ОБЩЕЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К УЧЕБНИКУ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТОМУ 2
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АББРЕВИАТУР
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ЧАСТЬ II. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ
ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ, НА КОТОРЫХ БАЗИРУЕТСЯ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ
1.2. Общие положения, определяющие пути обеспечения заданного качества и структуру регулятора в классе линейных стационарных систем
1.2.2. Целенаправленное изменение динамических свойств систем путем введения дифференцирующих звеньев в прямую цепь
1.2.3. Влияние коэффициентов усиления разомкнутой системы и интеграторов в прямой цепи на качество работы САУ в установившемся режиме
1.2.4. Влияние местных ОС
1.3. Математические модели и структурные схемы регуляторов
1.3.2. Анализ динамических характеристик регуляторов
1.4. Общие принципы, на которых базируются основные теоретические положения методов и алгоритмы расчета параметров в задачах синтеза регуляторов
1.4.3. Оптимизационный принцип синтеза регуляторов, предполагающий достижение приближенного, в известном смысле, равенства правой и левой частей операторного уравнения, описывающего динамику замкнутой скорректированной системы
1.4.4. Принцип, лежащий в основе группы методов, использующих понятие моментов
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В КЛАССЕ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ
2.1.2. Построение передаточной функции эталонной системы в классе низкочастотных фильтров Баттерворса
2.1.3. Метод стандартных коэффициентов построения эталонной передаточной функции
2.2. Принцип динамической компенсации и анализ его эффективности для класса стационарных систем
2.3. Расчет регуляторов с помощью уравнений синтеза
2.4. Метод эталонных передаточных функций замкнутых систем управления
2.5. Метод эталонных передаточных функций разомкнутых систем
2.6. Оптимизационный метод синтеза регуляторов в частотной области
2.7. Оптимизационный метод синтеза регуляторов во временной области
2.8. Проекционный метод синтеза регуляторов
2.9. Спектральный метод синтеза регуляторов с использованием функций лягерра
2.9.2. Функции Лягерра
2.9.3. Построение спектральной характеристики объекта управления
2.9.4. Алгоритм расчета регулятора
2.10. Метод моментов синтеза регуляторов
2.11. Метод матричных операторов
2.12. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных нестационарных систем
2.12.2. Основные положения принципа динамической компенсации при описании системы и ее элементов матричными операторами
2.12.3. Оптимизационный метод синтеза регуляторов во временной области
2.12.4. Метод моментов
2.13. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем
2.13.2. Оптимизационный метод синтеза регуляторов во временной области
2.13.3. Проекционный метод синтеза регуляторов
2.13.4. Метод моментов
ГЛАВА 3. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
3.2. Определение переходной характеристики по частотной характеристике замкнутой системы
3.3. Оценка качества переходной характеристики по частотным характеристикам
3.4. Связь показателей качества замкнутой системы с частотными характеристиками разомкнутой
3.5. Определение частоты среза ЛАЧХ разомкнутой системы при наличии ограничений на максимальное ускорение в системе [133]
4.1. Математическое описание многомерных систем автоматического управления
4.2. Постановка задачи синтеза регуляторов в классе многомерных стационарных систем
4.4. Оптимизационные методы синтеза устройств развязки каналов и регуляторов
ГЛАВА 5. МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
5.2. Модальное управление при полностью измеряемом векторе состояния. управление всеми модами
5.2.2. Векторное управление
5.3. Управление отдельными модами при полных измерениях
5.4. Оптимальное модальное управление одной модой при полных измерениях
5.5. Модальное управление при неполных измерениях
ГЛАВА 6. СИНТЕЗ ГРУБЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
6.1.2. Модели рассматриваемых объектов управления в пространстве состояний
6.1.3. Величины в уравнениях состояния объекта, описание, допущения и ограничения
6.1.4. Формирование цели управления
6.2. Реализация концепции функционально-множественной принадлежности в пространстве состояний на основе метода обобщенных фазовых ограничений
6.2.2. О методе фазовых ограничений и его обобщении
6.2.3. Формирование эквивалентных соотношений в виде максминных и минимаксных неравенств
6.2.4. Смешанные неравенства при структурных ограничениях на управление
6.2.5. О разрешимости при ограничениях на часть компонент вектора состояния
6.2.6. Условия разрешимости при наличии возмущений
6.3. Расширение метода фазовых ограничений на ε-окрестностях множеств в пространстве состояний
6.3.2. Метод фазовых ограничений на ε-окрестностях множества Q
6.3.3. Метод фазовых ограничений при отображении ε-окрестностей на заданное множество
6.3.4. Метод фазовых ограничений при отображении на нестационарные ε-окрестности
6.3.5. О проекционном подходе в задаче обеспечения фазовых ограничений
6.4. Построение грубых систем управления при модульных ограничениях
6.4.2. Геометрические условия обеспечения фазовых ограничений
6.4.3. Определение достаточных условий на параметры регулятора. Частный случай экспоненциальных ограничений
6.4.4. Анализ разрешимости достаточных условий обеспечения фазовых ограничений
6.4.5. Синтез МСАУ при ограничениях на качество регулирования
6.4.6. О деформации фазовых ограничений для обеспечения разрешимости достаточных условий
6.4.7. Использование кругов Гершгорина для анализа разрешимости достаточных условий
6.4.9. Входные-выходные матрицы и их связь с разрешимостью достаточных условий
6.4.10. О задании разрешимых фазовых ограничений
6.4.11. Построение допустимых фазовых ограничений на основе разложения по элементам собственного вектора
6.4.12. Критерий стабилизируемости системы управления
6.4.13. Процедура синтеза системы управления на основе управления максимальным собственным значением входной-выходной матрицы
6.5. Построение грубых систем управления при квадратичных ограничениях
6.5.2. Получение достаточных условий на управление
6.5.3. Построение закона управления на основе достаточных условий
6.5.4. Условия выполнения фазовых ограничений на классах синтезируемых законов управления
6.5.5. Анализ спектральных ограничений по значениям характеристического многочлена
6.5.6. Оценка грубости системы при квадратичных ограничениях
6.5.7. Разрешимость задачи синтеза в классе линейных законов управления
6.5.8. О формировании двухуровневой системы управления при решении обобщенного матричного неравенства
6.7. Построение нелинейных робастных систем при структурно-параметрических неопределенностях
6.8. Синтез систем на основе граничных отображений
ГЛАВА 7. РЕГУЛЯТОРЫ ОСНОВНЫХ ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ АТОМНЫХ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ
7.2. Структурные схемы регуляторов АЭС
7.3. Регуляторы питания парогенератора
7.4. Регуляторы уровня компенсатора объема
7.5. Регуляторы уровня регенеративных подогревателей
7.6. Регулятор питания барабана-сепаратора
7.7. Регулятор давления пара в барабане-сепараторе
7.8. Цифровой регулятор давления пара в барабане-сепараторе
7.9. Цифровой регулятор разворота турбогенераторов
ЧАСТЬ III. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ГЛАВА 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.1.2. Дифференциал функционала
1.1.3. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1.4. Вариационная задача с п неизвестными функциями
1.2. Задача с подвижными концами. Условие Вейерштрасса-Эрдмана
1.2.2. Задача с подвижными концами
1.2.3. Условия Вейерштрасса-Эрдмана
1.3. Необходимое условие Вейерштрасса сильного минимума функционала
1.4. Задачи на условный минимум
1.5. Решение задачи оптимального управления методом вариационного исчисления
1.5.2. Необходимое условие экстремума
1.5.3. Необходимые условия Вейерштрасса
ГЛАВА 2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
2.1.2. Необходимое условие оптимальности
2.2. Задача с подвижными концами. Принцип максимума для неавтономных систем
2.2.2. Задача с подвижными концами
2.2.3. Неавтономный случай
2.3. Оптимизация по быстродействию линейных объектов управления
2.3.2. Теорема о числе переключений
2.3.3. Достаточные условия оптимальности
2.4. Синтез оптимального управления
ГЛАВА 3. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
3.1.2. Синтез оптимального управления
3.1.3. Обобщение задачи синтеза
3.2. Аппроксимация поверхности переключения
3.3. Ошибки слежения в оптимальных по быстродействию сау
3.4. Приближённый способ учёта малых постоянных времени
ГЛАВА 4. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРА
4.2. Принцип оптимальности. Основное функциональное уравнение беллмана
4.3. Метод динамического программирования для непрерывных систем
4.3.2. Неавтономная система
4.4. Задача об аналитическом конструировании регулятора
4.4.2. Неавтономная система
4.5. Связь между принципом максимума и динамическим программированием
ГЛАВА 5. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И МОМЕНТОВ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОГРАММ И ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОГРАММНЫХ УПРАВЛЕНИЙ. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
5.2. Алгоритм построения оптимальных программных управлений стационарными линейными объектами по критерию минимальной энергии
5.3. Алгоритм построения оптимальных программных управлений нестационарными линейными объектами по критерию минимальной энергии
5.4. Алгоритм построения оптимальных программных управлений и оптимальных программ классом нелинейных объектов
5.5.1. Формулировка проблемы моментов и ее решение
5.5.2. Алгоритм синтеза оптимальных программных управлений методом моментов для класса линейных одномерных объектов
5.5.3. Векторно-матричный вариант
5.6. Управляемость линейных систем
5.7. Наблюдаемость линейных систем
5.8. Некоторые подходы к синтезу оптимальных систем, работающих по принципу обратной связи
5.9. Синтез оптимальных обратных связей
5.9.3. Синтез оптимальной обратной связи
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ФАЗОВЫЕ КООРДИНАТЫ
П1.2. Достаточные условия оптимальности по быстродействию
П1.3. Оптимальное по быстродействию управление в случае инерционного руля
П1.4. Синтез оптимального по быстродействию управления при ограничениях на скорость движения и ускорение
Формулировка задачи математического программирования
Необходимые и достаточные условия оптимума в задачах математического программирования
Теория двойственности и недифференциальные условия оптимальности в задаче выпуклого программирования
Математическая постановка задачи линейного программирования
Симплекс-метод – основной метод решения задач линейного программирования
Метод полного исключения жордана для решения систем линейных алгебраических уравнений
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. РЕДУКЦИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ К ЗАДАЧАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА СЕТОК И АЛГОРИТМЫ ИХ РЕШЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. РЕДУКЦИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ К ЗАДАЧАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА СЕТОК И АЛГОРИТМЫ ИХ РЕШЕНИЯ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К II-Й ЧАСТИ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К III-Й ЧАСТИ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Текст
                    МЕТОДЫ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Цикл учебников и учебных пособий
основан в 1997 г.
Под общей редакцией заслуженного деятеля науки РФ,
доктора технических наук, профессора
К.А. Пупкова


МЕТОДЫ КЛАССИЧЕСКОЙ И СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Учебник в трех томах ТОМ 2 СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ И ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Под редакцией заслуженного деятеля науки РФ, доктора технических наук, профессора Н.Д. Егупова Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по машиностроительным и приборостроительным специальностям Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2000
УДК 681.5:681.3(075.8) ББК 14.2.6 М54 Рецензенты: 1. Академик РАН ЕЛ. Попов; 2. Кафедра автоматических систем Московского института радиотехники, электроники и автоматики (заведующий кафедрой, член-корреспондент РАН Е.Д. Теряев). Авторы: Д-р техн. наук, проф. К.А. Пупков, д-р техн. наук, проф. Н.Д. Егупов, д-р техн. наук, проф. A.M. Баркин, д-р техн. наук ЕМ. Воронов, инженер Э.П. Козубов, канд. техн. наук, доц. ВТ. Коньков, канд. техн. наук, доц. В.И Краснощеченко, канд. техн. наук, доц. А.П. Курдюков, канд. техн. наук, доц. В.И. Пилишкин, д-р техн. наук, проф. В.М. Рыбин, канд. техн. наук, доц. В.И. Сивцов, канд. техн. наук, доц. Я.В. Слекеничс, д-р техн. наук, проф. А.И. Трофимов, д-р техн. наук, проф. Н.В. Фалдин М54 Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т.2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 736 с; ил. ISBN 5-7038-1627-0 (Т.2) ISBN 5-7038-1579-7 Центральной проблемой расчета и проектирования систем автоматического управления является проблема обеспечения высокого качества ее функционирования, включая оптимизацию по тем или другим критериям; это - проблема синтеза САУ. Второй том учебника посвящен изложению методов синтеза регуляторов, обеспечивающих заданное качество процессов управления и позволяющих определить состав, структуру САУ и параметры всех ее устройств из условия удовлетворения заданному комплексу технических требований в классе линейных (стационарных и нестационарных), нелинейных, дискретных и многомерных систем Отражены основные положения модального управления. Изложены основы теории оптимальных систем классическое вариационное исчисление, принцип максимума Л.С Понтрягина, динамическое программирование Р Беллмана, аналитическое конструирование регуляторов (АКОР) Рассмотрены проблема моментов, предложенная и обоснованная Н.Н Красовским, и нашедший широкое применение метод математического программирования Отражены подходы, позволяющие синтезировать оптимальные системы с ограничением на фазовые переменные Материал является частью общего курса теории автоматического управления, читаемого студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана, ТулГУ, ОИАТЭ и других вузов Учебник предназначен для студентов вузов; он может быть также использован аспирантами и инженерами, а некоторые положения - научными работниками, занимающимися автоматическими системами. УДК 681.5:681.3 (075.8) ББК 14.2.6 ISBN 5-7038-1627-0 (Т.2) © Пупков К.А., Егупов Н.Д., Баркин АИ и др , 2000 ISRN 5 7(ПЯ 1S70 7 ® МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000 loom э-/ш>о-1э/?-/ 0 ИзДательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000
Нашим учителям посвящается. ОБЩЕЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К УЧЕБНИКУ I. Особенности учебника. Учебник издается в трех томах, состоящих из четырех частей и заданий для самостоятельной работы. Для него характерно следующее: 1. Учебник охватывает основные положения, составляющие содержание теории автоматического управления. Изложение материала начинается с основных понятий и определений (сущность проблемы автоматического управления, определение системы управления, фундаментальные принципы управления, основные виды и законы автоматического управления и др.) и заканчивается детальным рассмотрением содержания некоторых современных направлений теории автоматического управления. Поскольку курс теории автоматического управления включен в учебные планы различных инженерных специальностей и является одним из важнейших элементов общетехнического образования, учебник может быть рекомендован студентам, заново приобретающим знания в области теории автоматического управления, и специалистам, которым приходится эти знания восстанавливать. Учебником могут пользоваться также студенты тех специальностей, для которых курс является профилирующим, определяющим квалификацию инженера. При изучении курса студент или специалист должен сделать выборку материала, определяемого конкретной задачей и возможностями общего плана обучения. 2. Содержание учебника имеет инженерную направленность, поэтому изложение ведется с инженерной точки зрения: подчеркиваются главные идеи, лежащие в основе методов, но не всегда приводятся строгие математические доказательства. Учитывая, -но без освоения технического аспекта изучение методов теории автоматического управления не приводит к нужному результату (часто имеют место трудности в постановке и решении инженерных задач даже при хороших знаниях теоретических положений), физическая и содержательная сторона дела подчеркивается в течение всего курса. Более того, значительное внимание уделено рассмотрению конкретных промышленных систем управления. Например, в главе 7 тома 2 рассмотрены системы управления теплоэнергетическими параметрами атомных электростанций; в заданиях для самостоятельной работы описаны системы управления, применяемые в атомной промышленности. Примеры, иллюстрирующие теоретические положения и методы расчета, тесно связаны с решением конкретных инженерных задач в таких отраслях, как атомная энергетика, производство летательных аппаратов и др. 3. Методы теории автоматического управления, рассмотренные в учебнике, в большинстве своем ориентированы на применение ЭВМ. Интенсивное развитие процессов автоматизации проектирования систем автоматического управления, обусловленное развертыванием высокопроизводительных вычислительных комплексов в проектно-конструкторских организациях, перемещение центра тяжести процесса проектирования от аппаратного обеспечения к алгоритмическому и программному обеспечению приводят к необходимости разработки нового методологического обеспечения, включая соответствующие вычислительные технологии [136].
Для содержания книги характерна, в известной мере, «вычислительная окраска», поскольку возможности современных ЭВМ позволяют значительно ускорить сроки проектирования САУ и, таким образом, налагают свой отпечаток на вычислительную часть ТАУ. Успех в решении поставленных задач расчета и проектирования с использованием ЭВМ зависит от многих факторов, основными из которых являются: степень адекватности математической модели системы; степень эффективности численных методов ТАУ, используемых в алгоритмическом обеспечении; наличие высококачественного программного обеспечения; от того, насколько успешно используется творческий потенциал исследователя-проектировщика. При этом решающий фактор остается за человеком, который может решать многие неформализованные задачи. Поскольку системы автоматизированного проектирования (САПР) являются в настоящее время одним из наиболее эффективных средств повышения производительности инженерного труда и научной деятельности, сокращения сроков и улучшения качества разработок, то в главе 8 (том 1) кратко отражены соответствующие положения, в том числе изложены численные методы (аппарат матричных операторов). Рассмотренное в трехтомнике методологическое обеспечение, ориентированное на применение ЭВМ, может служить базой для решения весьма сложных задач инженерного проектирования САУ. 4. В учебнике с единых позиций изложены как основные методы классической ТАУ, так и положения, определяющие содержание некоторых современных направлений теории управления. При рассмотрении материала учитывался тот факт, что периодизация развития ТАУ не является установившейся и общепринятой [136]. К классическим можно отнести положения, базирующиеся на рассмотрении линейных и нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами применительно к описанию систем, исследованию их устойчивости и качества процессов. К классическим положениям также можно отнести и описание процессов в пространствах состояний, поскольку в классической теории широко применялось описание движения в фазовом пространстве. В конце пятидесятых - начале шестидесятых годов появились известные работы Л.С. Понтрягина, Р. Белмана, Р. Калмана, в которых заложены основы теории оптимального управления: принцип максимума, динамическое программирование, функционально-аналитические методы и др. Хорошо известно, что многие идеи теории оптимального управления сформировались на инженерном уровне в классический период ТАУ. Важнейшие результаты теории оптимального управления можно отнести к классическим положениям ТАУ. Все указанные положения с необходимой глубиной и полнотой изложены в первых двух томах учебника. Методы современной ТАУ, интенсивно разрабатываемые в настоящее время и включающие аппарат синтеза грубых систем автоматического управления в пространстве состояний, #°° -теория оптимального управления, задачи оптимизации многообъектных многокритериальных систем с использованием стабильно- эффективных компромиссов, синтез систем автоматического управления методами дифференциальной геометрии (геометрический подход), использование нейро- компьютерных управляющих вычислительных систем, основные положения теории катастроф, фракталов, хаоса, а также задачи исследования и проектирования адаптивных и интеллектуальных систем отражены во 2-м и в 3-м томах учебника. Таким образом, учебник охватывает наиболее важные разделы теории автоматического управления; вместе с тем он не претендует на всесторонний охват проблематики теории автоматического управления. Не затронуты такие важные направления,
1редисловие ;ак инвариантность, теория чувствительности, методы и алгоритмы оценивания ди- юмических процессов, идентифицируемость и методы и алгоритмы идентификации отражены лишь содержание проблемы и подходы к ее решению), системы со слу- [айной структурой, стохастические системы, теория нелинейной фильтрации и др. 5. Основное содержание и структуру учебника определил коллектив авторов, включающий представителей разных российский школ науки об управлении: (.А. Пупков (МГТУ им. Н.Э. Баумана), А.И. Баркин (Институт системного анализа >АН), Е.М. Воронов (МГТУ им. Н.Э. Баумана), Н.Д. Егупов (МГТУ им. Н.Э. Баумана), З.Г. Коньков (МГТУ им. Н.Э. Баумана), А.П. Курдюков (Институт проблем управле- 1ия РАН), Л.Т. Милов (Московский государственный автомобильно-дорожный инсти- уг (МАДИ)), В.Н. Пилишкин (МГТУ им. Н.Э. Баумана), В.И. Рыбин (Московский государственный инженерно-физический институт (МИФИ)), В.И. Сивцов (МГТУ им. 1Э. Баумана), Я.В. Слекеничс (Обнинский институт атомной энергетики (ОИАТЭ)), ^.И. Трофимов (Обнинский институт атомной энергетики (ОИАТЭ)), Н.В. Фалдин Тульский государственный университет); этими авторами написана большая часть рехтомника. II. Методические вопросы. Необходимо указать, что никакой учебник не может щть окончательных рецептов для решения широчайшего спектра задач, порожден- шх практикой проектирования сложных систем автоматического управления. Изложенный в книгах материал призван служить базой, фундаментом, позво- тющим с большей скоростью и эффективностью находить пути для решения задач грактики. Вместе с тем материал излагается таким образом, чтобы читателю были видны тути практического применения рассматриваемых методов. В большинстве своем методы доведены до расчетных алгоритмов, приводятся таблицы и другой вспомогательный материал, облегчающий их применение. Положения, изложенные во всех разделах, иллюстрируются подробно рассмотренными примерами, связанными с зада- iomu расчета и проектирования конкретных систем. Весьма важным является вопрос методики изучения курса «Теории автоматического травления» с целью стать специалистом в этой области, пользуясь циклом учебных тособий и учебников, издаваемых указанным выше коллективом авторов. Весь цикл учебников и учебных пособий можно условно разбить на три серии: 1-я серия - базовая; эта серия включает три тома настоящего учебника. 2-я серия - базовая повышенного уровня, в которой основное внимание уделено глу- 5окому и достаточно полному изложению методов, определяющих содержание современных направлений теории автоматического управления. 3-я серия - серия учебных пособий, посвященная полному и глубокому изложению теоретических положений конкретных направлений ТАУ, например, статистической динамике нелинейных САУ и др. Сказанное выше иллюстрируется рис. В.1. Базовый уровень приобретается изучением предлагаемого учебника, в котором систематически изложены методы классической и современной теории управления и дано достаточно полное представление о проблематике и путях развития науки об управле- -ши техническими объектами. Содержание каждого из томов учебника серии базового уровня иллюстрируется эис. В.2. После освоения базового уровня можно приступить к специализации в той или другой области теории автоматического управления, изучая соответствующие тома 2-й се- эии, а также статьи и монографии по специальным проблемам теории управления.
Цикл: Методы теории автоматического управления 1-я серия учебников "Методы классической и современной теории автоматического управления" - серия базового уровня Том 1 Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ, 2000. - 748 с. ♦ Том 2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления М. Изд-во МГТУ, 2000. - 736 с. ♦ Том 3 Методы современной теории автоматического управления. М . Изд-во МГТУ, 2000 ♦ 2-я серия учебников - серия повышенного базового уровня Том 1* Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ, 2000. - 512 с. ♦ Том 2* Оптимизация многообъектных многокритериальных систем. М.. Изд-во МГТУ, 2001. ♦ Том 3: Адаптивные, робастные и интеллектуальные системы автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 3-я серия - серия учебных пособий, в которых отражены конкретные направления ТАУ (специализация) К.А. Пупков, Н.Д. Егупов, А.И. Трофимов. Статистические методы анализа, синтеза и идентификации нелинейных систем автоматического управления М: Изд-во МГТУ, 1998 - 562 с * К.А. Пупков, Н.Д. Егупов, В Г. Коньков. Методы анализа, синтеза и оптимизации нестационарных систем автоматического управления М: Изд-во МГТУ, 1999 - 684 с. Рис. В.1. Структура цикла учебников и учебных пособий «Методы теории автоматического управления»
Тредисловие 1 том: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления В этом томе изучаются Математическое описание классов систем, отраженных на приводимой ниже структурной схеме 1 САУ, 2 Линейные САУ, 3 Нелинейные САУ, 4 Непрерывные САУ, 5 Дискретные САУ, 6 Непрерывно-дискретные САУ, 7 Стационарные САУ, 8 Нестационарные САУ, 9 САУ с сосредоточенными параметрами, 10 САУ с распределенными параметрами Анализ и статистическая динамика САУ: Детерминированный анализ систем 1 Устойчивость, 2 Качество в переходном режиме, 3 Качество в установившемся режиме и др Статистический анализ линейных и нелинейных систем Линейная фильтрация (фильтры Винера - Колмогорова, фильтры Калмана - Бьюси), нелинейная фильтрация Идентификация объектов управления линейных и нелинейных систем t 2 том: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления ^ _-— Методы и задачи* —-^.^^^^ Синтез систем по заданным показателям качества Методы синтеза регуляторов 1 Группа методов, основанная на принципе динамической компенсации, 2 Группа методов, использующая аппарат математического программирования, 3 Частотный метод, 4 Модальное управление, 5 Методы синтеза грубых систем управления 6 Метод моментов и др Синтез оптимальных систем Методы оптимизации 1 Вариационное исчисление, 2 Принцип максимума, включая управление при ограничениях на фазовые координаты, 3 Динамическое программирование, 4 Аналитическое конструирование регуляторов, 5 Нелинейное программирование, 6 Метод моментов, 7 Синтез оптимальных обратных связей и др 3 том: Методы современной теории автоматического управления: 1 Оптимизация многообъектных многокритериальных систем, 2 Нп- теория оптимального управления, 3 Адаптивные системы, 4 Синтез систем методами дифференциальной геометрии, 5 Основные положения теории катастроф, фракталов и теории хаоса, 6 Нейросетевые методы для решения задач проектирования вычислительных систем, 7 Интеллектуальные системы и др Рис. В.2. Структурная схема, иллюстрирующая содержание трехтомника «Методы классической и современной теории автоматического управления» (базовый уровень)
\0 Если специализация предусматривает расширенное изучение статистической динамики нелинейных систем автоматического управления, то можно воспользоваться учебным пособием К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова, А.И. Трофимова «Статистические методы анализа, синтеза и идентификации нелинейных систем автоматического управления». - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 562 с. (под редакцией д-ра техн. наук, проф. Н.Д. Егупова), в котором систематически изложено содержание основных положений статистической теории нелинейных систем, методов их анализа, синтеза, оптимизации и идентификации. При специализации в области систем автоматического управления с переменными параметрами полезным может оказаться учебное пособие К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова, В.Г. Конькова, Л.Т. Милова, А.И. Трофимова «Методы анализа, синтеза и оптимизации нестационарных систем автоматического управления». - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 684 с. (под редакцией д-ра техн. наук, проф. Н.Д. Егупова). Этот труд представляет собой первое учебное пособие в отечественной литературе, специально посвященное рассмотрению методов математического описания, детерминированного и статистического исследования, синтеза и оптимизации нестационарных систем. Работа включает две части: в первой части изложена теория линейных систем с переменными параметрами; вторая часть посвящена разработке алгоритмов исследования, синтеза и оптимизации сложных нестационарных систем, поведение которых описывается скалярными и векторно-матричными дифференциальными уравнениями высокого порядка. Алгоритмы предназначены для решения задач, имеющих место в повседневной инженерной практике при расчете и проектировании систем управления одноконтурными и многоконтурными сложными объектами с переменными параметрами. Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам - академику РАН Е.П. Попову и коллективу кафедры «Автоматические системы» Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА), руководимой членом-корреспондентом РАН Е.Д. Теряевым, за ценные замечания, способствовавшие улучшению содержания книги. Авторы благодарят заслуженного деятеля науки и техники РФ, д-ра техн. наук, проф. А.С. Шаталова, заслуженного деятеля науки и техники РФ, д-ра техн. наук, проф. Б.И. Шахтарина (МГТУ им. Н.Э. Баумана), которые своими советами позволили значительно улучшить структуру учебника, углубить изложение отдельных теоретических положений, улучшить окончательный вариант рукописи. Авторы благодарят концерн «Росэнергоатом», научно-исследовательский центр космической системотехники, департамент образования и науки Правительства Калужской области, а также Издательский Дом «Манускрипт» за помощь в издании учебника. Большой объем книги и широта охваченного материала вызвали большие трудности при ее написании. Конечно, эти трудности не всегда удавалось преодолеть наилучшим образом. Читатели, вероятно, смогут высказать много замечаний и дать свои предложения по улучшению книги. Авторы заранее признательны всем читателям, которые не сочтут за труд указать на замеченные неточности, ошибки, на пути совершенствования структуры учебника и его содержания. К.А. Пупков Н.Д. Егупов
Предисловие П ПРЕДИСЛОВИЕ К 2-МУ ТОМУ Настоящая книга представляет собой 2-й том учебника «Методы классической и современной теории автоматического управления», посвященный изложению содержания и методов решения двух центральных проблем теории автоматического управления: 1) проблемы синтеза систем автоматического управления по заданным показателям качества: • обеспечение устойчивости (стабилизация); • повышение запаса устойчивости (демпфирование); • повышение точности управления в установившихся режимах; • улучшение переходных процессов (уменьшение перерегулирования и числа колебаний, увеличение быстродействия и др.) [92, 139 - 141]; 2) проблемы оптимизации управления, состоящей в выборе такого закона управления, который, удовлетворяя четко заданной системе ограничений, обеспечивает при своей реализации оптимальное значение того или иного показателя качества работы системы. Этот том содержит положения как классической, так и современной теории автоматического управления. Решение первой проблемы достигается синтезом регуляторов, включающим рассмотрение вопросов определения его структуры и параметров, места включения, исходя из обеспечения требований к качеству процессов управления. Предметом изучения рассматриваемой проблемы является направление, формулируемое как методы научного проектирования систем с заданными показателями качества. Вторая же проблема - проблема оптимизации - по существу является вариационной задачей, когда требуется получить экстремум функционала, который избран в качестве критерия оптимальности системы. Что касается первой проблемы, то во втором томе учебника детально рассмотрены: • краткое введение, отражающие основные результаты решения проблемы; • базовые принципы синтеза регуляторов (глава 1); • методы синтеза регуляторов, применяемые при решении широкого спектра инженерных задач (глава 2); • технические аспекты проблемы синтеза регуляторов, позволяющие с нужной эффективностью ставить и решать конкретные, порожденные практикой задачи (с этой целью во втором томе помещена глава 7, в которой описаны принципиальные, функциональные и структурные схемы систем управления теплоэнергетическими параметрами атомных электростанций; в примерах, иллюстрирующих применение методов, рассмотрены задачи синтеза регуляторов, применяемых в летательных аппаратах и др.); • особенности решения задач синтеза регуляторов в классе нестационарных, нелинейных и многомерных систем (главы 2 и 4); • частотный метод В.В. Солодовникова, который основывается на соответствии между логарифмическими частотными характеристиками разомкнутой системы и ее статическими и динамическими свойствами в замкнутом состоянии (глава 3); • широкие возможности аппарата нелинейного программирования, позволяющие произвести синтез регуляторов, обеспечивающих диктуемые содержанием задачи ограничения (глава 2);
п • основы теории модального управления; • \ метод синтеза грубых систем автоматического управления. Вторая часть тома посвящена изложению теории оптимизации систем автоматического управления. Основное внимание уделено принципу максимума Л.С. Понтря- гина, который применим к задачам с уравнениями общего вида, и динамическому программированию Р. Беллмана. Достаточно подробно рассмотрены методы редукции задач оптимального управления к задачам конечномерной оптимизации. Переход к конечномерному описанию непрерывных задач открывает перспективу для использования аппарата нелинейного программирования. Если на некоторые из координат фазового вектора накладываются ограничения, то принцип максимума в том виде, как он сформулирован в главе 2 части III, несправедлив. Формулировка принципа максимума при наличии ограничений на фазовые координаты намного сложнее; она вынесена в приложение 1. Кроме того, в приложения вынесены основные положения нелинейного программирования и алгоритмы построения оптимальных программных управлений и оптимальных программ с ограничениями на фазовые переменные методом математического программирования. Для лучшего уяснения излагаемого материала приведены примеры синтеза оптимальных систем, работающих по принципу обратной связи с использованием принципа максимума и динамического программирования; рассмотрено значительное число задач по построению оптимальных программных управлений и оптимальных программ методом математического программирования с использованием описания систем автоматического управления матричными операторами в ортонормированных базисах (глава 5 части III). В случае линейных объектов общая теория задач оптимального управления, основанная на использовании результатов решения проблемы моментов, предложена и обоснована Н.Н. Красовским (§5.5 части III). Характерным для задач оптимального управления является то, что точные аналитические решения удается получить лишь в редких случаях. Сложность или невозможность получения аналитических результатов для задач в достаточно общей постановке привели к развитию вычислительных и приближенных методов построения оптимального управления (они отражены в главе 5, а также в приложениях 2, 3,4). Соавторами отдельных разделов 2 тома являются д-р техн. наук, проф. А.А. Гре- шилов (прил. 2), канд. техн. наук, доц. М.Ю. Адкин (§2.3 части II), канд. техн. наук, доц. В.И. Краснощеченко (глава 3 части II), канд. техн. наук, доц. А.К. Карышев (§2.7 и 4.4 части II), инженер Д.В. Мельников (§2.7 и 4.4, примеры в главе 2 части II), д-р техн. наук, проф. Л.Т. Милое (§5.6, 5.7 части III). Примеры синтеза оптимальных программ методами нелинейного программирования части III рассчитаны инженером А.Н. Бурлакиным. Авторы выражают признательность инженерам К.И. Желнову, К.Ю. Савинченко и МЛ. Трубачеву за помощь при подготовке рукописи к изданию и создание оригинал- макета учебника.
Список используемых аббревиатур и обозначения 13 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АББРЕВИАТУР АСУ АФЧХ АЧХ ГОС ду ИПФ ИУ ИУр КУ КФ ЛАЧХ лп ЛФЧХ мм мнк МП МПФ нч ок ОНБ онс ОС ОУ п пд пи пид ПС ПФ пх р САУ СП СПл СПФ СУ СФ сх ТАУ тп ФС фф ФЧХ - автоматизированная система управления - амплитудно-фазовая частотная характеристика - амплитудно-частотная характеристика - гибкая обратная связь - дифференциальное уравнение - импульсная переходная функция - исполнительное устройство - интегральное уравнение - корректирующее устройство (регулятор) - корреляционная функция - логарифмическая АЧХ - линейное программирование - логарифмическая ФЧХ - математическая модель - метод наименьших квадратов - математическое программирование - матричная передаточная функция - неизменяемая часть - основной канал в многомерных системах - ортонормированный базис - ортонормированная система - обратная связь - объект управления - пропорциональный регулятор - пропорционально-дифференциальный регулятор - пропорционально-интегральный регулятор -пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор - перекрестная связь в многомерных объектах - передаточная функция - переходная характеристика - регулятор (корректирующее устройство) - система автоматического управления - случайный процесс - спектральная плотность - стандартная (эталонная) передаточная функция - система управления - случайная функция - спектральная характеристика относительно ОНБ - теория автоматического управления - технологический процесс - фундаментальная система - формирующий фильтр - фазочастотная характеристика
14 ОБОЗНАЧЕНИЯ А - оператор системы А((о) - амплитудная частотная характеристика Л(усо) - амплитудно-фазовая характеристика А(/), В(/) - матрицы коэффициентов векторно-матричного дифференциального уравнения 5(/) - дельта-функция y(t) - входной скалярный сигнал Y(/) - входной векторный сигнал *(/) - выходной скалярный сигнал Х(0 - выходной векторный сигнал W(s) - передаточная функция скалярной системы W(s, t) - параметрическая передаточная функция W(s) - передаточная функция системы в пространстве состояний F(s) - преобразование Лапласа функции fit) £(т) - импульсная переходная функция скалярной стационарной системы k(t,i) - импульсная переходная функция скалярной нестационарной системы К - коэффициент усиления системы или элемента К(т) - матричная импульсная переходная функция К(/,т) - матрица ИПФ нестационарной системы в пространстве состояний К(/) - матрица коэффициентов обратной связи Р(со) - действительная частотная характеристика Q((o) - мнимая частотная характеристика ф(со) - фазовая частотная характеристика Цш) - логарифмическая амплитудная частотная характеристика е(/) - сигнал ошибки системы jcc(O - свободная составляющая выходного сигнала (свободные колебания) хв(/) - вынужденная составляющая выходного сигнала (вынужденные колебания) h(t) - переходная характеристика n(t) - помеха m(t) - полезный входной сигнал (управляющее случайное воздействие)
Список используемых аббревиатур и обозначения rj_ I - единичная матрица j = V-1 - мнимая единица т - порядок числителя передаточной функции п - порядок знаменателя передаточной функции Ту - время переходного процесса Т - постоянная времени E(s) - преобразование Лапласа для сигнала ошибки £ - коэффициент демпфирования А., - корни характеристического уравнения соср - частота среза р(х,у) -метрика I? (Q), С[0, Т] - функциональные пространства ||х| - норма элемента х F = {fk(t): к = 1,2,...} -линейно независимая система ф = {(рД/): к = 1,2,...} - ортонормированный базис или ортонормированная система ск - коэффициенты Фурье С(/) - матрица уравнения наблюдения Ск - коэффициенты ошибок С^ - одностолбцовая матрица коэффициентов Фурье функции /(О Wal(/:,/) - к-я функция Уолша /*э(0 - эталонная переходная характеристика Я(\|/, X, Y) - функция Гамильтона /(/?) - функционал качества W3 (s) - эталонная ПФ замкнутой системы W^(s) = W*{s) - стандартная (эталонная) передаточная функция разомкнутой системы W0(s), Wm(s) - передаточная функция объекта или неизменяемой части системы Wp(s) - передаточная функция разомкнутой системы WKy(s) - передаточная функция корректирующего устройства (регулятора) М - оператор математического ожидания Rxx (/j, t2) - корреляционная функция случайного процесса ДО &xyih>h) ~ взаимная корреляционная функция случайных процессов ДО и Г(0 $хх С00) ~" спектральная плотность случайного сигнала ДО gx (t) - среднеквадратическое отклонение случайного сигнала ДО Дсо - эффективная полоса пропускания системы
\6 o(t) - случайный сигнал ошибки системы Х(0) = Х° - начальное состояние системы Х(Т) = ХТ - конечное состояние системы Х(/) - вектор-функция состояния Хв(г) - вектор-функция выхода Хф (/) - фундаментальная матрица Sc - матрица управляемости по состоянию SB - матрица управляемости по выходу Lo - матрица наблюдаемости 1х - линейный функционал Х; - моменты функции относительно системы функций и* (t) - оптимальное программное скалярное управление и* (/, Х(0) - оптимальное скалярное управление, реализующее принцип обратной связи U* (г) - оптимальное векторное программное управление U* (Г, Х(0) - оптимальное векторное управление по принципу обратной связи
ЧАСТЬ II МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПО ЗАДАННЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМ КАЧЕСТВА Зак. 366
18 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II ВВЕДЕНИЕ Одной из центральных задач теории автоматического управления является задача синтеза систем, в результате решения которой определяется состав, структура САУ и параметры всех ее устройств из условия удовлетворения заданному комплексу технических требований: обеспечение устойчивости {стабилизация) и качества переходных процессов (увеличение быстродействия, недопустимость больших перерегулирований и др.)\ повышение точности управления в установившихся режимах и др. Далее под методами синтеза СЛ У по заданным показателям качества понимаются методы решения задачи синтеза регуляторов {корректирующих устройств), позволяющие определить место его включения, структуру и параметры, исходя из требований к качеству процессов управления. На основе располагаемой априорной информации об объекте управления и номенклатуре измерительных преобразователей рассматриваемые далее методы позволяют решить задачу синтеза системы, алгоритмы работы которой далее подвергаются моделированию; завершающей же стадией синтеза является отладка при натурных испытаниях. Разработкой методов синтеза регуляторов занимались ученые России и зарубежных стран. Г. В. Щипановым сформулирована задача синтеза систем, позволяющих компенсировать действие возмущений; B.C. Кулебакиным и Б.Н. Петровым указаны пути практической реализации принципа компенсации. А.А. Красовским, Ф.А. Михайловым, А.А. Фельдбаумом разработаны методы выбора параметров СА У, имеющих заданную структуру и основанных на использовании интегральных оценок; получены результаты и по другим аспектам решения указанной задачи. Ценные результаты, связанные с проблемой выбора эталонных передаточных функций, получены в работах В.А. Боднера, Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, А.А. Красовского, Г.С. Поспелова, Т.Н. Соколова, СП. Стрелкова, А.А. Фельдбаума. При решении задач синтеза САУ, подверженных воздействию случайных процессов, важную роль играет нахождение динамических характеристик оптимальной (эталонной) системы. Большое значение в решении этой проблемы имеют работы Н. Винера, Л. Заде и Дж. Рагаццини, В.В. Солодовникова, B.C. Пугачева, П.С. Матвеева, К.А. Пупкова, В.И. Кухтенко, B.C. Медведева, Ю.М. Астапова и др. В частотном методе, разработанном В.В. Солодовниковым и получившем широкое распространение в инженерной практике, расчет производится с использованием типовых логарифмических амплитудных частотных характеристик, для которых построены подробные номограммы показателей качества процессов управления [141]. С помощью этих номограмм можно построить эталонную амплитудную частотную характеристику синтезируемой системы, определить ее передаточную функцию, найти частотные характеристики и передаточную функцию корректирующего устройства. В.И. Сивцовым и Н.А. Чулиным получены результаты, позволяющие решать задачи автоматизированного синтеза систем управления на основе частотного метода [118]; В.А. Карагановым, Ю.И. Бородиным и А.Б. Ионнисианом рассмотрены некоторые задачи обобщения частотного метода на класс нестационарных систем. В русле этого направления лежат работы В.Г. Конькова и Л.Т. Милова. Частотный метод и его место в теории автоматического управления отражены в [141], а также в книге В.В. Солодовникова, В.Н. Плотникова и А.А. Яковлева [130].
