Министерство образования Российской Федерации
Томский политехнический университет
Томский государственный университет
Московский институт электроники и математики
В. Г. Багров, В, В. Белов,
В.Н. Задорожный, А.Ю. Трифонов
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ физики
Специальные функции
Рекомендовано Министерством образования Российской
Федерации в качестве учебного пособия для студентов
инженерно-физических специальностей высших учебных
заведений"
Томск 2002

УДК 581
М341
Багров В. Г., Белов В. В., Задорожный В.НМ
Трифонов А. Ю. Методы математической физики. III. Специальные
функции. — Томск: Йзд-во НТЛ, 2002. — 352 с.
Настоящее учебное пособие посвящено изложению теории
специальных функций. Оно содержит теоретический
материал в объеме, предусмотренном ныне действующей программой
курса высшей математики для инженерно-физических и
физических специальностей университетов. Теоретический курс
дополнен индивидуальными заданиями (30 вариантов) для
самостоятельного решения по разделам «Специальные и
обобщенные функции» курса «Высшая математика и математическая
Пособие предназначено для студентов и аспирантов
физических и инженерно-физических специальностей.
Рецензенты: академик РАН, профессор В.П. Маслов
кафедра математики физического факультета
Московского государственного университета
ISBN 5-89503-145-5 © В.Г. Багров, В.В. Белов,
В.Н. Задорожный, А.Ю.Трифонов, 2(Ш
(Е) Изда'гельство
научно-'гехнй^ёской Литературы, 2002

часть iii
Специальные функции
Данный раздел курса посвящен изучению свойств
специальных функций, возникающих при решении задач
математической физики. Даже для сравнительно простых физических
задач, допускающих точные аналитические решения, эти
решения зачастую не могут быть выражены через элементарные
функции. Отсюда следует, что специальные функции
являются основной базой конструирования решений задач
математической физики, причем сама эта база непрерывно расширяется
при изучении новых, не исследовавшихся ранее физических и
математических проблем. Авторы ставят здесь три основные
учебные задачи. Первая - ознакомить с наиболее
употребительными конкретными специальными функциями
(функциями Бесселя, ортогональными классическими полиномами и
т.п.). Вторая - на основе изучения различных свойств
конкретных функций выработать представление об общих методах и
приемах, пригодных для исследования свойств специальных
функций, не рассмотренных в данном курсе. Третья - путем
подбора задач сформировать практические навыки
использования общих методов в конкретных случаях. Эти цели и
определяют содержание данного раздела.
ГЛАВА 1
Задача Штурма-Лиувилля для
обыкновенных дифференциальных
уравнений
В узком смысле под специальными функциями
понимаются функции, которые появляются при решении уравнений с
частными производными, например, методом разделения
переменных. В частности, при использовании метода разделения
переменных в цилиндрических и сферических координатах мы
приходим к цилиндрическим и сферическим функциям.
Одна из характерных особенностей этих функций состоит
в том, что они, как правило, являются решением уравнения
|И|]-з(% = о

4
Глава I. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
с особыми точками, т.е. коэффициент k(t) обращается в нуль
в одной или нескольких точках промежутка изменения
переменной t. Решение таких уравнений имеет ряд специфических
свойств, часть из которых мы и рассмотрим в этой главе.
В более широком смысле под специальными функциями
математической физики понимается совокупность отдельных
классов неэлементарных функций, возникающих при решении
как теоретических, так и прикладных задач в самых
различных разделах математики, физики и техники.
1. Краевые задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное
уравнение
x"+p(t)x' + q(t)x = f{t), (1.1)
где р(£), q(t) - функции, непрерывные на отрезке [а, 6]. Из курса
высшей математики известно, что общее решение уравнения
(1.1) имеет вид
x(t) = Cizi(t) + C2x2{t) + x{t), (1.2)
где C\ и Сг — произвольные постоянные, Xi(t) и хг($) —
определенные на ]а, Ь[ и линейно независимые на этом интервале
решения уравнения (1.1) при f(t) = 0, a x(t) — любое
определенное на ]а, Ь[ частное решение уравнения (1.1).
Чтобы из общего решения (1.2) уравнения (1.1) выделить
какое-либо конкретное решение, нужно задать
дополнительные условия. В разделе «Дифференциальные уравнения» курса
математического анализа решалась задача Кош и: в некоторой
точке £о G]a, 6[ задавалось значение самой неизвестной
функции и ее первой производной
x(t0) = х0у x'{to) = х'0. (1.3)
При этом отмечалось, что существует одно и только одно
решение задачи (1.1), (1.3). Однако зачастую в конкретных
физических задачах требуется из всего множества решений (1.2)
выбрать решения, удовлетворяющие на концах отрезка [а, Ь]
следующим условиям:
axx(a) + a2x'(a) = жа, п ,
01х(Ь)+р2х'(Ъ) = хь, [1А>

1. Краевые задачи для ОДУ
5
где ai, а2, /3i, (32) жа, хь - постоянные числа, причем в парах
<*1 и «2, /3i и /?2 хотя бы одно из чисел должно быть
отличным от нуля (т.е. |ai| + \а2\ ф 0 и |/?i| + |/32| ^ 0). В этих
задачах значение искомой функции задается не в одной, а в
двух точках, ограничивающих отрезок, на котором требуется
определить решение.
Примером может служить задача о движении
материальной точки массой т под действием заданной силы jF(t, ж, ж'),
в которой часто требуется найти закон движения, если в
начальный момент t = to точка находилась в положении жо, а в
момент t = ti должна попасть в точку х = х\. Задача сводится
к интегрированию уравнения Ньютона
d2x „, /ч
т— = F{t,x,x)
с краевыми условиями x(to) = жо, x(ti) = Х\.
Заметим, что эта задача, вообще говоря, не имеет
единственного решения. Если речь идет о баллистической задаче, то
в одну и ту же точку тело может попасть по навесной и по
настильной траекториям и, более того, при очень больших
начальных скоростях — после однократного или многократного
облета земного шара.
О Если известно общее решение дифференциального
уравнения, для решения краевой задачи надо определить
произвольные постоянные, содержащиеся в общем решении, из
граничных условий. При этом, конечно, не всегда существует
действительное решение, а если оно существует, то не
обязательно единственно.
Пример 1.1. Найти решение дифференциального уравнения
2/" + у = 0 при </(0) = 0, y(ti) = yi.
Решение. Исходное уравнение является обыкновенным
линейным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами. Общее решение такого
уравнения имеет вид
у = Cicost + C2sin£.
Из первого граничного условия следует, что d = 0. Тогда
y(t) = Сг sintf. Если t\ ф 7гп, то из второго граничного условия
находим
2/1 = y(ti ) = С2 sin tu т.е. С2 = -т~-.
sinti

6
Глава 1. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
Следовательно, в этом случае существует единственное
решение краевой задачи
sinri
Если ^1 = 7гпиу1 = 0,то все кривые пучка у = C^sintf
являются решениями краевой задачи.
При ti = 7гп и 2/i ф О решений задачи не существует.
Применительно к проблемам математической физики нас
в основном будут интересовать однородные краевые задачи,
т.е. нахождение решений однородных линейных уравнений при
однородных краевых условиях.
Ф Краевые условия называются однородными, если из
того, что функции xi(t)y...,xn(t) удовлетворяют этим
условиям, следует, что любая линейная комбинация этих функций
п
x(t) = £ CkXk(t) также им удовлетворяет.
fc=i
О Условия (1.4) будут однородны, если ха = хь — 0.
О В дальнейшем нас не будет интересовать случай
тривиальных (т.е. тождественно равных нулю) решений.
♦ Самосопряженным дифференциальным уравнением
называется уравнение вида
jt[<p(t)x'(t)]-q(t)x(t) = f(t). (1.5)
Функции /(/.) и q(t) предполагаются непрерывными на отрезке
[а, Ь], a ip(t) — непрерывной вместе со своей производной.
Утверждение 1.1. Уравнение (1.1) может быть приведено
к самосопряженному виду.
Введем функцию
t
ip(t) = ехр \j p(r)di
о
и заметим, что <pf(t) = p(t)<p(t) и, следовательно,
»>(*)*"(<) + р(*м*)«'(«) = |и*)*'(*)]-

1. Краевые задачи для ОДУ
7
Умножим (1.1) на <p(t) и получим
jt[<p{t)x'{t))-q{t)x{t)=~№, (1-6)
где q(t) = <p(t)q(t), f(t) = f{t)<p(t). Таким образом, уравнение
(1.1) приведено к самосопряженному виду.
Пример 1.2. Привести к самосопряженному виду уравнение
x"+jx'+(l-^)x = 0, x = x(t).
Решение. Домножим левую и правую части уравнения на
функцию
t
ф) = ехр
1
тогда
tx" + x'+ (t- у)ж = 0
или
|м+(«-£)• = о.
Пример 1.3. Найти решение краевой задачи
x"-x = 2t, x = x(t), х(0)=0, s(l) = -l. (1.7)
Решение. 1. Найдем общее решение однородного уравнения
х" - х = 0.
Составим характеристическое уравнение
к2 - 1 = 0,
следовательно, к = ±1, и общее решение однородного
уравнения имеет вид
x(t) = Сге* + С2е~г = Сх ch t + C2 sh t.
Частным решением неоднородного уравнения будет функция
x(t) = -21
яь

8 Глава 1. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
В результате для общего решения уравнения (1.7) получим
x(t) = dcht + C2sht-2t. (1.8)
2. Выберем константы С\ и С2 из граничных условий.
Подставив (1.8) в (1.7)
J Ci = О,
\ Cichl + C2shl-2 = -l,
получим
Сг = О, С2 = 4г
sh 1
Окончательно запишем
2. Задача Штурма-Лиувилля
Важным случаем однородных краевых задач являются так
называемые задачи на собственные значения.
Типичной задачей на собственные значения для
линейного дифференциального уравнения является задача Штурма-
Лиувилля. Рассмотрим обыкновенное линейное
дифференциальное уравнение второго порядка
jt[<p(t)x'(t)} - q(t)x(i) + Xp(t)x(t) = 0 (2.1)
с граничными условиями
axx'{a) + a2x(a) = 0, Pix'{b) + р2х{Ъ) = 0; (2.2)
K| + |a2|^0, |/3i| + |/3a|#0.
Функции ip'(t), q{t), p(t) будем предполагать непрерывными на
отрезке [а, 6]. В дальнейшем будем считать <p(t) > 0, p(t) > 0,
q(t) ^ 0. Число Л — параметр уравнения, a «i, a2, /3i, /32 —
заданные постоянные.
♦ Задачу об определении значений параметра Л, при
которых существуют нетривиальные решения x\(t) уравнения
(2.1), удовлетворяющие граничным условиям (2.2), называют
задачей Штурма-Лиувилля. Значения параметра Л, при
которых существуют решения задачи Штурма-Лиувилля (2.1),

2. Задача Штурма-Лиувилля
9
(2.2), называют собственными числами, или собственными
значениями, а отвечающие им решения x\(t) — собственными
функциями этой задачи. Граничные условия (2.2) называются
граничными условиями Штурма.
4 Совокупность всех собственных значений задачи Штур-
ма-Лиувилля называется спектром.
Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля
обладают рядом замечательных свойств, которые широко
используются при решении краевых задач не только для обыкновенных
дифференциальных уравнений, но и для уравнений в частных
производных.
Свойства собственных значений
и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля
Свойство 1. Существуют последовательность собственных
значений {А„}, п = 1,оо, и соответствующая им
последовательность собственных функций {xn(t)}, п = 1,ос,
задачи Штурма-Лиувилля (2.1), (2.2), причем все
собственные значения можно пронумеровать в порядке возрастания их
абсолютного значения
|A1|^|A2|^...^|AnU.... (2.3)
Доказательство будет приведено позднее в разделе
«Характеристические числа и собственные функции» гл.
«Интегральные уравнения» части IV (см. утверждение 59.2, а также,
например, [33], стр. 338).
Свойство 2. Каждому собственному значению соответствует
с точностью до постоянного множителя только одна
собственная функция.
Доказательство. Пусть собственному числу А
соответствуют две собственных функции ж(£), y(t). Тогда из (2.1) следует,
что
^[<p(t)z'(t)] - q(t)x(t) + Xp(t)x(t) = О,
^И%'(')] - q(t)y(t) + Xp(t)y(t) = 0.
Умножим первое уравнение на y(t), а второе — на x(t) и
вычтем из первого второе:
v(t)%W)At)]-*(t)^[<pW(t)] +
+x'(t)p(tW{t)-z'{t)<pW(t) = 0.

10
Глава I. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
Последнее равенство можно записать в виде
jt[y(t)<p(t)x'(t)-x(t)<p(t)y>(t)] = 0,
что дает
<p{t)[y(t)x'(t) - x(t)yf(t)] = const, t e [a, b]. (2.4)
Из граничных условий (2.1) следует, что
a1x{a) 4- a2x'(a) = О,
aiy(a) +a2t//(a) = О,
причем по условию |ai| + |a2|^0. Следовательно,
= x(a)y'(a) - y(a)x'(a) = О,
ж(а) ж'(а)
2/(а) У(а)
а так как правая часть (2.4) не зависит от £, а левая часть в
точке а обращается в нуль, то стоящая в правой части
константа равна нулю. В итоге вронскиан
W[x(t), y(t)} = y(t)x'(t) - x(t)y'(t) =
y(t) x(t)
y'(t) x'(t)
= 0
для t G [a, 6], т.е. функции ж(£) и y(t) линейно зависимы и,
следовательно, x(t) = Cy(t), что и требовалось доказать.
♦ Функции ж(£) и £/(£), определенные и интегрируемые на
интервале ]а, 6[, называются ортогональными на этом
интервале с весом p(t), если
б
(x(t)\y(t))p = J x(t)y(t)p(t)dt = О, (2.5)
где p(t) > 0 определена и интегрируема на ]a, Ь[.
4 Число, сопоставляемое каждой паре вещественных
функций x(t) и y(t) по правилу (2.5), называется скалярным
произведением функций x(t) и y(t) с весом p(t) > 0 на интервале
}а,Ь[.
♦ Величина
NI = INOII = v^(*JS(% (2-6)

2. Задача Штурма-Лиувилля
11
называется нормой функции x(t).
Свойство 3. Собственные функции задачи
Штурма-Лиувилля, соответствующие различным собственным числам,
попарно ортогональны на интервале ]а, Ь[ с весом p(t).
Доказательство. Пусть функции Xk{t) и xi(t) — собственные
функции, соответствующие собственным числам Хк и А/ (к ф
I). Тогда должно выполняться
^И*К(<)] - «(*)**(*) = -\kP(t)xk{t),
-Шх\(г)] - q(t)x,{t) = -\ip(t)z,{t).
Домножим первое уравнение на х/(£), а второе — на xk(t) и
после вычитания получим
<p(t)x',(t)x'k(t) - <p(t)x',(t)x'k(t) =
= (Aj - Xk)p(t)xk(t)x,{t)
^{<p(t)[x,(t)xk(t) - xk(t)x',{t)}} = (A, - Xk)p(t)xk(t)x,(t).
Проинтегрируем последнее соотношение no dt в пределах от a
до 6 и учтем соотношения
xi(a)x'k(a) - xk(a)x\(a) = xi(b)x'k(b) - xk(b)x\(b) = О,
которые вытекают из условия существования нетривиальных
решений следующих систем алгебраических уравнений:
Г агхк(а) +а2х'к(а) = О, Г pxxk{b) + fox'k{b) = О,
\ alXi(a) +а2х'1{а) = О, И \ /31Ж/(6) +/32ж;(Ь) = 0.
В результате получим, что
ъ
(A/ -A*) A p(t)xk{t)xi(t)dt = 0.

12
Глава 1. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
Но так как А/ ф Л^, свойство 3 доказано.
О Из свойства 2 следует, что собственные функции опредег
лены с точностью до постоянной. Часто эту константу находят
из условия равенства нормы функции Xk(t) единице:
ь
1М*)||2 = Jp(t)xl(t)dt = 1, к = Т^В. (2.7)
a
Условие (2.7) называется условием нормировки.
ф Система функций {ж*0О}, к — 1,оо, называется
ортогональной на интервале ]а, Ь[ с весом р(£), если для любых
&,/ = 1,оо справедливо (xk{t)\xf(t))p — О, к ф I.
ф. Ортогональная на интервале ]а, Ь[ система функций
{^fc(i)}, fc = 1,оо, называется ортонормированной с весом p[t),
если ||aJfc(<)|| = 1, к — 1,оо.
Ортогональная на интервале ]а, 6[ система функций {ж*(£)},
А: = 1,оо, порождает ортонормированную с весом p(t) = 1
систему функций {un(t)}} где
""(,) = |Ши • (М>
В результате условие полноты (см. разд. «Дельта-функция
и ортонормированные системы» части II) для ортогональной
системы функций с весом p(t) примет вид
£
k^lMWp{T)-6[t-T)> (2-9)
где S(t — т) — дельта-функция Дирака.
Свойство 4, Теорема разложения В.А. Стеклова. Если
функция f(t) дважды непрерывно дифференцируема на [а, Ь] и
удовлетворяет граничным условиям (2.1), то она разлагается
в абсолютно и равномерно сходящийся на [а, Ь] ряд по
собственным функциям Xk(t) задачи Щтурма-Лиувилля (2.1), (2.2)
/(*) = £■£*»*(*). (2-1Q)
к = 1

2. Задача Штурма-Лиувилля
13
где
11 fcUI1 fzl(t)p(t)dt
a
Ряд (2.10) называется рядом Фурье функции f(t) по
ортогональной системе функций {xk(t)}, а коэффициенты (2.11) —
коэффициентами Фурье функции f(t).
Доказательство будет приведено позднее в разделе «Теорема
Гильберта-Шмидта и ее следствия» гл. «Интегральные
уравнения» части IV (см. доказательство теоремы 60.3, а также,
например, [33], стр. 339).
Пример 2.1. Показать, что система собственных функций
задачи Штурма-Лиувилля (2.1), (2.2) удовлетворяет условию
полноты (2.9) на отрезке [a,b] в классе дважды непрерывно
дифференцируемых на этом отрезке функций, если для них
справедливы граничные условия (2.2).
Решение. Рассмотрим соотношение (2.10), где функция f(t)
удовлетворяет условиям теоремы Стеклова. С учетом (2.11)
получим
m=±ckXk{t)=i>«) / /(г)£(уг)^
*=i fc=i { l|a:fc|1
Изменим порядок суммирования и интегрирования. Это
возможно, так как ряд (2.10) сходится равномерно. Тогда
/(*) = J /(г) |Е **|,yW)} dr=J f(r)6(t - r)dr.
Здесь мы воспользовались определением дельта-функции
Дирака. Таким образом, условие полноты выполняется.
Пример 2.2. Найти собственные значения и ортонормирован-
ные собственные функции задачи Штурма-Лиувилля
2/" + Ау = 0, у = у(х), у(0) = у(0=0, />0,
и записать условие ортогональности собственных функций.

14
Глава 1. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
Решение. 1. Пусть Л = 0, тогда
у{х) = Сгх + С2,
и краевым условиям удовлетворяет только тривиальное
решение d = С2 = 0.
2. Пусть Л < 0, тогда общее решение уравнения у" + \у = 0
есть функция
Из краевых условий находим Ci = Со = 0, т.е. существует
только тривиальное решение.
3. Пусть Л > 0. Тогда общее решение уравнения у" + \у = 0
имеет вид
у(х) = С\ sin xvA + Сг cos ж
Подставив это выражение в краевые условия, из первого
получим Сг — 0, а из второго
Cisin(\/A/) = 0.
Таким образом, данная краевая задача имеет нетривиальное
решение, если
1\[\ — 7ГП и Лп = ( — J , n = 1, оо.
Этим значениям соответствуют собственные функции
7Г71Ж
уп{х) = Сп sin ——, п = 1, оо.
4. Запишем условие ортогональности. Для этого вычислим
интеграл
/ Ук(х)уп
(x)p(x)dx.
В нашем случае р(х) — 1, поскольку исходное уравнение в
самосопряженной форме (2.1) имеет вид у" — Ху = 0. Тогда
/ /
/' . 7ГПХ .. . 7ГПХ 0 [ . 9 7ГПЖ с ^,ll
Ск sin -т-Cn sin —— dz = dfcnCik / sm- —r~di ~ d^C^-.

2. Задача Штурма-Лиувилля
15
Окончательно получим
Vk{x)yn{x)dx
—бы-
Если положить Ск — \/2//, то система функций уп(х) будет
ортонормированной.
5. Рассмотрим возможную физическую интерпретацию
задачи. Пусть, например, однородный упругий стержень,
расположенный вдоль оси Ож, сжимается вдоль нее силой Р, причем
торцы стержня, расположенные в точках х = 0 и х = Z,
удерживаются на оси, но могут свободно вращаться вокруг точек
закрепления (рис. 1).
Если обозначить через у попе- 1У ^Р<Р\
речное отклонение точек стерж- **
ня от его исходного
(прямолинейного) положения, то оказывает- f*
ся, что функция у(х) с достаточ- I
ной точностью удовлетворяет
дифференциальному уравнению
У"П + jjy(x) = О
и граничным условиям
Рис. 1
У(0) = У(1) = О,
где Е — модуль Юнга и J — так называемый «момент
инерции» характеризуют материал и поперечное сечение стержня
[31].
Естественно, что при малых значениях Р прямолинейная
форма стержня устойчива. Однако существует критическое
значение Pi силы Р такое, что при Р > Р\ прямолинейная
форма стержня становится неустойчивой и стержень
изгибается. Критические значения Рп, при которых стержень
принимает устойчивые криволинейные формы, как раз и задается
выражением для собственных значений Лп
Рп / тгп. \ 2
EJ
=-*■=(")'
или
Рп = BJ[—) , п= 1,оо.

16
Глава 2. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
При этом собственные функции определяют с точностью до
множителя (амплитуды) соответствующие равновесные
состояния стержня (см. рис. 1).
Легко увидеть, что изменение направления силы (ее
знака в уравнении) на противоположное (растяжение) приводит
к тому, что равновесным состоянием является только прямая
у(х) = 0 в полном соответствии со знаком собственных
значений Ап.
Наиболее простое решение при п = 1 было найдено еще
Эйлером в 1757 г. Отметим, однако, что уравнение у" = Ху
описывает малые отклонения, а анализ более точного
уравнения, справедливого при любых отклонениях (оно оказывается
нелинейным), показывает, что с ростом Рп максимальное
отклонение участков стержня в равновесном состоянии от
прямой^ х) — О быстро возрастает и стержень разрушается.
Рассмотренная физическая интерпретация
математического решения не единственна. Аналогичные задачи возникают
при нахождении собственных колебаний струн, стержней и др.
О Одним из главных источников задач на собственные
значения являются смешанные задачи для дифференциальных
уравнений в частных производных. Если такая смешанная
задача допускает разделение переменных, то ей может быть
поставлена в соответствие «спектральная» задача на
собственные значения (2.1) (см. разделы «Разделение переменных в
уравнении Лапласа», «Разделение переменных в уравнении
Гельмгольца», «Метод Фурье для уравнения
теплопроводности», «Метод Фурье для волнового уравнения» части IV).
В заключение мы рассмотрим ряд примеров, в которых
проследим влияние вида граничных условий и коэффициентов
уравнения на решение задачи Штурма-Лиувилля.
Пример 2.3. Решить задачу Штурма-Лиувилля
хп - Хх = 0, х = x{t), х'{1) = ж'(3) = 0, (2.12)
написать условие ортогональности для собственных функций
задачи и ортонормировать эти функции.
Решение. 1. Найдем общее решение уравнения (2.12).
Составим характеристическое уравнение
к2 - X = 0.
Следовательно, к = ±л/Х и в зависимости от характера
значений Л для общего решения получим
а) Л > 0 x{t) == Сге^' + д2е~у/Х* = d ch л/Xt + С2 sh VXt;

2. Задача Штурма-Лиувилля
17
б) А = О x(t) = Ci + C2t\
в) А,<0 x(t) - Cicos\f^\t + C2sin\^Xt.
2. Рассмотрим случай A > 0. Тогда
x'{t) = л/А(Сх sh V& + C2 ch VXt),
и для определения постоянных Ci, Сг и А из граничных
условий получим
Г ^(Cishv/A + C2chv^A)=0,
1 л/Х(С18ЬЗл/А + С2сЬЗ^А) = 0.
Из первого уравнения находим
sh\/A
Подставив это выражение во второе уравнение, получим
sh\/AV ;
С учетом соотношения ch a sh 6 ± sh a ch 6 = sh(a ± b) найдем
C2sh(2\/A) = 0.
Следовательно, C2 — 0 или \/A = 0. Последнее невозможно,
так как А > 0. Таким образом, при A>0Ci = C2 = 0h
нетривиальных решений нет.
3. Рассмотрим случай А = 0. Из граничных условий найдем
С2 = 0. Постоянная С\ из этих условий не определяется. Для
удобства переобозначим С\ — Со. Следовательно, при А = 0
x{t) = C0. (2.13)
4. Рассмотрим случай А < 0. Аналогично случаю 2 получим
x'{t) = sf^i-d sin y/^Xt + C2 cos yf-kt)
и
/ y/^\(-Ci sin V^A + C2 cos у^Л) = 0,
-A^CisinSV^A + C^cosSV^A) = 0.

18
Глава 2. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
Умножим первое уравнение на sin 3\/—А, второе - на — sin у/—Х
и сложим полученные выражения. Тогда
л/—A(cos y/—A sin Зл/-Т - sin V—A cos Зл/—А)С2 = О
или
\/^АС2 sin 2V^A = 0.
Нетривиальные решения задачи Штурма-Лиувилля
существуют, если
2\/--А = 7rfe и — Cisin — + Сз cos — = 0, & = 1,оо.
z z
Обозначив
7г/г . 7г/г
Ci = С& cos —, C2 = Ck sin —,
окончательно получим
ж*(*) = Ск [cob — cos — + sin — sin —J =
= CkCOS?-(t-l), fc = T7oo. (2.14)
z
5. Объединив (2.13) и (2.14), для к = 0,ос получим
Afc = -(у)2, а*(*) = С*(1 + йо)сову(<-1). (2.15)
6. Выпишем условие ортогональности. Уравнение (2.12)
записано в самосопряженной форме с p(t) — 1. Следовательно,
функции (2.15) должны быть ортогональны относительно
скалярного произведения
з
(xk(t),xt(t)}= f xk{t)xi{t)dt.
С учетом интегралов
з
I cos ^-(t - l)dt = 0, J dt = 2,
l
з
/
cos —{t — l)cos —(t— l)dt = Ski, к, I = l,oc,
z z

2. Задача Штурма-Лиувилля
19
получим искомое соотношение ортогональности собственных
функций (2.15)
з
J xk(t)x,(t)dt = С2к{1 + Sk0)8kh к, I = О^Б.
1
7. Ортонормированные собственные функции получаются
из (2.15) делением на норму собственной функции (на корень
квадратный из коэффиицента при <$*/ в последнем
соотношении:
. 1 ird.
Ж*М = /1 , л coslT^""1)-
V1 + 0*0 ^
Пример 2.4. Решить задачу Штурма-Лиувилля
tV + ^х - Хх = О, х(1) = 0, ж(е2) = 0. (2.16)
Написать условие ортогональности собственных функций
задачи и ортонормировать эти функции.
Решение. 1. Уравнение (2.16) — уравнение Эйлера, и его
решение ищем в виде
х(г)=Р. (2.17)
Подставив (2.17) в (2.16), получим
t2ii{n -1)^-2 + hr - At" = О
или
/x2-/i+--A = 0.
Следовательно,
у- = \ ± VI
Если А ^ 0, то существуют два линейно независимых
решения уравнения (2.16) и его общее решение имеет вид
x(t) = Ci^+1/2 + С2Г^+1'2, А > 0. (2.18)
Если А < 0, то формула (2.17) дает два комплексных
решения уравнения (2.16). Поскольку уравнение (2.16) линейное, то

20 Глава 1. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
действительные и мнимые части его комплексных решений —
также решения уравнения (2.16). Следовательно, функции
хг(г) = Re t,4/CT+1/2 = Vtcos(\/^Alnt),
x2(t) = Im fV=A+i/2 = y/isin(V^Xlnt)
являются решениями уравнения (2.16). Функции xi(t) и X2(t)
линейно независимы, поэтому общее решение уравнения (2.16)
имеет вид
ж(^) = v^[Cicos(v/^lnt)+C2sin(v/=:Aln^], Л < 0. (2.19)
Если Л = 0, то формула (2.17) определяет только одно
решение уравнения
t2x" + -х = 0 (2.20)
— функцию xi(t) = \/i.
Чтобы отыскать общее решение уравнения (2.20), проведем
замену x(t) = \/iy(t), в результате которой для функции y(t)
приходим к уравнению вида
(ty'Y = 0, (2.21)
откуда
y(t) = Сг + С2Ш
и, следовательно, общее решение уравнения (2.16) при Л = 0
имеет вид
x{t) = y/i(d + С2 hit), А = 0. (2.22)
2. Рассмотрим случай Л > 0. Подставив (2.18) в граничные
условия, получим
Сг + С2 = 0,
Cie2(VA + l/2) + C2e2(-v^+l/2) = g
Исключив с помощью первого уравнения С\ из второго,
получим
С2 sh 2\/А = 0,
откуда при положительных Л находим, что С2 = 0 и при А > 0
краевым условиям удовлетворяет только тривиальное
решение x(t) = Q.

2. Задача Щтурма-Лиувилля
21
Зг Пусть Л = 0. Из краевых условий для функции (2.22)
получим
d = 0, Cie 4- 2С2е = 0.
Следоэательно, А = 0 не является собственным значением.
4. При А < 0 из краевых условий получим
Г Ci = 0,
\ Ciecos2v/=:A + C2esin2v^=Q.
В результате
C2sin2y/^X = 0.
Таким образом, данная краевая задача имеет ненулевые
решения, если 2л/—А = 7г&, т.е.
<7Tife\2
= А'* = "(у) ' fc = 1,ор.
Эти значения А являются собственными. Соответствующие им
собственные функции имеют вид
xk{t) = Ckyfiain(Jy\nt\ fc = T7oo. (2.23)
5. Выпишем услоэие ортогональности собственных
функций. Представим уравнение (2.16) в самосопряженной форме
*' + &—^*^'
Следовательно, p(t) = 1/t2, и функции (2.23) ортогональны
относительно скалярного произведения
dt
(*(t)\v(t))p = Jx(t)y(t)\
i
С учетом результатов примера 2.2 получим
1
1
= i;Ckhh к,I = 1,ор.

22 Глава 2. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
б. Ортонормированные собственные функции имеют вид
Xk(t) = V2tsml — Int), fc = l,oo.
Отметим, что задача (2.16) заменой переменной t = ет
сводится к уравнению с постоянными коэффициентами
d2x dx /1 х\
с граничными условиями
х{0) = х{2) = 0.
Пример 2.5. Решить задачу Штурма-Лиувилля
a;" + 2thfcc' + A:c = 0, x = x{t), x(0) = x(l) = 0, (2.24)
записать условие ортогональности для собственных функций
задачи и ортонормировать эти функции.
Решение. 1. С учетом соотношений
(х ch t)' = х' ch t + х sh £,
(scht)" = x"cht + 2x'sht + xcht = (x" + 2 thtx' + ж) ch*
уравнение (2.24) можно представить в виде
4-[(xcht)" + (А - l)(scht)] = 0.
ch/.
Следовательно, положив ж (2) = z(t)/(cht), для функции z =
z(t) получим задачу Штурма-Лиувилля
г" + (А - 1)г = 0, z(0) = z(/)=0,
решение которой приведено в примере 2.2. Возвратившись к
исходной функции ж(£), для собственных значений и
собственных функций задачи (2.24) получим
Afc = (^)2 + l, xfc(t) = ^einyt, &=T^. (2.25)

2. Задача Штурма-Лиувилля
23
2. Выпишем условие ортогональности функций (2.25). Для
этого представим уравнение (2.24) в самосопряженной форме.
Согласно теореме 1.1, домножим уравнение (2.24) на функцию
t
<p(t) = ехр( J 2thtdt) =exp(21nchtf| ) = ch2*.
Получим
ch21 x" + 2 chtf sh t x' + Л ch2 tx = Q
или
(x'di2ty + \ck2tx = 0.
Следовательно, p(t) = ch2 t, и условие ортогональности имеет
вид
/
(xk(t)\xm(t))p= / xk(t)xm(t)ch2tdt= -Cl&km, fc,m = l,oo.
3. Ортонормированные собственные функции имеют вид
= v!irh
7r/s
ж*(0 = VTITT8"1"/"*' Л = 1,оо.
Пример 2.6. Решить задачу Штурма-Лиувилля
у" + ay1 + Ay = 0, у = у(*), у(а) = </(/>) = 0, (2.26)
где Ь — a = /, / > 0, а = 2а//, А = А/(/2). Написать условие
ортогональности собственных функций задачи.
Решение. Сделаем замену переменных /. = ж+а. Тогда задача
(2.26) преобразуется в задачу
„ 2а , А
2/ +—3/ +р У = °> У = 2/(*), 2/(0) = 0, 2/(/) = 0. (2.27)
Составим характеристическое уравнение
,-> 2а, л

24
Глава 1. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
Тогда
*1,2=-у±у>/£3"^1
1. Пусть а2 — А = —/л2. Тогда А = a2 + /*2, и общее решение
уравнения (2.27) запишется в виде
у(х) = е-ах/' (d cos ^х + С2 sin ^х).
Из первого граничного условия у(0) = Ci = 0. Следовательно,
y(x)=C2e-ax/,sm^x
t/(x)=Cte-a'fl
Из второго граничного условия найдем
о. . д Д ^
sin —ж Ч— cos —х
I II I
С2
y'{l) — —e a[/zcos/z - asin/x] = 0.
Нетривиальные решения существуют, если
pi cos fj. — asin/z = 0, или tg/x=—.
a
(2.28)
Пусть jz = /х^, fc = l,co, — положительные корни уравнения
(2.28) (см. рис. 2). Тогда Afc = a2 + ^ и
ук(ж) = е"вяр/| sin (j-x, к = Т~5о\ (2.29)
Рис. 2

2. Задача Штурма-Лиувилля
25
Запишем уравнение (2.27) в самосопряженной форме
(е2а*"у'У + ^е2а*"у = 0.
Следовательно, р(х) = е2ах^. Тогда условие ортогональности
имеет вид
(yk(x)\yi(x))p = / exp[—x)yk(x)yi{x)dx = |Ы|24/. (2.30)
а) Ортогональность
h,n = (ук(х)\уп(х))р
е—,.е-«~,. sin (^е—/'Sin (^-x)dx =
■/
о
[. A'* . A*n А /
= / sin -г-ж sin —-ж аж = / - к
J I I J 2\
Цк ~ V>n
Vk + H>n
cos x — cos X
l г l
if
V>k - Цп
1 . H>k + Mn
ft . sin x sin '■ r-1—X
2ifik-fin I y^fc + Mn I
I (Pk +/xn)sin(/Xfc -/in) - (/i* - fin)sm(fik + /xn)
2
it-
(^-/4)
/
- 2-- - T [-/ifc sin /in cos /ifc -f A^n sin /ifc cos /xn] =
I cos /ifc cos /in
= 2 2 \ГРЬ *8/*п + /^n tg/ifcj =
/** ~ ^n
_ / COS /ifc COS fl,n Г /in
m2
* COS ^n Г /in . /*fc 1 n ,,
- /in L а a J
Здесь мы воспользовались формулой (2.28).
б) Норма
*М = Ы|2 = /sin2 ^-xdx= fl-(l- cos ^*)d* =

26
Глава 1. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
1 I . 2цк \1 I I . ft
= о "" А 8Ш —ГХ\ = О " А 8Ш 2**к =
2 4^* / lo 2 4/ijt
_ |Л _ sin^fcCos/ifc\ _ // _ sin /ife cos цк \ _
~2V fjik J" 2 V atg/z* У"
| Л _ cosVfc \ l\ 1 1 =
2 V a ) 2L a(l + tg2/ifc)J
__ / / a \ _ I a2 + /4 ~ Q
~2V ~а2 + уи2/ 2 a2 + jij| '
2. Пусть а2—Л = О, Л = а2. Тогда общее решение уравнения
(2.27) имеет вид
у(х) = e-a'"(d + С2х).
Из первого граничного условия t/(0) = Ci = 0, откуда
у(х) = C2e-ax'lx
и
l/(*) = C2e-"/'(-y*+l).
Из второго граничного условия найдем
!/(J) = C2e-°(l-a) = 0..
Нетривиальные решения существуют, если 1 — а = О, т.е.
существует одно нетривиальное решение
Уо(х) = е~*11х (2.31)
при а = 1 с Ао = 1.
а) Ортогональность
/о,* = (yo(x)\yk(x)\azzl) =
/ /
= feWe-^ze-'/'sm^xdzzz f xsin^xdx.
о
Проинтегрируем по частям:
_ ж/ UfcX
/о,* = cos-—-
+ —/ cos ——dx =
0 fife/ I

2. Задача Штурма-Лиувилля
27
I2 I2 . fikx
= COS Uk H—5" sin
/
Z2 Z2 . l2cosuk
cos/xfe + -s-sin/iifc = 2—
/I* - tg /Zfc
= 0.
б) Норма
/o,o = IMI = I
x2dx = —
3
3. Пусть a2 — A = /z2,A = a2-/i2. Тогда общее решение
уравнения (2.27) имеет вид
у(х) = e~ax/l (Ci ch £х + C2 sh £«).
Из первого граничного условия у(0) = С\ = 0. Следовательно,
у(ж) =C2e-aT//sh^
Из второго граничного условия имеем
j/(0) = yC2e-a[/*ch/i-ashji] = 0.
Нетривиальные решения существуют в виде
y^(x) = C2e'ax/lsh^x,
(2.32)
если
/ich^ — ash/z = 0, или th/j= —.
a
Из рис. 3 видно, что решение этого уравнения существует для
a > 1.
а) Ортогональность. Проверим ортогональность функций
(2.32) с функциями (2.29):
i
(Ыж)Ыж)>р = shjxsin^j-xdx =

28
Глава 2. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
4va<0 th/i|H
Рис. 3
I2
Цк
у — СП —х sin —-ж — sh —х COS -г-Ж
/
/
/
A*fc
/
2 м jlfichfi sin /xfc - fikshfi sin /иЛ]
/ ch fi cos /i)t
м2 + ^
/ ch /i cos /ifc / /х&
м2 + ^
\ a a/
б) Норма
/ /
Ы1» = /sh2 ^xdx = \ I (ch 2-f - l)dx =
о 0
_ I / 1 2/хж|/ \ _ Z /sh/zch^ \ _
~" 2 V2/x S ~T~lo"~ / ~ 2 V ath/i /
Л^-lU-f 1 il =
2.1 a / 2La(l-th2/x) J
_ / r 1 1 _ I / a -A - l a ~ a2 + ***
~~ 2la(l-u2/a2) J""~2Va2-u2 J ~ 2 a2
v2 — ^2
Таким образом, решение задачи Штурма-Лиувилля (2.27)
при разных значениях величины а имеет разную структуру:
{sin
х,
/лкх
1)а=1,у^)=е-/'РТ' ** = !+«> * = !.«),
А0 = 1;

2. Задача Штурма-Лиувилля
29
2)а<1, yk(t)=e-a*'1
sin
№
А* = а2 + /4, А: = 1,оо;
3)а>1, yfcW=e-aap/W
• М*Ж ч 9 9 i 1
sin -у—, Afc = а"5 + /*£, к - 1, оо,
sh
Т'
Ао = а2
где /Xfc - положительные корни уравнения (2.28), х = £ — а, а /х
- положительный корень уравнения th/z = /x/a.
Отметим, что при a = 0 уравнение (2.28) вырождается
в уравнение вида tg/^ = ос с решениями fj,k = п{к + 1/2),
к = 1, оо. В этом случае
. тгх(2к + 1)
yk(t) = sm ,
Afc = — (2fc + l)2, fc = l,oo.
О Все утверждения этого параграфа сделаны в
предположении, что <p(t) > 0 при t G [a, Ь]. Однако они останутся
справедливыми, если (р(а) — О и(или) <р(Ь) = О, а <p(t) представима
в виде <p(t) = (t — о)ф{1) и ф(а) ф 0 и(или) <p(t) = (< — b)^(t)
и -0(b) ^ 0. Тогда на соответствующей границе необходимо
поставить условие
lim x(t)
t-+a+0
< 00
и(или)
lim x(t)
< 00.
(2.33)
Условие (2.33) можно заменить условием квадратичной
интегрируемости функции x(t) на интервале ]а, Ь[. Утверждения
останутся справедливыми и для неограниченных интервалов,
т.е. а = —оо и(или) Ь = оо. Задачи, для которых справедливы
все вышеприведенные утверждения, называются
сингулярными. Более подробно см. задачу Штурма-Лиувилля для
уравнений Бесселя, Лежандра, Лагерра и т.д.
Пример 2.7. Решить задачу Штурма-Лиувилля
У" + *г/ + Ау = 0, y = y(t),
|limt/(t)| < 00,
У(1)
0<t<l, (2.34)
0.
Записать соотношение ортогональности собственных функций
задачи и ортонормировать эти функции.

30
Глава 1. Задача Штурма-Лиувилля для ОДУ
Решение. Сделаем в уравнении (2.34) замену
Ф)
v(t) = -У-
Тогда
i Z Z it z ~.z Z
Подставив эти выражения в (2.34), получим
G-
z1 Лг1 2 гzf z л z
t->0 < 1 /
(2.35)
В результате для определения функции z = z(t) получим
следующую задачу Штурма-Лиувилля:
*" + Az = 0, z(0) = z(l) = 0, 0<t<l,
решение которой получено в примере 2.2;
(7Г71 \ ^ 7Г72
—J , zn(t) = Cnsin—t, n = l,oo, (2.36)
с соотношением ортогональности
zn(t)zk(t)dt = Cl-8kn, к,п = Т^. (2.37)
/
Из (2.36) и (2.37) получим с учетом (2.35) решение исходной
задачи
/7ГП\2 С„ . 7ГП
Ап = [—) , yn(t) = — sin —t,
а соотношение ортогональности запишется в виде
[ t2yn{t)yk(t)dt = сфпь n, fc = T755.
о
Ортонормированные собственные функции примут вид
/21 . тгп

2. Задача Штурма-Лиувилля
31
Математическая постановка большинства физических
задач содержит граничные условиям Штурма (2.2). Существует,
однако, важный класс граничных условий — так называемые
периодические граничные условия
V(t + l) = y(t), *€R, />0,
или в эквивалентной форме
y(ci) - у(Ь) = О, y'(a)-</'(6) = 0, а ЕМ, Ь = а + 1.
Основное отличие периодических граничных условий
(название понятно из их явного вида) от граничных условий Штурма
(2.2) заключается в том, что для уравнения второго порядка
одному собственному значению Ап могут соответствовать две
линейно независимые собственные функции.
Пример 2.8. Найти собственные значения и собственные
функции задачи
1/" + А» = 0, У(0) = у(0, У'(0) = у'(1).
Решение. Общее решение исходного уравнения имеет вид
у(х) = Схе^х + С2е-^х,
подстановка которого в граничные условия приводит к системе
Cii^1 - 1) + С2{е~^1 - 1) = О,
Ci(e^' - 1) - С2{е-^1 - 1) = 0.
Система будет иметь нетривиальные решения, если ее
определитель равен нулю. В этом случае приходим к уравнению
(e^'-l^-^'-l^O, ^
откуда /-г-£4i c'i- *-*
v—AZ = 2п7гг, п = 0, оо,
и соответственно
. /2П7Г\2
Лп " 1"Г J •
Таким образом, всем собственным значениям Ап с п > 0
соответствуют две собственные функции: sm(2irna;/Z), cos(27rna;//),
а собственному значению А0 = 0 — единственная: cosO = 1.
О Остальные свойства задачи с периодическими
граничными условиями совпадают со свойствами задачи с граничными
условиями Штурма (2.1).

ГЛАВА 2
Цилиндрические функции
3. Функции Бесселя первого рода
Рассмотрим уравнение
хУ + ху' + (ж2 - v2)y = 0, Rei/^0. (3.1)
♦ Уравнение (3.1) называется уравнением Бесселя индекса
I/, а его решения, не равные тождественно нулю, называются
цилиндрическими функциями.
О Такие функции возникают при решении методом
разделения переменных уравнений в частных производных,
содержащих оператор Лапласа, в цилиндрической системе координат.
Поэтому они и называются цилиндрическими.
Теорема 3.1. Существует частное решение уравнения (3.1),
задаваемое равномерно сходящимся рядом
Доказательство. Частное решение уравнения мы будем
искать в виде обобщенного степенного ряда
оо
у(х) = ч£скхк+", (3.3)
к=0
где а — некоторое число, а С* - некоторые подлежащие
определению постоянные, причем Со £ 0. Тогда
ху'(х) = Со<тх' + Ci{<t + 1K+1 + 2 Cfc(fe + «О***"'
fc=2
Х2У"(Х) = С0(Т{(Т - l)x° + d{<T + 1)<тх*+1 +
oo
+£c*(fc+<7)(fc + <r-l)z*+', (3-4)
fc=2
OO OO
x2y(x) = Y^C„xn+'+2 = Y,Ck-*xk+°-
n=0 fc=2

3. Функции Бесселя первого рода 33
В последнем равенстве мы сделали замену п+2 = к. Подставим
(3.2) и (3.3) в уравнение (3.1) и получим
[<т(ст-1) + <7-*/2]я*Со +
+ [<т(<т + 1) + {<т + 1) - i/2]*"+1Ci +
оо
+** J2^k + *)(* + <т - 1) + (* + <г) - ^2]Cfc + Cfc_2}z* = 0.
fc=2
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях ж,
получим
С0[<72 - v2\ = 0 ж",
Cl[(<7+l)2-I/2]=0, Ж-+1,
Cfc'[(^ + cr)2-z/2] + Cfc_2 = o', я*+*, к>2.
Так как Со / 0, то из первого уравнения находим a = ±.v.
1. Пусть (7 = 7/, тогда из второго равенства находим С\ — 0
и
^ Cfc-2 Cfc_2
(к + v)2 -v2 k(2v + k)'
Следовательно, для нечетного к (к = 21 + 1)
С2/+1 = о,
а для четного к {к — 21)
Сг\ =
т.е.
с2 =
22{u + l)V
Со
22(i/ + l)l'
q Со
С2, = (-1)'
2»Н(1/ + l)(i/ + 2) •• •(*/ + *)'
Нетрудно убедиться (например, используя признак Далам-
оера), что ряд (3.4) сходится равномерно на любом промежутке

34
Глава 2. Цилиндрические функции
[О, а] и, следовательно, функция у(х) (3.4) является решением
уравнения Бесселя для любого Со.
С учетом соотношений
zT{z) = T{z+l), /! = Г(/ + 1),
Cii =
(-l)'l> + l)C0
получим
21 ~ 22Т(/ + 1/ + 1)Г(/ + 1)'
и решением уравнения (3.1) будет ряд
,Г(1/+1)2"Со/1\"+2'
^ ,I>+12"C0/sn
что и требовалось доказать.
О Удобно в качестве Со взять число
С0 =
♦ Функция
оо
ли = £(-i)'
*=0
2T(i/ + l)'
Jfe!r(i/+ fc +1)
£4 2fc+I/
(I)
(3.5)
(3.6)
называется функцией Бесселя первого рода (см. рис. 4). Здесь
комплексное число v - индекс функции Бесселя, а х -
независимая переменная.
Рис. 4.

3. Функции Бесселя первого рода
35
О Поскольку уравнение (3.1) не меняется при замене v на
—/л то функция J-U{x) также является решением уравнения
(3.1).
Теорема 3.2. Справедливо соотношение
^ J-n(x) = (-l)nJn(x). (3.7)
Доказательство. Рассмотрим функцию
^ 1 /x\2k~n
J~"W = jL *!Г(*+1-п) \2J
Заметим, что
Г(* + 1-п) = | {k_n)] ^
Тогда
2k -n
'-<" = Sf-D'raibffld)"
fc=n
Положив & = / + n, с учетом (3.6) получим
/_„(*) = £(-1)*-__(-) =(-1)-Л(«), (3.8)
что и требовалось доказать.
Следствие. Справедливо соотношение
J-n{-z) = Jn{x). (3.9)
Доказательство. Из соотношения (3.8) следует
J-n[-z) = £(-!)'+» _J_f=£)a,+n =
1=5 1Щ + п)\\2)
ОО
= D-i)-"^(l)!,+" = AW,
что и требовалось доказать.

36
Глава 2. Цилиндрические функции
Теорема 3.3. Если и не является целым числом, то функции
Jv{x) и J-V(x) линейно независимы.
Доказательство. Выпишем уравнения Бесселя для функций
Jv и J_„:
7 2
— [xJ'u(x)] + (z - ^-)Л(а!) = О,
I 2
^[хЛЛ*)]+(х-^У-Л*) = 0-
Первое из уравнений умножим на J-V{x), второе — на «/„(ж) и
вычтем его из первого. Получим
J_v{x) — [xJ'v{x)] - Jv{x)—[xJ'_v(x)] +
+xJLv{x)J'v(x) - xJl(x)Jiv(x) =
= ±.{x[J-v(x)J'v(x) - Jv(x)J'_v(x))} =
= ~{^[л(х),;.„(];)]} = о,
где W[JU,J-U] — определитель Вронского функций Jv{x) и
J-t/(x). Следовательно,
xW[J„(z),J-u(x)] = C.
Отсюда в пределе х —у 0 можно определить константу С:
С = lim xW[J„(x), J-v(x)] =
— \im[xJl/(x)Jr_l/(x) - xJ_l/(x)Jfl/(x)].
х—уО
С учетом определения функции Бесселя (3.6) и соотношения
, 2l + i/ (х\Ы+»
■^D-tfiir&G)'
находим
С
f.f> (-l)*+l(2i + „) /S4**+*]
^^/!r(-i/+fc+l)ifc!r(i/ + J + l)V2/ J'

3. Функции Бесселя первого рода
37
Отличны от нуля только слагаемые с к — I = 0, поэтому
— V v
С =
Г(1 + 1/)Г(1-1/) Г(1-1/)Г(1 + 1/)
2i/ -2 .
1/Г(1/)Г(1 — I/) тг
Здесь мы воспользовались соотношением
Sin 7П/.
Г(|/)Г(1 - I/) =
Sin7Tl/
Таким образом,
С = sin7ri/
7Г ?
W[Jv(x))J-v{xj\ — sin7rz/.
(3.10)
Из (3.10), в частности, вытекает, что JJ/(x) и J-U(x) линейно
независимы при нецелом г/, что и требовалось доказать.
Следствие, Если v ф п, то общее решение уравнения (3.1)
имеет вид
у(х) = С±Мх) + C2J-v(x). (3.11)
Доказательство непосредственно следует из того, что
функции Jv{x) и J-U(x) линейно независимы (см. уравнение (3.10))
и являются решениями линейного дифференциального
уравнения второго порядка (3.1).
1ЭД|

38
Глава 2. Цилиндрические функции
0,75
0,5
0,25
-0,25
-0,5
-0,75
У /TV
lmJi+i(x)
|Ji+.'(*)|
i \б / 81
Jl+i{x)
1<\ \x
ReJ1+i{x)
Рис. 6
0 Заметим, что функции Бесселя (3.6) определены не
только для вещественных аргументов и индексов, но и для
комплексных. Так, например, на рис. 5 изображен модуль функции
Бесселя нулевого индекса от комплексного аргумента z, ана
рис. 6 приведены графики действительной и мнимой частей, а
также модуля функции Бесселя Ji+t(x) комплексного индекса.
Пример 3.1. Найти общее решение уравнения
»" + 7+(1-i)" = 0-
Решение. Данное уравнение запишем в виде
х'
У' + яг/'+(я2--)з/ = 0.
Оно является уравнением Бесселя с v — 1/3. Поэтому его
общее решение есть
у(х) = Ci Л/3(ж) + С2«7-1/з(ж).
Пример 3.2. Найти общее решение уравнения
хУ + ху' + 4(ж4 - 2)2/ = 0. (3.12)
Решение. Сделаем в уравнении (3.12) замену переменных
г.2 _
= г, х = у/т. Тогда
, _ dy_ _ drdy^ _ ^_2 Г^У_
dx dx dT dT dT'
у = 2jF-y = ^Гт-уГт- = 2- + 4r—.

3. Функции Бесселя первого рода
39
Подставив эти выражения в уравнение (3.12), получим
r4l+4^-2)3,=».
ИЛИ
т'4 , ,
dr2 dr
Это уравнение Бесселя с индексом v — л/2. Его общее решение
имеет вид
у(т) = Сх J^(t) + C2J_^(r).
Возвратившись к исходным переменным, получим
у(х) = Сг^(х2) + C2J_%r2{x2).
Пример 3.3. * Получить дифференциальное уравнение для
функции
f(x) = J»(x)J„{x). (3.13)
Решение. Введем вспомогательные функции
ф(х) = JUx)Ji(x),
<p{x) = li>Jlt{x)Jl(x) + v,Jr(x)J,ll{x).
Продифференцируем f(x) дважды
f'(x) = j'„(x)Jv(x) + J„(a:)4(x); (3.15)
f"(x) = j;{x)Jv{x) + J„{x)J'J(x) + 2J'„(x)JUx). (3.16)
Если учесть, что для функций Бесселя имеет место уравнение (3.1)
Ji'W=(^-l)^(*)-b», (3-17)
то (3.16) перепишется в виде
о \X У X
+ fe ~ l)J»(x)Mx) ~ \К(х)3»{х) + 2Jl(x)J'„(x). (3.18)
Принимая во внимание (3.13) и (3.14), из (3.18) запишем
ф(х) = \f{x) + 1.Пх) + (х _ £+£)/(«). (3.19)
Продифференцировав (3.19), получим

40
Глава 2. Цилиндрические функции
Ф'(х) = ]-Г(х)+±Г(х)+
2х
,(Л n'+u' + \\£ll ,,fS+jS v
(3.20)
Но из (3.14) следует
ф'(х) = JZ(x)Jl(x) + J'„(x)Jl'(x) =
(S " l)J^x)J» + (^ - i)^(x)j;(x) - Ъ;(х)^(х),
(3.21)
что приводит к соотношению
1 2
Ф'(х) = -5-<р(а;) - /'(ж) ф(х).
xz х
С помощью (3.19) и (3.20) отсюда найдем
2хф) = xzf'"{x) + Зж2/,,(ж)+
+[4х3 + *(1 - м2 - v2)]f'(x) + 4*2/(*).
Исходя из определения функции ip(x) (3.14), получим
<р*(х) = v2j'uji + ^2j;j;+v*Jv j';+м2лх =
= ы2 + u2)j'„ji + ^2 (^ - i)j*j* - ^j»j'» +
(3.22)
ж^'(ж) + у>(ж) = (^2 4- 1У2)хф(х) +
2/uV
-/i -i/
z/(s). (3.23)
Воспользовавшись соотношением (3.19), из (3.23) найдем
2[хч>[х)]' = (м2 + S)[xf"(x) + /'(*)] " (^~^)2 /(»). (3.24)
Если мы теперь продифференцируем (3.22), то должны получить
(3.23), что и приводит к следующему дифференциальному
уравнению для функции / = f(x):
fw + £/'" + (4 +
7 - 2м2 - 2i^2
)/"-
+ F^^]' = °"
(3.25)
Если [x — v [т.е. /(ж) = J2(z)], то уравнение (3.25) можно записать
в виде

3. Функции Бесселя первого рода
41
А [х3/'" + Зя2/" + (4я2 4- 1 - 4v2)xf + 4х2/] = 0. (3.26)
Выражение в квадратных скобках в (3.26) - постоянная, но
поскольку при х —>■ 0 оно обращается в нуль (при Ней > 0 это очевидно),
то оно равно нулю для всех :с. Тогда функция f(x) = J2(ж)
удовлетворяет уравнению
f'"+-f"+U+—¥-) f'+-f = 0. (3.27)
Пример 3.4. * Найти разложение функции f(x) (3.13) в ряд
Тейлора по степеням х.
Решение. Из разложения (3.6) функции Ju(x) в ряд следует, что
ряд для f(x) должен иметь вид
/(*) = £>*(-) , (3.28)
* = 0
причем для коэффициента Со из (3.6) получим
1
Г(1 + м)Г(1 + 1/)
(3.29)
Подставив это разложение в (3.25), найдем рекуррентную формулу
для коэффициентов Ck I
(/^4-^ + fc)(/i + k)(u + к)кСк =
= -(/i + v + 2fc)(/i + i/ + 2fc - l)Cfc_i, (3.30)
из которой легко найти (А = const)
С. = (-1)кТ(ц + и + 2к + 1)А
Г(й + v + к + 1)Цц + к + l)T(u + к + 1)Г(* + 1)' К ' '
Сравнив с (3.29) при к = 0, имеем А = 1 и окончательно находим
/(*) = ^(ЯГ)Л(Я!) =
= V (-l)T(^ + l/ + 2fc + l) /£\"+'+"
^ Ь!Г(М + ./+ fc + 1)Г(/х + fc + 1)Г(«/+ к + 1) Ы V' ;
детрудно показать, что ряд (3.32) сходится во всей комплексной
плоскости.
Пример 3.5. Доказать формулу Неймана
к/2
1 ~ I J»+v{2xcos(p)cos[(n- v)4>]d<p = ^J»(x)Ju(x), (3.33)
о
Re(/i+ !/)■> -1.

42
Глава 2. Цилиндрические функции
Решение. Используя для левой части определение функции
Бесселя (3.6) и свойства гамма-функции (см. пример 1.40.10), получим
2 2^ fclH/i + v + А: 4- 1)Г(а* + А: + 1)Г(1/ + к + 1) V 2 У
P+I/+2*
2^-^Дв!Г(а* + 1
* = 0 v
Сравнив это разложение с (3.32), убеждаемся в справедливости
соотношения (3.33).
4. Функции Бесселя второго рода
Как выяснено в предыдущем разделе, при целых v — п
частные решения уравнения Бесселя (3.1)
х2у" + ху' + (х2 - п2)у = О
не являются линейно независимыми, так как
J.n(x) = (-l)nJn(x),
(4.1)
т.е. в этом случае существует только одно частное решение
уравнения (4.1).
Рассмотрим уравнения Бесселя с нецелыми v. Его общее
решение имеет вид (см. рис. 7)
у{х) = C1J„(x) + C2J-l,{x).

