7) будет тем меньше, чем сильнее различие в спектральных характе-
ристиках помех nx(t) и n2(t}.
256
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 3.8. Графики, иллюстрирующие преобразование сигналов в системе,
представленной на рис. 3.7
Имеем (используем формальное преобразование Лапласа)
X(S) = Y1(S)-X,(S) = M(S)+N1(S)-(N1(S)-N2(S))W(S) =
= M(s) + (l-W(s)Nl(s) + W(s)N2(s)).
Ошибка определяется зависимостью
o(5) = (l-fF(5))A1(5) + fF(5)A2(5).	(3.6)
Согласно принятому условию, W (/со) должен быть фильтром низких частот
(рис. 3.8, б). Тогда фильтр с характеристикой 1 - W(усо) будет фильтром верхних
частот. На выход проходят составляющие низких частот ^(z), пропущенные через
фильтр верхних частот l-JE(yco), а также составляющие высоких частот n2(t),
прошедшие через фильтр низких частот. Если сигналы и тг2 (/) являются ста-
ционарными и статистически независимыми случайными функциями времени со
спектральными плотностями 5 (со) и Sn^ (со), то дисперсия сигнала ошибки бу-
дет равна
б2 =	(<o)|l-^(7'to)|2 +SVt (со)|гг(7со)|2]й?со.	(3.7)
Как видно из рис. 3.8, в, г, эта дисперсия в случае, когда спектральные плотности
«разнесены» по оси частот, значительно меньше дисперсии и ошибок вход-
ных сигналов
(3-8)
Аналогично можно составить схему компенсации с тремя измерителями (рис. 3.9).
Для выходных сигналов справедливы зависимости
X(s) = A7(S) + (l + fF1(y)(l-»'2(S))W1(y + (l-fF2(y)»'1(S)W2(S) + »',(yw3(S).
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
257
Рис. 3.9. Структурная схема системы
Ослабление помехи пъ (?) может быть достигнуто в том случае, когда ее энергия со-
средоточена в области частот, отличной от той, где сосредоточена энергия помехи щ(Ду
Из приведенного анализа схемы компенсации с двумя источниками ясно, что ее
можно представить эквивалентной схемой (рис. 3.10), т.е. как систему, в которой по-
лезный сигнал проходит без искажений, помеха п2 (/) — через фильтр с переда-
точной функцией W(s^, а — через фильтр с передаточной функцией 1-17(5).
Если при этом фильтр пропускает нижние частоты, то фильтр 1- W(s^, напро-
тив, подавляет нижние частоты и пропускает верхние. Поэтому энергия помехи щ (?)
должна быть сосредоточена в области нижних, а п2 (/) — верхних частот.
Рис. 3.10. Структурная схема системы
Рис. 3.11. Структурная схема системы
Для того чтобы система не вносила динамических ошибок, вызванных переход-
ными процессами в фильтрах при любых законах изменения m(t}, необходимо и
достаточно выполнить следующее соотношение (рис. 3.11):
=	(3.9)
2=1
258 Статистическая динамика и идентификация САУ
Рассмотрим схему со следящим радиотехническим измерителем (рис. 3.12) [19].
Рис. 3.12. Структурная схема системы:
а — исходная структурная схема; б — эквивалентная структурная схема
Рис. 3.13. Структурные схемы
В [19] показано, что если условия инвариантности H^W2 (s) = 1 выполнены и
автономный измеритель не обладает динамической ошибкой, то комплексная систе-
ма также не имеет динамической ошибки и полосу радиотехнической системы сле-
дует выбирать только исходя из условий обеспечения минимума помеховых ошибок,
определяемых формулами (рис. 3.13)
^(jco) = ^i(jco)^2(jco);
о (/со) = —^(•7'со) V (jco);	(3.10)
/V 7	1 + ^(/со) Р
. .	W(j&\	. .
° а (7 ю) =--v z 7 ч N (7 ю) •
v 7 l + FT(jco) V 7
Отсюда следует важный вывод: комплексная система работает так, что систе-
матическое рассогласование на выходе измерительного элемента радиотехнической
системы, обусловленное динамической ошибкой, отсутствует и создаются наиболее
благоприятные условия для предотвращения срыва сопровождения. Конечно, этот вывод
относится к идеализированной системе. Но и в реальной комплексной системе устано-
вившееся рассогласование меньше, чем в отдельно взятой радиотехнической системе.
Отсюда следует, что при компенсировании получается дополнительный выигрыш в поме-
хоустойчивости в том смысле, что уменьшается вероятность срыва слежения [19].
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 259
В связи с использованием комплексных систем возникает вопрос о взаимной кор-
рекции радиотехнического и автономного измерителей, при которой измеренное зна-
чение Хр (f) радиотехнической системы или ее производные вводятся в автономный
измеритель, где используются в качестве корректирующего сигнала.
Автономный измеритель чаще всего имеет ограниченную апертуру, за пределами
которой он либо насыщается, либо дает чрезмерно большие ошибки. Взаимное ком-
плексирование позволяет сузить требуемый диапазон линейности автономного изме-
рителя, и с этой точки зрения ее использование целесообразно.
Рис. 3.14. Структурная схема системы
На практике используется взаимная коррекция доплеровского измерителя путевой
скорости самолета и инерциального счислителя пути. В результате взаимной коррек-
ции создаются наиболее благоприятные условия работы обоих измерителей.
Благодаря использованию корректирующих сигналов радиотехнической системы
часто весьма просто добиться устойчивой работы инерциальных измерителей, что
другими способами осуществить достаточно сложно или даже невозможно [19]. Рас-
сматриваемая система относится к классу систем с неполной информацией, посколь-
ку на вход радиотехнической системы поступает дополнительный сигнал m(ty
Условия инвариантности выберем так, чтобы в сигналах (/) и Xр (f) величина
та (7), общая для обоих измерителей, проходила на выход без искажения. Они при-
водят к следующему равенству:
Hl(S)W2(S) = H2(S)W4(S) = l.
Полный анализ системы приводится в [19].
3.2. ФИЛЬТРЫ КОЛМОГОРОВА-ВИНЕРА
Основополагающие результаты по теории фильтрации были получены А.Н. Кол-
могоровым и Н. Винером (1941 г.). Ими рассматривались только стационарные слу-
чайные процессы. В дальнейшем результаты были обобщены и на классы нестацио-
нарных процессов.
Перейдем к изложению основных положений теории фильтров Колмогорова-Винера.
Рассмотрим линейную систему, представленную на рис. 3.15.
У(/) = m(t) + n(t)
ДО__k
Рис. 3.15. К постановке задачи фильтрации
Заданы взаимно некоррелированные центрированные нестационарные случайные
процессы в виде функций времени m(t} и n(t} с корреляционными функциями
260
Статистическая динамика и идентификация САУ
1	г /	(з.н)
Rnn(h’tz) =
Требуется найти ИПФ к* (t,x) фильтра, оптимальным образом выделяющего
реализацию случайного процесса m(t} в виде некоторого процесса X(t) в условиях,
когда на вход поступает аддитивная смесь полезного сигнала т(б) и помехи п(Г).
Критерием оптимальности является минимум среднеквадратической ошибки (СКО)
М = min,	(3-12)
где <д(/) = m(t}~X(t}.
Структурная схема, поясняющая постановку задачи фильтрации в классе линей-
ных систем, представлена на рис. 3.16.
Найдем уравнение, определяющее ИПФ оптимальной, в указанном выше смысле,
системы. Положим, что при t = 0 фильтр имеет нулевые начальные условия; тогда
сигналошибки определяется зависимостью
о(7) = m\t}~ |&(б,т)У(т)б/т.	(3.13)
о
Для квадрата ошибки можно записать выражение
о2 (/) = т1 (^)-2j k(t,x)Y{x)m{t^dx +
,,	°	(3.14)
+jj Щ,т1)Щ,т2)У(т1)Цт2Цт1<й2.
о о
После осреднения по множеству получим
=	+	(3.15)
О	0 0
Предположим, что
k(t,x) = к31 (?,т) + уДА;(/,т),	(3.16)
т.е. ИПФ k(t,x) отличается от оптимальной ИПФ к (/,т) на некоторую функцию
уД&(Ст).
Тогда из (3.15) и (3.16) следует
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
261
t	11
М [о 2 (/)] = Dmm (/) - 2jГ (t, т) RYm (т,t) (к + j jГ (t, Tj) Г (/, т2) Ayy (tj , т2) dx1dx2
О	00
t	t t
—2y J A k(t, t) RYm (x,t)dx+2y j j k* (t, ) AA; (/, т2) Ауу (^, т2) d\dx2 +
О	00
t t
+y2 j)M(z,T2)/?yy (Т|,Т2)б/Т|б/т2,
00
или, что то же самое,
Л/[а2(0] = <7тт(0-2У fbk(t,x)RYm(x,t)dx-
J jк* (C^)AA;(/,t2)Ryy (т1?т2)^т1^т2
+i2e2^,
о о
здесь
t t
Е2 (0 = J J А^(/,т1)ЛА;(/,т2)7?уу (т1,т2)^т1<^т2
(3-17)
(3-18)
(3-19)
о о
— существенно неотрицательная величина, являющаяся математическим ожиданием
” t
квадрата интеграла М |аА;(/,т)У(т)<7т .
_о
Из (3.18) следует, что для того, чтобы Л/^о2	= min, необходимо выполнение
условия
t	t t
jNk(t,x}RYm (т,/)б7т-J j*A;* (t^^Nk^t^^RYY	= 0.	(3.20)
о	oo
Это условие легко получить, используя положение вариационного исчисления,
согласно которому необходимым условием экстремума функции Л/ Го2 (/)”! является
соотношение
А(л?Га2(/)1) =0.	(3.21)
бу 1 L -11у=о
Подставляя (3.18) в (3.21), находим (3.20).
Можно показать, что уравнение (3.20) является также и достаточным условием
минимума среднеквадратической ошибки. Действительно, поскольку
<3-22>
то так как у2Е2 (/) > 0, следовательно, Л/Го2 (т > а21-11 (/) и, очевидно, функция
к (/,т) действительно определяет фильтр, обеспечивающий минимальную СКО.
Перепишем (3.20) в виде
j АА;(/,т)
t
7?yw(T,/)-|r (ст^Яуу^т)^!
dx= 0, 0 < т < t.
(3.23)
t
Поскольку j A k(t,x)Z (т)<7т = 0 тогда и только тогда, когда Z (т) = 0,
о
t
RYm (т,/) = jV (^rjAyy (т^тртр
о
то
(3-24)
262
Статистическая динамика и идентификация САУ
Полученное интегральное уравнение 1-го рода (3.24) определяет оптимальную
ИПФ фильтра, обеспечивающего воспроизведение полезного сигнала m(t} с мини-
мальной СКО.
Уравнение (3.24) называется уравнением Винера-Хопфа, которое часто записыва-
ется в виде
t
^k(t,xx)RYY(xx,x2)dxx=RYm(t,x2), 0<t19t2<C /е[0,оо).	(3.25)
о
Подробно рассмотрим случай, когда m(t} и n(t} — стационарные стохастиче-
ские процессы.
Постановка задачи фильтрации по Колмогорову-Винеру для этого случая тако-
ва [120].
1.	Заданы взаимно не коррелированные СП в виде функций времени m(t} и n(t} с
КФ Rmm(x), Rnn(x), СПл Smm(a) и Snn((o); m(t) и n(t) — стационарные, эр-
годические, центрированные случайные функции.
2.	Требуется найти ИПФ £*(т) фильтра, оптимальным образом выделяющего
реализацию СП m(t} в виде некоторого сигнала X(t) в условиях, когда на его
вход поступает аддитивная смесь т(Г) + п(Г).
3.	Критерием оптимальности является минимум СКО <э(7) = т(7) -Х(7), т.е.
М [о2	= о2 = min.
Для рассматриваемого случая уравнение Винера-Хопфа имеет вид
RYi^T) = \к* (и) RYY (г-u)du прит>0,	(3.26)
о
причем Ауу(т) —корреляционная функция сигнала Y(d) = т(Г) + п(Г), определяемая
по формуле
RYYb) = Rnm^) + Rnn(^	(3-27)
RYm (т) — взаимная корреляционная функция сигнала на входе Y(7) и полезного
входного сигнала т(/).
Перепишем (3.26) в виде (после преобразования по Фурье)
RYm (5)|s=7(0 = (S)RYY (5)|s=7(0 '>	(3.28)
откуда найдем
JK* (/со) = $Ym — оптимальная ПФ;
ryy (У®)
1	00
к* (т) = — j JK* (/со)е/т<7со — оптимальная ИПФ.
Оптимальная ИПФ, определяемая этой формулой, будет отлична от нуля для от-
рицательных значений т (рис. 3.17).
Такая система физически нереализуема. Однако приближенное построение фильтра
возможно (рис. 3.18).
Ясно, что результат обработки входного сигнала У (7) = m(t) + n(t), поступивше-
го в момент времени t = 0, будет выдаваться фильтром с задержкой по времени на
величину тзап. Качество обработки «покупается» ценой потери времени [120].
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
263
Рассмотрим теперь решение задачи о построении оптимального фильтра с учетом
условия его физической осуществимости [120].
Решение уравнения (3.26) наиболее просто осуществляется в частотной области.
Преобразуем уравнение (3.26) к виду
(т) = j A'* (r-u}du = д(т),	(3.29)
о
где — некоторая функция, равная нулю при т > 0. Условие = 0 при т > 0
приводит к тому, что функция (?(усо) о не может содержать полюсов в верх-
ней полуплоскости плоскости со (все полюсы находятся в нижней полуплоскости).
Необходимо помнить, что условие физической реализуемости состоит в требова-
нии равенства нулю ИПФ при т < 0 (рис. 3.19):
А'(т) = 0 при т < 0.
Но это может иметь место лишь тогда, когда соответствующая передаточ-
ная функция W (х) имеет все левые полюсы и, значит, все верхние полюсы частот-
ной характеристики W* (усо) (см. рис. 3.20 и 3.21).
264
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 3.19. ИПФ физически реализуемой системы
Рис. 3.20. Плоскость 5
со = -js
X
X
Рис. 3.21. Плоскость со
Преобразуем обе части (3.29) по Фурье
sr„, (ja)S„ (а) =	(3.30)
Далее полагаем, что 5Д (со) имеет дробно-рациональный вид.
Представим
б'уу (со) = Syy (j®) = Syy (_7®)>	(3.31)
где SyY (7®) имеет все нули и полюсы в верхней полуплоскости (верхние нули и по-
люсы), a SyY (7®) имеет все нули и полюсы в нижней полуплоскости (нижние нули и
полюсы).
Такая операция, как уже указывалась, называется факторизацией. Подставив
(3.31) в (3.30), получим
SYm (®)- (7®)^ (7®)^ (7®) = 2(7®)-	(3.32)
Произведя деление в (3.32) на SyY (7®) •> найдем
^(ю)-w-(ja)\s^ (ja>\=	.	(3.33)
u	’ S-pjv)
Дробь S(jco) = SYm (g>)/s^y (j®) можно представить в виде суммы
В (7®) = В+ (До) + В~ (До),
причем В+ (До) имеет все нули и полюсы только в верхней полуплоскости, а В~ (До)
— только в нижней.
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 265
Эта операция, связанная с разложением на простейшие дроби и соответствую-
щей группировкой слагаемых, называется расщеплением.
Тогда
В+ +	(ja>)-W^ (jco)^ (jco) =	•	(3-34)
Поскольку по условию физической осуществимости необходимо выполнение ус-
ловия т > 0, решение уравнения ищется только в верхней полуплоскости со. В этом
случае полученное уравнение принимает вид
В+ (у®) - И" (у®) = 0,	(3.35)
т.е.
=	<3-36>
Эуу (ycoj
(т) = — Г АСИ	(3.37)
-оо (jco)
Линейный фильтр является оптимальным для нормальных СП', если сигнал отличен
от нормального, оптимальный фильтр следует находить в классе нелинейных систем.
Пример 3.3. Найти W (5) и к (т), если
Smm = Dmm р Snn (со) = Sy Dmm = л.
л [Г + со
Приведем основные этапы решения задачи [120].
1-й этап. Нахождение СПл сигнала К(Д.
Поскольку 5yy(co) = 5mm(co)-i-5„„(co), то
р2	50	р2 + (р2 + со2 )50	рМЧ + оЧ	р2(1 + 5о) + 5осо2	а2+5осо2
7/1 7 р2+со2	1	р2+®2	р2+®2	р2 + ®2	р2+®2 ’
где а2 =р2(1 + 50).
2-й этап. Факторизация СПл SA (со):
о=([Аю!!гА) -(»•
(p+jco)(p-jco)
где
с+ / \ а + А® г,- / \ а~ jC(a ГК~
SYY (®) - “7 : J SYY (со) - — ; ; с - ySt).
P + J®	Р-уго
3-й этап. Нахождение SYm(o)). Ясно, что SYm (со) = Smm (со).
4-й этап. Расщепление
( у,)) —	_ ^тт (®)
$YY (j®) $YY (j®)
Имеем
B(ja\ = p7R+H = р2 р-> = р2 р-> = р2
(a- A®)/(P- J®) p2+co2a-jc® (Р + jco)(P — jco) a- jcm (Р + jm)(a- jcm)
Отсюда получим
В (>) =	+ —-—.
Р + 7<о а - ус®
Методом неопределенных коэффициентов находим
а + cP	а + cP
тогда
В+ (>ю) = 7--77------V
7 (« + сР)(Р + А>)
5-й этап.
266
Статистическая динамика и идентификация САУ
w* = ЛЯ = р2(р+Я = Р2_________________________1 = к
2 2 Я(У®) (а + сР)(Р +7<в)(а +7С<В) а + фа + jco) 7’(до)-1-Г
где
т _ лЯ к =___________1_____
₽^0 +1	1 + 5*q + CyJ Sq +1
Таким образом, оптимальный фильтр — инерционное (апериодическое) звено, у которого коэффици-
ент усиления всегда меньше единицы и зависит от So, а постоянная времени Т определяется как So, так
и спектром полезного сигнала.
Пример 3.4. Найти ПФ оптимального фильтра, если Rmm (т) = Dmme~^; Rnn (т) = /},,,<?	, причем
Dmm=a\Dnn=b2 [120].
Решение.
1-й этап. Найдем СПл сигналов m(t} и и(1); они равны
sm (®)=-AC; S„„ (и) =
л(1 + со )	л(а +со )
Найдем SA (со):
Syy (со) = Smm (со) + S„„ (со) = Я
2л
2а2 2Ь2а
1 + со2 а2 + со2
1 р2+у2СО2
2л (1 + со2)(а2
г> 2	2 2 . /-»т 2 2	2	^2.^/2
где р = 2а а + 2Ь а ; у = 2а + 2Ь а.
2-й этап. Факторизация СПл. Факторизуя, получим
V (ml = 1	1	YCO + jP	.
77	>/2л (со-j)(co-ja) >/2л (со +j)(co +ja)’
0+ г.-.л	1	W-./P
77	>/2л (со-j)(co-ja)’
5	- (,ю)_ 1	Y<o + ./P
77(7	>/2л (со +j)(co +ja)'
3-й этап. Найдем 5Ут(со). Так как У(г) = т(г) + и(г), то RYm (т) = Rmm (т) и, следовательно,
Ам(со) = 5тт(со) = Я2^.
2л1 + со
4-й этап. Нахождение S(у'со) и S+(jco) (расщепление). Имеем
1 2a2
в/ .4 = Ат(ю)	2Л1 + СО2 = 1 2a2(co + j)(co +ja) = 1 2a2(co + ja)
S^y( ja>} 1 Yto + jP 2л (®2+1)(усо + ДЗ) 2л (со-j)(y® +УР)’
>/2л (со + j)(co + ya)
Найдем Д ( /со). Для этого можно воспользоваться разложением B( j&) на слагаемые с неопределен-
ными коэффициентами и вычислением этих коэффициентов:
Д(усо) = Я_+ А2 (без _L); Л1Усо+ 4УР + Л2со + A2j = 2а2 (со + ja).
co-j yco + jP 72л
Умножением уравнения на j и выделением членов при равных степенях /со получим два алгебраи-
ческих уравнения:
^Y + Л2 = 2a2; - А^-А2 =-2а2а;
откуда
2a2 (1 + a)
4 = л ’
1 2a2 (1 +a) 1
5-й этап. Нахождение IF*(j'co).
Оптимальная ПФ определяется выражением
* , . В+ (До) _ 2a2(l + a) 1 (со-j)(co-ja) _ 2a2(l + a)[(jco) + a]
ЖЯ Y + P ю-J YCO-УР (y + P)[y(j®) + P]
Далее легко найти ПФ разомкнутой системы или ПФ корректирующего устройства, если задана неиз-
меняемая часть системы.
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
267
Приведем векторно-матричное интегральное уравнение Винера-Хопфа. Поста-
новка задачи иллюстрируется на рис. 3.22 и идентична задаче для скалярного случая;
критерий качества имеет вид
/ = 7и![м(/)-Х(/)]Т[м(/)-Х(/)]( —>min.	(3.38)
Y(r) = M(r) + N(r)
Х(ф

Рис. 3.22. К постановке задачи синтеза многомерных оптимальных фильтров
Решение задачи нахождения оптимальной матрицы импульсных переходных
функций дается векторно-матричным интегральным уравнением Винера-Хопфа
Rv/}- (б А2) = J К* (t, ) Ryy	, т2) d\,	(3.39)
о
где
rmt (б^г) = |м(б)¥т
(3-40)
Ryy (6,С) = М{Y(6)YT (С)}.
Как в скалярном, так и в векторном случаях применение оптимальных фильтров
требует решения двух сложных задач: решения уравнения Винера-Хопфа и реализа-
ции структурной схемы системы.
Рассмотрим проекционный метод расчета оптимального фильтра, который сво-
дится к решению уравнения Винера-Хопфа. Случайные процессы m(t} и n(t} бу-
дем считать некоррелированными.
Прежде всего, ограничим отрезок времени, т.е. будем рассматривать уравнение
(3.39) при t е [0,Т]. Далее можно поступить следующим образом: выбрать на отрезке
[0,Т] некоторый базис	z = 1,7. Этот базис порождает двухмерный базис на
квадрате [0,Т] х [0,Т] из произведений базисных элементов.
Сведем интегральное уравнение с оператором Вольтерра к интегральному урав-
нению Фредгольма, доопределив входящие в уравнение функции нулем вне тре-
угольной области: полагаем [66]
ч |М/,х), если 0<х<Т;
k(t, х) = V 7
[О, если 0 < t < х < Т;
б	л	если °^<т;
СТ
(0,	если 0 < t < х < 1;
Б \	РМ^х), если 0<х<Т;
Rnn(t,s)=<
v ’	[О,	если 0</<х<Т.
Тогда уравнение (3.39) можно записать в виде
т
j k(ta)[_Rmm (s, т) + Rnn (x, т)] ds = Rmm (t, t).	(3.41)
о
При произведенном доопределении функций на квадрат они могут стать разрыв-
ными, поэтому применение равномерной метрики далее неправомерно. Базис выби-
268
Статистическая динамика и идентификация САУ
рается так, что разложения известных корреляционных функций сходятся к соответ-
ствующим функциям в метрике £2 |[0, Т] х [О, Т: при /—>оо
Rmm (М - 2L S cvmm W м
z=l 7=1
тогда в среднеквадратичной метрике будут сходиться и разложения доопределенных
функций Rmm(t,s) и Rnn(t,s).
Используя введенные выше обозначения столбцов из конечного числа базисных
функций Ф(/) и введя в рассмотрение квадратные матрицы /-го порядка CRmm и CRnn,
составленные из коэффициентов разложения доопределенных функций |сгуии | и |сгуии |,
разложения доопределенных автокорреляционных функций можно записать в мат-
ричной форме
Rmm (t,s) ~ Фт (г)С^Ф(х), Rnn(t,s) = Фт (/)с5"Ф(4	(3.42)
Кроме того, воспользуемся обозначением
Ц/,х) = Фт(/)АФ(х),	(3.43)
где А — матричный оператор, подлежащий определению (он соответствует доопре-
деленному ядру &(/,х)).
Подставим (3.42) и (3.43) в (3.41):
т
j Фт (/)АФ(х)Фт (х)С^ииФ(т)бА-1-
т 0	~	(3-44)
+|Фт (/) АФ(х)Фт (х)СЛииФ(т)б/х = Фт (/)СЛииФ(т).
о
Из (3.44) находим
Фт (?)А10 (с^ии +С^ИИ )ф(т) = Фт (/)С^ииФ(т),
т
где Io = J Ф(х)Фт (х)б/х.
о
Отсюда, учитывая линейную независимость базисных функций, получаем
AI0 + CRnnj = CR,nm.	(3.45)
Поскольку матричное уравнение (3.45) получено путем аппроксимации инте-
грального уравнения первого рода, оно плохо обусловлено, и стандартные методы
решения могут привести к значительным ошибкам. Поэтому необходима регуляри-
зация уравнения, которая рассматривается в [66]. Здесь же в заключение отметим, что
если выбранный базис {срг-(/)} является ортонормированиям на отрезке [0,Т], то
матрица Io = I (будет единичной) и уравнение (3.45) принимает вид
A^CRmm + CRnnj = CRmm.	(3.46)
В случае неортонормированного базиса (например, одного из базисов локальных
сплайнов) матрица 10 легко рассчитывается (см. Приложение 3, а также [66]).
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 269
Часто в практических задачах входным сигналом является белый шум с корреля-
ционной функцией Rnn (t,s} = 2тг505(т2	(50 — интенсивность белого шума).
Такое предположение позволяет существенно упростить теоретические выкладки,
хотя и требует определенных оговорок, поскольку белый шум является физически
нереализуемым сигналом. Как правило, ссылаются на то, что фактически в качестве
входного сигнала будет использоваться процесс типа белого шума с постоянной
спектральной плотностью в заданном диапазоне частот.
Решение уравнения Винера-Хопфа для произвольного входного сигнала требует
регуляризации, что ведет к существенному повышению трудоемкости решения. По-
этому рассмотрим отдельно случай, когда помеха является белым шумом, рас-
пределенным по нормальному закону и некоррелированным с полезным сигналом.
Для таких шумов интегральное уравнение (3.41) перепишется в виде
т
jк (t,5)[Rmm (5, т) + 2nS0d(т - 5)] ds = Rmm (t,т),	(3.47)
о
или, что то же самое,
т
2nSQk(t,T) + ^k(t,s)Rmm (s,x)ds = Rmm (/,т).	(3.48)
о
Воспользовавшись разложением функций, входящих в (3.48), по ОНБ, получим
т
(/)АФ(т) +|фт (/)АФ(х)Фт (л)Са’™Ф(т)А' = Фт (;)СА’™Ф(т).	(3.49)
о
Отсюда следует
А (2tiS0I + CR™ ) = CR™.	(3.50)
Рис. 3.23. Структурная схема оптимального фильтра (приближенная реализация)
270 Статистическая динамика и идентификация САУ
Разница между матричными уравнениями (3.46) и (3.50) в том, что первое явля-
ется плохо обусловленным, в то время как второе, особенно при больших величинах
интенсивности шума, обусловлено очень хорошо. Это означает, что матричное
уравнение (3.50) можно решать любым способом и регуляризация его не нужна. Та-
ким образом, в случае, когда шум можно считать белым, процесс вычисления опти-
мальной импульсной переходной функции существенно упрощается.
Наконец, предположим, что матричный оператор оптимального фильтра найден;
для его расчета используется формула
А = СЛ™ (2л501+СА’™ j .
Тогда приближенная импульсная переходная функция оптимального фильтра мо-
жет быть построена по формуле
ХАл(') ч>,2(т)=£Щ')ч>4(т)> (3’51>
Z]=l z2=l	Z2=l h=l	/с=1
Z
где X/c(/) = ^4<Pz(0-
Z=1
Учитывая зависимость
t	i
X(t) = j Г (/,t)T(t)Jt = ^\k (t)Yk (/),
о	/c=i
t
где Yk (7) = JФ/С(т) Y(t)dx, легко построить структурную схему оптимального фильт-
0
ра (рис. 3.23, 3.24).
Рис. 3.24. Структурная схема алгоритма расчета ИПФ оптимального фильтра
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 271
3.3.	ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ
И ФИЛЬТРЫ КАЛМАНА-БЬЮСИ
Часто желательно иметь возможность оценивать состояние системы на основе
данных, которые имеют лишь статистическую связь с этим состоянием и, следова-
тельно, не обеспечивают его точного определения. Например, можно пытаться опре-
делить положение или скорость находящегося в воздухе объекта по данным слеже-
ния локатора, решить вопрос о виде принятого сигнала в линии связи, если известна
совокупность возможных передаваемых сигналов и т.д. и т.п. При этом, естественно,
встает вопрос об оптимальности (наилучшей точности) полученных оценок. Для ли-
нейных систем в качестве критерия оптимальности выступает минимальная средне-
квадратичная ошибка оценивания (восстановления) вектора состояния. Обозначим
оценку вектора состояния X в некоторый момент времени > ф на основе измере-
ний вектора Y(t) на интервале t0 < т < t через х(^ р). В зависимости от того, какая
задача оценивания решается, имеют место следующие задачи:
1)	tx > t — тогда задача называется прогнозированием, или предсказанием;
2)	tx = t — задача фильтрации (получение текущей оценки);
3)	tx < t — задача сглаживания, или интерполяции.
В дальнейшем нас будет интересовать только задача фильтрации. Для вывода
уравнений оптимального фильтра необходимы некоторые вспомогательные выклад-
ки. В первую очередь — это вывод так называемого дисперсионного уравнения.
3.	3.1. Вывод ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ
Теорема 3.1. Рассматривается следующая динамическая система'.
Х(/) = A(/)X(/) + G(/)N1 (/);
Х((0) = Х0,
где Nt (?) —гауссовский белый шум с характеристиками
М [N[ (/)] = 0; М[N, (Z[ )N^ (z2)] = S[ Ц )S(z2 -tt),
A(/),G(/) —матрицы размерности nxn, nxp соответственно, a X°
ный вектор, независимый от Nt (7), со средним значением Х° = М [х° J и матрицей
дисперсий
Doo =7и|(х0-Х0)(х0-Х°)Т}.	(3.54)
Тогда матрица дисперсий Dxx (0 = Rjct (Т t) удовлетворяет следующему мат-
ричному дифференциальному уравнению'.
b„(z) = A(z)D„(z) + D„(z)AT(z) + G(z)S,(z)GT(z)	(3.55)
с начальным условием
Охг(ф) = ®оо-	(3.56)
Доказательство. Известно, что решение системы дифференциальных уравне-
ний (3.52) имеет вид
Х(/) = Ф(/, /0)Х°|ф(/,т)С(т)Х1	(3.57)
f0
(3.52)
(3.53)
где Ф(7, ф ) — переходная матрица состояния для (3.52).
272
Статистическая динамика и идентификация САУ
Найдем дифференциальное матричное уравнение для матрицы начальных момен-
тов второго порядка:
С«01.^) = м[х(г1)Хт(г2)].	(3.58)
Известно, что корреляционная матрица	и матрица начальных момен-
тов второго порядка связаны соотношением
= ^хг(Л’С) + Х(?1)Х (ф),	(3.59)
где X(/z), z = 1,2 — математическое ожидание случайного процесса Х(/) в момент
времени /г.
По определению (3.58), с учетом формулы (3.57) имеем
^хх = 7^{х(/1)хт (с)} =
=	(х° )TUT (г, ,(„) +
[ф(/2,/0)Х«]Т
+М{
h
|ф(/1,т)С(т)Х1 (т)б7т
/о
+м <
h
|ф(б,Т1)С(т1)Х1(т1)б/т1
2
2
(3.60)
Рассмотрим отдельно каждое из 4-х слагаемых в правой части выражения (3.60):
1-	®(z1,Z0)Af|x<,(x°)T|®T(/,,Z0) = ®(/1,Z0)Q°®T(/2J()),
где Q0 — матрица вторых начальных моментов для = ф = ф.
h
= Ф(б,ф) J’jhJx'X (t)}gt (/)Фт (ф,т)<7т = 0,
fo
в силу некоррелированности случайного вектора Х° и белого шума Nt (/) и условия,
что Af{N1(/)} = 0, т.е.
м{хХ(ф = яЛ1 (М+х’У =о.
3. Аналогичный вывод получаем для третьего слагаемого выражения (3.60):
М\
h
j Ф(б	(т)б7т
/о
[ф(/2Л)Х»]Т
4. Рассмотрим четвертое слагаемое:
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
273
/о
fi h
= J JФ(Л	(tJnJ' (t2)}gt (т2)Фт
f0 f0
Используя выражение (3.53) и воспользовавшись фильтрующим свойством 5-функ-
ции, для 4-го слагаемого окончательно получим
j Ф(/1,т)С(т)81 (t)Gt (т)Фт (t2,x}dx.
fo
Таким образом, имеем
С (/1,/2) = ®(z1,zo)Q°®T (Z1,/O)+ J ^<I>(/1,t)G(t)S1 (t)Gt (т)Фт (12,т)Л. (3.61)
f0
Найдем дифференциальное матричное уравнение для матрицы дисперсий
Dxx (0 = Rjct (О- И3 формулы (3.59) для tx = t2 = t получим
с« Щ) = QW = R« Щ)+Х(/)ХТ (z) = D„ (z)+x(z)xT (z).	(3.62)
Для нахождения производной CAX(/,/) = Q(/) продифференцируем (3.61) по t,
где 6 = t2 = t:
/ \	\ 6Ф(/ДО) от/ \	\ одФТ(/,ф)
C„(z,z) = Q(z =—yW®T(z,z0 +®(z,z0 Q°-------------
Ct	Ct
<• дф(/,т)	, ,	, , T / \ T / X
+J----^-AG(t)S1 (t)Gt (т)Фт (/,т)Дт +	(3.63)
t0 dt
+J Ф(/,т)С(т)81 (t)Gt (t)--^-^б/т + Ф(/д)С(/)81 (/)GT (/)ФТ (/,/).
k	dt
Используя свойства переходной матрицы состояния
—= A(z)®(z,z0);	(3.64)
ЭФТ (/До ) т . х ~ Т / х
---У^ = ФТ z,z„ Ат Z ;	(3.65)
Ct
Ф(/д) = Фт(/д)	(3.66)
и подставляя (3.64)-(3.66) в уравнение (3.63), получим
Схт(С/) = 0(/) = А(/)Ф(/До)00ФТ(/,/о) + Ф(Тф)0°ФТ(Тф)АТ(/) +
+J А(/)Ф(/,т)С(т)81 (t)Gt (т)Фт (/,т)Дт+	(3.67)
f0
+JФ(/,т)С(т)81 (t)Gt (т)Фт (/,т)Ат (?) jT + G^Si (t)Gt (т).
fo
Сгруппируем в уравнении (3.67) первое и третье, второе и четвертое слагаемые.
Тогда, учитывая формулу (3.61) для tx =t2 =t, получим
274
Статистическая динамика и идентификация САУ
А(/)Ф(/,/0)О°Фт (t,t0) + j А(/)Ф(/,т)С(т)81 (t)Gt (т)Фт (?,т)с/т = A(/)Q(/)
f0
И
Ф(/,/0)О°Фт Ат (/) + |ф(/,т)С(т)81 (t)Gt (т)Фт (/,т) Ат (t)dx = Q(/) Ат (/).
f0
Окончательно дифференциальное уравнение для матрицы производных началь-
ных моментов имеет вид
Q(/) = A(/)Q(/) + Q(/)AT (/) + С(/)8! (/)GT (/).	(3.68)
Чтобы получить уравнение для дисперсионной матрицы	используем
формулу (3.68) и соотношение (3.62):
<Х0 = Агй + У)Хт0) + Х(0Хт(г) = Ьи (z) + A(()XT(/)X(z) +
+X(z)XT 0) Ат (z) = A(/)(Dn (<)+Х(()Хт W)+	(3.69)
+ (D„ (Z) + X(Z)XT (ф Ат W + G(/)S, (/)GT (/).
Из выражения (3.69) получим искомую формулу
Ьи (() = A(f)Dn (() + Пя 0) Ат (z) + G(0S10)GT ((),	(3.70)
(/о) = ®оо (/)•	(3-71)
Заметим, что дифференциальные уравнения для матрицы начальных моментов
второго порядка (3.68) и дисперсионной матрицы (3.70) с точностью до обозначений
совпадают, а при отсутствии регулярной составляющей на входе, т.е. когда
М{х(/)} = Х(/) = 0, тождественны, т.е. Dax(/) = Q(z).
3.3.2.	Оптимальная линейная фильтрация по Калману
Для перехода к построению оптимального фильтра Калмана напомним постанов-
ку и решение задачи оптимальной фильтрации в смысле Н. Винера.
Многомерная система определяется как система с I входами и п выходами, ко-
торые связаны посредством матричной импульсной переходной функции (МИПФ)
К(/,т). Пусть Y(/) — /-мерный вектор входа фильтра, а — «-мерный вектор
выхода. Тогда связь между векторами Х(/) и Y(/) определена интегралом
Х(/) = Jk(/,t)Y(t)c/t, Х(/о) = О.	(3.72)
f0
Пусть Y(/) — действительный случайный процесс с нулевым математическим
ожиданием и корреляционной функцией К.уу(7,т). Обозначим норму произвольной
квадратной матрицы В через ||В|| и определим ее следующим образом:
||в|| = фг(ввт),	(3.73)
где tr(Z) — след, т.е. сумма диагональных элементов, матрицы Z.
Пусть на вход многомерного фильтра поступает искаженный сигнал как сумма
полезного сигнала М(7) и помехи N(/), т.е.
Y(/) = M(/) + N(/),	(3.74)
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
275
где М(7) и N(/) — /-мерные векторы с известными корреляционными функциями
Предположим, что существует идеальный выход Х(7) некоторой системы, кото-
рый определяет желаемый выход и связан с полезным сигналом соотношением
Х(/) = ]кщ(/,т)М(т)Л,	(3.75)
f0
где Кид(/,т) —МИПФ идеальной системы.
Рассмотрим вектор ошибок
Х„(() = Х(()-Х(<).	(3.76)
Задача состоит в том, чтобы выбрать такую физически реализуемую матричную
ИПФ К чтобы математическое ожидание квадрата нормы ошибок было ми-
нимальным

min
к(щ)
(3.77)
где К(/,т) = 0 для t < т, а норма имеет вид (3.73).
В зависимости от того, какая задача стоит: прогнозирования, фильтрации или
сглаживания, — определяется МИПФ идеальной системы. В задаче фильтрации
Х(/) = М(/), т.е. Кид (/,т) = I-5(/-т). При такой постановке задачи минимум сред-
неквадратичной ошибки (3.77) определяется МИПФ К получаемой из обоб-
щенного уравнения Винера-Хопфа для многомерных систем
t
RMy (/,т) = /к* (/,x)Ryy (s,t)c/s.	(3.78)
о
Известно, что если на вход системы поступает случайный сигнал Y(/), являю-
щийся стационарным, в широком смысле, случайным процессом, то оптимальную
матричную передаточную функцию	многомерного фильтра можно получить
факторизацией рациональной матрицы спектральных плотностей. В случае же неста-
ционарного случайного процесса решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го
рода (3.78) даже для скалярного случая представляет серьезные трудности, не говоря
уже о векторном. Р. Калман в своих работах [52] модифицировал постановку задачи
многомерной фильтрации Винера, придав ей форму проблемы пространства состоя-
ния. В результате такой модификации был получен фильтр Калмана, осуществляю-
щий процедуру рекурсивного оценивания, когда подлежащий оцениванию сигнал
является выходным сигналом линейной нестационарной динамической системы.
3.3.3.	Уравнение оптимального фильтра
В дальнейшем предполагается, что решается задача фильтрации, т.е. оценка по-
лезного сигнала X^J/) получена для tx = t, поэтому обозначим ее Х(^).
Для вывода уравнений оптимального фильтра считаем, что полезный сигнал М(7)
является выходом формирующего фильтра, который описывается в пространстве
состояний линейным матричным дифференциальным уравнением с вектором состоя-
ния Х(/). Отсюда замечаем, что полезным сигналом для оптимального фильтра бу-
дет сигнал Х(/), т.е. Х(/) = М(/).
Т16 Статистическая динамика и идентификация САУ
Пусть входной случайный процесс фильтра Y(z) является зашумленным выхо-
дом формирующего фильтра, описываемого следующим уравнением:
х(/) = a(/)x(/)+g(/)n1 (/),
Х(/о) = Х° — случайный вектор начальных условий,	(3.79)
где Nt (/) — гауссовский белый шум со статистическими характеристиками:
= RNiNi(z,t) = S1(/)S(/-t);	(3.80)
St (/) — положительно определенная симметричная матрица интенсивности. Пред-
полагаем отсутствие корреляции между шумом Nt (/) и вектором Х°, т.е.
7H{x°N^(/)} = 0.	(3.81)
Известна дисперсия начального состояния вектора Х(7):
Doo =7и|(х0-Х0)(х0-Х°)Т|,	(3.82)
где Х° =7И{х°} = 0.
Размерности матриц A(z),G(z) соответственно 77x77 и п х р. Здесь мы повторя-
ем постановку задачи, рассмотренную в и. 3.3.1. Дополним условия (3.79)-(3.82) мат-
ричным алгебраическим уравнением выхода измерений
Y(/) = C(/)x(/) + N2(/),	(3.83)
где С(/) — матрица размерности 1хп; Х(7) — переменная состояния формирую-
щего фильтра; N2 (?) — гауссовский белый шум с характеристиками
М {N2 (/)} = 0,	(/, t) = S2(/)S(/-t);	(3.84)
S2 (z) — положительно определенная матрица размерности 1x1. Причем предпола-
гается некоррелированность шумов Nt(z) и N2(z), а также X(z) и N2(z), т.е.
A/{Ni(z)NJ (т)} = °, V Z,t>Z0; A/{x(z)N2 (т)} = 0, V Z,t>Z0.	(3.85)
Теперь выясним, какова должна быть структура фильтра, чтобы получаемая оцен-
ка была несмещенной и среднеквадратичная оценка фильтрации М |||ХСТ (z)||2| была
минимальной, где Хст (z) = X(z)-X(z).
Структуру фильтра выведем из уравнения Винера-Хопфа (3.78). Для этого урав-
нение (3.78) представим в следующем виде (с учетом того, что M(Z) = X(Z)):
A/{x(z)YT (т)| = |к* (z,x)th{y(x)Yt (т)р5.	(3.86)
f0
Дифференцируя уравнение (3.86) по t и учитывая соотношения (3.79), (3.80), по-
лучим
{X(/)YT	= A(/)Af {Х(ОYT (г)} +
+ G(z)zh{n1(z)Yt(t)}, t0<x<t
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
277
и
б Г */ х ( / х т / ч) ,	f6K*(/,x)	(	, . т , .4 ,
— ]К	= J---^A7H{y(x)Yt(t)}^ +
f0	f0
(3.88)
+ K*(^)Af{YWvT(T)}’
Учитывая некоррелированность Nt(/) c N2(t) (cm. формулу (3.85)) и X(t) для
всех t > т (условие причинности), а Х(/) некоррелирована с N2 (т) для всех t, т > t0
(см. формулу (3.85)), вторые слагаемые в правых частях выражений (3.87), (3.88)
примут вид
м {Nt (() YT (г)} = М {n, (O(C(t)X(t) + N2 (г))т} =
=	(/)Хт (т)}ст (tJ + ThJn! (/)Nj (т)| = 0, t > т > t0;
3/{y(/)Yt(t)} = 3/{(C(/)X(/) + N2(/))Yt(t)} =
= С(/)ти{х(/) YT (т)| + Jh{n2(/)Yt (t)| = С(/)ти{х(/) YT (t)|, t > т > t0.
(3.89)
(3.90)
Объединяя уравнения (3.87), (3.88), с учетом соотношений (3.89), (3.90) получим
A(/)7H{x(/)Yt(t)} = |Ж^’5^7И{у(х)Ут(т)р5 +
^0
+K*(/,/)C(/)th{x(/)Yt(t)}, t0 <x<t,
или
(a(z)-K7^OC(O)^{X(OyT(t)} = J Ж {y(x)Yt	(3.91)
t0 dt
Подставляя в уравнение (3.91) вместо Af |x(/)YT (r)j- правую часть уравнения
Винера-Хопфа (3.86) и перенося все слагаемые влево, имеем
j A(f)K* (‘,з)-8К	-к’ (z,z)C(t)K* (t,s) X
хМ |y(x)Yt = 0, t0 < т < t.
Ясно, что уравнение (3.92) будет справедливо, если К*(/,т) будет решением
дифференциального уравнения
Ж^’Т) = A(/)K*(?,t)-K*(cOc(Ok*(Z’t), tQ<x<t,	(3.93)
так как в общем случае М |y(х) Yt (т)| 0.
С другой стороны, дифференцируя уравнение (3.72) по t, получим
й$(/)	гЖ*(/,т)	, .	*/ X / X
—U = j-—±Ш¥(т)Л + К (m)Y(4	(3.94)
^0
Предположим, что оптимальный фильтр в пространстве состояний имеет матрицу
коэффициентов усиления, удовлетворяющую равенству
к;ф = К'(м).	(3.95)
278
Статистическая динамика и идентификация САУ
Тогда равенство (3.95) определяет структуру оптимального фильтра
Со=f(/)£w+k; (/)¥(,).
решение которого
£(0 = Ф(сф)£(ф) + jФ(/,т)Кф (t)Y(t)Jt =
fo
= |ф(/,т)Кф(т)¥(т)бй,
fo
так как Х(/о) = 0 дает матричную ИПФ
К*(/,т) = Ф(/,т)Кф(т).
При t = т
к*(л,0=ф(^'')кф(0=к*(0-
Найдем выражение для F(/). Подставляя в выражение (3.94) вместо Ж
правую часть (3.93), а также учитывая
£(/) =	£(/о) = О	(3.96)
f0
и соотношение (3.95), окончательно имеем
а(осо+к; «Ко-Сосо)=
w *	(3. у / J
=(a(/)-k;,(/)c(/))«(/)+k;,(/)y(/).
Таким образом, видно, что
f(o=a(o-k;(/)c(O.
а уравнение (3.97) является дифференциальным уравнением оптимального фильт-
ра, в котором требуется найти оптимальную матричную функцию коэффици-
ентов Кф(/).
3.3.4.	Нахождение оптимальной матричной функции
КОЭФФИЦИЕНТОВ ФИЛЬТРА
Определим ошибку восстановления Хст(/) полезного сигнала Х(7) следующим
соотношением:
Хст(/) = Х(/)-Х(/).	(3.98)
Тогда, учитывая уравнение формирующего фильтра (3.79) для полезного сигнала
и оптимального фильтра оценки (3.97), получим дифференциальное уравнение сиг-
нала ошибки
A^ = [a(/)-k;(/)C(/)]xq(/) + G(/)Ni(/)-k;(/)N2(/).	(3.99)
Кроме того, используя выражение (3.98), можно записать
М{x(/)YT (т)} =7И{хст (/)YT (т)} + 7И{X(/)YT (т)}.	(3.100)
Воспользовавшись уравнением Винера-Хопфа (3.86) и уравнением (3.96) для оп-
тимальной оценки Х(/), можно показать, что
М {хст (?) YT (т)| = 0, />т>ф.	(3.101)
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
279
Уравнение (3.101) — это одна из форм записи уравнения Винера-Хопфа. Из этого
уравнения покажем, что имеет место равенство
м{х„ (z)XT (т)} = 0.
(3.102)
Вначале заметим, что
(3.103)
Хс (/) YT (т)К*т (t,x)dx >
=	{хст (/)YT (т)}к*т
f0
Тогда, учитывая выражение (3.101), получим формулу (3.102). Из уравнения
(3.102) можно сделать вывод, что оптимальная оценка не коррелирована с соответ-
ствующей ошибкой оценки. Так как оба вектора являются гауссовскими, это означа-
ет, что они независимы.
Рассмотрим две корреляционные функции Л/^X(/)YT(/)j- и М|y(x)Yt(t)}.
По определению,
Л/{х(/) YT (/)} = Лт{х(/)ХТ (/)}СТ (/) + 7H{x(/)nI (/)} =
= ти{х(/)хт(/)}ст(/),	)
где учтена некоррелированность выходного сигнала формирующего фильтра и шума
измерений. Аналогично для второй функции имеем
m{y(s)Yt(z)} = m!y(s)[C(z)X(z) + N2(z)]TJ =
= М {y(s)Xt (z)}ct (z) + Af{Y(S)Nl (z)J =	(3
=Af{Y(S)XT(z)}cT(z) + A?{[C(S)X(S) + N,(S)]Nl(z)} =
=m(y(s)Xt(z)|ct(z) + C(^)m(x(s)N2 (z)| + S2(z)8(z-x).
С другой стороны, уравнение Винера-Хопфа (3.86) для т = t имеет вид
М {х(/) YT (/)} = |К* (t,s)M {Y(s) Yt (t)^ds.	(3.106)
f0
Подставляя выражения (3.104), (3.105) в уравнение (3.106), получим
Л/{х(/)Хт (/)}СТ (?) = jK*(/,x)7H{y(x)Xt (/)}СТ (t)ds +
t	'°	t	(З.Ю7)
+jК* (/,x)C(x)Af |x(x)nJ +Jk* (/,x)S2 (/)5(7 -s^ds.
f0	f0
В силу некоррелированности Х(7) и N2(?) второе слагаемое в правой части
уравнения (3.107) равно 0. Кроме того,
jК* (/,s)S2 (t)8(t-s)ds = К* (t, /)S2 (t) = Кф (?)S2 (t),	(3.108)
f0
где использовано фильтрующее свойство дельта-функции. Перенося влево первое
слагаемое соотношения (3.107), с учетом сделанных выводов получим
280
Статистическая динамика и идентификация САУ
7И{Х(/)ХТ (/)}СТ (/)- JК* {Y(s)XT (/)}ст (t)ds =
zo
= М\
X(/)-jK*(cs)Y(.y)<Zy
zo
xT(mcT(/) =
(3.109)
= м{(хт(/)-^(/))хт(/)}ст(/) = м xQ(/)(£(/)+xQ(/))T ст(/) =
= м{хД/)^т(/)}+;и{хо(1)хЦ1)}ст(/) = к;(/)82(/).
С учетом полученного выражения (3.102) о некоррелированности оптимальной
оценки и ошибки измерения и учитывая, что
м {х Л О У W} =	('> 0=DU о >
где DGO. (?) — дисперсия ошибки фильтрации, окончательно получим
юто(Цст(0=кф(082(0,
откуда имеем оптимальную матрицу коэффициентов фильтра
Kj(l) = Dro(/)CT(/)S21(l).	(3.110)
Для построения полной структуры фильтра необходимо найти дифференциальное
уравнение для дисперсии ошибки восстановления DGO. (z).
3.3.5.	Вывод ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА
Ранее (см. (3.99)) было получено дифференциальное уравнение для ошибки вое-
У (0 = [А W - к* «с W]x<, (0+G (/)N, (7) - к; (/)n2 (7)	(3.111)
с начальным условием
Х0(го) = Х»=Х(10)-«(10) = Х(10).	(3.112)
По определению
ЛЦХО(1)} = Х„(1);	(3.113)
м {[X, (') - У W][X, (') - У (<} = Dro (/).	(3.114)
В постановке задачи оптимальной фильтрации по Винеру и Калману было сказа-
но, что оптимальная фильтрация обеспечивает минимум среднеквадратичной ошибки
восстановления. С учетом (3.113), (3.114) имеем
т1пти{хЦ/)ХД1)} = min{x^(z)X„(z) + tr[Dro(z)]}.	(3.115)
Выражение (3.115) легко получается из известных соотношений
Af{z(l)ZT(l)} = Rzz (1,1) + Z(1)ZT (1) = Dzz (l) + ZT(z)ZT(z)
И
tr[z(z)ZT (z)] = ZT (?)Z(z); tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
для случайных векторных процессов Z(z) и произвольных квадратных матриц А и В.
Из формулы (3.115) следует, что
хЦ/)х„(7)>о	(З.П6)
для любого t > t0, так как это положительно определенная квадратичная форма.
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 281
С другой стороны, применяя операцию математического ожидания к уравнению
(3.111), получим
Х0(0 = [АЦ)-Кф(/)С(/)]ХСТ(/).	(3.117)
Минимум выражения (3.116) достигается при Хст(/) = 0, t>t0, что обеспечива-
ется условием
Хо(10) = 0	(3.118)
для уравнения (3.117).
Таким образом, если Х(/о) 0, то выбор начальных условий с Х(/о) = 0 приво-
дит к смещенной оценке вектора Х(/), так как
Щ)=‘г[пго(1)] = Щ
(3.123)
Выбор начальных условий для фильтра
Х(10) = Х°	(3.119)
обеспечивает несмещенность оценки и Хс (?) = 0.
Поэтому в дальнейшем мы можем считать что Х° 0. В этом случае целевая
функция (3.115) примет вид
miii7H{xT (/)ХСТ (/)} = min tr[DCTCT (/)].
кфЦ)
Теперь найдем матрицу Кф такую, чтобы фильтр обеспечивал минимальную
среднеквадратичную ошибку:
|хЛ<р"™	(3.120)
' кфЦ)
Представим дифференциальное уравнение (3.111) для ошибки восстановления в
следующем виде:
Xq(/) = [a(z)-k;(z)C(z)]xq(/) + u(z),	(3.121)
где
u(/) = G(/)N1(/)-K;(/)N2(/)	(3.122)
— белый шум с нулевым математическим ожиданием Af|u(/)} = 0 и моментами
второго порядка:
3/{u(/)uT(x)} = ^{[g(1)Ni (/)-К; (/) N2 (z)][g(t) N, (г) - Kj, (t)N2 (г)]Т
= [g(z)S1 (/)Gt(1) + k;(/)S2(/)k;t(/)]8(1-t)
и
M{XCT(/)uT (т)| = 0, Vt>/,	(3.124)
так как и оценка и полезный сигнал Х(7) не коррелированы с шумами Nt (т) и
N2 (т) для т > t.
Итак, рассматривая уравнение (3.121) как уравнение формирующего фильтра со
входным белым шумом и(7), корреляционной функцией (3.123) и М= 0, нам
необходимо найти, как изменяется дисперсия DGO. (?) выхода этого фильтра. Но,
вспоминая постановку задачи в и. 3.3.1, мы видим, что если обозначить
282 Статистическая динамика и идентификация САУ
А(/) = А(/)-КЩ)С(/); G(z) = I;
Х(/) = ХД/); N1(z) = u(f);
S, (/) = G(/)S1 (7)GT (t) + Кф* (z)S2 (Z)K;T (/),
то будет полное совпадение задач (3.52)-(3.54) и (3.121)-(3.123).
Таким образом, можно воспользоваться дисперсионным уравнением (3.70)
Dro(/) = A(z)Dro(z) + Dro(/)AT(/) + G(z)S1(z)GT(z) =
= [а(/)-К;,(/)С(/)]пго(/) + Пго(/)[а(/)-К; (/)С(/)]Т +	(3.125)
+ G(l)Si (z )GT (1) + Кф* (z)S2 (?) К*/ (z)
с начальным условием
Dro (z„) = М l[x(z0) - X(z0 )][ХЦО) - X(z0 )]Т U
1	’	(3.126)
= М {[Х0о ) - х('о )][ХС) - ХС )]Т} = Doo,
где Doo — дисперсия начального вектора состояния Х(/о), которая должна быть
известна.
Показатель качества (3.120) необходимо минимизировать в каждый текущий мо-
мент времени путем соответствующего выбора матрицы Кф.
Оптимальная матрица коэффициентов Кф (3.110) была получена ранее из урав-
нения Винера-Хопфа. Подставляя выражение (3.110) в уравнение (3.125), оконча-
тельно получаем дифференциальное уравнение для дисперсионной матрицы мини-
мальной ошибки
Dro(z) = A(z)Dro(z) + Dro(z)AT(z) + G(z)S1(z)GT(z)-
с начальным условием DCTCT (/) = Doo.
W)
i g(z)
Рис. 3.25. Структурная схема формирующего фильтра и оптимального линейного фильтра
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 283
Таким образом, структурная схема модели источника сообщений (формирующего
фильтра) и оптимального линейного фильтра, дающего несмещенную оценку с ми-
нимальной среднеквадратичной ошибкой дисперсии mintr DCTCT(/), имеет следующий
вид (см. рис. 3.25).
Рассмотренный оптимальный фильтр и его уравнение были впервые получены
Р. Калманом и Р. Бьюси в 1961 году и носит название фильтра Калмана-Бьюси
(ФКБ).
Полученные результаты можно суммировать следующим образом.
Теорема 3.2. Рассмотрим задачу оптимального фильтра (3.79)-(3.83). Предпола-
гаем по-прежнему, что шум (?) модели источника сообщений и шум N2 (/) изме-
рений являются белыми гауссовыми и не коррелированы. Тогда решение задачи оп-
тимального фильтра с несмещенной оценкой и минимальной среднеквадратичной
ошибкой получается путем выбора матрицы коэффициентов
Kj(/) = DTO(f)CT(z)sy(/), />/„	(3.128)
для дифференциального уравнения оптимального фильтра
Сщ[А(ЩкЦ/)С(/)]£(Щ <!,(;)¥(/)	(3.129)
с начальным условием
Х(10) = Х(10),	(3.130)
« Dro(l) —решение матричного уравнения Риккати
Ьго(/) = А(г)Пго(г) + Пго(/)Ат(/) + С(1)81(1)Ст(1)-	1з1
-^H0cTWsA)cWD.A)
с начальным условием
(ф) = Doo-
Пример 3.5. Рассмотрим простой пример, когда требуется оценить значение постоянной величины.
Пусть модель сообщения (формирующий фильтр) для данной задачи описывается соотношениями
х = 0, м(х(0)} = 1, Doo =10
с уравнением наблюдения
у(г) = 2х(г) + и2(г); M(«2(i)) = 0;
м{п2^)п2^)} = 18(г-т).
Задача состоит в том, чтобы найти наилучший фильтр для оценивания состояния х(1) по наблюдени-
ям за у(1), обеспечивающий минимальную среднеквадратичную ошибку (здесь — дисперсию, так как
рассматривается скалярное уравнение).
Решение. Из постановки задачи следует, что
A = G = 0, С = 2, S2=l, Г>оо=1О.
Решаем уравнение для дисперсии ошибки
baa(t) = -4Daa(t), Поо=1О
и получаем
Таким образом, оптимальный коэффициент усиления фильтра
и уравнение для фильтра принимает вид
284 Статистическая динамика и идентификация САУ
3.3.6. Обобщенный линейный фильтр Калмана-Бьюси
Рассмотрим обобщенную задачу аналитического построения линейного опти-
мального фильтра для коррелированных гауссова белого шума измерения N2 (/) и
полезного сигнала Хр). Итак, постановка задачи следующая.
Полезный случайный процесс — выходной сигнал формирующего фильтра, описы-
ваемого следующей системой дифференциальных уравнений'.
Х(/) = A(/)X(/) + G(/)N1(/), Х(/0) = Х°,	(3.132)
где
JW{N1(z)} = 0; 7W{x0} = X°;	(3 ]В)
M{N1(/)N1(t)} = S1(/)8(/-t); D„(((,} = D„;
St (?) — симметричная положительно определенная матрица интенсивности век-
тора На интервале р0,/] замеряется вектор Yp) размерности 1<п, свя-
занный с вектором Хр) линейным матричным уравнением
Y(/) = C(/)X(/) + N2p),	(3.134)
где Ср) —матрица размерности Ixn; N2(/) — гауссов векторный белый шум с
характеристиками
A?{N2(z)} = 0; A?{n2(()nI(t)} = S2(z)8(z-t),	(3.135)
где S2 (?) — симметричная матрица интенсивности. Коррелированностъ N2 (?) и
определим следующим образом. Предполагается, что белые векторные шумы
Nt (?) и N2 (?) коррелированы между собой взаимнокорреляционной матрицей
(3.136)
7W{Nj(z)nT(t)} = S3(z)8(z-t).
В этом случае имеем
= Фр,т)С(т)83(т), /0<т</,
где Ф(/,т) — переходная матрица состояния уравнения (3.132). В последнем урав-
нении учтено еще одно предположение', вектор начального состояния Х° и шумы
Nt (?) и N2 (?) не коррелированы.
В формуле (3.159) S3 р) — симметричная матрица взаимных интенсивностей
белых шумов Ntp) и N2p). Как и прежде, задача состоит в определение несме-
щенной оценки вектора £р) на основании измерения вектора Yp) на интервале
ро,/] при минимальной среднеквадратичной ошибке оценки, mintr[DCTCTp)].
Как и ранее, структуру и параметры оптимального фильтра можно получить из
уравнения Винера-Хопфа. Но мы, однако, применим здесь менее строгий способ полу-
чения несмещенной оценки Хр), но дающий возможность учесть начальные условия.
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 285
Предположим, что искомый линейный последовательный фильтр описывается
уравнением
к(/) = Р(/)Х(/) + Кф(/)¥(0.	(3.137)
Чтобы процесс на выходе фильтра можно было рассматривать как несмещенную
оценку, должно выполняться равенство
Л/{Х(/)}=М{Х(/)} = Х(/).	(3.138)
Вычислим безусловное математическое ожидание от обеих частей уравнения (3.137):
ЛГ^(/)} = Г(/)м{^(/)} + Кф(/)м{¥(/)};	(3.139)
но из (3.138) следует, что
7И{У(/)} =7H{C(/)X(/) + N2 (/)} = С(/)Х(/).	(3.140)
Тогда дифференциальное уравнение (3.139) с учетом условия (3.138) примет вид
м{£(/)} = [г(/) + Кф (/)С(/)]м{^(/)}.	(3.141)
Вычисляя безусловное математическое ожидание от обеих частей уравнения
(3.132), с учетом (3.133) получаем еще одно уравнение
Х(/) = А(/)Х(/).	(3.142)
Так как правые части выражений (3.142) и (3.141) должны совпадать, имеем
F(/) = А(/)-Кф (z)C(z),	(3.143)
и структура фильтра имеет вид
Со <А(ЩКф(г)СО)]ед + Кф (;)¥(/),	(3.144)
что полностью совпадает с ранее полученным из уравнения Винера-Хопфа уравне-
нием (3.97).
Второе условие получения несмещенной оценки (3.138) — это необходимость ин-
тегрирования уравнений (3.141) и (3.142) с одними и теми же начальными условиями:
7И{Х(/О)}=7И{Х(/О)} = Х°.	(3.145)
Это будет справедливо, если принять
Х(/О) = 7И{Х(/О)} = Х°.	(3.146)
Можно показать, что эти два требования являются необходимыми, но не дос-
таточными для того, чтобы формируемая оценка была условно несмещенной, т.е.
чтобы
m{x(/)|y(/)| =M{X(/)|Y(/)},	(3.147)
где Y(/) означает всю реализацию Y(t) на интервале /0<т<Л Если выполнить
требование безусловной несмещенности, то фильтр имеет вид (3.144) с начальными
условиями (3.146).
Найдем теперь матрицу Кф (?) такую, чтобы фильтр обеспечивал минимальную
среднеквадратичную ошибку
МГН™,	(3.148)
где
Х„(/) = Х(/)-Х(/),	(3.149)
а
^xA)r} = 4DA')]-
м
(3.150)
286 Статистическая динамика и идентификация САУ
Дифференциальное уравнение для ошибки фильтрации Хс легко получить,
вычитая (3.144) из (3.132). Имеем
У W = A(0xW+G(0Ni(0-A(0«W+K*(0[Y(0-c(0«W]= (3151)
= [А(/)-Кф(/)С(/)]хД/) + 11(/), ХД/0) = Х(ф)-Х0,
где
u(/) = G(/)N1(/)-Kc|)(/)N2(/), 7W{u(/)} = 0.	(3.152)
Найдем корреляционную матричную функцию для случайного процесса u(z) с
учетом выражений (3.133), (3.135) и (3.136):
Af{u(OuT(^ = Af{[GWNiW-K*WN,(O][G(T)N1(T)-Kd)(x)N,(T)]T} =
= [g(z)S,(/)Gt(0 + k*WS2Wk*(0-	(3.153)
-G(/)S3(z)Kj(/)-Kd,(z)S3(0GT(z)]8(z-T).
Рассматривая уравнение (3.151) как дифференциальное уравнение формирующего
фильтра для выходной переменной Хст(/), входным белым шумом и(7) с корреля-
ционной функцией (3.153) и М= 0, для нахождения дисперсионного уравне-
ния для Хст(?) воспользуемся уравнением (3.70) аналогично тому, как оно было ис-
пользовано в п. 3.3.5. Имеем
Dro(/)=[A(/)-K4)(/)C(/)]Dro(/) + Dro(/)[A(/)-K*(/)C(/)]T+	(з154)
+ G (/) Sj (/)GT (0 + Кф (/) S, (/) Kj (Ц-G(z) S3 (z)Kj (/)-Кф (z)S3 (/)GT (1).
Согласно критерию (3.148), необходимо найти такую оптимальную матричную
функцию коэффициентов фильтра Кф(7), чтобы среднеквадратичная ошибка
tr[DCTCr (/)] была минимальной.
Применим способ, основанный на вариационном принципе при локальном крите-
рии качества в открытой области изменения матрицы Кф (/). Он состоит в том, что
минимуму положительно определенной квадратичной формы (3.150) по векторному
параметру (или векторной функции при фиксированном времени t) соответствует
максимум по тому же векторному параметру производной по времени этой квадра-
тичной формы с противоположным знаком, т.е.
min {tr [DCTCT (/)]} -> Кф (/);	(3.155)
кф(0
тах{-1г[Ьто(/)]}^Кф(/)	(3.156)
кф(0
дают
поэтому для нахождения оптимальной матрицы Кф (?) воспользуемся уравнением
(3.154) для DCTCT(/). Условия экстремума для (3.150) запишем в виде
(3.157)
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
287
Для дифференцирования следа правой части уравнения (3.154) воспользуемся
следующими соотношениями, известными из матричной алгебры [32]. Пусть В, z —
некоторые матрицы. Тогда справедливы следующие соотношения:
dtrfzBz1^ .	.
—	- = z[B + BT );	(3.158)
дг	'	'	
dtr(Bz)^ET. дг	(3.159)
atr(zB) RT.	(3.160)
дг	
dtr(BzT)	
	(3.161)
дг	
5tr(zTB)	
\	' -R	(3.162)
	
дг	
Дифференцируя правую часть следа уравнения (3.154) по Кф (?)	с учетом сим-
метричности матриц DGr7 (/), S2 (/), S3 (?) и формул (3.181)-(3.185), имеем
аг[А(/)-кф(/)с(/)] ЖЩ)	’	и’			(3.163)
clr	Dro(z)(A(/)-K(1,(z)C(z))T	= -Ги(/)Ст(/);	(3.164)
	жф(0		
	4кф(Щ2(1)1Ц(1)] жЩ)	-ЖфГАГ).		(3.165)
	Чс(Щ3(/)кЩ)] жфМ	-GWs3(0>		(3.166)
6tr	Kfh(/)S3(/)GT(/)1 г	т пТ акф(/) J=MGT(')] =gWM4		(3.167)
Подставляя полученные выражения в формулу (3.157) и разрешая относительно
Кф (/), получим оптимальную матрицу коэффициентов'.
k;,(z) = [dto(z)Ct(() + G(()S3(()]S21(/)-	(3.168)
Если сравнить формулу (3.168) с (3.110) для оптимальной матрицы Кф(7), то
видно, что соотношение (3.168) обобщает формулу (3.110) и совпадает с ней при
отсутствии корреляции между шумами Nt(/) и N2(/), т.е. когда S3 (7) = 0.
Подставляя оптимальную матрицу коэффициентов (3.168) в уравнение для дис-
персии оценки (3.154), получим дифференциальное уравнение Риккати
d<j<,(/) = [a(/)-g(/)s3(/)s;1 (/)c(/)]dot(/)+
+DOTW[A0)-G0)s3WyWc0)]T-DTOWcTWx (3.169)
xS;1 (/)C (/) Dro (/) + G (1) [s, (/)-S3 (/)sy (/)Sj (z)]gt (/),
288 Статистическая динамика и идентификация САУ
где t > t0, а начальное условие DGr7 (/0 ) = Doo.
Как видно, оптимальный фильтр, доставляющий несмещенную оценку с мини-
мальной среднеквадратичной ошибкой, на основании наблюдения вектора Y(?) на
интервале t0<T<t, при коррелированном белом шуме измерений с полученным сиг-
налом имеет ту же структуру (см. рис. 3.25), что и при ее отсутствии ( S3(/) = 0).
Однако оптимальная матрица коэффициентов Кф (?) и дисперсионное уравнение
различаются. Совпадение наблюдается при S3 (?) = 0 для обобщенного фильтра.
Пример 3.6. Рассмотрим скалярную стационарную систему
х = х + и(?);
у(?) = х(?) + и(?)
для ?>0 при Л/{и(?)}=0, Л/|и2(?)^ = су2 =const; Л/{х(0))=0; Tf|x2(O)^ = Z>Oo =cy2=const и 3/(х(0)и(?)| =0.
Структурная схема модели полезного сигнала (формирующего фильтра) с зашумленным выходом
приведена на рис. 3.26.
Из постановки задачи видно, что
A(?) = G(?) = C(?) = 1;
S1(?) = S2(?) = S3(?) = o2,
так что
A(?)-G(?)S3 (?)82Х (?)С(?) = °;
s1(?)-s3(?)s21(?)sl(?) = o.
Следовательно, уравнение (3.169) для дисперсии ошибки принимает вид
где /Эпп (?) — скалярная дисперсия ошибки фильтрации.
Решение данного дифференциального уравнения с £>Оо 0()= °о имеет вид
Оптимальный коэффициент фильтра
k;W=[M0ctW+g(>)s3(>)]s^0=^L+i,
а уравнение фильтра будет иметь вид
£(?) = £(?) + ^ф (?) [у (?)-£(?)].
Заметим, что при ?—>со дисперсия	(?) —> 0, a Л?ф (?)—>!.
В установившемся состоянии дисперсия ошибки фильтрации достигает нулевого значения. Уравнение
фильтра в установившемся состоянии принимает вид х = y(l), т.е. действие фильтра сводится к интегри-
рованию.
Заметим, хотя система х = х + и(?) неустойчива, фильтр оказывается работоспособным и дисперсия
ошибки при достаточно большом времени фильтрации достигает нуля.
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 289
Предположим теперь, что для упрощения фильтра принято (?) = 1 для всех t > 0. Оценка (уже не
оптимальная) тогда будет иметь вид
х(?) = j у(тд)с1л.
о
Чтобы определить соответствующую дисперсию ошибки, положим в уравнении (3.154)
А(?) = G(?) = С(?) = 1 и St (?) = S2 (?) = S3 (?) = су2.
Тогда получим Г)пп (?) = 0. Это значит, что (?) = су() для всех ? > 0. Если дисперсия су() велика, то
фильтр будет приносить мало пользы, хотя его и относительно просто реализовать, поскольку в нем нет
переменного коэффициента передачи. С другой стороны, если суд является приемлемой дисперсией
ошибки для любого ? > 0, то такой суб оптимальный фильтр можно применять.
3.3.7. Оптимальная фильтрация при небелом (цветном) шуме
Теория оптимальных линейных фильтров, рассмотренных в предыдущих пара-
графах, основывалась на том предположении, что шум измерений N2 (/) был белым
гауссовым. В практических задачах шум измерений N2 (/) может быть «окрашен-
ным», поэтому важно рассмотреть следующую постановку задачи.
Пусть — полезный случайный процесс, полученный на выходе формирующе-
го фильтра'.
Х(/) = A(/)X(/) + G(/)N1(/),	(3.170)
где по-прежнему
А7 {N^/)} = 0;	(т)} =
г у -	(	/	\Т)	<3-171)
Х(/0) = Х°; 7И|Х0} = Х0; М Х°(Х°) = D00,
а измерения характеризуются вектором Y(/) размерности 1x1, 1<п, связанным с
вектором уравнением выхода (уравнением измерения)
Y(/) = C(/)X(/) + N2(/);	(3.172)
где С(/) —(1хп}-матрица, N2(/) —гауссов векторный марковский процесс, ко-
торый связан с помощью уравнения формирующего фильтра с вектором белого шу-
ма N3(/) размерности 1x1, т.е.
N2(/) = L(/)N2(/) + N3(/);	(3.173)
N,(/) = N?,	(3.174)
где
A7{n?} = 0;Un^N°)TUd°„;	(3.175)
7H{n3(/)} = 0; m{n3(/)nJ(t)| = S3(/)5(/-t);	(3.176)
$з(?) — симметричные положительно определенные матрицы.
Предполагаем также, что выполнены следующие условия'.
= 7H{n3(/)N2}=7H{n3(/)X°} = 0,	(3.177)
т.е. отсутствует корреляция белых шумов N1(/),N3(?) и белого шума N3 (?) с
жтО л/О
начальными условиями iN2,X .
290
Статистическая динамика и идентификация САУ
Как и прежде, необходимо определить структуру и найти параметры линейного оп-
тимального последовательного фильтра, дающего несмещенную оценку? Х(/) полезного
случайного процесса с минимальной среднеквадратичной ошибкой фильтрации

J = min
(3.178)
Так как по условию задачи шум измерения N2 (?) не является белым по отношению
к измерениям Y(/), для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением
(3.173), для чего продифференцируем по t уравнение измерения (выхода) (3.172).
С учетом уравнений (3.170) и (3.173) получим
Y(/) = C(/)X(/) + C(/)X(/) + N2(/) =
= (C(/) + C(/)A(/))x(/) + C(/)G(/)N1(/) + L(/)N2(/) + N3(z).	1 '	'
Введем новую переменную (вектор-функцию):
Y(/) = Y(/)-L(/)Y(/) = (с(/) + С(/)А(/))х(/) +
+ C(/)G(/)N1 (0 + L(/)N2 (/) + N3 (z)-L(/)(C(/)X(/) + N2 (/)) =	(з.180)
= ^C(/) + C(/)A(/)-L(/)C(/)^X(z) + C(/)G(/)N1 (/) + N3 (/).
Это выражение можно рассматривать как уравнение выхода (измерения) Y(?) с
белым шумом измерения N2 :
Y(/) = C(/)X(/) + N2(/),	(3.181)
где
C(/) = C(/) + C(/)A(/)-L(/)C(/),	(3.182)
a N2 (?) = C(/)G(/)N1 (?) + N3 (?) — белый шум с корреляционной функцией
Af{N2(/)Nl(T)} = (c(/)G(/)S1(/)(c(/)G(/))T+S3(/)j5(/-T) = S2(/)5(/-T)	(3.183)
и нулевым математическим ожиданием М ^N2	= 0.
Белый шум N2 (?) уравнения (3.181) коррелирован с белым шумом Nt (?) форми-
рующего фильтра полезного сигнала. Их взаимная корреляционная функция имеет вид
*f{N1^)Nl(T)}=Af{N1^)(C(T)G(T)N1(T) + N3(T))Tj=
= St (/)GT (?)С(/)5(/-т) = S3 (/)5(/-т),
где
S3(/) = S1(/)GT(/)CT(/)	(3.185)
— симметричная матрица взаимной интенсивности шумов (/) и N2(/).
Если теперь рассмотреть соотношения (3.170), (3.171) и уравнение измерения
(3.181) с матрицами (3.182), (3.183), (3.184), то получим постановку задачи обобщен-
ного фильтра Калмана-Бьюси, рассмотренную и решенную в предыдущем параграфе.
Таким образом, уравнение оптимального фильтра поставленной задачи имеет вид
С0=(а(0-к; (г)с(ф£(г)+к;, (/)¥(;),	(з.18б)
где	определены соотношениями (3.181), (3.182), а матрица Кф (?) нахо-
дится из формулы (3.168)
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
291
к; (0 = (оот 0)ёт W+G«s3 W)s21 (0=(')ст W+
!	(3.187)
+ G(i)S1(i)GT(i)CT(i)]x[c(z)G(z)S1(z)(C(i)G(i))T+S3(i)] .
Рассмотрим уравнение фильтра (3.186). В него входит переменная Y(/), которая,
согласно выражению (3.180), содержит производную Y(?) от измеряемого сигнала.
Однако эта операция нежелательна, так как дифференцирование повышает уровень
помех. Для того чтобы этого избежать, производим дальнейшие преобразования, ана-
логичные тем, которые используются в наблюдателях пониженного порядка Люенбер-
гера. Введем дополнительную переменную (вектор-функцию) Q(/), которая связана
с оценкой Х(/) формулой
«(z) = Q(f) + Kj(f)Y(/),	(3.188)
Q(i) = «(i)-K;i(i)Y(z).	(3.189)
Дифференцируя (3.189) по t и используя уравнения (3.186), (3.180), (3.188), получим
q(i)=Со-кФ w yw-k;> « yw=(а(')-кф
+k;)(i)y(/)-k;(/)y(i)-k;)(i)(y(/)+l(/)y(i))=(a(i)-k;)(Oc(/))x
x(q«+k;wyw)-(k;)w+k;(,)lw)y«=(a«-k;«c«)qw+
+(А(г)к;)(г)-к;)(г)с(1)к;)(1)-к;(1)-к;(1)Цг))¥(1).
Структурная схема оптимального фильтра в этом случае будет иметь вид (рис. 3.27).
Рис. 3.27. Структурная схема оптимального фильтра
Для окончательного решения поставленной задачи найдем дисперсионное урав-
нение. В соответствии с уравнением (3.154) имеем
А« = (а(/)-к; (/)с(/))ого(/)+(г)(а(/)-к; (/)с(/))т +
+ G(i)S1(i)Gt(i) + k;(z)S2(i)k;,t(z)-	(3.191)
-G(r)S3 (7)КфТ (О-KJ (l)s3 (7)Gt (1).
292
Статистическая динамика и идентификация САУ
Подставляя в уравнение (3.191) выражение (3.187) для Кф (/), проводя необхо-
димые преобразования и учитывая симметричность матриц S2 (/), S3 (/), DGr7 (/),
получим
(0 = А (0	(0 + ого W Ат (0 -	(0 ст ж1 (О С(0 Dro (г) -
-G(/)S3 (r)Sj1 (0C(/)Dro (/)-G (1)S3 (1)S2‘S3 (1)GT (/)-	(3.192)
-Dro«CTWSJ1«S3(0GT(0 + GWsi(0GT(0-
Таким образом, оптимальный фильтр при коррелированном шуме измерений оп-
ределяется уравнениями (3.186) и (3.192). Остается только определить начальные
условия для уравнения (3.192) с учетом начальных условий X°,N2.
Для этого воспользуемся формулой Байеса, с помощью которой определим ус-
\л О	4.
ловную плотность вероятности вектора X в начальный момент времени ф при на-
блюдении вектора Y(/q) = Y0 в тот же момент времени:
(3.193)
где /^X^Y0) — совместная плотность распределения случайных векторов (вели-
чин) X°,Y°; /Yo^Y°j —плотность распределения случайного вектора Y0. Для вы-
числения правой части (3.193) найдем совместную плотность распределения
/^X^Y0), для чего используем совместную плотность распределения /Дх0,^)
случайных величин X и JN2-
Уравнение измерения для t = t0:
Y(ZO) = C(ZO)X(Z„) + N2 (/„) = C(/0)X° +N? = Y°.	(3.194)
Из теории вероятности известно, что в этом случае совместные плотности распре-
деления связаны соотношением
л (х°, Y») = /2 (x«,N« ) |^|
(3.195)
где
6N2
dY°
— якобиан преобразования (3.194). Из (3.194) видно, что якобиан равен 1,
поэтому совместные плотности распределения совпадают, т.е.
A(x'),N») = /i(x',,Y,)).
(3.196)
Далее воспользуемся тем, что случайные величины (векторы) X°,N2 независимы
и нормально распределены. В этом случае
/2(Xu,Nu2) = /xo(Xu)/no(Nu2),	(3.197)
где /хо (•), /хо (•) — плотности распределения соответствующих случайных величин.
С учетом (3.171), (3.175) имеем
„ /„пх	А’1/2
exp -|(Х°
(3.198)
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
293
и
/N. (N°) = [(2It)'det(D»A, = [(2лУ det(D^)) exp	)] 1/2 ехр Ца-	4(n?-n5)t(d«„)_1(n;-nS) = -C(/0)X°)T(d»„)’1(y,)-C(/0)X,))		(3.199) 5
где учтено Af^N2^ = 0 и использована формула (3.172).				
Обозначим для удобства в	формулах (3.198), (3.199) константы через = [(2rc)”det(D00)J 1 ,			(3.200)
	у. (x°|y(T0 ) = ¥»).			(3.201)
Из выражений (3.197), (3.193) получим f мм)_У(Хо)Л»(^)				(3.202)
		МП		
При допущениях о нормальном распределении Х° и N° векторУ0 также нор-
мально распределен:
1/ 2 /Y° (Y° ) = I"(2Л/ det(DY°Y0 )1 eXP		_±(y° -y°	)TdA(y°-y°)	=
				(3.203)
= C3 exp	_1(y0-y°)	(y"-y")		5	
где
Y° =7H{Yo}=7H{c(/o)Xo+N^ = C(/o)Xo;	(3.204)
Dyoyo = М Y° - Y° )(Y° - Y0 )Т | = М {[С (/0) Х° + N° - С (/0) Х° ] х
(3-205)
xfc^JX’+N^-CfZoJX0] = C(/0)D00CT ((„) + D“„.
В формуле (3.205) учтена независимость N° и Х°. Условная плотность распреде-
ления (3.202) случайного вектора Х° при наблюдении вектора Y0 также является
нормальной и может быть записана в виде
(3.206)
где
D°CT =7И|(ХО-ХО)(ХО-Х°)Т|,
а константа С4 находится из выражения (3.202)
C4/yo (y°	= GGZ,	(3.207)
так как формула (3.206) определяет условную плотность распределения
/у0 (х°|Y(70) = Y° j. Константы Р и R будут найдены ниже. Приравнивая показа-
тели экспонент в формуле (3.202), с учетом соотношений (3.200), (3.201), (3.206),
(3.207) получим
294
Статистическая динамика и идентификация САУ
С4/у0 (¥° )ехр{-|(х0 - X» )Т (d»o f1 (х° - X» )| =
= QC, ехр|-1(х“ -Х°)Т О;' (Х° -X0)-	(3.208)
-|[y“-c('o)xo]t(d»„)4(y<,-c(/())xo)|.
Раскрывая скобки в левой и правой части выражения (3.208) и приравнивая мат-
ричные коэффициенты при одинаковых «степенях» вектора Х°, получим:
1)	квадратичная форма (х°) Х°:
(Dorof =D0-'+CT(/0)(D»A,f1C(/0);	(3.209)
2)	вектор Х° слева, т.е. (х°) •:
фу1 X» = DoJx0 +СТ (/„) (d°ct )-1 ¥°;	(3.210)
3)	вектор Х° справа, т.е. -(х°):
(х°)Т	=(х°)Т D0“i +(y°)T (d»„)4 С(1о);	(3.211)
4)	нулевая степень вектора Х°, т.е. константы слева и справа:
С4.у (Y^expA0)1 (d»,)4 X0U
,	,	(3.212)
= CtC2 exp^X0 )T D^X0 + (y° )T (doc„)-1 Y° |.
Видно, что уравнения (3.210), (3.211) в силу симметричности матриц дисперсий
совпадают. Из уравнения (3.209) находим дисперсию начальной оценки для уравне-
ния (3.192)
d“q = D^+CT(z0)(D»x)4C(z0) ,	(3.213)
а из (3.210) — начальные условия для оценки, при которой фильтр (3.186) дает не-
смещенную оценку
Х°
ПоССТ('о)(пс«)-1С(1о)

(3.214)
при условии, что Y(/o) = Y°. Равенство (3.212) позволяет определить константу С4,
причем сравнивая формулы (3.212) и (3.207), находим, что постоянные Р и R име-
ют вид
P = (x0)T(d"o)4X<,;	(3.215)
R = (х° )Т D^X0 + (y° )Т (d“„ ф Y°.	(3.216)
Пример 3.7. Полезный сигнал представляет собой случайную величину Х(?) = Х°, т.е. постоянный
сигнал, амплитуда которого случайным образом зависит от начальных условий. Известно математическое
ожидание и дисперсия начального вектора М {Х° | = Х°, Л/^Х° -Х°^Х° - Х° j | = Doo. Требуется найти
оптимальную в смысле среднеквадратической ошибки оценку X(i) сигнала Х(?) по наблюдению на
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
295
отрезке [?0,?] суммы сигнала и помехи N2(?). Помеха N2(?) имеет равные нулю математическое ожида-
ние и корреляционную функцию
R (t т) - D0 • е~
an2n2 ucn e
Формализуем задачу. Уравнения формирующего фильтра и измерения для полученного сигнала и помехи:
Х(?) = 0, Х(?0) = Х°;
Y(?) = x(?)+N2(?);
N2(?) = -aN2(?) + N3(?), N2(?2) = N2;
причем
7И{Х°} = Х°; лфх0-Х°)] = О00; m{n2} = 0;
m{(№2)2J = D°ot; M(N3(?)N3(t)) = 2«D^5(?-t); M(N3(?)) = O.
Матрицы уравнений:
А(?) = 0; 8(?) = 0; C(?) = l; L(?) = -a.
Уравнение оптимального фильтра для данной задачи:
^(O = -K4,(O(c(O^(O-Y(O) = -K4,(O(-a^-Y(O+aY) = K4, W(y(0+^-«y).
Начальные условия для полученного фильтра найдем из (3.214):
Х° =f—J—+ 11—-1^ f-J^ + 1-—V- Yo>| = fl + -^J fx°+-^-Y°l
luoo DCJV J (^oo Dqv j Dav J I Dav )
Y° =X°+N2.
Найдем необходимые в дальнейшем матрицы (здесь — это скаляры):
C(?) = C(?) + C(?)A(?)-L(?)C(?) = a;
S3(?) = S1(?)GT(?)CT(?) = 0;
S3 (?) = 2aD^v;
S2 (?) = C(?)G(?)S! (?)(C(?)G(?))T +S3 (?) = 2aD^.
Если ввести новую переменную Q(?) согласно формуле (3.189), то уравнения фильтра будут (см. (3.190)):
^(0 = -кф(0-а^(0+(кф(0а-кф(0-(кф(г))2а]у(?);
£(?)=q(?)+k;(?)y(?).
Оптимальный коэффициент уравнения фильтра найдем из формулы (3.187):
2aD';.v	2D^
(3.217)
(3.218)
Дисперсионное уравнение (3.190) для данной задачи имеет вид
Ь (?) = -D2 (?) a =_______^D2 (?)
1VCN 1VCN
Начальные условия для этого уравнения найдем из выражения (3.213):
»» =[d0-; +ст(<0)(d»,vf1 С(/О)] ' = РмР”
L	J U00 + UC\'
Видно, что полученное выражение (3.218) для Кф(?) можно использовать для нахождения производ-
ной Кф (?), которая требуется в уравнении фильтра (3.217):
Кф (0 __о
1
2D°
«dL(0.
2D°OT
K(o)2
(3.219)
Кф (ф) -
D
oo
2D°
ZUCN
Dqo
2(D°„+Daa)’
Подставляя соотношение (3.219) в (3.217), окончательно получим уравнение фильтра:
Q(0=-кф (0aQ(0+f кф (0a+a(K<i> (О)2 - а(кФ (0 Л Y (?) = aKj, (?)(y (?) -q(?)).
(3.220)
296
Статистическая динамика и идентификация САУ
Оптимальная оценка фильтра находится из выражения
^(Ф=о(Ф+к;(фу(ф.
Структурная схема оптимального фильтра имеет вид (см. рис. 3.28).
Рис. 8.28. Структурная схема оптимального фильтра
3.3.8. Оптимальный фильтр (наблюдатель) Калмана-Бьюси
В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
Все рассмотренные выше оптимальные фильтры не касались напрямую задач
управления. А между тем фильтры Калмана-Бъюси нашли широкое применение в
системах автоматического управления, где они используются в качестве оптималь-
ных наблюдателей. В этих задачах фильтры выполняют ту же роль получения не-
смещенной оценки Х(/) вектора состояния Х(7) при наличии помех измерения и
шумов (возмущений) объекта управления. Роль случайных возмущений объекта, на-
пример, могут играть порывы ветра, действующие на самолет; колебания момента
нагрузки на валу двигателя и т.д. и т.п.
Постановка задачи следующая. Рассматривается линейная система уравнений
Х(/) = A(/)X(/) + B(/)Y(z) + G(/)N1 (/);	(3.221)
XBP) = C(()X(P + N2p),	(3.222)
где X — п-мерный вектор состояния, Y — т-мерный вектор управления, Nt —
р-мерный вектор случайных возмущений (шум объекта), Хв — l-мерный вектор
выхода (измерений), N2 — l-мерный вектор помех измерений. Зная статистические
характеристики случайных процессов Nt (?) и N2 (/) и управляющее воздействие
Y (/), необходимо построить линейное последовательное устройство — фильтр,
который давал бы несмещенную оценку вектора с минимальной среднеквад-
ратичной ошибкой фильтрации.
Если рассмотреть уравнения (3.221), (3.222), то с точностью до обозначений они
повторяют рассмотренные ранее постановки задач построения фильтров, совпадают с
этими уравнениями, за исключением слагаемого B(/)Y(/), характеризующего целе-
направленное неслучайное управляющее воздействие на систему. Так как состав-
ляющая B(z)Y(z) является детерминированной составляющей, то для того, чтобы
получить те же структуры фильтров, которые были рассмотрены ранее, необходимо
только ввести составляющую B(/)Y(/) в уравнение фильтра, и все рассуждения и
выводы, полученные прежде, останутся в силе. Это легко проверить непосредствен-
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 297
ными преобразованиями, которые нами использовались. Таким образом, уравнение
оптимального фильтра (наблюдателя) для системы (3.221), (3.222) будет
С0=(АИ-к;> Мс(0)£М+вМУ0+кфИхв(Д (3.223)
где входными воздействиями фильтра являются управление Y(?) и вектор выхода
системы (вектор измерений) Хв (z).
Как и в рассмотренных ранее задачах синтеза оптимального фильтра, решение за-
дачи фильтрации зависит от многих дополнительных предположений, в частности от
коррелированности или некоррелированности шумов Nt (/) и N2(z). Предполагает-
ся, что шумы Nt (?) и N2 (?) являются белыми гауссовыми и некоррелированными
между собой, с нулевыми математическими ожиданиями:
7H{n1(/)} = 0; 7W{n2(/)} = 0; (z)nJ(т)} = О, V t,v,	(3.224)
зфМУМН.Ж'-т);
1	'	(3.225)
где S1(/),S2(/) — положительно определенные симметричные матрицы интенсив-
ностей. Кроме того, начальное состояние Х(/0) = Х° не коррелировано с шумами
Nt (?) и N2 (/), т.е.
m{xonT(z)} = m{x°nI(z)} = O.	(3.226)
Известны математические ожидания и дисперсия начального вектора Х°:
7И{Х°} = Х°; 7h|(x0-X0)(x0-X°)TJ = D00.	(3.227)
Тогда ставится задача определения матричной функции Кф(7), и начальные ус-
ловия Х(/о) задаются таким образом, чтобы получить несмещенную оценку векто-
ра состояния с минимальной среднеквадратичной ошибкой фильтрации
J = min tiTD (/)~|,	(3.228)
кф(() L
где
Пго(0 = ^{(х«-Х(0)(х(0-Х(г))Т}	(3.229)
называется задачей оптимального наблюдения (задачей оптимального фильтра
Калмана-Бьюси для систем управления').
Решение поставленной задачи оптимального управления с учетом ранее решен-
ных задач оптимальной фильтрации и введенных обозначений сформулируем в виде
следующей теоремы.
Теорема 3.3. Рассматривается задача оптимального наблюдения (3.221)-(3.229).
Тогда решение данной задачи получается путем выбора матрицы коэффициентов
наблюдателя
kJ,(/) = d<,<j(/)ct(/)s;1(/), />/о,	(3.230)
где
0) = AW	0) +	W АТ W + G (Щ10)GT W -
-DO<J(/)CT(/)SJ1(/)C(/)DOT(/), />/„
(3.231)
298
Статистическая динамика и идентификация САУ
с начальными условиями
DTO('o) = D«o-	(3.232)
Начальные условия для оптимального наблюдателя (3.223) должны быть выбра-
ны в виде
Х(/0) = Х°.	(3.233)
Выражения (3.230), (3.233) оптимального наблюдателя в точности повторяют по-
лученные ранее уравнения для оптимального фильтра (см. и. 3.3.5). Различаются
только уравнения наблюдателя (3.223) и фильтра (3.97). Напомним, что здесь вектор
измерений обозначен через Хв(/), a Y(/) определяет вектор управлений.
Заметим, что в отличие от оптимального регулятора (задача АКОР), где требуется
решение уравнения Риккати в обратном времени, уравнение Риккати (3.231) для оп-
тимального наблюдателя можно реализовать в реальном масштабе времени, так как
уравнение (3.231) является дифференциальным уравнением с известными начальны-
ми условиями (3.232).
3.3.9.	Установившиеся свойства оптимального фильтра
Калмана-Быоси
Когда начальное время t0 стремится к минус бесконечности, решение DGr7
матричного уравнения Риккати
DU0 = A«DU0 + DU0ATW + G«Si«GTW- (3 234)
при некоторых нежестких ограничениях стремится к установившемуся решению
DCTCT(/), которое не зависит от Doo, причем DCTCT(/) является решением алгебраиче-
ского уравнения Риккати:
о = А(/)ВГО (/) + Вго (/) Ат (/) + G (t )S, (z)GT (/)-	(3235)
-DCTCT(/)CT(/)S2-1(/)C(z)DCT(T(z), /0->-оо.
Определим условия существования такого решения, которые сформулируем в ви-
де теоремы.
Теорема 3.4. Предположим, что матрица уравнения (3.221) является не-
прерывной и ограниченной, а С(7), G(/),	(/), S2 (/) из соотношений (3.222)-
(3.224)	— кусочно-непрерывные и ограниченные матрицы. Кроме того,
Sj(/)>al, S2(/)>pI, V/,	(3.236)
где ос, Р — положительные константы.
Тогда, если система
Х(/) = A(/)X(/) + G(/)N1 (/);	(3.237)
XB(/) = C(/)X(/) + N2(/)	(3.238)
является'.
а)	равномерно полностью наблюдаемой и равномерно полностью управляемой
или
б)	экспоненциально устойчивой,
то решение 1)пп (?) уравнения Риккати (3.234) с начальным 1)пп (?) = Doo сходится
к DGr7 (?) при t0 -оо для любого Doo > 0.
Если Doo = 0, то условие (а) может быть ослаблено до условия полной наблю-
даемости.
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
299
Для систем с постоянными параметрами'.
Х(/) = AX^ + GN^);	(3.239)
X.(z) = CX(() + N2(()	(3.240)
при некоррелированных шумах Nt (?) и N2(/), где Nt (?) и N2(?) —белые гауссовы
шумы постоянной интенсивности, соответственно St (?) = S1? S2 (?) = S2. Если па-
ра {A, G} является стабилизируемой, а {А, С} - обнаруживаемой, тогда алгебраи-
ческое уравнение Риккати
0 = ADTO + DoX+GS1GT-DroCTSf1CD<J<, _	(3.241)
имеет единственное неотрицательно определенное решение 1)пп > 0, а если пара
{A,G} является полностью управляемой, то матрица 1)пп будет положительно
определенной и симметричной.
Заметим, что отсутствие управления Y(/) в уравнениях (3.237), (3.239) не влия-
ет на условия, накладываемые на получение установившегося решения уравнения
Риккати, так как оно учитывается в уравнении наблюдателя.
Пример 3.8. Система управления положением.
Представим объект, движущийся в плоскости. В центре плоскости располагается вращающаяся антен-
на, которая, как предполагается, отмечает направление объекта во все моменты времени. Антенна приво-
дится в движение электродвигателем.
Задача управления заключается в таком воздействии на двигатель, при котором
ср(?)П ср0(?), Z~A	(3.242)
где <р(?) — угловое положение антенны, фо(?) — угловое положение объекта. Предположим, что угол
Фо (0 достижим для измерения с помощью визирного устройства.
Объект состоит из антенны и двигателя. Возмущением пх Д) (скаляр) является момент ветровой на-
грузки, приложенной к антенне. Наблюдаемой переменной является выходной сигнал потенциометра или
другого преобразователя на валу антенны, определяемый выражением
и1(?) = ф(?) + и2(?),	(3.243)
где и2 (?) — шум измерений.
Определяя переменные состояния как Xj(?) = ф(?), х2 (О = Ф(?)> ПОЛУЧИМ следующую систему диффе-
ренциальных урак,пений состояния:
-1Jx(t)+KO’’(r)+Cb,<')-	<з'244)
Здесь a. = B/J, '!У = К/.1, y = \/J, В — коэффициент вязкого трения, J — момент инерции всех вра-
щающихся элементов конструкции, включая антенну, уД) — напряжение, прикладываемое к двигателю,
Мъ (?) = КуД) —вращающий момент двигателя, «](?) —возмущающий момент, вызываемый ветром.
Наблюдаемой переменной является угол ф(?), который измеряется с помехой
хв(?) = (1 0)Х(?) + и2(?).	(3.245)
Предполагаем, что интенсивность шума объекта— 5), интенсивность шума измерений— S2.
Видим, что пара (A, G} является полностью управляемой, в том числе стабилизируемой, а пара
(А, С) — полностью наблюдаемой, в том числе обнаруживаемой:
rank {A, AG} = 2; rank{cT,(CA)T} = 2,
поэтому можно определить установившийся, оптимальный наблюдатель для этой системы и Dnn > 0.
Алгебраическое уравпение Риккати:
(0 1	- (0 о ) (0) z ч _ (1) 1
0= D +D	+	0 у) —D	——(1 0)D .	(3.246)
(0 -a J	(1 -a J ую
Используя свойство симметричности матрицы Daa, т.е. J12=J21, получим алгебраические уравнения
300
Статистическая динамика и идентификация САУ
0-2<5?12 — <7ц,
X
< 0 = <5?22 — С1й?12 — —— й?цй?12,	(3.247)
У
0 = —2a<5?22+Y	— ~<^12-
*>2
Из решения системы уравнений (3.247) получим
___	— сс + -х/сл + 2р	сс + Р — ctx/cx + 2р
D =
а2 тр-а^/а2 + 2р -а3 -2ар + (а2 + р^/°с2 + 2р
где р = ^SjS2.
Отсюда следует, что матрица коэффициентов фильтра
Характеристический полином матрицы наблюдения А - КС определяем из выражения
det (а - КфС - si) = s2 + s<ja2 + 2fi + Р;
из этого следует, что полюса установившегося оптимального наблюдателя равны
|ра2+2р±7а2-2р).
Примем следующие числовые значения параметров:
К = 0,787 рад/(ВЧс2); а = 4,60-1; у = 0,1 kt’V2.
Интенсивность 5) и S2 определим из следующих предположений. Величина 5) находится из условия,
что среднеквадратичная величина возмущающего момента равна -71000 = 31,6 Нм, спектральная плот-
ность постоянна в диапазоне от -50 до 50 Гц и равна нулю вне этого диапазона. В этом случае
5) =10Н2-м2с.
Аналогично предполагаем, что для шума наблюдений, который имеет среднеквадратичную величину
около 0,01 рад, функция спектральной плотности постоянна в диапазоне от -500 до 500 Гц и равна нулю
вне этого диапазона. Тогда
S2 = 10-7 рад2-с.
При указанных численных значениях находим
К* J40’36^
ф 1^814,3 J
Установившаяся матрица дисперсии ошибок оценки фильтрации определяется выражением
(0,000004036 0,00008143)
D =
аа ( 0,00008143	0,003661 )
3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛАМИ ВОЛЬТЕРРА
Постановка задачи. На вход нелинейной системы поступает аддитивная смесь
полезного входного сигнала т(Г) и помехи п(Г).
Необходимо по статистическим характеристикам сигналов т(Г) и n(t} по-
строить оптимальную математическую модель замкнутой нелинейной системы в
форме ряда Вольтерра.
Теоретическая ценность аппарата рядов Вольтера, как указывалось в п. 3.2, состоит
в том, что многие положения линейной теории систем автоматического управления
обобщаются на класс нелинейных систем и изложенный выше аппарат синтеза оп-
тимальных фильтров (см. п. 3.3).
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 301
При построении метода синтеза оптимальных нелинейных фильтров практически
используются все этапы, приведенные выше применительно к синтезу линейных оп-
тимальных фильтров.
Постановка задачи фильтрации заключается в следующем'.
1) заданы статистические моменты необходимого порядка случайных процес-
сов m(t) и n(t): ci^(tx,t2,...,tk) и а^^,12,...,tp);
2) требуется найти многомерные импульсные переходные функции нелинейного
фильтра	k2(t,\,x2^, k2(t,\,T2,T2^,..., оптимальным образом вы-
деляющего реализацию случайного процесса т(Г) в виде некоторого процесса
X(/) в условиях, когда на его вход поступает аддитивная смесь случайных
процессов т(Г) и n(t} (рис. 3.29).
Рис. 3.29. К постановке задачи фильтрации в классе нелинейных систем
Часто используется несколько другая постановка задачи, позволяющая получить
вполне обозримые в практическом плане результаты с использованием современных
средств вычислительной техники. Сущность этого подхода состоит в том, что снача-
ла находится оптимальная ИПФ линейного фильтра k* Для ее нахождения
используется уравнение Винера-Хопфа (3.25). На следующем этапе рассчитывается
оптимальная ИПФ 2-го порядка к2 ( Л Ч, т2) путем решения соответствующего
уравнения. Таким образом, последовательно находится необходимое число опти-
мальных ИПФ [54, 68, 106].
Рис. 3.30. Структурная схема, поясняющая формирование
составляющих Х3 (t},X2 (t},X3 (tY...,X (/),...
302
Статистическая динамика и идентификация САУ
Следует заметить, что каждая из кр \	j рассчитывается из условия ми-
нимизации СКО вида
М
(т(/)-АД/))2

