Э. Грей и Г. Б. МэтЬюЗ
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ j
К ФИЗИКЕ И МЕХАНИКЕ I

Э. ГРЕЙ и Г. Б. МЭТЬЮЗ
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
К ФИЗИКЕ И МЕХАНИКЕ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
Перевод со второго
английского издания
с. я. КОГАН
и * л
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва —1953
A TREATISE ON
BESSEL FUNCTIONS
AND
THEIR APPLICATIONS TO PHYSICS
By
A. GRAY, F. R. S.
and
G. B. MATHEWS, F. R. S.
SECOND EDITION PREPARED BY
A. GRAY
and
T. M. MACROBERT, D. SC.
1 93 1
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Краткое изложение основ теории функций Бесселя, или, как'
их иначе называют, цилиндрических функций, можно найти во
многих больших курсах анализа (см., например, В. И. Смирнов,
Курс высшей математики, т. III), а также в специальных руко-
водствах (Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции, 1935). Однако
ввиду многочисленных применений этих функций к задачам мате-
матической физики и механики, большой круг научных работни-
ков нуждается также в руководствах по бесселевым функциям,
имеющих справочный характер. Наибольшим распространением
пользуются два таких руководства: предлагаемое нами советско-
му читателю в русском переводе руководство Грея и Мэтьюза и
значительно более обширное руководство Ватсона, русский пере-
вод которого вышел в 1949 г. Так как книга Грея и Мэтьюза при
значительно меньшем объеме может удовлетворить большинство
практических запросов, то ее полезно было издать также наряду
с «Теорией бесселевых функций» Ватсона.
В первой главе книги даются примеры задач, приводящих
к бесселевым функциям, в том числе та элементарная задача
небесной механики, которая послужила для самого Бесселя по-
водом к введению в рассмотрение функций, названных его име-
нем. Главы 2—9 на 130 страницах содержат сжатое изложение
теории бесселевых функций, а остальная часть книги посвящена
механическим и физическим применениям. Приведенные в книге
таблицы увеличивают ее практическую ценность.
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Появление настоящей книги вызвано все более возрастающим1
значением функций Бесселя почти во всех отраслях математиче-
ской физики; основным ее назначением является изложение
в удобной форме теории этих функций, необходимой для практи-
ческих приложений, и демонстрация их применения на ряде фи-
физических задач, рассмотренных достаточно подробно.
Некоторым читателям может показаться, что начальные главы
содержат слишком много утомительного математического ана-
лиза, однако следует помнить, что свойства функций Бесселя
сами по себе не лишены интереса с точки зрения математики и
что они дают прекрасную иллюстрацию более новой теории диф-
ференциальных уравнений и теории функций комплексного пере-
менного. Даже с чисто физической точки зрения нельзя утверж-
дать, что какая-либо аналитическая зависимость бесполезна для
практических целей; это может так быть в данный момент, но
опыт неоднократно показывал, что наиболее абстрактный анализ
может неожиданно оказаться имеющим большое значение в ма-
тематической физике. В действительности мы увидим, что неко-
торая часть аналитической теории, изложенной в настоящей ра-
боте, будет полезна в той или иной степени в дальнейших гла-
вах; мы весьма далеки от мысли о том, что в книге имеется из-
лишний материал, и сожалеем, что объем книги не допускает
более широкой трактовки. Особенно это касается глав, посвя-
щенных теории функций комплексного переменного и опреде-
ленным интегралам.
[	В той части книги, где даны физические применения, мы
старались, с одной стороны, избежать потери времени и места
на обсуждение тривиальных вопросов, с другой стороны,— не
стремиться к составлению сложного физического трактата,
г Мы старались подобрать задачи, имеющие реальное значение.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
которые естественно требовали бы применения функций Бесселя,
и рассмотреть их достаточно подробно, чтобы ясно представить
физическое значение примененных математических методов.
Одним из результатов такого стремления явилось то, что глава,
касающаяся диффракции, получилась несколько длинной; мы
надеемся, что этот раздел привлечет внимание читателей к ценным
и интересным результатам, имеющимся в мемуарах Ломмеля, на
основании которых главным образом и составлена эта глава.
ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Цели, которые имелись в виду при составлении этой книги,
изложены в предисловии к первому изданию. Они остались те же
самые и в настоящем издании. Однако, хотя общий йлан книги и
сохранился, но читатель, уже знакомый с книгой, заметит боль-
шое количество изменений в ней. Плохое состояние здоровья,
к сожалению, не дало возможности проф. Г. Б. Мэтьюзу продол-
жать свое сотрудничество, но, к счастью, для полного пересмотра
всей работы удалось воспользоваться помощью д-ра Т. М. Мак-
Роберта, автора книги «Функции комплексного переменного».
С его помощью все первые, более аналитические главы были су-
щественно переработаны; без его помощи от идеи переработки
этих глав, а следовательно, и от выпуска второго издания, воз-
можно, пришлось бы отказаться. '
Нет необходимости перечислять здесь все внесенные измене-
ния, однако на некоторые из них следует обратить внимание.
К каждой из семи первых глав д-р Мак-Роберт добавил при-
меры. Эти примеры преследуют две цели: они дают материал, на
основании которого изучающий может оценить, насколько он
овладел предметом, и проверить усвоение им теорем; кроме того,
излагая большое количество результатов в примерах и указывая
во многих случаях, как эти результаты получены, мы смогли
избежать утомительного анализа, который иначе было бы необ-
ходимо изложить в тексте.
Наше применение обозначения Кп в смысле, описанном
в гл. III, отличается от применения того же обозначения другими
авторами, но оно имеет особые преимущества в приложениях,
что, как мы надеемся, будет ясно из глав XI и XII. Уиттекер и
Ватсон в своей книге «Курс современного анализа» обозначают
через Кп 'величину, отличающуюся от применяемой нами множи-
телем cos п *. Следует помнить, что из-за этой разницы рекур-
рентные формулы для К„ (стр. 32) отличаются от соответствую-
щих формул для 1„ 
8
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Обозначение Оп (х) (стр. 32) применяется в настоящем изда-
нии в смысле, приданном ему в трудах д-ра Дуголла. В первом
издании оно обозначало вещественную часть функции Оп (х), как
она теперь определена. Эта вещественная часть обозначается
в настоящем издании в виде RGne
Изложение теории асимптотических разложений в гл. V яв-
ляется новым и, как мы надеемся, более удовлетворительным,
нежели в главе о полусходящихся рядах первого издания. Метод
Стокса, который нельзя считать убедительным в строгом смысле,
но который имеет известную иллюстративную ценность для фи-
зиков, приводится позднее.
Дж. Гринхилл недавно указал на важность функции Fn(x)
(гл. III) и настаивал на ее более широком применении в анализе.
Литература о функциях Бесселя стала настолько обширной, и
в материалах, получивших теперь общее признание, содержится
такое обилие результатов, что в этом новом издании книги,
имеющей определенный план, мы оказались не в состоянии от-
вести больше места для функции F, чем это сделано в ссылках,
помещенных в гл. Ill, V, VII и XVI.
Проф. Гибсону мы обязаны во всех вопросах, касающихся
аналитических рассмотрений. Он внимательно прочитал все до-
казательства и сделал много ценных указаний. Однако ответ-
ственность за ошибки лежит на авторах, к которым теперь дол-
жен быть отнесен и д-р Т. М. Мак-Роберт.
Эндрью Грей
Университет
Глазго, Январь 1922 г.
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ
Функции Бесселя, как и многие другие специальные функ-
ции, появились в анализе в связи с физическими исследованиями;
поэтому, прежде чем рассматривать их свойства, весьма полезно
дать краткое содержание трех физических задач, которые и
послужили причиной к введению этих функций в анализ.
§ 1. Задача Бернулли. Первой из этих зада? является задача
о малых колебаниях однородной тяжелой гибкой нити, закреп-
ленной в верхнем конце, свободной на нижнем и выведенной
в вертикальной плоскости из положения ее устойчивого равно-
весия. Предполагается, что каждый элемент нити колеблется
по горизонтальной прямой. Если т есть масса нити на единицу
длины, I — длина нити, у—горизонтальное смещение в момент t
элемента нити, расстояние которого от точки подвеса есть х,
и если Т, T-\-dT —силы натяжения на концах элемента, то урав-
нение движения по горизонтали будет
(г1г)dx'
ИЛИ
— L(t^\
mdfl дх\‘ dxj
Приближенно примем
T=mg(l—х);
тогда
d»—Х)дх* ёдх-
Если положим I—x — z и рассмотрим те колебания, для кото-
рых у = uenti, где и есть функция от z, то будем иметь
+2!„=0.
dZ* 1 dz 1 g
Положим -»?=zn*lg и будем искать решение в виде ряда
10
ВВЕДЕНИЕ
тогда
z (2а2 + 3-2а8г 4е... 4" (г4~ 1) rar+i-zr"14“• • •) +
+ (ai +	4-... 4- (г 4 0 аг^4* • • •) 4"
4 х2(а0 + а^ + ... + аХ+.--) —0,
откуда
4- х2я0 = О,
•	4а2 4” х2#1 = О,
(г4-1)2^+1+^Ч=о.
Следовательно,
» = «о(1—	+	Й§- + -2?54— • • •) =«Л(ХМ-
Ряд F0(x22f), как это вскоре выяснится, является частным
случаем функции Бесселя; он абсолютно сходится для всех
значений х и z.
Условие, что верхний конец нити закреплен, выражается
в виде
Fo(x2Z) = O.
Если I задано, то это есть трансцендентное уравнение для оп-
ределения х или, что то же самое, для определения п. Другими
словами, уравнение Fo(x2Z) = O выражает влияние физических
данных на периоды нормальных колебаний рассматриваемого вида.
В дальнейшем будет показано аналитически, что уравнение
F0(xa/)—0 имеет всегда бесконечное число действительных
корней, так что имеется бесконечное число возможных нормальных
колебаний. Это может показаться интуитивно очевидным благо-
даря идеальной гибкости нити, но соображения такого рода,
хотя и правдоподобные, часто оказываются неверными и в дей-
ствительности обычно ничего не доказывают. Исследование
колебаний однородной нити принадлежит Даниилу Бернулли
(Comment. Academ. Scientiarum irnper. Petropol., т. VI, 1732).
В 1781 г. эта задача рассматривалась Эйлером (Acta Academ.
Scientiarum imper. Petropol.). Он показал, что функция
J. = F0(«)=l-“+$-5gr+...	(1)
есть решение дифференциального уравнения
, dy_.	о,
du* ‘ du	и’
§ 2. ЗАДАЧА ФУРЬЕ
И
представляющего собой частный случай уравнения
“§+(” + 1)^+^ = 0,	(2)
которое может быть легко приведено к уравнению Бесселя.
Дж. Гринхилл в статье, опубликованной в Philosophical
Magazine (т. XXXVIII, 1919), указал, что в теории цилиндриче-
ских гармоник имеется некоторое преимущество в применении
решений этого уравнения вместо функций Бесселя (см. гл. III, § 5).
Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа
v —дх* ' ду* ' дж» ’
называется гармонической. Если функция однородна относи-
тельно х, у, z, то она называется сферической гармоникой. Об
определении цилиндрических гармоник см. § 4.
§ 2. Задача Фурье. В 1822 г. функции Бесселя появились
в сочинении Фурье „Theorie Analytique de la Chaleur* (гл. VI)
в связи с задачей о распространении тепла в сплошном цилиндре.
Предполагается, что круговой цилиндр бесконечной высоты
нагревается таким образом, что температура в каждой внутрен-
ней точке его зависит от расстояния этой точки от оси цилиндра.
Цилиндр помещен в среду, которая поддерживается при темпе-
ратуре 0°; требуется найти распределение температуры в цилиндре
по истечении времени t.
Пусть v—температура в момент времени t в точке, находя-
щейся на расстоянии х от оси; v есть функция от х и X. Возь-
мем цилиндр с высотой, равной единице длины, и рассмотрим
ту часть его, которая образована цилиндрическими поверхностями
радиусов х и x-\-dx, соосными с данным цилиндром. Если /С—
теплопроводность цилиндра, то разность между количеством
тепла, которое поступает в рассматриваемую часть, и количе-
ством тепла, которое выходит из нее за промежуток времени
(г, t-\-dt), есть
%дх' ^nX^^{^Xdx~^~dx'[^KXdx}dx')}
или
dH = 2^(xd^+d^dxdt.
Объем этой части равен 2~xdx, так что если D есть плот-
ность, С — удельная теплоемкость, dv=dt—приращение тем-
пературы, то CD.2*xdxd£dt = dH.
ot
12
ВВЕДЕНИЕ
Приравнивая два выражения для dH, получим
до _____________________fd*o . 1 до \
CL> dt ~ * \ дх»~1~~х дх ) '
Фурье вводит обозначение KCD~k и полагает ‘» = «е-я/, где
и есть функция только от х. Это приводит к дифференциаль-
ному уравнению
х dx k И — и-
Если положим ^ — g, то найдем решение в виде ряда
»=л (1-^+^-^+...)
представляющее собой по существу ту же функцию, которая
была получена Бернулли, причем в ней вместо *?z стоит lhgx2.
Не рассматривая здесь эту задачу подробно, заметим, что гра-
ничное условие приводит к трансцендентному уравнению для g.
Нужно также отметить, что, решая эту задачу, Фурье исследо-
вал,) нули функции Го(0).
§ 3. Задача Бесселя. Бессель {Berlin Abh., 1824) впервые
пришел к открытию функций, названных его именем, исследуя
задачу, связанную с эллиптическим движением. Эта задача фор-
мулируется следующим образом.	.
Пусть Р (фиг. 1) есть точка на эллипсе, АА' — большая ось
этого эллипса, S—фокус и С — центр. Продолжим ординату NPQ
до пересечения с вспомогательной окружностью в точке Q и про-
ведем CQ, SP, SQ. Тогда, на языке астрономии, эксцентриче-
ская аномалия точки Р равна углу ACQ, выраженному в радиа-
нах, или, что то же самое, равна величине <р, где
__ площадь сектора_ACQ_
площадь полукруга AQA' ‘
Удобно ввести величину, называемую средней аномалией
и определяемую выражением
__ площадь эллиптического сектора ASP
площадь полуэллипса АРА'
(Согласно второму закону Кеплера, р пропорционально времени
прохождения точки от А до Р, если 5 есть центр притяжения.)
9 ТЬёоПе Analytique de la Chaleur, VI.
§3. ЗАДАЧА БЕССЕЛЯ
13
Теперь, при ортогональном проектировании, получим
площ. ASP-. площ. АРА’ = площ. .4SQ: площ. AQA' =
= (ACQ—C<Q):AQA' =
— (у а2<р— у еа2 sin : у «а8 =
== (? — е sin ф): я,
где е есть эксцентриситет. Таким образом, величины у, е, <р
связаны соотношением
у = <р— esin<p.	(3)
Если у и <₽ изменяются, в то время как е остается постоян-
ным, то <р — у. есть периодическая функция от у, которая
обращается в 0 в точках А и А’, т. е. для значения у, кратного я.
Мы можем поэтому положить
00
<р — y = ^-4rsin'ry,	(4)
1
где коэффициенты Аг являются искомыми функциями от е.
Дифференцируя равенство (4) по у, будем иметь
S	cos гу=1,
14
ВВЕДЕНИЕ
откуда, умножая на cosrji и интегрируя, получим
«	к
= J (g— 1^СО8Г|»^=[^СО8Г|1^.
О	б
Так как <р = 0 при р=0 и <р=« при |*=я, то, заменяя пере-
менное интегрирования р. на <р, будем иметь
ТС	тс
у ягАг=j cos r^d? = J cos r (<p — e sin <p) d<p
и
TC
2 f
Лг=—l cos r (<p— esin<p)d<p.	(5)
о
Это и есть полученное Бесселем выражение для Аг в виде
определенного интеграла. Функция Аг может быть представлена
в виде ряда по положительным степеням е, причем разложение
получается непосредственно из интеграла. Мы не будем приво-
дить здесь этих вычислений, но покажем только, что Аг удов-
летворяет линейному дифференциальному уравнению, аналогич-
ному уравнениям Бернулли и Фурье.
Напишем х вместо е и положим
ТС
« = у Лг—J cos г (<р — х sin <р) dtp;
о
du	,
тогда, после интегрирования выражения для по частям (по
переменной <р), находим
тс
S + ~х £ ~ — r* J C0S Г — Х sin +
о
тс
«•э Г*
-f--- V cos<рcos/*(<р — xsin<p)d<p =
о
тс
= —Г2Я—j {(I—xcoscp)— 1} cos г (<р — X sin q>) d<p —
о
§ 4. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
15
или окончательно
dx*' х dx	х*)и~'
Если положим rx = z, то получим
+(1 — ^11 = 0.	(6)
dza ' Z dz ' \ Z* j	' ’
Уравнение (6) и представляет собой уравнение Бесселя в его
нормальной форме.
Если в уравнении Фурье
то преобразованное уравнение будет
d*a ! 1 du ,
dz* * z dz '
Это уравнение есть частный случай нормальной формы уравне-
ния Бесселя при г=0.
Дифференциальные уравнения по многим причинам оказыва-
ются наиболее удобным основанием, на котором строится теория
соответствующих функций; мы определим поэтому функции
Бесселя как решения дифференциального уравнения
£‘+±*L + fl-=	(7)
dx* 1 х dx 1 у x*j	' 7
§ 4. Уравнение Лапласа. Наиболее естественным путем
функции Бесселя появляются в теории потенциала. Если ввести
цилиндрические координаты р, <р, z, где
x = pcos<p, _y = psin'p,
то уравнение Лапласа ^2У=0 примет вид
. 1 dV . 1 d*V d-V _n
dp»	' p’	w
Положим теперь, что У=/?Ф£, где /?. Ф, Z являются соответ-
ственно функциями только от р, <р и г; если разделим уравне-
ние (8) на , то получим
р d ( dR\. 1 <РФ . p«d«Z_n
R df\Jdp )~r Ф d? "IZ dz* ~ U’
16
ВВЕДЕНИЕ
Предположим далее, что ^-/Ф= — п? и ^^-/Z=x8; тогда
7? будет удовлетворять уравнению
Р^Р^ + О’Р’—л’)/?=0.	(9)
в то время как Ф = е±м<р и Z=e±xz.
Если к уравнению (9) применить подстановку z> = xp, то
получим уравнение
о»)
представляющее собой уравнение Бесселя (7).
Таким образом, решение уравнения Лапласа есть
V=/?„(xp)e±M<p е±хг,	(11)
где Rn(v)— решение уравнения Бесселя. Функцию V можно
представить также в виде
(i2)
Такие функции называются цилиндрическими гармониками.
Если п = 0, то гармоника симметрична относительно оси z.
Решения уравнения Бесселя часто называют цилиндрическими
функциями.
ГЛАВА II
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 1. Решение методом Фробениуса. Если обозначить оператор
х через ft, то уравнение Бесселя
л‘Йг+х-^ + (х2-л2)_у=0'	(»)
может быть написано в виде
— п?)у=0.	(2)
В соответствии с общей теорией линейных дифференциальных
уравнений можно найти два линейно независимых решения этого
уравнения в виде степенных рядов от х. Чтобы получить эти
решения, подставим ряд
У = X' (Со + CtX-4- CjjX2 +...) = J] c^+s
s-=0	•
в левую часть уравнения (2); тогда, так как ^хт—тхт, то
+ (X2 - л2)у = 2 {(Г + S)2 + (X2 - Л2)} С^а =
О
(3)
s-0
где
d0 = c0(r« —л2), ^ = С1{(г+1)2-л2},
^={(г4-5)2-л2}^4-с,_2, (s=2, 3, 4,...).
Если все величины d0, dI( d3, d&,... обращаются в 0, то дан-
ное выражение для у формально удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению (2); если, кроме того, ряд сходится, то
он определяет функцию, являющуюся решением дифференциаль-
ного уравнения (2).
2 Э. Грей и Г. Б. Мэтьюз
18
ГЛ. II. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Так как с0 есть коэффициент при первом члене разложения,
то, очевидно, он не равен нулю; поэтому из уравнения d0 = O
имеем
Г2 —Л2 = о.
Это уравнение называется определяющим уравнением', из него
получаются два значения zLA для показателя г. Если одно из
этих значений подставить вместо г в уравнения dx = 0, d2 —
d3 = 0,то из них можно найти соответствующие значения
коэффициентов С], с2, с8,...
 В общем случае ни одно из указанных ,значений; г не обра-
щает в 0 выражение (r-f-l)2 — л2*, следовательно, уравнение
rfI=0 дает ct =• 0. Из уравнений d3 = 0, d5 = 0,... следует, что
все cs с нечетцым индексом должна равняться нулю.
' Положим г = п, тогда
ds — s{2n-\-5)с,+^-2 = 0, (5 = 2, 4, 6..),
,откуда
с —________________________________ео
2~	2(2п+2)>
с —______С2 ______ J____С0______
4	4(2«4-4)^“ 2.4«(2я-|-2)(2л+4)
и так далее.
Мы получили таким, образом формальное решение у=у}
в виде ряда •
V, с x"h — —** I - *________________________I —
_У1 —с-оА- 2(2я4-2)  2.4(2n-f-2)(2n + 4)	•••j —
-С V	(-I?*"*»*	’	...
“	2j2.4...2s(2n+2)(2n + 4)...(2n-i-2s) ‘	’
$=0
( Точно также при г = — п получаем второе формальное ре-
шение
У ~ -^2 =	" р + 2(2я —2) + 2.4(2я—2) (2п—4) +♦•’}’
отличающееся от ,	как. это можно было предвидеть, заменой
п на —п.
* Исключение имеет место при п z=z 1/* г = — х/2»но 9Т0 не требует отдель-
ного рассмотрения, так как в этом случае коэффициенты при Cg и Су в отдель-
ности Сярляются решениями, соответствующими n = lfa; г= Я2 Единствен-
ной особенностью является то, что г — — */9 приводит сразу к обоим этим
решениям.
§ 1.5 РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ФРОБЕНИУС^	'19
;;>Еслй Л есть некоторое вещественное или комплексное число,
то ряды для ух и у2 оба абсолютно сходятся для всех значе-
ний х; действительно, каждый ряд ведет себя как ряд
1 х2 I х*	,
1	2'1 । 2*.4»	2*>4Мг “t-*’*»	-1	;
быстрая сходимость которого очевидна.
Отношение yt к у2 не постоянно; следовательно (с той же
оговоркой), общее решение дифференциального уравнения есть
’ '	У=АУ1 + £У2>
/где Д и В~ произвольные постояннце.
Если Лй=0, то решения Ji и у2 тождественйы; если п есть
положительное целое число, то у2 не. существует, так как коэф-
фициенты ряда становятся бесконечными. Аналогично, если п—
отрицательное целое число, то jy есть решение, но ух не су-
ществует.
В каждом из этих случаев необходимо, следовательно, на-
ходить второ,е решение, а так как п входит в дифференциальное
уравнение только, в виде квадрата, то достаточно это сделать
для случая, когда п есть нуль или положительное целое число.
I. случай., Положим п — 0 и примем, что
— d2;—...:— 0;
тогда
,С| = ca = cs = Cj =... = 0
и
। с — , ,	_____со_______________ (о — 1 9 3	1
24 “	(rlW+4)2. ..(ri-t-2sp	. ' -	’	’	’ •
Уравнение (3) принимает вид
x^y — c^xf’.	(б)
решение уравнения (6) есть
у = CfX р (г + 2)2 + (г+2)«(г+4)« — " 4 
Если уравнение (6), продифференцировать по z, то оно при-
мет вид	
»2(4г) + х’47 = со(2г'+г21пх)х'’ ' :
так что является решением уравнения
।	’ ’’ Ь хгу г±-согхг (2 -н г In х).	(8)
2*
20
ГЛ. II. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Положим теперь в уравнениях (6) и (8) г = 0; тогда оба
уравнения преобразуются в уравнение
®2_Н-х2.у = 0,	(9)
решения которого имеют вид
У1 = Су)л^=о=со^	2»"^“22.4*	О®)
и
л=	(10а)
Если г не есть отрицательное число, то ряд (7) для у можно
дифференцировать по г, и получающийся после этого ряд абсо-
лютно сходится. Так как у имеет вид хг^(х, г), то
г)*Г1пх+хГ£_у(Х'
ИЛИ
"Jr" ;= у InX +	7^72 ~(г4-2)*(г4-4)» (г£2"Ь‘ • •+
!	[2.2.	|	2 \ .	]
“г (г+2)2 (г+4У... (г 4- 2sp \r-J-2 "i r-f-4 । • • • । r-f-2sj ' ‘ • *J *
Следовательно,
Л— \~dr]r_0~ J'1 lnx + c0|22"i	2)“Ь,,,_Ь
(_1Гь^ 7 1, 1 ,	,n,	|
2^.42..,(2$)Ц 1	2	'
Таким образом yt и _y2 являются независимыми решениями урав-
нения (9).
11 случай. Пусть п есть положительное целое число; поло-
жим, что с0=с(г-|-п) и что
—— ...	0.
Тогда уравнение (3) примет вид
4- (х2—п2) у=с (г+п) (г2 — п2)	(12)
решение уравнения (12) есть
V = C(r + n)Zp4-	г(Г_я_|_2)(г—re-f-4)...(r-n 2*) XI ) *
s-i [  X(r-b»4-2)...(r-|-n-t-2e)	]
$ 1. РЕШЕНИЙ МЕТОДОМ ФРОБЕНИУСА
21
Оно может быть написано в виде
у — С (r+ri)X' { 1 +	г(г_л+2)(г-/(г+4)Х.. (r-n+2«) X] } +
~ I X(r4-n+2)...(r+«+2s) J
_LC____________(_iy>xr^_____________
Г(Г_Я+2)(Г-П4-4)...(Г4-П-2)Х1 Л
I X(r+»+2)(r-t-re-H)...(r+3«) J
v ft r VI ,	(~1^	1
( Г(г+й + 2)...(г-Ь«-1-25)Х1Г
s-1 I X (r+3«+2)... (r+3«+2s) J '
Если уравнение (12) продифференцировать по г, то полу-
чим
* (-^-)	-n*}^=c{r^n} {3r-n-b(r’-n«)lnx)xr. (13)
В уравнениях (12) и (13) положим г — — п; тогда, как и
в случае I, видно, что функции
У1 — (у)г—п — С (_2,1^2)(—2«4-4)... (—2).‘2.4... (2л)
у fl । V_____________|
ZJ 2-4... (2s) (2п + 2) (2л4-4)... (2«4-2s)J
S—1
у — (^У-\
У*-\дг)г__я
являются решениями уравнения Весселя.
Теперь
-|£-=_Hnx+e(r-f‘-n)xr х
у JL f 1 _|_ V	___________1 I
А dr IZj Г(г— п + 2)>..(г — n-f-2s)Xl
s-1 lX(r+«d-2)...(r+n-|-2s)]
-1-СХГ (1 + r(r_n + 2() <)(r_„_|_2s)Xl } +
£1 LX(r-h»-|-2)...(r4-n4-2s)J
1	_________(-I)".*»-*8” ________ у
1" с (г—Л4-2)... (г+п-2) (г-Ьл-1-i)... (г4-3п)
“Л—1	1	п	1
X	г —и + 2^	Tj r-Jf-n + 2p
22__ ГЛ. и. решение дифференциального уравнения
(—
(Г-1-Л+2)... (r-f-n-t-2s) (r-f-3re-t-2)... (r-f-3«+2s)
Следовательно, если г — — п, то будем иметь
Л—1	'	‘
Л — У11° х + сХ {1 +	2 • 4 ... (2s) (2л—2) (2д—4)... (2n—2s) }	.
$«=1
• Iе		___________ч/
1 2 2.4... (2л) 2.4....(2л—2) А
1, I V________________________________
п “2.4...(2s)(2n-|-2)(2n4-4)...(2«-|-2s)
S=1
(15}
Характерной особенностью решения у2 является то, что оно
равно сумме yt In х и сходящегося ряда, расположенного по
возрастающим степеням х, в который входит только конечное
число отрицательных степеней х. Решение у2 стремится к ос,
когда х—>0, как х_"; для любых других значений х оно конеч-
но, но не однозначно из-за входящего в него логарифма.
Общее решение дифференциального уравнения есть
4У1 = ДУ2,
где А и В — произвольные постоянные.
§ 2.	Определение функции Бесселя Jn(x). В случае п це-
лого и положительного постоянной с0 в формуле (4) оказывается
удобным придать значение при этом yt обозначается че-
рез Jn(x), так что
Л (х) — I1 — 2(2л4-2) + 2*4 (2л-|-2) (2л 4-4)	'' ’
§ 3; ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕЙМАНА ~ БЕССЕЛЯ У* (X)
23
С целью распространить это определение на случай, когда п
не есть целое Положительное, вместо п\ употребляется функция
Гаусса П(п)1’, совпадающая с п\ для п целого положительного;,
тогда
. , _ х" J,______ х2 ._______________________ )_______
Jn\x) — 2nU(n)^\l	2- (2ra-|-2) I- 2-4(2n + 2)J2« + 4)	• • •}—
= у_______ЫЬ_______м\л+2?	(16)
2j П(»)П(в + * *) ( 2 )	'	v
s—0
Функция J„{x) известна как функция Бесселя первого рода
порядка п: она является решением уравнения Бесселя при всех
не отрицательных значениях п. Таким образом, если п не целое,
то Jn (х) и J_„ (х) суть два линейно независимых решения урав^
нения. Если п=0, то эти два решения совпадают. Если п—це-
лое положительное, то
. j (х)-У	(~1Х-
J-n W— П(«)П(-л-)-«) (2 }, . ’
s—О
Множитель 1/П(—n-4-s) обращаете^ в 0 для $ = 0, 1, 2,...
...,(«—1) и остается конечным для всех остальных значений $.
Следовательно,
^л^)=£тГй^(т)",=(-1)’Л(л>. (in
i .	S—О
Таким образом, функция J_n (х) всегда является, решением
уравнения Бесселя, а для п целого, она отличается от J„(x)
только на постоянный множитель.
§ 3.	Определение функции Неймана—Бесселя У„(х)2>.
Если п есть положительное целое число, то произвольную по-
стоянную с в формулах (14) и (15) положим равной —2п~1(п—1)1;
тогда	а
s-*0
ОО	S	S
1 Г _1 / х \п J__, г (—'!)* /Х_\п+2* JV1 1		1 )1
2 [ л! ( 2,J п ' ^s!(n-|-s)!\4 2 J	р- '	’
s—1	1	р—О
О См. добавление I.	z
*) К> Ne u ffla nn, Theofie der Bessejschen Funktionen, Leipzig, 1867,
стр. 41.
24
ГЛ. Ц. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Теперь вычтем из у2 функцию	+	+	Л>(х):
полученная разность также является решением уравнения и
обозначается через Yn(x), следовательно,
Ytt(x) = Ja(.x)lnx —
Л—1
1 VI(я—s—1)! / х \~п+з*
Т ZJ й- [ 2 )
s*-0
- Т 2 Йта	{<₽ <5) + ’ (n+s)} ’	(18)
где ?(p) = -f
1-4- + — 4~.	2, 3,...) и ,(0)«0.
Уп (х) называется функцией Неймана—Бесселя второго рода
порядка п. В частности, функция Неймана—Бесселя второго
рода порядка 0 есть
Г0(х) —J0(xynx
i	1	1
1	22.42 I '	2
22.42.6* \ ‘ 2 т 3 У
(19)
§ 4.	Рекуррентная формула для Jn (х). Если аргумент обоз-
начать повсюду через х, то мы можем писать Jn вместо J„(x),
а Дифференцирование по х обозначать штрихом; таким обра-
зом, j'n будет обозначать Jn (х), и так далее.
Дифференцируя формулу (16), получим
(-lHzH-2s)
П($)И(п-Н)
X у1*»-2$
Т )
— nJn-\-x 1)1Цп + 5)
S—1
(X \n+bs-l.
Tj
Полагая под знаком суммы $ = г-|-1, будем иметь
х/я — nJn — x^jn(f)n(n-bi + r) ( 2 )	—/г4 xJn+\> С20)
л-0
| 4. РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ;ЛИ	25
С другой стороны,
vl' I „I _ V(-1Х(2в-|-2д) / х \"+*_
•’Ч, -г 'Ч. — 2j П(s)U(ra-j-s) ГТ)	—
s—О
- V V (—О*	( х \л~1+ц_ у J
— £jn(*)n(« —1-Н) \ 2 )
s—О
Поэтому
xJ'n = — nJ„-\-xJn^.	(21)
Сложим (20) и (21); тогда
Ч'=4-,(22)
Из (22) и (17) следует, что
4=-Л.	(23)
Если формулу (20) умножить на х~п~\ то ее можно перепи-
сать в виде
^-(x-VJ = -x-4+1.	(24)
Аналогично, если равенство (21) умножить на хп~1, то оно по-
лучит вид
Х(*Ч)==*Ч-1-	(25)
С другой стороны, вычитая (21) из (20), получим
^-Jn=Jn-x-YJn^	(26)
Формулы (20) — (26) очень важны и постоянно употребляются
в приложениях.
Дифференцирование равенства (22) дает
^Jn —	1	= (Л-2 Л) (Л Л+2) —	+ Л+г
и можно доказать с помощью индукции, что
2Ч”=J.-.-4-.«+21£S'JiA_l+<1)V,+I: (27)
коэффициентами здесь служат биномиальные коэффициенты для
показателя 5. Соответственные формулы для Yn получаются тем
же путем, но процесс этот несколько утомителен; более ко-
роткий метод получения Этих формул будет указан в гл. III.
26
ГЛ. II. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 5. Выражение для J„ (л), если п есть половина нечетного
числа. Из выражения (16) для J„(x) следует, что
И
л*	I т/- 2
2ДТЗ—^ cosx
Теперь с помощью формулы (26) можко найти выражение для
Л+>/2» где есть некоторое положительное или отрицательное
целое число. Полученные таким образом функции применяются
в физике, поэтому полезно иметь следующую таблицу:
2д;
/п X ”2“^
1	sinx
3	sinx - х — COS X
5	/ з	\	з ( ^2	1 ) sin X — — COS X
7	/15	6 \	/15	\ ( X» X )slnjc	l)c°SA
9	/ 105	45	\	/105	10 \ (х*	Х2-+1р1П*	x)C0SX
11	/945	420	15 \	/945	105 , \ (х* x3+xjsinr	х» +1)cosx
—1	COS X	f
—3	COS X — Sin X — —-—
—5	3	/ 3	\ — SinX~j- (-^8 — 1| cosx
—7	/15	\	/15	6\ — 1 2 11 sinx (.	Icosx
—9	/105	10 \	, / 105	45 , \ (x*	x /‘“•‘НДх*- X»+1JCOS X
—11	/ 945	105	\	/ 945	420	15 \ (;x<	+i)sinx	.x» + x ;cosx-
ПРИМЕРЫ .
27
г ?	ПРИМЕРЫ
L Доказать, что
xif n	(л* — п — Х’2) ]п + х7п-н •
Показать, что
1) J2 2Jq ; 2)	— Jq х /д ; 3) /3 —f— 3/0 4- 4/0 zzz 0.
3. Вывести разложения:
• О "% 1*—! ~ П1п — "Ь Л14-2 + (Л + 4) Jn л 4 — ...;
2 '.^Jn = ^J»-(n + 2)Jn+2+(n-\-4)J„+4-...
4. Проверить, что x^'J^Vx) и х1/2 У] (2Кх) Являются решениями урав-
нения
xv" 4- у = 0.
! 3.иПо&а£ать, ч^о обкгёе1 решение уравнения	J
Х2у"_2гу + 4(х4— 1)_у = 0	‘
есть
. Лх’/2 Je/< (х2) 4- Дх8/> J_5/< (х*). .
6.	Показать, что каждое решение уравнения
хУ'+4у+4-у==о
может быть представлено в виде
• Ах'1‘ J_I/2 (Vx)+	(У~х).
7.	Показать, что если п есть нечетное целое число, то
(я—D/2
-у-{4 + (-1)<п-3,/2А}=	(-O^'(«-2r+i)J„_ar+I- .
г—1
8.	Доказать, что
.. . , _V________lx\m+n+-s
’ mn	Zja(m+ ?)n(”+ e)n(s)n(и+ »? + «) \2)
j—0
(2«)”V l"1)'U (“ + 2S ~ У „
2)	J„(x)cosx— y.- Jj (2s)! И (2я-|“ 2s)	(2x^’
r s-0
(2.v)»Vl (-1Mn + 2s + 'r)
3)	Jn (x) sin x = -y=-2j (2s4-l)![i(2«4-2sH-l)(2-*) s+l.
28
ГЛ. II. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
9.	Доказать с помощью индукций» что если k есть целое число 
л =	то
/ 2 \^а (	(	1	1 \
•GiC*) — y'itjFy |cos^x ~2~ля	"4~£/«(•*)+
/ 1 1 \ )
+ sin (х— у пл — я 1 Vn (х)>,
где
и„ (х) = 1+ У (-!)* (4«*-Р)(4и* -3»)... {4n»-(4s- IP}
4-J	(2s)!2&sx2's
V /.1	V (-DW* -14V*- 3*).   { 4rt* - (4s -3)4
Va	(2s -1) 126®-3 x2^1	5
суммирование производится до тех пор, пока не получатся члены, у которых
миожители в числителе обращаются в 0.
10.	Показать, что если — 1, то
(в) J х"+' J„(x)dx =xa+i /п+1 (х);
о
(б) J Х-" j„+1 (х) dx = 2„д-(п) - Х-” J„ (X).
(* dx
11.	Показать, что AJn(x) I —2-- ~-}-В1п(х) есть общее решение урав-
J xJn\x)
нения Бесселя.
12.	Показать, что если	—1, то
С х { Jn (х)}>dx = ~2~ х2 {	+ ^л-Ь1 } пх^п^п^\ •
о
[Умножить уравнение Бесселя на /д (х) и проинтегрировать.]
ГЛАВА Ш
ДРУГИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И СВЯЗАННЫЕ
С НИМИ ФУНКЦИИ
§ 1. Функция д (t). Подстановка x=it, где i—\f—1, пре-
образует уравнение Бесселя в уравнение
<’^+<^-(»,+т=о.	со
Одно из рещений этого уравнения есть
J at)—Р —-— /1 -1----------1--------------Ь.. Д.
»v '	2* TT(zi) \ 1 2(2«4-2) 1 2-4(2n-j-2)(2n-|-4) '	)
Обыкновенно вместо этой функции применяется функция
1. (*) = r-J, («) = J „	.	(2)
s«=0
которая известна под названием видоизмененной функции Бес-
селя первого рода. Если п есть положительное целбе число,
то из гл. II, (17) следует, что
=	Х(-\)пJn{it)=i-aJn(it)=ln(t). (3)
?-9 Аналогично из уравнений (20) — (27) гл. II можно вывести,
что
«4=4+<4+>.	w
*4=-Ч+4-г	<5>
24=/_,+/,+..	(в>
4,=л.	(П
^•(<~’4)=<-/,+,.	(в)
A(i"/,)=r/,+l,	(9)
30 ГЛ. III. ДРУГИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФУНКЦИИ
г'. = 4-,(10)
0	5Л-5+гН	(-у— ^я-t+i^' •  Н" 4+ч • (11)
§ 2. Функция Kn(t). Если п не целое число, то /1я(«) яв-
ляется независимым решением уравнения (1), в то время
как при целом п вторым решением является Yn(it). Для п не
целого оказалось более полезным взять в качестве второго
решения функцию Kn(t), определяемую равенством
^<(> = 2^. !'-»(«-'.(«))•	•	(Ш)
Эта функция, представляющая собой решение дифференциаль-
ного уравнения, известна как видоизмененная функция Бес-
селя второго рода. Она обладает тем свойством, что имеет
нуль при £ = -|-<эо, что оказывается полезным для некоторых
физических применений. Доказательство этого, свойства будет
дано в гл. V.
Если п стремится к1 некоторому целому числу, то числитель
и знаменатель правой части формулы (12) одновременно стре-
мятся к нулю. Функция Kn(t) определяется тогда как предел
отношения двух указанных бесконечно малых величин.
Из формулы (2) имеем
дп	,п (т) П ДТ(^ТТ(л+«) ("Г)	;
J-0
где
-*-1пП(х)
(см. добавл. I).
С другой стороны, так как
П (— П -|- $) П (Я — 5 — 1) = к/sin (л — 5) тг,
то имеем
^-1
Т f/\   V 1 ft \“Л+25ТТ/-	«	1\ Sin(n —л)к ,
W - 2j	Il(n-s-l)----------b
,	s—0
। V______J______f_LVn+2s
T- LA П(«)П(— n-M) \ 2 У -	’
s-p
§ 2. ФУНКЦИЯ Кя (О	> - Ч	.31
так что	(0 In (4") +
/>—1
t	—s~l)sin(n — $)я4-П(п — s —1) к cos(rt — $)я t
2y	яП($)	+
s-0
“Ь П(«)П(—л+'s) (“Г)	(—л+«) •
Пусть теперь п есть положительное целое число; полагая
р — п, получим	‘
i .«) ш (4)+(-!)•	+
,	s—О
I V 1	, / X / t \n+Qs
+ Zj п(и + «)П(«) ’f’	(.2 ;
5—0
Следовательно, если п—положительное целое число, то
> п—1
=(-ir'4«in (4)+4 £
5—0
+(-(4)'+!‘w(’)+<>(» +»)! • <13)
5—1
В частности,
/coW=-/o(o {in(4)+r	)&<р(‘)-	о4)
5—1
ибо для г положительного целого
9(г)=г<р(г)—ypt
где
Т(г)=1++4+...+ 4
(см. добавл. I).
Из равенства (12) следует формула
К-.^=К,.	(15)
32 ГЛ. Ш. ДРУГИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФУНКЦИИ
Если в формулу (5) подставить —п вместо п, то получится
tl’ п—п1 „ + # „ . ;
—п	—п 1	—п—I ’
вычитая из этого равенства (4) и умножая результат на
ISS' будем иметь
< =	("5)
Напишем здесь —п вместо п и используем формулу (15); тогда
С =	(17)
Из формул (16) и (17) следует, что
2< = -(К.+,+*,-.)	<18)
<=-*..	(19)
<2°>
4(*“К, ) =	(21)
(22)
(-2)’ 5- К- = К--+Т-’ «.-,«+•••+К.+! .
(23)
§ 3. Функция Бесселя Gn (х). Эта функция’) определяется
равенством
On(x) = e-lnvl2K„	=	(24)
= ЖГ<7-.М-^4(*))-	(25)
Она удовлетворяет уравнению Бесселя и потому есть функция
Бесселя.
Если п есть целое число, то можно показать, как в § 2,
или вывести из формулы (13), что
О. (*) =- У. W + A W {1“ 2 -1 + 4} =	(26)
= 4и{-1п4- т+4}+
1) См. J. Dougall, Proc. Edin. Math. Soc., 18.
§ 3. ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ Gn(x)
33
s«=0
2	5!(n + 5)!
s—0
y+2*^	(n_j_5J) .
(26‘)
Значение величины In 2—у можно дать с 22 десятичными зна-
ками:
1п2 — у = 0,11593 15156 58412 44881 07.	(27)
Положим в равенстве (24) x=it' тогда
Kn(t) = eianlt Gn(it).	(28)
Таким образом, Gu(x) имеет нуль в бесконечно удаленной
точке положительной мнимой оси (см. § 2).
Следующие формулы, (29) — (37), могут быть выведены из
формул (15)— (23) с помощью равенства (24):
О_Л^ОЛ.	(29)
xG'n=nGn — xGn+x .	(30)
xO'n = -nGa-\-xGn_v	(31)
2G;=G„--G„+i-	(32)	•
G'o =-Gv	(33)
A(x-CJ=-x-G,+,.	(W)
^.(х'а.)=л'о„.	(35)
^O. = C._,+O_+].	(36)
2* £ O. = O,_, - sC,_s+, + ^4 ,, -... + (-1Г C.^ .
(37)
Читатель может заметить, что формулы (30) — (37) для G„
тождественны с формулами (20) — (27) гл. II для /п; и действи-
тельно, с помощью равенства (25) предыдущая группа формул
(20)—(27) может быть выведена из формул (30) — (37).
з Э. Грей и Г. Б. Мэтьюз
34 гл. Ш. ДРУГИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФУНКЦИИ
Рекуррентные формулы для Ya(x). Так как функции
Jn(x) и <За(х) удовлетворяют одним и тем же рекуррентным
формулам, то из формулы (26) следует, что и функция Уп(х)
также удовлетворяет формулам (30)—(37).
Функция Ганкеля—Бесселя второго рода. Ганкель1» вос-
пользовался функцией Yn(x) для определения новой функции,
которую мы для удобства обозначим через Yn(x) и которая
определяется (как в § 2) для всех значений п с помощью фор-
мулы
е‘"«.“В”—Л.)	(38)
Легко проверить, что
(39)
Если п есть положительное целое число, то из (39) следует,
что
Уп = 2{Уя-/п(1п2-7)}.	_ (40)
Как и в случае функции Уя, из (39) следует, что Y„ удо-
влетворяет рекуррентным формулам (30) — (37).
§ 4. Зависимость между любыми двумя решениями урав-
нения Бесселя. Теорема. Если Р(х) и Q(x)— некоторые
решения уравнения Бесселя, то они удовлетворяют соотно-
шению вида
P(x)Q’(x)-P(x)Q(x) = -^,	(41)
где С есть постоянная.
Так как Р и Q удовлетворяют уравнению Бесселя, то
А(ХР)=(Л--Х>)4,
aW)=(b._x!)4,
Умножим первое уравнение на Q, второе на Р и вычтем
первое из второго; тогда
(*/»)=<>.
или
^-{x(PQ'~P'Q)} = 0,
!) Math. Ашц 1.
§ 4. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДВУМЯ РЕШЕНИЯМИ
35
откуда
x(PQ'—P'Q) =С,
так что
PQ'— P'Q = -j"
В частности, пусть Jn и J_n будут этими двумя решениями;
тогда
lim х {Jn (х) /_л(х) — J’n (х) J_n (х)} =
дг->0
—	1 sz — Д_______Д	1	_
—	П(п) ЛП(—п) П(п) АП(—п)~
__	2	__ „ sinnit
~ П(л)П( — п— 1) — я ‘
Следовательно,
4 W J'-,(»)—4W J-. W = -2	.	(42)
Читатель легко докажет, что j j	д.т т — о stons п J-n+\ ^J-n Jn-\ —	’	(43)
— J. J » 1—J Al=2“’ Л —n—1	—П Л-f-l	J^x ’	(44)
°, i'.-0:4=4 •	(45)
o.+i 4	4+!= — -	(46)
	(47)
J Y 	I Y — — •'л+Г n Jn 1 n+l — x ’	(48)
4 («	z_, (i) = - 2	,	(49)
T I		 r j 		9 Sin/lit л-н	-n *11-1 —	*	(50)
.	т j		j j 		9 sin ия ln -n-\	'-.n'n+l —	’	(51)
*.4-<4=4--	(52)
^+,4+^4+,=t-	(53)
з»
36 ГЛ. Ш. ДРУГИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФУНКЦИИ
§ 5. Функция -Fn (х) . Иногда выгодно пользоваться функ- .
дней Fn(x), которая определяется равенствами
рп (X) = x-l,’n Jn (2 Ух) ==	(54)
= Щйг{1 _ 1 •(» + !) + 2! (п4-1)(п 4-2) —•••}=	(55)
S“j=LH£)L.	(56)
5—0
Мы предоставляем читателю проверить следующие формулы,
справедливые при всех значениях л:
	(57)
p.(x)<te=-F,_, (х)+1/П(л-1),	(58)
<+(»+•) '='.+/’.=0,	(59)
•«F.«-(»+l)F,+,+F.=0,	(60)
(61)
^(x"+‘’F.+p)=x"Fn.	(62)
§ 6. Функции ber и bei Кельвина. Если в уравнении (1)
положить п = 0 и t = x Vi, то оно примет вид
dx*
х dx
(63)
Это уравнение используется в теории переменных токов.
Его независимыми решениями являются функции /0 (х Vi) и
К0(х]/7). Разложение функции /0(х Vi) в ряд по степеням х
состоит из чередующихся вещественных и мнимых членов. Кель-
вин обозначил вещественную и мнимую части этого выражения
соответственно через Ьег х и bei х, так что
Z0(x]A) = berx-|-tbeix,	(64)
!) См. George Greenhill, Phil. Mag., 38.
§ в. ФУНКЦИИ Ьег и bei КЕЛЬВИНА
37
где
Ьег X — 1	22-42 "Ь 22>42-62-82	'’'	(65)
И
. . х2 •**1	хЮ	/RR4
oeix— 2, 22-43-6»_‘ 2».4**6>>8>«1О>	'°0’
Аналогичное выражение для- Ко(хИО есть
Ко (х КО = кег х i kei х;	(67)
сравнивая с формулой (14), можно заметить, что
кегх—Ьегх(1п2—Inx—у)-|- -j-«beix —
2».4» (1 Н 2~)“Ь 22-42-62-82 (Ч- ~2~ + Т т) (®8)
И
keix=beix(ln2— 1пх—у)------Ь. -к Ьег х-\-
“Ь'2»’	2».4»«6* (1	(69)
Читатель легко проверит, что
Jxber xdx=xbei'x,	(70)
yxbeixdx = —xber'x,	(71)
Jxkerx(/x=xkei'x,	(72)
о
Jxkeixdx——xkerx.	(73)
о
Для более подробного ознакомления с применением функций
Ьег, bei, ker, kei в леременных токах см. Gray, Absolute
Measurements in Electricity and Magnetism (второе англ, изда-
ние, 1921), гл. IX. Таблицы этих функций даны в В. A. Report,
1912, а более короткие таблицы, составленные Гарольдом Сэви-
джем, помещены в книге Russell, Alternating Currents, • т. I.
38 гл. Ш. ДРУГИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФУНКЦИИ
ПРИМЕРЫ
1.	Доказать, что
1)	*4}” = (п* — П — Xs) б„ + хб„+1 ,
2)	= (п» - n +Z„ - tz„+1 ,
3)*’<'-(rfl —п + £3) Кп + Z/Cn+1 .
2.	Установить правильность разложений:
1)	у Gn__j = nGn — (п 4- 2) бл+2 + (я 4- 4) бя+4 — ...,
2)	у G'n = -J Gn - (п + 2) Gn+2 + (« + 4) G„+i
3)	у Z„_, - п1п + (п + 2) /я+2 + (п+4) /я+4 + • • •,
4)	4z;=y/„+(n+2)Z„+2+(n+4)Zn+4 + ...,
5)	у Кя_, =~пКп-(п + 2)К„+2 -(»+ 4)K„+i
6)	у < = у	+ (я + 2) К„+2 + (я + 4) Ka+i +...
3.	Проверить, что х~п Jn (х) и х~пGn (х) являются решениями уравне-
ху"+(2п+1)У + ху = 0.
4.	Показать, что Еп(—х) и x^l^Gn (2Zj/*x) являются независимыми
решениями уравнения
*/ + ("-Н)У-~-У = °-
5.	Показать, что общее решение уравнения
d2m+,y 0
х d^m+l ±у
есть
= СР { ^т-^аРХ^хт+'‘гРт+уУР^}’
р-0
где с0, Cj,..., c2m суть произвольные постоянные, а	, л2т — корни
уравнения a2w+1 = ± i.
6.	Показать, что если р есть положительное целое число, то
ы>	*
2)	^~р Jn-P (х) = 2^^ { x”Z„(x)} ,
ПРИМЕРЫ
39
3)	x-»-'G„+/,(x)= (-2)' — { x-nGn(x)} ,
dp ,
4)	xn-pG„_p(x) =2'^^ {xnG„(x)} ,
5)	t-n-prn^t)=2P — {t-rn{t)}.
6)	(0 =2'-^ {f»z„(O}.
7.
7) t~n~	фКп+/0= (-	dp	
8) tn~p	Kn_p(0 =(-	-2’’	
Показать, что			
1) G,/s(x)= 1	{ 2х е ’	2) G_,/2W = Z1	< 2хе ’
3) I4i (0=L	' ldsht’	4) Z_ ./,(0 = 1/	^cht’
5) АГ./JO^L	' 2t е ’	6) к_./, (0=1/	r itе^-
8.	Показать, что если n — целое положительное число, то
я_71,	_ п , /I№LL\
О х Jn+'l9\x>	' у п d(x2)n\ х )'
„	я Г я dn / е1Х\
2)' х— /sG„+t/1(x)= (-2)” |/ у—J,
„ „	„	/~2 da /shf\
.3) ^B-/V„+./j(t)=2»p/- — у
„ I,	„ Г я dn / ё~*\
4)	t	X„+./s(0 = (-2)” j/ ТТ^Ц-Г ) •
9.	Показать, что ес.ли п—целое положительное число, то
, я п	я Г 2 dn /cosx\
0 X	2J_п^19(х) =2 р' я rf(x2)n\ х )’
п ап (eU\
2)	х а6_п—1|2(х) 2 1^ 2 а(х2)п\ х / *
40 гл. Ш. ДРУГИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФУНКЦИИ
„	„ / 2 d" /chf\
3)	t~k~ <Ч_п^)=2" ]/	(—J,
г	я i/	я / я dn (е~* \
4)	^"-/s^_»_./2(O=(-2)»j/T-^^—)•
10.	Показать, что если л—целое положительное число, то
1)	x-»J„(x) = (-2)n-~ J0(x),	2) Г*б,И=(-2)Л77^0°(Х)’
dn	dn
3)	i-n/„(x)=2“—— Zo(O.	4) t-»/Ct(0 = (-2)'’-—ЛЗ(О.
* И J	a v )
’ll. Доказать, что
(2ПЛЯП п6* + 2$ —
1)	Z„(Ochf = —2j (2s)I П(2я + 2л) <2^’
*	s—О
(2П“11	n(” + 2s + -2')
2)	fn(t)sht=-y-. 2j(2s4-l)!n(2n4-2s+l) (20&+1’
- « i их — t0 fi t _iu 2re + 3 л 2ra-t~5 ,s .
3)	e	2»n(ra) |1 — <+ 2!(2«4-2) * ~ 3!(2«4-2) * +
(2n+5)(2n + 7)	(2n + 7)(2n j 9)	1
+ 4!(2n+2)(2n4-4) P“5!(2n-f-2)(2«4-4) »*+••• j •
12.	Показать, что если п — целое положительное число, то
rf2"
(«)}=(- imw-
13.	Показать, что
h
О Fn(*+*) = Fa (x) — -p F„+I (x) 4- 2i F„+2 (x) —...;
(X \Xlin r_________
A (/^+*j=
— (Ух) — -p-	Z„+I (Ух)-f- 2? ( 2рт) ^“+2 (	'"
14.	Показать, что если р—целое положительное число, то
1) (-1)Р х» Fn (х) = x"+^ F„+2p (х) -	(п+р) хп+^' F„+2^i (х) 4-
?{Р2\ ° <"+')(«+/>-!)xn+P~iFn +2р_2(х)-...,
ПРИМЕРЫ
41
2) ( 1)^ Jn (х) — Jfi+2p (Х)	1 I X	(*) 4*
. 2» (р-1)(»+Р) (” + />-*) ,	. .
"Г	21X*	Jn-\-2p^2\x)
15.	Показать, что если п—нуль или целое положительное число, то
1) Р^л(х)=(~х)«Гя(х),
2) JF_n(x)dx = - F_„_t (х).
О
16. Показать, что если у = AFn (х) + ВГЛ (х) есть общее решение урав-
нения
Х Oxi + <Л+’)	+-У = °’
то у=.хР {AFn (х) + ВГЛ (х)} есть общее решение уравнения
*й+(-л+1)й’+->'=0-
17. Показать, что если k есть целое положительное число и если
W — Zj 51	(Л—2s)! П (n-l-5— 1) и ’
s-0
где р— наибольшее целое число, меньшее “у (k + 0, то
р*+1 (“)=(«+*) Pk («) + “^*-1 (»)•
Отсюда доказать по индукции, что
F„_i (-«)=РА (и) F„_I+ft (-«) + «/>*_! (a)F„+ft (-и).
ГЛАВА IV
ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА.
РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ ПО ФУНКЦИЯМ БЕССЕЛЯ
В этой главе предполагается, если не будет особых оговорок,
что параметр п, входящий в обозначения функций Бесселя, есть
целое положительное число.
§ 1.	Коэффициенты Бесселя. Разложения функций exp
и ехр —ухг-1^ соответственно по возрастающим или убываю-
щим степеням t справедливы для всех значений х и всех зна-
чений Следовательно, если t^O, то произведение этих
двух разложений дает
ехр 2(« г )-2j77i2j—*
r»0	s=0	r—0 s—0
Если п есть положительное число, то, полагая r=n-\-s, полу-
чим коэффициент при г4. Он равен
(- l)sx"+2s
2n+2s(n-|-s)!s!

Аналогично коэффициент при t~n получается при замене $=п-|-г.
Он равен (—l)"J„(x) или J_„(x). Поэтому
00
ехр ух(£ —Г‘)=	(О
Это свойство функций Бесселя целого порядка позволяет назы-
вать их по аналогии с коэффициентами Лежандра коэффициен-
тами Бесселя.
Абсолютная сходимость ряда в правой части равенства (1)
может быть легко доказана; действительно,
lim | /л+! (x)/J„ (х) | = lim 11 хП (п) / П (« +1) I =
П+<Х>	Я-Ф00 1 *	I
=Hm|x/(2»4-2)|,
л->оо
$ 1. КОЭФФИЦИЕНТЫ БЕССЕЛЯ
43
так что ряд сходится для всех значений х и всех значений
£^=0.
Написав в формуле (1) 1х вместо хи —it вместо t, получим
00
exp -Lx(t + t~i)= J /я(х)Г.	(2)
л=»—оо
Полагая (1) t=el<t, будем иметь
eix sm ? _ /о (%) _|_ 2/7i	sin <р 2/2 (х) cos 2<р +
-1-	2zJs (х) sin Зср + 2J4 (х) cos 4<р 4" • • • •	(3)
Выписывая отдельно вещественную и мнимую части этого
равенства, получим
cos(xsin<p)=J0(x)4-2/2(-*:)cos2<p-|-2J4(x)cos4<p-|-	,	(4)
sin (х sin <р) = 2Jx (х) sin <р + 2J3 (х) sin 3<р 4- 2J6 (x) sin 5<p + ... (5)
Заменяя далее в формулах (3) — (5) <р на-у — <р, получим:
00
е*™ ’ = Jo (х) + 2 J fJs (х) cos (s <?),	(6)
s—1
cos (x cos <p) = Jo (x) — 2J2 (x) cos 2 <p -|~ 2/4 (x) cos 4<p — ... , (7)
sin (x cos <p) — 2 J] (x) cos <p — 2J3 (x) cos 3? + 2JS (x) cos 5<p.	(8)
Формулы (3)—(8) справедливы для всех значений <р и х.
Интеграл Бесселя. Умножим равенство (4) на cos п<р и проин-
тегрируем от 0 до я; тогда
ТС
J cos n<pcos(xsin<p)d<p = rc/n(x), если п четное (или нуль),
о
= 0, если п нечетное,
или, в одной формуле, = уя{1-|-(—l)"}Jn(x).
Аналогично
' те
J sinn<psin(xsin<p)d<p=y я {1 —(—1)"} J„(x).
о
Отсюда сложением получаем
те
J cos(n<p—xsin<p)rf<p = rcJn(x),	(9)
о
44
ГЛ. IV. ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
где п есть нуль или некоторое целое положительное число»
Этот интеграл известен под названием интеграла Бесселя.
Эксцентрическая аномалия. Напомним, что написанный
выше интеграл встречался в гл. I в связи с астрономической
задачей Бесселя; действительно, было найдено, что если
р. — ср — е sin ср,
то
00
ср = и 4-	Ar sin грь,
Г—1
где
т
А,—cos г (<₽—е sin tp) dtp.
о
Теперь уже очевидно, что Аг может быть записано в виде
(2/г)/г(ге) и что в этих обозначениях
<р = р + 2 {(е) sin |* + у J2(2e) sin 2р+J3(3e) sin Зр. +...}. (10}
§ 2.	Разложение хп в ряд по функциям Бесселя. Рассмотрим
прежде всего случай, когда п есть нуль или целое положи-
тельное число. Известно, что
2 cos ntp = (2 cos <р)л — у (2 cos (р)л~4 -j-	(2 cos <р)л"4 — • • • 4*
4-(—1)*	~ g	?L-: • A” — 2*+(2 costp)"-fe 4- .... (11)
Применим теперь это разложение к тождествам (7) и (8)
и разложим левые части их по возрастающим степеням х cos ср;
приравнивая после этого коэффициенты при (coscp)", получим
хл = 2л«! |jb4-(/I4.2)J„+44-<5+J)2^+1) J„+<4- ...} =
= 2Л	+ * — W Ja+^ (Л = о, 1, 2, ...).	(12)
S»=0
При n=0, 1, 2 имеем соответственно:
1 = -4 + 2/24*2/44~ ••• 4-2/2s4- ••• ,
х — 2/]-4- 6/34~ 10/64- ... 4~2(2$4*1)-4s+1 + • • • ’
х8—2(4/24-16/j4-зб/64- • • • 4-4^4- •••)•
§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ х* В РЯД ПО ФУНКЦИЯМ БЕССЕЛЯ
45
Для п произвольного формула (12) может быть написана в виде
^ = 2.|,(1±2г)Щ«±1-1>л^.	(13)
s=0
справедливость ее может быть проверена следующим образом.
Обозначим через Sh сумму
соЛ4“с1Л+2~Ь ••• 4”слЛ+2л>
где ^ = («-|-2s)n(n-|-s— l)/(sl). Тогда для всех положитель-
ных целых значений h будем иметь
2"Sfc=Xn —** ^22гП(л+г+2Л + 1)г!(г + Л+1)’ G4)
г-0
Если это равенство справедливо для частного значения А, то из
этого следует, что
2я— 2п {SA-|-cft+i Л+гл+г)=
“ Г-1Гг2^(« + 2Л + 2)(г+Л+1) I
_ „ . П(я + А)х”ч-Ш-« у к 7	)-(л+1)(п+г-|. 2Л+2)/ =
f (*+ 1)! 2«л+» XJ г^ТЦге 4-г-]-2*4-2)г!(г-кЛ4-1)
„ П(п4-Л + 1)жп+м+< р __________(—1)'х2г________
Х (Л4-1)!2^Л+< 2j 2^(714-г 4-2*4-3)г!(г4-А4-2)’
г—о
Таким образом, формула справедлива для А-|-1, если она
справедлива для А; но для А — 0 она справедлива, следовательно,
она справедлива для всех значений А,
Ряды в правой части равенства (14) сходятся для всех зна-
чений х и п; поэтому, делая А достаточно большим, можно
сделать 12л Sh—хл| достаточно малым. Отсюда Следует, что
равенство (13) справедливо для всех значений х и п.
Абсолютная сходимость ряда в правой части равенства (13)
доказывается точно так же, как это было сделано для ряда
в формуле (1).
Заменяя в формуле (13) х на ix, получим
^ = 2»у](-1/,, + 2»)Гу+*-	(15)
s-0
Разложение степенного ряда по функциям Бесселя. Рас-
00
смотрим бесконечный ряд	если вместо каждой сте-
р-0
46
ГЛ. IV. ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
пени х подставить ее разложение по функциям Бесселя, то по-
лучим равенство вида
^apx"^=^bpJn+p,	(16)
р—0	р—0
где
&р = 2”+Р п (п+/0	Ч" 22(re-t-p—1) "1Г +
._________1	1 I	П7ч
"Г'24(я-|-р—1)(пН-р —2) 2!	Р'1
Сумма заканчивается членом, содержащим ах или а0 соответ-
ственно для р нечетного или четного.
Докажем, что если ряд	абсолютно сходится, то
равенство (16) имеет место, и ряд ЪЬр.]п+р также сходится.
Рассмотрим прежде всего те члены в (16), в которых р четно.
Обозначим через Sh и соответственно суммы
+ а2х"+2 + ... + а2/№+2Й и	+М«+2 + • • • + ^2ftZi+2A‘
Тогда из формулы (14) будем иметь
+ ^ft-
где
h
n_VU n(n + ft+s)x"*M**
ПЛ— 7jw2« (ft —s)!22*+2-2« Л
s—0
у v______________(-o'*2'
л Zj 2»H(zi-|-r-f-2A4-l)r!(r + A —s-H)'
z-0
Последнее равенство можно представить в виде
О Л_ V	J/7 n(n + h + s)X*-h-^ |	1	м
Kh~~ 2j л + гл+ц®^ П(л-|-2А)	)22Л+«-«(ЛН-1 —
s-o
где
„ —1 1 р___________________(-ir^^+i-s)______________________
“ ZJ 22»’(л-}-2Л-|-2)(я-|-2й-]-3).. ,(л-]-2A-|-l-j-r)r!(A-f-l—s-f-г) ’
При этом
ш«
где М= 1 4- V — --------------1 5.12г___________
А	2V|(»+2A-|-2)...(n-|-2A + 14-r)|r! ’
h § 2. РАЗЛОЖЕНИЕ x" в РЯД ПО ФУНКЦИЯМ БЕССЕЛЯ
47
Отсюда следует, что при достаточно большом А
h
1^:< л+27+1 ^1^1 хм
$—О
Но lim М = 1; поэтому
/г-ню
lim | Rh | =0.
Таким же образом можно показать, что сумма тех членов
ряда 2ОрЛ“+р, в которых р нечетно, равна сумме членов с нечет-
ными р ряда ^bpJn+p; следовательно, эти два ряда равны. Ряд
'SbpJn+p равномерно сходится при | х К/?, где R меньше радиуса
сходимости ряда Sapx"+P.
Разложение Сонина*). В качестве примера рассмотрим раз-
ложение
= J] apcn+r — J] bpJa+p (х).
r-0	pS)
Здесь
az=iV/(rl) и
bp 2Л+Р П (Л -J- р)ip 22(п+р—1) ТГ(/>"—2)! +
4-__________1___________efJ______1 =
~2«(«+р —'!)(«+/> —2) 2!(р—4)!
=2»H(n-i).(n+p)^c;(lx),
г ле	Сп (и) — п(”+р—1)-(2ц)р (| _ p(p—l) 1 I
где	• П(п— 1)р! I1 1!(„+р_1) (2ц)2 “Г
, р0>-1)(р-2)(р-3)	1___|
Т 2!(л+/>—1)(«+р —2) (2ц)*
есть коэффициент при 2.р в разложении (1—2р2.-\-№)~п по воз-
растающим степеням Л. Отсюда
хГе^ = 2»П (п -1) Jj (п + р) Спр (у.) ipJn+p (х).
/>-0
Напишем теперь в этом равенстве—iz вместо х; полученное
тождество
е^ = (21гУЧ1
00
(Л-1) Я(п+/ОС>)/я+р(.г)
"(Г
1 Math. Ann., 16.
(18)
48
ГЛ. IV. ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
есть разложение Сонина. Оно справедливо для всех значений п,
[1 и z, исключая л = 0, причем в последнем случае легко про-
верить с помощью формулы (3), что если ii=cosO, то
ezcos’=/0(^) + 2 y}/p(z)cospe.	(19)
p-i
Из теоремы Тэйлора следует, что ряд ЕС^О»)^ абсолютно
сходится для |	где R обозначает наименьшую из двух
величин | jidzj/p.2—11 , модулей нулей выражения 1 -~2рй4-Л*;
в частности, если |* = cosO, то ряд абсолютно сходится при
|Л К1. Теперь легко видеть с помощью формулы Стирлинга
(добавл. I), что коэффициент С? ({*) в тождестве (18) может быть
всегда сделан меньше Rp рри достаточно большом р. Таким
образом, ряды (18) и (19) абсолютно сходятся для всех значе-
ний (к, п И Z.
§ 3. Теорема сложения. Формула (1) дает
J •4(»+®)*п=ехр{^ф^—	=
д—-ОО
= ехр{ “ Jjjxexpjy^—-|j} =
00	со
=	J]
S-«-OO	r—00
Перемножим теперь ряды, стоящие в правой части, и при-
равняем коэффициенты при i* справа и слева; тогда получим
СО
4(»+<0	(20)
Так как J_z = (—l)r/r, то формулу (2) можно переписать в виде
п
/Л«+«0=£4(»)4-.(<0 +
s-0
+ f[ (-1Г{4(«)4+Д^)+4+Д«)Л(^)}.
s=»l
(21)
§ 3. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ
49
Следствие!.
00	П
4(»+®)=
$а=-00	S—О
00
+J {4(«)4+s(^)+/n+s(«)4(^)}.	(22)
5=1
Следствие II.
00
Jn{x^-iy)= 2 ia~sJs(x)IK_s(y).	(23)
8=—ОО
Из этого выражения, отделяя те члены, в которых п — s
четно, или те, в которых п—s нечетно, можно получить веще-
ственную или мнимую часть функции Jn(x-\-iy).
Обобщение теоремы сложения. Рассмотрим теперь заме-
чательное обобщение теоремы сложения, принадлежащее Ней-
ману г).
Из формулы (1) следует
—00
поэтому
X (1 \	X (1	1 \ k$ t \
expт(kt-= exp(k-exp 2-(t--
Следовательно,
Ylk!tJn(x)tn = ^^~T')YiJn(kx)tn.
•—оо	—оо
Положим х = г, k~ebi, тогда
оо	__ ir sin 6 оо
^п(ге*)Г = е 1 ^eniiJn{r)tn.	(24)
—оо	—оо
*) Строго говоря, Нейман рассматривал только случай п = 0, но обобще-
ние получается сразу же само собой.
4 Э. Грей и Г. Б. Мэтьюз
50
ГЛ. IV. ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
Приравнивая коэффициенты при 1п, получим
w-Ч- ^+"“4+. w+
+	«И+” " 4+2 И - • •  = 4+Ч.	(25)
где
= Jn (r)cos n0+г sin в sin (л +1) вЛ+i (г) —
-	cos (л+2) 0Jn+2 (г) -
-	^^sin(n + 3)6Jn+3(r)+... ,
—Jn (г) sin п9 — г sin 0 cos (л -|-1) 0Л+1 (г) —
—	$21 s*n (Л “1“ 2) ЭД»+2 (Г) +
+ {^1соэ(п + 3)0/л+з(г)+...
В частности, полагая 0 = у, получим
/„ (г) = Л (H+^n+i (г) + -§|-Л+2(г) + -5|-Л+8(г)4- •••	(26)
Полагая теперь в (24) г, 0 соответственно равными сперва
Ь, р, а затем с, у и умножая оба полученных при этом резуль-
тата друг на друга, будем иметь
—00	—00
i(b sin P-f-c sin 7) оо	оо
—00	—оо
Выражение, стоящее в левой части, равно
£ 4, (&*+<*’')*".
Если правая часть разложена по степеням I, то коэффициент '
при tn дает выражение для Jn (Ь^-^-се*1) в виде
Jn(be*1 -}- се11) = Со—(b sin ? + с sin у) -f-
I c^(b sin р-f-с stn 7)а 	... , (27)
§ 3. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ 51
где
Со= £ е^(Ь)е^Ьп_(с)
8^—СО
и Ср С2, ... выражаются аналогичными равенствами.
Однако из-за того, что эта формула слишком сложна для
практических целей, мы рассмотрим подробно только случай,
когда Ь£?1-\-се11 есть вещественное число. Кроме того, вначале
предположим, что л = 0.
Если	Ь^14- се11=а,
где а—вещественное, то
a=b cos 04-е cosy и dsmf4-csiflf=0,
так что а8=(b cos Р -|-с cosy)84~(b sin р 4~г sin у)8 =
=#84-2£ccos(P—у)+^8.
Положим теперь р—у=а; тогда общая формула (27) примет
в нашем частном случае вид
•4(//>2 + 2te cos а 4-с8 ) = Jo (b) Jo (с) 4-
4- 2 J] (- 1)*J.mWcossa.	(.28)
S-1
Если а заменить на те—а, то предыдущая формула будет
иметь вид
•4(W2—2tocosa + <?8) = Jo(b)Jo(<?)4-2 Js(b)Js(c)cossa. (29)
s—1
Эта формула совпадает с результатом Неймана.
Положим в формуле (28) для проверки а = 0; тогда мы по-
лучим формулу сложения (20).
Предположим, что а = -|-; тогда
Jo (/Я^?)=/0 (b) Je (<?) - 2J2 (b) J2 (с) 4- 2J4 (b) J4 (<?)-... (30)
В- частности, если c=b, то
/0(ЬУ2)=/0(Ь)-2^(Ь) + 2^(Ь)-...	(31)
4*
%
ГЛ. IV. ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
Полагая в формулах (28) и (29) Ь = с, получим:
Jo (2b cos а) = (b) —2jf (b) cos a 4- 2^ (Z’)cos 2а —... , (32)
J9 (2b sin у a J = J20 (#)+24 (b) cos а-J- 2Л (b) cos 2a -f-.... (33)
Применим теперь к формуле (28) оператор b	тогда
найдем, что
УЬ2 4- 2bc cos a 4-с* Л {УЬ2 4- %bc cos а -|- с2 }=
=М(*)4(с)+Ч(*)Л(‘)+
ОО
я—1
р {Л+1 (*)-./„_, (^)}J„(C)4-
(с)}/„(/>).
cos ла.
(34)
Повторными применениями этой операции можно получить
формулы для J2, J3, ... Но их можно также получить и непо-
средственно из (27). В наиболее общем виде теорема сложения
будет доказана в гл. IV, § 3.
§ 4. Разложение Шлёмильха. В заключение этой главы будет
доказана теорема Шлёмильха о том, что всякая функция
f(x), удовлетворяющая некоторым условиям, которые будут
исследованы ниже, может быть разложена в ряд по бесселевым
функциям:
/(*) = у л0 4"	(•*)+аУо (2х) 4- ... 4- anJ0 (nx)-f- .... (35)
где
о.= 4|'{/(0) + » )-£&=}*>.	(36)
и
тс
ап—-^ [«cosna/	(n= 1, 2, 3, ...).	(37)
Я t/	I J v* I
о	о	7
Для доказательства нам понадобится равенство
тс/2
Ст/ •	\ j 1—со$ па
J /) (ЛК Sin <р) d<p = ——-.
О
Это равенство устанавливается следующим образом. Мы имеем
r ,	.	.__VI (— l)s«2s+I a2s + l siti2s+1 f
Ji (nu sm <p) — 2j 22S+1 s! (S _|_ 1)!
0
§ 4. РАЗЛОЖЕНИЕ шлёмильха
53
Поэтому
• w r,(-DsB2e+,«2s+1 ?2- 2®+1 .
| Л(|Ш8И1<р)<*Р= 2] 2^+»g|(g+l)l J Sm <?d(P =
ООО
5“ (—l)sn2s+,«?®+1	2*s!	_
22s+*s!(s4- 1)1 ’ 1. 3. 5...(2s+1)
__yi (— l),w2s+l a2**1 _1 — cos nu
(2s + 2)!_______________nu
0 •
Предположим теперь, что разложение (35) возможно и что
ряд можно почленно дифференцировать; тогда
f (х) =—ах Jx (х)—2а^х (2х)— ... —nanJx (пх)—...
Напишем asintp вместо х и проинтегрируем обе части по tp
от 0 до гс/2; получим
тс/2	оо	те/2
J /' (и sin ср) dcp = —	пап j {пи sin ср) rfcp = ап (cos пи— 1) / а,
О	1	о
откуда
к/2	оо	оо
и С/ (и sin tp) dtp = у^ал cos пи—	ап =
О	I	1
00
= 2 «л cos пи 4- 0- а0—/(0>).
1
Это есть ряд Фурье, поэтому
уа0—/(0)=i U u\f (иsintp)dtp!du,
6^0	7
или, что то же самое,
а0 = 4 f ( / (°) + в f f (и sin ?)
О	6	'
и
2 Г	(Т	)
ап= — 1 ucosnu 7 I /(nsintp)dtp \du.
О	^0
где n = l, 2, 3, ...
54
ГЛ. IV. ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
Подстановка sin<?=6 переводит эти формулы в формулы (36)
и (37), которые и являются формулами Шлёмильха для коэф-
фициентов. Нужно, однако, заметить, что теорема еще не дока-
зана; все, что было сделано,, есть определение коэффициентов
в предположении, что выражение (35) справедливо и что резуль-
тат почленного дифференцирования ряда (35) есть f (х). Чтобы
проверить результат a posteriori, положим коэффициенты
а0, ait at, ... равными определенным выше значениям и напишем:
¥(*) = 4ao+a'yo(*)+Vo(2*)+ ••• =
ТС	00	1
=/(0)+4J(4+SJ°(n*)cosna}“daf(38)
Р . 1	о
Выберем затем функцию <р(«) так, чтобы было <р (и) =	,
если 0<а<х, и <р(а) = О, если лг<и<я; тогда <р(и) можно
разложить в ряд по косинусам,
00
Ч (и)=± с0 + ^сп cos пи.
1
Здесь
Но
тс
J<p(a)da = 4wco-
О
f <p(a)<ta= f	0-d«==|rc,
оо	x
так что с0— 1.
Аналогично
« С г \	j.. С cos пи du
-2сп=] <?(a)cosnKda=J
о	о
cos (пх sin 9) d0 = у JQ (пх)
на основании формулы (9), поэтому c„ = J0(nx).
00
Таким образом, <р («) = у +	Jo (пх) cos пи.
ПРИМЕРЫ
55
Подставим теперь в (38) вместо ряда выражение 1/Кх2—и2;
тогда верхний предел вместо к станет х, и мы будем иметь
о	о
а если и=г и 5 = sin<p, то
X	я/2
♦ W=/(0)+4 f f/'(rsin?)dT.
О	о
В этом двойном интеграле перейдем от полярных координат
к декартовым с помощью подстановки rcos<p = S, г sin <? = “»).
Площадь интегрирования есть квадрант круга радиуса х, поэтому
X	VX1——
tW=r(0)+4pW*i [ 73=?=?=
0	о
. =/(0)+{/(х)-/(0))=/(х),
в предположении, что функция f(x) непрерывна от 0 до х.
Таким образом, разложение Шлёмильха справедливо, если
функция f(x) непрерывна от 0 до х и f (х) существует и непре-
рывна при 0<Х<тс.
ПРИМЕРЫ
1.	Показать, что:
1)	70 (и + о) = Zo (a) Jo (а) - 2Jj (а) Л (о) + 2J, (а) Л (а) - ...,
2)	Zo (а — а) — /0 (и) Jo (о) + 2Л (a) Jj (а) + 2 Ja (а) Z2 (а)	,
3)	Jj (а + а)= Zo (а) Л (о) + Л (a) Jo (а) - J, (а) Л (а) - /2 (a) (а) +...
2.	Показать, что:
1)	ch (х sin ?) = Zo (*) — 2/2 (х) cos 2<р -f- 2Z4 (х) cos 4? — ...»
2)	sh(x sin ?) = 2Zi (A) sin f — 2Z8(x) sln-3f -}- 2Z6(x) sin 5? —...,
3)	ch (x cos f) = Zo(x) -J- 2Za (x) cos 2f -j- 2Z4 (x) cos 4<p	,
4)	sh (x cos f) = 2Zj (x)cos f + 2ZS(x) cos 3? -|- 2Z6(x) cos 5f -f-...
5)	cos (x ch ?) = Jo (x) — 2J’2 (x) ch 2f 2J4 (x) ch 4? —...,
6)	sin (x ch <f)=2Li (x)ch<p -|-2Zj(x)ch3? 4-2ZB(x)ch5?-|-....
3.	Показать, что
ф	1) cosx=Jo(x) — 2J2'(x) +2J4(x) —...,
2)	slnx=2J1(x) —2J'8(x)-|-2J6(x)—...»
3)	chx = Z0(x) + 2Zs(x)+2Z4(x) + ...,
56
ГЛ. IV. ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
4)	shx = 2Z1(x)4- 2/,(х) + 2ZB(x)4-...,
5)	xcosx = 2 {Л(*)-3»Л(х) + 5Ч(х) —...} .
4 Доказать, что если р. = ? — е sin ?, то	'
. _LdJt । 1—
де1 • е де  ег дц* 1
и отсюда получить выражение Бесселя для у через р.
5. Доказать, что в задаче эллиптического движения радиус-вектор SP
дается равенствами:
1)	a/r=(l— е cos «рр1 = 1^2 {4(f) cos (* + Л(2*)С08 21*+ • • •}>
оо
2)	г/л = 1-|- -у е^—Че — I* (пе) cos («и).
1
6.	Доказать, что
1)	Ко == *4Inх + 4 ^"2* J?r~ “4" ЛН" “б" *4	• • ;
1	1	6-3	2*5	6-7
2)	— Jrlnx— х	2 J14"2.4 Js — 4*6 ^6"t"6.8 —••• +
,	6(4s + 3)	2(4s-F5)
-I- (4S 4- 2) (4s + 4) J4s+3 — (4s + 4) (4s + 6) JM-5 «"•••»
/ 2 , 1 \	3	2-4	,1-3
3)	F2 — ^2 Inx— ( r2 + 2 J— 4 ^2+1^3 Л“Г 2^4^+• • • ~h
,	2s(2s+2) r , (2s-l)(2s+l) r
T(2s—l)(2s+1)	2s(2s + 2)	J^+2“Г• • • ’>
1	5
4)	razziJalnx-S/xe-l/x--^-Л- -yJ3 + ...+
3(4s+l)	4s + 3	_
+ 2 (2s—1) (2s -j-2) Z*+t “ 4s (2s 4-3)	+•••[«— 1Д -.
[Для 1) предположить, что Ko == Jo In x-f-£ся Jrt, подставить в диффе»
ренциальное уравнение и применить рекуррентную формулу; другие фор-
мулы могут быть получены дифференцированием.]
7.	Доказать, что
(^т г гн- V(”+2рИ(*+р) П(т-п)
^2)	— П(т+р)	р!П(т-п—p)yn4-2pW
р-0
8.	Показать, что если	то
«2(1	1	)
х — “J 2 | Л W + "9" Л) fix) 25 Л) (5*) + ‘ • j •
ПРИМЕРЫ
57
9.	Показать, что если п есть целое число, то
Jn (*) = C0Sf C0S = J ***	’ C0S	•
о	0
10.	Показать, что если n—целое положительное число, то
О Yn — Jn\nx — +~2^ + "у 4-.. •+	—
_ Л V	_ V (-1V n+2s J
2 п — з \х )	$!	$(n-|-s) JM-2s*
J” 0	J—1
Замечание. Это есть та форма, в котород функция Yn была впервые
определена Нейманом.
2) Yn~ Л»111*---2’(1+-2‘ + '3’ + -- + "п‘)
1 Vl(« —«—0! (х\~п+* ,
— 2 2j «!	\2/	+
_п + 2_ ,	. п + 4 (п(»+1) ,,	,
+ 2(п+1)	+	"'«4-2 + 4(п + 2) (	2!	“2 * * * J л-М+
। " + 6 /”(”+Р(”+ 2)	,
"гб(п + 3)|	3!	-t-z|</n-|-e-t-•••-(-
n + 2s |п(п+1)...(л + «-1)	,^i9U	_j_
+ 2s(n+s)(	s!	+(—4
11.	Показать, что
Л (%> cos -у ») = 2Л (>) /1 (*) cos (а/2) — 2/, (>) J2 (*) cos (За/2) +
+ 2/, (&) Jg (>) cos (5<x/2) —...
[В IV, (34) положить fc = c]
12.	Доказать, что
1)	1=/2(ж)+24(х) + 24(х) + ...,
2)	x« = 4 {j2(x) + 4/2(x) + 9jf(x)+... } ,
о. „ wtt г, Цп+1) 2	, 2(n + 2)(2n+l) «
3)	x*" = 2»«(n!)»|j; +--j----zn+i+--------21	J»+2~l---+
2 (n + s) (2n + 1) (2n+2)... (2n + s -1) n 1
+	s I	''n+s “T • • -J »
где n — целое положительное число.
(В примере 11 положить = х, разложить обе части в ряд по cos а и
приравнять коэффициенты.]
58
ГЛ. IV. ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
13.	Доказать, что
1)	х= 2Vi + 6ЛУг 4- 10ЛЛ+ • • • + 2 (25-1-1) J, Js+i +...
2)	х«=16 {ЛЛ + 5У2Л-|-14ЛЛ+...+
з(а+1)(2з4-1)	|
•	6	<s-H *+“••• J»
3)	x2””* = 22я“* n !(n—1)! {Л._Л + (2»+1)44+1 4-
(2л4-3)	2п4-5
+	21	(2л)Л»4-1 Лн-2 +”31 (2л) (2л + 1) /л4_2 4+3 + .. .+
(2n + 2^-l)(2n)(2n+l)(2n+2)...(2n+5-2)	]
+	+ • • • J »
где п — целое положительное число.
14.	Показать, что если iq =	+ е* sin 6 есть уравнение кривой, отне-
сенной к косоугольным осям, угол между которыми равен arccotg е» то урав-
нение той же кривой, отнесенное к прямоугольным осям, с осью Ох» сов-
падающей с Об, имеет вид
оО
У = 2 (-1)п+1	Jn И)sln пх-
л—1
15.	Показать, что если х действительно, то
I4WK1-
[Использовать IV, (9).]
ГЛАВА V
ВЫРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ С ПОМОЩЬЮ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
В этой главе будут даны выражения функций Бесселя в виде
определенных и контурных интегралов, а также будут установ-
лены асимптотические разложения для этих функций. Изложение
метода Стокса для получения асимптотических разложений,
представляющего некоторый интерес для физиков, можно найти
в добавлении II.
§ 1. Второй интеграл Бесселя. В предыдущей главе было
дано выражение для Jn(x) в виде определенного интеграла,
верного только для целых положительных п. Бесселю принадле-
жит и другая формула
Л=---------г—ГТ (тУ ( cosс*sinф)(cosrf<P> (О
которая справедлива для
Чтобы это доказать, разложим cos(xsin<₽) по возрастающим
степеням X', тогда интеграл будет равен
я/2 оо
J	v4*?1
О $-0
-5  л+4)= <добавл- ' 14>
о
£ (-1)^ г(5+1)г(п+т)
С2*)1	2Г(п4-$ф1)
s-0
Но
(2s)| = П (s — 1) П (s)	(добавл. I, 23);
х) Если z есть комплексное число, то /?(з) и I (z) обозначают его дей-
ствительную и мнимую части.
60
ГЛ. V. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
поэтому правая часть (1) равна:
(х\п VI (-1^	_ г /
к 2 )	2ton (5)П(« 4- s) ~~ п ( }‘
s-0
В формулу (1) вместо <р подставим у— tp; тогда,
/?(«)> —у. то
2
если
тс/2
(2)
Но
о
тс
1	/ х \п С
= >Gr („+'/,>Ы j cosfxcosTHsm<,)»<«?.
о
тс
J sin (х cos <р) (sin <р)2Л d<p = 0,
(3)
поэтому
(4)
, , ч	1 f х\п Г ±ixcos © , .	.
7"(х)=Г.г(,. + 1/,)Ы р <sm’> *
где ^(п)> —у.
Из этого равенства можно легко вывести следующие фурмулы,
для которых 7?(п)> — у:
(5)
=FW+^>«f“sM(1-5!r'',,i5;
— 1
тс/2
9	/ v \ п (*
,-<х)=Г-.-Г(„+./.)Ы J (cos?)"<*»
о
тс/2
2	/ х\п С
=?a-(.+v.> W J ch (х cos <sin =
о
(6)
(7)
(8)
2 Лг \п Г
о
(9)
§ 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	61
о
— 1
§ 2. Выражение функций Бесселя с помощью контурных
интегралов. Линейное дифференциальное уравнение Лапласа
(az + а')	+ (bz + b') +(cz+С) w — 0	(12)
можно проинтегрировать следующим образом. Положим w =
= J<p(C)eCzdC (С — контур интегрирования) и подставим это
выражение в уравнение (12); тогда
J <? (0	{(аС2 + К. + с) z -4- (а'С2 + М+С)} dr. =• 0.	(13)
Если <р (С) удовлетворяет уравнению
(М2+к+и?(С)=^ {(«;2+^-гс) <р (С)},	(14)
то уравнение (13) будет
j^9(C)dC = 0,	(15)
С
где
e(Q = <p(C)etz(aC24-^+c).
Уравнение (14) дает
(‘«'f+fr'C+c' 
fr\	1 J аС*+М+«	/1£П
TG) —6	•	(16)
Таким образом, j<p(C)eCzdC есть решение уравнения (12), причем
с
контур С выбран так, что 6 (С) принимает свое начальное значение
в конечной точке контура.
Решение уравнения Бесселя. В уравнении Бесселя
-р (-Z2— n2)w = 0
положим w=. znW", оно перейдет в уравнение
zW" + (2п + 1) W’ 4- zW=0.
62
ГЛ. V. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Это уравнение есть частный случай уравнения Лапласа;
поэтому
С (2Я-Ц)С
'p(Q=54-i	(с‘+,) =(С24-1)"-,/’,
W = J eCz(C«+1)Л-*М
с
н
0(С)=№+ 1)п+,/’.
Если теперь С заменить на ZC, то окажется, что
is} —fetec(C8 —	(17)
с
есть решение уравнения Бесселя при условии, что eiA (С8— l)n+‘/j
принимает свое начальное значение в конечной точке контура С.
Выражение для Jn(z). Рассмотрим интеграл
(-1+, +»-)
w = j ?*(<?—1)"M,	(18)
где начальной точкой является 0, а контур (фиг. 2) состоит из
петли, описанной в положительном направлении около точки — 1,
и из петли, описанной в отрицательном направлении около
точки 1 • Пусть начальными аргу-
------------------------------ ментами величин С-|-1 и С—1 будут
Y X. /-------------\ соответственно—2л и л. Первая пет-
। .______\/________ 1 ля увеличивает аргумент С-f" 1 на 2л,
I	/К +1 ] в то время как вторая петля умень-
х. ./ X. J шает аргумент С— 1 на 2л. Аргу-
--	менты величин С -|-1 и С — 1 равны
Ф«г. 2	нулю в точке, где С пересекает ось £
справа от С=1, а конечный и началь-
ный аргументы величины С8 — 1 равны друг другу. Следовательно,
в конечной точке е^(р— i )"-*/« принимает свое начальное значе-
ние, так что “W есть решение уравнения Бесселя.
Теперь в формуле (18) разложим е1Л по степеням z и про-
интегрируем почленно; тогда
J Cs(Ca — 1)Я^'М =
s—0
00 *
= Sw’X-2iCOs(^)B(«+4. s+4) (добавл. I, 16).
s=0
§ 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	бз
Но (2s)| =	-A-) s\l]f к; поэтому
О'=— 2z cos (лтс) Г (я -1) jZk &lz)aJn (z)
и, следовательно,
/п(<г)=^-(1^Гге') (у)" f ei2Z(^— 1)п~'1г(К.	(19)
V ft	\ А /	1	'	4	'
В этом уравнении напишем iz вместо z, тогда
/я(г)=^-г(1^тга)	+j+	(20)
Подставляя в формулы (19) и (20) — z вместо z, получим
,г(4—t ч (-И-.+1-)
Л(з)=<£-	7 (у)" J ^tec(C8-l)n^dC, (21)
Г (4- — в) (-1+.+1-)
/„(z)=^A__^|y j вл(С«-!)—/*«.	(22)
Складывая (19) и (21), (20) и (22), будем иметь
y»(‘z)=i-kyT”7(’J)B ' f cos(X)(C2—l)“-'/s4C, (23)
Г (4--л)	(-1+.+I-)
j ch(X)(C2-l)“-*^C (24)
Каждая из этих формул может быть проверена* разложением
подинтегральной функции по степеням z и почленным интегри-
рованием. Из этих формул при /?(п)>—получаются формулы
§ 1.
Выражение для Kn(z). В формуле (17) заменим z на iz',
тогда
w=^^e-A^-\)a-^a.	(25)
С
есть решение преобразованного уравнения Бесселя
z2wir — (224-л1)®> = 0	(26) >
64
ГЛ. V. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
при условии, что 0(С) = е Й(С2—принимает свое начальное
значение в конечной точке контура С.
Предположим сначала, что z вещественно. Пусть С (фиг. 3)
есть контур с начальной и конечной точкой в бесконечности на
оси В, обходящий точку С=
/Xх*" X.	=—1 в положительном направ-
7/	х.	лении;-пусть далее начальное
/	х.	значение аргумента С2 — 1 равно
I	нулю, и контур С идет так,
I ------р----7?_________t что во всех его точках |С |> 1.
\	* Так как О (С) = 0 в начальной
с\	/	и конечной точке, то интеграл
'v	У	(25) является решением уравне-
-----ния (26).
Фог. з	Теперь в формуле (25) раз-
ложим (С2—1)я-,/‘ по убываю-
щим степеням С и проинтегрируем почленно; тогда
оо	п(и —-J-')
w = zn V (—iy ——у- f rt2”-2"-1 dx, =
£o Il^-y-rjr! J
IT (и	1
111 n — 2 r
= z~n L (— 1Y —-—.—(e** — 1) г (2л — 2r)
г“°	IT (я —2~rJr-
(добавл. 1,8).
Но Г(2n — 2r) = 22n~2r~1 Г (n — г) Г(n + у—rj/Vя; поэтому
w	z~n П (n - -1) (e4ra“ - 1) 22я“’к- 1/2 £} (— 1 У(г/2)2г Г (n—r)/r!=
r—0
=	_ 1) 2"—1 Г(n + -1)	1/2Г00 Г(1 — n)(z) =
= i (еМп+ е',’)2я/кГ(« + 4-)!-n	(27)
Предположим теперь, что /? ^n-|-4^>0 и пусть контур С
деформирован в контур фиг. 4; тогда интегралы по малым окруж-
ностям будут стремиться к 0 вместе с радиусами этих окружно-
стей. Так как начальный аргумент разности С2 — 1 равен нулю,
*то значение (С2—на оси $ вправо от 1^=1 есть (52 — 1)”_,/*5
§ 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
65
когда С описывает верхнюю полуокружность около -|-1, аргумент
(С—1) увеличивается на к.
Так что на оси с между 4-1 н — 1 величина (С’— 1)л-’/2
имеет значение (1—р)“_|/»	когда С описывает малую
окружность около точки— 1, аргумент С—j— 1 увеличивается на 2к,
так что значение (С2—1 )»-*/»
Фиг. 4.
будет (1—£’)" 1,!Хб3(,(” аналогично, после того как точка С
опишет нижнюю половину окружности около точки 1. значение
(С2— 1)"-'/«будет (52 —
Таким образом,
w = (е*™ — 1)	ё~л G2— 1)п-,/» dH +
+ i (e3hen + е‘*п) z" j e~* (1 — ?)”",/2 di =
—1
= (e^n— 1)	e-zE G2 — 1 )”“,/2 di +
1
4- i (e3/”n+eiKn) 2”/^Г (n+Jn (z).	(28)
Из формул (27) и (28) следует, что
= Z^-1T (у)" f е~* G2 - 1)” " “ d\.	(29)
г(п + 1)	J
Положим теперь £ = т|Ц-1, тогда
J (2 4-
г (л + 2 )	о
5 Э. Грей и Г. Б. Метыоз
66
ГЛ. V. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Если положить т| = В/2:, то
(30)
Так как обе части этого равенства голоморфны для
— TC<;arg2r <rt, -г=Н=0*, то формула справедлива во всех точках
этой области при одном только условии, что /? (п4-1/г)>0.
Предположим, что z в формуле (30) действительно и положи-
тельно и пусть z-l~£ = y~za-j-;ri; тогда
Можно показать, что
так что, если а = г? 4- -ц и Ь—-^, то
ГAt —
J	2Vz«4-7)
На основании этого
Kn(z) =—----L----[f	di -
r(^n + Y)(2^J	J
----1 ----L-(*+W) dgfd-4=
H"“2y (2^)” о	о
oO
__ 1	Се-{г*Е*+‘/(«*)) J-2B-1 &
(2г)" J
Заменим здесь 52 на V(2^); тогда


