ASYMPTOTIC
EXPANSIONS
by
E. T. CO PS ON
Regius Professor of Mathematics In
the University of St Andrews
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1965

э. т. коп с он
АСИМПТОТИЧЕСНИЕ
РАЗЛОЖЕНИЯ
Перевод с английского
г. м. мордасовой
Под редакцией
М. А. ЕВГРАФОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО „М И Р"
Москва 1966

/УДК 517.52
В книге английского математика Э. Копсона рассма-
рассматриваются методы получения асимптотических разло-
разложений для функций, заданных определенными или кои-
турными интегралами. Излагаются метод стационарной
фазы, метод Лапласа, метод наибыстрейшего спуска,
метод перевала. Подробно исследуется поведение инте-
интегралов Эйри.
Основной особенностью книги является особая
ясность и доступность изложения, которая сочетается
с полной строгостью. Очень удачно подобраны примеры.
Книга будет ценным пособием для преподавателей,
аспирантов и студентов университетов, пединститутов
и инженерно-физических вузов,.
Редакция литературы по математическим наукам

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Метод перевала известен в математике уже довольно
давно, но в послевоенные годы произошло как бы новое
рождение этого метода для широких слоев математиков.
В разговорах математиков, да и физиков, очень часто
можно было услышать вопрос: „Не знаете ли вы, где
можно найти приличное изложение метода перевала?"
Среди разнообразнейших ответов на этот вопрос встре-
встречалось упоминание о таинственной книге Копсона, и это
упоминание непременно сопровождалась самыми яркими
эпитетами. Увы, книга Копсона была совершенно недо-
недостижима. С течением времени появилось довольно много
вполне доступных работ, содержащих хорошее изложение
метода перевала, и о таинственной книге Копсона забыли.
Когда недавно мне попало в руки новое издание этой
книги, я, конечно, стал просматривать ее с большим
любопытством, но, признаться, не очень надеялся, что она
способна конкурировать с последними работами по тем же
вопросам. Однако талантливые книги и по математике
стареют медленно, и, прочтя книгу Копсона, я убедился,
что у нее и сейчас найдется немало поклонников. Книга
легко читается, примеры подобраны очень удачно и совсем
не избиты, некоторые из них производят большое эстети-
эстетическое впечатление даже на опытного читателя. Рассма-
Рассматриваются в книге и такие вопросы, которые слабо осве-
освещены в имеющихся работах. Таков, например, материал
последней главы.
Я рад случаю рекомендовать читателю интересную,
со вкусом написанную, содержательную книгу..
М. А. Евграфов

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В 1943 г. по просьбе Вычислительной службы Морского
министерства я написал небольшую монографию „The
Asymptotic Expansion of a Function Defined by a Definite
Integral or Contour Integral". Эта книга вошла в серию
монографий, изданных для нужд научно-исследовательских
учреждений Морского министерства с целью заполнить
пробелы в легко доступной математической литературе.
Монография, изданная Морским министерством скоро
стала библиографической редкостью, и мои друзья убедили
меня написать более обширную книгу, построенную по
тому же принципу. Этот принцип таков: излагается не-
несколько теорем, в которых сформулированы основные
методы, затем они иллюстрируются на примере наиболее
важных специальных функций.
Я должен выразить благодарность профессору Артуру
Эрдейи за его советы и за то внимание, которое он уделял
мне в течение всей работы над этой книгой.
Э. Т. К.

ГЛАВА 1
Введение
Хотя современный подход к задачам анализа был изве-
известен уже в семнадцатом столетии, математиков восемнадца-
восемнадцатого столетия часто больше интересовало формальное
применение бесконечных процессов, чем их строгое обо-
обоснование. Некоторые из результатов, полученных этим
формальным путем, поразительны.
Например, в 1730 г. Стирлинг в своей книге „Metho-
dus Differentialis" дал бесконечный ряд для In (tn!), кото-
который в современных обозначениях выглядит так:
здесь z = m-\-l/2, а Вп(х) — полиномы Бернулли, опре-
определяемые из равенства
Стирлинг нашел первые пять полиномов и рекуррентную
формулу для последовательного определения остальных.
Аналогичная формула
,2л-!
Bв —1Jши'
была впоследствии установлена Муавром. Оба эти ряда
расходящиеся; однако Стирлинг, используя лишь несколько
первых членов своего ряда, смог вычислить с десятью

10 ' Гл. I. Введение
десятичными знаками lgA000!) — число, заключенное
между 2567 и 2568. Любая частичная сумма какого-либо
из этих расходящихся рядов дает приближение к In (m I)
с ошибкой порядка первого отброшенного члена; и так
как эти члены вначале убывают очень быстро, то сумма
из нескольких первых членов может дать очень хорошее
приближение.
Другой интересный результат, принадлежащий Эйлеру,
состоит в том, что
со
,.1.1, . 1 ,
где у — постоянная Эйлера. Эйлер указывал, что. этот ряд
расходится при т = \, он использовал его для /71 = 10,
чтобы вычислить у с точностью до 15-го десятичного
знака; впрочем ряд расходится для всех значений т. Это
знакопеременный ряд; члены которого вначале убывают
по абсолютной величине, частичные суммы его попере-
попеременно больше или меньше искомой „суммы", и мы никогда
не сможем обеспечить приближение с точностью много
большей, чем величина наименьшего члена..
Лаплас в своей книге „Theorie analytique des proba-
bilites", опубликованной в 1812 г. в Париже, провел две
новые идеи. Он показал, что функцию ошибок
Erf(T) = JV'
о
можно представить в виде сходящегося степеннбго ряда
который он назвал „seiie-limite"'), так как его частичные
суммы попеременно больше или меньше значения инте-
интеграла и дают оценку для этого интеграла сверху и снизу.
') В русской литературе термин „serierlimite* не упо-
употребляется. В. Л. Гончаров в переводе книги Полна и Сегё [23,
т. 1, стр. 46] ввел термин „обвертывающий ряд". —Прим. перев.

Гл. 1. Введение И
Когда Т велико, то велико и число больших членов этого
ряда, так что от этой оценки мало пользы. С помощью
интегрирования по частям Лаплас получил для функции
легко выражающейся через Erf (Г), другой, более удобный
обвертывающий ряд, а именно
1-3 1.3-5,
27" \ 2Г2 ~ B7)г BГ2)
Он заметил, что этот ряд неудобно использовать целиком
из-за его расходимости, но свойства обвертывающего ряда
делают его пригодным для вычисления значений Егк(Г)
при больших значениях Т.
Вторая идея состояла в том, что значение интеграла
Jq> (*){«(*)}'</*,
когда s велико, определяется поведением функции а(х)
вблизи ее стационарных точек. Лаплас использовал это
для получения формулы
которую часто несправедливо называют формулой Стир-
линга.
Лежандр в своей книге „Traite des fonctions elliptiques"
A825—1828 гг.) назвал бесконечный ряд полусходя-
полусходящимся, если он представляет данную функцию в том
смысле, что ошибка, получающаяся при остановке на
любом члене, имеет тот же порядок, что и первый отбро-
отброшенный член. Название оказалось неудачным, так как это
свойство не имело никакого отношения к сходимости;
так, например, ряды

12 Гл. 1. Введение
оба сходятся, но первый является полусходящимся, а вто-
второй нет. Однако по традиции это название продолжает
употребляться, оно встречается, например, у Янке и Эмде
в „Таблицах функций с формулами и кривыми". Полу-
Полусходящиеся ряды сейчас называют асимптотическими.
В течение девятнадцатого столетия асимптотические
разложения были получены для большинства специальных
функций анализа, иногда только формально, иногда с точ-
точной оценкой величины ошибки. Особый интерес предста-
представляет докторская диссертация Стильтьеса. [26], в которой
он исследует ошибку, получающуюся при остановке' на
наименьшем' члене асимптотического разложения некоторых
важных специальных функций, и указывает, как можно
уточнить найденное приближение.
Современная теория асимптотических разложений начи-
начинается с работы Пуанкаре [22]. Эта работа распадается
на две неравные части. Первая часть посвящена сумми-
суммируемости асимптотических рядов и применимости таких
операций, как почленное дифференцирование и интегри-
интегрирование; вторая—фактическому получению рядов, которые
асимптотически представляют данные функции.
В настоящей книге рассматриваются асимптотические.
представления функций, заданных в виде определенного
или контурного интегралов; обычно это аналитические
функции комплексного переменного г. Если z— ком-
комплексное число, обозначим его действительную и мнимую
части через Re г и 1т г. Если z представлено в тригоно-
тригонометрической форме
назовем б аргументом г и обозначим его 0 = arg?. Аргу-
Аргумент z определяется неоднозначно, только с точностью
до слагаемого, кратного 2л. Главное значение arg г удо-
удовлетворяет неравенству — я < arg z -^ я; но так как нам
будут встречаться нецелые степени z, то значения arg z,
отличные от главного, тоже будут нужны.
Терминология и обозначения специальных функций,
использованные здесь, такие же, как в книге Эрдейи,
Магнуса, Оберхеттингера и Трикоми „Higher Transcen-
Transcendental Functions" (McGraw-Hill, 1953). Так как в ней

Гл. 1. Введение 13
имеется хорошая библиография, то здесь мы даем лишь
необходимые ссылки. Необходимо также отметить, что
обозначения в этой книге не всегда такие же, как у Уит-
текера и Ватсона в „Курсе современного анализа"
(Москва, 1934),
Библиография нашей книги представляет собой просто
перечень работ, на которые имеются ссылки в тексте.
Например, ссылка „Пуанкаре [22]" "на стр. 12 отсылает
читателя к работе Анри Пуанкаре, опубликованной в жур-
журнале Acta Mathematica, которая значится под двадцать
вторым номером в библиографии.

ГЛАВА 2
П редварительные
сведения
§ 1. Асимптотические последовательности
Пусть функции f(z) и (f(z) определены на множе-
множестве R комплексной плоскости, и пусть точка г0 является
предельной точкой R, возможно бесконечно удаленной.
Так, например, R может быть углом
О < | г \ < оо, а < arg z < р,
a z0^-вершиной угла -или точкой в бесконечности. Под
окрестностью точки г0 (более точно, круговой окрест-
окрестностью) мы понимаем открытый круг \z — ZQ | < 6, если
точка г0 — конечная, и область |z|>6, если z0 — бес-'
конечно удаленная точка. *
Используя обычные обозначения, мы пишем / = О(ф),
если существует такая постоянная А, что |/|-^-<4|ф|
для всех Z из R. Мы также пишем / = О (ф) при г -> z0,
если существуют постоянная А и окрестность U точки z0,
такие, что | / [<^ А | ф | для всех точек Z из пересечения U
и R; мы пишем / = о(ф) при z->z0, если для любого
положительного числа е существует такая окрестность U
точки г0, что |/|-*Се|ф| для всех точек z из пересече-
пересечения U и R. Иными словами, если ф не обращается в нуль
на R, то формула / = О(ф) означает, что отношение //ф
ограничено, а формула / = о (ф) — что //ф стремится
к нулю при z -*¦ z0. ,
Последовательность функций {ф„(г)} называется асимп-
тотической последовательностью при z~>z0, если
существует окрестность точки zQ, в которой ни одна
из функций не обращается в нуль (за исключением точки г0),
и если для всех п
() При Z^-Zq.

§ 2. Определение Пуанкаре асимптотического разложения 15
Например, если z0 — конечная точка, то {(z— zo)n}
является асимптотической последовательностью при z —> z0;
аналогично [г~п] при 2->оо.
§ 2. Определение Пуанкаре асимптотического
разложения
Мы будем говорить, что формальный ряд
не обязательно сходящийся, является асимптотическим раз-
разложением в смысле. Пуанкаре функции / (z) по асимпто-
асимптотической последовательности (фл(г)}, если для каждого
значения m
при z->z0. Так как
га-1
— 2
о
то частичные суммы 2 *лФ/»('г) являются приближенными
о
значениями функции /(z) с ошибкой О(фт) при z->z0,
т. е. ошибка имеет величину порядка первого отброшен-
отброшенного члена. Если такое асимптотическое разложение суще-
существует, то оно единственно и коэффициенты определяются
последовательно по формуле
га—1
= lim
Если функция имеет асимптотическое разложение в этом
смысле, то мы пишем

16 Гл. 2. Предварительные сведения
Частичные суммы этого формального ряда будут часто
называться асимптотическими приближениями к функ-
функции f(z).. Первый член называется главным членом;
мы часто будем писать f(z)— aQ%(z), понимая под
этим, что f(z)/%(z) стремится к а0 при z->z0.
Определение асимптотического разложения дано для
функций комплексного переменного г, но его можно при-
приспособите для функций действительного переменного х.
Если предельная точка х0 является конечной, то R может
быть открытым интервалом, причем х0 лежит внутри него
или совпадает с одним из его концов, а окрестностью
точки х0 служит открытый интервал |аг—:л;0|<6. Но
если х0 — бесконечно удаленная точка, то мы должны
различать два случая: 1) х—>-\-оо; тогда/? может быть,
например, полубесконечным интервалом х > а, 2) х->—сю;
в этом случае R может быть интервалом х < Ь. Возможны
случаи, когда множество R дискретно, например, когда
необходимо найти асимптотическое разложение для я-й час-
частичной суммы бесконечного ряда для больших п, но такие
вопросы выходят за рамки этой книги.
Вид асимптотического разложения, очевидно, зависит
от выбора асимптотической последовательности. Напри-
Например, при г->со
г —.
—1
В этих примерах асимптотические разложения являются
сходящимися рядами.
С другой стороны, две функции могут иметь одина-,
ковые асимптотические разложения. .Например, если
— я/2-)-6<ащ,г<л/2 — б, где 0<6<л/2, то обе
функции

§ 4. Действия над асимптотическими степенными рядами 17
при z->oo имеют одно и то же асимптотическое раз-
разложение
так как в данном угле zne~z ->0 при z-*-oo при любом п.
§ 8. Асимптотические степенные ряды
Если предельная точка z0 является конечной, преобра-
преобразуем ее в бесконечно удаленную точку с помощью замены
z'—\/(z — z0). Мы будем предполагать, что это уже
сделано, и будем рассматривать асимптотические разло-
разложения только при z -> оо в угле а < arg2 < р, или в случае
функций действительного переменного х при х -*¦ + со
(или х—> — оо).
Простейшим типом асимптотической последовательности
при z-^oo является \<p(z)z~n}. Если функция f(z) обла-
обладает асимптотическим разложением ,по &той последова-
последовательности, например ¦ . ,
то отсюда следует, что
^j»»^.^.v*.J;-.J*
причем последний ряд является асимптотическим разло-
разложением по последовательности {г~л}. Асимптотическое
разложение по последовательности [г~п\ называется
асимптотическим степенным рядом.
§ 4. Действия над асимптотическими
степенными рядами
Асимптотические степенные ряды и сходящиеся степенные
ряды обладают очень сходными формальными свойствами.
Основные результаты мы установим сначала для случая.
2 Э. Копсов

18 Гл. 2. Предварительные сведения
действительного переменного. Предположим, что / (х)
и g(x) имеют асимптотические разложения
оо оо
Xя
О О
при х —>--j-oo.
I. Если А—постоянная, то
И- fW + gi)
о
Эти результаты немедленно следуют из определения.
III.
где с„ = ао*лН-а1^_1+ ... +а„-1*1 + о„*0-
Для любого положительного целого числа N
поэтому
что и требовалось доказать.
Отсюда следует, что любая положихельная целая сте-
степень функции f(x) обладает разложением в асимптоти-
асимптотический степенной ряд и это же утверждение справедливо
,для любого полинома от /(#)•
IV. Если а0ФО, то
при х ->-j-oo.

§ 4. Действия над асимптотическими степенными рядами 19
Во-первых, l/f(x) стремится к конечному пределу 1/а0
при дг-*оо. Затем
/_] 1 ). *
\f(x) аа Г х —
а,
Таким же образом
1 1 . а, 1 1
и т. д. Следующие коэффициенты dn определяются тем
же путем.
И вообще любая рациональная функция от f(x) имеет
разложение в асимптотический степенной ряд, если только
знаменатель не стремится к нулю при х->-\-оо.
V. Если f(x) непрерывна при х > а > 0, то при
х > а функция
X
разлагается в асимптотический степенной ряд
при a;-*-!0'
Так как / (t) — а0 — о^ непрерывна при t > а и имеет
порядок О(/~2), когда /->-f-oo, то интеграл F(x) суще-
существует при х > а.
Так как
для каждого целого числа /и ^- 2, то мы имеем
при аг-^+оо; отсюда следует утверждение.
2*

20 Гл. 2. Предварительные сведения
VI. Если f(x) имеет непрерывную производную
f(x), которая разлагается в асимптотический сте-
степенной ряд при х-*--\-оо, то это разложение
имеет вид
2
Предположим, что
о
при х-*--\-оо. Далее, так как f'(x) непрерывна, то
у
/(У)—/(х)= f f(t)dt = bo(y — .
/0>)-*¦#<) ПРИ у-> + оо и интеграл
сходится, так как подинтегральная функция имеет поря-
порядок 0(t~2). Следовательно. bu = bi = Q тл.
ao-f(x)= f {f'(t)-bo—^}dt.
X
Согласно (V),
00
2e?r .при л;->+оо.
1
Но мы знаем, что

§ 4. Действия над асимптотическими степенными рядами 21
и так как разложение в асимптотический степенной ряд
единственно, то Ьп+х = — пап, откуда
при л:-»--}0- Другими словами, асимптотические раз-
разложения допускают формальное почленное дифференци-
дифференцирование J).
Эти результаты установлены для функций действи-
действительного переменного х, когда х-+-\-со. Их доказа-
доказательства почти дословно переносятся на функции комп-
комплексного переменного z при z-*oo или внутри утла, или
во всей окрестности бесконечно удаленной точки.
Утверждение (VI) можно приспособить к случаю ана-
аналитических функций комплексного переменного г, которые,
согласно определению, дифференцируемы. В данном случае
получаем результат
VII. Если f(z) — аналитическая функция, регу-
регулярная в области R, определяемой неравенствами
\z\> a\ a<|aig,z|<p, и если
равномерно по zxgz npa |z|->oo о любом замкну-
замкнутом угле, содержащемся в R, то
равномерно по argz при |г|->оо в любом замкнутом
угле, содержащемся в R.
Когда мы говорим, что разложение в асимптотический
степенной ряд функции f(z) равномерно по arg« при
| гг j —»¦ оо в замкнутом "угле
<*i < arg z
') В действительном случае это верно только тогда, когда
производная допускает асимптотическое разложение того же
вида.—Прим. ред.

22 Гл. 2. Предварительные сведения
содержащемся в /?, то мы понимаем это так: для каждого
целого числа m
m-l
в=0
где фт(г) — ограниченная в замкнутой области \z\^-ax,
ai ^ arS z -^ Pi функция, т. е. для любого целого числа m
существует постоянная Ат, такая, что
в этой области.
Так как f(z) регулярна в R, то, по определению, она
дифференцируема, поэтому (fm(z) регулярна в R и
.где
Мы должны показать, что tym(z) ограничена в любом
замкнутом угле щ <! arg z -^ p2, содержащемся в /?. Оче-
Очевидно, достаточно показать, что q>'m (z) ограничена.
Для данных Oj и р2 выберем aj и рх так, чтобы
а < щ < а2 < р2 < pt < р.
Тогда | фт (г) | < Ат для точек угла щ < arg г < рх. Мы
можем выбрать такое положительное число б, чтобы для
точки ? из угла а2 < arg ?, < р2 окружность С с уравне-
уравнением | z—С | = 61 ? | лежала в угле aj -< arg г -< Pj. Поэтому
и таким образом,
1<Р
что и требовалось доказать.

§ 4. Действия над асимптотическими степенными рядами 23
Разложение в асимптотический степенной ряд анали-
аналитической функции обычно имеет место в угле. В разных
углах одна и та же функция может иметь различные
асимптотические разложения; это называется явлением
Стокса.
VIII. Если f (z) — однозначная функция, регуляр-
регулярная в области \z\^-a, и если
при г->оо для всех значений sxgz, то асимптоти-
асимптотический степенной ряд для достаточно больших зна-
значений | z | сходится к сумме / (z).
Пусть /?i — любое число больше а. Тогда / (г) раз-
разлагается в ряд Лорана
сходящийся в области \z\^~ Rv где
1 г f (г) .
а Г — любая окружность | z\ = /?,/?> Rv В силу того
что /(z) стремится к а0 при z—>oo, она ограничена,
поэтому существует такая постоянная М, что | / (г) \ -^ М,
когда \z\~^a. Для п > О
Радиус R может быть сколь угодно большим, поэтому
с„ = 0, когда п > 0. Таким образом,
! Я
причем это сходящийся ряд для | z \ ^> /?t. Но

24 Гл. 2. Предварительные сведения
при 2-»-oo, поэтому
co=lim/(*) = co,
2->со
1
flj ^ 11П1(/ (К) — Яд/ • ~~ == с-1<
z->oo г
— с0 — -^-l:-i-r=c_2;
в общем случае ап = с_п. Следовательно, функция /(г)
разлагается в сходящийся асимптотический степенной ряд.

'V.
ГЛАВА S "
Интегрирование
по частям
§ 5. Неполная гамма-функция
Одним из простейших путей получения асимптоти-
асимптотического разложения функции, заданной в виде определен-
определенного интеграла, является метод интегрирования по частям.
Члены асимптотического ряда находятся один за другим
повторным применением этой операции, асимптотический
характер полученного ряда затем устанавливается иссле-
исследованием остаточного члена, который имеет вид опре-
определенного интеграла. Область применения этого метода
весьма ограничена, и сформулировать сколько-нибудь
общие точные теоремы было бы трудно. Вместо таких
попыток мы постараемся разъяснить идею метода, рас-
рассматривая частные примеры.
В качестве первого примера мы возьмем неполную
гамма-функцию, определенную формулой
х
Y(a, *) = / e~'f~xdt,
о
где хна положительны. Ряд, удобный для вычислений
при малых х, можно сразу получить, если разложить
показательную функцию в ряд и проинтегрировать его
почленно. Этот ряд
у (а, л;)==
о
сходится для всех положительных значений х, но для
вычислений он почти не используется х). Например, если
') Автор имеет в виду, что ряд не является асимптоти-
асимптотическим при х->-{-<х>. — Прим. перев.

26
Гл. 3. Интегрирование по частям
jc=10, a =1/2, то значение наибольшего его члена,
соответствующего ге = 8, около 923, однако y A/2. 10)
равна Yn с ошибкой порядка 10~5.
Когда х велико и положительно, лучше рассматри-
рассматривать функцию
оо
Г (а, *) = Г(с) — у (а, х) = f e~*ta~x dt,
где интеграл является сходящимся для всех значений пара-
параметра а. Если мы проинтегрируем по частям один раз,
то получим
Г (а, х) = е-хха^
— 1)Г(а — 1.
Повторяя этот прием, находим, что для целых положи-
положительных а функция Г (а, л:) есть произведение е~х на
полином от X степени а — 1. В общем же случае после п
интегрирований по частям мы получаем
/•=1
Теперь заметим, что
оо
Г (а)
(а-л) J e l
dt
Г (a).
Г(а-л)
Г (а)
Г (е-л)
если я>а — 1. Следовательно, когда д:->
е-Хха-п-1
е~*ха
г-1
причем ошибка при остановке на я-м члене меньше пс
абсолютной величине, чем первый отбрасываемый член *)
') При я > а — 1. — Прим- ред.

