ОБЩЕЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К УЧЕБНИКУ
ПРЕДИСЛОВИЕ К 1-МУ ТОМУ
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АББРЕВИАТУР
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, УСТОЙЧИВОСТЬ, ТОЧНОСТЬ ОТРАБОТКИ СИГНАЛОВ
1.1.3. Типовая функциональная схема САУ. Классификация систем
1.1.4. Математические модели систем; оператор системы
1.2. Математическое описание линейных стационарных систем: передаточная функция системы
1.4. Математическое описание линейных стационарных систем: импульсная переходная функция системы
1.5. Математическое описание линейных стационарных систем: частотные характеристики системы
1.6. Элементарные звенья стационарных систем и их динамические характеристики
1.7. Некоторые выводы, основанные на анализе частотной и временной форм описания систем
1.8. Передаточные функции, импульсные переходные функции, частотные характеристики систем с распределенными параметрами и с запаздыванием
1.9. Исследование линейных стационарных систем автоматического управления: постановка задачи
1.10. Устойчивость линейных стационарных одномерных систем. Необходимые и достаточные условия
1.11. Алгебраические критерии устойчивости
1.11.2. Критерий Гурвица
1.11.3. Критерий Льенара – Шипара
1.12. Методы исследования точности работы систем в установившемся режиме
1.12.2. Приближенное исследование точности работы системы в установившемся режиме
ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, УСТОЙЧИВОСТЬ
2.1.2. Понятие ИПФ ЛНС и ее основные свойства
2.2. ИПФ ПРОСТЕЙШИХ ЗВЕНЬЕВ И ИХ СОЕДИНЕНИЙ
2.2.2. ИПФ основных соединений
2.3. Описание и исследование ЛНС с помощью преобразования Лапласа и Фурье
2.3.4. Понятие нормальной и бичастотной передаточных функций
2.5.1. Устойчивость ЛНС относительно начальных условий
2.5.2. Устойчивость ЛНС относительно управления
2.5.3. Устойчивость ЛНС на конечном интервале
2.5.4. Устойчивость на конечном интервале по отношению к начальным условиям
2.5.5. Устойчивость на конечном интервале по отношению к управлению
ГЛАВА 3. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
3.2. Фундаментальная система. Свободные колебания в стационарных и нестационарных системах
3.3 Фундаментальная матрица. Вынужденные колебания в стационарных и нестационарных системах; векторно-матричный интеграл Коши
3.4. Применение преобразования Лапласа к описанию многомерных стационарных систем. Передаточные функции
ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ: МОДЕЛИ, УСТОЙЧИВОСТЬ, ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, РАСЧЕТ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
4.2. Устойчивость и функции Ляпунова
4.3. устойчивость линеаризованных систем
4.4. Задача об абсолютной устойчивости
4.5. Метод априорных интегральных оценок и частотные критерии
4.6. Обобщение задачи об абсолютной устойчивости
4.7. Связь метода Ляпунова с частотными методами
4.8. Интегральные оценки
4.9. Периодические движения и автоколебания
4.10. Метод гармонического баланса
4.11. Метод степенных преобразований
4.11.2. Алгебра степенных преобразований
4.11.3. Иерархия моделей нелинейной системы управления
4.11.4. Анализ устойчивости нестационарных моделей
4.11.5. Сравнение с круговым критерием
4.11.6. Устойчивость неавтономных систем
4.11.7. Устойчивость дискретных систем
4.11.8. Квадратичные связи в стационарных системах
4.11.9. Критерий устойчивости стационарных систем
4.11.10. Сравнение с критерием Попова
4.11.11. Оценки качества
4.12. Метод функциональных рядов математического описания и исследования класса нелинейных систем
4.12.2. Описание нелинейных систем функциональными рядами Вольтерра
4.13. Методы линеаризации математических моделей систем автоматического управления
4.13.2. Линеаризация функциональных преобразователей
4.13.3. Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений
4.13.4. Линеаризация систем нелинейных дифференциальных уравнений
4.13.5. Линеаризация Ньютона – Канторовича
ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ: СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
5.2. Случайная функция и ее вероятностное описание
5.2.3. Стационарные и эргодические случайные сигналы
5.2.4. Спектральная плотность стационарного случайного сигнала
5.5. Алгоритмы анализа динамической точности линейных автоматических систем
5.6. Статистический анализ линейных систем, основанный на описании в пространстве состояний
ГЛАВА 6. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
6.2. Статистический анализ нелинейных систем, описываемых функциональными рядами Вольтерра
6.3. Метод статистической линеаризации вероятностного анализа нелинейных систем
6.4. Численно-спектральный метод статистического анализа нелинейных нестационарных автоматических систем
6.5. Вероятностное исследование нелинейных нестационарных систем методом статистических испытаний
ГЛАВА 7. МЕТОДЫ СИНТЕЗА СТАТИСТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
7.2. Фильтры Колмогорова – Винера
7.3. Оптимальное оценивание состояния
7.3.2. Оптимальная линейная фильтрация по Калману
7.3.3. Уравнение оптимального фильтра
7.3.4. Нахождение оптимальной матричной функции коэффициентов фильтра
7.3.5. Вывод дисперсионного уравнения для оптимального фильтра
7.3.6. Обобщенный линейный фильтр Калмана – Бьюси
7.3.9. Установившиеся свойства оптимального фильтра Калмана – Бьюси
7.4. Статистический синтез оптимальных нелинейных систем, описываемых функционалами Вольтерра
7.4.2. Синтез последовательного нелинейного корректирующего устройства
7.4.3. Синтез встречно-параллельного нелинейного корректирующего устройства
7.4.4. Техническая реализация нелинейных корректирующих устройств
7.5. Оптимизация нелинейных систем при случайных воздействиях с использованием статистической линеаризации
ГЛАВА 8. МЕТОД МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО АНАЛИЗА И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
8.2. Матричные операторы интегрирования, дифференцирования и умножения
8.2.2. Матричный оператор умножения на функцию
8.2.3. Матричный оператор дифференцирования
8.3. Численная реализация методов расчета матричных операторов интегрирования, умножения на функцию и дифференцирования в конкретных ортогональных базисах
8.3.2. Матричные операторы в базисе функций Уолша
8.3.3. Матричные операторы в базисе блочно-импульсных функций
8.5. Метод расчета матричных операторов систем в пространстве состояний с использованием матричных операторов дифференцирования и умножения
8.6. Метод расчета матричных операторов систем с помощью матричных операторов интегрирования и умножения
8.10. Алгоритм детерминированного и статистического анализа САУ, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями с полиномиальными коэффициентами
8.11. Алгоритм детерминированного и статистического анализа САУ, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями с экспоненциальными коэффициентами
8.12. Алгоритмы решения задачи оптимальной фильтрации нестационарных случайных процессов
8.13. Формирующие фильтры
8.14. Решение обратных задач динамики методами конечномерной оптимизации
8.14.3. Алгоритм решения задачи слежения: воспроизведение эталонной выходной вектор-функции
8.14.4. Алгоритм решения задачи слежения: воспроизведение эталонного вектора состояния
8.14.5. Алгоритм решения нестационарной задачи слежения
8.15. Реализация алгоритмов спектральных методов в среде пакета MATLAB
8.16. Автоматизированное проектирование САУ
ГЛАВА 9. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ: ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
9.1.3. Классификация объектов, задач и методов идентификации
9.1.5. Подходы к решению задачи идентификации
9.2. Детерминированная идентификация линейных стационарных объектов, основанная на решении уравнения 1-го рода методом механических квадратур
9.3. Детерминированная идентификация линейных объектов, основанная на решении уравнения 1-го рода спектральным методом
9.4. Принципы статистической идентификации линейных стационарных объектов, основанные на решении интегрального уравнения Фредгольма1-го рода
9.5. Описание и идентификация нелинейных систем методом Винера
9.6. Оценка параметров нелинейных систем методами фильтрации
9.7. Оценка параметров нелинейных объектов методом наименьших квадратов с использованием теории чувствительности
ГЛАВА 10. ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
10.1.2. Дискретные системы
10.1.3. Непрерывно-дискретные системы
10.1.4. Дискретно-непрерывные системы
10.2. Передаточные функции элементарных и типовых звеньев
10.3. Характеристики соединений непрерывно-дискретных звеньев
10.4. Уравнения для определения передаточных функций
ГЛАВА 11. АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
11.2. Метод расчёта непрерывно-дискретных систем при случайных воздействиях
11.3. Непрерывно-дискретные системы с многократным синхронным прерыванием
11.4. Анализ непрерывно-дискретных систем с особой точкой
11.5. Системы с периодической коммутацией параметров
11.6. Замечания об устойчивости непрерывно-дискретных систем
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. МНОГОМЕРНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛАМИ ВОЛЬТЕРРА
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАНДАРТНОГО ИНТЕГРАЛА
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Текст
                    МЕТОДЫ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Цикл учебников и учебных пособий
основан в 1997 г.
Под общей редакцией заслуженного деятеля науки РФ,
доктора технических наук, профессора
К.А. Пупкова


МЕТОДЫ КЛАССИЧЕСКОЙ И СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Учебник в трех томах Т0М1 АНАЛИЗ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Под редакцией заслуженного деятеля науки РФ, доктора технических наук, профессора Н.Д. Егупова Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по машиностроительным и приборостроительным специальностям Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2000
УДК 681.5:681.3(075.8) ББК 14.2.6 М54 Рецензенты: 1. Академик РАН Е.П.Попов; 2. Кафедра автоматических систем Московского института радиотехники, электроники и автоматики (заведующий кафедрой, член-корреспондент РАН ЕД. Теряев). Авторы: Д-р техн. наук, проф. К А. Пупков, д-р техн. наук, проф. АЖБаркин, д-р техн. наук Е.М. Воронов, д-р техн. наук, проф. НД, Егупов, канд. техн. наук, доц. ВТ. Коньков, канд. техн. наук, доц. В.Н, Пилишкин, канд. техн. наук, доц. В.И. Сивцов, д-р техн. наук, проф. А.И. Трофимов, д-р техн. наук, проф*. Н.В. Фалдин М54 Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т. 1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. - М: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000, - 748 с, ил. ISBN 5-7038-1578-9 (T.I) ISBN 5-7038-1579-7 В первом томе учебника изложены основные положения классической теории автоматического управления: основные понятия и принципы управления, методы математического описания стационарных, нестационарных и нелинейных непрерывных систем и исследования их устойчивости и качества процессов управления; подробно рассмотрен метод пространства состояний. С необходимой степенью глубины приведены разделы статистической динамики линейных и нелинейных систем и описаны методы фильтрации сигналов (фильтры Колмогорова - Винера, фильтры Калмана - Бьюси). Значительное внимание уделено построению алгоритмов для ЭВМ, рассчитанных на применение при решении задач расчета и проектирования сложных САУ. Показана возрастающая роль функционально-аналитических методов, языка и результат тов функционального анализа. Отдельная глава посвящена изложению методов идентификации линейных и нелинейных объектов управления. Большинство глав сопровождается задачами, решение которых помогает глубже усвоить излагаемый материал. С достаточной полнотой изложен материал, связанный с описанием и анализом непрерывно- дискретных систем. Материал является частью общего курса теории автоматического управления, читаемого студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана, ТулГУ, ОИАТЭ и других вузов, Учебник предназначен для студентов вузов. Может быть ^полезен аспирантам и инженерам, а также научным работникам, занимающимся автоматическими системами, УДК 681.5; 681.3 (075.8) ББК 14.2.6 TCDiNj с тп*в 1 сто о/тп © Пупков К.А., Баркин А.И., Воронов Е.М. и др., 2000 lbBJN Э-7О38-1378-У (1.1) о мггу им н э Баумана> 2000 ISBN 5-7038-1579-7 © Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000
Нашим учителям посвящается. ОБЩЕЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К УЧЕБНИКУ I. Особенности учебника. Учебник издается в трех томах, состоящих из четырех частей и заданий для самостоятельной работы. Для него характерно следующее: 1. Учебник охватывает основные положения, составляющие содержание теории автоматического управления. Изложение материала начинается с основных понятий и определений (сущность проблемы автоматического управления, определение системы управления, фундаментальные принципы управления, основные виды и законы автоматического управления и др.) и заканчивается детальным рассмотрением содержания некоторых современных направлений теории автоматического управления. Поскольку курс теории автоматического управления включен в учебные планы различных инженерных специальностей и является одним из важнейших элементов общетехнического образования, учебник может быть рекомендован студентам, заново приобретающим знания в области теории автоматического управления, и специалистам, которым приходится эти знания восстанавливать. Учебником могут пользоваться также студенты тех специальностей, для которых-курс является профилирующим, определяющим квалификацию инженера. При изучении курса студент или специалист должен сделать выборку материала, определяемого конкретной задачей и возможностями общего плана обучения. 2. Содержание учебника имеет инженерную направленность, поэтому изложение ведется с инженерной точки зрения, подчеркиваются главные идеи, лежащие в основе методов, но не всегда приводятся строгие математические доказательства. Учитывая, что без освоения технического аспекта изучение методов теории автоматического управления не приводит к нужному результату (часто имеют место трудности в постановке и решении инженерных задач даже при хороших знаниях теоретических положений), физическая и содержательная сторона дела подчеркивается в течение всего курса. Более того, значительное внимание уделено рассмотрению конкретных промышленных систем управления. Например, в главе 6 тома 2 рассмотрены системы управления теплоэнергетическими параметрами атомных электростанций; в заданиях для самостоятельной работы описаны системы управления, применяемые в атомной промышленности. Примеры, иллюстрирующие теоретические положения и методы расчета, тесно связаны с решением конкретных инженерных задач в таких отраслях, как атомная энергетика, производство летательных аппаратов и др. 3. Методы теории автоматического управления, рассмотренные в учебнике, в большинстве своем ориентированы на применение ЭВМ. Интенсивное развитие процессов автоматизации проектирования систем автоматического управления, обусловленное развертыванием высокопроизводительных вычислительных комплексов в проектно-конструкторских организациях, перемещение центра тяжести процесса проектирования от аппаратного обеспечения к алгоритмическому и программному обеспечению приводят к необходимости разработки нового методологического обеспечения, включая соответствующие вычислительные технологии [156].
Предисловие Для содержания книги характерна, в известной мере, «вычислительная окраска», поскольку возможности современных ЭВМ позволяют значительно ускорить сроки проектирования САУ и, таким образом, налагают свой отпечаток на вычислительную часть ТАУ. Успех в решении поставленных задач расчета и проектирования с использованием ЭВМ зависит от многих факторов, основными из которых являются: степень адекватности математической модели системы; степень эффективности численных методов ТАУ, используемых в алгоритмическом обеспечении; наличие высококачественного программного обеспечения, от того, насколько успешно используется творческий потенциал исследователя-проектировщика. При этом решающий фактор остается за человеком, который может решать многие неформализованные задачи. Поскольку систе,\Я>1 автоматизированного проектирования (САПР) являются в настоящее время одним из наиболее эффективных средств повышения производительности инженерного труда и научной деятельности, сокращения сроков и улучшения качества разработок, то в главе 8 (том 1) кратко отражены соответствующие положения, в том числе изложены численные методы (аппарат матричных операторов). Рассмотренное в трехтомнике методологическое обеспечение, ориентированное на применение ЭВМ, может служить базой для решения весьма сложных задач инженерного проектирования САУ. 4. В учебнике с единых позиций изложены как основные методы классической ТАУ, так и положения, определяющие содержание некоторых современных направлений теории управления. При рассмотрении материала учитывался тот факт, что периодизация развития ТАУ не является установившейся и общепринятой [156]. К классическим можно отнести положения, базирующиеся на рассмотрении ли= нейных и нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами применительно к описанию систем, исследованию их устойчивости и качества процессов. К классическим положениям также можно отнести и описание процессов в пространствах состояний, поскольку в классической теории широко применялось описание движения в фазовом пространстве. В конце пятидесятых - начале шестидесятых годов появились известные работы Л.С. Понтрягина, Р. Белмана, Р. Калмана, в которых заложены основы теории оптимального управления: принцип максимума, динамическое программирование, функционально-аналитические методы и др. Хорошо известно, что многие идеи теории оптимального управления сформировались на инженерном уровне в классический период ТАУ. Важнейшие результаты теории оптимального управления можно отнести к классическим положениям ТАУ. Все указанные положения с необходимой глубиной и полнотой изложены в первых двух томах учебника. Методы современной ТАУ, интенсивно разрабатываемые в настоящее время и включающие аппарат синтеза грубых систем автоматического управления в про^ странстве состояний, Я00 -теорию оптимального управления, задачи оптимизации многообъектных многокритериальных систем с использованием стабильно* эффективных компромиссов, синтез систем автоматического управления методами дифференциальной геометрии (геометрический подход), а также задачи исследования и проектирования адаптивных систем отражены в 3-м томе учебника, Таким образом, учебник охватывает наиболее важные разделы теории автоматического управления, вместе с тем он не претендует на всесторонний охват проблематики теории автоматического управления. Не затронуты такие важные направления, как инвариантность, теория чувствительности, методы и алгоритмы оценивания ди-
Предисловие намических процессов, идентифицируемость и методы и алгоритмы идентификации (отражены лишь содержание проблемы и подходы к ее решению), системы со случайной структурой, стохастические системы, теория нелинейной фильтрации, теория хаоса. 5. Основное содержание и структуру учебника определил коллектив авторов, включающий представителей разных российский школ науки об управлении: К.А.Пупков (МГТУ им. Н.Э.Баумана), А.И.Баркин (Институт системного анализа РАН), Е.М. Воронов (МГТУ им. Н.Э. Баумана), Н.Д. Егупов (МГТУ им. Н.Э. Баумана), В.Г. Коньков (МГТУ им. Н.Э. Баумана), А.П. Курдюков (Институт проблем управления РАН), Л.Т. Милов (Московский государственный автомобильно-дорожный институт (МАДИ)), В.Н. Пилишкин (МГТУ им. Н.Э. Баумана), В.И. Рыбин (Московский государственный инженерно-физический институт (МИФИ)), В.И. Сивцов (МГТУ им. Н.Э. Баумана), Я.В. Слекеничс (Обнинский институт атомной энергетики (ОИАТЭ)), А.И. Трофимов (Обнинский институт атомной энергетики (ОИАТЭ)), Н.В. Фалдин (Тульский государственный университет); этими авторами написана большая часть трехтомника. И. Методические вопросы. Необходимо указать, что никакой учебник не может дать окончательных рецептов для решения широчайшего спектра задач, порожденных практикой проектирования сложных систем автоматического управления; Изложенный в книгах материал призван служить базой, фундаментом, позволяющим с большей скоростью и эффективностью находить пути для решения задач практики. Вместе с тем материал излагается таким образом, чтобы читателю были видны пути практического применения рассматриваемых методбв. В большинстве своем методы доведены до расчетных алгоритмов, приводятся таблицы и другой вспомогательный материал, облегчающий их применение. Положения, изложенные во всех разделах, иллюстрируются подробно рассмотренными примерами, связанными с задачами расчета и проектирования конкретных систем. Весьма важным является вопрос методики изучения курса «Теории автоматического управления» с целью стать специалистом в этой области, пользуясь циклом учебных пособий и учебников, издаваемых указанным выше коллективом авторов. Весь цикл учебников и учебных пособий можно условно разбить на три серии: 1 серия - базовая; эта серия включает три тома настоящего учебника. 2 серия - базовая повышенного уровня, в которой основное внимание уделено глубокому и достаточно полному изложению методов, определяющих, содержание современных направлений теории автоматического управления. 3 серия - серия учебных пособий, посвященная полному и глубокому изложению теоретических положений конкретных направлений ТАУ, например, статистической динамике нелинейных САУ и др. Сказанное выше иллюстрируется рис. В.1. Базовый уровень приобретается изучением предлагаемого учебника, в котором систематически изложены методы классической и современной теории управления и дано достаточно полное представление о проблематике и путях развития науки об управлении техническими объектами. Содержание каждого из томов учебника серии базового уровня иллюстрируется рис. В.2. После освоения базового уровня можно приступить к специализации в той или другой области теории автоматического управления, изучая соответствующие тома 2-й серии, а также статьи и монографии по специальным проблемам теории управления.
Цикл: Методы теории автоматического управления 1 i Том 1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления. М: Изд-во МГТУ, 2000. - 748 с. ♦ Том 2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления * Том 3: Методы современной теории автоматического управления 1-я серия учебников "Методы классической и современной теории автоматического управления" - серия базового уровня 1 Том 1: Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ, 2000.- 512 с. ♦ Том 2: Оптимизация многообъектных многокритериальных систем * и интеллектуальные системы автоматического управления 2-я серия учебников - серия повышенного базового уровня 1 К.А. Пупков, Н.Д. Егупов, А.И. Трофимов. Статистические методы анализа, синтеза и идентификации нелинейных систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ, 1998.- 562 с. К.А. Пупков, Н.Д. Егупов, В.Г. Коньков. Методы анализа, синтеза и оптимизации нестационарных систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ, 1999.- 684 с. 3-я серия - серия учебных пособий, в которых отражены конкретные направления ТАУ (специализация) Рис В.1
Предисловие 1 том: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления 1 Математическое описание классов систем, отраженных на приводимой ниже структурной схеме 1. САУ; 2. Линейные САУ; 3. Нелинейные САУ; 4. Непрерывные САУ; 5. Дискретные САУ; 6. Непрерывно-дискретные САУ; 7. Стационарные САУ; 8. Нестационарные САУ; 9. САУ с сосредоточенными параметрами; 10. САУ с распределенными параметрами ± Анализ и статистическая динамика САУ Детерминированный анализ систем: 1. Устойчивость, 2. Качество в переходном режиме, 3. Качество в установившемся режиме и др. Статистический анализ систем Линейная фильтрация (фильтры Винера - Колмогорова, фильтры Калмана - Бьюси); нелинейная фильтрация и статистический анализ систем Идентификация объектов управления t 2 том: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления - Методы и задачи —. Синтез систем по заданным показателям качества. Методы синтеза регуляторов: 1. Группа методов, основанная на принципе динамической компенсации; 2. Группа методов, использующая аппарат математического программирования; 3. Частотный метод; 4. Модальное управление; 5. Метод моментов и др. Синтез оптимальных систем. Методы оптимизации: 1. Вариационное исчисление; 2. Принцип максимума; 3. Динамическое программирование; 4. Аналитическое конструирование регуляторов; 5. Нелинейное программирование; 6. Метод моментов I 3 том: Методы современной теории автоматического управления: 1. Методы синтеза грубых САУ; 2. Оптимизация многообъектных многокритериальных систем; 3. Я"- теория оптимального управления; 4. Адаптивные системы; 5. Синтез систем методами дифференциальной геометрии, понятия о теории катастроф, фракталах и теории хаоса; 6. Интеллектуальные системы Рис. В.2
_10 Предисловие Если специализация предусматривает расширенное изучение статистической динамики нелинейных систем автоматического управления, то можно воспользоваться учебным пособием К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова, А.И. Трофимова «Статистические методы анализа, синтеза и идентификации нелинейных систем автоматического управления». - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 562 с. (под редакцией д-ра техн. наук, проф. Н.Д. Егупова), в котором систематически изложено содержание основных положений статистической теории нелинейных систем, методов их анализа, синтеза, оптимизации и идентификации. При специализации в области систем автоматического управления с переменными параметрами полезным может оказаться учебное пособие К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова, В.Г. Конькова, Л.Т. Милова, А.И. Трофимова «Методы анализа, синтеза и оптимизации нестационарных систем автоматического управления». - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 684 с. (под редакцией д-ра техн. наук, проф. Н.Д. Егупова). Этот труд представляет собой первое учебное пособие в отечественной литературе, специально посвященное рассмотрению методов математического описания, детерминированного и статистического исследования, синтеза и оптимизации нестационарных систем. Работа включает две части: в первой части изложена теория линейных систем с переменными параметрами; вторая часть посвящена разработке алгоритмов исследования, синтеза и оптимизации сложных нестационарных систем, поведение которых описывается скалярными и векторно-матричными дифференциальными уравнениями высокого порядка. Алгоритмы предназначены для решения задач, имеющих место в повседневной инженерной, практике при расчете и проектировании систем управления одноконтурными и многоконтурными сложными объектами с переменными параметрами. Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам - академику РАН Е.П. Попову и коллективу кафедры «Автоматические системы» (Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА)), руководимой членом-корреспондентом РАН Е.Д. Теряевым, за ценные замечания, способствовавшие улучшению содержания книги. Авторы благодарят заслуженного деятеля науки и техники РФ, д-ра техн. наук, проф. А.С. Шаталова, заслуженного деятеля науки и техники РФ, д-ра техн. наук, проф. Б.И. Шахтарина (МГТУ им. Н.Э. Баумана), которые своими советами позволили значительно улучшить структуру учебника, углубить изложение отдельных теоретических положений, улучшить окончательный вариант рукописи. Авторы благодарят концерн «Росэнергоатом», научно-исследовательский центр космической системотехники, департамент образования и науки Правительства Калужской области, а также Издательский Дом «Манускрипт» за помощь в издании учебника. Большой объем книги и широта охваченного материала вызвали большие трудности при ее написании. Конечно, эти трудности не всегда удавалось преодолеть наилучшим образом. Читатели, вероятно, смогут высказать много замечаний и дать свои предложения по улучшению книги. Авторы заранее признательны всем читателям, которые не сочтут за труд указать на замеченные неточности, ошибки, на пути совершенствования структуры учебника и его содержания. К.А. Пупков Н.Д. Егупов
Предисловие 11 ПРЕДИСЛОВИЕ К 1-МУ ТОМУ Настоящая книга представляет собой 1-й том учебника «Методы классической и современной теории автоматического управления», который охватывает основные разделы классической теории автоматического управления, относящиеся к математическому описанию систем автоматического управления, исследованию их устойчивости и качества процессов управления (детерминированный анализ), их работы при случайных воздействиях (статистический анализ), фильтрации сигналов в классе линейных и аналитических нелинейных систем. Одной из важнейших проблем теории управления является проблема построения математической модели системы (идентификация), под которой понимается оператор, характеризующий ее поведение и описывающий все ее информационные свойства. Изложению содержания проблемы и некоторых подходов к её решению посвящена глава 9 настоящего тома. Кратко изложены основы автоматизированного проектирования систем автоматического управления. Разработаны конкретные алгоритмы, в основе которых лежит метод матричных операторов (глава 8). Алгоритмическое обеспечение, приведенное в учебнике, является эффективным средством повышения производительности инженерного труда, сокращения сроков и улучшения качества разработок. Определенная часть содержания книги нетрадиционна, и методы, изложенные в соответствующих параграфах, направлены на эффективное решение инженерных задач. Поэтому можно надеяться, что знакомство с указанным материалом представит интерес для научно-технических работников. В приложении к книге даны необходимые материалы, носящие как справочный, так и теоретический характер. Например, построение и теоретическое обоснование вычислительных схем, применяемых для исследования сложных систем, имеющих высокую размерность при детерминированных и случайных воздействиях, а также решение классов операторных уравнений (например, уравнения Винера - Хопфа) не обходится и не может обойтись без широкого использования языка и результатов функционального анализа. Возрастающая роль функционально-аналитических методов в приложениях к теории управления объясняется возможностью глубокого теоретического обоснования построенных на их основе алгоритмов расчета и проектирования САУ. В связи с этим в приложениях 2 и 3 приводятся некоторые положения функционального анализа и зависимости, определяющие конкретные ортонормиро- ванные базисы, используемые в методе матричных операторов. Для лучшего уяснения излагаемого материала приведено значительное число примеров по описанию и исследованию систем автоматического управления, используемых в атомной энергетики, машиностроении и др. Соавторами отдельных разделов 1-го тома являются д-р техн. наук, проф.. Л.Т. Милое, (пщвз 2), д-р техн. наук, проф. ЮЛ. Корнюшин (§ 4,13), канд. физ.-мат. наук, доц. СВ. Лапин (§§ 8.2, 8.3, 8J, 8.12, приложение 2), инженер ДД Мельников (§ 6.4), канд. техц. наук М.О. Гдбибулаев (§§ 6.1, 6.3, 8.9 - 8,11), инженер А.Н. Бурлакин (§ 8.3), канд. техн. наук Д.А. Акименко (§ 8.14), канд, техн. наук, доц. A.M. Макаренков (§§ 8.15, 8.16), канд. техн. наук, доц. А.К. Карышед (глава 5), канд. техн. наук, доц, СИ. Николаенко (§ 8.13), канд. техн. наук, доц, Я.В. Слекеничс (§ 1.1), § 7.3 написан канд. техн. наук, доц. В.И. Краснощеченко. Авторы выражают признательность сотрудникам редакционно-издательского отдела Калужского филиала МГТУ им. Н.Э. Баумана К.И. Желнову, СН. Капранову, М.П. Трубачеву, К.Ю. Савшченко за подготовку рукописи к изданию и создание оригинал-макета учебника.
ЧАСТЬ I АНАЛИЗ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Список используемых аббревиатур и обозначений 13 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АББРЕВИАТУР АСУ - автоматизированная система управления АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика АЧХ - амплитудно-частотная характеристика АЭС - атомная электростанция БИФ - блочно-импульсная функция БПУА - быстрое преобразование Уолша - Адамара БПФ - быстрое преобразование Фурье БПФ-У - быстрое преобразование Фурье - Уолша БШ - белый шум ВЧХ - вещественная частотная характеристика ГД -г гидродвигатель ГС - генератор сигналов ГФВН - генератор функций вибрационных нагружений ГОС - гибкая обратная связь ДЗ - дифференцирующее звено ДЗР - дифференциальный закон распределения ДП - датчик перемещений ДЧХ - действительная частотная характеристика ДУ - дифференциальные уравнения ЗУУ - золотниковое управляющее устройство ИЗ - интегрирующее звено ИСТ - инверсно-сопряженная система ИЗР - интегральный закон распределения ИПФ - импульсная переходная функция ИУ - исполнительное устройство ИУр - интегральное уравнение ККФ - кусочно-кубическая функция КЛА - космический летательный аппарат КЛФ - кусочно-линейная функция КПФ - кусочно-параболическая функция КС - критический стенд КЧХ - комплексная частотная характеристика КУ - корректирующее устройство КФ - корреляционная функция ЛАЧХ - логарифмическая АЧХ ЛНС - линейная нестационарная система ЛП - линейное программирование ЛС • -линейная система ЛСС - линейная стационарная система ЛФЧХ - логарифмическая ФЧХ ЛЧ -линейная часть МБПФ - матричная бичастотная передаточная функция МИПФ - матричная импульсная переходная функция ММ - математическая модель
14 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I МНК - метод наименьших квадратов МНПФ - матричная нормальная передаточная функция МО - математическое ожидание МП - математическое программирование либо матрица перехода МППФ - матричная параметрическая передаточная функция МПФ - матричная передаточная функция МПЧХ - матричная параметрическая частотная характеристика МЧХ - мнимая частотная характеристика МСИ - метод статистических испытаний НЭ - нелинейный элемент НП - нелинейное программирование НПФ - нормальная передаточная функция НЧ - неизменяемая часть О - пространство оригиналов • ОБИФ - обобщенная блочно-импульсная функция ОК - основной канал в многомерных системах ОНБ - ортойормированный базис ОНС - ортонормированная система ОС - обратная связь ОУ - объект управления ПС - перекрестная связь в многомерных объектах ППФ - параметрическая передаточная функция ПФ - передаточная функция ПХ - переходная характеристика ПЧХ - параметрическая частотная характеристика Р - регулятор РЛС - радиолокационная станция САУ - система автоматического управления САР - система автоматического регулирования СВ - случайная величина СВИ - система вибрационных испытаний СВН - система вибрационных нагружений СКО - среднеквадратическое отклонение СНАУ - система нелинейных алгебраических уравнений СП - случайный процесс СПл - спектральная плотность СПФ - стандартная передаточная функция либо сопряженная передаточная функция СРП - система с распределенными параметрами ССП - система с сосредоточенными параметрами СУЗ - система управления и защиты СФ - случайная функция СХ - спектральная характеристика относительно ОНБ ТАР - теория автоматического регулирования ТАУ - теория автоматического управления ТПВ - тракт преобразования вибраций ТП - технологический процесс УСО - усилитель сигнала ошибки ФВН - функции вибрационных нагружений
Список используемых аббревиатур и обозначений 15^ ФС - фундаментальная система ФФ - формирующий фильтр ФЧХ - фазочастотная характеристика ЦАП - цифро-аналоговый преобразователь ЭГСВ - электрогидравлический следящий вибратор ЭГУ - электрогидравлический усилитель ЭМП - электромагнитный преобразователь ЯР - ядерный реактор ЯЭУ - ядерная энергетическая установка
16 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть! СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ Непрерывные САУ А - оператор системы y{t) - входной скалярный сигнал Y(/) - входной векторный сигнал x(t) - выходной скалярный сигнал Х(/) - выходной векторный сигнал W(s) - передаточная функция скалярной системы W(s) * - передаточная функция системы в пространстве состояний W(s, t) - параметрическая передаточная функция F(s) " - преобразование Лапласа функции^/) Цх) . - импульсная переходная функция скалярной стационарной системы К(т) - матричная импульсная переходная функция k(t, т) - импульсная переходная функция скалярной нестационарной системы К(/, т) - матрица ИПФ нестационарной системы в пространстве состояний Ко - коэффициент статистической линеаризации по математическому ожиданию К\ - коэффициент статистической линеаризации по центрированной составляющей А((й) - амплитудная частотная характеристика />(со) - действительная частотная характеристика Q((o) - мнимая частотная характеристика L((o) - логарифмическая амплитудная частотная характеристика у((й) - фазовая частотная характеристика A (j(q\ - амплитудно-фазовая частотная характеристика е(/) - сигнал ошибки системы хс (/) - свободная составляющая выходного сигнала (свободные колебания) xu(t) - вынужденная составляющая выходного сигнала (вынужденные колебания) х (t) - установившаяся составляющая выходного сигнала xn(t) - переходная составляющая выходного сигнала h(t) - переходная характеристика я(0 - помеха m(t) - полезный входной сигнал (управляющее случайное воздействие) I - единичная матрица .•_ ГГу - мнимая единица К - коэффициент усиления системы или элемента
Список используемых аббревиатур и обозначений 17_ т - порядок числителя передаточной функции п - порядок знаменателя передаточной функции Tyjp - время переходного процесса 5(/) - дельта-функция Т - постоянная времени W0(s) или WH4{s) - передаточная функция объекта или неизменяемой части системы Wp(s) - передаточная функция разомкнутой системы Wyyis) - передаточная функция корректирующего устройства (регулятора) E(s) - преобразование Лапласа для сигнала ошибки £ - коэффициент демпфирования Xt - корни характеристического уравнения со - частота среза Ск - коэффициенты ошибок р(ХуУ) - метрика L [0,Г], С[0,Г] - функциональные пространства II х II - норма элемента х F = {fj^t): к = 1,2,...} - линейно независимая система Ф={(р*(/): к =1,2,...} - ортонормированный базис или ортонормированная система U - матрица ортогонализации rf - коэффициенты Фурье функции^/) p(a$)(z) - полиномы Якоби р (z) - полиномы Лежандра f (z\ - полиномы Чебышева 1-го рода U (z\ - полиномы Чебышева 2-го рода С/ - одностолбцовая матрица коэффициентов Фурье функции ДО Wal(k,t) - *-я функция Уолша Х(0 - вектор-функция состояния X (0 - транспонированная вектор-функция Хв (/) • - вектор-функция выхода А(0, В(/) - матрицы коэффициентов векторно-матричного дифференциального уравнения Хф(/) - фундаментальная матрица М - оператор математического ожидания &хх (*i»h) ~ корреляционная функция случайного процесса X(f) &xyih>h) ""взаимная корреляционная функция случайных процессов ДО и ПО Dxx (t) - дисперсия СП X(f) mx(t) - математическое ожидание СП X(t) Sxx (t) - спектральная плотность случайного сигнала X(t) Асо - эффективная полоса пропускания системы сх (t) - среднеквадратическое отклонение случайного сигнала X(t) 3 Зак. 232
J_8 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I <j(t) - случайный сигнал ошибки системы C(t) - матрица уравнения наблюдения р - вектор оптимизируемых параметров р - вектор оптимальных параметров К (А) - число обусловленности оператора А Fx(x) - интегральный закон распределения случайной величины Jf fx(x) - дифференциальный закон распределения случайной величины X М \х\ ~ математическое ожидание случайной величины X Dxx - дисперсия случайной величины X ах - среднеквадратическое отклонение случайной величины^ гхх (f j, t2) - нормированная корреляционная функция случайного процесса ДО DCTCT (t) - дисперсионная матрица векторного сигнала ошибки фильтрации Ан - спектральная характеристика линейного нестационарного элемента или системы, описываемой векторно- матричным дифференциальным уравнением д - спектральная характеристика нелинейного элемента ко по математическому ожиданию д - спектральная характеристика нелинейного элемента кх по центрированной составляющей Ф(/?,/), W(syt) - параметрическая передаточная функция W (ц, s) - бичастотная передаточная функция N{\i,x) - нормальная передаточная функция H(p,t) ~ сопряженная передаточная функция ЛНС k (t,i) - нормальная ИПФ линейной нестационарной системы k h, т) - ИПФ сопряженной линейной нестационарной системы дс /^ т\ _ нормальная ИПФ сопряженной линейной нестационарной системы А - матричный оператор (спектральная характеристика) линейного элемента или системы, либо матрица коэффициентов векторно-матричного ДУ (стационарный случай), либо матрица условий, либо матрица состояния стационарной системы А - СХ корректирующего устройства Ад - матрица оператора дифференцирования (спектральная характеристика дифференцирующего звена) Рт = Аи - матрица оператора интегрирования (спектральная характеристика интегрирующего звена) А (/) = U^ = Uw (/) - операционная матрица умножения на функцию /(/) (спектральная характеристика множительного элемента) W (/, t0) - матрица перехода
Список используемых аббревиатур и обозначений 19_ Дискретные САУ S(s) - спектральная плотность непрерывного стационарного случайного сигнала S(z) - спектральная плотность дискретного стационарного случайного сигнала S(s, p) - двумерная спектральная плотность нестационарного непрерывного случайного сигнала S(zu z2) - двумерная спектральная плотность дискретного нестационарного случайного сигнала W(s) - передаточная функция стационарной непрерывной системы W{z) - передаточная функция стационарной дискретной системы V(s, т) - обобщенная передаточная функция непрерывной системы V(s, nT) - обобщенная передаточная функция дискретно- непрерывной системы K(z, т) - обобщенная передаточная функция непрерывно- дискретной системы V(z, nT) - обобщенная передаточная функция дискретной системы И (/, s) - сопряженная передаточная функция непрерывной системы Н(пТ, s) - сопряженная передаточная функция непрерывно- дискретной системы Я(/, z) - сопряженная передаточная функция дискретно- непрерывной системы Н(пТ, z) - сопряженная передаточная функция дискретной системы Дя, р) - бичастотная передаточная функция непрерывной системы I\z, s) - бичастотная передаточная функция непрерывно- дискретной системы I\s, z) - бичастотная передаточная функция дискретно- непрерывной системы f\zu z2) - бичастотная передаточная функция дискретной системы А(/) - матрица состояния нестационарной непрерывной системы А(л7) - матрица состояния нестационарной дискретной системы В - матрица управления стационарной системы В(г) - матрица управления нестационарной непрерывной системы В(я7) - матрица управления нестационарной дискретной системы I? (-оо, 0], I? [О, оо), ~ пространства Лебега квадратично интегрируемых 2 л (или суммируемых) и ограниченных сигналов соот- L (-оо,оо),/,00(~оо,0], ветственно на интервалах (-оо,0], [0,оо), (-оо,оо) Г[0,оо),ГНо,оо) ^2 £«> _ пространства Лебега для функций, определенных в частотной области
7Q Анализ и статистическая динамика САУ, Часть I ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, УСТОЙЧИВОСТЬ, ТОЧНОСТЬ ОТРАБОТКИ СИГНАЛОВ Под математической моделью (ММ) понимается оператор, характеризующий поведение реальной системы и отражающий все ее информационные свойства [156]. В соответствии с этим определением выделяются наиболее существенные свойства и признаки системы, они представляются в такой упрощенной форме, которая необходима для последующего теоретического и экспериментального исследования. Теория автоматического управления - точная наука, она оперирует количествен* ными характеристиками. Поэтому за качественным описанием системы следует вторая фаза абстрагирования - количественное описание системы. Известно высказывание Иммануила Канта: «... во всякой науке столько истины, сколько в ней мате' матики». Эту же мысль подтверждают слова Давида Гильберта: «Математика - осно* ва всего точного естествознания». В этой главе будут рассмотрены проблемы количественного описания систем. Математическая модель САУ отражает в той или иной мере свойства реальной системы, в том числе ограничения, существующие в реальных условиях [85, 156]. Математическая модель разрабатывается в математических терминах и имеет количественное описание. Математические модели могут быть представлены различными математическими средствами: действительными или комплексными величинами, векторами, матрицами, геометрическими образами, неравенствами, функ~ циями или функционалами, множествами, алгебраическими, разностными, дифференциальными и интегральными уравнениями и т.д. 1.1. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ЦЕЛИ И ПРИНЦИПЫ УПРАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОР СИСТЕМЫ 1.1.1. Примеры систем автоматического управления Введем основные понятия, позволяющие сформулировать цели и принципы управления и рассмотреть вопросы математического описания на примере конкретных автоматических систем. Прежде всего, дадим некоторые пояснения и определения. При реализации технологических процессов параметры, которые характеризуют эти процессы, должны изменяться по определенным законам (или быть постоянными). Необходимость изменения параметров в соответствии с требуемым законом возникает в самых разнообразных отраслях техники. Функциональные элементы'
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 21 технологического процесса будем обозначать квадратиками, а сигналы^ поступающие на эти элементы, - стрелками (рис. 1.1). Дадим определение сигнала. Сигналами называются физические процессы, параметры которых содержат информацию. Например, в телефонной связи при помощи электрических сигналов передаются звуки разговора, в телевидении - изображение. Параметры, содержащие информацию, называются информационными параметрами. Например, сигнал - электрическое напряжение, информационный параметр - амплитуда сигнала. Входной сигнал элемента. Функциональный элемент Выходной сигнал элемента Рис. 1.1. Функциональный элемент ъ а [ { f ► Рис. 1.2. Аналоговый сигнал ДО Сигнал называется аналоговым, если его информационные параметры могут принимать любые значения в заданном промежутке (рис. J..2). Сигнал называется дискретным, если его информационные параметры принимают только дискретные значения (конечное множество). Перейдем к рассмотрению конкретного технологического процесса. Регулирование температуры в электропечи для закалки металла [112]. Для реализации рассматриваемого процесса электропечь снабжается управляющим (или регулирующим) органом, с помощью которого можно управлять процессом закаливания (изменять температуру в соответствии с заданным законом). Создание условий, обеспечивающих требуемое протекание процесса закаливания, т.е. поддержание необходимого режима, называется управлением. Оно может быть ручным или автоматическим. При ручном управлении воздействие на управляющий орган осуществляет человек, наблюдающий за ходом процесса. Введем определение: функциональной схемой системы называется символическое изображение всех функциональных элементов технологического процесса и связей между ними; в функциональной схеме отражена последовательность процессов в системе.