4. Функции Бесселя второго рода
43
Если положить
С\ — Ctg 7П/,
то получим функцию
с2 = —
N„(x) =
Jv{x) COS 7TZ/ — J^l/(x)
SlliTTl/
(4.2)
ф Функция (4.2) называется функцией Неймана
ф Она была введена Вебером и иногда называется
также функцией Вебера и часто обозначается через Yu(x).
Функцию Nv(x) называют также бесселевой (или цилиндрической)
функцией второго рода индекса v от аргумента х (см. рис. 8).
О Функция Неймана (4.2) определена для нецелых и.
Однако ее можно доопределить для целых z/, полагая
Nn(x) = lim N„(x).
U-¥U
Утверждение 4.1. Существует предел
Nn(x) = lim N„(x) =
Л(7+1»|)ЛМ_Г£
(n- k- 1)! /ж\-"+2*
fc=0
fc!
(I)'
-if±!L(!Hri + fi) (43)
fc=0 v . ' m=l m=\
где 7 - постоянная Эйлера, введенная ранее в разд. «Гамма-
функция» части I.
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
Nn(x)
Nn = 0 -
/ Л V Л 8/ /
К ^х
Рис. 8

44
Глава 2. Цилиндрические функции
Доказательство этого утверждения см., например, [28].
Утверждение 4.2. Функции Ju(x) и Nu(x) линейно
независимы при любом v.
Для доказательства того, что функция Неймана Nv{x) и
функция Бесселя первого рода Jv(x) линейно независимы при
всех v, рассмотрим определитель Вронского
Л(я)
JU*)
W{z) = W[Mx),N„(x)] =
Jv{x) COS7TZ/ — «7_„(ж
Jv(x) Nu(x)
J'A*) KM
sunn/
Ju[x) cos 7tz/ - J_u(x)
sm KV
Sill 7Г1/
J'A*) J'-Л*)
COS7TI/
sin 7TZ/
1
Ji/ (ж) Л (ж)
ад ад
smirv
W[Jv(x),J.v(x)},
Из соотношения (4.2) получим
W[J„{x),Nr(z)] =
81П7Г1/
и^ад,/_„(*)]
smiru \ ttx/
Sin 7Г7Л
Таким образом,
^[Л(«),^(я:)] =
7ГЖ
(4-4)
Эта формула получена в предположении, что v не является
целым числом. Но в силу теоремы 4.1 ее можно распространить
и на целые значения v — п.
Из соотношения (4.4) следует, что W[Jl/(x),Nl/(x)] ф 0 ни
при каких значениях v и х. Следовательно, Ju(x) и Л^(ж)
линейно независимы, что и требовалось доказать.
Утверждение 4.3. Функции Ju(x) и Ny(x) образуют
фундаментальную систему решений уравнения Бесселя при любом,
в том числе и целом, индексе. Общее решение уравнения
Бесселя (3.1) при любом индексе и дается формулой
у(х) = СхМх) + С2Му{х).
(4.5)

5. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя
45
Справедливость утверждения непосредственно следует из
того, что функции Ju(x) и Nu(x) линейно независимы и
являются решениями линейного дифференциального уравнения
второго порядка (3.1).
Пример 4.1. Найти общее решение уравнения
х2у" + ху' + (а2х2 -1У2)у = О, (4.6)
где а и v — некоторые постоянные.
Решение. Положим х = t/a, тогда
dy _ dy d2^ _ 2d2y
dx dt' dx2 dt2
,g+,!+M,=t
и уравнение примет вид
>d2y dy
dt2 dt
Следовательно,
y{t)=C1Jt,{t)+C2Nt,(t).
Возвратившись к исходным переменным, получим
у(х) = dJu{ax) + C2Nu(ax). (4.7)
5. Рекуррентные соотношения
для функций Бесселя
Теорема 5.1. Справедливы следующие рекуррентные
соотношения:
£[*-~М')] =-±*®, (5Л)
4-[x"Mz)] = sV„-i(jj). (5.2)
ах
Доказательство. Из определения (3.6) следует
±\Мх^]_ d [^ (-1)*
dxl х" 1 dx If-* k\T(k + v + 1
x2*
Lfc=0
\T(k + v + I) 22k+v\

46
Глава 2. Цилиндрические функции
= £
{-l)k2k х
2k-l
fc=0 v '
(-i)*-»(-i)
в2(*-1) + 1+к 1
^ (Jb - 1)!Г([* - 1] + [v + 1] + Г) г^-^+^+Ч x"
Аналогично получаем
£
(-D'
Ж
2fc+2i/
fc=0
;-> k\T(k + u+l) 22fc+"
(-l)fc2(fc + t/) a;2fc + 2^-l ^
*!Г(* + i/+ 1) 22fc+"
= £
("1)A
2* + (i/-l)
^fc!r(fc+[z/-l] + l)22*
что и требовалось доказать.
+ (1/-1)Ж ~~ Ж «'"-И2')'
Следствие 5.1.1. Справедливы следующие рекуррентные
соотношения:
xJl(x) = 1/Л(ж) - xJy+i(x);
xJ'u{x) — —uJu(x) + xJu-i(x).
(5-3)
(5.4)
Доказательство непосредственно следует из соотношений
(5.1) и (5.2).
Пример 5.1. Доказать справедливость рекуррентного
соотношения (5.3), исходя из определения бесселевых функций (3.6).
Решение. Из определения (3.6) следует, что
" (-l)*(2fc + ^)^2*+"_
xJUx) = £
*=о
А;!Г(А; + ^ + 1)
(!)■
fc!r(fc + *v + l) V2/ +
+*£
(zi)
(fc - 1)!Г(А:
+ ^ + 1)\2У
2k + v

5. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя
47
Положив / = к — 1, получим
~ (_!)'+! /а.ч2/+(1,+ 1)-Ц
«ад = ,л(.) + 2 g щ^(Л1) + 1) (2)
= vJv{x) — xJu+\{x),
что и требовалось доказать.
Пример 5.2. Доказать справедливость рекуррентного
соотношения (5.4), исходя из определения бесселевых функций (3.6).
Решение. Рассмотрим
к = 0 V '
Аналогично предыдущему примеру
^> k\T(k + v + l)\2)
A (-l)*(2fe + 2i/) (x\2k-H"-1) x _
+ 2^ k\(k + v)T(k + (v - 1) + 1) V2/ 2 ~
— vJu(x) + xJv-\ (ж),
Здесь мы воспользовались тем, что
Г(* + v + 1) = (к + 1/)Г(* + (i/ - 1) + 1).
Таким образом, соотношение (5.4) доказано.
Следствие 5.1.2. Справедливы рекуррентные соотношения
2J'„(z) = Jt,-1{z)-Jt,+1(x); (5.5)
2- Ju(x) = Jv-xix) + Ju+i{x). (5.6)
Доказательство. Складывая соотношения (5.3) и (5.4), по-
лучим (5.5). Вычтя (5.4) из (5.3), получим (5.6).
О Положим в (5.3) v — 0. Тогда
4(х) = -Л(Ж). (5.7)
Следовательно, нули функции Ji(x) совпадают с максимумами
и минимумами функции J0(x) (см. рис. 4).

48
Глава 2. Цилиндрические функции
Следствие 5.1.3. Справедливы соотношения
•Мя)"
Хи+т '
' 1 d \ т
\xclx/ I xv \
(5.8)
(5.9)
Доказательство. Доказательство проведем методом
математической индукции. Представим (5.1) в виде
1 d [Jv{x)
х dx L xv
Ju+i(x)
ru+l
Таким образом, при га = 1 соотношение (5.8) справедливо.
Предположим, что (5.8) выполняется при некотором т — к.
Проверим справедливость соотношения (5.8) при щ = к + 1.
Для этого продифференцируем его по х и воспользуемся
соотношением (5.1). Получим
d /1 d \k\JAx)] _ / ^к d [^+fc(g)l =/ 1xfc+i^+fc+i(a?)
dx\xdx) I xv J * ' dx L ж"+* J ^ ' ж"**
Следовательно,
/1 d wl d \уЛж)| =/ ^Hi^+HiW
что и требовалось доказать. Аналогично доказывается (5.9).
Следствие 5.1.4. Справедливы соотношения
(^yV/2J„(2v^) = <Г/2з>-п)/2Л_т(2^); (5.10)
= (-ir9m/^_("+m)/2^+m(2V^).
[роведем в
= 2y^t,
(5.11)
(5.12)
Доказательство. Проведем в (5.9) замену переменных
IА _ JL__d
ж ds 2g di
и получим
(^й)"^2^™2^ = (2^)""тЛ-т(2у/^).
Заменив здесь t на ж, получим (5.Ю). Аналогично из (5.8) придем к
(5.U).

5. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя
49
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
Jv(x) W=-2,5
W I/-W
2/ X/ 0Ч/8 ^
<10 \
ч/ж
Рис. 9
Следствие 5.1.5. Функции Бесселя полуцелого индекса
выражаются через элементарные функции (см. рис. 9)
1 d "Im г /2 sin х l
г /,\_/ nm^m+i/af1 « 1тГ/ 2 sma
Л/а+т(«) - (-D « [~^J iV^Ti
J-l/3-m(«) = ^ГО+1/2
rl_d_
x dx
2 cos ж 1
7ГЖ -y/lC J
(5.13)
(5.14)
Доказательство. Вычислим Ji/2[x) и J-i/2(x)'-
-1/2
w = £
(-l)fc /ж\2«:-1/2
*=0
*!Г(Л + 1/2)\2/
Из основного функционального соотношения для
гамма-функции Г(г + 1) = zT(z) и из того, что Г(1/2) = y/it, следует
Следовательно,
. , . ^ (-l)fc2* + 1 /ХЧ2Л + 1/2
и
^ (-1)*2* ,»^*-i/»
J-v»H = ^jfel(a>_1)!|v/?t|J
\/7Г.

50
Глава 2. Цилиндрические функции
Заметим, что
*!(2* + 1)!!=^(2* + 1)!!=<Н*^,
*!(2*-1)!! = ^1.
Тогда
т I ^ V- (-l)fcV2 2k+1 1 ГТ .
~ (2Л+ 1)V7T \Д V 7ГЖ
г / N ^(-1)"V^ 2k 1 /Т~
V^v ; ^ (2k)\y/n Jx V тле
Следовательно,
/ 2 /2
J1/0(x) = \ —sinz и J_1/2{x) — \ —cosx*. (5.15)
' у пх ' у -кх
Положим в соотношении (5.8) v — 1/2, а в (5.9) v — —1/2 и
воспользуемся соотношениями (5.15). Получим формулы (5.13)
и (5.14), что и требовалось доказать.
Пример 5.3. Вычислить /з/г(ж) и Л-з/2(#)-
Решение. Подставим в (5.13) га = 1 и в (5.14) га = 1. Тогда
^3/2(Х) = У^(^-С08Х),
т I \ Г2~( • C0Sa;N\
Пример 5.4. Доказать справедливость соотношений
J£(x) = -Л(г),
J2{x)-Jo(x) = 2J8(x), (5.17)
x2J'l(x) - (п2 -п- x2)Jn + xJn+1(x).
Решение. Применив рекуррентную формулу
--^[x-/Jl/(x)] = x-^+^Ju+1(x)
х ax
(5.16)

5. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя
51
для v — О, получим первое равенство.
Продифференцировав полученное равенство и
воспользовавшись соотношением
Jl(x) = 2^-i(x) ~ «WO*)]
для v — 1, получим второе равенство.
В тождестве
x2J['{x) + xJ'n{x) + (х2 - n2)Jn{x) = О
воспользуемся рекуррентным соотношением (5.5). Тогда
*2J"(X) = ~[Jn-l(x) ~ Jn + l(x)] ~ (X2 - n2)Jn(x).
Исключим из этого равенства Jn-i(x) с помощью соотношения
(5.6) и получим
x2Jn(x) = ~[—Jn(x) - 2Jn+1(x)] - (х2 - n2)Jn(x)
I X
или
x2J„(x) = (n2 -n- x2)Jn(x) + xJn+i(x).
Пример 5.5. Доказать соотношение
*
/ Jv(t)dt = 2£Л+2*+1(х), i/ > -1. (5.18)
о k=°
Решение. Воспользуемся известной формулой для
производной бесселевой функции 2J'u{x) = J„-i(x) — J„+i(x). Заменив
v на v + 1, получим 2J^+1(x) = Jv{x) — 71/+2(ж)-
Проинтегрировав, найдем
X X
2Ju+1(x) = / ,/„(*)* - / J„+2(*)<tt, i/ + 1 > 0 (i/ > -1).
0
Аналогично
X X
2«Л/+з(я)
0 0
a? a:
2J„+5 (x ) = J Ju+4(t)dt - f3V
о о
и т.д.

52
Глава 2. Цилиндрические функции
Сложив эти равенства, получим
J J„(t)dt = 2[Jv+1(x) + Л+з(ж) + Л+5(«) + •••]•
о
Здесь v > — 1. Можно показать, что ряд справа быстро
сходится.
Пример 5.6. Вычислить интеграл Вебера
оо
/= I e-a2x2Ju(bx)xu+ldxy 6>0, Rei/>-l.
о
Решение. Рассмотрим интеграл
оо
/_ 2..2 I |
е Ju(bx)x" dx =
о
-/•--•-(£<">'^ч)*-
= £(-1)щ^птт)Уе * *•
о
Сделав замену переменных а2 ж2 = £, получим
J-fW (W" I Je-'S+'dt-
2^( l> kW(v + fc + 1) 2а»"+"+» У
*-» о
(2а2)"*1 АЛ ] к\а2к
(2а2)^1 АЛ }
(2а2)"*1 ^v ; fc! (2a2)"+i
v fc=o v '
для Re i/ > — 1, b > 0. Таким образом,
Je-"''aJv{bx)x,'+ldx = р£уТТе-Ь*,4°2- (5-19)

5. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя
53
Пример 5.7. Дри помощи бесселевых функций полуцелого
порядка вычислить интегралы Френеля
1 X X
S(x) = —== / —^dt, С[х) - —= \ —^dt.
1 Vbi J yft л/U J уД
о о
Решение. Имеем
X X
S(x) = I /y^rint*= \J Jlt2{t)dt.
О о
Положим в соотношении (5.18) и = 1/2 и подучим
/оо
Jl/2(t)dt = 2} ^Jl/2+2k+l(x)-
Тогда
$(х) = / ^3/2 + 2* (Ж)'
г»=0
Аналогично найдем
Можно показать, что полученные ряды быстро сходятся и поэтому
удобны для вычислений.
Пример 5.8. Вывести рекуррентную формулу
X X
/t4(<)* = ^+i(»)-(/i-^-l) /t^-lJv+l{t)dt (5.20)
о о
при /i + I/ > -1.
Решение. Воспользуемся рекуррентным соотношением (5.2)
и положим в нем v — v -f 1. Тогда
£[^+1Л+1(х)] = х"+1Л(х).
Подынтегральную функцию #*,/„(<) в (5.20) представим в виде
^-(•H-iy+t^) = ^-(Н-чД^Ц
Л. „+»(«].

54
Глава 2. Цилиндрические функции
Выполним один раз интегрирование по частям, положив
U = ^-(^+i)i dv = ^[^+1J1/+1(t)]dt.
Найдем
X X
ft^Jv(t)dt = Jt^ + V^P + ij^itfldt =
О О
.т
= ^"(,/+1)<,/+1Л+1 («)Г - [tv+1Jv+1{t){fi -V- l)t*-v-2dt =
•о У
о
х
= а^Л+Пя) - (/х - I/ - 1) /V"1JI/+1(t)ctt.
Здесь использовано условие // + z/ > —1. В самом деле,
^«7|/+1(£)|*=о = 0, так как
оо^ j(H-i/ + l)+2fc
^+i(«) = D-l)V+^jHr(y + 2 + *)' ^ + 1>0-
Пример 5.9. Используя соотношение (5.20), показать, что
вычисление интеграла
а:
/
tmJu(t)dt, i/>-1, т = 0,оо.,
о
сводится к вычислению интеграла
х
I
Jv+m(t)dt.
0
Если га — v — 2/с + 1, к =0,оо, то исходный интеграл выражается
в замкнутом виде через конечное число бесселевых функций.
Решение. Воспользуемся соотношением (5.20), положив \х — га*
X х
J tmJv(t)dt = жт J„+i (я) - (га - v - 1) I Г'1 Л+1 (*)Л,

5. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя
55
где га -f v > —1. Применим эту формулу га раз :
X X
ft^-'j^ii^dt = xm-1Ju+2(x) -(m-v- 3) Ат-2Л+2(0^,
о о
х х
[t^^J^Wdt = xrn-2Jl/+3(x) -(ш-v- 5) Ат"3Л+з(0^
о о
}
х х
ltJv+rn-\(t)dt = xJu+rn{x) -\m-v- (2га - 1)]/j„+m(t)cto,
о о
Пришли к интегралу
/ Jv+m{t)dti
о
рассмотренному в примере 5.5.
Если га — v = 2k +1 (к = 0, оо), то, применив исходную формулу
А; раз, придем к равенству
ftm-k + l
Jv+k-\ [t)dt ■■
= я*+"+1Л+*(х) - (m - i/ - 2fc + 1) A £^ + 1 J„+k(t)dt.
о
Ho ra — fc = fc-fi>' + Ь(из условия га — v = 2к + 1). Тогда
X X
ftm-kJv+lc(t)dt= ftk+,,+1Jv+k(t)dt =
о о
= ^+"+1Л+к(()Г=а;*+,'+1Л+*(х),
lo
и исходный интеграл будет выражен в замкнутом виде через бессе-
левы функции.
Пример 5.10. Используя прием, описанный в примере 5.9,
вычислить интегралы
X X
J t3J0(t)dty "lt*Ji(t)dt.

56
Глава 2. Цилиндрические функции
Решение. Воспользовгшшись соотношением (5.20) и положив в нем
fj, = 3, v = 0, получим
/''л
/■
(t)dt = x3Ji(x) - (3 - 0 - 1) / t2Jx(i)dt =
о
= x3Ji{x) - 2t2J2(t)\XQ = x3Ji(x) - 2x2J2(x) =
= x3Ji(x) - 2x2\-Ji(x) - Jo(x)] = (x3 -4х)^(х) + 2х2^(х).
Аналогично
/ t3Ji(t)dt=: X3J2(X)
-(.— !)/
t2J2(t)dt =
= x J2(x) —
x2J3(x)- (2-2-1)
x
h
(t)dt
= x J2(x) — x J$(x) -f
X
xJ4(s)-(l-3- 1) / JA
(t)dt
= x*J2(x) — x2Jz(x) + xJa{x) + 6 у ^J2k+z{x).
6. Различные виды функций Бесселя
ф Функции
HW{x) = Jv(x) + iNv(x), HW{x) = J„(s) - iN„{z) (6.1)
называются, соответственно первой и второй функциями Хан-
келя, или функциями Бесселя третьего рода.
Воспользовавшись определениями функции Неймана Nu(x)
(4.2), получим
г sin 7rf
Bl2)(x)
(6.2)
г sin 7ги
0 При I/ —> п в формулах (6.2) возникает неопределенность
типа 0/0, которая может быть раскрыта, например, по
правилу Лопиталя.

б. Различные виды функций Бесселя
57
О Из (6.2), в частности, следует, что
Н™(х) = е'-'Н^Цх) и Н™(х) = е--"Я<2'(х).
Пример 6.1. Выразить функции Ханкеля Н\ Л \х) и #_^Дж)
через элементарные функции.
Решение. Так так sin(7r/2) = 1 и ег7Г/2 = г, то из (6.2) с учетом
(5.15) получим
О Сравнение формул (6.1) с формулами Эйлера показывает,
что Ju(x) - аналог функции cos ж, Nu(x) - sin ж, Н^(х) - егх.
♦ Функция
Iu(x) = ruJu{ix) = е~{п1//2^{гх) (6.3)
называется модифицированной бесселевой функцией первого
рода индекса v (см. рис. 10).
♦ Функция
Kv{x) = ?+1^H?\ix) (6.4)
называется модифицированной функцией Бесселя второго рода
или функцией Макдональда (см. рис. 11).
1 2 3 4 х 0,5 1 1,5 X 2
Рис. 10 Рис. 11.

58
Глава 2. Цилиндрические функции
О Из определения функции Ju(x) следует, что функция Iu{x)
представима рядом Тейлора вида
-—* 1 /г \ 2fc+^
w=Et!r(„;t+1)(f) • <••«>
О Функции Ки(х) и Iu(x) связаны соотношением
КЛх) = Ж-1-Лх)-1Лх)
2 sin 7гг/
Теорема 6.1. Функции 1и(х) и Ки(х) являются линейно
независимыми решениями уравнения
х2у" + ху' - (х2 + v2)y = 0. (6.6)
Доказательство. Заменой переменной z — ix уравнение (6.6)
приводится к уравнению Бесселя
частными решениями которого являются функции
y(z) = C\Jv{z) — CiJu(ix) и y(z) = CoJ-is{z) = C2J-v{ix),
где Ci, CS — произвольные постоянные. Выбрав, согласно
(6.3), С\ = г-", Сз = г^, убеждаемся, что /„(as), /-„(ж)
являются частными решениями уравнения (6.6).
Вронскиан функций i~uJl/(z) и ^/-„(z), согласно (3.10),
можно записать
су
W\i-vJv(z),ivJ-v(z)) = W[Ju{z)!j.v(z)] = sin™
7TZ
или в развернутой форме
i~vJv(z) — [i"J_u(z)] - iuJ-l/(z) — [i~l/Jl/(z)] — sin7ri/.
dz dz kz
Последнее равенство с учетом определения (6.3) и
соотношений
d _ l_d_
dz i dx

6. Различные виды функций Бесселя
59
запишется в виде
Iv(x)dI~"{x) - 1-и(х)Щ& = W[Iv(x),I-v{x)] = -—sin™.
ax ax nx
Отсюда следует линейная независимость функций Iv{x), I-U(x)
при v ф п.
Вычислим
W[I„{x),Kv(x)] = W\l„(x), «t-'M-Ivi*)
L z sin 7гг/
= 7r-^—W[Iv[x),I-u{'>)] = T^—(-— sin7ri/) = --'
2 Sill 7TU 2 Sin 7Г1/ \ 7ГЖ / ж
Следовательно, Л/(ж) и .К",/(ж) линейно независимы при любых
г/, что и требовалось доказать.
Следствие. Функции /„(ж) и 1£„(а;) образуют
фундаментальную систему решений уравнения (6.6), и общее решение
уравнения (6.6) имеет вид
y(x)=C1Iv(x)+C2Kv{x). (6.7)
Доказательство следует из того, что Iu(x) и Kv(x) линейно
независимы при любых v и являются решениями уравнения
(6.6).
Теорема 6.2. Для функций Бесселя мнимого аргумента
справедливы следующие рекуррентные соотношения:
Iv-l{x) ~ Л/ + 1(я) = Iv{x), /g^gx
1и-1(х) + 1„+1{х) = 2Г,,{х).
Доказательство. Заменив x на гх в рекуррентном
соотношении
Jv+i{z) + Ju-i{x) = —Jv(x)
х
и умножив равенство на i~(u+1\ получим первую формулу.
Для вывода второй формулы воспользуемся рекуррентным
соотношением
Ju-i(x) - Jv+i{x) = 2J'u(x).
Пример 6.2. Найти общее решение уравнения

60
Глава 2. Цилиндрические функции
Решение. Сделаем замену переменных
у(х) = e~2xz(x). (6.10)
Вычислим производные
у'(х) = [e-2*z(x)}' = e~2x[-2z(x) + z'(x)];
у"(х) = {e-2x[-2z(x) + z'(x)}}' = (6.11)
= e-2x[z"(x) - 4z'(x) + 4z(x)].
Подставим (6.10) и (6.11) в (6.9)>
e-2x[z"{x) - Az'(x) + 4z(x)} + U + -)e-2x[z'(x) - 2z(x)] +
Разделив на экспоненту и приведя подобные, получим
x2z"{x) + xz'{x) + {-х2 - b)z{x) = 0. (6.12)
Уравнение (6.12) — уравнение Бесселя (6.6) с v — \/б, общее
решение которого, согласно (6.7), имеет вид
z(x) = C1IVJ.(x)+C2KV!r(x).
Окончательно получим
у(х) = С^Ч^х) + С2е~2*К^(х)
7. Асимптотическое поведение
цилиндрических функций
Теорема 7.1. Функция
А
2/(я) = -т=со8(ж + р), (7.1)
л/Х
где А и (р — произвольные постоянные, является
асимптотическим с точностью до 0(х~3/2), х —> ос, решением
уравнения Бесселя (3.1) при любом v.

7. Асимптотическое поведение цилиндрических функций 61
Доказательство. Рассмотрим уравнение Бесселя
2/" + ^ + (1-йу=0- (7-2)
Сделаем в уравнении (7.2) замену переменных х = et,t Е]0,1],
е = const. Тогда при больших ж, т.е. при х —»■ оо, параметр е
также будет стремиться к бесконечности.
Уравнение (7.2) в новых переменных примет вид
Здесь точка означает дифференцирование по переменной t,
у = dy/dt.
Решение уравнения (7.3) будем искать в виде
y(t,e) = eusMf(t,e), (7.4)
где функция S(t) не зависит от е, функция f(t, е) зависит от
параметра ш = 1/е регулярно, т.е.
f(t,e) = fo(t) + -fi(t) + \f2(t) + ..., (7.5)
а ЛМ» & = 0? °o> от £ не зависят. Из (7.4) найдем
y(t,e) = /(t,£)e*5<«> + ieS(t)/(<,e)e,>s(t),
y(<, с) = /(*, e)e*s<*> + 2ieS(t)f(t, e)eieS^ - (7.6)
-e2(S(t))2/(M)e'>s«>.
Подставим (7.4) и (7.6) в уравнение (7.3), получим
|[-52(<) + l]f(t,e) + i [2i/(i,e)5(<) + £/(*,e)S(<)] +
+? И*'е>+i^'«e) - £/(*•*)]} e"s(t)=°-
Подставим разложение (7.5) и приравняем коэффициенты при
одинаковых степенях 1/е. Получим
е°
е-1
1 - S2(t) = 0
2/о + j/o = 0

62
Глава 2. Цилиндрические функции
Из этих уравнений находим
S(t) = ±t, /о(<) = ^.
Следовательно, функция
y(t,e)=<^exp(±iet) (7.7)
является асимптотическим с точностью до 0(1/е) решением
уравнения (7.3). Уравнение (7.3) —линейное
дифференциальное уравнение второго порядка с вещественными
коэффициентами. Следовательно, действительная и мнимая части его
комплексных решений — также решения уравнения (7.3).
Таким образом, функция
О С1
y(t, е) = —jz cos et + —=. sin et (7.8)
y/t \Jt
- также асимптотическое решение уравнения (7.3). Положив в
(7.8)
А А
С\ = ~т= cos у>, Сг = —т= sin <р
у/в у/6
и возвратившись к исходным переменным, получим
утверждение теоремы.
Можно показать (см., например, [2]), что при х —> оо
справедливы следующие асимптотические оценки:
j^ = V^4*-t-i)+0(*~3/2)' <7-9>
N"W = у/ШН* ~ т ~ i)+ 0(ж~3/2)' (7Л0)
ИМ = V^exp[±i(x - Ц. - 1)] + 0(,-><>). (7.11)
О Отметим, что асимптотические оценки (7.9)—(7.11)
справедливы не только для ж > 1, но и для всех \z\ ^> 1, argz <
7г — (5, S - произвольное малое положительное число.

7. Асимптотическое поведение цилиндрических функций 63
О Аналогично можно получить асимптотику функций
Бесселя мнимого аргумента при х —> оо:
J„(s) = ^-U*[l + 0(l/x)], (7.12)
Кп(х) = \П-е-х[1 + 0(1/х)]. (7.13)
V 2>х
Рассмотрим поведение цилиндрических функций при х —>
+0. Из определения (3.6) следует
Мх) = Д (I)" + 0(x"), * -+ +0, «/ £ 0. (7.14)
Из определения (4.2) и соотношения (4.3) получим
Nv{x) = -^-(lY1'+ 0{x-v), х^О, i/>0,
7Г \ 2 /
ЛГ0(ж) = -In J+ 0(1), ж-^0.
7Г 2
Из (6.2) найдем
Я<1'2,(х) = ±г1п|,
H^){x) = ±im^y\ „>0,*-++0.
Аналогично для функций Бесселя мнимого аргумента имеем
/Лж) = r>Viy (f)"+ 0(х,')' *->+°. "£°;
*„(*) = ir(i/)(|)~" + 0(Ж-"), х -> +0,1/ > 0;
^о(х) = In | + 0(1), 1-4 0.
Пример 7.1. Доказать, что
оо оо
/ Jn(x)dx = / Jn+2(x)dx, n = 0~So. (7.15)

64
Глава 2. Цилиндрические функции
Решение. Рассмотрим разность Jn(x) — Jn+2(x). Из формулы
(5.5) при v — п + 1 найдем
Jn{x) - Jn+2{x) - 2J'n+1{x).
Тогда
оо оо
/ [Jn{x) - Jn+2{x)]dx = 2 J'n+1(x)dx = 2Jn+i(x)|~.
о о
Для функций Бесселя следующая асимптотическая оценка:
/ 2 \ 112 ( WK 7Г\
Л (ж) «(— cos ж -), ж-> оо (7.16)
\1гх/ \ 2 4/
справедлива при больших ж. Следовательно,
lim Jv(x) = 0. (7.17)
.т—ю©
Учтем, что Jn+i(0) = 0 при п — 0, оо, и получим
оо оо оо
/ [Лг(ж) - Jn+2(x)]dx = 0 или / Jn(x)dx = 7 Jn+2(a;)da:,
что и требовалось доказать.
Пример 7.2. Показать, что
</n + l(z)
J хп
dx
2nnV
п — 0, оо.
(7.18)
Решение. Воспользуемся соотношением
J Хп Хп
которое следует из (5.1), и получим
оо
/Jn + l\
X"
№ dx =-^^°° - Jn^
1 °°
= =£<-'>*
О Хъ
{х/2)п+2к
xzzO
к=0
к\Т{п + к + 1)
х=0
E(-DV
„2fc
к=0
2п+2кк\Т{п+к+1)
=о 2nnf

8. Интегральное представление функций Бесселя
65
Здесь мы воспользовались соотношениями (7.16) и (7.17).
8. Интегральное представление
функций Бесселя
До сих пор мы рассматривали вещественные решения
уравнения Бесселя. Теперь мы покажем, что существуют решения
уравнения Бесселя в виде контурных интегралов. Но прежде мы
рассмотрим дифференциальное уравнение более общего вида.
♦ Уравнение
(az + ai)/" + (bz + 6i)/' + (cz + cx )f = 0 (8.1)
называется обыкновенным дифференциальным уравнением
Лапласа. Здесь / - искомая функция, а а, а\, 6, Ъ\, с, с\ - постоянные
коэффициенты.
Теорема 8.1. Функция
=/*^(с)всж,
/(*) = I v(CKl<*C (8.2)
7
является решением уравнения Лапласа (8.1), если
<Р(0 = /2 ■ ,> , ехР
«С + К Н- с
+ с
(8.3)
где .D = const, а контур j удовлетворяет условию
(aC2 + feC + cMC)eCi7 = 0. (8.4)
Доказательство. Будем искать решение уравнения (8.1) в виде
(8.2), где <р(С) - неизвестная функция, а 7 - некоторый заранее
неизвестный контур интегрирования. Тогда
1
Подставив в (8.1), получим
{(az + a, )С2 + (bz + bi )С + (cz + ci)}v?(C)e<IJC = О
/<
или

66
Глава 2. Цилиндрические функции
/■
*>(C)eCz [«2 + Ь( + с)* + (ai С2 + bi С + ci Ж = 0.
Потребуем теперь, чтобы функция <р(£) удовлетворяла
дополнительному условию
КС2 + ь,с + ci)^(C) = ^[К2 + ЬС + с)^(С)], (8.5)
что эквивалентно (8.3). Тогда
/
7
или
еСг{К2 + ЬС + c)z4>{Q + ^[(aC +К + сМОЖ = 0
/ {^[К2 + К + c)v(C)e<r]}d< = о,
7
если справедливо соотношение (8.4). Следовательно, функция f{z)
(8.2) будет удовлетворять уравнению (8.1), если функция tp(()
удовлетворяет уравнению (8.5), а значение функции
в конечной точке будет совпадать с ее значением в начальной точке
контура. Таким образом, теорема доказана.
0 Функция <р(() аналитична, кроме, может быть, двух особых
точек, являющихся корнями уравнения
ах2 + Ъх + с = 0.
Если особые точки не охватываются контуром, то по теореме Коши
f(z) тождественно равна нулю, т.е. контур 7 должен охватывать
хотя бы одну особую точку.
Теорема 8.2. Функция
f{z) = zvA Jil-rfy-VWdr,, (8.7)
7
где А = const, удовлетворяет уравнению Бесселя при условии
(1-«72Г~3/2е">г| =0. (8.8)
Доказательство. 1. Рассмотрим уравнение Бесселя
z2f" + zf' + (z2-v2)f = 0. (8.9)
Сделаем подстановку
/ = zuw. (8.10)

8. Интегральное представление функций Бесселя
67
При этом
// V — 1 . V f
= VZ W -f Z W ,
f = v\y — \)Z W + LVZ W + Z W .
Подставим эти соотношения в (8.9). Тогда
i/(i/ - l)z"w + 2i/s"+V + *"+V +
-\-VZ W + Z W + VZ W — V Z 1У = 0
2 w + (2i/ + Y)z w+zw = 0.
Окончательно получим
zw" + (2i/ + 1)гс/ + zw = 0. (8.11)
2. Таким образом, мы привели уравнение Бесселя к уравнению
Лапласа с коэффициентами a = 1, a\ = 0, Ь = 0, Ъ\ = 2v -f 1, с = 1,
d = 0. Следовательно,
а так как
то
1)/2
ехр
Окончательно запишем
*(0 = (1 + <3Г",/3- -(8.12)
Следовательно,
/„(*) = Яг" /"(С2 + iy-l/2e<*d(.
7
3. Сделаем в интеграле замену £ = гг7, что эквивалентно
повороту плоскости С против часовой стрелки на тт/2. Тогда С2 = -г?2,
a dC = га?7 и для Д(2) получим
U(z) = Biz» у(-V + iJ'-i/V'A, =
-г

68
Глава 2. Цилиндрические функции
Выберем D = —1( — 1)1'2~иА, тогда функция fv{z) определяется
уравнением (8.7). Таким образом, в комплексной плоскости
уравнению Бесселя может удовлетворить функция, представленная
некоторым контурным интегралом, что и требовалось доказать.
О Если контур является замкнутой кривой, внутри которой
находится одна из точек t = ±1, то при ее обходе в положительном
направлении аргумент увеличивается на (у — 1/2)7гг независимо от
формы контура. Модуль функции при этом не меняется. Если взять
контур в виде восьмерки, то указанные точки обходятся в
противоположных направлениях.
О Если v + 1/2 ф п, то (1 — ii)u~l - многозначная функция.
О Придавая контуру ту или иную форму, можно получить
различные интегральные представления бесселевых функций.
9. Интеграл Пуассона
Теорема 9.1. Для функции Бесселя Ju(z) справедливы следующие
интегральные представления:
1
T^hwMh1-^1"'^2^ (9Л)
-1
—= — (-) " [ sin2" 0 cos(z cos 0)d9 (9.2)
о
при Re(u — 1/2) > 0. Соотношения (9.1) и (9.2) называются
формулами или интегралами Пуассона.
Доказательство. 1. Рассмотрим функцию fv(z) (8.7). При Rei^ >
1/2 в качестве контура интегрирования можно выбрать отрезок
[—1,1], тогда
1
-1
1
= Azu HI - г}2)"-112 cosrjzdr). (9.3)
-l
Здесь мы воспользовались тем, что в силу нечетности
подынтегральной функции интеграл, содержащий sin 772, равен нулю.
2. Аналитическое продолжение функции Jv(x) в комплексную
плоскость будет иметь вид
Mz) =
Л(«) =

10. Производящие функции. Интеграл Бесселя
69
т.е.
Л(*)- (J J2 k\T(k+ l + v)\2) '
fc = 0 v '
Следовательно,
hm -^ = -=7 r. (9.4
2->o zv 2^(1+1/) v }
Теперь рассмотрим аналогичный предел для fv(z):
i
limM±L=A [(i-rfy-Wdr,.
z-Ю Zv J V '
-1
Сделаем замену rf2 = t, rj = y/i, drj — dt/2yfi:
lim £(f) = A f ?/*-*(1 _ t)"+i/2-iA = AB(l/2,i/ + 1/2) =
г-Ю Zv J
0
_ T(l/2)T(v + 1/2) _ Aj*T{v + 1/2)
Г(^+1) Г(1/ + 1) '
li» *& = A^T(u +1/2)^
A = 2»y/xT(v + l/l)' (9<6)
1
j-^=^+i/2)(i)7(i->?2rl/2e,'"^=
-1
1
= v^hw№l(1-,ir~1>2cosilzdr> (9'7)
-i
при Re(^ — 1/2) >0. Таким образом, соотношение (9.1) доказано.
3. Сделаем в интеграле (9.1) замену rj = cos0, dr\ = — sin0d0:
(l-r?Y-112 = Sin2" °
sin0 '
Заметим, что 0 = тг при г) = -1, 0 = 0 при г) = +1. Получим
Л(*)==_-J (±Y [ sin*» ве" cosed0 =
V^r(iy + i/2) V2/ J
о
тг
= АГ("+1/2)'(Й у sin2"ecos(2cose)^, (9.8)
О
что и требовалось доказать.
Положим
Тогда

70
Глава 2. Цилиндрические функции
10* Производящие функции.
Интеграл Бесселя
♦ Производящей функцией функциональной
последовательности {an(z)}, п = —оо,оо, называется функция Ф(г,£),
разлагающаяся в сходящийся степенной ряд по t
оо
*(z,t) = £ an(z)tn (ЮЛ)
п = —ОО
с коэффициентами an(z).
0 Если известна производящая функция, то для изучения
последовательности {an(z)} можно использовать свойства
коэффициентов ряда Лорана аналитических функций.
Теорема 10.1. Функция
F(z,i) = exp[±z(t-j)] (10.2)
является производящей для бесселевых функций целого
индекса, т.е.
11 °°
п = —оо
Доказательство. Рассмотрим функцию комплексного
переменного t (10.2). Она имеет существенно особые точки t = 0
и t — оо и, следовательно, разлагается в ряд Лорана на
комплексной плоскости £, причем коэффициенты будут функциями
параметра z, входящего в выражение (10.2), т.е.
оо
где
exp[(*/2)(i? - l/i?)]
1 Г
Tjn + 1
dr). (10.5)
Здесь 7б ~ произвольный замкнутый контур, охватывающий
начало координат.

10. Производящие функции. Интеграл Бесселя
71
Сделаем замену переменной т/ = 2t/z, (z ф 0), а7о —>• 7» 7
также содержит начало координат. Тогда
-<" = Si(i)7,"*"V"''"*
_^(-l)fc г2*
но
е-2/4* =
fc=0
причем последний ряд сходится равномерно. Тогда
Если п + & < 0, то под интегралом стоит аналитическая
функция и он равен нулю. Если п + & ^ 0, то точка £ = 0 — полюс
порядка п + k + 1. Следовательно,
1 /* 1 Wn+* Г *>*
1 t-n-i-ketdt = lim 1 d ^
2тгг У *-+о (n + fc)! cttn+* Un+*+1
7
Поскольку
sL/,-^*-/orbit "+*>»
Г(п+* + 1)'
получим
Следствие 10.1,1. Справедлива формула
e-««v_ £ J„(z)e-«^. (Ю.6)

72
Глава 2. Цилиндрические функции
Доказательство. Положим в формуле (10.3) t = е г<р:
оо
F(z,ei*)=e-"*n*= £ M*)e-inv,
п = — оо
что и требовалось доказать.
Следствие 10.1.2. Справедливо соотношение
7Г К
Jn(z) = y /e'"<n*-*ein*>dp = - f cos(n<p-zsin<p)d<p. (10.7)
Формула (10.7) называется интегралом Бесселя, а при п ~ 0 -
интегралом Парсеваля.
Доказательство. Разложим функцию e~%zslTilp в ряд Фурье
по переменной (р:
оо
e-i*sm<p= J2 С„е-"п*, (10.8)
где
7Г
С„ = — [ e-izsin<p+in*d<p.
27Г 7
Разложение в ряд Фурье единственно. Следовательно,
коэффициенты рядов (10.6) и (10.8) равны и соотношение (10.7)
справедливо.
О Формула Бесселя (10.7) справедлива только для целых
п. В противном случае она имеет вид
7Г
Ju(z) = — I cos(v(p — zsm(p)d<p—
к J
о
оо
О
(см., например, [28] п. 30).

10. Производящие функции. Интеграл Бесселя
73
Следствие 10.1.3. Справедливы соотношения
оо
cos(zsiny?) = J0(z)-\-2^2 J2n{z) cos(2n(p); (10.10)
n = l
оо
sin(2 sin cp) = 2 ^jP J2n-i(^) sin(2n - l)y>; (10.11)
n = l
oo
cos(zcos0) = Jo(z)+2^(-l)nJ2„(z)cos(2n0); (10.12)
n=l
oo
sin(z sin
n = l
Разложения (10.10)-(10.13) называются разложениями Якоби.
Доказательство. Приравняв действительные и мнимые
части соотношения (10.6), находим (10.10), (10.11) (проделать
самим). Сделав в (10.10), (10.11) замену <р = 7г/2 — 0, получим
(10.12) и (10.13).
Из (10.10) и (10.11) следует
/ cos(z sin <р) cos 2п<рd<p = 7rJ2n{z)i (10.14)
о
к
/ sin(zsiny>)sin(2n- l)<pd<p = 7rJ2n-i(z). (10.15)
о
Пример 10.1. Разложить в ряд по функциям Бесселя целых
индексов функции cos ж и sin ж.
Решение. В равенствах (10.10) - (10.13) положим z — х:
оо
cos(e sin (р) = Jo{x) -h 2 VJ J2k (я) cos 2k(p,
oo
sin(xsiny>) = 2^ J2fc-i(a5)sin(2fc- l)(p.
fc=i
При (p = 7г/2 окончательно получим
oo
cosx = J0(x) + 2 £ J2fc(x)cosfc7r = Jb(«) + 2 £(-l)*J2*(x),
*=i fc=i

74
Глава 2. Цилиндрические функции
sin
ОО ~ "
х = 2ZJ2k-i{x)sm(2k - 1)- = 2jj(-l)fc+1J2*-i(x).
*=i
fc=i
Пример 10.2. Используя интегральное представление функций
Бесселя (10.7), доказать, что
ОО
(f3x)e-QXdx =
чЛ*2+/?2
, a > 0, /3 > 0.
Решение. Воспользуемся соотношениями (10.7)
оо тг/2
I = — I e~ax I cos(/3a: sir
y>)d</j
о о
тг/2
= — I dip I е ах cos(/3xsimp)dx.
о о
Рассмотрим интеграл
ОО
/
е QX cos(/3:c sin y>)dx ■
ОО
_ 1 / г (-a+»/9sinv>)x _j_ e(-a-i0 sin <р)хл^х _
0
1 re(_a+*^sin^)x e( —a-»0sin (f)x -I .оо
2 L — a H- г/3 sin v —a — i/3sin</? J |0
= if ,x . + i-.—U ^ .
2\a — i/3 sin</> a + i/3sin<p/ a2 + /32 sin2 (p
Тогда
la f d<p _ 2 f
V J a2 + /92 sin2 y> ~ naj (IT
*/2
2 /* -d(ctgV>)
_2_
7ra
-/32sin2y> тга J (l + ctg2^) + /32/a2
о 0
, 1 arctg( /^ )Г/2 = -1 =
v/i+/32/«2 \у/Т+Щ**'Ъ \Л*2 + 02
а > 0, /3 > 0.

10. Производящие функции. Интеграл Бесселя
75
Пример 10.3. С помощью производящей функции
F(M) = exp [§(*-!)]
для функций Бесселя первого рода Jn{z) показать, что
Jn(-z) = {-l)nJn(z).
Решение. Заменим в (10.3) t на — t и z на — z и получим
n= —оо
Тогда J„(s) = (-l)nJn(-2) или Jn(-z) = (-l)nJn(z).
Следствие 10.1.4. Функция
G(z, t) = exp
И)
является производящей для функций Бесселя мнимого аргумента
ш.
Доказательство. Известно, что
ехр
п= —оо
Заменим в (10.3) 2 на u, a t на —it, тогда получим
оо
exp[l(t + l)]= Е -№)(-0п**\
п= —оо
(-i)nJn(w) = (ij Jn(iz) = rnJ«{iz) = I«(z).
Следовательно,
оо
G(z,t) = exp [|(t + I)] = J2 In{z)tn, (Ю.16)
n= — oo
что и требовалось показать.
Следствие 10.1.5. Справедливо соотношение
I-n(z) = In(z). (10.17)

76
Глава 2. Цилиндрические функции
Доказательство. Сделаем в соотношении (10.16) замену
переменных t = l/t, п = —к. Получим
G(Z,l/t) = exp[!(t+i)]= £ /-*(*)**,
к=-оо
что и требовалось доказать.
Следствие 10.1.6. Справедливы соотношения
ezcos* = Io(z) + 2 g /n(z)cosn<,,
»=i (10.18)
ezsin* = Jo(«) + 2 £ /n(*)cos (?£--n<p).
n=l Ч l '
Доказательство. Положим в соотношении (10.16) t = et<p, тогда
оо
eICO!V = ]Г In(z)ein*
п= —ОО
ИЛИ
e*cos* = I0(z) + [h{zV* + /-i(*)e-'l +
+ [/2(2)e2^ + /_2(z)e-2,v] + ...+
+ [/„(*)e,'n" + /_„(*)e-'nv] + ...
Так как I-n(z) = /п(я) и emv> + e~tn<p = 2cosn</?, то первое
разложение в (10.18) доказано. При (р = 7г/2 — ф получим второе равенство
в (10.18).
Следствие 10.1.7 (теорема сложения). Справедливы
следующие разложения:
оо
Jn(u + v) = ]Г J*(v>)Jn-s(v), (10.19)
» — — оо
п
J„(u + v) = ^J ^п-^(п)Л(г))+
fc=0
оо
+ ^(-l)fc[Jn+fc(ti)Jfc(t;)H-Jn+fc(t;)Jfc(n)]. (10.20)
*=i
Соотношения (10.19) и (10.20) называются формулами сложения
для функций Бесселя первого рода.

10. Производящие функции. Интеграл Бесселя
77
Доказательство. Известно, что
оо
exp[f(t_i)]= £ -W"' °<|*|<°°-
п= —оо
Положим z = ti + и, тогда
•4^M)]-«4iH)WiH)]
и имеем
оо оо оо
п= —оо /= — оо fc= —оо
Перемножим ряды и приравняем коэффициенты при tn в левой и
правой частях. Приходим к равенству (10.19)
оо
Jn{u-{-v)— 22 Jn-k(u)Jk(v).
к— — оо
В частности,
оо оо
J0(ti + t;)= ^ J-k(u)Jk{v) = J0(u)Jo(v) + 2^J-k(u)Jk(v)
J0(u + v)= 2J J-fc(tx)Jfc(v) =
fc=-oo
00
= Jo(w)Jo(t7) + 2^(-l)fcJfc(ti)Jft(t;). (10.21)
fc=i
Это равенство содержит функции Бесселя только с
неотрицательными индексами.
Для доказательства формулы (10.20) воспользуемся
соотношением J_n(z) = ( — l)nJn(x). В самом деле, при к = 0,п оба
индекса неотрицательны (п — к ^ 0, к ^ 0), а при /с = п + 1,оо будет
п — к < 0, к > 0. Поэтому запишем
п _i
л,(«+») = 5з-'»-*(и)л(»)+ ^2 Jn-*(«)(-i)-*j-*(»)+
n —fc = m, m=l,oo
— n
fe=a+i
к — n = m, m=l,oo

78
Глава 2. Цилиндрические функции
+ J2 Jn+mH(-l)mJm(^) + Yj Jm(u)(-l)mJ„+m(t>)-
m=l m=l
Итак, следствие доказано.
О Можно показать, что для функций Макдональда Ки(х)
справедливо интегральное представление
оо
е-х en р ch ^ dp^ Rex>0^ (Ю.22)
о
аналогичное представлению (10.7). Из (10.22), в частности, следует
оо
Ко(х)= Л
e~xchpdp. (10.23)
о
Пример 10.4. Показать, что справедливо следующее
интегральное представление:
j рМ^р = Ко{щ_ (10>м)
0
Решение. Обозначим
со оо
f pJ0(pR)dp _ f qJo(Rkq)dq
J(iU) - J 7TF" - J f + i ~ fiRk)-
0 0
Здесь мы сделали замену переменных р = kq. Рассмотрим функцию
оо
[ qJo(qx)dq
о
которая после замены переменных q2 = z запишется в виде
оо
1 ( J0(x^)dz
f(x) -
1 Г J0(Xy/z)i
2 J z + l
о
Воспользуемся интегральным представлением
тт = /--"+"
1+. . ■'■*.
о
Тогда

11. Интегралы Ломмеля
79
оо оо
f{x) = | [dye-» f dze-'yJ0(xV^)
0 0
или после замены переменных z = s/y
оо оо
/(«> = 5/«*т7Ле",Л(ут)'
О о
Рассмотрим далее интеграл
"" оо
J е pJ0(a^p)dp = J е pdp^ 2at(fc|)3 =
о о к=0
^ 22*Ш)2 / ^ /с! V27
fc = 0
Следовательно,
/(l)='(^-»-'!/N, (10.25)
О
Сделаем в (10.25) замену у — xel J2. Тогда
оо оо
/(х) = \ j dpe-*'h t = j
e-*ch 'dt.
0
С учетом (10.23) нетрудно заметить, что соотношение (10.24)
справедливо.
11. Интегралы Ломмеля
Теорема 11.1. При условии Rev > —1 справедливы
соотношения
С
/ zJl/(az)Jv(f3z)dz —
о
= ^rrpiPMaQJim - *Л(/ВДК)}; (ил)
= ^-^W-^O^+iCaC) -/ЗЛ(Ч)Л+1(^С)};(11.2)

80
Глава 2. Цилиндрические функции
= ^^{pJv-iWMaQ-aMaQJu-iVXy, (П-3)
JzJl(az)dz = £{[JU«<)]2 + (l - ^)[Л(аС)]2}. (П.4)
о
Соотношения (11.1)—(11.4) называются интегралами Ломме-
ля.
Доказательство. 1. Рассмотрим уравнение
z2y" + zy' + (a2z2 - v2)y = 0. (11.5)
Сделаем в нем замену переменных a2z2 = t2, тогда
,_dy_dy п_^У__ 2d2y
dz dt dz2 dt2
В результате получим
2d2y dy 2 2
следовательно,
y(t) = dJ.it) + C2Nv{t) = dMaz) + C2Nu{az) (11.6)
- общее решение уравнения (11.5). В частности, положим С2 =
О, а С\ — 1. Получим
2d2Jl/(az) dJu(az) 2 2 2n 7 / ч п
dz2 dz
Умножим первое уравнение на ^Ju{(3z), а второе - на ^Ju{az)
и вычтем. Тогда
г Ia ,d2Jv(az) ,d2Jv{(3z) ,
zJu((3z)—^~2 «./„(az)—^з— +
+Jv(pz^^-Jv{azf^^- = -(a2 - ()2)zJv{az)Jv{f3z).
dz dz

11. Интегралы Ломмеля
81
Левую часть равенства можно представить в виде
iVJ*w
dJv(az)
zjv{az)
dJu(pz)
dz dz
-{a2 -p2)zJy(az)Jv(Pz).
}-
Проинтегрируем левую и правую части равенства в пределах
от 0 до £:
-(а2 -01) I zJv{az)Jv{(3z)dz =
о
с
Jv№
dJy(az) dJv{(3z)
z) г zJv(az) j
dz
dj„(pch
dz
dJv(aQ
d(
</,«)
lim z
z->0
Ju(pz) - Jv[az)
d(
dJu{pz)
dz dz
2. Покажем, что этот предел равен нулю. Действительно,
J„(az) = £-
(-l)n /az\2n+"
^ п!Г(п + ^+ 1) \ 2 /
n=0 v '
1 /azy /azy+2^ (~l)n /az-)2n~2
Г(1/ + 1) ^ 2 J ' V 2 У ^ п!Г(п + i/ + 1) V 2 /
1 (OLZ\v /^N"+2 , ч
Г(1/ +
где
Qi(az) = £
(-1)" /
az
27i-2
^ п!Г(п + 1/ + 1) V 2 /
ряд по положительным степеням z. Аналогично
zdJv{fiz)
dz
_jf (-1)" //Зг\Д"+П>
L ^Ч п!Г(п + i/ + 1) I 2 / J _
n=0
y, (-1)та(2п+г/) /j9z\2"+^-ij9 _
' ^ п!Г(п + v +1) V 2 ) 2 ~

82
Глава 2. Цилиндрические функции
v (PZY (Pz\v^lST^ (-1J l^ + i/J fpz\
>+1)1Т/ + \Т) ^ п!Г(п+г/+1) V~2~y
I/
= I>+1)
П7+Т)(т) + (т) л^*)'
где
_ ~ (-1)п(2п+^//ЗгчЗ"-»
П = 1
ряд по положительным степеням 2. Тогда
lim z Ju (Qz
z-*o L
dJI/(az) dJv{fiz)
- Jv\az)
dz
dz
«[вд(т)'+(т)*Н
Г(1/ +
LI4
^(?)" + (¥Г*НН-
Здесь мы воспользовались тем, что Re i/ > —1 и limQi(az) =
lim Ri((3z) = 0, так как Qi(az) и Ri(/3z) - ряды по положи-
тельным степеням z.
3. Заметим, что
d(
= Р-
d№
PJ'APQ-
Тогда при а ф /3
С
J' zJ„(az)J„(/3z)dz = -^^[aJ^QJl(aC)-pJ^OJU0C)}-
Таким образом, соотношение (ИЛ) доказано.
Воспользовавшись в последнем равенстве рекуррентным соотношением
JUaQ = — 7„К) - Л+iK)

12. Корни бесселевых функций
83
и аналогичным для JK/3Q, получим (11.2).
Если использовать другое рекуррентное соотношение
Jl(aC) = — ЛК) + Л-iK),
aQ
то получим (11.3).
4. Интеграл Ломмеля (11.4) можно вычислить из (11.1) с
помощью предельного перехода (3 —> а. Действительно,
С
jzJl{az)dz = Um{^^[/?J^
о
Возникающую в правой части этого выражения
неопределенность типа 0/0 раскроем по правилу Лопиталя:
zJ~(az)dz = hm —
^(«2-/з2)
d/3
С
= lim^Hj'v(/зс)JiК) - М<*МЖ) -IXJA<*QJ'J№]-
Но функция Jv(fiQ удовлетворяет уравнению
m2J';m+ршро + (p2c2 - ^2)л(/зо = о.
Тогда
7Ж) = "(l - ^)«W) - щЛ№>
и исходное выражение принимает вид
С
/ zJl(az)dz
1-
/32С2
2
-(/ВДК)}
= y{[«J+[l-^]W)},
совпадающий с (11.4). Таким образом, теорема доказана.

84
Глава 2. Цилиндрические функции
12. Корни бесселевых функций
Задачи об определении корней бесселевых функций играют
важную роль в приложениях.
Теорема 12.1. Если индекс v вещественен и v > — 1, то
функция Jv(z) имеет только вещественные корни, т.е.
если
J„K) = 0, то K)*=<- (12.1)
Доказательство. Будем доказывать методом от противного.
1. По определению.
''">=(§)"|щ£^(1Г. <»•»>
Предположим, что корни чисто мнимые, т.е. z — it. Получим
■ц«>=(|)>£:Мг(,+>+!)(*)"■
k=0 v '
где под знаком суммы содержатся только положительные
слагаемые. Следовательно, Ju(it) ф О при вещественных £,
отличных от нуля. Таким образом, функция Ju(z) не имеет чисто
мнимых корней.
2. Предположим теперь, что а = а + гЬ - комплексный
корень уравнения (12.1) Jv{a) — Оиа ф 0. Так как Ju{z)
разлагается в степенной ряд (12.2) с вещественными коэффициентами,
то а* - также корень этого уравнения, т.е. Ju(a*) — 0.
Теперь воспользуемся интегралом Ломмеля (11.1), положив
а = а, /3 = а*, т.е.
С
/ zJJ/(az)JI/(a*z)dz =
о
= а2 _С(а.)2К^К)^КО -аЛ(«Ч)^К)}-
Положим здесь £ = 1, тогда с учетом Ju(a) = Ju{a*) — 0
получим
1
/ zJl/(az)Jl/(a*z)dz — 0.
Q

12. Корни бесселевых функций
85
Поскольку Jp(a*z) = [Jv(az)]*, то
1 1
/ zJv(az)Jv(a*z)dz — I z\Jv(az)\2dz > 0.
о о
Полученное противоречие показывает, что функция Ju(z) не
имеет комплексных корней при и > — 1.
Теорема 12.2. Все корни функции Ju(z), кроме z = 0,
простые.
Доказательство. Предположим, что zq ф 0 - корень
кратности п > 1. Тогда Jv(zq) = Jl(zo) = 0, но
1 2
J"(z0) = J'v(z0) - (l - V-)Mzo) = 0.
Z(\ \ zZ /
,2>
Zq \ ZQ<
Продифференцировав уравнение Бесселя, получим
J'"^) = {^[--ZJ^-(1-^)J^
= 0.
Z—Zq
Аналогично можно показать, что все производные функции
Jv[z) в точке zq обращаются в нуль. Следовательно, функция
Ji/(z) = 0, так как все коэффициенты ряда Тейлора в точке zq
равны нулю, и Jv(z) не может иметь кратных корней, что и
следовало доказать.
Теорема 12.3. Уравнение Jv(z) — 0 имеет бесконечное
множество решений (корней).
Доказательство. Функция Бесселя «/„(ж) является решением
уравнения Бесселя и, следовательно, при больших х допускает
следующее асимптотическое представление (7.1):
у{х) = -=cos(x + (p), (12.3)
у/Х
где А = у/2/п, <р = — 7I7//2, а функция cos х имеет бесконечное
число нулей. Следовательно, Ju(x) также имеет бесконечное
число нулей, и теорема доказана.
Можно (см. [18]) доказать справедливость следующих
теорем, описывающих поведение корней функций Бесселя.

86
Глава 2, Цилиндрические функции
Теорема 12.4 (Бурже). Функции Ju(z) и ^+т(г), т = 1, оо,
не имеют общих корней, за исключением z — 0.
Теорема 12.5. Любые 7ш(^); для которого выполняется
Jv(lm{v)) = 0, суть возрастающие функции переменного v,
если v > 0.
13. Ряды Фурье-Бесселя и Дини
Здесь мы рассмотрим ряды Фурье-Бесселя и Дини,
играющие важную роль в приложениях.
Теорема 13.1. Последовательность функций
Jv(alj),Jy(aZj),...,Jv(<4j)..., i/>-1, (13.1)
в которой а%, к = 1,оо - корни уравнения
Л(») = 0, (13.2)
образует ортогональную систему функций с весом р(х) = х,
т.е.
I
J xJv(alj)jv(a^)dx = l^[JlK)}%r (13.3)
О
Здесь 8kj ~ символ Кронекера.
Доказательство. Положим в интеграле Ломмеля (11.1) С = 1»
а = а£, /3 = а] для к ф j. Так как J„(ag) = J„(ajf) = 0,
получим
1
tJy{alt)Jy{a^t)dt = 0. (13.4)
Положив в интеграле Ломмеля (11.4) (= 1иа = а^, получим
1
jtJl{alt)dt=l-[Jl{al)]\ (13.5)
О
Объединив (13.4) и (13.5) и сделав в них замену переменных
t = х/l, получим (13.3). Таким образом, теорема доказана.
L

13. Ряды Фурье-Бесселя и Дини
87
Теорема 13.2. Пусть некоторую функцию f(x)
вещественного переменного х можно представить равномерно
сходящимся функциональным рядом
оо
/(*) = £a*J„(a£y), i/>-1, (13.6)
где через а?к обозначены положительные корни уравнения
Jv(a) = 0, пронумерованные в порядке их возрастания. Тогда
i
ak=v^hf{x)J^<)dx- (13-7)
о
Ряд (13.6) с коэффициентами (13.7) называется рядом
Фурье-Бесселя.
Доказательство. Так как ряд (13.6) сходится равномерно,
его можно интегрировать почленно. Домножим равенство (13.6)
на xJ^a^x/l) и проинтегрируем в пределах [0,/]. Получим
' оо '
/ xf{x)Ju(a^jJdx = ^2oJk / xJ^^jjJ^laljJdx
о *=1 о
и, используя (13.3), найдем
Jxf(x)Jv(a:j)dx = f>j^[J>£)]2<Jb, = ^[J'A<))2an,
О * = 1
что и требовалось доказать.
Теорема 13.3 (Гобсона). Если для функции f(x)
выполняются следующие условия:
1) существует интеграл
l
Jt^2\f(t)\dt < оо;
о

/
88 Глава 2. Цилиндрические функции
2) \f(x)\ <оо дляхе [О,/],
оо
тогда ряд ]Г) akJv{a^x/l) сходится для v > —1/2, х E]0,Z[, и
k=i
сумма его равна
l[f(x + 0) + f(x-0)].
Доказательство см., например, [9], гл. XVIII.
♦ Если 7Jk - положительные корни уравнения
я^(ж)+ЯЛ,(ж) = 0, (13.8)
где Н — const, не зависящая от х и z/, то ряд
оо
/(х)='£ьт^(1^), (13.9)
m=l
где
*Ш
и \2
[ш2-»2тгт) + ъмгт)]2
:± J zf(x)Jr(<&j)dz, (13.10)
/
1
х-
о
называется рядом Дини функции f(x).
Теорема 13,4. Функции Jt/{l/mx/l)> т — 1>°°> v > —1, где
7^ — корни уравнения (13.8), обладают на интервале ]0,/[
свойством ортогональности с весом р(х) = х, т.е.
f
О
= у{ [l " т£й]-£ Ю + [JUlvm)?}Skm. (13.11)
Доказательство дословно повторяет доказательство
соотношения (13.3).

13. Ряды Фурье-Бесселя и Дини
89
Пример 13.1. Разложить на интервале ]0,1[ в ряд Фурье-
оо
Бесселя ^ akJo(<*kx) Функцию f(x) — х° = 1, а£ — корни
к = 1
бесселевой функции Jo (ж).
Решение. Запишем
1
2 / x°xJ0{a°kx)dx
ак= ° №(*2)]2 '
Поскольку Jo(a0 — ~^i(:c)' то> проведя замену переменных t =
ajjja;, получим
2 / *jr0(t)<ft
а" = (4мйУ
Используя рекуррентное соотношение
4-[z"+1Jv+i(z)] = z"+1J„(z),
dz
при v — 0 найдем
2 а0 2
Таким образом,
.Ш- •**
Пример 13.2. Разложить в ряд Фурье-Бесселя функцию
/(ж) = х2 + 1 на интервале ]0Д[ при /у = 0.
Решение. Условия разложимости выполнены. Имеем ряд
оо
ж2 + 1 = ]TanJo(a°z), 0 < ж < 1
п = 1
с коэффициентами
1
п = 1, ОС.