(3.248)
причем Хр_х (/) — выходной сигнал нелинейного фильтра, имеющего уже найден-
ные оптимальные ИПФ	Ау (Л Аг )>• • • > к*Р-1 (^т1,т2,...A^-i) (рис. 3.30).
Рассмотрим задачу синтеза стационарного оптимального фильтра вида
JV(/) = |&1(т)У(/-т)б7т +j j А (т1,т2)У(/-т1)У(/-т2)б/т1б7т2,	(3.249)
о	оо
предполагая при этом, что ИПФ к{ (т) найдена с использованием формулы (3.25).
Оценка JT(7) отличается от оценки, определяемой формулой (3.25), наличием не-
линейного слагаемого. Таким образом, если получена оценка JT(7) в классе линей-
ных систем, то к ней добавляется корректирующее слагаемое, являющееся выходом
квадратичного канала системы.
Пусть <Э| (^) — ошибка фильтрации линейным каналом системы, т.е.
сц (?) = m(t}~ jk[	(3.250)
о
Ошибка оу (/) не коррелирована с входным сигналом У(/), так как
М[у(/-т1)ст1(/)] =М[У(/-т1)?и(/)]-Л/ |А1*(т)У(/-т1)У(/-т) с/т =
L°
= RmY (Т1) - j kl (Т) RYY (тХ - Т) б/T = 0.
(3.251)
о
Ошибка фильтрации нелинейным фильтром, включающим линейный и квадра-
тичный каналы, определяется зависимостью
=Л/Г(га(/)-Х(/))21 = М
= м
\2"|
ОООО
-JJX (^15^2 )	— Т1 ) К(^-т2 )<^т1^т2
0 0	J
\2
ОО 00
°1(0-|\к2 (т1,т2)У(/-т1)У(/-т2)б/т1б7т2
оо	J
=	- 2f f k2 (ь > Ъ)	(^1 > Ъ)<M2 +
о о
+J f J J ^2 (м2^2 (jLnJayr (Ti -Т2Л1 -<,T2 -<) dxxdx2dx{dx'2-,
0000
<4/ (Т1 ’ Т2 ) = М [°1 №(t - ТХ ) У (t - Т2 )] =
= М
т
-т1)У(/-т2)
(3.252)
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
303
= М	)У(/-т2 )]- j к* (т)Л/[У (/-тх )У (/-т2 )У (/-т)] dx =
" ° з	(3'253)
= “rf (Т1 > Т2 ) - pl" (Т) “1Т (Т[ - т2, Т, - т) Л,
о
°4т (Ti -"С2А1 -т1,т2 - т2) = Л/[У(/-т1)У(/-т2)У(/-т1)У(/-т2)].	(3.254)
В (3.252) 2)СТСТ1 — минимальная СКО, которая обеспечивается только линейным
каналом системы.
В отличие от линейного случая, при учете квадратичного канала системы СКО за-
висит от смешанных статистических моментов третьего и четвертого порядков.
Для нахождения двухмерной ИПФ ^2(т1,т2)? обеспечивающей наилучшую ли-
нейную фильтрацию процесса т(/) из аддитивной смеси m(t} + «(/), можно вос-
пользоваться тем же приемом, который описан выше для линейного случая.
Результатом соответствующих аналитических рассуждений является интеграль-
ное уравнение вида [54, 68, 106]
(Ti ’ т2) = J J k2 (TiА2)<4т (Т1 -Т2,Т1 -т[,т2 -т2)б7т[б7т2,	(3.255)
о о
тх >0, т2 > 0.
Это уравнение является двухмерным интегральным уравнением первого рода и
определяет неизвестную двухмерную ИПФ через стохастические моменты', смешан-
ный момент третьего порядка между ошибкой с>х (/) и входным сигналом Y(/) и
момент четвертого порядка процесса У(/). Это уравнение является прямым аналогом
уравнения Винера-Хопфа (3.25) для оптимального линейного фильтра. Однако меж-
ду ними есть большая разница. В то время как интеграл в уравнении Винера-Хопфа
представляет собой одномерный интеграл свертки, в двухмерном уравнении (3.255)
(4)
правая часть не является сверткой по двум переменным, так как <ХУу зависит не
только от тх -т2, но и от тх — т[ [54, 68, 106]. Для доказательства факта, что мини-
мальная СКО достигается при £2(т19т2) = £2(т19т2), подставим (3.255) в (3.252). В ре-
зультате указанной подстановки имеем
— 21J J J ^2 (Т1П2)^2 (т1П2)аГГ (Т1 — Т2,Ti - Xi ,Т2 -Г2)йМт2б7т[б7т2 +
0 0 0 0
+]*]*]*]*к2 (тх,т2)^2 (т[,т2)<4т (ti — Т2,Т1 -т(,т2	=
0000
= Двд “Ш/к2 (т1’т2)^2 (т1П2)агг (Т1 — Т2,Т1 -т;,т2 -т2)dxxdx2dx{dx’+	(3.256)
0000
+П11[^(Т1’Т2)-^(Т1’Т2)][^2МА2)-^2(Т1’Т2)]Х
0 0 0 0
ха$ (тх -т2,тх -т[,т2 -т2)б7т1б7т2б7т[б7т2.
В полученном выражении последнее слагаемое содержит неизвестную функцию
к2 (tj , т2), и это слагаемое неотрицательно, поскольку
304
Статистическая динамика и идентификация САУ
Ш f Ь h, Т2 ) - ^2 (ь > Т2 )] |Ч (Ti А2 ) - к*2 (т;, Т0] X
0 0 0 0
ха^) (тх -т2,тх -т{,т2 -Т2)б7т1б7т2б7т{б7т2 =
= М
< ||[МТ1А2)-£ИТ1А2)]У(?-^1)У(/-^2
<о о
)б7тхб7т2) >
>0.
Очевидно, минимальное значение ст2 будет соответствовать такому нелинейному
фильтру второго порядка, для которого указанное слагаемое обращается в нуль.
Это будет иметь место, если ядро (Т1, т2) = ^2 (Т1, т2)  Используя это условие,
из (3.256) следует зависимость, определяющая минимальную СКО:
Cm = МтА - П J К (^1А2)^2 (^А2)°4т Х	п
0 0 0 0
x(ti -т2 ,тх -т[ ,т2 -т2)б7т1б7т2б7т^т2.
Учитывая (3.255), получим
°2min =^lmm-ff^27TlA2)aa1y(Tl’T2)^1^2,	(3.258)
о о
где o2niil1 = Л/^сц2 (/)J = DCTiCTi — минимальная СКО при использовании только ли-
нейного канала. Величина
^Imin-^lmin = ff^(Tl’T2)aa1y(Tl’T2)^1^2	(3.259)
о о
количественно определяет тот эффект, который обеспечивается введением квадра-
тичного канала. Другими словами, использование квадратичного канала позволяет до-
полнительно уменьшить СКО по сравнению с линейным фильтром на величину (3.259).
Пользуясь приведенными рассуждениями, но полагая, что найдены кх (тх),
&2 (тх, т2),..., к*п_х (тх, т2,..., ти_х), построим интегральное уравнение, определяющее
(т1,т2,...,ти). Обозначим через Q„_i(?) ошибку, которая получается, если для
оценки т(ф используется нелинейный фильтр, имеющий линейный, квадратичный
и т.д. каналы до и-1 включительно. Тогда
= т(Д-^ ]...]/сДт1,т2,...,тг)У(
г=1 0	0
хУ(/-т2)...У(/-тг)б7т1б7т2...б7тг-.
(3.260)
Отсюда находим
-2
]...]/Си(Т1,Т2
о о
ти)У(/-т1)У(/-т2)...У(/-ти)б7т1 ...б7т;
]’...]Х(Т1,Т2
-2М

Tn)Y(t-Tx)Y(t-T1)...Y(t-Tnyn_x(t)d^...dy
о о
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
305
^n)Y(t-^...Y(t-Yn)dTx...dYn
о о
Всп1сп1 J • • • J kn (^1, У ’ •••’	(^1 ’^2 ’ • • • ’^n)	+	(3.261)
о 0
+/  JX Хл2,---Лй)£„ (т[,т2,...,<)а^и)	...dx'n.
о 0
В последнем выражении £>	— минимальная CKO, которая может быть дос-
тигнута при использовании нелинейного фильтра, включающего п-1 канал.
Из (3.261) можно получить интегральное уравнение, определяющее ИПФ п-го ка-
нала [54, 68, 106]:
а^11Дт1А2,---^й) =	(3.262)
о о
Очевидно:
tfnmin	(3.263)
о о
Рассмотрим задачу в общем виде, когда находятся ИПФ первого и второго поряд-
ков из условия минимума СКО. Выражение, определяющее СКО, можно получить,
пользуясь следующими рассуждениями. Имеем
<т(7) = m(t}~ JX (т1)У(/-т1)^т1 - j jk2 (т1,т2)У(/-т1)У(/-т2)б7т1б7т2.	(3.264)
о	oo
Отсюда находим
q2 (/) = m1 (/) + j j k{	(т2)У(t - тх)У (/- т2)б7т1б7т2 +
о 0
+ПП^2(Т1’т2)^2(т[,^)У(/-т1)У(/-т2)У(/-т[)х
0 0 0 0
хУ(t-т2)б7т1б7т2б7т[б7т2 -2jk{ (тх)У(/-T^m(t^dTx -	(3.265)
о
-2j jk2 (тх,т2)У(/-тх)У(/-T2^m(t^dTxdx2 +
о о
+2j j* j* (Ti)^2 (т[,т2)У(/-т[)У(/-т2)У(/-т1)б7т[б7т2б7т1.
ooo
Осреднение по множеству приводит к следующей зависимости:
°2 = Dmm - 2f К (тх) RmY (тх) б7тх - 2j JX (тх, т2) c$Y (тх, т2) d^dx2 +
О	0 0
+j jkx (тх)^ (t2)Ryy (т2 -T1)dT1dx2 +
о о
306
Статистическая динамика и идентификация САУ
+2j	(Ti)^2 (т[,т2)(Хуу (Ti -Ti’Ti -тг) dxpH{dx2 +
° 0 0	(3.266)
+Jf f \k2 (\,т2')к2 (т[,т2)а^ (b -^2Ai -т[,т2 -т2)йтДт2йГДД.
0 0 0 0
Тем же приемом, который применялся выше, можно показать, что минимум СКО
достигается при использовании такого нелинейного фильтра второго порядка, ИПФ
первого и второго порядков которого удовлетворяют следующей системе двух инте-
гральных уравнений [54, 68, 106]:
j jк2 (т2,т3)(Х}у (тх -т2,тх -т3)б7т2б7т3 +
о о
+JX	=RmY (тх);
о
(3.267)
f f k2 (TLT2)a}T (T1 “T2 Al - Т[, Т2 -Т2)б7т^Т2 +
°	(3.268)
+ f ki W) aYY (Ti - т2, тх - т[) б7т[ = о© (тх ,т2).
о
Если полезный случайный сигнал т(ф} и помеха п(б) независимы и имеют сим-
метричное распределение, (тх-т2,тх-т3) = 0, записанная выше система инте-
гральных уравнений, определяющая оптимальные ИПФ к* (т), к2 (т1?т2), распада-
ется на два уравнения, первое из которых переходит в одномерное уравнение Вине-
ра-Хопфа, определяющее оптимальную ИПФ линейного канала, а второе — в урав-
нение (3.255), определяющее к2 (т1?т2) квадратичного канала [68].
Для общего случая интегральные уравнения, определяющие оптимальную нели-
нейную систему, имеют вид [54, 68, 106]
фф ОО 00
т=0 о о	(3.269)
= т(/) Y(t - т[) Y(t - т2 )... Y(t - х'п ), п = О, N,
или, что то же самое,
фф 00	00
У [••• j km(x{,x'2,...,x'm)a^m\xl,x2,...,xn,x{,x'2,...,x'm)dx{...dx'm =
т=0 о о	(3.270)
= атУ)(т1А2,---Аи), n = Q,N.
До сих пор не делалось никаких предположений о законах распределения сигна-
лов и т(7). Если предположить, что процессы n(t} и m(t} распределены по
закону Гаусса, то добавление квадратичного, кубичного и т.д. каналов к оптималь-
ному линейному фильтру не может уменьшить величины СКО. Другими словами,
наилучшая фильтрация стационарного или нестационарного нормального случайно-
го процесса m(t} из аддитивной смеси с нормальным случайным сигналом n(t} осу-
ществляется оптимальным линейным фильтром, ИПФ которого определяется ин-
тегральным уравнением Винера-Хопфа (3.25).
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ 307
3.5. ОПТИМИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ
ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Рассмотрим САУ, представленную на рис. 3.31.
Рис. 3.31. Структурная схема системы
В данной постановке, связанной с синтезом нелинейной системы по критерию
минимума среднеквадратической ошибки, полагаем, что часть элементов задана, в
том числе нелинейный элемент с характеристикой F и линейная часть с ПФ Wo (s);
необходимо определить передаточную функцию P7Ky(s) линейного корректирующе-
го устройства.
В рамках корреляционной теории приближенно поставленная задача может быть
решена с использованием метода статистической линеаризации [48].
Рассмотрим несколько подходов к решению задачи синтеза оптимальных систем.
Положим, что нелинейный элемент имеет однозначно непрерывную характери-
стику. Варьируемые параметры р = ,р2,..., рг )Т имеют технические ограничения,
которые имеют вид
Pm — Р — Рм •
Для решения задачи воспользуемся статистической линеаризацией НЭ
Х1 (0 = К0 ( mY,> ) mY, + К ( mY,> ) ВД,	(3.271)
где щу —регулярная составляющая (математическое ожидание 1Д0),	—цен-
трированный случайный процесс; KQ и — соответственно первый и второй ко-
эффициенты статистической линеаризации, зависящие от математического ожидания
и дисперсии сигнала 1) (/).
В первом варианте в качестве критерия оптимальности принимается минимум
среднеквадратической случайной ошибки при предположении, что система работает
в установившемся режиме.
Для статистически линеаризованной системы целевая функция (среднеквадрати-
ческое значение ошибки системы) запишется в форме
= М|^£2	= е2 + &„ min,	(3.272)
где в предположении стационарности всех процессов выражения для е и <зт имеют вид
СТ
1 + ^ку (у р) ко ( mY, стУ1) Wo (s)
^ку (у® > р) Кг (mYx ,<3Yx )Wo (усо)
1 + Ку (У®)Ki (ту ) К (у®)
mY = г(р);
s=0
2
5ии(со)б7со = ст2(р).
(3.273)
(3.274)
£ =
308
Статистическая динамика и идентификация САУ
Так как установившаяся ошибка (3.273) и дисперсия случайной ошибки, порож-
денной помехой (3.274), зависят от коэффициентов статистической линеариза-
ции, для их определения в расчет должны быть введены математическое ожидание
mYi и дисперсия ст входной координаты нелинейного элемента; расчет коэффици-
ентов Ко (mYi, стУ1) и Кх (тУ1, стУ1) производится по формулам
+оо
7Г0(тУ1,стУ1) = j +	( + М+
(3.275)
где
(3.276)
ехр

Так как оптимизация ошибки для статистически линеаризованной системы про-
водится приближенно, необходимо ввести условия устойчивости, обеспечивающие
безусловную устойчивость при синтезированных параметрах, для чего используется
критерий абсолютной устойчивости процессов В.М. Попова [7].
В результате задача оптимизации системы по минимуму среднеквадратической
ошибки может быть сформулирована как задача нелинейного программиро-
вания'. минимизируется по вектору параметров р целевая функция
£2(p) = £2(p) + a2(p)->min	(3.277)
р
с использованием соотношений (3.273) и (3.274) при ограничениях:
1)	Рт
2)	Kq (mY, сту ) и К} (mY , сту ) — коэффициенты статистической линеаризации;
3)	налагаемых требованием абсолютной устойчивости процессов.
Ввиду сложности ограничений при решении задачи нелинейного программирова-
ния используется процедура численного направленного поиска — регулярного или
случайного. Имея в виду гибкость аппарата нелинейного программирования, та же
расчетная процедура может быть использована для оптимизации нелинейной систе-
мы при случайных воздействиях по другим критериям.
При решении практических задач часто используется следующая постановка за-
дачи: на вход системы подается полезный сигнал m(t} и помеха п(Г); m(t} и n(t}
— стационарные случайные некоррелированные процессы', система работает в ус-
тановившемся режиме. Критерий оптимальности записывается в виде
^(РъРг
^ку (J®, А,Pi,• • •, Рг) Ki	, стУ1) Wo ( усо)
1 + ИОу (усо, а , р2,..., рг) Кг (тЛ, стУ1) Wo ( усо)
2
+00	|
+£ 1 +	(7®, А , Рг, • • •, Рг) Al (mYi, стУ1) №0 (усо) S,nm
2
б*ии(со)с7со +
(3.278)
Решается следующая задача с использованием аппарата нелинейного программи-
рования:
Глава 3. Методы синтеза статистически оптимальных САУ
309
СТ2	min	(3.279)
р
при ограничениях:
1)	Рт
2)	Kq (mYi, <зу) и	( mY1 ’	) — коэффициенты статистической линеаризации;
3)	налагаемых требованием абсолютной устойчивости процессов.
Может быть использована также следующая приближенная процедура оптимиза-
ции при стационарных и нестационарных случайных процессах. Пусть заданы веро-
ятностные моменты второго порядка случайного полезного сигнала и помехи,
имеющие нормальный закон распределения. В этом случае, как известно, оптималь-
ная система, в смысле минимума среднего квадрата ошибки, является линейной. Ди-
намические характеристики (передаточная функция для класса стационарных систем
и импульсная переходная функция для класса систем с переменными параметрами)
могут быть найдены известными методами: путем решения уравнения Винера-
Хопфа, методом Заде-Рогаззини (последний метод предполагает оптимизацию по
минимуму среднеквадратической ошибки при ограничениях на время переходного
процесса (система с конечной памятью) и коэффициенты ошибок).
Рассмотрим простейший случай, когда система стационарна (рис. 3.31), и
— стационарные некоррелированные сигналы, режим — установившийся.
Пользуясь методом статистической линеаризации, определяем коэффициент уси-
ления нелинейности по центрированной случайной составляющей КА mY, <зу ). По-
ложим, что найдена передаточная функция оптимальной замкнутой системы W(s^.
Тогда справедливо соотношение
lPKV(5)X1(my,Qy WoW
^(s) = —>yV 7 ц’; r,\0V 7 ,	(3.280)
1 + ff'ty (s)K1 (m}\ ’(9
из которого находится ПФ корректирующего устройства
7-------------------“у	<3-281)
Последняя зависимость может быть переписана в виде
^ку м = Af1 (mYx )1Р0-1 (s)	= Xf1 (mYx )1PO-1 (s)lPp* (s),	(3.282)
i w (/)
где W* (.v) — оптимальная передаточная функция разомкнутой системы. Решение за-
дачи оптимизации параметров нелинейных многомерных систем при случайных воз-
действиях с использованием аппарата нелинейного программирования приведено в [48].
Пример 3.9 [48]. Рассмотрим следящую систему, структурная схема которой представлена на рис. 3.32.
На структурной схеме Щ (дУ) =	+ 1)] — передаточная функция неизменяемой части системы;
параметры имеют следующие значения: = 2,06 -10—3 рад/с; Т\ =0,2 с.
Рис. 3.32. Структурная схема следящей системы
310
Статистическая динамика и идентификация САУ
Нелинейный элемент представляет собой усилитель с насыщением с характеристикой:
' 406,
401)
-406,
51 >16;
-16 < У; <16;
У; <-16.
Измеритель рассогласования имеет передаточную функцию Wu(s) = b0, где 60 = 20 6/рад.
На вход системы поступает сигнал У(1) = т(1), а помеха и(1) поступает на вход неизменяемой части
(рис. 3.32):
„ I \	2 В	2 Г. f 2
=-----2	„о2; “ = °>5 РаД ;
Л С£> +402
Snn (со) = So = 3,42 6/с; ₽ = 0,84 рад/с.
По статистическим характеристикам полезного сигнала и помехи легко найти передаточную функцию
оптимальной системы
W(s) =-----------.
V ’ (^ + 2)(^ + 3)
Задача заключается в нахождении передаточной функции корректирующего устройства, при этом по-
лагается, что система работает в установившемся режиме.
Для расчета коэффициента статистической линеаризации необходимо графически решить уравнение
37 I 1
— = 160Ф
JoYv	JD-,
(3.283)
где Ф (z) — функция Крампа.
Графическое решение уравнения (3.283) приведено на рис. 3.33; из него следует, что К, = 72.
Из структурной схемы (рис. 3.32) следует
Отсюда находим
Последняя зависимость позволяет записать формулу, определяющую ПФ корректирующего устройства:
(3.284)
Как легко видеть из (3.284), при рассмотренном подходе реализуется принцип динамической компен-
сации со всеми присущими ему недостатками. Положение усложняется необходимостью использовать в
расчетах обратное звено линейного эквивалента нелинейного элемента.
Передаточная функция корректирующего звена имеет вид
0,156 s [0,2 £ +'
s1 +554-5,55
Рис. 3.33. Графическое решение уравнения (3.283)
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
311
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБЪЕКТЫ
УПРАВЛЕНИЯ: ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ
И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
При решении задач анализа, синтеза и оптимизации САУ ключевой информаци-
ей является математическая модель (ММ) объекта управления. Основной подход,
используемый при построении ММ, — применение фундаментальных законов фи-
зики. Как уже указывалось, эти законы являются основой построения ММ элемен-
тов, относящихся к классу механических, электрических, гидравлических, термо-
динамических и др.
Однако во многих случаях ММ неизвестна или известна структура модели, но не-
известны ее параметры. Можно привести в качестве примеров много САУ, ММ объ-
ектов которых меняются в процессе управления (типовой пример такого объекта —
летательный аппарат). Это приводит к необходимости построения регуляторов,
параметры которых изменяются так, чтобы при изменяющихся параметрах объ-
екта точность и качество системы оставались неизменными. Очевидно, что в та-
кой постановке задачи синтеза регулятора необходимо знать изменяемую во времени
ММ объекта. Можно указать сложные объекты, фундаментальные физические зако-
ны функционирования которых мало изучены. Поэтому для рассматриваемых случа-
ев стержневой является проблема построения ММ. Эта проблема получила название
«Идентификация ММ объектов управления».
Приведем основные формулировки этой проблемы, следуя [95, 98, ПО, 119, 121,
130, 146, 154]. Например, содержание этой проблемы можно трактовать как на-
хождение оператора модели объекта, выходной сигнал которой наилучшим образом
(например, в метрике С[0,Г] или С2[0,Г]) приближен к выходному сигналу изучае-
мого объекта при одном и том же воздействии, поступающем на их входы.
При разработке ММ можно учитывать физические законы, протекающие в объ-
екте и, таким образом, иметь представление о структуре объекта; тогда задачу
идентификации можно рассматривать как уточнение по экспериментальным
данным оператора системы (например, известен порядок ДУ, но неизвестны его
коэффициенты).
Необходимо различать проблемы идентификации объекта и процесса. Если под
идентификацией объекта понимается получение или уточнение по эксперименталь-
ным данным оператора объекта или его модели, работоспособной для всех эксплуа-
тационных режимов, то идентификация процесса — это получение или уточнение
на основе экспериментов модели данного режима [130].
В проблеме идентификации важной является задача идентифицируемости. На-
пример, под параметрической идентификацией понимается возможность определе-
ния параметров ММ объекта или процесса по результатам измерения определенных
величин в течение некоторого интервала времени. Различные аспекты этой пробле-
мы подробно рассмотрены в [130].
В теории идентификации проектировщик имеет дело с двумя моделями [130]:
•	моделью, описывающей идентифицируемый объект или процесс;
•	моделью, в терминах которой производится идентификация (эти модели по
своей форме могут совпадать, а могут и не совпадать).
312
Статистическая динамика и идентификация САУ
Практический способ проверки степени эффективности решения задачи построе-
ния ММ — это сравнение и численная оценка реакций реального объекта и модели,
полученных при подаче на их входы одного и того же сигнала.
Если пользоваться классическим определением идентификации, данным Л. Заде в
1962 году: «Идентификация состоит в отыскании по входным и выходным сигналам
некоторой системы эквивалентной ей системы из некоторого заданного класса», —
то состояние этого направления один из ведущих специалистов в данной области в
начале 90-х годов прошлого века охарактеризовал так: «К настоящему времени в
этой области имеются веские признаки хорошо обоснованной теории, накоплен
большой опыт в многочисленных и разнообразных применениях» [119].
Трудности решения проблемы идентификации порождаются ее содержанием.
Уже при постановке конкретной задачи построения математической модели объекта
необходимо иметь ясность по следующим вопросам:
•	класс операторов модели (линейные или нелинейные ДУ, обоснованность ли-
неаризации и ошибки, порожденные ею и др.);
•	учет ошибок измерений, ошибок квантования, класс воздействий, наличие некон-
тролируемых шумов и исключение их влияния на точность идентификации и др.;
•	выбор и обоснование метода и алгоритма решения задачи идентификации;
•	содержание экспериментальной части решения задачи идентификации и ее
реализация.
Разработано большое число методов идентификации, поэтому в свое время круп-
ным специалистом в области идентификации П. Эйкхоффом было сказано следую-
щее: идентификация «выглядит скорее как мешок с фокусами, чем единый предмет»
(1971 г.). Имеется настолько много алгоритмов идентификации, предназначенных
для такого большого числа разнообразных приложений, что их даже невозможно
объединить под общим названием. Поэтому при выборе алгоритмов идентификации
необходимо ограничиться в основном теми, которые могут быть и действительно
были использованы в тех задачах, к классу которых принадлежит рассматриваемая
задача (например, построение идентификационных алгоритмов адаптивного управ-
ления; идентификация в реальном масштабе времени при возможности или невоз-
можности использования пробных сигналов и др.).
Можно указать лишь некоторые методы и построенные на их основе алгоритмы:
1. Алгоритмы, основанные на решении интегральных уравнений Вольтерра и Фред-
гольма 1-го рода (включая статистические подходы).
2.	Алгоритмы, использующие модели объектов с настраиваемыми параметрами (на-
пример, методом наискорейшего спуска, методом вспомогательного оператора и др.).
3.	Алгоритм максимального правдоподобия.
4.	Алгоритм, максимизирующий апостериорную вероятность; линеаризованный фильтр
Калмана.
5.	Алгоритм, использующий расширенный фильтр Калмана.
6.	Алгоритм стохастической аппроксимации.
7.	Метод и алгоритм байесовских оценок.
8.	Метод и алгоритм нелинейной и минимаксной идентификации.
9.	Алгоритм со случайным поиском и др.
Большой вклад при рассмотрении различных аспектов проблемы идентификации,
включая такое важное направление, как адаптивные системы, в которых идентифи-
кация должна выполняться в реальном масштабе времени, внесли: А.Н. Александров
[4], Н.М. Александровский, Ю.М. Астапов, В.М. Бабурин, В.С. Балакирев, И.Н. Бело-
глазов [16], Я.А. Гельфандбейн, Л.П. Грабарь [30], А.М. Дейч, А.Н. Дмитриев [134],
Е.Г. Дудников, Л.Г. Евланов [98], В.В. Евстифеев [153], С.В. Егоров, С.Д. Земляков
[42, 92, 93], В.В. Казакевич [45], И.Е. Казаков, В.А. Карабанов, В.И. Капалин, О.Н. Ки-
селев, Ю.Ф. Кичатов, О.С. Кожинский, Ю.М. Козлов, В.И. Костюк [59], А.А. Красов-
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 313
ский [61, 62], И.Н. Крутова, Л.Т. Кузин [63], Н.Т. Кузовков [64], В.И. Кухтенко [65],
В.Л. Ленский, Е.С. Лобусов, П.С. Матвеев, В.С. Медведев [11], Б.Н. Петров, Н.П. Пет-
ров, К.А. Пупков, Ю.С. Попков, С.Я. Раевский, Н.С. Райбман [108-110], Л.А. Растри-
гин [111], Ю.Б. Рождественский [8], В.Ю. Рутковский, В.И. Салыга, С.С. Салычев,
В.В. Семенов, В.В. Солодовников [8, 121, 126, 134], А.А. Стрельцов, В.П. Тарасенко,
В.И. Фомин, А.Л. Фрадков, Я.З. Цыпкин [145, 146], А.М. Цирлин, В.М. Чадеев [ПО],
П.И. Чинаев, Б.А. Шмульян, Л.С. Шрамко [129], Р.М. Юсупов [56], А.С. Ющенко
[143], И.Б. Ядыкин [156], В.А. Якубович и др.
Иностранные ученые: К.Д. Астрем (Швеция), А.Б. Балакришнан (США), М. Гвенод
(Швейцария), Л.Р. Джекобс (Англия), К. Изава (Япония), В.В. Петерка (Чехия), Дж. Са-
ридис (США), А.П. Сейдж (США), В.М. Стрейц (Чехия), К. Фурута (Япония), Р. Чаки
(Венгрия), И. Эйкхофф (Нидерланды) и др.
Из сказанного ясно, что изложить в данной главе основные положения теории
идентификации как единый предмет не представляется возможным.
В главе основное внимание уделено статистической идентификации, при кото-
рой динамические характеристики объекта или его оператор определяются на ос-
нове анализа статистических характеристик входного и выходного сигналов. Ис-
пользование статистических методов связано с проведением большого объема вычис-
лительной работы, но вместе с тем статистические методы дают возможность решать
задачи идентификации для широкого круга объектов, включая нелинейные, и позво-
ляют получить приемлемую точность решения поставленной задачи [121]. Результатом
решения задачи идентификации является приближенное значение оператора, его оцен-
ка, которая и используется в качестве характеристики истинного оператора [110].
Таким образом, результатом решения задачи идентификации являются исходные
данные для проектирования систем управления, не располагая которыми часто нельзя
выполнить ни оптимизации, ни синтеза регуляторов, ни анализа систем управления.
В главе не ставилась задача изложить все методы и алгоритмы идентификации
динамических систем и провести общую классификацию. Цель состоит в том, что-
бы познакомить читателя с основным содержанием рассматриваемой проблемы и с
некоторыми подходами к ее решению.
4.1.	ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ
4.1.1.	Общие понятия
Под идентификацией в широком смысле понимается получение или уточнение по
экспериментальным данным модели реального объекта, выраженной в тех или иных
терминах [130].
Идентификацией динамического объекта (процесса') называется определение па-
раметров и структуры математической модели, обеспечивающих наилучшее совпа-
дение выходных координат модели и объекта при одинаковых входных воздействиях.
Задача статистической идентификации объекта управления формулируется как
задача определения его оператора при наблюдении за случайными входными и вы-
ходными сигналами [98].
Приведем некоторые задачи, важным этапом решения которых является построе-
ние математической модели.
Первым этапом решения проблемы синтеза регуляторов, синтеза оптимальных
систем, проектирования самонастраивающихся систем и др. является задача иденти-
фикации (рис. 4.1-4.3).
Решение проблемы идентификации неразрывно связано с рассмотрением ряда
важных задач, которые в конечном счете определяют степень эффективности ис-
пользуемого подхода.
314
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 4.1. К постановке задачи синтеза регуляторов
Рис. 4.2. Структурная схема системы оптимального управления объектом
Рис. 4.3. Структурная схема самонастраивающейся САУ
4.1.2.	Критерии идентификации
При решении задачи идентификации важную роль играют критерии идентификации,
характеризующие степень близости выходного сигнала объекта А(7) и модели Хм (/).
В большинстве работ, посвященных задаче идентификации, принято оценивать
степень близости параметров р объекта и рм модели по близости выходных пере-
менных А(/) и Хм(/).
Наиболее естественным является рассмотрение этого вопроса с использованием
понятия функции потерь (штрафа) / (Др), где Др=рм-р; рм —параметры моде-
ли; р — параметры объекта.
Формула для функции потерь записывается в форме fp (X(/), Хм (t, рм)).
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 315
Для функции f справедливо:
•	f — скалярная функция,
•	Л(°) = 0’
•	Л(^1)^Л(ДР2)5 еслир(ДЛ)>р(Др2),
•	4(+Д9)=4(-др).
Таким образом, из (4.1) следует: штраф — скаляр; при точной оценке пара-
метров объекта потери отсутствуют; чем ближе Др к нулю, тем меньше потери;
функция f — симметрична. Если система функционирует на промежутке [О, Т],
вектор параметров модели рм (этот вектор находится в результате решения задачи
идентификации) должен удовлетворять соотношению
т
minf fp [X(?),Хм (t, рм)] dt.
Рм о
На практике в подавляющем большинстве случаев используется критерий мини-
мума СКО, являющийся частным случаем критерия минимума среднего риска, когда
функция потерь представляет собой квадрат разности между выходными сигналами
объекта и модели [6].
4.1.3.	Классификация объектов, задач и методов идентификации
Поскольку задача идентификации сводится, как правило, к определению структу-
ры модели объекта и восстановлению ее параметров, в качестве основы для класси-
фикации объектов целесообразно выбрать степень предварительной изученности
объекта. При наличии априорной информации все объекты могут быть разделены на
следующие группы [5, 6, 8, 32, 33, 95, 108, 121, 154, 155]:
1)	объекты, для которых известны описывающие их динамику операторные урав-
нения (например, дифференциальные уравнения) вплоть до приблизительных
значений коэффициентов;
2)	объекты, для которых известны описывающие их динамику операторные урав-
нения, а численные значения коэффициентов неизвестны;
3)	объекты, для которых конкретный вид уравнения и численные значения пара-
метров неизвестны, но имеется некоторая априорная информация (объект ли-
неен, объект содержит нелинейность определенного вида и т.д.);
4)	объекты, относительно которых отсутствуют какие-либо априорные сведения
(объекты типа «черный ящик»).
Провести четкую границу между любой парой смежных групп в общем случае за-
труднительно.
Методы идентификации разделяются и по следующим признакам:
1)	по способу представления характеристик объекта:
во временной области;
в частотной области;
в спектральной области относительно ОНБ;
2)	по методу проведения эксперимента на объекте:
•	активные (предполагают подачу на вход объекта специальных пробных
сигналов);
•	пассивные (используют реально действующие в системе сигналы и, таким
образом, нормальный режим эксплуатации не нарушается);
•	смешанные (на объект подаются специальные пробные сигналы малой ин-
тенсивности, не нарушающие его нормальной эксплуатации);
316
Статистическая динамика и идентификация САУ
3)	по принятому критерию идентификации;
4)	по наличию сравнения полученного математического описания с объектом:
•	разомкнутые;
•	замкнутые.
4.1.4.	Требования, предъявляемые к методам идентификации
К методам идентификации предъявляются следующие требования. Методы иден-
тификации должны:
•	обладать достаточной точностью,
•	обеспечивать возможность измерения в замкнутой и разомкнутой цепях,
•	обладать помехозащищенностью,
•	являться автоматическими или автоматизированными,
•	быть независимыми от начальных условий, поскольку влияние последних
трудно исключается,
•	обеспечивать построение математических моделей в режиме нормальной экс-
плуатации (там, где необходимо),
•	быть достаточно быстродействующими,
•	реализовываться с помощью достаточно простой аппаратуры, нечувствитель-
ной к внешним воздействиям.
4.1.5.	ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
1.	Корреляционный подход. Этот подход является наиболее распространенным.
Рассмотрим линейный, в общем случае нестационарный, объект (рис. 4.4).
У(0
|«(0
Линейный неста-
ционарный объект
ДО
—►
Рис. 4.4. К постановке задачи идентификации линейного объекта
Как уже указывалось выше, часто при решении задачи идентификации в качестве
критерия, характеризующего степень близости объекта и модели, используется сред-
неквадратическая ошибка (СКО).
Если для модели имеет место соотношение
ЩЩ-АЙ	(4.2)
где А —оператор модели; У(/),АМ(/) —соответственно входной и выходной сиг-
налы, то можно записать следующую зависимость:
= min.	(4-3)
На основе (4.3) можно получить следующее выражение для оптимального опера-
тора:
ЛУ(т) = м[йф)/У(т)],	(4.4)
т.е. (4.4) определяет регрессию выходной переменной X относительно входной У
(оператор условного математического ожидания) [98]. Этот оператор является оп-
тимальным в классе всех возможных операторов при использовании критерия ми-
нимума СКО.
Для определения оптимального оператора в классе линейных систем умножим
правую и левую части зависимости (4.4) на У (тх) и произведем осреднение
м[ЛУ(т)У(т1)] = м[х(/)У(т1)].	(4.5)
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 317
Учитывая коммутативность операторов А и М, получим
>1Л/[У(т)У(т1)] = Л/[х(/)У(т1)].	(4.6)
Последнее уравнение определяет оптимальную оценку оператора в классе линей-
ных операторов по критерию минимума СКО.
Если задачей идентификации является нахождение импульсной переходной
функции объекта управления, то (4.6) можно переписать в виде [98]
t
j k(t,T^ciYY	= сс^у(C^),	(4.7)
t-T
где T — интервал наблюдения;
otyy (т, )= ту ту ) + Ryy (т,	;
axr(^Ti) = ^(Owr(Ti) + ^xy(^E)-
Если же рассматривается случай, когда У(^) и — центрированные случай-
ные процессы, то уравнение (4.7) принимает вид
t
j А:(/,т)7?уу (T,Tj)tZT = 7?лт(/,т1).	(4.8)
t-T
Оптимальный оператор в классе многомерных нестационарных линейных систем
представляет собой оператор условного математического ожидания при заданном
векторе входных сигналов, а оптимальные оценки операторов могут быть получены
из системы уравнений типа (4.8), содержащих корреляционные и взаимные корреля-
ционные функции рассматриваемых переменных.
Изложенный подход обобщается на класс нелинейных объектов, поведение кото-
рых описывается функционалами Вольтерра.
Задача ставится так же, как и для линейного случая (рис. 4.5).
Рис. 4.5. Структурная схема идентификации нелинейного объекта
Связь между входом и выходом определяется нелинейным оператором А, т.е.
ХЩ) = АГ(У	(4.9)
а задача заключается в нахождении оператора А (ядер kx(t,y), k2(t,y,x2),...,
ki(t, , т2,..., у•)) такого, что выполнено условие (4.3).
В отличие от линейного случая, когда решение задачи идентификации сводится
к решению одного уравнения (4.8), в нелинейном случае для входного сигнала У(Ф)
318
Статистическая динамика и идентификация САУ
с произвольным законом распределения нахождение ядер kx(t,\},
ki^t,il,i2,...,Ti^') сводится к решению системы многомерных интегральных уравне-
ний, являющейся обобщением интегрального уравнения Винера-Хопфа.*
Значительно более трудной является задача идентификации объектов, содержа-
щих существенные нелинейности.
2.	Байесовский подход. Этот подход является общим к решению проблемы иден-
тификации. Здесь задача идентификации является конечной задачей принятия реше-
ний, для которой точечные оценки параметров модели являются конечной целью.
После того как структура модели выбрана или задана, задача идентификации объ-
екта сводится к задаче оценивания параметров. С байесовских позиций, оценка — это
распределение вероятностей, зависящее от имеющихся данных, а любая точечная
оценка — это некоторое описание этого распределения. В байесовской статистике
неизвестные параметры не оцениваются, а для них вычисляется апостериорное рас-
пределение вероятностей. Байесовский подход особенно плодотворен в тех случаях,
когда оценивание параметров составляет часть адаптивного управления и выполня-
ется в замкнутом контуре. С байесовской точки зрения можно рассмотреть понятие
модели объекта. Под моделью объекта понимается любая математическая модель,
которая определяет множество условных распределений вероятностей для требуемо-
го периода времени при помощи конечного множества параметров.
В процессе идентификации при использовании байесовского подхода выделяются
два этапа:
1)	выбор структуры модели, определяющей условные распределения вероятностей;
2)	оценивание параметров модели.
В рамках байесовского подхода к идентификации систем рассматриваются задачи
оценивания параметров и предсказания выхода и состояния, оценивания в замкнутом
контуре, устойчивого оценивания, оценивания и предсказания в реальном времени,
одноразового оценивания классификации систем. К вопросам, составляющим содер-
жание байесовского подхода, относятся:
•	устойчивое оценивание и случаи наличия избыточных, неидентифицируемых
параметров;
•	оценивание и предсказание в реальном времени;
•	случай обобщенной многомерной регрессионной модели;
•	идентификация при изменяющихся во времени параметрах и адаптивность;
•	байесовская точка зрения на адаптивность;
•	анализ роли априорных распределений при классификации систем;
•	применение к моделям со структурой регрессионного типа и др.
Кроме байесовского подхода, нашел применение метод получения оптимальных
оценок параметров нелинейного объекта по критерию минимума среднего квадрата
ошибки, при этом используется разложение в ряд Тейлора нелинейной вектор-функции
и матрицы коэффициентов, причем учитываются только линейные члены [154].
4.1.6.	Подходы, АЛГОРИТМЫ И МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
В специальной литературе подробно рассмотрены возможные подходы, методы и
алгоритмы решения задач идентификации [130]:
•	классические методы непараметрической идентификации линейных динами-
ческих объектов;
Методы идентификации класса нелинейных систем, описываемых функционалами Вольтерра, под-
робно рассмотрены в [95, 106], там же приведены алгоритмы и примеры решения конкретных задач.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 319
•	прямые методы параметрической идентификации;
•	беспоисковые алгоритмы идентификации с адаптивной моделью;
•	поисковые алгоритмы идентификации с адаптивной моделью;
•	алгоритмы идентификации, основанные на теории оценивания процессов;
•	рекуррентные алгоритмы идентификации при коррелированных шумах и др.
На практике нашли применение алгоритмы [113] и др.:
•	стохастической аппроксимации первого и второго порядков;
•	стохастической аппроксимации с возмущением на входе;
•	максимального правдоподобия;
•	максимизирующий апостериорную вероятность;
•	использующий расширенный фильтр Калмана-Бьюси;
•	со случайным поиском;
•	реализующий метод наименьших квадратов;
•	основанный на использовании БПФ и др.
Более подробно с проблемой идентификации и методами ее решения при рассмотрении
конкретных достаточно сложных задач можно познакомиться в указанных выше работах.
4.2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УСТОЙЧИВЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛАХ
4.2.1.	Определение импульсной переходной функции линейного
СТАЦИОНАРНОГО УСТОЙЧИВОГО ОБЪЕКТА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛАХ МЕТОДОМ КВАДРАТУР
В рассматриваемой далее задаче основной целью является построение ИПФ объек-
та по экспериментальным данным, которыми являются детерминированные входной
и выходной x(t) сигналы, зафиксированные на конечном промежутке [О, Т],
где Т — время «памяти» объекта.
К решению поставленной задачи часто целесообразно привлекать теорию пла-
нирования эксперимента с целью минимизации числа необходимых экспериментов
и максимизации количества получаемой информации об ИПФ объекта. Этот вопрос
здесь не рассматривается; далее будем использовать имеющуюся информацию с
возможностью пополнять ее количественно, например, увеличивая число точек
измерения, повышая точность измерений, проводя измерения реакции выходных
параметров системы на новые входные сигналы, но без возможности выбора наи-
более информационных входных воздействий. Таким образом, мы ориентируемся
на результаты исследований объекта при подаче на него набора стандартных вход-
ных воздействий.
Рассмотрим линейный стационарный объект при следующих условиях:
•	отсутствует помеха и (7), которая в общем случае искажает выходной сигнал
и, таким образом, является источником ошибок;
•	имеют место нулевые начальные условия, т.е. Х° = 0;
•	отсутствуют ошибки измерения сигналов у (7) и x(t}.
Сказанное выше позволяет говорить об идеальных условиях проведения экспери-
ментов, которые физически нереализуемы. Однако знакомство с такими идеальными
условиями весьма важно (абсолютно необходимо), так как они определяют достижи-
мый предел точности идентификации.
320 Статистическая динамика и идентификация САУ
В общем случае связь между входом и выходом определяется зависимостью
t	t
= J £(т)у(/-т)б7т +(t)zz(z — т)<7т +
о	о
+х(0)х1 (/) + х'(0)х2 (/) + ••.+%(” (0)хи (/) =
t
= |£(т)у(/-трт + хи(/) + хс(/),
о
где хп (/) — составляющая сигнала на выходе, порожденная неконтролируемой по-
мехой «(/); хс(/) — свободная составляющая, порожденная вектором Х° 0 (в са-
монастраивающихся системах процесс идентификации проводится на промежутках
[Го, 7]], \ТЪ Т2],..., и, следовательно, при переходе от промежутка [7}_1? 7}] к проме-
жутку [7},7}+1] ХЩ^О).
В реальных условиях учет хп (/) и хс(?) необходим, однако далее, как указыва-
лось, будем полагать хп (/) = 0, rc(f) = O и считать
t
%(/) = j£(r)y(/-T)z7T.	(4.10)
о
В приводимых ниже рассуждениях будем упоминать фактор влияния помехи n(t')
с целью указать этап построения алгоритма, на котором указанный фактор играет
важную роль.
В задаче идентификации можно измерить входной у (Г) и выходной x(t^ сигна-
лы и произвести обработку полученной информации в целях построения неизвестной
импульсной переходной функции £(т).
Если же построена импульсная переходная функция, то можно считать известным
оператор А объекта.
Как отмечалось, построение и обоснование метода идентификации предполагают
рассмотрение ряда очень сложных вопросов, таких как:
•	построение алгоритма идентификации;
•	исследование точности полученных результатов;
•	анализ ошибок, порожденных природой самого алгоритма (например, алго-
ритма, предполагающего решение интегрального уравнения свертки, которое
представляет собой уравнение l-ro рода; задача решения (4.10), как известно,
поставлена некорректно);
•	анализ ошибок, связанных с наличием шумов, с квантованием входных и вы-
ходных сигналов;
•	исследование подходов, которые обеспечили бы ускорение сходимости алго-
ритма, уменьшили бы влияние шумов и т.д.
Рассмотрим основные положения, которые являются основой решения интеграль-
ного уравнения свертки (4.10) с целью построения ИПФ объекта.
В уравнении (4.10) А'(т) — непрерывная функция; предполагается, что уравнение
свертки имеет единственное решение.
Изберем какую-нибудь формулу квадратур на промежутке [0, Т] с п узлами
(1 < z < п) (формула прямоугольников):
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 321
т
|/(^)^ = /(ф)А/ + /(/1)Д/ + ... + /(с_1)Д/ + 5(/) =
о
= Az(/(/0) + /p1)+...+/(/„_1)) + 8(/),
где 3 (/) — остаточный член.
Далее к (4.10) применим формулу прямоугольников, поясняя процедуру замены
графическим изображением свертки двух функций. Очевидно следующее равенство
(рис. 4.6, а):
х(6) = J £(т)у(/ -т)б7т.
о
а
б
Рис. 4.6. Свертка функций:
а — при t = tr; б — при t = t2; в — при t = t3
Пользуясь графиками (рис. 4.6), запишем
h
х(б) = х(Д) = ^(т)у(б -т)б7т = &(Д)у(0)Д+ 81?	(4.Н)
о
где 3| — погрешность, возникающая при замене интеграла формулой прямоуголь-
ников. Далее заменим выражение
322
Статистическая динамика и идентификация САУ
ч
*(c) = p(TMz2 ~^)dx
о
формулой прямоугольников, для чего представим записанное выражение графически
(рис. 4.6, б). Имеем
h
x^t2) = х(2Д) =	= £(2Д)у(0)Д+ £(Д)у(Д)Д + 52,	(4.12)
о
где б2 —погрешность.
И, наконец, заменим интеграл
ч
х(/3) = р(т)у(/3-т)^т	(4.13)
о
квадратурной формулой (рис. 4.6). Пользуясь рис. 4.6, в, запишем квадратурную
формулу для (4.13)
Ч
х(/3) = х(ЗД) = р(т)у(/3 -т)б7т = £(ЗД)у(0)Д =
о
= £(2Д)у(Д)Д + £(Д)у(2Д)Д + 53.
Введем следующие обозначения:
у(0) = У1, у(А) = у2, у(2Д) = у3,..., у((«-1)д) = у„;
А:(Д) = А719 к(2А) = к2, к(ЗЛ) = к3,..., к(пА) = кп;	(4.14)
х(Д) = х1, х(2Д) = х2, х(ЗД) = х3,..., х(«Л) = хп.
Сведем полученные выше зависимости в систему:
Л(Л)у(0)Д + 0 + 0 + ... + 0 = х(Д)-81;
£(2Д)у(0)Д + £(Д)у(Д)Д + 0 + ... + 0 = х(2Д)-52;
£(ЗД)у(0)Д + £(2Д)у(Д)Д + £(Д)у(2Д)Д + 0 + ... + 0 = х(ЗД)-53;
(4.15)
&(цД)у(0)Д + А:((«-1)д)у(Д)Д + А:((«-2)д)у(2Д)Д + ...+
+ &(Д)у((«-1)д)Л = х(«Д)-8„,
или, что то же самое,				
( у(0) у(Х) А >’(2Д)	0	0	...	0	' у(0)	0	...	0 У (А)	у(0)	...	0	Ц2Д)  А(ЗД) +	"М |Ц(д)' 82	х(2Д) 53 = х(ЗД)	• (4.16)
С’’((Л“1)Д) Воспользовав] А	у((«-2)д) у((«-3)д) ••• у(0)' пись обозначениями (4.14), получ А	0	0	•••	(Л	рЛ У2	У1	0	•••	0	к2 Уз	У2	У1	•••	0	кз + .К К-i У п-2 ••• yj [kJ	Ц(лА)) ИМ S2	Х2 53 = х3 Ли J 1ХИ?	aJ Ьи),	(4-17)
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
323
Рассмотрим формальное решение задачи, предполагая, что квадратурная формула
достаточно точно аппроксимирует интеграл свертки и можно положить
Обозначим
А
АК = X.
(4-18)
Тогда
(4-19)
Решая полученное уравнение, получим формальное решение задачи идентификации,
т.е. решение задачи идентификации в идеальных условиях'.
К = А-1Х.	(4.20)
Далее проведем анализ ситуации, близкой к имеющей место на практике, т.е.
близкой к реальной (рис. 4.7).
Рис. 4.7. К решению задачи идентификации
Выходной сигнал системы, как правило, состоит из двух составляющих: х (Г),
порожденной входом у(/); xn(t), порожденной неконтролируемой помехой n(t}
(к помехам ц(/) могут быть отнесены внутренние шумы объекта, шумы измеритель-
ной аппаратуры, применяемые при идентификации, внешние помехи и др.).
Таким образом, в матричном уравнении (4.17) вместо матрицы-столбца
(^,^2,...,^И)Т
реально будет иметь место «возмущенный» вектор
+ Ах1? х2 +Ах2,..., хп + Ахи) ,	(4-21)
где
Х1 =ХЛЛ)’ х2 =^(2Д),..., хп =ху(п\)',
М =*И(А), ^2 = Д (2А),...,	=Хп(П^)-
Кроме того, предположим (что на практике также редко имеет место), что дис-
кретные значения входного сигнала у1,у2,...,уп измеряются точно. Тогда (4.17) пе-
репишем в виде (полагаем, что 5г- 0 )
	"л	0	0 •	• О'		Л кЛ +	'		Л х1 + Axt '		V	
	У2	У1	0 •	• 0		k2 + А^2		х2+Ах2		б2	
А	Уз	У2	У1 •	• 0		к3 + Ак3	=	х3 + Лх3	—	З3	(4.22)
	ДА	Уп-1	Уп-2 •	• Т1,		kn+^kn,					
324 Статистическая динамика и идентификация САУ
Поскольку правая часть задана с погрешностью, порожденной векторами
(Лх1,Лх2,...,Лхп)Г и	то из-за этого к решению К = (^Д2,...ДЙ)Т
добавится вектор погрешности АК = ^Ак1,Ак2,...,АкпУ; иными словами, (4.19) мож-
но переписать в виде
А(К + ДК) = Х + ДХ,	(4.23)
где АХ — погрешность, порожденная квадратурной формулой и неконтролируемы-
ми возмущениями:
ДХ = (Дх1 -819Дх2-82,...,Дх„ -5и)Т.
Из (4.23) получим
К + ДК = А-1(Х + ДХ).	(4.24)
Из (4.24) имеем
ЛК = А-1 (X + ДХ) - К = А-1 (X + ДХ) - А-1Х.	(4.25)
Норма имеет вид
||ак|| = ||а '(х + лх)-а 'х|.
Для важного частного случая линейного оператора справедлива формула
||ЛК|| = ||А-1ЛХ||<||А-1||||ЛХ||.
После некоторых преобразований можно получить
1 IIaxIUIakL||a|i||a-4|IIaxII	(4 26)
||А||||л-| |Х|| - Н -||А“11А II ||х|| 	' ’
Последняя зависимость представляет собой относительную погрешность ис-
ходных данных (погрешность, порожденную наличием члена ДХ и решением задачи
идентификации ЛК).
Число а(а) = ||а||-||а-1|| называется числом обусловленности оператора А.
Поскольку решение исходного уравнения свертки (уравнение Вольтерра 1-го ро-
да) поставлено некорректно, то эквивалентная уравнению свертки система алгеб-
раических уравнений (4.23) является неустойчивой (задача называется устойчивой,
если малые изменения исходных данных (в данном случае вектор ДХ) приводят к
малым изменениям решения, т.е. к малому вектору ЛК [24, 25]).
Задачи, которые имеют единственное решение и являются устойчивыми, на-
зывают корректно поставленными, или просто корректными. Если же говорят о
некорректной задаче, имеют ввиду ее неустойчивость. В рассматриваемом случае
решения проблемы идентификации задача поставлена некорректно (задачи решения
уравнений 1-го рода, в том числе уравнений свертки, т.е. уравнений Вольтерра 1-го
рода, поставлены некорректно), поэтому К (А) □ 1.
Ясно, что в наиболее благоприятном случае, когда А(А) = 1, оценка относи-
тельной погрешности решения задачи идентификации совпадает с оценкой отно-
сительной погрешности исходных данных. Если же К (А) □ 1 (имеет порядок сотен,
тысяч и более), то при малой погрешности исходных данных ДХ возможна очень
большая погрешность решения ЛК. Именно такая ситуация имеет место в случае
решения задачи идентификации.
Задачи, когда К (А) □ 1, часто называют плохо обусловленными [24, 25].
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 325
В оценке (4.26) участвуют нормы векторов; они определяются известными фор-
мулами: если Z =	, z2,..., zn), то используют равномерную норму
||г|| = тв|.-|
1=1,п
или квадратичную (евклидову) норму
и=М| 
I г=1
Вопрос определения нормы матриц (прямой и обратной) очень сложен. Чаще все-
го используется спектральная норма матриц, согласованная с квадратичной норми-
ровкой векторов. В свою очередь, спектральная норма определяется через собст-
венные значения матриц.
Формула (4.26) в терминах собственных значений матрицы А может быть запи-
сана так:
||дх|| IIakII "|ах1М ||дх||
iRW'WT (4'27)
Если правая часть в (4.23) задана точно, а элементы матрицы А содержат по-
грешности, можно показать, что искажение элементов матрицы А по отношению к
погрешности равносильно определенному искажению правой части уравнения (4.23)
при сохранении неискаженной матрицы [24, 25].
Погрешности округления в ЭВМ воздействуют на результат как некоторые экви-
валентные вариации оператора А или правой части. Следовательно, о чувствитель-
ности к погрешностям округлений можно судить по степени обусловленности мат-
рицы А — при большом числе обусловленности влияние округлений может быть
сильным.
Погрешность решения задачи идентификации, порожденная приближенным ха-
рактером исходных данных, носит название неустранимой погрешности; эта по-
грешность часто называется трансформированной.
Ошибки, связанные с наличием внутренних шумов и внешних помех, а также свя-
занные с квантованием входных и выходных сигналов объекта, учтены в приведен-
ных выше рассуждениях.
Вывод, который можно сделать из предыдущего изложения, состоит в следую-
щем: решение практических задач идентификации на основе уравнений 1-го ро-
да встречает принципиальные трудности, определяемые некорректностью по-
становки задачи решения указанного класса уравнений [24, 25].
Для получения результатов, имеющих практический интерес, необходимо к урав-
нениям (4.10) и (4.23) применить метод регуляризации, разработанный академиком
А.Н. Тихоновым.
Пример 4.1. Рассмотрим колебательное звено
Т2х” (?) + 1Т^х (?) + х(?) = у(?)	(4.28)
с параметрами Т = 0,06, £ = 0,3.
ИПФ исходной системы управления определяется следующим аналитическим выражением:
/с(?) = 17,01ОЗе“3’3333/ sin(16,3299?).
Выполним ее идентификацию методом квадратур в идеальных условиях.
Проведем сначала идентификацию ИПФ системы на временном интервале [0, 2], считая, что выход
измеряется точно. Оценим точность идентификации при различном числе точек. На вход системы будем
подавать воздействие: у(?) = 0,2 + 1000?5e-1°z. На рис. 4.8, а и б, представлены графики входного у(?) и
выходного х(?) сигналов соответственно.
326
Статистическая динамика и идентификация САУ
а	б
Рис. 4.8. Графики входного сигнала и выходного сигнала
Основой квадратурного метода решения задачи идентификации является матричное уравнение
АК = Х,
откуда
К = А-1Х.
Результаты идентификации приведены на рис. 4.9.
Рис. 4.9. Результат решения задачи идентификации ИПФ в идеальных условиях, т.е в отсутствии шума
измерений (источник ошибок — некорректность задачи решения уравнения (4.28)):
1 — ИПФ колебательного звена; 2 — идентифицированная ИПФ (50 точек);
3 — идентифицированная ИПФ (100 точек)
Проведем теперь идентификацию объекта управления в присутствии шумов измерений, т.е. будем
считать, что на выходе системы имеет место аддитивная смесь полезного сигнала и шума (рис. 4.10)
х(г) = х?(г) + х„(г),
где характеризует помехи измерений.
Далее на рис. 4.11^4.12 приводятся результаты идентификации импульсной переходной функции.
Из рис. 4.11-4.12 можно сделать вывод, что при увеличении п число обусловленности возросло и ре-
зультат решения задачи идентификации существенно исказился.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
327
Рис. 4.11. Результат решения задачи идентификации ИПФ в реальных условиях,
т.е. при зашумлении выхода (число точек — 50):
1 — ИПФ колебательного звена (эталонная ИПФ); 2 — идентифицированная ИПФ
Рис. 4.12. Результат решения задачи идентификации ИПФ в реальных условиях,
т.е. при зашумлении выхода (число точек — 100):
1 — ИПФ колебательного звена (эталонная ИПФ); 2 — идентифицированная ИПФ
328 Статистическая динамика и идентификация САУ
Увеличим интенсивность шума (рис. 4.13-4.15).
Рис. 4.13. График выходного сигнала x(t^ при наличии составляющей хп (?)
Рис. 4.14. Результат решения задачи идентификации ИПФ в реальных условиях,
т.е. при зашумлении выхода (число точек — 50):
1 — ИПФ колебательного звена (эталонная ИПФ); 2 — идентифицированная ИПФ
Рис. 4.15. Результат решения задачи идентификации ИПФ ИПФ в реальных условиях,
т.е. при зашумлении выхода (число точек — 100):
1 — ИПФ колебательного звена (эталонная ИПФ); 2 — идентифицированная ИПФ
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 329
В табл. 4.1 приведены численные значения числа обусловленности матрицы А в зависимости от п.
Таблица 4.1
Значения числа обусловленности матрицы А
п	50	100	150	200	300	400	600	1000	1500
К(А)	91,74	181,52	271,31	361,10	540,67	720,24	1079,39	1797,63	2695,46
Приведем график зависимости числа обусловленности от количества дискрет п.
Рис. 4.16. График зависимости числа обусловленности от п
4.2.2. Параметрическая идентификация: определение
КОЭФФИЦИЕНТОВ ПФ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛАХ
Задача идентификации формулируется так: на основе экспериментальных данных
(сигналы y(t) и x(f), зафиксированные на промежутке [О, Г]) найти или уточнить
коэффициенты ПФ модели объекта управления
w( х =	P^+^-l^+.-.+Po
sn + а^"’1 + оси_25и”2 +... + а0 ’
(4.29)
при которых модель наилучшим (или достаточно точно), в определенном смысле,
образом аппроксимирует оператор объекта на множестве входных сигналов [130].
Перепишем (4.29) в эквивалентной форме

(4-30)
Имеем
-|т^-т)и’1] = («-1)(«-2)...(«-1-^ + 1)(-1)/с(/-т)и’1’/с;
«т L J
330
Статистическая динамика и идентификация САУ
отсюда находим
v (-1)4 J 1-2...(я—1)(я—к)...(п-1)	к „_4_1 ^аДг-т)”-*-1
Й5(«-1)! к	1-2...(«-£-!)	-2. (и_М •
С учетом последнего равенства соотношение (4.30) принимает вид
~——[(/-т)и к 1 х(т)^т=Хт—~—— [(/-т)и к 1 у(т)^т’
или, что то же самое,
/с=0	/с=0
где
4 W=f7—"тГ/с-1 ЯтИт’к = °’т’
JkW = J*(	“т)и /с1 ЯТИТ’ к = Q’n-1 •
о\п к 1г
Учитывая, что
4 W = fдтт (' - Т)И-1 У W	• • •, 4 (0 = f 7-77 (t - х)п~тЛ y(r)(h;
‘ «-I)!	•! 77-m-l)!
(4-31)
(4-32)
4« =
х(т)Ут,..., У“ч (?) = j у(т)т7т,
о
легко сделать вывод, что процессы 4 (0 и 4 (0 — выходные сигналы интеграто-
ров (рис. 4.18).
В самом деле, если W^ = l/s, то ИПФ звена определяется формулой &(т) = 1(т);
тогда цепочка интеграторов имеет ИПФ (рис. 4.17).
Рис. 4.17. Структурная схема
Учитывая зависимости (4.31) и (4.32), структурные схемы для получения сигналов
(?), У“_2	Jq (/), а также	(/) можно представить так (рис. 4.18).
Далее в соответствии с конкретной постановкой задачи можно построить алго-
ритм расчета неизвестных коэффициентов {а/с,к = 0,«-1| и {р/с,£ = 0,т} в детер-
минированном варианте.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
331
(п -1) интеграторов
Л“-2«	Л“(0
(п - т -1) интеграторов 4(0 4-, (О 4(0
Рис. 4.18. Структурные схемы систем для получения сигналов Jq (/),...,Jq (t)
Рис. 4.19. Структурная схема системы параметрической идентификации
Если вход —детерминированный сигнал, то умножая выражение
и-1	т
х(0+у^л“(0 = £з,4(0	<4-33)
/с=0	2=0
на
(/) и s = Q,n-\; p = 0,m	(4-34)
и интегрируя на промежутке [0,Т], получим систему алгебраических уравнений для
расчета неизвестных параметров:
П~1	ТИ
У at (л“ .4) -У р,- (Jt,J°')=(хл) > s = 04^;
/С=°	2=0	(4.35)
п~1	ти
У М7" • 4) -Ё ₽>(4 ’ 4)=(х • 4) • р=
/с=0	2=0
332
Статистическая динамика и идентификация САУ
т
где (zaHzw/AA — скалярное произведение,
о
Структурная схема системы параметрической идентификации приведена на рис. 4.19.
Замечание. Для решения задачи параметрической идентификации можно вос-
пользоваться методом моментов. Поскольку для линейного объекта, ПФ которого
имеет вид (4.29), справедливо соотношение
(~1)/С dk
п\ с/тк
и	Т
/с=0	о
d‘
dx
-1,
(4-36)
где	z = l,Z —порождающая система функций; y(t) —входной сигнал (зафик-
сирован на промежутке [О,Г]); x(t} — выходной сигнал (зафиксирован на промежутке
[О,Г]), то из (4.35), задавая необходимое число порождающих функций (/ > m + я +1)
и решая неоднородную систему линейных алгебраических уравнений вида
и-1 (	(-l)/c dk I	™ (	(-1Y А /	С
2А АЬА--г ^АХ7^)” -Z₽> АХА-/’АХ7'-4 =
/с=о	п- at '	J i=0	п\ at '	7 J
Л (-Пи ап (	?
/4 • (Ц
к	7
где j > m +n + l,	— скалярное произведение, можно найти неизвестные ко-
эффициенты ПФ модели объекта управления.
Рассмотренные выше подходы к решению задачи параметрической идентифика-
ции ориентированы на применение цифровой вычислительной техники.
4.3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ
УСТОЙЧИВЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ
(МЕТОД КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ)
4.3.1. Определение импульсной переходной функции линейного
СТАЦИОНАРНОГО УСТОЙЧИВОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 1-ГО РОДА МЕТОДОМ КВАДРАТУР
4.3.1.1. Интегральное уравнение Фредгольма 1 -го рода,
ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ ИПФ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОГО ОБЪЕКТА
Рассмотренная в предыдущем параграфе детерминированная идентификация ли-
нейных стационарных устойчивых объектов имеет недостатки, два из которых ока-
зывают существенное влияние на точность решения задачи:
•	наличие источника ошибок идентификации, порожденных неконтролируемы-
ми шумами n(t}, которые приводят к тому, что выходной процесс определя-
ется формулой
x(t) = xy(t)+xn(t)-,
•	наличие источника ошибок за счет Х° = Ix(0),x'(0),...,x(w-1) (0)1 0.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 333
Статистическая идентификация позволяет устранить влияние указанных факторов.
Положим, что на вход стационарного линейного объекта, имеющего установив-
шийся режим работы, поступает случайный стационарный процесс Y(/), тогда
Х(/) = |/ф)У(/-Х)б7Х.	(4.37)
о
Имеем
ЛУ[У(/-т)Х(/)] = Аху(т)=7И[У(/-т)|^(Х)У(/-Х)б7Х] =
о
= ТИ[У(/-т)|^(Х)У(/-Х)б7Х] = |^(Х)тИ[У(/-т)У(/-Х)Ж =
о	о	' 7 ' '	'
h h
= jK(Y}M\Ryy (t-Y -/ + т)]б7Х = jRyy (т-Х)Л?(Х)б7Х = RXY (t).
о	о
В основе статистических методов определения импульсных переходных функций
лежит интегральное уравнение
Rxy (т) = f kYY (^-tyk(Y}dY, -qo<t<qo,	(4.38)
о
позволяющее по корреляционной функции сигнала Y(/) на входе Ryy (т) исследуемо-
го объекта и взаимной корреляционной функции RXY (т) между выходом X (/) и
входом Y(t} найти импульсную переходную функцию k(Y}.
Предположим, что к объекту приложено не только воздействие У (/), но и помеха
n(t}. Тогда справедлива зависимость
= Jy(/-т)£(Х)б7т + jn(t-x)kn (т)б7т.	(4-39)
о	о
Определить £(т) из последней формулы методами, описанными в предыдущем
параграфе, достаточно трудно, так как второй член в правой части является источни-
ком погрешности.
Умножим обе части формулы (4.39) на У (/ + X) и произведем усреднение по времени:
ЛУ[х(/)У(/ + У)] = |ти[у(/-т)у(/ + х)]£(т)б7т +
о
+ j M[n(t -т)У(/ + Х)]£И (т)б7т.
о
В результате получаем уравнение (4.38), которое остается справедливым при на-
личии помехи п(Г), воздействующей на объект, при условии, что она не коррелиро-
вана с сигналом Y(t).
Статистические методы определения импульсной переходной функции подразде-
ляются на требующие и не требующие искусственных воздействий. Первая группа
методов основана на том, что к реальному входному сигналу добавляется искусст-
венный вспомогательный сигнал т(ф с известной корреляционной функцией.
334 Статистическая динамика и идентификация САУ
Обычно сигналом т(/) служит белый шум. При отсутствии корреляции между ре-
альным входным сигналом и m(t} имеем
<4-4°)
О
Если m(t} —белый шум, то Rmm (т) является дельта-функцией, т.е.
М = 27г505(т),
и выражение (4.40) сводится в виду
RXm (t) = 2ttVM-
Из последней зависимости следует, что определение импульсной переходной
функции не требует решения интегрального уравнения. Однако в ряде случаев вве-
дение искусственного шума в систему нежелательно и тогда необходимо пользовать-
ся уравнением (4.38).
Отметим, что нахождение импульсной переходной функции из интегрального
уравнения (4.38) эквивалентно ее оценке по критерию минимума среднеквадратиче-
ской ошибки [121, 154].
Действительно, пусть
s(/) = Х(/)-|£(т)У(/-т)б7т;	(4-41)
о
1 К
I=-\&2(t)dt.	(4.42)
? о
Если функция £(т) минимизирует критерий (4.42), то справедливо следующее
представление:
£(т) = £(т) + ос£а(т),
где ка (т) — произвольная функция; ка (т) = 0 при т < 0.
= 0.
В соответствии с формулой (4.42) можно записать известное выражение
di
da
Поскольку
2
Т
Отсюда следует
-f
4
или, что то же самое,
1 Т	ОО	1 Т оо	00
-|х(/)|^а(т)У(/-т)б7т^--||^(т1)У(/-т1)б7т1|^а(т2)У(/-т2)б7т2^ = 0.
1 о	о	1 о о	о
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
335
Получаем
00	( 1 Т
т
Далее находим
, Т	оо	. Т
—|х(/)У(/-т)б7/ = j	j* У (/-т)У(/-т)б7/,
о	о	о
или
RXY(x,T) = \RYY(T-'k,T)k(\')d'k.	(4.43)
о
Условие эргодичности процессов при Т оо позволяет записать интегральное
уравнение (4.38), называемое уравнением Винера-Хопфа. Оно принадлежит к классу
уравнений Фредгольма 1 -го рода.
Существуют формулы, позволяющие выбрать интервал наблюдений Т. Например,
если сигнал имеет автокорреляционную функцию вида RXx (т) = D^e^ cosco0t,
то Т > 20
а
2	2
ОС + COq
Если же R^ (т) = еа1т1, то Г>40/а [8].
Получены формулы, при помощи которых можно, задаваясь корреляционной
функцией, полученной на основе опыта статистической обработки аналогичных про-
цессов, и исходя из заданной среднеквадратичной ошибки, выбрать значение Т.
В соответствии с уравнением (4.38) для вычисления £(т) необходимо выполнить
два основных этапа (рис. 4.20) [8]:
1) определение корреляционных функций	и
2) решение интегрального уравнения Винера-Хопфа.
У(0
х(д
ад
Рис. 4.20. К выводу интегрального уравнения Винера-Хопфа
Справедливы следующие положения [108-110, 121].
Пусть £(т) — импульсная переходная функция линейной стационарной системы,
a Rxy (т) и Ryy (т) — взаимные корреляционные функции входного и выходного сиг-
налов и автокорреляционная функция входного сигнала соответственно. Тогда £(т)
удовлетворяет следующему уравнению свертки’.
Rxy (т) = jk^Ryy (т-Х)б7Х, т е (-оо,+оо).
о
Пусть £(т) — импульсная переходная функция стационарной линейной системы.
Тогда £(т) удовлетворяет уравнению Винера-Хопфа
Rxy (т) = jk(V)RyY (т-Х)б7Х, tg(0,+oo).
о
336 Статистическая динамика и идентификация САУ
Пусть
. ,_1Ау(Цт>0;	p„(T),T>0;
7?уу(т),т<0;	[Аху(т),т<0;
тогда ИПФ удовлетворяет уравнениям
R^y (t)~rxy (т)= J (т-Х)- RyY (t-X)JjX, т > 0;
о
R~xy (т) = j k^Ryy (t-X)JX, т < 0.
о
Пусть RYY (т) и R~xy (т) — аналитические функции, допускающие аналитическое
продолжение на дополнительную полуось, и выполнено соотношение R^y (т) R~xY (т)
при т > 0. Тогда справедлива следующая формула для передаточной функции W(s)
линейной системы'.
W(s\ = rxy(s)~rxy(s) ,
ryy (s)~ryy (*у)
где через RJyy , R^y($), ryy(s) u Ryy(s) обозначены преобразования Лапласа от
функций R'xy^, R'xy^, R$y(j) u ryy{^) соответственно.
Пусть функция F(/) определяется формулой
F(t) = J k(T}R^Y (t-X)JX;
о
тогда уравнение Винера-Хопфа может быть представлено в виде уравнения, в ко-
тором передаточная функция определяется по формуле
/ х r+xy(s}~F(s}
W(s) = J
ryy (s)~ryy (*y)
где	—преобразование Лапласа от функции F (ty
Пусть функции R^Y^x-ty и	допускают представление
i
ryy = ^ui (T)V? (М ПРИ т - X;
z=l
I
Ajy (т-Х) =	(X) при т < X,
z=l
а постоянные щ вычисляются по формуле
щ = j X(X)wz (X)tZX.
о
Тогда передаточная функция системы определяется формулой
УаЩ-ХУТ)
W(s) =---------.
ryy (s)~ryy (*у)
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 337
Метод идентификации объектов управления, рассмотренный выше, справедлив
для следующих двух случаев:
1)	объект изолирован, т.е. не замкнут обратной связью; внутренние помехи при-
сутствуют или отсутствуют;
2)	объект замкнут обратной связью; внутренние помехи отсутствуют.
Для первого случая изложенный метод справедлив в силу принятой гипотезы о
независимости внутренних шумов от внешних воздействий.
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая: объект, замкнутый обратной
связью, работает в условиях внутренних помех (рис. 4.21) [125].
Рис. 4.21. Структурная схема автоматического управления с внутренней помехой
Уравнения этой системы могут быть представлены в следующем виде:
X(s) =	(s)W(s)E(s) + W(s)N(s);	(4.44)
£(s) = y(s)-Z(s)X(s),	(4.45)
где lFp (5) = WKy (5)17(5), kp (t) — соответственно передаточная и импульсная пере-
ходная функции прямой цепи; W(5), £(т) — передаточная и импульсная переходная
функции объекта по отношению к внутреннему шуму; Z(x), /(т) — передаточная и
импульсная переходная функции обратной связи.
Из уравнения (4.44) получаем
<4-46)
о	о
Как видно из уравнений (4.44), (4.46), введение обратной связи приводит к тому,
что ошибка s(l) коррелирована с внутренними помехами Аие(т)^0 и соотношение
(4.38) не выполняется.
Ниже приведены возможные методы определения динамических характеристик
линейных объектов при наличии обратных связей и внутренних помех [125].
Косвенный метод определения динамических характеристик объекта, замк-
нутого обратной связью. Найдем импульсные переходные функции замкнутой сис-
темы, а затем по ним получим динамические характеристики самого объекта.
Учитывая выражения (4.44), (4.45), имеем
X(s) = Ф(5)£(5) + 17и (s)N(s),	(4.47)
где Ф(^), к3 (т) — соответственно передаточная и импульсная переходная функции
замкнутой системы; 17и(5), <?(т) — соответственно передаточная и импульсная пе-
реходная функции системы по отношению к шуму;
ФИ=--------Л / ч; wn(s)=-----------\7	.
V 7 1 + 17р 5 Z 5	7 l + 17p 5 Z 5
338
Статистическая динамика и идентификация САУ
Через импульсные переходные функции соотношение (4.47) запишется в виде
Х(/) = JY(t-S)k3 (О)<70 + J(4.48)
о	о
Используя последнее выражение и условие
Я„г(т) = О,	(4.49)
получим
Rxy(t) = |ауу(т-0)^3(0)70.	(4.50)
о
Аналогичное соотношение
«и(Д = (л„(т-9)/(9)</Э	(4.51)
О
можно записать для обратной связи.
Из уравнений (4.50), (4.51) находим к3 (т) и /(т), а по ним Ф(^) и Z(^). Пере-
даточную функцию прямой цепи определим по формуле
^пМ=------Д / V
pV 7 l-O(s)Z(s)
(4-52)
Остановимся теперь на приближенном способе.
Приближенный способ получения импульсных переходных функций объек-
та, замкнутого обратной связью при наличии внутренних помех. Не нарушая
общности, отнесем помехи, возникающие внутри объекта, к его выходу, заменив n(t')
на /(?); тогда
F(s) = W(s)N(s),	(4.53)
как показано на рис. 4.22.
Тогда
"1 + lFKy(i)»'(i)Z(s)r(4“1 + >FKy(s)lF(s)Z(i)F(4’	(4'54)
ИЛИ
s(/) = |т(/-0)Х(0)70-|/(/-0)ц(0)70,	(4.55)
о	о
где ц(/) — импульсные переходные функции, соответствующие передаточным
функциям
1________________Z(s)
l + IVIy(S)W(S)Z(Sy l + WIy(S)W(s)Z(s)'
Используя уравнение (4.55) и условие RYf (т) = 0, получим
Ауе (т) = -j Rj-j- (т + 0)ц(0)70.	(4.56)
о
Если помеха /(/) является белым шумом, то R^ (т) = 5(т), где 5(т) —дельта-
функция.
В этом случае
Ауе (т) = -J ц (О) 5 (т + 0)70 = -ц(-т),	(4-57)
о
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 339
т.е. Rf£ (т) является «перевернутой» импульсной переходной функцией замкнутой
системы, как показано на рис. 4.23, а.
Рис. 4.22. Преобразованная структурная схема системы с внутренней помехой
В большинстве случаев, когда помеха не является белым шумом	полу-
ченная из эксперимента, имеет большой центральный пик и стремится к нулю по обе
стороны от т = 0. Для этого случая уравнение (4.57) интерпретировано на рис. 4.23, б.
Вследствие некоторой протяженности взаимная корреляционная функция
А^е(т) начинается на расстоянии а справа отт = 0. Чем более острый пик имеет
тем ближе А^е(т) приближается к -ц(-т).
Учитывая уравнение (4.53), имеем
Х(/) = js(r-3)^(3)673 + /(r).	(4.58)
о
Используя уравнение (4.58), получим
«л (Й = j Res (т-9)Ар (9ЦЭ + Яа (т).	(4.59)
о
Как видно из рис. 4.24, значениями (т) при т > а можно пренебречь и свести
задачу определения Кр (т) к решению уравнения
Мй =	(4-6°)
о
при
т > а.	(4.61)
Условие (4.61) накладывает определенные ограничения на метод решения (4.60) [125].
Рис. 4.23. Корреляционная функция и «перевернутая»
импульсная переходная функция
340
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 4.24. К определению импульсной переходной функции
4.3.1.2. Методы решения уравнения Фредгольма 1 -го рода
1. Решение интегрального уравнения (4.38) в частотной области. Умножим
обе части уравнений (4.38) на е7ЮТ и проинтегрируем по т от -оо до +оо.
В результате получим [121]
J RXY (т)е“7'ютб/т = Jk(e)dQ J Ryy (т - 0)е“7'ютб7т.
—00	0	—оо
Произведя в правой части этого равенства замену переменной по формуле
X = т - 0, будем иметь
J RXY^)e~jaxdT = |^(0)е“7'юеб/0 J R^ (k)e~jaXdk.
—00	0	—оо
Вводя спектральные плотности
6'АТ(со) = j RXY (т)е”7СОТ^т; Syy((^= j Ryy (т)А/т<7т
и учитывая, что
W(jo) = ^k(t)e~jatdt,
о
получим
УЦго)=5д'[(0.\	(4.62)
v 7 М®)
Из выражения (4.62) следует, что вещественная Р(со) и мнимая (2(ю) частотные
характеристики, соответствующие передаточной функции (4.62), могут быть найде-
ны при помощи формул
z ч КеГбУу (со)~| z ч ЬпГбУу (со)~|
ц®)= ",/ g(®)= у/	<4-63)
Луу ( СО )	^YY ( ® )
Таким образом, статистический метод определения передаточной функции состо-
ит из двух основных этапов [121]:
1) определения спектральных плотностей по заданным реализациям входа У (7) и
выхода X(7);
2) определения частотных характеристик или передаточной функции при помо-
щи формул (4.63).
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
341
О точности определения динамических характеристик [121]. Воспользовавшись
формулой (4.62), запишем импульсную переходную функцию k(t) следующим образом:
( .	1 7 ^(со) ,.от
(4.64)
271 Щ'у (®)
Очевидно, что формула (4.64) справедлива лишь при условии, что Syy (со) О при всех
значениях со. Если же на некотором интервале (co1?co2) Syy (со) = 0, a S^y (со) 0, то
подынтегральное выражение в формуле (4.64) обращается в бесконечность в указан-
ном интервале. При этом импульсная переходная функция £(/) может отличаться от
истинной сколь угодно сильно. Но передаточная функция W (усо) будет отличаться
от истинной только в интервале частот (со19со2), которые и не содержались в воздей-
ствии Y(/), так как в этом интервале Syy (со) = 0.
Рассмотрим теперь случай, когда исходные корреляционные функции известны с
некоторой ошибкой. Тогда и соответствующие спектральные плотности также будут
содержать ошибку. В этом случае выражение (4.64) может быть записано в виде
/ \ If iSvy (со) + 5 уу (со) •
Ит) = — Г XY' >------^4е7Ютс7со,	(4.65)
2л _оо $YY (®) + Syy (со)
где б%г (со) и 5уу (со) — спектры ошибок.
Непосредственно из рассмотрения формулы видно, что сколь угодно малая ошиб-
ка 5 может вызывать сколь угодно большое искажение решения уравнения (4.64),
если спектр ее распределен на тех участках оси со, где величины S^y (со) и б%г (со)
становятся сравнимыми с б'уу(со) и буу(со). Из сказанного следует, что необходи-
мое условие для точного определения функции £(/) по формуле (4.64) состоит в
том, чтобы спектр частот входного сигнала был значительно шире предполагаемой
полосы пропускания исследуемого объекта.
От любого метода определения динамической характеристики разумно требовать
такого приближения £(т), которое сводило бы разность выходных процессов реаль-
ного объекта и его модели к некоторой малой величине при одном и том же процессе
на входе. Действительно, только по отклонению выходных величин при одинаковом
процессе на входе мы можем судить о неидентичности объектов с точки зрения их
динамических характеристик.
Естественно считать критерием или мерой точности определения динамической
характеристики дисперсию этой разности, т.е.
м{[хм(/)-х(/)Д = лф2}.	(4.66)
Очевидно, что
1	00
Afp} = — Г	(4.67)
1 ’ 2л J
Введем в рассмотрение относительное среднеквадратичное отклонение
J К (>)- wС/°)|2 Syy (со)с7со
(4.68)
j |1F(усо)|2 Syy (со) cZco
342
Статистическая динамика и идентификация САУ
Физический смысл этого критерия заключается в том, что при оценке погрешно-
сти определения динамической характеристики принимается во внимание реакция
объекта лишь на те частоты, которые присутствуют во входном процессе, причем с
весом, пропорциональным спектральной плотности входного процесса Y(t\
Критерий (4.68) дает ответ и на вопрос, какую информацию содержит решение
(4.65) уравнения (4.64) о динамике исследуемого объекта. Действительно, в случае
абсолютно точного определения £(т) имеем 5е =0.
Если £(т) определена не точно, но спектр ошибки сосредоточен в той области,
где Syy (и) = 0, то 5е = 0. Это означает, что по выходу мы не сможем отличить мо-
дель от реального объекта.
Если £(т) определена не точно и спектр ошибки распределен произвольным об-
разом, то 5е 0 и критерий (4.68) характеризует погрешность определения динами-
ческой характеристики на тех частотах, присутствие которых во входном процессе
существенно. Поэтому, несмотря на возможное большое отклонение км (т) от £(т),
ошибка может быть малой, и выходные процессы реального объекта и его модели
будут отличаться лишь незначительно.
2. Метод квадратур. Рассмотрим решение уравнения (4.38), пользуясь методом
квадратур. Представим уравнение (4.38) в виде
= k(nA)Ryy (т-иД)Д.
(4.69)
и=0
Обозначим
Л Ryy(0)	Ryy(A)	-	Ryy^N-l)^
А= МА) М°)	•••	АУУ((А-2)Д)
^Ауу((А-1)д) АУУ((А-2)Д) ••• Ryy(0) ?
(4.70)
(4-71)

где
Q
(4.72)
Тогда (4.69) перепишем в виде [121]
АК = Q.	(4.73)
В (4.73) А = ()	— квадратная симметричная матрица размерности ;Vx N.
V J 'i,j=o
Как и в случае решения уравнения свертки, задача расчета импульсной переход-
ной функции свелась к решению системы линейных алгебраических уравнений. По-
следняя является симметричной с доминирующей главной диагональю. Это свойство
порождено свойствами корреляционных функций, входящих в исходное уравнение
Фредгольма l-ro рода (4.38).
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
343
Статистический метод идентификации устраняет недостатки, присущие детерми-
нированному подходу; вместе с тем этот метод также имеет недостатки, определяе-
мые статистическим содержанием эксперимента:
•	время, необходимое для решения задачи идентификации, значительно увели-
чивается;
•	имеют место ошибки построения Ryy(j) и ^лт(т) по данным нормальной
эксплуатации, определяемые величиной промежутка усреднения (известно,
что ошибка определения корреляционной функции путем усреднения по вре-
мени убывает только как т-0,5 и для достижения точности в несколько процен-
тов требуется время накопления Т в 100 и более раз превышающее т [125]),
а также наличием фактора нестационарности, низкой точностью измерений и др.
Пример 4.2 [125]. Проиллюстрируем изложенные выше соображения на примере. Предположим, что
п / , [е-ат - 0,5 при 0 < т < Г;
Мт)= л ~
(0 при т > Г;
l,2102sin0,2618T + 3,1213e"ai +2,2328еаг-3,8197 при 0<т<Т;
6,2022е"аг-0,36306вт2|(т-12) + 0,3229со8у|(т-12)-1,9099 при Т<т<2Т;
О при т > 2Т;
а = 0,004257; Г = 12.
Точное решение уравнения (4.38), полученное аналитически, в рассматриваемом случае имеет вид
, Jsin(Hi:/2) при 0<г<Т;
(0 при t>T.
Рис. 4.25. Корреляционные
и взаимокорреляционные функции
Рис. 4.26. Импульсные переходные функции
при различных точностях выполнений
Рис. 4.27. Точные и приближенные значения амплитудной характеристики
344 Статистическая динамика и идентификация САУ
На рис. 4.25 и 4.26 представлены графики функций /?}У(т), 7?хт(т), /с(т) (кривые 7). Рсшая то же уравнение
методом квадратур при А = 2, N = 7, получим приближенное решение, довольно близкое к точному (рис. 4.27).
График этого решения изображен на рис. 4.26 (кривая 2). При незначительном изменении исходных данных,
не превышающем 3% от максимального значения, графики измененных функций /?}у(т) и 7?уу(т) изобра-
жены на рис. 4.25 (кривые 2), решение же к (т) (кривая 3 на рис. 4.26) значительно отличается от точного.
Пример 4.3 [119]. Рассмотрим задачу определения ИПФ системы, определяющей преобразование вибраций
от двигателя легкового автомобиля к кузову при прямолинейном движении с постоянной скоростью (рис. 4.28).
Рис. 4.28. Эксперимент по изучению нерегулярных вибраций легкового автомобиля
(постоянная скорость 20 км/ч)
Считая, что входной сигнал Y(?) и выходной процесс X (?) в установившемся режиме связаны соот-
ношением
X(t) = j /с(т)У(? - т)<7т,
о
определим импульсную переходную функцию /с(т) по реализациям (У(?)} и (х(?)}, представленным
на рис. 4.29. Поскольку, как видно из рис. 4.29, Y(?) не является белым шумом, то импульсная переход-
ная функция определяется решением уравнения Винера-Хопфа.
0	0,02	0,04	0,06	0,08	10	0,12 t,c
Рис. 4.29. Графики изменения ускорений вертикальной вибрации
двигателя и кузова в процессе движения легкового автомобиля
Процедура получения импульсной переходной функции включает следующие этапы [119]:
1. Оценивание 7?}T(zA) и 7?(zA). В этом эксперименте реализации (у(?)} и (х(?)} были дискретизованы
по точкам выборки с периодом А = 0,002 с; тогда /?}У(/'А) и 7?n-(zA) можно вычислить по формулам
1 Л-1
Мг'Л)=^£у(/ЛМ(МА);
г=0	(4.74)
, л-1	'	'
7?лт(?А) = -^У(/А)х((/ + ?)А),
7=0
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
345
где N — число интервалов дискретизации, которое было принято равным 200. Как видно из формул
(4.74), использовалась прямоугольная аппроксимация. Отметим, что хотя на практике такая аппрокси-
мация, как правило, достаточно точна, но для систем высокого порядка она могла бы привести к
ошибкам. На рис. 4.30 представлены графики функций Ryy (z'A) и 7?п- (z'A).
2. После того как найдены 7?}T(z'A) и2?уу(гД), можно определить импульсную переходную функцию
из уравнения (4.38). Полученная в этом эксперименте импульсная переходная функция показана на
рис. 4.31.
Рис. 4.30. Авто-и взаимная корреляционная функция сигналов У(7) и
Рис. 4.31. График импульсной переходной функции системы
«двигатель легкового автомобиля-кузов автомобиля»
при прямолинейном движении с постоянной скоростью
346 Статистическая динамика и идентификация САУ
Пример 4.4 [108]. Рассмотрим несколько другой подход к решению задачи идентификации, исполь-
зующий аппроксимацию авто- и взаимной корреляционных функций и позволяющий найти ИПФ в анали-
тическом виде.
Положим, что приближенное аналитическое уравнение для нормированной корреляционной функции
входа Y(?) имеет вид
/ \	-0,008т
/уут =е ’ cos-------,
ГГ V 7	200
а средние квадратические отклонения входа У(?) и выхода У(?) равны
=0,005 и <ту = 0,33.
На рис. 4.32 приведен график нормированной корреляционной функции входа Ryy (т) .
Рис. 4.32. График Ryy (т)
Взаимная корреляционная функция определяется зависимостью
rXY (0 =
гх лг —0 0056т I 7ТТ 1
0,45е и’ cos-------Hl,376sin--
L 200	200)
O,45e°’004cos^ + l,376sm^,
L 200	200)
График взаимной корреляционной функции показан на рис. 4.33.
Рис. 4.33. График Rxy (т)
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
347
Из приведенных соотношений для нормированной корреляционной и взаимной корреляционной
функций легко получить соответствующие корреляционные входа и взаимные корреляционные входа и
выхода функции. Для рассматриваемого случая получим
rxy(^) =
Л "7/1 1 П-3 —0,0056т (	I О'?/. *
0,74-10 е ’ cos------------+ l,376sin-----
200	200)
*7/1 1	3 0,008т [	д	I
0,74-10 е ’ cos----------нl,376sm---- ,
I 200	200)
т>0;
т < 0.
Теперь можно записать интегральное уравнение для определения ИПФ объекта:
n-7/1 ю-З -0,0056т Г ЛТ , ,	• ЛТ fwaA -0,008(т-Х) л(т-Х) -
0,74-10 е ’ cos-----------+ l,376sin--- = I К Л е v 7cos—----------------dk.
200	200J J v ’	200
0
Выражение для ИПФ имеет вид
К (т) = 8,5 • 10“3 Го, 748 (т) + 0,7е“°’°176т - 2 • 10“6 cos 0,5те“°’0056т -1,3 sin 0,05те“°’0056т
где 8 —дельта-функция.
Применяя преобразование Лапласа, получим следующую зависимость для передаточной функции:
W(rA 8,5 10-з0’745 + 0’04 С? + 0,008)2 +0,0026.
5 + 0,0176 (5 + 0,0056)2+0,0026
Дифференциальное уравнение рассматриваемого объекта будет иметь вид
^ + 0,0288^ + 0,0028—+ 4-10“5х = 8,5-10“3 0,74^ + 0,0518^ + 0,0026^ + 0,0001у .
dr	dt1	dt	I dr	dt1	dt	\
Пример 4.5 [33]. Положим, что с помощью вычислительных устройств получены следующие результаты:
Луу(т) =
I c0
/qx
. 2
Луу(т) =
R,
V
R,
Л
о