22 Анализ и статистическая динамика СЛУ, Часть I Представим с помощью функциональной схемы технологический процесс закаливания металла в электропечи (рис. 1.3). Требуемый процесс изменения температуры y(f) Реостат u(t) Разность между требуемым и реальным процессами измерения температуры Прибор для фиксирования температуры в электропечи Термопара (датчик, измерительный элемент) j Электропечь для закалки металла Реальный процесс изменения температуры в электропечи Рис. 1.3. Функциональная схема технологического процесса Сиетема предназначена для поддержания необходимого режима, т.е, для изменения температуры y(t) в электропечи по заданному закону. Для обеспечения необходимого изменения температуры электропечь снабжается двумя элементами: термо- парой, выходом которой является электрическое напряжение x(t)t пропорциональное температуре в электропечи, и реостатом, с помощью которого меняется сопротивление в цепи нагрева печи. При увеличении сопротивления ток в цепи нагрева уменьшается и температура в электропечи уменьшается. При уменьшении сопротивления ток возрастает и температура увеличивается. Оператор, которому известен нужный закон изменения температуры y(t), наблюдает за показаниями прибора (на котором фиксируется реальная температура в электропечи). В зависимости от того, в какую сторону температура отклонилась от требуемого ее значения, оператор перемещает движок реостата таким образом, чтобы реальная температура в электропечи мало отличалась (на величину е(0) от требуемого значения. Имеет место так называемая обратная связь (ОС). Важнейшим элементом рассмотренного технологического процесса является человек-оператор, наличие которого делает систему ручной. При автоматическом управлении воздействие на управляемый орган (реостат) осуществи ляет специальное управляющее устройство. Построим схему, осуществляющую реализацию технологического процесса без участия человека. Назначение оператора ~ перемещение движка реостата в зависимости от наблюдаемого отклонения температуры. Эту операцию можно реализовать с помощью двигателя (привода), Поскольку на выходе термопары имеет место сигнал очень небольшой мощности (ее недостаточно для питания даже небольшого приводного двигателя), то вводят промежуточное звено - усилитель мощности. Реализация процесса закаливания металла в электропечи может быть представлена с помощью функциональной схемы (рис. 1.4).
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 23 Сигнал y(t) {заданная температура в печи) называют управляющим, а сигнал x(t) (реальная температура) -управляемой переменной. устройство (задает нужное изменение температуры) f идеальная температура в электропечи y(t) Ster 1 \ Усилитель мощности ^ошибка (расе обрат* ) - реальная тем в электропе —> оглас 1ая се nepai чи Привод ование) $язь ура Т Реостат еомопаоа u(t) Электропечь лля закалива ния металла элемент вычитания (сравнения) Рис. 1.4. Функциональная схема системы, реализующей процесс закаливания металла в электропечи Систему, реализующую процесс закаливания, называют системой автоматического управления. Таким образом, система автоматического управления (САУ) представляет собой совокупность объекта управления (ОУ) и управляющего устройства, включающего в себя усилитель, реостат, измерительное устройство (датчик), элемент сравнения. Объектом управления является электропень, выходные переменные которой (температура), называемые в данном случае управляемыми, подлежат управлению. Под управляющим устройством подразумевается устройство, обеспечивающее процесс управления, т.е. целенаправленное воздействие, приводящее к желаемому изменению управляемой переменной (температуры закаливания). Итак, введены новые термины: объект управления - электропечь, управляемая переменная - температура закаливания, управляющий орган - реостат, обратная связь (ОС). Для улучшения качества управления (например, уменьшения ошибки е(г), уменьшения степени колебательности и т.д.) в систему вводят дополнительный очень важный элемент - регулятор. С учетом этого элемента САУ, представленная на рис. 1.4, принимает несколько иной вид (рис. 1.5). x(t) г У E{t) з я II u(t) 4 ос I 5 6 8 7 Рис. 1.5. Функциональная схема системы автоматического управления процессом закаливания: / - задающее устройство; 2 - сравнивающее устройство; 3 -регулятор; 4 -усилитель мощности; 5 - привод (двигатель); 6 -реостат; 7 - электропечь; 8 - измерительное устройство (датчик); I'- неизменяемая часть САУ; II-регулятор (изменяемая часть САУ) При проектировании САУ параметры элементов 4-8 остаются неизменными, поэтому часть САУ, включающая в себя 4-8 носит название неизменяемой. На практике неизменяемую часть часто называют объектом, а к управляющему устройству относят лишь регулятор. Именно его параметры изменяются в процессе проектирования САУ.
24 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Рассмотрим еще несколько примеров конкретных систем. Многие САУ, используемые в атомной энергетике, предназначены для автоматического регулирования уровня жидкости. К таким системам относятся, например, автоматические регуляторы уровня в парогенераторах (ПГ), конденсаторах, компенсаторах давления (КД), барабанах-сепараторах (БС) и др. Большинство из перечисленных САУ построены по схеме, показанной на рис. 1.6. ^-*®-~ Рис. 1.6. Принципиальная схема системы автоматического регулирования уровня жидкости: П- привод; РК- регулируемый клапан; РМ - расходомер; УМ - уровнемер; БИК- блок извлечения корня Уровень жидкости h(t) зависит от разности двух величин - притока Gn и расхода GP. Если Gn > Gp, то уровень растет, и наоборот, при Gn< Gp - hit) уменьшается. Величину притока Gn можно искать посредством регулирующего клапана РК, который управляется электроприводом П. Сигнал, соответствующий действительному уровню h(t), измеряется уровнемером (УМ) и сравнивается с требуемым уровнем А3 (уставкой). В зависимости от величины и знака рассогласования е(г) регулятор посредством электропривода увеличивает, если 8 > 0, или уменьшает, если 8 < 0, приток жидкости Gn, поддерживая равенство между Gn и Gp при заданном уровне Л3. Изменение расхода Gp нарушает баланс в схеме. Поэтому Gp является возмущающим сигналом. Для повышения точности регулирования наряду с е(г) используется сигнал Gn, который порождает местную обратную связь. Имеет место так называемое комбинированное регулирование. Выходной сигнал некоторых расходомеров пропорционален квадрату расхода жидкости. Поэтому цепи измерения расходов содержат блоки извлечения корня (БИК). Воспользуемся стандартными обозначениями: y(t) = h3 - вход системы (заданное воздействие), x(t) = h(f) - выход системы (уровень жидкости), n(t) = Gn(0 - возмущение (расход жидкости). Функциональная схема САУ уровнем жидкости может быть представлена в виде, изображенном на рис. 1.7.
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 25 2 к и(0 "(О г - £ 9 ► А -ш *• ц. -т <* „ С л * Э * - 8 *. £ -• ^ О •*» 7 • *(0 Рис. 1.7. Функциональная схема САУ уровнем жидкости: / - задающее устройство; 2 - сравнивающее устройство: 3 -регулятор; 4 -усилитель мощности; 5 - привод; 6 - регулирующий орган {клапан); 7 - объект управления; 8 -уровнемер; 9,10- линейные расходомеры Рассмотрим ядерную энергетическую установку (ЯЭУ). Простейшая схема установки приведена на рис. 1.8. Рис. 1.8. Простейшая схема двухконтурной ядерной энергетической установки с паротурбинным циклом В установке основными элементами являются ядерный реактор ЯР и теплосиловое оборудование. Первый контур включает ядерный реактор ЯР, парогенератор ПГ, циркуляционный насос Нь трубопроводы горячего (от реактора) и холодного (к реактору) теплоносителя. В теплосиловое оборудование входят турбина Т с электрическим генератором ЭГ, конденсатор отработанного пара К, циркуляционный насос Н2 и т.д. Это оборудование образует второй контур ядерной энергетической установки. В первом контуре наряду с основным оборудованием имеется различное вспомогательное оборудование: система очистки теплоносителя, система подачи теплоносителя в первый контур (компенсаторы уровня, система аварийного расхолаживания реактора, система поддержания давления в контуре и т.д.). 2 Зак. 232
26 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Рассмотрим подробнее основные элементы конструкции ядерного реактора (рис. 1.9). Ядерный реактор - это устройство, в котором обеспечиваются условия для протекания управляемой самоподдерживающейся реакции деления ядер, а также съем тепла. Получаемое в процессе цепной реакции тепло в реакторе отводится циркулирующим теплоносителем и используется в паросиловой части ЯЭУ для получения электрической энергии. Несмотря на большое разнообразие реакторов, можно выделить ряд элементов и систем, присущих большинству из них. '^ Рис. 1.9. Основные элементы ядерного реактора: / -управляющие стержни\ 2 - отражатель', 3 - теплоноситель', 4 - биологическая защита', 5 - активная зона\ 6 - замедлитель', 7 - ядерное топливо Активная зона - та часть реактора, в которой осуществляется цепная реакция деления. В активной зоне размещаются ядерное топливо (уран и его сплавы, плутоний и т.д.), замедлитель (графит, бериллий, вода и пр.), который служит для снижения энергии нейтронов деления. Отвод тепла от тепловыделяющих элементов активной зоны обеспечивает теплоноситель (вода, жидкие металлы, газы и пр.). В активную зону реактора также входят различные конструкционные материалы: материалы труб, по которым подается теплоноситель, материалы оболочек тепловыделяющих элементов и т.д. Отражатель используется для уменьшения потери нейтронов за счет утечки через поверхность активной зоны. Обычно в качестве материала отражателя применяются те же материалы, что и для замедлителя. Биологическая защита. Работающий ядерный реактор является мощным источником различного рода излучений (нейтронов, у-квантов, а- и (3-частиц и т.д.). Биологическая защита предохраняет персонал от действия этих излучений. Система загрузки и выгрузки топлива. В процессе работы реактора происходит выгорание ядерного горючего, накопление продуктов цепной реакции, являющихся поглотителями нейтронов, и т.п. В связи с этим необходимо осуществлять замену тепловыделяющих элементов. Эта замена может производиться при выключенном
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 27 реакторе либо на работающем реакторе. Для осуществления операций по замене выгоревших блоков горючего используется комплекс механизмов и устройств, объединенных в систему загрузки и выгрузки топлива. Органы системы управления. Для управления цепной реакцией в активную зону ректора вводятся, как правило, специальные регулирующие элементы, воздействующие на процесс образования или исчезновения нейтронов. Эти элементы являются исполнительными органами системы управления. Аппаратура систем контроля, управления и защиты - это комплекс механизмов, приборов, регулирующих устройств, предназначенный для обеспечения безаварийной эксплуатации-ядерной установки, т.е. исключения самопроизвольного разгона реактора или отклонений технологических параметров установки от заданных значений. Основную роль в обеспечении безопасности эксплуатации ЯР призвана сыграть система управления и защиты (СУЗ), на которую возлагаются функции по управлению цепной реакцией при пуске, переходе с одного уровня мощности на другой и остановке ЯР, а также быстрому прекращению реакции деления в случае возникновения аварийной ситуации. Системы автоматического управления ЯР являются подсистемами СУЗ и предназначены для автоматического регулирования реактора во время его разгона (пуска) и стабилизации на данном уровне мощности. Функциональная схема САУ ЯР, осуществляющая алгоритм пуска по периоду со стабилизацией заданного уровня по сигналу измерителя мощности, представлена на рис. 1.10, где обозначено: АР - автоматический регулятор, ЭП - электропривод, ЯР - ядерный реактор, АК - аппаратура контроля ЯР, N3u N- заданный и действительный (выходной) сигналы мощности соответственно, К, и К - заданный и действительный сигналы обратного периода (период Тр - время, за которое мощность ЯР увеличивается в е раз; обратный период - величина, обратная периоду, т.е. 1/ГД £/- выходной сигнал АР, N и Y - сигналы оценки мощности и обратного периода соответственно, р — реактивность. Рассматриваемая САУ работает следующим образом. Пусть требуется перевести ЯР с уровня мощности Af0 на уровень N39 причем N3 > No. После включения АР происходит увеличение реактивности р до достижения заданного значения Y3 обратного периода, после чего в течение разгона ЯР осуществляется режим стабилизации периода (сигнал мощности игнорируется). При подходе к заданному уровню мощности, АР автоматически переключается от режима стабилизации периода на режим стабилизации мощности (установка по обратному периоду автоматически изменяется от У3 до нуля). i АР i i i и N /\ Y ЭП АК Г) к n(t)\ яр lnN 1 1 Т v 1 Рис. 1.10. Функциональная схема САУ ЯР 2*
28 Анализ и статистическая динамика САУ, Часть I Качество регулирования и надежность САУ ЯР существенно зависят от электропривода, выбор которого определяет закон регулирования. На практике широкое распространение получил релейный закон регулирования - в.этом случае статическая характеристика ЭП подобна характеристике трехпозиционного реле. Релейные САР ЯР имеют высокую надежность, быстродействие и универсальность, а также меньшую чувствительность к флуктуациям входных сигналов из-за наличия зоны нечувствительности. Выше рассмотрены замкнутые системы, в которых имеет место обратная связь, т.е. сравнение входного сигнала (эталона) с выходным сигналом (реальное значение регулируемой величины). Кроме них встречаются системы разомкнутого типа и комбинированные системы. В разомкнутых системах для выработки управляющего воздействия u(t) (сигнал с выхода регулятора) используется только информация о цели управления y(t), а действительное значение выходной управляемой переменной x(t) не контролируется. Система автоматического управления (САУ) числом оборотов электродвигателя постоянного тока [153]. Функциональная схема системы представлена на рис. 1.11. 0 Рис. 1.11. Функциональная 'схема разомкнутой САУ; 1 - потенциометр', 2 -усилитель', 3 - электродвигатель; 4 - тахогенератор со стрелочным прибором В варианте ручного разомкнутого управления оператором задается путем перемещения движка потенциометра 1 нужное число оборотов двигателя (оно пропорционально напряжению на входе усилителя). С выхода 1 сигнал подается на усилитель 2, что приводит к изменению тока в якоре электродвигателя. Последнее приводит к изменению угловой скорости двигателя, которая измеряется тахогенератором и стрелочным прибором, но не используется для замыкания системы. Из-за старения и износа элементов, при колебаниях температуры, из-за неточности исполнения элементов, градуировка системы нарушается (каждому положению движка потенциометра должно соответствовать заданное число оборотов двигателя в установившемся режиме). Поэтому системы, работающие по разомкнутому циклу, часто не могут обеспечить высокого качества работы (высокую точность). Эту схему можно автоматизировать, причем система будет функционировать по замкнутому циклу, т.е. по принципу обратной связи. Качество ее работы повышается. Функциональная схема такой системы представлена на рис. 1.12. Система замкнутого цикла отличается от системы разомкнутого цикла тем, что в системе с ОС имеет место сравнение реального числа оборотов двигателя с
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 29 требуемым. Рассогласование (ошибка) поступает на регулятор 2 и усилитель 3; управление осуществляется сигналом ошибки е(г). Структура и параметры регулятора 2 выбираются таким образом, чтобы обеспечить высокую точность работы системы. Замкнутая система не требует точной градуировки: точность сохраняется и при «уходе» параметров системы от эталонных из-за старения или по другим причинам. Рис. 1.12. Функциональная схема замкнутой САУ: 1 - потенциометр; 2 -регулятор; 3 -усилитель; 4 - электродвигатель; 5 - тахогенератор Сделаем дальнейшие пояснения и уточнения, связанные с сущностью проблемы автоматического управления с использованием рассмотренных выше конкретных САУ. САУ является кибернетической системой в соответствии с определением кибернетики: кибернетика - наука об управлении, передаче и переработке информации. В САУ присутствуют основные понятия, составляющие содержание кибернетики: управление, информация, система. Элементы САУ связаны между собой информационными каналами, линиями управления, по которым передаются.управляющие сигналы. Отметим важное свойство системы: система обладает свойствами и выполняет функции, которые существенно отличаются от свойств и функций ее отдельных элементов. Отличительной чертой рассмотренных САУ является поступление на вход системы так называемой «обратной информации», которая необходима для контроля (обратная связь). ОС замыкает канал управления (поэтому такое управление называют замкнутым). Таким образом, при управлении с ОС значение управляющей переменной постоянно сопоставляется с ее заданным (эталонным) значением. Цель управления - сделать эти величины близкими (в известном смысле), несмотря на различные помехи. Контур управления - это система, состоящая из объекта управления и регулятора (управляющей системы, с помощью которой добиваются нужного качества управления). К основным функциям контура управления относятся: измерение, сравнение и реагирование (выработка команды управления u(t) на объект), которые должны, по возможности, выполняться, в известном смысле, оптимально; в этом случае контур управления, несмотря на различные помехи, постоянно поддерживает управляемую переменную близкой к ее заданному значению.
^0 Анализ и статистическая динамика САУ, Часть I ..1,2. Цели и принципы управления Уже на основе рассмотрения указанных примеров можно сформулировать, например, задачу управления: изменять протекающие в объекте управления процессы путем воздействия на него соответствующими командами таким образом, чтобы была достигнута поставленная цель. Существует теория, рассматривающая общие принципы проектирования систем автоматического управления (САУ), которая получила название теории автоматического управления (ТАУ), в основе которой лежат математические модели, отражающие связь элементов САУ друг с другом и с внешней средой. Теперь можно расширить определение САУ: системой автоматического управления называется система, представляющая собой совокупность объекта управления и управляющего устройства, обеспечивающего процесс управления, т.е. целенаправленное воздействие, приводящее к желаемому изменению управляемых переменных. Фундаментальными принципами управления являются (их содержания становится ясным на основе рассмотрения приведенных выше примеров) [161]: • принцип разомкнутого управления; • принцип компенсации (управление по возмущению: если возмущающие воздействия в системе велики, то для повышения точности разомкнутой системы на основе измерения возмущений в алгоритм управления вводятся коррективы, компенсирующие влияние возмущений); • принцип обратной связи (ОС); В дальнейшем будут рассматриваться системы, работающие по принципу обратной связи. Для САУ этого класса характерно следующее: • наличие обратной связи; • слабые управляющие сигналы на входе, идущие от измерительного устройства, преобразуются в достаточно мощные воздействия на объект (ток в цепи нагрева); • ошибка 8(0 является движущим сигналом для системы, работающей на уменьшение этой ошибки; • САУ является замкнутой системой, замыкание осуществляется через обратную связь (ОС), которая, в свою очередь, реализуется с помощью измерительного устройства (термопары); измерительный (чувствительный) элемент служит не просто для регистрации температуры, а для формирования рассогласования 8(г), являющегося входом усилителя и, таким образом, реализующего процесс управления. Использование принципа ОС позволяет дать еще одно определение САУ, делающее акцент на особом значении указанного принципа [153]: САУ называется система, стремящаяся сохранить в допустимых пределах отклонения (рассогласования) ошибки 8(0 между требуемыми y(t) и действительными x(i) измерениями управляемых переменных при помощи их сравнения на основе принципа ОС (замкну* того цикла) и использования получающихся при этом сигналов для управления источниками энергии. 1.1.3. Типовая функциональная схема САУ. Классификация систем Рассмотренные примеры САУ позволяют представить типовую функциональную схему (рис. 1.13). Функциональное назначение каждого из элементов типовой схемы состоит в следующем [153].
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 31 1 1 v(t) % г до л ч wi(0 5 1 "2(0 /: О о о 7 / (r)i 1 1 11 10 Рис. 1.1Э. Типовая функциональная схема САУ: 1 - задающее устройство; 2,5- сравнивающие устройства', 3 - преобразующее устройство; 4,8- корректирующие устройства (регулятор); б - усилительное устройство; 7 - исполнительнок nrtiifmarr О — илюптаипюпииию или ччилегштепииме ъпрклриты' 10 — ъпрклеит рппаипи nfinnmunii гая , о — корректирующие устройства крегулятору, и — усилительное устройства, / — исполнительное устройство; 9 - чувствительные или измерительные элементы; Ю- элемент главной обрап И - объект управления; n(t) - помеха хтной связи; Задающее устройство преобразует воздействие в сигнал y(i), а сравнивающее устройство путем сравнения сигнала y(t) и регулируемой величины x(t) (предполагается, что 9 и 10 не искажают сигнал x(t)) вырабатывает сигнал ошибки s(t). Иногда сравнивающее устройство называют датчиком ошибки, отклонения или рассогласования. Преобразующее устройство 3 служит для преобразования одной физической величины в другую, более удобную для использования в процессе управления (во многих системах преобразующее устройство отсутствует). Регулятор 4, 8 служит для обеспечения заданных динамических свойств замкнутой системы. Например, с его помощью .обеспечивается высокая точность работы в установившемся режиме, демпфируются колебания для сильно колебательных объектов (например, летательных аппаратов). Более того, введение в систему регулятора позволяет устранить незатухающие или возрастающие колебания управляемой величины. Иногда регуляторы вырабатывают управляющие сигналы (команды) в зависимости от возмущающих воздействий, что существенно повышает качество работы систем, увеличивая их точность. Из схемы САУ видно, что в хорошо спроектированной системе ошибка е(г) должна быть мала. Вместе с тем на объект должны поступать достаточно мощные воздействия. Мощности же сигнала 8(0 совершенно недостаточно для питания даже небольшого двигателя. В связи с этим важным элементом САУ является усилительное устройство, предназначенное для усиления мощности сигнала ошибки е(г). Усилитель управляет энергией, поступающей от постороннего источника. На практике широко используются электронные, магнитные, гидравлические, пневматические усилители. Следующим важным элементом САУ является исполнительное устройство, оред- назначенное для воздействия на управляющий орган. В системах управления используются следующие типы исполнительных устройств: пневматические, гидравлические и электрические, подразделяемые, в свою очередь, на электромоторные и электромагнитные. Пневматические исполнительные устройства имеют сравнительно малые габариты и массу, но требуют большого расхода сжатого газа. Гидравлические исполнительные устройства способны преодолевать большие нагрузки и практически безынерционны. Недостаток - большая масса. Электрические исполнительные устройства достаточно универсальны в применении и отличаются простотой канализации подводимой к ним энергии. Вместе с тем их использование
32 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I требует наличия достаточно мощного источника тока. В некоторых САУ исполнительный механизм как таковой отсутствует и воздействие на объект осуществляется изменением состояния какой-либо величины (тока, напряжения) без помощи механических устройств. Чувствительные или измерительные элементы (датчики) необходимы для преобразования управляемых переменных в сигналы управления (например, преобразования вида: «угол - напряжение»). Элемент, который подвергается управлению, называют объектом управления. При проектировании систем объектом управления считают всю неизменяемую часть системы (все элементы, кроме регулятора). Им может быть электрическая печь для закаливания металла, самолет, ракета, космический аппарат, двигатель, ядерный реактор, станок для обработки металла и т.д. В связи с большим разнообразием объектов управления разными могут быть и управляемые переменные: напряжение, число оборотов, угловое положение, курс, мощность и т.д. Изучением конструкций объектов занимаются специальные дисциплины: электротехника, авиация и космонавтика, самолетостроение, энергетика, ядерная техника, турбостроение, двигателестроение и т.д. Из рассмотрения рис. 1.13 можно сделать вывод, что САУ представляет собой замкнутую систему, обладающую свойством однонаправленности и реагирующую на сигнал ошибки z(t). Напомним определения сигналов, представленных на рис. 1.13. Сигнал y(t) называют воздействием (задающим воздействием, входом). Процесс x(t) называют управляемой переменной (выходом системы, реакцией). Сигнал 8(0 называют сигналом ошибки (сигнал рассогласования). Сигналы u\(t)u u2(t) - команды управления. Дадим несколько определений. Система, у которой сигнал y(t) - известная функция (детерминированный сигнал) на всем промежутке управления, называется системой программного управления. Система, у которой задающее воздействие y(t) = const называется системой стабилизации. Система, у которой задающее воздействие y(t) - случайная функция, называется следящей системой. Таким образом, одномерные системы могут быть" системами программного управления, системами стабилизации и следящими системами. Кроме этого на практике имеют место [153]: • системы с поиском экстремума показателя качества; • системы оптимального управления; • адаптивные системы. 1.1.4. Математические модели систем; оператор системы На первом этапе расчета и проектирования систем автоматического управления (САУ) ограничиваются качественным описанием систем и в связи с этим рассматривают их функциональные схемы. Такое описание называют содержательным или неформальным. Неформальным описанием САУ называется вся имеющаяся совокупность сведений о ней, достаточная для построения фактического алгоритма ее работы. Неформальное описание системы содержит информацию, достаточную для построения ее функциональной схемы. Последняя же служит основой для разработки формального (математического) описания системы. Недостаток содержательного или неформального описания систем в том, что такой подход не оперирует количественными характеристиками и, таким образом, нау-
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 33_ ка, в основе которой лежит неформальное описание, не является точной наукой. Для решения же задач исследования и проектирования систем необходимо оперировать количественными характеристиками, определяющими качество ее работы. В связи с этим центральным понятием теории систем является математическая модель или оператор системы. Под математической моделью САУ понимают количественную формализацию абстрактных представлений об изучаемой системе. Математическая модель — это формальное описание системы с помощью математических средств: дифференциальных, интегральных, разностных, алгебраических уравнений, а также неравенств, множеств и т.д. [85] Пользуясь понятием системного оператора, можно на единой основе рассмотреть понятие математической модели САУ. Пусть Y и X- множества входных и выходных сигналов САУ. Если каждому элементу yeY ставится в соответствие определенный элемент хе X , то говорят, что задан системный оператор А. Связь между входом и выходом системы задается посредством системного оператора А: Ах = у и х = А'1 у = By. Операторное уравнение (или уравнение с оператором А) Ах = у следует считать математической моделью САУ, поскольку оно устанавливает количественную связь между входом y(t) и выходом x(t) системы. Принципиально важным является ответ на вопрос: как построить оператор системы А? Важным положением ответа на поставленный вопрос является следующее: в подавляющем большинстве случаев операторное уравнение системы принадлежит к классу дифференциальных уравнений или эквивалентных им интегральных уравнений. Для получения дифференциального уравнения системы в целом обычно составляют описание её отдельных элементов, т.е. составляют дифференциальные уравнения для каждого входящего в систему элемента (например, для САУ (рис. 1.4) составляются дифференциальные уравнения усилителя, привода, реостата, электрической печи, термопары и элемента сравнения). Совокупность всех уравнений элементов и дает уравнение системы в целом. Уравнения системы определяют ее математическую модель, которая для одной и той же системы в зависимости от цели исследования может быть разной [153]. Полезно при решении одной и той же задачи на разных этапах строить разные математические модели: начинать исследование можно с простой модели, а затем ее постепенно усложнять, с тем, чтобы учесть дополнительные физические явления и связи, которые на начальном этапе не были учтены как несуществующие. Задать оператор системы — это значит задать правило определения выходного сигнала этой системы по ее входному сигналу. В этой главе будем изучать системы, операторами которых являются линейные дифференциальные и интегральные операторы.* В зависимости от того, какими классами дифференциальных уравнений описываются САУ, их можно укрупненно классифицировать так, как показано на рис. 1.14 [153]. Линейными называют класс систем, описываемый линейными операторными уравнениями (например, линейными дифференциальными уравнениями или их системами), в противном случае система входит в класс нелинейных систем. * Предполагается, что читатель знаком с основными положениями теории дифференциальных уравнений (см., например, [45]).
34 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Линейными или нелинейными дискретными системами называются такие системы, которые описываются соответственно линейными или нелинейными разностными уравнениями или системами разностных уравнений. Линейными или нелинейными стационарными системами называются системы, которые описываются дифференциальными уравнениями или системами уравнений с постоянными коэффициентами. Нестационарными системами (линейными или нелинейными) называют системы автоматического управления, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями или системами уравнений с переменными коэффициентами. Сосредоточенными, или системами с сосредоточенными параметрами называются системы, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Распределенные системы - это системы, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. 4 i \% 7 9 > ) 6 f/ 8 <- 10 4 i 7 v > 9 ■Ч 5 6 YJ 8 <- 10 Рис. 1.14. Классификация САУ: 1 - система автоматического управления (САУ); 2-линейные САУ; 3 - нелинейные САУ; 4- непрерывные САУ\5- дискретные САУ; 6- непрерывно-дискретные САУ; 7- стационарные системы; 8 - нестационарные системы; 9 - системы с сосредоточенными параметрами (сосредоточенные системы); 10- системы с распределенными параметрами (распределенные системы) 1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ: ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ Далее будем широко пользоваться понятием преобразования Лапласа (интеграла Лапласа); приведем основные сведения, относящиеся к понятию интеграла Лапласа [95,153].
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 35^ Множество функций x(t), удовлетворяющих условиям: 1) x(t) = 0 при г<0; 2) 3 М и с: \x(t)\ < Mect; 3) имеет место не более чем счетное число точек разрыва первого рода на [0,°°), называется пространством оригиналов и обозначается О. Введем понятие интеграла Лапласа, пользуясь определением интеграла Фурье. Прямое одностороннее преобразование Фурье определяется формулой: Х(7Ю) = /х(0е-***. 0.1) о Как известно, преобразование Фурье может быть применено к функциям x(t), для которых интеграл оо \\x{t)\dt о существует (условие абсолютной интегрируемости). Этому условию не удовлетворяют многие функции, используемые при исследовании систем: l(r), Asin(r), еш, Acos(0, некоторые решения дифференциальных уравнений. Для того, чтобы иметь возможность подобную функцию x(t) преобразовать по Фурье, предварительно ее надо умножить на функцию e~at, где вещественное число а > а0 выбрано таким образом, чтобы интеграл j\x(t)\e~atdt (1.2) о был сходящимся, В результате приведенных рассуждений запишем Х(7(о,с) = jx(t)e~ate-jmdt = Х(а+ №. (1.3) • о Введем новую комплексную переменную s = а + ./со; получим оо X(s) = jx(t)e~stdt. (1.4) о Функция X(s), определяемая зависимостью (1.4), где x(t) -оригинал, 5 = а+7'со, называется изображением x(t) и обозначается xU)^X(s) иди X(s) = L{x(t)}. Часто интеграл (1,4) называют интегралом Лапласа. Ему присущи следующие двойства. Линейность: 4£М*(о} = 2М*М, meXk(s) = L{xk(t)}9 * = U. Смещение в комплексной рблдсти: пусть x(t) t*X(s), тогда jc(r)^ ш о X(s + a). Смещение в действительной области: пусть x(t) <-^ X(s), тогда д:(г-т) ^-> е~5'Х (.$•).
36 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Изображение производной: L{x'(t)} = sX(s)-x(fl),..., L{xin) (/)} = snX (s) - sn'lx(0) - sn-2x(O) -... - xin"l) (0). Изображение от интеграла: l|J*(t)</tI = ±X(5). Дифференцирование изображения: ^-(-l/ifA*)}. Изменение масштаба во временной области: если x{t) о X(s), то L{x(at)} = (l/a)X(s/a). Свертка функций в действительной области: L\ ]xl{x)x2{t-x)dxUXl{s)X2{s). № Свертка в комплексной области: C+joo 1 ь-гу«" L{xl(t)x2(t)} = — J Xl(q)X2(s-q)dq. J C-joo Далее изложим содержание второй теоремы разложения, позволяющей находить оригинал по изображению. Эту теорему удобно применять, если X(s) есть дробно- рациональная функция вида x(s) = bmsm+bm_lS^+...+bo=m sn+an_lSn-l+... + a0 B(s) причем т<п и коэффициенты {а,} и {bt} действительные. Если известны корни многочлена B(s) = 0, то зависимость (1.5) можно переписать в виде ' Xit)m ь^+ьп.^+...+ь0 ' где ц, - кратность корня st. Известна формула x(t) = L-l{X(s)} = %BbviX(s)es'\_ . (1.7) v=l s Sy а). Пусть (sn+an_lsn~l+...+a0) = (s-sl)(s-s2)...(s-sn)9rne sl9s2,...,sn -различные вещественные и комплексные корни. Тогда оригинал находят по формуле *(0=!£8е"'- (18> б). Если изображение имеет вид X(s) = 4£t' (L9> sB(s) то
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 37^ fi(O) faskB'(sk) в). Случай кратных корней. Пусть X(s) = A(s)/B(s), где B(s) = (s - s^1 x x(s-s2yi2.~(s-sr)*ir, Ш +Цг +—+Ит = п • Тогда оригинал находят по формуле ^'^j?e"+^'(£Sj]e'"+-+^'e"+ vm / W4 ; (1 n) +^т£^^'+^ ra**+-+v'+-+ ^(£^^+^(£^eV+"-+^- Коэффициенты Лд определяются зависимостью 4*"С=щ£К'"<к1Р'Н. ■ (112) Структурная схема алгоритма построения оригинала представлена на рис. 1.15. Входные данные I * ± ] д<0 >► Рис. 1,15. Структурная схема алгоритма построения оригинала: 7 - нахождение корней полинома B(s) = 0=> sl,s2,...,sn ; 2 -расчет коэффициентов Ajk ; 3 - построение оригинала jt(f) Пример 1.1. Имеем Найдем корни характеристичеекога. ураэнения: Формула для оригинала им§§Т ЭВД: 5(0) Й'/^Х*,) Имеем: ^)=4§+i4^^'. (1.14)
38 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I А(0) = 100, 5(0) = 100, Д(0)/Я(0) = 1, B\s) = 2s + 10; В^2) = 2(-5 + 7Ч/75) + 10 = -10 + 27Ч/75 + 10 = 2>У75;; B'(s3) = 2(-5 - У>/75) + Ю = -10 - 2;775 +10 = -2775;; s2B\s2) = ("5 + jjT5)(2jl5j) = -10775; -150; s3B\s3) = (-5 - jJJ5)(-2sll5j) = 10775; -150. Итак, можно записать: Найдем С2 и С3: x(t) = \ + C2eS2' +C2eSi*. 100 100(-150 + 10775j) ^^775. : ?==—= - = -0,5 + /: -150-10775; 30000 30 100 100(-150-1(К/75;) 7т5 . Л, ___ = i L- 1—0,5. -150 + 10775; 30000 30 (1.15) С,= Отсюда JC(/) = 1 + = 1 + е" .-5/ I-0,5 +—; I(cos775r + ;sin775/) + J_0)5-—;|(cos775r-;sin775r) = L 30 J J = l-*-5'| cos775/ + — sin775r |. Пример. 1.2. Положим, что изображение имеет вид (s-lf(s + lf (1.16) (1.17) Здесь 5-1 = 1 — кратность 3; $2 = - 1 - кратность 3. Тогда jii = 3, Ц2 = 3. Формула для оригинала имеет вид x(t) = AllLie' + All^e' + A3iel + Al2j;e-+A22^e-'+Ai2e-. (1.18) Найдем коэффициенты Л,>: or (,-1)3(,+1)3 5=J,=I (*,+1)3 8 -3(^ + 1)2^2 J=8=i4li; = 1 d Г 52 1 _2j(.e + 1)3 ^l 1!^L^ + 1>3JL (5 + 1)° 25 1 З^2 I =J_ = A = (, + l)3L|"(, + l)4L|=16= 2" = l["2(5 + l)3-3(5 + l)225 6^ + l)4-4(5 + l)33521 = l[" 2 б£_ 6^ 12^ + • "2 [(5 +I)3 (5 +I)4 (5 +l)4 (5 + 1У
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 39 ^■^-^(J^tfL-u^L-? (1.19) Ам"Тб;/Ц2"1б' Оригинал определяется формулой U2 , 1 If2 1 .-' jt(f) = *' +—te е е +—te +—е . 8 2 16 16 8 2 16 6 Рассмотрим замкнутую автоматическую систему. Предварительно дадим определение: схема системы, в которой указаны математические модели ее элементов (например, в форме дифференциальных уравнений), называется структурной схемой. Представим структурную схему в виде, изображенном на рис. 1.16. Поскольку полагаются известными дифференциальные уравнения ДУЬ ДУ2, ДУз, ДУ4, ДУ5 всех элементов, то, пользуясь каким-либо из методов, можно построить одно уравнение, связывающее вход системы с ее выходом. Положим, что уравнение имеет вид 5>v;c(v)=5>v?(V)- v=0 v=0 (1.20) y(t) e(r) *(0| ДУ1 2 ДУ2 з ДУз 4 ДУ4 ДУ5 Рис. 1.16. Структурная схема системы: 1 -регулятор; 2 - усилительное устройство; 3 - исполнительное устройство; 4 - объект управления; 5 - измерительная система САУ является одномерной линейной стационарной, поскольку ее поведение описывается скалярным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Найдем изображение выходного сигнала системы. Воспользовавшись формулой L{fik\t)} = skF(s)-sk-lf(0)-sk-2fX0)-...-fik-l)(0\ (1.21) из (1.20) получим aJ^X^)-^"1^)^ +an_l[sn-iX(s)-(sn-2x(0) + sn-3xm + ... + x(n-2\0)^ (1.22) +д0* (*) = bmsmY{s) + bm_xsm-lY{s) +... + V4*)- Из (1.22) следует: an/x(s) + an_ls"-lX(s) + ... + a0X(s)- -хф^а^^а^-^а^^-^^а^
iy(5)a±W."-a тц-l^ т...-г«ц (126) 40 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I -x\0)[ansn-2+an.lsn-3 + an.2sn-4+...+a2]-...-x^l\0) a^ = ' Б^ ' D^(s) (1-23) = bmsmns) + bm.lSm-lY(s) + ... + b0Y(sy. Перепишем последнюю зависимость в виде k*" +an.ls"-l+...+a0]x(s)-x(0)D0(s)-xX0)Dl(s)-...- г , (1.24) -^"-"(О)^.,^) = [bmsm + Bm.lsTl +...+bo\Y(Sy. Отсюда легко записать формулу, определяющую изображение выходного сигнала ans»+an^+... + a0 (j ^ |x(0)^)(J) + xt(0)AW + .-+Jc(ll"1)(0)P>l-iW e^'+^V1"1+••• + <% Положим в (1.25) х(0) = х\0) = ... = х{п-1)(0) = 0, т.е. Х° =[jc(O),jct(O),...,Jc(/I-1)(O)] = = 0 . Тогда зависимость (1.25) можно записать в виде _X(j)_Vm4^VW-1+... + fr0 Y(s) ansn+an_xsn-{+... + a0 Дадим одно из стержневых в теории автоматического управления определений: передаточной функцией (ПФ) САУ называется отношение преобразования Лапласа X(s) сигнала x(t) на выходе системы к преобразованию Лапласа Y(s) сигнала на входе y(t) при нулевых начальных условиях X °= 0. Зависимость (1.26) позволяет записать важное соотношение X(s) = W(s)Y(s). (1.27) т.е. изображение выходного сигнала равно изображению входа {воздействия), умноженному на ПФ системы. Приведем некоторые свойства и показатели передаточных функций [172]. ПФ представляет собой дробно-рациональную функцию (см. (1.26)), причем в реальной системе порядок числителя т не превышает порядка знаменателя я, т.е. т<п . Коэффициенты ПФ av, v = 0,n; bk, k = 0,m вещественны, поскольку они представляют собой функции от вещественных параметров системы. Значения s, при которых ПФ обращается в нуль, называются нулями ПФ. Нули являются корнями уравнения bmsm+bm.lsm-l+...+bo=O. (1.28) Значения s, при которых ПФ обращается в бесконечность, называются полюсами ПФ. Полюсы являются корнями уравнения ansn+an_lSn-l+... + a0=0. (1.29) Передаточная функция W(s) имеет, таким образом, т нулей и п полюсов. Как нули, так и полюса могут быть действительными или комплексно-сопряженными, поэтому их можно изобразить на комплексной плоскости (рис. 1.17). Нули и полюса называются левыми (правыми), если они расположены в левой (правой) части комплексной плоскости, и нейтральными или нулевыми, если они лежат соответственно на мнимой оси или в начале координат.
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 41 ( ( Левые > нули Левые Мнимая ■ ось 0 0 0 ч полюса : : Нейтральные полюса . ^Нейтральные нули ) к 0 #" • I г 0 < < I ' Пр Сомплексная шоскость ТТриртнитр ттт. ОСЬ Травые нули авые полюса Рис. 1.17. Нули и полюса на комплексной плоскости: * —полюса\ • —нули К показателям ПФ относятся [172]: 1) порядок ПФ я, равный степени знаменателя ПФ; 2) степень гс, равная разности степеней знаменателя п и числителя т ПФ; 3) индекс апериодической нейтральности sa, равный числу нулевых полюсов ПФ; 4) индекс колебательной нейтральности sKi равный числу мнимых полюсов ПФ; 5) индекс неустойчивости sHi равный числу правых полюсов ПФ; 6) индекс неминимально-фазовости янф, равный числу правых нулей ПФ. Рассмотренные показатели содержат ценную информацию о свойствах исследуемой САУ. На основе понятия передаточных функций в теории автоматического управления (ТАУ) построен аппарат структурных преобразований, позволяющий находить ПФ замкнутых систем, заданных структурными схемами. Любая структурная схема включает последовательно и параллельно соединенные элементы, а также элементы, соединенные обратной связью. Рассмотрим последовательное соединение (рис. 1.18). W\(s) W(s) W(s) X\{t) W2(s) x(t) Рис. 1.18. Последовательное соединение Для него характерны зависимости вида Xx(s) = ^,(5)У(Д X(s) = W2(s)X,(*) = W2(s)Wl(s)Y(s). Отсюда имеем W(s) = Wl(s)W2(s). (1.30) (1.31)
42 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Для произвольного случая W(s) = Wx(s)W2(s)...Wn(s). (1.32) Следовательно, передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев. Перейдем к параллельному соединению (рис. 1.19). y(t) II/ /_\ W\(S) W (?\ yVn{S) *i(0 / V к W(s) Рис. 1.19. Параллельное соединение Для параллельного соединения x(t) = xl(t) + x2(t) + ...+xn(t). Тогда X(s) = X1(s) + X2(s)+...+Xn(s), но Х,(5) = 1У,(5)У(5); X2(s) = W2(s)Y(s); (1.33) (1.34) (1.35) Xn(s) = Wn(s)Y(s). Отсюда (1.36) (1.37) X(s) = Wl(s)Y(s)+W2(s)Y(s)+...+Wn(s)Y(S) = = (Wl(s)+W2(s) + ...+Wn(s))Y(s), или, что то же самое, X(s) = W(s)Y(s), где W(s) = W1(s)+W2(s) + ...+Wn(s). Из последнего равенства следует, что передаточная функция параллельного соединения равна сумме передаточных функций отдельных элементов. На рис. 1.20 представлено соединение с обратной связью. Для такой системы справедливы соотношения: E(s) = Y(s) - Хх (s); X (s) = W, (s)E(s); X, (s) = W2 (s)X{s) Отсюда X(s) или Тогда Окончательно получим ■ = Y(s)-W2(s)X(s), X(s) = Wl(s)Y(s)-Wl(s)W2(s)X(s). X (s) [1+Wi (s)W2 (s)] = W, (s)Y(s). (1.38) (1.39) (1.40) (1.41)
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 43 X(s) ВД (1.42) Y(s) 1ЩШ2(з) Очевидно, что передаточная функция соединения с обратной связью равна дроби, числитель которой - передаточная функция прямой цепи, знаменатель - \-\-W\(s)W2(s) (если имеет место положительная обратная связь, то знаменатель имеет вид 1 - W\{s)W-As)). y(t) [ V /Л x\{t) Wi(s) ТХ7 / \ W(s) x(t) Рис. 1.20, Соединение с обратной связью Аналогичным образом легко найти так называемую передаточную функцию ошибки, определяемую формулой Els) WJs) = Y(s) Имеем Отсюда E(s)*ns)-W2(s)X(s)\X(s) = Wx(s)E(s). (1.43) (1.44) (i.45) (1.46) Y (s) l+Wl(s)W2(s) . При структурных цреобразоэання^ ЧЗРТО используются различные преобразования (табл. 1.1). Если известна ртруктурная ехема и параметры дистемы, то можно, пользуясь аппаратом структурных преобразований, найти ПФ замкнутой САУ, а затем и ее дифференциальное уравнение. E(s) = Y(s)rWl(s)W2(s)E(s)\E(sl(l+Wl(s)W2(s)) = Y($l Окончательно получим E(s)_ 1 Преобразования Пепенос учла через звено Перенос узла через сумматор Исходное Xl Xl ЭкРИвале W" 'wi \ 1 UWi \ ;ht X2 т J Исходи —Ha)— юе Xi I *r I—► 1 -r L Таблица J.I Эквивалент Г 1 *2 1 i*2
44 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Продолжение табл. 1.1 Перенос сумматора через звено нЯН^ГУ Перенос сумматора через сумматор JC4 Г*з Перенос сумматора через узел I X2 xi Т хъ Х2 XI хг \хг Х\ 1 ХЪ -j-Hg)—► TJC1 хг Последовательное включение звеньев -4WW2 /=1 Параллельное включение звеньев "4^1+^2 ^экв(*) = №*) Включение обратной связи W=- W-. ' \±w. Аппарат передаточных функций оказался весьма эффективным при исследовании линейных стационарных систем, имеющих сложные структурные схемы. На рис. 1.21 показаны полезные при решении инженерных задач эквивалентные преобразования структурных схем [153].
