Текст
Р.Курант, Д.Гильберт
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, т.1
Предисловие к русскому переводу.
Книга Куранта-Гильберта „Методы математической физики" еще до
своего появления на русском языке приобрела заслуженную популярность
среди советских математиков и физиков. Ее выход в свет у нас являет-
является ценным вкладом в нашу математическую культуру. Меньше всего
она претендует на роль учебника: столь многообразный материал (линей-
(линейная и квадратическая алгебра, теория интегральных уравнений, линейные
диференциальные уравнения, обыкновенные и в частных производных,
основы вариационного исчисления, теория разложения, функциональные
ряды и теория специальных классов функций) не может, при сохранении
стиля учебника, уместиться в рамках . одной книги. Она приближается
скорее к типу монографии, в которой дается освещение различных ма-
математических теорий с новой точки зрения. Поэтому ценность книги
прежде всего методологическая — читатель на классическом материале зна-
знакомится с теми методами, которые являются движущими в современном
анализе. В книге содержатся прекрасные образцы применения алгебраи-
алгебраических, геометрических и вариационных методов к разрешению фунда-
фундаментальных проблем анализа. Эти методы связаны в современной мате-
математике прежде всего с именем Д. Гильберта, крупнейшего математика
XX в., руководителя геттингенской математической школы. Фактиче-
Фактический автор книги, один из виднейших представителей современного анали-
анализа Р. Курант, ставя имя Гильберта в заглавии этой книги, подчерки-
подчеркивает ее связь с кругом идей Гильберта.
Тесная связь анализа с алгеброй была характерной для героического
периода развития анализа — для математики XVIII в. Основные операции
анализа — диференцирование, интегрирование—заключаются в наложении
предельного перехода на алгебраические операции, и потому всякую за-
задачу анализа можно с большим правом рассматривать как результат
наложения предельного перехода на алгебраическую задачу. В задаче
анализа мы имеем алгебраическое ядро и теоретико-функциональную обо-
оболочку, накладываемую предельным переходом. Математика XVIII в. умела
проникновенно находить это алгебраическое ядро, но она не видела второй
стороны. В качестве примера приведу разложение на элементарные мно-
множители Эйлером некоторых трансцендентных (с точки зрения теории
функций комплексного переменного — целых аналитических функций) по
их нулям, путем распространения на них метода разложения полиномов.
Исследования же Вейерштрасса показали, что всякая целая функция в са-
самом деле разлагается по своим нулям, но это разложение только в весьма
ограниченных случаях будет иметь тот же вид, что и разложение полино-
полиномов. Последняя часть XIX в. и начало XX в. были посвящены более глубо-
глубокому изучению соотношения между предельными элементами и допредельны-
допредельными; это изучение, вылившееся в создание важнейшей дисциплины, теории
VI Предисловие
функций действительного переменного — базы современного анализа,
дало возможность возродиться алгебраическим методам в анализе. Глу-
Глубочайший образец сочетания алгебраического метода с теоретико-функ-
теоретико-функциональным представляют собой исследования Гильберта в теории ин-
интегральных уравнений, связанные с изучением бесконечных квадратических
форм; целый ряд замечательных исследований помощью этих методов
произведен Курантом и его учениками.
В некоторых работах алгебраический, метод носит эвристический" ха-
характер: алгебраический случай является тем простейшим случаем, на
котором устанавливаются искомые соотношения, которые уже потом,
специальными методами, устанавливаются для аналитической задачи. Ал-
Алгебра выполняет здесь роль как бы экспериментальной мастерской для
анализа. В качестве примера приведу теорию собственных значений, из-
излагаемую в настоящей книге. Результаты теории собственных значений
для алгебраического случая (гл. I) переносятся потом на теорию ин-
интегральных (гл. III, § 4) и диференциальных (гл. VI) уравнений.
В других исследованиях, обнаружив некоторые соотношения для
алгебраического случая, показываем, что они сохраняются и после пере-
перехода к пределу, обращаясь в соответственные аналитические соотношения.
На этом принципе основано новое обоснование теории Фредгольма,
принадлежащее Куранту (гл. III, § 8). Для случая так называемого вырож-
вырожденного ядра интегральное уравнение Фредгольма сводится к ^системе
алгебраических линейных уравнений, и теоремы Фредгольма превраща-
превращаются в соответственные теоремы теории линейных алгебраических урав-
уравнений. Рассматривая каждое ядро как предел вырожденных, доказывая,
что при предельном переходе теоремы Фредгольма сохраняют свою силу,
автор дает элементарное изящное построение теории Фредгольма.
В тесной связи с алгебраическими методами выступают в настоящей
книге методы геометрические. Связь геометрии и анализа, установленная
при самом зарождении анализа, оказалась недостаточно полной. Уже
функция, скажем, четырех переменных не может найти в нашей обыч-
обычной трехмерной геометрии надлежащий эквивалент. Поэтому, анализ
влиял на геометрию Ь смысле расширения ее тематики. Создание л-мер-
иой геометрии позволило геометризировать целый ряд арифметических,
алгебраических и аналитических теорий. Так например теория квадрати-
квадратических форм двух и трех переменных есть теория линий и поверхностей
2-го порядка. Приведению их к главным осям отвечает приведение ква-
дратической формы к нормальному виду. При этом главные оси поверх-
поверхности 2-го порядка легко определяются геометрически: например, для
эллипсоида большая полуось есть вектор наибольшей длины, соединяю-
соединяющий центр эллипсоида с его границей, меньшая полуось является наи-
наименьшим из.этих векторов, средняя полуось — наибольшая из меньших
полуосей всех эллипсов, плоских центральных сечений эллипсоида. Эти
геометрические определения переносятся на случай п измерений, и тео-
теория квадратических форм приобретает непосредственную геометрическую
наглядность (гл. I, § 4—5).
Но тематика геометрии подверглась дальнейшему расширению. „Осно-
„Основания геометрии" Гильберта показали возможность построения различных
геометрий из произвольных элементов, связанных соотношениями, кото-
Предисловие VII
рые частью удовлетворяются в обычной геометрии. Базой для построе-
построения этих общих систем была теория множеств, рассматривающая как
единое целое произвольную совокупность любых элементов. Работы Фреше
(Frechet) и Гаусдорфа (Hausdorff) положили, начало теории так называемых
абстрактных пространств, т. е. множеств произвольных элементов, между
которыми установлены отношения, являющиеся обобщением наиболее
основных соотношений между точками обычного пространства (предель-
(предельный элемент, окрестность и т^п.). Чрезвычайно большую роль стали
играть со времени Фреше так называемые функциональные пространства,
т. е. абстрактные пространства, точками которых являются функции.
Рассмотрим (гл. II, § 2), например, функциональное пространство /?, эле-
элементом которого является произвольная непрерывная функция на отрезке
а^-х^Ь или функция с интегрируемым квадратом; расстояние р(/,<р)
между двумя точками R: функциями f(x) и у(х) устанавливается по
аналогии с расстоянием в эвклидовом л-мерном пространстве:
р (Л <P) =
f(x) является предельным элементом для последовательности fn(x),
если р(Д /я)—>0 при я—юо,т.-е.
ь
lim 5(/—/в)«Лс = 0
(сходимость в среднем). Мы можем определить в пространстве R также
углы. Каждую функцию f(x) можно рассматривать как конец вектора с
началом в нулевой функции и концом в „точке" f(x) длины:
Функции f(x) можно относить, следовательно, вектор в пространстве R.
Угол а между функциями-векторами f(x) и <p(jc) определяется по ана-
аналогии с я-мерной эвклидовой геометрией:
cosa = e
[Я Ы
Условия ортогональности „векторов" f(x) и у (х)—обычное условие
ортогональности функций f(x) и <р (дг). Таким образом становится понятной
роль в анализе последовательностей взаимно ортогональных функций'
(тригонометрических, бесселевых, полиномов Лежандра и т. д.): они обрч-
зуют системы взаимно ортогональных векторов в пространстве R. Их
можно принять за оси координат, коэфициенты Фурье суть проекции
функции-вектора на оси координат, и разложение в ряд Фурье — пред-
представление "вектора через его проекции на ортогональную систему кооодинат;
теорема Парсеваля есть просто теорема Пифагора в пространстве R: квадрат
длины вектора есть сумма квадратов его проекций на оси координат.
VIH Предисловие
В настоящей книге широко применяются также вариационные мето-
методы. В классический период своего развития вариационное исчисление
занимало несколько обособленное положение в анализе. Оно находило
те диференциальные уравнения, которым должна удовлетворять функция
для того, чтобы реализовать экстремум некоторого функционала, и иссле-
исследовало дополнительные условия, при которых решение этого уравнения
в самом деле реализует максимум или минимум (гл. IV, § 3—7). Новую
постановку задачи вариационного исчисления мы видим у Гильберта.
Пусть задан функционал / (f), и С есть нижняя граница значений этого
функционала. Мы образуем „минимизирующую" последовательность функ-
функций fB(x), такую, что lim I(fa)=C. Построив минимизирующую по-
Л-»ОО
следовательность, мы во многих задачах находим, путем предельного
перехода, искомую функцию /(*) = lim fn (х), для которой 7(/) = С
Л-»ОО
При этом, не решая дифереициальных уравнений, которым должна удов-
удовлетворять f(x), мы даем доказательство существования этой функции
и, если последовательность /я (л:) выбрана эффективно, — метод ее при-
приближенного определения. В этих „прямых" методах вариационное исчис-
исчисление обрело возможность решать свои задачи в тех случаях, когда
хгиференциальные уравнения, к которым они сводились, оказывались
не разрешимыми обычными методами. Вместе с тем при исследовании ре-
решения диференциального уравнения стараются часто представить его как
условие экстремума некоторого функционала и применить таким образом
к решению нашего уравнения аппарат прямых методов.
Курант и его школа далеко продвинули прямые методы вариацион-
вариационного исчисления, связав их с алгебраическими методами. Бегло касаясь
этих;вопросов в настоящей книге, автор обещал посвятить им значитель-
значительное место во II томе.
Наиболее интересной частью книги является вариационная теория
собственных значений диференциальных и отчасти интегральных уравне-
уравнений, принадлежащая Куранту, развиваемая в VI главе книги. Как по
обилию приложений, так и по простоте и изяществу эта теория является
одним из лучших достижений современного анализа.
Кроме основного материала в конце каждой главы имеются допол-
дополнения, в которых вкратце затрагиваются, отдельные интересные вопросы.
Столь оригинальная, богатая идеями и содержательная книга имеет
все основания на внимание советского читателя-математика.
Л. Люстерник.
От ПЕРЕВОДЧИКОВ.
Перевод сделан со второго немецкого издания. Исправлены замечен-
замеченные опечатки и неправильности в формулах. Кое-где для устранения
недосмотров нам пришлось несколько отступить от оригинала (см., на-
например, стр. 89, 309, 456, 491). В конце книги приложено несколько
примечаний (к стр. 71, 89, 95, 105, 455, 456, 457, 470, 471, 491, 508),
кроме того там же приведены доказательства интеграла Дирихле и
теоремы Фейера, взятые из первого немецкого издания.
Оглавление.
(Цифры курсивом указывают страницы.)
Глава I.
Алгебра линейных преобразований и квадратичных форм.
§ 1. Линейные уравнения и линейные преобразо-
преобразования. /
1. Векторы /. 2. Ортогональные системы векторов. Полнота системы 3.
3. Линейные преобразования, матрицы 5. 4. Билинейные формы, квадратичные
и эрмитовы формы 10. 5. Ортогональные и унитарные преобразования 12.
§ 2. Линейные преобр аз о вания с линейным пара-
параметром 14
§ 3. Преобразования к главным осям квадратич-
квадратичных и эрмитовых форм. . . . .¦ 20
1. Проведение преобразования к главным осям на основании принципа
максимума 20. 2. Характеристические числа и собственные значения 23.
3. Обобщение на эрмитовы формы 24. 4. Закон инерции квадратичных форм
25. 5. Выражение для'резольвенты формы 26. 6. Решение системылинейных
уравнений, соответствующей данной форме 27.
§ 4. Минимально - максимальное свойство с о б-
ственных значений 28
I. Определение характеристических чисел с помощью задачи о наимень-
наименьшем значении максимума 20. 2. Применения 29.
§5. Дополнения и задачи к первой главе. . . . 31
1. Линейная независимость и определитель Грама 31. 2> Теорема Адамара
об оценке определителя 32. 3. Одновременное преобразование двух квадра-
квадратичных форм к каноническому виду 33. 4. Билинейные и квадратичные формы
от бесконечно большого числа переменных 35. 5. Бесконечно малые линейные
преобразования 35. 6. Варьированные системы 36. 7. Наложение связи 38.
8. Элементарные делители матрицы или билинейной формы 39. 9. Спектр
унитарной матрицы 39. Литература к гл. I 40.
Глава И.
Задача о разложении в ряд произвольных функций.
§ 1. Ортогональные системы функций 42
I. Определения 42. 2. Ортогонализация функций 43. 3. Неравенство Бес-
Бесселя. Условие полноты системы. Аппроксимирование в среднем 44. 4. Орто-
Ортогональные и унитарные преобразования бесконечно большого, числа перемен-
переменных 48. 5. Справедливость результатов в случае нескольких независимых
переменных. Расширение предпосылок 49. 6. Построение полных систем
функций от многих переменных 49.
X Оглавление
§2. Принцип предельных точек в функциональ-
номпростравстве 50
1. Сходимость в функциональном пространстве 50.
§ 3. Мера независимости и число измерений. . . 55
1. Мера независимости 55. 2. Асимптотическое число измерений последо-
последовательности функций 56.
§4. Теорема Вейерштрасса об аппроксимирова-
аппроксимировании. Полнота системы степеней и системы триго-
нометрическихфункций . . . . . 55
1. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании 58. 2. Распространение
на функции от многих переменных 61. 3. Аппроксимирование производных 61.
4. Полнота системы тригонометрических" функций 61.
§ 5. Ряды Фурье 62
I. Доказательство основной теоремы 62. 2. Кратные ряды Фурье 66.
3. Порядок коэфициентов Фурье 67. 4. Растяжение основной области 67.
Примеры 68.
§ 6. Интеграл Фурье 70
1. Доказательство основной теоремы 70. 2. Распространение формулы на
случай многих^ переменных 73. 3. Взаимно обратные формулы 74.
§ 7. Примеры на интеграл Фурье . 75
1. Интегральная формула Фурье 75. 2. Разрывный множитель Дирихле 75.
§ 8. Полиномы Лежандра 77
1. Построение путем ортогонализации степеней 1, х, х\... 2. 77.
2. Производящая функция 79. 3. Дальнейшие свойства 79.
§9. Примеры других ортогональных систем . . 80
I. Обобщение постановки вопроса, приводящей к полиномам Лежандра 80.
2. Полиномы Чебышева 81. 3. Полиномы Якоби 83. 4. Полиномы Эрмита 84.
5. Полиномы Лагерра 86. 6. Полнота системы полиномов Лагерра и Эрмита 88.
§ 10. Дополнения и задачико второй главе ... 90
1. Решение Гурвица для изопериметрической задачи 90. 2. Взаимно
обратные формулы 91. 3. Интеграл Фурье и сходимость в среднем 91.
4. Спектральное разложение с помощью ряда Фурье и интеграла Фурье 92.
5. Плотные системы функций 93. 6. Теорема Г. Мюнца о полноте системы
степеней 94. 7. Теорема Фейера 94.8. Формулы обращения Мелина 95.9. Явле-
Явление Гиббса 98. 10. Теорема об определителе Грама 100. 11. Применение поня-
понятия ^интеграла Лебега 100. Литература к гл. II 103.
Глава III.
Теория линейных интегральных уравнений.
§ 1. Предварительные соображения 104
1. Обозначения и основные понятия 104. 2. Истокообразно представлен-
представленные функции 105. 3. Выродившиеся ядра 106.
§ 2. Теоремы Фредгольм а для выродившегося ядра 107
§ 3. Теоремы Фредгольмадляпроизв&льного ядра 109
Оглавление XI
§4. Симметрические ядра и их собственные
значения , 113
1. Существование собственного значения у симметрического ядра 113.
2. Совокупность собственных функций и собственных значений 116. 3. Мак-
Максимально-минимальное свойство собственных значений 122.
§5. Теорема о разложении и ее применения . . . 124
1. Теорема о разложении 124. 2. Решение неоднородного линейного
интегрального уравнения 126. 3, Билинейная формула для итерированных
ядер 127. 4. Теорема Мерсера 128.
§6. Ряд Неймана и разрешающее ядро 130
§7. Формулы Фредгольма 132
§8. Новое обоснование теории . . 136
1. Лемма 136. 2. Собственные функции симметрического ядра 137.
3. Несимметрические ядра 138. 4. Непрерывная зависимость собственных зна-
значений и собственных функций от ядра 139.
§ 9. Расширение границ приложимости теории 140
§ 10. Дополнения и задачи к третьей главе ... 142
1. Примеры 142. 2. Особенные интегральные уравнения 142. 3. Метод
Шмидта для вывода теорем Фредгольма 143. 4. Метод Энскога для решения
симметрических интегральных уравнений 144. 5. Метод Келлога для опре-
определения собственных функций 145. 6. Символические функции ядра и их
собственные значения 145. 7. Пример несимметрического ядра, не имеющего
собственных функций 145. 8. Интегральные уравнения Вольтерры 146.9. Инте-
Интегральное уравнение Абеля 146. 10. Взаимно сопряженные ортогональные сис-
системы, принадлежащие несимметрическому ядру 147. 11. Интегральные урав-
уравнения первого рода 147.12. Метод бесконечно болыного-числа переменных 148.
13. Минимальные свойства собственных функций 149. 14. Полярные интеграль-
интегральные уравнения 149. 15. Ядра, допускающие симметризацию 1ьО. 16. Опреде-
Определение разрешающего ядра посредством функциональных уравнений 150.
17. Непрерывность определенных ядер 150. 18. Теорема Гамерштейна 150.
Литература к гл. III 150.
Глава IV.
Основные понятия вариационного исчисления.
§ 1. Постановка задачи вариационного исчис-
исчисления 152
1. Maxima и minima функций 153. 2. Функционалы 155. 3. Типичные
примеры задач вариационного исчисления 167. 4. Характерные трудности
вариационного нечисления 161.
§ 2. Прямые методы . . . . . . . . . 162
1. Изопериметрическая задача 162. 2. Метод Ритца. Минимальные по-
последовательности 163. 3. Дальнейшие прямые методы. Метод конечных при-
приращений. Бесконечное число независимых переменных 165. 4. Соображения
общего характера относительно прямых методов вариационного исчисления 171.
§ 3. Уравнения Эйлера 173
1. Простейшая проблема вариационного исчисления, 173. 2. Случай
многих неизвестных функций 177. 3. Выражения, содержащие производные
высших порядков 179, 4. Случай многих независимых переменных 180.
XII Оглавление
5. Тождественное обращение в нуль диференциального выражения Эйлера 182.
6. Однородная форма диференциальных уравнений Эйлера 186. 7. Вариаци-
Вариационные проблемы с расширенными условиями допустимости. Теоремы Дюбуа-
Реймона и Гаара 189. 8. Другие вариационные задачи и их функциональ-
функциональные уравнения 195.
§ 4. Замечания относительно интегрирования ди-
фереициального уравнения Эйлера. Примеры . . . 196
§5. Граничные условия 198
1. Естественные граничные условия в задачах со свободной вариацией
на границе 198, 2. Геометрические задачи. Трансверсальность 201.
§6. Вторая вариация и условие Лежандра. . . . 205
§ 7. Вариационные задачи с дополнительными
условиями 207
I. Изопериметрические задачи 207. 2. Конечные дополнительные
условия 210. 3. Диференциальные уравнения в качестве дополнительных
условий 212.
§ 8. Инвариантный характер диференциальных
уравненийЭйлера '. 21$
1. Выражение'Эйлера как градиент в функциональном пространстве. Ин-
Инвариантность выражения Эйлера 213. 2. Преобразования выражения Дк.
Полярные координаты 216. 3. Эллиптические координаты 217.
§ 9. Приведение вариационных задач к канони-
каноническому и инволюционному виду 222
1. Преобразование обыкновенных задач минимума с добавочным усло-
условием 222. 2. Инволюционное преобразование простейшей вариационной
задачи 224. 3. Приведение вариационной задачи к каноническому виду 219.
4. Обобщения 230.
§ 10. Вариационное исчисление и диференциаль-
ные уравнения математической физики . . . . . . 233
1. Общие соображения 233. 2. Колебания струны и стержня 235.
3. Мембрана и пластинка 237,
§ 11. Дополнения и задачи кчетвертой главе. . 243
I. Вариационная задача, соответствующая заданному диференциаль-
ному уравнению 243. 1. Закон взаимности изопериметрических задач 243.
3. Световые лучи, имеющие форму окружности 243. 4. Задача Дидоны 243.
5. Пример пространственной вариационной задачи 244. 6. Изопериметри-
ческая задача на поверхности 244. 7. Индикатрисса и ее применения 244.
8. Вариация при переменной области интегрирования 246. 9. Теоремы
Э. Нэтер относительно инвариантных вариационных проблем. Интегралы
диференциальных уравнений механики 248. 10. Трансверсальность для случая
кратных интегралов 252. 11. Диференциальные выражения Эйлера на произ-
произвольной поверхности 252.12. Принцип Томсона в электростатике 253. 13. Про- .
блемы равновесия упругого тела. Принцип Кастильано 253. 14. Принцип
Кастильано в теории балок 256. 15. Вариационная задача о продольном
изгибе стержня 257. Литература к гл. IV 259.
Оглавление XIII
Глава V.
Проблемы колебаний и задачи о собственных значениях
в математической физике.
§ 1. Предварительные замечания о линейных ди-
ференциальныхуравнениях 260
1. Общие замечания. Принцип наложения 260. 2. Однородные и неод-
неоднородные задачи. Краевые условия 262. 3. Формальные соотношения. Сопря-
Сопряженные диференциальные выражения. Формулы Грина 262. 4. Линейные
функциональные уравнения, как предельные случаи и аналоги систем линей-
линейных уравнений 265.
§2. Системы с конечным числом степеней сво-
свободы 266
1. Собственные колебания. Нормальные координаты. Общая теория про-
процесса 266. 2У Общие свойства колебательных систем 270.
§3. Колебания струны . . . . . . . . . 271
I. Свободные колебания однородной струны 271.2. Вынужденные движе-
движения 274. 3. Общий случай неоднородной струны и задача Штурм-Лиувилля
275.
§4. Колебания стержня . . . ., 279
§ 5. Колебания мембраны 281
I. Общая задача об однородной мембране 281. 2. Вынужденные движе-
движения 283. 3. Узловые линии 284. 4. Прямоугольная мембрана 284. 5. Круговая
мембрана. Бесселевы функции 286. 6. Неоднородная мембрана 289.
§6. Колебания пластинки 290
I. Общие соображения 290. 2. Круговая пластинка 290.
§7. Общие соображения о методе собственных
функций 291
1. Применение метода в задачах о колебаниях и в задачах о равнове-
равновесии 291. 2. Задачи о собственных значениях в теории теплопроводности 294.
3. Другие вопросы, приводящие к задачам о собственных значениях 295.
§ 8. Колебания трехмерных континуумов . . . . 296
§ 9. Краевые задачи теории потенциала и собст-
венные функции . .' . . . . . . . . 297
У 1. Окружность, сфера, сферический слой 298. 2. Цилиндрическая область
.301. 3. Задача Ламе 301.
§ 10. За'дачиштурм-лиувиллевского типа. Особые
краевые точки . . . . . . • • • 306
1. Бесселевы функции 306. 1. Функции Лежандра любого порядка 307.
3. Полиномы Якоби и Чебышева 309. 4. Полиномы Эрмита и Лагерра .3/0.
§ 11. Об асимптотическом поведении решений
штурм-лиувиллевских диференциальных уравнений 312
1. Ограниченность при бесконечном возрастании независимого перемен-
переменного 312.2. Уточнение результата (бесселевы функции) 313.3. Ограниченность
решений при возрастании параметра 315. 4. Асимптотическое выражение
решений 316. 5. Асимптотическое выражение штурм-лиувиллевских фунда-
фундаментальных функций • 317.
XIV Оглавление
§ 12. Краевые задачи с непрерывным спектром
собственных значений . . . . . . . . 320
I. Тригонометрические функции 321. 2. Бесселевы функции 321.3. Задача
о собственных значениях уравнения колебания для бесконечной плоскости 321,
4. Задача Шрёдингера о собственных значениях 322.
§ 13. Теория возмущений 324
1. Простые собственные значения 324. 2. Кратные собственные значе-
значения 326. 3. Пример к теории возмущений 328.
§ 14. Функция Грина (функция влияния). Приведе-
Приведение задач с диференциальными уравнениями к инте-
интегральным уравнениям 330
I. Функция Грииа и краевая задача для обыкновенных диференциальных
уравнений 330. 1. Построение функции Грина и обобщенная функция
Грина 334. 3. Эквивалентность задачи с диференциальным уравнением задаче
решения соответствующего интегрального уравнения '337. 4. Обыкновенные
диференциальиые уравнения высшего порядка 341.5. Диференциальные урав-
уравнения с частными производными 342.
§15. Примеры функции Грина . . . . 349
1. Обыкновенные диференциальные уравнения 349. 2. Функция Грииа
выражения Ди для круга и шара 354. 3. Функция Грина и конформное
отображение 356. 4. • Функция Грина уравнения потенциала для шаровой
поверхности 356. 5. Функция Грина уравнения Дн = О для прямоугольного
параллелепипеда 357. 6. Функция Грина уравнения Ди = 0 для внутренней
области прямоугольника 362. 7. Функция Грина для кругового кольца 364.
§ 16. Дополнения к пятой главе 366
1. Примеры на колебания струны 366. 2. Колебания свободно свисаю-
свисающего каната и бесселевы функции 368. 3. Дальнейшие примеры случаев
колебательного уравнения, разрешимых в явном виде. Функции Матье 369.
4. Параметры в краевых условиях 370. 5. Тензоры Грина для систем дифе-
диференциальных уравнений 371. 6. Аналитическое продолжение решения уравне-
уравнения Aa-f-X« = O 372. 7. Теорема об узловых линиях решения уравнения
Ди + Хи = 0 372. 8. Пример собственного значения бесконечно большой
кратности 372. 9. Границы применимости теорем разложения 372. Литера-
Литература к гл. V 373.
Г л А в а VI.
Применение вариационного исчисления к задачам о соб-
собственных ЗНАЧЕНИЯХ.
§ 1. Экстремальные свойства собственных значе-
значений 4 375
1. Классические экстремальные свойства 375. 2. Дополнения и обобще-
обобщения 379. 3. Задачи о собственных значениях для областей, состоящих из
отдельных несвязанных кусков 382. 4. Максимально-минимальное Свойство
собственных значений 383.
§ 2. Общие следствия из экстремальных свойств
собственных значений 384
1. Общие теоремы 384. 2. Неограниченное возрастание собственных значе-
значений 390. 3. Асимптотическое поведение собственных значений для задачи
Штурм-Лиувилля 392. 4. Диференциальные уравнения, имеющие особые
Оглавление XV
точки 393. 5. Дальнейшие замечания относительно возрастания собственных
¦значений. Случай, когда имеются отрицательные собственные значения 394.
6. Свойства непрерывности собственных значений 396.
§ 3. Теорема о полноте системы собственных фун-
функций и теоремао разложении 402
1. Полнота системы собственных функций 402. 2. Теорема о разложе-
разложении 404. 3. Обобщение теоремы о разложении 405.
§4. Асимптотическое распределение собствен-
собственных значений 407
1. Диференциальное уравнение Дм 4-Хм = О для прямоугольника 407.
2. Диференциальное уравнение Дн + Хн = 0 для областей, состоящих из ко-
конечного числа квадратов или кубов 409. 3. Распространение полученного
результата на общее диференциальное уравнение L [и] + >р и = О 412.
4. Законы асимптотического распределения собственных значений для про-
произвольной области 414. 5. Законы асимптотического распределения собствен-
собственных значений диференциального уравнения Дм + Хм := 0 в уточненной
форме 421,
§5.3адачи о собственных значениях шрёдинге-
ровскоготнпа 423
§6. Узлы собственных функций . .' 429
§ 7.-До п о л нения и-задачи- к шестой главе .... 434
1. Вывод минимальных свойств собственных значений из их полноты 434.
2. Отсутствие нулей у первой собственной функции 436. 3. Другие мини-
минимальные свойства собственных значений 437. 4. Асимптотическое распреде-
распределение собственных значений для случая колебания пластинки 438. 5 — 7.
Задачи 438. 8. Задачи с граничными условиями, содержащими параметр X 438.
9. Задачи о собственных значениях для замкнутых поверхностей 439.
10. Оценка собственных значений в случае наличия особых точек 439.
11. Минимальное свойство круглой мембраны или пластинки 441. 12. Про-
Проблема минимума для случая неравномерного распределения масс 441. 13. Узло-
Узловые точки для задачи Штурм-Лиувилля я принцип максимума минимумов 442.
Литература к гл. VI 443.
Глава VII.
Специальные функции, к которым приводят задачи о
собственных значениях.
§ 1. Предварительные замечания относительно ли-
линейных диференц иальных уравнений второго по-
порядка 444
§ 2. Функции Бесселя 445
1. Интегральное преобразование 446. 2. Функции Ганкеля 447. 3. Бессе-
левы функции и функции Неймана 448. 4. Выражение бесселевых функций
в виде интегралов 451. 5. Другое выражение функций Гайкеля и бесселевых
функций в виде интегралов 454. 6. Разложение бесселевых функций в
степенные ряды 460. 7. Соотношения между бесселевыми функциями 463.
8. Нули бесселевых функций 469. 9. Функции Неймана 473.
§3. Шаровые функции Лежандра 477
1. Интеграл Шлёфли 477. 2. Интегральные выражения Лапласа 479.
3. Функции Лежандра второго рода 480. 4. Сопряженные шаровые функции
(функции Лежандра высшего порядка) 481.
XVI Оглавление
§ 4. Применение метода интегральных преобразо-
преобразований кдиференциальным ураннениям Лежандра, Ч е -
бышева, Эрмита н Лагерра 481
1. Функции Лежандра 481. 2. Функции Чебышева 483. 3. Функции Эрми-
Эрмита 484. 4. Функции Лагерра 484.
§5. Шаровые функции Лапласа ,. . . . . 485
1. Нахождение 2я +1 шаровых функций и-го порядка 486. 2. Полнота
полученной системы функций 487. 3. Теорема о разложении 488. 4. Интеграл
Пуассона 488. 5. Выражение шаровых функций Максвелла-Сильвестра 489.
§ 6. Асимптотические разложения . . . . . ¦ ¦ 496
1. Формула Стирлинга 496. 2. Асимптотическое вычисление функций
Ганкеля и Бесселя для больших значений аргумента 498. 3. Метод пере-
перевала 501. 4. Применение метода перевала к вычислению функций Ганкеля
н Бесселя для больших значений параметра и больших значений аргумен-
аргумента 502. 5. Общие замечания по поводу метода перевала 506. 6. Метод
Дарбу 506. 7. Применение метода Дарбу к асимптотическому разложению
полиномов Лежандра 507.
Примечания -Т 509
Предметныйуказатель 519
Глава I.
Алгебра линейных преобразований и квадратичных
форм.
Многочисленные вопросы математического анализа, с которыми нам
придется иметь дело в этом томе, самым тесным образом связаны как
в смысле аналогии, так и в смысле внутренней зависимости с теорией
линейных преобразований и квадратичных форм. Поэтому мы рассмот-
рассмотрим сначала со всей возможной краткостью именно эту область с точки
зрения, имеющей для нас здесь важное значение, причем мы предпола-
предполагаем у читателя некоторое* знакомство с затронутыми вопросами.
§ 1. Линейные уравнения и линейные прео6разования.
1. Векторы. Для того чтобы иметь возможность кратко форму-
формулировать известные факты из теории линейных уравнений, целесообразно
ввести простейшие обозначения векторного исчисления1). Систему п
действительных чисел хг, ..., хп мы называем п-мерным вектором
или вектором в пространстве и измерений и сокращенно обозначаем
соответствующей немецкой буквой g. Числа xt (i=l, ..., п) назы-
называются компонентами вектора J. Если все компоненты обращаются
в нуль, то мы говорим о нулевом векторе. При п = 2 или при л=3
простейшим геометрическим истолкованием вектора является, как из-
известно, „радиус-вектор", идущий из начала координат прямоугольной
системы к точке с прямоугольными координатами хг При и>3,
правда, геометрически наглядного образа нет, но пользоваться геомет-
геометрическим способом выражения по сути дела удобно и в этом случае.
Если заданы два произвольных действительных числа "к и ja, то под
вектором Xj-(- }1^=змы разумеем вектор, компоненты zt которого ли-
линейно составлены из компонент х1 и yt векторов т. и \) по формуле
Тем самым в частности определена сумма и разность двух векторов.
Скалярным произведением to) векторов т. и \) [мы называем число
Ш = *i.Vi + • • • +xaytt=y1x1 + • - • +Л*П = (%)- 0)
Иногда мы будем называть скалярное произведение (р)) компонен-
компонентой вектора i) относительно вектора ?, или же наоборот.
*) При этом здесь речь идет только о сокращенном способе обозначений,
а не об изложении собственио векторного анализа или его обобщения на случай
измерений, где основным пунктом исследования является вопрос об известных
инвариантах.
1 Курант-Гильберт.
2 Алгебра линейных преобразований Гл. 1
Если скалярное произведение (р)) обращается в нуль, то векторы
? и ty мы будем называть перпендикулярными или ортогональными
друг к другу; при я=2 и я = 3 этот способ выражения имеет непо-
непосредственное наглядное значение. Особенное значение имеет скалярное
произведение Л/? = E5) =? j2 вектора на самого себя, которое мы
называем нормам вектора. Положительный квадратный корень из у.2
называют абсолютным значением или длиной вектора ? и обозна-
обозначают так:
Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным век-
вектором или единичным вектором.
Скалярное произведение (аЬ) двух векторов а = (а1, ... , ап)
и b = (bv ... , Ьп) удовлетворяет следующему неравенству:
< а»Ья,
или, не пользуясь векторными обозначениями:
причем знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда
числа а1 пропорциональны числам bt, т. е. имеет место соотношение:
Доказательство этого неравенства Шварца г) вытекает из замеча-
замечания, что квадратное уравнение
«=1 г=1 /=1 1-Х
не может иметь двух различных действительных корней а имеет, за
исключением случая пропорциональности чисел at и чисел bt, мнимые
корни. Неравенство Шварца представляет соответствующее этому факту
соотношение для дискриминанта квадратного уравнения. Другое доказа-
доказательство неравенства Шварца непосредственно вытекает из тождества:
1 = 1 1 = 1 '/=1 / /=1 Й=1
Векторы Jj, ..., jm называются линейно независимыми, если невоз-
невозможно найти числа \, ... , \т, которые не равнялись бы одновременно
нулю, так чтобы имело место векторное равенство:
т. е. чтобы все компоненты вектора, стоящие в левой части, равнялись
нулю. В противном случае векторы называются линейно зависимыми.
¦) Впрочем, этим соотношением пользовался еще Коши.
§ 1 Линейные уравнения и линейные преобразования 3
В и-мерном пространстве п векторов clt е2, ..., с п, компоненты ко-
которых по порядку задаются строками схемы
1,0,...,0
0,1,..., О
0,0,...,1,
образуют систему и линейно независимых векторов.
В самом деле, если бы имело место соотношение XjCj —J— ^2C2 "I"* • •
... -]— л„е„ = 0, то, умножив его скалярно на eft, мы получили бы
тотчас же lh=0, так как ел=1, а (ейеА) = О (h^k).
В то время как безусловно существуют системы п линейно независи-
независимых векторов, между « —j— 1 векторами it,, ... ,UH+i непременно должно
иметь место, по крайней мере, одно линейное уравнение:
в котором не все коэфициенгы равны нулю, так как система п одно-
однородных линейных уравнений
«+1
*l»i = ° (*=*!,..., я)
относительно п-\-\ неизвестных jxlt ... , }л„+1 всегда имеет нетривиаль-
нетривиальное решение (см. п. 3).
2. Ортогональные системы векторов. Полнота сис-
системы. Предыдущие „координатные векторы" tt представляют спе-
специальную систему „ортогональных единичных векторов". Мы разумеем
под единичным вектором, как н выше, вектор, длина которого равна
единице, а под системой п ортогональных единичных векторов
Cj, е2, , Сп — такую систему, когда выполнены условия:
при h, k=\, 2, , п. Так же как и раньше, можно заключить, что п
векторов Cj, с2, , е„ линейно независимы.
Если имеем произвольный вектор ?, то в силу линейной зависимости
и-{-1 векторов должно иметь место соотношение:
в котором ие все постоянные с равны нулю; при этом с0 не может
равняться нулю, так как векторы г{ линейно невависимы, и потому
можно принять с0 равным единице. Всякий вектор j можно, следова-
следовательно, представить при помощи системы ортогональных единичных
векторов в виде:
I = "А + с2е2 + ... + с/й. B)
Значение коэфициентов ct компонент вектора j относительно
системы ех, ... , ей находим скалярным умножением равенства B) на сл
а именно:
1*
4- Алгебра линейных преобразований Гл. 1
Из произвольной системы т линейно независимых векторов t)lt ... ,Ът
мы можем получить систему т ортогональных единичных векторов
са, ... , cm с помощью следующего процесса ортогонализации.
Полагаем сд = t)a/ j ttjt- Затем мы выбираем два не обращающиеся
одновременно в нуль числа с'г и1 с'2 так, чтобы вектор х'^-^-с'2х>2 был
ортогонален к еп, т. е.' чтобь^ Cj -j- с'2(^ В2) = 0. Вследствие линейной
независимости векторов »2 и й9, а вместе с тем и ^ и й2 вектор
с 1 ei 4" С2 В2 не Равен нулю; разделив этот вектор на его длину, полу-
получим' единичный вектор е2, ортогональный к ег Далее, выбираем три не
обращающиеся одновременно в нуль числа c"v c"r с так, чтобы вектор
c'j eu -j- c e2 -j- Cg B3 был ортогонален к векторам ?г и е2, т. е. чтобы
Ci-fc3(lKei)==0 и е2 + сзA:'-зУ==0- Вектор ^-|-^c2-Ь СдВ3 опять
отличен от нуля и потому может быть нормирован, и мы получаем
таким образом е3.
Путем продолжения4 этого процесса мы приходим к искомой ортого-
ортогональной .системе.
При т<^п говорят о неполной, а при /к = и о полной ортогональ-
ортогональной системе. Если обозначим компоненты вектора j относительно
tlt ... , tm опять через с, ... , ст, то из очевидного соотношения:
ft — *A— •••— <УУ2^0
Следует, если разложить квадрат вектора в левой части по имеющим
место и здесь правилам алгебры, что
*=1 i=l i=l i=l
ИЛИ
m
причем т^п и c/==(je/). При т = п имеет место знак равенства:
i- D)
Оба последних соотношения, которые содержат векторное выраже-
выражение теоремы Пифагора и при п sg 3 имеют непосредственное геометри-
геометрическое истолкование, обычно называют первое — неравенством Бесселя,
а второе —условием полноты. Действительно, равенство D) выражает
в том случае, когда оно справедливо для любого вектора, что заданная
ортогональная система является полной системой. В самом деле, равен-
равенство D) не могло бы иметь места для нормированного вектора, ортого-
ортогонального ко всем векторам сй, ... , tm, а такрй вектор непременно
существует, если т<^п.
§ 1 Линейные уравнения и линейные преобразования 5
Можно, впрочем, записать условие полноты в более общем виде:
т
который легко получается из ортогональности векторов ег
Все эти алгебраические соотношения имеют преимущественно фор-
формальный характер. Они приобретают более глубокое значение благодаря
тому, что они снова встречаются формально совершенно аналогичным
образом в трансцендентных вопросах анализа, где они уже не являются
тривиальными.
3. Линейные преобразования, матрицы. При помощи
системы и линейных уравнений:
с заданными коэфициентами aik мы каждой системе значений.*:.,, х2,..., хп
однозначно относим систему значений уг, у2, , уп. Эту операцию
называют линейным преобразованием системы значений xlt х2,..., хп
в систему _yj, у2,..., .уп или короче, вектора j в вектор \). Линей-
Линейный характер преобразования выражается в том, что вектору ^Sj-J-^b
соответствует вектор ^i^j —f- ^2^2-
Самой важной из задач, встречающихся при линейных преобразова-
преобразованиях, является задача об их обращении, иными словами: вопрос о ре-
решении системы линейных уравнений. Ответ на этот вопрос дает следую-
следующая основная теорема из теории линейных уравнений, доказательство
которой мы можем предполагать известным.
Система уравнений
о,!*, + а12х2 + • • ¦ + аыхп=У1,
+ + +
а2пХп
•или, короче,
п
X=--У1 (i= 1, • • •, и) G)
п-1
либо имеет при заданных значениях alk для любого, произвольно за-
заданного вектора \) одно и только одно решение j, в частности при ty—О
решение J = 0; либо же однородные уравнения, получающиеся из сис-
системы G) при ty —0, имеют положительное число р „нетривиальных",
т. е. отличных от нулевого вектора, линейно независимых между
собой решений jlf j8 ..., %р, которые мы можем считать нормиро-
нормированными. В этом случае и „транспонированная" система уравнений
п
2^**'*= 0 (i=l,...,»), (8)
б Алгебра линейных преобразований Гл. I
где а'=аш, имеет р линейно независимых, нетривиальных решений
у', ... , у'. Для тех, и только для тех векторов, которые удовлетвО'
ряют р соотношениям: (Щ\) = 0, ... , (щ'^ — 0, т. е. ортогональны
к i-j, ... , у', может быть решена и неоднородная система G), причем
это решение определяется только с точностью до произвольного ад-
аддитивно входящего решения однородной системы уравнений.
При этой формулировке основной теоремы мы не ссылаемся на тео-
теорию определителей. Определители нужны лишь для того, чтобы пред-
представить решение системы уравнений в явном виде, что мы сейчас
и сделаем.
Самое существенное в таком линейном преобразовании дается табли-
таблицей коэфициентов или матрицей уравнений G):
(9)
\aMaia ... aj
с определителем
В иных случаях целесообразно обозначить само преобразование или,
как говорят также, тензор или оператор отдельной буквой §(. Эле-
Элементы ajf} матрицы А называются компонентами тензора. Мы можем
рассматривать линейное преобразование G) как .умножение" тензора Щ
на вектор j и символически записать в виде:
Многие положения „линейной алгебры" особенно удобно выражаются,
если их формулировать как теоремы о матрицах, пользуясь при этом
некоторыми простыми определениями и правилами, которые носят назва-
название: исчисление матриц. Прежде всего мы приходим к понятию об
умножении матриц, рассматривая вектор у., который требуется преобра-
преобразовать при помощи предыдущих уравнений G), в свою очередь, как
произведение другого тензора 35 с компонентами blk на вектор to; итак,
пусть j и Ш связаны между собой системой линейных уравнений:
?*«•»«, (* = !,....и)
с матрицей B=;(bik), тогда и вектор ty получается из вектора to путем
умножения на тензор 6. Матрица С этого тензора получается из А и В
по правилам „умножения матриц":
С=АВ,
§ 1 Линейные уравнения н линейные преобразования 7
т. е. элемент clk представляет скалярное произведение i-й строки А
и к- го столбца В:
п
с/*==2в'А* ('.* = !.•••.«). (Ю)
Тензор или преобразование (S называют скалярным произведением
или, короче, произведением тензоров или преобразований St и 35.
В дальнейшем мы вместо тензоров всегда будем говорить об эквивалент-
эквивалентных им матрицах. Мы видим, что произведение матриц обладает свой-
свойством сочетательности:
(АВ)С=А(ВС),
так что произведение АгА2 .., Ah произвольного числа матриц, взятых
в известном порядке, имеет вполне определенное значение. Если
A1 — As= ... = Ah = Л,"то это произведение записывают в виде Л-й
степени Ан матрицы А.
Однако следует заметить, что закон переместительности произве-
произведения, в'ообще говоря, не имеет места, так .что приходится различать
между умножением слева и умножением справа матриц А и 5, причем
в общем случае АВ не равно ВА. Наконец, под матрицей L4 -J- р.В мы
согласно определению разумеем матрицу с компонентами \alk-\-]ibik,
под нулевой матрицей — матрицу, все компоненты которой равны нулю 1).
Между прочим, можно непосредственно убедиться в справедливости рас-
распределительного закона.:
+ С=АС-{- ВС.
Во многих случаях необходимо ввести „единичную матрицу".
1 0 ... О
О 1 ... О
• • • •
,0 0 ... 1^
Она обладает тем свойством, что для любой матрицы А имеет место
равенство:
Единичной матрице соответствует тождественное преобразование,
которое задается уравнениями:
xl=yi (г=1, ... ,п).
Нулевую степень любой матрицы А мы согласно определению счи-
считаем равной единичной матрице:
°
1) При оперировании над матрицами необходимо заметить, что из равенства
АВ = ф) ни в коем случае не вытекает равенство нулю одной из матриц А
или В, как это видно из примера ^ = @0)> b = \q\j-
8 Алгебра линейных преобразований Гл. I
Установив определение степени Ан матрицы, можем также дать опре-
определение многочленов, аргументом которых является матрица. Если
/(*) = % + агх + с2*2 + ... + атхт
есть многочлен /я-й степени относительно х, то равенство
определяет матрицу /(Л) как целую рациональную фуикцию матрицы Л.
Определение матрицы как функции /(Л) от Л можно иногда распро-
распространить и на случаи, когда выражение с помощью многочлена уже
невозможно. Так, например, матрицу еА определяют при помощи ра-
равенства:
9??
При этом такой ряд имеет следующий смысл: сперва нужно взять
сумму первых N членов, а затем надо исследовать, сходится ли каж-
каждый из п2 элементов полученной таким путем матрицы при неограни-
неограниченном возрастании N; матрица, составленная из п2 предельных значе-
значений, принимается в этом случае за значение ряда. В даннрм частном
случае матрицы еА ряд, как будет далее доказано, всегда сходится.
Особенно важное соотношение между матрицами получается, если
выбрать за функцию /(Л) „геометрический ряд". Пусть
Умножая это равенство, определяющее матрицу Sm, на Л, мы при-
приходим к равенству:
из которого следует, что
Если С возрастанием т матрица Sm стремится к определенному пре-
пределу 5" и, следовательно, матрица Ат+1 стремится к нулевой матрице,
то для определенной при помощи бесконечного геометрического ряда
со
матрицы 5 имеет место .соотношение:
S(E — A) = E.