. 2
Преобразуем по Лапласу приведенные выше зависимости; изображения имеют вид:
К ’
2
z4
2
Отсюда находим ПФ объекта управления
(ку к? Af к]
Rvy п ------1----s H---
w( X co #2	2 Д 2
W(s) =	---/	, x
А /Т 7 (	«2 I
c0 V /C1	k\ 5+ —
4 2 J
ИПФ имеет вид
/ф) =
8(т) + Р- + ^-к 2
Пример 4.6 [108]. Положим, что автокорреляционная функция входного случайного процесса при-
ближенно описывается выражением
7?уу(т) = Ле “Г1 cos гот, А > 0, а > 0, го>0;
тогда она может быть представлена так:
/ ч /?уу (т) = .4е-нт cosrox, т>0;
rYY^) = \ V „	(4-75)
|у?уу(т) = HeaTcosroT, т < 0.
Пусть взаимная корреляционная функция определяется формулами
(т) = (S cos ут + sin ут) е-^т, т>0;
RXY^)= _	R
I rXY\x) = (^cosY'c + CsinyT)el , т<0.
(4-76)
348
Статистическая динамика и идентификация САУ
rxy(^) =
Рассмотрим несколько частных случаев.
1.	Пусть в формулах (4.75) и (4.76) Р = а и у = го или
/Ду (т) = (й cos гот + sin гот) е-ат, т>0;
Rxy (T) = (ScosroT + CsinroT)eaT, т<0.
Тогда
(С+Г>)а + (С-Г>)[а2+го2?/2 (С + Г>)а-(С-Г>)[а2+го2?/2
-----------------4------L---I- ГЛ--------------4------L---
W(s) =----- (2Sa + Cro-Z>ro)
Кроме того, если предположить, что D = C или Rxy (т) = (5 cos гот + С sin гот) е °7 , то передаточная
функция объекта принимает вид
Если же D = С = 0, объект превращается в усилитель с передаточной функцией W(5) = В / А .
2.	Пусть теперь в формулах (4.75) и (4.76) у = го и D = С. Тогда передаточная функция объекта имеет вид
а + р &2+[Д(Р-а)+2СЮ].у-[д(ар + Ю2) + СЮ(а-Р)] (^а)2 + ю2
2а-^	s2-(a2+ro2j	(5 + Р)2 + го2
Соответствующее дифференциальное уравнение является в общем случае уравнением четвертого по-
рядка.
3.	Предположим, что у = 0 и D = С = 0. Тогда взаимная корреляционная функция входной и выход-
ной переменной равна
р /\ ^ЬДтДТйДД т>0;
rxy (т) = 1
[/Ду (т) = .8со8готеат, т<0.
Следовательно, имеем
в s(a + P)-(aP + a2 +го2) (5 + а)2+ю2
2аД	5 + р	s2-(a2 + ro2
и объект описывается ДУ третьего порядка.
4.3.2. Параметрическая идентификация: определение коэффициентов
ПФ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫМ МЕТОДОМ
Положим, что модель объекта определяется формулой (4.29). Для определения
оценок |ос/с : к = 0, п-1} и |ocv : v = 0,m} воспользуемся структурной схемой систе-
мы (рис. 4.19).
На вход идентифицируемого объекта и системы (рис. 4.19) подается случайный
стационарный входной сигнал У(/). Тогда для модели объекта справедлива зави-
симость
и-1	т
Х(/) + ^а4Л“Р) = ^рЛ(Д	<4'77)
/с=0	z=0
где (t}, к = 0,п -1 и jf (/), z = 0,т — случайные выходные сигналы блока инте-
граторов.
Умножим обе части (4.77) на (/) и (/) и на полученное выражение воздей-
ствуем оператором математического ожидания; результат запишется так:
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 349
и-1	т
(/)] +	(zp“ (/)] = £₽,м [У (/)(/)], х = оУЦ;
/с=0	z=0
и-1	т
+	(z)J₽(z)] = ^₽,Af[У (/)УW]’ Р = ^«-
/с=0	z=0
Последнюю систему алгебраических уравнений можно записать в форме
и-1	т
^Х.Г‘ +	-	Д“ ’ 5 ~ О’ П ~
/с=°	2=0	(4.78)
и-1	т
^XJ^p + ak^JfJ^p =	Рг'RjkJp ’ Р = ®’т‘
/с=0	2=0
Структурная схема системы идентификации представлена на рис. 4.19. Результа-
том решения системы алгебраических уравнений (4.78) являются оценки коэффици-
ентов ПФ объекта управления.
4.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Спектральные методы используют разложение процессов по ортонормированным
базисам (см. Приложение 3).
Ниже изложены основные подходы к решению задачи идентификации спектраль-
ными методами.
4.4.1. Спектральный метод детерминированной идентификации,
ОСНОВАННЫЙ НА РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1 -ГО РОДА
Пусть стационарный объект описывается интегральным соотношением
t
x(t) = ^k(t-x)y(x)dx + xn(t) + xc(t),	(4.79)
о
где и (7) —помеха, хс(/) —свободные колебания.
Будем считать, что п (7) = 0, Х° =	(0),...,хи-1 (О)) = 0, т.е. до подачи на
вход сигнала у (7) система находилась в состоянии покоя.
Положим, что в результате проведения одного эксперимента на промежутке [0, Г]
зафиксированы детерминированные сигналы у (7) и х(7). Представим все функции,
входящие в (4.79), в виде разложения по ОНБ (полагаем, что все они принадлежат
Г[0,Г]):
x(z)»®T(/)Cv; y(z) = ф'(г)С‘: Цт)« Фт (т)С4.	(4.80)
Подставляя (4.80) в (4.79), найдем
z	lit
^<<Pv(0 = XSCv1<2/фУ10-т)фу2 (Т)^-	(4-81)
v=l	V1=lv2=l о
Умножая (4.81) последовательно на <Pi (/), ср2 (?)’•••’Ф/(?) и интегрируя полу-
ченные соотношения на [0,7], получим следующую систему алгебраических
уравнений:
350
Статистическая динамика и идентификация САУ
i i	т t
О =	СЦ<2 j j Фц - T)<Pv2 W^(P1 (0^’
Vi=lv2=l	о	0
I I	T	t
J J 9vi (Z" т)фу2 (ТИТ(Р| (t)dt;
Vi=lv2=l	о	0
I I	T t
C/X =SZXcvJj(Pv1 0-^)<Pv2 (^)dx^(t)dt,
V1=lv2=l	о 0
или, что то же самое,
п=~ц (483)
v1=lv2=l
где
т t	__
C”iv2 = Пфу1 (/-Т)^2 (т)б7тфи(/)й?/, п = 1,1,	(4.84)
о о
или
Сх = АС/с.
Числа с” характеризуют ОНБ и могут быть определены заранее: они хранятся в
памяти ЭВМ. С помощью формулы (4.83) можно получить решение задачи идентифи-
кации — построить ИПФ стационарного объекта на промежутке [о,7]. В самом деле,
/	чТ	/	чТ
поскольку спектральные характеристики Сх = I с±, с\,..., сх I и Су =1 су, су,   , су I
сигналов x(t} и у(ф известны (процессы x(Z) и y(f) зафиксированы на промежутке
[0,7]), то решая систему алгебраических уравнений, содержащую I неизвестных
Ci , с!2 ,..., с1/, можно рассчитать спектральную характеристику ИПФ в ОНБ Ф (/)
С к / „к к к
— [И ’ С1 ’ • •’ С1 ) •
Из предыдущих рассуждений можно сделать вывод, что для построения ИПФ
стационарной системы достаточно провести только один эксперимент, зафикси-
ровав входной и выходной сигналы на промежутке [0,7"]. Данные одного экспери-
мента позволяют получить линейную систему алгебраических уравнений (4.83), ре-
шая которую, можно рассчитать ,Cz,...,Ci и построить идентифицируемую
ИПФ в форме
А-/(т)»Фт(т)С\ те[0,Г].	(4.85)
Вопросы, связанные с некорректностью рассматриваемой задачи, и трудности,
порожденные этим обстоятельством, рассмотрены в и. 4.2.
Рассмотрим возможность применения этого подхода для идентификации ИПФ
нестационарной системы, предполагая сначала, что Х° = 0,	= 0.
Имеем
= ^(/,т)у(т)б7т.	(4.86)
о
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 351
Представим, как и в предыдущем случае, все функции, входящие в (4.86), в виде
разложения по ОНБ, перейдя предварительно от уравнения с оператором Вольтерра
1-го рода к уравнению с оператором Фредгольма 1-го рода:
т
= ^*£(ст)у(т)я?т.	(4.87)
о
Имеем
x/(z) = ®T(z)C'; л(г) = Фт(/)С.	(4.88)
Поскольку функция k(t,x) является функцией двух аргументов t и т (в отличие
от стационарного случая, когда ИПФ к(х) зависит от одного аргумента т), то ее
разложение по ОНБ имеет вид
(/,т) cJiV2<pVi (/)<pV2 (т),	(4.89)
Vj=O v2=0
где
т т
=ff^(Z’T)(Pv1(O(Pv2(T)^T’ V1,V2=1,/.
О о
Обозначим
	( к	к	к Л С11	с12	"	С11	
С/с =	к	к	к С21	с22 " С21	(4.90)
	к	к	к	
	У/1	С12 " С11 )	
Поскольку k(t,x} неизвестна, то в результате решения задачи идентификации		
должны быть найдены элементы с~, i,j = 1,1 матрицы Ск.
Из приведенных положений следует вывод: при идентификации стационарных
систем число неизвестных ск,ck,...,ck равнялось I; в случае же решения задачи
идентификации нестационарного объекта число неизвестных с~, i,j = l,l равно I2.
Поскольку (4.89) в матричной форме имеет вид
£,Щ) = Фт(/)С‘ф(г),	(4.91)
то из (4.87) (4.88) и (4.91) находим
т
фт (/)СХ = |фт (/)С/сФ(т)Фт (т)С377т.	(4.92)
о
В развернутой форме последняя зависимость запишется так:
ХУ<Р,- W = X 2 X4vA- J J 4>v, (Щ,.2 (0 9, Црт:.	(4.93)
z=l	V1=lv2=lj=l	0 0
Умножим (4.92) слева на Ф(^), проинтегрируем на [0,7] и учтем равенство
т
|ф(/)Фт (t)dt = I:
о
т	т	т
|ф(/)Фт(/)ЛСх = |ф(/)Фт(/)ЛС/с|ф(т)Фт(тртСС	(4.94)
О	0	0
352
Статистическая динамика и идентификация САУ
В развернутой форме (4.94) имеет вид
I Т	I I I	т	т
JИф/с ОМ = 2 S ZXOM j<pV1 ОМ ОМ/яч ОМ ОМ’
или, что то же самое,
Сх = СкСу.	(4.95)
Запишем последнее соотношение в развернутой форме
Полученное соотношение не позволяет найти неизвестные элементы ск-, I, j = 1, /,
поскольку имеет место информационная недостаточность в исходных данных.
Следствием этого является неоднозначность решения уравнения (4.87), что, есте-
ственно, не приводит к решению задачи идентификации. Поэтому постановку задачи
следует скорректировать, пополнив исходную информацию [83, 84].
Из (4.87) легко заключить, что дополнительную информацию можно получить,
если провести I экспериментов. Положим, что на промежутке [0,Т] в результате
проведения I экспериментов зафиксированы сигналы и хг (/), z = 1,Z, где
— входной сигнал, хг(/) —соответствующий выходной процесс (реакция на уг-(/)).
Тогда вместо (4.96) легко записать
(4.97)
Перепишем (4.97) в виде
С1 тс2 с12 T...TCZ	,
+ М22 +... + су'ск21 = с)1;
сУ\ск + су\ск +	+ гУ^гк - rxi •
Ч 41 + 62 с12+  + с1 41 ~ С1 >
гУ1пк _1_^У2^к 1 Ц-хЛ-А — пх1 •
С1 СИ тс2 с12 T...TC;	,
.±,-Эрк -4-	_L/-’’2,3 _ хЛ .
Ч С21 "Г с2 с22	+ 9 С21 ~ с2 ’
М2 ,4 -1-^У^^к -L	-1-^У^^к — М'- 
Ч 41 + 62 42 +	+ Ч Ч/ - С1
гУ1гк +ryirk +	+суРк	-гх‘-
С1 СИ TC2 С12 T...TC;	,
гУ1гк +гУ1гк +	+гу‘гк	-гх‘-
С1 С21 + с2 с22 +	+ Ч С21	- с2 •>
(4.98)

Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 353
Воспользуемся обозначениями
Тогда система алгебраических уравнений (4.98) перепишется в виде
АС/с=Сх.	(4.100)
Таким образом, решение задачи идентификации стационарных и нестационар-
ных объектов сводится к решению уравнения (4.100) с матричным оператором А.
Из (4.100) получим формальное решение задачи идентификации (предполагается,
что отсутствуют шумы, ошибки измерений, Х° = 0 — идеальные условия проведе-
ния эксперимента):
С/с=А-1Сх;	(4.101)
идентифицируемые ИПФ имеют вид:
1) для класса стационарных линейных объектов:
^(/)®фт(т)С/с;	(4.102)
2) для класса нестационарных объектов:
^(/,т)»Фт(/)С/сФ(т).	(4.103)
При решении задачи идентификации стационарных объектов размерность (4.101)
для слабоколебательных объектов невелика. В связи с этим могут быть использованы
известные методы решения линейных систем алгебраических уравнений [24].
Задача значительно усложняется, если (4.101) определяет решение задачи иден-
тификации нестационарных объектов. В этом случае число неизвестных достигает
нескольких сотен (например, если I = 10, то число неизвестных равно 100) и отыска-
ние решения (4.101) представляет собой трудную задачу. При практических расчетах
можно использовать факт разреженности матрицы А.
В этом случае достаточно эффективными являются итерационные методы ре-
шения систем линейных алгебраических уравнений (весьма полное изложение итера-
ционных методов с инженерным содержанием приведено в [1]). Использование пря-
мых методов невозможно из-за необходимости выполнения чрезмерно большого
числа арифметических операций. Методы исключения для решения систем с разре-
женными матрицами неудобны, поскольку при их использовании большое число ну-
левых элементов превращается в ненулевые и матрица теряет свойство разреженно-
сти. В противоположность им при использовании итерационных методов в ходе ите-
рационного процесса матрица не меняется (она остается разреженной).
Разработано большое число различных итерационных методов, каждый из кото-
рых ориентирован на решение сравнительно узкого класса задач.
Для того чтобы воспользоваться методом простой итерации для решения системы
алгебраических уравнений (4.98), необходимо преобразовывать эту систему к виду
С/с=ВС/с+С.	(4.104)
Надо отметить, что операция приведения системы (4.101) к виду (4.104), удобно-
му для итераций, не является простой и требует специальных знаний, а также суще-
ственного использования специфики системы [1].
354
Статистическая динамика и идентификация САУ
Способы приведения системы (4.101) к виду, удобному для итераций, рассмотре-
ны в [1].
Вектор Ск итерационным методом рассчитывается по формуле
с/с^+1) =вс/с(л)+с, р = 0,1, 2,...,	(4.105)
где Ск^ — п-е приближение.
Изучена сходимость метода, получены формулы для оценки погрешности. На-
пример, показано, что если в (4.105) ||в|| < 1, то решение Ск существует и единст-
венно, причем при произвольном начальном приближении С итерационный про-
цесс (4.103) сходится и справедлива апостериорная оценка погрешности [1]
, Н
1-Н
с/с(и) _с/с(и“1)
(4.106)
В связи с некорректностью уравнения (4.104) для решения системы алгебраиче-
ских уравнений (4.101) целесообразно применять метод регуляции А.Н. Тихонова.
Задачу идентификации можно решать с применением оптимизационных проце-
дур, при этом можно уменьшить влияние помех, вводя соответствующие функ-
ционалы.
Обозначим [66]
(4.107)
= 1Д
(4.108)
^/с(и) _ ^к
где в общем случае L>1.
Введем в рассмотрение функционал [66]
l(ck ) = max max |фт (7)CS; (ск
К ' > 0<t<T 0<i<L\	v 7 К '
(4.109)
Задача идентификации сводится к задаче нахождения набора элементов матри-
цы С/с=(срГ) , наиболее соответствующей экспериментальным данным в рав-
\ Р / р,г=\
номерной метрике
l[ckpr^^ min.	(4.110)
Задача может быть упрощена, если воспользоваться метрикой в С2[0,Т]; тогда
функционал может быть записан в форме
Т L
0 г=1
Отсюда имеем
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
355
Решение задачи идентификации сводится к минимизации функционала (4.111).
Аппарат матричных операторов (см. главу 2, т.1) тесно связан с приведенными
выше рассуждениями.
Имеем
<211
й12
Сх = (l + Ag )-1	= (Ах )-1 А-’’С’ = АС’ =
Й21	а22
\а11	а12
(4.112)
Продолжим рассмотрение задачи идентификации,
предполагая, что для дейст-
вующих шумов имеет место неравенство
т.е. максимальная величина нормы ограничена.
В терминах матричных операторов задача идентификации может быть сформули-
рована с учетом следующих соотношений:
причем
ег(^рг) = фТ
i
С’ (0 “ (арг)(Рр (О’
г=1
(4.НЗ)
и
здесь z — номер эксперимента, число которых равно L.
Функционалами, подлежащими минимизации, могут быть
l(a) = max max
V ' > O<t<TO<i<L
I
^jCP (^pr^p (0
r=i
min;
Если в результате решения задачи идентификации найдены численные значения
элементов матричного оператора объекта
то его ИПФ определяется формулой
i i
Ki (z-t)=Z Z %'Л (/)(р’2 (т)>
v1=lv2=l
(4.114)
356
Статистическая динамика и идентификация САУ
а аппаратная реализация объекта с ИПФ (4.114) может быть представлена, используя
зависимость
г	1	1	г
= j К Т) У (т)dx = ацу2ФУ1 (0 J<Pv2 (т)у(т)д?т,
О	v1=lv2=l	о
так (рис (4.34)).
Рис. 4.34. Физическая модель идентифицируемого нестационарного объекта:
1 — блок умножителей; 2 — блок интеграторов; 3 — блок умножителей;
4 — блок сумматоров; 5 — блок генераторов
Отметим, что проблемы, связанные с существованием и единственностью реше-
ния задачи идентификации являются очень сложными и требуют специального рас-
смотрения. В [66] можно познакомиться с содержанием следующих понятий:
•	гарантированная идентификация линейных нестационарных объектов;
•	калмановская фильтрация и ее применение к проекционным аппроксимациям
нестационарных объектов и др.
Пример 4.7. Рассмотрим объект, поведение которого описывается ДУ (4.28); графики входного и вы-
ходного сигналов представлены на рис. 4.8. В качестве базиса будем использовать ортонормированный
базис косинусов
На рис. 4.35 и 4.36 представлены результаты решения задачи идентификации.
Рис. 4.35. Результаты идентификации при размерности базиса 7 = 15 (при отсутствии шумов):
1 — эталонная ИПФ; 2 — точная аппроксимация ИПФ; 3 — идентифицированная ИПФ
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
357
Рис. 4.36. Результаты идентификации при размерности базиса I = 30 (при отсутствии шумов):
7 — эталонная ИПФ; 2 — точная аппроксимация ИПФ; 3 — идентифицированная ИПФ
Ниже приводится таблица чисел обусловленности матрицы А системы.
Таблица 4.2
Значения числа обусловленности матрицы
1	8	11	15	20	25	30	35	40	60
/С(А)	60,12	70,47	97,33	132,24	165,78	196,60	226,25	253,91	351,21
Рис. 4.37. График зависимости числа обусловленности от размерности базиса
При точном измерении сигналов и х(7) рост размерности тригонометрического базиса приво-
дит к увеличению точности аппроксимации. Для некоторых базисов происходит быстрое накопление
ошибки при увеличении I (рис. 4.37). Поэтому на практике для таких базисов, как базисы Чебышева 1-го
и 2-го рода, Лежандра, ограничиваются числом членов 10-15, так как дальнейшее увеличение размерности
базиса приводит к ухудшению точности аппроксимации.
Приведем результаты решения задачи идентификации объекта управления при наличии шумов изме-
рений (условия, близкие к реальным) — рис. 4.38, 4.39.
358
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 4.38. Выходной сигнал объекта при наличии и (7)
Рис. 4.39. Результаты идентификации при размерности базиса I = 15 (при наличии шумов):
1 — эталонная ИПФ; 2 — результаты идентификации при п(1) е= 0;
3 — результаты идентификации при наличии шумов
Рис. 4.40. График выходного сигнала объекта х(Г] = ху (ф + хп (ф (условия, близкие к реальным)
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
359
Если выходной сигнал при наличии шума и (?) имеет вид (рис. 4.40), то ИПФ, полученные в результа-
те решения задачи идентификации, в значительной степени искажены и требуется реализация этапа сгла-
живания.
Рис. 4.41. Результаты решения задачи идентификации при размерности базиса 7 = 15:
1 — эталонная ИПФ; 2 — результаты идентификации при п(?) = 0;
3 — результаты идентификации при наличии шумов
Рис. 4.42. Результаты решения задачи идентификации при размерности базиса 1 = 30:
1 — эталонная ИПФ; 2 — результаты идентификации при п(?) = 0;
3 — результаты идентификации при наличии шумов
Анализ графиков, представленных на рис. 4.38^4.42, позволяет сделать выводы о степени влияния на
точность решения задачи идентификации как размерности базиса, так и наличия шумов.
4.4.2. Спектральный метод статистической идентификации,
ОСНОВАННЫЙ НА РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 1-ГО РОДА
Рассмотрим метод статистической идентификации, предполагающий разложение
корреляционных функций RXY (т) и RYY (т) в ряды по функциям Лягерра [132].
Ортонормированные на полуоси [0, ») функции Лягерра определяются формулой
_ Л т	_ i
2 ’
(4.Н5)
360
Статистическая динамика и идентификация САУ
где к — масштабный множитель, который выбирается таким образом, чтобы уско-
рить сходимость ряда; т = 0,1, 2,....
Переписав (4.115) в виде
т
=	(4.116)
v=0
г
где с = si к------—-—у, получим зависимости, определяющие первые 10 функций
(m-v)!(v!)
Лягерра:
LQ(t) = 4ke 2 ;
1^(4) = sfk е 2 (1-kty,
L2(t) = s/ke~(l-2kt + ^k2t2\
(	3	1
Z3(/) = V^e 2 1-ЗА7 + -АЛ2—k3t3 ;
I	2	6	J
(	2	1
C4(/) = V^e 2 1 - 4kt + 3k212—k3t3 +—k4t4
v 7 I	3	24
_kL f	ssi
L (A = y[ke 2 \\-5kt + 5k2t2 - — k3t3 +——k4t4-k5t5
} I	3	24	120
L6(t) = 4k e 2 [\-6kt + —k2t2- — k3t3+-k4t4
I 2	3	8
k5t5+ — k6t6
20	720	)
Lq (t) = Jke~[\-7kt + — k2t2-—k3t3 +—k4t4
7 v 7 L 2	6	24
40	720	5040	>
L,(t} = 4ke 2 fl-8^ + 14£2?- —k3t3+ — k4t4-
'7 L	3	12
+^_£8Л
15	180	630	40320 J
_kL /	21
Z9(0 = V^e 2 1 -9kt + \Zk2t2-14£3? + ^k4t4 -
21,55	7,(56	1.77	1	>8 8	1	> 9 9
---к t ч--к t-----к t ч---к t--------к t
20	60	140	4480	362880
Перепишем (4.117) в матричной форме:
Ф = и F,
(4.117)
(4.118)
где
Ф - (2-0 (O’ A (O’ ^2 (0’-") ’
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
361
		kt	kt	kt	т
F =	(/оМ’-АМ’ЛМ’---) =	y[k е 2 ,	y[k kte 2	,4kk2t2 е 2 ,...	;	(4.119)
		ч /)(0	/1(0	/г(г)	,	
	’1 0	0	0	0	0	0	0	0	0	-
	1-10	0	0	0	0	0	0	0	
	1 -2 -	0	0	0	0	0	0	0	
	2				
	1 -3 - --	0	0	0	0	0	0	
	2	6				
	, л	,	2	1 1-4 3	— —	0	0	0	0	0	
	3 24				
и =	1-5 5	-- — —	—	0	0	0	0	(4.120)
	3 24	120				
	,	х15	10	5	1 1			
	1 -6 —		 -		0	0	0	
	2	3	8	20 720			
	t п 21	35 35	7	7	1	о	о	
	2	6 24	40 720	5040		
	, о	28 35	7	7	1	1	
	1 -8	14	—	_				 0	
	3	12	15	180	630	40320	
	21	21	7	1	1 1	
1	О 1 О	1 л					
	4	20	60	140	4480	362880.	
Графики £0 (/), Д	У9 (?) при к = 1			представлены на рис. 4.43		
Предположим следующее:
•	процессы У (?) и X (?) являются стационарными, обладающими свойством
эргодичности;
•	Ryy (т) g L2 (-00,4-00); Rxy (т) е L2 (-00,4-00); g L2 [0,оо).
362
Статистическая динамика и идентификация САУ
Если известны функции /?АУ (т) и RYY (т), то ИПФ может быть определена пу-
тем решения уравнения Винера-Хопфа [5, 17, 33, 109, 121-123, 125]
Лху(т) = |Яуу(т-Х)£(Х)б7Х, те[0,оо).	(4.121)
о
Последнее уравнение может быть решено с использованием разложений корреля-
ционных функций RXY (т) и Ryy (т) в ряды по функциям Лягерра:
	ЛМт) = Ее?уМт)’ 0^т<оо;
RYY(Т) “ ‘	V=1
	RYYb) = XcvYYLvb)’ -°о<т<0; V=1
	(т) = ^А п'£у,(т), 0 < т < go;
RXY (Т) =	V=1
	7?ir(T) = E^'Yy£v(T), -go<t<0. V=1
Разработаны специализированные вычислительные устройства для нахождения	
c*YY, v = O,Z; с^, v = O,Z,	c^, v = 0,l.
С теоретическими положениями, а также с аппаратной реализацией можно позна-
комиться в [17]. Здесь изложены лишь принципы построения соответствующих вы-
числительных устройств.
Поскольку
=су = ]^(T)£V(T)</T, v = oJ,	(4.122)
о
а
1 Г о
Ауу (т) = lim —	-x\dt,	(4.123)
7—>оо Т J
о
то отсюда следует зависимость
еУ =Суп = lim 7 [У(г-т)Ц(z)drdt =
°	_	(4.124)
= lim — Jy(7)/V (t^dt, v = Q,l,
где
Jv(/) = р(/-т)Д,(фт	(4.125)
о
— установившейся выходной процесс фильтра, имеющего ИПФ Lv (т).
Таким образом, общая формула для расчета коэффициентов разложения RYY (т)
как при т > 0, так и при т < 0 имеет вид
1 т
(4.126)
1 о
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 363
Коэффициенты 77 представляют собой оценки коэффициентов Фурье разложе-
ния Ryy (т) по функциям Лягерра.
Показано, что математическое ожидание оценки
= |Ауу(т)£у(т)б7т, v = 0,l
о
совпадает с истинным значением, т.е. оценка является несмещенной.
Дисперсия оценки коэффициентов c^YY определяется зависимостью [17]
D Иу+у ]=7 J* f1 - у"!	+w rry w]dT-
1 (A 1 y
При практических расчетах необходимо помнить, что с увеличением числа членов
разложения I дисперсия оценки корреляционной функции увеличивается [17].
Структурная схема вычислительного устройства для расчета v-ro коэффициента
Су-77, v = 0,/ представлена на рис. 4.44, а соответствующее вычислительное уСТрОЙ-
ЯЦ, Ryy Ryy	Л Ar
ство для нахождения с0 , q ,..., С/ — на рис. 4.45.
Рис. 4.44. Структурная схема вычислительного устройства для нахождения с^77
Рис. 4.45. Структурная схема вычислительного устройства
для расчета коэффициентов Фурье автокорреляционной функции Ryy (т)
364
v = 0,/,
(4.127)
k
к
2
Статистическая динамика и идентификация САУ
Вопросы аппаратной реализации вычислительного устройства отражены в [17, 123].*
Здесь отметим лишь следующее. Поскольку ПФ функций Лягерра имеют вид
2.
к
2,
то, очевидно, каждый следующий фильтр Лягерра может быть получен из предыду-
щего последующим подключением к нему звена с ПФ Д (я) = (s-k/2}l(s + к/1у,
нулевой же фильтр — апериодическое звено. Звено с ПФ Д (я) — фазовращатель,
поскольку [17]
к
-----7- = cos <p + j sin <p = e7Cp
к
ja,x
(4.128)
Отсюда следует, что при прохождении сигнала через звено Д (.v) амплитуда его
не меняется, но происходит задержка по фазе, зависящая от частоты.
Аналогичным образом строятся вычислительные устройства для расчета c\.XY и .
При этом необходимо учесть следующее. Поскольку левая ветвь R~XY (т) взаим-
ной корреляционной функции определяется формулой
1 Г о
R~xy (т) = lim — [x(t\Y(t-T\dt,	(4.129)
Г—>оо Т J
то для коэффициентов Фурье c\.XY имеет место зависимость
Т о 00	о	1^0
= lim — fx(/) fZv (т)У(/-т)б?тб7/= lim — [x(t\JvY(t}dt.
0	0	о
Запишем рабочую формулу
1 т °
=-] X (t)jv7 (t)dt,
1 о
(4.130)
где JvY (/) = jLv (т)У (t -xjdx — выходной сигнал v-ro фильтра Лягерра в устано-
о
вившемся режиме. Структурная схема v-ro канала соответствующего вычислитель-
ного устройства имеет вид (рис. 4.46).
Рис. 4.46. Структурная схема вычислительного устройства
Аналоговая вычислительная машина, реализующая указанные здесь принципы и нашедшая практи-
ческое применение, была создана Е.Д. Горбацевичем.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 365
На основе приведенной на рис. 4.46 структурной схемы легко построить вычисли-
тельное устройство для вычисления коэффициентов c\,XY, v = О,/.
Правая ветвь R+XY (г) может быть представлена так:
=	=	(4.131)
V=1
где
1 Г о 00	о	1^0
= tim—p(Of Lv (TWZ-T) dx dt = —^Y(t)JvX(t)dt, (4.132)
oo	1 0
причем JvX (?) = j £v	t)o?t — установившейся выходной сигнал v-го
о
фильтра Лягерра при воздействии на вход сигнала Соответствующая струк-
турная схема представлена на рис. 4.47.
Рис. 4.47. Структурная схема вычислительного устройства
Далее будем полагать, что с помощью вычислительных устройств найдены корре-
ляционные функции Ryy (т) и R^y (т) в виде разложения по функциям Лягерра.
Поскольку уравнение Винера-Хопфа имеет вид интегрального уравнения (2.168),
то система алгебраических уравнений, связывающая коэффициенты Фурье разложе-
ния функций RYY (т) и Rxy (т) по функциям Лягерра с элементами ск спектральной
характеристики объекта Ск =^ск,ck,ck,...,ск^ будет иметь вид, аналогичный сис-
теме (2.173).
В самом деле, пусть
=	(4.133)
7=1
К(т) = £щщ)-	<4-134)
V=1
Подставляя (4.133) и (4.134) в уравнение
Rxy (т) = f K(V)Ryy (т-Х)б7Х, tg(0,+qo),
о
получаем
/	/	00
(т) =Х4 J Ц Ц)Мт -
7=1	V=1 О
после умножения последней зависимости на Ь (т) и интегрирования на [0,+<») най-
дем систему алгебраических уравнений
366
Статистическая динамика и идентификация САУ
cJ+xY = ЕC' f JRYY	(T)£V
v=l О 0 t
ajv
или, что то же самое,
^с^=ср. j = p	(4.135)
V=1
Обозначим
Ап-=(4);>=1;
е=(С1‘,с‘,-,с‘)т;
Q— / -J^XY sfixY | •
XY ~ I C1 ’ c2 ’ • • • ’ c/	I ’
тогда (4.135) перепишется в форме
АууС^ = Q^y и АууС/с = A^Q^y.	(4.136)
Очевидно, при I оо аппроксимация
АЩ) = £Щу(т)	(4.137)
v=0
становится сколь угодно точной и факт, характеризующий разброс (4.137) нерегуля-
ризованного решения, сохраняется. При I 0 имеет место сглаживание, но ап-
проксимация (4.137) может быть совершенно неудовлетворительной из-за большой
погрешности. Поэтому выбор I, играющего роль параметра регуляризации, осуще-
ствляется из компромиссных соображений [17].
Задача идентификации значительно упрощается, если У (?) — белый шум. В этом
случае, поскольку Ryy (т) = 2ть505(т),
R+xy (т) = 2л50 J £(X)5(t -	= 2ть50£(т).	(4.138)
о
Если построены RYY (т) и RXY (т) в форме разложения по функциям Лягерра, то
можно построить ПФ объекта управления в виде [108]
= R^s^-R^s),
ryy (s)~ryy (s)
где
n /
Ry}' ( Г ) — ]
7?]ф(т), т < 0;
"(Т) = Ц,- I \
rxy г < 0,
a R^y(s), R]yy(s), Ryy(s), RYY(s) — преобразования Лапласа (изображения) от
соответствующих функций.
Тогда справедлива зависимость, определяющая ПФ идентифицируемого объекта:
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
367
= С^°+С-1^о~1+-+^+^о0
+а°о^Ио’1+... + а1% + а;
Структурная схема системы идентификации представлена на рис. 4.48.
Рис. 4.48. Структурная схема системы статистической идентификации
спектральным методом
Структурная схема системы идентификации для построения 2л50£(т) в форме
2лЗД(т)=ус;Л(т)	(4.139)
v=0
представлена на рис. 4.49.
Изложенный выше общий подход может быть реализован с помощью системы
идентификации, построенной на основе следующих рассуждений [17].
Имеем
= j
о
или, с учетом спектрального представления ИПФ,
ХМ = ЕсЯМт)у(/-тИт-
v=0 о
368
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 4.49. Структурная схема системы идентификации
Поскольку Jv (?) = j Lv (т)У (t - т)(7т — установившийся выходной сигнал v-ro
о
фильтра Лягерра, то
X(/) = ycU(')-	(4.140)
v=0
Умножив обе части последнего равенства на Jр (?) и вычислив математическое
ожидание полученного произведения, найдем
M[x(t)jp (1)] = у	[л. (z )jp (1)],
v=0
или, что то же самое,
Rxjp = S cvRjvjp 
v=0
На практике используется конечное число членов разложения; тогда
/
v=0
или в матричном форме
А^С‘=ОИ,	(4.141)
где
Q« = (^Л70’^Л7, ’^Л72	) 1
С” =(Co‘,C1‘,4,...,C/‘)T;	(4.142)
Приближенная спектральная характеристика объекта управления определяется
формулой
C‘=A}}Q„.	(4.143)
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
369
Структурная схема системы идентификации представлена на рис. 4.50 [17].
Рис. 4.50. Вычислительное устройство статистической идентификации
динамических объектов в условиях нормального их функционирования
Она содержит блок фильтров Лягерра, а также I +1 умножителей и I +1 интегра-
торов. Детально с описанной системой идентификации можно познакомиться в [17].
При использовании любого метода идентификации необходимо помнить, что реше-
ние задачи идентификации поставлено некорректно. Развиваются методы решения
некорректных задач, позволяющие алгоритмически осуществлять отбор возможных
решений по дополнительной информации о них.
В спектральном методе, основанном на разложении ИПФ по ОНБ, неустойчи-
вость решения, свойственная задаче идентификации, проявляется в связи с выбором
числа членов разложения I. Для повышения точности восстановления ИПФ необхо-
димо увеличивать I, но при этом проявляются отмеченные особенности и ошибка
идентификации возрастает. С другой стороны, при малых I восстановленная ИПФ
будет иметь ошибку, порожденную неточностью аппроксимации. Повышение точности
и устойчивости результатов идентификации достигают выбором I из компромиссных
соображений. При практическом применении метода следует помнить, что с^ 0 при
v со и аппаратная реализация систем идентификации (рис. 4.48^4.50) на аналоговых
элементах может привести к большим ошибкам, так как полезная информация «тонет»
в шумах. Поэтому как рассмотренный подход, так и излагаемые далее методы (в том
числе метод Винерад ориентированы на применение цифровой техники. Наличие же
большего числа элементов в системах, представленных на рис. 4.48^.50, а также
370
Статистическая динамика и идентификация САУ
необходимость решения систем алгебраических уравнений, число обусловленности
которых растет с ростом I, приводит к недопустимо большим ошибкам в решении
задачи идентификации, поскольку исходные данные для формирования систем ал-
гебраических уравнений — выходные сигналы аналоговых блоков.
Пример 4.8. Перепишем (4.121) в виде
т
Rxy(t') = \Ryy(t'(4.144)
о
дискретный аналог может быть представлен в форме
N
=	(4.145)
т-0
где t,t' = 0,7V; N = T/\', Д —шаг дискретизации по т и т'.
Далее проведем рассуждения, следуя [30].
Система (4.145) плохо обусловлена, что приводит к большому разбросу значений К (т). Решение сис-
темы (4.145) при больших N связано с обращением матриц высокого порядка.
Для получения достаточно гладкой ИПФ Л?(т) можно решение системы (4.145) аппроксимировать
ортогональными полиномами, предложенными П.Л. Чебышевым специально для сглаживания функций по
способу наименьших квадратов. (Заметим, что уравнение (4.144) дает оценку весовой функции Л?(т),
оптимальную именно в смысле наименьших квадратов отклонений.)
При практических расчетах удобнее пользоваться полиномами Чебышева, ортогональными на системе
равноотстоящих точек и определяемыми формулой
/ (2/c + l)7VW *	Г/с¥к + А
(А+/с+1)(МЙ
где к —степень полинома; 7V+1 —число равноотстоящих точек t = 0,7V; через	и т.д. обозна-
чены обобщенные степени, например,
= т(т-1)...(т-5 + 1),
(к} к{д
а через =-----------биномиальные коэффициенты.
V)
Ортонормальные полиномы Чебышева удовлетворяют соотношению
(4.146)
т-0
Г1 при к = j
где = ]	— символ Кронекера.
7	(0 при k^ j
Полином /-й степени, аппроксимирующий функцию К (у), найденную из системы (4.145), может
быть построен по формуле
^(x) = i^(x),	(4.147)
v=0
где
N
ckv = ^7С(т)7;л(т).	(4.148)
т-0
Таким образом, ИПФ К (уф можно получить, решив систему (4.145) и сгладив затем результат по-
линомом Ki(y)- Однако такой подход целесообразен лишь при достаточно гладких функциях К(у),
Rxx (т), Rxy (т)- Если же разброс этих функций велик, в вычислительном отношении выгоднее сразу искать
коэффициенты ск разложения (4Л АЛ), используя представление корреляционных функций Rxy (у') в виде
Rxy (т’) = cjXY'^j,N (т9’
7=0
N	___
CJXY =YRxy^'KnW’ j = Q’1’	<4-149)
т'=0
гдет' = 0,7У; N = T/A.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 371
Тогда справедлива зависимость
j = OJ,
v=0
где
N N	__
=	7> = 0,/,	(4.150)
t'=0 t=0
ИЛИ
AyyCi=Qxy;	(4.151)
тогда
Ci=A^QJST.	(4.152)
Таким образом, определение оценки ИПФ К(т) сводится к нахождению коэффициентов ск (v = 0,1)
из системы (4.151), матрица которой (б/-) дается формулой (4.150). Далее по найденным значениям
V 7 /J,V=O
ск определяется оценка Az(t) ИПФ по формуле (4.147).
Рис. 4.51. Графики корреляционных функций
1 -
К (т) - оценка ИПФ, найденная
-2
0,5 -
0
-0,5-
-1 -
-1,5
решением системы
алгебраических уравнений
(4-145)
А7 (т) - оценка ИПФ, найденная
с помощью разложения
по полиномам Чебышева
100 т, с
К (т) - эталонная ИПФ
-2,5-
Рис. 4.52. Графики ИПФ и ее оценок:
Лдт) —оценка ИПФ, найденная решением системы алгебраических уравнений (4.145); А7(т) —оценка
ИПФ, найденная с помощью разложения по полиномам Чебышева; К(т) — эталонная ИПФ
372
Статистическая динамика и идентификация САУ
Встречающиеся на практике ИПФ, как правило, достаточно гладкие и /□ N. Поэтому система (4.151)
имеет существенно меньший порядок, чем исходная система (4.145), и хорошо обусловлена вследствие
гладкости функций, входящих в формулу (4.145). Это позволяет получать достаточно точные оценки ИПФ
путем простых вычислений.
Очень часто степень I аппроксимирующего полинома (4.147) заранее неизвестна и ее приходится оп-
ределять в процессе вычислений.
Степень I аппроксимирующего полинома в рассмотренном методе аналогична параметру регуляриза-
ции а в методе регуляризации [30], и выбор I играет решающую роль.
По найденным оценкам корреляционных функций (рис. 4.51) рассмотренным методом была определе-
на оценка К, (т) ИПФ исследуемого звена при различных степенях аппроксимирующего полинома. Оп-
тимальная степень /о аппроксимирующего полинома оказалась равной 7 (рис. 4.52).
4.4.3. Реализация спектрального метода детерминированной
ИДЕНТИФИКАЦИИ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА
С НАСТРАИВАЕМЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Изложим основные положения метода идентификации, в основе которого лежит
понятие модели объекта с настраиваемыми параметрами (рис. 4.53).
Рис. 4.53. Структурная схема системы идентификации
с помощью модели с настраиваемыми параметрами:
ВКО — вычислитель критерия ошибки; ВП — вычислитель параметров
Сущность метода состоит в том, что входное воздействие y(t} подается на иден-
тифицируемый объект и его модель (рис. 4.53). Выходной сигнал объекта х(7) срав-
нивается с сигналом выхода модели хм(/), и в соответствии с выбранным критери-
ем	определяемым сигналом ошибки = х(/)-хм(/), осуществляется на-
стройка параметров модели сгм.
Структура выбранной модели объекта оказывает большое влияние на точность
и скорость настройки параметров, которая в значительной степени определяется
взаимосвязью, существующей между ними.
Как и в методах, описанных ранее, ИПФ модели объекта представляется в виде
Ам(7 = ^гЩ(т) = (с")ТЦг),
V=1
где См = (qM, с™,..., QM) — настраиваемые параметры модели; Ь(т) =	(т),...,Lt(т))Т
— одностолбцовая матрица функций Лягерра.
ИПФ объекта определяется так:
4)=Е<М).
v=0
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
373
Пусть функционал имеет вид
/(C“) = i?(/) = F(4
а настройка осуществляется методом наискорейшего спуска [113].
Используя представление хм (7) в виде интеграла свертки, получим
д!(См)	а Г 1
®Ci	OCi	OCi _	Z=1	0	_	0. 153)
= -s(Of Д(т)у(/-т)«?т.
о
Поскольку импульсная переходная функция неизвестного объекта представлена в виде
К(г) = £Щ,(г)	(4.154)
Z=0
и при z = 1,/, Л > 0 выполняются следующие условия:
5см	а/(с»)	^(/)
---— —л--------—----------, Z — 1, Z.
dt &Д	2 def
то cf cf при t оо и, следовательно,
Ам(т)-> А(т) при т->оо.
(4.155)
(4.156)
Обоснованием предельного перехода (4.156) при выполнении условий (4.154) и
(4.155) могут служить следующие рассуждения. Пусть J, (?) — выходной сигнал систе-
мы с известной импульсной переходной функцией Д (7) и входным сигналом г (z), т.е.
= |д(т)у(/-т)«?т;	(4.157)
о
тогда
» i	i
= JHciLi (y)y(t-x)dx = YsciJi (0-	(4.158)
О Z=1	Z=1
Аналогично
<4-159)
Z=1
Таким образом, сигнал ошибки равен
г=1
где = 0 тогда и только тогда, когда = cf, так как Д (?) не зависят от всех ос-
тальных входных сигналов в силу ортогональностиД (/). Из формул (4.153) и (4.157)
следует, что
Рассмотрим функционал
(4.161)
(4.162)
374
Статистическая динамика и идентификация САУ
Используя формулы (4.161) и (4.160), находим
гНсН i	i
—М=z к -4 н-=ио z к с- к (7=(')	(4. !бз)
аг г=1	а?	г=1
Поскольку s2(/)>0, то dV^CM ^/dt < 0. Отсюда ясно, что убывает, стре-
мясь к нулю, т.е. сгм —> с-с, что и требовалось доказать.
Структурная схема системы идентификации имеет вид (рис. 4.54).
Рис. 4.54. Структурная схема системы идентификации
с использованием метода наискорейшего спуска
Для расчета матрицы См можно также воспользоваться методом вспомогатель-
ного оператора. Если I = F(s) — критерий, характеризующий степень близости мо-
дели и объекта, то имеет место соотношение [129]*
д! _ у dF(s) д&
аг
аг
z = l,/,
где X — некоторый коэффициент.
Поскольку
где — ПФ идентифицируемого объекта, lFM^CM,5j — ПФ модели, представ-
ляющей собой каскадное соединение элементов с ИПФ, являющимися функциями
Лягерра, то [129]
г» (/) _
1 v 7 as a<f v 7 as v 7 v 7
Структурная схема системы идентификации, основу которой составляет послед-
няя формула, имеет вид (рис. 4.55).
В [129] детально изложена теория систем с настраиваемыми моделями.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
375
Рис. 4.55. Структурная схема системы идентификации
с использованием метода вспомогательного оператора
Система идентификации представляет собой вычислительное устройство, осуще-
ствляющее следующие операции:
•	преобразование входного сигнала звеньями, представляющими собой
фильтры Лягерра с ПФ (s), L2 (s(s);
•	дифференцирование сигнала, являющегося выходом элемента, формирующего
значение
•	умножение сигналов Jk(t) и J£ (/);
•	интегрирование с коэффициентом усиления X.
Из структурной схемы (рис. 4.55) следует, что настройка модели производится
независимо по параметрам qM, с2 ,   , с™.
Рассмотренные выше методы идентификации объектов управления могут быть
использованы при синтезе комбинированных самонастраивающихся систем.
Примером комбинированных самонастраивающихся систем может служить сис-
тема, схема которой изображена на рис. 4.56. Эта самонастраивающаяся система со-
стоит из трех контуров: контура основной системы управления, контура идентифи-
кации и контура настройки параметров. Принцип действия контура настройки пара-
метров основан на методе вспомогательного оператора.
Пусть известна структура объекта управления, выраженная оператором JF(C),
где С — совокупность параметров, которые отнесем к неконтролируемым измене-
ниям. Известна также структура управляющей части системы JFKy (.v,a) с параметра-
ми а, которые могут быть использованы в качестве настраиваемых.
376
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 4.56. Комбинированная самонастраивающаяся система
Контур основной системы управления описывается в соответствии со схемой
(рис. 4.56) уравнениями:
s(/) = y(/)-x(/);
U(s) = Жку(х)Е(х);	(4.164)
X(s) = lK(s)(6/(s) + A(s)).
Качество управления будем оценивать критерием I, который является некоторой
функцией ошибки s(7). Пусть оптимальному управлению соответствует минимум
функции
Ошибка а находится в определенной зависимости от параметров системы. Частную
производную от критерия I по параметру а можно вычислить следующим образом:
д! _ д! дг
да дг да
Это выражение показывает, что частная производная может быть получена как
произведение двух сомножителей: производной от критерия I по ошибке (этот со-
множитель легко формируется в специальном вычислительном устройстве 5) и час-
тичной производной от ошибки по параметру а. Формирование последнего сомножи-
теля при рассматриваемом методе осуществляется с помощью вспомогательного one-
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 377
ратора, который может быть выражен через известные операторы основной системы.
Для этого на основании уравнений (4.164) следует вычислить производную ба/бос,
учитывая, что внешние воздействия и оператор W от а не зависят. Тогда будем иметь
Следовательно, выражение в фигурных скобках является тем оператором, кото-
рый преобразует сигнал ошибки а в сигнал, равный второму сомножителю выраже-
ния (4.165). Вспомогательный оператор (рис. 4.56) представляет собой вычислитель
Wbi. На схеме показано, как используется произведение (4.165) для вычисления зна-
чения настраиваемого параметра а.
Поскольку операторы 17ку и W зависят от параметров а и См, то текущие зна-
чения этих параметров должны непрерывно подаваться в вычислитель Wbi. Парамет-
ры а подаются в цепь обратной связи, а текущие значения параметров См объекта
должны быть вначале определены, что на схеме осуществляется с помощью контура
идентификации.
Реакции объекта и модели на входной сигнал u(t} сравниваются, и разность аи
используется для подстройки параметров См системы идентификации.
Подстройка параметров системы идентификации может осуществляться путем
поиска экстремума (минимума) некоторой функции ошибки аи методом наискорей-
шего спуска.
Таким образом, в системе, приведенной на рис. 4.56, сочетаются два принципа
самонастройки: аналитический (вычисление текущих значений настраиваемых пара-
метров) и поисковый (определение текущих значений параметров объекта) — и, сле-
довательно, система может быть отнесена к классу комбинированных самонастраи-
вающихся систем.
В заключение рассмотрим следующую задачу, для решения которой используется
полиномы Лежандра [113]
=	(4.166)
где Рк (?) — исходные полиномы Лежандра, определенные на интервале 0 < t < 1.
Управляющая функция находится в виде
/с=0
Самоорганизующееся управляющее устройство осуществляет оптимизацию крите-
рия качества, определяемого на интервале [О, Т7] всего времени процесса. Разбиение
общего интервала процесса на интервалы управления необходимо для оптимизации в
реальном масштабе времени. Предсказание входного сигнала для интервала [О, Т7]
производится с использованием информации, полученной за предыдущие Т секунд, и
управляющее воздействие на объект синтезируется на основе этого предсказанного
сигнала. Таким образом, управляющая часть самоорганизующейся системы работает по
входному сигналу объекта. Синтез сигнала управления осуществляется с помощью его
аппроксимации взвешенной суммой ортогональных полиномов на интервале [О, Т7] и
вычисления соответствующих коэффициентов, которые далее предполагаются постоян-
ными на интервале управления. Структурная схема всей системы приведена на рис. 4.57.
378
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 4.57. Управление в реальном времени с использованием разложения в ряд
по полиномам Лежандра
Критерий качества для интервала [О, Т] определяется формулой
т
z=J |Р(0[хэ (0-х(0]2+^2(/)[
о v
(4.167)
где хэ(/) —эталонный выход, —реальный выход, p(z) —весовой коэффициент.
В силу линейности системы действительный выход на (z +1) -м интервале может
быть представлен следующим образом:
о
где хг (?) — реакция системы на подачу начального условия при / = 0; К(/,т) —
импульсная переходная функция, полученная из устройства идентификации.
Для минимизации критерия I и определения оптимального значения
д! т
ик запишем
du(t}
>dt = Q, k = 0,N,
(4.168)

о I
где
т
du(d) ,	Sx(/) fdzz(r)
w	~ и	j fi ll
ОСк	OCk	0 OCk	0
С другой стороны, в силу условия ортогональности
Р	,	du(t)	рГД
fw(?)——dt	= Г У
J	v	7 Г//'	J
0	ОС к	oLz=0
Т
т
(4.169)
(4.170)
'т > dt + 2ск = 0,
(4.171)
что дает N +1 уравнение, необходимое для определения ск, к = 0, N.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 379
Неизвестные величины в (4.171) могут быть найдены следующим образом:
1.	Используем предиктор /?[•] для вычисления наилучшей оценки (/)-%(/)] на
основе информации, полученной на предшествующем временном интервале.
2.	Получим импульсную переходную функцию	с помощью некоторой про-
цедуры идентификации.
Определим функцию
t
Kk(t) = p(t)\pk(T)K(t,i:)dx.	(4.172)
О
Тогда соответствующий коэффициент управляющей функции задается формулой
т
^=/^(/)[хэ(/)-х(1)]А.	(4.173)
О
Можно выделить следующие три свободных параметра системы [113]:
1)	вес р(/), обеспечивающий правильное взвешивание ошибки системы;
2)	интервал управления Т, гарантирующий устойчивость и точность предсказа-
ния и идентификации;
3)	число членов ряда N, обеспечивающее достаточную точность аппроксимации
управляющей функции.
Замечание. Изложенные выше подходы могут быть использованы для иденти-
фикации коэффициентов ПФ объектов управления [4].
Сначала определим ошибку уравнения по схеме, показанной на рис. 4.58:
а(/) = х^ +	+... + аох - ри_1У(и-1) -... - Р0Т-	(4.174)
Так как для неизвестной системы справедливо равенство
х^+ап_гх^п +... + аох-Ьп_]у(п - ,..-Ьоу = 0,	(4.175)
то в силу формул (4.174) и (4.175) величина а (7) может быть представлена в виде
£ (?) = (айЧ - ап_{)	+... + (а0 - а0) х - (p„4 - bn_{)	-... - (р0 - Ьо) у.	(4.176)
Рис. 4.58. К постановке задачи идентификации передаточной функции
380 Статистическая динамика и идентификация САУ
Таким образом, связь между и дг- или А>;- является линейной. Отсюда следу-
ет, что метод наискорейшего спуска позволяет сформировать устойчивую схему
идентификации (см. описание предыдущего метода), а именно:
/(а,р) = |с2(/);
^ = _хафцр) = _х (0
dt да{ v 7
d/(oc,p)	. -------
---= -Л—-------- =	i = Q,n-l.
dt	v 7
Структурная схема системы идентификации представлена на рис. 4.59 [4].
Рис. 4.59. Структурная схема системы идентификации
Системы с характеристиками вида
S + 0Си_^5	+ ... + 0t^5 + OCq 5	+ ... + Р|S + Ро
не являются физически реализуемыми, поэтому процедура (4.177) не может быть
реализована практически. Кроме того, если система работает в условиях действия
шумов, последний фактор может значительно повлиять на степень эффективности
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
381
системы идентификации. Чтобы преодолеть эту трудность, перейдем к использова-
нию аппарата интегральных уравнений (см. главу 2, т.1).
Соотношению с дифференциальным оператором
X«vX(S’
эквивалентно соотношению с интегральным оператором вида
Поскольку
ат
_ 1-2-3...(а-£)(а-£ + 1)...(а-1)а(-1)/с ( _ и_/с_(-1)%! _
1-2-3...(«-£)	(п-к)Г
то
/с=0
dk
dtk
w=i
/с=0
t
о-h г
(«-Й-0
х(т)(/
\n—k ,
-т) ат.
(4.178)
На основе последнего соотношения легко сделать вывод о эквивалентности сле-
дующих структурных схем (рис. 4.60 и 4.61).
Рис. 4.60. Структурная схема, включающая дифференцирующие звенья
Рис. 4.61. Структурная схема, включающая интегрирующие звенья
Физически реализуемая система идентификации имеет вид, представленный на
рис. 4.61, с заменой элементов, включающих дифференцирующие звенья элемента-
ми, реализуемыми с помощью интеграторов.
382
Статистическая динамика и идентификация САУ
4.5. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ,
МАТЕМАТИЧЕСКИМИ МОДЕЛЯМИ КОТОРЫХ ЯВЛЯЮТСЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ВОЛЬТЕРРА
В предыдущем изложении неоднократно отмечалось, что широкий класс нелиней-
ных систем описывается рядами Вольтерра. Однородный оператор, действующий в
С [О, Т], может быть записан в виде [95, 106]
Т т	N
Х(/) = ф7у(у(/)) = J.. ,|^(/,Т1,...,^)ПЯТгИТг’ М0’7]-	(4.179)
0 0	г=1
Подобно тому как обычные полиномы используются для аппроксимации непре-
рывных функций, функциональные полиномы используются для аппроксимации опе-
раторов, описывающих нелинейные системы. Нелинейную систему, оператор которой
может быть представлен функциональным полиномом, называют полиномиальной.
Оператор системы	ряд которого, образованный полиномами Вольтерра,
равномерно сходится к оператору
ф(й0)=(j’Wl
И=1
называется аналитическим, а САУ — аналитической.
Важным является следующее обстоятельство: если объект представляет собой
«черный ящик», структура которого неизвестна, то при определенных допущениях
для него может быть построена процедура идентификации, позволяющая прибли-
женно описать его с помощью ряда Вольтерра [95, 106].
Функциональные ряды нашли применение при решении задач детерминированно-
го и статистического анализа, частотного анализа, анализа устойчивости, синтеза
нелинейных систем (при синтезе нелинейных систем может быть применен тот же
подход, что и при синтезе линейных систем: требования, предъявляемые к системе,
формализуются с помощью эталонного нелинейного оператора системы, после чего
решается задача приближения фактического оператора к эталонному путем измене-
ния параметров и структуры регулятора), статистической оптимизации.
Для решения задач анализа, синтеза и оптимизации систем, описываемых функ-
циональными рядами, ключевой является проблема идентификации динамических
характеристик объекта. Некоторые методы решения этой проблемы обсуждаются в
настоящем параграфе.
4.5.1. Метод Винера описания и идентификации нелинейных систем
Метод Винера является универсальным средством идентификации нелинейных
систем с неизвестной структурой; он имеет полное теоретическое обоснование.
Имеется несколько подходов к реализации метода Винера. Часто при решении задач
идентификации используются ортогональные полиномы Винера, которые строятся с
помощью процедуры ортогонализации Грама-Шмидта полиномов Вольтерра. Нахо-
ждение ядер Винера предполагает их разложение по системе ортогональных функ-
ций. Цель различных подходов заключается в построении ряда Вольтерра для нели-
нейной системы (ядра Винера отличаются от ядер Вольтерра, однако можно найти
зависимости, связывающие указанные ядра).
Рассмотрим скалярный объект, описываемый нелинейным ДУ вида
+ F {х,х„ ..) = /((),	(4.180)
v=0
где F (X, X,...) — аналитическая функция своих аргументов.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
383
В качестве входного испытательного сигнала в рассматриваемом методе ис-
пользуется нормальный белый шум с единичной интенсивностью. Винер показал, что
рассматриваемый класс нелинейных систем может быть представлен каскадом из
двух операций [106].
В первой операции используется система функций Лягерра, по которой разлага-
ется входной сигнал Y(t}.
Спектральное представление Y(?) в базисе функций Лягерра запишется так:
(4.181)
v=0
где
Л
е~У v = 0,1,2,...,
причем
У =\Y(t)L,p)dt, v = 0,l,2,....
о
(4.182)
Поскольку в качестве входного сигнала используется гауссов шум, то для спек-
тральных характеристик Су = (<?q ,qy,...,Qy) реализаций У(?) характерно следующее:
•	элементы СХ Су статистически независимы [106];
•	дифференциальный закон распределения является законом Гаусса
( Y Y Y\ 1 ->оУ)2+К)2+...+(С(Л
/ск coy,qy,...,Qy =--е	(4.183)
V	’ (2л//2
Таким образом, если на вход нелинейного объекта подать множество реализаций
белого шума У (?), то при проведении экспериментов будут иметь место СХ, соот-
ветствующие каждой конкретной реализации у/с(?); положим, что коэффициенты
Фурье всех реализаций распределены на оси (-оо,+оо), т.е.
-оо < су < +оо, / = 1,1, с? = ] с-’к : к = 1,р
Очевидно, выходной процесс Х(?) нелинейной системы представляет собой
функцию, аргументами которой являются коэффициенты Фурье воздействия
Х(1)=11тК(У,У,У,...,у},	(4.184)
Z—>00	>	/
где -оо < с-’к < -но, i = l,l, yk (?) —реализации У(?).
В формуле (4.184) функция R неизвестна. Ее нахождение дает решение задачи
идентификации. Для построения функции R воспользуемся двумя факторами:
•	все значения коэффициентов с\к принадлежат оси, т.е. -оо < <Л/С < -ко, i = 1, I;
к = i = 1,р;
•	элементы СХ статистически независимы и имеют гауссов закон распределения.
С учетом указанных факторов функцию R можно разложить в многомерный ряд
по полиномам Эрмита
рУ,У,У,...,У) = у у...(У)у (Цу.н,. (Ц),	(4.185)
z0 =0 Z; =0 i[ =0
384 Статистическая динамика и идентификация САУ
где
= П-1й( 4W...АНС'И (4)...//.,(4)х
-00 -оо -оо	(4. ] 86)
->у)2+К)2+...+(д)2} y y y
хе v	JdcQdcx .
Коэффициенты t (z0, ц,..., it = 0,1,2,...) вычислить не представляется воз-
можным, поскольку неизвестна функция R (cq , qy,	,   , с}').
С учетом (4.185) зависимость (4.184) принимает вид
Х(0 = lim X У... У Н,о (Ц )//„ (С1’')...Н,; (Д).	(4.187)
/^-00 ^=0 z1=0 zz=0
Если устойчивая нелинейная система задана коэффициентами с?^	, то можно по-
лучить выходной процесс Х(7) системы для любого входного сигнала У (7). Поэтому
ключевой является задача нахождения формулы, определяющей коэффициенты с^г- .
Поскольку в (4.185) R (cq , qy, ,   , с}' j представляет собой функцию, зависящую
от системы случайных величин, статистические свойства которой известны, то
для нахождения зависимости, определяющей коэффициенты с^ , можно вос-
пользоваться операцией осреднения по множеству. Известно, что операцией мате-
матического ожидания функции R^Cq ,с^,с^,...,с^, зависящей от 1 + 1 случайных
величин Cq , cf, c-f,..., cf, называется (I +1 )-кратный интеграл от произведения ука-
занной функции на дифференциальный закон распределения системы случайных ве-
личин, взятых по параметрам Cq , cf, су,..., cf в бесконечных пределах.
При этом предполагается, что функция R^Cq d'}\ ,...,с/ j обладает такими
свойствами, что (I +1 )-кратный интеграл существует.
Согласно определению можно записать
m\rU,cI,c^,...,cI\]= J J... J A(c0y,qy,c2y,...,Qy)x
L V	-00-00 -00	(4.188)
x .ф:'()'o l'i A2>-"A/ dq ...dcj .
Для того чтобы воспользоваться этим положением, умножим (4.183) на
/ у\ / у\ / у\ 4f(C°y)2+(C02+-'-+(C02^
Я2'о (со (С1 Щ (с/ )е
и произведем усреднение по времени; результат запишется так:
fill11	(Д	+(< =
1 о
00	00	00	Л Т	I Y\^
=	Х...Х	(4.189)
(сУ)яг;(сУ)е (С‘ ^dt.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
385
Далее воспользуемся указанным выше фактором: в правой части последнего ра-
венства заменим операцию осреднения по времени операцией осреднения по множе-
ству, т.е.
ОО ОО ОО	1 Т	_Д Г\2
lim У	ifН, (Ц)ц; (Ц)3 ") Х...Х
20=011 =0 2Z=O	1 о
- J ••• J ><4 >•••>£/ )fcr (со ’С	...dCj —	(4.190)
г 1
= lim---л-
^»(2k)Z
г0 =0 г'] =0 ij =0
Рис. 4.62. Структурная схема системы идентификации при I = 2
386
Статистическая динамика и идентификация САУ
Вследствие ортогональности полиномов Эрмита, правая часть последнего соотно-
шения будет равна нулю, если z*q z*q , z] z],..., z) z), если ?ке z*q — z*q , z] — z],..., z) — z),
то все интегралы полиномов Эрмита будут равны единице. Учитывая сказанное, со-
отношение (4.189) принимает вид
ОО ОО 00	1 Т	_)_/ У б
z z- к >, СК сНо) х-.х
' ^ /o=O/|=O zz=0	1 о
и, таким образом, получим окончательную зависимость для определения неизвест-
ных коэффициентов
1 сд. .
(2яу/2

dt, (4.191)
где Т — достаточно большое время эксперимента.
Структурная схема вычислительного устройства, реализующего метод Винера для
двух полиномов Лягерра и Эрмита, представлена на рис. 4.62.
Условная обобщенная структурная схема системы идентификации имеет вид
(рис. 4.63).
Рис. 4.63. Условная обобщенная структурная схема системы идентификации по методу Винера
Сделаем соответствующие пояснения [106, 143].
Блок 1 предназначен для расчета коэффициентов Фурье CY ={с^ ,cY,...,cY
входного сигнала Y (/) — нормальный белый шум с единичной интенсивностью.
Назначение блока 2 — реализация функционального преобразования
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
387
где Нт (с?) — полиномы Эрмита, являющиеся функциями от лягерровских коэф-
фициентов С„.
Воспользуемся обозначением
(4.192)
Блок 3 служит для реализации (4.192).
В блоке 4 осуществляется операция осреднения по времени
(4.193)
Если объект стационарен, его математическая модель может быть записана так:
00 00	00 /ЭтгЪ
Щ) = lim X Е   Е lim Ц)-
zo=Oz!=O //=0
Т
\Х^)Е1О..у(со,...,с^Лх
о
(4.194)
Среднеквадратическая сходимость последнего ряда имеет место, если одновре-
менно / —> со и Г —> со. Поэтому получаемая модель является приемлемым прибли-
жением объекта идентификации лишь при достаточно большом времени наблюде-
ния и при использовании необходимого количества членов разложения.
Как указано в [106, 143], особенность применения указанного подхода состоит в
том, что задача идентификации должна решаться для любого t. Поэтому элементы
структурной схемы, представленной на рис. 4.63, должны обеспечивать непрерывное
определение соответствующих процессов.
Для каждого временного интервала [0, t\ вычисления должны проводиться зано-
во. Это обстоятельство делает весьма неудобным применение подобных моделей в
тех случаях, когда идентифицируемый объект является частью сложной системы фи-
зических объектов, работающих в реальном времени.
Подробное обоснование метода Винера, а также примеры его применения для ре-
шения конкретных задач можно найти в [ 106].
В [8] показана эквивалентность характеризации нелинейных систем методом
Винера и функциональным разложением Вольтерра.
Метод Винера радикально отличается от существующих методов описания и ис-
следования нелинейных систем, но в нем даются только основы теории. По извест-
ным работам трудно оценить его практическое значение. Однако теоретическая цен-
ность этого метода очевидна.
Остановимся на некоторых фактах, затрудняющих применение метода Винера.
1.	Принципиально важным является обстоятельство, связанное со сходимостью
разложений процессов по ортогональным базисам Лягерра и Эрмита. В [106] для
решения конкретной задачи использовались полиномы Лягерра и Эрмита третьего
и четвертого порядков соответственно, что потребовало определения 64-х коэффи-
циентов ряда Лягерра-Эрмита. При исследовании достаточно сложных объектов
для достижения заданной точности часто используется большое число элементов
спектральной характеристики сигнала Y (7) в базисе функций Лягерра (часто оно
388
Статистическая динамика и идентификация САУ
достигает нескольких десятков). Это порождает весьма серьезные трудности, свя-
занные с реализацией метода даже с помощью современных средств вычисли-
тельной техники и с проблемой достижения приемлемой точности.
2.	По коэффициентам, определяемым формулой (4.191), трудно оценить структуру
и свойства системы, которую они представляют.
3.	При применении ряда методов имеется возможность воспользоваться какой-либо
априорной информацией относительно идентифицируемого объекта с целью со-
кращения времени вычислений и достижения большей точности решения постав-
ленной задачи. В методе Винера такая возможность практически отсутствует.
4.	Результаты идентификации по методу Винера, имеющие практический интерес,
могут быть получены с помощью цифровой вычислительной техники, обладаю-
щей большими возможностями (например, если рассчитываются коэффициенты
Фурье по функциям Лягерра Cq ,с^,...,Cg , а каждый из них преобразуется в соот-
ветствии с аналитическими зависимостями, определяющими полиномы Эрмита
яДа), А: = 0,9, то нетрудно оценить степень сложности всех преобразований
блоками 1, 2, 3, 4; в аналоговом варианте успех решения такой задачи сомнителен).
Подход Винера может служить примером метода, имеющим полное теоретиче-
ское обоснование.
4.5.2. Идентификация нелинейных объектов управления
КОРРЕЛЯЦИОННЫМ МЕТОДОМ
Интенсивное развитие средств вычислительной техники создало предпосылки для
разработки новых методов идентификации, ориентированных на использование ЭВМ.
Метод Винера, как указывалось в предыдущем параграфе, имеет в основном теоре-
тическое значение и встречает большие трудности при решении инженерных задач.
Вместе с тем нашли широкое практическое применение статистические методы
идентификации линейных объектов.
Основой при решении задач статистической идентификации линейных стацио-
нарных объектов является уравнение Винера-Хопфа
Rxy (о) = jk(x)R-YY (a-T)dx.	(4.195)
о
В частном случае, когда входной сигнал У(/) представляет белый шум, определе-
ние ИПФ к(у) исследуемого объекта упрощается.
Действительно, в этом случае соотношение (4.195), с учетом, что для белого шума
корреляционная функция имеет вид Ryy (о) = 2л5'05(о), можно записать так:
Rxy (°) = J ^(т)2л5,05(с5-т)б7т = 2тъ5'0£(ст),	(4.196)
о
где So — интенсивность белого шума.
Тогда ИПФ идентифицируемого объекта определяется через взаимную корреля-
ционную функцию по формуле
ЦоЦД-ЯЩа).	(4.197)
Структурная схема экспериментального определения функции к (о) представле-
на на рис. 4.64.
В соответствии с формулой (4.197) ИПФ идентифицируемого линейного объекта
с точностью до постоянного множителя равна взаимной корреляционной функции
входного и выходного случайных сигналов объекта.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
389
Рис. 4.64. Структурная схема идентификатора
Рассмотрим вопрос технической реализации системы идентификации. Соответст-
вующая структурная схема представлена на рис. 4.65.
Рис. 4.65. Структурная схема идентификатора:
Du — звено с запаздыванием с>,-; D2i =-j X (?) Y (г - г>;) dt
При построении идентификатора, представленного на рис. 4.65, использовалась
формула, определяющая оценку взаимной корреляционной функции центрированных
стационарных эргодических случайных процессов У(/) и X(/),
1 Т
7г"(“ст>)=7“!у(')х(/“ст')Л’	(4Л98)
а также зависимость
ЛЛУ(-а,) = ЯКг(+а,).	(4-199)
Этот подход, приводящий к простому решению задачи идентификации линейных
объектов, Ю.В. Ли и М. Шетценом распространен на нелинейные объекты и более
приемлем при решении инженерных задач, чем метод Винера [135].
С целью изложения основного содержания метода корреляции введем в рассмот-
рение понятие G-функционалов.
390 Статистическая динамика и идентификация САУ
Выход нелинейного объекта можно представить в виде
ACIAE-A)}	(4.200)
и=0
где [кп] —последовательность ядер Вольтерра; —полный ряд ортогональных
функционалов.
Для С-функционалов справедливо свойство ортогональности
6„р„,У(()]б„Цт,У(()] = 0 при т * п,	(4.201)
где черта сверху означает осреднение по времени.
Для первых четырех G-функционалов справедливы зависимости
G0p0,y(()] = A0;
G, [А-,, У (/)] = J (т,) У ((- Т[) <(![;
о
G2 \_к2>Y(0] = П	’ т2)у (? - T1)у (? - т2)<МТ2 -2tiS0 J k2	,т2) <7т2;	(4.202)
0 0	о
G3 [к3, Y(/)] = j j j k3 (rt, т2, t3 ) Y(t - ) Y(t - t2 ) Y(t - t3 ) d\(h2(h3 -
0 0 0
-6л50JJ^3 (т1?т2,т3) У(/-т1)о?т1о?т2.
о 0
Рассмотрим задачу определения ядер произвольного порядка, для чего введем в
рассмотрение понятие белого гауссова шума с запаздыванием (одномерным, двух-
мерным, ^-мерным) [135].
Если на вход цепи с запаздыванием о подать белый шум, то выходной сигнал
будет иметь вид
Х3 (/) = У(/-<д) = |5(т-<д)У(/-т)я?т.	(4.203)
о
Аналогичную зависимость можно записать для двухмерного белого гауссова про-
цесса с запаздыванием
Х2 (0 = Y(t - )Y(t - ° 2 ) = П 5 (T1 “ )5 (T2 - g2 )Y(t - T1)Y(t - T2)dTxdT2. (4.204)
о 0
Структурные схемы соответствующих цепочек представлены на рис. 4.66, а и б.
Для Х3(/) имеет место зависимость
Х3(/) = У(/-О1)У(/-о2)У(/-о3) =
”””	(4.205)
=	5(11 -ai)S(T2-о2)5(т3-о3)У(/-т1)У(/-т2)У(/-т3)б7т1б7т2б7т3.
ооо
Для общего случая можно записать выражение
= JJ...J5(t1-o1)5(t2-o2)...5(t„ -о„)х	(4.206)
0 0 о
хУ (/ - )У (/ - т2)... У (/ -ти ^d\di2 ...din.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
391
Очевидно, ядро к0 определяется формулой
а-0=Т(7),
т.е. равно среднему значению выходного сигнала объекта.
Г(0
Звено с
запаздыванием о
б
в
Рис. 4.66. Структурные схемы цепей с запаздыванием:
а — одномерное запаздывание; б — двухмерное запаздывание; в — трехмерное запаздывание
Для определения кх воспользуемся устройством, структурная схема которого
представлена на рис. 4.67.
Рис. 4.67. Структурная схема идентификатора
Для системы, представленной на рис. 4.67, справедлива зависимость
(/) = X G„ |>„, У(/)] У (/ - О).	(4.207)
(и=0	J
Поскольку X^t^ = X (t -<з) — функционал первого порядка, то, учитывая усло-
вия ортогональности (4.201), получим
G„[i„,yp)]y(/-O) = 0 для всех п > 1.	(4.208)
392 Статистическая динамика и идентификация САУ
Для случая, когда п = 0, справедливо соотношение
G0[k0,Y(t)~\Y(t-o) = k0Y(t-o) = KY(t-o) = 0.	(4.209)
Запишем формулу для случая, когда п = 1; получим
____________ _________________ Л 00	Л
=	|£1(т1)У(7-т1)я?т1 У(7-о) =
'	(4.210)
= j^i (ti)Y(t - x^Y(t -<з)j(т1)2л505(о-т1)(7т1 = 2tlS,0A:1 (<j).
о	о
Отсюда следует зависимость, позволяющая найти искомое ядро первого порядка'.
(4.211)
Если имеются цепочки с запаздываниями	то по формуле (4.211)
можно построить дискретные значения ядра первого порядка
ШйАмЮ-	<4-212)
^TiOq
Далее рассмотрим задачу определения ядра второго порядка к2 (о1?о2), Для чег0
воспользуемся устройством, структурная схема которого представлена на рис. 4.68.
Рис. 4.68. Структурная схема идентификатора
Как и в предыдущем случае, имеем
ЦЩз(0 = X(/)y(/-Gi)y(z-a2) =
р	)	(4.213)
= MU(l)] y(z-a,)y(/-G2),
(и=0	J
причем
М*Л(')] y(z-a1)y(z-G2) = O для л>2.	(4.214)
(и=0	J
Найдем выражение вида (4.214) для п = 0; получим
|Л>Ц')] [-Ц'-ЩЦ'-Щ =
(и=0	J	(H.ZlOj
= к0 Y(t -	) Y(t - o2) = ^0^5(0! - o2).
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
Если же п = 1, то
393
Eg»[a«t(0]h('-<’i)5,G-<’2)=
J«=°	J	(4.216)
= j^i (т1)У(/-т1)У(/-о1)У(/-о2)^т1 = О,
о
так как центральные моменты нечетного порядка гауссова белого шума равны нулю.
Далее запишем
G1 [^УМ] у(?-°1)у(?-о2)-
= f |^2(т1’т2)1Л(?-т1)У(/-т2)У(/-о1)У(/-о2)б?т1б7т2 -
о о
-2ttS0 J jк2 (т2,т2)У(t-ojy(t-о2)б7т1б7т2 =
о о
= Ж (Т1 ’т2)[(2^0)2 5(т1 -Тд)§(а1 -о2) + (2л50)2 5(т1 -о1)8(т2 -о2) +
о о
+ (2л5'0)2 5(т1 -<j2)5(t2 -ojJ<7x^X2 -2tiS0 j jk2 (t1,t2)2kS05(o1 -<32^dxldx2 =
о о
= (2^0)2
5(^1 -O2)JMT1’T1HT1 +Ы°1’О2) + ЫО2>°1)-
0
(4.217)
— 5(ст1 — о2) J ^2 (т2,т2)<Ут2
о
= 2 • (2ttS0 )2 к2 (oi, о2) = 8я2Sq к2 (с^, о2).
При выводе последнего соотношения использовалось свойство симметричности
ядра к2(тът2\
Таким образом, находим
Х(/)У(/-о1)У(/-о2) = 8712Sq£2 (<51,<52) + 27iS0A:05(<51 -о2).	(4.218)
Из (4.218) следует
^(^1^2)= о 2р2 ^(0У(?-а1)У(?~а2) при	(4.219)
8тс aSq
Полученная формула определяет ядро второго порядка к2(<Л\,<л2) при конкретных
значениях и <з2. Очевидно, для построения дискретных значений поверхности
к2 (о19о2) необходимо взять соответствующее число звеньев задержки (рис. 4.69).
При о, = <з2 имеет место дельта-функция. Пути исключения влияния дельта-функций
на точность решения задачи идентификации указаны в [135].
Например, на практике всегда возможно к критической точке, имеющей место
при = <з2, подойти на такое расстояние, которое исключило бы импульсное воз-
мущение (рис. 4.69).
Рассуждая аналогичным образом, для ядра третьего порядка можно получить
зависимость [135]
Х(/)У(/-о1)У(/-о2)У(/-о3) = 6(2^0)3А;3(о1,о2,о3)+	(4 220)
+ (2kS0)2 [§(о2 -о3)(о1) + 5(о1 -о3)А;1(о2) + 5(о1 -о2)^ (о3)].
394
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 4.69. ИПФ второго порядка
Отсюда находим
^(<’1><’2><’з) = —475'х(0у('-,:!1)у('-а2)у('-аз)
при <5хФ<52, <32 * о3, С>3 Сц.
Таким образом, если на нелинейный объект и трехмерную цепь с запаздыванием
подать белый гауссов шум, а затем произвести осреднение по времени произведения
X (?) Y(t - О]) Y(t - <з2) Y(t - o3), то ядро третьего порядка может быть выраже-
но через центральный момент четвертого порядка
^(^2^3) = X(t)Y(t-^)Y(t-^2)Y(t-^3\
В [135] подробно рассмотрены вопросы определения ядер п-го порядка, преодо-
ления ограничений, а также расчета ядер для случая, когда на вход подается небе-
лый гауссов сигнал.
Рассмотренный метод корреляции более прост при технической реализации, чем
метод Винера.
В отличие от метода Винера, позволяющего характеризовать ядра нелинейной
системы коэффициентами Фурье разложения по функциям Лягерра (спектральной
характеристикой в базисе функций Лягерра), метод взаимной корреляции позволяет
определить лишь дискретные значения ядер идентифицируемого объекта, по кото-
рым можно судить о свойствах объекта (например, о его инерционности).
Весьма важным преимуществом при решении инженерных задач методом корре-
ляции является факт исключения ошибки аппроксимации и вопросов, связанных со
сходимостью разложений и оценкой погрешности. В методе Винера центральным
является вопрос: сколько членов разложения по функциям Лягерра и полиномам Эр-
мита необходимо брать, чтобы обеспечить заданную точность при приемлемой
степени сложности системы идентификации.
Метод корреляции приспособлен для реализации на ЭВМ и использует дискрет-
ную модель G-функционалов.
При реализации рассматриваемого метода имеется возможность использования
априорной информации об объекте с целью выбора значений запаздываний (степень
инерционности объекта, его колебательность и т.д.). Наличие такой возможности
позволяет сократить объем вычислений при решении задачи идентификации.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 395
Как указано в ряде работ, несмотря на отмеченные достоинства метода корреля-
ции, проблема идентификации нелинейных объектов далека от завершения. Если
иметь в виду работы, которые отражали результаты применения метода Ли и
Шетцена при решении инженерных задач, то они в основном ограничены оценкой
ядер нелинейной системы не выше второго порядка. Построенные модели учитывали
только нелинейности, носящие квадратичный характер.
Необходимо обратить внимание и на тот факт, что в некоторых случаях могут на-
рушаться условия ортогональности (4.201), что приводит к накоплению ошибок
идентификации. Речь идет о невозможности идеальной реализации белого гауссова
процесса. Реальный белый шум, поступающий на вход нелинейного объекта, имеет
ограниченную полосу частот, т.е. его спектр ограничен. Естественно, необходимым
условием проведения эксперимента является условие: спектральная функция реального
белого шума должна быть шире полосы пропускания объекта. Вместе с тем в этом
случае имеет место различие между статистическими моментами осуу(т1,т2,...,т;)
реального белого шума и соответствующими моментами идеального процесса при
увеличении «/». Степень отличия указанных моментов является тем обстоятельст-
вом, которое определяет ошибки алгоритма и в конечном счете размерность «i » ядра
к(хх,х2,...,хф) идентифицируемого объекта, при которой ошибки являются допус-
тимыми. Математически отличие реального белого шума от идеального отражается
тем фактом, что, например, в (4.217) будут иметь место «искаженные» дельта-
функции. Еще раз укажем на трудность вычисления ядер вдоль диагоналей и, следо-
вательно, невозможность вычисления интегралов при = т2 = т3 = ... .
Подробный анализ метода Ли и Шетцена проведен в [135].
4.5.3. Уравнения статистической идентификации
НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
В предыдущих параграфах, посвященных рассмотрению метода Винера и метода
корреляции, важным является то обстоятельство, что на вход объекта иденти-
фикации подается специальный пробный сигнал — нормальный белый шум. Во мно-
гих случаях такая возможность отсутствует. Например, важной является задача
идентификации для случая, когда объект находится в режиме нормальной эксплуа-
тации и входной и выходной сигналы объекта отличны от белого шума.
В некоторых случаях необходимо построить модель объекта по имеющимся запи-
сям входного и выходного случайных сигналов, отличных от белого шума, причем
записи сделаны в условиях помех.
Цель следующих параграфов — рассмотрение возможных подходов к решению
задачи идентификации для случая, когда входной сигнал Y(t) отличен от белого га-
уссова шума, например, когда для решения задачи идентификации используется ин-
формация, полученная в режиме нормальной эксплуатации объекта.
Положим, что нелинейный объект описывается рядом Вольтерра вида
ОО	фф 00 00
Х(0= f k0 + ki (T1’T2>-,e)x
0	2=1 0	0
x Y(t-xx )E(t-x2 )••• Y(t-ii ... dip,
ИПФ нелинейной системы удовлетворяют условиям
lim k0 (т) = 0;
T—>00
<
lim ^.(т1,т2,...,т/) = 0;
(4.222)
(4.223)
396
Статистическая динамика и идентификация САУ
при этом выполнены условия физической реализуемости
kQ (т) = 0 при т < 0;
_	(4.224)
= Q при ту<0; j = l,z.
Положим, что на выходной сигнал накладывается помеха n(t} (рис. 4.70).
У(0
«(О
Нелинейная
система
z(o
----►
Рис. 4.70. К постановке задачи идентификации нелинейных объектов
Задача идентификации формулируется так: построить математическую модель
нелинейной системы, поведение которой описывается функциональным рядом (4.222)
при наблюдении за случайными сигналами У(/) и Z(d).
Такой подход называется статистической идентификацией.
Практически задача идентификации сводится к определению ядер
Мт)’ Мт)’ Ыт1’т20’---’
по статистическим характеристикам сигналов У(/) и Z(z).
Статистические методы позволяют оценить динамические характеристики нели-
нейных систем по критерию минимума СКО.
В теории линейных систем широко используется корреляционный метод (см.
и. 4.5.2; рис. 4.71).
«(0
У(ф
Z(/)
-------►
Рис. 4.71. К постановке задачи идентификации линейных объектов
Стационарность процессов n(t} и У(7) и работа объекта в установившемся ре-
жиме влечет стационарность процесса Z (/).
Необходимо определить оценку ИПФ £(т) из условия минимума СКО
S2 =/ = 7и[(у(/) -Z(/))2]->min.	(4.225)
Решение поставленной задачи для класса линейных объектов дается интеграль-
ным уравнением Винера-Хопфа
Ryz^) = /А;(9)7?уу (т-0) dQ.	(4.226)
о
Подход, применяемый при решении задачи статистической идентификации ли-
нейных объектов, обобщается на решение той же задачи в классе объектов, описы-
ваемых функционалами Вольтерра [95, 106, 143].
Учитывая описание нелинейной системы соотношением (4.222), запишем формулу,
определяющую критерий (4.225):
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
397
лф2(т)] = 82=/ = ТИ
Л2
7
= М
Ti,..,Tz-
)У(т-т1)...У(т-гг)о?т1...о?тг- +