§ 6. Интегралы Френеля и аналогичные им 27
Частным случаем этой формулы является асимптоти-
асимптотическое разложение функции ошибок
т
когда Г-> + оо, а именно формула
Erfc Г — -i-
которая легко преобразуется в формулу Лапласа
г=1
§ в. Интегралы Френеля и аналогичные им
Интегралы Френеля
ОО 00
Jcos(92)d9, J sin (в2)^,
и и
применяющиеся в физической оптике, могут быть запи-
записаны в виде
00
cin 4-
dt.
/cos t j, Г sin?
Они являются частными случаями действительной и мни-
мнимой частей интеграла
который сходится для всех положительных значений х,
если а положительно.
Проинтегрировав по частям, получим
iplX
F{x. e) = -^g taF(x, a + 1).

28 Гл. 3. Интегрирование по частям
Повторяя этот прием, находим, что
Отсюда вытекает, что при jc->-|-oo.
ГяО
Действительно, для абсолютной величины остаточного
члена с номером п -\- 1 справедливо неравенство
Г(в + я+1)
Г (а)
00
h
е"
1 + П + 1
-dt
{а +
Г(
00
a) J
X
dt ¦ Г (a -f- n)
в правой части которого стоит абсолютная величина
(п -J- 1)-го члена. Поэтому остаточный член с номером п.
не превосходит по абсолютной величине абсолютной вели-
величины (п+1)-го члена, что и доказывает наше утвержде-
утверждение. Найденное асимптотическое разложение, очевидно,
имеет место и в том случае, когда а — комплексная
постоянная с положительной действительной частью.
§ 7. Задача Стильтьеса
В своей работе [26] Стильтьес применил метод инте-
интегрирования по частям к функции
j^ G.1)
о
Так как этот интеграл сходится равномерно в области

§ 7. Задача Стильтьеса 29
то F (г) — аналитическая функция, регулярная в комплекс-
комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрицательной действи-
действительной оси. Это вырожденная гипергеометрическая функ-
функция ЧгA1 1; z), ее единственная особенность—точка
ветвления в начале координат, вблизи которой она ведет
себя, как главное значение ln(l/z).
Если мы проинтегрируем по частим п раз, то получим
Расходящийся ряд
S°° (
г=1
является асимптотическим степенным разложением функ-
функции F (z), справедливым при | z | -> со, в угле | arg z | ^ я—6.
Для того чтобы доказать это, заметим, что когда t ^> О
и j arg z | -^ л — б, то | z +11 >-1 z | sin 6. Для абсолютного
значения остаточного члена Rn(z) имеет место оценка
(—l)"nlJV<
п!
т. е. \Rn(z)\ при |г|->оо является величиной того же
порядка, что и (ft-j-l)-fl член. Таким образом,
(-1Г^-1)!. G-2)
г=1
Когда г = д: > 0, то
поэтому остаточный член с номером п имеет тот же знак,
что и (я-р- 1)-й член, и меньше его по абсолютной

30 Гл. 3. Интегрирование по частям
величине. Это асимптотическое разложение — знакоперемен-
знакопеременный ряд, обвертывающий (serie-limite)J) в терминах Лапласа;
его частичные суммы попеременно больше или меньше зна-
значения F (х). Наилучшее приближение частичными суммами
мы получим, если остановимся перед наименьшим членрм.
Стильтьес указывал, что можно затем получить' более
точный результат, прибавив половину наименьшего члена.
Пусть x — N-\-r), где 0^tj<1, а целое положи-
положительное число N выбрано так, что (N~\- 1)-й член является
наименьшим. Остаточный член с номером N равен
(-1)"АП JV'
-Г 11+)
Подинтегральная функция мажорируется функцией е~*
(и стремится к е~21 при Л/->оо.—Перев.). По признаку
Вейерштрасса
при N-><x>. Поэтому, если x = N-{-t], где N — большое
целое число, 0 <1 г\ < 1, то остаточный член с номером N
равен приблизительно половине (N-f-l)-ro члена, т. е.
половине наименьшего члена.
§ 8. Аналитическое продолжение функции
Стильтьеса
Функция F(z), определенная в области \argz\ <я
равенством G.1), является главной ветвью вырожденной
гипергеОметрическЪй функции \РA, 1; z), имеющей лога-
логарифмическую точку ветвления в начале координат. Дру-
') См. примечание на стр. 10. — Прим. перев.

§ 8. Аналитическое продолжение функции Стильтьеса 31
гие ветви этой функции можно получить с помощью
аналитического продолжения следующим образом.
Когда Re z > 0, поворачивая путь интегрирования на
прямой угол, получаем интеграл
который дает еще одно представление для функции F(z)
в правой полуплоскости. Но F^(z)— аналитическая функ-
функция, регулярная в области — я/2 < arg г < Зл/2 (плоскость
с разрезом по лучу arg? =— я/2), так как интеграл (8.1)
сходится равномерно на любом компактном множестве
из этой области. Поэтому в силу того, что в угле
— л/2 < arg г < я функции F (г) и Ft (г) совпадают,
функция Fx{z) дает аналитическое продолжение функ-
функции F (г) через разрез arg г = я.
В третьем квадранте F(z) и F^(z)— различные функ-
функции. Их разность можно представить в виде
(8.2)
где С — граница квадранта |о|-</?, О < arg a •< л/2 в комп-
комплексной о-плоскости. Когда z лежит в третьем квадранте,
полюс о = — г находится внутри С, если R > \г\, поэтому
F(z) — F1(z) = 2nle*.
Таким образом, формула
(8.3)
связывает значения двух ветвей в третьем квадранте.
Хотя функция F(z) претерпевает разрыв при переходе
через отрицательную действительную ось, функция Fx (z)
непрерывна, поэтому если а > 0, то
F (— а + 0/) -г F (— а — 0/) = — 2nte~a.
Стильтьес установил, что оба этих предельных значения
могут быть выражены с помощью главного значения

32 Гл. 3, Интегрирование по частям
интеграла в смысле Коши. В том случае, если а>0
и Г — путь интегрирования в интеграле (8.2), обходящий
точку о—а сверху, мы получаем
р^о J е о —а *
г
Это дает1)
V. Р.
5 — a J it — a
о. о
или
сю
F, (- а) = V. Р. Г е- -~ - nte-*. (8.4)
j л — а
О
Поэтому F (— a -f- 0/) == Fx (— а), откуда и следует, что
F (— a±0/) = V. P. Ге-5—— х л/е. (8.5)
Асимптотическое разложение функции Ft(z) можно
легко найти из формулы (8.1), интегрируя по частям.
В результате получаем
при \z\ ->оо в области — n/2-\-t>-^.atgг4^.Ъп/2—6 < Зп/2.
Отсюда, используя (8.4),- находим
V. Р. [ш- -?- — У ?=2L (8.6)
о i
при a->-)-oo; член, содержащий е~°, может быть опущен,
так как он очень мал по сравнению со всеми членами
ряда (8.6).
') V. Р. Г — интеграл в смысле главного значения по
Коши.—Прим. ред.

§ 9. Стильтьесовские наилучшие приближения 33
Асимптотическое разложение (8.6) является рядом из
положительных членов, и то обстоятельство, что он не
знакопеременный, как отмечал Стильтьес, делает очень
затруднительным оценку наилучшего приближения, которое
можно получить с Помощью частичных сумм данного ряда.
§ 9. Стильтьесовские наилучшие приближения
Обозначим
со
O(dy=\. P. fe-s-^L-. (9.1)
о
Мы уже видели, что
(9.2)
при а-> + оо. Этот результат можно получить другим
путем, который приведет нас к более удобной формуле
для остаточного члена асимптотического разложения.
Записывая О (а) в виде
а
O(a) = V. P. fe'-«4L,
— 00 .
мы получаем равенство
л
еа0(а) — е"О ф) = J e' -j
для а > b > 0, которое имеет то преимущество, что не
содержит интегралов, понимаемых в смысле главного зна-
значения по Коши. Интегрируя по частям п раз, получаем
k~ 1
Таким образом, если положить
3 Э. Копсои

34 . Гл. 3. Интегрирование по частям
то
а
e*Rn{a)-ebRn(b) = n\ J ~^dv: (9.3)
5
Отсюда
Покажем, что правая часть этого равенства при а -» оо
имеет порядок ОA/ал+1). Это справедливо для первого
члена, и если а > 2, то
/pV
а/2
1 1 a/2 -
a/2 a
f-adv ¦
-Н-Л «/2
_
Это доказывает, что (9.2) дает асимптотическое разложе-
разложение для функции О (а); но соотношение (9.3) позволяет
нам получить более точные сведения.
В частности,
откуда следует, что eJCR1 (х) монотонно возрастает от —оо
до +оо, когда х растет от 0 до +оо. Поэтому e"R1(a)
положител1»на для достаточно больших значений а. Кроме
того, так как
то величина Rn (а) при возрастании й монотонно убывает,
начиная с положительного числа Rl (а). Она не может

§ 10. Интегралы Фурье 35
стремиться к конечному пределу, так как ряд 2(&—1) Vй*
расходится, следовательно, Rn(a) монотонно стремится
к —со. Существует, таким образом, целое число N,
обладающее свойством: RN (a) ^ О, /?ЛГ+1 (а) <^ О, так что
остаточный член Rn(a) изменяет знак, когда п проходит
через значение N. Наилучшее приближение с помощью
частичных сумм достигается выбором такого номера ЛЛ
при котором /?„(а) изменяет знак.
Стильтьес доказал, что это изменение знака происходит
около наименьшего члена. Для a—N-{-r), где N—боль-
N—большое целое число и 0-^т]<1, он установил, что
так что Rpf-\(N-\-vi) и Ry+iiN-j-t]) имеют разные знаки;
знак RN(N-}-vi) зависит от величины г\. Мы вернемся
к этому вопросу в гл. 6.
Для знакомства с дальнейшим развитием этих идей,
которые имеют большое значение в практическом исполь-
использовании асимптотических разложений для вычислений, мы
отсылаем к работам Дингля[11].
§ 10. Интегралы Фурье
В предыдущих примерах этой главй полное асимптоти-
асимптотическое разложение было возможно получить, интегрируя
по частям бесконечное число раз. Но есть случаи, когда
интегрировать по частям можно только конечное число раз,
тогда этот путь приводит к конечному разложению с оста-
остаточным членом. Простейшим таким примером является ин-
интеграл Фурье на конечном интервале.
3*

36 Гл. 3. Интегрирование по частям
Пусть <р(х) имеет Л/^ непрерывных производных
на отрезке а<лг<р. Тогда
ЛГ-1
я «О
(^) (ЮЛ)
при v-*-!-00' где Ф(л)~(*) означает d"<f/dxn.
В самом деле, проинтегрировав N раз по частям, по-
получим
р N-i
I elvx(f (x) dx = 2j ,+i {в'^фМ (а) — <
а л=о
где
Так как ф^ (х), по предположению, непрерывна, послед-
последний интеграл стремится к нулю, при v->oo в силу леммы
Римана и, следовательно, RN = o(l/\N).
Этот результат справедлив и для р = оо, если пред-
предположить, что ф(п) (х) стремится к нулю при лс-> + °°
для я = 0. 1, 2, .... Af—1 и что |ф(ЛГ>(лг)| интегрируема
при д;>-а. Аналогично, когда нижний предел бесконечен.
Если ф@ или ее производные в некоторой точке
имеют особенности, это рассуждение неприменимо. Заме-
Заметим, что если имеется конечное число особых точек, то
можно ограничиться рассмотрением только того случая,
когда особая точка только одна и она является концом
интервала интегрирования. Простейший случай предста-
представляет интеграл вида
в ' . . i
lvJC(x — a)k'1(fi — xf-l(f(x)dx, A0.2)
где 0 < % < 1, О < [I < 1, а ф(л:) — непрерывно диффе-
дифференцируема N раз.

§ 11, Сингулярный случай 37
§11. Сингулярный случай
Для того чтобы применить способ интегрирования по
частям к интегралу A0.2) и использовать высшие произ-
производные функции ф(лс), необходимо иметь формулу для
последовательных интегралов от функции
«'«*(*—а)**1 а»—жу*-1.
Использованное здесь рассуждение заимствовано у
Эрдейи [12].
Обозначим через //(*) интеграл от функции / (х) на
отрезке от а до х. Тогда
X
Действительно, эта формула справедлива для
Если она верна для п = т, то
а а
-0-
т. е. она верна и для п = т-\-\. Равенство A1.1), таким
образом, доказано по индукции.
Нижний предел а — произвольная постоянная. Если
/(*) = «'«(* —а)х~\ A1.2)
где v > 0, 0 < % < 1, то интегрирование удобно прово-
проводить в плоскости комплексного переменного о, выбрав
а = oot. Тогда
X
/"/(*)= - ', [(х — of-\a — af'lemdo.
ooi

38 Гл. 3. Интегрирование по частям
где лг^-а и для (о — а)*1 берется главное значение.
Положим о = х -f- It; в результате этой замены получим
'— (п—1I J * ' ^ '
и в частности
о
В общем случае
Мы теперь в состоянии доказать следующий ре-
результат:
Пусть ц>(х) имеет N непрерывных производных
на отрезке а <;.*•< р. Пусть функция <р(лг) и пер-
первые N—1 ее производных обращаются в нуль при
д; = р. Тогда если 0 < Я, < 1. то
Р
f
Р
f
п=0
при v-> -J-схэ.

§ 1,1. Сингулярный случай
39
Используя обозначение A1.2), получаем
лг-1
-л=0
—iy j ф(лг)
a
ЛГ-1
я=0
где
что и доказывает этот результат. Условия, при которых
он доказан, а именно требование, чтобы функция ф (х)
и ее первые N — 1 производных обращались в нуль при
д: = Р, выглядят довольно искусственными; это Ограниче-
Ограничение мы снимем в следующем пункте. Для того чтобы
сделать это, нам нужна еще следующая асимптотическая
формула, которая применима в том случае, когда особая
точка — это х = а. ч
Пусть (р(х) имеет N непрерывных производных
на отрезке а^лг^р. Пусть ф(л:) и ее первые N—1
производных обращаются в нуль при х = а. Тогда
если 0 < ц < 1, то
Р
J elv* (р — лг)ц~'ф (л;) dx
л— О
при v->-f- ex».

40 Гл. 3. Интегрирование по частям
Этот результат получается, из A1.5)- с помощью за-
замены переменной. Следует отметить, что оценка остаточ-
остаточного члена не столь хороша, как в случае A0.1), так
как лемма Римана здесь уже неприменима.
§ 12. Применение „нейтрализатора", введенного
ван дер Корвутом
Результаты § 11 являютсй частными случаями следую-
следующей теоремы: • '
Пусть функция ц>(х) имеет N непрерывных произ-
производных на отрезке a<!x<p. Пусть 0<Я,<1,
0 < ц < 1. Тогда при v -> -J- оо
I
е1™ (х — аI ф — xf'1^ (*) dx =
л=0
ф_а)*-1<рф)} +
n=0
И обратно, эта теорема может быть выведена из резуль-
результатов § 11с помощью введения функции, которую вау
дер Корпут в работе [8] назвал нейтрализатором.
Идея нейтрализатора очень проста. Пусть функ-
функция / (jc) обладает непрерывными производными всех по-
порядков, и пусть, скажем.
. v0(*) = *-"* (*>0). vo(O) = O. A2.2)
Тогда функция vo(x)f(x) тоже имеет непрерывные произ-
производные всех порядков для х !> 0 и все эти производные
обращаются в нуль при jc = O; такая функция vo(#) назы-
называется нейтрализатором. В данной задаче нам нужен ней-
. трализатор, обладающий следующими свойствами:

§ 12. Применение «нейтрализатора» вон дер Корпута 41
1) v(jc) имеет непрерывные производные всех поряд-
порядков на отрезке а-<л:-<Р;
2) v(a)=l, v(p) = 0;
3) производные v (jc) всех порядков обращаются в нуль
в точках х = а и х = р.
Эта функция v(jc), не имеет, конечно, ничего общего
с большим параметром v, который входит в интеграл A2.1).
Очевидным обобщением . функции v0 (jc), определенной,
формулой A2.2), является функция
которая удовлетворяет всем условиям, кроме 2)„ так как
при jc-xx + O или jc-^P— 0, Vi(jc)->0. Но интеграл
(b* (a<-c<p)
при соответствующем выборе постоянной С уже удовле-
удовлетворяет всем этим условиям. Конкретный вид выбранного
нейтрализатора^очевидно, не имеет значения.
Выбрав такой нейтрализатор, получим
f el™ (х — аI'1 ф — jtf'qi (*) dx =
а
Р
= / «lw (* - a)^1 {v (*) ф - xf-'cf (x)} dx +
о
p
+ J № ф — л/ {[1 — v (jc)] (jc - af~\ (x)} dx.
Первый интеграл в правой части равенства имеет вид,
к которому применима оценка A1.5), так как функция
и все ее производные равны нулю при х — р. Более того,
если мы будем рассматривать функцию Ф{х) как произ-

42 Гл. 3. Интегрирование по частям
ведение функций v(x) и ф — х)и'~1Ц)(х) и продифферен-
продифференцируем ее п раз, применяя теорему Лейбница, то все
производные v(jc) при х = а обратятся в нуль, и мы по-
получим
Применение формулы A1.5) к первому интегралу дает
нам первую сумму в правой части равенства A2.1). Та-
Таким же образом второй интеграл порождает вторую сумму,
что и доказывает наше утверждение.

Глава 4
Метод стационарной
фазы
§ 13. Гидродинамическая задача Кельвина
Идея метода стационарной фазы состоит в том, что
главные члены асимптотического разложения интеграла
ь
Г e'v/ М<р (jc) dx (y->oo), A3.1)
а
где / (х) — действительная функция, порождаются сколь
угодно малыми окрестностями концов интервала интегри-
интегрирования и сколь угодно малыми окрестностями тех точек»
в которых фаза v/(jc) стационарна. Пока трудно описать
этот метод более точно, но физическая идея Кельвина
(см. [16]), лежащая в основе этого метода, крайне проста.
Рассмотрим двумерную задачу о движении волн
жидкости в прямолинейном канале, исследованную, напри-
например, в работе Ламба [17]. Выберем начало координат на
невозмущенной свободной поверхности и направим ось Оу
вертикально вверх; тогда потенциал скорости <р будет
равен
ф (X, у, t) =
оо оо
g Г Sill St my Г х I / J J /1QO
Я J S J
0 —oo
если предположить, что в начальный момент профиль
волны задается функцией tj = /(jc). В этой формуле
s — известная функция от переменного т: если канал
очень глубокий, то s2 = gm; если же он имеет глубину h,
то
s2 = gm th (mh).

44 Гл. 4. Метод стационарной фазы
В любом случае волновая скорость s/m. отличается от
групповой скорости. Мы покажем сейчас, как принцип
интерференции, использованный Стоксом и Рэлееы для
изучения групповой скорости, может навести на мысль
о методе стационарной фазы.
Гидродинамическая задача состоит в определении про-
профиля волны х\ = / (лс, t) в любой последующий момент
времени t; ее решение дается формулой
Л g dt '
где фоа=ф(д;, 0, t). Пусть в начальный момент волна
сосредоточена только вблизи начала координат, т. е."
/ (х, 0) — дельта-функция Дирака; тогда
cos mx dm. A3.3)
В случае глубокого канала (si = gm) формулу 03.3)
можно преобразовать в "интеграл
Lr f sin (a* — v^dv, A3.4)
x J
-ffl
который по существу является интегралом Френеля (здесь
в? == gfi/Ax). В более общем случае нет столь простых пре-
преобразований, поэтому кельвиновская аппроксимация''имеет
большое значение. Для простоты ограничимся случаем
глубокого канала.
Так как функция ф0 равна
A3.5)
то она представляет собою суперпозицию двух систем
волн, из которых одна движется налево, другая направо
со скоростью s/m. Переменная t, обозначающая время,
положительна. Мы можем для симметрии предположить
также, что переменная к тоже положительна.

§ 13. Гидродинамическая задача Кельвина 45
Пусть |х — любое фиксированное значение т. Тогда,
если m = \i-\-u, где и мало, фаза первой системы волн
приближенно равна
Кельвин рассуждал так: волны первой системы, частоты
которых лежат вне малого интервала (ц — е, ц + е)> имеют
разные фазы и, интерферируя, уничтожают - друг друга.
Таким же образом волны второй системы, интерферируя,
в основном уничтожают друг друга. Но если ц = gt2/4x2,
волны второй системы с частотами, лежащими в интер-
интервале (ц— е, Ц+е), имеют одну фазу (во всяком случае,
с точностью до е в первой степени) и усиливают друг
друга. Это значение \i переменной т. и является тем зна-
значением, которое делает фазу стационарной. Рассуждение
Кельвина приводит, таким образом, к следующему при-
приближенному значению функции q>0:
, _ Ц+е
f sin(st—mx)dm, A3.6)
когда s очень мало отличается от значения ц стационар-
стационарной фазы.
Если мы сделаем замену переменной
то получим
с точностью до и2. Следовательно, ф0 приближенно равна
-8
Внимательно просмотрев рассуждение, замечаем, что пре-
пределы интегрирования можно заменить на ± оо. Если мы
теперь положим ,

46 Гл. 4. Метод стационарной фазы
то получим
Сравнение этого приближенного значения с точным A3.4)
показывает, что приближенная формула Кельвина хороша,
когда gfi/Ax велико.
Пока эти рассуждения носят чисто физический харак-
характер, требование, чтобы параметр fi/x был большим, не
кажется очевидным. Но с помощью замены переменной
мы можем записать A3.5) в виде
где v = gfi/x, откуда ясно, что ф0 является разностью
между мнимыми частями двух интегралов типа A3.1), т. е.
при большом значении параметра v.
§ 14. Метод стационарной фазы
Во многих применениях метода стационарной фазн
амплитуда ф(*) и фаза v/(*) являются аналитическими
функциями комплексного переменного, поэтому мы огра-
ограничимся этим случаем. Доказательства теорем при более
общих условиях были даны Ватсоном [29] и ван дер Кор-
путом 17]. Позже Эрдейи [13] указал, как некоторые из
этих результатов могут быть получены более просто
с помощью замены переменной с последующим повторным
интегрированием по частям.

§ 14. Метод стационарной фазы 47
Мы будем рассматривать интеграл
ь
F(y)= J e'v/ Wq> (x)dx, A4.1)
где а и b конечны, a v — большое положительное число.
' Предположим, что
1) f(z) и фB) — аналитические функции комплексного
переменного z, регулярные в односвязной открытой об-
области D, содержащей отрезок действительной оси а <><;?>;
2) / (z) принимает действительные значения на действи-
действительной оси.
Поскольку f(z) регулярна в области D, то f'(z)
тоже регулярна в этой области. Поэтому f'(z) имеет
только конечное число нулей на любом компактном мно-
множестве, содержащемся в области D. В частности, f (х)
имеет только конечное число нулей на отрезке а ^х ^.Ь,
следовательно, функция f(x) имеет только конечное число
стационарных точек на этом отрезке.
Мы можем поэтому разделить отрезок а <; х <^ b на
конечное число замкнутых интервалов, в каждом из кото-
которых f(x) или не обращается в нуль или обращается
в нуль только в -одном конце. Мы рассмотрим все три
случая отдельно.
I. Если функция f(x) не имеет стационарных
точек на отрезке а <^ л; <! р, то
Р
при v->-4~°°'
Так как f'(x) не обращается в нуль на отрезке
ск^я-^р, то \/f'(z) — аналитическая функция, регуляр-
регулярная в некоторой открытой области, которая содержит
данный интервал.