Вопрос о том, когда бесконечный геометрический ряд или, как его
иногда незывают, ряд Неймана, составленный из матриц, сходится, мы
рассмотрим н следующем параграфе.
Над многочленами из матриц можно оперировать совершенно таким,
же образом, как и над обыкновенными многочленами относительно х.
Например, из тождества двух многочленов относительно х вытекает со-
§ 1 Линейные уравнения и линейные преобразования 9
ответствующее тождество многочленов для произвольной матрицы Л.
Так, тождеству
х3 -f 2х* + 3* + 4 = (х* -f" 1) (х + 2) + Bл: + 2)
соответствует справедливое для всякой матрицы Л соотношение:
аз _{- 2л2 + зл + 4=и2 -f ?¦) (^ + 2-?) 4- BЛ 4-2Е)-
Подобным же образом разложению на множители
/(х) = а0 4- я,* 4" • • • + атхт = а« (•* — *i) (* — *2) • • • (¦* — хт),
где jc,, х2, ... , д;т суть корни многочлена /(х), соответствует матрич-
матричное равенство:
/(А) = OqE -Ь aiA + • • • + атАт = «о И—хгЕ) (Л— *,?)... (Л—*т?),
имеющее место для любой матрицы,Л.
Обычно к каждой матрице Л с компонентами а1к относят другие ма-
матрицы. Элементы матрицы могут иметь и комплексные значения. Еслна№
является комплексным числом, сопряженным с аш, то матрицу Л = (aik)
называют сопряженной матрицей; далее, матрицу А' — (аы), по-
получающуюся из А заменой столбцов и строк, называют трйнспоки-
рованной матрицей; наконец, А* = А' = (ак1) называют сопутствующей
(begleitende) матрицей; она получается, следовательно, переходом к со-
сопряженным комплексным величинам и заменой строк и столбцов.
Всегда имеет место равенство:
которое легко непосредственно проверить. Матрица называется симмет*
ричной, если А = А'; действительная матрица, для которой
называется ортогональной, наконец, вообще комплексная матрица назы-
называется унитарной, если
Обращение линейного преобразования G), как известно из теории
определителей, возможно при произвольных yt в том и только в том
случае, когда определитель A. = \atk\ не равен нулю. В этом случае ре-
решение однозначно определяется и выражается соответствующей системой
уравнений
*i=2v* («=i,..., я). (и)
При этом, как известно,
где Aw означает минор, соответствующий элементу аы определителя А.
Матрица А = (а1к) называется взаимной или обратной матрице Л и от-
отличается тем, что
АА=АА=Е.
10 Алгебра линейных преобразований Гл. I
Однозначно определенную матрицу А обозначим теперь Л; опре*
делитель этой матрицы имеет значение А. На языке исчисления ма-
матриц мы можем, следовательно, охарактеризовать решение системы
уравнений с матрицей А, определитель которой не равен нулю, при
помощи матрицы В = А~г, удовлетворяющей соотношениям:
4. Билинейные формы, квадратичные и эрмитовы
формы. Для того чтобы представить в компактной и наглядной форме
линейные уравнения G), можно воспользоваться эквивалентной системе
уравнений билинейной формой, принадлежащей матрице А. Эта били-
нейная форма
получается, если умножить линейные относительно х1,..., хп формы,
стоящие в левых частях уравнений G), на неопределенные величины
«j, ... , ип и затем сложить. Таким путем вместо системы уравнений G)
получаем одно тождественное относительно величин и уравнение:
A4)
п
где Е (к, у) — V" utyt представляет билинейную форму единичной мат-
i=i
рицы или билинейную единичную форму. Под символическим произве-
произведением двух билинейных форм А (и, х) и В (и, х) с матрицами А и В
разумеют билинейную форму С {и, х) с матрицей С— АВ. Степень
Ан (и, х) называют также h-Pi итерированной формой. Обратная били-
билинейная форма А~г(и,х), имеющая матрицу А~г, может быть пред-
представлена на основании теорем теории определителей в виде:
A5)
где
К {и, х)~
Особый интерес представляют симметрические линейные преобразо-
преобразования, которые характеризуются условием ан=а/ь. Для исследования
таковых достаточно рассмотреть квадратичную форму:
А-1 {и
0
xi
xn
,*) =
"j • •
an ...
anl ..
A(«,
A
• un
>
It
i, k=l
которая получается из билинейной формы, если положить ul = xl.
В самом деле, из квадратичной формы А (х, х) получаем симметричную
§ 1 Линейные уравнений и линейные преобразования П
билинейную форму:
1 чД ЪА(х,х) А{х-\-и, х-\-и)— А (х, х) — А (и, и)
aikuixk — у 2* ut Ъх 2 '
i,k=l »=1 '
которая называется полярной формой, соответствующей квадратичной
форме А (х, х).
Если А (и, x) = ^alkutxk—произвольная несимметричная билинейная
форма (с действительными коэфициентами), то АА'(и, х) и А'А (и, х)
во всяком случае представляют симметричные билинейные формы; в са-
самом деле:
П I П П
А А' (и, х) = ? ( ^ аах1 ? atk ui)
И
Мы можем, следовательно, образовать также квадратичные формы:
А<А(х, Jc)=
,-=1 \k=i
Эти квадратичные формы, будучи суммами квадратов, обладают тем
свойством, что могут принимать только неотрицательные значения.
Такого рода квадратичные формы называются, определенными положи-
положительными квадратичными формами.
Важным обобщением квадратичных форм являются эрмитовы формы.
Это — билинейные формы:
коэфицненты которых alk могут иметь комплексные значения и должны
удовлетворять соотношениям:
Следовательно, эрмитова форма принимает действительные значен я
если придать ut значения, комплексно сопряженные с х{. В этом случае
обыкновенно записывают эрмитову форму в виде:
Н(х, *)= g
I, k=l i, k=l
12
Алгебра линейных преобразований
Гл. I
Произвольной билинейной форме
i, k=\
с комплексными коэфициентами соответствуют эрмитовы формы:
АА* (х, х) = АА1 (х, *) = Y
A*A (x, x) = A1 A (x, x) =
Если в билинейной форме
А(х,у) =
i, k=l
подвергнуть переменные линейным преобразованиям
п п
c,,Zu и
матрицы которых С и В, то
п
i, k= I
Таким образом получаем из А преобразованную билинейную форму
с матрицей
определитель которой по теореме умножения определителей равен А.ВГ.
Если в частности имеем дело с квадратичной формой:
п
р,д=1
с симметрической матрицей K.— (kpq) и определителем K — \kpg\, то
следует взять С=В, и при преобразовании переменных х получается
симметрическая матрица С'КС с определителем КГ2.
5. Ортогональные и унитарные преобразования. Мы
ставим себе теперь задачу — найти линейные преобразования ?:
A6)
9=1
§ 1 Линейные уравнения и линейные преобразования 13
с матрицей ? = (/ ) и определителем A = j/ J, которые были бы ор-
ортогональны, т. е. переводили бы единичную квадратичную форму
я
в себя самое, удовлетворяя тождественно относительно _у соотношению
/). A7)
Если применить наши правила преобразования к квадратичной ферме
А(х, х) = Е(х, х), то требование, выражаемое равенством A7), дает
в качестве необходимого и достаточного условия ортогональности пре-
преобразования ? равенства:
IJEL = L'L = LIJ = E, Z.' = L-1, A8)
т. е. транспонированная матрица ортогонального преобразования совпа-
совпадает с обратной матрицей, так что уравнения A6) разрешаются также
с помощью ортогональной системы:
Мы видим, таким образом, что ортогональные преобразования за-
задаются ортогональными матрицами, определение которых дано уже на
стр. 9. Подробно условия ортогональности записываются следующим
образом:
JLV ZV9 B0)
v = l v = l
или
S&e1' SV*v=° &ФЯ) B1)
v = l v=l
Переходя к определителям, мы из соотношений A8) прежде всего
видим, что А*= 1, т. е. определитель ортогонального преобразования
равен -f- 1 или — 1; далее, мы видим,. что определитель любой квадра-
квадратичной формы инвариантен по отношению к ортогональным преобразо-
преобразованиям.
Соотношение V (АВ) L — (L'AL) (L'BL) между матрицами Л и В двух
произвольных квадратичных форм и матрицей L ортогонального пре-
преобразования, вытекающее из A8), показывает, что- можно ортогонально
Преобразовать символическое произведение квадратичных форм путем
ортогонального преобразования каждого множителя в отдельности. От-
Отсюда в частности следует, что квадратичные формы, полученные орто-
ортогональным преобразованием двух обратных квадратичных форм, также
обратны друг другу.
i4 Алгебра линейных преобразований f л. t
Обобщение предыдущих рассмотрений на случай эрмитовых форм
я
Н(х, х) =
Р. Я-1
приводит к унитарным преобразованиям. Под унитарным преобразо-
преобразованием
9=1
разумеют такое линейное преобразование (с комплексными коэфициен-
тами I ), которое переводит единичную эрмитову форму
снова в единичную форму, т. е.
Путем, вполне аналогичным предыдущему, находим в качестве не-
необходимого и достаточного условия унитарности преобразования с мат-
матрицей L матричное равенство:
где L%=V — матрица, сопутствующая L. Следовательно, L согласно
определению на стр. 9 должно быть унитарной матрицей. Условия уни-
унитарности можно записать подробно следующим образом:
EV> B2)
v=l
v=l
Определитель унитарного преобразования по абсолютному значению
равен единице, что также непосредственно следует из равенства
§ 2. Линейные преобразования с линейным параметром.
Во многих вопросах система уравнений линейного преобразований
представляется в следующем виде:
^' С = 1. • • • , я). B4)
§ 2 Линейные преобразования с линейным параметром 15
где X — параметр (который может принимать и комплексные значения).
Соответствующая билинейная форма имеет вид:
Е(и, х) — 1Т(и, х),
причем Т(и, х) имеет матрицу T=(tik). Решение этой системы уравне-
уравнений на основании предыдущего параграфа эквивалентно разысканию
обратной билинейной формы R (и, у; X) с матрицей JR, удовлетворяющей
уравнению (Е— \T)R = E. Мы знаем, что эта обратная матрица су-
существует в том и только в том случае, когда определитель | ?" -—^А.У | не
равен нулю. Так как этот определитель представляет целую рациональную
функцию от \, степени не выше п, то может быть только конечное
число значений X, для которых обратная форма R не существует, именно
при значениях \{, являющихся корнями этой целой рациональной функции.
Эти значения lt, собственные значения Т относительно матрицы Е,
образуют так называемый спектр матрицы 71 (Часто также называют
спектром совокупность значений х/=-—, при которых не существует
матрицы, обратной у.Е — Т.)
Вид уравнений B4) наводит на мысль попытаться решить их мето-
методом последовательных приближений, подставляя в уравнение
вместо величин хк снова значения
и продолжая поступать таким образом неограниченно. Нагляднее всего
представляется этот процесс с помрщью соотношения /? = Е -j- X 77?,
из которого мы последовательно получаем:
Если этот процесс сходится, то мы получаем выражение для /? с по-
помощью бесконечного ряда:
который действительно (в случае сходимости ряда) дает матрицу, обрат-
обратную матрице Е — "кТ. Чтобы в этом убедиться, достаточно только умно-
умножить ряд на Е — "кТ, заметив, что в случае сходимости можно выпол-
выполнить символическое умножение почленно. Непосредственно ясно, что
выражение:
/?=(?
формально вполне совпадает с обыкновенным геометрическим рядом
(см. рассуждения на стр. 8, где надо только положить А = \Т, чтобы
получить полное совпадение).
16 Алгебра линейных преобразований Гл. 1
Если представить нашу первоначальную систему уравнений не с по-
помощью матриц, а с помощью соответствующих им билинейных форм
в виде:
Е(и, х)-1Т(и, х) = Е(и,у),
то можно тотчас же записать решение во вполне симметричном к преды-
предыдущему виде:
Е(и, у) + П(и, у; У) = Е(и, х),
если положить
Билинейную форму Т называют резольвентой формы Т. Легко доказать
сходимость предыдущих рядов Неймана для /? и Т при достаточно
малых значениях |Х|.
Пусть М означает верхнюю грань абсолютных значений чисел tik,
тогда для абсолютных значений коэфициентов форм 7*2, Т3, ..., 7* мы
непосредственно получаем верхние грани пМ2, n2Ms, ..., nh~JMh, сле-
следовательно, выражение
представляет мажоранту, для ряда Неймана. Но эта мажоранта непре-
непременно сходится при |Х[<С~тт- Следовательно, ряд Неймана также
сходится при достаточно малых значениях |Х| и действительно пред-
представляет резольвенту формы Т(и, хI).
*) Сходимость предыдущей мажоранты, очевидно, с возрастанием и все ухуд-
ухудшается. Следует, однако, заметить, что можно при помощи небольшого уточнения
легко найти оценку границы сходимости, не зависящую от и, которую можно
поэтому применять и при обобщениях на случай бесконечно большого числа
переменвых. Обозначим элементы матрицы Т* через t$ и положим
Если М представляет верхнюю грань всех п чисел zp то, как мы покажем мето-
и
дом полной индукции, \\ | № | ^ М\ следовательно, • и подавно
№
при р, q=l,..., n и любом значении v. Отсюда .непосредственно следует, что
наш ряд Неймана сходится при | \ \ < -^. Таким образом получена грань, в ко-
которую число и явно не входит.
Чтобы доказать предыдущее неравенство для любого v, будем считать .его
доказанным для v — 1.
§2
Линейные Преобразования с линейным Параметром
Заметим, между прочим, что только что произведенная нами оценка
показывает, что мы можем во всякий повсюду сходящийся ст*епенной
со
v*v подставить вместо х произвольную матрицу А и по-
ряд /(jtr) =
v=0
00
лучить таким путем новую матрицу /{А) = ?J с^А'. В частности, следо-
вательно, всегда существует матрица еА.
Полученное нами выражение для R или Т сходится только при до-
достаточно малых \\\. Между тем формула A5) предыдущего параграфа
дает нам выражение для обратной формы или матрицы R = (E—XT)-1,
имеющее смысл и вне области сходимости ряда. В самом деле,
отождествляя форму Е — \ Т с формой А (к, х), получаем для обратной
формы выражение:
а для резольвенты Т выражение:
причем
А (и, у; Х) =
0 «j ... в„
Ух 1 **и ••• ^*1я
есть целая рациональная функция от X степени я — 1, а
21 ^ 22 * " • ^ 2к
целая рациональная функция степени в. Корни многочлена Д(Х) обра-
образуют, следовательно, определенный выше спектр формы Т, т. е. сово-
совокупность тех значений \, для которых форма Е<—\Т не имеет обрат-
обратной формы.
Тогда
ря
Л1)
п п
V
9=1 a=l
^ = 1 a=l
д=\ а=1
Так как неравенство справедливо при v=l, то тем самым оно доказано для
любого индекса v.
2 Курант'Гияьберт.
18
Алгебра Миеййых преобразований
Гл.!
При помощи формулы:
находящийся в левой части ряд, характер которого непосредственно
усмотреть нельзя и который сходится не при всех значениях I, анали-
аналитически продолжен на всю плоскость переменного "к. Обратная форма R,
как и резольвента Т, является рациональной функцией 1, полюсы ко-
которой представляют спектр формы Т.
Разлагая определители Д(и, _у; Л) и Д(Х) по правилам теории опре-
определителей по степеням л, получаем:
А (в, У, l) = Ai (", У) — АД2 (и, у) -f Х»Аа(и, у)—...
причем'
Ай(«, Jf) =
Уп
*П.Т}9 ...
При этом суммирование распространяетсй на все целочисленные зна-
значения pj, р2, ... , />й, от 1 до я, где рг <р2 < ... </>А.
Часто бывает удобно ввести вместо параметра \ обратное зна-
значение г. = у-. В этом случае целесообразно рассматривать форму
% Е — Т, с определителем
'12
—и, %—i
22
*2п
' 'л **—
'¦tut
представляющим целую рациональную функцию степени и от х, корни
которой X], ... , хй, представляют величины, обратные корням Д(Х), т.е.
собственным значениям формы 7*. Обратная форма (х?—Г)", которая
^существует для в,сех значений х, отличных от у.,,..., гл, может быть
представлена при достаточно больших значениях |х| с помощью ряда
Неймана:
Е Т Т2
§ 2 Линейные преобразования с линейрым параметром 19
Из этого разложения можно получить интересное следствие. Так как
левая часть, на основании предыдущего, является. рациональной функ-
функцией от % с знаменателем ф(х), то форма <р (х) (х Е—Т)~г должна быть
целой рациональной функцией от х, и следовательно, ее разложение
по степеням х не может содержать отрицательных степеней. Поэтому,
если мы умножим предыдущее равенство на <р(х) = х" + с,*" -j-...
... -f- cn, то в правой части должно будет получиться выражение,
в котором tfce коэфициенты при отрицательных степенях X равны
нулю. Коэфициент при X, как легко видеть, равен выражению
Тп-\-с11п~г-^-. ..-\-спЕ, и мы получаем, таким образом, теорему Кэли
(Cayley):
Если (р(у.) есть определитель матрицы Y.E—Т, то матрица Т
удовлетворяет соотношению:
Другой важный факт относительно спектра, представленного с по-
помощью характеристических чисел Уи ... хп, выражает следующая
теорема:
Если х,, ... , х„ представляют характеристические числа мат-
матрицы Т, a g(x) — произвольная целая рациональная функция от х,
то характеристическими числами матрицы g(T) будут
Для доказательства мы исходим из тождества:
Целью нашей является доказать соотношение:
Пусть h (x) — произвольная целая рациональная функция степени /*,
которая с помощью ее корней хг, ... , хг представлена в следующем
виде:
p
Тогда для произвольной матрицы Т имеет место тождество:
0 = 1
2*
20. Алгебра линейных преобразований Гл. I
Переходя к определителям, имеем:
p=i Р=1
г г п
=(- ire" П * (*р)=(—ire" П (П
l l l
p=l p = l
п г
= (- 1Г(-1Гй« П (П(х,—*
v = l р=1
Подставляя теперь вместо h(T) функцию V.E—g(T), непосред-
непосредственно получаем искомое равенство:
§ 3. Преобразование к главным осям квадратичных и
эрмитовых форм.
Особенно важной главой алгебры является теория линейного преобра-
п
зования квадратичной формы К(х, х)= ^ %xpxq к виду:
p,q=l
п
К(х, х) =
т. е. к виду, при котором переменные входят только в виде квадратов.
В первую очередь мы займемся задачей о преобразовании к такому виду
квадратичной формы К(х, х) с помощью ортогонального преобра-
преобразования:
д=1
Эта задача, к которой,часто приводят вопросы геометрии, механики
и теории колебаний, называется задачей о преобразовании к главным
осям, а искомое линейное преобразование — преобразованием к глав-
главным ссям.
1. Проведение преобразования к главным осям на
основании принципа максимума. Теперь мы докажем, что.
заданную квадратичную форму К(х, х) всегда возможно преобразовать
к главным осям. При этом мы будем опираться на тот факт, что не-
непрерывная функция от многих переменных, изменяющихся в некоторой
§ 3 Преобразование к главным осям квадратичных и эрмитовых форм 21
ограниченной замкнутой области, принимает в этой области наибольшее
значение (теорема Вейерштрасса)*).
Ввиду этого существует такой единичный вектор 17 с компонентами
1п, ... , 11п, что К(х, х) принимает наибольшее значение %}, при
л:1 = /11, ... , .*„ = /]„, при добавочном условии:
*=1. B5)
Геометрически вектор 12 определяет на „единичной сфере" B5) точку,
которая в то же время лежит на одной из поверхностей семейства
центральных поверхностей второго порядка К(х, х) = const, касающейся
единичной сферы.
Далее, существует ортогональный к1, единичный вектор 12 с компо-
компонентами /21, , 12п, такой, что К (х, х) при л:1 = /27, , хп = 12п
принимает наибольшее значение у.2, которое только возможно, если
к условию B5) присоединить условие:
И здесь непосредственно ясно, что для фигуры, получающейся
от пересечения единичной сферы с „плоскостью", ортогональной к век-
вектору Ij, можно решить ту же задачу, решение которой для всей еди-
единичной сферы дается вектором 1г.
Далее, существует такой единичный вектор 13, ортогональный к век-
векторам tj и 12, с компонентами /31, ..., 13п, что К(х, х) в конечной
точке этого вектора принимает наибольшее значение х3, которое воз-
можно при дополнительных -условиях B5), B6) и
Продолжая поступать таким образом, мы придем к системе п взаимно
ортогональных векторов llt ... , I ,..., 1„, которые мы будем назы-
называть векторами главных осей или собственными векторами; компо-
*) Преобразование к главным осям можно очень легко провести также не-
непосредственно алгебраически, если искать такую ортогональную матрицу L, чтобы
L'KL = D была диагональной матрицей с диагональными элементами z(, ¦//,..., х„.
Из условия KL = LD получаем для коэфициентов преобразования 1^ уравнения:
зи которых прежде всего числа v.t определяются как корни уравнения C0), ко-
которое будет позже выведено; далее, на основании простых алгебраических со-
соображений получается ортогональная система я2 величин 1ф Приведенный
в тексте метод доказательства имеет по сравненяю с алгебраическим то важное
для дальнейшего преимущество, что он применим к обширному классу трансцен-
трансцендентных проблем.
22 Алгебра линейных преобразований Гл. I
ненты / этих векторов, в силу того, что они удовлетворяют соотно-
соотношениям B1), определяют ортогональное преобразование:
хр = 2^1оРУа (Р=1.••-,«). B8)
которое, как мы утверждаем, дает ^решение нашей задачи.
Решая систему уравнений B8), получаем:
9Ха (*=!..... и). B9)
следовательно, равенство ? = Гр означает, что у = 1, a v =0 при
д=?р. В частности, следовательно, максимум х, достигается при значе-
значениях уг=1, У2 = 0, ..., у„ — 0, поэтому в преобразованной форме:
п
С(У,У)= ? сраУРУд>
Р. 9 = 1
первый коэфициент си равен v.v В таком случае форма
, У)=
не может иметь положительных значений. В самом деле, это утвержде-
утверждение несомненно справедливо при условий:
в силу foro, что xt является при этом наибольшим значением формы
С (у, у), следовательно, оно во всяком случае справедливо, если заме-
заменить у, через —— '' ; но умножая на 2 У2 получаем, что вообще
J^^O. Если бы переменное ух входило еще в выражение/^
например, если бы коэфициент h12 = h21 был отличен от нуля, то
форма Й(у, у) при
принимала бы значение:
2Л12 е + Аигв» = 8 BЛ12 + Л22 е),
которое при соответствующем выборе е могло бы быть положительным.
Тем самым доказано, что К(х, х) принимает после преобразова-
преобразования вид:
С (У, У) = гпуЦ-С1(у, у),
§ 3 Преобразование к главным осям квадратичных и эрмитовых форм 23
где Cj (у, у) означает квадратичную форму от п — 1 переменных
у%, , уп. При добавочном условии уг — 0 преобразованная форма,
следовательно, равна С, (у, у), и мы можем теперь совершенно та-
таким же образом, как и раньше, заключить, что С, (у, у) имеет вид
х2 3^ + ^г(У> У)> причем С2(у, У) зависит только от и — 2 переменных
Ув' • • • • Уп и т- Д-
Тем самым полностью доказана возможность преобразования к глав*
ным осям:
п п п п
Р, ? = 1
/7 = 1
Впрочем, для доказательства можно было бы с таким же успехом
исходить из соответствующей задачи о минимуме, т. е. можно было бы
искать наименьшее значение К (к, х) при условии Е(х, х) = \, и тогда
получились бы числа щ, ... , х„ в обратном порядке. Можно было бы
также фиксировать значение К(х, х) и разыскать наибольшие или
наименьшие значения Е(х, х). При этом получились бы значения \,
обратные щ.
2. Характеристические числа и собственные зна-
значения. Теперь мы покажем, что числа щ, определенные в п. 1 как
последовательные наибольшие значения, тождественны с характеристик
ческими числами, введенными на стр. 18.
Составим уравнение:
которое можно записать в виде;
——— it О О
О у. — х, ... О
О
о
= 0.
Но этот определитель является определителем квадратичной формы;
п Л
получающейся путем ортогонального преобразования из квадратичной
формы:
л
р — К(х, х).
Поэтому имеет место тождественное относительно х соотношение:
у. — y.j 0 ... О
О у.—тс,... О
о о ,.,¦*—
х ku k12 ... k
«21 7. R22 . . .
ln
24
Алгебра линейных преобразований
Гл, 1
следовательно, числа Xj,
уравнения:
, %п являются корнями алгебраического
• •• *лп
C0)
относительно неизвестной х, т. е. характеристическими числами.
Наше доказательство вместе с тем обнаруживает, что уравнение C0)
всегда имеет только действительные корни, если k —произвольные
действительные числа, удовлетворяющие условию k —kг). Заметим,
еще, что абсолютные величины собственных значений, т. е. чисел,
обратных характеристическим числам, геометрически означают квадраты
длин главных полуосей центральной поверхности второго порядка
К(х, лг)=1. Если по крайней мере одно из характеристических чисел
равно нулю, тр форма называется „выродившейся"; она может быть
представлена как форма от меньшего чем я числа переменных. Вслед-
Вследствие инвариантносхи определителя (см. стр. 13) это имеет место в том
и только в том случае, когда К=] kpg I = Xj Xg . .. хя обращается в нуль.
Для того чтобы К(х, х) было определенной положительной формой,
необходимей достаточно, чтобы хр>0, р= 1,... , п.
Если форма К(х, х) преобразована к главным осям:
К(х, *)==
то для квадратичной формы, стоящей в правой части, можно непосред-
непосредственно образовать итерированные формы, а принимая во внимание
сказанное ранее относительно ортогонального преобразования, получаем:
К»(х, х) =
КЦх, *) =
Отсюда мы видим, что Л-я итерированная форма Кн(х, х) имеет
в качестве характеристических чисел Л-е степени характеристических
чисел формы К(х, х), а собственные значения Кн(х, х) являются Л-ми
степенями собственных значений К(х, х), что, впрочем, непосредственно
следует из теоремы на стр. 19. Далее ясно, что при четном h форма
Kh(x, x) является определенной положительной формой.
3. Обобщение на эрмитовы формы. Совершенно анало-
аналогичным образом можно провести преобразование к главным осям и
I) Уравнение C0) обыкновенно называют „уравнением вековых возмущений"
(Sekulargleichung), так как оно встречается в задаче вековых планетных возму-
возмущений. Для прямого доказательства теоремы о действительности корней см„ на-
например, соответствующее рассуждение в гл. III, § 4, п. 2,
§ 3 Преобразование к главным осям квадратичиых и эрмитовых форм 25
эрмитовых форм. Эрмитову форму:
п
p,q=\
с матрицей //=//' можно всегда преобразовать с помощью унитарного
преобразования ?:
я
д=1
к виду:
п п
Н(х, х) =
где все коэфициенты хр — действительные числа. Характеристические
числа хт опять являются наибольшими значениями, эрмитовой формы
Н(х, х) при условии
'ipxp=0 (i=l,..., m-l).
P=i
4. Закон инерции квадратичных форм. Если отказаться
от требования ортогональности искомого линейного преобразования, то
квадратичную форму можно различным образом привести к виду, при
котором входят только квадраты переменных. ¦ Например, если выпол-
выполнить данное ранее ортогональное преобразование и затем сделать любое
преобразование подобия, т. е. преобразование, при котором каждая
переменная умножается только на некоторый множитель пропорциональ-
пропорциональности, то получим опять выражение такого же вида, В частности, сле-
следовательно, можно достигнуть того, чтобы все (действительные) коэфи-
коэфициенты формы имели значения -f-1 или — 1. При этом имеет место
следующая теорема, называемая законом инерции квадратичных форм.
Число положительных и отрицательных коэфициентов, которые
получаются при действительном и обратимом преобразовании квад-
квадратичной формы в выражение, состоящее только из квадратов, не
зависит от частного характера этого преобразования.
Доказательство. Положительные и отрицательные коэфициенты
могут быть, как было указано, сделаны равными соответственно -\- 1 и
— 1. Если бы квадратичная форма К(х, х) двумя различными действи-
действительными преобразованиями приводилась соответственно к виду
jM-...+j<»-j*h-. .-у*
и
•••-**
где /¦<«, то в силу соотношения
26 Алгебра линейных преобразований Гл, I
или
из системы уравнений у7 — ... =yr=zi+1 = ... = zn — 0 вытекало
бы обращение в нуль и остальных Уг, Так как система однородных
уравнений содержит менее п уравнений, то непременно существует от-
отличный от нуля вектор j, удовлетворяющий этой системе; но этот век-
вектор не может удовлетворять системе п однородных уравнений \) = О
с определителем, не равным нулю.
5. Выражение для резольвенты формы. Резольвента
квадратичной формы К(х, х) на основании изложенного в этом пара-
параграфе также легко может быть приведена к удобному виду, если со-
согласно § 2 определить ее с помощью символического равенства:
х)]-*—Е(х, х)
К(х, *) = Ц^
Представим себе, что форма К(х, х) путем преобразования к глав-
ным осям приведена к виду:
тогда резольвента формы
должна совпасть с резольвентой формы К(х, лг), так как [Е(х, х) —
— Ж(х, лг)] переходит при преобразовании в
Далее, имеем:
L
L
Если преобразовать здесь снова к переменным лг то получим,
пользуясь обозначениями A9), резольвенту К(лг, х; X) формы К(х, х)
в виде:
К (ж, *;Х) = Ё[ф^Э-\ C1)
§ 3 Преобразование к главным осям квадратичных и эрмитовых форм 27
или, возвращаясь к билинейной форме:
-1??. («ч
Между прочим, это выражение обнаруживает, что вычет рациональ-
иой относительно X функции К (и, х; X) в точке Х = Хр равен
-L'p(u)L'p(x),
если предполагать, что "кр=^=~кд при
6. Решение системы линейных уравнений, соответ-
соответствующей данной форме. В заключение выразим решение си-
системы линейных уравнений:
Ряхя^УР (/»=!,..., и), C3)
соответствующей квадратичной форме:
л
К(Х, Х)= 2 kpgXpXg>
р, д = 1
с помощью собственных векторов.
Применим к переменным xt и ^ преобразование к главным осям:
9=1
л
причем форма /Г(дг, л:) примет вид:
?
?*,*?-
тогда наша система уравнений C3) переходит в систему:
up — 1*pup = vp (P=l...., в), C4)
решением которой является:
ир-\-ы- х-хх^ C5)
р\-ы ххр-х^
В первоначальных переменных решение выражается эквивалентной
формулой:
±Ш-1р, C6)
28 Алгебра линейных преобразований Гл. I
в которой оно развернуто по собственным векторам 1г, ... , 1п формы
К(х, х). При этом полагаем
Собственный вектор I является нормированным решением системы
однородных уравнений:
r=l
ИЛИ
Если при q=f=p все х не равны % — у- , то «имеется только одно
нормированное решение:
или
Если среди характеристических чисел имеются равные между собой,
то собственные векторы определяются неоднозначно.
§ 4. Минимально-максимальное свойство собственных
ЗНАЧЕНИЙ.
1. Определение характеристических чисел с по-
помощью задачи о наименьшем значении максимума.
Выше мы ввели характеристические числа с помощью ряда задач на
нахождение максимума, причем в каждой предполагалось решение пре-
предыдущей. Теперь же, предполагая, что характеристические числа распо-
расположены в порядке убывания, покажем, как можно непосредственно оха-
охарактеризовать h-e характеристическое число как решение несколько
иной задачи, в которой не приходится ссылаться на решение предыду-
предыдущих задач.
Требуется найти наибольшее значение формы:
л
К(х, х)= 2 kpgxpxg,
если кроме условия
должны выполняться еще h—1 уравнений:
п
^p==O (v = l, .... h — 1; Л<и), C7)
p=i
§ 4 Минимально-максимальное свойство собственных значений 29
Далее, требуется, чтобы этот максимум, представляющий функцию пара-
параметров avp, путем соответствующего выбора этих параметров принял
наименьшее возможное значение.
Преобразование к главным есям приводит форму К(х, х) к виду:
условие B5) — к виду:
p
а уравнения C7) — к виду:
ЕМр^О, C9)
p=i
где R — новые параметры. Выбрав
получаем, каковы бы ни были R , h—1 однородных уравнений C9)
для h неизвестных уг, ... , yh; всегда можно подобрать систему значе-
значений, удовлетворяющую этим уравнениям и уравнению C8). Для этих
значений имеем:
к(х, *)=
Следовательно, искомый максимум при любой системе Rvp не может
быть меньше %h. Но этот максимум как раз становится равным %h, если
за систему C7) взять уравнения:
Л=... =3,^ = 0.
Таким образом получаем:
А-е характеристическое число 4.h квадратичной формы К{х, х)
есть наименьшее значение, которое может иметь максимум К(х, х),
когда кроме условия
У *2=1
4-А Р
Р=1
заданы еще h — 1 произвольных линейных однородных уравнений
между числами х .
2. Применения. На основании этого свойства характеристиче-
характеристических чисел особенно легко выяснить, как они изменяются, когда на
переменные налагаются j независимых „связей":
Spxp = 0 (*=!,..., /), D0)
так что К{х, х) сводится к квадратичной форме К(х, х) от п—/'
30 Алгебра линейных преобразований Гл. 1
независимых переменных, h-e характеристическое число хЛ предстанляет
решение той же задачи о минимуме максимума, что и хй, но
условием D0) совокупность допустимых систем значений xv ... , хп
суживается.
Поэтому отдельные максимумы, а вместе с тем характеристическое
число для К(х, х) не может превосходить соответствующего числа для
формы К(х, х).
Далее, тс»+й является наименьшим максимумом, который может при-
принять форма К(х, х), когда, кроме условия B5), заданы еще h-\-j—1
линейных однородных уравнений для х , и потому ху-+й ие может
быть больше, чем хй, для которого / из этих уравнений даны систе-
системой D0J.
Следовательно, хй S= xft ^ х,+й, или словами: если квадратичная
форма К{х, х) от п переменных при j независимых линейных одно-
однородных связях переходит в квадратичную форму К (х, х) от п—/
переменных, то характеристические числа y.v , хй_;- не больше
соответствующих чисел ряда х,, ... , %п_, и не меньше соответст-
соответствующих чисел ряда х,+1, ... , х„ а).
Если в частности взять /= 1 и выбрать в качестве линейной связи
условие xn — 0t то форма К{х, х) переходит в (л—1)-ю усеченную
форму, и мы получаем теорему:
h-e характеристическое число (п—1)-йусеченной формы не больше
А-го характеристического числа и не меньше (Н-\-\\-то характеристи-
характеристического числа первоначальной формы.
Применяя нашу теорему к (п — 1)-й усеченной форме, мы получаем
соответствующую теорему для характеристических чисел (п—2)-й усе-
усеченной формы и т. д. Вообще мы видим, что характеристические числа
двух последовательных усеченных форм данной квадратичной формы
распределяются по величине указанным образом.
Подобным же образом имеем: если к форме К{х, х) прибавить
форму, не принимающую никогда отрицательных значений, то харак-
характеристические числа суммы не меньше соответствующих чисел формы
К(х, х).
Вместо того чтобы для определения характеристических чисел поль-
пользоваться задачей о наименьшем значении максимума, можно было бы
с таким же успехом взять за исходный пункт задачу о наибольшем
значении минимума. Тогда опять получаются числа хй\ только в обрат-
обратном порядке.
Предоставляем читателю формулировать и доказать свойство наи-
наименьшего значения максимума для характеристических чисел эрмитовых
форм.
1) Для пояснения изложенных рассуждений сделаем следующее замечание.
Если пересечь трехосный эллипсоид плоскостью, проходящей через его центр,
то большая ось эллипса, полученного -в сечении, заключается между большой и
средней осью эллипсоида, а малая ось эллипса заключается между средней и ма-
малой осью эллипсоида.
Дополнения и задачи к первой главе
31
§ 5. Дополнения и задачи к первой главе.
1. Линейная независимость и определитель Грама.
Вопрос о линейной зависимости т данных векторов ttj, ... , )зт можно
формально очень просто решить, не прибегая, как это обычно делают,
к установлению ранга матрицы компонент, следующим образом. Рас-
Рассмотрим квадратичную форму:
т
G (X, X) = (ХЛ + ...-]- *„ DJ2
Несомненно, С (х, х)^
только в том случае, когда
i,h=\
, а векторы X)t линейно зависимы в том и
существует система значений переменных
хх,
хт, удовлетворяющая условию:
и при Которой С (л:, х) = 0. Следовательно, для того чтобы имела ме-
место линейная зависимость, минимум формы G(x, x) при условии B5')
непременно должен равняться нулю. Но этот минимум представляет
наименьшее характеристическое число квадратичной формы К(х, х),
т. е. наименьший корень уравнения:
— V.
= 0.
D1)
Итак: необходимым и достаточным условием линейной зависимо-
зависимости векторов »j, ... Х>т является обращение в нуль „определителя
Грама*
>т является обращение в нуль
@,0я) ...
ttf
D2)
Если расположить левую часть уравнения D1), которому удовлетво-
удовлетворяют все (неотрицательные) характеристические числа х2, ... ,%т формы
К(х, х), по степеням х, то свободный от % член равен Г, а коэфи-
циент при х7™ равен (—\)т. По известной теореме алгебры имеет ме-
место, следовательно, соотношение:
I —
Ч.
т.
D3)
Итак, определитель Грама любой системы т векторов не может
иметь отрицательного значения. Соотношение
3*0, D4)
32
Алгебра линейных преобразований
Гл. 1
в котором знак равенства может иметь место лишь для линейно зави-
зависимых векторов »,
Шварца (стр. 2):
представляет обобщение неравенства
¦ 0.
Значение определителя Грама или также наименьшее характеристи-
характеристическое число %т формы С (а:, х) представляет меру линейной независи-
независимости векторов Bj, , ьт. Чем меньше это число, тем более „плос-
„плоской" является m-мерная фигура, составленная этими векторами; если
эта мера независимости равна нулю, то число измерений фигуры не
более т — 1. Впрочем, определителю Грама можно легко приписать
геометрическое значение. Этот определитель равен кйадралу т!-кратного
объема /га-мерной геометрической фигуры, образуемой векторами
ttj,...,»m, следовательно, например, при /га = 2 равен квадрату удвоен-
удвоенной площади треугольника, построенного на векторах »й и »2.
Разумеется, критерий Грама для линейной зависимости должен
быть эквивалентен обычному критерию, гласящему, что векторы линейно
зависимы в том и только в том случае, когда все определители /га-го
порядка, которые м&жно выделить из прямоугольной таблицы компо-
компонент
...vln
иП 2 • • • V2n
Vn, V4,
равны нулю. В самом деле, по известной теореме теории определи-
определителей:
г-2
P., V,
... V,
V
mst
где суммирование распространяется ,иа все целые значения sv sz,
1 <[ <! С
от 1 до п, причем
[ sz <! •..
D5)
. , sm
sm'
2. Теорема Адамара (Hadamard) об оценке определи-
определителя. Для любого определителя:
ап а12 ... а1п
fl22 • • • °2п
ап1 ап2 • • • °пп
с Действительными элементами aik справедлива оценка
D6)
§ 5 Дополнения и задачи к первой глайё 33
Доказательство. Будем изменять элементы alk, однако, так,
чтобы суммы квадратов
п
2Лй = ^- (/=1,... , П)
оставались неизменными. Если А2тйХ представляет наибольшее значение,
которое может иметь функция Аг элементов alk при этих п условиях
(из теоремы Вейерштрасса, приведенной на стр. 21, непосредственно
следует, что такое наибольшее значение непременно должно быть полу-
получено для некоторого определителя Атя7), то элементы /lma5. в каждой
строке должны быть пропорциональны соответствующим минорам. В са-
самом деле, при любом выборе А имеем:
^ == ййИй1 "Г" • • • ~Г ahn^hn'
следовательно, на основании неравенства Шварца (стр. 2) находим:
если при этом числа ahk не пропорциональны числам Аш то значе-
значение А2, безусловно, не будет наибольшим, так как в этом случае
имеет место знак неравенства, между тем путем изменения п величин ahk
(k = l, .-..-, и) мы можем, не меняя чисел Ahk и числа cft, сделать
квадрат определителя равным правой части.'
Умножая определитель Атях на себя самого по правилу умножения
определителей, мы получаем:
так как скалярные произведения двух различных строк равны нулю
в силу только что доказанной пропорциональности, как" это следует из
элементарных теорем теории определителей. Поэтому для первоначаль-
первоначального определителя А справедливо соотношение:
j=l »=!*=!
Геометрически теорема Адамара означает, что объем параллеле-
параллелепипеда, построенного в я-мерном пространстве на п векторах данной
длины, будет наибольшим, когда векторы взаимно перпендикулярны.
Оценка Адамара справедлива и при комплексных значениях alk,
если вместо А « u.lk
3. Одновременное преобразование двух квадратич-
квадратичных форм к каноническому виду. Преобразование к главным
осям является частным случаем более общей задачи (которая сводится
к предыдущей, но может быть столь же просто изучена и непосред-
3 Курант-Гильберт,
34 Алгебра линейкых преобразований Гл. 1
ственно) об одновременном преобразовании двух заданных квадратич-
квадратичных форм:
К(Х, Х).
р, g = l
п
р,Я=1
одна из которых, скажем Н(х> х), определенная положительная, с по-
помощью линейного преобразования
8 = 1
в выражения, содержащие только квадраты переменных:
п
К(х, х)= /, ъпУг>
p=i
п
р=1
При этом коэфициенты jjp положительной формы Н . могут быть
X
сделаны равными -\-\. Отношения — = рр мы назовем характеристиче-
характеристическими числами, числа —=^р—собственными значениями формы д (х, х)
гр
по отношению к H(xt x).
Требуется непосредственно провести теорию преобразования и дока-
доказать следующее свойство характеристических чисел.
При pj S= ... S= р„ число pft является наименьшим значением, кс
, К(х, х)
торое может иметь максимум функции тг, при добавочных
Н(х,х)
условиях:
п
у.-__п /v 1 и 1\
^сли рассматривать этот максимум как функцию параметров ft .
Для нахождения искомого преобразования можно искать сперва макси-
1\ \Хц X) v,. „ ~
мум ¦ —' при условии Н (jfj х) = 1; пусть этот максимум дости-
пух, х) .
гается пр»# ^„ = /-(/7=^1,..., и). Затем присоединяем дальнейшее
добавочное условие:
§ 5 Дополнения и задачи к первой главе 35
и т. д. Характеристические числа рр являются корнями уравнения:
Это уравнение можно получить также как условие разрешимости
однородной системы уравнений:
7=1
Системы значений х-, соответствующие отдельным характеристическим
числам, дают после соответствующего нормирования компоненты „соб-
„собственных векторов", т. е. коэфициенты искомого преобразования.
4. Билинейные и квадратичные формы от беско-
бесконечно большого числа переменных. Наши теории остаются
справедливыми и в том случае, когда число переменных неограниченно
возрастает, если только при этом сделать некоторые предположения,
во-первых, относительно коэфициентов билинейных или квадратичных
форм, например, допустить, что'сумма их квадратов сходится, а во-
вторых, предполагать также сходимость суммы квадратов входящих
переменных. Эта теория форм от бесконечно большого числа перемен-
переменных, разработанная Гильбертом, может быть непосредственно применена
к многочисленным проблемам анализа. Однако в этих проблемах мы
можем быстрее притти к цели, если пойдем более прямым путем, соот-
соответствующим алгебраическому векторному и тензорному исчислению.
5. Бесконечно малы'е линейные преобразования.
Бесконечно малым линейным преобразованием называют преобразование
с матрицей:
причем е есть бесконечно малая величина первого порядка, т. е. такая
величина, высшими степенями которой можно в рассматриваемом случае
пренебречь по сравнению с низшими. Произведение двух бесконечно
малых преобразований с матрицами Л = ? + (ея№) и B — E-\-(e$lk)
имеет матрицу C = AB — E-\-(zdtf!-\-t'$ih). Отсюда следует:
Бесконечно малые преобразования обладают свойством перемести-
переместительности.
Далее:
Матрицей, обратной матрице А=-Е-\-(*и:к), является А~1 =
=¦?—{eaik); определитель матрицы А = Е-\-(щь) равен 1-|-s (ап-}-
Если бесконеч-io малое преобразование ортогонально, то из условия
АА'=Е, где А' — транспонированная матрица, следует соотношение
3*
36 Алгебра линейных преобразований Гл. I
a^-j- яы==0, т. е. необходимым и достаточным условием ортого-
ортогональности бесконечно малого преобразования является требование,
чтобы матрица его, если отнять от нее матрицу Е, была косо
симметрической.
Бесконечно малое преобразование общего вида' С= Е -\- (еу^) можно
с помощью величин:
( )
представить в виде произведения ортогонального преобразования с ма-
матрицей А = Е -f- {ialk) и симметрического преобразования с матрицей
Симметрическое, хотя бы и не бесконечно малое преобразование
5 c матРичей S—{sn,) геометрически означает растяжение
в п взаимно перпендикулярных направлениях. В самом деле, введем но-
новые переменные к, и vt при помощи преобразования к главным осям
квадратичной формы S(x, x), так что
/,А = 1
тогда уравнения примут вид:
что аналитически выражает „неравномерное" растяжение, отнесенное к
главным осям. Отношение приращения объема к первоначальному объему,
„объемное расширение", выражается, очевидно, разностью х,...хя—1,
вместо которой мы можем также писать I slk I — 1. Если в частности
преобразование бесконечно малое, т.е. (sjk) = E-^-(e$tk), то
X, ... Х„— 1 = 6 (?„'+. • • + Ы-
Так как ортогональное преобразование означает вращение, то можно
резюмируя сказать:
Бесконечно малое преобразование с матрицей 2:-f-(sy/ft) можно
представить в виде произведения вращения и растяжения; объемное
расширение равно е
i
6. Вариированные системы. Для теории малых колебаний
имеет важное значение вопрос: как изменяются собственные значения и
собственные векторы квадратичной формы
К(х, *) =
«
если вариировать и единичную форму Е(х, х) и форму К(х, х), т. е.
§ 5 Дополнения и задачи к первой главе 37
если одновременно преобразовать к каноническому виду формы Е (х, х) -f-
-f- еА (х, х) и Е (х, х) -f е В (х, х) (см. п. 3), где
п п
А(х, x) = y?4al
а е — параметр.