уу уу оо оо
(4.227)
г=1 7=1 О О
xY{t. .Y^t-Yj^d\.. .d^dk^.. .dYjJJ.
Поскольку операции суммирования, интегрирования и математического ожида-
ния перестановочны, то из последней зависимости получим формулу
N 00	00
/ = s2 =Dzz-2^.. .|^.(т1,...,тг)а^(т1,т2,...,тг)б7т1...б7тг +
г=°0 0	(4.228)
N N “	“
+2L2LJ-- .|^(т1,...,тг-)у(Х1,...Лу)а^7Цт1,...,тг-Л1,...Лу)б7т1...б7Ху.
г=0j=0о О
При выводе последней зависимости с целью сокращения записи принято, что
член при i = 0 имеет вид
J^0(t)«?tTH(Z(/));	(4.229)
о
член при i = 0, 7 = 0 запишется так:
р0 (т)о7тр0 (Х)б7Х;	(4.230)
о о
члены при i = 0 и j = 1, N или i = 1, N и j = 0 однотипны и имеют вид
j к0 (т)б7т|...| kj ^Х1,...Д7Jo^yy	...d'kj',	(4.231)
о оо
azr (T1,...,T1) = M[z(/)y(/-T1)y(/-T2)...y(z-T1)];	(4.232)
а^-')(т1,...,т,Л1,...у) = 2и[г(г-т1)...Г(г-т,)У(г-Х1)...у(г-Х7)],	(4 233)
z, 7 = 1,7V;
«^„...А,.) = лфу-^)...У((-у)], У = 1Л.	(4.234)
Найдем необходимые условия, которым должны удовлетворять ядра кг• (rt, т2,..., •),
для того чтобы они доставляли минимум функционалу
/ = Ти[е2(т)].	(4.235)
При решении задачи оптимизации полностью повторим те же рассуждения, кото-
рые приведены в и. 4.3.
398
Статистическая динамика и идентификация САУ
Пусть Хр(т), (т^, Х2(т1?т2 (ту, т2,..., ту-),... —минимизируют с2 в (4.228);
тогда произвольные ядра Х0(т), Ау(ту), к2 (ту, т2),..., к{ (ту,т2,... ,ту-),... можно пред-
ставить в виде
Хг.(т1,т2,...,тг.) = Хг*(т1,т2,...,тг.) + уг-АХг.(т1,т2,...,тг.),	(4.236)
где уj — некоторый произвольный параметр, не зависящий от ту, т2,..., ту-; АХг- (ту, т2,..., ту)
— произвольная функция, которая аналогично к* (ту, т2,..., ту-) удовлетворяет условиям
(4.223) и (4.224). Подставим (4.236) в (4.228); результат имеет вид
JV 00	00
М Р W] = 1 + Ы = М [z2 W] - 2Е f • • J К (Т1 ’ т2 > • • • пг-) + Yz ААу (ту, т2,..., ту-)] х
г=0 О О
N N 00 00
ха^(т1,т2,...,тг-)й?т1...й?тг-+^^|...|[х* (т^,...,^	(4.237)
г=0 J=0 О О
+ уг-ДА;г.(т1,Т2,...,тг.)]р(Х1Л2,...Л7.) + у7.Д^.(Х1Л2,...Л7.)]х
х	(ту,т2,...,ту-, ,Х2,...,Ху jdxvdx2.. .dxidkld'k2...dkj.
Последнее выражение можно привести к форме
I + Д/ = I - гу + У У 7,-7/ад,	(4.238)
z=o z=o j=o
где
1^ = J...JAArz(т19т2,...,тг-)ос^(т^Тз,...,тг) dxidx2...dxi',	(4.239)
о о
4(7) = J.../A^-(T1,T2,...,Tz)My(X1,X2,...,Xy)a^(T1,...,Tz,X1,...,Xy)t7T1...t7Xy;	(4.240)
о о
I + Ы в (4.238) — значение, принимаемое функционалом I при замене Ау- (ту, т2,..., ту) на
^(т^Тг^-.щ^ + у^Дт!,^,...,^).
Необходимое условие минимума функционала (4.238) имеет вид
(4.241)
(4.242)
Можно показать, что условие (4.242) является не только необходимым, но и дос-
таточным условием минимума функционала I. Для этого необходимо показать, что
при любом выборе функций А Ау- (ту, т2,..., ту-) будет иметь место неравенство
7+ааа7-	(4-243)
Доказательство можно найти в [95, 106, 143].
Таким образом, условие (4.242) является необходимым и достаточным условием
минимума дисперсии М |42 (/)J.
Из (4.238) легко получить систему уравнений
00	00	уУ 00	00
Г..ух*(х1л2,...д .)х
о о	L	7=0 о о	(4.244)
xa^+‘/p1,T2,...,Tw,X1,X2,...,Xy)t7X1 ...dkj \dxvdx2...dxm =0, m = 0,N.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 399
Равенство нулю последнего соотношения при любых функциях Акт (^т1,х2,...,хт )
будет иметь место, если
оо оо
a(z^(T1,T2,...,Tw)-^J...J^(X1A2,---Ay) х
7=о о Ь	(4.245)
ха^+7^	,т2,...,хтAi А2,...Л7-)d'kxd'k2  d'kj = 0, т = О,N.
Отсюда получаем систему линейных интегральных уравнений относительно ядер
Вольтерра А:ДХ1А2,...А7J
?...?£* (А А2,---А •)а^+^(т1,т2,...,тотЛ1Л2,...Л:\d\...dk • =
7=0 Jo о	(4.246)
= а^(т1,т2,...,тот), t1?t2,...,tw >0, m = d,N.
Полученная система интегральных уравнений представляет собой обобщение
интегрального уравнения Винера-Хопфа (4.226) для нелинейных динамических объ-
ектов. Так как уравнения (4.246) линейны, то системы, описываемые рядом Волъ-
терра, называют системами, сводимыми в статистическом смысле к линейным.
Решение системы (4.246) определяет минимум функционала I.
Система (4.246) в общем случае аналитически неразрешима. Существенные уп-
рощения уравнений (4.246) имеют место в случае, если сигнал Y (?) имеет нормальный
закон распределения. Упрощения достигаются и при законе распределения Пуассона.
Основой такого упрощения является положение о том, что моменты старших по-
рядков случайных процессов выражаются через моменты второго порядка.
Если У У) — центрированный стационарный нормальный случайный процесс, то
ag,v+1*(T1,T,,...,T2v+1) = 0, v = 0,l,...,	(4.247)
т.е. все моментные функции нечетного порядка равны нулю; моментные функции
четного порядка представляются в виде сумм произведений моментных функций
второго порядка, т.е.
а^)(т1,т2,...,т2у) = £	-т„2)...а$(т„2у1	(4.248)
где суммирование производится по всем сочетаниям пар различных чисел
(рщщ),...,(«2v-i’w2v)’	Л2, • • • Л2у — целые положительные числа от 1 до 2v.
В силу условий (4.247) и (4.248) для случая, когда У(/) — стационарный центри-
рованный нормальный случайный процесс, система линейных интегральных уравне-
ний (4.246) распадается на две подсистемы, в одну из которых входят импульсные
переходные функции четного порядка, в другую — нечетного.
Если т = 0, 2, 4,..., 2/?, то в левой части уравнений останутся лишь члены с чет-
ными номерами, если же т = 1,3, 5,..., 2р +1 — то в левой части останутся члены с
нечетными номерами.
Если N = 2Л^ +1, то указанные две подсистемы имеют вид
оо оо
^2 f • • • f k2q (^1 А2, • • •, ^2q ) aYY	(Т1 ’ Т2 ’ • • • ’ Т2б/ А1А2, • • •, ^2q )	• • • ^2q =
9=о J о	(4.249)
= cSZY ) (е , т2,..., Т2/7 ) ’
400
Статистическая динамика и идентификация САУ
^2 Г-• • Г^2#+1 (А Аг>---Аг9+1)ау/ q )(^1 Аг ,• • • Аг^+i Ai Аг ,• • • Аг<?+1)х
<7=0 Jo о	(4.250)
^d'k^d'k^ • • -^^2q+i =c^zy ) (т1Аг>-"Аг^+1)’
гдетг>0, z =1, 2,...,2р,(2р + 1), p = Q,N{.
Пример 4.9 [95, 106]. Получим систему интегральных уравнений (4.249) и (4.250) для случая, когда
N = 3 и Ко (т) = 0 (рис. 4.72).
Рис. 4.72. Нелинейный объект, подлежащий идентификации
Воспользуемся общим подходом, принятым в ряде работ, содержание которого заключается в том, что
моменты старших порядков случайных процессов выражаются через моменты второго порядка, а система
интегральных уравнений сводится к треугольному виду. Такой вид уравнений очень удобен, так как по-
зволяет отыскивать решение полной системы интегральных уравнений последовательным решением урав-
нений с одной неизвестной импульсной переходной функцией.
Для рассматриваемого случая система интегральных уравнений имеет вид
j j^2 AiАг)01 уу (т1,т2А1Л2)^1^2 = а/г(4.251)
о о
j /q Ai)air A -AjJAj + j j j/c3 (Х1,Х2Л3)а^ (t1,A1,A2,A3)lZA1lZA2lZA3 = aZy (ц);	(4.252)
о	ooo
f /q (Xj)ciyy (т^,т2,т3,АД^7А^т(* f f /c3 (A^,A2,A3)ciyy (t^,t2,t3,A^,A2,A3)lZA^lZA2lZA3 =
о	ooo	(4.253)
(3)
= azy(Ti,T2,T3), iq,T2,T3>0.
Интегральное уравнение (4.251) решается независимо от остальных уравнений, поскольку оно содер-
жит одну неизвестную функцию /с2 (А1;А2).
Далее рассмотрим уравнения (4.252) и (4.253). Воспользуемся представлением моментов высокого по-
рядка через моменты второго порядка.
Имеем
(4.254)
J/q* (Ai)ayy A — At) c/Ar + j j j/c3 AiA2A3)[air (Ti _^i)air A2 _ A) +
0	000
(2) /	- \ (2) /.	- \	(2) /	- \ (2) /.	- \~l	(1) / \
TClyy (Ti	A2 ) Clyy ( A^	^3 ) + C^yy (Ц	A3 ) Clyy (A^	A2)	t/A^t/A2t/A3 = CL zy (t 1),
0
(4.255)
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
401
Первое уравнение записанной системы при т, = т2 и Ц =т3, считая их свободными параметрами,
можно представить так:
J К (^1)аУ (т2 -?q)4?q + J J j /с3 (Х1;Х2, Х3) Г	(т2 _^1)аУ (^2 _^з) +
о	ооо	(4.256)
(2) /	.	\	(2) z	\	(2) z	\	(2) z	х)	(1) z \
“ЬСХуу ^2	/ ^YY /'-з J “I- ^YY \^2 ^“3 /	^“2 / \и ^]U /^2^ ^з = ^ZY \^2 / ’
j/q* (?д)ауу (т3 -XjtZX! + j j j/с3 (Х1;Х2,Х3)Г(т3	(Х2 -Х3) +
о	ооо	L	(4.257)
(2) /	- \ (2) /	\	(2) /	- \ (2) /	\~|	(1) /	\
“ЬСХуу \^3 ^“2 / ^YY /'-з J “Ь ^YY \^3 ^3 / ^YY ^“2 /	^\и ^2$ '''•'З = ^ZY \^3 / •
Воспользуемся следующими преобразованиями:
1)	умножим уравнение (4.254) на а£у (т2 - т3);
2)	умножим уравнение (4.256) на а£у (ц - т3);
3)	умножим уравнение (4.257) на а£у (ц - т2);
4)	сложим полученные соотношения.
В результате найдем
j/q (Az^ctyy (tj -X^ayy (т2 -т3) + о.уу (т2 -Х^ауу (tj -т3) +
о
+ осуу (т3 -?q)ayy (iq -T2)J<7?q + j j j /с3 (Х1Д2Д3)х	(4.258)
ООО
<7Х1<7Х2<7Х3 = Д(т1,т2,т3),
где
(4.259)
Вычитая из уравнения (4.254) уравнение (4.258), получим
-Хрз) <7Х1<7Х2<7Х3 =
(4.260)
=	(ц, т2 ,т3) - Ev (ti,т2 Лз) = Е3 (ti,т2 Лз) •
В результате проведенных преобразований построена треугольная система интегральных уравнений,
которая позволяет отыскивать импульсные переходные функции/q (т^, /с2(т1,т2), /с3 (т1,т2,т3) последо-
вательным решением уравнений с одной ИПФ:
j(^1А2)а1т (г1,т2,Х1,Х2)<7Х1<7Х2 = сфу (т1,т2);	(4.261)
о о
3! j j j/с3 (X1;X2,X3)a^ ("q	(т2 -X2)a^) (т3 -X3)<7X1<7X2<7X3 = E3 (t1,t2,t3), t1,t2,t3 > 0;	(4.262)
0 0 0
j/q"	("q -2q)<7?q +3j j jk3 (X1;X2,X3)a^	(X2 -X3)<7X1<7X2<7X3 = Er (iq),	(4.263)
о	ooo
где
£’1(ц) = агу(ц);
Д(^1Л2Дз) = аЭ(т1,т2Дз)-аЗ-(т1)а§(т2-т3)-
(4.264)
-	(т2) a^Y (ц - т3) - a^Y (т3) dyy (ц - т2).
Аналогичным образом осуществляется преобразование системы интегральных уравнений к дэеуголь-
ному виду при N > 3 и к0 (т) Ф 0.
Две исходные системы интегральных уравнений (4.249) и (4.250) приводятся к
треугольной системе линейных интегральных уравнений вида [95, 106]
402
Статистическая динамика и идентификация САУ
(4.265)
(4.266)
X. Y2p+1.2g+l [•••jXg+l (X, • • • A2g+1 ) аУУ (Т1	)• • • аУУ (т2^+1 ^2^+1)Х
Ч=Р	0 О
хХт (^2р+2 ~^2р+3 У --Хуу (к2д ~^2q+l)^^l ^^2д+1 = ^2р+1’
где
T1,T2,...,T2^ ,Т2^+1 lp,q -	f
£/7(т1,т2,...,т/7) = а^(т1,т2,...,т/7) +
+ V у f-lV+1 оХ~2(У+1))|т т W2(7'+Wt	т
+ 2^	2^ V Ч azY	77	^т%-2(у+1)+1’•••’ %
0<2j<p-l а-[,...,ар
(4.267)
В формуле, определяющей Ep^xl,x2,...,xpj, первое суммирование производится
по всем j таким, что 2 j меньше р -1, а второе — по всем перестановкам индексов
at, а2,..., а , принимающим разные значения от 1 до р.
Уравнение (4.226) называется уравнением статистической идентификации ли-
нейного объекта, а система (4.265), (4.266) носит название линейной системы инте-
гральных уравнений статистической идентификации нелинейных объектов, поведе-
ние которых описывается функционалами Вольтерра.
4.5.4. Спектральный (параметрический) подход
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Положим, что объект идентификации описывается функционалами Вольтерра и
ядра интегрируемы с квадратом.
Ранее при решении задачи идентификации (и. 4.4) было использовано спектральное
представление процессов и динамических характеристик объектов. Такой подход, с
одной стороны, во многих случаях упрощает решение задачи (например, в тех случа-
ях, когда для аппроксимации используется небольшое число членов разложения), с
другой — позволяет получить математическую модель в удобном для практическо-
го использования виде (например, такая форма описания позволяет достаточно просто
реализовать физическую модель объекта в аналоговой или цифровой формах).
Введем обобщенное обозначение ортонормированного базиса
ф(0 = (ф1 W’ <Р2 (О’-"’ <Р/ (<>	(4.268)
где I — число удерживаемых членов разложения.
Каждое из ядер идентифицируемого объекта можно аппроксимировать многомер-
ным ортонормиров анным рядом
^•(^А2,---,Т-)= Е E-EXX-vA	(4-269)
V1=lv2=l V;=l
Постановка задачи состоит в следующем: на вход идентифицируемого объекта
поступает случайный стационарный сигнал У(/);	—выходной процесс, n(t}
— помеха, Z(/) — наблюдаемый сигнал (рис. 4.73).
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
403
У(0
Нелинейный
идентифицируемый
стационарный
объект
z(0
----►
Рис. 4.73. К постановке задачи идентификации
Требуется построить математическую модель объекта, т.е. рассчитать коэффици-
енты V v , i = l,N, при наблюдении за случайными сигналами У (7) и Z(/).
Представление (4.269) заменим эквивалентной формой
=	(4.270)
V=1
где
р — ( „1 „1	„1 „2	2	2 N N N\	(4 7711
— вектор коэффициентов, подлежащий определению при решении задачи идентифи-
кации.
С учетом (4.270) ряд Вольтерра
(/) = ^ J...	(т1,т2,...,тг-)У(/-т1)У(/-т2)...У(/-тг-)б7т1б7т2 ...t/r;,	(4.272)
г=1 0	0
характеризующий поведение объекта, запишется так:
N I; ОООО
Xm(O = EEPvJ*-- .|(Ру(тьт2---Пг)1Л^-т1)Г(/-т2)...Г(/-тг)б7т1б7т2...б/тг.. (4.273)
2=1 v=l о О
Если ввести обозначение
Xvi(t) = j... |фу(т1,т2,...,тг)У(/-т1)У(/-т2)...У(/-тг)б7т1б7т2...^тг-, i = l,N, (4.274)
о о
то интегральное соотношение (4.273) принимает вид [95, 106, 143]
Лф) = ЕЕЛХ(4	(4.275)
2=1 V=1
В некоторых случаях для решения задачи идентификации (если, например, задача
идентификации решается в режиме нормальной эксплуатации объекта управления) сиг-
налы Xvi (/) необходимо получать в реальном масштабе времени. Решение этой задачи
практически осуществимо, если можно реализовать фильтры с ИПФ ср, (т), ф2 (т),..., ф/ (т).
Запишем функционал, определяющий степень адекватности модели и объекта в виде
= М
(4.276)
404
Статистическая динамика и идентификация САУ
При решении задачи идентификации параметры p\,p\,...,pf находятся, исходя
из следующего условия:
l(p\,p\,...,p?N ) min.	(4.277)
\	" >	р
Перепишем (4.276) следующим образом:
4^Л-..Х) = с1-2££лф(Щ„,(/)] +
z'=l V=1
N N \ li2
(«vs)
z1=lz2=l v1=lv2=l
N l;	NN k li2
=-2SSazy +Z Z Z Z %y2;2 ’
Z=1 V=1	Z] =1 z2 =1 V] =1 v2 =1
где
(4279)
=-W[A'i W-Щг W]-
Учитывая (4.277), определяющее меру близости процессов на выходе объекта и
его математической модели, можно записать
[	,----^- = 0, 7=1,JV; к = Щ +/,+... + /„).	(4.280)
Отсюда
Z Z PV °4/c^ = aZXkJ 	(4-281)
z’=l v=l
Последняя система определяет необходимые условия экстремума. В [95, 106, 143]
рассмотрены вопросы, связанные с достаточностью указанных условий.
Если воспользоваться соответствующими обозначениями, то систему алгебраиче-
ских уравнений (4.281) можно записать в форме
axxX*=azx-	(4.282)
Формула, определяющая вектор идентифицируемых параметров, имеет вид
Р =axxazx-	(4.283)
Можно показать, что если система (т),ср2 (г),...,ф/ (т) — линейно независима,
то (4.282) имеет единственное решение.
Для расчета матриц и.хх и azx необходимо найти значения величин а/х и
ОС V V
yTv1/1yTV2Z2
Моменты а/х рассчитываются по формуле
“zr„ =M[Z(t)Xv,(/)]
=м
., тг-) Z (/) Y ) Y (7 - т2) х... х
|...|фу(Т1П2,-
о о
хУ(/-тг.)б7т1б7т2...б7тг. = J... Jcpv	(т1,т2,...,тг-)б7т1б7т2...б7тг.,
о о
а для нахождения а х х можно воспользоваться зависимостью
угУ1/1угу2/2
(4.284)
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
405
“J •  J fv, (Т!, т,,.. •, т,-,) фУ1 (т;, т;,..., X,: ) X
о о
;х{,х'2,...,x'^dxldx2...dx'i2.
Структурная схема системы имеет вид (рис. 4.74).
(4.285)
Рис. 4.74. Структурная схема системы идентификации
4.6.	СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ
НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ
Изложим теоретические положения, которые являются основой методов, содер-
жание которых изложено ниже.
Положим, что объект идентификации описывается системой нелинейных диффе-
ренциальных уравнений вида
xYi — (Х^,,• • •,Xп, )),У?,• • •,Ym•> Р\•>Pi>•••>Pi> f),
^2 ~ fz (^д ’^2 ,,Xп, )), У? •>• • • •> Ym, Р{, Pi,• • •, Pi,	,	286)
— fn (Xt,Х2,...,Xп, У), ?2,• • •, Ym, р^, Р2Pi, d),
где Y = (^,У2,...,У;я— m-мерный векторный случайный входной сигнал;
X = , Х2,..., Хп )Т — и-мерный случайный вектор состояния; р = , р2,   , Pi )Т
— вектор идентифицируемых параметров; рн = (Ан’Р2н’---’Ж)Т — вектор номи-
нальных значений параметров; Др = (Л/?|,Д/?2,...,Л/?;7— вектор отклонений фак-
тических значений идентифицируемых параметров от номинальных, т.е.
Xpi = Pi ~piH, i =
Задача идентификации состоит в определении Лр{, i = 1,1.
406 Статистическая динамика и идентификация САУ
Перепишем (4.286) в векторной форме
X = f (X,Y,p,/), Х(0) = 0.	(4.287)
Очевидно, режим функционирования объекта при номинальных значениях пара-
метров можно определить как номинальный; он определяется векторным уравнением
XH=f(XH,Y,pH,/), хн(°) = °>	(4'288)
или в скалярной форме
Лн — У1 (*1н ’ ^2н >•••> ^ин ’ ’ ^2 ’ • • • ’	’ Лн ’ Pin ’’ Pin >
\........................................................ (4.289)
^ин — fn (*1н ’ ^2н >•••> ^ин ’ ’ ^2 ’ • • • ’	’ Р1н ’ Pin >•••> Pin ’ 0 •
Вектор переменных состояния X = ,Х2,...,Хп )Т объекта (4.286) при реальных
значениях параметров рх,р2,...,р1 и при воздействии на входе m-мерного вектора
Y(7) может быть измерен и его можно считать известным на промежутке [0, Т].
Вектор же состояния Хн (/) = (Х1н (/),Х2н(/),...,ХЙН(/))Т объекта (4.286) при но-
минальных значениях параметров Ан’Р2н’---’Ж и при входном сигнале Y(/) может
быть получен в результате численного решения системы нелинейных дифференциальных
уравнений (4.289) и, таким образом, его также можно считать известным на [0, Т].
Теперь легко найти процесс
ДХ(/,Др) = Х(/,р)-Хн(/,рн),	(4.290)
который порожден вектором отклонения фактических значений идентифицируемых
параметров от номинальных, т.е.
&Pi = Pi -Pin’ i = 1J-
Вектор-функция ДХ(/,Др) содержит информацию о Хр{, i =1,1 и поэтому яв-
ляется основой для построения метода и соответствующего алгоритма идентифи-
кации.
Известно, что наиболее совершенен аппарат решения линейных задач, поэтому
при разработке метода идентификации, базирующегося на использовании
ДХ(/, Др), тем или иным путем приходят к линейным задачам. Далее рассмотрим
реализации изложенного подхода, в основе которых лежат методы теории чувстви-
тельности и методы фильтрации [47, 98].
4.6.1.	Оценка параметров нелинейных объектов методом наименьших
КВАДРАТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ [47]
Положим, что объект идентификации описывается системой ДУ (4.286), а номи-
нальный режим определяется ДУ (4.289).
Значения сигнала Х{ (/) могут быть измерены в узлах сетки tk с шагом Д при подаче
на вход идентифицируемого объекта m-мерного вектора Y(7). Если же провести N экс-
периментов, то можно зафиксировать значения Х^ (/) при t=tk, k = l,q,v=l,N (рис. 4.75).
С другой стороны, путем интегрирования уравнений (4.289) при входном сигнале
Y(/) и номинальных значениях параметров piH, i = 1,1 можно получить сеточную
функцию Xzh(a), k = l,q (рис. 4.76). За счет наличия Хр{ =	-piH, i =1,1 будет
иметь место сеточная функция ошибки
(h,р) = Хг (tk) -Хгн (tk), k = 1, q.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация
407
Рис. 4.75. Запись фазовой координаты Xt (/) и фиксация дискретных значений
Xt (1\), Xt (t2 ),..., Xt (tq ); при решении задачи идентификации проводится
N экспериментов и, таким образом, фиксируются числа
ТМ(ЦТМ(Д.---.ГМЦ). V = uv
Если провести N интегрирований системы ДУ (4.289), соответствующих N экс-
периментам с реальным объектом (4.286), то можно получить таблицу значений
л¥,М('ъР) = ТМ(4)--У,Мк(4). k = ~q, V = ijv.	(4.291)
Рис. 4.76. Реализация фазовой координаты Хгн (/), полученная путем решения
системы ДУ (4.289) при = piH, i = 1,1
Поскольку измеренную в результате проведения эксперимента фазовую координату
Xj(7) можно представить в виде двух составляющих, одна из которых — фазовая коор-
дината Хг-Н(7), имеющая место при номинальных значениях параметров ргн, i = l,l,
408
Статистическая динамика и идентификация САУ
другая — порождена отклонениями фактических значений Дц- =	- ргн, z = 1,1 от
их номинальных значений при наблюдении Хг (7), то справедлива зависимость
Х1(/) = Х,.н(/) + ДЛ',.(/,Др),	(4.292)
где ДА) (t, Др) — известная функция.
Важным этапом построения метода является нахождение формулы, определяющей
зависимость ДА)(/,Др) от величин Др в явной форме. Такую формулу можно получить
при предположении, что отклонения параметров Др от номинальных значений явля-
ются малыми, и в этом случае можно применить теорию чувствительности, исполь-
зование которой позволяет провести теоретическое обоснование метода, а для рас-
чета неизвестных Apj, i = 1,1 получить линейную систему алгебраических уравнений.
Введем в рассмотрение функцию чувствительности Wir = (dXi/dpr^ ; она опреде-
ляется уравнениями [47]

, ^r(0) = 0, i = l,n,
+|—
VdPr
где звездочка (*) означает, что производные и переменные вычисляются при номи-
нальных значениях параметров.
В развернутом виде (4.293) можно записать так:
дХ
(4.293)
Wn =
W2l =
—^11	^21+-- 6XJ	[dX2J	z	\ *	z \ * (axj (spj ’
—^12 +РМ W22 +• axj	удХ2 J	z	\ *	z	\ * (df2 ш (df2 ..+	w„2 +
Wnl = | — I ^i/+| — I W2l
(4.294)
= Е
JL wl+
Системы дифференциальных уравнений (4.288) и (4.293) определяют модели, по-
зволяющие получить Хн (z) — вектор состояния в номинальном режиме и функции
чувствительности Wir (/) (рис. 4.77).
Рис. 4.77. Структурная схема вспомогательной системы
Взаимосвязанную систему двух моделей можно рассматривать как некоторую
вспомогательную систему.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 409
Учитывая следующее:
•	процессы XiH (/) и Wir (/) могут быть определены путем интегрирования
дифференциальных уравнений вспомогательной системы;
•	отклонения параметров /у от их номинальных значений полагаются малыми,
можно записать соотношение, определяющее (/) в виде
=	'=i^-	<4-295)
Г=1
Положим, что проведено необходимое число экспериментов и измерено N значе-
ний одной фазовой координаты Хг(/), а также процессов Хг-Н(/), Wir(j) в точках
t{, t2,..., t , т.е. известны величины
ТМ(4). ^H(v)(4).	k = \,q, v = \,N.	(4.296)
Считаем, что ошибки измерения указанных выше величин независимы и имеют
нормальный закон распределения. В этом случае целесообразно для определения
оценок Л/?;-, z = 1,1 применить метод наименьших квадратов.
Составим квадратичную форму вида
v v=l
£р,
k=l
Хг(у) (h ) - Xm(v) ) - S ^(v)
r=l
(4.297)
где — весовые коэффициенты; их можно выбрать, исходя из условия
Р£ (М]
причем of (tk) — дисперсии ошибок измерений.
С целью упрощения расчетов коэффициентов веса их можно положить равными
между собой.
Оценки параметров идентифицируемого объекта находятся из условия
1(\р1,\р2,...,^рЛ min.	(4.298)
Др
В соответствии с условием (4.298), можно получить систему алгебраических
уравнений относительно вектора Ар, для чего, исходя из необходимого условия оп-
тимальности, надо от (4.297) взять частные производные по каждому из парамет-
ров и полученные соотношения приравнять к нулю
Т О	/С—1	1 |_	Г—1	_|	У у
х^М(4)} = 0, S = p.
Последнюю зависимость целесообразно записать в более удобном для практического
использования виде, сгруппировав члены относительно идентифицируемых величин:
Воспользовавшись обозначениями
У Ра-	('*) =	<4-301)
k=\ 7V V=1
410
Статистическая динамика и идентификация САУ
|ЖМ (Я ) -Тн(„) С )1 ^5(v) {tk )=bs,	(4.302)
к=1 /V V=1
из (4.300) получим систему алгебраических уравнений
а11Ар1+а12Ар2+... + alzApz =b{;
a2lApl+a22Ap2+... + a2lApl =Ь2;
a^Pi + ап др2 +... + auApt = ,
или, что то же самое,
ААр=В.	(4.304)
Отсюда для вектора идентифицируемых параметров можно записать соотношение
Ар = АВ.	(4.305)
Приведенные рассуждения показывают, что оценки являются линейными функ-
циями результатов наблюдений; последние являются несмещенными и имеют наи-
меньшую дисперсию среди всех линейных несмещенных оценок.
Число измерений определяется заданной точностью статистической обработки.
Метод обобщается на нестационарные нелинейные объекты. В этом случае объект с
переменными параметрами следует заменить на интервале времени (tk,tk+\) систе-
мой уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами и на этом интервале приме-
нить изложенный алгоритм идентификации. Интервал (tk,tk+\) является шагом
идентификации [47].
Структурная схема системы идентификации представлена на рис. 4.78.
Рис. 4.78. Структурная схема системы идентификации
4.6.2.	Оценка параметров нелинейных систем методами фильтрации
Положим [98], что задано дифференциальное уравнение объекта идентификации
X = f (X,p,/) + B(p,/)Y(/),	(4.306)
где Х(/) — и-мерная вектор-функция фазовых координат, f(X,p,/) — нелинейная
вектор-функция размерности п; р — вектор случайных параметров, причем
р = рн + Ар, где рн = т/; — вектор номинальных значений параметров (эти значе-
ния заданы) и Ар — вектор случайных малых отклонений; В(р,/) — матрица ко-
эффициентов; Y (7) — вектор-функция входного сигнала.
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 411
Известны необходимые статистические характеристики случайных параметров. Тре-
буется определить оценку параметров р по наблюдению на интервале [О, Т] сигнала
Z(/) = HAX(/) + N(/)	(4.307)
по критерию минимума среднеквадратической ошибки; в формуле (4.307) N(/) —
помеха, АХ(/) = Х(/)-Хн (/), где Хн(/) — сигнал на выходе модели объекта,
имеющей номинальные значения параметров; Н — известная матрица.
Структурная схема объекта может быть представлена в виде, показанном на рис. 4.79.
Рис. 4.79. Структурная схема объекта управления
Для решения задачи идентификации проведем некоторые преобразования. Введем
в рассмотрение нелинейную модель объекта, имеющую номинальные значения пара-
метров (полагаем, что номинальные параметры системы равны своим математиче-
ским ожиданиям); уравнение такой модели имеет вид
Хн = f(XH,pH,z) + B(pH,z)Y(/).	(4.308)
В последнем уравнении Y(/) — входной сигнал, Хн (7) — вектор фазовых коор-
динат модели.
Структурная схема для формирования сигнала Хн (/) представлена на рис. 4.80.
Рис. 4.80. Структурная схема модели объекта с номинальными значениями параметров
Линеаризуем нелинейную вектор-функцию f(X,p,/) (воспользуемся рядом Тей-
лора), полагая при этом:
1)	f(X,p,/) и В(р,/) — дифференцируемы по фазовым координатам и параметрам;
2)	линеаризация проводится относительно опорного движения, определяемого
уравнением (4.308);
3)	отклонения параметров р от номинальных значений параметров рн незна-
чительны;
4)	отклонения фазовых координат системы (4.306) от фазовых координат сис-
темы (4.308) малы.
412
Статистическая динамика и идентификация САУ
Результат имеет вид [98]
f (Х,р,/) = f (Хн + ДХ, рн + Др,/) =
= f(XH,pH,/) + D1(XH,pH,/)AX + D2(XH,pH,/)Ap,
где В^ХиФи,/) — матрица производных векторной функции f по компонентам
вектора Х(/) при Х = ХН, р=рн; D2(XH,pH,/) —матрица производных векторной
функции f по компонентам вектора р при X = Хн, р = рн:
D1(XH,pH,/) =
dXj
D2(Xh,Ph,0 =
dPk
ДХ(/) = Х(/)-Хн(/), Др=р-рн, i,j = l,n, к = 1,1.
Аналогично получим
B(p,/) = B(pH,/) + D3 (рн,/)Др,	(4.310)
где D3(pH,/) —матрица производных от матрицы коэффициентов В(р,/) по ком-
понентам вектора р:
D3 (Рн>0 =
^//•(р>0
дРк
при р=рн, i,j = 1,п, к = 1,1.
Найдем линейное дифференциальное уравнение относительно ДХ(/)
ДХ = /(Хн,рн,/) + О1(Хн,рн,/)ДХ + О2(Хн,рн,/)Др +
+B(pH,/)Y(/) + D3(pH,/)ApY(/)-f(XH,pH,/)-B(pH,/)Y(/) =	(4.311)
= О1(Хн,рн,/)ДХ + О2(Хн,рн,/)Др + О3(рн,/)ДрУ(/).
Перепишем последнее уравнение в виде
AX-D1(XH,pH,/)AX = (D2(XH,pH,/) + D3(pH,/)Y(/))Ap.	(4.312)
Введем в рассмотрение матричную импульсную переходную функцию, опреде-
ляемую уравнением
Ж(<'Т’Х„’РН)=О,(Хн,рн,0К(лг,Хн,рн)	(4.313)
при К(т,т,Хн,рн) = I, I — единичная матрица.
Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (4.312), выражен-
ное в форме интеграла Коши, запишется в виде
t
АХ(/) = |к(/,т,Хн,рн)(О2 (Xh’Ph’t) + D3 (ph,t)Y(t))(7t-Др.	(4.314)
о
Воспользуемся обозначением
t
ф(?) = f K(?,t,xh>Ph)(D2 (XH’PH’T) + D3 (ph,t)Y(t))(7t.	(4.315)
о
Структурная схема вспомогательной системы, выходом которой является процесс
Ф(/), представлена на рис. 4.81.
Формулу, определяющую ДХ(/), можно переписать так:
ДХ(/) = Ф(/)Др.	(4.316)
Наблюдению подвергается вектор-функция Z(/), определяемая соотношением
7(/) = НДХ(/) + Х(/) = НФ(/)Др + Х(/),	(4.317)
Глава 4. Статистическая и детерминированная идентификация 413
где Н — матрица, характеризующая измеритель; N(/) — вектор-функция помех
измерителя.
Рис. 4.81. Структурная схема вспомогательной системы
Воспользовавшись обозначением
8(/) = НФ(/),	(4.318)
соотношение (4.317) перепишем в виде
Z(/) = S(/)Ap + N(/).	(4.319)
Таким образом, получена формула (4.319), в которой Z(?) линейно зависит от
вектора случайных параметров системы Др.
Поскольку имеет место случай наблюдения аддитивной помехи и полезного сиг-
нала, линейно зависящего от вектора параметров, то оптимальная оценка пара-
метров может быть получена в соответствии с формулой [98]
Р* =(RppC + l)-1 R....Q.	(4.320)
где R/y, — априорная корреляционная матрица вектора параметров; I — единичная
матрица;
Т	т
С = JkJ(t)S(t)67t; Q = JkJ(t)Z(t)67t,	(4.321)
о	о
причем
т
jkJ (t)Rw (ст) = ST (/).	(4.322)
о
Из (4.322) следует, что для нахождения матрицы Ко (/), входящей в зависимости,
определяющие матрицы С и Q, необходимо решить интегральное уравнение.
Алгоритм значительно упрощается, если N(/) — белый шум. Тогда
Rw(W2) =	_?1)	(4.323)
и
т	т
kJ (t) = ST (z)So1; C = Jst(t)So1S(t)67t; Q = jsT (t)Sq1Z(t)67t.	(4.324)
о	0
Апостериорная корреляционная матрица, характеризующая точность получения
компонент вектора оценки Др, имеет вид
R;p =Af(Rp/,C + l)’1R/,p,	(4.325)
где М — оператор математического ожидания.
Структурная схема системы, позволяющей получить оценку вектора параметров
Др нелинейной системы, представлена на рис. 4.82.
414
Статистическая динамика и идентификация САУ
Рис. 4.82. Структурная схема системы для оценки вектора параметров Др*
нелинейной системы
Для получения алгоритма оценки вектора случайных параметров нелинейной сис-
темы можно использовать подход, содержание которого состоит в том, что парамет-
ры системы принимаются за дополнительные фазовые координаты расширенной не-
линейной системы [98].
Приложение 1. Многомерные ПФ и ЧХ нелинейных систем
415
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. МНОГОМЕРНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ
ФУНКЦИИ И ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ
ФУНКЦИОНАЛАМИ ВОЛЬТЕРРА
Центральными понятиями теории линейных САУ является передаточная функция
и соотношение, связывающее входной и выходной сигналы системы через переда-
точную функцию (рис. П.1.1)
А(х) = 1Г(х)Г(х).	(П.1.1)
Рис. П.1.1. К иллюстрации понятия ПФ САУ
Понятие передаточной функции и соотношение (П.1.1) можно обобщить на класс
нелинейных САУ, описываемых рядами Вольтерра.
Для рассмотрения задачи обобщения введем в рассмотрение многомерное преоб-
разование Лапласа [95, 106].
Пусть
= 0 при	<0,
|щ1л,...л)|<л/гл+ +’А,
где М, ,..., ап — некоторые константы.
Многомерное преобразование Лапласа функции f	определяется вы-
ражением
jj... j/(6,...,C)e“51V52f2 ...e~s^dtxdt2...dtn =	(П 1 2)
ООО
— {/'(б’ - • • ’С )} ~ (^1 Аг • • Ай )>
где Si = а + усо1,..., sn = осй + усой — комплексные числа такие, что Re у- > , i = 1, п.
При этом условии интеграл равномерно сходится, в связи с чем изображение (П. 1.2)
имеет смысл.
Числа	, <з2,..., <зп называют абсциссами сходимости интеграла (П. 1.2).
Обратное многомерное преобразование Лапласа имеет следующий вид:
Приведем свойства многомерного преобразования Лапласа.
416
Статистическая динамика и идентификация САУ
Линейность. Рассмотрим выражение
/
/(ДД2,..., /й) = ^4г4 (44-" Ди)>	(П.1.4)
Г=1
где — некоторые коэффициенты. Применяя к обеим частям равенства (П. 1.4) «-мер-
ное преобразование Лапласа, получим
/
А (л>• • • Аи ) —	(у,... ,sn).
r=i
Смещение аргументов в области изображений. Рассмотрим изображение
F(51±a1,...,5Z7 ±ай) = j... j/(6,...,c)e“(5±ai)fl ...е~^п±а^пdtv ...dtn =
о о
=	е+м ...е+але s- ...е s^dtv...dtn-
о о
отсюда следует
4{/(44---Ди) 4<Z|/| ...е+аЛ}=Г(51±а1,...,5й±ай).
Дифференцирование в области оригиналов. Это свойство выражается зависи-
мостью вида
где к — количество разных индексов z •; m1, т2,..., тк — количество одинаковых
индексов гх,...,гк соответственно.
Интегрирование в области оригиналов. Для этого свойства можно записать
'h tn	'	1
4 [•••	=----------F(yA2,...A„).
J •>	5’15’2---5’й
(о 0	J 1 z и
Дифференцирование в области изображений. Для этого свойства справедлива
зависимость
; _i_; _1_ _i_;	оо	оо
Лг1+г2+---+ги	.	.
—-----F(y,52,...,5Z7) = (-l)Z1 - ln f... р .../^/(б,...,/й)е“^ ...e~Sntndtv...dtn =
4'•••<4	J	J
= Ln{ (-1/ •'4; ...^./(/......y)}.
Перемножение двух функций в области оригиналов. Положим, что
4 {fi (б ’ • • • dn)}— 4 (л а2 •> • • • ай) >
4 {/2 (4 • • • Дй)}= 4 (л а2 , • • • ай )
и функции Ft (s^,..., sn ) и F2 (s^,..., sn ) имеют полюсы — точки. Тогда имеет место
соотношение (многомерная свертка в комплексной области)
4 {fi (4---Ди)/2 (4---Ди)}=
1
(2<

Аи-Qn) dqx...dqn.
Приложение 1. Многомерные ПФ и ЧХ нелинейных систем
417
Свертка во временной области. Это свойство играет важнейшую роль при по-
строении аппарата анализа и синтеза рассматриваемого класса нелинейных систем.
Сверткой двух функций	и	называется функция
определяемая зависимостью вида
f(tv,...,tn) = j... |/1(т1,...,тй)/2(/1-т1,...,/й-тй)б7т1...б7тй.	(П.1.5)
о о
Справедлива формула
\ tn
О О
,tn~^n)dTl...dxn [ = Fl(sl,...,sn)F2(sl,...,sn).
В [95, 106] рассмотрены особенности, возникающие при определении изображе-
ния свертки двух функций с различными размерностями аргументов.
В [95, 106] подробно анализируются методы определения оригиналов по изобра-
жениям.
Применим многомерное преобразование Лапласа к зависимости, определяющей
выходной сигнал тг-го канала
t t
*й(0 = /•••(П.1.6)
о о
записав (П. 1.6) в форме
^(6Л2,---ЛЙ) = j-.J^(T1,...,TZ7)y(/1-T1)...y(c-TZ7)67T1...67TZ7.	(П.1.7)
о о
Очевидно, справедливо соотношение
Хп (/) — Хп (б ’С >• • • Лй )|.	•
Ч •••	1
Воспользовавшись теоремой свертки, получим
ЙГй(х1,...,Хй) = Л;(х1,...,Хй)У(х1)У(х2)...У(хй),
где
^(^•••>*й) = |... рй(т1,...,тй)е“51Т1 ...e~s^dxx...dxn = Ln {А; (тг,..., тй)}. (П.1.8)
о о
Отсюда, по аналогии с линейными системами, назовем отношение
=	(ПЛ-9)
У(51)...У(5Й)
п-мерной передаточной функцией п-го канала системы.
Поскольку нелинейная система, описываемая функционалами Вольтерра, имеет вид
параллельного соединения подсистем 1-го, 2-го,..., тг-го порядков, то, следовательно,
ее можно характеризовать последовательностью передаточных функций (рис. П.1.2)
где
WY (4) = Д — ПФ первого (линейного) канала;
jy2 (*4,s2 ) = L2 {k2 (ti, t2 — ПФ второго (квадратичного) канала;
Л;(х1,х2,...,хй)=£{Ай(т1,...,тй)} — ПФ «-го канала.
418
Статистическая динамика и идентификация САУ
Если в линейных системах изображение выхода имеет вид
А(х) = 1Е(х)Г(х),
то в нелинейных системах изображение выхода определяется формулой
X(51,52,...,5;) = lF1(51)y(51) + lF2(51,52)y(51)y(52) + ...+
(П.1.10)
(П.1.11)
Рис. П.1.2. Структурная схема нелинейной системы
Если применить к (П.1.11) формулу обращения, то для выходного сигнала можно
записать зависимость
^(/)— (й’й>’• • • ’С)|=?2 =---=tn=t ~ й (й) + х2 (й’С)|tx=t2=t + • • • + -Е (д,...,6)|fj= _=t.=t +• • • •
Если в классе линейных систем в задачах синтеза находится импульсная переход-
ная функция или передаточная функция W(s^, то в нелинейных системах ис-
комыми характеристиками являются многомерные импульсные переходные функции
и передаточные функции.
К указанным задачам можно отнести:
•	задачу синтеза корректирующих устройств;
•	задачу фильтрации по критерию минимума среднеквадратической ошибки
(получены системы многомерных интегральных уравнений, эквивалентные
уравнениям Винера-Хопфа для линейных систем);
•	задачу идентификации и др.
Перейдем к определению частотных характеристик нелинейной системы. Полагая
в (П.1.9)	= /оу (z=l,zz), получим частотную характеристику канала нелинейной
системы
^Й	•> • • • •>	— ^Й (й )| Л| = /Г0| ,...,5г=7<В; •	(П. 1.12)
Частотная характеристика представляет собой многомерную комплексную
функцию, которая при изменении частот ещ от нуля до бесконечности описывает в
комплексном пространстве размерности 2z некоторую поверхность. При z = 1 это
пространство переходит в хорошо известную комплексную плоскость, в которой
Wx (ytOi) характеризуется некоторой кривой [95, 106]. Для этого случая имеют место
КЧХ, АЧХ, ФЧХ, ДЧХ и МЧХ.
Но уже при z = 2 приходится рассматривать характеристику W2 (усо1, усо2) в че-
тырехмерном пространстве [106]. На рис. П.1.3 показан качественный вид этой час-
тотной характеристики.
Приложение 1. Многомерные ПФ и ЧХ нелинейных систем
419
Рис. П.1.3. Частотная характеристика квадратичного канала системы
В таблице П. 1.1 приведены передаточные функции различных соединений звень-
ев [95, 106].
Таблица П.1.1
Передаточные функции соединений звеньев
420
Статистическая динамика и идентификация САУ
Продолжение табл. П.1.1
Приложение 2. Элементы функционального анализа
421
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
АНАЛИЗА*
П.2.1. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В курсе линейной алгебры введено понятие линейного пространства. Линейным
пространством называется множество X элементов произвольной природы, на ко-
тором введены две операции —умножения элементов хе X на действительные чис-
ла а, обозначаемая ах, и сложения элементов х, у g X, обозначаемая х + у, причем
эти операции удовлетворяют восьми условиям (аксиомам линейного пространства):
1)	для любых элементов х, у g X справедливо равенство х + у = у + х;
2)	для любых трех элементов x,y,z&Х имеет место равенство x+(y+z) = (x+y)+z;
3)	в пространстве X существует нулевой элемент 0, для которого х + 0 = х для
любого элемента х g X;
4)	для любого элемента х g X в пространстве X существует противоположный
элемент -х, такой, что х + (-х) = 0;
5)	для любого элемента х g X и для любых а, 0 g R имеет место равенство
ос(0х) = (оф)х;
6)	1 • х = х для любого элемента х g X;
Т) для любого элемента х g X и для любых а, 0 g R справедливо равенство
(ос + 0)х = О(х + 0х;
8) для любых элементов х, у g X и для любого a g R а (х + у) = ах + ау.
Линейное пространство X называется нормированным, если каждому элементу
хеХ поставлено в соответствие некоторое неотрицательное число ||х||, назы-
ваемое нормой элемента х и удовлетворяющее условиям'.
1)	||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)	для любого х g X и для любого a g R
||ах|| = |а|-||х||;	(П.2.1)
3)	для любых элементов х, у g X справедливо неравенство
IW4H44	(П.2.2)
Условие (П.2.1) называется однородностью нормы, а неравенство (П.2.2) — не-
равенством треугольника.
Таким образом, нормированное пространство — это линейное пространство с
определенной на нем нормой. В одном и том же линейном пространстве норма может
быть введена различными способами. В этом случае все нормированные пространст-
ва считаются различными, хотя как множества они совпадают.
Приведем примеры нормированных пространств, которые будут использоваться в
последующих параграфах.
Пространство R" упорядоченных групп из п действительных чисел
Библиографию см. в [66].
422
Статистическая динамика и идентификация САУ
Линейность этого пространства очевидна. Что касается нормы, то на пространстве
R" она может быть введена различными способами. Наиболее естественными явля-
ются следующие три:
||х||о = шахЫ;
1<2<И
(П.2.3)
И =
xl/2
7
(П.2.4)
(П.2.5)
Для всех трех формул (П.2.3)-(П.2.5) первые два условия определения нормы
очевидны, неравенство треугольника для первых двух норм вытекает из известного
свойства действительных чисел: модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их
модулей. Для нормы (П.2.5) это неравенство менее очевидно — оно вытекает из не-
равенства Коши-Буняковского, известного из курса линейной алгебры.
Пространство Rn с любой из трех введенных норм будем называть /1-мерным ко-
ординатным пространством, а обозначать его, в зависимости от выбора нормы, будем
символами R£, R" и R%. Отметим: хотя в трехмерном случае наиболее популярной
является норма (П.2.5), называемая евклидовой метрикой, в /1-мерных координатных
пространствах зачастую существенно удобнее рассматривать другие нормы, напри-
мер норму (П.2.3).
Пространства A”, z =0,1,2 будем трактовать так же, как пространства /1-мерных
столбцов.
Пространство матриц фиксированного размера т х п. Линейность этого про-
странства известна из курса линейной алгебры. Норму в этом пространстве также
можно ввести различными способами. Наиболее естественно согласовывать ее с вы-
бранной нормой в пространстве R". Это связано с тем, что каждую матрицу размера
(тхи) можно рассматривать как линейный оператор из R" в Rm и норму матрицы
естественно определить таким образом, чтобы она совпадала с нормой определяемо-
го ей оператора.
Если в пространствах Rn в Rm ив качестве норм выбрать одну из норм, опреде-
ленных в примере 1 (естественно, для пространства Rm суммирование или выбор
наибольшего элемента должны производиться от 1 до т), то для матрицы А с эле-
ментами норму следует определить соответственно формулами
||а||о = maxY	;
\<1<т	'
7=1
(П.2.6)
т
IIaIL =тахУ Ш;	(П.2.7)
1< /<И	1 1
Z=1
/	Д/2
||а||2 = max 5-	,	(П.2.8)
Д<у<и )
где Sj — сингулярное число матрицы А, т.е. собственное значение матрицы В = АТА.
Доказательство справедливости всех условий определения нормы и согласования
введенных норм с соответствующими нормами (П.2.3)-(П.2.5) можно найти в учеб-
никах по функциональному анализу (см. библиографию, т.1).
Приложение 2. Элементы функционального анализа
423
Множество всех функций х(/), непрерывных на отрезке [а,6]. Наиболее ес-
тественной нормой на этом множестве является норма
||х|| = шах|х(7)|.	(П.2.9)
a<t<b' V
Условия 1) и 2) для этой метрики очевидны, условие 3) также легко проверяется.
Пространство непрерывных на отрезке [а,Ь] функций с нормой (П.2.9) обозначается
символом С[а,Ь].
Пространство С2 [а, функций, непрерывных на отрезке [a,b], но рассмат-
риваемое с квадратичной нормой
(П.2.10)
Условия 1) и 2) очевидны, а справедливость неравенства треугольника выводится
из интегрального неравенства Коши-Буняковского.
Пространство L2[a,b] функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [a,b]
в смысле Лебега. Норма в этом пространстве определяется той же формулой
(П.2.10), но вместо изучаемого в курсе математического анализа интеграла Римана
(называемого обычно определенным интегралом) берется интеграл Лебега, а элемен-
тами этого пространства считаются не отдельные функции, а совокупность эквива-
лентных по Лебегу функций.
Подробное изложение меры Лебега и интеграла Лебега можно найти в соответст-
вующих учебниках; здесь лишь кратко укажем некоторые отличия интеграла Лебега
от интеграла Римана.
Если интегрируемая функция непрерывна, то ее интегралы Римана и Лебега сов-
падают. Если функция имеет конечное число точек разрыва первого рода или беско-
нечное число отделимых друг от друга точек разрыва первого рода, то ее интеграл
Лебега совпадает с несобственным интегралом Римана. Поскольку встречающиеся в
настоящем учебном пособии функции исчерпываются указанными классами функ-
ций, под интегралом Лебега можно понимать интеграл Римана, дополненный поня-
тием несобственного интеграла.
Более важно описать элементы пространства Лебега L2[a,b], Две функции x(t} и
y(t), определенные на отрезке [a,b], называются эквивалентными по Лебегу, если
множество точек отрезка, на которых они отличаются, имеет нулевую меру Лебега,
т.е. множество точек
М = [t g [a,b]: x(t} ^(^)}
можно покрыть объединением интервалов сколь угодно малой суммарной длины.
Преимущество интеграла Лебега состоит в том, что существенно расширяется класс
интегрируемых функций.
Условия 2) и 3) определения нормы в пространствах Лебега устанавливаются тем
же способом, что и для пространства С2 [а,6]. Условие 1) выполняется именно в си-
лу того, что под элементами пространства Лебега понимается класс эквивалентных
функций.
Весовые пространства Лебега L2[a,b], Функция р(^), определенная на отрезке
[а,Ь], называется весовой функцией, или весом, если она неотрицательна, интегри-
руема по Лебегу на отрезке [а,Ь] и ее интеграл конечен и положителен'.
424
Статистическая динамика и идентификация САУ
ь
Пространством Лебега Lp[a,b] называется множество функций х(/), определен-
ных на [a,b], для которых конечен интеграл
ь
Норма в весовом пространстве Лебега I? [a,b] определяется формулой
дь у/2
(П.2.11)
Отметим, что нормированные пространства, определенные в примерах 1 и 2, яв-
ляются конечномерными (их размерность соответственно п и тп), в то время как
пространства, рассмотренные в примерах 3-6, бесконечномерны.
В нормированных пространствах естественно вводится понятие расстояния
(метрики) между элементами: расстоянием между элементами х,у е X называется
величина
р(-М’) = ||х-у||.	(П.2.12)
Понятие расстояния позволяет перенести на нормированные пространства основ-
ные понятия математического анализа, такие как предел, сходимость, непрерывность
и т.п. Отметим, что эти понятия можно ввести и для более общих метрических про-
странств.
Пусть X — некоторое нормированное пространство; Ъ-окрестностъю точки
Xq g X называется множество
U8 = {* G Х : |к--0|| < 5}-
Пусть {хи} — последовательность точек нормированного пространства X.
Точка х&Х называется пределом бесконечной последовательности {хи}, если для
любого s > 0 найдется N = A(s) такое, что для всех номеров п> N элементы хп
будут лежать в окрестности U£(x), т.е. будет выполняться неравенство
||x„-x||<s.
Используя обозначение предела, сходимость последовательности к точке
х g X будем обозначать так:
lim р(х,х„) = 0.
/7^00
Если последовательность имеет некоторый предел х&Х, то она называ-
ется сходящейся.
Поскольку приведенное определение предела аналогично его определению из
курса математического анализа, все свойства предела в произвольных математиче-
ских пространствах устанавливаются аналогичным образом.
Выясним конкретный смысл сходимости в некоторых из метрических про-
странств, введенных выше.
Приложение 2. Элементы функционального анализа
425
п-мерные координатные пространства R'- , i = Q, 1, 2. В этих пространствах схо-
димость по метрике совпадает со сходимостью по координатам, т.е. хт х тогда и
только тогда, когда для каждого i = 1, 2,..., п будет
х™ х{ при т оо,
где через х™ и хг- обозначены соответственно z-e координаты элементов х™ и х.
Пространство матриц фиксированного размера (тхп). В этих пространствах с
любой из введенных норм (П.2.6)-(П.2.8) сходимость по метрике совпадает со схо-
димостью по соответствующим элементам.
Сходимость в пространствах С[а,Ь]. В этих пространствах сходимость совпада-
ет с равномерной сходимостью. Действительно, пусть некоторая последовательность
элементов из С[а,&] сходится к элементу х(г). Это означает, что для любо-
го s > 0 найдется 7V = 7V(s) такое, что при п > N справедливо неравенство
max	(?) < s.
a<t<b' V ’ V 7|
Однако последнее неравенство равносильно тому, что неравенство |х(/)-хи (/)| < s
выполняется одновременно для всех точек t е [а,Ь]. Но это означает, что последова-
тельность	сходится к равномерно.
Из приведенного рассуждения вытекает и обратное: если последовательность
|хи(/)} сходится к равномерно, то она сходится к и по метрике С[а,Ь].
Таким образом, сходимость в пространстве C[a,b] равносильна равномерной схо-
димости. Поэтому часто метрика пространства C[a,b] называется равномерной.
Сходимость в пространствах С2 [а,и L2[a,b], Эта сходимость называется
среднеквадратичной сходимостью, или сходимостью в смысле среднеквадратичного
отклонения. Она существенно слабее равномерной сходимости в следующем смысле:
если последовательность функций	из С[а,&] сходится в метрике этого
пространства (т.е. равномерно), то она будет сходиться и в смысле среднеквадра-
тичной метрики. Обратное же неверно.
Таким образом, сходящиеся в смысле среднеквадратичного отклонения последо-
вательности функций могут в некоторых точках отличаться очень сильно, вплоть до
бесконечно больших отклонений. В этом смысле для инженерной практики равно-
мерная сходимость существенно важнее и, при возможности, необходимо оцени-
вать сходимость именно в метрике пространства С[а,Ь]. Ввод же пространства
Лебега £2 [a,b] связан с тем, что в этом пространстве многие результаты и соот-
ношения существенно упрощаются и устанавливать теоремы и получать оценки
скорости сходимости значительно проще.
В теории последовательностей действительных чисел важную роль играет кри-
терий Коши, состоящий в том, что последовательность сходится тогда и только
тогда, когда она фундаментальна. Этот критерий верен и во многих других про-
странствах, например в «-мерных координатных пространствах C[a,b], пространст-
ве Лебега L2[a,b], Однако в произвольном нормированном пространстве критерий
Коши может не выполняться.
426 Статистическая динамика и идентификация САУ
Последовательность точек метрического пространства X называется
фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши\ для любого s > О най-
дется N = N(z) такое, что для всех элементов последовательности с номерами п,
m>N справедливо неравенство р(хи,хот)<8. Легко видеть, что если последова-
тельность сходится, то она фундаментальна. Но как уже отмечено, в некоторых
метрических пространствах можно указать фундаментальные последовательности,
которые не сходятся ни к одному элементу этого пространства. Примером такого
пространства является пространство С2 [а,Ь].
Нормированное пространство X называется полным, если в нем любая фунда-
ментальная последовательность сходится к некоторому элементу X. Полные нор-
мированные пространства называются банаховыми пространствами. В дальней-
шем все изложение будем вести для банаховых пространств.
Точка х&Х называется предельной точкой множества М cz X, если любая ее
окрестность содержит бесконечное число точек множества М. Предельная точка
множества может не принадлежать ему. Операция присоединения к множеству М
всех его предельных точек называется операцией замыкания, а множество, полу-
ченное в результате присоединения к множеству всех его предельных точек, назы-
вается замыканием множества М и обозначается [Л/].
Множество М е X называется замкнутым, если оно содержит все свои пре-
дельные точки, т.е. если [М]=М.
Пусть М — подмножество нормированного пространства X. Множество М
называется всюду плотным в X, если его замыкание [Л/] совпадает со всем про-
странством X. Например, множество рациональных чисел плотно на числовой
прямой.
Пространства, в которых имеется счетное всюду плотное множество, называ-
ются сепарабельными. Отметим, что все введенные примеры нормированных про-
странств являются сепарабельными. Например, в C[a,b] в качестве счетного всюду
плотного множества можно взять совокупность всех алгебраических многочленов с
рациональными коэффициентами.
Пусть X — бесконечномерное банахово пространство. Последовательность эле-
ментов ,ф2?-- -»Фипространства X называется базисом этого пространства,
если любой элемент х g X можно представить, и притом единственным образом, в
виде суммы сходящегося в метрике X ряда
x = fjT<Pk-	(П.2.13)
/с=1
Сходимость ряда в пространстве X означает, что для любого 8 > 0 найдется
N = N(s) такое, что при всех п > N будет
x~^ck^k
/с=1
< 8.
Единственность представления (П.2.13) означает, что
22q<P/c = 0 <^> q = 0, z = 1, 2,....
/с=1
Приложение 2. Элементы функционального анализа
427
Примеры конкретных базисов в пространствах C[a,b] и £2[д,&] рассматривают-
ся ниже. Здесь же отметим, что если бесконечномерное банахово пространство X
имеет базис, то оно сепарабельно. Действительно, как нетрудно видеть, счетным
всюду плотным множеством в X будет множество линейных комбинаций вида
с рациональными коэффициентами /у Таким образом, несепарабельные ба-
Z=1
наховы пространства (например, пространство бесконечных ограниченных числовых
последовательностей т или пространство М ограниченных всюду на отрезке [а,Ь],
за исключением множества нулевой меры Лебега) не могут иметь базиса.
В последующих параграфах будут рассматриваться банаховы пространства, в ко-
торых имеется и фиксирован некоторый базис. Такие пространства будем называть
банаховыми пространствами с базисом.
Напомним, что если пространство конечномерно и размерность его равна п, то
базис в этом пространстве состоит ровно из п элементов. В бесконечномерных ба-
наховых пространствах базисы состоят из бесконечного (счетного) числа элемен-
тов.
Множество La. X называется линейным многообразием нормированного про-
странства X, если линейные операции, применяемые к элементам L, не выводят за
пределы L, т.е. для любой пары элементов х,у a L их сумма х + у eL, а для любого
x&L и любого а е /? будет ах gL.
Линейное многообразие L называется линейным подпространством нормиро-
ванного пространства X, если оно замкнуто в метрике X.
В дальнейшем будут рассматриваться конечномерные линейные многообразия и
подпространства. Они будут обозначаться Ln, где индекс п — размерность много-
образия или подпространства.
Компактные множества в нормированных пространствах. Множество М
нормированного пространства X называется предкомпактным, если любая после-
довательность элементов этого множества содержит подпоследователь-
ность {хи/с}, сходящуюся к некоторому элементу ха X. Очевидно, что если множе-
ство М не ограничено, то оно не может быть предкомпактным. В конечномерных
пространствах понятия ограниченности и предкомпактности равносильны, но в
бесконечномерных пространствах далеко не каждое ограниченное множество являет-
ся предкомпактным.
Множество М нормированного пространства X называется компактным, или
компактом, если любая последовательность элементов {хи} этого множества со-
держит подпоследовательность {хи/с}, сходящуюся к некоторому элементу х,
принадлежащему множеству М.
Непосредственно из определений вытекает, что если множество М предкомпакт-
но, то его замыкание [Л/] является компактом, а для замкнутых множеств введенные
понятия совпадают.
Множество S <^Х называется г-сетью множества М <^Х, если для любого
хаМ найдется точка s£eS такая, что
р(х,Хе) = ||т-Хе||<8.
428
Статистическая динамика и идентификация САУ
Множество М называется вполне ограниченным в нормированном пространстве
X, если для любого s >0 в пространстве X найдется конечная г-сеть, т.е. г-сетъ,
состоящая из конечного числа элементов. Таким образом, множество называется
вполне ограниченным, если все его элементы можно приблизить с любой фиксиро-
ванной точностью элементами из некоторого конечного множества.
Если нормированное пространство конечномерно, то понятие полной ограничен-
ности совпадает с обычным понятием ограниченности. Для бесконечномерных про-
странств понятие полной ограниченности является существенно более сильным. Хо-
рошо известен следующий критерий предкомпактности в полных пространствах:
множество М банахова пространства X предкомпактно тогда и только тогда,
когда оно вполне ограничено.
В банаховых пространствах с базисом удобен следующий критерий предкомпакт-
ности: множество М банахова пространства с базисом X предкомпактно тогда и
только тогда, когда множество М ограничено и для любого s > 0 существует но-
мер N = У(е) такой, что для любого элемента х&М остаток его разложения по
базису порядка п> N будет меньше s:
22
/с=и+1
Для конкретных бесконечномерных метрических пространств известны удобные
критерии компактности. Приведем здесь критерий компактности в пространстве
С [а, Ь] — известную теорему Арцела.
Для формулировки теоремы необходимо дать два определения.
Множество функций М, определенных на отрезке [а, Ь], называется равномер-
но ограниченным, если существует число М >0 такое, что < М при te[a,b]
для всех x(t} g М.
Множество функций М, определенных на отрезке [a,b], называется равносте-
пенно непрерывным, если для любого s > 0 существует число 5 = 5(e) > 0 такое, что
|x(/i)-x(/2)|<s
для всех tx,t2 g [a,b] таких, что -/2| § и для всех х^еМ.
Теперь можно сформулировать теорему Арцела: множество функций М cz C[a,b]
предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равно-
степенно непрерывно.
Используя приведенный результат, легко установить, что компактным в пространст-
ве C[a,b] будет, например, множество М = g С[а,д]: существует x'(/)eC[a,b]
и существуют постоянные Сг > 0, С2 > 0 такие, что |х(Д )| С1?	С2, t е
Понятие компактности является очень важным, поскольку компактные множества
являются аналогами замкнутых ограниченных множеств в конечномерных простран-
ствах. Из курса математического анализа известно, что, например, функция, непрерыв-
ная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена, принимает свои наименьшее и
наибольшее значения, принимает все промежуточные значения между наименьшим и
наибольшим и т.п. Аналогичным свойством обладают и непрерывные операторы на
компактных множествах в бесконечномерных банаховых пространствах.
Приложение 2. Элементы функционального анализа 429
П.2.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть X и Y — два нормированных пространства. Линейным оператором,
действующим из X в Y, называется отображение у = Ах, xeX,yeY, удовле-
творяющее условиям
А(ах) = аАх для всех х е X, a g R;	(П.2.14)
А(х + уб) = Ах + Ау для всех х,у g X.	(П.2.15)
Из свойств (П.2.14) и (П.2.15) вытекает, что линейный оператор переводит любую
линейную комбинацию элементов пространства X в линейную комбинацию с соот-
ветствующими коэффициентами их образов.
Множество всех элементов D(A)<^X, на которых определен оператор А, на-
зывается областью определения оператора А. Для линейных операторов D(A}
область должна быть линейным многообразием, т.е. линейная комбинация любых
элементов из D^A} также должна лежать в D^A}. В дальнейшем, если не будет
оговариваться особо, будем считать £>(Л) = Х. Через	будем обозначать
множество образов у е Y при отображении А. Это множество называется мно-
жеством значений оператора А.
Если X = Y, то говорят, что линейный оператор действуют в пространстве X.
Линейный оператор А называется непрерывным в точке xoeD(A), если для
каждого s>0 существуют такое 5 = 5(e) > О, что для всех xeD^Cil/^Xg) вы-
полнено неравенство
р (Ах, Ах0) = || Ах - Ах01| < 8.
Заметим, что в последнем неравенстве используется метрика пространства Y, в
то время как окрестность точки х берется в метрике пространства X. Если опера-
тор А непрерывен во всех точках области определения D(A^, то он называется
непрерывным.
Линейный оператор А, действующий из X в Y, называется ограниченным, если
он определен на всем X и каждое ограниченное множество пространства X пере-
водит в ограниченное множество пространства Y. Хорошо известно, что для ли-
нейных операторов в банаховых пространствах (вообще говоря, необходимо предпо-
ложить еще выполнение первой аксиомы счетности, но останавливаться на этом не
будем) понятия непрерывности и ограниченности равносильны — линейный опера-
тор А, действующий из X в Y и определенный на всем пространстве X, непреры-
вен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Таким образом, в дальнейшем для линейных операторов будем предполагать на-
личие одного из свойств (например, ограниченности), а второе свойство (непрерыв-
ность) будет выполняться автоматически.
Определение ограниченности линейного оператора можно сформулировать и ина-
че: линейный оператор А, действующий из X в Y, называется ограниченным, если
он определен на всем X и существуют постоянная С > 0 такая, что для всех х&Х
М<С||х||.	(П.2.16)
Наименьшее из неотрицательных чисел С, для которых неравенство (П.2.16) вы-
полнено для всех хеХ, называется нормой оператора А и обозначается ||Л||. За-
430 Статистическая динамика и идентификация САУ
метим, что обычно используется один и тот же символ || || как для норм в простран-
ствах X и Y, так и для нормы операторов, отображающих одно из этих пространств
в другое. Обычно к недоразумениям это не приводит, и в книге также будет исполь-
зоваться этот единый символ.
Известно, что норма ограниченного линейного оператора может быть вычислена
по формуле
h|| = supl!Al.	(П.2.17)
М
Приведем примеры линейных ограниченных операторов в пространствах Rn,
С [а, 6]. Здесь мы ограничимся несколькими простыми примерами операторов, кото-
рые будут использоваться ниже.
1.	Оказывается, что любой линейный оператор, действующий из пространства Rn с
любой из норм (П.2.3)-(П.2.5) в пространство Rm, в котором также можно выбрать
любую из норм, можно представить в виде матрицы размера т х п. Все эти опера-
торы при любом сочетании норм в координатных пространствах будут ограничен-
ными. Если же в обоих пространствах R" и R™ выбрать однотипную норму, то
норма оператора совпадет с соответствующей (согласованной с нормами в про-
странствах столбцов) нормой матрицы из (П.2.6)-(П.2.8).
2.	Рассмотрим в пространстве С [а, оператор умножения на непрерывную функ-
цию a(t} g C[a,b]:	Этот оператор действует в пространстве
C[a,b] и ограничен. Очевидно, что
||t7(«)|| = max |д(/)| = ||а||.	(П.2.18)
3.	Рассмотрим в пространстве C[a,b] оператор интегрирования
t
Px(t} = J х(т)б?т.
Так как
t
Px(t) <	< (t -a)||x||,
то ||p|| < (b - a). На функции, тождественно равной единице, неравенство перехо-
дит в равенство. Следовательно,
||р|| = 6-а.	(П.2.19)
4.	Рассмотрим теперь в пространстве C[a,b] оператор дифференцирования
Dx(t} = x'(z). Прежде всего отметим, что в отличие от операторов из предыдущих
примеров, этот оператор определен не на всем пространстве С[а,Ь]: его обла-
стью определения является класс непрерывно дифференцируемых функций
C^[a,Z>]. Отсюда уже вытекает неограниченность оператора дифференцирова-
ния в пространстве непрерывных функций. Неограниченность оператора D мож-
но показать и с помощью следующего простого примера. Для функций
хп (?) = sin (nt} их нормы ограничены в совокупности: ||хи|| < 1. Но для их произ-
Приложение 2. Элементы функционального анализа 431
водных Dxn (?) = х'(/) = п cos (nt), начиная с некоторого N, период колебаний бу-
дет меньше длины отрезка [а,д], следовательно, для n>N будет ||/)хи|| = п оо
при п со. Таким образом, оператор дифференцирования является примером
линейного, но неограниченного оператора в пространстве С[а,Ь].
5.	Пусть Хп —некоторое «-мерное подпространство пространства С[а,Ь]. Например,
это может быть подпространство с базисом из степенных функций |1,из
многочленов Чебышева |Т0 (7), 1\ (/),..., Тп_х и т.п. Любой линейный (не обяза-
тельно ограниченный) оператор Qn, отображающий пространство С[а,д] на под-
пространство Хп, будем называть оператором проектирования С[а,д] на Хп.
Пусть А и В — линейные операторы, отображающие нормированное про-
странство X в нормированное пространство Y. Суммой операторов называется
оператор С = А + В, определенный на области D(A)oD(B) и действующий по
правилу
Сх = Ах + Вх.
Легко видеть, что если операторы А и В линейны и ограничены, то и оператор
С = А + В также является линейным и ограниченным. Легко проверяется справедли-
вость следующего неравенства
|р + В||<И + ||4	(П.2.20)
Далее, для любого линейного оператора А и любого действительного числа X
можно определить оператор С = ХА, область определения которого совпадает с об-
ластью определения оператора А и для которого Сх = ХАх для всех x&D(A). Оче-
видно, что если оператор А линеен и ограничен, то теми же свойствами обладает и
оператор С = ХА, причем
MH4II4
Нетрудно видеть, что множество линейных ограниченных операторов, дейст-
вующих из нормированного пространства X в нормированное пространство Y,
само является линейным пространством. Это пространство обозначается символом
£(X,Y). Менее очевидным является то, что линейное пространство £(X,Y) явля-
ется нормированным с нормой, равной норме оператора. Более того, если простран-
ство Y является полным, то полным будет и £(X,Y), т.е. пространство всех линей-
ных ограниченных операторов из нормированного пространства X в банахово про-
странство Y само является банаховым пространством.
Пусть А — линейный оператор, отображающий нормированное пространство X
в нормированное пространство Y, а В — линейный оператор, отображающий Y в
нормированное пространство Z. Произведением или композицией операторов А и
В называется оператор С = В о А, ставящий в соответствие элементу х из об-
ласти D(A)<^X элемент z = B(Ax) из пространства Z. Ясно, что при этом множе-
ство значений оператора А должно принадлежать области определения оператора
В: R(A)cz D(B). Если А и В —линейные ограниченные операторы, то оператор
С = В ° А = В А также линеен и ограничен
IIs МЙ И -И.	(П.2.21)
432 Статистическая динамика и идентификация САУ
Оператор А, действующий из нормированного пространства X в нормирован-
ное пространство Y, называется обратимым, если для любого у g R^A} уравнение
Ах = у
имеет единственное решение.
Если оператор А обратим, то каждому y&R(A) можно поставить в соот-
ветствие единственный элемент x&D(A}, являющийся его прообразом. Оператор,
осуществляющий это соответствие, называется обратным к оператору А и обо-
значается Л-1.
Приведем несколько важных теорем об обратных операторах.
1.	Оператор А~{, обратный к линейному оператору А, также линеен.
2.	Если оператор А взаимно однозначно отображает банахово пространство X
на все банахово пространство Y, то обратный оператор А~{ ограничен. Этот
результат называется теоремой Банаха об обратном операторе и имеет большую
область применения в инженерной практике.
3.	Если оператор А является линейным и ограниченным оператором из банахова
пространства X на все банахово пространство Y и имеет ограниченный об-
ратный оператор А~\ то для любого оператора ЛА е £(X,Y), удовлетворяю-
щего условию
оператор В = А +ЛА также непрерывно обратим и
lle-ls----I ...	(П.2.23)
11 11 1-1М1И1!
Этот результат будем называть теоремой об обратимости возмущенного опера-
тора.
Линейный оператор А, действующий из нормированного пространства X в
нормированное пространство Y, называется компактным, если он определен на
всем X и каждое ограниченное множество пространства X переводит в пред-
компактное множество пространства Y.
Так как предкомпактные множества всегда ограничены, то любой компактный
оператор ограничен. Обратное в бесконечномерных пространствах неверно. Про-
стейшим примером ограниченного, но некомпактного оператора в любом бесконеч-
номерном нормированном пространстве является тождественный оператор I: 1х = х
для всех х g X. Это вытекает из известного результата о некомпактности единичного
шара В = е Х\ ||х|| < 1} в бесконечномерных нормированных пространствах.
Таким образом, класс компактных операторов, отображающих X в Y, существенно
уже класса £(Х,У). Но выделение класса компактных операторов играет исключи-
тельно важную роль, особенно в прикладных вопросах, поскольку компактные опе-
раторы обладают рядом важных и удобных свойств, которых лишены произвольные
ограниченные операторы.
Отметим следующие свойства компактных операторов:
1. Если А — компактный оператор, а В — ограниченный оператор, действующие в
банаховом пространстве X, то операторы АоВ и Во А компактны.
Приложение 2. Элементы функционального анализа 433
2. Если {Ли} —последовательность компактных операторов в банаховом простран-
стве X, сходящаяся по норме к некоторому оператору А, т.е. lim ||Л - Ап || = О,
то оператор А также компактен.
Линейный ограниченный оператор, отображающий бесконечномерное нормиро-
ванное пространство X в конечномерное нормированное пространство Yn, назы-
вается конечномерным. Так как в конечномерном пространстве любое ограниченное
множество предкомпактно, конечномерные операторы являются компактными.
Конечномерные операторы являются исключительно удобными, поскольку к
уравнениям в конечномерных пространствах можно эффективно применять чис-
ленные методы с использованием вычислительной техники. Таким образом, конеч-
номерные операторы образуют важный подкласс в множестве компактных опе-
раторов.
Важным свойством компактных операторов в банаховых пространствах с базисом
является их близость к конечномерным, которую можно выразить следующей теоремой.
Пусть А — компактный оператор, отображающий банахово пространство с
базисом X в себя. Тогда для любого s > О оператор А можно представить в виде
суммы операторов А = А{+А2, где оператор А{ конечномерен, а оператор А2 име-
ет малую норму. ||4|| < 8.
Иначе говоря, компактные операторы в банаховых пространствах с базисом
«почти» конечномерны.
Линейные ограниченные операторы, отображающие произвольное нормиро-
ванное пространство X на действительную ось R, называются линейными
функционалами. Естественно, на линейные функционалы переносятся, причем с
упрощением, все свойства, изложенные для ограниченных линейных и компактных
операторов.
П.2.3. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
Линейное пространство X называется евклидовым, если на этом пространстве
определено скалярное произведение — на каждой паре элементов х,у &Х определе-
на действительная функция (х,у), удовлетворяющая следующим свойствам'.
1)	для любого элемента х&Х справедливо неравенство (х,х)>0, причем
(х,х) = 0 только при х = 0;
2)	для любой пары элементов (х, у) = (у, х);
3)	для любых трех элементов х, у, z е X справедливо равенство
(x + y,z) = (x,z) + (y,z);
4)	для любой пары элементов х, у g X и любого действительного числа а имеет
место равенство (ах,у) = а(х,у).
Любое евклидово пространство является нормированным пространством с нормой
Н = 7Е4	(П.2.24)
Норма (П.2.24) называется согласованной со скалярным произведением. Таким об-
разом, евклидовы пространства образуют подмножество во множестве всех нор-
мированных пространств.
434
Статистическая динамика и идентификация САУ
В любом евклидовом пространстве выполняется уже упомянутое неравенство
Коши-Буняковского
|(х,у)|ф||-|Н|.	(п.2.25)
Далее, в евклидовых пространствах вводится понятие угла между элементами.
Если через у обозначить угол между элементами х и у евклидова пространства
X, то полагают
cosy =
Элементы х и у называются ортогональными, если (х,у) = 0. Система эле-
ментов евклидова пространства X называется ортогональной, если ортого-
нальны любые пары элементов этой системы. Ортогональная система элементов
евклидова пространства X называется ортонормированной, или, сокращенно,
ОНС, если нормы всех ее элементов равны единице. Таким образом, для элементов
ОНС |сри} справедливы соотношения
/	\ f 1, если z = j',
(фг>Ф7) = О
v 7 [0, если i * j.
Хорошо известен процесс ортогонализации, который с помощью линейных пре-
образований элементов произвольной счетной системы превращает ее в ОНС.
Полное бесконечномерное сепарабельное евклидово пространство называется
гильбертовым пространством и обозначается обычно символом Н. В гильбертовом
пространстве всегда имеется базис, причем, используя процесс ортогонализации, этот
базис можно превратить в ортонормированный.
Заметим, что любой ортонормированный базис является и ОНС, но не всякая ОНС
образует базис в пространстве Н — для этого нужна еще и замкнутость системы.
Пусть Н — гильбертово пространство, а {фи} — ортонормированный базис (в
дальнейшем будем обозначать его аббревиатурой ОНБ). Разлагать элементы про-
странства Н по ОНБ можно различными способами. Наиболее популярный метод —
разложение в ряды Фурье. Коэффициентами Фурье элемента х&Н по ОНС {ф„}
называются коэффициенты
ск =(х,ф/с), к = 1, 2,...,	(П.2.26)
а рядом Фурье — выражение
(П.2.27)
/с=1
ОНС |фи| называется полной в пространстве Н, если в Н отсутствуют эле-
менты, за исключением нулевого, ортогональные всем элементам ОНС. Если ОНС
полна, то различные элементы Н имеют различные ряды Фурье.
ОНС |фи| называется замкнутой в пространстве Н, если любой элемент
х&Н можно с любой точностью приблизить частичными суммами его ряда Фурье.
Это условие равносильно тому, что для любого элемента х&Н для коэффициентов
ск =(х,ф/с) выполняется равенство Парсеваля
£4=114	<п'2-28)
/с=1
Приложение 2. Элементы функционального анализа 435
Известно, что в гильбертовых пространствах понятия полноты и замкнутости
равносильны.
Если ОНС полна (замкнута) в пространстве Н, то она образует ОНБ в этом про-
странстве, причем коэффициентами разложения можно брать коэффициенты Фурье.
Среди приведенных выше примеров нормированных пространств евклидовыми
являются пространства со скалярным произведением
(х,у) = ^ХгУг
z=l
и пространства С2 [а, со скалярным произведением
ь
(х,у) =
(П.2.29)
Они не гильбертовы, поскольку первое из них конечномерно, а второе неполно.
Примером гильбертова пространства является пространство L2[a,b], Скалярное
произведение в нем вводится по той же формуле (П.2.29), но интеграл понимается в
смысле Лебега. Гильбертовыми являются и весовые пространства Лебега L2 [а, Ь].
В гильбертовом пространстве L2 [а,Ь] можно рассмотреть те же операторы, кото-
рые были введены в пространстве С [а, 6].
1.	Оператор умножения на функцию a(t^ g£2 [a,b]: U(a)x(t) = a(t)x(t). U(a)
будем обозначать также через Л (а). Этот оператор действует в пространстве
С2 [a,b] и ограничен. Ограниченность оператора и оценка его нормы легко полу-
чается с помощью неравенства Коши-Буняковского. В результате устанавливает-
ся равенство, аналогичное (П.2.18):
(П.2.30)
2.	В пространстве L2[a,b] можно рассматривать и оператор интегрирования, по-
скольку каждая его функция, интегрируемая по Лебегу с квадратом, является ин-
тегрируемой
Лих(/) = х(т)Лт.
Для этого оператора легко устанавливается аналог формулы (П.2.19)
3.	Оператор дифференцирования Лдх(/) =	= х'(/) также можно рассматривать
как оператор, действующий в пространстве L2[a,b], В этом случае он будет оп-
ределен на классе дифференцируемых функций, производные которых лежат в
L2 [а,Ь] (при определенном выборе норм это так называемые пространства Собо-
лева). Как и в пространстве C[a,b], в пространстве Лебега оператор дифферен-
цирования неограничен.
436 Статистическая динамика и идентификация САУ
4.	Пусть Хп — некоторое и-мерное подпространство гильбертова пространства
L2[a,b], В этом случае пространство Лебега можно разложить в сумму
I? [а,Ь] = Хп иХу где подпространство Х„ ортогонально (т.е. каждый элемент
Х„ ортогонален каждому элементу Хп ). Оператор, отображающий гильберто-
во пространство на его подпространство, называется оператором ортогональ-
ного проектирования, или ортопроектором. Существенное отличие между опера-
торами проектирования Qn в банаховых пространствах и операторами ортого-
нального проектирования Рп в гильбертовых пространствах состоит в том, что
ортопроекторы Рп всегда ограничены и их нормы равны 1.
П.2.4. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Пусть X — некоторое банахово пространство, М — некоторое его подмноже-
ство. Элемент х еМ называется элементом наилучшего приближения элемента
хg X, если
Е(х,М) = ||х-х*|| = inf ||х —х||.	(П.2.32)
Величина Е(х,М^ называется наилучшим приближением элементах множеством М.
Естественно возникает вопрос о существовании элемента наилучшего приближе-
ния. Оказывается, если множество М компактно, то элемент наилучшего прибли-
жения существует (но может быть не единственным).
В дальнейшем в качестве аппроксимирующего множества будут рассматриваться
конечномерные подпространства £/ пространства X. Если такое подпространство
фиксировано, то величину наилучшего приближения элемента обозначают символом
£}(х). Так как конечномерные подпространства нормированного пространства
являются компактными множествами, элементы наилучшего приближения в этом
случае всегда существуют.
Пусть X — нормированное пространство, К — его компактное подмножество.
Поперечником Колмогорова компакта К в пространстве X называется величина
dt (К,Х) = inf sup£'(x,£/),	(П.2.33)
Т хеК
где внешняя нижняя грань берется по всем возможным линейным подпространст-
вам размерности п. Смысл поперечника Колмогорова в том, что он указывает
наименьшую из возможных величин наилучших приближений компакта К линей-
ными подпространствами фиксированной размерности п, т.е. является оценкой
снизу точности аппроксимации класса К линейным подпространством данной
размерности.
Функция
/*(s;K,X) = inf [k: dk (К,Х) < s|	(П.2.34)
указывает минимально возможную размерность линейного подпространства, позво-
ляющую приблизить любой элемент компакта К с точностью не ниже 8, т.е. мини-
мально возможное количество числовых параметров, с помощью которого можно
приблизить любой элемент компакта с точностью 8.
Пусть d}(K,X^, 1 = 1,2,... —поперечники Колмогорова класса К. Теоретически
для каждого натурального I существует метод аппроксимации, реализующий наи-
Приложение 2. Элементы функционального анализа 437
лучшую точность приближения d/(K,Xy Такие алгоритмы называются алгоритма-
ми наилучшего приближения класса К. Однако доказательства существования эле-
мента наилучшего приближения часто неконструктивны и для многих широко ис-
пользуемых компактных классов функций алгоритмы наилучшего приближения не-
известны. Кроме того, оператор наилучшего приближения обычно нелинеен, что су-
щественно затрудняет его использование. Таким образом, необходим поиск удобных
в применении конструктивных алгоритмов приближения, близких к оптимальным.
Обычно поступают следующим образом: выбирают некоторый оператор проекти-
рования Ql на подпространство Д такой, что приближения элементами хг = Q/X
элементов х е К близки к наилучшим приближениям.
Проекционным алгоритмом приближения класса К называется совокупность
проекционных алгоритмов приближения размерности Г. X = {£?/}, согласованных
либо по вложению (например, при приближении суммами Фурье), либо по типу (при
приближении локальными сплайнами или интерполяционными многочленами). Гру-
бо говоря, для каждого I выбор соответствующего алгоритма Qj е X должен осуще-
ствляться по одному и тому же правилу.
Класс всех проекционных алгоритмов приближения компакта К cz X будем обо-
значать через Л = Л(К,Х). Для каждого алгоритма Хе Л определим функцию
/(s,X) = inf < k: sup||x-(2/cx||^ < s k
I xeK	J
где {(2/c} —множество линейных операторов из алгоритма аппроксимации X. Вели-
чина /(s,X) указывает минимально возможную размерность линейного подпро-
странства, позволяющую приблизить любой элемент компакта К с точностью не
ниже s с помощью данного проекционного алгоритма.
Если при г —> О будет /(s,X) = /*(s;K,X), проекционный алгоритм X аппрокси-
мации класса К называется оптимальным по размерности. Иначе говоря, опти-
мальным по размерности является тот алгоритм, который для каждого s позволяет
построить приближение требуемой точности при использовании информации наи-
меньшей размерности.
Из отмеченной выше нереализуемости поперечников некоторых классов К
следует нереализуемость оптимальных по размерности алгоритмов приближения
этих классов. Это приводит к необходимости ввода понятий алгоритмов, близких к
оптимальным. Проекционный алгоритм X называется оптимальным по порядку
размерности, если
limsup-^-----—— <М < оо.	(П.2.35)
е->о I (ь;К,Х}
В ряде работ используется понятие оптимальности по точности. Если Qn — не-
который проекционный алгоритм, величина
e(e;,K) = sup||x-e;x||	(П.2.36)
хеК
называется погрешностью алгоритма Qn на классе К. Минимизируя величину e(QhK}
на множестве всевозможных алгоритмов фиксированной размерности I, приходим к
понятию алгоритма, оптимального по точности. Оптимальность по порядку точности
определяется аналогично оптимальности по порядку размерности.
438 Статистическая динамика и идентификация САУ
Из приведенных определений легко видеть, что любой оптимальный по порядку
точности алгоритм аппроксимации является оптимальным по порядку размерно-
сти, и наоборот. Таким образом, можно использовать лишь одно из этих понятий.
В дальнейшем будут использоваться следующие принятые в теории приближений
обозначения. Будем писать
/(/) = O(g(/)),
если существует постоянная С > 0 такая, что
Если же найдутся две положительные постоянные и С2, для которых
clg(/)</(/)<c,g(/),
то говорят, что последовательности (ДиИ и	имеют один порядок возраста-
ния (если они стремятся к бесконечности при I со) или убывания (если они стре-
мятся к нулю при I 0), и обозначают этот факт символом
Введем классы функций, определенных на отрезке S = , tj J, которые будут
рассматриваться в последующих параграфах. В качестве основного функционального
пространства рассмотрим сначала пространство непрерывных функций C^tQ,tj J.
Обозначим через Wr (M,S^ класс функций, имеющих на отрезке	непре-
рывные производные до (г -1) -го порядка включительно и r-ю производную, ограни-
ченную постоянной М>0:	<Л/,
Классы Wr(M,S^ являются компактами в пространстве	в силу теоремы
Арцела. Наряду с этими классами будут рассматриваться и неограниченные (следо-
вательно, и некомпактные) классы Wr Классом Wr (5) называется объединение
классов Wr (M,S^ при фиксированном г и всевозможных положительных М.
Через	будет обозначаться класс функций g c[t0,tj- J, удовлетво-
ряющих на отрезке |j0,/y J условию Липшица с постоянной М >Q
|x(/i)-x(/2)|<Af|/i-/2|
для любых точек tx и t2 из отрезка |j0,ZyJ. В частности, классу	принад-
лежат функции, имеющие во всех точках отрезка |j0,/y J, за исключением некоторого
конечного множества точек, производные, ограниченные по модулю постоянной М.
Через (S) будем обозначать соответствующий некомпактный класс функций.
Для г>1 вместо классов Wr(M,S^ и Wr (S') также можно вводить классы
функций, имеющих непрерывные на	производные (r-l)-ro порядка, кото-
рые принадлежат классу	или	Эти классы будут обозначаться
Wr~YHY (М,S) и Wr~YHY (5) соответственно.
Очевидно, что при всех г > 1
Wr (M,S) с Wr~lHl (M,S\, Wr (5) cz Wr~lHl (5).
Приложение 2. Элементы функционального анализа 439
Если рассматривать некомпактные классы Wr то очевидны вложения
Wp (5) cz Wq (5) при р > q. В этом случае будем говорить, что класс Wp (5) имеет
большую гладкость, чем класс Wq(S). Если же p = q + \, будем говорить, что сте-
пень гладкости класса Wp (5) на единицу выше, чем класса Wq (5).
Наряду с классами Wr(M,S^ будут рассматриваться классы 2л-периодических
функций	и соответствующие им некомпактные классы W^.
Через /72я(Л/) обозначается класс 2к-периодических функций, имеющих производ-
ные до r-го порядка, причем производная х^ (?) ограничена постоянной М >0 на от-
резке [-л, тг] (следовательно, в силу периодичности функции, на всей числовой прямой).
В ряде монографий проекционные методы изучались на существенно более тон-
кой шкале пространств, но в данном учебнике упор сделан на алгоритмическую реа-
лизацию проекционных методов, в связи с чем в вопросах оценок точности и скоро-
сти сходимости было решено ограничиться наиболее простыми пространствами.
440
Статистическая динамика и идентификация САУ
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. БАЗИСНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
П.3.1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Наиболее популярной системой периодических функций является тригономет-
рическая система функций
{1, cos/, sint, cos2/, sin2/,..., cosnt, sin«/},	(П.3.1)
которая образует на отрезке [-л, л] ортогональную систему. С помощью линейного
преобразования
с	\
/ = л 2————1
I Z/“Zo J
можно получить систему функций, ортогональную на отрезке	но для удоб-
ства изложения будем рассматривать привычный для тригонометрической системы
отрезок [-л, л].
Каждой 2л-периодической функции x(t} е С2 [-л, л] можно поставить в соответ-
ствие тригонометрический ряд Фурье	
С1	У x{t)~ —+^ап cosnt + bn sin nt, 2	и=1	(П.3.2)
коэффициенты которого вычисляются по формулам 1 Г ап =— x(t\cosnt dt, п =0,1, 2,...; л J -7Г	(П.З.З)
1 Г bn =— x(t}sinntdt, п = 0,1, 2,.... л j	(П.3.4)
Обозначим через х1 (?) частичную сумму ряда Фурье порядка 1: а 1 Xj (?) = —+	cos kt + bk sinkt. 2 k=i	(П.3.5)
Хорошо известно, что тригонометрическая система функций является ортого-
нальным базисом в пространстве £2[-л,л]. Однако тригонометрический ряд Фурье
непрерывной 2л-периодической функции может быть расходящимся, следовательно,
если коэффициенты разложения по тригонометрической системе вычислять по фор-
мулам, то тригонометрическая система не будет базисом в пространстве С [-л, л].
Однако, изменив способ расчета коэффициентов, любую непрерывную функцию
можно представить в метрике С [-л, л] тригонометрического ряда. Проще всего
это сделать, применив один из линейных методов суммирования рядов Фурье. На-
пример, можно воспользоваться методом суммирования Фейера (методом средних
арифметических), т.е. приближать функцию х\ф не с помощью частичных сумм
Фурье %/(/), а с помощью тригонометрических полиномов Fz(/,x):
Приложение 3. Базисные системы функций
441
f'(M=-772>4W=
п + ^ к=0
Uq ’ 11 к I ( г ,
— + > 1----------(ак cos kt + bk sm
2	« + U
(П.3.6)
Таким образом, тригонометрическая система функций образует базис в про-
странстве С [-л, л], если каждую непрерывную 2л-периодическую функцию при-
ближать разложениями вида (П.3.5).
Несмотря на существование непрерывных 2л-периодических функций с расхо-
дящимися в равномерной последовательности в равномерной метрике рядами Фурье,
наиболее популярным способом приближения периодических непрерывных функций
являются их приближения частичными суммами Фурье. Это объясняется тем, что,
во-первых, обычно непрерывные функции, встречающиеся на практике, принадлежат
некоторым подклассам пространства С[-л,л]х, ряды Фурье которых сходятся в
равномерной метрике, а во-вторых, приближения тригонометрическими полиномами
вида (П.3.6) (и другими тригонометрическими полиномами с условием сходимости
ряда Фурье любой непрерывной функции) рассчитаны на «плохие» непрерывные
функции, и скорость сходимости
a(zi) = ||x-F/(-;x)||^/“1	(П.3.7)
имеет фиксированный порядок даже для сколь угодно гладких 2л-периодических
функций, в то время как скорость приближения частичными суммами Фурье
₽(/) = ||х-Ц|
убывает при возрастании I тем быстрее, чем выше степень гладкости функции х\ф.
Это означает, что приближения частичными суммами Фурье являются ненасы-
щенными, в то время как приближения суммами Фейера насыщаются на 2п-периоди-
ческих непрерывно дифференцируемых функциях, и дальнейшее увеличение степени
гладкости рассматриваемого класса не может улучшить порядковой оценки. Фак-
тически ненасыщаемостъ алгоритма приближения означает его адаптируемость к
повышению степени гладкости разлагаемых функций.
Приведем некоторые результаты о скорости приближения классов гладких перио-
дических функций частичными суммами Фурье.
Напомним, что через	обозначается класс 2л-периодических функций,
имеющих производные до r-го порядка, причем производная х^ (/) ограничена по-
стоянной М > 0 на отрезке [-л, л].
Для классов	порядок приближения частичными суммами ряда Фурье в
равномерной метрике: если	где г = 1,2,..., М > 0, то при 1>г справедли-
во неравенство
12г+1Л/| 1 + -111/ |
I -э I
(П.3.8)
Из сравнения оценки (П.3.8) с порядковой величиной поперечника Колмогорова
класса
убеждаемся, что приближения частичными суммами Фурье лишь на InZ хуже опти-
мального в смысле порядка. Естественно, при больших значениях величины г это не
442 Статистическая динамика и идентификация САУ
очень важно. Кроме того, алгоритм приближений частичными суммами Фурье-
Чебышева является ненасыщаемым на классах W^n (^0’ чт0 является существенным
аргументом в пользу его применения.
Отметим, что если функция х\ф является 2л-периодической и аналитической на
отрезке [-л, л], то оценка (П.3.8) справедлива при любом г. Однако величина М
связана с г (правильнее было бы обозначать ее Мг) — чем больше г, тем больше и
Мг, причем порядок роста величин Мг может быть очень большим. Например, для
функции х = sin (Л/) имеем Мг = Аг, и если величина А велика, то для уменьшения
частей в (П.3.8) при увеличении I нужно, по крайней мере, брать I □ А.
Таким образом, для аналитических функций обычно также оценивают производ-
ные некоторого порядка г и используют оценку (П.3.8).
Рассмотрим сейчас случай, когда информация является 5-приближенной. Ниже
показывается, что вычислить коэффициенты Фурье с точностью более высокой, чем
5, нельзя. Предположим, что точность вычисления коэффициентов равна о; о > 5.
Но тогда на этапе восстановления эта погрешность может существенно возрасти:
если X/ (/) — частичная сумма Фурье порядка I с точными коэффициентами {a;,Z)J,
а xz (/) —сумма с о-приближенными коэффициентами	то
i
h - ч II - °+Е 1а* - lcos и\+\bi -bi| lsinи\ -
Z=1
I
< <j + (5^2(|cosz7| + |sinz7|) < (V2Z + 1)(5.
z=l
Эта оценка в смысле порядка неулучшаема. Действительно, пусть д0 = 0, ц =£>• =0
для всех z = l,m, a aQ = <з, ф = 1\=<5 для z = l,m. Тогда в точке t = 0 будет
z
X/ (0)-xz (0) = (а0 -ao) + E°cosO = (I +1)о,	(П.3.9)
г=1
следовательно, в этом случае
h -xz||>(Z + 1)g.
Итак, если информация является 5 -приближенной, то к правой части оценки
(П.3.8) следует добавить слагаемое (V2Z + l)o >(V2Z + 1)5, где о>5 —точность
вычисления коэффициентов Фурье.
Таким образом, требовать приближения функций из классов	с точно-
стью выше, чем^л/2/ + 1)<э > (V2Z + 1)5, используя суммы Фурье, нельзя. Но величина
Z сама определяется точностью приближения 8, и, если рассматривать приближения
классов (Af), можно установить соотношение между требуемой точностью при-
ближения s и реальной погрешностью в данных 5, при котором можно гарантировать
достижения точности аппроксимации s на всем рассматриваемом классе функций.
Такого типа соотношение устанавливается для приближений суммами Фурье-
Чебышева аналогично аппроксимационным свойствам тригонометрических рядов
Фурье; то же соотношение имеет место и для рассматриваемых в данном параграфе
приближений рядами Фурье.
Приложение 3. Базисные системы функций 443
Если гладкость разлагаемой в тригонометрический ряд Фурье функции доста-
точно высока, то сходиться будут и ряды, получаемые в результате почленного
дифференцирования. Имеет место следующий результат: если W^M^, где
г = 2, 3,, М > 0, то при 1>2г справедливы порядковые оценки
где постоянная С > 0 зависит от г и s, но не зависит от I.
В метрике пространства L2 [-л, л] порядок приближения частичными суммами
Фурье максимален по точности: если г (7) е то
||х-х,||,	(П.3.11)
Для производных при x(z) е 1F2'’27:, г > 1 справедливы оценки, аналогичные (П.3.11):
для s = 1, г -1
(П.3.12)
II	112
В дальнейшем нам потребуется также оценка коэффициентов Фурье функций
классов lF27l(Af). Известно, что если r(z)e	то для ее коэффициентов Фу-
рье справедливы оценки:
3/71 л 1 э
—-, г = 0,1,2,...;
2k
:^Л = 1,2„...
2k
П.3.1.1. Применение линейных методов суммирования
В предыдущем разделе был приведен метод приближения суммами Фейера, с по-
мощью которого любую непрерывную 2л-периодическую функцию можно прибли-
зить в равномерной метрике. Этот метод является одним из линейных методов сум-
мирования рядов Фурье, суть которых в некотором линейном преобразовании коэф-
фициентов ряда Фурье.
С помощью линейных методов суммирования можно решать не только задачу
достижения сходимости разложений непрерывных функций в равномерной метрике.
Поскольку точность приближения частичными суммами Фурье по многочленам Че-
бышева на 1п/ хуже, чем точность приближения многочленами наилучшего прибли-
жения, естественной выглядит попытка «подправить» коэффициенты в сумме Фурье
так, чтобы они доставляли наилучшее по порядку приближение функциям из классов
1Г2л (^)- Эта задача хорошо известна в теории приближений.
Известен следующий результат: если x(t} е 1Г2л (М), г = 1,2,..., то приближения
тригонометрическими многочленами /-го порядка
r (t,x) = —+ ^2Г1-(1-Х^)г"|(д^ coskt + bk sin^z),	(П.3.13)
2 Ar=lL	j
где h =	’ = cos | — |, приближают функции класса с точностью
sup ||х- R] г (•; х)|| >—< I
хе<(М)
(П.3.14)
444
Статистическая динамика и идентификация САУ
Таким образом, приближения тригонометрическими полиномами Rlr(t,x} явля-
ются оптимальными по порядку точности на рассматриваемом функциональном
классе. Суммы Rlr(t,x} называются суммами Фурье-Рагозинского порядка г.
Таким образом, достичь оптимальной по порядку точности на классах W^n (^)
при точной информации можно с помощью сумм Фурье-Рагозинского соответст-
вующего порядка.
Отметим, что, в отличие от приближений частичными суммами Фурье, методы
приближения многочленами Rlr(t,x} насыщаются на классе	и приближать
с их помощью более гладкие функции не имеет смысла.
Остановимся сейчас на следующем факте. В формуле (П.3.13) приближающий
многочлен Rlr(t,x} разлагается по тригонометрической системе. Следовательно,
этот способ и метод приближения частичными суммами Фурье являются различными
методами проектирования на (2/ + 1)-мерное подпространство с базисом из тригоно-
метрических функций. Обозначим через и соответственно операторы,
ставящие в соответствие функции ее частичную сумму Фурье и сумму Фурье-
Рагозинского порядка г. Тогда для норм этих операторов в пространстве С [-л, л]
справедливы соотношения
||й(/)||^1п/;	(П.3.15)
где постоянная Сг зависит только от числа г.
Однако если оператор рассматривать на функциях из класса
г = 1,2,..., то такие сужения операторов будут также иметь ограниченные в совокуп-
ности нормы в силу сходимости приближений ||х - Q\—> О, I оо для этих опера-
торов на классах W^n (^0 и хорошо известного принципа фиксации особенностей.
Таким образом, используя линейные методы суммирования, в частности суммы
Фурье-Рагозинского соответствующего порядка, можно добиться максимально
возможной по порядку скорости сходимости разложений по тригонометрическому
базису функций из любого класса W^n (^)-
В последующих главах суммы Фурье-Рагозинского использоваться не будут, но
читатель, используя приводимые ниже матричные операторы и формулу (П.3.13),
может легко повысить точность аппроксимации исследуемой системы в равномерной
метрике.
Отметим, что с помощью приближений суммами Фурье-Рагозинского можно
решить проблему базисности тригонометрической системы в пространстве непре-
рывных функций: оказывается, что суммы Фурье-Рагозинского (П.3.13) порядка
г = 1 приближают в равномерной метрике любую 2п-периодическую функцию
x(t) е С [-л, л].
Для оценки влияния погрешности о в коэффициентах на точность аппроксима-
ции суммами Чебышева-Рагозинского можно применить рассмотренный выше при-
ем. Оценка сверху (2/ + 1)<э очевидна. Нетрудно проверить, что по порядку она точ-
на. Таким образом, если информация является 5-приближенной, то к правой части
оценки (П.3.14) следует прибавить величину I ф21 +1) о.
Приложение 3. Базисные системы функций 445
П.3.1.2. Система косинусов
Хорошо известно, что если разлагаемая в тригонометрический ряд Фурье функ-
ция является четной, то все коэффициенты bk = 0, к = 1,2,... и функция разлагается
в ряд по косинусам.
Известно локальное свойство тригонометрических рядов Фурье: сумма ряда Фу-
рье в любой точке зависит лишь от значений разлагаемой функции в некоторой ок-
рестности этой точки. Но это означает, что если некоторая непрерывная функция
задана на полупериоде [0,л], то ее можно продолжить на весь отрезок [-л, л]
четным образом, а затем доопределить до 2л-периодической. Если такую функцию
разложить в тригонометрический ряд Фурье, то разложение превратится в разложе-
ние по косинусам, а сумма ряда на интервале [0, л] будет такой же, как и при любом
другом способе доопределения функции.
Таким образом, функции, заданные на отрезке [0,л], можно разлагать в триго-
нометрический ряд по косинусам. Отметим, что доопределяя функцию нечетным об-
разом, можно получать разложения по синусам. Но поскольку эти два вида разло-
жений аналогичны, будем в дальнейшем рассматривать лишь одно из них.
Базисной системой косинусов называется совокупность функций
{1, cos t, cos 2/,..., cos nt,...},
которая образует ортогональную систему на отрезке [0, л].
Каждой функции х(/)еС2[0, л] можно поставить в соответствие тригономет-
рический ряд Фурье по косинусам или просто ряд по косинусам
x(t) ~ — + У}ап cosnt,	(П.3.16)
И=1
коэффициенты которого вычисляются по формулам
ап = — [%(/)cosntdt, п = 0,1,2,....	(П.3.17)
71 о
Обозначим через х1 (?) частичную сумму ряда Фурье порядка I:
а
xl (г) = — + ^ak cos kt.	(П.3.18)
2 k=i
В силу приведенных выше рассуждений система косинусов обладает аппроксима-
ционными свойствами, аналогичными свойствам тригонометрической системы. Это
означает, что для приближений частичными сумами (П.3.18) справедливы оценки
(П.3.14) и (П.3.15), но в отличие от тригонометрической системы они будут справедли-
вы для соответствующих классов непериодических функций Wr(M,S^ и W2n(M,S^
на отрезке [0,л]. Действительно, если функция принадлежит, например, классу
Wr(M,S^ на отрезке [0,л], то продолжив ее до четной 2 л-периодической, получим
функцию из класса W^n (^) •> а ее РЯД°М Фурье будет ряд Фурье по косинусам.
Система косинусов является ортогональным базисом в пространстве С2 [0, л], ес-
ли в качестве коэффициентов разложения рассматривать коэффициенты Фурье
(П.3.17). Так же как тригонометрическая система, система косинусов образует базис
и в пространстве С[0, л], если в качестве коэффициентов разложения использо-
вать суммы Фейера по косинусам
446
Статистическая динамика и идентификация САУ
(П.3.19)
(П.3.20)
'/<=()	к=1 V n-t-L
или суммы Рагозинского первого порядка по косинусам
а 1
RiX (t А) =	+ Е Xk“k cos kt.
2 k=i
Ряды Фурье могут быть представлены в интегральной форме, широко используе-
мой в теории автоматического управления.
Если x(t} имеет период 2 л, то ее частные суммы Фурье могут быть записаны в
виде
(П.3.21)
где
z ч sin 2/ + 1И/2
D, (/) =--
' sin (//2)
Функция называется ядром Дирихле /-го порядка. Для него справедливы
соотношения
Сумму Фейера можно представить так:
(П.3.22)
где
sin2 (/т/2)
Ф, (т) =------
/sin2 (т/2)
Функция Ф/(т) называется ядром Фейера и обладает следующими свойствами:
2.
3. шах Ф/(т)^0 при /—>оо, при любом фиксированном 5>0.
0<6<|т|<7Т
П.3.2. ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА [132]
Смещенными на отрезок |j0, tj- J многочленами Лежандра называются многочле-
ны, определяемые формулой Родрига [132]
Гг	, v 1W
Приложение 3. Базисные системы функций
447
Многочлены Лежандра легко получать из известных рекуррентных формул: для
к = 1,2,...:
(П.3.23)
I ff
С помощью этих формул можно вывести и явные зависимости для многочленов
Лежандра:
2'
к=0
——1--------------\---иу_1
к\(п-ку\п-2к}\\^ tf -t0
(П.3.24)
Многочлены Лежандра являются ортогональными на отрезке	с весовой
функцией р(/) = 1.
Соотношение ортогональности:
h
\Pn(t)P„(t)dt = .
О,
/у -t0
п т;
п = т.
_ 2п +1
Для функций x(z) g Z? |j(),/y J коэффициенты Лежандра определяются выражением
схк =^±L^x(t)Pk(t)dt, £ = 0,1,....	(П.3.25)
го
Ряд Фурье-Лежандра, сходящийся к функции в метрике Z2^/0,/yJ, имеет
вид '^ickPk(t}. Частичные суммы порядка / ряда Фурье-Лежандра будем обозна-
к=0
чать тем же символом х1 (/).
Справедлив следующий результат: если x(t} g Wr (M,S^, г = 1,2,..., то %/(?)
сходится к х(/) равномерно на отрезке	и имеет место оценка
(П.3.26)
где постоянная С зависит от г и	но не зависит от I.
Таким образом, приближения частичными суммами Фурье-Лежандра по порядку
на 1/2 хуже оптимальных. В то же время метод приближений суммами Фурье-
Лежандра ненасыщаем на классах 1Т'(5').
В среднеквадратичной метрике справедлива следующая оценка погрешности: ес-
ли x(t) g J72Yp	г = 1,2,..., то xm(t} сходится к по норме	и
имеет место неравенство
КМ
т
где постоянная К также зависит от г и отрезка , tj- J, но не зависит от т.
Ниже приведены явные выражения, определяющие первые 16 полиномов Лежан-
дра, ортонормированных на интервале [0,1]:
448 Статистическая динамика и идентификация САУ
^oW = 1;
Р1(/) = (2/-1)Тз;
Р2(/) = (б/2-6/ + 1)75;
Д (/) = (20? -30? +12/ -1)77;
Р4 (/) = 210? - 420? + 270? - 60/ +1;
Р5 (/) = (252? -630? +560? -210? +30/-1)7П;
Р6 (/) = (924? -2772? +3150? -1680? +420? -42/+ 1)713;
Р7(/) = (3432? -12012? +16632? -11550? +4200? -756? + 56/-1)715;
Р8(/) = (12810? -51480? +84084?-72072? +34650? -9240? +1260? -72/ + 1)717;
р9 (/) = (48620? -218790? + 411840/7 -420420? +252252? -
-34650? +34320? —1980? +90/-1)719;
Р10(/) = (184756?° -923780? +1969110? -2333760? +1681680? -
-756756? +210210? -34320? +2970? -110/ +1)721;
Р11(/) = (704532/11-3879876?°+9237800?-12471030?+10501920?-
-5717712? +2018016? -450450? +60060? -4290? +132/-1)723;
Рп (/) = 13520780?2 -81124680/11 +213393180?° -323323000? +
+ 311775750? -199536480? +85765680? -24504480? +4504500? -
-500500? +30030? -780/+ 5;
^3(/) = з(10400600/13 -67603900?2 +194699232?1 -327202876?° +
+ 355655300? -261891630? +133024320? -46558512? +11027016? -
-1701700? +160160? -8190? +182/-1)ТЗ;
(/) = (40116600/14 - 280816200?3 + 878850700?2 -1622493600?1 +
+ 1963217256?° -1636014380? +960269310? -399072960? +116396280? -
-23279256? + 3063060? -247520? +10920? -210/ + 1)729;
Р15 (/) = (155117520?5 -1163381400?4 + 3931426800?3 -7909656300?2 +
+ 10546208400?1 -9816086280?° +6544057520? -3155170590? +
+ 1097450640? -271591320? +46558512? -529740? +371280? -
-14280?+240/-1)7зТ.
Графики первых 16-ти полиномов Лежандра, орто нормированных на интервале
[0,1], представлены на рис. П.3.1, а-г.
Приложение 3. Базисные системы функций
449
в
Рис. П.3.1. Графики первых 16-ти полиномов Лежандра
450
Статистическая динамика и идентификация САУ
Продолжение рис. П.3.1
Если Ег (х) — наилучшее приближение функции х(7) многочленами степени не
выше I, то имеет место следующая теорема [132].
Пусть функция х(/) определена на отрезке [0,Т], и пусть lim/Д (х) = 0; тогда
ряд Фурье функции х(7)по системе полиномов Лежандра равномерно сходится к
самой функции х(/) на отрезке [0,Т].
Последняя теорема позволяет сделать важный вывод: если x(t} дважды непре-
рывно дифференцируема, то ряд Фурье этой функции по системе полиномов Ле-
жандра сходится равномерно на [0,Т].
П.3.3. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА 1-ГО РОДА [132]
Система полиномов Чебышева 1-го рода [Тп (-)}, ортогональных на интервале
[-1, 1] с весовой функцией р(Ф) = (1-?) \ образует базис в пространстве
L, [-1, 1]. Полиномы Чебышева 1-го рода определяются формулой Родрига [132]
Тп (-) =12H22J_Ai[(i_-2)”-1/2]	(П.3.27)
(2лг-1)!! dzn I? ' J
и могут быть вычислены по следующему рекуррентному соотношению [132]:
^P) = 2zT„(z)-T„_P); T0(z) = l, TP) = Z.	(П.3.28)
Явные выражения для первых одиннадцати полиномов Чебышева 1-го рода име-
ют вид:
T0(z) = l; 7](z) = z; T2(z) = lz2-1;
T3(z) = 4? -3z; T4(z) = 8?-8?+l;
T5 (?) = 16? - 20? + 5z; T6 (z) = 32? - 48? +18? -1;
T7 (z) = 64? -112? + 56? - 7z;
Приложение 3. Базисные системы функций
451
Т8 (z) = 128? - 256? +160? - 32? +1;
Т9 (z) = 256z9 - 576z7 + 432z5 - 120z3 + 9z;
T10 (z) = 512z10 - 1280z8 +1120z6 - 400z4 + 50z2 -1.
Если рассматривать интервал [0,T], то воспользовавшись линейным преобразо-
ванием 2t = T(z + l), z = 2t/T + \, легко получить систему смещенных полиномов
Чебышева l-ro рода. Учитывая, что dz = 2dt/T, формулу Родрига для смещенных
полиномов Чебышева l-ro рода можно записать в следующей форме:
Графики первых 16-ти полиномов Чебышева 1-го рода, ортогональных на интер-
вале [0,1], представлены на рис. П.3.2, а-г.
(П.3.29)
Рис. П.3.2. Графики первых 16-ти полиномов Чебышева Его рода
452
Статистическая динамика и идентификация САУ
г
Продолжение рис. П.3.2
Далее будем рассматривать промежуток Q = |у0, J.
Многочленами Чебышева 1-города, смещенными на отрезок |y0,Qj, называют-
ся многочлены
—---22-1
If-to
Получать многочлены Чебышева легко из известных рекуррентных формул
7}(/) = cos zarccos
ri+i« = 2
справедливых при k > 1. Так как То (/) = 1,
2(/~ф)
(z/ -/о)
(П.З.ЗО)
(П.3.31)
-1, то из формул (П.3.31)