48 Гл. 4. Метод стационарной фазы
Интегрирование по частям дает
где
Очевидно, что / имеет порядок 0<l/v). А так как
удовлетворяет тем же условиям, что и q>(*), то интеграл
^~ также величина порядка O(l/v), что и доказывает
теорему.
II. Пусть f(x) имеет одну стационарную точку
на отрезке а<х<р, а именно х — а, тогда если
/"(а)>0, /яо
/= f
а
если же /"(«)„< 0, ото
|) (Н.4)
яри v-^-f^oo.
Из теоремы видно, что если ф (а) Ф 0, то интеграл /
имеет величину порядка O(l/]/~v), что больше, чем вклад
интервалов, *е содержащих стационарных точек.

§ 14. Метод стационарной фазы 49
Согласно (I), мы можем взять р сколь угодно близким
к а. Выберем точку р так, чтобы она лежала внутри
окружности с центром в точке а, а все встречающиеся
функции были регулярны внутри этой окружности. Более
того, так как f (а) = 0, /" (а) > 0, мы можем выбрать
точку р так, чтобы функция /(я) монотонно возрастала,
когда х изменяется от а до р. Если ввести новую пере-
переменную и, определив ее при помощи равенства
/(*) = /(а) + а». ;
где и положительна в полуинтервале а < х ^ р, то по-
получим
о'
где е = У7Ф) — /(а).
Рассмотрим теперь уравнение
Так как /' (а) = 0,' то оно имеет два решения:
я (—«О";
оба регулярны в окрестности точки w = 0, причем пер-
первый коэффициент Ьл равен
Если мы возьмем для Ьи положительное значение корня,
то переменные л; и « будут связаны соотношением
Далее, интеграл
4 Э. К°псон
/ф(ОЛ

50 Гл. 4. Метод стационарной фазы
является аналитической функцией от г, регулярной в не-
некоторой окрестности точки а, причем функция z(w),
равная
z = а -\- 2 bnwn.
регулярна в окрестности точки «» = 0. Поэтому и сам
интеграл является аналитической функцией от w, равной
нулю при tw = 0 и разлагающейся в сходящийся степен-
степенной ряд
о
Отсюда вытекает, что
где
Мы можеы теперь записать
где ар (w) в свою очередь • регулярна в окрестности точки
te = 0, поэтому для интеграла / мы получаем выражение
= <><v/(a) J е№ {Со+ иу Щ du _
0
здесь
е ve2
^Jfjdv _f
2/v J VU™ 2/v J
0 V63

§ 14. Метод стационарной фазы
51
причем «торое слагаемое оценивается с помощью инте-
интегрирования во частям и .
J e^'uqWdu
_ у @) _ J eiv«Y
Таким образом, мы доказали, что при v-*•-(-со
J
что и требовалось. Доказательство в случае, когда /"(и)
отрицательна, получается тем же способом.
III. Пусть функция f(x) имеет одну стационар-
стационарную точку на отрезке а-^л;-^р, а именно точку
х = р; тогда если }" (р) > 0, то
I— f elvfW(p(x)dx =
при v
Р
oo, и если /"(Р)<0, то
Это доказывается так же, как теорема II.
Если в теореме II первой отличной от нуля производ-
производной в точке х = а является л-я производная, то инте-
интеграл / имеет порядок Ofy-1/"). Для л = 3 получаем
теорему

52 Гл. 4, Метод стационарной фазы
IV. Пусть f(x) имеет одну стационарную точку
на отрезке а-^я-^р, а именно точку х*=а; тогда,
если f (а) — 0, /'"{а) > О, то
f
Это исследование можно было бы продолжить и рас-
рассмотреть более полно стационарные точки. В каждом
случае оказывается, что главная часть интеграла поро-
порождается окрестностью стационарной точки. Эрдейи [13],
используя методы действительного переменного, рассмо-
рассмотрел случай, когда
/' (х) ^(х- af1 (р - ДО" Л (*). (Р. о > 1).
где /i (x) положительна, и
<р (л;) = (х - а)* (р - xf-1 ф, (х) @ < X, ц < 1),
причем и ф1 (^), и fx (x) имеют N непрерывных произ-
производных. Он использовал интегрирование по частям и ней-
нейтрализатор ван дер Корпута, что позволило ему рассма-
рассматривать точки аир отдельно. Если Д(х) и <PiC*) имеют
непрерывные производные всех порядков, этот метод дает
полное асимптотическое разложение, а не только главный
член.
А
§ 15. Приложения к функциям Бесселя
Метод ^стационарной фазы был использован Никольсо-
ном [20] и Рэлеем [24], чтобы получить приближенные
формулы для функций Бесселя Jv(v) и 7V (v sec P), когда
v — большое положительное число, а р — положительный
острый угол.
В формуле
Я
Д Г

§ 15. Приложения к функциям Бесселя , 53
второй член имеет порядок O(l/v), так как
00 ОО
J J ~"
О 0 .
Первый интеграл в правой части формулы является дей-
действительной частью интеграла
... я
/=!
где
Стационарнойч точкой функции / (8) будет точка 8 = р,
причем /"(P) = tgp. Мы можем, следовательно, использо-
использовать формулу A4.3) для отрезка p<]8^rt и формулу
A4.5) для отрезка 0<8<р. Из этих формул сле-
следует, что
отсюда получаем оценку для функции yv(vsecP):
при v-*-f-oo.
Аналогично,
где
я
= -L C
п J
0
/(8) ==8 — sin 9.
В данном случае "стационарной точкой будет только точка
6 = 0. причем /"@) = 0, /""(())= 1. Применив формулу
A4.7), получим

Гл. 4. Метод стационарной фазы
поэтому
или
J АЛ _
v W
22/331/6nv1/3
Порядок остаточных членов в этих формулах указывает
на то, что это весьма слабое приближение. Ватсон с по-
помощью метода, который он назвал „скучным интегриро-
интегрированием по частям \ получил для остаточного члена более
сильную оценку 5^
§ 16. Кратные интегралы
Метод стационарной фазы можно также применить
к двойным интегралам вида
Г Г
у)ф (л;, у) dx dy,
которые возникают в теории дифракции. Их оценка и
библиография других работ, в которых рассматриваются
эти вопросы, даны Джонсом и Клейном [15].

ГЛАВА б
Метод Лапласа
§ 17. Асимптотическая формула Лапласа
Пусть в интеграле
Р
. A7.1)
ц>(х) и h(x)— действительные и непрерывные функции
на отрезке a <J л; <^ р> a v — большая положительная по-
постоянная. Тогда наибольшие вклады в значение интеграла,
очевидно, дают окрестности тех точек, в которых h (х)
принимает наибольшее значение. В точках, в которых
достигается наибольшее значение, hf (х) может быть рав-
равной нулю или отличной от нуля, асимптотическая фор-
формула Лапласа для каждого из этих случаев получается
разными способами.
Мы предположим, что лроизводные hf (х) и h" (х) не-
непрерывны. Рассмотрим сначала первый случай, когда h (x)
достигает своего наибольшего значения в точке х = а, в
которой h' (х) отрицательна. В этом случае мы можем найти
такой отрезок а-^ж^а-f-T], в котором h'(х) строго
меньше'нуля. Новая переменная t, определенная равенством
монотонно возрастает от 0, допустим до т, когда х воз-
возрастает от а до а + т]. Главная часть функции /(v) для
больших и положительных v равна
/ (v) ~ J ф (х)

56 Гл. 5. Метод Лапласа
Для достаточно малых ц значения <р (х) и Л' (я) мы можем
заменить значениями <р(а) и А'(а). Тогда получим
Следовательно, это нестрогое рассуждение приводит
к асимптотической формуле
при v-> + oo. Если ф(а) = 0, аналогичное рассуждение
дает оценку
где точный порядок зависит от поведения <р(х) в точке
х = а. .
Аналогично, если h(x) достигает своего наибольшего
значения в точке х = $, рде h'(х) положительна, то
A'(P) v '
Предположение, • что наибольшее значение' достигается
в одном из концов интервала интегрирования, не является
ограничением, так как путь интегрирования всегда можно
разбить на такие отрезки, в каждом из которых это
условие выполняется.
Если h(x) имеет конечное число точек максимума,
ъ которых h'(x) = 0, мы можем разбить путь интегри-
интегрирования на конечное число таких отрезков, в каждом
из которых А (х) достигает наибольшего значения только
в одном конце, причем эти наибольшие значения — макси-
максимумы. Поэтому мы можем сосредоточить свое внимание
на случае такого интеграла A7.1), когда А(л;) имеет мак-
максимум в точке х = а и А(*)<Л(а), если а<л;<^р.
Когда максимум достигается в точке л; = р, доказатель-
доказательство аналогичное.
В простейшем случае Л' (а) = 0 и^ А" (а) < 0. Тогда
существует отрезок a^jf^a-f-Ti, в котором h"(x)
строго меньше нуля, а А' (х) отрицательна. Следуя Ла-

§ 17. Асимптотическая формула Лапласа 57
пласу [19], мы определим новую переменную, t с помощью
равенства \
эта переменная t монотонно возрастает от 0, скажем,
до т, когда х изменяется от а до а 4- Л- Главная часть
функции /(v), когда v принимает большие-положитель-
большие-положительные значения, в этом случае представляется в виде
/ (v) ~/ ФОс) evA Wdx = — fq> (x) е* Ы~*' щ^ dt.
Для достаточно малых г\ значение функции ф (х) мы можем
заменить значением ф(а). Тогда по формуле Лагранжа
где a<|<a + Ti, и
А'(х) = (л;
где а<-|1<а+л. Таким образом,
причем правая часть равенства может быть заменена на
— \jY— h" (a)/2 при достаточно малых г\. Эти преобра-
преобразования приводят к асимптотической формуле Лапласа
2Щ?
V-2A"(«)
Но в силу тех же сбображений
так как главная часть последнего интеграла порождается
окрестностью точки t = 0, в котором подынтегральная
функция имеет максимум. Таким образом,

58 Гл. 5. Метод Лапласа
когда ф (а) Ф 0. Но если ф (а) = 0, то
где точный порядок зависит от поведения функции ф (х)
в точке л; = а. Когда локальный максимум достигается
в точке х==$,- имеет место такая же формула, если за-
заменить а на р. Если первые я — 1 производных функ-
функции h (х) обращаются в нуль в точке х = а, а и-я произ-
производная отрицательна, можно применить аналогичные рас-
рассуждения; в этом случае новая переменная вводится
с помощью равенства
А (*)==* (а) — *".
Было бы трудно обосновать способ получения асимп-
асимптотической формулы Лапласа, двигаясь предложенным
выше путем, поэтому мы дадим другое доказательство
при условиях, достаточно широких для многих приложе-
приложений, близкое к идеям, изложенным в книге Полна и
Сегё [23]. За доказательством при менее ограничительных
условиях мы отсылаем читателя к работе Уиддера [32].
§ 18. Доказательство асимптотической формулы
Лапласа
Пусть ф(лс) и п(х)— две действительные непре-
непрерывные функции, определенные на отрезке а<!
[конечном или полубесконечном), такие, что
1) функция ф (л:) evhw абсолютно интегрируема
на данном отрезке для любого положительного зна-
значения v;
2) h(x) имеет один максимум на данном отрезке,
а именно в точке х = а, и наибольшее значение функ-
функции Л (x) на любом замкнутом подмножестве, не
содержащем а, меньше чем А (а);
3) функция п"(х) непрерывна; А'(а) = 0, А"(а)~<0.
Тогда если v-^-f-oo, то

§ 18. Доказательство асимптотической формулы Лапласа 59
В силу предположений теоремы мы можем взять произ-
произвольное положительное число е и затем подобрать такое
положительное число 6 (б < р—а), чтобы для любого х
из отрезка а ^ х <^ а -\~ б выполнялись неравенства
Ф(а) — е<ф(л;)<ф(а)
А" (а) — е<А"(*)<й"(а)-|--е<0.
Так как на этом отрезке
где a<|<a-f-6, то значения функции h(x) — А (а) за-
заключены между —E/2) (л: — аJ и —(А/2)(х— аJ, где
А и В — положительные постоянные, равные
А = — h"(a) — e, B = — ft"(a) + e.
Следовательно, значения
-
а+6
а
интеграла
заключены между значениями интегралов
л (Ф(а)-
и
-•"
а+6
А (а) Г e-vB(x-a]
а
а+6
J e-
Далее, ясно, что
а+6 со оо
f e-vA(x-aWdx= Гe-v^'Pdu— [е-**"'!2du

60
Гл. 5. Метод Лапласа
когда v велико. Отсюда следует, что
J
и аналогично
а+6 ¦
J
> {ф(а) - е}
(а)
0 (#-
Для остальной части интервала мы имеем
а+6
а+6
где
Л1= sup *(я)<А(а),
6<<3
согласно условию 2). Поэтому, используя условие 1),
получаем оценку
3
а+6
и.
Здесь К = J* | Ф (х) | е" <¦*> йл:.
Теперь мы имеем
Р
J

§ 19. Несколько примеров на формулу Лапласа 61
Пусть vA>+°°- Тогда
Р
< lim J ф (х) evh <•*> й
а *
Э
m J ф (х) <?vft » djc y7 в-
Но так как е выбирается произвольно, то отсюда выте-
вытекает, что
т. е. что
р
J Ф (х) «*W йдг ~ ф (а) #*« {
а
что и требовалось доказать. В том случае, когда ф(а)
равняется нулю, результат можно получить тем же путем.
Другой вид асимптотической формулы получается, если
положить е*М = /(*); а именно если f(x) имеет максимум
в точке х = а, причем /' (а) = 0, /" (а) < 0; тогда
а
при v->-f-oo.
§ 10. Несколько примеров на асимптотическую
формулу Лапласа
Простой пример на асимптотическую формулу Лапласа
возникает при изучении бесселевых функций In(t) целого
порядка п. имеющих следующее интегральное представ-
представление:
л
/л (f) = -i- f e*cos 9 cos «9 dQ.
о

62 Гл. 5. Метод Лапласа
Здесь ф F) = cos яб, h F) = cos 8. Монотонно убывающая
функция h (8) имеет максимум при 8 = 0. Так как h @) = 1,
А'@) = 0 и /г"@) = — 1, то .
при /-
В качестве примера на вторую асимптотическую фор-
формулу рассмотрим первый интеграл Лапласа для полиномов
Лежандра Pn(ix), а именно интеграл
о
где ц > 1 и квадратный корень положителен. Здесь
ф@)=-г1 И
/ (8) == ц+ (ц2 — l)v> cos 9.
Так как /(в) имеет наибольшее значение в точке 6 = 0,
где /'(в) = 0, /"@) = — (|Л2— 1.I/2, мы сразу же полу-
получаем формулу
Л7Г
ял (ц2 — I)
при и->оо.
В качестве последнего примера возьмем гамма-функцию,
определенную эйлеровым интегралом
и найдем ее асимптотическую формулу для больших по-
положительных v. К данному интегралу метод Лапласа не-
неприменим, так как функция и не имеет максимума. Но
если мы положим u = vt, то интеграл примет вид
оо'
Г(v+ l)=vv+1 Г е*(-'+«»/) dt.
о
Этот интеграл имеет требуемую форму, так как функция
/) — t-\-\Vit достигает максимума в единственной

§ 20. Обобщения метода Лапласа 63
точке t—\, в которой h'A) = 0, h"A) = — 1. Если мы
разобьем отрезок интегрирования на две части: 0 ^ t -^1
и t^-l, и применим метод Лапласа к обоим интегралам,
то получим -
r(v-f-l)~Bjtv)I/2vVv
При V->- + OO. :. ¦ .
§ 20. Обобщения метода Лапласа
Обсуждая метод Лапласа, мы рассмотрели интегралы
вида
Р
J
при v-> + oo, где функция А (л;) имеет только одйк
максимуму точке | отрезка а <^ * <^ р (конечного или
бесконечного). Для удобства мы разбивали этот отрезок
так, чтобы точка максимума оказалась в одном из концов
меньших отрезков, но это несущественно. Метод Лалласа
может быть обобщен так, чтобы он охватывал интегралы
вида
j ф (*, v) ih <*¦ v> dx.
где ф(д;, v) ограничена при v->oo, a h(x, v) имеет один
максимум в точке |, но эта стационарная точка | не
является фиксированной, она изменяется вместе с v.
Представление подинтегральной функции в виде про-
произведения ф (х) ен '<•*) довольно произвольно, различное
разбиение на множители может привести к разным асимп-
асимптотическим формулам, справедливым при различных обстоя-
обстоятельствах. Обычно заменяют, если это возможно, пере-
переменные так, чтобы сделать стационарную точку не завися-
зависящей от V. Это не всегда возможно, да и не обязательно это
нужно делать.
Например, в случае гамма-функции

64 Гл. $. Метод Лапласа
мы не можем положить ц>{х) = е~х, h(x) — \nx, так как
\пх не имеет стационарных точек. Но мы можем
взять ф(д:)=1, h(x, v) = vlnjc— д:; функция А(лг, v)
имеет один максимум в точке j; = v, и асимптотическую
формулу можно получить, исходя из этих функций. Мы
избежали необходимости рассматривать'стационарную точку
x = v, сделав замену переменной x — \t.
В случае бесселевой функции -»
4 Ы / \ ^
где v и е- положительны' и v велико, метод Лапласа не-
неприменим, если взять h(x)\=x, (p(x) — e~асЪх, так как
h (х) не имеет максимума. Но функция v* — achx имеет
один максимум в точке х = Arsh (v/a), которая изменяется
вместе с v. Если мы положим
-еО ф (tt v) dtt
Функция t — е' имеет один максимум при t — 0, но это
простое выражение для функции A (Q мы получили за счет
введения v в функцию <p(t, v). Это совершенно безвредно,
так как на любом конечном отрезке — а -^ t -4^. а фуй!?^
ция ф(Л v) непрерывна и удовлетворяет неравенствам
ф(а. v)<ф(^ v)<q>@, v),
поэтому ф(/, v)-> 1 равномерно по t при v->-j-oo. Кроме
того, ф (t, v) ^ 1 для всех значений t и v.
Теперь мы имеем
-о
a
. V) J

§ 20. Обобщения метода Лапласа 65
где — а -^ t0 <gjа, и поэтому
си
f
Чтобы доказать, что вклады интервалов (^-аи/ <[— а
малы, мы положим t = a-\-x и вспомним, что cp(t, v)-^ 1
для всех t и v. Тогда, используя неравенство ет^1-|-т
(т ^> 0), мы получаем
00 , ОО
О < J ev (<-*') ф (/, v) Л < ev (a-e«) J evr-v«« (et-i) dx ^
а О
(а-.») Ге-vr (.«-!) dx = g-v(g"-a) =
так как еа — a> 1. Аналогично в случае t <^. — a.
Мы показали, таким образом, что когда а положи-
положительно и v->-f-oo, имеет место формула
или более просто: •
av ' 2v '
Этот результат можно было бы получить и в случае не-
нецелого v из формулы
Более трудный пример представляет функция парабо-
параболического цилиндра, определенная равенством
-«•/4 "
,-«•/4
_v_} (a) = -^r^ f
5 Э. Копсон

66 Гл. 5. Метод Лапласа
когда Rev>—1. Мы хотим найти асимптотическую фор-
формулу Черри [4]; имеющую место, когда а положительно
и v->-f-oo. Если положить x = sY~V' т0 мы получим
где
h (s, v) = v In 5 — -к vs2 — as yV
Функция h (s, v) имеет один максимум на действительной
полуоси в точке
причем 5 приблизительно равно 1, когда v велико. Обоз-
Обозначая s=l-j-/, мы находим, что
где
оо
/= Jexp|vln
Этот случай совсем не похож на предыдущий, так как
функция e~at^v не стремится к непрерывному (по t)
пределу, когда v->-f-oo.
Для того ч*обы упростить запись, удобно обозначить
k = yV Полагая t = u/k, мы получаем
Теперь, согласно формуле Тейлора,
где U-i лежит Между 0 я.и. Поэтому

§ 20. Обобщения метода Лапласа 67
Отсюда следует, что
/ = -^— J е-"г-аиг|)(и, k)du.
Когда k > 1 и 0 < е < 1, отрезок —• ЛЕ < а < &е
лежит на полупрямой (—/г, оо), по которой мы интегри-
интегрируем, и на нем выполняется неравенство
.Зе-I
3(i_*e-iK ^.
для достаточно больших значений k. Поэтому значения
функции ty(«, k) заключены между expft36 и ехр(—/г36).
Если мы теперь выберем е так,^ чтобы 0 < е < 1/3, то
функция i|>(tt, к) будет стремиться к 1 при &->оо равно-
равномерно по и. Обозначая r\ = ke, мы видим, что при &->оо
имеет место асимптотическое равенство
J e-w-au du _.
Вклад в интеграл / интервала и^-tj положителен
и равен
00
00
=т/ехр{-4*2-ти2-а
<—? J е и и<
Т1 . О
„-(*•+ rf)l2 /-\l/2 /л\!/2
6*

68 Гл. 5. Метод Лапласа
он очень мал по сравнению с вкладом отрезка — tj ^
< и < т|. где г\ = ke @ < е < 1/3).
И, наконец, вклад в интеграл / отрезка — А^й^ — т|
тоже положителен и равен
к
к
Т / ехр (~ 2" *2 ~ 2" ^
¦n
-t dt
e W
(t)-a)V2
y/2
Он тоже мал по сравнению с вкладом отрезка — tj -^
< и < ц.
Мы показали, таким образом, что при v—>-|-oo спра-
справедлива, асимптотическая формула
или формула
которая получается из первой применением формулы
Стирлинга. Черри установил, что формула
справедлива для комплексных v и а, удовлетворяющих
условию |argv|<!л/2.