Полагаем
и
sB (х, х) = 2 *
тогда уравнения, служащие для определения компонент собственных
векторов (см. стр. 35), имеют вид:
причем р' определяется из уравнения, получающегося приравниванием
нулю соответствующего определителя и имеющего п действительных
корней.
Обозначим характеристические числа К(х, х) через рй, р2, ... рп,
причем предполагаем, что все они между собой различны; соответству-
соответствующие значения для вариированной системы обозначим через р|, р'2, ... р'п.
Мы можем тогда принять, что исходная форма К(х, х) задана в виде
суммы квадратов:
К(х, х) = р,
Величины pj, являясь простыми корнями алгебраического уравнения,
представляют в окрестности точки s = 0 однозначные аналитические
функции от е; это же справедливо н для компонент х'^ вариированных
собственных векторов, соответствующих характеристическим .числам p'h.
Следовательно, величины р^. и x'hk можно искать в виде степенных ря-
рядов, расположенных по степеням е, свободные члены которых, конечно,
соответственно равны pt и xhk. Для того чтобы последовательно опре-
определить коэфицненты при s, е2, ... , подставляем эти ряды в уравнения
в которых, кроме того, надо положить b\k = blk-f- t$lk, ojft = «tt-f-6a/*»
где SH=p(., bik=0 (i=?k), eH—\, elk—0 (i^k). Располагая по сте-
степеням e и приравнивая нулю кбэфициенты при этих степенях, получаем
бесконечную последовательность уравнений. Вполне эквивалентным, но
несколько более удобным является следующее рассуждение, в котором б
рассматривают как величину бесконечно малую. Именно, рассмотрим
ИЗ предыдущих уравнений для компонент h*w собственного вектора
38 Алгебра линейных преобразований Гл. I
h-e уравнение -(/=h), в нем все слагаемые с точностью до бесконечно-
малых второго порядка относительно е равны нулю:
Рассмотрение уравнений при i=/=h, в которых все члены, кроме
двух, представляют бесконечно-малые второго порядка, дает с точностью
до бесконечно-малых второго порядка:
г> 1. у>
так как сумма 5jJt/S:==^"
Пользуясь этими значениями компонент собственных векторов, мы
можем очень легко вычислить собственные значения с точностью до
бесконечно-малых третьего порядка. Рассмотрим опять уравнение для
компонент А-го собственного вектора, получающееся при i — h:
Отбрасывая в левой части величины третьего порядка относительно в
и уединяя член, для которого k — h, получаем:
к Yh
отсюда следует, что
k Рй-Р*
При этом штрих, поставленный у знака суммы, означает, что сум-
суммирование распространяется иа все значения k от 1 до п, кроме значе-
значения k = h.
7. Наложение связи.
и связанное с этим уменьшение числа переменных квадратичной формы
я
К(х, *) = ?*„*^
р,д=1
можно представить себе осуществленным прн помощи непрерывного про-
процесса, а именно рассматриваем квадратичную форму
К(х, х) -f t (у,jfj + . • • + ТЛJ.
где t — положительный параметр. Если / неограниченно возрастает, то
и каждое из характеристических чисел монотонно возрастает. В част-
частности наибольшее из характеристических чисел возрастает неограниченно,
между тем как остальные переходят в характеристические числа, квад-
§ 5 Дополнения и задачи к первой главе 39
ратичной формы, получающейся из К(х, х) исключением одной пере»
менной при помощи соотношения Yi-^i ~Н • ¦ • ~+~ Упхп==®-
8. Элементарные делители матрицы или билиней-
билинейной формы. Пусть §1 тензор, А = (а№) — соответствующая матрица.
Тогда полином
х — аи
а21 У» Й22 • • ¦ п2п
разлагается по известным правилам, которые мы здесь приводить не
станем, на „элементарные делители":
(х — гл)е\ (х — г2у*, .... (х — rh)%
причем среди чисел rv r2, ... , rh могут бытьи равные между собой.
Каждому элементарному делителю (х—rv)ev соответствуют ev векторов
f Jv), f2v), ... , f(ev\ для которых имеют место равенства:
При этом п векторов
линейно независимы. Если ввести новые переменные л:'1), ... , лДО, при-
приняв эти векторы за единичные векторы новой системы, то матрица А
превратится в матрицу:
М, 0 ...0 0'
О Л2 ... О О
О ...0Ah,
где Аг, А2, ... , Ah в свою очередь являются матрицами, среди кото-
которых могут оказаться матрицы, состоящие только из одного элемента, а
именно Ач представляет матрицу порядка ev;
0 0 ... О 0\
гч 0 ... О О
1 rv... О О
О) О 0 ... 1 rv
9. Спектр унитарной матрицы. Докажем, что спектр уни-
тарной матрицы лежит на окружности радиуса 1.
Для доказательства заметим, что все элементы унитарной матрицы
по абсолютному значению не больше единицы, а потому абсолютные
значения коэфициентов характеристических уравнений всех унитарных
матриц п-го порядка меньше некоторой грани, не зависящей от част-
частного вида матрицы. Так как первый и последний коэфициенты характе-
характеристического уравнения по абсолютному значению равны единице, то
40 Алгебра линейных преобразований
тем самым доказано существование независящих от частного вида ма-
матрицы верхней и положительной нижней грани для абсолютных значе-
значений характеристических чисел, С другой стороны, все степени Ат уни-
унитарной матрицы являются унитарными, а их характеристическими чи-
числами являются ти-е степени характеристических чисел матрицы А, Эти
степени и обратные им величины могут только в том случае оставаться
по абсолютному значению меньше некоторой грани, не зависящей от т,
если абсолютное значение \{ равно единице.
Другой метод доказательства, который может быть распространен и
на бесконечные матрицы, получается путем изучения сходимости ряда
Неймана для (Е— ХА)-1.
В самом деле, ряд
где А — унитарная матрица, непременно сходится, пока |Х|<[1, так как
элементы матрицы Ат все по абсолютному значению не превосходят еди-
единицы, и потому для элементов, стоящих в правой части, геометрический
ряд является' мажорантой. Таким образом нули \Е — \А\ не могут ле-
лежать внутри круга радиуса 1. С другой стороны, ввиду того, что
AA'=zE, имеем:
(Е-
геометрический ряд в правой части сходится, если
1, так как
и А1 есть унитарная матрица. Вместе с тем нули \Е — Ы\ не могут''
лежать и вне круга радиуса 1. Следовательно, эти нули должны лежать
на окружности радиуса 1, как мы и утверждали.
Литература к главе I.
Учебники.
Kowalewski G., Einfuhrung in die Determinantentheorie, Leipzig 1909.
Bdcher M.. Einfuhrung in die hohere Algebra, Leipzig und Berlin 1910.
(Русский перевод. Бохер, Введение в высшую алгебру, ГТТИ, 1933 г.)
Монографии и статьи.
Hubert D., Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen-Integralgleichungen
(в особенности первый и четвертый отдел). Leipzig und Berlin 1912.
Fischer E, Ueber quadratische Formen mit reellen Koeffizienten, Monatsh. f. Math,
u. Phys., т. 16, стр. 234—249, 1905. Там, пожалуй, впервые указано максимально-
минимальное свойство собственных значений.
Courant /?., Zur Theorie der kleinen Schwingungen, Ztschr. f. angew. Math.
И Mech., т. 2, стр. 278-285, 1922. *
Winder A., Spektraltheorle der unendlichen Matri?en, Leipzig 1929,
Глава II.
Задача о разложении в ряд произвольных функций.
Многие из соотношений, рассмотренных в предыдущей главе, нахо-
находят далеко идущую аналогию, если вместо векторов в n-мерном про-
пространстве рассматривать функции от одной или многих переменных,
определенные в данной основной области G< Так, например, тому
факту, что в пространстве п измерений всякий вектор может быть ли-
линейно представлен с помощью п произвольно выбранных независимых
векторов, соответствует задача о выражении более или менее произ-
произвольно взятой функции, определенной в основной области О, в виде
линейной комбинации заданных функций. (Множество заданных функ-
функций должно быть бесконечным, в чем мы непосредственно убедимся
в дальнейшем.) Мы говорим тогда о задаче разложения произвольно
взятой функции по заданной системе функций.
В настоящей главе мы рассмотрим с общей точки зрения этот воп-
вопрос, встречающийся в самых разнообразных формах в задачах матема-
математической физики.
При этом мы ограничиваемся кусочно-непрерывными функциями,
т. е. такими функциями, для которых основная область О может быть
разбита на конечное число частичных областей так, чтобы функция
внутри каждой из них была. непрерывна и стремилась при произвольном
приближении изнутри к границе частичной области к определенному
конечному пределу. Для более удобной записи мы сначала будем пред-
предполагать, что мы имеем дело с функциями только от одного перемен-
переменного х, основной областью G которых является конечный отрезок
оси лг.
Если речь будет итти о функциях от многих переменных, напри-
например* от двух переменных х и у, то мы будем предполагать, что
основная область О ограничена конечным числом дуг кривых, с не-
непрерывно вращающейся касательной". Когда мы будем считать точки
границы принадлежащими основной области, то мы будем говорить
о „замкнутой области", если только это не вытекает из самого
текста.
Далее, мы часто будем предполагать относительно рассматриваемых
функций, что они кусочно-гладкие т. е. что они кусочно-непрерывны
и имеют кусочно-непрерывные первые производные. Мы предполагаем,
что наши функции имеют действительные значения е том случае, когда
не оговорено противоположное.
42 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
§ 1. Ортогонлльные системы функций.
1. Определения. Под скалярным или внутренним произведением
(/» g) или (fg) дчУх фУнкИий /(*) и g{x) мы разумеем взятый по
основной области интеграл1).
0)
Это произведение удовлетворяет неравенству Шварца:
(f, gJ^(f,f){g, g), B)
которое так же, как и в случае векторов, либо вытекает из определен-
определенного положительного характера квадратичной относительно \ функции
либо же следует непосредственно из тождества:
1 ГС
(/. gf = (Л /) {g, g) — ¦? \ \ [f{x)g$) -
знак равенства имеет место в том и только в том случае, если / и g
пропорциональны. Две функции;, скалярное произведение которых
равно нулю, будем называть ортогональными. Скалярное произведе-
произведение функции f(x) на самое себя будем называть нормом этой функции
и писать так:
г
¦ C)
функцию, норм которой равен единице, назовем нормированной функ-
функцией. Систему нормированных функций <р, (х), <р„ (х), ... , в которой
каждые две различные функции взаимно ортогональны, будем называть
ортогональной нормированной системой, а характеризующие ее соот-
соотношения
Opv> (Pu) = ^u (е^=1' е„и.= ° ПРИ
назовем соотношениями ортогональности.
Пример ортогональной нормированной системы функций в интер-
интервале 0^лг^2тт или вообще в любом интервале длины 2тт предста-
представляют функции
1 cos х cos 2x sin x sin 2лг
]/2ir у тг |/тг |/тг ' j/тт
Для функций действительного переменного, принимающих комплексные
значения, удобно ввести обобщение понятия ортогональности.
*) Мы в дальнейшем опускаем границы интегрирования там, где это не мо-
может привести к недоразумениям.
§ 1 Ортогональные системы функций 43
Две таких функции/(лг) и g(x) называются ортогональными, если
имеют место соотношения:
{f,~g)=Cf, g)=o,
причем fug означают, как это обычно принято, сопряженные ком-
комплексные функции по отношению к / и g.
Функция f(x) называется нормированной, если
Nf=
Простейший пример комплексной ортогональной системы представ
вляют в интервале —тг^лг^тг показательные функции:
что непосредственно видно из „соотношений ортогональности":
J
J
= 0 при р ф v). D)
Функции /,,..., /г называются линейно зависимыми, если они удо-
удовлетворяют тождественно относительно х однородному линейному соот-
соотношению
«¦=1
с постоянными коэфициентами с,(г=1, ... , г), которые не все равны
ную. В противном случае эти г функций называются линейно неза-
независимыми. Важно заметить, что функции ортогональной системы всегда
линейно независимы. В самом деле, из соотношения
следовало бы, если его умножить на tpv и интегрировать, что cv —0.
2. Ортогонализация функций. Из заданной бесконечной
системы функций vlt v2, .., , обладающей тем свойством, что при
любом г каждые г произвольно выбранных функций линейно незави-
независимы, можно при помощи я процесса ортогонализации" получить орто-
ортогональную нормированную систему функций (р3, tp2, ... , выб/фая tpn как
соответствующую линейную комбинацию функций vv ... , vn. Сначала
полагаем
Затем определяем любые два не обращающихся одновременно в нуль
числа Cj и с2 так, чтобы функция у'2 —сгух-\-c2v% была ортогональной
к <Pj, т. е, чтобы имело место равенство:
44 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
Функция f'2 в силу линейной независимостн v1 и v2, а следовательно,
и функций ср, и v2 не может тождественно равняться нулю.
Таким образом
представляет нормированную функцию, ортогональную к <р1#
Далее, образуем функцию
выбирая три не равных одновременно нулю числа с*, с*, Сд, удовлетво-
удовлетворяющие двум линейным однородным уравнениям:
В силу линейной независимости г»,, v2, v3, а вместе с тем и y
функция (рз не может равняться нулю тождественно, и потому
представляет нормированную функцию, ортогональную к <р, и <р2.
Продолжая неограниченно этот процесс, мы получаем искомую орто-
ортогональную систему функций с помощью рекуррентной формулы:
й+1 h-\
Когда мы в дальнейшем будем говорить об ортогонализации, то мы
всегда будем разуметь только что указанный процесс, который одно-
одновременно с ортогонализацией дает и нормирование, если только не бу-
будет явно указано нечто другое.
3. Неравенство Бесселя. Условие полноты системы.
Аппроксимирование в среднем. Если дана ортогональная нор-
нормированная система функций <рх, Ф2> - - • и л1°бая функция /, то числа
с, = (/р,) (v=l, 2,...) E)
называются коэфициентами разложения или компонентами функции /
относительно заданной ортогональной системы1).
Из непосредственно очевидного соотношения
(б)
О В связи с теорией рядр.8 Фурье иногда употребляют также выражение
„коэфициенты Фурье".
§ 1 Ортогональные системы функций 45
путей возведения в квадрат и почленного интегрирования получаем:
/* П п П П П
откуда
. п
] < Nf; G)
так как в правой части находится постоянное, не зависящее от п
число, то
со
Это основное неравенство, неравенство Бесселя, справедливо для
любой ортогональной нормированной системы. Это неравенство дока-
доказывает сходимость ряда с неотрицательными членами, составленного из
квадратов коэфициентов разложения, находящегося в левой части соот-
соотношения (8).
Для системы функций, принимающих комплексные значения, спра-
справедливо соответствующее соотношение:
со
J (8')
если под еч разуметь коэфициент разложения cv = (/, cpv).
Оно вытекает аналогично случаю действительных функций из нера-
неравенства:
II
v=l
Интегральное выражение, стоящее в левой части формулы F) полу-
получается совершенно естественно, если поставить себе задачу аппрокси-
аппроксимировать в смысле метода наименьших квадратов^данную функцию
/(*) с помощью линейного аггрегата
v=l
с постоянными коэфициентами yv u фиксированным числом слагае-
слагаемых и так, чтобы „средняя квадратичная ошибка"
была возможно меньше. Действительно, путем простого преобразова-
преобразования интеграла получаем тождество:
46 Задача о разложении в ряд произвольный функций Гл. И
из которого непосредственно следует, что минимум М достигается при
Если для любой кусочно-непрерывной функции / можно сделать
наименьшую среднюю квадратичную ошибку
2
dx
путем соответствующего выбора п меньше сколь угодно малого поло-
положительного числа, т. е. если можно каждую такую функцию аппрокси-
аппроксимировать в смысле способа наименьших квадратов или, как мы будем
говорить, в „среднем* с произвольной точностью, с помощью линейного
и
аггрегата ^ ev!pv с достаточно большим числом членов, то систему функ-
v=l
ций tpj, ф2, ... мы будем называть „полной ортогональной системой
функций".
На основании предыдущих рассуждений коэфициенты разложения
cv = (/<pv) любой функции / удовлетворяют соотношению:
= ЛГ/, (9)
которое мы будем называть „условием полноты".
Это условие можно записать в более общем виде:
со
S «А = (/.«). О')
4=1
где
который получается, если применить формулу (9) к функции f-\-g:
со со
N[f+ g) = Nf+ Ng+2(/, g) =
v=l
и затем вычесть соответствующие равенства для / и g.
Впрочем, для полноты системы функций tp, ,(f>2,... достаточно, чтобы
условие полноты (9) было выполнено для всех непрерывных функций/.
В самом деле, всякая кусочно-непрерывная функция g может быть ап-
аппроксимирована с помощью непрерывной функции / так, чтобы интег-
интеграл и/—gJdx имел сколь угодно малое значение. Такую функцию /
можно, например, построить следующим образом: представим себе кри-
кривую, изображающую функцию g; около каждой точки разрыва xt этой
функции отметим на кривой две точки с абсциссами xt — 5 и xt -+¦ 8,
где 8 можно выбирать сколь угодно малым; эту пару точек соединим
прямолинейным отрезком и этим отрезком заменяем нашу кривую в каж-
§ 1 Ортогональные системы функций 47
дом таком интервале х). Если а1г а2,... представляют коэфициенты раз-
разложения функции g, a cv c2...—коэфициенты разложения функции/,
то из того, что интеграл 1 (/— E^f») dx может быть сделан путем
соответствующего выбора п сколь угодно малым, следует на основании
неравенства Шварца справедливость аналогичного утверждения для инте-
интеграла:
В самом деле,
v=l / \ v = l
Следовательно,
¦ v=i
Ho
Л1 = f (g-
так как коэфициенты разложения ач для g дают наименьшую квадратич-
квадратичную ошибку. Таким образом условие полноты доказано и для функции /.
Следует обратить внимание на то, что из полноты системы функ-
функций <pj, <p2,..., т. е. из равенства
со
ни в коем случая нельзя делать заключение, что /=± \\ cv (pv, т. е. что
со
функция / разлагается в ряд по функциям <pv. Однако, если ряд^\ cv tpv
равномерно сходится и мы можем поэтому сделать переход к пре-
предельной функции под знаком интеграла, то разложимость функции/
очевидна. Полнота данной системы «р.,, (р2,.. .является при этом, конечно,
необходимым условием; действительно, выделив, например,- из полной
системы одну функцию, мы видим, что все компоненты ее относительно
остающейся неполной системы равны нулю. Но и для полной системы
') В самом деле, пусть М означает верхнюю грань fg {x)[, &q — число точек раз-
разрыва функций g [x) в промежутке интегрирования, тогда в неравенстве
правую часть можно сделать сколь угодно малой при соответствующем выборе
48 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
функций <pj, <р2,... вопрос о разложимости функции / требует более
подробного исследования, которое мы в дальнейшем (гл. V и VI) будем
еще проводить в различных случаях.
Содержание предыдущего предельного равенства мы будем также вы-
ражать следующим образом: последовательность функций ^?v<Pv схо-
v=l
дится в среднем к функции /.
Далее, приводим теорему кусочно-непрерывная функция однозначно
определяется своими коэфициентами разложения по заданной полной
ортогональной системе, т. е. две кусочно-непрерывные функции тож-
тождественны между собой, если их коэфициенты разложения соот-
соответственно равны. Действительно, разность двух таких функций с рав-
равными коэфициентами имеет коэфициенты, равные нулю, и следовательно,
в силу условия полноты и норм ее равен нулю; следовательно, эта раз-
разность сама должна тождественно равняться нулю. Таким образом функ-
функция однозначно характеризуется своим разложением по полной ортого-
ортогональной системе функций и в том случае, когда разложение сходится
не в обычном смысле, а только в среднем. Во многих рассуждениях
достаточно бывает этой сходимости в среднем.
Понятие полноты системы функций сохраняет смысл и в том случае,
когда система не ортогональна и не нормирована. Вообще мы будем
называть систему функций полной системой, если любая кусочно-непре-
кусочно-непрерывная функция может быть аппроксимирована в среднем с любой точ-
точностью при помощи линейного агрегата этих функций. Полнота такой
системы переносится также иа ортогональную систему, получающуюся из
иее путем ортогонализации.
4. Ортогональные и унитарные преобразования бес-
бесконечно большого числа переменных. Ортогональные норми-
нормированные системы функций аналогичны во многих отношениях ортого-
ортогональным системам нормированных векторов в n-мерном пространстве;
компоненты ev = (/<pv) функции / можно рассматривать как прямоуголь-
прямоугольные координаты функции / в системе координат, определенной при
помощи „координатных функций" <plf <p2... в пространстве бесконечно
большого числа измерений.
Если ф1; <|>2,...—другая ортогональная нормированная система, в ко-
которой компонентами функции / служат d^ = (ftyj, и если обе системы
являются полными, то применение условия полноты (9') к функции /
и функциям у. по отношению к системе <J>j, ф2,..., непосредственно
дает бесконечную систему равенств:
1 (/=1,2,...).
Соответственным образом получаем обратную систему равенств:
со
§ 1 . Ортогональные системы функций 49
Коэфициенты удовлетворяют условиям:
со
k=i
(ПГ|
представляющим обобщение условий ортогональности в пространстве п
измерений (гл. I, § 1} на пространство бесконечно большого числа из-
измерений. Поэтому преобразование A0), удовлетворяющее условиям A1)
и (Пг), называют ортогональным преобразованием бесконечно большого
числа переменных.
Аналогично устанавливается связь между коэфициентами двух ком-
комплексных ортогональных систем при помощи унитарного преобразова-
преобразования бесконечно-большого числа переменных.
5. Справедливость результатов в случае нескольких
независимых переменных. Расширение предпосылок.
Все установленные нами понятия и рассуждения остаются справедливыми,
есЛи вместо функций от одной переменной х рассматривать функции от
нескольких переменных, например от х и у, причем переменные изменя-
изменяются в заданной конечной области О, элемент площади которой обозна-
обозначим через dO. Внутреннее произведение (/, g) двух функций /{х, у) и
?>(х> y)t определенных в этой области О, мы определяем равенством
(f, g) = \fgdQ, и тогда в обозначениях и доказательствах этого пара*
с
графа не приходится делать никаких существенных изменений.
Далее, все установленные понятия и факты сохраняются и в том слу-
случае, если считать основную область бесконечной и допустить, что все
встречающиеся функции вместе с их квадратами интегрируемы во всей
основной области'.
Наконец, заметим, чтолаши понятия сохраняют смысл, если функция/
обращается ч бесконечность в основной области так, что квадрат ее
интегрируем во всей основной" области.
6. Построение полных систем функций от многих пе-
переменных. Если известны полные системы функций от одной перемен-
переменной, то можно построить полные системы функций от двух и большего
числа переменных на основании следующей теоремы: если система
функций
Представляет полную ортогональную нормированную систему функций
'¦р интервале a<s<i'H если для любого /=1,2... в интервале d
гфункции
«Образуют такую же систему, то функции
SO Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
образуют полную ортогональную одстему функций от s и 1в прямоуголь-
прямоугольнике as^ss^b, c^t^d. В частности система функций <ft(s)<fhit) яв-
является ортогональной и полной системой в области квадрата
Если f(s, t) является непрерывной функцией от s и t в этом прямо-
прямоугольнике, то имеет место условие полноты:
\\
f4s, t;dsdt = JZ (\\f(s> <)»«(*. t)dsdt\.
Для доказательства исходим из соотношения:
сю
>—;/iWi
1=1
пеgi(t)=\f(s,t)<fl(s)ds, выражающего полноту системы функций tft.
Так как ряд в правой части сходится равномерно1), то мы имеем право
почленно интегрировать по t и получаем:
сю
(Т /2(S,t)dsdt=J^ f
К г-му члену в правой части применяем условие полноты по отношению
к системе функций фм (t) , (й==1,2,...) и непосредственно получаем
искомое соотношение.
§ 2. Принцип предельных точек в функциональном
пространстве.
1. Сходимость в функциональном пространстве. Ана-
Аналогия между функциями и векторами в л-мерном пространстве часто
сю
*) Это следует из теоремы Дини (Dini): если ряд 2 /v @ положительных не-
прерывных функций, сходящихся в замкнутой области G, представляет непрерыв-
непрерывную функцию S(t), то этот ряд сходится равномерно. Наметим здесь доказател,ь-
п
ство в самых общих чертах. Полагаем Sn (t) = 2 /»(*)> S W = $n @ + Rn @- Если
4 = 1
бы утверждение было неправильным, то существовали бы положительное число а,
неограниченно возрастающая последовательность чисел /Zj, и2, п3,... и соответству-
соответствующие значения tt, t%. ts,... в области G такие, что /?„. (^)Эг«, и следовательно,
Sn{ {tt) s? S (tt) — а. При этЪм мы можем допустить, что значения tt стремятся к не-
некоторому пределу t из области О. Пусть теперь N означает определенно выбран-
выбранное число, тогда при n^N и Sn. (t/M5 SN(tt), следовательно, SN(Ц «S S (tj) — a.
Здесь, мы неограниченно увеличиваем i и получаем в силу наших предположений
о непрерывности:
что при достаточно большом N, конечно, невозможно.
§ 2 Принцип предельных точек в функциональном пространстве 51
нарушается, если перейти к рассмотрению бесконечных совокупностей
функций и бесконечных совокупностей векторов. В случае векторных
многообразий непосредственно из простейших фактов анализа (принцип
предельных точек, определение сходимости) следует, что из каждого
бесконечного множества векторов to с ограниченным абсолютным значе-
значением. |to| или ограниченным нормом to2 = A/to можно выбрать сходя-
сходящуюся подпоследовательность, далее, что из соотношения
я->ОО
те-» СО
имеющего'место для последовательности векторов t)v . to2, to3,..-., выте-
вытекает существование предельного вектора to = lim toH, и, наконец, что
л-5-00
из соотношения lim7VtoH = 0 получается соотношение linf ton = O.
л-5-00 я->С0
В пространстве бесконечно большого числа измерений эти утверж-
утверждения перестают быть правильными. Например, не из всякого беско-
бесконечного множества непрерывных функций f(x) с ограниченным нормом
Л// можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к непрерывной
функции; нельзя также из соотношения Ь'тЛуп=0, имеющего место
я-» со»
для последовательности непрерывных функций, заключать, что справед-
справедливо соотношение \imfn = 0. Возьмем, например, в основной области
я->СО
функции
при
/„(*)= 0 при л2
Любая подпоследовательность из этой 'последовательности функций
сходится к имеющей разрыв в точке х = 0 функции:
/(*) = <> при
/ (х)= 1 при jc = O,
и несмотря на это, lim Nfn = 0.
n-»CO
Сделать возможным проведение аналогии между векторами и функ-
функциями, т. е. сохранить в „пространстве функций" принцип предельных
точек и указанные теоремы о сходимости, есть задача, неизбежно встре-
встречающаяся во многих исследованиях, прежде всего при доказательствах
сходимости и доказательствах существования. Возможны два пути для
решения этой задачи.
Во-первых, можно достигнуть цели расширением. области функций
и одновременным расширением понятия интеграла и понятия сходи-
сходимости. Па этому пути, опирающемуся на теорию Лебега (Lebesgue)
4*
52 Задача о разложении в? ряд произвольных функций Гл. II
мы не пойдем *), так как он не соответствует характеру этой
книги. Мы пойдем другим путем, который основан на том, что мы
суживаем область функций так, чтобы имел место принцип сходи-
сходимости. Это сужение заключается в том, что мы требуем от совокупнр-
сти функций не только непрерывности, но и равностепенной непре-
непрерывности, (gleichgradige Stetigkeit) для всей области функций. Пусть,
например, речь идет о функциях от одной независимой переменной х.
Тогда требование равностепенной непрерывности означает, что каждому
положительному числу е должно соответствовать положительное число
S = 5 (е), зависящее только от е, но не от выбора отдельной функции
f(x) из множества функций, такое, что из соотношения | х2 — •*il<C^(?)
следует соотношение |/(лг,)—f(x2)\<C.s, если хл и дгг принадлежат к
области изменения независимого переменного. Например, в интервале
ь
г
as^x^-b все непрерывные функции* /(*), для которых V f2(x)dx<^ M,
а
где М — фиксированное постоянное число, образуют равностепенно не-
непрерывное множество функций. В самом деле, для двух значений хг и х2
из указанного интервала имеем:
Следовательно, в силу неравенства Шварца
{x)dx<s\x2-x1\M.
g2
Из этого неравенства мы видим, что при 8 (е) = —- выполнены усло-
условия равностепенной непрерывности. Для таких множеств функций, имеет
место принцип предельных точек. Из любого множества функций,
равномерно ограниченного и равностепенно непрерывного в основной
области G, можно выбрать равномерно сходящуюся в области G под-
последовательность q, (x), q? (x), q3fx),..., которая сходится к непре-
непрерывной предельной функции2).
Эта теорема выражает для множеств непрерывных функций нечто по-
подобное тому, что выражает принцип предельных точек Вейерштрасса для
точечных множеств, и тем самым выполняется предыдущее требование.
Для доказательства рассмотрим счетное множество точек хЛ, jc2,...,
которые лежат повсюду плотно в интервале, например множество, полу-
получающееся неограниченным последовательным делением пополам интервала
и образующихся при этом частичных интервалов. В множестве значений
функций в точке хг существует на основании принципа предельных точек
О См., однако § 10, п. 11.
*) Впрочем, достаточно предположить ограниченность последовательности
функций в одной единственной точке области О; отсюда в силу равностепенной
непрерывности следует уже равномерная ограниченность во всей области G.
§ 2 Принцип предельных точек в функциональном пространстве 53
Вейерштрасга сходящаяся подпоследовательность, следовательно из
множества всех данных функций можно выбрать последовательность
неограниченного числа функций аг (х), а2 (х),... так, чтобы значения
этих функций в точке хг образовали сходящуюся последовательность.
Из этой последовательности можно таким же путем выделить подпосле-
подпоследовательность функций Ьл (x), #г (*),..., для которой значения функций
и в точке, х2 представляют сходящуюся последовательность, и т. д.
Теперь рассмотрим „диагональную последовательность" а, (я) = цл (х),
b2(x)=*q2(x),... всех полученных таким образом последовательностей
функций, мы утверждаем, что она обладает свойством равномерной схо-
сходимости во всем интервале.
Чтобы доказать это, задаем произвольно малое положительное чис-
число е и делим интервал а ^ х sg b с помощью определенного достаточно
большого числа М точек хг, х2,..., хм из нашего множества точек
xvx2,.., на столь мелкие части, что каждой точке х из данного интеграла
должна соответствовать точка xh (h sg М), для которой \х — xh\ <^ Ь (s),
где Ь (е) имеет значение, указанное в условии. Затем выбираем завися-
зависящее от s число N—N (е) настолько большим, чтобы при т ]> N и
п^>N имело место в точке xh (Л= 1, 2,..., М) соотношение:
В силу равностепенной непрерывности имеем для соответствующего
h ^ M соотношения:
\Чп М — Яп (xh)\<s,
следовательно, при n^>N и m~^>N
\ят (*)-^я(*I<зв,
что доказывает равномерную сходимость последовательности функций
9, (х), gt (x),... для всех значений х из интервала as^x^b. Непре-
Непрерывность предельной функции q(x) является тогда следствием равно-
равномерной сходимости. Заметим, между прочим, что из предыдущего рас-
рассуждения следует, что всякая сходящаяся подпоследовательность схо~
дитсц равномерно.
Множество равностепенно непрерывных функций обладает еще сле-
следующими свойствами. Если последовательность функций /, (л). /2 (ж),
/.(*),... принадлежит такого рода множеству и если lim Nfn = 0,
я-»О0
то и Jim /я=0, и притом сходимость будет равномерной. Если же
я-»О0
lim Л^(/я-—/т) = 0, то существует непрерывная функция J(x)t к
я-ЮО
т-»О0
которой равномерно сходитсч наша последовательность, т* е.
f(x) = Um.fn{x).
я-»О0
Чтобы доказать первую часть, этого утверждения, допустим, что для
точки х = х0 не имеет места соотношение iim >п(Х0) — 0; тогда су-
СО
п*СО
ществуют произвольно большие значения п, для которых /я8
54 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
где 2а2 — положительная грань. В силу равностепенной непрерывности
функций /п (х) имеется определенный интервал, заключающий точку х0,
ширины Ь, в котором для указанных выше значений п справедливо не-
неравенство: /„2>а2- Следовательно, для этих значений и Nfn^>ba2, что
противоречит нашему условию. Подобным же образом можно доказать
и вторую часть утверждения, что предоставляем сделать читателю.
Множество равностепенно непрерывных функций с ограниченными
нормами обладает также следующим свойством, которое мы будем назы-
называть свойством гладкости г) множества. Пусть г — целое положитель-
положительное число, а с,,с2,.,., сг—какие угодно ' числа, абсолютные значения
которых остаются меньше некоторой определенной грани, например
меньше единицы, тогда существует зависящее только от положитель-
положительного числа е и стремящееся одновременно сек нулю число Ь (е)',
такое, что из соотношения yV(ca/j -f c2f2-\-...~\-crfr)<^s следует
соотношение:
если /j, /2,...,Д. — какие угодно г функций из нашего множества.
Доказательство непосредственно получается из ¦ предыдущего, если
заметить, что множество наших функций сохраняет свойство равносте-
равностепенной непрерывности, если его расширить путем присоединения всех
линейных комбинаций c-J-^ ~\-c2f2-{-... -\- crtr, где г—фиксированное
число, а | ct | ограничены.
Условие гладкости последовательности функций /2, /2, ... можно
также выразить в следующей форме: последовательность функций/,, /2,
должна обладать тем свойством, что из любой ее подпоследовательности
можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность.
Из принципа предельных точек можно непосредственно получить
следующую несколько более общую теорему: пусть
Pit(x), Pi2(x), •••> Pir(*)>
последовательность групп G,, G2, ..., каждая из которых содержит
по г функций, причем все эти функции равностепенно непрерывны и
равномерно ограничены в интервале аи^х^Ь. Тогда можно выде-
выделить группы функций pn_k (x) (i = 1, 2, ..., Hm и, = оо, k = 1, ..., г)
' »->со
так, чтобы функции /?я.й {х) при неограниченном возрастании i схо-
сходились равномерно к г непрерывным функциям рЛ (х), ..., рг(х).
-Действительно, мы можем путем соответствующего выбора сперва
добиться искомой сходимости для первого столбца. Из полученной та-
таким tобразом последовательности групп мы выделяем' подпоследователь-
подпоследовательность так, чтобы имела место сходимость и во втором столбце, и
повторяем этот процесс еще г — 2 раза.
») .Это понятие, относящееся к множествам» функций, не надо смешивать с
Понятием, эведенным на* стр. 41, „о гладкрр функции".
§ 3 Мера независимости и число измерений 55
§ 3. Мера независимости и число измерений.
1. Мера независимости. Мы можем легко вывести критерий
линейной зависимости или независимости г функций/,,.. .,/г анало-
аналогично тому, как мы это раньше сделали для векторов я-мерного про-
пространства. С этой целью образуем квадратичную форму от г действи-
действительных переменных tx, ..., tr:
i
наименьшее характеристическое число т, т. е. минимум квадратичной
формы K(t,t), когда переменные t{ изменяются, удовлетворяя добавоч-
г
ному условию V* t2. = 1, мы будем называть мерой независимости
i=i
функций /,,..., fr. Число т конечно не может быть отрицательным.
Функции /р ,fr. линейно зависимы в том и только в том случае,
когда мера независимости т равна нулю; в случае же линейной незави-
независимости величина числа т дает представление о характере линейной
независимости. Обращение в нуль меры независимости т равносильно
обращению в нуль определителя Грима
A3)
(ЛЛ)...(/,Л)
Г(/„ ...,/,)=
(/,/,) • • • ifrfr)
системы функций /J, ... fr. Это следует из того, что определитель
есть произведение всех характеристических чисел формы К {t, t). Ни одно
из этих чисел не может иметь отрицательного значения, поэтому спра-
справедливо соотношение /яг<:Г^тМг~1, где М означает наибольшее
из характеристических чрсел формы K(t,t). В силу того, что K(t,t)
представляет определенную положительную форму, имеем неравенство:
F^0]). Итак, обращение в нуль определителя Грама также пред-
ставляет необходимое и достаточное условие линейной зависимости
функций /,,...,/,.
Если образовать линейную нормированную комбинацию /—У, Ulfl
от г линейно независимых функций fx, .. .,fr, то ни один из коэфи-
циентов «, не может превозойти по абсолютному значению грани —?=ц
1 у т
зависящей только от меры независимости функций fv—,fr. В самом
» Это неравенство представляет обобщение неравенства Шварца. Действи-
Действительно, оно переходит в неравенство Шварца при г=2,
56 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
и,
деле, если у(—~-у^'—, то в силу определения числа т имеем:
' vif-
следовательно, jj^tf ** —• Если, следовательно, ортогонализировать
систему г функций, мера независимости которой больше положитель-
положительного числа ц, т. е.. заменить функции этой системы надлежаще
выбранными нормированными линейными комбинациями их, то абсо-
абсолютные значения коэфициентов не могут при этом превысить
1
грань -7=,
VV-
2, Асимптотическое' число измерений последова*
тельности функций. Если в последовательности нормированных
функций /,,/j, ... или, общее, в последовательности функций с ограни»
ченными нормами всегда каждые г-\- 1 функций линейно зависимы между
собой, так что каждая функция может быть представлена как линейная
комбинация* t^gx -f- ,.. -j- trgr от г, но и не меньше, чем г основных
функций g-l,...,gr с постоянными коэфициентами Ц, ...,tr, т. е. вся
последовательность функций входит в состав линейного семейства
АйН" •••"+"'/&¦> то мы говорим, пользуясь геометрической терминоло-
терминологией, что последовательность функций имеет число измерений,' равное г.
Если последовательность функции /л,/г,... не имеет конечного
числа измерений, то возможны два случая. Либо для всякого сколь
угодно большого положительного числа s существуют группы, содержа-
содержащее по s- функций fm, ..., fn последовательности с произвольно боль-
большими индексами я,, ..., ns такие, что мера независимости этих функ-
функций больше некоторого определенного положительного числа, ие зави-
зависящего от чисел nt (но оно может зависеть от ?), Тогда мы приписываем
последовательности функций асимптотическое число измерений оо.1).
Либо же при достаточно большом 5 мера независимости функций
/я,> •••-»/„ стремится к; нулю, если все числа я,, ...,п$ по какому бы
то' ни было закону неограниченно увеличиваются. В этом случае мы
называем наименьшее число г, для которого при s^>r мера независи-i
мости стремится к нулю, асимптотическим числом измерений после-,
довательности. В частности г = 0, если Nfn с возрастанием я стремите^
к нулю, В последовательности, имеющей асимптотическое число изме-.
рений г, каждые г-\-\ функций, если только отбросить достаточно
большое число начальных функций, „почти* линейно зависимы.
*) Простейший пример представляет последовательность ортогональных нор-
ьу<рованных функций, у которой мерд независимости для любой группы функций,
равна единице.
§ 3 Мера независимости и число измерений 57
Внутреннее значение введенных понятий, естественно возникающих
по геометрической .аналогии с последовательностями векторов в я-мер-
ном пространстве, заключается в том, что последовательность функций
с асимптотическим числом измерений г определяет в качестве предель-
предельного образования линейное семейство из г функций. Правда, в общем
случае это справедливо лишь тогда, когда, пользуясь понятием интеграла
Лебега и соответствующей, теорией, расширяют положенную в основание
область функций. Так как мы, однако, хотим остаться на нашей эле-
элементарной позиции, то для доказательства только что высказанного утвер-
утверждения мы должны согласно § 2 сделать еще некоторые ограничи-
ограничительные предположения, а именно, мы просто допустим, что последо-
последовательность гладкая (см. стр. 54).
В таком случае имеет место следующая теорема. Пусть,fv/2, ...—
гладкая последовательность функций с асимптотическим числом
измерений г. Тогда существуют такие г линейно независимых функ-
функций {следовательно, их можно выбрать ортогональными и нормиро-
нормированными) gx,..., gr, что при достаточно большом п каждая из функ-
функций fn отличается от некоторой функции из линейного семейства
t^ -J- ... -|- tfgr меньше чем на произвольно малое положительное
число е, и не существует линейного семейства с числом основных
функций, меньшим г, которое обладало бы этим свойством.
Мы можем это предельное линейное семейство характеризовать также
следующим образой. Если GJt Gs, ..., Gm, ... —/Группы, каждая из ко-
которых содержит по г функций /mj, ..., fmr нашей последовательности
и мера независимости которых больше некоторого положительного
числа ц, а индексы mt (i = 1, ..., г) с возрастанием т неограниченно
возрастают, то линейные семейства функций Sm, определенные при по-
помощи функций из Gm как основных функций, равномерно сходятся
с возрастанием т к предельному линейному семейству Т, определяе-
определяемому г линейно независимыми функциями g^..... gr, в том смысле, что
при достаточно большом m всякая нормированная функция из Sm сколь
угодно мало отличается от некоторой функции из Т.
Для того чтобы можно было удобно формулировать доказательство
этих положений, мы будем пользоваться следующей терминологией.
Мы скажем, что функция / удалена от линейного семейства функций 5
на расстояние, меньшее положительного числа d, если разность между/
и надлежаще выбранной функцией из 5 по абсолютному значению по-
повсюду меньше, чем й. Аналогично мы приписываем двум линейным се-
семействам функций 5 и 6* расстояние меньшее', чем d, если любая нор-
нормированная функция одного семейства отличается от соответственно
выбранной нормированной функции другого-семейства меньше, чем на d.
Теперь легко вчдеть, что при достаточно больших значениях тип
функция /я удалена от семейства Sm на произвольно малое расстояние.
В самом деле, мера независимости функций /й, /mj, .. ;, fmr при боль-
больших тип произвольно мала; в силу условия гладкости существуют,
г
следовательно, г-\- 1 чисел и0, и\, ..., аг, причем V и\ — 1, для кото-
рых \40fn-\-tt1fmi-\-,,,-\'Urfmr\ сколь угодно мало. Число k<j с возра-
58 Задача о»разложении в ряд произвольных функций Гл. II
стаиием т и п не может неограниченно убывать по абсолютному зна-
значению, так как в противном случае мера независимости /mi, ..., fmr
становилась бы сколь угодно малой, что противоречит условию. Сле-
Следовательно, разделив выражение ко/я -j- их fmi -j- ... -f- ur/mr на и0 и
и,
полагая —1-=з—tt, мы можем заключить, что при достаточно больших
и0
значениях man функция /„ сколь угодно мало отличается от соответ-
соответственно выбранной функции txfmi 4" .«. -f- trf из линейного семей-
семейства Sm. Поэтому и расстояние между линейными семействами Sm a Sn
при достаточно больших значениях тип сколь угодно мало. Пусть
теперь е — некоторое достаточно малое положительное число (насколько
малым его надо выбрать, мы увидим позже), и е^ s2, ... — последо-
со
вательность положительных чисел, причем V%. — e. Пусть, далее, mt —
1=1
целое положительное число, такое, что при n"^mi a m^s mt растоя-
ние между Sm a Sn меньше s{. Берем какие угодно V нормированных
функций hn, ...,/z1r из последовательности Smt и определяем (чт.о со-
согласно условию возможно) в 5^ {т2^> т2) нормированные'функции
Л2], ..., h2r так, чтобы j h2l—¦ Ajf| <е,- Подобным же образом мы опре-
определяем в Sms {т3 > т2) нормированные функции Л31, ..., h3r так, чтобы
\ht—А2/|<е2 и т. д. Ввиду того, что \hpt — A^|<ep-f- ... + sq_,,
последовательность функций hnl при постоянном i=l,,..,r равно-
равномерно сходится к предельной функции gr, при этом \gt — Ali | <[ е.
Если выбрать s достаточно малым, то одновременно с функциями
hu,...,hlr и функции gi,...,gr будут иметь меру независимости, не
равную нулю, т. "е. будут линейно независимы . Функции gv ...', gr,
очевидно, удовлетворяют всем поставленным требованиям.
§ 4. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании.
Полнота системы степеней и системы тригонометри-
тригонометрических функций.
1. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании.
Самый простой пример полной системы функций представляют степени:
1 V- v-2 v-3
Они образуют для любого замкнутого интервала а^х^б полную
tHCTeMy функций. Более того, для них справедлива следующая теорема
Вейерштрасса об аппроксимировании п): любую непрерывную функцию
в интервале а^х^Ь можно равномерно аппроксимировать в этом
интервале с помощью полиномов.
Эта теорема дает больше чем полноту системы, именно обнаружи-
обнаруживает не только сходимость в среднем, но и равномерную сходимость.
О Weierstrass К., Ober die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkiirlichen
Funktlonen reeller Argumente, Sitzungsber. Akad., Berlin 1885, стр. 633—639, 789—
805, а также в собоании сочинений, т. 3, стр, 1—37, Berlin 1903.
§ 4 Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании 59
Для доказательства допустим, что интервал а^х^Ь лежит цели-
целиком внутри интервала 0 < х •< 1, т!ак что можно найти два числа а и
Р, удовлетворяющие неравенствам:
Далее, представим. себе, что непрерывная в интервале a sg х ^ Ъ
функция f(x) каким бы то ни было образом продолжена непрерывно
до границ интервала a^x^fi.
Рассмотрим сперва интеграл
г»
— ifi)ndv.
Этот интеграл, как легко видеть, стремится с возрастанием п к нулю.
Пусть 8 — некоторое постоянное число из интервала 0<^8<^1, а
1
Г„ = [{\—*Г*о,
тогда мы утверждаем, что
J*
lim ~ =
J
т. е. что при достаточно большом значении и интеграл, взятый в пре-
пределах от 0 до 8, имеет решающее значение при вычислении всего
интеграла от нуля до единицы. В самом деле, при п^\ имеем:
1
1
f 0 —
-,-<(« + 1)A —8я)".
Jn
Теперь образуем выражения:
('A— u2)ndu
{« = 1,2,...)
—l
при условии а^х^Ь. Эти выражения, очеьидно, представляют собой
многочлены степени 2п относительно х, коэфициенты которых выража-
выражаются отношениями определенных интегралов, и эти многочлены дают,
Как мы сейчас докажем, требуемое аппроксимирование.