Введение 1_9^ Метод, разработанный Н.Т. Кузовковым, позволяет использовать связь основных показателей качества процесса управления с величинами доминирующих полюсов и нулей синтезируемой системы, а также установить связь этих полюсов и нулей с варьируемым параметром. В.В. Солодовниковым, В.В. Семеновым и А.Н. Дмитриевым разработаны спектральные методы расчета и проектирования САУ, позволяющие построить конструктивные алгоритмы синтеза регуляторов [127, 131]. Решение задачи компенсации в виде функциональных степенных рядов расмотре- но Г. Ван-Трисом в [25]. Там же построены алгоритмы определения компенсирующих ядер в прямой цепи и цепи обратной связи. В [109] К.А. Пупковым, А.С. Ющенко и В.И. Капалиным систематически и с единых методологических позиций изложена теория нелинейных систем; разработаны методы синтеза регуляторов в классе нелинейных систем, поведение которых описывается функциональными рядами Вольтерра. Класс систем со случайными параметрами исследован в работах Е.А. Федосова и Г.Г. Себрякова, а применение теории чувствительности - в работах P.M. Юсупова. Аппарат многомерных ИПФ, ПФ, частотных характеристик, а также многомерных интегральных преобразований Лапласа и Фурье позволил О.Н. Киселеву, Б.Л. Шмульяну, Ю.С. Попкову и Н.П. Петрову разработать конструктивные алгоритмы идентификации и оптимизации нелинейных стохастических систем, включая синтез регуляторов [51]. Я.З. Цыпкиным и Ю.С. Попковым рассмотрены методы синтеза регуляторов в классе дискретных систем [157]. А.С. Шаталовым, В.В. Барковским, В.Н. Захаровым рассмотрен широкий спектр вопросов по проблеме синтеза систем автоматического управления; результаты отражены в [13]. Аппарат обратных задач динамики управляемых систем использован П.Д. Крутько для синтеза оператора обратной связи, а также для решения ряда других задач [64]. Аналитический метод синтеза САУ объектами с нестабильными параметрами разработан Н.И. Соколовым и его коллегами. Он дает обоснованные рекомендации по формированию эталонной математической модели синтезируемой системы с учетом условий ее физической реализуемости [92]. Теоретические положения, являющиеся основой решения задачи синтеза регуляторов, нашли отражение в работах Е.П. Попова и В.А. Бесекерского. Широкий спектр подходов к решению рассматриваемой задачи рассмотрен А.А. Первозванским [93]. Конструктивные алгоритмы синтеза регуляторов для широкого класса систем с использованием аппарата математического программирования предложены И.А. Дидуком, А.С. Орурком, А.С. Коноваловым, Л.А. Осиповым и отражены в [7, 91]. К.Ф. Теодорчик, Г.А. Бендриков, СП. Стрелков, Г.В. Римский рассмотрели методы корневых подграфов [139]. Чрезвычайно трудной является проблема синтеза регуляторов в многомерных системах. В работах, рассматривающих вопрос о разрешимости задачи синтеза регуляторов при выполнении известных требований, получены соответствующие условия резрешимости (Р. Брокетт, М. Месарович). В.В. Солодовниковым, В.Ф. Бирюковым, Н.Б. Филимоновым получены результаты, направленные на решение задач синтеза регуляторов в классе многомерных систем; ими предложен критерий качества, который адекватно отражает динамическое поведение многомерных систем; сформулированы условия, при которых задача синтеза разрешима. Ценные результаты получены А.Г. Александровым и отражены в [3]. Многими авторами (Б. Андерсон, Р. Скотт и др.) рассмотрен подход, в основу которого положено «модельное соответствие» синтезируемой системы и желаемой модели. В этом же русле с использованием метода пространства состояний находятся работы Б. Мура, Л. Силвермана, В. Уонема, з
20 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II А. Морзе и др. Используется «геометрический подход», рассмотренный В, Уонемом и Д. Персоном. Одной из проблем, связанной с синтезом регуляторов в классе многомерных систем, является проблема «развязки» каналов. В русле решения этой проблемы находятся работы Е. Джильберта, С. Уанга, Е. Дэвисона, В. Воловича, Г. Бенгстонз и др. Вопросы синтеза регуляторов в многомерных системах с использованием разных подходов изложены в работах Е.М. Смагина, X. Розенброка, М, Явдана, А.Г. Александрова, Р.И. Ивановского, А.Г. Таранова. С. Канг и Т. Калат изучили «проблему минимального проектирования». Вопросы, связанные с диагональной доминантностью, изучались О.С. Соболевым, X. Розен- броком, Д. Хаукинсом. Отдельным вопросам проблемы синтеза многомерных систем посвящены работы М.В. Меерова, Б.Г. Ильясова. Часть II содержит 7 глав, в которых отражены основные подходы к решению проблемы синтеза регуляторов. В первой главе изложены принципиальные положения, являющиеся фундаментом нашедших применение в инженерной практике методов синтеза регуляторов. Вторая глава целиком посвящена рассмотрению основных методов синтеза регу* ляторов в классе одномерных систем, включая стационарные, нестационарные и нелинейные. В третьей главе детально изложен частотный метод, а в четвертой - основные подходы к решению задачи синтеза регуляторов в классе многомерных систем, В пятой главе отражены основы теории модального управления. Шестая глава посвящена изложению основных положений одного из современных направлений теории автоматического управления - методу синтеза грубых сие* тем управления. Если в предыдущих главах в основном изложены теоретические положения, связанные с проблемой синтеза регляторов, то целью последней, седьмой, главы является обширная иллюстрация практического использования ранее изложенного материала. В частности, приведены конкретные приложения, связанные с синтезом регуляторов в системах управления теплоэнергетическими параметрами атомных электростанций, а в [148] описаны технические средства аналоговых и цифровых регуляторов. Особое внимание уделено вопросам синтеза и настройки аналоговых и цифровых регуляторов, которые внедрены на атомных электростанциях [148], При таком методическом изложении материала вдумчивый читатель имеет возможность изучить не только теоретические положения, составляющие содержание широкого спектра методов, но и познакомиться с конкретными техническими реализациями, аппаратной частью, конструкцией всей системы автоматического управления. Это будет способствовать более глубокому освоению методов синтеза регуляторов и их практическому применению.
Глава 1. Общие принципы 2л_ ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ, НА КОТОРЫХ БАЗИРУЕТСЯ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ Синтез регуляторов (корректирующих устройств) САУ - одна из важнейших задач, изучаемых теорией автоматического управления. Эта задача является весьма сложной, неоднозначной, требующей творческого подхода при ее решении. Если многие важные задачи теории управления изучаются и другими науками, то задача синтеза - это задача, собственно, теории управления. Указанная задача должна учитывать особенности работы конкретных систем управления, их конструкции, технические характеристики и т.п. Рассматриваемую задачу решает, как правило, большой коллектив разработчиков: специалисты по отдельным элементам систем; специалисты, изучающие объект управления и строящие его математическую модель; математики (специалисты по численным методам) и др. Проблема синтеза КУ в большинстве случаев точно не решается. Даже если можно построить алгоритм нахождения точного решения, то такой алгоритм интересен лишь с точки зрения выявления тех трудностей, которые необходимо преодолеть при решении задачи. При решении сложных инженерных задач общую задачу синтеза регуляторов часто рассматривают как совокупность частных задач, которые вытекают из проектируемой системы и степени сложности задачи синтеза регулятора. К частным можно отнести следующие задачи: • стабилизация объекта управления и повышение запаса устойчивости; • обеспечение необходимой точности воспроизведения воздействий в установившемся режиме; • обеспечение заданного качества в переходном режиме. Решение указанных задач базируется на некоторых общих принципах, которые кратко изложены в настоящей главе. Общие принципы указывают пути достижения высокого качества работы САУ как в переходном, так и в установившемся режимах. 1.1. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ Изложим основные этапы решения задачи синтеза регуляторов, определяющие содержание этой сложной проблемы. 1-й этап. Постановка технической задачи. На этом этапе постановка задачи делается в содержательных терминах. Ведется обсуждение с использованием таких понятий, как возможные режимы работы системы (установившийся или переходный), необходимая точность, ограничения, ориентировочное время работы системы и др. Формируется функциональная схема системы, рассматриваются энергетические вопросы, обсуждаются вопросы выбора типа исполнительных элементов и усилительных устройств и т.д. 2-й этап. Математическое описание технической задачи и ее постановка. На этом этапе строятся математические модели всех элементов, входящих в систему.
22 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II выбирается структура регулятора и место его включения. Задается эталонная система или эталонный выходной сигнал. Выбирается критерий приближения к эталону. Для систем, работающих в переходном режиме^ эталонный выходной сигнал может быть задан в виде переходной характеристики, определяемой параметрами: время регулирования Гр, перерегулирование а %, частота колебаний со = 2п IT, п - число колебаний и др. (рис. 1.1). Часто Лэ(/) - эталонная переходная характеристика задается в виде апериодического переходного процесса (рис. 1.2) /1,(0 = £(1-*"«>') = *э('). (Ы) *(')t maxl 1 п ' S о 7 1 7_ 0 2Д К Л(оо) Рис. 1.1. Переходная характеристика к 0,95Л: и т t р Рис. 1.2. Эталонный переходный процесс Параметр аэ определяется заданным временем Т?. Поскольку Гр представляет собой момент входа переходного процесса в 5%-ую трубку относительно установив- шегося значения, то очевидно, что Лэ(Гр) = 0,95/: = /:(1-^7р); (1.2) откуда имеем in0,05 3 а„=~ Т Т (1.3) Эталонную переходную характеристику колебательного типа можно задать в форме
Глава 1. Общие принципы 23 Аэ(/) = [я0 + (Я1-Я0)е-^со8рэ/]1(0, (1-4) где Нх - амплитуда желаемого процесса при / = +0, Но - значение /гэ(/) при / = оо (астатизм системы). Если Нх=0,Н0=\ (астатизм первого порядка), то А,(0 = [1-е-^со8Рэ/]1(/). (1.5) Задаваясь параметрами аэи (Зэ, можно строить процессы разной длительности, колебательности, перерегулирования. Кроме этого, могут задаваться ограничения на скорость и ускорение процессов на выходе, а также на управление u(t). В самом деле, например, требования в отношении быстродействия должны учитывать мощность исполнительного элемента. Поэтому в общем виде, если объект задан описанием в пространстве,состояний Х = АОХ + Вои, (1.6) то X(t) € Хп, где Хп - разрешенная область возможных значений вектор-функции X{t) V/ е [0,Г], a u(t) e U], где Vх - разрешенная область значений управления u(t) V/e[0,r]. Рис. 1.3. К постановке задачи синтеза КУ: I - изменяемая часть системы, включающая последовательное (/) и параллельное (4) корректирующие устройства (может быть или (/), или (4), или и то и другое), II - неизменяемая часть системы, состоящая из усилителя 2, исполнительного элемента 3. объекта управления 5 и измерительного элемента б (неизменяемую часть называют объектом) Требования к системе могут быть определены заданием эталонного оператора системы (эталонной системы). Эталонный оператор системы определяет качество системы как в переходном, так и в установившемся режимах. Для систем, работающих в установившемся режиме, информация о точности задается с помощью допустимых значений коэффициентов ошибок с с с ^0доп'^1 доп»^"2доп># • • • Типовая постановка задачи может быть сформулирована так: произвести синтез регулятора, который обеспечил бы следующее [140]: 1) нулевую установившуюся ошибку при подаче на вход сигнала вида y(t) = \(t); 2) перерегулирование сттах% в системе не должно превышать сгдоп%; 3) время переходного процесса Гр не должно превышать Гр доп'; 4) максимальное ускорение выходной переменной при заданных условиях не должно превышать допустимого значения.
24 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Часто задаются добротность по скорости и по ускорению (например, САУ должна иметь добротность по скорости Дс и по ускорению Ду). Часто говорят, что переходная характеристика должна находиться в «коробочке» В.В. Солодовникова (рис. 1.4). Й(М 'уст ^\\\\\XVsNXSN Рис. 1.4. Область допустимых значений переходной функции («коробочка» В.В. Солодовникова) На этом этапе выбираются (если они известны) или строятся (если они неизвестны) математические модели всех элементов, входящих в систему. Выбирается структура и место включения регулятора. Этот этап является наиболее сложным в том смысле, что менее всего поддается формализации. Здесь нельзя предложить каких- либо однозначных рекомендаций. Если неудачно выбрана структура КУ, то никаким подбором параметров не удастся получить реакцию скорректированной системы, близкую к желаемой. Корректирующие устройства могут быть последовательными, параллельными (дополнительные местные обратные связи, рис. 1.3) и представлять собой неединичную главную обратную связь (ГОС). Достоинством последовательных КУ является простота их реализации (RC-цепи и др.). Недостатки [130]: • при применении последовательных КУ недопустим значительный «уход» параметров неизменяемой части (НЧ) и КУ от эталонных; • применение дифференцирующих RC-цепей для уменьшения колебательности приводит к «подчеркиванию» (усилению) помех в системе. Параллельные КУ характеризуются следующими достоинствами: • степень «грубости» системы больше, чем для последовательных КУ; • нет технических проблем с питанием параллельных КУ; • как правило, параллельные КУ включены после низкочастотных элементов (например, после исполнительного устройства), на выход которых помехи, имеющие достаточно высокочастотный спектр, практически «не проходят» и, таким образом, не поступают на вход КУ. Недостатки: параллельные КУ - это чаще всего отдельные технические устройства (однако не исключаются и RC-цепи) и, следовательно, это дорогостоящие и громоздкие элементы (тахогенераторы, дифференцирующие трансформаторы и т.д.). Часто последовательное корректирующее устройство заменяется на два: последовательное и параллельное [139]. Рассмотрим САУ с последовательным КУ (рис. 1.5) и эквивалентную систему с последовательным и параллельным включением КУ (рис. 1.6).
Глава 1. Общие принципы 25 yit) Г * [ "(О x{t) Рис. 1.5. САУ с последовательным включением КУ y^l+^l Щ*) W^x{s) _i У i «2(0 —► W2(s) /2\s) щ Рис. 1.6. САУ с последовательным и параллельным включением КУ Положим, что рассчитано последовательное КУ с передаточной функцией WKy](s) . Поскольку WKy](s) реализуется с использованием сложных схем, заменим его на два более простых элемента с ПФ w'KyX(s) и w'Ky2(s) [139]. Имеем WWKyl = wwt ку1 i+иуг^ w = w}w2w3. Отсюда находим w> WKy,{s)-WKyX{s) ^ку2^^ ~ (1.7) (1-8) W2(sWKy](s) Если выбрана w'^^s), то с помощью (1.7) можно рассчитать передаточную функцию последовательного корректирующего устройства WKy](s). С помощью равенства (1.8) легко найти WKy2(s), если выбрана WKyl(s). 3-й этап. Синтез регулятора. На 2-ом этапе была выбрана возможная структура регулятора. На 3-ем этапе решается задача синтеза регулятора, состоящая в расчете его параметров. Методы синтеза можно условно разбить на две группы. Первая группа включает методы, в которых эталоном является выходной сигнал. При использовании этого подхода в качестве эталона чаще всего задается желаемая переходная характеристика /?э(0, а параметры регулятора выбираются из следующего условия: реальная переходная характеристика системы должна возможно меньше, в известном смысле, отличаться от эталонной h^it). Вторая группа методов использует понятие эталонного оператора. При этом подходе задача ставится так: надо подобрать параметры регулятора таким образом, чтобы оператор системы возможно меньше, в известном смысле, отличался от эталонного оператора. 4-й этап. Анализ полученного решения. Полученные на предыдущем этапе значения параметров регулятора подставляются в уравнения системы, и проводится ее анализ на предмет устойчивости. Если система устойчива, то строится ее переходная 2 Зак. 366
26 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II функция и другие характеристики, по которым проверяется соответствие скорректированной системы требованиям, сформулированным в техническом задании. Если система не удовлетворяет предъявленным требованиям, то необходимо вернуться ко второму и третьему этапам. 5-й этап. Аппаратная реализация регулятора. Результатом реализации этого этапа является принципиальная схема регулятора, построенная в соответствии с выбранной структурой и рассчитанными параметрами. Если предполагается реализация регулятора на базе специализированной ЭВМ, то формируются требования к ЭВМ, работающей в контуре САУ в реальном масштабе времени; строится алгоритмическое и программное обеспечение ЭВМ. 6-й этап. Испытания системы. 1.2. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПУТИ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЗАДАННОГО КАЧЕСТВА И СТРУКТУРУ РЕГУЛЯТОРА В КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ При проектировании регуляторов необходимо иметь в виду некоторые общие положения, которые могут облегчить решение конкретных задач. Можно указать следующие пути обеспечения заданного качества работы САУ в переходном и установившемся режимах: • введение в прямую и обратную цепи системы дифференцирующих звеньев для обеспечения заданного качества работы в переходном режиме; • введение в прямую цепь интеграторов для обеспечения заданной точности работы САУ в установившемся режиме; • введение в прямую цепь усилителя с таким коэффициентом усиления, который рационально влиял бы на качество как в переходном, так и в установившемся режимах. Имеют место и другие положения принципиального характера. Изложим содержание сформулированных общих принципов обеспечения высокого качества работы САУ. 1.2.1. Стабилизация и обеспечение заданного качества работы СИСТЕМ В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ ВВЕДЕНИЕМ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО ПРОИЗВОДНЫМ Положим, что известно некоторое эталонное расположение полюсов замкнутой системы, обеспечивающее необходимое качество управления (рис. 1.7). Например, по расположению полюсов на комплексной плоскости можно судить о качестве работы САУ в переходном режиме. Мнимая i ось s5* *-» л* S :с О Действительная ось Рис. 1.7. Комплексная плоскость
Глава 1. Общие принципы 27^ Иногда полагают, что наилучшие, в известном смысле, динамические свойства система имеет, когда ближайшей к мнимой оси будет пара комплексно сопряженных полюсов. Если система второго порядка имеет комплексно сопряженные полюса sl2 = -So ±j$0, то время переходного процесса Гр и перерегулирование а связаны следующими формулами с а0 и Ро : ао «i-; с = *-"*•'*■. 'р Ясно, что на основании заданных показателей качества Грио можно рассчитать положение определяющей пары полюсов САУ на комплексной плоскости. Добавление третьего ближайшего к мнимой оси вещественного полюса обычно улучшает качество переходного процесса [139]. Изложим метод реализации заданного расположения полюсов САУ на комплексной плоскости. Положим, что -su-s2,..'9~sn -заданные полюса. Тогда эталонное характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид D9{s) = (s+s0{s+s2)..4s + sH) = s" +aH_xsn-^... + als + a0. (1.9) Пусть неизменяемая часть системы (объект) представлена на рис. 1.8 и имеет ПФ Уо(д)- . . *, -• 0.10) s" + <*-! К + ... + d0 x(t) Рис. l.S. Структурная схема неизменяемой части системы Охватим объект обратной связью с передаточной функцией вида Тогда структурная схема принимает вид, изображенный на рис. 1.9. Найдем ПФ системы К к(ко + k]S+k2s2 +...+Kn_]Sn~]) s"+dn_]s"-]+... + di „_!•> -t-...-r«0 К s" +(dn_l+KKn_l)s"-] +... + {dx+KK])s + (d0 + KK0)' Запишем характеристическое уравнение скорректированной системы D(s) = sn +(dn_l+KKn_])sn-]+... + {dl+KKl)s + {d0 + KK0). (1.12) Сравнивая (1.9) и (1.12), получим условия равенства (1.12) эталонному характеристическому уравнению (1.9) [93]: di+KKi^a,; AX, =a,-</,, / = 0,л-1. Тогда *;=^^-,/ = 0,л-1. (1.13) К
28 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества- Чисть II i 9 • \ +4, Рис. 1.9. Структурная схема скорректированной системы Изложенное выше позволяет заключить [93]: введение обратной связи по выходу и его производным позволяет вместо характеристического уравнения вида D0(s) = sn +dn.is"-1 +dn_2s"-2 +... + </,*+4, (Ы4) получить характеристическое уравнение где путем изменения коэффициентов К09К}9...,Кп^ можно добиться равенства (1.12) эталонному характеристическому многочлену (1.9). Таким образом, введением ОС по выходу и его производным до (п-\) порядка можно обеспечить заданное расположение полюсов на комплексной плоскости [93]. Из (1,12) ясно, что для стабилизации объекта можно использовать ОС лишь по нескольким производным, но необязательно до (л-1) порядка включительно [93]. Важно лишь, чтобы многочлен (р < п -1) имел нули в левой полуплоскости. Мнимая t > ось *=~г Комплексная плоскость 0 Действительная ось ^=52=0 Рис. 1.10. Полюса системы на комплексной плоскости W-a Пример 1.1 [93]. Имеем разомкнутую неустойчивую систему с ПФ вида J s\Ts + \)' Полюса системы имеют следующие значения: 5, =о, s2 =0, 53 =-1/7\ Замкнем систему ОС (рис 111) WOC = K0 + Kls + K2s2. Тогда ПФ замкнутой системы имеет вид
Глава 1, Общие принципы 29 W{s)-- № + *) 1 , | KQ + KiS±K2s2 Ts3 + (\ + K2)s2 + Kls + K{) Ts* + *2 *v 1 l s2(Ts + \) x(t) Рис. 1.11. Структурная схема системы Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы Выберем эталонный многочлен (рис. 1.12) вида D3(s) * (& + af = 0 ; $j ~ -a ; 52 = -а ; s3 = -а . Тогда (j + a)3 * 53 + 352a + Зш2 +a3 = 0 . (1.16) (1 17) Приравнивая коэффициенты в (1.16) и (1.17) при одинаковых степенях 5, получаем формулы, определяющие К{),КЬК2: ~± = Ъа\ 1 + А:2=37а; *2=37Ъ-1, £- = з<х2; A:1=3ra2;~f = a3, /Г()=а3Г Мнимая ось a О Комплексная плоскость Действительная ось Рис. 1.12. К решению задачи (пример 1.1) Обеспечим устойчивость системы введением более простой "ОС (рис. 1.13) Запишем формулу, определяющую ПФ замкнутой САУ: W(s) = V(Ts> + s2)_ Ts3 + s2 y(f) + 1 s2(Ts + \) KQ+K]S x(t) Рис. 1.13. К примеру 1.1
30 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Используя критерий Льенара - Шипара, получим необходимые и достаточные условия устойчивости системы, имеющей характеристическое уравнение aos3 + а,52 + a2s+а3 = 0 , (здесь а0 = Т , а, = 1 ; <х2 = К,, а3 = Ко ). Необходимые и достаточные условия устойчивости имеют вид а0 > 0 ; otj > 0 ; а2 > 0 ; а3 > 0 ; Д2 > 0 . Здесь - главный определитель Гурвица; из него найдем Д2: А = 0 «3 <*2 0 0 «3 1 к <*2 = а,а2 - а()а3 = Щ - ТК{) > 0; К, > ТК{). Теперь легко записать соответствующие неравенства Т > 0; К, > 0; Ко > 0; Кх > KJ . Таким образом, для обеспечения устойчивости нет необходимости вводить вторую производную по выходу. Большой класс объектов описывается уравнениями второго порядка. Поэтому продолжим рассмотрение вопроса применительно к колебательному звену. Рассмотрим системы, структурные схемы которых представлены на рис. 1.14. Л К Т2 > <'). s2+2T& + \ x(t) а К T2s2+2T$s + \ Рис. 1.14. Структурные схемы систем Положим, что колебательное звено (рис. 1.14, а) имеет небольшое значение £ и, таким образом, является сильноколебательным. Охватим это звено ОС с ПФ Woc = Kos. Найдем такое значение Ко, которое обеспечило бы заданное значение £э (например, 4э=0Л): l + KKos 'т2„2 2 „2 T2s2+2T^s + \ Tlsl +(2T£> + KK0)s + \ Tlsl +27V + 1 Найдем ^э: 2Г^ + ЛА:0=2Г^э; 4э= — ^ ~2Т~-
Глава 1. Общие принципы 31 Таким образом, охват колебательного звена ОС с ПФ Woc = Kos дает возможность увеличивать коэффициент демпфирования до нужного значения, не изменяя структуры объекта [100]. Этот результат чрезвычайно важен, поскольку, не изменяя конструкции элемента, введением гибкой обратной связи можно добиться уменьшения его колебательности [100]. Пример 1.2. Рассмотрим структурную схему канала управления креном ракеты (рис 1 15) [77] Передаточная функция канала управления креном определяется формулой W(s) —VA— (1 18) Процесс установления крена ракеты с использованием системы управления, структурная схема которой представлена на рис. 1.15, носит колебательно-затухающий характер, причем процесс является медленно затухающим Я') = Ук Kh ~ S(/) Г 5,=и(0 Ку s(Tys + \) Ik = *(') Рис. 1.15. Структурная схема системы Приведем (1 18) к виду 045) = s2+2^(uOKs + a2OK 19) где соок = - собственная частота колебаний ракеты по крену, 4 = : - коэффициент демпфирования Параметром, с помощью которого можно изменять качество управления, является коэффициент передачи К1у чувствительного элемента. Очевидно, для увеличения £ (увеличения затухания) коэффициент Kiy надо уменьшать. Однако можно показать, что с уменьшением К1у увеличивается установившаяся ошибка [77] Поэтому такой путь получения желаемых характеристик контура управления креном оказывается нецелесообразным [77]. На практике используется введение обратной связи по скорости, причем сигнал x(t) = yK(t) формируется с помощью скоростного гироскопа. Структурная схема канала управления креном с введением сигнала крена и его производной представлена на рис 1.16. Я0 = Уо(0| УкзиО + 5,(0=1/(0 Kv s(Tys+\) *(O = Y*(g Рис. 1.16. Структурная схема системы
32 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Для структурной схемы, представленной на рис 1 16, передаточная функция имеет вид (1 19), однако коэффициент демпфирования изменяется, он определяется формулой 1 + лппл\,л^ ^ КпрКуКу <U=: vnpiVYiVY _ = ^+: - = *> + **, (120) Как следует из последней формулы, изменяя Ку, можно в достаточно широких пределах менять характер установления угла крена Из изложенного можно сделать вывод, с помощью дополнительного сигнала, сформированного в автопилоте, можно изменять динамические характеристики системы «ракета-автопилот», не меняя аэродинамической формы ракеты. Далее рассмотрим структурную схему канала управления продольным движением ракеты (рис 1 17) Здесь, помимо сигнала обратной связи по углу тангажа, сформированного позиционным гироскопом, введены два дополнительных сигнала [77]. Один из них, измеряемый скоростным гироскопом, пропорционален угловой скорости вращения продольной оси ракеты & , а второй - датчиком линейных ускорений, пропорционален углу атаки а »»('). Ъ As э 9 * i п к V «в \ s2 +2^соо5 + о)о а 1 + i Рис. 1.17. Структурная схема системы Из структурной схемы (рис 1 17) следует дифференциальное уравнение вида [77] о(0 + (2^соо + а6КпрКв№) + (e)J + аьКпрКа + ±.asKttpKJa(t) = = а5/:прл:э(83-э) Из рассмотрения последнего уравнения следует сигнал скоростного гироскопа искусственно изменяет коэффициент демпфирования ракеты и собственную частоту ее колебаний [77]. 1.2.2. Целенаправленное изменение динамических свойств систем путем введения дифференцирующих звеньев в прямую цепь Рассмотрим систему, структурная схема которой представлена на рис. 1.18. Регулятор К Ъ ^) Неизменяемая часть «(О иэ о Щ*) x(t) Рис. 1.18. Структурная схема системы
"лава 1. Общие принципы 33 Из-за наличия дифференцирующего звена регулятор формирует сигнал управления u{t) с прогнозом: если амплитуда e(f) увеличивается, производная е(/) положительна и сигнал u{t) усиливается. С момента уменьшения сигнала е(/) сигнал i(t) < О и сигнал u(t) интенсивно ослабляется (рис. 1.19). Рассмотрим пример и изложим математическую сторону вопроса. Положим, что неизменяемая часть системы является колебательным звеном с малым значением % , г.е. неизменяемая часть - сильноколебательный элемент. 8(0- 8(/) управляющий сигнал м(/) усиливается _ ^управляющий сигнал м(0 ослабляется Рис. 1.19. Сигнал ошибки е(/) Ш*0Ш р Рис. 1.20. Структурная схема системы Передаточная функция системы имеет вид Wis)= ТЧ+К2Т^ + Х ~ T2s2+2TZ,s + \ K3+K'3s Kc+Kus T2s2+(2T^ + Ka)s + Kc+\ (1.22) р2„2 ?;V+2r,^+r где ;^ = к„ Il + Ke 2Tjl + Kc Выбором коэффициентов Ка и Кс можно целенаправленно изменять динамические свойства замкнутой системы, в том числе увеличить \ до нужного значения.
34 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II 1.2.3. Влияние коэффициентов усиления разомкнутой системы и интеграторов в прямой цепи на качество работы сау в установившемся режиме Известно, что установившаяся ошибка работы САУ определяется выражением б(0 = с0Я0+с,Я0+^с2Я0+...+—стУ(т) (0, (1.23) 2! т\ где Со, Сх, С2 ... - коэффициенты ошибок. Если W(s) - ПФ замкнутой САУ, то справедлива формула Сп=^т[1-№Щ , к =0,1,2,.... (1.24) Обычно называют: Со - коэффициент статической ошибки; С] - коэффициент скоростной ошибки; С2 — коэффициент ошибки по ускорению и т.д. Из формулы (1.14) находим C°=7TF' (L25) 1 + А где К - коэффициент усиления разомкнутой системы (рис. 1.21). Из (1.25) следует, что уменьшение установившейся ошибки достигается увеличением коэффициента усиления К. Вместе с тем с увеличением точности в установившемся режиме уменьшаются запасы устойчивости и при некотором К > К^ система становится неустойчивой. Рассмотрим систему (рис. 1.21). Имеем К W(s)= ао*3+(У2+а2* + 1 * 1 + - К aQs3 +aj52 +a2s + l а0^3 + а^2 + a2s +1 + К К ао534-а152+а25> + 1 *(£ Рис. 1.21. Структурная схема системы Воспользуемся критерием Льенара - Шипара; пусть а! а3 0 А = а0 а2 0 - главный определитель Гурвица. 0 ах а3 Необходимые и достаточные условия устойчивости можно записать так: сс0 > 0; ctj > 0, а2 > 0, а3 = 1 + К ; А2 = a, oti а0 а2 щ i + a: а0 <х2 = а!а2 -ао(1 + /С) = а1а2 —cxq -OqK >0 . Отсюда получаем аха2-а0 >а0К ; далее запишем выражение, определяющее критический коэффициент усиления К^:
Глава 1. Общие принципы 35_ а1а2~а0 _jt При К > Кф - система неустойчива. Из изложенного легко заключить: при увеличении точности работы САУ в установившемся режиме путем увеличения К необходимо помнить: запас устойчивости системы уменьшается и существует К = К^, при котором система становится неустойчивой. Однако существуют такие структуры систем, которые допускают неограниченное увеличение К [156]. Для достижения нужного запаса устойчивости используют введение в прямую цепь дополнительных звеньев, например, апериодического звена, постоянная времени которого значительно больше постоянных времени имеющихся апериодических звеньев. Пользуясь (1.24), легко показать, что если в прямой цепи имеется один интегратор, то Со = 0. В самом деле, если в прямой цепи имеется один интегратор, то ПФ разомкнутой системы имеет вид F s Найдем ПФ замкнутой системы »о(*)/ Запишем зависимость для коэффициента Со C0=(\-W(s))\ =1-М>)=1-1 = 0. Аналогичным образом легко показать, что если в прямую цеп$ включены два интегратора, то Со = 0, Q = 0; для трех интеграторов имеем Со = 0, С, = 0, С2 = 0 . Как и в предыдущем случае, когда увеличение коэффициента усиления в прямой цепи разомкнутой системы понижало запас устойчивости, так и введение интеграторов приводит к аналогичному результату. Повышение статической точности путем введения интегрирующих звеньев требует проведения мероприятий по сохранению запасов устойчивости САУ. Из изложенного выше можно заключить, что введением в прямую цепь интеграторов, включением в прямую цепь и цепь обратной связи дифференцирующих звеньев, а также изменением коэффициента усиления разомкнутой системы можно добиться высокого качества работы САУ в переходном и установившемся режимах. 1.2.4. Влияние местных ОС Основные виды ОС определяются ПФ (рис. 1.22): • жесткая обратная связь (действует на систему как в переходном, так и установившемся режимах) 0^(5) = /^; (1.26) • инерционная жесткая ОС Kc(s)=-^-; (1.27) • гибкая обратная связь (действует лишь в переходных режимах)
36 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II инерционная гибкая ОС 0^(5) «Кос*; K^s CL (1.28) (1.29) Рис. 1.22. Структурная схема системы с обратной связью W0Q(s) Проиллюстрируем основные свойства ОС при охвате ими различных типов звеньев [100]. Пусть IVO (*) = К Ts + \ T3s + l где Кэ=- К -. гэ=- (\ + КК0С) ' (\ + КК0С) Вывод: жесткая отрицательная ОС не изменяет структуру апериодического звена, но уменьшает его инерционность (уменьшает постоянную времени). Тем самым она улучшает качество переходного процесса в САУ и оказывает стабилизирующее действие, т.е. превращает неустойчивую замкнутую систему в устойчивую. is Если же W0(s) = -—-, a fl^Cs) = K0Gs , то 7i + l W(s) = К ГЭ5 + Г где T3=T + KK0G. Таким образом, гибкая отрицательная ОС не изменяет структуру и не влияет на передаточный коэффициент апериодического звена. Она лишь увеличивает его инерционность (увеличивает его постоянную времени). Положим теперь, что ад = -,а^0С(*) = К0С. В этом случае получаем T3s + \ где Кэ= —, 7\ = Э IS * ккп
Глава Ь Общие принципы j/_ Итак, под действием жесткой ОС теряется интегрирующее свойство звена и оно превращается в апериодическое с коэффициентом усиления, который определяется Кос. Постоянная времени Тэ будет мала при большом К . Рассмотрим случай, когда ВД = ->^ос(*) = ^7- s Tocs + \ Имеем где W{s)'~Ty+T2^i' Следовательно, интегрирующее звено превращается в звено второго порядка; при большом К охват интегрирующего звена инерционной жесткой обратной связью эквивалентен усилительному звену с введением производной. Если же W0(s) = -, а Жос(.у) = £ocs , то s S где К (1 + КК0С) Таким образом, гибкая обратная связь не изменяет структуру интегрирующего звену, но уменьшает его передаточный коэффициент (увеличивает постоянную времени Тэ = — ). Рассмотрим практически важный случай, когда Передаточная функция замкнутой системы имеет вид где W(s) = —ri- T3V+2Гэ£э.я-1 к К т - Т т. - -§ 1 + ^ос ф^ККо, J^KKZ Вывод: жесткая отрицательная ОС не изменяет структуру колебательного звена, но уменьшает постоянную времени и коэффициент демпфирования, при этом уменьшается коэффициент передачу. Если же колебательное зэено охватывается отрицательной ОС С ПФ W0C(s) = K0Cs, 2Т{\-%) то при л:ос < W№—* rV+2r^5 + l
3& Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II где КК £э = £ + ~ (этот случай рассматривался выше). 2Г(1-£) Если же K0Q > —-—~, то К {T]S + \)(T2s + \y где 7, =0,5fr + Vr2-4r2>j; Г2 =0,/г-Vr2 -4Г21; r^l^T + KK^. Следовательно, сильная отрицательная ОС превращает колебательное звено в последовательное соединение двух апериодических звеньев. IS Легко показать, что если W0(s) = К ; Woc(.s) = —а£—, то W{s) = K9(T,s + l), где к К Т Тос т.е. инерционная отрицательная ОС превращает идеальное усилительное звено в реальное дифференцирующее звено, с помощью которого можно получить производные входного сигнала. Последовательный регулятор, имеющий ПФ и объединяющий в себе введение интеграла и производной, называется изодромным. Использование изодромного регулятора позволяет получить необходимый порядок астатизма, сохраняя устойчивость и качество системы в переходном режиме. А теперь рассмотрим случай, когда объект с ПФ »;(*)=■ к охватывается ОС с ПФ rMmw Пользуясь структурными преобразованиями, получим ПФ замкнутой системы [100] у(д)в *i(p + l) ш s(Tis2+Txs + \) где к __ % Т2 _ TT0Q т _ Т + Тос 1 1 + ККое' 2 \ + КК0С' 1 \ + КК0С' Вывод: при сохранении интегрирующего свойства звена получается эффект введения производной, т.е. интегрирующее звено становится изодромным {постоянные времени 7J и Т2 могут быть уменьшены за счет увеличения К ). Инерционное запаздывание в ОС может быть использовано для улучшения^ качества переходных процессов (получается эффект, аналогичный введению производной в прямой цепи). В заключение рассмотрим условие сохранения порядка астатизма охватываемого звена.
лава 1. Общие принципы Если Wo(s) = -^-W'(s) и 1Уос(5) = Кос5^с(5),то S w(s) =. *оВД Отсюда следует, что для сохранения v-го порядка астатизма необходимо выпол- 1ение условия ц > v . Общий вывод: применение далее простейших отрицательных обратных связей позволяет существенно изменять свойства типовых звеньев. Если же элементы регулятора могут быть охвачены ОС, то динамические свойства этих элементов могут быть изменены в направлении обеспечения заданного качества работы замкнутой САУ[100]. Изложенные здесь положения лежат в основе подходов к выбору рациональной структуры регулятора для каждого конкретного случая. При проведении инженерных расчетов целесообразно принимать во внимание следующее. Уменьшение установившейся ошибки достигается увеличением добротности системы (передаточного коэффициента разомкнутой системы). Вместе с тем при увеличении коэффициента усиления в большинстве случаев уменьшаются запасы устойчивости и при К > Ккр система становится неустойчивой. Поэтому при повышении точности работы САУ в установившемся режиме путем увеличения К необходимо предусмотреть мероприятия для обеспечения достаточного запаса устойчивости. Увеличение точности путем обеспечения астатизма (включение интеграторов в прямую цепь) также требует реализации мероприятий по сохранению запасов устойчивости САУ. Для получения астатизма целесообразно использовать изодромные звенья с ПФ wKy(s) = K»(T"s+lKi+bL> У . S S где ТИ = постоянная времени изодрома. Если ТИ - достаточна велика, то запас устойчивости может быть сохранен неизменным [130]. Неединичная обратная связь — один из путей реализации астатической системы. Демпфирование с подавлением высоких частот - еще один путь обеспечения устойчивости или повышения запаса устойчивости. Этот путь реализуется введением апериодического звена, постоянная времени которого значительно больше постоянных времени имеющихся апериодических звеньев разомкнутой системы is Жр(5) = (715 + 1)(Г2, + 1)(Г3, + 1)- Устойчивость и необходимый запас устойчивости могут быть обеспечены введением форсирующего звена при любой ПФ исходной системы. При этом увеличивается быстродействие системы, вместе с тем увеличивается и влияние помех. 1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ РЕГУЛЯТОРОВ 1.3.1. Математические модели В предыдущем параграфе была показана роль операций усиления, интегрирования и дифференцирования: с помощью изменения величины коэффициента усиления
j40 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II в прямой цепи, введения местных обратных связей, включения интегрирующих и дифференцирующих звеньев можно добиться заданного качества работы САУ (в пределах возможностей, которые определены структурой используемого регулятора). В соответствии с этим положением строятся математические модели регуляторов, цель которых - формирование управляющего воздействия (команды управления) на объект (рис. 1.3). Здесь пока ограничимся рассмотрением наиболее распространенных математических моделей линейных регуляторов по отклонению непрерывного действия. В этих простейших законах управляющее воздействие u(t) линейно зависит от сигнала ошибки е(/) (включение в прямую цепь усилителя), его интеграла (включение интегрирующих звеньев) и первой производной (включение дифференцирующих звеньев). Сказанное выше позволяет ввести в рассмотрение следующие виды управляющих устройств (регуляторов): 1) пропорциональное управляющее устройство (П-у правление) КуЮ = К; (1.30) 2) интегральное управляющее устройство (И-управление) 0;y(j)=^eJ-,KH=:-L; (1.31) 3) пропорционально-интегральное управляющее устройство (ПИ-управление) WKy(s) = K + ^- = K + -^-; (1.32) s TKs 4) пропорционально-дифференциальное управляющее устройство (ПД-управ- ление) ^Ky(5) = K+V = *+^; О-33) 5) пропорционально-интегрально-дифференциальное управляющее устройство (ПИД-управление) WKy(s) = K + ^- + KRs. (1.34) s Вводя кратное интегрирование и дифференцирование, можно получить более сложные законы управления. 1.3.2. Анализ динамических характеристик регуляторов Кратко рассмотрим основные характеристики приведенных выше регуляторов, следуя [88]. С использованием П-регулятора комплексная частотная характеристика (КЧХ) разомкнутой системы имеет вид Wp{j<u) = KW0U<i>). (135) При подключении к объекту П-регулятора КЧХ объекта увеличиваются на каждой частоте пропорционально в К раз На рис. 1 23 приведены КЧХ разомкнутых систем с П-регулятором При К = 1 КЧХ разомкнутой системы совпадает с КЧХ объекта регулирования. При К > 1 КЧХ разомкнутой устойчивой системы приближается к точке В (- 1 ,у0); при К < 1 КЧХ отходит от этой точки. На рис. 1.23 в качестве примера изображены две КЧХ разомкнутой системы, при К - К{ -1,5 и при а: = а:2 = о,5. Выходной процесс в П-регуляторе описывается выражением м(0 = *£(/), (1.36) где е(/) - входное воздействие регулятора, u(t) - управляющий сигнал, поступающий на объект управления. Как выше отмечалось, чрезмерное увеличение запаса устойчивости С ухудшает качество регули- рованияу т.к. при этом затягивается переходный процесс в системе (увеличивается время переходного процесса (см. §1.2)), увеличивается установившаяся ошибка.
Глава 1. Общие принципы 41 С. Р(ю) Рис. 1.23. Характер изменения КЧХ разомкнутой системы при изменении ее коэффициента С учетом сказанного для системы с П-регулятором существует некоторое оптимальное значение коэффициента его передачи К*., которое и следует выбирать при настройке системы [88] При использовании И-регулятора выходная величина u(t) - команда управления, пропорциональна интегралу от входной величины е(/) и(/) = Кн}е(т)</т (1.37) Коэффициент передачи Ки является параметром настройки И-регулятора, определяется формулой (138) со Комплексная частотная характеристика разомкнутой системы с И-регулятором имеет вид (139) Из (1.39) следует, что в системе с И-регулятором вектор КЧХ объекта на данной частоте увеличивается в Ки/& раз и поворачивается по часовой стрелке на 90°. В качестве примера на рис. 1.24 построена КЧХ разомкнутой системы с И-регулятором по КЧХ объекта управления На рис. 1.24 каждый вектор разомкнутой системы связан с КЧХ выражением (1.39), например OE]=£*-e-JiU2OAl со, (140) Так как при со -> 0 отношение К„ /со -> оо , то КЧХ разомкнутой системы с И-регулятором при со —> 0 уходит в бесконечность, асимптотически приближаясь в третьем квадранте к отрицательному направлению мнимой полуоси [88] Основное назначение закона И-регулирования - ликвидация установившейся ошибки управления В качестве самостоятельных И-регуляторы применяются достаточно редко из-за медленного нарастания управляющего сигнала U(t) при отклонении регулируемой переменной (при увеличении ошибки е(/)) Очень часто закон управления используется блоком или устройством, конструктивно являющимся составной частью регулятора, реализующего более сложный, например, пропорционально-интегральный закон управления. Выше отмечалось о реализации законов управления, учитывающих производную от сигнала z(t) Если П- и И-регуляторы не могут упреждать (прогнозировать) ожидаемые отклонения регулируемой величины, реагируя только на уже имеющиеся в данный момент нарушения технологического процесса, то с помощью введения производной возможен процесс прогнозирования, при формировании управляющего сигнала, поступающего на объект управления Регулятор, использующий ё(/) (Д-регулятор) при большой скорости отклонения регулируемой величины (когда в начальный момент П-регулятор оказывает слабое управляющее воздействие на объект, а И- регулятор только начинает наращивать управляющее воздействие) оказывает существенное управляющее воздействие на объект, ликвидируя тем самым отклонение регулируемой величины (уменьшая ошибку е(/)), причем чем больше возмущающее воздействие на объект (чем больше ошибка е(/) ), тем быстрее
42 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II будет отклоняться управляемая величина от заданного значения и тем значительнее будет управляющее воздействие регулятора на объект, направленное на нейтрализацию возмущающего воздействия [88]. Реализация Д-регулятора в чистом виде практически неосуществима. В связи с этим в качестве Д-управляющих устройств используются дифференциаторы с передаточной функцией [88] (V+D (1.41) JQW WJja) Рис. 1.24. Комплексные частотные характеристики объекта Жо(усо) и разомкнутой САУ W?(j<a) с И-регулятором Для комплексного использования преимуществ законов П- и И-регулирования в автоматических системах широко применяются регуляторы, формирующие законы как П-, так и И-регулирования одновременно. Такие регуляторы называются, как было сказано выше, пропорционально-интегральными, или сокращенно - ПИ-регуляторами На практике используются ПИ-регуляторы, имеющие ПФ вида Ки ■w-*+£"*+-f (142) - параллельное соединение П-регулятора и И-регулятора (£„=—-; Тн называют постоянной времени 'и интегрирования). Если при настройке ПИ-регулятора установить очень большое значение постоянной времени Т„ , то он превратится в П-регулятор. Если при настройке регулятора установить очень малые значения к, то получим И-регулятор с коэффициентом передачи по скорости \/Ти = К„ . Часто используются ПИ регуляторы с ПФ [88] 'из5 (143) где Тю - постоянная времени изодрома. Переходная характеристика ПИ-регулятора с передаточной функцией (1.42) представлена на рис. 1.25 (прямая 1) [88]. В (1.42) К и» Ти - параметры настройки; в (1.42) имеют место взаимосвязанные параметры настройки статической и астатической частей по коэффициенту усиления К. Так, при настройке коэффициента усиления К будет изменяться и постоянная времени интегрирования: T=TUJK. (1.44)
лава 1. Общие принципы 2Кг0 Кг0 0 1 N / У 2 J t т т Рис. 1.25. Закон ПИ-управления регуляторов с передаточной функцией (1.42) (прямая 1) и с передаточной функцией (1.43) (прямая 2) при поступлении на вход постоянного сигнала е0 и при одинаковом значении коэффициента передачи К регуляторов Постоянной времени изодрома регулятора с ПИ-законом регулирования называется время, в течение -оторого от действия интегральной (астатической) части регулятора удваивается пропорциональная статическая) составляющая закона управления. На рис. 1.26 приведены переходные характеристики в ПИ-регуляторах, выходной сигнал которых оп- )еделяется зависимостями [88] u(t) = Kz(t) + ±-jz(T)dT • и /ч (1.45) "(О К = К3г( К — л2в0 о ( 1 ' 1 u(t) = KU(/) + — Je(x)^T . K = 2K2eq K=2Kxz, K = K2s0 t (146) a U б Рис. 1.26. Характер изменения законов ПИ-управления при различных постоянных значениях коэффициента усиления К регуляторов: а - для регуляторов с ЛФ WKy (s) = К+— ; б - для регуляторов с ПФ WKy (s) = —^-^ - Из рис. 1.26, а видно, что при законе ПИ-регулирования скорость нарастания интегральной составляющей на выходе регулятора при изменении К не изменяется При законе ПИ-регулирования в случае изменения К пропорционально изменяется и скорость нарастания интегральной составляющей на выходе регулятора На практике нашли применение ПД-регуляторы с ПФ 1¥ку(*) = К + Клз, (147) а также с ПФ WKy(s) = K{\ + Tnms)9 (1.48) где ТП9 - постоянная времени предварения.