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 45 W)(s) |-»> +\W2(s) *2 l/Wts) \-+^{*T[-*» ж Рис. 1.21. Эквивалентные преобразования структурных схем Приведем некоторые примеры. Пример 1.3 [153]. Схема многоконтурной (четырехконтурной) САУ показана на рис. 1.22, а. Передаточная функция Wm(s) элемента W4(s), охваченного отрицательной обратной связью Z«(.?)t находится по формуле W (,)„ Ш?1 . При этом четырехконтурная система может быть сведена к трехконтурной системе (рис. 1.22, б), y(t) x(t) Рис. 1.22. Пример преобразований четырехконтурной САУ
46 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Далее последовательно соединенные структурные элементы с передаточными функциями W3(s) и WuC?), охваченные обратной связью Z3(», могут быть заменены эквивалентным структурным элементом с передаточной функцией W3(s)W^s) W33(s) = W33(*) = : \ + Z3(s)W3(s)Wu(s) W3(s)W4(s) \ + Z4(s)W4(s) + Z3(s)W3(s)W4(s) В этом случае трехконтурную схему можно свести к двухконтурной схеме (рис. 1.22, в), которая, в свою очередь, может быть приведена к одноконтурной схеме (рис. 1.22, г). Для схемы, показанной на рис. 1.22, г, передаточная функция W2(j)W33(j) W22(s) = \ + Z2(s)W2(s)W33(s) W2(s)W3(s)W4(s) 1 + Z4(s)W4(s) + Z3(s)W(s)W4(s) + Z2(s)W2(s)W3(s)W4(s) Передаточная функция всей системы с разомкнутой главной обратной связью имеет вид W/,(^) = Zl(^(^)W22(^) = 1 + Z4(s)W4(s) + Z3(s)W3(s)W4(s) + Z2(s)W2(s)W3(s)W4(s)' Передаточная функция системы в замкнутом состоянии 1 WJs) W(s)-- Zx{s) l + WJs) W^sW^sW^sW^s) 1 + Z4(s)W4(s) + Z3(s)W3(s)W4(s) + Z2(s)W2(s)W3(s)W4(s) + Z, (^(^)И'2(^)^з(^)^4(^) Если структурная схема САУ имеет вид (рис. 1.23), то, последовательно преобразуя структурную схему с вычислением соответствующих передаточных функций, получим ПФ замкнутой системы W(s) = 1 + Z, (s)W2 (s)W3 (s) + Z2 (.9)W, (s)W2 (s) y(t) -►OH ^tw 1 I lM> 1 ^[^У^Щ—f4 w^ \++* Us) [^- x{i)
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 47 y(t) x(t) -^OMj^iLrHj^i Us) «* 1 Phc. 1.23. Пример преобразования структурной схемы САУ с двумя цепями ООС Пример* 1.4. Построим структурную схему САУ числом оборотов двигателя постоянного тока [153]. «(0 1 _L_N(0 = *(0 Рис. 1.24. Функциональная схема САУ: 1 - элемент сравнения; 2 - электронный усилитель; 3 - электромашинный усилитель; 4 - двигатель; 5 - тахогенератор Как уже отмечалось, для обеспечения заданного качества управления в систему вводится регулятор. Кратко остановимся на значении регулятора в рассматриваемой САУ. Внешние воздействия, поступающие на систему, делятся на два класса - задающие воздействия y{t) и возмущающие воздействия n(t). Задающие воздействия определяются тем законом, по которому должна изменяться управляемая величина. В рассматриваемом случае (система стабилизации) задающее воздействие постоянно, оно устанавливается или вырабатывается задающим устройством. Для систем стабилизации основным является возмущающее воздействие (изменение нагрузки). Возмущающее воздействие n(t) может изменяться по вполне определенным законам, а может изменяться и случайно. Часто характерным является скачкообразное изменение возмущающего воздействия (рис. 1.25), соответствующее мгновенному увеличению 1 или уменьшению 2 нагрузки. Задачей регулятора является устранение или уменьшение до необходимых пределов отклонения управляемой величины от заданного значения, вызванного возмущающим воздействием n(t). Принципиально невозможно сделать управляемую величину независимой от всех возмущающих воздействий, ибо по самому принципу работы САУ регулятор может прийти в действие лишь тогда, когда появится отклонение регулируемой величины от заданного значения (рис. 1.26). При увеличении нагрузки на валу электродвигателя n(t) число оборотов, а следовательно, напряжение на выходе тахогенератора упадет. Сигнал u(t), а следовательно, сигналы u\{t) и м2(0 возрастут, а это приведет к увеличению скорости вращения вала электродвигателя. Регулятор улучшает качество управления. n(t) ■О t Рис. 1.25. График возмущающего воздействия *В параграфе 1.1 рассматривался вопрос построения оператора Л замкнутой системы. Этот пример иллюстрирует алгоритм нахождения математической модели замкнутой системы, если известны дифференциальные уравнения ее звеньев.
48 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Дифференциальные и алгебраические уравнения элементов системы имеют следующий вид: 1) элементы сравнения и(') = ;уо-иг2(О; и,(О = и(О-Ис('); 2) электронный усилитель 3) электромашинный усилитель и2(0 = *эМ1(0; 4) электродвигатель 5) регулятор deB{t) '~dT д dt «МО + ев(0 = Куи2«); Тп -^р + ея(1) = АГуев(О; Л Ы«) = Каея«);иТг(1) = КТгЫ(1); duc :~dt + uc(t) = Kc de^t) dt (1.47) (1.48) (1.49) (1.50) (1.51) У(О=УО 1 U(t) l UX(t) «2(0 n{t) ^я(0 | N(t)=x(t) Рис. 1.26. Функциональная схема САУ с регулятором в цепи ОС: 7 - элемент сравнения; 2 - электронный усилитель; 3 - электромашинный усилитель; 4 - двигатель; 5 - тахогенератор; 6-регулятор Зная уравнения элементов и переходя от последних к передаточным функциям, построим структурную схему системы (рис. 1.27). —TQ 1 > ^ /С ГО «Г2(0 5\ ^ Ис(0 1 Tys + Kcs Tcs + - К - Лг, 1 1 eB(t) Гп* + 1 W д«)=ад i= Рис. 1.27. Структурная схема системы управления числом оборотов двигателя с математическими моделями в форме передаточных функций Воспользовавшись структурными преобразованиями, найдем ПФ внутреннего контура, охваченного местной обратной связью (регулятором) КЭКУКП bjs + lj W,(.s) = - 1 + л з Лу К л Кq s [(V+i)(rn*+i)(rcf+i)] «з^3 + a\s2 + a\s + uq ' (1.52) где а\ = ГУ7ПГС; а\ = (ТУТС + ТПТС + ТПТУ); а\ =ТУ+ТП+ТС + КЭКУКПКС; al0 = \;bl = КЭКУКПТС; % = КЭКУКП.
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 49 Теперь легко найти ПФ замкнутой САУ W(s) = V + fr) aAsA + a3s3 + a2s2 +а^ + а0' (1.53) где b{ -b{K^\bQ= ЬОКУ; а4 = а\Тл; аъ = (а^Гд + а\); а2 = (а|7д + в£ ); «1 = (во^д + <*\ + */*д *г2); а0 = Ц + Ь0КдКТг). Подставляя численные значения параметров, получим ПФ в виде 49,7(1 + 0,5.*) W(s)-- (1.54) " 0,015/+ 0,215^3 +10,9^ + 25,9^ + 49,7* Ясно, что последнее выражение является дробно-рациональной функцией, причем коэффициенты ПФ - действительные числа. Найдем нуль системы: 1+0,5$ = 0 =* s = - 2. Рассчитаем полюса системы, которые являются корнями уравнения 0,015/+0,215$3+10,9$2+25,95 + 49,7 = 0. (1.55) Корни последнего уравнения: s\2 = - 1,2 ±./1,83; 53,4 = -6 ±./25,6. Нанесем значения нулей и полюсов на комплексную плоскость (рис. 1.28). О системе можно сказать следующее: 1) порядок системы - 4; 2) гс = 3; 3) индекс апериодической нейтральности равен нулю; 4) индекс колебательной нейтральности равен нулю; 5) индекс неустойчивости равен нулю; 6) индекс неминимально-фазовости равен нулю. Мнимая ось +4 Действительная ось ► Рис. 1.28. Нули и полюса системы с ПФ (1.54) Все нули и полюса системы - левые (поскольку лежат в левой полуплоскости). Если известна ПФ замкнутой САУ, то, используя известную формулу 5*F(5)<->/(ft)(0. (1.56) легко получить дифференциальное уравнение этой системы. В самом деле, bs + bb =*X£) (157) a4s4 + a3s3 + a2s2 + axs + Oq Y(s) Тогда a4s4X(s) + a3s3X(s) + a2s2X(s) + alsX(s) + a0X(s) = blsY(s) + b0Y(s). (1.58) Переходя в пространство оригиналов, запишем: а4*(4)(0 + a3x{i)(t) + a2x(t) + а{х«) + aox(t) = b^t)+boy(t). (1.59) Рассматриваемый подход справедлив при исследовании САУ любой степени сложности. Введем понятия вынужденных и свободных колебаний системы. Если на вход системы, описываемой уравнением (1.20) при t = 0 поступает воздействие y(t), а система при t = 0 имела ненулевые начальные условия, то изображение выхода и сам выход имеют вид 5 Зак. 232
^0 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I X(s). bmsm +...+b0 ns) + mD0(s) + ...+X^(Q)Dn_i(s) ^ (160) -y- a^"+...+g0 ^ ansn+...+a0 ' I ' ' I ' f x(t) = jk(t->c)y(>c)dT+xc(t,x(0),xX0),...,xin-{)(0)). (1.61) 0 Р1ли, в развернутой форме, 40 = }^(г-х)Ях)Л + д:(0)хДО + ^1(0)х2(0 + ... + д:('1"1)(0)^(0, (1.62) о где jci(O, ..., xn(t) - элементы нормальной фундаментальной системы. Последние формулы позволяют заключить, что имеют место два фактора, вызывающие колебания на выходе системы: 1) наличие воздействия на входе y(t); 2) наличие в системе ненулевых начальных условий Х° =fx(O),...,x(/I~1)(O)J^O (наличие в системе запасенной энергии, порожденной действием предыдущего сигнала, поступившего на систему до t = 0). А теперь дадим два важных определения: Сигнал у определяемый формулой t xB(t) = jk(t-T)y(x)dx (1.63) о и порожденный воздействием y(t), поступившим в систему при t = 0, называется вынужденным сигналом (вынужденными колебаниями системы); Сигнал, порожденный ненулевыми начальными условиями Х°*0 или, что то же самое, порожденный воздействием, поступившим в систему на промежутке (-°°,t = 0), называется свободным сигналом (свободными колебаниями). Выходной сигнал системы при te (- °°, t) можно записать в виде интегрального соотношения / о t x(t)= J k(t-T)y(i)dT= J k(t-T)y(x)dT+jk(t-T)y(T)dx, (1.64) где t \k(t-T)y(x)dx (1.65) - полный процесс на выходе системы; о xc(t)=\k(t-x)y(x)dz (1.66) - свободные колебания системы; t xb(t)^\k(t-x)y(x)dx (1.67) о - вынужденные колебания системы.
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 51_ 1.3. ПЕРЕХОДНЫЙ (ДИНАМИЧЕСКИЙ) И УСТАНОВИВШИЙСЯ (СТАТИЧЕСКИЙ) РЕЖИМЫ РАБОТЫ СИСТЕМЫ; ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМЫ Введем понятия установившегося (статического) и неустановившегося (динамического) режимов работы системы, рассматривая частный случай, когда y(t) = 1(0 (рис. 1.29). s t Рис. 1.29. Входной ступенчатый сигнал В связи с тем что отклонение управляемой величины существенно зависит от вида воздействий, места их приложения (которые могут быть различными), то обычно при рассмотрении конкретных автоматических систем приходится задаваться типовыми, наиболее характерными для данной системы воздействиями y(t). Обычно в качестве такого типового воздействия принимают воздействие вида скачка y(t) = l(f), являющегося во многих случаях наиболее неблагоприятным. Если в этом случае выходной сигнал удовлетворяет определенным условиям, то часто можно считать, что он тем более будет удовлетворять им и при иных характерных воздействиях. Примерами ступенчатых сигналов могут быть сброс или увеличение нагрузки, отказ двигателя в системе двухмоторный самолет - автопилот курса [153]. Типовое воздействие можно задать в виде 8-функции (дельта-функции). Например, внезапное вхождение самолета в струю воздуха, движущегося перпендикулярно траектории движения самолета. При исследовании следящих систем типовым управляющим воздействием может являться полином y(t)=yo + yit + y2t2+--- + y/> *>0. (!-68) В отдельных случаях типовое воздействие может быть сложной формы, например, при исследовании следящих систем управления антенной РЛС используется функция [153] y(f)=arctg(PO, (1.69) которая отражает изменения азимутального угла между направлением на цель и некоторым фиксированным направлением в случае прямолинейного и равномерного движения сопровождаемого объекта (рис. 1.30). Часто типовые воздействия определяются экспериментальным путем. На основе формулы (1.60) имеем зависимость для изображения выходного процесса (начальные условия считаем нулевыми, т.е. Х°=ОпризЧО = 1(О) x{s) b-i-+W^+^;1 = 4\. (1.70) (апз»+ап_^+... + а0) ' sBW Выходной сигнал, соответствующий изображению (1.70), имеет вид jc(f)= CoeSot +CxeSlt+C2eS2t +... + C/Ie5"', (1.71) 5*
52 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I где sl9s2,...9sn - корни уравнения B(s) = 0 (полюса системы ); s0 = О - нулевой корень, порожденный воздействием y(t)'= 1(г). Из (1.71) следует важный вывод: полюса системы sl9s2,...,sn определяют закон изменения во времени выходного сигнала; постоянные же коэффициенты С{,С2,...,Сп (формула для расчета Ck имеет вид: Со = А(о)/#(о), Ck = A(sk)/skB'(sk), k = l,n ) зависят в соответствии с приведенной формулой как от полюсов, так и от нулей системы и определяют величину амплитуды каждой из составляющих, определяющих сигнал x(t). Перепишем (1.71) в виде *(0=*,(0+*п(0. (1-72) где y{t) = W MO=Q'v=^ji(')=coi(<); xn(r)=C1^'+C2^'+... + Cn^-'. Я') = 5(0 У«)=Уг?П y(t) = arctg (P0 (1.73) (1.74) Рис. 1.Э0. Виды типовых воздействий Составляющая ху (t) порождена полюсом воздействия y(t) = 1(0, и, следователь но, 5 = 0, т.к. Y(s) = 1/5. Составляющая xn(t) порождена полюсами ПФ, т.к s{,s2,...,sn являются корнями ansn+an_lSn-l+... + a0=0. (1.75 Эта составляющая определяет динамические свойства системы. Итак, имеет мест картина: y(t) = 1(0 - вход системы;
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 53 jc(r)=C0l(r)+C1^/+C2^24... + C^v - выход системы. Очевидно, в работоспособной системе, если на вход подается ступенчатый сигнал 1(0, то и выход также должен быть постоянной величиной, т.е. Col(r). Этому «мешает» составляющая хп (t). Отсюда ясно, что в работоспособной системе *п('Нц—>0. (1.76) Система, для которой выполнено условие (1.76), называется устойчивой. Если выполняется условие (1.76), то на выходе системы можно наблюдать два случая (после затухания хп (?)): 1) co*i и *(0=coi(0«i(0; 2) Со=1 и x(t)=y{t)=l(t). Таким образом, характер изменения выходного сигнала (управляемой величины) может иметь вид, приведенный на рис. 1.31 (первый случай) и рис. 1.32 (второй случай). Максимальное динамическое (1-77) х(0, Максимальное статическое отклонение Рис. 1J1. Выходной сигнал системы при y(t) = 1(0 и Сф 0 Максимальное динамическое отклонение Рис. 132. Выходной сигнал системы при y(t) = 1(0 и С = 0 Вводимые ниже понятия имеют важное значение для характеристики качества работы системы. Составляющая вынужденного сигнала xn(t) называется переходной составляющей. Переходная составляющая, с физической точки зрения, порождена инерционностью системы (например, в системе управления кораблем момент инерции отличен от нуля и, в связи с этим, изменение курса происходит с некоторым запаздыванием).
_54 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Составляющая вынужденного сигнала ху (г) называется установившимся сигналом. Таким образом, вынужденный процесс хв (t) состоит из двух составляющих: переходной, порожденной полюсами ПФ системы, и установившейся, порожденной полюсами воздействия (в данном случае s0 = 0). Режим, при котором составляющая хп (t) отлична от нуля (не затухла), называется неустановившимся или переходным (динамическим) режимом. Режим, при котором xn(t)**O (составляющая xn(t) затухла), называется установившимся или статическим режимом. Разность между входом y(t) = 1(0 и выходом в установившемся режиме называется статическим отклонением или установившейся ошибкой (см. рис. 1.31); Разность между максимальным отклонением при хп (t)^0 и статическим отклонением, характеризующая величину так называемого перерегулирования, представляет собой динамическое отклонение. Время, по истечении которого динамическое отклонение, порожденное наличием д:п \t) Ф 0, становится и далее остается меньше некоторой заданной малой величины, представляет собой время управления Ту . Часто говорят, что время управления Ту (или, что то же - время затухания хп (t)) характеризует быстродействие автоматической системы: чем меньше время затухания хп (t), тем более быстродействующей является система. Система, у которой статическое отклонение (ошибка в установившемся состоянии) e(f)*O при y(t) = l(t), называется статической. Система,у которой статическое отклонение e(f)sO при y(t)-\(t), называется астатической. Для статической системы характерно следующее [161]: 1) равновесие системы имеет место при различных значениях регулируемой величины x(t) (отработка входа с ошибкой); 2) контур управления состоит из статических (безынерционных) звеньев, реализующих безынерционное преобразование ^вых(0=/кх(0). ^ (1.78) Для астатической системы равновесие системы достигается при единственном значении выхода, когда x(t) = y(t) (отработка входа без ошибки). Любое воздействие, поданное на систему, вызывает в ней динамический режим, по окончании которого система переходит в новое установившееся состояние. При статическом отклонении, не равном нулю, можно выделить следующие типы переходных процессов (они определяются составляющей xn(t)) (рис. 1.33) [161]: колебательные (кривая 1), в которых имеет место два и более число перерегулирований; малоколебательные (кривая 2), в которых число перерегулирований равно единице; без перерегулирования (кривая 3), в которых x(t)<x(oo) для всех te [0,«>); монотонные (кривая 4), характеризующиеся тем, что скорость изменения выхода не меняет знака в течение всего времени Ту.
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные сау jj 0 i /- / 1 ^ 4 / А Рис. 1.ЭЭ. Основные типы переходных процессов Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие y(t) = 1(0 при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой (ПХ) системы (для нее существует специальное обозначение h(t)). Приведем основные параметры ПХ (рис. 1.34) [153, 161]: но1 flyer / Лтах2/ 1 1 Т / •/max \; \ \ Т / V / 1 / 2А t Рнс. 1.34. Переходная характеристика системы • время управления Ту (время переходного процесса) - минимальное время, по истечении которого выходная величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью t)-h уст <А \ft>TD; • перерегулирование с, %, определяется выражением К a=kmaxl ^уст100%; ►уСТ в реальных системах обычно а = (10-30)%, но в некоторых случаях допускается до 70 %; • статическое отклонение (1.79) (1.80) (1.81) (1.82)
ЪЬ Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I • частота колебаний процесса h(t) © = —, (1.83) где Т- период колебаний; • время установления Тн - абсцисса точки пересечения с уровнем установившегося значения hyCT (иногда Гн называют временем нарастания); • декремент затухания «=Ь=^Ц; (1.84) Р*тах2"~Луст| • число колебаний п (число максимумов hit)). При анализе систем рассчитывают параметры ПХ и делают вывод о качестве работы системы. При синтезе систем обычно задаются допустимыми значениями параметров переходной характеристики, например с<сД0П; Ту <Гудоп; ж< хдоп. (1.85) 1.4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ: ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ Ранее уже отмечалось, что если известны изображения входа Y(s) и передаточная функция W(s), то по формуле (1.27) можно найти изображение выхода, а путем обратного преобразования - и сам выходной процесс. Таким образом, передаточная функция полностью характеризует динамические свойства системы (при нулевых начальных условиях). Введем понятие дельта-функции 8(0. Дельта-функцией называется функция, которая обладает следующими свойствами: 8(0 = |Г ПРИ' = °; Ь(0А = 1. (1.86) w [0 при г * 0, ^ w Иногда 8(0 вводят как производную от единичной функции 1(0, т.е. в(0-1'(0«|1(0- (1-87) Дельта-функция имеет производные любого порядка. Поскольку L{l(r)} = l/s , то, учитывая (1.87), имеем L{8(0} = 1, т.е. изображением 8(0 является единица. Теперь найдем изображение выхода, если входом является 8(0 - дельта-функция. Реакцию САУ на единичное импульсное воздействие, т.е. на 8(0 на входе при нулевых начальных условиях называют импульсной переходной или весовой функцией (ИПФ) системы K(t). Найдем изображение ИПФ L{k(t)} = W(s)L{8(t)} = W(sy\ = W(s). (1.88) Отсюда следует важный факт: передаточная функция равна изображению по Лапласу от ИПФ и соответственно k(t) = I7l{w(s)}. (1.89)
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 57 ИПФ, как и передаточная функция, является исчерпывающей характеристикой САУ при нулевых начальных условиях. ИПФ имеет вид, представленный на рис. 1.35. Рис. 135. ИПФ системы Найдем соотношение, связывающее входной сигнал y(t)9 выходной процесс x(t) и ИПФ. Имеем Г'{Х(.)}=Г1{И'(5)У(5)}. (1.90) Зависимость (1.90) представляет собой изображение вынужденного сигнала системы; формула для вынужденного процесса во временной области имеет вид: x(t) = jk(T)y(t-x)dT = k(t)*y(t). (1.91) о Эта формула, как и зависимость (1.90), справедлива при нулевых начальных условиях. Изложим алгоритм построения fc(f-x) по известному ДУ системы вида Х«,*(У) = Я'). v=0 учитывая, что с математической точки зрения к (г - х) - это решение однородного ДУ E<VC(V)=O v=0 при следующих начальных условиях *r>(,-x)|f=T=i. Найдем частное решение (1.92) для любого те [0;Г] по формуле *(f-x) = q (x)Xl(t)^c2 (т)х2(г)+... + сЛтК(0> где xk(t), к = 1,п - фундаментальная система. Пусть В (X) = Хп + ап^Хп~1 +...+а{Х + а0 = 0 4 Зак. 232 (1.92) (1.93)
58 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I - характеристическое уравнение ДУ (1.92), А,,,А,2,...,А.П т- корни характеристического уравнения (простые, кратных нет). Тогда фундаментальная система имеет вид ф(') = {** (0яе**': * = Ц-. (1-94) Поскольку /fc,v(f-xM =0, v = 0,>i-2; ^"""(f-x)! =1, то общая формула для расчета с„ (т) запишется так х,(х) *j(t) *,'(х) д£(т) дГ>(х) д^>(т) v(«-l) (х) С2(х) = '(Г 0 1 Но т.к. *(0-fc(0-eV: * = 1>4 то система имеет вид «Л* рХ2х А,т Х.е^ \гех* А..е*-Т = 0 1 (1.95) (1.96) (1.97) Или Х(«-1)еХ,т X(2«-DeM ... х<«-1)еХ,.т с, (т)ех'т + с2 (т)еХ2Т +... +'с„ (т)Лт = 0; с, (т)*,^'+с2 (т)Х2е^т + ...+с„ (т)А.„Лт =0; (1.98) с, (x)A.rV'T+с2 (т)Г2-2^ + ...+ся (т)ХГ2**"* = 0; с, (х)ЛГ'ех'т + с2 (т) А.Г1 вХгТ + -+с„ (х)^'1 Лт = 1. Для решения этой системы уравнений умножим предпоследнее уравнение на Х„ и вычтем из последнего. Этим мы исключим из последнего уравнения неизвестную с„(х). И вообще, если мы вычтем по очереди из каждого последующего уравнения предыдущее, умноженное на Х„, то мы исключим с„(х) из всех уравнений, начиная со второго. В результате получим систему (и - 1) уравнений. Далее исключается неизвестная с„. i(x), ся_2(х),..., с2(т). В результате получим следующие зависимости (после некоторых преобразований) ^•щ^-^-щ^*" С"(Т)-^ГЧ Г^ех"=У—1^('-т> Таким образом, ядро к=\ Ы\В\Кк) k=\ti КАк) Напомним структуру фундаментальной системы (имеются кратные корни): (1-99) (1.100) 5' .5'
Глава L Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 59 Тогда, используя предыдущие рассуждения, получаем зависимость -1У- где (1.101) (1.102) lx=xA Можно рассуждать и следующим образом. Поскольку av= const, v = 0,n-l; йл 2= 1, то имеет место следующая зависимость *(6)-сЛ(5)+ад(5)+-.-+^л(§). (I-"») где § =ь t - х (положим t« 0), причем *(«U a *4 (§)U - - - kt2) («U - о; *Г (^,=o=! • (U04) Постоянные ci, c^ . • •♦ сй определяются из системы Г 1 1 - 1 ^ }2 л2 Aj A2 Л1 л-1 л л-1 .» х\ п-1 (1.105) Если Xi,X2,..'.,XK - простые корни, то q =l/B'(Xt). Отсюда имеем Так как ^ = г - т, то можно записать общее выражение для k(t - х) *(*-х)-х - 1 AM Расчетная формула для построения вынужденных колебаний имеет вид 0 t=lB \Kk) 0 *=1 (1.106) (1.107) (1.108) (1.109) Интегральное соотношение (1-91) называют интегралом свертки или интегралом Дюамеля. Для него справедливы следующие основные свойства: коммутативный закон f\{t)*f2(i) = f2(t)*fl{t)9 т.е. J/iW/2(^xyT = f/2(x)/1(r-x)Jx; (1.110) о о ассоциативный закон /1(0*[/2(')*/з(0]=[/|(0*/2(0]*/з(0; ' а-»" дистрибутивный закон 4*
60 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I М*)*Ш*)+М*)]=Ш*М*)+М*)*М*)- (1Л12) Графическое представление свертки входного сигнала y(t) и ИПФ к(х) изображено на рис. 1.36. i со (2) /—-\ (?) © © © © © y(t) t y(t) т у(х) у(т) т —. }*(»,-т)у(х 0 1 )dx = x(tl)- *(т: --—■ / Ц т) *( — ■ ■— t т т ti-T)y(x) Рис. 1.36. Графическое изображение свертки Найдем связь между ИПФ и ПХ. Имеем H(s) = W(s)i. (1.113) Отсюда находим sH(s) = W(s). (1.114) Так как при нулевых начальных условиях умножению изображения на s соответствует дифференцирование в области времени, то из (1.114) следует Л(0 = *(0- О-115) Пример 1.5. Рассмотрим RLC-цепочку (рис. 1.37). L R -О Уравнение цепочки или стандартная форма записи Рис. 1.Э7. Схема tfLC-цепочки LCx' + RCx' + x = Ky(t), T2x" + 2Tfy' + x = Ky(t),
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 61_ причем Г = yfLC; \ = R>fc/2yfL , где Г - постоянная времени цепочки; £ - коэффициент демпфирования; К - коэффициент усиления. Входные данные: Г = 0,3; 5 = 0,2; К = 1; y(f) = 4e~2t cos8f. Необходимо записать выражение для вынужденного колебания на выходе системы в форме интеграла свертки. 1). Характеристическое уравнение 5(Х) = Х2+1,ЗЗХ +11,11 = 0. 2). Корни уравнения определяются формулой Ч, - ~2П*У -4Г2 --I*^Д Ч, -0.6666. Д2659 ■ 3). Построение ИПФ: имеем Я'(Л) = 2А,+ 1,33, тогда *w=^eX"+ifeeX!l=0-304e"a6666'sin3'2659i- 4). Выходной сигнал определяется зависимостью t X(t) =4-a304je-0'6666(/"T)sin3,2659(/-T)e-2Tcos8Ti/T. о Рассмотрим уравнение вида jc' + jc = 1(0. Входные данные: Г= 1; § = 0; y(t) = l(f). 1). Характеристическое уравнение X2 +1 = 0. 2). Корни уравнения X, 2 = ±У . 3). Таккак Я(Х) = Х2 + 1,то В'(\) = 2\ . Поскольку B'(+j) = 2j; B'(-j) = -2j,то = — i/(cosr + ;sinr) + -./(cosr-i/sinr) = sinr. 4). Выходной сигнал, выраженный через ИПФ системы x(t) = f sin (r - i)l(x)dx = f [sinf cost - cosrsinxjl (x)di. 0 • 0 Изложим второй подход, использующий фундаментальную систему. Так как Xl = j\ X2 = ~j ~ корни характеристического уравнения, которым соответствуют следующие элементы фундаментальной системы: jcj(/) = cosr, Jt2(f) = sin/,TO k(t-z) = cl(x)xl(t) + c2(z)x2(t). Составим систему алгебраических уравнений с{ (x)cosx + c2 (x)sinT = 0; -c1(x)sint + c2(T)cosT = l. Отсюда находим cosx sinxyc^xJ^fO -sinx cosxllc2(x A,(x)= 0 sinx 1 cosx = -sinx; A2(x) = cosx 0 -sinx 1 Отсюда , v sinx . / ч cosx c1(x) = = z—= -smx; c2(x) = = cosx. 1V ; cos2x + sin2x 2V ; 1 ИПФ определяется соотношением fc(f-x) = -sinxcosf + cosxsinf . Рассмотрим уравнение вида x"+x'+x = \(t), дс(О) = О, дс'(О) = О . Входные данные: Т = 1;> § = 0,5 ; У (О = Н0.
JS2 Анализ и статистическая динамика САУ, Часть I 1). Характеристическоеуравнение Я(А,) = А,2+А- + 1я0. 2). Корни характеристического уравнения А,12 = -1/2 ± /V5/2. 3). Построим ИПФ; учитывая, что B'(\) = 2\ + U имеем k(Л = _* e(-i/2+7V3/2)/—1 е(-1/2-у>/з/2)/ = W ;7з % 7V3 = 1 /e(-l/2+;V3/2)r+ 1 /е(-1/2-Ул/3/2)г ^ 2 -^6inTf t Тз-7 7зу л 4). Вынужденный сигнал на выходе системы имеет вид *(O-J^'^rin^(i-t)l(T)rff. 1.5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ: ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ При рассмотрении вынужденных колебаний систем при подаче на вход гармонических колебаний важную роль играют частотные характеристики, Их роль особенно заметна при исследовании устойчивости, а также при синтезе корректирующих устройств (регуляторов). Особую роль при разработке частотных методов сыграл В.В. Солодовников [153]. Передаточная функция W(s) определяется зависимостью: ]k(ty*<h = ]k(t)e-"t-*"dt*W(s). ' (1.И6) о о Пусть k(t) абсолютно интегрируема, тогда можно записать (можно положить ст = 0) |*(r)e->'^ = W(;(o) = |M, (U17) где X(ja) = ]x(tyjmdt о - одностороннее преобразование Фурье выхода; Y{ja) = ]y(t)t-*»dt О - одностороннее преобразование Фурье входа. Выражение (1.117) запишем так: ■^H'Wl'r-'gp*»- «-us,
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 63^ Обозначим | W (усо) | = А (со); | X (усо) | = Ах (ш); | Y (jw) | = Ау (со) - модули соответствующих функций. Тогда Теперь можно записать АН=7Т^; Ф(а))=ФлН-фЛ(0)- (112°) Если ап(7а))п+ап.,(уа)Г'+...+а0 с(а>)+#(а>) (j ^ c2((o)+d2((o) то A(o)) = Jp2(o))+G2(co); (1.122) 9((o) = arctg "СИ" (1.123) P(O))J Дадим некоторые определения. Комплекснозначная функция JV(J(ui) называется комплексной частотной характеристикой системы (КЧХ) или ймплитудно-фазовой, частотной характеристикой (АФЧХилиАФХ). Функции Р((О) и Q((O) называются соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками. Функции А((й) и ф((0), определяемые зависимостями (1.122) и (1.123), называются соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками. На рис. 1.38 представлены типовые АЧХ и ФЧХ системы. Частотные характеристики определяются следующими показателями: • показатель колебательности М = Amax(co)/A(0) (этот показатель характеризует склонность системы к колебаниям; чем выше М, тем менее качественна систе-1 ма; как правило, в реальных системах 1,1 < М < 1,5); • резонансная частота сор (частота, при которой АЧХ имеет максимум; на этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление); • полоса пропускания системы (интервал от со = 0 до Сйо, при котором выполняется условие А(ооь)£0,707А(0); (1.124) • частота среза соСр - частота, при которой АЧХ системы принимает значение, равное А(0),т.е. д(соср) = Д(О) (1.125) (на рис. 1.38 условно принято А(0) = 1). Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса; справедливо соотношение
64 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Гу«0 + 2> 271 (О, (1.126) ср А(со) 0,707Д(0) ф(со) Авах(СО) > А(0) АЧХ О)р О)ср ш0 (О Рис. 1.38. АЧХ и ФЧХ системы Таким образом, можно сделать важный вывод: чем шире полоса пропускания, тем система является более быстродействующей. Если же полоса пропускания является постоянной для всех частот на (-<»,+<») (рис. 1.39), и, следовательно, 0)ср = «>, то система является безынерционной, у которой Ту = 0. Этот вывод следует из формулы (1.126). Поскольку система с бесконечной полосой пропускания (рис. 1.39) безынерционна, то ИПФ такой системы равна 8(0, а ПХ равна l(t) (т.е. входные сигналы отрабатываются без искажения). Далее рассмотрим закон преобразования гармонических сигналов линейными системами, имеющими А(со) - АЧХ и ф((о) - ФЧХ (рис. 1.40). А(ш) -О) +0) Рис. 1.39. Бесконечная полоса пропускания системы
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 65 y(t) = y0cos Gty W(jto) = А((й)еМ(й) *«-? -► Рис. 1.40. Преобразование гармонических сигналов Имеем (рассматриваем установившийся режим работы системы, для чего верхний предел интегрирования берется равным <*>) у(0=л—Y'—' тогда х(0 = /*(т)у(^т)Л = ^/*(т)[еЛ(«)+е-^м>]л = о о = ^e^Jit(x)e-^Tdx+^e-^Jit(x)e^Tdx = 2 о 2 о = у0А((00)^—| +)ИМ j = (».127) * / \С С ТС С = )ИЫ 2 = еУ(оу+Ф(«ь))+e-y(«v+4K«b)) = Jo A (coo) = у0А (ш0 )cos (щг+ф (соь)). . Результат имеет вид Л:(г)=^0А((00)сО8(0)0Гтф((00)) = Л0СО8(0)0Гтф(0)0)). Результат (1.128) можно трактовать так: если на вход системы подается косину- соидалъный сигнал с амплитудой у& то на выходе в установившемся режиме имеет место также косинусоидальный сигнал с той же частотой, но уже с другими амплитудой и фазой: амплитуда выхода равна х$ = )>оА((00), а сигнал имеет сдвиг фазы ф((00). Полученный факт используют для экспериментального определения А(со) и ф(ш). Для определения одной точки А(сйо) и ф((00) на вход системы надо подать гармоническое воздействие y(t) = y0costo0t, (1.129) имеющее конкретную угловую частоту соо. В результате в системе возникнет переходный процесс (имеет место составляющая Xa(t)) и установившиеся колебания с частотой Сйо. После затухания переходного процесса (т.е. в установившемся режиме), если система устойчива xn(t)—»0 (t—»°°), на выходе будут иметь место установившиеся колебания с частотой (Оо, равной частоте воздействия, но отличающиеся по амплитуде и фазе. Одна точка АЧХ (А(сйо) и ф(сйо)) определяется зависимостями
66 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I 1 Уо Ф(о>о) - сдвиг фазы выходного сигнала .по отношению ко входу. Аналогично можно построить все точки АЧХ и ФЧХ (рис. 1.41). y(t) Динамическая система или звено x(t) x(t) Xq = А((Оо)уо фЛ-ф =ф((00) Рис. 1.41. Экспериментальное определение частотных характеристик динамической системы (динамического звена): а - система или звено; б - процессы на входе и выходе Логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ или ЛАХ) системы называется график функции L (со) вида L(o)) = 201gA((o) = 201g|w(;co)|, (1.130) где ^ W(jco) = >/P2(o))+Q2((o); (1.131) P(co) = ReW(./co); Q(v) = ImW(jv>). (1.132) Единицей измерения является децибел. По оси абсцисс откладывается частота 0)[1/с] в логарифмическом масштабе (рис. 1.42). Равномерной единицей на оси абсцисс является декада. Декада представляет собой промежуток, на котором значение частоты увеличивается в 10 раз (рис. 1.42). Частота cOq,, на которой До) пересекается с осью абсцисс, называется частотой среза* Поскольку lgl = 0, то начало координат чаще всего берется в точке со = 1 (исключая точку (0 = 0, т.к. lgO = -«>). Таким образом, начало координат можно брать в любой точке (в зависимости от интересующего нас диапазона частот, например: со - 0,05, (0 = 0,1,со=1,со = 10 или другие), исключая точку со = 0. Обычно начало координат помещают в точке со = 1. Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХили ЛФХ) называется график зависимости ф (со) = Arg W (jco).
Глава 1» Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 67 Цдб] ▲ Промежуток усиления А>1 амплитуды входного сигнала Промежуток ослабления амплитуды входного сигнала ф[град] ^ 90° 0f0l ОД оо 1 10 100 1000 «90° со сек] Рис, 1.42. Логарифмические частотные характеристики При построении логарифмической фазовой частотной характеристики отсчет углов ф идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах. По оси абсцисс откладывается по-прежнему частота со в логарифмическом масштабе. Важно иметь s виду, что ось абсцисс соответствует значению А •■ 1, т.е. прохождению амплитуды входного сигнала через звено в натуральную величину. Верхняя полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям А > 1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость - значениям А < 1 (ослабление амплитуды). 1,6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗВЕНЬЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ И ИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Структурную схему системы можно представить как соединение типовых элементарных звеньев, порядок дифференциальных уравнений которых не выше второго. Цель настоящего параграфа - рассмотрение динамических характеристик типовых звеньев; они строятся с использованием тех алгоритмов, которые изложены в предыдущих параграфах, Усилительное зэено, Уравнение звена имеет вид *(г)-*у(О. (1.133) Передаточная функция; имеем X(s) = KY($), откуда Y(s) (1.134)
68 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I ИПФ: k(t) = Kb(t) = L~l{W(s)\9 ПХ: h(t) = Ux I - W(s)\ = К -1(0 . Частотные характеристики: КЧХ: W( ja) = К ; АЧХ: A(w) = К ; ФЧХ: ф(ш) = 0. ЛАЧХ: L((0) = 201g*:. Интегрирующее звено. Это звено имеет следующую передаточную функцию (1.135) W(s) = ±. s Примеры интегрирующих звеньев приведены на рис. 1.43 [153]. x(t)=e(t) О . ^ м=т а б Рис. 1.43. Примеры интегрирующих звеньев: а - электродвигатель постоянного тока; б -резервуар с входным трубопроводом Очевидны следующие зависимости для динамических характеристик: ИПФ имеет вид t(0 = if-1(0; ПХ запишется так: h(t) = Kt. (1.137) Графики k(t\ h(t) приведены на рис. 1.44 и 1.45. (1.136) КО i К i КО i К Рис. 1.44. ИПФ интегрирующего звена Рис. 1.45. ПХ интегрирующего звена Построим частотные характеристики. Имеем передаточную функцию: W(s) = -. s Отсюда JL = -*L = -jL = Р(со) + jQ(co), где С(ю) = —. 7*0) (о со (о (1.138)
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 69 Амплитудно-фазовая характеристика W(j(o) определяется формулой .... , ч л. л. J~ Щ/со) =— = —е 2. усо со При изменении частоты со от 0 до «> конец вектора W(j(u) движется по отрицательной части мнимой оси от -«> до 0 (рис. 1.46). со = °° Р(со) W(ja) Рис. 1.46. АФХ интегрирующего звена Интегрирующее звено создаёт отставание выходного гармонического сигнала на 90° на всех частотах (рис. 1.47); амплитуда выходного сигнала уменьшается с возрастанием частоты (рис. 1.47). Д(со) | ФМ -90° СО (О Рис. 1.47. АЧХ и ФЧХ интегрирующего звена АЧХ имеет вид: А(со) = >2(со) + (22(со) = }^- =—; ф(со) = -90°. (1.139) со" со Графики А(со) и ф(со) приведены на рис. 1.47. Выражение для логарифмической частотной характеристики запишется так: Дсо) = 20 lg А(со) = 201g— = 20 lg К - 201gco. (1.140) со В зависимости (1.140) - график прямой линии, поскольку Д(0) = Ко + К{ lgco, т.к. ось абсцисс —lgco. Построим (1Д40). Имеем со = 1; тогда 201gAT — 201gl = 20lgAT. Пусть со = 10 ; находим значение ЛАЧХ: Z.(10) = 201g AT - 201g 10 = (lg 10 = log1010 = 1) = 201g AT -20. (1.141) Таким образом, имеем график (рис. 1.48).