60 Задача- о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
Путем подстановки и — <о-\-х в числителе получаем:
f
-6 8
где положительное число 8 из интервала 0 < 8 < 1 мы сейчас соответ-
соответствующим образом фиксируем. Интеграл /2 можно преобразовать сле-
следующим образом:
6 8
0 -
!=2/(jc) G
B ~ JB*) -}- f \f(v + л:) -/(*)] A - &Г dv
8
-8 _6
8
Ввиду равномерной непрерывности функции f{x) в интервале
S х ^ р можно для любого наперед заданного сколь угодно малого
числа е > О подобрать такое зависящее только от е число 8 = Ь (е) из
интервала 0<8< 1, чтобы при |o|<8 и а <;*<;? имело место со-
соотношение \f(v^-x)—f(x)\<ie; в таком случае имеем:
8 8
—о —о
О
Пусть, далее, /W — максимум \/(х)\ в интервале о^дг^р, тогда
*
|/3|<Af W1 — «2)пrff = MJ*n;
в общем, так как знаменатель в выражении Рп(х) равен 2Jn, получаем:
Ввиду того, что
Urn -f
«-¦СО •'я
§ 4 Теорема Вейерштрасса об апароксимировании 61
мы можем путем соответствующего выбора я сделать правую часть
меньше 2е; таким образом действительно f(x) равномерно аппроксими-
аппроксимируется в интервале а^х^Ь с помощью полиномов Рп(х).
2. Распространение на функции от многих перемен-
переменных. Таким же образом доказывается, что непрерывная при o.t<^xt<^
<^b((i = 1,2, т; О <] at <] bt <! 1) функция от т переменных^,.. .,хт
равномерно аппроксимируется полиномами:
"J.XV • • •» Хт) ~
um)[\-(u-x1fY...[\~(um-xmfYdu1...du
m
A — u2)ndu]
причем
1 »
3. Аппроксимирование производных. Несколько углубляя
наши рассуждения, мы получаем следующий общий результат: функцию
f(xv ... , хт) непрерывную и имеющую непрерывные производные до
А-го порядка включительно в замкнутой области ai^:xi^:bi, можно
равномерно аппроксимировать с помощью полиномов Р(х,,..., хт)
так, чтобы и производные от функции / до А-го порядка равномерно
аппроксимировались производными соответствующего порядка от этих
полиномов.
Для доказательства мы опять предполагаем 0 < at < bt <| 1 и пред-
представляем себе функцию / продолженной за область определения на
большую прямоугольную область oi^xl^^1 @<|at<at<^bt<С Р/<! 1)
так, чтобы функция и ее производные были непрерывны в новой обла-
области и, кроме того, чтобы значения функции / и ее производных до
(k—1)-го порядка включительно были равны нулю на границе но-
новой области. Тогда определеннее в предыдущем номере полиномы
Рп (хл, ... , хт) дают требуемое аппроксимирование. В этом можно
очень просто убедиться следующим образом: диференцируем под знаком
интеграла по xt, заменяем это диференцированйе равносильным ему ди-
фереицированием по и, и, наконец, преобразуем интеграл путем интегри-
интегрирования по частям, пользуясь при этом пограничными условиями.
4. Полнота системы тригонометрических функций.
Из сказанного в п.п. 1, 2 следует тот важный факт, что нормиро-
нормированная ортогональная система тригонометрических функций
1 cos х cos 2x
sin'jc sin 2л:
A4)
образует в интервале —тг^лг^тг полную систему функций. И здесь
имеет место далее идущая теорема: любую непрерывную в интервале
функцию f(x), для которой /(—тг)=/(тг), можно
62 Задача о разложений в ряд произвольных функций Гл. II
равномерно аппроксимировать, при помощи тригонометрических поли-
полиномов:
п
-|? + X (а'cos w+^sin v*)'
где а и р — постоянные.
Для доказательства напишем S вместо х и рассмотрим плоскость ?, 7],
в которой точка определяется полярными координатами р и в-
(? = pcosd, j] = psind). Функция
непрерывна во всей плоскости ?, ij и на окружности ?2 -(- гB = 1 сов-
совпадает с данной функцией /(Э). На основании теоремы Вейерштрасса
об аппроксимировании, функцию <с (?, ij) можно равномерно аппрокси-
аппроксимировать в области квадрата, заключающего внутри себя окружность
?3 —{— т]2 = 1, многочленами относительно ? и tj. Полагая затем р=1,
мы видим, что функцию /(8) можно равномерно аппроксимировать мно-
многочленам^ относительно cos Ь и sin д. Но по известным формулам три-
тригонометрии каждый такой многочлен можно представить также в ука-
указанном ранее виде:
п
^2 + X ^ cos w + P»sittW)-
*
Непрерывную функцию f(x), которая не удовлетворяет условию пе-
периодичности /(—тг)=/(тг), можно заменить непрерывной функцией
g(x), удовлетворяющей этому условию, так, чтобы
тс
Г
имел сколь угодно малое значение. Отсюда следует возможность
аппроксимирования в среднем любой непрерывной функции при помощи
тригонометрических многочленов и, следовательно, полнота системы
тригонометрических функций.
§ 5. Ряды Фурье.
1. Доказательство основной теоремы. На основании
общих рассуждений § 1 из ортогональности тригонометрических функций
следует, что наилучшее приближение в среднем степени п дает так на-
называемый многочлен Фурье:
vcos Vх + b.t sin vx),
Ряды Фурье
63
где
It
= — I /(x)cosvxdx,
n J ¦
A5)
/wd«.
a0
При помощи соотношения cosvx + isinux: = e'vAr можно, впрочем,
этот многочлен представить в более удобной форме:
A5')
Заранее не известно, являются ли полиномы, дающие наилучшее
приближение ;В среднем, также равномерно аппроксимирующими, т. е.
сходится ли бесконечный ряд limsn(x) равномерно и представляет ли
п->сс
он функцию f(x). Этим вопросом занимается теория рядов Фурье.
¦ Для удобства формулировок в дальнейшем, мы представляем себе,
что функция/(дг) сперва определена только в интервале —тг<^дг<^тг
и затем периодически продолжена за основную область при помощи
функционального соотношения/(лг-)-2тг)=/(л); далее, мы в каждой
точке разрыва ? фуйкции f(x) -принимаем за значение функции среднее
арифметическое „предельных значений справа и слева":
Л-»0
h) и /(л —
= Нт/(лг — К)
Л->0
т. е. полагаем
Тогда имеет место следующая теорема: любая кусочно-гладкая
в интервале —тг^х^п и периодическая с периодом 2тг функция
может быть разложена в ряд Фурье, т. е. многочлены Фурье
стремятся с возрастанием п к f(x). Кроме того, мы докажем, что ряд
Фурье сходится равномерно во всяком замкнутом интервале, в ко-
котором функция непрерывна.
64 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. Й
Сначала мы будем вести доказательство в предположении, что функ-
функция f(x) непрерывна, т. е. что разрывы встречаются только у произ-
производной р (х). Обозначая через <zv и [5V коэфициенты разложения р (х),
имеем:
Я я
if v Г
otv — — I / (х) cos vjc dx = — \ /(л ) sin vx dx = v#v,
"J n J
— 14 —л
if v Г
[5V — — \ /' (x) sin \xdx = \ f(x) cos wdx= — vav,
Так как p (x) — кусочно-непрерывная функция, то имеет место
условие полноты:
сю оо
-1
v=l v=l
Теперь имеем:
sin VA:)
m
1
— (vov cos -ix 4- v6, sin vat)
/ in f m
<l/ V>2(fl2+*2)i/ У-,
I/ ^ K v^ J I/ ^ v2
Но отсюда непосредственно следует абсолютная и равномерная схо-
сходимость бесконечного ряда:
оо
lim sn (л:) = -т,0 -f У К cos vat -f *v sin vat),
который в силу полноты системы тригонометрических функций и пред-
представляет функцию /(*).
Чтобы доказать разложимость в ряд Фурье также и для прерыв-
прерывных кусочно- гладких функций, рассмотрим сперва такую функцию ча-
частного вида, которая определяется равенствами:
h(x)= \ — \ при 0<а-<2тг,
h (A--)- 2ir) = h (л),
н имеет в точках х = ^п2ктс (k = 0, 1, ... ) разрыв, равный тт.
§ 5 РяДы Фурьё 65
Коэфициенты Фурье этой функции равны
Чтобы доказать равенство
= О, ov=:0, *, = у (v=l, 2, ...).
оо .
v=l
мы сначала образуем повсюду непрерывную кусочно-гладкую функцию
g{x) = h(x){l— cos x) = 2h (x) sitf — .
Ряд Фурье
оо
v=l
для этой функции согласно предыдущим рассуждениям сходится равно-
равномерно к
со
При этом коэфииненты (iv связаны с коэфициентаМи ?v соотношениями:
Полагая
v=l
имеем:
A —cos x) sn (x) = о„ (х) — -? sin (я + 1) х -\- ^g* sin яд:.
С возрастанием п коэфициенты Ъп стремятся к нулю, а сумма оп(к)
стремится равномерно к g(x). Следовательно, и A—cos.v)sn(x) равно-
равномерно сходится в интервале — и^х^и к g(x), 'а потому и сумма
sk(k) равномерно сходится к h(x) во всяком замкнутом частичном
интервале, не содержащем точки х=0.
В точке х = 0 все частичные суммы sn (x) равны нулю, так что и
lim sn (*) = 0. Следовательно, и в точке разрыва сумма ряда равна зна-
5 Куравт-Гильберт.
66
Задача о разложении в ряд произвольных функций
Гл. II
чению функции k(x), а именно среднему арифметическому предельных
*. тс тг
значений слева и справа -—^- и — .
Подобно тому, как функция h(x) делает скачок, равный тг при
лс==О, так и функция Н(х—?) делает такой же скачок при ж ==5, во
всех же остальных точках основного интервала она. непрерывна. Пусть
теперь /(#) — кусочно-непреры&ная функция, которая в точках дг =
s=z%t(i= 1, ... , г) интервала 0,«ё;лг<2тс делает скачки, равные s(?t)=*
—/(¦*/+0)—/(*/.-*-0), а в остальных точках непрерывна, тогда
функция
г
J? h(*-&,)
повсюду непрерывна и имеет, очевидно, одновременно с /(х) кусочно*
непрерывную первую производную. Следовательно, функция F(x) раз*
лагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье; так как
и функция
может бить разложена в ряд Фурье, равномерно сходящийся во вся»
ком замкнутом интервале, не содержащем точек разрыва, то теорема,
формулированная в начале параграфа, полиостью доказана.
2. Кратные ряды Фурье. 1Л для многомерных прямоугольных
областей можно образовать ортогональные системы при помощи триго-
тригонометрических функций. Ограничимся для определенности случаем двух
переменных; заметим, однако, что все это остается справедливым и для
любого числа переменных,
В области квадрата 0 < s ^ 2тс, 0 ^ / «^ 2ir функции:
cosjwcosvf (y=0, l,...;v=0, 1,...),
sinjiscosv* (ц=1, 2,... ; v==0, I,...),
cos^ssinvf (ц=0, 1, ... ; v = l, 2,...),
sinpssinv/ (Ji==l, 2,...-; v=l, 2,...)
образуют ортогональную систему. Формулы разложения записываются
проще всего, если пользоваться записью в комплексной форме. Если
функция f{s, t) разлагается в равномерно сходящийся двойной ряд
Фурье, то
00
00
V-=-COt=—(X)
2it 2it
Ряды Фурье 67
Полнота этой системы функций, а вместе с тем условие полноты
2*2*
°° Г Г
Т. \aJ*=\\\F(s' t)\*dsdt
ji, v=—CO
полунается на основании нашей общей теоремы относительно образова-
образования полных систем функций от нескольких переменных из полных си-
систем от одной переменной (см. стр. 49 п. 6).
Далее таким же путем, как в п. 1, выводится абсолютная и равно-
равномерная сходимость ряда Фурье on функции F(s, t), если - ' ¦ суще-
oS at
ствует и кусочно-непрерывна.
Ч3, Порядок коэфиц.иентов Фурье.ч Если периодическая
функция f(x) и ее производные до (А— 1)-го порядка непрерывны, а
А-я производная кусочно-непрерывна, то для коэфициентбв разложения
f(x) в ряд Фурье
00
v=—СО
справедливы пои v ^ 1 соотношения:
где с — некоторое постоянное число. Мы видим, таким образом, что
коэфициенты ряда тем сильнее стремятся к нулю, чем регулярнее
функция.
Указанный результат непосредственно получается, если выражение
A5') для коэфициентов разложения интегрировать по частям последова-
последовательно h раз.
4. Растяжение основной области. Если периодическая
функция /(лг) имеет период 21, то разложение имеет вид:
00
v=l
где
21
о,= -
(t)cos vj
ь*
68 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
Это разложение можно также записать в следующей форме:
+ CD „
v=-00
о
5. Примеры. Простые примеры к теории рядов Фурье можно
найти в элементарных 'учебниках 1). Здесь же мы применим разложение
в ряд Фурье для вывода функционального уравнения тетафункции и
для вывода общей формулы Пуассона.
Функциональное уравнение для тетафункции
со
имеет вид:
Для доказательства полагаем
оо
и=-оз
очевидно, <p(i>) является периодической функцией от у с периодом 1,
которая имеет производные любого' порядка по у и разлагается поэтому
в ряд Фурье:
03
где
1 X оо
и О
Ввиду того, что при любом х~^>0 мы имеем право изменить поря-
порядок интегрирования и суммирования, получаем:
СО п 00
со l
= ^ \
!*=-CoJ
00 ОЭ «V»
«V» _ " _" "
¦ dt
Vic'
-00 -00
•) См. например, Курант, Курс диференциального и интегрального исчисле-
исчисления, часть 1, стр. 391—€97, ГНТИ, 1931 г.
Ряды Фурье89
с» v
так как \ e~z% dz, взятый вдоль прямой %г = — , параллельной действи-
-оо х
тельной оси, имеет такое же значение \гп, как и вдоль самой дей-
действительной оси. (В самом деле, применяя к функции e~z' и прямоуголь-
V v
нику с вершинами — Т, -\-Т, -\-T-\-i—, —T-\-i— теорему Коши и
X X
неограниченно увеличивая затем число Т, мы видим, что интегралы,
взятые по вертикальным отрезкам, стремятся к нулю, так как подин-
тегральное выражение равномерно стремится к нулю, а длина пути
v \
интегрирования равна постоянному числу —. I Следовательно, мы nor
лучаем-
у х *-*
у х
v=-00
а отсюда при у—О следует:
00
V-=-CD Г v=-O0 Ч
Рассмотренное здесь в данном частном случае применение разложе-
разложения в ряд Фурье к преобразованию бесконечных рядов представляет
пример приема, который в последнее время оказался очень плодотвор-
плодотворным при изучении некоторых аналитических функций, встречающихся
в высшей арифметике.
Рассуждения, которыми мы только что пользовались, приводят к об-
дцей и очень важной формуле преобразования рядов, формуле сумми-
суммирования Пуассона. Пусть имеем ряд
со
я=—ОЭ
в котором ср (х) представляет такую непрерывную, и непрерывно дифе-
ренцируемую функцию от х, что ряды
оэ
? с
я=—00
00
п=—СО
сходятся абсолютно и равномерно для всех значений t из интервала
Р«ё<<С2тт. Тогда второй ряд представляет производную от первого
ряда по t, и потому первый* ряд может быть представлен в интервале
70 Задача о разложении в ряд произвольиых функций Гл. II
О «g t •< 2тг в виде сходящегося ряда Фурье. Следовательно, имеет
место разложение:
п=-00 v=-00 w л=—00
i со оо 2Д
v=-00 n=—OoJ
Внутреннюю сумму можно преобразовать следующим образом:
со Ч со
-со
и' мы получаем:
со г оо f
2^
я=—СО »=—.00 _
Полагая здесь < = 0, окончательно получаем:
со j со j?
j со j?
v=-CO *L
n=-CO v=-CO_00
Это и есть формула Пуассона. Для того чтобы эта формула была
справедлива, очевидно, требуется только, чтобы существовали все встре-
встречающиеся в ней интегралы, чтобы ряд
со
-CO
равномерно сходился относительно t в интервале 0 ^ t <[ 2я и пред-
представлял функцию, разлагающуюся в ряд Фурье.
§6. Интеграл Фурье.
1. Доказательство основной теоремы. В разложении
функции f(x), заданной в интервале — /<#</, в ряд Фурье:
со 1члх
v=-00
1 ' '••' " ' 'dt
§ 6 Интеграл Фурье 71
естественно попытаться сделать предельный переход /—»оо для того,
чтобы освободиться от необходимости периодического продолжения
функции f(x) и получить выражение для непериодической функции,
определенной для всех действительных значений х. При этом мы со-
сохраняем условие, что функция f(x) является кусочно-гладкой в любом
конечном интервале и в точках разрыва имеет значение, равное среднему
арифметическому предельных значений справа и слева, и кроме того,
вводим добавочное условие, что существует
оо
[\f(x)\dx.
-00
Полагая — = 8, получаем:
со
*=-оо _,
откуда предельный переход /—>со, т. е. 8—>0 приводит к формуле:
оо со
1
—СО -00
Для функций, имеющих только действительные значения, мы можем
представить эту формулу также в виде:
со оо
/(t) cos и (t-x)dt. A7)
со оо
) = ! J Ai j
о
J
о -со
Строгое доказательство этой интегральной формулы Фурье проще
всего провести не путем обоснования правильности предельного пере-
перехода, а непосредственным подтверждением формулы A6) или A7).
Исходным пунктом служит установленная Дирихле формула:
_1__
»->со тг J и 2
*) Доказательство этой формулы, которая служит обычно также основанием
теории рядов Фурье, см. в учебниках диференциального и интегрального
исчисления, например, Courant, Vorlesungen iiber Differential- und Integralrechnung,
2-е изд., стр. 373, Berlin 1930. Для удобства читателя оно приведено в дополне-
дополнении в конце книги t.
72
Задача о разложении р ряд произвольных функций
Гл, Ц
где а-—произвольное положительное число; она справедлива для любой
кусочно-гладкой функции /(*). Из этой формулы следует:
a v v a
п/(х) — lim I f(x -f t) dt \ cos ut du = linj \du\ f(x-\-t) cos ut dt =
— о о о — a
CO a
— \ du \ f{x-\-1) cos utdt.
0 —a
Мы утверждаем, что формула останется справедливой, если во внут-
внутреннем интеграле произвести интегрирование от —оо до -j-оо. Дей-
Действительно, если А ^> а, то
v A v a v —a v A —a v A v
JHWMH№
О—Л 0-й О -Л Оа —АО а О
так как согласно условию существует
00
\f[x)\dx = C,
-00
то отсюда следует:
v A v а -а
о —л о—
—а
—А
—А
00
—ОТ
Увеличивая здесь неограниченно Л при постоянном значении v
получаем;
О 00 f й
С
п-п
О О
О- СО о-о
после этого предельный переход при v—*оо дает:
-С
а
lim f f -nj
/-»ooJ J
о—от
Правая часть неравенства может быть сделана при соответствующем
сыборе а сколь угодно малой, следовательно, наше утверждение, а вме*
вте с тем и требуемая формула A7) доказаны.
§ 6 Интеграл Фурье 73
Ввиду того, что
со
fit) cos и (t — x) dt
-со
является четной функцией от и, мы можем написать предыдущее равен-
равенство и в таком .виде:
00 00
С* f*
п/(х) = — \ du \ /(t)cosu(t — x)dt;
-СО —00
с другой стороны,
со
f(t) sin и (t — x)dt
—со
есть нечетная функция от и, следовательно,
00 СО
0==±^ d«J f(t)smu(t —
-00 -00
если только интеграл в правой части имеет смысл ]). Вычитая почленно
второе равенство из первого, получаем для точек, в которых функция
непрерывна, равенство:
00 00
-00 -СО
т. е. формулу A6).
2. Распространение формулы на случай многих
переменных. Последовательным применением формулы A6) получаем
аналогичные формулы для кусочно-гладких непрерывных функций от
многих переменных, справедливые для кусочно-гладкнх функций в точ-
точках непрерывности. Например:
00 СО СО 00
С
лг2)= Г Г Г Г
—00—00—СО —00
при условии существования интегралов:
оо
\F(tv x2)
— 00
J) Это имеет место для тех значений х, в которых функция f(x) непрерывна
точках разрыва интеграл расходится, как легко видеть на примере функции
=1 при 1*1-?1. /W = 0 при
74 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
от
i
-оо
н вообще для я переменных имеем:
BiifF(xv ..., *„) =
00 ОТ
= f ... f F(tj tn)e-n»iVl-Xt)+... +"n(tn-xrd)dt1du1dt2du2 ... dtndun
—00 —00
при аналогичных условиях.
При этом интегрирование следует производить в том порядке, в ка-
каком расположены диференциалы.
3. Взаимно обратные.формулы. Если положить
оо
-00
то интегральная формула Фурье A6) принимает особенно изящную
форму. Именно она указывает, что равенства
оо
—00
00
[
0
V 2п J
-оо
g(u)e**da
вытекают одно из другого. Эти уравнения, если рассматривать в них
левые части как известные, представляют пару так называемых интег-
интегральных уравнений; каждое из них является решением другого, и при
этом обнаруживается полная взаимность. Им соответствуют для четных
функций вещественные равенства:
от
-/II
f(t)cosutdt,
00
g(u) cos utdt,
0
§ 7 Примеры на интеграл Фурье 75
а для нечетных: ш
00
Аналогичные формулы имеют место для функций от многих пере-
переменных:
§ 7. Примеры на интеграл Фурье.
1. Интегральная формула Фурье
00 со
f(t)cosu(t — x)dt —
О —00
00 00 00 00
— — I cos их du I f(t) cos и/Й-f-- I sin их du I f(t) sin ut dt A7)
0 -OO 0 —00
приводится, если f(x) четная функция, к более простому виду:
со оэ
2 Г Г
f(x) = — \ cos их du \ f(t) cos ut dt,
о о
а если f(x) — нечетная функция, — к виду:
оэ оо
2 Г Г
f(x) = — I sin их du \ f(t) sin ut dt.
о о
2. Разрывный множитель Дирихле. Пусть f(x) — четная
функция, определенная следующим образом:
f(x) = 1 при 0 ^ х <[ 1,
1-
) = 0 при
76 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
Тогда
00 1 00
2 [' .С , ._, 2 Г sin к cos их .
f(x) = — I cos их du I cos ut dt — — \ du.
'о о о
Выражение, стоящее справа, называют „разрывным множителем Ди-
Дирихле". Он находит применение во многих вопросах.
3. Если возьмем при х > О
то получим либо
СО СО 00
2 Г , f в/ ... 2 Г В cos их .
= — \ cosuxdu \ e-ffzosutdt = — \ %-——- di,
п J J ^ J Р -Гк
оо о
J J J
оо о
либо
00 СО СО
2 f . f R. . 2 Гйбшил:
= — \sinKxcf« i e-p* sin utdt =— I g^-;—^a«,
tj J я J PJ+B
0 0 0
смотря по тому, захотим ли мы продолжать f(x) для отрицательных
значений как четную или как нечетную функцию; во втором случае
следует положить /@) = 0. Интеграл
со
cos их . п е~ Р1*1
-———~du = -
2 -Р
называют интегралом Лапласа.
4. Особенно интересный пример представляет функция
А именно, ввиду того, что
оо
4" I c~COSB<rf<==C~2",
О
оба интегральных уравнения
со со
2 cos utdt=e 2 ,
о о
СО 00
— р
= ] / -^ ] ^(k)cos utdt — л/ -3- \ е*~2"
о о
каждое из которых является решением другого, в данном случае вполне
тождественны.
§ 8 Полиномы Лежандра 77
§ 8. Полиномы Лежандра.
1. Построение путем ортогонализации степеней 1,
х, х2, ... Еще в некоторых отношениях более простой, чем тригоно-
тригонометрические функции пример полной ортогональной системы функций
получается, если ортогонализировать по способу, указанному в § t,
степени 1, х, х2,... в! заданной основной области, например в интер-
интервале — 1 ^ х =s: 1. При этом получается последовательность ортогональ-
ортогональных нормированных полиномов, которые, будут однозначно определены,
если мы потребуем еще, например, чтобы коэфициент при высшей сте-
степени х в каждом многочлене был положительным.
Мы утверждаем, что они с точностью до постоянных множителей
совпадают с многочленами
1 dnix2 \\п
*М = 1 РИ= ("=l 2)
dx« ("lt 2'---)'
которые называются полиномами Лежандра J). Так как процесс орто*
гонализаций обнаруживает, что существует, если не принимать во вни-
внимание постоянных миожителей, только одна система ортогональных мно-
многочленов, в которую входят многочлены любой степени, то достаточно
доказать, что Р„(х) есть многочлен л-й степени и, кроме того, что
система многочленов Р„(х) обладает свойством ортогональности^ Но
действительно Рп(к) является, очевидно, многочленом л-й степени:
v=0
"' («_v)!Bv-«)!2-v"
v=0
Из этой суммы следует выбросить члены, содержащие отрицательные
степени л:. Поэтому в случае четного л низшим членом будет
. -1-3-5 • •• (я—1)
(— !) 2-4-6 ••• я— '
а в случае нечетного я:
например,
*) Legendre A. M., Recher:hes sur l'attraction des spheroides homogenes, Mem.
math. phys. pres. a l'Acad. sc. par divers sav., т. 10, стр.411—434, 1785; Recherches
sur la figure des planetes, Ures des reg. de l'Acad. sc, стр. 370-389; 1784 A787).
78 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
Чтобы доказать, что многочлены Рп (х) образуют ортогональную
систему, полагаем для краткости (хг—1)я = ия(л:); тогда для любого
целого неотрицательного числа /и<я имеем:
1 1
Г If'
1 Рп (х) xmdx = — \ и?0 (х) xmdx=Ot
-1 "-I
что легко проверить путем повторного интегрирования по частям, пока
из-под знака интеграла постепенно не исчезнет хт, принимая прн этом
во внимание, что все производные от ип (х) до (я — 1 )-го порядка на
границах промежутка интегрирования обращаются в нуль. Отсюда сле-
следует, что и
1
[pn(x)Pm(x)dx=0 (m<n),
—1
т. е. что действительно два различных многочлена взаимно ортого-
ортогональны. Для нормирования мы вычисляем при помощи многократного
интегрирования по частям I [bW (x)]2 dx:
1 1 1
Г f ¦ f
rwfw^" i a"'1)u"+l) dx=rr )u"+a)dx==
i i
г г
...=(—1)" \ к г№пЫх = {2п)\ \ A—а)"A -\-xfdx;
J J
-1 —1
так как
1 1
\ (\—x)n(\-\-x)ndx—-^r-T \ A—.
(й!J
Г
J
Bя)!Bя+1)
то
и следовательно, искомые нормированные многочлены имеют вид:
v+l 1 Ф(х2 — \у
I 2^ dx?
§ 8 Полиномы Лежандра 79
Полиномы Лежандра Рп(х) обладают тем свойством, что
это легко видеть, образуя по известному правилу Лейбница я-ю произ-
производную выражения (х — 1 )а (х -\- 1)" и полагая затем х = 1.
2. Производящая функция. Важную роль играют многочлены
Лежандра в теории потенциала, где они фигурируют в качестве коэфи-
циентов разложения производящей функции. В самом деле, если мы
разложим величину, обратную расстоянию между двумя точками, одна
из которых удалена от начала координат на 1, а другая — на к<^1
и радиусы-векторы которых образуют угол arc cos лг, т. е. величину
по степеням и, то с помощью биномиального ряда
A8)
причем Qn(x) есть многочлен и-й степени от х. Покажем, что эти мно-
многочлены <?„(*) тождественны с ранее определенными полиномами Ле-
Лежандра, для чего докажем, что Qn(x) удовлетворяют тем же соотно-
соотношениям ортогональности, что и Рп (х). Действительно, из определяющего
равенства A8) тотчас же следует:
1 1 ^
г =. . . -= у Qn(x)Qm(x)utlvm.
У\ _2хи -ь-и*У\— 2xv +V „~10
Интегрируя левую часть по х в пределах от — 1 до -f-1, получаем
в результате элементарного вычисления:
1 . 1-И/от ? 2 гигП
'
интегрируя правую часть почленно и сравнивая результаты, получаем:
1 |'О при пфт,
2п-\- 1
Подобным же образом получим Qn(l)=l, если подставим в равен-
равенство A8) вместо х единицу. Тем самым установлена тождественность
многочленов Qn(x) и Рп(х).
3. Дальнейшие свойства. Рекуррентная формула.
Диференцируя производящую функцию по и, получаем рекуррентную
формулу для трех следующих друг за другом полиномов Лежандра:
п+1 я />,,_! (*) = 0. A9)
Диференциальное уравнение, я-й многочлен Лежандра
1 *»(*»-if
ук >~~2пп\ dx"
80 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
удовлетворяет однородному линейному диференциальному уравнению
второго порядка:
(х2 — \)у" -\-2xy1— п{п-\-1)у = 0 B0)
или
[(х2 — 1)/]' — я(«-|-1).у = 0. B0')
Это доказывается путем (л -|- 1)-кратного диференцирования равенства
(х2—\)и' — 2пхи, где и = (х2 — 1)", причем в результате заменяем «М
через 2пп\у *).
Свойство минимума. Если умножить полином Лежандра Р„(х)
на число С, обратное коэфициенту при л", и, следовательно, коэфи-
циент при х" в многочлене СРп (х) будет равен единице, то получаются
многочлены, отличающиеся следующим свойством минимума. Среди всех
многочленов и-й степени с действительными коэфициентами и высшим
коэфициентом, равным единице, они наименее удалены в среднем от
нуля в интервале — 1 ^ х ^ 1. Доказательство этого предложения выте-
вытекает просто из того соображения, что в интеграле
(,_1*"-1+...+в0)»<**
можно представить подинтегральное выражение в виде квадрата линей-
линейной комбинации:
[СРп (х) + сп_г Рп_г (х)
Следовательно, интеграл равен выражению
с2
Которое достигает минимума при со = с1 —... = сп-1 = 0.
§ 9» Примеры других ортогональных систем.
1. Обобщение постановки вопроса, приводящей к По-
Полиномам Лежандра. Задачу, из которой мы исходили при введе-
введении полиномов Лежандра, можно обобщить следующим образом.
Пусть в интервале а^х^Ь задана неотрицательная функция р(х);
требуется исследовать системы функций, получающиеся ортогонализа-
цией функций j/p(x), xYp(x), x%yrp(x), ... в интервале a^x^b.
Конечно, эти функции так же линейно независимы между собой, как и
степени 1, х, х* ... Очевидно, в ортогонализированной системе множи-
множители при Vp{x) будут многочлены Qo (x), Q, (х), ... степеней 0, 1, ... ,
которые можно однозначно определить при помощи соответствующих
*) Из этого диференциалыюго уравнения следует, что все корни полинома
Рп(х), различны между собой, так как для кратного корня следовало бы из
диференциального уравнения, что вторая производная и все производные выс-
высшего порядка должны равняться нулю. (Из определения Р„(л:)на основании тео-
теоремы Ролля вытекает, что все корни его действительны и 'лежат в промежутке
от — 1 до + 1.)
§ 9 Примеры •других ортогональных систем 81
добавочных условий; эти многочлены называются ортогональными мно-
многочленами, соответствующими нагрузке р(лгI).
Нанример,
при а = —1, Ь = \ и р (лг) = 1
получаются полиномы Лежандра: Р„(х),
при а = — 1, й=ав! и р(х) = -
получаются полиномы Чебышева:
Т„ Н — -^к=1 cos (я arc cos x).
при a=s— 1, Ь~\ и p(x)=Y* —
получаем многочлены:
п ( 4__s'n[(
при а = 0, Ь = \ и р(х)=л^-1A— л)Р-<?(9>0, р —
получаем полиномы Якоби или гипергеометрические полиномы,
прис = — со, Ь = со и /?(л;) = е-*'
получаем полиномы Эрмита,
при а = 0, Ь = соч р[х)=е~х
— полиномы Лагерра (Laguerre).
Полиномы Небышева, Якоби, Эрмита и Лагерра мы рассмотрим не-
несколько подробнее.
2. Полиномы Чебышева2). Полиномы Чебышева
70(х)=1, Гп(*) = —cos(«arccos*K)
*) Полиномы Q0(x), Qi{x),..., после умножения каждого на надлежаще
выбранный множитель С, обладают свойством минимума, аналогичным свойству
полиномов Лежандра, именно свойством давать наименьшее значение интегралу:
J р {х) {хп + ап_ !*"- »+¦:•+ ао)а их
но сравнению со всеми многочленами с действительными коэфицнентами, в ко-
которых коэфициент при высшем члене равен единице. И в данном случае можно
представить подин\егральное выражение с помощью многочленов Qn(x), напри-
например, в таком виде:
Р (х) [CQn {х) + с „_1Qn_1 {x)+... +с0]*,
следовательно, в силу ортогональности функций \^p(x)Qn{x) получаем для
п—1
интеграла выражение С* + ^с^,т. е. минимум достигается при го = г1 = ...
...=с„^ = 0. v=o
2) Чебышев П. Jl., Sur les questions de minima, qui se rattacheni a la repre-
representation approximative des fonctions, Мёш. Acad. sc. Petersb., Серия 6, т. Ill,
стр. 199—291, 1859, Сочинения. Вопросы о наименьших величинах, связанных с
приближенным представлением функций, т. I, стр. 271—378, особенно стр.295—301,
С. Петербург 1899.
3) На основании известной формулы
cos п »=cos" Ь — E) cos"-2 9 sin» 9 + Q) cos"-* 9 sin* 9 —...
эти выражения являются полиномами относительно х.
6 Курант-Гильберт.
82 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
образуют для интервала —l^x^l ортогональную систему полино-
полиномов, соответствующую нагрузке р[х) = -, так как:
V 1 —хг
1 2л
2 \T(x)Tm(x)-p=L=dx = —fcos/z&cosmdd&==0 при пфт.
-i
i
Они замечательны тем, что для них уклонение от нуля, т. е. макси-
максимум абсолютного значения в интервале —,1 <: х ^ 1, принимает наи-
наименьшее значение, какое только возможно для полиномов и-й степени
с действительными коэфициентами и коэфициентом при высшем члене,
равным единице, к числу которых принадлежит и Тп (х). В самом деле,
полагая для краткости arccosjc=& и xfr=cos — (k = 0,1, ... , п), имеем
при
« тс 2тт
&==0' 7Г' Т п:
*п\л1 2"' 2п~л' 2я
вообще
В этих точках Тп (х)- достигает наибольшего уклонения от нуля. Если
бы какой-либо многочлен Rn(x) = x"-\-а1х"~1-+-... 4- ап с действи-
действительными коэфициентами уклонялся в интервале1^л;^1 рт нуля
бы какойлибо многочлен Rn(x) = x\а1х+... 4 ап с действи
тельными коэфициентами уклонялся в интервале—1^л;^1 рт^ нуля
не больше, чем полином Тп(х), то непременно имели бы место'
соотношения:
Т„(*Ь) — Rn(*о)S» 0, Тп(Xl) — /?„(^)< 0, 7"„(*„) — /?„(ж,)
Следовательно, целая рациональная функция 71,, (х) — /?п (х) имела бы
в интервале —l^x^l по крайней мере п корней, ио это невоз-
невозможно, так как степень ее не выше (п—1)-й.
Делением Тп(х) на
мы получаем нормированные многочлены.
Полиномы Чебышева являются также коэфициентами разложения
производящей, функции:
1.2 со
„=о
§ 9 Примеры других ортогональных систем 83
три последовательных полинома при и ^ 2 связаны соотношением:
полином Чебышева Тп(х) является решением однородного линейного
диференциального уравнения второго порядка:
A-х2) у" — ху' + nzy = Q. B3)
При п <^ 2 имеют место рекуррентные формулы несколько иной формы:
Т1-хТ0=0.
3. Полиномы Якоби1). Полиномы Якоби Gn(р, д, х) получаются
при .с=0, Ь=\ и функции
где
Они могут быть получены также из гипергеометрического ряда:
^+.... «24,
если положить р равным целому отрицательному числу —п, а равным
p-f-n, а у = <7," они удовлетворяют поэтому гипергеометрическому ди-
ференциальному уравнению:
V ]>'-apy=O, B5)
т. е. в частности Gn(x) удовлетворяет диференциальному уравнению:
)nGH[x) = 0 B5')
и представляет единственное целое рациональное решение этого уравне-
уравнения. Первые среди них имеют вид:
G0(p,q, x) = 1,
L)iJacobi С. G. J., Untersuchungen iiber die Differentialgleichung der hypergeo-
metrischen Reihe, Journ. f. d. reine u. angew. Math., т. 56, стр. 149—165, 1859,
Werke, т. 6, стр» 184—202, Berlih 1891.
6*
84 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
вообще оии могут быть выражены в виде:
Из этого выражения следует, что эти полиномы могут быть определены
с помощью производящей функции следующим соотношением:
A —х)г - Ц1 -\-xL-P{t—1 -\-V^-
со
При p = q—t получаем полиномы Лежандра:
i=^\ B6)
при /7 = 0, <7 = — получаются с точностью до постоянных множителей
полиномы Чебышева:
i 1~л:\^ l l~X\ B7)
' 2 '~2~~j-~2n-i ^ ' "~ ' 2"' ~~
4. Полиномы Эрмита1). Полиномы Эрмита Нп{х), для кото-
которых а — — со, Ь = со и /7(x) = e-**, целесообразно определить при
помощи производящей функции, полагая
$(х, t) = e~^+2ix = exte-(t-x^ = 1^i^i^tn; B8)
п=о п-
отсюда непосредственно получаем:
т. е. п-й полином Эрмита Нп{х) равен л-й производной от е~х*, умно-
йсЬ (х t\
женной на (—1)ле*\ Из соотношения \' =2Щ{х, t) следует:
HtJx)^m2nffn_1{x) («2*1), C0)
а из соотношения Y ' -{-2(t —- х) i) (x, t) = 0 вытекает:
C1)'
*) Hermite Ch., Sur un nouveau developpement en serie de fonctions, C. R.
Acad. sc. Paris., т. 58, стр. 93—100, 266—273; Oeuvres, т. 2, стр. 293—312, Paris
1908; 3ur quelques developpements en serle de fonctions de plusieurs variables
там же, т. 60, стр. Ь70—377, 432—440, 461—466, 512—518, f865; там же,
стр. 319—346.
§ 9 Примеры других ортогональных систем 85
комбинируя последние две формулы, получаем:
Н"п(х) — 2хН'п(х) + 2пНп(х)^0 (п^О), C2)
т. е. линейное однородное диференциальное уравнение второго порядка
для Нп{х). Первые полиномы Эрмита имеют вид:
Я0(х) = 1, Н1(х) = 2х,
На (х) = 4х2 — 2, Н3 (х) = 8xs — 12х.
Hi (х) =16**— 48x2 -j- 12.
Общее выражение для полинома Эрмита Н„{х) следующее:
Последний член равен:
(—\J -р^\— при четном и,
— л!
(—1) 2 '—-г-2л: при нечетном я.
Свойство ортогональности полиномов Эрмита получаетсяг) нз соотно-
соотношения:
со со
—со —со
при пу>т путем повторного интегрирования по частям, если принять
во внимание формулу C0) и то, что при 'бесконечно больших значениях хч
обращаются в нуль все производные от е~~хг; именно
со со
j" Hm(x)Hn(x)e-"dx = i— I)""' 2m^Hm_1 (х)?~1"~*
-со -со
со
—со
Чтобы нормировать, можно таким же путем при п=т вычислить
оо
Г И2п (х)е~х* dx=2nn\ 1/тг;
-со
») Так же легко доказать соотношения ортогональности при помощи произ-
производящей функции.
86 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
тогда функциями нормированной ортогональной системы являются
функции:
2&й (.-0.1.2......
V 2
5. Полиномы Лагерра1,). Полином Лагерра Ln(x) (а —О, Ь = со,
р(х) = е~х), входит как множитель при е~х в производную «-го порядка
от функции х"е~х.
например
?4 (x) = л;* — 16x3 + 72x2 _ qqx _|_ 24
Ввиду того, что
n=0 n=Oft=i
оо
Z(—\)kxb tk e 1~'
_ . ft! A —1)*+1 ^ ~1 —-t '
полиномы Лагерра также имеют простую производящую функцию, а
именно
«• xt
Из соотношения
СО
») Laguerre E., Sur l'integrale \ ?Hj5 ^ Bull. Soc. math. France, т. 7, стр. 72—81,
X
1879; Oeuvres, т. 1, стр. 428—437, Paris 1898.
§ 9 Примеры других ортогональных систем 8Т
следует рекуррентная формула:
Ln+1{x) — Bn+l—x)Ln(x)-{-n^Ln_1(x) = 0 (я>1). C3)
Эта формула и вытекающая из соотношения
формула
i;(x)-«!.;_,'(*) = -«!„_,(*) (я5*1) C4)
приводят к формуле:
,(*) (я>1) C5)
и к однородному линейному диференциальному уравнению второго по-
порядка:
" + ^ О C6)
для полинома
Свойство
выводится из
со
г _х k
\е х Ln (X
0
• • <
Лагерра Ln{x).
ортогональности
оо
о
равенства:
со
0
=&(& 1
.n{x)Lm(x)dx-
dn n
оо
о;
со
, ( dn~k n
' 1 dxn~^
0
со
0 при
Для нормирования надо вычислить интеграл:
со со со
j е-*1?п (х) dx = J* (- 1 )«х" ~ (х*е-*) dx = n\\ хЧ
о о о
функции
представляют, следовательно, ортогональную нормированную систему г).
1) И в данном случае можно было бы легко вывести свойства ортогонально-
ортогональности функций <р., при помощи производящей функции.
88 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
6. Полнота системы полиномов Лагерра и Эрмита.
Вопрос о полноте системы функций Лагерра или функций Эрмита тре-
требует особого рассмотрения, так как до сих пор мы доказывали полноту
системы полиномов и т. д. только для конечных интервалов. Систему
функций, заданных в интервале OsSJCsgco, мы будем называть полной
системой, если, при помощи линейных комбинаций этих функций можно
с произвольной точностью аппроксимировать в среднем любую кусочно-
кусочного
непрерывную функцию /(л), для которой' существует интеграл [/ЦхЫх.
о
Чтобы доказать г) полноту системы ортогональных функций Лагерра,
умножаем обе части тождества
иа е 2 и получаем таким образом соответствующее тождество для орто-
ортогональных функций Лагерра
.?„(*) = -
2Ln(x)
а именно:
1 -11±*
со
Бесконечный ряд V* tnvjn (х) при 111 < 1 сходится и в среднем к про-
п=0
изводящей функции g(x, t). Это утверждение непосредственно доказы-
доказывается путем преобразования интеграла:
i'
о
n=0
причем мы пользуемся соотношениями:
со
I
о
со
1 1 + <
Так как выражение а = ——->—-принимает все значения, заключаю-
2* 1 — t
щиеся между нулем и бесконечностью, когда t пробегает значения от
») Пользуюсь личным сообщением И. Неймана (J. v. Neumann).
§ 9 Примеры других ортогональных систем 89
— 1 до -J- 1, то можно с помощью ортогональных функций Лагерра аппро-
аппроксимировать в среднем с произвольной точностью любую функцию е"~к*,
где 0<а<оз в интервале 0<:л:<[со. Пусть функция f(x) кусочно-
непрерывна в интервале 0«йл;<со, и пусть квадрат этой функции
интегрируем в пределах от 0 до со. Строим вспомогательную функ-
функцию F(x), непрерывную в интервале О=^лг<со и удовлетворяющую
следующим требованиям:
сю
1°.
где ? — произвольно малое положительное число,
2°. F(jc) = 0 при
где Л —Л(?) — достаточно большое число1). Полагаем далее с = е~х,
тогда F(x) переходит в непрерывную функцию (р(?) от 5 в интервале
О ^ 5^ 1, которая при 0 <: ? <: е~А равна нулю. По теореме Вейерштрасса
можно равномерно аппроксимировать с помощью полиномов от ? не-
?
прерывную в интервале 0 sg ? sg: 1 функцию —\- , следовательно, суще-
существует такой полином Oj ?-]- ... ~\-ап^.п, что
Отсюда вытекает возможность аппроксимирования в среднем функ-
функции F(x) в интервале Osg:jt<^co при помощи выражений вида:
але~х -j- а^е~2х-j- ...-}- апе~пх
и, следовательно, на основании ранее доказанного возможность аппро-
аппроксимирования в среднем функции F(x) с помощью ортогональных функ-
функций Лагерра. Тем самым доказана-возможность аппроксимирования в сред-
среднем данной кусочно-непрерывной функции /(х). Этому эквивалентно
утверждение, что имеет место условие полноты:
сю 9?
Ydc2l = \fi(x)dx,
v=0 J
где
со
о
коэфициенты разложения.
Совершенно аналогичным образом доказывается полнота системы
ортогональных функций Эрмита.
См. примечание к этой странице в конце книги. (Прим. перев.)
90 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
§ 10. Дополнения и задачи ко второй главе.
1. Решение Гурвица для изопер и метрической за-
задачи. Изопериметрической задачей называют задачу о нахождении
среди всевозможных замкнутых плоских кривых данной длины той, ко-
которая охватывает наибольшую площадь. Как известно, решением является
окружность; доказательство проведем, следуя Гурвицу (Hurwitz)г) и огра-
ограничиваясь кусочно-гладкими кривыми, следующим образом.
Пусть
x = x{s), y~y(s),
есть параметрическое выражение непрерывной, замкнутой, кусочно-глад-
кусочно-гладкой кривой, имеющей длину L и заключающей внутри себя площадь F,
причем параметром является длина дуги s. Введем вместо ,s в качестве
параметра пропорциональную ей величину < = -— , которая изменяется
от 0 до 2тт, в то время как s пробегает значения от 0 до L, и назо-
назовем коэфициенты Фурье от функций х и у через ач, Ь„ и cv, dv; тогда
коэфициентами Фурье для функций —j- и — будут v bw, — v я, и v dv,
— vc4. Так как
' \ dt ) \ dl) ~~ \2тт/ '
2л
1
О
мы получаем из условия полноты (9) и (9') соотношения:
2*
СО
Г 1
^ = l
о
Из двух последних формул следует:
со
L2 _ 4ltF= 2тг2 ? [(Vav - dj* + (vftv -f ^ + (v2 - 1) (^ + ^)] ^ 0.
v=l
Знак равенства может иметь место, очевидно, только в том случае,
если
*i + ci —°> аг~~rfi = °. av —*v = ev = rf,=0 при v = 2, 3, ...,
») Hurwitz. A., Quelques applications geometriques des series de Fourier, Ann.
Ec. Norm., Serie 3, т. 19, стр. 357—408, особенно стр. 392—397.
§ 10 Дополнения и задачи ко второй главе 91
т. е. если
х— у а0 + ai cos* 4- bi
у = -jr- c0 — Ьг cos t-^^
и, следовательно, кривая является окружностью. Вместе с тем для всех
непрерывных замкнутых, кусочно-гладких плоских кривых справедливо
„изопериметрическое неравенство".