(31)
§ 2. ФУНКЦИИ БЕССИЛЯ И КОНТУРНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
67
И
е г (32)
„ . О
Эти равенства справедливы при условии, что J?(.z)>0.
Из (32) следует, что если R(z) и R(z3) положительны, то
"1е ®(е+2,/е’гя-'Л.
(33)
О
Положим в (31) 5=6*; тогда
СО	со
K„(z)=~ j e~zch	j6T2ChZch(nZ)^.	(34)
—оо	0	*
Эта формула справедлива при /?(,г)>0.
С другой стороны, пусть V„(z) обозначает функцию
00
(2^)nj
о
cos Е d 5
где z вещественно и положительно; тогда
Но	Vn(z)=^^=-JcosWBJe (5*+2,),|iqn '1га-ц = 0	0 =J е"г’Чя_,/‘ d-ц J cos 5 0	0 J е~а*л‘ cos (2bx) dx = 0
поэтому,	если а = У\ и Ь — Чъ, то Vn(z)==^(2z)n J ^{^+‘/(44)} 0
Заменим здесь т, на ц/(2.г), тогда
1 °? “ 4- 2<’i+,/’i> „_1 J
Fn(z) = yje 2 ii”
О
5*
68
ГЛ. V. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Следовательно, на основании формулы (31) Kn(z) = Vn(z) или

(35)
Эта формула справедлива при /?(г)>0 и /?(п)>0.
Положим в (35) S=2sh<p, тогда
/	1 \	°®
Г [ п — ]	л
и=-W2 (I)” J *>	<36>
Г Я \ 'О СП f
Эта формула справедлива для z действительного и положитель-
ного и /?(л)>0.
Выражение для Fn (z). Функция Fn (z) (гл. Ill, § 5) удовлетво-
ряет уравнению:
2®"-J-(/^+I)w'+®’— 0>	(37)
которое является частным случаем уравнения (12); здесь
6(^)==Ся+1е(:г_,/с
И
w —	1 е”1/с ё*
Заменим в последнем равенстве С на 1/С; тогда
w=leg,ce Ч " '<£
( s------с
с\_______* является решением уравнения (37)
при условии, что ezliel~'b~n~t прини-
фаг- 5-	мает равные значения на обоих
концах контура. Пусть С есть кон-
тур, изображенный на фиг. 5. Он начинается и заканчи-
вается в положительной бесконечности оси 6 и обходит начало
координат в положительном направлении. Пусть начальное зна-
чение аргумента С есть нуль. Разложим по возрастающим
степеням z и проинтегрируем почленно; тогда
§ 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 69
e^~n~s~' * = 25^“2я/П- г(-л-«) =
s=0 С	5—0
' 2^ '“S Х+.) • (добавл. 1,8)
s-0
Сравнивая последнее выражение с III (56), подучим, что
j* egKe~z С”~' О. = 2rie ~*lnFn (z).	(38)
с
Из III, (54) следует, что
W={z!2)nFn(z^) = ^-eKin (^-\п Се**> е~'Гп~1^.
с
В этом интеграле заменим С на С/2, тогда
Jn (z) = ± e~nin^ J е-'М-™ Г”-' dC. (39)
С
Эта формула также может быть доказана разложением е,г по
степеням z и почленным интегрированием.
Заменим в формуле (39) С на Се1’; тогда
W =	C-’-*dC,	(40)
с*
где С—контур фиг. 6, начина-	----
ющийся и оканчивающийся в отри-	—Л
дательной бесконечности оси 5, и £/	° )С>
(—те) есть начальное значение аргу-	----у
мента С. Если /?(п)>0, то контур	Фиг. 6.
С можно преобразовать в прямую
линию, параллельную мнимой оси и отстоящую от нее на рас-
стоянии с, где с — положительная постоянная. Тогда можно напи-
сать, ЧТО	c^ooi
,» с	-№-1
J е г-	<41>
Если в формулах (39) и (40) заменить z на iz, то получим
/я (z) =	^-’Мс+зЧС)'. с-“-1 Л _	(42)
= ~ z? J e‘/1(:+g,li) С -Я-,Ж.	(43)
С
70
ГЛ. V. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Отсюда, если /?(п)>0, то
c+coi
Г / X	С J/«K+«*/O r-”-1 Jr	,ллх
W = 2rf J в С	(44)
c—ool
vjifi с—положительная постоянная.
Если /?(z)>0, то заменим в формулах (39), (40), (42) и (43)
на X; тогда
Jn (z) = i е*!я J е-'1,гК~'М Г”-1 X =	(45)
*с
= 2J_p*MC-VC)	(46)
И
/„=^е*1П\ e~'MW} Cn~xdr.=	(47)
С
= Л ( е*М(:+1/с) С-"-1 d£.	(48)
"i
Видоизменение интеграла Бесселя в случае, когда п не
есть целое число. Предположим, что контур С’ в формуле (46)
преобразован в контур, состоящий из 1) вещественной оси от
—со до — 1; 2) окружности |С| = 1, описанной в положительном
направлении, и 3) вещественной оси от —1 до —оо. Тогда
—е*‘П) j Cn-IdC+
*—я
= 4- j cos (n9 — z sin 0) db —	J e~ni-z *	;	(49)
о	0
эта формула справедлива для /?(^)>-0.
§ 3. Асимптотические разложения1). В этом параграфе вна-
чале будет найдено асимптотическое разложение для Ка (z), г
затем из него будут получены соответствующие разложения для
G„(z), J„(?) и In(z).
!) G. A. G1 b s о fl, Proc. Edifl. Math. Soc., 38.
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
71
Формула для остаточного члена в разложении бинома полу-
чается следующим образом:
о
откуда
1
(1 ^z)m= 1 +mz J (1 +zt)m~,di=l + mz[-(l—t)(l+zt)m~1 Ц+
0
+ -(”f~	2(1 — t) (1 + zt)m~2dt =
0
= 1 + ^4- m('”2F1)г2 [- (1 -t)«( 1 + zt)m~2 ]J +
+ ”(”~А)(да—3 (1 — г)2(1 -\-zt)m~3dt+ ...
о!	1
о
Таким образом,
<1+г)“=2^п^нг'+'г-
г-0
где
+2‘)"“'Л
О
при одном только условии, что’ 1 -\-zt не может обращаться
в 0 ни для какого действительного t между 0 и 1. Числа z и т
могут быть комплексными или действительными, причем берется
та ветвь функции	, которая принимает значение 1
при z—0. Указанное условие выполняется для (1 -\-^l(2z))n~'ls>
где 5 действительное и положительное и —к < argz< «, z^=0;
тогда из формулы (30) имеем
Kn(z)=]f^Т(п+1/г) е Z X
zs—1	00	п I /._1_г
хЕягда,^ *+<}=
г-0	о	’
— 1/Z р-2 f 1 Д- 4”2-12 I (4п«-Р)(4Я*-32) _L _|_
Г 2г Г ' l!8z ~г 2!(8г)«	“••• .
'	(s-l)!(8z)^'	+**)’	<5°)
72
ГЛ. V. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где
1
р —
*	5!Г(и + 1/2- s)(2zf J
о
— fcn—Va+s
е В

о
Ряд в формуле (50), рассматриваемый как бесконечный, расхо-
дится. Однако будет показано, что если взять |.г| достаточно
большим, то можно Rs сделать сколь угодно малым, так что
при больших значениях z конечное число членов дает прибли-
женное значение для Кп (z). Разложение такого рода, состоящее
из конечного числа членов и остаточного члена, который может
быть сделан как угодно малым при достаточно большом значе-
нии переменной, называется асимптотическим разложением.
Положим теперь ,z = p(cos<p-]-zsin<p); тогда
1 -Ь-2Г=1 -+--2р (cos ср — z sin ср).
Рассмотрим прежде всего случай, в котором—it/2«Scp<w/2;
так как cos ср >0, то

Выберем $ настолько большим, чтобы было s-f-’/j > R(n)-,
тогда, если n = a-j-z‘P,
п-Че-s
-ф?
2z| е '
где <|» есть аргумент функции 1	5</2г. Но
—«/2<ф<к/2,
поэтому
I/1 । и < «/,« ipi
\ "Г 2zJ
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
73
В соответствии с этим
о

1
X Js(l—г*/-1 dtXe',Km
О
,________________1________________
в!Г (n + -у- — s j (2z)s
i
sir (n 4-1/2 — s) (2zf
e-i r-'h+sdtXe'h«v\
о
X e,/2’c|w
Таким образом, если n действительное и п > — г12, s-^-^l^n
и если z действительное и положительное, то модуль остаточ-
ного члена меньше модуля первого из отброшенных членов.
Рассмотрим теперь случаи:
—	—</2, гс/2<(р<тг;
при этом:
. .	,/7"i & 7
= V 1 + Tcos<?4-^r=
— yf {sin2?+(cosT + -§-y}>|sin(pl-
Если 5 4“ > R (n)> T0
I/	\n—s	git |₽1
I \ + "2г /	< |sin T|i+,/«t-a *
Следовательно, если s	и n = a-|-ip, to
IP к 1 I ГСа-Ь^+д) lj
1 «I h js!F(ra4-i/2 — s)(2z)s|’
где	k — e~если —«/2<<p<«/2,
и  k = IsinTlесли
(51>
Так как K_n{z) = Kn{z), то разложение верно и для п отрица-
тельных.
74
ГЛ. V. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Если —ir<argz<ir, то
так что Kn(z) обращается в 0 в бесконечности при условии,
что
— «/2 < arg z <	.
Асимптотическое разложение для функции Gn(z). Так
= Kn(e~iK12z),
• то асимптотическое разложение функции Ол (z) есть
х
Г (	/(4л® — Р) (4л® — 3») Х| |
V 1 1	(4л8 — р) (4л* — 3®)	(X (4л® — 5») (4п2 — 72)J . J I
•X-L11	2!(8г)® ~г 4!(8г)4	Т
!	(4п» — Р (4л® — 12)(4«2 — 32)(4п2 — 52) (	|1
~rZ( 1!8ж	3! (8г)8
где —it/2<arg.z<3«/2.
Асимптотическое разложение для функции Jn (z). Так как
Jn(zj*)=einVn(z),
то мы можем написать, что
viJn(z) = Gn(z)- eimcGn (zeiic).
Следовательно, если —ir/2<arg.z<«/2, то асимптотическое
разложение для Jn(z) есть
7 7^ —l/Z/l — (4И«~ Р)(4Я2_32) ,
Jn\zf—y «г/1	2!(8г)8 "Г
, (4лг — Р) (4п8 — З8) (4п8 — 51) (4л8 — Л)	) _ (	«	л«\
"+	4!(8г)<	...|СО8^	4	2)
/"2" / 4я» — Р	(4л® — Р) (4л® — 3») (4л® — 5») ,	1 v
118г	3!(8г)®	"Ь • • • j А
(53)
Так как Jn(z) = ein*Jn(ze~hc), то при
«/2<argz<3it/2
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
75
асимптотическое разложение функции Jn(z) будет
4	+. .|cos(г+ *+?}-
.	1/“2"f	— Is	(*»* - р) (4«2 — 3’) (4«2 — 52) I 1ч/
1е Г ‘«I l!8z ~~	3!(8z)»	"»•••/ А
х sin^+~ + -^-j.	(54)
Асимптотическое разложение для функции In (z). Так как
«7„ (z) = e~in'Kn {г) - Кп (ге1*),
то асимптотическое ^разложение -для I„(z) при —л<argz<О
может быть написано в виде
/ лл_ ..-«*+»/,)«	1	, 4тА-У , (4л»-1»)(4л»-3») ,	]
znW—е /itz V-*- l!8z	2!(8z)»	’“•••]+
.	1	-*(.	[4л»-1» , (4л»-1»)(4л»-3»)	Е
[4л»-1»
'	i l!8z Т 2!(8г)»	’’’р |
Отсюда, так как /я (z) == е1"’ In (zeT**) для 0 < arg z< л, следует,
ЧТО
Г(г) = —^==-ег11 —
nV ’	/2«г I
У 2icz I \
4л» — 1» । (4л» — 1»)(4л» — 3»)
l!8z '	2!(8г)«
4л»—1» । (4л» — 1«)(4л« — 3»)
1!8г	'	2! (8г)»
Асимптотические разложения для функций Ьег и bei.
Если 0 < arg z <	, то асимптотическое разложение /0 (z) может
быть написано в виде
I (2\-—L_	|_±±__i_ I-
/2^	1 И8г 2!(82)»^--7~~
— 1 Г _1_1 <1_1_ 1 ।	9	I 75	1	3675	।	\1_
exp|.z-t-m^i-f- &-|- 128га -rjQ24i!!«“T- 32768г4
~ /йй ехр^"I" 8z -I". 16г» "• 384г» "т" 128z4 “Г’* J’
Отсюда если х действительно и положительно, то
/0 (х]7'1) =	expf —-§-4"xM=^+ ~/-~==-
°' г . /2ях	*Д	8 1	/2 ' 8/2х	16ж»
25 14-Z	13 .	\ J ._____. . . .
Жх» Vi 128x4 +♦••)— y2^(cosa + zsina)>
76
ГЛ. V. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
_ X________я______1____1________25_ .
где	а ~~ /Т	8	8 /2х	16x3	384/г^з “Г • • •»
R— Х I 1	25	13
И	Р — Yi "г 8 /2л	384 /2x8	128х<
При этих выражениях для аир получим:
ber х = -r-— cos a, bei x=^=== sin a.	(57)
/2ях	/ 2itx
Аналогично асимптотическое выражение для KQ(z) есть
1/V -2(,	1*	। 14*3’	13.33.5’	|
Ко(2)=У	[1— 1!8« '2!(8ж)2	3! (8л)з + • • •] ’
так что если х действительно и положительно, то
ker х =	^-е8 cos у, kei х =	£-е& sin у,	(58)
_______________ х ____ я ।	1	1	।	25
где	Y— у- д- 8|<2х ~ 16х« ' 384 /2х»	‘’
g_______х______1_ ._____25_______13__,
V2 8/2х”1~384 /2х8	128х< “!"•••
Выражения для т и 8 получены из выражений для аир пере-
меной знака у х.
Функции Бесселя, для которых п ровно половине нечет-
ного числа. Если п равно половине нечетного числа, то ряды (50)
конечные, так что разложение дает точное значение Kn(z).
Таким образом, асимптотические разложения всех бесселевых
функций половинного порядка конечны и дают точные значения
этих функций. Так, например, все выражения для Jn(z) из таб-
лицы на стр. 26 могут быть получены таким способом.
§ 4. Асимптотические выражения для функций Бесселя.
Выше (стр. 78) было показано, что если —«<arg.zO, то
lim/C„(z)	= 1.
Z-^-OO	/ (г IZ J
То, что это равенство справедливо и для argz —доказы-
вается следующим образом:
Если	т0 формула (30)
§ t. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
77
справедлива для z=£0, —rr<arg2:<«, так как обе части равен-
ства голоморфны в этой области. Положим теперь z=xe16, где л;
вещественно и положительно, и преобразуем путь интегрирова-
ния в контур, состоящий из 1) оси Е от О до 2х—е; 2) полу-
окружности с центром в точке 2х и радиуса е, лежащей над
осью 5, и 3) оси Е от 2х-}-е до оо. Тогда интеграл будет голо-
морфной функцией от z при z = xefn. Если 0 = —«, то полу-
окружность берется под осью Е. Так как	> 0, то
интеграл по полуокружности стремится к 0 вместе с е.
Следовательно, если z=xe±l*, то
Прежде всего рассмотрим Ц. Если 0<Е<х, то
о

где	।
о
<1, если аз*3/2,
2(1 —-Др)
\ 2а /2 /
<	а-1/г---есЛИ а<%-
Если а — Д, то последнее неравенство будет
IJLJ < 2 In 2.
Теперь
= f е“5 En~‘/s fl — 2^)n“*'s <#+ К
б	\ x!
78
ГЛ. V. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где
Но
V = j е~* В”-*'* (1 - di.
X
| V| < f е"£ Г"’'8 (1 -	л~'1' (Л',
отсюда по первой теореме о среднем значении имеем
 У| <е~ (,+’)х (1 + 0)а“*/8х“7,/8 j (1 —	0<9< 1,
X
< 14-в) х ^+ч, [ 1 +	1
Х \~2~)	~Т~
а+т
<e-^xxa+'hk,
где k есть конечное число. Таким образом, если х—юс, то этот
интеграл стремится к 0.
С другой стороны,
о
Второй член стремится к 0, когда х -» оо, так как численно
он не больше, чем
1
И-у
2х
о
Следовательно,
оо
о
Рассмотрим теперь /4:
00
Г’Ч
2х
§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
79
Положим здесь Е = 2х(1 + *q); тогда
	141 <e“2x(2x)“+*/’J <T2^(1 4-7))—*/’^-*/’4,1,
или	0 141 <e-(2x)e^ J «-”(1
Отсюда	0 lim/2 = 0.
ж-* со
Из изложенного на стр. 76 следует, что если arg 2=zt я, то
ItaX, (z)l	= 1.	(59)
Так как K-n{z)~K(z), то это верно для всех значений л.
Соответствующие формулы для других бесселевых функций
могут быть получены из формулы (59). Они имеют вид:
lim G„ (z) I / 1А- e-'l,nKi+l (г+,с/Ч = 1,	(60)
где—тг/2 arg z < 3«/2;
lim Jn (z)/11/ cos (z—k/4—n«/2)l = 1,	(61)
£-*OO	/ J/	J
где — ir/2<arg2<0 или 0<argz<«/2;
lim Jn (г) /lie*"* 1/4 cos (z+w/4+««/2)1=1,	(62)
£-*OO I ( Г	J
где w/2<arg^<« или «<argz<3it/2;
' = <63>
где — TC<argz<—«/2 или —it/2<argz<0;
±'”<2>/fee'+e""+'U‘Ffec-}=1’	(M>
где 0<arg.zO/2 или «/2 < argz<«.
80
ГЛ. V. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Обобщение формул асимптотических разложений. Если z
действительно и положительно, то формула (30) может быть
написана в виде
1 д_
(а)
(/?(п+1А)>0).
где путь интегрирования есть прямая, составляющая с осью $
угол <|» при условии, что — ir/2<arg>|> <у. Так как функции
в обеих частях формулы (а) голоморфны для <|»—	arg2:<<|>-|-
—|-тг, zy=0, то, следовательно, равенство справедливо в этой
области.
Разложим теперь (1	по формуле бинома, выражая
остаточный член по формуле, данной на стр. 71. Равенство (9)
добавл. I может быть написано в виде
Г(г)= J
о
(?)
Интеграл взят по тому же пути, как и в формуле (а), при усло-
вии, что /?(г)>0. Применяя теперь (₽) к членам разложения,
мы получим формулу (5), где
00
р —_____________!__________
$! Г(п + 1/2-5)(2жН
о
X1/2 sdt.
о
Положим здесь	тогда

о
и так же, как на стр. 76, можно показать, что

где С есть постоянная.
$ 5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ'ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
81
Таким образом, асимптотическое разложение лля^Кп(г) спра-
ведливо для	;
— 3it/2<^arg^ < Зтг/2.
Следовательно, формула (52) справедлива для — K<argz<2rc,
(53)	— для —w<arg£-<’:.
(54)	— для '0<argz < 2я,
(55)	— для — Зя/2 <, arg z < л/2,
(56)	— для — л/2 < arg z < Зтг/2.
Теоремы этого параграфа являются очевидным следствием
полученных результатов.
§ 5.	Асимптотические выражения для функций Бесселя,
рассматриваемых кай функции их порядков. Из рядов для
Jn (х) и 7„(х) следует, что
Й. ['-и/Нй)]=';	(65)
Теперь (добавл. I), если—rc<arg/l<Tt, то
Следовательно, если х вещественно и положительно и п — Meia>
то
[I J	t х?СО8 “	'
I7» (-*) I I j 2М сов « (м/еуМ cos « е-М« si. «
или
е Jr1* -(67)
где—ir<a<ir.
Функция Кп (х) четная относительно п; если, х действительно
и положительно, то Кп (х) действительно при действительных п,
а следовательно, и при мнимых; таким образом, для четырех
значений n=±p±iq функция /С„(х) имеет один и тот же
модуль.
Пусть 0 < arg «0/2, тогда

6 э. Грей и Г. Б. Метьюз
82
ГЛ. V. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ИЛИ
Пт Kwс68)
л->00 L	/ (	\ х ;' J J
Положим теперь n — is, где 5 действительно и положительно.
Так как
ТО
lim pk (х) /7 е~ы12 sin(i+51° 5 ~ 5 — 5 In (у))}] =1 • <69)
Наконец, так как функция
<? G, a, b) s Jn (Ха) Оп (Xb) - Jn (lb) Gn (Ха)
равна
^77 U.MJ-n(lb)~JnW>)ЛП(М}.
то
lim [T(1,a,S)/{2L((|y_(±y)}] = I,
ИЛИ
lim [<₽ (Л, a, b) I {1 sh («In (f j)}] = 1.	(70)
ПРИМЕРЫ
1.	Доказать, что
те *
О У J cos {г cos (f Н- 0)) df = Jo (г);
те
о
2.	Показать, что если 7?(и-|-1/з)> О и —я/2 < arg z < Зте/2, то
(— 1/«	1 е~ Я«Ч2 + i (2 + х/4) f - i tn - •/, Л .	/»
О
3. Показать, что если 7? (я + х/э) > 0 и — я/2 < arg z < я/2, то
е_„х//2+г(г_я/4) J 5л->/2	Ч‘ di 4
, (2.	1 1	0
Jn(Z}~ /2Й Г(л + */»)	ептЦ2-1 (2-жЦ) J	?я - */= (1 _ ^"_ /г di
о
ПРИМЕРЫ
83
(Положить $ =5 2z ctg f.)
4.	Показать, что если	>0 и — я/2 < arg г <, я/2, то
к/2
№ = е~2гае ’(cos ^'1г (cosec т)2л+'х
y«r(/>+v2)J
Xsin| z — (п —
5.	Показать, что если R	и —s/2 <arg»<s/2, то
Аеiz ? J o"-’/s (1 + e-^dv -f- Ве~1г zn f (1 -	е~*°* dv
о	0
есть решение уравнения Бесселя, и определить Л и В так, чтобы это выра-
жение представляло функцию Jn (z).
6.	Показать, что если 7? (п ^>0 и —я/2 < arg < я/2, то
п
7.	Показать, что
tic	ОО	’
cos (пб + * sin 0)	“ sin пп ^*‘"я0+*sh 1 d9 ,
при rc/2<argz<ff или —ff<argz< — я/2.
8.	Доказать, что если п = Л +	, где k—нуль или целое число, то
4м+Лп(х)
есть целая рациональная функция от х-1, и показать, что
•£»/. + ^/2 — кх;	+ /’/> — Sxf1 + xi)
ОО
2 f* sin
9.	Показать, что Jo (x) z= — J ^==1 dt
00
f e^dk
Из V, (29) 60 (ж) = Ko (— ix) = J . Приравнять мнимые части.
6*
ГЛАВА VI
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
§ 1. Различные интегралы. Определенные интегралы, со-
держащие функции Бесселя, рассматривались многими авторами.
Среди них в особенности следует назвать Вебера, Сонина, Ган-
келя и Гегенбауэра. В этой главе мы рассмотрим,некоторые из
этих интегралов; остальные будут даны в примерах.
Если функцию
гп,
Ьг* 4- 2laz Ц- Ь ’
где п есть нуль или положительное целое чйсло, а и b—ве-
щественные и положительные числа, проинтегрировать по еди-
ничному кругу в комплексной плоскости с центром в начале
координат, то получим
2те	______
f cos nVdV  	( У а2 b* — а
J a — ib cos у	i	b	J
°
Но йЗ формулы IV, (6) имеем	.	' > ‘
Л(а;)=(-=^-я|^СО8’созЛНф.
О
Следовательно, если п есть нуль или положительное целое
число, то
j* e~axJn (bx) dx = f e~“xdx f eibx eos T cos n<₽d<p=
b	ob
= (=£. f cos «<₽ d<₽ J e~(a~ib cos ’> Xdx =
ь 0
__(— i)n Г cosnydy __
я J a — ib cos ?
о
— 1 / ,n
—	» j 
§ 1. РАЗЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
85
Из V, (61), (62) следует, что это равенство справедливо
и для комплексных а и b при условии, что #(а-±ЛЬ) > 0. При
этом берется то значение ]/a2-|-Z»2, которое стремится к а,
когда 0. Теорема: верна даже для п не целого, если только
/?(л)>—1. (См. пример 14 ,в конце главы.) Если л = 0, то
формула (1) принимает вид
J* aXjo(bx)dx—
о
- (2)
Положим а и b в формуле. (1) действительными и положи-
тельными, и пусть 0. Тогда, если п есть нуль или положи-
тельное целое число, то
оо
{ Jn(bx)dx=~
(3)
и, в частности,
1г 00
j/„(x)dx=l.t	(4)
Ниже будет доказано, что равенство (3) справедливо для
R(n)>— 1. Напишем теперь в формуле (1) ai вместо а, тогда
если а и b действительные и положительные, то
f	"Г-	(5)
J	’	Vb* — a* 1*1
о	.	7	.
Если #2>«2, то из (3) следует, что нужно взять положи-
тельное значение ]/д2 — а2; если Ь* < а2, то мы должны по-
ложить
]/7>2 — a* = iVa* — b',
так как при b— 0 этот корень равен ia.
Из формулы (5) получаются результаты Вебера:
ОО
С Jo (bx) cos axdx =	-
о
й2>а3,
(6)
Jo (bx) sin ax dx = 0,
86
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЫ» СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
оо
о
cos ах dx = О,
00
Jj0(^x)sin axdx
о
1
yfl2_*2 ’
(7)

Другой ряд формул получается следующим образом.
Интеграл
/=J xm~xJn (ах) dx
о
сходится, если R(m+«)> 0, R(m) <2 и а действительно и по-
ложительно.
Формула V, (2) дает
00	те/2
I = v~r	 1/ X (тГ f xm+a~ldx f cos(axcos<p)(sin<p)2“d<p
Г « Г (П 1/2> ', / .J	J
при условии, что R(n)>—; меняя порядок интегрирования и при-
меняя формулу (11) из добавл. I, получим
2Г(т4-п)ео»1'Лд + п)Д'г )!л (с0 d
/«Г(п-|-1/г)2яа'в J ' Т/ 1 Y' Y
О
при условии, что R(m-\-nXl; следовательно (добавл. I, 14),
Г (т п) cos 1/2” (« 4* л) Г	)
Но
Г(/п+Л) = к-*'!2'я+я-,Г('^±«)	,
поэтому
„	2—Г №')
f х“ Ч (ах) dx =----- ' ,	(8)
i	«-r(l + ^2.)
где R(m-{- п) >0, ^(тпХу, а действительно и положительно.
§ 1. РАЗЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
87
Формула (3) следует из (8) при т = 1; она справедлива для
Если /п = 0, то
Эта формула справедлива для /?(»)> О и а действительного
и положительного.
Из формулы III, (25) следует, что
2т-Ч
ат 2 sin пк
Заменим в этом равенстве а на ia, тогда
J	(11)
эта ф ормула справедлива для R(m±n) > 0, /?(а)>0.
Далее мы рассмотрим группу интегралов, полученных Вебе-
ром1) с псмсщью весьма простого метода.	___
Пусть V есть однозначная, конечная и непрерывная функция
вместе со своими первыми производными по всем направлениям
во всем пространстве, удовлетворяющая уравнению
т2^_|_Я12у==0
Введем полярные координаты г, 0, <р и положим cos8 = |4
тогда уравнение примет вид
1 (д^9дУ\ I д (п t\ дУ\ f 1 W)	21Z
i) Joum. f."rejne angew. Math., 69.
88
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЫ; СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
4-1 -И
Пусть <B=J J Vd^de, тогда, замечая, что
--1 —Ж
‘.euo
J J т 1^1* \	он ] 1 1—ц2 ду* f
—1 —ж
(dV dV	, ч *
и — однозначные функции), будем иметь
г*дт\ дг)
или, что то же самое,
^(ло) + /п2гш = О.
Отсюда
о» = у (A sin mr+В cos mr),
где А и В не зависят от г. Если функция ш конечна при г = О,
то должно быть В = 0 и
w0 sin mr
w ——,
mr
где «>0 — значение ю при г = 0. Из определения <о ясно, что если
Vq есть значение V при г = 0, то
и поэтому
4-1 +*
4nVn sin mr
(0 =---•-----.
m г
(12)
Рассмотрим теперь V как функцию прямоугольных коорди
нат а, Ь, с и положим
1Л=Ф(а, Ь, с);
кроме того, обозначим
Т Т j ф (й’ь’с)	<<а-л)*+(ь~^+<ez)’ >	dbdc=11
-00—00 —оо
Если введем полярные координаты
а—x=rsin6cos<p,
b—у=r sin 0 sin <р,
с — z = r cos 0, cos 0 = |*,
§ I. РАЗЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
89
то получим
оо	+1 -И
fi = J г*е~р*г* dr J J •J'dy.cty,
О	—1 —я
где Ф' есть преобразованное выражение для Ф.
Используя формулу (12), получим
£1=4“ Фо' С re"*** sin mr dr =
/И u J
откуда окончательно
J J J Ф (a, b, c) e~^ {(e-°’+	+ (c ~z ’*} da db dc=
—00 —00 —00
=	ё~т*^ Ф (x, у,z).	(13)
Предположим теперь, что Ф не зависит от с\ тогда, так как
J е-г>(°-*Г dc._. J ё-**' dt = Vк \р,
—ОО	—СО
ТО
§ J Ф(а,Ь)е~р‘ {<«-*>*+ <»-*>’} dadb = jie~m*i^<b{x,y). (14)
—00 " оо
Уравнение, которому удовлетворяет Ф, есть
д2Ф д2Ф . лж.
Зг+да-+'"!ф=о-
В частности, мы можем положить
Ф —J0(/nr),
где г’ = а2-|-#а, a = rcosO, £=-rsinO, и предположить, что
х =у = 0; тогда после интегрирования по 0 получим
Jr^/0(7nr)dr= ^e~m‘l4p‘.	(15)
О
90	гл. VI. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Более общим образом, полагая
Ф = Jn (тг) (Д cos п9 В sin пО),
x=pcosр, _v —psinP,
получим
е- РгР* ^ге- Рггг J* dr у gW' cos <’ - (A cos л6 _[_ £ sin л0) Й6 =
0	— те
= е~ m>lipi Jn (/пр) (A cos пр 4- Bsin пР).	(16)
В этой формуле положим
Д=1, £ = /, р = ’/2я,
тогда интеграл по 0 будет
+ «	«
j e2p,fr s,n 6 + “w d,9 = 2 j* cos (2ip2pr sin 6 — nt) dt =
= 2к/»/я(2^рг).
После подстановки этого результата в формулу (16) и деления
обеих частей на 2nia е~рг?г получим
Jre~ Jn {mr) In (2/>?рг) dr = ^е~ m',ip' + p,fl Jn (/пр),
или, в более .симметричном виде, заменяя и на 2 и 2/^р на р.,
Jre-'*’/,(Ir)/,,	(17)
о
или, наконец, заменяя на ф, что не влияет на сходимость ин-
теграла,
^re-^4a{lr)Jn{?^	.	(18)
о
При р->0 будем иметь дополнительно
\ra + lep>r,Jn(lr)dr = —(19)
J	л	(2/Я)я + 1
§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ЛОММЕЛЯ 91
Во всех этих формулах вещественные части р* и п должны
быть положительны, чтобы обеспечить сходимость интегралов.
§ 2. Интегралы Ломмеля ’). Если и и v являются решениями
уравнений
S + * Й +	— т2)«=О,	(20)
Й + * Й +	- «’И = °.	(21)
ТО
ъ
<22)
а
Этот результат получается после умножения уравнений (20)
и (21) соответственно на ® и “ , вычитания и интегрирования.
Допустим теперь, что т = п, и положим u—Jn(lx),
= тогда, если /?(п)>—1, будем иметь
(*2 — И’) J xJn (U) Jn(^X)dX=X{ p.Ja (lx) J'n (v-X) — 2Jn (,x) J'n (lx)}.
0
(23)
Положим далее p. = Z4"e, где e мало; тогда
(_ 22* - e2) f xJn (lx) {Jn (lx) + 8 Д Jn (lx) +.. .} dx =
6
=ex [4 (ix) j; (ix)+ixja (ix) j;(ix) - kx {j'n (ix)}’+.. .]•
Разделим это равенство на — 22* и пусть е -*• 0; тогда, если
/? (п) > — 1, получим
jx{j„(ix)}«dx=^[{j;(ix)p-j„(ix)j;(ix)-
о
\х	(^) j =
(1 - X) <4(^)1’] 	<24>
х) Math. Ann., 14.
92
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Аналогично, если ю н <о являются решениями уравнений
х2У' + х>' — (Х2х2 + /п2) у = 0,
(25}
(26)
TO
b
dv	dulb
U—'—V
“	dx L
dv
dx
Следовательно, если R (n) > — 1, to
(27}
(Л« — |i«) J х!п (2х) 1Я (p.x) dx=х (2.1 п (t«c) l'n (2x) —
(28>
т2 — пг
и
а
= -2-[K(W-(l +!&-)(/,,(»*))>] ;
если	(Л—|— i*.)>0, to
(72 — P-2)§*Kn(*x)K„(vjc)dx—x (|*K„(Лх)Kn(px)—
-ЛАГ,(рХ)<(Лх)}
и
Jx {Кп (lX)Ydx=. | (< (Jx)}> - К„ (ix) <(ix)-
=	(! + да) <K«(W]-
С другой стороны, если
u = Ja (ах) Gn (рх) — Jn (рх) Qn (ах),
v=Ja (ay) Gn (fy) — Jn (pj/) Gn (ay),
(29}
(30}
(31)
§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ЛОММЕЛЯ
93
и если и и v рассматривать как функции от р, то
!	(32)
а
И
fB2pdp=_ L—. ,	(33)
dxd?)if_b’ . v™'
а
где а и b действительные и положительные.
Аналогично если а и b действительные и положительные и
и=/„ (ах) Кп (рх) — 1п (рх) Кя (ах),
v=In (ау) Кп (р_У)—/„ (pj) Кп (ау),
ТО
ъ
^uvpdpr=-	(34)
А
b
С 9 л а 1 .( ( д2и	ди ди\)	/QEX
J “ Р ^Р -2х ( Р (И др дх дх ^)}р_ь’	<35)
Другой ряд интегралов получается из формулы (22) при
1=р; например, положим и — Jm (2.x);. v = 7„(Лх); тогда, если
/?(т4-л)>0, то
j 4 (М 4 (>*) т=<4 4 <») - 4 (Ч 4 (Ч1  <“)
а если /?(л)>0, то
j(4(W £=^{4(ч£4(Ч-4'(») ж4 <ч)  (37)
О
Аналогично, если R (т-\-п)>0, то
j 4 (ЗД /. (1х)	(/, (Ч 4 (Ч - 4 (Ч 4 <41. (38)
о .
а если /?(п)>0, то
j {/. (ад} 	= i { 4 (Ч к 4 (Ч - (Ч и 4 (Ч}: (39)
94
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Если /?(Л)>0, то для всех значений т и п
оо
jK <§ **) (^) $=(Ч < (Ч - К. (Ч К'„ (Ч) (40)
и
к- (ч w) • ио
о
Наконец, если а и b действительные и положительные и
« = 1т М Кт (U)- 1т (Лх)Кт (Ха),
v = In (Ха) Кя (Хх) - In (U) Кп (Ха),
ТО
ь
С dx b { du rfv)
<42>
и
L« ± /_£* __
Г X — 2п\дпдх дпдх\г J
*/	V	)л^О
§ 3. Формула сложения Гегенбауэра1). Теоремы сложения
для функций Бесселя могут быть получены с помощью интегра-
лов, содержащих эти функции2).
Рассмотрим преобразованное уравнение Бесселя
х*У ху — (п*	х*) у =± О
и
(44)
(45)
>) Sitz.-ber. Akad. d. Wlss. Wien, 70, II (1874), 13—14.
a) См. H. M. Macdonald» Proc. Lond. Math. Soc., 32.
§ 3. ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ГЕГЕНВАУЭРА
95
Отсюда
дУ Ад.—и —
да*-* а да V а»)у ~
Таким образом, у есть решение уравнения (44) с независи-
мой переменой а вместо х при условии, что функция
_ а	+
о '*( +	с	} j fab\\	....
e(Q— е	“(НТ	(46)
принимает одинаковые значения на обоих концах контура инте-
грирования.
В выражении для у заменим С на —С, тогда одно решение
уравнения (44) с а вместо х будет
+
с
(47)
с
где С есть контур на фиг. 6, стр. 69.
Из симметрии И] относительно а и b следует, что
Ц, = Л/„ (а)/„ (Ь) 4- BI„ (а)1_п (Ь)-\-С1_п (а) /, (*)+D/_, (а)	(Ь).
Предположим теперь, что /?(л)>0; тогда, так как
lim («j/й") конечный, то B~D=Q и аналогично С=0, так что
ut = AJ„(a)Jn(b).
С другой стороны,
lim(«i^”)=—— fe 1	Ч_Я"‘Л,
s^o ' ’ 2Bn(n)J
С
откуда на основании V, (43)
I (а) = I (а).
2”П(л)	' 2я П (и.) яЧ 7
96
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ 6ЕССЕЛЯ
Таким образом,
И1^=2к//п(д)/п(^).	(48)
Обе части равенства голоморфны относительно п, следовательно,
тождество справедливо для всех значений п. г
Заменим в формуле (48) а и b на ia и ib; тогда
1г +	!
р ‘ \^=2*iJn(a)Jn(b).	(49)
, с
Теорема сложения для функции Ja. Если
— 2aZ>cos9, то из .V, (40) следует, что
W______1_ f •/, (С - ««/о г- п-а.йг __
В» ~2zl}e	а' —
с
I/ (г — да b* \ а&’cos 0
‘	* 1 Г-(50)
. с
Теперь из разложения Сонина IV, (18) имеем
e(abcose)/C = ^« П(л_ 1}	(л + /?)с;(соз9)2„.+ л(^ , (51)
р-0	 ,
причем Лу=0. Для л = 0, по IV, (19),
e(e*c“’W<=/o^_p2 Jl	(52)
' p-i
Если ряды (51) и (52) подставить в формулу (50), проинте-
грировать почленно и использовать равенство (49), то для п=£0
получим
= (Л)"п S(n + pyc-fwlyj,, +р(4), (53)
р-0
и то время как для п = 0
'	' I
/о W) - л m (*) 4- 2 J] cos р о Jp (a) Jp(b).	(54)
§ 3. ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ГЕГЕНБДУЭРА
97
Заменяя в этом равенстве а и b на ia и ib, получим
Т	/ 9 \ Я
-£4= з) п<я-1)2(-1Г(»+/')с;(с<ме)/,+,(а)/п+/,(»)
(55)
и
оо
4 (₽)=/о («) 4 (*) + 2 2 (-1Г COS р 9/, (а) 1р (Ь).	(56)
р-1
С другой стороны, положим
00	/., а* + 4*\
„ _f “л(с + ——),
и2 — I £	п I t ) t —
=Л/я(а)/„(^)+В/„(а)7_л(^)+С/_я(а)/в(д)+П^я(а)/^я(^)
и допустим, что Ь вещественно и положительно; для того
чтобы выполнялось условие (46), величина 7?{(а±д)2} должна
быть положительна. Пусть а — В-1- /ц, тогда это условие может
быть записано в виде (BztZ»)a>n8. Оно удовлетворяется, если
точка (В, т)) или а лежит внутри квадрата, образованного че-
тырьмя прямыми
Ъ±Ь — ztiq.
Исследуя значение Ит{и2/а“}, увидим, что C=D = 0; но
а->0
о
откуда на основании IV (33)
2f"W — -J—{AIn(b) + BI n(b)}.
2“П(л)	2“П(л) ‘ nV ’	Н
Таким образом, если b действительно и положительно и если
|а|<^/)/2, то
°° _./,(с + *+»!Л	. ....
Je I с ^„(т)т = 2^(^)/я(а).	(57)
Теорема сложения для функции Кп. На основании фор-
мулы V (33) имеем
00	.. /. , а* 4- ft*— 2ab cos 6\
_ 1 f “ '‘V+------с-----)	.
-^Г—2}е	<Я+1 ’
О
Э. Грей и Г. Б. Метьюз
98
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЫ. СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
так как	то можно J) подставить вместо величины
е—2a»cose/c ее значение в виде ряда и проинтегрировать по-
членно, как_это было сделано в предыдущем случае.
Таким образом, если n^=Q, то
=(э)" П (” -1 >2 <"+<cos ’) К. + , ОТ 1. + , ОТ- (58)
р-гО
Но этот ряд сходится так же, как ряд 2^созв)(|)в+\
поэтому (см. гл. IV, §’ 2) теорема справедлива, если только
Аналогично, если | a j < | b |, то
tf0(₽)=/0(aK0(*)+2j] cosp9//a)^ (b).	(59)
p-i
Предлагаем читателю доказать, что если |а|<|£|, то
=(»»)"п <» -1 > 2 <"+W 'v(cos ’> °- +, ОТ J- + ,<“>• (60)
р-0
ад)=-4(й)Оо(^) + 2 J cos pOJp(a)Gp(b), (61)
р-0
-”R4-=(»-1 >2 (»+р)с: (“s «> д+, (») 4+, и. (б2>
р-0
Y0(R)=J0(a) Y0(b) + 2 J cospfl Jp(a) Yp(b).	(63)
p-i
ПРИМЕРЫ
1.	Показать, что для значений а н Ь, для которых интеграл суще-
ствует, будет
f'-/sP4--— !ab\dt
У k 1 Kn\^jy=2Kn(a)Kn(b).
о
1) См. В г о m wj с h, Inf. Series. § 176b.
ПРИМЕРЫ
99
2.	Показать, что если I?2 = а2 + cos 9, то
/«/. w=S(ге+1/а) Рп (cos 0) Jn+4t (в) 7я+,/’(i)>
л—О
и что если |д|<[д], то
Л/, (Я) - у 2 <" + V2) Рп (cos в) J„+./s (а) Ка+11, (*)•
л-=0
3.	Доказать, что если и^>0 и я = 0, 1, 2.то
оо
J е~~х sh а Jn (х) dx = e~ntt sch и.
о
4.	Показать, что если х вещественное и положительное, то
О
[Из V, (35) и VI, (2) получаем
00	)	00	00
Ко (х) = f -7==== = Ceos 5 rfg	Jo (tx) dt;
J у С2 4“ x2 J	J
=	00	0
далее нужно изменить порядок интегрирования.]
5. Показать, чуо если[ R {а ± lb) > 0, то
; оо *
У^Со (я*) cos bxdx = у я (я2 +	s
о	1
(Подставить вместо К^(ах) его значение из примера 4 и изменить порядок
интегрирования.)
6.	Показать, что
je-ахAi(bx)dx =	arctg^аТ.д? =	(&><»)
= (д« — ЬУ'1* Arth ^Д2Д~ Ь*	(><«)•
7.	Доказать, что если R(a ±Jb)^O, то
00	Ь^
J^o(ax)4y(ftx)rfx.= (a» + *2)-1/*y Т» *’ а» -Н») *
о
(Разложить Jj(dx) ряд и применить формулу VI, (11) и добавл. I, (33)»)
7»	'	' J '	’
100 ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЫ. СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
8.	Показать, что если R(a ± 2ib)^0, то
оо
о
(Использовать пример 8 гл. II.)
9. Доказать, что если R(a + Zd)>0, j?(m + n)>0t | а | > [ b |, то
^e~axJn (bx) хт “1 dx = 2пат+л П (п) X
о
rfm + n m + n+1 wii bl\
Х/Д 2 ’	2	’ л + *’ ““ аау *
(Разложить Jn(bx) в ряд и проинтегрировать почленно.)
10. Показать, что если /?(а + /^)>0, R(2n -|- 1)> 0, то
j*~ ах Jn (М *п dx =	Г (п 4- V1) (2*)л (а» + ft»)-»-*/’-
о
11. Показать, что если R(a ±Zfc)>0, /?(2п)>0, то
00
^e-^J^bx^Ulxxx^ Г (п + «/,) а (2ЬУ (л« + &«)-»-•/«.
О
12. Показать, что если а действительно и положительно и R(n)>—1,
то
р	1 ( /п—1\ , /2\)
J Jn (ах) in х dx = — |ф ( —2~) + la	.
(Продифференцировать VI, (8) по т и положить 1.)
13. Показать, что
00
^-*F9(x)dx= 1.
О
(Применить VI, (15).)
14. Доказать, что если R (а + lb) > 0, /?(и)>—1> то
Г ------------1---гу^грз-d»
J*	J»^x)ax —	ь J ’
о
в вывести, что если л>1, l?(n)>—1, то
О
[& примере 9 положить ш=1 и применить добавл. I, (35).]
ПРИМЕРЫ
101
15.	Показать, что если а>1, /?(л)>— 1, то
г	1
J е±1вя Jn (х) dx = г± <“+”	-1 {д _ y^sZH}”.
О
Вывести, что если а>1, 7?(л)> — 1, то
00
У«7Л (х) cos ах dx = — sin упп -у—	{а —	— 1}я ,
в то время как при а > 1, R (л) > — 2
оо
Jj„ (х) sin ах dx = cos у пп у а,_ t {л — Ка»^Т}п.
(Второй интеграл примера 14 взять по прямому углу, сторонами которого
являются положительная действительная ось и положительная или отрица-
тельная мнимая ось.)
16.	Показать, что если — 1 <а< 1, — 1 < R(n)<^ 1, то
оо
1	(•	, v л л те cos (п arc sin а)
cos у ПК J Кп (X) ch ах dx = у —р—-=у=—.
О
[Разложить ch ах в ряд и применить формулы VI, (И) и добавл. I, (39).]
17.	Показать, что если — 1 <а < 1, — 1 < /? (л)< 1, то
00
.	1	к .	« СОЗ (п arc sin а)
in-icos у лте I Gn (х) cos axdxz=~2--уГр^а*— ’
18.	Показать, что если — 1 <а< 1, — 2 < (л)< 2, то:
оо
If	те sin (л arc sin а)
1)	sin y m I Кп (х) sh ах dx = у-,
О
со
1	х ,	те sin (л arc sin а)
2)	Z*-2 sin ~2 пк J Gn (х) sin ах dx = g-р===-.
о
19.	Доказать, что если —1<а<1> 7?(л)>— 2, то
•со< .
f	sin (л arc sin а)
J Jn (*) «in ax dx = -y—£5— •
0
(В примере 18, (2) умножить обе части на /~л и приравнять мнимые части.)
2Й. Показать, что если — 1 <а< 1, /?(л)>— 1, То
*00
f t	cos (л arc sin a)
I Jn (x) sin ax dx =-yy—.
о
102
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
21.	Показать, что если — 1 ^.а	1, — 1 < /?(я)<С 1, то
00
1	, shtfx J я sin (л arc sin а)
cos Y m | Kn (x)	dx = ~2--------.
6
(В примере 16 проинтегрировать по a.)
22.	Показать, что если — 1	1, — 1</?(л)<1, то
оо
1	1 С- , sinox , я sin (п arc sin а)
in 'созуля\Gn(x)——dx=-2—~
О
Доказать, что если —l^a^l, /?(«)>—1, то
оо
, ч sin ах . sin (п arc sin а)
M-^-dx=--------------------.
о
23.	Доказать, что если —l^a^l, /?(и)>0, то
оо
, cos ar cos (a arc sin a)
4(х)-ПГ" dx~---------n-----•
0
(В примере 19 проинтегрировать по a.)
24.	Показать, что’если a^l, 7?(и)>0, то
f, созлх соз4пя ___________________
) Jn W —-Ц- dx =--------{а -	.
О
(Проинтегрировать третье равенство примера 15 по а.)
25.	Показать, что если a^l, R(n)>—1, то
1
sin-7 ля ___________________________________
-	2 (Д-ГД»-11Я.
п
о
26.	Доказать, что
00
Го (г) dx = In 2 — 7.
о
(Проинтегрировать 6о(*) по прямоугольнику	М9 Х—+М с вы
ключенным началом и положить оо.)
27.	Показать, что если х>а, то:
“sin(fl>.)Jb(Xx)rfX _ shfea
’) 1	+	~ k.
* *
о
оо
Г... sin ах
J4C*)—~ах
ПРИМЕРЫ
103
(Проинтегоировать sin аХО0 (Хх)/(Л2 X2) и 1 cos aYG^ (Хх)/ (£2 + 1’) по контуру
примера 26.)
28.	Показать, что если я>0, —а<х<а, то
°fcos(al)J0(U) _ к_ e~ka
О J	™—2 k
о
2) ,.fa,Q(^
о
(Проинтегрировать eia*
примера 26.)
29. Доказать, что
Jo (М / (# + X*) и Х*/аХ Л (Хх) / (£2 + *2) по контуру
Л (x)J^(ax)dxz=z
(^<0.
(а’>1).
2’Г
(Для а*>1 и аа<1 положить J^x)-— I Sin (х sin 6) sin 8	[(IV) 9*] и из-
0
менять порядок интегрирования; для я* = 1 положить Ji(x) = —J0'(x).)
ГЛАВА УП
КОРНИ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
§ 1. Теоремы о корнях функций Бесселя. Теорема I.
Если у есть решение линейного дифференциального уравнения
ay"-\-by'-[-cy=Q,	(1)
где а, Ь, с—голоморфные функции от х, то функция у не
может иметь кратных корней, за исключением тех значе-
ний х, для которых а=0.
Действительно, если у имеет кратный корень, то _у = 0 и
У = 0; из уравнения (1) следует, что если а не равно нулю,
то у* должно быть нулем. Продифференцируем уравнение (1),
тогда увидим, что у"'=0; продолжая таким образом далее,
увидим, что все производные от у должны обращаться в нуль
и, следовательно, по теореме Тэйлора, _у = 0. На основании
этой теоремы функция Fn(x) не может иметь кратных корней,
за исключением п отрицательного целого числа, меньшего — 1,
при котором Fn(x) имеет кратный корень в точке х = 0; поэтому
функции Бесселя и видоизмененные функции Бесселя не имеют
кратных корней, за исключением, может быть, корня х = 0.
Так как функции /я(х) и axJn(x)-\-bJn (х) удовлетворяют
линейным дифференциальным уравнениям второго порядка’), то,
следовательно, они также не имеют кратных корней, за исклю-
чением, может быть, корня х = 0.
Следствие. Функции Jn(x) и /я (х) не имеют общих
корней, за исключением, может быть, корня х=0.
Замечание. Если п есть действительное число, а а —
положительный действительный корень функции J„(x), то из
того, что х~п J„(x) есть четная функция от х, следует, что—а
также является корнем Jn(x). Это очевидно верно и для функ-
ций/я(х) и axJ^(x)-\-bJ„(x).
1) Этими уравнениями являются:
х» (х» — п*)у" + х (х* — Зп«)У 4- {(ж» — п2)’ — (х* + п2)) у = О
и
х2 {д* (х* — д2) + *»} У' — X {а* (X» + п») — Ь*} у 4-
4- {д’ (х2 — п’)’ 4- 2д*х« 4- 6’ (х» — я’)} у = 0.
§ 1, ТЕОРЕМЫ О КОРНЯХ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ Ю5
Теорема II. Два линейно независимых интеграла урав-
нения (1) не могут оба обращаться в нуль для такого зна-
чения х, для которого а^=0.
Эта теорема, которая верна для всех линейных дифферен-
циальных уравнений, может быть доказана для бесселевых
функций с помощью соотношения [III. (41)]
PQ'—PQ=C/x.
Действительно, если Р и Q оба обращаются в нуль для
не нулевого значения х, то С = 0. Но если это так, то Р
равно постоянной, умноженной на Q, так что Р и Q не линейно
независимы.
Теорема III1). Пусть коэффициенты а, Ь, св уравне-
нии (1) вещественные и непрерывные функции от х в про-
межутке (а, ₽). и а не обращается в нуль в этом проме-
жутке', тогда, если и у2—два линейно независимых
интеграла уравнения (1) и х0 и Xt — два последовательных
корня ух внутри промежутка (а, 0), то существует один и
цуолько один корень у2 внутри промежутка (х0, хг).
Пусть у2 = иуг; продифференцировав у2 и подставив в (1), по-
лучим
2au,yj аи'Ух -|- Ьи'ух = О,
так что
X
с
и'= у* е *
Отсюда следует, что и всегда изменяется монотонно, когда
х возрастает от х0 до х,. Но и обращается в оо при Х — Ха
и х = хг, следовательно, и постоянно возрастает от —оо до
—оо или постоянно убывает от -|-оо до —оо. Таким образом,
у2 обращается в нуль один и только один раз внутри проме-
жутка (Хо, X]).
Например, для вещественного п между двумя последова-
тельными положительными или отрицательными корнями функ-
ции Jn(x) лежит один и только один корень Yn(x).
Теорема IV. Функции Fn(x) и Fn+x(x) не могут иметь
общих корней, за исключением, возможно, корня x — Q.
Действительно, если они имеют общий корень, то из того,
что F'n-=— Fn^v следует, что Fn имеет двойной корень, что
невозможно.
1) См. Гур с а, Курс математического анализа, т. II, Москва, 1936,
стр. 372.
106
ГЛ. VII. КОРНИ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Из этой теоремы следует, что Jn и Jn¥l не могут иметь
общих корней, за исключением, возможно, корня х = 0. Это
также может быть показано прямо с помощью формулы
4 П^п!х —	4+р
ибо, если Jn и /я+, имеют общий корень, то Jn и 4 тоже будут
иметь общий корень.
Соответствующие теоремы могут быть доказаны и для дру-
гих функций Бесселя, а также для видоизмененных бесселевых
функций.
Теорема V. Если п есть действительное кисло, то
между каждыми двумя последовательными действитель-
ными корнями функции x~nJn лежит один и только один
корень функции x~nJn+i.
Действительно, по формуле II, (24) имеем
{* ”4} = —х " 4+1 •
Так как x~nJn и х~п /я+1— непрерывные функции, то из тео-
ремы Ролля следует, что между каждыми двумя последова-
тельными вещественными корнями функции x~nJn лежит по
крайней мере один корень функции х~"4+р
Аналогично, так как, согласно формуле II, (25),
между каждыми двумя последовательными корнями функции
х"+,/я+, имеется по крайней мере один корень функции
*”+,4-
Это доказательство несправедливо для корней zt 5 функции
x~nJn, наименьших по численной величине. Но тогда теорема
доказывается так: 0 есть корень функции х~п 4+р а если
имеется какой-либо другой положительный корень той же функ-
ции x~nJtt+l , например В,<£, то функция х"+' Jn будет иметь
корень между 0 и 5,; это противоречит предположению, что
х"—1 Jn не имеет корней между 0 и
Теорема VI. Если п есть действительное число, боль-
шее — 1, то функция Jn (х) не может иметь комплексных
корней.
§ 1. ТЕОРЕМЫ О КОРНЯХ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ	107
Действительно, если p-\-iq есть корень функции Jn(x), то
р—iq также должно быть корнем. Если же p-\-iq и p—iq
подставить вместо Я и а в формулу VI, (23), то получим
1
JxJn *} Jn \kp—iq)x} dx= 0.
0
Ho Jn {(p+ *<?)*} и Jn {(p—iq)x} представляют собой комплекс-
ные сопряженные числа, поэтому подинтегральное выражение
положительно, интеграл не может быть равен нулю, и теорема
доказана.
Аналогично из формулы VI, (30) можно вывести, что если п
есть какое-нибудь действительное число, то функция Кп(х) не
может иметь комплексный корень с положительной действи-
тельной частью.
Теорема VII. Если п действительное и больше — 1, то
функция Jn (х) не может иметь чисто мнимых корней.
^Если функция Jn(x) имеет мнимый корень, то он будет
вещественным корнем функции /л(х); но из разложения функции
/л(х) видно, что ни одно действительное значение х не может
обратить ее в нуль.
Теорема VIII. Если п есть действительное число, то
функция Кп(х) не может обратиться в нуль ни для одного
положительного значения х.
Это очевидно из формул V, (30) и III, (15).
Теорема IX. Если п есть действительное число, то
функция Gn(x) не имеет вещественных корней.
Предположим сначала, что п не 'целое, тогда если Gn (х) =0,
то из формулы III, (25) следует
’ J-„(x)-e~inVn(x) = Q.
Но так как п не целое, то е~,п* комплексное, и потому обе
функции J„(x) и Z_„(x) должны обратиться в нуль, что про-
тиворечит теореме II.	%
С другой стороны, если п есть целое положительное число,
то из формулы III, (26), если Ол(х) = 0, следует, что функции
Ул(х) и /л(х) обе должны равняться нулю, что невозможно.
Таким образом, при п вещественном G„(x) действительно не
имеет вещественных корней.
Следствие. Если п вещественное, то Кп(х) не может
иметь чисто мнимых корней.
Теорема X. Если п действительное, то величина
Jn(ax)Gn(bx) — Jn(bx)Gn(ax), где а и Ь действительные и
положительные, является четной однородной функцией от
х, все корни которой действительные и простые.
108
ГЛ. VII. КОРНИ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
То, что рассматриваемая величина есть функция однородная
и четная, можно показать, выражая Gn через Jn и J Для
того чтобы показать, что она не имеет комплексных корней,
подставим в формулу VI, (32) p-\-iq и р—iq вместо х и у.
Предположим, что x—iq есть мнимый корень этой функ-
ции; тогда
1пШ1п(ЬЧ)=Кп{ая)1Ка(Ьд).
Но если п>0 и £>0, то из разложения для 1п видно, что
Ia(aq)/In(bq)>L
Из формулы V, (30) видно, что если л>0, то
Следовательно, если п>0, то функция
Jn (ах) Оп (ох)—Jn(bx)Gn (ах) не может иметь мнимых корней. Но эта
функция четная относительно п, следовательно, она не может
иметь мнимых корней, если п действительно. Наконец, чтобы
доказать, что эта функция не имеет кратных корней, рассмотрим
уравнение (33) гл. VI. Для кратного корня правая часть равна
0, а интеграл в левой части положителен. Таким образом, все
корни простые.
Теорема XI. Если п действительно и больше — 1, то
функция Jn(x) не может иметь комплексных корней.
Если l = p-\-iq есть комплексный корень функции J'n(x), то
— iq также будет корнем; теперь из VI, (23) следует
1
^xJn(Xx)In(^x)dx=Q,
что невозможно, так как выражение Jn (lx) Jn (рх), как произве-
дение двух комплексных сопряженных величин, положительно.
Эта теорема справедлива также для функции axJn (х) +
-\-bJn(x). Действительно, если l = p-\-iq и р = р—iq являются
корнями, то имеем
a4'W+4W=o,
a?Jfa) + bJn(v-)==0;
исключая из этих двух уравнений а и Ь, мы должны иметь
pAP)<W-4(p) ra(i) = Q.
Но тогда на основании формулы VI, (23) должно быть
1
jxJ„(ix)J„(px)dx=0,
о
что невозможно.
§ 1. ТЕОРЕМЫ О КОРНЯХ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ	109
Теорема XII. Если п действительно и больше или равно
нулю, то J‘n (х) не может иметь мнимых корней.
Если бы функция J'n(x) имела мнимый корень, то/я (1) об-
ращалась бы в нуль для Л действительного, не равного нулю.
Но, согласно формуле III, (4),
л-»+’ /; (г)=i-n {ni„ w+4+1 (Л)}.
Оба члена правой части положительны, если Л действительное
и не равно нулю. Поэтому Л“пИне обращается в нуль.
Аналогично, если а и b положительны и если п действи-
тельно и>0, то выражение axJ’n (х) bJn (х) не имеет мнимых
корней.
Теорема ХШ. Если п действительно и больше или равно
нулю, a aub являются двумя наименьшими положительными
корнями функций Ja(x) и /я(х), то
Так как функция Jn(x) положительна при х, возрастающем
от нуля, то Jn(b) есть первый максимум, а из этого следует,
что Ja (b) положительно, Jn (b) =0, a /я" (b) отрицательно. Но,
согласно уравнению Бесселя,
^(w-адм
так что Z>2>»2. Отсюда Ь^>п и, следовательно,
Если » = 0, то <z>Z> = 0.
Теорема XIV. Если п действительной больше или равно
нулю, то между двумя последовательными корнями функ-
ции Jn(x) лежит один и только один корень
По теореме Ролля в указанном промежутке наверное имеется
хотя бы один корень функции /я(х). Если бы корней было
больше, чем один, то их должно быть по крайней мере три; но
это невозможно, так как хотя бы для одного из них, например
Ь, функции /я"(Ь) и Ja(b) имели бы одинаковый знак, из урав-
нения же Бесселя видно, что это невозможно, так как #2>л2.
Эта теорема может быть доказана также с помощью при-
мера 3, помеченного в конце главы. Действительно,
/ М = — JL___У J 1	।	1 I
Лх | J„ J х» £* |(х— х^)’ ' (x-Hs)2 J’
так что Jn /Jn постоянно убывает от-}-оодо— оо, ко гда х
возрастает между двумя последовательными корнями.
по
ГЛ. VII. КОРНИ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Следствие. Между двумя последовательными корнями
функции Jn(x) лежит один и только один корень выраже-
ния aJ'n(x)-\-bJn(x). Действительно, отношение J'nIJn прини-
мает в интервале между двумя корнями функции Jn (х) значе-
ние— Ь]а один и только один раз.
Теорема XV. Если п вещественное и больше или равно
нулю, то между двумя последовательными положительными
корнями функции Jn(x) лежит один и только один корень
функции axJn(x)-\-bJn(x).
Еелй^+(1-^)^,тоА(^.) = _г.
\	/	\ " / Jn
Отсюда следует, что между двумя последовательными по-
ложительными корнями функции Jn, например р и q,
d (xJ' \
-j- -А) отрицательно, так как л. Следовательно, функ-
ах \ Jn J
ция xJ„'/J„ постоянно убывает от-]-оодо — оо, когда х возра-
стает от р до q, и поэтому она принимает какое-нибудь значе-
ние один и только один раз. Соответственно уравнение
axJ„'(x)-j-Z>J„(x)=O
имеет один и только один корень в промежутке (р, q).
С другой стороны,
4- (х2у) = 2х/,
так что если х положительно, х2у является возрастающей
функцией. Но если л>0, то х2у = 0 при х = 0; следовательно,
х2у>0 для х>0. Соответственно, если ₽ есть наименьший
положительный корень функции Jn(x), то -Д отрицательно
ах \ Jn /
xJ'	»
для 0<х<р. Но lim -г^—п, следовательно, xJn ]Jn убывает от п
х->0 •’«
до — оо, когда х возрастает от 0 до р.
Эта теорема может быть доказана с помощью примера 3,
так как
dx\ln\ $*'
I
§ 2. Корни функции J„(x). В этом параграфе будет дока-
зано, что функция /л(х), где п действительное, имеет беско-
§ 2, КОРНИ ФУНКЦИИ
111
нечное число вещественных корней. Метод, применяемый
здесь, принадлежит Бесселю1), который дал его для случая
л=0.	>
Из формулы V, (6) имеем
J- «=(Шcos w <’ - рГ'Ч
О
Прежде всего предположим, что —I- <	4- • Возьмем X—
£ £
=	где т есть нуль или положительное целое число;
тогда, если —	то
Ул(/пте + 1/2я) =
2и,+1
2 (х\п С	ч (. iqa	)»-*/» __£П_ 
—	Г(п-|-1/2) \ 2 / J cos(/2irn)[l (2m+l)2j	2m4-l
где
2r+l	n--L
“/=(—O' J COS С/г’И&р —<(2лД 1)Л	" 2m 4-1 =
2r-J
—	f cos (’I mA f 1 — ^ + 2r>21л~'/г drl
—	j COS(/2«T|)|1	(2«-t-l)2J 2m-f-l 
—I
Теперь видно, что каждая из величин иг положительна, а так
как n<Z'lt, то иг<^цг+у поэтому /„(лиг-)-1^) положительно
или отрицательно, в зависимости от того, четное т или нечет-
ное. Следовательно, когда х возрастает от (г — ’/2)1г до
(г + ’/г)”. то функция Jn(x) меняет знак и должна поэтому
обращаться в нуль для некоторого значения х из этого про-
межутка. Более того, из формулы, данной в гл. II, § 5, видно,
что функции	и Jtjt(x) также имеют бесконечное число
действительных корней. Поэтому, если —, то Jn(x)
имеет бесконечное число действительных положительных кор-
ней; отрицательные корни равны, но противоположны по знаку
положительным корням.
Из теоремы V предыдущего параграфа следует, что эта
теорема верна для всех действительных значений п.
*) Berlin. Abhandlungen (1824), Art. 14.
112
ГЛ. VII. КОРНИ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
То, что функция Ja(x) имеет бесконечное число действи-
тельных корней, может быть также выведено из асимптотиче-
ского разложения V, (53). Действительно, если x = mir-p/4«4"
где т—целое число, то первый член разложения есть
у — cos тк, и для достаточно больших значении т этот член
определяет знак Jn(x). Поэтому между двумя достаточно большими
последовательными значениями т функция Ja(x) меняет знак, так
что в этом промежутке должен быть по крайней мере один корень.
Аналогичное доказательство применимо к таким функциям,
как ¥„(х) и axJ^x) + bJn(x).
Так как при х->со
Л(Х)^У^ Acosfx——
то, очевидно, достаточно большие по абсолютной величине поло-
жительные корни функции J„ (х) приближенно определяются с
помощью выражения
где k есть большое положительное целое число. Отрицатель-
ные корни равны по абсолютной величине положительным
корням.
В качестве примера, показывающего степень приближения,
предположим, что п = 0 и k = 9; тогда
(k -|-3/4) « = 30,6305...,
точное же значение соответствующего корня есть 30,6346...
Метод Стокса определения корней функции Jn(x). Наи-
лучшим практическим методом определения корней является
метод Стокса1), опирающийся на асимптотическое разложение
функции Jn(x).
Положим для определенности п — 0. Тогда для больших
значений х имеем приближенно
Jo (х) = —	cos [х—y)	Q Sln Iх—те/4)} >
где
р_1	1*-3»	1*.3*«5»«7а
И—1	2!(8ж)»“г	4!(8х)<
п_ 1	Р-3*.5» , 12.3*.5».7».9»
— 8х	3!(8хЯ "г 5!(8хр
9 Camb. Phil. Trans., 9 (1856), 182.
§ 2. КОРНИ ФУНКЦИИ
113
Положим
P=Afcos<[>, Q=Afsin<[>;
тогда
Af=yp2-|-Q2 , ф = arc tg £ .
Подставляя сюда разложения для Р и Q, мы получим следую-
щие асимптотические разложения:
....
16х» 1 512х*	’
. .fl 33 .	3417
ф_ arc tg ( 8х 512дз + 16 3^*5
(2)
Значение J0(x) (приближенно) равно
л*008 (Х~Т“♦)•	(3)
&но обращается в нуль при 'х = (Л—’/^тг-ф-ф, где Л есть целое
число.
Обозначим временно <р = (£—!/4)1г; тогда нам нужно будет
решить трансцендентное относительно х уравнение
। ж ( 1 зз .	3416	\
х — <p + arctg ^8д.	5i2X8 + 16384x5	•••_)
в предположении, что ср и х оба велики.
Положим	—1““Ь+ • • •. тогда с помощью
степенного, ряда для арктангенса будем иметь	;
•	•	« (рЗ I <рб •
, .1 / 1 а ,	\	33/1	\ .	J
?а '"’J 512 \<р»	..J-Г..-
 ; ;>	 •	3-512 <рЗ . J “•••>
' 1-31	’ : •
откуда a = -g-,	и т. д.	;
Подставляя 'сюда вместо величины ср ее значение (k—1/4)nt
получим окончательно
~ =	2л»(4А—1) — 6«*(4А — 1)»	. .
8 Э. Грей и Г. Б. Мэтьюз
114
ГЛ, VII. КОРНИ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
или в десятичных дробях
х U л ос 1 0.050661	0,053041 . 0,262051
_ = k- 0,25 + 4л _-j-----(4^)3 + (4^)5 - • • •	(4)
Соответствующая формула для корней уравнения (х) — 0
есть
х • пос 0,151982 t 0,015399	0,245270 j
« —	4Л+1 + (4Л4-1)3	(4Л-Г1)б +
(5)
Этот метод применим и к функциям Бесселя высших поряд-
ков (см. добавл. III).
Общая формула для k-vo корня уравнения Jn(xj = O есть
_	т — 1	4(m—1)(7т —31)
Х~а 8л	3(8а)з
32 (т — 1) (83m* — 982m 4- 3779) ।	/еч
15(81)5	г---	(О)
где а — 114‘к(2п—1-|-4Л), m = 4na. Эта формула принадлежит
Мак Магону и была сообщена авторам Рэлеем.
Независимо она была получена Гриффитсом,. так что нет
оснований сомневаться в ее правильности. Нужно заметить, что
Стокс дал неправильное значение 0,245835 для числителя послед-
него члена правой части формулы (5); ошибка выявилась при
превращении в десятичную дробь величины 1179/5тг6, которая
является точным значением указанного коэффициента.
Значения корней могут быть также получены интерполяцией
из таблицы функций при условии, что табличная разность мала.
Читатель найдет в конце книги графики функций J0(x) и
/] (х) для достаточно большого интервала х; по ним видно, как
эти функции ведут себя для сравнительно больших значений х.
§ 3. Корни функций Бесселя, рассматриваемых как функ-
ции их порядков’). Если хил вещественные, то /я(х) есть
вещественная функция от п. Полагая в формуле VI, (36) т—р-\-
-\-iq и п — р — iq, увидим, что /я(х) не обращается в нуль ни
для одного комплексного значения п с положительной действи-
тельной частью; подобное же обстоятельство имеет место и для
/я(х). Из формул VI, (40) и VI, (42) следует, что если х дей-
ствительное, а а и b положительные, то
#„(*) и
не обращаются в нуль для комплексных значений п.
1) См. J. D о u g а 11, Proc. Edin. Math. Soc., 18.
ПРИМЕРЫ
115
Если х действительное и п положительное, то функция
J„(x) не может иметь кратных корней. Действительно, если п
есть кратный корень, то J„(x) и Jn(x) обращаются в нуль, что
невозможно, согласно формуле VI, (37).
С другой стороны, если х вещественное, то Jn(x) не может
иметь мнимых корней; действительно, тогда /_я(х) будет также
обращаться в нуль, так что из формулы III, (42) будет следовать,
что sin га-гс = 0, что в общем случае не имеет мест^; подобное
же заключение справедливо и для 1„(х). Если х действитель-
ное и п>—1, то функция 1п(х} не имеет действительных кор-
ней; это следует из бесконечного ряда для /я(х). С другой
стороны, из формул V, (30) и III, (15) следует, что если х по-
ложительно, то /Ся}(х) не имеет действительных корней, и, так
же как в теореме X, можно показать, что если х действительно
и а и b положительны, то выражение Iп(ах)Кя(Ьх)—In(bx)Kn(ax)
не имеет вещественных корней. Таким образом, две последние
функции обращаются в нуль только для чисто мнимых значений га,
и можно показать, что они имеют бесконечное число таких
корней. Действительно, если бы это было не так, то функция
xl{ne~in^ Кп (х)} обращалась бы в нуль для га = оо и имела бы
только конечное число существенно особых точек; поэтому ее
можно было бы представить в виде целой рациональной функ-
ции от га, что на самом деле не имеет места. Аналогичное до-
казательство справедливо и для других функций.
ПРИМЕРЫ
1. Показать, что если п действительное и положительное, то наимень-
ший положительный корень функции Jn(x)fxn стремится к оо при п->оо.
2..	Показать, что если а положительный корень функции JQ(x), то
a-f-к
V«+«Jo “+«) = — J — 4Р/?а) Jo(*)Лх.
a
Вывести отсюда, что разность между двумя последовательными корнями
функции Jq(x) меньше, чем я. (Проверить, что
Vхsin(х — a) Jo'(х) +	Jo(x)—Vx cos(х — a) Jo(х) =
fsin(x — я) ....
— — J 4x4, Jo (*)ах-
и положить х=а-|-л.)
8*
J16
ГЛ. VII. КОРНИ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
3. Показать, что если аь аа, <х3, . . . — корни функции z~nJn (г), распо-
ложенные по убывающей величине их модулей, то
Jn(г) — 2дП(п) 1 1	— as J j ’
S-)
и доказать, что если п вещественное и >— 1, то
«	Л(г)=2«П(п) П	’
s-l	S	'
где xj, х2, %з» ... — положительные корни функции Jn (z).
[Из формул II, (24) и V, (61), (62) имеем
d
lim____________— lim	— zr ;
|C]-*-oo	ic^oo 7Л(С)
соответственно неравенствам Z(C)^O, поэтому интеграл
d
^(.««-“4(5» д
,1	< —Z’
взятый по окружности с центром в начале координат и радиусом, выбран-
ным так, чтобы окружность не проходила через нуль функции Jn (£), стре-
мится к 0, когда радиус стремится к оо. По теории вычетов имеем
dz {z~n Jn	f 1	1 1
z-nJ„(z) 2ji2-“z a« г
s—1
так как ряд Sa“2 абсолютно сходится. Интегрируя это выражение от О
до z, получим
7-' ^'пНП.
S—1
Чтобы определить Д нужно перейти к пределу при z->0.]
ГЛАВА VIII
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ
§ 1. Ряды Фурье — Бесселя. В гл. VI, § 2 было доказано
что если R (л)> — 1, то
1
j xJn (lx) Ja (Fx) dx=(1) Л (p)-4 (p)•/'„(!)}	(1)
0
и
1
fx{J„(ix)pdx=^[i{J'n(i))2-JB(i)A(i)-4(i)/;(i)j (2)
1
J x {jn (ix)}« dx=4- [{w+(i -m {jn (i) }2].	(3)
0
Из формулы (1) следует, что
i
У xJn (lx) Jn (p.x) dx=0
о
при условии, что l=£p и
Эти условия выполняются в следующих трех случаях:
1)	1, |л — различные корйи уравнения J„ (х) — О,
2)	1, р— различные корни уравнения 7л(х) = 0,
3)	1, р— различные корни уравнения AxJ*(x)-{- BJn(n) = 0,
где А и В—постоянные (см. гл. VII, теор. XI).
В гл. VII было доказано, что если п вещественно и больше—1,
то корни функции x""Jn(x) вещественны и различны. Там же
было показано, что аналогичная теорема справедлива для функций
х""+17я(х) и х-п{Лх/я'(х)+В/п(х)}.
118
ГЛ. VIII. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ
С целью приложения этих результатов обратимся к задаче
о распространении тепла. При решении этой задачи мы будем
применять функцию
<р = е **<7о(^г).
Рассмотрим цилиндр, ограниченный поверхностями г=1,
z-О, 2 = Ц-оо, и предположим, что он помещен в среду с
температурой 0°. Если имеется установившийся поток тепла,
то температура V в каждой точке цилиндра должна удовлет-
ворять уравнению
V2H=0,
а на поверхности г = 1 — условию
*
где k — теплопроводность материала, из которого сделан цилиндр,
и h — коэффициент, названный Фурье .внешней теплопровод-
ностью*.
Если мы положим У=<р, то первое уравнение будет удов-
летворено. Второе уравнение; будет удовлетворено при условии
U/0'(X)+A/o(X) = 0.	(4)
Допустим, что X есть положительный корень этого уравне-
ния и предположим, кроме того, что основание цилиндра непре-
рывно нагревается, так что температура на расстоянии г от
цилиндра равна J0(Xr). Тогда температура в любой внутренней
точке цилиндра будет
V=e~^J0(Xr),
так как эта функция удовлетворяет всем условиям задачи.
Уравнение (4) имеет бесконечное число положительных веще-
ственных корней Х{, Х2, ..., так что мы можем построить более
общую функцию
(5)
1
которая дает температуру цилиндра, подчиненную тем же усло-
виям, за исключением того, что теперь уже в любой точке осно-
вания цилиндра температура задается в виде
(6)
§ 1. РЯДЫ ФУРЬЕ —БЕССЕЛЯ
119
Предположим, наконец, что на основании цилиндра имеется
произвольное распределение температуры, но такое, что темпе-
ратура изменяется непрерывно при переходе от точки к точке
и везде конечна. В частности, мы можем предположить, что
распределение температуры симметрично относительно центра
и выражается функцией
<fo=f(r),
где f(r) есть некоторая функция от г, однозначная, конечная
и непрерывная в промежутке 0 <	. Возникает вопрос, может ли
эта функция в рассматриваемой области быть представлена рядом
вида (6).
Предполагая, что это возможно, мы можем получить коэф-
фициенты As в виде определенных интегралов. Действительно,
если положить
/(r) = S4/0(V),	(7)
то из формул (1), (3) и (4) следует, что
1 1
j	rdr=As Jf0 (V)rdr^^-^4-i^
откуда
2A2k2 I
(Л -j- «3A$) Jq (Ад) J
0
Всякий раз, когда представление (7) законно, функция
<p = 2L4Z-Vj0(V)	(9)
дает температуру в каждой точке цилиндра, боковая поверхность
которого, как и прежде, окружена средой с температурой 0°,
а круговое основание непрерывно нагревается согласно закону
<f0=f(r) = ^AsJ0(Zsr);
коэффициенты As даются (формулой (8).
Более общий вид потенциальной функции можно получить,
полагая
<? — S (A cos гаО 4" В sin гаО) е"** Jn (2г),	(10)
где суммирование по га и 2 производится отдельно.
Если мы ограничимся только целыми значениями для п, а для Z 
возьмем положительные корни уравнения Jn (2) — 0, то получим
потенциальную функцию, которая не изменяется от замены О
120
ГЛ. УШ. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ-г БЕССЕЛЯ
на 6 4-2те и обращается в нуль при г: = -|-оо и г=1. Значение
ее при z = 0 есть
<р0 = £(Д cosn0-|-.SsinnO).4(2r).	(11)
Функцию <р можно рассматривать как температуру в каждой
точке цилиндра при установившемся потоке тепла, причем боко-
вая поверхность цилиндра поддерживается при постоянной тем-
пературе 0°, основание же его нагревается по закону, выражен-
ному формулой (11).
Таким образом, мы должны исследовать, можно ли произ-
вольную функцию f(r, 0), подчиненную только условиям конеч-
ности, однозначности и непрерывности в круге г = 1, представить
в виде ряда (11).
Если такое представление возможно, то, пользуясь им, легко
определить коэффициенты. Действительно, если мы имеем при
более полном обозначении
/(г, 0) = SS(4ns cosn04-BBtJ sinn0)J„(V),
то найдем последовательно
J/(r, 0)cosn0d0 =
0	<s
(12)
И
1 2к
f J /(r, 0) cos (XZ) rdbdr = f (V) rdr=(X,) А„
bo	о
по формуле (3); отсюда
=	j V (r,9) cos лб7« <V)rdbdr
и аналогично
О ___ 2
™	<2(4)
(13)
1 2к
J J/ (r,0) sin	(I/) rdtidr.
Решения других физических задач могут быть построены
с помощью аналитических разложений, аналогичных разложе-
ниям (7) и (12); некоторые из этих задач даны в смешанных
примерах.
§ 2. Справедливость разложения. Условия, при которых
указанные разложения справедливы, обсуждались многими авто-
§ 2. СПРАВЕДЛИВОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЯ
121
рами1), но, как правило, такие исследования чересчур длинны
для того, чтобы их можно было здесь воспроизвести.
Однако мы опишем в общих чертах сравнительно простое
доказательство2), основанное на интегрировании по контуру. Огра-
ничимся рассмотрением разложения
г(г)=2длт	(14)
5-1
где 2-1, 22, ... суть положительные корни функции J0(x); для
остальных разложений Фурье—Бесселя оказывается применимым
тот же метод.
Сумма первых п членов ряда в правой части формулы (14)
равна
2 f xf(x) V]	dx.
0	5—1
Рассмотрим интеграл
J •	-M9
взятый по контуру,' состоящему из оси В от—М до М, с исклю-
ченным началом С = 0 и исключенными нулями функции
и прямых 6 = t[ = N, где Л4 и N положительны и М выб-
рано так, что оно находится между нулями \ и \+1. Подинтег-
ральная функция голоморфна внутри контура, поэтому интеграл
равен нулю.
Интеграл по малой полуокружности около С = 0 стремится
к нулю вместе с радиусом. По формуле III, (46) имеем
<?o(Q-/o'(Q-/oG)Go’(9=i/C.
откуда следует, что ^O0(2s)= l/J0'(Xf); сумма интегралов, взятых
по малым полуокружностям около нулей функции Jo($), стре-
мится к	4
__(Ху* *) Л) (^s*~)
Li {/o'(U)1 ’
5—1
когда радиус стремится к нулю.
1) См. U. Dini, Serie di Fourier, т. I, Pisa, 1880, и W. H. Young, Proc.
Lend. Math. Soc., 18, серия 2.
*) См. M. MacRobert, Proc. Edin. Math Soc., 39.
122
ГЛ. VIII. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ
С другой стороны, вдоль оси 5 подинтегральная функция
однозначная и четная, не считая члена в О0(С), содержащего С:
этот последний член дает интеграл
м
in J Ц)(ех)/0
о
остальные же интегралы (от других членов) от —М до 0 и от О
до М взаимно уничтожаются.
По формуле VI, (23) имеем
м
j5J0(5x)J0(5r)dB =
О
=^=72 {~rJ0(Mx)Jx (Mr)+xJ0(Mr)J, (Мх)}.
В правой части этого равенства заменим бесселевы функции их
асимптотическими разложениями, тогда -'интеграл будет иметь
значение
1	( sin {7И (х — г)}_cos {М(х-|~г))| . Р
«УлН х~г х+г [“’"лГ’
где Р—конечное для всех значений М.
Пусть теперь N-+oo, тогда если |х-|-г|<2, то интеграл
вдоль -»i = W будет стремиться к нулю. Если в интегралах вдоль
линий 5=ztAf заменить бесселевы функции их асимптотическими
разложениями, то эти интегралы могут быть написаны в виде
/-f-Q/Af, где Q конечное, а
{sinC^-^ + cos^-VJ;
у хг
функции V] и V2 остаются конечными для всех значений М,
при условии, что | х-1-г | < 2.
Если 0<r< 1 и так как 0<х<1, то
SZq(V)/o(V) _____1 _ (sin{M(x—r)| _cos {At(х + г)) 1 
fc/FI x~r	x + r	P
5-1
+4+y=C(M4:,F'+-S-	,l5)
3. ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ
123
Из теории интегралов Дирихле имеем
ь
Km J <р (х)®“ (Мх) dx = 0
а
при условии, что для а<х<Ь функция <р(х) конечна и непре-
рывна, за исключением числа конечных разрывов, и имеет только
конечное число максимумов и минимумов; с другой стороны,
при этих же условиях имеем
ъ
Hm J?(x)-^^g^dx==|{T(r+°) + ?(r-0)}
а
для а<г<Ь.
Таким образом, если функция /(х) удовлетворяет этим усло-
виям Дирихле для промежутка 0<х<1, то, умножая равенство
(15) на 2х/(х), интегрируя от 0 до 1 и предполагая, что v и М
стремятся к оо, получим
ОО
j4yo(V)=±{/(r+0)+/(r-0)}	(16)
S-1
при условии, ЧТО 0<Г<1.
Если г = 1, то Jo (Л/) = 0 и сумма ряда равна нулю.
Если г = 0, то можно показать, что сумма ряда равна/ (-|-0).
§ 3. Интегралы Фурье—Бесселя. В этом параграфе будет
доказана теорема, аналогичная теореме Фурье. Можно утвер-
ждать следующее: Если для p^r<q, где р и q действитель-
ные и положительные, функция у (г) непрерывна за исклю-
чением конечного числа конечных разрывов и имеет только
конечное число максимумов и минимумов и если R (л)>—1, то
00 q
f dXpp<p(p)J„(Xp)J„(Xr)dp=z
о о	*
= 4(T(r+O) + ?(r-O)), p<r<q
(17)
— у?(г-Ь0),	если	г—р,
= -^-tp(r — 0),	если	т—q,
= 0, если	или	r>q.
124
ГЛ. VIII. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРбЕ — БЕССЕЛЯ
Если R(ri) >— 1, то из формул VI, (23) и II, (20) следует, что»
j l/n (Хр) J„ dX =	{—rAJ„(pA) Jn+1 (rA)-|-pAJ„(rA) J„+1(pA)} =
0
=	4 {j/^ cos (rh-Г I«") sin (pA-1- it— ± ) -
— j/^-cos (pA--^ it—у nit) sin (rh— yit— уЯ1и)}+^ =
= p=ri * T	cos«r + P)A — nit) + sin<(p—r)A)} +
+	[cos ((P+H A—»ir) + sin ((p—r) A)|+-j-,
где P конечно для всех значений h. Умножим теперь обе части:
этого равенства на р<рip), проинтегрируем от р до q и перейдем
к пределу при А->оо; тогда, так как р и q положительны, то-
f Р<Р (Р) J iJn (2Р) Jn (^) rf^P =
р 0
= 4{'?(r+°) + 'P(r~0)}’ если р<г<9,
==у<р(г-|-0),	еслиг = />,
= у<р(г — 0),	если r — q,
=0,	если §<Zr<iP или г>-^,
где ><р(г) удовлетворяет условиям Дирихле, сформулированным
в предыдущем параграфе.
Если, кроме того, функция <р (г) удовлетворяет условию, что
J r<p (г) dr абсолютно сходится, то можно изменить порядок
р
интегрирования, и теорема доказана.
ГЛАВА IX
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ
И ФУНКЦИЯМИ ЛЕЖАНДРА. ФУНКЦИЯ ГРИНА
§ J. Функции Бесселя как предельный случай присоеди-
ненных функций Лежандра. Используя обозначения добавл. I,
(32), мы можем определить присоединенную функцию Лежандра
P%(z) порядка п и ранга т, где п и т— какие-нибудь числа,
с помощью равенства
1
/У» (2\_____П(« + ??)__п 2 т х
2тп(т)П(я — т)	’ х
—п, /П-НН-1,	’	(О
1
где (1—г2)	равно 1 при z = 0.
Отсюда
1
J р« <1 _	_ и(п + т)хт _ г» \~2~ “ v
Пт^п\ 2П2) — 2тд(т)д(п —	4п^ А
XF(m—п, m-j-n-j-1,
Пусть теперь1) п—изо, так что если 8 = 1/п, то 3->0. Тогда по
формуле Стирлинга [добавл. I, (10)] имеем
П(я-{-ях)	..
П(я — т)пгт ’
очевидно также, что
Далее, (г -]-1 )-й член гипергеометрического ряда равен
(1-Ы) {14-(я1-Ьг)в} {i-(m-H)W} х
/ iy Х{1-(«4-2)’««}...{1-(«14г-1)М«} ( z\v
'	}	(«+l)(«+2)...(»H-r)r!
1) Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, т. П, Москва,
1934, стр. 179—180.
126
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Он представляет собой непрерывную функцию от 8, а так как
гипергеометрический ряд равномерно сходится относительно 8
в окрестности 8=0, то, следовательно,
(1	(2)
л-*оо L	\	* / J
Отсюда следует, что
lim (cosv)]==</«^	W '
П-+СО L	\	'* /J
и, в частности,
limP„(cos-^) = ./0Cz).	(4)
§ 2. Присоединенная Функция Лежандра как интеграл от
функций Бесселя1). Функция e~uJm(Ар) cos /пер, где z, р, ер суть
цилиндрические координаты, является решением уравнения Лап-
ласа для всех значений А; если
z>0 и /?(zn-f-n)>—1,
то
cos /пер j* e~uJm (Ар) A"dA
также является решением уравнения Лапласа. Сделаем теперь
в этом выражении подстановку
2 = rcos0, p = rsin9, Ar=x;
тогда интеграл примет вид
г~"~l cos /пер J e-xcos * fm (х sin0) x"dx;
о
это есть потенциальная функция в полярной системе координат
г, 0, <р.
Так как г и ер входят только в виде множителей г~п~1 и
cos/пер, то, следовательно,
J e-xeO8e4(xsin0)x'’rfx = Ар” (р) + Вр~: (р),
о
1) См. J. Dougall, Proc. Edin. Math. Soc., 18.
§ 2. ПРИСОЕДИНЕННАЯ ФУНКЦИЯ ЛЕЖАНДРА
127
где |i = co‘s0 и
Л,Ы=И(и-т)/^(и)=
J-m
=^ц^(1 — Н2)2 F(m—п, /тН-л-Н, лгЧ-1, (5)
Чтобы определить постоянные А и В, предположим, что /?(/п)>0.
Тогда р~т (р.) обращается в Foo при цО= 0, так что 2? = 0.
С другой стороны, деля на sinm9 и предполагая, что 0 стре-
мится к нулю, получаем
fYx 1	*m+nd*. — А п0”+п)
J е 2тП(т) ° Л 2тП(ш) *
Следовательно, Д=1 и
J е-Хг4(2р)Л»<й = ?г1г р? (р)	(6)
О
для всех значений т, п. 0, для которых обе части равенства
имеют смысл. Если /п=п=0, то равенство (6) сводится к соот-
ношению
f =	(7)
j	г
о
совпадающему с формулой VI, (2), так как г =]/p2-irzt. Если
г = 1, то
J <ГХ cos eJm (A sin 6) Л" di.—р” (рО >	(8)
О
где----^-<0< 4 ц ₽(/»+«)> — 1.
Чтобы освободиться от ограничения, наложенного на т и п,
возьмем интеграл (6) по контуру С’ (фиг. 6, стр. 69); тогда,
если R (х) > 0 и начальное значение аргумента величины А
есть—я, то
С eteJm(Ap)AndA = 2zsin(7n+n-}-l)«4rРп (-^)-	(9)
128
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Интегральное выражение для функции (р-)» годное для
значений О<0<«, можно получить следующим образом.
Рассмотрим интеграл
J eiXcos°Km(isin в)2лА
О
где /?	> — 1. Так как Km(XsinO) = ZmOm(ZXsin0), то
можно написать, что
J е С08 9imGm (X sin 6) Г dl • i~n~\
где. путь интегрирования есть положительная мнимая ось от
нуля до бесконечности. Если О<0<-“-, то sin 9 и cos в оба
положительны, и поэтому этот путь можно преобразовать в отри-
цательную действительную ось от 0 до — оо. Отсюда
J eAco8eKm(Xsin8)rdX = J e“Xcos9imGm(e4sin9) PdX-i**^
о	о
оо 1 '
= -ЖГ /Я+1 f е Х C0S	Q- sin 0) - imJm (* sin в)} Г dX =
О
Кроме того,
о .	4
=у <ГХ cos * imGm (Л sin 0) Xя
где последний интеграл взят по мнимой оси 0 до -|-oo-i.
Если О<0<-£-, то путь интегрирования можно преобразо-
вать в положительную действительную ось от 0 до -|-оо; от-
сюда , .
у ё~* *Кт (я Sin 0) XяdX=J е~х cos *imGm(Лsin 0) XяdX-i-*-1 = .
°	, о
= -Thr—-i~n l	(н)}.	(11)
2Sin/яя	1	'Г/ t'n vr/j	\ г
§ 3. ВЫРАЖЕНИЕ ДУГОЛЛА ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА
129
Умножим теперь равенство (10) на	и (11) на х~я,+“+1 и
вычтем второй результат из первого; тогда
J sin {л cos 6 + (т—п ~	s*n •)**<& =
о
я / \
2~ Рп G0
(12)
ири условии, что /?(nzL/n)> — 1 и 0<9<ж.
В частности, если п = /п = 0 и rsin9 = p, rcosO = z, X=rx,
то
*	со
J cos KQ (хр) dt. =	.	(13)
о
§ 3. Выражение Дуголла. для функции Грица1). Теорему
сложения для функции Ко можно записать в виде
K0(X₽)=^(Xa)/0(^) + 2j] /Cm(ia)Zm^)cosw(<p-<p’)=
= ШКт (Да) Im (lb) cos m (<₽ — <р'),
где
/?8 =	— 2a£cos(<p — <р')«
Здесь а и b вещественные и такие, что 0<Ь<Уъ
Этот ряд следующим образом преобразуется в интеграл.
Рассмотрим функцию от 'т
cos m (« т- у -f- у')
sin тк
*ж(Ла)4(^),
где a, b, X вещественные и положительные и 0<<р — <р'-< 2it.
Пусть функция интегрируется относительно т па контуру
в плоскости т, состоящему из большой полуокружности, опи-
санной вправо от мнимрй оси в отрицательном направлении, и
части мнимой оси с вырезанным началом. Чтобы избежать нулей
функции sin лиг, радиус полуокружности можно принять равным
половине нечетного целого числа. Интеграл по полуокружности
стремится к нулю, когда радиус стремится к бесконечности,
1) См. J. Dougall, Proc. Edin. Math. Soq., 18.
® Э. Грей и Г. В. Мэтьюз
130
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
в то время как интеграл по малой полуокружности около на-
чала стремится к in X ~-K0(Xa)I0(^b). Таким образом
= — 2nz X (сумма вычетов относительно точек на
положительной действительной оси) =
оо
= — 2ni yj -I- cos т (<р—<р') Кт (М 1т (М>).
/я—1
Соответственно имеем
00
4 j сЬ5(«-<р-Н0Кй(Ла)Ки(№)<& =
О
оо
=K-o(M/o(^)+2jcosm(<?-<F')K'm(^)/„.(^)=^W. (К)
m=l
Функция Грина. В математической физике часто встречается
задача, состоящая в определении потенциальной функции, обра-
щающейся в нуль на границе данной области и разрывной
только в одной точке внутри области; в этой точке или полюсе
разность между этой функцией (функцией Грина) и величиной,
обратной расстоянию до полюса, должна стремиться к опреде-
ленному пределу, когда переменная точка приближается к по-
люсу.
Поместим полюс в точке (X1, у', z1) или, в цилиндрических
координатах, в точке (р', z', <?')• тогда как переменная точка
пусть будет (х, у, z) или (р, z, <р). Величину, обратную рас-
стоянию до полюса, обозначим через Т, функцию Грина—через V
и Кр8 + р'а— 2рр'cos(<p — <р') — через R. Рассмотрим различные
области, ограниченные плоскостями и цилиндрами, и дадим
в каждом случае три способа представления функции Грина.
Случай I. Все пространство. Функция Грина есть просто Т.
Следовательно, из формулы (7) будем иметь
V=Т=J е~У(Я/?)=	(15)
О
с©
=	(16)
где z>z' или z=z’, /?^0. Если z<z’, то меняем местами z и z'.
§ X ВЫРАЖЕНИЕ ДУГОЛЛА ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА
131
С другой стороны, из формулы (13) получим
✓
V=T^^cosX(z — 2')K0(XR)dX =	(17)
О
оо
= 4 f cos 2 (z—z')	(4) 4 (49 COS т (<Р—<Р')} <&,	(18)
О
где р>р'.
Третье выражение получается из формулы (17) посрехетвом
соотношения (14):
00	оо
V=-^zosX<z-z*)dX j*сЬ5("-<?+?')^(4)^(4')^. (19)
о	о
где 0<<^—<p'-<2ir.
Эти три решения (16), (18) и (19) названы Дуголлом z, р и<р
формами. Аналогичные три формы будут получены и в других
случаях. Эти различные формы выгодны тем, что каждая из них
имеет свою собственную область быстрой сходимости.
Случай II. Часть пространства, ограниченная двумя па-
раллельными плоскостями-. z = 0 и z = c>0. Функция Грина
получается посредством прибавления к Т некоторой потенциаль-
ной функции, всюду регулярной внутри области и равной — Т
на границе. Если Т представлено в форме (15), то дополнитель-
ный потенциал должен иметь значения
— j* е~х <C-Z,,JO (XR) dX при z=c
о
X
— J e~u'J0(XR)dX при г=0.
о
Таким образом, потенциальная функция имеет вид
- J{sf$
Чтобы получить И, прибавим Т, которое при z>zf равно
J e~x^V0(XR) dX.
О
3*
132
ГЛ. tX. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Таким образом, 
v=2 [	7о (*₽)	*>*♦	(2°)
1	SU \ АС )
При z<z’ меняем местами z и z*.
1 С другой стороны, так как
KiJ0(XR) = Go (JU?) - Go (e‘4R),
no этот интеграл можно написать .в виде
v=4j ,hM^(LTz'> °. («)«
предполагая, что /?>0 и интеграл взят вдоль контура, состоя-
щего из вещественной оси с исключенным началом и бесконеч-
ной полуокружности в верхней полуплоскости; согласно теории
дычетов, имеем
V=±f]sin(^sin^)K0(^-), R>0 '	(21)
с	\ с /	\	/ v у
= ’ 2sin n'sta (¥) 2’^ (”)(=?) “s »- »)
p—1	m
(22)
при условии p>p', или, согласно формуле (14),
|h-I
X JсЬ^к-ф+ф')^	(23)
где 0<ф—ф'<2я.
. Случай III. Часть пространства, ограниченная внешним
образом цилиндром р — а. Из формулы (18) следует, что
V=4feos1(3-*)
-/OT(ip)^m(^)} хСО8/П(Ф-Ф')]dx,	(24)
где р>р'.
§ 3. ВЫРАЖЕНИЕ ДУГ0ЛЛА ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА 13^
Изменим теперь порядок суммирования; тогда	,
V= V	cos т <'?-'?')] cos A (z -z'){/т (Ха) Кт (Ар) -
-'4 № Кт (Ха)} dX -= А	cos т (?-т*) J е~*	X
X few 14 (Лд) °- <ЯР) ~ W
где контур интегрирования состоит из мнимой оси с выключен-
ным началом и бесконечной полуокружности в правой полупло-.
скости, описываемых в отрицательном направлении; отсюда, со-
гласно теории вычетов, имеем
V= 4~	cos т (<р — <р') X
tn
X 2 е-^-гит(Х^)JM)GM(Xja)i{fm(Xfi)\,
s«=l
где As — положительные корни функции Jm(Xa), и далее
v=J]'cos т - <?') £ e“Xi {г~гут ад MW. (4 (*>)»’,
tn	s—1
.. (25>
от №)J'm (^) - 4 (М О'п (Ха) = 1 КХа).
Здесь z>z'.
Третья форма следующим образом получается из формулы
(24). Рассмотрим интеграл
j	(Ml Лп.
взятый по контуру в плоскости т, состоящему из мнимой осц
с исключенным началом и бесконечной полуокружности вправо
от мнимой оси. Имеем
ОО
-1,. (W,.(M) <fe=-	x
x (/.(м^(вд-*»<адk«(mi- ..	(26)
134
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Следовательно,
-A J cos A (z—z')dX J chs(«—'p-f-<p') X
v [(/isKls (^P*)	hs (^P9Kis (Ад)) x |?27)
где 0<<p—<p'<2w.
Случай IV. Часть пространства, ограниченная двумя пе-
ресекающимися плоскостями: <р = 0 и <р = я>0. Из формулы
(19) имеем
Т = f cos Л (z—z1) Jch $ {« (<р — )>')} Kls (A?) Kls (Ар') dsdl
О	о
соответственно неравенствам <р Зх ср'.
Следовательно, к Т необходимо прибавить функцию
— A Jcos A(z—z') JchsOr-a-fV) + ^p) chs(k-<p')}x
XKMKtsW)dsdX,
так что, если <p><p',
V — A J cos A (z—z') dX X
0 »
X JS5-sh s (“-'?)sh ds-
0
(28)
Второй интеграл в этом равенстве может быть написан в виде
/оо
sin s (a—ср) sin («<?') Ks (Ар) Ks (Ар') i ds =
о
/оо
Zrc Г sin s (i—?) sin (syЭ
2 J sin (5a)
—ioo
K,(Ap)4(V)rfs =
= — irs X (сумма вычетов в правой полуплоскости)
§ 3. ВЫРАЖЕНИЕ ДУГОЛЛА ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА 135
при условии р>р'. Таким образом,
r = -|-JcosX(z — z')X
О
х Ё	**)*.. (ЭД '=(V)) «	(29)
при условии р>р'. Отсюда имеем
V= 4- 2 sin (2?) sin J cos Л (z-z')	(Op) Jmn (zip') dl.
Этот интеграл может быть представлен в виде
4 J {е^~^ +	Q^)Js^)dX,
где s = mitla; так что если z^>z’, он равен
4ГеХ(2“г'Ч(*Р)Л(*Р')^ + 4 Je-Uz-^GMJs(^)d).=
G	о
= 4f e-x<z-24(4') {Gs (*Р) -eis4(W’)} dX =
0
= V J e-X(2-24(M^(V)^.
о
Следовательно, если z>z',
CO	00
4. (w™. up'ia оо)
Л1-1	7 0	a	a
Случай V. Часть пространства, ограниченная внешним
образом двумя параллельными плоскостями и цилиндром:
.г--0, z-= с, р —а. Из формулы (22) имеем
Xcosm(<p — <р»)	(31)
при условии р>рг.
136
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
С другой стороны, из формулы (25), как и в случае II, еле?
дует, что потенциал, который необходимо прибавить к Т, ра-
вен	'
- A Vcos m (<₽ - <р') V е~'>	+ 8h^—>- е* | х
4*	I Sil AjO	ЪП г '	«I
m	s—1
так что
COS/»(<P — <?') X
m
\y \1 sh Xr (в г) sh	Jm (\уР) Лщ (XsP)	/"Q9\
XL shXjC	-	(32>
при z>z’.
Наконец, из формул (31) и (26) следует, что
i/=4y’Si„te\si„(^x
ItC	\ с J \ С /
р-1.
00	?
X Jchs(w—<₽-|-<р')/(р)/(»')^/{Л^(Хл)/-/4(Ха)},	(33)
где /(р)=/&(Ла)Ки(М-/й(гР)^(Аа) и 0<<р—<?'<2к.
Случай VI. Часть пространства, ограниченная двумя
параллельными плоскостями и двумя пересекающимися пло-
скостями'. z = 0, z-с, <р=0, <р = а. Из .формулы (23) способом,
примененным в случае IV для получения выражения (28), можно
вывести, что при <р><р',
X JS; shл (»-ф)sb(ST9Ки(»)К„ (SQ Л.	(34)
О
Из формулы (30), так же как и в случае II, следует, что при
00
8 л: V
х Jsh-" 1111	№) W М. (35)
о
§ S. ВЫРАЖЕНИЙ ДУГОЛЛА ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА	137
Наконец, если интеграл в (34) вычислить, как в случае IV,
то для р>р' будет	. .	>
v=^ySiflf^YsinMx
са^ы \ с )	\е)
р-1
:	^Лт}-	(36>
z 4 / J \ ® / lay iWlc/e \ C J WKr \ C J	v '
m—I
Случай Vll. Часть пространства, ограниченная двумя
пересекающимися плоскостями и цилиндром’. <р = 0, <р = а,
р = а. Из формулы {29) при р>р' имеем
V — ® J cos A (z—z') di- yj sin	sin X
0	m—1
X	(Ха)} Zra,.(V)//^.M. (37)
Из формулы же (27), как в, случае IV, при <р><р'
V==^fcosX(2—z’)dX X
	х j gg- sh	sh	(p)/w ,Jto).	(38)
0 ..
где/(p)==//s(M^(lp)-/is(ip)K/s(2a).
С. другой стороны, формула (37), как в случае III, при
дает	,
/я—1
X	РЛ/Л	<39>
S — 1
где Хя—положительные корни функции (Ха).
Случай VIII. Часть пространства, ограниченная двумя
пересекающимися плоскостями, двумя параллельными пло-х
138
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
скостями и цилиндром-. <р=0, <р=а, г = 0, z — c, р = д. Из
формул (39), как в случае II, при z>z' имеем
СО
ш—1
х Ё	(40)
5—1
Из формулы (36) при р>р'
V = £ 2 sin	) sin (^) % sin fs.) sin (=.) X
р—1	Ж—1
Из формулы же (33) при <?><?'
СО
sin f'7) sin (г£)
яс I с j \ с J
р-1
X
00
х J адг sh S <*“*> Sh (^0/(Р>/(рОds.'{Iis (Ла) /_is (Ла)}. (42)
о
Случай IX. Часть пространства, ограниченная двумя
параллельными плоскостями, двумя пересекающимися пло-
скостями и двумя цилиндрами: z=0, z=c, <р=0, <р=в,
р = а, р=д, д>а.
Из формулы (36) вычитаем потенциал, имеющий те же зна-
чения на цилиндре и исчезающий на плоскостях. Этот потен-
циал получится, если написать в (36) вместо
JC (РЧ\ I (Р^'\
‘'ница ( с	С I
выражение