70 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I 201gA((o),flBi k Наклон = - 20 дБ/дек. (l,201g/0 Ф(со) i 0 -90° 20igX^; 0 ' ,0,1 20 ^^С^ 1 1 декада 1 1 [10; "*> 0 201g£-20) Рис. 1.48. ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена Из этого рисунка видно, что при изменении частоты на одну декаду значение ЛАЧХ изменится на - 20 дБ. Следовательно, она имеет вид прямой. Апериодическое звено. Дифференциальное уравнение имеет вид a{x+aox = boy. (1.142) Примеры апериодических звеньев представлены на рис. 1.49. х(0=т2(0 y(t)=Px(t) -о Вен тиль x(t)= у(О=т,(О Рис. 1.49. Примеры апериодических звеньев: а - электрический RC-филътр; б-резервуар с сжатым газом; в - процесс закалки детали в жидкости Получим передаточную функцию alsX(s) + a0X(S) = b0Y(s). Отсюда X(s)_ b0 _ bo/ao _ К (1.143) (1.144) Y (s) a{s + a0 (ajao)s + l Ts + l Величины КиТ соответственно называются коэффициентом усиления и постоянной времени апериодического звена. По известным формулам достаточно просто получить зависимости, определяющие импульсную переходную функцию и переходную характеристику: К — k(t) = L-l{W(s)}=^e T,t>0; h(t) = irll±W(s)\ = K 1-е Т , f>0. (1.145) (1.146)
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 71 Функции k(t) и h(t) изображены на рис. 1.50 и 1.51. Ш) \ h(t) * т Рис. 1.50. ИПФ апериодического звена Рис. 1.51. Переходная характеристика апериодического звена Найдем частотные характеристики. Имеем следующую зависимость: К _К K(T(-jto) + l) W(s) = - Ts + l T/w+1 (r(jo)) + l)(r(»j(o) + l) ^-KT(j(Q) + K^ К . -КТ(й rV+i "гУ+i jtW+i - = P(0)) + ;Q((0). (1.147) АФХ апериодического звена определяется формулой W(» = К Т/со+1 -yarctgr© и имеет вид (рис. 1.52). ;Q(o>) Рис. 1.52. АФХ апериодического звена Выражение для АЧХ имеет вид: А(со) 1 \(TW К2Т2(О2 К 7' оо о-оо „! + Г2(О2=-/ + 1)2 (Г2о2 + 1)2 Г2ш2 + 1 VrV+l ФЧХ определяется формулой ф(о) = AigW(j(u) = -arctgcor. Графики А (со) и ф(со) изображены на рис. 1.53. (1.148) (1.149)
72 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I А(<ю), к 0 ф((0)- 0 -45° -90° \ \. АЧХ со=1/г\^ О), 1/с < ФЧХ Рис 1.53. АЧХ и ФЧХ апериодического звена ЛАЧХ определятся формулой со* 201gA((o) = 201g^-201gVl + rW=201gA:-201gJl + ^r, щ где щ = частота сопряжения. Рассмотрим три случая: (1.150) 1). (0« 0)!; тогда можно записать (О (1.151) 201gA(w) = 201g£-201gJl + ^ = 201gA:-201gl = 201g*:. На частотах ©«(ty ЛАЧХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. 2). со»(Of, тогда 20lg А((0) = 20lg К - 20lg—. (1.152) 3). Рассмотрим, чему равна Цш) при (й = щ и (0 = 10(0!. Пусть (й = (д{, тогда из (1.152) находим 201gA((01) = 201g^-201g^L = 201gAT-201gl = 201gA:. Пусть (о = 10©!, тогда 201gA(10co1) = 201gtf-201g^- = 201gtf-201gl0 = 201g*:-20. ЛАЧХ представлена на рис. 1.54 и рис. 1.55. 20 lg А((о) = L((0) | Прямая с наклоном -20дБ/дек. (1.153) (1.154) О)! =1/7 10(0! ^*(0, 1/С Рис. 1.54. Приближенная (асимптотическая) ЛАЧХ апериодического звена
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 73 Ц(й), Ф(со), -45° -90° 201ёК (й«Щ co^l/Г Точная L(co) Приближ >' (асимпто ^(0, 1/с со, 1/с — — Рис. 1.55. ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена Колебательное звено. Имеем уравнение a2x"+alx'+a0x = b0y(t). (1.155) Примеры звеньев, описываемых уравнением (1.155), приведены на рис. 1.56 [153]. L R & V Рис. 1.56. Примеры колебательных звеньев: а - RLC - колебательный контур; б - механическая система (т - масса, ку - коэффициент упругости пружины, £ - коэффициент демпфирования) Звено, описываемое уравнением (1.155), называется колебательным. Найдем ПФ; имеем (1.156) a2s2X(s) + axsX(s) + aoX(s) = boY(s). Тогда
/4 Анализ и статистическая динамика w\y. iacib i bo bo/ao К (1.157) где X(s)= Y (s) a2s2+axs + a0 (a2/a0)s2+(a{/a0)s + l Г252+2£7Ъ + Г a0 a0 a0 Параметры К,Ти% называются соответственно коэффициентом усиления, постоянной времени и коэффициентом демпфирования (колебательности) колебательного звена. При различных значениях i; имеют место следующие звенья: £ = 0 - консервативное; £>1 - апериодическое 2-го порядка; ^ 6(0,1) -колебательное звено. Запишем выражения для ПХ и ИПФ колебательного звена (рис. 1.57 и 1.58) -1 h{t) = Ul №s) M-'t'-T'MH] где r = Vl-£2; q> = arctg(r/£). ИПФ определяется выражением (рис. 1.57) t(0 = ^-*^sin^r>0. k(f) = h'(t) /Л О 0,8 U,o 04 v,t 02 0 -0,2 -0,4 -0,6 С г И I /\ Г ) 2 V V 1 1 =0,1 25 1,5 f У 1,0 / (г ) i \ т 1 1 * Г (1.158) (1.159) (1.160) Рис. 1.57. ИПФ колебательного звена (t =— ) Частота г (00 = — = - 1-е называется частотой собственных колебаний системы. С учетом введенного определения,
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 75 Пусть i; = 0, тогда кг £(0 =—е~^/т sin city, t > 0. К 1 К k(t) = jsmjt =—sina>of, (1.161) где 0)0 = 1/Г - собственная частота системы, или jfc(f) = Кщ sino)or. (1.162) Положим, что внешняя сила (воздействие) определяется так y{f) = Asin(G)or+cc). (1.163) Тогда x{t) = jsin(co^r + а —) = At sin(Gty + ф) - амплитуда выходного сигнала линейно растет, с ростом t и может стать сколь угодно большой. Это явление называется резонансом. Для многих систем явление резонанса является вредным или даже разрушительным. Если y(t) = Asin((or + cc), и со* со0, но |(0-(00| - достаточно мало, то имеют дое- сто колебания в форме биений. V) i 1 О 1,о 1 (L 1,0 1 И 1,4 1 *> 1 л 1,U П Q U,i5 U,D 0 ^1 П 0 u,z i / / V 1 / / f / "\ > V- =1,0 = 0,1 -0, \ 25 > J / J L r 3BBB 0123456789 - t Рис. 1.58. ИПФ колебательного звена (t = — ) T Перейдем к рассмотрению частотных характеристик. Найдем АФХ звена: К К W(j(0) = Г2(уш)2 + 2Г£(;(0) +1 -Г2(02 + у2Г§ш+1 А:[(1-Г2(О2)-у2Г^(о] [(-Г2о>2 +1) + у2Г£(о]+[(1 - Г2(02) - ;2Г^(о]
/и /\нал*и и сшшничакал динамика w\.у. ~iaciь i = K(l-T2a>2)-j2T$K(u^ £(1-Г2(О2) (1-Г2со2)2 +4Г242Ю2 (1-Г2о2)2 + 4Г2£2со2 2Г£ЛГо> -7 г2,.ч2ч2 ■2к2/л2 (l-rV)z+ 47^(0 = Р((0) +7(2(ш). АФХ колебательного звена представлена на рис. 1.59. ;G(to)ik (0 = оо tf (О Рис. 1.59. АФХ колебательного звена Найдём АЧХ звена Л(со) = V^2(co)+Q2(co) = |W(jco)| = r(i-rV) 2^2ч2 4r2|^V = л: [(l-rV)2+4r4V]2 [(l-rV)2 + 4rWf I (1-Г2ш2)2+4Г2^2о>2 ^ |[(1-7'2а)2)2+4гЧ2(02]2 7(1-Г2(О2)2+4П20)2 л: >/[1-(а)/(о1)2]2 + 4^2(о)/(о|)2 где (1.164) (1.165) со, 4 Частота ofy как в случае апериодического звена, так и в случае колебательного звена называется сопрягающей частотой. ФЧХ имеет вид (£е (0,1)): ф(0)) = ^ при0)4: 2Гео$ I -n-arctgirW,npH(O>-. (1.166) Графики А((о) и ф((0) изображены на рис. 1.60.
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 77 1=0,4 Рис. 1.60. АЧХ и ФЧХ колебательного звена Построим асимптотическую ЛАЧХ; рассмотрим несколько случаев. 1). Пусть ««(Oj; в этом случае имеем А((0)« К\ 201gA((0) = 201g£. При со » €&!, ЛАЧХ представляет собой постоянную величину, равную 20 lg AT. 2). Если со» щ , имеем А(<£>) = - гаженные значения ЛАЧХ: 20lg А(со) = 20lg К - 201g( — 1 =. 201g К - 401g| — |. Отсюда находим приближенные значения ЛАЧХ: \2 L(G)) = 201gA(G>) [рямая с наклоном ^Ю дБ/дек. Ф(СО); -90° -180( Рис. 1.61. Асимптотическая ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена Возьмем две точки: (й = (й{ и (0 = 10(0!. Присело)! имеем 201gA((01) = 201g£; при о = 10(0! 201gA(10(01) = 201gAT-401g^^ = 201g^-40.
78 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Асимптотическая ЛАЧХ при (д>(й{ представляет собой прямую с наклоном - 40 дБ/дек. Эта ЛАЧХ представлена на рис. 1.61. Асимптотическая ЛАЧХ не имеет значительных ошибок при 1 > £ > 0,7 ; практически же при 0,5<£<1 можно пользоваться асимптотической ЛАЧХ; при £<0,5 необходимо учитывать «горб» (рис. 1.62). Кривые поправок представлены на рис. 1.64. 1 Цсо),дБ 10 0 1П -1U -20 { • ш -*- i { **• /у 1 1 \ 5=0,05 \_^0,10 л^:о,2о ^L^O0,25 « ^-0,80 Д=1,0 ч ч ч ч ч ч S ОД 0,2 0,3 0,4 0,50,6 0,8 1,0 2 3 4 5 6 8 о)Г Рис. 1.62. ЛАЧХ колебательного звена при различных значениях £ -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 Г! Щ о/ Ш Ш 0,4 0,5 Г/ v ^-4=0,05 ^"U,1U _^0,15 ^Z-0,20 ^0,25 Is. \^ ii i ш ш 1 d 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 2 3 4 ' 5 6 соГ Рис. 1.63. ЛФЧХ колебательного звена при различных значениях \
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 79 Ят,дБ 16 12 8 -8 > *^ -». i s 1 V у / «*^ *ч, ч S S i> \ S ч \ 1—- 5=0,05 .0,10 -0,15 .0,20 ,0,25 J0.3O 0,40 -0,50 " «^ 0,60 0,80 $=1,0 0,2 0,3 0,40,5 0,6 0,8 1 3 4 5 6 8 о)Г Рис. 1.64. Кривые поправок Нт для асимптотических частотных характеристик колебательного звеиа Дифференцирующее звено. Передаточная функция имеет вид W(s) = Ks. (1.167) Импульсная переходная функция и переходная характеристика определяются зависимостями k{t) = Kb(t)\ А(0 = ЛГ8(0. Частотные характеристики выражаются формулами: W(jw) = jKw; P((0) = 0; Q(co) = £о>; А(со) = Км; Ф(ш) = 7i/2;L((O) = 201gtf+ 201gw. (1.168) АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 1.65. А(ю) ' > ф((0)' л/2 /л и (О Рис. 1.65. Частотные характеристики дифференцирующего звена Логарифмические частотные характеристики изображены на рис. 1.66. ЛАЧХ дифференцирующего звена - прямая, проходящая через точку с координатами
80 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I (0 = l,L((o) = 201g£ и имеющая наклон +20дБ/дек; До) увеличивается на 20 дБ при увеличении частоты на одну декаду. Доэ) <р(а>) я/2 г20 дб/дек. Г 20\gK 0 1 а> Рис. 1.66. Логарифмические частотные характеристики дифференцирующего звена Запаздывающее звено. ПФ имеет вид W(s) = Ke"s\ Очевидны следующие соотношения: k(t) = Kb(t-i);h(t) = Kl(t-x). АЧХ и ФЧХ определяются зависимостями W(jv>) = Ke~Jm; А(ш) = К; ф(ш) = -сот. (1.171) В табл. 1.2 приведены основные динамические характеристики элементарных звеньев. Таблица 1.2 (1.169) (1.170) X Вид характеристики Уравнение Передаточная функция Передаточная характеристика h{t) ара I i ктерр ТрОПОрь (усилн безыне] jc(O i [стики эле щональное тельное, эционное) = *?(') L L г ме i нтарных звенье Тип звена Интегрирующее at 1 Ts /arctg^r r 7 i Апериодическ (инерционное * 7i + l ^H | oe 0 КО
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 81 т + j i ( КЧХ W АЧХ W ФЧХ ф Колебате 2 « X{t) , J А2 '' дс(О = Ау(0 Г0У+7 / А: 1 « * , (./со) (со) (со) льное 5 + 1 ► L i i ) х( 1 i к 4 1 1 кр(о>) Иде ^иффере 1-го Г г) = *|г h{t) i it Q) (0 = ) —► i ;аль :нци пор r/vff )) > on P((0) CO ► (0 Тип: ное рующее ядка 4 "I 14 ► 1 1 fP(co) к 1 i шен i i \ ' \< i А(ш) 1 i it a. Иде деффере 2-го Y(t\ _ Л./ dt K{1OS ih(t) ki k 7fi(o JO —> <■ C0=l Продо >) P«a) to альное нцирующее порядка Г2^2У(О , 0 *Л dt + y(t)) I , 7»p ,i\ + IS + I) ! ^ t 3) it i i q ; (0 = '7"Q( ^ ^0): it4 >(0))i c\ n/ /4 ^2 Sana x(t X 4 ► Q(co) M 0 ft e mat a» ^ = oo i co = здываю! ) = y(t- e i к Л J (0 = л. 7.2 |P(co) 1—. CO ► Yt CO дее • т) P(co) 7 Зак. 232
82 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть 1 J к ( ф(( -я/ /2 —1 iA Г (со) | I ^"^^^» 1 Ui 1 » 1 ,ф к А((0) / Ш (со) к^ i п/ /2 i .Я ■- Продо кА«в) 1—^ (0 Ш»=Хо >(w) лэн i i 71 2 ^Ф< ч tg ие табл. 1.2 i A(co) (0 :ш) ч/а со а = т\ 1.7. НЕКОТОРЫЕ ВЫВОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА АНАЛИЗЕ ЧАСТОТНОЙ И ВРЕМЕННОЙ ФОРМ ОПИСАНИЯ СИСТЕМ Выше были получены формулы, являющиеся стержневыми в теории стационарных систем. Одной из таких формул является X(ju) = W(ju)Y(j®)9 (1.172 где Y(ju) = ]y(ty*»dt; X(jti>) = ]x(tyjl0tdt; W(jv>) = ]k(tyj™dt 0 0 0 - односторонние преобразования Фурье функций y(t), x(t) и k{t). Если же комплекснозначные функции Х(/со), У(/(°) и W(/co) представить в показа тельной форме К(;ш) = Ау((0)е^(а)); X(jW) = A,(a))e;<(>»; W(y©) = А(о))е^т), то справедливы зависимости Л^(о)) = А((о)А),((о), ф(ю) = Фх(со)-Фу(со). (1.173 Из (1.173) следует, что модуль I X (усо) I = Ах (ш) выходного сигнала равен произ ведению А ЧХ системы на модуль | Y (j(u) | воздействия. Из (1.173) следует, что система изменяет спектральную характеристику на вхо де, действуя как фильтр, изменяющий частотные составляющие. В области, где А(со) > 1, частотные составляющие входа усиливаются по ампли туде, на промежутке же А(ш) < 1 они ослабляются, при А(ш) = 1 частотные состав ляющие остаются без изменения. Подобным же образом, в соответствии с зависимостью (1.173), изменяются фазовьк сдвиги каждой частотной составляющей сигнала при прохождении через систему. Пример 1.6. Рассмотрим цепь (рис. 1.67). Реакция на импульс, АЧХ и Y(j(u) представлены на рис. 1.68 - 1.70.
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 83 10м *—С y(t) 1ф **- x(t) Рис. 1.67. Схема цепи X(t) 2 4 Рис. 1.68. Реакция на импульс На рис. 1.70 показана спектральная функция входного сигнала (модуль ее очевиден). Формула Y(j(o) может быть получена исходя из следующих соображений. Л(со) = -0) -я -тт/2 я/2 п Рис. 1.69. АЧХ системы +0) Y(/co)^ -0) -П Рис. 1.70. Г(/со) входа системы Пусть имеется функция (рис. 1.71). П СО
84 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I (1 при |г|<т/2; y(t'~[0 при |г|>т/2. (1.174) -t 2 '2 т 2: Рис. 1.71. Стробирующая функция Найдем преобразование Фурье У(уш)= ? e-^rfT=-i-(e-^'2-e^'z) = T^^. ' J >Vrtv ' ((ОТ/2) (1.175) уш, ......... Функция Y(j(u) - действительная функция; ее график представлен на рис. 1.72. Из рисунков можно заключить, что цепочка значительно ослабляет высокочастотные составляющие входного сигнала и почти не ослабляет низкочастотные (в области | W(y(o)|«1); в связи с этим она может служить простейшим фильтром нижних частот. Y(/co) - » -tt/^S-S- -со -nlx^s -2nl% 2я/т ^^-^ nix со Рис. 1.72. Спектральная функция стробирующего сигнала На рис. 1.68 представлен выход x{t)\ он представляет собой искаженную копию входа y{t). Искажения вызваны тем, что цепь неодинаково пропускает все частотные составляющие входного сигнала. Сильно ослабляются высокочастотные составляющие. Это проявляется в более медленном нарастании и спаде выхода по сравнению со входом. Рассмотрим условия неискаженной передачи сигнала. Положим, что допускается следующее: 1) различие в амплитуде (но не в форме), т.к. важна форма, а не величина отклика; 2) выходной сигнал может запаздывать во времени относительно входа. Тогда x{t)=Ky{t-%). (1.176) Отсюда имеем ХО'со) = W(ju)Y(j(u) = Ke-jmY(j(u). (1.177) Следовательно, неискажающая система должна иметь передаточную функцию *<*>-Л-м-7$- (1.178) АЧХ и ФЧХ неискажающей системы представлены на рис. 1.73.
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 85 \W(j(o)\ = Kt \ [ 0 к ► \ (О \ ф(ю) = - ют \ Рис. 1.73. АЧХ и ФЧХ ненскажающей системы Как следует из предыдущего, для неискаженной передачи сигнала система должна иметь бесконечную полосу пропускания. В силу физических ограничений такую систему создать невозможно. В действительности удовлетворительное неискаженное преобразование можно получить в системе с ограниченной, но весьма широкой полосой пропускания. Энергия любого физического сигнала убывает с увеличением частоты, поэтому достаточно, чтобы система пропускала лишь те частотные составляющие, в которых содержится наибольшая часть энергии сигнала. Рассмотрим идеальный фильтр нижних частот; его АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 1.74. В идеальном фильтре частоты выше 0)ср полностью подавляются. А((о), ф(о>) J 0 -О) -ЮСр ф(СО) = -СОТ Х © Рис. 1.74. АЧХ и ФЧХ идеального фильтра нижних частот Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, можно найти ИПФ идеального фильтра нижних частот (рис. 1.75). Как видно из рис. 1.75, ИПФ отлична от нуля при отрицательных значениях т, в то время как 8(0 - входная единичная дельта-функция приложена в момент х = 0. Из этого можно заключить, что реакция на импульс появляется раньше воздействия (система как бы предвосхищает воздействие). Такие системы физически нереали- зуемы; создать систему с предсказанием невозможно. Следовательно, идеальный фильтр нижних частот физически нереализуем. Аналогичным образом можно показать, что идеальные фильтры верхних частот или полосовые фильтры также физически нереализуемы (рис. 1.76). При решении практических задач пользуются фильтрами, характеристики которых близки к идеальным. В качестве примера на рис. 1.77 приведен фильтр нижних частот, а на рис. 1.78 - его АЧХ и ФЧХ. Передаточная функция фильтра нижних частот имеет вид (рис. 1.77) i/[(i/*)+;coc] 1 v ' j(0L+l/[(l/R)+jaC] l-co2LC + 7"(o(L/J?) ИПФ определяется формулой (1.179)
86 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I »W-*^»*(£v). Входная дельта-функция 8(0 ВДА я/со. 'ср -t \~s +t Рис. 1.75. ИПФ идеального фильтра нижних частот |W(/<o)| N |W(/<o)| к Ш т -СО -СО, 'ср \чсоср со -0>о \^0)о. О) (1.180) ф((О) = -(ОТ ^ч ф(СО) = -СОТХ Рис. 1.76. Частотные характеристики фильтра верхних частот и полосового фильтра y(t) -ЯГ x(t) Рис. 1.77. Принципиальная схема фильтра нижних частот |W(/co)|,,l Ф(со) +71 J. -СО Рис. 1.78. АЧХ и ФЧХ фильтра нижних частот
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 87 Желательно найти признак, по которому можно было бы различать физически реализуемые и физически нереализуемые системы. Таким признаком является критерий Пэйли - Винера. Еще раз напомним, что в физически реализуемой системе не может иметь места реакция {отклик), начинающаяся раньше момента приложения воздействия. Это положение известно под названием условия причинности. Очевидно, отклик на единичный импульс в физически реализуемой системе должен быть равен нулю при t < 0. Ш) In са ер, Рис. 1.79. ИПФ фильтра нижних частот Критерий Пэйли-Винера формулируется так: для физической реализуемости системы необходимо и достаточно выполнения условия г |1п1У(7С0)| 1 + ОГ <ico<«>. (1.181) Если АЧХ не удовлетворяет критерию Пэйли - Винера, то система имеет непричинную ИПФ, т.е. реакцию, существующую до того, как к системе приложено воздействие. 1.8. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ, ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ, ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Все введенные выше понятия, а именно: понятия передаточных функций, ИПФ и ПХ, частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ и др.) - обобщаются на другие классы стационарных систем: системы с запаздыванием и системы с распределенными параметрами. Рассмотрим класс систем с запаздыванием. Он описывается дифференциальным уравнением (ДУ) с запаздывающим аргументом [45] E*v*(V) + 5 V(V)('-x) = yif). (1.182) v=0 v=0 Решение x(t) должно удовлетворять исходному ДУ при положительных значениях аргумента t и условиям: х(0 = §(0;*<=[-т,0]; х(0) = х0; х\0) = хх; ...; х(п-{)(О) = хп_1. (1.183) Полагаем, что начальная функция £(0 дифференцируема т раз на отрезке [-т,0] и х0 = 5(0); хх = £(0); ...; хт = £Г(0). (1.184)
Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Введем обозначения N(x(t)) = XavJc(v)(0;M1(^-x))= ]>>vJc(v)(f-T). . (1.185) v=0 v=0 При этом полагаем, что п > т (уравнение принадлежит к запаздывающему или нейтральному типу) [45]. С учетом введенных обозначений исходное ДУ запишется так: N(x(t)) + M{(x(i->c)) = y(t). В [45] показано, что x(t) при известных условиях - оригинал. Поэтому сразу же, используя этот факт, получаем оо оо | N{x{t))e~stdt + $MX (x(t - x))e~stdt = Y(s). (1.186) о о Первое слагаемое в (1.186) имеет вид ]NW)e-*A = X(s)\ X<VV -life), (1.187) О Lv=O J где Y{(s) - член, учитывающий ненулевые начальные условия. Если во втором слагаемом выражения (1.186) ввести замену, то можно получить оо оо J Mx (x(t - T))e~s'dt = j M, (x(u))e-siu+x)du = -Т 'О со "I J Mx{x{u)e-sudu + \Mx{x{u))e-sudu . (1.188) L-т 0 J Или, что то же самое, оо JM{(x(t-T))e-s'dt = о f Г -sx = е-"\Х(з)\ УЬ/ -ВД+ M^uW'du}. (1.189) Г т 1 О Lv=O J -т ;ависимостей можь [\ v=0 J \ v=0 На основе полученных зависимостей можно записать: oV \p'SX Vs \е = Y(s) + Yi(s) + e-*tY2(s)+e-tv J М(£,(и))е~*Чи. (1.190) -X Вводя обозначения R(s) = | %avsv ]+[ £ VV V". *(*) = ^(5)+е-ЛУ2(5), 0 (f{s) = e-sx\M{U.u))e~sudu, (1.191) получим зависимость, определяющую изображение выходного сигнала ф(,)+ф(,)
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 89^ Положим, что Yx(s) = 0, Y2(s) = 0, (p(s) = 0. Тогда имеет место зависимость X(s) = W(s)Y(s), где W(s) = l/R(s). Обозначим k(t) = L"1 {W(s)}. Функции W(s) и k{t) называются соответственно передаточной функцией и ИПФ стационарной системы с запаздыванием. Частотные характеристики определены теми же зависимостями, что и ДУ систем без запаздывания. Если САУ с запаздыванием описывается ДУ с переменными коэффициентами, то имеют место динамические характеристики, введённые в параграфе. Далее рассмотрим класс систем с распределенными параметрами [87] d2x(z,t) , д2хЩ) , d2x(z,t) , дг dz otdz dx(z,t) dx(z,t) / v / v „ ,л^ч +al-\^ + a2—^-+ax(z,t) = y(z,t). /1.193) ot dz Пусть D = ^-aua22: (1.194) 4 Уравнение (1.193) называется уравнением гиперболического типа, если D > 0; эллиптического типа, если D < 0; параболического типа, если D = 0 . Как будет видно из дальнейшего изложения, операционный метод можно применить лишь для построения решений уравнений гиперболического и параболического типа, т.е. когда D > 0 или D = 0; зададим условия: начальные *(z,O|,=o = *o(z); *)(z.O|,-o = *i(z); (1.195) краевые x(z,0|z=o = Л(0; *(z,0|zw = ЗЪ('). (1.196) Краевые условия часто задаются в виде обыкновенных ДУ, которым должны удовлетворять функция x(z, t) и ее частная производная dx(z,t)/dz при z = 0 и z = / (0<z</). В форме изображений краевые условия можно задать так: X(0,5) + Gl(^)^^|2=0=G2(5); (1.197) Х(19*) + С3(5)4Щ^\Ы =G4(j), (1.198) «г где G^(^) - известные функции (к = 1,2,3,4). Рассмотрим более подробно случай (1.196). Предположим, что существуют изображения от функций Эх(г,0 d2x(z,t) dz ' Эг Преобразуя по Лапласу обе части уравнения, запишем an[x(z,s)s2-sx(z,0)-x\z,0)y d2X(z,s) Э dz oz 6 Зак. 232 x(z,t), ^^, ^F- d-199) +ои *а +ei2J:[xu.*)*-*U.0)]+
jH) Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I +ai[sX(z,s)-x(z,O)] + a2$?^- + aX(z,s) = Y(z9s). (1.200) oz В полученном уравнении дифференцирование X(z, s) производится только по одной переменной z\ это позволяет знак частной производной заменить на знак полной производной. Производя соответствующую группировку, запишем последнее уравнение в более удобной форме d2X(z,s) , sdX(z,s) , 2 ' 4V/ ч а22 71~^ + (fli2^ + a2)—3— + (flu* +<V + a)X(z,*) = * & (1.201) = jc(z,O)(flnj + fl1) + xi(z,O)fl11+e12^i^ + y(z,j). Уравнение (1.201) представляет собой обыкновенное ДУ второго порядка относительно изображения искомой функции X(z, s). Его коэффициенты не зависят от переменной z, поэтому оно является неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами. Для его решения можно применить любой известный метод: например, частное решение неоднородного уравнения можно найти методом Коши, а общее решение однородного - методом Эйлера. Найдем функции фундаментальной системы. Из характеристического уравнения a22k2(s) + (al2s + a2)X(s) + (ans2 + ans + a) = 0 (1.202) получим Xl 2 W = ■fa£±gL±JS±gtY-faiija+aiJ + al. (1.203) 2a22 ^ 2a22 J [ a22 J Теперь можно записать общее решение неоднородного уравнения X(z,s) = С^е^1 +С2(5)/2(1)г + X0(z,s). (1.204) Постоянные Cj(5) и C2(s) можно найти, если воспользоваться краевыми условиями. Это дает возможность записать Х0(0,5) + С,(5) + С2(5) = К1(5); XO(U) + C,(V«(1)/ + C2(5)/2W/ =Y2(s), отсюда qw- ^ *.„уг.е>--. 21,, (1.206) ^,WI _/2(^)' lV ; /i(*)' _/гй)' X0(l,s)-X0(l,s)e^(s)l _ e\{s)l _eX2(s)l '2 *Ms)l v,_, Y2(s) * e e * (1207) X0(l,s)-X0(0,s)eX>Ml Подставив два последних равенства в зависимость (1.204), получим X(z,s) = Wl(z,s)Yl(s)+W2(z,s)Y2(s) + W3(z,s), (1.208) где
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 91_ W>(z'S)=eW_eW> (L209) ^i(^)z_^A.2(5)z У3и^) = Х0(г,5)-^|(1у_^(1)/У0(/,5) + e\{s)ze\2{s)l _eX2{s)ze\{s)l В предыдущих формулах X0(z,s) - частное решение неоднородного ДУ, оно зависит от начальных условий и от правой части ДУ (1.201). Если Y(z, s) = 0, а также имеют место нулевые начальные условия, то выражение для изображения выходного сигнала имеет вид [87] X(z9s) = Wl(z9s)Yl(s) + W2(z9s)Y2(s). (1.210) Анализируя зависимости (1.208), (1.209) и (1.210), легко заключить, что в случае систем с распределенными параметрами передаточные функции W{(z,s) и W2(z,s) являются трансцендентными (в отличие от дробно-рациональных для систем с сосредоточенными параметрами). Для обращения трансцендентных изображений неприменима вторая теорема разложения и построение оригинала встречает трудно преодолимые проблемы (в качестве особых точек изображения (1.210) могут быть точки разветвления, существенно особые точки и т.д.). В связи со сказанным выше, разработаны численные методы обращения трансцендентных изображений [4]. Все выводы, полученные для систем с сосредоточенными параметрами, справедливы и для систем с распределенными параметрами и запаздыванием. Приведем соответствующие формулы. Частотные характеристики определяются выражениями Wj(z,y(o), W2(z,j(O), A(z,(0) = |W1(z,7(0)|, A2(zM = \W2(zJo»\ ит.д. ЕслиИ^(г,.у) = 0, то интеграл Дюамеля запишется так (он определяет вынужденные колебания) t t J<Z,0 = J*i(z,T)yia«T)£/T + Jt2(z,T)y2fr"T)£/T> (1.211) о о где kx(z,i) и k2(z,i) -ИПФ системы. Свободные колебания определяются членом W3(z,t). Установившиеся колебания находят по формуле оо со x(z9t) = lkl(z,T)yl(t-x)dx + jk2(z^)y2(t'T)dx. (1.212) о о Если коэффициенты уравнения (1.212) зависят от времени (рассматривается нестационарная система с распределенными параметрами), то выходной сигнал определяется интегральным соотношением t t л(г,0 = /*1(г.^.т)л(т)^т+/*2(г,г,т)у2(т)Л (1.213) о о Для нестационарных систем с распределёнными параметрами можно ввести в рассмотрение параметрические передаточные функции б*
92 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I О W2(s9t9z) = jk2(z,t9x)e-si"*)dT. о Тогда X(s9t,z) = Wx(sj9z)Y{(s) + W2(s^z)Y2(s). (1.214) Пользоваться приведёнными выше формулами чрезвычайно сложно. 1.9. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ: ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Далее изложены как общие положения, связанные с исследованием САУ, так и конкретные пути решения задач устойчивости *. Рассмотрим систему (рис. 1.80). y(t) Рис. 1.80. Структурная схема системы Положим, что при г = 0, т.е. в момент подачи входного сигнала y(t), система имела ненулевые начальные условия Х° =(*(0),*'(0) *("-'> (0))*0. (1.215) Воздействие, поданное при t = 0, имеет преобразование Лапласа Y(sU с***+с*-/~1+- + 3) . (1.216) V ' dpsP+dp.ls"-l+... + d0 Тогда изображение выходного сигнала запишется в форме X (bmsm+... + b0)(cksk+... + c0) ^ (S)=(ans^^ao)(dps^.^dof (i2i7) |^(о)^(5)+-+^<в"1)(о)д-1(5)>ст1:л ansn+an_lsn-l+... + a0 Запишем формулу для выхода, для чего найдем корни уравнений Vw+^_1^-1+... + a0=0 и dpsp+dp_{sp-l+... + d0=0. (1.218) Положим, что A.J, Х2, ... Ал - корни первого уравнения (характеристического уравнения системы), a al9 a2, ... ,ар - корни второго уравнения (полюса изображения воздействия). Запишем изображение выхода и соответствующий этому изображению сигнал, но таким образом, чтобы была ясность в отношении появления каждой из составляющих выхода (формулы (1.219) и (1.220)): Методы расчета выходных сигналов рассмотрены в главе 8.-
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 93^ x{s)= 8m+ks""k+... + g0 (v-+...+*)(</,,'+...+«,) (i2i9) ix(0)DQ(s)+... + x(n-i\Q)Dn_l(s)_ ansn+an_1s"-i+... + a0 x(t) = c?ex< + ...+c>X"' + c,yea'' + ... + c*A' + +с^х'Ч... + с„сЛ' *(') *,(.) (L220) *c(<) Таким образом, имеем x(t) = xn (t)+xy(t) + xc(t), (1.221) где xa(t) - сигнал, порожденный полюсами передаточной функции системы (он характеризует динамические свойства системы в переходном режиме); xy(t) - сигнал, порожденный полюсами изображения; xc(t) - сигнал, порожденный ненулевыми начальными условиями и определяемый через полюса системы. Сигнал хП (/) называется переходной составляющей при отработке воздействия Сигнал xy(t) называется установившейся составляющей при отработке воздействия у(г). Определение хс (t) было дано выше (этот сигнал носит название свободных колебаний системы). Положим, что входной сигнал имеет вид (он является оригиналом функции Y(s)): Y(s)=CkSk+- + C° ; (1.222) V ' dps"+... + d0 y{t) = clea>' +clea* +...+c3pea-'. (1.223) Теперь можно записать выражения для сигналов y(t) и x{t) в явной форме: у(1) = с\еа<+с\еа*+... + греа>' - входной сигнал; x{t) = с\е^ +...+Су>' + с?ех>' +...+с^Л' + с,с/'' +... + с'Л' - выходной сигнал. Сравнивая две последние зависимости, легко записать условия неискаженного воспроизведения сигнала: *п(0 = 0; (1.224) xc(t) = O; (1.225) cj=cf, i = T^. (1.226) Эти условия достижимы лишь в статических {безынерционных) системах. В динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями, указанные условия достижимы лишь в установившемся режиме.
94 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Например, условиями неискаженного воспроизведения входного сигнала y(t) в установившемся режиме являются хП(t) = с?ех'' + ...+сУ '-*" )0; (1.227) хс (t) = с,сЛ +... + сс„ех"' '-*" ) 0; (1.228) cf=cf, 4=4,...,cl=c;. (1.229) Легко заметить, что если xn (t)—*~*°° )0, то с течением времени хс (f) также будет затухать (и наоборот). Третье условие (1.229) в реальных системах в общем случае не выполняется, поэтому системы проектируют таким образом, чтобы лгп (г) и хс (г) достаточно быстро затухали, а с? не сильно отличалось от с?, i = l,p. Однако для ряда входных сигналов можно обеспечить точное выполнение всех условий. Например, если y(t) = l(t) и Х°=0, то условиями точного воспроизведения входа в установившемся режиме являются (рис. 1.81): а) ReX, <0, / = 1,л ; б) в прямой цепи включен один интегратор. 6(0 = 0 точное воспроизведение входа y(t) Установившийся режим Рис. 1.81. Отработка ступенчатого воздействия Приведем еще один пример. Если y(t)=yxt, то условиями точного воспроизведения этого воздействия являются (рис. 1.82): а) ReX, <0, i = l,л ; б) в прямой цепи включены два интегратора. Если же y(t) = у0 + y2t2 , то условиями точного воспроизведения входа являются: а) ReX,<0; б) в прямой цепи включены три интегратора. Приведем несколько фактов, связанных с одновременным достижением условий а) и б). Как правило, одновременное достижение условий связано с определенными трудностями. Поэтому на практике ограничиваются одним-двумя интеграторами. В связи с этим, в общем случае, когда сигнал, например, имеет вид y(t) = yo + yxt + y2t2+... + yitl, (1.230) одновременное выполнение условий а) и б) недостижимо.
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 95 к x(t) ЭКС1 / L ^^ тонента ^ синусоида 1 е(0 ^0 точное воспроизведение входа Х0 ** Установившийся режим ► Рис. 1.82. Отработка воздействия .у(0 -уit Приведем два определения: Ошибка системы, определяемая формулой е(0 = у(0--*1.(0-^(0-*у(0 d-231) (при условии, что ^п(0 и *с(0 не затухли), называется переходной ошибкой. Ошибка системы, определяемая формулой s{t)=y(t)-xy(t) (1.232) (при условии, что *n(f) и xc(t) затухли), называется установившейся ошибкой. А теперь обратимся к формулировке задач анализа: 1) нахождение необходимых и достаточных условий затухания составляющих xn(t) и хс (г) (анализ устойчивости системы); 2) изучение поведения системы в переходном режиме, когда xn(t) и хс(t) не затухли (построение переходных процессов и переходных ошибок системы); 3) изучение поведения системы в установившемся режиме, когда xn(t) и xc(t) затухли (анализ точности в установившемся режиме). 1.10. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ Понятие устойчивости является одним из центральных в теории систем. Система управления постоянно подвергается возмущениям, отклоняющим ее от заданного закона движения. Действие возмущения сопровождается восстанавливающим действием регулятора. В системе возникает переходный процесс. Может оказаться, что система не сможет восстановить требуемый закон движения. Она будет либо удаляться от желаемого состояния, либо совершать вокруг него незатухающие колебания. Возможные виды переходных процессов для устойчивой системы приведены на рис. 1.83, а, для неустойчивой системы - на рис. 1.83, б.
96 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Рис. 1.8Э. Виды переходных процессов для устойчивой (а) и неустойчивой (б) систем Первая задача, которая возникает перед конструктором системы, - ее статический расчет. Вторая задача - решить вопрос о том, будет ли система устойчива и при каких условиях. Чтобы определить, устойчиво ли состояние равновесия какой-либо системы, обычно изучают поведение этой системы при малых отклонениях от положения равновесия. Рассмотрим механическую систему (рис. 1.84, а). Чтобы определить, устойчиво ли положение шара в углублении, можно задать ему малое отклонение, переместив в положение В. При этом возникает сила, которая стремится вернуть шар в положение равновесия. Убедившись, что эта сила возникает при любом малом отклонении, приходим к заключению, что положение равновесия устойчиво. Ъ7т9$ ^9^ А а А б О О 7777777/7 в А А г В Рис. 1.84. Примеры систем с различной устойчивостью: а - «устойчивость в большом»', б - «устойчивость в малом»; в - нейтральная', г - неустойчивая В большинстве практических задач, если система устойчива в малом, она устойчива и при больших конечных отклонениях, как в приведенном примере. Говорят, что система «устойчива в большом». В системе на рис. 1.84, б равновесие шара устойчиво лишь в том случае, если отклонение не переходит за точку С. В этом случае говорят, что система «устойчива в малом», т.е. система устойчива, но в ограниченной области. Система на рис. 1.84, в нейтральная, а система на рис. 1.84, г неустойчивая. Система обычно находится в состоянии движения, поэтому рассматривают устойчивость движения. А понятие устойчивости в динамике более сложное, чем определение устойчивости равновесия в статике. Пусть заданный режим работы системы характеризуется координатами: *ю (0» *20 (0' -^зо {г)»•••• Пусть на систему действует возмущение, которое заставляет ее двигаться по другим траекториям: хх (г), х2 (г), х3 (г),.... Система будет находиться в возмущенном состоянии. Если система устойчива, то она снова войдет
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 97^ в заданный режим или в область около этого режима е, =** (*)~*го(0* Заданное невозмущенное состояние движения устойчиво, если в результате действия возмущений возмущенное состояние движения с течением времени перейдет в некоторую конечную область, находящуюся в окрестности невозмущенного состояния, определяемого координатами: ei(0 = *i(0-*io(0: е2(о=*2(0-*2о(0; (1233) ея(0 = *Л0-*|ю(0- Конкретизируем введенные выше понятия, рассматривая класс одномерных стационарных линейных систем. Выходной сигнал,системы, порожденный входом y(t) и ненулевыми начальными условиями, можно записать в виде х(0 = /*(/-т)у(т)Л+д:с(0 = хв(0 + хс(0, (1.234) о где xB{t) = \k(t->c)y(>c)d>c = xn(t)+xy{t). ,(1.235) о Сигнал хв (j), который обусловлен входом y(t), будем называть невозмущенным движением (колебанием) системы. Ненулевые начальные условия будем считать внешними возмущениями: они будут действовать на выход и вызовут отклонение реального движения от заданного Реальное или действительное движение *B(0 + Jcc(0 называют возмущенным движением. Таким образом, еще раз отметим, что за невозмущенное движение системы принимают вынужденную составляющую xB(t) в (1.234), а за отклонение или вариацию - свободную составляющую xc(t). Возмущениями являются начальные условия х°=(*(о),*'(о),...,^-1)(о)). Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если возмущенное движение, порожденное возмущением X (возникшим в момент t = О под действием внезапно приложенных к системе дополнительных внешних сил), по истечении некоторого времени войдет в заданную область |jcB(f)-*(/)[<£, где е = const - заданная величина. В соответствии с определением устойчивости по A.M. Ляпунову, система будет асимптотически устойчивой, если хс (г)—*~*°° )0. Понятие устойчивости является чрезвычайно важным, поскольку свойство устойчивости системы определяет факт ее работоспособности или неработоспособности.
98 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I А если точнее, то устойчивая система принципиально работоспособна, неустойчивая лее - неработоспособна. Обсудим этот вопрос более подробно. Имеем *c(') = ciC*V +С2**2/ +... + ^Лг. (1.236) Для асимптотически устойчивой по А.М. Ляпунову системы имеем cfgX|/+... + cggx<>/ '"*" >0. (1.237) Зависимость (1.236) будет стремиться к нулю тогда и только тогда, когда корни X отрицательны (если они действительные) или имеют отрицательную действительную часть (если они комплексно-сопряженные), и в этом и только в этом случае имеем to-^t JL.r**-^ сГе + с\е -+... + cie fi*-Kt. (1.238) Корни характеристического уравнения Х{9 Х2, ... Д„ можно расположить на комплексной плоскости (рис. 1.85). Мнимая ось Область неустойчивости О Действительная ось Рис. 1.85. Комплексная плоскость Если корни Я1э Х2, ... Дл лежат строго в левой полуплоскости, то их называют левыми. Теперь можно сформулировать условие устойчивости: для того, чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения ansn+an_lsn-l+... + a0=0 были левыми. Запишем две зависимости: хс (t) = с\ех< +с\ех* + ... + с'Л'; (1.239) хпк) = с?ех*'+с?ех* +...+с>х«'. (1.240) В асимптотически устойчивой системе хс (f)—г"^°° >0. Последнее возможно тогда и только тогда, когда корни Х{9 Х2, ... Дп - левые (т.е. имеют отрицательные действительные части). Отрицательность же действительных частей показателей Хх, Х2, ... Дп приводит к тому, что и составляющая хп (г) также стремится к нулю при t —> «>, т.е. Таким образом, в устойчивой системе затухают как свободная составляющая, так и переходные колебания.