90
Глава 2. Цилиндрические функции
Вычислим интеграл
1
I = / (ж3 + х)Jo(a°nx)dx = / x3J0(a°x)dx + / xJ0(a°x)dx.
о оо
Сделаем в нем замену t = а®х. Тогда
о о
Проведем в Д интегрирование по частям, положив t2 = £/,
tJ0(t)dt = dV. Тогда сИ7 = 2tofe, У = tJi(t). Получим
Д = ft3J0(t)dt = <3Ji(<)|e" - 2 /Vja
(<)d<
= [t'Mt) - 2t*J2(t)) [" = (а°)3Л(а°) - 2(а°)372(а°).
С учетом рекуррентного соотношения (5.6)
J2{al) = ^Ji(a°n) - Jo(a°n) = -^Л(а°),
так как Jo(<*n) = 0> найдем
2
an =
n ~ л2ю i-
(ag)3J1(a°)-4a°J1(a°) 1 0 0
K)4 + ^Op^lKJ
или
Итак,
e"-o0j1(a8)(1 К)2)' П~
l.OO.
^-«Ё(-гаО;гШг °<*<'-
n = l
Пример 13.3* Разложить функцию f(x) = ж" (i/ > — 1) в ряд
Дини по системе функций {Ju(y^x): п = 1, оо} на ]0Д[, если 7«
- положительные нули функции J{,(x)} v > Q.

13. Ряды Фурье-Бесселя и Дини
91
Решение. Разложение имеет вид (13.9)
х" = Y,bnMri*)> 0<*<1,
п=1
где, согласно (13.10),
1
о
Сделав замену переменных f^x =t, вычислим интеграл
1 In
О О
1 t<"+1^+i(*)]C: = i^+i(l«)-
Окончательно получим
Пример 13.4. Разложить в ряд Фурье-Бесселя функцию
f(x) = x~v (0 < х < 1) по системе \jv{avnx) : п = 1,оо},
где аУп — положительные нули функций Jv{x).
Решение. Согласно (13:7), имеем
оо
п=1
где, согласно (13.10),
1
ап = "72—ГТТ / я""4"1 Manx)dx> п = h<x>-
о
l
Вычислим Jx'l/+1Jl/(a^x)dx. Из рекуррентного соотношения
о

92
Глава 2. Цилиндрические функции
найдем
1х l/Ju+i(x)dx = —x uJv(x)-\-C.
Заменим v на v — 1. Тогда
[ x'v+1Ju(x)dx = -x-u+1Ju^{x) + С.
В нашем случае
1 <
о о
Найдем
fe=0
Тогда
К)"-2 Л-iW)
*=0
T(u + k)\t=o 2»-1T(v)'
an =
, n = 1, oo.
7*+1«) L2"-ir(i/) <
Окончательно получим
14. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения
Весселя
Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя играет
важную роль при решении широкого класса уравнений в
частных производных. Ее стандартная формулирировка имеет вид;

14. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя 93
Haumu собственные значения и собственные функции задачи
х У + ху' + (Аж2 - 1У2)у = О, i/>0, (14.1)
lim \у(х)\ < оо, 1у'(I) + Яу(/) = 0, Я >0, / > 0.
Записать соотношение ортогональности для собственных
функций задачи.
Решение проведем по схеме, использованной ранее для
других обыкновенных дифференциальных уравнений.
1. Пусть Л = w2, w > 0. Общее решение уравнения (14.1)
имеет вид
у(х) = C\Jv((jJx) + C2Nu(ux).
Из явного вида функции
fc=0 v '
следует, что
Следовательно, |Ji/(0)| < oo при i/ > 0. Поскольку
lim |JV„(b)| = oo,
то C2 = 0.
Рассмотрим второе условие
Сх[о;/^(а;/)4-ЯЛ(а;/)] = 0.
Выражение в квадратных скобках равно нулю, если и>1 = 7*>
k = 1, oo, где 7fc _ корни уравнения 7«J£(7) + Я«7„(7) = 0.
Следовательно,
Afc = (f)2' »*(*) = 4kJ,,(rfy). (14.2)
2. Пусть Л = —о;2, о; > 0. Тогда общее решение уравнения
ж У -f si/ - (wV + и2)у = 0

94
Глава 2. Цилиндрические функции
имеет вид
у(х) = C\Iu{(jox) + C2Ku(ux).
Аналогично предыдущему случаю
| lim /|/(ж)| < оо, а | lim Ku(x)\ = оо.
х-*0 х-+0
Следовательно,
с2 = о.
По определению,
Тогда
«И>1) + Я/(о,/) = £ UT{vfk + 1) (у) = о-
Это равенство невозможно, так как его левая часть
положительна при ш1 ф 0. Тогда
Ci = 0 и у(») = 0, (14.3)
т.е. существуют только тривиальные решения.
3. Пусть Л = 0. В этом случае
х2у" + ху' - v2y = 0,
и необходимо рассмотреть две возможности: и = 0 и v ф 0.
а) Положим 1/ = 0и преобразуем уравнение к виду
xy" + yf = ^[a>t/(s)] = 0,
откуда
«!/ = Ci,
и для общего решения получим
у(х) = Ciln ж + Сг-
Из первого условия С\ = 0, из второго - Сг = 0.

15. Интегральные преобразования бесселевых функций 9Ь
б) Положим v > 0. Частное решение ищем в виде # = £а,
подстановка которого дает
a(a- l)xQ + axa -v2xa = 0.
Следовательно, a — ±v. Тогда
У(х) = Crf + C2*-v'.
Из первого условия (14.1) найдем
из второго
С1(1/Г + ЯП = 0
и
Ci=0.
Резюмируя все сказанное выше, запишем окончательное
решение задачи Штурма-Лиувилля (14.1):
А* = (^)2, yk(x) = C1J„(Ykj)-
4. Соотношение ортогональности для функций (14.2) с
учетом (13.11) примет вид
/ /
/ Xyn(x)yk(x)dx = CmCk / ^^u\lmT)Ju\lkj)dx =
о о
= C2ml^{ [l - ^j] J»«) + [^(7^)]2}4m.(14.4)
15. Интегральные преобразования
бесселевых функций
Рассмотрим несколько примеров интегральных
преобразований бесселевых функций.
Пример 15.1* Найти преобразование Лапласа функций Вес-
селя нулевого йн&екеа J^{t).

96
Глава 2. Цилиндрические функции
Решение. По определению.
( }t -^Ы2к
fc=o " v'v'y k=0
где
Mi) = Z) 22*(&!)2 = X) С2**2
(-1)*
22fc(^!)2 *
Согласно первой теореме разложения,
(2*)!
/(*) = J2c2kt^<p(p) = £>*^. (15.1)
fc=0 fc=0 р
Воспользовавшись свойствами факториалов
(2*)! = (2*)!!(2* - 1)!! = 2кк\{2к - 1)!!,
где по определению (—1)!! = 1, получим
C»(2*)!=J=j^2**!(2*-l)!!
и, следовательно,
г.ы-у (-1№-1)" 1 _ 1
Ь 2fc(fe!) р2Л+1"ч/1+^'
Таким образом,
^viTF <15-2>
Пример 15.2. Найти лапласовское изображение функции
f(t)=tn/2Jn{2Vrt).
Решение. Согласно определению функции Бесселя (3.6),
получим
«2* (-Ukak+n/2tk+n/2
_ ~ (-l)*gW>

15. Интегральные преобразования бесселевых функций 97
В силу первой теоремы разложения
оо
Тогда
k=0 k=0У
(-l)fcafc+n/2 1
/е>-£^
p
}k+n + l
€-a/p.
' k=0
_ Qn/2 " (-i)fc /a\k _ an/2
~~ pn+i Л^ Л?! \p/ ~~ pn+1
Окончательно получим
tn/2Jn(2V^t)^^—e-a^. (15.3)
Пример 15.3. Найти лапласовское изображение функции
/(*) = J«(t), п = 0,оо.
Решение. 1. При п'= 0 решение дается формулой (15.2).
2. Из рекуррентного соотношения
<j;(t) = nJ„(t)-tJn+i(<) (15.4)
при п = 0 получим
Ji(t) =-Jb(t). (15.5)
По теореме о дифференцировании оригинала
Г(1)^рф) - /(0), (15.6)
где f(t)-&<p(p). С учетом соотношения (15.2) из (15.5) получим
J1(^-p-7=L= + Jo(0).
y/l + Р2
Поскольку J0(0) = 1, это дает.

98
Глава 2. Цилиндрические функции
3. В рекуррентном соотношении
2J'n{t) = Jn.x(t) - Jn+1(t) (15.8)
положим п = 2. Тогда
J2(t) = -2J[{t) + J0(t).
Из теоремы о дифференцировании оригинала (15.6) с учетом
соотношений (15.2) и (15.7) получим
J2(t)-»~ 2\р^^==^ - Л(0)] + -JL=. (15.9)
Так как Ji(0) = 0, окончательно найдем
V1 + Р
4. Используя метод математической индукции, с учетом
рекуррентного соотношения (15.8) и равенства Jn(0) = 0, п > О,
для целых v — п ^> 2 имеем
Jn(z) = Jn~2{x) - 2J'n_1(x)^
Jy/T+P*-P)n-2 0 (г/ГТ^-р)"-1
-г> , zp ,
Vl+P2 Vi+P2
(yT+7 - p)"-2[l - 2p(yT+^ - p)]
Vi + p2
(y/l+f-- p)»-2[(p2 + 1) - 2pyTT^ + p2]
= (ч/ГТ^-рГ-^УГ+р^-р)2 = (y/I+F-p)"
Vi + p2 Vi + p2 '
что с учетом (15.3) и (15.4) дает
Jn(a;)-»bU + ^ р)", п = 0^Б. (15.11)
\/1+Р2
Пример 15.4. Найти лапласовское изображение функции
/(*) = MD, У > -1.

15. Интегральные преобразования бесселевых функций 99
Решение. Рассмотрим уравнение Бесселя для u(t)
t2u" + tu' + [t2 - v2)u = 0. (15.12)
Пусть u(t)-&U(p). По теореме о дифференцировании
изображения
t2u"^(p2U - pu0 - tii)" = P2U" + 4pUf + 2C/,
tv!-» - (pU - uoy = -p£/' - ЬГ,
где tio = w(0) и ui = ti'(O) — начальные данные. Так как точка
t = 0 является особой для (15.12), то она не учитывается в
операторном уравнении
(р2 + 1)17" -I- 3pU' + (1 - v2)U = 0.
Сделаем в уравнении замену переменных
1
(15.13)
р = shq,
chq
dU dUdq dU /dp
_№/dp__l_
da /dp ch t
dp dq dp dq I dp
d2U _ d /dU\ /dp _
r>2 An V rJ/n JI da
1 dV shq
chq dq ch2q
(15.14)
dp2
dq\ dp / I dq
1 \d2V *hqdV 3sh2g-ch2o
3 1 | _ -у
ch3q i dq2 chq dq ch2 q
Тогда уравнение (15.13) преобразуется к виду
d2V
dq2
- v2V = 0.
(15.15)
Частными линейно независимыми решениями этого уравнения
являются функции е^ие^. Так как
«Г = Arshp=Ln(vV* + l+p), chg= л/р2 + 1,
то, возвратившись в частном решении e~uq к старой
переменной р и функции С/, получим частное решение
U(p)
1
y/F+i
= е-«'Ьп(Л/рЭ + 1+р)
1
(15.16)

100
Глава 2. Цилиндрические функции
уравнения (15.13).
Функция \/р2 + 1 допускает выделение однозначных ветвей
в плоскости р — Re р + г Im р с вырезанными лучами Re р = О,
|Imp| > 1. Положим v > — 1 и условимся рассматривать ту
ветвь у/р2 + 1, которая на оси Re р принимает положительные
значения. Тогда U(p) —> О при |р| —>• оо, Re р > 0, и,
следовательно, будет служить изображением некоторой функции u(t)}
т.е.
^к-* __L ^(у^тт-рг, (15Л7)
Vp^IVp^TT + p)" V^Ti
Совершив в (15.17) предельный переход v -> п, получим (15.11).
Следовательно,
u(t) = Л(0^(^2Д^—Р)\ i/ > -1. (15.18)
VP2 Н- 1
Пример 15.5. Найти лапласовское изображение функции
f{t) = Jn(at).
Решение. По теореме подобия, если f{t)-&<p(p), то
a \a/
Тогда
a y(p/g)2+i
1 (л/р2+а2-р)1'
(15.19)
Пример 15.6. Найти лапласовское изображение функции Iu(t).
Решение. По определению,
* V V - 1
= fr-VjJE1)". (15.20)
Здесь мы воспользовались соотношением (15.19).

15, Интегральные преобразования бесселевых функций 101
Пример 15.7. Найти лапласовское изображение функции
Решение. Согласно теореме об интегрировании изображения,
оо
/W_>
t
V
J<p(q)dq, (15.21)
где f{t)-fr<p(p). Из (15.19) найдем
Jo(t) - 1
t
р
•Лтпт-Я* (15-22)
Здесь мы учли, что 1-?>1/р. После интегрирования получим
•Ч<)-1 ..,-g + \A+g?r-,-o ,-р+>Д+
-*1п
* 9
Окончательно получим
= 1п2-1п-
-Р*
*^*Ы—*. (15.23)
Пример 15.8. Найти лапласовское изображение функции
т = Ш., „>0.
Решение. Согласно теореме об интегрировании изображения
(15.21), из (15.20) получим
*&U Г h/P+gzfg*. (15.24)
v
Оделаем в этом интеграле замену переменной \Jq2 +a2—q = u.
Тогда g2 + a2 = g2 + 2qu + и2 и
a2-u2 /a2 1\ a2 + u2
-du,
9-~2^-' d9=(-2^-2rU=-
2«2
2«

102
Глава 2. Цилиндрические функции
Следовательно,
о
J„(at) 1 [ „ 2u ( a2 + u2"
1 f „ 2u ( o4t^\
y/p2+a2-p
y/p2+a2-p
iv \y/p2+a2—p
0
Окончательно получим
Г uv-4u=^-
0
t vav
Пример 15.9. Вычислить интеграл
щ
t
f Jn(r)Jm{t-r) ,
= / — ar, n, m=l,oo.
J T(t-T)
Решение. Согласно теореме умножения изображений
(теореме Бореля), если f{t)-&<p(p), g{t)-^^{p)y то
г
J f(r)g(t - T)dT-»<p(pWp). (15.26)
о
Положим в (15.26)
С учетом (15.25) получим
И*)-»1
т
Найдем оригинал правой части последнего соотношения. С
учетом (15.25) имеем
t
Г Jn{r)Jm(t-r)d^= m + nJn+m{t) ^ (15 27)
J r(t — г) ran t
о

15. Интегральные преобразования бесселевых функций 103
Здесь мы воспользовались свойством единственности:
функции, имеющие одинаковые изображения, равны.
Пример 15.10. Вычислить интеграл
оо
/rli
[J0{t)-cost]j.
о
Решение. Согласно формуле Парсеваля,
оо оо
J f{t)i>{t)dt = / g(t)<p(t)dt,
(15.28)
где
f(t)-»<p(p), g{t)-»j>(p).
Положим в (15.28)
f(t)=J0(t)-cost, Ф(р) = -.
Р
Тогда
<р(р) =
Vp^TT p2 + i'
g(t) = 1.
Следовательно,
оо
/ = /(^T!-?TT)d^[ln(p+V?TI)-
--ln(p2+l)
°° _lnP+v/P2 + 1
у/р2 + 1
= 1п2.
Окончательно получим
оо
j[J0(t)-COS t]
dt
In 2.
Пример 15.11. Используя частный случай теоремы Эфроса,
вычислить интеграл
I{t) = [ J0(^ti - T2)dT.

104
Глава 2. Цилиндрические функции
Решение. Используем частный случай теоремы Эфроса:
t
J Vp2 +1
Положим здесь f(t) = 1, ip(p) = 1/p. Тогда
Следовательно,
t
I(t) = f J0(\A2 ~ r2)dr = sin*.
Пример 15.12. Используя частный случай теоремы Эфроса,
вычислить интеграл
t
I(t) = fe-2rJo{2^r{t-T))dr.
о
Решение. Используем частный случай теоремы Эфроса:
t
[ J0{2^r{t - T))f{r)dT^-<p(p + -). (15.29)
J p \ ps
0
Положим здесь
1
f(t) = e-2\ ф) =
P+2
Тогда
^9)|g=p+l/p = ~^Г2\д=р+1/р = (p+l)2"
Следовательно,

15. Интегральные преобразования бесселевых функций 105
Окончательно получим
t
f €-2TJ0{2^T{t-r))dT = te-f.
о
Пример 15.13. Вычислить интеграл
оо
f J1/2{x)dx. (15.30)
1 =
о
Решение. Первый способ. Заметим, что исходный интеграл
можно представить в виде
оо
/= f e-pxJ1/2{x)da
р=0
где интеграл является преобразованием Лапласа функции
Ji/2{%)- Следовательно,
1= (у^П-р)1/
v9TI
2 i
= 1.
р=0
Второй способ. Используем частный случай теоремы Эфроса:
/ (|) ""мг^Жт)**^ (i). (15.31)
0
Сделаем в интеграле (15.30) замену х = 2л/тЬ. Тогда
оо оо
J Jl/2(x)dx= f(ty 2J1/2(2\/7t)dT =
о о
оо
= tl/4/^)1/4jl/2(2^)T"1/4<iT'
о
Положим в формуле (15.31)
/<*)-*•/«, ,(Р) = ^1, „ = 1.

106
Глава 2. Цилиндрические функции
Тогда
сю
/(^)"'-'.n(2v^)*-»pirV(3)
q=l/p
i/=l/2
Следовательно,
oo
j Jl/2(x)dx = t1/4rl/4 = 1.
Пример 15.14. Используя преобразование Лапласа, найти
частное решение уравнения
ty" + ky' + ay = btn/2Jn(2Vai), y(0) = 0, fc = (Too.
Решение. Пусть 2/(^)-г»у(р). По теореме о дифференцировании
оригинала
У'(*)=РУ-У(0), y"(t)=p2y-py(0)-y'(0), (15-32)
а по теореме о дифференцировании изображения
ty"(t)^ - -^\Р2У(Р) - w(0) - j/(0)] = -р2у'(р) - 2ру(р) + у(0).
Тогда с учетом (15.3) и начального условия г/(0) = 0 получим
[-рУ - 2ру + у(0)] + ф£ - у(0)] + ау = Ь-^+ге—/*
или
-, a - 2~к- LaU/2 -air,
У'-—У+ У = -Ь-^е /Р-
Решение уравнения будем искать методом Бернулли: у(р) =
u(p)v(p), y(p)f = uf(p)v(p) + v'(p)u(p). Следовательно,
, / , 2 - к a \ banl2
uv + u[v Ч v ov)— ^ZT
V р р2 ) рп+3
е~а/р.

15. Интегральные преобразования бесселевых функций 107
Для определения функций v(p) и
, 2-k a
v -\ v =v = 0,
Р Р2
Отсюда
*(р) = ^-а/р>
и
Ьа11'2
Щр) = гт--
рп + к '1
u(p) получим уравнения
pn'^;>v\p)
, _ banl2
U ~ рП+fc+l
a -f к
Для функции y(p) получим
Ь а(" + 1)/2 . е~а/р
y(V) - - _ €~а/р + С-
У(Р)~ (n + k)yfi Рп+2 +°р2-^
Найдем оригинал функции у(р):
+Ca(*-1)/¥1-fc)/2J1_jfc(2Vat).
Пример 15.15. С помощью преобразования Лапласа найти
общее решение уравнения
ty" + 2у' + ay = btn'2Jn(2Vrt).
Решение. Аналогично предыдущему примеру получим
ап/2
[-р2у' - 2ру + у(0)] + 2\ру - у{0)} + ау = б-^-е"0/*
или
у'-^У+-У=-Ь^е-а">-\у(0).
Pl р рП+а PZ
Решение уравнения будем искать методом Бернулли:
У(Р) = u{p)v(p), у(р)' = u'{p)v{p) + v'{p)u(p).
Следовательно,
u't, + u(v> +l-y- *v) = -Ь-^е-°"> - JL(O).
\ p p2 J pn+3 p2yV )

108
Глава 2. Цилиндрические функции
Для определения функций v(p) и и(р) получим уравнения
1 п hn11/2 1
v' + lv- -2v = О, u' = --£—е-'/> - 4i/(0).
p pl pn~*~'*v{p) pL
Отсюда
1 -a/P , banl2 1
p рп-г* p<
»(p) = -e-/', vr = -—--mj4>
han/2 1
u(p) = -^r^n + c + 2/(0)ea/P-
Для функции y(p) получим
L a(n + l)/2 -a/p
(n -f 2)va pn+2 p
Найдем оригинал функции y(p):
y(t) = -_-lr_t(n+1)/2J„+i(2VS) + CJ0(2Vrt) - y(0)S(t).
Это выражение содержит обобщенную функцию S(t), которая
не является решением исходного уравнения. В этом можно
убедиться непосредственной подстановкой. Полученное
противоречие связано с тем, что в общем решении слагаемое,
пропорциональное г/(0), должно умножаться на функцию, не
являющуюся оригиналом.

ГЛАВА 3
Классические ортогональные
полиномы
16. Полиномы Лежандра
При изучении распределения ньютоновских потенциалов
на шаре Лежандр ввел полиномы специального вида,
названные впоследствии полиномами Лежандра, и исследовал их
свойства.
О Ортогональные полиномы Лежандра могут быть
определены посредством:
1) производящей функции;
2) соответствующего дифференциального уравнения;
3) интегрального представления;
4) ортогонализации степеней хк.
Заметим, что функции Бесселя целого индекса могут быть
также определены с помощью производящей функции (см. разд.
«Производящие функции. Интеграл Бесселя»).
♦ Функция
*(*'*)= /ЛЛ о, ' 1*1 <J' -1<ж^1' (16Л)
V1 + < — 2tx
называется производящей функцией полиномов Лежандра.
Положив
X = COS 0, 0 ^ в ^ 7Г,
найдем
1 + t2 -2tx= 1-И2 -2tcos0= {t-eie)(t-e-i$).
Таким образом, Ф(й, х) как функция переменной t на
интервале —1 ^ х ^ 1 имеет две особые точки t = ti^ = ехр(±г0). Обе
точки лежат на единичной окружности |t| = 1. Следовательно,
Ф(*, х) как функция t при любом фиксированном вещественном
я, |ж| ^ 1, аналитична внутри круга единичного радиуса и
разлагается в этом круге в равномерно сходящийся ряд Тейлора
по степеням t.
Теорема 16.1. Коэффициенты разложения функции Ф(£, х)
(16.1) в ряд Тейлора
оо
*(«,*) = £ Pn(x)tn (16.2)
п=0

110
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
по степеням t являются полиномами степени п по х.
Полиномы Рп(х) называются полиномами Лежандра
степени п.
Доказательство. Очевидно, что
1 <5пФ
Рп{х) =
t=o
п\ dtn
С другой стороны, п-ая производная от аналитической
функции дается интегральной формулой Коши
п! Г Ъ(и,х
2тг1 J и»*1
х) 1 d1lV(t,x)
аи> —
dtn
(16.3)
t=o
где 7 ~ произвольный кусочно гладкий замкнутый контур в
комплексной плоскости о;, охватывающий точку и — О и
лежащий внутри круга единичного радиуса.
В интеграле (16.3) сделаем замену переменных
тогда
V 1 — 2хш + со2 — 1 — ujz,
1 - 2хш + и1 - 1 - 2u>z + wV,
2(z - х) = (z2 - l)w, и —
2{x
1-z2
(16.4)
(16.5)
При этом преобразовании точка и = О отображается в точку
z — х. Тогда
du>
ч^н
dz
z2 - 1 (z2 - l)2
2zd;z
]-
2(z2 - 1 - 2z2 + 2^ж) , 1 + 22-2ж2
'dz=:-2—— TTTT—dz:
{z2 - l)2
Аналогично с учетом (16.5) получим
{z2 - l)2
1 — UJZ —
Таким образом,
{l-z2)-2z{x-z) _l + z2-2z
1-z2
1-z2
3>(cj, x)du —
du
1 — UJZ
z2 - 1 (-2)(1 + z2 - 2zx) A _ 2dz
1 + z2 - 2zx
{z2 - l)2
dz =

16. Полиномы Лежандра
111
Следовательно,
7 un+1 Jl2{z-x)\ z2-l 2nJ(z-x)n+1 '
7 7 7
где 7 - произвольный кусочно гладкий замкнутый контур,
охватывающий точку z = х. (В последнем интеграле
подынтегральное выражение как функция z аналитична всюду,
кроме точки z — х. Следовательно, теперь замкнутый контур 7
произволен, если он охватывает точку z — х.) Таким образом,
Рп(х) = -^7Г" / /* ~^"dz. (16.6)
nV ; 2тгг2п J {z-x)71*1 v ;
Преобразуем
dn
dx
n J z- x J (z- x)n+1
*2
Отсюда
-— ф dz = (x2
2-ki J z — x
7
1 dn
Pn(x) = -—--—(x2 -
-l)n
•l)n.
(16.7)
Следовательно, Pn(x) - полином порядка n, что и требовалось
доказать.
♦ Формулы (16.7) называются формулами Родрига, а
соотношение (16.6) - интегралом Шлёфли.
Следствие. Справедливо соотношение
Рп{-х) = {-1)пРп{х).
Доказательство. По определению,
1 °°
Vl-2xz + z2
п=0

112
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Заменим х на —х и z на —z:
= j2Pn(-x)(-zr.
1
VI - 2xz + z* n=0
Из сравнения двух рядов следует, что Р„(—ж) = (—1)пР„(х).
Пример 16.1. Показать справедливость следующих
соотношений:
Р„(1) = 1, Р„(-1) - (-1)".
Решение. Действительно, полагая в (16.1) х = 1 и ж = — 1,
получим
оо оо
*(м) = у^ = Х>" = jr р„(1)г,
п=0 п=0
1 со оо
п=0 п=0
Первое уравнение дает Рп(1) = 1» второе - Рп( —1) = ( — 1)п.
Пример 16.2. Найти значение Рп(0) при любом п.
Решение. Аналогично примеру 16.1 положим в соотношении
(16.1) х = 0. Получим
1 °°
V1 +12 ^
С другой стороны,
Отсюда найдем
п-0
k№-Wt2k
VTT* to (2*)!!
,k(2k-l)\\
i>2*+i(0) = 0, P2fc(0) = (-l)'v (2Jfc)f/ , * = 0,oo.
Пример 16.3. Найти явный вид шести первых полиномов Ле-
жандра.

16. Полиномы Лежандра
113
Решение. Положив в (16.7) п = О, 5, получим функции
Р0{х) = 1, Рг(х) = х, Р2(х) = -х2 - i,
Р3(ж) = ^(5z3 - Зж), P4(s) = ^(35ж4 - ЗОж2 + 3),
2 8
Р5(ж) = ^(63ж5-70ж3+15ж),
8
графики которых приведены на рис. 12 и 13.
\Р« та=4// М=3/
Пример 16.4. Найти значения Р^(0) для любого п.
Решение. Воспользуемся равенством
дФ
t °°
= yP^(x)tn.
(l-2xt + t*)* ±*
ах v(i-2*< + *2)3 ^
При x = 0 получим
V41 +
1+<2)з £, >

114
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Разложим выражение в левой части в ряд Тейлора по степеням
t:
71=0
Отсюда P2fc(°) = ° и
JWi(O) - (-1) 2fcfc! ~ (~ ' (2kk\)2 ' ^-°'00-
Пример 16.5. Показать, что для полиномов Лежандра
справедливо следующее представление:
["/21
п-2к
(п - к)\(п - 2к)\''
РМ V\ П* (2n-2fc)!
Р.(«) = ^ (-1) —__—^z
£=0
Реп1ение. Согласно формуле Родрига,
1 г/71
Рп(х) = 7Г-1-Г-(х2-1У\
HO
2nn! cfo71
(x2 - l)n = x2n - nx2n~2 + n(n2j 1}^-4
_n(n^(n-2)gto.6+ +И)Я>
т.е.
Тогда
(x2-l)» = £(-l)fcCnfc
2n-2fc
k=0
t-(*2-D
["/2]
2 (-l)fcC*(2n - 2fc)(2n - 2k - 1) • • • (n + 1 - 2k)xn~2k
fc=0

16. Полиномы Лежандра
115
или
*L(X* _ 1Г _ у/ 1]к гг\(2п-2к)\
dx ~ к^о к\(п-к)\{п-2к)\
Итак,
р (х) _ V(-l)fc (2w~2fc)! хп~2к
~ 2»*!(n-fc)!(n-2A)!X ■
Теорема 16.2. Для полиномов Лежандра справедливо следующее
интегральное представление:
К
Рп(х) = - f[x + (х2 - 1)1/2 cos 4>}ndip. (16.8)
о
Соотношение (16.8) называется интегралом Лапласа.
Доказательство. Используем интеграл Шлёфли (16.6)
рп(х)=И1 [ У" ~^"dz,
К } 2тгг J (z-x)"*1 '
7
где точка z = х лежит внутри контура интегрирования 7- В
качестве контура интегрирования возьмем окружность радиуса \у/х2 — 1|
с центром z = х. Тогда z = х + у/х2 — 1е*^, —7г ^ (р < 7г. В самом
деле, |г — ж| = |\Лс2 — 1|. Получим
>
рв(.) = J-J- / [(s + V^^-irv/^ri^
ИЛИ
— 7Г
— 7Г
W 7Г
= ^ I Ых* -lcos<^ + x)n^= - Нх+у/х2 -lcos<^)n

116
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Выбор значения корня л/х2 — 1 здесь произволен, так как после
возведения в ?г-ую степень и почленного интегрирования нечетные
степени выпадают. Действительно,
тг/2
/ cosm (pdip = I cosm y>d(p + /
cosm (fdcp = I cosm (pd(p + / cosm ipdy>.
0 0 тг/2
Во втором интеграле сделаем подстановку ц> = tfi + 7г/2. Тогда
7Г 7Г/2 ТГ/2
/ cosm <pdy> = I cosm ipdip + ( — l)m / sinm </?cfy?.
0 0 0
С учетом соотношения (см. разд. П.5)
7" m , 7 • m . У^Г((т+1)/2)
/ COS </?aO> = / Sin ФСШ? = - -r;—:—LL-r~.
J J 2 Г(т/2 + 1)
о 0
При четном га получим
тг/2
о / • m , ,г-Г((т + 1)/2)
о
при нечетном га — нуль. Таким образом, теорема доказана.
Следствие. Справедливо неравенство
\Рп(х)\ ^ 1, -1 < х < 1. (16.9)
Доказательство. Пусть х - вещественная переменная,
удовлетворяющая условию — 1 ^ х ^ 1. Тогда
\х -f ух2 — 1 COS(p\ = у/х2 + (1 — X2) COS2 </? ^ 1,
так как cos2 у? ^ 1. Имеем
7Г
Рп(х) = I Hx+y/x2-lcos<p)nd<p,
](* + у/'-
х2 — 1 cos (p)nd(p
<!•*,
следовательно, |Р„(з:)| ^ 1, что и требовалось доказать.

16. Полиномы Лежандра
117
Пример 16.6. Показать, что Pn(cos0) представляет собой
полином по cos кв. Определить коэффициенты этого полинома. Вывести
неравенство
|Рп(х)К1, -1 < я: < 1.
Показать, что если п > 0, то |Рп(ж)| = 1 лишь при х = 1 или х = — 1.
Решение. В разложении
оо
л ! л. 2 = Ep"(g>z"' izi<^
VI — ^ZX + 22 ^—'
п=0
положим х = cos 0. Получим
оо
1 =УР„(со8 0Ьп.
Vl-2zcos0 + z2 ^
Используя равенство
1 - 2z cos0 + z2 = 1 - (в* + е"")* + г2 = (1 - ze*'*)(l - ze~ie),
найдем
оо
; Х -= Х = Vpn(cosfl)z".
VI - zeie у/1 - *е-« ^
п=0
С другой стороны,
1 ,- »0ч-1/2 _
—1—-(1_ге-'вг1/2
1 . 1 *0 . 1 • 3 2 2*'0 , 1 • 3 • 5 з 3i0 ,
л/1 - 2е~»в
1 . 1 -»в . 1 • 3 2 -2ie . 1 • 3 • 5 з -zie ,
= 1 + Ге +2^2!Ze +^зГ2е +•••
Тогда
/A (2* - 1)!! к ikt\ ( A (2fc - 1)!! » _,-м\
fc=l Jfe=l
OO
= ^Pn(cosO)zn.
n=0
Перемножив выражения в скобках и приравняв коэффициенты при
z в левой и правой частях, найдем

118
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
D ( а\ (2п — 1)!! ine -in6\ .
Pn(cosO) = 2n^;7 (e + e ) +
(2n-3)!! 1 (i(n-2)e -i(n-2)e,
+ 2-1(n-l)!2le 6 j +
(2n-5)!! 1-3( i(n-4)e -i{n-4)e,
"V- 2(n-2)!222!1 + ' + "в
Число слагаемых в правой части равно [п/2].
1
0,5
0,5
fnVos с
V
б\
^\п=1
\п=2 >
\ NJ /
71=4 71=3
71=0
/ 2
Рис. 14
Воспользовавшись формулой Эйлера, получим (см. рис. 14)
Тогда
\Pn (cos 0)| =
,(2п-1)!!___„„,,(2п-3)!!1
(2п)!
7^с°8"* + 2кгг^С08(п-2)* + ---
(2п-2)!!2
£
(2п-1)!! (2п-3)!!1 _ _
^2 (2n)! +2(2n-2)!!2+---_^"Uj"1'
т.е. |Рп(ж)| ^ 1, —1 ^ х ^ 1. Равенство имеет место только при 0 =
&7г, к - целое (в этом случае косинусы одновременно обращаются в
1 или -1). Значит, |Рп(я)| = 1 при х = 1, х = —1.
17. Рекуррентные соотношения
для полиномов Лежандра
Утверждение 17.1. Справедливы следующие рекуррентные
соотношения
(п + l)Pn+i{x) - х{2п + 1)Рп{х) + nPn_x(x) = 0; (17.1)

17. Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра 119
пРп(х)-хР^(х) + Р^_1(х) = 0. (17.2)
1. Продифференцируем производящую функцию Ф(^,х)
(10.1) по х и получим
dV{t,x) t
dx (1 + t2 -2tx)3/2'
Следовательно,
(1+t2 - 2tx)— - ** = 0. (17.3)
ox
Аналогично, продифференцировав по t, получим
0Ф(*,ж) _ 2t-2x
di ~ (-2)(l+t2-2*c)3/2'
что дает
<9Ф
(1+t2 - 2tx)— + {t- я)Ф = 0. (17.4)
ot
Домножим (17.3) на (t — ж), a (17.4) - на t и сложим
Ч<9Ф 5Ф
^-^+'ж = °- (17-5)
Подставим в (17.4)
*(*,*) = f; Л(х)<* и ^*M = ^;fcflt(a.)t*-i.
fc=0 fe=0
Тогда
оо оо
(1+t2 - 2tx) ^ kPkix)^-1 + (t - ж) ]Г Pk(x)tk = 0.
fc=l fc=0
Следовательно,
оо сю оо
J2 kPkix)^-1 + J2 ^Pk{x)tk+1 - J2 2kxPk(x)tk +
fc=0 fc=0 fc=0
A; — l=n fc + l=n fc=?;
oo oo
+ Y,Pk(x)tk+1-Y,xPk(x)tk = 0.
k=0 k=0
4 V ' ^ v—
fc + l=n fc=n

120 Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Изменим в полученных суммах индекс суммирования по
правилу, указанному под фигурной скобкой:
оо оо
5](n + l)Pn+1(;c)tn + Рг(х) + £(п - l)Pn-i(x)tn -
71 = 1 71 = 1
ОО ОО ОО
- Y^ 2nxPn{x)tn + ]Г P„-i(x)tn - £) xPn(x)tn - xP0{x) = 0.
П = 1 71 = 1 П = 1
С учетом соотношения Pi{x) = xPo(x) получим
оо
]£[(n + l)P„+i(s) + (n - l)P„-i(x) -
71 = 1
- 2nxPn{x) + Рп-1(ж) - zPn(z)]tn = 0,
Приравняв к нулю коэффициенты при одинаковых степенях £,
приходим к (17.1).
Проделаем аналогичную процедуру с соотношением (17.5):
оо оо оо
£ nPn(x)t» + £ P^(x)t"+1 - ^ xPi(x)tn = 0.
71 = 1 71=0 71=0
Положим во второй сумме п + 1 = п, тогда п изменяется в
пределах п — 1, оо. Учитывая, что -Ро(ж) — 0» получим
оо
71 = 1
Таким образом, справедливость утверждения доказана.
Утверждение 17.2. Справедливы следующие соотношения:
(п + l)P„(z) - Р^+1(х) + хР^х) = 0; (17.6)
^»+i(*) " K-i(x) ~ (2n+l)Pn(x) = 0. (17.7)
Действительно, продифференцировав (17.1) по ж, имеем
(n+l)P^+t(x)-(2n+l)Pn(x)-
-(2n+l)xP^(x)+nP^_1(x)=0.

17. Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра 121
Исключив с помощью (17.2) P'n_i, запишем
(п+1)Р;+1(х)-(2п+1)РпИ-
-(2п + 1)хР^(х) + п(хР^{х) - пРп(х)) = О
или
(п + 1)К+1{х) - (п + 1)хРп(х) - (п + 1)2Рп(х) = 0. '
Таким образом, соотношение (17.6) доказано.
Сложив (17.2) с (17.6), получим (17.7).
Утверждение 17.3. Справедливо соотношение
[ Pn(x)dx = —i— [Pn+i(x) - Pn-i(x)} + С, (17.8)
J 2n+ 1
где С - произвольная постоянная.
Соотношение (17.8) непосредственно следует из уравнения
(17.7).
Утверждение 17.4. Полиномы Лежандра у = Рп(х)
удовлетворяют уравнению
[(l-sV]' + n(n+l)y = 0. (17.9)
Действительно, пусть U(х) = (х2 — 1)п. Тогда
U'(x) = п2х(х2 - 1)п_1
или
(х2 -l)U'(x)-2nxU(x) = 0.
Продифференцируем это соотношение п + 1 раз по х:
[{х2 - l)t/'(z)](n+1) - 2n[xU{x)](n+V = 0. (17.10)
По формуле Лейбница
to *!<n - кУ-

122
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
имеем
[(х2 - l)tf'(x)]<n+1> = (х2 - l)U^n+2){x) +
+(п + l)2xU^+1^(x) + ("+21)П2^")(х);
2n[xt/(x)]<n+1> = xU<n+1>(x) + (n+ l)U{n)(x).
Тогда из формулы (17.10) получим
(ж2 - l)[tf<n>(x)]" + 2x(n + 1)[17<п>(х)]' + n(n + 1)17<п)(х) -
-2n{x[t/<n>(x)]' +{n+ l)J7(n)(x)} = 0.
Обозначив W = {7<n>(x), запишем
{x2 - l)W" - 2x{n + 1)W' + n{n + 1)W = 0.
Это линейное дифференциальное уравнение, следовательно,
у(х) = CW(x), где С = const, - также его решение. Положив
С = 1/(2пп!), получим
что и требовалось показать.
Пример 17.1. Используя рекуррентные соотношения для
полиномов Лежандра, доказать справедливость соотношения (17.9).
Решение. В соотношении (17.6) изменим индекс п на п — 1, тогда
nPn-i(x) - P'n(x) + xP„-i(x) = 0.
Из полученного уравнения вычтем (17.2), умноженное на х.
Получим „
(ж2 - \)Pn(x) - nxPn(x) + nP„_i(x) = 0.
Дифференцирование полученного выражения по х дает
[(х2 - 1)#(*)]' - П[хР„(х)]' + пК-Лх) = 0
или 0 .
[(1 - х2)К(*)]' + п[хР„(х)]' - ПР^(х) = 0.
Подставив сюда P,',_i(:e) из (17.2), найдем
[(1 - *2)Р»(*)]' + пР„{х) + пхР^х) - п[хР;_!(х) - пРп(х)] = 0,
откуда следует
[(1 - *Я)Р»(*)]' + «(1 + п)Рп(х) = О
или ,
(1 - х2)Р^(х) - 2хР^х) + т»(1 + п)Рп(х) = 0.

18. Ортогональность полиномов Лежандра
123
Утверждение 17.5. Справедливо рекуррентное
соотношение
(1 - х*)К{х) = ^yWiW - pn+i(x)}. (17.11)
Используем тождество
Отсюда
±[(1-х')К{*)] = -п{п+1)Рп(х).
(1-х2)Р;г(х) = -п(п+1) J Pn(x)dx + C
(1 - х2)р;г(х) = п(п + iJ^Vi^-iW - p«+i(:E)] + с-
Полагая х = 1, найдем С = 0 и соотношение доказано.
Утверлсдеяие 17.6. Бее кг/лг< полиномов Лежандра простые
и расположены на интервале ] — 1,1[.
Доказательство этого утверждения приведено в разделе,
посвященном общим свойствам ортогональных полиномов (см.
теорему 31.4).
Пример 17.2. Дрказать, что
-п
PL(l) = \n(n + l).
Решение. Имеем
(1 - х2)Р%{х) - 2хР'п{х) + п{п + 1)Рп{х) = 0.
Полагаем х = 1. Получим
-2ВД)+п(п+1)Р„(1) = 0.
Но Рп(1) = 1 при любом п. Следовательно,
p;(i) = in(n + i).

124
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
18. Ортогональность полиномов Лежандра
Утверждение 18.1. Полиномы Лежандра разных порядков
ортогональны на отрезке [—1,1] с весом р(х) = 1, т.е.
1
I Pn{x)Pm{x)dx = 0, пфгп. (18.1)
-1
Действительно,
^[(1 - х2)Р'п{х)] + п(п + 1)Р„(*) = О,
^[(1 - х2)Р'т{х)] + т(т + 1)Рт(х) = 0.
Домножим первое уравнение на Рт(ж), второе - на Рп(х) и
вычтем его из первого. Получим
P™(x)±[(l-x2mx)}-Pn(x)±[(l-x2)PUx)) +
+[(п + 1)п - (т + 1)т]Рп(х)Рт(х) = 0
или
±{(1 _ х*)[Рт(х)1*(х) - Рп(х)Р^(х)}} -
-(п - т)(т + п + 1)Рп(х)Рт(х) = 0.
Проинтегрируем левую и правую части последнего равенства
на интервале ] - 1,1[. Поскольку
1
J ±{{1 - х2)[Рт(х)Р^(х) - Pn{x)P'm{x)]}dx =
= {(1-х2)[Рт(х)Р'п{х)-Рп(х)Р'т{х)]}
= 0,
-1
то
(га + п + l)(n -т) Pn(x)Pm{x)dx = 0,
-1
откуда и следует (18.1).

18. Ортогональность полиномов Лежандра
125
Утверлсдение 18.2. Для нормы полиномов Лежандра
справедливо соотношение
1
-1
По формуле Родрига
, Л„ / xioj 1 } dn(x2-l)dn(x2-l) J
-1 -1
Проинтегрируем это выражение n раз по частям и учтем, что
внеинтегральные слагаемые, содержащие (х2 — l)|Li, равны
нулю. Тогда
-1
Заметив, что
И2п
(х2 - I)" = (2п)!,
ota2n
получим
_ (-1)"(2п)! Г _
.'2*»(п!)2 У1Х lj dX-
-1
Сделав в интеграле
1 1
/ = f(x2 - l)ndx = (-l)n /(1 - х2)пс
l
\Чх.
-1 -1
замену переменных 1 - х — 2t, cte = — 2dt, запишем
1
/ = (_1)п22п + 1 Лп(1 _ tyidi = (_1)п22п + 1Б(п+ 1?n+ Xj =
о
= / ппо2п + 1Г(п+1)Г(п+1) _ , „n(n\)22*^
К ' Г(2п + 2) ~[ 1) (2п+1)! '

126
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Следовательно,
2п+ 1
Таким образом, утверждение доказано.
Теорема 18.1. Полиномы Лежандра Рп(х) являются
решением задачи Штурма-Лиувилля
Е [С-'') II+ *»-•■ <18-3»
| lim у(х)\ < оо, х е [-1,1]
|х|-*1
с собственными значениями А = п(п -f 1).
♦ Уравнение (18.3) при любом А называется уравнением
Лежандра, а его решения, отличные от тождественного
нуля, — функциями Лежандра.
Доказательство. Полиномы Лежандра удовлетворяют условиям
(18.3) при Л = п(п + 1). Рассмотрим теперь Л ф n(n -f- 1). Введем
число и i
1/=V*\~h А = ix(i/ + 1), ифп. (18.4)
Уравнение (18.3) примет вид
(1 - х2)у"(х) - 2ху(х) + i/(i/ + 1)у(х) = 0. (18.5)
Будем искать yv(x) в виде ряда по степеням х
оо
У«^(ж) = ^С*(1/)ж*. (18.6)
* = 0
Подставив (18.6) в уравнение (18.5) и приравняв к нулю
коэффициенты при одинаковых степенях ж, найдем рекуррентные
соотношения для коэффициентов Cjt(i/):
С*+а(") - (Jfc + 2)(fc + l) Ck(l/)- (18-?)
Посредством (18.7) все Cfc(i/) с четными номерами выразятся через
Co(i/), с нечетными — через С\{и). Коэффициенты Съ(у) и С\(и)
остаются произвольными (общее решение, как и должно быть,
зависит от двух произвольных постоянных). С учетом известного
свойства гамма-функции
Г(1 + ж) =хГ(х),
прямой проверкой можно убедиться, что рекуррентному
соотношению удовлетворяют следующие коэффициенты:

18. Ортогональность полиномов Лежандра
127
С, М - Г(я-^/2)Г(п + (1+|/)/2)
СьМ- Г(п + 1)Г(п + 1/2) A{U)' (18-8)
C2n+1 {V) ~ Г(п + 1)Г(п + 3/2) eW' (18,9)
где A(i/), B(i^) произвольны. Следовательно,
" Г(п-1//2)Г(т» + (1 + 1/)/2) Зп
»vW--*M^ Г(п + 1)Г(п +
1/2) * +
v ;Z^ Г(п + 1)Г(п + 3/2) v ;
Легко установить (проделать самим), что при |ж| < 1 ряды (18.10)
сходятся абсолютно и равномерно, т.е. для ж, лежащих внутри
круга единичного радиуса, эти ряды определяют все множество
функций Лежандра Уи{х).
Используя формулу Стирлинга для функции Г(п + а) при
п -> оо:
Г(п + а) = л/2^е"ппп+а-1/2[1 + 0(1/п)], (18.11)
из (18.8) и (18.9) при п -> оо получим
C2n(v) = M"l + 0(l/n2), Ca„+i(i/)=^i + 0(l/n2). (18.12)
n n
Но знакоположительные ряды
2-j п • 2^ п
при ж -> ±1 расходятся, а поэтому при ж —> ±1 расходятся оба
ряда в (18.10). Можно было бы попытаться устранить эту
расходимость, например, при ж -> 1 за счет выбора A{v) и B(v) (и это
действительно можно сделать!), но тогда нельзя будет устранить
расходимость при х -> — 1. Тем самым доказано, что решение
задачи (18.3) возможно лишь при целых i/, т.е. при Л = п(п + 1).
Пример 18.1. Решить задачу Штурма-Лиувилля
у" + ctg ху' + Ху = 0, 12/(0)1 < оо, |y(ir)| < оо. (18.13)
Нормировать собственные функции задачи.

128
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Решение. Сделаем в уравнении замену переменных
* = cosx. (18.14)
Поскольку dt/dx = — sin х и
dy dy dt . dt
— = — — = — sin ж—-,
dx dt dx dx
d2y _ ji_(dy\ _ _cf_/_ . dy\ _
dx2 dx\dx/ dx\ dt J
dy . d2y dt . 2 d2y dy
= -cosz— -ЯШ-гг-г- = sur Z-r-^ - cosz—,
dt dtz dx dtz dt
получим
d2y dy cos x ( . dy
. 0 dry dy cose/ . dy\ % Л /ЛЛ-.^ч
sin2x-74-cosx-^ + -sinx-H + Ay = 0 (18.15)
dt1 dt sm«\ dt)
или
(1 —cos2 x)—\ - 2coss-^ + Ay = 0.
at* at
Исключим x из уравнения (18.15) с помощью (18.14) с учетом
того, что t\x=Q = 1, t\x=7r = — 1. Тогда для определения у (ж)
получим следующую задачу Штурма-Лиувилля:
|у(1)|<оо, |у(-1)|<оо.
Решением задачи (18.16) являются (см. теорему 18.1)
собственные значения А„ = п(п+1) и собственные функции yn(t) =
= CnPn{t) с условием ортогональности
/1С2
CnCkPn(t)Pk(t)dt = 2^1*»ь
-1
где п, fc = 0, оо.
Возвратимся к исходным переменным. Положив
/2п+1

18. Ортогональность полиномов Лежандра
129
получим решение задачи (18.13)
Уп(х) = J-^y-Pn(cosx), Л„ =п(п + 1) (18.17)
с условием ортогональности
ы.)ы*)>=;(2"+1)г+1)»
7Г
х / Pn (cos ж)Р* (cos х) sin xdx = Snk
о
(см. теорему 18.1).
Теорема 18.2. Полином f(x) степени п тогда и только тогда
удовлетворяет условиям
1
/ xkf(x)dx = 0 при fc = 0,n — 1,
-1
когда /(ж) гшеега вид СР„(ж), где С - постоянная, а Рп(х) -
полином Лежандра порядка п.
Доказательство. Пусть f(x) = СРп(х). Система функций {Рп(х):
п = 0, оо} ортогональна на ] — 1,1[. Следовательно,
1
/ xkPn(x)dx = О, к = 0,п-1.
-1
Предположим, что для некоторой функции f(x) справедливо
1
xkf(x)dx = 0, к = 0,п- 1.
-1
Проинтегрировав по частям к раз, получим
1
j xkf(x)dx = Д(1) - *А(1) + fc(fc - 1)/,(1) - ... + (-l)*fc!/„+1(l),
-1

130
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
где
X X
Л(*) = //(*)«**> Л(х) =[fi(t)dt,...
-1 -1
Получим /i(l) = 0 при fc = О, /г(1) = 0 при к = 1 и т.д., Д»(1) = О
при fc = п — 1. В силу принятых обозначений
X t *n_i
fn(x)= [&[&!••• J /(*n-l)A„-l.
Очевидно, что функции /*(х) при к = 1,п — 1 являются
производными порядка (п — к) от функции fn(x), причем в точках х — 1
и ж = — 1 функция /п(ж) и ее производные до (п — 1)-го порядка
включительно обращаются в нуль, т.е. точки х = 1иж = —1
будут нулями функции fn(x) кратности п. Учитывая, кроме того, что
f(x)- многочлен степени 2п от ж, найдем представление
/„(*) = ao(a:-l)n(z + l)n.
Тогда ^
т.е. f(x) = CPn(x)i что доказывает теорему.
Пример 18.2. Вычислить
1
/■
xmPn(x)dx, п,га = 0,оо.
Решение. Если га < п, то
1
•С = [xmPn(x)dx = 0,
так как полином из ортогональной системы ортогонален любому
полиному меньшей степени (см. теорему 18.2). Пусть га ^ п.
Применим интегрирование по частям, положив U = жт, dV = Pn(x)dx.
Получим
га
2n
l l
2-j. J x—1 Pn+1 (x)dx + ^^ | x—1 P„_,(x)dx.

18. Ортогональность полиномов Лежандра
131
Внеинтегральное слагаемое равно нулю, поэтому
1
J" = -^TrJxm~lp^iix)dx+
-1
1
2n +
-i
Бели га = п, то
1
fxm-1Pn+i(x)dx = 09
-1
и получим рекуррентное соотношение
П тП-1
ш т / xTn~lp»-i(x)dx- (18Л8)
откуда найдем
тП '* тП —1
n_ n п — In — 2 1_о
п ~ 2п + 1 2п - 1 2п - 3 "' * 3 °'
1 1
J0°= J P0(x)dx= j dx = 2.
-l
Тогда
l
lx"p^dx-2J^T)V.-
-1
Пусть га строго больше п. Из соотношения
(п + 1)Рп+1 (х) - (2п + l)xPn(z) + nPn-i(я:) = 0
выразим
Р„+1(х) = ^V„(s) - -xtP»-i(»)
п+1 п -+• 1
и подставим в равенство (18.18). Получим
n+ Гп + (nTl)(2nTT) n-X + 2nTT "-1
или
П + 771+1 7m __ ™> Tm-1
n + 1 Jn " nTT"-1 "
Итак,

135
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Тогда
гга "" тт-1
™ ТП -- 1 jm-2 =
m+n+lra+n-1 n"2
77i—l m — 2 7ra — (n — 1)
xtn —»i
m + »-hlm + n-lm + n-3 m-fn — (2n — 3) °
Ho
i i
J0m"n= J xm-nP0{x)dx= fxm~ndx =
О, если ?n — n = 2/г — 1,
l
2 / a;m~nda; = г-, если m — n = 2fc.
У m-n+1
о
Получили J™ = 0 при га — n = 2/c — 1, fc = l,oo. Если m — n = 2A;,
A; = l,oo, то
2m(m-l)(m-2)...
(m -f ?г + l)(wi + n — l)(m -f- ?г — 3) •
• • • (га — n + 1)
X =
• • • (ra — n + 3)(m — ?г + 1)
n!(ra — n — 1)!! _ m!
(ra - n)!(ra + n + 1)!! (ra - n)!!(m + n + 1)!!
и окончательно
l
/
ЖтРп(ж)^Ж
С 0 при га < ?г;
2 тт 7Т17 ПРИ т = п:>
(2п + 1)!!
0 при га > га, га — ?г = 2/г — 1;
При га > га, гтг — га = 2я.
I, (т-га)!!(га + га + 1)!!
Пример 18.3. Вычислить интеграл
5
/ = /x2P*(x/b)dx. (18.19)
о

18. Ортогональность полиномов Лежандра
133
Решение. Сделаем в интеграле замену переменных х/Ъ — t.
Тогда
1 1
/ = f(bt)2P^{t)bdx = 125 f[tPn{t)]2dt. (18.20)
о о
В силу четности подынтегрального выражения (18.20) можно
представить в виде
1
j=ip l\tPJt)Vdt.
-1
1
J[tPn(t)}2
Воспользуемся рекуррентной формулой (17.1)
(п + 1)Рп+1 W - (2п + l)*P»(t) + nP«.i(t) = 0,
откуда
*Рп(*) = 2^y[(n+ l)Pn+i(t) +nPn_i(t)].
Следовательно,
l
7 = ^Г / (2^TTF[(n + 1)P»+1(*) + nPn-^)]2dt =
-1
1
125 t
= 2(2n+l)^ У t(n'+ 1)2P"+1 W + 2П(П + 1)P"+i«)Pn-i(<) +
1
+n2P„2_1(^)]dt = 2(2^2+51)2 [(n + l)2 J pZ+1№ +
-1
1 1
+2n(n + 1) J Pn+l{t)Pn-l(t)dt + П2 j Pn2.!(t)ctt
-1
С учетом условия ортогональности
J Pn(t)Pk{t)dt = ||P„||a*n* = ^T^*

134
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
получим
1 = 2(2п+1)'{(я + 1)8«Р«+1На + naHP-ill3>
ИЛИ
^2 „2
125 f(n+l)2 n2 ^
(2п+1)21 2п + 3 2п-1Г
Пример 18.4. Показать, что
fx2Pn+1(x)Pn-l(x)dx= П(П+1)
(2n-l)(2n+l)(2n + 3)'
Решение. Подынтегральная функция будет четной при любом п,
так как Pn+1 (х) и Pn-i (х) одновременно четные или нечетные
функции. Из рекуррентного соотношения
(n + l)Pn+i (х) - (2п + 1)хРп(х) + nPn-i (х) = О
выразим
xP„-i(x) = —1—[пРп(х) + (n - 1)Р„_2(а:)].
2u — 1
Тогда в силу ортогональности {Рп(х) : п = О, оо} на ] —1,1[ получим
1
J X2Pn+l(x)Pn-i(x)dx =
о
1
2(2n-l)(2n + 3) У nl ; (2n-l)(2n + l)(2n + 3)'
-i
Пример 18.5. Показать, что интеграл
1
J= f х(1 - x2)PUx)PU*)d*
равен нулю при m — п ф ±1 и найти его значение при га — п = ±1.

18. Ортогональность полиномов Лежандра
135
Решение. Из соотношения (17.11) найдем
а - *v»(*) = ^Jrr^»-^) -Pn+i{x)]-
Очевидно, что
XPUX) = [xPm(x)]' - Pm(x).
Тогда
i
J= Ix{\-x2)Pll{x)PU*)dx =
-1
1
= ^^ y'[xPm(x)]'[Pn_1(x) - Pn+1(x)]dx
-1
при условии m ф n ± 1 (или m — n ф ±1) в силу ортогональности
{Pn(x) : n = 0,oo} на ] - 1,1[.
Проведем интегрирование по частям, положив
U = Pn-l(x) - Pn+l(s), dV = [xPm{x))'dx,
тогда dU = [Pn-i(x) — P„+1(x)]dx, V — xPm(x). Внеинтегральное
слагаемое равно нулю, так как P„_i(l) — P„+i(l) = 0, Pn_i( — 1) —
Pn+i( —1) = 0. Получим
i
J = n(n -f 1) / xPn(x)Pm(x)dx.
-1
Из рекуррентной формулы
(n + l)Pn+ 2 {x) - (2n + l)xPn(x) + nPn+i (ж) = 0
выразим xPn(x). Тогда
l
7Тг!Р»^
J = "(2" ,'L V / P™+l(*)Pm(x)*T +
"2(n + l) /"p
+ * ' / P„-l(*)Pm(*)«fa.
Если ш^п + 1ит^п-1 (или m-пф ±1), to J = 0.
Рассмотрим случай m = n + 1. Имеем

136
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
j х{\ - x2)P'n{x)PUx)dx =
-1
1
= !£т? /«*Ui(«)[*.-i<*) - Pn+i(x)]dx =
-1
1
-1
1
_!2?Т? / ^(^-'И " *.+»(*)]«** =
-1
1
= n(n + 1) I xPn+1(x)Pn(x)dx + !^±|i||Pn+1(x)||2 =
-1
n(n + 1)
Pn-x(x)dx +
_ 2n(n + l)(n + 2)
~ (2n + l)(2n + 3)'
Для га = n — 1 аналогично найдем
/„-ужс^у»;;;.
19. Ряд Фурье-Лежандра
О Можно показать j что произвольная функция f(x),
удовлетворяющая условиям Дирихле на интервале ] — 1, i[, разла-

19. Ряд Фурье-Лежандра
137
гается в ряд по полиномам Лежандра
ОО (у 1 - »
f{x) = VaiftW, ак = -^— / f(x)Pk(x)dx. (19.1)
к=о г Д
В каждой точке, где функция f(x) непрерывна, ряд (19.1)
сходится к этой функции, а в точках разрыва - к функции
f*(x) = [f(x + 0) + f(x-0)]/2.
♦ Ряд (19.1) называется рядом Фурье-Лежандра.
О Напомним, что функция f(x) удовлетворяет на отрезке
[а, 6] условиям Дирихле, если она:
1) равномерно ограничена на [а,Ь];
2) имеет на [а, 6] конечное число экстремумов;
3) непрерывна на [а, 6] за исключением, может быть,
конечного числа точек разрыва первого рода.
О В случае бесконечного интервала (а = — оо и/или
Ь = оо) функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле,
если она подчиняется, помимо условий 1 и 2, справедливых на
любом конечном промежутке, дополнительному условию
абсолютной (или квадратичной) интегрируемости, т.е.
ъ
/ \f(x)\dx< оо.
a
Пример 19.1. Найти коэффициенты ряда Фурье по
полиномам Лежандра для функции f(x) = |ж|.
Решение. Имеем
оо
|*| = 53СЯР«(Я!), "l^X^l,
71=0
где
j.
Сп=(п+±) J\x\Pn(x)dx.
-1
Очевидно, что C2k+i = О, А: = 1, оо. Вычислим
1 1
~ 4& + 1 С Г
С™ = —у- J \x\Pk{x)dx = {4k + 1) / xP2k{x)dx, k = 1, (
-i о

138
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
При к = 0 непосредственно находим Со = 1/2. Для & = 1,ос
проведем интегрирование по частям, положив U = ж, dV =
Р2*(ж)бЬ. Тогда
dt/ = dx, v = 4]rrT[jP2fc+l(x>) ~ P2fc-1^]-
Получим
l
C2fc = x[P2k+i(x) - P2fc-i(aj)]|o- J[P2k+i(x) - P2fc-i(s)]cte =
о
P2*+2(z) - >2*(ж) I1 Р2*(я) - Р2*-2(ж) I1
4* + 3 lo 4ifc-l
= P2k+2(0) ~ P2k(0) P2k(0) - P2fc-3(0)
4fc + 3 4*-l
Преобразуем полученный результат. Из рекуррентного сорт-
ношения
(2п + 1)хРп(х) = (n + l)P»+i(as) + nPn_i(z)
при ж = 0 найдем
(n+l)Pn+i(0) = -nP„_i(0).
Тогда
2А: -4- 1 2&
P2Jfc+2(0) = "2* + 2Р2*(0)' P2fc-2(0) = ~2ifc^TP2fc(0)'
Подставив, получим
или
_ 4* + 1
C2fc = "(2fe-l)(2fc + 2)P"(0)-
Итак,
или
tt+1 (4* + l)(2fc-l)!!
C2t-(_l)' (2*-1)(2* + 2)(2*)!!' *-1'йо-
с _, 1)fc+x(4fc + D(2fc-2)!