^(м/сдм-/д>р)^а«) ,
rs (М Ks (М) - Is (Xft) Ks (1л) +
+4(М^(¥)
lA^)Ka^b)-Is(\b}Ka^
где s = znit/a, l^p^c.
§ 3. ВЫРАЖЕНИЕ ДУГОЛЛА ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА
139
Таким образом, если р>р',
V— У sin sin У sin sin (^}-Ет,
са / J \ с J \ с J \ а /	\ а /
/7—1	Л1 — 1
где Ет обозначает функцию
К (U)KS(W-W)KS(W} {/ДМ) А,(М-/,(>Р )* *,№)}
/Д1аКДМ)-/,(М)КДМ)
и s = rnKja., X = pnjc.	(43)
Меняем в формуле (43) порядок суммирования и предпола-
гаем, что z^>z'. Выражение
sh 1 (с — г) sh (1г') у.
sh(Xc) Л
K(MG^V)-4(¥)<MM} {W)GS(W-/Д*?)СДМ)}
Х	№О,Щ-№)С,М
представляет собой однозначную нечетную функцию от X. Ин-
теграл от нее, взятый по большей окружности, не проходящей
через нули знаменателя, стремится к нулю, когда радиус ок-
ружности стремится к бесконечности. Сумма всех вычетов,
соответствующих (чисто мнимым) нулям функции sh(lc) и (ве-
щественным) нулям функции Js (Ха) Gs (Xb)—Js(Xb)Gg(Xa), равна
нулю.
Следовательно, если z>z',
v=- ? Xsin wsin	X —	X
*	Oil AG
m—1	X
x К (U) Gs (V)-Js (V) Gs(Xa)} {/.(^)ОДЯр)-
{Js(Xa)Gs(Xb)-Js(Xb)Gs(Xa)},	(44)
где X суть положительные нули функции
Js(Xa)Gt(Xb)-.fs(Xb)Gs(Xa).
Аналогично <р-форму можно получить из (43), применяя кон-
турное интегрирование к функции
sin г (а —«) sin(sy')
Sin sa
{/д(И/Са(1р')-/Д1р')КИМ}
X	’	^(1а)^(Х*)-7,(^)К4(>а)	•
140
ГЛ. IX. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Если то
X{hsW>)Kis(M-
~4	-as <4 <ia)^ W-4 <^)^й (W. (45>
где i. = pKfc и 5—положительные нули функции
Если вместо функций Бесселя пользоваться сферическим»
функциями, то можно получить выражение функции Грина для
областей, ограниченных сферами, конусами и пересекающимися
плоскостями. Для ознакомления с этими случаями отсылаем»
читателя к работе Дуголла,
ГЛАВАХ
КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ
Одно из простейших приложений функций Бесселя встре-
чается в теории поперечных колебаний плоской круглой мем-
браны.
Под словом «мембрана» мй будем понимать тонкую, абсолютно
гибкую материальную пластинку, имеющую всюду одинаковую
плотность; мы будем предполагать, что эта пластинка поддер-
живается*в состоянии одинакового натяжения посредством со-
ответствующих связей, наложенных на одной или нескольких
замкнутых границах, расположенных в ее плоскости. Если мем-
брана слегка выведена из положения устойчивого равновесия и
предоставлена самой себе, то она будет совершать малые коле-
бания. Сделаем для упрощения анализа некоторые допущения
относительно природы этих колебаний.
Мы будем предполагать, что колебания мембраны исключи-
тельно поперечные и что натяжение остается неизменным во
время движения; сверх того, если г=0 представляет собой
Плоскость, содержащую мембрану в спокойном состоянии,
и если уравнение
z — y(x,y)
определяет форму мембраны в некоторый момент, то будем счи-
тать ду!дх и dyfdy настолько малыми, что их квадратами можно
пренебречь.
Пусть а есть масса мембраны на единицу площади и Tds —
натяжение элемента длины ds в некоторой точке мембраны;
пусть далее dS есть элемент Площади, который мы для про-
стоты предположим ограниченным линиями кривизны. Если rt
и г2 — главные радиусы кривизны, то сила, приложенная к еди-
нице площади, равна
T(r^-7-}as
\Г1 ’ Г2 J
 направлена нормально к элементу поверхности.
142
ГЛ. X. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ
Для ясности предположим, что элемент поверхности вогнут
в сторону положительного направления оси z\ тогда уравнение-
движения мембраны запишется в виде
tdS	= Т( +-J-) dS cos ф,
OP \Г1 1 Г2/
где ф есть малый угол, образованный внутренней нормаль»
и осью z.
Пренебрегая теперь квадратами малых величин ’), будем иметь
! . 1 __ d*z . d*z
г\ • г3 дх* "т" ду*
и
cos ф = 1.
После этого уравнение движения мембраны примет вид
где
^=7'	(2>
Остается найти решение уравнения (1), достаточно общее для
того, чтобы удовлетворить начальным и граничным условиям.
Начальными и граничными условиями являются следующие:
z и dzjdt имеют заданные значения при 2 = 0, Z — Q для всех
значений t в точках границы мембраны.
При переходе от прямоугольных координат к цилиндриче-
ским уравнение (1) преобразуется к виду
d*z__ 2 /d*z •	। 1 daz\	,,,
dt*~c г дг<~г* дб*}'
Предположим, что мембрана круглая и ограничена окружностью
г~а; тогда мы должны найти такое решение уравнения (3),
чтобы оно удовлетворяло начальным условиям и чтобы было
z = 0 при г = а для всех значений t. Пусть
z = и cos pt,	(4)
где и не зависит от t. Тогда, обозначив
Т =	(5)
1) См. Bell, Coordinate Geometry, 2-е изд., стр. 337 (4).
ГЛ. X. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ
143
получим для и уравнение
д2и . 1 ди । 1 д*и . . п
йг»4“ г !дг“ЬГ» Й0» + Х и-°-	(6>
Положим, что
и = V cos лв,	(7)
где v есть функция только от г, удовлетворяющая уравнению •
dr* ' г dr 1	г* j	' '
Для наших целей достаточно предположить, что л целое
положительное число; тогда решением уравнения (8) будет функ-
ция
*> = А4(хг)-|-ВГя(хг).
Из условий задачи следует, что функция и должна быть ко-
нечной при г=0, т. е. В=0, и мы будем иметь решение урав-
нения (3) в виде
z=AJn (xr) cos лО cos pt=AJn (xr) cos лО cos *ct.	(9)
Для того чтобы были удовлетворены граничные условия,
должно быть
4(хл)=о,	(10)
а это есть трансцендентное уравнение для нахождения х.
В гл. VII было доказано, что это уравнение имеет беско-
нечное число действительных корней хп х3, х3 и т. д., каждому
из этих корней соответствует нормальное колебание типа (9).
Начальные условия для колебаний этого и только этого част-
ного типа таковы: при t --0
z=AJn (xr) cos лб,
Й=о.
at
Придавая л значения 0, 1, 2, 3... и определяя для каждого
из них значения х*"*, х<л>, ХзЯ)... из уравнения /я(ха) = 0, можно
построить наиболее общее решение
z=S (Ам cos л9 cos x*B,ci -|-	sin лО cos *™ct+
4"	cos л® sin	4"	sin л® sin ж1“,с0 Л (xln) r)>	(i I)
где Ам, С*., Dns—произвольные постоянные.
144
ГЛ. X. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ
Если начальная форма мембраны определяется уравнением
г=/(г,9),
то должно быть
/ (г, 0) = 2 (Лм cos тЛ 4- Bns sin л0) J„ (х<п)г),	(12)
и всякий раз, как /(г,0) допускает разложение, такого' вида^
коэффициенты Ans и Bns определяются, как. показано в гл. VIII,
в виде определенных интегралов. Для удобства записи^ будем
писать вместо х^п). Тогда
Ans =	(40 Р(г’cosnbJn W rdr'
О О
.	2® а
Так как Jn(*sa) — 0, то из формулы II, (21) следует, что
Л (*sa)=(<Л
так что в выражениях для Ам, Bns мы можем подставить
Л-i («,«) вместо J%*sa).	j
Если мембрана выводится из положения равновесия, то Cng
и все' равны нулю., Если же мы. для большей общности
предположим, что .первоначальное движение определяется урав^
нением	м , 	,
(£)=* <'.’>•........................
то будем иметь
<p(r, 0) = Sx’")c(CBscosn0+D№tsinn0) Jn (x<*¥),	(14)
откуда определяются коэффициенты С* и Dns.	, ...
Из существа задачи следует, что функции /(г,0), <р(г, 9)
однозначные, конечные, непрерывные и периодические относи-
тельно в с периодом 2л: или таким образом, функция/(г, 0)
(и аналогично <р(г, 0) может быть прёдставлена в виде ряда
/(г, 0) = а0 -j- a, cos 0	«2 cos 20	+ bx sin 0 4-^2 sin 20 4~s. • •».
ГЛ. X. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ
145
коэффициенты которого as, bs суть функции от г. Возможность
разложения этих функций в ряды вида	уже рассмат-
ривалась в гл. VIII.
Для того чтобы представить себе наиболее ясно характер
полученного таким образом решения, вернемся к нормальному
колебанию, соответствующему уравнению
z = Jn(*sr) cos nflcos *sct,	(15)
где zs есть корень уравнения •/„ (*$а)=
Каждый элемент мембраны совершает простое гармоническое
колебание с периодом	_
2я __2я Г а
*se *г у t
и амплитудой	Jn (*sr) cos пб.
Амплитуда обращается в нуль и элемент остается в покое,
если
или	cos пЯ — 0.
Первое уравнение удовлетворяется не только тогда, когда
г = а, т. е. на границе, но и тогда, когда
следовательно, существует ряд из (s—I) концентрических
узловых окружностей.
Второе уравнение, cosn0=O, удовлетворяется, если
а ’ а	а (4л—1)«
е=2п’ в = 2Й’-" 9 = —bi-----*
Таким образом, имеется система п узловых диаметров, разде-
ляющих мембрану на 2п равных секторов, каждый из которых
колеблется в точности так, как и другие. Однако нужно заме-
тить, что в каждый отдельный момент два соседних сектора
находятся в противоположных фазах.
Рассматриваемые нормальные колебания являются возможным
видом колебаний не только для сплошного круга, но также для
мембраны, ограниченной частями узловых окружностей и узловых
диаметров.
Если мы напишем jis вместо *,«, так что p-s есть s-й корень
уравнения /я(х) = 0, то период может быть написан в виде
(1б)
V-S у т V-S у Т	v '
10 Э. Грей и Г. Б. Метыоз.
146
ГЛ. X. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ
где М есть масса всей мембраны. Эта формула очень ясно по-
казывает,, как растет период колебаний при увеличении массы
мембраны или при уменьшении натяжения, которому она под-
вергается.
Как частный случай предположим, что п — 0, и пусть р.| =?
= 2,4048 есть наименьший корень уравнения Jo(x) = O; тогда
мы будем иметь колебание основного тона, симметричное отно-
сительно центра и имеющее частоту
,	—-Jx 0,678389.
2 у м у м
Так, например, если круговая мембрана диаметра 10 см
и веса 0,006 г на1 см2 совершает колебание основного тона с ча-
стотой 220, соответствующей единице А, введенной Рэлеем, то
натяжение Т определяется из уравнения
/25одаХ°,6784 = 221>,
откуда
(даг/х04 5,с=49560
приближенно в динах на 1 см. В весовых единицах силы это
равно примерно 50 zjcM.
В случае кольцеобразной мембраны, ограниченной окружно-
стями г—а и г — Ь, уравнение нормального типа колебаний
содержит, вообще говоря, функции Бесселя и Неймана. Если
положим
(J„(xr) К-(хг))
г=Л 5^)} 00s"e	<I7>
то это будет соответствовать некоторому возможному колеба-
нию при условии, что х определяется из уравнения
ЛИ)Гя(хд)-/„(^)УлМ=0.	(18J
Из асимптотических выражений для функций Jn и Уп можно
заключить,, что это уравнение имеет бесконечное множество
действительных корней и, повидимому, решение
z = ЕЕ (л cos п6+в sin"°} {да ~ да}cos	(19)
является достат9чно общим для того случая, когда мембрана
выходит из положения равновесия с начальной формой, опре-
деляемой равенством
z.=f(r,9).
ГЛ. X. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ
147
В этом случае коэффициенты А и В могут быть выражены
в виде определенных интегралов тем же методом, как это было
сделано в гл. VIII. Таким образом, если мы напишем
4(хг) Г„(хг)
ЛЛ*3)	гл(*а)’
то найдем, что
2тс
Ь
ur cos л9 dr = LA,
0 a
2x ' b
ur sin «9 dr = LB,
(20)
о
где
L=к Си? г dr. VI, (33)
J	2х (dr dx jr^b v '
J'.Ml
Теперь
/ди\ _	Y'a(*b)\
VnW ^ (*«)/“
•^(*&)	1'л(х6) 1 [на основании фор-
Р70^)/мулы (18)]	•
)У~(х'а)' 1на основании формулы III, (47)].
Аналогично
dx )г-Ь — \ Jn («О Уп * { Jn (^}2Уп (««) 
Следовательно,
L=K^_ /	_ Y'№ V_____«________1	=
К 2 (/„(ха)	Г„(ха))	2х» {/„(*а)Гл(’'а)}а —
" Г2 ( J'jxr) г'(хг) VI* .
— Мта-та/k	<21)
Для более подробного ознакомления с материалом этой
главы мы отсылаем читателя к книгам: Франк и Мизес,
Уравнения математической физики, и Рэлей, Теория звука,
т. I, II.
10»
ГЛАВА XI
ГИДРОДИНАМИКА
В гл. I, § 4, было показано, что выражение
<p=^j (A cos лв + В sin д9) e~uJn(Xr)
удовлетворяет уравнению Лапласа •
у2<р = О,
и были рассмотрены некоторые применения этого результата
в физике. В гидродинамике функция <р интерпретируется как
потенциал скорости, определяющий вид установившегося без-
вихревого движения несжимаемой жидкости, причем указанный
вид функции <р соответствует случаю, когда мы имеем дело
с цилиндрическими границами.
Мы не будем здесь останавливаться на всех специальных
задачах и рассмотрим лишь те из них, в которых ход решения наи-
менее очевиден.
§ 1. Функция тока для движения жидкости в пересекаю-
щихся плоскостях. Пусть имеется масса несжимаемой жидко-
сти единичной плотности, движущаяся таким образом, что тра-
ектория каждой частицы лежит в плоскости, содержащей ось z,
угловая скорость частицы равна а» и ось вращения перпендику-
лярна к плоскости, содержащей траекторию частицы.
Тогда1), введя, как обычно, цилиндрические координаты г, в,
z и обозначив через и, v составляющие скорости по г и по оси,
параллельной оси z, получим:
* (1)
dr QZ
и
— д“ = 2а).	(2)
drdz	' '
Уравнение (1) показывает, что мы можем положить:
«r=-g-, vr=^_,	(3)
О Г. Ламб, Гидродинамика, Москва, 1947, стр. 157—159.
______________________§ 1. ФУНКЦИЯ ТОКА
149
где ф есть функция тока; тогда уравнение (2) примет вид
dr г dr ) + dz г dz)	“и’	' ’
Если движение установившееся, то ф является функцией
от г и z; если положим
qt=ut-\-v*,
так что q есть скорость, и примем плотность равной единице,
то уравнения динамики могут быть написаны в следующей
форме:
dr dr I 2 ? I 2 Г dr~~и’
7	(5)
dpi-d/-* а\ O_±^L Л	V/
dz ' dz у 2	) г dz ’
откуда следует, что величина ®/г может быть выражена как
функция от ч>. Наиболее простым предположением является
® = Сг,	(6)
где С — постоянная; при этом предположении уравнение (4)
обратится в следующее:
dr { г dr J г dz { г dz J	'
Обыкновенное дифференциальное уравнение
имеет решение
х=4!>4+Лг2+в-
где А и В—произвольные постоянные.
Если мы предположим теперь, что
ф = х + Р'чЖл-г;
где р есть функция только от г, то из уравнения (7) найдем,
что
^Ч-гя?+("’-^)р=о-
Решение этого уравнения выражается функцией
Р=^„Л(яг)+А У, (пг).
150
Гл. ХГ. ГИДРОДИНАМИКА
Окончательно имеем
Ф = 4- Cf4 + Ar*+B + г 2<с»у1 («О+Д,г,(nr)} chnz, (8)
п
где значения п и других постоянных определяются так, чтобы
были удовлетворены граничные условия.
Пусть, например, жидкость заполняет конечную область, за-
ключенную между цилиндрами г = а и г = Ь тл плоскостями
z = ±h. Тогда граничные условия будут:
для г —а или г—Ь и для всех значений z и
для z = ^zh и для всех значений г таких, что
Граничные условия будут удовлетворены, если взять -функ-
цию <|> постоянной и равной 0 в каждой граничной точке. Если
теперь положим
Ф = 2-С (,• - а’) (г> - Ь') -Cr JС, [igl- ng-]} g=(9)
п
то ф будет обращаться в 0 для г— а. Она будет обращатьс
в 0 при г = Ь при условии, что п выбрано так, что
Jj (па) Yj (nb) — Jj (nb) Yi (па) = 0,	(10)
и, наконец, будет обращаться в 0 при z=d=A, если коэф
фициенты Сп определены так, что
Sс» {Ш - й£’} —г С'* -	<г* -	<•»
я
для всех значений г таких, что
а-^г-^Ь.
Предполагая возможным разложение (9), мы сумеем найти
коэффициенты обычным путем интегрирования.
Линии тока определяются уравнениями
ф=const, 0= const,
так что наружные частицы жидкости во все время движения
остаются на стенках сосуда1).
0 Написанное выше решение было дано в Mathematical Tripos, январь 1884.
§ 2. КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ВИХРЯ
151
§ 2. Колебания цилиндрического вихря. Некоторые очень
интересные результаты были получены Кельвином1) в связи
с колебаниями цилиндрического вихря около состояния устано-
вившегося движения. В прямоугольных координатах уравнениями
движения Эйлера будут
_= 2?_LU
дх dt ' дх ' ду । ' dz
и два аналогичные^уравнения.	2
В цилиндрических координатах (г, 0, z) величины <w и z
остаются , неизменными. Пусть прямоугольные оси ОР и OQ
взяты в плоскости (х, J/) так, что ОР проходит через проекцию
на эту плоскость рассматриваемой частицы жидкости. Тогда,
если и и v— скорости частицы по ОР и OQ, то эти оси будут
вращаться с угловой скоростью v/r. Ускорения частицы, вы-
званные вращением осей, будут
vi । uv
г г '
Отсюда, заменяя v/r через ш, получим уравнения движения
др	ди	~ л I .. ди	।	ди ,	ди
dr	dt ' dr	'	дЪ '	дг	’
-до д(гш)	д(г~») ,	д(г<а). ,	д(г<»)
- тзй = Чг!++ и ~ъг+“ ~аг!+w т
др dw . dw I dw f dw
-дТ=^-+и^-+в>дг+гг’эГ’
(12)
тогда как уравнение непрерывности, имеющее в декартовых
координатах вид
ди I . dw_ п
дх ' ду ' dz ’
будет
ди , и .dfr^.dw
dr + г + гд9	°’	.
Будем считать величины г, 9, z не зависящими от t, в то
время как и, <п, предполагаются явными функциями от г, О,
х, t. Плотность жидкости возьмем равной единице.
Мы получим возможное состояние установившегося движе-
ния, полагая
и = 0, ® = 0, <» = <7 = const,
*) Phil. Mag. (5), 10, 1880, стр. 155; Collected Papers, m. IV.
152
ГЛ. XX. ГИДРОДИНАМИКА
откуда для скорости будем иметь выражение
v = qr	(14)
и для давления
я = J qzrdr — к0+Л <?2r2,	(15)
где я0 есть постоянная, зависящая от граничных условий.
Предположим теперь, что решения уравнений (12) и (13)
имеют вид:
и—U cos mzsin (nt — s9), rm = v 4- V cos mz cos (nt — sb), |
w=Wsin mz sin (nt— sb), p = к-|-Пcosmzcos(nt—s6), J
где $ есть действительное целое число, т, п—постоянные и
U, V, W, П — функции от г, малые по сравнению с v.
Подставляя эти выражения в уравнения (12) и (13) и пре-
небрегая квадратами и произведениями малых величин, получим
приближенные уравнения
-j~ = (n-sq)U-2qV, 	f_n= _(n — sq)V+2qV,	(17)
mIL = (n — sq)W,	
^+4+->у+тП7==о-	(18>
Из уравнений (17) получаем
I Л/ ч dW
(n — sq)\(n — sq)-r-— —
U =--------*-----------
m (4^2 — (n — sqY}
,	- dW s(n — sq)
(19)
tn {4q* — (п — sq)*}
и, подставляя эти выражения в (18), после небольших преобра-
зований, находим
rfW. 1 dW , ( W2(4g2_(ra_^)2}	— n z9fn <
dr* > r dr	(n-sq)*	7*]W ~U'
Если величина ”** {4y2zz.(” ~^)a),. положительна, обозначим
(n — sq)*
ее через xa, если она отрицательна — через — А2.	|
Тогда в первом случае имеем	а
Г=А/,(хг)-|-ВГ,(хг)	(21) J
I
J
§ 2. КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ВИХРЯ
153
и во втором случае
W=CIs(lr)+DKs(lr).	(22)
Постоянные должны быть определены из соответствующих
граничных условий.
В качестве примера предположим, что жидкость при уста-
новившемся движении заполняет внутренность цилиндра г = а.
Тогда, для того чтобы в возмущенном движении че было всюду
малым, необходимо, чтобы было В = 0 в формуле (21) иД = О
в формуле (22),
Для определенности предположим( что т, п, s, q выбраны
так, что
4^2>(п—sq)*\
тогда из формул (19) и (21) получим
(	' 2sq I
А(п — sq) 1 (n — sq) xJs (xr) — - - J^xr) 1
m {^ — (n — sqY}	*
Из формулы (16) соответствующая радиальная скорость
и — U cos mz sin (ni—$0),
и если Uo есть значение U при г— а, то начальная скорость
вдоль радиуса при г = а равна
— Uo cos mz sin s0.
Пусть теперь Uo есть (малая) постоянная величина; предпо-
лагая эту постоянную заданной, определяем значение постоянной
А из формулы (23):
д =__________{4у»-(я-^у}жа0__________=
{/ 2sq )
(n — sq) xJs (ха)-— Js (ха) I
= ---------' (24>
(xZs(xa)-(/t_J?)e Js(xa)
Другие начальные составляющие скорости и начальное дав-
ление определяются согласно уравнениям (16) — (19).
Не трудно представить себе общую природу возмущения,
данного уравнениями (16): оно, очевидно, перемещается вокруг
оси цилиндра с постоянной угловой скоростью n/s.
Если q задано, то мы можем получить весьма общее реше-
ние, комбинируя различные возмущения рассмотренного типа,
получающиеся при разных значениях т, п, s. Кельвин показал,
что этим способом можно построить решение для „произволь-
154
ГЛ. sell ГИДРОДИНАМИКА
ного распределения порождающих возмущений по всей поверх-
ности цилиндра и для произвольной периодической функции
времени".
Общее решение содержит в себе функции J и I.
Другой случай установившегося движения представляет
собой циркуляционное потенциальное движение жидкости между
двумя соосными цилиндрами, из которых внешний есть твердая
стенка, а внутренний — свободная поверхность. Этот случай
получится, если положить и —0, w = 0, г2ш = с, где с—посто-
янная; потенциал скорости есть св, и скорость в какой-либо
точке равна
(25)
Если а есть радиус свободной • поверхности, то давление для
невозмущенного движения равно
(26)
Подставляя эти значения v и к в уравнение (16), мы, как и
раньше, приходим к приближенным уравнениям, соответствую-
щим уравнениям (17) и (18):
^ + 4 + ^- + ^ = 0,	(28)
откуда
V =	W, П = 4 (п - ТГ)W >
тг	т \ гл j
у _____1 dW
tn dr ’
(29)
и, следовательно, W удовлетворяет дифференциальному урав-
нению	^+JL^_^+4W=0. dr2 1 г dr у 1 г2 у
Отсюда	W=AIS (тг) 4- BKS (тг),	(30)
где А и В — произвольные постоянные.
§ 2. КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ВИХРЯ
155
Если неподвижная граница определена уравнением г^Ь,
то должно быть н = 0 при г = Ь, так что из формул (16) и (29)
следует
^ = 0 при г — Ь.
Таким образом,
„„	_ (I- (тг) К, («г))
w=c -А--—А-4-		(3i)
I z; (mb) K's (mb))	V
Мы попрежнему должны удовлетворить условию р=к0 в
каждой точке свободной поверхности при возмущенном движе-
нии. Для этого мы должны найти в первом приближении форму
свободной поверхности. В установившемся движении координаты
г, z жидкой частицы остаются неизменными и
А С	л Ct
в = 7Г ’ откуда О =	,
В возмущенном движении г не должно сильно отличаться
от его среднего значения г0, и если взять уравнение
г = Ucos mz sin (nt — s0),
ct
то мы получим первое приближение, подставив 0=	, взяв
г0
вместо U его среднее значение Uo и пренебрегая изменением
z. Таким образом, будем иметь
г — Uq cos mz sin [ n--%-
\ r° /
и поэтому
r = r0----cos mz cos (nt — s0).	(32)
cs
n--.2
To
Если положим r0 = a и будем писать Ua для соответствую-
щего значения t70, то приближенное уравнение свободной по-
верхности примет вид
п
г = а---------cos mz cos (nt—s0).	(33)
SC
п--&
Теперь по формулам (16) и (26) имеем
p —ir0-|—~c2	—A-|-IIcos z«2:cos(n<—S0),
156
ГЛ. XI. ГИДРОДИНАМИКА
а условие p = vQ дает, если принять во внимание формулу (33),
«6
1	1
дЗ	иа	I2
а-			cos mz cos (nt—sO)
>	J
+ П cos mz cos (nt—sO),
что можно написать, пренебрегая квадратами малых величин»
в виде
п-^Лг=о.	(34>
На основании формул (29) имеем
П = — (п —
т \ а*) а
U —____L(^L\ •
л	т dr )г„л ’
таким образом, при значении W, данном в формуле (31), из
условия (34) получаем
/	sc \2 ( ls (М	Ks (та))
\П &)\Г3(тЬ)	K's(mb)]"^
 «с» ( (та) K's (Ml _ Q
о? I Is (mb) К^ M)J
Это равенство можно рассматривать как уравнение для на-
хождения п, когда остальные величины заданы.
Если напишем
^=4	(36)
(угловая скорость на свободной поверхности при установившемся
движении) и
ЛГ _______ J (дая) (»»«)) / Z* (ma) ("“Н iV7\
l Is (mb) Ks (m*)J I ls (mb)
то корень уравнения (35) будет
n = q(s±V~N).	(38)
Отвлеченное число JV положительно, если, а, Ь, т вещест-
венны и положительны и Таким образом, установившееся
движение устойчиво по отношению к возмущениям рассмотрен-
§ 2. КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ВИХРЯ
157
ного здесь типа. Это можно было предвидеть из других сооб-
ражений.
Уравнение (38) показывает, что каждой системе значений
т, s соответствуют два колебания типа (16), движущихся с
угловыми скоростями
( Vn\	I Vn\
^11-]—-- ) и соответственно q 11 — s~\
вокруг оси трубы.
Заслуживает внимания частный случай, когда b—ео. В этом
случае должно быть
W=AKs(mr),
и формула (37) приводится к виду
.. Ks(ma)
N = — та —г.
К (та)
Третий случай, рассмотренный Кельвином, состоит в том,
что сплошной цилиндр вращается как твердое тело и окружен
жидкостью, простирающейся в бесконечность и находящейся
в безвихревом движении, причем на поверхности раздела между
жидкостью и цилиндром скольжения нет. Таким образом, если а
есть радиус цилиндра, то
<v = qr
при г<а,
при v > а
(39)
v = ^
для невозмущенного движения.
Для возмущенного движения
из уравнений (16) и в результате
мы исходим, как и раньше,
такого же анализа получаем:
где
W =-AJs(*r) при г<а,
W = BKs(mr) при г>а,
х2 _	—(п —д?)2}
(п — sq)*
(40)
На поверхности раздела U, W и П должны иметь одни и
те же значения по обе стороны. Теперь из формул (17) и (27)
следует, что значения П должны быть те же самые, когда
значения W совпадают между собой. Следовательно, два усло-
вия, которые должны удовлетворяться, согласно формулам (23)
и (29), следующие
AJS (хд) = BKS (та)
(41)
158
ГЛ. XI. ГИДРОДИНАМИКА
И
(	, 2sq )
Д(ге — s?K(n — sq)*Js (ха)--— Л(ха)|
т {^ — (n — sq2}	~ ~	^тс^'
Исключив А/В, мы после преобразований получим
xSgff'(gta) _ 2sq _ „
Js (ха) ‘ mKs (та) n — sq
(42)
или, что то же,
m*aJ 's (*а)	(та)
—ТДка) Ks(ma)
s/x2 + /na=0.
(43)
Это есть трансцендентное уравнение для определения х,
когда остальные постоянные заданы. Когда х известно, п опре-
деляется из формулы
п
По поводу доказательства того, что уравнение (43) имеет
бесконечно много действительных корней, а также о некото-
рых более сложных исследованиях, относящихся к этим трем-,
задачам, мы отсылаем читателя к цитированной выше ориги-
нальной статье.
Так как выражение для w содержит множитель sinzrez, то
можно предположить, что плоскости z—’p и z = ‘Kjm являются
неподвижными границами для жидкости.
f
§ 3. Волновое движение в цилиндрическом сосуде. Мы
будем рассматривать теперь безвихревое волновое движение
однородной жидкости, содержащейся в цилиндрическом сосуде
радиуса а и глубины h. Верхнюю поверхность жидкости пред-
положим свободной, а плоскость z=0— невозмущенной.
Потенциал скоростей <₽ должен удовлетворять уравнению
д2?  1 ду  1	 д2у л
dr2 * г dr' r2<№' dz2
(44).
и граничным условиям:
^- = 0 при z = — h,
ду п	(45>
-j7 = 0 при г —а.
Эти условия удовлетворятся, если мы примем
ср=A Jn (xr) sin пв ch х (z+h) cos mt,	(46).
§ 3. ВОЛНОВОЕ. ДВИЖЕНИЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СОСУДЕ 159
предположив, что х определяется из уравнения
7я'(ха) = 0.	(47)
Если на жидкость действует только сила тяжести, то гра-
ничным условием на свободной поверхности будет
^+гй- = о	(48)
0*3	V*
при Z—0. Отсюда, пренебрегая малыми, второго порядка,, имеем
— т* ch xA-f-gx sh *h = О
или
т? — g* th xA.	(49)
Уравнения (46), (47), (49) дают вид функции <р, соответствующий
нормальному типу колебаний. Если жидкость заполняет весь
сосуд, то п должно быть целым, ибо <р должна быть однознач-
ной функцией. Уравнение (47) имеет бесконечно много корней
х<л), х<">,..., так что для каждого значения п мы можем на-
писать в наиболее общей форме
=	Лу/„ (х^п)г) ch х*п) (2A)’cosm^n)i sin «9.	(50)
Комбинируя решения, получающиеся при различных целых п,
мы получаем выражение для <р в виде бесконечного двойного
ряда. Более того, вместо одного тригонометрического множителя
A cos mt sin n9
в каждом члене, можно взять
(Л cos mt В sin mt) sin п 0 (С cos mt-f-D sin mi) cos n 9,
где Л, В, C, D — произвольные постоянные.
В качестве простейшего примера возьмем л = 0 и
<р = S Л Jo (xr) ch х(г -|- A) sin mt.
Если, как обычно, обозначить через ц возвышение свободной
поверхности в некоторый момент над средним уровнем, то
~ Tj *^°	) sh sin (51)
Так как 4 исчезает при / = 0, то нужно предположить, что
жидкость приходит в движение из состояния покоя. Проинтегриро-
160
ГЛ. XT. ГИДРОДИНАМИКА
вав равенство (51) по Л мы получим возможную форму свободной
поверхности, определенную уравнением
J}^shxAJ0(xr),	(52)
где суммирование ведется по корням уравнения
•4 ~ о*
Методом, изложенным в гл.[ VIII, может быть найдено такое
решение, которое соответствует "свободной поверхности, заданной
уравнением
•П =f(r).
Заметим, что в формуле (49) хА есть отвлеченное число; по-
ложив в рассматриваемом специальном случае ха = Л, так что к
есть корень уравнения Jo (Л)=0, получим период соответствую-
щего колебания
Представляет интерес тот частный случай, когда жесткая
вертикальная перегородка, толщиной которой можно пренебречь,
простирается от оси сосуда до его периферии. Если положение
перегородки определено уравнением в = 0, то мы должны еще
присоединить к граничным условиям равенство
С| = 0 при .0 = 0 или 2«.
оо
Этим исключаются некоторые, но не все, нормальные коле-
бания, которые возможны при отсутствии перегородки; но кроме
тех, которые могут остаться, мы имеем еще новую систему, полут
чающуюся при
где k есть некоторое целое число. Такимюбразом, в простейшем
случае, когда А = 0, можно положить
<p=A7,;j(xr)cos у ch х (z-|-A) cos(53)
или, что то же самое,
<р = А'г~'1г sin хг cos у ch х (2 A) cos mt,
при условиях
tgxa —2ха = 0, 1
/n2 = g*thxA. J
§ 4. КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ БАССЕЙНЕ
161
Уравнение tg х—2х=0 имеет бесконечное множество веще-
ственных корней, каждому из которых соответствует колебание
типа, представленного уравнением (53).
В более общем случае, если положить
„ —(2*+1)« Гв<-1 1
Я-----£---
где £—некоторое целое число, то функция
— (4'cos	Jn (xr) ch x (z»-|- h) sin «6
при условиях (47) и (49) определяет нормальный тип колебаний
в сосуде глубины А, ограниченном цилиндром г = а и плоскостью
Подобные же соображения применяются при изучении коле-
баний круглой мембраны с одним неподвижным радиусом, и
мембраны, имеющей форму кругового сектора1).
§ 4. Колебания жидкости во вращающемся бассейне. Дру-
гая интересная задача, решенная Кельвином’), ставится следую-
щим образом.
Круглый бассейн, наполненный однородной- тяжелой жид-
костью, вращается с постоянной угловой скоростью о> вокруг
вертикальной оси, проходящей через его центр. Требуется иссле-
довать колебания жидкости в предположении, что движение каж-
дой частицы почти горизонтально и только слегка отклоняется
от того движения, которое частица имела бы, если бы жидкость
и бассейн вращались вместе как одно твердое тело и скорости
частиц, находящихся на одной вертикали, были равны.
Сделанные допущения законны в предположении, что если а
есть радиус бассейна, то ш’а мало по сравнению с g и что наи-
большая глубина жидкости мала по сравнению с а. Мы пред-
положим для простоты, что средняя глубина постоянна и равна h.
Отнесем движение к горизонтальным прямоугольным осям,
пересекающимся на оси вращения и жестко связанным с бас-
сейном. Если и, v суть составляющие скорости частицы с коор-
динатами х, у, параллельные этим осям, то приближенные урав-
нения движения будут3)
Э“2м==-±дР-,]
dt ₽<Ч	(55)
dt 1	р ду
1)	См. Рэлей, Теория звука, т. I,Москва, 1940, стр. 346—348.
2)	Phil. Mag. (5), X, 1880, стр. 109; Collected Papers, т. IV.
3)	См. Г. Ламб, Гидродинамика, Москва, 1947, § 207.
и Э. Грей и Г. Б. Метыоз
162
ГЛ. XI. ГИДРОДИНАМИКА
Если h-{-z есть глубина жидкости в рассматриваемой точке,
то уравнение непрерывности примет вид
а(£+£)+£=°- («>
Условия на свободной поверхности приводят к уравнениям:
др __ dz
дх	дх	’
др ___ dz
ду	ду	*
(57)
Исключив р из уравнений (55) при помощи условий (57) и
перейдя к полярным координатам, получим
V 2w-Hr£ = 0,
др . о „ . dz
(58)
имеет вид
(59)
где иия обозначают теперь составляющие скорости вдоль ра-
диуса-вектора и перпендикулярно к нему.
Уравнение непрерывности ; в новых обозначениях
t/da 1 до , uX.dz__________________п
А(эг+7дб + т) + дГ = °-
Из уравнения» (58) получаем
Применив оператор	к уравнению (59) и исключив
и, v, мы получим дифференциальное уравнение для z, которое
после преобразований приводится к виду
(*_ i 4ш«^- p-л f— -I--L — -4- —
(df»“ Idt ~«"Idr» г dr^r» де» di '
(60)
(61)
Предположим, что
z=С cos (тпО—nt),
где т, п суть постоянные, а С есть функция одного г.
подстановки в уравнение (61) получим
4- 1	_—V—0
dr* г dr'\	г» Г и’
После
(62) I
§ 4. КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ БАССЕЙНЕ
163
где
(63>
аналогичны проведенным
например, в простейшем
(водоем) с вертикальными
о и» — 4®*
х8 =----.— .
gh
Дальнейшие рассуждения вполне
в уже рассмотренных случаях. Так,
случае, когда имеем круглый пруд
берегами, полагаем т целым и получаем
z—Jm(*r) cos (znG — nt).
Граничное условие
u = 0 при г — а
дает при помощи уравнений (60) для определения п
2т® Jm (ха) — лха Jm (ха) = 0.
Если в>2 мало по сравнению с gh, то приближенно
а
X 3 = -г- ,
gh
и уравнение (65) приводится к виду
Vgh т
В общем случае устанавливается, что уравнения
удовлетворяются, если положить:
» = 4/sin(m0—nt), » = У cos (дав — nt),
2m<s> J
т
0.
где
U
g	( dt	2т^
пз — 4<а» Iя dr г
g
' п® — 4а>а
(64)
уравнение
(65)
(58) и (60)
(66)
(67)
Предполагая, что решение уравнения (62) имеет
С=Л/Я1(хг)+ВУт(хг),
мы получим значения z, пригодные в случае круглого озера
С круглым островом посередине.
Следует заметить, что эта задача была поставлена Кельви-
ном в связи с динамической теорией приливов Лапласа: решение
се применимо к исследованию волн в мелких морях или внут-
ренних озерах, если мы положим u»=ysini, где у есть угловая
скорость Земли и А—широта моря или озера, которое мы пред-
полагаем сравнительно малых размеров.
вид
11*
164
ГЛ. XI. ГИДРОДИНАМИКА
§ 5. Плоское движение вязкой жидкости. В заключение
главы мы кратко остановимся на приложениях функций Бесселя
к движению вязкой жидкости в двух измерениях. Предположим,
что плотность жидкости равна единице и что действующих сил
нет; тогда можно показать, что уравнения движения будут1):
•	f>2
и-------
др	а 2d»
—.	р, V а — r3 ~dQ
 । uv  др ,	/... v I 2 ди \
(68)
—о д*и I 1 ди 1	1 д*и /-х
где	+ Оси здесь вращаются, и поэтому
применимы соображения, которыми мы пользовались при выводе
уравнений (12), § 2.
Если ф есть функция тока, то
и = -^- v = — ^
и rdQ ’	dr ’
и если положить
P'V2'!' —	=	(69)
то уравнения движения можно написать в виде
р2 др। 1 дх 1 ди
г дг ' г дЪ dt
uv ______др __дх . dv
Если квадраты и произведения скоростей малы, то
• ди • dv
u--=-dt’ v=-dt’
и уравнения приводятся к виду
др____1 ду 
дг	г 09
др
(70)
(71)
дх
Отсюда, исключив р, получим
д
дг
/гдх.\ ! 1 д«х
\ дг)' г d9»
= 0,
*) См. Г. Ламб, Гидродинамика, Москва, 1947, § 328а.
§ 5. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
165
или, что то же,
V2X = 0.	(72}
Сравнительно простое решение можно построить, предпо-
ложив, что
Х = 0
и
ф = ^emli,
где 'Г есть функция одного г. Это приводит к уравнению
>г= О,
ar* ' г аг и ’
так что, если ха = /п/у., то
Ф = А19 (*г /7) + ВК0 (хг /7),
но если ф конечно при г— 0, то В=0, и значение Ф есть
Ф = A {ber (хг)	i bei (xr)}.
Мы получим в качестве ф вещественную функцию, полагая
ф = (a -J- р/) emi‘ {ber (xr) -f - i bei (xr)} -|-
+ (a — pZ) e ~'”"{ber (xr) — i bei (xr)} =
= 2a (cosznZber(xr) — sin mt bei (xr)} —
— 2p {cos»?Zbei(xr)-|-sina?Zber(xr)},	(73)
где a, p, m — некоторые вещественные постоянные. Предполо-
жим теперь, что при г = а скорость равна a®s\nmt. Тогда
ao> sin mt=—
и поэтому
а Ьег' (ха) — р bei’ (ха) = О
(74)
и
ат = — 2ax bei' (xa) — 2px ber' (xa).
Следовательно, из равенств (73) и (74) имеем
...____ aw pnc „,t ( ber (xr) bei' (xa) — bei (xr) ber' (xa)
Ф— x COS/K£| ber'»(xa)+bei,«(xa)
। -дщ .	. f ber (xr) ber' (xa) bei (xr) bei'(xa))
’ x	|	ber'2 (xa) bei'2 (xa) J ’
(75)
Граничным условиям можно удовлетворить,’предположив, что
жидкость заполняет бесконечный цилиндр радиуса а, вынужден-
166
ГЛ. XI- ГИДРОДИНАМИКА
ный вращаться вокруг оси с угловой скоростью wsinznZ и увле-
кающий за собой соприкасающиеся с ним частицы жидкости1).
Маятник, движущийся в вязкой жидкости. Весьма важное
приложение теории можно найти в мемуаре Стокса8). Для озна-
комления с подробностями советуем читателю обратиться к этой
статье, здесь же мы проведем анализ в общих чертах.
Практическая задача состоит в том, чтобы вычислить вяз-
кость воздуха, рассматривая малые колебания цилиндрического
маятника под действием силы тяжести. Для упрощения анализа
предположим, что имеется бесконечный цилиндр радиуса а,
окруженный вязкой жидкостью (плотности р), также простираю-
щейся в бесконечность; построим возможное состояние пло-
ского движения, при котором цилиндр колеблется вдоль началь-
ной линии 0=0, так что его скорость V в некоторый момент
времени выражается формулой
У=се^па+сье~^,	(76)
где v = рь/р (р. — коэффициент вязкости); п, пй— комплексные
сопряженные постоянные, с, с0—комплексные сопряженные по-
стоянные с малой абсолютной величиной.
Функция тока <]> должна исчезать в бесконечности и удов-
летворять уравнению
V2(V2-Vdt)'l, = 0	(77)
и граничным условиям
^=УлсозО, |J-=Vsin0,	(78)
при г=а.
Предположим теперь, что
ф = [г2,я"(у 4-Вх(г))+	+ВЛ(г)}] sin0. (79)
Часть этого выражения, именно сумма первого и третьего
членов, удовлетворяет уравнению
V8<|»i = 0,
остальная часть, <|>2, удовлетворяет уравнению
(v2 * —-^<|>2 = 0
\ v Ot j Т2
1) Этот пример взят из статьи, помещенной в Mathematical Tripos, Wed-
nesday afternoon, 3.января, 1883.
2) Stokes, On the effect of the internal friction of fluids on the motion
of pendulums. Camb. Phil. Trans., 9.
§ 5. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
167
в предположении, что функции х» Хо выбраны так, что