44 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II И, наконец, запишем ПФ ПИД-регуляторов [88] WKy(s) = K + — + Клз = К + ^ + Кдз THs s (1.49) »;yW = i«:h+^+rnijj=^i+b.+rn.jj d 50) - ПИД-регулятор с общим коэффициентом усиления для различных составляющих закона управления При скачкообразном изменении регулируемой величины идеальный ПИД-регулятор в начальный момент времени оказывает мгновенное бесконечно большое воздействие на объект регулирования, затем величина воздействия мгновенно падает до значения, определяемого пропорциональной частью регулятора, после чего, как и в ПИ-регуляторе, постепенно начинает оказывать свое влияния астатическая часть регулятора. К, Ти и Кд - параметры настройки ПИД-регулятора. ПИД-регулятор по своим возможностям является более универсальным по сравнению с другими регуляторами. С его помощью можно осуществлять различные законы управления. Характеристики типовых ПИ-, ПИД-регуляторов и дифференциаторов приведены в табл. 1.1. Таблица 1.1 Вид характеристики Характеристика регулятора типа ПИ ПИД Дифференциатора Уравнение Hx+riz" '«,' at У T«i '■!"■«; Передаточная функция «1 + : Tu,s *11 + 7?+Г- МО Переходная характеристика h{t) №) Щ) КЧХ Уб(со) со = 0 ^(g) ijQW Jc (О k ш JW У^л7 0) = 0 *. 10) J = 00 /»(tt) i ,Л(©) АЧХ nA(a) ■J- LA(a) И«> (0 = ± ФЧХ ф(<0) 1,Ф) ^♦ф(©)
лава 1, Общие принципы 1.4. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ, НА КОТОРЫХ БАЗИРУЮТСЯ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ В ЗАДАЧАХ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ Положения, изложенные в предыдущем параграфе, позволяют определить пути беспечения заданного качества работы синтезируемой системы автоматического правления и на этой основе найти математическую модель и структурную схему >егулятора, место его включения, а также варьируемые параметры. Однако на этом этапе не рассматривается вопрос расчета численных значений па- >аметров регулятора рх, р2,..., рг. Цель настоящего параграфа - изложение общих принципов, позволяющих построить методы и алгоритмы расчета параметров Р\^Рг^^рг регулятора WKy{s,pup2,...,pr). 1.4.1. Принцип динамической компенсации В соответствии с этим принципом в результате решения задачи синтеза регулятора определяются как его структура, так и параметры /?i,/?2»•••>/?/•• Поэтому в рассматриваемом случае структура и параметры регулятора не задаются, а определяется лишь место его включения, Изложим основные положения принципа динамической компенсации. Разделение задачи синтеза регуляторов на два этапа: • нахождение эталонной динамической характеристики Аъ {например, передаточной функции); • синтез регулятора, обеспечивающего равенство эталонной и реальной динамических характеристик (т.е. нахождение оператора и параметров регулятора 4у). Рассмотрим систему (рис. 1.27), т «(0 Рис. 1.27. Структурная схема системы На структурной схеме использованы обозначения; Ао - оператор неизменяемой части системы (объекта управления), Л^ - оператор регулятора, Аэ - эталонный оператор замкнутой системы. Далее будут использованы положения операторной алгебры, в соответствии с которой имеют место следующие действия: 1) сложение операторов А + В = С \ 2) умножение операторов АВ = С\ 3) умножение оператора на скаляр Ак = В или кА = В . Кроме этого, справедливы правила: 1) операция сложения коммутативна А+В=В+А\ 2) операция сложения и умножения ассоциативны
46 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II А + (В + С) = {А + В)+С и а{ВС)=(АВ)С; 3) операция умножения не коммутативна АВ * ВА . Для системы (рис. 1.27) справедливы зависимости 6(0 = yif) - *(0, *(0 = Aou(t), и(0 = 4* е(0. Из этих формул имеем *(0 = 4АуБ(0, или где Лр = /^о^ку "~ оператор разомкнутой системы. Имеет место соотношение s(0 = y(t)~- A0A^z(t) и, следовательно, 6(0 + 4,4*6(0 = (/ + 4>4у )е(0 = ЯО • Отсюда находим е(0 = (/ + 4Ау)Л(0. Поскольку д:(/) = 4,4*6(0 = Л^ку (/ + 4^ку)"! ЯО, то оператор замкнутой системы определяется формулой А = А0Аку(1 + А0Аку) . Теперь легко найти выражение, определяющее оператор регулятора через операторы А и 4) • Имеем Л (/ + 4)4<у ) = ^ + АА0Аку = 4Ику • Из последней зависимости следует /4 = 4)4<у ~АА0Аку =(Л~^Л)4у =(^""^)Л^ку • Отсюда находим аку=[{1-а)а0]-1а = а;]{1-аУ1а. Поскольку оператор замкнутой системы должен равняться эталонному оператору, т.е. А = АЭ, то окончательная формула, определяющая оператор регулятора, запишется так 4<у=Ло1('-ЛэУ"1Л\ (1.51) В последней формуле Аэ и AQ известны, поэтому принципиально возможен расчет оператора А^ , при этом определяются структура регулятора и численные значения его параметров рх, р2,..., рг. Проверим анализ основной формулы. Из нее следует, что синтез регулятора в соответствии с рассматриваемым принципом предполагает компенсацию динамики объекта; процесс компенсации иллюстрируется рис. 1.28. Из рассмотрения схемы (рис. 1.28) можно записать 1/(0 = ^о1(/-^э)"^э]б(0
Глава 1. Общие принципы 47 it) = Aou(t) = ^AoAo](l-A3YA^z(t) = (l-A')~lA\ X0+/Ov£(0 ^=^(1-^ А* x(t) Рис. 1.28. Структурная схема скорректированной системы Из последней формулы следует, что основным содержанием принципа динамической компенсации является возможность не учитывать динамику объекта при синтезе регулятора, что обеспечивается наличием в операторе регулятора сомножителя Aq1 . Формально зависимость, определяющая А^ , дает точное решение задачи синтеза регулятора. В большинстве же случаев физически элемент с оператором А^ реализовать не удается. Важным является следующее положение: содержание большого числа инженерных методов синтеза регуляторов сводится к топ или другой форме аппроксимации соотношения AKy=Aol(l-A3)']A\ Такая аппроксимация направлена на: 1) упрощение структуры регулятора; 2) возможность получения физически реализуемых элементов; 3) обеспечение устойчивости замкнутой системы; 4) повышение свойства грубости и др. (см. параграф 2.2, в котором изложен принцип динамической компенсации применительно к классу стационарных линейных объектов). В связи с этим при решении практических задач центральными следует считать две формулы: А\ = Л^ку И Аэ = А0Аку i1 + А0Аку ) > где А* - эталонный оператор разомкнутой системы; Аэ - эталонный оператор замкнутой системы. Задача синтеза формулируется как задача расчета оператора регулятора А^ из условия приближенного выполнения {не обязательно за счет наличия звена с оператором Aq ) одного из двух равенств: А* « Ар или Аэ « А, где Ар и А - реальные операторы соответственно разомкнутой и замкнутой систем. При использовании принципа динамической компенсации достигается точное равенство реальных операторов эталонным операторам за счет сомножителя Aq1 . В инженерных расчетах указанное равенство не достигается, поэтому целесообразно найти соответствующую оценку погрешности, определяющую ухудшение качества процессов управления. Вместе с тем при проведении расчетов необходимо помнить, что многие методы в неявной форме реализуют принцип динамической компенсации.
^8 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II 1.4.2. Оптимизационный принцип синтеза регуляторов, предполагающий достижение приближенного, в известном смысле, равенства реального выходного СИГНАЛА хр(t,Р\,р2,'~,Рг)ЭТАЛОННОМУ ПРОЦЕССУ *э(/) В основе реализации этого принципа лежит аппарат нелинейного программирования. Основное содержание этого принципа состоит в следующем: задается оператор регулятора, зависящий от параметров р],р2,...,рг, т.е. Аку(рир2,...,рг); задаются эталонное воздействие y3(t) и эталонная реакция на это воздействие x3(t). Проблема синтеза состоит в подборе таких значений параметров рх 9р2,...,рг, которые обеспечили бы близость, в известном смысле, реального выходного сигнала хр{*>Р\>Р2>->Рг) и эталона x3(t). Обсудим этот подход; положим, что мерой близости выбрана метрика пространства с[о,г], т.е. задача формулируется так: 1\{*>Р\>Р2*--->Рг) = *№\хр{*>Р\>Р2>-»>Рг)-Хэ{*)\-> miQ-- OutuT ■ pt,i=],r Если же воспользоваться метрикой пространства L2 [о, Т], то 1г(*>РьР2—Рг) = ][хр{1,Р\,Р2>»'>Рг)-х9к)] А-> mia_. В функционалы 1Х и /2 входит функция xp(t,pup2,...,/?r). Она определяется зависимостью A(P\>P2>->Pr)Xp(t,P\,P2>->Pr) = = [ЛАсу(А>/>2>"->/0(/ + ^о4у(/^^ где А(рх,р2,...9Рг) - оператор замкнутой системы, зависящий от параметров РиР2>->Рг регулятора. Из последней формулы находим Хр{^Р\,Р2,^Рг) = ^оАку{РиР2^^Рг)^ + АОАку{РьР2^^Рг)) | Уэ(0 = ,} $2) = А-1(р{,р2,...,рг)уэ(0. Полученная зависимость позволяет сделать следующий вывод: для реализации рассматриваемого принципа необходимо знать обратный оператор замкнутой системы, явно зависящий от параметров регулятора. Это - чрезвычайно сложная задача, решение которой возможно лишь в исключительно простых случаях (см. §2.6). 1.4.3. Оптимизационный принцип синтеза регуляторов, предполагающий достижение приближенного, в известном смысле, равенства правой и левой частей операторного уравнения, описывающего динамику замкнутой скорректированной системы Содержание этого принципа состоит в следующем. Пусть y3(t) - заданное (эталонное) воздействие, x3(t) - желаемая реакция; тогда имеет место зависимость \АпАжу(Р1>Р2'->Рг)(1 + 4>Ач{Р\>Р2>->Рг)) 1 '*э(')« У,(0. С1-53) F\(t,P\,P2>->Pr) Рг(*,Р\,Р2">Рг)
Глава 1. Общие принципы 49^ В последней формуле стоит знак приближенного равенства. В идеальном случае, правильно подобрав структуру и значения параметров регулятора рх, р2,..., рг, мы при подстановке в операторное уравнение скорректированной системы эталонного, воздействия y3(t) и желаемой реакции x3(t) получили бы тождество, т.е. д:э(0 была бы решением операторного уравнения системы при правой части y3(t). Идеальный же подбор регулятора, в общем случае, невозможен, поэтому имеет место невязка E(t,pl,p2,...,pr) = Fl(t,p],p2,...,pr)-F2(t,p],p2,...,pr). (1.54) На основе невязки можно построить соответствующие функционалы и сформулировать задачу синтеза регулятора так: 'з(р\>Pi>->Pr)= max|£(/,P\,p2,.~,pr]-> miu- ; т U {р\ э Pi >•••> Рг) = J Е2 ('> Р\,Рг^рМ-+ min_ - при соответствующих ограничениях, связанных с устойчивостью и качеством работы системы. Достоинство последнего подхода состоит в том, что он не требует нахождения обратного оператора А~] (р}, р2,..., рг). Это - принципиальное упрощение задачи. Этот подход можно применить к широкому классу систем, включая линейные нестационарные и нелинейные системы, системы с опаздыванием и т.д. Как и в предыдущем случае, аппарат нелинейного программирования является основным инструментом реализации этого принципа. 1.4.4. Принцип, лежащий в основе группы методов, использующих понятие моментов Для иллюстрации рассмотрим основную идею одного из методов. Если выбрана так называемая моментная система f\(t),f2{t)^.,,ff(j), то на основе (1.53) можно записать систему равенств }[><О^(Я1»Р2э»-.Рг)(^ + ^^(Р1эР2э».эРг))"11*э(ОЛ(ОЛ = 0L J т =фэ(0Л(0* к = Ц; 1>г. о Решая систему (1.55), можно определить значения параметров р*\,р2,.~,р*г. Метод применим к широкому классу систем, включая и нелинейные автоматические системы [7]. Реализация этого принципа также базируется на аппарате нелинейного программирования. В [7] приведено решение задачи синтеза нелинейных систем с использованием рассматриваемого принципа по заданным показателям качества (быстродействие, перерегулирование, степень колебательности). При этом безусловно обеспечивается абсолютная устойчивость и грубость системы по варьируемым параметрам. Введены условия, обеспечивающие абсолютную устойчивость синтезируемой системы. Весьма удобным для этой цели является критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова в его алгебраической форме. Исследованы ограничения, накладываемые на синтезируемые параметры системы; подробно рассмотрен алгоритм синтеза с применением нелинейного программирования. Рассмотренные далее методы в той или другой мере базируются на теоретических положениях, определяющих содержание изложенных четырех принципов. 5 Зак. 366
_50 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II В заключение отметим, что в большинстве своем методы синтеза регуляторов не имеют строгого математического обоснования. Построение вычислительной системы (алгоритма), предназначенной для решения задачи синтеза регуляторов, есть лишь первый шаг в создании теории метода. За ним должно следовать выяснение условий сходимости алгоритма, определение скорости сходимости, нахождение оценки погрешности априорной и апостериорной, выработка способов улучшения сходимости, если последняя окажется недостаточно быстрой. С указанной точки зрения, применяемые в инженерной практике методы в большинстве своем принадлежат к классу эвристических. В такой ситуации приходится прибегать к любому из методов, который выглядит полезным. Мы неизбежно обращаемся к проверкам всяких догадок, удачных идей или любых разумных способов решения рассматриваемой задачи. Другими словами, процесс синтеза регуляторов является творческим, поскольку в приведенных ниже методах описаны лишь вычислительные схемы; остальные же этапы обоснования можно рассмотреть лишь при решении конкретных задач синтеза регуляторов.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 5J_ ГЛАВА 2. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В КЛАССЕ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ Для случая, когда объект линеен и стационарен, а система - скалярна, разработано большое число методов синтеза регуляторов. Каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки. Содержание этой главы имеет ярко выраженную инженерную направленность, поскольку при решении конкретных задач проектирования регуляторов можно воспользоваться одним из изложенных здесь методов; при рассмотрении основных положений уделено внимание физической стороне вопроса; поскольку методы ориентированы на применение ЭВМ, подробно излагается вычислительная технология. Практически каждый из методов иллюстрируется примерами, взятыми из инженерной практики. Для того чтобы изложение не воспринималось в отрыве от запросов практики, в главе помещен материал, отражающий применение регуляторов в системах, предназначенных для управления конкретными процессами. Большинство из изложенных здесь методов в той или иной мере используют аппарат математического программирования как наиболее конструктивный путь решения задач расчета параметров регуляторов с большим числом ограничений, связанных не только с задачей синтеза по заданным показателям качества, но и с необходимостью обеспечения большого числа ограничений. Более того, постановка задачи синтеза регуляторов является естественной при использовании терминов математического программирования, при этом не исключается и случай, когда невозможно получить целевую функцию и ограничения в виде явных выражений от варьируемых параметров регулятора рь р2,..., рг. Вместе с тем изложение часто носит эвристический характер, оно не всегда имеет достаточно полное теоретическое обоснование, но, тем не менее, метод позволяет пр;: вдумчивом подходе получить конструктивные результаты при решении инженерных задач. 2.1. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭТАЛОННЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ Как было показано выше, задача синтеза регулятора может быть поставлена следующим образом. Задана система автоматического управления (рис. 2.1). Заданы передаточные функции эталонной системы W3(s) и объекта управления 5* Рис. 2.1. К постановке задачи синтеза регулятора
52 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Задача заключается в нахождении ПФ регулятора WKy(s). Но прежде чем переходить к нахождению WKy (s), необходимо определить W3(s) - передаточную функцию эталонной системы исходя из требований технического задания. Изложим некоторые подходы, связанные с определением W3(s). 2.1.1. Построение передаточной функции эталонной системы в классе оптимизационных задач Рассмотрим структурную схему замкнутой системы (рис. 2.1). Сформулируем задачу нахождения эталонной ПФ замкнутой системы следующим образом [156]: определить ПФ W3(s) замкнутой системы таким образом, чтобы показатель оптимальности вида 00 / = J[e2(0 + A.V(0]* (2Л) о достигал экстремума. На первом этапе построим решение задачи без выполнения условия физической осуществимости. Имеем +00 1=i I {1£С/(й)12+х* \uv°f}dOi- (2-2) Поскольку s(t) = y(t)-x(t), Е(уа>) = УС/а») - W(j<a)Y(ju) = 0 - 0Чусо))Г(/о), *С/а>) = »;Оа>)С/(У<«>), ^оО©) КО®) то функционал (2.2) принимает вид _1_ 2п I = j- J |1 - WQof |Г(уш)|2 + X2 |^(уш)|2 УОш) ВДю) </со. (2.3) Введем следующие обозначения для известных функций переменной <о: 5/©) = |УО(о)|2; 2 5Л«) = У(у(0) rr0Un) (2.4) Тогда соотношение, определяющее функционал, запишется так: (2.5) Далее воспользуемся следующими зависимостями: |1 - W{j(»tf = (1 - WUa>)){\ ~ П-М) = [1 - »"(-» - »W + Ж(»^(-уо))] = = 1 - (^(-» + W(J<b)) + ^(уа^С-ую)
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 53_ и 5э((о) = 5/со)+5„(со). (2.6) С учетом (2.6) выражение под интегралом (2.5) можно записать так: [s/co) + WU&W (~>>)]S,(co) - (W(yco) + W(-yco))S,(a)) + .^-^ = ко-со)5э(со)-^(со)12-1-+^(^(ЮП (27) Преобразования, которые были приведены выше, позволили получить зависимость, в которой искомая частотная характеристика W(j&) входит только в одно слагаемое. Теперь функционал, экстремум которого требуется найти, принимает вид +00 | + - 2л -со Tfi |2 I Sv(co)SM(co)l jjwiMSM-sM —+-L_Ji_j<ftD. (2.8) Поскольку слагаемые в подынтегральном выражении неотрицательны, то минимизация / сводится к минимизации слагаемого [156] Или, что то же самое, Л(ю) = ^Ою)5э(й))-5^ш)|2. (2.10) Очевидно, / достигает минимума, если Щусо)5э((о)-^((о) = 0. Отсюда находим ^(» = - S,(P) 5/со) + 5а(ш) но W0(Jvi) тогда ,|2 --, КУ°* ^3(7со)= ■ Г " ., , (2.11) 1+КоО«)| 2nl\KU«>)\ 2+Х2 Таким образом [156], оптимальная, в указанном смысле, частотная характеристика замкнутой системы определяется частотной характеристикой объекта управления и весовым множителем X2. При нахождении k(t) = L~l yV3(s)\9 где W3(s) определяется (2.11), не выполняется условие физической реализуемости k(i) = 0 при / < 0. Например, если [156] 1 + усо7]
54 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II то W\ja>) = __к23 _ к3 *э l + X2|l + 7y<of 1 + 7>2 l + TJm l-TJco Кэ=- 1 + /L2 - Т — • Или, что то же самое, W3(s) = -*L 1 /1 + Х2 т 2 I гэ^+1 1-т;5 Тогда *(') = ^"^^о, (2.13) ^^ е'\ t<0. Из последнего равенства следует, что ИПФ не удовлетворяет условию физической реализуемости k(t) = 0 при t < 0. Поэтому важной является задала определения таких W3(yo>) и WJ(s), которые удовлетворяли бы условию физической реализуемости. Проведем соответствующие рассуждения, следуя [156]. Воспользуемся операцией факторизации S» = |T(»|2 = ^Осо)^(-У(о), где Ч^усо) имеет верхние нули и полюсы, а Ч'С-у'ш) - нижние нули и полюсы. Тогда 2 Л(ш) = ИЧусоЩУш)- Sy(u) Т(-уш) 5э(со). (2.14) Представим второе слагаемое в последней зависимости в виде (воспользуемся операцией расщепления) S» Т(-усо) ЧЧ-ую) 5у(ш) «Р(-ую) (2.15) причем первое слагаемое имеет верхние полюса, второе - нижние После проведенных преобразований следует зависимость S» у \ 5/(0) Л(ш) = Отсюда имеем Ж(усо)Т(усс.)- ^э(уш) = ^(-yo))J [^(-yco) 1 f 5/ш) 1 + 5э(ш). ¥(у(0) Т(-у(о) (2.16) (2.17) - оптимальная устойчивая частотная характеристика. Так как кш (|fro(y(o)|2+X2),
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 55_ то для устойчивого, минимально-фазового объекта и типового задающего воздействия можно записать соотношение ^-Ш*****!- Зависимость, определяющая оптимальную реализуемую частотную характеристику, запишется так: ^э(усо) = W0<Ja) YU<u)[K(j(of+X2]^ YUvWoH*) tyoU'nf+Ь2]_ (2.18) В [156] приведен пример и задачи, иллюстрирующие применение рассмотренного подхода. 2.1.2. Построение передаточной функции эталонной системы В КЛАССЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ФИЛЬТРОВ БАТТЕРВОРСА Предписанные или желаемые динамические свойства замкнутых систем задаются соответствующим положением нулей и полюсов ПФ замкнутой системы. Рассмотрим постановку задачи и методику выбора желаемой ПФ, основанную на использовании теории низкочастотных фильтров Баттерворса (Баттерворта). Проведем предварительные рассуждения с учетом принципа фильтрации [93]. Положим, что входной сигнал содержит гармонические составляющие в полосе О < со < соо. Условия отработки воздействия без ошибки можно записать в форме HrWM.)-!!4"0"1-- (219) 1 [0 при со >соо. Если факт, отраженный зависимостью (2.19), выразить терминами гармонического анализа, то система с ПФ (2.19) идеально пропускает гармоники с частотами, не превышающими соо> и идеально подавляет гармоники с частотами со > соо . Известно, что система с АЧХ вида (2.19) физически не реализуема в классе систем, имеющих дробно-рациональные ПФ. Однако приближенно такую систему реализовать можно. Важно помнить о том, что «хорошая» замкнутая система, имеющая необходимую точность в установившемся режиме и заданные параметры переходного процесса, должна быть, как правило, близка по своим свойствам к идеальному низкочастотному фильтру с АЧХ вида (2.19) [93]. Выполним в (2.19) нормирование по частоте и положим сон =со/соо; тогда АЧХ идеального низкочастотного фильтра будет иметь вид (рис. 2.2). Поскольку, как уже говорилось, фильтр с АЧХ вида (1 при 0 < со < 1, А(а> н) = \ F H (2.20) v н [0 присон>1 физически не реализуем, то его можно построить, если задать приближение Л2(сон) в виде (здесь и далее индекс «н» в сон будем опускать) [93] К(Усо)12=Л2(со)= . 2 . '4 ГЗГ = -Г7Т7- <2'21) l + ^or+^co 4+...+6„йГп Я„(<о )
56 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Л(*>„) ' 1 1 Рис. ?.2. АЧХ идеального фильтра В последней зависимости требуется найти численные значения Ь^^,...,6Л и п\ Ьо -1, поскольку при этом условии Запишем формулу для ошибки в полосе частот [0,1] £>„(©) = !- 1 W)-l Ви(со2) Вп(о>г) Или, что то же самое, D ■ Уо2+^а)4+...+6,,со2" _ у + 6^2+...+У 1 + Ai©2 +U2CO4 + ... + bn®2n l + ^z + ^z2 + ... +V" (2.22) (2.23) где z = со . Теперь задача стоит в том, чтобы из условия обеспечения, в известном смысле, минимума Д,(со) подобрать коэффициенты 6^ 62> -А- Например, таким условием может служить хорошее приближение ЛЧХ идеального фильтра функцией Лдсо) в области со = 0 и менее точное воспроизведение спада частотной характеристики в области со = 1. Может быть поставлена задача найти такую аппроксимирующую функцию Д,(со), которая носила бы колебательный характер с равными амплитудами колебаний около АЧХ идеального фильтра. Для того чтобы обеспечить аппроксимацию АЧХ эталонного фильтра функцией Лл(со) в области со = О, необходимо воспользоваться разложением зависимости, определяющей ошибку D(z), в ряд Тейлора при z = 0 и коэффициенты разложения приравнять нулю. Запишем ряд Тейлора для функции D(z): D^z) = D^0) + D;(0)^ + d;(0)^ + ... + D^40)^£^ + .... (2.24) Ряд (2.24) определяет ошибку приближения АЧХ идеального фильтра функцией (2.23); потребуем, чтобы ряд (2.24) при удержании «и» членов разложения был бы равен нулю, что равносильно Dn(0) = /Ш = D;(0) =... = Ztf-^O) = О. (2.25) Вычисляя производные от функции (2.23) при z = 0, можно показать, что при аппроксимации Dn(z) рядом Тейлора (л-1)-го порядка все первые коэффициенты 6,, Ь2,..., Ьп_х с учетом (2.25) обращаются в нуль, т.е. ^ = ^ =... = Ьп_х = 0 .
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 57 Тогда At — = 1 + М^ In # (2.26) Обычно полагают Ъп -1, поскольку в этом случае граница полосы пропускания фильтра соответствует значению 0,707. В этом случае аппроксимирующее выражение принимает вид 1 |тт, / . \\2 a2 -2L г^=ЫН- (2.27) Фильтр, у которого квадрат АЧХопределяется последней формулой, называется фильтром Баттерворса. Комплексный коэффициент передачи фильтра Баттерворса будем обозначать через IVE (yco). На рис. 2.3 и 2.4 приведены АЧХ фильтров, передаточные функции которых определяются зависимостью (2.27) при различных значениях п. 0,4 0,2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Рис. 23. Амплитудно-частотная характеристика фильтров Баттерворса Для нахождения ПФ фильтра воспользуемся леммой о факторизации [93] |^Б(у©)|2 = WE(j<oWE(-j<i>) = ^б(*)0б(-4«,» • Поскольку 1 111 J* 1 Uo>oJ 1 l+(-l)np2n 1+ s р=— ©о 1 U) > I In О)2" l t \2n — 1 JTeyCD (2.28) 4 Зак. 366
58 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II то полюсы последней зависимости определяются из уравнения р2п = ±1, (2.29) причем (+) соответствует нечетным значениям п, а (-) - четным. 0 1 П 30 40 ■20LgA.-. ДБ -:: 1 |\ ^ IV \2 \ V 3 \ Д 7Я\\\\ \4 8^\\\\\ \ 9^\\\\|\ 5\ \\\\\ к \ \ \ V \ со соо 0,2 0,5 4 5 Рис. 2.4. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика фильтров Баттерворса Представляя единицу в комплексной форме, получим рк =±coscpA iysincp*, где при четном п ц)к=(-\)к\ я; к = 0,1,2,..., (л-1); \ 2п ) при нечетном п ср^ =(-1)Ч — я; к = 0,1,2,..., (л -1). (2.30) (2.31) Таким образом, полюсы лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Фильтр Баттерворса, из известных соображений, должен иметь полюсы в левой полуплоскости, поэтому полюсы такого фильтра определяются зависимостью рк =-cos(j>£ ±ysinq>£. (2.32) Численные значения полюсов представлены в табл. 2.1. Таблица 2.1 1 2 1 2 3 Действительная часть полюса Мнимая часть полюса л = 2 -0,7071067812 -0,7071067812 -0,7071067812/ -0,7071067812/ А7 = 3 -1,0000000000 - 0,5000000000 -0,5 0,0000000000/ 0,8660254038/ - 0,8660254038/
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 59 Окончание табл. 2.1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0,9238795325 -0,3826834324 -0,3826834324 -0,9238795325 - 1,0000000000 -0,8090169944 -0,3090169944 -0,3090169944 -0,8090169944 -0,9659258263 -0,7071067812 -0,2588190451 -0,2588190451 -0,7071067812 -0,9659258263 - 1,0000000000 - 0,9009688679 -0,6234898019 - 0,2225209340 - 0,2225209340 . -0,6234898019 -0,9009688679 - 0,9807852804 -0,8314696123 -0,5555702330 -0,1950903220 -0,1950903220 -0,5555702330 -0,8314696123 - 0,9807852804 -1,0000000000 -0,9396926208 -0,7660444431 - 0,5000000000 -0,1736481777 -0,1736481777 -0,5000000000 -0,7660444431 -0,9396926208 - 0,9876883406 -0,8910065242 -0,7071067812 -0,4539904997 -0,1564344650 -0,1564344650 -0,4539904997 -0,7071067812 -0,8910065242 -0,9876883406 /7 = 4 л = 5 п = в п = 1 /? = 8 /2 = 9 л = 10 -0,3826834324/ 0,9238795325у -0,9238795325/ 0,3826834324/ 0,0000000000/ 0,5877852523/ -0,9510565163; 0,9510565163/ -0,5877852523/ -0,2588190451; 0,70710678127 -0,9659258263/ 0,9659258263/ -0,7071067812/ 0,2588190451/ 0,0000000000/ 0,4338837391/ -0,78183148257 0,9749279122/ -0,9749279122/ 0,7818314825/ -0,43388373917 -0,1950903220/ 0,5555702330/ -0,83146961237 0,9807852804/ - 0,9807852804/ . 0,8314696123/ -0,5555702330/ 0,19509032207 0,0000000000/ 0,34202014337 -0,6427876097/ 0,8660254038/ -0,98480775307 0,9848077530/ -0,86602540387 0,6427876097/ -0,34202014337 -0,15643446507 0,4539904997у -0,7071067812/ 0,8910065242/ - 0,9876883406/ 0,9876883406/ -0,8910065242/' 0,7071067812/ -0,4539904997/ 0,1564344650/
j60 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Если Ьп Ф1, то р2п = ±— и рк = р(-cosф* ± jsinфк\ (2.33) где р = 2п\— . \О„ Величина неравномерности частотной характеристики учитывается множителем р . Если известны полюса Р\, р2, •••, Рп »то ПФ может быть представлена в виде W^p) = т V( Ц—; г. (2.34) КР-Р\){р-Рг)-\Р-Рп) При п четном последняя зависимость принимает вид 1 ОЛР) Wb(p) = -2 = ^7Т7' (2-35) п а если п - нечетное, то ШР) = д = -7Г77Т> (236) 1 = Dn(p) (p+<Ji)f[(p2+quP+<ioi) где D](p) = p + \; D2(p) = p2 +1,4142/7 + 1; D3(p)^(p + \)(p2+p + \); D4(p) = (p2 +0,7654/7 + l)(p + 1,8478/7 + 1); D5(/7) = (/? + l)(/72+0,6180/? + l)(/?2 +1,6180/7 + 1); ^6(P) = (p2+0^176/7 + l)(/72+l,4142p + l)(/72 +1,9319/7 + 1); (2-37) D7(/?) = (/7 + l)(/72+0,4450/7 + l)(/72.+ l,2470/7 + l)(/72+1,8019/7 + 1); D8(/7) = (/72+0,3902/7 + l)(/72+l,llll/? + l)(p2+l,1663p + l)(/72 +1,9616/7 + 1); ^9(P) = (p + 0(/?2+0>3473/? + 1)(/72+^ + 1)(/?2+1'5321p + l)(/72+l,8794p + l); Ao(/?) = (p2+o>3129p + 1)(p2+O'9O8°/? + 1)(^2+1'4142^ + 1)x x(p2 +1,7820/?+ l)(p2 +1,9754/7 + 1). Зависимости, определяющие D|(p), D2(p\..., D10(/7)?можно переписать в виде Dn(p) = \ + d]P + d2p2 +d3p3 +... + рп, (2.38) причем do=dn =1. Полином Dn(p) называется полиномом Баттерворса Коэффициенты полиномов Баттерворса d]y d2, ..., dnm.x вычислены; их значения до п = 10 приведены в табл. 2.2.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 61 Таблица 2.2 4 dx 4 4 4 4 4 4 4 4 4o л = 2 1 1,41421 1 w = 3 1 2 2 1 л = 4 1 2,61313 3,41421 2,61313 1 л = 5 1 3,23607 5,23607 5,23607 3,23607 1 /i = 6 1 3,8637 7,4641 9,14162 7,4641 3,8637 1 л = 7 1 4,49396 10,0978 14,5918 14,5918 10,0978 4,49396 1 л = 8 1 5,12583 13,1371 21,8462 25,6884 21,8462 13,1371 5,12583 1 я = 9 1 5,75877 16,5817 31,1634 41,9864 41,9864 31,1634 16,5817 5.75877 1 /2 = 10 1 6,39245 20,4317 42,8021 64,8824 74,2334 64,8824 42,8021 20,4317 6,39245 1 Из приведенных выше формул следует, что фильтр Баттерворса - каскадное соединение звеньев с ПФ вида [75] ^Б,(Р) = />2+2$,соо//? + с4 (2.39) где о)О/ - собственная частота звена, £ - коэффициент демпфирования, причем соО/=7^"Д/=гТ=- (240) 2V<3ro/ Для звена первого порядка можно записать ^б/О>) = -^Ч 0)0,= ?,, (2.41) /? + ю0, Поскольку полюса ПФ известны, то можно рассчитать и нормированные переходные процессы. Переходные функции фильтров Баттерворса показаны на рис. 2.5. ь Л„(со0г) 1,2 0,8 0,6 0,4 0,2 -0,2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Рис. 2.5. Графики нормированных переходных характеристик фнлмроь < л.г^ъмуъл
62 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Ненормированное время определяется выражением / = т/со0 и, следовательно, Тр(п) = т0(и)/со0 - время переходного процесса п -го фильтра Баттерворса. Фильтры Баттерворса имеют АЧХ, близкую к идеальной низкочастотной (и быстро стремящуюся к ней при л-»оо), причем граница, вплоть до которой АЧХ близка к единице, почти совпадает с частотой соо (или равна единице, если частота нормированная). Однако с ростом п растут фазовые искажения. Рассмотрим фазочастотные характеристики фильтров Баттерворса. Фазовые сдвиги, вносимые звеньями первого и второго порядка и определяющими фильтр Баттерворса как их каскадное соединение, могут быть представлены соотношениями со со/ Ф/ — = ~arctg юо [ ш i Фу — ="arctg 1 соо 2^,сОоЛ со0 ©О/" (2.42) тогда, например, фазочастотная характеристика фильтра Баттерворса для четного п определяется зависимостью [75] со | ^ со0 — =-£arctg— Ф СОл /=1 «о/- 2' (2.43) Характеристикой фильтров Баттерворса является и время групповой задержки t3, определяемой формулой [75] 'э = , СО ^Ф (2.44) Соответствующие фафики приведены на рис. 2.6 и 2.7. 1 и 400 600 со Ч ш щ \ Si S ч ч N Ч ч ч ч ч к. \ '^ ч Ч ч Ч ч п ч ч S = 2 хм* 4 5 7 8 ч К» ■^* *ч» «^* mm *^ ■*■ BS= **. =5 **• •ма «мм 1^ •«« ч« ■NM. СО со0 0,5 1,0 1,5 2,0 Рис. 2.6. ФЧХ фильтров Баттерворса
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 63 Из рисунка, на котором представлены фазочастотные характеристики, следует, что с ростом п растут фазовые искажения и на частоте соо ф — может существенно • , V^o/ отличаться от нуля, что является отрицательным свойством фильтров Баттерворса. В заключение отметим, что для аппроксимации АЧХ идеального фильтра могут быть использованы полиномы Чебышева (равноволновая аппроксимация) и полиномы Лежандра (фильтры класса L). О их возможностях можно судить по рис. 2.8 - 2.11, на которых представлены АЧХ и ФЧХ указанных фильтров [75]. О 0,1 0,2 0,5 1 2 3 4 Рис. 2.7. Характеристики времени групповой задержки фильтров Баттерворса i 0 5 10 15 20 п = 2 / 5 / 4 q 1 1\ - 1 \ 1 \ \ 11 \ \ \ 0,7647 со со0 1 ■► 0,1 0,2 0,5 1 2 Рис. 2.8. АЧХ чебышевских фильтров 3 4 5
64 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II 400 600 0,1 0,2 2 3 4 Рис. 2.9. ФЧХ чсбышсвских фильтров 1 Л 10 20 30 40 ■1 ■ ш ш i \V\ \\\ X \\\ \\\ \\\ \\> \\ \ \ \ \ > \ \ \ \ \ Pv \ \ \ 1 ^ ч ч \ 0) (O0 0,1 0,2 0,5 1 2 3 4 Рис. 2.10. АЧХ фильтров класса L Основы подхода к выбору и и соо изложим, следуя [93]. Положим, что требования, связанные с качеством работы системы в установившемся режиме, т.е. с точностью отработки воздействия, сформулированы так: 1. Замкнутая система должна быть устойчивой. 2. Замкнутая система должна иметь заданную точность в установившемся режиме при обработке линейного сигнала: если у(О = уо+у^ и l^j^yf - предельная скорость изменения сигнала y(t), то установившаяся ошибка не должна превышать некоторого наперед заданного значения 8], т.е. |е(г)| < г* при / £ Гр, где е£ - предельная допустимая ошибка обработки y(t). Аналогичные условия можно сформулировать для гармонического полезного сигнала и помехи, частоты которых заданы на промежутках Qm и Qn .