ГЛАВА в __________________
Лемма Ватсона
§ 21. Интегралы Лапласа
Интеграл вида
B1.1)
называется интегралом Лапласа. Мы предположим, что
функция ф(/) интегрируема на любом конечном отрезке
0<Ct^T и что интеграл B1.1) является пределом при
Т -> -f- оо соответствующего интеграла по конечному пути
интегрирования. Можно показать, что если интеграл B1.1)
сходится в точке z = z0, то он сходится в полуплоскости
Re z > Re z0, причем равномерно на любом компактном
множестве из этой полуплоскости. Пусть а — точная ниж-
нижняя грань таких чисел Rez0, тогда интеграл B1.1) схо-
сходится для Re z < а и расходится для Re z > а. Постоян-
Постоянная а называется абсциссой сходимости, полуплоскость
Re Z > а — полуплоскостью сходимости. Очевидно, что
/ (z) — аналитическая функция, регулярная в полупло-
полуплоскости сходимости. Если <х = — оо, то f(z) — целая
функция.
Многие из специальных функций могут быть пред-
представлены в виде интегралов Лапласа, поэтому было бы
весьма желательно уметь находить асимптотические пред-
представления таких интегралов при |-г|—>-оо в полуплоскости
сходимости. Если функция ф(?) имеет непрерывные про-
производные всех порядков, то метод интегрирования по
частям, рассмотренный в гл. 3, дает
~ Ф(п)@).
гп+1 •
О

70
Гл. 6. Лемма Ватсона
этот результат можно получить также, если в интег-
интеграле B1,1) заменить функцию ф@ ее рядом Тейлора и
формально проинтегрировать ряд почленно. Обоснование
этого формального процесса дает лемма, принадлежащая
Ватсону [30]. Эта лемма дает асимптотическое-разложе-
асимптотическое-разложение и в том случае, когда начало координат — точка вет-
ветвления функции ф@ и метод интегрирования-по частям
неприменим. -
§ 22. Лемма Ватсона
Пусть q>(f) — аналитическая функция t, регуляр-
регулярная в секторе \t\ -s^ft-H б, |arg^| -< А <я, где R, 6, А
положительны, за исключением точки ветвления
при t = 0, и пусть
= 2
I
когда \ 11 -^ /?, г положительно. Пусть также
\<$(t)\<lKebt, где К и Ь — положительные числа, не
зависящие от t, когда t положительно и ^R
Тогда?
m=l
—\ »-mlr
при |гг|->со в угле |arg2|<rt/2 — e< я/2.
Если г = 1, то функция q>(f) не имеет точки ветвле-
ветвления в начале координат, в этом случае условие | arg t \ -^ A
отпадает.
Для того чтобы доказать лемму, заметим! что мы
можем выбрать для любого целого положительного числа М
постоянную С так, чтобы выполнялось неравенство
-2,

§ 22. Лемма Ватсона 71
когда f^s-О. Поэтому
-*'(p(t)dt= ^ «m^
m=l 0
M-l
m=l
где
со ( М-1 \
eJ™' \dt.
Мы должны показать, что функция zM<rRM ограничена
при |г|->оо в угле \&rg z\-^nj2 — е < я/2.
Обозначив Re z = х, получим
00
\RM\<)e Ce t Л=,___Г(-),
когда л: > b. Но так как |arg2| <я/2 — е, то x~^-\z\s\ne
и поэтому х^>Ь, когда \z\ >Z>cosece. Следовательно,
если |а^г|^я/2 — е и \z\ > icosece,1 то
М
откуда следует, что модуль \zMlrRM\ ограничен при
|*|.-+оо.-
Иногда бывает удобна другая формулировка леммы,
а именно:
Пусть ф@ — аналитическая функция от t, регу-
регулярная в некоторой окрестности начала координат,
и пусть
— ее ряд Тейлора. Пусть также при

72 Гл. 6. Лемма Ватсона
где К и b — положительные числа, не зависящие от t,
и г > 0. Тогда
при |г|->со в угле |ащ.г|^я/2— е < л/2
§ 23. Функция W(l,l; г)
В § 7 с помощью метода интегрирования по частям
мы нашли асимптотическое разложение вырожденной ги-
гипергеометрической функции V A,1; г), справедливое при
|.г|->оо в угле |arg,?|^n — 6 < я. Эта функция, обо-
обозначенная для краткости через F(z), задается в виде
интеграла
она регулярна в комплексной плоскости, разрезанной по
отрицательной части вещественной оси.
Когда г положительно, подстановка t — zu дает
B3Л)
с помощью аналитического продолжения эта формула
распространяется на полуплоскость Re z > 0. Применение
леммы Ватсона приводит к формуле
B3.2)
при |г|->оо в угле |arg-г|^я/2 — 6<л/2. Это раз-
разложение G.2), но доказано оно при более ограничитель-
ограничительных условиях.

§ 24. Логарифм гамма-функции 73
Если мы повернем путь интегрирования в формуле
B3.1) на угол я/2, то получим другое интегральное пред-
представление для функции F(z). а
которое справедливо в полуплоскости Im z < 0. Этот ин-
интеграл снова приводит к разложению B3.2) при \z\ ->оо,
но оно справедливо теперь в угле
— я + 6 < arg z < — 6 < 0.
Аналогично поворот на угол —я/2 приводит к тому же
представлению в угле 0 < б <! arg z <J я — 6.
Поворачивая контур интегрирования, мы часто полу-
получаем возможность расширить область значений arg z, в ко-
которой имеет место асимптотическое разложение интеграла
Лапласа. Впрочем, в приведенном примере было проще
обойтись интегрированием по частям.
§ 24. Логарифм гамма-функции
Асимптотическое разложение логарифмической произ-
производной функции Т(р) можно получить простым примене-
применением леммы Ёатсона.
Из формулы Эйлера
Й ПР
используя обычные обозначения, получаем
~>гМ^т^«-Ъ!<-('""*[
•¦*"" lQ r-0 0

74 Гл. 6. Лемма Ватсона
где Re p > 0. Поэтому
со
-Г-"- Т=^г
" -,
в предположении, что Re /? > 0.
Далее, функция
регулярна при |/| < 2я. В этой области ее можно раз-
разложить в ряд Тейлора
в котором коэффициенты Вп — числа Бернулли, опреде-
определенные равенством Вп = Вп @). Здесь Вп (х) — полиномы
Бернулли р обозначении книги Эрдейи, Магнуса, Оберхет-
тингера и Трикоми «Higher Transcendental Functions»,
оно отличается от ^обозначений Уиттекера и Ватсона
в „Курсе современного анализа". Значения Вп связаны
рекуррентным соотношением; выпишем несколько первых
коэффициентов:
0\ — — ^« вг~ J> Щ = — здг. ^в

§ 25. Гамма-функция 76
и Bin+1 = 0 для п > О. В этих обозначениях
^ BтI
Поскольку выражение в левой части этого равенства ог-
ограничено при t > 0, то лемма Ватсона применима и дает
2т
о
при |р|->оо в угле |argp|<n/2 —6<я/2.
Интегрируя последнее асимптотическое равенство, по-
получаем
где С — постоянная. Доказать, что С = Aп2я)/2, совсем
просто, если подставить асимптотический ряд в лежанд-
ровскуюJ) формулу удвоения
Хотя формулы доказаны здесь только для угла, лежа-
лежащего в правой полуплоскости, но они справедливы в обла-
области |argj7|-^ я — б < я. Действительно, поворачивая путь
интегрирования на положительный или отрицательный
острый угол а, мы можем показать, что формулы спра-
справедливы также, если | arg peai \ <^ я/2 — 6<я/2, откуда и
следует результат;
§ 25. Гамма-функция
Для действительных и положительных р имеем
00 00
Г (р) = -1Г (р + 1) = j f e~xxp dx = p" J e-*"w> dw.
1) Еще проще сравнить полученную формулу с найденной
выше формулой Стирлинга (см. стр. 63). — Прим. ред.

76 Гл. 6. Лемма Ватсона
С помощью аналитического продолжения эта формула
распространяется на полуплоскость Re р > 0, здесь рр
понимается как epiap, а для In p берется его главное зна-
значение. Поэтому получаем
р-рГ(р)= Г {we~w)p d<w.
Из этой формулы мы выведем асимптотическое разложе-
разложение для функции Г (р) при | р | -> оо в угле | arg p | <;
•^ я/2 — е < я/2 и затем покажем, что в действительности
оно имеет место в области |argp|<J я — е < я.
Функция we~w монотонно возрастает от 0 до е~1,
когда w изменяется от 0 до 1, а затем монотонно убы-
убывает от е~х до 0, когда w возрастает от 1 до оо. Пред-
Представим интеграл в следующем виде:
1 оо
р-рТ (р) = J (w2e-w')p fitoa-H J (wxe-w>)p йщ,
о i
так как нам будет удобно по-разному обозначить w на каж-
каждом из двух участков интегрирования. Если мы положим
¦ш^-®! = е~1~х, то т монотонно возрастает от 0 до -f- оо,
когда щ изменяется от 1 до + оо; и если мы положим
также w2e-w' = e~1~t, то т будет монотонно убывать
от +оо до 0, когда w2 возрастает от 0 до 1. Заменяя
переменную интегрирования указанным способом, мы по-
получаем интеграл
к которому мы применим лемму Ватсона. Наше доказа-
доказательство основано на методе, использованном Ватсоном [31]
при решении аналогичной задачи Рамануджана.
При т ^ 0 функции wx и w2 являются двумя действи-
действительными решениями уравнения
w — In та»=

§ 25. Гамма-функция 77
равными 1 при т = 0. Если мы обозначим w — 1 -f- W,
т — z2/2, то уравнение примет вид F(W, z) — 0, где
F(W, z) = W — ln(l + W) — i-22;
мы теперь будем рассматривать W и z в этом уравнении
как комплексные переменные.
Далее, для того чтобы уравнение F — 0 могло иметь
единственное решение W, которое принимает значение WQ
при Z'= zQ и регулярно в некоторой окрестности точки z0,
необходимо и достаточно, чтобы производная dF/dW не
равнялась нулю при z = z0, W = W0. Но
dF _ W
dW ~ 1 + W '
поэтому она обращается в нуль только при 11^ = 0, при-
причем соответствующие значения z задаются формулой
z2 — 4n,Kl,' где п — целое или нуль. Уравнение F = 0,
таким образом, определяет многозначную функцию W (z)
сточками ветвления 2 = 0 и z = ± 2 Ynn e±nil4, где
п — целое положительное число.
Вблизи точки W = 0 имеем
так что переменная z, рассматриваемая как функция от W
имеет две ветви
Выбирая^ верхний знак, мы получаем
причем выражение, стоящее в правой части этого равен-
равенства, является аналитической функцией от W, регулярной
в круге \W\ < 1 и имеющей простой нуль в точке VF = O.
Последнее уравнение имеет, следовательно, единственное
решение Wt (z), равное нулю при 2 = 0 и регулярное

78 • Гл. б. Лемма Ватсона
в.окрестности точки 2 = 0. Это решение представляется
в виде
где а1=\, а2=1/3. Аналогично уравнение
z = — W A — |
имеет единственное решение
равное нули при 2 = 0 и регулярное в окрестности на-
начала координат. Позже мы вернемся к определению дру-
других коэффициентов этих рядов.
Так как
dW _ г A + Щ ¦
то особыми точками № как функции от г будут только
найденные уже точки ветвления ± 2 ]/пя е±я//4, поэтому
ряды для Wl и W2 сходятся в круге | z \ < 2 \Гл.
Положив опять 22=2т, найдем, что
причем различие между функциями- wx и w2 заключается
в том, что Wx возрастает при т > 0, a w2 убывает при
малых -т. Функции 0, <и w% являются аналитическими
функциями комплексного переменного т, имеющими в круге
| т | < 2я единственную точку ветвления t = 0.
Так как
dw w
dx w — 1 '
то мы имеем
dwt ~ dit>
dx d~x~

§ 25. Гамма-функция 79
следовательно, разность dwjdx— dw^dx ограничена при
т^>т0, где т0 — любое положительное число.
Условия леммы Ватсона, таким образом, выполняются,
и мы получаем асимптотическое разложение интеграла
с помощью подстановки рядов вместо tCj и w2 и интет
грирования по частям. Отсюда следует, что
где | р | велик и | arg jo | < я/2 — е < я/2.
Для того чтобы определить коэффициенты ап, заменим
в уравнении
H^i рядом ^ а„г" и приравняем коэффициенты; этот спо-
1 ' . ¦
соб применим, так как все ряды, входящие в уравнение,
абсолютно сходятся в круге | z \ < 2 У п. Из тождества
2 <V" 2 «„«s"-1 = « + S «»
получаем
поэтому
когда п>-2. Мы знаем, что ах=з1. При л = 2 получаем
2«i = 6aia2, откуда а2 = 1/3. Когда п >- 3,
п-1
2а„,1 = 2(/?4-1)«1«и-г-(»+1) 2 «гОп+1-г.
Откуда
i п-1
п — a"-> J_

80 • Гл. б. Лемма Ватсона
Эта формула дает нам возможность найти следующие
коэффициенты, вот несколько первых:
__.• _\_ __1_ 1_ _ 1
п1~ ' а2~3' аз—36' °4~ 270* а5— 4320*
По этой формуле произвольный коэффициент оценить
сложно, но Ватсон показал, что при больших п
' а .-. (\ 1)" cos (я + 1) я/4
Подставляя в ряд Г (р) значение коэффициентов, мы окон-
окончательно получаем
1
когда | р | велик и | arg р | ^ я/2 — е < я/2.
На самом деле это асимптотическое разложение спра-
справедливо, когда
I arg р |< я — е < я.
Детальное доказательство этого утверждения могло бы
оказаться весьма утомительным, но основная идея проста.
Мы исходим из формулы
р-ре"Т (р) == J e-P*F (т) dx.
где
Р , ч dw,- dw2 1 1
Можно показать, что «»1 = О(|т|), •а>2 = О(\ е~х |) для
комплексных т, когда Re т > 0. Поэтому F (т) ограничена
в любом угле — я/2 < <х<[ argt^p < я/2 при ]т|->со
равномерно по arg т. Так как особыми точками функ-
функции F(x) являются только точки ветвления, расположен-
расположенные в начале координат и на мнимой оси, то мы можем
поворачивать путь интегрирования на любой положитель-
положительный или отрицательный острый угол у. Тогда

§ 26. Интегральный логарифм 81
если предположить, что действительные части р и q=
положительны. Поэтому с помощью аналитического про
должения мы получаем
р-ре"Т (р) =
о
когда Re^>0. Повторение примененного выше приема
приводит к формуле
12/7
т. е. к тому же самому ряду, что и раньше. Но теперь
уже установлено, что эта формула имеет место при | q | —> оо
в угле jarg^|^n/2 — е < я/2, т. е. для аргументов р,
заключенных между — л/2 -f- е — у и я/2 — е — у. А так
как у — любой положительный или отрицательный острый
угол, то разложение справедливо в угле | arg p | <^
¦< я— е < я.
§ 26. Интегральный логарифм
Для положительных х интегральный логарифм опреде-
определяется формулой
причем интеграл понимается в смысле главного значения
по Коши, если дг>1. Положим x = ea,~t = ea~v, тогда
интеграл примет вид -~
при а > 0. Этот интеграл мы уже рассматривали в § 9.
Теперь мы применим метод Лапласа для того, чтобы
доказать приведенный .ранее результат Стильтьеса отно«
Копеек

82 Гл. 6. Лемма Ватсона
сительно наилучших приближений с помощью асимптоти-
асимптотических разложений. '
В формуле
положим
0
-¦ Li (ea) = 2 J e-attk'x dt + V. P. J e"a/ y^- d^ =
*=i о
где
J
0
Можно показать, что Rn(a) имеет порядок 0A/а.я+1)
при а->оо и, следовательно,
Этот результат был получен ранее с помощью другой
формулы для остаточного члена. Пусть a = N-\-r\,
O-^tj< 1, я N — большое целое число, такое, что наи-
наименьший член асимптотического разложения имеет номер N.
Стильтьес показал, что остаточный член Rn(N-\-i\) изме-
изменяет знак при переходе через n = N, так что частичная
сумма с номером N — 1 дает наилучшее приближение.
Действительно, по определению интеграла в смысле
главного значения по Коши остаточный член равен

§ 26. Интегральный логарифм 83
Вводя обозначения предыдущего параграфа, мы получаем
1-е
1+е
На самом деле нижние пределы не равны е2/2, они отли-
отличаются от е2/2 и друг от друга на величину О(е3); но это
не^ влияет на доказательство — достаточно внести неболь-
небольшие изменения в определение интеграла в смысле глав-
главного значения по Коши '). Мы устремим е к нулю и
получим
Условия леммы Ватсона выполнены; Осталось вычислить
коэффициенты разложения в окрестности начала координат
выражения, стоящего ,в скобках под знаком интеграла,
и затем проинтегрировать почленно.
Если Взять только главные члены, то мы получим
оо
"-ч(т1 -1) J e-"tT-V2dx [i + О A)] =
:
1) Автор хочет сказать, что для рассматриваемой функции
оо I 1-е, оо I
V. Р. Г= lira I I 4- }, где Е1~'е, е2~г при е-»0, по-
О e^ulo 1 + ej J
скольку подинтегральная функция равна О A/11 — х |)
6»

84 Гл. б. Лемма Ватсона
Это равенство при N~*oo эквивалентно следующему:
Стильтьес, доказательство которого несколько отлича-
отличалось от приведенного, дал очень сложные формулы для
коэффициентов при 1//V и 1//V2.
Из сказанного выше вытекает, что
и, таким образом, Rn (Af-p- ц) меняет знак между п = N— 1
и п = N -\- 1, если 0 <^ ц < 1.
§ 27. Применение леммы Ватсона к контурным
интегралам
Трикоми и Эрдейи [28] отмечали, что лемма Ватсона
может быть применена к контурным интегралам типа инте-
интегралов Лапласа, и использовали эту идею для нахождения
асимптотического "разложения функции
при больших значениях | v |.
Они исходили из эйлерова интеграла
1
а)Г(Р-а) Г fv+n-t/i лР-«-1 at
(v + P) ~~ J Г \1—Ч at>
здесь многозначные функции, стоящие под знаком инте-
интеграла, понимаются в смысле главного значения по Коши.
Это представление верно, если выполнены два условия.
Первое заключается в том, чтобы Re(v-f-ot)>O; но если
| arg v | -^ я/2 — 6 < я/2, это условие будет заведомо выпол-
выполнено при достаточно большом |v|. Второе условие — это

§ 27. Применение леммы Ватсона к контурным интегралам 85
Re (P — а) > 0; чтобы освободиться от этого ограничения,
Трикоми и Эрдейи ввели контурный интеграл.
Если в формуле B7.1) мы положим t~e~T, то полу-
получим интеграл Лапласа
? A € ) (*Г>
о
из которого следует, что
@+)
F(V + P) = 2i sin я (р — a) J е^Ф(г)^' B7-2)
— ОО
где . .
В формуле B7.2) |arg2|<.n и функция ф(г) понимается
в смысле главного значения. Предполагается также, что
р — а не является целым числом ').
Лемма Ватсона (с небольшим уточнением) может быть
применена непосредственно к интегралу в формуле B7.2).
Не все условия этой леммы выполнены, но ее доказатель-
доказательство еще проходит, если предположить, что ограничение
па рост функции ф(г) распространяется на весь контур
и что разложение в степенной ряд функции (p(z) имеет
место на контуре в некоторой окрестности начала коор-
координат. Оба предположения в данном случае выполнены.
Разложение функции ф (z), справедливое в круге | г | < 2л,
имеет вид
)-?^. B7.3)
о
где Вл*' (а) — обобщенные Нёрлундом полиномы Бернулли.
@ + )
!) Контур интегрирования в интеграле I начинается в —оо,
—оо
идет по лучу arg г = — л до нуля, обходит начало координат,
а затем возвращается в —со по лучу arg г = я.—Прим. перее.

Гл. 6. Лемма Ватсона
Теперь с помощью контурного интеграла Ганкеля для
гамма-функции мы получаем
@+)
_./• iy» /
(P-a) <¦ l) J
2isinrt(P
— 00
где v положительно. С помощью аналитического продол-
продолжения эта формула распространяется на полуплоскость
Rev>0. Поэтому если мы подставим ряд B7,3) в .фор-
.формулу B7.2) и проинтегрируем по частям-, то получим
оо
Г(У + а) _ у (-1)" о(а-р+1) ((йГ(р-а + п) 1 „- 4
r(v+.P) М п\ Dtl w Г(р-а) ф-a+nV'-V
при | v| —>оо в угле |argv|-<n/2 — б < я/2.
Если заменить нижний предел интегрирования в фор-
формуле B7.2) на —ooe'v, где у — положительный или отри-
отрицательный острый угол, то можно показать, что формула
B7.2) остается справедливой при положительных v. После
этой замены равенство B7.2) выполняется при
Просматривая доказательство, замечаем, что в этом новом
угле формула B7.4) также справедлива; варьируя теперь
значения у, получаем, что формула B7.4) имеет место.,
когда |argv|<n — 6<я.
Эта асимптотическая формула справедлива несмотря
на то, что функция
Г(у+а)
r(v-l-P)
имеет полюсы в точках v = — а, —а — I, — а — 2, ...;
если |v| достаточно велик, то ни один из этих полюсов
не лежит в фиксированном угле |argv|-<^n — б. Но аппрок-
аппроксимация B7.4) непригодна, если |v| велик, а V лежит

§ 27. Применение леммы Ватсона к контурным интегралам '87
вблизи полюса. Это затруднение можно обойти, если вос-
воспользоваться равенством
i _ sinjt(y-f Р)ГA — р — у)
~ sin л (у -|- а) Г A — а — у)
и асимптотическим разложением выражения в правой части
этого равенства, имеющим место в угле J arg (—v) [ -^ я—6.
И, наконец, ограничение, заключающееся в том, что
р — а не является целым, почти несущественно: если
р — а целое, то Г (v + а)/Г (v-j- Р) является рациональ-
рациональной функцией.
Первые два члена формулы B7.4) дают
Интересный частный случай формулы B7.4) мы получаем
при а =1/2, р=1:
1 , 0( 1 VI
Г (л;+-1) — Yl L 8у + 128у2
отсюда следует, что
1.3.5...Bя-1) _ 1 Г, 1, 1 ,Л/1\Т
2-4-6...Bл) — у^ L1 8л ~Г~ 128л2 "•" u \W}\ •
когда п — большое положительное целое число.

ГЛАВА 7
Метод
наибыстрейшего спуска
§ 28. Истоки метода
¦Метод чнаибыстрейшего спуска восходит к работе Ри-
мана [25], изданной после его смерти. В этой работе Риман
нашел асимптотическое выражение для гипергеометриче-
гипергеометрической функции
F{n —с, /t-f-a+1; 2n-\-a + b + 2\ s)
при больших положительных п. Эта функция предста-
представляется интегралом
1
Г
— z) A — sz) dz;
о -
она является аналитической функцией, регулярной в ком-
комплексной плоскости s, разрезанной вдоль действительной
оси от точки 5 = 1 до s = -f- со.
Этот интеграл можно записать в виде
1
f{f(z)}n<p(z)dz, B8.1)
о
где
1
f
/ (z) = z A - z) A — SZ)'1. <р (*) = za A — zf A - sz)c.
Риман начал с рассмотрения таких кривых в комплекс-
комплексной плоскости z, на которых | / (z) \ имеет постоянное
значение. Это линии уровня поверхности, уравнение кото-
которой в прямоугольных декартовых координатах {х, у, t)
есть t=]f(x-\-iy)\. Если модуль мал, то линия уровня
имеет две ветви, мало отличающиеся от непересекающихся

§ 28. Истоки метода 89
окружностей малых радиусов с центрами в точках z = О
и z—\. Когда модуль возрастает, эти ветви приближаются
друг к другу и при некотором значении модуля сливаются
в одну кривую с двойной точкой при z = ?. Если модуль
велик, то линия уровня снова состоит из двух ветвей, мало
отличающихся от малой окружности с центром в точке
z = 1/s и большой окружности с центром в начале коорди-
координат. Когда модуль уменьшается, эти ветви приближаются
друг к другу, при некотором значении модуля они сли-
сливаются в одну кривую с двойной точкой при z = t,'- В си-
силу условий Коши — Римана эти двойные точки удовлет-
удовлетворяют уравнению /' (z) = 0, из которого получаем
причем ветви квадратного корня имеют положительные
действительные части в разрезанной плоскости s.
Так как ln|/(z)j — гармоническая функция, то |/(z)|
не может иметь ни максимума ни минимума *). Поэтому
точки z = t, и z = t,' являются седловинами или точками
перевала на поверхности t — \ f(x-\-iy)\. Далее, /@) =
=:/A) = 0, но так как /(?) = С2, |/(Q|>0, то на этой
поверхности имеются такие контуры, ведущие из точки 0
в точку С. на которых | / (z) \ монотонно возрастает, и
такие контуры, ведущие из точки С в точку 1, на которых
|/(,г)| монотонно убывает. Более наглядно: имеются подни-
поднимающиеся в гору пути от точки 0 до точки ?, лежащие
в долине ниже точки перевала, и спускающиеся вниз пути
из точки С в точку 1. Из таких двух путей Риман соста-
составил контур интегрирования.
Для того чтобы получить желаемое асимптотическое
приближение, Риман, по существу, использовал метод
Лапласа. .Он утверждал, что главная часть интеграла при
больших п определяется окрестностью точки перевала;
вблизи этой точки он полагал
{/B)}«==?2V"T2. B8.2)
где т — действительная величина. Это означает, как мы
увидим позже, что он интегрировал но наибыстрейшему
') Минимума, отличного от нуля.— Прим. ред.