L2 — 4nF7»0, C7)
где L— длина кривой, a F— площадь, заключенная внутри кривой; знак ра-
равенства имеет место в том и только в том случае, когда кривая является
окружностью. Тем самым доказано изопериметрическое свойство круга.
2. Взаимно обратные формулы. Требуется доказать эквива-
эквивалентность формул 1):
1
f(t)=[ g(u)ctgu(t~u)du,
-g(u)=\f(t)ctgTi(u-t)tit,
о
причем предполагается, что
1
!=0, \.f(t)dt = O,
!-fl), f(t)=f(t^-\
и что берется „главное значение" интегралов в смысле Коши, сначала,
с помощью теории рядов Фурье, а затем с помощью теоремы Коши.
3. Интеграл Фурье и сходимость в среднем. Теорию
интеграла Фурье можно развить так же, как и теорию рядов Фурье,
исходя из понятия о сходимости в среднем.
Пусть действительная или комплексная функция f(x) кусочно-непре-
кусочно-непрерывна в любом конечном интервале, и пусть существуют интегралы:
со оо
f|/(*)|d* и f
- 00 —00
Попытаемся дать наилучшее приближение в среднем функции f(x)
с помощью интегралов вида:
y(t)e'xtdt.
-г
') См. Hilbert D., Integralgleichungen. стр. 75.
92
Задача о разложении в ряд произвольных функций
Гл. II
т. е. придать интегралу
со
С f{x)— С
-CO -T
dx
при постоянном значении Т наименьшее возмржное значение.
На основании следующего преобразования, которое нетрудно до-
доказать,
со
-со
СО
**= С i
-со
т
С \yix)—gix)\*dx — 2ii [\g[x)\*dx,
со
где
-со
обнаруживается, что наш интеграл принимает наименьшее значение,
когда
y(t) = g(t).
Далее, в пределе при 7—>со получаем соотношение полноты:
со со
со
-со
Доказательство этого предложения, как и переход к интегральной тео-
теореме Фурье, мы здесь, однако, приводить не станем.
4. Спектральное разложение с помощью ряда Фурье
и интеграла Фурье. Ряд Фурье и интеграл Фурье встречаются
в тех вопросах, где речь идет о выражении данного процесса или хода
изменения данной функции в виде наложения периодических процессов
или периодических функций, или, как говорят, о спектральном разло-
разложении процесса.
Если f(x) есть заданная в интервале —/^лг^/ функция, а
СО Ы;х
^=—00
ее ряд Фурье, то говорят, что функция разложена на периодические
функции с „дискретными частотами"
VTC
j- (v = 0, 1,...)
§ 10 Дополнения и задачи ко второй главе 93
и „амплитудами"
1
-J
Если же рассматривают бесконечную область —сск^лг^оо, то
говорят о разложении /(х) в непрерывный спектр, причем частоте и
соответствует плотность спектра
со
g(u)= \f(x) e~!u*dx.
-со
Функция
при |д
при |д
/со
соответствующая конечному отрезку синусоиды, состоящему из я=—
тг
волн, представляет принципиальный интерес для физики1). Для этой
функции плотность спектра равна:
i
со — и
При и = со функция j g (и) |, рассматриваемая как функция от и,
имеет максимум, который тем резче выражен, чем больше число волн я.
При больших значениях я плотность спектра для значений и, лежащих
вне произвольно малого интервала со — Ssgasgco-J-8, будет сравни-
сравнительно очень мала.
5. Плотные системы функций. Следуя Г. Мюнцу (Muntz),
мы будем называть плотной системой5 функций систему, обладающую тем
свойством, что всякая функция /(х), которая может быть аппроксими-
аппроксимирована в среднем с любой точностью при помощи конечного числа функ-
функций этой, системы, может быть таким же образом аппроксимирована и
при помощи функций из произвольно выхваченного из первоначальной
системы бесконечного частичного множества. Замечательный факт, что
существуют нетривиальные пцимеры таких систем (тривиальным случаем,
например, является тот, когда все функции равны между собой), проще
всего можно установить, следуя Сего (SzegoJ), на основании следующей'
теоремы. Если \, \2, .. , \п, ...—положительные числа, которые
с возрастанием п стремятся к бесконечности, то функции
1 1 1
') Этот пример иллюстрирует тот факт, что конечному числу синусоидальных
волн в оптике никогда не соответствует резкая спектральная линия, а спектр
конечной ширины, который будет тем уже и интенсивнее, чем при данной ча-
частоте больше число волн.
2) Szego G., Ober dictite Funktionenfamilien, Berichte der Sachs. Akad. d. Wiss.
zu Leipzig, т. 78, 1926.
'S4 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
образуют в любом конечном положительном интервале полную
систему функций.
Из этой теоремы следует так же и плотность нашей системы, так
как любая подпоследовательность чисел ^п обладает требуемыми в усло-
условии теоремы свойствами.
На основании теоремы Вейерштрасса об аппроксимировании доста-
достаточно доказать, что любую степень хт можно равномерно аппроксими-
аппроксимировать при помощи функций г-.
х-\- А„
Но рациональная функция
хт
сходится при возрастании р при любом д^р к хт и притом равно-
равномерно во всяком конечном положительном интервале. Если будем вы-
выбирать всякий раз q—p^stn, то можно будет рассматриваемую ра-
рациональную функцию путем разложения на элементарные дроби при-
привести к виду:
где А , Ар+1, ..-, А , — постоянные числа, так как мы можем счи-
считать, что -все Х„ различны между собой. Но полученное выраже-
выражение представляет собой линейную комбинацию функций исследуемой
системы.
Другие примеры плотных систем функций были указаны Мюнцем а).
6. Теорема Г. Мюнца о полноте системы степеней.
Мюнц2) указал следующую интересную теорему.
Бесконечная последовательность степеней 1, xXl, л;х», ... с возрастаю-
возрастающими положительными показателями представляет полную систему
функций в интервале' 0 «^ х ^ 1 в том и только в том случае, если
со
ряд ^Г 2_ расходится.
7. Теорема.Фейер а. Из теоремы Вейерштрасса об аппроког
мировании мы вывели заключение, что любую непрерывную периодическую
функцию можно равномерно аппроксимировать при помощи тригоно-
тригонометрических многочленов. Мы можем получить такие аппроксимирую-
аппроксимирующие многочлены очень просто на основании следующей теоремы, най-
найденной Фейером3). Если f (х) ~-непрерывная периодическая функция,
О Mtlntz H., Dichte Funktionensysteme, Mathem. Zeitschrift, т. 21, 1924.
2) Miintz H., Ober den Approxlmationssatz von Weierstrass, Festschrift H. A.
Schwarz, 1914, стр. 303; Szasz O.. Ober die Approximation stetiger Funktionen durch
lineare Aggregate von Potenzen, Math. Ann, т. 77, 1926.
3) Fejer L., Untersuchungen fiber Fouriersche Reihen, Math. Ann., т. 58, 1904.
§ 10 Дополнения и задачи ко второй главе 95
sn (x) — частичные суммы ее ряда Фурье, то последовательность сред-
средних арифметических
2"
сходится равномерно к f(xI).
Аналогичная теорема имеет место для интеграла Фурье.
Пусть функция f(x) непрерывна в любой конечной области, и пусть
со
существует интеграл \ \f(x) \ dx; мы полагаем
-со
со
-со
Т
т
— т
тогда последовательность арифметических средних
т со
,.(*) = Т \ sT(x) dT=-^
равномерно сходится во всяком конечном интервале к функции f(x).
В частности сходимость равномерна во всем интервале — cx><^.jc<^cd,
если функция /(х) равномерно непрерывна во всем этом, интервале.
8. Формулы обращения Мелина2).
Теорема 1. Пусть s=o4-// — комплексная переменная. Допустим,
ос
что функция/(s) регулярна в полосе а<<с<<[5 и что
-со
сходится в этой полосе. Пусть, далее, в каждой более узкой полосе
а-}~^^°^Р — 8 (^^>0 есть произвольно малое постоянное число
функция f(s) равномерно стремится к 'нулю с возрастанием абсолют-
•) См. примечание в конце книги.
2) МеШп И., Ober den Zusararaenhang zwischen den linearen Differentital- und
Differenzengleichungen, Acta Math., т. 25, стр. 139—164, особенно стр. 156-162,
1902; Fujiwara М., Ober Abelsche erzeugende Funktionen und Darstellbarkeitsbe-
dingungen von Funktionen durch Dirichletsche Reihen, T6hoku math. J., т. 17,
стр. 363—383, особенно стр. 379—383, 1920; Hamburger И., Ober die Rlemannsche
Funktionalgleichung der t-Funktion (первое . сообщение), Math. Ztschr., т. 10,
стр. 240—254, особенно.стр. 242—247, 1921.
96 Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
ного значения ординаты /. Полагая при этих условиях для действитель-
действительных положительных значений х
о+СО»
причем о сохраняет постоянное значение, получаем, что в полосе
Р имеет место соотношение:
со
2 C9)
Доказательство. В силу допущения, что f(s) равномерно стре-
стремится к нулю при a-j-S^asgji—8 и \t\—»со, мы имеем право
в формуле C8) смещать прямую, по которой производится интегриро-
интегрирование. Следовательно, функция g{x) не зависит от о. Выберем две
абсциссы в1 и о2, удовлетворяющие условию a<ia1<^a<^a.2 <CP," тогда
СЮ 1
j
О о,—ОО<
оэ
1 o,-CO<
В этих интегралах мы имеем право изменить порядок интегрирова-
интегрирования, так как на основании оценок
со 1
1j
—со о
оо со
y
-СО
имеет мес<го абсолютная сходимость. Таким образом получаем:
з2+С0« <Ч—СО»
1 I
1 ? &
as—СО/ «,-СО/
Разность, стоящая в правой части, равна f{s) на основании интеграль-
интегральной формулы Коши. В самом деле, интегралы, взятые по Горизонталь-
Горизонтальным отрезкам между вертикальными прямыми а=^а1 и а=аг, при
|2|ч—>со исчезают, так как f(s)—>0.
Теорема 2. При д;>0 пусть функция ?(*) будет кусочно-глад-
со
кой функцией, а интеграл \ x3~1g(x)dx при а-<о<СР — абсолютно
§ 10 ДополНеКия и задачи ко второй главе 97
сходящимся. При этих условиях из формулы C9) следует обратная ей
формула C8). '
Доказательство. Полагая х = еи, имеем:
о + ОО/ 00 СО
ы j x-*f(s)ds-- J е-Ч'+'di J e*
—cc
CO CO
4"M
2ni
о — СО г —СО —CO
CO CO
-со - -со
На основании интегральной теоремы. Фурье A6) последнее" выражение
равно e~uaeuag(e"^=g{x), что и требоватось доказать.
Примеры на преобразование Мелииа.
а) Пусть
приОО<1
, дг>1
со
Так как интеграл \x°g(x)dx абсолютно сходится при о^>0, то
о
из .соотношения
со
±. @>0)
вытекает формула:
1 Tr'
2to J s
о-CO'
Эта формула играет роль в теории рядов Дирихле,
б) Из соотношения
со
Г (s) = \ xs~h-xdx (о > 0)
о
следует:
°+со«
o—CQi
в) Формула
CO
98 .Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
где C(s) означает риманову дзета-функцню, дает:
e+COi
ех
г) Обращением формулы
со
со
о"
является формула:
o+COl
а — 001
Формула преобразования интегралов Мелина является важным вспо-
вспомогательным средством в аналитической теории чисел- и вообще часто
встречается в' анализе.
9. Явление Гиббс а. Если вычертить для кусочно-гладкой функции
f(x) волнистые кривые, изображающие частичные суммы ее ряда Фурье,
то оказывается, что во всяком интервале, ие сбдержащем в себе точек
разрыва, в котором ряд Фурье сходится равномерно, эти кривые все
более и более примыкают к кривой, изображающей функцию /(*); од-
однако в непосредственной окрестности точек разрыва, где сходимость не-
неравномерна, имеются волны, которые все ближе и ближе подходят
к точке разрыва и становятся все более узкими, но отклонение кото-
которых от кривой j/=/(t) не стремится -к нулю. Это явление называют
явлением Гиббсаг). Чтобы подробнее изучить это явление, можно на
основании рассуждений § 5 ограничиться рассмотрением специального
ряда Фурье:
со .
^ = Е^ @<*<2к).
Пользуясь формулой
1 Этот факт был сперва обнаружен Гиббсом чнсто эмпирическим путем.
Glbbs J. W., Fourier"s series, Nature, т, 59, стр. 2jO, стр. 606, 1898—1899, Papers,
т. 2, стр. 258—260, London, New York and Bombay 1906.
§ 10 Дополнения и задачи ко ьгброй главе
мы.можем представить остаток ряда в -виде:,
sin у* п • sin
или в виде:
sin^
п
где для краткости полагаем
¦X
)
ь
Как легко убедиться при помощи диференцирования, приближение
является наихудшим в точках
в которых остаток достигает максимума или минимума
Ля
г *. / 2йп \
L возрастанием я при постоянном значении k выражение рй I _i_ j /
стремится к нулю, следовательно, остаток rn(xk), т. е. отклонение ап-
проксимирующей кривой от кривой _у= —^— в точке хк, неограни-
неограниченно приближающейся к точке разрыва, стремится к значению:
hm rn(xk) = — —
и->СО ^ J •*
О
Например, lim гп(хг) =&^— 0,2811, т.е. аппроксимирующая кривая под-
Н-+СО
п — л;
нимается над кривой у — —-— на расстояние, составляющее прибли-
зительно 9°/0 высоты скачка функциил).
О Bother M.. introduction to the theory of Fourier's series. Annals of math., се-
серия 2, т. 7 стр. 81—152, особенно стр. 123—132, 1906; Range С, Theo ie und
Praxis der Reiiien, стр. 170—182, Leipzig 1904. Относительно обобщения явления
7*
100
'Задача о разложении в ряд произвольных функций
Гл. II
Подчеркнем еще тот факт, что при аппроксимировании с помощью
сумм Фейера явление Гиббса не имеет места.
10. Теорема об определителе Грама. Пусть G' является
частичной областью основной области G, и пусть функции <р1( <р2, ... ,
«рп, кусочно-непрерывны в области G; если Г есть их определитель
Грама для области О, а Г' — для области G', то
Доказательство непосредственно вытекает из максимально-минималь-
максимально-минимального свойства собственных значений. В самом деле, Г представляет про-
произведение характеристических чисел квадратичной формы:
Г' представляет соответствующее произведение для квадратичной формы
но ясно, что
следовательно, и каждое характеристическое число для формы $C(t, f)
не больше соответствующего характеристического числа для K(l, t).
Другое доказательство можно -получить из следующего выражения
определителя Грама:
1 1
Г =
Ь.
Ъ. (*«) ¦ ¦ ¦ Ь (хп)
4n(Xl)
¦ ¦ ¦ *.(«„)
xj dxu... dxn,
причем мц1 для краткости предполагаем, что функции зависят только от
одной независимой переменной х, изменяющейся в основной области
О < х <^ 1; это выражение в точности соответствует формуле D5) пер-
первой главы л).
11. Применение понятия интеграла Лебега. Многие
факты и соотношения, установленные в этой главе, существенно допол-
дополняются, если вместо элементарного приятия риманрва интеграла поло-
положить в основу понятие интеграла, формулированное Лебегом. Для этого
приходится расширить класс функций, рассматривая все функции, инте-
интегрируемые в смысле Лебега, или, как говорят, все суммируемые функ-
функции, и нужно воспользоваться основными фактами из теории Лебега.
Теория Лебега исходит из понятия меры точечного множества 9Й; мы
Гиббса на другие ортогональиые системы функций и специально на системы та-
таких функций от многих переменных QM.Weyl H., Die Gibbssche Erscheinung in
derTheoriederKugelfunktionen, Rend. Circolo mat. Palermo, т. 29, стр. 308 ч 323,1910;
Ober die Gibbssche Erscheinung und verwandte Konvergenzphanomene, там же
т. 30, стр. 377—407, 1910.
*) См. Kneser A., Zur Theorie der Determinanten, Festschr. H. A. Schwarz,
стр. 177—191, Berlin 1914, А также Kowalewski C, Determinanten.
§ 10 Дополнения и задачи ко второй^ главе 101
предположим, что оно лежит в конечном интервале. Представим себе,
что все точки множества 8Д каким угодно образом включены в счет-
счетное множество интервалов, причем эти интервалы могут частично
покрывать друг друга.
Пусть т является нижней границей суммы длин таких интервалов;
пусть, далее т' будет/соответствующей нижней границей для точек до-
дополнительного множества Ш' т. е. для множества всех точек данного
интервала, которые не принадлежат множеству 5Ш. Если число т-\-т'
равно длине интервала, то множество 2J? называется измеримым и число т
называется мерой этого множества. Согласно этому определению любое
счетное множество точек имеет меру нуль (есть „множество меры нуль").
Если возьмем теперь функцию f(x), определенную в интервале
О (а ^ х =^ Ь) и ограниченную в этом интервале, значения которой
принадлежат некоторому интервалу J, то мы разобьем этот интер-
интервал на частичные интервалы J^, J2, ... , Jn; если для каждого частич-
частичного интервала J. существует мера т, точечного множества ъ G, на
котором функция f(x) принимает значения из Jj, то функция f(x) Ha-
Hart
зывается измеримой в G. В таком случае сумма }\'И//у> в которой ft
означает значение функции / из интервала Jj, стремится., к определен-
определенному пределу, не зависящему от специального выбора предельного пе-
перехода, если только длины интервалов J, равномерно стремятся к нулю.
Этот предел называется интегралом (Лебега) "от функции f(x) и обо-
обозначается; так же, как и обыкновенный риманов интеграл, естественным
обобщением которого он является. Для функции, которая имеет отлич-
отличные от нуля значения только на множестве меры нуль, интеграл всегда
равен нулю. Мы можем, следовательно, представить себе, что, на про-
произвольной множестве меры нуль, например, во всех рациональных .точ-
.точках значения функции шроизвольно изменены, но это не повлияет на
значение интеграла, это указывает, что при помощи нового определе-
определения мы значительно расширили класс интегрируемых функций. Функцию,
интегрируемую в смысле Лебега, называют суммируемой функцией.
Понятие интеграла Лебега может быть распространено также на
функции, которые не остаются ограниченными в рассматриваемой об-
области. Для этого мы сперва интегрируем по тем частичным областям,
в которых \f(xj\<^N, и затем неограниченно увеличиваем число N.
Если при этом интеграл стремится к определенному пределу, то этот
предел и называется лебеговым интегралом, взятым по всей области.
Для нас важны, следующие положения, которые можн*о вывести на
основании только что установленных понятий.
а) Теорема сходимости Лебега. Если дана последовательность сум-
суммируемых в интервале а Ь функций и если для любого значения х
из нашего интервала функции fn (x) стремятся с возрастанием п к функ-
функции F(x), то можно и- в том случае, когда сходимость не равномерна,
заключить, что имеет место соотношение:
Г Г
lim \fn(x)dx= \ F(x\dx,
и->со 1
102 Задача о разложении в ряд произвольные функций Гл. II
коль скоро все функции /„(¦*) по абсолютному значению остаются
меньше некоторой грани, не зависящей от п.
Впрочем, достаточно даже, чтобы имело место неравенство:
где tp (х) определенная, не зависящая от п суммируемая функция.
Эти теоремы позволяют доказать законность почленного интегриро-
интегрирования бесконечных рядов во многих случаях неравномерной сходимости.
б) сходимость в среднем. Пусть последовательность функции
/т (*)> 'Л (*)» • • • состоит из суммируемых функций, квадраты которых
также суммируемы, и пусть
/я->СО
п ->СО
[if.-,
Тогда говорят, что последовательность функций/„(л:) сходится в сред-
среднем. Имеет место теорема: из каждой такой последовательности функций
можно выделить подпоследовательность /п., которая сходится к сумми-
суммируемой функции f(x) повсюду за исключением, быть может, множества
меры нуль.
в) Георема Фишер-Рисса1). Эта теорема может быть выражена
в двух эквивалентных формах.
Формулировка Фишера. Пусть функции /, (х), f%{x), ... и нх квад-
квадраты суммируемы, и пусть
Иш f (/„-/„)»</* = 0.
V-* СО
/я->СО
В таком случае существует суммируемая функция /(*), квадрат ко-
которой также представляет суммируемую функцию, такая, что
Urn [[f(x)—fn{x)]*dx=0.
й~>00 J
Формулировка Рисса. Если а>д (х), со2 (х), со3 (х), ... — произвольно
заданная система ортогональных функций и если аг, а2, as, —лю-
со
бая последовательность действительных чисел, для которой ряд Vo *
v = l
сходится, то существует суммируемая функция f(x), квадрат которой
также суммируем, такая, что ач = (', coj. С помощью этой теоремы
мы устанавливаем, что соотношения § 1 обратимы, если только ука-
указанным образом расширить класс функций и понятие интеграла.
г) Полнота и замкнутость системы функций. Система функций
называется замкнутой, если не существует нормированной функции,
ортогональной ко всем функциям системы; при этом мы раз навсегда
предполагаем, что рассматриваемые функции и их квадраты суммируемы.
4) Riesz F. Sur les systemes orthogonaux de fonctions, C. R. Acad. sc. Paris,
r,4t, стр. 615—619, 1ГЮ7; Ober ortho^onale Funktionensys,teme, Nachr. Qes. Qot-
tingen (math. phys. KL), стр. 116-122, 1907; Fischer В., Sur la convergence en
moyenne, С R. Acad. sc. Paris, т. 144, стр. 1022—1024, 1907.
§ 10 Дополнения и задачи ко второй главе 103
Тогда справедлива теорема: всякая замкнутая система функций
является полной системой, и обратно. В самом деле, если функция /(к)
не равна нулю, за исключением, быть может, точек множества меры
нуль, и ортогональна ко всем функциям системы щ (х), е>.2 (*), ....
которую мы считаем ортогональной, то
следовательно, система функций не является полной системой. Обратно,
если система не является полной системой, то •существует такая функция
f(x), что
СО
v=l
где
*, = (/. «О;
в таком случае функции
и'
v=l
на основании теоремы ФишераФисса (формулировка Фишера) сходятся
в среднем к некоторой фунции (р(дг), которая ортогональна ко всем
функциям го.,. Таким образом система не может быть замкнутой.
Литература к главе II.
Учеб ник и:
Borel Е., Lecons sur les fonctions de variables reelles et les developpements
en series de polynomes, Paris 1905.
Carslaw H. S., Introduction to the theory of Fourier's series and integrals, 2-е
пзд., Lo.idon 1921.
Heine H., Handbuch der Kugelfunktionen, т. 1 и 2, 2-е изд., Berlin 1S78 и 1831.
Hilbert D., Grundzilge eine> allgemeinen Theorie der linearen Integr^lgleichUn-
gen, Leipzig 1912 (цитир. „Integralglelchungen.).
Hobson E^ W., The theory of functions of a real variable and the theory of
Fourier's series, Cambridge 1907.
Lebesgue H., Lecons sur l'integration et la recherche des fonciions primitives
Paris 1904; Lecons sur les series trigonometriques, Pa is 1906.
Whittaker E. T. and Watson G. N., A course of modern analysis, 3-е изд.
Cambridge IV20.
Монографии и статьи:
Boeher /И., Introduction to the theory of Fourier's series, Annals of math., серия 2,
i- 7, стр. 81—152, 1906.
Courant R., Ober die LOsungen der Differenialgleichungen der Physik, Math.
Ann., т. 85, стр. 280—325 19^2; Zur Theorie der linearen Integralgleichungen, там же
т. 89, стр. 161—178, 1923.
ft'.lbert D, ОЬгг das D richletsche-Prlnzip, Festschr. Ges. Qottingen 19Э1, Berlin
iPOl: вновь напечатано Math. Annalen, т. 59, стр. 161—186, 1904.
Montel P., Sur les suites iuiinies de fonctions. Ann. Ёс. Norm., серия 3, т. 24,
стр. 233- 331, 1937.
SzegO О., Beitrag zur Theorie der Polynorne von Laguerre und Jacobi, Math.
Zeitschr., т. 1, стр. 3 1—356. 1918; Ober. Orthogonalsysteme von Polynnmen, там же
т. 4, стр. 139—157, 1919; Ober die Entwicklung einer willkiirlichen Funktion nach
den Polynomen eines Orthogonalsystems, гам же, т. 12, стр. 61—94, 1922.
Глава III.
Теория линейных интегральных уравнений.
§ 1. Предварительные соображения.
1. Обозначения и основные понятия. Дусть K(s, t) —
определенная в области c^s^ft, a^t^b и непрерывная в этой
области функция обоих переменных s и t, и пусть X — параметр. Пусть,
далее, /(«) и tp (s) — две, непрерывные в интервале a^s^b функции
переменной s, связанные функциональным уравнением:
/D) = <р E) - X I K(S, t) <f (/) dt. A)
(Условимся раз навсегда, что интегралы без дальнейшего обозначения
области интегрирования должны всегда распространяться по вышеуказан-
вышеуказанной „основной области" переменных.) Посредством функционального
уравнения A), которое мы будем называть линейным интегральным
уравнением второго рода с ядром K(s, t), каждой непрерывной функ-
функции ср (s) отнесена другая f(s), и к тому же линейным образом, так что
венкой линейной комбинации Cj<pt-(-catpg относится соответствующая
комбинация Cj/j -{- с2/2. Мы будем здесь заниматься преимущественно
решением интегрального уравнения, т. е. вопросом об определении
функции cp(s) по заданной/(s). При этом предполагаем, если только
точно" не -указано противоположное, что все встречающиеся- величины
действительны.
Если функция f(s) тождественно исчезает, то говорят об однород-
однородном интегральном уравнении; в том случае, если последнее обладает,
помимо тривиального решения tp = 0, еще другими решениями tp, то это
нетривиальное решение можно помножить на постоянный множитель, и сле-
следовательно, его можно также полагать нормированным.
Оановременно с- различными решениями ср1; «р2, ... однородного
уравнения являются также решениями все линейные комбинации с^, -}-
~\" С9<?а~\~ • • • Несколько таких линейно независимых решений мы по-
поэтому можем и будем всегда представлять себе нормированными и вза-
взаимно ортогональными, ибо в противном случае мы можем их подвергнуть
процессу ортогонализации, описанному в главе II, § 1, без того, чтобы
они перестали быть решениями. Такое значение 1, для которого одно-
однородное интегральное уравнение^; имеет отличные от нуля решения, мы
будем называть собственным значением ядра, а соответствующие реше-
решения <р7, <р2, „ ., которые будем предполагать взаимно ортогональными, —
§ i Предварительные соображение. 105
собственными или фундаментальными функциями ядра, принадлежа-
принадлежащими собственному значению 1. Число их ограничено. В самом деле,
согласно неравенству Бесселя (гл. II, § 1), примененному к-ядру K(s,t)
и ортогональным нормированным функциям (р,,(ра, , срй,
*2 \ К(s, tf dtS*X» ? Г\ K(s, t) Ъ(t) dt\2=
J i U J
а следовательно, интегрируя по
т. е. для Л получается верхняя грань. Можно сказать: всякое собствен-
собственное значение имеет конечную кратность (т. е. конечное число линейно
независимых решений).
Наше интегральное уравнение представляет собою, как это выяс-
выяснится в § 6, естественное обобщение той проблемы линейной алгебры,
которую мы рассмотрели в гл. I, § 2. Его значение для математиче-
математического анализа состоит в том, м^жду прочим, что многие иначе разроз-
разрозненные соображения благодаря ему объединяются общей точкой зрения.
2..Истокообразно представленные функции. Член, ти-
типичный для'интегрального уравнения A), дается интегралом вида:
B)
О функции g, заданной равенством B) при посредстве функции Л и
ядра К, говорят, что" она представлена истокообразно.
Если h(t) — кусочно-непрерывна, то функция g(s) наверно непрерыв-
на
фу g() р рр
. Но о ней можно сказать еще более: если \ h(t)%dts^M, где М
означает определенное число, то функции, представленные равенством.
B), равностепенно непрерывны (gleichgradig stetig) в своей совокупности,
т. е. лля всякого положительного числа s существует, независимо от
специального вида функции h (t), положительное число 8 (е) такого реда,
что из неравенства | ij | < Ь вытекает соотношение
(ср. гл. II, § 2). Действительно, из неравенства Шварца следует, что
щ,1)- K(s,t)f dt,
откуда, в силу равномерной непрерывности ядра, непосредственно по-
поручается наше утверждение; ибо независимо от /, имеет место неравен-
неравенство:
\K(s + ri,t) — К (s,t)\<o
с произвольно малым о, коль скоро rt достаточно мало.
106 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
Далее, если функции Кя (s,t) равномерно стремятся к пределу
я-»СО
то при заданной h(t) справедливо соотношение:
= 1\т [Kn{s,t)h{t)dt
n-*COj
в смысле равномерной сходимости относительно s, так как предельный
переход можно выполнить под знаком интеграла. Таким образом непо-
непосредственно следует, что все функции вида:
ёп (s) = f кп (* ><)h W *. #(*) = \ яч*. t) h {t) dt
равностепенно непрерывны для всех рассматриваемых функций h (t), если
только 1 hzdt^M. Точно так же все этн функции равномерно огра-
ограничены, т. е. все они по абсолютной величине лежат ниже одной об-
общей грани, что непосредственно следует из неравенства Шварца:
gn (sJ < М Г [К„(s,t)f dt и соответственно g(s)* < М f [K(s,t)]4t.
3. Выродившиеся ядра. Ядро, которое можно представить
в виде конечной суммы произведений функции от s на функцию от t:
A (s, t) = ?М*)в(*), C)
мы будем называть выродившимся ядром. Можно прн этом допустить,
что функции at(s), а также функции $t(t) линейно независимы между
собою, ибо в противном случае можно было бы одни из этих функций
выразить линейно через другие и таким "образом удалось бы предста-
представить ядро A (s, t) в виде суммы меньше чем р произведений вышеуказан-
вышеуказанного типа. Из теоремы о возможности равномерно аппроксимировать
непрерывную функцию К (s, t) полиномами (ср. гл. II, § 4) следует, что
ядрэ K(s, t) можно, как угодно точно, равномерно аппроксимировать
выродившимися ядрами, так как всякий полином относительно s и t
представляет собою, очевидно, выродившееся ядро.
Выродившееся ядро допускает следующее преобразование в другую,
часто удобную форму. Представим себе, что 2р функций от stasis),
аг (s), ... , ap(s); p, (s), $,(s), ..., $p(s) выражены линейно через систему
нормированных ортогональных функций (Oj (s), co8 (s), , wq (s), чего
всегда можно достигнуть ортогонализацией. заданных функций. Тогда
ядро A (s, t) принимает форму двойной суммы:
9
/o>i(s)(oj(t). D)
§ 2 Теоремы Фредгсльма для выродившегося ядра 107
Произведения a^s) ©ДО образуют систему д2 функций от s и t,
заданных в квадрате a^s^b, as^tsZb и взаимно ортогональных,
a следовательно, и линейно независимых.
Если ядро A (s,t) симметрично, т. е. A (s t) = A (t, s) тождественно, то
„—««)»!(*) ч,Ю = о,
что в силу линейной независимости произвелений< <ot(s) <a,(t) означает,
Симметрическое ядро К (s, t) всегда «озможно равномерно аппрокси-
аппроксимировать симметрическими выродившимися ядрами. Чтобы убедиться
в этом, достаточно лишь, в случае необходимости, заменить A (s, t)
функцией — \A(s, t)-\- A (t, s)], которая одновременно с A (s, f) рав-
номерно аппроксимирует ядро K{s, t).
§ 2. ^Теоремы Фредгольма для выродившегося ядра.
Основные теоремы общей теории интегральных уравнений, доказан-
доказанные впервые Фредгольмом *) (Fredholm), полностью соответствуют основ-
основным теоремам теории линейных уравнений и могут быть формулированы
следующим образом.
Интегральное уравнение
р
A)
при заданном \ либо имеет для всякой произвольно заданной не-
непрерывной функции f(s) одно и только одно непрерывное решение у (s),
в частности решение др = О для /=0, или же соответствующее
однородное уравнение
4(s) = xf K(s,t)b(t)dt E)
имеет положительное конечное число г линейно независимых реше-
решений ф,, фг, ... , фг. В первом случае соответствующее уравнению A)
„транспонированное" интегральное уравнение:
dt F)
также всегда имеет однозначно определенное решение", во втором
же случае транспонированное однородное уравнение
G)
•) Fredholm J., Sur гше classe d' equations fonctionnelles, Acta math. т. 27,
стр. 365—390, 1903.
108 Теория линейных интегральных уравнений Гл. II
имеет также г линейно независимых решений iv jB, .... ir> а неодно-
неоднородное интегральное уравнение A) имеет решение в том и только
в том случае, если заданная функция f(s) удовлетворяет г условиям
= 0 (f=1.2,3 г). (8)
Решение уравнения A) определяется в этом случае лишь до про-
произвольной аддитивной линейной комбинации с$Л •+- г2фа -J- • • • + с,фг;
его можно сделать однозначно определенным с помощью требований:
= O (/=1,2 г).
Мы докажем эти теоремы прежде tcero для того случая, когда
ядро К (s, t) = A (s, t) выродилось н представлено равенством C). В этом
случае теория нашего интегрального уравнения почти непосредственно
сводится к теории системы р линейных уравнений с р неизвестными.
В самом деле, напишем интегральное уравнение в следующем виде:
f(s) = <р (s) - X ^ a, (s) f & (/) tp (t) at; (9)
положим xt — ($t, tp), помножим затем уравнение (9) на $As) и проинте-
проинтегрируем по s, тогда для величин xt получим систему уравнений:
р
^^i (./=1, 2, ... ,/»), (Ю)
гае fj—$j,f) и Cyy=(Py, о,). Если эта система уравнений имеет одно^
и только одно решение хЛ, х2, .... хр, то функция
наверно является решением и«тегрального уравнения, что непосред-
непосредственно подтверждается, если подставить эту функцию в интегральное
уравнение, принимая во внимание уравнения A0). Если обозначить
через уЛ,у9, -.., Ур также существующее в этом случае решение
транспонированной системы
р
то функция <f(s)=g(s) -\-^^.y$Js) является решением транспониро-
ванного интегрального уравнения F). Если, напротив, л:,, х„, ..., х
§ 3 Теоремы Фредгольма для произвольного ядра 109
есть нетривиальное решение однородной системы уравнений:
л (/=1,2 р), A2)
р
то функция ф (s) = ). \\ xta, (s) является нетривиальным решением одно-
i=i
родного интегрального уравнения E). Два линейно независимых решения
хл, xv ...,хр и х[ ... , х'2, ..., х' однородной системы A2), очевидно,
дают два линейно независимых решения
р р
и наоборот.
Однако наличие г линейно независимых решений фт, ф2, ..., tyr урав-
уравнения E) и тем самым г независимых решений системы A2) равно-
равносильно существованию такого же числа линейно независимых решений
Уп> Уп* • • •> Д'(р (' = 1,2, .... г) транспонированной системы уравнений:
р
(/=1,2,..., р), A3)
где g/=0, и тем самым наличию г линейно независимых решений:
транспонированного однородного интегрального уравнения G), причем
Теоремы теории уравнений утверждают, однако, что в случае г=0
уравнения A0) а, следовательно, и A3) и F) всегда' однозначно раз-
разрешимы, в случае же г>0 для разрешимости неоднородной системы
A0) и вместе с тем интегрального уравнения E) необходимо и доста-
достаточно выполнение для Л следующих условий:
2/^« = 0 (/=1,2, ..., г). A5)
В силу определения величину и Л эти условия принимают следующий вид:
(f,b) = 0 (l^=\,2, ..., г). A6)
Таким образом теоремы Фредгольма полностью доказаны для нашего
случая.
§ 3. Теоремы Фредгольма для произвольного ядра.
Чтобы получить возможность, на осноиании последних результатов,
исследовать интегральное уравнение с произвольным ядром K(s, t), .мы
воспользуемся теоремой сходимости § 2 предыдущей главы.
ПО Теория линейных интегральных уравнений Гл. Ш
Аппроксимируем ядро K(s, t) равномерно последовательностью вы-
выродившихся ядер Ay(s,t), A2(s,t), , An(s,t) и рассмотрим одно-
одновременно с интегральным уравнением A) аппроксимирующие интеграль-
интегральные уравнении:
f(S)=4(s)-l\An(s,t)<?(t)dt. A7)
Тогда (при заданном I) возможны два случая.
Случай I. Уравнение A7) имеет при всякой функции f(s) решение
ря(«) для бесконечно большого числа значений п (можно, впрочем,
считать: для всех значений п, если опустить неподходящие аппро-
аппроксимирующие уравнения и изменить нумерацию), и для всех этих ре-
решений имеет место неравенство (ря, ря) = i2n ^ М, где М—число, не
зависящее от п.
Случай II. Сделанное выше допущение не имеет места. В таком
случае для надлежащим образом выбранной функции f(s) либо
а) решение ря(«) действительно существует для бесконечно большого
числа значений п (можно допустить: для всех значений п), но
(Ря. Ря) = ^->°°. либ°
и-» 00
б) такое решение, вообще, существует лишь для конечного числа
значений п (или, как мы снова можем допустить, ни для какого значе-
значения я), а следовательно — на основании теорем Фредгольма, справед-
справедливых для выродившихся ядер, — однородное интегральное уравнение:
A8)
имеет нормированное решение on(s) для всех значений и.
В случае I функции pn(s)—f(s) представлены истокообразно при
помощи ядер Ап (s, t). Согласно § 1 представленные таким образом
функции равномерно' ограничены и равностепенно непрерывны. Поэтому
функции pM(s) определяют, в силу нашего принципа сходимости, непре-
непрерывную предельную функцию <р (s), как предел равномерно сходящейся
частичной последовательности. Совершая предельный переход непосред-
непосредственно в интегральном уравнении A7), обнаружим, что предельная
функция (р (s) - удовлетворяет интегральному уравнению A). Таким обра-
образом интегральное уравнение A) в случае I разрешимо, какова бы ни
была функция f(s).
В случае II а) делим интегральное уравнение A7), в котором ч<р = ря,
на сп и полагаем Ш—оя, так что имеет место равенство:
в случае II б) замечаем, что уравнение A8) удовлетворяется при ф = оя.
Однако й обоих случаях функция ап нормирована, и таким образом,
f(s)
аналогично предыдущему, функции on(s) — —— и, соответственно,функ-
соответственно,функции cn(s) равностепенно непрерывны и равномерно ограничены и, еле-
§ 3 Теоремы Фредгольма для произвольного ядра 111
довачельно, определяют предельную функиию ф($), как предел равно-
равномерно сходящейся частичной последовательности. Эта предельная функ-
функция необходимо нормирована и удовлетворяет однородному интегральному
уравнению:
ф (*) = *[«•(*, t)$(t)dt. E)
Таким образом в случае II однородное интегральное уравнение
имеет нетривиальные решения, которые мы назовем в согласии с опре-
определением, данным на стр. 104 и след., собственными функциями. -
Для того чтобы отсюда вывести формулированные в § 2 теоремы
Фредгольма, вспомним замечание, сделанное в § 1, что для каждого
значения \ может существовать лишь конечное число г линейно неза-
независимых собственных функций. При г=0 случай II, очевидно, не мо-
может возникнуть, так как он всегда ведет к нормированному решению
уравнения E), а следовательно, имеет место случай 1,т. е. интегральное
уравнение A) имеет решение, какова бы ни была функция /(s) на ле-
левой стороне. Это решение однозначно, ибо не исчезающая разность
двух решений давала бы, противно предположению, нетривиальное ре-
решение уравнения E). Этим самым доказана первая теорема Фредгольма.
Пусть, во-вторых, г>0, и пусть $j, .,., фг— взаимно ортогональ-
ортогональные нормированные решения уравнения E). Тогда в силу того, что
Ап=Ж 3), для функций
(i=l,2, ...,r; /z= 1,2,3, ...)
выполняется соотношение un4(s)=>0 при п—>со.
Если теперь положить
b
,№.
то функции А'п (s, t) являются выродившимися ядрами, равномерно ап-
аппроксимирующими ядро K(s, t).
Легко видеть, что для всех ядер А'п (s, t) r функций ф;(«) являются
собственными функциями.
Больше чем г линейно независимых решений при достаточно боль-
большом п быть не может. В самом деле, если'бы функции Ф,+1)Я(*) пред-
представляли последовательность таких решений, которые мы можем полагать
нормированными и ортогональными к функциям ф,.ф2 ф,» т0 на
основании нашего принципа сходимости мы получили бы решение
уравнения E), ортогональное к функциям ф,, ф2, ..., фг, н следо-
следовательно, линейно независимое от этих функций, противно предложе-
предложению, что г есть точное число линейно независимых собственных функций.
*) Мы употребляем при случае знак—>как сокращение для сходимости.
Подобно этому, если желательно подчеркнуть равномерность предельного пере-
перехода, мы будем пользоваться двойной стрелкой —>.
112 Теория лииейиых интегральных уравнений Гл. Ш
Так как теоремы Фредгольма справедливы для выродившихся ядер,,
то однородные транспонированные интегральные уравнения
A9)
тоже имеют для достаточно больших значений и ровно г линейно не-
независимых решений %jn(s)(i=\, 2, ... , г), которые можно выбрать нор-
нормированными и взаимно ортогональными. Но выродившиеся ядра A'n(t, s)
равномерно сходятся к ядру K(t, s), а потому мы и для него получаем г
взаимно ортогональных собственных функций ^ (s), %2 (s), ... , совершая,
на основании нашего принципа. сходимости, предельный переход при
помощи равностепенно непрерывных и равномерно ограниченных функ-
функций y/n(s). Больше, чем г независимых решений транспонированное
интегральное уравнение
Л B0)
однако, иметь не может, ибо в противном случае отсюда обратно вы-
вытекало бы существование больше чем г решений уравнения E).
'Заметим, наконец, что для разрешимости интегрального уравнения A)
в случае г>>0 наверно необходимо выполнение условий:
,...,r), B1)
что непосредствено обнаруживается, если помножить уравнение A)
на Xi(s), проинтегрировать, а затем справа изменить порядок интегри-
интегрирования^ принимая во внимание уравнение B0). Для того чтобы убе-
убедиться в достаточности условий B1), ограничимся, поскольку это необхо-
необходимо, такими Указателями п, для которых Urn fj n (s) = it (s) ('==
n*co '
= 1,2, , г) и при помощи чисел tt n = (/,Х/,„), крторые в силу урав-
уравнения B1) сходятся к нулю с возраста'нием л, построим функции
fn (*)=/(*)
Имеем:
(/„.Ь,) = ° (« = 1,2,...,г).
Следовательно, интегральное уравнение
Д(*) = »(*)-* [ А>> *)» W dt B2)
наверно имеет решение р„(*), ортогональное к функциям
так как для выродившегося ядра теоремы Фредгольма справедливы.
В отношении этих решений pn(s) мы до*лжны иметь случай I, ибо,
§ 4 Симметрические ядра и -их собственные значения Ца
в противном случае, они повлекли бы за собой существование решения
уравнения E), ортогонального к функциям ф, (s), $2(s), .. *. , tyr(s), что
по предположению невозможно. Следовательно, мы •можем опять, на
основании принципа сходимости, выполнить предельный переход в ин-
интегральном уравнении и в силу, того, что /„($)=> f(s), вывести заклю-
заключение о разрешимости уравнения A). Этим самым полностью доказаны
теоремы Фредгольма для нашего ядра К (s, t).
Существуют ли вообще случаи, когда однородное уравнение имеет
нетривиальные решения — на этот вопрос будет в дальнейшем дан ответ
в отношении симметрических ядер.
§ 4. Симметрические ядра и их совствЕнные значения.
Так же, как у билинейных форм в гл. I, и у интегральных урав-
уравнений тот случай, когда ядро K(s,t) симметрично, т. е. удовлетворяет
соотношению:
), B3)
может быть исследован подробнее.
В этом случае интегральное уравнение совпадает со своим транспо-
транспонированным. По отношению к такого рода симметричному - интеграль-
интегральному уравнению мы прежде всего поставим себе вопрос, для каких
значений параметра X=Xf. однородное интегральное уравнение E) имеет
нетривиальное (нормированное) решение. Эти значения параметра назы-
называются, как уже упомянуто, собственными значениями, а соответствующие
функции — собственными или фундаментальными функциями ядра К (s, t).
Аналогично рассуждениям гл. I, § 3, докажем следующую теорему:
Всякое симметрическое, неисчезающее тождественно, непрерывное
ядро имеет собственные значения и фундаментальные функции, ко-
которые образуют бесконечное и именно счётное множество в том
и только в том случае, если ядро не вырождается. Все собственные
значения действительного симметрического ядра сами действительны.
1. Существование собственного значения у сим-
симметрического ядра. Докажем прежде всего существование одного
собственного значения. Цля этой цели рассмотрим „квадратичную
интегральную форму"
<Р)= f [k(sA f (*)? (О ds dt, B4)
которая играет здесь роль квадратичной формы гл. I, причем (р означает
какую-нибудь функцию, непрерывную или кусочно-непрерывную в
основной области. В силу, неравенства Шварца имеем'
Следовательно, У((р, ср) ограничено по абсолютной величине, если по-
потребовать, чтобы функция (р удовлетворяла соотношению:
(<р,?) = 1. B5)
Интегральная форма обращается в нуль для всех допустимых функций
8 Курант-Гильберт.
114 Теория линейных интегральных уравнений Гл. Ill
в том и только в том случае, если само ядро тождественно исчезает.
В самом деле, введем „билинейную интегральную'форму
У(<р, ф) =/(ф,<р)=Г (**(*,/)? (*)ф(<)& Л B6)
и заметим, что справедливо преобразование:
р, ф) + У(ф, ф). B7)
Тогда, прежде всего, из тождественного исчезания' квадратичной вы-
вытекает также исчезание и билинейной интегральной формы. Подставив
B6) в частности ф(<)= I K(s,t)<f (s)ds, получим
и следовательно, I К(s, t)y (s)ds = O для произвольной функции y(s);
если выбрать tp (s) равной K(s, t,) при определенном значении /, то
получим требуемое тождество К (s, t) = 0.
Ядро, обладающее тем свойством, что У(<р, <с) может принимать
только положительные либо только отрицательные значения (когда функ-
функция <р не равна тождественно нулю), называется положительно опре-
определенным, либо, соответственно, отрицательно определенным. В про-
противном случае ядро называется неопределенным.
В предположении, что форма J способна принимать положительные
значения, поставим себе задачу на нахождение максимума: найти нор-
нормированную функцию <рE)> для которой У(<р, <р) принимает возможно
большее значение.