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 65 3. Пусть обрабатываемое воздействие определяется формулой /w(/) = /wcosco/ и т<тд для любых со е Qm ; тогда \г(0\<глт при/>Гр, где тл - заданная предельная амплитуда сигнала m(t), a е* - заданная предельная допустимая ошибка. 4. Помеха определяется зависимостью где «л < л£ - предельная амплитуда помехи, а на вызванную наличием n{t) ошибку накладывается требование |е(/)|<е* при t>Tp, причем ел - заданная величина. i 0 200 400 600 4-) т i S V N S S s ^^ л = 2 -■■ ■ СО 0,1 0,2 0,5 1 2 3 Рис. 2.11. ФЧХ фильтров класса L Условия 1 - 4 можно рассматривать как требования к качеству системы. Выполнение указанных требований связано с рядом неравенств, вывод которых приводится в [93]: \2 1 1 — 1 + 1^- С0л 1 2л **•""■• Dn\^ i<(«-)"l ©<©„,. (2.45) (2.46) С учетом сказанного выше алгоритм выбора соо и п в фильтрах Баттерворса заключается в том, чтобы выполнялись условия [93]
66 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II sin^coo >maxfe^|, с0 <ш„| ^ | , (2.47) причем величины у*, ют, тА, cow, п* - характеризуют допустимые по техническим условиям воздействия, а параметры е* и е* определяют требуемую точность. Что касается требований к качеству работы системы в переходном режиме, то для фильтров Баттерворса значение для величины перерегулирования от(п) = max/*„(/)-1 и времени переходного процесса тр(л) = (о0Гр(л) можно определить по графикам, представленным на рис. 2.5. При проведении расчетов необходимо помнить, что с увеличением п перерегулирование растет (см. рис. 2.5), но является практически удовлетворительным до п - 5 ; наименьшее время переходного процесса имеет место при « = 2и г,*.)-*». Дополнительное ограничение на выбор параметров вида ТрОО СОп > тр соответствует предельно допустимому времени переходного процесса. 2.1.3. Метод стандартных коэффициентов построения эталонной передаточной функции Между характером переходной и передаточной функций системы существует сложная, но тем не менее вполне определенная связь. Вид переходной функции определяется значением нулей (корней числителя) и полюсов (корней знаменателя) передаточной функции. Для любой конкретной формы передаточной функции может быть найдено некоторое «оптимальное» распределение нулей и полюсов, при котором переходная функция будет наиболее благоприятной с точки зрения динамики рассматриваемой системы. Каждому такому оптимальному распределению нулей и полюсов соответствует вполне определенное значение коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции, которое назовем стандартным. Далее построим изложение, следуя [47, 62, 102]. Любой характеристический полином замкнутой САУ: D(s) = ansn +an_xsn~x +an_2sn-2 +... + <v + a0 (2.48) можно записать в виде D(s) = sn -f^L-co^-1 +^-L.co^2 +... + _Lco^ + co2, (2.49) апщ апщ а„©о~ где ш0 = п\ Или, что то же самое, где (2.50)
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 67 В качестве первой типовой функции можно взять передаточную функцию вида cog ЖЭ(5) = - (2.51) s" +/*1Gv"~1 +A2(o20s"-2 +...+ An_]Q)n0-]s + (on0 ' Для системы с ПФ (2.51) можно получить переходный процесс без перерегулирования, когда корни знаменателя все вещественны. При всех вещественных корнях и при 0)0 = const наименьшее время регулирования будет, если все корни будут кратными. В этом случае коэффициенты Л15 Л2,..., АпА окажутся коэффициентами бинома Ньютона (s + 1)". В табл. 2.3 приведено значение этих коэффициентов для л, равного 1,2, 3, 4, 5,6. Таблица 2.3 п 1 2 3 4 5 6 Коэффициенты знаменателя 1 1 1 Л г*2 1 1 Л,=ЗЛ2=3 1 Ы,=4Л2=6Лз=4 1 Ыг=5Л2=10Лз=10Л4=5 1 1 ^,=6^2=15^1=20^4=15^5=6 1 То 3 4,8 6 7,9 9 10,6 Введем в рассмотрение безразмерное время переходного процесса т0 = со0Гр. Действительное время переходного процесса определяется зависимостью Гр = т0 /со0 . В табл. 2.3 приведено время переходного процесса т0 для систем различного порядка. На рис. 2.12 представлены графики переходных функций, ПФ которых определены стандартными коэффициентами, приведенными в табл. 2.3. Если в переходной функции допустимо некоторое перерегулирование, то корни можно взять комплексными, благодаря чему сокращается также время управления. Полином знаменателя передаточной функции W{s) замкнутой системы представляется в форме произведения nil одинаковых квадратных трехчленов Д5) = (5Ч2^ю05 + сй^)"/2=5/7+^о)05л"1+... + 4_1(о^15+(о2. (2.52) 10 Рис. 2.12. Графики переходных функций для систем с передаточной функцией типа (2.51) и коэффициентами, определяемыми по табл. 2.3
68 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Значение £ = 0,75. При п нечетном знаменатель передаточной функции W(s) состоит из (л-1)/2 квадратных трехчленов и одного двучлена первой степени. Св'о$од<- ный член этого двучлена принимается равным единице. Значения коэффициентов Ах,А2,...,АпА приведены в табл. 2.4. Таблица 2.4 п 2 3 4 5 6 Коэффициенты знаменателя 1 1,5 1 1 2,5 2,5 1 , 1 3 4,25 3 1 1 4 7,25 7,25 4 1 1 4,5 9,75 12,375 9,75 4,5 1 то 2,9 4,4 5,15 6,20 6,7 '. В табл. 2.4 приведено безразмерное время регулирования т0 для систем различного порядка. Сравнивая это время с его значением для систем, имеющих коэффициенты, определяемые табл. 2.3, видим, что при одинаковых значениях п время регулирования в последнем случае существенно меньше. На рис. 2.13 представлены графики переходных функций для систем, определе* ных стандартными коэффициентами, приведенными в табл. 2.4. *(тУ 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 у J Д = 0,05 д' / у / п 4 / / т~ / / / / / И 1 г 1 1 1 1 1 1 о 1 8 4. Рис. 2.13. Графики переходных функций для систем с передаточной функцией типа (2.51) и коэффициентами, определяемыми по табл. 2.4 Рассмотрим передаточную функцию, имеющую один нуль: хя-1 W3(s) = . А-1в>0 ■у + с°0 sn + Axa>osn-l+... + An_yo Л + coS (2.53) Чтобы уменьшить выброс, вызванный влиянием нуля, надо замедлять скорость нарастания переходной функции. Это можно сделать «разведением» корней полинома знаменателя по действительной оси. При передаточной функции с одним нулем корни рекомендуется располагать на отрицательной вещественной полуоси по арифметической прогрессии./Значения коэффициентов полинома знаменателя в формуле (2.53) для такого распределения ко^ . ней приведены в табл. 2.5.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 69 Таблица 2.5 п 1 2 3 4 5 6 1 -й член прогрессии 0,5 0,183 0,098 0,063 0,039 0,039 Разность прогрессии - 1,5 1,517 1,138 0,86685 0,717 Коэффициенты знаменателя 1 1 12,5 1 1 5,1 6,35 1 17,22 16,3 11,83 1 192938 18 1 1 11 45,8 92,3 82,3 27,7 1 На рис. 2.14 представлены графики переходных функций для систем, определяемых стандартными коэффициентами табл. 2.5. 0,2 8 Рис. 2.14. Графики переходных функций для систем с передаточной функцией типа (2.5Э) и коэффициентами, определяемыми по табл. 2.5 Рассмотрим передаточную функцию с двумя нулями: *Г(5): .хЛ-2„2 .л-1. 4.-2PQ S +4,-1в>0 * + Щ (2.54) Чтобы уменьшить влияние нулей, рекомендуется располагать корни полинома знаменателя на отрицательной вещественной полуоси по геометрической прогрессии. В табл. 2.6 приведены значения коэффициентов полинома знаменателя А^, А2, ..., 4м для такого распределения корней. Таблица 2.6 п 3 4 5 6 1-й член прогрессии 0,182 0,185 0,075 0,038 Знаменатель прогресси 5,5 3,08 3,63 3,7 Коэффициенты знаменателя 1 6,7 6,7 1 17,9 15 7,9 1 1 18 69 69 18 1 136 251485 25136 1 Т() 1,5 3,3 9,2 -
70 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II -f 3 / 4 / 51 ! // У/ / (- / / п = 6 / / / / f А ► s штяшаш—л "-■ ■— кД = 0,05 —t- "■ —. "*- *• 1——. "I1 — 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 Рис. 2.15. Графики переходных функций для систем с передаточными функциями типа (2.54) и коэффициентами, определяемыми по табл. 2.6 Метод стандартных коэффициентов нашел широкое применение при решении задач проектирования систем управления летательными аппаратами [22, 47]; подробно с основными положениями метода можно познакомиться в [47, 62,102] и др. В настоящем параграфе изложены лишь некоторые подходы к определению эталонных ПФ замкнутых систем. Следующей важной задачей является построение таких регуляторов с ПФ W^is), которые обеспечили бы приближенное в общем случае равенство реальной ПФ замкнутой системы W(s) и заранее выбранной эталонной ПФ W3(s). Этот вопрос подробно рассмотрен ниже. 2.2. ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ И АНАЛИЗ ЕГО ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЛЯ КЛАССА СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ В параграфе 1.4 было введено понятие принципа динамической компенсации. Основная формула, определяющая оператор регулятора, имеет вид (формула (1.51)) Ац = А;х(1-А9уХА\ (2.55) В настоящем параграфе подробно обсудим вопрос применения принципа динамической компенсации к классу стационарных линейных скалярных систем. Пусть W*(s) - эталонная передаточная функция замкнутой системы; она выбрана из условия обеспечения необходимого качества работы САУ в переходном и установившемся режимах (параграф 2.1). Найдем передаточную функцию эталонной разомкнутой системы (рис. 2.16). Имеем W[5) uw;{,y
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 71 тогда w>(,)(i+w;{s))=w;(s). Отсюда находим w(s)+w(s)w;(,)=w;{s), или, что то же самое, w>(,)-rr;{,)-w>{s)tr;{')-w;{s)(i-w{,)). Легко записать выражение для эталонной ПФ разомкнутой системы Рис. 2.16. Структурная схема эталонной системы ►us/ w W3(s) W3(s) 1 x(t) Рис. 2.17. Структурная схема эталонной системы Задача синтеза регулятора иллюстрируется рис. 2.18. yd) Г (s) W * ) (') x(t) Рис. 2.18. К постановке задачи коррекции Из анализа структурных схем 2.16 и 2.18 сразу же следует, что задача коррекции получает решение при выполнении следующего условия W>(s) = lVKy(s)W0(s). (2.57) Поставим следующий вопрос: при каких условиях имеет место равенство передаточных функций W*(s) и ^(s)? Очевидно, такое равенство справедливо, если ПФ объекта управления WQ(s) = 1, т.е. объект безынерционный. Равенство WQ(s) -1 может быть достигнуто, если скомпенсировать динамику объекта, вводя в прямую цепь дополнительное звено, имеющее ПФ, обратную ПФ объекта управления (это звено называют компенсатором); тогда имеет место равенство W0{s)W-\s) = \ и структурная схема скорректированной системы принимает вид (рис. 2.19).
72 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II y(t) *(') Рис. 2.19. Структурная схема скорректированной системы Или, что то же самое (рис. 2.20). аЕ(0* г г \ \-W\s) 1 I Рис. 2.20. Структурная схема скорректированной системы (динамика объекта скомпенсирована) Таким образом, исходя из физических соображений, получено формальное решение задачи синтеза регулятора с эталонной передаточной функцией замкнутой системы W3(s) (ПФ компенсатора можно рассматривать как часть ПФ регулятора, тогда WKy(s) = W3(s)W^l(s) (рис. 2.19)). Формальные рассуждения приводят к тому же результату. Поставим задачу так: полагая известными ПФ неизменяемой части WQ(s) (как уже принято, WQ(s) называют ПФ объекта; сюда же входят ПФ исполнительного элемента, усилительных устройств, измерительных систем и т.д.) и W3(s), найдем ПФ W^(s) корректирующего устройства (регулятора) (рис. 2.18). Справедлива зависимость для fV3(s) V ' \ + Wv{s)W0(s)' (2.58) Тогда *Г(,)(1 + ^(,)*0(*)) = ^у(*)»'в(*). Отсюда получаем соотношение -WKy(s)Wo(s)W^s) + WKy(s)Wo(s) = W3(s). Или, что то же самое: ^(s)[W0(s) - W0(s)W >(s)] = W \s). Из последней формулы следует *Г3(*) _,„-!, *М*) = " rw-l(s)w;{s). (2.59) W0(s)(\-W>(s)) Из формулы (2.59) легко заключить, что ПФ корректирующего устройства (КУ) состоит из двух частей: первая часть включает W3(s) и определяется зависимостью (2.56); вторая же часть имеет ПФ9 обратную передаточной функции объекта. Структурная схема системы с КУ, определяемым формулой (2.59), представлена на рис. 2.19.
"лава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 73 Поскольку W*(s) определяется выражением (2.56), то окончательно структурная схема скорректированной системы имеет вид, представленный на рис. 2.21. Поскольку W~l(s)W0(s) = 1, то имеет место структурная схема (рис. 2.20), которая совпадает со схемой, представленной на рис. 2.19. ЧЛ/ 1-й" (£L w*№ w;\s) W0(s) W(s) = l Рис. 2.21. Структура регулятора, имеющего ПФ WK (s) Изложенный способ синтеза называют методом Динамической компенсации [64, 93]. Такое название обусловлено тем фактом, что ПФ корректирующего устройства содержит сомножитель W~l (s), обратный передаточной функции неизменяемой части. 7~\i За счет введения сомножителя Wo (s) компенсируются динамические свойства неизменяемой части (рис. 2.21). Пример 2.1. Рассмотрим задачу синтеза регулятора на примере канала крена, полагая: а) К1у=1; КпрКу =62; Гу=0,3 с; Гр=2,4 с, W0(s) = - *пр*Т s(Tys + Kly) б) Эталонную ПФ замкнутой системы найдем, воспользовавшись методом стандартных коэффициентов; она имеет вид (см. табл. 2.3): »"(*)= S2 + AxGiQS + Gil Поскольку coo=-SL = -i- = 2 ,то Тр 2,4 v ' 52+4j + 4 Учитывая, что - ПФ замкнутой системы. -.■«■^••'••1М-*Г1- можно определить ПФ регулятора: Пример 2.2 [93]. Положим, что К(*) = Ts + \ , К>0, Г>0, а эталонная ПФ определяется зависимостью s + K т, К >0. Тогда ПФ регулятора может быть записана в форме (2.59). Поскольку к' у.М- »"(*) (2.60) (2.61) (2 62) (2.63) (2.64)
74 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II то ^•>=¥44'К} Последняя ПФ определяет ПИ-управление u(t)^T е(*) + 1|в(т)Л . (2.65) (2 66) Обсудим полученный результат с точки зрения эффективности применения принципа динамической компенсации для синтеза корректирующих устройств. 1. КУ является весьма сложным, поскольку должно включать две части: компенсирующую (обратная передаточная функция объекта) и эталонную (ПФ разомкнутой эталонной системы). 2. Регулятор в общем случае содержит дифференцирующие звенья, входящие в составляющую W~x(s). Эти звенья физически трудно реализуемы. Приведем один из вариантов реализации [93]. Найдем ПФ замкнутой системы, представленной на рис. 2.22. ЛЬ ^Ц8Н к кп Г05 + 1 Рис. 2.22. К вопросу реализации форсирующего звена W{s) = К _ K(Tos + \) \ + KKo/(Tos + \) Tos + \ + KKo K(Tos + \)/(l + KKo)K3(Tos + \)K Tos/(\ + KKo) + l T3s + l Л ° h (2.67) поскольку Тэ -> 0 при К -> <х>. Отсюда легко сделать вывод: охват усилительного звена с большим коэффициентом усиления инерционной отрицательной обратной связью с ПФ W^s) = Ко /(TQs +1) позволяет получить реальное форсирующее звено, выходом которого является производная от входного сигнала. Кроме того, отметим известный факт: дифференцирующие звенья усиливают влияние помех на качество работы системы. Однако при некоторых условиях регулятор оказывается физически реализуемым, т.е. он не содержит дифференцирующих звеньев. В самом деле, пусть Пусть т - степень полинома числителя передаточной функции WQ{s); п - степень полинома знаменателя передаточной функции W0(s); р - степень полинома числителя передаточной функции W^{s); q - степень полинома знаменателя передаточной функции ^ку(^). Передаточная функция замкнутой эталонной системы (2.68) (2.69)
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 75_ Пусть а - степень полинома числителя передаточной функции W3(s)\ р - степень полинома знаменателя передаточной функции W3(s). Для реализуемой W3(s) должно быть р>сх. Передаточная функция регулятора будет реализуема, если q> p . Пусть тип фиксированы. Определим, какие условия надо наложить на а, Р, чтобы q> p . Так как ,,(,,. '•W-14, (2.70) то W {Л W'(s) P{')A(s) _R(s) W"{']* W0{s)[l-W>{s)] B(s)[D(s)-P(s)] C(s)- (2-?1) Откуда p = a + n\ ^ = /w + p; p^q, если a + n < m + P, или P~a>n-m. При таких условиях передаточная функция последовательного корректирующего устройства при заданной неизменяемой части системы будет реализуема [123]. 3. Из-за неточного знания W0(s), а также вследствие влияния нелинейностей системы полная компенсация никогда не достигается, и это порождает новые колебания в системе. 4. При сокращении нулей и полюсов система не обладает свойством грубости (при малых отклонениях параметров системы отклонения величин, характеризующих состояние системы, могут быть достаточно большими [64]). 5. Система в некоторых случаях может оказаться неустойчивой [64, 93]. Рассмотрим этот вопрос более подробно. Найдем характеристическое уравнение замкнутой системы. Поскольку "W C(s)' а o{)~A(s)' то R(s) B(s) Щ"Щ R(s)B(s) [)~l + M.M C(s)A{s) + R(s)B(,y Ц12) C(s) A(s) Характеристическое уравнение имеет вид N(s) = C(s)A(s) + R(s)B(s). (2.73) Так как т 1 D(s)
16 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II то ПФ регулятора определяется зависимостью W> B(s) (D(s)-P(s)) C(s)' и, следовательно, R(s) = A(s)P(s), (2.74) C(s) = B(s)(D(s) -P(s)). (2.75) Последние соотношения позволили выразить передаточную функцию регулятора через A(s) - знаменатель ПФ объекта и B(s) - числитель ПФ объекта. Здесь необходимо обратить внимание на тот факт, что ПФ регулятора определяется через ПФ объекта управления, т.е. через полиномы A(s) и B(s) (это следует из формулы (2.75)). Подставив (2.74) и (2.75) в зависимость, определяющую характеристическое управление замкнутой системы, найдем N(s) = A(s)B(s)(D(s)- P(s)) + B(s)A(s)P(s) = A(s)B(s)D(s). (2.76) Отсюда следует: поскольку характеристическое уравнение скорректированной системы содержит A(s) и B(s), определяющие ПФ объекта в соответствии с формулой (2.68), то наличие правых нулей и (или) полюсов объекта приводит к тому, что характеристическое уравнение скорректированной системы будет иметь правые полюса, и, таким образом, эта система при указанных условиях становится неустойчивой. Другими словами, метод динамической компенсации применим лишь в том случае, если объект не содержит правых нулей и (или) полюсов. Область применимости метода, использующего принцип компенсации, можно расширить, если с помощью внутренней обратной связи провести стабилизацию объекта управления [93]. Имеют место и другие «подводные камни», анализ которых проводится в [93]; там же рассмотрены специальные процедуры стабилизации и приведен общий алгоритм синтеза закона управления произвольными объектами, включая неминимально- фазовые. Из сказанного выше следует, что применение принципа динамической компенсации требует большой осторожности. При расчете конкретных систем необходимо провести анализ влияния указанных выше факторов на качество работы, системы. Метод интересен с той точки зрения, что приводит формально к точному решению поставленной задачи. Из изложенного можно сделать вывод, что метод решения задачи синтеза регуляторов следует искать в классе приближенных (аппроксимацион- ных) методов, использующих аппроксимацию основной зависимости во временной или частотной областях. Такой подход позволит получить методы, дающие хотя и приближенное, но физически реализуемое решение, обеспечивающее качество работы САУ, близкое к заданному. 2.3. РАСЧЕТ РЕГУЛЯТОРОВ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ СИНТЕЗА В ряде работ предложен подход, позволяющий решить задачу синтеза регуляторов с устранением некоторых недостатков, присущих принципу динамической, компенсации [64]. Идея подхода состоит в том, что передаточная функция замкнутой эталонной системы при предположении, что ^о(*) = ^> (277) A(s)
"лава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем п_ юлжна удовлетворять следующим условиям: W 3(s) = ^ = —— - ПФ замкнутой эталонной системы; (2.78) D(s) D(s) У C(s)A(s) 1 - W э(.у) = - ПФ ошибки замкнутой эталонной системы, (2.79) где D(s) = do + d]s + d2s2 + ...+d2n_ls2n-l+s2n - эталонный характеристический полином; В ($) = Ьо + bxs + b2s2 + ... + bn_x sn'x; A (s) = a0 + axs + a2^ 2 + ... + sn. Полиномы Л(^) и A(s) - известны, они определяют динамические свойства неизменяемой части; эталонный полином D(s) выбирается специальным образом, например, методом стандартных коэффициентов, но так, чтобы были реализованы предписанные динамические свойства замкнутой системы. Это достигается тем, что D(s) является характеристическим уравнением замкнутой системы, а расположение корней характеристического уравнения Si,s29---9s2n в левой полуплоскости комплексной области определяет параметры переходного процесса: • быстродействие (время переходного процесса); • колебательность (число колебаний и их частоту); • перерегулирование а% и др. Таким образом, в качестве эталона задается только полином D(s), на числитель же соответствующие требования не накладываются. Вместе с тем изображение переходного процесса выражается зависимостью H{s)J_RW')mlUL. (2.80) V ; s D(s) sD(s) K ' Если корни характеристического уравнения простые, то зависимость для />(/) - переходного процесса имеет вид где sk - корни уравнения D(s) = 0. Как видно из (2.81), элементарные колебания hk(t) = eSk' определяются корнями sl9s2,...,s2n и полностью характеризуют структуру сигнала h(t). Однако амплитуда элементарных колебаний определяется как полиномом D(s), так и числителем P(s); в связи с этим необходимо анализировать динамические свойства замкнутой системы после ее синтеза. Например, если решается задача коррекции в классе систем не содержащих интегратор в прямой цепи, то найденный регулятор может .обеспечить заданные быстродействие, степень колебательности и перерегулирование, при наличии недопустимо большой установившейся ошибки. ПФ корректирующего устройства определяется зависимостью где
IS Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II R(s) = ro + rxs + r2s2 + ...+rn_xsn~]; C(s) = co + c]s + c2s2 + ...+cn_ls"-l+s"; коэффициенты полиномов R(s) и C(s) подлежат определению. Для ПФ замкнутой системы справедливо соотношение ММ ,rf;) *(*W. C(s)A(s) R(s)B(s) ^W l + MM C(s)A(s) + R(s)B(s)- C(s) A(s) Из зависимости (2.82) находим D(s) = A(s)C(s) + B(s)R(s). (2.83) Последнее уравнение называется уравнением синтеза, поскольку оно позволяет найти неизвестные го,гх,...,гп_х,со,сх,...,сп_х [64]. Уравнение синтеза при строгом рассмотрении вопроса находится из соотношений (2.78) и (2.79), поскольку R(s)B(s) C(s)A(s) D(s) - D(s) ' , Отсюда сразу же следует (2.83). Синтезированная описанным методом система устраняет некоторые недостатки, присущие принципу динамической компенсации и обладает свойством грубости [64]. Определим систему алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов г0, гх,..., гп_х, с0, с,,..., с„_,. Из (2.83) имеем (а0 + axs + a2s2 +... + an_\Sn~] + sn j(c0 + c^s + c2s2 +... + cn_}s"~] + s" j+ +(6o+z?15+v2+---+Vi's'l"1)(ro+v+v2+---+v^AJ"1)=: = do+d}s + d2s2 +rf3^3 +dAsA +... + dln_xs2n-x +s2n ; отсюда получаем систему алгебраических уравнений Яосо + ^ого = ^о > «oc1+fl1co+Vi+Vo = rfi5 аос2 + ахсх + а2с0 + V2 + *1П + Й2^о = d2 \ аос3 + ахс2 + а2с, + а3с0 + bor3 + 6,r2 + fe2r, + 63^о = ^з • (2-85) В линейной системе алгебраических уравнений 2я неизвестных; число уравнений также равно 2п. Решение системы (2.85) приводит к нахождению численных значений неизвестных коэффициентов ПФ регулятора. Назначая соответствующим образом корни характеристического уравнения D(s) = 0, можно добиться хорошего качества работы системы в переходном режиме. Для этой цели можно использовать метод стандартных коэффициентов или фильтры Баттерворса. Качество работы в установившемся режиме определяется наличием интеграторов в прямой цепи. В связи с этим введение интеграторов в прямую цепь изменяет структуру корректирующего устройства, и его передаточная функция будет выражаться зависимостью '•>м-£$гу (286)
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 79 Для удобства проведения расчетов поступают так: интегратор (или интеграторы, в зависимости от порядка астатизма) вносят в структуру объекта (неизменяемой части), и тогда эквивалентная схема принимает вид (рис. 2.23). Я') 1 C,(s) sA(s) = Ax(s) I Рис. 2.23. Структурная схема эквивалентной системы Обозначим sA(s) = Ах (s) = s (а0 + axs + a2s2 +... + an_xsn~] + s n J = = aos + axs2 + a2s3 +... + я,,.^" + sn+\ Степень Ax(s) равна л + 1. Запишем уравнение синтеза /i1(5)C(^) + ^(5)/?(^) = D(5). (2.87) Для определения неизвестных коэффициентов с, и гу получим систему уравнений, аналогичную (2.85); для этой цели введем обозначения: R(s) = rQ + ^s + fys2+... + rnsn; C(s) = c0 + cxs + c2s2 +... + cnsn +... + sn+l; D(^) = t/0 + c/15 + ^2+... + rf2/J52w+... + ^2{w+1); (2.88) ^i(s) = aos + a^2 + a253 +... + я„.,.у" + 5Л+1; Л(^) = fe0 + bxs + V2 + • • • + bnAs"-1. С учетом (2.88) уравнение синтеза принимает вид (aos + axs2 +a2s3 +... + an_xsn +sn+x Vc0 +cxs + c2s2 +... + cnsn +^n+1)+ + (b0 +bxs + b2s2 +... + 6и5И)(^о +rxs + r2s2 +... + rnsn>)= (2.89) = do+dxs + d2s2 +... + d2ns2n +s2{n+]). Можно видеть, что задача, когда в прямой цепи имеет место один интегратор, в точности совпадает с предыдущей, с тем лишь различием, что вместо степени п в уравнении синтеза берется степень п +1. Аналогично изложенному следует поступать и в тех случаях, когда требуется синтезировать систему, обладающую астатизмом более высокого порядка. Пример 2.3 [82]. В системе, структурная схема которой представлена на рис. 2.24, обозначим x(t) № + Wm{s) WM) Wm{s) пу KM где Рис. 2.24. Структурная схема системы автоматического управления Wy(s) = K2 - ПФ усилителя;
J50 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II fVny(s) - —- - ПФ исполнительного механизма; IS Wl(s) - —r-т ПФ объекта управления. T2s2+2T£4s + \ Заданы параметры системы [82] К2 = 2; К3 = 50, КА = 10; Г42 = 0,64; 2ГД 4 = 0,8. Рассмотрим систему, в структурную схему которой не включено корректирующее устройство. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид W(s) = ——7 Ы£л (T2s2+2T£4s + \)s + K2K3K4 Исследуем устойчивость не скорректированной системы с помощью второй формулировки критерия Михайлова [82]. Имеем c(<i>) + jd(G>) где с(ю) = -27-444с>2+£2/:зА:4> ^(ю) = со(-Г42©2 + 1). При ф>) = 0 со2=^^^ = 2-252; следовательно, юи = ±25^2 и ю,=25>/2. 2Г4^4 Если же d(a>) = 0,то ©2=0 и со3 = 1,25 . В соответствии с критерием Михайлова система устойчива, если с(0)>0 и <аГ(0)>0 И уравнения с(ю) = 0 и d((u) = 0 имеют все действительные и перемежающиеся корни, т.е. если между каждыми двумя соседними корнями б^(со) = 0 лежит корень уравнения с(ю) = 0 или между двумя соседними корнями с(со) = 0 лежит корень уравнения d(<o) = 0 . Критерий перемежаемости корней формулируется так* для устойчивости системы корни должны перемежаться и быть вещественными, а сумма корней должна быть равна порядку уравнения п. В рассматриваемой системе условие чередования корней уравнений с(со) = 0 и d(<a) - 0 отсутствует, следовательно, система неустойчива. Поскольку W (j)= К*К*К* - 100° -B(S) • s(TA2s2 + 2ГД45 + 1) s(0t64s2 + 0,85 + 1) A(s)* B(s) = b0 = 1000; A(s) = s(aQ + axs + j2), то D(s) = do+dls+d2s2+dys3+d4s4+dsS5 + s6; W^> r° + ^rf з ■ * co + cls + c2s2+s3 Воспользовавшись методом стандартных коэффициентов, в качестве эталонной ПФ выберем ПФ вида ,х6 W\s) = 56 + 6co055 + 15o^4 + 20(oJs3 + 15a)^2 + 6a)Js + cuJ 6 • Положим, что Гр = 10,6, тогда ю0 = — = 1 и W\s)-. = P(s) ' s6+6ss + \5s4 + 20s* + \5s2 + 6s + \ D(s)' Уравнение синтеза в развернутой форме имеет вид: {aos + a]s2 + s*)(cQ + cls + c2s2 + s3) = bQ(ro+ri! + r2s2) = = dQ+dxs + d2s2 +d3s3+d4s4+d?5 + s6. Отсюда получим систему линейных алгебраических уравнений для расчета неизвестных коэффициентов:
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 81 (2 90) Vo = <*о> fl0C1+fl,C0 + V2 = ^2'» aoc2+alC]+co = d3; ao+alc2 + cl=d4; a]+c2=d5. Если ввести в рассмотрение одностолбцовую матрицу Ч = (со,с„с2,го,г„г2), го систему (2.90) для определения неизвестных коэффициентов можно переписать так. (а0 0 0 0 Ьо а, а0 0 0 0 1 ах а0 0 О 1 или, что то же самое, 3125 2 3125 0 Ьп 0 3125 0^ Ьо 0 0 0 0, С| <?2 ''о Г\ J2j dx I ^2 d4-a0 db-ax I ^o J 'О = 1;ТЬ+ 2 г, =6. 25 5 25 ,. 5 2 '■2^c0+-.c, = 15;c0+-.c1+-.c2 = 20; 5 25 ,. 5 , С'+Гг-1Г15;С2+Г6 Найдем решение последней системы и построим h{i) и Л(со). Формула, определяющая ПФ регулятора, имеет вид W^s)= r° + V + V -де co + cxs + c2s*+sJ ro=6,41O^, c0 = 3,2031, г, =6,36 10"4 , С! = 7,5, г2«0, с2=4,75. На рис. 2 25 приведены графики h(t) и Лэ(г). 1,4 1,2 0,8 0,6 0,4 0,2 МО / Лр(О > / '/■ и 10 12 14 16 Зак. 36IS Рис. 2.25. Графики эталонной и реальной переходных функций скорректированной системы
82 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II 0,5 Л(и) ЛМ 4 (со) 0 0,5 1 1,5 , 2 2,5 Рис. 2.26. Графики эталонной и реальной АЧХ скорректированной системы Формулы для определения hp{t) и Лэ(/) имеют вид: /?p(0 = l + 5,9810-3/5e-'-7 10-2/4ew-0,166/3e-/-0)5r2e-/-/ew-e-/; Лэ(/) = 1-8,Зе-3/5е-/-4,16е2/4е-/-0,166/3е-/-0,5/2е"/-/е-/-е"'. Структурная схема системы с найденным регулятором имеет вид (рис. 2.27). -2£U®--* Регулятор 6,36 10~4j + 6,4 10~4 .$3+4,75s2+7,5*+ 3,2031 Неизменяемая часть 100 s 10 0,64s2 +0,85 + 1 —► Рис. 2.27. Структурная схема скорректированной системы Пример 2.4. Рассмотрим систему, задача синтеза регулятора которой по корневым годографам рассмотрена в [139]. Напомним, что траектории, описываемые на комплексной плоскости корнями характеристического уравнения замкнутой системы при изменении одного из параметров от 0 до оо, называют корневыми годографами [139]. При построении теории корневых годографов основополагающие результаты получены К.Ф. Теодорчиком и развиты Г.А. Бендриковым и СП. Стрелковым (1948 - 1949 гг.), Г.В. Римским. Если известен корневой годограф, то очевиден подход к решению задачи синтеза регулятора: выбирается такое значение варьируемого параметра, которое обеспечивает выполнение требований к качеству синтезируемой системы. ПФ объекта управления имеет вид ^о(5) = 5(0,Ь + 1)(0,055 + 1) ' Регулятор, включенный последовательно, должен обеспечить выполнение следующих условий: Тр <0,7, 20%<а<30%. Выбор параметров и синтеза корректирующих устройств по корневым годографам включает следующие этапы 1 Поскольку основополагающее положение метода состоит в том, что динамика замкнутой системы определяется парой комплексно-сопряженных полюсов 5,э2 = -ао±уо)о, то отсюда следует вывод, эталонной ПФ замкнутой системы является колебательное звено с ПФ вида. _*0 W,(s) = - Г0У + 2Г0^ + 1
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 83 Б рассматриваемом случае установлены зависимости, связывающие а0 и соо с Гр и а , они записываются так: Поскольку в соответствии с постановкой задачи Гриа известны, то по приведенным формулам легко рассчитать полюса s*2 , они равны [139] 5,3i2=-6±yil,2 2 На комплексную плоскость наносятся полюса 5,э2 и полюса неизменяемой части системы 5, =0; s2 =-10; s3 =-20. 3 Для выбора значения передаточного коэффициента К разомкнутой системы сроится корневой годограф при изменении К (способ построения корневого годографа разработан очень детально, см [139]). Чтобы траектория корней скорректированной системы при изменении К проходила вблизи полюса 5,э, используется динамическая компенсация ближайших к мнимой оси полюсов ПФ объекта управления. В этом случае обеспечивается определяющее влияние полюсов 5,э2 на динамику замкнутой системы. Из сказанного легко заключить, что метод принципиально предполагает использование положений принципа динамической компенсации, что порождает известные трудности. В рассматриваемой задаче можно скомпенсировать ближайший к мнимой оси полюс s2 неизменяемой части, ПФ компенсатора имеет вид 0^(5) = (0,1*+ 1). Вводится дополнительный полюс s4, так, чтобы полюс sj* находился на траектории корней скорректированной системы [139]. В рассматриваемом случае, звено регулятора ПФ которого имеет полюс s4, запишется так: WK2(s) = - 0,0425 + 1 4. Вычисляется значение К. В рассматриваемом случае К = 12 . 5. Составляется ПФ последовательно включенного регулятора; она имеет вид- "* 0,042^ + 1 к к Структурная схема системы представлена на рис. 2.28. —*vv * - т 12 O,br + 1 0,042-s+l ) 1 j(0,1j + 1X0,05.y + 1) x(t) Рис. 2.28. Структурная схема САУ Поскольку ПФ замкнутой САУ определяется зависимостью го- п 565° "5(0,05j + 1)(0,0425 + 1) + 12 (s + 34,5)(.у2 +9^ + 164)' то /ip(/) = l-0,157e"34'5/ + l,14^-4'5/sin(12/-2,31) . График Лр(0 представлен на рис. 2.29. Из рис 2 29 следует, что Гр = 0,635 , а а = 27% . Построим решение рассматриваемой задачи с помощью уравнений синтеза Имеем: W0(s) = 12 A(s) s(0,\s + l)(0,055 + l) - передаточная функция объекта управления; ^KyW = 77T = -T-i—Г1 ' ПФ регулятора 7 C(S) 5J+C2.r+C,5 + C0
84 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Эталонный характеристический многочлен получим, воспользовавшись аппаратом стандартных коэффициентов Ш) /,4f 0,25 0,5 0,75 t,C Рис. 2.29. График переходного процесса Поскольку 7*р = 0,7, то соо = —^— = 15,14 и характеристический многочлен замкнутой системы при- нимаетвид(см §2 1) D(s) = s6 + d5s5 + d4s4 +d3s3 +d2s2 + dxs + d0 , где d5 =90,857, dA =3439,59; d3 = 69446,997; d2 = 788719,446; dx =4777386,485; d0 = 12057213,51. Теперь легко записать уравнение синтеза K(r2s2 + rls + r0) + s(T]s + \)(T2s + \)(s3 + c2s2 +clS + c0)=> = se+d5s5 +d4s4 +d3s3+d2s2 +dxs+dQ. Система алгебраических уравнений для расчета неизвестных коэффициентов ПФ регулятора запишется так: r°K-d- ТХТ2 If г2К + с0Т2+сх+с0Тх . = «i, Чг cJiT2+clTi+c{T2 + c2_ Чг с1Чг + с2Т1+с2Т2 + 1_. Чг с2Г,Г2 + Г|+7-2_ Чг Отсюда находим го = 5023,8385; с0 = 14859,24; г, =752,3075; с, = 1413,877; г2= 25,0690; с2 =60,8571. Структурная схема системы управления представлена на рис. 2.30. На рис. 2.31 приведены графики эталонного переходного процесса и реального переходного процесса на выходе системы с регулятором, рассчитанным по методу уравнений синтеза.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 85 ^*<8к 25,069 2 752,3075 5023,8389 14859,24Л 14859,24' 14859,24 1 з, 60,8571 2 1413,877 14859,24 14859,24 14859,24 —► 12 s(0,\s + 1)(0,05.у + 1) *(') Рис. 2.30. Структурная схема САУ 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 'МО / / / МО / У / / / / / / / / / / / "^мо ^—■ ~- — /, с о 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 Рис. 2.31. Графики эталонного /гэ(/) и реального hp(t) переходных процессов На рис 2.32 представлены графики АЧХ эталонной системы и системы, регулятор которой рассчитан методом уравнений синтеза. 1 0,9 0 8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 •А(а) V \ \ Л \\ /\ N ^ \ \ \ \ _ СО 0 5 10 15 20 25 30 ' Рис. 2.32. Графики эталонной и реальной АЧХ скорректированной системы
86 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II 2.4. МЕТОД ЭТАЛОННЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Содержание этого метода заключается в следующем. Положим, что синтезируется последовательно включенный регулятор. ПФ объекта управления известна и равна вд= B(s) ^(s) = R(s) - передаточная функция регулятора, коэффициенты A(s)' ■"" C(s) которой подлежат определению (на степени полиномов R(s) и C(s) никаких ограничений не накладывается). Если структура регулятора выбрана таким образом, что ПФ замкнутой системы имеет вид Щ{р) W(s) = - (2.91) sn +alx(p)sn-] +al2(p)s"-2 + ... + aop(/>)' где p = (pvp2,-~,Pr) ~ неизвестные параметры регулятора, то выбирая эталонную ПФ вида W>(s) = сог sn+A]<»osn-]+A2(ulsn-2 + ...+ А„_1®п(1 (2.92) irt_iwo S + (UQ легко получить систему алгебраических уравнений для расчета неизвестных параметров риръ ...,/?г: a^ip) = Ахщ,а12(р) = А2а>1..., аЦр) = cog. (2.93) Если решается задача выбора п параметров, т.е. г = п, то она сводится к решению системы уравнений (2.93). Как указано в [62], часто имеют место трудности, поскольку получающаяся система уравнений оказывается несовместной или ее корни оказываются комплексными. Рассматриваемый метод пригоден обычно в тех случаях, когда достаточно велико число варьируемых параметров и когда каждый коэффициент ПФ зависит от малого числа параметров [62]. Проиллюстрируем основные положения метода на примерах. Пример 2.5 [62]. Рассмотрим систему стабилизации скорости вращения двигателя, структурная схема которой представлена на рис. 2.33. 1 +-<-* I К* I I к. I У(0 К, иггы Ts 75 + 1 Рис. 233. Структурная схема системы стабилизации скорости вращения двигателя Пусть К2 = 15 с"1, А:, =0,2 с"1; задача состоит в нахождении Кг,г и Г ПФ разомкнутой и замкнутой системы соответственно имеют вид: КхКгКг(Т* + \) , ^}~Ts3H\ + rK2T)s2> J\. i А. л/С •» W(s) = . KxK2Kys + - 3+(- + rK2]s2 + K}K 2K3s + Выберем эталонную ПФ вида: И"(») а>о А. |Л. лЛ -1 ©J s3 +у4,соо52 +A2(ols + (dl 53 + 5,lo)(>y2 + 6,35coJs + cOo
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 87 Если Гр = 2,5, to =5, то >=4 Для вычисления Кз,Тиг имеет место система алгебраических уравнений А1ы0 = — + гК2, или 5,1-2 = —+ г-15; А2<д20 = К]К2К3, или 6,36-4 = 0,215Л:з; з КЖ2К3 или 8 = —2 —. Отсюда находим: £з«8,5;7«3,18с;г«0,66. Пример 2.6 [47]. Рассмотрим задачу управления центром тяжести крестокрылого снаряда в боковом движении. В качестве примера выбора параметров автопилота для управления движением центра тяжести рассмотрим крестокрылый снаряд, стабилизированный по углу крена. Эта задача поясняется рис. 2.34 V Заданная траектория N 8V Рис. 2.34. Схема угловых и линейных координат, характеризующих положение снаряда относительно прямолинейной траектории в боковом движении Пусть MN - заданная прямолинейная траектория, по которой должен двигаться снаряд. В этом случае заданное значение координаты центра тяжести снаряда по оси oz% есть z-^-zq. Рассмотрим систему управления боковым отклонением центра тяжести крестокрылого снаряда, учитывая переходные процессы в угловом движении снаряда. Система уравнений имеет вид [47] d\ ф/ <ф „ s ДА/, dt ■ = И.(Ч»-Ю; К=ч[^-^\ + Фг-г*) + *г\{Ч-гг)*- (2.94) Исключая из уравнений (2.94) все переменные, кроме zg, найдем следующее общее уравнение системы управления боковым отклонением центра тяжести снаряда: dbze , ,dAzR d3ze d2z. <k. +M2 + i№.)^£ + i2b2Ve -L + q2b2Vezg = dz '- + q2D2Yez3—r- У (2 95) d\ . dt Структурная схема представлена на рис. 2.35. = izb2Ve^ + izb2Ve^ + q2b2Vez3- j л k$Ve dAMb
Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II -аа®* izs +izs + qg AFm 1 Jy\ AM. ►&h^S^ 1, I'v l\s + b2 ) Рис. 2.35. Структурная схема, соответствующая системе уравнений (2.94) Рассмотрим задачу выбора параметров системы управления центом тяжести методом стандартных коэффициентов В качестве объекта управления возьмем снаряд, параметры которого приведены в табл. 2 7. Таблица 2. 7 ч 1 с 0,34 "Р 1 с2 13,5 ЛР 1 с 0,1 1 с 0,205 1 с2 5,6 <*\ 1 с 0,645 а2 1 с2 13,6 ь\ 1 с2 5,6 Ьг 1 с2 1,9 i¥ с 0,865 Ту с 2,95 1 с 0,124 т„ с 0,256 0,707* Пусть скорость снаряда Ve = 300 м/с . Необходимо выбрать параметры системы управления так, чтобы Тр = 15 с . Передаточная функция для системы управления центром тяжести на основании уравнения запишется Wi <./■>«=: iMS+Wt+чМ. (2.96) s5+(a] +1^)5* +(а2+1уЬ2+1уЬх)з* + (iyb2+izb2Ve)s2 +izb2Ves + qzb2Ve Коэффициенты числителя и знаменателя перед s2 отличаются друг от друга на небольшую величину iyb2 <к izb2Ve. Характеристическое уравнение эталонной ПФ имеет вид: s5 +18соо54 +69ш?53 +69<*ls2 +18©Jj + ®J =0 . (2.97) Приравнивая соответствующие коэффициенты знаменателя передаточной функции (2.96) коэффициентам характеристического уравнения (2.97), получим систему алгебраических уравнений [47] в,+/„,&, =18ш0; а2+ iyb2 + iybx = 69(0 J, /V|//>2+U>2Ke=69coJ; \ (2 98) izb2Ve=\Su>l gzb2Ve=(ol Значение «собственной частоты» системы соо определяем на основании соотношения со =1о=М = 0613с-19 7р 15 где т0 = 9,2 взято по кривой стандартного переходного процесса для системы пятого порядка Подставляя полученное значение соо в уравнения (2.98) и решая их поочередно, начиная с первого, получим следующие значения передаточных чисел автопилота-/у = 1,86 с; /у = 1,58; iz =0,023 рад-с/м = = 1,33 градс/м; i2 =4,53- 10"3рад/м = 0,26 град/м; ^г = 1,54.10~4рад/мс = 8,8310"3град/мс . В качестве эталонной ПФ не обязательно выбирать ПФ со стандартными коэффициентами. При проектировании конкретных систем управления эталонной ПФ может
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 89^ служить любая ПФ, обеспечивающая заданное качество управления в переходном и установившемся режимах. В [91] рассмотрен метод расчета параметров регулятора, обеспечивающий приближение ПФ замкнутой системы, содержащей q неизвестных, к эталонной ПФ W3(s)9 с введением области заданного расположения полюсов изображения W{s) синтезируемой системы. Пусть W3(s) = — эталонная передаточная функция; W(s) = — - пе- редаточная функция замкнутой системы управления, содержащая q искомых параметров. Положим, что ПФ эталонной системы сконструирована таким образом, что выполнено равенство тх+п2=т2+щ. Тогда из равенства *=0 *=0 ЫО Аг=О из которого следует соотношение U-o ) U-o ) U=o ; U-o ) сразу же можно записать следующую систему алгебраических уравнений bla2 + b?a} + b\a0 -аъ0Ь2 - a\bx -a\b0 = 0; Ъ1хая%-а1гЪтг=0. Поскольку эталонную ПФ можно построить таким образом, чтобы были выполнены неравенства ^r-2</w2+«i, то подход может оказаться полезным для решения конкретных задач. Однако необходимо помнить, что в общем случае искомые параметры нелинейно входят в соотношения, определяющие коэффициенты bk(pl9p2,..,pr), п = 0,т2 и ак(рьр2,..,рг), п = 0, п2, что усложняет алгоритм поиска параметров. В [91] изложен метод приближения W(s) к W3(s) с одновременным введением полюсов изображения синтезируемой системы W(s) внутрь заданной области, чем обеспечиваются необходимые степень и запас устойчивости и колебательность системы. 6 Зак. 366
jH) Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Пример 2.7 [91]. Изучим режим малых колебаний при регулировании возбуждения синхронного генератора. Генератор работает через дальнюю передачу на систему U = const. Используются уравнения генератора в упрощенной форме Лебедева - Жданова, учитывается постоянная времени цепи возбуждения. Постоянными времени возбудителя и дифференцирующих звеньев пренебрегаем. Пусть 0(/) - угол между вектором ЭДС и вектором напряжения U\ изображение приращения 0(/) при внезапном малом изменении нагрузки записывается так [91]: щз) = У+у+й. . aAs +a$s +a2s +als + a0 где b2 = 0,287 -O,38902-0,632y2 ; 6, =4,86-0,3890,-0,632y, , />о = Ю,2; a4 =(1,21-1,6302 -2,65y2)10~2 ; я3 = (20,5-1,630,-0,124p2+ 2,65у1+0,201у2)-Ю~2, a2 =(56,8-0,1240,+29,3P2-0,201y,-39,9y2)10-2, a] =2,13 + 0,2930, -0,399y, , a{ =6,57. Приведенные зависимости соответствуют номинальному режиму 0 = 67°. Величины 0О и у0, являющиеся коэффициентами усиления при регулировании по отклонениям тока и напряжения от их номинальных значений, приняты равными 0о = 1,О;уо=-15,О Задача ставится следующим образом 1) Д0($) должно быть близким к эталонному изображению чем обеспечивается апериодичность переходного процесса с Гр =2,5 с при максимальной скорости протекания процесса, не превышающей 2,5 рад/с . 2) система должна быть слабоколебательной (при колебательности tg vj/, где vj/<70°). Из соотношения (b2s2 + bls + b0)(s2 +22.S + 40) = 62(a4sA + a2s3 +a2s2 +a{s + a0) получаем систему алгебраических уравнений 62а, =22*0+406,; 62a2=b0+22bl+40b2; 62аг = Ьх+22Ь2\ 62а4 -Ь2. Из последней системы находим систему так называемых условных уравнений 0,6у, =287-33,650,; 13,78у, +0,5у2 = 82,0-8,450, -33,702; 2,28у, +14,02у2 =-1,54 + 0,6210, -8,6302, -1,003у2 =-О,463 + О,63102. Воспользовавшись методом наименьших квадратов, получим решение системы (2 99) относительно У\ и Y2- у, =6,85-0,7250,-2,4402; у2 =-1,25 + 0,1670, -О,22102 Теперь характеристическое уравнение системы может быть записано в виде D(5) = 6,57 + (-O,61 + O,5920,+O,97502)5 + (l,O52-0,06670, +О,38602)*2 + +(0,381-0,03520,-0,066702>3+ (4,53-0,4420,-1.О4502)1О-254. Исходя из обеспечения заданного запаса устойчивости в [91] найдены численные значения параметров 0, и 02 , они равны 0, = 5,3; 02 = 1,9 . Отсюда получаем у, = -1,63; у2 = -0,78.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 91_ Можно показать, что допустима вариация параметров в пределах (20 - 25)%, при которой полюса остаются внутри заданной области плоскости S. Проверка приводит к следующему результату: поскольку ju=-l,66±yl,57, 53>4=-15,15±yi9,53, то (второй составляющей пренебрегаем): Д9(/) * 1,56 - 2,27е"|>66' sin(l,57/ + 43°30') Вывод* рассчитанные параметры обеспечивают заданное качество управления. 2.5. МЕТОД ЭТАЛОННЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ РАЗОМКНУТЫХ СИСТЕМ При рассмотрении принципа динамической компенсации были использованы взаимосвязанные соотношения И В эти зависимости входит эталонная передаточная функция разомкнутой системы W*(s). Выше (см. пункт 2.1.3 в §2.1) был рассмотрен метод стандартных коэффициентов построения эталонной передаточной функции W3 (s) замкнутой системы. Алгоритм синтеза регулятора упрощается, если пользоваться эталонной (стандартной) передаточной функцией разомкнутой системы W* (s), которую легко найти, зная W3 (s). Если п W>(s) — sn + Ax®osn-1 + А2ф +... + Л-1°>о" s + К то ум, у'(') , < pW l-W(s) s(s"-l+Al<»oSn-2+... + An_yo-1)' Последняя ПФ имеет один нулевой полюс и, следовательно, реализуется система с астатизмом первого порядка. Если же в качестве эталонной ПФ замкнутой системы имеет место ПФ вида W3 / ч = ЛчСОрЛ + сор Jlt+i4,(D05'l"1+...+ /(r|_1©3"lJ + G)S ' то эталонная ПФ разомкнутой системы запишется так цгэ /s\ = ^(Рр'^ + Юр PV 52(^2+40)0^-3+... + Л-2<"2) и, таким образом, система имеет астатизм второго порядка. Аналогично, если w* is\ = Л-2<Оо"2^+Лч<"^-ю>о то И'э (о) = Ап-2(*"° * Лп~х^ * ^ 6*
92 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Пример 2.8. Найдем эталонную передаточную функцию разомкнутой системы при следующих условиях, первый член прогрессии равен 0,063 ; разность прогрессии 0,867 и т0 = 13 ; система должна иметь астатизм второго порядка Изтабл 2.5 имеем: И"М = - 18©fc + ©% .s5+9©o.s4+29©?.s3+38©o52 + 18©4)5 + ©o Тогда формула, определяющая W* (s), имеет вид: ^э / ч = 18cog^-Kog р l ' *5+9©(/ + 29©?.у3 + 38©3352 ' Аналогичным образом можно рассчитать и построить таблицы, ориентированные на решение класса задач синтеза регуляторов. Приведем одну из таких таблиц (см. табл. 2.8, она составлена на основе данных, приведенных в табл. 2.5). Таблиг № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 m 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 п 2 3 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 а, % 5 8 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 К ©0 1,4 ©0 2 ©о 2,6 со? Од 5,1 со? 16 со? 38 со? 73 coi 163 313 со? 587 со? 988 со? 52 + 1,4cooj 53 + 2соо52 + 2со?5 coS 54 + 2,6юо53+3,4аф2 + 2,6со?5 2,5соо5 + ю? S 6,3co?5 + cdJ J3+5,lC0052' ll,8©j5 + (Oo 54 + 7,22©053+16,3©?52 18©о^ + соо *5 + 9(й054 + 29со ?*3 + 38со fc 2 25(^5+©!; / + 11ю055+43ю?54 + 83©3>у3 + 73©4д2 44c4y + coj; л7 + 13ю0*6 + 66ю?*5 + 173ю3/ + 238ю^3 + 163©^2 68©?5 + 58 + 15©о^7+92©?56 + 299со3>у5 + +©s +554©^4+579©^у3+313©^2 1О6©5$ + s9 +17©058 +121©?57 +476ю?56 + +©о +1114©^5+1581©^4 + 1320©^3 + 587©^2 151©?5 + 510 + 19ю059 + 152©?58 + 691©^7 + 1941©^6+ +со'° +3464©^5+3908©^4 + 2666©^3 + 988©^2 fa 2.8 5 7 9 7 9 11 13 15 17 19 21 23
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 93_ Перейдем к изложению содержания метода. Исходные данные: • структурная схема системы (WQ (s) - ПФ всех функционально необходимых элементов); • порядок астатизма; • величина перерегулирования а% ; • время переходного процесса Гр. Основной идеей метода является приближение с помощью подбора структуры и параметров КУ реальной ПФ к некоторой эталонной, причем последняя обладает необходимым порядком астатизма (что обеспечивает заданную точность в установившемся режиме работы) и включает параметр ©0, который обеспечивает необходимое быстродействие через нормированное время переходного процесса. Величина перерегулирования а%, не превышающая известной величины, заданной в процентах, обеспечена подбором коэффициентов эталонной ПФ. Эталонная ПФ некоторых разомкнутых систем приведены в табл. 2.8. Если заданы: время переходного процесса Тр; перерегулирование а%; порядок ПФ (согласуется с порядком ПФ неизменяемой части), то по таблице можно найти нужную эталонную ПФ разомкнутой системы, причем относительное время переходного процесса т0 = со0Гр. Поскольку со0 =то/Гр, т0 находится из таблицы, а Гр - задано, то можно рассчитать значение параметра соо и, следовательно, ПФ разомкнутой системы. Таким образом, эталонная ПФ разомкнутой системы, обеспечивающая заданные параметры переходного процесса и значение динамической ошибки замкнутой системы, известна. Обозначим ее K4s)=bmS +tm-lS , +- + Ь°. (2.100) В (2.100) все численные значения коэффициентов числителя Ш, bf,..., b?n\ и знаменателя (а^, af,..., аъп\ известны. Далее подбирается структура наиболее простого КУ таким образом, чтобы имело место равенство Пусть ^(^•^(^,)=6'-(A)5m+ViUK;'+-+6o(A), (2..01) О\/ КУ \ »rl } / \ П /\ /7-1 / \ ч где Pi - параметры КУ, подлежащие определению. Для расчета /?, можно воспользоваться следующими соображениями. Одно из них состоит в следующем. Поскольку в идеальном случае справедливо равенство blsm +bl_xsm-x +...+bl _ bm(Pi)sm +bm.l(Pl)sm-i +... + *ь(л) anV+anV"''+- + *o ая(р1у+а,,_х(р1у-1+... + а0(р1) ' то отсюда легко записать:
j)4 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II <*>(а) = «о. а\(Р*) = а\> ■••> an{Pi) = °l, А)(р,) = ^, b{Pl) = b?, ..., bm{Pi) = bl. В последней системе имеют место следующие факторы: система относительно Р\> Рг* •••» Рк> как правило, нелинейна; число уравнений не всегда совпадает с числом неизвестных, что вызывает известные трудности [17]. Пример 2.9. Рассмотрим простейший пример, иллюстрирующий алгоритм расчета параметров регулятора методом эталонной ПФ разомкнутой системы Пусть ПФ разомкнутой системы имеет вид: Задача заключается в нахождении таких параметров Ке> Г,, 7"2, которые обеспечили бы время переходного процесса Гр < 1,5 с , а величину перерегулирования а < 10% В качестве эталонной ПФ разомкнутой системы выберем ПФ вида: I 5,1соо Из сравнения Wp (s) и Wp (s) легко получить следующие равенства: *e=ft; ri=^; Гг=5>;- Поскольку юо= —= — = 6с"1,то Ке = 7,05с-2, ^ =1,05с, Г2=0,032с. Пример 2.10. Рассмотрим канал управления креном ракеты (рис. 1.15). ПФ замкнутой системы без регулятора определяется зависимостью W(s)= /""^ . TS+s + K^K, IS Пусть WKy(s) = K+—- - последовательный пропорционально-интегральный регулятор (положим, что К1у = 1). Тогда передаточная функция разомкнутой системы с регулятором определяется формулой Кп?КуК^ КпрКуКн ( ч_(^ + ^и)^пР^у _КПрКуК5 + КпрКуК„ _ Ту Ту ^ Т1 Положим, что порядок астатизма равен 2, а < 10%, а время переходного процесса Гр - задано. Как и в предыдущем примере, эталонная ПФ имеет вид Г1/э/.\_6,3(0()5 + (0% Л JV+5,lov2' Из равенства Wp (s) = W* (s) следует система уравнений: 1 КпрКуК /у /у В рассматриваемом подходе величина со0 зависит от известной постоянной времени ракеты по каналу крена Ту, из этого следует. С другой стороны, через величину <оо определяется время переходного процесса Т?; оно равно
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 95 Гр=-^- = 45,9Гу. Последней формулой при принятой структуре регулятора определяется время переходного процесса канала управления креном 9 Из соотношений, приведенных выше, сразу же находим численные значения параметров регулятора К и Ки ; они равны к 6,3ofrr к _ e)fc Если Ту = 0,03 с ; Кп?Ку = 300, то соо=--!—= 6,5359; АГ = 0,0269; /:и=0,0279; Гр = 45,9 0,03 = 1,377с 5,1Гу На рис. 2 36 - 2.39 приведены1 переходные характеристики и амплитудно-частотные характеристики системы управления каналом крена ракеты ■*(0 О 0,2 0,4 0,6 Рис. 2.36. График переходной характеристики нескорректированной системы J 3,5 ? S 1 5 1 0,5 0 1 / \ \ \ \ - со 100 200 300 Рис. 2.37. АЧХ нескорректированной системы 400 Известно, что наиболее конструктивный путь решения задач синтеза регуляторов это использование методов нелинейного программирования. При этом показатели
96 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II качества стационарного и переходного режимов обеспечиваются приближенно при безусловном обеспечении устойчивости и грубости (по варьируемым параметрам) системы с синтезированными параметрами. Кроме этого, могут быть наложены ограничения на параметры, колебательность и др. 4*ю 0,5 1 1 ■ . - • -2*. 0 0,5 1 1,5 2 Рис. 2.38. График переходной характеристики системы с регулятором 0,5 1 И(ю) \ —■ со 0 20 40 60 Рис. 239. АЧХ системы с регулятором Во многих достаточно сложных случаях применение метода эталонных ПФ позволяет использовать аппарат нелинейного программирования (см. Приложение 2). Пример 2.11. На рис. 2.40 приведена структурная схема системы автоматического управления. Г к"у | Г у«) лочвю! ОУ вд W0 W2(s) W3(s) Wa(s) 1Д i : i Рис. 2.40. Структурная схема системы автоматического управления
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 97 На рисунке передаточные функции имеют следующий вид: Wx (s) - передаточная функция синтези- К К руемого регулятора (корректирующего устройства); W2 (s) = К2; W3 (s) = —- ; WA (s) = —у-^ s 7^5 + 2c^ 4T4S +1 Пусть передаточная функция регулятора имеет следующий вид: '•<•>■«■•;#• где Кь т,, Г, - неизвестные параметры регулятора, подлежащие определению. В этом случае передаточная функция разомкнутой системы автоматического управления, после соответствующих преобразований, будет следующей: ад- К1К2К3КАх1 К1К2КгК4 Щь Ш± г,г42 г,г42 г,г42 В качестве стандартной передаточной функции выберем ПФ вида (2.102) (2.103) "55+9cuo/ + 29(o^3 + 38(u^2 ' где юо = хо/Гр. Приравняв соответствующие коэффициенты выражений (2.102) и (2.103), получим систему уравнений. ^^ = 9соо; /,/4 /,/4 У,/4 Для решения системы уравнений воспользуемся оптимизационными методами. Для этого введем в рассмотрение следующие функции, зависящие от искомых параметров регулятора. 8ilAi,T|,iiJ —3 18Юо> /1/4 с (К т Т\- ^4 +^4^4^1 лт . бз^Л,,!,,/,) —j VCOO, /,/4 ММ e,(A:I.t,.r1)--lT-3toi ММ Функционал определяется зависимостью /(*i.t,.r,)-te?(A:I,x1.r,) /=1 Таким образом, поставленную задачу синтеза регулятора можно сформулировать в терминах нелинейного программирования: при соответствующих ограничениях.
_98 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II 2.6. ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ Рассматриваемый ниже метод основан на использовании второго принципа, изложенного в §1.4. Этот принцип предполагает, что параметры регулятора рассчитываются из условия приближения выходного сигнала x(t) на заданное воздействие у3 (/) к некоторому эталону хэ (г). Критерием близости может быть выбрана метрика пространства L2[0,oo). Основная формула имеет вид (см. §1.4) /(/>„ /?2,...,/?г) = = 1\ХЛ')-\АоАку(Р\>Р2-»'А-)(/ + ААу(/>1>Р2—>Pr)) 11 УъЩ<Ь-> min • о I L J J Pit ыГг В последней зависимости: Ао - оператор объекта; Аку(р],р2,:.,рг) - оператор регулятора, зависящий от изменяемых параметров Р\>Р2>—>Рг'у уэ (/) - эталонный входной сигнал; хэ (/) - эталонный выходной процесс. Принципиальная трудность применения рассматриваемого подхода заключается в том, что записанный выше функционал, подлежащий минимизации по параметрам регулятора P\->Pi,..~>pr> требует знания обратного оператора замкнутой системы [АоАку(Р\>Р2>->Рг)(* + АоАку{Р\>Р2>->Рг)) J > явно зависящего от параметров регулятора ри р2,-.., рг - Как уже указывалось, реализация этого подхода возможна лишь в простейших случаях. К таким случаям относится класс линейных стационарных систем, когда критерием, определяющим степень близости реального выходного сигнала х?{РъР2>-~>Рг) к эталонному процессу x3(t), служит функционал °° 2 /(Pi,P2>".,/V> = f [x3(t)-x?(t,pup2,...,pr)] A. (2.104) о Рассмотрим задачу синтеза регуляторов в общей постановке: заданы входной сигнал y3(i) и эталонная реакция на это воздействие x3(t); необходимо построить алгоритм расчета параметров регулятора (при известной структуре) исходя из следующих условий • 1(Р\,Рг>->Рг)-> mil^_; PiMs • X(t)e Xn Vfe[0,r], где X(f) - вектор-функция состояния системы; Хп - заданная область; Частным случаем X(t)eX" V/e[0,T] является принадлежность переходной характеристики h(t) «коробочке» В.В. Солодовникова.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 99 • u(t)eU], u(t) - скалярное управление, поступающее на объект; U] - заданная область; • р?<Рх <ру9...,р?<рг<ру. • C0<C0jxon, Cj <С1доп,..., где Со, Си... - коэффициенты ошибок. Конкретная постановка задачи может быть сформулирована так: при заданной структуре регулятора (предполагается, что регулятор с заданной структурой обладает соответствующими возможностями) найти параметры р = (р\,Р2>-,Рг) из условия наилучшего приближения реального выходного сигнала xp(t,pup2,...9pr), являющегося реакцией на д>э(О = КО> к эталонной переходной характеристике с заданными показателями качества: быстродействием, колебательностью, максимальным отклонением в переходном режиме при обеспечении устойчивости системы и приближенном обеспечении заданной точности в установившемся режиме. В качестве эталонной переходной характеристики можно задавать процесс, изображение которого определяется зависимостью [91]: яэ(*) = с, ^-5 + 1 2 °а252+а,5 + 1 НА, (О, где GQ определяет статизм системы, а, и а2 - параметры, связанные с временем переходного процесса Гр и максимальным отклонением в переходном режиме Лртах1 формулой <*2 ч ^pmaxl 1 Со ^)maxl Со -1 2 2 бои (Xi = -. Сказанное выше можно записать в следующей форме: найти параметры Р\у Рг> •••» Рг > обеспечивающие выполнение условий: 1) функционал (2.104) принимает минимальное значение; 2) обеспечивается устойчивость системы (в вычислительном отношении для проверки устойчивости системы наиболее удобен критерий Раусса); 3) если >>э(/) = 1(/), то Аэ(0 ~ эталонная переходная характеристика; функция . Ар (/,/?) должна находиться в «коробочке» Солодовникова, т.е. а)|Ар(/,/?)-Ауст|<Д, где А - постоянная величина, значение которой в техническом задании задается в процентах от установившегося значения выходного процесса Vr = M'>/>)Uoo; б) аО/оgW'M-Vr100%<а0/0доп9 Ауст т.е. перерегулирование не должно превышать допустимого значения (обычно ^%доп =00-30)%);
100 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II в) Гр < Трлоп, т.е. время переходного процесса не должно превышать допустимого значения Трдоп. Кроме этого, могут быть заданы ограничения на производные выходного процесса, на число колебаний Ар (t,p) (при проектировании систем допускают число колебаний равным (1-2), реже (3 - 4); иногда колебания недопустимы) и др. 4) выполнены ограничения, обусловленные требованиями к точности системы в установившемся режиме. Требования к точности должны быть предъявлены в виде ограничений на коэффициенты ошибок: С С Тогда, записав передаточную функцию по ошибке через передаточную функцию замкнутой системы и выполнив деление полинома числителя на полином знаменателя, поучим следующие ограничения: —(яо-60)<с0доп; —(а1-*1)-^-(а0-гЪ)<С1доп; ао а0 —{а2-Ь1)^{ах-Ь{)^{а^Ь,)^{а^Ь,У<С2АОП, ао а0 а0 а0 которые ввиду зависимости коэффициентов ai9 / = 1,и и bj9 у = l,w от искомых параметров Р\,Р2>—>РГ также являются ограничениями на параметры. Область допустимых значений варьируемых параметров обычно ограничена условием их технической реализации Pim^Pi^PiM* / = 17. Использование приведенных соотношений позволяет задачу определения варьируемых параметров ph / = 1, г, обеспечивающих наилучшее приближение к эталонной переходной характеристике, сформулировать следующим образом: требуется минимизировать функционал (2.104) при ограничениях 1), 2), 3), 4). Рассмотрим решение поставленной задачи для частного случая, когда y3(t) = l(t),x3(t) = Ky(\-e-a>'). (2.105) Запишем формулу, определяющую переходный процесс через неизвестные параметры корректирующего устройства: Лр^р)^!-1!^,/?)-!, (2.106) где Wo (s) - ПФ объекта; W^ (s,p) - ПФ регулятора. В формуле (2.107) /?,, /?2,..., рг - параметры корректирующего устройства; подбором этих параметров достигается заданное качество переходного процесса. Таким образом, реальный переходный про-
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем Ш1_ цесс определяется зависимостью (2.106), в которую входят неизвестные параметры Запишем формулу для невязки Тогда функционал качества имеет вид l{Pi.P2,~,Pr) = ][**{.t)-bp(t,PJf<* ■ (2Ю8) о Преобразуем подынтегральное выражение в (2.108) по Фурье Ky(l-e-4)-hp(t,pl,p2,...pr)r* .*„ Ку Wv{ja>,p)W0{j*) 1 (2-Ю9) • усо ую + о, 1 + ^(М/»)»;(уа))^) U '^' Воспользовавшись равенством Парсеваля, зависимость (2.109) перепишем в виде 00 2 l(Pl,p2,...,pr) = l[x3(t)-hf>(t,p)]dt: 0 (2.110) 00 Je2(/,p) = — J E(ja>,p)E(-j<o,p)de>. о 2lt-«> Преобразуем(2.109) следующим образом: £(y(0 p)^^ ** Ьт(рХМт+... + №) 1 __ уй> ую + о, an(pXj®)m+... + ao(p)j<>> ck (pXJtif + сы jpXjuf'1 +■■■ + со(р) _ CQ(0,p) dk ipXJaf + <*k-i (PXM*-X +... + do(p) MJ*> P)' где 4 (P) = <t,+i (p) = (an (p)Ky +an (p%..., co(p) = Kya3ao (p)+bo (p)a3, dk(P) = dn+2(P)= в„0»).-» </,(р) = ао(Р)«э. do(p) = O. Перепишем (2.110) в виде /(А,/>2,-,/У) = -1 СУ*>Р™-*л-Р>*тш] gki~Mp) do, (2.112) где /4(д/>)=Ль(р)(»* +а1о>)Осо)*-1 +...+л,(р) ; &С/^р)=л(рХ»2*'2+л(рХ;в))2*"4+...+&-|(/»). Как уже указывалось ранее, чрезвычайно важным является тот факт, что для значения интеграла (2.112) можно записать точную формулу. Таким образом, функционал (2.1 \0) удается представить в виде функции, явно зависящей от переменных К(Р\ *Н(Р)>•••»К(Р\ 8о(Р)> 8\(Р)>•••» 8к(р) и> следовательно, явно зависящей от параметров /?,, ръ ..., рг, т.е. I(p) = I(P\,p2>...,Pr) • Эта формула имеет вид (см. приложение в первом томе) (-0**4 ш^ЩрЖк- где
102 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Мк = " " " , mkr = h,k_r{p)\ К{р) = 0 (v < 0,v > к), тк\ тк2 - ткк Nk - определитель, полученный из Мк заменой элементов первого столбца величинами go(p% g\(p), ..> gk-\(p) • Таким образом, здесь центральную роль играет равенство Парсеваля, позволяющее полунить следующее основное соотношение 1 7 gkU*.Pi,P2,...,Pr) Jm. (2Л13) 2я4АА(Ую,/?1,р2»»->Л)А*(-МЛэЛэ-..»л) H)*+4(fl.ft,---,Pr) min 2K(P\>P7>->Pr)Mk(PbP2>~'>Pr) (Pi>Pi> -Л) при указанных выше ограничениях. Если же эталонная переходная характеристика задана Яэ ($), то ЕШ в p)-G fU<°) + l Ьт(рХЛ»Г+... + Ьт(р) 1 _ " ' °а2С/о))2+о,0-ю) + 1 а„(рХМ)т+... + а„(р)М % (pXj®)kl +...+со(р) cc/<D,j>) и функционал, подлежащий минимизации, имеет вид а;„ „ и\ ' f C(MP)C(-Mp) . 1{Р^-Р^Тп1о^рш-М^- Так как параметры р],р2,...,рг входят в коэффициенты изображения, определяющего невязку, нелинейным образом, то сформулированная задача расчета pi9 i = l,r, является задачей нелинейного программирования и может быть решена с использованием известных методов (см. Приложение 2, а также [37]). Ввиду сложности приведенных выше ограничений для решения задачи нелинейного программирования можно использовать процедуру численного направленного поиска; в частности, может быть использована процедура случайного поиска [7]. Дополнительно может накладываться ограничение на колебательность системы. В [7] приведены зависимости, определяющие ограничения, накладываемые на коэффициенты характеристического уравнения. В каждом конкретном случае проектирования регуляторов можно для некоторых ограничений записать явные соотношения, зависящие от параметров, для других же реализуется поиск параметров, удовлетворяющих нужным ограничениям, при этом показатели качества на каждом шаге направленного поиска могут определяться по результатам интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 103 Пример 2.12 [144] Рассмотрим систему автоматического управления перегрузки летательного аппарата с перестройкой параметров регулятора в зависимости от высоты и скорости полета (рис 2 41) V н t nw *®4 *t(y+ixy+o *(У + 1) *V*) ■&а> *6№*+1) ♦-► 1 Kl Гс5 + 1 Летателы ый аппарат КМ Рис. 2.41. Структурная схема системы автоматического управления Значения параметров объекта в зависимости от скорости и высоты полета приведены в табл. 2 9. Таблица 2.9 Режимы полета 1 2 3 4 Я, км 0 6 10,5 13,5 М 0,2 0,6 1,2 1,8 к* 0,067 0,298 0,274 0,229 кь 0,555 0,882 0,432 0,242 Т, с 0,741 0,378 0,182 0,178 0,388 0,301 0,160 , 0,094 Гс.с 2,76 1,89 1,8 2,59 Постановка задачи: рассчитать параметры последовательно включенного регулятора системы управления перегрузкой летательного аппарата в зависимости от высоты и скорости полета, обеспечивающие устойчивость и заданные показатели качества в различных режимах полета (см. табл. 2.9) Найдем ПФ объекта управления [144]: KZ(Tcs + \) = ГУ + 27^ + 1 Кп К. 1 + кЛгк%(тс5+\) KZ(Tcs+\) Л2+(2Д + /:дг^гс)5+(1 + /:дг^) T2s2 + 2T$s + l К» АО ' O\s +\)(T2s +1) ejj2 +а,°5 + а00' где К, ) \ т^+ы&у д , КЛУК1ТС | _jl. ) к,кр.) , Положим, что Кдг = 0,8 - глубина обратной связи по угловой скорости тангажа, теперь можно рассчитать численные значения параметров Г, ,Г2,Кн для всех режимов полета (см. табл. 2 10). Таблица 2.10 Режимы полета 1 2 3 4 0,0463 0,175 0,204 0,191 2,02 ' 1,78 0,63 0,96 0,068 0,081 0,050 0,068
104 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II ПФ регулятора, включенного последовательно, будем находить в виде *t(V+ixy+i)_ ф*+ф,+ф "У4 ' ./т .j.n /»«Уг24.с (2.114) где А? = KkTkTki;U? = *(7^ + W" = **;«? = П,- С учетом изложенного выше структурная схема системы управления может быть представлена так (рис. 2.42). ? *t(V+iXV+1> 5(П,* + 1) (r,j+ixr2j+i) «(0 Рис. 2.42. Структурная схема системы управления перегрузкой ЛА Поставим задачу синтеза регулятора, который обеспечит следующие параметры переходной характеристики Гр<5с; а%<20% во всех режимах полета. В качестве эталонной переходной характеристики выберем процессы, определяемые формулами: /t,(0 = l-cos(p3*Ta''); я>(,)Л—£±аь где аэ = 1,1;Рэ = 1>2- Поскольку Щ*) = - s (j + a,)2+^! by$s2 + b?s + bF$ то преобразование Фурье невязки примет вид 1>,(/>)0«>)' E{j<u) = H\s)-W(sY- = if . где с3(/>) = Й^в? - *gb? + cfoV + а,а№ + a,a»; c4(p)=a3a2°af; </,(р) = (аэ2 +рэ2)(во0+60°^)+2аА\к)'; ^(р)-(^+ЙХ«^+*?г+аГг)+2«ц(Ц|+«|5^)+«8»Гг; 4(р)=(<ч2+Р'Х^+4)+2аэ(А4'+*№ + -?)+°о°+W; rf4(p) = (a,2 +P2)a2°a?' +2а,(щ°а? +<£)+<&? +Ь°0Ь? +в?; rf5(p) = 2a3a2°af+ai44'+''2; Отсюда следует (см. формулу (2. Ill)) 1 7 gt0o,P) 7<"'ft P') = 1Z\ 2* *hkUw,p)hk{-jw,p) dm,
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 105 где go=O; Si=c42; g2=2c2c4-c32, g3 = 2coc4-2c]c3 + c22; g4 = 2c(f2-c2], gs=c2& Ao=flf6; hx-db\ h2=d4; h± = d3; h4=d2\ /%=</,; h6=d0 . Функционал, подлежащий минимизации, может быть записан так: где М(р) = ho(p) 0 0 0 0 go(p) bo(P) 0 0 0 0 f(n\ - I\P) ~ h2(P) ho(p) 0 0 g,(p) fh(p) h,(p) Up) 0 0 Nk(p) 2Иъ(.р)Мк(р) ' Чр) A4(P) Ыр) Щр) hx(p) Up) gi(p) Up) h,(p) Up) hip) Up) 0 Up) hs(p) Up) Up) Up) ёг(р) Up) Up) Up) Up) Up) 0 0 0 Up) Up) Up) g*(p) 0 0 Up) Up) Up) 0 0 0 0 0 Up). SbiP) 0 0 0 0 Up) N(/>) = Минимальное значение функционала с соответствующими ограничениями находилось с использованием пакета Matlab (при проведении конкретных расчетов необходимо учитывать факт многоэкстремаль- НОСТИ фуНКЦИИ 1{р ,/?2, . ,рг)) На рисунках, которые приведены ниже, представлены графики переходных характеристик системы без регулятора, эталонной системы и системы с синтезированным регулятором. Для 1-го режима получены следующие численные значения коэффициентов ПФ регулятора и параметров Кк, Ткх, 7^ и7^ : 6^=218,1548; 6^=323; 6^ =107,99; ^=1,88; Кк = 107,99; Ткх = 1,021; 7^ = 1,98; Г*. = 1,88. Л(/)и 12 3 4 5 6 7 Рис. 2.4Э. Графики переходных процессов (режим 1) Для 2-го режима имеем* V? = 31,2; Ь? = 59,8, Ь$ = 26; а1? = 3,4; К* =26; 7^=1,5; 7^ =0,8; 7^ =3,4;
106 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II соответствующие графики приведены на рис. 2.44. 1,4 j2| I I ■*£—' 1 2 3 4 5 6 7 8 Рис. 2.44. Графики переходных процессов (режим 2) 3 режим: коэффициенты и параметры имеют следующие значения: У? = 12,8; if = 34,5; Iff = 23; а? = 2; Кк = 23; Ткх = 0,8; 7^ = 0,7; 7^ = 2, а графики имеют вид (рис. 2.45). 1,4 1,2 0,8 0,6 0,4 0,2 Т У~\ Т I I I I ... \ И{() - реальный переходцрй процесс I y/l —-!-V4 L 1 —f— :xq 4.- 4 1 Ш/) - ndpexoAHujft npousci без регулятора 4 1 ^,c Рис. 2.45. Графики переходных процессов (режим 3) 4 режим: коэффициенты и параметры имеют следующие значения:
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 107 6^=22,68; ^=46,8; 4^=24; я£у=2,01; ^ =24; 7* =1,05; 7^=0,9; 7^ =2,01, а графики переходных процессов имеют вид (рис. 2.46) Л(/)п т- 12 3 4 5 6 7 Рис. 2.46. Графики переходных процессов (режим 4) 2.7. ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ Сделаем предварительные замечания. В §1.4 рассматривался подход к решению проблемы синтеза регулятора, не требующий знания обратного оператора замкнутой системы. Общая формула, определяющая решение задачи, имеет вид (см. вывод формулы (1.54)): т 2 Л[4оЛу(ЛэЛ...,л)(/ + 4>Лу(ЛэА-»Рг))"1 |*э(0-л(0) <*-> тщ_, л \L J ) Pi >' — !»'' где Ао - оператор объекта управления, Аку (Р\ у Р\•••» Рг) - оператор регулятора, уъ(г) - заданный вход, хэ(0 - эталонный (желаемый) выход. В настоящем параграфе изложим этот подход применительно к решению задачи синтеза регуляторов в классе линейных одномерных стационарных систем. Рассмотрим систему (рис. 2.47). Пусть заданы: WQ(s) - передаточная функция неизменяемой части САУ; место включения и тип корректирующего устройства; W^{s,p) - передаточная функция корректирующего устройства; Р\,Р\,—9рг - параметры КУ, подлежащие определению в результате решения задачи синтеза.
108 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II y{t) +,-. е(/) Стационарный линейный регулятор * с регулируемыми параметрами Р\,Ръ *Рг Изменяема часть (стационарная) u(t) Стационарный линейный объект управления Неизменяемая часть *(/) Рис. 2.47. Структурная схема линейной стационарной системы Тогда Wp(s,p)-WKy(s,p)lV0(s) - передаточная функция разомкнутой системы. Отсюда находим ПФ замкнутой САУ: W(s р)- Wp(s>p) ^bm(p)sm+... + b0(p) К'Р \ + Wp(s,p) an(p)sn+... + a0(p) (2.115) р = {/?!,...,pr} - множество неизвестных параметров КУ. Перейдем от передаточной функции к дифференциальному уравнению системы 2>v(/>)*(v) =f>4(/0/4) • (2.П6) v=0 к=0 Коэффициенты уравнения зависят только от р( - параметров корректирующего устройства. Далее положим ап(р) = 1. Рассматриваемый метод принадлежит к классу методов, использующих приближение к эталонному выходному сигналу хэ (t), являющемуся реакцией на заданное воздействие y3(t). Для класса стационарных систем уэ(() может быть единичной ступенькой, т.е. y3(t) = \(t), а хэ(/) = Лэ(0 - эталонная переходная характеристика. При идеальном выборе структуры и параметров регулятора должна иметь место зависимость £аЛр)х?\{)=£ьк{р)у[к\0. . (2.117) v=0 k=0 Другими словами, при подстановке в ДУ скорректированной системы y{t) = y3(t) ее частным решением при Х° =(;с(0),У(0),...,д:(л"1)(0)) должна быть функция jc(r) = jc3(/) и, таким образом, должно быть выполнено тождество (2.117). Однако идеальный выбор КУ практически невозможен. Поэтому задача синтеза КУ состоит в том, чтобы подобрать параметры КУ, обеспечивающие минимальное значение невязки между правой и левой частями ДУ (2.116) при подстановке в него желаемых воздействия и реакции [7]. Пусть y3(t) - заданное воздействие, хэ(/) - желаемая реакция; тогда уравнению (2.116) эквивалентно интегральное уравнение вида [147] хэ (/) +1 kx (t, т, р)х3 (т) dx =[ к у (t, т, р)у э (т)</т, (2.118) где
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 109^ Перепишем (2.118) в виде *>(')+1оЛ")!^;^[('-1)""']'-МЛ- '■(-D* *' (2'20) -£М')!?^^[<'-1)""Ь(1)Л=£"''>)- ше обозначение: J(«-l)!c/xvL j3 0 Введем следующие обозначение: 0 ' ' (2.121) f(-D* d" С учетом введенных обозначений (2.120) принимает вид .*э(') + Zflv(p)^(0-£6*(p)^(0 = E(t,p); (2.122) v=0 Jfc=0 в последней зависимости функции D*(t), v = 0,«-l и D%(t), k = 0,m известны. Пусть п-\ F,(/,p) = x,(0+Sev(p)^(0; v=0 (2.123) Тогда невязка E(t, p) определяется соотношением E(t,p) = Fl(t,p)-F2(t,p). (2.124) Последняя формула имеет вид функции, явно зависящей от параметров рир2, -,рг регулятора. Рассмотрим конкретный случай, когда y^(t) = l(t), а х^(1) = Ку(\-е~а>') - эталонный переходный процесс. Тогда зависимости, определяющие Fx(t,p) и F2(t,p) принимают вид izi"zk-] (-i)> ^«>Р) = Ку(\-е-а*') + Ку% 2 et(/»)- *-о у-о w у (2 125) х/"->-*-: ^■r^VHW"- (2Л26) Формула, определяющая невязку E(t,p), явно зависящую от параметров регулятора /?!, р2, ..., рг, может быть записана так:
110 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II E{t,px,p2,...,Pr) = KJ\-e-^) + (£»£■■ (_iy +*,Z I 77 "к {РъРъ-<Рг)—7гЪК (риР2,-,Рг) ку ,„-*_ »Лп-^ {-\у , . .. . .... (2.127) ыо н> 0>1)!(л-у-*-1)! Л—1 /7—Л—1 f—iW -^vX Y Г~^ <*k{PuPi>~*Pr)*n~J~M + jt=O 7=0 \аэ )]An-J-K-i)\ n-\n-k-\ j (-.\\J +^Z Z Z ,-,„., "). k ak{Px,Pl,...,Pry-^e-^. кшо j=o /=оаэ v\n-j-k-\)\ Для расчета параметров регулятора можно использовать функционалы вида Л(/?1)Р2-..рг)=тах|£(/,/71,/?2,...,/7г)|. (2.128) Последняя зависимость трудно реализуема и на практике применяется весьма редко. Более простой как с аналитической, так и с вычислительной точек зрения является квадратичный функционал т I2(pl,p2,:,Pr) = lE\t,pbp2i...,pr)dt. (2.129) о В некоторых случаях целесообразно использовать функционал вида со 1ъ{РмРъ^Рг) = \Е2^РиРъ->РЖ*)<Ь> (2-130) о где р(0 - весовая функция; примером весовой функции является экспонента, т.е. р(О = е-с'. Значение Т выбирается из условия Т = (5 - 8)Гр. Задачу синтеза регулятора можно сформулировать так: найти минимум квадратичного функционала 00 I(p) = I2(Pi,P2>'~>Pr)=\E2(t>P\>P2>-,Pr)e~ctd-+ mio_ (2.131) при следующих ограничениях: 1) синтезируемая система должна быть устойчивой; 2) hp(t,pbp2,...,pr) - реальная переходная характеристика должна находиться в «коробочке» В.В. Солодовникова; 3) Со ^С0доп, Сх ^С1доп, ..., т.е. коэффициенты ошибок не должны превышать некоторых допустимых значений. Сформулированная задача относится к классу задач нелинейного программирования [37]. Зависимость, определяющая 12(Р\,р2,...,рг), является многоэкстремальной, поэтому расчет глобального экстремума встречает значительные трудности. Минимизация 1{р) может быть выполнена с помощью программ минимизации функций, которые присутствуют в научно ориентированных пакетах прикладных программ. Предпочтительнее выбирать программы, специально предназначенные для минимизации квадратичных функций. На параметры, по которым ведется минимизация, должны быть наложены ограничения, вытекающие из какого-либо критерия устойчивости. Например, можно воспользоваться критерием устойчивости Льенара - Шипара, который сводится к ограничениям типа неравенств.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем Ш_ К ограничениям, обусловленным требованиями устойчивости системы, добавляются ограничения, обусловленные требованиями точности работы системы в установившемся режиме. Минимизация функционала 1(р) не гарантирует принадлежности реального переходного процесса «коробочке» В.В. Солодовникова, поэтому дополнительно добавляются соответствующие ограничения. Минимизация функции многих переменных при указанных выше ограничениях - достаточно сложная и трудоемкая задача. Ввиду того что рассмотренный метод не требует знания обратного оператора, а невязка E(t,pbp2,..>,pr) порождается разностью между левой и правой частями дифференциального уравнения системы, он обобщается на нестационарные, нелинейные и многомерные системы, системы с запаздыванием; дает возможность учитывать ограничения как на параметры системы, так и на характеристики процессов на выходе; при попадании в область неустойчивости процесс расчета продолжается. Метод позволяет учитывать требования, связанные с устойчивостью и точностью работы в установившемся режиме и использовать разные критерии качества, в том числе и логические. В заключение отметим, что при расчетах можно использовать стандартное программное обеспечение, реализующее аппарат математического программирования, причем степень сложности расчетов слабо зависит от степени сложности синтезируемой системы. Пример 2.13. Для системы управления технологическим процессом передаточная функция определяется зависимостью [91] Щж) —у+у+ь+\ 9 a6s +a5s +a4s +a^s +a2s + a,.s + a0 где bQ = l,22p4; bx = l,22/>3; b2 = l,22/?2; b3 = l,22p,; до = 1,22р4; 5j =l,22/?3; a2 = l + l,22/?2;<53 = 5 + 1,22/?,; 54=9; <55=7,4; <56=2,25. Пользуясь рассмотренным выше методом, требуется рассчитать параметры Р\,Р2,Рз,Р4 > обеспечивающие приближенное выполнение условий с% й 30%, Гр «(20 - 30) с [91 ]. Найдем ДУ, определяющее переходную характеристику • *<64o+i*v(/>)*(v)=i>(/>b'<*)> v=0 *=0 где , ч 122 , ч 122 , ч 4 122 а° Р 225Р4' в1(р) = 225л; *2 9 + 225Р2; , ч 122 20 . ч . , ч 148 225Pl+~9~; fl4^= ; а5^=И5' °в , ( ч 122 , , ч 122 . . ч 122 ... 122 °^=225P4i ^P) = 225Pii 2(/?)=225/?2> з(/?)= 225Pl' При произвольных значениях параметров регулятора /?,, р2» Рз> Р* имеет место зависимость, определяющая невязку £(/,/?): £(/,/?) = хэ(/) + 2av(p)Dxv(t)-Xbk(p)Dyk(t), v=0 ^=0 где 0№)-i^|r[('-')!]lW". причем дсэ(/) = 1-е"а>/.