19. Ряд Фурье-Яежандра
139
Пример 19.2. Разложить функцию
при —1
при а < х ^ 1
х/ ч /О при -1 < х < а
в ряд Фурье-Лежандра.
Решение. Функция удовлетворяет условиям разложимости.
Тогда
оо
f(x) = Y,CnPn(x),
п=0
где
1
Имеем
Сп={п+\) J f{*)Pn{x)dx, n = О,
-l
l
С„ = (n+j) / Pn(x)dx =
a
= (»+1)5ГГГ[^(«)-^(«)]*
oo.
= --[Pn+i(a)-jPn-i(<*)], n= l,oo
i
Co=\J Po(x)dx=±(l-a).
a
Здесь мы воспользовались тем, что Ро(х) = 1. Искомое
разложение запишется в виде
/(*) = 1(1 - а) - 1 f>n+1(a) - P^aftPnix).
П = 1
В частности, если
/о={;
О при -1 ^ х < О,
при 0 < х ^ 1,

140
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
получим
оо
№ = \-\ EfP»+i(°) - Pn-i(0)]Pn(x)
2 2 ,
71 = 1
Pn+i(0)-P„_1(0) =
{0, n — 2k, k — 1, oo;
(2*)!(4fc + 3) n_2)k + 1^_^;
Тогда
f^ ^ff nfc (4fc + 3)(2fc)!
Пример 19.3. Разложить в ряд Фурье по полиномам Лежанд-
ра на интервале ] — 1,1[ функцию f(x) = х2 — х + 1.
Решение. Так как f{x)- полином второй степени, то в
разложении
f{x) = J2CnPn{x)
71=0
коэффициенты Сп — 0 при п > 2, т.е.
f{x) = С0Ро{х) + СгР^х) + С2Р2{х).
Коэффициенты Со, Ci, С2 можно вычислить по формуле
1
]п.,{ ] ix
-1
1
Cn= (n+^j f f(x)Pn(x)dx
при n = 0,1,2 или непосредственно, используя явный вид
полиномов Лежандра
Ро(х) = 1, Pi(x) = x, Р2(х) = 1-(Ъх2 - 1),
т.е.
х2 -х + 1 = C0-l + Cix + C2^{Zx2-l) = ^■C2x2 + C1x + Co-<y.

19, Ряд Фурье-Лежандра
141
Окончательно получим
х2 - х + 1 = -Р0(х) - Рг(х) + -P2(s).
Пример 19.4. Разложить функцию
в ряд по полиномам Лежандра.
Il-x
Решение. Для данной функции выполнены достаточные условия
сходимости ряда Фурье-Лежандра. Тогда
оо
п=0
где
f(x) = Y^CnPn(x),
п=0
1
Cn = (n + ^j Jf(x)Pn(x)dx.
-1
Для нашей функции коэффициенты С„ ряда вычислим, применив
следующий прием. Воспользуемся разложением
л/Г
=L=y = £;*.(.).», w<i (-кх<1).
Умножим это равенство на /(ж) и проинтегрируем от ж = —1 до
х = 1. Интегрирование возможно при равномерной сходимости ря-
да ^2 Pn(x)zn на [—1,1], что следует из оценки |Р„(ж)| ^ 1, спра-
п=0
ведливой на интервале — 1 ^ х ^ 1. Приходим к равенству
-1 п=0 -1
Вычислим интеграл, стоящий в левой части равенства. Сделаем
подстановку
Тогда
/ 1-х
U ~ у 1 - 2ж2 + z1'
т_1-и2(1 + ^2) (I-*)2 ud«
l-2ti2z ' 2*2 (u2-l/2*)2'

ui
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Поучим
j=7f/vi-L+^da:
1 (1 + z2)2
V2 2z2
/ —-
J К-
<*tl
1/2*)2
= (1 + *2)2
2\/2г2
v^/(i + *)
v^/(l + z)
Uv? -l/2z'
Проинтегрируем по частям:
Js= о+У)2/ t*
2*/2*2 l 2w2 -
(l + «a)8
2\/2z2
l/z
V^/Il + X)
N/2/(l + r)
+
/
du
■)-
2tr
In
2u2 - l/z.
гг - 1/л/2^1 |v^/d-fx)
-1/2 4y/T/2z~ u + l/y/2z-
_ (l + г2)2 ry^g(l + g) л/2?, 2y^-l-z1
~~ 2x/2^2 I (l-*)2 4 ln2^+l-^J
_ (1 + г2)2 Г^(14-^) yJTz 1-V?1
2x/2*2 L (l-*)2 + 2 ni-fv^J
2\/2.
(l-z)2 2 1 + VJJ
(1 - zf . 1 - V*l
2^ 1 + V?
Распишем подробно
2г
1 + 2 + yJ- In ^= =
'-£{•♦■+^V+bf;^ ♦•••]}-
2
2z
1_
2z
n=l

19. Ряд Фурье-Лежаидра
143
оо _ « ОО _ О© „It
~ 2*1 + * 2^2n~l+^2n-l 2^2n-lJ""
n+\ = k
= Tz V + * " ^ 2АГ+Т + 2 ^ 2*T^T "" ^ 2АГ="з J =
fc=0 fc=l *=2
= _L[1 + ,_1_£ + 22_f;(_L___lT + _l_)2*]
fc=2
-HE
(4fc2 - l)(2fc - 3)
Положив в последней сумме к — 1 = п, получим
22
(l-^l-yi]
I +Z+ 2jl 1 + 7*1 "3~ 2^(4n»-l)(2n-3)*
Итак, мы приходим к равенству
\-*±^.^.^-Ё(!^¥^^У-
-1
Отсюда
№
—~ х 4
— P0(x)dx=: -,
/\/¥
-Р„(х)Ж; = -
(4п2 - 1)(2п + 3)
, п = 1,ор.
Но
Cn=(n + i)yyb£pnW4Bf
следовательно, Со = 2/3,
(2п - 1)(2п + 3)
Искомое разложение имеет вид
, П 5=1,00,
nasi

144
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Пример 19.5. Разложить функцию
f(x) :
VI-х2
в ряд по полиномам Лежандра.
Решение. Разложение имеет вид
f{x) = J2^nPn(x),
где
1
Cn=\n+-\ f(x)Pn(x)dx, п = 0,оо.
-1
Так как функция f(x) - четная, то Cik+\ — 0, а
1
4fc + l [ 1 4fc + l [ р , дыл
C2fc = —-— / —7===P2k(x)dx = —-— / P2k(cos0)d0,
J ч/гг
X"
где k = 0,oo. Использовав соотношение (16.10), запишем
P2fc(cos0) = 2(4/;~^)!! cos2k0 + 2^"^;||cos(2fc - 2)0 +
(4fc)!
(2fc-2)!!2
(4fc-2fc-l)!!(2fe-l)!!
(4k — 5У 1 • 3
+2hFT4)ii2T4COS(2fc-4^ + -+ («-2*)!! (»)!!
Проинтегрировав это равенство от 0 = 0 до 0 = 7г, найдем
-(2/c-l)!!]2
/
P2k(cosO)dO =
Тогда
C2fc =
4/c + l
(2fc)!!
(2fc - 1)!П2
7Г, k = l,oo.
(2fc)!!
/г = l,oo.
Непосредственно вычислим
l
Co
= 1/
dx 1
= -arcsinz
VT-^ 2
7Г
-i = 2"
Итак, для — 1 < x < 1 имеем
1 w„/ ч я-^Ч., . ,4f(2fc- 1)!Р2
л/1^~
|*M*)+f £>* + !)
(2fc)!!
P2fc(«).

19. Ряд Фурье-Лежандра
145
Проинтегрировав это равенство в пределах от 0 до ж, получим
разложение
w ~ г(2*-1)!П2г
fc=i
Пример 19.6. Найти сумму ряда
Ф(Ж,у,г) = ^Рп(х)Р„(2/)2п, (19.2)
п = 0
И<1, |у|<1, 0<*<1.
Решение. Воспользуемся представлением полиномов Лежандра
Рп(х) через интеграл Лапласа (16.8). Поменяв местами
интегрирование и суммирование, получим
тг
Ф(я,у,*)= ^ f R(x,y,z,0)dO, (19.3)
о
где обозначено
Д(я, у, 2,6>) = ^[(х + tл/l - я2 cos 0)*]nPn(j/).
n = 0
Подынтегральное выражение R(x,y,z,6) в (19.3) можно
просуммировать по ?г, если воспользоваться определением полиномов
Лежандра через производящую функцию. С учетом (16.2), где
положим .
u^= z(x + гу 1 — ж2 cos0),
получим
R(x,y,z,6) = У>" Р„(») = L.
2u;y
(19.4)
yju -у + iy/l -у2 у а; - у - г-y/l - у2
Проведем в (19.3) замену переменных с помощью соотношений
cos6>=l-(l + 7)sin^ <й>= У^ t
1 — (1 — 7) sin v? 1 — (1 — 7) sin <р
где
zx — у — г л/1 — у2 + ггл/l — ж2
7 = v
zx — у — i\/l — у2 — izy/lT

146
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
01 = 0, <pi = О, 02 = тг, ч>2 = тг/2. После такой замены получим
т/2
*(w) = ^/r
J£_; *2 = 1-£, (19.6)
fc2 sin <p cr
a2 = 1 + *2 + 2г[у/(1-:с2)(1--у2) - ягу],-
Ь2 = 1 + z2 - 2*1^/(1-x3)(l-у3) + xy].
Таким образом, функция Ф(ж,у, z) выражается через полный
эллиптический интеграл первого рода К (к) (см. [17], стр. 919, разд.
8.112.1)
*(*,y,«)=i-|T(*). (19.7)
7га
Пример 19.7. Найти сумму ряда
оо
|г| < 1, |у| < 1, 0 ^ z < 1
и показать, что для полиномов Лежандра справедливо условие
полноты (2.9)
lira F(x,y,z) = 6(x-y), И<1, |у|<1. (19.9)
z-*l-0
Решение. Заметим, что имеет место тождество
1 дФ
F(x,yiz)=-* + z—, (19.10)
где Ф(ж,у, z) определена формулой (19.7). Учтем непосредственно
проверяемые соотношения (см. обозначения примера 19.6)
да _ а2 - 1 + z2 Эк _ (1 - s2)fc
Эг ~ 2ог ' 9г ~ 2аЧ {- >
и выражение (см. [17], стр. 921, разд. 8.112.2) для производной
полного эллиптического интеграла первого рода
где Е(к) - полный эллиптический интеграл второго рода (см. [17],
стр. 921, разд. 8.112.2), и получим для F(xyy,z) выражение
,(.,,,,). 1Ц$Ш1 (1..13)

19. Ряд Фурье-Лежандра
147
Рассмотрим для произвольной функции <р(х), непрерывной на
отрезке [—1,1], интеграл
J(*,*)= / F(x,y,z)<p(y)dy. (19.14)
с, z) = / F(s,y,
Сделаем в нем замену переменных
у = х + (1 - г)л/Г^2>, (19.15)
после чего перейдем к пределу z ->• 1 — 0. Учтем, что при z -> 1 — 0
справедливы асимптотическое оценки (см. разд. «Простейшие
асимптотические оценки» части I)
а2-4(1-ж2), Ь2 ~(1-г)2(1 + *2), к ~ 1, £7(1) ~ 1. (19.i6)
В результате для J(x, z) найдем
1
lim J(x,z) = V(«)I / -^ = ¥>(*), (19.17)
-1
что и доказывает соотношение (19.9).
Пример 19.8. Найти сумму ряда
оо
5(t-a:)=EVPn(a:)- (19Л8)
0 Этот ряд используется при построении функций Грина
внутренней задачи Неймана.
Решение. Для вычисления суммы этого ряда представим (16.2) в
виде
1 °°
VI - 2tx + t2 ^ V '
г»=1
Это соотношение проинтегрируем по fc, предварительно разделив
обе его части на Ь\
I , dt , = [ Ц + Т, p„t») / t-*dt.
J ty/l - 2te +t2 у * ^ w /
Тогда

148
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
/ , ===== = Ь t + > -PnX.
n=l
Отсюда находим выражение для искомой суммы (19.18)
S(t, х) = У" —Рп{х) = - In t + / у dt (19.19)
^п У tVl - 2te + t2
n= 1
Для вычисления интеграла в правой части воспользуемся первой
подстановкой Эйлера
\/l - 2tx + t2 = у - t, (19.20)
тогда
/
* -.ы '(« + 1) +с.
£л/1 - 2to + t2 1 — я:* + Vt2 - 2te + 1
где С - произвольная функция переменной ж. Возвратившись к
(19.18), имеем
У" -Р„(х) = In Х.Н"1 + С. (19.21)
^ п 1 - xt + Vt2 - 2te + 1
n=l
Произвольную постоянную С можно вычислить, положив £ = 0 в
(19.21):
2
В результате сумма ряда (19.18) будет равна
n=l
Пример 19.9. Найти сумму ряда
E—Pn(x) = In J (19.22)
n V ; l-xt + Vt2 - 2fcn + 1 '
5M) = ]£ j^i^O*)- (19-23)
n=0
Решение. Разложение (16.2) проинтегрируем no t:
I = j7T^^4^tnPn{x)dt=^^Pn(x)- (19-24)
n=0 n=l
Вычисление интеграла (19.24) с помощью подстановки (19.20) дает
/ = / -^— = Ь(у - х) + С = ln(t - х + V"l-2to + t2) + С.

20. Присоединенные функции Лежандра
149
Определение постоянной, как и в предыдущем случае, приводит к
С = -1п(1-а:).
В результате ряд (19.23) можно представить в виде
.п+1
: + л/1 - 2tx + t2
1-х
\t\ < 1. (19.25)
20. Присоединенные функции Лежандра
ф Функции
Р™{х) = (1 - x2)m/2Pim\x) (20.1)
называются присоединенными функциями Лежандра (см. рис.
15 и 16).
0 Заметим, что при га > п присоединенные функции
Лежандра Р™(х) тождественно равны нулю, а при т = 0
совпадают с полиномами Лежандра, т.е. Р% = Рп(х).
Пример 20Л. Найти явный вид функций Лежандра Р^ж),

^Отрешение. Действительно, Р\(х) = ж, Рг(ж) = (Зж2-1)/2. Сле-
>W<«.\ -
>(i)
довательно, Р{ }(х) = 1, Р2 (х) — Зж. Окончательно получим
Pl(x) = \/l - ж2, Р2х(ж) = Зж\Л-ж2.
Теорема 20.1. Присоединенные функции Лежандра Р™
удовлетворяют уравнению
dx
2sdV
<1-j>sj
+
n(n+ 1) -
У = 0.
(20.2)
Рис. 15
Рис. 16

150
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Уравнение (20.2) называется уравнением Лежандра порядка
га, или уравнением для присоединенных функций Лежандра.
Доказательство. Продифференцируем уравнение Лежандра
(1 - я2)Р" " 2яРт; + п(п + 1)РП = 0
т раз по ж и воспользуемся формулой Лейбница. Тогда
(1 - x2)Pim+2) - 2хтР<Г+1) - 2™(™-1)Р|(ш)_
-2xPJT+1) - 2mPt] + (n + 1)пР,1га) = 0
или
(1 - *2)[i>im)]" - 2х(т + l)[Pim)}'-
-[т(т + 1) _ n(n + l)]Pira) = 0. (20.3)
Пусть у(х) = (у/Т^х*)™ Р$Г]. Тогда
[PW{z)}' = mx(l - *2)-(т+3)/ау(*) + (1 - *a)-"/V(*),
[i»im,(a;)]" = то(1 - х2)-{т+2),2у(х) +
+т(т + 2)х2(1 - х2)-<т+4)/2у(х) +
+2т*(1 - х2)-1т+2»2у'(х) + (1 - ea)-m/V'(*)-
Подставив эти выражения в формулу (20.3), получим
(1 - х2)[т(1 - x2)-(m+2V2y(x) +
+т(т + 2)х2(1 - x2)-lm+4V2y{x) +
+2тх(1 - 12)-<га+2>/у (я) + (1 - х2)-т/2у"{х)] -
-2x(m+ 1)[тх(1 - х2)-(т+2У2у(х) + (1 - х2)-"*/У(я)] -
-{т(т + 1) - п{п + 1)](1 - х2)-т'2у{х) = 0.
Сократив на множитель (1 — х2)-"*/2 и приведя подобные, по-
лучим
т.2
(1 - х2У - 2xj/ + п(п + 1)» - |Г^2У = °»

20. Присоединенные функции Лежандра
151
что и требовалось доказать.
Следствие. Для присоединенных функций Лежандра
справедливы следующие рекуррентные соотношения:
+(п + т)(п-т+1)Р?-1(х) = 0. (20.4)
[(1 - х2Г'*Р?(х)]'+
+(п + т)(п -т+ 1)(1 - х*)^-1Н2Р?-%(х). (20.5)
Доказательство. Заменив в соотношении (20.3) то на m — 1,
имеем
(1 - x2)PJ"'+1) - 2xmPJro) - [п{п + 1) - т(т - 1)]Р^т-1) = 0.
С учетом того, что
п(п + 1) — га(т — 1) = п2 — т2 + п + т — (n 4- ?ti)(ti — т + 1),
запишем
(1-ж2)Р^т+1)-2хтР^т)+(п+т)(п-т+1)Р11га-1> = 0. (20.6)
Домножив (20.6) на (1 - а:2)*"1-1)/2, получим
(1 - x2)<-+1)/2Pim+1)(x) - ^==(1 - х2)т/*Р™(х) +
V1 - ж2
+(п + т)(п - т + 1)(1 - ж2)(т-1)/2д(т-1)(х) = 0,
откуда с учетом определения (20.1) и следует рекуррентная
формула (20.4).
Домножив (20.6) на (1 — ж2)™-1, найдем
(1 - х2)тр{Г+1) - 2тх(1 - х2)™-^^ +
+(п + m)(n - m + 1)(1 - a-ajm-ip^-D = Q
или
[(1-*2ГЛ1ш)]'+
+(п + т){п - т + 1)(1 - x2)m-1f^"1) = 0, (20.7)
откуда с учетом определения (20.1) и следует рекуррентная
фррмула (ЗДГ5).

152
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Теорема 20.2. Присоединенные функции Лежандра
образуют на интервале ] — 1,1[ ортогональную с весом р(х) = 1
систему функций с соотношением ортогональности
1
/™^''>*=(»^w»m-'»)ifa- (20-8)
-1
Доказательство. Обозначим
1
Kn = j P?{*)P?(*)d*- (20.9)
Тогда из определения присоединенных функций Лежандра
получим
1
2\т
-1
Г dT
Idx1
;Pn(x)
(Г
J idx7
;Pk(x)
dx.
Проведем интегрирование по частям, положив
U = (1 - х2)тр(т\х), dV = Plm\x)dx.
Получим
AZn = (l-x2rPim)(x)Pt-1)(x)\[-
i
- У Р^Ш! - x2)mpW(x)]'dx. (20.10)
Очевидно, что внеинтегральное слагаемое равно нулю.
Использовав рекуррентное соотношение (20.7), выражение
(20.10) можно записать в виде
1
A^n = (n-m+l)(n + m) J Ptm-1)(x)(l-x2r-1Pim-1\x)dx
или, согласно (20.9),
A^n = (n-m+l)(n + m)A^-\
(20.11)

20. Присоединенные функции Лежандра
153
Применим формулу (20.11) к А™п , А™п и Т-Д- Получим
А?,п = {^-Лп- (20-12)
' (п — ту. '
В силу (20.9) и (18.2)
<„ = 11^(*)НЧп = 2^1**»'
и теорема доказана.
Можно показать, что справедливо следующее
Утверждение 20.1. Если функция f(x) удовлетворяет
условиям Дирихле на интервале ] —1,1[, то для функции f(x)
справедливо разложение
оо
/(*)=£ <ЭТП*)> ]-1,1[. (20.13)
nzzm
где
-1
— коэффициенты Фурье, а сам ряд (20.13) называется рядом
Фурье по присоединенным функциям Лежандра.
Теорема 20.3. Для присоединенных функций Лежандра при
0 < k,m ^ п справедливо условие ортогональности
J 1 — х* т (п — га)!
-1
Доказательство. 1. Докажем ортогональность этих функций.
Согласно (20.2), функции Рп(х) удовлетворяют уравнению
{1-х2)у" -2ху' + (А- ^-А_)у = 0 при A = n(n-fl).
Следовательно,
(1 - х2)[Р£(х)]" - 2*[Р*(*)]' + [п(п + 1) - Y^\Pn (*) = 0;
(1 - *а)[Р™(«)]" - 2х[Р„т(х)]' + [й(« + 1) - T??Ly?(x) = 0.

154
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
(1 - *2)[Р*(*)]" - 2s[P*(*)]' + [n(n + 1) - Iil5.]p»(!B) = 0;
(1-х2)[РЛх)]"-2х[Рпт(х)]' +
n(n + 1)
1 - a:2J
Pn{x) = 0.
Умножим эти соотношения соответственно на Р™(х) и Р%(х) и
вычтем из первого второе. Найдем
[(1 - z2)i[PZ(z)YP?(x) - [Р?(х)]'Р£(х)}\'
+ =-=#Pnfc(*)Pnm(*)sO.
+
1-х2
Проинтегрировав в пределах от ж = -1 до з; = 1, получим
1
/
рЦ(х)Р?(х)-^=0 при тфк.
1 — ХЛ
Тем самым доказана ортогональность присоединенных функций
Лежандра, у которых нижние индексы одинаковы, а верхние
различны, на интервале ] — 1,1[ с весом р(х) = 1/(1 — ж2).
2. Вычислим интеграл (20.14) при к = га. Обозначим
ic=yW(*)]9r
eta
или с учетом определения (20.1)
BZ = J(l-x2)m-1[P}r\x)]2dx.
-1
Один из полиномов Рп(х) преобразуем по формуле (20.3). Тогда
1
Вп = 7 777 С Д1 -*3Г"1р»т,(*)х
" (п + т + 1)(п - т) J v ' " v /
х[2(т + 1)хРАт+1'(а:) - (1 - х2)РГ^ (x)]dx =
1
= / .L 'l\i J f(l-^rPir](x)P^\x)dx-
(n + m+ 1)(п- га) l^y
-l
l
-2(m+l) Л1-Ж2)т-1хРг1т)(ж)Р,(гт+1)(:С)^1. (20.15)

20. Присоединенные функции Лежалдра
155
Перейдем в первом интеграле от полиномов Рп (х) к функциям
РДп(ж). В силу доказанной ортогональности присоединенных
функций Лежандра по верхнему индексу имеем
1
-1
1
= J Р?(Х)Р?+\Х)-^ = 0. (20.16)
-1
Второй интеграл в (20.15) проинтегрируем по частям, положив
[A=P<m»(x)P<m+1'(x),
dU = {[Pim+1) (х)]2 + P<m) (x)Pt+2) (x)}dx;
Тогда
dV = {l- z2)m-lxdx, V = —-(1 - x2Yn.
2ra
i
/"(1 - X2)m-1xP}T)(x)Pim+l)(x)dx :
= -2b(1-x2rP"m,(a;)P"m+1,(a:)
1
+
1
+^{/(i-*3n^m+,,(*)]a«fa +
-1
1
+ /"(1 - x2)mPt](x)P'm+2) (x)dx\.
-1
Внеинтегральное слагаемое равно нулю. С учетом (20.16)
последний интеграл также равен нулю. Тогда
1
|(1 - x2)m-lxPt)(x)P^+l)(x)dx =
2m J
(1 - x2)m[Pi"-Y1)(x)]2dx = —B™+1. (20.17)
2ra

156
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Здесь мы воспользовались определением коэффициентов В™.
Подставив (20.17) в (20.15), получим рекуррентное соотношение
в» = , ± т^\, тв™+1- (20Л8)
•m(n -f тп + 1)(га — т)
Применив полученное соотношение (п — т — 1) раз, имеем
m n(m + n)l n
n m(n-m)!(2n)! "'
Из определения коэффициентов jB™ запишем
i
K = J[PZ(x)fT
XA
1 1
= /a - xr-l[p,i"4x)fdX = («)2 |(i - *у-Мх.
Здесь мы воспользовались соотношением
(2п)!
2п?г!
которое следует из формулы Родрига для полиномов Лежандра. В
интеграле
1 1
/ = /(1 - x-)n~ldx = 2 /(1 - x2)n~l
dx
-1 о
2
сделаем замену переменных х" = t. Тогда
, [ л/2-, n ,r-i .. _ в /1 \ _ Г(1/2)Г(п) _
/ = у* (1-t) *-s(j.«J-r(n + 1/2)-
о
_ y^(n-l)! = 22г>!)2 _ 22"(п!)2
" (2;г - 1)!!л/т7/(2п) ~" n(2n - l)!!n!2» ~ п(2п)! '
откуда
в;,- = Ф£
п
и соответственно
(?г + т)!
m(n — гтг)!'
и теорема доказана.

20. Присоединенные функции Лежандра
15?
Пример 20.2. Показать, что система функций {Р2т (х): ш — 0>3°}
ортогональна с весом (1 — ж2)* на интервале ]0,1[.
Решение. Из (20.8) следует, что
1
/
P£(x)P?(x)dx = 0 при пфз
или
/
dk' , ч d
^~ * dx^Pn^dx~kPei<X>jdXZ=Q 14>ri П^5'
-l
В частности,
i
/
^~X^kdx^P2m^^P2l^dX = ° Щ>И Ш^1'
-1
Так как подынтегральная функция четна при любом fc, то
1
2\*
/<
d* , , dk
{l-xy—uP2m{x)-^P2i{x)dx = {) при m^J,
о
что и требовалось доказать.
Пример 20.3. Найти несколько первых членов ряда Фурье по
присоединенным функциям Лежандра второго порядка на интервале
] — !,![ для функции
/(*)=■{ 11при *>0*
при х < 0.
Решение. Так как O^fc^n, /г = 2, топ = 2, оо, т.е. суммирование
Ведется от п = 2:
f(x) = С2Р*(х) + CsP?(x) + ... + СпР2п{х) -f ...;
i
- 2n + 1 (n - 2)! / 2
-l
Здесь
P^) = (l-x2)^l.
Так как по условию f(x) - нечетная функция, а Р*(х) - чётная при
h = 2fe, то Oik = 0* fc = 1,оо. Вычислим Csjifc-j-i, А; = l,do* lib формуле

158
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
^.-^^./а-^см.
Имеем
С), = 25!2У( ^^ -rjdx=32;
О
*-¥?!•/<«-'£(?■■-?■•+?■)<■-
- U'3! /I
7! J 8
7!8
(63 • 20ж - 70 • 6х - 63 • 20ж - 70 • 6x*)dx =
/63-20 70-6 63-20 70-64 ,
}dx = 0;
V 4 2 6 4 У
^Т^1-*2)^*)^
О
Получили
А*) = ^рз (*) + •••- ~1<а:<1-
Теорема 20.4. Функция
является производящей функцией для присоединенных функций Ле-
жандра, т.е.
F(x,t) = Y^PZ+l{x)tl. (20.20)
/=о
Доказательство. Из (20.19) имеем
оо
(l-2xt+t2)-1/2=^Pn(x)tn.
п=0
Продифференцировав это равенство га раз по ж, получим
(2т - 1)!!Г(1 - 2xt + t2)-<2">+U/2 = £ ^"т(ж) tn.
n=rn

20. Присоединенные функции Лежандра
159
Умножив полученное соотношение на (1 — х2)™'2 и разделив на fcm,
приходим к равенству
(1 - х2)т/2(2т - 1)!!(1 - 2xt + ь2)~{2пг+1^2 =
п—т
Введем новый индекс суммирования I = п — т. Тогда
(l-ga)m'2(2m-l)!! yv _ 2 m/od^Pn+ijx) ,
(l-2s£-M2)(2w+1)/2 ^l j Жст
v ' 1=0
Но, согласно определению (20.1),
(i-»ar/adm^+;(g)=ffi»w-
Следовательно,
(1-Ж2)-/2(2т)! _ - /a
что и требовалось доказать.
Пример 20.4. Вычислить
1
j{\-x2){P'n{x)fdx.
о
Решение. В силу четности подынтегральной функции
1 1
J = j{\ - х2)[Р'п(х)?йх = \[(l- x2)[P'n{x)fdx.
0 -1
Проинтегрируем по частям, положив U = (1 — ж2)Р^(ж), dV
Pn(x)dx. Тогда V = Р„(х),
dU = A[(i _ ж^Р^х)]^ = -n(n + l)Pn{x)dx.
dx
Найдем
Если использовать присоединенные функции Лежандра, то

160
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
(i-*2)1/2(^El = PU*)
1 1
У (1 - x2)[P'n{x)fdx = I J[Pxn{x)fdx =
0 -1
- 2ll'nW|| - 2(n-l)!2n+l ~ 2n + l -
21. Сферические функции
♦ Функции
У„то(*. <р) = eim*P?(cos в)
(21.1)
называются сферическими функциями, или сферическими
гармониками первого рода (см. рис. 17 - 24).
Теорема 21.1. Функции Y™(6, <р) удовлетворяют уравнению
1 д
sin в дв
ЗУ
sm0 ——
\ дв
дв)
+
sin'
1 d2Y
''в dip2
+ п((п+1)У = 0. (21.2)
Доказательство. Подставим в (21.2) Y(0, (р) = etm(py(0).
Сократив на ехт{р, для функции у (в) получим уравнение
1 d ( . dj/\ / m2
——- — Sin 0 — + I «—
sin<9d0V dOJ V sin20
+ n(n+ l))y = 0. (21.3)
Сделаем в этом уравнении замену переменных cos# = х.
Тогда
dx
sin
d dx d
d6 d6 dx
Lfl = Vl-aj2,
d
-sin0-^- = \/l — я2
dx
Окончательно получим
d
dx
[е-*>Э
+
Г / ,ч ?n2 1
*)/») 1 1 )
\n(n | 1) ^^j
У -
(21.4)
Уравнение (21.4) — уравнение Лежандра порядка т.
Следовательно, функций у(х) = Р™(х) удовлетворяют уравнению

21. Сферические функции
161
Рис. 20

162
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Рис. 24

22. Полиномы Эрмита
163
(21.4), а функции (21.1) — уравнению (21.2). Таким образом,
теорема доказана.
Можно показать (см., например, [38], стр. 684), что
справедлива следующая теорема:
Теорема 21.2. Сферические функции V7Jn(^, <р) при любом <р
являются собственными для задачи Штурма-Лиувилля
1 д ( . ndY\ 1 d2Y ЛТГ А
sin в дв\ дв / sinz в dtp2
|У(0,у>)|<оо, У(0,у> + 2тг) = У(0,у>).
♦ Ограниченные решения уравнения (21.5), обладающие
непрерывными частными производными до второго порядка
включительно, называются сферическими функциями.
Теорема 21.3. Функции У™{0,ф) обладают свойством
ортогональности
2л- 7Г
J d<p J Y? (в, <р)У'(в, <p) sin в dd =
0 0
__ 47Г (n + m)\
2n + 1 (n - rn)\
Smlunk- (21.6)
Доказательство непосредственно следует из свойства
ортогональности присоединенных функций Лежандра Р™(х) (21.4),
если в них сделать замену переменных х = cos 0, и условия
2тг
* /V(m-')^ = 27T(Jm/.
о
22. Полиномы Эрмита
♦ Функция
#(М) = е2*'-'3 (22.1)
называется производящей функцией полиномов Эрмита.
Теорема 22.1. Коэффициенты разложения функции (22.1) в
ряд Тейлора по t
H(x,t) = JTlHn(x)t- (22.2)
«=о п!

164
.Глава 3. Классические ортогональные полиномы
являются полиномами степени п.
Полиномы Нп(х) называются полиномами Эрмита или
полиномами Чебышева-Эрмита.
Доказательство. Так как функция H(x,t) - аналитическая
по х и t, то
Нп(х)
dnH(x,t)
dtn
= —^ ф тт-<^, (22.3)
где 7 -~ произвольный замкнутый контур, содержащий точку
oj = 0. Но 2шх — и2 — х2 — (х — о>)2, поэтому
n! fe-^w)2
е* п\ Г e-l*-»> J
Нп(х) = ——- ф п—du>
Сделаем замену переменных ж—о; = z,u = — (z — x),du> = — с/г,
а контур 7 перейдет в произвольный контур % охватывающий
точку z = х. Тогда
ИЛИ
Нп(х) = (-D-e-'iL- _ i dz
dxn L27rz У z — x
Согласно интегральной формуле Коши,
2т J
z — х
-dz = е~
Таким образом,
dn
^W = HV-e-
dxn
(22.5)
откуда следует, что Нп(х) есть полиномы степени п.
♦ Соотношение (22.5) называется формулой Родрига для
полиномов Эрмита.

22, Полиномы Эрмита
165
Рис. 25
Пример 22.1. Получить явный вид полиномов Эрмита Яо(х),
#i(x), #2(ж) и показать, что
#я(-х) = (-1)"Яп(х). (22.6)
Решение. 1. Из формулы Родрига (22.5) имеем
Н2(х) = (-l)V3(e-*2)" = е*2(-2хе-х2)' =
= е*2(-2 + 4ж2)е-*2=4х2-2,
т.е. Н2{х) = 4х2 — 2. Аналогично находим, что #о(х) = 1,
#i(x) = 2х (см. рис. 25).
2. Поскольку #(—х, —t) = ff(x,t), то
п=0 п=0
что возможно лишь в том случае, если справедливо
соотношение (22.6).
Пример 22.2. Вычислить #п(0) при любом п.
Решение. Положив в разложении
е—' = £ i.Hn{x)tn
п=0
х = 0, получим
е-'а = Е>»(о)*п-
п=0

166
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
С другой стороны,
-2- t2k
1
fc=0
Тогда
Яак+1(0) = 0, рЯ21(0) = (-1)^, fc = 0,oo,
или
:(2fe)!
Я26(0) = (-1)*^, к = 0,оо.
Пример 22.3. Показать, что для полиномов Эрмита
справедливо следующее представление:
^W = E(-1)'(^ptW- (ад
Решение. Из определения имеем
оо -
п=0
С другой стороны,
оо - оо -
е2*<_'2 = Е ^ - *2)fe = Е /И2х - *)* =
fc=0 ' fe=0
оо - k
-E5rt*B-1),(2e)*"Vcls=
fc=0 J=0
оо fc
fe=0 /=0 v '
Введем новый индекс суммирования к + I = п, тогда к — I =
= п — 2/. Так как / = 0, fc, то п — 21 ^ 0, откуда / ^ [га/2].
Получим
оо [п/2]
Л=0 1=0 v '

22. Полиномы Эрмита
167
Тогда
1 [п/2] 1
-Я„(х)=Е(-1)'п7^ш(2а;)П-2'.
|=0 Щп-21)\
[я/2] „I
Теорема 22.2. Для полгшолсов Эрмитпа справедливы следующие
интегральные представления:
оо
H2k(x) = (-1)*22*+V* 4= / е~'2*2* cos 2s*cft,
о
оо
H2k+i(x) = (-1)^22А£+2ег'24= I e-t2t2k+lsm2xtdt, (22.8)
v * У
о
оо
Нп(х) = 2n+1e'a-^ /V'Vcos (^xt-^jdt.
о
Доказательство. В интеграле
оо
-I--'
cos2xtdt
о
разложим косинус в ряд Тейлора:
О П=0 п=0 О
Почленное интегрирование возможно, так как ряд равномерно
сходится на любом конечном отрезке [0, а]:
оо
f -<V-"a, (2n-i)l! r i—
/е t at = v „ ' v^7 n = l,oo.
J 2n+1
о
Тогда
J=^ . ff лЛ2*)2"(2п-1)!!^
2 ^Z-Л *' (2n)!2n 2 "
~2~

168
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Итак,
оо
cos 2tx dt.
(22.9)
Продифференцировав полученное соотношение 2k раз по параметру
ж, получим
d2ke~**
dx2k
-*/•-
_t2 d2k cos 2tx
dx2k
dt =
тогда
2
/ e~t2(2t)2k(-l)kcos2txdt,
о
j2* -x2
d2*e"
d:c2fe
(-1)"е-*"Я3*(я:),
■>2*+1
tf2*(z) = i-_-e*a(-l)* / е-'*(?к cos2txdt.
V7T
oo
Таким образом, первое соотношение в формуле (22.8) доказано.
Продифференцируем теперь соотношение (22.9) 2к + 1 раз.
Получим
H2k+l{x) =
(-l)fe22fc+V2
V^
^— e-t2t2k+l*
* J
sm.2xtdt.
Обе формулы можно объединить:
Я„(х) = 2п+,е"8-Ь= /V'Ycos Uxt - ™W
В самом деле, е2*" = cos 2a:t + г sin 2xt. Если n = 2fc, то
Я2*(х) = ^ 2"(-1)V
•А
оо
cos2ztt2,!di +
+ъ I е si
sin2:ctfc dfc
Поскольку второе слагаемое в квадратных скобках равно нулю, то

22. Полиномы Эрмита
169
H2k(x)= -^22fe+1(-l)VJ J e-t2t2kcos2xtdt.
V5F
При n = 2k + 1 получим формулу для #2*+1(я). Последнее
соотношение в (22.8) является непосредственным следствием двух первых.
Таким образом, теорема доказана.
Теорема 22.3. Для полиномов Эрмита справедливо следующее
интегральное представление:
оо
Нп(х) = ^= I (х + it)ne~t2dt. (22.10)
V* J
— оо
Доказательство. Рассмотрим интеграл, стоящий в правой части
(22.10):
оо оо
^L \ {x + it)ne-t2dt= ^= I (2х + 2it)ne-t2dt =
V* J V * J
— оо —оо
оо
— ОО
ОО
П л
= -j=YlCkn{2x)n-k(2i)k I tke-'*dt =
— оо
[n/2] ~
= -^^(-l)^(2x)n-2e22e / t28e-t2dt.
— оо
Здесь мы воспользовались тем, что
оо
t е dt = 0 при к = 2з + 1, s = 0, оо.
— оо
Заметим, что
оо оо оо
/ t2'e-'2dt = 2 ft2'e~t2dt= fe-uu'-l/2du =
-оо 0 0
1 2- v 22's!v

170
1 лава 3. Классические ортогональные полиномы
Тогда
9» 7 о [п/2] (19\1
А= У (х + й)пе"|аЛ = £ (-1)'(2*Г-а'<# ^f =
[п/2] f
Здесь мы воспользовались представлением (22.7). Таким образом,
теорема доказана. Продифференцировав равенство (22.10) по ж,
получим
оо
H'n(x) = K= [ n(x + it)n-1e-t2dt =
— оо
= 2п^- / (я; + й)п"1е~'аЛ=2пЯ„_1(я:),
— оо
т.е. Я/,(ж) = 2n#n-i(a:).
Теорема 22.4. Функции
H\(x,t) = е sin2a:t, H2(x,t) = е cos 2zfc
являются производящими функциями для нечетных Hok+i(x) и
четных #2*(я) по/школеов Эрмита. соответственно, т.е.
Я!(х,0 = е sin2xfc=2^(-l) (2А; + 1)!*
Я2(ж, i) = е'2 cos 2art = У^(-1)
(2/c + l)!
:H2k{x) 2k
(2k)\ *
(22.11)
Доказательство. Имеем
e cos2xi=-e (e -he ) =
L
= he-Vt)2 + 2x(it) +c-(.'t)2 + 2(-ar)ttj _
oo oo
»=0 n=0

22. Полиномы Эрмита
171
Аналогично установим справедливость второго равенства:
t2 • о , 1 t2/ 2rti -2a;t*\ 1 -(*t)2/ 2*** 2i—x)it\
e sm2xt = —e (e — e ) = —e v ; (e — e l ; )
= _Lfe2*(.-ft)-(»"0a _ 2(-x)(.C)-(*02] _
2tL J
2_
2t
J2 hHn(x)(it)n - J2 ±Hn(-x)(it)n
n=0 n=0
n = 0
oo
- 1 \"^ 1 IT ^\9,*2fc + 1f2fc+1 -
-2^2.(5^ТТ)!Я"+1(ж)2г ь -
n = 0
fc = 0 v '
что и требовалось доказать.
Пример 22,4. Вычислить интеграл
оо
J— / ехр(2жу — a2x2)Hn(x)dx, Re а2 > 0.
— оо
Решение. Воспользовавшись формулой (22.3), для J получим
оо
д11 Л I
J = -— / ехр(2ж?/ + 2ж£ — а2ж2 — t2)dx
otn J lt=o
— oo
С учетом значения интеграла
оо
/ ехр(2/3ж - a2x2)dx = ^—exp ^, Rea2 > 0, (22.12)
J a a2,
— oo
приведем J к виду
d*n a eXPl a2 Jlt=o*

172
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Введя переменную q:
aq = tya2 — 1
(условие t = 0 приводит к q = 0), для J получим
_ y/^{a2 - l)n/2ey2/a2 дп 2yq
уП + 1
( № 2\
q=0
Воспользовавшись снова соотношением (22.3), при условии
Re а2 > 0 окончательно найдем
со
J е2х5,-а2*2Hn{x)dx:
Л(«2-1)"/2^/а
уП + 1
'а'нп( /, )■ (22.13)
Пример 22.5. Показать, что полином Эрмита Нп(х) может
быть представлен в виде
Нп(х) = Ьп • 1, Ь = 2х-^-. (22.14)
Реицение. Из формулы Родрига (22.5) последовательным
преобразованием получаем
п раз
Ь = -е* — е~х =2х- -г,
аж аж
что эквивалентно формуле (22.14).
23. Рекуррентные соотношения
для полиномов Эрмита
Теорема 23.1. Справедливы соотношения
Hn+i(x) - 2хНп{х) + 2ntfn_i = 0, (23.1)
Н'п(х) = 2пНп_1(х). (23.2)

23. Рекуррентные соотношения для полиномов Эрмита 173
Доказательство. Формулу Родрига (22.5)
tfn(x) = (-l)"e*V*2)(n)
продифференцируем по х:
4-Hn{x) = {-l)n2xex2(e-x2)W - (-l)n+V2(e"*3)<n+1).
ax
Таким образом,
H'n(x) = 2xHn(x) - Hn+i(x). (23.3)
Рассмотрим теперь
Яя+1(х) = (-l)n+V2^^-(e-2) =.(-1)я2е*а(^-те-*а):
Поскольку
(^%e-2=2(-l)n[x(e-^2)(n)+n(e^2)(n-1)],
то получим
Нп+г(х) = 2xHn{x) - 2nHn_1{x), (23.4)
что эквивалентно (23.1). Вычтя (23.4) из (23.3), получим (23.2),
что и требовалось доказать.
Пример 23.1, Вычислить Н'п(0) для всех п.
Решение. Применим рекуррентную формулу
Н'п(х) = 2пЯ„_!(х).
Положим х = 0 и получим #4(0) = 2n#n_i(0). Отсюда
Я^(0) = 0, Н'2к+1(0) = 2(2к + l)#2fc(0),
и с учетом результатов предыдущего примера окончательно
получим
#2*+1(0) = (~1)к2^±^-, к = S735.

174
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Теорема 23.2. Полиномы Эрмита у = Нп(х)
удовлетворяют дифференциальному уравнению
у'^х) - 2ху'п(х) + 2пуп{х) = 0 (23.5)
или в самосопряженном виде
^«-^+*»-*<■>=••
Доказательство. Продифференцируем (23.2):
^ = -;.,«.
Выразив H'n_i(x) из (23.3), получим
d2Hn(x)
dx2
а записав из (23.2)
= 2n[2xHn-i(x) - Нп(х)],
Я„_1(х) = ^(х),
найдем
d2Hn(x)
dx2
= 2хН'п(х) -2пНп(х),
что и требовалось доказать.
♦ Уравнение
у" - 2ху' + Ху - О, х е] - оо, оо[, (23.6)
называется уравнением Эрмита.
Теорема 23.3. Полиномы Эрмита Нп(х) являются
решением задачи на собственные значения и собственные функции
(задачи Штурма-Лиувилля) уравнения (23.6) при условии
непрерывности и квадратичной интегрируемости на ] — оо,оо[
функций у(х, А) с весом р(х) — е~х~ и собственными
значениями А = 2п.

23. Рекуррентные соотношения для полиномов Эрмита 175
Доказательство. Запишем уравнение (23.6) в самосопряженной
форме
(е"х у')' + Ае"* у = 0, (23.7)
откуда и следует явный вид весовой функции р(х) = е~х .
Из условия квадратичной интегрируемости функций у (ж, Л) с
весом р(х) = е~х
I
е х y2(x,\)dx < оо
следует, что сама функция у (ж, Л) на бесконечности может
возрастать не быстрее, чем ех '2.
Непрерывное решение уравнения (23.6) ищем в виде степенного
ряда
оо оо
у(х) = ^С„*п = J2 [С» тяСм+ф". (23.8)
п=0 1=0
Подстановка (23.8) в (23.6) дает
оо оо оо
^2 п(п - l)Cnxn~2 - 2х ^ nCnxn~l + Л ^2 С»хП = °- (23-9)
п=0 п=0 п=0
Заменим в первом слагаемом (23.9) индекс суммирования п —)- п+2.
Тогда
оо
J2[(n + 2)(п + 1)Сп+2 - (2п - А)СП]*П = 0,
п=0
откуда следует
С- = (n+V+l)C- <МЛ0>
Формула (23.10) после задания Со и Ci полностью определяет
коэффициенты ряда (23.8), а тем самым и общее решение (если Со,
С\ — произвольные постоянные) уравнения (23.6). Это позволяет
исследовать его поведение при \х\ -> оо.
Понятно, что поведение ряда в этом случае определяется
коэффициентами при х с большими п. Из (23.10) для п^> 1 (как четных
п = 2Z, так и нечетных п = 21 + 1) имеем
поэтому ряд (23.8) при |ж| —> оо ведет себя как ех , т.е.
оо
^2 С"хП ~ е*\ \х\ "+ °°- (23.12)

176
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
В этом легко убедиться, выписав разложение для функции еах .
Действительно,
к=0
а" а*+1
а* = -, et+2 = —_
откуда или а а
^±1 ~ " А: > 1. (23.13)
ак к
Сравнив (23.13) с (23.11), убеждаемся в справедливости (23.12).
Таким образом, при произвольном значении Л ряд (23.8)
растет как е2х , т.е. быстрее чем ех '2. Этого можно избежать, если
оборвать ряд на n-ом слагаемом, положив в (23.10) Л = 2п и
одновременно С\ = 0 (если п четно) и Со = 0 (если п нечетно). Но тогда
уравнение (23.6) переходит в уравнение
у" - 2ху' + 2пу = 0,
решением которого с точностью до произвольной постоянной Сп
являются полиномы Эрмита, т.е.
у(ж, А) = уп(х) = СпНп(х),
образующие спектр собственных функций с собственными
значениями Л = 2п, что и требовалось доказать.
0 Естественное требование квадратичной интегрируемости
функции е~х '2у(х,Х) иногда заменяют более жестким условием:
|у(ж,Л)| должен возрастать не быстрее некоторой конечной степени
х при \х\ —>• оо.
24. Ортогональность полиномов Эрмита
Теорема 24.1. Для полиномов Эрмита справедливо
следующее условие ортогональности:
оо
J е~х* Hn(x)Hm{x)dx = 2"n!A<W (24.1)
— ОО
Доказательство. Пусть n ^ га. Рассмотрим интеграл
оо оо
J = J е-**Hn(x)Hm(x)dx = (-1)" J Hm(x)(e~x2)^dx.

24. Ортогональность полиномов Эрмита
177
Проинтегрируем по частям, положив
U = Hm(x), dU = H'm{x)dx, dV = (е-*а)<п><йс, V = (е"*2)*"-1)
Тогда
+
J=(-l)nHm(x)(e" У»-1)
оо
Поскольку lim Hm(x)e х — 0, то
|х|—ЮО
J =(-1)»+1 j H'm(x)(e-'y»-Vdx.
— оо
Проведя аналогичное интегрирование m — 1 раз, получим
оо
J = (_l)»+m /" H^)(x)(e-x')^n-m)dx.
— ОО
Учтем, что 2тга! в силу рекуррентного
соотношения H'm(x) = 2mifm_i(aj) и условия #о(я) = 1. Тогда
оо
J = (-l)"+mm!2m f {e-x2)^-m^>dx =
— ОО
f (e-*J)(n-m+l)|°° _0 n>m
I v ' I— oo '
oo
/ e_ar dx = y/n,
■oo
= n!2n0FJnm.
= (-l)n+™m\2m {
n — m
Окончательно получим
J = n\2n \/тг8ПГП1
что и требовалось доказать.
Можно показать (см., например, [28], что справедлива
следующая теорема:

178
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Теорема 24.2. Если функция /(ж) удовлетворяет условиям
Дирихле на любом конечном интервале и квадратично
интегрируема на интервале ] — оо, оо[ с весом е~х , то ее можно
разложить в ряд по полиномам Эрмита
оо
/(х) = £С„Я„(х) (24.2)
п=0
с коэффициентами
оо
Сп = ~jjh& I f{x)e~x>HnWdx> (24-3)
— оо
причем ряд (24.2) сходится к функции
Г(*) = |[/(* + о) + /(*-о)].
Ряд (24.2) называется рядом Фурье-Эрмита.
Пример 24.1. Разложить функцию
/w-{ i £
в ряд по полиномам Эрмита.
< а,
Решение. Очевидно, что условия разложимости функции в
ряд Фурье по полиномам Эрмита выполнены.
Так как функция f(x) четная, то разложение имеет вид
оо
/(aO = £C2»#2»(*),
п=0
где
а
C*n = r-»(2n)\V*Je~X'H2n{x)dX-
— а
Воспользуемся соотношением
— [е~* Я*-1(*)] = -в'* tffc(z), к = 1,оо.

24. Ортогональность полиномов Эрмита
179
Тогда
a
2e~a
=#2n-i(a), n = l,oo.
22"(2n)!v9
Коэффициент Co найдем непосредственно
a a
I f _ 2 2 f _ 2
Co = —7= / e_:F Ho(x)dx = —= / e_:F dx — erf a,
-a 0
где erf x - функция ошибок (см. разд. «Интеграл ошибок»
части I). Итак,
*, \ г 2 -a2 V^ H2n-i{a) rj . ч
v Tl = l v '
Пример 24.2. Разложить в ряд по полиномам Эрмита
функцию
{—1 при х < О,
О при х — О,
1 при ж > 0.
Решение. Функция у = sign х нечетная, следовательно, Соп —
0, п = 0, ос. Разложение имеет вид
оо
sign ж = ^C2n+i#2n+i(z).
п=0
Вычислим коэффициенты ряда. Имеем
С2п + 1 -
о
Воспользуемся соотношением
оо
3n(2n+l)!^/e~*2jf2n+l(*)da:-
e-x^2n+1(x) = -А[е-*'Яз„(я!)].
ax

180
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Тогда
Итак,
sifirn
Г\ . — Г~Х* Нл (т)
с,„+1- 22n(2n+i).^Fc H*»W
oo
0
= (-l)n
v ; (2n + l)22"n!v^F
8=lff-n» H2n+1(x)
О < X < oo.
V»4i (2n + l)22"n!'
n=0
Пример 24.3. Разложить функцию f(x) — ex в ряд по
полиномам Эрмита.
Решение. Достаточные условия разложимости функции f(x)
в ряд по полиномам Эрмита выполнены. Действительно,
функция f(x) и ее производная непрерывны на любом конечном от-
резке и интеграл f е~х f2(x)dx имеет конечное значение:
— оо
оо оо
/ e-x'f2(x)dx = е f e-'x-1)2(fx = еу/к.
— оо —оо
Тогда
оо
ЯЖ) = XI спНп{х), -СО < Х < ОО,
п=0
где
оо
g"= ни п2 / e~x2e*Hn(x)dx, n = 075S.
||л„|| J
— 00
Проинтегрировав по частям с учетом соотношения
d
. -[е~х Hn.i{x)] = -е~' Нп(х),
ах
находим
оо
/ е-'1'ехHn(x)dz

24. Ортогональность полиномов Эрмита
181
со
= -ехе~х tfn_i(z) 4- / ехе~х tfn_i(z)cte.
1-оо ,/
— сю
Внеинтегральное слагаемое равно нулю. В самом деле,
lim e*-'tfn-i(*) = е1'4 lim ^rw = 0.
ar-юо а?-юо е^-1/2)
Применив п — 1 раз интегрирование по частям, придем к
равенству
со
Сп = 2^А / <-''**<>№ =
— со
= -!—,= e^x-W2dx=e
2nn\yft J
Итак,
2nn!
^^^уВД -оо<х<оо.
п=0
О Разложение f(x) = ех в ряд по полиномам Эрмита можно
получить искусственным приемом, используя производящую
функцию.
Пример 24.4. Найти разложение функций f(x) = eax, (р(х) =
shax, д(х) — сЬаж в ряд по полиномам Эрмита.
Решение. В равенстве
e2.rz-z2
положим z — а/2, тогда
п=0
п=0
В частности,
£-> 2пп!
°° #„(*)
71=0

182 Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Из последнего соотношения легко получить разложения
гиперболических функций
2 °° a2n
n=0 ^ ''
shax = e<* /4 £ 22п+1(2п+1)!Я2"+1(а:)-
n=0 v y
Пример 24.5. Показать, что
oo
/ x2e-x2Hl(x)dx = v^2nn!(n + 1/2).
— OO
Решение. Воспользуемся рекуррентной формулой
tfn+i(z) - 2xHn(x) + 2n#n_i(z) = 0.
Тогда
oo
Jx2e-**H2n(x)dx = \\\Hn+1\\2 + n2\\Hn^\\2 = 2"n!y^^.
— OO
Пример 24.6. Вычислить
oo
J e~x2xmHn{x)dx
— oo
для любых натуральных чисел тип.
Решение. Если О^т^п— 1, то
оо
/ е-* xmHn(x)dx = О,
— оо
так как полином из ортогональной системы ортогонален любому
полиному меньшей степени.
При га J> п используем равенство
А[е-*2Яп(г)] = -е-*2Яп+1(х)

24. Ортогональность полиномов Эрмита
183
и выполним интегрирование по частям. Тогда
оо оо
А? = fe-x\mHn(x)dx = - [xm-^\e-x*Hn-i{x)]dx =
— ОО —ОО
ОО
-хте-*2#„_!(*)Г + m I\-х"х™-1 Hn-i(x)dx = mA™^.
— оо
Если га = п, то
К = riA^Zl = n(n - l)AZZl = ... = n(n - 1) • • • lAl
ОО
A% = I e~x dx = у/тс.
— оо
Если m > П, TO An = ™>A™-1 = m(m ~ 1)-An-22 = ••
= m(m - 1) • • • [m - (n - l)]^"n, где
оо
f 0 при го — n = 2fc + 1, fc = 0, оо;
:/«-■
xm ndx при га — п = 2fc, fc = 0, оо.
Вычислим J е~х xm~ndx при т — n = 2fc, А; = 0,1,... Положим
о
х2 = fc, dx = \t~l'2dtH. получим
г|-1)/ал =
fe-x2xm-ndx=± fe-tt{m-n-1
о о
- lrfra-n+l\ _ l(ra-n-l)!! ^
~ 2 V 2 У ~~ 2 2(т-")/2 **'
Тогда
оо
fe-'2xmHn
(x)dx =
m\y/w
2(m-n)/2(m_n)H/
В итоге имеем

184
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
оо
/ е~х х™Hn(x)dx =
О
О
ТП\у/тТ
При 771 < П,
при m = п,
При 771 > П, 771 — п = 2k — 1, (24.4)
-7 Г7^7 777 При 771 > П, 771 — П = 2fc,
I 2(m-")/2(m-n)!! '
где /с =0,оо.
Пример 24.7. Разложить функцию /(ж) = х2гп (тп = О, оо) в ряд
Фурье по полиномам Эрмита.
Решение. Условия разложимости выполнены: функция f(x) = x2rn
— гладкая на любом конечном отрезке оси Oz,
/ е ж аж = < 22т
«/ ^ ^/тт при
При 771 = 1,оо,
771 = 0.
Тогда
/] C2nH2n(x), -оо < X < оо,
п = 0
оо
Коэффициенты Сэп = 0 при п > т. Вычислим Cin при п = 0,2771.
Воспользовавшись соотношением (24.4), имеем
! Г V^ (2m)!
r> х J —- -—"^ „ ч„ при m > п,
С2" = 2-(2n)!0F i 2—(m-2n)!!
V утг(2п)! Щ>и тд = n
~™ Г (2m)! -
7^ / \ш,~ ч. При 71 = 0,771—1,
2^7 при n = m.
Итак,
С2п =
(2m)!
Получили разложение
2т (2т)
ГС =
22т(т-п)!(2п)Г
Я2„(х)
Е
22т ^ (m-n)!(2n)f
n=0 V / v /
71 = 0,771.
— ОО < X < оо.