If ф

можно последовательно находить многочлены Чебышева Т2 (/), Т3 (/),... •
Приложение 3. Базисные системы функций 453
Подробнее со свойствами многочленов Чебышева можно ознакомиться по моно-
графии [132].
Многочлены Чебышева Тг(z) ортогональны на отрезке |/0,ZyJ с весовой функци-
ей р(/) =	. Пусть	Тогда для нее определены ко-
эффициенты Фурье-Чебышева
г/
cxk=^\x(t)Tk(t)p(t)dt, k = Q,l,...,	(П.3.32)
71 t
f0
где ос0 =1 и ak = 2 при к > 1, а ряд Фурье-Чебышева имеет вид
ЁЩЦД
к=0
Обозначим через xz (/) частичную сумму ряда Фурье-Чебышева порядка I:
т-1
Ч') = 2АШ	(п.з.зз)
к=0
Как уже было отмечено, многочлены Чебышева исключительно популярны благо-
даря очень хорошим аппроксимационным свойствам. Приведем некоторые результа-
ты о скорости приближения классов гладких функций частичными суммами Фурье-
Чебышева в случае точной информации (степень гладкости определяется порядком
дифференциального уравнения САУ).
Для классов Wr (M,S^ порядок приближения суммами Фурье-Чебышева в рав-
номерной метрике дается следующей формулой', если x(t}&Wr (М ,S^, где
г = 1, 2, 3,..., М > 0, то при п> г справедливо неравенство
( 4
МКД 1 + -111/
||х-Ц|<------3 Л	(П.3.34)
где
=	у.	(П.3.35)
Из сравнения оценки (П.3.34) с порядковой величиной поперечника Колмогорова
rf4rr(A/,5),c[w/]) = r''
убеждаемся, что приближения суммами лишь на InZ хуже оптимального в смысле
порядка. Естественно, при больших значениях величины г это не очень важно. Кро-
ме того, алгоритм приближений частичными суммами Фурье-Чебышева является не
насыщаемым на классах Wr(jS^, что является существенным аргументом к его
применению.
Скорость сходимости приближений функций частичными суммами Фурье-
Чебышева существенно возрастает для аналитических функций. Пусть f (t) — ана-
литическая функция на отрезке S = |/0, tj J. Тогда ее можно разложить в ряд Тейло-
ра по степеням (z-(7y-Z0)/2). Если радиус сходимости этого ряда г будет больше
половины длины отрезка S, то функция может быть продолжена единственным об-
разом до аналитической внутрь круга радиусом R. Обозначим через дЕр, р > 1 эл-
454
Статистическая динамика и идентификация САУ
липе с фокусами в концах отрезка S и с полуосями ар
^(р + 1/р) и
ЬР
‘f ~10
4
(р-1/р). Через Ер обозначим замкнутую область плоскости, ограничен-
ную эллипсом сЕр.
Обозначим через А^Ер,М^ класс аналитических на отрезке S функций, допус-
кающих аналитическое продолжение в область Е и удовлетворяющих условию
|/(z)| <М, z&Ep. В качестве метрики на классе А[Ер,М} будем рассматривать равно-
мерную метрику на действительной оси. Как и выше, через Л(.Ер) обозначим совокуп-
ность классов А^Ер,М^ при фиксированном р и всевозможных положительных М.
Для приближения классов А(ЕГ,М} частичными суммами Фурье-Чебышева
справедлива оценка
,	(П.3.36)
которая является оптимальной по порядку точности.
Отметим, что хотя ввод класса А(Ер,М^ может показаться искусственным,
большинство аналитических функций, входящих в качестве коэффициентов или пра-
вых частей в уравнения технических систем, допускают аналитическое продолжение
во всю комплексную плоскость (такими являются, например, функции вида
х = eat sin wt, х = taeat chwt и т.п.). Но это означает, что они принадлежат классам
Л (.Ер) при любом р > 1, а для проверки принадлежности функции некоторому клас-
су А\Е М] требуется лишь оценить величину max /(х) приданном р.
Будет использована оценка скорости убывания коэффициентов Фурье-Чебышева
функций из классов А(Ег,Му. если x(t} е А(ЕГ,М^ с г > 1, то
4 = 0,1,....	(П.3.37)
Отметим, что существенное улучшение скорости сходимости частичных сумм ря-
да Фурье-Чебышева происходит лишь для функций, допускающих аналитическое
продолжение с отрезка внутрь некоторого эллипса. Если известно, что особенностей
на отрезке	у аналитической функции /(/) нети М = max |/(/)|, то най-
дутся г > 1 и М’ > М такие, что f (/) е А(ЕГ,М’У но оценка величин г и М’ может
оказаться затруднительной. Поэтому, поскольку в инженерной практике затрудни-
тельно искать аналитические продолжения используемых функций и оценивать сте-
пень их роста, такие классы функций более рассматриваться не будут. В этом случае
будем учитывать, что если функция x(t^ является аналитической на отрезке
то оценка (П.3.36) справедлива при любом г. Однако величина М =МГ, как и в пе-
риодическом случае, обычно возрастает при увеличении г. Поэтому даже для анали-
тических функций обычно оценивают производные некоторого порядка г и исполь-
зуют оценку (П.3.36).
Приложение 3. Базисные системы функций
455
Приведем еще один факт, связанный со сходимостью рядов Фурье по многочле-
нам Чебышева 1-го рода: пусть x(t} определена на отрезке	и пусть она
удовлетворяет условию Дини-Липшица; тогда ряд Фурье x(t} по системе много-
членов Чебышева 1-го рода равномерно сходится к самой функции x(t} на отрезке
причем имеет место оценка [132]
|xz (7)-х(7)| < (3 + In/)Е1 (х).	(П.3.38)
Показано [132], что приведенные результаты в определенном смысле точны, от-
куда следует, что для равномерной сходимости рядов Фурье по многочленам Чебы-
шева 1-го рода достаточно меньшей гладкости, чем для равномерной сходимости
рядов Фурье по многочленам Лежандра.
Как и для приближений тригонометрическими рядами Фурье, частичные суммы
рядов Фурье-Чебышева от непрерывных функций могут расходиться в равномерной
метрике. Таким образом, если рассматривать систему многочленов Чебышева с ко-
эффициентами, вычисляемыми по формулам (П.3.32), то базисом в пространстве
она не будет. Однако если непрерывные функции приближать с использо-
ванием некоторых линейных методов суммирования, например метода Фейера
1~Д кд
=	1-- <Й((),	(П.3.39)
£=1Ч тд
то система многочленов Чебышева будет базисом в	В пространстве
система многочленов Чебышева является базисом и при приближении
частичными суммами Фурье-Чебышева.
Далее, аналогично приближениям тригонометрическими рядами Фурье, в случае
достаточно высокой гладкости разлагаемой функции к производным от этой функции
будут сходиться и почленно продифференцированные ряды Фурье-Чебышева. Имеет
место следующий аналог оценок: если х(/) е WrН1 (М,5), где г = 1,2,..., или
х(/) g Wr+i	М > 0, то при т>2г справедливы неравенства
CMlnl
(П.3.40)
где постоянная С > 0 зависит от г и s, но не зависит от I.
В метрике пространства L2p |j0, tj J порядок приближения частичными суммами
Фурье-Чебышева максимален по точности: если х(/) е IF/ •> = 1,2, • • •, то при 1>2г
||xW-x,(s)| р = Гт, « =	(П.3.41)
В дальнейшем нам потребуется также оценка коэффициентов Фурье-Чебышева
функций из классов Wr (m,S^. Эту оценку легко получить из аналогичной оценки
для коэффициентов Фурье по тригонометрической системе: если х(/) g Wr (M,S^, то
для ее коэффициентов Фурье-Чебышева (П.3.32) справедливы оценки
И|<^ к = 1,2,...,	(П.3.42)
1 1 2к
где постоянная С зависит от М, г и отрезка |j0, tj J. Эта постоянная равна макси-
муму модуля г-й производной четной периодической функции
456
Статистическая динамика и идентификация САУ
у(т) = х(/0 +(tf -^o)cos2(//2))
и может быть рассчитана либо аналитически, либо с помощью конечных разностей
r-го порядка на компьютере.
Отметим, что если коэффициенты Фурье-Чебышева известны, то значение час-
тичной суммы xz (/) можно получить по рекуррентным формулам (П.3.31). Однако
значительно эффективнее использовать схему Горнера, при реализации которой ис-
пользуется только I операций умножения и 21 операций сложения.
Рассмотрим сейчас случай, когда информация является 5-приближенной. Извест-
но, что вычислить коэффициенты Фурье по тригонометрической системе или по сис-
теме косинусов с точностью более высокой, чем 5, нельзя. Коэффициенты Фурье-
Чебышева функции х\Д совпадают с коэффициентами Фурье по системе косинусов
функции x(t0 +(tj- — Zo jcos2 (т/2)). При этом перед интегралами появляется постоян-
ный множитель 2.
Предположим, что точность вычисления коэффициентов равна <з, <з > 25. Но то-
гда на этапе восстановления эта погрешность может существенно возрасти. Действи-
тельно, пусть xz (/j — частичная сумма Фурье-Чебышева порядка I с точными коэф-
фициентами а xz (/) —сумма с о-приближенными коэффициентами Тогда
h -i/h ЁН -зЦ7; ('/)|£ АТ (01- /с-
2=0	2=0
причем легко показать, что оценка неулучшаема. Действительно, пусть = 0 для
всех z = 0,...,/-1, a cf =о для z = 0,...,/-l. Тогда, например, в точке t = tj будет
Z-1
4A-x'('7) = Sci7T/) = Zo’
2=0
следовательно, в этом случае ||xz -xz|| = /о.
Итак, установлено, что если информация является 5-приближенной, то к правой
части оценки (П.3.42) следует добавить слагаемое 1<з, где о > 25 — точность вычис-
ления коэффициентов Фурье-Чебышева, т.е. в случае приближенной информации
( 4
МКД 1 + -111/
||х - xz || <- -------- +	(П-3-43)
Таким образом, требовать приближения функций с точностью выше, чем
1<з > 2/5, используя суммы Фурье-Чебышева, нельзя. Но величина I сама определя-
ется точностью приближения 8, и если рассматривать приближения классов
Wr(M,S^, в силу (П.3.43) для достижения требуемой точности приближения, по
крайней мере, должно выполняться неравенство
( 3
МКД 1 + -111/
Ч 4 )
Из него находим, что величина I должна удовлетворять неравенству
, (^мк	(мкД\}'/г
/ > С----—In -----
I 8 х 8 ))
(П.3.44)
Приложение 3. Базисные системы функций
457
где в качестве С при достаточно малых а можно взять, например,
(5 У/г
с= — 
I Зг )
Но тогда, так как 2/8 < а, получим, что для гарантированного достижения точно-
сти аппроксимации а на всем рассматриваемом классе функций должно, по крайней
мере, выполняться неравенство
(П.3.45)
8 <
где Q =
1
2СМКГ ’
Таким образом, если требуется восстановить значение приближаемой функции с
точностью того же порядка, что и исходных данных, то алгоритм приближения
суммами Фурье-Чебышева неприменим. Если же допускается небольшая потеря в
порядке точности, то, как видно из формулы (П.3.45), метод приближения суммами
Фурье применим лишь для классов функций достаточно высокой гладкости.
С целью повышения точности приближения частичными суммами Фурье по мно-
гочленам Чебышева, которая для классов гладких функций по порядку на InZ хуже
наивысшей, так же как и для тригонометрической системы, широко используют ли-
нейные методы суммирования. При этом существует взаимно-однозначное соот-
ветствие между линейными методами суммирования тригонометрических рядов
Фурье и рядов Фурье-Чебышева.
Используя связь между рядами Фурье по многочленам Чебышева 1 -го рода и ря-
дами Фурье по косинусам от четных функций, из известных результатов по линей-
ным методам суммирования тригонометрических рядов Фурье легко получить сле-
дующий результат: если x(Y) g Wr (S), г = 1,2,..., а —коэффициенты Фурье-
Чебышева функции x(t}, то приближения многочленами порядка (Ф-1)
TfW (W) = Cj + у сф1 -(1 У к (/),	(П.3.46)
k=l L	J
где Xk =	) = cos[ ——-1, приближают функции класса с точностью
\2т )
sup ||х-(Цх)|| = о|/-г |,	(П.3.47)
т.е. являются оптимальными по порядку точности. Суммы R$ (t,x) будем назы-
вать суммами Чебышева-Рагозинского порядка г.
Таким образом, достичь оптимальной по порядку точности на классах lV'(Sj
при точной информации можно с помощью сумм Чебышева-Рагозинского соответ-
ствующего порядка.
Отметим, что, как и для тригонометрического базиса, в отличие от приближений
суммами Фурье-Чебышева, методы приближения многочленами R$ (t,x) насыща-
ются на классе Wr (5) и приближать с их помощью более гладкие функции смысла
не имеет.
Как и в случае тригонометрического базиса, методы приближения суммами
Фурье-Чебышева и Чебышева-Рагозинского являются методами проектирования
458 Статистическая динамика и идентификация САУ
на l-мерное подпространство с одним и тем же базисом — базисом из многочленов
Чебышева. Обозначим через и Q^c,r^ соответственно операторы, ставящие в
соответствие функции ее частичную сумму Фурье-Чебышева и сумму Чебышева-
Рагозинского порядка г. Тогда для норм этих операторов в пространстве C^t0,t/J
справедливы соотношения
|e,W|| = lnZ:||er||<Cr,	(П.3.48)
где постоянная Сг зависит только от числа г.
Однако если оператор рассматривать на функциях из класса
г = 1,2,..., то такие сужения операторов, как и в тригонометрическом случае, будут
иметь ограниченные в совокупности нормы.
Приближения суммами Чебышева-Рагозинского порядка г = 1 можно использо-
вать и с целью аппроксимации непрерывных, но не гладких функций, поскольку
многочлены 7?^ (?,х) приближают в равномерной метрике любую функцию
Для оценки влияния погрешности о в коэффициентах на точность аппроксима-
ции суммами Чебышева-Рагозинского можно применить прием, рассмотренный вы-
ше. Оценка сверху 1<з очевидна. Чтобы установить, что по порядку она точна, доста-
точно положить t = tf и, учитывая монотонное убывание коэффициентов a/v. при
1 < к < [лг/4] + 1 и монотонное возрастание на симметричном относительно
к = [п/4] +1 отрезке, показать, что
< (/,	[	2	1 .	(П.3.49)
Таким образом, суммы Чебышева-Рагозинского повышают точность аппрокси-
мации по сравнению с обычными суммами Фурье-Чебышева лишь в случае, когда
погрешности в исходной информации и в процессе вычисления коэффициентов Фу-
рье-Чебышева достаточно малы.
Получим условие согласования величин s и 6 для приближений суммами Чебы-
шева-Рагозинского. В силу (П.3.45), для достижения точности 8 величина I по по-
рядку должна быть не меньше величины гГ^г. Но тогда получаем
5 = s1+1/r.	(П.3.50)
Таким образом, используя линейные методы суммирования, в частности суммы
Чебышева-Рагозинского соответствующего порядка, можно добиться макси-
мально возможной по порядку скорости сходимости функций из любого класса
Wr (M,S\
П.3.4. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА 2-ГО РОДА [132]
1/2
Ортогональные на интервале [-1, 1] с весовой функцией р(р) = (l-z2) много-
члены Чебышева 2-го рода являются базисом в пространстве £2 [-1, 1]. Они могут
определяться с помощью рекуррентной формулы [132]
Приложение 3. Базисные системы функций 459
t/0(z) = 1; Ul(z) = 2z-,
U„ (.-) = 2zU„_r (z)-U„_2 n = 2,3,....
Для этой цели можно использовать формулу Родрига
а также зависимость
[и/2] t(n-k\
Un(z) = £(-!) -r4(2z)	• * = 0,1,....	(П.з.52)
к=0	\ J
Первые 15 многочленов Чебышева 2-го рода имеют вид:
^оИ = 1;
t/i(0 = 2z;
U2(z) = 4z2-1;
U3 (z) = 8z3 -4z;
t/4(z) = 16z4 -12z2 +1;
t/5(z) = 32z5 -32? +6z;
U6 (z) = 64z6 - 80z4 + 24z2 -1;
t/7 (z) = 128z7 -192z5 + 80z3 -8z;
U8 (z) = 256z8 - 448z6 + 240z4 - 40z2 +1;
U9 (z) = 512z9 -1024z7 +672z5 -160z3 +10z;
L710 (z) = 1024z10 -2304z8 +1792z6 -580z4 +60z2 -1;
t/n (z) = 2048Z11 -5120z9 +4608z7 -1792z5 +280z3 -12z;
t/12 (z) = 4096z12 -11264z10 +11520z8 - 5376z6 +1120z4 -84z2 +1;
t/13 (z) = 8192z13 -24576Z11 +28160z9 -15360z7 +4032z5 -448z3 +14z;
t/14 (z) = 16384z14 -53248z12 +67584z10 -42240z8 +13440z6 -2016z4 +112z2 -1.
Кроме многочленов Чебышева, определенных на интервале [-1, 1], часто исполь-
зуется система многочленов Чебышева 2-го рода < Un (х)
и=0
Смещенные многочлены Чебышева 2-го рода связаны с несмещенными с помо-
щью формулы
х > 0, п = 1, ±1,...
2 х 7 л/х
и определяются следующей зависимостью:
т-т* / \ х-' / 1 \fc I 2п + I — к | / \п-к „ 4
=	----7----- (4х) ,« = 0,1,....
k=Q к К J
(П.3.53)
(П.3.54)
Первые 15 смещенных многочленов Чебышева 2-го рода можно записать так
(0<х<1):
460 Статистическая динамика и идентификация САУ
t/oW = i;
Ц(х) = 4х-2;
t/2 (х) = 16х2 -16х + 3;
U3 (х) = 64х3 - 96х2 + 40х - 4;
U4 (х) = 256х4 - 512х3 + ЗЗбх2 - 80х + 5;
U5 (х) = 1024х5 - 2560х4 + 2304х3 - 896х2 + 140х - 6;
U6 (х) = 4096х6 - 12288х5 + 14080х4 - 7680х3 + 2016х2 - 224х + 7;
U7 (х) = 16384х7 -57344х6 +79872х5 -56320х4 +21120х3 -
-4032х2 + ЗЗбх-8;
U8 (х) = 65536х8 -262144х7 +430080х6 -372736х5 +183040х4 -
- 50688х3 + 7392х2 - 480х + 9;
U9 (х) = 262144х9 -1179648Х8 +2228224х7 -2293760х6 +
+ 1397760х5 -512512х4 +109824х3 -12672х2 + 660х-10;
Цо (х) = 1О48576х10 - 5242880х9 +11206656х8 - 13369344х7 +
+ 9748480х6 - 4472832х5 - 219648х3 + 20592х2 - 880х +11;
Un (х) = 4194304Х11 -23О68672х10 +55050240х9 -74711040х8 +
+ 63504384х7 -35094528х6 +12673024х5 -2928640х4 +
+ 411840х3 - 32032х2 +1144х -12;
Ц2 (х) = 16777216х12 -100663296хи +265289728х10 - 403701760х9 +
+ 39232960х8 - 254017536х7 +111132672х6 - 32587776х5 +
+ 6223360х4 -732160х3 +48048х2 -1456х + 13;
П13 (х) = 67108864х13 -436207616х12 +1258291200хи -
-2122317824х10 +2321285120х9 -1725825024х8 +
+ 889061376х7 -317521920х6 +77395968х5 -
-12446720х4 +1244672х3 -69888х2 +1820х-14;
Ц4 (х) = 268435456х14 -1879048192х13 + 5888802816х12 -
-10905190400Х11 +132644864ООх10 -11142168576х9 +
+ 6615662592х8 -2794192896х7 +833495040х6 -171991040х5 +
+ 23648768х4 -2036736х3 +99008х2 -2240х + 15.
Для получения ортогонального базиса, элементы которого определены на интер-
вале [0,Г], необходимо сделать замену переменной
С(0 = г[у-1]-	(П.3.55)
Графики первых 16-ти многочленов Чебышева 2-го рода при Т = 1 представлены
на рис. П.3.3, а-г.
Приложение 3. Базисные системы функций
461
Рис. П.3.3. Графики первых 16-ти полиномов Чебышева 2-го рода
462
Статистическая динамика и идентификация САУ
П.3.5. ФУНКЦИИ УОЛША [66]
В ряде технических дисциплин, в частности, в теории информации, теории авто-
матического управления, радиотехнике и др., исключительно популярной является
система функций Уолша. Причина ее популярности в том, что это ортонормиро-
ванная система функций, замкнутая в пространстве £2 [0,1] (или после преобразо-
вания, в любом пространстве С2[/0,/^]) и принимающая лишь два значения'. ±1, что
позволяет легко реализовывать аппаратно функции этой системы. Для достижения
равномерной сходимости функции Уолша следует рассматривать лишь пачками из
п = 2к функций.
П.3.5.1. Функции Уолша в нумерации Пэли
Существует несколько способов нумерации функций Уолша, наиболее популяр-
ными из которых являются нумерации Адамара, Пэли и Уолша [66]. Введем функ-
цию Уолша в наиболее популярной в теории функций нумерации Пэли.
Для удобства изложения будем рассматривать функции, определенные на полу-
интервале [0,1]. С помощью линейного преобразования s =	+ систему
функций Уолша можно рассматривать на произвольном полуинтервале
При таком преобразовании все приводимые ниже результаты остаются справедли-
выми.
Определим функцию
1, если t е [0.1/2);
Г<УН .	, Г|/,
-1, если t е [1/2,1],
и продолжим ее периодически с периодом 1 на всю числовую ось. Определим функ-
ции rk (7) = r0 ^2/l , k = 1,2,..., которые представляют собой сжатия функций г0 (7)
в 2к раз. Функции гк (7) называются функциями Радемахера.
Приложение 3. Базисные системы функций
463
Из определения функций Радемахера видно, что гк (?) имеет период 2 к, посто-
янна на двоичных полуинтервалах ^m2-/c-1, (т + 1)2-/с-1), где т — любое целое
число, и принимает на этих полуинтервалах попеременно значения 1 и -1. В точках
разрыва вида т2~к~{ функция гк (?) непрерывна справа. График функции (?) при-
веден на рис. П.3.4.
Отметим, что функции Радемахера определяют иногда формулой
гк (?) = sign(sin 2/с+1л?),	(П.3.56)
где
1 при t > 0;
sign t = < 0 при t = 0;
-1 при t < 0.
Разница между этим определением и определением, приведенным выше, в том,
что при втором определении функции гк (z) в точках разрыва равны 0, в то время как
при первом определении, которое принимается за основное, функции Радемахера в
нуль нигде не обращаются.
Система функций Уолша в нумерации Пэли получается с помощью перемноже-
ния функций Радемахера. Положим со0 (?) = 1. Для определения функции Уолша при
п > 1 представим число п в двоичной форме записи
« = yS,2-',	(П.3.57)
г=0
где s/c = 1, а при z = 0,1, 2,..., к-1 либо 8г = 0, либо 8г =1. Очевидно, что
2к <п<2к+\ где к = к(п). Положим
(0 = П<< ИГ = г1< ИПб (')Г-	(П.3.58)
z=0	z=0
Из определения вытекает, что функции Уолша принимают лишь два значения:
±1, а в точках разрыва непрерывны справа.
Приведенное определение позволяет рассматривать функции Уолша на всей чи-
словой прямой. В то же время можно ограничиться периодическим случаем и рас-
464
Статистическая динамика и идентификация САУ
сматривать их только на полуинтервале [0,1) или на отрезке [0,1]. Из приведенного
определения вытекают следующие свойства функций Уолша [66]:
1.	Произведение целых степеней любого конечного числа функций Радемахера сов-
падает тождественно с некоторой функцией Уолша. В частности,
Гк (0 = (0 при 1 = 2k-
2.	Произведение функций Уолша &п (/) и сщ (/) совпадает с некоторой функцией
Уолша coz причем тогда и только тогда, когда п = 1, а если I <п< 2/с+1, то l0 <2Ш.
Это свойство обычно называют свойством мультипликативности функций Уолша.
3.	Функция сои (/) при 0 < и < 2/с+1 принимает постоянное значение, равное 1 или
-1 на каждом из полуинтервалов
д(*+>) = Г-1— ,АГ|, 0</<2‘-1,
1	2/<+ 2/c+1 J
причем сои (/) = 1 на крайнем левом интервале Д^/с+1) называются двоичными по-
4.
луинтервалами ранга I.
Система функций Уолша является ортонормированной системой на [0,1], т.е.
о
если п = 1’,
если п I.
Обозначим через co^z+^ постоянное значение, которое при 0 < и < 2/с+1, 0 < I < 2/с+1
принимает функция сои на двоичном полуинтервале Д^+1\ Тогда если ввести мат-
х /п^+1	<ч/с+1
рицу порядка 12 х 2 I из элементов 1 % то она полностью опишет первые 2
функций Уолша. Можно доказать, что матрица W/c+1 является симметричной и
«почти» ортогональной, если под «почти» ортогональностью матрицы В понимать
условие ВВТ = ВТВ = ХЕ, где X — некоторая постоянная (в случае X = 1 матрица В
ортогональна). Для матриц	легко устанавливается справедливость отношений
«X = WtTWt=2‘.
6. Матрицы {W/c+1} могут строиться последовательно, поскольку для каждого к
матрица {W/c+1} выражается через матрицу [Wz.] с помощью отношений
соС+О = со(М =соС).
ш2и,/	<°2и+Ц «>nj ,
(к+
р
2п,2к +/
®2п+\,2к +/
= СО
(/с)
п,1
при 0<и<2/с-1, 0 < I < 2к-1.
Утверждение 6 используется для конструирования матриц WZc и определения с их
помощью значений функций Уолша. Например, первые четыре функции описывают-
ся матрицей
1 1 Г
1 -1 -1
-1 1 -1 
-1 -1 1
Приложение 3. Базисные системы функций 465
Это означает, что, например, функция со2 (t) на полуинтервалах [0,1/4), [1/4,1/2),
[1/2,3/4) и [3/4,1) принимает постоянные значения 1,-1, 1,-1 соответственно.
Первые восемь функций Уолша описываются с помощью матрицы
"11 1-11-11 Г
11 1-1-11-1-1
11-11 1 -1 -1 -1
11-11-11 1 1
w3 =
i-ii-ii-ii-i
i-ii-i-ii-ii
i-i-ii i-i-ii
i-i-ii-ii 1-1
и т.д. Простая структура матриц W/c позволяет их эффективно рассчитывать
последовательно. При этом известны так называемые быстрые алгоритмы расче-
та элементов этих матриц — быстрые алгоритмы преобразования Уолша.
Матрицы W/c связывают первые I = 2/с функций Уолша с блочно-импульсными
функциями (БИФ) ранга I = 2/с. Действительно, если ввести столбец из первых I = 2/с
функций Уолша Wz (?) и столбец Ф; (?) из БИФ ранга I = 2/с, то справедливо равенство
Wz(/) = W/cOz(/).	(П.3.59)
Из соотношения (И.3.59) вытекает справедливость формулы обратной связи
(П.3.60)
Формулы (И.3.59), (И.3.60) означают линейную связь между первыми I = 2/с
функциями Уолша и БИФ ранга I = 2к.
П.3.5.2. Приближение частичными суммами рядов Фурье-Уолша [66]
Пусть х(/) G Z2 [/0, /у ]. Рядом Фурье-Уолша функции х(/) называется ряд
x(z) □££>,(/),	(П.3.61)
i=0
коэффициенты которого вычисляются по формулам
1
с* = jx(/)coz (t}dt, z = 0,1, 2,....	(П.3.62)
о
Коэффициенты, вычисляемые по формулам (И.3.62), называются коэффициента-
ми Фурье-Уолша функции х (t).
Система Уолша полна и замкнута в пространстве £2 [0,1]. Что касается про-
странства С[0,1], то в нем система Уолша не замкнута', существуют непрерыв-
ные функции, ряды Фурье-Уолша которых расходятся. Однако если рассматривать
частичные суммы Фурье-Уолша порядка I = 2/с, то их последовательность S k
равномерно сходится к x(t} для любой функции х(/)еС[0,1]. Таким образом, для
достижения равномерной сходимости нужно рассматривать не произвольные по-
следовательности частичных сумм Фурье-Уолша, а только их подпоследователъно-
466
Статистическая динамика и идентификация САУ
сти с номерами I = 2к. Но это означает, что для повышения точности функции
Уолша нужно добавлять не по одной, а «пачками» — если использовались I = 2/с
функций, то для повышения точности аппроксимации в равномерной метрике нуж-
но добавить, по крайней мере, функции с номерами l = 2k +1, 2k + 2,..., 2/c+1. Но в
силу формул (П.3.59) и (П.3.60) существует взаимно однозначная связь между пер-
выми I = 2к функциями Уолша и БИФ ранга I = 2к. Тогда в силу минимального
свойства коэффициентов Фурье по произвольной ОНС частичные суммы рядов Фу-
рье-Уолша порядка I = 2к и рядов Фурье по БИФ ранга I = 2к совпадают. Это озна-
чает, что с точки зрения аппроксимационных свойств суммы Фурье-Уолша и суммы
Фурье по БИФ равноценны. Часто вместо сумм Фурье по БИФ (коэффициенты раз-
ложения которых следует вычислять через интегралы) используются более простые
(коэффициенты разложения в которых равны значениям разлагаемой функции в
средних точках отрезков разбиения) и одновременно более точные на классах
W1(^M,S) (реализующие поперечники Колмогорова этих классов) суммы БИФ.
Кроме того, в суммах БИФ точность можно повышать и более плавно — после
lk = 2k можно выбрать любое I > lk, а не обязательно I = 2/с+1. Таким образом, и с
точки зрения аппроксимационных свойств в равномерной метрике система БИФ
имеет некоторые преимущества перед системой функций Уолша.
Приведем оценки погрешности приближения частичными рядами Фурье-Уолша.
В равномерной метрике для g JK1 (M,S}
||х-х,||<^-.	(П.3.63)
где к такое натуральное число, что 2к < I < 2/с+1. Если же	(M,S^, то схо-
диться в среднеквадратичной метрике будет последовательность частичных сумм
Фурье-Уолша любого порядка и в метрике пространства £2 [0,1] справедлива оценка
Э3/2 д/
||х-х,||<А__.	(П.3.64)
Обе оценки (П.3.63) и (П.3.64) неулучшаемы, т.е. алгоритм приближения суммами
Фурье-Уолша насыщается на приведенных классах функций.
П.3.6. СПЛАЙНЫ [66]
Известно, что весьма эффективным по точности аппаратом приближения классов
функций является сплайн-интерполяция. Помимо замечательных экстремальных
свойств, сплайн-аппроксимация обладает и высокой устойчивостью к погрешностям
в исходных данных.
В теории приближений рассматриваются сплайны различного типа, которые от-
личаются порядком, степенью дефекта, расположением узлов, принципом подбора
коэффициентов, способом выбора граничных условий и т.п. Наиболее простыми в
применении являются так называемые локальные сплайны. Этот факт отмечен в мо-
нографиях (см. [66]), хотя в прикладных областях до сих пор чаще используют ин-
терполяционные сплайны. Главное преимущество локальных сплайнов — в чрезвы-
чайной простоте вычисления коэффициентов и более высокой по сравнению с ин-
терполяционными сплайнами устойчивостью к возмущениям. Но эти два требования
являются основными при выборе базиса для применения проекционного метода ис-
следования сложной технической системы.
Приложение 3. Базисные системы функций
467
Помимо указанных преимуществ локальных сплайнов по сравнению с интерполя-
ционными, их можно трактовать и как базисные функции, и, таким образом, к ним
можно во многом применять тот же подход, что и к ортогональным системам функций.
П.3.6.1. Локальные сплайны нулевого порядка [66]
Ориентиром для выбора наиболее эффективного метода аппроксимации заданно-
го функционального класса является поперечник Колмогорова. Для класса Н1 (M.S}
поперечник Колмогорова равен
Д«‘(ло),с|У,г/]) =
(П.3.65)
причем оптимальным по точности алгоритмом аппроксимации является приближение
сплайнами нулевой степени по равномерному разбиению с коэффициентами разло-
жения, равными значениям приближаемой функции в серединах отрезков разбиения.
Множество сплайнов нулевой степени можно трактовать и как ортонормирован-
ную систему. Такая трактовка очень популярна в технической литературе, поскольку
свойство ортогональности позволяет упростить применение кусочно-постоянных
аппроксимаций к решению различных прикладных задач.
Фиксируем натуральное I и разобьем отрезок	Д/ ] на I равных отрезков точ-
ками /г- = t0 + ih, h = (tf ~t^/l, i = 1,1. Блочно-импульсными функциями (БИФ) ранга
I, или сплайнами нулевого порядка, называются функции
Ф, (0 =
1, если t G Дг- = [^Дг);
О, если t е. [/0, /у ] \ Дг-,
(П.3.66)
где функция ф; (t} доопределена в точке t = tj- равенством ф; (t?) = 1 (z-я БИФ изо-
бражена на рис. И.3.5). Из определения функций фг (t} видно, что они имеют непере-
секающиеся носители и, следовательно, образуют ортогональную систему функций
на отрезке , tj- J.
Рис. П.3.5. График БИФ х(ф = ф- (/)
Для функции х(/) G Z2 [/0Ду] коэффициенты Фурье по системе БИФ определяет-
ся следующим образом:
1г	1г	—
хг- = — I х(/)фг-(t}dt = — x(t}dt, i = 1,1,
«о	А/
(П.3.67)
468
Статистическая динамика и идентификация САУ
и сумма Фурье по БИФ
=	(п.з.68)
Z=1
Пусть х(?)еС[уу]. Тогда если к интегралам, стоящим в правых частях фор-
мул (П.3.67), применить формулу прямоугольников, т.е. вычислять коэффициенты
Фурье-БИФ по простейшей формуле
=х(тг), тг- = tl 1 + tl , 1 = 1,...,1,	(П.3.69)
то, как указано выше, точность приближения суммами Фурье по системе БИФ будет
максимально высокой, и приближения суммами Фурье по БИФ для функций из клас-
са	будут реализовывать поперечник Колмогорова
где
М = max |х'(/)|.	(П.3.71)
Отметим, что приближения суммами Фурье-БИФ с использованием формулы (П.3.69)
совпадают с интерполяционными сплайнами нулевой степени с узлами в точках тг .
Система БИФ фиксированного ранга /, естественно, не полна. Однако если рас-
сматривать суммы Фурье по БИФ возрастающих рангов, то разложения xz (z) схо-
дятся к функции x(t} при Z—>оо равномерно на |j0,ZyJ. В этом смысле совокуп-
ность систем БИФ разных рангов является замкнутой в пространстве С , tj J.
Отметим, что система БИФ имеет несомненное преимущество в численном ана-
лизе перед другими популярными системами кусочно-постоянных функций Раде-
махера, Хаара и Уолша.
П.3.6.2. Локальные сплайны 1 -го порядка
Рассмотрим приближения классов	Справедлив следующий резуль-
тат [66]:
/11	г -|\
7 ,	(П.3.72)
причем оптимальным аппаратом приближения является приближение интерполяци-
онными сплайнами первого порядка по равномерному разбиению.
Введем локальные сплайны первой степени, которые можно трактовать как сис-
тему функций, во многом аналогичную системе БИФ [66]. Фиксируем натуральное /,
разбиваем отрезок	на равных отрезков точками Zz = t0 +ih, h = (tj -to^l,
i = 1,1 и дополняем их точками t_r = t0 - h и Zz+1 = tf +h. Системой кусочно-линейных
функций (КЛФ) ранга I называется совокупность функций
если Z g [zz_j, Zz);
(6+1 ~t)/h, если/е(б,б+1];
(П.3.73)
О	в остальных точках отрезка	, tj J,
Приложение 3. Базисные системы функций 469
причем функции Vo (О и Vz (0 рассматриваются только на отрезке (КЛФ с
номером 0 < z < I приведена на рис. П.3.6).
Рис. П.3.6. График КЛФ х(/) = фг (/)
В отличие от функций фг (z) носители КЛФ пересекаются, и система КЛФ фик-
сированного ранга не является ортогональной системой. Сходство же с системой
БИФ обеспечивается следующими двумя свойствами:
1. Система КЛФ является нормированной [66], т.е. для всех Z g [W/] справедливо
равенство
Zv, (0 s1-
z=o
2. В качестве коэффициентов разложения по системе КЛФ берут значение функции
в соответствующем узле: хг=х(/г), i = Q,l (если известна функция x(Z)).
Каждую непрерывную на отрезке ^Z0,ZyJ функцию х(ф можно приблизить ли-
нейной комбинацией КЛФ
i
x(z)«xz(z) = ^xfvf(z),	(П.3.74)
г=0
причем эта сумма при указанном выборе коэффициентов хг- = x(zf) будет совпадать с
интерполяционным сплайном первой степени функции x(z). Как уже отмечено, ал-
горитм приближений суммами по КЛФ является оптимальным по точности на этих
классах WlHl поскольку он реализует поперечник Колмогорова (П.3.72).
Отметим, что на классе JK1//1 (М этот метод насыщается, и оценка
является наилучшей для приближения суммами КЛФ.
Поскольку коэффициенты разложений по КЛФ вычисляются по тем же форму-
лам, что и для базиса из БИФ, погрешности в исходных данных влияют на точность
аппроксимации суммами по КЛФ таким же образом — к оценке погрешности метода
добавляется максимально возможная величина ошибки в данных 5.
Отметим, что если имеется информация о неравномерности модуля величины
второй производной функции на рассматриваемом отрезке, то, учитывая такую ин-
формацию, для повышения точности аппроксимации можно построить систему ку-
сочно-линейных функций по неравномерному разбиению отрезка аналогично тому,
как была введена система ОБИФ [66]. Однако здесь будут рассматриваться локаль-
ные сплайны степени выше нулевой только по равномерному разбиению.
470 Статистическая динамика и идентификация САУ
Если рассматривать функции классов W3 или И7 4 (/?), то оптимальные по по-
рядку точности приближения дают разложения по локальным сплайнам соответст-
венно 2-й и 3-й степени, которые называются также кусочно-параболическими и ку-
сочно-кубическими функциями.
П.3.6.3. Локальные сплайны 2-го порядка
Нормализованными В-сплайнами 2-го порядка (или, по аналогии с системами
БИФ и КЛФ, кусочно-параболическими функциями — КПФ) на отрезке S =	, tf J
ранга I называется совокупность функций 0г(7), определяемая следующим образом.
Фиксируется натуральное I, берется на отрезке	система из I равноотстоя-
щих узлов /г-=/0 + z7z, h = (tf -t^l, i = Q,l и дополняется четырьмя точками
t_2 =to~2h, t_Y =tQ-h, tl+i = tf+h, tl+2 = tf+2h. Тогда КПФ можно задать формулами
		если /е[/г_2,/г_1);
	2/z2	’	
		) + (/-t}	/	-1.
0ZW=‘	fe+1-^)2 2/Г 0,	2^2	’ еслп 1 с (4-i,7j,	(П.З. /6) если если t i = 0,1,..., I +1,
причем все функции 0г (/) рассматриваются на отрезке \JQ,tf ], т.е. вне его функции
с номерами z = 0,1,1 и I +1 можно считать равными нулю. Из определения вытекает,
что z-я КПФ является непрерывно дифференцируемой на	имеет носителем
отрезок [/г_2,/г+1], монотонно возрастает на отрезке [/г-_2,0,5(/г-_1 + tl• )], монотонно
убывает на [0,5	+ /г), ti+2 ], а в точке 0,5	+ /г) имеет наибольшее значение 3/4
(см. рис. П.3.7).
Также легко проверить, что функции |0- (z)| удовлетворяют условию нормировки
на отрезке	, tf J:
z+i
S 0/ М = 1 для всех 1 G |/о ’] •
г=0
Приложение 3. Базисные системы функций
471
Известно [66], что совокупность ККФ {0г- (/)} образует базис в пространстве St2
сплайнов 3-й степени минимального дефекта с равномерным расположением узлов.
Хотя система КПФ определена по тому же принципу, что и системы БИФ и КЛФ,
имеется существенная разница: носители КПФ с соседними номерами пересекаются
(в отличие от БИФ) и в узлах разбиения ненулевое значение имеют две КПФ (в точ-
ках, по значениям в которых в соответствии с формулой (И.3.76) предлагается вы-
числять коэффициенты разложения, — три КПФ), в то время как для КЛФ — только
одна. Это приводит к тому, что для повышения точности приближения определять
коэффициенты разложения следует по-другому.
Положим
х. = - х f	+ Ч - - х f +	V - -У f+ Zf+11, z = 0,/ + l. (П.3.77)
4	2 ) 8	2	) 8	2 )
В точках t_2, t_{, tl+l и tl+2 значения функции необходимо доопределять с сохра-
нением гладкостных свойств. Обычно такая процедура затруднений не вызывает.
В качестве аппроксимирующей функции берут сумму
i+i
х^)х12,1^’х) = Их^(А	(П.3.78)
i=0
Функция /2/(/,х) называется локальным параболическим сплайном, аппрокси-
мирующим функцию х (t).
Справедлива следующая оценка [66]: если х(?) е W3 (М,5), то
(П.3.79)
причем стоящая в правой части неравенства (П.3.79) постоянная 3/64 лишь ненамно-
го хуже наилучшей. Таким образом, локальные сплайны второй степени доставляют
оптимальные по порядку приближения для классов W3(M,S}. Отметим, что на
классах W3 (5) локальные сплайны второй степени насыщаются.
При отсутствии погрешностей в информации точность приближения локальными
сплайнами второй степени задается формулой (П.3.79). Если исходная информация
задана с погрешностью 5, то гарантированно восстановить значения приближае-
мой функции можно лишь с точностью s >35/2, что легко видеть из формулы
(П.3.78). Тогда в силу условия нормировки погрешность приближения суммами
/21 (t,x), построенными по неточным данным, увеличится не более чем на 35/2: для
x(/)g!F3 (Af,5)
(П.3.80)
П.3.6.4. Локальные сплайны 3-го порядка
Нормализованными В-сплайнами 3-го порядка (или кусочно-кубическими функ-
циями — ККФ) на отрезке S = , tf J ранга I называется совокупность функций
£,г-(/), определяемая следующим образом. Фиксируется натуральное Z, берется на
472
Статистическая динамика и идентификация САУ
отрезке |_Z0,ZyJ система из I равноотстоящих узлов	h = \tf ,
i = Q,l и дополняется шестью точками t_3=t0-3h, t_2=t0-2h, t_Y = t0 — h,
tl+l =tf +h, tl+2 = tf +2h, tl+3 = tf + 3h. Тогда ККФ можно задать формулами
	1 z —г(/-6 6/z3 V	-2,		если t g	[ti-2 ’ ti-i
	2	1 / 3 Ь2 J п		)2-А( 2/г	еСЛИ/G	{ti-1 ->ti\,
	LU I ьэ 1	~ti	х2	1 / 2Л3	t-ti)3, если t g	{ti, 6+1 ] >
	б/z3 ^г+2	-t	/.	если t g	ti+l->ti+2
	о,			если t t	ti-2->ti+2
(П.3.81)
i’ — — 1,1 +1,
причем все функции рассматриваются только на отрезке	т.е. вне его
функции с номерами z = -1, 0,1, Z-1,1 и 1 + 1 можно считать равными нулю. Из оп-
ределения вытекает, что z-я ККФ является дважды непрерывно дифференцируемой
на	имеет носителем отрезок	монотонно возрастает на отрезке
монотонно убывает на [t;,ti+2], а в точке 6 имеет наибольшее значение 2/3
(см. рис. П.3.8). Также легко проверить, что функции	удовлетворяют усло-
вию нормировки на отрезке , tf J.
Известно [66], что совокупность ККФ образует базис в пространстве Sl3
сплайнов 3-й степени минимального дефекта с равномерным расположением узлов.
Коэффициенты разложения функций по системе ККФ вычисляются по формулам
4	1	1	-----
*z	i = l,l + l,	(П.3.82)
3	6	6
а в качестве приближающей функции берется сумма
i+i
*(/) ~ 4,z (Л*) = Z (О-	(П.3.83)
г=-1
Приложение 3. Базисные системы функций 473
Функция l3! (t,x) называется локальным кубическим сплайном, аппроксимирующим
функцию х(/). Формула (П.3.82) предполагает, что значения функции вычисляются
в заданных узлах, и требуются значения функции в точках t_3, t_2, t_{, tl+l, tl+2 и
tl+3, выходящих за пределы отрезка |д0, tf J. В этих точках функция доопределяется
так, чтобы сохранялись свойства гладкости. Заметим также, что локальный сплайн
l3 z (фх) является линейной комбинацией (/ + 2 )-х ККФ.
Справедлива следующая оценка: если е IF4	то
z	\4
и /	\и 35	। tf tr\ ।
|К4,/(Лх)||£—,	(П.3.84)
причем стоящая в правой части неравенства (П.3.84) постоянная лишь ненамного
хуже наилучшей. Таким образом, локальные сплайны третьей степени доставляют
оптимальные по порядку приближения для классов 1F4 (М
На классе IV4 (S') локальные сплайны третьей степени насыщаются. Для того
чтобы приблизить с точностью, оптимальной по порядку, функции более узких клас-
сов Wr (5), г = 5, 6 и т.д., можно строить локальные (или интерполяционные) сплай-
ны соответственно 4-й, 5-й и т.д. степени. Однако их построение и тем более приме-
нение резко усложняется с увеличением порядка.
При отсутствии погрешностей в информации точность приближения локальными
сплайнами третьей степени задается формулой (П.3.84). Если исходная информация
задана с погрешностью 5, то гарантированно восстановить значения приближаемой
функции можно лишь с точностью s > 55/3, что легко видеть из формулы (П.3.83).
Тогда в силу условия нормировки погрешность приближения суммами l3 z по-
строенными по неточным данным, увеличится не более чем на 55/3:
и ~	ч||	35 (if Ф 5
+з5-	(П.3.85)
Для построения ортонормированного базиса на [0,Т] на основе сплайнов вос-
пользуемся методом ортогонализации Грама-Шмидта.
Для пояснения приведем пример построения ортонормированного базиса на ос-
нове квадратичных В-сплайнов при Т = 10, I = 20, h = Т/l = 1/2. Для этих данных
имеют место 22 сплайна (рис. П.3.9).
Рис. П.3.9. Исходные сплайны
474
Статистическая динамика и идентификация САУ
При проведении процедуры ортогонализации получена матрица ортонормирова-
ния U размерностью 22x22 (приведем вырезку размерностью 6x6):
’ 6,3245	0	0	0	0	0
-5,9492	2,7457	0	0	0	0
3,2549	-1,6743	2,2363	0	0	0
-1,4893	0,77379	-1,1230	2,1344	0	0
0,64942	-0,33773	0,49401	-1,0226	2,1148	0
-0,28031	0,14579	-0,21341	0,44534	-1,0038	2,1111
Графики элементов ОНБ представлены на рис. П.3.10, а-е.
4 2 0 2	k (pjz), i = 0,3	
	1	1	1	1	1	1	1	1	1 		 A--I	Т--4-	1	1	1	1	I	1	 V \.+	1	1	1	1	1	1	1	1 Л/ 		 v	ч	1	1	1	।	।	।	1	
	ч'П	I	I	I	I	i	।	।	। ।	।	।	।	।	।	।	।	। ।	।	।	।	।	।	।	।	।	
	1123456789	10	
а
4 2 0 2	к срг- (/), i = 4,7	
	i	i	i	i	i	i	i	i	i 1	1	1	1	1	1	1	1	1 1	Al	A	Al А	1	1	i	i	i	I 	1_ _ L ]J_\L д/-\- 4	1	1	1	1	1	 1	/ A ,< A \	I	I	i	i	i	i I / A/'	\ I	I	I	I	I I X V| \	\ |	1	I	1	1	1	
		 	1	1	1	1	1	1	1	1	1		
	1	1	234	567	89	10 *7	
Рис. П.3.10. Графики элементов ОНБ, порожденного В-сплайнами
Приложение 3. Базисные системы функций
475
476
Статистическая динамика и идентификация САУ
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАНДАРТНОГО
ИНТЕГРАЛА
Стандартный интеграл имеет вид
1 р G(yco) 1 р G(jco)
I =— -------——dv> =— —-—т—/----------йсо,
2 л 1 |я(у>г)|	2 л £ Н (усо) Н (-усо)
(П.4.1)
где				
Я(у4г)	= М>Г +М>)И	+ ... + hn-,		(П.4.2)
G(jw) = g0 (jw)2n 2 + g4 (jw)2n		-4 + -"+gw-l-		(П.4.3)
Значение интеграла (П.4.1) вычисляется по формуле , (-1ГХ ” 2а0Мп ’ где Мп —определитель Гурвица для многочлена				(П.4.4)
мп = а определитель Nn равен о	Л;	Л3	h5	h7	h9 Ло	h2	h4	h6	h3 0	Л;	h3	h5	h7 0	h0	h2	h4	h6 0	0	hx	h3	h5 0	0	h0	h2	h4 0	0	0	0	0 пределителю Mn, в	••• 0 ••• 0 ••• 0 ••• 0 ••• 0 ••• 0 ••• hn которо	(П.4.5) м первая строка заменена ко-	
эффициентами многочлена С(л'):							
	go	gl	g2	g3	g4	••• g„-i	
	Ло	Л2	h4	h	Л8	•••	0	
	0	/?1	h3	h5	h7	•••	0	
Nn =	0 0	Ло 0	h2	h4 h3	he h5	•••	0 •••	0	(П.4.6)
	0	0	^0	Л2	h4	•••	0	
	0	0	0	0	0	•••	hn	
Пусть п = 1, тогда							
Я(усо) = /г0(усо) + /г1; G(j&) = g0;
г -(-CgQ go .
1 2h0hx |2Л(Д|
Для п = 2 можно записать
Я(усо) = h0 (усо)2 + (усо) + h2; G(усо) = g0 (усо)2 + gl,
Приложение 4. Вычисление стандартного интеграла
477
тогда
Л =-----
2дс
1+2 g0 gl
Ло h2
~hx 0 ~
Ло h2
2hnhh
_ -(go^-gi^o)
Аналогично
у _ ^2/z3g0-/z0/z3gl+/z0/zig2 .
2Л0 {^ixh2h3 - h^hl '^
_ h2h3h4g0 -hxh24g0 -h0h3h4gx + h0hxh4g2 -h0hxh2g3 + A02A3g3 .
L
2Л0Л4 ^-hlh2h3 + h2h4 + h0h2)
15 ~ (^2^3^4^5go — ^2 ^5 go — ^1^4 ^jgo + ^0^4^5 go — ^0^3^4^sgl + gl + ^0^1^4^sg2 —
-hohxh2h5g3 + h0hih2h3g4-h0h2h4g4-h20h25g2 +h2h3h5g3-h2}h23g4 +/z02/^5g4)/
Д-2Л0Л5 {hxh2h3h4 + hxh2h4 +4h2h^ -2hQhxh4h5 + Л0Л32Л4 -hQh2h3h5 +h^hl^.
Стандартный интеграл можно вычислить в математическом пакете Matlab сле-
дующим образом (М, N,n — заданы):
DN=det(N);
DM=(-l)A(n+l)*2*hO*det(M);
I=DN/DM;
Оператор «det» вычисляет определитель соответствующей матрицы.

Статистическая динамика и идентификация САУ
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ,
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
И УМНОЖЕНИЯ
П.5.1. МАТРИЧНЫЙ ОПЕРАТОР ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО БАЗИСА
Пусть В — некоторое банахово пространство функций с базисом, заданных на
отрезке	а
Ф/М = [ФО’Ф1’---’Ф/-1]Т
— столбец из I базисных функций в пространстве В. Отметим, что для ряда попу-
лярных базисов нумерация начинается не с нуля, а с единицы, но этот вопрос не
принципиален, и при рассмотрении конкретных базисов будет использоваться приня-
тая для данного базиса нумерация. Здесь же, для единообразия изложения, будем
нумеровать элементы базиса, начиная с нуля.
Отметим также, что в дальнейшем чаще будем рассматривать или равномерную
метрику, т.е. будем полагать В =	или среднеквадратичную метрику; пока
считаем В произвольным банаховым пространством, удовлетворяющим естествен-
t
ному требованию: если	то более гладкая функция г(/) = |х(т)я?т также
го
лежит в пространстве В.
Если	то ее можно приблизить с помощью разложения
X(/) « X, (/) = У чЧ (0 = ф] (z)Cv,	(П.5.1)
i=0
где Сх = |^Со, cf,..., J — столбец из коэффициентов разложения. Напомним, что
из того, что Ф/ (/) — базис, вытекает сходимость разложений xz (7) к x(t) в метрике
пространства В.
Способ вычисления коэффициентов разложения (П.5.1) определяется выбором
проекционного оператора. Далее будем считать, что некоторый оператор проектиро-
вания фиксирован.
Для задач, рассматриваемых в следующих параграфах, потребуется по разложе-
t
нию (П.5.1) находить разложения функций rz (7) = j xz (т)<7т. Так как функции
го
t
М0 = JV(THT
to
Приложение 5. Матричные операторы 479
являются более гладкими функциями, чем <рг (/), и, по крайней мере, тоже лежат в В
(по определению базиса <рг (.у) g 5; для базисов из кусочно-постоянных функций дела-
ется исключение — фДу) £ С[/о, /у], но для них Лг(ф g С[ф, /у]), их также можно разло-
жить по базису Ф/ (/)• Обозначим коэффициенты этих разложений через |Лгу | :
^(0=	г = 0,7-1.	(П.5.2)
7=о
Далее введем квадратную матрицу порядка I из коэффициентов разложений
	^00	Лю	hi-i,o	
Аи = Р/Т =	^01	Ли .	^1-1,1	(П.5.3)
		К, i-i •	•• hi-i,i-p	
Тогда в силу линейности оператора проектирования
t	t	i-i t
Гх; (т)</т = Г	(т) C'rfT = У с' f <р, (т)<7т =
= 2У Л, W = 2У £	(0 = W АИС\
z=0	z=0	j=0
t
т.е. если обозначить столбец коэффициентов разложения элемента rz (/) = j xz (т)</т
го
через СГ/, то справедлива формула
СГ/=АИС\	(П.5.4)
Матрица Аи = PZT называется матрицей оператора интегрирования в базисе
0Z(/). Этой матрице соответствует оператор, действующий в /-мерном подпро-
странстве с базисом Ф. (/), называемый матричным оператором интегрирования.
П.5.2. МАТРИЧНЫЙ ОПЕРАТОР УМНОЖЕНИЯ НА ФУНКЦИЮ
Для аппроксимации линейных нестационарных систем конечномерными эквива-
лентами потребуется по разложению функции x(t') находить разложение произведе-
ний o(/) = xz(/)az(/), где az(/)—разложение некоторой фиксированной функции д(/).
Итак, пусть a(t} — некоторая фиксированная функция из пространства В, a^t)
— ее разложение по базису Ф; (/), а Са — столбец из коэффициентов разложения.
Пусть произведение и(/) = az (/)xz (/) g В, тогда и(/) также можно разложить по
введенному базису. Отметим, что для пространства Л2|д0,/у^ произведение двух
функций из этих пространств также лежит в Л2 |j0, /у J.
Тогда
и(/) ® uz (/) = az (t')xl (/) = Ф^ (z)cu.
Установим формулы, связывающие элементы столбца С1) с элементами столбцов
Са и СЛ. Ясно, что поскольку сомножители можно переставить, то столбец С1)
480 Статистическая динамика и идентификация САУ
можно выразить двумя способами. Нас интересует ситуация, когда одна из функций
— «(/) — фиксирована, а другая — х(/) — может меняться. В этом случае необхо-
дима формула, выражающая столбец Си через переменный столбец СЕ
Так как в силу линейности оператора проектирования
(0=Ё Ё с (t),
z=0 j=0
то, разложив произведения базисных функций (всего будет 1(1 + 1)/2 различных раз-
ложений, но для удобства вводим как коэффициенты и^к, так и совпадающие с ними
коэффициенты и ),
Z-1	_____
фг- (0Ф; (0 = Е uvk^k (О’ z’’J = °’1 -
/с=0
получим	М = Е Е Е ci cjuuk<Pk М- z=0 / =0 Л =0		(П.5.5)
Определим квадратную матрицу U" порядка 1			
	<	l-l	l-l X-1	а	X-1	а LUiOOCi	LUilOCi z=0	z=0	/-1 > V	a Lui,l-l,oci i=0	
Ay(a) = U? =	l-l	l-l X-'	a	X^	a ••• z=0	z=0	l-l X-'	a i=0	(П.5.6)
	l-l	l-l X-'	a X^	a 2Ло,/-Л	Lwzi,/-iG-	••• 4z=0	z=0	l-l X-'	a z=0	y	
Матрица Ау (п(0) = называется операторной матрицей умножения на эле-
мент a(t}, а соответствующий ей оператор — матричным оператором умноже-
ния на функцию а(йф
Функцию я(0 называют порождающей функцией.
Тогда из формул (П.5.5) вытекает справедливость равенства
Си = Ау (я(0)Сх = ийСх.	(П.5.7)
Замечание. Изложенный метод позволяет формировать и матрицы умножения
на функции a(t}. Естественно, в случае отказа от предварительного разложения
элемента я (7) по базису будут получаться более точные аппроксимации элементов
вида я (/)%(/). Этот факт можно использовать при решении некоторых конкретных
задач, однако идеология теории проекционных (спектральных) методов решения тех-
нических задач состоит в разработке универсальных алгоритмов решения целого на-
бора разнообразных задач, включая и задачу оптимизации, а это наиболее просто
реализовать при аппроксимации всех функций, входящих в систему. В связи с этим в
качестве основного матричного оператора умножения рассматривается именно опе-
ратор умножения на Я/ (?) [66].
Приложение 5. Матричные операторы 481
П.5.3. МАТРИЧНЫЙ ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Для аппроксимации линейных нестационарных систем их дискретными эквива-
лентами разложения по гладким базисам (полиномиальным или тригонометриче-
ским) используют также матричные операторы дифференцирования. Область приме-
нения этих операторов существенно уже, так как оператор дифференцирования в
пространствах	и Z2|j0, /у J неограничен. Тем не менее в ряде случаев ис-
пользование матричного оператора дифференцирования корректно и удобно для
применения .
Пусть x(t} — функция из пространства В, имеющая на отрезке |jo,/yj произ-
водную g(/) = x'(t} е В. Тогда эту производную также можно разложить по базису
пространства В. Обозначим столбец коэффициентов разложения функции g(/) по
базису Ф/(/) через С8 и установим связь между столбцами Сх и С8. Предполо-
жим, что элементы базиса Ф/ (?) дифференцируемы на отрезке |j0, /у J и их произ-
водные лежат в пространстве В. Если это условие не выполнено, то разложения x}(t)
даже сколь угодно гладких функций (бесконечно дифференцируемых или даже ана-
литических) нельзя дифференцировать, следовательно, использование оператора
дифференцирования не может быть корректным.
По принятому предположению функции <рг (?) также можно разложить по базису
Ф/(^). Обозначим коэффициенты этих разложений через
фИ0 = Ё<ОФ/(0’	(П.5.8)
7=0
Введем в рассмотрение квадратную матрицу порядка I из коэффициентов разло-
жений (П.5.8)
	doo	^10	^/-1,0
A,=D = DZ =	d0l	б7ц	
	4^0,Z-l		  di-i,i-i ,
Тогда в силу линейности оператора проектирования
x'i(О=Ёс^-(0=Xci ТЛъ(О=Ё^Ё^-^Ф/(О’
z=0	z=0	j=0	у=О\г=О )
или в матричной форме
С8 = АДСХ = DCX.
Очевидно,
А = А-1
(П.5.9)
(П.5.10)
Проблема нахождения матричных операторов дифференцирования связана с необходимостью раз-
ложения по базисам дельта-функций и их производных, чем и порождаются указанные трудности.
482
Статистическая динамика и идентификации САУ
ПРИЛОЖЕНИЕ 6. РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ
СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕТОДОВ
В СРЕДЕ ПАКЕТА MATLAB
Удобным средством программной реализации рассмотренных в этой книге спек-
тральных методов расчета и проектирования систем управления является известный
пакет Matlab фирмы MathWorks, Inc.
Пакет Matlab ориентирован на решение широкого класса вычислительных задач,
предполагающих активное использование матричных операций. Взаимодействие с
пакетом осуществляется на естественном матричном языке в интерактивном режиме.
Имеется большой набор встроенных операций: арифметические действия над матри-
цами, обращение матриц, решение систем линейных уравнений, вычисление собст-
венных векторов и собственных значений, быстрое преобразование Фурье, расчет
цифровых фильтров и др. Есть возможность работы с разреженными матрицами.
В пакете Matlab имеются удобные средства графического представления резуль-
татов вычислений: построение двух- и трехмерных графиков, графиков в логарифми-
ческом масштабе, различных диаграмм и др. Версия пакета для операционной среды
Window's дополнительно позволяет реализовать в программе на языке Matlab много-
оконный интерфейс пользователя со стандартными элементами управления в стиле
Window's.
Важным свойством пакета Matlab является его открытость и способность к рас-
ширению. Пользователи могут легко добавлять в Matlab новые функции, ориентируя
пакет на использование в своих предметных областях. Имеется, например, несколько
САПР САУ, разработанных на базе пакета Matlab.
Сказанное выше позволяет сделать вывод, что пакет Matlab хорошо подходит для
программной реализации алгоритмов спектральных методов, опирающихся на матрич-
ное представление данных и матричные операции. Дополнительным преимуществом
является наличие в пакете Matlab мощной и гибкой системы управления памятью (в
том числе виртуальной памятью), которая позволяет практически забыть о технических
проблемах размещения больших матриц в программах, реализующих спектральные
методы. Это дает возможность использовать большее число членов разложения по ор-
тогональному базису, что в конечном итоге повышает точность расчетов.
В качестве примера рассмотрим библиотеку типовых вычислительных процедур,
написанных на языке пакета Matlab, которые могут быть использованы при реализа-
ции спектральных методов в базисе функций Уолша.
Процедуры библиотеки, условно названной SML, оформлены в виде функций
языка Matlab. Каждая функция размещается в отдельном текстовом файле типа «.ш»,
имя которого совпадает с именем функции. Файлы с текстами функций располагают-
ся в одном подкаталоге, имеющем имя SML, который следует внести в список подка-
талогов пакета Matlab.
Ниже приводятся исходные тексты функций библиотеки SML, реализованной в
среде Matlab версии 5.0, с необходимыми пояснениями. Справочную информацию по
языку и встроенным функциям пакета Matlab можно найти в документации, входя-
щей в комплект поставки пакета. Необходимую информацию также можно получить,
воспользовавшись развитой справочной системой пакета Matlab.
Библиотека SML включает 16 основных функций (SETSIZE, SETTIME, FWHT,
IWHT, FWHT2, IWHT2, MKINT, MKDIF, MKMUL, SHFUN, SHFUN2, SHVEC,
Приложение 6. Реализация алгоритмов спектральных методов 483
SHMAT, PUTMAT, GETVEC, GETMAT) и 7 вспомогательных (MKHW, HW,
RGREY, BINXOR, D2B, B2D, МКМАТ), используемых основными функциями.
Функция SETSIZE. Задает число членов разложения по ортогональному базису.
SETSIZE(N) — задает N членов разложения, где N = 2к, к = 0,1, 2,.... Значение N
используется затем по умолчанию всеми остальными функциями библиотеки SML.
Функция SETSIZE инициализирует ряд глобальных переменных и обязательно
должна выполняться перед использованием любых функций библиотеки SML.
См. также SETTIME.
function SETSIZE(N)
if N ~ = 2Afix(log2(N))
error ('?8МЕ-Е-Недопустимое число членов разложения')
return
end
global SMLSIZE SMLWw SMLIWw SMLMAT
SMLSIZE = N;
HFNAME = sprintf('SML_W%03d.DAT',SML_SIZE);
if exist(HFNAME) = = 2
FR = fopen(HENAME, ’r’);
[SML Ww, CNT] = fread(FR, inf, 'real*4');
if CNT = = SML_SIZE*SML_SIZE
frewind(ER);
SML Ww = fread(FR, [SML_SIZE,SML_SIZE], 'real*4');
fclose(ER);
SML IWw = SML Ww * SML SIZE;
else
fclose(FR);
[SML Ww, SML IWw] = MKHW;
PUTMAT(SML_Ww, HFNAME)
end
else
[SML Ww, SML IWw] = MKHW;
PUTMAT(SML_Ww, HENAME)
end
% Формирование матрицы-шаблона оператора умножения
HENAME = sprintf ('SML_M%03d.DAT', SML SIZE);
if exist(HFNAME) = = 2
FR = fopen(HFNAME, 'r');
[SML MAT, CNT] = fread(FR, inf, 'real*4');
if CNT = = SML_SIZE*SML_SIZE
frewind(FR);
SML MAT = fread(ER, [SML SIZE, SML SIZE], 'real*4');
fclose (FR);
else
fclose(FR);
SMLMAT = MKMAT;
PUTMAT(SML_Ww, HENAME)
end
484
Статистическая динамика и идентификации САУ
else
SMLMAT = МКМАТ;
PUTMAT(SML_Ww, HFNAME)
end;
Функция SETTIME. Задает интервал исследования.
SETTIME(T) задает интервал исследования от 0 до Т секунд. Значение Т исполь-
зуется затем по умолчанию всеми остальными функциями библиотеки SML.
Функция SETTIME обязательно должна выполняться перед использованием лю-
бых функций библиотеки SML.
См. также SETSIZE.
function SETTIME(T)
global SMLT
SMLT = T;
Функция FWHT. Прямое преобразование Уолша.
Y = FWHT(X) возвращает в векторе Y результат прямого преобразования Уолша
вектора X, упорядоченный по Уолшу. Размер вектора X должен соответствовать чис-
лу членов разложения, заданному в SETSIZE.
FWHT и другие функции библиотеки SML, выполняющие прямое и обратное
преобразования Уолша, не используют алгоритмы быстрых преобразований, по-
скольку реализация этих алгоритмов на языке интерпретирующего компилятора па-
кета Matlab не дает заметного преимущества в быстродействии.
См. также IWHT.
function Y = FWHT(X)
global SMLWw
Y	= SML Ww * X;
Функция IWHT. Обратное преобразование Уолша.
Y = IWHT(X) возвращает в векторе Y результат обратного преобразования Уолша
вектора X, упорядоченного по Уолшу. Размер вектора X должен соответствовать
числу членов разложения, заданному в SETSIZE.
См. также FWHT.
function Y = IWHT(X)
global SMLIWw
Y	= SML IWw * X;
Функция FWHT2. Прямое двухмерное преобразование Уолша.
Y = FWHT2(X) возвращает результат прямого двухмерного преобразования Уол-
ша матрицы X в виде матрицы Y. При этом используется упорядочение по Уолшу.
Размеры матрицы X должны соответствовать числу членов разложения, заданному
в SETSIZE.
См. также IWHT2.
function Y = FWHT2(X)
global SML Ww
Y	= SML Ww * X * SML Ww;
Приложение 6. Реализация алгоритмов спектральных методов 485
Функция IWHT2. Обратное двухмерное преобразование Уолша.
Y = IWHT2(X) возвращает результат обратного двухмерного преобразования
Уолша матрицы X в виде матрицы Y. При этом используется упорядочение по Уол-
шу. Размеры матрицы X должны соответствовать числу членов разложения, задан-
ному в SETSIZE.
См. также FWHT2.
function Y = IWHT2(X)
global SMLIWw
Y = SML IWw * X * SML IWw;
Функция MKINT. Формирование матрицы оператора интегрирования в базисе
функций Уолша, упорядоченных по Уолшу.
Р = MKINT возвращает в виде результата матрицу оператора интегрирования Р
размером N х N, где N задается через SETSIZE(N).
См. также MKDIF, MKMUL.
function Al = MKINT
global SMLSIZE SMLT
M = SMLSIZE;
PN = [1/2];
if M = = 1, return, end
N = 2;
L2M = log2(M);
forl= 1:L2M
N1 = N/2; N2 = (eye(Nl))/(2*N);
PN = [ PN -N2;
N2 zeros (Nl)];
N = N*2;
end
PP = zeros(M);
forl= 1:M
Il =RGREY(I-1,L2M)+ 1;
for J= 1:M
PP(I1,J) = PN(I,J);
end
end
for J= 1:M
JI = RGREY(J-1, L2M) + 1;
forl= 1:M
PN(I,J1) = PP(I,J);
end
end
Al = SML T * PN';
Функция MKDIF. Формирование матрицы оператора дифференцирования в ба-
зисе функций Уолша, упорядоченных по Уолшу.
D = MKDIL возвращает в виде результата матрицу оператора дифференцирования
D размером N х N , где N задается через SETSIZE(N).
См. также MKINT, MKMUL.
486
Статистическая динамика и идентификации САУ
function AD = MKDIF
AD = inv(MKINT);
Функция MKMUL. Формирование матрицы оператора умножения на функцию
х(Т) в базисе функций Уолша, упорядоченных по Уолшу.
М = MKMUL возвращает в виде результата матрицу оператора умножения М
размером Ах А, где А задается через SETSIZE(N). При этом вектор X размером А
должен содержать отсчеты функции
См. также MKINT, MKDIF.
function AM = MKMUL(X)
global SMLSIZE SML Ww SML MAT
N = SMLSIZE;
AM = zeros(N);
F = SML Ww * X;
for I = 1 :N
for J = 1 :N
AM(I,J) = E(SML_MAT(I, J));
end
end
AM = AM';
Функция SHFUN. Построение графика функции.
SHFUN(X) рисует график функции, отсчеты которой заданы вектором X на ин-
тервале от 0 до Т, где Т задается через SETTIME(T). Размер вектора X должен соот-
ветствовать заданному в SETSIZE.
См. также SHFUN2, SHVEC, SHMAT.
function SHFUN(Y)
global SML SIZE SML T
X = zeros(SML_SIZE,l);
DEL = SML_T/(SML_SIZE-1);
forl= 1:SML_SIZE
X(I) = (I-1)*DEL;
end
plot(X,Y)
grid
MINY = min(Y); MAXY = max(Y);
if MINY-= MAXY
axis([min(X) max(X) MINY MAXY])
end
xlabel('t'), ylabel('f(t)')
titlefPress any key to continue...')
pause;
Функция SHFUN2. Построение трехмерного графика функции.
SHFUN2(X) рисует проекцию поверхности функции двух переменных, отсчеты
которой заданы матрицей X размером А х А на интервале (0,Т)х(0,Т), где А зада-
ется через SETSIZE(N), Т— через SETTIME(T).
См. также SHFUN, SHVEC, SHMAT.
Приложение 6. Реализация алгоритмов спектральных методов 487
function SHFUN2(Z)
global SML SIZE SML T
X = zeros(SML_SIZE,l);
DEL = SML_T/(SML_SIZE-1);
forl= 1:SML_SIZE
X(I) = (I-1)*DEL;
end
Y = X;
surf(X,Y,Z)
view(140,30)
MINZ = min(min(Z)); MAXZ = max(max(Z));
if MINZ-= MAXZ
axis([min(X) max(X) min(Y) max(Y) MINZ MAXZ])
end
xlabel('tl'), ylabel('t2'), zlabel('f(tl,t2)')
titled Press any key to continue...')
pause;
Функция SHVEC. Наглядное представление вектора.
SHVEC(X) рисует столбцовую диаграмму, в которой высоты столбцов пропор-
циональны значениям элементов вектора X. Размер вектора X должен соответство-
вать заданному в SETSIZE.
См. также SHMAT.
function SHVEC(Y)
global SML SIZE
bar(Y)
grid
MINY = min(Y); MAXY = max(Y);
if MINY- = MAXY
axis([l SML SIZE MINY MAXY])
end
xlabel('Number'), ylabel('Value')
title('Press any key to continue...')
pause;
Функция SHMAT. Наглядное представление матрицы.
SHMAT(X) рисует трехмерную столбцовую диаграмму, в которой высоты столб-
цов пропорциональны значениям элементов матрицы X размером N х N, где N зада-
ется через SETSIZE(N).
См. также SHVEC.
function SHMAT(Z)
global SML SIZE
mesh(Z)
view(140,30)
MINZ = min(min(Z)); MAXZ = max(max(Z));
if MINZ ~ = MAXZ
axis([l SML SIZE 1 SML SIZE MINZ MAXZ])
end
488 Статистическая динамика и идентификации САУ
xlabelfX Number'), ylabelfY Number'), zlabel('Value')
titlefPress any key to continue...')
pause;
Функция PUTMAT. Запись вектора или матрицы в файл.
PUTMAT(X, FNAME) записывает матрицу X в файл с именем FNAME, например,
PUTMAT(М, 'c:\smldata\m.dat').
См. также GETMAT, GETVEC.
function PUTMAT(X, FNAME)
FW = fopen(FNAME, 'w');
fwrite(FW, X, 'real*4');
fclose(FW);
Функция GETVEC. Чтение вектора из файла.
X = GETVEC(FNAME) возвращает в виде результата вектор X, прочитанный из
файла с именем FNAME. Размер вектора X должен соответствовать заданному в
SETSIZE.
См. также GETMAT, PUTMAT.
function X = GETVEC(FNAME)
global SML SIZE
FR = fopen(FNAME, 'r');
[X, CNT] = fread(FR, inf, 'real*4');
if CNT = = SMLSIZE
frewind(FR);
X = fread(FR, SML SIZE, 'real*4');
fclose(FR);
else
fclose(FR);
disp('?SML-E-HenpaBnnbHbm размер вектора')
end;
Функция GETMAT. Чтение матрицы из файла.
X = GETMAT(FNAME) возвращает в виде результата матрицу X, прочитанную из
файла с именем FNAME. Размер матрицы X — N х N, где Nзадается через SETSIZE(N).
См. также GETVEC, PUTMAT.
function X = GETMAT(FNAME)
global SML SIZE
FR = fopen(FNAME, 'r');
[X, CNT] = fread(FR, inf, 'real*4');
if CNT = = SML_SIZE*SML_SIZE
frewind(FR);
X = fread(FR, [SML SIZE, SML SIZE], 'real*4');
fclose(FR);
else
fclose(FR);
disp('?SML-E-HenpaBn4bHbm размер матрицы')
end;
Приложение 6. Реализация алгоритмов спектральных методов 489
Ниже описаны вспомогательные функции библиотеки SML.
Функция MKHW. Формирование матрицы Адамара, упорядоченной по Уолшу.
[WwJWw] = MKHW возвращает в виде результата матрицу Адамара Ww разме-
ром N xN и матрицу IWw, обратную Ww.
MKHW используется функцией SETSIZE.
function [Ww, IWw] = MKHW
global SML SIZE
M = SMLSIZE;
IWw = zeros(M);
N = log2(M);
forl= 1:M
for J= 1:M
IWw(I,J) = HW(I-1,J-1, N);
end
end
Ww = IWw/M;
Функция HW. Вычисление элементов матрицы Адамара, упорядоченной по Уолшу.
Вспомогательная функция, используемая MKHW.
function VHW = HW(I,J,N)
IBIN = D2B(I,N+1);
JBIN = D2B(J,N+1);
S = 0;
for I = 1 :N
S = S + (IBIN(I)+IBIN(I+1)) * JBIN(N+1-I);
end
VHW = (-1)AS;
Функция RGREY. Преобразование кода Грея в десятичное представление.
Вспомогательная функция, используемая MKHW.
function R = RGREY(NUM, NL)
NBIN = zeros(NL+l,l); NGREY = zeros(NL,l);
NBIN = D2B(NUM,NL+1);
forI = NL:-l:l
ISUM = 0;
for 11 = (NL+1):-1:(I+1)
if NBIN(H) ~ = 0, ISUM = ISUM+1; end
end
ISUM2 = fix(ISUM/2);
if ISUM = = ISUM2*2
NGREY(I) = NBIN(I);
elseif NBIN(I) = = 0
NGREY(I)= 1;
else
NGREY(I) = 0;
end
end
R = B2D(NGREY);
490
Статистическая динамика и идентификации САУ
Функция BINXOR. Поразрядное исключающее ИЛИ.
Вспомогательная функция, используемая МКМАТ.
function С = BINXOR(A, В, N)
BINA = D2B(A,N);
BINB = D2B(B,N);
В INС = zeros(N,l);
for I = 1 :N
if BINA(I) ~ = BINB(I)
BINC(I)= 1;
end
end
C = B2D(BINC);
Функция D2B. Преобразование десятичного числа в двоичное представление.
Вспомогательная функция, используемая HW, RGREY, BINXOR.
function IPOWER = D2B(NUM,N)
IPOWER = zeros(N,l);
IB = NUM; IL= 1;
while 1
IBD = fix(IB/2);
IPOWER(IL) = 1;
ifIB = = IBD*2
IPOWER(IL) = 0;
end
if IBD = = 0, break, end
IB = IBD;
IL = IL+1;
end;
Функция B2D. Преобразование двоичного числа в десятичное представление.
Вспомогательная функция, используемая RGREY, BINXOR.
function NUM = B2D(IPOWER)
N = length(IPOWER);
NUM = 0; IF AC = 1;
for I = 1 :N
NUM = NUM + IFAC*IPOWER(I);
IF AC = IF AC + IF AC;
end;
Заметим, что хотя в версии 5.0 пакета Matlab появились стандартные функции
DEC2BIN и BIN2DEC, выполняющие взаимные преобразования двоичного и деся-
тичного представления чисел, в данной версии библиотеки SML используются их
собственные реализации, поскольку к моменту ее написания текущая версия пакета
таких стандартных функций не имела.
Использование стандартных функций DEC2BIN и BIN2DEC вместо приведенных
выше D2B и B2D требует соответствующей модификации функций HW, RGREY и
BINXOR.
Приложение 6. Реализация алгоритмов спектральных методов
491
Функция МКМАТ. Формирование шаблона матрицы оператора умножения.
Вспомогательная функция, используемая MKMUL.
function МАТ = МКМАТ
global SML SIZE
N = SMLSIZE
L2N = log2 (N);
MAT = zeros (N);
for I = 1 :N
for J = 1 :N
AT (I, J) = BINXOR (1-1, J-l, L2N) + 1;
end
end.
П.6.1. АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ САУ
Характерной чертой новых методов анализа и проектирования систем управле-
ния, отличающей их от классических, является, наряду с большей сложностью и
формализованностью, необходимость выполнения большого объема вычислений.
По этой причине применение методов современной теории управления для реше-
ния практических задач невозможно без использования средств вычислительной
техники.
Вместе с тем просто наличие ЭВМ с соответствующей библиотекой стандартных
подпрограмм еще не гарантирует того, что инженеры станут широко использовать
указанные методы на практике. Дело в том, что при таком подходе, принятом на ран-
нем этапе использования ЭВМ, от проектировщика, помимо его специфических про-
фессиональных знаний и навыков, требуется умение самому писать и отлаживать
программы, работать с операционной системой и вообще помнить массу технических
деталей, касающихся организации вычислительного процесса. Все это в конечном
итоге нарушает аналитическую связь между формулировкой задачи и ее решением.
Отсюда логически вытекает необходимость обеспечить для проектировщика воз-
можность формулировать свои задачи в привычных ему терминах на естественном
для данной профессиональной области языке, т.е. создать с помощью ЭВМ некото-
рую среду, позволяющую непрофессионалу в области вычислительной техники эф-
фективно решать свои чисто профессиональные задачи.
Попытки создать такую среду привели к появлению первых систем автоматизиро-
ванного проектирования. В настоящее время под системой автоматизированного
проектирования (САПР) понимается сложный комплекс технических и программных
средств ЭВМ, а также других компонентов, из которых формируются отдельные ин-
струменты проектировщика.
Можно дать следующее определение САПР [1, 2]: САПР — инструментарий
проектировщика, включающий в себя техническое, математическое, лингвистиче-
ское, программное, информационное, методическое и организационное обеспече-
ние и предназначенный для автоматизации проектирования объектов на конкрет-
ном предприятии на всех этапах — от выдачи технического задания до передачи
проекта заводу-изготовителю.
Следует обратить внимание на то, что понятие «автоматизированное проектиро-
вание», в отличие от «автоматического проектирования», подразумевает обязатель-
ное участие человека на основных этапах проектирования, т.е. САПР следует рас-
сматривать как человеко-машинную систему.
492 Статистическая динамика и идентификации САУ
Применительно к проектированию систем управления САПР призвана автомати-
зировать следующие этапы этого процесса:
•	построение математических моделей САУ;
•	моделирование САУ;
•	анализ САУ;
•	синтез САУ;
•	конструкторскую разработку САУ;
•	технологическое проектирование САУ;
•	испытания САУ.
Выполнение каждого из этих этапов обычно возлагается на отдельную часть
САПР или подсистему.
Рассмотрим кратко указанные подсистемы САПР САУ [1,2].
Подсистема автоматизированного построения математических моделей САУ
основана на сочетании аналитических и численных методов. При этом аналитические
методы используются для получения первоначальной и по возможности наиболее
полной математической модели САУ, а численные методы служат для количествен-
ной оценки параметров модели и ее уточнения в целях обеспечения наибольшей аде-
кватности реальной САУ. Процедура построения математической модели включает
следующие этапы:
1)	вывод полной математической модели в аналитической форме на основе клас-
сических принципов и формализмов динамики;
2)	упрощение и преобразование математической модели в соответствии с назна-
чением и особенностями модели;
3)	параметрическую идентификацию упрощенной математической модели по ре-
зультатам экспериментальных исследований и испытаний.
В идеальном случае подсистема построения математических моделей должна ав-
томатизировать каждый из этих этапов.
Подсистема моделирования САУ служит для моделирования САУ на основе их
математических моделей с помощью ЭВМ в целях эффективной замены макетирова-
ния на всех этапах проектирования САУ. Эта подсистема, в частности, позволяет:
•	осуществлять анализ функционирования САУ, их устройств и элементов;
•	исследовать влияние изменения параметров и возмущающих воздействий на
стабильность характеристик САУ, выбирать структурную схему САУ по кри-
териям, задаваемым проектировщиком;
•	оценивать устойчивость, динамические и статические ошибки для различных
значений параметров выбранной структурной схемы и возмущающих воздей-
ствий.
Подсистема автоматизации анализа в САПР САУ непосредственно связана с
подсистемами синтеза и моделирования. В частности, задачи синтеза часто удается
свести к многократному решению соответствующих задач анализа. Подсистема ана-
лиза строится на основе использования следующих методов:
•	машинно-ориентированных традиционных методов анализа САУ (алгебраиче-
ских, частотных, спектральных и т.д.);
•	чисто машинных методов, основанных на представлении процессов анализа
САУ последовательностью реализуемых на ЭВМ операций над исходными и
промежуточными числовыми данными;
•	машинно-аналитических методов, необходимым условием применения кото-
рых является ЭВМ, но промежуточные и конечные результаты исследования
могут быть получены не в числовой, а в аналитической форме.
Приложение 6. Реализация алгоритмов спектральных методов 493
Подсистема автоматизированного синтеза САУ предназначена для решения
наиболее сложной задачи — синтеза САУ на основе теоретических и инженерных
методов, ориентированных на применение ЭВМ. Некоторые из таких методов рас-
смотрены в предшествующих главах. При этом определяющим условием является
формализация целей проектирования, а также критериев и ограничений, которые, в
свою очередь, часто многочисленны и противоречивы, существенно зависят от типа
САУ и условий их эксплуатации.
В случае, когда удается связать некоторые критерии со структурой и параметрами
САУ, задача синтеза САУ сводится обычно к задаче нелинейного (в частном случае
— линейного) программирования. Если при решении этой задачи приходится интег-
рировать дифференциальные уравнения, то возникает задача вариационного исчис-
ления и ее развитие в виде принципа максимума Понтрягина, метода динамического
программирования Веллмана.
В САПР САУ могут применяться как традиционные методы синтеза, так и ма-
шинные. При реализации традиционных методов к ним предъявляются следующие
специфические требования: устойчивость и скорость вычисления на ЭВМ; методоло-
гические удобства применения методов в соответствии с общей идеологией САПР
САУ; достаточная близость или хотя бы непротиворечивость критериев синтеза по
отношению к критериям, применяемым разработчиками САУ.
Как показывает практика, вычислительные трудности, возникающие при приме-
нении традиционных методов синтеза, не позволяют осуществить сквозной синтез
регуляторов САУ по единому функционалу качества с учетом возможностей техни-
ческой реализации и условий эксплуатации САУ. Поэтому синтез изменяемой части
САУ в рамках САПР САУ часто осуществляется в соответствии с итерационными
алгоритмами, в которых чередуются процедуры синтеза структуры регулятора, моде-
лирование, оптимизация параметров и творческие процедуры, связанные с приняти-
ем решений о приемлемости полученных результатов.
В случаях, когда указанные алгоритмы оказываются неприемлемыми, например
при синтезе многомерных САУ, применяются машинные методы, в частности мето-
ды пространства состояний. Эти методы разработаны для линейных САУ и отлича-
ются от других методов синтеза широкими возможностями по применению ЭВМ для
их реализации. В то же время применение методов пространства состояний для
«ручных» расчетов САУ неэффективно.
Следует отметить, что создание регулярных методов синтеза на основе представ-
ления исходной модели в пространстве состояний еще далеко до завершения и на
сегодняшний день существует лишь ряд способов синтеза линейных управлений ли-
нейными объектами [1,2].
Подсистема автоматизации конструкторской разработки САУ предназначена
для автоматизации процесса конструкторского проектирования, состоящего из сле-
дующих логически связанных этапов:
•	этапа функционального анализа, на котором анализируется техническое зада-
ние и расчленяются общие функции конструируемого звена САУ на единич-
ные функции. Одновременно составляется функциональная схема конструк-
ции звена;
•	этапа разработки принципиальных решений, на котором исходя из заданных
значений функций определяются принципы работы конструкции САУ и ее
устройств;
•	этапа определения конфигурации и размеров устройств САУ, на котором в со-
ответствии с выбранной конструкцией устанавливается форма и габариты
элементов САУ;
494
Статистическая динамика и идентификации САУ
•	этапа деталировки, результатом которого являются законченные чертежи, спе-
цификации и другая конструкторская документация изделия.
Одной из центральных задач применения САПР в конструировании является ав-
томатизация разработки и изготовления конструкторской документации.
Подсистема автоматизации технологического проектирования САУ решает за-
дачу, состоящую в том, чтобы с помощью конструкторской документации на САУ
разработать технологическую производственную документацию, на основе которой
можно изготовить САУ. Результатом такого проектирования является информация,
определяющая, из чего, как, в какой последовательности, чем и в какое время долж-
ны быть изготовлены элементы, устройства и «собрана» САУ.
Подсистема технологического проектирования позволяет автоматизировать такие
рутинные операции, как: поиск необходимой информации о сортаменте, оборудова-
нии, приспособлениях, инструменте; разработка технологической документации;
выполнение расчетов припусков, размерных цепей, норм времени и т.д. Возможно
также получение готовых носителей информации для оборудования с ЧПУ.
Подсистема автоматизации испытаний САУ позволяет автоматизировать со-
вокупность проектных процедур, связанных с экспериментальной проверкой маке-
тов, опытных образцов САУ и ее устройств на соответствие требованиям техниче-
ского задания и с экспериментальной оценкой возможностей этих объектов проек-
тирования.
Автоматизация испытаний преследует следующие цели:
•	разработку инструментов САПР САУ проектировщика-испытателя на всех
этапах проектирования, например, инструментов для формирования возму-
щающих воздействий, для обработки результатов испытаний и для управления
испытаниями;
•	проведение испытаний в режимах, максимально приближенных к реальным
условиям эксплуатации САУ;
•	сокращение расходов на испытания и сроков получения информации по ре-
зультатам испытаний;
•	проведение идентификации проектируемых САУ и их устройств;
•	повышение производительности и улучшение условий труда испытателей.
Ключевой подсистемой САПР САУ является подсистема автоматизированного
синтеза.
Применительно к любому техническому объекту, в том числе и к САУ, понятие
«синтез», в широком смысле, близко по содержанию к понятию «проектирование».
Решение задачи синтеза предполагает получение проектного решения в виде некото-
рого описания проектируемого объекта по заданному функциональному назначению
объекта или по закону его функционирования [1,2].
Синтез называется оптимизацией, если определяются наилучшие, в заданном
смысле, структуры и значения параметров. Когда рассчитываются оптимальные зна-
чения параметров при заданной структуре, говорят о параметрической оптимизации.
Задачу выбора оптимальной структуры называют структурной оптимизацией.
На структуру и конструкцию любого проектируемого объекта всегда наклады-
вается множество различных ограничений, которые обусловлены, например, тре-
бованиями технического задания на параметры проектируемого объекта, требо-
ваниями стандартов и технологии изготовления узлов и различных элементов
объекта и т.д.
При проектировании любого технического объекта также выбирается и задается
некоторый критерий оптимальности. В частности, для САУ в качестве критериев
Приложение 6. Реализация алгоритмов спектральных методов 495
оптимальности могут быть приняты качество, мощность, масса, габаритные размеры,
надежность, ремонтопригодность, стоимость.
Под оптимальным будем понимать такой результат решения задачи синтеза, при
котором получается вариант структуры и конструкции проектируемого объекта,
удовлетворяющий всем заданным ограничениям, а критерий оптимальности прини-
мает наилучшее (минимальное или максимальное) значение.
Получение оптимальных решений при проектировании стало возможным и дос-
тижимым как по срокам, так и по стоимости реализации проектных процедур только
при автоматизированном проектировании, когда появляется возможность синтезиро-
вать и исследовать множество вариантов структур и конструкций, а также проводить
количественное изучение проектируемых технических объектов, которые в прошлом
изучались лишь качественно. Отсюда видно, что идея оптимизации неразрывно свя-
зана с понятием автоматизированного проектирования.
Для решения задачи синтеза технических объектов выделяют некоторую сово-
купность независимых переменных, называемых переменными проектирования
X = , х2,..., хт ), фиксация значений которых определяет один из вариантов объек-
та и его качественные характеристики, в том числе значение критерия оптимальности
F(X), а также показателей, принятых в качестве ограничений.
В формальном виде задача синтеза технических объектов заключается в опреде-
лении значений независимых переменных X, при которых критерий оптимальности
проектируемого объекта
F(X) = F(x1,x2,...,x„)	(П.6.1)
принимает экстремальное (минимальное или максимальное) значение при данных
ограничениях
0z(x1,x2,...,xw)<O,/ = 1,«;	(П.6.2)
cij <Xj <bj, J =
Задача оптимального проектирования в приведенной выше форме представляет
собой задачу математического программирования. При этом если целевая функция
(П.6.1) и все ограничения (П.6.2) линейны, то задачу оптимизации называют задачей
линейного программирования, если же целевая функция или хотя бы одно ограниче-
ние нелинейны, то задача оптимизации является задачей нелинейного программиро-
вания. В случае, если некоторые переменные проектирования могут принимать лишь
определенные дискретные либо только целочисленные значения, задача оптимизации
называется задачей дискретного программирования.
Как показывает опыт, прямой синтез САУ, удовлетворяющей всем ограничениям,
указанным в техническом задании на проектирование, вряд ли возможен из-за проти-
воречивости требований и высокой размерности глобального критерия оптимально-
сти, а также из-за невозможности выразить в виде критериев опыт и интуицию кон-
структора. Несмотря на появление значительного количества научных работ в облас-
ти теории алгоритмизации творчества и аналитических методов принятия решений
при проектировании, индивидуальные начала инженерного проектирования являются
в настоящее время основными.
Проблему большой размерности глобального критерия оптимальности, вклю-
чающего в себя множество частных критериев, можно решить, выполнив декомпози-
цию общей задачи проектирования САУ на ряд последовательно решаемых подзадач
меньшей размерности. Например, если по условиям проектирования частные крите-
496 Статистическая динамика и идентификации САУ
рии оптимальности САУ можно ранжировать по важности, то наиболее естественной
и простой, с точки зрения реализации в САПР, является стратегия оптимизации по
методу последовательных уступок [1, 2]. Применение этой стратегии дополнительно
обеспечивает для проектировщика знание потерь качества по каждому из критериев
на каждом шаге оптимизации, в то время как оптимизация отдельно по каждому кри-
терию не дает такой информации.
Таким образом, выполняя декомпозицию общей задачи проектирования САУ,
можно получить последовательность частных или локальных подзадач меньшей
размерности, решаемых традиционными методами поиска экстремума функций п
переменных [1,2].
Задания для самостоятельной работы
497
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.
ВВЕДЕНИЕ
Задания, представленные в этом разделе, имеют разную степень трудности, но все
они предполагают использование ЭВМ. Все задания включают теоретические, алго-
ритмические и программные вопросы. При реализации заданий необходимо в явной
форме отразить все этапы решения конкретных задач на ЭВМ (вычислительную тех-
нологию), начиная от содержательной постановки и заканчивая численным результа-
том и его анализом. Развитие творческих навыков также является одной из целей вы-
полнения приведенных ниже заданий.
Выполнение каждого из заданий должно включать следующие части:
1)	изложение содержательной постановки задачи, математическая постановка за-
дачи, изучение и изложение основных положений теории, предмашинный ана-
лиз математической модели;
2)	разработка и теоретическое обоснование вычислительного алгоритма, струк-
турная схема алгоритма и ее особенности, обоснование вычислительной ус-
тойчивости, выводы;
3)	программирование и расчет на ЭВМ;
4)	решение на ЭВМ конкретной задачи, анализ результатов решения, построение
графиков и структурных схем систем, анализ ресурсов, используемых для ре-
шения рассматриваемой задачи.
Конкретные входные данные для выполнения заданий задаются преподавателем.
Задания могут быть использованы в качестве домашних заданий, курсовых работ,
курсовых проектов и др.
Выполнение заданий и реализация самостоятельной работы, связанной с матема-
тическим описанием, детерминированным и статистическим исследованием доста-
точно сложных конкретных систем управления, которые находят применение в раз-
личных областях техники, предполагает систематическое использование литературы:
1)	Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулиро-
вания. — М.: Машиностроение, 1977. — 592 с;
2)	Задачник по теории автоматического управления / Под общ. ред. А.С. Шаталова.
— М.: Энергия, 1971. — 496 с;
3)	Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под
ред. В.А. Бесекерского. — М.: Наука, 1978. — 510 с.
4)	Тихонов В.И., Шахтарин Б.И., Сизых В.В. Случайные процессы. Примеры и за-
дачи: Т.1. Случайные величины и процессы. — М.: Радио и связь, 2003. — 400 с.
5)	Пугачев В.С., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории авто-
матических систем. — М.: Машиностроение, 1974. — 400 с.
6)	Звездный А.М. Основы расчетов нелинейных и параметрических радиотехни-
ческих цепей. — М.: Связь, 1973. — 448 с.
В указанных книгах приведен обширный материал по всем разделам теории авто-
матического управления (некоторые из заданий, приведенные ниже, заимствованы из
указанных задачников).
498
Задания для самостоятельной работы
ТЕМА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Исходная информация для решения задач расчета и проектирования САУ содер-
жится в постановке технической задачи, которая может формулироваться в терминах,
определяющих содержание задачи (содержательных терминах). На этом этапе разра-
ботчик оперирует с принципиальными и функциональными схемами элементов САУ
или системы в целом.
Конечным же результатом решения задачи являются количественные параметры:
теория автоматического управления — точная наука, оперирующая количествен-
ными характеристиками. Ее аппарат — математические методы. Для применения
же математических методов необходима четкая и строгая формулировка задачи, ко-
торая устраняла бы возможные неопределенности и двусмысленности и одновремен-
но делала бы задачу математически корректной. С этой целью для постановки тех-
нической задачи необходима адекватная ей математическая формулировка, цен-
тральным понятием которой является математическая модель.
Математическая модель СА У отражает в той или иной мере свойства реальной
системы, в том числе ограничения, существующие в реальных условиях', отобража-
ет в рамках выбранной степени приближения и детализации исходную техническую
задачу в математическую схему, характеризуемую совокупностью определенных
математических соотношений между ее элементами.
Например, математическая модель процесса х(ф (накопленный конденсатором
заряд как функция времени), протекающего в электрической цепи (рис. Т.1.1) под
воздействием внешней электродвижущей силы y(t), представляется (в соответствии
с законом Кирхгофа для электрической цепи) дифференциальным уравнением вида
Т d2x dx 1 / \	\
L—т + R 1—х(ч = У (ч,
dt2 dt с[’	(Т.1.1)
х(О) = хо, х'(0) = х1.
Разные физические процессы могут иметь одинаковые математические модели.
Процесс, протекающий в механическом осцилляторе (рис. Т.1.2), также описыва-
ется уравнением второго порядка
d2 х dx
m-v+3—+&(() = >(/)•	(Т-1-2)
(ll	Cl I
где m — масса материальной точки, К — коэффициент упругости пружины, 0 —
коэффициент затухания демпфера, — положение материальной точки как
функции времени, —воздействие внешней силы.
Наиболее часто при построении математических моделей САУ используется ап-
парат дифференциальных уравнений.
Тема 1. Математические модели линейных стационарных САУ
499
Рис. Т.1.1. К определению математической
модели электрической цепи
Рис. Т.1.2. К определению математической
модели механического осциллятора
Принципиально важным является следующее положение: переход от физической
модели (электрическая цепь или механический осциллятор) к ее математической
модели (дифференциальные уравнения (Т.1.1) и (Т.1.2)) приводит к возможности
количественного описания различных по своей природе физических процессов одина-
ковыми ДУ.
Например, угол отклонения руля летательного аппарата 8р(/) и его угол атаки
(угол между вектором скорости и продольной осью ракеты) a (z) связаны между со-
бой также дифференциальным уравнением второго порядка
a + 2£,co0d + cOqOc = я5бр,
где со0 — собственная частота колебаний угла атаки; — коэффициент демпфиро-
вания колебаний угла атаки.
В факте описания одним и тем же уравнением процессов, протекающих в элек-
трической цепи, механическом осцилляторе, ЛА и др., проявляется одно из важней-
ших свойств математической формализации предмета исследования, благодаря
которому при постановке и решении новых задач расчета и проектирования СА У в
большинстве случаев не требуется создавать новый математический аппарат, а
можно воспользоваться существующим.
Понятие математической модели может быть использовано для решения боль-
шого числа частных, конкретных задач и в этом смысле оно выражает одно из глав-
ных практических назначений теории.
Математические модели могут быть представлены различными математическими
средствами; основными из них являются:
•	дифференциальные уравнения;
•	интегральные уравнения;
•	уравнения с матричными операторами;
•	векторно-матричные дифференциальные уравнения в форме Коши и др.
К динамическим характеристикам относятся:
•	временные динамические характеристики (импульсная переходная функция,
переходная характеристика);
•	частотные характеристики (АЧХ, ФЧХ, АФХ и др.).
Цель нижеследующих заданий — изучение всех этапов построения математиче-
ских моделей линейных одномерных стационарных САУ.
Важное внимание уделено изучению физических процессов, протекающих в сис-
темах. Показано, что знание физических процессов, имеющих место во всех элемен-
тах САУ, позволяет математически описать как элементы, так и систему в целом.
500
Задания для самостоятельной работы
ЗАДАНИЕ 1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ДИНАМИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ САУ
На примерах, рассмотренных в 1-м и 2-м томах учебника, по заданию преподавателя:
1.1-	1. Пользуясь соответствующими источниками, изучите физические процессы,
протекающие в системе, её функциональную и структурную схемы.
1.1-	2. Ознакомьтесь с фундаментальными принципами управления:
•	принцип разомкнутого управления;
•	принцип обратной связи и др.
Дайте определения и охарактеризуйте основные виды автоматического управления:
•	стабилизация;
•	программное управление.
Определите принципы и особенности статического и астатического управления.
Укажите, какие возмущения действуют на САУ.
1.1-3. Дайте определение математической модели САУ; укажите, какие сущест-
вуют формы представления математической модели.
1.1-4. Изучите основное содержание линеаризации нелинейных уравнений САУ и
укажите математические основы линеаризации.
1.1-5. Изучите физику работы элементов системы и их математические модели.
1.1-6. Постройте математическую модель системы в форме передаточной функ-
ции и скалярного ДУ; сформулируйте основные правила преобразования структур-
ных схем САУ.
1.1-7. Постройте математические модели системы в форме скалярных интеграль-
ных уравнений 2-го рода относительно и (/).
1.1-8. Постройте математическую модель системы в форме скалярной ПФ и най-
дите ее обратное преобразование Лапласа; запишите интеграл Дюамеля.
1.1-9. Постройте временные динамические характеристики САУ и запишите зави-
симости (интегральные соотношения), связывающие вход системы с её выходом че-
рез ИПФ и ПХ.
1.1-10. Дайте определение частотных характеристик САУ; изложите методику
экспериментального определения АЧХ и ФЧХ; в чем состоят преимущества ЛЧХ в
сравнении с амплитудно-фазовыми характеристиками; изложите правила вычисления
ЛЧХ САУ; постройте частотные характеристики (АЧХ, ФЧХ, ДЧХ, МЧХ, ЛЧХ,
АФХ) рассматриваемой системы; на какие технические свойства САУ оказывают
влияние низко-, средне- и высокочастотные области ЛЧХ?
ЗАДАНИЕ 1.2. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
СКОРОСТЬЮ ВРАЩЕНИЯ ПАРОВОЙ ТУРБИНЫ
Рассматриваемая САУ предназначена для автоматического управления скоростью
вращения турбины во время ее пуска (разворота) и стабилизации заданного числа
(3000 или 1500 об/мин) оборотов при ее работе на нагрузку. Таким образом, входом
системы являются заданные числа оборотов п3 (/) = Оэ-ЗООО (1500) об/мин, выходом
—	—действительное число оборотов.
Упрощенная принципиальная схема рассматриваемой САУ показана на рис. Т.1.3.
Изложим принципы ее работы. Пусть, например, вследствие изменения нагрузки ге-
нератора (Г) обороты турбины (Т) возросли. Для измерения скорости вращения Т
применяется центробежный насос — импеллер (И). Возрастание оборотов И вызыва-
ет рост давления масла Ри и перемещение поршня 5 вверх.
Тема 1. Математические модели линейных стационарных САУ
501
Рис. Т.1.3. Упрощенная принципиальная схема системы управления
числом оборотов турбины:
Т — турбина; Г — генератор; МУТ — механизм управления турбиной (синхронизатор);
И — импеллер; ГС — главный сервомотор; ДС — дифференциальный сервомотор;
ОЗ — отсечной золотник; ОС — обратная связь; РК — регулирующий клапан
Масло из напорной линии постоянного давления Ро через дроссель So поступает
в дифференциальный сервомотор (ДС) и сливается через параллельно включенные
три сечения: механизма управления турбиной (МУТ) — Fx, ДС — Fy и обратной
связи (ОС) — Fz.
Увеличение Fx из-за возрастания оборотов приводит к уменьшению давления Рх ,
в результате чего нарушается баланс ДС.
Золотник 1 ДС движется вверх, уменьшая сечение Fy и восстанавливая давление
Рх, а поршень 2 главного сервомотора (ГС) — вниз, уменьшая расход пара (соответ-
ственно обороты Т) и сечение Fz.
Давление Рх возрастает, и ДС посредством отсечного золотника (ОЗ) прекращает
движение регулирующего клапана (РК).
В установившемся режиме давление Рх = const и золотник 1 ДС занимает всегда
одно и то же положение, т.е. Fy = const. Тогда Fx+Fz= const, или AFV + AC. = 0, т.е.
изменение сливного сечения МУТ компенсируется изменением сливного сечения ОС.
Так как из-за изменения нагрузки генератора РК занял новое положение, то новые
условия равновесия в системе возникают при новой скорости вращения турбины. Та-
502 Задания для самостоятельной работы
ким образом, САУ поддерживает заданные обороты с некоторой статической погреш-
ностью, которая называется неравномерностью регулирования 5 и регламентируется
(5 = 4э-5 %). Другими словами, система регулирования турбины является статической.
Для задания оборотов турбины используется МУТ. Если, например, переместить
его буксу 3 вверх, то из-за уменьшения усилия пружины 4, поршень 5 под действием
давления масла импеллера также переместится вверх и увеличит сечение Fx. Так как
AFX = -kF, то РК переместится вниз и уменьшит обороты турбины.
Описанная принципиальная схема (рис. Т.1.3) позволяет построить функциональ-
ную схему (рис. Т.1.4).
Рис. ТТЛ. Функциональная схема САУ
Рассматриваемая САУ является нелинейной. Кроме турбины, нелинейными эле-
ментами являются импеллер (давление пропорционально квадрату частоты вращения),
регулирующий клапан (расход пара — 5-образная функция степени открытия т). Тем
не менее для небольших отклонений регулируемых переменных ее линейная модель
имеет достаточную для практических целей точность. Обычно при исследовании ли-
неаризованных САУ турбины вводят относительные переменные:
•	скорость (частота вращения)— ср(/) =—
^ном
Am (О
•	степень открытия клапанов—ц(Л =----— ит.д.
т
"*ном
Основным возмущением системы является электрическая нагрузка генератора Уэ (7).
В относительных переменных и в стандартных обозначениях структурная схема
САУ показана на рис. Т.1.5.
Рис. Т.1.5. Структурная схема САУ турбины
Кроме линеаризации нелинейности предполагается постоянство давления пара
перед РК и нагрузки турбины. Последнее справедливо только при наличии холостого
хода генератора, например во время разворота турбины. В этом случае турбину мож-
но представить в виде инерционного звена с постоянной времени То. Инерционное
Тема 1. Математические модели линейных стационарных САУ
503
звено с параметрами Кг, 7] и усилительное звено К2 отражают влияние объема пара
после РК. Главный сервомотор с отсечным золотником является интегратором с по-
стоянной времени Тм. Импеллер представлен в виде усилителя с Кос.
Ориентировочные значения параметров:
То =20 с; А1=А2=0,5; 7] =1,5 с; Тм=1с; Кос =0,1.
Неединичная основная обратная связь выбрана для обеспечения заданной стати-
ческой погрешности регулирования. Легко проверить, что установившаяся ошибка
£ = 1-----Г +А':— = о 091.
У Kac + Kl+K2
Задание 1.2 для самостоятельной работы с целью построения математических мо-
делей включает в себя следующее: пользуясь источниками
а)	Паровые и газовые турбины атомных электростанций: Учеб, пособие для ву-
зов / Б.М. Трояновский, Т.А. Филиппов, А.Е. Булкин. — М.: Энергоатомиздат, 1985;
б)	Кириллов И.И., Иванов ВЛ. Регулирование паровых и газовых турбин. Пример-
ные расчеты и задачи: Для втузов / Под ред. И.И. Кирикова. — М.-Л.: Машинострое-
ние, 1966,
изучите физические процессы, протекающие в системе; рассмотрите основные
этапы построения функциональной и структурной схем.
Далее необходимо выполнить все пункты задания 1.1 (для первого варианта мож-
но задать То = 20 с; К{= К2= 0,5; 7] = 1,5 с; Тм = 1 с; Кос = 0,1; для остальных вари-
антов входные данные задаются преподавателем).
ЗАДАНИЕ 1.3. СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА С ЭЛЕКТРОННЫМ
УСИЛИТЕЛЕМ И ДВИГАТЕЛЕМ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Динамические характеристики электрической следящей системы с электронным
усилителем и двигателем постоянного тока подробно рассмотрены в главе 1, т.1 [43].
Функциональная схема следящей системы приведена на рис. Т.1.6.
Рис. Т.1.6. Функциональная схема следящей системы:
I — СД; 2 — СП; 3 — ФЧВ; 4 — КУ; 5 — УПТ; 6 — ЭМУ; 7 — ИД;
8 — редуктор; 9 — цепь местной обратной связи
Рассмотрим работу отдельных элементов системы и их математические модели.
Сельсины. Сельсины — электрические машины переменного тока, предназна-
ченные для работы в качестве датчиков или в качестве элементов дистанционной
передачи сигналов. Сельсины, применяемые в качестве датчиков, работают в так на-
зываемом трансформаторном режиме и имеют четыре обмотки (рис. Т.1.7).
Сельсины работают попарно. Один сельсин называется сельсином-датчиком (СД),
второй — сельсином-приемником (СП).
Трехфазные обмотки сельсинов соединены звездой. Их магнитные оси сдвинуты
на 120°. Соответствующие трехфазные обмотки СД и СП, распложенные на роторах,
соединены между собой. Статорные обмотки являются однофазными.
504
Задания для самостоятельной работы
Рис. Т.1.7. Схема соединения обмоток сельсинов, работающих в качестве датчика
Входным сигналом датчика является угол поворота ротора СД относительно ро-
тора СП, т.е. разность в угловых положениях роторов. Выходным сигналом является
напряжение L/BbIX, наводимое в статорной обмотке СП.
Для построения математической модели датчика запишем эффективные значения
ЭДС в обмотках ротора СД. Пренебрежем малыми значениями ЭДС самоиндукции и
взаимоиндукции:
Д =£Mcosa;
< Е2 =£’Mcos(a-120°);	(Т.1.3)
Е3 = Ем cos(oc +120°).
Здесь Ем — эффективное значение ЭДС, наводимое в обмотке 1 (рис. Т.1.7) по-
током возбуждения Ф, созданным переменным напряжением, поданным на одно-
фазную обмотку U при a = 0.
Пусть Z — сопротивление каждой из трехфазных обмоток. Считаем, что магни-
топроводы сельсинов работают в ненасыщенном режиме и сопротивление соедини-
тельных проводов является малым. Тогда эффективные значения токов в трехфазных
обмотках определяются формулами
/ -А.
1 2Z’
-Л=А;	(Т.1.4)
Эти токи создают переменные магнитные потоки, которые индуцируют в одно-
фазной обмотке СП электродвижущие силы, эффективные значения которых соот-
ветственно равны
Х' = ^-Дсо8р,
< Е'2 =^-/2cos(p-120°),	(Т.1.5)
Е'3 =^-/3cos(p + 120°),
где К — коэффициент пропорциональности.
Эффективное значение напряжения в однофазной обмотке СП будет следующим:
^ых=Д'+Д+£з-	(Т.1.6)
Преобразовывая (Т.1.6), с учетом (Т.1.3), (Т.1.4) и (Т.1.5) получим
ЕДых =	[cos Р cos a + cos(P - 120°)cos(oc -120°) + cos(P + 120°)cos(oc +120°)],
Тема 1. Математические модели линейных стационарных САУ 505
или
т KF
^=^-cos(₽-a) = /7Mcos(₽-a),	(Т.1.7)
где L7M — амплитудное значение напряжения при нулевом рассогласовании 0 - ос.
Из формулы (Т.1.7) следует, что независимо от абсолютного углового положения
роторов выходное напряжение на однофазной обмотке СП зависит только от величи-
ны рассогласования 0 - а относительного положения роторов СД и СП.
Если выходное напряжение L/BbIX подавать на фазочувствительный выпрямитель,
то можно выделить сигнал рассогласования 0-ос. Таким образом, СД и СП совмест-
но с ФЧВ образуют элемент сравнения, обозначенный на структурной схеме цифра-
ми 1—3. Выпрямительная часть ФЧВ обозначена на структурной схеме элементом с
цифрой 3. Напряжение, снимаемое ФЧВ, определяется так:
UX=KVE.	(Т.1.8)
Соответственно передаточная функция данного звена 1ЕД+ФЧВ = Кх.
Корректирующее устройство. Коррекция динамических характеристик систем
управления осуществляется, как правило, путем введения в систему корректирующих
устройств (регуляторов) (методы синтеза регуляторов подробно изложены в т.З).
Различают два вида таких КУ — последовательные, включаемые в прямую цепь
последовательно с объектом управления, и параллельные, включаемые в цепь мест-
ной обратной связи, охватывающей объект управления.
В качестве последовательных корректирующих устройств наиболее часто исполь-
зуют пропорционально-интегрально-дифференцирующие (ПИД) регуляторы, или ре-
гуляторы, реализующие более простые законы управления.
Передаточная функция ПИД-регулятора имеет вид
^щ = ка + к^+^-.
Структурная схема ПИД-регулятора (КУ) изображена на рис. Т.1.8.
Рис. Т.1.8. Структурная схема ПИД-регулятора
Большими возможностями обладают корректирующие устройства, представляю-
щие собой активные четырехполюсники, основным элементом которых является
операционный усилитель (ОУ) — усилитель постоянного тока с различного типа от-
рицательными обратными связями. Как видно из структурной схемы (см. рис. Т.1.8),
для реализации корректирующего устройства необходимо иметь элементы, обеспе-
чивающие выполнение операций усиления, суммирования, интегрирования и диффе-
ренцирования сигналов. Все указанные операции достаточно часто реализуются на
базе операционных усилителей.
Рассмотрим отдельные, наиболее часто используемые на практике схемы, выпол-
няющие указанные математические операции.
506 Задания для самостоятельной работы
Инвертирующий усилитель (пропорциональное звено). Функциональная схема
звена изображена на рис. Т.1.9.
Рис. Т.1.9. Инвертирующий усилитель:
а — принципиальная схема звена на ОУ; б — обозначение на структурной схеме
Данное звено является пропорциональным с коэффициентом передачи K = -Roc/R,
инвертирующим входной сигнал.
Далее приведем только функциональные схемы основных типов звеньев на базе
ОУ и соответствующие им передаточные функции.
Неинвертирующий усилитель (пропорциональное звено). Функциональная схема
звена изображена на рис. Т. 1.10.
Рис. Т.1.10. Неинвертирующий усилитель:
а — принципиальная схема звена на ОУ; б — обозначение на структурной схеме
Передаточная функция имеет вид
W(S) = K=R + R°C.
Усилитель с дифференциальным входом (элемент сравнения с пропорциональны-
ми звеньями по каждому входу). Функциональная схема звена изображена на рис. Т. 1.11.
Рис. Т.1.11. Усилитель с дифференциальным входом:
а — принципиальная схема звена на ОУ; б — обозначение на структурной схеме
Тема 1. Математические модели линейных стационарных САУ 507
Имеем
и2=к,-и^к2-и2,
где
v ^ocl v ^ос2 (^1 + ^ocl)
R	*i(*2 + *oo2)
Передаточные функции звеньев по каждому входу определены зависимостями
(5) = ^1’
^U3U2	= &2-
Инвертирующий сумматор (сумматор с пропорциональными звеньями по каж-
дому входу) (рис. Т.1.12).
Рис. Т.1.12. Инвертирующий сумматор:
а — принципиальная схема звена на ОУ; б — обозначение на структурной схеме
Имеем
U2=KY-UY+K2-U2,
где
D	D
fQ — _ 7V()C ' К = — 7V()C
1 V 2 R2 
Передаточные функции звеньев по каждому входу имеют вид
(5)= Ki’
Wu3U3 (5)х = &2-
Неинвертирующий сумматор (сумматор с пропорциональными звеньями по ка-
ждому входу) (рис. Т.1.13).
Имеем
и2=кгих+к2-и2,
где
^ос(^о+^осо)	^ос(^о+^осо)
1="мТ+м-’ 2 = л>(«2+^00) 
Предварительные функции звеньев по каждому входу:
(5)= Ki’
(5) = ^2-
508
Задания для самостоятельной работы
Рис. Т.1.13. Неинвертирующий сумматор:
а — принципиальная схема звена на ОУ; б — обозначение на структурной схеме
Интегратор. Имеем
^г=к'и"
at
„ 1
где К =----.
RC
Передаточная функция звена определяется формулой
W(s) = —.
х
Рис. Т.1.14. Интегратор:
а — принципиальная схема; б — обозначение на структурной схеме
Рис. Т.1.15. Принципиальная схема модифицированного интегратора
Тема 1. Математические модели линейных стационарных САУ
509
На рис. Т.1.14 приведена функциональная схема идеального интегратора. Инте-
гратор, построенный по данной схеме, выполняет интегрирование с низкой точно-
стью. Более высокой точностью интегрирования обладает модифицированный инте-
гратор, функциональная схема которого приведена на рис. Т.1.15.
Дифференциатор (дифференцирующее звено). Принципиальная схема приведена
на рис. Т.1.16.
Рис. Т.1.16. Дифференциатор:
а — принципиальная схема; б — обозначение на структурной схеме
Рис. Т.1.17. Принципиальная схема скорректированного дифференциатора
Скорректированный дифференциатор (рис. Т.1.17) описывается уравнением
, m/2U2 (RK CK}dU2 1 тт	dU{
dt2	IR	C J dt	RC 2	dt
Передаточная функция имеет вид
(5/co1+1)(Vco2+1)’
1
где с°1=7^’
СЛК
Если положить со1 = со2, то передаточная функция запишется так:
(s/coi+i)
где К = -RC.
Усилитель постоянного тока. Усилитель постоянного тока (УПТ) предназначен
для усиления медленно меняющихся сигналов постоянного тока, так называемых
инфранизкочастотных сигналов. УПТ, как правило, выполняются на полупроводни-
ковых приборах, имеют коэффициент усиления, достигающий нескольких десятков
тысяч, полосу пропускания до 1000 Гц. Поэтому для рассматриваемого типа следя-
510 Задания для самостоятельной работы
щей системы УПТ является безынерционным элементом (пропорциональным зве-
ном). Его уравнение можно записать следующим образом:
Ц,=К3
Передаточная функция УПТ
Электромашинный усилитель. Электромашинный усилитель (ЭМУ) представ-
ляет собой генератор постоянного тока с внешним управлением и предназначен для
усиления электрических сигналов по мощности. Генератор приводится во вращение
приводным двигателем (ПД). Усиление сигналов производится за счет энергии при-
водного двигателя.
В системах управления наибольшее распространение получили двухкаскадные ЭМУ
(рис. Т. 1.18), в качестве нагрузки которых используются двигатели постоянного тока.
ЭМУ усиливает сигналы управления, поступающие на двигатель.
Рис. Т.1.18. Принципиальная схема двухкаскадного ЭМУ
Особенностью двухкаскадного ЭМУ является наличие двух пар щеток на кол-
лекторе. Одна пара находится на нейтральной линии, вторая пара (рабочие щетки)
— на линии, перпендикулярной к ней. Поперечные щетки, находящиеся на ней-
тральной линии, замкнуты накоротко. К рабочим щеткам подключена цепь нагруз-
ки (двигатель).
Принцип работы ЭМУ: к обмотке возбуждения, являющейся одновременно об-
моткой управления, подводится управляющий сигнал U . Под действием управляю-
щего сигнала в статоре ЭМУ наводится магнитный поток
Фу = qcoy/y,
где q — конструктивная постоянная, соу — количество витков обмотки управления,
I — ток в обмотке управления.
При вращении якоря в этом магнитном потоке в якорной обмотке наводится ЭДС
еп = А-ФуО,
где Q — угловая скорость вращения якоря.
Так как поперечные щетки замкнуты накоротко, то в них возникает достаточно
большой ток
где Rn — сопротивление коротко замкнутой цепи.
Тема 1. Математические модели линейных стационарных САУ 511
Этот ток создает поперечный поток
Фп —
где с2 — конструктивная постоянная, соя — число витков в якорной обмотке.
Вращение якоря в магнитном потоке Фп приводит к появлению на рабочих щет-
ках ЭДС
ер = кФпа
Таким образом, зависимость напряжения на рабочих щетках ер от управляющего
тока I определяется зависимостью
A2CiC9covcouQ2
=----1 2 у я--J	zT 1
Р	R	У	'
Зависимость (Т.1.9) называется характеристикой холостого хода. Как видно, ер
зависит от квадрата угловой скорости приводного двигателя.
При включении нагрузки по рабочей цепи пойдет ток. В соответствии с этим воз-
никает магнитный поток реакции якоря Фр, который направлен навстречу потоку
Фу. Поток Фр искажает поток Фу. Для устранения этого явления в ЭМУ преду-
смотрена компенсационная обмотка, которая включена последовательно с обмоткой
якоря в цепь рабочих щеток. Компенсационная обмотка включена так, что проте-
кающий по ней ток создает компенсационный поток Фк, который направлен против
потока реакции якоря Фр. Тем самым поток Фк компенсирует влияние потока Фр.
Для регулировки величины Фк параллельно компенсационной обмотке включено
сопротивление RK.
Составим уравнения динамики ЭМУ, предполагая, что он работает в режиме пол-
ной компенсации, т.е. Фк = Фр. Уравнения электрических процессов в рабочей, по-
перечной и управляющей цепях имеют вид
K^^R^+R^+L^-,
K2nLyIy=RJa+La^-,
<	dt
di
^У “ Vy + Ly >
II = R I
<-увых Лн2р*
Последнее уравнение определяет выходное напряжение ЭМУ.
В формулах (Т.1.10) используются следующие обозначения: In, I , I — токи в
поперечной, рабочей и управляющей цепях; Rn, Ry, Ru, Rm — сопротивления попе-
речной и управляющей цепей нагрузки, сопротивление участка рабочей цепи, в кото-
рую входят: обмотка якоря, щетки и компенсационная обмотка, зашунтированная
сопротивлением RK; Lu, Lp, Ly — индуктивности поперечной, рабочей и управляю-
щей цепей; , К2 — конструктивные постоянные.
Учитывая, что ЭДС самоиндукции и падение напряжения в рабочей цепи малы по
отношению к ЭДС, наводимой внешним магнитным полем, отдельными слагаемыми
в первом уравнении системы (Т.1.10) можно пренебречь. В результате получим
512
Задания для самостоятельной работы
ишх =K,nL„I„;
K2nLyIy=RnIu+Ln^-,	(Т.1.11)
at
dly
Uy-RyIy+Ly—.
Исключая из (Т.1.11) промежуточные переменные /п, I , находим одно уравне-
ние, связывающее управляющее напряжение с напряжением выхода:
j^t Т	т
Т„Ту—^ + (Тп+Ту)—^ + и,ьа=Куиу,	(Т.1.12)
dt~ v ’ dt
где Тп,Ту — постоянные времени поперечной цепи и цепи управления, Ку — коэф-
фициент усиления ЭМУ по напряжению:
7’ _ ^11 т _	IX _ Г Г 1Л-ТТ
п	'у	-Л4Л212
Передаточная функция ЭМУ имеет следующий вид:
Исполнительный двигатель постоянного тока. От двигателей, применяемых в
следящих системах, требуется преобразование электрического сигнала (управляюще-
го напряжения) в пропорциональную величине сигнала скорость вращения якоря.
Как правило, используются двигатели постоянного тока с независимым возбуждени-
ем. Принципиальная схема двигателя приведена на рис. Т. 1.19.
Рис. Т.1.19. Принципиальная схема двигателя постоянного тока
Управление двигателем возможно путем изменения напряжений или по цепи яко-
ря Uя, или по цепи обмотки управления L/B.
Рассмотрим вначале уравнения статики. Ток в цепи якоря /я, магнитный поток
возбуждения Фв, вращающий момент Мвр, скорость вращения вала двигателя со и
противоэлектродвижущая сила еп, наводимая в обмотке якоря, связаны следующими
соотношениями:
С/я = 4^я	’
(Т.1.13)
Уп —
Тема 1. Математические модели линейных стационарных САУ
513
где
Р-У-10’8	_ ее
С‘~ 2ла ,<’““9,8Г
N — число проводников якоря, Р — число пар полюсов, а — число пар парал-
лельных ветвей, Ая — активное сопротивление цепи якоря.
Исключая из уравнения еп и гя, получим
Мвр =^-Фви, -^-Ф>	(Т.1.14)
Из формулы (Т.1.14), которая определяет механическую характеристику двигате-
ля, видно, что при постоянном потоке возбуждения Фв, создаваемом неизменяемым
напряжением возбуждения L/B, вращающий момент линейно зависит от управляю-
щего сигнала по цепи якоря 6/я. Это позволяет плавно изменять скорость двигателя в
широком диапазоне. В связи с этим обстоятельством в рассматриваемой следящей
системе управление двигателем осуществляется именно по цепи якоря.
Составим уравнение динамики для двигателя, управляемого по цепи якоря.
Уравнение движения якоря двигателя имеет вид
J- = Mm-ca)-Mc.	(Т.1.15)
dt вр с
Здесь J — момент инерции всех вращающихся масс, приведенных к валу двига-
теля, с — коэффициент вязкого трения, Мс — момент сопротивления.
Из (Т. 1.15) и (Т.1.14) получим
J— + [с +	со = —Фв6/Я -Мс,
dt L J Яя
или
(Т.1.16)
Г,^ + и=Л\/.',г-А;:ЛЛ.
dt
где Тм — постоянная времени двигателя, Км — коэффициент передачи двигателя по
управлению, Кс — коэффициент передачи двигателя по возмущению:
у _ ^Я. IX _ Al. IX _ ^я
cR^ + сесмФв сАя + сесмФв сАя + сесмФв
Соответственно передаточные функции двигателя по управлению и возмущению
(моменту сопротивления) относительно угловой скорости имеют вид
\ = .
дву^ ' 7> + Г
Д V 7 7> + 1
Уравнение (Т.1.16) можно записать относительно угла поворота. Учитывая, что
da
— = со,
dt
из (Т.1.16) получаем следующее уравнение:
d2a da „ т,	„ , г
^м~Т + ~~
dt dt
Двигателю, описываемому уравнением (Т.1.17), соответствуют две передаточные
функции — по управлению и по возмущению относительно угла поворота:
(Т.1.17)
514
Задания для самостоятельной работы
СвуМ =
(Т.1.18)
СЩ) = -7Г7
(Т.1.19)
Редуктор. Редуктор предназначен для изменения числа оборотов двигателя и для
связи двигателя с объектом управления. Уравнение, которым описывается редуктор,
имеет вид
То есть редуктор является безынерционным (пропорциональным) звеном. Ему со-
ответствует передаточная функция
Цепь местной обратной связи. Как указывалось выше, местная обратная связь
предназначена для увеличения демпфирования системы ЭМУ-ИД. Снимаемый с со-
противления Rc сигнал пропорционален току в цепи якоря двигателя. Регулировка
предназначена для изменения глубины обратной связи.
Составим уравнения, связывающие токи и напряжения в местной обратной связи.
Напряжение, снимаемое с сопротивления Rc, определяется формулой
<4=44-	(Т.1.20)
Найдем зависимость, связывающую /я с угловой скоростью двигателя. Для этого
воспользуемся уравнением системы (Т. 1.14) и уравнением (Т.1.15). Если считать, что
момент вязкого трения Мтр = с • со и момент сопротивления Мс много меньше, чем
вращающий момент Мвр, то будем иметь
ТТВр — Квр • /я,
' Tdo
dt ~ ,р’
где
вр
отсюда следует
— Т
dt вр я’
Учитывая (Т.1.20), получаем
т, RCJ do
U5 = -*--------,
dt
или
тт - к d&
~ Кос '~Т~’
at
где Кос = RCJ/КВу — коэффициент передачи обратной связи.
Из формулы (Т.1.21) следует, что сигнал U5 пропорционален производной от уг-
ловой скорости вращения вала двигателя, или второй производной от угла поворота
тт — К d а
U5 ~ Кос~Т-
dt
Таким образом, местная обратная связь представляет собой разновидность гибкой
обратной связи.
(Т.1.21)
(Т.1.22)
Тема 1. Математические модели линейных стационарных САУ 515
Передаточная функция местной обратной связи по углу имеет вид
по угловой скорости запишется как
Структурная схема следящей системы с учетом определенных выше передаточ-
ных функций отдельных звеньев имеет вид, представленный на рис. Т.1.20.
Рис. Т.1.20. Структурная схема следящей системы
Найдем передаточную функцию внутреннего контура, включающего УПТ, ЭМУ-
ИД, цепь местной обратной связи. Поскольку имеет место соединение с отрицатель-
ной обратной связью, то
вЛ 1+^MM4C(S)CW
=____________________к,кук„____________________
V + (^у +	+ Vm )^2 + (Гм + Ту +	+ K3KyK^KQ^S + 1
Соответственно дифференциальное уравнение внутреннего контура имеет вид
Гп7’у7’м^+(7’пГу +ГЛ +ГуГи)^+(Ги + Т + Т +K,KyK^K^+a=K,KyKJJ2.
dt y	’dt y	’ dt	y
Передаточная функция всей системы относительно задающего воздействия
определяется формулой
b,s+bn
И»у (s) =-----------------;-----= —;----,----2------.
1+^+*4.(4^)-^k(4;-^pW “iS +a,s +ih-s +a's+a«
где
a4=TnTyTM; a3 = TnTy + TnTM + TyTM; a2 = TM + Ty + Tn + K3KyKMK0C;
«1 = 1 + K2K3KyKM; a0 = KYK2K3KyKJ^;
b, = KYK2K3KJty4, b0 = KlK2K3KMKy.
Соответственно дифференциальное уравнение следящей системы относительно
задающего воздействия у (Г) имеет вид
d4x d3х d2x dx , dy ,
a4 —- + a3 —T+ a2 —- + fll -7" + a0x = h -7" + ЬоУ-
dt dt dt dt	dt
516
Задания для самостоятельной работы
Варианты заданий
№	кг	к2	к3	Ку	Кк	кс		кж
1	0,8	50	0,2	100	2	0,01	0,5	5
2	0,9	5	0,1	200	2	0,01	0,5	5
3	0,9	1	0,1	300	2	0,02	0,5	10
4	1	100	0,5	100	2	0,02	1,0	10
5	2	50	0,7	200	5	0,02	1,0	10
6	3	10	0,8	300	5	0,03	1,0	20
7	4	1	0,9	300	5	0,03	1,2	20
8	5	1	1,0	200	5	0,03	1,2	40
9	6	50	1,2	200	10	0,03	1,5	30
10	8	50	1,5	100	10	0,04	1,5	0,5
11	3	50	1,7	100	10	0,04	2,0	0,5
12	3	100	2,0	50	10	0,04	2,0	0,5
13	15	1	2,2	50	7	0,05	1,0	50
14	15	1	2,5	100	7	0,05	1,0	5
15	18	50	3,0	100	7	0,05	0,5	5
Относительно возмущения (момента сопротивления двигателя Мс) передаточная
функция следящей системы запишется так:
’’'оме (й = Сс М(Су (<‘ ci W Ст (К W Сфчв Ж, (Д =
= -£с[гпГу?+(Гп+Гу).у + 1]
—	4	3	2
a4s + a3s + a2s + aYs + а0
Соответственно дифференциальное уравнение следящей системы относительно
возмущения Мс имеет вид
d4x d3x d2x dx	d2Mc dMc
ай —т + a2 —— + a? —— + a,-h a(]x = -c2----- -	,
dt4 dt3 dt2 dt	2 dt 1 dt ° C
где коэффициенты az, z = 0,4 определены выше;
С=^с(гп+^у); с0=Кс.
В силу принципа суперпозиции дифференциальное уравнение, связывающее за-
дающее воздействие у (Г) и момент сопротивления Мс, запишется в форме
d4x d3х d2x dx , dy , d2Mc dMc
dt4 dt3 dt2 dt	dt	dt 1 dt ° c
Содержание настоящего задания заключается в выполнении всех пунктов, сфор-
мулированных в задании 1.1.
Варианты заданий для самостоятельной работы приведены в табл. Т.1.1.
Тема 1. Математические модели линейных стационарных САУ
517
Таблица Т.1.1
для самостоятельной работы
	Т м	Т	т п	Я0	,ИС	х(0)	х'(0)	х’(0)	х-(0)
0,22	3,0	0,2	0,5	0,1	5	-2,1	0,1	0,01	0
0,022	3,0	0,1	0,6	0,2	5	-2,0	0,1	0,01	0
0,22	2,0	0,1	0,7	0,3	5	-1,9	-0,15	-0,01	0
0,022	2,5	0,1	0,5	0,5	5	-1,8	-0,15	-0,01	0
0,022	3,0	0,2	0,6	0,7	10	-1,7	0,15	0,01	0
0,22	3,0	0,2	0,7	0,9	10	-1,5	0,2	0,01	0
0,022	3,5	0,3	0,5	1,1	10	-1,5	0,2	0,01	0
0,22	3,5	0,3	0,6	1,3	20	-1,0	-0,2	-0,01	0
0,022	4,0	0,4	0,7	1,5	20	-0,5	-0,1	-0,01	0
0,022	4,0	0,4	0,5	1,6	20	-0,5	-0,1	-0,01	0
0,022	4,5	0,4	0,6	1,7	30	-0,3	0,2	0,01	0
0,22	4,5	0,5	0,7	1,8	30	-0,3	0,2	0,01	0
0,022	5,0	0,5	0,5	1,9	40	-0,2	0,1	0,01	0
0,50	5,0	0,5	0,6	2,0	50	-0,1	-0,1	-0,01	0
0,01	5,0	0,5	0,7	2,1	50	0	-0,2	-0,01	0