112 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II После элементарных преобразований легко получить соотношение для невязки E(t,Pup2,p3,p4) = \-e-a^-— /4+ — /3-2/2+ — /- 122 1 1 /2 _ 1 £_ _ _ ~225Р4[п0 '^7~24 *^ + 6 al~2 '^V~'~ 122 Г_1_ _И___[ j^_ _[ il_ JL jl 225Рз[24'аэ 6а2+2'^ а<+а5э] 122 1 t3 1 /2 "1~+2^/?2Лб"а~~2'^+^"^ а' (20 122 "jfl /2 / / 1 . Г / 1 ] 148 1 4 122 20 122 _122 р4 122 Рз 9 + 2Г5Ра , J+225Pl 225 с^ 225 а^ а4 а^ 4 148 45 аэ Поскольку Гр = 20 с, то аэ « — = —; функционал определим зависимостью Гр 20 1(Р\>Рг>Рз>Р4) = \Е2(*>Р\>Р2>Рз>Р4)е *dt. Соотношение, определяющее функционал, можно переписать так: I(pl,p2yp3,p4) = 0t023Z75p3 + 010lp4+0,\p]+0t000&79pl + +0,00227-р]-2-р}р2 + 0,05-р2+0,00035 р2 + 0,00043 рър4 + +0,00014 • pi + 0,0007 • р4 • р, + 0,00058 • р4 • р2 + 0,001 •p3/?2+0>0013fVPi +12744. При принятых условиях процесс оптимизации при ограничениях на коэффициенты характеристического уравнения, реализующих критерий устойчивости Льенара - Шипара, позволил получить следующие значения параметров регулятора: р\ = 1,2; р\ = 0,81; р\ = 0,12; р\ = 0,001. Графики эталонного и реального переходных характеристик представлены на рис. 2.48. 0 10 20 30 40 50 Рис. 2.48. Графики переходных процессов Был проведен также расчет параметров регулятора для следующих условий: Гр = 10 с, а%£30%. Поскольку в этом случае аэ = — = — , то функционал принимает вид:
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем ИЗ ЦРиРг'РэуРл) = °>°087 Ра +0,00012- р\ -0,02-р3 + 0,00036 р4-/?3 + +0,08 • /?, + 0,04 • р2 + 0,00058 • р4 • /?, +0,001 \рърх +0,0019 /?,2 + +0,000298• р\ - 0,0005 -р4'Р2+ 0,00075• р\ + 0,0023 • рх • р2 + +0,0009 -рур2 + 0,9724. Функция веса определяется формулой В результате оптимизации получены следующие значения параметров регулятора* р* = 2,1; /?2 = i>6; Рз=о>6'> />J = o,O2i. Соответствующие графики, определяющие /?р(0 и Лэ(0, приведены на рис. 2.49. Л(0" 0,2- 5 10 15 20 25 Рис. 2.49. Графики переходных процессов Пример 2.14. Рассмотрим задачу синтеза регулятора в системе автоматического управления газоперекачивающих агрегатов [56]. Большинство крупных газовых месторождений отстоят от промышленных и коммунальных потребителей на несколько тысяч километров и несмотря на то, что природный газ на выходе из скважин имеет давление более 10,0 МПа, транспортирование его за счет естественного давления возможно только на коротких участках газопровода Увеличение пропускной способности газопроводов достигается путем установки на расстояниях 100 - 150 км друг от друга промежуточных компрессорных станций (КС). КС восстанавливают давление газа на участке газопровода до расчетного значения. Компрессорные станции оборудуются комплексом технических средств, обеспечивающих надежную работу газоперекачивающих агрегатов (ГПА), обычно включенных в последовательные и параллельные группы. ГПА состоит из нагнетателя и привода, в качестве которого преимущественно используются газотурбинные установки (ГТУ). В нагнетателе, который представляет собой лопаточную машину сжатия, энергия внешнего источника сообщается газу, за счет чего и повышается его давление. Задачей системы регулирования является поддержание одного или нескольких параметров на требуемом уровне В ГПА регулируемыми параметрами являются либо частота вращения нагнетателя лйбр давление газа на выходе из КС. Газотурбинная установка с нагнетателем и газопровод представляют собой динамическую систему (объект регулирования), которую можно представить в виде отдельных элементов или звеньев. Уравнения движения элементов ГПА составляют, исходя из условий баланса мощностей (моментов) и законов сохранения массы, энергии или других свойств. Основными характеристиками любого звена являются динамические константы, определяемые расчетным или экспериментальным способом. Применительно к решению задач устойчивости и определения качества переходного процесса будем рассматривать только малые колебания динамической системы около равновесного положения. Это означает, что математическая модель включает только линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, или, что то же самое, из-за малости отклонений параметров от состояния равновесия, нелинейную зависимость при разложении в ряд Тейлора представляют только первыми членами разложения (учитываются только линейные члены). Изменение искомых величин и независимых параметров удобно представить в безразмерном виде в относительных координатах: 9 Зак. 366
114 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II 5j =_!Q—£_1552 =ii2o—£l;5ir=ilQ>—£lL;52r =i-2ni—E2L _ относительные изменения давления P\o P20 Piro Ргт на входе и выходе из компрессора (или нагнетателя). Индекс «О» обозначает,значение параметра в установившемся режиме; 54 =ii4o_£_±j g5 -Еш—El. _ относительные изменения давления на входе и выходе турбины НИЗКОГО го давления (ТНД), Р50 7Vn-7; ^40 "" Та . _ Г<п - Тк З.т =iiO У30 - '40 У50 сокого давления (ТВД) и входе и выходе ТНД. В качестве масштабов приведения величин к безразмерному виду целесообразно принимать их значения в равновесном состоянии. Заданный режим работы объекта нарушается вследствие возмущающих воздействий Для ГПА это, в основном, изменение потребления газа, приводящее к изменениям крутящего момента нагнетателя и связанной с ним турбины. К возмущающим воздействиям для ГПА следует отнести и изменения температуры и давления окружающей среды. На рис. 2.50 представлена функциональная схема САУ. Возмущением системы является относительное изменение потребления газа X в выходном участке газопровода. Регулируемой величиной является относительное изменение давления газа на выходе нагнетателя 82Г , а регулирующим воздействием является относительное открытие топливного клапана ц Я Jib УЛ. Рис. 2.50. Функциональная схема автоматического управления ГПА: / - чувствительный элемент; 2 -усилитель; 3 - главный сервомотор; 4 - ГПА Структурная схема САУ имеет вид (рис. 2.51). Тах s+au <J>l(*) М*) X(s)\ Вход Выход ф-В-Ф^ »4<*) Рис. 2.51. Структурная схема ГПА с двухвальной ГТУ Приведем численные значения параметров [56]:
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 115 ап =2,1, я,2 =1,12, а13 = 0,7,я,4 =0,5; «21 =15,3, а22 = 2, а23 = -19, а24 = -19, а^ = 0,5; я3, = 0,5 с, я32 = 1, аъъ = -1,1, я34 = 0,5, а35 = 0,35, а36 = 0,07; Гт = 0,03 с, я4, = 1,16, а42 = 2,1, д43 = 0,5, а^ - 0,07, а45 = 0,02, а^ = 0,04; Тп = 0,02 с, я5, = 1,01, а52 = 1,08, а53 = 0,5, Л54 = °>й ^3 = 14 с, аех = 21,7, а62 = -20,5, я63 = 15,1; ^4 = 9,54 с, а1Х = 24,8, а12 = -20,5, л73 = 15,1; 6,, = 0,314,621 =0,201. ПФ корректирующего устройства имеет вид жи(,)=-*2>-- ± ^ S2r(j) Г^Г^Лзбр*3 + (7>3Л, + Ts2Ts3 + 752Г5, )8р^2 + (7j, + 7>2 + 753)8р5 + 6р ' где Tslt Ts2, Ts3> Ьр - параметры регулятора. Пользуясь известными методами, можно получить следующее дифференциальное уравнение, описывающее поведение САУ: Хау(,)*<*>=£м/>>*<*\ v=0 *=0 где x(t) - выходной сигнал (62Г(/)); y(t) - входной сигнал (Я.(0); а0 = 6155,2961808р +493,8437521; 5, =(79535,363154-6155,2961807>3+6155,29618075, + +6155,296180752)6р + 6834,487720; а2 =(79535,363157>3+312706,1214 + 79535,36315Г52 + 79535,36315Г5, + +6155,296180Г51Г52 + 6155,296180751753 + 6155,2961807^2Г53)5р+ 12562,75068; а3 = (79535,36315^,^2+6155,2961807^,^2753 + 312706,1214753 +395952,3304 + +79535,363157527i3+312706,121475,+79535,36315Г5,Г53 + 312706,1214752)8р + +521,3389; 54=(312706,1214Г5,Г53 + 79535,361575,Г52753+312706,1214Г5,Г52+ 57417,2539 + +312706,1214752753 + 395952,330475, + 395952,3304752 +395952,3304753)8р + +0,4546266779; а5 = (395952,330475,753 + 395952,3304752Г53 + 312706,1214Г5,752Г53 +1859,0647 + +395952,330475,Г52 + 57417,25395752+57417,25395Г5, + 57417,2539395Г53)8р, а6 =(57417,25395Г5,753 +57417,25395752753 +4,82864623 + 57417,25395Г5,Г52 + +1859,064703Г52 +395952,330475,Г52Г53 + 1859,06470375, + 1859,0647037j3)Sp; ап = (57417,2539575,Г52753 + 1859,064703Г5,Г53 + 4,82 8646229 75 3 + +1859,064703Г5,752+ 1859,064703Г52Г53+ 4,82864622975,+4,828646229752)8р; 58 = (4,828646229Г5,752 +4,828646229Г5,Г53 + 1859,064703Г5,752Г53 + +4,828646229752753)8р; а9 =4,82864622975,Г527538р; Ьо = -1228,2112888р; ' й,= (-1228,21128875,-12176,49993-1228,211288753-1228,211288752)8р; й2 =(-29655,43270-12176,49993Г53-12176,4999375,+1228,211288Г5,753- +1228,211288 75,752 -1228,211288 Ts2Ts3 -12176,49993752)8р; Ьъ = (-12176,49993Ts{Ts2 -12176,4999375,753-29655,43270Г5, -5522,08536- -1228,21128875,752753 - 2965 5,43270 75 2 - 29655,43270753 -12176,499 75 2Г53)8р, Ь4 = (-29655,4327075,Г52 -193,5547424 - 5522,085360753 - 29655,4327Ts2Ts3 - -5522,085360Г5,-12176,49993Г5,752753-29655,43270Г5,Г5з-5522,0853752)8р,
116 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Ь5 = (-29655,432707j,7j27j3 - I93,55474247j3 - 193,55474247j2 -05061474040- -5522,085360752Г53-5522,0853675,^2-193,5547424Г51-5522,085375|Г5з)6р; Ьв = (-5522,0853607^,^2^3 - 0,5061474040752 - 193,554742475,7$3 - 0506147404075, - -193,554742475,7*2-0,50614740407*3 - 193,55474247527i3)5p; Ь7 = (-193,554742475,752753 - 0,50614740407i2753 - 050614740407i,753 - -0,506147404075,752)6р; Ьъ =-0,506147404075,Г52Г538р; р -параметры регулятора (75,,752,753,6р). Эталонный переходный процесс определим выражением лсэ(/) = Ку(\ -е~а^'). Имеем E(t) = Fl(t,p)-F2(t,p) = Ky(\-e-a>l) + Kyj^g}ak(p)-±-bk(p) L8"* - Аг=О L КУ J -Ку^ак{р)^щ^-к-^Ку^2как(р)е-^\ *=0 7=0 *=0 где 1 1 1 1 1 =J_. =1[. =J_. go " 3628800'g| " 40320'8l " 5040'*3~ 720'g4~l20'8s 24><&6 " 6'g? " 2>gs ~ ' 1 1 _ 1 1 1 1 1 1 _ 1 a^ a? a37 aj aj aj aj aj аэ 1 11 11111 1 11111 co3O = ; co3, = -; o32 = —=-, co33 = j; cd34 = —r; co35 = —jr; 30 120аэ 3I 24al 32 6a3 33 2a43 а5э а^ 1 1111 26аэ 6аэ2 2а^ аэ4 а^ 1 111 6аэ 2аэ2 а3 аэ4 J_ l l 2a. «60 =T~;o)6i =—2->о)б2 =т; 1 1 o70=—;co7, =—2*; аэ аэ2 1 ®8o= — • аэ Тогда F,(^)-^p)=M.-e-)+^[^«-t)+s(ai-t 5040[ 2 ^J 720[ 3 ^J 120[ 4 A:J 24[ 5 Ky t4 t5 t6 t1 t% \ ( \ t t1 24a^ 120a4 720a^ 5040a2 40320a3J [ a] a] 2a^
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 1_Г7^ +_^___^_+_^ t6 | /7 ] Jj !_+jL+jL+ + 6al 24a< + 120aJ 720a? +5040a, /' +[c^ aj + 2a^+6a< + I* r5 /6 1 f 1 / t2 l3 + r-r 7 + - <Z2 + Г + —Г 7 + 24a J 120af. 720a2 J ^ a* a* 2a* 6af, 24a* 120a* f 1 / t2 /3 /4 1 f 1 / /2 /3 "I [a\ at 2*1 6al 24a\) { a', a> 2a? 6aJ |,а3э a2 2aJ ^ a2 a3j аэ J '[аэ' а8э a^ aj c^ а4э а3 аэ2 aj где av(P>oy(p)/an(p), v = 0,l,..8; bk(p)^bv{p)yjan(p)1 v = 0,l,...8. Анализируя ДУ, описывающее поведение САУ, можно определить установившееся значение выходного сигнала хуст при заданном входном воздействии ул • = ^ 1228,2112886 р ^3 а0^3 6155,295186 р+ 493,8437521 Но а0 и Ьо зависят только от одного параметра КУ, а именно от степени неравномерности регулятора Ьр . Обычно принимают 6р = 0,05, поэтому хуст =-0,07660916735^. При ^=0,1 желаемую реакцию зададим в виде* хэ(/) = -0,00766091673(1 -e^3t), т.е. ^ = -0,00766091673; аэ=0.3 Функционал, подлежащий минимизации, запишем в виде 200 /(Гд„Г52,7>3)= j E2(t,Tsl9Ts2Js3)dt . о Или, что то же самое, I(TsuTs2Js3) = 2531,00537Й7^| + 5223,412078Г5,7д3 + 5223,4220787527*3 + +206,2287806752Г^з +206,2287806^^ + 206,22878067j,7>32 + +206,2287806752Г532 + 206,228780675,27i2 +2531,0053787i22 + +2531,0053787*? + 206,2287806^, Г^22 + 15,80914574752Г52Г52 + +0,32975575127532752 + 15,8091457475|Г53Г51 +0,30297552Г5|Г^Гд, + +15,809145747*, Ts]Ts2 +4,217651863752Г532 +4,217651863Г52Г532 + +0,30297557527*27s3 +0,0054693627j12r^7532 + 4,217651 MTsfTsj + +3946,9114667*, +3946,911466^, +3946,911466^ + +624,4817541^,7*2^3+5223,41207875,752-1544,167750. Так как при синтезированных параметрах система может оказаться неустойчивой, были введены ограничения на устойчивость системы. Решение задачи было получено с использованием метода нелинейного программирования, причем исходными данными для решения задачи на ЭВМ были: параметры эталонного процесса; функция, определяющая невязку и зависящая от параметров регулятора; ограничения на искомые параметры Г5,,752,75з, заданная колебательность системы. В результате минимизации были получены следующие значения параметров регулятора Г.У, = 0,028748 «0,03; Ts2 =0,072578 «0,07; Ts3 =0,153567«0,15 . Проведем, анализ скорректированной системы Передаточную функцию системы с найденными параметрами регулятора можно записать в виде или, что то же самое,
118 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II ^(5) = (-0,797182161610-5j8-0,0034812422457-0,2587889956-7,633197755- -104,2509790/ -657,2274284/-1636,02800s2 -624,1776385-61,4105644)/ (0,0000760511781 b9 + 0,3340876159/ +2,5 54180149/ + 78,807744243/ + +1154,133273/ + 8089,33787b4 +24295,88162/ +29197,51156/ + +10888,197085 + 801,6085611). Найдем реакцию системы 62Г(0 на заданное входное воздействие X = 0,1. Известными методами получим выражение, определяющее выходной сигнал: 82Г(/) = -0,007660916734 - 0,0012&Г351'8750908' + 0,48096е-33'38008687' + +0,33888 • i(rV23'62691103' + 0,0002815496096е-12'60350525/ cos(2,l 67470826/) + +0,0002682842784е-12'6О350525/ sin(2,167470826/) - 0,005362514165<Г2'87840526/ + ч^01401796355е-1753Ш916'-0,00403779^^ На рис. 2 52 пунктирной линией показан эталонный выходной сигнал, а сплошной линией показан реальный выходной сигнал. 0(111111111 1 I I I I I I 10 20- 30 40 50 60 70 80 90 100 -0,001 U с Рис. 2.52. Эталонный и реальный выходные сигналы скорректированной системы 2.8. ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ Этот метод по существу является одной из форм реализации метода, рассмотренного в предыдущем параграфе, т.е. метод относится к классу оптимизационных во временной области. Положим, что в зависимости (2.122) коэффициенты av(p\ у = 0,я-1 и Ьк{р), к = 0,т зависят от параметров регулятора. Воспользуемся обозначением -av(p) = Cv(p\ у = 0,и-1; bk(p) = Cg(p), g=;fl,w + m + l; -£>*(/) = Z)v(/)> v = 0,h-1; D£(t) = Dg(t), g = w,/7 + w + l. Тогда соотношение (2.124) можно записать так £(^) = *3(/)-£cv(/>)Z),(p). (2.132) v=0 Задача заключается в нахождении таких коэффициентов Cv(p), у = 0,л+/и, которые обеспечивают минимум функционала
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 119 J *,(O-£cv(p)Dv(p) Л. (2.133) 0L v=0 J Сформулированную задачу можно трактовать как задачу приближения функции x3{t) линейной комбинацией элементов D0(t), D}(t), ..., Dn+m(t), причем должна быть обеспечена сходимость в среднеквадратичном. Другими словами, коэффициенты Со(/?), С}(р), ..., Сп+т(р) подбираются из условия минимума среднеквадратичной ошибки. Если же рассчитаны Cv(p), v = 0,л+ m, то далее решается задача нахождения параметров регулятора ри р2, —,рг- Задача имеет наиболее простое решение, если параметры р{9 р2, ..., рг входят линейно в коэффициенты С0(р)9С1(р)9...9Сп+т(р). Тогда путем группировки в (2.132) членов относительно неизвестных параметров Р]> Рг> •••> Рг указанное соотношение (2.132) можно записать в виде E(t,pl,p2,...,pr) = f0(t)-plflit)-p2f2(t)-...-prfr(t). (2.134) Функционал (2.129) принимает вид т /(p) = f[/o(0-Pi/i(0«P2/2(0-.-.-Pr/r(0]2*. (2.135) о Из последней зависимости следует, что задача безусловной минимизации (2.135) свелась к задаче приближения известной функции /0(Г) комбинацией известных функций /,(0,/2(0,...,/г(0. Если через Lr < /i(0>/2(0>—>/r(0 > обозначим линейную оболочку (подпространство в I? [О, Т]), то сформулированная задача по существу будет задачей проектирования /0(0 на линейную оболочку Lr < f\(t)9f2(t)9...9fr(t) > . Другими словами, это -задача квадратичного приближения функции /0(/) функциями f\(t\f2(t\...,fr(t)\ В связи с этим по своему содержанию метод является проекционным. Минимум квадратичного функционала можно найти, если вычислить его частные производные по параметрам р],р2,...,рг и получить систему уравнений, приравняв их к нулю: ■^■=2}|Е/,(0л1/1(г)Лв0: Ф1 bUo / др2 oV/=o J дРг {VU j Данная система уравнений относительно неизвестных параметров КУ является линейной системой алгебраических уравнений, которую можно переписать в виде а\ \Р\ + a12/>2 + - + a\rPr = b\ у <*ъ\Р\+аг2Рг+- + а2гРг = Ъ2\ (2.136) <*r\P\+<*r2P2+- + arrPr=br-
120 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Решая последнюю систему, получим численные значения оптимальных параметров Р\9 р1> —, Р*г- Если число параметров рх, р2, ..., рг невелико, то система (2.136) будет хорошо обусловленной и трудности при ее решении не возникают. Структурная схема алгоритма синтеза приведена на рис. 2.53. Выбор структуры и параметров регулятора, выбор места включения регулятора Нахождение дифференциального и эквивалентного интегрального уравнений замкнутой системы X Построение функций F\(p) и F2(p) _L Построение невязки £(/,/?) X Построение функционала 1{р) X Построение и решение системы алгебраических уравнений L +. Р =\РиРг>->Рг) Рис. 2.53. Структурная схема алгоритма синтеза регуляторов Рассмотрим еще один подход. Положим, что система стационарна и ее ДУ имеет вид п-\ *(n)(0+2>v(/>)*(v) = I>v(/0/v); (2.137) v=0 v=0 кроме того заданны у3 (/), х3 (t). В общем случае у3 (/) - некоторый сигнал, подлежащий отработке, а хэ (/) - желаемая реакция на у3 (/). Перейдем от дифференциального уравнения (2.137) к эквивалентному уравнению вида гэ(0 + J*(/, т, p)z3(т)Л * § bv (p)y(3v) (0 - х<я-!> (6)an_{ (p) - (х["-]) (0)/ + v=0 +x^2)(0))an_2(/?))-...-L"-\0)^£^ + xr2(0)^[+x,(0)jad(^ (2.138) где А^т,р) = Х*у(/»)(/ Т)>> 1м' гэ(0 = хэй(0, to (я-v-l)! (2.139) причем хэ(0), х'э(0),..., х^п {)(0) - ненулевые начальные условия эталонного выходного сигнала. Обозначим r\n-2(t) = xi"-2)(0)t+xln-2\0), (2.140) ,п-\ tn-2 г1о(0 = 4"'1)(0)7Ц- + 4я"2)(0)-Ц- + ... + ^э(0). («-1)! (я-2)!
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем \2\_ С учетом введенных обозначений (2.138) принимает вид п-\ *э(о+2Хоо v=0 Г Т)" ' г,(т)</т + лУ(0 (и-v-I)! «ЕМ/О^Ю- (2.141) v=0 Обозначая U0 = K' Т)" ' Mt)dx + r\v(t), v = 0,/i-l 0(n-v-l)! - известные функции, из (2.141) следует п-\ т r,(0+ Sflv(^v(O - £6,(P)^V)(O. (2-142) v=0 v=0 В идеальном случае при соответствующем выборе параметров рх, р2, ...,рг уравнение (2.142) превращается в тождество. Поскольку такая ситуация в общем случае недостижима, то, обозначая п-\ F,(/,/7) = 2э(/)+2>V(P)W) , v=0 F2(t,p) = f,bv(p)yiv\t), (2.143) v=0 получим незязку E(t,p) = F](t,p)-F2(t9p). (2.144) Далее, как и в предыдущем случае, задача формулируется так г I(p)=\E2(t,p)dt-^mm. (2.145) Jo ' Последняя задача может быть сведена к задаче аппроксимации в пространстве L2[0J]. Если уравнение имеет вид Х*уЫ*(и)(0 = ;К0.а >>,(/) = 1(0, x3(t) = h3(t) = ky(\-e-a>'), v=0 то Fx(t,p) = (-1)" ссГ1*-*''* Е^(Р)}(-1Г МГ1 ^Г^в"аЭ^Т; ^2^^) = К0, и задача становится чрезвычайно простой и ее решение сводится к задаче аппроксимации в L2[0,T]. Пример 2.15. Рассмотрим канал управления креном ракеты (рис. 1.15), полагая: К]у = \; КщКу=62;Ту=0,3 с; у, = \(,); *э(/) = 1 - е~2'496' - желаемый (эталонный) выходной сигнал; is Wку = К + KAs + —и- - последовательно включенный ПИД-регулятор. Задача состоит в расчете численных значений коэффициентов К,Кди Кн - ПИД-регулятора методом аппроксимации в пространстве L2[0,T]. На рис. 2.54,2.55 и 2.56 показаны соответственно импульсная переходная функция, переходная характеристика и амплитудно-частотная характеристика системы без регулятора (нескорректированной системы). Причины наличия сильноколебательных процессов подробно рассмотрены в [17]. 8 Зак. 366
122 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II В соответствии с описанными выше теоретическими положениями найдем ПФ замкнутой системы с последовательно включенным ПИД-регулятором: W(s) = KAKnpKys2 + KKnpKys + КнКпрКу Tys3 + (1 + КЛКП9КУ + KKnpKys + КиКпрКу ' О 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Рис. 2.54. Импульсная переходная функция нескорректированной системы 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Рис. 2.55. Переходная характеристика нескорректированной системы А А(а) Рис. 2.56. АЧХ нескорректированной системы Или, что то же самое,
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 123 ЛппЛ. * .„ КппКу .„ КппК vnpyvy Л W(s)-- з (\ + КлКпрКу) 2 KKnpKy K»KnpKy' Дифференциальное уравнение имеет вид х(з)(/)+(1 + ^^р^)Л/)+:^1у(0+М!1Л х(/)= кппкУ к*пк. кппк, ч ч ч ^ ^ % hi, Последнему уравнению эквивалентно интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода '-А(-0* dk *з(0+11^^Ь(<-т)2]0-'-2486')^ ' 2 /|ч* WA Запишем формулу, определяющую невязку: 'у 'у Ч 'у 'у 'у 'у \ 'у /у /у /о(О /i(0 -К±КпрКу (D[(t) - D,r(/)) - K±KnpKy (DUO - DUO), 'У У /0(0 = 1-е-1''+ 1,667 /,(/) = 3,333-^^ >- (2а,,еа'' + 2)е-^ 3;333 а, а, ЛС) МО'ХЗЗЗК^ (,(1^4- а 2 1-2аэ/ + аэ2/2-н2| If3 2 а^ 6 Система алгебраических уравнений, определяющая неизвестные коэффициенты К, Кли К„, имеет вид
124 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II где а2\Ка + аг1К + а23Кп = Ьъ а3]Кл+а32^ + а33Кн=Ьг, о т о Поскольку матрица системы - матрица Грама линейно независимых элементов, определитель которой отличен от нуля, решение существует и оно единственно. Расчет приводит к следующему операторному уравнению с матричным оператором. '28777,879 66322,474 99312,298 66322,474 194887,513 326260,178 99312,298 326260,178 580468,349 Отсюда находим, искомую одностолбцовую матрицу 3018,113 8648,335 14336,586 к' < = 0,212 0,403 0,102 10"8 ИПФ, ПХ и АЧХ скорректированной системы представлены на рис. 2.57, 2.58 и 2.59. 25-. Л С 0.1 0 2 0 3 0 4 Рис. 2.57. ИПФ скорректированной системы А МО ',с Рис. 2.58. Переходная характеристика скорректированной системы
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 125 i. A(a) 20 40 00 80 100 Рис. 2.59. АЧХ скорректированной системы 2.9. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИЙ ЛЯГЕРРА 2.9.1. Постановка задачи* Пусть Ф(/) = (ф! (г),ф2 (г),...,ф/(/),...) - ортонормированный базис. Полагаем, что задана эталонная ПФ замкнутой системы W*(s) и ПФ объекта W0(s), причем L-{{W3d(s)} = k3(i)eL2[0,oo) и L'] {WO(s)} = ко(т)е1? б[0,оо). Представим *э(т) и к0 (т) в виде разложения по ОНБ: *,(*) = IcfrPvM и *oW = Z^v(t). (2-146) V=l V=l Матрицы С*э = (с^, с*э,...,с)э,.. \ и С*° = (cf°, с*°,..., cf°,...) называются спектральными характеристиками соответственно эталонной системы и объекта управления в выбранном базисе Ф(/). Положим, что построены алгоритмы, позволяющие рассчитать спектральную характеристику Ск*>' skrf"1,^,...,^,...) регулятора, если известны С*эи С*° при условии, что кц (т) € L [0,оо), а все элементы ф; (t), / = 1,2... преобразуемы по Лапласу и возможна физическая реализация в аналоговой или цифровой форме элементов, имеющих ИПФ Ф, (т), / = 1,2...,/,.... Если построена ИПФ регулятора в виде *KyM=i>v%vM> v=l то ПФ регулятора может быть представлена так: v=l (2.147) * Перед рассмотрением настоящего параграфа необходимо изучить соответствующие положения первого тома учебника
126 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Поскольку известна структура регулятора в форме (2.147), то структурную схему регулятора можно изобразить в следующем виде (рис. 2.60). —► ф,(,) Регулятор К(*) Рис. 2.60. Структурная схема системы Далее рассмотрим алгоритм синтеза системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.60, используя в качестве базиса функции Лягерра. 2.9.2. Функции Лягерра Ортонормированные на полуоси [0,оо) функции Лягерра определяются формулой 1 ' S(«-v)! (v!)2 (2.148) к - масштабный множитель, который выбирается таким образом, чтобы ускорить сходимость ряда; т = 0, 1, 2,— Переписав (2.148) в виде Л U') = I<W'Ve2. (2149) v=0 где ст = Jk- "Ч-*У (w-v)!(v!)2 Лягерра: _kj_ L0(t) = Jk-e~2; , получим зависимости, определяющие первые 10 функций *< Ц(() = ^к-е~2 (\-kt); Ь{1) = у[к-е~ -(l-l-k-t + ^-tA; Li^^Jk-i^ (\-3-k-t+-k2 -t2 --к* -А; L4(t) = yfk-e~ (\-4-k.t + 3-k2 -t2 --к* ■? +~k4-t*\ М0 = ^.Л.(1-5.Ь(+5.*Ч2-^./3Д^^-^./5);
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 127 L6(t) = V* -e~2' .fl-6.*./ + -.*2 ./2 --к3 ./3 + -*4 -/4 - \ 2 3 8 20 720 L7{t) = Jk.e~ki.(l-7.k.t + ^.k2.t2-^k3.t3A4.t4- ^W V 2*6 24 __1*5.,5+^6.,6_ * /Л Л 40 720 5040 -к1 -V Ut) = y[k.e~* -{х-Ъ.к.г + ХА.к2-?-— *3./3+ — *4-/4- ^W I 3 12 Z_£5 ^5 + _jL#6 .f6 - * '-7 -7 - Х '-8 '8 15 180 —к1 -tU—— *»./»• 630 40320 L9(t) = yfk-e 2 • l-9^-/ + 18-it2-/2-14^3./3+— Л4-/4- -21Jk3e/3+^il6./6_JLt7./7+. 1 ,8 .,в 20 60 140 4480 Перепишем (2.150) в матричной форме: O = U F, -*8./5-- 1 -*9-/9 362880 где ф=(1о(0.М0.М<).-)т. I _*1 -tL -LL U = 10 0 0 0 1-10 О О 1 -2 - О О 1 -з 2 -I о 2 1 -4 3 1 _5 5 -- — —^~ 6 2 J_ 3 24 5 J_ 3 24 /о(0 О О о о о 120 о о о о о о 1 j _6 15 _]0 5 _^J_ 2 3 8 20 720 1 -7 — -— — -— — 2 6 24 40 720 /i(0 О О О О О О О 1 Л(0 1 -8 14 - 28 35 3 12 15 180 О О О О О О О О 1 5040 J_ "бЗО 40320 1 1 , -9 18 -14 21 .21 X . 4 20 60 140 4480 О О О О О О О О О 1 362880J (2.150) (2.151) (2.152) (2.153)
128 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Графики А)(0' А (0» •••» ^9 (О "Р11 ^ = * и ^ = Ю "представлены на рис. 2.61 и2.62. 1 23456789 10 Рис. 2.61. Графики первых 10-и функций Лягерра при к = 1 М) О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Рис. 2.62. Графики первых 10-и функций Лягерра при к = 10 2.9.3. Построение спектральной характеристики объекта управления 1. Рассмотрим случай, когда объект задан его передаточной функцией.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 129 В [126, 127] рассмотрены задачи численного обращения одномерного и многомерного преобразования Лапласа. Положим, что [127] ^о (s) - —7\ ~ ^^ объекта управления. (2.154) N\s) Представим г>0(,)}=*0(')=2>Н(<)> t /=0 где причем О v=0 о v=0 ^ = ]tvK{t)e~>dt (2.155) (2.156) (2.157) - моменты ИПФ объекта управления. Из формулы (2.156) следует, что для расчета элементов спектральной характеристики объекта управления в базисе функций Лягерра необходимо построить алгоритм расчета моментов ц0, щ, ц2» •••> Ц/> ••• • Изображение Wo (s) является регулярной функцией комплексного аргумента s в полуплоскости Re5>0, в которой дифференцирование W0(s) можно выполнять под знаком интеграла Лапласа. Поэтому из формулы, определяющей интеграл Лапласа, имеем о Сравнивая (2.157) и (2.158), находим Hv=H)X(v) к Дифференцируя (2.154) по s, получим зависимости (2.158) (2.159) (2.160) Все равенства этой системы справедливы при Re s > 0. Отсюда можно записать новую систему, полагая s = k/2 (k>0,keRl); " Г А£(£)' Если W0(s) имеет вид формулы (2.154), то моменты ц; можно найти следующим образом. К выражению M(s) = W0(s)-N(s) применим формулу Ньютона - Лейбница для п -ой производной от произведения двух функций: J^(/)e"^-Hy^| 4=ц„ (/ = 0,1,2,...).
130 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II M(i)(s) = W0(s)N{i)(s) + iW;(s)N{i-}) (*) + ...+ (2.161) где с =- (i-m)\m\ Из последней формулы можно получить зависимость, позволяющую вычислить моменты сколь угодно высокого порядка: Л)~ N{s) (2.162) Отсюда следует (-\j»i=(-lj]t%(t)e~idt = d* Ъ*Л') ds к ~ *=2 = Yi_JioPL_l|-^pM+ ... + c>mp/m+ ... + /ц._,р|]) (2.163) где .t^m^W *; P,=^(0W s'i k, (/ = 0,1,2,...). s- (2.164) Полагая, что матрица моментов М = (цо,ц,,ц2,..., ц,,...)Т вычислена, а матрица ортогонализации U, соответствующая функциям Лягерра, известна, получим матрично-операторное соотношение для расчета матрицы-столбца это соотношение имеет вид C*°=U-M. (2.165) Или в развернутом виде VT- 1 1 1 1 1 1 -к -2к -Ък -4* -5к —к1 2! 2! 2! 2! 3! 3! 3! -it* 4! 4! 5! Но Из "coV (2.166) Существенное влияние на сходимость ряда (2.155) оказывает масштабный множитель к, методика выбора которого изложена в работах [18, 127].
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 131 Пример 2.16. Положим, что изображение Wo (s) имеет вид [127] w /у 0,441Q-V+0,841710-V + 0,12434j3 + °^~0,1910"6/ + 0,51310-457 + 0,676610"256 + ""* _^ +8,05385 s2 +3,631 5 + 2 0,502 s5 +16,45111 s4 +11,312 s2 + 3,631 s +1 Построим оригинал ko(t) в виде проекции на линейную оболочку Ц (Аь---, £7), где к = 1 Для этого воспользуемся алгоритмом, описанным выше. Сначала необходимо рассчитать матрицу моментов М, для чего следует найти численные значения моментов {pv: v = 0,1,...,7} и {yv : v = 0,l,...,7}. Соответствующие формулы имеют вид [ 127]' $Q=[a%s* +a1s1 +aes6+asp5 + a^4 +aj53 + a:s2 + a^ + a^j/s = к/1, Pi =(8a857+7a7j6 + 6flf655 + 5a^4+4a^3 + 3flrjS2 + 2flf ^s + a^/s = k/2; p2=(56a856 + 42a755+30a654 + 20a^3 + 12fl452 + 6a^ + 2a2)/5 = it/2; Рз = (з36а855 + 210а754 + 120а&у3 + 60а^2 + 24а^ + 6а3)/л = Л/2; p4=(l680agj4+840e7J3 + 360a652 + 120asS + 24a4)/5 = it/2, p5 = (б720д853 + 2520a7j2 + 720flr65 + 120a5)/j = kl2\ P6 = (20 160<v2 + 5040а75 + 720a6)/5 = к /2; P7 = (40 320<v + 5040a7)/j = it/2; моменты {у v} (где v = 0, l,.,.,7) рассчитывают по формулам y,=(5^4+4V3 + 3^2 + 2^25 + />1)/5 = it/2; у 2 = (20^3 +12&4*2 + 6635 + 2b2)/s = к /2; Уз = (б0&5.*2 + 24*45 + &>з)/5 = т, y4 = (120V + 2464)/5 = kl2\ Y5 = 12065; Y6 = 0, Yt=O. Формулы, определяющие элементы одностолбцовой матрицы М, можно записать так: Ро Ро Ро Ро Ро Ро Ро Ро Матрица-столбец моментов имеет вид
132 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II м = 0,685088 1,3808949 3,6295890 10,322243 22,393210 -60,779604 -1648,02198 -19422,6728 Воспользовавшись матрично-операторным соотношением "1 1 -1 -2 1/2! -3 3/2! -1/3' -4 6/2! -4/3! 1/4! -5 10/2! -10/3! 5/4! -1/5' -6 15/2! -20/31 15/4» -6/5! 1/6! -7 21/2! -35/3» 35/4! -21/5! 7/6! -1/7!_ рассчитаем матрицу-столбец коэффициентов Фурье Ст =[0,6850883 -0,6958065 -0,2619067 0,266514 0,101832-> ->-0,103429 -0,040019 0,0408939] . 7 Отсюда следует к0 (/) = ?х^ц А) x{t) = £ckv°Lv (/) щ Из Из С2 В табл. 2.11 приведены дискретные значения функции ko(i) и £0(/). 2. Рассматриваемый случай предполагает, что передаточная функция объекта неизвестна, однако известно следующее: • объект линеен и стационарен; • *о(т)е£2[0,«>). В этом случае необходимо провести детерминированную или статистическую идентификацию объекта. Положим, что для определения спектральной характеристики объема Ск° имеется возможность подать на вход объекта пробный сигнал у (/) и зафиксировать соответствующую реакцию x(t). Тогда для расчета С*0 можно воспользоваться равенством , x(') = lbo(t)y('-*)d*> (2Л67) о при этом предполагается: y(t)eL2[0,oo); *(/)e Z,2[0,oo); ko(t)eI?[0,<*>); Х° =(х(0),х'(0),...,х^)=0 , т.е. объект до подачи на вход сигнала у (/) находился в состоянии покоя. Поскольку рассматриваемые далее положения будут применяться при решении задач статистической идентификации и коррекции, воспользуемся обобщенным соотношением вида /(0«}/iW/i('-t)A. (2.168) Представим f(t), f](t) и f2(t) так:
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 133 /('ЫХМО; /i(')= Z<'M'); Л(')= Z<2M0- (2-169> Таблица 2.11 v=0 v,=0 v,=0 Обозначение v=0 Численные значения функций £0(/) и ko(t) (дискретность Д / = 1 с) 0,000000 0,130787 -0,060724 0,020157 0,000000 0,131697 -0,059810 0,021734 0,386412 0,003161 -0,026882 0,012673 0,383134 0,001984 -0,028992 0,017221 0,556206 -0,079365 0,000347 0,005253 0,553371 -0,079934 -0,004223 0,011695 0,557003 -0,116593 0,011786 — 0,557572 -0,114955 0,012447 — 0,447747 -0,117306 0,025603 — 0,452205 -0,113379 0,025262 — 0,289434 -0,094361 0,025422 — 0,293490 -0,091273 0,023720 — Подставив (2.169) в (2.168), запишем (2.170) v=l oU«l ) U=1 ) Или, что то же самое, v=0 у,=0у2=0 о Умножая последовательно последнее равенство на Lo(t)9 А(0' *-Л(0' ••• и интегрируя на промежутке [0, с»), получим ср = Ё Ё<чМК(тК('-^тМ')<*> р=о, 1,2,.... Vj=0v2=0 0 0 Имеем cf=Y У cfxcflcp 0 = 0 1 2 (2.171) v,=0v,=0
134 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Можно показать, что \\LV{(x)LVi(t-x)dxLp{t)dt = 00 1 Тк , если Vj + v2 =/? + ! и Vj ^p,v2 ^/?; —7=-, если Vj+v2 = p и Vj <p,v2 </?; (2.172) у/к 0, во всех остальных случаях. Таким образом, система (2.171) является треугольной. Поскольку в практических расчетах используется конечное число членов разложения, то система (2.171), эквивалентная интегральному соотношению (2.16*8), принимает вид v,=0v2=0 Так как задача решения уравнения (2.168) поставлена некорректно, то, очевидно, система (2.173) плохо обусловлена, т.е. при её решении имеет место вычислительная неустойчивость. Зависимость (2.173) решает задачу идентификации в виде (2.155), а (2.173), как указывалось выше, представляет собой треугольную систему алгебраических уравнений (c^v =0 для всех v, и (или) v2 >p) относительно элементов спектральной характеристики объекта ск° в базисе функций Лягерра. Рассмотрим метод статистической идентификации, предполагающий разложение корреляционных функций Rxy{t) и fyr(T) в ряды по функциям Лягерра [18, 147]. В этом случае предполагается следующее: • процессы Y(t) и X(t) являются стационарными, обладающими свойством эргодичности ; • RYY (т) £ L2 (-оо, +оо) ; Rxy (т) е L2 (-со, -ко) ; *0 (т) 6 L2 [0,оо). Если известны функции Ryy (т) и RYY (т), то ИПФ может быть определена путем решения уравнения Винера - Хопфа [122] Ллт(т) = |%(т->.) ko(\)dX, -оо<т<оо. (2.174) Последнее уравнение может быть решено с использованием разложений корреляционных функций Rxy (т) и RYr (т) в ряды по функциям Лягерра: RYy(x) = *ir(T) = 2XnM*), 0<x<co; v=l Rh (x) = I>v"Lv (т), -оо < т < 0; v=l ^(т) = (2.175) *М*) = 1^МТ)> 0<т<со; V=l ^W = £c^Iv(t), -oo<t<0. v=l
%(T) = j[jm-Jr(/)r(/-T)*f (2.177) Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем В5_ Разработаны специализированные вычислительные устройства для нахождения cR)y v = 07* cR™ v = 07* cR~X7 v = 0~/ С теоретическими положениями, а также с аппаратной реализацией можно познакомиться в [69, 147]. Здесь изложены лишь принципы построения соответствующих вычислительных устройств. Поскольку 00 cRn =cRn = J/?;v(T)Lv(T)</T, v = 0, 1,..., /, (2.176) о а = lim Г-юо то отсюда следует зависимость & =cv«" =3limijy(/)}y(/-T>Lv(T) Лй = ~*°° О О 1^° = lim -\Y(t)Jv(t)dt, v = 0, 1,..., /, (2.178) где Jv(/) = Jf(;-i)Lv(T)</T (2.179) о - установившейся выходной процесс фильтра, имеющего ИПФ Z,v (т). Таким образом, общая формула для расчета коэффициентов разложения RYY (т) как при т > 0, так и при т < 0 имеет вид 1 т ° № =*? =-Jr(/>/v(O*- (2Л8°) о / Коэффициенты с"п представляют собой оценки коэффициентов Фурье разложения RYY (т) по функциям Лягерра. Показано, что математическое ожидание оценки Л/[с^] = J%(t)4,(t)</t, v = 0,1,2,...J о совпадает с истинным значением, т.е. оценка является несмещенной. . Дисперсия оценки коэффициентов с/г определяется зависимостью [69] При практических расчетах необходимо помнить, что с увеличением числа членов разложения / дисперсия оценки корреляционной функции увеличивается [69]. Структурная схема вычислительного устройства для расчета v -го коэффициента Су™, v = O,l, ..., / представлена на рис. 2.63, а соответствующее вычислительное устройство для нахождения eft™, с***,..., of™ - на рис. 2.64.