В силу ограниченности интегральной формы У (ср, <р), безусловно,
существует для ее значений верхняя граница чп = у-; требуется дока-
зать, что эта положительная верхняя граница действительно достигается
для надлежащим образом выбранной функции tp (s). Для этой цели ап-
аппроксимируем ядро K(s,t) выродившимися симметрическими ядрами
") («) («)
a°i (*) юа @, сЛ = сы
i, ft = l
описанного в конце § 1 вида. Соответствующая сказанному выше за-
задача на максимум для интегральных форм
Л (Ь <Р)=j j К (s,t) <p E) <р @ rf* <tf
при дополнительном условии B5) оказывается равносильной соответ-
соответствующей задаче для квадратичной формы от qn переменных, так как,
полагая
(<р, ^) = xt (/=1, 2,..., qn),
§ 4 Симметрические ядра и их собственные значения US
получим:
i,k=l
т. е. квадратичную форму относительно х1, х2, .. . , хдп, которой надо
сообщить максимум при соблюдении добавочного условия B5). Но при-
применяя неравенство Бесселя (гл. II, § 1, 3) к функции ф (s) и ортого-
ортогональной системе ©j (s), w2(s), ..., <o9n(s), имеем:
Чп
1=1
следовательно, переменные формы B8) подавно подчинены условию
Чп
и, стало быть, максимум достигается формой, когда
так как в противном случае значение Jn(y, ф) можно было бы увеличить
посредством умножения переменных xt на подходящего множителя. Оче-
Очевидно, перед нами в точности постановка вопроса задачи о преобразо-
преобразовании к главным осям из гл. I, § 3. Максимум формы достигается для
системы значений xv хг, , хдп, удовлетворяющей уравнениям:
<?> ** = ЗД (/==1,2,..., ?„), B9)
причем коэфициент пропорциональности х,п равен как раз Jn(y, ф). Это
можно обнаружить, помножив уравнение B9) на х1 и просуммировав
по L Тогда правая сторона обратится в х]я, ибо
Чп
между тем как на левой стороне получится наша форма •/„(<?, ф). Если
впредь подразумевать под xlt х2, ... , хЧп эту систему значений и если
положить
4>п (*) = Xl <°J («) + ^2 Ю2
причем /Уф„=1 (в силу ортогональности функций tov и в силу равен-
равенства 2 Л?~1К то из уравнений B9) вытекает соотношение:
<ря(*)= 7" Н«(*.<>?«ЮЛ, C0>
8*
Ш Теория линейных интегральных уравнений Гл. Ш
- ) » f .¦. I .4 -¦«¦
и наоборот. В самом деле, из уравнения B9) получим C0), помножив
на ©,•($), просуммировав и заметив, что */ —(<ря, wj, а из уравнения C0)
получаезея уравнение B9) после умножения наш^*) и интеграции. Таким
образом функция сря (s) является фундаментальной функцией ядра Ап (s, i),
принадлежащей собственному значению ^]я = —:
Пусть теперь п безгранично растет. При этом эс1я должно стремиться
к пределу 0Cj, соответствующей положительной верхней границе формы
У((р, (р). В самом деле, из соотношения:
\K(s,t)~Aa(S>t)\<e
при условии, что (<р, <р)^1, вытекает на основании неравенства
Шварца, что
[J(b y)-JJb ?)]• <*>(* — аJ,
где а и Ь — пределы интеграции. Таким образом совокупность зна-
значений Jn ((p, ср) при достаточно большом и как угодно точно совпадает
с совокупностью значений У (ср, <р), а следовательно, то же самое должно
иметь место и для верхних границ обеих совокупностей. Существует,
стало быть, также limx, '=х,, так что числа х1я лежат все ниже опре-
в-»СО
деленной грани, и в силу уравнения C1), на основании § 1, функции <ря(«)
равномерно ограничены и равностепенно непрерывны для всех зна-
значений п. Согласно нашей теореме -сходимости можно, следовательно,
выбрать такую частичную последовательность (prtj, <рЯ1, .. „ , которая
сходится равномерно к предельной функции ф, (s). Совершив этот пре-
предельный переход в уравнении C0) и в равенствах: Уя(<р„, <Prt)=Xi«
и ((ря, (ря) = 1? получим следующие соотношения:
(<M»i) = l C2)
Таким образом функция <|)j (s) решает задачу о максимуме формы J (tp, (р)
и является вместе с тем собственной функцией ядра К (s,t). Отсюда
непосредственно вытекает, что %г не может быть нулем, так как У(<р,<р)
может принимать положительные значения. Для произвольной функции ф
выполняется, стало быть, соотношение
Ф. Ф). C4>
что легко обнаружить нормированием.
2. Совокупность собственных функций и собствен-
собственных значений. Для того чтобы получить дальнейшие собственные
значения и фундаментальные функции, мы поступим следующим образом:
Поставим задачу: сообщить интегралу 7(tp, tp) максимальное значение,
причем на этот раз мы, кроме условия (ср, (р)=1, поставим еще одно
дополнительное условие: . ,
(<Р <l>) 0
§ 4 Симметрические ядра и их собственные значения 117
Мы предполагаем при этом, что при этих двух добавочных усло-
условиях форма У((р, <р) еще способна принимать положительные значен'ия.
Так как вторым добавочным условием область значений интегра дьной
формы ограничивается по сравнению с областью ее значений в первой
задаче на максимум, то максимум Х2 = — не может быть больше
прежнего максимума х,, т. е. "Ц^щ и щ s? j,i2. Существование решения
этой задачи на максимум можно доказать точно тем же методом, которым
мы воспользовались для первого собственного значения, а именно све-
сведением к квадратичной форме и предельным переходом. Удобнее, однако,
нижеследующее непосредственное сведение задачи к определению пер-
первого собственного значения другого ядра.
Составим функцию:
,t)=K(s,t)-b(fim. C5)
и будем ее также рассматривать как симметрическое ядро. Согласно
только что полученному результату, задача о максимуме интегральной
формы:
JM (?,?) = J J tf(D (s, f)<t(s)<? @ ds dt = шах=Л2 = у
при добавочном условии (tp, tp) = l решается функцией ф2(*).
творяющей однородному интегральному уравнению;
C6)
A) (*. 4 Фг @ dt>
мы предполагаем при этом, что и форма /(j)(<p, <p) еще способна при-
принимать положительные значения, так что и25>0.
Перепишем уравнение C7) в следующей форме:
помножим на ф, (s) и интегрируем по s; в двойном интеграле изме-
изменим порядок интегрирования и воспользуемся равенством (ф2, ф1)=1,
тогда, правая сторона обращается в нуль, и мы получим:
(Фх. Ф,) = 0, ,C8)
т. е. собственная функция ф2(*) ортогональна собственной функции фх'5).
Как следствие этого имеем:
J
K(s, t) ф2 {t) dt=] *(,,(«, /) ф2@ dt, C9)
и, стало быть, функция ф2($) является также собственной функцией
ядра K(s, t), a ^i2 — соответствующим собственным значением;
118 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
Так как в силу соотношения (ф2, <!),) = О мы можем определить хг
и как максимум интегральной формы \ (tp, tp) при добавочном условии
(?> «J'j) = 0, а в этом случае У3 (ср, <р) = У (ср, tp), то функция ф.г решает
также и задачу на максимум, поставленную в начале этого пункта.
Таким же образом можно продолжать далее, построив ядро:
, ,4„
и искать максимум интегральной формы:
КB) (s, t) <р (в) <р @ ds dt D2)
J J
в предположении, что эта форма еще может принимать положительные
значения. В качестве решения точно так же, как и Еыше, получаются
нормированная функция ф3(«) и максимальное значение х3 = — .которые
удовлетворяют интегральному уравнению tya(s) = \i\K(s,i)ty3(t)dt и
соотношениям ортогональности (ф3, фа) = 0, (ф3, фг) —0. Мы могли бы
также получить это решение, поставив задачу: сообщить первоначаль-
первоначальной интегральной форме максимум с помощью нормированной функции,
ортогональной функциям <|), и ф2. Как и выше, имеем jj^ ^ |х,_
Этот процесс продолжаем так дальше и притом безгранично, если
получающиеся при этом ядра АГA), К,2), К,3), ... постоянно приводят
к интегральным формам, которые могут принимать положительные зна-
значения. Если же в получающемся ряде ядер появляется первое ядро:
для которого постоянно Jm (<р, (р) ^ 0, то процесс обрывается на соб-
собственной функции фи(*) и ее собственном значении р.т.
Резюмируем полученный вывод: наименьшее положительное соб-
собственное значение ji, ядра K(s, t) есть обратное значение максимума х,,
принимаемого интегральной формой У (ср, <р) при дополнительном усло-
условии (tp, tp)=l. Этот максимум достигается для первой собственной
функции <р = ф! ядра K{s,t). Положительные собственные значения^
(h — 2, 3, ), расположенные в порядке возрастания, определятся
тогда последовательно (рекуррентно) как обратные значения максимумов хЛ,
принимаемых интегральной формой 7(<р, <р) при добавочных условиях:
(«р, <р) = 1, (?, ФЛ = О (v=l, 2, ..., h— 1).
Этот максимум хЛ достигается для ft-й собственной функции ср = фА.
Ряд положительных собственных значений обрывается, как только
в последовательности поставленных задач на максимум появляется одна
такая, в которой форма У(<р, (р) уже ие может принимать положитель-
положительных значений.
§ 4 Симметрические ядра и их собственные значения 119
Подобно положительным собственным значениям и соответствующим
фундаментальным функциям, можно теперь получить также ряд отрица-
отрицательных собственных значений и соответствующих фундаментальных
функций: д_,, ц_2, ... ; ф_, (s), <j>_2(s), ... в том случае, если инте-
интегральная форма J(w, <p) способна принимать отрицательные значения.
Для этого достаточно рассмотреть задачи на минимум, соответствующие
поставленным выше задачам, на максимум. Мы придем таким образом
к бесконечной или обрывающейся последовательности отрицательных,
никогда не возрастающих собственных значений
^ PLi^_2S5J*_3S5.... D4)
и соответствующих взаимно ортогональных собственных функций
Ф_1(«), Ф_2 (*)••%•
Собственные функции tyh(s)(h~^>0) ортогональны собственным функ-
функциям ^_>l(s)(k'^>0). Это можно заключить из обоих равенств:
помножив первое на «{^(s), второе на tyk(s), вычтя одно из другого
if проинтегрирозав,,принимая во внимание, что K(s, t) ==K(t, s), получим;
а это равенство, в силу того, что %h^t._b, и означает требуемую
ортогональность.
Продолжая этот процесс, приходим к последовательности, возможно че-
чередующихся, положительных и отрицательных собственных значений. Рас-
Расположим их в порядке возрастающей абсолютной величины и обозначим в
этом порядке через \, \,\, ... ; тогда | \ | ^ | \ \ ^ | \ \ < ... Через
Ф1 (s), <p2(s)... будем отныне обозначать соответствующие собственные
функции, составляющие систему нормированных ортогональных функций.
Если ядро K(s,t) обладает лишь конечным числом собственных значе-
значений \г, , \п, то оно непременно вырождается и имеет следующий вид:
K(s, в = ?«^^, D5)
так как на основании соображений стр. 114 ядро:
должно тождественно исчезать, ибо и максимум и минимум соответ-
соответствующей интегральной формы:
J(b ») = ( f К(^ *) V & V W ds dt>
оба равны нулю. ^^
120 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
Итак, ядро, обладающее лишь конечным числом собственных зна-
значений и собственных функций, выро ждается. Наоборот, выродившееся
ядро имеет лишь конечное число собственных значений и собственных
функций. В самом деле, выше мы узнали, что задача о собственных
значениях такого ядра эквивалентна задаче о собственных значениях
квадратичной формы, где возможно лишь конечное число собственных
значений.
Согласно § 1 собственное значение \1 называют кратным, и именно
r-кратным, если число ему соответствующих линейно независимых соб-
собственных функций, — которые, кстати, можно выбрать взаимно ортого-
ортогональными, — в точности равно г. Каждое собственное значение может
иметь лишь конечную кратность г. Эту теорему, уже доказанную в § 1,
можно доказать с важным дополнением еще следующим образом: при-
применяем к ортогональной системе функций (fj, <р2, <р3, ... соотношение
Бесселя из гл. И, § 1 и пишем:
\k(s, tf dt ^ |д [k(s, t) Ь(t) л)', D6)
или
00
D7)
Здесь содержится, во-первых, тот факт, что состоящий исключи-
исключительно из положительных членов ряд:
сэ
сходится, и к тому же равномерно в сил'у теоремы Дини (ср. сноску
на стр. 50); во-вторых, интегрируя соотношение D7) вторично по s,
получим:
сэ t
Итак, мы обнаружили, что сумма обратных величин квадратов
собственных значений сходится. Следовательно, собственные значения
не могут иметь точек сгущения в конечном; если их число беско-
бесконечно, то они должны безгранично возрастать по абсолютной величине,
и равных между собою собственных значений может оказаться лишь
конечное число.
Отсюда можно заключить, что собственные значения \ и фундамен-
фундаментальные функции <p/f последовательно определенные выше при помощи
экстремальных задач, исчерпывают всю совокупность действительных
собственных значений и собственных функций. (Что комплексных соб-
собственных значений быть не может, будет доказано ниже.) Если бы ч
была собственная функция, линейно независимая от функций <ft, при-
принадлежащая, скажем, положительному собственному значению о, то на
основании приведенного выше рассуждения функция i должна быть
§ 4 Симметрические ядра и их собственные значения 121
ортогональна ко всем собственным функциям, принадлежащим собствен-
собственным значениям 1{ ф- а. Если же а = p.k — одному из определенных выше
собственных значений, и если это собственное значение имеет крат-
кратность г, т. е.
то можно было бы, так как у, пэ предположению, линейно независима
от собственных функций фй, фЛ+ 1, , фл+г_1., заменить функцию х
комбинацией X ~Ь соФл " ~~\~сг-1$н+г-1 — Ъ ортогональной к этим
функциям, и у также является собственной функцией, принадлежащей
собственному значению \s.h. Следовательно, функция у, которую мы те-
теперь снова будем обозначать просто через у, в каждом из двух рас-
рассматриваемых случаев ортогональна ко всем собственным функциям ф/#-
Отсюда, на основании максимального свойства собственных значений,
для всякого п, для которого существует }Ая+1, вытекает справедливость
соотношения:
Таким образом, если положительных собственных значений р.п бес-
бесконечно большое число, то отсюда, в силу равенства limjji/J=со, выте-
вытекает, что (у, у) = 0, и, следовательно, функция у должна тождественно
равняться нулю. Если же положительных собственных значений конеч-
конечное число,' положим п, то J (у, у) уже не может более принимать поло-
положительные значения при дополнительных условиях
(X, ф,)=0 _(/=1,..., я),
и отсюда опять следует равенство (у, у) = 0, а следовательно, у = 0.
Так как этот способ рассуждения применим без изменения и к отри-
отрицательным значениям а, то отсюда следует вывод, что всякая собствен-
собственная функция ядра, ортогональная ко всем функциям фу, должна тожде-
тождественно исчезать, чем и доказывается наше утверждение.
К полученным результатам присоединим еще несколько замечаний,
которые нам пригодятся впоследствии.
Обозначим через rh (s), ij2 (s), ... ; Zr{s), ?2 (s), ... две последова-
последовательности непрерывных (или- кусочно-непрерывных) функций, нормы
которых лежат ниже заданной грани М. В таком случае для ядра
1=1
выполняется соотношение:
lim J'w ft* - W = Ит (Г К{п) (s, t) Чя [S) Ся (/) ds dt= 0 E0)
и выполняется притом равномерно в том смысле, что степень малости
левой стороны помимо числа М зависит еще только от выбора числ п.
122 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
Действительно, вследствие максимального свойства собственных зна-
значений и фундаментальных функций имеем:
|]7' (Г(„-)- ?„, *)„-|-?яI ^ it N(cin -{-?„) ^ рг 4ЛР),
4) (ч*. г'«> i ^ и;—|м' ' 7<«> (S«- W i ^ о—|ж'
1Ля + 11 1Ля + 11
откуда непосредственно получается наше утверждение, так как |ЛЯ'—»со и
Далее, заметим следующее: ядро является положительно опреде-
определенным в том и только в том случае, если все его собственные
значения положительны, ибо в этом .и только в этом случае интегральная
форма J(s, ф) имеет при нормированном <р положительный минимум
и, стало быть, вообще не может принимать отрицательных значений.
Наконец, все собственные значения действительного симметриче-
симметрического ядра действительны. Доказательство этого утверждения получится
само собой в § 5, но мы проведем его и здесь другим, прямым путем.
Доказываемая теорема утверждает, что не существует такого ком-
комплексного числа \=р + iq с соответствующей комплексной функцией
от s, ф (s) = ф (s) -f-' % (s) (причем ф и ^—действительные функции, не
исчезающие одновременно), чтобы удовлетворялось равенство
Для сопряженных величин \ и ф выполнялось бы тогда равенство
y(s)=T\K(s,tL(t)dt.
Но в таком случае так же, как и выше, имеем:
О = (I — I) 1 (с (s) w(s) ds — 2iq 1 (ф2 -f f) ds,
т. e. 9 = 0, а стало быть, \ действительно.
3. Максимально-минимальное свойство собствен-
собственных значений. И здесь точно так же, как у квадратичных форм
в' главе I, можно на основании максимально-минимального свойства
дать прямое определение собственного значения \п и соответствующей
собственной функции, т. е. такое определение, которое не прибегает
к предшествующим собственным значениям и фундаментальным функциям.
Рассмотрим положительные собственные значения р.п ядра K(s, f)
н положим, что их, по меньшей мере, п. Поставим теперь задачу со-
сообщить интегральной форме J (ф, ф) максимум, если функция ф (s), по-
<) Что N (т)„ + С„) = (т)„, г,„) + (Ст К„) + 2 (чи> :„) ^ 4 М, получается непосред-
непосредственно с помощью.неравенства Шварца.
§ 4 Симметрические ядра и их собственные значения 123
мимо условия (<р, <р)=1, удовлетворяет еще п—1 условию:
(?,«,) = 0 (/ = 1,2, ...,п— 1), E1)
где г»,, г»г, ... , wn_, — какие бы то ни было заданные непрерывные
функции. Мы оставляем без рассмотрения, действительно ли достигается
для какой-либо из допустимых функций сама по себе безусловно суще-
существующая верхняя граница формы У(ф, <р). Во всяком случае эта верх-
верхняя граница зависит от выбора функций v1, v2, ...,э„_1; мы обо-
обозначим ее поэтому через хя{г>,, v2, ,«„_•,}, или короче хя{г>г}.
В частном случае ^ = ф/, в силу доказанных выше теорем, 4.n{vt} = хя,
и эта верхняя граница достигается для ф = фя (s). Так вот, мы утвер-
утверждаем, что для всякой системы функций v1, v2, ... , vn_1 имеет место
соотношение:
Для доказательства построим, линейно комбинируя собственные функ-
функции ф2, ф2, ... , фя, функцию (р (s) = Cj фх (s) 4- . -. + сяфй (s). Чтобы
подчинить функцию <р (s) условиям (<р, <р) = 1 и E1), потребуем, чтобы
было
л я
2(Ф,.«*) = 0 (Л= 1,2, ...,«- 1).
Этой системе уравнений дчя я неизвестных с{, состоящей из п—1
однородных линейных уравнений и одного нормирующего условия,
можно всегда удовлетворить. Подставив построенную таким образом
функцию <p(s) в J(<f, у), имеем:
а следовательно, принимая во внимание, что
J (Ф/. Ф/) = -^ . •/ (Ф.. Ф*) = 0 nP" «Ф К
получим: " "
«=i V-i i=i
Максимум выражения ./(<р, <р) по меньшей мере равен хя, и мы по-
получаем следующий результат: п-е положительное собственное значение
ядра K(s, t) есть наименьшее значение, которое может принять ма-
максимум или верхняя граница формы 7(<р, <р), если функция tp(s) под-
подчинена, помимо условия (ф, ф)=1, еще п— 1 условиям вида E1), и
этот максимум рассматривается в зависимости от функций г>7,
v2, — , vn_1. Наименьшее значение этого максимума получается
при «, = *,, ...,«„_, =ф„.1 и ф=-фя.
Совершенно аналогично определяются отрицательные собственные
значения и соответствующие фундаментальные функции ф_„(«>0)
124 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
посредством наибольшего значения минимума формы J(y, <p) при на-
наличии соответствующих условий.
Из максимально-минимальных свойств собственных значений вытекает
непосредственно следующая теорема: если к ядру K{s,t) прибавить
положительно определенное ядро K+(s,t) или соответственно отри-
отрицательно определенное ядро K~(s, t), то каждое положительное и от-
отрицательное собственное значение ядра К-{-К+ и, соответственно,
ядра К-\-К~ не меньше или, соответственно, не больше соответ-
соответствующего собственного значения ядра К1). Доказательство получается
с помощью того же рассуждения, что в гл. I, § 4.
§ 5. Теорема о разложении и ее применения.
1. Теорема о разложении. Если бы было известно, что ядро,
соответственно преобразованию квадратичной формы к главным осям 2),
допускает разложение в ряд:
причем ряд в правой части сходится равномерно относительно каждой
переменной, то тем самым для всякой функции g(s) вида:
g(s)=\K(s,t)h(t)dt,
%)
где h (t) — любая непрерывная или - кусочно-непрерывная функция,
было бы доказано разложение в ряд:
сэ <
То обстоятельство, что мы не можем доказать соотношение E2)
в общем виде, вынуждает нас вести доказательство общности разложения
для функции g(s) несколько окольным путем. Пусть h! = (h, <p,.) —
коэфициенты разложения функции h относительно ортогональной системы
(р1? <р2, ... ; пусть g(s)—„истокообразно представленная" по формуле E3)
при помощи h(s), непрерывная функция, а
А/
— коэфициенты разложения функции g. В силу неравенства Бесселя
сэ
ряд 2^/ сходится. Согласно равенствам D7) и D9) в § 4, 2 сумма
1=1
1) Ср. Weyl H., Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer
partiellar Differentialgleichungen (mit einer Anwendurig auf die Theorie der Hohl-
raumstrahlung), Math. Ann., Bi. 71, стр. 441—47Э, 1912.
») См. гл. I. § 3.
§ 5 Теорема о разложении и ее применения 125
равномерно сходится и ограничена равномерно относительно s. Но со-
согласно неравенству Шварца
Так как остаток h2n -\- ... -\- h2m делается сколь угодно малым, коль
Ф (sJ Ф (sJ
скоро только я становится достаточно большим, а -*-§ \- ~1~\Г~
п /л
остается ниже не зависящей от s грани, то ряд
оо сэ .
сходится абсолютно и равномерно. Его сумма
есть непрерывная функция от s. Требуется доказать, что y(s) тожде-
тождественно с g(s). Для этой цели образуем выражения:
помножим последнее равенство на произвольную непрерывную функцию
w (s)apryMeHTa s и проинтегрируем по s. В силу формулы E0) из § 4,2
в полученном равенстве
[
*. t)h(t)w(s)dsdt
правая часть стремится к нулю при возрастании я, а так как Yn(s)=>Y(s),
имеем:
(
Это равенство должно выполняться для произвольной функции w(s),
следовательно, и для функции w(s)=g(s) — y(s). Но из непрерывности
функции g(s) — y(s) следует, что равенство (g—у, g—у) = 0 возможно
лишь в том случае, если g(s) — y(s) тождественно равно нулю, что и
1) Так мы будем обозначать отныне эту функцию, которую мы раньше
(стр. 121) обозначали через К\пу
126 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
требовалось доказать. Таким образом мы получили основную теорему
о оазложении:
Всякая непрерывная функция g(s), которую можно представить
истокообразно в форме E3) с помощью кусочно-непрерывной функ-
функции h(t), может быть разложена в абсолютно и равномерно схо-
сходящийся ряд по собственным функциям ядра К (s, t).
2. Решение неоднородного линейного интеграль-
интегрального уравнения. В качестве применения этой теоремы выведем
формулу для решения неоднородного интегрального уравнения:
При этом мы предположим первоначально, что значение параметра \ не
совпадает ни с одним из собственных значений \t. Если принять, что не-
непрерывная функция (р (s) с коэфициентами разложения (<р, yt) решает
интегральное уравнение, то функция <p(s) — /(s) = #(s), на основании
теоремы о разложении, примененной к функции h(t) = \y(t), должна
разлагаться в равномерно и абсолютно сходящийся ряд:
00 /¦>
g (s) = <р (s) -f(s) = 2 С/Р/ (s) = >. J /<Г (s, <) <p (I) dt, E4)
причем ct = (g, <p(). С другой стороны, из E4) следует:
откуда
Таким образом мы получили бы для <р разложение в ряд:
сэ
~1 <P (s) E6)
который должен представлять собой решение интегрального уравне-
уравнения. A). Что это действительно так, можно узнать следующим образом.
Ряд сходится абсолютно и равномерно, что доказывается точно по выше-
вышеприведенному образцу. Надо лишь заметить, что для достаточно боль-
больших/ при произвольном X справедливо, во всяком случае, неравенство
1^/ — М!>"~2~' так что' отвлекаясь от начальных членов, получаем
сэ
в качестве мажоранты ряд 2|Х j^lAJi^Mi ] равномерная сходимость
которого доказана выше. Подставив теперь ряд E6) вместо <р (s) в урав-
уравнение (]), непосредственно убеждаемся, что уравнение A) удовлетео-
§ 5 Теорема о разложении и ее применения 127
ряется. В согласии с теоремами § 3, это решение отказывается служить
лишь в том случае, если \ =lt есть одно из собственных значений; оно
остается действительным еще и в этом случае, если f(s) удовлетворяет
условиям ft = (f, yj •==¦ О для фундаментальных функций <р/, принадле-
принадлежащих значению \. Так как, в силу теорем § 3, интегральное урав-
уравнение A) не может иметь решения для некоторых функций f(s), если
"/ есть собственное значение, то отсюда следует, что помимо наших
значений а, никаких других собственных значений ядро иметь не может.
Наше утверждение, что все собственные значения симметрического
действительного ядра действительны, стало, таким образом, самооче-
самоочевидным, независимо от рассуждений на стр. 122.
3. Билинейная формула для итерированных ядер.
Дальнейшее применение теоремы о разложении мы получим, полагая
h(a) = K(o,t). Для „итерированного ядра"
=\
мы получим тогда разложение:
оо
оо _
, 0 = Е ^ U(«,*) Ь (о) da,
или
CD
m (s\m It)
-'. E7)
Точно так же для дальнейших итерированных ядер
*<»(*, 0 = (V> (s, о) tf (о, t) da=
1, d<32>
= f f
W(s, t)= I #"-«(*, a)K(a, t) da —
= f. ..
получаются разложения:
оо
\tl Z, о, . • • ft ydv)
1=1 Л/
все они сходятся абсолютно и равномерно относительно 5 и • относи-
относительно 2 и, как будет показано в п. 4, равномерно также и относи-
относительно обеих переменных. В силу E7) справедливо, во всяком случае,
равенство:
оо
/el
128 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
следовательно,
л-ЮЭ
Но это означает, что
(s, t) — 2^~—^—'— dt=O, E9)
i=i */ J
S 4>-(s)w.(t)
или что ряд > ¦ ' сходится в среднем к K(s, t). В том случае,
если ряд "V ь?А—lii— при фиксированном значении s сходится равно-
равномерно относительно t и представляет, следовательно, при фиксирован-
фиксированном s непрерывную функцию L(s, t) от t, должно иметь место равенство:
K=L.
Действительно, в этом случае можно в равенстве E9) выполнить пре-
предельный переход под знаком интеграла, после чего получится:
[K(s,f)-Hs,Wdt = O,
откуда следует, что К—1 = 0.
4. Теорема Мерсера1). Формулу E8) следует рассматривать
в общем случае как соотношение, которое, соответственно существу дела,
заменяет равенство E2), ибо формулу E8) можно доказать в общем
виде, лишь начиная с я = 2. Для одного в*кного частного случая
можно, напротив, высказать следующую теорему: Если K(s,t) есть
определенное, непрерывное, симметрическое ядро или если оно имеет
лишь конечное число собственных значений одного из. двух знаков, то
разложение E2) справедливо и сходится к тому же абсолютно и
равномерно.
Для доказательства предположим сначала, что K(s, t) положительно
определенно, так что все собственные значения \ положительны. Далее,
заметим, что дли всякого положительно определенного непрерывного
ядра Н(s, t) справедливо неравенство И(s, s)^0. В самом деле, если бы
было h (s0, s0) <! 0, то существовала бы такая окрестность точки s = s0,
t = s0, скажем, \s — so|^e, |* — so|^e, что повсюду в этой области
H(s, t) <C 0- Определим теперь функцию <р (s) условием у (s) = 1 при
|s — s0 | ^ б и <p(s) = O вне этого промежутка. Для этой функции на-
наверно справедливо неравенство:
H(s,Q<f(s)v(t)dsdt<?0
1) Mercer Т., Functions of positive and negative type and the:r connection with
the theory of integral equations. Trans. London Phil. Soc. (А), том 209, стр. 415—446,
1909.
§ 5 Теорема о разложении и ее применения 129
противно предположению, что Н положительно определенно. Прилагая
этот результат к положительно определенному ядру
получим:
00 / \2
Следовательно^ ряд jT Ц^— , состоящий исключительно из положитель-
ных членов, сходится при всяком значении s. В силу соотношения
V
(неравенство Шварца), ряд У - . — также сходится абсолютно и
притом при заданном s равномерно относительно t, и при заданном t—
равномерно относительно s. Следовательно, функция ~У\Л—.—— при
заданном s непрерывна относительно t, и наоборот. Таким образом она
на основании предыдущего равна ядру К.
Наконец, убедимся еще в том, что этот ряд сходится также равно-
равномерно относительно обеих переменных одновременно. Достаточно для
этого на основании приведенных выше оценок показать равномерность
сходимости ряда V ' . Но согласно только что доказанному
a K(s, s)—непрерывная функция. С другой стороны, существует теорема1):
Если ряд положительных непрерывных функций ооной переменной
сходится к непрерывной функции, то ряд сходится в соответствую-
соответствующем интерваае равномерно.
Применение этой теоремы дает непосредственно требуемый результат.
1) Ср. стр. 50 примечание.
9 Курант-Гильберт.
130 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
Наличие конечного числа отрицательных собственных значений не
может ничего изменить в сходимости ряда E2), так как ядро, после
у, (s)vt(t)
отделения членов ——-Lt_L-' ? соответствующих отрицательным собствен-
h
ным значениям, становится положительно определенным. Таким образом
наша теорема сходимости доказана в полном объеме.
§ 6. Ряд Неймана и разрешающее ядро.
Изложенная выше теория интегральных уравнений дает нам одно-
одновременно метод решения, указывая путь, как действительно вычислять
эти решения с произвольной точностью (см. также § 8). Однако эти
решения она дает не в изящной законченной форме, в какой были по-
получены решения в теории линейных уравнений гл. I. Но и здесь можно
притти к такому явному решению вполне аналогично тому, как это было
сделано в гл. I. Перепишем интегральное уравнение A), подставив в правой
части вместо w (t) снова ее выражение из A). Продолжая таким образом,
получим уравнение с помощью итерированных ядер в следующем виде:
W (S) == /(S) + I j K(S, t)f(t) dt -J- V j" K™ (S, t) W (t) dt
s, t)f(t)dt -f X» jV« (s, t)w(t)dt
и, как в гл. I, усматриваем отсюда, что решение дается бесконечным
рядом:
^ ..., F0)
если только этот ряд равномерно сходится. Если сделать несколько
далее идущее предположение о равномерной сходимости выражения
К (s,t) = K(s, t) -f ). К^ (s, t) -f W»> (s,t) + ..., F1)
то решение интегрального уравнения
f(s) = y(s) — l^K(s, t)w(t)dt
представится в форме „взаимного интегрального уравнения":
К (*,*)/(*)#. F2)
Функцию К (s, <) = K (s, t; 1) мы назовем поэтому также взаимным
или разрешающим ядром или резольвентой.
Ряд F0) или F1) мы будем на'зывать рядом Неймана. Он во всяком
случае сходится при достаточно малых значениях \~к\, например при
| Л К -rj— , где М — верхняя граница абсолютной величины К(s, t).
Таким образом при достаточно малых значениях 111 раврешающее ядро
§ 6 Ряд Неймана и разрешающее ядро 131
является аналитической функцией от \. Оно удовлетворяет следующим
соотношениям:
K(s, t;l)=:K(s, t) + Х jV(s, о) К (о, t;\)da,
K(s, t;l) — K(s,t;V) = (l — V) { K(s, o;X)K(o, i;V)da,
F3)
в чем можно убедиться непосредственно подстановкой.
Если ядро К(s, t) симметрично, то разрешающему ядру легко можно
дать весьма замечательную форму, которая делает наглядным характер
аналитической зависимости функции К от X; а именно, принимая во
внимание разложение E8) для симметрических ядер К^г) (s, t), K^ (s, t),...
и суммируя появляющиеся при этом в F1) геометрические ряды, непо-
непосредственно получаем:
pg№ F4,
При этом, как показывает рассуждение, совершенно аналогичное про-
проведенному в § 5,1 и § 5,2, ряд справа сходится при всяком значении \
не являющемся собственным значением, и притом равномерно относи-
относительно s и t.
Соотношение F4), доказанное пока лишь в предположении схо-
сходимости ряда Неймана F1), дает аналитическое продолжение резоль-
резольвенты К (s, t; \) на всю комплексную плоскость "к, причем собственные
значения \ оказываются 'все простыми полюсами. Таким образом мы
в формуле F4) имеем разложение резольвенты иа простые дроби, и наш
результат можем выразить так: Резольвента симметрического ядра
есть мероморфная функция от \, для которой собственные значения
интегрального уравнения являются простыми полюсами. Ее вычеты
относительно полюсов \{ дают соответствующие этому значению собст-
собственные функции. Из ряда Неймана и формулы F4) вытекает, что ра-
радиус сходимости ряда Неймана равен наименьшей из абсолютных вели-
величин собственных значений.
Согласно теоремам общей теории функций, резольвенту, как меро-
морфную функцию, возможно представить в форме отношения двух це-
целых трансцендентных функций, и следует ожидать, что эти целые
трансцендентные функции могут быть выражены в виде таких повсюду
сходящихся степенных рядов, коэфициенты которых можно составить
непосредственно с помощью данного ядра. В алгебраической задаче мы
имеем перед собою такой способ выражения в формулах гл. I, § 2.
Естественно предположение,' что й 'здесь" можно установить совершенно
аналогичные формулы. Можно, далее, ожидать, что эти формулы отнюдь
не ограничены случаем симметрических ядер, но годятся и для произволь-
произвольного непрерывного несимметрического ядра. Такие соотношения действи-
действительно установлены Фредгольмом, который сделал их исходным пунктом
всей теории. В следующем параграфе мы покажем, как можно вывести
эти формулы Фредгольма естественным путем, причем мы снова равно-
9*
132
Теория линейных интегральных уравнений
Гл. Ш
мерно аппроксимируем ядро выродившимися ядрами Ап (s, t) и затем
совершим предельный переход п—»со г).
§ 7. Формулы Фредгольма.
Так как в дальнейшем мы формул Фредгольма применять не будем,
то в нижеследующих выводах мы некоторые промежуточные вычисления
с определителями предоставим читателю 2).
Воспользуемся рассуждениями и обозначениями гл. I, § 2. Для
п
выродившегося ядра K(s, t) — A(s, t)^=y^ap(s)^p(t) интегральное урав-
| —ф (s) —\ \ K(s, t)y (t) dt принимает вид:
i-\-lE(x,a(s)), F5)
нение
р=\
если, как и раньше, положить лг == (ср, 8 ). Сохраняя прежние обозна-
обозначения yp = (f, 8p), kpg = (ag, Bp), получим для хр систему уравнений:
п
Ур = хр — 1Шкрдхд' (бб)
9 = 1
решение которой дается равенством:
?(*,«) = —
откуда решение интегрального уравнения A) получится в следующем виде:
»(*) = /
При этом
Д (у, и; ),) = Д, (у,
Д(I)=1—/
где
'x,a(s))=f(s)—l
... 4 {-
F7)
Д,(У,
"'' | F8)
О и.
Ph.
F9)
») Этот метод впервые применил Э. Гурса (Е Goursat) в работе: Sur un cas
elementaire de l'equation de Fredholm, Bull. Soc. math. France, т. с5, стр. 163-173,
1907. Ср. также Lebesgue H., Sur la methode de M. Qoursat pour la resolut on de l'equa-
tion de Fredholm, там же, т. 36, стр. 3—19, 1909.
а) Ср. Kowalewski G., Einftihrung in die Determinantentheorie, Leipaig 1909.
§ 7
Формулы Фредгольма
133
kpp
kpj,
k
Ph t
kptp% • •
k
н PhP*-
' РЛ
• kptp
k
¦ • Phph
причем указатели /?,, p2, ... ,ph пробегают независимо значения от 1
до п и рг<.Р2 ... </V
Сумма определителей ДЛ (у, a (s)), очевидно, может быть записана
также в виде I hh[$(t), a(s)]f(t)dl, так что решение F7) интегрального
уравнения принимает форму:
<р (s) =f(s) + > f К E, ft /,)/(*) Л F2')
с резольвентой
л (.5, г, А)—
G0)
Вместо того, чтобы в' формулах F9) суммировать, как указано, по
сочетаниям из п элементов по h индексов 1, 2, ... , и можно, разде-
разделив на h\, составить сумму по всем размещениям по h индексов, оче-
очевидно, также и с повторениями. После этого замечания, принимая во
внимание определение величин ft , получим на основании простых
теорем теории определителей формулы:
\ D(s,t; *) = —
G1)
, a (s);
Г) <ч ЛI2
II
где
-г 2| ~2» •' • 1 п\
A (s, t) A (s, s,) ...A (s, sh)
A(svt) i4(Sj,Si)...i4(Si,*A
A (sh, t) A (sh.
u Sl) A(sv s2)..
itsJ A(s2, s2) .
при h— 1 и и ?H(s, 0 = /Tfo /).
A (sh, sh)
A(sv sh)
A(s2,sh)
sj rfs2 ... dsh
Sj ds2 ...
134 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
Этим самым целые рациональные функции D (s, t; >.) и D (к) от 1
выражены явно через ядро. Выражения G1) можно формально продол-
продолжить и в виде бесконечных рядов, ибо, как легко видеть, для выродив-
п
шегося ядра A (s, f) — ^ ар (s) $p (t) составленные по формулам G2)
p=i
величины Dh при h^>n и Dh(s,t) при h^>п— 1 все исчезают.
Если теперь произвольное непрерывное ядро K(s, t) равномерно
аппроксимируется последовательностью выродившихся ядер, то отн( ся-
щиеся к ним выражения G2) сходятся к соответствующим детерминан-
детерминантам ядра K(s, t). Бесконечные ряды
D(s,t;).) = D, \(s, t)-~D, (s, t) I -]-..., *j
11
причем теперь в выражениях G2) следует заменить А через К, пред-
представляют собою для иевыродившегося ядра K(s, t) целые трансцендент-
трансцендентные функции. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что они
сходятся при всех значениях \. Если при всех значениях s, t постоянно
| K(s, t) | s^ M, то на основании теоремы Адамара об оценке определителя
(ср. гл. 1, § 5, 2) имеем:
| Dh (s, t) | < /(/г-И)Л+1^Л+1 (b ~ af,
\Dh\^V^Mh{b — a)".
Так как ряды
)ГD- a)-, 1 6
Л=0 h=l
сходятся при всяком значении "к 2) и являются мажорантами для рядов
абсолютных величин членов вышеприведенных рядов G3), то наше
утверждение доказано; из него же вытекает, что при всяком значении \
Ига Dn (s, f;l) = D (s, t; I), lira Dn(l) = D ().)
п->ОЭ и-»СО
в смысле равномерной сходимости, причем величины, с индексом п от-
относятся к и-му аппроксимирующему выродившемуся ядру An(s,t), вели-
величины же 6ej3 индекса — к ядру К (s, t). Таким образом, если только мы
1 eh hh
*) В самом деле -j^<ijn.y так как в разложении еЛ имеется член —. По-
Поэтому корень степени h из коэфициента при )Я во втором ряду меньше, чем
М {Ь — а) е
и, стало быть, сходится к нулю при й-»оо;_то же самое справедливо и для
первого из вышеприведеиных рядов.
Формулы Фредгольма
135
имеем дело не с корнем
ядра К (s, t):
\ выражения D(k), то и резольвента
G4)
1!
21
и с ее помощью получим для произвольного ядра K(s, t) следующую
формулу решения интегрального уравнения:
<р (*)=
К (s, t\ l)f(t) dt.
G5)
Написанные выше формулы называют, по имени открывшего их уче-
ученого, формулами Фредгольма. Очевидна справедливость следующего
соотношения:
Далее, приведем формулу т):
&(к) = — \ D(s, s;l)ds
и следующую общую формулу для производной порядка т:
D
\
где положено
-(-4-J-
ено
D (sv s.2' * •' ' s,™
\ »j, h' • •• ¦>tm
[, S2, . . . , sm\_.
2> • • • ' S
CO
A=0
G6)
G7)
G8)
G9)
K(sv <,) ... /if (slf у /if (s,, Oj) ... /if (a,, oh)
K(s2, tj)... K(s2, tj K(s,, o,) ... tf (s2, oA)
^(sm, ^ ... /if(«„, tj K(sm, Ol)...
K(av g ... /if (о„ U
, ол)
l, oA)
(80)
K(oh, /,)... /f(oA) <J /Г(оЛ, о,)... Af (oA> oft)
Прибавим еще к этому, что собственные функции для корней
1=\ выражения D(l) в случае простых полюсов можно получить, вы-
вычисляя в этих точках вычеты резольвенты К (s, t\ \). Доказательство
этого легко получить, исходя из наших формул 8).
*) Ср. Fredholm I. в указанном месте.
*) Для дальнейших подробностей о формальном аппарате теории Фредгольма
ер» например, Kowalewski G., Einfuhrung in die Determinantentheorie, Leipzig 1909.
136 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
§ 8. Новое обоснование теории.
При обосновании общей теории интегральных уравнений мы доволь-
довольствовались вытекающей из принципа сходимости гл. II, § 2 уверенностью,
что из множества решений аппроксимирующих интегральных уравнений
можно выделить последовательность, равномерно сходящуюся к решению
интегрального уравнения. Понятия меры независимости и асимптотиче-
асимптотического числа измерений последовательности функций, также введенные
уже во второй главе, дают, однако, возможность несколько другим спо-
способом обосновать теорию интегральных уравнений и обозреть при этом
многообразие решений аппроксимирующих уравнений во всей их сово-
совокупности в отношении их свойств сходимости с возрастанием прибли-
приближения. Так как, помимо того, при этом получаются новые заслуживающие
внимания точки зрения и результаты, то уместно будет привести здесь
относящиеся сюда соображения.
1. Лемма. Приложение к теории интегральных уравнений поня-
понятий, выясненных в гл. II, ¦ § 3, основывается на следующей лемме':
Пусть ф] (s), ф2 (s), ... — последовательность функций, нормы кото-
которых остаются ниже заданной грани М и для которых выполняется
соотношение:
>-4
(81)
причем сходимость равномерная. В таком случае функции фп (s) обра-
образуют гладкую последовательность функций конечного' асимптотиче-
асимптотического числа измерений г.
Для доказательства заметим, что соотношение (81) сохраняет силу
н в том случае, если функции tyn(s) заменить какими угодно функциями
1п (s) — х^п -\- ... -f- х фя , представляющими собой линейные комби-
1 р
нации,, с ограниченными по абсолютной величине коэфициентами
xlt лг2, ,х . из какого угодно числа р таких функций
T«i' I Из' ' ТГГр
последовательности фп, выбранных таким образом, что индексы nt без-
безгранично возрастают одновременно с п. Теперь, если среди функций
6n(s) имеются такие группы по г функций со сколь угодно большими
индексами и, что мера независимости этих групп остается выше задан-
заданной границы а, если, другими словами, число измерений последова-
последовательности по меньшей мере равно г, то можно эти группы ортогонализи-
ровать каждую внутри себя, причем согласно гл. II, § 3, 1 получаю-
получающиеся коэфициенты остаются ниже числа —j=. Таким путем мы полу-
V а
чаем группы из г взаимно ортогональных нормированных функций
©я/(я)(/=1, 2, ...,г; я—1, 2, 3,...), для которых выполняется
предельное равенство:
lira ((©Я|| (s) — I Г К[s, t) eBj| (t) dt) = 0 (82)
§ 8 Новое обоснование теории 137
равномерно относительно s. Обычное рассуждение с помощью неравен-
неравенства Бесселя 2) обнаруживает, что при всяком п
\\K(s, tf ds dt s* 2 f [ \K(s> ') *»«,i (<) * ] ds,
откуда в силу (82) имеем:
г
Таким образом мы получили границу для числа измерений последова-
последовательности и обнаружили, что это число конечно. Что последователь-
последовательность является гладкой, вытекает непосредственно из равномерности
предельного перехода в выражении (81). Действительно, во-первых,
если обозначим через гп число, стремящееся к нулю с возрастанием и,
то в силу неравенства Шварца имеем:
S,l?dt-}-Sn,
что обнаруживает равномерную ограничениость функций фп (s). Во-вто-
Во-вторых, из соотношения \ (х^^-(-••• -f-xp$n Jds<^? точно таким же об-
образом получается соотношение:
Г
s, t}2 dt
чем доказывается гладкость последовательности функций.
2. Собственные функции симметрического ядра.
Доказанной леммой мы воспользуемся прежде всего для того, чтобы по-
получить собственные функции симметрического ядра K(s, t), которое равно-
равномерно аппроксимируется выродившимися симметрическими ядрами Ап (s, t).
Пусть, как и раньше, \i!^\ y!g\ ... — положительные, ]№v \i!^v ... —
отрицательные собственные значения ядра An(s, t), a ^jn)(s), ф^и'(я), ...
и соответственно 4*^E), ^^(s). ... —соответствующие им собственные
функции. При этом кратные собственные значения повторены надлежа-
надлежащее число раз. Далее, пусть снова Jn(y, <f) = \\An(s, t)<p(s)w(t)dsdt
K(s, t) <f (s) <f (t) ds dt— интегральные формы, принадлежа-
принадлежащие соответственно ядрам An(s, t) и K{s,t), и пусть форма У((р, w) спо-
способна принимать положительные значения, что мы вправе предполагать.