90 Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
пути *), выходящему из точки перевала. Уравнение B8.2),
когда х изменяется от — оо до + со, определяет кривую,
начинающуюся в точке г = 0 и кончающуюся в точке
2 = 1, которая является наибыстрейшим путем из одной
долины в другую. Если бы Риман использовал весь путь
целиком, то он мог бы получить полное асимптотическое
разложение вместо асимптотического приближения 2).
Впервые эту идею реализовал Дебай [10]' в работе об
асимптотическом разложении функций Бесселя; он исполь-
использовал весь путь интегрирования и, не прибегая к методу
Лапласа, смог получить асимптотическое разложение.
Мы будем различать два метода: метод Римана, исполь-
использующий только окрестность точки перевала, называемый
методом перевала, и метод Дебая, называемый мето-
методом наибыстрейшего спуска.
Полезно внести небольшие изменения в обозначения.
Вместо того чтобы рассматривать интегралы вида B8.1),
положим f (z) =*? ew <z> и будем рассматривать интеграл
J eaw <г> ф (г) dz.
Кривые, на которых |/(г)| был постоянен, теперь станут
кривыми, на которых постоянна Rew(z). Значительно
более удобно рассматривать поверхность и = Re w (х -j- iy)
вместо поверхности t — \f(x-\-iy)\, где (х, у, и) — прямо-
прямоугольные декартовы координаты.
§ 29. Метод Дебая наибыстрейшего спуска
Метод наибыстрейшего спуска состоит в основном в вы-
выборе контура интегрирования с нужными геометрическими
свойствами. Предположим, что нам нужно найти асимпто-
асимптотическое разложение при больших положительных v функ-
функции, заданной интегралом вида
J evw W ф (z) dz, B9.1)
1) Установившийся термин .наибыстрейший путь" не вполне
точен. Путь, о котором идет речь, не самый короткий, а самый
крутой. По такому пути потекла бы вода. — Прим. ред.
2) Автор допускает неточность — интеграл по любой фикси-
фиксированной окрестности точки перевала уже дает все асимптоти-
асимптотическое разложение. — Прим. ред.

§ 29. Метод Дебая наибыстрейшего спуска 91
где контур интегрирования — некоторая дуга или замкну-
замкнутая кривая в плоскости г. Функции w(z) и ф(г) не за-
зависят от v, это аналитические функции от z, регулярные
в некоторой области, содержащей контур интегрирования.
Идея метода состоит в том, чтобы так деформировать
контур интегрирования, чтобы для полученного контура
выполнялись условия:
1) контур проходит через точку z0, в которой w' (z0) = 0;
2) мнимая часть функции w(z) постоянна на этом
контуре. /
Если мы обозначим
z — x + ty, w(z) = u(x, у)+Ъ(х, у), B9.2)
где х, у, и и v—действительные переменные, т.о v (x, у) =
= v(x0, y0) будет уравнением нового пути интегрирования
и подинтегральная функция примет вид
х, у)
Так как v и и действительны, а функция ф(л: + /у) не
зависит от v, то подинтегральная функция не будет быстро
осциллировать на новом контуре интегрирования при боль-
больших значениях v.
Для того чтобы, получить геометрическое представле-
представление о новом контуре, рассмотрим поверхность 5, уравне-
уравнением которой в прямоугольной декартовой системе коор-
координат является уравнение и = и(х, у), причем ось и
направлена вверх. Из условий Коши — Римана получаем
да . ди
Поэтому если z0 — нуль функции w' (z), то касательная
плоскость к поверхности 5 в соответствующей точке
(х0, у0, м0) горизонтальна. А так как
0
дх2 ~т" ду2 ~ '
то эта точка может быть только точкой перевала, а не
точкой максимума или минимума.
Форма поверхности 5 может быть отражена на плоско-
плоскости (х, у) с помощью горизонталей или линий уровня,
на которых и постоянно; точка перевала, очевидно, будет

92 Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
кратной точкой некоторой линии уровня. Линия уровня,
проходящая через точку перевала, разделяет ближайший
к ней кусок поверхности S на долины, лежащие ниже
точки перевала, и возвышенности, расположенные выше
точки перевала. Линии, на которых v постоянно, образуют
ортогональные траектории к линиям уровня, и поэтому
они являются образами в плоскости (х, у) наибыстрейших
кривых, лежащих на поверхности 5. Отсюда следует, что
кривая, выбранная Дебаем, является наибыстрейшим путем,
проходящим через точку перевала. В простейшем случае,
когда точка перевала — двойная точка соответствующей
линии уровня, имеются два пути наибыстрейшего спуска
и два пути наибыстрейшего подъема, выходящие из этой
точки.
На наибыстрейшем пути, проходящем через точку-пере-
точку-перевала z0, мы имеем
w(z) = w(zo) — x, B9.3)
где х действительно, и поэтому если s — длина дуги кри-
кривой, то dr/ds = +\w'(z) |. Следовательно, dr/ds может
изменить знак, только если контур интегрирования прой-
пройдет через другую точку перевала или особую точку функ-
функции w' (z), но такой случай является исключительным.
Переменная х обычно бывает монотонной на наибыстрей-
наибыстрейшем пути, проходящем через точку перевала, и либо воз-
возрастает до -f-oo, либо убывает до —оо. А так как
подинтегральная функция равна
то интеграл по контуру, на котором т->— оо, ока-
оказался бы расходящимся. Поэтому мы будем выбирать
такие контуры интегрирования, на которых т положи-
положительно — это и есть пути наибыстрейшего спуска из точки
перевала. Если возможно изменить путь интегрирования
и представить интеграл в виде суммы интегралов по путям
наибыстрейшего спуска из точек перевала, то остается
только рассмотреть асимптотическое поведение интегралов
вида
оо
J e-vtjp B) j*? dx B9.4)

§ 29. Метод Дебая наибыстрейшего спуска 93
при больших положительных значениях v, к каждому из
которых обычно мы можем применить лемму Ватсона.
В общем случае трудно получить из формулы B9.3)
параметрическое уравнение для каждого из контуров наи-
наибыстрейшего спуска, выходящих из точки перевала, хотя
очень просто определить вид кривой вблизи точки пере-
перевала. Рассмотрим случай, когда функция w' (z) имеет нуль
порядка m — 1 в точке перевала z0, так что
w(z) = w (z0) — (z- zQ)m f (z), B9.5)
где функция / (z) регулярна в некоторой окрестности
точки z0 и f(zo) = ae-al, причем а > 0. Вблизи точки
перевала линии уровня и наибыстрейшие линии прибли-
приблизительно такие же, как у функции
w{z) = w (z0) — ae~ai (z — zQ)m.
Поэтому если z = zo-\-rem, то
u = u0 — arm cos (mQ — a), v = v0 — arm sin (m9 — a).
Линиям уровня и = и0 соответствуют значения 6, прибли-
приближенно равные {(я + 1/2)л-\-а}/т, а наибыстрейшим ли-
линиям v = v0 — значения Q = (nn-\-a)/m, где я = 1, 2,
3, ..., 2т. Таким образом, имеются 2т наибыстрейших
направлений из точки z0: m направлений наибыстрейшего
спуска и т направлений наибыстрейшего подъема. Линии
уровня вблизи точки z0 делят поверхность 5 на т долин,
лежащих ниже точки перевала, и т холмов, расположен-
расположенных выше точки перевала. Пути интегрирования лежат
в долинах. На рис. 1 и 2 показано, как выглядит окрест-
окрестность точки перевала в простейших случаях т = 2, т = 3,
когда а = 0; долины заштрихованы, наибыстрейшие линии
нанесены пунктиром, а сплошные линии—это линии уровня.
Исходя из формул B9.3) и B9.5), мы должны полу-
получить решение уравнения
{z — zo)mf(z) = x, B9.6)
причем на контуре наибыстрейшего спуска т положи-
положительно. Нам будет удобно считать т комплексным и при-
применить теорию функций комплексного переменного, для
того чтобы найти т решений уравнения B9.6), которые
имеют значение z0 при т = 0.

\
Рис. 1. /я = 2, а = 0.
Рис. 2. т = 3, а =• 0.

§ 29.- Метод Дебая наибыстрейшего спуска S5
По предположению, f(z) можно разложить в сходя-
сходящийся степенной ряд .
/(z) = а0 + о,О — z0) + а2(г — zQf-f ....
где а0ф0. В силу непрерывности функции /(г) имеется
некоторая окрестность точки z0, в которой /(г) не равна
нулю. Полагаем g{z) равной корню /и-й степени из / (z),
Ясно, что она является аналитической функцией в неко-
некоторой окрестности точки z0 и ее можно будет разложить
в степенной ряд
m
где b0 — главное значение Yao' Теперь уравнение B9.6)
принимает вид
где t — корень /и-й степени из х'. Но в силу теоремы
об обратной функции1) в случае аналитических функций
это уравнение имеет единственное решение
* = zo+c1/ + c2*2 + c3'3+ .... B9.7)
которое принимает значение z0 при ? = 0 и регулярно
в некоторой окрестности точки t == 0. Эта формула дает
одно решение уравнейия B9.6); другие решения полу-
получаются с помощью подстановки в первое решение at,
вместо t, где <о — некоторый комплексный корень /и-й сте-
степени из единицы. Когда ^действительно, B9.7) дает пара-
параметрическое уравнение для наибыстрейшего пути, про-
проходящего через точку перевала; при t > 0 это — контур
наибыстрейшего спуска.
Для того чтобы найти асимптотическое разложение,
сначала нужно найти коэффициенты Ап степенного ряда
B9.8)
') См!, например, Евграфов М. А., Аналитические функ-
функции, .Наука", М., 1965, стр. 137. — Прим. перев.

96 Тл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
предположив, что функция <p(z) является регулярной в не-
некоторой окрестности точки г0. Легко видеть, что1)
@+)
() <,+)
п 2ш J *W dt t"^ 2л/ J t"+l
2л/ J <»о -»)<»+W»
для соответствующей ветви функции (w0 — wI1. Следо-
Следовательно, Ап равен вычету функции q>(z)/('W0 — •и>)(я+1)/т
в точке z0. В частности, псп равно вычету функции
1/Он>0—w)nlm. Определение общего вида коэффициентов
весьма затруднительно, но вычисление любого числа пер-
первых коэффициентов не составит труда.
В точке z0 мы имеем
dz A
dt "} Ф (г0) '
и аргумент dz/dt в точке z0 задает направление, соответ-
соответствующее контуру наибыстрейшего спуска.
Это изложение метода Дебая наибыстрейшего спуска
является только описанием, а не строгим обоснованием;
основная идея станет яснее при рассмотрении частных
примеров. Следует заметить, что ^ формуле B9.4) мы
предполагали v большим и положительным. Но часто ока-
оказывается, что интегралы, полученные таким путем, схо-
сходятся, когда, скажем, |v| принимаем большие значения,
а | arg v | < а; этот метод дает тогда асимптотическое раз-
разложение при больших значениях |v| даже в том случае,
когда контур интегрирования не является путем наибыст-.
рейшего спуска.
') Здесь интеграл вычисляется по некоторому замкнутому
контуру, проходимому против часовой стрелки и лежащему
в области регулярности ср (г), причем точка О I соответственно za
в Случае I ) лежит внутри контура. — Прим. перев.

§ 30. Асимптотическое разложение функции \/T(v) 97
§ 30. Асимптотическое разложеиие функции 1/Г (v)
В этом параграфе мы применим метод наибыстрейшего
спуска к интегралу Ганкеля
1 1_
Г (v) ~~ 2л!
и
v v In t *
где t понимается как е , причем для логарифма берется
главное значение. Контур интегрирования начинается
в точке coe~nl, обходит вокруг начала координат один
раз и заканчивается в ооея/. Эта формула справедлива
для всех действительных и комплексных значений v, но
если v — действительное и положительное, то подстановка
t = \z дает
1 1л
контур интегрирования здесь тот же, что и раньше. Этот
интеграл сходится равномерно на любом компактном мно-
множестве в полуплоскости Rev>0, а так как l/F(v)—целая
функция, то равенство C0.1) справедливо в этой полу-
полуплоскости в предположении, что vv понимается как evlnv,
где для логарифма берется главное значение.
Мы имеем одну точку перевала, а именно z = 1.
Когда v положительно, контур наибыстрейшего спуска
задается формулой
z — In 2 = 1— т, C0.2)
где т > 0. Если т мало, z равняется приближенно 1 ±/ |/2т,
так что имеются два направления наибыстрейшего спуска
из точки перевала, для которых arg(z — 1)=±я/2. Для
наибыстрейшего пути имеем уравнение Im(.z — lnz) = 0,
откуда получаем
Этому уравнению удовлетворяет функция у = 0, опре-
определяющая два направления наибыстрейшего подъема из
точки перевала, и функция х = у ctg у. Верхняя и ниж-
нижняя половины этой кривой, симметричной относительно
7 Э. Копсвв

Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
действительной оси, являются двумя путями наибыстрей-
наибыстрейшего спуска. Так как
i J?.
dy ~ 2 sin2 у '
то х монотонно убывает и стремится к —оо, когда у
растет от 0 до я; аналогично для у, убывающего от О
до.—п. Кривая x = yctgy, или вернее ветвь, проходя-
проходящая через точку A, 0), имеет асимптоты у= ± л, когда х
стремится к —оо. Простое применение теоремы Коши
показывает, что этот контур можно взять в качестве пути
интегрирования С.
Если1 мы положим z = l-\-Z, т = — Р/2 в фор-
формуле C0.2), то получим уравнение
рассмотренное в других обозначениях в § 25. Это урав-
уравнение определяет многозначную функцию Z(t) комплекс-
комплексного переменного t, имеющую точки ветвления при
t= ±„2уг«яе±я<'/4. Два решения, обращающиеся в нуль
•при ? = 0, определяются формулами
причем ряды заведомо сходятся в круге 11 | < 2 У я, так
как ближайшая особенность лежит на границе круга схо-
сходимости. Первые пять коэффициентов ап были определены
выше:
_1 _ 1 __ 1 _ 1 _ 1
аг — 1, а2 — у, о3 —-gg-, о4 270, «5—4320"
Возвращаясь к начальным переменным, мы получаем
два решения уравнения C0.2): первое
' оо
^, = l + S«/Bt)n/2,
которое дает верхний .контур наибыстрейшего спуска, когда
> 0, и второе
оо
^1 И Tltl
1

§ 80. Асимптотическое разложение функции l/r(v) 99
которое дает нижний контур. Отсюда получаем формулу
W*»L_ *й\Л. C0.3)
\dx dx)
T<v) 2ЯЛЛ-1 J \dx dx
Очевидно, что d (zt — z2)jdx — аналитическая функция
комплексного переменного т, функция типа, рассматри-
рассматриваемого в лемме Ватсона. Осталось проверить только
условие, касающееся поведения этой функции при дей-
действительных положительных значениях т. Но так как
dz/dx = 2/A — z), то мы имеем
г2 1 1
1 — гг гг — 1 г, — 1 '
откуда следует, что производная d(zA — z2)/dx ограни-
ограничена, когда т^.т0 для любого, положительного значения т0.
Теперь мы можем подставить ряды для- zx и z2 в инте-
интеграл и проинтегрировать почленно.
Прежде чем мы это сделаем, заметим, что инте-
интеграл C0.3) сходится равномерно на любом компактном
множестве в области Jv|>0, |argv|<n/2 и что пред-
представление функции I/r(v) справедливо в более широкой
области.
Окончательный результат состоит в том, что
когда |argv|<n/2, или
'-W + W- ...}. C0.4)
На самом деле этот результат имеет место в области
| arg v | ^ я — е < л, что можно показать с помощью пово-
поворотов контура интегрирования в плоскости т.
Мы могли бы получить этот результат из известного
асимптотического разложения функции F(v). Данное здесь
решение является, вероятно, простейшим примером на ме-"
тод Дебая.

too
Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
§ 31. Функция Бесселя Jv(a)
Довольно полное изложение теории асимптотического
разложения бессёлевых функций можно найти в книге
Ватсона „Теория бесселевых функций". Мы рассмотрим
здесь несколько простых случаев в качестве примеров
применения метода наибыстрейшего спуска; простейшим
является случай Jv(a) при а-> + оо.
Нам будет удобно начать с функции Ганкеля, опре-
определенной интегралом
oo+nl
Н{У(а) = -?- J
когда | arg a | < я/2. Мы предположим, что а действи-
действительно и положительно и что порядок v сохраняется по-
постоянным. Параметр а играет здесь такую же роль, какую
играл параметр v в предыдущем параграфе. Точки пере-
перевала находятся из уравнения ch г = О, и только одна из
них интересует нас — это точка г = я//2. Контур наибы-
наибыстрейшего спуска задается формулой '
= t — х
C1.2)
Когда т мало, z приближенно равняется я//2 ± enW4|/r2t,
отсюда получаем, что два направления наибыстрейшего
спуска образуют углы я/4 и 5я/4 с действительной осью,
а направления наибыстрейшего подъема (соответствующие

§ 31. Функция Бесселя J-,(a) 101
значениям т < 0) ортогональны им. Уравнение наибы-
наибыстрейшего пути имеет вид
а линиями уровня, проходящими через точку перевала,
уравнение которых sh х cos у = 0, будут прямые х = 0 и
у = л/2. На рис. 3 сплошные линии — это линии уровня,
пунктирные линии — наибыстрейшие кривые, "а площадь
долин заштрихована. Наибыстрейшие кривые асимптоти-
асимптотически приближаются к действительной оси и прямой у = я,
когда х ->• ± оо. Два пути наибыстрейшего спуска из точки
перевала ведут соответственно в z = oo-\-jU и z = — оо,
поэтому их можно взять в качестве пути интегрирования.
Этот путь интегрирования симметричен относительно
точки перевала. Если мы положим z = nt/2-\-^, то по-
получим
оо+Я//2
/#'(<»)¦=-jj. J
-оо-Ж/2
__2_e-vn//2 Г
1Ц J
о
причем
' chC=lH-te C1.3)
Следовательно, функция Н^ (а) представляется в виде
интеграла
М? (а) = ^-_д J *-« ch vC -§ rft. C1.4)
о
к которому мы можем применить лемму Ватсона. Мы
должны отметить, однако, что эта формула справедлива
не только для а > 0, но также в области
Асимптотическое разложение, которое мы получим, при-
пригодно в этой полуплоскости, несмотря на то, что контур,
интегрирования не является контуром наибыстрейшего
спуска, когда а имеет комплексные значения.

102 Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
Формула C1.3) дает
sh -jfc = e у y •
где квадратный, корень положителен на данном контуре
интегрирования. Если считать т комплексным, то sh С/2 —
аналитическая функция от т, имеющая изолированную
точку ветвления в начале координат. Функция shvC-—
также аналитическая функция- от sh С/2, регулярная при
| sh С/21 < 1, и ее ряд Тейлора равен
где
Следовательно, sh л»С — аналитическая функция от т в
кольце 0 < \х | < 2 с точкой ветвления в начале коорди-
координат, и ее можно записать в виде
L • т=\
Отсюда получаем, что функция
г=1
также аналитична в, кольце 0 < |т| < 2 с точкой ветвле-
ветвления в начале.
Окончательно получаем
el~2lx <% — 1 _, 1
' dx sh? x
при больших положительных т. Поэтому
-57=2^ "^ 7W~27

§ SI. Функция Бесселя /, (а) 103
откуда ясно, что существуют такие постоянные К и tlt
для которых выполняется неравенство
<Ке\
когда т > tj. А так как произведение ch v? сСЦбл, оче -
видно, ограничено на отрезке 1 -^ т -^ iv то все условия
леммы Ватсона выполнены. Отсюда получаем, что
L
при |а|->оо в угле |arg«| -^я/2— е<п/2. На самом
деле этот результат справедлив в области — я -j- e -^
<; arg а -< 2я — е < 2я, доказательство этого утвержде-
утверждения несколько утомительно, но может быть проведено
тем же самым путем.
Аналогичные соображения показывают, что
т=\
при |«|->оо в угле —2я + е-<аг§а -<я — е < я.
Асимптотическое разложение
r=0
Г=0
при I a | ->• oo в угле | arg «| <] я — e < я Тюлучается из
этих результатов и из формулы

104 Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
§ 32. Функция Бесселя Jv(w)
Задача получения асимптотического разложения функ-
функции Jf(a) при больших v и фиксированном а мало инте-
интересна; можно было бы сразу показать, что степенной ряд
для бесселевой функции имеет вид
¦¦•1.
J
му-:^
/2nv vv
Но такая же задача для функции Jv (Va), когда v велико,
а а фиксировано, представляет очень большой интерес,
так как получаются совершенно различные разложения
для случаев и = 1 и a^l.
Мы рассмотрим в этом параграфе случай 0 < а < 1.
Нам будет удобно обозначить а = 1/ch a, где a > 0, и
k = \a. Предположим, что v, а следовательно, и k имеют
большие положительные значения. Тогда получим
co+ni
/
со— я1
oo+nt
/ e*(sh*-zch«)tf2 C2.1)
/
os-nl
Точки перевала задаются уравнением ch z — ch a = 0, это
точки г= + a-\-2nnt, где п целое. В полосе |1тя| <rt
имеются две интересующие нас точки перевала, а именно
z = ± а, и только одна* из них z = а нам подходит.
Контур наибыстрейшего спуска, проходящий через
точку перевала z = a, задается уравнением
shz — z ch a = sh a — a ch a — x, C2.2)
где г > 0. Когда т мало, z приближенно равняется
a ± / У 2т/ sh a, поэтому касательные к двум путям наи-
наибыстрейшего спуска в точке перевала параллельны по-
положительному и отрицательному направлениям мнимой оси.
Наибыстрейшие кривые, проходящие через точку г = а,
задаются формулой, ch д: sin у — ycha = 0. Пути наибыст-
наибыстрейшего подъема лежат на прямой у = 0 — положитель-
положительная и отрицательная действительные полуоси; а пути

§ 32. Функция Бесселя Jy(vaX -105
наибыстрейшего спуска — это верхняя и нижняя половины
ветви кривой
проходящей через точку г = а; эта ветвь симметрична
относительно действительной оси. Если у возрастает от
Рис. 4.
О до л, то х- монотонно растет от а до -f0- Следо-
Следовательно, два контура наибыстрейшего спуска образуют
допустимый путь интегрирования в формуле C2.1). Линии
уровня, выходящие из точки а, асимптотически прибли-
приближаются к прямым у = ± я/2 и заканчиваются в точках
перевала z = a±2nt (см. рис. 4).
Если мы положим т = t2 в формуле C2.2), то получим
shz—г ch a = shot — acha — fi, C2.3)
откуда г приближенно равняется a-j- it У 2/sh а вблизи
точки перевала, причем нужно предполагать, что t
положительно на верхней половине и отрицательно на
нижней половине контура интегрирования. Равенство C2.1)
принимает вид v
2/§. C2.4)

106 Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
Уравнение C2.3) имеет два решения, это — аналити-
аналитические функции комплексного переменного t, регулярные
в некоторой окрестности начала координат. Если искать
решение в виде
то нам нужно такое решение, у которого Cj = / ]/*2/sh a.
Наиболее простой способ определения коэффициентов,
хотя и. не приводящий к общей формуле, состоит в по-
повторном дифференцировании формулы C2.3), при этом
нужно полагать каждый раз z — a при ? = 0; коэффици-
коэффициенты са равны значениям zjn I при t = 0, где zn обо-
обозначает я-ю производную функции z по переменной t.
Этот процесс дает
(ch z — ch a) zx = — 2t,
(ch z — ch a) z2 -+- z\ sh z = — 2,
(ch2 — cha) z3-\-3 z^sh z-\-z\ch z = 0,
(ch z — ch a) zt-\- 4zxz3 sh z-\- 3 z\ sh z~\-6 z\z2 ch z +
и т. д. При t = 0, z = а первое уравнение тривиально,
а второе дает уже^ известное значение zx @). Из третьего
мы находим
Таким же образом мы получаем
3sh2a — 5ch8a
16 ch a (9 sh*a — lOch'a)
— ; iETS
и т. д. Граница круга сходимости ряда 2 ся*" проходит
через особенность функции z, ближайшую к началу ко-
координат. Так как
dz _ It
dt "*~ ch a — ch г '
то особые точки t находятся из уравнения
ch z = ch a;