136 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II iw Фильтр Лягерра сИПФ1Дг) ■МО Множительное звено Интегратор Жуу Рис. 2.63. Структурная схема вычислительного устройства для нахождения с\ Рхх Н') Блок фильтров Лягерра, имеющих ИПФ £0(r),L, (r ),..., L,(r) МО X МО I X •МО X Блок умножителей 1 п й«* ±}м* Блок интеграторов М г*Ь Рис. 2.64. Структурная схема вычислительного устройства для расчета коэффициентов Фурье автокорреляционной функции Rn (т) Вопросы аппаратной реализации вычислительного устройства отражены в [18, 69]. Здесь отметим лишь следующее. Поскольку ПФ функций Лягерра имеют вид М*)- к S + 2 ( кХ S~2 к , v = 0, 1, ...,/, (2.181) то, очевидно, каждый следующий фильтр Лягерра может быть получен из предыду- щего последующим подключением к нему звена с ПФ V (s) = s — к S + 2J ; нулевой же фильтр - апериодическое звено. Звено с ПФ Z? (s) - фазовращатель, поскольку [18] (2.182) к 1Э (уо)) = ~ = cos9 + ysin9 = e7(p. 7CD+2 Отсюда следует, что при прохождении сигнала через звено Z? (s) амплитуда его не меняется, но происходит задержка по фазе, зависящая от частоты.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 137 С учетом сказанного структурная схема (рис. 2.63) принимает вид Ш JL к V + l X _* *л X * к Л + 2 X X Ш* ij<*. £}м* у п с«" ,Я/г cf» ,Л)+) Рис. 2.65. Структурная схема вычислительного устройства Схемы, связанные с аппаратной реализацией функций Лягерра, представлены на рис. 2.66. а Рис. 2.66. Структура ортогональных фильтров Лягерра (а) и звенья, ее образующие: инвертирующее апериодическое (б), фазовращающее (в) В [69] принципиальная схема представлена в виде (рис. 2.67) (здесь к = 2 фильтр с точностью до постоянного множителя -j= имеет ПФ вида 4к RC
138 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II к_ 2 к' Jk Вход ф а 3 о и н в е ? о Р С = С = р ^ г^ ■I) Н)\ Ш У с и л и т е л ь |Г XV / \\ / //R \ II У с и л и т е л ь Рис. 2.67. Принципиальная схема функций Лягерра D + Аналогичным образом строятся вычислительные устройства для расчета cvAT и rRXY (2.183) При этом необходимо учесть следующее. Поскольку левая ветвь R^ (т) взаимной корреляционной функции определяется формулой т то для коэффициентов Фурье <$** имеет место зависимость & = 'imiF {t)\L^)h^)d^t = \\m^\°X(t)jvY{t)dt. о о Запишем рабочую формулу I о & =±\x{*VA*)*> (2.184) где JvY (t) = \Lv(i)Y(t-%)d'z - выходной сигнал v-го фильтра Лягерра в устано- о вившемся режиме. Структурная схема v -го канала соответствующего вычислительного устройства имеет вид (рис. 2.68). Xif) Фильтр Лягерра сИПФ4(т) Лг(0 Множительное звено Интегратор r^YY Рис. 2.68. Структурная схема вычислительного устройства На основе приведенной на рис. 2.68 структурной схемы легко построить вычислительное устройство для вычисления коэффициентов с^п, v = 0,1, 2, ...,/.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем иу Правая ветвь Л£у (т) может быть представлена так: (2.185) v=l где <#< = limify(/)jLv(T)i(/-T) rfx* = ify(/>/vjr(/)A, (2.186) причем JvX (f) = \Lv{x)X{t-x)di - установившейся выходной сигнал v-гофильт- 0 о ра Лягерра при воздействии на вход сигнала X(t). Соответствующая структурная схема представлена на рис. 2.69. X(t) Y(t) Фильтр Лягерра сИПФХДг) •МО Множительное звено t Интегратор rKYY Рис. 2.69. Структурная схема вычислительного устройства Далее будем полагать, что с помощью вычислительных устройств найдены корреляционные функции RYy (т) и Rxy (т) в виде разложения по функциям Лягерра. Вернемся к уравнению Винера - Хопфа. Во многих работах процедура идентификации сводится к решению аппроксимирующей это уравнение системы линейных алгебраических уравйений вида ^(/A) = AX*0(yA)%[A(^y)]5 ' = 0, l,...,tf-l, (2.187) 7=0 где Af - порядок системы алгебраических уравнений, равный числу восстанавливаемых точек ИПФ; i,j - целые числа, определяющие номера отсчетов корреляционных функций и ИПФ, отстающих друг от друга на интервал дискретизации А. В матричной форме (2.187) имеет вид AK0=Q, где ' RYY(0) RyY(A) ... Ryy((N-l)A]) д= Ryy(A) RYY(0) ../ RYY((N-2)A) ^ ^igg) RYY((N-\)A) ... %(0) Ko=(*(0), *(А),...Д((^-1)А))Т; (2Л89) Q^(RXY(0)yRXy{A)iRXy{2A)^.9RXy((N-\)A))\ (2.190) При построении ко(т) по результатам решения системы (2.187) имеет место сильный разброс значений &(/Д), / = 0, 1,...,Л^-1, обусловленный низкой точно-
140 Методы синтеза CAY по заданным показателям качества. Часть II стью определения RYY (т) и R^ (t) по данным нормальной эксплуатации вследствие малой длительности и нестационарности реализаций случайных процессов X(t) и Y(t), низкой точности измерений и др. В связи с этим уравнение Винера - Хопфа целесообразно решать, используя разложение RYY (т) и Кху (т) по функциям Лягерра. Поскольку уравнение Винера - Хопфа имеет вид интегрального уравнения (2.168), то система алгебраических уравнений, связывающая коэффициенты Фурье разложения функций RYY (т) и R^ (т) по функциям Лягерра с элементами с*0 спектральной характеристики объекта С*0 =(co°>cf°>c20> ••• >cf°) будет иметь вид, аналогичный системе (2.173). Основы такого подхода отражены в [147]. Число членов разложения / имеет смысл, обратный параметру регуляризации [18]. Очевидно, при / —> оо аппроксимация (2.191) v=0 становится сколь угодно точной и факт, характеризующий разброс (2.191) йерегуля- ризованного, решения, сохраняется. При / -» 0 имеет место сглаживание, но аппроксимация (2.191) может быть совершенно неудовлетворительной из-за большой погрешности. Поэтому выбор /, играющий роль параметра регуляризации, осуществляется из компромиссных соображений [18, 147]. Эффект сглаживания с помощью функций Лягерра иллюстрируется рис. 2.70 [18], а роль сглаживания в задаче идентификации показана на рис. 2.71 [59]. 1,0 график сглаженной корреляционной функции график корреляционной функции ' процесса /Ьт(т), найденный путем решения уравнения (2.187) Рис. 2.70. К иллюстрации процесса сглаживания с помощью функций Лягерра
'лава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 1/и_ В качестве начального значения множителя к при аппроксимации временных ха- к >актеристик можно выбрать — = (2-10)Г3, где Г3 - время затухания аппроксими- зуемой функции. Задача идентификации значительно упрощается, если Y(t) - белый шум. В этом :лучае, поскольку RYY (т) = 2тыо8(т), 4(т) = 2Ч(^0(^)8(т^)Л = 2я5Л(т). (2.192) График ko(t\ полученный в результате решения задачи идентификации 40 60 100 80' 0,6 0,4 0,2 ko(t) - график сглаженной ИПФ 0 co(t) -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Рис. 2.71. К иллюстрации процесса сглаживания при решении задачи идентификации с помощью уравнения Винера - Хопфа (в качестве аппроксимирующих полиномов Чебышева, ортонормальные на системе п+\ равноотстоящих точек и определяемые выражением >Л(т) г-1,0 4-0,8 \ J 20 \ / 40 J Ryy(t) / cj 60 80 100 RxyW CXGY /u')~V(«+*+ir>£( ) UJIt-J^t Структурная схема системы идентификации для построения 2nsоко (т) в форме 2^0A0W = Z4<>iv(T) / v=0 представлена на рис. 2.72. ПО RYY(x) = -2nso8(x) Объект управления Блок фильтров Лягерра, имеющих ИПФ^СтХ^т),...,^) Ы01 —Нх| АЛО -Их Ы0 -Нх x(t) й-)* iJ(->* 4 * Рис. 2.72. Структурная схема системы идентификации (2.193)
142 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Известно, что ИПФ, определяемая из уравнения Винера - Хопфа, оптимальна по критерию минимума среднеквадратической ошибки M[(X(t)-XM(t)f] =min, где Хм (0 - выходной сигнал системы с найденной ИПФ путем решения уравнения Винера - Хопфа. В связи с этим легко построить алгоритм расчета элементов спектральной характеристики объекта из следующего условия 1{ФУМ *(/)-£^|Мт)К(/-т)лЦтт. [_ v=0 - о J Су° f)l(rk° rk° гк° гкЛ Из условия — т = 0, / = 0,/ легко получить дск> )x{t))LVx (х)Г (/-т)ЛЛ = If N ^ (т)У (г-т)Л/^а (X)Y {t-\)dX \dt. 0 0 v=OoLo 0 J Обозначая Vv2 = J V (0V {t)dt, Rx,n =}^(0 JVlr {t)A , (2.194) о о легко найти следующую систему алгебраических уравнений Кл7=КлС*°. (2.195) Откуда следует C^RJJR^. (2.196) В зависимостях (2.194) Г- интервал осреднения, а бесконечный предел означает, что фильтр работает в установившемся режиме. Последняя система далее будет получена из других соображений. Если построены RYY(^) и Rxy (t) в форме разложения по функциям Лягерра, то можно построить ПФ объекта управления в виде [18] Ъ,(*)-я-„(,) оК> R^(s)-RyY(s)' [Ryy (т),т<0; ПК' 1^(т),х<0, a R^y (s), R'xy (s), RyY (s), Ryy (•*) - преобразования Лапласа (изображения) от соответствующих функций. Пример 2.17. Положим, что с помощью вычислительных устройств, структурные схемы которых описаны выше, получены следующие результаты (используется один канал и, следовательно, удерживается только нулевой член разложения Lo(x)):
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 143 л*гМ = *2l Ы кх, к2 - масштабные множители функций Лягерра. Преобразуем по Лапласу приведенные выше зависимости; изображения имеют вид: г*гг FT rfyr [Г RYY (s) = ь > RYY \S) = 1—. kx ^jrrW = к » rxy(s) = 1— 5- Отсюда находим ПФ объекта управления к2 2 »;(*)• м-)-^"*^-*1 ИПФ имеет вид Обратимся еще к одному подходу, результаты моделирования которого показали работоспособность и Достаточно высокую точность при решении задачи статической идентификации в условиях нормального функционирования объектов управления [18]. Имеем X(t) = ]ko(*)Y(t-T)dx, или, с учетом спектрального представления ИПФ, *(/)-Zc*.jMT)r(f-T)rfT. v=0 о Поскольку ./v(f) = J Lv{x)Y{t-x)dx - установившийся выходной сигнал v-ro фильтра Лягерра, то *(0=1*лМ- (2.197) v=0 Умножив обе части последнего равенства на Jp(i) и вычислив математическое ожидание полученного произведения, найдем M[x{t)jp{t)\=±ckv*M[jv{t)jp{t)\. v=0 Или, что то же самое, v=0 На практике используется конечное число членов разложения; тогда v=0 или в матричном форме
144 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть И Ryj=RnCk% где RA7 - (Ялу0,Ялу,, Д;^ , •••>^Л7/) I v.p=() (2.198) (2.199) Приближенная спектральная характеристика объекта управления определяется формулой C^RJJRk,, (2.200) совпадающей с зависимостью (2.196). Структурная схема системы идентификации представлена на рис. 2.73. Y(t) Рис. 2.73. Вычислительное устройство статической идентификации динамических объектов в условиях нормального их функционирования Она содержит блок фильтров Лягерра, а также /+1 умножителей и /+1 интеграторов. Детально с описанной системой идентификации можно познакомиться в [18]. При использовании любого метода идентификации необходимо помнить, что решение задачи идентификации поставлено некорректно. Развиваются методы решения некорректных задач, позволяющие алгоритмически осуществлять отбор возможных решений по дополнительной информации о них [18]; среди этих методов наибольшей
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 14^ общностью и возможностями выделяется метод регуляризации А.Н. Тихонова, использующий лищь качественную информацию о гладкости восстанавливаемой функции. В спектральном методе, основанном на разложении ИПФ по ОНБ, неустойчивость решения, свойственная задаче идентификации, проявляется в связи с выбором числа членов разложения /. Для повышения точности восстановления ИПФ необходимо увеличивать /, но при этом проявляются отмеченные особенности и ошибка идентификации возрастает. С другой стороны, при малых / восстановленная ИПФ будет слишком гладкой. Повышение точности и устойчивости результатов идентификации достигают применением ОНБ в сочетании с тестовыми воздействиями и сглаживанием информационных сигналов. Пример 2.18. В [18] исследованы вопросы точности идентификации с помощью подхода, предполагающего нахождение спектральной характеристики объекта по формуле (2.200) Объект идентификации имеет ПФ вида. ,Г(А- 4^ + 1) oV ' 0,012^3+0,252 + 0,95 + l Входной сигнал, поступающий на объект управления, формировался фильтром где £ = 0,5, Т- , / - частота среза. Принимались следующие значения / . 0,25Гц, 0,5Гц, 1Гц, 2Гц Из известных соображений следует, что сигнал y(t), поступающий на вход объекта, отличен от белого шума Значения — принимались равными 2 и 3. В результате проведения эксперимента находились матрицы Rjj и Ryj, а по формуле (2 200) рассчитывалась приближенная спектральная характеристика объекта: С*-=(С*°,с^,Сз\с*°)Т. Поскольку передаточная функция W0(s) известна, то по приведенным выше формулам можно рассчитать точную спектральную характеристику объекта; обозначим ее так c?.=(cfe.^.<4>4,c£)T. Так как С*0 и С*° известны, то относительная погрешность коэффициентов разложения находилась по формуле А_А Av = Cy ^.100%, v = 0,4; CVT а в качестве критерия точности идентификации был принят функционал e=[i(*-cfc)2l:t4 l_v=0 J v=0 Результаты расчетов приведены в табл 2.12. Величина Q во всех вариантах идентификации не превышала 0,005, поэтому можно сделать следующий вывод: изложенный подход является работоспособным и позволяет получить достаточно высокую точность ИПФ объекта управления в условиях нормального его функционирования При идентификации объектов управления с ПФ вида [18] 5(0,2, + 1) 01W " 0,04*40,5.+ 1 И 02^'" 0,01s3 +0,1655 + 0,75* +1 на выходы подавался псевдослучайный двоичный сигнал единичной интенсивности Шаг интегрирования был выбран равным 0,01, а масштабный коэффициент функции Лягерра/: = 1 Результаты экспериментов приведены в табл 2.13 Описанные выше результаты экспериментальной проверки метода подробно изложены в [18] 11 Зак. 366
146 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Таблица 2.12 к/2, с[ Т,с /Гц 4 <£ 4- с",- д. Д3 д.. д5 о Т,с /Гц & с40 А. Д2 Аз А4 А, 0 0,25 1,416 -0,7277 -0,2137 -0,0946 -0,0260 0,61 -3,П -17,5 -39,7 -71,1 0,004015 1 1,420 -0,7184 -0,2646 -0,0954 -0,1121 0,9 -4,4 2,2 -39,2 24,9 0,00210 2 1,407 -0,7515 -0,2591 -0,1568 -0,0898 ЗС 0,5 1,423 -0,7246 -0,2185 -0,1056 -0,0398 1,12 -3,58 -15,6 -32,7 -55,6 0,002917 8 2 1,413 -0,7279 -0,2815 -0,0998 -0,1487 0,45 -3,1 8,7 -36,4 65,6 0,00295 0,25 1,219 -1,068 0,0487 -0,0963 0,0139 -0,1 -0,09 36,6 -23,5 -173,2 0,0008 1 1,228 -1,062 0,0456 -0,1057 -0,0156 0,69 -0,67 27,7 -16,0 -17,8 0,00024 3 1,220 -1,069 0,0357 -0,1259 -0,0198 0,5 1,225 -1,056 0,0568 -0,0969 0,0069 0,46 -1,27 63,7 -23,0 -136,4 0,000845 2 1,229 -1,069 0,0374 -0,1110 -0,0321 0,72 -0,06 4,6 -11,8 69,3 0,00018 Таблица 2.13 J 0 1 2 3 4 6,4815 2,2634 1,2703 0,8244 0,5493 с> 6,4817 2,2648 1,2788 0,8230 0,5480 А% 0,003 0,06 -0,12 -0,17 -0,24 3,0864 -2,7435 -0,9907 -0,1101 0,1402 3,0857 -2,7426 -0,9907 -0,1128 0,1417 Д% -0,02 0,03 0,01 -2,45 1,07 В заключение изложим основные положения метода идентификации, в основе которого лежит понятие модели объекта с настраиваемыми параметрами (рис. 2.74) [135].
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 147 ИоМ «(') Рис. 2.74. Структурная схема системы идентификации с помощью модели с настраиваемыми параметрами: ВКО - вычислитель критерия ошибки; ВП - вычислитель параметров Сущность метода состоит в том, что входное воздействие y(t) подается на идентифицируемый объект и его модель (рис. 2.74). Структура модели объекта с настраиваемыми параметрами с,м учитывает структуру реального объекта. Выходной сигнал объекта х(/) сравнивается с сигналом выхода модели xM(t), и в соответствии с выбранным критерием ошибки z(t) = x(t)-xM(t) осуществляется настройка параметров модели с,м. Структура выбранной модели объекта оказывает большое влияние на точность и скорость настройки параметров, которая в значительной степени определяется взаимосвязью, существующей между ними. Как и в методах, описанных ранее, ИПФ модели объекта представляется в виде Ut)=2>vmLv(t) = (cm)TL(t), v=0 где См =(cq, с[\ ..., С/м) -настраиваемые параметры модели, L(t) = (Lo(t),L, (t), ... ,£/(?)) - одностолбцовая матрица функций Лягерра. Для расчета матрицы См можно воспользоваться методом вспомогательного оператора. Если / = F(s) - критерий, характеризующий степень близости модели и объекта, то имеет место соотношение [135]* с™(п = Х = Х—— , /=0,/, ' U дс? dz dcf где X - некоторый коэффициент. Поскольку E(s) = [wo(s)-Wm(C,s)]y(s), где W0{s) - ПФ идентифицируемого объекта, WM(CM, s) - ПФ модели, представляющей собой каскадное соединение элементов с ИПФ, являющимися функциями Лягерра, то [135] дг дг 11* * В [135] детально изложена теория систем с настраиваемыми моделями
148 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Структурная схема системы идентификации, основу которой составляет последняя формула, имеет вид (рис. 2.75). ВКО Рнс. 2.75. Структурная схема системы идентификации Система идентификации представляет собой вычислительное устройство, осуществляющее следующие операции: • преобразование входного сигнала y(t) звеньями, представляющими собой фильтры Лягерра с ПФ L0(s), L^s), ..., L/0); • дифференцирование сигнала, являющегося выходом элемента, формирующего значение F(e(t))\ • умножение сигналов Z*(/) и Z^/); • интегрирование с коэффициентом усиления X. Из структурной схемы (рис. 2.75) следует, что настройка модели производится независимо по параметрам с$ , cf, ..., с;м . 2.9.4. Алгоритм расчета регулятора Положим, что задана эталонная ПФ замкнутой системы W3 (s); тогда Wv(s)W0(s) >K)-1 + Wv(s)iro{s)' (2.201) где W (s)- ПФ регулятора, W0(.s) - ПФ объекта управления. Поскольку справедливы зависимости W3(s) + W,(S)WKy(s)lV0(s) = lVKy(S)W0(s)
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 149^ то WJ(s) = WKy(s)We{s), (2.202) где Wc{s) = W0(s)-W0{s)W,{s). Обозначая k,(x) = L-x{W3{s%kc{*) = ^{W0{s)-W0(s)W,{s)}, можно записать интегральное уравнение, определяющее ИПФ регулятора: Аэ(0 = }*с(/-т)*ку(т)</т. (2.203) о Предполагая, что A,(0eL2[0,oo), *c(r)6L2[0,oo), к^(t)e £2[0,co), и представляя их в виде v=0 v=0 v=0 легко записать систему алгебраических уравнений для расчета неизвестного вектора С** - (ск" Л Л Л У Эта система имеет вид (см. вывод формулы (2.173)): v,=0v2=0 Как уже говорилось выше, последняя система является треугольной; в этой системе одностолбцовые матрицы г^с _. (Л Л Л с^с f известны. Таким образом, формулой v=0 определены структура и параметры регулятора. Пример 2.19. Пусть объект управления определяется ПФ 1,4 W0(s) = : T^ + ^TZ + Tiy + iT^lT&s + X Г, =0,4; Г2=0,3, £ = 0,4 Переходная характеристика £) нескорректированной системы представлены на рис. 2.76 и 2.77. ь IVUriV 1 Г11Х4Л
150 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Ш 0 2 4 6 8 10 Рис. 2.76. График переходной характеристики нескорректированной системы Л КО 0 2 4 6 8 10 Рис. 2.77. ИПФ нескорректированной системы В качестве эталонной выберем передаточную функцию замкнутой системы вида и^-г-гг2 • s + l,4coo.s + coo причем со() = — , если Гр = 5 , то соо = 1 и, следовательно 11среходная характеристика эталонной системы имеет вид (рис. 2.78). 40 1,5 0123456789 10 Рис. 2.78. Переходная характеристика эталонной системы
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 151 Спектральная характеристика ИПФ эталонной системы, найденная с помощью рассмотренного выше алгоритма, может быть записана так (масштабный множитель функций Лягерра выбран равным 6, т е к - 6 ) 0,1724992 -0,366864661 0,3429111181 -0,236532666 0,126453367 -0,045870733 0,000035366 0,018696084 -0,021080456 0,016116197 С*' = Таблица 2.14 ', с 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0,455438924 0,341804301 0,144212313 0,0239421611 -0,017593526 -0,019108016 -0,010001946 -0,02794425 0,00036925 0,000966217 *э(') 0,015585998 0,454389076 0,342599771 0,146322122 0,022093306 -0,019525404 -0,013159707 -0,004309597 -0,000986046 -0,000178641 -0,0000274 ИПФ k3(t) эталонной системы и ее аппроксимация k3(t) с помощью функций Лягерра (удерживалось 10 членов разложения) представлены на рис. 2 79, дискретные значения приведены в табл 2 14 КС) 0 2 4 6 8 10 Рис. 2.79. Графики ИПФ эталонной системы £э(/) и ее аппроксимация кэ(/) Для реализации алгоритма необходимо знать ПФ Wc (/); она записывается в форме Wc(s) = 3500s2+4900* 90s5 + 59 b4 + 234 b3 + 5205s2 + 5100s + 2500
152 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Запишем спектральную характеристику кс (/) = L~l [Wc (s)}; она имеет вид ' 0,572724874' -0,975829066 -0,173914715 1,012815751 -0,39049937 -0,067170956 -0,070279766 0,100893516 0,045777287 1^-0,070683042, Дискретные значения kt(i) и kc{t) приведены в табл. 2.15. СК = Графики kc(t) и kc(t) имеют вид (рис. 2.80). Таблица 2.15 t, с 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 МО 0 0.958683938 -0 885688855 -0 290145299 -0.147690903 0.00117876 0,026767303. 0,022554218 0,009613417 0,001836034 -0,001039297 Ш -0,039597192 0,966204896 -0,878854658 -0,294748187 -0,1488007781 0,003027259 0,027652086 0,012021285 0,003120536 0,000607778 0,0000975 0 2 4 6 8 10 Рис. 2.80. Графики функций kc(t) и kc(t) Система алгебраических уравнений (2 204) для рассматриваемого примера запишется так
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 153 А,, Аи А22 Г Л 1 А" * \с"Л где А„ = 0,23381 -0,63219 0 0,23381 0 0 0,32738 -0,63219 0,23381 0,48448 0,32738 -0,63219 0,48448 1,-0,5729 А„ = 0,132 -0,5729 -0,0012692 0,132 0,069881 -0,0012692 -0,022501 (,-0,047545 0 О О О О О 0,23381 О 0,32738 -0,63219 0,2338lJ ГО 0 0 0 0} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 о о о о о, 0,48448 0,32738 -0,63219^ -0,5729 0,48448 0,32738 0,132 -0,5729 0,48448 -0,0012692 0,132 -0,5729 0,069881 -0,0012692 0,132 0,069881 -0,022501 0,23381 0 0 0 0 -0,63219 0,23381 0 0 0 0,32738 -0,63219 0,23381 О О 0,48448 0,32738 -0,63219 0,23381 О 1,-0,5729 0,48448 0,32738 -0,63219 0,2338lJ Одностолбцовая матрица, определяющая спектральную характеристику регулятора, имеет вид (0,737762982^ 0,425744646 1,584745637 1,148445338 2,35263977 1,899905493 3,110075917 2,655168552 3,866129189 Д410934455, Переходная характеристика и НПФ скорректированной системы практически совпадает с переходной характеристикой и ИПФ эталонной системы (рис. 2.80). Структурная схема скорректированной системы представлена на рис. 2.81. ЮЗак.366 С*" =
154 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II { » Л. Регул . ятор s-k и. ч 2J г , J-- 5 + — 1 ! ш «(') 14 7/+(2Щ+?)|>+(ЗГ+2Й1+1 Объект управления Рис. 2.81. Структурная схема САУ *0 2.10. МЕТОД МОМЕНТОВ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ Метод моментов нашел широкое применение в математике и приложениях, в том числе в теории автоматического управления*. В [4, 5, 125, 126, 127] методом моментов получили решение задачи численного обращения одномерного и многомерного преобразования Лапласа, идентификации и синтеза самонастраивающихся систем. Напомним, что /-м моментом функции x(t) относительно ht(t) системы Н называется интеграл вида ц,=|*(/)йД;)<*> / = 1,2,...,/, (2.205) п где #(/) = {й,(/), / = 1,2,...,/} - моментная система функций, Q - множество, на котором определены функции А, (/) и x(t). Множество М = {\ik : k = 1,/} называется множеством моментов. В предыдущем параграфе подробно рассмотрены аспекты применения моментов ц,- = 1,2,...,/, когда _kt_ Л/(/) = ///2,аО = [0,о)). Показано, что если известны моменты функции x{t) e Z? [0,оо), то эта функция с любой степенью точности в метрике Z2[~0,oo) может быть представлена в виде где ct=Y.Ci]K{t)x{t)dt, (2.206) (2.207) v=0 о * Приложение метода моментов в теории оптимального управления отражено в третьей части учебника.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 155 to причем c/v-элементы матрицы ортогонализации, йД/) = /уе 2,v = 0,l,...,/ -функции моментной системы. Таким образом, окончательная формула, определяющая функцию x(t) через ее моменты, имеет вид [126] /mO L V-0 J Можно ввести в рассмотрение моменты вида [126] 00 ц,-|*(|)Г*Л, (2.208) (2.209) где #(/) = {А, (/) * е~с//, / я 1,2,...,/} - экспоненциальная моментная система. Если известны экспоненциальные моменты вида (2.209) функции x(t) е Z,2 [0,оо), то x(t) может быть восстановлена с любой степенью точности в метрике I? [0,оо). В самом деле, известна следующая теорема (теорема Саса): положим, что KC = qk - комплексные показатели, обладающие свойством: Re% >— и среди них нет равных. Тогда система F. - Ь?к: к = 1,2,...} полна в I2 [0,1] в том и только том случае, если £ReM) *-1 1+ :ОО. (2.210) Если воспользоваться заменой % = е~', то из теорема Саса следует утверждение: система Я|е"?*': к «1,2,...; Imqk > 0> полна в I2 [о,») в том случае, если tfl+lftl2 Ортонормированную систему, порожденную системой экспоненциальных функций, можно записать в виде v щ{1) = с2Хе-«+с21е-2а\ (2.211) Ф/ (0 = C/ie'C' + c/2«f2e' +...+с„е-'с'. Или в матричной форме Ф2(0 с21 с22 0^ e~2cl е~1а (2.212) ю*
156 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Чэсть II В работах В.М. Амербаева [4, 5], а также в книге В.И. Крылова и Н.С. Скобля [65] построен аппарат численного обращения преобразования Лапласа с использованием понятия моментов. В.М. Амербаевым задача обращения преобразования Лапласа сформулирована как классическая проблема моментов Хаусдорфа: по заданным / моментам функции x(t) 00 ^=Jx(/)«-wdff / = U, (2.213) о построить ее приближение *(/), такое, чтобы / первые моменты *(/) совпадали с известными моментами ц/5 / = 1,/ функции *('). Если известно изображение X(s) функции x(t), то очевидна справедливость системы моментных равенств , /-U. (2.214) s=ic ц,=|*(/)в-*Л О Полагая известным изображение X(s) функции #(*)е/,2[0,ао), легко найти мо* менты вида: ? Л И/ =Jrfe 2x(t)A9 / = 0,1,...,/, о 00 li^je'ictx(t)dt9 / = 1,2,...,/ о по следующим формулам Ц, =(-1)'*<'>(*)[_4 ИЛИ Ц, -W(4**> ^-215> а затем построить приближение x(t) в виде разложения по ортонормированному базису [65,126] /=0 Lv=0 - разложение по функциям Лягерра; 1=0 L v=o - разложение по ортогональным экспоненциальным функциям, Этот подход обобщается на многомерное преобразование Лапласа [125], Последними двумя формулами определяется минимизирующий в I? [0,ео) элемент редшия проблемы моментов. Другими словами, норма функций х(() в пространстве I2 [0,оо) является минимальной, т.е. || х ||^2г0 лч= min. Из сказанного выше можно сделать вывод: если известно необходимое число моментов функции x(t) относительно моментной системы Я, то функцию x(t) можно восстановить с любой степенью точности (например, в метрике Z,2 [0,оо)), т.е. Lv(t) (2.216) Ф;(0 (2.217)
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 157_ знание моментов функции x(t) дает возможность ее восстановления с необходимой точностью. В ряде работ рассмотрены вопросы определения моментов звеньев САУ, расчета моментов по данным активного эксперимента и по данным нормальной эксплуатации; сделаны обобщения на системы с распределенными параметрами. В [7, 91] близкое по содержанию понятие получило другую трактовку. Следуя [7, 91], приведем определение; характеристикой мнимых частот процесса *(/)== X(s) называется функция, получаемая в результате придания аргументу изображения X(s) йещественных значений s = st. Очевидно, значения характеристики мнимых частей представляют собой моменты функции x(t) относительно экспоненциальной моментноЙ системы. При практических расчетах удается получить совпадение заданных и полученных характеристик X(s) не во всем бесконечном множестве точек, а лишь в некоторых точках s = sf. Таким образом, при решении конкретных задач используется конечное число моментов Ц,=*(*)и,,/==1,2,..., /. (2.218) В [7, 91] приведена формула, определяющая функцию x(t) по характеристике мнимых частот. А теперь обратимся к задаче синтеза регуляторов с учетом принципиально важного фактора: знание необходимого числа моментов функции x(t) полностью определяет ее во временной области. Приведенное обстоятельство широко используется в тех случаях, когда переход из пространства изображений в пространство оригиналов сопряжен с преодолением серьезных затруднений. Один из примеров - случай, когда изображение не является дробно-рациональной функцией и принадлежит, например, к классу трансцендентных изображений, которым описываются процессы в системах с распределенными параметрами. Очень удобный операционный метод в применении к уравнениям в частных производных приводит к необходимости решения обыкновенного дифференциального уравнения относительно изображения. Отсюда изображение функции X(z,s) будет уже не дробно-рациональным, а трансцендентным. Наличие трансцендентных функций приводит к тому, что оригинал в этом случае находится в виде бесконечного ряда, т.к. число корней характеристического уравнения является бесконечным. Наличие трансцендентных функций в формуле, определяющей X(z9s), в задачах анализа практически не приводит к каким-либо затруднениям при использовании метода моментов. Пример 2.20 [91]. Рассмотрим процессы, имеющие место в телеграфной линии, считая линию однородной, длины / с распределенными постоянными, километрические значения которых: r,Lycyg . Будем исследовать уравнение тока, описывающего переходный процесс в приемном реле, определяемом параметрами г' и V в конце телеграфной линии, полагая, что при включении цепь находится под действием постоянного напряжения Uo. В [91] подробно рассмотрены процессы, имеющие место в исследуемой системе, и приведены соответствующие математические модели. Изображение тока в конце линии при z-\ определяется формулой /(5) = ^2 (2.219) К) pshY/ + /?(5)chy/' * где R(s) = r'+sL' - операторное сопротивление нагрузки, причем
158 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества, Часть II /(0) = /(оо) = 0; /(оо)*/(0). Приведем численные значения параметров [91]: - провод стальной, диаметром d = S мм, - r = 7°^; g = lO-«—L_; £ = 910-^; c-9-l^i; км Ом км км км - длина линии / = 500 км; UQ = 1 В; - приемное реле: г' = 300 Ом; V = 1 Гн. Как указано в [91], попытка найти оригинал /(/) .== I(s) с помощью формулы разложения наталкивается на весьма серьезные трудности. Применение метода моментов значительно упрощает решение поставленной задачи, Можно использовать два подхода. Если ошибка е(/) = i(co) - /(/) е I? [0,оо), то соотношение, определяющее е(/), можно записать в виде ^)-JH^('lLc]h(t). (2.220) «р где ф, (/) - элементы ОНБ, E(s) ==' s(t), причем цу = £($)|^w в Гe(/)e~*Vf - моменты, легко рассчиты- о ваемые по изображению E(s). В [91] рассматривается подход, состоящий в аппроксимации 1(з) дробно-рациональным изображением вида причем Из условия равенства моментов можно записать зависимость . A^L-n*,). *-*. i-ui3. (2.22I) Для отыскания неизвестных коэффициентов имеют место уравнения st{si+W) = F(st)(sf+2Posl+t20), i = \Xl. (2.211) Приведем численные значения рассчитанных параметров [91] 6j=l,125102i; W = 281,7~; p0 -1,125 \02- . ее с Далее рассмотрим вопрос применения метода моментов для решения задачи синтеза регуляторов. Согласно постановке задачи известна эталонная динамическая характеристика: или W3(s) - эталонная передаточная функция, или /*,(/) - эталонная переходная характеристика. В первом приближении в качестве W3(s) или Ьъ(() можно принять характеристики системы второго порядка, что равноценно аппроксимации сложного процесса основной составляющей второго порядка. В необходимых случаях в качестве эталонного может быть принят процесс более сложного вида* Поскольку задача синтеза при регулярных воздействиях заключается в выборе структуры и параметров САУ, которые обеспечивают заданные показатели качества и точности, то исходя из известных соображений определяются типы и варьируемые параметры последовательных, параллельных или последовательно-параллельных корректирующих устройств. Так как W0(s) и структура W^ (s,p) известны, то легко найти ПФ замкнутой системы в виде
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 159 w(s в,Шг+Ьш-Мг-х+...+ь{р) (2.223) где р = (р\,Рг,->Рг) - варьируемые параметры регуляторов, относящиеся к одному или нескольким звеньям и подлежащие определению. Теперь постановка задачи синтеза регулятора методом моментов может быть сформулирована так [7]: Необходимо минимизировать целевую функцию П2 >ы-*ж\'£:У,:£:-:УЫ*) p(j,), (2.224) где Sj = ic - показатели экспоненциальной системы # = {*"*:/ = 1,2,...,/; о О}, / - число моментов, р(^) - весовые множители, при следующих ограничениях: 1) pim<Pi<piM, / = 1,г - ограничения на значения варьируемых параметров Pi, обусловленные условиями их физической реализуемости; 2) А, > 0, где А, - определители Гурвица (/ = 1, п -1) - ограничения на устойчивость системы; 3) Со < С0дон; Сх < С1доп;... - ограничения на коэффициенты ошибок, обеспечивающие требуемую точность системы в стационарных режимах при произвольных медленно изменяющихся воздействиях; 4) а;>0, / = 0,л; y(/t,v|/) = —^—>у(л,ц/°), / = 1,л-1,где у(л,v|/) -параметр, ai-\ai+\ v y характеризующий колебательность (см. табл. 2.16). Это ограничение обеспечивает колебательность tg\|/ не выше заданной tgvj/0 . Таблица 2.16 п 2 3 4 £5 \|/,град 0 4 4 4 4 30 3 3 3 3 45 2 2,41 2,41 2,41 • 60 1 2 2 2 90 0 1 1,41 1,465 Легко заметить, что поскольку „/. )_bm(p)s'»+bm_i(p)sr1+...+b0{p)^ К"Р)-аш(р)4+а_1(р)'4-*+...+а0(Р)- оо оо = \к(т,р)е-*х* = \к{х,Р)е-^х = и, (р), О О 00 a W3(sj)= | K3(x)e~tcx = |Lt^, / = !,/; - моменты ИПФ замкнутой системы с регулятором, a \i* - моменты ИПФ эталонной системы, зависимость (2.224) может быть переписана в виде
160 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Час / 2 /(p) = min]£[|i,(p)-(if] р(*,). (2. А м Итак, в сформулированной постановке задачи исходными данными для реш задачи синтеза регулятора являются: параметры эталонного процесса (эталонная W3(s)); ПФ замкнутой системы, включающая ПФ WQ(s) объекта управления и ^ку is) регулятора с варьируемыми параметрами /?,, / = 1,г ; ограничения на ус чивость (реализуется критерий Раусса); ограничения на искомые параметры pi данная колебательность и, наконец, заданные коэффициенты ошибок. Если в качестве эталонной динамической характеристики задается Аэ (/), то i вая функция принимает вид или, что то же самое, I{p) = min[ixf{p)-^]2p(si)> ■ (2. Рк L J где \xht (р) и ц^э - моменты переходных характеристик синтезируемой и этало! систем. В простейших случаях можно получить систему алгебраических уравнений ви ЬЛрУ +bm_l(p)s'»-i+...+b0(p) - an(p)s°+aMpV-l+- + "o(p) (Д ( причем />г, и решить последнюю методом наименьших квадратов othochtcj неизвестных коэффициентов ПФ W[s). Поскольку Sj = ic, то важным является вопрос выбора значения с (в общем чае можно выбирать значения s]9 s2, s3,..., Sj, не подчиняя закону s, = ic). В [7] рекомендуется следующий подход к выбору значений sl9s29s39...9si предлагается располагать по закону геометрической прогрессии *v=si?'v со знаменателем профессии q = 2. При этом основная часть значений su s2, s$,. должна входить в промежуток 0 < si■ < sx, где W3 fa) может быть выражена в д< Жэ(^,)тах : ^э (^, ) = ^э(^)тах. Как правило, * = 0,2-0,3, если W3(st) - фуш убывающая, и А = 0,7-0,8 - если возрастающая. Рассмотренная задача синтеза регуляторов решается методом нелинейного i граммирования (см. Приложение 2). Варьируемые параметры регулятора опред ются решением задачи нелинейного программирования, заключающейся в мин» зации функционала (2.224) (или функционала (2.226)) при ограничениях 1), 2), 3) при выполнении критерия устойчивости Рауса, применяемого к характеристическ уравнению замкнутой системы. Алгоритм имеет алгебраический характер и нет обходимости интегрировать дифференциальные ураьпгния системы для каждого четания варьируемых параметров или решать систему в конечно-разностной фор\ В [7] детально рассмотрены методы синтеза нелинейных систем, использую
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 161 идентификации класса линейных стационарных объектов. Этот метод целесообразно применять и при решении задачи синтеза регуляторов, когда ПФ объекта неизвестна. Если на вход объекта подать ступенчатое воздействие y(t) = \(t) и зафиксировать в какой-либо форме реакцию h(t), а также положить, что ПФ объекта имеет вид wo = bZsm" a°sn°+a° /"-Чао0 (2.229) причем коэффициенты bf, i = 0,mo и o°, j = 0,no подлежат определению, то указанные коэффициенты могут быть рассчитаны путем решения следующей системы алгебраических уравнений од __о \-e-s''dt i = l,l. (2.230) Моменты *?-/*(') e~sUu / = !,/, (2.231) легко рассчитать, если с необходимой точностью зафиксирована переходная характеристика h(t) (в общем случае вход y(t) может отличаться от ступеньки и выбран в классе наиболее информативных процессов). Поскольку / > п0 + т0 +1, то систему (2.230) с целью исключения влияния шумов и других факторов целесообразно решать методом наименьших квадратов. Пример 2.21. Рассматриваемый ниже пример носит методический характер; его цель - показать основные этапы синтеза регуляторов методом моментов. При полном использовании возможностей метода моментов можно получить решение задачи синтеза сложных регуляторов для объектов высокого порядка, включая и класс нелинейных систем [7] Рассматриваемый ниже пример, иллюстрирует также тот факт, что метод моментов не накладывает ограничений на место включения регулятора. Рассмотрим следующую систему летучих ножниц, описанную в [50, 141] Далее изложим этапы расчета параметров регулятора. 1 -й этап: Построение структурной схемы системы, выбор места включения регулятора, определение его структуры и варьируемых параметров. Рассмотрим случай, когда динамика системы корректируется двумя корректирующими устройствами, одно из которых имеет ПФ ^^(s) и находится в прямой цепи системы, второе с ПФ W^^s) - в цепи местной обратной связи. Структурная схема системы представлена на рис. 2.82. У^ ' ^ /С^ ^ ттг / \ ^ | и/ /_\ |"Т" jC^X I гжг / \ . иг ( _\ V / ^HgK wM f»iW i 2{') Рис. 2.82. Структурная схема следящей системы летучих ножниц