Тема 1. Математические модели линейных стационарных САУ
519
518
Задания для самостоятельной работы
ТЕМА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
И ПОСТРОЕНИЕ ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ
ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
И С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Перед выполнением заданий, включенных в тему 2, познакомьтесь с основными
положениями теории устойчивости [125, 133]:
1.	Дайте строгое определение устойчивости САУ по Ляпунову и определение крите-
рия устойчивости.
2.	Поясните, в чем состоят достоинства и недостатки алгебраических и частотных
критериев устойчивости САУ; в чем состоит принцип аргумента?
3.	Сформулируйте и проиллюстрируйте на примерах частотные критерии Михайло-
ва и Найквиста, используя АЧХ, а также частотный критерий устойчивости Найк-
виста с использованием ЛЧХ.
4.	Поясните понятия: «запас устойчивости по модулю» и «запас устойчивости по
фазе»; что они характеризуют?
5.	Дайте определение полосы пропускания системы.
6.	Поясните алгоритм построения области устойчивости САУ в плоскости одного
параметра и необходимость реализации указанного алгоритма (что он дает проек-
тировщику?).
Следующие задания посвящены вопросам исследования устойчивости САУ. В за-
даниях 1.1-1.4 построены математические модели САУ. В последующих заданиях
преподавателем задаются численные значения параметров САУ и, таким образом,
строится математическая модель, соответствующая выбранным параметрам. Далее
исследуется ее устойчивость (можно рассмотреть примеры, приведенные в книгах,
указанных во введении к заданиям для самостоятельной работы.
ЗАДАНИЕ 2.1
Найдите ПФ исследуемой замкнутой САУ и рассчитайте все её показатели; укажи-
те: нули (левые и правые), полюса (левые, правые, нейтральные), порядок п, степень
гс = п - т; индекс апериодической нейтральности, индекс неустойчивости, индекс
неминимально-фазовости. Пользуясь необходимыми и достаточными условиями,
проведите исследование асимптотической устойчивости системы.
ЗАДАНИЕ 2.2
Проведите исследование устойчивости САУ в соответствии с нижеперечислен-
ными пунктами:
1.	Используя критерии Гурвица и Михайлова, определите граничные значения ко-
эффициента передачи К, полагая значение второго параметра системы заданным.
2.	Постройте годограф Михайлова для значения коэффициента передачи разомкну-
той системы, равного половине его граничных значений.
Тема 2. Исследование линейных непрерывных стационарных систем 519
3.	Постройте графики переходных функций для значений коэффициента передачи
К, близких к граничным, определите перерегулирование и время регулирования,
проведите анализ изменения переходных функций.
4.	Определите запас устойчивости по фазе и амплитуде для значения коэффициента
передачи разомкнутой системы, равного половине его граничных значений. (Для
выполнения данного пункта задания используйте графики АФЧХ, АЧХ, ФЧХ
ЛАЧХ, ЛФЧХ.)
5.	Постройте траектории движения полюсов передаточной функции системы при
изменении коэффициента передачи разомкнутой системы.
6.	Определите приемлемое значение коэффициента передачи К, при котором пере-
регулирование не превосходит 30%.
7.	Исследуйте влияние значения коэффициента передачи К прямой цепи на быст-
родействие системы.
Варианты заданий
1.	Структурная схема приведена на рис. Т.2.1.
Рис. Т.2.1. Структурная схема системы
Параметры системы:
Кх =0,25; Д =1; т = 0,5.
2.	Структурная схема приведена на рис. Т.2.2.
Рис. Т.2.2. Структурная схема системы
Параметры системы:
Хй=0,4; г = 0,2; Хр = 1,0; Х1=2,0; Т = 0,5;
KjLJ = 2,Q; С/Л = 0,005; К2 =1,5; J = (2,5-5,0)-10“3; т1= 0,001.
3.	Структурная схема приведена на рис. Т.2.3.
Рис. Т.2.3. Структурная схема системы
520
Задания для самостоятельной работы
Параметры системы:
J = 4000; 6 = 0,75.
4.	Структурная схема приведена на рис. Т.2.4.
Рис. Т.2.4. Структурная схема системы
Параметры системы:
^=2; Т1=0,5.
5.	Структурная схема приведена на рис. Т.2.5.
Рис. Т.2.5. Структурная схема системы
6.	Структурная схема приведена на рис. Т.2.6.
A?(Tj5 + 1)
(т25 + 1)(тз5 + 2)
Рис. Т.2.6. Структурная схема системы
Параметры системы:
Т1 =2; т2 =0,5; т3 = (0,25-0,5).
7.	Структурная схема приведена на рис. Т.2.7.
Рис. Т.2.7. Структурная схема системы
Параметры системы:
04=2,7; а2=1,35; ос3=3; т = 0,2.
8.	Структурная схема приведена на рис. Т.2.8.
Рис. Т.2.8. Структурная схема системы
Тема 2. Исследование линейных непрерывных стационарных систем
9.	Структурная схема приведена на рис. Т.2.9.
521
Рис. Т.2.9. Структурная схема системы
10.	Структурная схема приведена на рис. Т.2.10.
Рис. Т.2.10. Структурная схема системы
Параметры системы:
К2 = 3;	=0,5; т2 =1; т3 =0,25.
11.	Структурная схема приведена на рис. Т.2.11.
Рис. Т.2.11. Структурная схема системы
Параметры системы:
К2 =1,5; А3=1; А4=1; 7] =0,1; Т2=1.
ЗАДАНИЕ 2.3
Изложите теоретические положения о возможности использования полиномов
Чебышева для построения областей устойчивости и областей с заданным распреде-
лением полюсов применительно к рассматриваемым системам (задание 1.1-1.4, а
также примеры из книг, указанных во введении к заданиям для самостоятельной ра-
боты) [133]. Приведите примеры (исходные данные задаются преподавателем); изу-
чите метод выделения областей устойчивости с помощью D-разбиения и примените
его к рассматриваемым системам.
Перед выполнением следующих заданий необходимо познакомиться с соответст-
вующими теоретическими положениями. С этой целью сформулируйте задачи анали-
за САУ и укажите основные методы расчета вынужденных и свободных колебаний,
раскройте содержание понятия «качество САУ»; раскройте связь между частотными
характеристиками САУ и параметрами, характеризующими переходный процесс;
изучите физический смысл коэффициентов ошибок и установите их зависимость от
параметров системы.
Одной из основных инженерных задач исследования САУ является задача по-
строения выходных сигналов для заданных воздействий, в частности нахождение
графиков переходных процессов. Знание выходного сигнала, являющегося реакцией
на конкретное воздействие (вход), позволяет получить полную информацию о каче-
стве работы САУ как в переходном, так и в установившемся режимах, в частности о
точности отработки входного сигнала.
522
Задания для самостоятельной работы
Построить выходной сигнал (переходный процесс) — это значит проинтегриро-
вать дифференциальное уравнение, описывающее поведение исследуемой САУ. По-
лучить точное решение ДУ аналитическими методами удается лишь в простейших
случаях, не представляющих интереса для практики, поэтому важной является задача
разработки приближенных методов, удобных для реализации на ЭВМ. Изучите ос-
новные численные методы решения ДУ.
В главе 2 (т.1) изложены проекционные и сеточные методы приближенного рас-
чета выходных сигналов, если задана ММ в форме скалярного или векторно-
матричного ДУ: изучите теоретические положения и алгоритмы, реализующие ука-
занные методы, приведите примеры расчетов.
Проекционные и сеточные методы применимы для решения ДУ с постоянными и
переменными коэффициентами; они позволяют установить явную аналитическую
связь между входом и выходом САУ (этот эффект является определяющим, посколь-
ку он используется далее для статистического анализа, построения оптимальных сис-
тем, синтеза регуляторов и др.), ориентированы на использование ЭВМ, имеют оцен-
ку погрешности. Задача построения выходного сигнала САУ поставлена корректно,
поэтому проекционными и сеточными методами можно с высокой точностью иссле-
довать весьма сложные стационарные и нестационарные САУ. Изучите основные по-
ложения метода с целью решения конкретных задач, которые сформулированы ниже.
При изложении положений теории управления в учебнике используются понятия:
линейные операторы в гильбертовом пространстве, операторы в конечномерных про-
странствах, матрица оператора в ОНБ, теорема о связи операций над линейными ото-
бражениями и их матрицами, общий вид линейного ограниченного оператора в гиль-
бертовом пространстве, сопряженные и самосопряженные операторы, конечномер-
ные и вполне непрерывные (компактные) операторы и др. Изучите содержание ука-
занных понятий.
В заданиях используются законы преобразования сигналов системами во времен-
ной (с использованием импульсной переходной функции), частотной (с использова-
нием передаточной функции) и спектральной (с использованием СХ) областях.
В приведенных ниже заданиях находит применение аппарат сеточно-матричных и
проекционно-матричных операторов (см. главу 2, т.1).
Цель задания 2.3 — изучение приведенных выше теоретических положений.
ЗАДАНИЕ 2.4
Постройте с помощью преобразования Лапласа график вынужденного выходного
сигнала х(/), если задано воздействие (конкретные воздействия задаются пре-
подавателем; см., например, задание 1.3).
ЗАДАНИЕ 2.5
Постройте график свободных колебаний, порожденных вектором начальных ус-
ловий Х° =(х(0),х'(0),х"(0),...,х(и-1)(0)) (конкретные системы и Х° задаются
преподавателем; см., например, задание 1.3).
ЗАДАНИЕ 2.6
Разработайте алгоритмическое и программное обеспечение для решения задач по-
строения выходных сигналов методом проекционно-матричных операторов в сле-
дующих базисах: тригонометрические функции, функции Уолша, полиномы Лежан-
дра, полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода, функции Лягерра, ортогональные экспо-
Тема 2. Исследование линейных непрерывных стационарных систем 523
ненциальные функции; получите решение тех же задач с использованием сеточно-
матричных операторов.
ЗАДАНИЕ 2.7
Постройте проекционно-матричные и сеточно-матричные операторы интегратора,
дифференциатора, множительного элемента, запаздывающего звена. Разработайте
алгоритмическое и программное обеспечение для построения выходных сигналов,
реализующее аппарат структурных преобразований с использованием сеточно-
матричных и проекционно-матричных операторов интегрирования, дифференциро-
вания, запаздывания, суммирования и т.д. (глава 2, т.1).
ЗАДАНИЕ 2.8
2.8.1. Изучите теоретические положения метода моментов применительно к ре-
шению задач построения выходных сигналов систем управления (этот метод находит
широкое применение для решения широкого спектра других задач теории управле-
ния, таких как детерминированный и статистический анализ, синтез регуляторов,
построение оптимальных программ и оптимальных программных управлений и др.,
см. тт. 2, 3, 4 учебника).
В главах 1 и 2 были рассмотрены математические модели стационарных и неста-
ционарных САУ в форме интегральных уравнений 1-го рода вида
т
]Х(Ст)х(т)«?т = f(t\
о
Метод моментов является эффективным инструментом решения уравнений 1-го
рода. Приведем соответствующую вычислительную схему (ряд конкретных вычисли-
тельных схем для решения скалярных и векторно-матричных интегральных уравне-
ний разработал и теоретически обосновал канд. техн, наук, доц. В.Ф. Реутов).
Введем в рассмотрение следующую систему функций:
Введенная система функций является линейно независимой и полной в £2[0, Г].
Следовательно, проведя ортогонализацию, можно построить ортонормированный
базис (ОНБ) Ф(/), элементы которого определяются из следующего соотношения:
7=1
где Су — элементы матрицы ортогонализации.
В векторно-матричной форме переход от системы функций к ОНБ можно
записать следующим образом:
<Pi(O		01	0	• О’	/1(0
<р2(0	=	С21	С22	’	• 0	/>(0
_ф/(0.		_ 01	С12 ’	 си _	
или
0(/) = UF(/).
Искомое решение уравнения представим в виде разложения по ОНБ Ф(/):
524
Задания для самостоятельной работы
(0 » 2>Г<р,=Фт WcT=(ст )т ф(4
г=1
или, что то же самое,
x,(()«(cT)TUF(().
Коэффициенты с- определяются из выражения
т
= р(т)фг(тит-
о
Последнее выражение можно переписать в виде
i т
ci = lLcij\kx(tj^)x(x)d^
7=1 О
ИЛИ
7=1
Последнее выражение можно записать в векторно-матричной форме
сх = им,
где М = [/(/1),у(/2),...,у(//)]Т.
Приведем примеры.
Интегральное уравнение Фредгольма 1 -го рода имеет вид
ь
= /(?),
где ядро
V л
Промежуток исследования: [-1,4; 1,4].
Правая часть f (t} уравнения имеет вид (рис. Т.2.12).
Рис. Т.2.12. График правой части уравнения
Тема 2. Исследование линейных непрерывных стационарных систем 525
Соответствующее точное решение уравнения имеет вид
х(/) = {(1-?)2 при И-1;
О при |/| > 1.
При решении уравнения методом моментов строилась система линейно независи-
мых функций с числом элементов равным I = 10. Ниже представлены функции
V 71	V 71
Коэффициенты разложения решения x(t} имеют следующие значения:
’ 0,0300"
0,1964
0,4809
0,5789
е= 03182
0,1758 ’
-0,0157
-0,0148
0,0104
_-0,0039_
На рис. Т.2.13 представлены графики точного решения исходного интегрального
уравнения (для сравнения) и полученного методом моментов.
"х(/),Г; (/)
—0 2_____i_____i____i_____i____i________►
’-13 -Coч)3 оЗ оЗ Ц) 13
Рис. T.2.13. Графики точного x(/) и приближенного хД/) решений
Рассмотрим интегральное уравнение вида
ь
]Х(/,т)х(трт = f(t),
526
Задания для самостоятельной работы
где
г— 60(г-т)2
k(t,x)= —е 1+?2 .
V 71
Интервал исследования: [-0,85; 0,85].
График правой части f (t) имеет вид (рис. Т.2.14).
-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Рис. Т.2.14. График правой части f (/)
Точное решение:
+ 0,5 sin4
0
nt
0,85
cos
6,5тй
0,85
при |/|<0,85;
при |/| >0,85.
При решении интегрального уравнения использовалось I = 25 моментов.
В этом случае система линейно независимых функций имеет следующий вид:
___ 60(-0,85-02	___ 6О(-О,7792-02	___ 60(0,85-г)2
Матрица ортогонализации U представлена ниже (показана клетка размерности 8x8)
	0,702	0	0	0	0	0	0	О’
	-2,533	2,106	0	0	0	0	0	0
	6,382	-8,853	3,904	0	0	0	0	0
и =	-12,612	22,458	-16,877	5,467	0	0	0	0
	20,676	-42,716	41,655	-23,280	6,400	0	0	0
	-29,173	66,358	-75,509	55,152	-26,360	6,677	0	0
	36,446	-88,466	111,163	-95,125	59,699	-26,424	6,497	0
	-41,278	104,789	-140,718	133,265	-98,253	57,263	-24,657	6,078_
На рис. Т.2.15 представлены графики некоторых элементов ортонормирован-
ного базиса.
Тема 2. Исследование линейных непрерывных стационарных систем
527
4фзо(О
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
4<P2s(0
t
-2,0-----1---1----1---1----1---1----1---1----1-------►
-1,0 -0,8 -0,6-0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
6
5
4
3
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Рис. Т.2.15. Графики некоторых элементов базиса
Вектор коэффициентов разложения решения x(t} по элементам построенного
ОНБ имеет следующий вид (представлены первые 8 элементов):
(СТ)Т =[0,0259 0,0754 0,1444 0,1837 0,1026 0,1119 0,3088 0,2772]Т.
На рис. Т.2.16 показаны графики приближенного и точного решения интегрально-
го уравнения.
528
Задания для самостоятельной работы
Рис. Т.2.16. Графики точного и приближенного решения уравнения
Пользуясь приведенным выше алгоритмом, постройте решения интегральных
уравнений:
ь
1.	|Л;т(/-т)х(т)<7т = /(?), c<t<d, где
x(z)J(i-'2)2 при
О при |/| > 1;
ядро А\(Д) = oJ—е-4Л , о = 0,1; 1,5; 10; с = -1,4; <7 = 1,4; h = А/ = Дт = 0,1.
V л
ь
2.	|А;т(/,т)х(т) = /(/), c<t<d,
а)
э
+ COS’
0
(	\	i' Л Г
т	( 4,5тгт
-------- cos --------
1^2-0,85 J	^0,85
при |т|<0,85;
при |т| >0,85;
при
0
<0,85;
при
|т| > 0,85;
-60р-т)2
кх (/,т) = о. — е + ) ; а = с = -0,85; b = d = 0,85; г(7) — задается преподавателем;
V л
Л = 0,05 и Л = 0,025.
ТС
3.	J Л;т(/,т)х(т)<7т = /(/), -7i</<7i;
—тс
где Iq — функция
Бесселя 1-го рода нулевого порядка;
Тема 2. Исследование линейных непрерывных стационарных систем
529
M/,t) = cos(/t); f(t)
4.	j кх (1,т)х(т)<7т = f(t),~ п <t< п;
х(т) = 2 л S111T, кх (1,т) = cos(zt); /(?) = 2n(sin[l + /]n + sin[l-/]n}; h=—.
т	16
Приведенные выше уравнения решите методом моментов и с использованием
квадратурных формул с дискретностью h ; проведите сравнение методов по сложно-
сти вычислительных схем и точности результатов.
Правые части /(1) ПУ находятся путем интегрирования; для решений х(т) при-
водятся точные формулы, которые позволяют оценить точность метода.
2.8.2. Используя теоретические положения метода моментов, разработайте алго-
ритмическое и программное обеспечение численного обращения преобразования
Лапласа с применением разложения оригинала по ОНБ и примените его для расчета
выходных сигналов систем х(/) е£.2[0, оо) (глава 2, т.1).
Наиболее просто алгоритм численного обращения преобразования Лапласа реали-
зуется, если в качестве базиса использовать полиномы Лежандра, определяемые
формулой (см. Приложение 3)
УАЯ-1)* (”+А’)!
к=о (£!) (п-к)1
причем
\Pn(t)Pm(t)e~atdt
о
1
= [(2« + 1)а]
о,
п = т;
пФ т.
Оригинал в рассматриваемом случае находится в виде
и=0
где схп = a(2n + V)^ x(f)Pn(f)e~at/2dt.
о
Поскольку
=еме-^-	+с„2е^	+
ТО
схп = а(2п +1) jf ^с^е“(2^+1)аг/21 x(t)dt = а(2п + 1)^си J x(t)e^2k+l>)at/2dt.
О\£=0	)	к=0 о
В сформулированной задаче изображение процесса х(?) известно, т.е. функция
X(s') задается, например, в виде (изображение выходного сигнала САУ, включая
системы с запаздыванием и системы с распределенными параметрами)
X(s) = 17(5)7(5),
где W(5) — ПФ замкнутой САУ; Y(5) — изображение воздействия y(j).
Учитывая, что
530
Задания для самостоятельной работы
^(у) = jx(t}e stdt,
о
легко получить формулу для расчета коэффициентов Фурье
cxn=a(2n + l)YcnkX(s)
к=0
(Т.2.1)
s=(2k+l)a/2
Разложение оригинала по полиномам Лежандра можно представить так:
(Т-2-2)
n=0k=0	s=(2k+l)a/2
При реализации описанного алгоритма следует обратить внимание на следующие
обстоятельства:
•	численные значения коэффициентов матрицы ортогонализации
%
Qo <Д1	0
U _ С20 С21 с22
С30 С31 С32 С33
<Си0 Си1 Сп2 СпЗ ' '' Спп ;
быстро растут, поэтому при расчете матрицы Cv =	имеет ме-
сто вычислительная неустойчивость, что приводит к накоплению ошибок;
•	анализируемый процесс должен принадлежать пространству Т2[0,оо);
•	неизвестный коэффициент а, вводимый для ускорения сходимости прибли-
женного решения к точному, находится поисковым методом.
В качестве ОНБ можно применять функции Лягерра (см. главу 4, т.2).
Пусть заданы изображения выхода Х(\), х(/) еТ2 [0,<ю), а оригинал x(t} нахо-
дится в виде разложения по функциям Лягерра
(Т.2.3)
где Lm(t) = ^cmvtve ktl\ К — масштабный множитель, вводимый для ускорения
v=0
сходимости разложения (Т.2.3) к функции х(/).
Поскольку для коэффициентов Фурье справедлива формула
о
то
(Т.2.4)
о
где
(Т.2.5)
s=k/2
о
Из последней формулы следует, что нахождение приближения оригинала Т/ (/) сво-
дится к дифференцированию изображения по s и вычислению коэффициентов по (Т.2.4).
Тема 2. Исследование линейных непрерывных стационарных систем 531
Вопрос выбора коэффициента К достаточно сложен и один из подходов — поис-
ковый.
Алгоритмы разложения оригиналов по полиномам Якоби, Чебышева и др. приве-
дены в книге
Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обра-
щения преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1974. — 223 с.
Изучите указанные алгоритмы с решением задач расчета выходных сигналов САУ.
Можно в качестве базиса использовать тригонометрические функции. Построим
оригинал в виде
M0)=fXlsin(2^+1)0’
k=i
где х1(0) = х|—- hi cos 0 |, а>0 —произвольное число.
\ а )
В интеграле Лапласа воспользуемся следующей заменой переменной:
e“az=cos0,	(Т.2.6)
где а > 0 — произвольное число.
Тогда
-a/ = hicos0; t = —-Incos0; 0 = arccos(e-aZ),
a	v 7
следовательно,
x(/) = x^—-lncos0^ = ^(0).	(T.2.7)
Принимая во внимание, что
(е(0,Ч 0е(О,л/2),	=lcose,
а
dt = —-(lncos0) = -—-—sin0,
a	a cos0
интеграл Лапласа можно записать в другой форме:
л/2
aX(s} = j (cos0)^a 0sin0-x1(0)i70.	(Т.2.8)
о
Последнее уравнение является интегральным уравнением 1-го рода относительно
функции х^б).
Функцию Xt(0), 0е(О, л/2) продолжим на промежутке (тг/2,тг), при этом поло-
жим ее равной х^л-0) в интервале (-л,0) нечетным образом, а вне интервала
(-л, л) — 2л-периодической.
Представим xt (0) в виде разложения по ортогональному базису
xi (0) = X. Q1 S7n (2£ +1) 0,	(Т.2.9)
k=\
при этом элементы спектральной характеристики находятся по формуле
4 п р2
су1 = — J x1(0)sin[(2£ + l)0](70.
71 о
При нахождении коэффициентов су1, £ = 0,1,2,... будем использовать значения
изображения X(s) в точках s = 1, 2,3,... . Положим s = (2и +1)а, п = 0,1, 2,.... С уче-
том этого запишем
532
Задания для самостоятельной работы
л/2
а¥[(2т7 + 1)я] = j cos2” 0-sin0-x1 (0)т70.
о
(Т.2.10)
Ядро интегрального уравнения можно представить в более удобной форме, а именно
cos2” 0- sin 0 = 2”2”^
2 77
Аг=О|Д
277
к-\)
sin [2(77 - к) +1] 0.
(Т.2.11)
I I
Далее принимаем, что = 0.
Подставляя зависимости (Т.2.9), (Т.2.11) в (Т.2.10), получим
277^ ( 217
к \ [ к-1)
аХ[(2т7 + 1)а] = 2“2”^
k=o _
*^cg j sin{[2(77 -к^ +1]0|sin|(2g + 1)0}т70.
g=Q о
Условия ортогональности для данного случая имеют вид
0, ц Я;
л/4, ц = Я.
(Т.2.12)
л/2
j sin(2p + l)0-siii(2O + l)0T70 =
о
С учетом последней зависимости формула (Т.2.12) перепишется так:
Очевидно, что выражение справедливо при g = п-к; это приводит к следующей
системе равенств:
77 = 0,1,2,...,
« ГАЭиА ( А
4”+1оГ[(2й + 1)а] = яУ -
£=о|Д К J 17_
(Т.2.13)
или, что то же самое,										
		2к + 1 f277 + 1^			4И+1	/Х[(2т7 + 1)а].				(Т.2.14)
		^ 277 + ^77		-к ) к	С Л					
Последнюю зависимость можно записать так:										
				и Lc	V1 =м,					
где	( 1								°)	
	1	1								
	2	3	1							
	5	9	5	1						
	14	28	20	7	1					
и_1 =	42	90	75	35	9	1				5
	132	297	275	154	54	11	1			
	429	1001	1001	637	273	77	13	1			
	1430	3432	3640	2548	1260	440	104 15	1		
	4862	11934	13260	9996	5508	2244	663 135	17	1	
	16796	41990	48450	38760	23256 10659		3705 950	170	18 1	
Тема 2. Исследование линейных непрерывных стационарных систем 533
м = (Хо, Х2,...Дг,...) ,
причем элементы этой матрицы определяются зависимостью
4И+1
Д =-----аХГ(2« + 1)д~|, « = 0,1,2,....
л L J
ЗАДАНИЕ 2.9
Постройте алгоритмическое и программное обеспечение для расчета выходных сиг-
налов систем с запаздыванием по методу проекционно-матричных и сеточно-матричных
операторов.
ЗАДАНИЕ 2.10
Пользуясь построенным в предыдущих заданиях алгоритмическим и программ-
ным обеспечением, постройте временные динамические характеристики и реакции на
заданные воздействия (в качестве воздействия можно принять у(/) = yoe~at) систем с
запаздыванием, математические модели которых приведены в пи. 2.10.1-2.10.10.
2.10-1. Система имеет структурную схему (рис. Т.2.17).
Рис. Т.2.17. Структурная схема системы с распределенными параметрами
Передаточные функции элементов
РДД7; ^0=,Д
1 + Tos	5(1+ 7Д)	l + yth(T5)
где А0=2;	Т0=31,5с; у = 0,03;	Кр = 0,77 с-1; 7] =12,5 с;	Т2=0,48с.
/ \ Кг,	/ ч	1	/ ч 1-2уЙг(тД
2.10-2. 1FO А) =-9-; ^(5) = -; Wm(s} =---1 > /,
°v ’ \ + TQs pV ’	5	1пЛ ’ 1 +у th (ту)	5
где 5 = 0,05; Т0=6с;А0=1; у =	0,05;	т = 0,2с.
Указать трудности использования 2-й теоремы разложения и причины, их поро-
дившие.
2.10-3. ПФ разомкнутой системы имеет вид /У (5) =
е st
где К = 20 с ; Т = 0,1 с; т = 0,03 с.
2*10-4. Wt(s) = -
е — ПФ разомкнутой САУ,
где Тх =0,5 с; Т2 =0,2 с; т = 0,3 с; ТС = 0,1.
2.10-5. HQ (s) = ,	----те — ПФ разомкнутой САУ,
Р ' /	/ т^2 2 . 1 1
где К = 2 с ; Т = 0,1 с; т = 0,5 с.
534
Задания для самостоятельной работы
2.10-6. fFp (.?) = ————е	—ПФ разомкнутой САУ,
где К = 10 с-1; Т = 0,1 с; т = 0,04 с.
2.10-7. ПФ САУ
W(s) =
K(Tcs + l)e~r,s
s(tV+27Xs + 1)’
К = 1,0 с-1; Тс=1,76 с; Т = 0,55 с; ^ = 0,35; Тр = 0,1 с; 1\ = 0,05 с.
2.10-8. ПФ САУ
Щз) =
(т55 + 1)(т22? + 2Т2^ + 1)’
К8 = 4,0; Т3 = 0,5 с; Т5 = 100 с; Т2 = 1,0 с; = 0,5; Т3 = 5,0 с.
2.10-9. ПФ САУ
Ке~т^'
52(Т15 + 1)’
К = 1,0; Д =0,5 с; Т2 =0,1 с.
2.10-10. ПФ САУ имеет вид
Адэ(Т45 + 1)
l-t^tll^)
1 + Д2111(т.у)
W(s) =
(TlS +1)(7> + 1)(t3V + 2Т3£,35 +1) ’
Кдэ = 2; 7] = 50 с; Т2 = 1 с; Т4 = 20 с; ах = 0,2; а2 = 0,1; т = 1,0 с; Т3 = 0,5 с; с3 = 0,5.
Изучите понятие устойчивости систем с запаздыванием [125].
ЗАДАНИЕ 2.11
Математические модели систем с распределенными параметрами. В системах
с распределенными параметрами входные и выходные сигналы образуют множество,
определенное в некоторой непрерывной области пространственных аргументов; они
могут быть описаны дифференциальными уравнениями в частных производных.
Примерами систем, идеализируемых как многосвязные системы с распределенными
параметрами, являются многие аэрогазодинамические, магнитные, газодинамические
и упругие системы, длинные электрические линии. Одним из методов описания рас-
сматриваемого класса систем с распределенными параметрами является подход,
предполагающий реализацию процесса эквивалентирования системой с сосредото-
ченными параметрами счетного порядка.
Рассмотрим математическое описание системы автоматического управления по-
лем энерговыделения ядерным реактором.
Для современных энергетических ядерных реакторов (ЯР) с большими размерами
активной зоны актуальна задача управления полем энерговыделения. Это требует
рассматривать ЯР как объект управления с распределенными параметрами.
Управляется ЯР посредством перемещения регулирующих стержней (PC), что из-
меняет коэффициент размножения нейтронов К (г,/) в заданной точке г (рис. Т.2.18).
Размещенные в активной зоне детекторы нейтронов контролируют плотность
нейтронного потока, который определяет энерговыделение.
Для пространственного управления плотностью нейтронного потока применяются ло-
кальные автоматические регуляторы (ЛАР), количество которых определяется числом PC.
Тема 2. Исследование линейных непрерывных стационарных систем
535
Рис. Т.2.18. Ядерный реактор как объект управления:
• 1-6 — регулирующие стержни; ° 1-7 — детекторы нейтронов; АЗ — активная зона
Математическая модель ЯР как объекта управления строится на основе линеари-
зованных уравнений кинетики:
(Wr,/) 1 /* \ /х Х~(г)-1 / х М2 / х Эс(г,/) zrT1 „ , _
—;—- = -^(г,/)Ф0(г) +——ф(г,/) +-----------А~ф(г,/)-----7-^;	(Т.2.15)
dt т	т	т	dt
=	(Т.2.16)
dt т
. d2 d2 d2	п	z х
где V’=—- +—- +—- — оператор Лапласа: Фп г — стационарное значение
dx 2 dy 2 dz 2	v 7
плотности потока нейтронов; ф(г,/) — возмущение плотности потока нейтронов;
А0(г) —стационарное значение коэффициента размножения; К (г,/) —отключе-
ние коэффициента размножения.
Так как количество ЛАР ограничено, то ЯР описывают как многомерный объект
посредством передаточной матрицы Н(.у), т.е.
(Т.2.17)
где Ф = [ф1,ф2,...,ф„] ; К = [А1,А2,...,Аот] .
При размещении семи детекторов (п = 7) и шести PC (т = 6) в соответствии с
рис. Т.2.7 Н(\) можно представить в виде
z х 1 TqS +1	4у + 1
v 7 2O,5Tos-l ° 2T0s-l
(Т.2.18)
‘2’
где Ао — матрица размерности 7x6 со всеми членами, равными единице;
“+0,81	+0,81	-0,31	-1,00	-0,31	О’
-0,31	+0,81	+0,81	-0,31	-1,00	0
-1,00	-0,31	+0,81	+0,81	-0,31	0
-0,31	-1,00	-0,31	+0,81	+0,81	0
+0,81	-0,31	-1,00	-0,31	+0,81	0
+0,50	+0,15	-0,40	-0,40	+0,15	0
-0,50	-0,15	+0,40	+0,40	-0,15	0
536
Задания для самостоятельной работы
	’ 0,1	0,1 -0,04 -0,04 -0,04 -0,04’
^2 “	-0,04	0,1	0,1	-0,04	-0,04	-0,04 -0,04	-0,04	0,1	0,1	-0,04	-0,04 -0,04	-0,04	-0,04	0,1	0,1	-0,04
	0,1 -0,04 -0,04 -0,04 0,1 -0,04 -0,04 -0,04 -0,04 -0,04 -0,04 0,1 -0,04 -0,04 -0,04 -0,04 -0,04 0,1
То =10 с.
Функциональная схема одного канала ЛАР представлена на рис. Т.2.19.
Рис. Т.2.19. Функциональная схема одного ЛАР
Каждый ЛАР состоит из сравнивающего устройства 1, измерителя плотности ней-
тронного потока в точках 1-7 (см. рис. Т.2.18) — 3; сервопривода PC — 2.
ЛАР №6, воздействующий на центральный стержень, работает одновременно от
двух детекторов 6 и 7 по полусумме их сигналов. Перемещение остальных PC с из-
менением коэффициентов размножения К,- представлены в виде возмущений.
С применением стандартных обозначений структурная схема САУ полем энерго-
выделения ЯР представлена на рис. Т.2.20.
Рис. Т.2.20. Структурная схема САУ энергополей ЯР
Использованы следующие обозначения: Y = ^y1,y2,...,y6jT — вектор локальных
заданий; U = [щ,и2,...,иб]Т — вектор изменений локальных коэффициентов размно-
жения; X = [х17х2,. ..,х7]Т — вектор изменений плотности нейтронного потока в точ-
ках размещения детекторов;
Тема 2. Исследование линейных непрерывных стационарных систем
537
1
О
О
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0 10 0	0
0 0 10	0
0	0	0	1	о
О	0	0	0	0,5
о
о
о
о
о
0,5
1	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0
Ксп	0	0	1	0	0	0
5(0,И + 1)2 0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	1	0
0	0	0	0	0	1
Примечание. Ориентировочное значение /СС1[ = 0,08-0 0 с \
так как объект не-
устойчив, то существует Kcnmin и tfcnmax.
ЗАДАНИЕ 2.12
2.12-	1. Пользуясь книгой
Филипчук Е.В., Потопенко П.Т., Почтников В .В. Управление нейтронным полем
ядерного реактора. — М.: Энергоиздат, 1981. — 280 с,
изучите физические процессы, происходящие в системе.
2.12-	2. Изучите методы математического описания систем с распределенными па-
раметрами:
•	с помощью дифференциальных уравнений в частных производных;
•	с помощью эквивалентирования системы с распределенными параметрами сис-
темой с сосредоточенными параметрами счетного порядка. Изучить теорети-
ческие положения и алгоритм эквивалентирования [83, 84].
Изучите основы теории ДУ вида:
d2x(z,t\ d2x(z,t\ d2x(z,t\ dx(z,t\ dx(z,t\
’	11 dt2	dz2	dtdz 1 dt 2 dz
x(z’0L = ^(0’ 4zAz=e = y^
2) «1	+ fli +	= °’ x(z’0|z=o =3;(0’
3) длинная однородная электрическая линия с распределенными параметрами
при соответствующих граничных условиях
МД)+Жй(г,0 = 0;
dz dt \ ’ J ’
^(El+LBiE+Ri(Z!t)=0,
dz	dt \ ’ J ’
где L, C,R,G — индуктивность, емкость, сопротивление, проводимость утечки на еди-
ницу длины линии; z(z,/) и u(z,t^ —ток и напряжение в линии на удалении z от на-
чала линии в момент времени t с помощью аппарата ПФ и частотных характеристик.
2.12-3. Изучите основные численные методы решения ДУ в частных производных
и применение их для исследования простейших систем с распределенными парамет-
рами. Обратите внимание на следующие обстоятельства.
538
Задания для самостоятельной работы
При применении преобразования Лапласа для исследования систем, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями, хотя и имеется точное соответ-
ствие Х(.у)х(/), но необходимость знания корней характеристического уравне-
ния, необозримость результатов при высоком порядке исходного уравнения приводят
к известным затруднениям в решении соответствующих задач.
Очень удобный операционный метод в применении к уравнениям в частных про-
изводных приводит к необходимости решения обыкновенного дифференциального
уравнения относительно изображения. Отсюда изображение функции X(z,s^ бу-
дет уже не дробно-рациональным, а трансцендентным. Наличие трансцендентных
функций приводит к тому, что оригинал в этом случае находится в виде бесконеч-
ного ряда, так как число корней характеристического уравнения является бесконеч-
ным. Формула обращения Римана-Меллина в этом случае справедлива, однако ее
использование вызывает серьезные трудности. В большинстве случаев пользуются
теоремой разложения.
Наличие трансцендентных функций в формуле для функции X(z,s^ приводит к
тому, что при исследовании систем с распределенными параметрами проблема по-
строения оригинала по изображению существенно усложняется (см. главу 1, т.1).
В связи с этим разработаны численные методы обращения интеграла Лапласа, по-
зволяющие приближенно восстановить оригинал по заданному изображению в виде
разложения по ортогональным базисам. Численные методы целесообразно использо-
вать также для обращения изображений выходных сигналов систем с запаздыванием.
Теоретические положения метода моментов позволили построить вычислительные
схемы, одинаково эффективные при исследовании САУ как с дробно-рациональными,
так и трансцендентными ПФ (последние имеют место при описании систем с запазды-
ванием и систем с распределенными параметрами).
Тема 3. Построение выходных сигналов нестационарных систем
539
ТЕМА 3. ПОСТРОЕНИЕ ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ
ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
ЗАДАНИЕ 3.1
Изучите теоретические положения, связанные с описанием нестационарных САУ
ДУ и передаточными функциями и исследованием их устойчивости (глава 2, т.1).
Проведите исследование устойчивости простейшей системы с переменными пара-
метрами, воспользовавшись критерием, общим для систем с постоянными и пере-
менными параметрами [120]: линейная нестационарная система устойчива на ин-
тервале тогда и только тогда, когда ее нормальная параметрическая передаточная
функция не имеет полюсов в правой полуплоскости и на мнимой оси комплексной
плоскости s при всех т, лежащих в рассматриваемом интервале.
ЗАДАНИЕ 3.2
Постройте алгоритмическое и программное обеспечение для расчета выходных
сигналов линейных скалярных нестационарных систем методом сеточно-матричных
операторов, проекционно-матричных операторов с использованием различных ОНБ
и аппарата быстрых алгоритмов (быстрое преобразование Фурье и др.).
Используя разработанное алгоритмическое и программное обеспечение для мето-
да матричных операторов (проекционных и сеточных), постройте графики выходных
сигналов линейных нестационарных систем х(/), если заданы воздействия y(t} и
дифференциальные уравнения САУ.
Установите факт явной связи между спектральными характеристиками входа и
выхода САУ (для проекционно-матричных операторов) и сеточными функциями
сигналов y(t} и x(t} (для сеточно-матричных операторов) и матричным оператором
системы (явная связь имеет определяющее значение при решении задач синтеза ре-
гуляторов методами нелинейного программирования, см. т.З).
Конкретные системы имеют вид (входные данные задаются преподавателем).
3.2-	1. Схема цепи представлена на рис. Т.3.1.
Рис. Т.3.1. К заданию 3.2-1
Рис. Т.3.2. К заданию 3.2-2
Уравнение цепи
. . di(t) . . dL(t\
L(t\——^- + R(t\ +--
V 7 dt V 7 dt
;(z) = >’(');
>’(/)—ЭДС; >(0) = /„
540 Задания для самостоятельной работы
н [0;Т] — задаются преподавателем). Постройте графики z(7).
3.2-	2. Задана электрическая цепь (рис. Т.3.2), поведение которой описывается урав-
нением
7? (7)-^ + —^- q(t) = y(t);
V 7 dt C(t) V V 7
t
— заряд; q(d) =	q(O) = qo.
о
Постройте решение задачи, т.е. найдите g(7).
3.2-3. Задана электрическая цепь (рис. Т.3.3), поведение которой описывается
уравнением
dt	dt J dt C(z)
g(0) = 4o, q(Q) = ql.
Постройте график q(t).
3.2-4. Задана электрическая цепь (рис. Т.3.4) (схема с емкостным микрофоном, в
котором мембрана, колеблющаяся под действием переменного давления, является
одной из пластин конденсатора С(/)). Уравнение цепи
где
ao(0 = T7^(1+wsillcoZo);	с^) = ~.—т<1-
RC0	R	l + msinco0/
Постройте графики q(t} и z(7).
Рис. Т.3.4. К заданию 3.2-4
+
Рис. Т.3.5. К заданию 3.2-5
Тема 3. Построение выходных сигналов нестационарных систем
541
3.2-5. Задана электрическая цепь (рис. Т.3.5).
Уравнение цепи
di(t}
dt
L
Е_
L
Постройте график z(7).
3.2-6. Дифференциальное уравнение электрической цепи имеет вид
du(t\ 1 -au(ti / \ n п
—— +-------е v,u(t) = Q; a^Q.
dt ciLIq
Постройте график решения при т/(0) = и0.
3.2-7. Рассматривается электрическая цепь, в которой резистор управляется током
по закону uR = a2 i2. Постройте алгоритм и программу для расчета напряжения uR на
резисторе в свободном режиме, если uR (0) = Е, а уравнение в безразмерной форме
имеет вид
(dx\2
— -x = 0; x(0) = l,
[dt J
UR	r 2 2 7-2	t
где—— = x; Ea с =T ; t = —.
E	T
3.2-8. Сопротивление резистора в цепи, изображенной на рис. Т.3.5, модулируется
по закону
R(t) = A(l-p-cosco0/),
при этом £ = 1,5 В; Л = 100Ом; ц = 0,5; £ = 5мГ; со0 = 5000 рад/с.
Постройте алгоритм
альное уравнение цепи:
программу для анализа процесса z(/), если дифференци-
и
L — + R(t)i = E;
dt V 7
di R,.	\-E
—+ —(l-gCOSC00/)z=—,
CH -Lj
безразмерная форма:
iR	л
гдех = —; т = соп/-;
Е 0 2
а,
dx
— +
й?Т
R
а =----
со0£
3.2-	9. Разработайте алгоритм и программу для спектрального анализа выходного
сигнала колебательного контура, у которого индуктивность £(/) и емкость C(z)
изменяются по законам
£ (?) = Lo (1 +	(/)); С (?) = Со (1 + ц2с(/));
контур находится под действием ЭДС £(/). В качестве базиса в методе проекцион-
но-матричных операторов используйте тригонометрическую систему, полиномы Ле-
жандра и Чебышева 1-го рода, функции Уолша. Сравните результаты, полученные
проекционным и сеточным методами.
542
Задания для самостоятельной работы
Дифференциальное уравнение контура имеет вид
,2 R + — L(t) ,	1	1
d 7 . dt^’dq 1 z х 1 z x
dt2 L(t) dt L(t)C(t)^ } L(t) ''
3.2-10. Выполните задание, содержание которого изложено в предыдущем зада-
нии, для напряжения на конденсаторе последовательной ССА-цепи, к которой под-
ключена ЭДС E(t). Параметры цепи изменяются по законам
R(t) = at; L(t) = Loeat; C(t) = Coe~at.
Уравнение цепи
CqCq + (atCoe~at - clL0C0 )^ + (1 - aCoate~at }uc = E(t).
ЗАДАНИЕ 3.3
Положим, что математические модели систем заданы дифференциальными урав-
нениями вида:
3.3-1. а2х" (t) + av(t)x' (t) + aQx(t) = y(t),
гдеа2=1с2; eq (t) = (0,9 + 0,It) c; a0 =0,16; y(t) = у0-1(/-т); y0=l,6; т = 1 c.
3.3-	2. a3x"'(t) + a2x"(t) + cq (t)x'(t) + aox(t) = boy(t),
где a3 = 0,1 c3; a2 = 4,2 c2; cq (t) = (72-0, k) c; a0 = 400; b0 = 400; y(t) = y0 + yrt, y0, jq
— задаются преподавателем.
3.3-	3. a3 (t)x"'(t) + a2 (t)x"(t) + cq (t)x'(t) + a0 (t)x(t) = boy(t),
где
a3 (t) = 0,0268[2 - e-1,5z ] c3; a2 (t) = 0,337 [з - 2e-1’5z ] c2;
cq(t) = 2,65 c; a0(/) = 17,8; b0 =17,8; y(t) = l(t), t g [0, 2] c.
3.3-	4. a3(t)x"'(t) + a2(t)x"(t) + al(t)x'(t) + a0(t)x(t) = b2(t)y"(t) + bl(t)y'(t) + b0(t)y(t),
где
a3 (t) = 0,0268 c3; a2 (t) = (0,337 + 0,52/) c2; cq(t) = 2,65 c; a0(/) = 17,8;
b2 (t) = 0,155е“10г с2; Д (t) = 0,966e“5z c; 60(/) = 17,8.
3.3-	5. 4x"(/) + (l + /)x'(/) + x(/) = y(t),
где y(t) = t; Zg[0;12]c.
3.3-	6. (0,2/ + 1,25)х + (0,4/ + 2,3)х = (б,25 + 2/ + 0,16?)е“3г, x(0) = 0.
3.3-	7. a2(t)x"(t) + a1(t)x'(t) + a0(t)x(t) = y(t),
где
a2(t) = 0,0144? + 0,072/ + 0,09;	(/) = 0,0864/2 + 0,4032/ + 0,468;
a0 (/) = 0,16/2 + 0,7136/ + 0,8128; у (/) = (1 +1,2/ + 0,48/2 + 0,064/3)e~4t.
3.3-	8. ar(t)x +a0(t)x = y(t),
где av (t) = 0,l/ + l,5; a0 (t) = 0,l/ + l,4; y(t) = 2 + t; /g[0;10]c.
Тема 3. Построение выходных сигналов нестационарных систем
543
3.3-9.	= у(/), где az(/) = Ja					/, z =	0,5.		
	v=0				7=о				
Положим, что									
	«о(0		’0,5596	1,8918	2,5825	1,7855	0,6277	0,0909 ’	’1
	«1(0		0,7113	2,3843	3,2220	2,1975	0,7588	0,1065	t
	«2(0		0,3717	1,2333	1,6449	1,1038	0,3728	0,0507	t2
	«з(0		0,1002	0,3278	0,4300	0,2827	0,0930	0,0122	t3
	а4 (?)		0,0140	0,0449	0,0576	0,0369	0,0118	0,0015	t4
	_«5(0.		0,0008	0,0025	0,0031	0,0019	0,0006	0,00007_	t5
у (?) = (85,7661 + 338,5984/ + 497,0437? + 406,9496? +
+186,9354? +46,7809? +4,8258? )е“4г.
3.3-	10. Система описывается дифференциальным уравнением первого порядка с
экспоненциальными коэффициентами вида
ах (/)х + а0 = у (/),
где
ах (?) = 0,375 + 0,25е“г; а0 (?) = 1,5 +1,25е“г; у (?) = 2,25е“2г + Зе“3г + e~4t.
3.3-	11. Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, имеет вид
v=0
где
5	_
=	v = 0,5.
j=o
Процессы изменения коэффициентов дифференциального уравнения определяют-
ся следующей	матрицей А = (о^) 
’1,0000	3,5489	5,1523	3,8608	1,5192	0,2620’
1,1716	4,1050	5,8550	4,2732	1,6091	0,2511
__	0,5579	1,9211	2,6761	1,8881	0,6743	0,0973
0,1349	0,4537	0,6125	0,4146	0,1405	0,0190 ’
0,0165	0,0539	0,0699	0,0452	0,0146	0,0018
0,0008	0,0025	0,0031	0,0019	0,0006	0,0000
Детерминированное воздействие, поступающее на вход системы, определяется
формулой
v(() = (2,l + l,3e-')6^'.
Разработайте вычислительные схемы и программное обеспечение расчета выход-
ных сигналов нестационарных САУ, ДУ которых приведены выше с анализом их
степени эффективности и, если возможно, с оценкой погрешности, реализующие:
•	стандартные численные методы интегрирования ДУ (методы Эйлера, Рунге-
Кутта, Адамса, Хеминга, Гира и др.);
•	метод порождающих функций (глава 2, т.1);
544
Задания для самостоятельной работы
•	метод моментов (глава 2, т. 1);
•	метод проекционных матричных операторов (глава 2, т.1);
•	метод сеточных матричных операторов (глава 2, т.1).
Используя построенное алгоритмическое и программное обеспечение, постройте
выходные сигналы:
•	в виде разложения по классическим ортогональным базисам (см. Приложение 3);
•	в виде разложения по блочно-импульсным функциям [66];
•	в виде приближения кусочно-линейными функциями;
•	в виде разложения по базисам из кусочно-параболических и кусочно-кубических
сплайнов (локальные сплайны 2-го порядка) и др. [66].
Познакомьтесь с подходами к реализации нелинейного рационального приближе-
ния, нелинейного экспоненционального приближения с квадратическими экспонен-
тами, нелинейного тригонометрического приближения, тригонометрического экспо-
ненционального приближения и др.
ЗАДАНИЕ 3.4
Актуальными являются теоретические исследования по системам управления ле-
тательных аппаратов. Разрабатываются принципы построения и методы расчета и
проектирования бортовых систем управления, ориентации и стабилизации ЛА. Про-
водятся исследования в области интеллектуальных систем взаимодействия человек-
машина в авиационно-космических аппаратах. Объектами исследования продолжают
оставаться автопилоты ЛА, гироскопические системы, автоматизированные комплек-
сы и исполнительные механизмы ЛА.
Не менее актуальны проблемы поиска и наведения в системах управления, вклю-
чая фундаментальные и прикладные исследования общих проблем поиска и наведе-
ния, построение методов и алгоритмов наведения в зенитно-ракетных комплексах
(ЗРК), решение задач наведения по маневрирующим объектам. Чрезвычайно важны-
ми являются исследования, связанные с разработкой методов повышения вероятно-
стно-временных и точностных характеристик систем наведения.
Цель настоящего задания — проведение исследования достаточно сложной кон-
кретной технической системы — системы управления самонаводящейся ракеты.
Положим, что используется метод пропорционального наведения ракеты на цель,
тогда при их движении на встречных курсах структурная схема системы управления
самонаводящейся ракеты имеет вид (рис. Т.3.6) [67]. Линеаризованное уравнение
движения ракеты запишется так [126]:
г(/)Дф(/) + г(/)Дф(/) = -П(/)ДО(/) + Пц(/)ДОц(/),	(Т.3.1)
где V — скорость ракеты; Пц - скорость цели; Дер — приращение угла линии визи-
рования цели; Дф — скорость вращения линии визирования; ДО — приращение уг-
ла траектории ракеты; ДОЦ — приращение угла траектории цели; г — расстояние
между ракетой и целью на опорной траектории, причем
t
г(/) = ДО)-/[Кц(/) + К(/)]Л.	(Т.3.2)
О
На рисунке цифрами обозначены следующие функциональные блоки:
Блок 1 — кинематическое звено 1, соответствующее инерционной части линеари-
зованного уравнения (Т.3.1), имеет импульсную переходную функцию
ф/,г) = -]-1(/-г).	(Т.3.3)
гЦ)
Тема 3. Построение выходных сигналов нестационарных систем
545
Рис. Т.3.6. Структурная схема системы управления самонаводящейся ракеты
Блок 2 — кинематическое звено 2, определяемое правой частью уравнения (Т.3.1)
с использованием связи между нормальными ускорениями ракеты т|(/) и скоростью
изменения угла ее траектории 0(7): т|(/) = V(7)0(7).
Блок 3 — система стабилизации ракеты, передаточная функция которой имеет вид
W5(s) = —1—.	(Т.3.4)
5V 7 0,154-1
Блок 4 — блок выработки команд (устройство формирования команд), реали-
зующий метод наведения. При методе пропорционального сближения требуемые
нормальные ускорения ракеты определяются формулой ц^(/) = и|г(/)|ф^(/), где п —
константа навигации.
Блок 5 — координатор цели, который измеряет скорость вращения линии визиро-
вания ф(7). Передаточная функция координатора имеет вид
W5(s) = —-—.	(Т.3.5)
5V 7 0,35 + 1	V 7
Выходной сигнал системы — линейное смещение ракеты Л(7) относительно
опорной невращающейся линии визирования цели (линия, соединяющая центры масс
ракеты и цели):
Л(7) = г(7)Дср(7).	(Т.3.6)
За величину промаха (ошибки) h принимается значение /?(/) в момент выключе-
ния координатора t = /вык. При исследовании систем управления целесообразно так-
же пользоваться понятием о текущем промахе Л(7), характеризующем величину от-
клонения ракеты от цели в картинной плоскости при предположении о том, что, на-
чиная с данного момента времени t, процесс наведения прекращается и векторы
скоростей цели и ракеты остаются неизменными.
Из внешних воздействий системы учтены: маневр цели, описываемый функцией
Пц (/)А0Ц, и начальная ошибка прицеливания А0О = const.
g(/) = Тц (7) А0Ц (?) - V(7) Д0О — внешнее воздействие, эквивалентное маневру це-
ли и начальной ошибке прицеливания.
При следующих параметрах движения ракеты и цели:
П(7) = 200(1 + /) м/с; Гц (?) = 400 м/с; г(/) = 100(45-6/-/2)	(Т.3.7)
скалярное дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы управле-
ния самонаводящейся ракеты, будет иметь вид (см. главу 2, т.1)
546
Задания для самостоятельной работы
dt	dt	dt
где
I i 3 + /
° = 50(-45 + 6/ + ?f
! (-7695-20979/-16245? -1431? +1030?)
1	20000	и(3 + /)* 2(1 + /)3(-45 + 6/ + ?)
(100? +1800и + 6600и/ + 9200«? + 6000«? +1800«/4 + 200«?)
n(3 + t} (1 + /) (—45 + 6/ + ?)
z 1 171 + 489/+ 430?+100? .
2 “ 40000	„(3 + /)2(l + /)2
z 1	54+ 77/+ 20?.
3 “ 20000 «(3 + /)2(l + /)’
z __________
4 40000 «(3 + /)’
d 1 171 + 489/+ 430?+100? .
°“ 40000	лг(3 + /)2(1 + /)3
d 1 171 + 489/+ 430?+100? .
1-40000	„(3 + /)2(l + /)2
1 54 + 77/ + 20/2.
20000 «(3 + /)2(l + /)’
40000 «(3 + /)’
Пусть скорость ракеты и расстояние между ракетой и целью изменяются по экс-
поненциальному закону:
К(/) = 200е°’4025г м/с; Кц(/) = 400 м/с; г(/) = 14500е“°’55гм;	(Т.3.9)
тогда коэффициенты дифференциального уравнения (Т.3.8) будут экспоненциальны-
ми и запишутся так:
4(/) /3(/)	п	'	0,00012/и -0,000189+ 0,00022и 0,000403 0,000163	•е°’55г
		ч	0,000121	
ХИ		'-0,000189'	
й?1(/)		0,000403	,Л55г
й?2(0	п	0,000163	о
		ч 0,000121 у	
Тема 3. Построение выходных сигналов нестационарных систем
547
Используя методы, изложенные в главе 2 (т.1), проведите анализ системы самона-
ведения при воздействии g(/) = (7) Д0Ц (^) - V(7) Д0О, где скорости цели и ракеты, а
также расстояние между ними определяются выражениями (Т.3.7) (коэффициенты
дифференциального уравнения (Т.3.8) являются полиномиальными) и (Т.3.9) (экспо-
ненциальные коэффициенты). Значение константы навигации, а также начальная
ошибка прицеливания и маневр цели приведены в табл. Т.3.1.
Таблица Т.3.1
Варианты заданий
№ варианта	п	Л0О(<)	Л9ц (1)	Коэффициенты ДУ
1	8	0,05	0,05	Полиномиальные
2	2	0,04	0,00	Полиномиальные
3	7	0,035	0,03	Полиномиальные
4	5	0,03	0,01	Полиномиальные
5	8	0,036	0,07	Полиномиальные
6	6	0,04	0,065	Полиномиальные
7	7	0,06	0,09	Полиномиальные
8	5	0,012	0,055	Полиномиальные
9	4	0,004	0,04	Полиномиальные
10	3	0,046	0,02	Полиномиальные
11	3	0,085	0,065	Полиномиальные
12	7	0,095	0,07	Полиномиальные
13	4	0,027	0,04	Полиномиальные
14	6	0,016	0,001	Полиномиальные
15	3	0,09	0,04	Полиномиальные
16	7	0,025	0,075	Полиномиальные
17	5	0,065	0,08	Полиномиальные
18	8	0,095	0,09	Полиномиальные
19	8	0,065	0,085	Полиномиальные
20	6	0,085	0,04	Полиномиальные
21	5	0,001	0,06	Экспоненциальные
22	9	0,013	0,07	Экспоненциальные
23	8	0,08	0,02	Экспоненциальные
24	7	0,045	0,09	Экспоненциальные
25	8	0,085	0,055	Экспоненциальные
26	7	0,075	0,06	Экспоненциальные
27	4	0,06	0,02	Экспоненциальные
28	4	0,035	0,055	Экспоненциальные
29	4	0,015	0,09	Экспоненциальные
30	6	0,015	0,035	Экспоненциальные
31	7	0,02	0,065	Экспоненциальные
32	4	0,04	0,04	Экспоненциальные
33	8	0,085	0,06	Экспоненциальные
34	6	0,05	0,07	Экспоненциальные
35	4	0,08	0,04	Экспоненциальные
36	7	0,045	0,054	Экспоненциальные
37	6	0,05	0,065	Экспоненциальные
38	5	0,035	0,08	Экспоненциальные
39	7	0,04	0,045	Экспоненциальные
40	6	0,09	0,025	Экспоненциальные
ЗАДАНИЕ 3.5
Решите задачу анализа системы управления самонаводящейся ракеты (рис. Т.3.6)
методами сеточно-матричных и проекционно-матричных операторов (см. главу 2, т.1),
используя аппарат структурных преобразований для нахождения оператора системы.
Данные о характере движения ракеты и цели приведены в табл. Т.3.2.
548
Задания для самостоятельной работы
Таблица Т.3.2
Варианты заданий
№ варианта	г0, м	Т(Т), м/с	Гц(1), м/с	Д90, рад/с	Д9Ц, рад/с
1	4500	200(1+1)	400	0,05	0,05
2	5900	100(1+1)	400	0,04	0,00
3	9000	55(1+1)	НО	0,035	0,03
4	3000	195(1+0	350	0,03	0,01
5	9800	350(1+0	400	0,036	0,07
6	3700	120(1+0	450	0,04	0,065
7	4000	280(1+0	360	0,06	0,09
8	8500	220(1+0	415	0,012	0,055
9	7500	250(1+0	460	0,004	0,04
10	2700	135(1+0	450	0,046	0,02
11	1600	140(1+0	300	0,085	0,065
12	9000	170(1+0	330	0,095	0,07
13	3100	320(1+0	450	0,027	0,04
14	4000	280(1+0	340	0,016	0,001
15	7100	170(1+0	220	0,09	0,04
16	3850	350(1+0	450	0,025	0,075
17	5400	150(1+0	470	0,065	0,08
18	2050	225(1+0	470	0,095	0,09
19	9900	250(1+0	340	0,065	0,085
20	6450	300(1+0	380	0,085	0,04
21	5000	юо(1+о	160	0,001	0,06
22	5800	185(1+0	325	0,013	0,07
23	4350	300(1+0	460	0,08	0,02
24	5200	юо(1+о	550	0,045	0,09
25	3450	130(1+0	240	0,085	0,055
26	6500	190(1+0	230	0,075	0,06
27	7900	юод+о	250	0,06	0,02
28	6000	120(1+0	210	0,035	0,055
29	7000	280(1+0	500	0,015	0,09
30	3300	230(1+0	550	0,015	0,035
31	4700	70(1+0	215	0,02	0,065
32	8150	бо(1+о	220	0,04	0,04
33	7300	110(1+0	220	0,085	0,06
34	5500	55(1+0	140	0,05	0,07
35	6400	200(1+0	420	0,08	0,04
36	8250	220(1+0	395	0,045	0,054
37	2000	90(1+0	520	0,05	0,065
38	6650	60(1+0	190	0,035	0,08
39	1950	120(1+0	285	0,04	0,045
40	5000	200(1+0	600	0,09	0,025
Приведите ответы на следующие вопросы (при подготовке ответов изучите со-
держание главы 6, т.З):
1.	Какие силы действуют на ЛА и какими из этих сил наиболее удобно управлять
при полете ЛА в низких и высоких слоях атмосферы?
2.	Дайте краткие определения следующим видам управления: автономное управле-
ние, самонаведение, телеуправление, комбинированное управление.
3.	От каких основных факторов зависит вероятность поражения цели [72]?
4.	Что такое промах и какими факторами он определяется?
5.	Перечислите основные способы создания управляющих сил и моментов?
6.	Проведите классификацию систем самонаведения:
•	по типу энергии, используемой для самонаведения;
•	по месту расположения источника первичной энергии;
•	по применяемым кинематическим методам наведения;
Тема 3. Построение выходных сигналов нестационарных систем 549
7.	Каковы основные источники ошибок самонаведения?
8.	В чем состоят преимущества и недостатки комбинации телеуправления с самона-
ведением по сравнению с наведением (без телеуправления)?
9.	К каким отрицательным последствиям приводит скручивание системы координат?
10.	Укажите пути построения ИПФ системы самонаведения и приведите соответст-
вующие структурные схемы алгоритмов.
11.	Укажите случай, когда прохождение детерминированной и флюктуационной со-
ставляющих в системе наведения можно рассматривать независимо.
12.	В чем сущность полунатурного моделирования? Дайте сравнительную характери-
стику методам математического и полунатурного моделирования.
13.	Перечислите факторы, которыми определяется дальность действия системы само-
наведения.
550
Задания для самостоятельной работы
ТЕМА 4. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
ЗАДАНИЕ 4.1
Изучите методы перехода от скалярных ДУ вида (класс стационарных систем)
+	= у^У
v=0
и-i	т
v=0	v=0
к эквивалентным векторно-матричным ДУ в нормальной форме Коши. Постройте
структурные схемы устройств для восстановления всех фазовых координат вектора
состояния Х(/). Изучите метод канонического разложения, метод разложения на
простые сомножители.
Приведите примеры.
ЗАДАНИЕ 4.2
Скалярные системы, рассмотренные в заданиях 1.2, 1.3, 3.3, 3.4, опишите по ме-
тоду пространства состояний.
ЗАДАНИЕ 4.3
Изучите метод перехода от скалярного ДУ вида
v=0	v=0
к векторно-матричному ДУ
X(z) = A(/)X(/) + B(z)y(4
Важным является положение: переход от скалярных ДУ к векторно-матричным
ДУ можно рассматривать в качестве перехода к модели в переменных состояния;
использование такого перехода позволяет состояние исходной системы в каждый
момент времени полностью описать значениями п координат, называемых коорди-
натами состояния, или фазовыми координатами.
ЗАДАНИЕ 4.4
Дайте определение переменных состояния САУ; поясните физическую сущность
понятия состояния системы и математическое содержание в терминах скалярных и
векторно-матричных ДУ. Дайте определение переходной матрицы и постройте алго-
ритм ее нахождения для ДУ с постоянными и переменными коэффициентами. Пояс-
ните физический смысл элементов матрицы перехода.
ЗАДАНИЕ 4.5
Изучите математические модели САУ в пространстве состояний. Опишите систе-
мы, рассмотренные в заданиях 1.2, 1.3, 3.3, 3.4, векторно-матричными ДУ, матричными
Тема 4. Метод пространства состояний 551
передаточными функциями и векторно-матричными интегралами Дюамеля. Дайте оп-
ределение динамических характеристик систем в пространстве состояний и произведи-
те их расчет. Изучите задачу получения ПФ с помощью программ, учитывая при этом
раскрытие скобок, приведение подобных членов и т.д.; познакомьтесь с проблемой
построения характеристического уравнения по исходным матрицам коэффициентов.
ЗАДАНИЕ 4.6
Постройте алгоритмическое и программное обеспечение для анализа устойчиво-
сти САУ, рассмотренных в заданиях 1.2, 1.3, 3.3, 3.4, по уравнениям переменных со-
стояния и по характеристическому уравнению.
Познакомьтесь с методами Данилевского, Крылова, интерполяции, Леверье-
Фаддеева и изложите их достоинства и недостатки. Изучите построение ПФ с помо-
щью топологических методов. Проведите критический анализ методов исследования
устойчивости (Рауса, Гурвица, Льенара-Шипара и др.) с точки зрения простоты,
удобства в реализации и надежности вычислительной схемы. Изучите и примените
методы исследования устойчивости нестационарных систем (см. главу 2, т.1).
ЗАДАНИЕ 4.7
Познакомьтесь с основами метода функционально-преобразованных матриц (ос-
новы метода были заложены В.И. Зубовым в 1959 году) и сформулируйте критерий,
устанавливающий необходимые и достаточные условия асимптотической устойчиво-
сти САУ, описываемых уравнением
X = AX + Y(/).	(Т.4.1)
Постройте алгоритм, реализующий рассматриваемый критерий; установите его
достоинства и недостатки. Проведите исследование асимптотической устойчивости
систем, рассмотренных в предыдущих темах.
ЗАДАНИЕ 4.8
Изучите численные методы построения выходных сигналов САУ, описываемых
уравнением
Х = AX + Y(/),
основанные на использовании дискретного аналога интегрального соотношения
X(z) = Z'X0 + фА<м>¥(тЩ.	(Т.4.2)
О
Проведите исследование качества работы систем, описанных в предыдущих зада-
ниях (входные данные задаются преподавателем).
ЗАДАНИЕ 4.9
Изучите стандартные методы численного интегрирования ДУ (методы Эйлера,
Рунге-Кутта, Адамса, Хемминга, Гира и др.) и примените их для расчета выходных
сигналов систем, рассмотренных в заданиях (1.2, 1.3, 3.3, 3.4) (входные данные зада-
ются преподавателем).
ЗАДАНИЕ 4.10
Постройте алгоритмическое и программное обеспечение для расчета вектор-
функции состояния X(z) и вектор-функции выхода Хв (?) для стационарных систем
552 Задания для самостоятельной работы
методом проекционно-матричных операторов с использованием различных ОНБ и
быстрых преобразований, а также с использованием сеточно-матричных операторов
(см. главу 2, т.1).
Проведите сравнение методов, реализуемых в предыдущих заданиях, с точки
зрения их эффективности для построения выходных сигналов сложных динамиче-
ских систем.
ЗАДАНИЕ 4.11
Постройте алгоритмическое и программное обеспечение для расчета Х(/) и Хв(/)
нестационарных систем, используя их математическое описание по методу простран-
ства состояний.
Найдите Х(/) и Хв(/) для систем, математические модели которых описаны
выше.
Тема 5. Методы исследования нелинейных САУ
553
ТЕМА 5. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
ЗАДАНИЕ 5.1
Постройте алгоритмическое и программное обеспечение для решения нелиней-
ных ДУ с использованием матричных операторов (включая оператор умножения).
Проведите исследование систем, имеющих следующие математические модели:
_ , , dx	/.	2\ n dy
5.1-1.— =-х II+ х )-2у; — = х + у.
dt	'	' dt
Начальные условия: х(0) = 0,5; у(0) = 0,5.
5.1-2. Д (х)х" - /2 (х)(х')2 + Кх’ + Сх - /3 (х, со) = -/0 - Mg
где
x(0) = %'(0) = 0; fi(x') = M + Д'" ;
x(4a-x)
„ ,	. ml{2a-x\ Г / ,
t _ / v mI —_1____L_ j----/
, . 2ml(2a-x)
Ф
x (4a-x)
a-x) co2.
ay]x(4a-x)L ш	J
Параметры системы:
Z = 1m; a = 0,7 м; г = 0,1м; m = 5 кг; Л/ = 12кг; g = 9,8 м/с2; 2л • 10 < co < 2л-500.
5.1-3. ДТ2х"(/) + (Т2 + Д)х'(/) + х(/) = Ku(t); и(С) = signfs^/)); s(7) = y(/)-x(/)
2) у(/) = ЯсО8С0Й
Параметры системы и воздействий:
Ко = 10; Д = 0,1 с; Т2 = 0,05 с; А = 10; со = 2л-10 рад/с.
Начальные условия — нулевые.
5.1-4. х'(/) = x(/) + sin(y(/)) + z(/); y’(t) = x(t)~ y(t) +x(t)y(t)
где z(/) = cos(2tc-10/) —входное воздействие.
...dll „ du 2/\	1 2	2 п/ \
5.1-5. —y-O—+ co0w(/) + -y —cp(w) = co0£(/),
dt dt	5 dt
где
Л/V /?С	1
9 = — —- = <s$,(MS-RC\, <У=—-, r=3d>MS^ (₽(«) = «’;
_Z_> V. _Z_>	_Z->
M — взаимная индуктивность катушек, M = 10; S — крутизна характеристик тран-
зистора, S = 1,2-ь100; £(/) = 9В; А = 10 Ом; С = 0,001 мкФ; L = 0,001 мГн; 0 = 5.
5.1-6. Тх'"(/) +х"(/) = A?s(/); z(t} = sign(x(/)); е(?) = y(/)-z(/).
Параметры системы: К = 5; Т = 0,1с.
Начальные условия: х(0) = 0,5; х'(0) = 0,5; х"(0) = 0.
554
Задания для самостоятельной работы
5.1-7. у"(0+аххУ'(0=-ахэ5(0’ 8(0=aW+—ZW’
ахэ
Tu'(t) + u(t) = K?l(K28,(t) + K28(t)); s(t) = y(t)-y(t); o(t) = ф(п(7)).
Нелинейная зависимость представляет собой кусочно-линейную функцию вида
W,
Параметры системы и воздействия: б/хх =4 с-1; аю =40 с-2; Т = 0,05 с; Кх =1; К2 = 5 с;
Х5 = 10; z(7) = 1,256-1(7) — возмущающее воздействие; у(/) = 2-1(/) — входной
полезный сигнал.
5.1-8. TO'(7) + O(7) = s(7); u(t) = K2^(t)\, TMz”{t)+z'{t) = K3u{t)-, s(7) = y(t)-z(t).
Нелинейная зависимость представляет собой кусочно-линейную функцию вида
-е, 0(7) < -а;
п(7) = Х2ф(3(7)) = < °’ |^М|-а
е, 0(7) > а.
Параметры системы и воздействия:
Т = 10 с; Тм = 0,1 с; К2 = 0,01 рад/град; = 500; е = 25 В; а = 2; y(t} = 100-1(7).
5.	1-9. Тдх"(7) + х'(7) = ХдХрп(7); Дп'(7)-1-п(7) = X3s2(7); s2 (7) = u(7)-z(7);
z(7) = X3c>'(7); о(7) = ф(х(7)); и(7) = ^8(7) + ^28'(7); s(7) = у(7)-х(7).
Параметры системы и воздействия:
К3 = 0,04; К2 = 0,02; К3 = 0,001; Кэ = 240;
К, = 30; Kv = 1; Тд = 0,5 с; 7] = 0,165 с; Щ) = 1(1).
Нелинейная зависимость <р(х) представляет собой кусочно-линейную функцию вида
х(7), х > 0,5;
о(7) = ф(х(7)) = < о, |х(/)|<0,5;
-х(7), х < -0,5.
5.1-10.
=(/2-/з)®2®з+^1(0’
^2®2 =	_71)а>зСО1 + и2 (7);
/Зб)з = (/| -I2)co1co2 + w3(7).
Параметры объекта: Ц =12 =50 Н-м-с2; 13 =100 Н-м-с2; wt(7), п2(7), п3(7) — вход-
ные воздействия:
(7	) = 0,5-1(7); и2 (?) = sin(27i/’2z); и3 (?) = cos(2k/3/); f2 = 10 с-1; f3 = 5 с-1.
ЗАДАНИЕ 5.2
Пользуясь стандартными численными методами интегрирования ДУ (методы Эй-
лера, Рунге-Кутта, Адамса, Хемминга, Гира), постройте выходные сигналы на задан-
ные воздействия (ММ 5.1-1-5.1-10).
Тема 5. Методы исследования нелинейных САУ 555
ЗАДАНИЕ 5.3
Пользуясь методом Ньютона-Канторовича, постройте линеаризованные модели
для нелинейных систем (ММ 5.1-1-5.1-10). Постройте структурные схемы нелиней-
ных и линеаризованных моделей.
ЗАДАНИЕ 5.4
Проведите исследование автоколебательных режимов для ММ 5.1-1, 5.1-5, 5.1-6,
воспользовавшись методом определения периодических режимов работы нелиней-
ных автоколебательных систем, в котором частное периодическое решение ищется в
виде нелинейной комбинации заданных функций времени [88].
Для примера будем рассматривать автоколебательную систему с одним нелиней-
ным элементом, описываемую уравнениями вида
п~1	т
х(и)(0+Еа^г)(0=_Е^^7)(0’ t(0=f[x(0]’	(т.5.1)
z=0	j=0
где F[x(0] — нелинейная функция.
Данной модели соответствует структурная схема системы, к которой не приложе-
ны внешние воздействия (рис. Т.5.1).
Рис. Т.5.1. Структурная схема автоколебательной системы
Воспользовавшись спектральным методом, будем искать приближенные решения
х(0 в виде разложения по ортогональному базису, в качестве которого выберем
тригонометрические функции
ф(2/+1) (0=[фо (О’ <Р1 (О--’ф/ (О’ Ф1 (О- --’ф* (о]Т’
где
<p^(0 = cos(^co0’ £ = 0,1,2,...;
q^(0=sin(M’ £=1,2,з,....
Тогда искомая функция х(0 представляется рядом Фурье
х(0~^(0=аоФо(0+ЕИф*(0+^ф1(0]=(сх) ф(2/+1)(0’	(т-5-2)
Аг=1
где СЛ = (Uq , а?,..., а*, Ц,..., Ь*j — вектор-столбец, элементами которого являются
коэффициенты Фурье определяемые формулами
1	Т
aQ=—\x(t}df,
1 о
556
Задания для самостоятельной работы
Л г
ахк = у] x(/)cos(Axo/)cZ/;
"	(Т.5.3)
2	г .	—
bk = — I x(/)sin(£co/)cZ/, к = 1,1.
? о
Такое представление задает х(?) как периодическую с периодом Т = 2л/со функ-
цию, определенную на интервале t е [0;Т], который будем называть интервалом ис-
следования периодического решения.
Функцию y(t) также представим в виде разложения по ортогональному базису
>Д)«у/(/) = (с>')Тф(2,+1)(/).	(Т.5.4)
Определению подлежат неизвестные спектральные характеристики СЛ и С’, а
также неизвестная угловая частота автоколебаний со.
Связь между неизвестными СЛ и Су можно найти, подставляя представления
(Т.5.2) и (Т.5.4) в уравнение нелинейного элемента
yi (0=F[*i (0]
или