Таким образом, функция ф=ф14-ф2 удовлетворяет уравнению
тэг*»=0-	<81>
Так как ф исчезает в бесконечности и К\ =— Кй, то подходя-
щими решениями уравнений (80) будут
X = ker'(/2nr)-|-»kei'(/2nr), j
Хо = ker' (]/2Йо г) — i kei' (V 2^ г). J
Граничные условия будут удовлетворены, если
^+8Х(а)=са,
-^+Вх'И=с;
откуда
д cefl[ax'(a)—x,(a)}
х(«)+*х'(«)	’
(83)
р_ 2са	'
Х(«) + «Х'(<»)’
а Ло и Во получаются отсюда, если подставить Хо вместо X,
с0 вместо с и—i вместо I.
Уравнения (79), (82), (83) определяют движение жидкости,
когда цилиндр- вынужден двигаться согласно закону, выражен-
ному формулой (76).
Пусть теперь Z обозначает сопротивление движению ци-
линдра, возникающее вследствие вязкости окружающей жидко-
сти, на единицу длины цилиндра. Тогда, поступая как в .Гид-
родинамике* Бассета (II, 279, 280), получим
2те
Z=a f (_ Р cos 0 4- U sin 0)rf9,
J	r-a,
168
ГЛ. XI. ГИДРОДИНАМИКА
где
Р=-р-^ + Ъ-%.
rj / 1 ди , dv v \
*__ди । 1 dv I и
dr*" г дЬ ’ г *
Но при г = а имеем
£ = 0, S = 0,S“=-ysinO «“_ 4=0.
тогда как из уравнения (81)
dv	1 дф2
дг	у dt ’
так что
р=-р. 1/=-р^.
Теперь, интегрируя по частям, получим
Гр cos OdO = — f sin 0d6=
г	i da
0	0
2к
= paJ-^-|vV8'{» — ^-jsinSdS, [cm. (71) и (69)],
о
2x	2x
Г:р cos 0 d0 =Ц—]pa J	sin 9 d.9 [cm. (81)).
о	о
Следовательно,
2к
Z=—+	sin0d0 =
r ) ot \ or 1 jr^a
о
= 2rcpv ia (nLe2,лН — n0L0e~2'"tfi),	(84)
где
L==L (a) =	!a)l >	(85)
a v '	X(«) + «X («)	'
и Lo сопряжено c Z.
§ 5. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
169
Пусть <3 есть плотность цилиндра; тогда сила, действующая
в момент времени t на единицу длины цилиндра и необходимая
для поддержания заданного движения, есть
F=2nm8 (Ne™1 — N^~2m^),	(86)
где
N — nc <з
P {«/(a) —3x(«)} 1
x(e)4-ax’(a) J’
(87)
No — сопряженная величина.
Предположим теперь, что мы имеем маятник, состоящий
из тяжелого цилиндрического тела, подвешенного на тонкой
нити и совершающего малые колебания в воздухе под дей-
ствием силы тяжести. Мы будем предполагать, что если амп-
литуда колебаний достаточно мала, а период достаточно велик,
то движение будет приблизительно того же типа, что и для
бесконечного цилиндра; так что, если В обозначает горизонталь-
ное перемещение цилиндра в момент t из его среднего положе-
ния, то
i =	•	(88)
Сила, возникающая вследствие тяжести и действующая на
единицу длины цилиндра, если ограничиться малыми первого
порядка, равна
— к (а—р)а« р,
где I есть расстояние от центра масс маятника до точки под-
веса.
Приравнивая это выражение выражению для F, данному
выше, мы получим уравнение
2М (Ne2'"*1 — N0e~2m,ti) + (а—р) gl = 0,	(89)
которое удовлетворяется в любой момент и потому может быть
продифференцировано по времени. Выполняя дифференцирование
и подставляя вместо 5 его выражение через время, получим
равенство
{-MN + (о - р) gc} е™ + {-4n0v8/N0+(а - р) £С0} е~2^1=^),
которое тождественно удовлетворяется, если положить
(а—Р) Sc = 4nMN
170	ГЛ. М. ГИДРОДИНАМИКА	i
или, что то же самое,	%
=	+	(90) 1
I \ 1 х(я)4-«х(«) 7	I
где функция Х(а) определяется из верхней формулы (82). Мы ?
получили уравнение для определения п, которое должно быть
решено приближенно; так как движение в действительности
затухающее, то собственное значение п должно иметь положи-
тельную мнимую часть. Можно, если р весьма мало по сравне-
нию с а, приближенно положить
4v2n2 = у.
Постоянные с и с0 определяются по начальным значениям £
и $ из уравнений (88) и (89).
ГЛАВА XII
ПОСТОЯННЫЙ ТОК ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ИЛИ ТЕПЛА
В ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Гл. VIII, в которой рассматриваются ряды Фурье — Бесселя,
содержит все, что необходимо для применения функций
Бесселя в задачах о распределении потенциала, но было бы
•очень полезно пояснить эти теоретические исследования несколь-
кими примерами, разобранными до конца. Мы рассмотрим здесь
несколько случаев электрического тока, имеющих физический
интерес. Другие задачи с замечаниями относительно их решения
можно найти в примерах, помещенных в конце книги. В этой
главе мы говорим об электрическом токе, но полученные при
этом результаты могут рассматриваться как решения задач в тео-
рии установившегося потока тепла или безвихревого движения
несжимаемой жидкости, или даже как решения задач о распре-
делении потенциала-и напряженности электростатического поля.
Способ перенесения решения с одной задачи на другую совер-
шенно ясен. Потенциал в задаче об электрическом токе заме-
няется температурой в задаче о переносе тепла, а термины
.проводимость* и «мощность источника* (или «стока*) остаются
прежними; потенциал в электродинамике совпадает с потенциа-
лом в электростатике, источникам и стокам в электродинамике
•отвечают положительные и отрицательные заряды в электро-
статике, а проводимости—удельная индуктивная емкость.
§ 1. Электрический потенциал. Если V есть потенциал,
то во всех рассматриваемых здесь задачах V удовлетворяет во
всей среде дифференциальному уравнению
дх* ду* ' dz*	V*
или в цилиндрических координатах г, 0, z—уравнению
(2)
5г» ~ г дг ' г* 50» ' d*z	' '
На поверхности раздела двух сред с различными проводимо-
стями A|, k2 удовлетворяется условие
<3>
72
ГЛ. XII. ПОСТОЯННЫЙ ТОК ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ИЛИ ТЕПЛА
где и п2 обозначают нормали, направленные от точки по-
верхности в соответствующую среду, а и V2 — потенциалы
в двух точках, бесконечно близких от рассматриваемой точки
поверхности и лежащих в соответствующих средах. Если одна
среда—изолятор, т. е. Л2 = 0, то условие (3) будет
4^=0-
дп
(4)
Определим источник и сток как места, представляющие
собой начало и конец электрического тока в среде, и рас-
смотрим в качестве источника или стока маленький сфе-
рический электрод (радиуса г), сделанный из идеально прово-
дящего вещества и расположенный на достаточно большом (по
сравнению с г) расстоянии от граничных поверхностей. Пусть
электрод поддерживается при потенциале V и подводит или от-
водит в единицу времени общее количество электричества 5.
Тогда, так как V = const/r, то
V _ 1
5 Мгг
(5)
Величина в правой части равна половине сопротивления
между источником и стоком, помещенным в среде и поддержи-
ваемыми при разности потенциалов 2V.
Если электрод находится на поверхности среды (предпола-
гается, что поверхность имеет непрерывную кривизну), то его
нужно рассматривать как полусферу, а сопротивление по срав-
нению с предыдущим при этом удвоится. В этом случае имеем
Если г становится бесконечно малым, то, так как rV конечно,
в двух прежних случаях должно быть
ПтгУ=Д-
ПтгУ=2&-
(7)
Уравнения (1)—(3) и (7) являются условиями, которые должны
быть выполнены в рассматриваемых. нами задачах. Задачи, о ко-
торых будет итти речь, взяты из очень поучительной статьи Ве-
бера *) без особых изменений, если не считать тех, которые
i) Uber Bessel’sche Funktionen und ihre Anwendung auf die Theorie der
elektrischen StrOme, Journ. f. reitie angew. Math., 75 (1873).
§ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
173
введены в обозначения для согласования с настоящим изложе-
нием, и некоторых добавлений, объясняющих вычисления.
Потенциал от заряженного круглого диска. Докажем
прежде всего следующее предложение. Если V есть потенциал
круглого диска радиуса г,, заряженного электричеством, нахо-
дящимся в равновесии, и не подверженного действию внешних
электрических зарядов, и если ось г взята вдоль оси диска, а
начало находится в его центре, то
V = у j е* sin	у.
О
(8>
где верхний знак берется для положительных значений г, а ниж-
ний—для отрицательных и с есть потенциал на диске.
Прежде всего это выражение для V удовлетворяет уравне-
нию (2). Если мы сможем доказать, что оно приводится к.по-
стоянной при z-О и Дает истинное значение электрической
плотности, то тем самым мы докажем, что V является реше-
нием задачи. Согласно формулам VI, (6), (7), имеем
00
jcos(MJ0(Xr)d2 =-, г>5>0 (I)'
о
,	' =0	0</<? (II),
(9)
В случае (I), интегрируя по s от 0 до г, и меняя порядок ин-
тегрирования, получим
sin^-l jo (Ar) _ arc sin г > г, > 0.
о
(10)
Так как интеграл сходится, то это уравнение верно и при
г— гх", значение интеграла при этом есть
В случае (II), интегрируя по s от г2 до гх, где rj>r2>r>0,
будем иметь
f ( sin(Vi)
81п(Хг:) |7о(Яг)<д=;О> о<г<г2<г].
Пусть теперь г2 — г, тогда по формуле (10)
J^M>ri)7o(Xr)dz==« , 0<г<Г]>
174
ГЛ. XII. ПОСТОЯННЫЙ ТОК ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ИЛИ ТЕПЛА
откуда окончательно
~ Jsin(Xri) J^r) у = г, если r<rn
о
2с . л
= —arc sin-, если r>rv
nr	4
Если rt = r, то оба результата совпадают.
Таким образом, выражение
ОО’
т г 2с (*	\ 7	\ Л
V=— I е sin (Яго Jo (Хг) у
о
(П>
(12)
удовлетворяет дифференциальному уравнению, дает постоянный
потенциал в каждой точке диска радиуса г, и вместе со своей
dV
производной а~ непрерывно для z = 0 при всех значениях г.
Наконец, чтобы найти распределение электричества, имеем
при z = 4" О
=	=	—_	(13>
о	У г\ '
согласно формуле VI, (7). Общая плотность, если взять обе по-
верхности диска, есть	г’—г8 ). Этот результат может
быть получен и другим способом, что и подтверждает правиль-
ность решения.
§ 2. Круглый дисковый электрод в неограниченной среде.
Мы можем применить этот результат к решению следующей
электродинамической задачи. Предположим, что электрод, под-
водящий электрический ток, есть диск, сделанный из абсолютно
проводящего материала и погруженный в неограниченную среду
с электропроводностью k. Тогда потенциал в какой-нибудь точке
электрода с точностью до постоянной есть
y=^Jsin(Xr.)4(Xr)^.	(14)
Можно предположить, что сток или стоки находятся на очень
большом расстоянии, так что они не возмущают ток в непосред-
ственной близости от дисковидного источника.
Поток от диска в среду равен—kdV/dz на единицу площади
в каждой точке электрода и направлен по нормали. На краях,
согласно формуле (13), поток будет бесконечным, если диск
§ 2. КРУГЛЫЙ ДИСКОВЫЙ ЭЛЕКТРОД
175-
представляет собой очень тонкий сплюснутый эллипсоид враще-
ния, как это здесь предполагается, но как в этом предполагае-
мом, так и в любом действительном случае общий поток вблизи
края может быть сделан, очевидно, как угодно малым по срав-
нению с общим потоком от остальной части увеличением радиуса
диска.
Общий поток от диска в среду равен поэтому
2ic г,
5 = -24f
О о
Подставляя сюда вместо производной dVjdz ее значение, по-
лучим
3=— К Г] — г2 =8^!.
о 1
Таким образом, полный поток электричества с каждой стороны
диска за единицу времени равен 4скт\, и мы имеем
с__£_
(15)
Если диск расположен на поверхности проводящей среды,
то ток будет итти только с одной стороны диска, обращенной
к среде, и 5 будет иметь значение вдвое меньшее, чем в рас-
смотренном случае. Тогда будет
—4ЙГ-
(16)
dV
В этом случае условие -^ = 0 выполняется на всей поверх-
ности проводящей среды, за исключением диска-электрода, а
уравнение (2) выполняется, конечно, внутри среды.
Во всякой точке диска на расстоянии г от центра имеем
dV_ 2с 1	_ S 1
дг ~	2яЛг‘ У Г*-г» ’
(17>
Найдем теперь сопротивление проводящей среды между
двумя такими проводящими электродами, источником и стоком,
расположенными где-нибудь на поверхности среды на таком рас-
стоянии друг от друга, чтобы линии тока от или к каждому из
них в ближайшей окрестности их не изменялись от присутствия
другого электрода. Общий поток электричества через дио
176
ГЛ. XII. ПОСТОЯННЫЙ ТОК ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ИЛИ ТЕПЛА
в среду есть 5. Потенциалы источника и стока обозначим через
Cj и с2. Если R есть сопротивление между источником^ стоком, то
Я=с-^.
Пусть проволоки, проводящие ток к электроду и от него, имеют
сопротивления р1( р2 и потенциалы на концах (от генератора или
батареи) V, и Уг; тогда падение потенциала вдоль подводящего
электрода и вдоль выводящего равно соответственно
Vj Cj^z.Spj, с2 V2=Sp2,
так что
— ^2—(ci —В^г) = «^(Pi + Рг)
и
/? = у{И1-У2->(р1 + р8)}.	(18)
Другое выражение	для сопротивления может	быть	найдено	|
следующим образом. Мы видели, что	потенциал	на	диске-	|
источнике есть cv а	также, что полный поток электричества	|
с одной стороны диска	равен	I
5=4CiArP	|
Подобным же 'образом	для диска-стока	имеем	1
5=—4c2Ar2.	I
Отсюда^	I
2)*	>
Так как	ж
Г)    С1 —С1  С1 с2	i
S ~ Wm— саг2)’
3	j —— ~£2Г2’ ТО
Ri=^=Tk+w.-..	<19>
Из последней формулы заключаем, что 1/4Аг, есть часть сопро-
тивления, обусловленная первым диском, 1/4£г2—часть сопротив-
ления, обусловленная вторым диском. Этот результат весьма
важен, так как он дает возможность найти нижний предел по-
правки, которую нужно ввести в сопротивление цилиндрической ;
проволоки, когда последняя соединена с большими массами ;
металла.	S
§ 3. Проводник, ограниченный параллельными плоско- |
стями. От этой задачи мы можем перейти к другой, идентич- j
t
i
§ 3. ПРОВОДНИК, ограниченный параллельными ПЛОСКОСТЯМИ 177
ной задаче о кольцах Нобили и решенной впервые Риманом.
Бесконечный проводник ограничен двумя параллельными пло-
скостями z—±a, два диска-электрода лежат на этих плоско-
стях так, что их центры находятся на оси z. Требуется опре-
делить потенциал в каждой точке проводника и сопротивление
между электродами. Из распределения потенциала можно найти
также и силовые линии..
Решение должно удовлетворять следующим условиям:
д*У . IdV . д2У __0
dr2 г dr I" dz2
.^=о
dz
S
dV ___________________
2nkri j/ г2 __ Г2
при
при
при
—a<z<-\-a,
z=^±a,
r>rlt
z=±a, r<rv
В соответствии с последним условием предполагается, что ток
направлен вдоль оси в сторону уменьшения z.
Первое условие удовлетворится, если положить
00
У- у {?(2)Л + ф (2) e~^}J0 (lr) 41,	(20)
о
где <р(2), ф(2)—произвольные функции от 2, для которых инте-
грал сходится и удовлетворены другие необходимые условия.
Без ограничения.общности можно предположить, что V—0
при z = 0, и поэтому можно взять <р(2) =—ф(2). Таким образом,
условие (20) приводится к равенству
V=J2C? (2) sh (2г)70 (2г) 41.	(21)
о
Учитывая другие два условия и формулы VI, (6), (7), получим
00
Jsin(2r,) Jo(2r)d2 = O	при г>гр
О
= г \	• при Г < ГР
/ Г?-Г2
Поэтому, если положить
2?(2) ch (la) • 2 =	sin (2г,)
12 Э. Грей и Г. Б. Мэтьюз .
178
ГЛ. XII. ПОСТОЯННЫЙ ТОК ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ИЛИ ТЕПЛА
ИЛИ
2) = ——	1	(22)
то оба условия будут удовлетворены. Таким образом, решение
задачи можно выразить в виде
<23>
о
Отсюда мы легко можем получить приближенное значение
сопротивления /? между электродами. Действительно, из фор-
мулы (23) имеем
оо
G — ^2 =	Jth (МЛ (^r)sin (2rJ у =
О
оо
S Г/ 2^2Ха\	Л
=	(Xr>)T =
о '
оо
= w? - J	sin (ХГ1)Т	(24)
0	,
на основании формулы (11).
Если интегралом в формуле (24) можно пренебречь при ма-
лых значениях г,, то в первом приближении получим
Г>__1
S ~2krx‘
Это приближение можно было бы, конечно, получить сразу из
формулы (19), полагая гу = г2. Чтобы иметь лучшее приближе-
ние, разложим подинтегральное выражение в формуле (24) по
степеням г и rv Если пренебречь членами порядка г’/а3 и выше,
то получим	i
R=— —.	(25)<
n 2Arj яАа	' '
Если электроды очень малы, то мы можем положить sin =ч
= 1г), и тогда из формулы (23) будем иметь
о
•
§ 4. ПРОВОДНИК ОГРАНИЧЕННЫЙ ЦИЛИНДРОМ И ПЛОСКОСТЯМИ 179
Для того чтобы получить разложение этого выражения в ряд,
рассмотрим интеграл
‘ <*<“• г>°>-
взятый по контуру, состоящему из действительной оси с
выключенным центром и бесконечной полуокружности над дей-
ствительной осью. Интеграл по полуокружности стремится
к нулю. Далее,
*О0(Хг) = — 70(Яг)1п(2г)Ц-четная"функция от Л,
так что интегралы вдоль положительной и отрицательной оси
взаимно уничтожаются, за исключением члена
Й(М7о(Лг)^.
о
получающегося от In (Аг).
Так как ch (la) обращается в нуль при Xa = z^n-|-yj к, то
по теореме Коши о вычетах имеем
оо	ОО sin (дД
rsh(M, nr}dl-2 V v 2а > Г.'
Jch(la/oW<W-ZZl--------7~2л+Т-	2* /
о	п—1 a sin (-g-я )
Следовательно,
,27)
1
Из асимптотического разложения для /C0(z) следует, что ряд
сходится до тех пор, пока г>0. Это решение совпадает с ре-
шением, данным Риманом ’) [при сравнении необходимо учесть
формулу V, (29)].
§ 4. Проводник, ограниченный круговым цилиндром и
параллельными плоскостями. Если электроды считать по-
прежнему малыми, а проводящую массу взять не бесконечной,
а в виде кругового цилиндра с осью z и радиусом с, ограни-
ченного непроводящей средой, то задача становится гораздо
сложнее. Для того чтобы ее решить и в этом случае, прибавим
к V часть V*, удовлетворяющую следующим условиям:
О ^+7^+^'=° *ля г<с’ -*<*<+*’
1)	Werke, стр. 58 или Pogg. Ann., 95, март (1855).
12*
180
ГЛ. XII. ПОСТОЯННЫЙ ТОК ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ИЛИ ТЕПЛА
яр"
2)	-5- = 0 для z = ±a
'	OZ
3)	= лля г ~с, -a<z<-\-а
и V* конечна во всем цилиндре.
Эти условия выполняются для функции
оо	If (nw \
\7i S VI • Пя •	\%а ' J f~r\'	/QQ\
v- s^2j sln^sm	r (28)
1	Z1\2a )
ряд в правой части сходится для г<2с. Следовательно, полный
потенциал в некоторой точке (г^О) может быть представлен
в виде
00
* Г । »г. _ • Ля • ItrtZ
l/+y=-^r2Jsm^sm 2^Х
Если г — 0, то /0	= 1 > так что изменение величины со-
противления, вызванное ограниченностью потока в конечном
цилиндре, будет
2 w jr^ /71пс\ /» //zicC \_ 2	—кс/в
если а/с очень мало. Следовательно, сопротивление приближенно
равно
=	+	(30)
§ 5. Металлическая пластинка и проводник, разделенные
пленкой. Перейдем теперь к другой проблеме, также рассмот-
ренной Вебером. Плоская металлическая пластинка, которую
можно рассматривать как бесконечно протяженную, отделена от
проводника с относительно малой электропроводностью тонким
слоем слабо проводящего материала. Например, это может быть
пленка газа, отделяющая плоскую поверхность металла от про-
водящей жидкости, как в случае поляризации в элементах.
Мы подсчитаем сопротивление для случая, когда электрод мал
и помещен во внутренней точке проводящей среды. Проведем
§ 5. ПЛАСТИНКА, ОТДЕЛЕННАЯ ОТ ПРОВОДНИКА ПЛЕНКОЙ
181
ось z через точечный электрод перпендикулярно к металличе-
ской пластинке и возьмем начало координат на поверхности
проводника, ближайшей к пластинке. Тогда точечный электрод
окажется приложенным в точке 2=a, r — Q.
Кроме того, предположим, что имеется разность потенциа-
лов w между поверхностью проводника и металлической пла-
стинкой на другой стороне пленки. Это дает падение потенциала
через пленку, равное ®>/8, где 8 есть толщина пленки. Если
проводимость пленки равна klt то сопротивление единицы пло-
щади будет 8/А,, а сила тока на единицу площади через пленку
равна •a>kl/b. Это должно быть равно скорости, с которой элект-
ричество подводится изнутри к поверхности проводника, т. е.
k . Если w есть положительная разность потенциалов между
поверхностью проводника и пластинкой, то указанное условие,
которое должно выполняться при z — Q, имеет вид
oz 1
где
«1
Пусть р и р'—расстояния точки с координатами z, г от элек-
трода и от его зеркального изображения относительно поверх-
ности проводника. Тогда дифференциальное уравнение и другие
условия удовлетворятся функцией
4-)+®	(31)
4яЯ р р j 1	' '
при условии, что w удовлетворяет уравнениям
—А1г+и’=:0
на поверхности и
d*w , 1 dw । d*w _n
~dF»~T~~Fdr	0
внутри проводника. Первый член правой части формулы (31)
является решением в случае отсутствия пленки, второй член
представляет собой потенциал, возрастающий при пересечении
пленки со стороны пластинки.
Значение w, удовлетворяющее уравнению (32), может быть
взято в виде
w = J е~и <р (X) Jo (2г) dl,	(33)
182
ГЛ. XII. ПОСТОЯННЫЙ ТОК ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ИЛИ ТЕПЛА
где <р (1) есть произвольная функция от Л, которая должна быть
определена. Так как
Р2 = (г—а)24-г2, р'2 = (г:+а)2+г2,
dV S z—а । S z-\-a . dw____ S а । dw
Т0 дГ —~4яА р» Ш р'8 > dz ~2«А(а»_|_г»),/._гЭ7’
если z=0. Теперь условие на поверхности при учете формулы
(33) будет
^^r.~J(1+M)T(4W^=O.
О
Продифференцировав по а уравнение
f е~^ Jo (Лг) dl ==----------!—п-,
J ov ’ (at+rfl,’
о
(34)
получим
(35)
Подставляя
иметь
о
выражение для а/(а2Ц-г2),/2 из (35) в (34), будем
... hS Хе~аХ
ЧШ — 2пА 14-AV
Следовательно,
™ — Л£. f g— X (z+а) ЛЛМХЛ
1-+-ЛХ •
о
Имея в виду соотношение
(z + a)lh Г (1Ч-ЛХ)<	— g~X
С J	14-ЛХ ’
(z+a)lh
мы можем написать
ZKK	I	I
(z+a)/A	0
=2®eW"‘ J	[">(35».
(z+a)/ft ^’ + да )
_	______(z+e)/* f e-tdt
~2«Ap' 2itAA₽ 1	Г.,гаУ'«’
(г4)/Ц'’+лг)
(36)
1
§ б. ПЛАСТИНКА., ОТДЕЛЕННАЯ ЮГ ПРОВОДНИКА ПЛЕНКОЙ
183
после интегрирования по частям. Таким образом, для потенциала
в точке (z, г) получаем выражение
}	оо
V— S Z1 I Ц 5	<*+«’/* Г e-tdt
V	р р' ) 2tckhe	|	/ . , г*\Ч> •
! v ' <?+%//>
i	Введем новое переменное С так, что
ht = Z-\-z-\-a’,
* тогда решение примет вид
<37>
О
Смысл этого решения состоит в том, что введение непроводя-
щей пленки дает такое распределение потенциала, какое при
том же общем потоке 5 дает комбинация двух равных источ-
ников мощности 5/4к£, находящихся в электроде и его зеркаль-
ном изображении относительно поверхности проводника, с линей-
ным источником, простирающимся вдоль оси z от изображения
до- — оо, интенсивности
на единицу длины, на расстоянии С от точки —(z-\-a).
L- Если проводящий материал имеет малую толщину, то с до-
статочной степенью точности можно положить р = р' = г и
z-j-a=±a. Тогда получим

2«й
(38)
если величиной (z-\-a)lh, как мы предполагаем, можно пре-
небречь.
Если h!r мало, то мы можем разложить	по убы-
вающим степеням t по теореме о биноме и проинтегрировать
почленно. Тогда будем иметь
Г e-tdt _ 1 7 , р, 1ЧМ.З...(2Я-1) /д \2»	=
J УЛМ4-Г2	rje Jj' ’	2-4...2Я [г
о	о
=yJ](-l)B{l-3...(2n-l)}’(4)'2".	(39)
184
ГЛ. XII. ПОСТОЯННЫЙ ТОК ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ИЛИ ТЕПЛА
По этой формуле можно подсчитать значение интеграла, если г
не слишком мало. Следовательно, когда г очень велико, то
у—
— 2лйгЗ ’
т. е. потенциал на большом расстоянии от электрода изменяется
обратно пропорционально кубу расстояния.
Проводник, ограниченный параллельными плоскостями.
Подобным же способом мы можем решить задачу, в которой
проводящая среда ограничена двумя параллельными бесконеч-
ными плоскостями — металлической пластинкой г=0и плоско-
стью z — а, а источником является электрод в виде диска
радиуса гх с центром на оси z, лежащий в плоскости z—a.
Как и прежде, предполагается, что существует слабо прово-
дящая пленка между металлической пластинкой и проводящей
средой.
Мы просто прибавим величину -w, как и прежде, к тому
распределению потенциала, которое было бы при отсутствии
пленки. Таким образом, на основании решения для бесконечного
слоя с дисковым электродом, полученного в §-3, имеем
=	+	И»)
О
где потенциал w должен удовлетворять условиям
-г- = 0 для z=a
OZ
(так как ток из электрода-источника предполагается независя-
щим от w),
dV
h -Q--w = 0 для z = 0
и, конечно, дифференциальному уравнению для внутренних точек
среды. Первое условие будет выполнено, если мы возьмем
ОО
w = (* 2ch Z(z — а) <р (Л) Jo (Хг) di.
Точно так же при z = 0
h — w =	5?7гг4 (**) —
oz	2nki\ J ch (la) °v '
о
00	00
— 2h J sh (la) X<p (I) Jo (Zr) dZ — 2 j ch (la) <p (I) Jo (Zr) dl=O.
0	0
§ б. ПЛАСТИНКА, ОТДЕЛЕННАЯ ОТ ПРОВОДНИКА ПЛЕНКОЙ 185
Отсюда
и	_ Sh	sin (1Г1)	 фch (la) {ch (Xa) + AX sh (la)} Sh f chi (г — a)sin(Xr1)J0(lr)dl	.... 2*krx ) ch(Xa){ch(la)4-*Xsh(la)} ’	W 0
так что	V— S C sh(Xz)4-Alch(lz) . ,. . j .. . Л	, 2itAri J ch(la) + *Xsh(Xa) Sm'	X * 0
Если обозначим через Va потенциал на дисковом электроде, то
у — 5 Г sh (Ха)АХ ch (Ха) .	, {1г\^
V“~ 2^ J ch (Ха) + ЛХ sh (1а) S1H (ЛГ,)-/0 (*П х ,
о
если площадь электрода очень мала, то
ОО
у   f sh (Ха) 4~ ЙХ ch (Ха) ,	.	/441
V“ — 2яА J ch (Ха)ТлХ sh (Ха) "Г)	<43'
о
Это есть разность потенциалов между электродами, т. е. между
диском и металлической пластинкой. Сравнивая ее с разностью
потенциалов для того же тока через проводящий слой пластинки,
т. е. с половиной полной разности потенциалов, данной форму-
лой (23) для двух электродов, находящихся на расстоянии 2а,
которая равна
00
^ih{Xa)J^r)dX,
О
мы видим, что полученная разность потенциалов превышает
последнюю на величину
ShC________________________
2iik J ch (Xa) {ch (Xa) -|- ЛХ sh (Xa)}
b
Сопротивление рассматриваемого составного слоя прибли-
женно равно
р _ J______1п 2 . h f	XJ0(Xr)rfX	/441
— 4ЛТ1 2кЛа ‘ 2кА J ch (Xa) {ch (Xa) + ЛХ sh (la)) ’ v '
о
186
ГЛ. XII. ПОСТОЯННЫЙ ТОК ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ИЛИ ТЕПЛА
Так как сопротивление берется между пластинкой и элект-
родом, который имеет очень маленький радиус, то приближенно
J0(Xr) = Jo(0), так что в полученном выражении для R можно
положить J0(A,r) = l. Последний член является сопротивлением
пленки, находящейся между пластинкой и проводником, а в слу-
чае жидкости в гальваническом элементе, отделенной от пла-
стинки выделяющимся газом, этот член представляет собой
сопротивление поляризации. Его приближенное значение, если
величину a/h можно считать бесконечно малой, есть
1 1 А
2nka 1П а ’
Значение V в формуле (42) в случае, когда электрод так мал,
что мы можем положить sin (ArJ/Xr, = 1, можно разложить в
тригонометрический ряд. Это дает возможность сравнивать зна-
чения V при различных значениях г. Формулу (42), если поло-
жить и. = аХ, можно написать в виде
оо . (	. л , (
s rshl(‘Tj+ а-НсЦв
О*. chfi-bynshp
-sh
Если мы возьмем интеграл
z\ , Л / z
17Т 7 Н «Ml* 7
a J 1 а г у а
chB + ^BShf»
по контуру, рассмотренному в § 3, то найдем, что
_ Sin U ; ) 4- — u COS u
S 1П \ a / a \ a /
кка Zj ’ h ' h
sin f* + sin |> 4- — I» COS H
где суммирование производится по всем положительным корням
трансцендентного уравнения
ctgH = H-y’	(45)
G помощью формулы (45) получим

входящий сюда ряд сходится, если г>0.
§ 6. ЦИЛИНДР С ЭЛЕКТРОДАМИ НА ОБРАЗУЮЩЕЙ
187
Первый корень уравнения (45) тем меньше, чем больше А,
второй же корень всегда больше «. Следовательно, если г до-
статочно велико, то первый член ряда даст достаточно точное
значение V. Таким образом, для z—а, V имеет значительную
величину на некотором расстоянии от оси.
Цилиндр конечного радиуса. Изменив решение так, как это
было сделано в § 4, можно его применить к случаю цилиндра
конечного радиуса с. В этом случае мы должны прибавить к
функции V функцию V, удовлетворяющую условиям
^-=0 для z=a, Л^^ — У'лля z = 0,
dV ; dV’ n *.
dr+-^7- —° для r — c^
и общему дифференциальномузуравнению. Читатель'может про-
верить, что
V4-V = 5 У
’ nka	а2 4- ha 4-	/|*с\
'W
Хс.^-	(47)
§ в. Конечный цилиндрический проводник с электродами
на образующей. В качестве последнего и очень поучительного
примера применения разложения Фурье—Бесселя мы рассмотрим
задачу об электрическом токе в прямом цилиндрическом про-
воднике, когда электроды помещены на одной и той же обра-
зующей цилиндрической поверхности на одинаковом расстоянии
от среднего поперечного сечения цилиндра. Мы только набро-
саем решение, предоставляя читателю выполнить подробности
вычислений.
Дифференциальное уравнение, которому должен удовлетво-
рять потенциал в этом случае, имеет вид
г дг^гг <302 dz* '	[ >
Если предположить, что электроды малы и представляют собой
равные прямоугольные элементы поверхности цилиндра, имею-
щие в качестве сторон отрезки образующих и дуги поперечных
сечений, два из которых являются концевыми, то условия на
поверхности, которые должны быть удовлетворены, выражаются
в виде равенств:
для г—-±:а, £Х = Ф,
02	ОТ
188
ГЛ. XII. ПОСТОЯННЫЙ ТОК ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ИЛИ ТЕПЛА
где Ф = ±с для
--<Р < в <
+?<*<₽+»,
-0>г>-(₽ + 8),
и Ф = 0 для всех других точек.
Здесь расстояние центра электрода от центрального попе-
речного сечения принято равным —	центральный угол,
соответствующий ширине электрода, равен 2? и высота цилиндра
равна 2а.
Найдем прежде всего выражение для Ф, удовлетворяющее
написанным выше условиям. Оно может быть получено методом
Фурье и имеет вид
sin n<p cos
X
х 2	h<2" t"' ₽ -	<?+’)}-	-
о
Пусть теперь
V= 2 2 Ат_пф (г) sin №+2)™. cos я9.	(49)
т п
Дифференциальное уравнение для V будет удовлетворено,
если ф(г) удовлетворяет уравнению
» +	+	И*)и=0,
дгг ' г дг (г1 1 у 2« J )
Следовательно, мы можем положить
=	(50>
Постоянные Атя должны быть выбраны так, чтобы обеспе-
чить удовлетворение условий . на поверхности. Эти условия
выполняются, если
л	___2зтпу/ (2т+1)«в	(2от+1)к,в 
Лл,л~-я» 2m+l nf(l) (C0S 2а ₽ C0S 2а (₽+6)]’
в этом выражении, когда я = 0, вместо 2sinn<p/n нужно под-
ставить <р.
 $ 8- ЦИЛИНДР С ЭЛЕКТРОДАМИ НА ОБРАЗУЮЩЕЙ	189
» Чтобы определить, каков будет эффект, если электроды очень
малы, подставим в выражение для Атп
2sin(-”^1),cfp4-|8>)sm
\	1 2 j	4а
вместо разности косинусов и <р8—вместо
sin nt sin {(2m 4- 1) «8 '(4a)}
n (2т4-1)я/(4а)
Вспоминая, что c<₽8 конечно и полагая поэтому
4сф8/«2 = 1,
получаем решение
л«*0 т«*0
где
%=1, е|=е2 = е3 = .,. = ея = ... = 2.
Для бесконечно длинного цилиндра мы сможем получить
решение, полагая в формуле (51)
и заменяя суммирование .интегрированием. Тогда будем иметь
ОО	ОО
у=1V] е„ cos	f £££ sin (Ар) sin (Аг) di, (52)
Т1	Г/я(Х)
где е0, как и прежде, равно 1, а все остальные ел равны 2.
Читатель может проверить в качестве другого примера, что
если электроды приложены в центральном поперечном сечении
в точках, для которых 0 = з±а, то потенциал будет иметь вид
г	\
о©	со 00 /я I- г |
Srn	л а <1	\	/ 1	_ trv&z
— sin па sin -4- 2 -V V----—— — sin па sin лб cos -у-.
1	1 1 Z« \ а;
Если а бесконечно мало, то вторая часть выражения для V
обращается в 0 и первый член может быть написан в виде
V —JLin 1 ~2гсо8 (*4- 9) 4-г*
v ~ 4 Ш 1 —2rcos(i— 6)4-г»’
190	ГЛ. XII. ПОСТОЯННЫЙ ТОК ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ИЛИ ТЕПЛА
Это выражение совпадает с тем, которое было дано Кирхгоф-
фом1 *) для потенциала в каждой части кругового диска с источ-
ником и стоком на его окружности.
Читатель может обратиться к другой работе Вебера8), посвя-
щенной более сложным задачам об электрическом токе, напри-
мер, задаче об электрическом токе в проводящем цилиндре,
покрытом соосной оболочкой относительно плохо проводящей
жидкости, причем два электрода находятся соответственно в
жидкости и на цилиндре, или задаче об электрическом токе
в цилиндрическом теле, покрытом соосным цилиндром из мате-
риала, проводимость которого сравнима с проводимостью тела.
1) Kirchhoff, Pogg. Ann., 64 (1845).
*1 Joum. fr. reine angew.Math., 76 (1873).
ГЛАВА XIII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
ВДОЛЬ ПРОВОДОВ
§ 1. Уравнения электромагнитного поля. Уравнения элек-
тромагнитного поля были впервые даны Максвеллом в 1865 г.1).
В несколько измененной форме они применялись с большим
успехом Герцом и Хевисайдом в их исследованиях о распро-
странении электромагнитных волн. Изменения, внесенные этими
авторами, важны тем, что они показывают взаимную связь, су-
ществующую между электрическими и магнитными силами,
и дают возможность обойтись во многих исследованиях этого
рода без вспомогательной функции, называемой вектор-потен-
циалом.
Если Р, Q, R, а, р, у обозначают составляющие электриче-
ской и магнитной силы в среде с проводимостью k, электриче-
ской индуктивной емкостью х и магнитной индуктивной ем-
костью р, то уравнения записываются в виде
и
ц да _ _ J_ /dR _
4it dt	4it y^dy	dz) ’
ft df_______1	/dP___d#\
4k dt	4k \ dz	dx J’
[t df______1_	/dQ__dP\
~4k dt	4« \ dx	dy j ’
(2)
1) On the Electromagnetic Field, Phil. Trans. (1865); Electricity an Mag-
netism, т. II, гл. XX.
192
ГЛ. XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ВДОЛЬ ПРОВОДОВ
х д
Обозначив через Л оператор ^+^^7 > мы получим уравнения
д&Р) । a(XQ) , d(XR)_n
dx ду ’ dz —и’	V*)
dx'dy‘dz~	w
Первое из этих уравнений выражает то обстоятельство, что
общий ток, складывающийся из тока проводимости и тока сме-
щения,— соленоидальный, а второе уравнение показывает, что
магнитная сила, будучи чисто индуктивной, удовлетворяет усло-
вию соленоидальности в каждой точке, за исключением, конечно,
источника возмущений.
На поверхности раздела двух сред нормальная составляющая
магнитной индукции и тангенциальная составляющая магнитной
силы непрерывны. Касательные составляющие электрической силы
также непрерывны.
Из уравнений, написанных выше, могут быть получены урав-
нения распространения электромагнитных волн. Исключив Q и /?
из первого уравнения системы (2) с помощью первого и треть-
его уравнений системы (1) и уравнения (4), получим
+	(5)
и аналогичные два уравнения такого же вида для р и у. Эти
уравнения и представляют собой уравнения распространения
магнитных сил.
Аналогичным образом мы получим уравнения распространения
электрических сил
4^+*^ = W |
§ 2. Волны, распространяющиеся вдоль прямого провода.
В случае распространения волн вдоль прямого провода как вдоль
проводника в изотропной среде мы будем предполагать, что элек-
трическое поле симметрично относительно провода в каждый
момент времени и что, следовательно, нет компоненты электри-
ческой силы, образующей прямой угол с плоскостью, проходя-
щей через ось провода. На основании этого из уравнения, связы-
вающего силы, следует, что магнитные силы в каждой точке
плоскости, проходящей через ось, перпендикулярны к этой плос-
кости. Следовательно, линии магнитных сил являются окружно-
стями с центрами на проводе.
§ 2. ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ВДОЛЬ ПРЯМОГО ПРОВОДА 193
Таким образом, мы можем взять за ось х ось симметрии
и рассматривать только две составляющие электрической силы:
одну Р, параллельную оси, и другую У?, перпендикулярную к оси
и лежащую в плоскости» проходящей через ось. Обозначим
расстояние рассматриваемой точки от начала вдоль оси через х,
а ее расстояние от оси через р и будем применять для магнит-
ной силы в этой точке символ Н, который будет соответство-
вать у в уравнениях (1) и (2) [/? здесь не то же, что в (1)
и (2)].
Из уравнений (1) и (2) мы. получаемдля нашего,специального
случая уравнения
	(7)
W+x^=-^,	(8)
и 34	’	(9)
а уравнение (3) дает J’ + yJ* (р#) == Q.
Исключая сначала Ни Р из этих уравнеций, мы находим
дифференциальное уравнение для А
. .дЛ . д*Р д*Р . &Р . 1 дР	,1П,
дх*~^ р djo '
Исключая Н и Р, мы видим, что Р должно удовлетворять
дифференциальному уравнению
(Н)
.r dt 1 г от* ох* 1 др » р dp р* '	v '
Наконец,, таким же образом легко; найдем, что Н удовлетво-
ряет такому же дифференциальному уравнению, как (11).
При рещении задачи мы, должны предположить прежде всего,
что провод имеет некоторый конечный радиус и, окружен на
некотором расстоянии соосной проводящей трубкой, которая
в радиальном направлении простирается в бесконечность. Поэтому
здесь нужно рассматривать три области поля: провод, внешнюю
проводящую трубку и пространство между ними. Дифференци-
альные уравнения, найденные выше, являются совершенно об-
щими и могут быть применены к каждой области со своими зна-
чениями величин к, р-, х.
Рассматривая прежде всего пространство между двумя про-
водниками, мы предположим, что оно наполнено изолирующей
изотропной средой. Дифференциальные уравнения для нее по-
лучатся, если положить в уравнениях (10) и (11).
13 э. Грей и Г. Б. Метыов.
194 ГЛ. XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ВДОЛЬ ПРОВОДОВ
Если электрические и магнитные силы являются периодиче-
скими функциями относительно х и t, то их можно представить
в виде
Пусть
P=uelnt~mx)i,
где и, v представляют значения функции /(р) для этих двух
величин. Подставив эти выражения в уравнение (10) и вспом-
нив, что Л = 0, получим	*
(т’~ <12>
Величина /п2 — хрл3 вообще комплексная, так как mi содержит
вещественный член, который приводит к изменению амплитуды
вдоль провода, по которому распространяется волна. С дру-
гой стороны, п есть действительная величина и равно произведе-
нию 2те на частоту колебаний.
Если волна не направляется проводом, то в диэлектрике мы
должны иметь гг?— хр.п2 = 0. Скорость распространения элек-
тромагнитных возмущений в среде с индуктивными емкостями
к, р, согласно теории, равна У 1/хр; было доказано, что эта ско-
рость для воздуха и пустоты равна скорости света.
Если мы обозначим яг2— хрл2 через р2-и напишем Е вместо рр,
то формула (12) примет вид
Й+тт6-“=0’	•	<13>
а это есть дифференциальное уравнение для видоизмененной
функции Бесселя нулевого порядка /0(?).
Таким же точно образом мы получим из (11) уравнение
(И)
представляющее собой дифференциальное уравнение видоизме-
ненной функции Бесселя первого порядка /, (;).
Аналогично получается дифференциальное уравнение для
функции Н. Оно имеет такой же вид, как (14).
Возвращаясь к проводникам, мы предположим, что в них х
мало по сравнению с k. В обычных проводниках отношение х'&
порядка 10"17, так что мы можем пренебречь токами смещения
представленными вторыми членами в левой части уравнений (1).
§ 2. ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ВДОЛЬ • ПРЯМОГО ПРОВОДА 195
Подставляя! теперь т2 + 4ir#nni вместо />’, мы получим со-
ответствующие дифференциальные. уравнения. Обозначая
Л12-|-41гА|ми через д2, можем написать уравнения в виде
^«+1^_и=о,
(15) '
5?+ГГп-(1+^)г' = 0’	<16>
где	’ ’	’
7j = qp = р У m2-j- 4к£рл1.
Получающиеся два значения для q относятся одно к про-
воду, другое к внешнему проводнику. Мы будем обозначать их
через qA и qt.
Общее решение уравнения (13) есть
И=а/0(В)+Ж0(В),	1	(17)
где а и Ь — произвольные постоянные, определяемые, так, чтобы
удовлетворялись условия задачи. Решение уравнения (15) имеет,
конечно, тот же вид, только вместо В стоит щ. .
- Для наружного' патоводника коэффициент при /0(iq) должен
быть нулем, так как и -> 0 при ц -> оо, в то время как для внут-
реннего проводника коэффициент при /Со (»)) должен быть нулем,
так как и конечно при ц — 0.,
Таким образом, мы получили следующий значения Р в трех
областях — в проводе, в диэлектрике и в наружном проводнике:-
Р, =14/0(70	(18)
Р2 - {ВЦ (В) +С/С0(В)}	,	(19)
Р3=Ж0 (т)) в(л/-тж) 1,	‘	(20)
в которых А, В, С, D—постоянные, определяемые из условий
на поверхностях раздела смежных областей.
Для длинных волн высокой частоты т мало, а п велико,
и для проводника обычной длины можно предположить, что
<п = 0. Тогда, если Z = j/4zAp.n , то q-=lVi и
Р^АЦЦрУТуе”"
= A {bet (Ip) + i bei (Zp)} Л
Однако мы не будем развивать теорию в этом направлении (об
этом см. ссылку в конце гл. III, § 6) и в дальнейшем будем
предполагать, что величина т должна учитываться.
13*
196
ГЛ. XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ волны вдоль пвоводов
Из значения Р мы можем легко получить составляющую
/?, перпендикулярную к оси. Так как все величины периодические,
то уравнения (8) и (9) могут быть написаны в виде
(4гсЛ 4- ini) Ц = тЩ,
pniH = miR -|- .
Исключая сначала Н, а потом R, мы получим
Р __________________________ml_______дР
К	т* — рхл»-|-	др ’
уу__ 4xk -|~
т2 -f- Impfoii — рт2 др ’
Если в диэлектрике мы положим А—0 и напишем />*
/п2—1*хп2, то из (19) получим, учитывая, что рр=8,
&= у-	+с< (()>«•*-«’ ‘.
С другой стороны, в проводе, где
91Р=Ч.	+
мы имеем
р _midPl_ml	<nt-mx)l
я	(71)е<я^>г.
1 Ях	91	" *
Наконец, в ндружнрм проводнике имеелс
R, =	=”±DK' (ч) J*—*1,
М 9i	91	° * v '
rj _4trfea dPt_4пАз И is' (^л Ant—mx} I
Введем теперь граничные условия, заключающиеся в том, что
касательная электрическая сида и касательная магнитная сила
непрерывны. Из последнего условия следует, что линии маг-
нитной силы, будучи окружностями с центрами на оси провода
в диэлектрике, остаются такими же в проводе и в наружном
проводнике.
i
(21)
R
вместо
(23)
(24)	;
л-
(25)
(26)
(27)
(28)
§ Я ВОЯНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ВДОЛЬ ПРЯМОГО ПРОВОДА 197
Это условие,  выраженное для поверхности провода, где р=а,
и где мы предполагаем J =	13 = ^,, дает
у- (в/; й)+с< л,»=^«П1),	<29)
а для р = а,, где В = Ц, 'П='П2.
BI9&) + CKM=DKM),
у {BI^fCK^)] = ^DK^).
(30)
Если теперь исключить четыре постоянные Л, В, Ci D с помо-
щью уравнений (29), (30)ь то найдем^ что
4яА]Р/0 (51) /0' (41) — *niqj^ (51)/0 (Ч1) _
4^РЙУК0' (1л) -«Wo (52) Ко W “
=(Si)	- «^к; (to /b(ii)
4<Wo«J К, Ы - «W<o (?») Ko(<h) ’ ,	' ’
Длинные волки низкой частоты. Рассматривая прежде
всего длинные волнк низкой частоты и вспоминая, что xji=l/0,
где V есть скорость света в диэлектрике, мы видим, что р
близко к т, а вещественная часть т есть 2я/Л, где Л — длина
волны. Следовательно, если я, не велико, то рах очень мало.
Если а2, радиус изолирующего цилиндра, достаточно мал, то ра*
также мало.
Если at и «2 малы, то приближенные значения функций на
границе цилиндра будут
4(5) = 1. /.h) -1, Ко(5) =- 1п5, Ко(*1) = -
/o'(D=|l, 4(ч)=гп, <(*) = -	*о'ГО=-1 •
ЙЬдСТавйяй эти зйачёййя Для /0(’)> ^o U)» ^o’U)» в фор-
мулу (31), полагая для сокращения <р, X вместо отношений
^o(,»li)/4)('»li).K’o(-ri2)/K0'(7]2) и аь а4 вместо ЛтгА,, 4^ и пренебре-
гая членами, содержащими Множители а, at, а, , по сравнению
с членами, содержащими множитель аха2, мы найдем после не-
больших преобразований, что
=	4-i5552121 (а, — а!)<рх). (32)
Г 1П^—1 '<ЧвЭ а1в* Т ' 2	1	2,т J
\а1 /
199 . ГЛ. XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ волны вдоль проводов
Во всех случаях, которые встречаются в практике, можно
предположить, что | q* | приближенно равно Далее, *п —
— /г/(р1/*), так что последний член в скобках предыдущего вы-
ражения есть.
i д’	Г Bit’s а?~ <*2 '
Второй член в скобках равен
_	Ум f
* у2 УМг <ц ’
Следовательно, модуль второго члена, если частота колебаний
п/2к не очень большая, велик по сравнению с модулем третьего
члена.
То же самое может быть доказано относительно первого
и третьего членов. Поэтому третьим членом в предположении
низкой частоты немалых значений аиа9 можно пренебречь по
сравнению с первым и вторым. Уравнение (32) приводится, таким
образом, к виду
__ n*/» 1—Г И<8	1
Р ~	«I У^ ъ).а, •
“1
Пусть теперь частота так мала, что ^1а1 очень мало.
Тогда мы имеем
и _. Mill —
zo'(ii)

у _ *о(ъ) _ а а ln (
ясно, что второй член в равенстве (33) составляет только малую
часть первого, если а2 не. очень велико. В этом случае мы мо-
жем пренебречь вторым членом по сравнению с первым и полу-
чим
*   ““ Tit 1	1	Zrt Л \
(34)
«1
ли, так как р* — т*——n2/V\
=	----LA	(35)
§ г. ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ВДОЛЬ ПРЯМОГО ПРОВОДА 199
Модуль второго члена в скобках гелик по сравнению с еди-
ницей, и, следовательно, если мы возьмем только мнимую часть
тг, данную в формуле (35), то получим значение т, действи-
тельная часть которого велика по сравнению с той, которую
мы получили бы, если бы использовали только действительную
часть в /п2, т. е. мы получим первое приближение для т, кото-
рое дает формула (35). Таким образом, вместо (35) мы можем
написать	n / i
а1
Если г есть сопротивление провода и с — емкость кабеля,
взятые каждое на единицу длины, то
__	1	__ X
с~2йГ(^М)
(где х берется в электромагнитных единицах), и мы имеем
т = ylf Vпге,	(36а)
полагая значение корня положительным.	__
Это соответствует волне, идущей со скоростью У^п/Х^гс,
причем амплитуда ее падает до 1/е от ее начального значения
при прохождении расстояния
Второй корень из т? дает волну, идущую с той же скоро-
стью, но в противоположном направлении с возрастающей ам-
плитудой. Этот корень поэтому в дальнейшем не учитывается.
Мы разобрали, таким образом, обычный случай медленной
сигнализации вдоль подводного или телефонного кабеля, когда
можно пренебречь электромагнитной индукцией. Результат сов-
падает с тем, который получается прямым разбором этого про-
стого случая общей задачи.
Так как скорость распространения фазы пропорциональна
квадратному корню из частоты колебаний, то более высокие ноты
музыкального произведения должны передаваться быстрее, чем
более низкие, и если расстояние передачи довольно большое, то
гармония из-за этого может нарушиться. Далее, более высокие
ноты быстрее затухают с пройденным расстоянием, нежели более
низкие, поэтому относительная сила нот музыкального произве-
дения должна изменяться, высокие ноты будут более слабыми
по сравнению с низкими.
Электрические и магнитные силы. Мы можем теперь найти
электрические и магнитные силы. Электродвижущая сила в про-
воде дается формулой
Р1 = Л70('»1)е(п/_'"-гМ ,
200
ГЛ. XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ВДОЛЬ ПРОВОДОВ
где tj = «/ip, причем индекс внизу обозначает, что р меньше
радиуса провода. Но если провод очень тонкий, как мы пред-
полагаем, то /0 (’’»)= 1 и значение будет одно и то же по
всей площади поперечного сечения провода. Следовательно,
если Yo обозначает силу тока в проводе в плоскости х =0 при
^=0, то мы имеем
^7o(-q)=Yor-
так что
•	(37)
Отсюда, выделяя действительную часть, получим
Рх = ЧаГе 2 cos	х — ntj.	(38)
Значение радиальной электродвижущей силы в проводе оп-
ределяется формулой (25)
НО
^.^(,1=^4-,
так что
(39)
Выделяя здёсь действительную часть, мы Найдем, что
__________________________________
2 cos(|/^x—nt—(40)
Из этой формулы видно, что /?] обращается в нуль на оси
провода, следовательно, электродвижущая сила направлена
вдоль оси. В любом другом месте значение /?, отлично от нуля,
и на поверхности провода отношение амплитуды 7?, К ампли-
туде Рг равно -g-fli \fnrc.
Магнитная сила в проводё определяется равенством (26)
§ а. ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ВДОЛЬ ПРЯМОГО ПРОВОДА 201
которое на основании прежних преобразований приводится
к виду
(41)
Выдёляя здесь действительную часть, йоЛучим
*
(42)
ai	'
По хорошо известной теореме мы должны иметь
2*p7f1 = 4«4 Y»
ai
f есть полная сила тока в любом поперечном сечении. Для
Y мы имеем здесь выражение
у = уог(я/_ямг) *,	(43)
которое, если принять во внимание равенство (41), очевидно,
удовлетворяет предыдущему соотношению.
Теперь мы вычислим силы в диэлектрике. Обозначая через
РОр электродвижущую силу на расстоянии р от оси в плоскости
х=0 в момент времени Z=0, Мы найдем по приближенным зна-
чениям функций, данный на стр. 197,
В~ Cln(pp) = POf.
Йо на поверхности провода	гдъ г обозначает, как
и прежде, сопротивление провода на единицу длины. Поэтому
В—Cln(jWz1)=Yor.
Вычитая отсюда предыдущее равенство, мы найдем
^=Yor-ClnX.
С можно найти из формул (29), полагая /0 CQi) 1» А =
и исключая В. Таким образом, мы получим
С = 2ТорсгУ«
с хорошим приближением. Теперь
Р2=Ior (1 — 2pc У2 In 4)	*,	(44)
202
ГЛ. ХШ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ВДОЛЬ ПРОВОДОВ
откуда, выделяя действительную часть, получим
^>г = Тог(^—2yzV2ln-^e 2	(45)
Из формул (23), (44) и (36а), так как приближенно р = т,
мы получаем
(46)
или, удерживая только действительную часть,
____________________	_\7~пгс
^ = ^У^0У~^~е ^cosfj/^x-ni+^-J. (47)
Наконец, из формул (24) и (36) имеем
Я2 = 2-*Мл/_яиг)/	(48)
или
//2 = 2.-у-е	*cos(y^x—nt}- (49)
Таким образом, получено полное решение для медленных
колебаний в кабеле малого радиуса.
До сих пор мы следовали, с некоторыми изменениями, изло-
жению Томсона в его книге «Recent Researches in Electricity and
Magnetism» (дополнительный том к его изданию труда Максвелла
«Electricity and Magnetism»). К этой книге читатель может обра-
титься за другими подробностями применения функций Бесселя
к электрическим колебаниям. Нужно сослаться также на важ-
ные мемуары Хевисайда, относящиеся к этому же кругу воп-
росов1).
Голый воздушный провод. Последний член в правой части
равенства (33) в случае голого воздушного провода зависит от
большого значения а3. Но если х велико, то из асимптотиче-
ского разложения для Кп(х) следует, что
у__^G)(x) _	__ 1
-/ГО(Х)— W) ~~
Следовательно,
if __  1/" f»2_ 1
0 Oliver Heaviside, Electrical Papers, т. I, II и III.
§ 3. ДИФФУЗИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
203
Это выражение мало по сравнению с первым членом, если только
не очень мало. Если же А2 очень мало, то мы получим то же
решение, что и раньше.
Быстрые колебания. В качестве следующей иллюстрации
читатель может разобрать случай таких быстрых колебаний,
при которых значения qxax и qta3 оба очень велики. Из асимп-
тотического разложения для 1п(х) следует, что
ф  Л>(гп)  Ш) ।
4 (ш)	АЫ "" ’
в то время как X, как и прежде, приближенно равно —1. По-
этому по формуле (33)
„„2 _	___। н» \	1
«1
так что
и приближенно
(50)
Таким образом, скорость распространения есть V, а расстоя-
ние, на которое амплитуда уменьшается на 1/е от ее первона-
чальной величины, равно произведению V/n на обратную вели-
чину коэффициента при — i в скобках. Затухание в этом случае
медленное, так как мнимая часть т гораздо меньше по модулю,
чем вещественная. Если а2 Л2 мало по сравнению с tzf kv как в
случае кабеля, окруженного морской водой, то затухание будет
определяться главным образом наружным проводником, так что
в этом случае в отношении затухания мы ничего не можем
выиграть, предпочитая медь низшим по качеству металлам.
§ 3. Диффузия электрического тока. Мы получим сейчас
разложение функции xJQ(x)'J0(x) по возрастающим степеням }х,
которое будем применять при исследовании эффективного со-
противления и самоиндукции в случае кабеля с переменным то-
ком большой частоты; это разложение полезно также в других
приложениях, когда величины pait qtaA, q^ не очень малы.
204
ГЛ. XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВОЛНЫ ВДОЛЬ ПРОВОДОВ
Обозначая функцию xJQ (х) (или для сокращения
xJ0/JJ через и, будем иметь
й = х^- = ^х^^— — ^Х-*^.	(51)
Отсюда
1 du   1 । Л)  
и dx	х ' Ц	/j ’
или
__ 2	/0	\	 2	।	।	х
х_______________________Ji_Jq_x	'	x '	и	‘
Следовательно,
*-g- = «(K + 2) + x*.	(52)
Теперь, имея в виду значение k (в скобках) в формуле (51),
положим, Что
а = —2+^4-а4л^4-а6хв + ....
Тогда из уравнения (52) будем иметь
* йг +*а*х3++•••')=
Перемножая выражения в скобках и приравнивая йо&ффициенты,
получим
4^4 = — 2я4 + -р*-,
бд6 = 2<Zg	&*’
= — 2а8	&в 4~ #4.
1 Од|о — — 2д10 4~ ~2~ flg 4- 2а4ав,
О+сюДа
1	1	1	„ _ 13
а*—'2м"’ ав —’2ГЗ’’ й8— 2^.3»>5 ’ °«в-" 21ММ •••
§ 3. ДИФФУЗИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
205
Xя	х<	। х* х8	t
4	25«3	‘ 29*3	2М*-5	'	215.33.5
(йЗа)
Таким образом, имеем
у М*) __ о ।	. х* , х6 I	। 13vio
/'0 ~	' 4 * 2М ’ 20-3 * 20-32.5	215.30.5 ’ * **
ИЛИ
х ZoW
4w
Это разложение может быть преобразовано в непрерывную
дробь, последовательные подходящие дроби которой дают зна-
чения функции с любой заданной точностью. В результате бу-
дем иметь разложение
х ли)
Ли)
которое может быть проверено читателем. Используя равенство
(53а), получим
_М«в)_
1 1 'о(м)
Приближенно = 4irp1£1nf, так чтр
(4к(*1А1л^)2	(4«|i.1A1/!aJ)<
25.3	2».3*«5
X* Ж* X*
(Эд
4 2М ’	2».3
q,a, Afygt)...:
41 1 ЛМ
*
2».3
(55)
Дж. Дж. Томсон дал следующую таблицу значений:


0,5
1
1,5
2
2,5
4
2,0024-0,124/
2,0104-0,250/
2,0244-0,372/
2,0424-0,50/
2,0644-0,Й2/
2,0904-0,74?
Эта таблица показывает, что для значений	ДО I
приближенное значение	может быть попрежнему
принято равным 2, как и выше, на стр. 197. Таким образом,
206
ГЛ. ХШ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ВДОЛЬ ПРОВОДОВ
первый член правой части формулы (33) такой же, как и
прежде.
Плотность тока. Подсчитаем теперь плотность тока на
различных расстояниях от оси провода, по которому идет пере-
менный ток, а также эффективное сопротивление и самоиндук-
цию проводника заданной длины /.При этом все предполагается
симметричным относительно оси провода.
Формула (18) дает значение электродвижущей силы, направ-
ленной по оси, в точке провода, отстоящей от его оси на рас-
стоянии р	в виде
.	'	(56).
Умножая равенство (56) на kx, проводимость провода, мы полу-
чим выражение для плотности тока, идущего параллельно оси
провода, на расстоянии р от оси.
Если обозначить значение РА на поверхности провода через
Рв),то будете
Рв1 = Л/0(т11)?л/ mx)i	(57)
(p=fli).
Магнитная сила на поверхности равна
/7 =».^в(П1)еИ~ж*,<
«I qx о \ и/
(р = д1). Поэтому, если Г есть полная сила тока в проводе, то
4кГ = 2ла1/7в( и
। Г = А1’о (Ч1) е{п*~тх}	(58)
Электродвижущая сила Р есть результирующая по направ-
лению, параллельному оси, приложенной и индуцированной элек-
тродвижущих сил. Чтобы решить поставленную задачу, мы
должны отделить приложенную часть электродвижущей силы,
вычитая из Р индуцированную часть.
Приложенная электродвижущая сила одна и та же для лю-
бого поперечного сечения провода в данный момент времени и
поэтому будет определена, если мы ее найдем для поверхности.
Но так как индуцированная электродвижущая сила, вызванная
любой частью тока, прямо пропорциональна скорости его изме-
нения, то индуцированная электродвижущая сила на поверхности
должна быть прямо пропорциональна скорости изменения пол-
ной силы тока в проводе. Следовательно, согласно формуле (57),
если Е обозначает приложенную электродвижущую силу, то
Е—4Т = Рв1,
§ 3. ДИФФУЗИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА . -
207
где Л'Г (Л' — постоянная) поставлено вместо направленной парал-
лельно оси составляющей индуцированной электродвижущей
силы на поверхности. Теперь
Е=А {/„ Ы+АЧ'О )}	1 =
— ( ?1«1 (о (11L 1 niAA г.
| 2^1 /q (i)i)	J
Подставляя г вместо сопротивления (= l/rrci^ Л,) на единицу дли-
ны провода и используя ранее написанное разложение, получим,
так как
(59>
1
12
1
____1 иМ4 ।	^Г4-
г2 180 г* "г ••J Т~
1 1*1»* !	13	\1г /спх
П-пу-2-—48 —J Г--§64о:-74	* * */J	1
Вводя теперь приложенную разность потенциалов V между
двумя концами провода длины I, сопротивление которого есть
R, будем иметь
V—	12	18(j jp “Г* -J1 “Г
I/Ji-Lu (Л______1 I 13	Мг 1А1¥
-\-1П |/Л +1*!^ 2	48" R2 “Г 8640 R* ’//"*
Если мы обозначим ряды в скобках в первом и втором членах
соответственно через /?' и L', то получим
У=/?'Г-]-ГГ.	(62)
Таким образом, R' и D представляют собой эффективное сопро-
тивление и самоиндукцию провода длины I.
Остается определить постоянную Л'. Если бы не было тока
смещения в диэлектрике, сравнимого с током в проводе (это-
предположение достаточно хорошо согласуется с тем фактом,
который наблюдается во всех практических случаях), и если бы
обратный ток можно было рассматривать как ток в очень хо-
рошо проводящей оболочке на. наружной стороне диэлектрика,
так что можно считать, что снаружи нет магнитных сил, то Лг
можно было бы найти следующим образом. Индуктивная элек-
тродвижущая сила на единицу длины в некоторой точке про-
водника равна в этом случае полной вариации поверхностного
интеграла от магнитной силы на единицу длины в диэлектрике
208
ГЛ. XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ВДОЛЬ ПРОВОДОВ
в той же точке. Если нет тока смещения, то магнитная сила /7
будет действовать по касательным к окружностям, расположен-
ным вокруг оси провода, и будет в каждой точке пропор-
циональна радиусу, так как
2пр/7=4яГ.
Таким образом, если Hf— магнитная сила на расстоянии р
от оси провода, то
И
|/7р</р = ±^1_Л/;(71|)1п -g- е^^‘.	(63)
Но это выражение, согласно предыдущим утверждениям, равно
Л'Г, а Г определяется из формулы (58). Следовательно,
Л' = 21п^-,
а1
Г, 0/1 I 7	/ 1	1	I !3 ***«<•	\ /сл\
L — 2ZIn -НрД 2	48	+ 8640	(64)
Так как/0(хрТ) = berx-|-fbeix, то из формулы (59) легко
вывести, что для х==2Кня/г имеем
р,  х ber х bei' х —- bei х ber' х р
К	2 Ьег'4 х -f- bei'* X	>
и
Z' = 2Zln^-4
«1
xlr ber х ber' x -|- bei x bei' x e
2n ber'* x + bei'2 x
(65)
(66)
значения R' и U в этой форме можно легко подсчитать ддя .
любых заданных х и п, пользуясь таблицей значений /<>(•* И* )>
данной в донце книги.
Уравнение (61) показывает влияние р, на R' и L' при различ-
ных частотах. Если частота очень великд, то мы должны поло-
жить в формуле (59)/0(т]|)7р	1. Для этого случая нахо-
дим
=	+	(67)
Таким образом, в пределе /?' становится бесконечно большим,
a L1 приводится к постоянному члену 1А’. Тока теперь почти
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЯ ГЕРЦА 209
нет, за исключением бесконечно тонкого слоя у поверхности
провода.
§ 4. Исследования Герца. Проблема электрических колеба-
ний была рассмотрена несколько отличным способом Герцем
в различных мемуарах, написанных в связи с его замечатель-
ными экспериментальными исследованиями1). Он исследовал, во-
первых, распространение электрических и магнитных возмущений
в бесконечной диэлектрической среде, посылаемых вибратором,
состоящим из двух равных пластин или шаров, соединенных
прямым проводом с разрядником посредине, и, во-вторых,—рас-
пространение в той же среде ч возмущений, возбуждаемых виб-
ратором с длинным прямым проводом. Действие вибратора зак-
лючается в том, что между пластинками или шарами возбуж-
дается переменный электрический ток, возникающий вследствие
приложенной начальной разности потенциалов между двумя
проводниками.
Рассматривая вначале простой случай, как введение ко вто-
рому, о котором мы скажем несколько слов далее, мы возь-
мем вибратор в виде электрического диполя, т. е. вибратор,
состоящий из двух равных, но противоположных по знаку то-
чечных зарядов, находящихся на бесконечно малом расстоянии.
Линия, их соединяющая, есть ось х, а начало находится по-
средине между ними. В этом случае ясно, что все симметрично-
относительно оси х, что электрические силы лежат в плоскости
оси, а линии магнитной силы являются окружностями вокруг
провода. Среда здесь представляет собой изолятор.
Уравнения движения в этом случае совпадают с теми, кото-
рые даны на стр. 191. Вследствие симметрии составляющая а
магнитной силы в среде равна нулю, а две другие составляю-
щие на основании (4) удовлетворяют уравнению
Это уравнение показывает, что $dz—ydy есть полный дифферен-
циал некоторой функции от у, z.
В обозначениях Герца мы возьмем эту функцию в виде
—dH/dt, так что
й dm __ dm
Р — “ дяд1 ' dydt •
1) См. Hertz, Untersuchungen fiber die Ausbreitung der elektrischen
Kraft, Leipzig, 1892; или Electric Waves [английский перевод той же книги,
выполненный Д. Е. Джонсом, Лондон, 1893].
14 Э. Грей и Г. Б. Метьюз.
210
ГЛ. XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ВДОЛЬ ПРОВОДОВ
Тогда уравнения движения принимают вид
дР _ д (dm . д»П \
* dt	dt dy3 ' da® } ’
dQ	_	dm
* dt	dtdxdy	’
dj?	_	mi
X dt	dtdxdz	’
эти уравнения показывают, что величины
Ml , Mix , Ml о । <Э’П
Ту ' dz2)’ dxdy ’ ^~T~~5xdz
не зависят от I. Если мы предположим, что
личин равна нулю, то распространения волн
Поэтому в качестве основных уравнений мы
каждая из этих ве-
в среде не будет,
примем
xQ =
MI
dxdy ’
х/?
дхдг ’
Используя эти соотношения в. уравнениях магнитной
силы (2),
мы получим
д /д’П
dz \ dt2
д /М1
ду \ dt2 s
--?«п) = 0;
хц I
—v2n^=o,
эти уравнения показывают, что величины в скобках являются
функциями только от х и t. Поэтому мы можем написать
~-----Lv«n =/(х, О-
dt2	xfi	J v '
Легко видеть, что можно положить /(х, /) = 0, не нарушая
этим электрического и магнитного поля, и уравнение распростра-
нения волн будет
= —V2n.	(69)
Ot*	'
Решение, соответствующее предполагаемому вибратору, есть
П = Д-зш(тг — л£),	(70)
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЯ ГЕРЦА >
21'1
где г — расстояние рассматриваемой точки от начала, а Ф—мак-
симальный момент электрического диполя.
Из этого решения электрические и магнитные силы нахо-
дятся дифференцированием. .В цилиндрических координатах х, р,
О уравнение принимает вид
д^п _ 1 /мт_ , дчт_ , 1 <ш\
dfl	xfi \ дх* " др* ‘ р др J ’
(71)
так как П не зависит от 6. Здесь p*=y*-\-z3, и если мы будем
считать Р и /? осевой и радиальной составляющими электри-
ческой силы, то для вычисления их при помощи П мы должны
применить формулы
р
_д_/ дП\
dp V др у ’
д»П
дхдр ’
(72)
Возьмем меридианную плоскость за плоскость ху, так что маг-
нитная сила Н, перпендикулярная к меридианной плоскости,
будет совпадать с у. Следовательно,
• <73>
Результаты этого решения очень интересны, но так как
они не содержат применения функций Бесселя, то мы не будем
их подробно рассматривать. Мы рассмотрим здесь задачу о
распространении волн вдоль провода, для решения которой необ-
ходимо применение функций Бесселя. Эту задачу очень поучи-
тельно сравнить с разобранным простым случаем, из которого
она может быть построена.
В задаче о проводе функция П в каждой точке среды, близ-
кой к поверхности проводника, является гармонической функ-
цией от расстояния точки до выбранного начала. Мы предполо-
жим, что провод очень тонкий, лежит вдоль оси х и продол-
жается в бесконечность по крайней мере в одну сторону, так
что не нужно принимать во внимание отражение.
Следовательно, в каждой точке вне провода
П = A sin (тх—nt+е).
Если мы исключим затухание волны или изменение формы, то
увидим, что множитель А не может содержать х или t, он яв-
ляется поэтому функцией только от р. Таким образом,
П =/(р) sin(/nx—ni-f-e).	(74)
14*
212
ГЛ. XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ВДОЛЬ ПРОВОДОВ
Подстановка в дифференциальное уравнение, которое справед-
ливо для среды, дает уравнение для определения /
+ттг-<м’-'л1‘)/=0.	<75)
где п2[т? есть квадрат скорости распространения волн. Мы
обозначим т2—п2х|л через р2 и предположим, что р2 положи-
тельно. Это означает, что скорость распространения волн вдоль
провода меньше скорости свободного распространения волн
в диэлектрике. Теперь вместо уравнения (75) мы будем иметь
Это уравнение удовлетворяется функциями /0(рр) и /С0(рр), где
рр вещественно. Вне провода применимо только последнее ре-
шение, так как f должно равняться нулю в бесконечности. Таким
образом, в изоляторе мы имеем
П = 2СК0 (рр) sin (тх—nt -f- е),	(76)
где Сне постоянные.
На основании формулы V, (36) это решение может быть
написано в виде
/ОО
П = 2С И cos (рр sh tp) dtp
Ч)
sin (/тех—nt-\-s).
Полагая pshtp = B, получим
П =± 2С j	• sin (тх—nt+s)
ИЛИ
оо
П=С j -p~^dE.sin(mx-n<+e).	(77)
—00
Этот результат можно сравнить с формулой (70), стр. 210, из
которой его, конечно, можно было бы получить.
Если рр мало, то
К0(рр) = — (г + 1п^.
Следовательно, на поверхности провода
П = — 2С /у -J- In	sin (тх—nt -j- е).	(78)
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЯ ГЕРЦА	213
Если р = 0, т. е. если скорость распространения волн равна
скорости света, то решение будет
П = О In р sin (тх—(79)
что можно легко проверить, решая задачу прямо для этого
простого случая. Во всех случаях волну в проводе в каждый
момент времени можно разделить на полуволны, так что для
каждой полуволны силовые линии выходят из провода и воз-
вращаются в него по замкнутым кривым, которые не пересека-
ются и расположены симметрично относительно провода. На-
правление силы в каждой кривой меняется на обратное для'
каждой следующей полуволны.
Если /> = 0, то электрические силы, как это легко видеть,
нормальны к проводнику, и тогда каждая кривая состоит из
пары параллельных линий: одной, идущей в бесконечность, и
другой, возвращающейся к проводу.
ГЛАВА XIV
ДИФФРАКЦИЯ
1. Случай симметрии относительно оси
§ 1. Интенсивность освещения (на экране, перпендикулярном
к оси), выраженная в бесселевых функциях. Мы будем рас-
сматривать здесь задачу о диффракции, производимой малым
круглым отверстием в экране, на который падает свет, распро-
страняющийся сферическими волнами от точечного источника.
За ось симметрии1) возьмем прямую, соединяющую источник
с центром отверстия; требуется найти интенсивность освещения
в какой-нибудь точке Р плоского экрана, параллельного пло-
скости отверстия и находящегося на заданном расстоянии от
последней.
Допустим, что расстояние от любой точки края отверстия
до источника равно а, и рассмотрим часть фронта волны ра-
диуса а, заполняющую отверстие. Если полярный угол, соот-
ветствующий какому-нибудь элементу этой части фронта волны,
равен 0, а долгота равна <р, то площадь элемента можно напи-
сать в виде a2 sin 0 d9 dp. Обозначая через ? расстояние этого
элемента от точки Р экрана, в которой требуется определить
освещенность, рассматривая элемент как вторичный источник
света и применяя обыкновенную основную формулу, мы будем
иметь для возмущения (смещение или скорость частицы эфира),
произведенного в точке Р этим источником, выражение
a sill 0d0 df . , .	„
SIH yTZlS '1 Tlvj)
гцегп=^,п=^-, X — длина волны и T — период колебания.
Если полярный угол, соответствующий краю отверстия, равен 0],
то общее возмущение в точке Р есть
2x6,
Т ( । Т s’n ®	dbdy.
о о
-Пусть С есть расстояние точки Рот оси симметрии, а b — рас-
стояние от ближайшей точки или полюса сферической волны
i) Предполагается, что источник лежит на прямой, перпендикулярной
к плоскости экрана и проходящей через центр отверстия.—Прим, ред.
§ 1. ИНТЕНСИВНОСТЬ, ВЫРАЖЕННАЯ В ФУНКЦИЯХ БЕССЕЛЯ 215
радиуса а до экрана, так что расстояние от элемента до
экрана равно а(1—cos 0)4^- Из-за симметрии освещения мы
можем предположить, без ограничения общности, что долгота
точки Р равна нулю. Тогда расстояние В от элемента до точки Р
определится равенством
— {£ —|— «(1 — cos6)}8-}-{asin0—Ccos<p}2-|-C2sinJ<p,
которое может быть приведено к виду
S2 = Ьг + 4а (а 4 b) sin2 А — 2аС sin 0 cos <?4С2,
откуда, так как величины 0 и С малые,
* = b Н----Sin -2 - т Sm 0 C0S ? + 2ft •
Если мы теперь напишем р вместо a sin 0 или а0, то прибли-
женно будем иметь sin2 (0/2) = р2/(4а2), так что
5 = ^ + &-ft-C0S<? + ^P’-
Наконец, если отверстие имеет малый радиус г и если
точка Р так близка к оси, что мы можем подставить 1/Ь вме-
сто , 1/$, то для общего возмущения получим выражение
2тс г
аЬ 5 $ Sin {от (6 + S - Т cos 'Р +	Р2) - nt) PrfPdt₽-
о о
Отделяя теперь те члены в больших скобках, которые не
зависят от р, и обозначая их через ш, так что
® = z«(^ + lft) —
мы можем написать предыдущее выражение в виде
2« г
JJsin(«>4x)prfpd<p,
О о
или
(С sin о) + S cos ш),
216
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
где
2л г
с= [ У со4	р’—s'pcos ? )р^р d<p’
6 о
2л г
s=j* [sin Y р2 — у Р cos <р\ prfp d(p.
о 6
Таким образом, интенсивность освещения в точке Р пропор-
циональна величине
1
Д2МХ»
(C4-S2)
и остается только вычислить интегралы С и S. Это можно
сделать, применяя следующий прием, принадлежащий Ломмелю1)
и основанный на свойствах бесселевых функций.
Меняя порядок интегрирования в С, мы получим
г 2л
о о
Р2 —у р cos срdcplpdp.
Теперь, рассматривая внутренний интеграл и полагая
2я a-\-b 2	1 . 2я $
Т	ТТР = *’
будем иметь
2л
(*	2я/а4-^о С \ ,
 J cos Г ("25г Р “ Т Р cos d(P—
2л
[cos fy ф — X COS <pj dtp =
9
2л
= cos у <[> Jcos (x cos cp) dtp,
0
так как
2л
sin-|-<|»ysin(xc6s<p)d<p =0.
о
x) Abh. d. k. Bayer. Akad. d. Wissensch., 15 (1886).
§ 1. ИНТЕНСИВНОСТЬ, ВЫРАЖЕННАЯ В ФУНКЦИЯХ БЕССЕЛЯ 217
Но
2it	я
1 С	If
cos у ф I соз (х cos <р) dcp=2 cos у ф I cos (х cos ср) dtp —
о	о
= 2л cos уф-/о (х)
согласно формуле V, (3). Следовательно,
Z
c = ^§t°s-^-xJ0(x)dx,	(1)
о
2« С
где z есть значение х при р = ги равно у уг*
Подобным образом мы можем показать, что
2
S=|^-Jsinyc|).xJ0(x)dx.	(2)
о
Эти интегралы могут быть разложены в ряды по бесселевым
функциям следующим образом. Прежде всего по формуле II, (25)
мы имеем
X
Jxn Jn_x (х) dx=хпJn (х).
о
Выполняя указанное ниже интегрирование по частям и используя
этот результат, получаем
cos у ф • xJQ (х) dx = cos у ф • xJx (х) +
2» ~ai~ & Jsin Т dx-
о
Этот же процесс можно повторить над интегралом во вто-
ром члене правой части и т. д. Положив -yj вместо ф при
х = z, так что у =	г2, и написав
А 2аЬ
4+.(4
tf2=(f)’4(*)-(£)4(*)+. • •J](-i)“(f)2n+24+2(A
(3)
218
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
мы получим, наконец, подставив 4п2С2г2/62Л2 вместо z2,
		1	1	1		
		cosyy	sin-K-j		
с = лг2		1	Н—Г—	2	(4)
		ТУ	ТУ		
	г 1		1		
	sinyy		cos "2 у		
S=^r2	1		1 и*	(5)	
	ту		ТУ		
Значения С и S могут быть найдены вычислением сумм Ut и U2
для данного значения z. Это можно легко сделать с помощью
таблиц бесселевых функций, данных в конце этой книги.
Ряды Ux и t/2 расположены по возрастающим степеням y!z.
Ряды же, расположенные по возрастающим степеням z/y, могут
быть легко получены приемом, аналогичным предыдущему. Мы
начнем с интегрирования по частям выражения cos y Ф-х dx и
затем, продолжая процесс, используем уравнение II, (24)
(х-п Jn (х)) = — x-V„+I (х).
Имея в виду, что
1 . _________________ 1 № а 4- Ь а _	2
~2^~ ~2ab'X
где положено
_ 1 Ь* а + Ь
Р “ 2т: & 2аЬ '
мы получим прежде всего
z
С ~ 0^ Р°	C0S V*2 ’ х<^х~
о
Z
— {i Sin • 7о + 2ц f’i 71 W sin	xdx]
о
( 1	•	» т / к 1	1	, , ч	» 1
= 2я$Г (2^ S,n • 70 (*) — 4^2 у J\ (*) COS yz2 +
z
Ч“Д?4- — тЦ cos xdx].
0
§ I. ИНТЕНСИВНОСТЬ, ВЫРАЖЕННАЯ В ФУНКЦИЯХ БЕССЕЛЯ
219
Продолжая итти этим путем, будем иметь