24. Ортогональность полиномов Эрмита
185
Пример 24.8. Найти разложение функции f(x) = е ° х в ряд по
полиномам Эрмита.
Решение. Имеем
оо
е-"2*2 = ^2 СпНп{х), -оо < х < оо.
п=0
В силу четности функции коэффициенты Сг*+1 =0. Найдем
оо
0
Воспользуемся интегральным представлением (22.8) для функции
#2*(ж). Тогда
оо оо
С2л = ,-' „ ,|9 е 1 т ' е di е t cos2zfcefc =
о о
= i-"l!!2!!|V [e-'*t2kdt [e-a*x\oS2xtdx.
Применив формулу
в"'2
вычислим внутренний и
0
оо
0
нтеграл
0
t2
cos2xtdt.
оо оо
/* е-°^2 cos 2xtdx = I / е-<а*>2 cos (2*t £) d(a*) = i £.e-''"'.
0 0
Тогда
v/5r(2fc)!a у
о
Сделаем замену переменных (1+ ~V)^2 = £• Получим
оо
2(-1)* Г . **М J- 1 ln2\ll2
С2к =
А(2/с)
о
к)!аУ (l + l/a2)^^^/2 S

186
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
= til 7е*?-*»,* =
лА:(2А:)!а(Ц-1/а2)^+1/2 J * Ч
о
(-l)T(fc + l/2) (-l)*a2*
V7F(2fc)!a(l + 1/a)**1/2 (1 + a2)fc+1/222fcfc!'
Итак,
ww 2fc rr /
n2*2 _ V"V i\fe a Д2*;(Ж
(l + a2)fe+1/222fcfc!'
" ZJ"1) (l + a2)*+*/222*fcf (24*5)
В разложении функции f(x) = e a x~ (24.5) положим a = 1 и
проинтегрируем полученное равенство в пределах от 0 до х. Найдем
Отсюда
*=о
_1,i_J^Hi(i)_
erfZ" V2^^( h (2fc + l)k!2»'
fc=0
т.е. получено разложение интеграла вероятности.
25. Функции Эрмита
В приложениях часто применяются функции Эрмита.
♦ Функция вида
и«(ж) = hit / м|л/М^УЯп(ж), п = 07^ (25.1)
называется функцией Эрмита (см. рис. 26). Здесь ||#п||2 =
2nn!V7r, р(х) =е-*\
Утверждение 25.1. Функции Эрмита ип(х) ортонормиро-
ваны на интервале ] — оо, оо[ с весом р(х) ■=■ 1, т.е.
со
/
un(x)Um{x)dx = Snm. (25.2)

25. Функции Эрмита 187
Рис. 26
Рассмотрим
оо
/ un(x)um(x)dx =
— оо
оо
= l fe~*^Hm(x)e-*2/*Hn(x)dx =
V2n+mn\m\ir J
00
_ 2"n!y5T<Snm _ t
\/2n+mn!m!
что и доказывает утверждение.
Теорема 25.1. Функции Эрмита у = ип(х) являются
собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля
у" + (А - z2)t/ = 0, lim у(х) = О, (25.3)
|аг|->оо
соответствующими собственным значениям А = 2п + 1 tz
нормировочному условию \\у(х)\\ = 1.
Доказательство. Сделаем в уравнении замену
у(х) = е"*а?"/22(ж).
Тогда для функции z(х) получим задачу Штурма-Лиувилля
для полиномов Эрмита (см. теорему 23.3). С учетом формул
(25.1) и (25.2) теорема доказана.
Пример 25.1. Найти суммы рядов

188
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
а) cru(x,y,z) = }]un(x)un(y)zn.
n=0
оо
б) v„(x,y,z) = Y, ^Hn{x)Hn(y)zn.
n=0
Решение. Из определения функции Эрмита (25.1) следует, что
функции oru(x,y,z) и &н(х,у, z) связаны соотношением
1 / х2 + у2 \
<ru(x,y,z) = —р=ехр( - )crH{x,y,z). (25.4)
а) Воспользуемся представлением (22.10) для полиномов
Эрмита Нп(х) и получим
. 1 / х2+у2\ А 7 [(x + it)z)nHn(y) _,»
<ju(x,y,z) = -^exP( 2-J2-/ Ы С Л-
"=°-оо
Поменяем порядок суммирования и интегрирования:
. 1 / Х2+У2\ 7 _,» ^ [(»,+ it)2]"ff0(y)
V -co
Проведя теперь суммирование с помощью (22.2), найдем
1 7 [-£^i+2yz(x+,t)-z2(x+,4)2-t2]
au(x,y,z) = -j= I dtel J =
— oo
7 [_(l + z2)x2+2yz + 2,tz(y_X2)_(1_z2)t2_idl
= / dt e L -I .
Вычислив интеграл от гауссовой экспоненты с учетом формулы
(22.12), для \z\ < 1 окончательно получим
оо
<ru(x,y,z) = 2ju„(a;)u„(y)zn =
- * exp [5kzli±i!H^±^i 1 (25 5)
б) Из соотношения (25.4) следует, что

25. Функции Эрмита
189
оо
п=0
Формула (25.6) называется формулой Меллера.
Пример 25.2. Показать, что функции Эрмита в классе
квадратично интегрируемых непрерывных функций удовлетворяют
условию полноты (2.9);
оо
^un(x)un(y) = 6(x-y). (25.7)
Решение. Найдем сумму ряда (25.7) методом Абеля. Для этого
рассмотрим вспомогательный ряд (25.5) при \z\ < 1. В этом случае
сумма исходного ряда находится как обобщенный предел от (25.5)
при z —> 1 — 0, а соотношение (25.7) будет доказано, если мы
покажем, что
lim <ju(x,y1z) = S(x — у). (25.8)
Z-+1— о
Пусть <р(х) - квадратично интегрируемая непрерывная (кусочно
непрерывная) функция. Тогда интеграл
со
J = / au(x,y,z)(p(x)dx, \z\ < lj
— оо
существует. Подставив au(x,y,z) из (25.5) и проведя замену
переменных 0
ял- -Л ~^ • 2yZ
?-= y/l - z2t +
1+22
получим
7 1
J = —= exp
л/тг
2\„.2
(i-^)y;
X
2
2(1 + *
оо
х J <р(^7ч + J^ij) exp(-!±^)«ft. (25.9)
— ОО
Устремив здесь z -> 1 — 0, получим J = va(y), что доказывает
соотношение (25.7).
В частности, из (25.9) при ср(х) = 1 с учетом (22.12) имеем
/ "-е.**)* = Уп^Ч~жйт ]• (25Л0)

190
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Пример 25.3. Найти трехчленную рекуррентную формулу
для функций Эрмита и выразить производную от функций Эр-
мита через эти функции.
Решение. Из формулы (25.1) имеем
Hn{x) = {2nn\^)^2ex^2Un(x). (25.11)
Подставив это выражение в (23.1), получим трехчленную
рекуррентную формулу
77» ~\~ 1 171
—— un+i(x) - xun(x) + W-tin_i(x) = 0. (25.12)
Соответственно из (23.2) с учетом (25.12) получим
u'n(x) = y/2nun-i(x) - xun(x) =
= xun(x) - y/2(n+ 1)цп+1(ж) =
/n In + 1
-Un-i(a;) - J—^-un+1{x). (25.13)
Первые два соотношения из (25.13) можно записать в виде
aun(x) = л/пип-х(х)) a+un(x) = \Jn + lun+i(x), (25.14)
где операторы а и а+ имеют вид
и называются операторами «уничтожения» и «рождения». Из
(25.14) вытекает, что
tin(ж) = -^==(a+)nu0(z), a+aun(x) = гшп(ж), ^ lg
aa+un(x) = (n + l)un(x),
т.е. все функции un(x) «порождаются» функцией uq(x) при
последовательном действии на нее оператором «рождения» а+
и являются собственными функциями операторов d+a и aa+.
Операторы а и а+ удовлетворяют перестановочным
соотношениям
aa+ -a+a = 1, (25.17)
что проверяется непосредственно с учетом (25.15).

26. Линейный гармонический осциллятор
191
26. Линейный гармонический осциллятор
Задача о гармоническом осцилляторе имеет
принципиальное значение для теоретической физики. Часто при изучении
сложной системы оказывается возможным представить ее
совокупностью гармонических осцилляторов, по крайней мере в
некотором приближении. Задача о гармоническом
осцилляторе сыграла большую роль, в частности, при создании метода
вторичного квантования в квантовой теории поля и т.д.
Рассмотрим квантовую систему с гамильтонианом
и задачу о нахождении допустимых энергий системы Е и
соответствующих им волновых функций Фя(ж), которые
определяются стационарным уравнением Шрёдингера
ПЪЕ = ЕЪе (26.2)
(см. также разд. «Уравнения квантовой механики» части IV).
Квадрат модуля волновой функции |Ф^(ж)|2 с физической
точки зрения можно интерпретировать как плотность
вероятности обнаружить частицу в точке ж. Поэтому волновая
функция \£.б(ж) должна стремиться к нулю при неограниченном
возрастании ж.
Подставив (26.1) в (26.2), получим задачу Штурма-Лиу-
вилля
Л2 с12Ъ кх2
"w? +-* = **' <2">
lim |Фе(ж)| = 0.
|аг"|-юо
Сделав в уравнении замену переменных х = a?ot, где
h с, к
получим
хо =
V rrujQ w га
«РФ , (2mxlE kmxt 2\
Обозначив Л = 2Е/(Ншо), получим задачу Штурма-Лиувилля
для функций Эрмита (25.3). Следовательно,
А„=2п+1, «»(*)»=«„(*).

192
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Возвратившись к исходным переменным, получим
Д» = Йа;о(п+-), (26.4)
Наличие множителя 1/д/жо следует из условия ортонормиро-
ванности.
Пример 26.1. Вероятность перехода между двумя
состояниями гармонического осциллятора, которые характеризуются
квантовыми числами тип, определяется интегралом
оо
/
хе х Hn{x)Hm(x)dx.
Доказать, что этот интеграл равен
^■^„.j + v^2n(n + l)Wm
т.е. такой переход возможен только между соседними
энергетическими уровнями га = n ± 1.
Решение. Из рекуррентной формулы
tf„+i(x) - 2xHn{x) + 2ntfn_i(z) = О
выразим хНп(х) и внесем под знак интеграла. Получим
оо
е~** (-Я„+1(х) + nHn-1(x))Hm(x)dx =
ОО оо
= ^JHn+1(x)Hm(x)e-x2dx + n JHn-i(x)Hm(x)e-*2dx =
ОО —оо
= 2n(n + l)\y/*6m,n+1 + n2n-1{n - l)!V5r*m,n-i.

27. Полиномы Лагерра
193
27. Полиномы Лагерра
Определим полиномы Лагерра с помощью производящей
функции.
4 Функция
1а{х^=(1-\)о+ге"*,11~^ а>_1' (27Л)
называется производящей функцией полиномов Лагерра
индекса а.
Теорема 27.1. Коэффициенты разложения функции La(x,t)
в ряд Тейлора по степеням t
L«(M) = f>°(*)<". (27.2)
n=0
являются полиномами порядка п. Полиномы Щ(х)
называются (обобщенными) полиномами Лагерра индекса а (см, рис.
27-29).
Доказательство. Функция La(x, t) аналитична в области \t\ <
< 1. Поэтому, согласно интегральной формуле Коши (1.14.7),
та. . ldnLa(x,t)\ 1 1Ьа{х,ш)^
1
где 7 ~ произвольный кусочно гладкий замкнутый контур,
охватывающий точку ш — 0. Сделаем в интеграле замену
1 х
ш = 1 .
Z
Тогда
, х х xw z — х z
ом — —dz, 1 — а; = —, —х = z — ж,
zz z 1 — ш z х
и получим
za+l
Поскольку
-n-1 _ z
(z-x)"*1'

194
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Рис. 29.
то
«м = !¥/
zn+ae-z
(z-x)"*1
dz,
(27.3)
где 7 — контур, охватывающий точку z = ж, или
x~Qex dn
W*) =
i\ dx
1 1 Г zn+ae
n 2ivi J z - ;
-dz.

27. Полиномы Лагерра
195
Из интеграла Коши (1.12.1) получим
n+afi-z
-i
2т J
z — х
i
Следовательно,
что и требовалось доказать.
О Полиномы Лагерра нулевого индекса L®(x) часто
обозначаются через Ln(x).
♦ Формула (27.4) называется формулой Родрига для
полиномов Лагерра.
Пример 27.1. Найти явный вид полиномов Лагерра Ь% (х) и
Щ(х) для любых a > — 1.
Решение. По формуле Родрига (27.4) находим
L%(x) = x-Qe*{xae-x) = 1,
L°(x) = x-aex{x1+ae-x)' ;=
= x-Qe*[(l + a)xae'x - xl+ae~x] = l + a-x.
Следовательно, Щ(х) = 1, L*(x) = 1 + a — x.
Пример 27.2. Показать, что для полиномов Лагерра
справедливо следующее представление:
ХаЫ-у- (-1)Т(п + а + 1) к
fc=0 Ч / V /
Решение. В соотношении (27.4) выполним
дифференцирование по формуле Лейбница. Найдем
fc=0
n
= £ C*{-l)ke—{a + n)(a + n - 1) • • • (a + к + l)xa+k.
k=0

196
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Тогда
га/,л _ V" (а + n)(Q + п - 1) - - ■ (а + fe + 1) / *
ho Щп-к)\ [ Х) '
и, умножив числитель и знаменатель на Г (а + к + 1), с учетом
основного функционального соотношения для гамма-функции
получим
A r(n + g + l)(-s)*
что и требовалось показать.
Пример 27.3. С помощью представления (27.5) получить явный
вид производящей функции для полиномов Лагерра
оо
LQ(x,z) = ^2b^(x)zn. (27.6)
п=0
Решение. Использовав представление (27.5) и поменяв порядок
суммирования, получим
La,x 2) = ff *"(-»ГГ(п + «+1) =
^ ' ; Z^Z^ Г(п-т+1)Г(т + а + 1)Г(т + 1)
п=0 т = 0
^ул(-^)ту, Г(п + т + а+1)*" .
Z-^ m\ 2^i T(n + 1)Г(т + a + 1)' l "'
m=0 n=0
Если воспользоваться известным соотношением
^ 2) -2^ „!Г(р) '
П = 0
можно вычислить внутреннюю сумму в (27.7):
у^ Г(п + ш + а + 1) (го+а+1)
п = 0
и записать производящую функцию
*"<*•*> = <*-*>-'-" Х^-пЬГ^1
г)-1-ае«/(,-1)>
т = 0
Итак, окончательно

27. Полиномы Лагерра
197
J2L?r(x)zn = (1- 2)"1-aexp(-^I), \z\ < 1, (27.9)
r» = 0
что можно записать, пользуясь формулой (35.2), в виде
оо /
Y- /Г(а + п + 1) т
п=0
= X
Г(п+1)
^(l-Z)-1-°exp(i±j|). (27.10)
Пример 27.4. Вычислить сумму
оо
Ра(х,г) = ^£Гп(*)гп. (27.11)
п = 0
Решение. Аналогично примеру 27.3
^n f а ^ (-х)
n = 0 т = 0
(-**)
п = 0
оо п
т
оо . . т оо
Здесь коэффициент при zn - биномиальный коэффициент (см. разд.
«Биномиальные коэффициенты» части I). Использовав известное
разложение
(1+-)в = Е(")ж"' |г|<1-
учим
E^'WU+ *)"«"" N<1. (27-12)
п=0
но выражению
^v^vTl) ч/rvTI) PV v 2;
n=0
окончательно получим
n=0
что эквивалентно выражению
13)
ГДе \z\~ < Ы
Теорема 27.2. Справедливо следующее интегральное
представление:
-1
где a > —1/2, Hon(z) - полиномы Эрмита.

198
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Доказательство. Воспользуемся представлением (22.7) для
полиномов Эрмита
'-<■>-±<-1''(Я%в<*'>-"'-
Тогда
1
f(l-t2)a-1/2H2n(tV^)dt =
-1
1
Но при а 4- 1/2 > 0 или а > -1/2
1 1
/(1 - t2)a-1/2t2"-2fcdt = 2 /(1 - t2)a-1/2i2"-2fcdi =
1
f(l-u)a-1/2u"-k-l/2du =
Правая часть искомой формулы равна
_ (-l)T(n + q + l)
1 j~ ^(2п)!Г(а + 1/2)
v fc (2n)!22"-2T(n - fc + 1/2)Г(а + 1/2) n_fc =
XZ^ L) (2n-2k)\k\r(n-k + a + l) X
k = 0
T(n + a + 1) y^ 22n"2fer(n - fc + 1/2)
fc!(2n-2fc)!r(n-fc + a + l)1 ;
fc = 0
Использовав соотношение
0F Z^ fc!(2n - 2fc)!I\r
Г(*)Г(* + 1/2) = ^Г(2*)
и положив в нем z = n — k + 1/2, получим
Г(п - к + 1/2)Г(п -* + !) = ^5*Г(2п - 2* + 1)

27. Полиномы Лагерра
199
22n-2fer(n -fc + l/2)
(2п-2к)\^ Г(п-А; + 1)'
Таким образом,
^ Г(п + а+ !)(-«)"-*
v ' Z^ Щп-к)\Т(п-к + а + 1)
или, положив п — к = 8 и применив представление (27.5) для L£(:c),
найдем
_ у- Г(п + а+ !)(-»)' _ 0
1(х> ~ 2^ („ - ,)!,!Г(* + а + 1) _ ^п(Х''
д = 0
что и требовалось доказать.
Теорема 27.3. Имеет место следующее интегральное
представление:
оо
L%(x) = ±-exx-Q/2 f tn+Ql2Ja(2Vxl)dt, x > О, (27.15)
n! J
о
где JQ(q) - функция Бесселя первого рода порядка а, а > —1.
Доказательство. 1. Рассмотрим интеграл
оо
1 = I\v^)n+aJn+a(2Vxt)e-'dt.
о
Воспользовавшись разложением (3.6) и определением
гамма-функции (см. разд. «Гамма-функция» части I), получим
оо
'-2^!Г(А; + п + а + 1) /1VXt) 6 *'"
fe=° о
Z^ *!Г(* + п + а + 1) /
А + п+а
п+а —х
= X е
*=0
Таким образом,
оо
C"+Qe-* = /"(v^t)'>+QJn+a(24/^)e-'dt. (27.16)

200
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
2. Из определения функции Бесселя (3.6) следует, что
Продифференцируем обе части соотношения (27.17) по и:
fc=0 v '
Таким образом, получим соотношение
(и"/3Л(2^5))' = и("-1,/аЛ-1(2^?1). (27.18)
3. Продифференцируем (27.16) по ж. С учетом (27.18) получим
оо
(я;п+ае—)' = Л(^)п+а"1Л+а_1(2л/^)е-1^.
о
Повторив эту операцию п раз, найдем
оо
(xn+ae-I)(n) = j(^t)aJa{2y/^i)tne-tdt.
о
С учетом формулы Родрига (27.4) теорема доказана.
Следствие. Полиномы Лагерра связаны с полиномами Эрмита
соотношениями
H2n{x) = (-l)n22nL-1/2(x2), (27.19)
#2„+i(z) = (-1)п22"+1^:/2(*2). (27.20)
Доказательство. Согласно (5.15),
«J-i/2 (я) = А/—cos ж, Ji/2 (я) = у—sin ж. (27.21)
Подставив (27.21) в (27.15), получим
оо
L,71/2(*) = ieV/4 [tn-1/\l^^cos(2>/xl)e-tdt =
n- J \ 2ny/xt
0
оо
= 44= ( e~u\2n cos(2uy/x)dn.
nlv/тг J

28. Рекуррентные соотношения для полиномов Лагерра 201
С учетом (22.8) соотношение (27.19) доказано. Доказательство
соотношения (27.20) аналогично.
28. Рекуррентные соотношения
для полиномов Лагерра
Теорема 28.1. Справедливо следующее рекуррентное
соотношение:
nL°-\x) = (п + а - \)LT_\{x) - xLan_x{x). (28.1)
Доказательство. По определению.
га-1/т\ _ -1 _Л__ \„п+а-1 -хл _
п\ xa~l dx
dx
= Ле*я.1-°г " ^[_е-^п+а"1 + (п + а - 1)жп+а-2е-х] =
n! dxn~11
= -l-e*X1-Q[e-xZn+Q-1](n-V + П + а " ! [е-^я~+а-2](п-1) =
п! тг!
жга /„ч , П + а-1 а_!
= --Ьп-Лх) + £п-1(Ж)>
п п
что и требовалось доказать.
Теорема 28.2. Справедливо рекуррентное соотношение
L°n+1{x) = Lant\(x) + L°{x). (28.2)
Доказательство. Рассмотрим
К+1(х) = ^-ехх-°-1[е-ххп+а+1]{п) =
п!
= lexx-Q-1{x[e-xxn+0]<n> + n[e-xxn+a](n-1)} =
п!
= —ехх-а-1+1[е-*хп+а]^ +
п!
+ (п - n,e,»"a"1[e">»,'"1+a+1](w"1) =
= L-(x) + ^l(x),
что и требовалось доказать.

202
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Следствие 28.2.1. Справедливо рекуррентное соотношение
(п4-1)^+1(Ж)-(2п+1+а-Ж)^(ж)+(п+а)^_1(ж) = 0. (28.3)
Доказательство. Заменим в (28.2) а на, ot— 1, тогда получим
ЬГ1 = Lan{x) - Ll.^x). (28.4)
Заменим в (28.1) п на п + 1. Тогда
(n + l)i°;J(x) = (n + a)L^l(x) - xL${x)
или с учетом (28.4)
(п•+ l)[L£+1(s) - Х°(*)] = (п + «)[££(*) - I^*)] - xL«{x)
ИЛИ
(п + ВД+1(х) - (2п + 1 + а - x)Lan{x) + (п + а)^-^*) = 0,
что и требовалось доказать.
Следствие 28.2.2. Справедливо рекуррентное соотношение
£«(«) = -^Ц(х) = 2LS(«) " £Ц^2-х(*)- (28-5)
Доказательство. Продифференцируем соотношение (27.4) по
х и получим
ах ах n! %
= 1егх-а[е-хха+"](п> - ^е*х-в-1[в_*га+я](п) -
п! п\
-1е*а-а[е-*ха+я]<п) + ?±^евж-в[е-*я?в+п-1]^>.
п! п!
С учетом (27.4) найдем
^),-^:(,) + !l±fLiri(e).
Подставим сюда (28.4). Тогда

28. Рекуррентные соотношения для полиномов Лагерра 203
Таким образом, правая часть соотношения (28.5) доказана.
Положим в (28.1) а = а+1и получим
nLan(x) = (n + a)LS-i(«) - *К±\(х).
С помощью полученного соотношения исключим nL%(x) из
правой части соотношения (28.5). Тогда
dL$(z) = 1
dx х
(n + a)!».^*) - xLan±\(x)] - Ц^Ь^х)
что и требовалось доказать.
Теорема 28.3. Полиномы Лагерра у = L%(x)
удовлетворяют дифференциальному уравнению
ху" + (а +1 - ж)з/ + П2/ = 0. (28.6)
Доказательство. Пусть U(x) — xn+Qe~x. Тогда
U'(x) = (п + а)^^"^-^ - хп+ае-т
или
ж£/'(ж) + (ж - п - а)С/(ж) = 0.
Продифференцируем это соотношение п + 1 раз по ж. С
помощью формулы Лейбница
fc=0 ^ ;*
получим
x[U^(x)]" + (ж + 1 - a)[UW(z)]' + (n + 1)*7(п)(*) = 0. (28.7)
Сделаем в полученном уравнении замену [Яп) = п\хае~ху. С
учетом соотношений
[U<*4x)]' = п\хае-х{^^у + у'};
{[/<«>(*)]" = n!x°e-{[^fil - £ + l]„ +

204
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
из (28.7), разделив на общий множитель n\xae х, получим
•{[^-т+'МН'+Ф
+(» + 1 - а){-—-i/ + У'} + (п + 1)2/ = 0.
Приведя подобные, получим утверждение теоремы.
Пример 28.1. Используя рекуррентные соотношения для
полиномов JIareppa, доказать справедливость формулы (28.6).
Решение. В уравнение (28.6) подставим у = L„:
[«(«)]' = -Kt\(x), [L°n(x)T = K±l(x),
тогда
x[L°]"(x) + (a + 1 - x)[L°]'(x) + nb£(«) =
= niS(x) + (a + 1 - x)L°±l(x) + xi-^(x).
Положим в (28.4) a = a + 1, тогда
LS(x) = L^+1 (x) - L°ii («), L^l! (x) = Lant\(x) - L° l2(x)
и
n[L«+1(x) - ^i}(«)] - (a + 1 - x)[L°i\(x) - Ь°Ц(х)] +
+xL°±2(x) = n[I"+2(x) - 2L°±2(x) + LZtl(x)] +
+(a + 1 - x)L»i?(x) + (a + l)L^(x) =
= nL"+2 (x) - (2n + a + 1 - x)I° 12(х) +
+(a + l + n)L°l2(x).
Положим в (28.3) a = a + 2, n = n— 1 и получим
nLS+2(x) - (2n - 2 + 1 + a + 2 - x)L°±2(x) +
+(a + 2 + n-l)L«l2(x) = 0,
что и требовалось доказать.
Пример 28.2. С помощью рекуррентных соотношений доказать,
что
Ш Я^(я)-Г(п + ^ + 1-*)Я ^ (Ж)- (28'8)

29. Ортогональность полиномов Лагерра
205
Решение. Вычислим, используя формулы (28.5) и (28.2),
±х»ЬЦх) = vx»-lK(x) + х"±К(х) =
= x"-l[uL»„(x) + x±L*n(x)\ =
= x"~l [uL^{x) + nLvn(x) - (n + u)L^_i(x)] =
= (n + I/)*""1 [K(x) - K_, (as)] = (n + !/)«"-• K"1 (*).
Окончательно имеем
^x"Lvn(x) = (n + V)x'-X 1Г1 (*). (28.9)
Отсюда немедленно следует
^rx"LX(x) = (n + i/)(n + i/-l).--
... (n + „ _ k + lji^^r1 (x), (28.10)
что эквивалентно формуле (28.8).
29. Ортогональность полиномов Лагерра
Теорема 29.1. Полиномы Лагерра ортогональны на
интервале [0,оо[ с весом р(х) = хае~х при а > —1. Условие
ортогональности имеет вид
оо
J xaLan{x)Lam{x)e-*dx = F(n+J + 1) <*„„,. (29.1)
О
Доказательство. Запишем формулу Родрига для полиномов
Лагерра
L$(x) = -%ехх-а[е-хха+п](п\
п\
Не уменьшая степени общности, будем считать, что n ^ га.
Тогда
оо оо
In,m = J xaK{x)L°m(x)e~*dx = iy Lam(x)[e-*xa+n}^dx.

206
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
а) Пусть п = 0. Тогда, по предположению, m = 0.
Поскольку Щ(х) = 1, то
со
Л>,о= Ixae-*dx = T(a+l).
(29.2)
б) Пусть п > 0. Проведем интегрирование /п,то по частям,
положив U = 1° (ж), dU = [L^{x)]'dx, dV = [e-*xa+n]tn>dx,
V = [е-'г^"]!"-1). Получим
>r
/»,m = -\{^(*)[e-^e+n](n-i
n! I
CO
-j[e-*x°+nr-V[L"m{x)}'dx)
По определению, а>-1ип/0. Поэтому a -f n > 0, что дает
жа+п|яг=о = 0. Следовательно, внеинтегральное слагаемое
равно нулю. Проинтегрировав по частям еще ?п — 1 раз, получим
оо
/„,* = {-^ j[e-xx°+n)^-m^(x)}^dx.
о
Вычислим производную
[£° (г)]<то> = iT[x-V'(x-a+me-T)(",)]<TO> =
= -L[x-"4-l)ra +Qm-i(x)}{m) = (-1)"\
га!
где Qm-i(aj) - полином m — 1 степени, т.е.
[Jm(*)](m) = (-I)"1-
Тогда
со

29. Ортогональность полиномов Лагерра
207
Г [e-*sa+n](n-m+1)|^°, пфт
( — \)П+т I оо
[e-xxn+Q
= (-1)п+т°[ 0, п
п\ у Г(п + а + 1), п = га
n! j e-xxn+Qdx, п = т
л °
^га; _
1), п
Г(п + а+1)
-<W (29.3)
п!
Объединив (29.2) и (29.3), получим утверждение теоремы.
Теорема 29.2. Полиномы Лагерра являются решением
задачи на собственные значения (задачи Штурма-Лиувилля)
ху" + (а + 1 - х)у' + Ау = 0, а > -1, (29.4)
при условии непрерывности, ограниченности в точке х = О
и квадратичной интегрируемости на [0,оо[ функций у(х,\) с
весом р(х) = хае~х. Уравнение (29.4) называется уравнением
Лагерра.
Доказательство. Прежде всего отметим, что уравнение (29.4) в
самосопряженной форме имеет вид
(xQ+1e-y)' + \хае~ху = 0, (29.5)
откуда и следует явный вид весовой функции р(х) = хае~х.
Поскольку условием квадратичной интегрируемости функций
у(х,\) с весом р(х) = хае~х является неравенство
/
xQe xy~(x,\)dx < оо,
это означает, что сама функция у(ж, Л) на бесконечности может
возрастать не быстрее, чем х~а'2ех'2.
С учетом сказанного и непрерывности решение уравнения (29.4)
ищем в виде обобщенного степенного ряда
со
у{х) = ^Спхп+<г, (29.6)
п=0
где Сп и а — постоянные, подлежащие определению. Подстановка
(29.6) в (29.4) дает
со
х £(п + а)(п + 9 - 1)С„хп+'-2 +

208
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
+(а + 1 - x)Y^(n + ^r)C„a:n+flP-1 + а£ СпЖп+<г = 0 (29.7)
п=0
]Г Cn(n 4- <т){п + <т + а)ягп+*-1 +
п=0
+ J] С"(Л - П - <Т){ЕП+<Г = 0- (29«8)
Из первой суммы (29.8) выделим слагаемые с п = 0, а в
«укороченной» сумме индекс суммирования п заменим на п + 1. Тогда
Со<т(<7 + а)»*"1 +
оо
-f ^{Cn+i (n + ет + 1)(п + а + а + 1) +
+С„(А--п-<7)}2;п+,г=0,
откуда следует, что
Со<г(<7 + а) я 0,
_ п + <т-А - - (29.9)
(n + a + 1)(п + а + 1 + а)
(
Из (29.9) следует, что нетривиальные решения уравнения (29.4)
существуют лишь при a = 0 или <т = — а. С другой стороны,
последовательное применение второй формулы (29.9) позволяет выразить
все коэффициенты Сп через Со в виде
Г - (-1Г(А-<г)(А-д-1)-(А-т-п + 1)
' " _ (а+1).•> + ")(* + « +!)•••(* + « + ") * '
Формулу (29.10) можно записать в более удобной форме. Для этого
домножим числитель и знаменатель на произведение
Г(А - * - п + 1)Г(<т + 1)Г(«т + а + 1)
с последующим использованием основного функционального
соотношения для гамма-функций. В результате получим
С = (-1)"Г(А-сх + 1)Г(<7+1)1> + « + 1)
W Г(<т + п + 1)Г(а + а+п + 1)Г(А-«г-п+1) V ;
Если в (29,11) положить с = 0 и обозначить Of» — On ur=0) ТО
« (-1)"Г(А + 1)Г(а + 1) ,
а" ~ Г(п + 1)Г(а + п + 1)Г(Л-п + 1)в0- (29Л2)

29. Ортогональность полиномов Лагерра
209
Положим теперь в (29.11) а = — аи обозначим 6П = Сп\а-=-а> Тогда
h (-1)Т(А+а + 1)Г(1-а)
Ьп ~ Т(п + 1)Г(п + 1 - а)Г(Л + а - п + I)"0' (29>13)
Таким образом, с помощью (29.12) и (29.13) общее решение
уравнения (29.4) можно записать
„м-п у (-1)"Г(л + 1)Г(« + 1)
У(Х> ~ ао 2- Г(п + 1)Г(а + п+1)Г(Л-п + 1)Х +
+6.x-°f"° ^Г^ + ' + УР1-^ ,*", (29-14)
Z^ г(п + 1)Г(п + 1-а)Г(А + а-?г + 1) v ;
где ао, 6о — произвольные постоянные.
Для а > 0 требование ограниченности функции у(х) в точке
х = 0 вынуждает положить 6о = 0. Тогда
V^ (-1)"Г(А+ 1)Г(а + 1) п ,ОЛ1СЧ
^Ж) = *° Е Г(п+1)Г(а + п+1)Г(А-п + 1)а ' (29Л5)
Явный вид (29.15) функции у(х) позволяет исследовать ее поведение
при х -¥ со, которое в этом случае определяется коэффициентами
ап (29.12) с большими п.
Из (29.15) для п > 1 имеем
ога.ц _ Г(п + 1)Г(п + 1 + а)Г(А-п + 1) =
а„ ~ Г(п + 2)Г(п + 2 + а)Г(А - п)
(А - п) _ 1
(29.16)
(п>1)(п + а + 1) п'
а это означает, что ряд (29.15) при х —> со ведет себя как ех", т.е.
оо
2/(ж) = S2 anxn ~ е*, z -> со. (29.17)
п=0
В этом легко убедиться, выписав разложение для функции е*х.
Действительно,
оо оо
п=0 п=0
откуда
ап = —-, an+i =
п! ' -"+* („ +1)1
22±L ~ £, „ _> оо. (29.18)

210
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Сравнив (29.18) с (29.16), убеждаемся в справедливости (29.17).
Таким образом, при произвольном значении Л ряд (29.15) растет
как е*, т.е. быстрее чем x~al2exl2. Этого можно избежать, если
оборвать ряд на n-ом слагаемом, положив в Г(Л — п + 1) из (29.15)
Л = 7П — некоторому целому числу. Тогда Г(1) = 1 при n = га и
Г(га — п) = оо при п > т, а следовательно, а„ = 0, так как Г(га — п)
стоит в знаменателе.
Итак, положив Л = га, мы нашли спектр собственных
значений задачи (29.4). Соответствующий спектр собственных функций
следует из (29.17)
Задав в (29.12)
получим
а0
Ут(х) = }апхп.
Г(га + а + 1)
Г(га + 1)Г(а + 1)'
*-<■> = Е г?{Т?*Т*)я* = LM (29л9)
^-—' Tin + а + 1)п!(га — п)!
в полном соответствии с представлением полиномов Лагерра в виде
(27.5).
При а ^ 0 следует положить ао = 0. Тогда
„(ll-b-f (-1)Т(А + « + 1)Г(1-а)
у(х) - box 2^ Г(п + 1)Г(п + 1 - а)Г(А + а - п + 1) ' ( '
п=0
и для того чтобы оборвать этот ряд, нужно выбрать Л = га — а, где
га — некоторое целое число. Тогда
., M-tT-f (-1)"Г(Л + а + 1)Г(1-а)
ym(*)-bo* 2^r(n+l)r(n + l-a)r(m-n + l)Z '
п=0
Задав
__ Г(га - a + 1)
*°Т(А + а + 1)Г(1-а)'
можем записать спектр собственных значений Л = га — а и
собственных функций
Если обозначить a = — /z, то соотношение ортогональности для
функций (29.21) совпадает с соотношением ортогональности для
функций (29.19). Действительно,

30. Ряд Фурье-Лагерра
211
<¥п.(*)Ы*)> = Jxae-*[x-aL-a(x) -x-aL-a(x)]dx =
О
оо
= j х»е-* L*m{x)L»(x)dx.
О
Таким образом, теорема доказана.
30. Ряд Фурье-Лагерра
Аналогично рассмотренным ранее ортогональным
полиномам полиномы Лагерра можно использовать в качестве базиса
для разложения функции f(x) в функциональные ряды. При
этом можно показать справедливость следующей теоремы:
Теорема 30*1. Если функция f(x) удовлетворяет условиям
Дирихле на интервале, лежащем внутри [О, ос[, и
квадратично интегрируема на [0,оо[ с весом хае~~х, то ее можно
разложить в ряд по полиномам Лагерра
/(*) = £<£££(*) (30.1)
п=0
с коэффициентами
оо
О
причем ряд сходится к функции f*{x) = [f(x + 0) + /(ж — 0)]/2.
Ряд (30.1) называется рядом Фурье-Лагерра.
Пример 30.1. Разложить функцию f(x) = е~Ъх (Ь > 0) в ряд
Фурье по полиномам Лагерра.
Решение. Первый способ. Условия разложимости функции
выполнены, следовательно,
fzi Г(п + а + 1) J

212
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Найдем С£, п = 0,оо. По формуле Родрига для полиномов
Лагерра (27.4)
1 rjn(Tn+ap-x\
n! dzn
Тогда
oo
-« + 1) У
n Г(п + a + 1) J dxn
о
Проинтегрировав по частям, получим
oo
'■ = /
ofon
0
oo
jn-l/Tn+ap-i\ |00 /• ju-l/^n+a^-arx
ажп-1
о
dx71'1
Внеинтегральное слагаемое при х = оо равно нулю за счет
множителя е~Ьх (Ь > 0), а при х = 0 — за счет второго
множителя
dn-1(sn+ae-iF)
так как, вычислив производную п — 1-го порядка по формуле
Лейбница, получим сумму, каждое слагаемое которой
содержит х в положительной степени (низшая степень будет равна
a + 1), но, по условию, a > —1, значит, a + 1 > 0.
Применив п раз интегрирование по частям, придем к
равенству
оо оо
Г ^bx dn^Jn€'^dx = bn f e-W*z»+°dz.
о 0
Сделаем в интеграле замену переменных (6 4-1) ж = t и получим
/ - ь"
-«и —
(Ь+1)
n+a+1 у (6-fl)n+a+1

30. Ряд Фурье-Лагерра
213
Тогда
г hn
°п" Г(п + а + 1) " (6+l)»+«+i' п-^00-
Найдем разложение
0 + 1) „=о
Рассмотрим частный случай, когда 6=1. Тогда
в^ = -Ч)=+тЕ(шГ«(-). 0<х<ос.
71=0
Если а = 0, то
е~Х = \Y,^TxL^x^ 0<я<оо. (30.3)
71=0
Второй способ. Воспользуемся разложением производящей
функции
(ir^«p(-i?h)-£«(•)•"• и<1.
Положим здесь z == 6/(6 + 1), где 6 - действительное число. Тогда
1 — % = : , ■— == -~ОХ.
6+1 1-z
причем из \г\ < 1 следует, что 6 > —1/2. В результате имеем
(ы-1Г+1---Е«(-)(^)и.
п=0
При 6 = 1 получим
00 1
Пример 30.2. Разложить функцию f(x) = хр, х > 0, в ряд
Фурье по полиномам Лагерра.

214
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Решение. Для коэффициентов Фурье имеем представление
оо
ИЛИ
оо
С; = — [xr-^—(xn+ae-x)dx, п = Щй.
п Г(п + а + 1)У dznV ;
Как и в примере 30.1, интегрируем п раз по частям. Получим
со
=(-""'"г„1';+":г''+1)/'у-^-^
1 (п + a + 1) J
1 (n -f а + 1)
Тогда при 0 < х < оо
**=Г(р+а-и) E(-i)nP(pv(i+lp;i)+1)1-(ж)- (зо-4)
п=0
Пример 30.3. Разложить функцию /(ж) = 1пж в ряд по
полиномам Лагерра.
Решение. Искомое разложение имеет вид
оо
/(*) = £ (£!£(*)■,
п=0
где
оо
О
оо

30. Ряд фурье-Лагерра
215
Рассмотрим случай п ^ 1. Интегрируем (30.5) по частям,
положив U = In ж, dU = dx/x, dV = (xn+ae~x)^dx, V =
(я?*+рге-*)<п-1\ и получим
Г(п + а + 1) У ж
о
Повторив интегрирование по частям п — 1 раз, получим
С = (п"1)! [ Lx»+°e-*dx = JjLzMhlH
п T(n + a + l)J хп V(n + a + l)
о
Если п = 0, то
Cg = „, * ,. / Л"* lnzdz = ^
0 Г(а + 1)У Г(а
Г'(о + 1)
+ 1)
О
Следовательно,
Г(а+1) v ;^Г(п + а + 1) nW
О Существует еще один способ получения разложений по
полиномам Лагерра, основанный на интегральном представлении (27.14).
Действительно,'зная разложение четной функции <р(х) в ряд по
полиномам Эрмита и воспользовавшись, представлением полиномов
Лагерра через полиномы Эрмита (27.14), получим функцию
1
и, следовательно, ее разложение в ряд по полиномам Лагерра.
Пусть
4>(х) = 2^ С,2„Я2п(ж), -ос < X < оо.
П=0
Тогда
оо

216
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Умножив это равенство на (1 — t2)a 1 '2 и проинтегрировав в
пределах от -1 до 1, получим
/*(! _ t2)Q-l/\(tV^)dt = ]Г С2п /(1 - t2)Q-l/2H2n(t^)dt.
-1 п=0 -1
Используем для функции f(x) представление (27.14) и придем к
равенству
п=0
при а > —1/2, где
ra , 1,п(2п)!у¥Г(а + 1/2)
Cn = (_1) Г(п + а + 1) Са-
Пример 30.4. С помощью интегрального представления (27.14)
получить разложение функции ж2ш в ряд по полиномам Лагерра.
Решение. Известно, что
2т (2т)! ^ Н2п(х)
X = — > -— , —ос < X < оо.
22т Z-f(m_n)!(2n)!'
п=0
Здесь
_ (2т)!
02т =
22т(т-п)!(2п)!'
Найдем разложение в ряд Фурье по полиномам Лагерра для
функции
f(x)= [(l-t2)a-1/2(t,/x~)2rndt.
-i
Преобразуем интеграл
1 1
/(1 - t2)a-l/2(tV^)2mdt = 2xm f{\ - t2)a~ll2t2mdt =
-1
1
= xm /(1 - u)a"1/2um-1/2<to = zmB(a + 1/2, m + 1/2) =
о
tr(a + l/2)r(m + l/2)
Г(а + т + 1)
при a > —1/2. Таким образом,

30. Ряд Фурье-Лагерра
217
ftz) д™Г(а + 1/2)Г(т + 1/2) 1
Нх'-Х Г(а + т + 1) ' а> 2'
Найдем разложение
т
f(x) = J2cnL°(x)
п = 0
с коэффициентами
(2п)!уИ-(а +1/2) (2т)! _ _
°п_(1) Г(п + а + 1) 22">(m-n)!(2m)!' п-"'т-
Получим
,,, у- (-1)"АГ(а+1/2)(2т)!Г(а + т+1)
1 2^Г(п + а + 1)22">(т-п)!Г(а + 1/2)Г(т + 1/2) °W
п=0
«» = яИГ<« + т + 1) £ (т_п)1г(г! + а + 1)*°(*).
что согласуется с разложением (30.4).
Пример 30.5. Вычислить сумму
y-^±=w (зо.6)
^Гп + а + 1 v '
Г(п + а + 1)
Решение. Подставив (27.5) в (30.6) и поменяв порядок
суммирования (см. пример 1.7.1), найдем
Z^ Z-r Г(п - ra + a)T(a + га + 1)Г(т + 1)
n=0 m=0
_ y^ v^ * (-ж) _
jLi 2-j T(n + l)T(a + m + 1)Г(т + 1)
m = 0 n=0
E( — XZ) ^"^ 2
Г(а + m + 1)Г(га + 1) ^ nT ~
m=0 n=0
= c.f (-*«)ro
^ га!Г(а + га + 1)
m=0
Но последняя сумма в этом равенстве выражается через функцию
Бесселя первого рода (3.6), и окончательно получим
Е Г(» + а + 1) = е2(-)-а/2^(2^)- (30.7)

218
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Пример 30.6. Доказать справедливость разложения полинома
Ь„(х) по ортогональной системе полиномов L%(x)
fc = 0
= <-i)" D-d* (2-*>»<*>• (30-8)
k = 0
Решение. Найдем сумму ряда
^) = E(a"^i"^fc_1)^)- (30-9)
k = 0
Если воспользоваться соотношением
("Г )=("!)-( "V1)- (30.10)
(см. разд. «Биномиальные коэффициенты» части I), то выражение
(30.9) можно представить в эквивалентной форме
F(*) = £(-!)"+* («:£)££(*). (30.11)
Воспользуемся теперь формулой Родрига для полиномов Лагерра
(27.4), которую с помощью биномиальных коэффициентов можно
переписать в виде
tfw-B-1)"^)^' (30-12)
и для F(x) найдем
п к
к = 0 т=0
Это выражение, согласно (1.7.7), можно записать в виде
п n — tn
т = 0 fc = 0
Из соотношения (30.10) следует
(m+f + *)=(-D'(-m-/-1),

31. Ортогональные классические полиномы
219
после чего имеем
n n — m
^) = (-^E^E(n^-fc)("m~/_1)-
m=0 k=0
Сумму по А; можно вычислить с помощью соотношения
fc = 0
Суммирование дает
fj-t-'rtSC.-V1)-
m=0
Воспользуемся еще раз соотношением (30.10)
f-m - a - 1\ _ /-.xn+m/n + е*\
V n — m ) ~ ^ \п — т)
и с учетом (30.11) окончательно получим
что и требовалось показать.
31. Ортогональные классические полиномы
Мы рассмотрели основные свойства полиномов Лежандра, Эр-
мита и Лагерра. Нетрудно заметить, что свойства этих полиномов
во многом похожи. Рассмотрим теперь общие свойства, присущие
ортогональным полиномам, называемым классическими.
31.1. Метод ортогонализации Шмидта
Утверждение 31.1. 1. Пусть {Д(ж), А; = 0,оо} - линейно
независимая система функций.
2. Пусть на интервале ]а,Ь[ определено скалярное произведение
с весом р(х), р(х) ^ 0,
ъ
(gi(x)\g2{x))p= / p(x)gi(x)g2{x)dx, (31.1)
о
причем
К/*(*)1/Л*))р1 < -оо, fc,i = 0,oo.

220
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Тогда существуют конечные линейные комбинации функций fk(x),
к = 0,оо,
п
4>n(x) = J2X»,kfk(x) (31.2)
к=о
такие, что
(Vk(x)\(pm{x))p = \\<Pk(x)\\25km, к,т = 07о^. (31.3)
Положим
<Ро(х) =7о,о/о(ж),
Ч>\ (х) = li,o<Po(x) +yi,ifi(x),
*Yn,nJn\X j,
(31.4)
Будем считать, что 7п,п не равны нулю, поскольку функции (рп{х)
линейно независимы. Очевидно, что функции ч>п(х) - конечные
линейные комбинации функций fk(x). Выберем
"fn,k ИЗ УСЛОВИЯ
(<Мж)|<^(я))=0, кфз-
Домножим второе уравнение в (31.4) на (ро(х)р(х) и проинтегрируем
в пределах от а до Ь. Тогда для выполнения условия
ортогональности (31.3) необходимо
7i,o||vo(s)||2 + yi,i(Mx)\tpo(x))p = 0.
Следовательно,
„ (Мх)\ч>о(х))р
7i,o = -7i,i—г,—, ЧМо .
Дальнейшее доказательство проведем методом математической
индукции. Пусть соотношение (31.3) выполняется для всех га < п.
Тогда, домножив п-е уравнение в (31.4) на р(ж)<рт(ж), га = 0, га — 1,
и проинтегрировав в пределах от а до 6, получим
(<Рт(х)\<Рп(х)) =
п-1
= ^4nMV™(x)\Vb(x))p + 4nMVm(x)\fn(x))p =
= 7п,т||¥>т(ж)||~ +Jn,n(<Pm(x)\fn(x))p, 771 = О, П - 1.
Следовательно, для ортогональности функций <рп(х) и <рт(х), га =
0,п — 1, необходимо
_ (<Pm(x)\fn{x))p ^.jr- j ,-Л v
Таким образом, утверждение доказано.

31. Ортогональные классические полиномы
221
Утверждение 31.2. Интервал]а,Ь[ и весовая функцияр(х)
определяют (с точностью до постоянного множителя) систему
ортогональных полиномов {гРп(х)}.
Действительно, положив в (31.4) fn(x) = жп, получим систему
ортогональных полиномов
п-1
т^О, (31.6)
* = 0
где к
7n,* = -7n,„^jg|^, fc = б^Т. (31.7)
Таким образом, система ортогональных полиномов полностью
определяется интервалом ]а,Ь[ и весовой функцией р(х), р(х) ^ 0.
Причем
= / xnp(x)dx,
о~к = I xnp(x)dx, \ak\ < оо, &=0,оо, (31.8)
даже если интервал ]а, Ь[ бесконечен. Таким образом, утверждение
доказано.
♦ Величины а к (31.8) называются начальными (степенными)
моментами функции р(х) порядка к.
О Из соотношения (31.7) видим, что ортогональные полиномы
Vn{x) определены с точностью до произвольной постоянной jn,n-
Если 7п,п удовлетворяет дополнительному условию ||7^г»(ж)|| = 1,
п = 0,оо, то такие полиномы называются ортонормированными, а
если 7п,п = 1, п = 0,оо, то полиномы Vn(x) называются
стандартизованными.
31.2. Обобщенная формула Родрига
Теорема 31.1. Если весовая функция р(х) удовлетворяет
условию
р'(х) <*{х)
Р(х) /3(хУ
где
а(х) = а0 + aix, Р(х) = Ро + 0ix + р2х\ (31.10)
то функция
Vn{x) = -^-[p(x)/3n(x)]in\ An = const, (31.11)
p(x)
есть полином степени п.
♦ Условие (31.9) называется уравнением Пирсона,
соотношения (31.11) - обобщенной формулой Родрига, а полиномы Vn(x) -
классическими ортогональными полиномами.
р(аЩа) = р(Ь)р{Ь) = 0, хе]а,Ь[, (31.9)

222
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Доказательство. I. Рассмотрим функцию
U(x) = р(х)/Зп(х). (31.12)
Покажем, что U^(x) = p(x)Rn(v), где Rn(x) - полином степени не
выше п. Доказательство проведем методом математической
индукции. Из (31.12) находим
U'(x) = р'(х)/Зп(х) + пр{х)рп-\х)13'{х) =
= P{x)j3n-\x)[a(x) + пр'(х)} = p(x)^n-l(x)R1(x).
Здесь мы воспользовались уравнением Пирсона и обозначили
через Ri(x) полином первой или нулевой степени по х. Для второй
производной получим
U"{x) = p(xpn-2(x)[a(x)R1(x) + (n - l)fi'(x)R1{x) +
+/3(x)Ri(x)] = p(x)p"-2(x)R2(x),
где Ri(x) - полином не выше второй степени. Предположим, что
Uw (х) = p(x)/3"-k(x)Rk(x), к<п, (31.13)
где Rk(x) - некоторый полином степени не выше к. Тогда
£/<*+1»(х) = p{x)0"-k-1(x)[a(x)Rk(x) +
+(п - k)/3'(x)Rk{x) + p(x)R'k{x)) = p{x)j3n-k-\x)Rk+l{x),
так как в квадратных скобках стоит полином степени не выше fc + 1.
Таким образом, методом математической индукции мы показали,
что
Vn(x) = AnRn{x),
где Rn(x) - полином степени не выше п.
II. Покажем, что Vn(x) - полином, степень которрго равна п.
Из граничного условия для уравнения Пирсона (31.9) и
соотношения (31.13) найдем
Ы*)Рк(*)]\х=а = К*)0*(*)] |..t = 0; (31.14)
Следовательно, для любого полинома Qk{x) = Y2 Cjx3, к = 0,п — 1,
получим
ь ь
h,n = f p(x)Qk(x)Vn(x)dx = An f Qk(x)[p(x)pn(x)]{n)dx.

31. Ортогональные классические полиномы
223
Проинтегрируем Ik,tn один раз по частям, положив u = Qk(x),du =
Q'k(x)dx, dv = [p(x)/3n(x)]{n)dx, v = [/9(x)/9n(a:)](n-1), т.е.
7-1)
h,n = An{Qk(x)[p(x)f3n(x)Yn-V
b
a
b
= AnlQkixW^-^ix)^ - fQ,k(x)U[n-1)(x)dx\.
a
В силу (31.14) внеинтегральное слагаемое равно нулю.
Оставшийся интеграл проинтегрируем еще к — 1 раз по частям и с учетом
соотношения Qk (х) = Ск получим
6
1кп = Ак(-1)кк\Ск f[p(x)f3n(x)]{n-k)dx =
a
= (-l)kAkk\Ck[p(x)pn(x)Yn-k-1)\ba = 0.
Таким образом,
/fc>n = 0, fc = 0,n-l. (31.15)
Предположим теперь, что Vn(x) - полином степени, меньшей
чем п. Тогда из (31.15) при Qk(x) = Vn(x) следует, что
ь
• /*>«<.>*-*
а
В силу свойств весовой функции это равенство невозможно, так как
Vn(x) ^ 0. Полученное противоречие доказывает теорему.
Следствие 31.1.1. Полином Тп{х) ортогонален на интервале ]а,Ь[
произвольному полиному Qk(x) степени, меньшей чем п (к < ?г).
Доказательство непосредственно следует из (31.15).
Следствие 31.1.2. Полиномы Vk(x) образуют на интервале ]а,6[
ортогональную с весом р(х) систему функций {Vn(x)}, п = 0,оо,
т.е.
о
/ P(x)Vn(x)Vm(x)dx = \\Vn\\26nm. (31.16)

224
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Доказательство. Рассмотрим два полинома Vn(x), Vm(x). Пусть
для определенности п ^ га. Тогда если п > га, то в
соответствии с предыдущей леммой (Vm(x)\Vn(x)) р = 0. Если га = га, то
{"Pn{x)\Vn(x)) = \\Vn(x)\\2, что и требовалось доказать.
Рассмотрим более подробно уравнение Пирсона или, как его еще
называют, уравнение для весовой функции р(х). Интервал ]а,Ь[,
присутствующий в (31.9), может быть как полу бесконечным (6 = оо
или a = — оо), так и бесконечным (а = —оо, 6 = оо). Согласно
условиям (31.9), (31.10), функцию /3(х) (с точностью до несущественного
постоянного множителя) можно выбрать такой, чтобы она
обращалась в нуль в конечных граничных точках:
{(ж-а)(6 -ж), х €]a,b[;
ж-a, xe\a,oo[i (31.17)
о — ж, х £J — оо,6[;
1, х G] — оо,оо[.
Любой из этих интервалов с помощью линейной замены переменной
можно свести к интервалу ] — 1,1[ или ]0, оо[, или ] — оо, оо[. Тогда
равенства (31.17) можно записать
/*(*) =
1-ж2,
ж,
1,
хе
х е
х е
-М[;
0,оо[;
оо.ооГ
(31.18)
С учетом (31.18) решение уравнения Пирсона (с точностью до
несущественного постоянного множителя) будет иметь вид
р(ж) =
(1-жИ1 + ж)", ^ = --(ao+ai),
1 z
v = ~(a0 - ai); ж£]-1,1[;
ж^ехр(а1ж), /i = ao; ж£]0,оо[;
expf aox H- — x2 J; ж €] — oo,oo[.
(31.19)
Отсюда следует, что
1. На конечном интервале ] — 1,1[ для выполнения условий (31.9)
p(*)/»(*)L±1 = a - *)"+1(i+*r+1 L=±1 = о
необходимо, чтобы были справедливы неравенства ц > — 1,
v > — 1. Функция а (ж) в этом случае в силу равенств ao = v — /i,
a\ = —(v + ц) будет иметь вид
а(ж) = v - ц - {v + ц)х. (31.20)
2. На полу бесконечном интервале ]0,оо[ для выполнения условий
(31.9)
Р(*Ж*)|..о.оо = Ж"+1 ехр(«1Я;)|_о >вв = 0
можно положить ai = — 1 и потребовать /i > — 1, тогда
а(ж) = А*-ж. (31.21)

31. Ортогональные классические полиномы
225
*тГ=2 п=3 п=4
Рис. 30
3. На бесконечном интервале ] — оо, оо[ для выполнения условий
(31.9) достаточно выбрать ао = 0, а.\ = —2 так, что
а(х) = —2х.
(31.22)
Таким образом, мы приходим к следу юпщм каноническим
формам классических ортогональных полиномов, определяемых
формулой Родрига (31.11):
1. Полиномы Якоби Тп{х) = РЦ,и(х) определены на интервале
] — 1,1[ с весовой функцией р(х) = (1 — х)и(1 + х)и и
функциями а(х) = v — /1 - (у + 1л)х и /3(х) = 1 — ж2, причем ц > —1,
I/ > -1, Ап = (-1Г/(2пп!).
Важными частными случаями полиномов Якоби являются:
а) полиномы Лежандра Рп(х) = Р°,0(:п), ц = i/ = 0;
б) полиномы Чебышева первого рода
Тп(х) =
n!^/5F
Г(1/2 + п)Р„-
-1/2,-1/2 '
" = ,/ = -2;
в) полиномы Чебышева второго рода
Рис. 31

226
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Ы1.0)
V 2
-1 VOj££<^
p(i.i) /
Sofe*y *
Рис. 32
^W- 2Г(3/2 +„)Pi^' """"i'
г) полиномы Гегенбауэра (или ультрасферические полиномы)
Cfa) =
Г(2А + п)Г(А + Х/2) _ _ 1
Г(2Л)Г(Л + 1/2 + п)Р,Г
Полиномы Чебышева первого и второго рода (см. рис. 30 и 31)
являются также частными случаями полиномов Гегенбауэра с
Л = 0 и Л = 1. соответственно. На рис. 32 и 33 изображены
графики некоторых частных случаев полиномов Якоби.
2. Полиномы Лагерра (обобщенные полиномы Лагерра, или Чебы-
шева-Лагерра) Vn(x) = L£(x) определены на интервале ]0,оо[
с весовой функцией р(х) = хие~х и функциями a(x) = jj, — х и
0(х) = ж, причем (л > —1, Ап = 1/(гг!).
\ 4
\^ 2
\ "Х_ 5*<
-1 zbfc*2*^
/"^ -2
' -4
р(М) /
■* п у
•^г^^у/
^^5е«^ 1
\ \ 4
-1 0.5\/
р(1.б) /
Лх^^г/ 1
0,5 1 -1
р(М) у
Рис. 93

31. Ортогональные классические полиномы
227
3. Полиномы Эрмита (Чебышева-Эрмита) Vn(x) = Нп(х)
определены на интервале ] — оо,оо[ с весовой функцией р(х) = е~* и
функциями а(х) = —2х и /3(х) = 1, причем Ап = (—1)п.
Для рассмотренных ранее полиномов Pn(#), ^n(x)i Нп(х)
подстановка выражений (31.18) и (31.19) в (31.11) с учетом
приведенных значений Ап дает уже известные формулы Родрига.
31.3. Производящая функция
♦ Функция F(x, t) называется производящей функцией для
системы полиномов {Vn(x)}, п = 0,оо, если ее разложение в ряд
Тейлора в точке t = 0 имеет вид
Теорема 31.2. Функция
п\Ап
п=0
,(fjt)-JWi-^M«,*)) {zlM)
является производящей для полиномов {*Рп{х)}. Здесь w неявным
образом определяется уравнением
ш-х- tp(u>) = 0. (31.24)
В формуле {31.23) используется то из решений уравнения (31.24),
которое при малых \t\ расположено ближе всего к точке х.
Доказательство. Разложим функцию (31.23) в ряд Тейлора по t:
оо
F(e,t) = 5^CW(e)tn, (31.25)
где
с(х)= 1(ГП*1*)\ _ 1 1 / *<*(*,*)) dz
пУ ] п\ dtn |t=o 4irip(x)J [l-*j9'(«(*»*))]*,,+1
7
а 7 - произвольный замкнутый контур в комплексной плоскости
z, охватывающий начало координат. Сделаем в интеграле замену
переменных z -> u>(a?,z), где w(x,z) определяется уравнением
ш - х - гр(ш) = 0. (31.26)
Следовательно,
— ш "~ х

228
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
dw - /3(w)dz - zPl(u)dw = О
При преобразовании, определяемом соотношением (31.26), контур
7 трансформируется в контур 7» охватывающий точку ж, поэтому
следует взять ближайшее к х значение ш, чтобы остаться в области
аналитичности. В результате получим
v ' 2irip(x)J (ut-x)"*1
7
2iri n\p(x) dxn \ 27Г» J w — x J
7
Воспользовавшись интегральной формулой Коши (1.12.1), получим
Таким образом, для функции (31.23) справедливо
оо
n=0
что и требовалось доказать.
Пример 31.1. Найти производящую функцию для полиномов Ле-
жандра Рп(х).
Решение. Поскольку для полиномов Рп(х) функция /3(ш) = 1 — а;2,
то уравнение (31.24) принимает вид
w-x-t(l-u>2) = 0
или 0
tuT + ш - (х + *) = 0.
Из двух решений
-1±л/1 + 4*(* + х)
а>12 = - ,
2*
согласно теореме 31.2, выбираем решение, содержащее знак «+».
Приняв во внимание, что Р'(ш) = —2о> и р(х) = 1, находим
1 1 °°^ £п

31. Ортогональные классические полиномы
229
Замена t -> —1/2 приводит к разложению
v/l - 2te + t2 ^ "^ ;2"Ann!
- 2-s 2»n\ [dx"(1 Х >\ - 2^2»nldx»(X lh
п=0 п=0
которое с учетом (16.7) можно записать в виде
1 = V P„(x)tn,
VI - 2te + t2 ^ '
откуда следует выражение для производящей функции
F(x,t)= 1
V У VI - 2te + fc2
совпадающее с использованным ранее выражением (16.1).
О Аналогично из (31.23) для производящих функций полиномов
Лагерра Ь£(х) и Эрмита Нп(х) можно получить выражения (22.1)
и (27.1). соответственно. Для полиномов Чебышева первого рода
Тп(х) производящая функция имеет вид
1- Ьх
л/1 - 2xt + t2
Y^Tn{x)tn, (31.28)
n=0
а для полиномов Чебышева второго рода Un(x)
I-J_ = 5>(«)t«. (31.29)
n=0
31.4. Дифференциальные уравнения
для классических ортогональных полиномов
Теорема 31.3. Ортогональные полиномы у = Vn(x) (31.11)
удовлетворяют уравнению
Р(х)у" + Их) + Р'(х)]у' - 7пУ = 0, (31.30)
где а(х) и /3(х) определяются соотношением (31.10), а
In = n[ai + (n + 1)/32]. (31.31)
Доказательство. Рассмотрим функцию (31.12)
Щх) = р(х)/Зп(х).