162 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II На структурной схеме Wx (s), W2 (s) и W3 (s) - ПФ элементов, входящих в неизменяемую часть системы, ^1(5) и W^2[s) - передаточные функции корректирующих устройств. Передаточные функции Wx(s), W2(s) и W^(s) определяются зависимостями [50]: w,(*)-k, ;w,(*)=- Л* ;»з(*) = - к. чь (7> + 1)(Г,, + 1)(7)* + 1)(Гм* + 1)' 3W 5(V + 1)(V+1)' Приведем численные значения параметров £W=31,4H/A; А:9А=0,65 радДсВ); 7) =0,002 с; К,/:п=3,9; 7^ = 0,085 с; Гм=0,02с; Кх = 0,0394; /:г = 2,8 В/А; Гг = 0,69 с; Tg = 0,0068 с; /^ = 1,8 Ом; 7^ = 0,0525 с. Построим переходную характеристику объекта управления. Его ПФ имеет вид Wx(s)W2(s)WAs) = Wo(s) = 73178014 0,01256/ +9,1б56 +1616,0755 + 91458,1б54 - +1850386,553 + 1284450052+ 150000005 + 73178014' Переходная характеристика определяется формулой ^(/) = 1-3,6.10-^в-5^+ЗЛ-10^.е-147|-9Д.10^.в^+0,26.в-|7'-0,358-в-К8'- -0,9-е"0-1* •cos(2,49/)-0,434e"0'15' sin(2,49/); график переходной характеристики представлен на рис. 2.83. 4 МО М<) 2 4 6 8 10 12 14 Рис. 2.83. График переходной характеристики объекта управления Для отражения методического содержания подхода, с целью упрощения дальнейших рассуждений и. расчетов выберем простейшие передаточные функции W^s) и W^2(s) корректирующих устройств. Положим, что iytvl{s) = K+-JL - пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-управление); ^куг(5) = —" инерционная жесткая обратная связь. 7^,5 + 1 При решении конкретных инженерных задач учитываются возможности регулятора с точки зрения достижения заданного качества работы системы в переходном и установившихся режимах, "а также пути его реализации. 2-й этап: Нахождение ПФ замкнутой системы с учетом ПФ И^!^) и W^2(s). Если воспользоваться обозначениями: Кр = /?,, Тр = р2, \/Ки = р3» ^ = 1, то ПФ следящей системы летучих ножниц принимает вид b2s2 + bls + b0 . W(s) = a9s9 + а858 + a-fS1 + a6s6 + ass5 + a4s4 + a3s3 + a$s2 + axs + a0 * где
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 163 60 = 73178014; 6, =73178014/>3 + 73178014/?2; ^ = 73178014, а0 = 73178014; а, = 73178014-/?3 +73178014 р2; а2 = 2857400000- ръ р} + 73178014р3 р2 4-15000000 р3; а3 = 262309320 • р3 ■ рх +15000000 • рг • рг +12844500 • ръ\ а4 = 1651577,2р3р1 + 12844500р3/?2 + 1850386,5р3; Л5 = 91458,165 р3 +1850386,5-рург\ а6 = 1616,074р3 + 91458,165/?3р2; а7=9,1623р3 + 1616,07/>3р2; а8 = 0,0125 рг + 9у\6ргр2\ а9 = 0,0125 /?3р2. 3-й этап: В соответствии с параметрами, характеризующими качество работы системы, выбирается или эталонная ПФ W^(s), или эталонная переходная характеристика hy(t) Положим, что Тр <, 7 с; а £ 20%. Выберем в качестве эталонной ПХ, установившееся состояние которой имеет, место при Ту > (6- 7) с . Для описания такого процесса можно воспользоваться зависимостью /t,(/) = l-e-°'5'cos(0,9/). Изображение этой функции имеет вид ад-Ц (*+0>5) s (5 + 0,5)2 + 0,8Г 4-й этап: Составляется система алгебраических уравнений вида 2>(*К 1 1 fo+0,5) ЕМрК st st (s/ + 0,5)2+0,81 (2.232) Рассматриваемый этап требует творческого подхода, поскольку строгих рекомендаций к выбору конкретных значений 4 = J|, s = s2>... нет. В общем случае необходимо выбрать sit / = 1,р по методике, которая изложена выше, причем р > г , т.е. число уравнений вида (2232) больше числа неизвестных параметров. Далее систему алгебраических уравнений можно решить известными методами, например, методом наименьших квадратов. Решение системы (2.232) можно свести к задаче оптимизации известными подходами. В рассматриваемом достаточно простом случае положим *, = 0,4; s2 = 0,8; 53 = 1,2 5-й этап: Решение системы алгебраических уравнений (2232). Приведем результаты решения: р\ = 0,0165; р\ = 0,052; р\ = 8,06. 6-й этап. Анализ скорректированной системы. График переходной характеристики представлен на рис. 2.84. А МО в 10 15 Рис. 2.84. Графики переходных процессов
164 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Если же уменьшить время переходного процесса до Гр «(4-5) с , то перерегулирование достигает 40% (рис 2.85) и в этом случае необходимо выбирать регулятор с другой структурой. ' kH{l) Лэ(0=1-е-'СО5(1-2/) Л, у-Л-/^ *Р(0 5 10 15 Рис. 2.85. Графики переходных процессов (параметрырегулятора р, =0,0066; р\ =0,42; ръ =75,87 ) /> с 20 Пример 2.22. Рассмотрим пример синтеза регулятора системы управления, структурная система которой представлена на рис. 2.86. 4%%| K}+K2-s Регулятор I I I Г I I I м I Неизменяемая часть | ^эму 7J-5+1 ) «2(0 KyS - ^ред 1 1 J 1 1 *(0 Рис. 2.86. Структурная схема системы автоматического управления Параметры системы имеют следующие значения [82] Т№ = 0,5 с; Тх =0,165 с; Кэ = К^К„Кт = 240 . Задача синтеза заключается в нахождении параметров Кь К2, К3, таких, которые обеспечили бы Гр<0,8с, а%<10%. Найдем параметры К]у К2, Къ из условия приближенного равенства ПФ замкнутой системы W(5y- K3K2s + K3K{ г,гда53+(г,+гдв)52+(i+лгэа:2+агэаг3)5+агэаг, эталонной ПФ вида где соо = — = 7,5 . ^W=- coj 53+Зю0$2+3<Оо$ + Сй<) Воспользовавшись методами моментов и полагая sx =0,3; s2 =0,6; 53 =0,9, получим систему алгебраических уравнений вида 0,889 = 72*2 + 240*! 0,36208 + 72*2 + 72*з + 240*ч '
Глава 2» Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 165 0,79383 = 144*,+240/:, 0,85722 + 144А-2 +144*3 + 240*, ' 216*2 + 240*, 0,71178 = — 1,4988 + 216*2 + 216*з + 240*, Решение последней системы приводит к следующему результату *,* = 0,01075; *2 = 0,00552; К\ = 0,000138 . Графики А,(/).—^(j) и Лр(/) скорректированной системы представлены на рис. 2.87. 4 МО 0.8 Об 0.4 0.2- МО МО t, С 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 ^ Рис. 2.87, Графики переходных процессов При решении задачи расчета параметров регулятора в качестве эталона можно выбирать не эталонную передаточную функцию (эталонный оператор), а эталонную переходную характеристику Лэ (/). Пример 2.23. Рассмотрим еще один подход к синтезу регуляторов методом моментов, предложенный в [91]. Положим, что заданно изображение вида X(s) = = J4 > (2-233) Qt4s +p2s +P\S + S где pi и рг - варьируемые параметры. Эталонный процесс задается формулой *.(')' , ,°'32, . (2-234) a\s +a,5 + l Полагая, что *(°°) = дгэ(оо), а в изображении, определяющем эталонный процесс, коэффициенты а\ и д,э также могут меняться исходя из необходимости расположения полюсов изображения X(s) внутри заданной области, чем обеспечивается необходимая степень и запас устойчивости, а также колебательность системы. Из (2.233) и (2.234) имеем 0,32(0,4j3 + p2s2 + p]S + 5) = 1,б(<ф3 + rfs +1) . Отсюда получаем 0,4$3 + p2s2 + р\$ + 5 = 5a2V + 5а? s + 5, или, что то же самое, p2s + рх = 5a\s + 5а,э - 0,452. В соответствии с методом моментов комплексному переменному 5 будем придавать действительные значения 5, = 0, s2 = 0,1; 53 = 0,2; s4 = 0,3; ss = 0,4; $6 = 0,5; 57 = 0,7; л8 = 1,0; л9 = 1,5; $10 = 2,0; su = 5,0; sl2 = 7,0; s,3 = 10,0. Отсюда получаем системы уравнений (первые пять уравнений снабжены весовыми множителями, равными соответственно 10,10,5,3,2):
166 Методы синтеза С АУ по заданным показателям качества. Часть II (2.235) Юр, = 5(ЦЭ; Юр, + р2 = 5(ЦЭ + Sal ~ О»04» 5р, + р2 = 25д3 + 5д2 - 0,08; Зр, + 0,9р2 = 15л,3 + 4,5^ -0,108; 2р, + 0,8р2 = Юа,3 + 4^ -0,128; р,+0,5р2= 5^ + 2,5^-0,1; р, + 0,7р2 = 5д,3 + 3,5^ - ОД96; p,+p2 = 5a,3 + 5a3-0,4; р1+1,5р2 = 5а1э+7,5а2э-0,9; р, + 2р2 = 5д,э + Юя2 -1,6; р, + 5р2 = 5я3 +25л3.-10,0; Pi + 7p2 = 5a,3 + 35fl|-19,6; p,+10p2 = 5fl,3 + 50a|-40,0. Из последней системы можно получить следующие уравнения [91] 24,7р, + 5,0р2 = 123,5а,3 + 25,0а| - 7,778; 5,0р, + 19,44р2 = 25,0fl,3 +97,22^ - 60,33; отсюда следует р,=5л,э + 0,328; p2 = 5fl23-3,18. Теперь характеристический полином изображения, определяющего эталонный процесс, принимает вид Л^(5) = 0,453 + (5^-3,18)52+(5д3 +0,328)5 + 5. Таким образом, характеристический полином эталонного изображения зависит от двух коэффициентов а,3 и а\, которые можно менять из условия обеспечения заданного качества управления. Уравнения э = 3,04 +15,9а,3 э = _0064 аз = 0636 2 25а,э + 1,64 ! 2 определяют соответственно границы области устойчивости и двух асимптот этой границы (рис. 2.88). 1.5 (2.236) 1.0 0.63< 0.5 Обла ль устойчш ости /7Т "г 0,064 Рис. 2.88. Плоскость в координатах аэ и я2, на которой показана граница области устойчивости и область допустимых процессов
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 167 В соответствии с методикой, изложенной в [91], значения коэффициентов а,э = 1,8 и а\ = 0,8 обеспечивают монотонный процесс, при этом р\ = 9,33; р\ = 0,82 . Переходные процессы приведены на рис. 2.89. > 0.28 0.20 0.12 0.04 i *1 /> 10- / / У / / у / / -у к л >^: ^— 4(0 —-; /, с 0.4 1.2 2.0 2.8 3.6 4.4 Рис. 2.89. Графики процессов дс,({) и x(l) 2.11. МЕТОД МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ Основным положением метода является описание регулятора и объекта в пространстве состояний системами ДУ и эквивалентными им матричными операторами. Положим, что объект управления и регулятор имеют соответственно ПФ вида (2.237) .(2.238) На основе ПФ (2.237) и (2.238) легко получить эквивалентные системы в нормальной форме Коши. Например, для (2.237) система имеет вид ^_ = а хм+к°и, / = 1,1%-1; dx, (2.239) — = -, dt где <-i4 -<-24-i —--- —0в-*| +*^и. to to _о lo _о to. К2 ~ °то-2 ~ ап0-1К\ " аПо-2К0 э /-1 /и=0
168 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Аналогичную систему легко записать и для ПФ, определяющей регулятор. Теперь можно записать векторно-матричные ДУ, описывающие поведение объекта и регулятора Х(/) = АОХ + Вои; х = С0Х; (2.240) Хку(/) = Аку(р)Хку+Вку(р)б; w = CKyXKy. (2.241) Во Рис. 2.90. Структурная схема системы автоматического управления Перейдем к рассмотрению спектральных характеристик временных сигналов и динамических характеристик системы относительно выбранного ортонормированно- го базиса Ф(г) = [q>j (/),ф2 (/)>.• -,Ф/ (0]? • Рассмотрим векторно-матричное дифференциальное уравнение (2.240). Перейдем от описания объекта и регулятора векторно-матричными дифференциальными уравнениями к их описанию матричными операторами*. Уравнение (2.239) эквивалентно уравнению с матричным оператором вида: п0 С*' + ]Г А* -С*' = А? -С", / = 1,/7о, (2.242) v=l или I + ^AJ 1с?=АГ-С-. (2.243) v=l Из выражения (2.243) можно определить спектральную характеристику / -го элемента вектора Х(/) 1-1 С*' = "♦I Afv -А"-С", / = 1,«о . (2.244) v=l Следовательно, систему уравнений (2.239) можно записать в виде векторно- матричного уравнения следующего вида: С*2 Af, ^12 АХ аХ 21 А22 AWoi АЛо2 А^ 1"о х 2п0 *ПоПо сх2 с^ А1 0 0 0 ... Л и А2 ... 0 ... 0 0 А^ С" С" ' Теория матричных операторов изложена в главе 9 первого тома учебника.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 169 или где Сх = сх1 сх2 С4 Ах Ах С = Х=А" A«»i •с", Ах22 А"02 ••• АН ••• А2п{) Ах ''' "о"< А" = А? О О О А^ ... О О 0 ... А^ ; с" = с" с" г*. Спектральная характеристика выходного сигнала определяется из соотношения "о или с учетом выражения (2.244) "о C-S4 /=1 1 + 1>; -1 •A;tt.Cw; тогда где 7=1 СХ=А См, -1 /=1 [ 7=1 . Проводя аналогичные преобразования, получим уравнение, связывающее спектральные характеристики сигнала управления м(/), формируемого регулятором, и сигнала ошибки е_(/), причем спектральная характеристика сигнала u(t) будет зависеть от искомых параметров р: 1-1 С»(р) = ^.1 + £А%(р) v=l м •К(р)-с\ или где Си(р) = Ар(^)-СЕ, Ар(р) = ^.1 + ^(р) -1 •а;(р). v=l |_ ц=1 Воспользовавшись структурными преобразованиями, можно найти выражение, связывающее спектральные характеристики входного y(t) и выходного x(t) сигналов: Cx(p) = A{l + A-Ap{p)Jl-A-Ap(PyCx.
170 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Численные значения параметров регулятора находятся из условия г 1{p) = l[xp{',p)-x,{t)fdt^mm (2.245) о при следующих ограничениях: • обеспечивается устойчивость системы; • X(/) е ХП{) V/ е [0,Т], ХП() - заданная область; • u{t) eU] V/ е [0, Г], Ux - заданная область; • рГ<Р1<р^ / = п; • С, < С, доп, где С, - коэффициенты ошибок. Сформулированная задача решается методами нелинейного программирования, причем функционал (2.245), учитывая спектральную форму описания процессов, имеет вид /(р) = }[с^(р)-^]Т.ф(т)-Фт(т).[с^(р)-С^Л. 0 Отсюда имеем I(p) = [c*(p)-Ctj {С*(р)-С*3]. (2.246) Таким образом, в результате перехода к рассмотрению спектральных характеристик временных функций и динамических свойств системы автоматического управления функционал (2.245) свелся к виду (2.246). Это значительно упрощает вычисления, поскольку операции над матрицами и векторами значительно проще реализовать на ЭВМ, чем операции над функциями. Пример 2.24. Рассмотрим канал крена (рис 1 15). Пусть. КЩК, =62, Г, =0,03 с; W^(s) = K + ^; х,(1) = \-е"^; сц=3, Тр=\. В качестве меры близости будем использовать функционал 1(К,К„) = 1[хр(1,КЛ„)-х,(1)~}2А, О где Т - интервал интегрирования Значение Т выбирается значительно превышающим время переходного процесса Пусть Г = 5Гр = 5 Рассмотрим объект управления; запишем его дифференциальное уравнение Тух(1) + х(1) = К„!>К1 ■«(/), (2 247) ИЛИ x(t) + arx{t) = bQ-u(i), где я, = — * 33,3, Ьо = -^-L « 2066,7 Ту Ту Введя в рассмотрение обозначения x](t) = x(t), x2(t) = xl(t), уравнение (2 247) можно записать в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка *.(') = *2(')> x2{t) = b0-u(t)-arx2{t)*
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 171 Последнюю систему уравнений можно записать в виде векторно-матричного дифференциального уравнения Х(/) = А0-Х(/) + В0-и(/), х(/) = С0-Х(/), (2249) где Го *<•>■::!: • ч: -1,j l. -Ц Во = О 2066. ,} ЧЯ В результате Сфуктурную схему системы автоматического управления можно представить в виде, приведенном на рис 2 91 И') +/С>е(0 ууч^Ц (2 250) :''1_го о "I Гсж-1 Го о~| Гс"1 Рис. 2.91. Структурная схема системы автоматического управления Если перейти к рассмотрению спектральных характеристик и воспользоваться аппаратом матричного представления операторов в выбранном ортонормированном базисе, то систему дифференциальных уравнений (2 248) можно записать в виде СХ'=РСХ2, | CX2=^0PCw-a1PCXj,J где Сх' - спектральная характеристика *,(/), СХ2 - спектральная характеристика *2(/), С" - спектральная характеристика u(t), Р - матрица оператора интегрирования. Последнюю систему можно записать в следующем виде. Гс- [с- или ri -р I ГсХ|1_Г° о] |~с Здесь I - единичная матрица Из последнего уравнения находим спектральные характеристики элементов вектора Х(/) |СХ'|_Г1 -Р Спектральная характеристика выходного сигнала определяется следующим образом Cx=dlCx*+d2Cx> . В векторно-матричном уравнении (2 252) спектральная характеристика С" сигнала управления будет зависеть от искомых параметров К и Кн : Си(К,Кн) = [К.\ + Ки?]'Се. Таким образом, спектральная характеристика выходного сигнала также будет зависеть от искомых параметров К и К„ . Тогда функционал (2.246) можно записать в следующем виде: 1(К,КЯ) = [СХ(К,КК)-СХ>]1[С'(К,КЯ)-С'] (2 253) и поставленная задача принимает форму: 1-го о|Гс" PJ [О Ь0Р}[с- (2 251) (2 252)
172 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II 1(К,К„)^> min (2 254) В качестве ортонормированного базиса использовались функции Уолша и удерживалось 32 члена разложения В базисе функций Уолша оператор интегрирования на интервале исследования [0,5] имеет следующий вид (приведена клетка размерностью 8x8) р В качестве начальных значений искомых параметров регулятора были приняты К{> = \, КЦ = \ В этом случае значение функционала (2 253) равно 7(ЛГ°,Л:") = 4,8854 1О"2 . Минимизация функционала (2.253) осуществлялась с использованием алгоритма Нелдера - Мидда - алгоритма безусловной минимизации функции многих переменных Точность расчета задавалась равной 0,01 % В результате решения задачи были найдены следующие значения параметров регулятора АГ* =4,0195 10~2, АГ* =2,7243 10"* , а значение функционала равно /(**,/^5,1736-КГ4 . На рис 2 92 представлены графики эталонного и реального переходных процессов ♦ *э (')»**(') 1,2 2,5 -1,25 0 -0,625 0 0 0 -0,3125 1,25 0 -0,625 0 0 0 -0,3125 0 0 0,625 0 0 0 -0,3125 0 0 0,625 0 0 0 -0,3125 0 0 0 0 0 0 0,3125 0 0 0 0 0 0 0,3125 0 0 0 0 0 0 0,3125 0 0 0 0 0 0' 0,3125 0 0 0 0 0 0 0 1 0,8 0,6 0,4 1,2 График {кальной переходной • характеристики ! График эталонной переходшй 1 j {- —► 0 12 3 4 5 Рис. 2.92. Графики эталонной и реальной переходных характеристик Пример 2.25. Структурная схема системы представлена на рис 2.93 Г Регулятор к S i У Неизменяемая часть Рис. 2.9Э. Структурная схема системы
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 173 Поведение САУ описывается следующей системой дифференциальных уравнений аГи'(') + «(Х') = *2Куе-(') + *Г8'(/) + ^е(/), где входной сигнал регулятора с(/) определяется зависимостью г(1) = у(,)-х(!); y(t) и x(t) - соответственно входной и выходной сигналы системы управления При этом выходной сигнал определяется дифференциальным уравнением fljv(/)+я 2v(f)+«?*'(')+*<>(')=WO+*о»(0 Коэффициенты дифференциального уравнения объекта имеют следующие значения flJ = l, ej=3,l, я,0 = 2,9, а%=3, />,° = 2, />(?=3, £1^=1; aJy=0. Требуется определить оптимальные, в известном смысле, значения коэффициентов Ь™ , bf* , Ь™ дифференциального уравнения корректирующего устройства, которым соответствуют параметры Кл , К , A'j, ПИД-регулятора, исходя из условия обеспечения минимального отклонения выходного сигнала системы дср(/,/?) от эталонного дгэ(/) Эталонный процесс хэ(/) = 1-е~3' задан как желаемая реакция на ступенчатый входной сигнал .уэ(/) = 1(0 • С помощью метода матричных операторов определены следующие оптимальные значения параметров регулятора К*И=(Ь?)* =2,4810, К*=(Ь?)* = 1,4669, К1 = [Ь?)* = 1,5697 В качестве стартовой точки поиска экстремума были взяты следующие значения параметров Ки=0,1, К = \, Кл=0 На рис 2 94 представлены графики эталонного и реального переходных процессов до выполнения оптимизации (стартовая точка) и график для найденных оптимальных значений параметров ПИД-регулятора И') 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Эталрнньф пер6ходн|ый гцЬоцесЬ x,(j) 0 0,5 1 4,5 Рис. 2.94. Эталонный и реальный выходные сигналы системы до оптимизации параметров регулятора и после оптимизации
174 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II 2.12. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В КЛАССЕ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ В предыдущих параграфах были рассмотрены методы синтеза регуляторов в классе стационарных систем. Задача принципиально усложняется, если объект и регулятор имеют переменные параметры, т.е. находится решение задачи в классе нестационарных систем. В настоящем параграфе делаются обобщения рассмотренных в предыдущих параграфах методов, ориентированных на решение задач синтеза регуляторов в классе стационарных систем, на нестационарные системы. 2.12.1. Основные положения принципа динамической компенсации при описании системы и ее элементов импульсными переходными функциями Рассмотрим дифференциальное уравнение системы с переменными параметрами v=0 v=0 Введем в рассмотрение линейные дифференциальные операторы v=0 dt (2.255) Тогда уравнение (2.255) можно записать так Lx(p9t)x{t) = Ly{p9t)y(t). (2.256) Последнее уравнение в символической форме принимает вид [141] x(t) = L? (p,t)Ly (p,t)y(t) = Ay{t). (2.257) Из (2.257) следует, что выход системы x(t) является результатом воздействия оператора А на вход y(t). Оператор Е] = Lx (/?,/) = 1 обычно называют интегрирующим, а опера- Lx(p,t) тор Е2 = Ly(p,t) -дифференцирующим. Можно ввести в рассмотрение обратные операторы. Если АВ = I, где I - единичный оператор, то оператор В называют обратным по отношению к оператору А ; тогда АА~]=1. (2.258) В частности, обратными друг другу являются операторы интегрирования и дифференцирования. Lx(p,t) Рис. 2.95. Последовательное соединение обратных друг другу операторов Если два нестационарных элемента описываются уравнениями (рис. 2.95) Lx(p,t)x](t) = Ly(p,t)y(t) и Ly(p9t)x(t) = Lx{p9t)xx(t),
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 175 „ ММ то первому из них соответствует оператор А = ———- Lx(p,tY а второму - оператор A~] = Lx)Pjt\ . Тогда xx(t) = Ay(t) и *(/) = Л"1х1(/) = у4"1^(/) = Iy(t); отсюда ММ *(/) = ,(')• После введения понятия оператора системы с переменными параметрами легко сделать постановку проблемы синтеза регулятора нестационарной системы, рассматривая в качестве примера конкретную задачу. На вход системы (рис. 2.96) поступает полезный нестационарный случайный сигнал m(t) и нестационарная помеха n(t). г 1 1 + П 1 1 | 1 1 1 1 _ У i, Корректирующее устройство с оператором А^ «(0 А3 Нестационарный объект -i с оператором Ао Рис. 2.96. Структурная схема системы Статистические характеристики сигналов m(t) и n{t) известны: Rmm(t\,t2), Rnn(t\,t2) ~~ корреляционные функции соответственно полезного сигнала aw(/) и помехи /?(/) (положим, что m(t) и n(t) - не коррелированны). В рассматриваемой задаче полагаем известными и уравнения, описывающие динамику нестационарного объекта. Задача заключается в нахождении структуры и параметров нестационарного корректирующего устройства, такого, которое обеспечивало бы выполнение следующего условия MUm(t)-X(t)f~\-> min. Решая уравнение Винера- Хопфа, можно найти эталонный оператор А3 замкнутой нестационарной системы. Таким образом, в рассматриваемой постановке задачи А3 и Ао - известны, а Аку подлежит определению. В §1.4 приведено решение поставленной задачи в терминах принципа динамической компенсации; оно имеет вид AKy=A-o](l-A3j]A3. . (2.259) С использованием введенных выше дифференциальных операторов, определяющих оператор А, задача синтеза сводится к нахождению Lu (p,t) и Lz (p,t), определяющих дифференциальное уравнение Lu(p,t)u(t)=Le(p,t)z(t). (2.260) Тогда и(г) = Ау£(') = С» (Л'К (А'МО • (2-261)
176 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Реализация рассмотренного подхода связана с преодолением значительных трудностей; получение конструктивных результатов возможно лишь в простейших случаях. Рассмотрим решение поставленной задачи с использованием аппарата импульсных переходных функций. ИПФ разомкнутой системы, включающей последовательное соединение регулятора и объекта управления, определяется зависимостью [141] т где £ку(/,т) - ИПФ регулятора; к0 (/,т) - ИПФ объекта управления. Предварительно отметим, что наряду с обратными операторами можно ввести в рассмотрение и обратные ИПФ (рис. 2.97). l*i (О у(') = Ь(1-х) *М *"М *(') = 6(/-т) Рис. 2.97. К определению понятия обратной ИПФ Имеем х(/) = |л-(/,т)х1(т)Л = |/:-1(/,л)/:(л,т)^Л. (2.263) О т Поскольку элементы являются обратными, то *(/) = |*-1(/,л)*(л,т)</п = 5(/-т), следовательно J*(/,T,)*-0b*)*l = 5(/-T). т Из (2.262),умножая обе части на к~ (/,т) и интегрируя, найдем t i п или т Соответствующая структурная схема имеет вид (рис. 2.98). Рис. 2.98. К задаче нахождения ИПФ регулятора (2.264)
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 177 В задаче синтеза в качестве эталонной задается ИПФ замкнутой системы k(t,i); она связана с ИПФ кр (t,x) очевидной зависимостью *(м) = Ар(/,т)-|Ар(М1)*(п,т)^П. (2.265) Последнее соотношение представляет собой интегральное уравнение, позволяющее найти ИПФ k(t,x) замкнутой системы по ИПФ kp(t,x) разомкнутой системы управления. Алгоритм синтеза регулятора включает следующие этапы: • задание из соображений обеспечения заданного качества работы системы эталонной ИПФ k3(t,x) замкнутой САУ (например, она может быть найдена путем решения уравнения Винера- Хопфа); • нахождение эталонной ИПФ £р(/,т) разомкнутой системы путем решения интегрального уравнения t k,(t,x) = k;(t,x)-jk;(t,r\)k,(r\,x)dr\; (2.266) расчет ИПФ регулятора по формуле Агку(/,т) = |Л:рэ(л,т)А0-1(/,п)^. (2.267) С учетом сказанного структурная схема системы с регулятором может быть представлена так (рис. 2.99). ИО+к*!6*' <да. *РЭМ Регулятор —Р *о"М I I Объект i i ! , , i I i *оМ I I I • I -— ' , , j М''т) х{1) Рис. 2.99. Структурная схема нестационарной системы с регулятором с ИПФ к^ (/,т) Как и в предыдущих случаях, в которых рассматривались стационарные системы (§2.2), при решении задачи синтеза регуляторов в классе нестационарных систем имеет место принцип динамической компенсации. Трудности реализации подхода, использующего аппарат ИПФ, состоят как в необходимости решения достаточно сложных интегральных уравнений, так и в отыскании и реализации обратных импульсных переходных функций. 2.12.2. Основные положения принципа динамической компенсации при описании системы и ее элементов матричными операторами Достаточно конструктивное, с вычислительной точки зрения, решение задачи синтеза регулятора с использованием принципа динамической компенсации позволяет получить аппарат матричных операторов (см. главу 9, том 1). В терминах метода матричных операторов задача синтеза может быть сформулирована так: найти матричный оператор корректирующего устройства из условия 13 Зак 366
178 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II равенства матричного оператора замкнутой системы эталонному матричному оператору. Приведем основные этапы синтеза системы методом матричных операторов: • определение эталонного матричного оператора Аэ замкнутой системы, • определение эталонного матричного оператора А3р разомкнутой системы и матричного оператора корректирующего устройства; • реализация схемы корректирующего устройства, имеющего требуемый матричный оператор. В общем же случае эталонный оператор замкнутой системы Аэ выбирается из условия обеспечения необходимого качества работы САУ. Найдем матричный оператор эталонной разомкнутой системы, полагая, что известен матричный оператор эталонной замкнутой системы (рис. 2.100). Имеем A3=a;(i + AJ)"\ (2.268) су 1 1 ! Ч 6(0 р' К 1 1 | *(0 !QX Рис. 2.100. Структурная схема эталонной нестационарной системы Умножим левую и правую части последнего выражения справа на матрицу I + Ар и, приняв, что (i + Ар ) (i + Ар ) = I (I - единичная матрица), получим a'(i + a;)=a;. Отсюда находим АЭ , А Э а Э А Э + А Ар = Ар, или, что то же самое, A3=A>-A>A'=(I-A>)a>. Теперь легко записать выражение для эталонного матричного оператора разомкнутой системы A^I-A^A3. (2.269) Теперь структурная схема эталонной системы принимает вид, представленный на рис. 2.101. y(t) с? Г Аэ 1 0 -А')"'А1 ■ ! с Рис. 2.101. Структурная схема эталонной системы На рис. 2.102 представлена структурная схема нестационарной системы, включающая объект и регулятор.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 179 ЛО С е(0! <8h^ п С£ Аэ Аку «(/) Ао (i-a')-'a' = a; x(t) —► с1 Рис. 2.102. К постановке задачи коррекции Пользуясь структурными преобразованиями, получим зависимость (рис. 2.102) А0Аку=(1-Аэ)-1Аэ. (2.270) Отсюда находим (см. формулу (2.259)) Аку=(А0)-1(1-Аэ)-1Аэ=(А0Г1А^. (2.271) Из последней формулы легко заключить, что матричный оператор корректирующего устройства состоит из двух частей: первая часть включает Ар и определяется зависимостью (2.269); вторая же часть имеет оператор, обратный оператору объекта. Поскольку для Ар справедлива формула (2.269), то структурная схема скорректированной системы может быть представлена в виде, изображенном на рис. 2.103. г— i i i . i i i i Регулятор (■-*•)■ Аэ -ку (А0Г А=1 Объект i i i x(t) —► Рис. 2.103. Структурная схема скорректированной системы Изложенный метод синтеза регуляторов реализует принцип динамической компенсации в спектральной области [83]. Следуя [84], сделаем некоторые пояснения. Реализация принципа динамической компенсации с целью решения задачи синтеза корректирующего устройства для сложных систем (см. пример в §2.7) может оказаться очень трудной; схему решения задачи можно значительно упростить, если воспользоваться алгоритмом декомпозиции [84]. Содержание алгоритма декомпозиции иллюстрируется примером, представленным на рис. 2.104. После определения алгоритма декомпозиции последовательно рассчитываются операторы звеньев, получаемых в результате объединения звеньев с известными операторами и содержащих корректирующее звено, в том числе (на заключительном этапе) оператор этого звена. При этом необходимо решать все или некоторые из следующих задач [84]: • звенья 1 и 2 соединены параллельно; известны их операторы; требуется найти оператор соединения в целом; • звенья 1 и 2 соединены последовательно; известны их операторы; требуется найти оператор соединения в целом; • звено с известным оператором включено в циклическое соединение; требуется найти оператор этого соединения; з*
180 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II звенья 1 и 2 соединены параллельно; известны операторы звена 1 и соединения в целом; требуется найти оператор звена 2; звенья 1 и 2 соединены последовательно: звено 1, за ним звено 2; известны операторы звена 1 и соединения в целом; требуется найти оператор звена 2; в той же схеме соединения известен оператор звена 2; требуется найти оператор звена 1; звено 1 охвачено положительной обратной связью; известен оператор этого циклического соединения, требуется найти оператор звена. Задача ч J 1 ч / К ' \ 2 ■ 3 ' \7 V \ А Свертывание 1 —► i 4 2 Б. Декомпозиция 4 -?► 3 К J \ 7 ч / т 6 Л Л 4 I/ \ N 7 I/ M -И»^ / \ -и8^ \7 "Им "-► 7 7 1Л z7 Ч^ 7 5 Л Рис. 2.104. К определению алгоритма декомпозиции: | | - звенья с известньши матричными операторами; К - корректирующий фильтр, I - звенья, содержащие корректирующий фильтр Все эти случаи представлены на рис. 2.105, где диагональными чертами помечены звенья, характеристики которых подлежат определению.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 181 -й ф^-нЕ>** X й X -с -► 1 т -► ч / -► 1 \ / / \ ► т ч" 2 ■► 1 Рис. 2.105. Элементарные задачи вычисления матричных операторов и вычислений: | |- звенья с известными матричными операторами, \^^\ - звенья, матричные операторы которых подлежат определению -Hg>- 4 • т Л т / \ *ч~~ / \ \ / / \ Б Декомпозиция \7 6 / \ N 7 6 Х\ ¥тСГ ■^►-^S)^ т \ У 4 V \ \ 7 ^7 ■^ 1 Рис. 2.106. Сложный случай определения алгоритма декомпозиции: П I - звенья с известными матричными операторами, \^^\ - звенья, матричные операторы которых подлежат определению; К- корректирующий фильтр
182 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II Решение перечисленных задач с использованием аппарата матричных операторов затруднений не вызывает. Как указано в [84], в процессе последовательного определения матричных операторов неизвестных звеньев могут возникнуть случаи, когда корректирующий фильтр содержится одновременно в двух звеньях. В этих случаях процедура расчета усложняется и приводит к необходимости решения дополнительных задач. Это иллюстрируется примером, приведенным на рис. 2.106. На первом этапе декомпозиции можно получить последовательное соединение с двумя неизвестными звеньями. Используя преобразования 2-4, матричный оператор звена 6 можно выразить через оператор звена 3. Далее надо обратиться к задаче 1. Теперь она уже может быть решена, т.к. остается одно неизвестное - матричный оператор звена 3. Решив эту задачу, переходим к задаче 5, которая дает решение задачи в целом - определяется матричный оператор регулятора. О степени эффективности принципа динамической компенсации применительно к классу нестационарных систем можно отметить следующее: КУ является всегда сложным, поскольку должно включать две части: компенсирующую, описываемую оператором, обратным оператору объекта, и эталонную (описывается оператором разомкнутой эталонной системы). Техническая реализация звена с оператором, обратным оператору объекта, очень сложна. При его реализации необходимо учитывать не только формальное описание, но и физику процессов, протекающих в объекте. Оператор (Aq)"1 в общем случае включает в себя матричные операторы дифференцирующих звеньев и операторы умножения. 2.12.3. Оптимизационный метод синтеза регуляторов во временной области Предварительно необходимо отметить, что применение оптимизационного принципа синтеза регуляторов, предполагающего достижение приближенного равенства (например, в L2 [0,Т]) реального выходного сигнала x?(t,pup2,...,pr) к эталонному процессу с использованием формулы (1.52), трудно реализуемо, поскольку в общем случае обратный оператор замкнутой системы неизвестен (см. §1.4). Поэтому при решении задачи синтеза регуляторов в классе нестационарных систем целесообразно пользоваться оптимизационным принципом, предполагающим достижение приближенного равенства правых и левых частей операторного уравнения, описывающего динамику скорректированной системы (см. формулу (1.53) в §1.4). Если дифференциальное уравнение регулятора записать в виде |>r(0«(v)=ZTOeW> (2-272) v=0 v=0 где ^(o-i/^w. '=°'"'; v=l то параметрами, подлежащими расчету, являются (2.273) с*1' i = 0, /7i; v = 1,/; \ . _|_ 1_ (2.274) с%', / = 0,m,; v = l,/.
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем \83_ Таким образом, число неизвестных параметров определяется зависимостью r = /x(/?j +l) + /x(/wj +1). Неизвестные параметры будем обозначать через pi, / = \9г . Если Ао - оператор объекта, Аку(р],р2,...,рг) - оператор последовательно включенного регулятора, то выходной сигнал системы при подаче на вход у3 (/) определяется зависимостью хр(*>Р\>Рг> — >Рг) = Г / \-П~] (2-275) = [ЛЛу(а>л>--->а)(/ + 4Лу(а>А2>---'А-)) J ^э(0- Тогда неизвестные параметры регулятора pl9 р2, ..., рг могут быть определены путем минимизации квадратичного функционала, т.е. т •/(/?,, /?2>--->/v) = J{*p {*>Р\>Рг> ->Рг)-хЛ*)^л = о Т f = lU3(t)-^A0AKy(pup2,...,pr)(l+A0AKy(pup2,...,pr))'i^ y3(t) О ' v ' [ Xp(t,P\,P2*-,Pr) —> min . Последнюю зависимость можно рассматривать как общий подход к решению поставленной задачи. Приведем конкретные соотношения. Положим, что с помощью известных методов [84] получено уравнение замкнутой системы с учетом уравнения регулятора в виде /7-1 x(")(t,pl,...,pr) + y£dav(t,pl,...,pr)x(v)(t,pl9...,pr) = v=1 (2.277) = Zbk(t,P],...iPr)yM(t). Этому уравнению эквивалентно интегральное уравнение т x(t9pl,...,pr) + lKx(t,T9pu...,pr)x(x,p],...9pr)dT = т ° (2.278) = j Ky(t9z9pl9...9pr)y(x)d^9 .2 dt-> (2.276) где Кх(^Рь...,Рг) = ^-±^^ Ky(t9T9Pl9...9pr) = Y,( ,ч, , k\bk(*>P\>->Pr)(t-t)n~l I причем P\, p2, ...,pr - неизвестные параметры регулятора. Поскольку эталонные входной сигнал y3(t) и выходной процесс x3(t) известны, то можно записать соотношение, определяющее невязку:
184 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть II E(t,pb...,Pr) = x3(t) + JKx(t,T,p]9...,pr)x3(T)d'z- 0 (2.279) -|^(М,Д,...,л)^э(т)Л. о Для нахождения неизвестных параметров ри ръ ..., рг можно воспользоваться методами нелинейного программирования; алгоритм имеет вид: т /(/?,, p29...9pr)=\E2(t9pl9p29...;pr)dt = min (2.280) о Л при ограничениях, определяемых содержанием рассматриваемой задачи. Многие положения, изложенные в §2.7, справедливы и для рассматриваемого случая. Для получения соотношения, определяющего невязку, может быть использована зависимость вида о v=o -^av{t,p,...,Pr)xf){0)-f-. v=0 *=v V /• В последней формуле неизвестные коэффициенты pl9 р2, ..., рг не находятся под знаком производной, что упрощает алгоритм расчета Вместе с тем требуется знание п -ой производной от эталонного выходного сигнала z3 (t) = xy (t), причем выходной процесс хэ (/) может быть отличен от переходной характеристики и включать соответствующие производные при t = 0 . 2.12.4. Метод моментов В соответствии с формулой (1.55) (см. §1.4) при наличии зависимости (2.279) неизвестные параметры определяет следующая система алгебраических уравнений т JE(t9Pl9p29...9pr)fk(t)dt = 09 *=п; 1*г. (2.281) о Если / = г , то имеет место система алгебраических уравнений; если же / > г, она может быть решена методом наименьших квадратов. Задача может быть решена методами математического программирования; алгоритм имеет вид / т' /(/?,,р2,...,/?г) = У ( *=i о хэ(*)+ |*,(/,т,Д,...,рг)дгэ(т)Л \fk{t)dt- I -JKy(t^P]i...,pr)y3(T)dTfk(t)dt о (2.282) = Е[цИа>'">/>г)-^э(Р1>-">/0] =™п>
Глава 2. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных систем 185 где О Т t fk(t)dt, * = 1,/; И*ЭЫ = ||^(^т,л,...,рг)уэ(т)Л.Л(/)Л, * = 1,/, о о при ограничениях, диктуемых содержанием конкретной задачи. 2.12.5. Метод матричных операторов Все положения, изложенные в §2.11, справедливы и для рассматриваемого случая; отличие заключается лишь в том, что в алгоритм дополнительно вводится матричный оператор умножения (см. главу 9 в 1-ом томе учебника). 2.13. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В КЛАССЕ ОДНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 2.13.1. Принцип динамической компенсации Здесь рассматривается класс систем, задачи синтеза которого излагаются на единой методологической основе, какой является описание систем функциональными рядами Вольтерра [25, 51, 109]. Теория, в основе которой лежат ряды Вольтерра, называемая обычно аналитической теорией нелинейных систем, имеет целый ряд привлекательных черт: она применима для решения широкого круга нелинейных задач и опирается на строгий математический аппарат [25, 51, 109]. Понятия ИПФ и ПФ, которые являются эффективным инструментом анализа и синтеза линейных систем, распространяются и на нелинейные системы - тем самым вносится методологическое единообразие при построении методов расчета и проектирования систем в рамках аналитической теории. Рассмотрим основные положения задачи синтеза регуляторов, пользуясь аналитической теорией нелинейных систем (детальное изложение этой теории можно найти в [25, 51, 109]). Структурная схема нелинейной системы автоматического управления представлена на рис. 2.107. ► Нелинейный регулятор «(/> Нелинейный объект управления *(<) Рис. 2.107. Структурная схема САУ Положим, что элементы САУ (рис. 2.107) описываются рядами Вольтерра: оо t ' t v=l 0 0 - ряд Вольтерра, описывающий поведение регулятора; 00 t t ^(^) = 2I J--J^o(Ti'T2--^)е(/~т1>(/-т2)...е(/-т/)^/т1с/т2 ...d/x, '=1 0 0 - ряд Вольтерра, описывающий поведение объекта; 00 t t Х^) = 2 J**'J^^Tl'T2---^)8(r~Tl>(/-T2)---e(/-^)^Tl^T2---^' 7=1 О О 12 Зак. 366
186 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества Часть II x{t)^\-\k"(xux2,...xp)y{t-xx)y{t-x2)...y{t-xp)dx,dx2...dxp Л=1 О О - соответственно ряды Вольтерра, описывающие поведение разомкнутой и замкнутой системы. Воспользовавшись понятием многомерной передаточной функции (1-й том учебника), определяемой зависимостью 00 00 W{sus2,...,sn)=j-jk(xl,T2,...zny^e-s^...e-^dxldT2...d4, О О можно заключить, что в рассматриваемой задаче имеют место следующие передаточные функции: И^Ы> ^к2у(*М2)> W^y(s],s2,s3)y...,W1Zy(sx,s2,...,sv) - ПФ регулятора; ^o(5i)> wo{s\>s2)> ^o{s\^s2^s3)y^K{sbs2^"^si) - ПФ объекта управления; fl'pfci), W^(s],s2)9 W*(s],s2,s3),..., Wj(s]9s2,...,Sj) -ПФ разомкнутой системы; W{(s}), W2(sbs2), W3(sl,s2is3),..., Wp (sus2,...,sp} - ПФ замкнутой системы. Задача синтеза регулятора заключается в нахождении его передаточных функций, таких, чтобы замкнутая система обладала эталонными динамическими характеристиками. Таким образом, постановка рассматриваемой задачи полностью совпадает с задачей синтеза регуляторов в классе линейных систем. Предполагается, что неизменяемые элементы системы (объект управления) представляют собой соединение линейных инерционных и нелинейных безынерционных звеньев. При этом линейные элементы предполагаются минимально-фазовыми, а нелинейные - аналитическими функциями, имеющими обратные для всех в