s,nТ-У ( {гХ,
—---Шг)-(у) /2(г) + .
L -2-у
1
cos ~2 у
~1
~$У
1
-l—^o
~%У •
(6)
где
v0=4(^)-(y)a 4(z)+. . . = £(- 1)я(у)2"4(г),
^ = уЛ(^)-(у)3Л(^) + . • -=S(- I)n(j)2"+,4+1H-
Аналогично получим
1
Сравнивая формулы (4) и (5) с (6) и (8), имеем
Ux cos у у+U2 sin -2-у = sin	Vo sin у у-
Ux sin у у — U2 cos у у = cos — Vo cos у j—Vt sin у у,
что дает
1 /	, Z2
(9)
220
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
Возведя в квадрат формулы (4) и (5), (6) и (8), мы получим
эквивалентные выражения для интенсивности освещения в точ-
ке Р экрана; таким образом, если № = 1, то
(С2 + •S®) —	(у j (Ц + ^2 ) —
= Ж.(7П1 + ^+К2-2У«С04Нг7)- j
_2У)8ш4(у+^)}.	(10)	|
§ 2. Рассмотрение рядов (U, V) функций Бесселя, выра- ?
жающих интенсивность освещения. Вычисление функций U
и V с помощью таблиц бесселевых функций может быть облег- j
чено, если принять во внимание некоторые свойства, которыми |
они обладают. Мы будем следовать Ломмелю в следующем	i
кратком рассмотрении этих свойств, но будем применять иногда	!
несколько другой анализ.	.
Рассмотрим более общие функции	j
=	<(г)-(т)’+! А+,(*) + ...=
=Е(-1)'(^Г'’^(г)'	(1|> ;
К = (у)Ч(*>-(у)”+Ч«<*)+- • •=	=
/	х-' /	у
= Е<_1У’(7)“+!,-'-+!'(2)’	<I2) I
где п может быть положительным или отрицательным целым i
числом.	?
Прежде всего ясно, что ряды сходятся для всех значений i
у и z. Если в гл. IV, пример 12, положить x — z, то получим
Отсюда мы видим, так как по формуле IV, (9) | J0(z)|< 1, что
каждая из’остальных функций Бесселя должна быть численно
меньше, чем 1/1^2. Следовательно, если y]z<\, то ряд Un схо-
дится быстрее, чем геометрическая прогрессия
\г/
§ 2. РАССМОТРЕНИЕ РЯДОВ Щ, V) ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 221
а если z/y<l, то ряд Vn сходится быстее, чем геометрическая
прогрессия
S/_z\»+2/’
\у)
Поэтому в первом случае для вычисления удобнее приме-
нять Un, а во втором Vn.
Если y=z, то
Полагая в формулах IV, (7) и IV, (8) ?=0, x~z, мы найдем
cosz —Jo(z)—2J2(z)-\-2Jt(z)— . . . ,
sinz = 2Ji(z)—2J3(z)-|-2J8(z)— ....
Следовательно, если z—y, то
U0 = V0= * {J0(z) + cos2:},
t/,=v,=4sin z’
U2 = V2=±{J0(z)-cosz}
и вообще
p—n1—!
К,=Чг~ (Ш+М- 2 (- i)"+,4,(*).
p-0
£/w=^,=’^siiiz-'£ (- 0'%+#
/?-0
Возвращаясь теперь к формулам (11) и (12), мы легко
дем, что
(13)
най-
(14)
(15)
и, следовательно, z2n {Un -J-t/„+2) = у2" (V„ + У„+2).
Так как J*_n(z) = (—то полагая —п вместо п после-
222
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
довательно во второй и в первой из формул (14), а также z^=y.,
мы найдем
u. + 4H=(-l)-(V_, + V_,+2),
К.+ К,в=(-П"(^_.+и.,,+!).
Дифференцируя равенство (11), получим
ЗЦ, __ п (У\п I (z\ I л + 2/>У+2у
дг ~ г\г) Jn\z) g у2] Jn^\z> • • •
Используя во второй строке этого результата соотноше-
ние II, (20)
будем иметь
W”- — — (£\aJ (z}-l-(y\n+2J (z\—	—-1-U
дг — г) "4-1 'z' г \ .. /"4-3	• • • — у ил+г
(16)
Последовательное дифференцирование приведет к уравнению
dmUn__m-\ дт~* п г dm-i .j	П7
дгт	у dgm-aun+i у дгт~1"+1’	'
Аналогично, дифференцируя и используя соотношение II, (21),
мы получим
^(Z) = ^-,(Z)~TJn(Z)’
...	'	(18)
д2! У Л“1 ’
и поэтому
Н9>
dzm у dzm^^ у п—1 у dzm~l ’л—1*	' I
С другой стороны, дифференцируя первое уравнение фор-
мулы (9), имеем
Но по формулам (16) и (18) предыдущее уравнение прини-
мает вид
—Ц+Ц) = cos у fy + у) •'
§ 2. РАССМОТРЕНИЕ РЯДОВ (I/, V) ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 223
Дифференцируя снова, получаем
। — z
dz ' dz v
или, согласно формулам (16) и (18),
из + VI) = — sin 4 (j +у) •
Повторяя этот процесс и дальше, мы, очевидно, получим
и2п+1 + V’-2n+l = (— 1)" sin 4 +57) ’
— Ця+2 + У-2я = (— О" c°s у (j -I- у) •
Если в этих равенствах положим л = 0, то получим снова
формулы (9). Подставляя в (9) • значения функций Un, Vn из
формул (11) и (12) и используя (14), мы получим формулы
S<- <r+(OwM=sini^+S), 
(21)
которые заключают как частный случай, а именно тот, для
которого y — z, уравнения
s\nz = 2Jx(z) — 2J3{z)-\-2J5(z)— . . . ,
cosz=J0(.z) — 2J<i(z)-\- 2J^z)— ....
применявшиеся выше.
По теореме Тэйлора имеем
ипКу, z + h) = Ua + hd^+%™2- + . . . .
Вычислив последовательные производные посредством фор-
мулы (16) и переставив члены, получим
U (v	— и  А<2*+Л)л/	। 1 А8(2г + А)* /j _	—
z-\-n) — un	_ (2jrp- - ^„4.2
= У (_ 1 )Р ^2*.+ AZ и , .	(22)
Zj' ’ 1Л(2уУ п+р	v '
Аналогично мы можем доказать, что
+ =	(23)
224
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
Эти разложения сходятся очень быстро и позволяют легко
подсчитать Un(y, z-\-h), V„(y, z-j-A). Функции £/„+1, £7я+2,
4/я+3, • • • . Kj-p ^п-2» • • • МОГУТ быть найдены по функциям
</я, Уя, причем сначала с помощью формул (16) и (18) вычисля-
ются Ц,+1, Vn_t, потом получаются остальные функции после-
довательным применением тех же формул (16) и (18).
Дифференцируя формулы (11) и (12) по у и используя в ко-
нечном результате соотношение II, (26)
Ч И = у zJa_x {z} 4-у Ч+1 (*)•
мы найдем
— -----------------------
2 z г»-1 ~ У ду 2 У ’«+!•
Если и есть функция от у, то
dm(yiu) ,	1	dm-1« । .лдти.
-	—(т 1)^^уп-»+ *nyдущ •
Используя эту теорему, мы последовательным дифференци-
рованием формул (24) найдем
1	dmUn+x _ ,.2 (dm+4Jn	1	
2	дуп ( dy"+i	2 дут ) ~
+W(^-|^)+
+ (и-1)т(^-1^ь),	(25)
1	„td^Vn-y_AAfd^Wn ; 1	,
2	Z ду* —У \ г 2 by* J
I 2znv	+
i £тУ ду”1 2 ду«-1
Пт ( <>т-гУп I 1 дт-»Уп+1 \	,9|И
“г \т 1)^л^ ду"1-! ' 2 dyn+i j
Если мы будем считать у функцией от z, то
dUn=dUn  dU„dy
dz dz ' ду dz‘
§ 3. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
225
Если y=cz, то
ЮГ — 2	— Т Un+l)
на основании формул (16) и (24). Последовательное дифферен-
цирование и применение этого результата даст
^=Т (л/„_2 - 2Un+±Un^
и вообще
^Я==2^Е	° Р!- (т~Р+1)сМ~2Р(/я-^‘ (27>
Аналогично можно показать, что
jr т(М~ ° У (ОТ~Р+	♦ (28)
Вычисление производных может быть доведено до конца
посредством этих формул с помощью формул (14), которые
для данного случая имеют вид
tr„ + £7„+2=c»J„(z),
V» 4- V»+2 =
r П r n-f-2 —
(29)
§ 3. Интегралы от функций Бесселя, выраженные через
функции U и V. Мы закончим аналитическое рассмотрение
несколькими теоремами, в которых определенный интеграл,
содержащий бесселевы функции, выражен посредством функ-
ций U и V.
По формуле (1) мы имеем
Z
С — JC0S 2 'f’^o (*) dX'
о
Положим теперь x=zu, тогда
Следовательно, так как z’— 4iA.lrl/i2#3, то
1
С = 2ягя J cos • uJ0 (zu) du.	(30)
Аналогично получаем
1
5— 2№ f	• uJ0[zu)du.	(31)
15 Э. Грей и Г. Б. Метыоз
226
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
Уравнения (4) и (5) дают
Ceos yj-f-Ssmyjy =——Uv
2У
Csin-^- у — Scos^y=-^-U2.
yy
Подставляя сюда значения С и 5 из формул (30) и (31), полу-
чаем уравнения
1
У Jo (zu) • cos	(1 — я2) |-udu = -у Ux,
\	'	(32)
J J0(2«)-sm{yj(l—a8)}-ttda=yC/2.
о
Дифференцируя по г и имея в виду, что Щг) — — Jx(z),
получаем
1
J (zu) cos	У (1 — »*) } • “2^«= — у	= yr U*
о
по формуле (16), и аналогично
1
У Jj (zu)sin /у у (1 —и2)} -я2йи=у-£/з.
о
Если мы теперь предположим, что
У Jn-.И) .cos{4y(l -««)}•«"=	(33)
о
и продифференцируем, используя соотношение II, (20)
Л-i (zu) = J„_i (zu) — Jn (zu),
то легко получим
У Л (zu) cos	у (1 — я2) j • un+l du=у (у) Un+l.
о
Таким образом, если равенство (33) справедливо для некото-
рого целого значения п, то оно справедливо и для п-|-1. Но,
§ 3. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
227
как мы видели раньше, это равенство справедливо для п—1,
следовательно, оно справедливо для всех целых значений п.
Подобным же образом получим
1
f J„_2 (zu) sin (4-Д'(1 — и2) Iм»-1 du = -у (vY 2	(3*)
J	(z	J	У \У /
о
Значения С в формулах (6) и (30) дают
1	sin—у cos-Lj
j cos-yut-uJ^zu) du =y sin ~\---------y— Vo---— Vp (35)
о
Аналогично, значения S формул (8) и (31) дают
г 1	1 “Ц-У s,n4J'
I sin у у и2 • «-/0 (*“)du = у cos 27-- У°----У~ V'" (36)
Если вместо и введем переменную р (= иг), где г есть радиус
отверстия, и напишем y — kf*, z—lr, так что
, 2гс а-(-Ь	. 2я j?
R~ Т ' ~ЗГ ’ 1~ к ' b ’
то вместо равенств (35) и (36) будем иметь
j Jo (Zp) cos (у Ар2) • pdp = у sin	+у sin (4 kr*)vo ~
О
—cos-if Ar2 У,,
А? " \ J
г
J Jo (Zp) sin (уАр2) ‘ P^P —у cos	~ T cos (t kr*) ~
0
—‘-sin^Ar»)^.
Если теперь положим г—>00, а I и А^=0, то Vo и обра-
щаются в нуль и мы получаем
/1	\	1 р
Jo (Zp) cos (у- Ар2j • pdp=у sin 2^,
Jo(Zp) sin (у Ар21 • pdp=у cos yj-.
б
15*
(37)
228
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
Эти формулы будут полезны в следующем параграфе (см. также
формулу (51) ниже). Они являются частным случаем более общих
теорем, которые могут быть легко найдены последовательным
дифференцированием. £
Два случая диффракции
§ 4. Случай 1: _у = 0. Мы переходим теперь к приложению
полученных результатов к задаче о диффракции. В этой задаче
нужно различать два случая: 1) когда у = 0 и 2) когда j^=0.
Первый случай, представляющий собой диффракцию Фраунгофера,
привлек к себе особое внимание. Мы рассмотрим его здесь
отдельно, а затем перейдем к более общему случаю (2).
Если _р=0, то или а=оо и Ь=оо, или а = — Ь. В первом
случае волна, падающая на отверстие, плоская, а параллельный
ей экран, на который падает свет из отверстия, находится на
очень большом расстоянии от отверстия. Такое расположение,
как указывает Ломмель, осуществляется, когда явления интер-
ференции наблюдаются при помощи спектрометра, у которого
телескоп и коллиматор приспособлены для параллельных лучей.
Отверстие помещается между коллиматором и телескопом под
прямым углом к параллельному пучку, выходящему из колли-
матора.
Если а=—Ь, то а может быть или положительным, или
отрицательным. Если а отрицательно, то отверстие предпола-
гается освещенным светом, сходящимся в одной точке,
и экран при этом расположен под прямым углом к оси сим-
метрии. Это можно осуществить, получив сходящийся пучок
света посредством выпуклой линзы и введя отверстие между
линзой и экраном, причем экран должен совпадать с фокальной
плоскостью линзы.
Если а положительно и, следовательно, Ь отрицательно, то
волны света падают на отверстие выпуклым фронтом в направ-
лении их распространения. В этом случае мы должны наблюдать
интерференцию на экране, проходящем через источник под пря-
мым углом к линии, соединяющей источник с центром отверстия.
Этот случай может быть действительно осуществлен, если
воспринимать свет из отверстия глазом, сфокусированным на
источник. Диффракционные полосы получаются тогда на сет-
чатке глаза. Или можно поместить выпуклую линзу на расстоя-
нии от источника, большем, чем главное фокусное расстояние
линзы, так чтобы воспринимать свет после того, как он пройдет
через отверстие. Экран при этом должен совпадать с фокальной
плоскостью линзы.
Экран можно рассматривать простым глазом или через увели-
чительную линзу. Если используется увеличительная линза, то
§ 4. СЛУЧАИ 1: у as О
229
вся -система оказывается эквивалентной телескопу, сфокусиро-
ванному на точечный источник с отверстйем впереди -объектива.
Это расположение принадлежит Фраунгоферу; мы получим теорию
рассмотренного им явления, если положим у=0в предыдущих
теоретических исследованиях.
Положив у = 0 в формулах (3), получим
уУ,=0.
так что, обозначив АР=С2-|--$2 и положив яг’ = 1, мы будем
иметь
(2	^2
4 Л (-2)} •	'	(38)
Эри1) дал для величины 7И2 выражение вида
J.	жг , х*	х*	,
(*	2.4' 2*4*4.6	2.4.4.6.6.8 "Г ’ ’‘J ’
которое просто равно величине правой части (38).
С помощью таблиц бесселевых функций значение М может
быть найдено очень просто, удваивая значение для некоторого
данного аргумента и деля затем результат на этот аргумент.
Результат показан графически на фиг. 7.
Максимум интенсивности света находится в тех точках, для
которых (z)/z имеет максимум или минимум. Минимум интен-
сивности находится в тех точках, для которых (г)=0. Если
Jj (z}]z имеет максимум или минимум, то
£{)р,(г)}=0.’
Но
так что условие принимает вид
4(г)1=0;
последнее 'равенство по [формуле II, (26) эквивалентно условию
4Л(2)-5/о(г) = О.
Таким образом, когда максимальные и минимальные значения
величины 2J, (г)/г найдены, то точность полученных результатов
можно оценить, пользуясь тем, что эти значения должны быть
1) Camb. Phil. Trans. (1834), 283.
230
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
равны значениям функции J0(z) для того же аргумента, данным
в таблице. Или же если аргументы найдены, как корни урав-
нения J2(z)—-0, то соответствующие значения величины 2J1(z)/z
находятся из таблицы для J0(z) прямо или интерполяцией.
Места максимума интенсивности чередуются с местами,
в которых интенсивность равна нулю, причем предполагается,
Фиг. 7.
что свет имеет определенную длину волны, т. е. — монохрома-
тический. Корни уравнения J, (г) — 0, представляющие собою
значения z, для которых интенсивность равна нулю, могут быть
вычислены по формуле, данной на стр. 113 (гл. VII). Там было
показано,, что приближенное значение больших корней уравне-
ния Ji(z) = 0 есть + а для уравнения J2 (г) = 0 соот-
ветствующее значение будет	где т есть номер корня.
Следовательно, для больших значений z разность между значе-
ниями z для последовательных максимумов или минимумов при-
ближенно равна те, а разность между нулем и следующим ближай-
§ 4, СЛУЧАИ 1: у—О
231
шим максимумом равна -i- л
. Кольца следуют таким образом друг
за другом на одинаковых расстояниях.
Разность путей луча от противоположных концов диаметра
отверстия до точки Р равна 2r arc tg С/Л, т. е. 2гС/Л или Iz/k,
Следовательно, расстояние в длинах волн равно з/тс.
Следующая таблица дает значения z, соответствующие мак-
симумам и нулям функции 2з:_1/1 (z), данным во втором столбце.
Третий столбец содержит соответствующие значения ЛР.
Для больших значений z пригодно асимптотическое разло-
жение функции Jj (z) (стр. 74). Если z возрастает, то это разло-
жение все с большей и большей точностью дает равенство
2 , , .	2 _/ 2 . (	1 \
ЛЯП2!“т4
АР=-^ sin*(z—
itz* \	4	1
и поэтому
z (корни уравнений J2(2)-0h z-Vj U)-0)	2rVt (z)	M*
0	+1	1
3,831706	0	0
5,135630	—0,132279	0,017498
7,015587	0	0
8,417236	+0,064482	0,004158
10,173468	0	0
11,619857	—0,040008	0,001601
13,323692	0	0
14,795938	+0,027919	0,000779
16,470630	0	0
17,959820	—0,020905	0,000437
19,615859	0	0
Когда z приближается к значению
л, то sin2
'	1 '
Z-----Г к
4
приближается к единице, так что максимальное значение вели-
чины равно 8/я.
Все количество света, попавшего внутрь круга радиуса С,
пропорционально
j* M2zdz — 4 ^z~1 j\ (z) dz.
b	о
232
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
Но
U (*)-/(*)} л (z) = -J0{z)	(z)J'}{z).
Следовательно,
ж
^Mizdz=2{l—Jt0(z)—fl(z)}.	(39)
о
Если z становится бесконечно большим, то выражение в
скобках делается равным 1. Следовательно, как это было заме-
чено Рэлеем1), часть полной освещенности после некоторого
значения z равна (z) -4-	(z). Но в темном кольце Jt (z) = О,
так что часть всего света за каждым темным кольцом равна (г).
Значения этих частей для последовательных корней функции Jx (z)
приближенно равны 0,162; 0,090; 0,062; 0,048..., так что более уд
всего света попадает внутрь второго темного кольца.
§ 5. Случай 2: j#=0. В более общем случае диффракции,
рассмотренном Френелем, у не равно нулю, и мы имеем (№= 1)
Л42 = (|1)(^+^).	(40)
где иъ U2 могут быть вычислены по данным выше формулам
при помощи таблиц бесселевых функций, помещенных в конце
книги, причем для z>y используется уравнение (3), а для
z<y—формула (9) с разложениями Уо и и,.
Максимальные и минимальные значения АР для указанных
значений y(y<z) даны ниже в таблице. Мы даем здесь также
несколько диаграмм, показывающих вид кривой интенсивности
для тех же значений у. Кривые начерчены так, что значения z
являются абсциссами, а значения АР— ординатами.
>=«
z			№	
3,831706	—0,122609	0,106159	0,026305	Mln
4,715350	—0,178789	0	0,031966	Max
7,015587	4-0,013239	—0,040631	0,001826	Min
8,306007	4-0,074093	0	0,005490	Max
10,173467	—0,002313	0,016225	0,000269	Mm
11,578479	—0,043104	0	0,001858	Max
1) Phil., март, 1881, или .Wave Theorie of Light’, Encyc. Brit., 9-е изд,
стр. 433; Collected Papers, I, стр. 513.
§5. СЛУЧАИ 2:
23$
J = 5ic
Z			АР	
3,030827	-|	(-0,114161	0	0,013033	Min
3,625773	-0,114593	0	0,013132	Мах
3,831706	-0,114492	4-0,004496	0,013128	Мш
7,015587	-0,002099	+0,173617	0,030147	Мах
9,440724	-0,134688	0	0,018141	Мт
10,173467	-0,118330	—0,067421	0,018548	Мах
Фиг. Р.
234
ГЛ. XIV. диффракция
у = 9тс
2	2
z ~Уи'
М*
Min
Мах
Mln
Мах
Min
2,649454	+0,067178.	0
3,831706	4-0,068485	—0,010782
4,431978	+0,068964	0
7,015587	+0,045384	+0,076624
10,173467	—0,017711	+0,048204
0,004513
0,004806
0,004756
0,007931
0,002637
Максимальными и минимальными значениями я2 являются
те, для которых -^- = 0.
На основании формул (40), (16) и (14) имеем последовательно
дли _ 2/2уЩ ди2\
= -(^УуиМ + из) = - 2^)’ Л (z) U2.	(41)
Следовательно, мы получим максимум или минимум, когда
или
Л (z) [= Л» С2)] ~ о»
Таким образом, значение z, которое дает максимум или ми-
нимум функции Jo (z) или Ui (z), дает или максимум, или мини-
§ 6. графический метод
235
мум АР. Корни уравнения Jt (z) = 0 даны в конце этой книги и
являются значениями z, которые дают максимум или минимум
освещенности. Значения функций 2U\jy, 2U2ly, соответствующие
этим значениям z, получаются интерполяцией значений Ult U2
или Vo, Vi для тех z, которые имеются в таблицах бесселевых
функций. Формулами интерполяции являются формулы (22), (23).
Максимумы и минимумы, получающиеся для тех значений z,
для которых <72 = 0, находятся подобным же образом. Предпо-
ложим, что необходимо найти корни функции U2. Для этого возь-
мем табличные значения U2, ближайшие к нулю, тогда значе-
ние z-4-й, при котором £72 = 0, находится из выражения правой
части формулы (22), приравненного нулю, причем п полагается
равным 2, т. е. из уравнения
(43)
Так как ряд быстро сходится, то нужно удержать лишь не-
большое число его членов; при этом определяется величина
h(2z-\-h)[2y, а следовательно, и h.
После того как найдены значения z, для которых U2 — О,
вычисляются значения 2Utly для тех же аргументов. Квадраты
этих величин дают значение ЛР, которое соответствует корням
уравнения <72 = 0. Ломмель в своем мемуаре дал хорошо обра-;
ботанные таблицы, каждая из которых снабжена графиком. Ма-
ленькие таблички с иллюстрирующими их графиками, данные
выше, могут служить в качестве образца.
§ 6. Графический метод нахождения точек максимума
и минимума освещенности. Мы закончим исследование этого
случая диффракции описанием предложенного Ломмелем графи-
ческого метода нахождения для различных значений у значе-
ний z, которые дают максимум или минимум освещенности. Это
показано на диаграмме (фиг. 11). Ось ординат есть ось у, а ось
абсцисс — ось z. Прямые линии, параллельные оси у, проведены
для значений z, удовлетворяющих уравнению Jx (z) = 0. Эти
прямые называются прямыми J^z) — ®. На этой же диаграмме
нанесены кривые линии £72/j2 = 0. Эти кривые трансцендент-
ные и имеют двойные точки на оси 2 = 0, как это будет видно
дальше из простых соображений.
Пусть край листа бумаги, оставаясь все время параллель-
ным оси z, движется вдоль диаграммы от основания до вер-
шины. При этом он пересечет все кривые. Расстояния от оси
у вдоль края листа в каждом его положении до точек пересе-
чения суть значения z, которые при значении у, соответствую-
щем этому положению листа, обращают в нуль правую часть
кривая t/2=0 пересекает ось у в каждой точке, кратной 4п.
Но при этих значениях у функция Ut, а также функция
Ut-z/y {= (z) — UiZjy}

§ 6. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
237
обращаются в нуль, так что
^_0
дг ~и’ ду ~ и‘
Следовательно, производная dy/dz оказывается неопределенной
в точках оси у, т. е. каждая точка, в которой кривая пересе-
кает ось у, является двойной точкой.
Если у, £ — текущие координаты, то уравнение пары каса-
тельных в двойной точке имеет вид
+ = («)
Очень легко проверить дифференцированием и использованием
свойств функций, что если z=0 и у = 4тп, то
d4Jt__J_	w8_ 1
дг* 2 ’ дудг ’ ду* 4 ’
так что уравнение двух касательных приводится к виду
(>' —4/п«)« = 2^».
Таким образом, уравнения касательных будут
у' — 4mit=У 2 г/, у — 4тк=—У 2 г1, ,
а наклон их к оси z определится равенством
tg <р=zt/2,
т. е.
<р=± 54°44'8", 2.
В тех точках, где кривая пересекает ось z, мы можем рас-
сматривать уравнение 4/2 = 0, как эквивалентное двум уравне-
ниям, _у2 = 0 и £/2/у =0, так что кривая £/2=0 распадается на
две прямые, совпадающие с осью z, и кривую
Согласно формуле (3), имеем
5(^у,)=-2^4И+4Й-4И-...
Следовательно, для последней кривой
4У_ дг(у*и*\ _у*и* _
& ( * гг \	0	°°*
238
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
когда .у = 0. Таким образом, ветви кривой U2jy2 = Q пересекают I
ось абсцисс под прямым углом, как это видно на фиг. 11. Ниже I
мы увидим, что это пересечение происходит в точках, удовле- !
творяющих уравнению /2(г) = 0. Таким образом, кривые Ujy2 —
= 0 в точках с ординатами у =0 касаются кривых J2(z) = 0.
Из кривых на диаграмме видно, что значение dyjdz отрица-
тельно, пока у <.z, т. е., как мы это увидим, внутри области
кривой, отвечающей геометрической тени. Но для точек на пря-
мой Jj (z) = 0 производная	i
,	*
2—
dy  z у	i
1	G'.’	 j
и положительна, пока z>y, т. е. также внутри области гео-
метрической тени. Следовательно, не существует точек пере-
сечения линии Jx(z) = 0 с другими	кривыми в области диа- ;
граммы, соответствующей геометрической	тени.	’
Чтобы установить, где находятся максимум и минимум, мы >
должны вычислить (PAPjdz2. Имеем	}
dz* ~	\у) dzVlUv—	(
= 2f|y(pA-w+лк-7^1)).	(46) i
\л)	\ У ])	;
Рассматривая прежде всего точки вдоль линии Jx = 0, мы будем (
иметь максимум или минимум соответственйо, когда J0U2 поло- !
жительно или отрицательно.	?
С другой стороны, если 472 = 0, то точки на кривой'44 = 0 f
являются точками максимума	или	минимума соответственно, |
когда JxUaz/y — отрицательно или положительно, ;
или когда	t
f. <	или	>	—UJX.	{
I	у	1 1	;
„	&м*	г
Вычисляя производную , мы видим, что она не обращается ।
в нуль в точках, удовлетворяющих уравнениям JX (z) — 0, U2 = 0; t
это означает,, что каждой точке пересечения прямой Jx(z)=Q i
и кривой 4/2 = 0 соответствует точка перегиба на кривой интен- |
сивности, имеющей ординатой Л42 и абсциссой z.	j
Из предыдущего утверждения относительно наклона кривой |
внутри области, соответствующей геометрической тени, следует, *1
что внутри этой области не может быть точек перегиба кривой i
интенсивности.	I
§ 6. графический метод	239
Как легко проверить, кривая интенсивности имеет точки пе-
региба для всех значений z, для которых кривая £72/_у2 = 0 имеет
максимальную или минимальную ординату.
Обращаясь теперь к фиг. 11, мы можем увидеть, как найти
точки максимума и минимума. Для этого пройдем вдоль прямой
Jj = O до пересечения с ветвью кривой £/2/_у2=0. Здесь, оче-
видно, U2 меняет знак, в то время как JQ(z) знака не меняет.
Следовательно, 70(г)472 меняет знак, поэтому все точки отрезка
прямой /1(г:) = 0, заключенные между ветвями кривой Z72/j/2 = 0>
дают максимум или минимум соответственно с числом ветвей
последней кривой, которые были пересечены при движении
вдоль прямой Jj (z) = 0 от оси z до рассматриваемого отрезка.
J0(z)£/2 отрицательно для первого отрезка, положительно для
второго и т. д„ причем число пересечений равно 0, 1, 2...
Если мы проходим вдоль кривой U2/ya = 0 и пересекаем пря-
мую Jx (г) = 0, то Jj (z) меняет знак, а £/3 знака не меняет; на
основании формул (14), если Jx(z) = Q, то £78 =— Ux и Ur имеет
максимум или минимум, так как С/2 = 0. Но в дальнейшем нужно
заметить, что если для ветви кривой С/2/уг = 0 значение dy/dz
есть нуль, т. е. если Uazly — Q, то Ua меняет знак, a J\(z) не
меняет; следовательно, для <78 = 0 имеем
и так как £72 = 0, ^-=0, то Ux имеет максимум или минимум.
В этих точках, следовательно, dWP/dz* меняет знак, и поэтому
они отделяют области кривой i72/_y2 = 0, которые дают макси-
мумы, от областей, которые дают минимумы.
Первые три последовательные производные от Л42 обраща-
ются в нуль, когда Z — 0, и _у = 4/пк, т. е. в двойных точках;-
в этих точках, как читатель легко может проверить, имеем
дШ» _ з 1
2	4шМ ’
т. е. двойные точки являются точками минимума (нуль) значе-
ний Л12. Отправляясь от двойных точек, мы можем теперь легка
определить, какие дуги кривой £72/_у2==0 дают максимум и ка-
кие— минимум. Дуги, которые дают минимум, отмечены на гра-
фике жирными линиями, дуги, дающие максимум — светлыми.
Таким образом, первые дуги от двойных точек до максимума
или минимума кривой или до точки пересечения с прямой J, \z) = О
(смотря по тому, что встречается первым) обведены жир-
ными линиями, а дуги от этих точек до следующих, в которых
U3 меняет знак, обведены светлыми линиями и т. д.
240
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
Нижние отрезки прямых Jx(z)=Q от оси z до точек пере-
сечения с кривыми t/2/j* = 0 обведены жирными линиями, сле-
дующие отрезки от первой точки пересечения до второй—свет-
лые и т. д. попеременно. Таким образом выполняется вся
диаграмма.
Как мы видели,
U2 = Уо - cos (1 у + g)=Jo (z) -	)’ Jt (z) +
I	/1	. Z*\
+ ----cos^ + ^.
Следовательно, по мере того как у увеличивается по срав-
нению с z, уравнение
4/2=Jo(2:) —COSyJ
удовлетворяется все более и более точно. Читатель может про-
верить, что кривая JQ (z) — cos у у — 0 встречает ось у в тех же
точках, что и точная кривая, и имеет в этих точках две каса-
тельные.
С другой стороны, если у становится все меньше по срав-
нению с z, то, согласно формулам (3), мы имеем все более и
более точно
J'
так что ветви кривых и21у*=0 приближаются все более и бо-
лее к линиям J2(^) = 0. Этим доказана справедливость утвер-
ждения, сделанного на стр. 238.
Значение АР, именно
с увеличением z и при постоянном у, т. е. с увеличением на-
клона лучей, стремится к нулю. Следовательно, на большом
расстоянии от геометрического изображения отверстия освещен-
ность практически равна 0. Рассмотрим прямую на графике,
удовлетворяющую уравнению y=cz. Прямая, образующая
с осью у такой же угол, какой первая прямая образует с осью z,
будет выражаться уравнением y=~z. Рассмотрим интенсивно-
сти в точках этих двух прямых.

s
§ 6. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
241
Так как для первой прямой yjz = c, то формулы (3) и (9)
дают для каждой точки на этой прямой
Uy = cJx — с3J8 -f- ... =

tr2 = cV2 —cV44-...=
(47)
=~cos{4*(c+ t))+jo—•••
Для другой прямой, обозначив для различия функции штри-
хами, получим
Если радиус геометрической тени равен Cq, то
^ = (а + Ь)г!а
и
> _ Со
г —?
— с,
Если С' есть расстояние от точки освещенной площади до дру-
гой прямой y=z/c, то, очевидно,
Частными случаями этой прямой являются z — 0, или ось
_у = 0, или ось z, vty — z. Последняя прямая отмечена на диа-
грамме пунктиром и, согласно полученному сейчас результату,
она соответствует краю геометрической тени. Интенсивности
для точек вдоль первой прямой равны интенсивности на оси
16 Э. Грей и Г. Б. Метыоз.
242
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
симметрии для различных радиусов отверстий или при постоян-
ном радиусе для различных значений величины b — расстояния
от экрана до отверстия. Для точек вдоль второй прямой интен-
сивности совпадают с интенсивностями в случае Фраунгофера,
уже подробно рассмотренном выше.
В первом случае мы имеем, согласно формулам (2), так как
£=0,
Ц = sin y-V, U2 = 2 sin2 -i-у,
так что
/	1 J
. _ _	/ sin -Т- у \
м*=№\ (uf+^)= -— • W
Х ’	\ Т У '
Это есть выражение интенсивности освещения (в точке экрана),
произведенного диффракцией через узкую щель; ^у в этом слу-
чае обозначает 2iw£/(V), где а — половина ширины щели,/—
расстояние освещенной точки от щели и 5 — расстояние точки
от геометрического изображения щели на экране. Таким обра-
зом, таблицы, составленные для вычисления яркости в послед-
нем случае, годны также и для определения яркости в центре
геометрического изображения круглого отверстия.
Интенсивность равна нулю, когда у = тт: (т — любое це-
лое число за исключением нуля), т. е. когда разность путей,
прЬйденных крайним и центральным лучами, равна целому числу
длин волн. Она имеет максимум, когда tg-j- _у = -| У
или
IC И -Т“ и 2 \	7С С4 -j- С
X 2аЬ Г )	1 2аЪ
Некоторые значения 7И2 даны в следующей таблице:
z = 0
fl ч а	12
sinT У \ 1	у \
------- Л42 = —----------
\ Т У /			\ Т У
0,000000	. 1,000000		
4,493409	0,047190	17,220753	0,003361
7;725252	0,016480	20,371302	0,002404
10,904120 '	0,008340	23,519446	0,001805
14,066194 .	0,005029	26,666054	0,001404
 § 7. ДИФФРАКЦИЯ ОТ НЕПРОЗРАЧНОГО ДИСКА 243
Значения -i- у в этой таблице определяются приближенно с
помощью равенства

или
/1 , 1\г» _ 2«-н ,
“г b ) 2 —	2 Л’
выражающего, что разность путей, которые проходят крайний и
центральный лучи, равна нечетному числу полуволн. Максимальная
интенсивность при этом равна 16'_у2, т. е. (как это сейчас будет по-
казано) равна учетверенной интенсивности на экране, которую
дает волна в случае отсутствия преграды.
Для прямой y=.z на диаграмме (фиг. 11), которая соответ-
ствует краю геометрической тени, имеем, согласно форму-
лам (13), так как z мало,
t/]=ysin2:,
так что
/И2 =2. {sin2 z _|_ (J^z) _ cos Z)2).	(50)
Отсюда видно, что 7И2 может обратиться в нуль лишь в том
случае, когда sin z и J^z)— cos z равны нулю в отдельности,
что возможно лишь при .2 = 0.
§ 7. Случай, когда отверстие заменено непрозрачным
диском. Остается, наконец, найти освещенность в точке экрана,
если отверстие заменено непрозрачным диском, причем предпо-
лагается, что волны, не попадающие на диск, проходят беспре-
пятственно. Возвращаясь к первоначальным выражениям для С
и 5 [формулы (1) и (2) на стр. 223], мы видим, что для общего
эффекта от непрегражденной волны (т. е. в случае отсутствия
диска) мы будем иметь
оо
=2" j" 4(*p)cos (4^) prfp — Л тsin г* ’
ОО
Soo — 2п J ЛОМsin (4АР8)) Р^Р = к Tc0S 2Й ’
о
как в формулах (37).
16*
244
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
Таким образом, имеем
если, как на стр. 220, № положить равным единице. Как и
должно было быть, эта формула приводит к выражению
l/(a-|-Z>)2 для интенсивности в точке пересечения оси с экра-
ном. Таким образом, мы доказали утверждение, высказанное на
предыдущей странице, что максимум освещенности в центре
геометрического изображения отверстия равен учетверенной ос-
вещенности от непрегражденной волны.
Можно было бы возразить, что первоначально полученные
выражения для С и S, которые здесь распространяются на весь
фронт волны, имели отношение только к малой части фронта
волны, именно к той, которая попадает в отверстие. Следует,
однако, заметить, что эффект от тех элементов фронта волны, кото-
рые лежат на значительном расстоянии от оси, очень мал по сравне-
нию с тем, который дают элементы, расположенные вблизи от
оси, поэтому интеграл можно брать по всему фронту без боль-
шой ошибки.
Чтобы найти освещенность при наличии непрозрачного диска,
мы должны вычесть из значений Сте, значения Cr, Sr, дан-
ные на стр. 219 для отверстия. Обозначая разности через Ct,
получим (№=1):
Ci — Coa — Cr = — - [v0sm^y—V}cos^y\, '
2 /	1	1	\	(53)
5i=5oo — >5r=-y(v0cos -^y + Vtsitl-y j
(so
+ 2Цсоз1(> + ^}.	(55)
Сравнивая это выражение с тем, которое было дано на стр. 220
для 7И2, мы видим, что они одинаковы, за исключением того,
что вместо Уо и V\ здесь входят соответственно — U2 и Ut.
Если 2 = 0, т. е. если рассматриваемая точка находится в
центре геометрической тени, то Ио — 1, V\ = 0 и
(56)
§ 7. ДИФФРАКЦИЯ ОТ НЕПРОЗРАЧНОГО ДИСКА	245
т. е. яркость здесь в точности такая, как если бы непрозрач-
ного диска не было. Это хорошо известный теоретический ре-
зультат, впервые отмеченный Пуассоном и после того прове-
ренный на опыте.
Для любых данных значений у и z величина Л4^ легко опре-
деляется из значений Ux и t/2 с помощью уравнений (9)
V0=cosy(j-4-y)-|-</2,
\ у /
Ценные числовые таблицы для величины ТИ*, все иллюстриро-
ванные кривыми, можно найти в мемуаре Ломмеля.
Если z непрерывно возрастает по своей величине, то урав-
нения
V0=COSy^ + y),
становятся все более и более точными, так как, согласно фор-
муле (11), функции U2 и Ux непрерывно стремятся к нулю. Ве-
личина iWj на большом расстоянии от тени становится равной
4/>*, как и в случае непрегражденной волны.
Как и прежде, мы можем найти условия для максимума или
минимума. Дифференцируя Л4? и преобразуя результат по фор-
мулам (18) и (14), получим
^ = -2 (AjW,	(57)
Таким образом, максимум и минимум имеют место, если
Jj(2:) = O или Vo — O.
Корни этих уравнений удовлетворяют уравнениям:
Н(«) _ а У dyi — о
dz ~~^'zdz~
и являются поэтому значениями z, которые дают максимум или
минимум функций J0(z) и Vp Корни уравнения Jx(z) — Q даны в
конце этой книги; корни уравнения Vo — 0 могут быть найдены
с помощью формулы интерполирования, подобной формуле (45)
и получающейся таким же способом.
246
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
Тангенс угла наклона кривых Ио=О к оси z в соответствии
с формулами (24) дается в виде
(58)
Подставляя в эту формулу значения
мы видим, что если j/=oo, тоуу = оо, т. е. для больших зна-
чений у кривые параллельны оси у. Так как
то асимптотами для этих кривых являются линии
Jo(z) = O,
параллельные оси у. Таблица корней этого уравнения дана в
конце книги, и, как мы видели это выше (стр. 112), большие
Значения корней приближенно выражаются в виде
 ( । 3\
+ я-
Если мы напишем теперь
Ио = cos (у +	+ U2 =
-—cos у (j + у) 4-	J2 —	J4 +... = О
и положим значения у и z малыми, то члены в правой части,
кроме первого, исчезают, и мы получим
cos +	°,
т. е.
4- Z* = (2/п4- 1 )«у.	(59)
" Это уравнение есть уравнение окружности, проходящей че-
рез начало координат. Отсюда мы заключаем, что ветви кривой
§ 7. ДИФФРАКЦИЯ ОТ НЕПРОЗРАЧНОГО ДИСКА
247
Уо = 0 вблизи от начала координат становятся близкими к дугам
окружностей и касаются оси z в начале координат.
Кривые Уо = О показаны на фиг. 12 и дают максимум и ми-
нимум кривой интенсивности, если применить процесс, описан-
ный для диаграммы на стр. 236.
В этом случае, дифференцируя формулу (57), получим
(60)
так что точки, в которых линия, параллельная оси z, пересекает
кривые — 0, Уо = 0, соответствуют точкам максимума или
248
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
минимума, смотря по тому, отрицательна или положительна ве-
личина в правой части формулы (60). Следовательно, вдоль линии
JJz) —0 интенсивность максимальная или минимальная, в соот-
ветствии с тем, положительна или отрицательна величина J0V0.
С другой стороны, если Уо = О, то точки дают максимум или
минимум в зависимости от того, будут ли величины
^)+yJ,(2)V, ИЛИ--^)^-!
отрицательны или положительны.
Если имеем одновременно /^^ = 0 и Уо = 0, то д^М^/дг*—^
но d3M2Jd^ 0. Следовательно, в таких точках кривые интен-
сивности имеют только точки перегиба и не могут иметь кри-
тических точек другого вида.
Как и в других случаях, точки перегиба кривой интенсив-
ности могут существовать только вне области тени диаграммы.
Действительно, так как —	V-\ =—Vj, то формула (58)
принимает вид
____<) ______
* ~	-(у/
т. е. dyfdz > 0, если у < z, и dy/dz < 0, если y">z. Но на
диаграмме dy/dz>0 везде. Следовательно, линии Jx(z) = 0,
V0 = 0 не могут пересекаться за исключением случая, когда
y<z. Таким образом, высказанное утверждение доказано.
Наконец, для того чтобы сопоставлять далее случаи диска
и отверстия, сравним интенсивность вдоль прямой y-=cz с. ин-
тенсивностью вдоль прямой y = z!c. Обозначая штрихом вели-
чины для второй прямой, мы легко докажем, что
Vj+ 1^+у2 + = J+и'\+и'\+
-4- 2J0(z)cosy z (с 4- -|-
(61)
Для отверстия имеем

§ 8. ЛИНЕЙНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ 249
а для диска
М2 = —(—У (И24- У2)
1 сЦ г ) ' о '
^ = ^(4-/^0+И)-
Таким образам, по формуле (61)
с2(^-Л^) + -^(Л4'2-Л1-«) = -^ ад cos ±
(62)
Областью тени является та, для которой y^>z, она ограни-
чена прямой у — z. На этой прямой М — М,	и с=1,
так что формула (62) принимает вид
2(M21~M)^=^J0(z)cosz.
Из диаграммы видно, что при возрастании у число темных
колец, попадающих внутрь тени, также возрастает.
Для получения более подробных сведений по этому вопросу
читатель должен обратиться к работе Ломмеля, которая содер-
жит, как мы на это уже указывали, важные числовые и графи-
ческие результаты. Исследования, данные выше, в большей
части основаны на этом мемуаре с отклонениями от оригинала
в доказательствах различных теорем и в использовании свойств
бесселевых функций, установленных в первых главах этой книги.
§ 8. Источник света в виде линейно расположенных то-
чечных источников. Функция Струве. Тот же том Abhand-
lungen der Kdnigl. Bayer. Akademie der Wis sense hasten содер-
жит другой мемуар Ломмеля о диффракции экрана, ограничен-
ного прямыми краями. Метод исследования в этом мемуаре во
многих отношениях подобен тому, который был использован в’
первой работе и дан нами выше. Мы можем здесь остановиться
только на некоторых частных применениях бесселевых функций
для вычисления интегралов Френеля и на небольшом числе других
результатов.
Из результата, полученного выше для явления интерферен-
ции Фраунгофера, именно из того, что интенсивность освещения
пропорциональна f^z) при точечном источнике света, мы
можем найти интенсивность в некоторой точке экрана, когда
источник представляет собой однородную прямую линию, состав-
ленную из независимых между собой точечных источников.
Пусть круговое отверстие есть отверстие объектива теле-
скопа, который в опыте Фраунгофера предполагается сфокуси-
250
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
рованным на источник света. Если источник находится на боль-
шом расстоянии от телескопа, то мы можем предположить с
достаточной точностью, что плоскость отверстия перпендику-
лярна к лучу, идущему от произвольной точки линейного
источника.
Пусть на экране проведены прямоугольные оси координат
5, 7| и пусть линия источников параллельна оси и лежит в
плоскости 5 = 0. Небольшое исследование показывает, что осве-
щенность в какой-нибудь точке экрана должна зависеть от 5 и
выражается в виде
о
где постоянный множитель опущен.
Но если г есть радиус объектива, С — расстояние рассмат-
риваемой точки от оси телескопа, то
2кг „
z— нс
Следовательно,
* z dz z dz
л а /«г*—
если	Теперь интеграл будет иметь вид
00 ,OZ . ,
1 р Ji^)dz
t* J лгУг1—w!"
Этот интеграл можно преобразовать самыми различными спо-
собами к виду, удобному для численных расчетов. Применяемый
здесь прием опирается на свойства бесселевых функций и при-
надлежит Струве1). Другой метод получения этого же резуль-
тата можно найти в сочинении Рэлея «Волновая теория света» ’).
Метод Струве основывается на трех леммах, которые мы и
докажем в первую очередь.
Первая лемма есть теорема Неймана. Она выражается урав-
нением
1
2 *
/л (z) = 4" j	(2-г sin a)da.	(63)
о
11 Н. Struve, Wied. Ann., 16 (1882), 1008.
а) Rayleigh, Wave Theory of Light, Encyc Brit., 9-е изд. стр. 433.
§8. ЛИНЕЙНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ 251
По формуле IV, (33) имеем
Jo ^2csin-|-^ = ^(c)-|-2^ (с) cos а-|-2/|а(с) cos 2 а + ...
Но
Jo (2с sin у)= ~ Jcos	s*nT s*n •==
%
= -у J {J0(2c sin <р) -|- 2J2(2c sin <р) cos а +
о
+ 2J4(2csin<p)cos2a-|-...} d<f
на оснований формулы IV, (4). Приравнивая члены в двух равен-
ствах, получим
«
Л (с) =4"pU2'? sin
О
или
1
2 *
Л {z) =	(* /2л (2з sin a) da,
	о
если напишем z вместо с и а вместо tp. Таким образом, первая
лемма доказана.
Вторая лемма выражается уравнением
«о.	(«о»
V
Из формулы V, (29) получим
ОО , е
O0(x) = K0(-ix) = J ^=5=.
1
Но мнимая часть , функции Go (х) равна у к/0 (*)• Приравнивая
поэтому мнимые части, будем иметь
(66)
!
что и доказывает лемму, выраженную уравнением (64), но немного
в другой форме.
252
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
Третья лемма выражается уравнением
1
2 *
J JQ (z sin a) sin a da = —-.	(66)
о
Используя общее определение (стр. 22) бесселевых функций
целого порядка, мы имеем
1 1
2 К	оо	2 К
У Jq (z sin a) sin ada —	У sin2*4-1 ada =
0	0	0
oO
S(— 1)5 / Z 25 2«5П (5)2 _ VI (— I?*2*_Sin z
(П5)2 у 2 ) П(2$+ 1) — 2jn(2s+ 0 “ * ’
0
что и требовалось доказать.
Возвращаясь теперь к интегралу
Jf (г) dz
J	’
v
обозначим его через Z. По первой лемме имеем
1
оо	"2~
Z=-f —-fi= f J, (2z sin a) da.
TC J	V* J
v	0
Но по формуле II, (26)
J2 (2z sin a) = —{Л (2z sin a)+J9 (2z sin a)},
A
а по формуле IV, (9)
1C
Jj (2z sin a) = -i-J sin (2z sin a sin 0) sin pdf,
о
1C
J8 (2z sin a) = 1 y sin (2z sin a sin 0) sin 3$d$,
Q
так что
i
2	к	оо
z=l J sin ada j (sin Р 4-sin ЗР) dp JW* .
0	0	V
§8. ЛИНЕЙНО расположенные ТОЧЕЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ 253
Но, если мы положим 2 sin a sin р = х, то по второй лемме
получим
f Sin (2г sin a Sin р) .	« г ,	.
J	«-jW
V
Следовательно,
1
"ST
к	2
Z = J(sinp 4-sin3p)d0 J JQ (2v sin a sin p) sin ada.
о	0
Это выражение на основании третьей леммы может быть написано
в виде
1
2 *
Z=1 j (si„₽ + si„3B	=
О
1	к
2
= J sin (2v sin р) cos2 pdp.	(67)
о
Пусть H0(z) есть функция, определяемая равенством
1
2 *
H0(z) = 4 J sin (z sin 0) dO.	(68)
о
Разлагая sin (z sin 6) в ряд и интегрируя, мы получаем
Но (z)= я~ {z 12.32 Н 12.32.52	• • •	(69)
Пусть теперь /7, (z) есть другая функция, определяемая
формулой
Ну (z) — j Но (z) zdz.
о
Тогда ряд в формуле (69) даст
Н\ (г) = — |р-3-	12.32.5 +12.32.52.7	• • • |	(70)
254
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
Мы сейчас докажем, что
i
2 *
= f sin (z sin 0) cos4 0d0.
Дифференцированием можно проверить, что
Умножив на zdz и проинтегрировав, мы найдем, что
Я1(2) = 2- —
1 х ' я dz
Теперь по формуле (68)
1
л 2
^Я0(ж)_2г /
я I
о
sinOdO.
z
Следовательно,
",(*) =
2 "
J cos (z sin 0) sin 0 d6
о
T ’
2з Г*
=— I {1—cos (z sin 0)} sin 6 d0 =
о
i
2 "
= 7- C sin2 f ~ z sin 0 \ sin 0 d0.
(71)
(72)
(73)
(74)
Нужно заметить, что каждый элемент этого интеграла поло-
жителен. Из вида функции Нх (z), данного в первом из трех
только что написанных равенств, можно заметить, что для
больших значений z функция Нх (z) приближенно равна 2z/n.
Выполняя в формуле (74) интегрирование по частям, мы
получим
2“ *
Hi (г) = С sin (z sin 0) cos4 0 d0,
о
так как проинтегрированный член обращается в нуль на обоих
пределах.
'	§ 8. ЛИНЕЙНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ 25&
Если мы напишем 2v вместо z и р. вместо 9, то равенство
примет вид
1
2 *
//,(2*0 = 2^ j sin(2^sin₽)cos2pd₽- (75)
О
Отсюда
1
2	2	"
= j sin (2т> sin f) cos2 fdf = Z
о
по формуле (67).
Нужно заметить, что функции, обозначенные здесь H0(z}
и H\(z), те же, что и функции K(z) и Kt (z), рассмотренные
Рэлеем в его Теории звука, § 302, к которой мы и отсылаем
читателя за дальнейшими подробностями. Функция Hi (z) отли-
чается от функции Hi (z), употребляемой Струве. Если мы обоз-
начим последнюю через $i(z), то соотношение между двумя
функциями будет
Hi (z)=z$i(z).
Значение Hi (z) может быть вычислено для небольших z
с помощью ряда (70), но если z велико, то этот ряд неудобен.
В этом случае мы должны снова обратиться к асимптотическим
рядам, подобным тем, которые были составлены в гл. V для
бесселевых функций. Такой ряд может быть легко найден мето-
дом, примененным в гл. V. Следующие строки представляют
собой краткое описание этого метода ’). По определению соответ-
ствующих функций мы имеем
1
2	”	"	i	_{ g
J,(z}-iH^z} = ^ f	=
о	о
_	Г е zwdw /	. . .
Возьмем теперь интеграл I -р==^-, ('w = u,-}-vv), по прямо-
угольнику с вершинами в точках 0, h, i, где й действи-
!) Рэлей, Теория звука, т. II, Москва^ 1940, § 302.
256
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
тельно и положительно. Этот интеграл равен нулю и при h оо
дает после некоторых преобразований
о
Разлагая биномы и интегрируя, применяя далее формулу
о
и приравнивая-вещественную часть результата у п/0(г), мни-
мую—± inHQ(z), мы получаем разложение функции J0(z) в виде,
данном в гл. V, и
Но	(z~l—z~3 +12 • З2• z~6— I2 • З2 • 52• г-Ч-...) +
Psin
z—Q cosfz—4-^1
,	4 )	\	4 /.
(76)
где
и
Р-32 , 12.32.52.72
—2!(8г^	4! (8г)*
_ 1	12.33.5» , 1*.3*.5».7».92
8г	3!(8г)з '''	5!(8г)»
Аналогично, используя уравнение
1
zJi (z)—iHx (z) = Ц2 j	vF—v^dv,
0
можно показать, что асимптотическое разложение функции Нх (z)
имеет вид
Нх (z) =^(z+z~l—3z-3+ Р-З2.^-5 —.. .)—
_ 1/?£ roc (z— 1 «М1	(1»-4)(3»-4) .
V п cos\4 4 /Г 1-2(8г)2	1“
(Р — 4)(3»— 4)(5» —4)(7» — 4)	( f^z . /	’-ХЛ’-4
1.2-3-4.(8г)4	У —sm^z—41,8г “
(Р —4)(3» —4)(52 —4)
1-2.3.(8г)»
(77)
§ 8. ЛИНЕЙНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ; ТОЧЕЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ
257..
Необходимо отметить, что на основании формулы (74) Hi (2г»)
нигде не равно нулю, и Н} (2v)/v3 имеет максимум и минимум
в точках, удовлетворяющих уравнению
£ Hi (2р) _ 4о2//0 (2р) - 3 Hi (2те)	п	.	•
dv V» ~~	у*	~~U>
Соответствующие значения v являются корнями уравнения
4ф2Я0 (2-р)—3//, (2<0 = 0.
Предположим теперь, что мы имеем два параллельных и равных
линейных источника света, изображения которых в фокальной
плоскости находятся друг от друга на расстоянии о/|1=те/р.
Очень , важно сравнить значение интенсивности в изображении
каждой прямой с интенсивностью на середине расстояния между
ними. Этим путем можно определить минимум расстояния, на
котором могут быть помещены друг от друга световые линии,
чтобы все еще быть разделенными телескопом. Мы возьмем
изображение одной прямой соответствующим v = а изобра-
жение другой соответствующим v = Тогда интенсивность
на некотором расстоянии, определяемом значением V, будет про-
//i (2и} т-т
порциональна . Полагая
—2 I (2»)8 г
будем иметь на основании формулы (70)
,м_ _1	2М ,	2«.р*	;
1».3	р.З».5"Т'1»-3».5«-7
Отношение интенсивности освещения посредине между двумя
прямыми к интенсивности освещения на каждой из них равно
2^\2
i(0)+t(«) ’
Это отношение было вычислено Рэлеем (ему .'принадлежит
и само сравнение), который получил следующие результаты:
1(0) = 0,3333, L (к) = 0,0164, те) = 0,1671,
так что	{ 1 \
ТТОГ=°да-	(79)
Таким образом, интенсивность посредине только примерно
на 4 -1. % меньше, чем интенсивность в изображении каждой
прямой.
17 Э. Грей и г. Б. Мэтьюз
258
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
Теперь
что дает
/т. 2icrt
? = ^Е = тг,
Ь 2г
Отсюда следует, так как b есть фокусное расстояние объектива,
что две прямые находятся между собой на угловом расстоянии,
равном длине волны света, деленной на диаметр объектива.
Следовательно, если две прямые не находятся на большем угло-
вом расстоянии, то они могут быть лишь с трудом разделены.
Этот результат показывает, что разрешающая сила телескопа
прямо пропорциональна диаметру объектива.
.	2 Hi (2v)	»	,
Умножая — на [ios, т. e. на dv, и интегрируя от
5= — оо до '5=-)-оо, мы получим выражение, отличающееся гна
постоянный множитель от величины полной освещенности экрана
от одной светящейся точки, изображение которой находится
в центре фокальной плоскости. Или, учитывая способ, при помощи
которого было получено отношение Нх (2v)fv3, мы можем , рас-
сматривать выражение, упомянутое выше, как освещенность
в этой точке от бесконечной равномерно освещенной площади
перед объективом.
Если интеграл берется от В до -|-оо, то он дает в той же
шкале освещенность в той же точке от площади, ограниченной
прямой линией, параллельной оси ц, и соответствующей постоян-
ному значению В. Точка находится на расстоянии 5 от края
геометрической тени и будет внутри или вне тени в зависимости
от того, положительное Е или отрицательное.
На основании формулы (71) имеем
00	тс/2	оо	те/2
Jdv = Т J cos2₽® J Sln(2”--n-- dv = 4 jcos2₽d$ = f.
0	.00	0
Теперь
00	00	V
J (2t»)8 av—-J (2o)3 av J (203 av-
v	О	0
Второй член правой части может быть вычислен с помощью
ряда (70). Тогда получим
f .к __ 2 J v 2W	24.V5	1 ,Rfn
J (203	8 п ]Р-3	р.З».3-5 । р.32.5»-5.7	'"j‘ {О '
§ 9. ДИФФРАКЦИЯ от УЗКОЙ ЩЕЛИ. ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ 259
• Если умножить это равенство на 4/к, то цы получим выра-
жение, данное Струве, для интенсивности от однородного
плоского источника, изображение которого простирается от ф
до +©о. Для того чтобы получить результаты Струве, напишем
для v положительного
/(-4-п)=-____-----------ФУ_____l 1	(8В
1 ' I ' — 2	«2 Н2.3	р.32.3.5	’ Г	'
Отсюда, если / есть освещенность в случае плоского источника,
простирающегося от —со до -j-оо, имеем
/(+«») + /(-v)=/=L
Это означает, что интенсивности в двух точках, находящихся
на одинаковом расстоянии от драя геометрической тени, но по
разные стороны от нее, равны , в сумме полной интенсивности.
Следовательно, интенсивность на краю тени равна половине
полной интенсивности.
Читатель может проверить, что если значение v велико, то
асимптотические ряды дают приближенно
,	2 /1 ,	1 X I ‘».(»+Т«)
1 W— «2 v "Г 12р*}	v'l‘
Следующая таблица (взятая из работы Струве) дает интен-
сивность внутри геометрической тени на расстоянии
от края и позволяет поэтому оценить увеличение изображения,
произведенное диффракцией объектива, в соответствии с фор-
мулой
'(-*) = 1-/(4- ₽).
V	/(+*)	V	/(+*)		/(+*)
0,0	0,5000	2	0,1073	7	0,0293
0,5	0,3678 *	3	0,0630	9	0,0222
1,0	0,2521	4	0,0528	11	0,0186
1,5	0,1642	5	0,0410	15	,0.0135
II. Случай щели
§ 9. Диффракции, произведенная узкой щелью, ограничен-
ной параллельными краями. Интегралы Френеля. Мы рас-
смотрим очень кратко диффракцию света, проходящего через
узкую щель с параллельными краями. Предположим, ’«то
17»
260
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
диффракцйяоднаитаже в каждой плоскости, расположенной под
прямым углом к щели, Так что задача ставится только в двух
измерениях.
Обозначим через а радиус- круговой волны, дошедшей до
щели, и рассмотрим элемент фронта волны в щели. Пусть b есть
расстояние точки Р от полюса волны, так что ее расстояние
от источника равно a-\-b, ds.—длина элемента волны, 8 —
запаздывание вторичной волны (оно равно разности расстояний
точки Р от элемента и от полюса). Возмущение, произведенное
в точке Р, пропорционально
п ( t «\ .
coszirip—у las.
Если расстояние элемента от полюса есть s и* величина $
мала по сравнению с Ь, то легко показать, что
2аЬ
Написав, как обычно, у im* вместо 2к8/Л, мы получим
1	2	. ab\
Возмущение в точке Р будет поэтому
cos 2я (у-—-yj = cos у ад?1 cos ( 2« у-j -f- sin у «©• sin ^2к -у j-
Интенсивность освещения элементом постоянна и пропор-
циональна
COS8 у -КФ* 4~ sin8 у 1W*8,
где
= W+>ls*.
abk
Полная интенсивность пропорциональна
|Jcosy	j? -|-|Jsiny «г*8*^ |2,
где интегралы берутся по всей дуге волны в щели.
Задача свелась, таким образом, к квадратурам, и остается
только вычислить интегралы. Получим
V	V
Г 1	Г 1
С — I cos у «ЯЛ», S— I sin у irn’dtf;
о	о
С и S представляют собой интегралы Френеля.
§ 9. ДИФФРАКЦИЯ ОТ УЗКОЙ ЩЕЛИ, ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ 26*
Были предложены различные методы вычисления этих
интегралов; наиболее простой из методов, имеющих целью
численное определение, основан на применении функций Бесселя
(когда таблицы их пригодны).
Полагая-у их»1 = г, получим
г .—	г
(?' £coszdz = T \J-^(z)dz’	<82)
о	о
z	z
5 — у С У sin z dz—4. j J1/2 (z) dz.	(83)
о	0
Рассмотрим теперь интегралы от бесселевых функций в правой
части. Используя соотношение
4й=4[4-,и-а+,р)].
будем иметь
Л,,,И = 2/;>(г) + Л,,(г) =
=ад; W+ц, <г)+...+ад„,+„„ и+w
Таким образом, мы получим
Z
у J d—4t (г)	=*А/, (z) 4-	4" • • •+^(4n+i)/2 (*) 4-
0
Z
4“ ~2 J ^(4n-F3)/2 (Z) dz‘	(84)
о
Если взять значение (4п~|-*3)/2 достаточно большим, то
интеграл в правой части равенства (84) можно сделать как
угодно малым. Мы получим поэтому
Z
С= ^у_1/2Н^=4Н+л/8(^+Л/8(2)4-.-. (85)
Аналогично" находим
Z
& <tz=/.l,(z)+t/, (Z) 4-Л.;, И 4- •. •	(86)
о
Эти ряды сходятся и дают численное значение интегралов
с любой степенью точности с помощью таблиц функций Бесселя
порядка (2n+ 1 )/2 простым сложением значений функций, указан-г
ных в формулах (85) и (86), для одного и того же значения
J62
ГЛ. XIV. ДИФФРАКЦИЯ
аргумента. Ряды принадлежат Ломмелю й появились в его втором
мемуаре, цитированном на стр. 260. Он дает также разложения
С = у J J_,/t (z)dz =К 2 (Р cos у z Q sin у А (87)
о
S = ^^Jlh(z)dz=\^ 2^Psiny.z—Qcosy^,	(88)
о
где
Вывод этих разложений предоставляем читателю.
У
Фиг. 13.
Величины С и S были давно выражены с помощью рядов
по возрастающим степеням v Кнохенхауером, а в виде опреде-
ленных интегралов — Гильбертом. Из последнего выражения,
так же как это было кратко показано на стр. 266, 267, можно
получить асимптотические ряды, годные для больших значений
Нет необходимости здесь дольше останавливаться на этом.
Весьма изящное построение, показанное на диаграмме, извест-
ной под названием спирали Корню, показывает графически, как
изменяется величина C’-j-S2.
§ 9. ДИФФРАКЦИЯ ОТ УЗКОЙ ЩЕЛИ. ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ 263
По оси абсцисс откладываются значения С, а по оси орди-
нат— значения 5.
Можно показать, что расстояние вдоль кривой от начала
координат до- какой-нибудь точки кривой рацио значению г*для
этой точки, наклон касательной в. этой точке к оси абсцисс
равен у «t*2, а кривизна в этой точке равна itv.
Когда v изменяется от 0 до оо и от 0 до —оо, кривая
закручивается все больше и больше около точек Л и В (фиг. 13).
Начало кривой соответствует полюсу рассматриваемой точки,
так что если vt, v2 представляют собой расстояния от полюса
до краев щели, то мы должны отметить, две точки vit v2 на
спирали и провести хорду. Квадрат длины этой хорды даст
интенсивность освещения в рассматриваемой точке. Квадрат
длины хорды от начала до какой-нибудь точки v равен C^-^-S2
или

Если v изменяется, то легко видеть, что значение суммы
колеблется все быстрее и быстрее, приближаясь все больше
и больше к ~.
ГЛАВА XV
РАВНОВЕСИЕ ИЗОТРОПНОГО УПРУГОГО СТЕРЖНЯ
КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ
. В своих работах о равновесии изотропных упругих тел
Дж. Дуголл часто пользовался свойствами функций Бесселя.
В этой главе его метод применяется к изотропному упругому
круговому цилиндру* 1). В другой работе8) он рассмотрел равновесие'
изотропной упругой пластинки.
§ 1. Решение уравнений равновесия, выраженное в гар-
монических функциях. Уравнения равновесия однородного изо-
тропного упругого тела в прямоугольных координатах имеют вид
дхх.дху ; дхг ! у._п
дх ”* ду ' dz 'Л — U’
+%+%+>'=°. о
дхж  d^ ।	17— О
дх +• ду	—и’
где X, Y, Z—составляющие объемной силы на единицу объема;
хх, уу, zz, ху, xz, yz—составляющие напряжения, связанные
со смещениями их, иу, иг тремя парами уравнений вида
хх=АД +fyexx,	=	(2)
Здесь
дих । да? [ дая
1 = дх "г ду “г дг ’
да,	да» । дих
е^ = -дх’ е^=-дх+ъ И Т> Д'г
р. обозначает модуль упругости; если Е—модуль Юнга, k—мо-
дуль сжатия, а — число Пуассона, то
р н (ЗА+2ц) . л I 2	— А
Е— Х + ц ’ Я —А + -3?> а —2(> + ц) •
!) Roy. Soc. Edln. Trans., 49, (1914).
’) Roy. Soc. Edin. Trans., 41 (1904).
i
§ I. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ,
265-
Д есть, объемное расширение, ехх,..., еуг—составляющие дефор-
мации.
В цилиндрических координатах р, <о, z смещения обознача-
ются ир, иш, иг, и составляющие деформации1) имеют вид
е =—₽ е	е
°рр др 9 0,(0 р ‘ р ’	** dz ’
е	е -Ч.
— Р дш dz ’	Р^_ dz > др 9	W
так что
Д = Ч ।	।	<4.
др ' р дш । р I- dz '
Составляющие напряжения в этих координатах будут:
‘ Если, выражения (2) подставить в уравнения (1), то получим
уравнения равновесия в смещениях. Если объемная сила X, Y,Z
равна нулю, то уравнения равновесия можно написать в ком-
пактном виде
я)=°-	<5>
Легко проверить, что уравнениям (5) удовлетворяют следующие
три системы решений:
„ —Xdh и — V
Ux — X dz1 > иу — У -
„ —_ „	_ „2!?- _ 2(Х + 2р)ду
а л dxdz У dydz X 4- ц .dz ’
(б)
ае
«Ж==Гх.
их — ду’
иу~ду' z~~ dz'
иу = -ГХ' ^=0’
(7)
(8>:
1) А. Л я в, Математическая
теория упругости, Москва, 1935, § 20, 22-
266
ГЛ. XV. РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ
где <р, в, ф — гармонические функции; т. е. решения уравнения
Лапласа.
Если
у = 2(Я+2И)/(Л4-1х) = 4(1-а),
то решения (6) дают Д = (2—v)	а из (7) и (8) имеем Д = 0.
Из равенств (6), (7) и (8) можно найти смещение в цилиндри-
ческих координатах
р ‘ dz* 1 др ’ р д&
1 де	дф
ш р д<*>	др
даФ д<₽ . дО
Р dpdz V dz~^~dz'
Они дают на основании формул (4)
—л,_9;
и *	' dz ' ' dpdz® dp® * р dpdw р® дш ’
Р^?__ d»<f . 2_ d®0 _ 2 d0_____d«$ -__d|  1 д®ф
I* da»dz® ' p дрдш p® d«» dp* p dp ’ p* Л** ’
pz  2p d3?  d®y i 1 d®y i n l д2ф
p	° dz®	v dpdz ' p da»*dz ' dpdz ' p daidz"
§ 2. Общая задача о напряжениях на поверхности круго-
вого цилиндра. Пусть цилиндр ограничен поверхностью р=а.
Требуется найти значения <р, 0, <|>, которые на поверхности р=а
должны дать в соответствии с формулами (10):
нормальное напряжение рр = N («», z),
z—
касательное напряжение рш = Т(ш, z)\ >
продольное напряжение pz = L(®, z),
(И)
где Т, L — заданные функции, относительно которых мы
предположим, что они равны нулю вне некоторой конечной ча-
сти цилиндра, заключенной между двумя сечениями z—zx и z—
^z^z^z^.
§ 2. НАПРЯЖЕНИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ. КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 267
Функции N, Т, L можно выразить в форме, удобной для
аналитических исследований, с помощью рядов Фурье и интег-
ралов Фурье. Например,
2х
TV (w, z)=~ уу J 2V («»', z) cos m (ш — a/)
о
оо z2
N (ш'} z) = -i- j* rfx Jw (a/, zr) cos *(z — z1) dz,
0	*4
так что
2к oo z2
do>' dx J N («>', z') cos x (z — z1) cos m (a> — u>') dz .
" о о i	(12)
Это разложение позволяет получить решение трех общих задач,
выраженных условием (11), из решения трех упрощенных задач,
в которых N,T,Lb (11) заменены на cos х (г — z')cosm(u>— о>').
Нормальное напряжение. Для' упрощенной задачи при за-
данном нормальном напряжении предположим, что
ср = AJm (/хр) cos х (г—z’) cos m (w — ш')„
9 = BJm (ixp) cos x (z—z') cos m (® — <»')>
<!» = CJm (Zxp) cosx (z — z') sin m (ш — w')
или, в более компактном виде,
(13)
( ’ф ) = (Л£ ) Jm (Z*P) C0S * С2 — Z') sj°n m f® — ®')-
Эти значения ср, 9, <|) дают при р = а на основании формул (10)
РР -7 =	+ Се, ) cos х (z — z') cos m (ш — ш'),
t*
Р® ~ = {Аа2 m+Bb2 m+Сс2 ) cos х (z — z') sin m (w — ш'),
S — (ЛйЗ m + Bb3,rn + Cc3.m ) Sin X (z — Z') COS ТП (ш — u>'),
(14)
где
fl] m — (2 — v) —2й3а3/',
bi m=—2^а?/*, cX m — — 2m (J— iTtaJ'),
а2т=т^аЧ, b2m = — ci m, с2т = ^аЧ"+^’ — тЧ,
a3jn = 2x2aV+vixa/'-]-mV, b3m=. — 2г*аТ, c3m= — mJ,
a J, J', J" написаны вместо JOT(zxa), J^(zxa), J^'(fxn).,
268
ГЛ. XV. РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ
Для задачи с нормальным напряжением,
cos х (z — z') cos m (o> — <»'),
имеют место равенства
Aa2.m + ^2.» + Cc2,m = °’
Aa3,m + ВЬЪ,т + CC3,m.~ °-
Отсюда
(15)
д____a2
V- Din ’
г>
B = 7 Dm’
aa£l.m
(16)
где
D =
tn
CL.
1,/n
(1
3,m
1,т
b9m
с,
а А. т,
Для
Cn m
£,ТП ,
Cq m
djn
a. , b. ,.
l,m 9 l,m 9 *
— миноры элементов
того чтобы иметь общее решение задачи с заданным
нормальным напряжением, естественно, принимая во
формулу (12), попробовать взять в качестве Искомых
<р, 0, Ф сумму
рГ~ 2it оо
d<i>' f dx С N (ш', z‘
с • z*
dz',
внимание
значений
получающуюся после умножения выражений для <р, 0, ф на
ЛА (о»', z') и суммирования. Можно показать, что из-за присут-
ствия отрицательных степеней х нельзя интегрировать по х.
Однако, так как члены с отрицательными степенями х не дают
дополнительного поверхностного напряжения при р = а, ибо это
напряжение конечно, и так как они имеют вид	, где НА
и /72 — целые рациональные гармонические функции от х, у, z,
то их нужно вычесть. Испытываемое решение для нормального
напряжения можно, таким образом, написать в виде
2те оо
(т ф6,)=i f	г'^Vdz>’
т 0	0 zx
где
V = АСВ’) (/xP) C0S Х —Z"i Si°n т (“ — — е””И
I \ J	ЭП1	I т/П J I
§ 2. НАПРЯЖЕНИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
269
И
( *, т —члены с отрицательными степенями хв разложении
\ Фт /
/Л, В, \	.	cos	(18)
функции ( q \ Jm (Zx?) cos х (z — z') sin m (« — u/) по возраста-
ющим степеням x.
Следовательно,
=	(»', z') dz’ j Vd*.
0	m 0
Предположим теперь, что N (®, z) обращается в нуль всюду, за
исключением маленькой площадки а0, содержащей точку (а, ш', i')>
и на этой площадке положим А7 постоянной, равной No. Пусть
s0 уменьшается, a No возрастает, но так, что остается все
время равным 1. Предельная форма равенства (17) будет тогда
(’ ф6’ ) = SV % J d* {( А,с' ) (М cos х (z - sin т (ш - *“') -
т О
(19)
\ rm j)
Это есть решение для единичного элемента нормального на-
пряжения в точке (а, ©', г')*
• Для упрощения дальнейшего исследования мы ограничимся
в первую очередь рассмотрением части выражения (19), завися-
щей только от целых т. Она имеет вид
=й J * {й; С'’cf'f ’)J- ("р) см *ь	х
(20)
1	1
где s0 = ~, e1=et = e8=... =1.
Выражение решения в виде ряда. В каждом из трех ин-
тегралов (20) подинтегральная функция есть однозначная четная
функция от х вида
V (х) х Е (х) cos х (z — z') — Ет (х),1
где ^(х) стоит вместо членов с отрицательными степенями х
в разложении 2j(x)cosx(.z—z’) по возрастающим степеням х.
270
ГЛ. XV. РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ
Если теперь
/ = JV(x)dx,
о
то
оо
/=4 j	JV(x)dx,
—оо	С
где С — есть контур, состоящий из вещественной оси от — оо ,
до—е, полуокружности под вещественной осью с центром в на- !
чале координат и с радиусом е и вещественной оси от е до оо. ।
Но так как
то интеграл от Ет(*) по этому контуру равен нулю и, следо-
вательно,
I = -X f ЕМ cosх (z—z') dx =
Zf /
c
=± f E (x) e“/x <г-г,) dx+A j E (x) eh	d*.
c	c
В последнем интеграле изменим знак у х, тогда он примет вид
ipwr'-'’-'»*.,
с
где С — такой же контур, как и С, только полуокружность
находится над вещественной осью. Таким образом,
1=4	(х)е~.h(z~z'}dT— 1 j£(х)е*d*,
С	с
где с есть окружность около начала, описанная в положитель-
ном направлении. В этом равенстве заменим переменную интег-
рирования х на р, где p = Zxa. Тогда Е(х) обратится в £(р) й
р (г-z’)	_ Р (г—г')
/=ip(₽)* ° d₽-4)-J £(?)•« “ <
ct	ct
§ 2. НАПРЯЖЕНИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 271
где Cj обозначает мнимую ось от — оо/ до оо/ с полуокружно-
стью около начала вправо от мнимой оси и есть окружность
около начала. Таким образом,
Cj	ct
где
i/4 я \	/» \ _JLfc£?
1//О\— 1 1л1,т, а\,т I Г /₽р\ a COS ,
j	«Я	(21)
Если р<а и то контур С, можно деформировать в за-
мкнутый контур, состоящий из Cj и бесконечно удаленной полу-
окружности вправо от мнимой оси. Тогда по теории вычетов
1 Ml,/я > ^l.m »
? (г—г')
е ° sinm^ — ®')—X коэффициент при -g- в
/ \ Р <*-*')
Jm Г| е “	е^8 т (® — ®*)>
т \ a I	sin '
(22)
где обозначает, что суммирование идет по нулям функции
Dm, которые лежат вправо от мнимой оси и расположены по
неубывающим величинам их модулей.
Общее решение для единичного элемента нормального напря-
жения Может быть теперь получено суммированием по т, а ре-
шение для общей задачи получается из него интегрированием.
Если z < z', то соответствующий результаты находятся более
просто перестановкой z и z1, причем смысл символа при этом
не изменяется.
Поперечные и продольные напряжения также можно пред-
ставить в виде рядов, пользуясь тем же методом.
За всем, относящимся к решению для сил, приложенных
к внутренним точкам, а также за всем, что относится к физи-
ческим приложениям этого результата, мы отсылаем читателя
к работам Дуголла. «
ГЛАВА XVI
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
В этой заключительной главе мы дадим краткие сведения о
некоторых специальных применениях бесселевых функций, кото-
рые хотя и менее трудны, чем до сих пор рассмотренные, однако
весьма важны и интересны. Поэтому их нельзя совсем опустить
или поместить в виде примеров.
§ 1. Переменный поток тепла в сплошной сфере. Мы нач-
нем с уравнения
(1)
встречающегося во многих физических задачах, как, например,
в задаче о малых колебаниях газа или в задаче о переменном
потоке тепла в сплошной сфере.
В полярных координатах и есть функция от t, г, 0, <р, так что
di---ТГf
1	1 д ft ди \ ।	1 d’u)	/ОЧ
*г Sine дб dej'r’sin’0
В качестве частного решения возьмем
u — e^*a4vSn,
где v есть функция только от г, a S„ — поверхностная сфери-
ческая функция порядка п, так что
sm6 Зв" (sin 0 ~Эг) “ЬйпПГ'д?» +п	1 ) 5»= °*
После подстановки и в уравнение (2) оказывается, что v должно
удовлетворять уравнению
. 2dv  гй n(n-bl)j 0
dra ' rdr I ] г* |	’
я если мы теперь положим
v—r '!‘w,
§ 1. ПЕ№«КЙСЫЙ1 ПО’ЕОК ЖПЛЖ Bl ОПЛОШНОЙ СФЕРЕ
273
то найдем, что w удовлетворяет уравнению
d*w । 1 dw
dr* •’ г ~dr
Следовательно,
w 'Ч-н/*')+BJ-^h (*)>
поэтому
и = е--' {а/,+,,, («г) + BJ_n_,h («'’)}	(3)
есть Частное решение уравнения (1) или (2). В приложениях п
есть целое число, и при соответствующем определении посто-
янных п, х, А, В функция
4/ = ^е-'«{л/.+,,1(хг)+В/_,_,/1(«г)}^	(4)
Я, X
будет удовлетворять условиям задачи1 * *».
Если в предыдущих формулах йоложить л = 0, то функция Sn
приведется к постоянной, а функция ^„+i/2(*r) примет вид
/,+,/гМ = У ^п*
(см. стр. 26); таким образом, в этом более простом случае одним
из частных решений будет
U= А* ё~'*аЧ .	(5)
X	<
Это решение может быт» ислелВЗдйано в следующей зйДаче
(Math. Tripos, 1886):
.Однородная сфера радиуса b находится при постоянной тем-
пературе Ко и окружена сферической1 оболочкой из того же
материала толщины Ь, находящейся при температуре 0°. Все это
охлаждается в среде с температурой 0°. Доказать, что по исте-
чении промежутка времени t температура в точке на расстоянии г
от центра равна
т/ VI 4 sln *b — *b C0S 81n xr	(FA
V — Ko2jT 4x&-sln4xft r	”	W
1) Ф. Франк и P. M и з е'-й, Дифференциальные и интегральные урав-
нения математической физики, Москва, 1937, гл. ХШ, § 3; Рэлей, Теория
звука, т. II, Москва,* 1944,'’м.: XVII.
18 э. Грей и Г. В. Метыоз.
274	 ' ! ГЛ. XVI. РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
где значения х заданы уравнением
tg2^=^.	(7)
h есть отношение поверхностной теплопроводности к внутренней
теплопроводности“.
Условия, которые должны быть здесь выполнены, следующие:
V=V0 от г = 0 до г=Ь,
V--0 от г = b до г — 2Ь	"
при i = 0; и
дг 1
при > = 2# и для всех значений Z.
Будем искать решение в виде
sin
Тогда последнее условие будет удовлетворено, если
д /sitixr\ I hsinxr__________________n
длД г r —U
при г==2й, т. е. если
%cos2^b sin2xd , Л sin 2x6 п
2Ь № Г 2b —U’
что приводит к соотношению	т
отмеченному в условии задачи.
Продолжая, как в гл. VIII, мы приходим к тому, что
2b	2Ь
Ах J sin2 *rdr = J Vrsinxrdr,
о	о
т. е,-
ъ
Л/д	sin4xd V 1Z f .	-	,z /sinxfc	fccosxfc'
( £--------] — у | r Sin xr dr ~ Vo ( —z---------
» \ 4x у UJ	o^x* x
0
и, следовательно,
л ______________________ 4 sin xd — *b cos x£
* x	4xd — sin4x&
что совпадает с полученным выше, результатом.
§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО' СТЕРЖНЯ	275
Возвращаясь к решению,- данному равенством (4), мы можем
заметить, что если а1 вещественное и положительное, то реше-
ние применимо к случаю, когда имеется «затухание* рассматри-
ваемого явления, как в данной задаче. .Если имеются вынужден-
ные колебания, наложенные на систему, как в случае сфериче-
ского колокола, колеблющегося в. воздухе, то мы должны
Взять а2 чисто мнимым zt/а/х, чтобы получить периодическое
решение. Период тогда равен 2«/(хй). Иллюстрацию этого можно
найти в конце книги.
§ 2. Устойчивость вертикального цилиндрического стержня.
Рассмотрим две задачи из теории упругости.	 -;
Первая из них есть задача об устойчивости изотропного
круглого цилиндра малого поперечного сечения, находящегося
в вертикальном положении, причем нижний конец его закреплен,
а верхний свободен. Общие наблюдения показывают, что срав-
нительно короткий кусок стальной проволоки, как вязальная
спица, устойчив, когда он расположен вертикально и. нижний
конец его закреплен в тисках. Но невозможно таким же образом
удержать вертикально очень длинный, кусок той же проволоки.
Для того чтобы найти наибольшую длину, для которой имеет
место устойчивость, мы рассмотрим положение равновесия,
незначительно отличающееся от вертикального.
Пусть w есть вес стержня на единицу длины, р—его жест-
кость на изгиб. Тогда, если х есть высота некоторой точки над
закрепленным концом, у — горизонтальное смещение от верти-
кали, проходящей через этот конец, то, составляя уравнение
моментов для части стержня над точкой (х, у), получим
I
ж
где I — вся длина стержня.
Продифференцируем это уравнение по х, тогда
X
или, если p = dyldx,
)Р=о-
Если мы положим	л)3/9р, то уравнение примет вид
<«>
18*
276
ГЛ. XVL РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
решение которого на основании формулы III, (59) есть
(86)
Чтобы привести дифференциальное уравнение к форме
села, положим
I — x —
тогда
_2_
9_(//.^£12,- 3 ФД
dx ~	3 dr ’ d&~ 4 ( dr*' 3 ' dr f
и преобразованноё уравнение будет
d*p i 1 dp , 4t> ____
dr» ' 3r dr 9ji ”
а если мы положим
p=r‘i*z,
то найдем, что
d2g i 1 dz  /4w__1\ ___„
57» ' 7 "dr “>	9г»)'U-
Отсюда, если
« 4w
Xя •— -----------------------
* —9? ’
следует, что
(xr}-f-#/_,,* (*г)’
Когда х=1, т. е. когда г=0, мы должны иметь
Бес-
(9)
(Ю)
(11)
(12)
откуда
где г = 0, т. е.
или
Первые члены в разложении //, (хг) и (хг) имеют вид
Л/в(хг) = аг,/>+₽г’?» + ... ,
J_i/, (хг) — а'г-'Ь +	+ • • •
§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ	277
и только второй из них удовлетворяет условию
<--*(зг£-+*)=о
при г=0. Следовательно, Л = 0. Это решение находится н есо-
гласии с формулой. (86).
С другой стороны, если х=0, т. е. если г — Г1*, то р, а значит
и z должны равняться 0. Следовательно, для того чтобы вы-
бранная форма равновесия была возможна, должно быть
/_.,,(4’л)=₽0.	(13)
Наименьшее значение I, полученное из этого уравнения, дает
критическую длину стержня, при которой он неустойчив при
вертикальном положении; если I меньше этого критического зна-
чения, то вертикальное положение устойчиво.
Известно, что наименьший корень уравнения
У_1Г1 (х) = 0
приближенно равен 1,866, так что критическая длина равна
1,866 \*>»
х J 9
или приближенно 1,986^/®.
При выбранной степени точности мы можем положить
(14)
или, в функции от ₽ и W, полного веса стержня,
I = /7,83р/1Г== 2,8	(15)
Из двух данных формул для I первая служит для определе-
ния критической длины для данного сорта стержня; вторая фор-
мула удобна для определения того, будет ли данный стержень
устойчив, если его поместить вертикально, защемив нижний
конец1).
В связи с преобразованием дифференциального уравнения на
стр. 276 нужно здесь указать на то, что если подставить уг~х
вместо и и x’^x-1 вместо г, то дифференциальное уравнение
g + (2Л+1) 1 g- + (х~ Н2«2) ^ “ = о	(16>
J) См. Greenhill, Р/ос. Camb. Phil. Soc., 4 (1881); А. Л я в, Матема-
тическая теория упругости, Москва, 1935, стр. 443.
278
ГЛ. XVI. РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
может быть приведено к обычному виду.
*2. _l	1 - v = О,
dx» xdx	*•а
так что его можно проинтегрировать в функциях Бесселя. Это
дает общее правило для преобразования к нормальной форме,
когда это преобразование не так очевидно, как рассмотренное
выше. В этом случае
и~р, Л=------р. = 1, x2=:4w/9p
(см. стр. 290, 291, где указаны другие^примеры).
С другой стороны, подстановка и =jr‘~x+<in преобразует урав-
нение (16) к виду
г2	+0 + 2НЛ)г йТ" +	^г^у = 0.
Положим теперь х = (хг)2'1 /4, тогда дифференциальное уравне-
ние получит вид
-а+(«+»^+^о.
что совпадает с уравнением III, (59).
§ 3. Крутильные колебания кругового цилиндра. В каче-
стве другого простого примера, *взятого из теории упругости,
мы дадим по Похгаммеру и Ляву’ краткое описание крутильных
колебаний изотропного кругового цилиндра радиуса с.
Если (г, в, z)—координаты некоторой точки цилиндра, а и,
v, w— Соответствующие смещения, то уравнения движения для
малых колебаний будут:
P-aF = (X+2^d7-rW + 2»1^-’
d2v . о ч 1 дД о । л
Р	= а + 2н) Т ЗУ - 2ц ’ + 2ц у?.
d2w	। о ч дД 2ц д ч I 2ц
₽	= (*+2н) 3J- f дг (^2) + /-зГ >
где
л  Id(ги) । 1 до  dw
а ~ 7 “дг ‘ г де “1 де ’
9m — 1 fdw д(™)\
2(01 — 7^дё* дГ)1
(17)
(18)
§ 3. КРУТИЛЬНЫЙ КОЛЕБАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
279
Напряжения на цилиндрической поверхности г=const равны -
(19)
Построим частное решение вида
и — 0, w = О, v = Vel .	(20)
где V есть функция только от г и у, р—постоянные. Для того
чтобы получить периодические колебания без затухания, мы
предположим, что р вещественное.- То, что колебания крутиль-
ные, следует из вида функций и, v, w. Если мы, положим на
мгновение, что
то будем иметь
. Д —0,
2ш,= — qVZ,
2шг = 0,
8 г дг
а уравнения движения приведутся к двум тождествам и к урав-
нению
- pp"izz= -	(rV)Y
Таким образом, V должно удовлетворять уравнению
. 1 dV	U iz —n '
dr* ' r dr p r*J ~ ’
и так как V должно быть конечно при г = 0, то соответствую-
щее решение есть
V=AJ1(*r),	(21)
где
*2	—г2.
Если боковая поверхность цилиндра свободна от напряжений,
,то Р„, Ptr, Ргг должны обращаться в нуль при г=с. Но Р„
280
FA XVi. РАЗЛИЧНЫЕ ПРВДЭДВДВДЯ
и P3, обращаются в нуль тождественно, а ₽<л ©братается д нуль,
если
<< PifrfH_п
rfrj т /
при г=с, т. е. если
tcJ{ (хс) г,- J, («с) = О
или, что то же самое, если [II, (20)]
хс/2 (хс) =0.
Если х = 0, то дифференциальное уравнение для нахождения V
будет
^4_±^_±у_0.
Hr* J г 4г г» v —и’
решение его есть
или для нашего случая
V=Ar.
Это дает решение первоначальной задачи в виде
« = 0, w^O,
v Аге1
при условии
рр2_ |хуг —0;
в частности, как специальный случай, мы имеем
«=г С Т (А> “s “	+В. sin .	(22)
где п —0, 1, 2, ... , а I — постоянная.
Мы можем также взять для х любой из вещественных кор-
ней уравнения
•4 (*tf) о,
число которых бесконечно. Если » есть один из этих корней,
р— некоторая вещественная постоянная, а у определена как
вещественная или чисто мнимая постоянная из равенства
I*
то решение будет
ti=A/1(xr)e<‘v^>.	(28)
§ 4. КОМДАНИИ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТИ
281
Если не наложены какие-нибудь добавочные условие, то р
может быть произвольным, какой бы из корней хл ни был взят;
это означает, что возможны колебания любого периода.
Если период равен 2vp, то скорость распространения колеба-
ний в направлении оси цилиндра есть
Р Р
т	У[,рг^цХ2
что приближенно равно Ур/Р, до тех пор пока у.х2 мало по срав-
нению с р/>2.
Если р/>2 — рх* отрицательно, то тнп колебания меняется:
при этом имеется затухание колебаний., когда мы идем в одном
направлении вдоль оси цилиндра.
Для специальных граничных условий можно построить свое
решение; так» если мы положим
V ~ cos pt + sin pt) Ji (x/) sin ,	(24)
SM
где m —целые вещественные числа, xs—некоторый корень
уравнения /2(«se) = 0 и
р 1> | fl J’
то это решение дает возможный тип колебания для цилиндра
радиуса е и длины 2Z, круговые концы которого жестко при-
креплены к неподвижным параллельным плоскостям, а боковая
поверхность свободна от напряжений. Дважды бесконечное число
постоянных Asm, Bsm нужно определить из соответствующих
начальных условий.
Для изучения колебаний растяжения и изгиба читатель
должен обратиться к цитированной работе Лява и к мемуару
Похгаммера’). Много других приложений функций Бесселя в
теории упругости можно найти в новых работах Хри, Дамба,
Лява, Рэлея и др.
§ 4. Колебания цепи переменной плотности. Обращаясь
к колебаниям цепи, изменим задачу Бернулли (гл. I, § I),
предполагая, что плотность в каждой точке цепи меняется, как
п-я степень ее расстояния от нижнего конца.
Поступая так, как на стр. 9, но измеряя х от свободного
конца, получим уравнение движения цепи в виде
* dfl — dx -j-1 dx Г
i) Journ. f. reine m&w. Math., 81, 334.
282
ГЛ. XVI. РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
а если положим
y=ucos2‘Kpt,
где и есть функция от х, то будем иметь
_1_4тс«оаи_ О
п+1 dj^^dx^*
или	***** । n + 1 da j _х*	_n
dx2' x 57 ' x U~U’
™=	,=24>/»±I
На основании формулы III, (59) имеем
и = aF„ (xax) = Лх-1/2“Jn (2xx‘/2)
и, следовательно,
у = Лх-*'2" Jn (4к/> ]Л(”+[)х] cos 2jc^	(26)
Гринхилл, которому принадлежит это обобщение задачи Бер-
нулли, замечает, что для того чтобы практически осуществить
условия задачи, мы должны вместо цепи взять штору, состоя-
щую из очень большого числа маленьких однородных прутьев;
тогда форма шторы определится кривой сп-1.у = ±хп , где х
положительное. Таким образом, при получается треуголь-
ная штора и т. д.
§. 5. Приливные волны в устье реки1). В заключение рас*
смотрим теорию длинных приливных волн в устье реки или в
канале, когда поперечное сечение А и ширина поверхности b
мало изменяются с длиной х.
Уравнение непрерывности для горизонтального смещения 5 и
вертикального подъема ц частицы жидкости имеет вид
или
^(Л$) + ^=0,	(27)
а динамические уравнения, если принять во внимание, что дав-
ление равно весу вертикального столба жидкости под свободной
поверхностью, будут
g dt* дх дх [b дх J	'
1 д / л дч \	/оо\
g dt>~~ bg дх \ dt»)~ b дх \ дх)'	' '
!) См. George Greenhill, Phil. Mag., 38(1919).
$ В. ПРИЛИВНЫЕ ВОЛНЫ В УСТЬЕ РЕКИ
'283
Если теперь- (В, ц) = (а, v) e~iyrP* т0
d’Cj.-n)	/ х -i^pgt
-A^= — pg(u, v) е pet.
)
и формулы (28), (29) примут вид
‘ ?Иг>1+рв=0,
dx | b dx ( 1
(30)
(31)
(32)
^-{л£} + ^ = 0.
Пусть А = Аохя , Ь^Ь^х"1, тогда формулы (31), (32) перейдут
в следующие:
х,й+^-"г)хй-+^^-/и-1)+/л хЯ,"’+21«=о> (33)
ил*	ил I	Z1Q	I
<34>
В уравнении (33) положим u—xm тогда получим
*’	+ (т + 2)х^+4° х'”“’+2«’ = 0-	(35)
В формулах (34) и (35) положим
_ pb0 x”-g+2. .
2 Ао (ж — q + 2р ’
тогда
Теперь
ТО
?—1
т—?4-2
 / mH-1 . . \dw д_
dz* ' ( т — q-l-2 jdz
на основании формулы Ш, (59), если
п=	,
0.
«/ = дГя(^) = аГя
уп-^+2	|
(ш— g 4-2)*/’
®=а'/?„+1(г)=а’Гя+1
(36)
(37)
(38)
(39)
z
и
и
т — ?4-2 ’
284
ГЛ. XVI. РАЗЛИЧНЫХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Например, в устье реки формы V с одинаковой глубиной Л,
q — \, т=1, так что
v=affo(i-w)=aJo^-^-xj,	(40)
и=xw=axFi (%	=А'Л {/ •*} •	(41)
Период Т волны равен^==, и поэтому для полусуточной волны,
если мы примем среднюю глубину воды равной 72 футам, будем
иметь
j / р _ я
У h ~ 1036800’
Таким образом, значение х, соответствующее первому корню
функции -4	будет
..	1036800 о .п.о ,
Х=— — -2,4048, в футах,
% 150, в милях,
так что на этом расстоянии от начала устья нет повышения
и понижения уровня воды.
Аналогично значение х, соответствующее первому корню
функции J,	есть
1036800 о 001-7	.
х=—-— -3,8317, в футах,
% 240, в милях,
так что на этом расстоянии от начала устья нет приливного
течения.
С другой стороны, в устье, глубина которого сходит на нет
на одном конце и определяется из уравнений b = b0^n•
A = Aoxm+1, имеем
V = af№^x]., <W = a'Pm4-\
я»1Д0 J	л»+1	(
В случае канала одинаковой ширины, с равномерно умень-
шающейся глубиной, имеем т = 0, q=l, так что
СЖЙШАННЫЕ денмдоы
285
СМЕШАННЫЕ ПРИМЕРЫ
1.	Показать, что
п т .	. t __4(и+ l)sin(ft-bl)ic
*) 'л+2’'-я “	(и+2) Jn —	;
2)	Jn+тУп Yn+%Jn—	хъ
2.	Доказать, что
1)	(л О <4+1 {<4+1 4“ *4-1) — л*4 {Jn + *4+2)»
2)	4=2(44 + 44+44 + •• •);
3)	244-4=2(444-/4+ Л4 + - . .).
3.	Проверить следующие разложения:
1)	е™ = 4 W +	{(я +	+ (я -K^+T)s } Л (х).
1
2)	ch пх = Je (*У+ 2Е ch 5? Js (x); [5 =r 2,4 . . . ]
st»»* = 2SshtfpJi (x), [$=1,3, • • •]»
где
<p = Arsh л;
3)	cosrtx=r Л (^У + 25;<(— lyMch'Sf Js (x); [5 = 2,4 . . .]
sinnx = 2V(—l)‘/2 (s-l)ch5^ Js (x), [sz=l,3, . . .],
где <? — Ar ch n и n предполагается больше 1.
4. Показать, что
bcjt +	=2КбН7с*{Л(ОЛ(с>— 34f»)4(e) + 54(6)4(c) — • • •}•
5. Доказать, что
г	x:*	, , .
Л(*)+у/Я4ч (г)+ 274-^1+2(2) + • • • — 2rt П (л) ’
[Показать с помощью формулы V, (40$ что сумма* ряда равна
е
и применить формулу (8а) добавл. I.]
6. Если п вещественное, то доказать, что между двумя последователь-
ными положительными корнями функщпг «Гл лежит один и только1 один
корень функции /л+г(х) и что этот корень больше, чем корень функции
<4+1 (^)> который лежит в том же интервале1).
7. Показать что если х>[л], то между двумя последовательными
корнями функции /л(х) лежит один и только один корень функции /я(х) и
*) М. В Ocher, Bull, of the Amer. Math. Soc., 7‘, серия 2,№ 6, 207.
286
СМЕШАННЫЕ ПРИМЕРЫ
что этот корень больше, чем корень функций который лежит в том
же интервале А)«
8.	Доказать, что
ОО	А	,
-	4 (*	}
1)	Го = —V |cos(xch6)d6;
о	'
00
2)	J e-al*V0 (bx) dx = -	e-b’l8*’ Кй ;
О	’