230
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Тогда
U\x) = p{x)pn-l(x)[a{x) + пр\х)}
/3(x)U' - [a(x) + n/3'(x)]U = 0.
Продифференцируем это соотношение п +1 раз. С учетом формулы
Лейбница
^(n,=£щ^('v,n-fc,
получим
P{x)U^+V + (n+ 1)/5'(*)Р(п+1) + (" + 1)yVn)/3"(:c) -
-[a(s) + п/3'(х)]£/(п+1> - (п + 1)[<*'(*) + n/3"(s)]tf <п> = 0.
Здесь мы воспользовались тем, что fi^k\x) = 0, А: > 2, а^(ж) = 0,
j > 1. Приведя подобные, получим
/3(z)tf<n+2> - [а(ж) -£'(s)]tf(n+1)-
-(п + 1) [<*'(*) + ££"(*)] С/(П) = 0. (31.32)
Сделаем в уравнении (31.32) замену
и(п)(х) = А-1р(х)Гп(х);
о(х_
>/3(х)
" (х)" ЛГ L ^W "( ,+
+2|glp; + K(x)]
и получим
р(х) ( \а2(х) + а'(хЩх) - а(х)/3'(х)
(31.33)
-(п + 1)
й'(х) + ^"(х)]?(х)}=0.
Приводя подобные, получим утверждение теоремы.
С помощью соотношении (31.18)-(31.22) запишем явный вид
дифференциальны* уравнении для полиномов

31. Ортогональные классические полиномы
231
1. Якоби у = Р^и\х):
(1 - х2)у" + [i/-/i-(i/ + /i + 2)ф'+
+n(i/ + )и + п + 1)2/ = 0, (31.34)
откуда при ц = v = 0 получаются уравнения для полиномов
Лежандра
(1 - х2)у" - 2ху' + п(п + 1)у = О,
при ц = v = —1/2- для полиномов Чебышева первого рода
(1 - ж2)у" - ху + п2у = О,
при /i = iv = 1/2- для полиномов Чебышева второго рода
(1 - х2)у" - Зху' + п(п + 2)2/ = О,
при /n = i/ = A — 1/2 - для полиномов Гегенбауэра
(1 - xV + -(2А + 1)ху' + п(2А + п)у = 0.
Отметим, что функции Тп(х) и л/1 — x2Un-i {х) являются двумя
линейно независимыми решениями уравнения
(1 - х2)у" - ху + пу = 0. (31.35)
2. Лагерра у = ££(я):
жу" + (р. - х -f 1)з/ + пу = 0.
3. Эрмита у = Нп(х):
у" - 2жу' + 2пу = 0.
31.5. Алгебраические свойства
ортогональных полиномов
Теорема 31.4. Все нули ортогональных полиномов V(x)
действительны, различны (т.е. простые) и расположены на интервале
]о,Ь[.
Доказательство. Допустим, что теорема неверна и только часть
нулей является простыми либо таких нет вообще. Рассмотрим
только те нули, в которых V(x) меняет знак. Построим полином
к
Qk(x) = JJ(s - А>), к ^ п,
где Xj - нули полинома Vn(x), Xj €]a,b[, в которых он меняет знак
(если к = 0, то Qo = const). Следовательно, функция
*(*) = Vn(x)Qk(x), х£]а,Ъ[,

232
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
не меняет знак, и в силу свойств скалярного произведения получим
б
p(x)Vn(x)Qk(x)dx ф 0. (31.36)
С другой стороны, Qk(x) - полином степени к (к < п),
ортогональный полиному Vn(x), т.е.
ь
/ p(x)Vn(x)Qk(x)dx = 0.
a
Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема 31.5. Любые три последовательных классических
полинома Vn-i(x)f Vn(x), Vn+i(x) связаны соотношением
— -^±-x]vn(x) + -^Vn+l(x)=0, (31.37)
где /in, ^n - коэффициенты, соответственно при xn и xn~x в
полиноме
Доказательство. Разложим полином xVn(x) по ортогональной
системе функций {Vk(x)}, к = 1,оо. Получим
*?„(*) = ]£tf??M*). (31.38)
*=о
где
ь
С? = ji^jp /xVn{x)Vk{x)p(x)dx,
а
причем
\\Vk\\2C2 = \\Vn\\2Cl (31.39)
Так как ж'Рп(ж) — полином степени п + 1, то, следовательно, в
(31.38), с одной стороны, С£ = 0 при к > п + 1, а с другой стороны,
согласно (31.39), С£ = 0 при к < п — 1 (это вытекает из
следствия 31.1.1). Таким образом, сумма в правой части (31.38) содержит
всего три слагаемых, т.е.

31. Ортогональные классические полиномы
233
xVn(x) = CZ^Vn-iW + CZVnW + ^Vn+iix). (31.40)
Приравняв в (31.40) коэффициенты при xn+1 и жп, получим
Vn = C£+1/ln+l , Vn = Cn^n + C£+1l/„+i,
откуда
г" —
A*n
сг =
Vn 1Л»+1
(31.41)
Для нахождения коэффициента C^-i воспользуемся формулой
(31.39), из которой следует, что
Пп — /nrn-l 1кг>Ц
^п-1 — ^п Й7п
или с учетом (31.41)
Un-1 —
Н^п-1
^П ||Pn-l||
(31.42)
Подставив (31.41) и (31.42) в (31.40), приходим к рекуррентной
формуле (31.37).
Пример 31.2. С помощью рекуррентного соотношения (31.37)
получить для полиномов Лежандра рекуррентное соотношение (17.1).
Решение. Так как для полиномов Лежандра
(2п)!
А*п =
2»(п!)2'
^п = 0,
11Л.(*)На =
2п + 1'
A*n-i
\\Рп\\
2п-1
(31.43)
fin 2n-l' ||Pn-i||2 2n + l"
Подставив (31.43) в (31.37), получим соотношение (17.1)
nP„-i (х) - х(2п + 1)Р„(ж) + (n + l)P„+i (ж) = 0.
Теорема 31.6. Для нормированного на е<?инииу полинома Vn(x),
п ^ 1, илсеет место представление через моменты весовой функ-
ции (31.8)
Рп(*) =
1
V^Z
Т^
о-о
0-1
0V»-1
1
<Т\
<Т2
<тп
X
<Тп
0"2п-1
(31.44)

234
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
где через Дп обозначен определитель Грама
А„ =
00
0\
<7п-1
°п
G\
а2
On
0п+1
CFn
0"n+l
&2n-l
0*2»
(31.45)
Доказательство. 1. Полино.м Vn{x) ортогонален любому полиному
к
Rk(x) = ^2a^xl
/=0
степени к < п. Действительно, умножив (31.40) на х1 р(х) и прр-
интегрировав в пределах от а до 6, получим определитель с двум*
одинаковыми строками. Следовательно,
о
I
xlVn(x)p(x)dx = 0, I <п
/
Я^(ж)7?„(ж)р(а;)^х = 0, к < п.
Таким образом, ортогональность доказана.
2. Найдем норму ||Pr»(aj)|| полинома Vn{x). Заметим, что
Vn(x) = ]Г а?х1 = цпхп + Qn-i (я),
где Qn-i (я) - полином степени п — 1, а согласно свойствам опредег
лителя,
An-
л/А»~1Дп'
Таким образом,
7>„(x)cte =
ll?Ms)||2 = |р(*) у^хП + 0-1 (*)
a L J
a v
что и требовалось доказать.

32. Интегральные преобразования полиномов
235
Пример 31.3. Показать, что если {Vn(x)} — полиномы,
ортогональные на ] — a,a[ с четной весовой функцией р(ж), то:
1) полиномы дп(х) = Т2п(л/х) ортогональны на интервале ]0,а2[
с весовой функцией
р(х) = -±=p{Viy, (31.46)
у/Х
2) полиномы
<!„(*)= 4=?Wi(v^) (31-47)
\JX
ортогональны на интервале ]0, а2[ с весовой функцией р(х) = л/хр(у/х).
Решение. Так как вес р(х) единственным образом (с точностью
до постоянного множителя) определяет систему ортогональных
полиномов, то для р(—х) = р(х) справедливо Vn(—х) = ( — l)nVn(x).
Это означает, что при нечетном п полиномы Vn{x) содержат
только нечетные степени ж, а при четном п — только четные степени
ж, т.е.
Тгп{х) = gn(x2), V?n+i(x) = xqn(x2).
Здесь дп{х) и qn(x) — некоторые полиномы от х степени п.
Используя условие ортогональности для полиномов четных
степеней, при m ф п получим
а а
/ p(x)Vnn(x)Vnm{x)dx = / p(x)gn(x2)gm(x2)dx =
—о —о
а2
= 2 / р(жЫ*2)<М*2)<^ = / E№gn(t)gm(t)dt = О,
о * о
откуда и следует справедливость первого утверждения.
Аналогично
а а
/ p(x)V2n^i(x)T2m+i(x)dx = / p(i)a;29„(a;2)qfm(a;2)cia: =
— а —а
о2
= 2 J х2p(x)gn(x2)gm(x2)dx = A Vtp(Vt)gn(t)gm{t)dt = 0.
о о
Отсюда следует справедливость второго утверждения.
Нетрудно заметить, что формулы (27.19) и (27.20),
связывающие полиномы Эрмита и Лагерра, являются частным случаем
соотношений (31.46) и (31.47).

236
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
32. Интегральные преобразования
классических ортогональных полиномов
Рассмотрим несколько примеров интегральных
преобразований классических ортогональных полиномов.
Пример 32.1. Найти лапласовское изображение функции
f(t)=t°L%(t), а>-1.
Решение. Согласно соотношению (27.5), для полиномов Ла-
герра справедливо представление
т°«\ - V (-l)T(n + q + l) k _ ^ k
Воспользуемся первой теоремой разложения [см. соотношение
(15.1)]. Тогда
fc=0 к=0 У
Преобразуем коэффициент при l/(pk+a+1):
Следовательно,
Г(п + а+1) А (-1)*п! 1
Г(£ + а + 1) 1 / 1\»
n! pa+1
И)
Окончательно получим
^,Hr|t^+"^;. <«..,
В частности, при a =: 0 из (32.1) следует
М*)-»^#. (32.2)

32. Интегральные преобразования полиномов
237
Пример 32.2. Найти лапласовское изображение функций
А(<) = ^=я2п(\/*), f2(t) = H2n+1(Vt).
Решение. Первый способ. Из соотношений (27.19) и (27.20)
следует, что
Положив в (32.1) a — —1/2 и a = 1/2, окончательно получим
^v.w-in-EM^, ,32,,
HW(v-t)M-^^±±m^. (з,4)
Второй способ. Соотношения (32.3) и (32.4) можно получить
непосредственно из представления (22.7)
[п/2] / л\к ,
* = 0 v '
для полиномов Эрмита. Здесь [п/2] означает целую часть числа
п/2. Воспользуемся первой теоремой разложения [см. соотношение
(15.1)]
fc=0 fc=0
С учетом соотношений
Г(ТО+!) = 2^2т-1)!!^; (32.5)
(2m - 1)! = 2w-1m!(2m - 1)!!
при m = n — к получим
(-l)*(2n)!y^ (2n)!V?(l-p)n
Ыр) = Т (-i)(m>w* =
fc = 0 v v
откуда с учетом (32.5) получим (32.3). Доказательство соотношения
(32.4) аналогично.

238
Глава 3. Классические ортогональные полиномы
Рример 32,3* Исцрльзуя теорему умножения для
изображений, доказать справедливость соотношения
t
J(t)= At-r)a-1rm^l(r)dr =
о
_ Г(а)Г(п + т+1) + +
" Т{ц + т + а+1)* Ln (*)■ I32'6)
где а > —1.
Рещение. Воспользуемся теоремой Бореля (15.26), положив
f(t)=ta~\ g(t)=tmLZ(t).
Тогда с учетом (32.1)
tu\ ,s Г(а) u\ ил Г(п + п»+1)(р-1)п
Следовательно,
Г(а)Г(п + т + 1) (р-1)п
/(«)-»■
п1 рп+m+l+a
Найдем оригинал последнего выражения
r(a)r(n4-m+lhm+Q ,
w Г(п + т + а+1) n v ;'
что и требовалось доказать.
Пример 32.4. G помощью преобразования Лапласа найти
разложение функции f(t) = t~l в ряд Фурье-Лагерра при a = 0.
Рещение. Разложим правую часть соотношения
р+1
в ряд Тейлора по степеням w — (р — 1)/р:
1 _ 1 1 = 1 ул 1 (Р-1Г
р+1 Зр1-{р-1)/Ш Zpfe02«' '#

32. Интегральные преобразования полиномов
239
Проведя обратное преобразование Лапласа, с учетом (32.2)
получим
е_< = Ё 5=W£»(*)'
п=0
что согласуется с соотношением (30.3).
Пример 32.5. Найти Фурье-образ функции
f(x) = un(x).
Решение. По определению (22.2), (25.1)
e-**/2+2*e-t> = Jt Nnun(x)-(, Nn = (2"n!V^)1/2. (32.7)
n=0
Проведем преобразование Фурье левой и правой частей
соотношения (32.7) по переменной ж. Получим
ОО д,
e-f2F^pe-2/2^ = X:^fun(Pr,
^—' п!
п=0
где обозначено iZn(p) = Fx-+Pun(x). Вычислим
ОО
Fx^pe-**l2+2xt = -j= f dxe-ip*e-**l2+2xt =
— ОО
ОО
= 1 / dxe-(*+»>-2t)2/2e(ip-2t)3/2 _ е-р3/2+2ipt+2i1
y/2ir У
-ОО
Следовательно,
e-p>/2+2ipt+t> = у d2lLun(p)t\
Положив it = т, запишем
п=0
Nn,
e-pV2+2Pr-r==^fV»(_ir.-n(p)r„
п=0
С учетом (32.7) окончательно получим
^p^(x}=(-i)nu„(p). (32,8)

ГЛАВА 4
Гипергеометрическая функция*
В этой главе мы рассмотрим важный класс специальных
функций - гипергеометрические функции.
♦ Функция
р
оо UM*xn
PFq(ai,a2,.,. ,ар;Ь\,b2i... ,bq;x) = ^ ^ -
»• IK*»)» "'
1=1
называется обобщенной гипергеометрической функцией, а ряд,
стоящий в правой части формулы, — обобщенным
гипергеометрическим рядом. Здесь через (а)„ (п = 0, оо) обозначен символ Похгам-
мера (сдвинутый факториал)
(а)л = а(а + 1)(а + 2)...(а + п-1) = ^^.
33. Вырожденная гипергеометрическая
функция*
♦ Функция
Ф(а,с;ж) = iFi(a;c;x) =
а ж а(а + 1) я2 g(q + 1)(о + 2) ж3
cl! с(с+1) 2! с(с + 1)(с + 2) 3!
_Г(с)^Г(д + п)и" _f(a)n^n ,
~ Г(в) ^ Т(с + п)п\~~ 2^, (е)п n! { }
п=0 п=0
называется вырожденной гипергеометрической функцией, а ряд,
стоящий в правой части, — вырожденным гипергеометрическим
рядом. Здесь предполагается, что с не является целым
отрицательным числом, т.е. с ф — га, га = 0, оо.
Утверждение 33.1. Функция Ф(а, с; z), где z - комплексное
число, аналитпична на всей комплексной плоскости.
Исследуем степенной ряд
Ф(а,с;«) = Vti*(*), uk(z) = ^-fy
« (с), fc!
на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд из модулей.
По признаку Даламбера (признаку сходимости
знакоположительных рядов)

33. Вырожденная гипергеометрическая функция*
241
K+i(z)| .. (a)k+i(ck) \z\k\ а + А: \z\
lim —;—t 4I = lim — —- — — = lim , = 0 < 1
fc-foo \uk(z)\ *-юо (c)jfc+i(afc) (fc+1)! k->oo c + k k + l
для любого 2. Здесь мы воспользовались основным
функциональным соотношением для символов Похгаммера
(a)„+i = (a + n)(a)„, (33.2)
которое следует непосредственно из определения. Значит, ряд
сходится для всех \z\ < оо, и теорема доказана.
♦ Дифференциальное уравнение
ху" + (с - ж)у' - ay = 0 (33.3)
называется вырожденным гипергеометрическим уравнением.
Сделаем в уравнении (33.3) замену переменных
ф(х) = хс/2е-х/2у(х), у{х) = х~с/2ех/2ф(х). (33.4)
Получим
где обозначено
1 с — 1 с
a = — - — fc + w, с = 1 + 2u; г* = —-—, к = - — а.
♦ Уравнение (33.5) называется уравнением Уитеккера в
стандартной форме.
Теорема 33.1. Функции
у\ (х) = Ф(а,с;ж),
уо(х) = ж1_сФ(а - с + 1,2 - с;я),
Уз (ж) = ехФ(с-а,с;-ж),
2/4'(ж) = х1~сехФ(1 — а, 2 — с; —ж)
являются решениями уравнения (33.3).
(33.6)
Доказательство для функций yi(x) и 2/2(я) получаем прямой
подстановкой ряда (33.1) в уравнение (33.3). Для функции уз(х)
сделаем в уравнении замену переменных у(х) = exz(x). Тогда
у'(х) = e*[z(x) + z(x)]\
y"(x) = ex[z"(x)-{-2z\x)-[-z(x)].
Для функции z(x) получим уравнение
xz + (с + ж);г (с — а)г = О,
решением которого является функция z(x) = Ф(с — а, с; — х). Таким
образом, функция уз(х) — решение уравнения (33.3).
Доказательство для функции ул(х) аналогично доказательству для функции
Уз (ж).

242
.Глава 4. Гипергеометрическая функция*
Следствие 33.1.1. Если сфп,п=- —оо,оо, то
У(х) = Ciyi(x) + С2у2(х) (33.7)
есть общее решение (33.3).
Доказательство. Как следует из (33.1), функции yi (х) и уг(ж) при
указанных с линейно независимы и функция (33.7) — общее
решение (33.3).
Следствие 33.1.2. Справедливо соотношение
Ф(а, с; х) = е*Ф(с - а; с; -ж). (33.8)
Доказательство. Между у\(х) и уз(ж) существует линейная
зависимость
ayi(x) . + Руз(х) = 0.
При а; = 0 нетрудно получить
a + /3 = 0.
Следовательно, yi(0) = уз(0). В силу единственности решения
задачи Коши
2/1 (ж) = уз(ж),
и утверждение доказано.
Теорема 33.2. Справедливы рекуррентные соотношения
(с — а)Ф(а — 1,с;ж) + (2а — с + х)Ф(а,с;ж) —
-аФ(а + 1,с;ж) = 0,
с(с - 1)Ф(а, с - 1; х) — с(с - 1 + ж)Ф(а, с; ж) +
+(с - а)жФ(а, с + 1; х) = 0,
(а — с + 1)Ф(а,с;ж) — аФ(а + 1,с;ж) + (с — 1)Ф(а,с — 1;ж) = 0,
сФ(а, с; х) — сФ(а — 1, с; ж) + —жФ(а, с + 1; ж) = 0,
с(а + ж)Ф(а, с; ж) — (с — а)жФ(а, с + 1; х) — асФ(а + 1, с; х) = 0,
(о - 1 + ж)Ф(а,с;ж) + (с - а)Ф(а — 1,с;аз) —
-(с- 1)Ф(а,с- 1;ж) = 0.
Доказательство. Любое из соотношений проверяется прямой
подстановкой ряда (33.1).
Теорема 33.3. Справедливо следующее интегральное
представление:
1
*<***> = F(=№^)/^'""1(l-tre"* (зал)
о
»pw &< Re а < Re с.

33. Вырожденная гипергеометрическая функция* 243
Доказательство. Первый способ. Рассмотрим дифференциальное
уравнение (33.3) ^
Ly = О,
где обозначим
7- & ч d
* = **? + («-*>£-"■
Нетрудно заметить, что
Lte-V-'a + t)'-"-1] = -±[e-*'ta(l + t)c-°). (33.10)
at
Интегрируя тождество (33.10) no t в пределах 0 > t > — 1, считая
lie с > Re a > 0, получим, что функция
-1
у(х) = А I е-*'ь—%{1 + t)c-a~ldt
о
— рещение уравнения (33.3). Заменив здесь t —у — t и выбрав
множитель А из условия у(0) = Ф(а,с;0) = 1, получим (33.10).
Второй способ. Известно, что
^ п!
п=0
Подставим это разложение в (33.9):
1
n=0 0
Г(а)Г(с -а) *-^п\ v ;
Г(п + а)Г(с - а)
п=0
Учтя, что
В(п + а,с-а)_ .г(п + с) ,
получим ряд (33.1).
Пример 33.1. Доказать справедливость соотношений
е* = Ф(а,а;ж),
7"(1) = щЬ) (I)V**(l+ "•х + 2";2а:)' {ЗЗЛ1)

244
Глава 4. Гипергеометрическая функция*
in / \
-—Ф(а,с;х) = , ^п Ф(а -fn,c + n;i).
dxn (c)n
Доказать самостоятельно.
Пример 33.2. Получить первый член асимптотического
разложения Ф(а, с; х) при Re х —>• оо, если 0 < Re а < Re с; а и с ограничены.
Решение. Проведем в (33.9) замену переменной интегрирования t
на 1 — t и получим
1
О
Применив метод Лапласа, при Re х —у оо имеем
1
f-xttc-a-l(1_ty-l
**П£^2,
о
откуда окончательно найдем
Ф(а, с; х) ~ £руе*х°-с, Re х -> оо. (33.12)
Пример 33.3. Вычислить интеграл
ее
1 = Ie~xxnJtul'2Jl/{2y/q^)dx (33.13)
о
при q > О, Re(n + v + 1) > 0.
Решение. Подставим в формулу (33.13) разложение функции
Бесселя в ряд (3.6):
оо
4 l-j fcim + i' + i) /
*=° о
vli у Г(п + i/ -H + A;) (-g)fc
9 2-r r(i/ + l + fc) A:! *
Сравнив правую часть с формулой (33.1) и воспользовавшись
соотношением (33.8), получим

34. Гипергеометрическая функция Гаусса*
245
оо
[e.-xxn+''/'!Jv(2i/qZ)dx =
= -Г{;+1+1)1)е-^/Ч(-п,и + 1;Я). (33.14)
34. Гипергеометрическая функция Гаусса*
Свойства обобщенных гипергеометрических функций мы
продемонстрируем на примере функции, введенной в 1812 г. Гауссом и
получившей впоследствии его имя.
♦ Функция
F(o,6;c;x) = 2*(а, *>;<;;*) = V (£bi*kfl (34.I)
fo (С)" п!
называется гипергеометрической функцией Гаусса.
О Нетрудно заметить (см. утверждение 33.1), что ряд (34.1)
сходится при \х\ < 1. Из определения также следует, что
F(a,b\c\x) = F(6,a;c;x).
♦ Дифференциальное уравнение
х(1 - х)у" + [c-(a + b + 1)х]у -аЪу = 0, у = у(х) (34.2)
называется гипергеометрическим.
Теорема 34.1. Если сфпч п = — оо,оо, то функции
ух(х) = F{a,b;c;x), (343)
y2(x)-xl~cF(a-c+l,b-c+l;2-c;x) К ' }
образуют фундаментальную систему решений уравнения (34.2).
О Шесть функций
F(a±l,b;c;s), F(a,b ± 1;с;ж), F(a,b;c±l;x)
называются смежными. Можно показать, что между функцией
F(a,b;c;x) и любыми двумя смежными с ней существует
линейная зависимость, коэффициенты которой есть линейные функции
х. Эти соотношения впервые были найдены Гауссом. Например,
cF(a, b - 1; с; х) + (а - b)xF(a,6; с + 1; х)-
-cF(a - 1,6; с; х) = 0. (34.4)
Нетрудно получить, что
•¥-F(a,b;c;z)= (fl)"(b)n F(a + п,6 + щс + щх). (34.5)
azn (с)„

246
Глава 4. Гипергеометрическая функция*
Теорема 34.2. При Re с > Re 6 > 0 справедливо интегральное
представление
1
F(a,b;c;x) = r(b^_ ц/*'"'*1 ~ *Г*~'(1 - **)"*' (34.6)
Доказательство. Рассмотрим дифференциальное уравнение (34.2)
Ьу = 0, где обозначено
«^ d2 d
L = x(l- х) — + [с-(а + Ъ+ l)x]j- ~ ab.
Можно проверить, что
2[(1 - xt)-atb-\l - t)c-b~l] = -a4-[tb(l - t)c~b(l - tx)-a~l].
at
Проинтегрировав это выражение no t в пределах от нуля до
единицы, имеем (34.6), что и требовалось доказать.
Можно показать, что справедливо следующее
Утверждение 34.1. Справедливы следующие представления:
F(a,b;c;x) = (1 - х)~ар(а,с- 6;с; ^-) =
= (l-a;)-6F(c-a,b;c;-4T) =
= (1 - x)c'a-bF(c - а, с - 6; с; х) = (34.7)
+№jM,'-'("+1- *ь+- -:)•
Пример 34.1. Доказать, что при |х| < 1 справедливы
соотношения
1) т-^— = F(l,b;b;x);
1 — X
2) 1п(1 + я) =xF(l,l;2;-:c);
3) (l-*rb = F(a,6;a;x);
« *£:—'(№)■
Решение. Согласно определению, имеем

34. Гипергеометрическая функция Гаусса*
247
1) F(l,6;b;s) =
оо
*=1
1 • 2 • 3 • - • kb(b + 1)(6 -f 2) • - ■ (Ь + k - 1) fc _
■'Ш(Ь"+'1)(Ь + 2)--.(Ь + *-1) ^ "
00 i
*=1
4) **(i,l; §,«>)«
~*l+fe«*(*+l)-"(*+*-l)e r
При | аз | < 1 получим
l + x
2 3
Ь f^ = ln(l + x) - ln(l - x) = x - \ + %- - ,
1 — Ж Z О
, (-1)*-'** , _/
= 2*Y,w+i
? 3
2*
J)"
*=0
Пример 34.2. Доказать, что при любом натуральном к
справедливо равенство
£s[*c+k-4* - i)e+6-°+*F<*>M;c;*)] =
= (-l)*o(o-l)-.-(a + fc-l)6(b-l)---(b + fcr-i)x
xxc-l(x-l)a+b-cF(a,b;c;x), (34.8)

248
Глава 4. Гипергеометрическая функция*
где k
F<%,b;c;x) = ^F(a,b;c;x).
Решение. Запишем гипергеометрическое уравнение в
самосопряженном виде
d_
dx
[хс(х - i)»**-^1 5^1 + abx*-1 (х - l)a+6-cy = 0. (34.9)
Продифференцировав п раз функцию F(a,b;c;x), получим
(n) = a(a + l)---(a + nrl)b(b + l)-;-(b + n-l)
v ' ; с(с+1)..-(с + п-1)
х F(a + п, 6 + п; с + п; ж),
т.е. n-я производная от гипергеометрической функции с
параметрами a, Ь, с лишь постоянным множителем отличается от
гипергеометрической функции с параметрами a + n,b+n, с + n. Таким
образом, функция F^(a,b;c;x) удовлетворяет уравнению (34.9), если в
нем заменить а, 6, с соответственно на а + n, b + п, с -|- п, т.е.
— |хс+п(х- р«+»+1-с+п<*^(я)(д»Ь;с;ж)1 j
dx L dx J
+(a + n)(b + n)xc"1+n(x - l)a+6-c+nF^(a,b;c;x) = 0.
Продифференцировав это тождество n раз, получим новое
тождество:
dx
= -(о + п)(Ь +1.)^; [*"'+> - i)«»-t"F("l(„,6;С1.)].(34.10)
Положим в (34.10) п + 1 = к и преобразуем правую часть
получившегося соотношения с помощью (34.10), где, в свою очередь,
положим п = к. Проделав эту операцию к — 1 раз, придем к исходному
тождеству, справедливому при любом к.
Пример 34.3. Показать, что справедливо соотношение
Р»(х) = F (п + 1, -п; 1; i^), (34.11)
где Рп(х) - полиномы Лежандра (16.2).
Решение. Покажем, что уравнение Лежандра
(1 - х2)у" - 2ху' + п(п + 1)у = 0, п = 675^,

35. Функции Лагерра*
249
сводится к гипергеометрическому уравнению. Сделаем в уравнении
Лежандра замену переменных х = 1 — 2t. Тогда
1 -х ^__I^> d2y _ 1 d2y
2 ' dx~ 2dt' dx2 "~ 4dt2'
В результате получим
t{t~ 1]1? + (2t~ x)% "n(n + 1)y = °'
т.е. гипергеометрическое уравнение с параметрами а = п + 1,
6 = — п, с = 1. Следовательно, решением этого уравнения является
гипергеометрическая функция
yi(*) = F(n+l,-n;l;*).
Возвратившись к исходным переменным, видим, что функция
У1
(x) = F(n + l,-n;l;i-^)
является решением уравнения Лежандра.
Из определения (34.1) следует, что функция yi(t) является
полиномом степени п от t с коэффициентами при £*, равными
Г(п + 1 + к) Т(к - п) 1
Г(п + 1) Г(-п) к\'
Следовательно,
F<">(n + l,-n;l;t) = (-1)" -.. (34.12)
п!
Положив в (34.8) а = п + 1,/3 = —п, 7 = 1» с учетом (34.12) после
приведения подобных имеем
Р<"> (п + 1, -«; 1; t) = t^L *L[t»{t _ i)»].
Возвратившись к переменной ж, с учетом формулы Родрига (16.7)
получим
F(n+1,_n;1;i^) = _i_^_ir = Po(a:),
что и требовалось показать.
В частности,
P,(*) = f(2,-1;1;^) = х;
Р2(х) = F (з, -2; 1; Ц^) = |(3х2 - 1);
Рз(х) = F (4, -3; 1; Ц^) = i(5xs - Зх);
Р4(х) = Р(б, -4; 1; i^) = |(35х4 - ЗОх2 + 3).

250
Глава 4. Гипергеометрическая функция*
35. Функции Лагерра*
Функция
iTiuA- I) е~*/2х{1/-»)/2
'"Ы-у/цЛг)**-,**!)*-»"-"1^ (35Л)
называется функцией Лагерра.
Пример 35.1. Показать, что если ц = m — целое
неотрицательное число, то функции Лагерра связаны с полиномами Лагерра
соотношением
/Г(тп + 1)
УГ(1/+1)
W*) = \/ ^^Г^в"0/2*(У"т)/3^"те(*)- (35-2)
Решение. Воспользуемся формулой Родрига для полиномов
Лагерра (27.4)
= (П + а)ф(-гс,1+ (*;*). (35.3)
Здесь
fa\ _ a(a-l)-(a-n+l)
— биномиальные коэффициенты (см. одноименный раздел части I).
Из (35.3) и определения функции Лагерра (35.1) следует (35.2).
0 Из условий ортогональности полиномов Лагерра (29.1)
следует, что система функций Ia+n,n(x) при а > — 1 и целом
неотрицательном п образует ортонормированную систему
оо
/
Ia-\-n>n(x)Ia-\-tn,m(x)dx = 6mn. (35.4)
Пример 35.2. Показать, что для функций Iu^(x) справедливы
соотношения
/^(*)вУг(й + 1)г(У-м + 1)*(,/ + 1,'/"
/* + 1;-ж) =
оо
HVr^ + iir^ + i)
*:!Г(^-А! + 1)Г(1/-^ + 1)"
fc=0
*/2_(*-м)/2 " / 1 ^*TY„ 4-1 4. ЬЬг*
v/r^ + ^r^ + i)^; rv-^ + i + fc) и*

35. Функции Лагерра*
251
Решение. Первое равенство следует из определения функций
Лагерра (35.1) при учете (33.8). Второе равенство в (35.5) следует
из определения (35.1) при использовании разложения (33.1) и учете
равенства
Г(-т + к) . Г(т+1)
Г(-т) l ] Г(т+1-к)'
справедливого для целых неотрицательных к. Наконец, третье
равенство в (35.5) есть следствие первого при использовании
разложения (33.1).
О Используя определение функции Лагерра (35.1), из
соотношения (33.14) можно получить следующее интегральное
представление при Re(rc + 1) > 0:
оо
1п.т(х) = , С*2 /e-"y(n+m,/2J,)_m(2v^)dj/.
y/r(m+l)T(n+l)J
о
(35.6)
Рассмотрим простейшие свойства функций Лагерра.
Свойство 1. Справедливо соотношение
/„,-(*) = (-l)n-m Jm,„(*), (35.7)
если гс — га — целое число.
Доказательство следует из интегрального представления (35.6),
если учесть, что для целых гс справедливо соотношение (3.7)
Jn(x) = (-l)nJL„(_).
Следствие. Для полиномов Лагерра справедливо соотношение
Г(га + 1)(-1)ша:п1^т(_) = Т(п + l)(-l)nxmL™-n(x), (35.8)
если ?г, га — целые неотрицательные числа.
Доказательство. Подставим в обе части соотношения (35.7)
выражения (35.2) и получим искомое равенство.
Свойство 2. Справедливо асимптотическое разложение
lim /Р+«,р+*(^-) = Ja-fi(x). (35.9)
p-foo \4р/
Доказательство. Согласно третьему равенству (35.5), имеем
,*-/С^ (~l)kQk /**"
к = 0
где обозначено
IP+a.P+i,{4p)~e у ^_____(_J ,
(35 ДО)

252
Глава 4. Гипергеометрическая функция*
Qk = r(p + a + l+fc) р{0-а)/2-кя
yjT{p + а + 1)Г(р + /3 + 1)
Величины Qfc, /с = 0,оо, можно представить в следующем виде:
QJL1'
(1) _ Г(р + а + 1 + к) ia+1+k) inp
Г(р + а + 1
Г(р)
(2) _ Г(р + а + 1) (а+1)1пр
Qk -—щ
Q* - Г(р)
Исследуем их поведение при больших р. Из асимптотического
разложения Г(г) при больших значениях \z\ (формула Стирлинга)
T(z) в v^exp[(* - i) In* - a] (l + ^ + ...) (35.11)
следует
Um Щ±р-е-^' = 1. (35.12)
Отсюда получим
lim Q['] = lim Qk = 1, s = M,
p—ЮО p—ЮО
что в силу (35.10) приводит к выражению
-аЛ_ Wy* t1)*
fc = 0
которое с учетом (3.6) доказывает (35.9).
Свойство 3. Для функций Лагерра справедливы следующие
соотношения:
Дгп/р+а,р+,(^) = (|) Efc!r(a-/J+l + ib)(l) '
(35.13)
2V/x(^ + l)/l/+i,/i(x) = (i/ - /i + x)IUtlA(x) - 2ж/^(х); (35.14)
2Vx(ax+l)/^+i (ж) = (i/ - ai - *) W*0 + 2ж/^(ж); (35.15)
2<s/zul„-it$t(x) = (i/ - /i + rc)J„l#1(a;) + 2ж/^(гс); (35.16)
.2A/iA*/^l|J_i(a;) = (i/ - a* - ж)/„,я(:с) - 2ж/^(ж); (35.17)
2у/ЩИи^.\,11-\ (ж) = (i/ + fA - x)IVtlA(x) - 2xl'UtlA(x): (35.18)
2y/(v + l)(fA + l)Iu+itlA+l(x) =

35. Функции Лагерра*
253
= {у + I* + 2 - *)/„,„(*) + 2ж/^(я:). (35.19)
Доказательство. Любое из соотношений проверяется
подстановкой формулы (35.5) и использованием рекуррентных соотношений
(теорема 33.2) и выражения (33.11) для производной
гипергеометрической функции Ф(а,с;я).
Вычтя из формулы (35.16) формулу (35.14), а из (35.15) - (35.17),
получим
2y/xlitti(x) = y/vlu-\,p{x) - y/v + l/„+it/i(2;);
2y/x~l'v^{x) = y/jT+lIw+iix) - T/iHPtli-i(z). (35.20)
Сложив эти же формулы, получим трехчленные рекуррентные
соотношения по каждому из индексов v и [л:
\Jx{v + 1)/1/+1|/1(я:) - (i/ - м + aOJ„l/4(a:)+
+V^/i/-i(/i(x) = 0, (35.21)
\/{c(/i+ l)/*/,^+i (ж) - (^ - /i - a?)/iMi(:c)+
+<y/xiilytlt-i (х) = 0. (35.22)
Очевидно, из выражений (35.14)-(35.19) можно получить и другие
линейные соотношения, связывающие функции Лагерра.
0 При практическом использовании формул (35.20) нужно
проявлять некоторую осторожность в случае, когда один из индексов
стремится к нулю. Так, в первой из формул (35.20) прямым
вычислением можно найти (при любом /i)
2^Ц,„(х) = -^^уГ(м + 1)е*/2*~("+1)/2 - h,„(*), (35.23)
7Г
т.е. имеем
lim ч/bh-xA*) = -^Vr(M + l)e*/2*-("+1)/2, (35.24)
I/-+0 7Г
что можно получить непосредственно из второго разложения в
формуле (35.5).
С другой стороны, прямое вычисление дает
2T/xllt0(x) = Iv,i(z). (35.25)
Сравнив (35.25) со вторым равенством в (35.20) при /i —У 0, получим
lim у/Ц1„1§л-1 (х) = 0. (35.26)
Пример 35.3. Определить асимптотическое поведение при v —> оо
функций IUttt(x) с фиксированными /х, х.

254
Глава 4. Гипергеометрическая функция*
Решение. Приняв во внимание соотношение (35.13), получим из
второго разложения в ряд (35.5)
^/2(и~И)/2и
(-*)
Л/,МЖ) ~ N ———.
При ^ —> со и ограниченных ji, ж окончательно найдем
1*Л*) ~ • (35.27)
Vr(i/ + l)r(/i + l)
Пример 35.4. Определить асимптотическое поведение при ^ —>• со
функций /„,,,(#) с фиксированными v, х.
Решение. Пусть разность v — /л не равна целому числу.
Воспользуемся очевидным равенством (к — целое)
Г(ц — v — к)
_ 7Г 1 _
sin7r(/i — v — к) T(fx — v — к)
= {~1)ктпж(ц-и)Г{ц-и-к)' (35'28)
Первое разложение в (35.5) перепишется в виде
1.Л*) = sin^-^)^r(t/ + 1)r(M + 1)x
7Г
xeWV^/2V^-rfc;^. (35.29)
Учтем соотношение (35.12) при ц -> со и получим
7Г/.Х ~
где f и ж ограничены, a i/ — ц не равно целому числу. Если v — fi
равно целому числу, то соотношение (35.7) сводит пример к
предыдущему.
Пример 35.5. Определить асимптотическое поведение функций
/а+п,п(а:) при n-^оои ограниченных а, х.
Решение. Первое разложение в (35.5) можно записать в виде
/а + п.п(я) = е-*/2Яа/2Х

35. Функции Лагерра*
255
f. / Г(п + а + 1)Г(п + 1) (~x)k
х Z^ У Г(п - к + 1)Г(п - fc + 1) *!Г(а + * + 1)" l '
Воспользовавшись формулой (35.12), при п -» оо найдем
* = 0
= e-x/2Ja(2v/nJ). (35.31)
Учтем асимптотическую формулу для функций Бесселя (7.16) и
окончательно получим при п -> оо
/a+n,n(x) « (Jng)1/4 cos(2v^S- f a - ^). (35.32)
Пример 35.6. Вычислить сумму
оо
^ = 22 Ia + n,n(x)IQ + n,n(y)zn.
n=0
Ревдение. Используя интегральное представление (35.6) для
Ia + n,n(y)i ПОЛУЧИМ
/°° оо
фе-у/2Л(2у^)У J **+п,п(*){р*)п t
С учетом суммы (35.76) для S имеем
оо
S = el—9)l*j-*'> j Ja(2x/xp)Ja(2y/y^p)dp.
о
Наконец, воспользовавшись результатом (36.10), для \z\ < 1
окончательно найдем
7 *а + п,п (x)/a + n,n(y)2n =
п=0
z~a/2 /Z + 1XA.V\ (2JxyZ\
=—Ч^^МтУН- (з5-зз)
Заменив здесь z на —z, получим
оо
2j(-l)n/a + «,n(a0/a + »,n(2/)3n =

256
Глава 4. Гипергеометрическая функция9
Пример 35.7. Показать, что система функций IQ+n,n(x), х > О,
удовлетворяет условию полноты на полуоси х > О, т»е.
^2 ^о + п,п(я?)/а + п,п(у) = S(X - у). (35.35)
Решение. Рассмотрим функцию KQ(z\x,y), определяемую
соотношением
ы ( \ Z~Q/2 (z + lx + y\T (2у/хуЕ\
36)
при дополнительных условиях \z\ < 1, Re а > — 1, ж > 0, у > 0.
Тогда из соотношения (35.33) следует
оо
^/а+п,п(а:)/а+п,п(у)2п = Ka(z;x,y). (35.37)
п=0
Таким образом, утверждение будет доказано, если будет показана
справедливость соотношения
lim KQ{z;х,у) = 8(х-у), х > 0,у > 0. (35.38)
z-fl—0
Рассмотрим произвольную основную функцию ip(x) такую, что
существует интеграл
оо
JQ(z,x) = / <p{y)Ka(z;x,y)dy. (35.39)
о
Сделаем в интеграле (35.39) замену переменных
у = x + 2uy/x(l - z),
В результате получим
оо
JQ(z,x)= / <р(х + 2uy/x[l - z])Ra(z;x,u)du, (35.40)
где
Ra(z;x,u) = 2^(1 - z)Ka(z;x,x + 2иу^а;[1 - *]),
При г —> +оо имеет место асимптотическая оценка (7.12):

35. Функции Лагерра*
257
/0(г) ==. (35.41)
у27гг
Отсюда при z —> 1 — 0 следует асимптотическая формула
^а(^;х,у) - PLVV _l!i_^—'"гЛ, (35.42)
2у%(1 - ^J^/xy
приводящая к следующему предельному соотношению:
lim Ra(z;x,u)= ехР(~ц \ (35.43)
z-И-О у/Ж
с учетом которого из (35.40) получим
оо
lim JQ(z,x) = <р(х) [ СХР("Ц ^ц = *>(х). (35.44)
г—►!—0 У у/ТГ
— оо
Здесь мы учли, что q -> оо при 2 -> 1 — 0. В силу
произвольности функции (р(х) соотношение (35.38) доказано и, следовательно,
условие полноты (35.35) справедливо.
Пример 35.8. Вычислить сумму
~ Г(0 + п + 1)гО
п=0
Решение. Подставив сюда выражение (27.5) для ££(я), запишем
оо п
м ' ; ш!Г(п - m + 1)Г(а + п + 1)
Поменяв порядок суммирования, получим
оо оо
m=0n=0
(-sz)m ул znT(fi + m + n + 1)
m=0 n=0
^ т!Г(а + т+ 1) ^
%\T(a + m+l)^ n!
v ' n=0
Воспользовавшись известным разложением в ряд Тейлора

258
Глава 4. Гипергеометрическая функция*
для S%(ж,z) запишем
S,(*,*)-(l-«) bw!r(a + m + l)l^Tj -
m=0
-<-)--ДйЬ»(»*»«^1)-
С учетом свойства (33.6) вырожденной гипергеометрической
функции окончательно найдем два представления для S:
-ХтЬ":">-'»(,+*'+"'^1)-
= ^тЬ<1-"»-'»-""-"*(»-л1+-^т)'^-«'
где |з| < 1 и /3 не равно целому отрицательному числу. Если здесь
полиномы Лагерра выразить через функции Лагерра и учесть
соотношение (35.1), то получим
^ . гр9 + я + 1) ;,„_
2^Г(а + п + 1)Г(п + 1)7о+°'"(Х,г "
п=0
= ^Г(1+/3)Г(1 + /3-а)*-а/2х
/z ~\~ 1 ж\ / XZ \
* [,.,|.U ехР(т=Т 2 Jf^-° U^lJ' (35-47)
где также |г| < 1, а /9 не равно целому отрицательному числу.
При a = /3 из (35.46) получим производящую функцию для
полиномов Лагерра
*%{*,,) = j>-(*)*n =(i-2).^exp(r£l)' (35>48)
» = 0
где |z| < 1, а из (35.47)
S*(x,z) = 2^y Г(.1+п) /o+w>w(a;)g =
Согласйо интегральной формуле Кошй, из (35.46) для целых неот-
1Шатей&н&* п йайдем Щ*ёйстайлёнйе

35. Функции Лагерра*
259
/а+"',(х) - УГ(1 + a + n)W f (1-«)'+««»+»' (35'50)
где 0 < р < 1.
Пример 35.9. Для целых неотрицательных п доказать
соотношение
k=0
/Г(1 + п)Г(1+$ + к)
XVr(l+i)r(l + a + u)WW' (35'51)
Решение. Выразив полиномы Лагерра L„(x) и £п(я) в (30.8)
через функции Лагерра 1а+п,п(х) и 7/3+*,* (ж) согласно (35.2), получим
(35.51).
Пример 35.10. Вычислить сумму
S(x) = S?f{x) = ]Г /*+„,.»(*)/*+„,„(*)• (35.52)
fc = 0
Решение. Продифференцируем (35^52) по х:
S'ix) = [S"f (*)]' =
I
= ^ [/1+^,-то(я:)/*+|11п(ж) + /jt+/i,m(x)/i+M>n(a;)]. (35.53)
Вычтем (35.14) из (35.16) и получим
I'n,m(x) = -^[Vnl„-l,m(*) ^V^TT/n+l.m^)]. (35.54)
Подставив (35.54) в (35.53), найдем
2v^S'(s) = £ Qfc~ Y, Q*+1'
* = 0 fc = 0
где
Qk = \Д+^[Д+/<_1,т(ж)Д.+м,п(а;) + /fe+^,m(a;)Jfc+^-i>n(jn)].
Сделаем во второй сумме замену к —> к — 1:

260
Глава 4. Гипергеометрическая функция*
i f+i
2y/iS\x) = ]Г<?* -^Q* =
= Qo + J^Qk
*=1
Окончательно имеем
*=o
-Q/+i -
*;=i
-E<?*
*=i
5,(Ж) = ^V^ [//i-1'm(X)/^n(a;) + W*)V-l,n(*)]-
~2V ж [/i+n,m(a:)/i+M+iln(a:)+
+Ji+/i+i,m(s)/i+^„(a;)]. (35.55)
Учтя (35.27), видим, что
oo
Я™'*» = ^ /fc+^mWWnfc), (35.56)
причем из (35.55) при Z —>- oo найдем
^Я?'В(«) = |\/|[^-1.т(*)^.»(я!) + W*)/„-i,„(*)l. (35.57)
Для 5(ж) тогда легко получить
ЗД» = *?'» " TO+iC*)- (35.58)
Из (35.57) найдем
X
ФЧ*) =\J л/|[^-1,т(у)/я,п(у)+
о
+/,i.m(y)/^-i,n(y)]rfy, Re (2/i - m - n) > 0. (35.59)
Бели тип- целые неотрицательные числа, то от ограничения
Re (2/i — m — п) > 0 можно освободиться следующим образом. Для
любых [а, тп, п всегда существует такое целое /, что
Re (2/i + 2/ + 2 - m - п) > 0. (35.60)
Из (35.58) имеем
JC+?+l(*) = *"'» - SZy(z), (35.61)
а для #™+?+1(ж) в силУ (35.60) справедливо (35.59), т.е.
«?+?+!(*) = I / у/^г1 [^+|,«Ы^+|+1.»(»)+

35. Функции Лагерра*
261
+//i+«+ifm(y)/^+i,n(y)]di/. (35.62)
Учтем, что при целых га, п конечная сумма (35.52) обладает
свойством ,
lim 5^;п(х) = 0, (35.63)
хчоо
и из (35.55) получим
s™i"(*) = J j ^/M±Ll[/ji+(m(y)//i+(+in(y)+
О
+ /^+1,т(у)/,д+1,п(у)]<*У-
oo
~* / ^[7"-'.m(j/)^,n(y) + /p.n.(»)/p-i.»(v)]d». (35.64)
X
Подставив (35.64) и (35.62) в (35.61), найдем
*C+?+l(*) = J / У^^[^+«.т(у)/р+.+ 1,»(у)+
0
+/#i+l+l,m(y)/|i+I,n(y)]rfy-
oo
-i У J£[l*-i,mW*.«(v) + W»)/m,.(»)]*. (35.65)
X
С учетом (36.26) окончательно имеем
oo
Я?1» = *«n ~ \ J J^[/p-l,m(y)/p,„(y)+
X
+ /^,m(y)/p-lfn(y)]rfy, (35.66)
где га, n - целые неотрицательные числа.
Соотношения (35.57) и (35.58) имеют место при любых
значениях параметров /i, тп, п, и, следовательно, Д£'п(а:) определяется
квадратурой от правой части (35.57)
RZ>n(x) = R™>n(a)-
a
-\J jJ[Vl,m(y)/p,n(y) + ^,m(y)Vl,n(y)]dy, (35.67)
X
где a произвольно. Если га, п - целые неотрицательные и /и = 0, то,
учитывая (35.24), получим
/Сп(*) = *т». (35.68)

262
Глава 4. Гипергеометрическая функция*
Пример 35.11. Вычислить сумму
оо
Rnrn(z;x,y) = }Iktn(x)Ik,m(y)zk,
k
где га, n - целые йеотрицательные числа.
Решение. Из (27.13) запишем
Г(1+п)
С учетом (35.70) для суммы (35.69) найдем
_(*+y)/2 _n/2 -т/2
Rn'™(z;x,y) = У=^ х
д/Г(1 + п)Г(1 + т)
L +
fc!
<Г d» ^[(l + T)(l + Q«ySfl» _gr.yt
Вычислив сумму по /с, получим
-(*+Sf)/2 _-n/2 ,.-т/2
Д"-га(*;*,у) = У=- х
,/Г(1 + п)Г(1 + т)
dm jn
x___5L_e(l-fr)(l + e)zv/xy-*r-yt
dfcm drn
Легко видеть, что
dn
-,—<
drn
Jl + rJIl + tJxv/xy-xr-yt
и для суммы (35.69) получим
т . /яри — I?гХч\ Im _
Rn'm(z;x,y) =
ezv/iy-(ar+y)/2^-m/2
V^rCl + n^lH-m)
^[(i + *)^-VS]V^-«^
dfc
Положив здесь
fc =
(35.69)
= Уг|ШеХ/2х(п"а)/2/л^(:с)- (35*70)
(35.71)

36. Интегралы, содержащие специальные функции*
263
приведем (35.71) к виду
Л (z;x,y) = . =— —
} у/Г(1 + п)Г{1 + т) **" ещг
Здесь учтено, что из условия t = 0 следует т = 0, и обозначено
q = — = х + у - y/zyiz + - 1. (35.72)
Воспользовавшись (35.70), окончательно получим
Rn-m(z;x,y) = ^2h,n{x)Ik,m(y)zk =
К)]
x/n.mfs + j/- y^U* -J J, (35.73)
= 2(m+n)/2
**z3l_r^ + rl|x
\ г- Г I eXp
где 77i, ?г - целые неотрицательные числа. В частном случае z = 1
найдем
ее
Дп'т(1;я,у) = 5]Л1П(«)Л,™(У) = Jn,m.([Vv - V5)a). (35.74)
л-=о
Отсюда, положив у = ж, получим (35.52).
Пример 35.12. Доказать соотношения
у Ia+n,n(*K = e*-*/2z-a/2Ja(2Vxl); (35.75)
^Г(п + 1)Г(п + « + 1)
Решение. Выразив в (30.7) полиномы Лагерра с помощью (35.2)
через функции Лагерра /a+ni„(ж), получим (35.75). Аналогичные
вычисления приводят к сумме (35.76).
36. Интегралы, содержащие специальные
функции*
Введенные выше гипергеометрические функции и функции
Лагерра позволяют получить явные выражения для некоторых
интегралов, содержащих специальные фуйкг&и. Проиллюстрируем это
на ряде примеров.

264
Глава 4, Гипергеометрическая функция*
Пример 36.1. Вычислить интеграл
со
/ s f e^L^(x)xu/2J42^)dx, Re(i/+ 1) > 0. (36.1)
о
Решение. Подставив в формулу (36.1) выражение (30.12), найдем
1=В-1)* (»-1) h J <-х*к+,"2м^)<ь =
= D-4'(n^)i^Tr«-V4«-^+l!,).
Но, согласно (33.11), для целых k имеем
«(«)-(* J ")*(-*, j'+i;e) =
что приводит к выражению
fc=0
Отсюда, согласно (30.8), окончательно получим
со
j e"vL^{x)xul2Jl/{2y/qi)dx = (-l)ne"V/3bn"°"n(e). (36.3)
о
Пример 36.2. Вычислить интеграл
ее
J = />e-*C(x)^(x)x(a+«/2JQ+^(2v^)dx,
о
Re(a + /3 + 1) > 0.
Решение. Воспользуемся формулой Родрига для полиномов Лагер-
ра (27.4) и перепишем интеграл в виде
со
J = f^TTT)/^*'^(*)*<e+w/aJ«+*(2^^-V"+e.

36. Интегралы, содержащие специальные функции*
265
Проинтегрировав это выражение по частям га раз, с
использованием формулы Лейбница находим
J = J~1)m [ dxe-*xm+a х
Г(т + 1) J
О
-1£&£(" )«--~[£-,-я*«е>»] х
' fc = 0
Х[^«,0+Я/3^(^-
Это выражение с помощью формулы
±xaLZ(x) = xa-1LZ~1(x), (36.4)
которая следует из (28.5), и соотношения (28.8) приведем к виду
j и-ir £(-!)'(r-?)V*
оо
х [dxe-*L*-m+k(x)xla+W>2Ja+Kk(2^).
О
Вычислив с помощью (36.1) интеграл в этом выражении, получим
J = (-1Г+"ЬГ"""(д)е-у«+">" £(-1)* (£ti) ^.
fc=0
Наконец, согласно формуле (30.12), окончательно находим
оо
I e-^(a+«/2L° (x)L'n(x)Ja+0(2jqZ)dx =
О
= (-l)n+me-VQ+^)/2^+n~m(x)Ljla+m-n(a;) (36.5)
при Re(a+/? + l) > 0. Бели здесь полиномы Лагерра выразить через
функции Лагерра согласно (35.2), то получим
оо
/ Im+a,m(x)In+p>n(x)Ja+/3(2y/qx)dx = Jn+a.mfa) ^т+/9,п (?) (36.6)
при Re(a + /3 + 1) > 0, га, п = 0, оо.

266
Глава 4, Гипергеометрическая функция*
Пример 36.3. Вычислить интеграл
ОС
о
Re(a + /3 + 1) > 0.
Решение. Пусть для определенности п ^ га. Как и в примере 36.2,
воспользуемся формулой Родрига для полиномов Лагерра (27.4) и
после интегрирования по частям получим
оо
0
xi*<«>sH«"»(m+e)/9] =
оо
Продифференцировав выражение в квадратных скобках по формуле
Лейбница, с помощью (5.11) и (36.4) запишем
m
V * = 0
оо
о
Воспользовавшись в интеграле формулой Родрига для полиномов
Лагерра (27.4), перепишем интеграл в виде
2-J (п - m + k)\(m - k)\k\
оо
0
Проинтегрировав по частям, с учетом формулы (5.10) имеем
m ( \*
/ - / 1 \n+m (n-m)/2 V^ l~g' х
•'-V ^ ^ 2L, (n-m + k)\(m-k)\k\
оо
/•
х / e-Ix"+"+,e-"+m-",/iJQ-^m-n(2v^i)^.

36. Интегралы, содержащие специальные функции*
267
Из последнего соотношения с помощью (33.14) найдем
/_ г-1у»+™ Г(а + т+1) -«_<«-/»)/2 v
1 ; Г(п + 1)Г(а-/3 + т-п + 1) * Х
*=о
Наконец, воспользовавшись формулой (30.12), окончательно запи-
оо
- ( лп+m Г(т + а + 1)е-уа"Д/а г»-т,.
-I ^ Г(а~/3 + т-77. + 1)Г(п + 1)^т W*
хФ(-?г-/?,а -/? + m-n + l;g) (36.7)
при Re(a + /3 + 1) > 0.
0 Если воспользоваться соотношениями (35.1) и (35.2), то
формулу (36.7) можно представить в симметричном виде
со
/ Im + a,m(x)In+0,n(x)Ja-l3(2y/qx)dx =
= (-l)n+m/n,m(«)/m+a,n+/l(9) (36.8)
при Re(a + 1) > 0, га, n = 0, oo.
Пример 36.4. Вычислить интеграл
- oo
J= je"apJa{2,/x-p)Ja{2y/^p)dp
о
в предположении, что Rea> — 1 и Rea > 0.
Решение. Заменив в интеграле одну из функций Бесселя, согласно
определению (3.6), ее разложением в ряд
(-1)П(*Р)
п=0
*""«>-Е^яКй^йт
получим
^l(^:::7'-v"^^ <«*

268
Глава 4. Гипергеометрическая функция*
откуда с учетом (35.6) найдем
J
- I (*\а/V*/2 V- (-1Г(Е/аГ/а+п,п(г//а)
Ш) •■"••£
^ уТ(п + 1)Г(п + а + 1)
С учетом суммы (35.76) для \z\ < 1 окончательно запишем
оо
apJa(2^)JQ(2,/w)dp= Ie-(^)/o/afb^V (36.10)
/е Uayty/xpjuayu^/ypjup = -е ia i i
0
Пример 36.5. Вычислить интеграл
оо
Решение. Подставив разложение в ряд функции Ia(x) (6.5), после
замены переменных у —>• у/а получим
7e-V+(a+/3)/2<&
j-a-^<4b-Y/2T(b-Y^
\aj Z-Ла/ Г(а + п+1)Г(п-
п=0
Г(а + п+1)Г(п + 1)
= ^0/2 /Ъу'* у. Г(п + 1 + [а + /9]/2) /Ь\" =
\а) Z-* п!Г(а + п+1) W
Итак, при Re a > 0 окончательно имеем
' в""V/3/«(2^) «fo = a-1"^2 (£) "/2 x
Пример 36.6. Вычислить интеграл
оо
/■
оо
S= J x~xJu{ax)dx, -Rei^- 1 < Re Л < -. (36.12)
о

36. Интегралы, содержащие специальные функции*
269
Решение. В формуле (33.14) сделаем следующие замены и
переобозначения:
х -> ax , q=—, _2п=1 + ^ + А,
4а
и получим
/
-а*^-л т ,_4J_ _ Г([1/ - А + 1]/2) а"_
21+Т(
V + A + 1
v ' 21+"Г(1 + 1/) а(х/_А+1)/2
<-'*(^f^,l + ^^). (36.13)
Перейдя в (36.12) к пределу при а -> 0, с учетом асимптотической
формулы (33.12) для вырожденной гипергеометрической функции
найдем
оо
/
в—VAJ (ax)dx -£1- Г([^-А + 1]/2)
е х J,(ax)dx- 2А -г([1У + А + 1]/2) (36-14>
О
при условии —1/2 < Re Л < 1 + Re и.
Пример 36.7. Вычислить интегралы
оо
О
оо
J2= f e-a»ym+a/2Ja(2^)dy,
О
если Re (га + a -f 1) > 0, а > 0.
Решение. 1. Сделаем замену переменной у —>■ у/а и введем
обозначение х = Ь/а. Получим
J1=Ja-<m+1+a/2>,
где
оо
J= [e-»ym+a<2Ia(2^y)dy.
о
Подставив сюда разложение Ialq) в ряд Тейлора (6.5) и использовав
формулу (33.1), найдем

270
Глава 4. Гипергеометрическеа функция*
__а/2^Г(а + т + fc + 1) *_
-* 2^ Г(а + Г ■ " ~
Г(а + Ь + 1)
Г(а + т + 1)Л/ . „ .
С помощью (33.6) окончательно запишем
оо
Г(т + а + 1) Ь°'2 ^ fc\
= —Чг; ;—*• ;—tt$\<* + тп + 1,а + 1;-| =
Г(а + 1) от+°+1 V а/
= Г(а + 1) a^+.$(-m'U + 1;-a)' (36Л9>
где Re (т + а + 1) > 0, а > 0.
2. Аналогичные вычисления приводят к следующему
результату:
оо
J2= /е-а"ут+"/2Л(2ч/Ьу)^ =
о
Г(т + а + 1) Ьо/2 ^ , ,, ,, Ь\
= Кп/ г— ;—ггФ( а + т + 1,а + 1; =
Г(о + 1) ат+а+1 V ' ' a J
= —Чг; г— , ,, Ф -т,а + 1; - , (36.16)
Г(а + 1) а™***1 V a)' v ;
где Re (га -f- а + 1) > 0, а > 0. Несложно убедиться, что формулы
(36.15) и (36.16) получаются друг из друга заменой 6 -» —Ь.
Пример 36.8. Вычислить интеграл
оо
J= |e-<,y/Q(2V/by)/a+n,n(y)dt/, Re(2a-1)>0, Re a > -1.
Решение. Обозначив g = о - 1/2 > 0 и использовав для функции
Лагерра второе разложение В ряд (35.5), запишем

36. Интегралы, содержащие специальные функции*
271
* = 0 v '
оо
x(-l)* fe-,"yk+a'2Ia(2^)dy.
О
Интеграл по у вычисляется по формуле (33.13), и для J получим
[Г(1 + а + п)Г(1 + п)]-1/2 Ь°/у/«
Г(1 + а) ^ + а Х *
fc=o v '
При целых /с
что приводит к следующему выражению:
J = [Г(1 + а + п)Г(1 + п)]"1'2 ^—^— v
к
i+<*
Положив в (27.7)
1 Ь Л
Я Я
получим
i + ^Vi + c?; V r(i + «)
Подставив сюда q в явном виде и введя функции Лагерра,
окончательно найдем
/«-'-(» v^K.+-.-(»)* « 5STT (Sri) "+0/а *
xexp(4^-г)/o+"'"(4^т)• (36Л9)

272
Глава 4, Гипергеометрическая функция*
при условиях Re(2a — 1) > 0, Rea > — 1. Если п - целое
неотрицательное, то ограничение на а можно ослабить: Re(2a+ 1) > 0.
Формально ряд (36.18) сходится лишь при \q\ > 1, что соответствует
Rea > 3/2, однако интеграл слева в (36.19) существует при Rea >
1/2 для любых комплексных п, для которых имеет смысл функция
Ia+n,n(x), а для целых неотрицательных п при Rea > —1/2 правая
часть (36.19) есть очевидное аналитическое продолжение исходного
интеграла в эти области. В частности, для целых неотрицательных
п интеграл (36.19) существует при a = 1/2, и предельный переход
при a —> 1/2 в правой части приводит к результату
оо
/e-y/2/a(2V^)/Q+n>n(y)dy = (^1)We*gW^/a==> (36.20)
J ^Г(1 + а + п)Г(1 + п)
где Rea > — 1, n - целое неотрицательное число.
Пример 36.9. Вычислить интеграл
со
J = I e-a4a(2y/ty)Ia+n,n{y)dyy Re(2a-1)>0, Rea >-1.
Решение. Аналогично примеру 36.8, но использовав для функции
Лагерра разложение в ряд (33.14) вместо (35.5), получим аналог
формулы (36.18)
J =
х/Г(Ц-а + п)Г(1 + п)]а1+°
„Г(1 + а + п + А:)/ 1\* о/ Ь\
2. Г(1 + а + *) \-q) Lk\—q)> (36*21)
где q = а — 1/2. Положив в (27.7)
1 b a
х = -, р = а -f п,
Я Я
получим
ее
[e-ayJQ(2y^)Ia^n>n(y)dy =
о
/Г(1 + a + n) b^/2e2b/(l-2a) , 2 у+ о
~У Г(1 + п) Г(1 + а) V2a + 1/ >
/2а-1\" / „ 46 \

36. Интегралы, содержащие специальные функции*
273
/Г(1 + a + n) 6Q/2e-2b/(1+2^ / 2 \ *+■«
~V Г(1+п) Г(1 + а) \2а + 1/ Х
где Re(2a — 1) > 0, a > — 1. Второе представление (36.22) допускает
и такую запись:
О
хехр(г^)/а+-(г^)' (36-23)
аналогичную (36.19). И здесь для целых неотрицательных п
интеграл существует, если справедливы условия Rea > —1/2, a > — 1.
При a = 1/2 предельным переходом получим
оо
/ e~y/2Ja(2y/aPy)Ia+n,ri(y)dy =
e-*xa/2
(36.24)
у/Г(1 + а + п)Г(1 + п)'
где о: > — 1, п - целое неотрицательное число.
Пример 36.10. Вычислить интеграл
СО
Jnm = - / Л/ [/а,т(ж)/о+1,п(ж) + /a+l,m(^)/a,»(^)]dx,
0
где Re а > (га + п)/2 — 1, га, ?г - целые неотрицательные числа.
Решение. Выберем при га фп
/3 = а-
га -f п
и воспользуемся формулой (35.51) для каждой функции Лагерра в
подынтегральном выражении. Получим соотношение
-J—[la.mW/e+l.n^) + Ia+l,m(x)Ia,n(x)] =
2Г(1 + а)^-^^-^ V n-k )\m-s)^
/ rn±n _ -I _ \ / m+n jl\ "I
+ ( 2m-s )( £_**) W.»(.)W<*),

274
Глава 4. Гипергеометрическая функция*
где обозначено
2 Г(1 +п)Г(1 + т)Г(1 + /3 + /с)Г(1 + /3 + <)
W Г(1 + Л)Г'(1 + *)
Если учесть тождество
то легко получить соотношение (пф тп)
СП-гйЫг). <—)
?г — А; ) \ m — s )
/m±n _ i _ 3\ /m+n _ fc\
\ m — s )\ n —k ) ~
= 2(fc - 8) /a±a - l - fe\ /ffl±a - i - д\
n_mV n - А: у V m-s y*
Таким образом, ДЛЯ Jnm при пф m получим
n m
fc=0 a=0
\ m — s у
о
Условие ортогональности (35.4) приводит к результату
Jntn = О, тфп.
При га = п получим
Jmn = I \1 Ia+ltn{x)Ia,n(x)dx, Rea > П- 1.
о
Положив в формуле (35.51)
а = а + 1 — п, /3 = a — п,
найдем
fc=0
/r(l + n)r(l+o-n + fc)r , .
:V Г(1 + *)Г(2 + а) '-»+*•*(*).