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 99^ Анализируя характеристические уравнения системы, A.M. Ляпунов сформулировал следующие теоремы устойчивости для нелинейных*, но линеаризованных систем, т.е. описанных линейными уравнениями: 1). Нелинейная система устойчива в «малом», если отрицательны все вещественные части корней характеристического уравнения системы (ее линейного приближения). 2). Нелинейная система неустойчива в «малом», если хотя бы один корень характеристического уравнения линейного приближения имеет положительную вещественную часть. 3). Если имеется чисто мнимый корень, т.е. вещественная часть равна нулю, то система находится на границе устойчивости. Если линейные системы устойчивы в «малом», то устойчивы и в «большом». Нелинейные системы могут быть устойчивы в «малом», но не устойчивы в «большом», т.е. при больших сигналах возмущения. После затухания хс (t) и хп (t) выходной сигнал линейной системы имеет тот же вид, что и входной д:у(г) = с{е°* + с\е** +... + с*Л'. (1.242) Легко видеть, что в устойчивой системе в установившемся режиме ошибка определяется формулой е(') = (с1 -с?)еЩ' +Н -^У2' +-+(ср -clV''- (L243> Известно, что импульсная переходная функция (ИПФ) системы определяется полюсами Х{, А,2, ... Д„. Выражение для ИПФ имеет вид k(t) = L'l{W(s)} = cleXlt +c2ex* +... + слЛ'. (1.244) Поскольку полюса Х1У Х2, ... ,АЛ -левые, то оо j\k(tpt <оо, (1.245) о Отсюда следует: для того, чтобы автоматическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы ее ИПФ была абсолютно интегрируемой. Подводя итог сказанному, приходим к следующей формулировке условий устойчивости. Если: 1) в ПФ системы т<п, т.е. степень многочлена в знаменателе ПФ не меньше степени многочлена числителя (ПФ системы строго реализуема); 2) корни характеристического уравнения являются левыми, т.е. характеристическое уравнение не имеет других корней, кроме корней с отрицательными вещественными частями, то САУ является устойчивой. Для суждения об устойчивости нет необходимости вычислять корни характеристического уравнения. Достаточно лишь установить их расположение на комплексной плоскости. Правила, позволяющие это сделать без вычисления корней, называются критериями устойчивости. Критерии устойчивости можно разделить на алгебраические и частотные. Алгебраические критерии позволяют сделать вывод об устойчивости системы по коэффи- Теория устойчивости нелинейных систем изложена в главе 4.
100 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I циентам характеристического уравнения. Частотные критерии позволяют судить об устойчивости по частотным характеристикам элементов, которые могут быть или рассчитаны или получены экспериментальным путем. 1.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 1.11.1. Критерий Рауса Этот критерий был разработан английским математиком Э. Раусом в 1877 г. Положим, что найдена передаточная функция замкнутой автоматической системы в форме W(s) = _bmsm+bm_lsm-l+...+b0 aosn +axsn I+... + £iJ Характеристическое уравнение имеет вид: B(s) = aosn+alSn-{+... + an. Составим таблицу, которая называется таблицей Рауса (табл. 1.3). (1.246) (1.247) Таблица 1.3 Коэффициенты/*, - - ГЗ = С,|/С12 Г4 = С12/С|3 /5 = С,з/С,4 * -Cu-2/Cu-i Строка / 1 2 3 4 5 i • 1 Си =я0 с,2 = ах с\ъ = с2\ - гъс2г С|4 = С22 - Г4С23 С\Ь = С2з - Г5С24 • си- = C2j-2-r,C2j-l • Ctoj 2 С21 = а2 сп = Дз С23 = Сз| - Г3Сз2 С24 = Cyi - Г4С33 Сгь = Сзз - Г5С34 Сц- = С3,/-2-Г/Сз,/_| 1бец 3 СЪ\ = <*4 Сз2 = а5 СЗЗ = С4\ - Г3С42 Су4 = С42 - ^4Q3 ^35 = Q3 - Г5С44 сз,= = С4,/-2-'*А./-1 4 С41 = «6 с42 = а7 СЛЗ Си С45 С4/ • Алгоритм составления таблицы Рауса очевиден. Сформулируем критерии устойчивости. Для того, чтобы автоматическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для всех коэффициентов г, было выполнено условие П> 0,/ = 3,4,..., (1.248) или, что эквивалентно, си> 0, / = п+1,(яо>О). (1.249) Если хотя бы один из коэффициентов характеристического уравнения (1.247) отрицателен, то система неустойчива. Обращение в нуль одного из коэффициентов а, (за исключением коэффициента старшего члена) свидетельствует о неустойчивости системы или о том, что она находится на границе устойчивости. Число отрицательных коэффициентов си равно числу правых полюсов. Обращение ап в нуль приводит к появлению нулевого корня. Если апЛ = 0, я„_2 = 0,... - это приводит к появлению нулевых корней.
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 101 Обращение промежуточного коэффициента в нуль свидетельствует о появлении пары чисто мнимых корней. Для упрощения расчетов элементы строк можно делить или умножать на положительную величину. Если в процессе вычислений появляется отрицательный коэффициент в таблице Рауса, то это свидетельствует о неустойчивости системы и дальнейшие расчеты проводить не следует. Число перемен знака коэффициентов г,-, i = 3,4,... равно числу корней характеристического уравнения (1.247), расположенных в правой полуплоскости комплексной плоскости. Таблица, реализующая алгоритм Рауса, удобна для программирования на ЭВМ, поэтому с помощью этого метода можно исследовать на устойчивость системы высокого порядка. Более того, можно исследовать влияние на устойчивость системы отдельных ее параметров. Пример 1.7. Пусть характеристическое уравнение имеет вид [161] 0,Ш8*5+0,03*4+136*3+4*2+52Д*+50=0; сп=0,0008>0; с12=0,03>0; с13=1,25Х); с14=2,77>0; с15=28,6>0; с,6=50>0 . Из полученных результатов можно сделать вывод, что система устойчива. 1.11.2. Критерий Гурвица ' Этот критерий предложен немецким математиком Гурвицем в 1895 г. Если известно характеристическое уравнение системы (1.247), то легко записать матрицу Гурвица а\ % 0 0 0 0 аг а2 «1 *o 0 0 аь а4 аг <h а\ «о «7 «6 а5 а4 аъ а2 Од ... Og ... а-, ... а6 ... а5 ... а4 ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... ап Пример 1.8. Если характеристическое уравнение имеет вид OqS5+als4+a2s2 +a3s2+a4s+as =0, то матрица Гурвица запишется так: 'д, аъ а5 .(1.250) uq а2 аЛ 0 0 0 д, аъ а5 Oq a2 а4 0"! 0 0 0 0 ах аъ а5 При составлении матрицы Гурвица первая строка заполняется коэффициентами характеристического уравнения с нечетными индексами, а вторая - с четными. Дальнейшие пары строк получаются смещением вправо первой пары на один, два и т.д. столбцов. Все коэффициенты с индексами, большими степени, заменяются нулями. Определитель матрицы Гурвица (1.250) называется главным определителем Гур- вица. Он имеет вид
102 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I А = «о 0 0 0 а3 Л а, % 0 а4 а3 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... ап (1.251) Из (1.251) получим определители Гурвица низшего порядка: Д, =а,, Д2 «о <h. ,А3 = 0 а\ а4 (1.252) Критерий Гурвица формулируется так: Для того, чтобы замкнутая автоматическая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при а0 > 0 все определители Гурвица были положительны, т.е. Ai > 0, А2 > 0, А3 > 0,..., Ап.! > 0, Д„ = ап Ап.х > 0. (1.253) Пользуясь критерием Гурвица, получим условия устойчивости для систем, порядок характеристических уравнений которых не превышает четырех. Если B(s) = aos + ах = 0, то условия устойчивости имеют вид а0 > 0, ах > 0 ; для уравнения B(s) = a0s2 + axs + а2 =0 условиями устойчивости являются: а0>0, а^О, д2>0. Для уравнения третьего порядка B(s) = aos3 + axs2 + a2s + a3 = 0 имеем ax аъ 0 Аз = ао а2 ° • 0 ах аъ Отсюда следуют условия: а0 > 0, ах > 0, а2 > 0, аъ > 0, а^з ~аоа3 > 0. И, наконец, если имеется характеристическое уравнение четвертого порядка B(s) = OqS4 + axs3 + а252 + a3s + а4 = 0, то определитель Гурвица запишется так ах аъ 0 0 4 0 ах аз ° 0 Oq а2 а4 Необходимым и достаточным условием устойчивости является а0>0, ах > 0, а2 > 0, аъ >0, а4> 0, a3(aia2 "аоаз)"a?a4 > 0. Практически, поскольку а4 > 0, находят определители Гурвица от Ai до An_i. Например, для последнего случая имеем: ах аъ 0 ах>0, А2 а3 = аха2-а0а3>0, А3 = 0 я, а3 >0. Система находится на границе устойчивости, если все определители Гурвица низшего порядка положительны, а главный определитель равен нулю, т.е. А! > 0, Д2>0,..., Ая=овА1|Ч=0. .
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 103 Если ап = 0, а Ап_х > 0, то один из корней характеристического уравнения равен нулю (система находится на границе апериодической устойчивости), если же апФ0, а ДлЧ = 0, то система находится на границе колебательной устойчивости (два комплексно сопряженных корня находятся на мнимой оси). Сведем полученные выше результаты в табл. 1.4. Из табл. 1.4 следует, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы, характеристическое уравнение которой первой или второй степени, является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Таблица 1.4 B(s) = 0 aos + ах = 0 aQs2 + axs + а2 = 0 aos3 + axs2 + a2s + аг = 0 aosA + a{s3 + a2s2 +a$s + a4=0 Условия устойчивости ao>O, ax >0 a0 > 0, ax > 0, a2 > 0 a0 > 0, ax > 0, a2 > 0, аъ > 0, axa2 -atft*} > 0 a0 >0, ax >0, a2 >0, a3 >0, a4 >0, аъ{аха2 -сщаъ)-аха4 >0 Пример 1.9. Имеется система третьего порядка с характеристическим уравнением [172]: B(s) = аоУ3+Д|$2+а2-Н-Дз = 0. Обозначим Тогда (1.254) перепишется в виде Или, что то же самое, «о lVaoJ Vflo a3]i{ao) fl3Vflo Обозначив fl3Vl*oJ лз\до (1.257) перепишем в виде T3 + AT2 + Bs+\ = 0. Необходимые и достаточные условия запишутся так: А>0, Я>0, АВ>\. Графически (1.259) представлено на рис. 1.86. Область устойчивости АВ>\ (1.254) (1.255) (1.256) (1.257) (1.258) (1.259) (1.260) АВ=1 Рис. 1.86. Гипербола Вышнеградского
104 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Пример 1.9. Характеристическое уравнение имеет вид: Д(5)=0,000354+0,033753+0,4352+51,25+24,8=0. Все коэффициенты характеристического уравнения положительны. Найдем А з: A3=a3(flifl2-aofl3)-fl4ai2=51,2(O,O337 • 0,43-0,0003 • 51,2)-24,8 • 0,03372= =-51,2 • 0,0009-24,8 • 0,03372<0. Вывод: система неустойчива. 1.11.3. Критерий Льенара - Шипара В 1914 г. Льенаром и Шипаром был предложен критерий, упрощающий критерий Гурвица. Критерий Льенара - Шипара формулируется так: при а0>0, ах >0, а2 >0,..., ап > 0, необходимые и достаточные условия сводятся к тому, чтобы среди определителей Гурвица A!,A2,..., Д„ были положительными все определители с четными индексами^ т.е. Д2>0,Д4>0,Д6>0, (1.261) или все определители с нечетными индексами А,>0,А3>0,А5>0,.... (1.262) Итак, необходимым и достаточным условием устойчивости системы является: до > 0, ах > 0,..., ап > 0, А1>0,А3>0,А5>0,..., - (1.263) или . а0 > 0, ах > 0,..., ап > 0, А2 > 0, Д4 > О, Д6 > 0,.... (1.264) Рассмотрим систему, структурная схема которой представлена на рис. 1.87. e(t) —*ЛХ)— 1 к x(t) Пусть Рис. 1.87. Структурная схема системы «1 (*) = W"'*1 + «П-а-1^'Ц"' + - + «0. тогда s>iBi(s) = an_lisn -an_Ms"4 +-+^ц = B(s). Найдем ПФ замкнутой системы W(s) = l + K/(an_tlsn+... + aos>l) К где an_llstt+an_il_lsn-l+... + aos? + K а„-а =а»>0, <Vu-i = ап-\ > 0.-. К = а0>0. (1.265) (1.266) (1.267) (1.268)
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 105^ Анализ (1.267) показывает, что часть коэффициентов характеристического уравнения (1.269) B(s) = an_Visn+... + aos>i + K = ansn+... + alls*l + K равна нулю (а\ = 0, аг = 0,..., а^\ = 0). Таким образом, не выполнено условие положительности всех коэффициентов, что свидетельствует о неустойчивости системы. Никакой набор коэффициентов ац, а^\,..., ап стабилизировать систему не в состоянии [172]. Указанный класс систем носит название структурно неустойчивых. Справедливо утверждение [172]: системы, для которых степень передаточной фукнции W(s) равна ее порядку, структурно неустойчивы, если индекс апериодической нейтральности не меньше двух. Такие системы содержат не менее двух последовательно соединенных интеграторов. Для стабилизации структурно неустойчивых систем требуется изменить их структуру, например, сделать ПФ разомкнутой системы в виде (1.270) Степень A(s) выбирается таким образом, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы были отличны от нуля (степень A(s) должна быть не меньше ц - 1). Стабилизация структурно неустойчивых систем достигается либо введением внутренней связи, охватывающей один из интеграторов, либо введением производной. Пример 1.10. Рассмотрим систему, структурная схема которой представлена на рис. 1.88 [32]. -Hg^ Л* Г h 1 + К с лос, Jp \ + TMs 1 S x{t) Рис. 1.88. Структурная схема системы Построим область устойчивости в функции коэффициентов усиления Ку^ и Ко , если остальные параметры равны: В Кс = 0,4 В/град; Ку = 5,2; с, = 0,014 - 2 град/с jp = 297; Тя = 0,06 с; Г„ = 0,1 с. Передаточная функция разомкнутой системы КсКухКуг1сцр Wp(J)-- [(l + Tqs)(l + TMs) + Ky2K0]S Найдем передаточную функцию замкнутой системы D . W(s)-- где TqTMs* + (Tq+TM)Sz+(l + Ky2K0)s + D кску. Ку2 (1.271) (1.272) D = - ciJP
1U6 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Характеристическое уравнение имеет вид OoS3 +a,s2 +a2s+a3 =0» где aD=TqTM=O,0O6; ax=Tq + 7^=0,06+0,1=0,16; Пользуясь критерием Гурвица, имеем: Оо>0, а,>0, д2>0, д3>0 . (1.273) Д2=а,а2-Яоаз>О. (1.274) Условия (1.273), (1-274) выполняются при К0>0, Kyt >0. Воспользуемся условием (1.274); имеем 0,16(1+5,2*0)-0,006.0,5Л:У| >0. (1.275) Из последнего неравенства следует: £0>0,0036Л:У| -0,192. (1.276) Граница устойчивости определяется выражением АГ0=0,0036/ГУ| -0,192. (1.277) Область устойчивости в плоскости параметров Ку^ и Ко построена на рис. 1.89. Ко1 0.8 • 0.6 • 0.4 ' 0.2 -0.2 ; Область устойчивости Illf 1 ,llLK 1 llJr 1 ,l/lr lllr 100 200 ,ils Область неустойчивости 300 *v, Рис. 1.89. Область устойчивости в плоскости параметров КУу и Ко Пример 1.11. Рассмотрим сист "1 ему (рис. 1 7> + 1 •90) [1 72]. T2s + l *- 1 Рис. 1.90. Структурная схема системы Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид КХК2 W(s) = - (TlS + l)(T2s + l)T3s Характеристическое уравнение замкнутой системы запишется так: x(t) (1.278)
Глава 1» Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 107 B(s) = a$s* + a2s2 + axs + a0, где аг = ТхТ2Тг, а2 = (Г, + Г2)Г3, ах = Г3, я0 = К = АГ,А:2. Запишем условия устойчивости: аоа3<л,а2. или, что то же самое, КТХТ2ТЪ<{ТХ +Т2)Т?=Т1Т32+Т2Т32. Перепишем последнее неравенство в виде Граничное (критическое) значение коэффициента определяется формулой Построим график ^кР - т т т • '2 'I К^ = = — при -2. = const, или КфТ=1 при 73/72=const. Функция АГкр=1/7 - равносторонняя гипербола, ее график представлен на рис. 1.91. кр V=i Область неустойчивости КТ> 1 Облает^ устойчивости КТ<\ —►у Рис. 1.91. Зависимость ККР от ТХ1ТЪ при Г3/Г2 = const 1.12. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ РАБОТЫ СИСТЕМ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ 1.12.1. Оценка точности работы системы для класса воздействий Положим, что: а) на вход поступает сигнал, имеющий дробно-рациональное изображение y,s) = CkSk+Ck_xSk Ч.-. + Ср ш dpsp+dp_lSp-l+...+d0' б) система имеет нулевые начальные условия; в) система устойчива; г) система работает в установившемся режиме. Найдем изображение выходного процесса (1.279)
108 Анализ и статистическая динамика 1АУ. часть 1 (bmsm+...+b°)(cksk+...+c0) X(s) = W(s)Y(s) = j £ L (1.280) (ansa+...+a0)(dpsP. + ...+d0) Переходя в (1.279) от изображения к оригиналу, получим зависимость, определяющую входной сигнал y(t) = Гх {Y(s)} = <%е°* +$£* + ... + с^Л'. (1.281) Для нахождения реакции системы на сигнал (1.279) перепишем (1.280) в виде X{s) W +-+g0 МП (1.282) (ansn+...+a0)(dpsl>+...+d0) B(s) Переходя в последней формуле к оригиналу, запишем x(t) = с?ех>' +...+сУк' +с?еа>' +с>еа>' +...+с>еа"'. (1.283) В связи с тем что система устойчива и работает в установившемся режиме, с^1' +...+с%ек' '^Го. (1.284) Тогда выходной сигнал системы, работающей в установившемся режиме, определяется формулой xy{t) = c{e4 +c2V>' +...+cJea''. (1.285) Формулы для нахождения коэффициентов сук, к = 1,р имеют вид ^Мь-М,^ (1.286) B'(s)\s=ak B'(ak) С учетом последнего выражения, (1.285) примет вид *=1 В \ак ) ' Надо отметить, что, поскольку Д(5) = (Ьт5т+... + Ь°)(^/+... + с0) = Л(5)(^/+... + с0); B(s) = (ansn +... + ao)(dpsp +... + do) = B(s)(dpsp +... + </0)> (L288) т.е. в формулы для A(s) и B(s) входят полиномы A(s) и B(s), определяющие передаточную функцию системы (поскольку W(s) = A(s)/B(s)), то коэффициенты с1,к-\,р определяют не только свойства воздействия y(t), но и параметры, характеризующие свойства собственно системы. Именно в связи с последним фактом, т.е. с учетом коэффициентами сук,к-\ур свойств системы, последние отличаются от эталонных коэффициентов с*,£ = 1,р. Поскольку известен вход y{t) и реакция xy{t) на этот вход, то легко записать формулу, определяющую ошибку работы системы: eW-ifc-tf).*' s fic^W^\Vkt' (L289) *=i м{ B{ak)j Воспользуемся обозначением
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 109^ С учетом (1.290) получаем выражение, определяющее точное значение ошибки воспроизведения входного сигнала y(t) исследуемой системы в установившемся режиме е(О = Х^г, (1.291) 1.12.2. Приближенное исследование точности работы системы в установившемся режиме Положим, что выполнены условия б), в), г), а также k(x) = L-l{W(s)}. (1.292) Тогда выходной сигнал системы в установившемся режиме оо x(t) = jk(T)y(t-T)dT. (1.293) о Пусть существует разложение воздействия в ряд Тэйлора относительно точки t: У('--0 = £^ТгЛот*. (1-294) где y(*)w = ±3W t = 0,1,2,.... (1.295) dr Подставляя (1.294) в (1.293), получаем *(о=Х- *=0 Величины }*(т)тЦ(-1)*^. (1.296) ц*=(-1)*|т**(т)<*т, Л = 0,1,2,... (1.297) о называются степенными моментами к -го порядка импульсной переходной функции *(т). Зависимость (1.296) позволяет сделать вывод: установившийся процесс в линейной стационарной системе полностью определяется моментами ИПФ и производными воздействия [172]. Моменты \xk легко рассчитываются по передаточной функции замкнутой системы. В самом деле, справедлива зависимость ^£Ц-1)*7т*.-**(т)Л. (1.298) ds ■ о Сравнивая (1.297) и (1.298), легко заключить, что |djv£) ^ £=(U2j (1299) L * JL Если разложим W (s) в степенной ряд по s, то получим
110 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I „(.)-2№1 А (..зоо, »Ч Л JL Отсюда следует, что моменты \хк ИПФ представляют собой коэффициенты разложения передаточной функции W (s) замкнутой системы вряд по степеням s. Для дробно-рациональных передаточных функций моменты \лк можно определить простым делением многочлена числителя передаточной функции на многочлен знаменателя. С учетом (1.296) и (1.297), имеем juo kl *=i *! Введя обозначения co=1-Ho' Ск=-Чк> * = 1.2Д..., запишем (1.301) в компактной форме: 8W = E^ZTTZ. (1.302) *=о *! Коэффициенты ск, А: =0,1,2,... называются коэффициентами ошибок системы. Они могут быть вычислены по формуле 1 J j=0 ,t= 0,1,2,.... (1.303) Передаточная функция WB(s) = l-W(s) называется передаточной функцией ошибки. Коэффициенты ошибок ck, ft = 0,1,2,... равны к-м производным от передаточной функции ошибки при 5 = 0. Коэффициент с0 называется коэффициентом статической или позиционной ошибки, коэффициент с{ - коэффициентом скоростной ошибки, с2 — коэффициентом ошибки от ускорения. Коэффициенты ошибок определяют зависимость установившейся ошибки от структуры системы и ее параметров. Поэтому исследование коэффициентов ошибок позволяет наметить пути уменьшения или полного устранения установившейся ошибки. Пусть y{t) = yo\(t), тогда е(г) = соуо, т.е. при постоянных воздействиях установившаяся ошибка также постоянна (эта ошибка называется статической). Статическая ошибка пропорциональна значению постоянного внешнего воздействия. Система, отрабатывающая в установившемся режиме входной сигнал y(t) = УоКО без ошибки, называется астатической 1-го порядка. Система, отрабатывающая в установившемся режиме входной сигнал y(t) = УоКО + V\t + У2*2 + - + У/-/"1 (1.304) без ошибки, называется астатической порядка I. Для разомкнутой системы с ПФ вида [153] W(s) = —) L (1.305) sv (1 + a{s + a2s +...+ansn)
Глава 1. Линейные одномерные непрерывные стационарные САУ 111 формулы для определения коэффициентов ошибок представлены в табл. 1.5. Как следует из анализа формул, представленных в табл. 1.5, при увеличении коэффициента усиления К разомкнутой системы ошибка системы в установившемся режиме уменьшится. Однако чрезмерное увеличение коэффициента усиления может привести к неустойчивости системы (см. параграф 1.11). Таблица 1.5 Тип системы Статическая система Астатическая порядка Астатическая порядка Коэффициент ошибки со *э Со С\ сг *э Со С\ с2 *э Формула, определяющая коэффициент ошибки 1 1 + К (<*,-Р.)* 1 + АГ2 2(a2-p2K|2a1(P1-a1K| (l + Kf (1 + К)3 |2р1(р1-а,К2 (1 + К)4 ^(«з-Рз), (1 + К)2 ш 6K[2ala2-2KPfi2 + (K-l)(o^l + afi2)] , (l + Kf i6K(al-^l)(al + K^f (1 + К)4 0 1 К ^ai-ft) 2 к к2 6 ^(ft-o,) к'1 к2 ' к к 0 0 2 к 6(ttl-pl) к
112 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, УСТОЙЧИВОСТЬ Настоящая глава посвящена краткому изложению теоретических положений систем с переменными параметрами, следуя [121]. Полное изложение теории рассматриваемого класса систем приведено в [121]*. 2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ 2.1.1. Дифференциальные уравнения систем Система автоматического управления называется нестационарной, если ее параметры изменяются во времени (часто эти системы называют системами с переменными параметрами). При проектировании можно прийти к рассмотрению этого класса систем в следующих случаях: 1) переменность во времени параметров обусловлена физикой работы систем (изменение массы летательного аппарата за счет сгорания топлива и др.); 2) переменные коэффициенты дифференциального уравнения появляются при линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений около некоторых опорных траекторий, являющихся также функциями времени; 3) при использовании статистической линеаризации при нестационарных случайных воздействиях. Рассмотрим примеры. Пример 2.1. Структурная схема контура самонастройки имеет вид, представленный на рис. 2.1 [121]. Рис.. У гл. ст. к* Г„5- руктурна i и 1Я схе s 2 ма системы с перемен Cxa{t) ным парамет] >ом a{t) к Достаточно полная библиография по теории систем с переменными параметрами приведена в [49,99,100,101,121,143].
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 113 Уравнение имеет вид a2(0^-f+al(t)^- + a0№ = АГВХ (I), (2.1) at at где й (0 = _Zi_, а (,) = _L_+*2££l, 21' К,а(О lW tf,a(O AT, (22) Пример 2.2. Рассмотрим простейший дифференцирующий /?С-фильтр с изменяющимся по известному закону R(t) сопротивлением и неизменной емкостью С, ток / которого управляет исполнительным устройством ИУ (пусть управляющая обмотка ИУ обладает постоянным активным сопротивлением /?иу; индуктивностью обмотки пренебрегаем) (рис. 2.2). R(t) 4 п С т о Ь Рис. 2.2. Дифференцирующий фильтр Поскольку сопротивление изменяется в зависимости только от времени при неизменных остальных параметрах, фильтр является системой линейной нестационарной. Структурная схема, соответствующая фильтру, приведена на рис. 2.3. Фильтр Рис. 2.3. Структурная схема дифференцирующего фильтра Работа фильтра в любой момент времени подчиняется второму закону Кирхгофа МО+МО+^иу (')=?('). где y*(f), Ус(*)*Уят (0 ~ паДения напряжения на соответствующих элементах; /?, С, /?иу; у(0 - приложенное к фильтру извне напряжение. С учетом известных из электротехники закономерностей имеем *(')'(')+£}'(')*+V(')-y('> 'о Продифференцировав левую и правую части этого выражения, получим R 1 dl(t dt dl(t dt )JdR(')+ 1 [а с Uflo(;)/(0 = dt ' dy(t) dt (2.3) где a{ (f), Oo(r) - коэффициенты, представляющие собой известные функции времени. То есть динамика данной линейной нестационарной системы с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с переменными коэффициентами. Аналогично нетрудно убедиться, что поведение линейной нестационарной системы общего вида описывается линейным уравнением с переменными коэффициентами порядка п аД0^+---+М0*(0=М0^+---+М<Ы<)> (2-4) 9 Зак. 232
114 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I или i=O 1=0 в связи с чем теория линейных нестационарных систем в значительной степени посвящается методам исследования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Эта теория является важным разделом курса «Управление в технических системах» (УТС), т.к. уравнениями вида (2.4) и (2.5) описывается очень широкий класс явлений, например, движение почти всех аэродинамических летательных аппаратов, надводных и подводных судов, работа систем в режиме «разгона», «разогрева», процессы наведения на цель и т.п. Распространенность уравнений (2.4) и (2.5) объясняется еще и тем, что к ним в первом приближении сводится описание многих нелинейных процессов, если рассматривать их линеаризованные модели в отклонениях от изменяющегося в зависимости от времени опорного движения xon(t) (здесь *on(f)*const - известная функция времени). Пример 23. Пусть задана система, описываемая дифференциальным уравнением «,(*)^+«о*(<)= *?(')• (2-6> Здесь ах (х) - коэффициент, являющийся функцией выходной координаты, поэтому уравнение (2.6) - нелинейное. Пусть, например, на основании какого-то упрощающего предположения исходную систему удалось преобразовать к новой, у которой легко вычислить выходной сигнал хОП (/) (в общем случае хоп * const), причем процесс xon (t) близок к x(t). Тогда, выбрав *оп (t) в качестве опорной траектории, получаем *(') = *о-(')+М'). (2-7) где Ах (f) - малая величина. Уравнение (2.6) примет вид «,(*)^('i+M<)U[U0+M0]=W Так как по предположению величина Ax(f) - мала, линеаризуем сначала функцию а^х) , если она нелинейная, а потом линеаризуем уравнение (пренебрегая малыми второго и высшего порядков, считая при этом, что dbx(t\ тоже мала) at Нетрудно заметить (см. формулу (2.7)), что выражение [а, (*)]^_0 = а\ (*оп) ~ известная функция времени (т.к. хоп (/) известна). По той же причине известной функцией времени является и выражение Обозначим: l>'WL-o=a'o('):
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 115 f \Шх)] Ло„(') 1 ' ^onW+hWU^J^oO). и уравнение примет вид М0^+М')Д*(0=*(0+л(0- Здесь а10 (*)» аоо (0* <Уо (О ~ известные функции времени, т.е. исходная нелинейная система после линеаризации стала описываться линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами с добавочным известным воздействием Уо('), что не приносит дополнительных принципиальных трудностей в процесс решения. Действительно, эта система линейна и по отношению к ней справедлив принцип суперпозиции, поэтому Ajc(r) можно искать следующим образом: Д*(0 = А*,(|) + А*,о(0. где &xy(t), &xyo(t) - решения уравнений соответственно: «.о(0^^+^(0Ч(0-*>(0. *.о(0^^+М0^о(0=*>(')- 2.1.2. Понятие ИПФ Л НС и ее основные свойства 1). Нормальной импульсной переходной функцией (обозначается kH(t,x)) ЛНС (2.12) называется реакция этой системы на воздействие вида единичной дельта- функции, приложенной в момент времени т (рис. 2.4) при нулевых начальных условиях [*(<.<L=*w=°. ~dx{t,T)~ dt = i(x) = 0, Ми dt y(t) = 8(t-x) («-!) = jr -)(x)-0. (2.8) ЛНС x(t,x) =kH(t,x) ► Рис. 2.4. Линейная нестационарная система Тогда нормальной ИПФ системы (2.5) должно соответствовать уравнение 1=0 at /=о dt при начальных условиях (2.8), в которых везде x{t,i) следует заменить на kH (r,x). Прикладывая дельта-функцию при различных т, получим уравнения для семейства нормальных ИПФ. Поскольку нормальные ИПФ ЛНС являются ее реакциями, они представляют собой функции времени t9 удовлетворяющие принципу причинности 9*
116 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Лн(г,т) = О; г<т, (2.10) которые в силу переменности параметров при различных моментах приложения дельта-функции могут иметь разный вид (рис. 2.5). *„(г,-т V .) / 1 / [ / 1 0 со) / > > (?Л, ■—^ *> ) - (»,т2) Рис. 2.5. Нормальные ИПФ ЛНС 2). Таким образом, h зависит от двух переменных г,т. Нормальная ИПФ, рассматриваемая как функция двух переменных г,т, называется импульсной переходной функцией системы (2.5) (обозначается k(t,%)) и имеет вид поверхности, участок которой изображен на рис. 2.6. Величина k(t,%) в силу принципа причинности (условие (2.10)) равна нулю при значениях независимых переменных Гит, соответствующих области плоскости f От, расположенной левее биссектрисы координатного угла Ют (линия t = т), Замечание 2.1. При отрицательных значениях т (см. пунктир на рис. 2.6.) ИПФ обычно не рассматривается. Считается, что система при t < 0 не наблюдалась, а следовательно, и не было возможности ею управлять. kiK{ux) Рис. 2.6. ИПФ ЛНС
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 117 3). Если ИПФ рассматривать как функцию второго аргумента при различных фиксированных значениях первого (см. рис. 2.6.), то ей соответствует семейство кривых, называемых сопряженными ЙПФ и обозначаемых кс (г,т) (рис. 2.7). i i fcft/c) Рис. 2.7. Сопряженные ИПФ ЛНС Такое название объясняется тем, что импульсной переходной функции как функции второго аргумента-функции kc(tyx) отвечает уравнение [121] 1(УЬ^И.Е(_1у''Г'*Ж'-'>]. (2.н, i=o d*1' i=o dx которое по отношению к уравнению для нормальной ИПФ (2.16) является сопряженным (сопряженные уравнения широко используются в математике, например, для отыскания первого интеграла исходного уравнения). Часто по ходу изложения бывает ясно, какая из отмеченных ИПФ фигурирует в данном случае, тогда индекс при &(г,т) опускается и, таким образом, k{t,x) может обозначать любую из рассмотренных ИПФ. Поскольку уравнение нормальной ИПФ (2.9) справедливо при всех допустимых т, а уравнение сопряженной ИПФ (2.11) - при всех допустимых t, многократно используя любое из них, можно судить и о &(/,т) (как о функции двух переменных), в связи с чем и (2.9), и (2.11) можно было бы рассматривать как уравнение для ИПФ, однако в качестве такового принято считать уравнение (2.9), которое в этом случае записывают в виде ,-=о dt 1=0 dt (2.12) при нулевых начальных условиях. 4). Из рис. 2.6. видно, что сечение ИПФ плоскостями, параллельными плоскости kOt, представляет собой семейство нормальных ИПФ (рис. 2.5); плоскостями, параллельными плоскости кОт, - семейство сопряженных ИПФ (см. рис. 2.7). На рис. 2.8 изображено семейство сечений ИПФ плоскостями, параллельными плоскости fОт. Если эти сечения параллельны биссектрисе ОА координатного угла Ют, то ИПФ представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей ОА, что может иметь место лишь в случае, когда форма нормальной ИПФ одинакова при всех т, т.е. в случае стационарной системы. Для уяснения вопроса о стационарности системы такие сечения иногда и используются.
118 Анализ и статистическая динамика САУ, Часть I I I I Q= const (i= 1,2,3) I ч Ч ' \ \ \ \ X ir. Рис. 2.8. Семейство сечений ИПФ плоскостями, параллельными плоскости Ют 5). Ввиду того что для нестационарных линейных систем справедлив принцип суперпозиции, располагая ИПФ, нетрудно вычислить реакцию системы на произвола ное входное воздействие y(t)9 приложенное в момент времени Tj. Действительно, представим y(t) в виде импульсов, ширина которых Д0 выбирается так, чтобы их можно было приближенно считать для данной системы дельта-функциями (рис. 2.9). i 0 { y(t) / / *1 Г -^ t А0 <4 1 г Рис. 2.9. Представление входного сигнала y(t) в виде импульсов Найдем реакцию в некоторый момент ц > т, на один (произвольный) из этих импульсов, например, на импульс, который приложен на /Д0, / = 1,/ij, где nlAe^tl-xl (2ЛЗ) раньше момента времени tx. Так как импульс этот можно приближенно рассматривать как дельта-функцию площади y(tx -/А0)ДЭ, приложенную в момент t\ ~/Д®, реакция на него, очевидно, приблизительно равна значению
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ П£ умноженному на площадь этого импульса y(tY -/Д0)Д0 (т.к., во-первых, согласно определению, k(t,x) есть реакция системы в момент t на дельта-функцию единичной силы, приложенную в момент времени т, и, во-вторых, реакция линейной системы на короткий импульс пропорциональна площади приложенного импульса). Приближенное значение реакции системы в момент tx на весь входной сигнал, согласно принципу суперпозиции, равно сумме значений ее реакций в момент tx на каждое слагаемое входного сигнала (на каждый из входных импульсов): ^„xOsJy^-iAeJk^.^-iAejAe. (2.14) /=1 Точное значение реакции может быть найдено, если величину интервалов А0 устремить к нулю, при этом произойдет следующее Д0-></0; /Д©->0, £-> J i=l О (см. формулу (2.13)), и выражение (2.14) примет вид о Поскольку моменты времени tx и тх были выбраны произвольно, полученная формула справедлива для любых гит *('>т)= J y(*-e)k(fff-e)rfe. (2.15) о Более широко используется другая форма этого выражения, к которой легко перейти, выполнив замену переменной Г-0 = Х; 0 = r-X; </© = -</Х; 0 = 0; X = f; © = r-r, X = x, после чего x(t,<z) = ]y(X)k(a)dX. (2.16) т Обычно наблюдение за системой начинают с момента приложения воздействия (тогда <и = 0), формулы (2.15), (2.16) принимают вид соответственно x(t)=jy(t-e)k(t,t-e)de, (2.17) о t x{t)^\y(X)k{uX)dX, (2.18) о Правая часть соотношений (2.17), (2.18) напоминает интеграл Дюамеля из теории стационарных линейных систем, однако существенно отличается от последнего: она не является сверткой входного сигнала и ИПФ, в связи с чем соотношения (2.17), (2.18) называются интегралом суперпозиции. Соотношение (2.18) установлено, исходя из физических соображений. Установим связь между входом ^(г), выходом x{t) ИПФ k(t,x) нестационарной системы, пользуясь следующими рассуждениями [121]. ИПФ определяется уравнением
120 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I ^av(o47^(r'T)=EbvWTV8(^T)' T€(-oo,+oo). (2.19) v=0 dt v=0 "* Умножим обе части (2.19) на у(т) и проинтегрируем по т на промежутке (-оо,+оо). Результат имеет вид %аЛ0^1к(1л)у№т=%ЬЛ)-^1у(т)Ь(1-т)с1т. (2.20) v=o at _„ v=o dt _„ Известно следующее свойство 8-функции J/(x)5(f-T)dT = /(r). (2.21) —оо Тогда 2>v(o-7T f k^x)y (x)dx=S*vW-7ryw • <2-22> v=0 dt -co v=0 *t Сравнивая (2.5) и (2.22), получаем x(t)=\k{u%)y(x)d%. (2.23) —оо Анализ уравнения (2.23) показывает следующее: *(г,т)>>(т) = 0прит<0; (2м) ^(г,т)у(т) = О при т>Г. Тогда (2.23) перепишем в виде x(t) = )k{t,x)y{x)d%. (2.25) о Таким образом, если в результате проведения соответствующего числа экспериментов построена поверхность &(г,т) - импульсная переходная функция системы, то реакция системы на произвольный вход y{t) может быть найдена по формуле (2.25). Рассмотрим две системы, описываемые соответственно уравнениями Xev(*)*(v)=XM'>y(v)i с2-26) v=0 v=0 JTav(')*(v) = :KO. (2.27) v=0 Вторую систему будем называть укороченной. Математической основой для получения зависимости, определяющей колебания на выходе одномерной нестационарной системы, описываемой укороченным уравнением (2.27), является следующая теорема (теорема Коши) [45]. Если: 1) имеет место линейное ДУ вида S«v(^(v) = ^(0'x°=0' (2-28> v=0 2) av (Г) - непрерывна на [0, Т], v = 0, п -1; ап (t) = 1; 3) y(t) - непрерывна на [0,Г];
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 121_ 4) к (f, т) - решение однородного уравнения, т.е. Lk (г, т) = 0, причем *^х)Ц^;(лх)Ц=... = Г2)('Д)| =0; "=т (2.29) *,(иЧ)М =i. тогда частное решение неоднородного уравнения, соответствующее нулевым начальным условиям, имеет вид t x(t) = \к (г,т) у (x)d% - формула Коши, (2.30) о &(м) -ядроКоши. Доказательство заключается в следующем. Уравнение (2.28) перепишем в виде Lx-y . Тогда x = L~ly, L~l - оператор, обратный линейному дифференциальному оператору L. Таким образом, задача заключается в нахождении оператора L"1. Поскольку L -линейный дифференциальный оператор, то ясно, что L"1 -интегральный оператор. Воспользуемся формулой: ^ J /(*,у)Л= J ^lZ2^+P/(y)/(P(^)^)"-cc/(^)/(a(^)^). (2.31) Дифференцируя формулу Коши, получаем *(0 = }*(м>(т)</т; о /W = J*;(*.x)y(T)dT+*(»fr)y(«)=j*;(r,T)y(T)dT, о о At) = jk't'(t,x)y(x)dx+k'l (t,t)y(t) = \k't'{t,z)y{x)dv, (2.32) о о т.к.*(*,о-*;('.о--в*.(""2)('.о=°- Вместе с тем имеем t *«(*) = j*,00 (г,т)у(т)^т+^-1) (г, ОУ (0 = j*r"} ('.*Мт)Л+ Я0, (2.33) о о т.к. *,(яЧ)(М) = 1. Подставляя полученные выражения в исходное ДУ (2.28), находим ^av(0j^(v) (г,т)у (т) Jx+ y(t) = y(0, (2.34) v=0 о или, что то же самое, 8 Зак. 232
122 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Ч п л v=n at 0Lv=0 у(т)Л+у(О = у(О. (2.35) Последнее равенство равносильно следующему }[1,*(м)]у(т)Л+у(0 = У(О. (2.36) о Но L,fc(f,x) = O, т.к. &(г,т) - решение однородного ДУ, отсюда следует тождество у (г) = у (г), и, таким образом, формула Коши является решением неоднородного ДУ. Если в (2.30) известно ядро Коши, то расчет x(t) не представляет особого труда. *('ДФ)А Xcv(to)*v(O v=l г* ]£cv(*l)Xv(0 (2.37) Рис. 2.10. Ядро Коши для конкретных х = т0 и т = т, Построим алгоритм нахождения ядра Коши. Поскольку к(г,т) - решение однородного уравнения, то /:(г,т) = с1(т)дс1(г)+с2(ф2(г) + ...+с/1(т)^(г), (рис. 2.10), где Ф(Г) = \хк (t):k = 1, п\ - фундаментальная система ДУ Lx = 0. Поскольку *(r,x)|r=t^;(,,x)|/=T=... = ^-2)(r,x)L=O; *,(ПЧ)И =1' 1г=х (2.38) то с, (т)х, (т)+с2 (т)дг2 (т) + ... + си (т)*„ (т) = 0; с1(т)х[(т) + с2(т)х'2(т)+... + с„(т)х'п(т) = О; qW^W + ^W^W+.-. + c^xJ^W-O; c1(x)^>(x) + ci(x)4-l)(x) + ... + c11(x)x?-')(x)-l. Отсюда находим (2.39)
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 123 *,(т) х2(т) ... хп(т) х[(т) хЦх) ... х'п(х) ,f-2)(x) 4-2)(х) - 4"-2)(х) Г(Г\ (2.40) или W(t)C(t) = X°. Тогда, умножая (2.40) слева на W"1 (т), находим W1 (т) W(x)C(x) = W"1 (т)х£. (2.41) Отсюда следует C(t) = W4(t)X?, (2.42) т.к. |w(x)| Ф 0 для любого те [0,Г]. Теперь можно записать выражение *(*,т)*Ст(т)Ф(/) = (Х^)Т(W"1 (т))ТФ(г) -ядроКоши. (2.43) Окончательно имеем формулу для расчета вынужденных колебаний нестационарных систем ^о=}(х2)т(1¥-!(т))тф(Оу(т)л. (2.44) Ядро &(г,т) найдено для уравнения (2.27), т.е. для так называемого укороченного уравнения; обозначим его через ky{t,x). Найдем зависимость, устанавливающую связь между &(г,т) и ky(tyx). Для этой цели достаточно правую часть уравнения (2.26) полагать входным сигналом системы с ИПФ ky(ty%). Тогда получим зависимость к{их) = \ку{ии)^м{и)№ (2.45) поскольку правая часть уравнения (2.26) при импульсном входе записывается так dm ,, v . _ dm~l *m(0—B^-^+ft^W—г5(г-т) + ... + 46(г)5(г-т). Подставляя (2.46) в формулу k(t,x) = ]ky(t,u)Ly&(u-T)d%9 (2.46) (2.47) получаем (2.45) (здесь /^8(м-т)= ^bv(u)—-8(и-т)). Поскольку справедливо v=0 выражение (_l)V^)=J/(T)5(v)(;_x)^ (2.48) находим искомое соотношение [143] 8*
124 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I ^^^"(-^^[^(^^Wl+'-'+^^^W- (2.49) Введем понятие сопряженных систем, рассматривая при этом для примера уравнение системы с укороченной правой частью, т.е. £av(0*(v) = >>(')• (2-50) v=0 Важность введения этого понятия состоит в том, что для нахождения x(t) по формуле (2.25) требуется с целью построения k(t,x) многократное приложение к исследуемой системе 8 -функций в различные моменты времени т и последующая обработка получающихся при этом кривых. Функцию &(м), рассматриваемую как функцию второго аргумента X при фиксированном t, условимся обозначать через к* (*,т). Ясно, что к(г,т) удовлетворяет уравнению 2ev(o-j7*Me8('-0- at (2.51) v=0 Найдем уравнение, которому удовлетворяет функция к* (г,т). Предварительно определим сигнал y(t), который надо подать на вход инерцион* ной части системы, чтобы получить на выходе 5-функцию (рис. 2.11), у® t,av(t)xw(t) = y(t) v=0 S(f-T) Имеем Тогда Рис. 2.11. К определению сопряженной системы £av(0-£-8(,-T) = ,(')- v=o dt 8(t-T)=]k(t,$)y(£,)dS. (2.52) (2.53) Рис. 2.12. Последовательное соединение Подставим (2.52) в (2.53)
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 125 8(r-T)-jft(«,$) X-v(«^7»ft-T)k (2.54) Lv=o d\ Воспользовавшись свойством 5 -функций {-\)"Щ^-=\ m^\t~\)dt, (2.55) из (2.54) найдем 8(^^) = S(-l)V^r[*('^K(x)]. (2.56) v=0 "т В последнем уравнении относительно k(t,x) независимой переменной уже является т, т.е. E(-1)"7^[*('^)«v(t)] = 5(r-x). (2.57) v=0 "T Итак, если для определения &(*,т), когда независимой переменной является Г, служит уравнение v=0 «* то для построения k{t,%) с независимой переменной т надо пользоваться уравнением Х(-1)^[л(/,т)ау(х)] = 4Л(г,т) = 5(г-т). (2.59) v=0 "T Оператор L* называется сопряженным относительно оператора Lx. 2.2. ИПФ ПРОСТЕЙШИХ ЗВЕНЬЕВ И ИХ СОЕДИНЕНИЙ Как видно из рассмотренных примеров, легко определяется ИПФ только простых систем - систем невысокого порядка с нестационарностями, описываемыми несложными функциями. Но многие сложные нестационарные системы удается представить в виде совокупности стандартных соединений более простых систем. Стандартными называются последовательное, параллельное, типа «обратная связь» соединения звеньев в силу того, что эти соединения остаются в классе линейных систем, если входящие в их состав звенья линейны. Отчего исследование стандартных соединений звеньев проводится в рамках той же теории, которой подчиняются входящие в состав этих соединений звенья. Но тогда возникает возможность достаточно просто и удобно исследовать такие сложные системы, если известны правила, позволяющие определять по ИПФ соединяемых систем ИПФ их стандартных соединений. Часто разбиение исходных систем на более простые составные части удается выполнить так, что все «инерционности»* оказываются стационарными, а все нестационарности - безынерционными (в виде усилителей с изменяющимися известным образом во времени коэффициентами усиления - в виде безынерционных нестационарных звеньев). * Термином «инерционность» здесь условно охвачены динамические звенья, в описание которых входят в любых комбинациях производные как их выходных, так и входных сигналов.