о
[Из формулы V, (35):
00	Л
С cos Е й!Е ' С cos Е rfE
Ge (х) = Кй (- «) = J +1 jr .
X	о
Чтобы получить 1), нужно приравнять вещественные части, Для
ставить из 1), изменить порядок интегрирования и применить
лу V, (34). Для 3) подставить вместо KQ(bx) его выражение из
лы V, (36).]
9.	Показать, что если
2) под
форму,
форму.
- ет" У*Щп+т) (Р-1) 2”
Мя V4 — 2Л;Н . /	1 \ ‘	+ l
П{ п Ч-тг I
/и + m + 2 л -|- fn 4- 1	3	1'
X F	»	2	» л + 2 ’ С»
и х вещественное и положительное, то
/»w=5 e<m~'li} KiJеЗЛ {С2 ~'1г {т~'1г)
с
где контур С начинается в — оо действительной осив проходит в поло-
жительном направлении вокруг точки 1 и возвращается в — оо; начальное-
значение arg(2?—1) равно —2я.-
10.	Показать, что если — положительный корень функции Jq(x) и т —
положительное целое число, то
00
равно коэффцциенту при х** в разложении !/?(*)»»
!). М. В Ocher, Bull, of the Amer. Math. Soc, 7. f серия 2, № 6, 207.
СМЕШАННЫЕ ПРИМЕРЫ 287
00
SJ	»	- I >	. . (	1
2m-f-2 Д/— равно коэффициенту при х»т в разложении
9—1
1 Х)
{?(*)}’. •
11.	Доказать, что
ОО	00	оо
JC-J81”** Л = j д-‘х sin lx dl Jsin (Xr) Jo (r) dr.
Отсюда показать, интегрируя по > правую часть и учитывая формулу
VI, (7),	что
00	’1	00
, ,	ч 2 (* sinXx	С	sinXx	С sin кг
=7J/pzrr и по™м? Jп-хз = J
1	О	1
Доказать, что
00
2 Г
/0 (х) = — 1 sin (х ch ц) du,
12.	Доказать, что
оо
Jin х Jo (х) dx ~ 1п 2). (См. гл. VI, пример 12 и добавд, I (31)).
о
13.	Доказать, что если ?(х) подчинено соответствующим ограничениям и
оо	оо
/(t) = jx? (i) Jn (x\) Л, то ' (x) = Jw) Jn (-Л) dl. (Hankel)
0	0
14.	Показать, что функции e±ikr /г, Jm {p "Ул24~А2} e±hz cos m (<t — foX
{₽/*»+*»} e±n* cosm(? — ?,) являются решениями уравнения
д*и , 1 ди 1 д^и , д>и , .
др +'f~ty + pdt* +d* + fc в = 0,
где z2zrp2-|-ra.
•00
15.	Доказать, что -у- eikr = J g—л2 /0(Хр)	. [Из преды-
> о
дущего примера следует, что если г>0, то
У^оЧр Za»4-A» } е	dh = 4" (ЛеИ!,4-
1) A. R. Forsyth, Mess, of Maths., № 597, 1 (1921). .	,
288
СМвШАЙНЫ» ПРИМИРЫ
Положим Л*-|-А* 2 = X’; тогда
f 2>та
О
где arg(I3 — £2)z=0 для Х>А. Теперь положим pzzO и получим Zzz I
B = OJ).
16.	Показать, что
00
(*	?*₽	<?-lz| VX‘—Я*
i)]Jo(Wf*rv= Vv=ki" ’еслй Р>ДЕ’
ъ
ipi\z\VV=K
zz:	_____ , если Аа>Ха;
Vk*-x*
00
1 Г J*R	.	________
2)s-1 _cosX(<z~-d)rfflz=JC0{?cos >.(£—£),
J *\
—00
где
12>A« /p = pl4_(Z — a)3 2).
17.	Показать, что если Преобразование
x = rsin0cos jrzzzrsin 0 sin <р, z~ rcosO
применено к уравнению +	— последнее приводится к уравнению
д2н 2 ди 1 д / ди\ 1 д2и
^Г»+737+?%т0Ж (s,aed5)+7^m?3^+*,BSse'
которое удовлетворяется функцией и = /?НФ, где
/? = r_,/,J„+i/s(Ar). или r-’/sGn+./t(Ar),
0), ИЛИ Q£f(cdS 9),
Ф — sin ту,	или cos mp.
18.	Показать, что общее решение уравнения
да+
_|_ [«2_йа^ {<р(лг>} 2)	.у-о
есть у= {?(x)}m (А/„{Т(л)} +BG„{T(x)}].
19.	Показать, что уравнение
4*3» , A dу , /, k \
dx2-*- х dx-^^
удовлетворяется функцией > —х0-*)/2{А/(^>#2(г) + ВЛ-,(Л+1)/2(х)}.
1) Lamb, Phil. Trans, А. 203 (1904), 5.
2) Lamb, Proc. Lend. Math; Sec., 7, серия, 2 (МЮ9).
СМЕШАННЫЕ ПРИМЕРЫ
289*
20. Доказать, уравнению	что если и есть функция от х и у, удовлетворяющая д2и .	, 2	Л 3-3“ + ТПГ +	= 0, дх2 ду*
ди ди
и если и и ее производные	конечны и непрерывны внутри и на гра-
нице круга	х2 -f- у* — г2 = 0,
то	\ и dtp = 2тг UqJq (хг).
L0
Интеграл берется по окружности круга, а — значение и в начале1).
21. Показать, что если п не равно целому отрицательному числу, то
(4Г=	r(n+s)4.1 7»+«{(л+2s)г>
\2J	^s!(n + 2s)n+1
при условии, что |z| < а, где а есть положительный корень уравнения
^е1+х>/1=1	(а=0,659.. )»).
22. Доказать, что
s=l
23. Доказать, что если
оо С
V — 2тс~г dy. cos Xv cos [WJO ([x<5)dv,
0	0	j >
то	V — Jo (X<5), когда 2 = 0 и й<с,
*	dV Л	п	'
= 0, когда z — 0 и <5 > с.
dz
Показать также, что если
оо с
V = 27С-1 ^dy. sin Xv sin	dv,
0	0
V = J1(X<5), когда z — 0 и Й> с,
dV
= 0, когда z = 0 и <5 > с 8).
x) Weber, Math. Ann., 1, 9.
2) W. Kapteyne, Ann. de I’Ecole Normale Superieure., 10 (1893).
8) Basset, Hydrodynamics, т. II, стр. 33.
19 Э. Грей и Г. Б. Метьюз.
290
СМЕШАННЫЕ ПРИМЕРЫ
24.	Если
x4-bi = YlLnJ0(nx),
причем суммирование идет по всем значениям п, для которых JQ(nb) = 0, то
ь
Ln“b2 {Л (nfc)}2” J№~ xJq—
о
_8d 2J$(nb)— nbJ2(nb) ____32 4 — n2b2
““ п3 {Л(и^)}2 b пЧ1 (nb) *
sin 2jc
25.	Доказать, что —— =	5/^ — ... (Lommel)
d
26.	Доказать, что если	то
Dm{x~ 'Мп(УУ)}	^_1/2(П+'”)/л+ж(/^
Dm{ х'1гП1п(}/"х)} = х'<Лп~т^ Jn_m (Ух). (Lommel)
27.	Доказать, что уравнение
удовлетворяется функцией
и = (Ат cos mT 4- Вт sin mT)(— 2p)m	,
где x — p cos <?,. у = p sin ?.
Показать также, что
ill	V
у о (^) + 2! ^2(к) + 4| ^4 (^) + • -j —
- {^1 W + li + it P5M 4- • •	UoCKT^?»)}*,
и получить соответствующее выражение для функций {^(“К 1—ц3)}2«
28. Показать, что уравнение
d*R ~ 2 dR и(п4 1) „
dx2 + х dx' К х2 к
удовлетворяется каждым из двух рядов
(-l)nxn f,....	» л8 .	1	* _	1
л 1-3...(2я4- 1) I 1.(2л-+-3) 2	1.2.(2я4-3)(2л4-5) 4	” f
_ _(-1)“1-3...(2пХ-1Н ,	1 X*	1 х*
"	xn+' I	1-(2га—1) 2 ‘ l-2.(2n—1)(2л—3) 4+•••
СМЕШАННЫЕ ПРИМЕРЫ
291
Выразить ип как функцию Бесселя и показать, что
ияи-(л+1) — vn V-(n+iy
29. Проверить следующие решения дифференциальных уравнений, вы-
раженные с помощью бесселевых функций:
1)	если
у = хп [AJn(x) + BJ-n(x)];
2)	если
х* S - <2я? -1)х %+м&у=°-
у = л₽п[Л/п(7х₽) + В/-п(Л
3)	если
g+<2“ - 2₽я +	5Г+{“ <а “ 2?ге) + РтМ1} _у=о,
у =	п (7х₽)];
4)	вывести из (3), что если
§+Л-!з. = о
(форма уравнения Риккати), то
л,=Уж[л/,и(^)+в/_„!,(£1)],
и решить уравнение	— х2^”2 >—0. (Lommel)
30.	Доказать, что если и есть некоторый интеграл уравнения
d*u
где X — функция от х, и если
Prfx , ,
Ф = а J
где at b — постоянные, то общий интеграл уравнения
[* — (ге8 -1)1"2]} у—0
есть
y = aVJ +	(Lommel)
31.	Доказать, что решение уравнения Риккати
dy
x^ — ay + by* = cxP
19*
292
СМЕШАННЫЕ ПРИМЕРЫ
может быть выражено через интеграл уравнения Бесселя
d*w dw
г* + r"dF +	_ "2)w = °-
a
где n = —.
32.	Если шарик массы M прикреплен к нижнему концу однородной
гибкой нити, висящей вертикально, то смещение точки нити, находящейся
на расстоянии £ от закрепленного конца, для малых колебаний около вер-
тикали равно
(Лл cos nt -f- Вп sin nt) Vn,
n
где
Vn = { n VMY0VmgГ1 (»? /М)}Jo(«?/Й=т) -
— {nV~MJ0(npЮй) — VmgJi(nJ VМ)}К0(п?У р —ms),'
2
{а—общая масса нити и шарика, J обозначает величину р*-— , и т
есть масса нити на единицу длины. Как определяются значения п?
33.	Предполагая, что /0(х) обращается в 0 для х_ 2,4, показать, что
в V-образном устье глубиной 53 фута (10 0004-32,2 фт.), которое соединяется
с океаном, не бывает полусуточных приливов и отливов на расстоянии при-
близительно 300 миль от конца устья (см. стр. 282 и след).
34.	Первоначальная температура однородной твердой сферы радиуса а
задана в виде
v0 zzz Дг“2 cos 0 (sin mr — mr cos mr);
доказать, что в момент времени t температура ее будет равна
и =
при условии, что т есть корень уравнения
(ah — 2k) (та ctg та — 1) ~ т2а2АР,
где Л, h — коэффициенты внутренней и поверхностной теплопроводности,
а окружающая среда находится при температуре 0°.
35.	Сферический колокол радиуса с колеблется таким образом, что
нормальная составляющая скорости в некоторой точке его поверхности
равна Sn cos katt где Sn есть сферическая поверхностная функция степе-
ни п и а —скорость передачи колебаний через окружающий воздух.
Доказать, что потенциал скорости в некоторой точке вне колокола на
расстоянии г от центра, вызванный возмущением, распространяющимся
во внешнюю среду, равен действительной части выражения
__ g2 г+с)____________fn(ikr)Sn________
г е	(1 4-ZAc)/rt (ZAc) —ZAc/'(ZAc)*
/ d \ х
fn (х) = (— 1 )пхехРп	| —
и Рп обозначает зональную гармонику степени п.
Показать, что результирующее давление воздуха на колокол равно 0,
за исключением случая, когда nzzr 1.
СМЕШАННЫЕ ПРИМЕРЫ
293
Сфера колеблется заданным способом как твердое тело около поло-
жения равновесия, находящегося на заданном расстоянии от абсолютно
твердого препятствия с большой плоской поверхностью; определить дви-
жение воздуха в каждой точке.
36.	Сектор бесконечно длинного кругового цилиндра ограничен двумя
жесткими пластинками, наклоненными друг к другу под углом 2а, а с
одного конца закрыт гибкой мембраной, вынужденной совершать малые
нормальные колебания, так что скорость точки мембраны координаты кото-
рой, отнесенные к центру, как к полюсу и к биссектрисе, как к поляр-
ной оси, суть г, 0, равна qrp cos р0 cos net, где pa =/я, /—целое
число, с— скорость распространения плоских волн в воздухе. Доказать, что
в момент времени t потенциал скорости в некоторой точке (г, 0, z) воз-
духа в цилиндре равен
2qpaPcos/Л \n^J-pi)Tp(nra} cosnct(	или s,n*2}>
где уравнение J'p(n'a) = Q дает необходимые значения n', a — радиус
цилиндра, k— вещественное число, определяемое Из равенства /i'2=n2 НИЛ2,
верхний и нижний знак перед Л2 соответствует первому или второму
члену в скобках.
37.	Данная масса воздуха находится в покое в круговом цилиндре
радиуса с под действием постоянных сил, направленных к оси. Показать,
что если сила внезапно перестанет действовать, то скорость будет изме-
няться как
SI Щг)
№J£kc) slnAat
где а есть скорость звука в воздухе, а суммирование распространяется
на все значения Л, удовлетворяющие уравнению	(kc) =: 0.
38.	Прямой круговой цилиндр радиуса а наполнен вязкой жидкостью,
которая в начальный момент находится в покое; цилиндр приведен во вра-
щение с постоянной угловой скоростью w вокруг своей оси. Доказать, что
скорость жидкости в момент времени t равна
2му] +ег.
Uj'(xa)
где различные значения к являются корнями уравнения /i(Xa) = 0. Показать
также, что если бы цилиндр был окружен вязкой жидкостью, то решение
задачи можно было бы получить из определенного интеграла
оо а
§dl§ в*”хм Ха? (и) /1 (Хи) /1 (Xr) du,
q о
причем функция <р(и) определяется так, чтобы удовлетворялись граничные
условия.
39.	В двухразмерном движении вязкой жидкости, симметричном отно-
сительно оси г=0, общий вид функции тока есть
+Ля<гл//о(|/"
где Ап, и —произвольные комплексные величины (см. стр. 164).
294
СмёйХанные примеры
40.	Прямая круговая цилиндрическая полость радиуса а сделана в бес-
конечном провод нике; доказать» что частота р электрических колебаний
около распределения электричества с поверКйостйой плотйбстыо, йропор-
циональной cos $0, дается уравнением
<?)=».
где V есть скорость распространения электромагнитного действия через
диэлектрик внутри полости.
41.	Доказать, что функция тока тонкого кругового вихря радиуса с
и мощности т может быть выражена в виде
00
mra J	(Хг) Л (Хс) dl,
о
где верхний или нижний знак берется в соответствии с тем, будет ли
разность z— z' отрицательна или положительна.
42.	Магнитный полюс силы т помещен перед железной пластинкой
с магнитной проницаемостью р и толщиной с; показать, что если т есть
начало прямоугольных координат х,у и ось х перпендикулярна к пластин-
ке, а ось у параллельна ей, то потенциал Q за пластинкой равен4
О	I
где
ft — 1
'	1»-Ь 1 '
43.	Прямой круговой цилиндр радиуса а, содержащий воздух и дви-
жущийся вперед со скоростью V под прямым углом к своей оси, внезапно
останавливается; доказать, что ф, потенциал скорости внутри цилиндра
в точке, находящейся на расстоянии г от оси, для которой радиус состав-
ляет угол 0 с направлением движения цилиндра, равен
ф = — COS 0	\ COS'W,
JU	(хд)
где а есть скорость звука в воздухе и суммирование производится по
всем значениям г х, удовлетворяющим уравнению
//(х2) = 0.
44.	Доказать, что если отверстие объектива телескопа в задаче диф-
фракции, рассмотренной на стр. 228, имеет форму кольца, то интенсивность
освещения, производимого одним точечным источником, в каждой точке
фокальной плоскости пропорциональна
4	{Л(*)—рЛ(р*)}2
(1—----------------------
если z = -jy , где R есть внешний радиус, pR — внутренний радиус от*
верстия, г—расстояние освещенной точки от геометрического изображе-
ния источника и /—фокусное расстояние объектива.
СМЕШАННЫЕ ПРИМЕРЫ
295
45.	Доказать, что интеграл от выражения, данного в предыдущем
упражнении, взятый для линейного источника, дает оценку интеграла вида
J X vGce —5» d '
о
46.	Показать, что
r t
!п (Ьх> =------—7“
2Я1< яП(/1
(я2 4~ cos <р)п^2
47.	Доказать (на основании предыдущего результата), что
(	2^_е»ц SInl „ (s,„„,
J	x У x2 —E2	a* + b* 2ab cos у
z	o
48.	Твердая изотропная сфера, сжатая симметрично в радиальных
направлениях, совершает радиальные колебания; показать, что если и —
радиальное смещение на расстоянии г от центра, k и п — модули объема
и жесткости и р— плотность, то уравнение движения есть
4
д9и  А +	/д^и
р	\дг>^7 дг)
с граничным условием
4 \ди
3 " )дг + ЗЛг
0.
Доказать, что общее решение, подчиненное указанным условиям, имеет вид
« = У]	Л/2(М{ лр s,n М + Ар cos ср*} +
+V —=5/;z- •/, (пр) 17V < вр sin с pt + Bp cos с pt) \,
ЧР	I	I
где

и ср есть р-й корень уравнения
у;Л/,(11)}+зй4г,/./,(1П)=о
которое удовлетворяется на поверхности сферы.
296
СМЕШАННЫЕ ПРИМЕРЫ
Показать, что для специального движения Вр — Вр = 0, и доказать
[испбДьзуя формулу (23), стр. 91], что если начальные значения гм, ги
равны ф(г), ф (г), то
а	а
2’ Л-(1)р) <• (»)Лт	J Ч^р*
л ' — 9_______________
а	' ЛР~ а
А —0
------
-4Wrdr
о	о
49.	Получить уравнение движения простого маятника переменной
длины в виде
d26 dl db
+ = *
и показать, что если	где а и b постоянные, то уравнение дви-
жения для малых колебаний может быть написано в виде
d2u
xd^^u=°’
где
u=/9, х = ^.
Решить уравнение для и с помощью бесселевых функций и доказать,
Ь
чхо когда ~г — мало, то приближенно будем иметь
У ga	__
l	« ) \V а )
где р и w — произвольные постоянные1),
50.	Количество Q тепла на единицу длины, отнесенное к единице
времени, выделяется вдоль оси бесконечно длинного цилиндра в момент
времени £z=0. Температура v вначале была везде равна 0, а температура на
границе Г—а поддерживается при 0°. Доказать, что в каждый следую-
щий момент
_____о v
— яса» Jj {/] (ms а)}»
где х — термометрическая проводимость, с — удельная теплота на единицу
объема и ms—нули функции
Доказать, что если величина а становится бесконечной, то предыду-
щее выражение принимает вид
оо
v = £ J	ие~™4 du>
о
i) См. Lecornu, С. R., январь, 15, 1894. Задача возникает при рассмо-
трении колебаний тяжелого тела, опускаемого краном.
СМЕШАННЫЕ ПРИМЕРЫ
297
в, сравнивая с независимым решением задачи, оценить определенный ин-
теграл.
51.	Доказать, что, если	—1, то
С Jm (bx)Jn (дх)х'»-»+’ dx = Г	,
J m "	an 2»-"*-’ П(п—и—1)
О
если и что интеграл равен 0, если a<b. (Sonlne)
52.	Если т> — то
00
J Jm (ах) Jm (bx) !т (ex) x1-m dx =
о
_ [(а-ь»4-с)(аЦ-»—с) (» 4- с — а)' (с -b д — »)”-'/»
/7- 23т—1 П ( т - у) а™ Ът ст
цри условии, что величины fc-f-c — а, с^а — b, a-f- b — с все положи-
тельны, а если этого нет, то интеграл равен нулю 1).
53.	Доказать, что
г / ч— 2 f sm(a + r) r z . .
Л) (О— я J и_|_ r JQ(u)du,
о
00
— Ceos (и 4- г)
ro(r) = 4j-1^2jo(a)^.
о
(Sonine and Hobson)
54.	Проверить следующие разложения:
00
1)	^-e/0(rsin6)=££p„(cos9):
О
/2SV1 (2ге + т)(2л)!
2)	Mrsin 9)=|/ g2]- 22Я-ц я,я,	Р2Я (cos6)/2в+.,,(Г);
/i/ (rsm6) гУгжп ,
31 (Г,И»)''. =~
О
в обозначениях, данных на стр. 47 2).
55.	Доказать, что
________’/ая
1)	1Z— С 1п (г sin 6) sm ”+1 9 de = 1п+Ч>^ .
г к J	V г	’
i) См. J. Don gall, Proc. Edin. Math. Soc., 37.
2) Hobson, Proc. L. M. S., 25.
298
СМЕШАННЫЕ ПРИМЕРЫ
2)	=	In^ + ^.+P80
О
56.	Полагая №=zx2— 2xpcos0 + ?3> применить формулу VI, (54), чтобы
показать, что
а	2тс	оо
Jр d?	е~Хг /о (М? •
о	о У	о
57.	Интегрируя выражение $Gn ($) Jn (ЭД In ($r)/Jn ($) по контуру, анало-
гичному тому, который был рассмотрен в гл. VIII, § 2, доказать, что
2Л/„ (X, г) = у {f(r+0) + f(r— 0)),
где \у есть положительный корень функции 1п(х) и
1
Л, = 2 J х/(х) У„ (Xsx) dxl{j;(\)}K
о
58.	Интегрируя выражение
С (лг;б„ (?) + всп (g)} Jn (gx) Jn (fr)
л?/;(?)-ь B/„(g)
доказать, что
л/„ (V)=у	+°)+/<г- °))-
где есть положительный корень функции AxJn (х) + BJn (х) и

А, =------------л~~-------- I xf(x) Zrt(V)rf* *-
59.	С помощью формулы Коши
С (cos m w+n^“2 eiQ (m-n) da-"Г (m + n —J)—
J (C0S6) e	2m+"“2 Г (т)Г (n) ’
—1/2П
где R(m-{ n)>\t доказать, что
»/2U
1 f ,a,	/ 2COS0 \И+«)/2
m\ f ___________i i0 (m-n) I______________ |
хтуп я J	I x*e™ +	/
-J/2k
X m-\-n [K {2 cos 9 (№e/e	«Ю,
где /?(m +л)>— 12).
1) Hobson, Proc. L. M. S., 25.
*) MacRobert, Proc. E. M. S., 2, серия 2.
ДОБАВЛЕНИЕ I
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ГАММА-ФУНКЦИИ
И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
оо	?
П {(• + ~) ^ "}.	(2)
I
где у есть постоянная Эйлера. [Нужно заметить, что для у
можно дать 22 знака:
у = 0,57721 56649 01532 86060 65...]	(3)
Г(г+1)=гГ(г).
Если п — целое положительное число, то Г(п-|-1) = я! (4)
Г(1)=1.	(4а)
Г	(5)
Г(е)Г(1-г)^^.	(6)
Г (2z)=-U- Г (z) Г (z +	22л"'.	(7)
,	(е^ _ j) Г (*) = j е~'	(8)
с
где С есть контур фиг. 5, стр. 68.
<8а>
с
где С есть контур фиг. 6, стр. 69, и в начальной точке
argC = — я.
Если
R (г)>0, то Г (z) = J e~l	(9)
о
Формула Стирлинга есть
limr(я + 1)/ {/2^(-£-)"}= 1,	(10)
где —rc<argn<w.
300	ДОБАВЛЕНИЕ I
Если 0 •< /? (г) < 1, то
J co.si-/z-ldi = r(z) cos^-it^.	(11)
о
«0-») = гО-	(12'
Если /?(/>) >0, /?(?)>0, то
jx'-’fl— x)9~ldx=B{p,q),	(13)
о
Если /?(т)>0, /?(«)> О, то
те/2
2 С cos21”-1 0 sin2"-1 в d8 = В (т, п).	(14)
О
(1+, 0-ь 1-, О—)
Г 2Р-' (1 _ 2)’-’ dz = (1 — e2jmi) (1 — e2gKi) В (р, q)',
(15)
начальная точка лежит на вещественной оси между 0 и 1, а
начальный аргумент подинтегральной функции равен нулю.
Если р есть нуль или положительное целое число, то
(-1+.+1-)
J	2^ (<г2—\)пdz = Q или — 2/sin(гатг)В-|- 1	*j,
(16)
в зависимости от того, будет ли р нечетное или четное число.
П(г) = Г(г+1).	(17)
Г(г:+1) = П((г) = гП(г—1).	(18)
Если п — целое положительное число, то
П(п) = л1; П(0) = 1.	(19)
II(4-)=4»z’r-	f20)
Если п—целое положительное число, то	—г = 0.	(21)
11 (— П)	'	'
П(— z)n (z—1)=	(22)
'	7 v ' sin яг	v '
П (2z) = pL П (z) П (z-4-) 22г.	(23)
Ф (г) = ^1пГ (z+ 1) = Л1а П (Z).	(24)
ДОБАВЛЕНИЕ I
301
Бели
п—целое положительное число, то
п
ф(г + п)-ф(г:)++	(25)
Если п—целое положительное число, то	
Ф(«) = 'р(л)—X-	(26)
где	<?(«)= 1+4' + 4' + ---+4’	
	(27)
и	<р (0) = 0.	
Ф(О) = -Т.	(28)
<|> (—z— !)=<]» Сг) + я etgirz.	(29)
2ф(22) = ф(,г) + ф	-i-j + 21n2.	(30)	
2 )= Y —21п2-	(31)
Гипергеометрическая функция определяется равенством
F (я, р, у, г:) = 1 4~ ~тг —	~	° z* 4
\ > г» ।	/	1 1! 7	'	2! у (7 Ч-1)	1
I a(«+l)(»+2)Ptf+l)(P + 2)	1
(32)
3!т(т+1) (т + 2)
F(a,|l,T,z)=(l-zrFa)T-h,
F (я, р, у, z) = (1 — г)т-““₽ F (у — я, у — р, у, z).
Теорема Гаусса выражается равенством
F (я, р, у, 1) = -U7—
к г i / Г (т — а) Г (т — Р)
при условии, что /?(у)>0, /?(у— я — Р)>0.
(33)
(33а)
(34)
л + 4	, 2n, z		-	1 J 2	. Vi—z	zf	(35)
/1 + п \ 2~ ’	1 — п 2 ’	3 2	Л	 sin (п аге sin z) , ’	]	nz	9	(36)
“ 2 ’	1_2L 1	2		_3	2\	 sin (п аге sin z) 2	)	nz V1 — z^	(37)
,л 2. ’	п 1. *2’2	>	= cos (n arc sin z); .	(38)
/*+” \ 2 ’	1 —п . 2 ’ .	1 2	‘ 2 \  cos (n arc sin z) ' )	У1-г» •	(39)
302
ДОБАВЛЕНИЕ' II
ДОБАВЛЕНИЕ II
МЕТОД1) ПОЛУЧЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ
БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ СТОКСА
В дифференциальном уравнении Бесселя положим Jn(x)=ux
тогда мы найдем, что и есть решение уравнения
№  /.
X2
u='O.
(1)
Если х велико по сравнению с п, то значение (л2—/х2 мало;
а если по аналогии с процессом, применяемым, в разложении
неявной функции, определенной алгебраическим уравнением
/(к, х)=0, мы пренебрежем членом (л2—^w/x2 в дифферен-
циальном уравнении, то получим уравнение

0
общее решение которого есть
и== A sin х -J- В cos х,
где А и В—постоянные.
Бодее точное приближение получим, полагая
и — u2 = (A + ^sinx-{-(£0 + y)cos х,
где Aq, Av Bq, Bt—постоянные. Это значение и дает
1) .On the Numerical Calculation of a Class of Definite Integrals and Infi-
nite Series* [Camb. Phil. Trans., 9 (1856), 166; прочитано 11 марта, 1850;
или Collected Papers, т. 11, стр. 329].
»On the Effect on the Integral Friction* of -Fluids on the Motion of Pendu-
lums* [Camb. Phil. Trans., 9 (1856), 8; прочитано 9 декабря, 1850)].
ДОБАВЛЕНИЕ II
303
Выражение в правой части станет сравнимым с х 3, если мы пред-
положим, что
2В1==^-^А^
Значение функции и2 будет тогда
1 1
(	” Г )	(	”2 —j 1
и2 = Д i sin х -|-2х~ cos*1	| cos х-2х~ s*n *1 ’
и мы будем иметь
м ( п*~ И	У2—т)(”2—гУ
5>+ \1-------------------------(-Д cos х 4-В0 sin х).
и	. 1	_^з
Нужно заметить, что в случае п = ±^ или мы полу-
чаем таким методом точное решение.
Предположим теперь, что
. Asin*-I-В,cos*
№ = Ut Н-----------------j!----- >
304
ДОБАВЛЕНИЕ И
то значение и будет
1
/ ла-г
и = «з = Ло| sin х	cos х'
1
f ”2 " 4
-{- Во ] cos х-2^~ sin х----
и мы будем иметь
Ц/ 9
I Д'" “4,
2 «4л*
dx*
«2-й _
Х2 )и3 —
- у
2
(Ло sin х -j-^o cosx).
Продолжая так же и далее, мы найдем по индукции, что
если положить
ur = A0Ur+B0Vr,	(2)
(3)
TO
'	1\/	9\	(	/	3\«)
П2_-Длг_-к.. „г-^г — Л I ,
i----<3----------1——------£-1 COS X
2-4.6-..(2r — 2)x,—1	\
(4)
13	1
Таким образом, если n = rb g-, ±	, zt r —	, то ur есть
точное решение уравнения (1). Стокс предполагает, что если х
ДОБАВЛЕНИЕ Ш
305
настолько велико, что выражение в правой части равенства (5)
очень мало по сравнению с иг, то иг есть приближенное решение
уравнения (1).
Удобно изменить обозначения, полагая
До sin х-}- Во cos х = С cos (а — х),)
*	HqCOsx — Bosinx=Csin(a— х), J
где С и а — новые постоянные; эта замена законна, так как
С* = А\-\-В*й, что не зависит от х. Теперь имеем
ur=C{Prcos(a— x)-|-Q,sin(a —х)},	(7)
где
р _ .	(4д* — 1) (4п* — 9) ,
Ь2.(8ж)«
; (4л* — 1) (4д2 — 9) (4л* — 25) (4л« — 49)	/оч
+"	1-2-3*4(8х)4	W
п _ 4пг~1 _ (4fi* — 1) (4л* — 9)(4в* — 25) ,	. Q.
— 8х	Ь2.3{8х)8	!"••••	W
и Pr, Qr содержат вместе г членов, включающих соответственно
степени х°, х"1, х“а.... х~,+1.
Значения С и а для различных бесселевых функций даны
в гл. V, § 3, где рассмотрены асимптотические разложения, но
другим методом.
ДОБАВЛЕНИЕ III
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ
БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
В работе ’), озаглавленной „On the Roots of the Bessel and
certain related Functions*, Дж. Мак-Матон получил следующие
важные результаты, первый из которых был уже отчасти дан.
(I) 5-й корень, по порядку абсолютных величин, уравнения
J„(x)=o
равен
__й т— 1	4(m—l)(7m —31)
Р 8f	3(8|t)S
32 (т — 1) (83m« — 982m 4- 3779)
15(80)*
64 (т — 1) (6949ms — 153855m* + 1585743m — 6277237)
105(8р)»	• • • ’
> Annals of Mathematics, 9, (1894—1895), 23.
20 Э. Грей и Г. Б. Метыоз
306
ДОБАВЛЕНИЕ Ш
где
Р — у к (2n -1- 4s — 1), т — 4п?.
(II)	s-й корень, по порядку абсолютных величин, уравнения
<(х) = 0
есть
v(s)_ у _ ™+3 _ 4 (7m2 + 82m —9) _
лп — ' 8у	3(8у)«
32 (83m3 — 2075m2 — 3039m + 3537)
15(87)з	’
где
у =it (2л4s1), m = 4n2.
(Ill)	s-й корень, по порядку абсолютных величин, уравнения
г	= o
есть
U*)_v т + 7 .	4(7m2+154m+95)	.
.	3(87)»
32 (83m3 + 3535m2 + 3561m + 6133)
15(87)S
где, как и прежде, y = -|-rc(2n-}-4s4-1), т=4пъ.
(IV)	s-й корень, по порядку абсолютных величин, уравнения
/?О„(х) = 0,
где RQn (х) есть вещественная часть, функции
G„(x) = -Kn(x)-(y-In2)Jn(x) = 0, '
дается рядом для х^ в (I), если р заменить на 0—уп.
(V)	s-й корень, по порядку , абсолютных реличин, уравнения
A{/?G,,(x)} = 0
дается в виде ряда для х(„ в (II), если заменить в нем у
на у — у к (у под знаком дифференциала здесь есть, конечно,
постоянная Эйлера, и ее не нужно смешивать с у в выражении
корня).	'	“	'!
ДОБАВЛЕНИЕ HI
307
;(VI) 5-й корень, по порядку абсолютных величин, уравнения
. I I	Gn(px) _ Q о''>1
Ш . 4(p*)	’ v<
или, что то же самое, уравнения
УпМ- Г„(рх)_п
Jn(x) ^п(?х)
есть
q — P1 ] г — 4р^_|-2рЗ
88 “Г а®
где , ,	н	.	•
)	» _ « :	п — т—1 '	__4(m—1)(т —25)(рз—1)
, °— рл-1 Р— 8р ’ Ч—	3(8р)3(р-1)
Г = 32^~П(т^-И4т+1) ' т_ 4п?
5(8р)5(?-1)
(VII) 5-й корень, по порядку абсолютных величин, уравнения
УпМ К„'(рх).	!
—;----------- = I), р ?> 1
дается той же формулой, что и в (VI), но при
__т + 3	___4(m»-|-46m— 63) (р8—1)	।
Р~~	’	4	3(8рр(р-1)	>
32 (т» + 185?”а — 2053m + 1899) (рз — 1)
—'	5(8рУ(р-1)	•'	;
г =
(Здесь, конечно, вместо Y можно взять функцию О, не изменяя
уравнения).
(VIII) 5-й корень, по порядку абсолютных величин, уравнения
d ( -v
— х ‘2
dx ( х
dx х
d (
di-|(P-*) /2Л(Р-г)|
также дается формулой в (VI), но при
_m-f-7	_ 4(m« + 70m—199)(р8—1)
Р~ 8р ’ q~ З(8р)3(р — 1)
_ 32(m8 +245m» —3693mН-4471)(рз—1)
Г—	5(8рР(р-1)
(Здесь, как и прежде, можно заменить функции У на функции G.)
20*
308
ДОБАВЛЕНИЕ III
Полезно сделать следующие замечания относительно этих урав-
нений.
1.	Примеры уравнения в (I) могут быть найдены во всех
областях физических приложений, см., например, стр. 143 ,229.
„	3
Если тг = у, то уравнение эквивалентно
tgx—х;
последнее уравнение встречается во многих задачах (см. стр. 242).
Корни этого уравнения можно, следовательно, подсчитать по
формуле в (I).
2.	Уравнение, корни которого даны в (П), также имеет боль-
шое значение в физических приложениях; например, оно дает
длину волны колебания жидкости внутри прямой цилиндрической
оболочки. Оно выражает условие, что нет движения газа через
цилиндрическую границу ’).
Если п = у, уравнение эквивалентно
tgx = 2x;
з
если п—-^, уравнение эквивалентно
другие эквивалентные уравнения могут быть получены с помощью
таблицы на стр. 26.
3.	Корни уравнения, данные в (Ш), используются в задаче
о волнах в жидкости, находящейся внутри жесткой сферической
оболочки. Само уравнение есть выражение условия на поверх-
ности, которому должно удовлетворять движение, и х=.ха,
где а — радиус. Корни поэтому дают значения х2).
Если л=-у, то уравнение эквивалентно
tgx=x,
3	3
которое получается также и в (I) при n = -g-. Если же п = -^ ,
то уравнение эквивалентно
которое дает сферические узлы газа, колеблющегося внутри
сферической оболочки.
1) Р’э л е й, Теория звука, т. 11,'Москва, 1944, гл. XVIII, § 339, стр. 291—294.
»)Та*м же, гл. XVII, § 331, стр. 257 и след.
ОБЪЯСНЕНИЯ К ТАБЛИЦАМ
30»
4.	Корни уравнения в (VI) необходимы во многих физических
задачах, например, в задаче об охлаждении тела, ограниченного
двумя соосными цилиндрами, или в задаче о колебаниях кольце-
вой мембраны (см. стр. 147). Значения х » рх представляют здесь
значения -*а и xfr, где а и Ь — внутренний и внешний радиусы.
Таким образом, корни уравнения дают значения х для этой задачи.
5.	Корни уравнения в (VII) необходимы для определения
длины волны при колебаниях жидкости, находящейся между
двумя соосными цилиндрами. Это есть распространение задачи
в (III). на эту кольцеобразную область. Как и прежде, х и рл суть
значения ха и хд, где а, b — внутренний и- внешний радиусы ци-
линдров.
6.	Данное в (VIII) уравнение следует из условия, которое
должно соблюдаться на внутренней и внешней поверхности
жидкости, колеблющейся в области между двумя концентри-
ческими неподвижными сферическими поверхностями. Значения х
и рх суть, как и прежде, значения ха и х/>, где а, b — внут-
ренний и внешний радиусы. Корни, следовательно, дают значе-
ния х для этой задачи.
7.	Если для малых значений л некоторые из формул для
корней плохо сходятся, то лучше проинтерполировать значения
из таблиц численных величин функций, если эти таблицы
пригодны.
ОБЪЯСНЕНИЯ К- ТАБЛИЦАМ
Табл. I перепечатана е таблицы д-ра М'ейсселя, Tafel der Bessel’schen
Funetlonen J^utid/д, первоначально напечатанной в берлинских Atkand-
lungen за 1888 г. Мы обязаны Д-ру Мейсселю и Берлинской Академии наук
за разрешение включить - эту таблицу- в настоящую работу. Единственное
изменение, которое было сделано, состоит в написании j$(x) и Ji(x) вме-
сто, и Z*. Три очевидные опечатки в колонке аргумента были неправ-
лены; значение (1„71) было изменено с 0,3932... на 0,39?2... в соответ-
ствии с сообщением д-ра Мейсселя.	*
Табл. II взята из неопубликованной работы, весьма любезно пред-
ставленной в наше распоряжение автором, д-ром Мейсселем. Она дает
для положительных целых Значений п и л, от 1 до х—24, все зна-
чения ]п(х\ ие меньше 10“18. Таблица может быть применена, кроме
других целей, также для- подсчета когда х не целое число. Так,
если х лежит между двумя последовательными целыми числами у н 1,
то мы можем положить х~у-\-/ъ и тогда
, Л2 г,
/„(х) = Ул(у) + Л/„ (»+-2Г	(У) + ... =
=Jn (>) + л {у Jn Су)—zb-h Су)] +
+¥{(213^Л-1)^^)+у/л+1(->’)}+ •••
310
ОБЪЯСНЕНИЯ К ТАБЛИЦАМ
Мы пользуемся здесь удобным случаем, чтобы сослаться на две работы
д-ра Мейсселя по бесселевым функциям, помещенные в готовых докладах
Ober-Realschule в Киле за 1889—1890 гг. и 1891—1892 гг. Там', между прочим,
показано, что если х задано, то имеется специальное значение п, для ко-
торого функция Jn (х) меняет знак, переходя от отрицательных значений
к положительным, а также, что функция возрастает до ее абсолютного
максимума, а затем убывает, когда п увеличивается, с все возрастающей
быстротой.
Табл. III дана Р. В. Вильсоном и Б. О. Пирсом в Bulletin of the*Ame-
rican Mathematical Society, t. Ill, 1897. Первые 10 корней были взяты из
таблицы Мейсселя.
Табл. IV взята из первой работы, из числа указанных в предыдущем
параграфе. Она дает первые 50 корней уравнения Jj(x) = 0 9 соответствую-
щими значениями функции /0(х), которые, конечно, являются максимумами
или минимумами /0(х) в зависимости от того, положительны онй 'цлй от-
рицательны.
Табл. V составлена Ж. Бурже, Ann. tie ГEcole Normale, т. Ill, 1866. *
Табл. VI, VII, VIII, IX взяты из Reports of the British Association
за 1889, 1893 и 1896 гг. Таблицы в Association, соответствующие табл. VII
и VIII, чересчур длинны для перепечатки, поэтому табличная, разность
взята 0,01 вместо 0,001. Эти таблицы не требуют дальнейших объяснений:
функции 1п те же, что и в настоящем труде.
Табл. X и XI были даны В. С. Альдисом, Proceedings of the Royal
Society, т. LXIV,w,1898, а табл. XII дана Дж. Г. Ишервудом в Metnolrs of
the Manchester Philosophical Society, t. XLVIII, 1904.
Табл. XIII взята из работы Эри в Phil. Mag. т. XLI, 1921,
Так как комитет Британской ассоциации по расчету математических
таблиц объявил, что он намерен опубликовать в короткий срок том пол-
ного набора таблиц функций Бесселя и др., то мы считаем, что нет не-
обходимости воспроизводить здесь все требуемые таблицы. Следующие
названия, однако, будут полезны тем, кому нужны другие таблицы.
. «Tables for calculating Phase and Amplitude», A. Lodge (Brit. Ass. Rep.,
1907, стр. 94, 1904, стр. 33).
«Tables of Zeros of Neumann and Bessel Functions», J. R., Airey (Proc.
Phys. Soe., т. XXIII, 191,1, стр. 219).	, ,
«Tables of Уо, Yb RGq, RGi», J. R. Airey (Brit. Ass. Rep., 1913, стр. .116).
«Tables of Fo, Fp, B. A. Smith (Mess, of Maths., t. XaVI, 1897, стр. Й8).
«Tables of Bessel and* Neumann Functions», B. A.: Smith (Phil. Mag\
t. 1LV, 1898, стр. 122).
«Tables of RGa, RGi, ber, bei, etc», W. S. Aldis (Proc. Roy. Sdc.;i. LXVI,
1900, стр. 32).	...
«Tables of ber, bei, ber\ ’ bei'», A. G. Webster (Brit. Ass. Rep., 1912
стр. 57).	-	«	;	! I
. «Tables of /я, RG& RGb .Yn^(Brit. .Ass. Rep., 1915, стр. 29)... .
«Tables of ker, kei, ker/ kei'», H. G. Savidge,(BrZL.Ays. Rep., 19)5, «стр.:36),
«Tables of ber, bei, ker etc», Russel and Savidge (PhiL Mag;, April,» 1909,
Jan. 1910).
«Tables of Zeros of Jn (x)Yn (kx) — In(kx)Y n (x)», A. Kalahne (Zeitschr.
f Math. u. Phys., т LIV, 1907, стр. 68). Эти таблицы полностью воспроиз-
ведены в книге Янке и Эмде»1. Эта книга содержит большое число таблиц
функций Бесселя.
1)Янке и Эмде, Таблицы функций с формулами и кривыми, Гостех-
издат, М—Л., 1948.
ПРИМЕЧАНИЕ ОТ РЕДАКЦИИ
311
Таблицы функций Бесселя и Неймана одинакового порядка и аргумента,
т. е. /в (а),	(а), Ол (а),	(а) (последние две функции в отличие от
функции G в настоящем издании обозначены через RQ (а) и т. д.), — Fa (а),
—Ka_j(a) даны в В. A. Report, 1916.
Таблицы функций Sn(x), Сп(х), связанных с бесселевыми функциями
t*), J_п_Цх) уравнениями
(х) - 1/ '	i_ (x), Cn (x) = (-	KX J 1 (X),
г &	2	F £	^n~
также даны в В. A. Report» 1916.
Таблицы функций J j (х) и функций Un (х), Vп (х), определенных урав-
±Г
нениями
Jm (•*) = Um (х) cos	— У «« — Т п) —
„ , х / 1 1 \ •
— sin ( х —-g'lwn —'4"я|»
J-m(-*) = ит (X)cos (х + у пт — Yи) —
— Vm (х) sin(* + 4тя — Т я) ’
даны в работе G. N. Watson, On the Zeros of Bessel Functions, Proc.
R. S., A. XCIV (1918).
Таблица значений нулей функций Бесселя малого дробного порядка
дана в Phil. Mag., февраль 1921, в J. R. Airey. Некоторые из этих значений
даны в табл. ХШ из-за большого значения их нулей для задач об уп-
ругой устойчивости.
Нужно также указать на короткую работу о нулях бесселевых функ-
ций дробного порядка Prof. Akinamasa Ono, Phil. Mag., декабрь 1921,
ПРИМЕЧАНИЕ ОТ РЕДАКЦИИ
Таблицы значений функций Бесселя и формулы, относящиеся к этим
функциям, можно также найти в следующих книгах:
1.	Л. А. Люстерник, И. Я. Якутский и В. А. Диткин,
Таблицы бесселевых функций, Гос. изд-во технико-теоретической литера-
туры, 1949.
Книга содержит таблицы значений функций Бесселя нулевого и пер-
вого порядка и таблицы для разложения функций в ряды по функциям
Бесселя нулевого и первого порядка.
2.	И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений,
Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1948.
В книге приведены формулы, относящиеся к цилиндрическим функциям.
3.	Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, часть II, Изд-во
иностранной литературы, 1949.
4.	Е Янке и Ф. Эмде, Таблицы функций с формулами и кривыми,
Гос. Изд-во технико-теоретической литературы, 1948.
В книге даны формулы и таблицы значений бесселевых функций.