§ 32. Функция Бесселя l-,(va) 107
они задаются формулами
fl = 2nntcha, *2==2nji/cha + 2snct — 2actta,
где л принимает целые значения (? = 0 исключается).
Следовательно, ряд имеет положительный радиус сходи-
сходимости.
Окончательно, когда Р принимает большие положи-
положительные значения, из формулы .C2.3) вытекает, что
функция ег приближенно равна — 2t2 и что производная
dz/dt стремится к нулю, когда t стремится к -f-oo
или — оо. Условия второй формулировки леммы Ватсона,
таким образом, выполнены. Если мы подставим в формулу
C2.4) степенной ряд функции z и проинтегрируем по-
почленно, то получим
a-acha)
dt =
c*(sh«-«cha)
~ Ш
при А->+оо или, более общо, когда |й|->оо в угле
Возвращаясь к первоначальным переменным» находим
ev(tha-o) ~*
2ш Ы Bn)! (v/cha)"+1/=
K '
для о-> 0, когда jv| —>оо в угле |argv| <я/2 — е при
любом положительном значении е. Коэффициенты все дей-
действительны, так как zia+l @) — чисто мнимые числа-
Ограничиваясь главным членом разложения, получаем
/ v ¦ х, ev(tb а-а)

108 Гк. 7. Метод наибыстрейшего спуска
§ 33. Функция Бесселя Л(у)
Пример точки перевала более высокого порядка мы
получаем в случае функции Бесселя yv(v). определенной
формулой
oo+nt
oo—я/
когда v>0 и даже когда Rev>0. Контур интегрирова-
интегрирования можно построить следующим образом: из отрезков
-прямой у —— я, когда х изменяется от + оо до 0,
прямой х = 0, когда у изменяется от —я до я, и пря-
прямой у —я, когда х изменяется от 0 до -|-со.
Точки перевала определяются из уравнения chz=l,
это точки z = 2ntn, где п — целое или нуль. Нас инте-
интересует только точка перевала в начале координат. Для
положительных v путь наибыстрейшего спуска из начала
координат задается формулой
shz— г = — т (т>0). C3.2)
Когда т мало, мы получаем, что приближенное уравнение
этой линии г3 = — 6т, откуда видно, что имеются три
направления наибыстрейшего спуска из начала координат,
т. е. направления, на которых аргумент г равен соответ-
соответственно ± я/3 или — я. Имеются также три направле-
направления наибыстрейшего подъема из начала координат, при-
причем аргумент г на них равен ± 2я/3 или 0.
Точным уравнением кривых наибыстрейшего спуска и
подъема будет
chxsiny — у = 0,
ему удовлетворяют действительная ось и кривая
chA::=
для которой прямые у=±л являются асимптотами.
Линиями уровня, проходящими через начало координат,
будут мнимая ось и кривая

§ SS. Функция Бесселя /»fv)
109
асимптоты которой у = ±я/2. На рис. 5 заштрихована
площадь долин, лежащих ниже точки перевала, не
заштрихована площадь холмов, пунктирные линии означают
наибыстрейшие кривые, выходящие из точки перевала.
Рис. 5.
Мы можем, очевидно, взять в качестве пути интегрирова-
интегрирования пунктирную линию, ведущую из -\- со — л/ в начало
координат, а затем по наибыстрейшей кривой в -\-оо-{~Ш.
Тогда мы получаем
оо+Я< ОО-Я1
где интегрирование ведется вдоль пути наибыстрейшего
спуска.
Параметрические уравнения трех контуров наибыстрей-
наибыстрейшего спуска из точки перевала являются тремя решениями
уравнения
sh z — z = — т.

110 Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
Первое решение z-—zx(x) даст контур, ведущий из 0
в oo-f-яЛ второе г = г2(х) — путь от 0 до оо — я/
и третье z = гь (т) — путь от 0 до — оо. Теперь мы
должны определить, можно ли применить лемму Ватсона
к получившемуся интегралу
Для того чтобы можно было-использовать теорию
аналитических функций, ' мы обозначим т = ta и будем
с этого момента рассматривать t как комплексное пере-
переменное. Так как
то уравнение, которое нужно решить, принимает вид
at, C3.4)
где о» — комплексный кубический корень из —1, равный
& — ея1/з для Zi< fx—.g-nm для z<i и щ—.—1 для г^
Функция f(z) является ветвью функции
которая положительна в начале координат. В силу тео-
теоремы об обратной функции1) уравнение C3.4) имеет един-
единственное' решение
* = 2««(«>#. C3.5)
которое обращается в нуль при t = 0 и регулярно в не-
некоторой окрестности начала координат. Так как
dz _ — 3ff
dt ~ ch г — 1 '
то особыми точками любой ветви функции z, рассматри-
рассматриваемой как функции от t, будут такие значения t, кото-
') См. примечание на стр. 95. — Прим. перее.

§ 33. Функция Бесселя /vfv) 111
рые соответствуют значениям z = 2пШ для п целых, от-,
личных от нуля; о?{и удовлетворяют уравнению fi=—2ля/.
Ряд C3.5) тогда заведомо сходится в круге \t\ <BяI/3.
Если мы положим опять C = т, то уравнение C3.5)
даст три--функции zr(f), каждая из которых аналитична
в кольце 0 < |т| < 2я и имеет точку ветвления -т = 0.
Так как г—нечетная функция от t, то коэффициенты а2а
в формуле C3.5) все равны нулю. Для нечетных коэф-
фициентов, по-видимому, нет достаточно общей формулы.
Их можно определять последовательно с помощью приема,
использованного в § 32, или с помощью метода неопре-
неопределенных коэффициентов. Первые три отличных от нуля
члена имеют вид
z = 6V%>t — -1- (б1/*©*K -h т^о" F1%'>5 +••••• C3.6)
Три пути наибыстрейшего спуска из начала коорди-
координат— это те пути, на которых т1/3 положительно. Когда т
принимает большие положительные значения, функции ez'
и е** приближенно равны — V, а так как
йг \
dx ~ I—ch« '
то производная ограничена. Условия леммы Ватсона, та-
таким образом, выполнены. Далее, для разности zl — z2
имеем
где о»! =еп11&, (В2 = в-Я'/3, поэтому
¦ оо
zl — z2 = 2/ У\ «„ sin -g-ля • тп/3.
Следовательно, когда v принимает большие положитель-
положительные значения, имеет место асимптотическое равенство
00 ОО .

112 Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
или
I /\ IV : 1 Г (Я/3+1) ,„-
Л(v) ~- 2, «я sin -3 «я ^/Г • C3-7>
причем все коэффициенты а2п равны нулю. Второй отлич-
отличный от нуля член имеет порядок O(v-S/3).
Это асимптотическое разложение не является предель-
предельной формой разложения C2.5) функции /v(v/cha); » фор-
формуле C3.7) мы имеем ряд по степеням v1/3, в то время
как в формуле C2.5) — ряд по степеням v1/2. Причина
этого заключается в том, что две. точки перевала ±а,
связанные с функцией
сливаются в одну точку перевала более высокого порядка
в начале координат, когда а стремится к нулю. В гл. 10
мы покажем, что можно найти асимптотическое разложе-
разложение, которое было бы справедливо равномерно в окрест-
окрестности точки а = 0, но этот асимптотический ряд уже не
будет степенным.
Следует отметить, что yv(v) — аналитическая функция
комплексного переменного v, регулярная в плоскости
с разрезом от v = — оо до v = 0, и что она может быть
представлена формулой C3.1) или C3.3), когда действи-
действительная часть v положительна. Асимптотическое разложе-
разложение C3.7), таким образом, справедливо, когда |v| велик
и |argv|<n/2 —6<я/2.
§ 34. Функция ошибок
Все интегралы, рассмотренные в этой главе, за одним
исключением, имели бесконечные пределы интегрирования.
В этом исключительном случае интегральное представле-
представление гипергеометрической функции тоже оказалось таким,
что путь наибыстрейшего спуска из точки перевала про-
прошел через концы отрезка [0, 1], по которому ведется
интегрирование. Однако в общем случае для интегралов
вида ь

§ 34. Функция ошибок ИЗ
с конечными пределами интегрирования не существует
пути. наибыстрейшего спуска из точки перевала, проходя-
проходящего через концы отрезка интегрирования, так что метод
придется несколько изменить. Обычно интегралы такого
типа можно записать в виде
J gv/ (z) ф (я) dz — J e"f <*> ф (z) dz
а Ь
с бесконечными верхними, пределами. Мы ограничимся
рассмотрением интегралов с одним бесконечным пределом
и проиллюстрируем основную идею метода на примере
фуНКЦИИ Ошибок оо
Erica = f e-t'dt. ' C4.1)
а
Поскольку функцию Erfco можно представить в виде
о о
то это — целая функция комплексного переменного о,
удовлетворяющая условию
Erfco--|-Erfc(— o)~Yn. C4.2)
Поэтому достаточно_рассмотреть асимптотическое поведе-
поведение этой функции в полуплоскости Reo^s-O.
Один путь решения состоит в том, чтобы предполо-
предположить сначала, что о положительна, и сделать замену
t = о У\ -\- Xi Это дает
Интеграл сходится равномерно по комплексному перемен-
переменному о на любом компактном множестве в угле |argo| <
< я/4, так что полученное представление справедливо
в этом угле. Непосредственное применение леммы Ват-
сона приводит к асимптотическому равенству
'- C4.3,
о
при |о|-»-оо в угле |argaJ-<n/4 — 6<я/4.
8 Ь. Копс«я

114
Гл. 7, Метод наибыстрейшего спуска
Однако, для того чтобы проиллюстрировать тот прием,
который мы хотим применить, необходимо с самого начала
рассматривать комплексные значения о. Если а = У4
\
1
¦
к
i
f
w
.
\
(I)
\
\ )
; I
• I
Рис. 6.
где yV> 0 и —я/2 < а <я/2,-подстановка t = z
в формулу C4.1)' дает
C4.4)
где ю означает eal. В этом случав одна точка перевала—
начало координат, и линии уровня, проходящие через нее,
имеют уравнения у=±х. Наибыстрейшими кривыми
будут оси, долинами — заштрихованные на рис. 6 квад-
квадранты. Точка © лежит на контуре наибыстрейшего спуска,
проходящем через точку перевала только в случае $х = 0.
Но существует единственный путь наибыстрейшего спуска,

§ 34. Функция ошибок П5
проходящий через точку ©, это — кривая, на которой
Im
или
Здесь возможны три случая: 0 < a < я/2, a = О,
— я/2 < a < 0. На рис. 6 иллюстрируется первый слу-
случай. Пунктирными -линиями изображены наибыстрейшие
пути из начала координат, заштрихованная область изо-
изображает долины, расположенные ниже точки перевала,
точками нанесена наибыстрейшая кривая, проходящая че-
через точку ю. Следующее рассуждение применимо во всех
трех случаях.
Лежит ли точка со в долине" ниже точки О или на
холме выше точки О, значения не имеет, в любом слу-
случае гиперболическая кривая, ведущая из точки © в -}-оо,
монотонно спускается вниз. Мы можем поэтому положить
-_г2 = — ш2 — X,
где т монотонно растет от 0 до -+со на этом контуре.
Так как vgP — о2, то уравнение C4.4) дает
о
Когда |arga| <я/2—-6<я/2 и т>0, функция
A +т(о~2)~ ограничена. Действительно! для точек угла
|arga|^n/4 справедливо неравенство
таким же образом, для угла я/4 < |argo| -<я/2—6<я/2
выполняется оценка
lt+ю2! = |г|*> |Im z}\ =sin2ct>sin26.
Мы можем, следовательно, применить лемму Ватсона,
чтобы получить асимптотическое разложение
оо
1 vV2#-o V П + /
2 Ai Г A/2)
8»
1 vV2#-o. V Пп + 1/2) (-1)"
2 Ai

116 Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
или,, возвращаясь к первоначальным переменным,
Но это и есть формула C4.3), доказанная теперь для
угла |argo| <я/2 —6.
Если сс=±я/2, то метод неприменим, так как кон-
контур вырождается в отрезок мнимой оси от -(-/ или —/
до 0, продолженный затем действительной осью от О
до сю. Если а = я/2, то этот путь дает
1 со
Erfco = — a fe^dy + v1/2 Г e~vx* dx.
J J
о о
Если положить у2 = 1 — т, то. мы получим
1
Erfcо= — 4-ое-** f e-vt-JL-.+- Yn,
2 J /!_t^2 r
0
и методы, так широко нами развитые, не дают асимпто-
асимптотического разложения интеграла, стоящего в правой части
этого равенства. Один способ обойти .это затруднение
состоит в том, чтобы начать опять с формулы C4.4).
а именно
C4.5)
где а = я/2 и путь интегрирования идет вдоль линии
уровня, проходящей через точку I. На этой линии Re г2
постоянна, так что
х2 — у2*=—1.
Прямая у = х является асимптотой этой гиперболы, и
модифицированное доказательство леммы Жорданаг) пока-
') См., например, Евграфов М. А., Аналитические функ-
функции, .Наука', М., 1965, стр. 188. — Прим. перев.

§ 34. Функция ошибок 117
зывает, что это допустимый путь интегрирования. Пара-
Параметрическим уравнением этой линии уровня будет z2=
= — 1 -}- tx, где т возрастает от 0 до + оо. Так как
z = iY\—tx, то. уравнение C4.5) дает
1 Г a-'VT
Erfc o = 4 v1/^- —- ш dx,
2 J (i_/T)iA,
. о
откуда, интегрируя по частям, получаем
, ЛГ—1
Erfco—-?—-
2/v1'2
где
Но
Jg
Q A_
при v->-f-oo. Поэтому
г (// —1/2) -
1/2) ¦
"-1 "*"
2/v1/2 Г A/2) v"-1 "*" 2у^Г A/2) v"-1
Это показывает, что имеет место асимптотическая фор-
формула
Erfc а-- в~"% У т<я
2/v1'2 ** r(l
У
2/v1'2 ** r(l/2)v»
о
при v->oo, так как ошибка, получающаяся при отбра-
отбрасывании членов, начиная с n = N—1, является величи-
величиной того же порядка, что и первый отброшенный член.
Возвращаясь к первоначальным переменным, получаем

118 Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
при |о|->-оо, когда argO"=n/2. Применяя тождество
C4.2), получаем, что
при \а\,->оо, когда argo== — я/2. Но У~я очень мал
по сравнению с другими членами этого ряда, поэтому
асимптотическое равенство C4.6) справедливо для argo =
= ±я/2, Таким образом, разложение C4.3), как видно
теперь, справедливо в угле |argO"|-<[я/2.
Окончательно, применяя снова тождество C4.2), мы
получаем
при |о|->оо в полуплоскости Reo<0.
Мы можем рассмотреть аналогичным образом асимпто-
асимптотическое поведение интеграла
в1 Um-™) dx C4.7)
при больших а, г, s. Бриллюэн [2] рассмотрел случаи
т = 3 и т = 4 для действительных значений а, г, s; он
уточнил, что хотя мы можем записать этот интеграл
в виде
9 Г
¦S-S
с одинаковыми бесконечными нижними пределами, но мо-
могут возникнуть затруднения, если мы заменим эти инте-
интегралы асимптотическими разложениями при больших г
и s в том случае, когда г — s мало. Бёрвелл [3] иссле-
исследовал интеграл *C4.7), _ когда m — любое положительное
целое число, а о, г \ $ <— комплексные.

§ 35. Другие интегралы с конечными пределами 119
§ 35. Другие интегралы с конечными пределами
Интересным примером интеграла с конечными преде-
пределами является интеграл -'.._.
F(p)—feattdt. C5.1)
о
Функция F (о) — это целая функция комплексного пере-
переменного о с тейлоровским рядом
л!(Зл + 1) '
Когда Re о > 0, мы можем записать
1 о
F(a)= J f
— СО —00
со оо
— jf e-a
Второй интеграл в правой части равенства может быть
выражен через гамма-функцию, к первому применима
лемма Ватсона. В результате получается, что -
при |о|->оо в угле |argo| <я/2 — 6<;я/!2. Но второе
слагаемое мало по сравнению с любым членом бесконеч-
бесконечного ряда.
Если Reo<0,-мы обозначим о = — у, где Rev>0.
Тогда -
00 ОО
F (— v) = J* е-* dt — je-vt'dt =
о 1
ГD/3) 1 ..„У Г(п + 2/3)
vi/3 "t-3 & Г B/3)

120 Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
при |v|->oo в угле |argv| -^я/2 — 6<я/2. Возвращаясь
к первоначальным переменным, получаем асимптотическую
формулу
+ (з5.з)
^ Г B/3) ал+1^ (-аI/3
в области | arg (— о) | -^ я/2 — 6. Отличие этой формулы
от C5.2) состоит в том, что теперь член с а~1/3 намного
больше любого члена бесконечного ряда.
Предшествующее рассуждение дает асимптотическое
разложение на всей плоскости, за исключением двух ма-
малых углов, содержащих положительную и отрицательную
мнимые полуоси. Для того чтобы завершить доказатель-
доказательство, мы применим ¦ метод наибыстрейшего спуска.
Обозначим о = v/, где Re v > 0. Теперь мы имеем
1
F (/v) = J etvz' dz. C5.4)
о
В этом случае имеется одна точка перевала в начале ко-
координат. Если v > 0, то линиями уровня, проходящими
через точку перевала, будут прямые у = 0 и у = ± ]^3 х,
наибыстрейшими линиями — прямые л: = 0 и х = ±)/1$у.
Три долины встречаются в точке перевала так, как это
показано на рис. 7. Точки 0 и 1 не лежат на одном и
том же пути наибыстрейшего спуска из точки перевала,
обе они лежат на одной и той же линии уровня.
Наибыстрейшая кривая, проходящая через точку z = 1,
задается уравнением Im (Iz3) = Im (/). Это — кубическая
кривая х3 — Ъху1 = 1, ветвь ее, проходящая через точку
z= 1, имеет асимптоту х = |/1$ у. Верхняя ее половина —
путь наибыстрейшего спуска из точки 1 в оо еш/6. Учи-
Учитывая это, мы будем интегрировать сначала вдоль пути
наибыстрейшего спуска arg z — я/6 от начала координат
до оо enin и затем от обе31'® до 1 вдоль верхней поло-
половины ветви кубической кривой. Переменная интегрирова-
интегрирования z на контуре от 0 до оо ея1/6 равна ж = х11геяШ, где
т > 0, а на наибыстрейшей кривой от 1 до оо е™

§ 85. Другие интегралы с конечными пределами 121
откуда
Проведя в интеграле эти подстановки, находим, что
для v > 0 имеет место формула
)-Щ dv,
применяя аналитическое продолжение, устанавливаем, что
она справедлива в угле ']argv| <я/2. Первый интеграл
Рис. 7.
можно сразу вычислить, а лемма Ватсона дает асимптоти-
асимптотическое разложение второго интеграла. Отсюда получаем,
что
Г D/3) е*1'6 1 c,v у Г(п + 2/3) 1
vi/3 "+ ^ Г B/3) (/v)"+1 '
когда |v| ->оо в угле |argv| <^л/2 — 6 < я/2. Аналогично
°° Г (л+ 2/3) 1

122 Гл. 7. Метод наибыстрейшего спуска
когда |v| ->оо в угле |argv| -^я/2 — 6 < я/2. Эти асимпто-
асимптотические равенства можно^екомбинировать в одну формулу
где верхний или нижний знак выбирается соответственно
для
— б <"я или '—n + b^&tgo^ — 6<0.
Теперь Мы имеем четыре различных асимптотических
разложения, функции F(a), справедливых для четырех
перекрывающихся углов; поскольку эти формулы нельзя
заменить одной, пригодной для всех значений arga, то мы
имеем еще один пример явления Стокса.