126 Анализ и статистическая динамика САУ» Часть I Тогда анализ упрощается еще более, т.к. для его проведения оказывается достаточным знать ИПФ лишь элементарных стационарных звеньев и ИПФ безынерционного нестационарного звена. 2.2.1. ИПФ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ 1). Безынерционное стационарное звено с коэффициентом передачи а = const. Его передаточная функция W(s) = a, которой соответствует уравнение x{t) = ay(t), откуда, согласно определению, к (г, т) = ab (t - т) (см. рис. 2.13). Замечание 2.2. На рис. 2.13. вдоль линии t = т представлена совокупность дельта-функций, которая изображена так, будто их амплитуды равны величине а. Это на самом деле является условным обозначением того факта, что величине а равны площади соответствующих дельта-функций (амплитуды их, как известно, равны бесконечности). *(*,Т) Огибающая Рис. 2.13. ИПФ безынерционного стационарного звена 2). Стационарное интегрирующее звено. Передаточная функция: W (s) = —. Уравнение звена: —— = y[t). dt Уравнение для ИПФ: —м^ ' ' = 5 (t - т), откуда dt ku(t,x) = jb(t-x)dt = l, k(t,x) = hl[t-x]. (2.60) Часть ИПФ представлена на рис. 2.14. ,
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 127 * it, X) Рис. 2.14. Часть ИПФ стационарного интегрирующего звеиа 3). Стационарное апериодическое звено. Аналогично рассуждениям в п. 2 имеем dt '■+kM(t,x) = b{t-T), откуда, опуская очевидные элементарные выкладки, например, на основе использования преобразования Лапласа, получаем t-x (2.61) 1 *мМ=7* г. *М= 1 •1[,-т]. (2.62) Часть ИПФ представлена на рис. 2.15. k(f,x) Рис. 2.15. К пояснению понятия ИПФ 4). Безынерционное нестационарное звено с коэффициентом передачи a(t). Его уравнение x(t) = a(t)y(t), откуда *^т) = д(05(г-т) = д(т)8(г-т), (2.63) с учетом селектирующего свойства дельта-функции (см. рис. 2.16 и замечание 2.2).
128 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I я(т) Кит) a(t) t = x Рис. 2.16. К пояснению понятия ИПФ 2.2.2. ИПФ ОСНОВНЫХ СОЕДИНЕНИЙ 1). Параллельное соединение элементов (рис. 2.17). Здесь k{{tfx)y k2(t,x) обозначены ИПФ соединяемых звеньев. Они известны. Требуется определить ИПФ соединения. уО) S(f-x) / lr (t т\ ^24*» L/ if, т) = ? bit,*) Ш/" x2(t) 1 *2(f.T) xit) k(f,T) Рис. 2.17. Структурная схема параллельного соединения элементов Подав на вход соединения дельта-функцию в момент t = т при нулевых начальных условиях, на выходе первого и второго звена получим сигналы в виде ИПФ этих звеньев, которые на выходе схемы образуют сигнал *M=*i('>t)h *2M=*iMh M'»t)- Этот сигнал и есть искомая ИПФ, т.к. он представляет собой реакцию всего соединения на дельта-функцию при нулевых начальных условиях. Таким образом, *(*,т) = *,(*,т)(!) *2(м). (2.64) 2). Последовательное соединение элементов (рис. 2.18). Рассуждая аналогично предыдущему случаю, на выходе первого звена получим сигнал
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 129 5(м) к Ь- (t т\ *К*> Ч :(г.х) = ? X\{t) Ш х) к (t т\ K2V> Ч x(t) Рис 2.18. Структурная схема последовательного соединения элементов Воспользовавшись формулой (2.18) по отношению ко второму звену (имея в виду, что сигнал кх (t,x) для него является входным процессом, протекающим во времени t при фиксированном значении т), нетрудно получить его выходной сигнал, который, будучи одновременно выходным сигналом всего соединения, представляет собой ИПФ этого соединения, т.к. возник в результате приложения ко входу последнего дельта-функции при нулевых начальных условиях х(их) = к (их) = J*i (X,т)*2 {uX)dX. о Согласно условию причинности (2.10), которому должен удовлетворять сигнал кх (Х,т) (т.к. он является еще и ИПФ первого звена), &,(Х,т) = 0, Х<т, (2.65) нижний предел интегрирования необходимо заменить на т, тогда к(ит) = 1к2(иХ)к{(Кт)с1Х. (2.66) Как уже отмечалось, здесь кх (г,т) выступает в роли сигнала, а к2 (*,т) - в роли ИПФ, в связи с чем формулу (2.66) иногда рассматривают как операцию воздействия второго звена (представленного его ИПФ) на ИПФ первого звена и обозначают ее поэтому условно *^т) = *2(лт)**,(*,т), (2.67) как воздействие второй ИПФ на первую ИПФ, при этом ясно, что в общем случае ИПФ последовательного соединения зависит от порядка следования звеньев, т.е, *1 (*.*)**2 (Г'Т) * к2 ('>Т)**1 (*'Т) • Замечание 2.3. Замена нижнего предела (формула (2.66)) может показаться излишней операцией, т.к. интегрирование при X < т все равно, казалось бы, должно дать нулевой результат - согласно свойству (2.65) ИПФ либо потому, что сигнал к\ (г,т) в реальной системе станет отличным от нуля лишь при X > т. Однако следует иметь в виду, что в формуле (2.66) символ кх (Х,т) выступает не как ИПФ, но и не как сигнал, а как функция, используемая для описания сигнала. Эта функция должна фигурировать здесь так же, как функция у (X), используемая для описания входного воздействия в формуле (2.18), (т.к. к{ (Х,т) в формуле (2.66) играет ту же роль, что и у(Х) в формуле (2.18)). Пусть функция y(t) определена от - оо до +оо. Используя ее для описания входного воздействия системы, нужно было бы писать у(*)1[*-с]> (2.68)
1JU Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I учитывая тот факт, что воздействие у (t) поступило на вход в момент t = т, а до этого момента оно было равно нулю. Однако в формуле (2.18) этот факт уже учтен самим алгоритмом ее вывода (см. соотношение (2.13)), отчего в ней фигурирует просто функция y(t), а не (2.68). Поэтому и в формуле (2.66) должна фигурировать (и фактически фигурирует) функция кш (Х,т), а не кх (Х,т), несмотря на то, что она там записана, но тогда нижний предел интегрирования должен быть обязательно т. 8(t-x) К t,x) = bx(t т\ **(*,т) ? ««— т, т) Рис. 2.19. Соединение элементов типа «обратная связь» 3). Соединение типа «обратная связь» (рис. 2.19). Поскольку к нестационарной линейной системе применим принцип суперпозиции, перенесем первый элемент через элемент сравнения (рис. 2.20). Подав на вход полученной системы дельта-функцию (при нулевых начальных условиях), из рис. 2.20 заметим, что fc(''T) = *i(''Tb*i(''T)> t где хх (г,т) = \к{Х,т)к3 (t,X)dX - реакция системы с ИПФ къ (f,x) на сигнал k(t>x); X t здесь &3(f,x) = J*i (г,а)Л:2 (or,x)dfa - ИПФ последовательного соединения второго и т первого звена (см. формулу (2.66)). yit) Рис. 2.20. Структурная схема соединения элементов типа «обратная связь» Таким образом, ИПФ замкнутой системы связана с ИПФ замыкаемых звеньев неявной зависимостью (2.69, а) k(t,x) = kl(t,x)-jk3(t,X)k(X,x)dX, X *з(а) = }*,(»,о)*2(о,Х)Л», (2.69, б)
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 131 (2.70) и для отыскания k(t,%) необходимо решить интегральное уравнение (2.69, а), что и является основной трудностью на пути использования метода ИПФ для исследования линейных нестационарных систем. С учетом обозначения, введенного в формуле (2.67), зависимость (2.69) можно условно представить так *(г,т) = *1(лт)-*з(^^)**^^.] M^ = M'^)**2M' j после чего она своей структурой очень напоминает известную из стационарной теории зависимость / ч Wl(S) w(s)= ';J . ч, W l + W{{s)W2{s) если записать ее в виде W(s) = Wl{s)-W3(s)-W(s); W3{s) = Wl{s)-W2(s). Здесь W(s); Wx(s); W2(s)\ W3 (s) - соответственно передаточные функции замкнутой стационарной системы, имеющей структуру (см. рис. 2.19); звена, стоящего в ее прямой цепи; звена ее обратной связи; разомкнутой стационарной системы. Формально заменяя в выражении (2.71); 1) знак умножения - на знак * (воздействия ИПФ на ИПФ), 2) передаточные функции стационарных звеньев - на ИПФ нестационарных звеньев, которые стоят на их месте в структурной схеме, получим выражение (2.70). Отмеченнзд формальная аналогия распространяется и на случай последовательного и параллельного соединений элементов (см. формулы (2.67) и (2,64)). (2.71) Пример 2.4. Найти Щ1Ф системы, представляющей собой последовательное соединение стационарного апериодическогр зрена и двух усилительных нестационарных зреньев с коэффициентами, изменяющимися по закону е' и е~' (рис. 2.21). у(0 * 6 *l(',T) Ш ( г\ — WoyS) s + a k2(t,-c) *- i x(t) Рцр> 2.21. Структурная схема системы Согласно формулам (2.62) и (1,63), *,(*,т) = «~'8(г-т); *2(г,т) = е-а<'-<>1[,-т]: *зМ = е'6(/-т).
132 ^ Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Применив соотношение (2.66) к первым двум звеньям, получим X *12(лт)=*-а<'А-ч[,-т]. Применяем соотношение (2.66) к kl2(t9x) и k3(t,x) *м (м) = j^5(r-X)e"a(X"VT^ = т = е'е-т jS(t -Xya{k^d\ = <><'-V0^' L .,=е('-«Х'-^) # Т ^(м) = Ла)(/-т>1[/-т]. Таким образом, ИПФ системы (рис. 2.21) зависит только от разности м, т.е. данная нестационарная система ведет себя как система стационарная (как стационарное апериодическое звено с постоянной времени и коэффициентом передачи ), передаточная функция которого Иногда рассмотренные методы определения ИПФ (чаще всего в силу сложности системы) не эффективны. Тогда ИПФ можно находить с помощью моделирования. 2.3. ОПИСАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЛНС С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ Аппарат интегральных преобразований нашел широкое применение в теории стационарных линейных систем. Прежде всего, следует отметить преобразования Лапласа и Фурье. Например, теоретической основой часто используемого частного метода анализа и синтеза систем с постоянными параметрами, в разработку которого большой вклад внес В.В. Солодовников, является преобразование Фурье. Сделаны обобщения некоторых положений теории стационарных систем на системы с переменными параметрами (работы Л. Заде, В.В. Солодовникова, Ю.И. Бородина, А.Б. Ионнисиана, И.П. Бриккера, В.А. Карабанова, Б.Е. Рудницкого и др.). Для некоторых классов ЛНС этот аппарат может оказаться достаточно эффективным. В общем же случае его применение встречает принципиальные трудности, порожденные свойствами дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Очень удобное соотношение частотного метода, справедливое для стационарной линейной динамической системы ВД=У(*)Щ*), (2.72) где W(s)=jk(ne-Stdt = Lt [*(*)] (2-73) о - передаточная функция, являющаяся преобразованием Лапласа ИПФ линейной стационарной системы (индекс при символе преобразования Лапласа здесь и далее указывает переменную, по которой оно выполнено); X(s)=Lt [*(*)]; Y(s)=Lt [y(t)])9 наталкивает на целесообразность обобщения интегральных преобразований Лапласа и Фурье для исследования и нестационарных линейных систем. Впервые такая попытка была сделана в работе В.В. Солодовникова [146] и, далее, в работах Л. Заде [196].
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 133 2.3.1. Общее интегральное уравнение Л НС Пусть в уравнении (2.5) коэффициенты представимы как flI.(0 = e? + 5I.(0, i = CUl . (2?4) fcv(O = *J + *v(O. v = <^"4 где д?, fej и а,- (0, £v(0 "" соответственно известные постоянные и функции времени; для последних существуют преобразования Лапласа: Д (s), Bv(s). Выполнив над левой и правой частями уравнения (2.5) преобразование Лапласа с учетом соотношения (2.74), имея в виду, что преобразование Лапласа от произведения двух функций равно свертке (отсюда и название метода - метод свертки) изображений сомножителей [163], получим п , Ci+J- п i=o 2nj c_jooi=0 = £&vVy(5)+-L J £/?v(X)(*-X)vr(5-X)</X, v=0 2тУ C2-jooV=0 Re5>max[c5;c6];c5=c1+c3;c6=c2+c4, где cx,c2 и с3,с4 - абсциссы абсолютной сходимости соответственно функций 5/(0, МОи x(t), y(t), ' Введя в рассмотрение полиномы по s L°(*) = £e,V;F0(5)=f;bvV, i=0 v=0 получим ЭД=4о7ТУ<5>+,оЛ ■ f ЁВУ(Х)(*-Х)УГ(*-Х)Л- tf(s) L°(s)2njcJ_, £й 1 (2.75) Г J YJAi{X){s-X)iX{s-X)d% - интегральное уравнение в комплексной области относительно изображения искомого выходного сигнала [163], к которому свелось в результате применения преобразования Лапласа исходное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Первый член правой части выражения (2.75) характеризует в комплексной области решение уравнения (2.5) без учета переменности его коэффициентов, второй член позволяет учесть влияние на решение переменности коэффициентов правой части, а третий член (который и превращает выражение (2.75) в уравнение) - переменность коэффициентов левой части. Такая структура выражения (2.75) создает определенные удобства для исследования влияния на решение уравнения (2,5) переменности его коэффициентов» Обозначим Xq(s) изцедтиые члены правой части выражения (2.75) X0(s)=£^Y(s)+ Q l 2\ %Ву(Х)(5-ХУ¥(5-Х)с1Х;- (2.76) ^ (s) L (s)2nj C2_7oov=0 тогда
134 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I c\+j~ Л X(s)=X0(s)—g-i ' Г Уда)(*-А.)'Х(*-Л)<а. (2.77) J(s)2nj ci^ В случае, когда представимо где C(s) D(s) Хла)(,-х)- = С(^;-Х), - дробно-рациональное выражение, порядок полинома числителя которого меньше порядка полинома знаменателя, решение уравнения (2.77) можно искать в форме сходящегося ряда [163] члены ХД.у),(/ = 1,2,...) которого вычисляются по формуле 1 '7 C(X,s-\) (s)2njetij_ D(X) ) F°(s) L°(s) . B(s) . X^is-XldX. MO (2.78) (2.79) x(t) A(s) Xl(t) ■o A(s) x2(t) Рис. 2.22. Структурная схема стационарной системы, эквивалентной нестационарной Если второе слагаемое правой части соотношения (2.76) и правую часть формулы (2.79), которые после выполнения интегрирования зависят только от s, с помощью аналитических преобразований удастся представить в виде • -5-J 7 f,Bv(X)(s-XyY(s-\)dX = B(s)Y(s); (2.80)
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 135^ 0 . J ХАДХ)(5-Х)%ч(5-Х)<а = А(5)Хм(5), (2.81) £ (s)2nj c^jooi=0 то исходной стационарной системе, согласно (2.76), (2.78) - (2.81), ставится в соответствие эквивалентная стационарная система, представленная на рис. 2.22. Таким образом, преобразование по Лапласу уравнения (2.5) к понятию, аналогичному понятию передаточной функции (как это было в стационарном случае), непосредственно не приводит. 2.3.2. Понятие параметрической передаточной функции (ППФ) В интеграл суперпозиции (2.16), записанный для случая, когда входное воздействие приложено к системе в минус бесконечности (он тогда описывает установившуюся реакцию системы на это воздействие) t *(*,-<») = xy(t) = J y(T)k(t,T)dT, (2.82) — CO подставим функцию y(t), выраженную через ее преобразование Лапласа 1 е'7~ y(t)=— \ y(s)e"ds; VO = ~tJ*(*.t) 7 esly(s)ds <*т = -^7 J (e"-e-")y(*)x UJ - УС'Ч~ ) nJc<-J~ (2.83) x f Л(Г,т)ЛЛ = — f esty(s)ds\ f e~^~x)k{t,x)dx Ids. V-~ ; J cA-j°° ^-oo ) Обозначим V/{s,t) вьфажение в скобке W(s,t) = J e's(t~x)k(t,x)dz. (2.84) Л. Заде [196] назвал его параметрической передаточной функцией (ППФ). Теперь соотношение (2.83) принимает вид *y<t) = -Vf e"Y(s)W(s,t)d*\ (2.85) 2nj J. J CA-J<*> оно отражает тот факт, что xy(t) связано преобразованием Лапласа с произведением Y(s) W(s,t), но тогда по аналогии со случаем стационарных систем это произведение можно обозначить X(s,t): Y(s)W(s,t)=X(s,t). (2.86) Соотношение (2.86) по форме напоминает соотношение (2.72) из теории стационарных систем, что и желательно было получить, однако применимость соотношения (2.86) ограничивается пока только рамками установившегося режима (см. формулу (2.85)), что, конечно, существенно снижает его ценность в сравнении с выражением (2.72), справедливым и для переходного режима. Выражение для текущей реакции нестационарной системы на сигнал y(t), приложенный в момент т0 (см. формулу (2.16)),
136 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I t x(t,To)=j y(t)k(t,T)dT, т° с учетом того, что ;у(0=0 при t < т0, можно представить в виде t *('Л0)= J ;у(т)1[т-то]£(г,т)</т. —оо Проделав над ним операции, аналогичные тем, которые были проделаны над соотношением (2.82), получим *('До) = Т-7 f estns)\ |НгЛ(М)1[х.т0]Л Ids. (2.87) Выражение в скобках представляет собой интегральное преобразование (2.84), но уже не от fc(f,x), а от ее части, «обрезанной» плоскостью, параллельной координатной плоскости Ш, проходящей через точку т = т0 (см. рис. 2.23 (жирные сплошные линии)). Таким образом, для того чтобы формула (2.86) была справедлива в переходном режиме, W(s,t) в ней должна отличаться от W(s,t), представленной выражением (2.84), причем для каждого to,W(s,t) различная, что, конечно, очень неудобно. К счастью, на практике часто система начинает функционировать с момента времени, определяемого ее пользователем, например, с момента ее пуска. В этот же момент на систему поступает входной сигнал и начинается наблюдение за ее реакцией, которая в этом случае (т0 = 0) представляет собой *,0)=(у(тЖгд)1[фт. (2.88) —оо Для такой реакции справедлива формула (см. выражение (2.87)): ! с4+7~ Г t \ *(r,0) = -i- f esty{s)\ \ е"5('-т)^т)1[т]^т L/5, (2.89) но fc(r,x)l[x] - ИПФ, обрезанная координатной плоскостью Ш (см. штрих-пунктир на рис. 2.23), и есть именно та ИПФ, которую принято считать ИПФ системы в реальных условиях ее эксплуатации (см. замечание 2.1), тогда выражение в скобках совпадает с выражением (2.84) для ППФ такой системы: W(s,t) = J <f 5('-x)*(f,x)l[x]dx, (2.90) —оо а формула (2.86) описывает в этом случае в области комплексной переменной уже функцию, связанную не с установившейся реакцией д:(Г,-°°), а с переходным процессом *(f,0) (см. (2.89)). Из формулы (2.84) следует, что ППФ есть интегральное преобразование от ИПФ, но не преобразование Лапласа. Сделав в выражении (2.84) замену переменной Г-т = 0 (2.91) (новая переменная имеет смысл временного сдвига), Т = Г + 0; dX = d&9 Т = ~оо; 0 = -оо; х = Г, 0 = 0, получим W(5,O=jV50*(M-0)d©,
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 137 т.е. W(s,t)=Le[k(t,t-e)] (2.92) - ППФ системы все-таки есть преобразование Лапласа, связанное с ИПФ этой системы (аналогично тому, как это имеет место в стационарной теории (формула (2.73))), но не от той функции, которую описывает &(г,т) по переменной т, а от функции, которую описывает k(t,t-Q)=[k(t,T)] Q попеременной Э (см. рис. 2.23). kH(t,x0) *•/ \\/-\ ^ Рис. 2.23. К пояснению процедуры вычисления выходного сигнала 2.3.3. Понятие параметрической частотной характеристики (ПЧХ) В стационарной линейной теории широко используется понятие частотной характеристики W(/co), которая может быть получена из передаточной функции путем формальной замены в ней аргумента s на у'со: Выполнив аналогичную замену в ППФ, получим также частотную характеристику, но помимо переменной со она зависит еще и от параметра г W(ja,tHW(s,t)] (2.93) поэтому называется она параметрической частотной характеристикой. Легко понять, что ей соответствует семейство (по параметру t) амплитудных, фазовых, вещественных, мнимых, амплитудно-фазовых (см. рис. 2.24), логарифмических и тому подобных параметрических частотных характеристик.
138 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Одним из важнейших свойств частотной характеристики W(j(O) является то, что она может быть получена экспериментальным путем. Для выяснения возможности экспериментального снятия ПЧХ необходимо установить ее физический смысл. В выражении (2.90) заменим s на у'со и представим его как ИЧМ')=- J «*'*(*, т)1[т]Л о№ (2.94) Согласно формуле (2.88), числитель правой части выражения (2.94) есть текущая реакция ЛНС на сигнал у(г) = е]ш , приложенный в момент т = 0, и тогда ПЧХ трактуется как отношение текущей реакции системы на сигнал е*ш к этому сигналу. Однако сигнал этот нереальный, т.к. связан с мнимой единицей. j Рис. 2.24. К пояснению понятия параметрической частной характеристики Представив функцию WOco,r)=P(w,O+/<2(co,f) (2.95) через вещественную и мнимую параметрические частотные характеристики, функцию ejm =coscof + 7sin(0f разложением по формуле Эйлера, выражение (2.94) приведем к виду [P(cD,OcoscDr-6(co,OsincDr]+;[P(cu,Osincor + j2(co,r)cosu)r] = = f cos(Oxk(tfx)l[x]dz-¥ j J sincox/:(r,T)l[T]dT. (2.%) Поскольку интегральные члены правой части представляют собой текущие реакции ЛНС на воздействия coscor и sincor, приложенные при т = 0(см. (2.88)), обозначим их соответственно xc(t>0) и xs(t,O), после чего, имея в виду, что равенство (2.96) возможно, если независимо равны вещественные и мнимые его части, получим два уравнения P(co,r)coscor-(2(u),Osin(or = j[:c(r,0);lsincDrlcoscDf, P(cD,r)sincDr + 6(cD,Ocos(or = Jcs(r,0).jcoscorJ sincof.
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 139 Домножим левую и правую части первого из них на sin cor, а второго на cos cor и вычтем почленно первое уравнение из второго. Имеем (т.к. sin2 cor+cos2 Ш = 1) £K<0,0=M^)cosC0f-;cc(f,0)sinC0f. (2.97) Домножив левую и правую части первого из них на cos со г, а второго на sin cor и сложив их почленно, получим P(<uyt)=xs(ttO)sin(ut + xc(tyO)cos<ot. (2.98) Соотношения (2.97) и (2.98) описывают алгоритм экспериментального снятия мнимой и вещественной частотных характеристик ЛЫС. Схема установки, соответствующей этому алгоритму, представлена на рис. 2.25. Для ее реализации, как это видно из рисунка, требуются две одинаковые системы. Квадратами с диагональным крестом здесь обозначены блоки перемножения. ПЧХ является функцией двух аргументов: со и t. РШ) sin см cos cor ■* система xs(t,0 хс(',0) д / / \ \ / / V \ / \ / / \ / \ (2Ш) Рис. 2.25. Структурная схема системы, реализующей алгоритм экспериментального определения частотных характеристик ЛЦС Совокупность кривых, снятых с установки при фиксированных значениях со, представит ПЧХ как семейство (по параметру со) функций времени (см. рис. 2.26, а). Представление ПЧХ в виде семейства функций частоты (что обычно имеют в виду, употребляя термин частотная характеристика) по параметру t требует перестройки экспериментально полученного семейртва (рис. 2»26, б). Р(ш„О Р(ш2,г) Рис. 2.26, а. К пояснению понятия частотных характеристик ЛНС и их экспериментального определения
140 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I P(<bh) P((O,t2) Щ со2 \а)з б со Рис. 2.26, б. К пояснению понятия частотных характеристик ЛНС и их экспериментального определения 2.3.4. Понятие нормальной и бичастотной передаточных функций ППФ W(sJ), введенная Л. Заде, является интегральным преобразованием (2.84) от k(ty%) по второму аргументу, поэтому ее еще называют иногда сопряженной передаточной функцией (СПФ) и обозначают H(t,s): t W(s,t)= ^e~s{t~x)k{t,x)dx = H{t,s). (2.99) Однако не все операции при исследовании ЛНС могут быть осуществлены только с её помощью. Например, выполним над левой и правой частями интеграла суперпозиции (2.16) преобразование Лапласа по переменной t ]x{ux)e^tdt^\e^t{\y{x)k{t^)dx)dt. 0 От Поскольку ИПФ есть &(Г,т)1|7-т], то фактическая область интегрирования имеет вид заштрихованной на рис. 2.27 области (порядок фактического интегрирования указан штрихпунктирными стрелками). Поменяем порядок интегрирования (см. двойные штрихпунктирные стрелки на рис. 2.27): оо оо Х(ц,х0) = J (e^Vt)y(T)(J«-|ltt(r,T)rfT)rfT = То г оо оо = \e-^y{x){\e-^k{ux)dx)dv, здесь Х(|1,т0) обозначено jxityX^e'^dt = Lt[x(t,z0)]. о В скобках правой части фигурирует выражение, аналогичное интегральному преобразованию (2.99) от ИПФ, но выполненное по первой переменной, оно называется нормальной передаточной функцией (НПФ) и обозначается N(\i,t) : N(\L,%) = le~*t'*)k(t9T)dt. (2.100)
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 141 О Рис. 2.27. Графическое представление области интегрирования Понятие НПФ было впервые введено Бриккером [30]. Для ППФ было показано, что Я(М) = 1в[*(*,*-в)]. Аналогично можно показать, что N(H,T) = Le[*(x+Ti,T)]. В некоторых случаях наиболее удобной оказывается так называемая бичастотная передаточная функция (БПФ) W(vl,s) , которая представляет собой двойное преобразование Лапласа от ИПФ по ее переменным. Она может быть получена как из сопряженной, так и из нормальной передаточных функций с помощью повторного преобразования Лапласа по оставшейся временной переменной: wfas) = Mtf('.-*)]f-wl (2Л01' а) W(\i,s) = LaltfQx,т)]М1+ц. J (2.Ю1, б) Приведенное обозначение t—>s + \i означает, что при выполнении повторного преобразования Лапласа изображение, соответствующее переменной г, является функцией комплексного аргумента s + \i'. Этот факт является следствием того, что Н (г, s) - интегральное преобразование по т, отличное от преобразований Лапласа. Действительно, выполнив двойное преобразование Лапласа от &(*,т), получим бича- стотную передаточную функцию: W(\iys)^]e^tdt\e-sxk{t,x)dx. о о Но поскольку k(t,%) = 0 при т > t, со / ИЧщ s) = je-^(eue-5t)dtje-nk(t,x)dT. (2.102) о о Кроме того, &(f,t) = O при т<0 (см. (2.84)), поэтому со I W(\L,s) = \e-ve-stdt \ e-si'-x)k(t,T)dT = = je~(li*s)lH(t,-s)dt.
142 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Поменяем порядок интегрирования в выражении (2.102) (см. двойной штрихпунк- тир на рис. 2.27, при т0 = 0), тогда W(\xys) = je'^ie^e^dxje^kdt^dt = = \e-^s)xdT\e-^-x)k(u>z)dt = \e-^s)xN{\x,x)d>z От 0 (см. выражение (2.100)), откуда следует равенство (2.101, б). Согласно равенству (2.101, д), в БПФ входит два типа переменных s: та s, которая уже была в функции Н (Г, s), и та s, которая вновь появилась после повторного интегрального преобразования (вместе с |Л). Для W(\x,s) как функции двух переменных происхождение s совершенно безразлично, но если возникает потребность с помощью обратного преобразования Лапласа вернуться от W(\i,s) к H{tys) и k(t,T), то эти переменные нужно различать: из «старой» s должна образоваться переменная т, а из «новой» (в паре с ц, вида \i+s) - переменная t. Чтобы «новая» s не «затерялась» предлагается ввести обозначение \x + s = X и записывать результат (2.101, а) в виде W(kys). В случае использования W(k,s) только в области комплексной переменной заменяем X = \i+s, в случае же перехода в область вещественной переменной первое из обратных преобразований проводим по X, а второе - по s. Аналогичное замечание можно сделать по поводу формулы (2.101, б). Здесь причиной необходимости подобных операций является «старая» и «новая» переменные \х. ППФ, НПФ и БПФ являются эквивалентными в том смысле, что по любой одной из них могут быть определены две другие, а самая широкая распространённость среди них ППФ объясняется, пожалуй, лишь тем, что ей соответствует наиболее простая связь с оператором системы, и тем, что она ранее других была введена в обиход. 2.4. ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА (СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ) Использование преобразования Лапласа для исследования ЛЫС сопряжено с возникновением дополнительных (в сравнении со стационарным случаем) трудностей, существо которых удобно выразить в форме следующих проблем [121]. 1. Проблема оригинала. Порядок роста функции x(t), описывающей изменение выходной координаты ЛНС, может быть выше экспоненты, и тогда преобразования Лапласа от нее не существует: где 0 - пространство оригиналов (пространство функций, для которых существует преобразование Лапласа). В стационарной теории такая проблема не возникает. Дело в том, что где xn(t) - переходный процесс, xy(t) - установившийся процесс. Из теории дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами известно [121], что xy(t)e 0 , если y{t)e ©. Функция, описывающая переходный про-
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 143 цесс, складывается из слагаемых типа А{е '', i = 1, л, где А{ = const: \{ - корни характеристического уравнения системы - вещественные или комплексные постоянные числа, поэтому xn(t) имеет степень роста не выше экспоненты, в силу чего x(t)eQ, если y(t)eQ. Пример 2.5. Пусть система описывается уравнением x(t) + a(t)x(t) = y(t)', [*(f)],=T=0. Его точное решение в квадратурах [121]: -Jfl(T,)rfT, / /o(T,)rfT, *(',*) = *' \ех y(k)dX. (2.103) т Тогда импульсная переходная функция данной системы -Jo(x,V/t, k(t,x) = e * -1(*-т), и решение дифференциального уравнения в квадратурах примет следующий вид ' -}о(Т|)</х, *(M) = Je* -Kt-X)-y(X)d\. т Пусть a{t) p t, тогда' х(/,х) = е 2 je 2 • 1(г-Я.)• y(\)d\, (2.104) т откуда видно, что преобразование Лапласа от *(/,т) попеременной г можно было бы вычислить с помощью повторного применения теоремы свертки в комплексной области, теоремы об интегрировании оригинала и теоремы смещения, если функции, составляющие правую часть выражения (2.104), - оригиналы. Но г2 60, поэтому £,[*(;,т)] вычислять таким образом нельзя; при этом следует учитывать также, что в общем случае здесь используются смещённые преобразования Лапласа X{s,t) = J jc(6 + т,т)<Г *°rfe = Jjc, (6)^-^6 о о и Y(j,t) = J y(Q+*c)e~sQdQ = jyx (Q)e~sedQt о о где *,{<е)^*(6+тд), jYM-jte+x). В случае стационарной системы (a(t) = a = const) выражение (2.103) примет вид в+т Xl(Q) = J е-«(в+т-Х). 1(е + т _X)y{X)d\ = = }е'°(в'ц)-1(в-ц)-у(ц + т)ф = о в = /^в(в"й)-1(в-|л)->'1(ц)ф. о Это свёртка в вещественной области, поэтому Х(5,т) = L{jc,(O)} = L{^fl9 -1(0)}. 1{у,(в)}. То есть Х(5,Т) = "^ К(5,Т). 5 + а
144 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Учитывая, что К(5,т) = Y(s,0) • еп = Y(s) • е'\ получаем подтверждение факту независимости формы реакции стационарных систем от изменения момента приложения входного воздействия (при сдвиге входного воздействия реакция стационарной системы также сдвигается без изменения формы). Это свойство позволяет принять, что момент приложения х воздействия равным нулю (т = 0), что приводит к широко известному соотношению [121] Х(5)= —K(5) = W(*)K(5), s + a где W(s) = передаточная функция апериодического звена с постоянной времени — и коэффициен- s + a a том передачи -. Нестационарная система может быть описана в пространстве состояния следующим образом [143]: Х(0 = A(OX(O + B(OY(O, [X(r)],=T = Хх, ХВ(О = С(ОХ(О, где Х(0, Y(O>XB(O - векторы, соответственно, состояния, управления и выхода системы, А(0,В(0,С(0 - прямоугольные матрицы, составленные из заданных функций времени. Известно [121], что если 1) B(OY(f)e0, 2) А(О,С(О - ограничены, непрерывны и дифференцируемы на [0,°°] 9 то Х(у)б0. (2.105) 2. Проблема уравнений системы в комплексной области состоит в том, что использование преобразования Лапласа для исследования нестационарных систем приводит в общем случае не к алгебраическим уравнениям (как в стационарном случае), а к дифференциальным или к интегральным (2.75), которые часто оказываются не проще исходного. 3. Проблема структурных преобразований состоит в том, что их выполнение сопряжено с добавочными трудностями, содержание которых определяется необходимостью пользоваться положениями, изложенными в [121], вместо простых алгебраических соотношений в аналогичных ситуациях для стационарных систем. 4. Проблема обращения возникает в связи с тем, что XB(s,t) в общем случае принадлежит к более сложному, чем дробно-рациональное выражение (как это было в стационарном случае) классу функции, например, XB(sj) может содержать существенно особые точки, особые точки типа точек разветвления. Тогда теряет силу теорема вычетов и встаёт задача анализа особых точек и разложения Xu(s,t) в их окрестности, которая не исчерпывает всех трудностей в связи со спецификой связи ХвС*,0 и *в(г,т). 5. Проблема нахождения передаточной функции нестационарной системы по ее дифференциальному уравнению. В стационарной системе, описываемой уравнением
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 145 t^-S^yW, (2.106) v=0 v=0 передаточная функция определяется очень просто (через коэффициенты дифференциального уравнения) ' w{s) = bmsm+bm_lS»-+...+b0 ansn+an_lsn-1+...+a0 А теперь запишем уравнение нестационарной системы £«vG)*(v) = 5;M*)y(v). (2:108) v=0 v=0 На основе последнего уравнения запишем формулу для определения импульсной переходной функции системы: v=o dt v=o dt Умножим обе части (2.109) на е" и проинтегрируем на (-оо,+<»). В результате получим £av(O-^T J *(/.т>"Л = XMO-jV J '"«('"^ С2-110) V=0 «^ -оо V=0 "^ -оо Перепишем последнее уравнение в виде £av(0^J *(*,T>-*<'-V'rfT= £л,(/)^*". (2.111) V=0 "' -co V=0 "? С учетом формулы (2.25), зависимость (2.111) перепишется в следующей форме S^W^[W(5,0^]=S*,(07V^- (2.112) v=o dt L J v=o dt Воспользовавшись формулой Лейбница для V -й производной от произведения двух функций, после элементарных преобразований из (2.112) находим зависимость £1£а(,.0^>(*.0-*('.<). е-113* v=oV-ds at где А(5,г)= ]|>у(0Л B(5,r)=§fev(05v. (2.114) v=0 v=0 Эти зависимости получены Л. Заде в 1954 г. Формула (2.113) показывает, что. для нахождения параметрической передаточной функции необходимо решить линейное параметрическое дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Но исходное дифференциальное уравнение (2.108) принадлежит тоже к этому классу. Преимущество в нахождении параметрической передаточной функции состоит в том, что, построив ее один раз, можно на ее основе решать широкий спектр задач анализа и синтеза рассматриваемого класса систем. Уравнение (2.113) точно не решается. Для нахождения W(s,t) используется в основном метод последовательных приближений. Указанные выше положения сведены в табл. 2.1 [168]. 11 Зак. 232
146 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Таблица 2.1 Понятие Дифференциальное уравнение системы Правомерность применения преобразования Лапласа Формулы, определяющие передаточные функции систем Формула, определяющая изображение выхода системы Степень сложности нахождения оригинала по изображению выхода Степень эффективности применения преобразования Лапласа к уравнениям с постоянными и переменными коэффициентами Выводы: Стационарная система v=0 v=0 Если y(t) -оригинал,то x{t) - всегда оригинал, и применение преобразования Лапласа правомерно Передаточная функция определяется по дифференциальному уравнению системы w,s)_bmsm+bm_lsm-l+...+b0 "v"' ansn+an_lSn-l+... + a0' X(s) = W(s)Y(s) В подавляющем большинстве случаев X(s) - дробно-рациональная функция, и для нахождения оригинала может быть использована 2-я теорема разложения Уравнение v=0 v=0 с помощью преобразования Лапласа переходит в алгебраическое X(s) = W(s)Y(s) и, следовательно, подход очень эффективен Для класса стационарных систем аппарат очень эффективен Нестационарная система |X(')*(v)' = l>v(Oy(v) v=0 v=0 В общем случае x{t) - не оригинал, т.е. не преобразуема по Лапласу, и, следовательно, применение преобразования Лапласа не всегда правомерно Передаточная функция является решением дифференциального уравнения где v=0 v=0 X(s,t) = W(s,tms,t) Для нестационарных систем X(s,t) не относится к классу дробно-рациональных (часто имеет трансцендентный вид). Поэтому задача перехода к оригиналам очень сложна Уравнение 5X(o*(v)=!>«)/> с v=0 v=0 помощью преобразования Лапласа переходит или в интегральное, или дифференциальное в комплексной области (для полиномиальных N коэффициентов Oy,(t) = ^avktk ), *=о или в разностное (для экспоненциальных коэффициентов N М0=1Х*<Г*')- Подход малоэффективен Для класса нестационарных систем в общем случае малоэффективен; эффективен лишь для отдельных классов систем 2.5. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ (ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ) Характерной особенностью ЛНС является то, что устойчивость по отношению к начальным условиям (предполагающая затухание свободного движения) не предо-
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 147^ пределяет ее устойчивости по отношению к управлению (требующему конечной реакции на конечное управляющее воздействие при нулевых начальных условиях, как было в системах стационарных [121]). Пример 2.6 [121]. Пусть задана ЛНС Согласно формуле (2.103), при y(t) = 1 [/], [■*(*)],_, = ■*<>• 'о = 0 имеем x(t) = e»"\+e»x+2)J^2dx. о Так как '(— e"Jt+2 =g[-ln(t+2)X =^-ln(/+2)+ln2 =e-ln(/+2)^ln2 = 2 , ч 2 2 fi + 2^ 2 Г(т + 2)2Т 2 * + 2 2 ^)=7^^+7Ti{^T=7Ti^+[^|=7T2^+—'—г Отсюда видно, что свободная составляющая движения ЛНС (2.115) *. (О-Tiro (2Л16) с течением времени стремится к нулю (т.е. эта система устойчива по отношению к начальным условиям), а вынужденная составляющая ^Л')~~ (2-Й?) неограниченно возрастает (по отношению к управлению система неустойчива). Поэтому необходимо исследовать устойчивость ЛНС не только относительно начальных условий, но и ее устойчивость относительно управления. 2.5.1. Устойчивость ЛНС относительно начальных условий Точное исследование вопроса устойчивости относительно начальных условий ЛНС общего вида ^ = А(г)Х(0 (2.118) представляет значительные трудности, поэтому чаще пользуются приближенными методами такого исследования. Рассмотрим некоторые из них. Метод исследования относительной устойчивости состоит в том, чтобы представить произвольную ЛНС (2.118) через параметры системы ^ = Az(t)Z(t), (2.119) at устойчивость которой известна: ^-[AZ(0+E(0]X(0; (2Л20) и, исследуя свойства матрицы-добавка E(r) = {e^(r)}, ij = l,n, судить об устойчивости исходной ЛНС (2.118). Наиболее выгодно в качестве (2.119) использовать системы стационарные и периодические. Первые - как наиболее простые и исследованные, в которых с учетом (2.120) А(г) = Аст+Е(г); (2.121) 11*
148 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I вторые - в связи с положениями теории Флоке, в них A(f) = Ar(f)+E(f), (2.122) где Аг(г) = Аг(г + Г); (2.123) Г- период изменения коэффициентов матрицы. Если HmE(r)=0, то матрица (2.121) называется почти постоянной, а матрица (2.122) с учетом (2.123) - почти периодической коэффициентной матрицей, и имеет место следующий критерий относительной устойчивости [121]. Критерий 2.1. Пусть система (2.119), где Az (г) = АСТ-постоянная или Az (r) = Аг (г)- периодическая, устойчива относительно начальных условий. Тогда и система (2.118), представленная как система (2.120), также устойчива относительно начальных условий, если оо J|E(t)|</t<oo, (2.124) где под нормой матрицы понимается 1|е(т)|=Е£Ы4 <2-125) 1=1 У=1 Критерий 2.1 для матрицы Az (r) общего вида справедлив, если помимо условия (2.124) выполняется еще и условие t limJtr[Az(x1)]d/x1 >-oo (2.126) п (здесь символом tr[Az (х{ )1 обозначен след матрицы Az (i!), т.е. ^aZii (x{)). i=i Если стационарная или периодическая система (2.119) асимптотически устойчива относительно начальных условий, то при соблюдении требования (2.124) соответственно почти стационарная или почти периодическая система также асимптотически устойчива относительно начальных условий. Критерий 2.2 [121] - аналитический достаточный критерий устойчивости относительно начальных условий. Задана ЛНС типа i=0 dt (2.127) *o(0 = 1' у которых переменные составляющие коэффициентов дифференциального уравнения а{ (t) ограничены, аг(1)\<т{ (2.128) (рис. 2.28), где ^(г) = аю+а/(г), аю- постоянные составляющие коэффициентов, го, - известные постоянные положительные числа.