Таблица I
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ J^x) и Л(х)
X	Л>(*)	-JM	х		—Л(»)
о,оо	0,000000 000000	0,000000 000000*	0,40	0,960398 226660	—0,196026 5779S5
о,от	0,999975 000156	—0,004999 937500*	0,41	0,958414 468885	—0,200722 502946
0,04?	0,999900 002500	—0,009999 500008	0,42	0,956383 826663	—0,205403 409375
0,03	0,999775 012656	—0,014998 312563	0,43	0,954306 451921	—0,210068 948818
а,04	0,999600 039998	—0,019996 000267	0,44	0,952182 500067	-0,214718 774133
0,05	0,999375 097649	—0,024992 188314	0,45	0,950012 129972	—0,219352 539483
а,об	0,999100 202480	—0,029986 502025	0,46	0,947795 503959	—0,223969 900370
0,07	0,998775 375105	—0,034978 566876	0,47	! 0,945532 787790	—0J22857O 513659
0,08	0,998400 639886	*—0,039968 008532	0,48	0,943224 150650	—0,233154 037611
0,09	0,997976 024926	*—0,044954 452875	0,49	0,940869 765137	—0,237720 131905
0,10	0,997501 562066	—0,049937. 526036	0,50	0,938469 807241	—0,242268 457675
о,и	0,996977 286887	«—0,054916' 854430	0,51	0,936024 456336	—0,246798 677529
0,12	0,996403 238704	-0.059892 064781	0,52	0,933533 895163	—0.251310 455583 '
0,13	0,995779 460562	—0,064862 784157	0,53	0,930998 309812	—0,255803 457487
0,14	0,995105 999233	«—0,069828 640001	0,54	0,928417 889710	-0,260277 350453
0,15	0,994382 905214	—0,074789 260161	0,55	0,925792 827604	—0,264731 803281
0,16	0,993610 232721	-0,079744 272921	0,56	‘ 0,923123 319544	—0,269166 486388
0,17	0,992788 039685	—0,084693 307032	0,57	0,920409 564868	—0,273581 071836
0,18	0,991916 387745	«—0,089635 9917’43	0,58	' 0,917651 766187	—0,277975 233357
0,19	0,990995 342249	«-0,094571 956833	0,59	0,914850 129363	—0,282348 646381 ;
0,20	0,990024 972240	—0,099500 832639	0,60	0,912004 863497	—0,286700 988064
0,21	0,989005 350457	—0,104422 250091-	. 0,61	0,909116 180910	—0,291031 937312
0,22	0,987936 553327	—0,109335 840739	’ 0.62	; 0,905184 297124	—0,295341 174811
О',23	0,986818 660958	—0,114241 236785	0,63	0,903209 430845	—0,299628 383050
0,2>	0,985651 757131	—0,119138 071113	0,64	0,900191 803946	—0,303893 246349
0,25	0,984435 929296	—0,124025 977323	' 0,65	0,897131 641447	—0,308135 450885
0;26	0,983171 268563	—0,128904 589754	‘0,66	0,894029 171498	—0,312354 684718
0,27	0,981857 869696	«—0,133773 543525	„ 0,67	0,890884 625356	—0,316550 637815
0,28	0,980495 831102	«-0,138632 474553	',0,68	0,887698 237371	—0,320723 002080
0,29	0,979085 254825	—0,143481 019596	0,69	0,884470 244964	—0,324871 4>1373
0,30	0,977626 246538	*—0,148318 816273	0,70	0.881200 888607	—0,328995 741540
0,31	0,976118 915533	—0,153145 503099	0,71	0,877890 411804	—0,333095 510438
0,32	0,974563 374711	«-0,157960 719516	*0,72	0,874539 061070	—0,337170 477956
0,38	0,972959 740576	\ «-0,162764 105918	0,73	0,871147 085910	—0,341220 346045
0,34	0,971308 133222	«-0,167555 303687	0,74	0,867714 738801	—0,345244 818737
0,35	0,969608 676323	«-0,172333 955219	0,75	0,864242 275167	—0,349243 602175
о;зб	0,967861 497127'	—0,177099 703954	0,76	. 0,860729 953361	—0,353216 404632
0,37	0,966066 726439	—0,181852 194406	' 0,77	' 0,857178 034643	—0,357162 936538
0,88’	0,964224 498614	—0.186591 072196	' 0,78	0,853586 783157	—0,361082 910503
0,30	0,962334 951548	—0,191315 9840741	‘ 0,79	0,849956 465910	—0.364976 041342
0,40	0,960398 226660	—0,196026 577955	0,80	0,846287 352750	—0,368842 046094
313
Таблица I (продолжение)
X	/oW	- Л (ж)	X	Л(*)	<лг)
0,80	0,846287 352750	—0,368842 046094	1,20	0,671132 744264	—0.498289 057567
0,81	0,842579 716344	—0,372680 644052	1,21	0*666137 120084	—0,500829 672641
0,82	0,838833 832154	—0,376491 556779	1,22	0,661116 273214	—0,503333 567025
0,83	0,835049 978414	—0,380274 508136	1,23	0,656070 571706	<-0,505800 572626
0,84	0,831228 436109	-0,384029 224303	1,24	0,651000 385275	—0,508230 524394
0,85	0,827369 488950	—0,387755 433798	1,25	0,645906 085271	-0,510623 260320
0,86	0,823473 423352	—0,391452 867506	1,26	0,640788 044651	-0,512978 621467
0,87	0,819540 528409	—0,395121 258696	1.27	0,635646 637944	—0,515296 451971
0,88	0,815571 095868	-0,398760 343044	1,28	0.630482 241224	—0,517576 599061
0,89	0,811565 420110	—0,402369 858653	1129	0,625295 232074	— 0,519818 913063
					•
0,90	0,807523 798123	—0,405949 546079	1,30	0,620085 989562	—0,522023 247415
0,91	0,803446 529473	—0,409499 148347	1,31	0,614854 894203	—0,524189 458680
0,92	0,799333 916288	—0,413018 410976	.1,32	0,609602 327933	-0,526317 406556
0,93	0,795186 263226	—0,416507 081996	1,33	0,604328 674074	«—0,528406 953885
0,94	0,791003 877452	—0,419964 911971	1,34	0,599034 317304	—0,530457 966666
0,95	0,786787 068613	—0,423391 654020	1,35	0,593719 643626	—0,532470 314063
0,96	0,782536 148813	—0,426787 063833	1,36	0,588385 040333	—0,534443 868418
0,97	0,778251 432583	—0,430150 899695	1,37	0,583030 895983	—0,536378 505268
0,98	0,773933 236862	—0,433482 922506	1,38	0,577657 600358	-0,539274 103303
0,99	0,769581 880965	—0,436982 895795	1,39	0,572265 544440	-0,540130 544481
*1,00	0,765197 686558	—0,440050 585745	1,40	0,566855 120374	—0,541947 713931
1,01	0,760780 977632	—0,443285 761209	, 1.41	0,561426 721439	—0,543725 500014
1,02	0,756332 080477	—0,446488 193730	1,42	0,555980 742014	—0,545463 794323
1,03	0,751851 323654	—0,449657 657556	1,43	0,550517 577543	—0.547162 491686
1,04	0,747339 037965	—0,452793 929666	1,44	0,545037 624510	<-0,548821 490179
1,05	0,742795 556434	—0,455896 789778	1,45	0,539541 280398	—0,550440 691132
1,06	0,738221 214269	—0,458966 020374	1,46	0,534028 943664	—0,552019 999133
1,07	0,733616 348841	—0,462001 406715	1.47	0,528501 013700	—0,553559 322039
1,08	0,728981 299655	—0,465002 736858	1.48	0,522957 890804	—0,555058 570983
1,09	0,724316 408322	—0,467969 801675	1.49	0,517399 976146	—0,556517 660374
1,10	, 0,719622 018528	—0,470902 394866	1,50	0,511827 671736	—0,557936 507910
1,11	0,714898 476008	—0,473800 312980	1,51	0,506241 380391	—0,559315 034582
1,12	. 0,710146 128520	—0,476663 355426	1,52	0,500641 505700	—0,560653 164677
1,13	0,705365 325811	—0,479491 324496	1,53	0,495028 451994	—0,561950 825786
1,14	0,700556 419592	—0,482284 025373	1,54	0,489402 624312	—0,563207 948806
1,15	0,695719 763505	—0,485041 266154	1,55	0,483764 428365	—0,564424 467949
1,16	0,690855 713099	—0,487762 857858	1,56	0,478114 270507	—0,565600 320742
1,17	0,685964 625798	—0,490448 614448	1,57	0.472452 557702	—0,566735 448033
1,18	0,681046 860871	—0.493098 352841	1,58	0,466779 697485	—0,567829 793994
1,19	0,676102 779403	—0,495711 892924	1,59	0,461096 097935	—0.568883 306126
1,20	0,671132 744264	-0,498289 057567	1,60	0,455402 167639	—0,569895 935262
314
Таблица I (продолжение)
X		(х)	х ’	Jq(X)	-Jl (x)
1,60	0,455402 167639	—0,569895 935262	2,00	0,223890 779141	—0,576724 807757
1,61	0,449698 315660	—0,570867 635566	2,01	0,218126 821326	—0,576060 096965
1,62	0,443984 951500	—0,571798 364542	2,02	0,212369 710458	—0,575355 433450
1.63	0,438262 485071	—0,572688 083032	2,03	0,206619 845483	—0,574610 928248
1,64	0,432531 326660 -	—0,573536 755217	f2,04	0*.*200877 624399	—0,573826 671543
1,65	0,426791 886896	—0,574344 348624	2,05	0,195143 444226	—0,573002 762707
1,66	0,421044 576715	—0,575110 834122	2,06	0,189417 700977	—0,572139 304279
1,67	0,415289 807326	—0,575836 185927	2,07	0,183700 /^89621	' —0,571236 401957
1,68	0,409527 990183	—0,576520 381599	2,08	0.177993 104055	—0,570294 164587
1,69	0,403759 536945	—0,577163 402048	2,09	0,172295 037073	—0,569312 704151
1,70	0,397984 859446	*—0,577765 231529	2,10	* 0,166606 980332	—0,568292 135757
1,71	0,392204 369660	—0,578325 857645	2,11	0,160929 324304	-0,567232 577628
' 1,72	0,386418 479668	—0.578845 271345	2,12	0,155262 458341	-0,566134 l£1091
1,73	< 0,380627 601627	—0,579323 466925	2,13	0,149606 770449	—0,564996 980564
1,74	0,374832 147732	—0,579760 442028	2,14	0,143962 647452	-0,563821 103544
1,75	0,369032 530185	-0,580156 197639	2115	0,138330 474865	—0,562606 920596
1,76	0,363229 161163	-0,580510 738087	'2П6	0,132710 636881	—0,561354 295339
1,77	[ 0,357422 452782	—0,580824 071043	2,17	0,127103 516344	—0,560063 454436
1,78	0,351612 817064	—0,581096 207515	2,18	’ 0,121509 494713	—0,558734 537577
1,79	0.345800 665906	—0,581327 161851	2,19	0,115928 952037	—0,557367 687469
1,80	0,339986 411043	—0,581516 951731	2,20	0,110362 266922	-0,555963 04981’9
1,81	0,334170 464016	—0,581665 598167	2,21e	0,104809 816503	—0,554520 773306
1,82	0,328353 236143	—0,581773 125501	2,22?	0,099271 976413	—0,553041 000659
1,83	0,322535 138478	—0;581839 561397	2,23	0,093749 .120752	—0,551523 913451
1,84	0,316716 581784	—0,581864 936842	2,24	0,088241 622061	—0,549969 642278
4,85	1 0,310897 976496	—0,581849 286141	2,25	; 0,082749 851289	—0,548378 356647
1,86	• 0,305079 732690	*—0,581792 646910	2,06	0,077274 177765	—0,546750 219981
1,87	0,299262 260050	—0,581695 060074	2,27	0,071814 969170	—0,545085 398603
1,88	0,293445 967833	—0,581556 569863	\ 2,28	> 0,066372.591512	—0,543384 061701
1,89	0,287631 264839	—0,581377 223803	2,29	0,060947 409082	• —0,541646 381412
>1,90	’ 0,281818 559374	—0,581157 072713	2,30	I J0,055539 784446	—0,539870 532604
1,91	0,276008 259222	—0,580896 170703	2,31’	• 0,050150.078400	—6,538062 963065
1,92	! 0,270200 771606	—0,580594 575158	2,30	0,044778 649952	—0,536217 043381
1,93	0,264396 503162	—0,580252 346743	0,33	' 0,039425 856288	—0,534335 766941
; 1,94	0,258595 859901	—0,579869 549389	• 2,34	1 0,034092 052749•	—0,532419 049921
1,95	0,252799 247186	i —0,579446 250290	2,35	< ’ 0,028777 592796	—0,530467 081267
1,96	0,247007 069667	—0,578982 519892	2,36	*0,023482 827990	—0,528480 052675
1,97	0,241219 731308	*—0,578478 431892	2,37	0,018208 107961	—0.526458 158577
1.98	0,235437 635298	—0,577934 068221	2,38	> 0,012953 780380	—0,524401 596119
1,99	0,229661 184646	—0,577349 494047	2,39	0,007720 190934	—0.522310 565146
2,00	0,223890 779141	—0,576724 807757	2,40	0,002507 683297	-0,520185 268182
315
<3>
№ *0 tO № ЬО tO W ЬО ЬЭ ЬЭ tOtOtObO tO КЗ N> ЬО tO tO Ю tO t© Ю tO tObOIOtO N3 ^OtOtOtO VO ЬЭ b© K? t© to
• t a a a a a sagbi к к kkks к кк’зк к kkks s sass a tsn 4
I Ш; г Ш1 l 1Ш 1 1Ш 1 UU £ £Ш А	Ь kU.i t
iliil 1 iiii I iiii i iiil 111!! I ill! I fill I ill! I
I iliiHiil I Illi i iili i Illi i 1ШI Oil i Ш11
Таблица I (продолжение)
Таблица I (продолжение)
X	Л(*)	- Л (X)	х	(X)	-Л (х)
3,20	—0,320188 169657	—0,261343 248781	3,60	—0,391768 983701	—0,095465 547178
3,21 ’	—0,322781 491017	—0,257319 214392	3,61	«-0,392702 729637	—0;091284 136789
3,22	-0,325334 518339	—0,253284 <«8129	ЗЛ21	—0,393594 676939	—0,087105 877039
3,23	—0,327847 146516	—0,249239 442719	3,63'	—0,394444 858817	—0;682931 103843
3,24	—0,330319 273873	—0,245184 391424	3,64	—0,395253 311888	—0,078760 172463
3,25	<-0,332750 802171	—0,241119 688015	3,65 ‘	—0,396020 076171	—0,074593 407483
3,26	-0,335141 636607	—0,237045 676741	3,66'	—0,396745 195072	-0;070431 152776
3,27	—0,337491 685828	—0,232962 702298	3,67	—0,397428 715388	—0:066273 746480
3,28	—0,339800 861026'	—0,228871 109797	3,68	—0,398070 687288	—0;662121 525964
3,29 '	—0,342069 080449	—0,224771 244740	3,69 {	—0,398671 164315	—0,057974 827802
3,80	—0,344296 260399	—0,220663 452985	3,70 '	—0,399230 203371	—0,053833 987745
3;31 '	—0,346482 324240	—0,216548 080719	3,71	—0,399747 864713	—0:049699 340694
3,32 '	—0,348627 197900	—0,212425 474424	3,72	—0;4С0224 211942	—0:045571 220667
3,38 '	—0,350730 810771	—0,208295 980854	3,73 ,	—0,400659 311994	—0,041449 960775
3,34	—0,352793 095716	—0,204159 946997	3,74	—0,401053 235132	—0,037335 893193
3,35 ’	—0,354813’989067	—0,200017 720051	3,75	—0,401406 054936	-0,033229 349130
3,86	—0,356793 430631'	—0,195869 647392	21,76	—0,401717 848294	-0,029130 656803
3,37 ‘	—0,358731 368688	—0,191716 076543	3,77	—0;401988 695389	—0,025040 151411
3,38 «	—0,360627 734494	—0,187557 355145	3,78	—0,402218 679692	-0;020958 155102
3,30 ’	—0,362482 494781	—0,183393 830929	3,79 ’	—0,402407 887951	—о;016884 996950
3,40	—0,364295 596762	—0.179225 851682	3,80	—0,402556 410179	—0,012821 002927
3,41 1	—0.366066 998124	—0,175053 765218	3.81	—0,402664 339640	—0;008766 49^873
3,42 f	—0,367796 6595^5 *	—0,170877 919353	3.82	—0,402731 772845	—0,004721 805471
3,43 1	—0,369484 5451391	—0,166698 661869	3,^3	—0,402758 809533	—0/000687 248221
3/44	—0,371130 622559	—0,162516 340485	3,84	—0:402745 552664	+0,003336 852592
3,45 ’	—0,372734 862895	—0,158331 302831	3,85	—0,402692 108403	+0,007350 176918
3,46	—0,374297’240720	-6,i54!4fe 896414	3,86	—0,402598 586110	+0,011352 405975
3,47	-0,375817 734085	—0,149954 468^92	3,87	—0,402465 098327	+0,015343 222272
3,48 f	—0,377296 324511	—0,145763 366540	3/88	—0,402291 760761	+0,019322 309635
3,49	—0,378732 976992	-0,141570 937221	3,89	—0,402078 692280	+0,'023289 353237
3,50	—0,380127 739987	—0,137377 527362	3,90	—0,401826 014888	+0,027244 039621
3,51	—0,381480 545425	—0,133183 483416	3,91	—0,401533 853719	+0,031186 056727
3,«S2 ’	—0,382791 408696	—0,128989 151538	3^92	—0,401202 337020	+0,035115 093918
3,58 <	—0,384060 328649	—0,124794 877553	3,93	—0,400831 596137	+0,039030 842006
3,54 '	—0,385287 307591	—0,120601 006927	3,94	—0,400421 765502	+0,042932 993278
3,55	—0,386472 351282	—0.116407 884739	3,95	М),399972 982615	+0,046821 241521
3,56	—0,387615 468930	—0,112215 855647	3;96	—0,399485 388031	+0,050695 282047
3,57	-0:388716 673186	—0,108025 263865	3,97	—0,398959 125344	+0,054554 811719
3,58 '	—0:389775 980144	—0,103836 453128	3:98	«—0,398394 341172	+0,058399 528975
3,59	—0,390793 409330	—0,099649 766668	3,99	—0,397791 185139	+0,062229 133855
3,60 1	-0,391768 983701	-0,095465 547178	4,00	—0,397149 809864	+0,066043 328024
317
Таблица I (продолжение)
X	+>(*)	-Л СП	X	Л(х)	-Л (X)
4,00	•—0,397149 809864	4-0,066043 328024	4,40	*—0,342256 790004*	+0,202775 521923
4,01	<-0,396470 370937	4-0,069841 814795	4,41	«-0,340214 269569	+0,205724 220583
4,02	^-0,395753 026909	4-0,073624 299158	4,42	*-0,338142 392830	+0,208646 748043
4,03	*—0,394997 939273	4-0,077390 487802	4,43	—0,336041 422538	+0,211542 896739
4,04	-0,394205 272445	4-0,081140 089137	4,44	*-0,333911 623508	+0,214412 461634
4,05	<—0,393375 193748	4-0,084872 813321	4,45	—0,331753 262593	+0,217255 240239
4,06	*-0,392507 873396	4-0,088588 372282	4,46	—0,329566 608658	+0,220071 032626
4,07	—0,391603 484474	4-0,092286 479742	4,47	*—0,327351 932553	+0,222859 641442
4,08	*-0,390662 202921	4-0,095966 851242	4,48	*—0,325109 507090	+0,225620 871929
4,09	—0,389684 207511	4-0,099629 204162	4,49	—0,322839 607016	+0,228354 531934
4,10	—0,388669 679836	+0,103273 257747	4,50	-0,320542 508985	+0,231060 431923
4.11	*-0,387618 804284	+0,106898 733130	4,51	—0,318218 491534	+0,233738 385002
4,12	*-0,386531 768024	+0,110505 353352	4,52	-0,315867 835056	+0,236388 206923 ’
4,13	• *—0,385408 760984	+0.Ц4092 <843385	4,53	—0,313490 821772	+0,239009 716103
4,14	*-0,384249 975834	+0,117660 930159	4,54	—0,311087 735706	+0,241602 733636
4,15	*—0,383055 607963	+0,121209 342578	4,55	—0,308658 862659	+0,244167 083306
4,16	*-0,381825 855461	+0,124737 811545	4,56	—0,306204 490179	+0,246702 591599
4,17	—0,380560 919100	4-0,128246 069984	4,57	. —0,303724 907535	-4-0,249209 087721
4,18	*—0,379261 002313	+0,131733 852860	4,58	—0,301220 405692	+0,251686 403603
4.19	*—0,377926 311172	+0,135200 897203	4,59	«—0,298691 277281	+0,254134 373919
4,20	*—0,376557 054368	+0,138646 942126	4,60	*-0,296137 816574	+0,256552 836097
4,21	*-0,375153 443190	+0,142071 728849	4,61	—0,293560 319453	+0,258941 630330
4,22	*-0,373715 691507	+0,145475 000717	4,62	*—0,290959 083385	+0,261300 599586
4,23	«-0,372244 015741	+.0,1.48856 503224	4,63	—0,288334 407392	+0,263629 589622
4,24	—0,370738 634848	+0,152215 984028	4,64	*-0,285686 592028	+0,265928 448996
4425	*—.0,369199 770300	+0,155553 192978	4,65	—0,283015 939344	+0,268197 029073
4,26	*—0,367627 646055	+0,158867 882130	4,66	—0,280322 752864	+0,270435 184041
4,27	*—0,3^6022 488543	+0,162159 805765	4,67	—0,277607 337557	+0,272642 770917
4,28	«-0,364384 526637	+0,165428 720414	4,68	—0,274869 999807	+0,274819 649559
4,29	—0,362713 991635	4-0,168674 384873	4,69	—0,272111 047384	+0,276965 682678
АЗО	*-0,361011 117237	+0,171896 560222	4,70	—0,269330 789420	+0,279080 735843
4,31	*-0,359276 139517	4-0,175095 009847	4,71	—0,266529 536373	+0,281164 677493
4,32	. *—0,357509 296907	+0,178269 499458	4,72	*-0,263707 600004	+0,283217 378945
4,33	—0,355710 830168	4-0,181419 797104	4,73	—0,260865 293347	+0,285238 714404
4,34	*—0,353880 982370	+0,184545 673196	4,74	*—0,258002 930679	+0,287228 560970
4,35 .	*-0,352019 998867	+0,187646 900522'	4,75	*—0,255120 827491	+0,289186 798647
4,36	—0,350128 127272	+0,190723 254265	4,76	—0,252219 300460	+0,291113 310352
' 4,37	*-0,348205 617435	+0,193774 512024	4,77	—0,249298 667418	+0,293007 981919
, 4,38	<—0,346252 721418	4-0,196800 453825	4,78	—0,246359 247327	+0.29487Q 702112
, 4,39	<—0,344269 693470	, 4-0,199806 862145	4,79	—0,243401 360242	+0,296701 362626
4,s40..	«-0,342256 790004	+0,202775 521923	А;80	*-0,240425 327291	+0,298499 858100
318
Таблица I (продолжение)
X		-Л (х)	X		-Л <х}
4,80	—0,240425 327291	+0,298499 858100	5,20	—0,110290 439791	+0,343223 005872
4,81	—0,237431 470639	+0,300266 086117	5,21	-0,106856 051931	+0,343648 917051
4,82	—0,234420 113459	+0,301999 947217^	5,22	*—0,103417 574396	+0,344040 944641
4,83	*-0,231391 579906	+0,303701 344899	5,23	—0,099975 345904	+0,344399 112424
4,84	—0,228346 195084	+0,305370 185627	5,24	—0,096529 704924	+0,344723 447160
4,85	<-0,225284 285019	+0,307006 378837	5,25	—0,093080 989639	+0.345013 978579
4,86	—0,222206 176625	+0,308609 836942	5,26	*-0,089629 537922	+0,345270 739379
4,87	<-0,219112 197679	+0,310180 475336	5,27	—0,086175 687302	+0445493 765217
4,88	—0,216002 676790	+0,311718 212399	5,28	—0,082719 774939	+0445683 094703
4,89	—0,212877 943365	+0,313222 969504	5,29	—0,079262 137591	+0,345838 769398
4,90	—0,209738 327585	+0,314694 671015	5,30	-0,075803 111586	+0.345960 833801
4,91	<-0,206584 160372	+0,316133 244299	5,31.	-0,072343 032791	+0446049 335349
4,92	<—0,203415 773359	+0,317538 619723	5,32	-0,068882 236587	+0446104 324405
4,93	<-0,200233 498860	+0,318910 730662	5,33	—0,065421 057834	+0.346125 854251
4,94	—0,197037 669840	+0,320249 513497	5,34	—0,061959 830846	+0446113 981085
4,95	<-0,193828 619886	+0,321554 907624	5,35	—0,058498 889359	+0.346068 764007
4,96	*-0,190606 683176	+0,322826 855452	5,36	—0,055038 566506	+0445990 265014
4,97	—0J 87372 194447	+0,324065 302408	5,37	—0,05J579 194783	+0.345878 548995
4,98	—0.184125 488969	+0,325270 196936	5,38	—0,048121 106024	+0445733 683714
4,99	—0.180866 902512	+0,326441 490501	5.39	—0,044664 631371	+0.345555 739809
5,00	—0,177596 771314	+0,327579 137591	5,40	-0,041210 101245	+0,345344 790780
5,СТ	—0,174315 432057	+0,328683 095718	5,41	—0,037757 845318	+0,345100 912978
5,02	—0,171023 221828	+0,329753 325415	5,42	—0,034308 192484	+0.344824 185600
5*03	<-0,167720 478098	+0,330789 790243	5,43	—0,030861 470832	+0444514 690673
5,04	—0,164407 538685	+0,331792 456787	5,44	-0,027418 007614	+0444172 513049
5,05	<-0,161084 741725	+0,332761. 294658	5,45	—0.023978 129221	+0.343797 740393
5,06:	*—0,157752 425645	+0,333696 276491	5,46	—0,020542 161155	+0.343390 463171
5,07	—0,154410 929130	+0*334597.377947	5,47	—0,017110 427996	+0,342950 774642
5,08	—0,151060 591092	+0,335464 577712	5,48	• —0,013683 253380	+0,342478 770844
: 5,09	*-0,147701 750643	+0,336297; 857492	5,49	—0,010260 959967	+0.341974 550584
5,10	—0,144334 747061	+0,337097 202018	•5;50	—0,006843 869418	+0,341438 215429
5.Н	—0,140959 919761	+0,337862'599041	5,51	—0,003432 302361*	+0,340869 869689
5,12	<-0,137577 608269	+0,3385941039331	5*52	—0,000026 578369	+0440269 620408
5,13*	—0,134188 152185	+0,339291) 516672	5,53	+0,003372 984068	+0.339637 577354
5,14	—0,130791 891157	+0,339955*027866	5,54	+0,006766 067573	+0;338973 853000
5,15	*—0,127389 164849	+0,340584’572725	5,55	+0,010152 355907	+0,338278 562520
- 5,16	*—0,123980,312914	+0,341180 >154069	5,56	+0,013531 533995	+0;337551 823766
5,17	—0,120565 674960	+0,341741 777728	5,57	+0,016903 287956	+0,336793 757265
: 5,18 -	—0,117145 590523	+0,342269.452530	5,58	+0,020267 305125	.+0,336004 486197
i 5,19	. —0,113720 399033	+0,342763; 190303	5; 59	+0.023623.274084.	+0,335184 136388
’ 5,20	—0,110290.439791	+0,343223 *005872	* 5,60	Л+0,026970 884685 1	+0.334332 836291
319
Таблица I [продолжение)
X	Цх)			Jo(*)	-AW
5'60	4-0,026970 884685	4-0,334332 836291	6,00	+0.150645 257251	40,276683 858128
5/61	4-0,030309 828079	4-0,333450 716975,	6,01	+0,153402 218596	40,274704 402725
5^66	4-0,038639 796739	+0,332537 912108 j	6,02	+0,4*56129 26911*6	+0,272701 730538
5,68	4*0*636960 484490	4-0 ,331594 557848	6,03	+©.458856 175969	40,270675 796964
5,64	+©*040271 586530	+0,330620 793320 >	6,04	4-0,161552 708575	40,268626 919220
5,65	4-04)43572 799459	4-0.329616 759609	6*05	+0.164228 638636	40,266555 326316
5,66	4©,046863 821304	4*0.328682 600738‘	б;сб	40.166883 746153	4-0,264461 249036
.5,67	40*050144 351544	+0.327518 463159	6'07	+0,169517 789443	+0.262344 910911
5^68	4-0,053414 ©91135	4-0,326424 495830	6,08	40.179130 505159	+0,260206 573201
5,69	4-0,056672 742533	4©.325300 850207	6,09	+0,174721 848302	+0.258046 444869
5,70	4-0,059920 089724	+0,324147 680223	6,10	+0,177291 422243	+0,255864 772558
5,71	4-0,063155 598244	4-0,322965 142271 ,	6,11	40,179839 072737	+0.253661 795571
5,72	4*0,066379 215205	4-0,321753 395493	6.12	+0,182364 587942	+0,251437 754842
5,73	4-0,069590 369321	+0,320512 600255	6^13	40,184867 788480	+0/249192 892918
5,74	4-0,072789 370930	+0.319242 9Й139.	6Л4	+0,187348 377209	40.246927 453930
5,75	+0,075975 332017	+0,317944 523919	6,75	+0,189806 239737	+0,244641 683576
. 5,76	4-0,079148 166242	+0,*316617 577048	6,16	+0,192241 143934	+0.242335 82909*1
5,77	4-0^082307 588961	+0,315262 261386	6,17	+0,194652 890201	40,240010 13Й25
' 5,78	4-0,085453 817250	+0,313878 719939	6,18	+0.197041 2М484	+0,237664 864220
5,79	40,088585 068986	+>0.312467 158333	6,19	+0,199406 123040	40.235300 255786
5,60	+0,691702 567575	+0,311027 744304	6,20	+0,201747 222949	+0,232916 567073
5/61	40,094805 532571	+0,309560 667922	6,21	+0,204064 391629	+'0,230514 052652
5Л2	4-0 Д97893 689100	+©.308066 08*1529	6,22	40.206357 44SM3	+0,228092 968487
5^83	+0,100966 7568083	+©.306544 199716	6,23	40,208626 1899&7	+0,225653 571908
5,84	40,104024 482698	4-0,304995 199305	6,24	+0,210870 453362-	+0.223196 121594
5,85	4-0,107066 577404	4-0,303419 269333	6,25	+0,213090 053077	4-0.220720 877539
’5/86	+©,410092 778957	+0,301816 601028	6,26	+0,215284 812471	4-0.218228 101034
5Л7	+0,113102 820941	+0,300187 387793	6,27	40,217454 557531	4-0,215718 054638
5,488	+©,416096 438881	+0,298531 825185	6,28	+0,219599 116876	4*0,213191 002155
5,89	4-0,119073 370272	+0,296850 Г10895	6,29	+0,221718 32Т770	+0,210647 208606
5 ЛЮ	+0,122033 354593	+0,295142 444729	6,30	+0,223812 006132	+0,208086 940207
5,91	-ВО.124976 133333	+0,293409 028587	6,31	40,225880 006549	+0.205510 464342
5^92	+0.127901 45091*1	+0,291650 066443	6,32	+0,227922 162289	+0.202918 049607
5Ж	+0,130809 050095	+0,289865 764324	6,33	+0,229928 315309	+©,200309 965485
5/94	+0,139698 681524	4-0,288056 330291	6,34	+0,231928 310209	+0,197686 482769
5,95	4*0,136570 093728	+0,286221 974417	6,35	+0,233891 994542	4-0.195047 873339
5,96	+0,139423 038646	4-0,284362 908764	6,36	+©,235829 218223	+0,192394 409984
5,97	+0,142257 270250	4© ,*282479 347366	6,37	+©,237739 834141	+0,189726 366557
5,98	4-0,145072 544661	+©,280571 506204	6,38	4-0,229623 697870	+©,187044 017898
5,99	4-0.147868 620168	4-0,278639 603186!	6,39	4-0,241480 667734	4-0.184347 639808
6,06	+0,150645 257251	+0,276683 858128;	6,40 '	+0,243310 604823	4-0.181637 509024
320
Таблица I (продолжение)
X	А (х)	(ж)	х	Л»(*)	“Л (*)
6,40	+0,243310 604823	+0,181637 509024	6,80	+0,293095 603104	+0,065218 663402
6,41	+0,245113 372998	+0,178913 903193	6,81	+0,293732 652315	+0,062190 881458
6,42	+0,246888 838899	+0,176177 100845	6,82	+0,294339 415275	+0,059161 461866
6,43	+0,248636 871957	+0,173427 381364	6,83	+0,294915 877066	+0.056130 696324
6,44	+0,250357 344403	+0,170665 024967	6,84	+0,295462 025686	+0,053098 876291
6,45	+0,252050 131270	+0,167890 312675	6,85	+0,295977 852047	+0,050066 292954
6,46	+0,253715 110409	+0,165103 526284	6,86	+0,296463 349971	+0,047033 237205
6,47	+0,255352 162491	+0,162304 948344	6,87	+0,296918 516185	+0,043999 999614
6,48	+0,256961 171015	+0,159494 862126	6,88	+0,297343 350324	+0,040966 870403
6,49	+0,258542 022319	+0,156673 551601	6,89	+0,297737 854921	+0,037934 139418
6,50	+0,260094 605582	+0,153841 301410	6,90	+0,298102 035405	+0,034902 096105
6,51	+0,261618 812832	+0,150998 396839	6,91	+0,298435 900099	+0,031871 029480
6,52	+0,263114 538957	+0,148145 123790	6,92	+0,298739 460212	+0,028841 228107
6,53	+0,264581 681702	+0,145281 768758	6,93	+0,299012 729839	+0,025812 980070
6,54	+0,266020 141682	+0,142408 618801	6,94	+0,299255 725950	+0,022786 572947
6,55	+0,267429 822386	+0,139525 961513	6,95	+0,299468 468391	+0,019762 293785
6,56	+0,268810 630181	+0,136634 085000	6,96	+0,299650 979874	+0,016740 429070
6,57	+0,270162 474318	+0,133733 277851	6,97	+0,299803 285973	+0,013721 264707
6,58	+0,271485 266933	+0,130823 829111	6,98	+0,299925 415120	+0,010705 085992
6,59	+0,272778 923059	+0,127906 028255	6,99	+0,300017 398594	+0,007692 177584
6,60	+0,274043 360624	+0,124980 165161	7,00	+0,300079 270520	+0,004682 823482
6,61	+0,275278 500456	+0,122046 530081	7,01	+0,300111 067856	+0,001677 306999
6,62	+0,276484 266288	+0,119105 413617	7,02	+0,300112 830394	—0,001324 089265
6,63	+0,277660 584760	+0,116157 106694	7,03	+0,300084 600744	—0,004321 083446
6,64	+0,278807 385424	+0,113201 900529	7,04	+0,300026 424335	—0,007313 394442
6,65	+0,279924 600745	+0,110240 086609	7,05	+0,299938 349401	<-0,010300 741939
6,66	+0,281012 166103	+0,107271 956661	7,06	+0,299820 426973	—0,013282 846438
6,67	+0,282070 019798	+0,104297 802626	7,07	+0.299672 710878	—0,016259 429273
6,68	+0,283098 103049	+0,101317 916630	7,08	+0,299495 257720	-0,019230 212646
6,69	+0,284096 359998	+0,098332 590962	7,09	+0*299288 126879	-0,022194 919639
5,70	+0,285064 737711	+0,095342 118041	7,10	+0,299051 380502	—0,025153 274254
6,71	+0,286003 186176	+0,092346 790394	7,11	+0,298785 083486	—0,028105 001425
6,72	+0,286911 658311	+0,089346 900625	7,12	+0,298489 303478	—0,031049 827049
6,73	+0,287790 109957	+0,086342 741391	7,13	+0,298164 110861	-0,033987 478007
6,74	+0,288638 499883	+0,083334 605375	7,14	+0,297809 578741	-0,036917 682190
6,75	+0,289456 789785	+0,080322 785255	7,15	+0,297425 782943	—0,039840 168524
6,76	+0,290244 944284	+0,077307 573684	7,16	+0,297012 801997	—0,042754 666991
6,77	+0,291002 930929	+0,074289 263257	7,17	+0,296570 717126	—0,045660 908657
6,78	+0,291730 720194	+0,071268 146488	7,18	+0,296099 612239	—0,048558 625692
6,79	+0,292428 285479	+0,068244 515780	7,19	+0,295599 573917	—0,051447 551397
6,80	+0,293095 603104	+0,065218 663402	7,20	+0,295070 691401	—0,054327 420222
21 э. Грей и Г. Б. Метыоз
321
Таблица I (продолжение/
X	Лк)	-Лк)	X	Лк)	
7,20	4-0,295070 691401	М),054327 420222	7,60	4-0,251601 833850	«—0,159213 768396
7,21	4-0,294513 056583	и-0,057197 967799	7,61	4-0,249998 194750	—0,161510 921566
7,22	4-0,293926 763993	*-0,060058 930954	7.62	4-0,248371 678346	<—0,163789 196464
7,23	4-0,293311 910786	<—0,062910 047738	7,63	4-0,246722 474402	<—0,166048 397306
7,24	441,292668 596729	—0,065751 057450	7,64	40,245050 774627	—0,168288 330341
7,25	4-0,291996 924192	—0,068581 700653	7,65	4-0,243356 772660	—0,170508 803876
7,26	4-0,291296 998131	«—0.071401 719205	7,66	4-0,241640 664046	«-0,172709 628281
7,27	4-0,290568 926079	—0,074210 856276	7,67	4*0,239902 646217	<-0,174890 616014
7,28	4-0,289812 818129	4—0,077008 856374	7,68	4-0,238142 918467	<-0,177051 581630
7,29	4-0,289028 786922	—0,079795 465364	7,69	4-0,236361 681936	<-0,179192 341800
7,30	4-0,288216 947635	<-0,082570 430493	7,70	4-0,234559 139586	—0,181312 715325
7,31	4-0,287377 417963	<-0,085333 500412	7,71	40,232735 496182	<-0,183412 523148
7,32	4-0,286510 318111	<—0,088084 425194	7,72	4-0,230890 958266	<-0,185491 588374
7,33	4-0,285615 770772	—0,090822 956363	7,73	4-0,229025 734139	-0,187549 736279
7,34	4*0,284693 901119	<—0,093548 846906	7,74	4-0,227140 033840	<-0,189586 794329
7,35	4-0,283744 836788	<-0,096261 851305	7,75	4-0,225234 069120	—0,191602 592189
7,36	4-0,282768 707860	<-0,098961 725549	7,76	4-0,223308 053424	—0,193596 961740
7,37	4*0,281765 646852	<-0.101648 227162	7,77	4*0,221362 201866	—0,195569 737092
7,38	4-0,280735 788696	<-0,104321 115218	7,78	4-0,219396 731209	<-0,197520 754596
7,39	4-0,279679 270724	<-0,106980 150367	7,79	4-0,217411 859839	<-0,199449 852859
7.40	4-0,278596 232657	-0,109625 094854	7,80	4*0,215407 807746	«—0,201356 872756
7,41	4-0,277486 816584	<«-0,112255 712538	7,81	4-0,213384 796501	<-0.203241, 657440
7,42	4-0,276351 166945	«—0,114871 768912	7,82	4-0,211343 049230	—0,205104 052360
7,43	4-0,275189 430519	«-0,117473 031128	7,83	4-0,209282 790594	«—0,206943s 905267
7,44	4-0,274001 756407	<-0,120059 268011	7,84	4-0,207204 246765	—0,208761 066282
7,45	4*0,272788 296009	«-0,122630 250080	7,85	4*0,205107 645402	<—0,210555 387651
7,46	4-0,271549 203014	-0,125185 749572	7,86	4-0,202993 215628	<-0,212326 724262
7,47	4-0,270284 633379	<-0,127725 540456	7,87	4-0,200861 188009	—0,214014 933156
7,48	4-0,268994 745315	«-0,130249 398456	7,88	4*0,198711 794526	—0,215799 873784
7,49	4*0,267679 699262	<-0,132757 101068	7,89	4-0.196545 268555	—0,217501 407969
7,50	4-0,266339 657880	—0,135248 427580	7,90	4-0,194361 844841	—0,219179 399922
7,51	4-0,264974 786027	—0,137723 159089	7,91	4-0,192161 759476	<—0,220833 716244
7,52	4-0,263585 250739	<-0,140181 078522	7,92	4-0,189945 249872	-0,222464 225941
7,53	4-0,262171 221215	<-0,142621 970654	7,93	4-0,187712 554741	<-0,224070 800436
7,54	4-0,260732 868795	<-0,145045 622124	7,94	4-0,185463 914068	<-0,225653 313572
7,55	4-0,259270 366946	<-0,147451 821455	7,95	4-0,183199 569087	«-0,227211 641627
7,56	4-0,257783 891239	<-0,149840 359071	7,96	4*0,180919 762257	<-0,228745 663321
7,57	4-0,256273 619329	—0,152211 027316	7,97	4-0,178624 737238	—0,230255 259825
7,58	4-0,254739 730943	-0,154563 620468	7,98	4-0,176314 738866	—0,231740 314769
• 7,59	4-0,253182 407850	-0,156897 934760	7,99	4-0,173990 013128	<-0,233200 714254
7,60	4-0,251601 833850	—0,159213 768396	8,00	4-0,171650 807138	<-0,234636 346854
322
Таблица I (продолжение)
X	‘ Л (х)	-Л (г)	X		-л М , | ————————— 1
8,00	4-0,171650 807138	—0,234636 346854	8,40	+0,069157 261657	4 —0.270786 268277 ,
8,01	4-0,169297 369111	-0,236047 103631	8,41	+0,066447 598160	—0,271141 908453 '
<8,02	4-0,166929 948339	*—0,237432 878137	8,42	+0,063734 513946	—0,271470 411269 £
8,03	4-0,164548 795169	—0,238793 566425	8,43	+0,061018 280395	—0,271771 776141
8,04	4-0,162154 160970	—0.240129 067056	8,44	+0,058299 168877	—0,272046 005084
8,05	4-0,159746 298117	—0,241439 281101	8,45	+0,055577 450731	-0,272293 102707
8,06	4-0,157325 459958	—0,242724 112158	8,46	+0,052853 397237	—0,272513 076214
8,07	4-9,154891 900797	—0,243983 466348	8,47	+0.050127 279588	—0,272705 935396
8,08	4-0,152445 875859	*—0,245217 252327	8,48	+0,047399 368869	—0,272871 692631
8,09	4-0,149987 641274	*—0,246425 381291	8,49	+0,044669 936026	—0,273010 362878 ;
8,10	4-0,147517 454044	—0,247607 766982	8,50	+0,041939 251843	—0,273121 963674 ’
8,11	4-0,145035 572024	*—0,248764 325692	8,51	+0,039207 586917	—0,273206 515132
8,12	4-0,142542 253891	—0,249894 976273	8,52	+0,036475 211629	—0,273264 039934
8,13	4-0,140037 759122	—0,250999 640134	8,53	+0,033742 396123	—0,273294 563325 J
8,14	4-0,137522 347965	—0,252078 241253	8,54	+0,031009 410275	—0,273298 113112 t
8,15	4-0,134996 281417	—0.253130 706180	8,55	+0.028276 523672	-0,273274 719657 ;
8,16	4-0,132459 821198	<—0,254156 964039	8,56	+0,025544 005583	—0,273224 415870
8,17	4-0,129913 229721	—0,255156 946534	8,57	+0,022812 124938	—0,273147 237207
8,18	4-0,127356 770071	•—0,256130 587952	8,58	+0.02С081 150296	—0,273043 221660
8,19	4-0,124790 705977	—0,257077 825169	8,59	+0,017351 349826	—0.272912 409756;[
8,20'	4-0,122215 301784	<-0,257998 597649	8,60	+0,014622 991279	-0,272754 844546
8,21	4-0,119630 822433	—0,258892 847451	8,61	+0,011896 341961	—0,272570 571599
8,22	4-0,117037 533429	—0,259760 519231	8,62	+0,009171 668713	<-0,272359 639000
8,23	4-0,114435 700818	—0,260601 560243	8,63	+0,006449 237878	—0,272122 097337
8,24	4-0,111825 591161	—0,261415 920344	8,64	+0,003729 315286	-*-0,271857 999697
8,25	4-0,109207 471506	—0,262203 551993	8,65	+0,001012 166219	•-0,271567 401658
8,26	4-0,106581 609366	—0,262964 410256	8,66	—0,001701 944606	-0^271250 361281
8,27	4-0,103948 272687	—0,263698 452805	8,67	—0,004412 753067	<-0,270906 939104
8,28	4-0,101307 729828	—0,264405 639923	8,68	—0,007119 995658	-0,270537 198130
8,29	+0,098660 249531	—0,265085 934502	8,69	—0,009823 409518	—0,270141 203821
8,30	+0,096006 100895	—0,265739 302042	8,70	—0,012522 732450	—0,269719 024092
8,31	4-0,093345 553353	—0.266365 710658	8,71	—0,015217 702949	—0,269270 729296
8,32	+0,090678 876643	—0,266965 131077	8,72	(-0,017908 060228	—0,268796 392222
8,33	+0.088С06 340781	-0,267537 536636	8,73	<-0,020593 544236	—0,268296 088078'
8,34	4-0,085328 216040	—0,268082 903285	.8,74	—0,023273 895691	—0,267769 894490
. 8,35	+0,082644 772917	—0,268601 209586	8,75	—0,025948 856095	—0,267217 891486;
8,36	+0,079956 282113	—0,269092 436712	8,76	—0,028618 167764	—0,266640 161489
8,37	+0,077263 014501	—0.269556 568447	8,77	—0,031281 573850	—0,266036 789304
8,38	+0,074565 241107	—0,269993 591184	8,78	—0,033938 818366	*-0,265407 862113
8,39	+0,071863 233078	—0,270403 493925	8,79	-0,036589 646207	—0,264753 469460
'8,40	4-0,069157 261657	-0,270786 268277	8,80	—0,039233 803177	—0,264073 703240 	
21*
323
Таблица I (продолжение)
X	4W	-ЛС*)-	x	/о(*)	-AW
8,80	“-0,039233 803177	-0,264073 703240	9,20	—0,136748 370765	-0,217408 654960
8,81	*-0,041871 036007	—0,263368 657691	9,21	—0,138914 405600	—0,215795 016778
8,82	—0,044501 092388	—0,262638 429381	9,22	—0,141064 205893	—0,214161 816342
8,83	—0,047123 720982	—0,261883 117196	9,23	—0,143197 577219	—0,212509 233706
8,84	—0,049738 671456	—0,261102 822332	9,24	—0,145314 326565	—0,210837 450612
8,88	“-0,052345 694498	—0,260297 648278	9,25	—0,147414 262841	—0,209146 650470
8,86	<-0,084944 541843	—0,259467 700807	9,26	-4), 149497 196801	—0,207437 018341
8,87	—0,087534 966296	-0,258613 087962	9,27	—0,151562 941057	—0,205708 740917
8,88	—0,060116 721752	—0,257733 920049	9,28	—0,153611 310096	—0,203962 006501
8.89	—0,062689 563221	—0,256830 309615	9,29	—0,155642 120296	—0,202197 004987
8,90	—0,065253 246851	-0,255902 371444	9,30	—0,157655 189943	—0,200413 927844
! 8,91	—0,067807 529947	—0,254950 222539	9,31	—0,159650 339244	—0,198612 968091
8,92	—0,070352 170997	—0,253973 982110	9,32	—0,161627 390345	-0,196794 320281
8,93	-0,072886 929689,	—0,252973 771561	9,33	. —0,163586 167343	—0,194958 180481
8,94	—0,075411 566939	—0,251949 714476	9,34	—0,165526 496306	—0,193104 746248
8,95	—0,077925 844909	-0,250901 936605	9,35	—0,167448 205283	-0,191234 216615
8,98	—0,080429 527028	—0,249830 565850	9,36	—0,169351 124322	-0,189346 792063
8,97	—0,082922 378016	-0,248735 732253	9,37	—0,171235 085481	-0,187442 674507
8,98	-0,085404 163904	—0,247617 567976	9,38	—0,173099 922846	—0,185522 067274
8,99	—0,087874 652054	—0,246476 207294	9,39	—0,174945 472543	—0,183585 175079
9,00	-0,090333 611183	-0,245311 786573	9,40	—0,176771 572752	—0,181632 204007
9,0!	—0,692780 811380	—0,244124 444261	9,41	—0,178578 063718	—0,179663 361493
9,02	—0,095216 024131	—0,242914 320868	9,42’	—0,180364 787772	—0,177678 856298
9,03	—0,097639 022336	—0,241681 558953	9,43	—0,182131 589336	—0,175678 898489
9,04	<-0,100049 580330	—0,240426 303111	9,44	-0,183878 314938	—0,173663 699419
9,05	—0,102447 473906	—0,239148 699952	9,45	—0,185604 813228	-0,171633 471704
9,06	—0,104832 480333	—0,237848 898088	9,46	—0,187310 934989	-0,169588 429202
9,07	—0,107204 378374	—0*236527 048119	9*47	—0,188996 533147	—0,167528 786993
9,08	—0,109562 948310	—0,235183 302612	9,48	—0,190661 462784	—0,165454 761353
9,09	—0,111907 971956	—0,233817 816088	9,49	—0,192305 581154	—0,163366 569738
9,19	—0,114239 232683	—0,232430 745006	9.50	—0,193928 747687	—0,161264 430758
9,11	-0,116556 515436	-0,231022 247743	9,51	—0.195530 824010	—0.159148 564154
9,12	—0,118859 606752	—0,229592 484581	9,52	—0,197111 673948	—0,157019 190783
9,13	—0,121148 294781	—0,228141 617686	9,53	—0,198671 163543	—0,154876 532586
9,14	—0,123422 369306	—0,226669 811094	9,54	—0,200209 161060	—0,152720 812575
9,15	—0,125681 621757	—0,225177 230692	9Л5	—0,201725 537001	—0,150552 254803
9,16	—0,127925 845233	—0,223664 044201	9,56	—0,203220 164414	—0,148371 084348
9,17	—0,130154 834519	—0,222130 421159	9,57	—0,204692 917400	—0,146177 527286
9,18	—0,132368 386105	—0,220576 532901	9,58	—0,206143 674127	—6,143971 810670
9,19	—0,134566 298203	—0,219002 552542	9,59	-0,207572 313841	—0,141754 162508
9,20 •	—0,136748 370765	—0,217408 654960	9,60	—0,208978 718369	—0,139524 814741
324
Таблица I (продолжение)
X	Л (г)	-Л (х)	X ]	/.(*)	
9,ft)	<-0,268978 718389	-0,139524 811741	10,00	-0,245935 764451	—0,043472 746J69
9,61	—0,210362 771833	—0,137283 988215	10,01	-0,246357 974862	-0,040969 056455
9,62	—0,211724 360660	—0,135031 922668	10,02	-0,246755 140400	—0,038463 812722
9,63	—0,213063 373585	—0,132768 846695	10,03	—0,247127 246760	-0,035957 261846
9,64	*-0,214379 701667	—0,130494 992737	10.04	—0,247474 282103	—0,033449 650599
9,65	<—0,215673 238291	—0,128210 594048	10,05	—0,247796 237059	—0,030941 225625
9,66	<-0,216943 879179	—0,125915 884679	10,06	—0,248093 104724	—0,028432 233416
9,67	•-0,218191 522398	—0,123611 099451	10,07	-0,248364 880658	—0,025922.920290
9,68	—0,219416 068367	-0,121296 473933	10,08	—0,248611 562881	—0,023413 532364
9,60	—0,220617 419863	—0,118972 244417	10,09	М),248833 151876	—0,020904 315537
9,70	—0,221795 482032	—0,116638 647900	10,10	—0,249029 650581	-0,018395 515458
9,71	—0,222950 162390	—0,114295 922054	10,11	^—0,249201 064392	<-0,015887 377509
9,72	—0,224081 370836	-0,111944 305207	10,12	—0,249347 401155	—0,013380 146780
9,73	—0,225189 019654	-0,109584 036317	10,13	—0.249468 671167	—0,010874 068044
9,74	-0,226273 023521	—0,107215 354950	10,14	—0,249564 887171	—0,008369 385737
9,75	—0,227333 299512	-0,104838 501258	10,15	-0,249636 064351	-0,005866 343931
9,76	—0,228369 767107	-0,102453 715952	10,16	-0,249682 220330	—0,003365 186314
9,77	—0,229382 348196	—0,100061 240280	10,17	—0,249703 375168	—0,000866 156165
9,78	—0,230370 967084	—0,097661 316004	10,18	—0,249699 551355	4-0,001630 503669
9,79	—0,231335 550495	—0,095254 185376	10,19	-0,249670 773804	4-0,004124 550795
9,80	-0,232276 027579	—0,092840 091113	10,20	—0,249617 069854	4-0,006615 743298
9Л1	—0,233192 329916	-0,090419 276375	10,21	-0,249538 469258*	4-0,009103 839761
9,82	—0,234084 391517	—0,087991 984743	10,22	-0,249435 004J82	4-0,011588 599292
9,83	-0,234952 148834	—0,085558 460188	10,23	—0,249306 709197	4-0,014069 781546
9,84	—0,235795 540759	“0,083118 947058	10,24	—0,249153 621275	4-0,016547 146743
9,85	-0,236614 508629	—0,080673 690044	10,25	—0,248975 779783	4-0,019020 455697
9,86	—0,237408 996230	-0,078222 934162	10,26	-0,248773 226477	.4-0,028489 469834
9,87	-0,238178 949800	—0,075766 924729	10,27	—0,248546 005495	4-0,023953 951217
9,88	—0,238924 318032	-0,073305 907338	10,28	—0,248294 163353	4-0,026413 662567
9,89	—0,239645 052073	—0,070840 12783!	10,29	—0,248017 748933	4-0,028868 367285
9,90	—0,240341 105535	—0,068369 832284	10,30	—0,247716 813482	4-0,031317 829476
9,91	—0,241012 434487	—0,065895 266972	10,31	—0,247391 410602	4-0,033761 813968
9Л2	—0,241658 997463	—0,063416 678354	10,32	—0,247041 596243	4-0,036200 086339
9,93	—0,242280 755465	—0,060934 313045	10,33	—0,246667 428695	4-0,038632 412933
9,94	—0,242877 671958	—0,058448 417794	10,34	—0,246268 968580	4-0,041058 560885
9.95	—0,243449 712877	—0,055959 239457	10,35	—0,245846 278846	4-0,043478 298146
9,96	—0,243996 846626	—0,053467 024979	10,36	—0,245399 424757	4-0,045891 393496
9/97	—0,244519 044079	-0,050972 021363	10,37	—0,244928 473884	4-0,048297 616575
9.98	—0,245016 278580	—0,048474 475654	10,38	—0,244433 496098	4-0,050696 737897
9/99	—0,245488 525942	—0,045974 634906	1039	-0,243914 563561	4-0,053088 528877
10,00	—0,245935 764451	—0,043472 746169	10,40	-0,243371 750714	4-0,055472 761849 ।
325
Таблица I (продолжение)
JT	AW	-Л (ж)	X	ли)	-/i (х)
10,40	•—0,243371 750714	4-0,055472 761849	10,80	—0,203201 967112	+0,142166 568299
10,41	—0,242805 134273	4-0,057849 210087	10,81	—0,201770 826005	+0,144058 996415
10,42	•—0,242214 793214	4-0,060217 647828	10,82	—0,200320 840603	+0,145935 398812
10,43	•—0,241600 808767	4-0,062577 850293	10,83	—0,198852 172014	+0,147795 605727
10,44	•—0,240963 264405	4-0,064929 593703	10,84	—0,197364 983034	+0,149639 449122
10,45	•—0,240302 245833	4-0,067272 655308	10,85	—0,195859 438131	+0,151466 762702
10,46	•—0,239617 840978	4-0,069606 813400	10,86	—0,194335 703428	+0,153277 381926
10,47	•—0,238910 139979“	4-0,071931 847339	10,87	—0,192793 946683	+0,155071 144022
10,48	•—0,238179 235177	4-0,074247 537568	10,88	—0,191234 337275	+0,156847 888004
10,49	—0,237425 221101	4-0,076553 665638	10,89	—0,189657 046181	+0,158607 454682
10,50	—0,236648 194462	4-0,078850 014227	10,90	—0,188062 245963	+0,160349 686681
10,51	<-0,235848 254136	4-0,081136 367158	10,91	—0,186450 110748	+0,162074 428448
10,52	—0,235025 501155	-j-0,083412 509421	10,92	—0,184820 816208	+0,163781 526274
10,53	-0,234180 038696	4-0,085678 227191	10,93	—0,183174 539542	+0,165470 828298
10,54	—0,233311 972068	4-0,087933 307849	10,94	—0,181511 459461	+0,167142 184528
10,55	•—0,232421 408701	4-0,090177 540002	10,95	—0,179831 756165	+0,168795 446850
10,56	—0,231508 458131	4-0,092410 713500	10,96	—0,178135 611325	+0,170430 469041
10,57	—0,230573 231989	4-0,094632 619458	10,97	—0,176423 208066	+0,172047 106783
10,58	'•—0,229615 843992	4-0,096843 050272	10,98	—0,174694 730946	+0,173645 217675
10,59	- —0,228636 409922	4-0,099041 799642	10,99	—0,172950 365937	+0,175224 661243
10,60	•—0,227635 047621	4-0,101228 662586	11,00	—0,171190 300407	+0,176785 298957
10,61	•—0,226611 876971	4-0,103403 435462	11,01	—0,169414 723099	+0,178326 994235
10,62	—0,225567 019886	4-0,105565 915987	11,02	-Ю,167623 824113	+0,179849 612465
10,63	—0,224500 600296	4-0,107715 903254	11,03	—0,165817 794883	+0,181353 021005
10,64	-0,223412 744130	4-0,109853 197747	11,04	—0,163996 828161	+0,182837 089204
10,65	-0,222303 579310	4-0,111977 601366	11,05	—0,162161 117996	+0,184301 688406
10,66	—0,221173 235728	4-0,114088 917441	11,06	—0,160310 859712	+0,185746 691967
10,67	—0,220021 845238	4-0,116186 950748	11,07	-0,158446 249891	+0,187171 975260*
10,68	—0,218849 541635	4-0,118271 507531	11,08	—0,156567 486350	+0,188577 415689
10,69	—0,217656 460650	4-0,120342 395515	11,09	—0,154674 768122	+0,189962 892696
10,70	—0,216442 739924	4-0,122399 423927	11,10	—0,152768 295436	+0,191328 287775
10.71	—0,215208 <519001	4-0,124442 403513	11,11	—0,150848 269694	+0,192673 484480
10,72	—0,213953 939309	4-0,126471 146550	11,12	—0,148914 893455	+0,193998 368432
10,73	—0,212679 144146	4-0,128485 466871	11,13	—0,146968 370410	+0,195302 827334
10,74	—0,21138^ 278663	4-0,130485 179874	11,14	—0,145008 905360	+0,196586 750976
10,75	—0,210069 489850	4-0,132470 102543	11,15	—0,143036 704202	+0,197850 031243
10,76	—0,208734 926518	4-0,134440 053463	11,16	•—0,141051 973900	+0,199092 562127
10,77	—0,207380^739286	4-0,136394 852837	11,17	—0,139054 922470	+0,200314 239736
10,78	—0,206007J)80560	4-0,138334 322500	11,18	—0,137045 758956	+0,201514 962299
10,79	•—0,204614 104523^	4-0,140258 285937	11,19	—0,135024 693407	+0,202694 630176
10,80	—0,203201 967112	4-0,142166 568299	11,20	• -Д 132991 936860	+0,203853 145865
326
Таблица I (продолжение)
	Л(х)	-/и»	X	Л(х) (	
11.20	*—0,132991 936860	+0,203853 145865	11,60	<-0,044615 674094	+0,232000 474620
11.21	«—0,130947 701315	+0,204990 414012	11,61	-0,042294 477301	+0,232235 010376
11.22	*—0,128892 199715	+0,206106 341416	11,62	—0.039971 051364	+0,232446 303109
11.23	<-0.126825 645926	+0,207200 837037	11,63	—0.037645 628720	+0,232634 351719
11.24	—0,124748 254710	+0,208273 812006	11,64	-0,035318 441806	+0,232799 157379
11.25	—0.122660 241711	+0,209325 179625	11,65	—0,032989 723038	+0,232940 723529
11.26	—0.120561 823424	+0,210354 855380	11.66	—0.030659 704782	+0,233059 055883
11.27	*-0.118453 217184	+0,211362 756947	11,67	-0,028328 619340	+0,233154 162418
11.28	<-0,116334 641133	+0,212348 804193	11,68	—0,025996 698919	+0,233226 053376
11.29	*—0,114206 314208	+0,213312 919188	11,69	—0,023664 175616	+0,233274 741260
11.30	М). 112068 456110	+0,214255 026208	11,70	—0,021331 281388	+0,233300 240831
11.31	*-0.109921 287289	+0,215175 051739	11,71	—0,018998 248037	+0,233302 569105
11.32	-0.107765 028918	+0,216072 924488	11,72	—0,016665 307180	+0,233281 745349
11.33	•—0.105599 902872	+0,216948 575381	11,73	-0,014332 690232	+0,233237 791079
11.34	—0.103426 131706	+0,217801 937572	11,74	—0,012000 628381	+0.233170 730054
11.35	—0,101243 938632	+0,218632 946448	11,75	-0,009669 352567	+0,233080 588274
11.36	*-0.099053 547496	+0,219441 539632	11,76	—0,007339 093458	+0,232967 393973
11.37	*—0.096855 182759	+0,220227 656988	11,77	—0,005010 081428	+0,232831 177619
11.38	—0,094649 069469	+0,220991 240623	11,78	—0,002682 546537	+0,232671 971904
11.39	—0,092435 433245	+0,221732 234896	11,79	—0,000356 718505	+0,232489 811743
11.40	—0,090214 500248	+0,222450 586415	11,80	+0,001967 173307	+0,232284 734267
11.41	*—0.087986 497163	+0,223146 244045	11.81	+0,004288 899920	+0,232056 778820
11.42	—0.085751 651176	+0,223819 158911	11,82	+0,006608 232761	+0,231805 986948
11.43	—0,083510 189950	+0,224469 284397	11.83	+0,008924 943683	+0,231532 402401
11.44	—0,081262 341601	+0,225096 576153	11,84	+0,011238 804987	+0,231236 071121
11.45	—0.079008 334679'	+0,225700 992096	11,85	+0,013549 589443	+0,230917 041237
11.46	*—0,076748 398145	+0,226282 492413	11,86	+0,015857 070317	+0,230575 363062
11.47	—0,074482 761342	+0,226841 039560	11,87	+0,018161 021385	+0,230211 089083
11.48	—0.072211 653982	+0,227376 598268	11,88	+0,020461 216961	+0,229824 273953
11.49	—0,069935 306115	+0,227889 135543	11,89	+0,022757 431916	+0,229414 974489
11.50	—0.067653 948112	+0,228378 620665	11,90	+0,025049 441700	+0,228983 249662
11.51	-0,065367 810637	+0,228845 025194	11,91	+0,027337 022362	+0,228529 160587
J 11.52	—0,063077 124631	+0,229288 322968	11.92	+0,029619 950574	+0,228052 770520
[ 11.53	—0,060782 121280	+0,229708 490101	11,93	+0.031898 003653	+0,227554 144849
11.54	—0,058483 032003	+0,230105 504990	11,94	+0,034170 959578	+0,227033 351083
11.55	<-0,056180 088419	+0,230479 348310	11,95	+0,036438 597013	+0,226490 458847
11.56	—0,053873 522332	+0,230830 003018	11,96	+0,038700 695332	+0,225925 539874
11.57	—0,051563 565704	+0,231157 454348	11,97	+0,040957 034634	+0,225338 667993
11.58	—0.049250 450632	+0,231461 689817	11,98	+0,043207 395768	+0,224729 919124
11.59	—0,046934 409328	+0,231742 699216	11,99	+0,045451 560353	+0,224099 371266
j 11.60 		—0,044615 674094	+0,232000 474620	12,00	+0,047689 310797	+0,223447 104491
327
Таблица I (продолжение)
X	/о (*)	^/1 (*)	X		“Л (*)
12,00	4-0,047689 310797	4-0,223447 104491	12,40	4-0,129561 026518	4-0,180710 246883
12,01	4-0,049920 439320	4-0,222773 200930	12,41	4-0,131360 894344	4-0,179260 532985
12,02	4-0,052144 702973	4-0,222077 744768	12,42	4-0,133146 181728	4-0,177794 184461
12,03	4-0,054361 912660	4-0,221360 822234	12,43	4-0,134916 723111	4-0,176311 359192
12,04	4-0,056571 848157	4-0,220622 521586	12,44	4-0,136672 354521	+0,174812 216550
12,05	4-0,058774 293132	4-0,219862 933107	12,45	4-0,138412 913587	+0,173296 917383
12,06	4-0,060969 036167	4-0,219082 149С91	12,46	4-0,140138 239554	+0,171765 624000
12,07	4-0,063155 865777	4-0,218280 263834	12,47	4-0.141848 173298	+0,170218 500152
12,08	4-0,065334 571427	*—0,217457 373624	12,48	4-0,143542 557339	+0,168655 711017
12,09	4-0,067504 943560	4-0,216613 576726	12,49	4-0,145221 235856	+0,167077 423179
12,10	4-0.069666 773607	4-0,215748 973377	12,50	4-0,146884 054700	+0,165483 804615
12,11	«-0,071819 854013	4-0,214863 665770	12,51	4-0,148530 861410	+0,163875 024675
12,12	4-0,073963 978255	4-0,213957 758045	12,52	4-0,150161 505225	+0,162251 254066
12,13	4-0,076098 940860	4-0,213031 356277	12,53	4-0Л 51775 837096	+0,160612 664833
12,14	4-0,078224 537427	4-0,212084 568463	12,54	4-0,153373 709704	+0,158959 430343
12,15	4-0,080340 564642	4-0,211117 504511	12,55	4-0,154954 977468	+0,157291 725265 _
12,16	4-0,082446 820302	4-0,210130 276228	12,56	4-0,156519 496560	+0,155609 725554
12,17	4-0,084543 103331	4-0,209122 997309	12,57	4-0,158067 124921	+0,153913 608430
12,18	4-0,086629 213798	4-0,208095 783320	12,58	4-0.159597 722266	+0,152203 552365
12,19	4-0,088704 952938	4-0,207048 751691	12,59	4-0,161111 150104	+0,150479 737058
12,20	4-0,090770 123171	4-0,205982 021700	12,60	4-0,162607 271746	4-0,148742 343422
12,21	4-0,092824 528115	4-0,204895 714458	12,61	4-0,164085 952318	+0,146991 553564
12,22	4-0,094867 972612	4-0,203789 952902	12,62	4-0,165547 058774	+0,145227 550765
12,23	4-0,096900 262741	4-0,202664 861776	12,63	4-0,166990 459905	+0,143450 519461
12,24	4-0,098921 205837	4-0,201520 567620	12,64	4-0,168416 026353	+0,141660 645228
12,25	4-0,100930 610511	4-0,200357 198756	12,65	4-0,169823 630622	+0,139858 114759
12,26	4-0,102928 286663	4-0,199174 885273	12,66	4-0,171213 I47C86	+0,138043 115846
12,27	4-0,104914 045507	4-0,197973 759015	12,67	4-0,172584 452006	+0,136215 837361
12,28	4-0,106887 699579	4-0,196753 953565	12,68	4-0,173937 423535	+0,134576 469238
12,29	4-0,108849 062765	4-0,195515 604234	12,69	4-0,175271 941729	+0,132525 202454
12,30	4-0,110797 950308	4-0,194258 848041	12,70	4-0,176587 888562	+0,130662 229004
12,31	4-0,112734 178832	4-0,192983 823702	12,71	4-0,177885 147930	+0,128787 741891
12,32	4-0,114657 566356	4-0,191690 671617	12,72	4-0,179163 6С5667	+0,126901 935С99
12,33	4-0,116567 932311	4-0,190379 533851	12,73	4-0,180423 149549	+0,125005 003575
12,34	4-0,118465 097559	4-0,189050 554121	12,74	4-0,181663 669309	4 0,123097 143211
12,35	4-0,120348 884405	4-0,187703 877780	12,75	4-0,182885 056640	+0,121178 550823
12,36	4-0,122219 116616	4-0,186339 651802	12,76	4-0,184087 205211	+0,119249 424132
12,37	4-0,124075 619437	4-0,184958 024768	12,77	4-0,185270 01С670	+0,117309 961743
12,38	4-0,125918 219608	4-0,183559 146848	12,78	4-0,186433 370658	+0,115360 363124
12,39	4-0,127746 745377	4-0,182143 169785	12,79	4-0,187577 184813	+0,113400 828590
12,40	4-0,129561 026518	4-0,180710 246883	12,80	4-0,188701 354781	+0,111431 559278
328
Таблица I (продолжение)
х	hW	-Ji (*)	x	J,(x)	
12.80	4-0,188701 354781	4-0,111431 559278	13,20	4-0,216685 922259	4-0,027066 702765
12.81	4-0,189805 784222	4-0,109452 757129	13,21	4-0,216945 650832	4-0,024878 857605
12,82	4-0,190890 378823	4-0,107464 624869	13,22	4-0,217183 496687	4-0,022690 195350
12,83	4-0,191955 046298	4-0,105467 365986	13,23	4-0,217399 452738	4-0,020500 932874
12,84	4-0,192999 696401	+ 0,103461 184712	13,24	4-0,217693 514C66	4-0,018311 286951
12.85	4*0,194024 240934	4-0,101446 286001	13,25	4-0,217765 677921	+0,016121 474234
12,86	4-0,195028 593748	4-0,099422 875508	13,26	4-0,217915 943717	+0,013931 711237
12,87	+ 0,196012 670759	4-0,097391 159571	13,27	4-0,218044 313033	+0,011742 214308
12,88	4-0,196976 389945	4-0,095351 345187	13,28	4-0,218150 789610	+0,009553 199615
12,89	4-0,197919 671360	4-0,093303 639994	13,29	4-0,218235 379352	+0,007364 883118
12,90	4-0,198842 437136	4-0,091248 252250	13,30	4-0,218298 090319	+0,005177 480555
12,91	4-0,199744 611493	4-0,089185 390809	13,31	4-0,218338 932728	+0.002991 207414
12,92	4-0,200626 120738	4-0,087115 265106	13,32	4-0,218357 918950	+0,000806 278917
12,93	4-0,201486 893280	4-0,085038 085131	13,33	4-0,218355 063505	—0,001377 090000
12,94	4-0,202326 859628	4-0,082954 061409	13,34	4-0,218330 383064	—0,003558 684713
12,95	4-0,203145 952399	4-0,080863 404982	13,35	4-0,218283 896439	—0,005738 290927
12,96	4-0,203944 106324	4-0,078766 327385	13,36	4-0,218215 624587	—0,007915 694697
12,97	4-0,204721 258250	4-0,076663 040627	13,37	4-0,218125 590599	‘—0,010090 682449
, 12,98	4-0,205477 347147	4-0,074553 757168	13,38	4-0,218013 819702	—0,012263 041002
12,99	4-0,206212 314114	4-0,072438 689899	13,39	4-0,217880 339252	—0,014432 557586
13,00	4-0,206926 102377	4-0,070318 052122	13,40 ’	* +0,217725 178732	-0,016599 019864
13,01	4-0,207618 657300	4-0,068192 057526	13,41	4-0,217548 369742	<—0,018762 215954
13,02	4-0,208289 926385	4-0,066060 920168	13,42	4-0,217349 946004	—0,020921 934445
13,03	4-0,208939 859276	4-0,063924 854454	13,43	4-0,217129 943348	—0,023077 964423
13,04	4-0,209568 407762	4-0,061784 075111	13,44	4-0,216888 399712	—0,025230 095486
13,05	4-0,210175 525783	4-0,059638 797173	13.45	4-0,216625 355135	0,027378 117768
13,06	4-0,210761 169428	4-0,057489 235957	13,46	+0,216340 851750	—0,029521 821957
13,07	4-0,211325 296943	4-0,055335 607039	13,47	4-0,216034 933785	—0,031660 999316
13,08	4-0,211867 868729	4-0,053178 126239	13,48	4-0,215707 647547	—0,033795 441703
13,09	4-0,212388 847348	4*0,051017 009592	13,49	4-0,215359 041426	-0,035924 941590
13,10	4-0,212888 197522	+0,048852 473334	13,50	4-0,214989 165880	—0,038049 292086
13,11	4-0,213365 886137	4-0,046684 733877	13,51	+0,214598 073436	<-0,040168 286951
13,12	4-0,213821 882244	4-0,044514 007788	13.52	4-0,214185 818679	—0,042281 720622
13,13	4-0,214256 157060	4-0,042340 511767	13,53	4-0,213752 458244	—0,044389 388228
13,14	4-0,214668 683969	4*0,040164 462629	13,54	+0,213298 050815	—0,046491 085613
13,15	4-0,215059 438525	4-0,037986 077278	13,55	4-0,212822 657111	—0,048586 609352
13,16	4-0,215428 398451	4-0,035805 572692	13.56	4-0,212326 339882	—0,050675 756773
13,17	4-0,215775 543638	4-0,033623 165893	13,57	4-0,211809 163903	-0,052758 325976
13,18	4-0,216100 856151	4-0,031439 073935	13,58	4-0,211271 195961	—0,054834 115851
13,19	4-0,216404 320223	4-0,029253 513878	13,59	4-0,210712 504851	—0,056902 926099
13,20	4-5,216685 922259	4-0,027066 702765	13,60	4-0,120133 161369	—0,058964 557249
329»
Таблица I (продолжение)
X	J0(x)	—Л (X)	X	JoM	(*)
13,60	+0,210133 161369	—0,058964 557249	14,00	+0,171073 476110	<-0,133375 154699
13,61	+0,209533 238299	-0,061018 810678	14,01	+0,169731 671331	*—0,134983 384921
13,62	40,208912 810407	*—0,063065 488629	14,02	+0,168373 856986	—0,136577 042971
13,63	+0,208271 954434	—0,065104 394233	14,03	+0,167000 179537	<-0,138155 981458
13,64	+0,207610 749084	-0,067135 331522	14,04	+0,165610 786908	—0,139720 054543
13,65	+0,206929 275015	—0,069158 105453	14,05	+0,164205 828478	-0,141269 117950
13,66	+0,206227 614833	—0,071172 521923	14,06	+0,162785 455058	—0,142803 028980
13,67	+0,205505 853079	—0,073178 387788	14,07	+0,161349 818877	—0,144321 646527
13,68	+0,204764 076220	•—0,075175 510884	14,08	+ 0,159899 073571	—0,145824 831084
13,69	+0,204002 372641	—0,077163 700040	14,09	+0,158433 374159	<-0,147312 444762
13,70	+0,203220 832633	•—0,079142 765100	14,10	+0,156952 877033	—0,148784 351297
13,71	+0,202419 548383	-0,081112 516941	14,11	+0,155457 739939	—0,150240 416070
13,72	+0,201598 613965	—0,083072 767489	14,12	+0,153948 121961	<-0,151680 506109
13,73	40,200758 125328	—0,085023 329736	14,13	+0,152424 183503	^-0,153104 490110
13,74	+0,199898 180285	—0,086964 017760	14,14	+0,150886 086277	—0,154512 238442
13,75	+0,199018 878503	<—0,088894 646742	14,15	+0,149333 993280	—0,155903 623164
13,76	+0,198120 321493	•—0,090815 032981	14,16	+0,147768 048780	<-0,157278 518033
13,77	40,197202 612595	—0,092724 993914	14,17	+0,146188 478301	—0,158636 798515
13,78	+0,196265 856970	-0,094624 348132	14,18	+0,144595 388601	-0,159978 341800
13,79	+0,195310 161589	—0,096512 915397	14,19	+0,142988 967659	- 0,161303 026807
13,80	+0,194335 635216	—0,09839(^516658	14,20	+0,141369 384657	*—0,162610 734200
13,81	+0,193342 388402	*-0,100256 974070	14,21	+0,139736 809960	*—0,163901 346396
13,82	40,192330 533469	—0,102112 111008	14,22	+0,138091 415099	—0,165174 747575
13,83	+0,191300 184501	-0,103955 752084	14,23	+0,136433 372759	-0,166430 823692
13,84	+0,190251 457328	*-0,105787 723166	14,24	+0,134762 856750	<-0,167669 462485
13,85	+0,189184 469514	—0,107607 851391	14,25	+0.133080 042002	—0,168890 553486
13,86	+0,188099 340348	—0,109415 965181	14,26	+0,131385 104536	—0.170093 988031
13,87	+0,186996 190826	*-0,111211 894262	14,27	+0,129678 221452	—0,171279 659270
13,88	+0,185875 143642	—0,112995 469678	14,28	+0,127959 570912	<—0,172447 462171
13,89	+0,184736 323171	—0,114766 523805	14,29	+0,126229 332114	-0,173597 293538
13,90	+0,183579 855458	—0,116524 890369	14,30	+0.124487 685284	—0,174729 052013
13,91	+0,182405 868205	—0,118270 404461	14,31	+0,122734 811649	—0,175842 638087
13,92	+0,181214 490755	—0,120002 902550	14,32	+0,120970 893423	—0,176937 954108
13,93	+0,180005 854081	—0,121722 222501	14,33	+0,119196 113786	—-0,178014 904291
13,94	+0,178780 090769	—0,123428 203590	14,34	+0,117410 656869	—0,179073 394724
13,95	+0,177537 335004	*-0,125120 686515	14,35	+0,115614 707731	—0,180113 333378
13,96	+0,176277 722558	*-0,126799 513414	14,36	+0,113808 452342	—0,181134 630112
13,97	+0,175001 390777	—0,128464 527879	14,37	+0,111992 077563	—0.182137 196684
13,98	+0,173708 478559	—0,130115 574971	14,38	+0,110165 771130	<-0,183120 946756
13,99	40,172399 126347	—0,131752 501232	14,39	+0,108359 721631	—0,184085 792902
14,00	+0,171073 476110	-0,133375 154699	14,40	+0,106484 118490	u-0,185031 661615
330
Таблица I (продолжение)
X	Л (*)	-Л (*)	। Х	Л (*)	-Л (X)
14,40	4-0,106484 118490	—0,185031 661615	14,80	4-0,027082 314586	—0,206595 567180
14,41	4-0,104629 151946	—0,185958 463314 i	14,81	4-0,025015 737179	*-0,206716 471994
14,42	4-0,102765 013033	—0,186866 122350 '	14,82	4-0,022948 053986	—0,206816 724913
14,43	4-0,100891 893564	-Р, 187754 562014	14,83	4-0,020879 471508	—0,206896 329814
14,44	4-0,099009 986107	—0.188623 707542	14,84	4-0,018810 196197	—0,206955 292607
14,45	4-0,097119 483970	-0,189473 486119	14,85	4-0,016740 434436	—0,206993 621235
14,46	4-0,095220 581177	—0,190303 826889	14,86	4-0,014670 392520	—0,207011 325670
14,47	4-0.093313 472454	—0,191114 660960	14,87	4-0.0126С0 276630	—0,207008 417910
14,48	4-0.091398 353204	—0,191905 921406	14,88	4-0,010530 292822	—0,206984 911980
14,49	4-0,089475 419488	—0,192677 543276	14,89	4-0.008460 646998	—0,206940 823925
14,50	4-0,087544 868010	—0,193429 463596	14,90	4-0,006391 544891	—0,206876 171810
14,51	4-0,085606 896092	—0,194161 621377	14,91	4-0,004323 192042	—0,206790 975716
14,52	4-0,083661 701665	—0,194873 957618	14,92	4-0.002255 793783	—0,206685 257736
14,53	4-0,081709 483202	—0,195566 415311	14,93	4-0,000189 555214	<-0,206559 041974
14,54	4-0,079750 439794	—0,196238 939443	14,94	—0,001875 318817	—0,206412 354539
14,55	4-0,077784 771035	—0,196891 477005	14,95	—0,003938 623732	—0,206245 223541
14,56	4-0,075812 677046	—0,197523 976991	14,96	—0,006000 155243	—0,206057 679091
14,57	4-0,073834 358450	—0,198136 390405	14,97	—0,008059 709376	-0,205849 753289
14,58	4-0.071850 016350	—0,198728 670261	14,98	0,010117 082484	—0,205621 480228
14,59	4-0,069859 852307	—0,199300 771592	14,99	—0,012172 071276	—0,205372 895984
14,60	4-0,067864 068323	-0,199852 651447	15,00	—0,014224 472827	*-0,205104 038614
14,61	4-0,065862 866820	—0,200384 268898	15,01	—0,016274 084604	—0,204814 948148
14,62	4-0,063856 450617	—0,200895 585039	15,02	—0,018320 704486	—0,204505 666588
14,63	4-0,061845 022913	—0,201386 562994	15,03	—0,020364 130779	—0,204176 237900
14,64	4-0,059828 787267	*—0,201857 167913	15,04	-0,022404 162240	—0,203826 708006
14,65	4-0,057807 947575	—0,202307 366980	15,05	-0,024440 598094	—0,203457 124785
14,66	4-0,055782 708050	—0,202737 129411	15,06	-0,026473 238057	—0,203067 538060
14,67	4*0,053753 273205	—0,203146 426455	15,07	—0,028501 882349	—0,202657 999596
14,68	4-0,051719 847828	—0,203535 231400	15,08	—0,030526 331722	—0,202228 563094
14,69	4-0,049682 636966	—0,203903 519571	15,09	-0,032546 387470	М),201779 284182
14,70	4-0,047641 845902	—0,204251 268330	15,10	—0,034561 851456	-—0,201310 220408
14,71	4-0,045597 680133	—0,204578 457081	15,11	—0,036572 526126	—0,200821.431239
14,72	4*0,043550 345355	—0,204885 067267	15,12	*-0,038578 214533	—0,200312 978045
14,73	40,041500 047438	—0,205171 082373	15,13	—0,040578 720351	—0,199784 924098
14,74	4-0,039446 992407	—0,205436 487924	15,14	—0,042573 847897	—0,199237 334565
14,75	4-0,037391 386420	—0,205681 271486	15,15	—0,044563 402147	<-0,198670 276496
14,76	4-0,035333 435752	—0,205905 422669	15,16	—0,046547 188761	—0,198083 818818
14,77	4-0.033273 346769	—0.2С6108 933120	15,17	—0,048525 014094	<-0,197478 032331
14,78	4-0,031211 325913	—0,206291 796530	15,18	—0,050496 685220	<—0,196852 989694
14,79	4-0.029147 579677	—0,206454 008627	15,19	*-0,052462 009949	—0,196208 765420
14,80	4-0,027082 314586	—0,206595 567180	15,20	—0,054420 796844	-0,195545 435866
331
Таблица I (продолжение)'
X	/о (*)	-л (•*)	X		-л (•*)
15,20	-0,054420 796844	—0,195545 435866	15,35	—0,082890 403582	—0,183360 322017
15,21	-0,056372 856242	—0,194863 079227	15,36	—0,084719 235661	—0,182403 162448
15,22	-0,058317 995271	-0,194161 775523	15,37	—0,086538 408385	—0,181428 468883
15,23	—0,060256 027869	—0,193441 606594	15,38	—0,088347 746952	<—0,180436 349242
15,24	-0,062186 764798	<-0,192702 656088	15,39	—0,090147 077648	—0,179426 913096
15,25	-0,064110 018670	—0,191945 009455	15,40	—0,091936 227862	—0,178400 271665
15,26	-0,066025 602957	—0,191168 753932	15,41	—0,093715 026106	-0,177356 537757
15,27	—0,067933 332015	—0,190373 978539	15,42	—0,095483 302024	—0,176295 825856
15,28	—0,069833 021С97	—0,189560 774066	15,43	—0,097240 886416	—0,175218 252010
15,29	-0,071724 486374	—0,188729 233063	15,44	—0.С98987 611250	—0,174123 933866
15,30	-0,073607 544951	—0,187879 449832	15,45	—0,100723 309676	—0,173012 990652
15,31	-0,075482 014884	—0,187011 520415	15,46	—0,102447 816048	<—0,171885 543160
15,32	-0,077347 715198	-0,186125 542581	15,47	—0,104160 965933	—0,170741 713736
15,33	-0,079204 465905	—0,185221 615823	15,48	—0,105862 596129	—0,169581 626266
15,34	-0,081052 088022	—0,184299 841336	15,49	—0,107552 544683	—0,168405 406163
15,35	-0,082890 403582	-0,183360 322017	15,50	—0,109230 650900	—0,167213 180352
Таблица IT
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ Jn (х) ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ п
п	
0	4-0,76519 76865 57966 551
1	+•0,44005 05857 44933 516
2	4-0,11490 34849 31900 480
3	4-0,01956 33539 82668 406
4	4-0,00247 66389 64109 955
5	4-0,00024 97577 30211 234
6	4-0,00002 09383 38002 389
7	15023 25817 437
8	00942 23441 726
9	00052 49250 1 80
10	4-0 ,	00002 63061 512
11	11980 067
12	00499 972
13	00019 256
14	689
15	023
16	001
п	4,(2)
0	-f-0,22389 07791 41235 668
1 1	+0,57672 48077 56873^387
i 2	+0,35283 40286 15637*719
i з	+0,12894 32494 74402 051
4	+0,03399 57198 07568 434
5	+0,00703 96297 55871 685
6	-j-0,00120 24289 71789 993
7	+0,00017 49440 74868 274
8	+0,00002 21795 52287 926
9	24923 43435 133
10	+0 ,	02515 38628 272
11	00230 42847 584
12	00019 32695 149
13	00001 49494 201
14	10729 463
15	00718 302
16	00045 060
17	00002 659
18	148
19	008
332
Таблица II (продолжение)
п	•^СЗ)
0	-—0,26005 19549 01933 438
1	4-0,33905 89585 25936 459
2	+0,48609 12605 85891 077
3	+0,30906 27222 55251 644
4	+0,13203 41839 24612 210
6	+0,04302 84348 /7047 584
6	+0,01139 39323 32213 069
7	+0,00254 72944 51804 694
8	+0,00049 34417 76208 835
9	+0,00008 43950 21309 092
10	+0,00001 29283 51645 716	|
И	17939 89662 347 j
12	02275 72544 832 j
13	00265 90696 309	1
14	00028 80156 513
15	00002 90764 476
15	27488 250
17	02443 521
18	00204 983
19	00016 280
20	+0 ,	00001 228
21	088
22	006
п	Л><4)
0	‘—0,39714 98098 63847 372
1	‘—0,06604 33280 23549 136
2	+0,36412 81458 52072 804
3	+0,43017 14738 75621 940
4	+0,28112 90649 61360 106
5	+0,13208 66560 47098 272
6	+0,04908 75751 56385 574
7	+0,01517 60694 22058 451
8	+0,00402 86678 20819 004
9	+0,00093 86018 61217 564
10	+0,00019 50405 54660 035
11	+0,00003 66009 12082 608
12	62644 61794 312
13	09858 58683 265
14	01436 19646 909
15	00194 78845 096
16	00024 71691 311
17	00002 94685 392
18	33134 523
19	03525 313
20	+0 ,	00355 951
21	00034 199
22	00003 134
23	275
24	023
25	002
33
Таблица II (продолжение^
п	Jn (5)
0	—0,17759 67713 14338 304
1	—0,32757 91375 91465 222
2	4-0,04656 51162 77752 216
3	4-0,36483 12306 13666 994
4	4-0,39123 26304 58648 178
5	4-0,26114 05461 20170 090
6	4-0.13104 87317 81692 002
7	4-0,05337 64101 55890 715
8	4-0,01840 52166 54802 001
9	4-0,00552 02831 39475 688
10	4-0,00146 78026 47310 474
П	4-0,00035 09274 49766 209
12	4-0,00007 62781 31660 846
13	4-0,00001 52075 82205 849
14	28012 95809 572
15	04796 74327 752
16	00767 50156 939
17	00115 26676 659
18	00016 31244 339
19	00002 18282 584
20	4-0,	27703 301
21	03343 820
22	00384 787
23	00042 309
24	00004 454
25	450
26	044
27	004
п	•'п(б)
0	4-0,15064 52572 50996 932
1	—0,27668 38581 27565 608
2	«-0,24287 32099 60185 468
3	4-0,11476 83848 20775 296
4	4-0,35764 15947 80960 764
5	4-0,36208 70748 87172 389 ;
6	4-0,24583 68633 64326 551
7	4-0,12958 66518 41480 713
8	4-0,05653 19909 32461 779
9	-4-0,02116 53239 78417 365
10	4-0,00696 39810 02790 316 »
11	4-0,00204 79460 30883 689
12	4-0,00054 51544 43783 211
13	4-0,00013 26717 44249 154
14	4-0,00002 97564 47963 121
15	61916 79578 746
16	12019 49930 610
17	02187 20051 176
18	00374 63692 719
19	00060 62105 141
20	4-0,	00009 29639 841
21	00001 35493 798
22	18816 747
23	02496 677
24	00316 779
25	00038 554
26	00004 415
27	506
28	055
29	006
30	4-0,	001
334
Таблица II (продолжение}
п	
0	+0,30007 92705 19555 597
1	—0,00468 28234 82345 833
2	—0,30141 72200 85940 120
3	—0,16755 55879 95334 236
4	‘+0,15779 81446 61367 918
5	+0,34789 63247 51183 285
6	+0,33919 66049 83170 632
7	+0,23358 35695 05696 084
8	+0,12797 05340 28212 537
9	+0,05892 05082 73075 428
10	+0,02353 93443 88267 135
11	+0,00833 47614 07687 815
12	+0,00265 56200 35894 568
13	+0,00077 02215 72522 133
14	+0,00020 52029 47759 069
15	+0,00005 05902 18514 143
16	+0,00001 16122 74444 403
17	24944 64660 269
18	05036 96762 619
19	00959 75833 201
20	+0,	00173 14903 330
21	00029 66471 543
22	00004 83925 930
23	75348 588
24	11221 932
25	01601 804
26	00219 522
27	00028 933
28	*	00003 673
29	450
30	+0,	053
31	006
32	001
п	•'л (8)
0	+0,17165 08071 37553 906
1	+0,23463 63468 53914 624
2	—0,11299 17204 24075 250
3	—0,29113 22070 65952 249
4	—0,10535 74348 75388 937
5	+0,18577 47721 90563 312
6	+0,33757 59001 13593 077
7	+0,32058 90779 79826 304
8	+0,22345 49863 51102 954
9	+0,12632 08947 22379 605
10	+0,06076 70267 74251 156
11	+ 0,02559 66722 13248 286
12	+0,00962 38218 12181 630
13	+0,00327 47932 23296 605
14	+0,00101 92561 63532 336
15	+0,00029 26033 49066 572
16	+0,00007 80063 95467 308
17	+0,00001 94222 32802 661
18	45380 93944 002
19	09991 89945 347
20	+0,	02080 58296 397
21	00411 01536 639
22	00077 24770 956
23	00013 84703 619
24	00002 37274 853
25	38945 500
26	06134 520
27	00928 879
28	00135 416
29	00019 034
30	+0,	00002 583
31	339
32	043
33	005
34	001
335
Таблица II (продолжение)
п	^0)
0	—0,09033 36111 82876 134
1	4-0,24531 17865 73325 272
2	4-0,14484 73415 32503 973
3	—0,18093 51903 36656 840
4	—0,26547 08017 56941 866
5	—0,05503 88556 69513 708
6	4-0,20431 65176 79704 413
7	4-0,32746 08792 42452 925
8	4-0,30506 70722 53000 137
9	4-0,21488 05825 40658 430
10	4-0,12469 40928 28316 722
11	4-0,06221 74015 22267 619
12	4-0,02739 28886 70559 681
13	4-0,01083 03015 99224 863
14	4-0,00389 46492 82756 591
15	4-0,00128 63850 58240 087
16	4-0,00039 33009 11377 031
17	4-0,00011 20181 82211 578
18	4-0,00002 98788 88088 932
19	74973 70144 148
20	4-0,	17766 74741 915
21	03989 62042 141
22	00851 48121 408
23	00173 17662 520
24	00033 64375 918
25	00000 25675 712
26	00001 11600 257
27	19125 771
28	03154 368
29	00501 407
30	4-0,	00076 922
31	00011 403
32	00001 636
33	227
34	031
35	004
	Лг(Ю)
0	-0,24593 57644 51348 335
1	4-0,04347 27461 68861 437
2	4-0,25463 03136 85120 623
! 3	4-0,05837 93793 05186 812
! 4	—0,21960 26861 02008 535
5	—0,23406 15281 86793 640
6	—0,01445 88420 84785 105
7	4-0,21671 09176 85051 514
8	4-0,31785 41268 43857 225
9	4-0,29185 56852 65120 046
10	4-0,20748 61066 33358 858
И	4-0,12311 65280 01597 669
12	4-0,06337 02549 70156 015
13	4-0,02897 20839 26776 767
14	4-0,01195 71632 39463 579
15	4-0,00450 79731 43721 253
16	4-0,00156 67561 91700 181
17	4-0,00050 56466 69719 325
18	4-0,00015 24424 85345 524
19	4-0,00004 31462 77524 563
20	4-0,00001 15133 69247 813
21	29071 99466 691
22	06968 68512 289
23	01590 21987 380
24	00346 32629 661
25	00072 14634 990
26	00014 40545 292
27	00002 76280 527
28	5С937 552
29	09049 767
30	4-0,	01551 096
31	00256 809
32	00041 123
33	00006 376
34	958
35	140
36	020
37	003
336

Таблица II (продолжение)
п	'л(Ч)
0	—0,17119 03004 07196 088
1	-0,17678 52989 56721 501
2	4-0,13904 75187 78701 270
3	4-0,22734 80330 58067 417
4	-0,01503 95007 47028 133
5	—0,23828 58517 83178 787
6	—0,20158 40008 74043 491
7	4-0.01837 60326 47858 615
8	4-0,22497 16787 89499 910
9	4-0,30885 55001 36868 527
10	4-0,28042 82305 25375 862
11	4-0,20101 40099 09269 403
12	4-0,12159 97892 93162 945
13	4-0,03429 46212 75813 385
14	4-0,03036 93155 40577 785
15	4-0,01300 90910 09293 703
16	4-0,00511 00235 75677 768
17	4-0,00185 64321 19950 713
18	4-0.00062 80393 40533 526
19	4-0,00019 89693 58159 009
20	4-0,00005 93093 51288 506
21	4-0,00001 67019 10162 830
22	44581 42060 481
23	11315 58079 093
24	02738 28088 453
25	00633 28125 065
26	00140 27025 479
27	00029 81449 927
28	00006 09183 254
29	00001 19846 638
30	4-0,	22735 384
31	04164 546
32	00737 509
33	00126 418
34	00020 997
35	00003 383
36	529
37	080
38	012
39	002
л	
0	4*0,04768 93107 96833 537
1	—0,22344 71044 S0627 612
2	—0,08493 04948 78604 805
3	4-0,19513 69395 31092 677
4	4-0,18249 89646 44151 144
5	—0,07347 09631-01658 581
6	—0,24372 47672 28866 628
7	—4), 17025 38041 27208 047
8	4-0,04509 53290 80457 240
9	4-0,23038 09095 67817 701
10	4-0,30047 60352 71269 311
11	4-0,27041 24825 50964 484
12	4*0,19528 01827 38832 243
13	4-0,12014 78829 26700 003
14	4-0,06504 02302 69017 762
15	4-0,03161 26543 67674 776
16	4-0,01399 14056 50169 178
17	4-0,00569 77606 99443 032
18	4-0,00215 22496 64919 412
19	4-0,00075 89882 95315 204
20	4*0,00025 12132 70245 400
21	4-0,00007 83892 72169 462
22	4-0,00002 31491 82347 716
23	64910 63105 497
24	17332 26223 355
25	04418 41787 923
26	01077 81226 324
27	00252 10192 815
28	00056 64641 343
29	00012 24800 120
30	4-0,	00002 55225 904
31	51329 401
32	09976 003
33	01875 946
34	00341 699
35	00060 351
36	00010 346
37	00001 723
38	279
39	044
40	4*0,	007
41	001
22 Э. Грей  Г. Б. Метьюз
337
Таблица II (продолжение)
•М13)

о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
+0,20692 61023 77067 811
—0,07031 80521 21778 371
-0,21774 42642 41956 791
+0,00331 98169 70407 051
+0,21927 64874 59067 738
+0,13161 95599 27480 788
—0,11803 06721 30236 362
—0,24057 09495 86160 507
—0,14104 57351 16398 030
+0,00697 61986 73670 624
+0,23378 20102 03018*894
+0,29268 84324 07896 905
+0,26153 68754 10345 099
+0,19014 88760 41970 970
+0,11876 08766 73596 841
+0,06564 37814 08852 996
+0,03272 47727 31448 533
+0,01490 95053 14712 625
+0,00626 93180 91646 024
+0,00245 16832 46768 672
+0,00089 71406 29677 786
+0.0С030 87494 59932 207
+0,00010 03576 25487 806
+0,00003 09225 03257 290
90604 62961 066
25315 13829 722
06761 28691 713
01730 00937 128
00424 90585 590
00100 35431 567
+0 ,	00022 82878 324
00005 00929 928
00001 06172 104
21763 505
04319 539
00831 008
00155 121
00028 122
00004 956
850
+0,	142
023
004
001
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
+0,17107 34761 10458 659
+0,13337 51546 98793 253
—0,15201 98825 82059 623
—0,17680 94068 65096 003
+0,07624 44224 97018 479
+0,22037 76482 91963 705
+0,08116 81834 25812 739
-0,15080 49196 41267 072
—0,23197 31030 67079 810
—0,11430 71981 49681 283
+0,08500 67054 46061 018
+0,23574 53487 86911 308
+0,28545 02712 19085 324
+0,25359 79733 02949 247
+0,18551 73934 86391 849
+0,11743 68136 69834 451
+0,06613 29215 20396 260
+0,03372 41498 05357 001
+0,01576 85851 49756 457
+0,00682 36405 79731 031
+<Ь 00275 27249 95227 770
+0,00104 12879 78062 597
+0,00037 11389 38960 020
+0,00012 51486 87240 324
+0,00004 00638 90543 902
+0,00001 22132 23195 912
35547 63727 213
09901 84933 738
02645 21017 203
00678 99135 075
+0.
00167 75399 538
00039 95434 356
00009 18666 897
00002 04185 745
43923 044
09154 753
01850 722
00363 244
00069 281
00012 851
00002 320
408
070
012
002
338
Таблица П (продолжение)
1 П	•MIS)
0	— 0,01422 44728 26780 773
! '	+0,20510 40386 13522 761
1 2	+0,04157 16779 75250 475
3	—0,19401 82578 20122 635
4	-0,11917 89811 03299 529
5	+0,13045 61345 65029 553
6	+0,20614 97374 79985 897
7	+0,03446 36554 18959 165
8	—0,17398 36590 88957 343
9	—0,22004 62251 13846 998
10	—0,09007 18110 47659 054
11	+0,09995 04770 50301 592
12	+0,23666 58440 54768 056
13	+0,27871 48734 37327 297
14	+0,24643 99365 69932 593
15	+0,18130 63414 93213 542
16	+0,11617 27464 16494 492
17	+0,06652 88508 61974 707
18	+0,03462 59822 03981 511
19	+0,01657 35064 27580 920
20	+0,00736 02340 79223 485
21	+0,00305 37844 50348 374
22	+0,00119 03623 81751 963
23	+0,00043 79452 02790 717
24	+0,00015 26695 73472 902
25	+0,00005 05974 32322 570	1
26	+0,00001 59885 34268 998	(
27	48294 86476 623	j
28	13976 17046 846	
29	03882 83831 601
30	+0 ,	01037 47102 011
31	00267 04576 442
32	00066 31813 951
33	00015 91163 081j
34	00003 69303 606
35	83013 267
36	18091 639
37	03826 599
38	00786 251
39	00157 074
40	+0 ,	00030 535
41	00005 781
42	00001 067
43	192
44	034
45	006	!
46	001 j
л	^/1(16)
0	+0,17489 90739 83629 185
1	+0,09039 71756 61304 186
2	+0,18619 87209 41292 208
3	—0,04384 74954 25981 134
4	—0,20264 15317 26035 133
5	—0,05747 32704 37036 433
6	+0,16672 07377 02887 363
7	+0,18251 38237 14201 955
8	—0,00702 11419 52960 653
9	—0,18953 49656 67162 607
10	^-0,20620 56944 22597 281
11	—0,06822 21523 61083 994
12	+ 0,112 40 0234р 26106 790
13	+0,23682 25047 50244 178
14	+0,27243 63352 93040 000
15	+0,23994 10820 12575 821
16	+0,17745 31934 80539 665
17	+0,11496 53049 48503 509
18	+0,06684 80795 35030 292
19	+0,03544 28740 05314 648
20	+0,01732 87462 27591 996
21	+0,00787 89915 63665 343
22	+0,00335 36066 27029 529
23	+0,00134 34266 60665 861
24	+0,00050 87450 22384 822
25	+0,00018 28084 06488 605
26	+0,00006 25312 47892 069
27	+0,00002 04181 49160 619
28	63800 05525 020
29	19118 70176 952
30	+0,	05505 23866 431
31	01525 49322 163
32	00407 79131 952
33	00105 22205 645
34	00026 24966 335
35	00006 33901 280
36	00001 48351 763
37	33681 654
38	07425 886
39	01591 305
40	+0 ,	00331 726
41	00067 325
42	00013 313
43	00002 567
44	483
45	089
46	016
47	003
339
22*
Таблица П (продолжение)