Тогда у.№=—~ есть максимум формы Jn(f, ф) Для нормированной
функции, a Xj == — — верхняя граница формы У(ф, (р) при том же усло-
условии. Так как значения J(<f, (f) и Jn(y, (f) отличаются между собою меньше
чем на заданное сколь угодно малое число, то непременно Iim д'я^= jij.
, ' " ->СО
*) Ср. § 4, 2 этой главы, стр. 120.
138 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
Следовательно, из равенства:
ф(«)(s) — ji.f> f An(s, t)ф<">(t)dt=*G
в силу того, что An{s, <)=*K(s, t), вытекает соотношение:
ф[») (s) -V-i\k(*, *) Ф 1Я) (<) Л => 0- (83)
Согласно нашей лемме функции ф^ образуют гладкую последова-
последовательность конечного, очевидно, положительного, числа измерений г
[равенство г нулю противоречило бы предположению, что функции
ф^п)(я) нормированы], а следовательно, определяют, согласно гл. II, § 3,
линейную совокупность функций с нормированными ортогональными
компонентами ф3 х (s), ... ,6j,(s), которые, необходимо, удовлетворяют
однородному интегральному уравнению:
(/=1, 2,..., г),
а потому являются собственными функциями ядра K(s, t), принадлежа-
принадлежащими собственному значению цг Точно таким же путем получим остальные
собственные значения и фундаментальные функции ядра K(s, t). Действи-
Действительно, например, y,<ft"> = -^ есть наименьшее значение максимума фор-
мы Jn(y,y), достигаемое при надлежащем выборе функций v1(s),
v2(s), ... иЛ_] (s) при дополнительном условий (ф, (f)==l и прочих
добавочных условиях (ш, г>,-) —0 (г"= 1, 2, ... , h — 1).
1
Если мы снова определим- v.h = — г как соответствующую нижнюю
границу верхней границы формы J (ф, ф), то в силу близости совокупности
значений форм -/„('¦?, (f) и J((f, (f) имеем снова lim д]!") = и.
я-»СО
Отсюда выводим соотношение:
ф{»)(s) — V-h]K(*. ') ФЙ°@* => 0,
поспс чего остается повторить предыдущие рассуждения. Для того
чтобы получить отрицательные собственные значения и принадлежащие
им собственные функции, следует рассматривать соответствующие задачи
на минимум и на максимальное значение минимума. Если имеется лишь
конечное число собственных значений того или другого знака, то про-
процесс их отыскания следует оборвать на надлежащем месте,' что не
нуждается в дальнейших разъяснениях.
3. Несимметрические ядра. И в случае несимметрического
интегрального уравнения A) настоящий метод также дает принципиаль-
принципиальное упрощение и углубление по сравнению с прежним методом. Поль-
Пользуясь старыми обозначениями, мы можем ограничиться здесь кратким
указанием. В случае I пусть р„ и ся таковы, что при всяком п норм сп
остается меньше числа М. В таком случае и норм разности в — о = С
г г гя г/и - ^n*tn
§ 8 Новое обоснование теории 139
остается меньше некоторой грани, а именно 4ЛТ. Далее, имеем:
(равномерно относительно s), а потому, согласно нашей лемме, всякая
часть двойной последовательности с„ т, У которой пит одновременно
безгранично возрастают, имеет ограниченное асимптотическ( е число
измерений г, причем грань для г зависит лишь от ядра К (s, t) и от X.
Стало быть, и наша двойная последовательность ?„ т определяет линей-
линейную предельную совокупность (ср. гл. II, § 3) с конечным числом г
ортогональных компонент <J>j(s), ф2 (s), ... фг($), исключая разве только
тот случай, когда асимптотическое число измерений всякой частичной
последовательности равно нулю, т. е. ?n m=»-0. В последнем случае г=0
функции pn(s) просто сходятся равномерно к решению интегрального
уравнения:
В случае г^>0 функции ф;($) являются решениями однородного
уравнения. Заменим рп функцией
Чя (S) = Рп (*) + *1$1 (*)+¦•¦ + *гфг (S),
ортогональной к функциям <^1(s), фг (s), ... ,фг(«). Для этих функций,
несомненно, выполняется соотношение:
jn(s)-l^K(s, i) rtn(t)dt| —f(s) => 0.
К разностям щп—jjm=?n m можно теперь снова, как это сделано
было выше, применить нашу лемму, и легко придем к заключению, что
число измерений всякой части этой последовательности должно равняться
нулю, и что, следовательно, функции Jjn(s) равномерно сходятся к пре-
предельной функции, ортогональной к ф/ (s) и удовлетворяющей интеграль-
интегральному уравнению. В случае II подобным же образом на основании нашей
леммы получим, в качестве предельного образования последовательности
функций an(s) — —n—, линейную совокупность функций, являющихся
Сп
решениями однородного интегрального уравнения. Таким образом по на-
нашему второму методу получается более отчетливое проникновение в при-
природу господствующих здесь соотношений сходимости. Мы убеждаемся, что,
рассматривая аппроксимирующее интегральное уравнение с ядром An(s,t),
мы действительно с произвольной точностью приходим к решению неодно-
неоднородного (или, соответственно, однородного) интегрального уравнения.
4. Непрерывная зависимость собственных значений
и собственных функций от ядра. Что касается вопроса о том,
в какой мере решения интегрального уравнения непрерывно изменяются
вместе с ядром, мы ограничиваемся задачей о собственных значениях при
симметрическом ядре К(s, t). Пусть ядро K{s, t) является пределом равно-
равномерно сходящейся последовательности симметрических ядер Kn(s, t)
140 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
(л=1, 2, 3, . . . ). Если рассматривать функции <р (s), удовлетворяющие
условию (<f, (f) <; М, то значения соответствующих этим ядрам интеграль-
интегральных форм Jn{y, (?) и J(w, ш) при достаточно большом п отличаются между
собою на сколь угодно малую величину. То же самое справедливо поэтому
и для максимумов ичи минимумов этих форм при добавочных условиях
((f,(f)=l, (y,vt)=0, и точно так же и для наибольших значений минимумов
или наименьших значений максимумов. Другими словами: h-e поло-
положительное и h-e отрицательное собственное значение изменяются
непрерывно вместе с ядром. Что касается собственных функций, то у них
нельзя ожидать закономерной непрерывности, если принять во внимание
пр шзвольность их зшжа и возможность кратных собственных значений.
Зато здесь справедлива следующая теорема: Пусть \h является г-крат-
ным собственным значением ядра K(s, t), т. е. пусть
ХА= lim №= lira )#+i = . . .= lira Xjftr-i.
+
«->О0 я-»СО я-»СО
между тем как- для X/j"Li и }%\г это соотношение не справедливо.
В таком случае при п—>со линейная совокупность собственных
функций ф/iV), фл + i (s), ..., фл"+г-1 (s) ядра KJs, t) равномерно схо-
сходится1) к линейной совокупности собственных функций ядра K(s, t),
принадлежащих собственному значению \h.
Эту теорему, представляющую полное выражение искомых свойств
непрерывности собственных функций, можно доказать на основании на-
нашей леммы почти непосредственно, исходя из замечания, что для после-
последовательности собственных функций <j4f+fc(s)(Q ^k<^r) справедливо пре-
предельное равенство:
и что эта последовательность имеет асимптотическое число измерений г.
§9. Расширение границ приложимости теории.
Выводы § 1—6 и § 8 можно обобщить в двух направлениях.
Прежде всего все рассуждения сохраняют силу, если рассматривать
интегральные уравнения для функций многих, скажем т, независимых
переменных. Под f(s) и <р (s) будем теперь разуметь непрерывные функции
переменных slt s2,..., sm, определенные в заданной конечной области G,
ггод K(s, t) — непрерывную функцию переменных s,, s2, , sm и
tfj, t2,..., tm, изменяющихся в той же области; обозначим, наконец, через
ds элемент объема ds1dsa.. .dsm области G, положим соответственно
dt = dt,dti... dtm и все рассматриваемые интегралы будем раз навсегда
считать распространенными на всю область G. В- таком случае интеграль-
интегральное уравнение
представляет собой интегральное уравнение с ядром K(s,t), зависящим
О В отношении понятия сходимости линейных совокупностей ср. гл. II, § 3,2.
§ 9 Расширение границ приложимости теории 141
от 2т переменных, для функции т переменных tp (s), и вся наша теория,
слово в слово, остается в силе.
С другой стороны, и сдечанное до сих пор предположение о непре-
непрерывности ядра может быть значительно смягчено без того, чтобы полу-
полученные результаты в чем-либо изменились. Не придавая значения возможно
более широкому обобщению, отметим здесь лишь случаи, существенные
для приложений, и вновь будем рассматривать ядро К (s, t) с двумя
переменными s и t. Наши прежние рассуждения, исключая рассуждения,
относящиеся к теореме Мерсера (§ 5, 4), с незначительными видоизме-
видоизменениями сохраняют силу и для ядер лишь кусочно-непрерывных в опреде-
определенном ранее смысле, ибо всякую такую функцию, как мы виаели в пре-
предыдущей главе, можно с произвольной точностью аппроксимировать
в среднем с помощью непрерывной функции.
Можно также допускать и бесконечно большие значения ядра. При
этом предполагается, что интегралы
\\K(s, tfdsdt, \K(s, tLs, \K(s, tf dt
имеют смысл, а два пос!едние, как функции соответственно t или s,
остаются ниже определенной грани. Это предположение выполняется,
например, в том важном для приложений случае, когда ядро при s?=t
обращается в бесконечность порядка ниже — , т. е. когда ядро имеет вид:
причем 0s^.a<^— , a H(s,t) — всюду непрерывная функция. Для такого
ядра выведенные ранее теоремы справедливы, ибо такое ядро можно во
всяком случае аппроксимировать .непрерывными выродившимися ядрами
An(s,t) таким образом, что \ [K(s, t) — An(s, t)]2dt и С [ЛяE-{-Т(, t) —
— An{s,t)]2dt делаются' сколь угодно малыми, первый интеграл равно-
равномерно в s, а второй— равномерно относительно sun, когда ljj| берется
достаточно малым. Но для проведения наших рассуждений большего не
требуется. Точно так же остаются в силе наши прежние теоремы и для
случая двух независимых переменных, если ядро при si = ti, Si = h обра-
обращается в бесконечность порядка ниже первого, ибо при этом условии указан-
указанные особенности не лишают смысла интеграла \ \ K(sv s2, ^,/2J dSj ds2.
При трех независимых переменных точно так же допустимы для К про-
произвольные особенности порядка ниже -~- и вообще при п переменных —
особенности более низкого порядка, чем ~ .
Не трудно расширить область применимости наших результатов на-
настолько, что потребуются лишь формулированные выше предположения
об интегралах от K2(s, t), между тем как во всем прочем можно совершенно
отказаться от непрерывности ядра и т. д. Здесь мы ограничимся только
этим указанием.
142
Теория линейных интегральных уравнений
Гл. III
§ 10. Дополнения и задачи к третьей главе.
1. Примеры,
а) Ядро
оо
sin ns sin nt 1
n = 1
sin
2 :Sm-T
имеет собственные значения 1п =— и собственные функции sin nt.
тс
б) Показать, что симметрическое ядро
1 1 — h?
2тс 1 — 2ft cos (s — t) +
имеет при |А|<1 собственные функции 1, sin ns, cos ns с собственными
значениями 1, — , — .
в) Для симметрического ядра, определенного равенством:
s со
I = -г= е 2 \ е dx \ е dx
%V* J J
-CO '
— dn -is
ортогональные функции Эрмита е2~~е являются фундаментальными
CIS
функциями с собственными значениями \п = 2п-\-2.
г) Для симметрического ядра, определенного равенством:
K(s,t)
ортогональные функции Лагерра е
s + t
2
ГТагрппя
СО
)¦
о
—
е
т
*¦
-dx @г=?
sh
hn e 1~h
являются собствен-
собственными функциями при собственных значениях Х„ = п -|~ 1 ]).
2. Особенные интегральные уравнения. Приложимость
общей теории может нарушиться, если ядро обнаруживает особенности
слишком высокого порядка, или если оно при бесконечно протяженной
основной области — в отличие от ядер только что рассмотренных в
п. 1 — в бесконечности обращается в нуль недосшточно высокого порядка.
Приводим здесь несколько примеров интегральных уравнений с соб-
собственными значениями бесконечно большой кратности.
*) Ср. Neumann R., Die Entwicklung willkurlicher Funktionen nach den Hermite-
schen und Laguerreschen Orthogonalfunktionen и т. д. Dissert, Bieslau 1912.
§ 10 Дополнения и задачи к третьей главе 14.4
Из интегральной формулы
тождественной относительно а, вытекает, что для основной области
0<:s,f<[co, ядро sins^ имеет собственное значение Х=1 бесконечно
большой кратности.
Эрмитовские ортогональные функции (ср. п. 1, в) являются собственными
i n
функциями ядра Несобственными значениями —==.. Стало быть, каж-
у2п
дое из четырех значений -\ т= > ^—/-= есть собственное значение
бесконечно большой кратности для этого ядра.
Пример интегрального уравнения г) с бесконечно большим числом
собственных значений в конечном промежутке:
Уравнение
+О0
= X l
— Is — * i tp (^> dt
-со
имеет решения еа s с собственными значениями Х = -^^—. Таким об-
разом всякое ^^>-к~ является собственным значением.
3'. Метод Шмидта для вывода теорем Фредгольма 2).
Принимая Х=1, приведем ядро K(s,t) к виду
K(s, t) = jria4(s)h {?)¦{. k(s,t),
7=1
причем U(s, tJ dsdt<^i, так что ряд Неймана для ядра k при 1 = 1
сходится (ср. § 6), а стало быть, даст, согласно § 6, соответствующую
ядру k (s, t) резольвенту у. (s, /). Написав интегральное уравнение A) в форме:
*) Интегральные уравнения родственного типа рассматриваются в работе
Гопфа: Hop/, E. Ober lineare ntegralgleichungen mit positivem Kern, Sitzungsber.
A<ad. Berlin (phys.-math. KL), стр. 233 - 275, 1928 и в цитируемых там работах
U. Wegner'a, H. H. Hardy и Е. С. Titchmarsh'a.
2) Schmidt E. Zur Theo'ie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen.
Zweite Abhandlung: AuflCsung der allgemeinen linearen Jnteeraleleichune, Math.
Ann., том 64, стр. 161—174, 1907.
144 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
где
мы имеем поэтому обратно:'
или
@ -f
полагая
=
Таким образом заданное интегральное уравнение сведено к инте
тральному уравнению с выродившимся ядром.
4. Метод Энскога для решения симметрических инте-
интегральных уравнений ]). Рассмотрим положительно определенное
ядро K(s,t), первое собственное значение которого больше единицы, для
которого, следовательно, при всякой функции tp справедливо соотношение:
\y(sJds— \\К (s,t) <p
Интегральное уравнение A) напишем, полагая Х=1, в сокращенной
форме /(s) = 7((f), введя обозначение 7((f) = (f (s) — \ K(s,t)v> (t) dt. Да-
Далее, построим какую-нибудь „полярную по отношению к ядру полную
систему функций" ^(s), v2{s), , удовлетворяющую соотношениям:
ds—6lk (au=\, S№ = 0 при
Такую систему можно получить из полной системы функций <plf tp2...
способом, аналогичным процессу ортогонализации, описанному в гл. II,
§ 1. Положив av = \ <р J(v.)ds—\vv fds, получим непосредственно
со
<Р (s) == ? av ^ (s) в предположении, что этот ряд равномерно сходится.
V = I
Кстати, для функции v4 выполняется „условие полноты" \ ш (s) / [tp (s)] rfs=
oo
= ? a^. как бы ни была выбрана кусочно-непрерывная функция <р (s).
1 Enskog D., Kinetische Theorie der VorgSnge in mSssig verdtlnnten Gasen,
Dissert., Uppsala 1917.
§ 1Q Дополнений и задачи к третьей главе 145
5, Метод Ке л лога для определения собственных функ-
функций !). Исходя из произвольной нормированной функции у0 (s), опреде-
определяем функции tpv (is) и числа \ с помощью соотношений:
) (pv (t)dt, AT(pv = 1.
Здесь можно выполнить предельный переход, дающий собственное,
значение и соответствующую собственную функцию ядра или итериро-
итерированного ядра. — Привести этот метод в связь с понятием асимптотиче-
асимптотического числа измерений и, следуя этим путем; провести рассмотрение
вопроса.
6. Символические функции ядра и их собственные
значения. Для операций, определенных с помощью ядра интеграль-,
ного уравнения, справедливы соотношения, аналогичные тем, которые вы-
выведены в гл. I для матриц. Рассмотрим в частности целую рациональную
п
функцию f(u) = У^ ач hVi исчезающую при и = 0, и заменим в He^t
степени и соответствующими итерированными ядрами симметрического
ядра K*(s,t). Мы получим тогда ядро:
п
v=l
Тогда справедлива следующая теорема: собственные функции ср
ядра И тождественны с собственными функциями ядра к, а соответству-
соответствующие характеристические числа rit ядра Н связаны с характеристическими
числами xt ядра К равенством:
Дейсгвительно, непосредственная' проверка подтверждает, что собствен-
собственная функция <р. ядра K{s, t), принадлежащая, собственному значению
1 • •
А/ = —, является вместе с тем собственной функцией ядра H(s;t) с ха-
характеристическим числом 1^=/(у7). Что Н других характеристических
чисел и фундаментальных функций не имеет, легко обнаружить, для
чего достаточно показать справедливость соотношения:
со
?. Пример несимметрического ядра, не имеющего соб-
ственных функций. Ядро K{s, ^ = ^ sin vs sin (v +- Ц* не имеет
v=l V2
Для области 0=sSs,?==s2rc собственных функций, так как для йтериро-
>< ,.1! Kell°g§ °- &¦> On the existence and closure of sets of characteristic functions,
Math. Ann., т. 86, стр., 14—17, 1922.
10 Кураит-Гильберт.
146 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
ванных ядер получаются следующие выражения:
следовательно, ряд Неймана сходится при всех значениях 1. Тот же
результат можно получить, доказав, что соответствующая ядру К
функция D(l) постоянна1).
8. Интегральные уравнения Вольтерра2). Если K(s,t) = О
при s<^t, то интегральное уравнение можно написать в следующем виде:
Такие типы интегральных уравнений изучены, главным образом,
Вольтеррой. Показать, что соответствующая резольвента есть целая транс-
трансцендентная функция от X и, следовательно, интегральное уравнение
Вольтерра имеет для каждого значения 1 одно и только одно решение,
а стало быть, не имеет собственных функций ни для какого значения 1.
.9. Интегральное уравнение Абеля3). Уже Абедь (Abel)
составил важное для многих приложений частного вида интегральное
уравнение типа Вольтерра для решения нижеследующей задачи: мате-
материальная точка движется под влиянием силы тяжести по гладкой кривой,
расположенной в вертикальной плоскости. Время t, которое ей требуется
для того, чтобы спуститься вдоль кривой с высоты х до самой низкой
точки ее, есть заданная функция / от х; каково уравнение кривой? За-
Задача приводит к интегральному уравнению:
)Y2g(x-t)'
о
Если принять)% что f(x) — исчезающая при л; = 0 функция, имеющая
непрерывную производную, то решение интегрального уравнения Абеля
дается формулой:
где g — ускорение силы тяжести, и уравнение кривой получается в еле»
дующем виде:
=(Vl<Pa(')—
») Аналогичные ядра приведены у Гурса: Goursat, Cours d'Analyse (см. пере-
перечень лит-ратуры). _ • - -
2) Volterra V., Leeons sur les Equations integrates et les equations integro-diffefen-
tielles, гл. II, Paris 1913.
3) Abet, Solution de quelques problemes a l'aide d'integrales definies. \Werke
(Christiania 1.881I, стр. 11—27; Bdcher, Integral Equations. стр.В. Cambridge Uni-
University Press, 1909.
§ 10 Дополнения и задачи к третьей главе 147
В качестве более общей задачи можно рассмотреть уравнение:
решение которого выражается формулой:
X
sina-rr f(a) sin а гс Г f'(s)ds
<? (х) = —— ^_^г_а i — J (S_^)i-a '
а
в предположении, что f(x) имеет непрерывную производную.
10. Взаимно сопряженные ортогональные системы,
принадлежащие несимметрическому ядру1). Составим для
несимметрического ядра K(s,t) два симметрических ядра K'(s, t) =
= \K(s, a)K (t, afda и К1' {s, t) = ^ К (a, s) К (a, t)da. Существует по-
последовательность пар функций (f v (s), (J>v (s) (v=l,2, ,..) и соответ-
соответствующие значения Xv, которые удовлетворяют следующим соотношениям:
<Pv E) = \ J К (s, t) <!>., (t) dt, d)v (s) = Xv j /Г (<, s) ъ (t) dt,
<p, (s) = X2 j Я' (s, t) <fv @ Л, <K (s)=X2 j tft {s> t) 4s (<) dL
Всякая функция, которую можно • представить в.форме \K(s,t)h(t)di,
допускает абсолютно и равномерно сходящееся разложение по ортого-
ортогональной системе (fv, и точно так же всякая функция вида \ K(t, s)h(t)dt
допускает разложение по ортогональной системе ф„. Далее, справедливо
v~i Ч* (s) ф ft)
разложение К(s, t)= / j \ —, если .только ряд справа равномерно
v=l v
сходится относительно каждой переменной. Ядро К однозначно опреде-
определяется значениями \ и обеими независимыми друг от друга ортогональ-
ортогональными системами.
11. Интегральные уравнения первого рода. Примеры
интегральных уравнений первого рода вида:
') <р (t) dt (84)
встречались нам неоднократно. Например, возможность разложения по
собственным функциям ядра была поставлена в зависимость от разре-
разрешимости некоторого интегрального уравнения первого рода. Далее, такие
примеры представляли интеграл Фурье и интегральное преобразование
*) Schmidt E., Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen,
1 Teil: Entwicklung willktirlicher Funktionen uach Systemen vorgeschriebener, Math.
Ann., т. 63. стр. 433—476, 1907.
10*
148 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
Мелина (гл. II, § 10, 8). Затруднение для теории интегральных уравне-
уравнений первого рода "лежит" в том обстоятельстве, что при непрерывном
ядре K(s,t) многообразие всех кусочно-непрерывных функций tp (s) пре-
преобразовывается в часть того же многообразия, так как все получающиеся
таким образом функции f(s) во всяком случае ' непрерывны. Если ядро
K{s, t) диференцируемо, то всякая кусочно-непрерывная функция, даже
всякая только интегрируемая функция tp (s), преобразовывается в'диферен-
цируемую. Стало быть, интегральное уравнение не может иметь для-«сякой
непрерывной функции f(s) непрерывное решение ip (s). Лишь постольку,
поскольку ядро уклоняется от правильного поведения, можно ожидать раз-
разрешимости уравнения (84) для более общих классов функций f(s). Пред-
Предлагаем рассмотреть с этой точки зрения ранее встречавшиеся и следую-
следующие в дальнейшем примеры, причем распространение основной обла-
области в бесконечность надо считать эквивалентным наличию особой
точки ядра.
Чисто формально можно при симметрическом ядре искать решение
в форме:
оо
v=l
где x4 = (f,ys)— коэфициенты разложения функции / по собственным
функциям <р,, <р2> • • • ядра. В том случае, когда этот ряд равномерна
сходится, что вследствие возрастания чисел Xv налагает вообще ограни-
ограничения на f(s), он действительно представляет решение уравнения (84).
В общем случае теорема Пикара ') дает необходимые и достаточные
условия для разрешимости интегрального уравнения первого рода
f(s) = \ К (s, t) (f (t) dt при произвольном (также и несимметрическом) ядре
посредством функции <р (s), интегрируемой в смысле Лебега вместе со
своим квадратом. Если ipf) ф;, \{ Суть принадлежащие согласно п. 10
ядру K(s, t) пары взаимно • сопряженных функций и соответствующие
собственные значения, то для разрешимости вышеприведенного инте-
интегрального уравнения необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
12. Метод бесконечно большого числа переменных.
Пусть функции ю, (s), ю2 (s),... представляют полную ортогональную
систему для основной области. Положим xt=(y, wi),fi — (f, ti>t), kpg—
= [[K(s,t)mp(s)(jil}(t)dsdt. Тогда интегральное уравнение A) тотчас
приводит к системе:
со
») Picard E., Sur un theoreme general relatif aux equations integrales de premiere
espece et sur quelques problemes de physique mathematique, Rend. Circ. mat. Pa-
leimo, т. 29, стр. 79^97, 1910.
§ 10 Дополнения и задачи к третьей главе 149
бесконечно большого числа линейных уравнений для бесконечно боль-
со
шого числа неизвестных хг, х2, xz,...; при этом как ряды ^-*7 и
i-i .
ее со
VV/, так и ряд V* k?. сходятся, что вытекает из, неравенства Бесселя.
=1 «,/=!
Теория решения этой системы уравнений дает тогда теоремы об инте-
интегральном уравнении A).
13. Минимальные свойства собственных функций-
Собственные функции tpx, <p8,... симметрического ядра или обе г/ринад-
лежащие несимметрическому ядру ортогональные системы <#t(s), (^(s) и
соответствующие собственные значения \, можно получить с помощью
следующей задачи на минимум:Требуется аппроксимировать ядро K(s, t)
выродившимся ядром
таким образом, чтобы \ \ (К — AnJdsdt получил возможно меньшее зна-
значение,. Показать, что решение дается формулами:
14. Полярные интегральные уравнения. И для ядер вида
K(s, t) — A (s) S(s,t), где S(s, t) симметрична, a A(s) непрерывна по-
повсюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, мож-
можно получить сходные результаты, как и для случая симметрического ядра.
Обстоятельнее всего исследован пока тот случай, когда S(s, t) — опреде-
определенное ядро, и стало быть, имеет, скажем, исключительно положитель-
положительные собственные значения. В этом случае, который исследовали Гиль-
Гильберт х) и Гарбэ2), интегральное уравнение называется полярным или
уравнением третьего роба. При, этом резольвента, как и для симметри-
симметрических ядер, имеет только действительные и простые. полюсы, а для
соответствующих вычетов, дающих „полярные собственные функции",
справедлива теорема о разложении, подобная найденной Гильбертом для
симметрических ядер. В частности* если итерированное ядро KB)(s, t)
не исчезает тождественно, то всегда существует по крайней мере одно
собственное значение. Впрочем, теорема, что резольвента имеет только
действительные и простые полюсьГ справедлива и в том случае, если
функция 5(s,t) предполагается только положительной; далее, справед-
справедлива также теорема: существует по крайней мере одно собственное зна-
значение, если функция 5 (s, t) положительна, а КB)(s', t) не исчезает тож-
тождественно 3).
*) Hilbert D., Integralglexhungen, гл. 15, где для, полярного Интегрального
уравнения положена в основу несколько другая форма.
2) Garbe E., Zur. Theorie der Integralgleichung dritter Art., Math. Ann., том 76.
стр. 527 - 547, 1915.
3) Marty J., Sur une equation integrate, C. R. Acad. sc; Paris, т. 150,
стр. 515—518, 1910; Developpements suiv^nt certaines sclutions siriguleres, там же,
стр. 603—606; Existence de solutions singulieres pour certaines equations, de Fred-
holm, там же, стр. 1031—1033.
150 Теория линейных интегральных уравнений Гл. III
15. Яд^а, допускающие симметризацию1). Можно очень
просто непосредственно охарактеризовать ядра, резольвента которых
имеет лишь действительные и простые полюсы. Для того чтобы ядро
K(s,t) обладало этим свойством, необходимо существование такого ядра
S(s, t), чтобы ядра [S(s, х) K{i, t)d~ и \K{s, х) 5(x, t)dx были симмет-
симметричны. О таких ядрах K(s, t) говорят, что они допускают симметри-
симметризацию. Обратно, если для надлежащим образом выбранного положительно-
определенного симметрического ядра S(s, t) по крайней мере один из
вышеупомянутых интегралов представляет симметрическое ядро, то все
полюсы резольвенты ядра K(s, t) будут действительными и простыми.
16. Определение разрешающего ядра посредством
функциональных уравнений. Доказать, что резольвента ядра
однозначно определяется уравнениями F3).
17. Непрерывность определенных ядер. Доказать, что
в области 0 s?: s, ts^.\ кусочно-непрерывное определенное симметрическое
ядро K(s,t), непрерывное во всех точках i = < и имеющее непрерывные
собственные функции, непрерывно вообще повсюду в области 0 ^s, ts?C 1.
18. Теорема Гаммерштейна (Hammerstein). Если ядро непре-
непрерывно во всей области 0 =sc s, t sg 1 и имеет во всей области 0 ^ s, t =sc 1
равномерно ограниченную производную, то билинейная формула спра-
справедлива уже для самого ядра, а не только начиная с итерированного
ядра K^(s, t). Предположение о существовании ограниченной производ-
производной можно заменить еще существенно более общими условиями ').
Литература к главе III.
Прежде всего следует указать статью Е. Hellinger и О. Toeplitz в „Enzyklo-
padie d. math. Wissenschaften" т. 2. Эта статья содержит сжатое изложение теории
интегральных уравнений и подробно останавливается на связи этой теории с дру-
другими частями анализа. Далее, укажем на наглядный реферат Н. Hahn, Benefit
iiber die Theorie der linearen Integralgleichungen, Jahresber. d. deutsch. Math.-Ver.,
т. 20, стр. 69-117, 1911.
Учебники:
Bocher M., An introdnction to the study of integral equations, Cambridge tracts,
т. 10, Cambridge 1909.
Goursat E., Cours d'anaiyse mathematique, т. 3, 3-е изд., стр. 323—544. Paris 1923
Kneser A., Die Inbegralgleichungen und ihre Anwendungen in der mathematischen
Physik, 2-е изд. Braunschweig 1922.
Kowalewski G., Einfiihrun? in die Determinantentheprie, einschliesslich der unend-
Iichen und der Fredholmschen Determinanten, Leipzig 1909.
Lalesco Т., Introduction a la theorie des equations integrales, Paris 1912.
(К книге приложена подробная библиография до 1912 г.)
Vivanti G., Elementi della teoria delle equazioni integrali lineare, Milano 1916.
(Немецкое издание F. Schwank, Hannover 1929.)
Volterra V., Lecons sur les equations integrates et les equations integro-dif-
ferentielles, Paris 1913.
*) Marty J., Valeurs singulieres d'une equation de Fredholm, С R. Acad. sc.
Paris, т. 150, стр. 1499—1502, 1910.
2) Hammerstein A., Ober die Entwicklung des Kernes linearer Integralgleichun-
Integralgleichungen und Eigenfunktionen, Sitzungsber. Akad. Berlin (phys.-math. Kl.)> стр. 181—
184, 1923.
§ 10 Дополнения и задачи ^третьей гдаве 151
1 - . 1 ,
Монографии и статьи:
¦Carleman Т., Sur les equations integrates singulieres a noyau -reel et syrnetrique,
Uppsala Univ. _Vsskrift 1Э23.
Courant R., Zur Theorie der linearen Integralgleichungen, Math. Ann., т. 89,
стр. 161—178, 1923.
Fredholm /., Sur une classe d'equations fonctionnelles, Acta math., т. 27,
стр. Зоб—390. 1903.
Goursat E., Recherches sur les equations integrates lineaires, Ann. Fac sc. Toulouse,
sene 2, т. 10, стр. 5—98, 1908.
Hilbert D.. Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichun-
Integralgleichungen, Leipzig und Berlin 1912. (Перепечатка шести статей из „Nachrichten der
К. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen" 1904—1910.)
Landsberg G., Theorie der Elementarteiler linearer Integralgleichungen, Math.
Ann., т. 69, стр. 227—265, 1910.
Schmidt E., Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Math.
Ann., т. 63, стр. 433—476, 1907; там же, т. 64 стр. 161—174. 1907.
Schun I., Cber die charakteristischen Wurzeln einer- linearen Substitution mit einer
Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen, Math. .Ann. .т. 66. стр 488-—510,
1909.'
. Weyl H., Singulare Integralgleichungen mit besonderer Beriicksichtlgung des
Fourierschen Integraltheorems, Dissert, Gottingen 1908.
Глава IV.
Основные понятия вариационного исчисления.
Почти все вопросы математической физики, к которым мы будем
применять изложенные в предыдущих главах теории, в той или иной
мере связаны с вариационным исчислением. Мы изложим в настоящей
главе основные факты этой важнейшей области анализа, которые да-
дадут нам возможность вывести наиболее естественным путем диферен-
циальные уравнения математической физики и основные принципы
их решения. Изложенная здесь теория будет дополнена и углублена во
втором томе.
§ 1. Постановка задачи вариационного исчисления.
1. Maxima и minima функций. Исходным пунктом вариационного
исчисления является обобщение элементарной теории maxima и minima.
Чтобы лучше понять сущность этого обобщения, бросим беглый взгляд
на эту общеизвестную элементарную теорию. Задача здесь заключается
в том, чтобы для заданной непрерывной функции f(x, у,....) с заданной
ограниченной замкнутой областью G изменения переменных х, у,... найти
такую точку л:0, у0,... области G, в которой функция f(x, у,...) имеет
„экстремальное", т. е. максимальное или минимальное значение по срав-
сравнению со всеми точками области G, достаточно близкими к точке дг0, у0,...
Что такие точки, действительно, всегда существуют, вытекает из
следующей теоремы Вейерштрасса, примененной нами уже в гл. I и
являющейся простым следствием из понятия, непрерывности: Всякая
непрерывная в замкнутой области функция достигает внутри или
на границе области своего максимума и своего минимума. Если функ-
функция /(х, у,...) диференцируема в области G и достигает своего экстремума
внутри области, то необходимо, чтобы в этой точке обращались в нуль
частные производные первого порядка функции /(*", у, ¦..) по каждой из
переменных х, у,. .., так что и диференциал df должен равняться нулю.
Это необходимое условие, однако, ни в коем случае не является доста-
достаточным, как показывают случаи точек перегиба или гиперболических
точе*; в качестве примеров приведем/(*) = д;3 при дго=0;/(х, у) = ху
при л:0=0, Уо = О. Точки, в которых обращаются в нуль псе первые
частные производные заданной функции, т.е. точки, в которых df=O,
называются стационарными точками этой функции.
Если переменные не независимы, но подчинены дополнительным усло-
условиям gj (х, у,...) =0. g2 (х, у, . .) = 0,.. .,gA{x,y,. ..)== О, то для полу-
получения необходимых условий экстремума или, иначе говоря, дая нахож-
§ 1 Постановка задачи вариационного исчисления 153
дения всех стационарных точек можно воспользоваться методом мно-
множителей Лоиранжа. Этот метод заключается в следующем правиле. Для
того, чюбы найти внутренние точки (л:0, у0,...) заданной области, в ко-
которых/(л:, у,...) достигает максимума или минимума или вообще имеет
стационарный характер, образуем с помощью h '-\-1 новых параметров
(„множителей"))^, \% , \н функций
и находим значения х0, З'о i • -. и отношения1, параметров )i0, llt...,lh из
уравнений:
= 0 0)
1)
число которых равняется числу неизвестных. Эти уравнения представляют
собой искомые условия стационарности функции f(x, у,...) или необхо-
необходимые условия экстремума этой функции при заданных дополнительных
условиях gx — О,..., gh = 0.
Если \q отлично от, нуля, то вследствие однородности функции /*'
относительно \, \,..., \ мы имеем право считать 10 равным единице.
Метод Лагранжа представляет собой не, что иное, как чрезвычайно изящ-
изящный приём, избавляющий нас от необходимости непосредственно исклю-
исключить из функции f(x, у,...) с помощью дополнительных условий h пере-
переменных и нарушить в процессе элиминирования симметрию формул.
Рассмотрим несколько типичных примеров, которые, несмотря на
свой элементарный характер, полезны для ориентировки" в вопросе.
а) Из веек треугольников, имеющих заданное основание и заданный
периметр, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник;
при заданной же площади и заданном основании равнобедренный тре-
треугольник имеет наименьший периметр.
Уже на примере этой простой задачи, которую можно решить без
всяких вычислений путем рассмотрения эллипса, фокусами которого
служат концы основания рассматриваемых треугольников, мы встречаемся
со своеобразным законом взаимности, общую формулировку которого
мы приведем в дальнейшем (§ 11, 2, стр. 243).
б) Закон преломления и отражения света. Так называемый прин-
принцип Ферма'о кратчайшем времени распространения света утверждает,
что световой луч распространяется от одной заданной точки до другой по
тому пути, для которого время распространения света является кратчай-
кратчайшим по сравнению' со всяким другим „возможным" путем, т. е. со всяким
воображаемым путем, удовлетворяющим заданным условиям. Отсюда не-
непосредственно вытекает прямолинейность распространения света в одно-
однородной среде. Если потребовать далее, чтобы световой луч дошел до
заданной кривой (зеркала) и, не пересекая ее, повернул ббратно, то из
условия обращения в нуль первой производной от времени распростране-
распространения света непосредственно вытекает, что оба прямолинейных отрезка,
образующих путь светового луча, пересекаются в точке кривой так, что
154 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
углы, составленные-ими с касательной к кривой, равны между собой (закон
отражения). Если же данная•кривая служит границей ме>кду двумя об-
областями с различными скоростями распространения света сг, с2 и если
световой луч должен перейти из одной области в другую, то он состоит
из двух прямолинейных отрезков, удовлетворяющих известному закону
преломления света: sinаг:sinct2 = q:c2, где агк а2 означают углы,
образуемые обоими отрезками с нормалью к кривой в точке пересечения
светового пути с кривой.
в) Задача Штейнера. Даны три точки Av А2, As, образующие
остроугольный треугольник. Требуется найти четвертую точку Р, для
которой сумма расстояний РАЛ -\-РА2 -\-РА3 имеет минимальное значе-
значение. Опишем из вершины А3 окружность радиусом РА3; тогда точка Р
должна находиться в той точк,е "этой окружности, для которой сумма
РА1-\-РА2 имеет минимальное значение; поэтому, согласно п. б., прямые
РАг и РА2 должны составлять равные углы с радиусом РА3. Повторяя
это рассуждение для вершин А2 и А%, мы получаем, что все три угла
АгРА2, А2РА3 и А3РАг Должны быть равны между собой и каждый из
них равняется, следовательно, -= , и задача таким образом решена.
о
г) Изопериметрическая задача для многоугольников. Среди всех не .
пересекающих самих себя многоугольников с заданным четным числом
сторон 2п и с заданным периметром 2/ требуется -найти многоугольник,
имеющий наибольшую плошадь. Докажем, что .искомым многоугольником
будет .Правильный 2я -угольник. Для этой цели убедимся сначала в том,
что наш искомый многоугольник П (Аг, А2, А3,...,А2п) должен быть
обязательно выпуклым. В самом деле, если искомый многоугольник не
выпуклый, то у него имеются две такие вершины, например, Аг А3,
для которых обе соединяющие их ломаные линии, образованные сторо-
сторонами многоугольника, расположены по одну сторону от прямой А1А3
(прямая АгА3 является, как говорят, опорной прямой многоугольника).
Но тогда, заменяя одну из этих ломаных линий, например АгА2А% ее
зеркальным отражением A1A2fAs относительно прямой АгА3, мы получим,
что новый многоугольник, образуемый ломаной линией А1А2'А3 и лома-
ломаной линией ASA4,... А2п, АЛ имеет тот же периметр, что и первоначаль-
первоначальный многоугольник, и ограничивает большую площадь, чем этот послед-
последний. Мы можем поэтому ограничиться рассмотрением выпуклых много-
многоугольников. Покажем теперь, что искомый многоугольник должен быть
равносторонним. В самом деле, если бы две смежные стороны АгА2,
A2AS не были бы равны между собой, то мы могли бы согласно п., а
заменить вершину А2 другой вершиной А'2 так, чтобы А1А'2 -f- A3A'2 =
= А1А2-{-А2А3 и чтобы площадь треугольника AjA'2A3 была больше пло-
площади треугольника АгА2А3, так что и площадь нового многоугольника
будет больше площади многоугольника II вопреки нашему допущению,
что II является максимальным многоугольником. Чтобы, наконец, показать,
что II может -быть вписан в окружность, разложим II на два многд-
угольникд II,, П2, имеющих одинаковые периметры, с помощью диагонали
d, соединяющей две противоположные вершины А1 и Ап+1; многоуголь-
многоугольники IIj и П2 имеют равные площади, ибо если бы площадь Пх была
§ 1 Постановка задачи вариационного исчисления 155
больше площади 112, то мы могли бы заменить И2 зеркальным отраже-
отражением П j многоугольника На относительно диагонали d и получили бы
многоугольник П.— IIj -j- IIj периметра 21, но большей площади, чем II.
Покажем теперь, что для всякой вершины Ah угол A1AhAn+1 является пря-
прямым. Действительно, если бы один из этих углов для какой-нибудь вершины
Ah не был прямым, то, мы разбили бы IIj на треугольник A1AhAn+1
и два многоугольника Н1г Н2, прилегающих к сторонам А1А/г и An+1Ah,
и рассмотрели бы прямоугольный треугольник /4|ЛА/1'+1, катеты которого
A'1Ah и A'n + 1Ah соответственно равны сторонам Аг Ah и An+1Ah. Построив
на катетах A[Ah и A'jj+-lAh многоугольники H'v H'2, соответственно рав-
равные многоугольникам Н.,Н2, мы получим многоугольник П*. Отражая зер-
зеркально II* относительно прямой А'хА'п+1 и соединяя многоугольник II*,
и его зеркальное отражение в одил замкнутый многоугольник II*, мы убе-
убедимся что П*, имея тот же периметр, что и D, ограничивает большую
площадь, чем этот последний. В самом деле, прямоугольный треугольник
A'AhA'v+1 имеет большую площадь, чем непрямоугольный треугольник
A1AhAn+v тогда как многоугольники Н'г ¦ и Щ соответственно равны
многоугольникам Нг и//2. Таким образом интересующее нас экстремальное
свойство правильного многоугольника доказано *). Совершенно тот же
ответ мы получим и для обратной задачи: найти многоугольник, имею-
имеющий заданную площадь и наименьший периметр.
Изложенный здесь метод решения, в основе которого лежит класси-
классический принцип, принадлежащий Штейнеру, показывает, что в конкрет-
конкретных случаях наглядный геометрический метод может быстрее и убедитель-
убедительнее привести к цели, чем применение общего аналитического процесса,
е) Другие примеры. Наибольшее значение минимума. Другие типич-
типичные примеры, в которых речь идет »уже не о чистом максимуме или
минимуме, нам уже многократно встречались раньше. Укажем, например,
на определение собственных значений квадратичной формы как наиболь-
наибольших значений некоторых минимумов или на полиномы Чебышева (стр. 81).
2. Функционалы. Как и элементарная теория maxima*и minima, ва-
вариационное исчисление также занимается проблемами нахождения экстре-
экстремумов или соответственно стационарных значений. Но основным отли-
отличием является то, что здесь речь идет уже не об экстремумах функций
от конечного числа независимых переменных, а об экстремумах так на-
называемых функционалов2). Под функционалом подразумевают величину
*) Подчеркнем еще раз, что существование экстремума установлено заранее
на основании теоремы Веиерштрасса. В самом деле, если поместить одну вершину
многоугольника в начале координат, то, так как периметр многоугольника имеет
заданную конечную величину, все другие вершины должны лежать внутри огра-
ограниченной замкнутой области, т. е. координаты вершин многоугольника имеют
ограниченную область изменения; площадь же многоугольника является непре-
непрерывной функцией координат его вершин, так что все условия теоремы Веиер-
Веиерштрасса выполнены.
2) Автор употребляет термин „Funktionenfunktion", дословно: „функция от
функций" Так как в русской терминологии этот термин имеет другой смысл
мы пользуемся термином „функционал" от французского „fonctionnelle". Во фран!
цузской литературе пользуются также термином „lonction de ligne" (функция ли.
ним). Прим. перев.
156 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
или функцию, которая зависит не от известного числа независимых пе-
переменных, изменяющихся в некоторых пределах, но зависит от всего
хода изменения одной или нескольких функций, играющих здесь
роль аргументов. Функции, от которых зависит функционал, являются
в известной степени совершенно произвольными. -Простейшим примером
такого функционала является длина L дуги кривой у=у(х) между зна-
значениями х — х0 и х —л^; эта длина задается интегралом:
L= \y 1-4-/2dx.
xl
Величина L зависит от всего хода функции У(х), которую мы назовем
„функциональным аргументом" функционала L. В качестве функцио-
функционального аргумента мы можем в этом случае выбрать произвольную не-
непрерывную функцию у(х) с кусочно непрерывной производной. Такие
функционалы встречаются всюду в анализе и его приложениях, и мно-
многие важнейшие проблемы анализа в той или иной мере относятся к по-
подобным зависимостям между функционалами и их функциональными
аргументами.
Другим примером функционала является площадь части поверхности
z — z\x, у), имеющей своей проекцией область G плоскости х, у. Эта
часть поверхности имеет величину, равную интегралу:
\-\-zx-\-zydxdy,
и представляет собой функционал, имеющий своим функциональным
аргрментом функцию z(x, у). С другими примерами функционалов мы
уже познакомились в предыдущих главах. Так, функция
является при постоянном ядре К(х, у) функционалом, зависящим от
функционального аргумента h(x); точно так же интегральная форма
K(x,y),w(x)w(y)dxdy
является функционалом от функции ср (х).
В настоящей главе мы будем заниматься, главным образом, такими
функционалами, которые задаются в виде интегралов, взятых от задан-
заданных выражений, содержащих функциональный аргумент, его производные
и независимые переменные, как, например, приведенное выше выражение
длины дуги кривой.
Подобно тому как для функций от конечного числа переменных
должна быть задана область изменения этих переменных, так и для функ-
функционалов должен быть указан класс допустимых функциональных аргу-
аргументов. Так, например, мы можем определить этот класс допустимых функ-
§ I Постановка задачи вариационного исчисления 157
ций требованием непрерывности самого функционального аргумента и ку-
кусочной непрерывности его первой производной (см. следующий пункт).
Если и нельзя рассматривать функционал как функцию от конечного
числа переменных, то мы можем, однако, смотреть на него как на
функцию от бесконечного множества переменных.
Если представить себе, например, что функциональный аргумент
разложен в степенной ряд или ряд Фурье, то в качестве такого бесконечного
множества переменных мы можем рассматривать коэфициенты'этих рядов.
Область изменения этих независимых переменных должна быть подчинена
соответственным ограничениям, вытекающим из ограничений, наложен-
наложенных на класс допустимых функций.