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные и А У му 1 0 i ai(t) ^ i та t Рис. 2.28. К пояснению понятия устойчивости ЛНС Чтобы ЛНС (2.127), (2.128) была устойчива относительно начальных условий, достаточно выполнения соотношения а + М<0, (2.129) где а-действительная часть ближайшего к мнимой оси корня характеристического уравнения линейной стационарной системы (ЛСС) Х«ю—Н = У(')>*оо = 1; (2.130) i=o at r = §m1p'+I, (2.131) i=0 здесь р- модуль наибольшего корня характеристического уравнения системы (2.130); А = £|А|- (2.132) 1=1 В (2.132) А(- коэффициенты разложения передаточной функции ЛСС (2.130) на элементарные слагаемые относительно ее полюсов s = $,,* = 1,и : 1 ^ А- »=1 ' ^cxW = sn+at (п-\)0 Sn Ч.-. + ^о £f S-S; (2.133) Смысл условия (2.129) можно понимать так: положительный (см. выражения (2.131), (2.132)) «добавок» гА, который с некоторым запасом учитывает переменность коэффициентов уравнения (2.127) (см. формулу (2.131)), не должен переводить самый близкий к границе устойчивости полюс передаточной функции WCT (s) устойчивой стационарной системы (2.130) в правую полуплоскость. Из соотношений (2.129) - (2Л 31) видно, что если ЛСС (2.130) устойчива и коэффициенты (2.127) изменяются относительно коэффициентов ЛСС (2.130) на малую величину (числа т{ малы), то ЛНС (2.127) останется устойчивой. 2.5.2. Устойчивость ЛНС относительно управления Критерий 2.3 - необходимый и достаточный критерий устойчивости ЛНС (2.127), (2.128) по отношению к управлению: оо J|K(r,x)|jx<C<oo. (2.134) Здесь |К(г,т)| = {|/:0.(м)|}, / = 1,г, 7 = 1,/п - МИПФ этого объекта, в которой на месте каждого элемента стоит.его модуль; С = \cl}}, i = 1,г, j = 1,/n ; c(j = с = const.
150 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I В справедливости условия (2.134) можно убедиться следующим образом. Известно, что X(f) = jK(r,x)Y(x)</x. (rxl) ,o (rxm) (тх\) Пусть воздействие Y(г)ограничено некоторой величиной Ymax , тогда реакция (mxl) i-ro компонента выхода системы нау-ю компоненту входа t МОвКММт)Л 'о имеет максимально возможное значение при у7 (г) = ут^\%^хк^ (f,x) (рис. 2.29): t t *ymax (0 = Утахf*y O'^sign^y (t,-c)dx = ?max J|fy (г,т)<*т|. i jmax 0 "Утт \ Рис. 2.29. К пояснению понятия устойчивости ЛНС Отсюда видно, что составляющая Jty(f), а следовательно, и любой компонент выходного вектора ограничены, если Улшх J\kij (*>ТН ^ УтчРц < - , b(j = const . (2.135) Из соотношения (2.135) вытекает условие (2.134), если положить c = max{ fy}; i = l,r ; ; = l,w ; * = <*>. 2.5.3. Устойчивость ЛНС на конечном интервале Устойчивость - асимптотическое свойство системы, связанное с ее поведением в бесконечности. Но большинство реальных систем работает на конечном интервале времени [0,Гд], в связи с чем возникает вопрос, насколько эффективно такая характеристика, как устойчивость, может быть использована для оценки работоспособности системы в этом случае? Для линейных стационарных систем (ЛСС), если устойчивость гарантирует их работоспособность в бесконечности, то она гарантирует ее и на конечном интервале через время Г = Гр после начала работы (здесь Тр - время переходного процесса). Действительно, устойчивость предполагает затухание переходного про-
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 151 цесса в бесконечности, и если установившееся значение удалось сделать равным желаемому *ycT = д:ж (этого можно достигнуть выбором величины ступенчатого входного воздействия), что и означает работоспособность системы (в смысле близости x(t) к д:ж) в бесконечности, то, поскольку (согласно смысла понятия Тр) А - близость x[t) к *yCT(f) обеспечивается уже после t = Tp (здесь А = 0,05 *Уст(0)' и П0СК0ЛЬКУ Яуст^) вследствие постоянства параметров не меняется во времени, близость x(t) после г = Тр обеспечится и к хж, т.е. обеспечивается работоспособность и на конечном интервале после t = Tp9 если Тр < Гд. При необходимости оцени работоспособности в переходном режиме пользуются понятием качества системы, впервые предложенного В.В. Солодовниковым. Например, можно считать систему удовлетворяющей требуемому качеству, если переходная функция h (r) не выходит за пределы некоторой области («коробочки») (рис. 2.30, где *ycT, a%, Гр, е^ -соответственно установившееся значение, перерегулирование, время переходного процесса, статическая точность - первичные показатели качества системы, являющиеся параметрами переходной функции [153]). Таким образом, вопрос исследования работоспособности ЛСС на конечном интервале принципиальных затруднений не встречал и решался в рамках понятий обычной устойчивости и качества. *усг + i 100 хж 0 at(t) i \ //////A//////////j / \ "/ ^ / v(t) / 1 / / / //i >V ГР А г— 1V т Л- t Еоо •Куст Рис. 2.30. «Коробочка» В.В. Солодовникова и качество системы В случае ЛНС после t = Tp также наступает установившийся режим, однако в силу переменности ее параметров он не постоянен даже при неизменном воздействии. В силу чего выполнение условия *yCT = хж при t = <*> никак не связано с его выполнением при te [Гп/|,Гд], ведь *yCT(f) непостоянен и неизвестен, поэтому результат исследования на устойчивость не может служить для оценки работоспособности ЛНС на конечном интервале даже после затухания переходного процесса (как было в случае ЛСС). В частности, использование результатов исследования на устойчивость для оценки работоспособности на конечном интервале может привести и к результатам, противоположным истинным. Например, пусть система должна работать на интервале [0,Гд] и обеспечивать точность не ниже ед, т.е. процесс не должен выходить за пределы областей, выделенных жирными линиями на рис. 2.31.
152 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I i 0 Устойчивая \ Г^ r\J ед J ед t лн С -> Гл x(t) V t i \ 0 Неустойчивая Ш 1С / х У ; ^ Гд t Рис. 2.31. К пояснению качества работы системы Удовлетворительную работу на конечном интервале обеспечивает изображенная на этом рисунке неустойчивая система,, а устойчивая - нет. Поскольку исследование на устойчивость не решает вопроса определения работоспособности JIHC на конечном интервале, нужно ставить новую задачу о невыходе управляемого процесса из «коробочки» (см. жирные линии на рис. 2.31), определяемой техническими условиями работы системы. Наличие в системе этого свойства и предполагает понятие устойчивость на конечном интервале, которое, как это видно, является разновидностью понятия качества. Так как устойчивость ЛНС по отношению к начальным условиям не предопределяет ее устойчивости по отношению к управлению, ниже рассматривается устойчивость на конечном интервале по отношению и к начальным условиям, и к управлению. 2.5.4. Устойчивость на конечном интервале по отношению К НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ Определение 2.1. ЛНС dX(t)_ dt = A(r)X(0 + B(0Y(0 (2.136) называется устойчивой на конечном интервале для Г|, б, Тр по отношению к начальным условиям, если для уравнения ^l = A(t)X(t) (2.137) выполнение неравенства означает, что dt XT(r0)X(r0)<ri XT(r)X(0<8 (2.138) (2.139) на интервале [f0, t0 + Тр J. Известно несколько достаточных критериев устойчивости ЛНС типа (2.137) на конечном интервале. Приведем три из них. Чтобы ЛНС (2.137) была устойчива на конечном интервале для л» е> Тр по отношению к начальным условиям, достаточно выполнения одного из следующих условий: Критерий 2.4. 1, е JX^x^-ln— , для всех re[f0, t0 +Гр], (2.140)
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 153 где Хм (t) - максимальное собственное значение симметрической матрицы Критерий 2.5. Все главные миноры матрицы а(о4[а(О+ат(О]. <2-141> -А(0+^гШ^1(0 (2.142) отрицательны. Критерий 2.6. Tfm^K- (2Л43) Критерий 2.4 наиболее труден, а критерий 2.6 наиболее легок в смысле их практического использования, однако в таком же порядке они расположены и по степени точности оценки с их помощью необходимых и достаточных условий устойчивости на конечном интервале [121]. В качестве примера рассмотрим доказательство наиболее точного из достаточных критериев - критерия 2.4, ценность которого существенно возрастает в связи с тем, что после нахождения собственных значений матрицы А (г) можно неопределенность границ областей устойчивости (явившуюся следствием того, что критерий 2.4 лишь достаточный) существенно локализовать, воспользовавшись еще и достаточным критерием неустойчивости 2.7. Критерий 2.7. Чтобы ЛНС (2.137) была неустойчива на конечном интервале для у\, е, Тр по отношению к начальным условиям, достаточно выполнение неравенства jMTi)dTi>|Z'l~' Для всех fe[f0, *0+Гр], (2.144) 'о где Хц(т) - минимальное собственное значение матрицы А (г). Доказательство критерия 2.4. Из теории квадратичных форм [121] известно, что Хт (t)A(t)X(t)<XM(t)XT (t)X(t), (2.145) где А (г) - симметрическая матрица, все собственные значения которой действительны. Продифференцируем скалярную функцию Хт (г)Х(г): С учетом соотношений (2.137) и (2.141) i[xT(0x(r)]-xT(0AT(0x(/)+xT(0A(r)x(0- -хт(«)[ат(0+а(0]х(0-2хт(/)а(»)х(0. Имея в виду неравенство (2.145), получим £[хт(ох(г)]*2МО*т(Ох(О- Так как Хт(г)Х(г) -скаляр, то ЮЗак.232
154 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I 4*т(г)х(о] dt ■<2Хм(0- хт(г)х(О Проинтегрируем левую и правую части последнего неравенства в пределах от t0 до t: ХТ('о)Х('о) I После потенцирования ХТ(')Х(г) ,/1^\ Хт0о)Х(го)" с учетом формулы (2.138) 2\xJxi)dx] XT(t)X(t)<T]e'° . (2.146) Из неравенства (2.146) видно, что соотношение (2.139) имеет место, если или после логарифмирования 'о Ч откуда и следует неравенство (2.140), что и требовалось доказать. Аналогично доказывается критерий 2.7, если исходить из второго широко известного в теории квадратичных форм неравенства хт(,)а(,)х(0>М0хт(')х(0- Пример 2.7. Пусть в системе (2.137), где Г 0 1] A(0-^_(1_acos2/) 0J. требуется найти ограничения на параметр «а», обеспечивающие выполнение неравенства для всех;, принадлежащих интервалу [0, 2п]. Из условия задачи следует, что здесь требуется обеспечить устойчивость на конечном интервале для т|, е, Тр по отношению к начальным условиям системы (2.137) и (2.146), где Тр=2п секунд, In —= 2 . Для этого (см. критерий 2.4) нужно вычислить собственные значения матрицы А (г) (см. формулу (2.141)) 0 Ц-(1-«о.20 0j + [l 0 JJ" A(0-2l|^_(1.flCOs2r) 0 о <zcos2/ acoslt В соответствии с известным правилом [121], приравнивая определитель acos It |а(г)-Х I 1 = | V ' (2х2)| -X acos Ъ -X _ 2 fflcos2rY
Глава 2. Линейные одномерные непрерывные нестационарные САУ 155 нулю, получаем уравнение, корни которого есть собственные значения матрицы А (/). Из рис. 2.32, где показано изменение собственных значений матрицы во времени, наглядно следует, что максимальное собственное значение этой матрицы изменяется во времени по закону 1 Л- 2 0 .J2L 7 V \4 M0 = ^|cos2f A.2(f) = -|cos2/ /Xl(t) = -cos2t M') = ^lcos2'l Рис. 232. График изменения собственных значений матрицы во времени Согласно критерию 2.4, для всех re [0,2я] должно выполняться условие (2.140) 'fHJcos2d j > "*" откуда |а| < ? для всех I е [0,2я]. (2.147) J|cos2x1|^x1 о Чем больше знаменатель правой части, тем более жесткие ограничения накладывает условие (2.147) на параметр «а». В заданном диапазоне изменения t знаменатель принимает максимальное значение на границе интервала: 2я 4 « J|cos2x,|dT, =8Jcos2t,</t1 =4sin2x1|£ =4 , поэтому \а\<-. (2.148) 1 ' 2 Если для решения этой задачи воспользоваться критериями 2.5,2.6, то результаты соответственно \а\<-'Аа\<- 11 я м 4 получаются все более просто, но, как это видно, они накладывают ограничения на исследуемый параметр со все большим запасом. 2.5.5. Устойчивость на конечном интервале ПО ОТНОШЕНИЮ К УПРАВЛЕНИЮ Определение 2.2. ЛНС является устойчивой на конечном интервале для г\у 8, 7), по отношению к управлению, если при ||У(0||< = Лу выполняется ||x(f)||< = e на интервале |>'о + Гр]. Приемом, аналогичным использованному при обосновании условия (2.134), нетрудно показать, что необходимым и достаточным критерием такой устойчивости ЛНС является выполнение условия
156 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I to+Tp \ \k{ux)\dx<—, to<t<t + Tp. '9 % Существует несколько достаточных критериев устойчивости на конечном интервале относительно управления, а также несколько достаточных критериев устойчивости на конечном интервале и относительно начальных условий и относительно управления [121]. В качестве примера приведем формулировку одного из них. Критерий 2.8. Чтобы ЛНС (2.136) при В(г) = I была устойчивой на конечном интервале для т), Tiy(f), е(Г), Тр по отношению и к начальным условиям и к управлению достаточно, чтобы JXm(t,)</t, ' Дм(т)</т Т\е'° +J<ny(*i)«f| dxx<E(t) to для всех j >G(fo,fo + rp]f где XM(r) - максимальное собственное значение матрицы А(г) (см. формулу (2.141)). I / ;
Глава 3. Метод пространства состояний 157 ГЛАВА 3. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В главе отражены основные положения метода пространства состояний; рассматриваются линейные системы с постоянными параметрами и нестационарные системы. 3.1. ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ Метод пространства состояний в качестве первичной математической модели предполагает использование для описания системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Такую систему называют нормальной системой, или системой в нормальной форме Коши. Система ДУ имеет вид xl=an(t)xl+... + ain(t)xn+bn(t)yi+... + bim(t)ym; x2=a2l (f)x, +... + a2n (t)xn +b2i (t)yi +...+b2m (t)ym; *.=*ni(t)*i+- + a,*(t)x»+bAt)yi+-+b*m{l)ym- Описание САУ уравнениями вида (3.1) называют описанием в нормальной форме, или описанием в пространстве состояний. Если ввести следующие обозначения [7] А(0 = В(0 = С(0 = то систему (3.1) можно: *2l(0 Л1«) 4i(0 C2l(O cpi(t) описать X anW ■ «22(0 • ««2(0 • *12(O •• *22<0 " *»2<0 •• Cl2(0 • C22(0 • cp2(t) ■ так = А(ОХн ■■ a2n{t) ■■ «„„(0, ■ b2m(t) ■ bHm(t)j ■ си«У ■ c2n{t) ■ cpn{t)j hB(OY. (P*n), (3.2)
158 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Система, у которой матрицы А(г), В(0 зависят от времени t, называется многомерной нестационарной системой. Если же А(Г) = const, B(f) = const, то такая система называется стационарной системой. К уравнению (3.2) добавляют уравнение вида ХВ(О = С(Г)Х. (3.3) Вектор Х(0 называют фазовым вектором, или вектором переменных состояния. Координаты х{, я^,..., хп называются фазовыми координатами, или координатами состояния. Об остальных терминах дает представление рис. 3.1. Л1 Фазовое пространство Хт— конечное состояние х° х<<*и начальное состояние Фазовая траектория Х(/) Ч. / Фазовый вектор, / или вектор состояния в момент t = t. Рис. 3.1. Фазовое пространстве Множество векторов Х(*ф) называется пространством состояний. Это пространство совпадает с координатным пространством Rn. На основе уравнений (3.2) и (3.3) легко построить структурную схему системы управления (рис. 3.2). Y(t) в(о —^ X(t) X—К ^> f J А(А X(t V- rV C(0 xB(/) =s> Рис. 3.2.Структурная схема системы По схеме, показанной на рис. 3.2, можно сделать следующие пояснения. С помощью вектора Y(t) осуществляется управление объектом. Вектор X(t) характеризует состояние объекта в фазовых координатах хх, д:2,..., хп. Поведение и свойства системы полностью характеризуются понятием состояния, которому соответствует точка в пространстве Rn (см. рис. 3.1) [7].
Глава 3, Метод пространства состояний 159 Если система описывается векторно-матричным уравнением в нормальной форме Коши, то размерность пространства состояний равна порядку указанной системы. Координатами пространства состояний являются переменные системы уравнений (3.1), т.е. переменные системы, записанной в нормальной форме Коши (переменные *ь *2»—> хп)- Поведение системы (ее движение) характеризуется фазовой траекторией (см. рис. 3.1), которая определяет изменение координат системы во времени. Каждая конкретная (фиксированная) точка на фазовой траектории характеризует состояние системы при t = *ф. Фазовая траектория полностью определяет состояние системы в пространстве Rn и во времени. Траектория состояний системы в течение времени t G [Гф,7] - это геометрическое место точек конца вектора состояния X(t) в пространстве состояний Rn, параметрически определяемых временем t e [t^T\. Траектория состояний однозначна на интервале [t$,T\ для заданного на этом интервале входного сигнала Y(t). Фазовым пространством скалярной системы п-го порядка с переменной на выходе x(t) называют п-мерное пространство состояний, координаты которого представляют собо ~: производные по времени x^k\t), к = 0, и -1. Число координат пространства состояний равно порядку системы уравнений в форме Коши. Координаты jc* вектора состояния - это часто абстрактные величины, лишенные физического смысла. Они необязательно соответствуют (но могут и соответствовать) реальным физическим величинам процессов, действующих в системе. Многие из них вводятся искусственно путем некоторых преобразований [153]. Поэтому координаты х{, х2,..., хп соответствуют не реальной, а математической модели СЛ У (математические модели разной степени адекватности). Вектор состояний X(t) образуется с помощью компонент *,-(*), выбранных так и в таком количестве, что если известно их значение Х(гф) при t = *ф, где Гф - фиксированный момент времени, то при заданном значении вектора входа Y(f) для t e [fy,7] вектор Хв(0 может быть определен однозначно. Ясно, что фазовую траекторию X(t) можно получить с помощью системы дифференциальных уравнений в форме Коши, описывающей поведение исследуемой САУ. Уравнения состояния не единственны. Функции же x*(f),x\(f),...,xbp(f) доступны наблюдению (измерению). Это реальные выходные сигналы, которые можно наблюдать (измерить). В связи с этим уравнение (3.2) называют уравнением состояния, а уравнение (3.3) -уравнением выхода [7]. При решении вопросов проектирования систем (в том числе вопросов синтеза регулятора, например, в задаче стабилизации объекта) необходимо иметь информацию о состоянии системы в каждый момент времени. Эта задача решается с помощью устройства, которое называется устройством наблюдения (наблюдающее устройство). Указанное устройство, анализирующее выходной векторный сигнал Хв(0 (который, как уже говорилось, можно измерить), позволяет получить приближенное значение (оценку) вектор-функции X(t). Некоторые координаты состояния можно измерить, другие же представляют собой линейные комбинации выходных сигналов, и, следовательно, их можно рассчитать.
160 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Система, у которой по вектор-функции XB(f) можно с помощью специальных наблюдающих устройств восстановить вектор X(t) (в общем случае размерность Х(г) больше размерности Х?(0), называется полностью наблюдаемой. Вопросы проектирования наблюдающих устройств изучает специальный раздел теории автоматического управления [7].* Введенное выше понятие проиллюстрируем на примере одномерной (скалярной) системы управления. Пусть одномерная система описывается скалярным дифференциальным уравнением хМ + ап.хх{п-Х) +... + аох = y(t). (3.4) Получим векторно-матричное уравнение в нормальной форме Коши, эквивалентное скалярному уравнению (3.4). Введем в рассмотрение следующие переменные х,(0 = *(0, *2(') = *Ч0, *з(0 = *"(0,.., xn(t) = x(n-l\t). Последние зависимости можно переписать так *i(0 = *(0, *2 (') = *('), x3(t) = x"\t),...,xn(t) = xin)(t). (3.5) (3.6) Тогда г(«>/'А- (л-1)/ х(п) (0 = -*о*(0 - «i*(0 -. • • - °п-\*к (0 + У (0 = = -воЛ1(0-«Л(0-...-«я-Л(0 + у(0- С учетом выражений (3.6) и (3.7) можно записать ii(0 = *2(0, *2(О = *з(О. *з(0 = *4(0.-...§*я(0 = -в0Х1(0-вл(0-----^п-Л(0 + У(0- Последняя система в матричной форме запишется в виде y(f). (3.7) (3.8) ' 0 0 1 0 0 1 -а2 0 0 -аъ ... 0 N ... 0 ... -а„_, *1 х2 Л, + 0 1 (3.9) Х(0 А Х(0 В Матрица А имеет форму, предложенную Фробениусом, и поэтому называется матрицей Фробениуса, или матрицей сопровождения. Для нее характерно следующее: элементы над главной диагональю равны единице, а элементы нижней строки являются коэффициентами дифференциального уравнения. Все остальные элементы являются нулями. Таким образом, от скалярного уравнения n-го порядка путем замены переменных перешли к нормальной форме Коши (3.9), где Вопросам оптимального оценивания посвящен параграф 7.3.
■Глава 3. Метод пространства состояний 161 А = О О 1 О о 1 о о о о ;В = (3.10) у-а0 -щ -аг -аъ ... ~ап_х В системе (3.?) хх,х2,...,хп - фазовые координаты. Легко видеть, что выводом этой системы является скалярный сигнал x{i). Поэтому матрица выхода С имеет вид С = (1 0 0 0 ... 0). Тогда • \ *1 Хв(0 = СХ = (1 0 0 ... 0) = *,(*)=*(*). Выше подчеркивалось, что на практике не все координаты состояния доступны измерению, а только их некоторая часть. В данном случае можно измерить лишь сигнал x(i) = *i, или первую компоненту вектора состояния. Остальные компоненты можно получить последовательным дифференцированием сигналад:(О, поскольку xl(t) = x(t)ix2(t) = xt(t)J...Jxn(t)-xin~l)(f). Для получения всех координат вектора состояния х\, х2,..., хп надо иметь цепочку дифференцирующих звеньев (рис. 3.3). На рис. 3.3 показана структурная схема устройства для восстановления всех фазовых координат вектора состояния Х(г). Если известна математическая модель скалярной системы «вход - выход», то для получения уравнений состояний можно воспользоваться несколькими методами, в частности, методом канонического разложения, методом разложения на простые сомножители [107]. ■ wmmw \ г ТУЗ А* г Ь. ... aj^ г ТТО Д^ xx(t) x2(t) x3(t) xA(t) Рис. 3.3. Структурная схема наблюдающего устройства Последний метод очень прост. Рассмотрим уравнение *„«) avx М_ v=0 = 1Ку (v) v=0 Передаточная функция имеет вид Щ$)=К^±Ш=£ ш-1 +...+1 1-1 K(s-yl)(s-y2)...(s-ym) =K^(s-yj) A (s-sl)(s-s2)...(s-sn) w (*"*i)jiii*-*»" 1 (3.11) (3.12)
162 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I ;1 + *|-Vi _*-*«+*/-У* _*-У/ Имеем s-s( s-st s-Sj s-St Структурная схема, соответствующая функции (3.12), имеет вид (рис. 3.4). I xx(t) + y(t) x2{t) + xx{i) + y{i) y(t) *i-Vi S -Л J<0 ■У2"У2 ^(O + jKO i s-s, m+1 1 *i(0 *2» *«W ^+i(0^.i(0 Рис. З.4. Структурная схема системы К (3.13) x(t) *-» Систему дифференциальных уравнений получим на примере конкретной системы W(s) = KT\{S~yi) 1 . Легко видеть справедливость уравнений (рис. 3.5): *i=*i*i + (*-Yi)y; х2 = (^2 -Чг)х\ +s2x2 + (s2 -У2)У, Хз=(Ь -Чз)х\ +(*з -Чз)хг +s3x3 + (s3 -y3)y; Х4 = ХХ (0 + Х2 (0 + Х3 (0 + 54*4 + >-(') • (3.14) t) ■Si—Y, s-sx x{(t) IIх- s-s2 +t "- s-s3 ,(0+x2(0 1 x,(0+JCj(<>h«3(0+>(0 *(0 l s-sA x,(0 x2(0 x3(r) Рис. З.5. Структурная схема системы Матричная запись последней системы имеет вид *4« *1 Х2 хз х4 X (s2 ~У2) О s2 О 0} О О (*з~Уз) (*з-Уз) *з О 1 1 1 54 i^4 , s2-y2 S3-Y3 1 y(t). (3.15) В А X Выход определяется выражением х(О = (0'0 0 *)(*,(0 x2(t) *j(0 *4(О)Т=Юс4(г). (3.16) Идея метода канонического разложения состоит в следующем. Имеем уравнение (3.11) и изображение выхода. Представим выход в форме
Глава 3. Метод пространства состояний 163 *(о= S-^ яо=Хед.(о, /=1 S Si i=l где 1 *;(0 = У(0- Из выражения (3.18) находим *,(*)(*-*,■) = У(0- Тогда */(О = ЗД(О+У(О. Система дифференциальных уравнений для определения л;, имеет вид У(0. X А X В Выход находится по формуле (см. рис. 3.6) x(t) = (схс2с3.. .сЛ ) (ххх2хъ.. .*„ )Т = сххх (0 + c2a:2 (0 +... + спхп (Г). *Э / 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... ол ... 0 ... 0 ... sn> /1 д:2 1 1 1 (3.17) (3.18) (3.19) ЯО 1 s—sl 1 s-s2 1 п С1 С2 г* Рис. 3.6. Структурная схема системы Можно воспользоваться еще одной моделью. Имеем Тогда ВД=-^-Г(5). 5Х/(5)-51.Х/(5) = с/У(5), или ^ =5,^ +с,.у(О;*(О = ^1+^2+^з+-..+л„. Можно записать векторно-матричное уравнение (3.19), где A = diag[51,52,...,5/1]; B = [c1,c2,...,cn.f; С = [1,1,...,if. Структурная схема показана на рис. 3.7.
164 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I У® s-s* x.(t) s-s~ хМ) 1 1 x(t) Рис. 3.7. Структурная схема системы Рассмотрим общий случай, когда ДУ имеет вид х(п) +а/1_1(Г)*(пЧ) + ... + ao(O* = bm(O/n +...+*o(O>' • (3.20) Предполагается, что коэффициенты в скалярном уравнении имеют необходимое число производных. Скалярному уравнению соответствует следующая система уравнений в нормальной форме xl=x2 + Fl(t)y; x2=x3 + F2(t)y; : (3.21) xn = -a0(f)*i - ax (0*2 - • • • - an-\ (f)xn + ^i(Or, где x{ = x - F0(t)y, F(j(r) = bn(t), а функции Ft(f)9i = l,n вычисляются с помощью рекуррентной формулы F,(t) = bn.x(t) - g I2c;+1_|.an_),t+i(0^^, в которой _(n-i + s)\ (n-i)\s\ ' Нетрудно проверить, что при таком выборе переменных состояния матрицы системы имеют вид: Г о i о о 0 0 10 А = 0 ^ 0 * 1 ,в = • F. (3.22) 0 0 0 0 -а0 -а{ -а2 -а3 Ст=(1 0 ... 0). Например, если п = 2, т.е. рассматриваемая динамическая система описывается уравнением второго порядка d2x dx d2y dy £-£ + <,,(/)—+ао(О* = Ь2(О—7 + ^(0-г + *ь(0У(0, dt2 dt dr dt
Глава 3. Метод пространства состояний 165 то в соответствии с приведенной выше формулой имеем at at F2(t) = b0-a0F0-a{^-a2—T-a{Fl-a2^j- = dFx dzF _, dF{ —L-a2—T-axFx-a2—*- = dt dt dt и (*db2 и ^Л и dal r,d2b2 ^ af ) at dt Если коэффициенты исходного скалярного дифференциального уравнения (3.20) постоянны, то векторно-матричное уравнение запишется так Х = АХ + Ву; в нем элементы матриц А и В определяются, исходя из следующих формул: i/=^+i + /!ly;«=l,2>...fn-l; где F2=V2-^-1^1-^-2^0; 1-1 Fi = *n-i ~ S an-i+mFm- m=0 Если степень числителя передаточной функции, соответствующей исходному дифференциальному уравнению, меньше степени знаменателя, коэффициенты ЬяА-1»—' полагаем равными нулю. Начальные условия согласованы следующим образом ^(0) = ^(0),х2(0) = ^Ч0)-Ь,Я0),..., ^(0) = ^(/l"1)(0)-F1/w-2)(0)-...-F/l4y(0). Переход от структурных схем с передаточными функциями или от скалярных дифференциальных уравнений к векторно-матричным дифференциальным уравнениям можно рассматривать в качестве перехода к модели в переменных состояния. Еще раз подчеркнем, что использование такого перехода позволяет состояние исходной скалярной системы в каждый момент времени полностью описывать значениями п координат, называемых координатами, переменными состояния, или фазовыми координатами. Векторно-матричное уравнение, соответствующее уравнению второго порядка (см. пример при п = 2), имеет вид А =[Ч, al2U0 1 [a2l a22) ^-oo -a, B=fF0=f Ъх~ахЪг \рг) \Ъй-аф2-ахЪх-а\Ъг
166 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I 3.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ Рассмотрим однородное уравнение Х = А(г)Х. (3.23) Решением последней системы называется вектор-функция Х(Г) с компонентами *i(0v..> xn(t), которые обращают уравнение (3.23) в тождество no t. Частное решение однородной системы, порожденной начальными условиями, может быть определено так: заданы начальные условия *i(0),..., *л(0); необходимо построить jci(O»..., *л(0> удовлетворяющие начальным условиям, указанным выше. Запишем неоднородное дифференциальное уравнение X = A(r)X + B(r)Y. (3.24) Сформулируем теорему существования и единственности системы (3.24). Если матрицы А(Г) и B(f)Y(f) непрерывны на промежутке [0,7] и задан произвольный начальный вектор Х(0), то на [0,7] существует единственное решение Х(г) уравнения (3.24) (интервал [0,7] может быть как конечным, так и бесконечным). Зададим матрицу начальных условий [45] |%(0) *12(0) ... *1я(0)> *2i(0) *22(0) ... *2„(0) (325) ^ni(O) *„2(0) ... *,1Л(0); Столбцы последней матрицы - начальные условия, такие, что имеет место соответствие (^ii(0),^2i(0),...,^i(0))^X1(0 = (a:11(0^2i(0,...,^i(0)T; (*12(0),*22(0),.. .;*„2(0))<->Х2(0==(*12(0, *22(0,.. .,*„2(0)Т; K(0)^2«(0),...,^w(0))oXw(0 = (x1^0^2n(0,...,^w(0)T. Определитель вида *ll(0 *12(0 - х\п(0 x2{(t) x22(t) ... x2n{t) (3.26) det(Xo(r)) = ^nl(0 *n2(0 до (3.27) называется определителем Вронского системы вектор-функций (3.26), являющихся решениями (3.23). Совокупность п-решений (3.26) уравнения (3.23) называется фундаментальной системой решений уравнения (3.23), если определитель Вронского этих решений не обращается в нуль ни в одной точке интервала [0,7]. Если матрица (3.25) является единичной, т.е. имеет вид (\ 0 0 ... 0Л 0 1 0 о 0 0 0 ... 1 то система (3.24) называется нормальной фундаментальной системой.
Глава 3. Метод пространства состояний 167 x2(t) *.(0, x2l(t) L*.l(O, + c2 'xi2{t)s *22(0 + ... + C, *2„(0 Следует подчеркнуть, что если А(г)еС[0,7] и определитель Вронского (3.27) отличен от нуля в некоторой точке toe [0,7], то он отличен от нуля на всем промежутке [0.7]. Теперь приведем основную теорему, определяющую общее решение однородного уравнения. Если матрица А(Г) непрерывна на интервале [0,7] и определитель Вронского решений Xi(r), X2(0>-.., Xn(t) уравнения (3.23) не обращается в нуль в некоторой точке toe [0,7], то общее решение уравнения (3.23), соответствующее произвольным начальным условиям, всегда может быть представлено в виде разложения по конечномерному базису, порожденному фундаментальной системой: Х(г) = с1Х1(0 + с2Х2(0 + ... + с,,Хп(0, (3.28) или (3.29) Из выражения (3.29) сразу же можно записать формулы, определяющие x\(t), x2(t\...,xn(t): *\ (0 = сххх, (г) + с2*12 (0 +...+cnxln (Г); х2 (0 = схх2! (Г) + с2х22 (*) + ...+спх2п (Г); *„ (Г) = ci*ni (Г) + с2дся2 (0+... + ся*яя (г). В формулах (3.28), (3.29) и (3.30) си с2,..., сп - скалярные величины, определяемые при построении частных решений через начальные условия *i(0),..., *n(0). Положим, что при г = 0 решение Х(г) равно некоторому вектору Х(0) = (х1(0),х2(0),...,хя(0)). (3.31) Легко показать, что существуют такие постоянные сь с2,..., спу при которых решение (3.28) удовлетворяет начальному условию (3.31). С учетом (3.31) для определения сь с2,..., сп можно записать систему линейных неоднородных алгебраических уравнений с{хх! (0) + с2хх 2 (0) +... + ся*1я (0) = хх (0); схх2! (0) + с2х22 (0) +...+cw jc2w (0) = дс2 (0); сЛ1(О) + с2дся2(О) + ... + сЛя(О) = дся(О). Или, что то же самое, (*ц(0) хХ2(0) ... ^(0)^ *2i(0) х22(0) ... дг2я(0) „2 = ^2VV/ ^m(0) ДРя2(0) ... дряя(О) Определитель этой системы является определителем Вронского решений Х|(г)>...» Хя(0 в точке / = 0; по нашему предположению он отличен от нуля. Следовательно, существует единственное решение системы (3.32); оно определяется выражением С = Х^(0)Х(0). (3.33) / \ с2 = х2(0) хп(0),
168 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Положим, что матрица является единичной, т.е. имеет место соотношение (3.34) '1 0 0 0 1 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 1. 1 С{ 1 Сп , = (МО)) *2(0) *„(0) Тогда Ci=*i(0); с2=х2(0)\ ...; ся=*я(0). Частное решение определяется выражением X2(t) *■('). = *,(0) %(0N x2i(t) +x2(0) 'xl2(tf + ...+*„(0) *2„(') *2(0 = '*и(0 *2i(0 *«i(0 xi2(t) *22(0 *2я (0 (0, / \ (3.35) Далее, с учетом полученных выше зависимостей, в частности, формул (3.27), (3.29) и (3.30), запишем выражения, определяющие общее и частное решение однородного уравнения (3.23). Перепишем (3.30) в форме (3.36) Таким образом, общее решение в матричной форме принимает вид Х(0 = Хф(0С, (3.37) где Хф(г) - фундаментальная матрица (о ней подробно будет сказано ниже), С - вектор произвольных постоянных, определяемых через начальные условия. Предположим, что заданы конкретные начальные условия, т.е. известен вектор Х(0). Тогда вектор С определяется зависимостью (3.33). Следовательно, частное решение, соответствующее начальным условиям Х(0), может быть представлено в виде Х(/) = Хф(0Хф1(0)Х(0). (3.38) Если же имеет место нормальная фундаментальная система, то Хф(0) = 1 и, следовательно, находим Х(Г) = Хф(0Х(0). (3.39) Для класса стационарных систем известна зависимость [7] Хф(0Х^(т) = еА('"т). (3.40) Воспользовавшись последним выражением, формула для Х(7), порожденной Х(0), имеет вид Х(0 = *А'Х(0). (3.41) Подробно рассмотрим случай, когда A(r) = const, т.е. будем изучать уравнение Х = АХ. (3.42) Как и в случае скалярных дифференциальных уравнений, будем искать решение однородного уравнения в виде [45] дс1(О = а1вХг,дс2(О = а2вХг.-.дся(О = аявХг. (3.43) Подставляя (3.43) в (3.42), получаем
Глава 3. Метод пространства состояний 169 -a{keXt + ах хъхех* + ах 2a2eXt +... + alnanekt = 0; а2 \axeXt - a2XeXt + a22a2eXt +... + a2naneXt = 0; аЯ1<х,«х' + д„2а2ех' +... - anXeXt+ <*nnaHeXt = 0. (3.44) Ju Сокращая на е , из (3.44) находим (ап-Х)ах+а12а2+а1Ъаъ + ...+аХпап=0\ а21а1+(а22-Х)а2+а23а3+... + а2/1а/1=0; (3.45) ап1а{ +ап2а2 + ... + (*,,« -Х)ая =0. То же самое можно получить, используя матричную форму. Пусть X(f) = aeXi, где а = (ось..., а„) - вектор, X - скаляр, Х(0 = (x{(t),..., xn(t)). Поскольку X = XaeXt, то из (3.42) находим -А.а«х'+Аа«х'=0. Отсюда -Ха + Аа = 0, или Аа-Ха = 0. Это уравнение можно записать в виде (А-Х1)а = 0, (3.49) где I - единичная матрица. В скалярной форме выражение (3.49) записывается в виде (3.45). В развернутой форме имеем (3.46) (3.47) (3.48) 'аи-Х ап а13 а21 а22 -X а23 апп "А- а, а2 = 0. (3.50) ап\ atra апъ Последняя зависимость представляет собой линейную однородную систему алгебраических уравнений; необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения является равенство нулю определителя системы (3.50) (ап-Х) а12 а13 ... аХп а21 (а22-Х) а2Ъ ... а2п ««1 «Л2 ««з - (<*ля-\) или в матричной форме det(A-Xl) = O. Раскроем последнюю зависимость det(A-XI) = (К-X,)"'(К-\2)"»...(X-X,)"' = = (Х"+сп_1Г-'+сп_2Г-2+... + с0) = 0. Ранее уже говорилось, что уравнение (3.52) называется характеристическим, а корни Хь..., Хп называются собственными значениями матрицы А (ылм собственными числами). При проведении дальнейших рассуждений будем полагать, что все собственные значения отличны друг от друга. Положим, что характеристическое уравнение решено и найдены собственные значения Хь Х2,..., Хп. (3.51) (3.52)
1/U Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Подставляя поочередно Хь Х2,.., К в (3.48) и решая однородную систему алгебраических уравнений А а, =Х/о1-, находим el-=(aHfa2,fa3,,...faIIi). В развернутом виде имеем Аа, = ап ап а2{ а22 1л 2/1 пп , Г а, Л а2; «„,• = А.,а2,- или, что то же Решив систем] са 'а -» мое, а2, 3.53), «21 а«1 а,2 а«2 получим еле = о,; Х2-> ... а, !ДУЮШ / \ «12 «22 «„2 «2» (ие века = а2; . fttl'l «2i оры = 0 —> , / = 1, [<\ a2» а„п п. = (3.53) Векторы а(-, являющиеся решениями уравнения (3.53), называются собственными векторами. Каждый вектор а,, не обращающийся в нуль и удовлетворяющий уравнению (A-X/IJa, =0, называется собственным вектором квадратной матрицы А, принадлежащим собственному значению Xi [45]. Поскольку главный определитель системы (3.50) равен нулю, собственные векторы определяются не однозначно, а с точностью до постоянного множителя. Очевидно, что fca, при к Ф 0 удовлетворяют уравнению (3.49) и являются собственными векторами. Длина собственного вектора часто принимается равной единице; тогда на векторы а, накладывается ограничение Для матрицы Асп отличными друг от друга собственными значениями существует точно п собственных векторов, являющихся линейно-независимыми элементами. Решения уравнения (3.42), соответствующие корням Хь Х2,..., Хл, могут быть записаны в виде Х,(0 = м а21 { \ t \ а2/" «„/" = *2l(0 ^nl(');
Глава 3. Метод пространства состояний 171 Х2(0 = х„(')= Или, в общем виде, Х,(0 = «22 ,а»2, 'О а2и ач а2)- Л' = ех<' = а12^' а2пЛ' а21./'' «.1^ . = = = ^12(0' ^22(0 ^п2(0у ^2ЛС) ч *».('), (3.54) (3.55) Решения Х|(Г), соответствующие различным корням Ль Хг,.., ^л, линейно независимы. Решения Xi(f),..., Xn(0 образуют фундаментальную систему, и, таким образом, общее решение однородной системы (3.42) может быть представлено так X(0 = qa^Xir +c2a2e^ +... + cnaneKt. (3.56) Или, в развернутом виде, X(f) = м <х21 «»1 + с2 а22 О.2. ^а,^ /г'+...+с„ «2я аи /-'. (3.57) Из последней формулы можно заключить, что общее решение векторно- матричного уравнения (3.42) определяется через собственные значения матрицы А (числа Хи Х2,..., Х„) и собственные векторы ai,..., сс„, соответствующие собственным значениям. Перепишем выражение (3.57) в развернутом виде xl(t) = clauex>' +c2anex>' +...+с„а1пек>; x2(t) = cla2lex't +с2а22Л' +...+с„а2пЛ'; (3.58) х„ (t) = qa,,/'' + c2an2e^' +...+cnanneXj. Или, что то же самое, '*1('Л fai/'' ачеК' - ос,,/-'4) x2(t) a2lex>' a22e^' <*-2пе Л.' *-(0j anlex'1 а„2ех>' ... аи„Л' Х(0 = Хф(0С. (3.59)
VIL Анализ и статистическая динамика l-лу . часть i Если заданы начальные условия, то (3.59) принимает вид причем а,, а12 а21 а22 ап1 ал2 а21 аЛ1 а а, 2 а22 \*а) In 2« /1/1 = МО)) х2(0) х„(0) (3.60) а12 «22 «„2 - собственные векторы матрицы А, соответствующие собственным значениям Хх, Я2,..., А*. Из (3.60) имеем аС = Х(0). (3.61) Отсюда С = ёГ1Х(0). (3.62) Свободные колебания на выходе стационарной системы Х(0 = Хф(Г)а"1Х(0) = еА'Х(0). (3.63) Из (3.63) следует равенство (3.64) Процессы вида а,еХ;' называются собственными процессами системы [45]. Пример 3.1. dt dt 4ДГ£ + 3JC2 Запишем характеристическое уравнение det(A-Xl)= , илиХ = АХ, гдеА=[ Х 2]. I4 3J 4 3—Х| Отсюда Х| = 5, Ха - - 1 - собственные значения матрицы А. Далее найдем собственные векторы. Имеем Г1-5 'Y'-'U-4 2Ya"l=o. I 4 3-5j[a2lJ [4 -2j[a2lJ Тогда - 4ац + 2a!2 = 0, отсюда a,2 = 1щх. Теперь можно записать Аналогично имеем 4 4^0^ Тогда 2<Х|2 + Ъхп = 0, а» = - «22. Запишем Х,(0 = '" ^w; jjy-a Общее решение имеет вид Компоненты вектора Х(/) определяются зависимостями х2(о=| 1_У'. 4:sm;w-v-
Глава 3» Метод пространства состояний 173 х,(0 = с,е$1 + с2е-; x2(t) = 2с,г5' + (-1)с2в"'. В этом примере Х| = 5, Х2 = — 1 — собственные значения матрицы А, а векторы Я] = 5 —* (1 2)т и Х2 = — 1 -> (1, - 1)т- собственные векторы, принадлежащие соответствующим собственным значениям. 3.3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ; ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫЙ ИНТЕГРАЛ КОШИ Рассмотрим векторно-матричное неоднородное уравнение X = A(f)X+B(OY(r). (3.65) Наряду с уравнением (3.65) рассмотрим однородное уравнение и построим фундаментальную систему, задаваясь невырожденной матрицей начальных условий Xi(/)-(*u(/) *2i(0... xnl(t))<*(xn(0),...,xnl(0)); X2(t) = (x12(t) x22(t)... xn2(t))^(xl2(0),...,xn2(0)); (3.66) Xn(0 = (*in(0 x2n(0... xnn(t))<*(xln(0),...,xnn(0)). Система (3.66) является линейно-независимой. Систему (3.66), как говорилось выше, называют фундаментальной системой решений уравнения (3.65). Составим из (3.66) матрицу вида '*h(0 xn(t) ... х^)) *2l(0 X22(t) ... X2n(t) Хф(г) = (3.67) Матрицу (3.67) называют фундаментальной матрицей уравнений (3.23) [45]. Поскольку Х,<0 - решение однородного уравнения, то ^■ = А(/)Х„ / = 1,п. at Тогда dt -А(г)Хф, (3.68) т.к. векторные равенства можно представить как равенства соответствующих столбцов матричного уравнения (3.68). Следовательно, задача расчета фундаментальной системы (3.66), определяемой соответствующими начальными условиями, эквивалентна задаче решения (3.68) при начальных условиях 'х„(0) *,2(0) *2l(0) *22(0) Хф(0) = ^in(0)l *2„(0) (3.69) 4*.i(0) ^2(0) - хпп(0) Известен следующий факт: любая п х п матрица Хф(0> такая, что det(X+(r))*O и для которой Хф(О существует при всех te [0,T], определяет векторно- матричное дифференциальное уравнение, в котором A(t) определяется формулой А(0 = Хф(г)[Хф(01 -1 (3.70)
174 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Далее получим интеграл Коши, для чего запишем очевидное равенство Продифференцируем (3.71) Хф(г)Хф1(О = 1. (3.71) —^Хф1(0 + Хф(0-^^ = 0. (3.72) Учитывая равенство ^^ = А(ОХф(О, (3.73) получим А(0Хф(0Хф1(0 + Хф(0^^ = 0, или А(О + Хф(О » = 0. (3.74) Умножим (3.74) слева на Х^(г) Хф!(ОА(О+ *t =0- (3.75) Последнюю зависимость умножим справа на Х(0 Хф!(ОА(ОХ(г)+ J^WX(O = O. (3.76) Из уравнения (3.65) находим A(r)X(0 = X(0-B(0Y(r). (3.77) Подставив (3.77) в (3.76), запишем X^(/)X(r)-X^(0B(0Y(0+—^Х(0 = 0, или Хф'(0^р+^^Х(0 = XjWWit). (3.78) Последнюю зависимость можно переписать в виде ~.(Хф1(0Х(0) = Хф1(0В(0¥(Г). . (3.79) Отсюда получаем ХфЧОХ(Г) = Jx^(t)B(t)Y(t)Jt. (3.80) о Окончательно (3.80) можно переписать в форме t Х(г) =/хф(ОХф1(т)В(т)¥(т)с/т, (3.81) о или t Х(г) = Jo(r,T)B(x)Y(T)dx. (3.82) о Обозначив К(/,х) = Хф(0Хф1(т)В(т) = Ф(г,х)В(т), (3.83)
Глава 3. Метод пространства состояний 175 запишем X(r) = jK(M)Y(T)Jx. В развернутом виде (3.84) перепишется так X2(t) I (kn(t,T) kl2(t,X) k2l(t,x) k22{t,x) *2m('.t) *«*('.*) У2(1) У«(х) dT. (3.84) (3.85) *„,(*, т) kn2{t,x) Последняя формула называется интегралом Коши. Матрица К(;,т) называется матрицей импульсных переходных функций, или матричной НПФ. Матрица Хф(г)Хф'(т) = Ф(г,т) называется переходной матрицей состояния. Пример 3.2. Рассмотрим уравнение Х = Одна из фундаментальных матриц имеет вид 1 t 2 t2 0 2 t , X(f), *>0. ft 0 хФ(0=I ,2 Вычислим Переходная матрица имеет вид Х;!(т) = г 1 т 1 "7 0 1 7, Хф(г)Хф1(х) = - о l-il il т т3 т2. Если имеет место система управления с уравнением X = A(r)X + Y(0, то = Ф(М). О .Л. ,х т3 т2. Линейная однородная система, матрица которой получается из матрицы ||Ду(0|| транспонированием и изменением знака, называется сопряженной системой (3.23) Ф = -Ат(0*. (3.86) Дифференциальное уравнение X = A(f)X называется самосопряженным, если для всех t имеет место равенство 1< А(О = -Ат(г). Приведем некоторые свойства [168]: 1). Пусть Х(0 = (x\(t), x2(t)>..., xn(t)) - произвольное решение системы X = А(Г)Х, a Y(0 = (Vi(0. V2W»—» Vn(0) - произвольное решение сопряженной системы 4f = -АТ(Г)У (оба решения определены на [0,Г]).