36. Интегралы, содержащие специальные функции*
275
что приводит к следующему выражению:
7 -V /Г(1+")Г(1+а-п + Ь) [
Jnn ~ Ъ\1 Г(1 + *)Г(1+а) У '-.»(*)/-»+*.*(*)«**•
Но в силу (35.4) имеем
ОС
/ Ia>n{x)Ia-n+ktk(x)dx = <5П*,
О
и в этом случае Jnn = 1. Окончательно получим
2 / у^^[/в,т^*в+1,п^+
о
+/в+1,т(ж)/а,»(:с)]Жг = <5тп, (36.26)
где Re а > (га + п)/2 — 1; га, п - целые неотрицательные числа.
Пример 36.11. Показать, что при Re(n + v) > 0 справедливо
соотношение
/= / Jn{x)Ju{x)—£ =
О
2-АГ(Л)Г(^Л±1)
= Г(я±*±М1)г(я^^
Интеграл (36.27) называется интегралом Вебера-Шафхейтлина
Решение. Воспользовавшись представлением (3.33), получим
(36.27)
«г/2
I = — / d<£ cos([/li — v]<p) I x~x Jn+v(2x cos 4>)dx.
о 0
Внутренний интеграл по x вычисляется с помощью (36.13)л
о
Внутренний интеграл в (36.28) лишь обозначениями отличается
от Интеграла (1.40.21), и окончательно найдем, что соотношение
(36.27) справедливо,

276
Глава 4. Гипергеометрическая функция*
Пример 36.12. Показать, что при х > 0, у > 0, Re а > —1
справедливы соотношения
/ J*(2<fefiJa(2y/yp) dp = S(x - у), (36.29)
о
оо
/ Ja(xp) Ja(yP)p dP = 6Л^1 = fcj/1. (36.30)
J л/ху х
о
Решение. Воспользуемся соотношением (36.10):
оо
JZ(x,v)= [ e-apJa(2^)Ja(2y/&)dp =
о
= Ie-(x+»)/o/a (h@\ (36.31)
и заменим в нем функцию Бесселя Ja(2y/xp) разложением (36.9).
Тогда
оо °°
о=0 „
С учетом (36.16) и (35.1) получим
Г(х v\-1 (XV2 с'»'™ V (-l)n(^/«)n/a+n,n(y/a)
•M*'W--VJ e 2^ Г(1+п)Г(1 + а + п) •
Покажем, что справедливо предельное соотношение
lim J?(x, у) = 6(х -у), х > 0, у > 0. (36.32)
Q-+ + 0
Для.этого рассмотрим произвольную основную функцию (р(х) и
вычислим интеграл
оо
Ja(x) = I <p{y)JS(x,y) dy, Rea > -1. (36.33)
о
Сделаем в (36.33) замену переменных
у = х + 2Ьл/ах, dy = 2y/axdt,
тогда для пределов интегрирования получим

36. Интегралы, содержащие специальные функции*
277
-</<£< оо, где q= ^у^-
В результате найдем
сю
J°(x)= dt(p(x-\-2ty/ax)Ra(a;x,t), (36.34)
-я
где
Яа(а;ж, t) = 2y/axJa (ж, ж •+■ 2£\Лхж)«
Воспользовавшись асимптотической оценкой (7.12)
ех
Ia(x) ==, ж ->■ +оо, (36.35)
у2тгж
получим
lim Да(а;ж,0 = еХР(~^2).
Следовательно,
сю
lim JZ(x) = tp(x) [ еХр("Г) dt = <p(x),
a-Ц-О J y/TT
— СЮ
и, по определению дельта-функции Дирака, соотношение (36.29)
справедливо. Сделав в (36.29) замены р -> р2, х Ч- х2/4и у -¥ у2/4,
с учетом свойств дельта-функции получим (36.30).

ГЛАВА 5
Ряды Неймана и Каптейна*
В этом разделе мы рассмотрим некоторые приемы,
позволяющие находить суммы рядов по специальным функциям.
В практических приложениях, например в теории излучения
электромагнитных волн, наряду с рассмотренными ранее рядами
Фурье-Бесселя (13.6) и Дини (13.10) используются ряды вида
оо
т=0
оо
}] ^т^ Л+т(ЬтЖ)</,д+т(<*тЖ).
т=0
В этой главе мы рассмотрим некоторые частные случаи таких
рядов, а именно, ряды Неймана и Каптейна.
37. Ряды Неймана*
♦ Ряд
оо
J2 avmJv+m(x) (37.1)
m=0
называется рядом Неймана первого рода.
♦ Ряд
оо
^2 От"Л+т/2 (x)J»+m/2 («) (37.2)
т=0
называется рядом Неймана второго рода.
При разложении функции в ряд Неймана иногда оказывается
полезным следующее соотношение ортогональности функций
Бесселя:
Теорема 37.1. Функции J|/+2n+i (я) образуют на интервале [0, оо[
ортогональную систему функций с весом р(х) = 1/х и условием
ортогональности
оо
/dx 1
JV+in+l(x)Jv+2m+l(x)— = 2(2n + |/+1)^mn (37.3)
о
при условии Re(^ + т + п) > —1.

37. Ряды Неймана*
279
Доказательство. Заменим в интеграле Вебера-Щафхейтлина
(36,27) v на v + 2п + 1, а ^ на v + 2m + 1 и положим А = 1. С
учетом свойств гамма-функции
гр*Г°' r(1) = 1
цолучим формулу (37.3), что и требовалось доказать.
Рассмотрим несколько примеров вычисления суммы рядов Нейт
мана.
Пример 37.1. Вычислить суммы рядов Неймана
оо
1) s1(x) = Y,(-i)kj™+i(*): (37,4)
fc = 0
оо
2) 52(s) = £(^l)*(2fc+l)J2*+i(:E), (37.5)
k = 0
Решение. 1) Найдем лапласовское изображение функции Si(x). С
учетом (15.19) получим
V>2 + i-p
VP2 + l ГЙ
yV+ l-p
v^TT l + i^TT-p)2 2'(p? + i)-
Следовательно,
fc = 0
Найдя оригиналы функций в (37.6), получим
Si (я) ~ 2j(-l)*^2*+i(a0 = -sins.
2) Найдем лапласовское изображение функции So(x) (37.5):
оо
*»(*) = £(-1)*(2* + 1)Jm+, (*)-«.

280
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
Домножим правую и левую части (37.6) на yjp2 + 1и
продифференцируем по р. Получим
Согласно теореме о дифференцировании изображения (см. разд.
«Свойства преобразования Лапласа» части I), найдем оригиналы
оо
52(х) = ^(-l)*(2fc + l)J2*+i(*) = \xJo(x). (37.7)
38. Ряд Каптейна первого рода*
♦ Ряд
ОО
У^ <CJ„+m ({v + т)х) (38.1)
т=0
называется рядом Каптейна первого рода.
В этом разделе мы ограничимся рядами вида
оо
—-^cosm<y, (38.2)
771
m=l
-Л—Lmimj, (38.3)
rn=l
7 = 7(ae) = ге — xsinae, |z| < 1. (38.4)
Здесь ae - параметр, не зависящий от х.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда /i = 0.
Теорема 38.1. Справедливы соотношения
оо
= 1 + 2 У^ Jm(mx) cos 7717; (38.5)
1 — х cos ae ^—'
m=l
00
Ет / \ 1 xcosae >лл .
Jm (mx) cos W17 = - ——-. (38.6)
2 1 — x cos ae
m=l
Для доказательства этих соотношений удобно ввести
вспомогательную функцию F(x,7)i которую неявным (параметрическим)
образом определим соотношением
F(x,7) = Ф(ж,ае) = (1 - zcosae)"1. (38.7)
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, рассмотрим
простейшие свойства этой функции.

38. Ряд Каптейна первого рода*
281
Свойства функции F(x^)
Свойство 1. Функция F(x,~/) - четная функция переменной у.
Доказательство. Заменив ае на —ае, найдем из (38.7) и (38.4)
Ф(ж, —ае) = Ф(х, ае) = F(x, 7),
7(_ае) = -7(«).
Отсюда следует четность функции F(x,~f) по переменной 7*
Свойство 2. При фиксированных х (\х\ < 1) функция F(x,*y) есть
периодическая функция переменной 7 с периодом 2тг.
Доказательство. Заменив в (38.7) и (38.4) ае на ае -f 2тг, найдем
Ф(ж,ае + 2тг) = Ф(ж,эе) = F(x,*y),
7(ае + 27г) = ае + 27Г — ssinae = 7 + 27г.
Окончательно
F(x,7 + 2tt) = F(a:,7).
Свойство 3. При фиксированном х функция F(x^y) есть
бесконечно дифференцируемая функция переменной у.
Доказательство. Из (38.7) следует
dF(x,y) _ (iae с?Ф(ж,ае)
d*7 d*i das
Из (38.7) имеем
d*y
—— = р(ж,ае), р = р(ж,ае) = 1 — xcosae, (38.8)
аае
0<1-|х|<р<1 + |х|<2,
dae
Поскольку из (38.7) следует
dee 1 dp . d rnsmae d /ЛЛ ЛЧ
— = -, /-=:csinae, — = —. (38.9)
rf7 p аае dy p dp
Ф(ж,ае) = -, (38.10)
P
то из (38.8)-(38.10) найдем
dF(x,y) _ dae dp d$ _ ж sin;
c?7 d*y dse dp p3
Продолжив дифференцирование, получим
(38.11)
d2F(x,j) 1 d ж sin as 1 3xsinae dp
T"9 = ~~1 ч— = --rzcosae + -——
d7J p dae pd p4 p5 dae

282
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
Зх2 sin2 ае х cos ае 3[х
р5 р4
2р2 -5р + 3(1-ж2)
Р5
-(1-
Р5
-Р2)]
1-Р
Р4
(38.12)
Поскольку в силу (38.8) р ф О, то производные (38.11) и (38.12)
существуют.
Из соотношений (38.9) несложно найти
d" d d Id Id Id arsinae d
d72 d7 d7 p dae p dae p dae p dp
x cos ае ж" sin" ae d x sin ae d d
p2 p3 dp p2 dae dp
■1-p s2-(l-p)2
dp p2 dp2
a = z» = v_; " ь- + % ТГ- (з8-1з>
i p2 p3
Окончательно имеем
d2 ж2^(1-р)2 d2 l-x2-p d
d72 P2 Ф2 + P3 dp
С учетом этого найдем
d72" " (Л) ^ ~ i2n+3 lpJ' (38'14)
где £2п+з(у) ~ полином степени 2гс + 3 от у = 1/р.
Продифференцировав еще раз по 7) в силу (38.9) получим
d2n+1F(z,7) ssinae d r /1\ ж/г (\\ . /00 ,r4
d72»*' = "1T-^W3 Vp) = Mw(p>sinffi' (38Л5)
где М4п+з(у) - полином степени An -f 3 от у.
Таким образом, существование всех производных по 7 при р ф О
доказано.
Перейдем к доказательству теоремы 38.1.
Доказательство. Соотношение (38.6) является тривиальным
следствием (38.5). Найдем разложение F(x,y) при \х\ < 1 в ряд Фурье
по 7«
Поскольку функция F(x,y) при |ж| < 1 является четной
периодической с периодом 27Г бесконечно дифференцируемой функцией 7,
то она разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье по cos rny
оо
F(x, 7) = у + ^1 °m cos m7' (38.16)
m=l
Коэффициенты am убывают с ростом га быстрее * чем любая
отрицательная степень га:

38. Ряд Каптейна первого рода*
283
2 /
* J
F(x,y)cosmydy =
о
я-
о
7Г
ае)(1 — х cos ее) cos га(ае — £sinae)dae =
cosm(ae — xsinae)dae = 2Jw(ra:c). (38.17)
Итак, окончательно имеем (38.5), что и требойалось доказать.
О Из свойств коэффициентов Фурье следует, что при любом
\х\ < 1 и любом a
lim maJm{mx) = 0. (38.18)
m-юо
Исследуем свойства сумм рядов (38.2) и (38.3) при произвольном
v. Для этого введем вспомогательные функции #„(а:,р) и Su(x,p)
соотношениями
1д„(*,р) = £ ^^lcosm7, (38.19)
m=l
#»• ■ » J 177X33 I
- S„(:c,p) sin ae = > "; ,/ sin7717, (38.20)
m=l
|z| < 1, 0< 1-|ж| ^p*S 1 + И <2. (38.21)
Здесь p определено в (38.10).
Ряды (38.19) и (38.20) при условиях (38.21) существуют Для всех
(комплексных) п и сходятся по 7 абсолютно й равномерно в силу
(38.18).
0 Из соотношения (38.6) следует, что
Яо(х,р) = - - 1. (38.22)
Р
Свойства функций Ru(x,p) и S„(a?,p)
Свойство 1. Справедливы соотношения
Д„(х,р) = Д„(-я;,р), 5„(ж,р) = 5|/(-ж,р). (38.23)
Доказательство. В формулах (38.19) и (38.20) проведем замену
переменных х —у —ж, 7 -> 7 + я" и учтем, что при такой замене
справедливы соотношения
cosra(7 + я") = ( — l)m cosra7, sin771(7 + *) = ( —l)w sinra7,
Jrt,(ra:c) = (-l)m Jin(-inx)s ae -+ её + #.

284
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
Легко установить, что при такой замене выражения
р, icsinae, zcosae, Jm(mx) sin 7727, Jm(rn:n) cos 7717
не меняются. Отсюда следует (38.23).
Свойство 2. Справедливы соотношения (штрихом обозначена
производная по р)
К{х,Р) = -pSu-i (s,p); (38.24)
[х2 - (l-p)2)Sl(x,p) + (1 -p)S„(x,p) =PRu(xjP); (38.25)
р[х2 - (1 - p)2]S'l{x,p) + (1 - х2 +р - 2p3)Si(*.Pb
-S„(ar,p) = -р3^_1 (z,p); (38.26)
р[ж2 - (1 -р)2]К(х,р) + (1 - х2 -p)tf„(*,p) =
= -р3Д*-1 (*,*>)• (38.27)
Соотношения (38.24)-(38.27) справедливы при любых и.
Доказательство. Продифференцировав (38.19) по 7 и учтя (38.8)
и (38.9), найдем
1 d { v-^ Jm(rnx) . х .
- — Я„(а;,р) = - > —^——smm7= --5„_i(z,p)sinae,
2 a7 ^—' m2" * 2
ГП=1
d zsinae d
_A(*fp)=___ft,(*,p).
Отсюда немедленно следует (38.24).
Продифференцировав (38.20) по 7> с учетом (38.8) и (38.9)
получим
Su(x,p) sin ae = - > ^r—- cos my = -Rl/(x,p),
x d
2 (fy~"V~1i'/ Z—• T71:
m=l
<* о / \ • c/ \ld- xsinaed
— S„(a;,p) smae = S„(a;,p)--7—sin ae H —SAx^p) =
c*7 'pdae p dp
cos ae , ж sin ae ,
= Sv(x,p) + ^(x,p) =
p p
i^5,(x,p) + x2"(1~p)25:(x,p)
ж L p p
откуда найдем (38.25).
Разделив правую и левую части (38.25) нар,
продифференцировав по р и воспользовавшись (38.24), получим (38.26).
Заменив в (38.25) v на и — 1 и выразив из (38.24) S„_i (ж,р) через
R'u(x,p)i приходим к (38.27).

38. Ряд Каптейна первого рода*
285
Пример 38.1. Показать справедливость соотношения
-^ sin[m(ae — sinae)] = — sinae, (38.28)
m 2
m
m=l
где ae определено в (38.4).
Решение. Из (38.28) следует, что для доказательства соотношения
(38.28) достаточно показать справедливость равенства
5о(х,р) = 1. (38.29)
Проинтегрировав по 7 равенство (38.19) при и = 0, с учетом (38.22)
найдем
оо 7 7 "
У^ Jm(mx) I cosmidy = - / Ro(x,p)dy = - / Ro(x,p)pd& =
m=1 0 0 0
ae ae
= - / (1 — p)dae = — I cos aedae = — sin ae,
о 0
sin 7717
J m
0
COS 7717^7 =
2_] Jm(rnx) / cosm7d7 = 2* ~~^^ sin 7717 =
m=l 0 m=l
= — So (ж, p) sin ae = — sin ae.
2 2
Отсюда окончательно имеем (38.29), что и требовалось показать.
Свойство 3. Для v = n, п = 0,оо, функции 5п(х,р) являются
полиномами по р степени 2п.
Доказательство проведем методом математической индукции. Из
(38.29) видно, что 5о(х,р) есть полином нулевой степени по р.
Положив в уравнении (38.26) п = 1 и подставив в правую часть
выражения (38.29), найдем
р[х2 - (1 -p)2]Sl'(x,p) + (1 - х2 +р - 2р3) - Si(z,p) + р3 = 0.
Общим решением этого уравнения будет функция
5i(x,p) = 51°(x,p) + y(x,p),

286
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
где
12S?(z,p) = 2p2 + 5(p + 1-х2),
Y(x,p) = А + Б + ЛаГС81п[(1""р)/ж], (38.30)
у^2-(1-р)2
A vi В - произвольные постоянные. Но функция S\ (ж,р) конечна при
всехр, удовлетворяющих ограничению (38.21). Функция Y(x,p),
являющаяся общим решением однородного уравнения (38.26) (если в
(38.26) положить правую часть равной нулю), обращается в
бесконечность хотя бы в одной из точек р = 1 ± х при ненулевых А и
В. Таким образом, единственным конечным при всех разрешенных
значениях р решением является S\(x,p) = S1(xyp), следующее из
общего решения при Y(x,p) = 0, т.е. А = В = 0. Итак,
окончательно получим
125i (ж,р) = 2р2 + 5(р + 1 - ж2), (38.31)
т.е. Si (ж,р) является полиномом второго порядка по р.
Пусть теперь Sn-i(x,p) найдено и является полиномом степени
2п — 2 по р. Докажем, ЧТО дЭп (ж,р) является полиномом степени 2п
по р. Запишем в общем случае
2л
5п(*,р) = £>j>V (38.32)
и докажем, что коэффициенты а^1' однозначно выражаются из
(38.26) через коэффициенты а^~ ', которые считаются уже
известными. Тем самым функции Sn(x,p) однозначно восстанавливаются
по 5n-i(a;,p) с помощью уравнения (38,26), ибо все другие
решения этого уравнения отличаются от найденного Sn(x,p) слагаемым
Y(x,p) (общим решением однородного уравнения), которое при
ненулевых коэффициентах А и В в (38.30) не является конечным при
всех допустимых р, что противоречит конечности Sn(x,p).
Подставив (38.32) в (38.26) и приравняв коэффициенты при
одинаковых степенях р в правой и левой частях (38.26), найдем
следующую рекуррентную формулу:
(fe-l)[(Hl)(l-^[;'-(2Hl)aln)+b^] =4П-Гз1). (38.33)
Здесь полагаем
a[g) =0, к < 0, к > 2s. (38.34)
В (38.33) к меняется в пределах 0 ^ к ^ 2п + 1 (в правой и
левой частях (38.26) степени р, если (38.32) справедливо, изменяются
именно в этих пределах). При к = 1 (38.33) обращается в тождество
и не является содержательным уравнением. Тем самым (38.33) есть
система 2п +1 уравнений относительно 2п +1 неизвестных а^ при
условии, что а* известны.

38. Ряд Каптейна первого рода*
287
Система (38.33) может быть записана в виде матричного
уравнения
Ах = у, (38.35)
где квадратная (2гс + 1) х (2п + 1) матрица А имеет элементы Ак9
(к, з = О, 2ti), причем отличны от нуля только элементы главной
диагонали и следующих двух поддиагоналёй:
Аоо = 1, Акк = fc(fc + l), fc >0;
Ло1=ж2-1, i4ft*+i = -fc(2fc + 3), fc>0; (38.36)
A02=0, Лкк+з = fc(fc + 2)(l-:c2), fc > 0.
Остальные элементы матрицы равны нулю. Элементы столбцов хк
и гд. имеют вид
xk=a[n), yk = a[n_-1) (38.37)
при выполнении условия (38.34). Поскольку матрица А есть верхняя
треугольная, то ее определитель Д есть произведение диагональных
элементов и равен
Д = (2п + 1)(2п!)2 ф 0. (38.38)
Следовательно, уравнение (38.35) (т.е. рекуррентные соотношения
(38.33) при известных а£~ ') имеет единственное решение.
Прямым вычислением мы показали, что, согласно (38.29) и
(38.31), So(x,p) и 5i(x,p) являются полиномами соответствующей
степени, откуда следует справедливость утверждения (по только
что доказанному), что Sn(x,p) есть полином степени 2п.
Таким образом, функции Sv{x,p) при v = ?г, п = 1,оо, можно
вычислить в явном виде методом неопределенных коэффициентов,
если рассматривать выражения (38.33) как рекуррентные
соотношения.
Свойство 4. Справедливы соотношения
°- = (*ГТТ)Г <38-39>
41, = ^; (38.40)
(„) 1 [у^ *к~1 , 2п + 3 (л 2
а2""2 " (2п - 1)! L 2^ 2к(2к-1)Гк + 4(2гс + 1)l * j
(2п - 1)! L ^ 2А;(2/с - 1) 4(2гс + 1)
(38.41)
где
МП
. + з 2 т 3 + ' *' + 2п + 1'
Гп+1 = Гп + 2^Т2 + 2^7з'
5 77 .. 223 4609
П = т, t'2 = rjr, гз == -1—-, Г4 =
6' " 60' 140' 2520'

288
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
Доказательство. Положив в (38.33) к = 2п + 1, получим
(2n + l)2na^=a^i)- (38-42)
Это соотношение является рекуррентной формулой для а^ ,
связывающей два последовательных коэффициента. При m = 0 из (38.29)
имеем Oq =1, что немедленно приводит к (38.39).
Положив в (38.33) к = 2п, найдем
-(4п + 1)(2п - 1)а<;» + 2п(2» - lJo&L, = а';:''. (38.43)
Подставив сюда (38.39), получим
2п(2п - 1)41, = « + (4"$ЛТ)Г1}- (38'44)
Это есть рекуррентное соотношение, связывающее два
последовательных коэффициента a^Li с начальным условием
а'1' = А, (38.45)
следующим из (38.31). Решением (38.44) с начальным условием
(38.45) является выражение (38.40).
Положив в (38.33) к = In — 1, получим
2п(2тг - 2)(1 - х2)а^ - (4п - 1)(2гг - 2)a&L, +
+(2n-l)(2n-2)412=o'^V-
Подставив сюда соотношения (38.39) и (38.44), получим
рекуррентную формулу ДЛЯ <4™'_2
(2п - l)(2n - 2)a&U =
_(„_!, (4n-l)(2n-2)rn 2n(2n-2) 2
-в2"-4 + (2n)! (2n + l)! (1 Х > (ЖЩ
с начальным условием
a{0l) = ^(l-x2), (38.47)
следующим из (38.31). Тогда из (38.46) получим (38.41).
Свойство 5. Функция Sn(x,p) есть полином степени 2п как по р,
так и по ж, причем содержит только четные степени х.
Доказательство. Считая в (38.33) к = 0,2,3, найдем
a<">=(l-x2)a<">, (38.48)
3(1 - x2)4n) - 5a2n) + 2a[n) = 0, (38.49)
8(1 - z2)a<"> - 14(1 - х2)4"» + 6a'n) = 2a<n"l). (38.50)

38. Ряд Каптейна первого рода*
289
Формулы (38.39), (38.40), (38.41), (38.48) позволяют записать
следующий общий вид:
С ( \ Р I Р Гп .
5"(Ж'Р)=(2^Т1)!+12^)Г+
р2"-2 Г^ 4fc-l 2п + 3 21
+ (2n-l)!L^2fc(2fc-l) * + 4(2n + l)1 ;J +
+41зР2п-3V• • • + <4"У + о<п) (р + 1 - х2). (38.51)
Из (38.33) легко видеть, что коэффициенты а2"_2я и <4п_2я-1 есть
полиномы степени s от ж2, что и требовалось доказать.
Свойство 6. Функция Rv(X)p) при I/ = ?г, п = 1,оо, есть полином
степени 2п по р и по х и содержит только четные степени х.
Доказательство. Из (38.24) немедленно следует, что Rn(x,p) при
п > 0 действительно являются полиномами степени 2п по р, причем
имеем
2п
Дп(х,р) = ^Ь<пУ, (38.52)
*=о
Ь<"»=0, ь£>2=_^1_, fc^O. (38.53)
Коэффициент 6q не может быть определен из (38.24). Однако,
подставив (38.52) в (38.25), получим
Ь<п) = (2 + x2)a[n) - 2(1 - x2)a2n). (38.54)
Соотношения (38.53) также следуют из формулы (38.25) при учете
условий (38.33). В частности, из (38.39) и (38.40) получим
Ь<»> - L_ ь{п) - —
Гп-1
(2п)Г 2п~1 (2п-1)!'
4Ri{x,p) = 2 + 3х2 - 2р2. (38.55)
Пример 38.2. Найти явный вид полиномов S2{x,p) и #2(ж,р).
Решение. Пользуясь соотношениями (38.39), (38.40), (38.41),
найдем коэффициенты а[ , а$ , а2, а из (38.49) получим а[' и в
соответствии с (38.32) запишем
864052(ж,р) = 72р4 -f 462р3 + (1582 - 504ж2)р2 +
+(3262 - 567ж2)(р + 1 - х2). (38.56)
Определив Ъ{2), 6^2), Ь{2) по формулам (38.53), (38.31) и Ь{2) по (38.54),
получим
576Д2(х,р) = 224 + 420ж2 - 105ж4-
-120(1 - х2)р2 - 80р3 - 24р4. (38.57)

т
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
Пример 38.3. Найти суммы рядов (38.2) и (38.3) при v = 1,2.
Решение. 1. Подставив (38.55) в (38.19), с учетом (38.4) и (38.8)
найдем
£ ~!^:^cos[m(ae-xsinae)]== 1+ Ъ-х2 - (1 - zcosae)2. (38.58)
m-l
2* Подставив (38.31) в (38.20), с учетом (38.4) и (38.8) получим
Jm(mx)
> —г—- sinlmfae — a: sin ее) =
т=1
= —; — (1 — ж cos бе) Н—(2 — ajcosae — х )
(38.59)
3. Аналогично из (38.56) и (38.57) находятся суммы рядов (38.2),
(38.3) при v - 2.
Свойство 7. Функция Ru(x,p) при v = — п, гс = 0, оо, есть полином
степени An -f 1 от р-1, a S-n{x,p) - полином степени 4п — 1 от р-1.
Доказательство. Введем переменную q = р-1. Для производных
найдем 2 2
Перепишем дифференциальные соотношения (38.24)-(38.27),
заменив в них п на —п, введя переменную q и обозначив штрихом
производную по q:
q3RLn(x,q) = S_(n+1)(a;,g); (38.61)
q[(l - x2)q2 - 2q + l]S'_n(x,q) + (q - l)5-„(*,g) =
= Я_„(ж,д); (38.62)
q4[(l - *V - 2<? + l]Sln(x,q) + </3S-n(x,g) +
+3</4[(l - я2)*? - l]Sln(a:,g) = S4n+1) (*,<?); (38.63)
(74[(1-а:2)^-2д + 1]Л,^(Ж^) +
+ <j3[3(l-:c2)</2 - bq + 2№n{x,q) = Д_(„+1) (*•«)• (38.64)
Если утверждение справедливо относительно полинома #_п(ж,д),
то, согласно (38.61), оно справедливо и относительно £_„(ж,(/).
Поскольку, согласно (38.22), имеем
Ro(x,q) =q-l, (38.65)
то по формуле (38.64) Л-i есть полином пятой степени, jR_2 -
полином девятой степени по q и т.д. Формула (38.64) дает возможность
путем дифференцирований восстановить последовательно
полиномы Я_п(ж,д), причем степень следующего полинома увеличивается
на четыре, что и доказывает4 наше утверждение.

38. Ряд Каптейна первого рода*
291
Пример 38.4. Найти суммы рядов (38.2), (38.3) при v = —1.
Решение. Найдем функции R-i (ж, q) и 5_i (ж, q). Из (38.61) и (38.64)
при п = 0с учетом (38.65) получим
R-i(x,q) = q3[3(l-x2)q2 - bq + 2], S-i(x,q) = g3. (38.66)
Подставив (38.66) в (38.19) и (38.20), с учетом соотношения q = 1/р
получим
2_^ m2Jm(77i^)cos[ra(ae — жвтае)] =
т=1
1
2(1 — жсовае)3
3(1-ж2) 5
(1 — ж cos ае)2 1 — ж cos ае
+ 2
оо
EmJm(mx) sin[m(ae — ж sin as)] =
(1 — же
(1 — жсоэае)3
(38.67)
(38.68)
Свойство 8. Функции Ru(x,q) и Su(x,q) при v — —n, п = 0,оо,
представимы в виде
R-n(x,q) = g2n+1 Rn(x,q),
S-n(x,q) = q2n+1Sn-1(x,q),
где Rn(x,q) и Sn(x,q) есть полиномы степени 2п от ^ = р"1.
Доказательство. Проведем в (38.61)-(38.64)
лучим
(38.69)
замены (38.69) и по-
2\ 2
И:
(2n+ l)Rn{x,q) +qR'n(x,q) = S„(a;,g); (38.70)
q[(\ - x2)q2 - 2q + l]^-.^, g) + [(2n + 1)(1 - ж2)д:
-(4n + l)q + 2n] 5„_i (ж, g) = Д„(ж, g); (38.71)
q2[(l - x2)q2 - 2q+i\S^1(z,q) + q[(4n + b)(l - x2)q2-
-(8n + 7) + 2(2n + l)]S'n_1(x,q)+
+ [(2n + l)(2n + 3)(1 - x2)q2 - 2(n + l)(4n + l)g-
-2n(2n + 1)] Sn-i (ж, g) = 5п(ж, q); (38.72)
c/2 [(1 - x2)q2 -2(7+1]^(ж,д) + g[(4n + 5)(1 - x2)q2-
-(8n + 9)9 + 4(n + l)]R!n(x,q)+
+ (27г + 1) [(2n + 3)(1 - x2)q2 - (4n + 5)g+
+2(n + 1)] Я„ (ж, g) = Л„+1 (ж, g). (38.73)
сравнения (38.69) и (38.66) найдем

292
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
S0{x,q) = 1, Ri(x,q) = 3(l-x2)q2 - 5g + 2, (38.74)
а из (38.70) или (38.72) получим
Si(x,q) = lb(l-x2)q2 - 20g + 6. (38.75)
Формулы (38.70) и (38.71) [или формулы (38.72) и (38.73),
являющиеся их дифференциальными следствиями, что устанавливается
прямой проверкой] позволяют с помощью дифференцирования
последовательно вычислить Яп(ж,д) и Sn(x,q) в виде полиномов указанной
степени по q с коэффициентами, зависящими от ж2. В частности, из
(38.71) и (38.75) найдем
R2(x,p) = 105(1 - x2)2q4 - 315(1 - x2)q3 +
+20(17 - 6x2)q2 - 154g + 24, (38.76)
а из (38.76), использовав (38.70), получим
52(я;,р) = 945(1 - x2)2qA - 2520(1 - x2)q3 +
+140(17 - 6x2)q2 - 924q + 120. (38.77)
Свойство 9. Полиномы Rn(x,q) и Sn(x,q) представимы в виде
2n
§п(х,д) = ^Ы)ЧП)я\
*2=о° (38.78)
k = 0
где коэффициенты d^ и b^ определяются следующими
рекуррентными соотношениями:
a[n) =(2n + l + fc)^n), (38.79)
^n+1) = (2n + к - l)(2n + к + 1)(1 - ж2)6^2 +
+(4n + 2к + 3)(2n + fcjS^j +
+(2n + A; + l)(2n + /c + 2)Б^а). (38.80)
Доказательство. Из (38.70) находим (38.79). Из (38.73), считая
Б).п' = 0 при к < 0, к > 2п, получим рекуррентные соотношения
(38.80), дозволяющие вычислить 6, , если известны Б, .
В принципе, формулы (38.80) позволяют вычислить
коэффициенты Б, в общем виде, Например, положив в (38.80) к = 2п + 2,
получим
ВД' = И» + 3)(4п + 1)(1 - хЩ?, (38.81)
откуда с учетом начального условия Б2 = 3(1 — я2), вытекающего
из (38.74), следует общий вид

39. Ряд типа ряда Каптейна первого рода*
293
5^ = (4п - 1)!!(1 - х2)п. (38.82)
Положив к = 2п + 1, из (38.80) находим
ВД = М2" + 1)(1 - x2)6<lt + (8п + б)(4п + 1)5^, (38.83)
Подставив сюда (38.82) и рассматривая (38.83) как рекуррентное
соотношение для коэффициентов Б^* _i» находим
ЗЬ^! = (4п + 1)!!(1 - х2)п~\ (38.84)
Положив fc = 2п, из (38.80) с учетом (38.82) и (38.84) получим
Зб£+1) = 3(4п + 1)(4п - 1)(1 - х2)Ь^_2 +
+4п(8п + 3)(4п + 1)!!(1 - х2)п"Ч
+6(2п + 1)(4п + 1)!!(1 - х2)", (38.85)
Отсюда запишем в общем виде
9В2п-2 = М4п ~ 3)!!(1 ~ z2)n-2[(8n + 1)(2п - 1) - 9ns2]. (38.86)
Положив к = 0, из (38.80) находим
Б<п+1) = (2п + 2)(2п + 1)Б<п). (38.87)
С учетом начального условия Бд =2, следующего из (38.74),
получим общую формулу
Б<п) = (2п)!. (38.88)
При А; = 1, подставив (38.88), из (38.80) находим
Б[п+1) = (2п + 3)(2п + 2)Б[п) + (4п + 5)(2п + 1)!. (38.89)
Отсюда с учетом начального условия В[ ' = 5 следует
Б[п) =(2п + 1)!г„, (38.90)
где величины Гп определены формулами (38.40). Положив в (38.80)
к = 2 и подставив (38.88) и (38.90), получим рекуррентную формулу
Б2п+1) = (2п + 4)(2п + 3)Б2п) +
+(2п + 3)(2п + 1)!(1 ~ х2) + (An + 7)(2п + 2)!г„, (38.91)
из которой находим (n ^ 2)
^-) =(,„+ !),[„(!-,') + ,(„ + !) gJ^fzL.]. (38.92)
Подобные вычисления можно продолжить, однако
получающиеся общие формулы становятся все более громоздкими. Выражения
(38.80) и (38.79) являются универсальными соотношениями,
позволяющими вычислить последовательно все коэффициенты Б, и а, .
Итак, нами построен алгоритм явного вычисления функций
Rn(x,p) и Sn(XiP) при целых п.

294
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
39. Рдд типа ряда Каптейна первого рода*
В этом разделе мы будем рассматривать ряды, аналогичные
рядам (38.2), (38.3), в которых вместо функции Бесселя стоит ее
производная
m=l т=1
Для исследования свойств этих рядов введем вспомогательные
функции L»/(x,p), Mu(x,p) с помощью соотношений
Е:|ё1-^=^Мх,р), (39.2)
т=1
Е'^!11 sinm7 = -M^ijPlsinx, (39.3)
miu 2
m=l
где p определено соотношением (38.10).
Очевидно, что если мы запишем явный вид функций Lu{x,p)
и М„(ж,р), то мы найдем и суммы рядов (39.1). Поэтому
рассмотрим некоторые свойства функций Lu(x,p) и Ми(х,р) и их связь с
функциями Rv(x,p) и 5„(ж,р).
Свойство 1. При любом комплексном v справедливы соотношения
L„(*,p) = xdRv£P) + (1 - *S - p)S„-i(x,p)5 (39.4)
)Lf Л, .Л _ -Э5"(Ж'Р) . и2М*.Р) - (1 - ж2 - р)Д„(»,р) ,,_ .V
М"(х'р) " х дх + *»-(1-р)» -(39-5)
Доказательство. При постоянном 7 из соотношений (38.4) и (38.8)
запишем 2
<9ае _ sin ж др _ ж - 1+р (39 g.
дж р ' 0ж жр v ■ • i
Продифференцировав (38.19) по ж при постоянном 7> найдем
J'm(mx) l(dRu x2-l+pdRu\
m2"-1 ' 2\ 5i
m2"-1 2 \ 0ж жр ар J'
rn=i
Учтя (38.24) и сравнив с (39.2), получим (39.4). Аналогично,
продифференцировав по ж при постоянном 7 соотношение (38.20) и
использовав (39.6) и (38.25), придем к (39.5).
Свойство 2. Справедливы соотнрщения

39, Ряд типа ряда Каптейна первого рода*
295
К(*,Р) = -pM„-i (ж,р), (39.7)
[ж2 - (1 -р)2]М1(х,р) + (1 -р)М„(ж,р) =р£„(ж,р), (39.8)
р[ж2 - (1 -р)2]ЛС(*,р) + (1 - ж2 +р - 2р2)М;(*,р)-
-М„(ж,р) = -р3М^_1(ж,р), (39.9)
р[х2 - (l-p)2]L'l(x,p) + (1 - х2 -р)£Ц*,р) =
= -p3^-i(z,p). (39.10)
Доказательство аналогично доказательству свойства 2
предыдущего раздела (штрихом обозначена производная по р).
Пример 39.1. Найти суммы рядов (39.1) при v = 0,±1.
Решение. Найдем явный вид функций £„(ж,р), М„(ж,р) при
v = 0,±1. Пользуясь выражениями (38.22), (38.29), (38.31), (38.55)
и формулами (39.7), (39.8), найдем
L0(x,p) = (1 - х2-р)р~\ М0(ж,р) =р~1; (39.11)
2Li (ж,р) = 2 + ж2 - 2р, 2Mi(ж,р) = 1 - х2 + р; (39.12)
L-i(x,p) = 15(1 - ж2)2р~"7 - 35(1 - ж2)р~6 +
+(26 - 12ж2)р~5 - 6р"4, (39.13)
M_i(x,p) = 3(1 - ж2)р_6 - 2р"4 =р"4[3(1 - х2)р~1 - 2].
Следовательно, получим суммы
Е°° т, , v , . ч 1 х cos ае - х2
mJm(тж) cosт(ае — жвтае) = — -т- ч,;
v 7 v ' 2ж (1-жсовае)3
т=1
Е/ / ч . / ч 1 smx
Jm(ma;)sinm(a3-a;sinae) = - ———;
т=1
оо
Е«7т(тж) , .v 1 / 2 . Л \
—— cosra(ae — жзтае) = — (ж +2a;cosae);
m=l
EJmi'W'X) , . \ 1/Л 2 \ .
~—- smmffi — arsinae) = -(2 — x — cos ae) sin ж.
m2 4
m=l
Аналогично из (39.13) находим суммы рядов (39.1) при и = — 1.
Свойство 3. Для и = n, п = 1,оо, функции £>г»(ж,р) и Мп(ж,р) есть
полиномы по р степени 2п — 1, а для и = —n, п = 0,оо, функции
Ь_п(ж,р) есть полиномы степени 4п + 3 по р"1, функции Мп(ж,р) -
полиномы степени 4п + 1 по р 1.
Доказательство. При п = 0, ±1 справедливость утверждения
вытекает из формул (39.11)-(39.13). Для и = —n, п = 2, ее, это следует

296
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
из формул (39.9), (39.10). Для u = n, п = 2,оо, доказательство
аналогично доказательству свойства 3 для функций Яп(ж,р), 5„(ж,р).
В частности, проведя замену q = р-1 и использовав (38.60),
получим соотношения
q*LLn(x,q) = М_(п+1)(х,9); (39.14)
q[(l-x2)q2-2q + l]M'_n(x,q)+
+(</ - l)M_„(rc,g) = L-n(x,q)', (39.15)
g4[(l-*V-2«+l]Ml!n(*,g) +
+3^4[(1-а:2)д-1]М:п(а:^)+
+g3Af_n(s,g) = М_(п+1)(х,$); (39.16)
^[(l-*V-2<Z+l]L-„(*,<7)+
+<?3[3(1 - x2)q2 -bq + 2]LLn(x, q) = L_(n+1) (z, g), (39.17)
аналогичные (38.61)-(38.64). Здесь штрихом обозначена
производная по q.
Пример 39.2. Из свойства 3 следует, что для v = n, п = 1,оо,
полиномы Ln(x,p) и Мп{х,р) можно представить в виде
2п-1
Мп(х,р)= 2"4ПУ, (39.18)
fc=0
2n-l
Ы*,р) = J2 4V. (39.19)
Найти рекуррентные соотношения для коэффициентов с^ и dj. и
связь между ними.
Решение. Из формул (39.7), (39.11) находим связь, аналогичную
(38.53):
d[1] = -1, d[n) =0; (k + 2)4^2 = -4П-1)> (39.20)
где п > 1, fc ^ 0. Для 4П) из (39.8) найдем аналог (38.54)
4П) = (2 + х2)с[п) - 2(1 - х2)4п). (39.21)
Для коэффициентов 4"' из (39.9) получим аналог (38.33)
(к - l)[(fc + 1)(1 - *2)4+i - (2к + 1)4'" + feci!',] = 41-1', (39.22)
причем, в отличие от (38.34), считаем
4П) =0, к < 0, А; > 2п - 1. (39.23)

40. Ряд Каптейна первого рода. Специальный случай* 297
Положив, в частности, в (39.22) к = 2п, получим
2n(2n-l)4nJ_l=cinnZl3)-
Из (39.12) следует с}1' = 1/2, откуда найдем
В (39.22) положим к = 2п - 1, учтем (39.23) и (39.24) и запишем
(2„ - 1)(2п - 2)С<12 = 4-Ц> + ^'^Г1^ (39-25)
Из (39.12) следует 2cjj = 1 — ж2, откуда немедленно получим
(2n-iy4nJ_2=rn-^.-^-[, (39.26)
где г„ определено формулой (38.40). Подобные вычисления могут
быть продолжены и далее, однако формулы становятся всё более
громоздкими и лучше пользоваться непосредственно
соотношениями (39.22).
Свойство 4. При п = 1,оо справедливы соотношения
L-n(x,g)=g2<"+1>L„+1(*,g),
где Мп(ж,д), Ln(x,q) — полиномы по q степени 2п — 1.
Доказательство. Из (39.13) следует, что при п = 1 соотношения
(39.27) справедливы и
Л =3(1-^-2, 2ч (39.28)
L2 = 15(1 - ж2)У - 35(1 - x2)q2 + (26 - 12x2)g - 6. v ;
Подставив в формулы (39.14), (39.15) выражения (39.27), найдем
2nLn(x,q) +qL'n{x,q) = Mn{x,q), (39.29)
[(1 - qf - *У][2(п + l)Mn(x^) + qttU*,q)]+
+(<? - l)M„(s,g) = Ln+1 (ж,g). (39.30)
Из (39.29) следует, что Mn(x,q) вычисляется, если Ln(x,q)
известно, причем если Ln(x,q) — полином по д, то и Mn(x^q) — полином
той же степени по q. Из (39.30) следует, что Ln+\{x,q)
определяется, если известно М,,(ж,д), причем Ln+\(x,q) является полиномом
по д, степень которого на два превышает степень Mn(xyq), что и
требовалось доказать.
Таким образом, при v = n, п = —оо,оо, вычисление функций
Ln(x,p) и Мп(х^р) возможно в явном виде.

298
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна"
40. Ряд Каптейна первого рода.
Специальный случай*
В этом параграфе мы рассмотрим ряды Каптейна вида
т=1
Аналогично предыдущим разделам введем вспомогательные
функции R„(x) и Lu(x)
(40.2)
Рассмотрим простейшие свойства функций #i,(:e) и Ь|,(:п) и найдем
их связь с функциями /?„(ж,р) (38.19) и L„(a;1p) (39.2).
Свойство 1. Справедливы соотношения
xR„(x) = Rv{x, 1 - х), ж£„(:с) = L„(x, 1 - ж). (40.3)
Доказательство. Из (38.19) и (39.2) при 7 = 0 имеем
xRv(x) = Я„(ж,р)|7=0, ж1/„(ж) = Lu{x,p)\^Q,
но 7 = 0 соответствует ае = 0 или р = 1-х. Таким образом,
приходим к (40.3).
Пример 40.1. Найти суммы рядов (40.1) при и = 0,±1.
Решение. Вычислим R„(x) и Lu(x) при и = 0, ±1. Из выражений
(38.22), (38.55), (38.66), (39.11)-(39.13) найдем
Яо(х) = (1 - х)~\ Lo(x) = (1 - х)~\
Ri(x) = l + x/4> Li(x) = l + x/2, (40.4)
R-!(x) = (1 - х)-\ L-{{x) = (1 + 3*)(1 - х)-5.
Следовательно,
оо оо
m=l m=l
EJm(^g) __ ж s^ ^-л Jm(mx) _ X 1 ^
m2 " 2 T' 2^ m ~ 4 2;
m=l m=l
1 x V^ з T , ч 11+3*
mi

40. Ряд Каптейна первого рода. Специальный случай* 299
Пример 40.2. Найти три первых члена разложения функций R„(x)
и Ь„(х) в ряд Тейлора по х при произвольных i/.
Решение. Для функций Бесселя справедливо разложение в ряд
т , ч /тж\тА (-1)* (mx\k tAn.
fc = 0
подставив которое в формулы (40.2) и ограничившись слагаемыми,
содержащими переменную х в степени не выше третьей, найдем
R„(x) = 1 + х2"2" + х2^1"" - 1)/8 + ...
Lv(x) = 1 + Х21"2" + Зх2(91"|/ - 1)/8 + ...
Отсюда, в частности, следует
Я„(0) = Z,„(0) = 1. (40.7)
(40.6)
Свойство 2. Справедливы следующие соотношения:
L„(x) = Rn(x) + xR'l,(x),
(1 - x2)Ru-i (х) = L„(x) + xL'„{x);
i
(40.8)
Д„(<с) = - / R„-i(xt)(l - x2t2)lntdt; (40.9)
о
l
^{x) = -J
x2
. —(1 - Г) + In£]£„_!(а*)Л; (40.10)
x2R"{x) + ЗхЯ^х) + Rv{x) = (1 - я2)Я„_1 (ж),
x2(l - х2)1/Дх) + х(3 - x2)L'u{x) + (1 + x2)L„(x) = (40.11)
= (l-rn2)2L,_1(x).
Доказательство. 1. Продифференцировав (40.2) по х и учтя
уравнение Бесселя
1-х2 1
Jn(mx) = —~2—Jm(mx) J'm(mx), (40.12)
получим (40.8).
2. Из соотношений (40.8) с учетом (40.7) получим
х 1
Ru(x) = - Lv{t)dt = / Lu{xt)dt; (40.13)
о о
х 1
L„(x) = I m - t^R^Wdt = J (I - x2t2)Rv-i(xt)dt.{40A4)

300
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
Подставив (40.14) в (40.13) и проинтегрировав по частям, получим
рекуррентное соотношение (40.9). Аналогично для Lv(x) получим
(40.10).
3. Повторное дифференцирование (40.8) приводит к уравнениям
(40.11).
Легко проверить, что (40.9) и (40.10) являются решениями этих
уравнений.
Свойство 3. Справедливы следующие разложения:
оо оо
Я„(*) = J2 С^х", Lv(x) = ]T)(fc + l)Clv)xk, (40.15)
fc=0 *=0
°* - 2* ^ slik + 1-з)!
где [к/2] — целая часть числа к/2.
Доказательство непосредственно следует из (40.5).
Пример 40.3. Найти суммы рядов (40.1) при v = 2.
Решение. Найдем явный вид функций Ri(x) и Lo(x). Положив
v = 2 в (40.9) и в (40.10), после вычисления интегралов получим
Следовательно,
2 3
Lnlx) = 1 + - - — - —.
Л) ^8 3 16
EJm(mx) _ 2 1 2х х~
т4 "~ж8~1Г~32?
m=l
Е°° J'mjrnx) X 2X2 X3
ш3 4 3 8 *
(40.16)
Свойство 4. Функции Rn(x) и Ln(x) (п = 1,оо) есть полиномы
степени 2п — 1 по ж.
Доказательство. Из (40.13) следует, что если L/n (ж) есть полином
некоторой степени по ж, то Rn(x) также есть полином той же
степени по ж. Из (40.14) следует, что если Rn-i(x) есть полином по
ж степени а, то Ln(x) — полином по ж степени 5 + 2. Но из (40.4)
следует, что Ri(x) и L\(x) есть полиномы первой степени, что и

40. Ряд Каптейна первого рода. Специальный случай* 301
доказывает утверждение. Формулы (40.9) и (40.10) позволяют
рекурсией осуществить построение всех полиномов.
Свойство 5. Справедливы соотношения
_ 1 + ЗхАп-2(х) l + ZxBn-i{x) /ИП17ч
R-n(x)= (1_g)»n+l ' L-"W= (1-Ж)Зп+2 ^ (40-17)
где n = 0,oo, a A„(z) и Вп(ж) — полиномы по х степени п (при
п < 0 положим Ап(х) = Вп{х) = 0).
Доказательство. При п = 0,1 из (40.4) следует, что (40.17)
справедливо, причем Во(х) = 1. Подставив (40.17) в (40.12), получим
дифференциальные связи
Вп(х) = п + 1 + [2 + (Зп + 2)аф4„_1(а:)+
+х(1-х)А'п_1(х), (40.18)
(1 + х)Ап(х) = п + 1 + [2 + 3(п + 1)я]£„(:п)+
+*(1-я:)В;(я:), (40.19)
Из (40.19) следует, что если Ап(х) и £п(я) — полиномы, то
степени их одинаковы, а из (40.8) следует, что Вп(х) имеет степень на
единицу больше, чем j4n-i(x), и восстанавливается по j4„_i(x), что
и доказывает свойство. В частности, из (40.18) и (40.19)
последовательно находим
Б0(ж) = 1, А0(х) = 3, Bi(a;) = 8+153,
Ai(s) = 18 + 75ж, Б2(ж) = 39 + 369ж + 525ж2, (40.20)
А2(х) = 81 + 1377z + 3675ж2.
Пример 40.4. Вычислить А>(0), В„(0); А„(1), Я„(1).
Решение. Положив в (40.18) и в (40.19) я = 0,1, найдем
Вп(0) = п + 1 + 2j4„_i(0), Л„(0) = п + 1 + 2Я„(0);
В„(1) = п + 1 + (Зп + 4)i4„-i(l), (40.21)
2ЛП(1) = п + 1 + (Зп + 5)Я„(1),
Отсюда следуют рекуррентные формулы
В„(0) =Зп + 1+4Вп_!(0),
2В„(1) = Зп2 + 6п + 2 + (Зп + 4)(3п + 2)Б„_1 (1), (40.22)
Б0(0) = Во(1) = 1.
Разрешив эти рекуррентные соотношения, получим
3B„(0) = 2.4"+1-3n-5, B„(l)=Jgl±iL_l. (40.23)
Из (40.21) найдем

302
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
ЬМ0)=4-+'-Зп-7, А,(1) = JZ+l^, ~ |. (40.24)
(40.25)
Свойство 6. Справедливы соотношения
Л_„(х) = д2"+2[1 + 2(« - l)Q„-2(<?)],
L_„(x)=g2"+2[l + 2(9-l)P„_2(g)],
g = (1 — ж)-1 гг = 1,оо,
где Pn(q)> Qn(q) — полиномы степени п по q (Q-i = 0).
Доказательство. Из (40.8) найдем
Pn(q) = п + 2 + [2 + (2п + 5)(д - l)]Qn-i (<?)+
+*fo-l)]Qn-ifo). (40.26)
(2g - l)Qn{q) = n + 1 + [2 + (2n + 5)(<? - l)]Pn(</) +
+<?(<?-l)]Pn(<?), (40.27)
где штрихом обозначена производная по q. Из (40.27) следует, что
если Pn(q) и Qn(g) — полиномы, то степени их одинаковы, а из
(40.26) имеем, что степень Pn(q) на единицу больше, чем степень
Qn-i(q), причем Pn(q) восстанавливается по Qn-i(#), после чего
восстанавливается и Qn(q). Из (40.4) следует
Ro(q) = q, М«)=£ R-i(q) = q\ (шЩ
L-Ля) = Я (4g-3), v /
что совпадает при п = 1 с (40.25), если считать Q_i = 0, Ро = 2.
Тогда из (40.26) и (40.27) последовательно восстановим
Po{q) = 2, Q0(9) = 5, Pi(q) = Zbq - 22,
Qx (q) = 140g - 112, P2(q) = 4(350g2 - 532g + 197), (40.29)
Q2(q) = 7700<?2 - 13090g + 5513.
Пример 40.5. Вычислить P„(0), Q„(0); Pn(l), Qn(l).
Решение. Из (40.26) и (40.27) при q = 0,1 найдем
Pn(0) = n + 2 - (2n + 3)Qn_!(0),
Pn(l)=n + 2 + 2Qn_1(l);
Qn(0) = (2n + 3)Pn(0)-n-l,
Q„(l) = n + l + 2Pn(l).
Отсюда следуют рекуррентные соотношения
Р„(0) = 2(п + I)2 - (2п + 1)(2п + 3)РП_!(0),
Рп(1) = Зп 4- 2 + 4Pn-i(l), (40.31)
A(Q) = /%(!) = ?.
(40.30)

41. Ряд Каптейна второго рода*
303
Разрешив эти рекуррентные соотношения, получим
2РП(0) = 1 + (-1)п(2п + 3)[(2п + I)!]2,
2Q„(0) = 1 + (-1)п[(2п + 3)!!], (40.32)
Pn(l) = 4n+1 - 2 - n, Q„(l) = 2 • 4n+1 - 3 - п.
Свойство 7. Справедливы соотношения
"S1 , (40.33)
(2m)^-i =j[^(x)-Ln(-x)].
т=1
Доказательство. В (40.2) заменим х на —х и учтем
Jm(-X) = (-l)"^^), JU-X) = (-l)m+1 J'rni*),
тогда получим
(-1) -^T- = -2Rn{-x)'
m=l
m=l
Складывая эти выражения с (40.2), получим (40.33).
41. Ряд Каптейна второго рода*
♦ Ряд
«т^(^т)/2 (^ ^ X)J(»+rn)/2 [ £ х) (41.1)
т=0
называется рядом Каптейна второго рода.
В этом разделе мы ограничимся рассмотрением рядов вида
m=l m=l
Для исследования свойств этих рядов введем вспомогательные
функции Wn(t) и Vn(t) соотношениями
iM') = «£;%*, ^)^E^rf, (41.з)
m=l rn=l
где t = ж2.