ГЛАВА 8 . .
Метод перева/la
§ 36. Описание метода
В гл. 7 .мы видели, что если w(z) и ф(г) — анали-
аналитические функции,, регулярные в некоторой области ком-
комплексной плоскости, то часто оказывается возможным
найти полное асимптотическое разложение интеграла
f e™W<p(z)dz, C6.1)
деформируя нужным образом контур интегрирования.
Во многих случаях мы могли так деформировать путь
интегрирования, чтобы он проходил . через одну или не-
несколько точек перевала, в которых w' (z) обращается
в нуль, и составить контур из путей наибыстрейшего
спуска. Если мы обозначим io = u-j-iv, где и и v — дей-
действительные, то v постоянно на пути наибыстрейшего
спуска, и главная часть разложения порождается отрезком
контура, лежащим вблизи самой высокой точки перевала,
той точки, в которой и принимает свое ^наибольшее зна-
значение.
Если z0 — точка перевала, то пути наибыстрейшего
спуска из этой точки задаются уравнением
да (z) =e w (г0) — т. .
где т положительно. Метод наибыстрейшего спуска часто
бывает громоздким из-за тех трудностей, которые встре-
встречаются при выражении Z через т. Здесь мы опишем
более простой метод, который будем называть методом
перевала.
Предположим, что в формуле C6.1) возможно так
изменить контур интегрирования, не меняя значения ин-
интеграла, чтобы он проходил через одну или несколько
точек перевала и лежал бы в долинах ниже этих точек.
Если z0 — самая высокая точка перевала, такая, в

124 Гл. 8. Метод перевала
которой и имеет наибольшее значение, то ее окрестность
порождает главную часть интеграла при v^ + °°- Пред-
Предположение, что V-V + 00 вместо |v|->oo, не уменьшает
общности, так как в том случае, когда v —> оо e'v, мы
можем записать \w (z)==\1ei^w (z)=v1wl (г), где vl -> -f- oo.
Очевидно, что если имеется несколько, точек перевала
одинаковой высоты, то вклад каждой из них имеет вели-
величину одного и того же порядка, и мы должны рассмат-
рассматривать каждую точку в отдельности. Все это создает зна-
значительную свободу в выборе контура интегрирования.
Совсем не обязательно рассматривать контуры наибыстрей-
наибыстрейшего спуска, ограничения накладываются только на на-
направление контура в точке перевала.
В простейшем случае точка перевала г0 является прос-
простым нулем функции w' (z). Вблизи точки г0 функция w (г)
может быть разложена в сходящийся степенной ряд
w(z)=:w(zo)-\-a2(Zr- zoy+a3(z — гоK+ .... C6.2)
где a2==W (го)/2 и т. д. Вблизи точки перевала z0 мы
выбираем контур интегрирования в виде прямой линии,
на которой второе слагаемое ряда C6.2) действительно
и отрицательно. Направление этой прямой можно назвать
критическим направлением в точке г0 — это направ-
направление касательной в точке z0 к двум направлениям наи-
наибыстрейшего спуска из точки г0.
Предположим, что степенной ряд C6.2) сходится
в круге
и что М — максимум |да(.г)| на окружности \z — zo\=R.
Тогда, согласно неравенству Коши,
Поэтому если положить
w (z) = w (,го)+ а2 (z — 20J+ F (г), C6.3)
то для функции F (z) мы имеем оценку .
! г^=
M\z-zo\*

§ 36. Описание метода 125
Для любого положительного е мы можем выбрать v таким
большим, чтобы выполнялось неравенство v~e <J! R/2.
Отсюда следует, что если \z — zo\ -<v-8, то
Слагаемые правой части равенства C6.3),.таким образом,
являются соответственно величинами порядков 0A),
28) и OCv-38), так что
exp{vw(zo)-\-va2(z — z0J} {l + OCv1-36)}.
Если мы возьмем е > 1/3, то остаточный член будет очень
мал при больших значениях v. Аналогично
если с < 1/2. Учитывая это, предположим, что с выбран
в интервале 1/3 <е< 1/2. Вклад окрестности \z — zo\ ¦<
-^v~8 точки перевала z0 поэтому равен
Ф (z0) evw (z°> J eva> <*-*>>' dz {1 + О (v1-38)}. C6.4)
Если мы положим a2 = Aeai, где А > 0, и z = zo-\-
-\~reei, то второе слагаемое a2(z — г„J равно
a2(z — zd2 = Ar*e<fi+w>it' C6.5)
поэтому оно принимает действительные отрицательные
значения, когда G = ± я/2 — а/2. Это дает два противо-
противоположных направления, соответствующих направлениям
наибыстрейшего спуска из точки z0. Мы возьмем верхний
знак, и пусть г изменяется от —tj до tj, где tj = v~8.
Выражение C6.4) примет тогда вид
¦и
ф (г0) evo- (го) J e-Avfi+fr-a) HI dr,
-Т)
если пренебречь множителем 1 + O(v1~3e). Обозначив
Avr2 = и2, находим
со
Ф(го)еуш<г»)+<я-а>//2-?==- f e-*du, C6.6)
,V-b
где

126 Гл. 8. Метод перевала '¦
Так как е < 1/2, то со стремится к -}*00 вместе с. v.i
Повтому прм v-> + °° выполняется оценка ;
J
е- du =
аналогично для интеграла от — оо до —©. Мы можем,;
следовательно, изменить пределы интегрирования в формуле
C6.6) на ± оо, не изменяя множителя 1 -\-О(у1~3е), кото-'
рый там по существу имеется, но для краткости опущен.:
Таким образом, мы показали, что вклад C6.6) окрест-
окрестности точки перевала z0 равен .-
Ф ( d^r) / i^
(^I/2 C6.7)
Это и есть требуемое асимптотическое приближение
к интегралу C6.1), когда имеется только одна точка пе-
перевала — простой нуль функции w' (г). Если же имеется не-
несколько точек перевала одинаковой высоты, то приближе-
приближение будет состоять из нескольких членов, подобных C6.7).
Иногда бывает проще брать путь через точку пере-
перевала не в критическом направлении, а в направлении,
образующем угол менее я/4 с критическим., Из формулы
C6.5) ясно, что в этом случае аг{г — г0J принимает ком-
комплексные значения с отрицательной действительной частью
и все исследования проводятся до конца лишь с небольшим
изменением. Но если мы выбираем направление, образую-
образующее угол я/4 с критическим, то действительная часть
a2(z — z0J обращается в нуль, и мы тогда фактически
используем метод стационарной фазы.
И наконец, мы будем помнить, что выбираемый путь
интегрирования должен лежать не выше трчки перевала.
Если мы хотим найти оценку для ошибки, получающейся
при использовании асимптотического приближения C6.7),.
то обычно проще всего — это отыскать путь, на котором
действительная часть vw(z) монотонно убывает.
Мы рассмотрим здесь только случай, когда наивысшая
точка перевала является простым нулем функции w' (z).

§ 37. Полиномы Лежандра 127
Если это нуль более высокого порядка, то рассуждения
становятся более сложными, но в основном от этих
не отличаются.
§ 37. Полиномы Лежандра
Из формулы Родригеса следует, что полином Ле-
Лежандра Рп(\х) может быть представлен в виде интеграла
f^dz' C7Л)
где С — простой замкнутый контур, окружающий точку
z = М- Мы используем метод перевала для того, чтобы
найти асимптотическое приближение к Р„(ц), когда поло-
положительное целое число п велико, a \i действительно.
Имеются два случая, которые мы- должны рассмотреть, а
именно —1 < \х < 1 и (А > I. Нет необходимости рассма:
тривать случай [I < — 1, так как Р„ (— ц) = (— 1)" Р„ (ц),
или случаи |i=± 1, так как />„A)=1.
Интеграл C7.1) представляется в виде
PnW) = ^TT-7 f'nw{z)V(z)dz, ' C7.2)
ш с
где
w (z) = 1п (г2 — 1) — In (z — ц),
причем для логарифма берется главное значение, а
Так как
то имеются две точки перевала: г = ц. ± yVa — 1 .
Если [i = cos 6, где 0 < 0 < я, то обе точки перевала
представляются в виде z = e±6i. А так как в этих точках
то их вклады одного порядка. Но у нас нет необходи-
необходимости рассматривать их отдельно: если мы возьмем в ка-
качестве С окружность | z | = 1, то очевидно, что

128 Гл. 8. Метод перевала
где
/ = f enwW(f>(z)dz, ' C7.3)
причем Г — полуокружность | z | = 1, 0 -^ arg z <^ я.
Вблизи точки z — ею имеем
да (г) = в/+ In 2 — -i/ee'cosec 9 (г — ее/J + ••• •
Если мы положим z = еы -f- геф/, то
да (г) = в/ + In 2 — /г2 cosec G вBф"в)' + ....
На критическом направлении коэффициент при г2 должен
быть действительным и отрицательным, поэтому
Ф=ув + 1я±1я.
Следовательно, критическое направление совпадает с бис-
биссектрисой острого угла, образованного касательной к Г
в точке ев1 и действительной осью. Так как критическое
направление в точке ет всегда образует угол меньше я/4
с касательной к окружности, то мы можем использовать
полуокружность Г в качестве пути интегрирования. И хотя
в § 36 мы интегрировали вдоль малого отрезка прямой,
но нет необходимости делать это — малая дуга в окрест-
окрестности точки перевала* также подходит: фактически мы
отображаем полуокружность Г на действительную ось
с помощью формулы z = ен.
Рассмотрим сначала окрестность — т]-^? — б^т]
точки перевала, где ц = п,-е, а 1/3<е<1/2. На этой
дуге
/ш (г) = пЫ -\- In 2" + i- Шеы cosec 0 (t — вJ + О (л1-3*)
ie*
dt «" — cose sine

§ 37. Полиномы Лежандра
129
так как е < 1/2. Таким образом, вклад этой окрестности
точки перевала в / равен
п (иЛ-W Я/
sine
f ехр | y 1пеы cosec G (t — бJ1 dt X
Х{1.+О (»»-*)}=.
sin 9
4) J exp{-(l-/ctgG)«2}d«.{14-O(ftI-3e)},
где @= уп1~ж/2; ясно, что со стремится к бесконечности
вместе с и. Но
СО ОО 1
J ехр {—(!—/ ctg 9) и2) rf« < J e-"s rf« < ^- =
0)
ехр (— i
и аналогичная оценка имеет место для интеграла от
до —со. Отсюда получаем
— сх>
sine
1/2
— I I exp {— A —
.n ! J
sine
\n(i-jctge); '
\n sin Qj
+ О(л,-3е)} .
Осталось рассмотреть вклады других дуг контура Г.
На Г
еш-\
—cose
_ of. ¦
-1/2
поэтому le01***! возрастает при t, растущем от 0 до 8,
и убывает, когда t растет от 0 до я. Далее,
Ф
dt
ie"
1
1 — cos 9
9 Э. Копсон

130 Гл. 8. Метод перевала
Поэтому вклад дуги Г, на которой 0-^/^0 — т|,
в / меньше по абсолютной величине, чем /С8/A — cos 8),
где
| 1 {i + о (я1-38)} =
= 2" ехр (- n'-272) A + 0 (и18)} = о B"«1/2-ЗЕ),
так как, 1/3 < е < 1/2. Аналогично для другой дуги.
Мы доказали, таким образом, что если 0 < 8 < я, то
и поэтому
C7.4)
Величина остаточного члена весьма мала. Применяя более
точные оценки, можно было бы показать, что О^18)
можно заменит? на О(\/п).
Если (А > 1, обозначим (х = ch |, где | > 0. Теперь
снова имеются две точки перевала z = e±?, причем
в точке е^ достигается наибольшее значение, так как
Если мы возьмем в качестве С окружность | z | = е?,
содержащую внутри себя точку z = ch |, то мы найдем,
что
Ря(сП) = -2^1«п/. C7-5)
где
/= f
г
причем Г означает полуокружность | z \ = е1, 0 ¦< arg z
Вблизи z = е^ имеем
w (г) = | + In 2 +1 e"s ^ (г -
так что критическое направление совпадает с касательной
к полуокружности Г в точке в5. Полагая z = e^+lt, рас-

§ 37, Полиномы Лежандра 131
смотрим дугу 0 < t < т), где ц = пе при 1/3 < с < 1/2.
На этой дуге '
яг» (z) = n\-f In 2" — -я-пе1 -ij- & + О (л18)
Опуская множитель 1-f O(wl~3e). получаем, что вклад
дуги 0 -^ t -^ г\ в / равен
1/2 *
где «= У^л18^. Применяя то же самое рассуждение,
мы можем заменить верхний предел на -j-°°' He изменяя
величины опущенного множителя. Это дает ' ч
Легко видеть, что вклад оставшейся части полуокруж-
полуокружности Г в / равен о (и1/28). Поэтому из формулы C7.5)
получаем ч -
Рп (ch |) =
Снова остаточный член мал и его можно было бы заме-
заменить на 0A/»).
Хотя методы этой главы могли бы дать полное асимп-
асимптотическое разложение полиномов Лежандра, но опреде-
определить коэффициенты было бы трудно, поэтому предпочти-
предпочтительнее метод Дарбу, применяемый к последовательностям
функций, заданным с помощью производящей функции.
Описание приложений метода перевала к классическим
ортогональным полиномам можно найти в книге Сегё [27].

ГЛАВА 9 '
Интеграл Эйри
/¦
§ 38. Определение функции Ai (г)
Целая функция
° C8.1)
названа интегралом Эйри по той причине, что при дей-
действительных значениях z она равна интегралу
¦ V • °° з
±f cos {^- + zt) dt, C8.2)
о
который впервые появился в 1838 г. в исследованиях
Эйри по оптике. Хотя она может быть выражена через
функции Бесселя порядка 1/3, но то большое значение,
которое она имеет, как в приложениях математики, так.
и в теории асимптотических решений дифференциальных
уравнений, оправдывает необходимость ее самостоятель-
самостоятельного, изучения.
Легко видеть, что функция .w = Ai (z) удовлетворяет
дифференциальному- уравнению (fw/dz2 — zw. Это урав-
уравнение имеет еще два решения: Ai (oz) и Ai (©2z), где
© = в2я'/3— корень кубический из единицы. Эти'три ре-
решения связаны соотношением
Ai (z) -f и Ai (az) + ©2 Ai (aPz) = 0. C8.3)
второго решения вместо функции Ai (<nz) или
пользуется функция
Bi (z) = to2 Ai (ю2*) — to Ai (©z), C8,4)

§ 39. Асимптотическое разложение функции Ai(v2) 133
преимущество которой в том, что она принимает дейст-
действительные значения при действительных z.
Предположим сначала, что z > 0, и обозначим ? = v2,
где v > 0. Из формулы C8.2) следует, что
Ai (v2) = ~ f e^-W ds, C8.5)
где / — мнимая ось от — оо I до оо /. Применяя теорему
Кощи, замечаем, что контур / может быть заменен кон-
контуром L (состоящим из двух лучей) от со а2 до 0 и затем
до со а. А так как интеграл вдоль L сходится равномерно
по v на любом компактном множестве плоскости v, то
равенство
Л f C8.6)
— Л- f
справедливо для всех значений v.
§ 39. Асимптотическое разложение функции Ai (v2)
методом наибыстрейшего спуска
Когда v > 0, в интегралах C8.5) и C8.6) удобно сде-
сделать замену переменной s — vw, которая дает
• Ai(v2) = — f ev'&-Wdw,
где С — либо мнимая ось /, либо контур L. В этом слу-
случае имеются две точки перевала w= ± 1. Так как кон-
контур L лежит слева от мнимой оси, то выглядит правдо-
правдоподобным, что подходящей точкой перевала будет w == — 1.
Если обозначить w = u-\-lv, то мы увидим, что линия
уровня, проходящая через точку перевала w==—1,
является ветвью кубической кривой
• и3 — 3«г>2 — Ъи — 2 = 0,
а наибыстрейшие кривые из точки w = — 1, определяемые
уравнением
V (За2 - v2 — 3) = 0,

134 Гл. 9. Интеграл Эйра
состоят из действительной оси и ветвей гиперболы. На
рис. 8 изображены линии уровня (сплошные линии), наи-_
быстрейшие кривые (пунктирные линии) и долины вблизи
точки перевала. Асимптотами гиперболы будут прямые
г»=± у!Ги; эта гиперболическая кривая является допу-
допустимым контуром L.
Параметризуем кривую наибыстрейшего спуска с по-
помощью равенства
w — -jw* = — -
когда t изменяется от — оо до со, w описывает кривую L.
Это нам дает
Ai(v2) = -2^-e-2W3 J e-^~dt. C9.1)

§ 40. Другой интеграл для функции Ai(v2) 135
Что делать дальше — ясно, но это весьма утомительно. Мы
должны показать, что условия леммы Ватсона выполнены,
и найти разложение функции dw/dt в окрестности точки
* = 0.
Мы не будем доказывать все полностью и отошлем
читателя к работе Бриллюэна [2]. Как там установлено,
такое доказательство привело бы к асимптотическому раз-
разложению при V—>-|-со. Но очевидно, что интеграл в фор-
формуле C9.1) сходится равномерно на любом компактном
множестве в области |v|>0, |argv3|<n/2, так что ра-
равенство C9.1) справедливо в угле |argv|<n/6. Поэтому
наш метод дал бы асимптотическое разложение функ-
функции Ai(z) для |?|->oo в угле |arg.z| < я/3. В следую-
следующем параграфе мы покажем, "что более простое рассу-
рассуждение приводит к нужному разложению в области
| arg z |< я.
Главный член мы можем, конечно, получить сразу же.
Легко видеть, что dw/dt = i, когда ^ = 0. Поэтому,
когда v положительно или, в более общем случае, когда
|argv|<n/6, то
оо
Ai (v2) ~ — «-«*/» Г e-w dt = _1 в-2*/в
2л
откуда
- АК*)--^^-*-*1^. C9.2)
когда | arg z |< л/3.
§ 40. Другой интеграл для функции Ai (v2)
Вернемся к формуле C8.5), а именно
D0.1)
где v>0. Точка s — — v соответствует в плоскости $
точке перевала w = — 1. Из теоремы Коши следует, что
контур интегрирования / (мнимая ось) может быть дефор-
деформирован в параллельную ему линию, проходящую через
точку * = — v. Возможность перенести контур вытекает
из того, что интеграл по прямой линии от точки

136 Гл. 9. Интеграл Эйра
s = —v-f-tf до точки 8 = It стремится к нулю при
Если обозначить s = o-{-tt, то мы должны показать,
что интеграл
о
-V
стремится к нулю. Абсолютная величина этого интеграла
не превосходит
о ° v»/3
-v v -v
что стремится к нулю при t -> ± оо.
Поэтому, когда v > 0, мы можем положить s = —v-|- It
в формуле D0.1) и интегрировать от —оо до +оо.
Это дает
или
AI (v2) = -^ е-*** J е~
А1 (V2) = -i e-2v"/3 J e-v<« cos ^. at. D0.2)
о
Теперь мы заметим, что когда v комплексное, инте-
интеграл в формуле D0.2) сходится равномерно на любом
компактном множестве в области |v| > 0, |argv|<n/2,
а так как Ai(v2) — целая функция по v, то отсюда сле-
следует, что формула D0.2) справедлива в полуплоскости
Rev>0.
41. Асимптотическое разложение Ai (z) в области
Если мы положим f = u в формуле D0.2), то по-
получим
°° ч
Ai (\*) = — e-2vV3 Г e-vu Cos-^- -^fL
m{y' 2лe J e cos 3 уй '

§ 42. Расширение области значений arg г 137
когда |argv|<n/2. Условия леммы Ватсона, очевидш^
выполняются, и мы можем разложить косинус в ряд по
степеням и3 и проинтегрировать почленно. Отсюда сле-
следует, что
Ai № ~ -L е-™* У Г<3я+1/2> <-')"
или, возвращаясь к первоначальным переменным,
при \z\->oo в области | arg- г | <С я.
§ 42. Расширение области значений arg z
Для того чтобы расширить область значений arg z
мы используем тождество
Ai (z) = — © Ai (az) — a2 Ai (a2*).
Если взять © = е2я//3, о»2 — «4я'/3, — 5я/3 < argz < —я/3,
то — я < arg (юг) < я/3, — я/3 < arg (Л)<я, так что
мы можем использовать для Ai(G>?) и AiifiPz) полученное
же разложение. Оказывается, что
M(z)~F(z) —10 (z),
где
оо
L_ в-а№/з- У Г(Зп+1/2) Х-1)"
^ 32яBл)!
при |г| ->оо в угле —5я/3 < arg z < —я/3. '
Если положить, а мы можем это сделать, а = е~*я1/3,
о2 = е-2*1!3, я/3 < arg z < 5я/3, то мы получим
я/3, — я/3

138 Гл. 9. Интеграл Эйри
так что можно снова применить разложение предыдущего
параграфа. Но теперь мы получаем результат
при \г\ ->оо в угле я/3 < arg z < 5я/3.
Таким образом, мы нашли три асимптотических раз-
разложения для Ai B), а именно:
. F (z), когда — я < arg z < я,
F (z) — IG (z), когда — 5я/3 < arg z < — я/3,
F (z) +10 (z), когда я/3 < arg z < 5я/3.
Так как эти углы пересекаются, то на первый взгляд
может показаться, что эти формулы противоречат друг
другу, но это не так. Рассмотрим, например, точку
гх == ге(я~а)', где г > О, — 2я/3 < а < 2я/3, так что
я/3 < argzx < 5я/3, и точку z2==re~{-3t+a^i, такую, что
— 5я/3 < arg z2 <^—я/3. Так как Ai (z) — целая функ-
функция, то она должна иметь одно и то же асимптотическое
разложение в точках гх и z2 в силу того, что это лишь
разные обозначения одной и той же точки комплексной
плоскости..И это действительно так: если учесть значе-
значения аргументов, то
так что
F B2) - Ю (*2) = 10 (
В угле я/3 < arg z < я мы также имеем два асимпто-
асимптотических разложения: F (z) и F (z) -f- Ю (z). Обозначив
г = ге(я~а) 1, где т > 0, 0 < а < 2я/3, находим, что
А так как За/2 > 0, то О (z)/F (z) экспоненциально стре-
стремится к нулю при \г\ ->оо, поэтому в угле я/3 < arg z < я
членом О (г) можно пренебречь. Слагаемое О (г) только
ТОГДа имеет значение, когда cos^jC/2) arg z] > 0, т, ?.

§ 44. Асимптотическое разложение функции ' Ъ\(г) 139
когда я < | arg z \ < 5я/3. Когда | arg z \ < я/3, О (г) в раз-
разложении отсутствует.
Эти различные формы асимптотического разложения
для различных областей значений -arg z опять дают нам
пример явления Стокса.
§43. Асимптотическое разложение функции M{—z)
Если положить z = tfiai, то получим, что | arg?| < 2я/3,
когда я/3 < arg z < 5я/3. Используя формулы, справед*
ливые в последнем угле, находим, что ,/
^ 32лBпI
когда |argC| < 2я/3. Далее находим, что Ai(?в~я') имеет
такое же асимптотическое разложение в угле |arg?| < 2я/3.
Заменяя переменную, мы можем записать этот резуль-
результат в более удобной тригонометрической форме:
sin Bz'fy3 + я/4) yi Г Fд +1/2) (-1)"
2 34«Dп)! ^~
ГFд + 7/2) (—1)" '
яг 34л+2Dга + 2)! г3" '
когда | ? [ ->,оо в угле | arg z \ < 2я/3.
§44. Асимптотическое разложение функции Bi (г)
Можно использовать аналогичные рассуждения для по-
получения асимптотического разложения функции Bi (z) из
тождества
Bi (z) = to2 Ai (a2z) — to Ai (©*)•
Мы опустим детали и приведем только результаты.

140 Гл. 9. Интеграл Вира
Когда |г|-»сю в угле |arg2| <я, имеем
-.-2//./3 V ПЗв+1/2) (-1)"
32яBлI
где верхний или нижний знак выбирается в зависимости
от того, "положителен или отрицателен^аг^ г. Это приво-
приводит к разрыву при переходе через действительную поло-
положительную ось. Но это кажущийся разрыв, так как,
когда |arg?|<n/3, все члены второго ряда исчезающе
малы по сравнению с членами первого ряда.
Окончательно получаем, что при |2|->оо в угле
| arg г | < 2я/3
yi ГFя+1/2) (-1)" .
Zi з4"Dл)! z*1 "+"
sin B/^/3 +я/4) у ГFп-{-7/2) (—1)"
2 34в+2Dп + 2)! г3"
§ 45. Интеграл Харди и Литтлвуда
Интеграл
/7я(о) =
где п — целое число больше единицы, появился в работе
Харди и Литтлвуда о проблеме Варинга. Задача опреде-
определения асимптотического разложения функции Fn (о) при
больших по модулю значениях комплексного переменного о
была рассмотрена во всех деталях Бакхумом [1]. Методы,
использованные здесь, связаны с теми, которые исполь-
использовал Бакхум, но они проще, так как затруднения, кото-
которые появляются при произвольном значении п, не имеют
места при п = 3.