(Т.5.5)
Из (Т.5.5) следует, что элементами вектора Су являются коэффициенты разложе-
ния Т-периодической функции F[xz(/)J по ортогональному базису Ф{2/+1)(0’ т-е-
где
С>-=(«>,а1\...,аДЛЛ...,Л/)Т=С',(Ю),
Ф(2/+1)(?) cos(Axo/)cZ/;
(Т.5.6)
Сх) Ф(2/+1)(0 siii(£co/)cZ/, к = 1,1.
С другой стороны, связь между неизвестными спектральными характеристиками
Сх (со) и Су (со) задается векторно-матричным уравнением, описывающим в спек-
тральной области линейную часть системы. Это уравнение имеет вид
Cx(co) = -A(co)CJ(co) + C0,	(Т.5.7)
где А — квадратная матрица спектральной характеристики линейной части системы,
имеющая размерность (21 +1)х(21 +1), Со — вектор-столбец размерности 21 +1,
учитывающий начальные условия.
При заданной нелинейной характеристике F [х(/)] можно вычислить по форму-
лам (Т.5.6) зависимость
Тема 5. Методы исследования нелинейных САУ 557
=CF(cx,co),	(Т.5.8)
подстановка которой в (Т.5.7) дает уравнение для определения неизвестной спек-
тральной характеристики СЛ:
Cx(co) = -A(co)Cf(cx,co) + C0.	(Т.5.9)
Векторно-матричное уравнение (Т.5.9) можно представить как систему из 2/+1
нелинейных уравнений. При условии, что выходной сигнал имеет нулевое
среднее значение, а значит, коэффициент разложения а$, входящий в вектор С\
равен нулю, имеем 2/ неизвестных коэффициентов axk,b^ и неизвестную угловую
частоту со, для определения которых имеется 2/ +1 уравнений (Т.5.9). Вектор-
столбец начальных условий Со считается заданным.
Решение системы (Т.5.9) может быть получено одним из известных методов реше-
ния систем нелинейных уравнений, хотя доказать существование этого решения в об-
щем случае затруднительно. Вектор-столбец CF^Cx,co) в (Т.5.9) может вычисляться,
например, по следующей схеме. По спектральной характеристике СЛ при заданной со
приближенно восстанавливается функция %/(?). Для этого можно использовать из-
вестный алгоритм обратного быстрого преобразования Фурье. По полученным значе-
ниям функции %/(?) вычисляются значения функции	по которым с помо-
щью алгоритма прямого быстрого преобразования Фурье при той же со вычисляется
спектральная характеристика CF. Алгоритмическая форма зависимости (Т.5.8) пред-
полагает использование в основном численных методов решения уравнения (Т.5.9).
Матрица спектральной характеристики линейной части автоколебательной систе-
мы А, входящая в уравнение (Т.5.9), может быть легко вычислена с использованием
аппарата структурных преобразований и операционных матриц интегрирования и
умножения для тригонометрического базиса.
ЗАДАНИЕ 5.5
Разработайте алгоритмическое и программное обеспечение для построения выход-
ных сигналов простейших нелинейных систем, используя при этом линеаризацию по
методу Ньютона-Канторовича и методы проекционно-матричных и сеточно-матричных
операторов.
ЗАДАНИЕ 5.6
Постройте алгоритм и программу для спектрального анализа в базисе тригоно-
метрических функций и полиномов Чебышева 1-го рода напряжения в свободном
режиме на нелинейном резисторе в цепи, изображенной на рис. Т.5.2, если:
1) начальное условие w( 0) = Е;
q2u2j = Q;
du 1 Л
3) уравнение цепи---1---и\ 1 -
dt RC '
безразмерная форма:
^ + x(l-^V) = 0; х(0) = 1; х = ^; т = у; q2E2 = a2; RC = Т.
558 Задания для самостоятельной работы
Постройте матричный оператор умножения и воспользуйтесь им для получения
нелинейной системы алгебраических уравнений относительно вектор-столбца См.
Эти же расчеты выполните методом сеточно-матричных операторов; сравните ре-
зультаты расчетов.
Рис. Т.5.2. Электрическая цепь с нелинейным резистором
ЗАДАНИЕ 5.7
Дифференциальное уравнение консервативного колебательного контура имеет вид
d^X 2	3 п
—— + Год + ух — 0;
dt
г-	1	d X	2 3м	2 У
безразмерная форма: —=- + х + ос х =0, т = со0/, а =-7-.
dt	cog
Проведите исследование выходного сигнала в переходном и установившемся ре-
жимах, если правая часть уравнения равна	= р sin со/ (базис — тригонометриче-
ские функции; полиномы Чебышева 1-го рода).
Постройте алгоритмическое и программное обеспечение с использованием мат-
ричного оператора умножения. Для нахождения процесса х(/) воспользуйтесь мето-
дом сеточно-матричных операторов, а также методом конечных разностей; сравните
результаты расчетов.
Тема 6. Непрерывно-дискретные системы
559
ТЕМА 6. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
1.	Какие характеристики динамических систем называются системными и почему?
2.	Что общего у системных характеристик разных классов линейных систем (непре-
рывных, дискретных, непрерывно-дискретных) и какие отличия?
3.	Почему для одной и той же динамической системы приходится определять не-
сколько типов передаточных функций?
4.	Оцените достоинства и недостатки описания нестационарных систем передаточ-
ными функциями.
5.	Какие задачи удобно решать с помощью
•	сопряженных,
•	обобщенных,
•	бичастотных,
•	передаточных функций?
6.	Какая разница между передаточными функциями в пространстве состояний и в
пространстве «вход-выход»?
7.	Перечислите известные вам виды передаточных функций и дайте краткую харак-
теристику каждого типа.
8.	Как связаны передаточные функции с весовой функцией и друг с другом?
9.	Сформулируйте физический смысл известных вам системных характеристик.
10.	Какие звенья называют типовыми и почему?
11.	Как по виду передаточной функции понять, является ли система стационарной?
12.	Сравните связи «вход-выход» на основе передаточных функций при детермини-
рованных и случайных воздействиях для стационарных и нестационарных систем.
13.	Какие характеристики системы и воздействий потребуются для вычисления пере-
ходных процессов по дисперсии реакций?
14.	Как по известной спектральной функции вычислить изображение дисперсии не-
стационарного процесса?
15.	Запишите и сравните передаточные функции экстраполяторов разных порядков.
16.	Объясните методические проблемы непрерывно-дискретных систем.
17.	Почему при использовании известных передаточных функций дискретных систем
для многих соединений не удается получить соотношений, подобных свя-
зям для непрерывных стационарных систем?
18.	Запишите и сравните соотношения для вычисления реакций непрерывно-дискретных
систем в тактовые моменты времени и для произвольных моментов времени.
19.	Как найти передаточные функции по дифференциальному уравнению?
20.	Как оценить устойчивость системы по известной бичастотной передаточной функции?
560
Задания для самостоятельной работы
ТЕМА 7. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ
(СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ)
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
ЗАДАНИЕ 7.1
Цель задания — изучение случайных величин и методов их статистического опи-
сания.
В данном томе изложены элементы теории случайных процессов, причем случай-
ную функцию можно рассматривать как систему случайных величин Х1,Х2,...,Хп.
На первом этапе изучения теории случайных функций можно полагать п = 1, т.е. рас-
сматривать лишь одно сечение X (tk ) = X и, таким образом, изучать вероятностное
описание одной случайной величины (СВ) X.
В настоящем задании изучите основные интегральные (ИЗР) и дифференциаль-
ные законы распределения случайной величины X (они представлены в табл. Т.7.1).
Напомним, что универсальной характеристикой, одинаково пригодной как для
дискретных, так и для непрерывных СВ, является функция распределения вероятно-
сти F^(x), определяющая вероятность Р того, что СВ X примет значение меньше
некоторого числа х , т.е.
^Ц) = Р[х<х].
Далее Fx (х) будем называть интегральным законом распределения.
В прикладных задачах часто предполагают, что Fx (х) непрерывных СВ диффе-
ренцируемы во всей области возможных значений СВ. В этом случае СВ X описы-
вается плотностью распределения вероятности (ПРВ), которую далее будем называть
дифференциальным законом распределения (ДЗР)
Если Fx (х) не является дифференцируемой в некоторых точках, то справедлива
зависимость
W= f fx(u)du.
Далее приведем и обоснуем некоторые факты, которые играют важную роль при
вероятностном описании случайной величины X (положения, приведенные в при-
мерах 7.1-7.12, заимствованы из задачника В.И. Тихонова, Б.И. Шахтарина, В.В. Си-
зых (см. введение к заданиям для самостоятельной работы)).
1.	ДЗР fx (х) СВ X имеет вид
/у(х) = ае“₽1х1, -qo<x<qo,
где аир — постоянные величины.
Найдем соотношение, которому должны удовлетворять постоянные а и Р; вы-
числим ИЗР Fx (х) СВ X и построим графики fx (х) и Fx (х) при Р = 2.
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ
561
Таблица Т.7.1
Основные дифференциальные и интегральные
законы распределения СВ X
Закон рас- пределения	Область измене- ния значений	ДЗР А(х)			ИЗР Fv(x)			
1	2	3			4			
1. Равномер- ный (прямо- угольный)	а < х < Ъ	Пара 1 Ь-а	/v(x) = —-— V ’ b-a метры fx (x): a, b			0=i x)	0, x <a; x-a	, 	, a<x<b, b-a 1, x > b	
								
			z/	7л	\					
						a	b "x		
2. Гауссов- ский (нор- мальный)	-х> <х < СО	Парам fx( 4 0,8-	X	C>	X 3 3 - s - II	Ml II H- x S 1 о ui ТГ 3 a! Q	1 - И		M*) Fx 1 0,5	СУ = Ф (x) L	(t-m)2 \ f e 2o-v dt = x-m | < CT.v J m = 1,5 о v =0,5	
						—		
		0	m	"x		"61	m	x		
3. Гауссов- ский стан- дартный	-со < х < со	Парамет т = 0 fx(x\ 0,4		)	,Q E m1L / $ з *	4 f	' II	H-		1 II о	AC	Fx(x^42i. Fx 1- 0,5			[ e t2l2dt = Ф^x) x) m = 0 / <Cr=l
					-1	0			1	X
		-2		2 "x				
562
Задания для самостоятельной работы
Продолжение табл. Т.7.1
5. Логариф-
мический
гауссовский
О < х < со
т = М(logX), Oy=Z>(logX)
Параметры Д-(х): т, <зх
fx №	т = 1
		fx (х) =	:— 	хае V ’ Р“+Г(а + 1) Параметры fx (х):		TyW	= 	0, x < 0; Г<° + 1;^>, Y>0 Г(а + 1)
7. Гамма- распределе-	0 < х < со	а	, Р; а > -1, р > 0 )	р = 1	Fx j	x) k	P = 1 а = 1
ние		0,5-	= 0 Х/1 3	0,5-		
				"o’		
		"o’	4	X			
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ
563
Продолжение табл. Т.7.1
1	2		3	4			
10. Бета- распределение	0 < х < 1	/х(х) 5 П ^2	= —!—xa-1(l-x)6-1, (ai,)=£W£W араметры fx (х): а, Ь; а > 0, Z? > 0 х) а = 3;Ь = 2  а = Z? = 3 //		Сх(х) где Fx{ j 1 0,5	6 x) k	0, X < 0; Bx(a,b} A; /, 0<x< 1; B[a,b^ 1, x > 1, a,Z?) — неполная ета-функция a = Z? = 3
		"от	0,5	1 х		"o’	o',5	"x	
11. Релея	0 < х < со	fx Пар А 0,6-	ст v аметры fx (х): ст р		Fx{f F-A 1 0,5-	=	ГО, x < 0; {1-е"-у2/2^, x>0 -a	►
		0	—।		 1	Z = х/ ст		о 1	z = x / ст v		
12. Обобщен- ный закон Релея (Райса)	0 < х < со	АМ = Парат А 0,6- 0,4- 0,2- 0	х	f ах} ~ <fx	°Ы астры fx (х): а, ст v с)	Ь = а/<зх maJa-3 2	z = x/ctv		0, x<0; k=Q 4 1 0,5 0	Г^^И/с+1;^’х>0 (/с!)\2сти	2c?vJ ?) b = а/ ст у =1	
13. Максвелла	0 < х < со	fx(* Пар. .ГЛ 0,6-	аметры Д-(х): стА-		зд= J 1	0, x < 0; -ir[3/2; x2/2ct2v1 x>0 An v	‘ 2 x)	
		"o’	i z = х/о^-		0	1	z = x Гст v	
14. Эрланга /с-i o порядка	0 < х < со	fx п А( 1,5 1 0,5 С	ст £ + 1 АнГ араметры fx (х): 1, к (к — целое) *)	Х = 2 \к = 0 -С-7	► 1	2	X	A-W А 1 - 0			0,	x < 0; Г(7с + 1;Хх) \	/, x>0 Г(/с + 1) X = 2 	k = 3 1	Z = X / CT v
564
Задания для самостоятельной работы
Продолжение табл. Т.7.1
1	2		3	4			
15. Вейбулла	0 < х < со	/ Параме м т	а А	7 II	i Д,	а d	4^	J 8	:	J и* Д	А( Д 1-	x) = < L		0, x < 0; l-e-c'°, x>0 c = 1 a = 2
		"o’	1	"х	"o’	1	Z = X / CT v		
16. Экспо- ненциальный односторон- ний (показа- тельный)	0 < х < со	Па fx^ 1,5- 1-	Д(х) = ^ замсгры fx (х): /. Lx = 2	Fx< FxC i 1- 0,5-	x) = f		0, x < 0; l-e-ZA, x>0 X = 1
		"o’	1	X	"o’	1	X		
17. Показа- тельно- степенной	0 < х < со	Па| А( 0,5' 0	Zv(^) = т\ )аметры /у(х): т f) . т = 1 2 1	3	1 0,5 0	= x) L	0,	x < 0; Г(ти + 1;х) — /	d’ x > ° Гри + 1) m = 2 J	।	 2 4	X	
Чтобы найти соотношение между постоянными аир, можно воспользоваться
условием нормировки для ДЗР. При этом необходимо учесть, что ДЗР имеет разные
аналитические выражения при х < 0 и х > 0:
ОО	00	—
j fx (x}dx = а j	= —— = 1.
Следовательно, Р = 2а.
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ
565
ИЗР Fx (х) по определению равен
FxW= j fx(z)dz.
При х < 0 имеем
Fx (х) = а [ J,zdz =	= -с>.
7 J	В	2
—00	1
При х > 0 справедлива зависимость
F (х) = 1 + а [e^zdz = - + - - -е’₽х = 1 - -е’₽х.
v 7 2 Jo 2 2 2	2
При 0 = 2 Д(х) = е’2И
0,5е2х	при х < 0;
Fx (х) = 1
[1-0,5е-2х прих>0.
Графики /х(х) и Fx(x) при 0 = 2 изображены на рис. Т.7.1.
2.	ИЗР Fx (х) СВ X задан графиком на рис. Т.7.2.
Найдем аналитическое выражение для ИЗР; построим график ДЗР fx (х); вычис-
лим вероятность Р того, что величина X примет значение от 3,5 до 4,5.
Когда значения величины X заключены в пределах от 3 до 5, ИЗР Fx (х) пред-
ставляет собой отрезок прямой, проходящей через две точки с координатами (3,0) и
(5,1). Используя уравнение прямой в виде (x-Xi)/(x2-Xi) = (у-у1)/(у2 _Ti)> п0-
лучаем (x-3)/(5-3) = Fx(x)/l, т.е. Fx (х) = (х-3)/2. Следовательно,
566
Задания для самостоятельной работы
при х < 3;
при 3 < х < 5;
при х > 5.
По определению fx (х) = dFx (x}/dx. Поэтому
Го
fx(x)= 1/2
при х <3;
при 3 < х < 5;
при х > 5.
1
ДЗР fx (х) представлен на рис. Т.7.3.
Р = Р{3,5<Х <4,5} = Fy(4,5)-Fy(3,5) = (4,5-3)/2-(3,5-3)/2 = 0,5.
3.	Случайные ошибки измерения дальности до цели подчинены нормальному закону
с математическим ожиданием тх = 5 и среднеквадратическим отклонением <зх = 10 м.
Вычислим вероятность того, что измеренное значение дальности отклонится от
истинного не более чем на 15 м; при трех независимых измерениях ошибка хотя бы
одного измерения не превзойдет по абсолютной величине 15 м.
Определение вероятности того, что измеренное значение дальности отклонится от
истинного не более чем на 15 м, сводится к вычислению вероятности попадания СВ
X (ошибки измерения) с тх = 5 м и <зх = 10 м на интервал от -15 до 15 м:
А = Р{|Ц < 15} = Р{-15 < X < 15} =
= ф(1)-ф(-2) = Ф(1)-[1-Ф(2)] = 0,8413-1 + 0,97725 «0,818.
Вероятность р2 того, что при трех независимых измерениях ошибка хотя бы одно-
го измерения не превзойдет по абсолютной величине 15 м, определяется по формуле
Рг =1-(1-а)3 =1-(1-0,82)3 «0,994.
4.	Случайная величина X имеет распределение Лапласа
Д(х) = Ц/2)е-+, К>0.	(Т.7.1)
Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.
Замечание. При решении подобных примеров целесообразно использовать
формулы преобразования Фурье:
V / 1	Х2+и2
2л
A2 + u2J
1 J	2л
2л 2о	+ V)2
e~juxdv

В силу четности первых сомножителей подынтегральных функций справедливы
также формулы
7 e~^ejuxd^ =	 — 7 —^—e~JUX = е’Х|х|.	(Т.7.2)
X +и 2ЛДХ +и
Таким образом, закону Лапласа (Т.7.1) согласно первой функции (Т.7.2) соответ-
ствует характеристическая функция
O(zu) = М [eiXu 1 = - 7 е’Х|х|егшШ =
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ
567
и моментная функция
Ф(Д=
X2
X2-?’
Отсюда находим
тх = ф'(о) = V (-1)(V -s2) 2 (-2s)
= 2Х2
(V
<з2х =ф"(0) = 2Х2
2
V
5.	Покажем, что функция
Zv (х) = axse~a х при х > О,	(Т.7.3)
где ос > О и а>0 — некоторые постоянные и s = 1, 2,3,... — натуральное число,
может быть ДЗР (плотностью распределения вероятности). Найдем параметры а и а
при заданном среднем значении тх и рассчитаем дисперсию Dxx.
Параметры а и а находятся из условий
2
Г 5 -(ах) ,	1
I ах е v 7 ах = 1;
о
2
Г 5+1 -(ах) j s
I ах е ' ах = ос^;
о
отсюда получим
Второй начальный момент:
ДЗР fx (х) при s = 1 называется законом Релея, а при s = 2 — законом Мак-
свелла. При заданном s законы вида (Т.7.3) являются однопараметрическими, т.е.
зависят только от одного параметра (тх или Dxx).
6.	Найдем центральный момент п -го порядка гауссовской СВ.
Решение.
-(х-7Иу)2	-W2
1 ОО	V л ’	1	00	__
Р^-=—-={(х-тх^е 2г7у dx =------j= f uke2^xdu, к = 1, 2,3,....
_00 _оо
Очевидно, = 0 при нечетном к. При четном к = 2п получим
I 2 >
Воспользуемся соотношением
568
Задания для самостоятельной работы
a\xlke~pxldx =
о
(2£-1)!
2(2р)/с V Р
Полагая р = 1/2о^-, получим
0^=1-3-5-...-(2£-1)-с^, £ = 1,2,3,...,
или при п = 2к, п > 2
Р1=1-3-5-...-(и-1)-а”Л..
7.	Найдем начальные моменты СВ, распределенной по закону Релея
Имеем
М } = 7 xnfx (х)dx = -^7хи+1е“х2/2а2dx.
о	а о
При четном п = 2к, р = \/2а2 получим
м{хп} = 2кк\а2к, п = 2к;
при нечетном п = 2к -1
7И{хи} = 1-3-5-...-«-7я7ососи, п = 2Аг-1, к = 1, 2,3,....
8.	Найдем начальные моменты СВ, распределенной по закону Максвелла
Справедлива зависимость
/ Г\ С®
м[хп\ = -^-= fxn+2e~x^2aldx.
1	’ (X -Х/Яд
При нечетном п = 2к -1, к = 1, 2, 3,... получим
ТИ{хи} = 2/сА;!а2/с“17^л, £ = 1,2,3,....
Полагая п = 2к, к = 1,2,3,..., находим
/ Г\ С®
м[хп\= -^-= Г Х^к+^е~х^2а" dx = (2к +1)! а2к = 1 • 3 • 5 •... • (п +1) ап,
1	’ or xMq
п = 2к, £ = 0,1,2,....
Легко показать, что центральные 0^- и центральные абсолютные 0^- моменты СВ
X, распределенной по гауссовскому закону
определяются формулами: при нечетном к 0^ = О,
при четном к
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ
569
Если случайная функция Х(7) изучается как система двух случайных величин,
т.е. А(д ) = X и X(t2 ) = Y, при этом 6 Д2 е [0,Т], то вводятся в рассмотрение ИЗР и
ДЗР системы двух случайных величин.
9.	Совместный ДЗР /ху(х,у) нормального распределения двухмерной СВ (Х,У)
имеет вид
где тх, mY,Gx,<5Y, RXY — параметры распределения.
Найдем плотности распределения вероятностей fx (х) и /у (у) СВ X и У.
Имеем
ZxW= J /ху^Х^У-
Обозначая (х-т^)/л/2с5^ =w, (y-mY )/у/2<зу = и, получим
1	х
fx(x) =---------.	2 е 1~Rxy j е 1~Rxy v~RxYdv.
у[2т\£5 x у	Rxy	—00
Отсюда найдем
A(*) = J-
(x—mjX
fx \x) - ПГ- e "	•
"V 7CC5
Таким образом, величина X подчинена нормальному закону с параметрами т
и ох.
Аналогичным образом получим
(у-ту)2
Л(у) = -7=°Ге 2П" •
10.	Совместный ДЗР fXy(x,y) двухмерной СВ (Х,У) имеет вид
/ху(хх) = \АХуе
0
при х > 0, у > 0;
при х < 0, у < 0.
Найдем формулы, определяющие математические ожидания тх, mY величин X
и У, и их дисперсии.
Предварительно найдем ДЗР величин X и У:
fx (х) = ffxY (x,y)dy = 4хе х jye у dy = 2хе х , х > 0;
о	о
fY (у) = J fxY (x,y)dx = 2уе у", у > 0.
о
570
Задания для самостоятельной работы
Зависимость, определяющая тх, имеет вид
Так как
Г| 77 + 1 |
хпе~а х dx = —, при а > 0, п > -1,
2оси+1
Для Dxx и Dyy справедливы соотношения
2 j х2 е х dx- т2х = 2---
- ихх -1	.
Легко показать справедливость следующих фактов:
1)	для независимых СВ X и Y справедливо равенство F^y(x,y) = Fx(x)Fr(y);
2)	если для системы независимых СВ (Х1,Х2,...,Хп^ заданы ДЗР /^(х),
( хfx ( х ), то совместный ИЗР Fn (х1, х2,..., хп ) определяется формулой
F„(x1,x2,...,x„) = H J fx\yi)dyd
z=l —00
3)	если независимые СВ X и Y распределены по нормальному закону с пара-
метрами тх = 1, mY = -3, <зх = 9, Оу = 16, то выражение для двухмерного ДЗР
/ху(х,т) системы СВ (X,Y^ имеет вид
/хг(ху) = ^ехр
18
(т+з)2
4)
если ДЗР двухмерной СВ (X, У) имеет вид
x2-2Rxy+y2
f (	\	1	21“*
/ХУ(Х,У) =----1=^е	>
271V1-F2
то плотность распределения вероятности СВ X определяется выражением
/х(х) = -/=е’?/2'
л/2л
11.	Можно показать, что для случайных величин X и Y ДЗР может быть записан
в виде
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ
571
ехр
^ХХ	^XY	Х ~ тХ
Ryx	Ryy	У ~ mY
х - тх у -mY О
Очевидно, что ДЗР fx (х) и fY (у) СВ X и У, полученные из двухмерного ДЗР
являются нормальными.
ЗАДАНИЕ 7.2
Цель задания — изучение методов статистического описания случайных процессов.
Далее приводятся теоретические положения и кратко показывается их справедли-
вость. Рассмотренные положения можно рассматривать как основу для решения доста-
точно сложных задач, содержание которых приводится в заданиях 7.3, 7.4, ... (матери-
ал задания 7.2 заимствован из задачника В.И. Тихонова, Б.И. Шахтарина, В.В. Сизых
(см. введение к заданиям для самостоятельной работы)).
1.	Найти одномерный fx(x,t} и двухмерный fx (xt,х2,t2) дифференциальные
законы распределения процесса
Х(/) = a cos со/+ Р sin со/,
где со — постоянная угловая частота; аир — независимые гауссовские СВ с нуле-
выми математическими ожиданиями та =	= 0 и дисперсиями Оаа = Тфр = о2 * *.
Случайная величина X = X(t} при любом фиксированном значении / представ-
ляет собой линейную комбинацию гауссовских СВ и в силу этого также является га-
уссовской. Таким образом, для определения fx(x,t} и fx (xt,х2,/1?/2) процесса
Х(/) необходимо определить его математическое ожидание тх (/) и корреляцион-
ную функцию R^ (/t, /2 ).
Имеем
тх (/) = М [Х (/)} = М {a cos со/ + Р sin со/} = М }а} cos со/ + М {Р} sin со/.
По условию
Л/{а} = та=0; Af{p} = mp=0; m^(/) = 0.
Для корреляционной функции получим зависимость
Rxx	= М {[ос cos со/х + Р sin со А ] [а cos со/2 + Р sin со/2 ]}.
Учитывая, что по условию М {ар} = Л7{Ра} = 0, окончательно находим
Rxx (Д Дг ) = cos cos + ax s *insi11 =
= o^cosco(/2-/1) = 7?xv(t), т = /2-/р
Таким образом, искомые ДЗР имеют вид:
2 ~	,2
X -2x^2 COSCOT+X2
,	.	1	2стД1-со82<вт)
/х(х1,х2,т) =------- ,	е	’
2710^^1-008 СОТ
572
Задания для самостоятельной работы
а)	Можно показать, что двухмерный ДЗР fx	стационарного СП
4J;cos(c°(/ + (p),
где Ат и со0 — постоянные амплитуда и угловая частота; ср — случайная начальная
фаза, равномерно распределенная на интервале (-я,я), имеет вид
fx(xi,x2,x) = fx(xi)fx(x2)YjskTk у- \Tk cos£co0T,
/с=0	\ fn ) fn J
где fx (х) = 1/щ^-х2, х<Ат,
f 1 при к = 0;
8/. = 1
[2 при к > 0.
Таким образом, полученное выражение для fx^x^xf) дает разложение двумер-
ного дифференциального закона распределения гармонического колебания со слу-
чайной начальной фазой в ряд по ортогональным полиномам Чебышева.
б)	Одномерный ДЗР процесса %(z) = a + 0Z, где ос и 0 —взаимно независимые
СВ с плотностями распределения вероятностей /а(а) и определяется зави-
симостью
A(M = j“| f /а (*-Р)/р (PAW-
ДЗР суммы (разности) Х(/) = £,(/)±т|(/) двух некоррелированных гауссовских
стационарных процессов £,(/) и т|(/), имеющих математические ожидания и дис-
персии, равные соответственно т2 и тц,	= <д| и 7)^ =	, определяется выра-
жением
Л(Й= I (‘ 2л 2Н+’’’) 
A2tiIo^ + j
в)	п -мерная центральная моментная функция /7-го порядка
Р^(/1,/2,...,/„) = мД(/1)Х(/2)...Х(/„)1
для центрированного гауссовского СП 2f(z) с нулевым математическим ожиданием
и корреляционной функцией RXxf\Az) определяется зависимостью вида
л/Д((1)хр,)...х((Д
0	при нечетных и;
и-1)!!
Е Rxx к^2(г)) Rxx к3(г),	) • • • Rx	, /Яи(г)) при четных п.
2=1	'-----------------------v-------------------------'
и/2 сомножителей
Здесь символами 7t/c(z), £ = 2,3,...щ обозначены значения индексов 7i/c(z) = 2,3,...,tz,
полученные в результате z-й перестановки неповторяющихся исходных индексов
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ 573
j = 2,3,...,п и их попарной группировки (начиная с zq (z) = 1) и последующего упо-
рядочивания каждой пары по возрастающим значениям входящих в нее индексов.
Для примера в табл. Т.7.2 приведены значения символов (z) для п = 4 (выде-
лены полужирным шрифтом) и п = 6 соответственно.
Таблица Т.7.2
Значения символов тсД/)
п = 4	п = 6	МО	МО	МО	л4 (z)	П5 (г)	^6 (0
1	1	1	2	3	4	5	6
—	2	1	2	3	5	4	6
—	3	1	2	3	6	4	5
2	4	1	3	2	4	5	6
—	5	1	3	2	5	4	6
—	6	1	3	2	6	4	5
3	7	1	4	2	3	5	6
—	8	1	4	2	5	3	6
—	9	1	4	2	6	3	5
—	10	1	5	2	3	4	6
—	11	1	5	2	4	3	6
—	12	1	5	2	6	3	4
—	13	1	6	2	3	4	5
—	14	1	6	2	4	3	5
—	15	1	6	2	5	3	4
Если п = 4, то
Мз.'4 ) = Щ	) А'2	)|
для гауссовского СП Х(?) с нулевым математическим ожиданием и корреляционной
функцией Rxx (?!, С) имеет вид
Rxx (h’h) Rxx (?з Д4) +
+Rxx	Rxx (С Д4) + Rxx	Rxx (С Дз) •
Для центрального момента вида
м х2(/1)х(/2)х(с)>
для стационарного гауссовского СП Х(?) с нулевым математическим ожиданием и
корреляционной функцией Rxx (/15/2) справедлива формула
DxxRxx	’h^RxX Ц1Л) = М A-2(i-1)E(i>2)3'(c3) .
Кроме того, имеет место соотношение для стационарного гауссовского СП Х(/) с
математическим ожиданием Л/) A (z)| = тх (?) и корреляционной функцией Rxx , ?2 ):
{ Д" (?1) Д" (С) Д" (С)} = Rxx (?i Д2)тх (С) + Rxx (/1 Дз)тх (С) +
+Rxx (С Дз W (^1) “ 2т х (?1)	(?2) zzz^ (?3).
574 Задания для самостоятельной работы
Для четырехмерной начальной моментной функции М [Х (д) X (72) % (^з)% (^4 )}
гауссовского СП X(t} с математическим ожиданием М = тх (7) и корреля-
ционной функцией Rxx (^Д2) можно записать
Л/Ц((1)Х(г,)Х((3)Х((4)} =
Rxx (h’h)Rxx (W4) + Rxx (h’h)Rxx (С Д4) +
+Rxx (tbQRxx^h)-2mx Мтх^тх^тх^).
2.	Покажем справедливость следующих фактов.
а)	Случайные величины А и Ф независимы. Математическое ожидание и дис-
персия первой из них равны соответственно тА = 0 и DAA = о2,, вторая подчиняется
закону равномерного распределения на интервале (-я,я). При указанных условиях
СП = Лсоз(со0/ + Ф) стационарен (со0 —неслучайная величина).
В самом деле, процесс X(7) стационарен в широком смысле, так как его матема-
тическое ожидание постоянно ( тх = 0), а корреляционная функция зависит только
от разности т = /2 - :
Rxx^hAi} = ^ах cosco0(/2 -^i) = Rxx (т)-
б)	Корреляционная функция Rxx (д,/2) СП
к	___
А‘)=Л щ sin coy + b{ cos coy), z = 1, к,
г=1
где сог — заданные числа, <у-, &г- — некоррелированные СВ с нулевыми математиче-
скими ожиданиями и одинаковой дисперсией Da а = М {a2 | = М |&21, имеет вид
к
Rxx(*2 -h) =	cos(h -Ч) = Кхх W,
Z=1
и, следовательно, процесс является стационарным.
в)	Найдем корреляционную функцию и дисперсию процесса X(t} = dY(t}ldt, если
Ауу (т) = Ле-а1тН coscot +—sinсо|т| |.
\ со J
Формула, определяющая Rxx (т) , имеет вид
Rxx (т)= л(а2 +со2)е a|T^cosсот--sillсо|т|^|;
Dxx = Rxx(ty = d(ci2 +со2)-
Если случайный процесс Y (7) имеет корреляционную функцию
Ryy (т) = Оууе-а1т^1 + а|т| + ^-а2т2^,
,	, .	, . d2Y(t)
то корреляционная функция для сигнала %(у)=К(у)ч—2 имеет вид
4	'I
—(а2т2 - 5a|т| + 3^ >.
1 22, 2a2/22
-а т +--- а т
3	3 V
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ 575
Если же корреляционная функция стационарного СП У (7) известна и при этом
дифференцируема, то корреляционная функция сигнала
, .	, . dY(t) d2Y(t)
X (t ) = Y (t +—У +---
V 7	V 7 dt dt1
определяется соотношением
d1	d4
Rxx (T)= Ryy (t) + ~^Ryy (t) + ~7^Ryy (t)-
C/4	C/4
3. Покажем, что функция
Я(т) = chco0T + —shco0 Ы L oc > 0, co0 > 0
I ®0	)
при oc > co0 обладает свойствами корреляционной функции.
Для ответа на поставленный вопрос необходимо проверить выполнение следую-
щих условий:
1)	тгЩо)>О;
2)	Rxx (т)= Rxx (-т)’
3)	\Rxx (т)| - Rxx (о);
4)	^тх(со)=	7ЮТ^Т>0.
Положительный ответ относительно выполнения условий 1 и 2 следует непосред-
ственно из анализа выражения для /^(т). Для проверки выполнения условия 3
представим функцию Rxx (т) в виде
Так как Rxx (0) = Dxx = <з2х, для выполнения условия 3 необходимо, чтобы выра-
жение в квадратных скобках по модулю не было больше 2. Можно показать, что при
ос < со0 это условие не выполняется, так как при т со и ос < со0 значение е (а ю°)т
неограниченно возрастает. В случае ос = со0 функция Rxx (т) = 1 и только при ос > со0
условие 3 выполняется. К такому же выводу приводит анализ выражения Rxx (т)
при т < 0.
В соответствии с теоремой Винера-Хинчина имеем
”	4сс(сс2-сОо)
б'АУ(со)= Г АЛУ(т)е /тс/т = ?--------------------— ---=,.
хх у j ) хх у j	г	2	2 11/'	\2	2 1
_оо	Нос-со) + со Нос + со) +со
Отсюда следует, что условие 4 также выполняется при ос>со0. Следовательно,
анализируемая функция R(x) обладает всеми свойствами корреляционных функций
при а > со0.
4. Найти корреляционную функцию Rxx (т) > О и спектральную плотность (со)
для стационарного случайного сигнала
X(z) = 4;j;sin(co0Z + cp),
576
Задания для самостоятельной работы
где Ат и со0 — постоянные амплитуда и угловая частота, ср — случайная начальная
фаза, равномерно распределенная на интервале (-л, л).
По определению корреляционной функции имеем
Поскольку
л
тх =М(х(/)} = j Лот8пг(со0/ + х)fp(x)dx = О,
-л
ТО
л
(т) = А7 (Х(/)Х(/ + т)} = j siii(cOo/ + x)/p(x)siii(cOo/ + co0T + cp)cZx =
-л
1 Г
= — Г А^ siii(cOo/ + x)siii(cOo/ + co0T + x)cZx.
-л
Учитывая, что
sinasinp = [cos(a,-p)-cos(oc + P)]/2,
находим
А1
rxx^) = ^os(g)0t).
Спектральная плотность вычисляется по формуле Винера-Хинчина
(ю) = A- j [ел“‘] Л.
Окончательно получаем
$ХХ W = fa™ /2)[5(со0 + со) + 5(со0 - со)] .
Следовательно,
F[cos(co0T)]-r л[б(со0 + со) + 5(со0 - со)] .
5. Выясним разницу между спектральными плотностями стационарных СП Х{ (/)
и Х2 (/) с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями
Rx^ М = °2е“а|т|, RX1x2 (т) = О2е“а|т| cosco0t.
Заметим, что RX-x\ (т) представляет собой произведение временных функций,
тогда можно записать
1 1
2	/	\2	2	/	\2
a + (со —со0) а + (со + со0)
Рассмотрим поведение функции Sx х2 (®)-
1.	Sx^ (со) -х 0 при |со| со.
2.	При 3cOq < а2 у функции Sx х2 (ю) нет максимума, она монотонно убывает с рос-
том |со|.
3.	Если 3cOq >a2, функция Sx х2 (ю) имеет максимум в точке
|Ю/77 I - (о2 + Ю0
О2 + COq .
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ 577
4.	При 3cOq □ а? спектральная плотность Sx^ (со) также имеет максимум в точке
Ыя®о-
6.	Спектральная плотность Sxx (со) стационарного СП X(/) имеет вид (рис. Т.7.4)
Рис. Т.7.4. Спектральная плотность стационарного СП
Найдем соотношение между эффективной шириной спектра Дсоэ процесса Х(/)
и шириной спектральной плотности Дсо на уровне 0,55^(0).
Эффективная ширина спектра Дсоэ процесса Х(/) определяется соотношением
1	00
Лс°э = Q ( ^(со)с7со.
После подстановки Sxx (со) находим
.	а 7 4а	со °° л
Дсоэ= — — -----—с/со = aarctg— =а—.
4 J а’ + со’	а 0	2
Ширина спектральной плотности Дсо на уровне 0,55^(0) находится из формулы
5» (А®) =	= 0,5S„ (0) =
ач-(Дсо)	а
откуда Дсо = а. Следовательно,
Дсоэ _ Xf3 _ л
Дсо ” Д/' ” 2 ’
7.	Найдем спектральную плотность СП Х(/), если его корреляционная функция
имеет вид
Rxx(^ = ^2e а|т|
1 + а|т|
3
Обозначим

578
Задания для самостоятельной работы
Очевидно,
5%%(со) = 7-а—+
да
a2 d2J
3 да2
Используя известное соотношение
2су2ос
2	2 ’
а + со
7(<х,со) =
после дифференцирования по а и простых преобразований получим
Ахх(т) ~
16су2а5
з(а2 + со2)
8.	Случайные процессы X(t} и заданы своими математическими ожида-
ниями mx(t} и mY(t}, корреляционными Rxx^h^i) и	и взаимными кор-
реляционными функциями
(А 72) = 37	)-тх (tx)][Y(t2)~mY (А)]}’
Ryx (А 7г)= 37 {[У (А) - ту (?!)] [X(t2) - mx (t2 )]}.
Определим математическое ожидание mz и корреляционную функцию Rzz (?1?а)
суммарного (разностного) СП Z(/) =
Очевидны зависимости
mz =mx(t)±mY(t);
Rzz (А 7г ) = Rxx (А 7г) + Ryy (А 7г) ± Rxy (А 7г) ± Ryx (А 7г) •
9.	Легко показать, что для корреляционных и взаимных корреляционных функций
СП X(t} и справедливы соотношения:
(А 7г )| °х (А) °х ( А) ’
\Rxx (h 7г )| —	(h) + °х (А	;
|^Ауу (А7г)| - °х (А)су (А)-
Здесь су^ (?) = ^Dxx (/), суу (?) = ^Dyy (?) — среднеквадратические отклонения
процессов X{t^ и соответственно.
10.	Найдем корреляционную функцию сигнала
^(0=л^(Осо8(соо?+ф),
где — стационарный СП с нулевым математическим ожиданием и корреляцион-
ной функцией	Ат и со0 —постоянные величины, а ср —случайная начальная
фаза, равномерно распределенная на интервале (-л, л) и не зависящая от
Формула, определяющая	имеет вид
Rxx W = (7i/2)AK (t)coscd0t.
11.	Корреляционная функция	и спектральная плотность (со) случай-
ного сигнала X(?)
Х (0 = llAmi	+ cpz), - ОО < t < 00,
i=l
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ
579
где Ami и сог — постоянные амплитуда и угловая частота, сррфг,---’Фи — взаимно
независимые случайные начальные фазы, равномерно распределенные на интервале
(-л, л), имеют вид
и |
;-1
Sxx (®) = Ami [5(® +	+ 5(® - ® г)]’
7=1
Спектральная же плотность Sxx^X) стационарного СП Х(/), корреляционная
функция которого Rxx (т) = су^е-ат , определяется зависимостью
с (	Л Л-®2/401
^хх (®) - е
N а
Спектральная плотность стационарного СП A (/J с корреляционной функцией
О
при |т| > Т
имеет вид
Найдем интервалы корреляции т/с для стационарных СП Х(/) с корреляционны-
ми функциями:
1)	АЛУ(т) = су^е а1т1;
z ALA у / Л.	~
2)	=	а Т ’
3)	=
Интервалы корреляции определяются соответствующими выражениями:
1)	Е-с=1/°С
2)	т/с=л/л/2а;
3)	т/с=1/2а.
12.	Заданы СП X (?) с корреляционными функциями вида:
1)	АЛУ(т) = су^е а1т1;
2)	Rxx (т) = ®хе”а'Т'cos®оЕ
3)	TCq, (т) = (У^е-а1т1 cosco0t +—sinco0 |т|
I ®о
Легко показать, что процессы X{t^ с корреляционными функциями вида 1) и 2)
непрерывны, но не дифференцируемы; а процесс X (?) с корреляционной функцией 3)
непрерывен и дифференцируем.
13.	Если случайный процесс Х(/) получается посредством дифференцирования
стационарного случайного колебания Y(?)
580
Задания для самостоятельной работы
Х(/) =
dY(t)
то корреляционная функция Rxx (т) процесса X(?) в частных случаях, когда функ-
ция Ryy (т) колебания Y (?) задана выражениями:
1)	Ауу(т) = с>уе а1т1;
2)	Ауу(т) = (Ууе а1т1(1 + ос|т|);
3)	Ryy (т) = <Туе-а1т1 cosco0t +—sinco0 |т| ,
I ®о )
определяется формулами:
1) Яи(г) = сганГ“1’1 1 -|s(r)e“lTl ;
2) /?,, (т) = а2^ге"“Iх! (1 -а|т|);
14. Спектральная плотность Sxx (со) стационарного СП X(t} с корреляционной
функцией
Rxx (Д = а<52хе “|т|
а
определяется зависимостью

2асу^со2
2	2~’
а +со
Спектральная плотность Sxx СП
= aY(d) + b—
где Y(?) — стационарный СП с нулевым математическим ожиданием и корреляци-
онной функцией
Ауу(т) = (Ууе а1т1 (1 + а|т|),
имеет вид
л 2 2
а + со
ЗАДАНИЕ 7.3 [98]
На входе элементарных звеньев (усилительное, интегрирующее, дифференци-
рующее, запаздывающее, апериодическое, колебательное без затухания) действует
случайный процесс типа белого шума с нулевым математическим ожиданием и ин-
тенсивностью 50.
Найдите явные зависимости, определяющие корреляционную функцию и диспер-
сию, а в установившемся режиме — спектральную плотность на выходе указанных
звеньев. Получите решение задач с использованием ИПФ звеньев.
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ
581
ЗАДАНИЕ 7.4 [98]
На вход колебательного звена, описанного уравнением X + 2£,со0X + сОцХ = сОцУ,
где со0, с, — параметры звена, поступает случайный сигнал вида
У (7) = m (7)+ 7/(7) ++ 1^8(7-ф),
причем т(7) — полезный сигнал с математическим ожиданием тт (?) и корреляци-
онной функцией

coscoott------зтсоот|т| ;
n(t} — высокочастотная помеха с нулевым математическим ожиданием и корреля-
ционной функцией
Начальная координата Уо и скорость Уо — случайные величины, причем
mYo, mYo, Dyoyo •> ^yoyo — МО и дисперсии указанных величин.
Слагаемые в формуле, определяющей У (7), — не коррелированные между собой
функции.
Вычислите математические ожидания и корреляционные моменты X(t') и X(t}
и определите статистические моменты ошибки работы звена [98].
ЗАДАНИЕ 7.5
Разработайте алгоритмическое и программное обеспечение для статистического
анализа скалярных стационарных и нестационарных систем /7-го порядка методом
проекционно-матричных операторов при предположении, что вход — в общем слу-
чае нестационарный сигнал. ОНБ — функции Уолша, тригонометрические функции,
полиномы Лежандра, Чебышева 1-го рода, Чебышева 2-го рода, функции Лягерра.
Получите решение тех же задач методом сеточно-матричных операторов.
ЗАДАНИЕ 7.6
Рассмотрим следящую систему, функциональная схема которой представлена на
рис. Т.7.5 [98].
Рис. Т.7.5. Функциональная схема следящей системы
582 Задания для самостоятельной работы
Структурная схема может быть представлена так (рис. Т.7.6).
Рис. Т.7.6. Структурная схема следящей системы
Приведем этапы задания для самостоятельной работы.
7.6-1. Найдите ПФ замкнутой системы и рассчитайте ИПФ, переходную характе-
ристику, частотные характеристики (АЧХ, ФЧХ, АФХ, ДЧХ, МЧХ и др.).
7.6-2. Рассчитайте спектральную плотность и дисперсию выходного сигнала сис-
темы в установившемся режиме, если входной сигнал имеет автокорреляционную
функцию
Л1т(т) = £>п,е’“1,1,
воспользовавшись формулой, связывающей спектральные плотности входа и выхода
(решение задачи в частотной области).
7.6-3. Проведите исследование точности работы системы при следующих условиях:
1) на вход поступает сигнал y(/) = g(/)+ «(/), где g(t) = go + g{t + g2t2 —регу-
лярный полезный сигнал, n(t} —помеха, причем Rnn = 2тг5'05(/);
2) точность работы оценивается критерием
о2 = а2 +Хс2(/),
°°	(г)
где с(7) =	(?) — установившаяся ошибка отработки детерминированного
г=0
сигнала g(/); в последней формуле сг —коэффициенты ошибок, nty (t} —r-я про-
изводная математического ожидания входного сигнала, <52 — дисперсия ошибки,
порожденной наличием помехи n(t') (поскольку полезный сигнал является детерми-
нированной функцией, то дисперсия ошибки равна дисперсии выходного сигнала
Х(ф), X —весовой коэффициент.
7.6-4. Проведите исследование точности работы системы, структурная схема кото-
рой представлена на рис. Т.7.6, в установившемся режиме, если У(/) = т(/) + «(/),
гдет(/) —полезный входной сигнал, тг (7) —помеха, т(7) и n(t} —не коррели-
рованы, их корреляционные функции определяются зависимостями
Rmm (т) = Dmme~a"^ cos рт; Rnn (т) = 7)иие“аи1т1.
Постройте графики зависимости критерия точности от коэффициента усиления в
прямой цепи при следующих значениях параметров: К6 =1,0 с; Т3 =0,2 с; Т4 = 0,04 с;
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ 583
Т5 =0,55 с; 50 = 5-10”6 рад-с и различных скоростях полезного сигнала g1 = var
(табл. Т.7.3). Покажите, что существует оптимальное значение коэффициента усиления
К , обеспечивающее минимум критерия, характеризующего точность работы системы.
Таблица Т.7.3
Варианты заданий [98]
№ п/п	Кг	К2	К3	К6	Т2	Т	А	Т
1	2,0	0,12 АВ1	350 ВА-1С-1	1,0	0,01 с	0,2 с	0,04 с	0,55 с
2	2,2	0,12 АВ	340 BA’V1	1,0	0,01 с	0,2 с	0,04 с	0,55 с
-И-	-И-	-И-	-И-	-И-	-И-	-И-	-И-	-И-
Постройте график зависимости эффективной полосы пропускания системы от ко-
эффициента усиления прямой цепи. Проведите корреляционный анализ системы в пе-
реходном режиме методом матричных операторов (проекционным и сеточным).
ЗАДАНИЕ 7.7
Проведите статистическое исследование системы стабилизации угла крена, струк-
турная схема которой имеет вид (рис. Т.7.7) [98].
Рис. Т.7.7. Структурная схема системы поперечной стабилизации
Проведите статистический анализ при следующих данных:
К = Кг-К8=5; т = К2 -К8 = 0,4 с; дхх=4с-1; дхэ=40с-2; Т = 0,05с;
коэффициенты дхх и ахэ зависят от момента инерции летательного аппарата относи-
тельно продольной оси, скорости, высоты полета и аэродинамических коэффициентов.
На ЛА действует возмущение «(/), имеющее нулевое математическое ожидание
и постоянную спектральную плотность 50. В установившемся режиме математиче-
ское ожидание угла крена равно нулю, а дисперсия вычисляется по формуле
D.,., =S0 j°|[F(7Co)|2 Jco,
где
ТТЛ/ A	1 + 75
s) = —5-----------z------------------------------.
75 + (1 + axxT)s + (axx + ахэКъК2 )s + ахэКъКх
Покажите, что в области устойчивости системы выполнено неравенство [98]
Л дхх(1 + дххТ) (1 + д Т)
0 < К <	+ т----(Т.7.4)
«ХЭТ	Т
где К =	— коэффициент усиления; т = К2КЪ — коэффициент демпфирования.
584
Задания для самостоятельной работы
Из условия выполнения неравенства (Т.7.4) выбираются численные значения К и т.
Проведите статистический анализ системы (рис. Т.7.7) при следующих данных:
дхх=4с-1; дхэ=40с-2; Т = 0,05с; К = КГК8=3; т: = К2К8 =0,17 с.
ЗАДАНИЕ 7.8
Рассмотрим следящую систему (подробное описание системы приведено в зада-
нии 1.4). Принципиальная и функциональная схема приведены также в главе 1. Пере-
даточные функции элементов, входящих в функциональную схему, определяются
зависимостями [43]:
• ПФ чувствительного элемента и последовательного корректирующего устройства
^(у)= 1 2V 1----
V 7 T[s + 1
•	ПФ выходного каскада электронного усилителя, ЭМУ и исполнительного дви-
гателя
•	ПФ элемента, отражающего наличие в системе ОС по току,
^3 М = ф^2-
С учетом сказанного на основе функциональной схемы легко представить струк-
турную схему следящей системы (рис. Т.7.8).
Рис. Т.7.8. Структурная схема следящей системы
Передаточная функция следящей системы, структурная схема которой представ-
лена на рис. Т.7.8, определяется зависимостью
=—-------------------------->
a5s +a4s + a3s + a2s +а{8 + а0
где
а3 =	+	+ ВД + ^у^1 +	5
«2 = Тм + Ту + Т\ + КуК3К5; ах=1 + Кхх', а0 = К;
= “^Ч/^а^у^Ь Zz0=-%(^y+Vl+ra?i);
К,К2К3Ку
К —---------.
zp
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ 585
Выполните все пункты задания 7.6 применительно к рассматриваемой системе
при следующих данных:
А? = 200 с-1; ^у^3^5=40; Ту=0,02с; Та=0,83с; Тм=1,2с;	= 0,1 с; = 1 с;
тогда
а5 =0,002; а4 = 0,1224; а3 =5,146; а2= 41,32;
а1=201; до=2ОО; ^=200; £>0 = 200.
Проведите корреляционный анализ системы в переходном и установившемся ре-
жимах методами проекционно-матричных и сеточно-матричных операторов, если
Ауу(б’С) = BYYe I2 cosP(/2 — 6)•
Исследуйте точность работы системы, если Y(?) =	+ «(/), причем
R„„ ('1  <1) =	(',  h) =	coSp„ (/,-/,);
численные значения a, am, ап задаются преподавателем.
ЗАДАНИЕ 7.9
Выполните все пункты задания 7.8 применительно к следящей системе, матема-
тическая модель которой построена в задании 1.4.
ЗАДАНИЕ 7.10
Пользуясь алгоритмическим и программным обеспечением, построенным на ос-
нове метода матричных операторов (проекционных и сеточных), а также метода мо-
ментов, рассчитайте автокорреляционные функции и дисперсии выходного сигнала
X(?) систем, математические модели которых рассмотрены в заданиях 7.6, 7.7, 7.8,
1.3, 2.10.1-2.10.3, 3.3 и др. (рассмотреть установившиеся и неустановившиеся режи-
мы). На вход поступают центрированные случайные функции с автокорреляционны-
ми функциями вида
Ауу= DYYe '2
Ауу (/i,/2) = Dyye al?2 cosP(/2-^i);
ryy (бЛ) = Ат6”^2”'11 ^cosР(/2 — 6) + ~sinр|/2 - 6;
/?)Т (z, ,Z2) = DyyC I2 ;
Яуу (б,/2) = Оууе~а^~^ cosP(/2
Ryy = DyYe '2 (1 + сс|/2 — б|);
Ryy (бА) = BYYe ,
численные значения ос, Р, промежуток [0,Т] задаются преподавателем.
ЗАДАНИЕ 7.11
Проведите анализ возможности выполнения всех пунктов заданий 7.6, 7.7, 7.8 и др.,
пользуясь методами, использующими временную и частотную области (см. главу 1).
Проведите анализ методов с точки зрения их эффективности для исследования
586 Задания для самостоятельной работы
сложных САУ, сформулируйте их достоинства и недостатки. Укажите область их
применимости.
ЗАДАНИЕ 7.12. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНОЙ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ
САМОНАВЕДЕНИЯ ЗЕНИТНОЙ РАКЕТЫ
Примерами весьма сложных и вместе с тем весьма эффективных с точки зрения
обороны объектов являются системы наведения, используемые в противосамолетной
обороне (см. главу 6, т.З).
При создании систем противосамолетной обороны (ПСО) наиболее актуальными
были (а некоторые остаются до настоящего времени) проблемы, решение которых
обеспечивало бы:
•	большую высоту поражения цели. Важность этого параметра можно проиллю-
стрировать на примере американского самолета «Локхид» Y-2 (эти самолеты
базировались в Турции, г. Адан); самолеты Y-2 нарушали воздушное про-
странство СССР в Европейской части, в Средней Азии, в Закавказье, на Даль-
нем Востоке. Поскольку высота полета самолетов Y-2 достигала 20-22 км, они
были недосягаемы для истребителей Советской Армии, так как МИГ-19
мог поразить цель на высоте не более 17,5 тыс. метров, а СУ-19 — не более
19-19,5 тыс. метров. Для уничтожения самолета Y-2 1 мая 1960 года была
применена система С-75, разработанная в СССР в конце 50-х годов и предна-
значенная в те годы для защиты до 20 зон вокруг крупных городов и воен-
ных объектов. Разработка ЗРК С-75 проходила в несколько этапов. На первом
этапе для прикрытия стационарных, административно-политических и промыш-
ленных объектов, в/ч и соединений разрабатывался подвижный ЗРК на авто-
мобильной базе — СА-75 «Двина». Позднее были разработаны С-75М, С-75М2,
С-75МУ и др. ЗРК С-75 был принят на вооружение войск ПВО страны (главный
конструктор системы — академик А.А. Расплетин, главный конструктор по
ракете — академик П.Д. Грушин). Боевой заряд ракеты системы С-75 взорвался
примерно в двух десятках метров от хвоста самолета Y-2, последний был раз-
рушен, пилот остался жив. Важным является и такой фактор, как снижение вы-
соты поражения до сверхнизких высот. Для систем ПВО СА эти параметры име-
ют следующие значения. С-25 — 0,4-25 км; высота поражения целей ЗРК С-75
различных модификаций достигала 30 км; ЗРК малой дальности С-125 —
2,5-25 км; зенитная ракетная система дальнего действия С-200 — 0,3-40 км;
зенитная ракетная система средней дальности С-300 ПМУ1 — 0,01-27 км и др.;
•	большую дальность поражения целей (например, ЗРК С-25 — дальность до 25 км;
комплексы же С-300 имеют зону поражения до 100-150 км;
•	многоканальность (например, С-25 мог стрелять 20 ракетами по 20 целям);
•	высокую помехозащищенность и др.
Изучите функциональные и структурные схемы ЗРК, их особенности, проблемы
проектирования в той части, которая касается теории автоматического управления
(в основном проблемы наведения, уменьшения промаха, помехозащищенность и др.).
На практике используется так называемое комбинирование телеуправления на
первой части траектории с самонаведением на остальной (конечной) ее части.
В качестве примера рассмотрим линейную нестационарную систему самонаведе-
ния зенитной ракеты при наличии шума измерения угловой скорости вращения ли-
нии визирования (см. структурную схему на рис. Т.7.9), использующую метод про-
порционального сближения с целью.
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ
587
Рис. Т.7.9. Структурная схема нелинейной системы самонаведения:
1,2 — кинематические звенья; 3 — система стабилизации;
4 — блок выработки команд, реализующий алгоритм наведения;
5 — координатор цели, измеряющий скорость вращения линии визирования
На рис. Т.7.9 Л(/) — выходной сигнал системы: линейное смещение ракеты от-
носительно опорной невращающейся линии визирования; g(t^ — задающее воздей-
ствие, учитывающее маневр цели и начальную ошибку прицеливания; Тсс — посто-
янная времени системы стабилизации; Тс — постоянная времени координатора цели;
п —константа навигации.
Параметры системы самонаведения:
Г(/) = 200 + 200/ м/с; r(t) = 4500 -600/ -100? м/с;
г(/) =-600-200/; Тсс =0,1; Тс=0,3;
значение константы навигации п зависит от варианта задания.
Автокорреляционная функция случайного процесса на входе системы имеет вид
rgg (ti А2 ) = 100[4x^2 + (1 + Тц )(1 + т2)] м2/с2.
Математическое ожидание входного случайного процесса mG (t} = 0.
Помеха n(t} есть результат прохождения белого шума с уровнем спектральной
плотности 50 через формирующий фильтр в виде апериодического звена
^n+„w=11W.
Предполагается, что формирующий фильтр имеет установившийся режим. Значе-
ние уровня спектральной плотности 50 зависит от варианта задания.
7.12-1. Изучите теоретические положения и постройте алгоритмическое и про-
граммное обеспечение для проведения статистического анализа линейной нестацио-
нарной системы самонаведения методом матричных операторов с использованием
проекционно-матричных операторов интегрирования, умножения на функции и ап-
парата структурных преобразований (см. главу 2, т.1).
Постройте программное обеспечение и выполните решение для следующих орто-
гональных базисов:
•	полиномы Лежандра;
•	система блочно-импульсных функций;
•	функции Уолша;
•	тригонометрические функции;
•	система сплайнов 1-го порядка (кусочно-линейные функции);
•	система сплайнов 2-го порядка (кусочно-параболические функции).
588
Задания для самостоятельной работы
С помощью построенного алгоритмического и программного обеспечения рас-
считайте и постройте графики автокорреляционной функции, дисперсии и средне-
квадратического значения выходного сигнала (промаха зенитной ракеты) при нали-
чии помехи — шума измерений угловой скорости вращения линии визирования — и
при ее отсутствии.
7.12-	2. Изучите теоретические положения и постройте алгоритмическое и про-
граммное обеспечение для проведения статистического анализа линейной нестацио-
нарной системы самонаведения методом матричных операторов с использованием
сеточно-матричных операторов интегрирования, умножения на функции и аппара-
та структурных преобразований (см. главу 2, т.1).
Постройте программное обеспечение и выполните решение для следующих квад-
ратурных формул, используемых при расчете сеточно-матричных операторов:
•	квадратурная формула прямоугольников;
•	квадратурная формула трапеций;
•	квадратурная формула парабол (формула Симпсона).
Рассчитайте и постройте графики автокорреляционной функции, дисперсии и
среднеквадратического значения выходного сигнала (промаха зенитной ракеты) при
наличии помехи n(t} и при ее отсутствии. Сделайте вывод о влиянии помехи на точ-
ность наведения зенитной ракеты.
7.12-	3. По результатам выполнения заданий сделайте выводы о степени эффектив-
ности применения метода матричных операторов с использованием проекционно-мат-
ричных операторов для различных базисов и сеточно-матричных операторов для различ-
ных квадратурных формул и аппарата структурных преобразований, учитывая при этом:
•	точность и наличие теоретического обоснования;
•	сложность алгоритмического и программного обеспечения;
•	доступность современному инженеру-разработчику;
•	возможность использования современных пакетов программ;
•	затраты машинного времени.
Варианты заданий приводятся в табл. Т.7.4.
Таблица Т.7.4
Варианты заданий
№ п/п	п	50, рад2/с2	№ п/п	n	50, рад2/с2	№ n/n	n	50, рад2/с2
1	2	4,0- 10 s	11	3	6,0-10 s	21	4	7,0- 10 s
2	3	3,5- 10 s	12	4	6,5-10 s	22	5	6,5-10 s
3	4	3,0- 10 s	13	5	7,0- 10 s	23	6	6,0-10 s
4	5	2,5- 10s	14	6	7,5- 10 s	24	7	5,5-10 s
5	6	2,0-10’5	15	7	8,0- 10 s	25	8	5,0- 10 s
6	7	l,5-10"5	16	8	8,5-1 O’5	26	9	4,5-1 O’5
7	8	l,0-10"5	17	9	9,0-10"5	27	10	4,0- 10 s
8	9	4,5- 10 s	18	10	8,5- 10 s	28	2	3,5- 10 s
9	10	5,0-10 s	19	2	8,0- 10 s	29	3	3,0-10 s
10	2	5,5-10 s	20	3	7,5- 10 s	30	4	2,5-10 s
С необходимой глубиной рассмотрите следующие вопросы:
1.	Основным показателем качества СА У ракетами является величина вероятности
поражения цели. Помехи управления условно разбиваются на два класса:
•	неорганизованные (помехи от собственных РЛС, промышленные помехи, ес-
тественные помехи и др.);
•	организованные помехи (защитные противолокационные покрытия, ложные це-
ли, пассивные помехи, активные помехи (радиосигналы, создаваемые противни-
ком для «забивания» радиоканала САУ или создания ложных команд, и др.)).
Тема 7. Статистический анализ линейных САУ 589
2.	Изучите:
•	от каких основных факторов зависит вероятность поражения цели? Какие ап-
риорные сведения необходимы для вычисления вероятности поражения цели;
какие трудности возникают при вычислении полной вероятности поражения
цели с учетом действия организованных помех и каковы основные пути пре-
одоления этих трудностей; какого вида условные вероятности поражения цели
могут применяться для оценки качества системы управления? Что такое про-
мах ЛА и какими статистическими характеристиками он описывается? Каковы
основные типы помех радиоуправлению? Каковы основные пути повышения
помехозащищенности систем управления?
•	Какими основными показателями можно характеризовать качество системы
управления в целом (совместно с радиовзрывателями) и качество системы
управления полетом?
•	Перечислите основные допущения, принятые при выводе формулы, опреде-
ляющей средний квадрат промаха.
590
Задания для самостоятельной работы
ТЕМА 8. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
ЗАДАНИЕ 8.1. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКОГО ВИБРОСТЕНДА
Математическая модель электрогидравлического следящего вибратора подробно
рассмотрена в примере 2.4 (см. п. 2.3, а также [12, 13]).
8.1-1. Постройте алгоритм перехода от структурной схемы рис. 2.20 к структур-
ной схеме, представленной на рис. 2.21, и рассчитайте коэффициенты ПФ
(я), 1F3'(5). Если параметры в уравнениях системы имеют следующие значения:
£ = 0,4 Гн, Ra =80 Ом, Уя = 3-Ю”7 кг-м2, Яя =7-10”5 Н-м-с, Кст=0,ЗН-м, Кмж =10 И,
КМ(р =0,1 Н-м, КМ1 =1 Н-м-А”1, &QyPy =1-10“6 м4 -с-кг”1, KQ^ = 1-Ю”3 м3 -с-1,
В = 1-Ю9 Па, F3 =0,785-Ю”4 м2, т3 =1-10”2 кг, h3 =0,5 Н-с/м, С3 =2 Н/м,
Г = 1,2935-Ю”4 м3, F = l,99-10”3 м2, 47 = 5000 кг, h = lQ Н-с/м, Сн = 2-Ю6 Н/м,
4
Кус =0,5, Кос =5 В/м, KqX =4,Зм2-с-1, 6 = 2-Ю”3 м, KQp = 1-Ю”10 —
КГ
то коэффициенты ПФ структурной схемы (рис. 7.21) равны
Кю = 1/Ra = 0,0125 (Ом)’1; К^м =	+ Яст)-1 = 2,5 (Н-м)’1;
К =—-— = M06^-; КХр = ^ = 3,925-Ю”5 —; Яг = —= 1-Ю10
гу KQyPy м4-с ХРу С3	Н’ г KQp	м4-с
KY„= — = 9,95-Ю”10 —; Тэ = — = 5 -10-3	Т; =----------= 7,5-Ю”7 с2;
Р Си	Н 3 Ra	Ом КМ(?+КСТ
Т3 =	= 5• Ю”3 с2; гн2 = — = 2,5• Ю”3 с2; Тт = —— = 6,4675• Ю”4 с;
3 С3	Сн	2BKQp
т = F3 = 7,85 • Ю”5 м2; 2^ЯТЯ =------= 1,75-Ю”4 с; 2LT3 =i = 0,25 с;
1У	3	7	7	я	£2-	£2-	7	7	^3 з	У	У
''ЛДр “ст
2с,иГи = А = 5.ю-6 с; тг =F = l,99-10”3 м2.
Коэффициенты ПФ ^/(5),	JFj(s) имеют следующие значения:
а50 =1,875-Ю”11; д40 =9,06-Ю”9; д30 = 2,52-Ю”5;
д20 =6,29-Ю”3; д10=0,26; а00 =1,98; Ьоо = 6,136-Ю”4;
ц31 =1,617-Ю”6; а21 =2,5-Ю”3; ап = 2,04-Ю”2; aOi=1;
^01 = 42,785; Кос=5.
Пункты этого задания (8.1-2-8.1-8) выполните при следующих значениях пара-
метров (структурная схема представлена на рис. 2.20).
Тема 8. Статистический анализ нелинейных САУ
591
Таблица Т.8.1
Варианты заданий
№ п/п	кус		М, кг	mY, В	Ат, в2	а
1	0,75	5,56	5222	2	9	50
2	0,92	8,22	5778	1	10	40
3	0,33	6,44	5000	3	7	30
4	0,92	9,И	5333	2,5	15	60
5	0,75	8,22	5889	4	5	70
6	0,25	6,44	5111	2	28	55
7	0,50	2,00	5444	1	12	45
8	0,40	7,10	5555	2,2	6	35
9	0,55	8,50	4777	3,5	5,5	65
10	0,85	9,55	5666	1Д	8,2	72
11	0,32	6,75	4888	1,7	17,6	80
12	0,95	2,20	5157	2,6	6,5	90
13	0,77	8,44	5900	3,2	9,4	100
14	0,27	5,71	4650	1,5	25,1	77
15	0,88	4,50	5500	4,2	8,8	57
16	0,39	7,90	4700	2,4	19,7	82
17	0,97	9,72	5600	1,2	11,5	47
18	0,35	2,70	4800	3,7	20	62
19	0,82	7,40	5700	1,9	15	42
20	0,52	8,90	4900	2,7	19	75
21	0,71	9,41	5200	3,4	25	27
22	0,37	5,22	4500	4,4	16	59
23	0,89	2,71	4927	2,1	29	85
24	0,42	6,41	5575	1,2	15,65	66
25	0,57	4,49	4757	2,9	10,27	92
26	0,23	9,22	5720	2,3	8,12	71
27	0,99	4,19	4300	1,6	6,67	47
28	0,36	8,72	5950	2,9	14	52
29	0,78	2,17	4400	1,8	10,5	33
30	0,49	4,37	5850	3,65	8,51	49
31	0,86	9,45	4350	2,15	17	95
32	0,44	7,52	5675	1,37	9,65	39
33	0,27	3,72	4450	2,6	28,5	54
34	0,91	2,47	5820	3,41	16,5	67
35	0,32	9,91	5125	1,57	21,4	38
36	0,81	1,90	4589	4,7	36	63
37	0,41	2,58	5745	1,34	27	39
38	0,93	4,13	4942	3,33	17,7	41
39	0,57	1,95	5347	2,21	39	94
40	0,83	9,44	4738	4,9	30	31
41	0,38	8,41	5582	1,42	41	76
42	0,73	3,36	4874	5,1	27	52
43	0,61	9,12	5634	3,9	35	44
44	0,46	1,80	5000	2,42	17,5	97
45	0,76	9,51	4925	4,55	9,2	36
46	0,31	3,15	5825	1,85	33,5	99
47	0,87	4,21	5342	3,64	8,17	46
48	0,98	1,85	4437	2,52	5,41	78
49	0,31	8,64	5234	4,72	7,8	32
50	0,45	3,57	5371	5,2	14,5	79
Неизменяемые параметры (для всех вариантов одинаковые) имеют значения, рас-
считанные по приведенным выше формулам. Параметры, зависящие от варианта за-
дания, определяются формулами
--------(С = 2-106Н/м, h = 1,5-104кг/с);
592 Задания для самостоятельной работы
численные значения Кус, Кос, М, а также параметры корреляционной функции и
численное значение mY воздействия Ауу(т) = Оууе а'т1 приведены в табл. Т.8.1.
Численные значения b определяются так:
•	с 1-го по 12-й варианты принять: b = 1  10-3 м, Dyy = 75 В2;
•	с 13-го по 25-й вариант: b = 1-10”3 м, Dyy =85 В2;
•	с 26-го по 37-й вариант: /> = 1,5-10”3м, Dyy =95 В2;
•	с 38-го по 50-й вариант: /> = 1,5-10”3м, Dyy =105 В2.
8.1-	2. Постройте алгоритмическое и программное обеспечение для вероятностно-
го исследования СВИ в установившемся режиме методом статистической линеариза-
ции с использованием:
•	графического метода;
•	метода последовательных приближений.
Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала, СВИ
(рис. 2.21), если воздействие является нормальным случайным процессом с извест-
ной автокорреляционной функцией (см. задание 8.1-1).
8.1-	3. Изучите теоретические положения и постройте алгоритмическое и про-
граммное обеспечение для вероятностного исследования СВИ в неустановившемся и
установившемся режимах с помощью метода матричных операторов при применении
статистической линеаризации нелинейного элемента (см. рис. 2.21) с использованием
проекционно-матричных операторов интегрирования и умножения на функцию и
аппарата структурных преобразований.
Постройте алгоритмическое и программное обеспечение для следующих ОНБ:
•	полиномы Лежандра;
•	полиномы Чебышева;
•	функции Уолша;
•	тригонометрические функции.
С помощью построенного алгоритмического и программного обеспечения рас-
считайте математическое ожидание, функцию корреляции и дисперсию выходного
сигнала, если — нормальный случайный процесс с известной корреляционной
функцией вида (см. задание 8.1-1).
Полученные результаты сравните с теми, которые имели место при вероятност-
ном расчете СВИ методом статистической линеаризации (установившийся режим).
8.1-4. Пользуясь книгой [97], изучите теоретические положения и постройте алго-
ритмическое и программное обеспечение для вероятностного исследования СВИ
(см. рис. 2.21) с помощью метода канонических разложений.
Постройте алгоритмическое и программное обеспечение для решения интеграль-
ных уравнений спектральным методом.
С помощью построенного алгоритмического и программного обеспечения рас-
считайте математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала X(t}.
8.1-5. Изучите теоретические положения и постройте алгоритмическое и про-
граммное обеспечение для вероятностного исследования СВИ методом эквивалент-
ных возмущений (при q = 2) и интерполяционным методом [35, 147].
С помощью построенного алгоритмического и программного обеспечения рассчи-
тайте математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала СВИ (см. рис. 2.21)
(входной сигнал задается преподавателем).
Сравните указанные методы по степени их эффективности, определите их досто-
инства и недостатки.
Тема 8. Статистический анализ нелинейных САУ 593
8.1-6. Изучите теоретические положения и постройте алгоритмическое и про-
граммное обеспечение для вероятностного исследования СВИ (рис. 2.21) с помощью
метода статистических испытаний.
С помощью построенного алгоритмического и программного обеспечения рассчитайте
математическое ожидание, функцию корреляции и дисперсию выходного сигнала в неус-
тановившемся и установившемся режимах (входной сигнал задается преподавателем).
Результаты сравните с теми результатами, которые получены другими методами.
8.1-7. Изучите теоретические положения и постройте алгоритмическое и про-
граммное обеспечение для вероятностного исследования СВИ методом статистиче-
ского баланса, учитывая первые два момента [71].
Проведите анализ метода статистической линеаризации и метода статистического
баланса с точки зрения выявления достоинств и недостатков указанных методов.
Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала СВИ ме-
тодом статистической линеаризации и методом статистического баланса при одних и
тех же исходных данных. Проведите исследование, связанное с выявлением влияния
эффекта обогащения спектрального состава выхода нелинейным элементом и иска-
жения им спектральной плотности выходного процесса.
Пользуясь результатами расчетов, сделайте соответствующие выводы о степени
эффективности методов в части учета указанных двух факторов.
Проведите серию расчетов электрогидравлического следящего привода методом
статистической линеаризации и методом баланса математических ожиданий и спек-
тральных плотностей с точки зрения выявления влияния указанных двух факторов
(обогащение и искажение спектральной плотности выходного сигнала нелинейного
элемента) на точность метода в зависимости от степени инерционности системы.
Изучите теоретические положения метода детерминированных эквивалентов [105,
107] и проведение с его помощью статистического анализа СВИ, а также нелинейных
систем, рассматриваемых в заданиях 8.2, 8.5-8.8.
8.1-	8. По результатам выполнения предыдущих заданий сделайте выводы о сте-
пени эффективности рассмотренных выше методов статистического исследования
нелинейных систем, учитывая при этом:
•	применимость для исследования систем, поведение которых описывается
дифференциальными уравнениями высокого порядка, а структурная схема со-
держит несколько нелинейных элементов;
•	применимость для исследования сложных нестационарных систем;
•	точность метода и наличие теоретического обоснования;
•	сложность алгоритмического и программного обеспечения;
•	доступность современному инженеру-разработчику;
•	возможность использования современных пакетов программ;
•	степень эффективности при решении практических задач, в том числе при ис-
следовании точности работы систем, работающих в условиях помех.
ЗАДАНИЕ 8.2
Выполните все пункты предыдущего задания для следящего привода, структурная
схема которого показана на рис. Т.8.1.
Неизменяемые параметры системы (для всех вариантов одинаковы):
7^=6,1909-10^; ^ = 4,3; К& =110-10; К„ = 9.95-10
Гг= 6,4675-10-4 с; тг = 4,6279-10-4 с.
Параметры, зависящие от варианта задания:
——; Knc,Kvc,b, где С = 2-106Н/м, h = 1,5-104кг/с,
7	ус 7	7	7	7	7
Т
594
Задания для самостоятельной работы
где Кус, Кос, М, mY, Dyy, а приведены в табл. Т.8.1 задания 8.1, а параметр Ь, зави-
сящий также от варианта задания, приведен в табл. Т.8.2.
mx(t)
RxxihJi)
Рис. Т.8.1. Структурная схема нелинейной системы
Таблица Т.8.2
Значения параметра b для различных вариантов заданий
№ п/п	Ъ, м	№ п/п	Ъ, м
1	0,05	26	0,035
2	0,05	27	0,035
3	0,04	28	0,045
4	0,06	29	0,045
5	0,03	30	0,045
6	0,045	31	0,045
7	0,05	32	0,055
8	0,03	33	0,055
9	0,03	34	0,055
10	0,03	35	0,055
11	0,03	36	0,06
12	0,04	37	0,06
13	0,04	38	0,06
14	0,04	39	0,06
15	0,04	40	0,07
16	0,05	41	0,07
17	0,05	42	0,07
18	0,05	43	0,07
19	0,05	44	0,052
20	0,06	45	0,052
21	0,06	46	0,052
22	0,06	47	0,052
23	0,06	48	0,042
24	0,035	49	0,042
25	0,035	50	0,042
ЗАДАНИЕ 8.3
Изучите теоретические положения метода детерминированных эквивалентов ста-
тистического исследования нелинейных нестационарных систем со случайными па-
раметрами [105, 107]. Постройте алгоритмическое и программное обеспечение мето-
да, разбив его на соответствующие блоки:
•	блок замены многомерного интеграла суммой;
•	блок численного решения дифференциальных уравнений системы;
•	блок обработки сигналов и др.
Тема 8. Статистический анализ нелинейных САУ 595
Рассмотрите возможности применения метода для решения задачи о выбросах, а
также синтеза статистически оптимальных систем.
Приведите статистический анализ систем, структурные схемы которых приведены
в заданиях 8.1 и 8.2.
ЗАДАНИЕ 8.4
Разработайте алгоритмическое и программное обеспечение для решения обратной
задачи статистической динамики методом нелинейного программирования с исполь-
зованием статистической линеаризации нелинейного элемента [105], при этом:
•	сформулируйте обратную задачу динамики применительно к системам, рас-
сматриваемым в заданиях 8.1 и 8.2; назовите оптимизируемые параметры вхо-
да и системы;
•	покажите возможность повышения точности имитации реальных вибрационных
нагружений с помощью применения обратной задачи динамики [105];
•	изложите содержание метода нелинейного программирования и примените его
для решения обратной задачи динамики [105];
•	исследуйте вопрос, связанный с повышением точности имитации реальных
случайных нагружений, в том числе нестационарных, путем применения кон-
цепции обратных задач динамики [105];
•	рассмотрите случай, когда оптимизируемыми параметрами являются парамет-
ры входного сигнала (например, если вход имеет корреляционную функцию
Ауу= DYYe al?2 ?1L то Dyy и а — оптимизируемые параметры), и слу-
чай, когда оптимизируемыми параметрами являются параметры входа и сис-
темы; изучите влияние параметров входа и параметров системы на точность
воспроизведения случайного эталонного выхода.
ЗАДАНИЕ 8.5 [98]
Структурная схема динамической системы имеет вид (рис. Т.8.2).
К рассматриваемому классу систем относятся следящие системы, имеющие чув-
ствительный элемент релейного типа.
На входе системы действует случайное возмущение типа белого шума с матема-
тическим ожиданием mY и интенсивностью 50.
Проведите статистическое исследование следящей системы; выполните все пунк-
ты задания 8.1 при следующих значениях параметров [98]:
£ = 5; То =0,5 с; / = 1; 50 = 0,1.
596
Задания для самостоятельной работы
Исследуйте положение максимума спектральной плотности сигнала х(Д в зависи-
мости от интенсивности 50.
Постройте график в координатах
Sx(^2T02
к2/2Т3 ’
при фиксированных значениях
tiS
ц = —= 0,0; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2; 3 при указанных выше параметрах системы и воздей-
212Т
ствии Y(t}.
ЗАДАНИЕ 8.6 [98]
Структурная схема нелинейной системы стабилизации угла крена представлена на
рис. Т.8.3.
п
Рис. Т.8.3. Структурная схема системы стабилизации крена
Выше (см. задание 6.7) была рассмотрена линейная модель системы стабилизации.
Наличие ограничений (углы отклонения элеронов ограничены, конечность мощности
привода приводит к ограничению максимальной скорости вращения элеронов и др.)
приводит к необходимости использования нелинейной модели системы стабилиза-
ции. В состав системы стабилизации входят измерители угла крена и его производ-
ной, усилители мощности и привод. Динамические свойства этих элементов доста-
точно хорошо описываются уравнением [98]
Т5 + 5 = Къ(Ку + К2у),
где Т, К8 — параметры привода; Къ К2 — параметры измерителей и усилителей.
Нелинейный элемент определяется зависимостью
-I при 5 < - d;
ф(5) = <
—Ъ при |8| < J;
I при 5 > d.
Движение ЛА описывается уравнением [98]
где n(t} — внешнее возмущение в единицах углового ускорения, имеющее нулевое
математическое ожидание и 50 = const.
Проведите статистическое исследование системы, выполнив все пункты зада-
ния 8.1 при следующих значениях параметров [98]:
ахх = 4 с-1; дхэ = 40 с-2; Т = 0,05 с; 2л50 = 1,256 с-3; I = d = 10 град; К = 5,0; т = 0,4,
Тема 8. Статистический анализ нелинейных САУ
597
ЗАДАНИЕ 8.7 [98]
Рассмотрим систему регулирования температуры инерционного объекта, уравне-
ние которого имеет вид [98]
Tv + v = -Kz + п(Г),
где Т — постоянная времени; К — коэффициент усиления; z — координата регуля-
тора; тг(7) — внешнее возмущение, описывающее изменение температуры объекта.
Элементами системы регулирования являются датчик температуры — биметалли-
ческая пластинка с потенциометром, балансное реле и электродвигатель. Нелинейный
элемент — контактное устройство биметаллической пластины вместе с балансным реле.
Уравнение регулятора записывается так:
TMZ + Z = ^M<P(^2V),
где Тм — электромеханическая постоянная привода; Км — передаточное число при-
вода; К2 — коэффициент передачи биметаллической пластины; нелинейный элемент
описывается зависимостью
-I при K2v < -d;
<p(^2v) = ] 0 при |A72v| < J;
I при K2v > d.
Спектральная плотность сигнала n(t) определяется соотношением
$пп (®)
2	2 ’
л а + со
Задача заключается в выполнении всех пунктов задания 8.1 для данной системы.
Рис. Т.8.4. Структурная схема системы стабилизации температуры
Структурная схема системы имеет вид (рис. Т.8.4), а параметры имеют следую-
щие численные значения:
Ко = КЛК2К = 0,01 В-1 -с”1; I = 25 В; К2 = 0,01 рад-град”1;
Г = 10 с; Dnn =100 град2; а = 0,1 с-1;
поскольку Тм □ Т, то для первого варианта Тм можно пренебречь, а для второго ва-
рианта положить Тм = 0,1 с.
ЗАДАНИЕ 8.8 [98]
В этом задании рассматривается система со случайными параметрами. К этому
классу систем можно отнести измерительные устройства при учете жесткости конст-
598 Задания для самостоятельной работы
рукции, маятниковые устройства при ускоренных движениях точки подвеса, элек-
трические цепи при флюктуациях величин параметров и др.
Дифференциальные уравнения для рассматриваемых случаев можно записать
так:
+ (с£>0 + /71 (0)^ = 77 (О’
где «2(0 —параметрические возмущения; —аддитивное возмущение;
— коэффициент затухания; со0 — собственная частота системы.
Сигналы nx(t},n2(t} и п(ф являются некоррелированными белыми шумами с
нулевыми средними интенсивностями Snn, Sn n , Snn.
Постройте алгоритм статистического анализа стохастической системы методом
детерминированных эквивалентов.
ЗАДАНИЕ 8.9
Исследуемая САУ описывается дифференциальным уравнением вида
а2х + а3х + аох + с2х2 + с3х3 = у (t)	(Т.8.1)
(численные значения коэффициентов а2, а3, а0, с2,с3 задаются преподавателем).
Изучите аппарат рядов Вольтера. Этот аппарат позволяет представить проблемы
описания, исследования, оптимизации и идентификации класса нелинейных систем
на единой методологической основе, охватывающей разнообразные нелинейные сис-
темы, и является доступным современному инженеру. Последнее достигается благо-
даря использованию понятий импульсной переходной функции, передаточной функ-
ции, частотных характеристик. Эти понятия, которые являются эффективным инст-
рументом исследования линейных систем, можно обобщить на нелинейные системы
и тем самым внести методологическое единообразие в исследование произвольных
динамических систем. Кроме этого, необходимо изучить описание нелинейных сис-
тем с помощью операторов Немыцкого, Гаммерштейна, Урысона, а также с помощью
аппарата дифференциальных уравнений. Выявите достоинства и недостатки разных
методов описания нелинейных систем, проведите критический анализ.
Пользуясь методами, описанными в главе 4 т.1, постройте описание рассматривае-
мой нелинейной системы в виде функционального ряда Волътерра и, таким образом,
представьте нелинейную систему в виде параллельного соединения элементарных сис-
тем, свойства которых описываются соответствующими ИПФ к2,т2),...,
kN (, т2,..., xN ). Построенная модель дает конкретное описание системы, с помощью
которой можно определить выходной процесс через входной сигнал и последова-
тельность ИПФ (рис. Т.8.5).
Очевидно, ряд Волътерра представляет собой соотношение, отражающее яв-
ную связь между входом системы и ее выходом.
Поскольку система состоит из параллельного соединения элементарных систем,
то, следовательно, ее можно характеризовать последовательностью многомерных
импульсных переходных функций кх () ,к2 (, т2),..., kN (, т2,..., tn ) и последова-
тельностью передаточных функций =	JT2(51,52) = Z2(^2(t1,t2)|,...,
WN^s1,s2,...,sN^ = LN^kN^Ti,x2,...,xN^. Необходимо найти и записать аналитиче-
ские зависимости, определяющие ki^l,x2,...,xi^ и Wi(^sl,s2,...,siy
Тема 8. Статистический анализ нелинейных САУ
599
Полагая = jay, i = \,N, получаем зависимости, определяющие частотные харак-
теристики элементарных систем:
Wi ( j®!, jco2,..., X-) =	,..., Si )|	—.
Частотная характеристика Wi(j(fy,j(£)2,...,j(fy) представляет собой много-
мерную комплексную функцию, которая при изменении частоты сог от нуля до беско-
нечности описывает в комплексном пространстве размерности 2z некоторую поверх-
ность. При z = 1 это пространство превращается в хорошо известную комплексную
плоскость, в которой (jсо1) характеризуется некоторой кривой. При z = 2 рассмат-
ривается jy2( 7®н 7®2) в четырехмерном пространстве. Для описания исследуемой
системы могут быть использованы частотные характеристики ycoj, ^(усо^сщ),
^(7®1,7®2,---,7<Ау)- Во многих задачах исследования использование частотных
характеристик позволяет получить удобные и достаточно простые расчетные соот-
ношения. Постройте частотные характеристики линейной и квадратичной подсистем.
Нелинейная система называется ограниченной, если ее реакция на ограниченное
входное возмущение также ограничена, причем величина этого ограничения не зави-
сит от интервала времени наблюдения за системой. Это означает, что если У (z)l < R,
Для рассматриваемых систем понятие ограниченности близко к понятию устой-
чивости. Система ограничена, если