304
Глава 5, Ряды Неймана и Каптейна*
Пример 41.1. Найти два первых ненулевых члена разложения
функций Wn(t) и Vn(t) в ряд Тейлора по t.
Решение. Воспользовавшись рядом (40.5), для первых двух членов
разложения получим
Wn
Свойство 1, Справедливы соотношения
:8imp)
(41.4)
о m=1
IT
4nx f
= / [Rn(xsm(p) - Rn(—xsin <p)]s\xupd<p. (41.5)
Доказательство. Воспользуемся формулой Неймана (3.33)
Jm{mx)
■hh
(2тпхвт <p)d(p.
(41.6)
Подставив (41.6) в (40.33) и изменив порядок суммирования и
интегрирования, получим (41.5).
Свойство 2. Справедливы соотношения
tVj,(t) + Vn(t) = (1 - t)W»(«),' (41.7)
2*[*И^(*) + <(')] = tV„-i(t) + (1 - ft)W„_,(t); (41.8)
y„(t)=l_iwn(t) +
\fw.
Wy =
1 -fc
l
W„(t)+ / W„(ty)dy;
(41.9)
1
2W„(t) = t ([Wn-x(vt) - Vn^(yt)}\uydy^
0
1
- / y~lWn-i(yt)\nydy.
(41.10)

41. Ряд Каптейна второго рода*
305
Здесь штрихом обозначена производная по t.
Доказательство. 1. Продифференцировав (41.3) по i с помощью
формулы (40.12), получим соотношения (41.7) и (41.8).
2. С учетом начального условия Vn(0) = 1, следующего из (41.3),
из (41.7) получим (41.9). Аналогично из (41.8) получим (41.10).
Пример 41.2. Найти суммы рядов (41.2) при и = 0, ±1.
Решение. Найдем явный вид функций Vu(t) и Wv(t) при и = 0, ±1.
Из (40.4) и (41.5) после вычисления интегралов запишем
W{
Wi(t) = t,
W-
-!№<.-.*<"К<,->>].
(1 - ty
где введена переменная
q = (l-t)-'.
Воспользовавшись соотношением (41.9), получим
V0{t) = 2(l- y/T=t)t-\
Vi(t) = l-*/2,
_(l + 3t/4) _ 3/2
1- (l_t)5/2 -1
1+4(9-1)
Следовательно,
]Г Jn(mx) = -
1 1 - л/1 - x2
2 у/Г^:
т.
J?n(mx) _ z2^
m2 4 '
4 + x-
m=l
00
Y^lJUmx)]2 = ^(1 - 4/1^?);
m=l
E2r7/ , xl2 1 4 +3a:2
m [JmM = ^(1,g2)5/2-
(41.11)
(41.12)
(41.13)
(41.14)
(41.15)
(41.16)

306
Глава 5. Ряды Неймана и Каггтейяа*
Пример 41.3. Найти соотношение, связывающее функции Vn(t) и
Wn(t), если они определяются формулами
Wn(t) = t[l - tWn-2(t)], Vn(t) = 1 - tVn-2(t)i (41.17)
Решение. Сравнив (41.17) с (41.4), находим
4Wn(0) = 1 - 4-п-\ 4Р„(0) = 3 - 4"n. (41.18)
Подставив (41.17) в (41.7) и (41.8) и заменив индекс суммирования
пнап + 1, получим
2Vn(t) + tV^(t) =
= 1 + 2(1 - t)^»-i(t) + *(1 " tWn-At); (41.19)
8W„(t) + WtWUt) + 2t2WX(t) =
= l + Vn(t) + (l-t)W^-i(t). (41.20)
Поскольку, согласно (41.18), функции Vn(t) и Wn(t) при t = 0
конечны, отсюда вытекают соотношения
t
vn(t) = i + (l - t)^»-i(0 + ^ (y2Wn-i(y)dy =
0
1
= I + (1 - t)Wn-i(t) + t f y2Wn-i(yt)dy; (41.21)
о
Wn(*) = 5 " ? / J/((l -I/)^n-i(y) + Vn(y)](b2/ -lnt)dj/ =
0
= J" 5 [v[(l-*y)W»-i(tv) + Vn(ty)]]nydy. (41.22)
0
Следовательно, V^fc) однозначно восстанавливается по функции
Wn-\ (£), после чего однозначно восстанавливается и функция Wn(t),
т.е. соотношения (41.21), (41.22) являются рекуррентными.
Пример 41.4. Доказать, что при целом п ^ 0 функции Vn(t) и
Wn(t) являются полиномами степени п по t.
Решение. Из определения (41.17) при п = 1 с использованием
(41.11) найдем
W-i(t)=0. (41.23)
Отсюда с помощью (41.21) и (41.22) получим

41. Ряд Каптейна второго рода*
307
%(*) = !, W0(t)=^ (41>24)
16^1 (t) = 11 - 2fc, 5761^1 {t) = 5(27 - 2t),
что, в частности, согласуется с формулами (41.18). Таким образом,
при п = 0,1 утверждение верно. Но из (41.21) и (41.22) следует, что
если Wn-i (t) есть полином по t степени п — 1, то Vn(t) и Wn(t) есть
полиномы по t степени п.
Пример 41.5. Представив полиномы Wn(t) и Vn(i), п = 0,оо, в
виде
п п
W„(t) = X>«;V' ВД = ^6<"V, (41.25)
* = 0 * = 0
найти соотношение, связывающее коэффициенты a^' и bj. .
Решение. Для удобства будем считать, что a^ = b\^' = 0 при
к < 0, к > п. Подставим (41.25) в (41.19) и (41.20) и найдем
(к + 2)Ъ{П) = (к + 2)а«"-" - (* + l)atV'. (41 26)
2(к + 2)2а<"> = Ь<"> + а*""1' - а^"1» * '
с вытекающими из (41.18) начальными условиями
4a<n) = 1 - 4-"-1, 4Ь<П) = 3 - 4"'\ (41.27)
что также согласуется с (41.26). Из (41.26) находим
2(к + 2)*а£] = 2{к + 2)<4П_1) - (2/с + 3)а^х). (41.28)
Отсюда коэффициенты aj,n' восстанавливаются по коэффициентам
а* "1 , после чего из (41.26) восстанавливаются и bj."' . В частности,
при к = п имеем
2(п + 2)3а<Г> = -(2п + З^*!"11 • (41.29)
Из этого рекуррентного соотношения с учетом (41.27) следует
(п) _ (2п + 3)!4—'
°" ~( Х) (п + 2)3[(п+!)!]"• (41-30)
Тогда для Ь„ из (41.26) найдем
ьО) , 1Г (2п + 1)!4-
Положив в (41.26) к = 1, с учетом (41.27) получим
з-гУ" =2-4,-п-31-2п^5,
3 • fb\n) = 2 • 4S^" - 3s=?n - 37,
(41.32)

308
Глава 5. Ряды Неймана и Кал теина*
Свойство 3. Справедливы соотношения
ч
Gn(q) = F„(q) + Ж-[у-3'*(у - l)Fn(y)dy, (41.33)
1
A*Fn(q) = 8-f (<? - l)Fn_!(9), (41.34)
dq
где обозначено
A = 3q - 1 + 2q(q - 1) -^-, (41.35)
dq
а функции Gn(q) и Fn(q) определяются соотношениями
Wn(q) = V9(q-l)Fn(q), Vn(q) = JqGn(q). (41.36)
Доказательство. Проведя в (41.7) и (41.8) замену переменных
(41.12), получим (штрихом далее обозначаем производную по q)
q(q - l)V^(q) + Vn(q) = qWUq), (41.37)
,2, ud ,,dWn(q)
4 (Ч ~ ^diq^4 ~ *) dq =
= (q- 1) V„_, (q) + №„., (q). (41.38)
Из (41.37) следует аналог формулы (41.9)
я
(q-l)Vn(q) = Wn(q)+qfy-2Wn(y)dy. (41.39)
о
С помощью этого выражения приведем (41.38) к виду
*(.-Ч£(.-.>^-
я
= 2Wn-l(q)+q J y~2Wn(y)dy. (41.40)
Поделив обе части этого выражения на^и продифференцировав,
получим
2q(q-l)-q(q-l)-q(q-l)-1[r- =
= ZqWUtq) - Wn(y) = 2q3"±q-1'2Wn-1(q).
Таким образом, возникает рекуррентное соотношение

41, Ряд Каптейна второго рода*
309
Произведем замену функций Vn(q) и Wn(q) на Fn(g) и С?„(д),
согласно (41.36), и получим (41.33) и (41.34).
0 Из (41.34) также можно получить
SFn-i{q) = 2q[P - (q - 1)1 + fa - 1)(39 - l)]F„(g)+
я
+ ^y Ду - 1)(15у2 - 12у + l)F„(y)dy. (41.42)
i
Пример 41.6. Доказать, что справедливы соотношения
F-n(q) = qn[l + (q-l)P„(q)], (41 43)
<?-»(«) =«"[1 + (9 -1)в„(«г)],
где Fn(g) и (5„(fc), n = 1>°о» есть полиномы по q степени 2п — 2,
которые представимы в виде
Fn(q) = ?2±1 + [6 + (2n + 5)(? - l)]*n(«)+
+2^-i)z;fa), (41Л4)
в»(«) = 2j^ + [6 + (2n + 7)(q - 1)]Л(Й+
+2efa-l)Z;fa).
Здесь Zn(q) — полиномы по q степени 2п — 3. Найти рекуррентные
соотношения для полиномов Zn(q)
Решение. При п = 1 из сравнения (41.43), (41.36) с (41.11) и (41.13)
получим, что высказанные утверждения верны, причем
A (q) = 5/4, Gx(q) = 7/4, 2x(q) = 0. (41.45)
Соотношение (41.33) показывает, что если Fn(q) есть полином
некоторой степени по д, то и Gn(q) есть полином той же степени по
q. Из (41.42) следует, что если F-n(q) есть полином степени s по д,
то F_n+i(g) есть полином степени в + 3 по д. Поскольку F_i(g) есть
полином второй степени по q, то F-n(g) и G_n(g) есть полиномы
степени Зп — 1. Из соотношений (41.33) и (41.34) при q = 1 следует
F_„(l) = G-„(l) = F_(n+l)(l) = F-i(l) = 1. (41.46)
Бели при этом выражения (41.43) справедливы, то Fn(q) и Gn(q)
действительно должны быть полиномами по о степени 2п — 2, Из
(41.37) с учетом (41.36) и (41.43) для Pn(q) и Un(q) получим
уравнение
2 + [4 + (2п + 5)(« - !)]£.(«) + 2д(</ - l)^(q) =

310
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
= [4 + (2n + 3)(q - l)]Gn(q) + 2g(</ - l)G'n{q). (41.47)
Функции (41.44) являются общим решением уравнения (41.47) при
любых Zn{q) и п. Следовательно, Zn(q) должен быть полиномом по
q степени 2п — 3 при целом положительном п. Наконец, подставив
в (41.38) выражения (41.36) с учетом (41.43) и (41.44), для Zn{q)
получим рекуррентные соотношения
3(3п + 4) + -(2n + 3)(2n + 5)(д - 1)+
+ i(2n + 3)(2n + 5)(2n + 7)(q - 1)2 +
о
+ [48 + 48(2n + b)(q - 1) + Ю(2п + 5)(2n + 7)(q - 1)2 +
+ ^(2n + 5)(2n + 7)(2n + 9){q - I)3
^п +
+2g(g - 1) [48 + 20(2n + 7)(q - 1)+
+ ^(2n + 7)(2n + 9)(g-l)2]^+
+2<j2(<j - l)2 [20 + 3(2n + 9)(g - 1)] Z''{q) + 4g3(g - 1)8Z™(*) =
= 4 [3 + (n + 4)(g - l)Z„+i (q) + 4<г(<? - 1)] Z;+1 (</). (41.48)
Пример 41.7. Найти Zi{q) и ^з(^) и значения Zn{V).
Решение. Из (41.48) при п = 1 и Z\(q) = 0 найдем
64Z2(g) = 7(l + 15g).
При п = 2 с учетом (41.49) получим
2Zs{q) = 19 + 3 • 11 • 53 • 2"4(g - 1)+
(41.49)
+3.7-11.13-2"4(д-1)24-
+52 .7-ll-13-2""8(g-l)s.
При q = 1 из (41.48) следует
Z„+i(l)=4Z„(l) + i +
3n
£1 =0.
Из этого рекуррентного соотношения найдем
i2Z„(l) = 2.4n-3n-5.
(41.50)
(41.51)
(41.52)

42. Ряд Каптейна второго рода и равенство Парсеваля* 311
42. Ряд Каптейна второго рода и
равенство Парсеваля*
Существуют и другие методы вычисления приведенных
ранее сумм. Рассмотрим несколько примеров, в которых суммы рядов
Каптейна второго рода вычисляются с помощью равенства
Парсеваля для рядов Фурье
±J№g(t)dt= ]Г anbn, (42Д)
где
— JT —w
- коэффициенты Фурье функций f(t) и g(t), соответственно.
Пример 42.1. С помощью равенства Парсеваля найти сумму ряда
S = 5>n(nz)]\
п=1
Решение. Воспользовавшись соотношением (3.9) и тем, что
J0(0) = 1, запишем
оо оо
5 = J}Мпх)]2 = \ J2 [Мпх)Г - \ = Ь| - I
С учетом интегрального представления (10.7), справедливого для
функций Бесселя целого индекса, представим сумму Si в виде
оо оо w
*= £ [J»(nx)]2= 5Z (^Je^-'^dri)2. (42.2)
П=—oo n= —oo
— IT
Сделаем в интеграле замену переменных у = rj — x&mrjy dy =
= (1 - хcosrf)drj, ч>(у) = 1/(1 - accost?), drj = ip(y)dy, Тогда
* = E(^/e'°v(^)2 =
n= —oo _w
oo w *

312
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
Положив в равенстве Парсеваля (42.1) f(t) = <p(fc), g(t) = <р(—fc),
получим
Sl = z 4>{y)v(-y)dy = - -, т\ dr] =
7Г J 7Г J 1 — X COS 77 1 + X COS Г)
— ir — ir
— : arctg ' —
* y/l - X2 Vl-X2\-K y/l-X2'
£ [-M-)]2 = 7=^ (42-3)
В'-мЧНтг-?. (42-4)
n = 0
что совпадает с (41.14).
Пример 42.2. Используя равенство Парсеваля, найти сумму ряда
оо
s = £V [J«(™0]2-
п=1
Решение. Заметим, что
оо оо
£VJn(nx) = - ]Г nJl(nx).
n=0 n= —00
Обозначив
1(Л) = 7(ж, Г7) = ту - ж sin Т7, (42.5)
представим ряд, стоящий в правой части, в виде
Я"
25= £ »^(п*) = f) »Я|£/.™"
2
Проинтегрируем один раз по частям, положив
dU = ein^p(r1)dr1, У = ^у
п р2(т7)
Здесь точкой обозначена производная по ту
P(v) = 7(*7) = 1 - х cos Т7, p(rj) = sb sin 77.

42. Ряд Каптейна второго рода и равенство Парсеваля* 313
Внеинтегральное слагаемое равно нулю, поэтому
25
^ dr\2
= У^ п\-— /е'7(т?)п^
*-* I 2тгУ р2(т7)
п=—оо _
7Г
- 1^п\ 2ж J е [рЦу)ауГУ
С учетом равенства Парсеваля (42.1) запишем
— 7Г — 7Г
Заметим, что
р2(7?) = я2 sin2 77 = (х2 - 1) + 2р - р2.
Тогда
25
= J_ jiinldri = ± f (*' ~ х) +
2тг J р5(7?) 2тг У р
2р(77)-р2(г7)
Р5('?)
Воспользовавшись интегралом
Р5(>?)
dl}.
2-к J (1-х
= (1 - *Tm/'-Pm-l([l - *Tll% (42.6)
27Г / (1 — ж cos 77)
где |ж| < 1 и Pm(x) — полином Лежандра, получим
25 = (f^p4 (тгЫ + (1-'2)з/2 Рз (тгЫ) "
1 р ( 1 ^
С учетом явного вида полиномов Лежандра Лг(ж), Рз(ж), Р4(ж) (см.
пример 16.3) запишем
25 = i^—^772 {[-35 + 30(1 - а:2) - 3(1 - х2)2] +
+8[5 - 3(1 - х2)] - 4[3(1 - х2) - (1 - х2)2]} =
-^[5-6(1-*') + (!-*')'] =
8 (1-х2)
Л ?_f4*2+^- *1* + *
8
(1-х2)-/^4х +1 •)-8(1-х2Г
/2-

314
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна*
Таким образом,
£у ['.<»->]' = \ £ »'[*.(«.)]' = .tn-fy^ (42-7>
п=1 п= —оо
что совпадает с (41.15).
Пример 42.3. С помощью равенства Парсевгшя найти сумму ряда
5 = f>VA(n*)]2.
ri=l
Решение. Аналогично примеру 42.2
5 = f;n2[j;(nx)f = i £ n\rn{nx)]\
n=0 n= —оо
Тогда
»г
|2
25= £ n'[j;(n«)]'= £|£/e™»«n,,
П= — ОО ~ —
= £|£/^(ч,п
p(>?)cost7-sint7j?(T7)
_ _j_ /* [p(>?)<:os>7-sinT7p(>7)]2
2ir J
ГгЛ12
Л"
С учетом соотношения
. 2 (ж2-1) + 2р-р2 1-р
х sin rj = , cos 77 =
X X
получим
Я"
2тг J p5(f?)
— »г
_ 1 / [P('?)(l -PC?) ~ (*' ~ 1) - frfo) + Р2(н)Г , _
-хг)г-2(х2-1)р(>,)+р2Ы
2тгх2 У
рЧч)

42. Ряд Каптейна второго рода и равенство Парсеваля* 315
С учетом (42.6) получим
{[35 - 30(1 - х2) + 3(1 - х2)]-
8х2(1-х2)5/2
-8[5 - 3(1 - х2)] + 4[3 - (1 - X3))} =
' - te»(i - *гп <7 - "К1 - *2>+* ~ »*)■ >= втг^тг-
Таким образом,
£ «'WW = I £ n2[J>*)]2 = щ37Д' <вЛ>
что совпадает с (41.16). Аналогично с помощью равенства
Парсеваля можно находить суммы рядов (41.2) при целых ь>.

Задания для самоконтроля по курсу
«Обобщенные и специальные
функции»
Теоретические вопросы
1. Сформулировать задачу Штурма-Лиувилля для линейных
дифференциальных уравнений. Самомопряженная форма уравнения
задачи. Исследовать влияние граничных условий на свойства
собственных значений и собственных функций.
2. Сформулировать основные свойства решений задачи Штурма-
Лиувилля. Доказать любые два свойства.
3. С помощью обобщенного степенного ряда получить частные
решения уравнения Бесселя. Дать определение функции Бесселя
первого рода.
4. Вычислить вронскиан функций Бесселя Jl/(x) и J-M(x). Найти
общее решение уравнения Бесселя с нецелым индексом.
5. Дать определение функции Неймана. Вычислить вронскиан
функций Jv(x) и Nu(x) и найти общее решение уравнения Бесселя с
произвольным индексом.
6. Доказать рекуррентные соотношения для функций Бесселя
[*-*Л(х>]' = -х- "J„+, (х), [х"Мх)]' = х-Л-, (х)
и сформулировать следствия из них.
7. Выразить функции Бесселя и Неймана полуцелых индексов
через элементарные функции.
8. Записать уравнение Бесселя с параметром и найти его частные
решения. Дать определение функции Ханкеля.
9. Вычислить вронскиан модифицированных функций Бесселя 1и(х)
и Ки(х) и найти общее решение модифицированного уравнения
Бесселя.
10. Исходя из известных рекуррентных соотношений для функций
Бесселя, доказать аналогичные соотношения для
модифицированных функций.
11. Исследовать асимптотическое поведение цилиндрических
функций (любых двух) в окрестности точек х = 0 и х = оо.
12. С помощью обыкновенного дифференциального уравнения
Лапласа доказать теорему об интегральном представлении частного
решения уравнения Бесселя.
13. Исходя из интегрального представления решения уравнения
Бесселя, доказать одну из формул (интегралов) Пуассона для
функций Бесселя.
14. Исходя из производящей функции
FM) = exp[|(t-i)].
получить представление функций Бесселя в виде ряда и
интеграла Бесселя.

Теоретические вопросы
317
15. Вывести один из интегралов Ломмеля.
16. Сформулировать основные свойства нулей бесселевых функций.
Доказать любые два свойства.
17. Исходя из интегралов Ломмеля, вычислить норму и получить
условие ортогональности функций Бесселя.
18. Дать определение и вычислить коэффициенты разложения рядов
Фурье-Бесселя и Дини. Сформулировать теорему Гобсона.
19. Найти решение задачи Штурма-Лиувилля для уравнения
Бесселя.
20. С помощью производящей функции Ф(ж,£) = (1 + t2 — 2tx)"1^2
получить формулу Родрига для полиномов Лежандра.
21. С помощью производящей функции Ф(ж, t) = exp(2tx — t2)
получить формулу Родрига для полиномов Эрмита.
22. С помощью производящей функции $(x,t) = exp(2tx — t2)
получить формулу Родрига для полиномов Эрмита.
23. С помощью производящей функции
Ф(а:,0 = (1-*Г(а+1)ехр(-1^)
получить формулу Родрига для полиномов Лагерра.
24. С помощью производящей функции
*(х t) - *»М«.*))
получить обобщенную формулу Родрига для классических
ортогональных полиномов.
25. Для полиномов Лежандра доказать следующие рекуррентные
соотношения:
(п + l)Pn+i (х) - х(2п + 1)Рп(х) + пРп_1 {х) = 0,
nPn(x)-xPUx) + P^1(x) = 0. (**>
26. Исходя из рекуррентных соотношений (**), получить уравнения
для полиномов Лежандра и доказать их ортогональность.
27. Дать определение ряда Фурье-Лежандра. Вычислить норму и
получить условие ортогональности полиномов Лежандра.
28. Найти решение задачи Штурма-Лиувилля для уравнения
Лежандра.
29. Дать определение присоединенных функций Лежандра. Найти
частные решения уравнения Лежандра порядка га.
30. Получить условие ортогональности присоединенных функций
Лежандра. Дать определение ряда Фурье по присоединенным
функциям Лежандра.
31. Дать определение сферических функций и получить условие их
ортогональности.
32. Доказать рекуррентные соотношения
Я„+1 (х) - 2хНп(х) + 2пЯп_1 (х) = 0,
H'n(x) = 2nHn-l(x) = 0
и получить из них уравнение для полиномов Эрмита.

318
Задания для самоконтроля
33. Найти решение задачи Штурма-Лиувилля для уравнения
Эрмита. Доказать ортогональность полиномов Эрмита.
34. Дать определение ряда Фурье-Эрмита. Вычислить норму
полиномов Эрмита и получить явный вид коэффициентов ряда
Фурье-Эрмита.
35. С помошью функций Эрмита решить задачу о квантовом
гармоническом осцилляторе.
36. Доказать рекуррентные соотношения
(п + l)£S+i(*) - (2п+ 1 + а - х)Щх) + (п + а)Я^_1(х) = О,
и получить из них уравнение для полиномов Лагерра.
37. Решить задачу Штурма-Лиувилля для уравнения Лагерра и
получить условие ортогональности полиномов Лагерра.
38. Дать определение ряда Фурье-Лагерра. Вычислить норму
полиномов Лагерра и получить явный вид коэффициентов ряда
Фурье-Лагерра.
39. С помошью уравнения Пирсона получить обобщенное
дифференциальное уравнение для классических ортогональных
полиномов.
40.* Дать понятие обобщенного гипергеометрического ряда,
гипергеометрической и вырожденной гипергеометрической функций
Гаусса.

Индивидуальные задания
319
Индивидуальные задания
Вариант № 1
1.1. Доказать, что при z = гу справедливо соотношение
|Г(*)|
-{г
yahiry
1.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + 2у' + (А + 1)у = 0, y(0) = j/(a)=0;
б) у"+-у' + Ху = 0, |у(0)|<оо, у'(1/3)+3у(1/3)=0.
X
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
1.3. Вычислить
/ xJo(x)dx.
1.4. Найти лапласовское изображение функции Ji(t).
1.5. Используя теорему умножения, вычислить интеграл
t
(t - т)^(2л/т)(1т.
о
1.6. Вычислить t
\3i
/
(Ь-т)6Ьп(т)<1т.
о
1.7. Функцию f(x) = 1 разложить в ряд Фурье-Бесселя на
интервале ]0,7г[ при v = 0.
1.8. Доказать равенство
lim 4=е""*2/е = <у/£б(х).
1*9. Доказать, что
(1пИ)' = Р±.
1.10. Доказать, что
1
JUp*(*) =

320
Задания для самоконтроля
Вариант № 2
2.1. Вычислить
а
/ x2ny/a? -x2dx, а>0, п = 57оо.
о
2.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + Ау = 0, у'(тг/2)=у(7г) = 0;
б) у" + 2^- + Ау = 0, 0 < х < 1, |у(0)| < оо, у'(1) + у(1) = 0.
х
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
2.3. Найти общее решение уравнения
Указание: сделать замену переменных у = e~*^2z.
2.4. Найти лапласовское изображение функции Л(£).
2.5. Используя теорему умножения, вычислить интеграл
t
cos(fc— r)Jo(r)dr.
о
2.6. Вычислить t
\t-T)raLan{r)dr.
t
/<
О
2.7. функцию /(х) = хр разложить в ряд Фурье на интервале
]0, оо[ по полиномам Лагерра.
2.8. Доказать равенство
«-►о ХЛ ■+■ с*
2.9. Доказать, что
2.10. Доказать, что
Л_^р6(ав — хо) =
л/2тг

Индивидуальные задания
321
Вариант № 3
/,'Ь.*-,^, *>-1.
3.1. Используя гамма-функцию, доказать, что
1
(HI)2'
о
3.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + Ау = 0, у'(1/2) = у(1) = 0.
б) у" + 2^- + Ау = 0, 0 < х < тг, |у(0)| < оо, у(тг) = 0.
х
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
3.3. Вычислить л т / \
/*i
-dx.
х*
3.4. Найти лапласовское изображение функции Jz(t).
3.5. Используя теорему умножения, вычислить интеграл
t
I sm(t — r)Jo(r)dr.
о
3.6. Вычислить t
\2|
/
(t-ryLn(T)dT.
о
3.7. Функцию f(x) = xu разложить в ряд Фурье на интервале
]0,1[ по системе (J»,(A£:c)), если А£ — нули Ju(x).
3.8. Вычислить (signж)'.
3.9. Доказать, что
(—V— )' = -ir6'(x)-v\
\x + i0/ v ' x2
3.10. Доказать, что
Вариант № 4
4.1. Вычислить
тг/2
/ (sin (p)a(cos (p)bd(p, а > -1, b > -1.

322
Задания для самоконтроля
4.2. Найти собственные значения и собственные функции
задачи:
а) у" + \у = 0, у'(тг) = у(2тг) = 0.
2
б) (ху'У - — у+\ху = 0, 0<z<l, |у(0)| < оо, 2/(1) = 0.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
4.3. Вычислить г
I J\(x)dx.
4.4. Найти лапласовское изображение функции Jo(t).
4.5. Используя теорему умножения, вычислить интеграл
Г J0(fc-T)Ji(T)
dr.
4.6. Пользуясь теоремами смещения и дифференцирования
оригинала, доказать, что
Ln(x) = £-f-(zne-).
' п\ dxn '
4.7. Функцию f(x) = 1 разложить п ряд Фурье на интервале
]0,1[ по ортогональной системе
| - sin(/inx), п = 1, оо |,
где 0 < ^1 < /i2 < ... - все положительные корни уравнения tg \i =
-А*/2.
4.8. Вычислить [0(х)]'.
4.9. Доказать, что
Vx-iO/ v ' х2
4.10. Доказать, что
_ /5(х-хо)+8(х + хо)\ 1
(G>:
Вариант № 5
ычислить
оо
/
_ ь
е х dx, b = const.

Индивидуальные задания
323
5.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + \у = 0, у'Ог/2) = !/(*)= 0.
б) у" + 2^- + Ау = 0, 0<ж<тг, |t/(0)| < оо, 7и/(7г) + у(тг)=0.
X
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
• 5.3. Записать общее решение уравнения
Сделать замену переменных у = z/ sin х,
' 5.4. Найти лапласовское изображение функции y/tJi(y/i).
5.5. Используя теорему умножения, вычислить интеграл
t
Jo(r)Jo(t — r)rdr.
о
5.6. С помощью преобразования Лапласа доказать, что
^/2(х)=^ДгЯ2п+1(^).
• 5.7. Функцию f(x) = 5 — 2\х\ разложить в ряд Фурье-Лежандра
на интервале ] — 1,1[.
(5T8j)l Вычислить ([ж])', где [х] — целая часть числа ж.
/53) Доказать, что
— оо
5.10. Доказать, что
8(х -хо) -6(х + хо) 1
2г у/гИ
Вариант № 6
6.1. Вычислить
оо
/
2n —ах
х е dx, а > 0, п = 0, оо.
6.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:

324
Задания для самоконтроля
а) у" + At/ = 0, y'(ir/2) = у(Зтг/2) = О;
б) (2ж -f 3)2у" + 4(2ж + 3)у' + (Л + 1)у = О, у(О) = у(3) = О.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
6.3. Записать общее решение уравнения
У + -У +яу = 0.
а;
Сделать замену переменных у = 2/ж2.
6.4. Найти лапласовское изображение функции y/iJ\{2y/ab).
6.5. Используя теорему умножения, вычислить интеграл
ГМЬ-т)Ыт)
dr.
о
6.6. С помощью преобразования Лапласа доказать, что
«1/ам = УХь/э
п!22п
6.7. Функцию /(ж) = ж2 разложить в ряд Фурье-Бесселя на
интервале ]0,1[ при v = 0.
6.8. Вычислить (|ж|)".
6.9. Доказать, что
Jk= —оо Jk= — оо
6.10. Доказать, что
Вариант № 7
7.1. Доказать, что
Г(п + 1/2)Г(-п + 1/2) = (-1)"тг.
7.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + Ау = 0, у(-1) = 0 = у(1);
б) [(1 - х2)у']' + Ху = 0, |у(-1)| < оо, |у(1)|<оо.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
7.3. Найти общее решение уравнения

Индивидуальные задания
325
Сделать замену переменных у = Zy/x.
7.4. Найти лапласовское изображение функции [Jo(t) — l]/t.
7.5. Используя теорему умножения, вычислить интеграл
t
j(t-r)y/rJi(2^)dr.
о
7.6. Найти лапласовское изображение функции H2n-\-i(\/x).
7.7. Функцию f(x) = е~х разложить в ряд Фурье на интервале
]0, оо[ по полиномам Лагерра.
7.8. Вычислить | sin х|".
7.9. Доказать, что
оо оо
i ^~\os(2fc + 1)ж = ^ (-\)к8(х-ък).
7.10. Доказать, что
у2тг
Вариант № 8
8.1. Вычислить
1
f(l + x)a(l-x)bdx, а<-1, Ь>-1.
-1
8.2. Найти собственные значения и собственные функции
задачи:
а) у" + Ау = 0, у'(тг) = y(3ir/2) = 0;
б) у" + -у' + Ау = 0, |у(0)|<оо, Зу'(3)+у(3)=0.
X
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
8.3. Записать общие решения уравнения
y" + z4y = 0.
Сделать замену переменных у = Zy/x, t = ж3.
8.4. Найти лапласовское изображение функции J2(t)/t.
8.5. Используя теорему умножения, вычислить интеграл

326
Задания для самоконтроля
t
I
(t - T)TJ2(2y/r)dT.
8.6. Найти лапласовское изображение функции —■= Н2п(л/х) •
у/Х
8.7. Разложить в ряд Фурье-Лежандра функцию
fix) = ( Х« 0 < * < 1;
П ] 1-1, -1 ^ ж < 0.
8.8. Вычислить (е-01*1)".
8.9. Доказать, что
^(at~\x\) = aS(at-\x\),
где, по определению, S(at — \х\) = 0(t)S(at -f х) + 0(£)£(а£ — ж).
8.10. Доказать, что
Fx^p0(x)e-ax = -L;—L_ а > о.
л/2тга-гр
Вариант № 9
9.1. Вычислить интеграл
//•
где i2 — треугольник, ограниченный полуосями и прямой х + у = 1.
9.2. Найти собственные значения и собственные функции задачи
а) у" + Ау = 0, „'(1/2) = 2/(3/2) = 0;
б) {ху)' + -у + Ах?/ = 0, 1/(0) < оо, у(1) = 0.
х
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
9.3. Записать общие решения уравнений
х2у" + ху' + (AV - i^2)t/ = 0; х2у" + V - (ж2 + i/2)j/ = 0.
9.4. Найти лапласовское изображение функции J^(t)/t.
9.5. Используя теорему умножения, вычислить интеграл
е
/ sin(t — r)J\(r)dr.
о

Индивидуальные задания
327
9.6. Найти лапласовское изображение функции xaL„(x).
9.7. Функцию f(x) = 1 разложить в ряд Фурье-Бесселя на
интервале ]0,7г/2[ при v = 0.
9.8. Вычислить (e~|aH"o|sinz)".
9.9. Доказать, что
^-6{at - \х\) = 0(t)6(at + х) - 0(t)S(at - ж).
ot
9.10. Доказать, что
Fx^p0(-x)eQX = -1=—L-, a > 0.
V2tt a + гр
Вариант № 10
10.1. Показать, что
fe-xidxfx2e-xidx=^8
о о
10.2. Найти собственные значения и собственные функции
задачи:
а) у" + Ау = 0, у\ъ) = у(Зтг/2) = 0;
б) у" + V + Ау = 0, |у(0)| < оо, Зу'(3/2) + 2у(3/2) = 0.
х
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
10.3. Показать, что
Л/г(ж) = \ —shz, К1/2(х) = \ —е~*.
У жх ' у тгж
10.4. Найти лапласовское изображение функции e-tJo(fc).
10.5. Используя теорему умножения, вычислить интеграл
с
/
Jo(ar)Jo(a(t — т))с1т.
10.6. Найти лапласовское изображение функции Ln(x).
10.7. Разложить функцию f(x) = |ж| в ряд Фурье-Лежандра.
10.8. Вычислить 8(х2 + 2х - 3).
10.9. Показать, что
8(х) * f(x) = f(x) * 6(х) = f(x).
10.10. Доказать, что
F^pe-al*l = L_ ,2° а > 0.
\/2тга2+р2

328
Задания для самоконтроля
Вариант № 11
11.1. Доказать, что
1 1
J s/T^J vT^* 4
11.2. Найти собственные значения и собственные функции
задачи Штурма-Лиувилля:
а) у" + \у = 0, у'(3/4) = у(5/4) = 0;
б) у" + - + Ау = 0, 0 < х < тг/3, |у(0)| < оо, у'(тг/3) = 0.
X
Записать соотношение ортогональности для собственных функций.
11.3. Найти общее решение уравнения ху" + 1у + ху = 0.
11.4. Найти лапласовское изображение функции Ji(t)sht.
11.5. Используя теорему умножения, вычислить интеграл
/ Mr)Js(t-T)
J т(*-т)
о
dr.
11.6. Из формулы Родрига получить представление полиномов
Лагерра
гаМ _ V4 Г(п + а + 1)(-х)*
bnW- 2^T(k + a + l)k\(n-k)
_ Т(к + a + l)k\(n - k)\
11.7. Функцию /(ж) = x2 разложить в ряд Фурье-Бесселя на
интервале ]0, тг[ при v = 0.
11.7. Вычислить -
lim — sin —.
е-Ц-0 х е
11.8. Показать, что
6(х - а) * 6(х — Ь)= 6(х - а — Ь).
11.9. Доказать, что
Fx-+P = —7=, а>0.
а2 + х2 тДтг
Вариант № 12
12.1. Используя гамма-функцию, найти
оо
/
xse х dx.

Индивидуальные задания
329
12.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + Ау = 0, у'(3/4)= 2/(5/4) =0;
б) у" + 2^- + Ау = 0, 0<а;<7г/2, |у(0)| < оо, у'(тг/2) = 0.
х
Записать соотношение ортогональности для собственных функций.
12.3. Найти общее решение уравнения
у" + Q - 2chs)y' + (l - JL + ch2^) - shx - ^)y = 0.
Сделать замену у = eehxz.
12.4. Найти лапласовское изображение функции Jo(t)sin£.
12.5. Используя теорему умножения, вычислить интеграл
/jl(T)Jl(t-T)
У т(*-г) ^
о
12.6. Вычислить
(V5F-kl)Pn(x/7r)dx.
/<
12.7. Функцию /(ж) = х2 разложить в ряд Дини на интервале
]0,1[ при v = 0.
12.8. Вычислить ~ ~
lim —-sin —.
е-Ц-0 тгаг е
12.9. Показать, что
12.10. Доказать, что
w>(*)=^(p)+4=^-
2 V27T Р
Вариант № 13
13.1. Вычислить
/
x6e~ax2dx, a > 0.
13.2. Найти собственные значения и собственные функции
задачи:

330
Задания для самоконтроля
а) у" + Ау = 0, у'(1/4) = у(1/2) = 0;
п2
б) (жу')' у + Лжу = 0, 0 < ж < 1,
|у(0)|<оо, у(1) + у'(1)=0.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
13.3. Найти общее решение уравнения
,. + (2 + IM<-i-A)„ = o.
Сделать замену переменных у = e~*z.
13.4. Найти лапласовское изображение функции Jo(i)cost.
13.5. Используя формулу Парсеваля, вычислить интеграл
Г Jo(t)-CQ8tdt
о
13.6. Вычислить ж
xPn(x/n)dx.
I-
о
13.7. Функцию f(x) = хи разложить в ряд Дини на интервале
]0,1[ по системе (Jv(lnx)), если 7п — нули функции Jl{x).
13.8. Показать, что
13.9. Показать, что
8(х-
13.10. Доказать, что
xmV-=xm"1.
X
-о)*/(х) = /(х-
-«)•
2 v2tt Р
Вариант № 14
14.1. Вычислить _
/
гОЖ.
(1+z)3
о
Сделать замену переменных х = */(1 - £).
14.1 РёШйть задачу Шту^ма-ЛйувилЛя:

Индивидуальные задания
331
а) у" + Ху = 0, у'(ж/2) = у(Зтг/4) = О;
б) у" + ctgxy' + \у = 0, |у(0)|<оо, |у(*)| < оо.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
14.3. Найти общее решение уравнения
y»+(4+i)y4(3+a-^)y=o.
Сделать замену переменных у = e~2xz.
14.4. Найти лапласовское изображение функции Io(t).
14.5. Используя формулу Парсеваля, доказать, что
fr1/2Jz/2(t)dt =
О
14.6. Вычислить
3
fx2Pn(x/3)dx.
о
14.7. Функцию
f(x)-f 1 + х -К*<0
/W~ I О (К*<1
разложить в ряд Фурье на интервале ] — 1,1[ по полиномам Лежанд-
ра.
14.8. Показать, что
*(«*) = US№'
14.9. Показать, что
6{т)(х - а) * f(x) = f{tn)(x - а).
14.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции £'(я).
Вариант № 15
15.1. Вычислить ^
f x4e-''dx.
— ОО
15.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
Л-

332
Задания для самоконтроля
а) у" + Ау = 0, у'(3/4) = у(1) = 0;
б) у" + 2^- + Ау = 0, 0 < х < тг/6, |у(0)| < оо,
х
*y'(*/6)+6y(ir/6) = 0.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
15.3. Найти общее решение уравнения
•-(£+.-..)•+£-*:)„-а
Сделать замену переменных у = z/ sin х.
15.4. Найти лапласовское изображение функции Ii(t).
15.5. Используя формулу Парсеваля, доказать, что
00 I—
Jtl'2Ji/2(t)dt = 2yj^.
О
15.6. Вычислить
1
/
(l-x2)[PUx)fdx.
15.7. Функцию f(x) = 1 разложить в ряд Фурье-Бесселя на
интервале ]0,1[ при v = 0.
15.8. Показать, что р(х)8'(х) = р'(0)6(х) + р(0)6'(х), где р(х),
р'(х) — гладкие функции.
15.9. Вычислить в(х) * 0(х).
15.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции 6"(х).
Вариант № 16
16.1. Вычислить ^
/
>Ых
х ' ах
(1 + хУ
О
Сделать замену переменных х = t/(l — t).
16.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + Ау = 0, у'(ж/А)=у(ж/2)=0;
б) у" + 2^- + Ау = 0, 0<ж<7г/6, |у(0)|<оо, у(тг/6)=0.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.

Индивидуальные задания
333
16.3. Найти общее решение уравнения
у'ЧЛ = о.
Сделать замену переменных у = Zy/x, х4 = Ь.
16.4. Найти лапласовское изображение функции h(t).
16.5. Пользуясь частным случаем теоремы Эфроса, вычислить
интеграл
J Jo (y/t2 -т2) cos г dr.
о
16.6. Вычислить
fx2Pn(x/2)dx.
о
16.7. Функцию
f /х\ - f х ж € [0,2тг]
разложить в ряд Фурье на интервале ] — 27Г, 27г[ по полиномам Ле-
жандра.
16.8. Показать, что х6{т)(х) = -mJ(m"1)(x), т = Т^оо.
16.9. Вычислить 6(х) * 0(ж)а;2.
16.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции 0(х — о).
Вариант № 17
17.1. Вычислить интеграл
з
j x6y/9-x2dx.
о
17.2. Найти собственные значения и собственные функции
задачи:
а) у" + Ау = 0, у'(3/2) = у(1/2) = 0;
б) y" + - + Ay = 0, 0<z<27r, |у(0)|<оо, у'(2тг)=0.
х
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
17.3. Найти общее решение уравнения
*-+(.-£),-о.
Сделать замену переменных у = Zy/x.

334
Задания для самоконтроля
17.4. Найти лапласовское изображение функции h{t).
17.5. Пользуясь частным случаем теоремы Эфроса, вычислить
интеграл
J тМ2у/т(Ь - r))dr.
о
17.6. Вычислить
/ (cos3 в - sin2 0)P„(cos в) sin OdO.
о
17.7. Функцию /(ж) = 1 разложить в ряд Фурье на интервале
]0,2[ по ортогональной системе
{rin(T)'n=T;~}'
где 0 < /ii < да < • • • — все положительные корни уравнения
tg/i=-/*/2.
17.8. Показать, что xmS{m)(x) = (-l)mm!J(ic), m = 0,оо.
17.9. Вычислить е~'х' *е""'*'.
17.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции sign(x).
Вариант № 18
18.1. Вычислить __
У 4 + ж3
о
Сделать замену переменных ж3 = 4fc/(l — t).
18.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + Ау = 0, у(Зтг/4) = у'(5тг/2) = 0;
б) х2у" + ху + Ху = 0, 1<х<2, у(1) = j/(2) = 0.
Уравнение привести к самосопряженному виду. Записать
соотношение ортогональности для собственных функций задачи.
18.3. Найти общее решение уравнения
у" + 9ху = 0.
Сделать замену переменных у = Zyfxy ж3'2 = t.
18.4. Найти лапласовское изображение функции е~'/о(£).
18.5. Пользуясь частным случаем теоремы Эфроса, показать,
ЧТО оо
О

Индивидуальные задания
335
18.6. Вычислить
ir
/"(*+|a:|)P„(s/ir)d*.
18.7. Разложить функцию
f(X) - I -1 1 *$ х < 2
в ряд по ортогональной системе функций {«/о(7*§)}' гДе 7* — нули
функции J<J (7) = 0.
18.8. Показать, что хк6{т)(х) = 0, т = 0,к - 1.
2 2
18.9. Вычислить е ах * же °* .
18.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции V\.
Вариант № 19
19.1. Вычислить
ж/2
f tgl/3xdx.
о
Сделать замену переменных tg2 х = t/(l — t).
19.2. Найти собственные значения и собственные функции
задачи:
а) у" + Ху = 0, у(тг/2) = у'(5тг/4) = 0;
б) [(1-*2)у']' + Ау = 0, |у(-1)| < оо, |у(1)|<оо.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
19.3. Найти общее решение уравнения
„» + (I-:*,y-(i + !H>-o.
Сделать замену переменных у = z/cosx,
19.4. Найти лапласовское изображение функции I\(t)sht.
19.5. Пользуясь частным случаем теоремы Эфроса, вычислить
интеграл
fe2TJo(2y/r(t-r))dr.
о
19.6. Показать, что на интервале ] — 1,1[ полином Рп{х)
ортогонален любому полиному степени меньше п.
19.7. Функцию f(x) = xu разложить в ряд Фурье на интервале
]0> 1[ по системе (Л(7&*)), если ?£ — пул» функции j£(xj.

336
Задания для самоконтроля
19.8. Показать, что (р(х)0(х)У = р(0)6(х) + р'(х)0(х), где р(х),
р'(х) — гладкие функции.
19.9. Вычислить в(х)х2 * 0(x)8inx.
19.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции \х\.
Вариант № 20
20.1. Вычислить
• о
20.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + 2у' + (А+1)у = 0, у(0) = 0 = у(1);
б) у" + -У + Ау = 0, |у(0)| < оо, 1/(1/4) + 4у(1/4) = 0.
X
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
20.3. Показать, что u(p,v>) = 1п(цр) cos(n(p) удовлетворяет
уравнению
At* — у?и = 0,
р2 = ж2+у2, х = рсо8<р, y = psinv?, п = 0, оо.
20.4. Найти лапласовское изображение функции Io(t)sint.
20.5. Пользуясь частным случаем теоремы Эфроса, вычислить
интеграл
оо
о
20.6. С помощью дифференциального уравнения для полиномов
Лагерра Ln(x) доказать, что система функций {Ln(x)}
ортогональна на ]0, оо[ с весом р(х) = е~х.
20.7. Функцию /(ж) = хг разложить в ряд Фурье-Бесселя на
интервале ]0,2[ при и = 3.
20.8. Вычислить (0(-ж))'.
20.9. Вычислить 0(z)cosa; * в(х)хг.
20.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции Т—т.
хг
Вариант № 21
21.1. Вычислить
fx*(l-xs)1/3dx.
о

Индивидуальные задания
337
21.2. Найти собственные значения и собственные функции
задачи:
а) у" + Ау = 0, у(3/4) = у'(5/4) = 0;
б) [(1-*а)у']' + Ау = 0, |у(-1)|<оог |у(1)|<оо.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
21.3. Найти общее решение уравнения
у»+(1-2^у-(1-А_3г)у = о.
Сделать замену переменных у = ех z.
Выразить функции Бесселя J3/2(ж)» ^з/2(я) через элементарные
функции.
21.4. Найти лапласовское изображение функции Io(t)cost.
21.5. Пользуясь частным случаем теоремы Эфроса, вычислить
интеграл
оо
/ tsmt2J0(t)dt.
о
21.6. Показать, что
1
о
21.7. Разложить функцию f(x) = \х\ — 2 в ряд Фурье-Лежандра.
21.8. Вычислить (0(х - жо))(т\ т = 1,оо.
21.9. Вычислить 0(a)sinx *^(x)shx.
21.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции S(kt).
Вариант № 22
22.1. Вычислить те
о
Сделать замену переменных ж3 = fc/(l — t).
22.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + 2у' + (А + 1)у = 0, у(0) = у(1) = 0;
б) у" + -У + Ау = 0, |у(0)| < оо, 4у'(4) + у(4) = 0.
а:
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.

338
Задания для самоконтроля
22.3. Найти общее решение уравнения
Сделать замену переменных у = zy/x.
Показать, что
Jo(x) = -«M*)i Jo(x) = ~№{х) - Jo(x)].
22 А. Найти лапласовское изображение функции Io(2>/i).
22.5. Пользуясь частным случаем теоремы Эфроса, вычислить
интеграл
/ tco8t2J0(t)dt.
о
22.6. Вычислить ж
I Pn(x/*)dx.
о
22.7. Функцию f(x) = ж2гп+1 разложить в ряд Фурье по
полиномам Эрмита на интервале ] — оо, оо[.
22.8. Вычислить в^т)(хо - ж), т = 1,оо.
22.9. Вычислить 0(а - |ж|) * 0{а - \х\).
22.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции S(t — а).
Вариант № 23
23.1. Вычислить
J УТ^
о
23.2. Найти собственные значения и собственные функции
задачи Штурма-Лиувилля:
а) у" + Ау = 0, у(1/4) = у'{1/2) = 0.
б) у"+- + Ау = 0, 0<х<3, |у(0)|<оо, у'(3)=0.
х
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
23.3. Доказать, что
2и
/i,-i(a) - Iv+\(x) = —J„(x).
х
23.4. Найти лапласовское изображение функции уД1\(2л/ь).

Индивидуальные задания
339
23.5. Вычислить интеграл
оо
Je-2tJ0(t)dt.
о
23.6. Вычислить
1
/(5 - \x\)P„(x)dx.
-1
2
23.7. Функцию f(x) = е * разложить в ряд Фурье на интервале
] — оо, оо[ по полиномам Эрмита.
23.8. Вычислить (я sign ж)'.
23.9. Вычислить производную порядка 3/2 от функции 0(х).
23.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции S^(t).
Вариант № 24
24.1. Вычислить
J УГ=1?
о
24.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + \у = 0, у(*/2) = у'(Зтг/4) = 0;
б) хV + ху + \у = 0, 1<а:<3, у(1) = у(3) = 0.
Уравнение привести к самосопряженному виду. Записать
соотношение ортогональности для собственных функций задачи.
24.3. Показать, что
Jfa) = - J, (*), JX{z) = i[Ji(.) - Jo(*)].
24.4. Найти лапласовское изображение функции 1о(2л/оЬ).
24.5. Вычислить интеграл
00
J e'stJ0(2t)dt.
о
24.6. Вычислить
J[xPn(x)fdx.
6

340
Задания для самоконтроля
24.7. Функцию f(x) = x3 разложить в ряд Фурье по полиномам
Эрмита на интервале ] — оо, оо[.
24.8. Вычислить (|ж|)(т), га = 2,оо.
24.9. Вычислить первообразную порядка 3/2 от функции в(х).
24.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции $(t — а).
Вариант № 25
25.1. Вычислить интеграл
/(bi)2dx.
о
Сделать замену переменных 1п(1/ж) = t.
25.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + Ау = 0, у(3/4) = у'(1) = 0;
б) у" + y'ctgx + Ay = 0, |у(0)| < оо, |у(тг)| < оо.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
25.3. Выразить функции Бесселя Nx/2(x), N^i/2(x)^ Ki/2(z),
^-1/г(ж) через элементарные функции.
25.4. Найти лапласовское изображение функции л/ь1\{2у/оЬ),
25.5. Вычислить интеграл
оо
/ J0(2t) sintdt.
о
25.6. Вычислить
1
J(l-x3)[PUx)fdx.
о
25.7. Функцию f(x) = хр разложить в ряд Фурье на интервале
]0, оо[ по полиномам Лагерра.
25.8. Вычислить (O(x)smx)'.
25.9. Вычислить производную порядка 1/2 от функции в(х).
25.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции 8(t-\-a)+8(t—a).

Индивидуальные задания
341
Вариант № 26
26.1. Вычислить 2
/ х8 у 4 — х2 dx.
о
26.2. Найти собственные значения и собственные функции
задачи:
а) у" + Ау = 0, у(тг/4) = уV/2) = 0.
п2
б) (ху'У у + Хху = 0, 0 < а; < 1,
х
|у(0)| < оо, 2у(1) + у'(1) = 0.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
26.3. Выразить функции Бесселя Л/2(я), N3/2 (ж) через
элементарные функции.
26.4. Найти лапласовское изображение функции Jn(t).
26.5. Вычислить интеграл
оо
/ Ji(2t)Bintdt.
о
26.6. Показать, что
оо
/ хте~*2Hn{x)dx = 0 при 0 ^ т < п - 1.
— оо
26.7. Разложить функцию fix) = |х| +7Г в ряд Фурье-Лежандра.
26.8. Вычислить (0(x)cosx) .
26.9. Вычислить первообразную порядка 1/2 от функции 0(х).
26.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции 6(t+a) — 6(t—а).
Вариант № 27
27.1. Вычислить 1
/(lni)V
о
Сделать замену переменных 1п(1/ж) = Ь.
27.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" + Ау = 0, у(-1)=0 = у(1);
б) у" + 2у'/х + Лу = 0, |у(0)| < оо, 2у'(2) + у(2) = 0.

342
Задания для самоконтроля
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
27.3. Вычислить
/*«*. /,-„„<,
27.4. Найти лапласовское изображение функции tn'2Jn(2y/i).
27.5. Показать, что
/
Jo (t) Bllit __ 7Г
t М ~ 2 *
О
27.6. Вычислить
ос
хе~х Hn(x)Hm(x)dx.
I
27.7. Функцию f(x) = х3 разложить в ряд Дини на интервале
]0,2[ при v = 3.
27.8. Вычислить (Ixlsinx)77.
27.9. Вычислить 0(х) * 0(z)shz.
27.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции 6(a2t? —б2).
Вариант № 28
28.1. Показать, что
lim
П-ЮО
0
оо
fe-*ndx = l.
28.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) y" + Ay = 0, у(3/2) = у'(0)=0;
б) (2* + 3)У + 4(2ж + 3)у' + (А + 1)у = 0, у(0) = у(3) == О.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
28.3. Вычислить .
[(x3+x)J0(x)dx.
28.4. Найти лапласовское изображение функции /n(t)«
28.5. Вычислить интеграл

Индивидуальные задания
343
оо
/■
Jo(2t) cos tdt.
о
28.6. Получить дифференциальное уравнение
у" + (2п + 1 - х2)у = О
для функций Эрмита
un(x) = \\Hn(x)\rlHn(x)e^f2.
28.7. Разложить в ряд Фурье-Лежандра функцию
28.8. Вычислить (|ж|со8х);/.
28.9. Вычислить 0(x)8inx *0(ж).
28.10. Доказать, что
Fx->y[6{smt)]*-±= £ ."»«.
\/2ir
Вариант № 29
29.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой Ijc^+ly3^ 1.
29.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" - 10у'.+ Ху = 0, у(0) = у'(3/2) = 0;
б) я2у" + 2жу'+ Ау = 0, у'(0) = 0, у(2) = 0.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
29.3. Вычислить
/ xsJo(x)dx
29.4. Найти лапласовское изображение функции Ьп^21п(2уД).
29.5. Вычислить интеграл
/
Jo(t) — cost ,
0
29.6. Вычислить
о
/ (1 + x)Pn(x)dx.
It

344
Задания для самоконтроля
29.7. Функцию у = х2 разложить в ряд Дини на интервале ]0, ir[
при v = 2.
29.8. Вычислить (|z|sinx)'.
29.9. Вычислить в(х) * 0(х)х3.
29.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции 0(х)х*, к = 1, оо.
Вариант № 30
30.1. Нацти площадь фигуры, ограниченной кривой х4 + у4 = 1.
30.2. Решить задачу Штурма-Лиувилля:
а) у" - 2у' + Ау = 0, у(0) = у'(2) = 0;
б) жу" + у' + Ау = 0, у'(0) = 0, у(2) = 0.
Записать соотношение ортогональности для собственных функций
задачи.
30.3. Вычислить
I x2Ji(x)dx.
30.4. Найти лапласовское изображение функции е 'Ji(fc).
30.5. Вычислить интеграл
оо
/Jl(t)cQ8t
0
30.6. Вычислить
г
(sin2 в + 5)P„(cos в) sin в d0.
/«
30.7. Функцию у = х2 разложить в ряд Лини на интервале ]0, тг[
при v = 0.
30.8. Вычислить (|x|cosz)'.
30.9. Вычислить в(х)х2 * 0(х).
м-1
30.10. Найти Фурье-образ обобщенной функции х V—?,k = 1, оо

Список литературы
1. Анго А. Математика для электро и радиоинженеров. - М.:
Наука, 1964. - 772 с.
2. Арсенин В.Н. Математическая физика. Основные уравнения и
специальные функции. - М.: Наука, 1984. - 431 с.
3. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.
Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. - М.: Наука,
1965. - 300 с.
4. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.
Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра.
Ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1966. - 296 с.
5. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.
Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье.
- М.: Наука, 1967. - 300 с.
6. Бицадзе А.В., Калинченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям
математической физики. - М.: Наука, 1981. - 312 с.
7. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической
физике. - М.: Изд-во МГУ, 1998. - 350 с.
8. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по
математической физики. - М.: Наука, 1972. - 688 с.
9. Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Т. 1. - М.: ИЛ, 1947. -
800 с.
10. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений
групп. - М.: Наука, 1991. - 570 с.
11. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.:
Наука, 1981. - 512 с.
12. Владимиров B.C. Сборник задач по уравнениям
математической физики. - М.: Наука, 1981. - 270 с.
13. Градштейн И.С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм рядов
и произведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.
14. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы):
Ч. I. - М.: Высшая школа, 1980. - 280 с.
15. Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г., Терпигорева В.М.
Математический анализ (специальные разделы): Ч. И. - М.: Высшая
школа, 1980. - 296 с.
16. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный
курс высшей математики. - М.: Высшая школа, 1976. - 400 с.
17. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. - М.:
Наука, 1971. - 288 с.
18. Кузнецов Д.С. Специальные функции. - М.: Высшая школа, 1962.
- 248 с.
19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. - М.: Наука,
1987. - 248 с.
20. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. - М.:
ГИТТЛ, 1953. - 380 с.
21. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных
уравнений с дополнительными главами анализа. - М.: Наука, 1981.
- 384 с.

346
Список литературы
22. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. - М.:
Атомиздат, 1972. - 400 с.
23. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции
математической физики. - М.: Наука, 1984. - 344 с.
24. Ольсон Г. Динамические аналогии. - М.: ИЛ, 1947. - 196 с.
25. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической
физики. - М.: Наука, 1981. - 192 с.
26. Прудников А.П., Брычков Ю.А.,*Марычев О.И. Интегралы и
ряды. Элементарные функции. — М.: Наука, 1981. - 800 с.
27. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и
ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983. - 752 с.
28. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и
ряды. Дополнительные главы. — М.: Наука, 1986. - 800 с.
29. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и
специальные функции. Преобразование Лапласа. - М.: Наука,
1964. - 304 с.
30. Самойленко A.M., Кривошея С.А., Перестюк Н.А.
Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. — М.: Высшая школа,
1989. — 383 с.
31. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по
математической физике. - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 352 с.
32. Сёге Н.Я. Ортогональные классические многочлены. - М.: Изд-
во физ-мат. лит-ры, 1962. - 502 с.
33. Смирнов В.М. Курс высшей математики. - Т. 4. - М.: Наука,
1953. - 812 с.
34. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики.
- М.: Наука, 1975. - 128 с.
35. Специальные функции / Под ред. М. Абрамовича, И. Стигана.
- М.: Наука, 1979. - 832 с.
36. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. - М.:
Наука, 1976. - 327 с.
37. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г.
Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1985. — 232 с.
38. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической
физики. - М.: Наука, 1977. - 736 с.
39. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -
М.: Наука, 1980. - 352 с.
40. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам
высшей математики (типовые расчеты). - М.: Высшая школа,
1983. - 112 с.
41. Шелковников Ф.А., Тайкашвили К.Г. Сборник упражнений по
операционному исчислению. - М.: Высшая школа, 1968. - 184 с.
42. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.
43. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. - М.: Наука,
1977. — 342 с.

Предметный указатель
задача
Штурма-Лиувилля, 9, 93,
126, 163,174,187,207
спектр, 9
система
функций
ортогональная, 12
ортонормированная, 12
интеграл
Бесселя, 72
Вебера-Шафхейтлина, 275
Лапласа, 115
Ломмеля, 80
Парсеваля, 72
Пуассона, 68
Шлёфли, 111
момент степенной, 221
норма функции, 11
определитель Грама, 234
осциллятор
гармонический, 191, 192
полиномы
Гегенбауэра, 226
Лагерра, 193
Лежандра, 110 ;
Эрмита, 163
классические
ортогональные, 221
произведение
скалярное, 10
ряд
Дини, 88
Каптейна, 280
Неймана, 278
Фурье-Бесселя, 87
Фурье-Лагерра, 211
Фурье-Лежандра, 137
Фурье-Эрмита, 178
гипергеометрический, 240
обобщенный, 240
символ
Похгаммера, 240
теорема
Бурже, 86
Гобсона, 87
Стеклова, 12
сложения, 76
уравнение
Бесселя, 32
Лагерра, 207
Лапласа
обыкновенное
дифференциальное, 65
Лежандра, 126, 150
Пирсона, 221
Уитеккера, 241
Эрмита, 174
гипергеометрическое, 241,
245
дифференциальное
самосопряженное, 6
условия
Дирихле, 137
граничные, 6
Штурма, 9
формула
Меллера, 189
Родрига, 111,164, 195, 221
функции
ортогональные, 10
ортонормированные, 10
функция
Бесселя
второго рода, 43
модифицированная, 57
первого рода, 34
третьего рода, 56
Лежандра, 126
присоединенная, 149
Макдональда, 57
347

348
Список литературы
Неймана, 43
Ханкеля, 56
Эрмита, 186
гипергеометрическая
Гаусса, 245
вырожденная, 240
обобщенная, 240
производящая, 70, 75,109,
158, 163, 170, 193,227,
229
сферическая, 160
цилиндрическая, 32

Содержание
Часть III. Специальные функции 3
Глава 1. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенных
дифференциальных уравнений 3
1. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений 4
2. Задача Штурма-Лиувилля 8
Глава 2. Цилиндрические функции 32
3. Функции Бесселя первого рода 32
4. Функции Бесселя второго рода 42
5. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя 45
6. Различные виды функций Бесселя 56
7. Асимптотическое поведение
цилиндрических функций 60
8. Интегральное представление функций Бесселя 65
9. Интеграл Пуассона 68
10. Производящие функции. Интеграл Бесселя 70
11. Интегралы Ломмеля 79
12. Корни бесселевых функций 84
13. Ряды Фурье-Бесселя и Дини 86
14. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя 92
15. Интегральные преобразования бесселевых функций 95
Глава 3. Классические ортогональные полиномы 109
16. Полиномы Лежандра V 109
17. Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра 118
18. Ортогональность полиномов Лежандра 124
19. Ряд Фурье-Лежандра 136
20. Присоединенные функции Лежандра 149
21. Сферические функции 160
22. Полиномы Эрмита 163
23. Рекуррентные соотношения для полиномов Эрмита 172
24. Ортогональность полиномов Эрмита 176
25. Функции Эрмита 186
26. Линейный гармонический осциллятор 191
27. Полиномы Лагерра 193
28. Рекуррентные соотношения для полиномов Лагерра 201
29. Ортогональность полиномов Лагерра 205
30. Ряд Фурье-Лагерра 211

350
Содержание
31. Ортогональные классические полиномы 219
31.1. Метод ортогонализации Шмидта 219
31.2. Обобщенная формула Родрига 221
31.3. Производящая функция 227
31.4. Дифференциальные уравнения для классических
ортогональных полиномов 229
31.5. Алгебраические свойства ортогональных
полиномов 231
32. Интегральные преобразования классических
ортогональных полиномов 236
Глава 4. Гипергеометрическая функция* 240
33. Вырожденная гипергеометрическая функция* 240
34. Гипергеометрическая функция Гаусса* 245
35. Функции Лагерра* 250
36. Интегралы, содержащие специальные функции* 263
Глава 5. Ряды Неймана и Каптейна* 278
37. Ряды Неймана* 278
38. Ряд Каптейна первого рода* 280
39. Ряд типа ряда Каптейна первого рода* 294
40. Ряд Каптейна первого рода. Специальный случай* 298
41. Ряд Каптейна второго рода* 303
42. Ряд Каптейна второго рода и равенство Парсеваля* 311
Задания для самоконтроля по курсу
«Обобщенные и специальные функции» 316
Теоретические вопросы 316
Индивидуальные задания 319
Список литературы 345
Предметный указатель 349

Багров Владислав Гавриилович,
Белов Владимир Владимирович,
Задорожный Валерий Николаевич,
Трифонов Андрей Юрьевич
Методы математической физики
Специальные функции
Учебное пособие
Научный редактор - профессор, д.ф.-м.н. СП. Гулько
Технический редактор - В.Н. Романенко
Набор и верстка выполнены на компьютерной технике
в издательской системе Tfi}X - Ш^К
с использованием семейства шрифтов Computer Modern
ОГУП «Асиновская типография»,
г. Асино, ул. Проектная, 22.
Заказ №2431. Тираж 800.