о
1
2
з
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
—0,15085 42521 51183 548
—0,09766 84927 57780 650
+0,15836 38412 38503 471
+0,13493 05730 49193 232
—0,11074 12860 44670 566
-0,18704 41194 23155 851
+0,00071 53334 42814 183
+0,18754 90606 76907 039
+0,15373 68341 73462 202
—0,04285 55696 90119 084
-0,19911 33197 27705 938
—0,19139 53946 95417 314
-0,04857 48381 13422 350
+0,’ 12281 91526 52938 702
+0,23641 58951 12034 482
+0,26657 17334 13941 622
J+0,23400 48109 12568 380
+0,17390 79106 56775 329
+0,11381 10104 00982 277
+0,06710 36407 80598 906
+0,03618 53631 08591 747
+0,01803 83900 63146 ЗвГ
"+0,00838 00711 65064 01Г
+0,00365 12058 93489 902
+0,00149 96624 29085 127
+0,00058 31350 82750 457
+0,00021 54407 55475 041
+0,00007 58601 69290 845
+0,00002 55268 41095 878
82282 48436 754
+0,	25460 06511 871
07576 56899 262
02172 12767 790
00600 85285 358
00160 59516 541
00041 52780 805
00010 40169 125
00002 52641 372
59563 905
13644 321
+0.	03039 452
00658 981
00139 163
п	400
43	+0,00000 00000 00028 646
44	*00005 752
45	00001 127
46	126
47	040
48	007
49	001
/л(18)
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
—0,01335 58057 21984 111
—0,18799 48854 88069 594
—0,00753 25148 87801 400
+0,18632 09932 90780 394
+0,06963 95126 51394 864
—0,15537 00987 79049 343
—0,15595 62341 95311 166
+0,05139 92759 82175 233
+0,19593 34488 48114 125
+0,12276 37896 60592 878
—0,07316 96591 87521 246
—0,20406 34109 80060 930
—0,17624 11764 54775 446
*—0,03092 48242 92972 998
+0,13157 19858 09370 005
+0,23559 23577 74215 227
+0,26108 19438 14322 041
+0,22855 33201 17912 845
+0,17062 98830 75068 889
+0,11270 64460 32224 933
+0,06730 59474 37405 969
+0,03686 23260 50899 443
+0,01870 61466 81359 398
+0,00886 38102 81312 419
+0.00394 58129 26439 006
+0,00165 83575 22524 930
+0,00066 07357 47241 354
+0,00025 04346 36172 316
+0.00009 05681 61275 594
+0,00003 13329 76685 088
340
Таблица II (продолжение)
п	^(18)
30	+0,00001 03936 52487 466
31	33125 31606 465
32	10161 78601 469
33	03005 47865 425
34	00858 30238 423
35	00236 99701 950
36	00063 35269 160
37	0С016 41374 689
38	00004 12604 562
39	00001 00733 463
40	+0,	23907 111
41	05520 363
42	01241 210
43	00271 949
44	00058 104
45	00012 114
46	00002 466
47	490
48	095
49	018
50	+0,	003
п
^Я(19)
•^(19)
О I	+о, 14662 94396	59651	204
1	—0,10570 14311	42409	267
2	—0,15775	59660	95694	285
3	4-0,07248	96614	38052	575
4	4-0,18064 73781	28763	519
5	4-0,00357 23925	10900	486
6	—0,17876	71715	44079	053
7	—0,11647 79745	38739	888
8	4-0,09294 12955	68165	452
9	4-0,19474 43287	01405	531
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
29
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
+0,09155 33316 22639 788
—0,09837 24006 77574 175
—0,20545 82166 17725 675
•—0,16115 37676 81658 257
—0,01506 79917 88754 044
4-0J3894 83060 98231 244
4-0,23446 00540 49119 166
4-0,25593 17849 31864 194
4-0,22352 31400 39479 918
+0Л 6758 57435 63992 493
+0,11164 83470 88505 067
+0,06746 34082 01281 333
40,03748 12920 93274 722
+0,01933 53734 88407 496
+0,00933 06647 73396 058
+0,00423 68322 54908 861
+0,00181 88937 92153 576
+0,00074 11928 60458 822
+0,00028 76543 37571 496
+0,00010 66304^50278 219
4-0,00003 78491	42225	174
+0,00001 28931	56748	644
42232	64007	245
13325	74641	181
04056	79493	594
01193	30911	839
00339	60707	917
00093	62297	ПО
00025	02975	563
00006	49605	144
+0 ,	00001	63824	500
40182 226
09593 529
02231 272
00505 913
00111 905
00024 163
00005 096
00001 051
212
+0,	042
008
002
341
Таблица II (продолжение)
л
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
342
Лх(20)
4-0,16702 46643 40583 155
4-0,06683 31241 75850 046
—0,16034 13519 22998 150
—0,09890 13945 60449 676
4-0,13067 09335 54863 247
4-0,15116 97679 82394 975
—0,05508 60495 63665 760
-0,18422 13977 20594 431
—0,07386 89288 40750 341
4-0,12512 62546 47994 158
4-0,18648 25580 23945 083
4-0,06135 63033 75950 926
—0,11899 06243 10399 065
—0,20414 50525 48429 804
—0,14639 79440 02559 680
—0,00081 20690 55153 748
4-0,14517 98404 19829 058
4-0,23309 98137 26880 240
4-0,25108 98429 15867 351
4-0,21886 19035 21680 991
4-0,16474 77737 75326 532
4-0,11063 36440 28972 073
4-0,06758 28786 85514 822
4-0,03804 86890 79160 535
4-0,01992 91061 96554 408
4-0,00978 11657 92570 045
4-0,00452 38082 84870 704
4-0,00198 07357 48093 786
4-0,00082 41782 34982 517
4-0,00032 69633 09857 262
4-0,00012 40153 63603 543
4-0,00004 50827 80953 368
4-0,00001 57412 57351 896
52892 42572 701
17132 43138 017
05357 84096 556
01620 01199 928
00474 20223 186
00134 53625 859
00037 03555 077
4-0,	000С9 90238 941
00002 57400 689
65103 882
16035 615
03849 264
00901 145
п	*^/|(20)
46	4-0,00000 00000 00205 887
47	00045 937
48	00010 015
49	00002 135
50	4-0,	445
51	091
52	018
53	004
54	001
л |	
0	4-0,03657 90710 00862 743
1	4-0,17112 02727 63900 104
2 .	—0,02028 19021 66205 590
3 I	—0,17498 34922 24129 740
4 ,	—0,02971 33813 26402 907
5 1	4-0,16366 41088 61690 537
6	4-0,10764 86712 60541 258
7	—0,10215 05824 27095 533
8	—0,17574 90595 45271 613
9	—0,03175 34629 40730 458
10	4-0,14853 18055 96074 078
11	4-0,17321 23254 13181 961
12	4-0,03292 87257 89164 167
13	—0,13557 94959 39851 484
14	—0,20078 90540 95646 957
15	—0,13213 92428 54344 458
16	4-0,01201 87071 60869 159
17	4-0,15045 34632 89954 606
18	4-0,23157 26143 56200 203
19	4-0,24652 81613 20674 313
20	4-0,21452 59632 71686 649
21	4-0,16209 27211 01585 971
22	4-0,10965 94789 31485 294
23	4-0,06766 99966 59621 310
24	4-0,03857 00375 61018 529
25	4-0,02049 00891 94135 328
26	4-0,01021 58890 91684 632
27	4-0,00480 63980 80512 332
28	4-0,00214 34202 58204 222
29	4-0,00090 93892 74698 928
Таблица II (продолжение)
Л1(21)
30 31	+0,00036 82263 10011 863 +0,00014 26858 96763 539
32	+0,00005 30368 13766 205
33	+0,00001 89501 07095 370
34	65206 65676 388
35	21644 29380 552
36	06940 98925 453
37	02153 38363 859
38	00647 12451 956
39	00188 59081 313
40	+0 ,	00053 35564 351
41	00014 66878 120
42	00003 92245 451
43	00001 02103 682
44	25893 439
45	06402 159
46	01544 385
47	00363 716
48	00083 679
49	00018 818
50	+0,	00004 139
51	891
52	188
53	039
54	008
55	002
п	•М22)
0	—0,12065 14757 04867 180
1	+0,11717 77896 43851 701
2	+0,13130 40020 36126 426
3	—0,09330 43347 28192 351
4	—0,15675 06387 80178 885
5	+0,03630 41024 44490 938
6	+0,17325 25035 27674 766
7	+0,05819 72631 16058 934
8 1	—0,13621 78815 44728 171
э i	—0,15726 48133 30406 695
10 '	+0,00754 66706 38031 784
11 I	+0,16412 54230 01344 681
	1	J„(22) 1
12	+0,15657 87523 63312 897
13	+0,00668 77613 94996 661
14	—0,14867 50343 51044 115
15	-0,19591 05323 87234 626
16	—0,11847 56916 31548 557
17	+0,02358 22536 50436 726
18	+0,15492 09927 27678 042
19	+0,22992 48253 58490 979
20	+0,24222 18874 36988 195
21	+0,21047 86063 45123 920
22	+0,15960 09064 94612 017
23	+0,10872 32066 44100 114
24	+0,06772 94346 70324 584
25	+0,03905 01053 63880 797
26	+0,02102 08047 93040 864
27	+0,01063 54332 37852 155
28	+0,00508 43495 18050 788
29	+0,00230 65473 53549 852
30	+0,00699 65480 50398 821
31	+0,00041 13109 65719 660
32	+0,00016 26010 34811 129
33	+0,00006 17102 26458 170
34	+0,00002 25296 44563 381
35	79268 56737 734
36	26921 72329 410
37	08838 89067 607
38	02809 09079 813
39	00865 24117 203
40	+0,	00258 58244 815
41	00075 05863 943
42	00021 18157 153
43	00005 81645 187
44	00001 55546 760
45	4 0541 854
46	10306 278
47	02557 128
48	00619 634
49	00146 728
50	+0 ,	00033 973
51	00007 696
52	00001 706
53	370
54	079
55	016
56	003
57	001
343
Таблица II (продолжение)
п	4.(23)
0	•—0,16241 27818 13486 542
1	—0'0*951 93218 83701 511
2	4-0.15897 63185 40990 759
3	4-0,06716 73772 82134 687
4	—0,14145 43940 32607 797
5	—0,11636 89056 41302 616
6	4-0,09085 92176 66824 051
7	4-0.16377 37148 58776 034
8	4-0,00882 91305 08083 100
9	—0,15763 17110 27066 051
10	—0,13219 30782 68395 662
11	4-0,04268 12081 84982 867
12	4-0,17301 85817 49683 622
13	4-0,13785 99205 97295 695
14	—0,01717 69323 78827 619
15	—0,15877 09687 10651 057 ,
16	—0,18991 56355 04630 281
17	—0,10545 94806 87095 422
18	4-0,03401 90118 80228 354
19	4-0,15870 66297 17018 062
20	4-0,22819 19415 65279 749
21	4-0,23814 89208 31294 545
22	4-0.20668 86964 74475 507
23	4-0,15725 55419 89441 207
24	4-0,10782 23875 04406 908
25	4-0,06776 50928 02364 513
26	4-0,03949 30316 31168 121
27	_+°,02152 35004 50711 239
28	-Н), 01104 04042 09632 179^
29	4-0,00535 74837 11871 458
л	•'«(23)
30	4-0,00246 97721 07261 064
31	4-0,00108 54000 46200 881
32	4-0.С0045 60888 86845 660
33	4-0,00018 37168 56326 172
34	4-0.0С007 10986 13916 400
35	4-0,00002 64877 41339 705
36	95162 51030 530
37	33022 61886 301
38	11084 17647 134
39	03603 35556 401
40	4-0,	01135 89891 967
41	00347 59720 006
42	00103 36066 315
43	00029 89391 752
44	00008 41659 366
45	00002 30870 169
46	61745 644
47	16112 408
48	04105 067
49	01021 783
50	4-0,	00248 619
51	00059 168
62	00013 780
53	00003 142
54	702
55	154
56	034
57	007
58	001
344
Таблица II (продолжение}
п '	•М2*)		п	№
0	—0,05623 02741 66859 267		30	4-0,00562 56808 42695 140
1	—0,15403 80651 83121 221		31	4-0,00263 27975 10778 513
2	4-0,04339 37687 34932 499		32	4-0,00117 57127 26816 017
3	4-0,16127 03599 72276 638		33	4-0,00050 24364 27397 533
4	«—0,00307 €1787 41863 339		34	4-0,00020 59874 48527 199
S	—0,16229 57528 86231 084		35	4-0,00008 11946 76762 864
6	-0,06454 70516 27399 613		36	4-0,00003 08303 58697 822
7	4-0,13002 22270 72531 278		37	4-0,00001 12963 99330 601
8	4-0,14039 33507 53042 858		38	40002 05904 866
9	-0,03642 66599 03836 039		39	13709 19368 140
10	*-0,16771 33456 80919 887		40	4-0,	04552 82041 591
11	—0,10333 44614 96930 534	•	41	01466 87437 162
12	4-0,07299 00893 08733 565		42	00459 00035 379
13	4-0,17632 45508 05664 098		43	00139 62686 664
14	4-0,11802 81740 64069 208		44	00041 32925 168
15	—0,03862 5014^ 97583 355		45	00011 91372 284
16	—0,16630 94420 61048 403		46	00003 34720 896
17	—0,18312 09083 50481 181		47	91724 484
18	-0,09311 18447 68799 938		48	24533 335
19	4-0,04345 31411 97281 275		49	06408 854
20	4-0,16191 26516 64495 289		50	4-0,	01636 153
21	4-0,22640 12782 43544 208		51	00408 451
22	4-0,23428 95852 61707 074		. 52	00099 762
23	4-0,20312 96280 69585 428		53	00023 852
24	4-0,15504 22018 71664 996		54	00005 585
25	4-0,10695 47756 73744 565		55	00001 281
26	4-0,06778 02474 48636 180		56	288
27	4-0,03990 24271 31633 826		57	064
28	4-0,02200 02135 97539 927		58	014
29	4-0,01143 14045 95959 338		59	003
			60	001
345
Таблица III
ПЕРВЫЕ 40 КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ Л(х)-0 С СООТВЕТСТВУЮЩИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ФУНКЦИИ (л)
№ корня (я)	Значение корня		№ корня («)	Значение корня (*Л)	|	Л(*л)
1	2,40482 55577	4-0,51914 750	21	65,18996 48002	4-0,09882 255
2	5,52007 81103	—0,34026 481	22	68,33146 93299	-0,09652 404
3	8,65372 79129	4-0,27145 230	1	23	71,47298 16036	4-0,09437 879
4	11,79153 44391	—0,23245 983	;	24	74,61450 06437	-0,09237 051
5	14,93091 77086	4-0,20654 642	1	25	77,75602 56304	4-0,09048 519
6	18,07106 39679	*—0,18772 880	26	80,89755 58711	—0,08871 080
7	21,21163 66299	4-0,17326 589	27	84,03909 07769	4-0,08703 686
8	24,35247 15308	—0,16170 155	28	87,18062 98436	—0,08545 424
9	27,49347 91320	j	4-0,15218 121	29	90,32217 26372	4-0,08395 493
10	30,63460 64684	—0,14416 598	30	93,46371 87819	—0,08253 186
11	33,77582 02136	4-0,13729 694	31	96,60526 79510	4-0,08117 879
12	36,91709 83537	—0,13132 463	1	32	99,74681 98587	—0,07989 015
13	40,05842 57646	4-0,12606 950	33	102,88837 42542	4-0,07866 100
14	43,19979 17132	—0,12139 863	[	34	106,02993 09165	—0,07748 689
15	46,34118 83717	4-0,11721 120	35	109,17148 96498	4-0,07635 913
16	49,48260 98974	—0,11342 918	36	112,31305 02805	—0,07528 823
17	52,62405 18411	4-0,10999 114	37	115,45461 26537	4-0,07425 684
18	55,76551 07550	—0,10684 789	38	118,59617 66309	-0,07326 670
19	58,90698 39661	4-0,10395 957	39	121,73774 20880	4-0,07231 515
20	62,04846 91902	—0,10129 350	40	124,87930 89132	-0,07139 973
1					
Таблица IV
ПЕРВЫЕ 50 КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ - О С СООТВЕТСТВУЮЩИМИ МАКСИМАЛЬНЫМИ И МИНИМАЛЬНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ
ФУНКЦИИ JM
№ корня (я)	Значение корня (лгй)	т (х J^xn)-Мах	№ корня («)	Значение корня (гл)	Min Л(гл)вМах
1	3,8317 0597 0207 5123	--0,4027 5939 5702 5547	26	82,4622 5991 4373 5565	+0,0878 6187 6039 4105
2	7,0155 8666 9815 6188	+0,3001 1575 2526 1326	27	85,6040 1943 6350 2310	—0,0862 3466 3413 2884 j
3	10,1734 6813 5062 7221	—0,2497 0487 7057 8259	28	88,7457 6714 4926 3069	+0,0846 9463 4803 7192
4	13,3236 9193 6314 2231	+0,2183 5940 7247 8730	29	91,8875 0425 1694 9853	—0,0832 3427 2981 9746 I
5	16,4706 3005 0877 6328	—0,1964 6537 1468 6572	30	95,0292 3180 8044 6953	+0,0818 4693 7926 4857
6	19,6158 5851 0468 2420	+0,1800 6337 5344 3156	31	98,1709 5073 0790 7820	-0,0805 2673 9448 4029	,
7	22,7600 8438 0592 7719	-0,1671 8460 0473 8180	32	101,3126 6182 3038 7301	+0,0792 6843 1724 5187	>
8	25,9036 7208 7618 3826	+0,1567 2498 6252 8622	33	104,4543 6579 1282 7601	—0,0780 6732 5407 9485
9	29,0468 2853 4016 8551	•-0,1480 1110 9972 7775	34	107,5960 6325 9509 1722	+0,0769 1921 3961 3909
1	10	32,1896 7991 0974 4036	+0,1406 0579 8193 1148	35	110,7377 5478 0899 2151	-0,0758 2031 1569 1671
1 11	35,3323 0755 0083 8651	—0,1342 1124 0310 0007	36	113,8794 4084 7594 9981	+0,0747 6720 0537 0746
1	12	38,4747 6623 4771 6151	+0,1286 1662 2072 0700	37	117,0211 2189 8892 4250	—0,0737 5678 6512 8573
13	41,6170 9421 2814 4509	—0,1236 6796 0769 8371	38	120,1627 9832 8149 0038	+0,0727 8626 0189 2388
14	44,7593 1899 7652 8217	+0,1192 4981 2010 6895	39	123,3044 7048 8635 7180	—0,0718 5306 4408 8473
15	47,9014 6088 7185 4471	1—0,1152 7369 4120 1680	40	126,4461 3869 8516 5957	+0,0709 5486 5793 0974
16	51,0435 3518 3571 5095	+0,1116 7049 6859 2113	41	129,5878 0324 5103 9968	—0,0700 8953 0177 2614
17	54,1855 5364 1061 3205	—0,1083 8534 8943 6825	42	132,7294 6438 8509 6159	+0,0692 5510 1263 7661
18	57,3275 2543 7901 0107	+0,1053 7405 5395 2352	43	135,8711 2236 4789 0006	—0,0684 4978 2005 1879
19	60,4694 5784 5347 4916	—0,1026 0056 7103 3972	44	139,0127 7738 8659 7042	+0,0676 7191 8315 5457
20	63,6113 5669 8481 2326	+0,1000 3514 6811 5233	45	142,1544 2965 5859 0290	—0,0669 1998 4772 3973
21	66,7532 2673 4098 4934	—0,0976 5301 5783 1733	46	145,2960 7934 5195 9072	+0,0661 9257 2028 7533
22	69,8950 7183 7495 7740	+0,0954 3333 9020 5353	47	148,4377 2662 0342 2304	—0,0654 8837 5698 2572
23	73,0368 9522 5573 8348	-—0,0933 5845 3290 4550	48	151,5793 7163 1401 4280	+0,0648 0618 6514 0981
24	76,1786 9958 4741 4576	+0,0914 1327 2155 9213	49	154,7210 1451 6285 9535	—0,0641 4488 1592 6670
25	79,3204 8717 5476 2994	—0,0895 8482 1964 8557	50	157,8626 5540 1930 2978	+0,0635 0341 6658 3216
Таблица V
Таблица VI
НАИМЕНЬШИЕ КОРНИ УРАВНЕ-
НИЯ /Л(Х5)-О
ю 1	8,780 12,339 15,700 18,982 22,220 25,431 28,628 31,813 34,983
1 с	7,586 11,064 14,373 17,616 20,827 24,018 27,200 30,371 33,512
со 1 с	6,379 9,760 13,017 16,224 19.410 22,583 25.749 28,909 32,050
см 1	°*« ~ i t£ г? а & g
1 е	3,832 7,016 10,173 13,323 16.470 19,616 22,760 25,903 29,047
о 1 е	§ § s e g g s § ? СЧЮСО — —< M — CM	CM
«о	-«CQM'lfiCOb.COO
X	Jt(x V i )«ber *4-/ bei x	
	ber x	bei jr
0,0	4-1,00000 0000	0
0,2	4-0,99997 5000	4-0,00999 9972
0,4	4-0,99960 0004	4-0,03999 8222
0,6	4-0,99797 5114	4-0,08997 9750
0,8	4-0,99360 1138	4-0,15988 6230
1,0	4-0,98438 1781	4-0,24056 6040
1,2	4-0,96762 9156	4-0,35870 4420
1,4	4-0,94007 5057	4-0,48673 3934
1,6	4-0,89789 1139	4-0,63272 5677
1,8	4-0.83672 1794	4-0,79526 1955
2,0	4-0,75173 4183	4-0,97229 1627
2,2	4-0,63769 0457	4-1,16096 9944
2,4	4-0,48904 7772	4-1,35748 5476
2,6	4-0,30009 2090	4-1,55687 7774
2,8	4-0,06511 2108	4-1,75285 0564
3,0	—0,22138 0250	4-1,93758 6785
3,2	—0,56437 6430	4-2,10157 3388
3,4	'—0,96803 8995	4-2,23344 5750
3,6	—1,43530 5322	4-2,31986 3655
3,8	--1,96742 3273	4-2,34543 3061
4,0	—2,56341 6557	4-2,29269 0323
4,2	—3,21947 9832	4-2,14216 7987
4,4	*-3,92830 6622	4-1,87256 3796
4,6	*-4,67835 6937	4-1,46103 6836
4,8	-5,45307 6175	4-0,88365 6854
5,0	—6,23008 2479	4-0,11603 4382
5,2	-6,98034 6403	—0,86583 9727
5,4	—7,66739 4351	—2,08451 6693
5,6	-8,24657 5962	-3,55974 6593
5,8	—8,66444 5263	*—5,30684 4640
6,0	-8,85831 5966	—7,33474 6541
348
Таблица VII
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ /в(х) ДЛЯ ЗНАЧЕНИЙ х от х - 0 до х - 5,10
X	1М	X		X	U*)	X	IM
0,00	1,00000 0000	0,45	1,05126 9338	0,90	1,21298 5166	1,35	1,51022 7098
0,01	1,00002 5000	0,46	1,05360 3728	0,91	1,21798 9524	1,36	1,51868 0615
0,02	1,00010 0003	0,47	1,05599 2145	0,92	1,22306 0325	1,37	1,52722 3514
0,03 '	1,00022 5013	0,48	1,05843 4768	0,93	1,22819 7952	1,38	1,53585 6452
0,04	1,00040 0040	0,49	1,06093 1780	0,94	1,23340 2796	1,39	1,54458 0090
0,05	1,00062 5098	0,50	1,06348 3371	0,95	1,23867 5250	1,40	1,55339 5100
0,06	1,00090 0203	0,51	1,06608 9731	0,96	1,24401 5716	1,41	1,56230 2157
0,07	1,00122 5375	0,52	1,06875 1057	0,97	1,24942 4599	1,42	1,57130 1946
0,08	1,00160 0640	0,53	1,07146 7550	0,98	1,25490 2308	1,43	1,58039 5160
0,09	1,00202 6025	0,54	1,07423 9413	0,99	1,26044 9261	1,44	1,58958 2496
0,10	1,00250 1563	0,55	1,07706 6856	1,00	1,26606 5878	1,45	1,59886 4661
0,11	1,00302 7288	0,56	1,07995 0092	1,01	1,27175 2586	1,46	1,60824 2371
0,12	1,00360 3241	0,57	1,08288 9337	1,02	I,27750 9817	1,47	1,61771 6345
0,13	1,00422 9465	0,58	1,08588 4813	1,03	1,28333 8010	1,48	1,62728 7314
0,14	1,00490 6006	0,59	1,08893 6745	1,04	1,28923 7606	1,49	1,63695 6014
0,15	1,00563 2915	0,60	1,09204 5364	1,05	1,29520 9055	1,50	1,64672 3190
0,16	1,00641 0247	0,61	1,09521 0904	1,06	1,30125 2811	1,51	1,65658 9594
0,17	1,00723 8061	0,62	1,09843 3604	1,07	1,30736 9333	1,52	1,66655 5988
0,18	1,00811 6417	0,63	1,10171 3706	1,08	1,31355 9088	1,53	1,67662 3139
0,19	1,00904 5383	0,64	1,10505 1458	1,09	1,31982 2545	1,54	1,68679 1823
0,20	1,01002 5028	0,65	1,10844 7111	1,10	1,32616 0184	1,55	1,69706 2826
0,21	1,01105 5425	0,66	1,11190 0922	1,11	1,33257 2485	1,56	1,70743 6939
0,22	1,01213 6652	0,67	1,11541 3151	1,12	1,33j05 9938	1,57	1,71791 4964
0,23	1,01326 8789	0,68	1,11898 4063	1,13	1,34562 3036	1,58	1,72849 7709
0,24	1,01445 1923	0,69	1,12261 3927	1,14	1,35226 2281	1,59	1,73918 5993
0,25	1,01568 6141	0,70	1,12630 3018	1,15	1,35897 8177	1,60	1,74998 0640
0,26	1,01697 1537	0,71	1,13005 1614	1,16	1,36577 1239	1,61	1,76088 2485
0,27	1,01830 8206	0,72	1,13385 9999	1,17	1,37264 1983	1,62	1.77189 2371
0,28	1.01969 6249	0,73	1,13772 8458	1,18	1,37959 0934	1,63	1,78301 1150
0,29	1.02113 5771	0,74	1,14165 7286	1,19	1,38661 8622	1,64	1 79423 9о81
0,30	1,02262 6879	0,75	1,14564 6778	1,20	1,39372 5584	1,65	1,80557 8834
0,31	1.02416 9686	0,76	1,14969 7236	1,21	1,40091 2363	1,66	1,81702 9487
0,32	1,02576 4307	0,77	1,15380 8967	1,22	1,40817 9507	1,67	I,82859 2525
0,33	1,02741 0862	0,78	1,15798 2280	1,23	1,41552 7572	1,68	1,84026 8846
0,34	1,02910 9474	0,79	1,16221 7492	1,24	1,42295 7120	1,69	1,85205 9354
0,35	1,03086 0272	0,80	1,16651 4923	1,25	1,43046 8718	1,70	1,86396 4962
0,36	1,03266 3387	0,81	1,17087 4897	1,26	1,43806 2941	1,71	1,87598 6594
0,37	1,03451 8454	0,82	1,17529 7745	1,27	1,44574 0369	1,72	1,88815 5183
0,38	1,03642 7112	0,83	1,17978 3802	1,28	1,45350 1591	1,73	1,90038 1670
0,39	1,03838 8006	0,84	1,18433 3406	1,29	1,46134 7201	1,74	1,91275 7007
0,40	1,04040 1782	0,85	1,18834 6902	1,30	1,46927 7798	1,75	1,92525 2154
, 0,41	1,04246 8592	0,86	1.19362 4640	1,31	1,47729 3991	1,76	1,93786 8082
0,42	1,04458 8591	0,87	1,19836 6974	1,32	1,48539 6393	1,77	1,95060 5771
0,43	1,04676 1939	0,88	1,20317 4262	1,33	1,49358 5625	1,78	1,96346 6212
0,44	1,04898 8799	0,89	1,20804 6870	1,34	1,50186 2315	1,79	1,97645 0404
349
Таблица VII (продолжение)
X		х	Л>(*)	X	/«(*) |	х	
1,80	1,98955 9357	2,25	2,72707 8307	2,70	3,84165 0977	3,15	1 5,51574 9636
1,81	2,00279 4090	2,26	2,74721 0068	2,71	3,87194 8687	3,16	5,56121 0411
1,82	2,01615 5635	2,27	2,76752 7С63	2,72	3,90252 1288	3,17	5,60708 2797
1,83	2,02964 5030	2.28	2,78803 0900 ,	2.73	3,93337 1236	3,18	5,65337 0533
1,84	2,04326 3327	2,29	2,80872 3200	2,74	3,96450 10С9	• 3,19	5.7С007 7394
1,85	2,05701 1587	2,30	2,82960 5601 j	2,75	3.99591 3107	3,20	5,74720 7187
1,86	2,07089 0880	2,31	2,85067 9754 1	2,76	4,02761 0057	3,21	5,79476 3759
1,87	2,08490 2289	2,32	2,87194 7330 |	2,77	4,05959 4407	3,22	5,84275 0990
1,88	2,09904 6908	2,33	2,89341 ООП	2,78	4,09186 8729	3,23	5,89117 2798
1,89	2,11332 5838	2,34	2,91506 9500	2,79	4,12443 5621	3,24	5,94003 3137
1,90	2,12774 0194	2,35	2,93692 7511	2,80	4,15729 7704	3,25	5,98933 5998
1,91	2,14229 1102	2,36	2,95898 5780	2,81	4,19045 7623	3,26	6,03908 5410
1,92	2,15697 9698	2 37	2,98124 6С54	2,82	4,22391 8051	3,27	6,08928 5438
1,93	2,17180 7129	2,38	3.00Г71 0100	2.83	4,25768 1683	3,28	6,13994 0189
1,94	2,18677 4554	2,39	3,02637 9702	2,84	4,29175 1240	3,29	6,19105 3804 j
1,95	2,20188 3143	2,40	3,04925 6658	2,85	4,32612 9469	3,30	6,24263 0465
1,96	2,21713 4077	2,41	3,07234 2786	2.86	4,36081 9143	3,31	6,29467 4394
1,97	2,23252 8550	2,42	3,09563 9921	2,87	4,39582 3061	3,32	6,34718 9852
1,98	2,24806 7765	2,43	3,11914 9913	2,88	4,43114 4048	3,33	6,40018 1138
1,99	2,26375 2940	2,44	3,14287 4633	2,89	4,46678 4955	3,34	6,45365 2594
2,00	2,27058 5302	2,45	3,16681 5966	2,90	4,50274 8661	3,35	6,50760 8601
i 2,01	2,29556 6092	2,46	3,19097 5818	2.91	4,53903 8072	3,36	6,56205 3582
1 2,02	2,31169 6562	2,47	3,21535 6111	2,92	4,57565 6120	3,37	6,61699 2002
I 2,03	2,32797 7977	2,48	3,23995 8787	2,93	4,61260 5766	3,38	6,67242 8365
, 2,04 1	2,34441 1612	2,49	3,26478 5806	2,94	4,64988 9997	3,39	6.72836 7221
i 2,05	2,36099 8757	2,50	3,28983 9144	. 2,95	4,68751 1830	3,40	। 6,78481 3160
; 2,06	2,37774 0714	2,51	3,31512 0799	' 2,96	4,72547 4310	3,41	! 6,84177 0817
2,07	2,39463 8796	2,52	3,34063 2787	2,97	4,76378 0509	3,42	6,89924 4868
2,08	2,41169 4331	2,53	3,36637 7142	2,98	4,80243 3529	3,43	, 6,95724 0035
! 2,09	2,42890 8658	2,54	3,39235 5918	3,99	4,84143 6501	3,44	7,01576 1083
2,10	2,44628 3129	2,55	3,41857 1188	3,00	4,88079 2586	3,45 ;	I 7,07481 2823
; 2,11	2,46381 9111	2,56	3,44502 5046	। 3,01	4.92050 4974	3,46	‘ 7,13440 ОНО
2,12	2,48151 7983	2,57	3,47171 9603	3.02	4,96057 6884	3,47	7,19452 7844
2,13	2,49938 1135	2,58	3,49865 6994	3,03	5,00101 1567	3,48	, 7,25520 0972
2,14	2,51740 9974	2,59	3,52583 9370	3,04	5,04181 2305	3,49	7,31642 4489
' 2,15	2,53560 5920	2,60	3,55326 8904	3.05	5,08298 2407	3,50	7,37820 3432
i 2,16	2,55397 0404	2,61	3,58094 7791	3,06	5,12452 5217	3,51	7.44054 2891
I 2,17	2,57250 4872	2,62	3,60887 8245	3.07	5,16644 4109	3,52	7,50344 7999
1 2,18	2,59121 0787	2,63	3,63706 2500	3,08	5,20874 2488	3,53	7,56692 3940
I 2,19 1	2,61008 9621	2,64	3,66550 2814	3,09	5,25142 3791	3,54	7,63097 5945
1 2,20	2,62914 2864	2,65	3,69420 1463	3.10	5,29449 1490	3,55	7,69560 9296
1 2,21	2,64837 2017	2,66	3,72316 0747	3» 11	5,33794 9085	3,56	7,76082 9322
j 2,22	2,66777 8599	2,67	3,75238 2987	3,12	5.38180 0112	3,57	7,82664 1404
2,23	2,68736 4142	2,68	3,78187 0525	: з,1з	j 5,42604 8139	3,58	7,89305 0972
2,24	2,70713 0191	2,69	3,81162 5726	3,14	1 5,47069 6769	3,59	7,96006 3509
350
Таблица VII (продолж
	X	/о(^)	х	4(Х)	х	1п{х)	х	Д(*)
	3,60	8,02768 45^7	4,00	11,301921952 |	4,40	16,01043 5525	4,80	22,79367 7993
	3,61	8,09591 9671	4,01	11,399961069 ।	4,41	16,15154 0625	4,81	22,99713 7940
	3,62	8,16477 4519	4,02	11,49889 4589 |	4,42	16,29393 9460	4,82	23,20247 2677
	3,63	8,23425 4781	4,03	11,59873 0783 j	4,43	16,43764 4056	4,83	23,40969 9714
	3,64	8,30436 6201	4,04	11,69947 7998 |	4,44	16,58266 6554	4,84	23,61883 6721
	3,65	8,37511 4576	4,05	11,80114 4658 1	4,45	16,72991 9208	4,85	23,82990 1540
	3,66	8,44650 5757	4,06	11,90373 9268 |	4,46	16,87671 4387	4,86	24,04291 2178
	3,67	8,51854 5653	4,07	12,00727 0413	4,47	17,02576 4578	4,87	24,25788 6813 !
	3,68	8,59124 0224	4,08	12,11174 6758 1	4,48	17,17618 2385	4,88	24,47484 3797
	3,69	8,66459 5490	4,09	12,21717 7049	4,49	17,32798 0530	4,89	24,69380 1651 •
	3,70	8,73861 7524	4,10	12,32357 0116	4,50	17,48117 1856	4,90	24,91477 9076 :
	3,71	8,81331 2459	4,11	12,43093 4870	4,51	17,63576 9326	! 4,91	25,13779 4945 ;
	3,72	8,88868 6484	4,12	12,53928 0308	4,52	17,79178 6027	! 4,92	25,36286 8313 ’
	3,73	8,96474 5845	4,13	12,64861 5508	. 4,53	17,94923 5168	' 4,93	25,59001 8412
	3,74	9,04149 6849 '	4,14	12,75894 9638	4,54	18,10813 0082	4,94	25,81926 465Q 1
	3,75	9,11894 5861	4,15	12,87029 1948	4,55	18,26848 4229	4,95	26,05062 6651 ;
	3,76	9,19709 9305	4,16	12,98265 1778	4,56	18,43031 1194	4,96	26,28412 4173 .
	3,77	9,27596 3667	4.17	13,09603 8555	4,57	18,59362 4693	4,97	26,51977 7196
	3,78	9,35554 5493	4,18	13,21046 1793	4,58	18,75843 8569	4,98	26,75760 5880
	3,79	9,43585 1289	4,19	13,32593 1097	4,59	18,92476 6796	4,99	26,99763 0575
	3,80	9.51688 8026	4,20	13,44245 6163	4,60	19,09262 3480	5,00	27,23987 1824
	3,81	9,59866 2135	4,21	13,56004 6777	4,61	19,26202 2859	5,01	27,48435 0363
	3,82	9,68118 0512	4,22	1 13,67871 2818	4,62	19,43297 9309	5,02	27,73108 7126
	3,83	9,76445 0016	4,23	! 13,79846 4257	4,63	19,60550 7336	5,03	27,98010 3243 .
	3,84	9,84847 7569	4,24	' 13,91931 1158	4,64	19,77962 1587	5,04	28,23142 0046 (
	3,85	9,93327 0161	4,25	; 14,04126 3683	4,65	! 19,95533 6846	5,05	28,48505 9067 '
	3,86	10,01883 4845	4,26	' 14,16433 2086	4,66	20,13266 8036	5,06	28,74104 2042
	3,87	10,10517 8741	4,27	14,28852 6720	4,67	20,31163 0221	5,07	28,99939 0912
	3,88	10,19230 9038	4,28	14,41385 8034	4,68	20,49223 8607	5,08	29,26012 7828
	3,89	10,28023 2989	4,29	14,54033 6575	4,69	20,67450 8544	5,09	29,52327 5147 , 1
	3,90	10,36895 7917	4,30	14,66797 2992	4,70	20,85845 5527	5,10	29,78885 5440
	3,91	10,45849 1213	4,31	14,79677 8030	4,71	21,04409 5195		
	3,92	10,54884 0339	4,32	14,92676 2540	4,72	21,23144 3338		
	3,93	10,64001 2826	4.33	, 15,05793 7470	4,73	21,42051 5893		
	3,94	10,73201 6274	4,34	15,19031 3876	4,74	21,61132 8947		
	3,95	10,82485 8358	4,35	! 15,32390 2914	4,75	21,80389 8741		
	3,96	10,91854 6823	4,36	1 15,45871 5847	4,76	21,99824 1666		
	3,97	11,01308 9486	4,37	1 15,59476 4045 ,	4,77	22,19437 4271		1
	3,98	11,10849 4239	4,38	1 15,73205 8983 ,	4,78	22,39231 3260		1
	3,99	11,20476 9048	4,39	1 15,87061 2245 1	4,79	22,59207 5494		|
351
Таблица VIII
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 7, (х) ДЛЯ ЗНАЧЕНИЙ х от г-0 до ж-5,10
X	1 л (*)	X	Л (а)	X	Л (аг)	X	/1 (АГ)
0,00	0	0,45	0,23074 3570	0,90	0,49712 6448	1,35	0,84090 4230
0,01	0,00500 0063	0,46	0,23613 7373	0,91	0,50375 1599	1,36	0,84980 9949
0,02	0,01000 0500	0,47	0,24154 8938	0,92	0,51041 4946	1,37	0,85878 0872
0,03	0,01500 1687	0,48	0,24697 8674	0,93	0,51711 7001	1.38	0,86781 7710
0,04	0,02000 4000	0,49	0,25242 6993	0,94	0,52385 8282	1,39	0,87692 1172
0,05	0,02500 7814	0,50	0,25789 4304	0,95	0,53063 9310	1,40	0,88669 1981
0,06	0,03001 3502	0,51	0,26338 1026	0,96	0,53746 0608	1,41	0,89533 0860
0,07	0,03502 1441	0,52	0,26888 7571	0,97	0,54432 2705	1,42	0,90463 8540
0,08	0,04003 2009	0,53	0.27441 4358	0,98	0,55122 6129	1,43	0,91401 5758
0,09	0,04504 5577	0,54	0,27996 1803	0,99	0,55817 1417	1,44	0,92346 3255
0,10	0,05006 2526	0,55	0,28553 0329	1,00	0,56515 9104	1,45	0,93298 1780
0,11	0,05508 3230	0,56	0,29112 0360	1,01	0,57218 9733	1,46	0,94257 2087
0,12	0,06010 8065	0,57	0,29673 2318	1,02	0,57926 3847	1.47	0,95223 4935
0,13	0,06513 7410	0,58	0,30236 6629	1,03	0,58638 1997	1.48	0,96197 1092
0,14	0,07017 1639	0,59	0,30802 3722	1,04	0,59354 4734	1,49	0,97178 1330
0,15	0,07521 1135	0,60	0,31370 4026	1,05	0,60075 2614	1,50	0,98166 6428
0,16	0,08025 6272	0,61	0,31940 7973	1,06	0,60800 6196	1,51	0,99162 7170
0,17	0,08530 7432	0,62	0,32513 5997	1,07	0,61530 6043	1.52	1,00166 4351
0,18	0,09036 4993	0,63	0,33088 8532	1,08	0,62265 2724	1.53	1,01177 8765
0,19	0,09542 9332	0,64	0,33666 6018	1,09	0,63004 6810	1,54	1,02197 1216
0,20	0,10050 0834	0,65	0,34246 8895	1,10	0,63748 8876	1,55	1,03224 2518
0,21	0.1С657 9878	0,66	0,34829 7605	1.11	0,64497 9503	1.56	1,04259 4888
0,22	0,11066 6843	0,67	0,35415.2590	1,12	0,65251 9270	1,57	1,05302 4d51
0,23	0,11576 2116	0,68	0,36003 4297	1,13	0,66010 8769	1,58	1,06353 7735
0,24	0,12086 6075	0,69	0,36594 3176	1,14	0,66774 8588	1,59	1,07413 2681
0,25	0,12597 9109	0,70	0,37187 9677	1,15	0,67543 9326	1,60	1,08481 0635
0,26	0,13110 1599	0,71	0,37784 4255	1,16	0,68318 1582	1,61	1,09557 2447
0,27	0,13623 3930	0,72	0,38383 7364	1.17	0,69097 5960	1,62	1,10641 8977
0,28	0,14137 6489	0,73	0.38985 9461	1,18	0,69882 3068	1,63	1,11735 1091
0,29	0,14652 9663	0,74	0,39591 1007	1,19	0,70672 3524	1,64	1,12836 9664
0,30	0,15169 3840	0,75	0,40199 2463	1,20	0,71467 7942	1,65	1,13947 5574
0,31	0,15686 9409	0,76	0,40810 4296	1,21	0.72268 6944	1,66	1,15066 9712
0,32	0,16205 6756	0,77	0,41424 6975	1,22	0,73075 1160	1,67	1,16195 2973
0,33	0,16725 6278	0,78	0,42042 0971	1.23	0,73887 1219	1,68	1,17332 6261
0,34	0,17246 8361	0,79	0,42662 6755	1,24	0,74704 7758	1,69	1,18479 0486
0,35	0,17769 3400	0,80	0,43286 4802	1.25	0,75528 1420	1,70	1,19634 6565
0,36	0,18293 1789	0,81	0,43913 5593	1.26	0,76357 2846	1.71	1,20799 5429
0,37	0,18818 2922	0,82	0,44543 9607	1.27	0,77192 2691	1,72	1,21973 8009
0,38	0,19345 0196	0,83	0,45177 7729	1.28	0,78033 1610	1,73	1,23157 5249
0,39	0,19873 1008	0,84	0,45814 9245	1.29	0,78880 0263	1,74	1,24350 8096
0,40	0,20402 6756	0,85	0,46455 5845	1.30	0,79732 9314	1,75	1,25553 7513
0,41	0,20933 7840	0,86	0,470^9 7619	1,31	0,80591 9438	1,76	1,26766 4463
0,42	0,21466 4660	0,87	0.47747 5069	1.32	0,81457 1397	1,77	1,27988 9923
0,43	0,22000 7618	0,88	0,48298 8688	1,33	0,82328 5603	1,78	1,29221 4874
0,44	0,22536 7121	0,89	0,49053 8979	1,34	0,83206 3015	1,79	1,30464 0310
352
Таблица VIII (продолжение)
X	Л (*)	х	А (•*)	х	А (*)	• х j /, (X)	
1,80	1,31716 7230	2,25	2.00396 7457	2,70	3,01610 7694	3,15	4,52562 0649
1,81	1,32979 6644	2,26	2,02241 1151	2,71	3,04347 4850	3,16	4,56659 6009
1,82	1,34252 9568	2,27	2,04101 4722	2,72	3,07108 6362	3,17	4,60794 3508
1.83	1,35536 7027	2,28	2,05977 9695	2,73	З.С9894 4528	3,18	4,64966 6635
1,84	1,36831 0061	2,29	2,07870 7611	2,74	3,12705 1673	3,19	4,69176 8912
Г,85	1,38135 9709	2,30	2,09780 0028	2,75	3,15541 0139	3,20	4,73425 3898
1,86	1,39451 7026	2,31	2,11705 8510	2,76	3,18402 2290	3,21	4,77712 5171
1,87	1,40778 3076	2,32	2,13648 4642	2,77	3,21289 0513	3,22	4,82038 6363
1,88	1,42115 8927	2,33	2,15608 0021	2,78	3,24201 7219	3,23	4,86404 1126
1,89	1,43464 5663	2,34	2,17584 6257	2,79	3,27140 4837	3,24	4,90809 3153
1,90	1,44824 4373	2,35	2,19578 4977	2,80	3,30105 5823	3,25	.4,95254 6165
1,91	1,46195 6157	2,36	2,21589 7825	2,81	3,33097 2651	3.26	4,99740 3925
1,92	1,47578 2125	2,37	2,23618 6453	2,82	3,36115 7821	3,27	5,04267 0227
1,93	1,48972 3395	2,38	2,25665 2534	2,83	3,39161 3857	3,28	5.08834 8897
1,94	1,50378 1С96	2,39	5,27729 7753	2,84	3,42234 3306	3,29	5,13444 3807
1,95	1,51795 6370	2,40	2,29812 3813	2,85	3,45334 8735	3.30	5.18095 8856
1,96	1,53235 0362	2.41	2.31913 2429	2,86	3,48463 2737	3,31	5.22789 7983
1,97	1,54666 4233	2,42	2,34032 5336	2,87	3,51619 7933	3,32	5,27526 5168
1,98	1,56119 9148	2,43	2,36170 4281	2,88	3,54804 6962	3,33	5,32306 4420
1,99	1,57585 6293	2,44	2,38327 1029	2,89	3,58018 2492	3,34	5,37129 9790
2,00	1,59063 6855	2,45	2,40502 7363	2,90	3,61260 7212	3,35	5.41997 5369
2,01	1,60554 2033	2,46	2,42697 5075	2,91	3,6^532 3840	3,36	5,46909 5281
2,02	1,62057 3039	2.47	2,44911 5981	2,92	3,67833 5120	3.37	5.51866 3697
2,03	1,63573 1095	2,48	2,47145 1912	2,93	3,71164 3814	3,38	5,56868 4817
2,04	1,65101 7434	2,49	2,49398 4712	2,94	3,74525 2718	3.39	5,61916 2888
2,05	1,66643 3299	2,50	2,51671 6246	2,95	3,77916 4648	3,40	5,67010 2192
2,06	1,68197 9944	2,51	2,53964 8394	2,96	3,81338 2452	3,41	5,72150 7056
2,07	1,69765 8635	2,52	2,56278 3055	2,97	3,84790 8999	3,42	5.77338 1845
2 08	1,71347 0648	2,53	2,58612 2143	2,98	3,88274 7188	3,43	5,82573 0963
2,09	1,72941 7273	2,54	2,60966 7592	2,99	3,91789 9943	3,44	5,87855 8859
2,10	1,74549 9810	2,55	2,63342 1351	3,00	3.95337 0217	3,45	5,93187 0019
2,11	1,76171 9567	2,56	2,65738 5389	3,01	3,98916 0991	3,46	5,98566 8980
2,12	1,77807 7871	2,57	2,68156 1694	3,02	4,02527 5271	3,47	6,03996 0312
2,13	1,79457 6055	2,58	2,70595 2269	З.СЗ	4.С6171 6С94	3,48	6,09474 8632
2,14	1,81121 5465	2,59	2,73055 9137	3,04	4,09848 6520	3,49	6,15003 860!
2,15	1,82799 7461	2,60	2,75538 4341	3,05	4,13558 9648	3,50	6,20583 4922
2,16	1,84492 3415	2,61	2,78042 9941	3,06	4,17302 8594	3,51	6,26214 2346
2,17	1,86199 4709	2,62	2,80569 8017	3,07	4,21080 6510	3,52	6,31896 5664
2,18	1,87921 2738	2,63	2,83119 0666	3,08	4,24892 6577	3,53	6,37630 9712
2,19	1,89657 8912	2,64	2,85691 0009	3,09	4,28739 2003	3,54	6,43417 9377
2,20	1,91409 4651	2,65	2,88285 8180	3,10	4,32620 6027	3,55	6,49257 9585
2,21	1,93176 1388	2,66	2,90903 7310	3,11	4,36537 1921	3,56	6,55151 5315
2,22	1,94958 0572	2,67	2,9^544 9665	3,12	4,40489 2984	3,57	6.61099 1589
2,23	1,96755 3660 ’	2,68	2,96209 7349	3,13	4.44477 2545	3.58	6.67101 3473
2,24	1,98568 2127	2,69	2,98898 2613	3,14	4,48501 3970	3,59	6,73158 6089
23 Э. Грей и Г. Б. Метыоз
353
Таблица VIII (продолжение)
г	1 Л (Ж)	|	1 Х	1 Ц U) |	Л- !	(X) 	i		1 X I	1, (-Г)	
3.60	6,79271 4601 |	4,00	9,75946 5154	4,40	1 14,64622 1338	4,80	20.25283 4600
3.61	6,85440 4223 !	4,01	9,84849 4681	4,41	14,17499 7247	4,81	20.43944 3796
3.62	6,91666 0219 !	4,02	9,93834 7267	4.42	14,30497 0189	4,82	20,62779 5525
3.63	6.97948 7901 '	4.03	10,02903 0650	4,43	14,43615 1440	4,83	20.81790 6249
3,64	7.04289 2632 .	4,04	10,12055 2634 ।	4,44	14,56855 2384	4,84	21.00979 2573
3.65	7.10687 9825	4,05	10.21292 1103	1 4,45	14.70218 4510	4,85	21.20347 1276
3.66	7.17145 4946	4,06	10,30614 4016	I 4,46	14,83705 9420	4,86	21.39885 9282
3.67	7,23662 3510	4,07	10,40022 9397	4,47	14.97318 8822	4,87	21.59627 3684
3.68	7.302S9 1084	4,08	10,49518 5359 !	4,48	15,11058 4538	4,88	21.79543 1735
3.69	7.36876 3288	4,09	10,59102 0085 |	4,49	15,24925 8499	4,89	21,99645 0853
3.70	7.43574 5797	4,10	10,68774 1837 1	4,50	15.38922 2754	4,90	22.19934 8620
3.71	7.50334 4337	4,11	| 10.78535 8956 1	4,51	15,52048 9464	4,91	22.40414 2793
3.72	7,57156 4687	4,12	i 10,88387 9856 '	4,52	15,67307 0904	4,92	22.61085 1286
3.73	7,64041 2684	4,13	10,98331 3038 I	4,53	15,81697 9464	4,93	22,81949 2189
3.74	7,70989 4216	4,14	11,08366 7081	4,54	15.96222 7657	4,94	22.03008 3764
3,75	7.78001 5230	4,15	1 11,18495 0646,	4,55	16,10882 8111	4,95	23.24264 4448
3,76	7.85078 1728	4,16	1 11,28717 2471	4,56	16,25679 3575	4,96	23.45719 2854
3.77	7.92219 9767	4,17	I 11,390341384	4,57	16,40613 6918	4,97	23.67374 7769
3.78	7.99427 5465	4,18	11.49446 6292	4,58	16,55687 1133	4,98	23,89232 8160
3.79	8.06701 4991	4,19	1 11.59955 6184	4,59	16,70900 9334	4,99	24,11295 3174
3,80	8.14042 4579	4,20	11,70562 0143	4,60	16,86256 4762	5.00	24,33564 2142
3.81	8,21451 0518	4,21	1 11,81266 7328	4,61	17,01755 0780	5,01	24.56041 4578 ,
3,82	8,28927 9159	4,22	1 11.92070 6992	4,62	17,17398 0885	5,02	24,78729 0180 ’
3.83	8.36473 6907	4,23	। 12.02974 8470 '	4,63	17,33186 8690	5.03	25,01628 8837
3,84	8,44089 0236	4,24	1 12,13980 1191 ; I	4,64	17,49122 7953	5.04	25,24743 0624 ,
3,85	8.51774 5677	4,25	12,25087 4666	4,65	17,65207 2549	5,05	25.48073 5808
3.86	8.59530 9818	4,26	12,36297 8507	4,66	17,81441 6491	5,06	25,71622 4854
3.87	8,67358 9318	4,27	12.47612 2406	4,67	17.97827 3926	5,07	25,95391 8413
3.88	8,75259 0893	4,28	12,59031 6150	4,68	18,14365 9128	5.08	26,19383 7336
3.89	8.83232 1322	4,29	12.70556 9622	4,69	18,31058 6520	5.09	26.43600 2675
3.90	8.91278 7451	4,30	12.82189 2796	4,70	18,47907 0647	5.10	26,68043 5680
3.91	8.99399 6193	4,31	12,93929 5743	4.71	18,64912 6207		
3.92	9,07595 4517	4,32	13,05778 8626	4,72	18,82076 8025		
3.93	9,15866 9467	4.33	13,17738 1705	4,73	18.99401 1070		
3.94	9,24214 8147	4,34	13,29808 5340	4,74	19,16887 0460		
3,95	9.32639 7737	4,35	13.41990*9985	4,75	19,34536 1448		
3,96	9,41142 5473	4,36	13.54286 6196	4,76	19,52349 9439		
3.97	9,49723 8668	4.37	13.66696 4630	4,77	19,70329 9977		
3.98	9.58384 4704	4,38	13,79221 6043	4,78	19,88477 8763		
3,99	9.67125 1025	4,39	13,91863 1291	4,79	20,06795 1638		
354
Таблица IX
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ Zo (х), Zt (ж), Z» (х), ... ДЛЯ ЗНАЧЕНИЙ х ОТ х-0 ДО г-6
х			
0,0	1,00000000000	о	!	0
0,2	1,01002502780	0,100500834028	0,0’501668751391
0,4	1,04040178223	0,204026755734	0,0202680035615
0,6	1,09204536432	0,313704025606	0,0463652789678
0,8	1,16651492287	0,432864802620 j	0,0843529163180
1,0	1,26606587775	0,565159103990	0,135747669767
I 1.2	1,39372558413	0,714677941552	0,202595681546
!	1,4	1,553с9509973	0,886091981415	0,287549411997
1,6	1,74998063974	1,08481063513	0,393967345826
1,8	1,98955935662	1,31716723040	0,526040211741
2,0	2,27958530233	1,59063685463	0,688948447698
2,2	2,62914286357	1,91409465059	0,889056817580
2,4	1 3,04925665799	2,29812381254	1,13415348087
2,6	3,55326890424	2,75538434051	1,43374248847
2,8	4,15729770350	3,30105582264	1,79940068733
3,0	4,88079258586	3,95337021738	2,24521244092
3,2	5,74720718718	4,73425389471	2,78829850299
3,4	6,78481316043	5,67010219264	3,44945892947
3.6	8,02768454705	6.79271460136	4,25395421296
3,8	9,51688802610	8,14042457894	5,23245403722
4,0	11,3019219521	9,75946515371	6,42218937528
4,2	13,4424561633	11,7056201430	7,86835133327
4,4	16,0104355250	14,0462213375	9.62578946244
4,6	19.0926234795	16,8625647618	11,7610735829
4,8	22,7936779931	20,2528346003	14,3549969097
5,0	27,2398718236	24,3356421424	17,5056149666
5,2	32,5835927106	29.2543С98818	21,3319350638
5,4	39,0087877856	35,1820585061	25,9783957463
5,6	46,7375512926	42,3282880326	31,6203055668
5,8	56,0380968926	50,9461849787	38,4704468999
6,0	67,2344069764	61.3419367775	46,7870947172
Э. Грей и Г. Б. Мэтьюз.
355
Таблица IX (продолжение)
1 X	/8(х)		h (х)
i 0,0	0	1 ।	
! 0.2	0,03167083750232	0,0’417500694777	0.0’834723214702
; 0,4	0,0’134672011869	I	0,0*672017811684	0,0’268449532285
0,6	0,0’469216582095	0,0’34362075832	0,0*205557100196
0,8	0,0111002210296	0,0’110125859602	0,0*876350693866
1,0	0,0221684249243	0,03273712022104	0,0’271463155956
1.2	0,0393590030648	0,0’580066622187	0,0’687894919051
1,4	0,0645222328531	0,0110255569122	(	0,0’151905049781
1,6	0,0998922705633	0,0193713312135	0,0’303561449592
1,8	0,148188982086	0,0320769381221	0,0’562481265409
2,0	0,212739959240	0,0507285699791	0,0’982567932312
2,2	0,297627709533	0,0773448824914	0,0163735913822
2,4	0,407868011092	0,114483453137	0,0262565006355
2,6	0,549626665935	0,165373259392	0,0407858678054
2,8	|	0,730483412160	0,234079089848	0,0616860125932
3,0	0,959753629490	0,325705181936	0,0912064776610
3,2	1,24888076598	0,446647066782	0,132263099020
3,4*	1,61191521679	0,604902664549	,188614829615
3,6	2,06609880918	0,810456197666	0,265085036586
3,8	2,63257822397	1,07575157832	0,367838059088
4,0	3,33727577842	1,41627570765	0,504724363113
4,2	4.21195220660	1,85127675241	0,685710773430
4,4	5.29550364442	2,40464812914	0,923416136884
4,6	6,63554425495	3,10601585905	1,23377754356
4.8	8,29033717554	3,99207544030	1,63687810838
5,0	10,3311501691	5,10823476364	2,15797454732
5,2	12,8451290635	6,51063229818	2,82877168171
5,4	J5,9388023977	8,26861530445	3.68900194663
5,6	19.7423554848	10,4677818331	4,78838143757
5,8	24,4148422891	13,2137134973	6,18903056865
6,0	30,1505402994	16,6365544178	7.9684G774238
356
Таблица IX (продолжение)
X	Ц {x)	Л (x)	4 (x)	1 	1
0,0	0	0	1 0
0.2	0,08139087425642	0,0i°198660852119	0,012248291584037
0,4	0,0*893980971214	0,082552409. 0874	0,0* °637748154995
0,6	0,05102559132723	0,0*438834749717	0,08164357788982
0,8	0,05582022868887	0,0e331639053615	0,0*165452506106	j
1,0	0,0*224886614771	i	0,08159921823l20	1	0,0*996062403333
1.2	0,0*682085631142	0,0e58C92879086I	0,0«433537513798
1,4	0,04 75196213558	0,0*173686673046	0,0B15095405!219
1,6	0,08398740613950	0,0*450598913012	0,0446656506452	!
1,8	0.03827978932673	0,08104953102941	'	0,0*116770209099	1
2,0	0,04 60017336352	0,03224639142001	0,0*276993695123
2,2	0,02291946711786	0,03449225284743	0,0*607607604085
2,4	0,02508136715570	j	0,03849664857007	1	0,03124988823159
2,6 i	0,02850453706344	0,02153415828186	0,03243684776533	'
2,8	0,0137719020155	0,02266357538382	'	0,03454025096400	!
з.о ! 1	0,0216835897328	0,02447211872992	0,03813702326455
3,2	0,0333248823452	0,02729479022559	0,02141017510822
3,4	!	0,0501531656813	0,0116036566222	j	0,02237340311951	-
3,6	0,0741088738166	0,0180554571973	I	0,02389320693838
3,8	0,107756685981	0,0275537875687	(	0,02624273178058
j 4'°	!	0,154464799871	0,0413299635012	0,02980992761666
4,2	0,218632053769	0,0610477626605	0,0151395115677
4,4	0,30597*5090770	0,0889386166028	0,0229885833970
4,6	0,423890764347	0,127975549614	0,0343999611745
4,8	0,581912714514	0,182096322090	1	0,0507984417519
5,0	0,792285668997	0,256488941728	।	0,0741166321596
5,2	1,07068675643	0,357956089960	। 0.106958821921
5,4	1,43713021810	0,495379239735	0,152813670643
5,6	1,91710069457	0,680308520630	,	0,216329392995
5,8	2,54297113760	0,927710973612	j	0,303668787505
6,0	3,35577484714	1,25691804811	0,422966068203 !
357
Таблица IX (продолжение)
X	U)	Ло (*)	м
0,0	0	0	0
0,2	0,0*4275848890728	0,0**275823817735	0,0**25072993174
0.4	0,0**141658875600	0,0**283214795193	0.0**514780037287
0,6	0,0**547312431307	0,0*464059590224	0,0**447130560011
0,8	0,0’734041402172	0,0*0293190617555	0.0**106485828421
1.0	0,0’551838586274	0,0*275294803983	0,0**124897830849
1.2	0,0’287877246335	0,0*172164429560	0.0**9365304020
1.4	0,0*116775736690	0,0*813818331745	0,0*51597501248
1.6	0,0*394240656000	0,0’313576845153	0,0*22695995590
1.8	0,0*115736151949	0,0*103405714922	0,0*84091314720
2.0	0,0*304418590271	0,0*301696387935	0,0’272220233597
2.2	0,0*732884540826	0,0*797479795484	0,0’79029085679
2.4	0,О4164060359505	0.0*494355352977	0,0*20975653574
2,6	0,04345596570386	0,0*442561241924	0,0*51648458289
2.8	0,04691462615510	0,0*951341501153	0,0*11932971830
3,0	0,0*132372988831	0,О4194643934705	0,0*26103656940
3,2	0,0*243914684482	0,04381550080109	0,0*544588441373
3,4	0.0*434700765661	0,0472Q461248306	0,041С9000313633
3.6	0,0*752315248879	0,0*131,630693989	0,0*210336156069
3,8	0,0*126860112417	0,0*233568560836	0,0*39292909243
4.0	0,0*209025303452	0,0*403788961327	0,04713082278832
4.2	0,0*337343287863	0,0*681942087915	0,0*126089602839
4.4	0,0*534л76788633	|	0,0*112771477116	0,0*217791653765
4,6	0,0*832351074598	j 0,0*182970173372	0,0*36828581676
4,8	0,0127681829170	0,0*291775581322	0,0*61086702855
5.0	0,0193157188168	0,0*458004441917	0,0*995541140110
5.2	0,0288520225117	j 0,0«70864?630312	0,0*159649826893
5.4	0,0425979933861	i	0,0108203593556	0,0*252258836536
5.6	0,0622245406441	1	0,0163219409248	.0,0*393189448412
5,8	0.090С0С9735967	j	0,0243461108260	0,0*605186730033
6.0	0,129008532906	।	0,0359404694846	0,0*920696795753
358
Таблица X
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ К0(ж) И К»(х) С 21 ДЕСЯТИЧНЫМ ЗНАКОМ
ДЛЯ ЗНАЧЕНИЙ х ОТ г-0,1 ДО х-11,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0
1,1
1.2
1.3
1,4
1,5
1.6
1.7
1.8
1.9
2,0
2.1
2,2
2,3
2,4
2.5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
Хо(*)	1 j	Ki (X)	х
2,4270690 2470201 6612519	9,8538447 8087060 6134849	0,1
1,75270*8 5552814 5906617	4,7759725 4322047 2248750	0.2
1,3724600 6054429 7376645	3,0559920 3345732 4978851	0,3
1,1145291 3452443 4406Г70	2,1843544 2473268 7379723	0,4
0,9244190 7122766 5861782	1,6564411 2000*30 С893696	0,5
0,7775220 9190472 9289468	1,3028349 3976350 2176671	0,6
0,6605198 5991510 1548740	1,0502835 3531291 7951430	0,7
0,5653471 0526589 5668369	0,8617816 3447218 0346690	0,8
0,4867303 0816290 0521582	0,7165335 7877601 9074786	0,9
0,4210244 3824070 8333336	0,6019072 3019723 4574738	1,0
0,3656023 9154318 5880566	0,5097600 2716702 7048822	М
0,3185082 2028659 3615118	0,4345923 9106071 5038502	1,2
0,2782476 4630002 6999011	0,3725474 9563196 2И6173	1,3
0,2436550 61181'54 1892927	0,3208359 0222987 5750946	1,4
0,2138055 6264752 5736722	0,2773878 0045684 3816085	1.5
0,1879517 5196933 2325059	0,24063-9 1135761 1855164	1,6
0,1654963 1805699 6539364	0,209%24 8820408 2474675	1,7
0,1459314 0048982 7981234	0,1826230 9980174 6979604	1,8
0,1288459 7927604 7479856	0,1596601 5303266 7610382	1.9
0,1138938 7274953 3435653	0,1398658 8181652 2427285	2,0
0,1007837 4088996 6945812	0,1227464 1153350 791С608	2,1
0,0892690 0567160 1745130	0,1078968 1011908 7275030	2,2
0,0791399 3300209 3626828	0,0949824 4384536 2636833	2,3
0,0702173 4154341 5895531	0,0837248 3875483 2182453	2.4
0,0623475 5320036 6186029	0,0738908 1634774 7063649	2,5
0,0553983 0328632 1951484	0,06’2840 4505853 1495000	2,6
0,0492554 0091581 7592455	0,0577383 9895652 5947419	2.7
0,04*8199 8197549 8528903	0,0511126 8560727 2438995	2.8
0,0390062 3456622 3424101	0,0452864 2329336 144*561	2.9
0,0347395 0438627 9248072	0,0401564 3112819 4184377	3.0
0,0309547 0803804 1442502	0,0356340 5494961 749*670	3,1
0,0275949 9767510 0610315	0,0316428 9521139 877С897	3,2
0,0246106 3214583 9314335	0,0281169 3427271 6612255	3,3
0,0219580 1880680 8280394	0,0249989 8412318 6272784	3.4
0,0195988 9717036 8489108	0,0222393 9292592 3833739	3.5
0,0174996 4101814 6603343	0,0197949 6201972 0617134	3.6
0,0156306 5992162 6661612	0,0176280 3510222 3266688	3,7
0,0139658 8453424 5617659	0,0157057 2907847 3492808	3.8
0,0124823 2275724 9775684	40,0139992 8208227 4828044	3,9
0,0111596 7608585 3024270	40,0124834,9888726 8431470	4,0
359
Таблица X (продолжение)
X	*0 (•*)	/С, (ж)	х
4,1	0,00998С0 0722784 0242646	0,0111362 7763347 9931554	4,1
4,2	0,0089274 5154154 2371598	0,0099382 0473591 7087547	|	4,2
4,3	0,0079879 6603176 4522372	'	0,0088722 0718859 1397612	4.3
4,4	0,0071491 1062330 7253932	j	0,0079232 5336144 5598749	1 4,4
4,5	0,0063998 5724323 3975046	1	0,0070780 949С896 8089693	4,5
4,6	0,0057304 2291729 2834887	!	0,0063250 4364426 4015020	4,6
4,7	0,0051321 2364845 4615086	0.0056537 7824003 0826704	4,7
4,8	0,0045972 4631672 4657899	0,0050551 7644405 6299816	4,8
4,9	0,0041189 3623551 5888790	'	0,0045211 6917729 9838509	4,9
5,0	0,0036910 9833404 2594275	(	j	0,0040446 1344545 2164208	5,0
5,1	0,0033083 1021801 7464327	1	0,0036191 8146231 7798328	5,1
5,2	0,0029657 4560102 9581462	1	0,0032392 6377308 9456376	5,2
5,3	0,0026591 0680328 9557342	0,0028998 8449169 С688906	5,3
5,4	0,0023845 6518972 4900197	0,0025966 2704017 7797776	5,4
5,5	1	0,0021387 0856595 0287432	•	0,0023255 6900884 9005155	5,5
5,6	0,0019184 9468435 6577228	|	0.0020832 2495060 97891С6	5,6
5,7	0,0017212 1011572 3315288	i	0,0018664 9608831 18Г0924	5,7
5,8	0,0015444 3384228 1102204	1	0,0016726 2605414 1651512	5,8
5,9	0,0013860 0500730 4947106	0,0014991 6189972 2485306	5,9
6,0	0,0012439 9432801 3123085	;	0,0013439 1971773 5509006	6,0
7,0	0,0004247 9574186 9231	j	0,0004541 8248688 4898	7,0
8,0	'	0,0001464 7070522 2804	’	0,0001553 6921180 4984	8,0
9,0	!	0,0000508 8131295 6458	0,0000536 3701637 9453	9,0
10,0	j	0,0000177 8006231 6066	0,0000186 4877345 3874	i ю,о
11,0	|	0.0000061 4302054 7653	0,0000065 2086067 4582	! и,о l_
360
Таблица XI
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ Ко (х) И Kt (х) С МЕНЬШИМ ЧИСЛОМ ДЕСЯТИЧНЫХ
ЗНАКОВ ДЛЯ ЗНАЧЕНИЙ х ОТ х = 6,1 ДО х-12,0
X			х
6,1	1 0,001116 6787	0,001204 9543	6.1
6,2	0,001002 5189	0,001080 5324	6,2
6,3	0,000900 1392	0,000969 1088	6,3
6,4	0,000808 3099	|	0,000869 3058	6,4
6,5	0,000725 9318	|	0,000779 8944	6,5
6,6	0,000652 02137	|	0,000699 77768	6,6
6,7	0,000585 69916	|	0,000627 97668	6,7
6,8	0,000526 17809	0,000563 61716	6,8
6,9	0,000472 75379	0,000505 91831	6,9
7,0	0,000424 79574	0,000454 18249	7,0
7,1	0,000381 739385	0,000407 786222	7,1
7.2	0,000343 079156	0,000366 172174	7,2
7,3	0,000308 362213	0,000328 841997	7,3
7,4	0,000277 182870	0,000295 349978	7,4
7,5	0,000249 177617	0,000265 297390	7,5
7,6	0,000224 020678	0,000238 327458	7,6
7,7	0,000201 420050	0,000214 120873	7,7
7,8	0,000181 113953	0,000192 391797	7,8
7,9	0,000162 867068	0,000172 884307	7,9
8,0	0,000146 470705 2	0,000155 369211 8	8,0
8,1	0,000131 734278 6	0,000139 641228 9	8,1
8,2	0,000118 489040 5	0,000125 516451 2	8,2
8,3	0,000106 583060 1	0,000112 830094 0	8,3
*8,4	0,000095 880013 8	0,000101 434481 3	8,4
8,5	0,000086 257566 3	0,000091 197247 7	8,5
8,6	0,000077 605920 7	0,000081 999731 8	8,6
8,7	0,000069 826521 36	0,000073 735540 60	8,7
8,8	0,000062 830892 86	0,000066 309267 33	8,8
8,9	0,000056 539599 34	0,000059 635344 08	8,9
9,0	0,000050 881312 956	0,000053 637016 382	9,0
361
Таблица XI (продолжение)
X	K.U)	км	X
9.1	0,000045 791079 331	0,000048 245426 023	9.1
9.2	0,000041 214069 631	0,000043 398790 454	9,2
9,3	0,000037 С95910 423	0,000039 041668 525	9,3
9,4	0,000033 391083 017	0,000035 124303 368	9.4
9.5	0.С00030 057884 958	0.0С0031 602034 ПО	9.5
9,6	0,000027 058847 266	0,000028 434769 224	9,6
9,7	0,000024 36030! 507	0,000025 586514 844	9,7
9,8	0,000021 931991 556	0,000023 024952 359	9,8
9,9	0,000019 746725 314	О.ООГ020 721059 930	9,9
10,0	0,000017 780062 316	0,000018 648773 4539	10,0
10,1	0,000016 010033 412	0,000016 784682 675	10,1
10.2	0,000014 416889 253	0,000015 107758 866	10,2
10,3	0,000012 982874 576	0,000013 599110 702	10,3
10,4	0,000011 692025 596	0,000012 241765 367	10,4
10,5	0,000010 529988 143	0,000011 020472 310	10,5
10,6	0,000009 483854 408	0,000009 921527 234	10,6
10,7	0,000008 542016 3447	0,000008 932614 226	10,7
10,8	0,000007 694034 0412	0,000008 042664 1317	10,8
10,9	0,000006 830517 5175	%	0,000007 241727 5238	10,9
11,0	0,000006 243020 5476	0,000006 520860 6746	11,0
11,1	0,000005 623945 3026	0,000005 872023 2610	11.1
11,2	0,000005 066456 6819	0,000005 287986 5395	11,2
11,3	0,000004 564405 3501	0,000004 762250 9296	11,3
11,4	0.С0Г004 112258 5922	0,000004 288972 0217	11,4
11,5	0,000003 7С5038 1654	0.000003 862894 1453	11,5
11,6	0,000003 338264 475!	0,000003 479290 7324	11,6
11.7	0,000003 007906 3800	0,000003 133910 7412	Н.7
11.8	0,000002 710336 0930	0,000002 822930 5593	11,8
11,9	0,000002 442288 6370	0,000002 542910 7952	11.9
12,0	0,000002 200825 397302	0,000002 200757 464767	12,0
362
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ К, (х), К, (х),
X	к, (ж)	К*(х)	(х)	(*)
0,2	49,512	995,02	29900,0	11970X102
0,4	12,036	122,55	1850,2	37127,0
0,6	5,1203	35,438	359,50	4828,8
0,8	2,7198	14,461	111,17	1126,2
1,0	1,6248	7,10126	44,232	360,96
1,2	1,0428	3,9106	20.596	141,22
1,4	0,70199	3,3265	10,673	63,314
1,6	0.48874	1,4625	5,9731	31,328
1,8	0,34884	0,95783	3,5416	16,698
2,0	0,25376	0,64738	2,1959	9,4310
2.2	0,18736	0,44854	1,4106	5,5782
2,4	0,13999	0.31704	0,93258	3,425и
2,6	0,10562	0,22777	0,63124	2,1700
2,8	0,080328	0,16587	0,43575	1,4108
3,0	0,061510	0,12217	0,30585	0,93776
3,2	0,047371	0.090856	0,21773	0,63517
3,4	0,036663	0,068131	0,15689	0,43729
3,6	0,028496	0,051456	0,11425	0,30536
3,8	0,022232	0,039107	0,083980	0,21591
4,0	0,017401	0,029884	0,062227	0,15434
4,2	0,013659	0,022947	0,046440	0,11140
4.4	0,010750	0,017696	0,034881	0,081116
4,6	0,0084800	0,013699	0,026348	0,059521
4,8	0.0067030	0,010641	0,020004	0,043981
5,0 1		0,0053090	0,0082910	0,015258	0,032704
Таблица XII
Ktt (л) ДЛЯ ЗНАЧЕНИЙ х ОТ х - 0.2 ДО х - 5,0
К. (Л)	Кт(лг)	*8 (•*)	*•(*)		X
Б9880Х108	35940X10®	25164Х10т	20135X10®	18124X10»*	1 0,2
93003X10	27938X10®	97876ХЮ*	39178X10®	17640X10»	0,4
80839,0	16216Х102	37Q18X10®	10128X10®	30422X10®	0,6
14189,0	21396X10	37585ХЮ2	75383X10»	16999X10®	0,8
3653,8	44207,0	62255X10	10005X10»	18071ХЮ*	1,0
1197,4	12115,0	14254X10	19126X10»	28832ХЮ»	1,2
462,92	4031,2	40775,0	47002X10	60839X10»	1,4
201.77	15*4,6	13717,0	13872X10	15743X10»	1.6
96,310	658,77	5220,0	47059,0	47581X10	1,8 !
49,351	305,54	2188,1	17810,0	16248ХЮ	2,0
26,766	151.57	991,33	7361,2	61219,0	2,2
15,206	79,456	478,70	3270,8	250С9.0	2,4
8,9775	43.605	243,77	1543,7	I	10931,0	2,6
5,4742	24,872	129,83	766.78	5059.1	2,8 ।
3,4317	14,664	71,866	397,95	2459,6	3,0 ;
2,2026	8,8950	41,118	214,49	1247,6	3,2
1.4430	5,5302	24,214	119.48	|	656,75	3,4 .
0,96246	3,5135 I	14,626	68.519	1	357,22	3,6
0,65215	2,2753	!	9,0350	40,317	200,01	3,8
0,44807	1,4985	5,6930	24,271	114,91	4,0
0,31169	1,0019	3,6515	14,912	67,561	4,2
0,21923	0.67903 ।	2,3798	9,3127 ।	40,477	4,4
0,15574	0,46580 |	1,5734	5,9385 1	24,811	4,6 |
0,11163	0,32306 1	1,0539	3.8360 ;	15,439	4.8 !
0,080666	0,22630 :	0,71409	2,5114 |	9,7550	5,0 ! 	i
Таблица XIII
ПЕРВЫЕ ДВА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КОРНЯ Pi И р2 ФУНКЦИИ Jn (х) ДЛЯ МАЛЫХ
ЗНАЧЕНИЙ п
п	Р«	Р2	п	Р>	Р2
__ 1 ~2	1,5708	4,7124	1 4	2,7809	5,9061
	1_9 4 0	1,6167	4,7541	1 1 4 0	2,8175	5,9442
_ 9 2 0	1,6620	4,7958	3 1 0	2,8541	5,9822
	L7 4 0	1,7068	4,8372	1 3 4 0,	2,8905	6,0201
	2_ 5	1,7509	4,8785	7 1	2 0	2,9267	6,0579
- 3 8	1,7946	4,9196	1	з ;	8	2,9628	6,0957
_	7 2,0	1,8378	4,9605	1 :	5*	2,9988	6,1333
1 3 4 0	1,8805	5,0014	1 7 4 0	3,0347	6,1709
	3_ 1 0	1,9228	5,0421	9 2 0	3,0704	6,2084
1 1 4 0	1,9647	5,0826	1 9 4 0	3,1061	6,2458
i	l 4	2,0063	5,1230	1 2	3,1416	6,2832
9			2 1		
। — 		 1	4 0	2,0475	5,1633	4 0	3,1770	6,3204
__ 1 5	2,0883	5,2034	1 1 2 0	3,2123	6,3576
' _ 7			2 3		
4 0	j 2,1288	5,2434	4 0	3,2474	6,3947
' _ _л			3		
;	2 0	2,1690	5,2833	5	3,2825	6,4318
	1_			5		
8	2,2090	5,3231	8	3,3175	6,4688
I	1		1 3		
1 0	,	2,2486	5,3627	2 0	3,3524	6,5057
3			2 7	;		
4 0	1	2,2880	5,4022	4 0	!	!	3,3872	6,5425
1			7		
2 0	2,3272	5,4416	1 0	1	3,4219	6,5793
	1_			2 9		
4 0	2,3661	5,4809	4 0	1	3,4565	6,6160
364
Таблица ХШ (продолжение)
п	Р1	Р2	। 		 [	л	i 1	1	Р2
0	2,4048	5,5200	3 4	1 3,4910 i	1	। 6,6526
1 4 0	2,4433	5,5591	3 1 4 0	|	3,5254 i	'	6,6892
1 2 0	2,4815	5,5981	4 5	3,5597 |	6,7257
3 !	4 0	2,5196	5,6369	3 3 4 0	3,5940	6,7621
i	1_ 1 0	2,5574	5,6757	1 7 2 0	3,6282 ।	6,7985
1			7		
8	2.5951	5,7143	8	3,6623	6,8348
3	1	1		j	9		
2 0	2,6326	5,7529	!	1 о	3,6963	6,8711
7			!	3 7		
4 0	2,6699	5,7913	4 0	J	3,7302	J	6,9073
1 5	2,7070	5,8297	1 9 2 0	3,7641	6,9435
9 4 0	2,7440	5,8679	3 9 То	3,7979	6,9795
	1_ 3	1,8663		1 6	2,6575	
1 “	6	2,1423		1 3	2,9026	
365
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства.................................................. 3
Предисловие к первому изданию.................................... 5
Предисловие ко второму изданию................................... 7
Глава I. Введение................................................ 9
§ 1.	Задача Бернулли.............•.......................... 9
§ 2.	Задача Фурье.......................................... 11
§ 3.	Задача Бесселя........................................ 12
§ 4.	Уравнение Лапласа..................................... 15
Глава II. Решение дифференциального уравнения................... 17
§ 1.	Решение методом Фробениуса............................ 17
§ 2.	Определение функции Бесселя Jn(x)............ 22
§ 3.	Определение функции Неймана—Бесселя Yn(x) ...... 23
§ 4.	Рекуррентная формула для 1п (х)....................... 24
§ 5.	Выражение для Jn (х), если п есть половина нечетного числа 26
Примеры................................................ 27
Глава III. Другие функции Бесселя и связанные с ними функции ...	29
§ 1.	Функция In(t)......................................... 29
§ 2.	Функция Кп (0......................................... 30
§ 3.	Функция Бесселя Gn(x)................................. 32
Рекуррентные формулы для Yn (х)........................ 34
Функция Ганкеля — Бесселя второго рода................. 34
§ 4.	Зависимость между любыми двумя решениями уравнения
Бесселя................................................. 34
§ 5.	Функция Fn(x)......................................... 36
§ 6.	Функции Ьег и bei Кельвина............................ 36
Прим	еры............................................. 38
Глава IV. Функции целого порядка. Разложения в ряды по функциям
Бесселя...................................................... 42
§ 1.	Коэффициенты Бесселя.................................. 42
Интеграл Бесселя....................................... 43
Эксцентрическая аномалия............................... 44
ОГЛАВЛЕНИЕ
367
§ 2.	Разложение Xя в ряд по функциям	Бесселя.............. 44
Разложение степенного ряда по	функциям	Бесселя .... 45
Разложение Сонина.............................•	. . . . 47
§ 3.	Теорема сложения..................................... 48
Обобщение теоремы сложения............................ 49
§ 4.	Разложение Шлёмильха................................. 52
Примеры............................................... 55
Глава V, Выражение функций Бесселя с помощью определенных интег-
ралов. Асимптотические разложения........................... 59
§ 1.	Второй интеграл Бесселя.............................. 59
§ 2.	Выражение функций Бесселя с помощью контурных интегра-
лов ...................................................... 61
Решение уравнения Бесселя............................. 61
Выражение для /л(г)................................... 62
Выражение для Kn(z)................................... 63
Выражение для Fn(z)................................... 68
Видоизменение интеграла Бесселя в случае, когда п не есть
целое число........................................... 70
§ 3.	Асимптотические разложения........................... 70
Асимптотическое разложение для функции	Gn(z).... 74
Асимптотическое разложение для функции	1п (ж).....74
Асимптотическое разложение для функции	In(z).... 75
Асимптотические разложения для функций Ьег и bei .... 75
Функции Бесселя, для которых п равно половине нечетного
числа................................................. 76
§ 4.	Асимптотические выражения для функций	Бесселя...76
Обобщение формул асимптотических разложений...........80
§ 5.	Асимптотические выражения для функций Бесселя, рассма-
триваемых как функции их порядков......................... 81
Примеры............................................... 82
Глава VI.	Определенные интегралы, содержащие	функции	Бесселя . . 84
§ 1.	Различные интегралы.................................. 84
§ 2.	Интегралы 'Ломмеля................................... 91
§ 3.	Формула сложения Гегенбауэра......................... 94
Теорема сложения для функции	Jn.......................96
Теорема сложения для функции Кп....................... 97
Примеры................................................98
Глава VII. Корни функций Бесселя...............................104
§ 1.	Теоремы о корнях функций	Бесселя.....................104
§ 2.	Корни функции Jn (х).................................110
Метод Стокса определения корней функции Jn(x).........112
368
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.	Корни функций Бесселя, рассматриваемых как функции их
порядков....................................................114
Примеры................................................115
Глава VIII. Ряды и интегралы Фурье — Бесселя.....................117
§ 1.	Ряды Фурье — Бесселя...................................117
§ 2.	Справедливость разложения..............................120
§ 3.	Интегралы Фурье — Бесселя..............................123
Глава IX. Соотношения между функциями Бесселя и функциями
Лежандра. Функция Грина...........................................125
§	1.	Функции Бесселя как предельный	случай присоединенных
функций Лежандра......................................125
§ 2.	Присоединенная функция Лежандра как интеграл от функций
Бесселя.....................................................126
§	3.	Выражение Дуголла для функции	Грина................129
Функция Грина..........................................130
Случай I. Все пространство.............................130
Случай II. Часть пространства, ограниченная двумя парал-
лельными плоскостями: г = 0и	z=c^>0..................131
Случай III. Часть пространства, ограниченная внешним обра-
зом цилиндром: р = а....................................132
Случай IV. Часть пространства, ограниченная двумя пере-
секающимися плоскостями:	®гг0и® = а^>0..................134
Случай V. Часть пространства, ограниченная внешним обра-
зом двумя параллельными плоскостями и цилиндром: 2 = 0,
2 = ic, р = а...........................................135
Случай VI. Часть пространства, ограниченная двумя парал-
лельными плоскостями и двумя пересекающимися плоско-
стями: 2 = 0, ж = с, ® = 0, сш..........................136
Случай VII. Часть пространства, ограниченная двумя пере-
секающимися плоскостями и цилиндром: ср = 0, ® = а, р~ а 137
Случай VIII. Часть пространства, ограниченная двумя пере-
секающимися "плоскостями, двумя параллельными плоско-
стями и цилиндром: <р = 0, <? = а, 2 = 0, z—ct р — а. . . 137
Случай IX. Часть пространства, ограниченная двумя парал-
лельными плоскостями, двумя пересекающимися плоско-
стями и двумя цилиндрами: г = 0, z — C, ® = 0, ® = а, р = я,
p = bt b>a..............................................138
Глава X. Колебания мембраны......................................141
Глава XI. Гидродинамика..........................................148
§ 1.	Функция тока для движения жидкости в пересекающихся
плоскостях..................................................148
§ 2.	Колебания цилиндрического вихря.....................•	. 151
§ 3.	Волновое движение в цилиндрическом сосуде..............158
ОГЛАВЛЕНИЕ
369
§ 4.	Колебания жидкости во вращающемся бассейне........161
§ 5.	Плоское движение вязкой жидкости..................164
Маятник, движущийся в вязкой жидкости...............166
Глава XII. Постоянный ток электричества или тепла в однородной
изотропной среде .............................................. 171
§ 1.	Электрический потенциал...........................171
Потенциал от заряженного круглого диска.............173
§ 2.	Круглый дисковый электрод в неограниченной среде	....	174
§ 3.	Проводник, ограниченный параллельными плоскостями	.	.	.	176
§ 4.	Проводник, ограниченный круговым цилиндром и параллель-
ными плоскостями...........................................179
§ 5.	Металлическая пластинка и проводник, разделенные пленкой 180
Проводник, ограниченный параллельными плоскостями 184
Цилиндр конечного радиуса...............................187
§ 6.	Конечный цилиндрический проводник с электродами на
образующей.................................................187
Глава XIII. Распространение электромагнитных волн вдоль проводов 191
§	1.	Уравнения электромагнитного поля.......................191
§	2.	Волны, распространяющиеся вдоль	прямого провода .... 192
Длинные волны низкой частоты..............................197
Электрические и магнитные силы............................199
Голый воздушный провод....................................202
Быстрые колебания.........................................203
§ 3.	Диффузия электрического тока...................%	- 203
Плотность тока............................................206
§ 4.	Исследования Герца......................................209
Глава XIV. Диффракция..............................................214
I.	Случай симметрии относительно	оси.....................214
§ 1.	Интенсивность освещения (на экране, перпендикулярном
к оси), выраженная в бесселевых	функциях.................214
§ 2.	Рассмотрение , рядов (U, V) функций Бесселя, выражающих
интенсивность освещения ...................................220
§ 3.	Интегралы от функций Бесселя, выраженные через функции
U и V......................................................225
Два случая диффракции.....................................228
§ 4.	Случай 1: у = 0...................................".	228
§ 5.	Случай 2: у~^Ъ.........................................'232
§ 6.	Графический метод нахождения точек максимума и мини-
мума освещенности..........................................235
§ 7.	Случай, когда отверстие заменено непрозрачным диском . . 243
§ 8.	Источники света в виде линейно расположенных точечных
источников. Функция Струве.................................249
370
ОГЛАВЛЕНИЕ
II.	Случай щели......................................259
§ 9.	Диффракция, произведенная узкой щелью, ограниченной
параллельными краями. Интегралы Френеля................259
Глава XV, равновесие изотропного упругого стержня кругового сече-
ния .........................................................264
§ 1.	Решение уравнений равновесия, выраженное в гармониче-
ских функциях..........................................264
§ 2.	Общая задача о напряжениях на поверхности кругового
цилиндра...............................................266
Нормальное напряжение...............................267
Выражение решения в виде ряда.......................269
Глава XVI. Различные приложения..............................272
§ 1.	Переменный поток тепла в сплошной сфере............272
§ 2.	Устойчивость вертикального цилиндрического стержня . . . 275
§ 3.	Крутильные колебания кругового цилиндра............278
§ 4.	Колебания цепи переменной плотности................281
§ 5.	Приливные волны в устье реки.......................282
Смешанные примеры............................................285
Г ДОБАВЛЕНИЕ^!’
Формулы для гамма-функции и гипергеометрической функции . . . . 299
ДОБАВЛЕНИЕ II
Метод получения ’ асимптотических разложений бесселевых функций
Стокса.......................................................302
ДОБАВЛЕНИЕ III
Формулы для определения корней бесселевых	функций............305
Объяснения к таблицам........................................309
Примечание от редакции ...»..................................311
Графики функций J0(x) и J\(x)................................312
Таблица I. Значения функций J0(x)	и	J\(x)	.............. 313
Таблица II. Значения функций Jn (х) для различных значений п ... . 332
Таблица III. Первые 40 корней уравнения Jo(x)=rO с соответствую-
щими значениями функции (х)................................  346
Таблица IV. Первые 50 корней уравнения ‘J1(x) = 0 с соответствую-
щими максимальными и минимальными значениями функции
М............................................................347
Таблица V. Наименьшие корни уравнения Jn (х5 ) = 0...........348
Таблица VI. Iq(x = berх/beiх...............................  348
Таблица VII. Значения функции Щх) для значений х от х = 0
до х~5,10 . .................................................349

|	ОГЛАВЛЕНИЕ	37J
Таблица VIII. Значения функции 1\(х) для значений х от л—0 до
х = 5,10..................................................352
Таблица IX. Значения функций /0(х), 1\ (х), /э(х), . . . для значений х
отхпОдохггб...............................................355
Таблица X. Значения функций Kq(x) и Xi(x) с 21 десятичным знаком
для значений х от л = 0,1 до 11,0.........................359
Таблица XI. Значения функций /С0(х) и К\(х) с меньшим числом деся-
тичных знаков для значений х от х = 6,1 до х=2 12,0 . . . 361
Таблица XII. Значения функций /С2(х), Лз (*)» • • • Жю(*) для значе-
ний х от х = 0,2 до х“5,0.................................363
Таблица XIII. Первые два положительных корня pj и р2 функции Jn(x)
для малых значений п......................................364
Редактор А. В. ГЕРМОГЕНОВ
Технический редактор
Б. И. Корнилов
Сдано в производство 6/VIII 1952 г.
Подписано к печати 15/IX 1952 г.
А 06£09. Бумага C0X92»/Jt— И.6бум. л.
23,3 печ. л.
Уч.-издат. л. 25,1. Изд. № 1/1788
Цена 19 р. 60 к. Зак. 953.
Отпечатано во 2-й тип. Издательства
Академии Наук. Москва, Шубинский
пер., д. 10, с набора типографии Гос-
энергоиздат, Москва, Шлюзовая
наб., 10