(Т.8.2)
о о
Из приведенного условия следует, что многомерные ИПФ кг• (т1,т2,...,т;) должны
стремиться к нулю при т1,т2,...,тг- и интегралы от абсолютной величины их
должны убывать, как 1/R1. Условие (Т.8.2) является достаточным, и если последо-
вательность ИПФ не удовлетворяет ему, то это еще не означает, что исследуемая
система неограничена. В подобном случае проведите дополнительное исследование
(см. главу 4, т.1).
Исследуйте рассматриваемую систему на свойство ограниченности.
600
Задания для самостоятельной работы
Пользуясь описанием нелинейной системы с помощью функционального ряда
Вольтерра, найдите математическое ожидание, корреляционную функцию и диспер-
сию выходной переменной, если входное воздействие представляет собой нормально
распределенную случайную функцию времени У(/), математическое ожидание ко-
торой равно mY, а функция корреляции имеет вид
ryy (/1,/2) = Dyye“a|z2“Z11	(Т.8.3)
(конкретные значения /?7у, D}T и а приведены в табл. Т.8.1).
Исследуйте статистические характеристики выходного сигнала У(7) в неустано-
вившемся и в установившемся режимах.
ЗАДАНИЕ 8.10
Изучите теоретические положения и разработайте алгоритмическое и программ-
ное обеспечение для расчета математического ожидания, автокорреляционной функ-
ции и дисперсии сигнала на выходе нестационарной системы, уравнение кото-
рой имеет вид
Х(/) +
ci\ + l\t + c^t
Д2 +	+ С2/
Х(/) +
Дт + Xt + c^t
К
Д2 + ^2^ + С2/
Щ),
где
д0 = 2сТ2 + 2£,bT + а; b0=b + 4t,cT; с0 = с;
а{=2ЬТ2 +2^аТ; bv=4cT2 +2^bT; q=2^cT;
а2=аТ2; Ь2=ЬТ2; с2=сТ2,
а структурная схема представлена на рис. Т.8.6.
Параметры a, b, с, Т, £,, а также параметры случайного воздействия mY, DYY и a
приведены в табл. Т.8.1;	(д,/2) = DyYe При расчетах принять К = 1, d = 1.
Алгоритмическое и программное обеспечение постройте для:
•	метода матричных операторов с использованием статистической линеаризации
нелинейного элемента, проекционно-матричных и сеточно-матричных опера-
торов интегрирования и умножения на функции, а также аппарата структур-
ных преобразований;
•	метода рядов Вольтерра [95, 106];
•	метода канонических разложений [97];
•	метода эквивалентных возмущений [11,35];
•	интерполяционного метода [147];
•	метода статистического баланса с учетом первых двух моментов [71];
•	метода статистических испытаний [105];
•	метода детерминированных эквивалентов [105, 107].
Проведите критический анализ методов, учитывая при этом степень их теорети-
ческого обоснования, сложность алгоритмического и программного обеспечения, точ-
ность получаемых результатов, возможность обобщения на другие классы систем,
методологическое единообразие при исследовании произвольных динамических сис-
тем, доступность современному инженеру-разработчику.
Тема 8. Статистический анализ нелинейных САУ
601
ЗАДАНИЕ 8.11
Рассмотрим нелинейную нестационарную систему самонаведения зенитной ракеты
при наличии шума измерения угловой скорости вращения линии визирования (см. струк-
турную схему на рис. Т.8.7), использующую метод пропорционального сближения с
целью.
Рис. Т.8.7. Структурная схема нелинейной системы самонаведения:
1,2 — кинематические звенья; 3 — система стабилизации; 4 — блок выработки команд,
реализующий алгоритм наведения; 5 — координатор цели, измеряющий скорость вращения
линии визирования; 6 — нелинейный элемент типа «насыщение»
На рис. Т.8.7 /?(/) — выходной сигнал системы: линейное смещение ракеты от-
носительно опорной невращающейся линии визирования; g(/) — задающее воздей-
602 Задания для самостоятельной работы
ствие, учитывающее маневр цели и начальную ошибку прицеливания; Тсс — посто-
янная времени системы стабилизации; Тс — постоянная времени координатора цели;
п — константа навигации.
Параметры системы самонаведения:
V(t) = 200 + 200/ м/с;
г(/) = 4500-600/-100/2 м/с;
г(/) =-600-200/;
Тсс=0,1; Тс=0,3;
Афц = <
значение константы навигации п зависит от варианта задания.
Нелинейный элемент типа «насыщение» описывается выражением
дф* <~d’
ЛфА. , -d < Афд. < d',
дф^’ d<^f
Параметры нелинейного элемента:
Афы = d = 2 град = 0,03490658503989 рад.
Автокорреляционная функция случайного процесса на входе системы имеет вид
rgg (ti А2) = Ю0[4т1т2 + (1 + т1)(1 + т2)] м2/с2.
Математическое ожидание входного случайного процесса mG (/) = 0.
Помеха «(/) есть результат прохождения белого шума с уровнем спектральной
плотности Sq через формирующий фильтр в виде апериодического звена
^+„W=11W.
Предполагается, что формирующий фильтр действует в установившемся режиме.
Значение уровня спектральной плотности 5'0 зависит от варианта задания.
8.11-	1. Изучите теоретические положения и постройте алгоритмическое и про-
граммное обеспечение для проведения статистического анализа нелинейной неста-
ционарной системы самонаведения методом статистической линеаризации с исполь-
зованием проекционно-матричных операторов интегрирования, умножения на функ-
ции и аппарата структурных преобразований (см. главу 2, т.1).
Постройте программное обеспечение и выполните решение для следующих орто-
гональных базисов:
•	полиномы Лежандра;
•	система блочно-импульсных функций;
•	функции Уолша;
•	тригонометрические функции;
•	система сплайнов 1-го порядка (кусочно-линейные функции);
•	система сплайнов 2-го порядка (кусочно-параболические функции).
С помощью построенного алгоритмического и программного обеспечения рас-
считайте и постройте графики полученных коэффициентов статистической линеа-
ризации, дисперсии на входе нелинейного элемента, автокорреляционной функции,
дисперсии и среднеквадратического значения выходного сигнала (промаха зенит-
ной ракеты).
8.11-	2. Изучите теоретические положения и постройте алгоритмическое и про-
граммное обеспечение для проведения статистического анализа нелинейной неста-
Тема 8. Статистический анализ нелинейных САУ 603
ционарной системы самонаведения методом статистической линеаризации с исполь-
зованием сеточно-матричных операторов интегрирования, умножения на функции
и аппарата структурных преобразований (см. главу 2, т.1).
Постройте программное обеспечение и выполните решение для следующих квад-
ратурных формул, используемых при расчете сеточно-матричных операторов:
•	квадратурная формула прямоугольников;
•	квадратурная формула трапеций;
•	квадратурная формула парабол (формула Симпсона).
Рассчитайте и постройте графики полученных коэффициентов статистической
линеаризации, дисперсии на входе нелинейного элемента, автокорреляционной
функции, дисперсии и среднеквадратического значения выходного сигнала (промаха
зенитной ракеты).
8.11-	3. По результатам выполнения заданий сделайте выводы о степени эффек-
тивности применения метода статистической линеаризации с использованием проек-
ционно-матричных операторов для различных базисов и сеточно-матричных опера-
торов для различных квадратурных формул и аппарата структурных преобразований,
учитывая при этом:
•	точность и наличие теоретического обоснования;
•	сложность алгоритмического и программного обеспечения;
•	доступность современному инженеру-разработчику;
•	возможность использования современных пакетов программ;
•	затраты машинного времени.
Варианты заданий приводятся в табл. Т.8.3.
Таблица Т.8.3
Варианты для задания 8.11-3
№ п/п	п	5*0 , рад2/с2	№ п/п	п	5*0 , рад2/с2	№ п/п	п	5*0 , рад2/с2
1	2	4,0-10 5	11	3	6,0-10 5	21	4	7,0-10 5
2	3	3,5-10 5	12	4	6,5-10 5	22	5	6,5 -10 5
3	4	3,0-10 5	13	5	7,0-10 5	23	6	6,0-10 5
4	5	2,5 -10"5	14	6	7,5-Ю”5	24	7	5,5-10-5
5	6	2,0-Ю-5	15	7	8,0 -10"5	25	8	5,0-Ю-5
6	7	1,5 -10"5	16	8	8,5-Ю-5	26	9	4,5 -10"5
7	8	1,0-10"5	17	9	9,0-10“5	27	10	4,0 -10"5
8	9	4,5 -10 5	18	10	8,5-10 5	28	2	3,5-10 5
9	10	5,0-10 5	19	2	8,0 -10 5	29	3	3,0-10 5
10	2	5,5-Ю”5	20	3	7,5-Ю"5	30	4	2,5-Ю"5
8.11-	4. С целью глубокого рассмотрения методов статистического анализа:
•	изучите содержания метода статистической линеаризации исследования точ-
ности САУ самонаводящихся ракет, его достоинства и недостатки;
•	изложите подходы к реализации метода статистической линеаризации для не-
стационарной системы управления самонаводящейся ракеты;
•	изложите особенности метода статистической линеаризации при изучении ста-
ционарных и нестационарных режимов работы систем управления;
•	каковы основные источники погрешности метода статистической линеаризации;
•	известно [143], что в следящих системах под срывом слежения понимается
первый выход сигнала за пределы апертуры дискриминационной характери-
604
Задания для самостоятельной работы
стики. Покажите, что приближенно явление срыва управления (слежения)
можно характеризовать и оценивать по поведению математического ожидания
и дисперсии ошибки управления (слежения) в автоматической системе. Пояс-
ните содержание следующих задач: определение вероятности срыва или бес-
срывного управления в функции времени, определение закона распределения
времени бессрывного управления;
•	изучите возможность применения метода статистической линеаризации для
исследования срыва слежения в следящей системе;
•	изучите основные положения теории марковских процессов и пути ее исполь-
зования для изучения явления срыва слежения. Сравните метод уравнений
Фоккера-Планка и метод статистической линеаризации.
Тема 9. Линейная фильтрация полезного сигнала
605
ТЕМА 9.
ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА ИЗ СМЕСИ
«ПОЛЕЗНЫЙ СИГНАЛ + ШУМ»
Перед выполнением заданий изучите положения: задачи фильтрации; критерии,
используемые при решении задач фильтрации; требования, предъявляемые к аппара-
туре оперативного спектрального анализа сигналов; гауссовость случайных процес-
сов и фильтрация; фильтры Винера-Колмогорова, методы решения уравнения Вине-
ра-Хопфа для случая стационарных и нестационарных сигналов; фильтры Калмана-
Бьюси (сравните с фильтрами Винера-Колмогорова) и их структурные схемы; урав-
нение Риккати; согласованные фильтры и др.
ЗАДАНИЕ 9.1
Широкой областью применения систем автоматического управления является об-
ласть, связанная с проектированием летательных аппаратов различного назначения:
самолеты, ракеты, космические аппараты и др. Важной особенностью этих систем яв-
ляется то обстоятельство, что они в большинстве своем подвергаются действию помех.
Например, ЛА имеют САУ, предназначенную для стабилизации по углу крена.
Помеха, действующая на объект управления (ЛА), имеет нулевое математическое
ожидание и постоянную спектральную плотность. Важной является задача уменьше-
ния действия помех на качество процессов управления. Одним из подходов решения
этой задачи является выбор таких параметров специально вводимого корректирую-
щего устройства, которые уменьшали бы степень влияния помех.
Для этого случая структурная схема САУ принимает вид (рис. Т.9.1).
Рис. Т.9.1. Структурная схема САУ с корректирующим устройством, предназначенным
для уменьшения степени влияния помехи и(/) на качество процессов управления
СКО системы, на вход которой поступает полезный сигнал m(t} и помеха «(/),
определяется формулой
—2
U)= J
1 + ^(5, p)W0(s)
2
$тт	J
5= /<">	-ос
1 + ИД,.р)ИЩ)
2
5„„(co)dco.
5=У<В
Из последней зависимости следует, что
б2(р) = б2(д,д,...,д.)
зависит от параметров корректирующего устройства д, р2,   , рг 
Найдите общие зависимости (численные значения параметров в такой постановке
можно не задавать), определяющие р[,р*2,...,р*г — оптимальные значения парамет-
ров корректирующих устройств, обеспечивающих минимум СКО систем, структур-
ные схемы которых приведены ниже.
606 Задания для самостоятельной работы
На вход систем поступает сигнал
Y (/) =	+
где Rmm (г) = Dmme~a^, Rnn (т) = 2л£05(т).
Найдите также параметры корректирующего устройства, обеспечивающие мини-
мальное значение критерия
о2 =й2п +Ха2(/),
где —установившаяся ошибка.
Структурная схема корректирующего устройства и параметры, подлежащие опре-
делению, задаются преподавателем.
Рис. Т.9.2. Структурная схема следящей системы стабилизации сектора обзора
Рис Т.9.3. Структурная схема системы автосопровождения цели
Рис. Т.9.4. Структурная схема системы автоматического управления полетом
баллистической ракеты на активном участке
Рис. Т.9.5. Структурная схема системы стабилизации высоты полета ракеты
Рис. Т.9.6. Структурная схема системы управления креном ракеты
Рис. Т.9.7. Структурная схема системы управления углом рыскания
крестокрылого реактивного снаряда
Тема 9. Линейная фильтрация полезного сигнала
607
Рис. Т.9.8. Структурная схема системы управления центром тяжести
крестокрылого снаряда (КРС) в боковом движении
Рис. Т.9.9. РЛС автоматического сопровождения цели по дальности
Рис. Т.9.10. Структурная схема контура стабилизации угла тангажа
Рис. Т.9.11. Структурная схема контура стабилизации крена
Рис. Т.9.12. Структурная схема системы управления угловой скоростью тангажа
Рис. Т.9.13. Структурная схема системы управления угловой скоростью ракеты
Рис. Т.9.14. Структурная схема канала крена с учетом перекрестных связей
608
Задания для самостоятельной работы
Рис. Т.9.15. Структурная схема системы управления высотой полета ЛА
Рис. Т.9.17. Структурная схема системы управления временной дистанцией
Для систем, структурные схемы которых представлены выше, задачу параметри-
ческой оптимизации можно значительно упростить и свести ее к минимизации функ-
ции, зависящей от одного параметра. В качестве методического примера рассмотрим
структурную схему, представленную на рис. Т.9.14 (канал крена).
Выберем ПФ регулятора вида
lVKy (5) = К -I—- — ПИ-регулятор.
Тогда
кпрк7к кирк.,кц
---—  ЛЧ-------—'--
Если выполнены следующие условия:
у, б,1со0,
Тема 9. Линейная фильтрация полезного сигнала
609
то ПФ разомкнутой системы определяется формулой
6, 3C0q5 “Г СОр
s3 + 5, IcDq^2
и зависимость для дисперсии случайной ошибки принимает вид
-н»
о2(со0)= |
^р(Ж)
1 + ^>(м®о)
^р( Ж СОр)
1 + ^р(жю0)
2
£ии(со)б7со.
Rmm (tt>)tZC0+ |
Пользуясь известными методами, легко построить функцию <т2(со0), зависящую
от одного аргумента со0 и найти со0, при котором <52 (со0) = min. К приведенным
выше структурным схемам можно применить рассмотренную выше процедуру и по-
лучить численный результат решения задачи параметрической оптимизации.
ЗАДАНИЕ 9.2
Разработайте алгоритмическое и программное обеспечение для решения ска-
лярного уравнения Винера-Хопфа спектральным методом для двух случаев:
— белый шум; n(t} — отличен от белого шума (ОНБ задается преподавателем)
(см. главу 3, т.2).
ЗАДАНИЕ 9.3
Разработайте алгоритмическое и программное обеспечение для решения векторно-
матричного интегрального уравнения Винера-Хопфа спектральным методом (ОНБ
задается преподавателем) (см. главу 3, т.2).
ЗАДАНИЕ 9.4
Познакомьтесь с методом моментов синтеза оптимальных фильтров (см. книгу
Р. Куликовского «Оптимальные и адаптивные процессы в САР». — М.: Наука, 1967).
ЗАДАНИЕ 9.5
Запишите уравнения Винера-Хопфа, определяющие импульсные передаточные
функции оптимальных фильтров и постройте алгоритм их решения на основе спек-
тральных методов, сделайте вывод о вычислительной устойчивости алгоритма. По-
знакомьтесь с методами регуляризации А.Н. Тихонова решения некорректных задач,
а также воспользуйтесь аппаратом формирующих фильтров.
Разработайте алгоритм решения уравнения Винера-Хопфа, обладающий вычисли-
тельной устойчивостью (с использованием регуляризации по А.Н. Тихонову).
ЗАДАНИЕ 9.6
На вход фильтра поступает аддитивная смесь полезного входного сигнала т(7) и
помехи «(/), причем —белый шум с функцией корреляции:
Яии(м2) = 2^о8(с -^1); Rmm ^1) = 1)тте~а^ cosp(/2 -б).
Пользуясь классическими методами решения уравнения Винера-Хопфа, найдите
оптимальные по минимуму СКО импульсные переходные функции фильтров.
Представьте структурные схемы оптимальных фильтров.
610
Задания для самостоятельной работы
ЗАДАНИЕ 9.7
В постановке задачи, изложенной в предыдущем задании, полезный сигнал т(7)
имеет автокорреляционную функцию Rmm (бД2) = ^тте Ч а автокорреляционная
функция помехи имеет вид Rnn (Д Д2)= 2kS05(t2 - 6)•
Разработайте алгоритм и программу для синтеза оптимальных фильтров по мини-
муму СКО с помощью собственных функций. Изложите свойства собственных функ-
ций и собственных значений. Начертите структурную схему оптимальной системы.
ЗАДАНИЕ 9.8
Используя теорию согласованной фильтрации, изложите основы теории; разрабо-
тайте алгоритмы и программу для синтеза фильтров с целью выделения сигналов
известной и неизвестной формы из белого шума.
ЗАДАНИЕ 9.9
Изучите теоретические положения, лежащие в основе фильтров Калмана-Бьюси.
Покажите, что если входные воздействия являются стационарными случайными про-
цессами, то метод Калмана-Бьюси не имеет существенных преимуществ перед мето-
дом синтеза оптимальных фильтров Колмогорова-Винера. Этот метод в основном
применяют для синтеза оптимальных нестационарных линейных фильтров. Обра-
тите внимание на тот факт, что в теории синтеза фильтров Калмана-Бьюси су-
щественным является то, что случайный процесс m(t} должен быть представлен
дифференциальным уравнением, другими словами, он должен быть сформирован с
помощью формирующего фильтра. Для скалярных стационарных, в широком смыс-
ле, случайных процессов, определенных на всей прямой, непрерывных в среднеквад-
ратичном, задача синтеза формирующих фильтров изучена. В этом случае задача ре-
шается наиболее просто, если случайный процесс имеет дробно-рациональную спек-
тральную плотность и формирующий фильтр можно описать обыкновенным диффе-
ренциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Последнее получается на
основе факторизации дробно-рациональной спектральной плотности.
Для нестационарных случайных процессов задача синтеза формирующих фильт-
ров несравненно более сложная.
Изучите:
•	основные этапы вывода уравнения оптимального нестационарного фильтра
Калмана-Бьюси;
•	основные этапы вывода уравнения оптимального матричного коэффициента
усиления нестационарного фильтра Калмана-Бьюси;
•	уравнение несмещенной оценки нестационарной фильтрации;
•	физический смысл фильтров Калмана-Бьюси.
Познакомьтесь с основными понятиями оптимальной линейной фильтрации в
дискретных системах, субоптимальных фильтров, задачами восстановления сигналов
в динамических системах.
Если задача синтеза нестационарного формирующего фильтра решена, то далее
используется стандартная структура фильтра Калмана-Бьюси.
ЗАДАНИЕ 9.10
Разработайте алгоритм и программу для решения скалярного и векторно-матрич-
ного уравнения Риккати с целью синтеза одномерных и многомерных оптимальных
Тема 9. Линейная фильтрация полезного сигнала 611
фильтров Калмана-Бьюси. Кратко изложите основные положения теории этих фильт-
ров и представьте их структурные схемы.
ЗАДАНИЕ 9.11
Синтезируйте фильтр Калмана-Бьюси, если полезный входной сигнал имеет функ-
цию корреляции
где аир — положительные величины; величина с равна СКО при t оо.
Формирующий фильтр описывается уравнением
1 - e~atj + ae~at г (t);
^vv(/l’C) =	_б)-
ЗАДАНИЕ 9.12
Синтезируйте фильтр Калмана-Бьюси, если полезный входной сигнал имеет функ-
цию корреляции вида
р Щ 2 -Бр2-62|
где вх — СКО, Р — положительная величина.
Формирующий фильтр описывается уравнением
^ + 2p/m(/) = aj4p/(l-e-'/r) + C-'/rv(/),	1, i-D 1.
С/ 4	У	111
ЗАДАНИЕ 9.13
Разработайте алгоритмическое и программное обеспечение для расчета форми-
рующих фильтров для нестационарных сигналов с корреляционными функциями
вырожденного типа, а также спектральным методом (ОНБ задается преподавателем)
с использованием процедур оптимизации. Корреляционные функции выходных сиг-
налов формирующих фильтров имеют вид:
9.13-1. RYY(ti,t2) = DYYe~^h~t\
9.13-2. Ryy (б,t2) = DYY ае^1 ~h ~h ’I +
+be Cla(?2 Z|^'2 Z1)Los(60a(c2-62) + W(c-6 ))
аир —задаются преподавателем; а = 0,85; b = 0,15; с = 0,25.
9.13-3. ^уу(б,С) = <
2 -О(/22~С)
с е v ’
2 -о(/22~с)
с е v ’
6 < С ’
6 > с •>
аир — положительные величины.
612
Задания для самостоятельной работы
9.13-4. Задана система
где Rzz = Dzze 1\,Т2,К,а —постоянные.
9.13-5. Корреляционная функция случайного переходного процесса У(/), обра-
зующегося в системе после снятия воздействия, при t = 0 имеет вид
2
Ryy {h,t2) =	-Т2)2 е^1+^Т.
v 7 1 + а7]	1	7
Построить формирующий фильтр для формирования случайного переходного про-
цесса.
9.13-	6. Rxx (tv,ti) = (ave~a^ -bve~aih )(a2e“aA -b2e~aih), 6 > 0, t2 > 0,
где ax = 5,5; bx = 4,5; a2 = 12; b2 = 10,9; oq — задается, oc2 = 1; a3 = 0,415.
ЗАДАНИЕ 9.14
Изучите основное содержание идеи комплексирования, когда для целей повыше-
ния точности используется измерение сигналов, полученных с помощью различных,
имеющихся на борту измерителей. Например, в задаче стабилизации антенных сис-
тем радиотехнических головок самонаведения используется идея комплексирования:
гироскопы измеряют положение продольной оси в инерциальном пространстве, а
радиотехнический пеленгатор определяет положение цели относительно этой оси.
Различие в спектральных характеристиках измерителей комплексной системы явля-
ется определяющим фактором. Изучите основное содержание задачи рационального
выбора состава измерителей и оптимального объединения их в единый комплекс,
например в радиотехнической следящей системе, осуществляющей измерение пара-
метров взаимного движения подвижного объекта и цели. Для измерения параметров
собственного движения используются инерциальные навигационные системы, гиро-
скопические измерители угловых колебаний подвижных объектов, аэродинамические
измерители воздушной скорости, доплеровские измерители путевой скорости и др.
Изучите систему с коррекцией по положению, скорости и ускорению [19].
Тема 10. Идентификация объектов управления
613
ТЕМА 10. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Исходными данными для расчета и проектирования САУ является математиче-
ская модель объекта управления, которая обычно известна лишь частично (например,
известна структура, но неизвестны параметры). Поэтому прибегают к эксперимен-
тальным исследованиям для определения динамики объектов управления.
В некоторых случаях вообще отсутствует какая-либо априорная информация об
объекте, поэтому как его структура, так и параметры определяются из эксперимента.
Перед выполнением заданий для самостоятельной работы изучите содержание
проблемы идентификации и трудности, которые преодолевает проектировщик при ее
решении: вычислительная неустойчивость, исключение влияния шумов на точность
расчета динамических характеристик и др.
Познакомьтесь с основными подходами, используемыми в инженерной практике
с целью идентификации динамических характеристик.
Изучите достоинства и недостатки детерминированного и статистического подхо-
дов, их содержание и область применения.
Оцените круг задач, в которых целесообразно применять байесовские оценки и
оценки с использованием максимального правдоподобия.
Познакомьтесь со структурой самонастраивающихся систем и оцените место за-
дачи идентификации в общей проблеме синтеза самонастраивающихся систем.
Изучите методы идентификации нелинейных объектов, проведите их классифи-
кацию, оцените область их применимости.
ЗАДАНИЕ 10.1
По соответствующим источникам изучите теоретические положения и содержа-
ние наиболее ценных с практической точки зрения методов идентификации:
•	идентификация частотных характеристик;
•	идентификация временных характеристик (ИПФ, ПХ и др.);
•	идентификация динамических характеристик, если известно ДУ объекта (из-
вестна структура объекта);
•	идентификация динамических характеристик:
1)	методом модулирующих функций (изучите его достоинства и недостатки);
2)	методом наименьших квадратов (рассмотрите случай, когда невязка — раз-
ность между правой и левой частями ДУ; изучите возможность применения
к классу нестационарных и нелинейных объектов (одномерных и много-
мерных), разработайте алгоритм и его структурную схему;
•	идентификация компенсационными методами;
•	идентификация, основанная на байесовском подходе (основные положения и
соотношения, модель объекта с байесовской точки зрения, алгоритм оценива-
ния параметров и др.);
•	идентификация с использованием стохастической аппроксимации первого и
второго порядка;
•	идентификация, использующая аппарат фильтров Калмана и др.
Проведите анализ соответствующих алгоритмов с точки зрения:
•	применимости к широкому классу объектов;
•	степени адекватности модели объекта;
•	степени сложности алгоритма и наличия теоретического обоснования;
614 Задания для самостоятельной работы
•	влияния шумов на точность идентификации (включая ошибки квантования сиг-
налов);
•	влияния времени осреднения на точность идентификации.
Изучите понятие «идентифицируемость объекта».
ЗАДАНИЕ 10.2
Разработайте алгоритмическое и программное обеспечение для построения ИПФ
объектов управления путем решения интегрального уравнения свертки методом меха-
нических квадратур (детерминированный подход). Изучите проблему некорректности,
в частности проблему решения уравнений 1-го рода. Познакомьтесь с понятиями вы-
числительной неустойчивости алгоритма, числа обусловленности матричного операто-
ра. Изучите влияние шумов на точность расчета ИПФ. Полагая известным входной
сигнал на [0,Т], например y(t^ = yQ+yxt +y2t2 или у(7) = y0 + yxe~at, числен-
ным методом рассчитайте соответствующую реакцию x(z) с наложенными на нее шу-
мами, имитирующими погрешности измерения, полагая, что на этом этапе эксперимен-
та ДУ объекта известно (рис. Т.10.1).
Рис. Т.10.1. Структурная схема объекта
Примените разработанное алгоритмическое и программное обеспечение для иден-
тификации ИПФ объекта, полагая, что известны лишь сигналы у (/) и xn(t).
Сделайте вывод о точности решения задачи идентификации в зависимости от ве-
личины шага дискретизации h (размерности системы алгебраических уравнений) и
дисперсии помехи n(t}.
Постройте зависимость числа обусловленности Л? (А) от размерности системы
алгебраических уравнений и оцените его влияние на точность решения задачи иден-
тификации при наличии погрешностей измерения.
Изучите вопрос расчета норм матриц, в частности спектральной нормы матрицы,
согласованной с квадратичной нормировкой векторов.
ЗАДАНИЕ 10.3
Содержание настоящего задания состоит в реализации предыдущего задания с
той лишь разницей, что уравнение свертки решается разложением сигналов у (7) и
хп (/) по ортонормированным базисам (детерминированный подход).
Другими словами, разработайте алгоритмическое и программное обеспечение для
идентификации ИПФ в форме разложения по ОНБ путем решения интегрального
уравнения свертки (вход у(0 — задается, реакция х(/) — рассчитывается числен-
ным методом с учетом погрешности измерения). Примените разработанное алгорит-
мическое и программное обеспечение для идентификации объектов, имеющих из-
вестные ПФ W0(s) (они задаются преподавателем). Постройте зависимость числа
обусловленности Л? (А) от размерности системы линейных алгебраических уравне-
ний, сравните с предыдущим случаем и сделайте соответствующие выводы.
Тема 10. Идентификация объектов управления 615
ЗАДАНИЕ 10.4
Разработайте алгоритмическое и программное обеспечение для идентификации
ИПФ путем решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода методом меха-
нических квадратур (статистический подход).
Примените разработанное алгоритмическое и программное обеспечение для
идентификации объектов, имеющих известную ПФ 1Д, (.v) (она задается преподава-
телем). Корреляционные функции /?}Т(т) и /?%г(т) рассчитайте методами модели-
рования на ЭВМ. Сравните результаты решения задачи идентификации с точной
ИПФ и сделайте выводы, связанные с точностью решения задачи.
Постройте зависимость числа обусловленности К (А) от размерности системы
линейных алгебраических уравнений и отметьте принципиальное отличие статисти-
ческого подхода от детерминированного.
ЗАДАНИЕ 10.5
Разработайте алгоритмическое и программное обеспечение для построения реше-
ний уравнений Фредгольма 1-го рода в форме разложения по ОНБ. Идентифицируйте
ИПФ объектов с ПФ W0(s} (^o(s) задается преподавателем). Исследуйте устойчи-
вость вычислительного процесса.
ЗАДАНИЕ 10.6
Исследуйте проблему выбора критерия идентификации и соотнесите полученные
выводы к классу объектов, динамические характеристики которых могут идентифи-
цироваться с использованием выбранного критерия. Могут оказаться полезными сле-
дующие соображения. Пусть хп (Т) — измеренный выходной сигнал объекта управ-
ления, являющийся реакцией на тестовый сигнал (например, у(/) = 1(/), а хи(/)
— измеренный выходной сигнал с наложенными на него шумами). Положим, что
удается найти аналитическую зависимость для этого же сигнала (т.е. решение
ДУ объекта, но без учета влияния помех) от идентифицируемых параметров объекта
рх,р2,...,рг, т.е. в распоряжении проектировщика имеется аналитическая зависи-
мость вида x{t^ = x{t,px,p2,...,pr^ — решение дифференциального уравнения объ-
екта в функции идентифицируемых параметров.
Тогда критерием идентификации может быть выбран функционал вида
/1(р1,р2,...,рг) = тах|х(/,д,р2,...,рг)-хи(/)|,	(Т.10.1)
где [0,Т] — промежуток, на котором известны сигналы x{t,px,p2,...,pr^ и хи(/)
(промежуток идентификации выбирается исходя из требований, определяемых сте-
пенью точности решения задачи идентификации).
Параметры р*,р*2,...,р* находятся из условия
min .
Р\,Р1,--;Рг
Практическое применение (Т.10.1) встречается весьма редко по причинам, имею-
щим аналитический и вычислительный характер (в рассматриваемой постановке задача
идентификации сводится к задаче аппроксимации функции хи(/) функцией
x(t,px,р2,...,рг) в пространстве С[0,Г], которая отличается значительной сложностью).
616
Задания для самостоятельной работы
Наиболее часто применяются функционалы вида
т
о
где g = 1 или 2.
Неизвестные параметры могут быть найдены с помощью соотношения
4(а>А>--->а)-> min .	(Т.10.2)
Pl,P2,--;Pr
Принципиальным недостатком изложенного подхода является то, что в функцио-
нале фигурирует решение ДУ объекта в функции от идентифицируемых параметров
x(^t,pl,p2,...,pr), которое в общем случае не может быть построено даже для про-
стейших объектов. Поэтому такой подход при решении инженерных задач применя-
ется чрезвычайно редко.
Задача значительно упрощается, если воспользоваться следующими положения-
ми. Рассмотрим наиболее сложный случай, когда объект управления является нели-
нейным и описывается системой ДУ вида (положим Х° = 0)
Х(/, pl,p2,...,pr') = f(X,X,pl,p2,...,pr),	(Т.10.3)
где Х(/) —«-мерный вектор состояния; ¥(/) — 777-мерный вектор входа.
Из (Т. 10.3) находим
t
X(t,px,p2,...,pr) = \f(x(x\X(x\pi,p2,...,pr]dx.	(Т.10.4)
о
Уравнения (Т.10.3) и (Т.10.4) эквивалентны.
Если сигналы Х(/) и У(/) доступны измерению, то вместо, например, функцио-
нала (Т.10.1) можно записать функционал вида
т
1(рър2,...,Рг') = \
о
t
X(0-f/(X(T)’Y(T)’A’^2-
о
pr^dx
2
dx.
В последнем случае нет необходимости находить аналитическое выражение для
выходного сигнала вида X (t, а , р2, • • •, рг) •
Итак, в первом случае (функционал (Т.10.1)) невязка = хп	рх,р2,...,рг)
порождается разностью между измеренным сигналом хп (/) и соответствующим
аналитическим решением x{t,px,p2,...,pr^ ДУ объекта; во втором же случае не-
вязка порождается между правой и левой частями ДУ объекта. Реализация второго
подхода не вызывает никаких затруднений при решении проблемы идентификации.
Идентифицируемые параметры определяются по формуле
т
mm
P^Pl^^PrQ
t
X(0-f/(X(T)’Y(T)’A’^2-
о
pr^dx
dx.
(T.10.5)
Содержание задания. Разработайте алгоритмическое и программное обеспечение
для идентификации класса линейных скалярных стационарных объектов с использо-
ванием функционала (Т.10.5).
В рассматриваемом случае идентифицируется ПФ вида
w(A Л^+^-^+.-. + Ь.
п У J п .	п-1 .
s + an_]S +... + Uq
Тема 10. Идентификация объектов управления 617
Первый шаг алгоритма состоит в нахождении интегрального уравнения, эквива-
лентного дифференциальному уравнению объекта идентификации (переход к инте-
гральным уравнениям (Т.10.4) и (Т.10.5) исключает необходимость измерения произ-
водных сигналов х(ф и у(ф)
t	t
+	(/,т,р)х(т)б7т =	(/,т,р)у(т)б7т,	(Т.10.6)
о	о
где р =	: г = 0,п -1; bk: к = 0,т} — неизвестные коэффициенты ПФ.
Второй шаг предполагает запись невязки
t	t
s(/,p) = х(/) +	(/,т,р)х(т)б7т- \kv (/,т,р)у(т)б7т.
о	о
Далее, на третьем шаге строится функционал качества
т
l(pl,p2,...,pr) = ^2(t,p)dt,
о
а на четвертом шаге составляется система алгебраических уравнений
^(Р)=О, i = \,n + m + \ = ~r.	(Т.10.7)
Фг
Реализация пятого шага решения системы алгебраических уравнений (Т.10.7) дает
решение задачи идентификации: находится оптимальный вектор р* = (д*, р*2,..., р*j.
ЗАДАНИЕ 10.7
Изучите метод идентификации стационарных объектов с помощью модели с на-
страиваемыми параметрами и примените его для решения конкретных задач.
Этот метод относится к группе компенсационных методов, использующих модели
систем управления (объектов) с настраиваемыми параметрами. Сущность метода
состоит в следующем. Строится модель объекта на основе имеющихся априорных
данных. Если структура объекта известна, то модель выбирается такой же структуры.
На вход модели подают те же самые сигналы, которые действуют и на реальный объ-
ект и являются контролируемыми. Сигналы выхода также контролируются. На осно-
ве сравнения соответствующим образом преобразованных моделью сигналов входа и
выхода объекта формируется невязка, свидетельствующая о том, что при выбранных
значениях параметров модель неадекватно описывает объект. В соответствии с за-
данным критерием идентификации производится настройка параметров модели та-
ким образом, чтобы получить минимум функционала. В рассматриваемом случае
модель объекта является адаптивной. При достижении минимума критерия полагают,
что модель для данного типа входного воздействия адекватна объекту и параметры
модели отождествляются с параметрами объекта. Таким образом, задача идентифи-
кации состоит в определении структуры модели и построении алгоритма настройки
ее параметров.
На практике применяют критерий
т
^2(t,pl,p2,...,pr)dt = l(pl,p2,...,pr).	(Т.10.8)
о
При использовании автоматического вычислительного устройства, предназначенно-
го для минимизации (Т.10.8), обычно реализуется метод градиента, согласно которому
^- = 2grad(l), z = 1,/.
618 Задания для самостоятельной работы
Для вычисления компонент градиента можно использовать метод вспомогатель-
ного оператора
dt ds de:
где f (s) — функция ошибки.
Выполните следующие этапы задания:
1)	постройте модели объекта: аналоговый и цифровой варианты;
2)	изучите методы поиска экстремума функции многих переменных;
3)	постройте алгоритмы настройки для разных функционалов качества;
4)	примените метод для идентификации объектов с конкретными ПФ.
Предметный указатель
619
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
д
Абсцисса сходимости..................415
Автокорреляционная функция.......... 48
Автоматизация испытаний..............494
Аксиомы линейного пространства......421
Алгоритм .......................... 140
-идентификации.......................318
- метода моментов.................. 112
- наилучшего приближения.............437
-оптимальный.........................437
-проекционный........................437
Анализ точности САУ................. 94
Аппроксимация закона распределения.. 179
Арцела теорема.......................428
Б
Базисная система......................426
Байесовский подход....................318
Банахово пространство.................426
Белый шум............................. 55
-	с запаздыванием...................390
Блочно-импульсные функции.............465
Быстрое преобразование Фурье..........434
Дарбу-Кристоффеля тождество..........239
Датчики случайных чисел..............213
Двигатель постоянного тока...........512
Дельта-функция....................... 59
Дисперсионное уравнение.............. 74
Дисперсия............................ 36
-	нестационарной случайной функции. 36
-	случайного процесса.............. 36
-	стационарной случайной функции... 36
Дифференциальный закон распределения .. 33
-	случайной величины............... 33
-	функций.......................... 33
Дифференциальное уравнение
- векторно-матричное.................550
-скалярное...........................550
Дифференциатор.......................509
Доверительная вероятность............216
Доверительные пределы................216
Доверительный интервал...............216
Е
Евклидова метрика....................422
В
3
Вероятностные характеристики
- белого шума.........................250
-	полезного сигнала..................250
-	помехи.............................250
Весовая функция.......................423
Вещественная частотная характеристика
замкнутой системы..................... 61
Взаимная корреляционная функция
- в нестационарной системе............ 50
-	в стационарной системе............. 50
-	нормированная...................... 50
Вибрационное нагружение.............. 179
Возмущения случайные..................589
Вольтерра интегральное уравнение......267
Вольтерра интегральный оператор.......267
Время запаздывания....................390
Гаусса закон.......................... 38
Гаусса квадратурная формула...........238
-	коэффициенты.......................239
Генерирование случайных сигналов .....213
Гильбертово пространство..............434
Гипотеза эргодичности................. 52
Задача
-	Винера...........................262
-идентификации......................311
-	интерполирования.................229
- классификации сигналов............250
-корректная.........................324
-некорректная.......................324
-	нелинейного программирования.... 308
-	оптимального наблюдения..........297
-	плохо обусловленная..............324
-	фильтрации.......................301
Закон
-	больших чисел.....................241
-Гаусса.............................. 38
Закон распределения
-бета-распределение.................563
-Вейбулла...........................564
-гамма-распределение................562
-гауссовский........................561
-	двухмерный
—	дифференциальный............... 43
—	интегральный................... 42
-	дифференциальный................. 33
- интегральный...................... 33
-Коши...............................562
-Лапласа............................566
620
Статистическая динамика и идентификация САУ
-Максвелла..........................563
-многомерный........................ 71
-	нормальный....................... 38
-показательно-степенной.............564
-равномерный........................561
-	Райса............................563
-Релея..............................563
-экспоненциальный...................564
-Эрланга............................563
Замыкание множества.................426
Значение среднее квадратическое..... 37
И	II
Идентификация.........................313
Идентификация гарантированная.........313
Идентифицируемость....................313
Р1нтегральный закон распределения..... 33
Р1нтегратор...........................508
Р1нтерполирование функции.............229
Интерполяционный многочлен Лагранжа.... 229
Интервал вероятностей................. 69
Интервал исследования.................556
Искажение спектра.................... 178
К	II
Каноническое разложение............ 132
-случайной функции..................220
Качество регулирования..............248
Квадратурная формула................322
Классы функций......................438
Компактность........................428
Компактный оператор.................432
Композиция операторов...............431
Компьютерное моделирование..........218
Корректирующее устройство...........505
-параллельное.......................505
— последовательное..................505
Корреляционная функция выходного
сигнала.............................305
Корреляционная функция.............. 48
- взаимная.......................... 53
- нестационарных функций............ 48
-нормированная...................... 48
-ошибки............................. 91
-	свойства......................... 49
-	случайных процессов.............. 48
-	связь со спектральной плотностью. 57
Корреляционный момент............... 45
Корреляционный подход...............316
Корреляция.......................... 51
Косинусов система...................445
Коши-Буняковского неравенство.......434
Коэффициент
- корреляции........................ 45
-	усиления.........................208
Коэффициенты ошибок................. 96
Коэффициенты статистической
линеаризации....................... 166
- метод определения.................168
- по случайной составляющей........ 166
- по средней составляющей.......... 166
Критерий
-идентификации......................314
-качества...........................378
- квадратичный.......................252
- Коши........................425
- минимума среднего квадрата ошибки..252
- статистической эквивалентности..... 164
-точности...........................582
-эффективности...................... 89
Кронекера символ....................370
Кумулянт........................... 158
Кусочно-линейные функции............468
Л
Лежандра полиномы....................242
Линеаризация статистическая......... 166
Линейное многообразие................427
Линейное подпространство.............427
Линейный оператор....................429
-	непрерывный......................429
-	ограниченный.....................429
Линейный функционал..................433
Липшица условие......................438
Локальные сплайны....................466
-	второго порядка..................470
-	кубические.......................473
-	нулевого порядка.................467
-параболические......................471
- первого порядка....................468
-третьего порядка....................471
Лягерра полиномы.....................243
I м	И
Математическая модель системы.......498
Математическое ожидание............. 35
-	входного сигнала................. 35
—	выходного сигнала................ 35
-	случайного процесса.............. 36
Матрица
- дисперсионная..................... 72
-	корреляционных моментов.......... 72
-	корреляционных функций........... 71
-ортогонализации....................221
-	формирующего фильтра............. 74
Матричный оператор
-дифференцирования..................481
-	интегрирования...................479
-стохастический.................... 128
-умножения..........................480
Матричный ряд...................... 130
Местная обратная связь..............514
Метод
- баланса математических ожиданий.. 151
-	взаимной корреляции..............394
-	Винера...........................382
-	графоаналитический.............. 171
-детерминированных эквивалентов......232
-Доступова..........................225
Предметный указатель
621
-	Заде-Рогаззини...................309
-идентификации.......................315
-интерполяционный....................228
-итерационный........................353
-	канонических разложений......... 152
-квадратур...........................342
-корреляционных функций..............332
-	моментов........................ 111
-Монте-Карло........................ 151
-	наименьших квадратов.............409
-	проекционно-матричных операторов... 102
-регуляризации.......................325
-	спектральных плотностей......... 151
-	статистических испытаний........ 151
-	статистической линеаризации..... 164
-	устойчивости..................... 98
-	Фейера...........................455
-Чернецкого..........................228
-	эквивалентной передаточной функции.202
-	эквивалентных возмущений.........225
Метрика..............................424
-	среднеквадратичная...............425
Мнимая частотная характеристика...... 65
Многочлены
-	Лежандра.........................446
-	Лягерра..........................243
-	Чебышева 1-го рода...............450
-	Чебышева 2-го рода...............458
Множество
- вполне ограниченное................428
-	всюду плотное....................426
-замкнутое...........................426
-	компактное.......................427
-	предкомпактное...................427
-	равномерно ограниченное..........428
- функций............................428
Момент корреляции.................... 45
Мощность случайного процесса......... 56
I н	II
Надежность........................ 180
Начальный момент................... 35
Нелинейный режим.................. 153
Нелинейный элемент................ 153
Норма..............................421
Норма оператора....................430
Нормированное пространство.........421
О
Оператор
- аналитический.....................382
-дифференцирования..................430
-интегрирования.....................430
-	компактный.......................432
-конечномерный......................433
-Лапласа............................535
-математического ожидания.......... 102
-	обратимый........................432
-	обратный.........................432
-	ограниченный.....................431
-однородный.........................382
- оптимальный........................317
- проектирования.....................431
-умножения на функцию................430
Операционный усилитель...............505
Операция расщепления.................265
Определитель Гурвица.................476
Ортогонализация......................434
Ортогональность......................434
Ортогональный базис..................219
Ортонормированная система элементов..434
Осреднение по времени...............3 84
Отклонение регулируемой величины..... 20
Отклонение среднее квадратическое.... 37
-относительное.......................341
Оценка
- моментов...........................214
- параметров.........................413
-погрешности.........................354
Ошибка
- наведения.......................... 62
-	системы.......................... 90
-средняя квадратическая..............260
п
Параметр регуляризации...............366
Параметрическая идентификация....... 329
Парсеваля равенство..................434
Передаточная функция.................415
-	канала системы...................417
-	ошибки........................... 91
-	по математическому ожиданию..... 171
-	по центрированной составляющей... 171
-	последовательного соединения.... 140
-	соединений звеньев...............419
-	формирующего фильтра............. 87
- эквивалентная......................207
Пневмосистема........................ 19
Показатели качества
- вероятностные...................... 89
-эффективности....................... 89
Полоса пропускания................... 78
-эффективная......................... 79
Полунатурное моделирование...........212
Помехи управления....................589
Поперечник Колмогорова...............436
Последовательность
-сходящаяся..........................424
-	фундаментальная..................426
Предельная точка.....................426
Преобразование
-Лапласа.............................415
—	многомерное обратное............415
—	многомерное прямое..............415
-	Фурье............................416
Принцип комплексирования.............255
Проблема идентификации...............311
Проблема формирующего фильтра........216
Проекционная модель................. 133
Пространство
- С[0,Г].............................423
-	С2[0,Г]..........................423
622
Статистическая динамика и идентификация САУ
-£2[0,Г]..............................426
-	банахово..........................426
-	Лебега............................423
-линейное.............................421
-нормированное........................421
-	полное............................426
-	сепарабельное.....................426
Процесс
-итерационный.........................354
- ортогонализации.....................434
Псевдослучайная последовательность....213
Редуктор...........................514
Регулятор..........................505
Родрига формула....................416
Ряд
-Вольтерра........................ 156
-Грама-Шарлье..................... 159
-	Маклорена.......................224
-	Фурье...........................434
-	Фурье-Лежандра..................447
-	Фурье-Уолша.....................465
- Эджворта........................ 160
С
Свертка функций.......................417
Свободные колебания................... 49
Связь обратная........................ 48
Сигнал
-полезный............................ 154
-регулярный........................... 154
-	случайный......................... 26
Система
- автоматизированного проектирования..491
—	автоколебательная.................555
-	дифференциальных уравнений........212
-	косинусов.........................445
-	линейная.......................... 26
-нелинейная ограниченная..............583
-	нестационарная линейная.......... 156
-	с запаздыванием...................391
-	с распределенными параме грами....534
-	самонаведения..................... 28
-	самонастраивающаяся...............375
-	следящая.......................... 26
-	случайных величин................. 31
-стабилизации.........................583
-стохастическая...................... 126
Случайная величина
- дискретная.......................... 35
-	коррелированная................... 46
-	некоррелированная................. 46
-	непрерывная....................... 33
Смешанный центральный момент.......... 44
Спектр ошибки.........................341
Спектр сигнала........................341
Спектральная норма....................325
Спектральная плотность................ 55
-	амплитудная....................... 56
-	ошибки........................... 93
- факторизация....................... 79
Спектральная функция................. 56
Сплайны..............................466
Среднее значение..................... 72
Среднее квадратическое отклонение..... 37
Стандартный интеграл.................476
Статистическая идентификация........ 396
Статистическая эквивалентность.......226
Статистические характеристики белого
шума................................. 55
Статистический анализ................ 63
Стохастический процесс............... 30
Сумматор
-инвертирующий.......................507
-неинвертирующий.....................507
Схема компенсации....................255
Схема оптимального фильтра...........270
Сходимость...........................425
-	среднеквадратическая.............425
Теорема
-	Винера-Хинчина...................575
-	об обратимости...................432
Теория автоматического управления....498
Точность приближения.................457
Тригонометрическая система функций...440
Тригонометрический ряд Фурье.........440
-	коэффициенты.....................440
- частичная сумма....................440
Узлы интерполирования...............229
Уолша функции.......................462
-	в нумерации Пэли.................462
Уравнение
- векторно-матричное................267
-Винера-Хопфа.......................394
-Вольтерра 1-города.................478
-	дисперсионное.................... 74
-интегральное.......................333
-	матрично-операторное............ 129
-	оптимального фильтра.............278
-Риккати............................283
-	статистической идентификации.....402
-	Фоккера-Планка-Колмогорова....... 19
-	Фредгольма 1-го рода.............351
Усилитель
-инвертирующий......................506
-неинвертирующий....................506
-	постоянного тока.................509
-	с дифференциальным входом....... 506
-	электромашинный..................510
Установившийся режим................ 64
Факторизация.........................264
Фейера сумма.........................443
Физическая осуществимость фильтра....263
Предметный указатель
623
Фильтр
- Винера............................262
- Калмана-Бьюси.....................283
-Лягерра............................364
- формирующий....................... 86
Флюктуационная помеха............... 28
Формула
- Винера-Хинчина....................576
-прямоугольников....................321
Фредгольма оператор.................351
Функция
- автокорреляционная................ 48
-Бесселя............................528
-	координатная.....................220
-	корреляционная................... 48
-Крампа............................ 175
-кумулянтная....................... 158
-Лапласа........................... 175
-Лягерра............................360
-порождающая........................480
-потерь.............................314
-	Радемахера.......................462
-	случайная........................ 30
-	трансцендентная..................538
-	характеристическая.............. 158
-	элементарная.....................220
Фурье преобразование................ 81
Фурье-Рагозинского сумма............444
Ц
Центральный момент................... 36
Цифровое моделирование...............211
ч
Чебышева полиномы 1-го рода........478
Чебышева теорема................... 69
Число Кристоффеля..................231
Число обусловленности..............324
ш
Шум белый........................... 55
э
Эквивалентное возмущение.............225
Эквивалентный коэффициент усиления...208
Элемент безынерционный
-линейный........................... 166
-нелинейный......................... 166
Электрогидравлический следящий вибратор ..181
Элемент наилучшего приближения.......436
Эргодичность......................... 52
Эрмита полиномы..................... 159
X
Я
Характеристика нелинейная	статическая. 153
Характеристика частотная..............418
Характеристика частотная фазовая...... 63
Холецкого разложение..................221
Ядерный реактор....................535
Ядро
-	Дирихле........................ 105
-	Фейера..........................446
624
Статистический анализ и идентификация САУ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Автоматизированное проектирование систем автоматического управления / Под
ред. В.В. Солодовникова. — М.: Машиностроение, 1989. — 546 с.
2.	Автоматизированное проектирование систем управления / Под ред. М. Джам-
шиди и Ч.Дж. Хергета. — М.: Машиностроение, 1989. — 344 с.
3.	Адомиан Дж. Стохастические системы. — М.: Мир, 1987. — 376 с.
4.	Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. — М.: Высшая школа,
1989, —263 с.
5.	Александровский Н.М., Дейч А.М. Методы определения динамических характе-
ристик нелинейных объектов (обзор) // Автоматика и телемеханика. — 1968. —
№1, —С.167-188.
6.	Александровский Н.М., Егоров С.В., Кузин Р.Е. Адаптивные системы автомати-
ческого управления сложными технологическими процессами. — М.: Энергия,
1973, —272 с.
7.	Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления / Под ред. А.А. Воро-
нова и И.А. Орурка. — М.: Наука, 1984. — 344 с.
8.	Аналитические самонастраивающиеся системы автоматического управления /
Под ред. В.В. Солодовникова. — М.: Машиностроение, 1965.
9.	Андреев Ю.Е1. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Нау-
ка, 1982, —424 с.
10.	Андронов А.А., Витт А.А., Понтрягин Л.С. О статистическом рассмотрении
динамических систем / Жури. «Экспериментальная и теоретическая физика». —
1933. — №3. — Т.З. — С.165.
11.	Астапов Ю.М., Медведев В.С. Статистическая теория систем автоматического
регулирования и управления. — М.: Наука, 1982. — 304 с.
12.	Баранов В.Н. Электрогидравлические следящие приводы вибрационных машин.
— М.: Машиностроение, 1988. — 264 с.
13.	Баранов В.Н., Захаров Ю.Е. Электрические и гидравлические вибрационные
механизмы. Теория, расчет и конструкции. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Ма-
шиностроение, 1977. — 328 с.
14.	Батков А.М. Обобщение метода формирующего фильтра на нестационарные
случайные процессы // Автоматика и телемеханика. — 1959. — Т.20. — №8.
— С.1081-1094.
15.	Батков А.М., Александров О.М. и др. Методы оптимизации в статистических
задачах управления. — М.: Машиностроение, 1974.
16.	Белоглазов И.Н., Тарасенко В.П. Корреляционно-экстремальные системы. —
М.: Советское радио, 1974.
17.	Бессонов А.А., Загашвили Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентифика-
ции динамических объектов. — Л.: Энергоатомиздат, 1989. — 280 с.
18.	Бирюков В.Ф., Реутов В.Ф. Метод построения решений уравнения Бутона для класса
исходных данных // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана. — 1975. — №190. — С.50-54.
19.	Бобнев М.П., Кривицкий Б.Х., Ярлыков М.С. Комплексные системы радиоавто-
матики / Под ред. Б.Х. Кривицкого. — М.: Советское радио, 1968. — 232 с.
Список литературы 625
20.	Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний. — М.: Физ-
матгиз, 1961.
21.	Венгеров А.А., Щаренский В.А. Прикладные вопросы оптимальной линейной
фильтрации. — М.: Энергоиздат, 1982. — 192 с.
22.	Виленкин Н.Я. О приближенном вычислении кратных интегралов / Сб. «Вычис-
лительная математика». — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — №5. — С.43-49.
23.	Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов: Пер. с англ. / Под
ред. Ю.Л. Климантовича. — М.: ИЛ, 1961. — 160 с.
24.	Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1977.
— 304 с.
25.	Воеводин В.В., Кузнецов Ю.Д. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 320 с.
26.	Волков И.К. Условия идентифицируемости математических моделей эволюци-
онных процессов по результатам дискретных косвенных измерений вектора со-
стояния // Известия РАН. Техническая кибернетика. — 1994. — №6. — С.65-72.
27.	Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. 4.1, 2. — М.: Энер-
гия, 1965, 1966. — 472 с., 336 с.
28.	Гайский В А., Егупов Н.Д., Корнюшин Ю.П. Применение функций Уолша в системах
автоматизации научных исследований. — Киев: Наукова думка, 1993. — 212 с.
29.	Гладкий В.Ф. Прочность, вибрация и надежность конструкции летательного
аппарата. — М.: Наука, 1975. — 454 с.
30.	Грабарь Л.П. Применение полиномов Чебышева, ортонормированных на сис-
теме равноотстоящих точек, к решению интегральных уравнений Фредгольма
1-го рода // ДАН. — 1967. — Т.172. — №4.
31.	Грешилов А.А. Анализ и синтез стохастических систем. Параметрические моде-
ли и конфлюентный анализ. — М.: Радио и связь, 1990. — 320 с.
32.	Гроп Д. Методы идентификации систем: Пер. с англ. / Под ред. Е.П. Кринецко-
го. — М.: Мир, 1979. — 302 с.
33.	Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов / Пер. с англ. — М.:
Энергия, 1979. — 240 с.
34.	Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. — М.: Лаборатория Ба-
зовых Знаний, Юнимедиастайл, 2002. — 831 с.
35.	Доступов Б.Г. Метод эквивалентных возмущений. В кн.: Статистические мето-
ды в проектировании нелинейных САУ / Под общ. ред. Е.П. Попова. — М.:
Машиностроение, 1970. — С.97-123.
36.	Евланов Л.Г., Константинов В.М. Системы со случайными параметрами. — М.:
Наука, 1976. — 588 с.
37.	Егупов НД., Лапин С.В. Идентификация нестационарных систем управления с по-
мощью разложений по блочно-импульсным функциям // Труды МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана. — 1992. — №558. — С.55-73.
38.	Егупов Н.Д., Макаренков AM., Широкова З.Г. Описание и анализ систем со слу-
чайными параметрами с использованием понятия стохастического матричного
оператора // Труды МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 1999. — №575. — С. 13-14.
39.	Емельянов С.В. Бинарные системы автоматического управления. — М.: Мир,
1987, —296 с.
40.	Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структу-
рой. — М.: Наука, 1967.
41.	Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при не-
определенности. — М.: Физматлит, 1997. — 352 с.
626 Статистический анализ и идентификация САУ
42.	Земляков С.Д. Принципы построения и методы исследования адаптивных САУ.
— М.: 1978, — 113 с.
43.	Иванов ВЛ., Медведев В.С., Чемоданов Б.К. Математические основы теории авто-
матического регулирования: В 2-х т. — М.: Высшая школа, 1977. — Т.1. — 518 с.
44.	Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управ-
ления. — М.: Наука, 1983. — 336 с.
45.	Казакевич В.В., Родов А.Б. Системы автоматической оптимизации. — М.: Энер-
гия, 1977.
46.	Казаков И.Е. Приближенный вероятностный анализ точности работы сущест-
венно нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. — 1956. — T.XV11. —
№5. — С.365-409.
47.	Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состоя-
ний. — М.: Наука, 1975. — 432 с.
48.	Казаков И.Е. Статистические методы проектирования систем управления. —
М.: Машиностроение, 1969. — 270 с.
49.	Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В.А. Анализ систем случайной структуры.
— М.: Наука, 1993. — 272 с.
50.	Казаков И.Е., Доступов Б.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматиче-
ских систем. — М.: Физматгиз, 1962. — 332 с.
5\.	Казаков И.Е., Евланов Л.Г. К теории самонастраивающихся систем с поиском
градиента методом вспомогательного оператора. Дискретные и самонастраиваю-
щиеся системы: Тр. II Междунар. конгр. ИФАК. — М.: Наука, 1965. — С.252-266.
52.	Калман Р.Е. Об общей теории систем управления // Труды I конгресса IF АС,
Москва, 27 июня-7 июля 1960 г., «Теория дискретных, оптимальных и самона-
страивающихся систем». — М.: Изд. АН СССР, 1961. — С.506-521.
53.	Кашъян Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по
экспериментальным данным. — М.: Наука, 1983. — 384 с.
54.	Киселев О.И., Попков Ю.С. Некоторые вопросы синтеза одного класса нелиней-
ных фильтров // Автоматика и телемеханика. — 1967. — №11. — С.29-38.
55.	Киселев О.И., Попков Ю.С. Синтез нелинейных систем по статистическим крите-
риям // Труды I симпозиума по статистическим методам в технической киберне-
тике. Нелинейные и оптимальные системы. — М.: Наука, 1970. — С.64-74.
56.	Козлов Ю.М., Юсупов Р.М. Беспоисковые самонастраивающиеся системы. — М.:
Наука, 1969.
57.	Колмогоров А.И. Интегрирование и экстраполирование стационарных случайных
последовательностей // Изв. АН СССР. Сер. математика. — 1991. — №1. — Т.5.
58.	Коньков В.Г., Матвеев П.С. Анализ линейных систем автоматического управ-
ления со случайными параметрами // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.
— 1968, —№1.
59.	Костюк В.И. Беспоисковые градиентные самонастраивающиеся системы. —
Киев: Техника, 1969.
60.	Кочетков В.Т., Половко А.М., Пономарев В.М. Теория систем управления и са-
монаведения ракет. — М.: Наука, 1964. — 536 с.
61.	Красовский А.А. Динамика непрерывных самонастраивающихся систем. — М.:
Физматгиз, 1963.
62.	Красовский А.А. Оптимальные алгоритмы в задаче идентификации с адаптивной
моделью // Автоматика и телемеханика. — 1976. — №12. — С.75-82.
Список литературы 627
63.	Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. — М.:
Машгиз, 1962. — 684 с.
64.	Кузовков Н.Т. Динамика систем автоматического управления. — М.: Машино-
строение, 1968. — 386 с.
65.	Кухтенко В.И. Динамика самонастраивающихся систем со стабилизацией час-
тотных характеристик. — М.: Машиностроение, 1970.
66.	Лапин С.В., Егупов НД. Теория матричных операторов и ее приложение к задачам
автоматического управления. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. — 496 с.
67.	Лебедев А.А., Карабанов В А. Динамика систем управления беспилотными лета-
тельными аппаратами. — М.: Машиностроение, 1965.
68.	Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 2. — М.:
Советское радио, 1968. — 504 с.
69.	Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и
управления. Вып. 24. — М.: Радио и связь, 1985.— 312 с.
70.	Ли Ю.В., Шетцен М. Определение ядер Винера-Хопфа для нелинейных систем
методом взаимной корреляции / В кн.: «Техническая кибернетика за рубежом /
Сб. переводов; Под ред. В.В. Солодовникова. — М.: Машиностроение, 1968. —
С.166-196.
71.	Лившиц Н.А., Пугачев В.Н. Вероятностный анализ систем автоматического
управления. Т.1, 2. — М.: Советское радио, 1963. — 896 с, 484 с.
72.	Максимов М.В., Горгонов Г.И. Радиоуправление ракетами. — М.: Советское
радио, 1964. — 643 с.
73.	Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их пре-
образований. — М.: Сов. Радио, 1978. — 376 с.
74.	Манжиров А.В., Полянин АД. Методы решения интегральных уравнений: Спра-
вочник. — М.: Факториал, 1999. — 272 с.
75.	Матвеев П.С., Синицын А.С. Динамическая точность систем автоматического
управления со случайными параметрами / В сб.: Автоматическое управление и
вычислительная техника. Вып. 6. — М.: Машиностроение, 1964. — С.232-305.
76.	Матвеев П.С., Синицын А.С. Исследование точности и оценка надежности сис-
тем автоматического управления со случайными параметрами / В сб.: Автома-
тическое управление и вычислительная техника. Надежность систем управле-
ния. Вып. 7. — М.: Машиностроение, 1967. — С.79-139.
77.	Матвеев П.С., Синицин А.С. Определение динамических характеристик систем
из неидеальных элементов // Аналитические самонастраивающиеся системы ав-
томатического управления / Под ред. В.В. Солодовникова. — М.: Машино-
строение, 1965. — С.43-57.
78.	Матвеев П.С., Синицын А.С. и др. Оптимизация систем автоматического управ-
ления с учетом нелинейностей, случайных параметров и помех / В сб.: Автома-
тическое управление и вычислительная техника. Частотные методы. Вып. 8. —
М.: Машиностроение, 1968. — С.239-282.
79.	Матвеев П.С., Синицин А.С.. Глебачев Ю.М. Оптимизация систем автоматическо-
го управления с учетом нелинейностей, случайных параметров и помех // Авто-
матическое управление и вычислительная техника. Вып. 8 / Под ред. В.В. Соло-
довникова. — М.: Машиностроение, 1968.— С.29-41.
80.	Машинные методы расчета и проектирования систем электросвязи и управления /
А.И. Дмитриев, Н.Д. Егупов, А.М. Шестопалов, Ю.Г. Моисеев. — М.: Радио и
связь, 1990. — 272 с.
628 Статистический анализ и идентификация САУ
81.	Медведев Г.А. О статистической аппроксимации коррелированных последова-
тельностей // Автоматика и телемеханика. — 1973. — №5. — С.33^41.
82.	Микеладзе Ш.Е. Приближенные формулы для кратных интегралов // Сообщения
Грузинской АН. — 1952. — Т. 13. — №4. — С. 18-26.
83.	Михайлов ФА., Теряев Е.Д., Булеков В.П. Динамика нестационарных линейных
систем. — М.: Наука, 1967. — 344 с.
84.	Михайлов ФА., Теряев ЕД., Булеков В.П. Динамика непрерывных линейных систем
с детерминированными и случайными параметрами. — М.: Наука, 1971. — 558 с.
85.	Е1елинейная оптимизация систем автоматического управления / Под общ. ред.
Е.П. Попова. — М.: Машиностроение, 1970. — 308 с.
86.	Е1ъютон Дж.К., Гулд А.А., Кайзер Дж.Ф. Теория линейных следящих систем. —
М.: ГИ ФМЛ, 1961, —407 с.
87.	Основы автоматического управления. 3-е изд. / Под ред. В.С. Пугачева. — М.:
Наука, 1974, —720 с.
88.	Первозванский АА. Курс теории автоматического управления. — М.: Наука,
1986, —616 с.
89.	Первозванский АА. Случайные процессы в нелинейных автоматических систе-
мах. — М.: ГИФМЛ, 1962. — 352 с.
90.	Петерка В.Г. Байесовский подход к идентификации систем. Современные ме-
тоды идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоффа. — М.: 1983. — С.278-395.
91.	Петров Б.Н., Крутъко П.Д. Применение теории чувствительности в задачах
автоматического управления // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. —
1970, —№2.
92.	Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д. Адаптивное координатно-пара-
метрическое управление нестационарными объектами. — М.: Наука, 1980.
93.	Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Крутова И.Н., Земляков С.Д. Принципы по-
строения и проектирования самонастраивающихся систем управления. — М.:
Машиностроение, 1972. — 259 с.
94.	Попков Ю.С. Достаточные характеристики нелинейных систем // Автоматика и
телемеханика. — 1970. — №3. — С.55-64.
95.	Попков Ю.С., Киселев О.Н., Петров Н.П., Шмулъян Б.Л. Идентификация и оп-
тимизация нелинейных стохастических систем. — М.: Энергия, 1976.
96.	Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управ-
ления. — М.: Наука, 1978. — 720 с.
97.	Пугачев В.С. Теория случайных функций и их применение в задачах автомати-
ческого управления. — М.: Физматгиз, 1962. — 884 с.
98.	Пугачев В.С., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории авто-
матических систем. — М.: Машиностроение, 1974. — 560 с.
99.	Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Ана-
лиз и фильтрация. — М.: Наука, 1990. — 632 с.
100.	Пупков КА. Метод исследования точности существенно нелинейных систем
автоматического управления при помощи эквивалентной передаточной функ-
ции // Автоматика и телемеханика. — 1960. — Т.21. — №2. — С.31-38.
101.	Пупков КА. Об устойчивости нелинейных систем с ограничением при случай-
ных воздействиях // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1966. — №4.
— С.161-166.
102.	Пупков КА. Основы кибернетики. Математические основы кибернетики. — М.:
Высшая школа, 1974. — 416 с.
Список литературы 629
103.	Пупков К.А. Статистический расчет нелинейных систем автоматического управ-
ления. — М.: Машиностроение, 1965. — 404 с.
104.	Пупков К.А., Егупов Н.Д., Коньков В.Г. Методы анализа, синтеза и оптимизации
нестационарных систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова.
— М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. — 684 с.
105.	Пупков К.А., Егупов Н.Д., Трофимов А.И. Статистические методы анализа, син-
теза и идентификации систем автоматического управления / Под ред.
Н.Д. Егупова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. — 560 с.
106.	Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории нели-
нейных систем. — М.: Наука, 1976. — 448 с.
107.	Пупков К.А., Егупов Н.Д., Макаренков А.М., Трофимов А.И. Теория и компью-
терные методы исследования стохастических систем. — М.: Физматлит, 2000.
— 400 с.
108.	Райбман Н.С. Что такое идентификация. — М.: Наука, 1970. — 117 с.
109.	Райбман Н.С., Чадеев В.М. Адаптивные модели в системах управления. — М.:
Советское радио, 1966.
110.	Райбман И.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производства. — М.:
Энергия, 1975.
111.	Растригин Л.А. Системы экстремального регулирования. — М.: Наука, 1974.
112.	Росин М.Ф. Статистическая динамика и теория эффективности систем управле-
ния. — М.: Машиностроение, 1970. — 336 с.
113.	Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления. — М.:
Наука, 1980. — 400 с.
114.	Сейдж Э.П., Мелса Дж. Идентификация систем управления. — М.: Наука, 1974.
115.	Семенов В.В., Панин Е.Д. Обобщение спектрального метода анализа линейных
систем с переменными параметрами на многомерные системы // Изв. вузов.
Приборостроение. — 1970. — №1. — С.44-58.
116.	Семенов В.В., Сивцов В.И. Статистический анализ одного класса нелинейных
систем в частотной области // Изв. вузов. Приборостроение. — 1976. — №8. —
С.29-33.
117.	Семенов В.В., Солодовников В.В. Спектральная теория нестационарных систем
управления. — М.: Наука, 1974. — 336 с.
118.	Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. — М.: Наука, 1973.
119.	Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйхкоффа. — М.:
Мир, 1983, —440 с.
120.	Солодов А.В. Методы теории систем в задаче непрерывной линейной фильтра-
ции. — М.: Наука, 1976. — 264 с.
121.	Солодовников В .В. Статистическая динамика линейных систем автоматического
управления. — М.: Физматгиз, 1960. — 656 с.
122.	Солодовников В.В., Дмитриев А.И., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и
проектирования систем управления. — М.: Машиностроение, 1986. — 440 с.
123.	Солодовников ВВ, Дмитриев АН, Егупов НД, Лобусов ЕС. Идентификация ли-
нейных систем автоматического управления с распределенными параметрами и
с запаздыванием // Автоматическое управление и вычислительная техника.
Вып. 10. — М.: Машиностроение, 1972. — С.41-58.
124.	Солодовников В .В., Матвеев И.С. Расчет оптимальных систем автоматического
управления при наличии помех. — М.: Машиностроение, 1973. — 240 с.
630 Статистический анализ и идентификация САУ
125.	Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория автоматического управ-
ления техническими системами. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. —
492 с.
126.	Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем
управления. — М.: Наука, 1974.
127.	Солодовников В .В., Семенов В.В. Спектральный метод расчета нестационарных сис-
тем управления летательными аппаратами. — М.: Машиностроение, 1975. — 272 с.
128.	Солодовников В.В., Усков А.С. Стохастический анализ объектов управления. —
М.: Машгиз, 1960.
129.	Солодовников В.В., Шрамко Л.С. Расчет и проектирование аналитических само-
настраивающихся систем с эталонными моделями. — М.: Машиностроение,
1972, —270 с.
130.	Справочник по теории автоматического управления / Под ред.
А.А. Красовского. — М.: Наука, 1987. — 712 с.
131.	Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического
управления / Под ред. Б.Г. Доступова. — М.: Машиностроение, 1970. — 408 с.
132.	Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1979.
— 412 с.
133.	Теория автоматического управления / Под ред. А.А. Воронова. 4.1, 2. — М.:
Высш, школа, 1986. — 362 с., 382 с.
134.	Техническая кибернетика / Под ред. В.В. Солодовникова. Кн.1. Кн.2. Кн.З. 4.1.
— М.: Машиностроение, 1967. Кн.1 — 768 с., 1967. Кн.2 — 680 с., 1969. Кн.З —
608 с., 1969.
135.	Техническая кибернетика за рубежом / Под ред. В.В. Солодовникова. — М.:
Машиностроение, 1968. — 280 с.
136.	ТицА.В. Приближенное вычисление «-кратных интегралов // Изв. АН СССР.
Серия математическая. — 1940. — №4. — С.8-14.
137.	Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирова-
ния. — М.: Машиностроение, 1977. — 720 с.
138.	Трофимов А.И., Егупов Н.Д., Дмитриев А.Н. Методы теории автоматического
управления. — М.: Энергоатомиздат, 1997. — 653 с.
139.	Ту Ю. Современная теория управления: Пер. с англ. / Под ред. В.В. Солодовни-
кова. — М.: Машиностроение, 1971. — 474 с.
140.	Федосов Е.А., Себряков Г.Г. Спектральный анализ систем управления со слу-
чайно изменяющимися параметрами // Автоматическое управление и вычисли-
тельная техника. Частотные методы. Вып. 8. — М.: Машиностроение, 1968. —
С.207-239.
141.	Филипс У., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. — М.: Лаборато-
рия Базовых Знаний, Юнимедиастайл, 2001. — 615 с.
142.	Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович ВА. Адаптивное управление динамиче-
скими объектами. — М.: Наука, 1981.
143.	Фролов К.В. Машиностроение: Энциклопедия. Тт.1-4. Автоматическое управ-
ление. Теория. — М.: Машиностроение, 2000. — 688 с.
144.	Цыпкин Я.З. Теория импульсных систем. — М.: Физматгиз, 1963. — 724 с.
145.	Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. — М.: Наука, 1968.
146.	Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. — М.: Наука,
1984, —320 с.
Список литературы 631
147.	Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления. — М.: Маши-
ностроение, 1968. — 246 с.
148.	Шамриков Б.М. Основы теории цифровых систем управления: Учебник для ву-
зов. — М.: Машиностроение, 1985. — 296 с.
149.	Шахтарин Б.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. — М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1990. — 76 с.
150.	Шахтарин Б.И. Оптимальная фильтрация и прогнозирование случайных про-
цессов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1991. — 210 с.
151.	Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. Часть 1: Линейные сис-
темы. — М.: Радио и связь, 2002. — 568 с.
152.	Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. — М.: Радио
и связь, 1998. — 488 с.
153.	Шрамко Л.С., Евстифеев В.В. К синтезу одного класса самонастраивающихся
систем // Автоматическое управление и вычислительная техника. Частотные ме-
тоды. Вып. 8. — М.: Машиностроение, 1968. — С.321-337.
154.	Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления: Пер. с англ. — М.:
Мир, 1979, —464 с.
155.	Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления: оценивание парамет-
ров и состояния: Пер. с англ. — М.: Мир, 1975. — 684 с.
156.	Ядыкин И.Б. Оптимальное адаптивное управление на основе беспоисковой са-
монастраивающейся системы с обучаемой эталонной моделью // Автоматика и
телемеханика. — 1979. — №7. — С.99-110.
632
Статистическая динамика и идентификация САУ
СОДЕРЖАНИЕ
ОБЩЕЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К УЧЕБНИКУ........................................ 5
ПРЕДИСЛОВИЕ К 2-МУ ТОМУ ........................................... 11
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АББРЕВИАТУР ................................... 13
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ................................... 16
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ:
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ........................................... 19
1.1.	Примеры систем, работающих при случайных воздействиях... 19
1.2.	Случайная функция и ее вероятностное описание .......... 30
1.2.1.	Одномерные законы распределения, математическое
ожидание и дисперсия случайной функции X (г) .............. 30
1.2.2.	Двухмерные законы распределения и корреляционная
функция случайного процесса X (г) ......................... 42
1.2.3.	Стационарные и эргодические случайные сигналы ....... 50
1.2.4.	Спектральная плотность стационарного случайного
сигнала.................................................... 55
1.3.	Статистический анализ одномерных линейных систем,
ОСНОВАННЫЙ НА ОПИСАНИИ СКАЛЯРНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ И ИНТЕГРАЛАМИ ДЮАМЕЛЯ И КОШИ
(АНАЛИЗ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ) .......................... 62
1.4.	Статистический анализ линейных систем, основанный
НА ОПИСАНИИ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЕМ В ФОРМЕ КОШИ И ИНТЕГРАЛОМ КОШИ
(АНАЛИЗ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ) . 71
1.5.	Статистический анализ одномерных линейных систем
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
(АНАЛИЗ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ) ........................... 77
1.6.	Формирующие фильтры..................................... 86
1.7.	Анализ точности линейных автоматических систем
С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ ........... 89
1.8.	Метод проекционно-матричных и сеточно-матричных
ОПЕРАТОРОВ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ
(СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ) СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ .............................101
1.8.1.	Метод проекционно-матричных операторов ..............101
1.8.2.	Метод моментов.......................................111
1.8.3.	Метод сеточно-матричных операторов
корреляционного анализа нестационарных систем..............115
1.9.	Анализ линейных стохастических систем управления
МЕТОДОМ ОСРЕДНЕНИЯ ПРОЕКЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ .....................125
1.9.1.	Аппроксимация математических моделей.................128
1.9.2.	Структурное представление моделей....................134
Содержание 633
1.9.3.	Анализ систем, параметры которых являются
случайными величинами.........................................135
1.9.4.	Анализ систем с переменными случайными параметрами.....138
1.9.5.	Оценка сходимости матричных рядов......................139
1.9.6.	Особенности алгоритмической и программной реализации...140
1.10.	Расчет непрерывно-дискретных систем при случайных
ВОЗДЕЙСТВИЯХ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ .............142
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ .........................................................151
2.1.	Особенности преобразования случайных процессов
НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ И СИСТЕМАМИ ..............................153
2.2.	Статистический анализ нелинейных систем,
ОПИСЫВАЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ РЯДАМИ Вольтерра ....................155
2.3.	Метод статистической линеаризации вероятностного
АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ .......................................164
2.4.	Методы статистического анализа, основанные на использовании
РАЗЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА
НЕЛИНЕЙНОГО СТАТИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА ПО СТЕПЕНЯМ НОРМИРОВАННОЙ
КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ВОЗДЕЙСТВИЯ ..............................202
2.5.	Вероятностное исследование нелинейных нестационарных
СИСТЕМ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ .........................210
2.6.	Методы вероятностного анализа нелинейных систем
СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЗАМЕНУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ
ЗАДАЧИ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ЗАДАЧЕЙ ............218
2.7.	Метод эквивалентных возмущений (метод Б.Г. Доступова) ....225
2.8.	Интерполяционный метод анализа точности систем
автоматического управления (метод В.И. Чернецкого).........228
2.9.	Метод детерминированных эквивалентов.......................232
ГЛАВА 3. МЕТОДЫ СИНТЕЗА СТАТИСТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ...................................249
3.1.	Фильтр с заданной структурой, параметрическая оптимизация .250
3.1.1.	Принципы комплексирования...............................255
3.2.	Фильтры Колмогорова-Винера.................................259
3.3.	Оптимальное оценивание состояния	и фильтры Калмана-Бьюси...271
3.3.1.	Вывод дисперсионного уравнения..........................271
3.3.2.	Оптимальная линейная фильтрация по Калману..............274
3.3.3.	Уравнение оптимального фильтра..........................275
3.3.4.	Нахождение оптимальной матричной функции
коэффициентов фильтра .................................278
3.3.5.	Вывод дисперсионного уравнения для оптимального
фильтра ...............................................280
3.3.6.	Обобщенный линейный фильтр Калмана-Бьюси ...............284
3.3.7.	Оптимальная фильтрация при небелом (цветном) шуме.......289
3.3.8.	Оптимальный фильтр (наблюдатель) Калмана-Бьюси
в системах управления .................................296
3.3.9.	Установившиеся свойства оптимального фильтра
Калмана-Бьюси..........................................298
3.4.	Статистический синтез оптимальных нелинейных систем,
ОПИСЫВАЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛАМИ ВОЛЬТЕРРА .............................300
3.5.	Оптимизация нелинейных систем при случайных воздействиях
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ....................307
634 Статистическая динамика и идентификация САУ
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ:
ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ..........................................311
4.1.	Проблема идентификации .................................313
4.1.1.	Общие понятия........................................313
4.1.2.	Критерии идентификации...............................314
4.1.3.	Классификация объектов, задач и методов идентификации ...315
4.1.4.	Требования, предъявляемые к методам идентификации....316
4.1.5.	Подходы к решению задачи идентификации ..................316
4.1.6.	Подходы, алгоритмы и методы идентификации............318
4.2.	Идентификация линейных устойчивых стационарных объектов
ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛАХ ...................319
4.2.1.	Определение импульсной переходной функции линейного
стационарного устойчивого объекта при произвольных
детерминированных сигналах методом квадратур................319
4.2.2.	Параметрическая идентификация: определение
коэффициентов ПФ объекта управления
при произвольных детерминированных сигналах.................329
4.3.	Статистическая идентификация линейных устойчивых
СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ (МЕТОД КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ) ..........332
4.3.1.	Определение импульсной переходной функции
линейного стационарного устойчивого объекта
управления с помощью решения уравнения
Фредгольма 1-го рода методом квадратур...............332
4.3.2.	Параметрическая идентификация: определение
коэффициентов ПФ объекта управления
корреляционным методом.......................................348
4.4.	Спектральные методы идентификации...........................349
4.4.1.	Спектральный метод детерминированной
идентификации, основанный на решении
интегрального уравнения 1-го рода...........................349
4.4.2.	Спектральный метод статистической
идентификации, основанный на решении
уравнения Фредгольма 1-го рода .............................359
4.4.3.	Реализация спектрального метода детерминированной
идентификации с помощью модели объекта
с настраиваемыми параметрами.................................372
4.5.	Методы идентификации объектов управления, математическими
моделями которых являются функциональные ряды Вольтерра........382
4.5.1.	Метод Винера описания и идентификации нелинейных
систем ......................................................382
4.5.2.	Идентификация нелинейных объектов управления
корреляционным методом.......................................388
4.5.3.	Уравнения статистической идентификации нелинейных
объектов управления..........................................395
4.5.4.	Спектральный (параметрический) подход к решению
задачи идентификации ........................................402
4.6.	Статистические методы оценки параметров нелинейных объектов.405
4.6.1.	Оценка параметров нелинейных объектов методом
наименьших квадратов с использованием теории
чувствительности.............................................406
4.6.2.	Оценка параметров нелинейных систем методами
фильтрации ..................................................410
Содержание 635
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. МНОГОМЕРНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛАМИ ВОЛЬТЕРРА ...............415
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА..............421
П.2.1.	Линейные нормированные пространства..............421
П.2.2.	Линейные операторы в нормированных пространствах.429
П.2.3.	Гильбертово пространство и ортогональные базисы..433
П.2.4.	Некоторые понятия теории приближений ............436
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. БАЗИСНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ .....................440
П.3.1.	Тригонометрические функции ......................440
П.3.2.	Полиномы Лежандра................................446
П.3.3.	Полиномы Чебышева 1-го рода......................450
П.3.4.	Полиномы Чебышева 2-го рода......................458
П.3.5.	Функции Уолша....................................462
П.3.6.	Сплайны..........................................466
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАНДАРТНОГО ИНТЕГРАЛА ......................476
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ,
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ...............................478
П.5.1. Матричный оператор интегрирования для произвольного базиса.478
П.5.2. Матричный оператор умножения на функцию..........479
П.5.3. Матричный оператор дифференцирования ............481
ПРИЛОЖЕНИЕ 6. РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ СПЕКТРАЛЬНЫХ
МЕТОДОВ В СРЕДЕ ПАКЕТА MATLAB .............................482
П.6.1. Автоматизированное проектирование сау............491
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. ВВЕДЕНИЕ ...............497
ТЕМА 1.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ДИНАМИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ................498
ТЕМА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И ПОСТРОЕНИЕ
ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
И С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ...........................518
ТЕМА 3. ПОСТРОЕНИЕ ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ ЛИНЕЙНЫХ
НЕПРЕРЫВНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ............................539
ТЕМА 4.	МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ....................550
ТЕМА 5.	МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ .......................553
ТЕМА 6.	НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ ...................559
ТЕМА 7.	СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ
(СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ)
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ................560
636	Статистическая динамика и идентификация САУ
ТЕМА 8.	СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 	590
ТЕМА 9.	ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА ИЗ СМЕСИ «ПОЛЕЗНЫЙ СИГНАЛ + ШУМ» 	605
ТЕМА 10.	ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ 	613
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ...................................619
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ......................................624
637
TEXTBOOK ANNOTATION
The textbook “Methods of Classic and Modern Control Theory” includes five volumes:
Volume I — “Description and Analysis of Automatic Control Systems”
Volume II — “Stochastic Dynamics of Automatic Control Systems”
Volume III — “Controllers Design”
Volume IV — “Automatic Control Systems Optimization Theory”
Volume V — “Methods of Modem Control Theory”
I. Characteristic features of the textbook
1.	This textbook is addressed to the wide range of readers:
a)	The beginning control theory students. It should be mentioned that this subject may be both
an obligatory one evaluating the level of engineer’s proficiency and an optional one.
b)	Students and specialists resuming studies in the field of control theory because of expanding
range of problems concerned with automation processes.
c)	Students and specialists who want to refresh their knowledge by studying a part of the text-
book that has not been included into engineering specialities curriculum.
The readers are to choose the material according to a particular tasks a), b), c) and to general cur-
riculum opportunities. Taking into consideration the purpose of the textbook it should be noted that it
presents sufficient material to make a proper choice.
2.	Material introduction methods
The textbook attempts to provide readers with knowledge of control theory methods from funda-
mental concepts of control theory (control aims and concepts, control systems analysis, systems clas-
sification, analysis and synthesis of the main tasks and others) to its state-of-the-art issues. Getting a
deep insight into the problems of control theory is impossible within the framework of current sylla-
bus, that’s why the subject matter of some trends has not been included into this textbook.
3.	The level of readers’ mathematical background
The authors have tried to set out the material in a simple and readily available form.
A scope of knowledge of higher mathematics necessary for understanding the contents corre-
sponds to the syllabus for earlier stages of tuition at higher technical educational institutions.
The textbook implements concepts of functional analysis. The necessary information is given in
corresponding section of the textbook. Owing to language application and the results of functional
analysis bring about the more thorough discussion of the essence of each method, the opportunity of
obtaining in-depth theoretical information as well as correlation of methods that seem entirely differ-
ent at first sight.
4.	Technical trend of the textbook
The subject matter of the textbook is given from the engineering point of view. The author
stresses the main ideas of forming basis of methods but does not always adduce strict methodologi-
cal proofs. The textbook is supposed to find simpler methods for solving practical tasks. Besides, the
presentation of the materials is intended to help students realize the practicality of described methods.
In most cases the methods are reduced to computing algorithms. Tables and other additional ma-
terials are available to facilitate their application.
The main merit of the textbook is the outline of the use of particular control systems in the atomic
industry for thermotechnical processes control:
•	The textbook presents principal, functional and structural circuits of the system.
•	It illustrates the calculations using particular algorithms.
•	It gives the analysis of the results, etc.
It is impossible to study control theory without mastering the engineering aspect. That is why the
engineering aspect of formulating and solving practical tasks is emphasized throughout the course.
5.	“Computing colouring” of the material
The contents of the book is characterized by a certain “computing colouring” because present-day
computers make it possible to reduce greatly automatic control systems designing time, stressing thus
the significance of numerical methods in automatic control theory.
638
The author of the textbook has tried to take into account that the computer-aided control system
design depends on many factors:
•	The adequacy degree of system mathematical model.
•	The efficiency degree of numerical methods used in algorithmic support.
•	The availability of high-quality software.
•	The extent of using the creative ability of the researcher-designer.
II. The contents
1.	Mathematical models of automatic control systems
The problems of mathematical description of singular and nonsingular linear and nonlinear con-
trol systems, systems with distributed constants, continuous discrete systems are considered in the
textbook in detail. Much attention is paid to the state space method in linear systems which gives
basically new possibilities of the system analysis and control laws synthesis. The description by Vol-
terra series is described in nonlinear system class.
2.	Deterministic analysis of automatic control systems
The system theory methods has been studied to solve the following problems:
a). The investigation of the steady-state singular, nonstationary and nonlinear systems:
-	the criteria of stability are considered in detail;
-	much attention is paid to nonlinear system class;
(The original material concerning the problems of stability is given in the corresponding chapter.)
b). The analysis of system performance in unstable mode and creation of output processes.
c). The investigation of performance accuracy in stable mode.
3.	Statistic analysis of automatic control systems
The textbook deals with technical methods of the broad class ACS statistic research, including
nonlinear and stochastically disturbed systems.
4.	Filtration and control systems statistical synthesis
This chapter includes the following methods:
a)	. Optimal filter synthesis on basis of Kolmogorov-Wienner’s theory as well as R. Caiman and
R. Busy.
b)	. Synthesis of optimal observers.
c)	. Synthesis of optimal analytical and nonlinear filters, described by Volterra series, etc.
5.	Numerical methods of complex control system analysis under deterministic and stochastic
inputs
Matrix operator method forms the basis for computer-aided control system investigation useful
for algorithmization and programming.
6.	Control objects identification
Formulation of identification problem for linear and nonlinear objects classes, its main aspects
and engineering approach to its solution are outlined in this textbook.
7.	Control system synthesis based on quality (controller synthesis)
Alongside with traditional methods of controller synthesis (frequency, modal control, dynamic
compensation methods etc.), great attention is devoted to the application of mathematical program-
ming due to the fact, that it determines general approach to optimization problems solution and is
computer-aided.
8.	Synthesis of optimal automatic control systems
The following problems were analysed:
a)	. Basis principles of calculus of variations;
b)	. Pontryagin’s maximal principle including the problem of state variables;
c)	. Dynamic programming;
d)	. Linear-quadratic problems;
e)	. Method of moments;
f)	. Mathematical programming as applied to optimal program controls development.
9.	Methods of up-to-date CAD theory
Methods include rough control systems synthesis, H-control theory and robust methods as well as
the problems of multi-object and multi-criteria systems optimization as well as application of effec-
tive compromises, calculation tasks and design of adaptive and intellectual control systems, differen-
tial geometry methods application for control theory, etc.
Учебное издание
Константин Александрович Пупков
Николай Дмитриевич Егупов
Евгений Михайлович Воронов
Юрий Петрович Корнюшин
Александр Михайлович Макаренков
Виктор Михайлович Рыбин
Адольф Иванович Трофимов
Олег Васильевич Шевяков
Виктор Григорьевич Коньков
Владимир Иванович Краснощеченко
Дмитрий Владимирович Мельников
Владислав Иванович Сивцов
Николай Васильевич Фалдин
МЕТОДЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
И СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В пяти томах
Том 2
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ИДЕНТИФИКАЦИЯ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Редакторы С.И. Капранов, К.Ю. Савинченко
Корректоры И.Г. Варварская, А.В. Жарков
Компьютерная верстка А.Л. Репкин, М.Р. Фишер
Изд. лиц. №020523 от 25.04.97. Подписано в печать 12.02.2004.
Формат 70х 100 1/16. Печ. л. 40. Усл. печ. л. 52.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 2500 экз. Заказ №22
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
107005, Москва, 2-я Бауманская, 5
Оригинал-макет подготовлен редакционно-издательским отделом
филиала МГТУ им. Н.Э. Баумана в г. Калуге
совместно с Издательским домом «Манускрипт»
Отпечатано с готового оригинал-макета в ГП «Облиздат»
248640, г. Калуга, пл. Старый Торг, 5
Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции
ОК-005-93, том 2; 953000 — книги, брошюры
ISBN 5-7038-2190-8
9
785703
821909