176 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть t Тогда * x1(0Vi(0 + *2(0V2(0 + -.. + Jc«(0Ve(0 = const. (3.87) 2). Если Ф(Г,го) = Хф(г)Хф1(^о) - переходная матрица состояния Х = А(г)Х, тогда Фт(г0,0 - переходная матрица состояния сопряженной системы * = -Ат(0*. 3). Для самосопряженного дифференциального уравнения справедливо условие: ФТ(Г,ГО)Ф(МО) = 1. (3.88) Здесь Ф(г,го) = Хф(г)Хф1(^о). 4). Ф(г,го) = Хф(г)Хф1(го) = 1. (3.89) 5). Ф"1(г,го) = Ф(го;О. (3.90) В самом деле, ф-1(г,г0) = (хф(г)Хф1ао))"1=Хф(г0)Хф1(0 = Ф(г0,0. 6). Матрица Ф(*,*о) удовлетворяет условию Ф(Г,г0) = А(*)Ф(Мо), ф('>'о) = L (3.91) 7). Матрица Фт(Г0,г) удовлетворяет сопряженному уравнению Фт(*0,0 = -Ат(0ФТ(;0,0. (3.92) Получим выражение для выходного сигнала. Поскольку X(0 = A(f)X(f) + B(0Y(0 - уравнение состояния, Хв(0 = С(0Х(0 - уравнение выхода, то с учетом (3.81) и уравнения выхода, находим t Хв(г) = С(0Хф(0Х^(0)Х° + /(Х0Хф(0Х^(т)В(т)У(т)Л о Таким образом, формула, определяющая вынужденные колебания на выходе системы, имеет вид t t Х„(0 = /СфХфЮХф'СОВСг) Y(x)dx = J C(t)O(t, x)B(T)Y(x)dx. Или, что то же самое, t XB(O = jKB(r,T)Y(xMx, о где Кв(г,т) = С(0Ф(Лт)В(т) - матричная импульсная переходная функция «вход - выход» системы (ядро системы). Рассмотрим случай, когда система описывается векторно-матричным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, т.е. имеют место уравнения: X = AX + BY (3.93) - уравнение состояния; ХВ=СХ (3.94) - уравнение выхода. Запишем фундаментальную систему
Глава 3. Метод пространства состояний 177 Xi(o = ;Х2(г) = а12е - а22ех* ; ...;Х_(г) = а2пе К'Л Л.» Л' (3.95) В системе (3.95) предполагается, что собственные значения матрицы А различны. Если известка фундаментальная система, то легко записать фундаментальную матрицу A'N Хф(г) = „ Х.г -, Х,г аие ' а.пе 2 ai«e а21ех'' а22ех* ... a2neKt anleX< an2ex* а„пе К' Переходная матрица состояния определяется выражением (3.96) (3.97) Хф(ОХф1(х) = Ф(г,т) = Ф(г-т). Далее будет показано, что Ф(г,т) = Фа-т) = еА('-т). (3.98) Поскольку фундаментальная система (3.95) не является нормальной, то для этого случая справедливы формулы для свободных колебаний (3.99) (3.100) -1/ Х(г) = Хф(г)Хф1(0)Х(0) и для вынужденных сигналов ХО) = }хф(0Хф1(т)В Y(x)dt = \Ф{1 -T)BY(T)dx. Перепишем (3.100) в виде X(O = JkG-t)Y(t)</t, где г-1/ (3.101) К(г-т) = Хф(г)ХфЧт)В=Ф(г-т)В. (3.102) Матрица К(г - т) называется матрицей импульсных переходных функций «вход - состояние» системы. Таким образом, сигнал X(t) стационарной системы, порожденный ненулевыми начальными условиями, определяется (3.99). Свободный сигнал и вынужденная составляющая на выходе системы определяется равенством i Хв(0 = СФ(0Х(0)+|СФ(г-т)В¥(т)Л = о t = CO(t)X(0)+jKB(r-T)Y(T)rfT, (3.103) где Кв(г-т) = СФ(г-т)В (3.104) - матрица импульсных переходных функций «вход - выход» системы. Далее будет показана справедливость равенства 13 Зак. 232
178 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I XB(O = CeA'X(O) + JCeA(/"T)BY(x)rfx. (3.105) При сравнении последнего соотношения с предыдущим легко сделать вывод о том, что СФ(0Х(0) = СеАгХ(0); СФ(г-т)В = Кв(г-т) = СеА('~т)В. 3.4. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К ОПИСАНИЮ МНОГОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ Поскольку основное внимание здесь уделяется стационарным системам, рассмотрим введенное выше понятие применительно к стационарным системам, используя преобразование Лапласа. Имеем векторно-матричное уравнение стационарной системы X=AX+BY, A=const; B=const. (3.106) Обозначим l\x}=l X2(t) U(0, = s X2(s) xm('h = sX(s); L\ (yd») У2(О [ym(t)t • = (YiW) ад (3.107) = Y(s). Преобразовав по Лапласу (3.106) с учетом (3.107), получим sX(s)-X(0) = AX(s) + BY(s). (3.108) Отсюда находим sX(s)-AX(s) = BY (s) + X(0). (3.109) Или (jI-A)X(j)=BY(j) + X(0). (3.110) Последнее уравнение - это уравнение состояний системы в области изображений. Вектором Х(0) порождаются свободные колебания. Рассмотрим случай, когда Х(0) = 0 (случай вынужденных колебаний). Из выражения (3.110) находим Х(5) = (Л-А)"1ВУ(5). (3.111) Как указывалось выше, уравнение выхода имеет вид Хв(0 = СХ(г). (3.112; С учетом выражения (3.111) и XB(s) = CX(s) (3.113; получим XB(j) = C(5l-A)"lBY(j). (3.114;
'«11 a2l al2 a22 ... a[n ... a2n ••• ann Глава З. Метод пространства состояний 179 Если уравнение (3.111) является уравнением «вход Y(s) - состояние X(s)», то уравнение (3.114) представляет собой уравнение «вход Y(s) - выход Хв(.ф. Формулы (3.111) и (3.114) можно записать в виде X(5) = W(5)Y(5); (3.115) XB(s)=WB(s)Y(s). (3.116) Матрицы W(s) и WB(s) называются передаточными матрицами соответственно «вход - состояние» и «вход - выход». Для проведения расчетов по формулам (3.115) и (3.116) необходимо иметь алгоритм расчета матрицы (Л - А)"1. Покажем несколько путей расчета обратной матрицы. Первый путь можно назвать прямым. Он использует понятие присоединяющей матрицы [36]. Рассмотрим вопрос нахождения обратной матрицы. Пусть А = - квадратная матрица. Тогда А^ =(-l)l+jMij называются алгебраическим дополнением или адъюнктом к элементу a(j, М,у - дополнительным минором элемента atj; он равен детерминанту матрицы порядка и-1, получаемой после вычеркивания из матрицы А /-ой строки иу'-го столбца. Заменим каждый элемент в матрице А его алгебраическим дополнением и полученную матрицу транспонируем. Получившаяся в результате матрица называется присоединенной для А, или союзной с А и обозначается А . Таким образом, а=(а,7)т, где А/, - алгебраическое дополнение элемента а^ . Тогда А"1 =|А|"! А. (3.117) Таким образом, для каждой квадратной матрицы А, такой, для которой det А •& О, существует обратная матрица А"1, элементы которой 5/у вычисляются по формуле aij = |А| А ,у, где А/, - алгебраическое дополнение элемента atj матрицы А. Для рассматриваемого случая формула для обратной матрицы имеет вид / ч-1 Л-А (Л"А) =det(,I-A)' где (si - А) - присоединенная матрица; del(sl - А) - определитель матрицы (si - A). При преобразованиях надо пользоваться следующими равенствами: 1) det(A"1) = (detA)"1; 2) (А-^'^А; 3) (Аха2г{ =а21а;1- 4) (А7)"1 = (А"1)7. 13*
180 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Пример 3.3. Для матрицы '1 -1 Г А= 2 1 1 1 1 2 найти обратную. Имеем 1 -1 1 detA=A=2 1 1=5*0. 1 1 2 Матрица А неособенная. Составим присоединенную матрицу Ап A2i A3i А= \,2 А22 А32 ^13 А23 А33 где А„ = А„ = - -1 1 1 1 А„ = ^4 -,1-х 2 1 1 2 = -3;А22 = 2 1 1 2 = 1;А23 = - 1 -1 1 1 Обратная матрица имеет вид Пример 3.4. Пусть А--А. ( 1/5 3/5 -2/5^ -3/5 1/5 1/5 1/5 -2/5 3/5 X = AX + BY, где Тогда Js 0W0 6W. 0 \ [0 .J (*2 -кг) \-кг k^s) s О I ,- ч (s + k3 О -ъ k3+fsii*s)-( ]i *з * Теперь легко найти передаточную матрицу объекта по состоянию Передаточная функция по выходу запишется так Изложим метод Фаддеева - Леверье нахождения обратной матрицы [1]. В соответствии с этим методом имеет место следующее соотношение Тогда соответственно (Л-А)-' = -1 М(5) m(s)
Глава 3. Метод пространства состояний 181 где М(5) = Ья"1+М1^"2+... + Мя_1; m(s) = s -mxs -,..-тп. Коэффициенты М, и /и,- рассчитываются по следующему алгоритму Aj = A, mx =-SpA!, Mx =A{ -m{L\ А2=АМ!, /и2=— SpA2, М2 = А2-/n2l; А3 = АМ2, т3=—SpA3, M3 = А3-/И3Г, АЯ=АМИ, /nrt=-SpArt, Мя=АЛ-/ия1=0, п где Sp A - след матрицы А. Пример 3.5. Рассмотрим систему X=AX+Y , где Найдем обратную матрицу по методу Фаддеева - Леверье. Имеем О 1 А = А,= -5 -6 Тогда mi = Sp At = - 6; Вычислим А2, тг и М2: В результате получим (Л-А) M-i° -Hi № i) —-С :i-5 :)■(: :> 10 . м (-5 <П Г-5 0) р 0W6 П (s + 6 О 1у + М, 52 - Ш^ - 7«2 ^" + 65 + 5 52 + 65 + 5 Теперь легко написать изображение для состояния системы и для выхода X'(5)",2+6,+5C[ -5 4y2(*)J' Пример З.6. Рассмотрим САУ, описываемую уравнением *i) Имеем А,=А = ^0 0 -1 1 0 -2 (Г 1 -2 , н=3; m, =-SpA! =-2;
/-vngjim n у,lairiiiпчсслал дппамила v»//\ j . тасlь l M, = A, -m,I = A2 = AM, m2=-SpA2 = -2; M2 = A2-m2I = A3 = AM2 = m3=-SpA3 = -l. '0 0 -1 0 -1 0 1 0 -2 2 -2 -1 0N 1 -2 1 0 -2 /2 -1 I ° + 2 2 0 - '1 0 0 1 0 1 0 1 1 ( \ ) 2^ 0 1 f - ( ( = 1 '2 -1 0 0 -I 0 2 0 -1 0 -1 г 0 * Теперь можно записать M(j) = Ly2+M,5 + M2 = s2 0 0 0 s2 0 0 0 52 (2s s ti\ 0 2s s -s -2s 0 '2 -\ 0 2 0 -1 Г 0 0 = 5+25 + 2 5 + 2 I -1 52 + 25 5 -25-1 s2 m(s) = s3 + 2s2+2s + l. Изображение вектора состояния системы имеет вид Х2(5) Х3(5) ^52+25+.2 5 + 2 1 53+252+25 + 1 1 -I 52+25 5 II Y2(5) -25-1 52 Y3(5) (3.118) Получим векторно-матричный интеграл Дюамеля. Выше была получена зависимость Х(5) = (Л-А)~1ВУ(*) + (Л-А)"1Х(0). Для скалярных функций справедливы формулы .ie выражения справедливы и для вектор-функций L-l\^—) = eAtnAl(s)A2(s)=\Al(t-x)A2(T)dT9 [sI-A\ Jo (3.119) Аналогичные выражения справедливы и для вектор-функций и для матриц где AjCs) и A2(s) - матрицы. Воспользовавшись приведенными выше зависимостями, получим Х(г) = ^А(г-т)В¥(т)^т + ^Х(0). (3.120) Последнюю формулу можно получить и другим путем. Умножим обе части исходного уравнения на еА/
Глава 3. Метод пространства состояний 183 e~AtX(t) = e~AtAX(t) + e"A'BY(O. Справедлива зависимость Из (3.121) имеем dt e~AtX{t) - e~At AX(O = e~AtBY(t). (3.121) (3.122) (3.123) (3.124) С учетом (3.122), зависимость (3.123) принимает вид !(,-A'X(0) = <TA'BY(,). Отсюда находим t *ГА'Х(г) = |<ГАтВУ(т)</т + Х(О). о Окончательно получим (3.120). При работе с матричной экспонентой целесообразно пользоваться формулами [7]: 1). Если А - диагональная матрица А = (аи 0 ... 0 0 а22 ... 0 0 0 , то е = еа" 0 0 еа» 0 0 0 0 2). ektekx =^A(/+T) 3). еАев = еА+в, если АВ = ВА (матрицы перестановочны). 4). *АТ'=(*А')Т. 5).±eAt=eAtA. dt Дадим несколько определений. Функция вида eAt называется экспоненциалом матрицы At, или матрицантом. Зависимость (3.120) называется векторно-матричным интегралом Дюамеля. Матрица К(т) = £АтВ называется матрицей импульсных переходных функций «вход — состояние». Если учесть, что хв(г) = сх(0, то легко записать t XB(r) = Jc^A(/"T)BY(T)6/T + C^ArX(0). (3.125) о Рассмотрим алгоритм расчета Х(0 и Хв(г) по формулам (3.120) и (3.125). Используем следующий факт [1]. Пусть: 1). А - квадратная матрица порядка п и Л - ее спектр; 2). Р(А) - функция от матрицы А - многочлен вида Р(А) = а0Ап+а{Ап-1+... + ап1; 3). /(А) - некоторая функция от А.
104 /\н<и1Ш и ысииыичсычал димамшча v_,/\j . idtib & Многочлен Р(А) называется интерполяционным многочленом Лагранжа - Сильвестра для /(А) на Л, еслw Р(А) = /(А) на Л. Функции от матрицы А Р(А) и /(А) равны на Л, если /(X|.) = P(X|.),/l(Xi) = Pi(Xl-),...,/a'"l)(XJ.) = P(*'"I)(^), где X, - элемент множества Л, имеющий кратность Kh Рассмотрим примеры применения этого факта. Пример 3.7. Пусть Г 4 -2} А = 6 -3 - квадратная матрица, требуется найти е . Имеем |4-Х -2 -3-Х = (4-Х)(-3-Х) + 12 = -12-4Х + ЗХ + 12 + Х2=Х2-Х = 0. Характеристическое уравнение Х(Х - 1) имеет корни Xi = 0; \г = 1; следовательно, корни 0 и 1 - собственные значения матрицы А. Имеем /(А) = еА;Р(А) = я01 + я,А. Требуется найти числа а0 и а\\ Л = {0;1} - спектр матрицы А. Как говорилось, /(А) = Р(А), если они равны на Л. Имеем ao = ltao + al=ei. Тогда а0 = 1; ах = е1 - а0 = ^' -1 = е -1 = а{. Отсюда получаем «A)-i+(.-i)A-(; j)+(e-i)[; :j Или, что то же самое, Пример 3.8. Перейдем к рассмотрению еще одного примера, найдем матрицу еА , где А = Имеем характеристическое уравнение 4-А. 2 -5 4 6 5 2 4 3 -5' -9 -7 Ф(Х) = 4-Х -9 = (4-Х)2(-7-Х)-90-90- 6 5 3 -7-Х -[-25(4-Х) + 12(-7-Х)+(4 + Х)(-27)] = = (l6-8X-X2)(-7-X)-180+100-25X + 34 + 121 + 108-27X = = -112+56Х-7Х2-16Х + 8Х2-Х3+62-Х. Из уравнения следует: X3 - X2 = Х2(Х -1) = 0; получаем Х|,2 = 0; Х3 = 1. Итак, /(А) = е\ Р(А) = аА2+ЬА+с1. Для нахождения неизвестных а, Ь, с воспользуемся равенствами /(0) = Р(0); /'(0) = Р'(0); /(1) = Р(1). Далее получаем е° = с , отсюда с = 1; еА|А=0 = 2аА + ^|А=0=>/7 = 1. И, наконец, для X =1 имеем а + b + с = е1, отсюдаа = е-с-Ь = е-2 ТогдаеА = (е-2)А2 + А +1. Поскольку
Глава 3. Метод пространства состояний 185 '3 3 3 1 1 1 зч —3 -3 А2 = 'Зе-1 с -Зе + Г еА = Ъе е + 3 -Зе-3 . 3<?^1 е + 1 -Зе Пример 3.9. Применим интерполяционную формулу Лагранжа - Сильвестра для решения дифференциальных уравнений. Решение уравнения ° '■ (3.126) имеет вид Х = АХ + У,гдеА=, ,, Г5 ~6J X(/) = eA'X°+JeA('-T)Y(x>/T. Ф(Х) = 1 L^x(-6-X) + 5 = 6X + X2 +5 = 0, 6-А| Основные этапы: 1). Записывается характеристический полином -X -5 -6- Х2+6Я. + 5 = 0. 2). Находятся собственные значения матрицы А X2+6X + 5 = 0; (X + i)(X + 5) = 0, X, =-1; Л2 = -5. 3). Записывается интерполяционный полином Лагранжа - Сильвестра Р(А) = во1 + Я|А. 4). Коэффициенты аоищ находятся из условия равенства /(А) = еА = Р(А) на Spec A: 1=„А aol + а, А = е при А= - Г; ао1 + а, А=е при А = -5; aQ-ax=e~x\aQ-5ax=e~5. Имеем Получаем Тогда -а0 + 5а, = -е~5 -> 4а, = е~х - е~5 => ах - -с"1 —е~5. 4 4 "° • 4 4 4 4 = a0I + a,A= \-е —е \\ \ + \—е —е э = Отсюда находим гА' = 12 3ак. 232 4 4^ —^ 4 5 -г 4 0 4 4 4 4 0 4 4 J 1 _, 1 . —с —с 4 4 4 4 1 _, 1 _ -с --<? 4 4 1 _, 5 —е +-с 4 4 + 5 ^ -5 5/ -5/ 5 . ~? % if ч 0 4 4 6 . "Г -5/ 4 I 6 _5 V \ -^'+5е~
ekt 186 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I Изложим еще один подход, для чего воспользуемся следующими положениями. Матричный экспоненциал можно представить в виде = |>Х'% (3.127) /=i где Х( - собственные значения матрицы A; F, - функции (их вид будет указан ниже). Зависимость (3.127) базируется на разложении функций eAi в степенной ряд. Воспользуемся формулой Сильвестра /(A) = £/(X,)F,, (3.128) где Применив формулу Сильвестра к (3.127), получим решение задачи. Пример 3.10. Рассмотрим уравнение системы «вход - состояние»: [х2) [-5 -6){хг) [у2 Имеем 0 1 А = 1-5 -6 Найдем собственные значения матрицы А de,(A-XI) = |:* ^ Тогда А.| = -1; А.2 = -5. Построим функции Ft. det(A-XI) = |_X \ \ = (\ + б)\ + 5 = \2+6\ + 5. 1остроим функции Fi. A-X2I_lf 5 {\F =A-XiI_l(rl П 1 X,-X2 4-5 -1/ 2 Я-2-Л, 4-5 -5J Матричный экспоненциал имеет вид 4[-5е- -e'j 4{-5е-ь -5C-"J if 5e-'-e-* . . Пусть ^i(r) = cos aw; ^(0 = sin Gfcf; X°= 0. Тогда выражение для вектора состояния системы запишется так U(OJ Отсюда для компонент вектора состояния имеем Х|(0 = I }[(5^-(г"т) - ^5(/-т) Jcosco,! + [е'^х) - е-5{"х) )sin ш,т]л. *2(0 = -}[(-5^"(/"т) + 5е"5(/-т) Jcosco^ + (-е"(/-т) + 5^5('-т) )sin ©jtjrfT.
Глава 4. Нелинейные системы управления 187 ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ: МОДЕЛИ, УСТОЙЧИВОСТЬ, ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, РАСЧЕТ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Первым приближением описания системы автоматического управления является линейная математическая модель, которая обычно строится в виде системы линейных дифференциальных или разностных уравнений. Решение таких уравнений может быть получено в аналитическом виде, что облегчает анализ системы управления и синтез регулятора. Многие системы управления содержат, однако, нелинейные звенья. В этом случае применение линейной теории приводит к неточным или принципиально неверным результатам. В нелинейных системах обнаруживаются типы движений (например, автоколебания), которые не могут быть описаны в рамках линейной теории. Приведены основные модели нелинейных систем. Вводятся классические определения устойчивости по Ляпунову. Приведена сводка результатов по устойчивости и неустойчивости нелинейных систем общего вида. Специальный вид моделей рассматривается в задаче об абсолютной устойчивости. Основное внимание уделяется связи частотных методов с функциями Ляпунова. Глава завершается некоторыми результатами по оценке параметров периодических колебаний. 4.1. ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ МОДЕЛЕЙ Пусть математическая модель управляемой системы описывается дифференциальными уравнениями Хк=/к{хих2>-~хп»*)> * = 1.--.Л, (4.1) где хк - зависимые переменные, хк - производные зависимых переменных по времени t, fk - нелинейные функции, удовлетворяющие условиям существования и единственности решений системы (4.1) при заданных начальных условиях х10>--->хп0 • Введем вектор состояния X, элементами которого являются зависимые переменные •*!,...,хя, и вектор-функцию / с элементами fk, к = 1,...,п . Все векторы будем трактовать как одностолбцовые матрицы. В векторных обозначениях система (4.1) будет иметь вид Х = /(Х,г). (4.2) Фазовое (п + 1)-мерное пространство системы (4.2) образуют переменные *i,..., хп, X. Динамическое поведение нелинейной системы (4.2) определяется разбиением фазового пространства на траектории, изображающие решения. Напомним некоторые понятия из теории дифференциальных уравнений. Рассмотрим автономную систему Rn Х = /(Х). (4.3) 12*
188 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I В n-мерном пространстве вектор-функция X(t), координаты которой можно рассматривать как координаты изображающей точки, описывает фазовую траекторию. Совокупность всех фазовых траекторий, определяемых начальными условиями, образует фазовый портрет системы (4.3). Особыми точками фазового пространства являются точки, удовлетворяющие уравнению /(X) = 0 . Эти точки могут быть изолированы или составлять некоторую область. Особые точки являются устойчивыми, если они притягивают окрестные траектории. Поверхности в фазовом пространстве, к которым притягиваются или от которых отталкиваются траектории, называются сепаратрисными. Метод фазового пространства особенно нагляден для систем второго порядка, когда фазовое пространство представляет собой плоскость с координатами х{у х2. Пусть в этом случае система (4.3) имеет вид *l=eil*l+*12*2+*(*l.*2). *2 = а2 Л +<*22*2 +G(xliX2), где ciij - постоянные коэффициенты, а1{а22 ~^\г^г\ *0, R[x{,x2), G(x{ix2) - функции от хх и х2, стремящиеся к нулю при X —»0 как бесконечно малые второго порядка. Особой точкой здесь является начало координат. Характеристическое уравнение системы (4.4) {ап-\)(а22-\)-а12а2{ = 0 (4.5) имеет два корня Х{ и Х2, определяющие один из следующих типов особой точки. • Устойчивый фокус, если Х{ и Х2 ~ комплексные с отрицательными действительными частями. На устойчивый фокус траектории наматываются спиралями. • Неустойчивый фокус, если Х{ и Х2 - комплексные с положительными действительными частями. С неустойчивого фокуса траектории разматываются спиралями. • Устойчивый узел, если Х{ и Х2 - действительные отрицательные. К устойчивому узлу траектории сходятся апериодически (без колебаний). • Неустойчивый узел, если Х{ и Х2 - действительные положительные. От неустойчивого узла траектории апериодически расходятся. • Седло, если Х\ и Х2 - действительные разных знаков. В седло две траектории входят и две выходят, остальные траектории проходят мимо особой точки. • Если Х{ и Х2 - чисто мнимые, то возможен фокус или центр - в зависимости от вида функций RnG. Центр представляет собой особую точку, окруженную замкнутыми траекториями, вложенными друг в друга. Изолированные замкнутые траектории называются предельными циклами. Устойчивые предельные циклы называются автоколебаниями. В случае линейной системы (4.4) R = G = 0 . При этом сохраняются все типы особых точек: при чисто мнимых Х{УХ2 получается центр, причем замкнутые траектории не изолированы. Применение метода фазового пространства к системе порядка п > 2 наталкивается на большие трудности и теряет наглядность.
Глава 4. Нелинейные системы управления 189^ 4.2. УСТОЙЧИВОСТЬ И ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В настоящей работе устойчивость понимается в смысле Ляпунова. Некоторое определенное движение системы (4.2), подлежащее исследованию на устойчивость, называется невозмущенным движением. Ему соответствует определенное частное решение X(f) = X(f) системы, отвечающей начальным условиям Х(го) = Хо. Если изменить начальные условия, положив X (г0) = Хо + Ro, то получим новое движение системы, отвечающее новым начальным условиям и называемое возмущенным. Обозначим YB(r) = X(f)-X(f). Определение 4.1. Невозмущенное движение устойчиво по Ляпунову, если по любому 8 > 0 можно найти такое 8 > 0, что при R'o Ro < 8 и при любом t > t0 будет выполнятся неравенство Х'Х < 8. Определение 4.2. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и для данного t0 существует такое положительное число А < 8, что если Rq Ro < 8, то X (Ro, t) —> 0 при t —> <» . Исследование устойчивости любого решения Х(г) уравнения (4.2) можно свести к исследованию нулевого (тривиального) решения некоторого другого уравнения. Действительно, для функции YB (r) имеем Y.(/) = /(Y1+X,r)-/(X,/) = 7(Y,,0, причем /(0,f) = 0. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем изучать устойчивость нулевого решения уравнения (4.2) при / (0,r) s 0. Назовем функцией Ляпунова скалярную функцию V(X,t) от векторного аргумента Х,г, обладающую следующими свойствами: - функция непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой области, содержащей начало координат; V(O,f) = O; V(X,f)>0, Х*0. Геометрический смысл функции V(X,r) можно пояснить при t = tx = const, n = 2. Обозначим z = У (х{, х2 Jx) и рассмотрим рис. 4.1. Так как V (Х,^ ) > 0 для X Ф 0, то поверхность z = V (Х,^ ) напоминает стоящую на столе (плоскость (^, х2)) чашу. Если рассечь эту чашу плоскостями, параллельными плоскости стола, то проекции линий пересечения на горизонтальную плоскость описываются уравнениями V (*!, х2,Ц ) = h. Эти кривые являются замкнутыми (рис. 4.2). Чаще всего в качестве функции Ляпунова используется квадратичная форма 1=1 7=1 которая в векторно-матричных обозначениях может быть записана в виде V(X,t) = X/L(r)X, где матрица L(r) имеет элементы !.Vj (t).
190 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I V(xvx2)l -- / У 1 *2 Рис. 4.1. Примерный вид функции Ляпунова Простые необходимые и достаточные условия положительной определенности квадратичной формы (4.6) даются критерием Сильвестра: все последовательные главные миноры матрицы L > 0 должны быть положительными: 'п>0, 11 2\ -12 122 >0,..., |^да|>0; *>/п = 1>2>...,л. (4.7) Рис. 4.2. Линии уровня функции Ляпунова V(*i,xi) = h Сформулируем теорему Ляпунова об устойчивости. Обозначим скалярную непрерывную неубывающую функцию со свойствами
Глава 4. Нелинейные системы управления 191 ф(0) = 0, ф(ц)>6, при ji>0. Назовем производной V функции V(X,f) в силу уравнения (4.2) величину где -— = grad V - вектор, составленный из частных производных -— . Э X oxi Теорема 4.1. (Теорема Ляпунова об устойчивости). Пусть существует функция Ляпунова V(Xj) такая, что cp(|x|)<V(X,f), (4.9) V<0. (4.10) Тогда тривиальное решение уравнения (4.2) устойчиво по Ляпунову. Доказательство. Пусть е > 0. Возьмем в качестве 5(е,г0) такое число, что . max V{X0,t0)^9(z). (4.11) |Х0|<6(£,Г0) Из непрерывности V(X,t) и условия У(О,ГО) = О следует, что такое 8(е,г0) существует. Используя (4.9) и (4.10), получим при |Х0| <5(е,г0) ф(|Х(0|)<^(Х,0^^(Х0,0^|хтахо^(Х0,г0)<Ф(е). В силу монотонности функции ф()1) получаем |x(f)|<e. Теорема доказана. Теорема 4.2. (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Пусть существует такая функция Ляпунова V (Х,г), что Ф1(|Х|)<1/(Х,Г)<Ф2(|Х|), (4.12) \>(Х,г)<-Фз(|х|), (4.13) где ф, (ц), / = 1,2,3- скалярные неубывающие непрерывные функции со свойствами ф, (ц) > 0 при \х -> 0. Тогда тривиальное решение уравнения (4.2) равномерно асимптотически устойчиво. Теорема 4.3. (Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский [15]). Пусть выполнены все условия теоремы 4.2 и, сверх того, ф,(|ы)--»°о при д-»°°. (4.14) Тогда решение уравнения (4.2) асимптотически устойчиво в целом (для любых начальных условий). Теорема 4.4. (Теорема Н.Г. Четаева о неустойчивости). Пусть для уравнений возмущенного движения существует такая функция, для которой в сколь угодно малой окрестности нуля существует область, во всех точках которой V > 0 (или V < 0), V > 0 (или V < 0). Тогда невозмущенное движение неустойчиво. 4.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СИСТЕМ Построим функцию Ляпунова для линейной стационарной системы Х = АХ, ХеД". (4.15)
192 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть Г в виде квадратичной формы V(X) = X'LX, L = L'. (4.16) Дифференцируя V(X) по времени, в силу (4.15) получаем K(X) = X'(A'L + LA)X. (4.17) Потребуем, чтобы производная V'(X) была равна произвольной квадратичной форме -Х'РХ : V (X) = -ХРХ, Р = Р'. Из (4.7) получаем X'(A'L + LA)X = -X'PX. (4.18) Тождество (4.18) возможно при всех X тогда и только тогда, когда A'L + LA = -P. (4.19) Матричное уравнение (4.19) называется уравнением Ляпунова. Собственные значения Л,, 1=1,...,п матрицы А определяются как корни уравнения det(A-Xl) = 0. (4.20) Теорема 4.5. (A.M. Ляпунова). Пусть все собственные значения X, (А) матрицы А имеют отрицательные действительные части. Тогда для любой матрицы Р > 0 существует единственное положительно определенное решение уравнения Ляпунова (4.19), вычисляемое по формуле оо L = jV'PeA'</f. (4.21) о Обратно: если для какой-нибудь матрицы Р > 0 существует решение L > 0 уравнения (4.19), то матрица А устойчива. Формула (4.21) доказывается следующим образом. Имеем тождество d_ dtl Интегрируя в пределах от 0 до °°, получаем еА'*РеА'\ -P = A/L + LA, откуда ввиду устойчивости матрицы А следует (4.21). Устойчивость линейных нестационарных систем. Рассмотрим нестационарное линейное уравнение X(r) = A(r)X(r). (4.23) Известно, что по собственным значениям X{(t),...,\n(t) матрицы А(г) нельзя судить об устойчивости системы (4.23), т.е. метод «замороженных коэффициентов», вообще говоря, не верен. Однако справедливо следующее утверждение. Теорема 4.6. Пусть собственные значения ji(f) матрицы A = —(A(f) + A'(j)) отрицательны. Тогда система (4.23) асимптотически устойчива. Доказательство. Возьмем функцию Ляпунова V(X) = Х'Х. В силу (4.23) имеем • \>=X/X + XX/ = 2X/AX<2jLimax(r)Vr(X). (4.24) Поскольку \imSiX(t)<09 то из (4.24) и теоремы 4.2 следует доказываемое утверждение. Отметим, что решения неоднородного линейного уравнения Х(г) = = A(f)X(f) + g(f) устойчивы или неустойчивы в зависимости от устойчивости од- —(*AW) = A7eAW' +eA''PeA'A . (4.22) fit \ I
Глава 4. Нелинейные системы управления 193 нородного уравнения (4.23). Действительно, если Z(f) - некоторое решение неоднородного уравнения, то определим Y (г, Хо - Zo) = X (г, Хо) - Z (r, Zo). Имеем Y(r) = A(r)Y(r); поэтому из устойчивости (неустойчивости) уравнения (4.23) следует устойчивость (неустойчивость) решения Z(t). Устойчивость по линейному приближению. Рассмотрим нелинейную систему X = AX + fc(X), |&(X)|<4ii|x|1+a, a>0, ц>0. (4.25) Наряду с (4.25) рассмотрим линейную систему первого приближения Х = АХ. (4.26) Теорема 4.7. (A.M. Ляпунова). Тривиальное решение системы (4.25) асимптотически устойчиво, если асимптотически устойчиво тривиальное решение системы первого приближения (4.26). Доказательство. Возьмем функцию Ляпунова в виде V = X'LX. В силу системы (4.25) имеем V(X) = X'(A'L + LA)X + 2X'Lfc(X). (4.27) Пусть матрица L>0 удовлетворяет уравнению Ляпунова A'L + LA = -I. Такая матрица существует, поскольку система первого приближения устойчива. Тогда V<-|X|2+2|L||b(X)|<-|x|2 + +2|Ь||ХИХГ < 2|Х|2 (l -2ц|Ь||Х|а)< -р|х|2, если 2ц|Ь||Х|а<1-(3, р>0. (4.28) Таким образом, при малых |Х|, обеспечивающих выполнение (4.28), система (4.25) асимптотически устойчива. 4.4. ЗАДАЧА ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ При всем разнообразии нелинейных систем можно выделить класс таких систем, которые ведут себя в смысле устойчивости подобно линейным системам. Так, например, устойчивость имеет место при любых начальных условиях; часто из факта устойчивости следует асимптотическая и даже экспоненциальная устойчивость. Этот класс систем будем называть классом абсолютно устойчивых систем. Наряду с линейными системами в него входят системы как с непрерывными, так и с разрывными нелинейными звеньями. Как правило, такие системы не могут быть линеаризованы в малом. Поэтому об их устойчивости нельзя судить по уравнениям первого приближения. Опишем некоторые основные модели этого класса. Любая система автоматического управления содержит объект управления и регулятор. Во многих случаях объект является линейным, в то время как регулятор содержит существенные нелинейности. Поэтому в моделях систем управления принято выделять линейную часть и одно или несколько нелинейных звеньев. Наиболее распространенной является модель, описываемая дифференциальными уравнениями в п -мерном действительном пространстве Rn
194 Анализ и статистическая динамика САУ. Часть I X = AX + B£+Rg, X(O) = XO, Ъ = ФА (4.29) <т = СХ, где вектор-функция Х(г) называется вектором состояния, скалярные функции £(f) н g(t) называются сигналом обратной связи и внешним сигналом соответственно. Постоянные векторы-столбцы B,R,C имеют размерность п. Матрицу А будем считать постоянной. Особо выделим важные частные случаи системы (4.29). Будем называть эту систему автономной, если внешний сигнал отсутствует, т.е. g (t) = О. Если функция ф(а,г) не зависит явно от времени, ф(а,г) = ф(а), то такую систему будем называть стационарной, В ряде случаев полезно перейти от дифференциальных уравнений к описанию с помощью одного интегрального уравнения, имеющего вид o{t) = f{t)+s(t)-fw(t-X)t(\)d\, (4.30) где f(t) = L~l{ C'(pl-A)-lX0},s(t) = L-l{ C(pl-A)-lG(p)}, G(p) = L{ g(t)}.w(t)'L-l{ C(A-pl)-!B}. L{}, L~l {•} - символы прямого и обратного преобразования Лапласа. \-ii Функции w(r) и W(p) = C7(A-pI) В называются соответственно импульсной характеристикой и передаточной функцией линейной части [39]. Блок-схема, соответствующая (4.30), показана на рис. 4.3. ш Рис. 43. Блок-схема нелинейной системы Обратимся к описанию нелинейности. Будем предполагать, что ф(ст,г) удовлетворяет условиям 0<ф(а,г)<*аг\ (4.31)
Глава 4. Нелинейные системы управления 195 На плоскости а,£ кривая £ = ф(а,г) лежит в секторе, образованном прямой £ = &<т и осью а, причем она может иметь общие точки со сторонам^ сектора и совпадать с одной из сторон (рис. 4.4). Если нелинейность стационарна, то обычно предполагается, что функция ф(су) однозначна и непрерывна. Рассмотренный класс включает в себя такие широко распространенные в автоматическом управлении нелинейности, как зона нечувствительности, реле без гистерезиса, насыщение и т.д. Очевидно, что линейные характеристики £(f) = w(f)a(f), и б [ОД], принадлежат это