ГЛАВА 10
Равномерные
асимптотические
разложения
§ 46. Асимптотические разложения функции /v (av)
В § 32 и 33 мы видели, что, когда v велико, а а фик-
фиксировано, функция yv(av) имеет-в общем случае асимпто-
асимптотическое разложение, которое представляется при а Ф 1
в виде бесконечного ряда по отрицательным степеням v1/2,
а при а = 1 — в виде бесконенного ряда по отрицатель-
отрицательным степеням \1/3. Это изменение вида асимптотического
разложения при а —> 1 происходит потому, что две точки
перевала, различные при а Ф 1, сливаются при а -> 1
в одну точку перевала высшего порядка. Ясно, что явле-
явления такого рода происходят всегда, когда две точки пере-
перевала сливаются в одну.
Изменение вида асимптотического разложения функ-
функции yv(av) (и, конечно, других функций, котюрые ведут
себя аналогичным образом) "делает желательным получение
асимптотического разложения, справедливого равномерно
в некоторой окрестности этого исключительного значения
параметра.
Одним из путей достижения этой цели является воз-
возвращение назад к дифференциальному уравнению, кото-
которому удовлетворяет Jv(av) как функция параметра а.
С помощью некоторой сложной замены переменных это
уравнение может быть приведено к уравнению другого
вида, приблизительно такому же, как уравнение, которому
удовлетворяет интеграл Эйри; затем можно показать, что
для приблизительно одинаковых уравнений решения тоже
приближенно равны. Этим способом Лангер [18] получил
равномерное асимптотическое приближение к функции
jfv(av) при больших v. Этот метод был использован дру-,
гими авторами, а именно Черри [5] и Олвером [21], которые
получили равномерное асимптотическое разложение ре-

142 Гл. 10. Равномерные асимптотические разложения
шений дифференциального уравнения вида
d2w
dz''
¦={up(z)-\-q(z)}w
для больших значений и.
Олверовский тип асимптотического разложения функ-
функции yv(av) может быть получен непосредственно из инте-
интегрального представления с помощью метода, разработан-
разработанного Честером, Фридманом и Урселлом [6], который
в основном является развитием метода наибыстрейшего
спуска, когда подинтегральная функция имеет близкие
точки перевала, которые сливаются в двойную точку при
стремлении параметра к некоторому специальному значе-
значению. Мы рассмотрим здесь задачу о функции Бесселя,
но только в том случае, когда v большое и положитель-
положительное и 0 < а -^ 1, так как ее можно решить, не прибегая
к общим теоремам.
§ 47. Кубическое преобразование
Мы начнем с интеграла
со+я/
co-nt
где N = va, a = -r— , a ^> 0. Мы запишем его для
СП Ct
удобства в виде
oo+Kt
/ eNFlg*>dz D7.1)
oo—ltt
где
F (z, a) = sh z — z ch a. D7.2)
Точками перенала, в которых dF/dz обращается в нуль,
будут z == 2nnl ± а, где п — любое целое число. В § 32
(где мы рассмотрели случай а Ф 0) мы использовали ква-
дратическое преобразование
sh г — z ch a = sh a — a ch a — t2,

§ 47. Кубическое преобразование 143
а в § 33, где а равнялось нулю, мы применили кубиче-
кубическое преобразование
shz — z = — t\ D7.3)
"Основная идея Честера и др. [6] и Фридмана [14] состояла
в использовании при всех значениях а такого кубического
преобразования, которое сводилось бы к формуле D7.3)
при а = 0.
Рассмотрим отображение
F(z, a) = -^wz — b'lw-\-c, D7.4)
где b и с — некоторые функции от а, которые нужно
определить; заметим, что отсутствие w2 в этом кубическом
многочлене не делает это преобразование менее общим.
Если отображение плоскости z в плоскости w конформно,
то ни dz/dw, ни dw/dz не могут обратиться в нуль
в соответствующих областях. Далее имеем
dz «'-ft' D75)
D75)
'dw ~ chz — cha ' (*'-0)
Числитель обращается в нуль при w = ± Ь; внутрц инте-
интересующей нас полосы |1т,г|<;я знаменатель обращается
в нуль в точках z = i a. Поставим в соответствие точке
z — а точку w = b и точке z = — а точку w — —Ь.
Это дает
2
с — -j b3 = sh a — a ch a,
2
c-\--gb3 = — sha+acha
и, следовательно,
c = 0, &3=-2~(acha — sha).
Когда a > 0, имеем b3 ^> 0; мы выберем b так, чтобы
оно было положительным, когда a > 0. Если мы будем
рассматривать а как комплексное переменное, то b будет
аналитической функцией от а, регулярной в некоторой
окрестности точки а = 0, причем ее особыми точками

144 Гл. 10. Равномерные асимптотические разложения
будут те точки, в которых tha = ct. Ряд Тейлора функ-
функции b вблизи начала координат имеет вид
со
и — (X ^\ CL„О* ,
О
где flo = 2/3; fl1 = fl0/30 и т. д.
§ 48. Решение уравнения для кубического
преобразования
Уравнение, определяющее кубическое преобразование,
1
— w3—irw — sh z — zcha . D8.1)
может быть решено точно. Когда a = 0, это решение
тривиально. Но когда а Ф 0, его три решения предста-
представляются в виде
I
w2 = — b sin-i- S+ b Yb cos-|5,
)s-jS, D8.2)
где ? — решение уравнения
-|*3sin?=2cha —shz, D8.3)
обращающееся в нуль вместе с z. Эти формулы немед-
немедленно получаются из хорошо известного тригонометриче-
тригонометрического решения кубического уравнения.
При z = а имеем w1 = b, w2 — b, Щ — — 2b, а при
z = — а имеем w1 = — b, w2 = 2b, <w3 = — b. Таким
образом, w1 — нужное нам решение. Это — нечетная функ-
функция от z, разлагающаяся в ряд Тейлора

§ 48, Решение уравнения для кубического преобразования 145
в некоторой окрестности точки 2 — 0. Коэффициенты
выражаются через а сложным образом; первые два из
них равны J
„,___ cha-1 ,_ 1 ( (cha— IK \
a aPt T
С помощью индукции можно показать, что если а рас-
рассматривается как комплексное переменное, то все коэф-
коэффициенты а'п являются аналитическими функциями от а2,
регулярными в некоторой окрестности точки а = 0.
На самом деле функция wl (z) имеет вид гО (г1 — а2, а2),
где О — аналитическая функция двух комплексных пере-
переменных z2 — а2 и а2. Для того чтобы доказать это, за-
заметим, что ta-Jz— четная функция, принимающая значе-
значение Ь/а, когда z = ± а, поэтому wt имеет вид
где v — некоторая неизвестная функция. Обозначая
z2 — a?=f и подставляя t в формулу D8.1), мы по-
получаем
^-. D8.4)
Но ' ,
sh г shy'o?-\-t sha . VI jF_ I d \" sha'
__ 1 / d \n sh a
где
__ 1
c \2arfaj ¦ a '
Уравнение D8.4) тогда упрощается, и принимает вид
Н(%)', t, a2) = 0, где

146 Гл. 10. Равномерные асимптотические разложения
Так как с2=1/5! и так как а3/Ь3->2, когда а->¦(), то
мы имеем Н = 0, dH/dv = 1, когда t = О, а = О, v = 2/5!.
Но Н — аналитическая функция от v, t и а2, поэтому
уравнение Я = 0 имеет единственное решение v, прини-
принимающее значение 2/5! при f = a = Q и являющееся ана-
аналитической функцией двух переменных t и а2 в некоторой
окрестности точки г = а = О.
§ 49. Отображение функцией w=^Wi(z)
Функция w = wl{z) отображает полосу |1т,г|-^я
конформно на некоторую область плоскости w, причем
это отображение взаимно однозначно. Простейший способ
убедиться в этом состоит в том, чтобы рассмотреть по-
последовательные отображения
1 2
w = 2bsin-5-?. i?b?s'\nt, — Z, Z = zcha — sh z,
о о /
начиная с полуполосы Re z~^0, 0-^Im .г•<!я. Покажем,
что каждое из этих преобразований является однолист-
однолистным, и поэтому в результате их последовательного при-
применения мы получим тоже однолистную функцию. На
рис. 9—12 изображены соответствующие области в четы-
четырех1 плоскостях. Начала координат совпадают на всех
четырех плоскостях. Точка z = a отображается в точки
Z~2b3/Z, t, = nl2, w = b; точка z = а' отображается
в точки Z = — 2?3/3, ? = Зл/2, w==2b. Пунктирная ли-
линия в плоскости z — это кривая наибыстрейшего спуска
из точки а; ее образ в плоскости w является лилией
наибыстрейшего спуска из точки Ь. На всех четырех ри-
рисунках ' заштрихованы области, соответствующие друг
другу при отображениях.
Результаты последовательных отображений в других
квадрантах можно было бы рассмотреть таким же обра-
образом, а конечный результат устанавливается с помощью
принципа симметрии. Окончательно находим, - что функ-
функция w = w1(z) отображает конформно полосу |1т2|^я
на некоторую область плоскости w, и это отображение
взаимно однозначно. Заметим, что рассматривать отобра-
отображения сразу во всей полосе было бы неразумно, так как
промежуточные результаты были бы не однолистны.

a a'
Pta с 9. Плоскость г.
я; char
Рис. 10. Плоскость Z.
Рис. 11. Плоскость
10*

148 Гл. 10. Равномерные асимптотические разложения
Верхняя граница области плоскости w является обра-
образом линии Im z = я. На эт#й прямой z = x -j- In, поэтому
¦ w3 — ЪЬЧ) = — 3 sh х — Ъх ch a — Зга" ch а,
так что уравнение верхней границы имеет вид
Im (да3 — Zb2w) ==: — Зя ch a.
Обозйачая w = u-\-tv, находим, что граница является
ветвью кубической кривой
v3 — ЪиЧ + 3?2г> = я ch а.
Эта ветвь имеет асимптоты v = ± \^3 и. Нижняя граница—
кривая, симметричная построенной кривой относительно
действительной оси.
Рис.
Плоскость w.
Кривая наибыстрейшего спуска из точки b имеет урав-
уравнение
или
Действительная ось является путем- наибыстрейшего
подъема. Путь наибыстрейшего спуска — это ветвь гипер-
гиперболы За2 — v2 = 362, которая асимптотически прибли-
приближается к границе области; она изображена штриховой
линией на рис. 12 и симметрична относительно действи-
действительной оси и.

§ 50. Вывод равномерного асимптотического разложения 149
§ 50. Вывод равномерного асимптотического
разложения
Мы теперь опустим индекс и вместо w1 (z) будем
писать w(z). Мы будем исходить из формулы-D7.1)
00 +Я/
= -2^- J
i
J
co-ni
где 0<a-^l, a=l/cha, N = \/cha, и найдем асимп-
асимптотическую формулу, справедливую при постоянном а и
v->-f-oo. Допустимым контуром является контур наи-
наибыстрейшего спуска из точки а (пунктирная линия на рис. 9).
Вводя переменную tsa, мы получаем
Jv (va) = Ш ! е" (то>/3-*2то) ¦% dw. E0.1)
с
Контур С лежит в -плоскости w, это любая кривая тина
кривой наибыстрейшего спуска из точки Ь, начинающаяся
в оое~я'/3 и заканчивающаяся в ооея'/3. Сначала мы должны
исследовать поведение dz/dw как функции от w.
В силу того что функция w = Wi(z) осуществляет
однолистное конформное отображение полосы |Im z \^.n
на некоторую. область в плоскости w, переменная z
является аналитической функцией от w и а2, нечетной
относительно w. Отсюда dz/dw — четная функция от w и,
следовательно, аналитическая функция от w. Вблизи
w2 = b2 она поэтому может быть разложена в сходящийся
степенной ряд
==?&,, (a) (^2-*2)V E0.2)
коэффициенты которого задаются формулой
ь <«\- 1 t d" dz \
i ««w— л, \d(а;2)Я -dw fwmt.
Из уравнения
— it? — tfiw = 8Ь г — г ch a

150 Гл. 10. Равномерные асимптотические разложения
мы получаем
да2 —62 = (ch z — ch «О-Ц-.
откуда
и т. д. Второе уравнение дает .
/ dz\2 __ 2b
\dw)w~b sha '
а из определения функции wl следует, что dz/dw в точке
«» = й равна
sha
и поэтому стремится к 21/3 при а->0. Третье равенство
теперь дает
= b~ 3shd V 2b
3sh2a *
Следовательно,
sh a
sh a b ch a 1
2b sh a J
и т. д. Другие коэффициенты можно определить таким же
образом, но, по-видимому, не существует какой-либо
простой формулы для коэффициентов kn (а). Каждый
из коэффициентов — аналитическая функция от а2, регу-
регулярная в некоторой окрестности начала координат.
Если мы подставим ряд E0.2) в формулу E0.1) и
проинтегрируем почленно, то получим ряд вида
| &„(«)/« («2. Л0. E0.3)
где
/„(a2. Л0=2НГ.Г

§ 50. Вывод равномерного асимптотического разложения 151
В частности,
все остальные функции тоже можно выразить через интеграл
Эйри Ai(N2/3b ) и его первую производную. Честер и др. [6]
доказали, что ряд E0.3) является асимптотическим раз-
разложением, равномерным по а. Для простоты мы приведем
здесь только первый член и оценим величину ошибки.
Так как dz/dw — аналитическая функция от та»2 и а2,
то она ограничена в некоторой окрестности \w2 — Ь2\ ^ Rv >
|ct2|-</?2 точек w2 = b2, ct2 = 0, поэтому |dz/dw\ -< К
(К — некоторая постоянная). Отсюда с помощью неравен-
неравенства Коши получаем, что \kn(a)\<^.K/Ri. Следовательно,
если \w2 — b2\ <#,/2, то
Jg- = k0 (а) + kx (а) («;2 - b2) + {w> - b*J Ф,
где
Следовательно, Ф равномерно ограничена в области
\w2 — b2\-^.Ri/2. С другой стороны, если z = x-\-iy,
где х велико и положительно, — я -^ у ^ я, то
и поэтому
dz w* — Ьг
_
dw ~ chz — cha ex+iy/2 ~ 3w '
Отсюда Ф = ОA/таJ) равномерно по а при |да|->эо на
кривой С Следовательно, существует постоянндя К', такая,
что |Ф| < К' на С для всех а на некотором фиксирован-
фиксированном отрезке O^^
Тогда мы имеем
Jv (vc) = k0 (a)
eN (w43

152 Гл. 10. Равномерные асимптотические разложения
Мы покажем, что когда N велико, / мало по сравнению
с первым слагаемым.
Так как на контуре наибыстрейшего спуска
где квадратный корень положителен, то мы имеем
dw
dv
--Й
/3*
«» - ZPw = —jp^ Dt,2+3ft2) yV + 3ft2.
Отсюда следует, что
где '
причем
J=
wt
Квадратный корень из ф положителен, поэтому мы
можем представить J в виде двух соответствующих инте-
интегралов от 0 до 6о. Рассмотрим отдельно случай ft = 0 и
случай * > 0.
Когда ft = 0, .
— числовая
где k = 8/(9 ]/~3). Поэтому У =с1Л?~5/3, где
постоянная, следовательно,
1/1
1 '

§ 50. Вывод равномерного асимптотического разложения 153
Но когда Ь = 0, первый член формулы E0.4) — это
числовой множитель при N~113, так что / в этом случае
очень мало по сравнению с первым членом.
Когда Ъ > 0, подстановка v*=bt дает
о
где
J=2lfJ е-Ы'Ч2 D/2 + 9) dt.
Так как % имеет только одно стационарное значение —
минимум при t *= 0, то мы можем найти приближение к J
с помощью метода Лапласа при больших положительных
значениях N. Это дает
J
/5
у
где с2 — числовая постоянная. Но в силу формулы C9.2)
следовательно,
J
OCn
N 2
Мы доказали, таким образом, что когда а > 0,
cha/ V sha Л^1/3 \ \N})
где N = v/ch а, б3 = 3 (a ch a — sh a)/2. Остаточный член
содержит множитель Ь, так что при a -> 0 он должен быть
заменен на o{\[N), а на самом деле он равен 0{N~il3).
Если с" >-1, мы можем положить а '= sec p и провести
аналогичное рассуждение. Когда а комплексное, исследо-
исследования становятся значительно более сложными; за подроб-
подробностями мы отсылаем к работе Честера и др. [б].

ЛИТЕРАТУРА
1. Bakhoom N. О., Proc. Lond. Math. Soc B), 35 A933),
83-100. '
2. В г i 11 о u i n L., Ann. sclent. Ecole norm, super. C), 33
A916), 17—69.
3. В u г w e 11 W. R., Proc. Lond. Math. Soc. B), 22 A924),
57—72.
4. Cherry Т. М., Proc. Edlnb. Math. Soc. B), 8, A948), 51.
5. C-herry T. M., Trans. Amer. Math. Soc, 68A950), 224—257.
6. Chester C, Friedman В., LTrsell F., Proc. Camb.
Philos. Soc, 53 A957), 599—611.
7. van der Corput J. Q., Compositio math., 1 A934—1935),
15—38; 3 A936), 328—372.
8. vjn der Corput J. Q., Proc. Nederl. Acad. Wet., 51
A948), 650—658.
9. D а г b о u x Q., J. math, pares et appl. C), 4 A878), 5-^56,
377—416.
10. Deb ye P., Math. Ann., 67 A909), 535—558; Munch. Ber.,
40, № 5 A910).
11. Dingle R. В., Proc. Roy. Soc, A244 A958), 456—490;
249, 270-295.
12. Э р д е й и А., Асимптотические разложения, Физматгиз, М.,
1962. См. также: J. Soc. Ind. Appl. Math., 3 A955), 17—27;
4 A956), 38—47.
13. Erdelyi A., J. Soc. Ind. Appl. Math., 3A955), 17—27;
Proc. Fourth Canadian Math. Congr. (Toronto 1959), 137—146.
14. Friedman B.r /. Soc. Ind. Appl. Math., 7 A959), 280—289.
15. Jones D. S., Klein M., /. Math, and Phys., 37 A958),
1—28.
16. Kelvin (Thomson $?.), Philos. Mag. E), 23 A887),
252—255; переиздано в его Math. Phys. Pap., т. 4, 303—306.
17. Ламб Г., Гидродинамика, ГТТИ, М., 1947.
18. L a n g е г R. E., Trans. Amer. Math. Soc, 33 A931), 23—64.
19. Laplace P. S., Theorie analytique des probabilltes, Paris,
1820, 88—109.
20. N i с h о 1 s о n J. W., Philos. Mag. A6), 16 A909), 276—277.
21. Olver F. W. J., Philos. Trans. Roy. Soc, A247 A954),
307—368.
22. Polncare H., Ada Math., 8 A886), 295—344.

Литература 155
23. Полна, С е г ё, Задачи и теоремы из анализа, т. I, ГТТИ,
М., 1956, стр. 103—106, 283—288.
24. R а у 1 е i g h, Phllos. Mag. F), 20 A910), 1001—1004.
25. P и м а н Б., Сочинения, ГТТИ, М., 1948. Упоминаемая за-
заметка составлена Шварцем по отрывочным записям, остав-
оставшимся после смерти Римана.
26. Stleltjee Т. J., Ann. scient. Ecole norm, super. C), 3
A886), 201—258 переиздано в .Oeuvres completes de T. J. Sti-
eltjes, Oroningen, 1918, t. 2, 2—58.
27. Сегё Г., Ортогональные многочлены, Физматгиз, М., 1962,
стр. 229—243.
28. Т г i с о m I F. О., Е г d ё 1 у i A., Pad/. J. Math., 1 .A951),
133—142.
29. Watson О. N., Proc. Cambr. Phllos. Soc, 19 A918), 42—55.
См. также: Ватсон. Теория бесселевых функций, ИЛ, М.,
1949, т. I.
30. Watson О. N.. Proc. Lond. Math. Soc. B), 17 A918),
116—148, в частности стр. 133. См. также: Ватсон, Теория
бесселевых функций, ИЛ, М., 1949, т. I.
31. Watson О. N.. Proc. Lond. Math. Soc. A), 29 A929),
ч 293—308.
32. W1 d d e r D. V., The Laplace Transform, Princeton, 1941, 277.
Библиографию можно дополнить еще следующими трудами,
в которых рассматриваются вопросы теории, не вошедшие
в эту книгу:
де Б р е й н Н. Г., Асимптотические методы в анализе, ИЛ,
М., 1961.
Jeffreys H., Asymptotic Approximations, Oxford, 1962-

УКАЗАТЕЛЬ
Асимптотическая последовательность 14
Асимптотические разложения в смысле Пуанкаре 15
— степенные ряды 17
Бесселевы функции 52—54, 61—62, 100—112, 141—153
Бета-функция 84—87. , ;
Вырожденная гипергеометрическая функция 30, 72—73
Гамма-функция 62—63," 75—81, 84—87, 97—99
— логарифм 73—75
¦^
Интегральный логарифм 81—84
Интегрирование по частям 25—42
Лапласа метод 55—68
Лежандра полиномы 62
Наибыстрейшего спуска метод 88—122
Нейтрализатор 40—42
Неполная гамма-фуикция 25—26
Ошибок функция 10, 112—118
Параболического цилиндра функция 65—68
Перевала метод 123—131
Равномерные асимптотические разложения 141—153
Стационарной фазы метод 43—54
Фурье интеграл 35—36
Эйри интеграл 134—140, 151—153

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода . . 5
Предисловие автора 7
Глава 1. Введение 9
Глава 2. Предварительные сведения . 14
§ 1. Асимптотические последовательности ..... 14
§ 2. Определение Пуанкаре асимптотического раз-
разложения ¦ 15
§ 3. Асимптотические степенные ряды 17
§ 4. Действия над асимптотическими степенными
рядами '. . 17
Глава 3. Интегрирование по частям 25
§ 5. Неполная гамма-функция 25
. § 6. Интегралы Френеля и аналогичные им .... 27
§ 7. Задача Стильтьеса 28
§ 8. Аналитическое продолжение функции Стиль-
Стильтьеса ; 30
§ 9. Стильтьесовские наилучшие приближения ... 33
§ 10. Интегралы Фурье 35
§ 11. Сингулярный случай „ . . 37
§ 12- Применение .нейтрализатора*, введенного ван
' дер Корпутом 40
Глава 4. Метод стационарной фазы . 43
§ 13. Гидродинамическая задача Кельвина 43
§ 14. Метод стационарной фазы 46
§ 15. Приложения к функциям Бесселя . 52
§ 16. Кратные интегралы 54

158 Оглавление
Глава 5. Метод Лапласа 55
§ 17. Асимптотическая формула Лапласа 55
§ 18. Доказательство асимптотической формулы Ла-
Лапласа 58
§ 19. Несколько примеров на асимптотическую фор-
формулу Лапласа 61
§ 20. Обобщения метода Лапласа 63
Глава 6. Лемма Ватсона 69
§ 21. Интегралы Лапласа 69
§ 22. Лемма Ватсона .'» 70
§ 23. Функция <F A, 1; г) 72
§ 24. Логарифм гамма-функции 73
§ 25. Гамма-функция 75
§ 26. Интегральный логарифм 81
§ 27. Применение леммы Ватсона к контурным инте-
интегралам 84
Глава 7. Метод наибыстрейшего спуска ....... 88
§ 28. Истоки метода 88
§ 29. Метод Дебая наибыстрейшего спуска 90
§ 30. Асимптотическое разложение функции 1/Г (v) . . 97
§ 31. Функция Бесселя Jv (a) 100
§ 32 Функция Бесселя /v (va) 104
§ 33. Функция Бесселя /v (v) 108
§ 34. Функция ошибок . . 112
§ 35. Другие интегралы с конечными пределами . . 119
Глава 8. Метод перевала 123
§ 36. Описание метода 123
§ 37. Полиномы Лежандра 127
Глава 9. Интеграл Эйри ., - 132
§ 38. Определение функции Ai (z) 132
§ 39. Асимптотическое разложение функции Ai (v2)
методом наибыстрейшего спуска 133
§ 40. Другой интеграл для функции AI (v2) 135

Оглавление 159
§ 41. Асимптотическое разложение функции Ai (г)
в области | arg г | < л 136
§ 42. Расширение области значений arg г 137
§ 43. Асимптотическое разложение функции Ai(—z) 139
§ 44. Асимптотическое разложение функции Bi (г) . . 139
§ 45. Интеграл Харди и Литтлвуда 140
Глава 10. Равномерные асимптотические разложения
§ 46. Асимптотические разложения ¦ функции /v (av) 141
§ 47. Кубическое преобразование 142
§ 48. Решение уравнения для кубического преобра-
преобразования ч. 144
§ 49. Отображение функцией w = а», (г) Г46
§ 50. Вывод равномерного асимптотического разло-
разложения 149
Литература 154
Указатель 156

э. копсон
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
РАЗЛОЖЕНИЯ
Редактор Л. Б. Штейнпресс
/ Художник С. Г. Ципорин
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Ю. И. Экке
Сдано в производство 5/Х 1965 г.
Подписано к печати 29/XII 1965 г.
Бумага 84х108'/зг=2,50 бум. л.
8,40 условн. печ. л.
Уч.-изд. л. 7,0. Изд. И 1/3501.
Цена 50 коп. Зак. 1917.
Темплаи 1966 г. изд-ва .Мир", пор. И 7.
ИЗДАТЕЛЬСТВО .МИР-
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете
Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.