3. Типичные примеры задач вариационного исчи-
исчисления. В вариационном исчислении речь идет об отыскании макси-
максимальных, минимальных или же вообще стационарных значений2) за-
заданного функционала путем определения тех функциональных аргу-
аргументов, для которых рассматриваемый- функционал принимает экстре-
экстремальное или стационарное значение. Аналогично обыкновенной за-
задаче максимума и минимума, рассматриваемой в диференциальном
.исчислении, мы находим сперва не абсолютный экстремум, а лишь
относительный экстремум, т. е. экстремум относительно известной
окрестности экстремального функционального аргумента (т. е. того
функционального аргумента, для которого функционал принимает экстре-
экстремальное значение). Мы определяем при этом понятие окрестности функ-
функции f(x, у,.. .') следующим образом: функция /, (х, у,...) принадлежит
(А)-окрестности функции f(x, у,...), если |/—/i|<C^ внутри рассмат-
рассматриваемой области изменения переменных х, у,... 2). Мы можем теперь
следующим образом формулировать основную задачу вариационного
исчисления: внутри определенного класса допустимых функциональных
аргументов требуется найти ту функцию, которая является экстремаль-
экстремальной для рассматриваемого функционала, т. е. для которой этот функ-
функционал принимает экстремальное значение сравнительно со всеми до-
допустимыми функциональными аргументами, принадлежащими достаточно
малой (А)-окрестности экстремальной функции. Функциональный аргумент
может быть при этом либо совершенно произвольным и ничем не огра-
ограниченным (кроме условий допустимости), либо функциональный аргумент
может быть подчинен еще добавочным ограничительным условиям.
Если требует, я найти экстремум такого функционала, который кроме
функциональных аргументов содержит еще переменные параметры х,у,...,
г) Точное определение понятия стационарного значения функционала будет
нами дано позже /см. § 3, п. 1)
2) Для некоторых исследований целесообразно дать более тонкое определение
понятия окрестности функции. Мы говорим, что функция fi(x,y,...) содержится
в (Л)-окрестности первого порядка функции /(х, у,...), если .кроме условия
|/—fi\ < h выполняются еще условия:
\fx—fix \<h, \fy ~fly |< Л и т. д.
Вообще (Л)-окрестностью и-го порядка функции fix,у,...) называется мно-
множество тех функций /j (х. у,.-..), для которых эти неравенства имеют место не
только для самой функции, но и для всех частных производных до п-го порядка
включительно.
158 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
т. е. если рассматриваемый функционал сам является не числом, а
функцией от этих параметров, то эти параметры также должны быть
определены из условий экстремальности. Мы поясним эту постановку
задачи на ряде примеров:
а) Геодезические линии. На данной поверхности требуется найТи крат-
кратчайший из всех лежащих на этой поверхности путей, соединяющих
данные две точки. Если поверхность задана в параметрическом виде
Х = х(и, v), y=y(u,v), z = z(u,v),
где х, у, z — прямоугольные координаты, и если положить, как обычно
Е = х1 +yl + z2u; F=xaxv-\-yuyv-\-zuzb; G = x% -f y% + 4.
то длина дуги кривой, лежащей на поверхности и заданной уравнением
v = v(u),
между значениями и0, иг задается интегралом:
Речь иде?, следовательно, о нахождении экстремума интеграла
I l/?-t-,2/V-t-Gz<'2 du.
б) Световой луч, брахистохрона. Согласно формулированному выше
принципу Ферма (стр. 153) путь светового луча в неоднородной дву-
двумерной среде 'со скоростью света ш (х, у) характеризуется вариационной
задачей:
f/ 1 4-У2
Т=±= \ -— •; dx~ mm.
В этой, как и в предыдущей задаче, искомый путь сравнивается
с другими путями, имеющими непрерывно изменяющуюся кривизну и
соединяющими заданные неподвижные конечные точки. Совершенно
аналогично' этой задаче формулируется задача брахистохроны, которая
в 1696 г. привела Якова Бернулли к созданию вариационного исчис-
исчисления.
Требуется соединить две данные точки А(х0,0) и В^х^у-^) такой кри-
кривой, чтобы тяжелая материальная точка, падающая по этой кривой без
трения, пришла из А в В в кратчайшее время. Пусть ось OY направлена
вертикально вниз, а начальная скорость падающей точки равна нулю.
§ 1 Постановка задачи вариационного исчисления 159
При. падении с -высоты у скорость падающей точки равна, как известно,
Y^igy, где g означает ускорение силы тяжести. Поэтому время падения
выражается интегралом:
который, следовательно, должен иметь минимум для искомой кривой.
Допустимыми функциями сравнения являются здесь все положительные
непрерывные функции у (х), имеющие непрерывные производные первого
и второго порядка и для которых у(х0) = 0, у(х,)—Jj.
в) Минимальная поверхность вращения. Пусть линия у=у(х), ле-
лежащая в верхней полуплоскости, вращается вокруг оси х. Часть полу-
получающейся поверхности вращения, ограниченная плоскостями х — х0 и
х = хг, имеет площадь
р
Линия у=у(х), дающая минимальную поверхность вращения, харак-
характеризуется вариационной задачей:
¦ч
I
: = шш.
г) Изопериметрическая задача. В своей первоначальной геоме-
геометрической форме эта задача сформулируется так: найти замкнутую
кривую, имеюшую данную длину и ограничивающую наибольшую пло-
площадь. Предполагая искомую кривую выпуклой и допустив, что ось х
делит как самую кривую, так и ограниченную ею площадь (см. п. 1, г)
на две равные части, мы приходим к следующей задаче:
Требуется найти максимальное значение интеграла:
\y(x)dx
путем соответственного выбора функциональльного аргумента у (х) и
параметра Е при добавочном условии*; чтобы интеграл
имел заранее заданную величину /; в качестве функции сравнения у (х)
мы можем здесь взять любую функцию, которая в промежутке 0 sS х ^ ?
160 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную и, кроме того,
удовлетворяет дополнительному условию:
1
Совершенно аналогичная задача получается, если считать верхний
предел ? постоянным.
Эта задача, называемая обычно специальной изопериметрической
задачей, может быть сведена к обыкновенной вариационной задаче
путем введения в качестве независимой переменной длины дуги
которая по условию, может изменяться в промежутке 0 =sS s ^ /. Так
как ds2 = dx2-\-dy2, то наша задача сводится тогда к нахождению
максимума интеграла:
i
где y(s) есть произвольная непрерывная функция от s, имеющая кусочно-
непрерывную производную. Найдя y(s), мы определим затем
C)
и получим нашу искомую кривую в параметрическом виде (см. решение
Гурвица изопериметрической задачи, глава II, § 10, п. \):
Вообще же изопериметрическими задачами называются все те за-
задачи, в которых требуется найти экстремум одного интеграла при до-
добавочном условии, чтобы некоторый другой интеграл имел заранее
заданную величину. В качестве примера приведем задачу о цепной
линии: требуется определить положение равновесия однородной тяжелой
нити данной длины с закрепленными концами, находящейся под дей-
действием силы тяжести, направленной по отрицательной, оси у. Так как
положение равновесия характеризуется тем, что. центр тяжести зани-
занимает низшее положение, то мы приходим к следующей вариационной
задаче: найти такую функцию у(х), для которой интеграл
I
§ 1 Постановка задачи вариационного исчисления 161
имеет минимум, тогда как интеграл
ч
имеет данное значение, причем также заданы граничные значения функ-
функции у(хо)=уо, у(х1) = у1.
Приведем еще в качестве примера задачу:
Хо
при добавочном условии:
X,
причем функция у(х) должна обращаться в нуль на концах интервала
и всюду оставаться непрерывной вместе со своими производными пер-
первого и второго порядка.
Или такой пример (см. стр.,166): требуется найти такую функцию и
от двух переменных х, у, которая удовлетворяет условию:
и2 dxdy= 1
и для которой выражение
( \ ("/ +¦ иу) ахаУ + f au4s D)
G Г
имеет минимальное значение (Г означает здесь границу области G, а о —
заданную функцию от длины дуги s линии Г). При этом предполага-
предполагается, что функция и внутри области G непрерывна и имеет непрерывные
частные производные первого порядка. Точно так же и задача мини-
минимума, рассмотренная в предыдущей главе, с помощью которой мы опре-
определили собственные функции симметрического ядра, является такой же
из о периметрической проблемой.
Во всех перечисленных задачах класс допустимых функций срав-
сравнения должен, разумеется, каждый раз быть определен так, чтобы рас-
рассматриваемые функционалы имели смысл.
4. Характерные трудности вариационного исчисле-
исчисления. Тогда как в обыкновенной теории maxima и minima существо-
существование решения раз навсегда гарантировано фундаментальной теоремой
Вейерштрасса,, в вариационном исчислении мы наталкиваемся на следу-
следующую специфическую трудность: может случиться, что задача, форму-
формулировка которой не содержит в себе никаких внутренних противоречий,
тем не менее не разрешима, так как класс допустимых функций опре-
определен так, что его нельзя рассматривать как замкнутое множество,
И Курачт Гильберт.
162 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
в котором имеет место принцип предельных точек Вейерштрасса. При-
Приведем следующий простой геометрический пример: требуется соединить
две данные точки оси л: кратчайшей линией, имеющей непрерывно из-
изменяющуюся кривизну и направленной в конечных точках перпендику-
перпендикулярно к оси х. Эта проблема не имеет решения, ибо длина всякой
такой линии всегда больше длины прямого пути между данными точками
и может быть сделана как угодно .мало отличной от этой последней. Хотя
здесь и существует нижняя грань рассматриваемого функционала, но
эта нижняя грань не является минимумом, достигаемым для какой-нибудь
допустимой кривой.
В качестве другого примера, неразрешимой вариационной проблемы
приведем следующую задачу: требуется найти минимум интеграла
1
[Xy*dx, E)
—1
в котором у{х) означает непрерывную и имеющую кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывную производную функцию, для которой
Нетрудно убедиться, что можно выбрать такую допустимую функцию
у (х), для которбй наш интеграл становится сколь угодно мал (например,
X
полагая .у = — 1 при дг<<—?, у=1 при x^>s и у = — при |jc|sge),
тогда как ни для какой допустимой функции данный интеграл не обра-
обращается в нуль.
Мы видим таким образом, что в вариационном исчислении сущест-
существование решения данной проблемы экстремума требует каждый раз
особого доказательства. В этом заключается существенная трудность
для многих вопросов, связанных с вариационным исчислением, как мы
в этом убедимся впоследствии. Однако в настоящей главе речь будет
итти главным образом о выводе только необходимых условий экстре-
экстремума, причем останется открытым вопрос, действительно ли имеется
экстремум при выполнении этих условий.
Прежде, чем перейти к выводу этих необходимых условий в форме
диференциальных уравнений, мы приведем в ближайших параграфах неко-
некоторые соображения относительно приемов, с помощью которых можно в из-
известных случаях получить решение вариационной проблемы прямым путем.
§ 2. Прямые методы1).
1. Изопериметрическая задача. В качестве примера рас-
рассмотрим изопериметрическую задачу (см. § 1, п. 3, г). Требуется
найти замкнутую кривую К, имеющую длину 2/ и ограничивающую
максимальную площадь, причем эта кривая должна быть кусочно-глад-
кусочно-гладкой т. е. должна иметь всюду, за исключением конечного числа угло-
*) Подробно прямые методы вариационного исчисления будут нами рассмот-
рассмотрены во втором томе.
§ 2 Прямые методы 163
вых точек, непрерывно изменяющуюся касательную. Докажем, что иско-
искомая кривая К представляет собой окружность. В самом ' деле, во-
первых, совершенно таким же путем, как и в § 1, п. 1, г., мы получаем,
что К является выпуклой линией и что всякая хорда АВ, делящая К
на две дуги равной длины, делит также и площадь, ограниченную К,
на две равновеликие части; во-вторых, для всякой точки Р кривой К
угол АРВ должен быть прямым, ибо в противном случае можно было бы
с помощью построения, приведенного в § 1, п. 1, г, тюлучить кри-
кривую К', имеющую ту же длину, но ограничивающую большую пло-
площадь. Но это рассуждение основано на требующем доказательства до-
допущении, что задача вообще имеет решение. Мы выберем поэтому
другой путь решения нашей задачи, который нам даст вместе с тем и
требуемое доказательство существования решения. Рассмотрим множе-
множество численных значений всех площадей, ограничиваемых допустимыми
кривыми. Эти числа не могут превосходить грани /%, ибо всякая до-
пустимая кривая лежит внутри круга радиуса/. Поэтому рассматриваемое
множество чисел имеет верхнюю грань М такую, что ни одно из чисел
множества не превосходит М, тогда как для любого е в рассматриваемом
числовом множестве иайдется число, превосходящее М — е. Другими
словами, существует максимальная последовательность допустимых кри-
кривых Кг, К2, К3,... таких, что площадь Fn, ограниченная линией Кп,
стремится к пределу М. Но каждую линию Кп мы можем аппроксимиро-
аппроксимировать с помощью многоугольника 7ТП с достаточно большим1 числом сто-
сторон, площадь и периметр которого сколь угодно мало отличаются от
площади и длины линии Кп. Мы можем далее" немного деформировать
многоугольник тгп, не нарушая его аппроксимирующего характера, так,
чтобы его периметр в точности равнялся 21, и максимальная последова-
последовательность Кг, К2, К3,... может быть поэтому заменена максимальной
последовательностью допустимых в нашей задаче многоугольников тт./,
7Т2Г, тт3',...; число сторон каждого из этих многоугольников мы можем
считать четным, так как Bт—1 )-угольник может быть рассматриваем как
2/я-угольник, две смежные стороны которого образуют угол в 180°. .Но
мы знаем из § 1, п. 1, г, что из всех 2/м-угольников периметра 21 наи-
наибольшую площадь имеет правильный многоугольник. Поэтому мы тем
более получим максимальную последовательность нашей проблемы, если
заменим каждый многоугольник ттп соответствующим правильным много-
многоугольником. Но при возрастании числа сторон эти правильные много-
многоугольники имеют своим пределом окружность длины 21, а так как пло-
площади многоугольников стремятся к пределу М, то этот круг имеет
площадь М и служит поэтому решением нашей задачи.
2. Метод Ритца (Ritz). Минимальные последователь-
последовательно с т и. Рассуждения в предыдущем примере основаны на принципе
общего характера. Рассмотрим какую-нибудь вариационную проблему
вида D [ср] = minimum, где D [ср] означает интеграл от некоторого за-
заданного выражения, составленного из функции <р и ее производных
до h-то порядка включительно, задавая при этом как область инте-
интегрирования, так и класс допустимых функций сравнения (р. При этом
является безразличным, идет ли речь о простом или кратном интеграле
и содержатся ли в подинтегральном выражении только производные пер-
11*
164 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
вого порядка или же в него входят также производные высших поряд-
порядков. Мы предполагаем, что множество значений интеграла D [ср] для
всех допустимых фу-нкций tp имеет некоторую нижнюю грань d (вопрос,
достигается ли эта грань для некоторой допустимой функции ср, остается
пока открытым); тогда существуют последовательности ср.,, ср2, ср3>-..
такие, что
lim ?>[<?„]=<*,
и-» 00
тогда как для любой допустимой функции tp интеграл D [ср] 5= d. Такие
последовательности функций мы называем минимальными последова-
последовательностями. Прямой метод решения вариационной проблемы заклю-
заключается в том, что непосредственно дается способ построения мини-
минимальных последовательностей и из них пытаются получить искомое
решение путем перехода к пределу.
На этом принципе основан метод В. Ритца1), примененный им с боль-
большим успехом для получения численного значения минимума. Метод
Ритца заключается в следующем: найдем полную систему функций <i)j, оJ,
0K,..., определенных в области интегрирования, обладающую тем свой-
свойством2), что все линейные комбинации ф„=гс1@1-)-с2@г -{- .. .-\-сп<йп
любого конечного числа функций <at являются допустимыми функциями
и что для всякой допустимой функции ср можно подобрать такую ли-
линейную комбинацию сря, составленную из функций <at, чтобы интеграл
D[cpJ сколь угодно мало отличался от интеграла D[cp]. Тогда суще-
существуют минимальные последовательности срх, ср2,... ,срп,..., в которых ср„
является линейной комбинацией:
функций (ov 0J,... <оп.
Мы тем более получим минимальную последовательность, если мы
для каждого п определим функцию срп, т. е. постоянные
так, чтобы интеграл Z)[cpJ=dn имел минимальное значение. Это требо-
требование представляет собой, очевидно, обыкновенную задачу нахождения
минимума выражения D [cpj, рассматриваемого как функция от конечного
числа параметров сг, с2,..., сп. Эта задача всегда имеет решение на осно-
основании теоремы Вейерштрасса, если предположить, что D [tpj является непре-
непрерывной функцией от Cj, с2,... сп. Дли определения значений ct мы, вообще
dDfcp 1
говоря,^ получаем п уравнений—^у = 0 (/=1, 2,..., л). Естественно
дс{
ожидать, что полученная этим путем минимальная последовательность схо-
сходится к искомому решению. К сожалению, однако,^ дело здесь обстоит
не так просто, как мы в этом убедимся в п. 4. 'Мы можем поэтому
в общем случае сказать только одно: полученные значения D [<pJ = dn
J) W. Ritz, Ober eine neue Methode zur LOsung gewisser Variationsprobleme der
mattiematischen Physik, J. f. reine u. angew. Math., т. 135, стр. 1—61, 1909. Собра-
Собрание сочинений, стр. 192—250, Париж 1911.
2) Вопрос о существовании таких функций будет исследован во втором томе.
§ 2 Прямые методы 165
сходятся к искомой нижней границе или минимуму. Сходится ли сама
минимальная последовательность к искомому решению, это должно быть
предметом особого исследования. К этому вопросу мы будем в дальней-
дальнейшем часто возвращаться по различным поводам.
Однако пригодность этого процесса для получения численного зна-
значения d остается в силе даже в тех случаях, когда сходимость процесса
не доказана. Успех этого метода в каждом отдельном случае зависит
ог того, насколько удачно выбрана система координатных функций <ззр
при выборе которой мы должны приноравливаться к каждой индивидуаль-
индивидуальной проблеме в отдельности. В качестве первого пояснения к этому про-
процессу предлагаем читателю рассмотреть примеры п. 3.
3.Дальнейшие прямые методы. Метод конечных при-
приращений. Бесконечное число независимых переменных.
Во многих случаях можно получить минимальные последовательности дру-
другим путем, расширяя при этом класс допустимых функций, рассматривая,
например, вместо непрерывно диференцируемых функций непрерывные
функции сравнения, имеющие кусочно-непрерывные производные. Огра-
Ограничимся задачей нахождения минимума интеграла вида:
Xo
Если функции:
y = fi (x), У = ^2 (х)' • • •
образуют минимальную последовательность, то, сделав относительно
F (х, у, У) обычные предположения непрерывности, мы можем кривую,
изображаемую функцией у = уп(х), заменить ломаной линией у =рп(х)
так, чтобы интеграл D [рп] сколь угодно мало отличался от интеграла
?)[сря]. Мы можем поэтому образовать минимальные последовательности,
составленные из кусочно-линейных функций, и тогда в каждом частич-
частичном интервале отпадает разница между производной и отношением ко-
конечных приращений. Тогда, разделив промежуток интегрирования на
m —J— 1 равных интервалов длины Дл: с помощью т промежуточных
точек хЛУ х,2,..., хт и ограничиваясь функциями, линейными в каждом
из этих интервалов, мы можем снова свести вариационную проблему
к обыкновенной проблеме^ минимума
i=m
1=1 \
решая которую мы найдем значения ул, у2,..., уп функции у в точках
деления. Образовав получаемые таким путем функции для т= 1, 2, 3,...,
мы снова получим минимальную последовательность1).
J) Изложенный здесь ' метод по существу совпадает с тем методом, с по-
помощью которого Эйлер первоначально вывел диференциальные уравнения вариа-
вариационного исчисления в своей работе; „Methodius inveniendi lineas curvas maximi
minimive proprietate gaudentes" (Лозанна 1744).
166 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
Читатель может легко убедиться, что этот процесс решения вариа-
вариационной проблемы можно получить как частный случай из общего про-
процесса Ритца, вводя в качестве координатных функций подходящие ку-
кусочно-линейные функции.
Во втором томе мы выясним, когда полученная таким путем мини-
минимальная последовательность действительно сходится к искомому решению
проблемы минимума.
В том случае, когда подинтегральное выражение содержит производ-
производные высших порядков, например производную второго порядка, можно
поступать совершенно аналогичным образом. В этом случае мы в аппро-
аппроксимирующей проблеме заменяем вторую производную отношением ко-
конечных приращений второго порядка, т. е. выражением:
Можно также рассматривать наши вариационные проблемы и с точки
зрения теории функций, от бесконечно многих переменных. В качестве
примера мы можем указать на приведенное в главе II (стр.* 90 и след.)
решение Гурвица изопериметрической задачи, где независимыми пере-
переменными являются коэфициенты Фурье и где решение задачи непо-
непосредственно вытекает из полученного там аналитического выражения
для а2 — 4тт/\
Процесс Ритца можно также рассматривать и с этой точки зрения,
разлагая искомую функцию в бесконечный ряд:
и рассматривая этот процесс как метод последовательного определения
коэфициентов сг, с2,..., са,..., причем, конечно, необходимо провести все
"относящиеся сюда исследования сходимости.
Поясним эти общие рассуждения на отдельных примерах:
а) (см, стр. 161). Требуется найти минимум интеграла
ЭДР* Р> F)
R
взятого по прямоугольнику /?:
налагая при этом на функции сравнения <р следующие ограничения: функ-
функция <р, во-первых, должна быть непрерывной и кусочно-гладкой1) внутри
прямоугольника /?, во-вторых, <р должна обращаться в нуль на границе
этого прямоугольника, и, наконец, функция <р должна удовлетворять
дополнительному условию:
//(<p)=fU»d*rfy=l. G)
я
*) См. определение кусочро-гдедарй функции в начал? щ. И,
§ 2 Прямые методы 167
Представим себе функцию <р разложенной в ряд Фурье:
со
?= 2
т, и=1
что согласно гл. II, несомненно, возможно в виду наложенных ограни-
ограничений на функцию <р; тогда речь идет об определении бесконечного
множества параметров стп с помощью требуемого условия минимума.
Так как функции ух и уу кусочно-непрерывны, то для этих функций,
. тг тт
имеющих коэфициенты Фурье — т стп, — п стп, выполняются условия
полноты системы тригонометрических функций, и мы получаем для обоих
интегралов следующие выражения:
со / я \ °°
D=n2^m?=,c4^2+*7' H=:*JkxCm" (8)
содержащие бесконечное множество параметров стп. Из условия Н== 1
непосредственно следует, что решение нашей проблемы получается, если
все cmn = 0 за исключением коэфициента сц = |/ -—. Таким образом
решение нашей вариационной проблемы дается функцией:
2 . ттл: . тгу
и = sm — sin — .
Минимальное значение D[f] равно:
Отсюда непосредственно следует, что всякая кусочио-гладкая фун-
функция'чр, обращающаяся в нуль на границе прямоугольника ^.удовлетво-
^.удовлетворяет неравенству:
ибо это неравенство эквивалентно неравенству D [ф] ^ rf для нормиро-
нормированной функции
б) Проблема Дирихле1) для круга. Требуется иайти минимум инте-
интеграла:
я
О Присвоение рассматриваемой проблеме имени Дирихле стало об|цеприюь
тым со времен Римана, хотя совершенно не сортретствует исторической' действи-
действительности.
168 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
распространенного по кругу К^х2-\-у2^ 1 плоскости х, у, принимая за
функции сравнения все функции, гладкие внутри К и принимающие на
границе заданные граничные значения. Переходя к полярным координатам
г, Ь, мы получаем для D [ср] выражение:
2г. 1
о о
пусть заданные граничные значения определены с помощью ряда Фурье:
со
/ (8) = -J? -J- jT (дп Cos nQ -j- bn sin пЪ),
1 и=1
и пусть эта граничная функция имеет гладкую производную, откуда сле-
следует, согласно гл. II, § 5, п. 3, ограниченность множества значений
Представим с,ебе функцию ср разложенной в ряд:
<Р = у/о (г) + S Ifn (г) cos "8 + ё„ @ si" «9],
гдекоэфициенты/п(г)и^и(л) должны удовлетворять условиям /п(\) = ап,
^¦ПA) = 6П. Мы можем тогда на основании условия полноты системы
тригонометрических функдий получить для D[y] следующее выражение:
1 со *
со
Отсюда следует, что для того, чтобы решить первоначальную проблему
минимума, мы должны решить в отдельности весь ряд проблем минимума:
J
\ [/
"о
И'
= mm(n=,O, 1,2, 3,...),
причем fn и gn должны быть гладкими функциями, принимающими при
г—1 заданные значения ап и Ьп. На основании теоремы Вейерштрасса
об аппроксимировании непрерывных функций последовательность функ-
функций 1, г, г2,... удовлетворяет для всех этих проблем минимума условиям,
требующимся при процессе Ритца, Мы можем поэтому -заменить
§ 2 Прямые методы 169
функции/„ или gn многочленами сп0 -J- сп1 г -|-... -j- спт г с дополни-
дополнительным условием сп0-\-сп1-}-. ..-f-cnm = an или Ьп. 'Решением соот-
соответствующей обыкновенной' задачи minirnum'a служит, как читатель мо-
может в этом легко убедиться, функция fn — anrn или gn = bnrn для вся-
всякого т^п. Так как эти решения не зависят от т, то получается
минимальная последовательность, все члены которой равны между собой,
откуда непосредственно следует, что эти функции служат решением каж-
каждой из рассматриваемых вариационных проблем минимума.
Вместо применения процесса Ритца можно непосредственно получить
решения /п или gn наших вариационных проблем, поступая 'следующим
образом. При и = 0 мы должны найти минимум
1
f(r)rdr,
что, очевидно, будет достигнуто, если положить /0' = 0, f0 = const = aQ.
При я>0, мы должны, во-первых, иметь fn@) — gn@) = 0, ибо в про-
противном случае вторая часть интеграла обратилась бы в бесконечность,
так как /п диференцируема и может быть представлена в виде:
где hn (r) — непрерывная функция. Представим теперь наш первый
интеграл в форме:
1 1 i^
j (f:-~fnj^r^2n \f'nfndr=j ^-lfyrdr+ я/я»A),
О 0 0
где fn(\) = an является заданной заранее величиной. Отсюда непосредст-
непосредственно следует, что данный интеграл имеет своим минимумом
и мы достигнем этого минимума, если положим /ч /в= 0> откуда сле-
следует, что /п = спга, а в силу условия fn(\) = an мы получаем:
Точно также мы получим, что gn(r) — bnrn.
Итак, решением нашей первоначальной проблемы минимума служит
функция
со
* (Л в) = тг + ? "" К cos л» -f- bn sin «8), A0)
а минимальное значение интеграла равно:
со
170 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
Необходимо при этом подчеркнуть тот факт, что решенная нами
проблема минимума может потерять смысл, если сделать более общие
предположения относительно граничной функции, например ограничиться
требованием непрерывности.
Возьмем, например в качестве граничной функции непрерывную
функцию p(fl), определенную с помощью следующего равномерно
сходящегося ряда:
1
р (в) = <рA,&)=:?^ cos («!&),
тогда сумма
со со
m=I n=l"
обращается в бесконечность; нетрудно доказать, что в этом случае вообще
не существует допустимых функций сравнения <р, для которых интеграл
D [<р] имеет конечное значение.
в) Пусть в прямоугольнике RiO^x^a, O^y^b задана гладкая
функция g(x, у). Найдем функцию <р, непрерывную вместе со своими
производными первого порядка внутри прямоугольника R и обращаю-
обращающуюся в нуль на границе, для которой интеграл
f f
R
(ll)
достигает минимума.
Положим, что внутри /?
со
g(x,y)= ? ,
т, я=1
И
СО
т, л=1
где стп являются подлежащими определению параметрами. Тогда в силу
условия полноты системы тригонометрических функций данная вариаци-
вариационная проблема сводится к отысканию тех значений параметров стп, при
которых выражение:
. со , „ „. со
/ V /т j^ \ 2 V
име^т минимальное значение.
§ 2 Прямые методы 171
Отсюда непосредственно видно, что минимум получается при
- mn
i °°
а„„ 1 v^ а„„ _,.. ттлг
Что функция м(дг, >) 'действительно удовлетворяет всем сделанным
допущениям, следует из того, что как подученный ряд, так и ряды, по-
получающиеся из него путем почленного диференцирования, равномерно
сходятся, имея в качестве мажорант абсолютно сходящиеся ряды:
+-* nit
4'
Мы увидим позже (стр. 182), что функция и(х, у) удовлетворяет
диференциальному уравнению:
Функция и (х,у) примера а) удовлетворяет диференциальному уравнению
а функция и{г, Ь) примера б) удовлетворяет диференциальному уравнению:
4. Соображения общего характера относительно
прямых методов вариационного исчисления. Главная
трудность, на которую мы наталкиваемся как при проведении, так и при
строгом обосновании прямых методов вариационного исчисления, заклю-
заключается в том, что минимальные последовательности проблемы могут
ие сходиться к некоторой предельной функции даже в тех случаях,
когда существование решения является несомненным. Поэтому нельзя счи-
считать, что рассмотрение минимальных последовательностей, действительно,
может во всех случаях непосредственно привести к решению задачи.
В качестве простого примера- рассмотрим задачу нахождения .мини-
.минимальных поверхностей, в которой требуется найти минимум интеграла
и в которой в качестве допустимых поверхностей сравнения рассматри-
рассматриваются все квадрируемые поверхности (т. е. поверхности с конечной
Ллощадью), проходящие через заданную пространственную кривую, име-
имеющую своей проекцией границу области G.
Возьмем в частности в качестве такой пространственной кривой
кривую, лежащую в плоскости х, у, например окружность с площадью,
равной единице. Тогда, очевидно, минимум достигается с помощью
функции г = 0, т, е, с помощью самой, плоскости xt у. Минимальной
172 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
последовательностью будет при этом всякая последовательность поверх-
поверхностей, проходящих через данную окружность и площади которых стре-
стремятся к единице. Но мы можем легко построить такие допустимые по-
поверхности сравнения, площадь которых сколь-угодно мало отличается от
единицы и на которых z(x, у) в отдельных точках отличается от нуля
на сколь угодно большую величину. Представим себе для этого прямой
конус сколь угодно большой высоты, но радиус основания которого
настолько мал, что боковая поверхность конуса меньше любой сколь
угодно малой величины. Пусть основание этого конуса лежит на плос-
плоскости ху внутри заданной окружности. Возьмем в качестве. поверхности
сравнения поверхность, состоящую из этого конуса и остальной части
заданного круга. Минимальная- последовательность, состоящая из таких
поверхностей, не сходится, очевидно, к поверхности, служащей решением
данной задачи. Можно даже, как в этом легко убедиться, построить
такие минимальные последовательности, для которых точки расходимости
лежали бы всюду плотно внутри данного круга.
Другой пример дает задача Дирихле нахождения минимума интеграла
l,)dxdy.
если в качестве функций сравнения допустить все функции, непрерывные
и кусочно-гладкие внутри G и обращающиеся в'нуль на границе. Очевидно,
<р = 0 является единственным однозначно определенным решением задачи,
так как для всякой другой допустимой функции данный интеграл имеет по-
положительное значение, тогда как при (р = 0 интеграл D [ср] равен нулю.
Введя полярные координаты л-, & с началом координат в произвольной
внутренней точке Робласти G, мы получим для нашего интеграла выражение:
Опишем из точки Р круг радиуса а, целиком лежащий внутри обла-
области G, радиус которого меньше единицы. Положим <р = О вне этого круга и
1 , г
м = log —
Y log а ъ а
внутри кольца между окружностями г—а и г—аг и, наконец,
w = log а = 1
т log а ъ
внутри круга г^а2. *
Определенная таким образом функция <р является, по условию, допу»
стимой функцией сравнения. Данный интеграл принимает при этом значение:
а
2тг
log a'
IogcJJ/-2
§ 3 Уравнения Эйлера 173
Пусть а пробегает последовательность чисел av a2, ая,..., имею-
имеющих своим пределом нуль. Рассмотрим соответствующую последователь-
последовательность функций (fj, <р2'-- ?«>••• Тогда интеграл D[ср„] стремится к нулю,
так что эти функции образуют минимальную последовательность. Однако
в точке Р все эти функции равны единице, и следовательно, они не
сходятся к реиению проблемы (р = 0.
Для вариационной проблемы
о
где у(х) должна быть непрерывной и кусочно-гладкой функцией от х,
обращающейся в нуль на концах промежутка интегрирования, легко
убедиться, что хотя всякая минимальная последовательность всегда должна
сходиться к пределу у= 0, однако производные функций, доставляющих
минимальную последовательность, могут и не стремиться в пределе к
производной от предельной функции, как это показывает пример после-
последовательности функций:Уп=хприх<^?п,уп = 2гп — х при еп^х^2еп
и у = 0 при х > 2е„, где lim е = 0.
п-ХХЗ
Мы увидим во втором томе, что во многих случаях все такие труд-
трудности могут быть преодолены, и мы убедимся, что прямые методы ва-
вариационного исчисления являются, действительно, одним из могущест-
могущественнейших средств анализа. Мы переходим теперь к изложению косвенных
методов, сущность которых заключается в приведении вариационных
проблем к проблемам диференциальных уравнений. Со времени Эйлера
и Лагранжа до самого последнего времени эти косвенные методы зани-
занимали в вариационном исчислении первенствующее положение. Уступая
прямым методам по глубине проникновения в сущность проблемы мини-
минимума, косвенные методы отличаются большей общностью, и формально
ими легче пользоваться, чем прямыми методами.
§ 3. Уравнения Эйлера.
Выведенные впервые Эйлером диференциальные уравнения вариаци-
вариационной проблемы представляют собой только необходимые, но ни в коем
случае не достаточные условия, которым функция должна удовлетворять
для того, чтобы заданный интеграл достиг своего экстремума. Мы по-
получаем .-эти диференциальные уравнения, приводя вариационную проблему
к проблеме диференциального исчисления. Условимся заранее раз
навсегда, что все фигурирующие в проблеме функции и все их произ-
производные, входящие явно в заданные выражения, предполагаются непре-
непрерывными, если только не сделано противоположной оговорки.
1, Простейшая проблема вариационного исчисле-
исчисления. Рассмотрим сначала простейшую проблему вариационного исчис-
исчисления, т. е. задачу отыскания минимума интеграла
;,У)йл:, A3)
174 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
где х0, хл,у (х0), у (хл) имеют заданные численные значения. Мы пред-
предполагаем, что функция F 'дважды непрерывно диференцируема по своим
трем аргументам х, у и у1. Относительно функции у мы предположим
непрерывность второй производной у". Пусть у=у (x)=f(x) является
искомой экстремальной функцией, обращающей в минимум интеграл J (у),
относительно достаточно малой (Л)-окрестности .функции y—f(x). Рас-
Рассмотрим некоторую определенную в интервале лг0 =g: л: =g:л^ функцию ij (л),
имеющую в этом интервале непрерывные производные первого и второго
порядка и "которая обращается в нуль на концах этого интервала, будучи
в остальном совершенно произвольной. Образуем функции у =у-{-
-|- si] (х)=у-\-Ьу, где ? произвольный параметр. Величину S_y=?rj (jc)
мы будем называть вариацией функции y=f(x). При достаточно малом
значении параметра е все вариированные функции у содержатся в любой
сколь угодно малой окрестности экстремали у=/(х). Поэтому инте-
интеграл J(y) = J{y~\-sri), рассматриваемый как функция Ф (s) от е, должен
при е.= 0 иметь минимальное значение относительно всех значений е,
достаточно малых по своему абсолютному значению. Отсюда следует,
что Ф'@)=0. Но интеграл
Ф (е)
= f F (х,у + ?>],/ -f Щ') dx
мы имеем право диференцировать под знаком интеграла, и мы получаем,
следовательно, в качестве необходимого условия экстремума уравнение:
х,
Хо
которое должно иметь место для всякой произвольной функции iq(x),
удовлетворяющей перечисленным выше требованиям. Мы преобразовы-
преобразовываем вторую часть этого интеграла путем интегрирования по частям и,
принимая во внимание условия 7] (л:0) = J] (jCj) = 0, получаем, что для
всех функций J] (jc) должно иметь место равенство:
Это равенство приводит к искомому диференциальному уравнению
на основании следующей фундаментальной леммы вариационного
исчисления.
Если для всех функций j] (jc), имеющих непрерывные производные
первого и второго порядка и обращающихся в нуль при jc = jc0 и х^=хг,
имеет место соотношение:
§ 3 Уравнения Эйлера 175
где <р (х) — данная непрерывная функция от Jr, то у(х) должна тожде-
тождественно равняться нулю. Эта теорема, имеющая место также и для крат-
кратных интегралов (вместо концов интервала х~х0 и х=хг там рассма-
рассматривается граница области интегрирования), доказывается очень просто
рассуждением от противного. Если бы <р (jc) была отличной от нуля
при >: = ? и имела, например, положительное значение, то существо-
существовала бы окрестность G точки ?, т.е. некоторый интервал Sq^x^^,
в котором (р (х) ^> 8 > 0.
Положим ij (х) = (х — ?0L (х — ?jL внутри G и т\ {х) — 0 вне этого
интервала; тогда мы будем иметь:
вопреки нашему допущению.
Наше утверждение, что (р=:0, сохраняет свою силу и тогда, если
мы потребуем, чтобы функция i] имела непрерывные производные до
k-то порядка; мы полагаем в этом случае просто iq — (x — $0J' (х—EjJ',
где 2/^>/z. Из фундаментальной леммы непосредственно следует, что
функция-—— F-—F, которую мы сокращенно обозначим через — [F]y,
должна как функция от х тождественно обратиться в нуль, т. е. функ-
функция у(х) должна удовлетворять диференциальному уравнению:
или в раскрытом виде:
+ Fyx — Fy=0. A4')
Это и есть диференциальное уравнение Эйлера; уравнения этого
типа многократно встречаются в анализе и его приложениях. Уравнение
Эйлера является необходимым условием экстремума. Диференциальное
уравнение Эйлера представляет собой диференциальное уравнение вто-
второго порядка, общее решение которого содержит две произвольные
постоянные, т. е. ровно столько, сколько нужно для того, чтобы можно
было удовлетворить граничным условиям.
Мы называем всякое решение этого диференциального уравнения
экстремалью данной проблемы минимума. Диференциальное выражение
\F]y мы называем вариационной производной функции F по у. Оно
здесь играет такую же роль, какую обыкновенная производная играет
в обыкновенных проблемах minima.
Если мы хотим разрешить диференциальное уравнение Эйлера отно-
относительно производной высшего порядка, как это обычно делают в теории
диференциальных уравнений, то мы должны предположить, что
Это неравенство называется неравенством Лежандра; оно играет
большую роль при решении вопроса, действительно ли данная экстре-
экстремаль дает экстремум или нет (см. также § 6, стр. 205 и след.).
176
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
В предыдущих рассуждениях существенным было включение экстрема-
экстремали у (х) в состав семейства функций у(х;€)=у(к)-\-щ(х) с парамет-
параметром ?. То, что этот параметр входит в функцию у (х; в) линейно, не
является существенным. Ничего не изменилось бы, если бы мы включили
экстремаль у (х) в семейство функций у (х; в) более общего вида,
полагая тогда .
j) (x) =-z~y (х, -?)
Укажем также на очень полезный способ обозначения. Подобно
тому, как мы функцию ? I] = Ьу' называем вариацией функции у (х), мы
называем вариацией, или, точнее, первой вариацией, интеграла J следую-
следующее выражение:
г
х\
X = Х0
= \ [F] by dx -f Fy, by
X = Xt
A5)
В этом выражении в общем случае не предполагается, что т] на
границе обращается в нуль. Понятие вариации аналогично понятию дифе-
ренциала df=Bf(x) функции f(x), где е является также неопределен-
неопределенным параметром. Итак, необходимым условием минимума является
обращение в нуль первой вариации.
Все функции или, выражаясь геометрически, все кривые, для кото-
которых bJ обращается в нуль, т.е. все экстремали данной проблемы, мы
называем также стационарными функциями или кривыми, указывая
этим так же, как и при соответствующей проблеме диференциального
исчисления на то, что возможны случаи, когда эти функции не дают
в действительности экстремума.
В самом деле, во многих случаях речь идет в первую очередь об
исчезании первой вариации, тогда как вопрос о достижении экстремума
является второстепенным. Такого рода проблемы, в которых требуется
тольке определить стационарные значения функционала, также называются
вариационными проблемами.
Приведенные выше примеры (см. стр. 158, 159) дают следующие ва-
вариационные производные:
f+gtf
= 0;
6)
=Vj +У2 ^
t y)
§ 3 Уравнения Эйлера 177
ъ) F=y\r\-\-y'2; УУ"=^-\-у12 (частный случай предыдущего);
г) F^y/1 —У2; у/=У2 — 1.
Интегрированием этих диференциальных уравнений мы займемся в § 4.
2. Случай многих неизвестных функций. От простейшей
проблемы вариационного исчисления, только что рассмотренной нами,
очень мало отличается тот случай, когда речь идет о нахождении систе-
системы неизвестных функций у{х), z(x),... от переменной х, для которой
интеграл
J= \F(x, у, z, ...,У, 2?,...)dx A6)
Хо
имеет Экстремальное (или стационарное) значение, причем снова пред-
предполагается, что заданы значения функций на концах промежутка
интегрирования.
Введя и здесь произвольные функции г) (*), ?(jc), ..., обращающиеся
на границе в нуль, и предполагая, что система функций
y — y{x)=f{x), z — z(x)==g(x)
дает экстремум, мы заключаем отсюда, как и раньше, что функция
Xl
,, e2,...)=\F(x,y~\-e1ri, z + е, С ... ,У+ е^/, z'-\-s2t?,.. .)dx
Ф(е
от переменных гг, s2>... должна иметь экстремум при ег — 0, ?2 = 0,...
Отсюда следует, что I -— I = 0, (-г— I =0,... г)
Систему этих условий мы можем записать в виде одного уравнения:
Хо
Мы называем это выражение первой вариацией интеграла J и так же, как
и раньше, мы можем его привести к виду:
I X,
Хо
, — -j-F\dx + •••> A7)
причем в рассматриваемом случае граничные члены обращаются в нуль.
^J) Индекс нуль указывает, что во всех зтнх выражениях нужно положить
12 Курант-Гильберт.
178
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
Считая одну из функций ij, ?,... произвольной, а все остальные
равными нулю, мы заключаем из обращения в нуль вариации bJ для
этих частных систем значений J], ?,..., на основании приведенной выше
леммы, что функции у, z,... должны одновременно удовлетворять сле-
следующей системе совокупных диференциальных уравнений Эйлера:
№FF
_
dx
¦F, = 0,
V* - Fr = 0.
A8)
Мы получаем таким образом в качестве необходимого условия экстре-
экстремума или стационарного характера „пространственной кривой" У=/(х),
z=g(x) систему совокупных диференциальных уравнений второго по-
порядка, причем число уравнений равно числу неизвестных функций у,
z,... Все сказанное нами выше для случая простейшей проблемы вари-
вариационного исчисления сохраняет свою силу и здесь. Новым является
лишь то обстоятельство, что обращение в нуль первой вариации яв-
является необходимым условием не только экстремума, но и такого сме-
смешанного минимума и максимума, когда интеграл имеет минимум при ва-
риировании функции у (х) и в то же время имеет максимум при варии-
ровании функции z(x).
Здесь мы также называем всякую интегральную кривую системы
диференциальных уравнений A8) экстремалью.
Простейший пример уравнений Эйлера A8) дает задача определения
кратчайших линий в обыкновенном евклидовом или же неевклидовом
пространстве с линейным элементом
ds* = gl1dx* + ft,rfv« + gasdz* -\- 2g12dx dy + 2g1&dx ds -f 2gudy ds.
Здесь
и мы получаем для геодезических линий этого пространства диферен-
шальные уравнения:
dx[
* (gl3
dx{
В евклидовом пространстве, где
эти диференциальные уравнения имеют вид:
L
и удовлетворяются всеми прямыми линиями в пространстве.
§ 3 Уравнения Эйлера 179
Распространение света в трехмерной^ среде со скоростью <р (л:, у, г)
приводит к вариационной проблеме:
т=
(¦*, у,
В более общем случае мы можем считать, что скорость света
зависит также и от направления светового луча и выражается поэтому
функцией
«р (х, У, г, у1, г>).
Тогда задача нахождения вида светового луча, т. е. основная проблема
геометрической оптики, оказывается эквивалентной рассматриваемой нами
общей проблеме вариационного исчисления, в которой мы должны
положить,
3. Выражения, содержащие производные высших по-
порядков. Пусть речь идет о вариационной проблеме для интеграла вида:
i
= f
xi
f F{x, У,У, У,..., У'"->) dx, A9)
где F—заданная функция от аргументов д:, у, у1,...,у(п) и где в ка-
качестве функций сравнения допускаются все функции, имеющие непре-
непрерывные производные до порядка 2« включительно, для которых на
концах промежутка заданы значения функции и ее производных до по-
порядка/г— 1 включительно. Мы можем и в этом случае вывести совершен-
совершенно аналогичным образом диференциальное уравнение Эйлера. Обозна-
Обозначим снова через 7j (x) произвольную функцию, имеющую непрерывные
производные до порядка 2я включительно и удовлетворяющую в гра-
граничных точках х=х0 и х = х1 условиям ^(х) = 0, г/(#) = 0,...
.. .,r{n~V(x) =0. Мы получим тогда совершенно так же, как и раньше
d ,r , ,
следующее выражение:
для первой вариации S/—г -- J [_у -{— si]]
Повторным интегрированием по частям мы можем здесь так же, как
и раньше, устранить, все производные функции 7] в подинтегральном
выражении, так что &/ принимает вид:
«./=е|Ч Ру--=-Л+~Р^-...+{-\г^РуЫ dx. B0)
12*
180 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
Отсюда мы получаем на основании приведенной выше леммы в ка-
качестве необходимого условия экстремума диференциальное уравнение
порядка 2«:
Мы называем~это диференциальное уравнение также уравнением Эйлера.
Входящие в общий интеграл уравнения B1) In постоянных интегриро-
интегрирования могут быть определены с помощью 2я граничных условий.
Совершенно аналогичный вид имеет система уравнений Эйлера, по-
получающихся при отыскании системы функций _у, z,..., удовлетворяю-
удовлетворяющих вариационной проблеме:
I
4. Случай многих независимых переменных. Вариа-
Вариационная проблема нахождения экстремума кратного интеграла приводит
к одному или к нескольким диференциальным уравнениям с частными
производными, которым должны удовлетворять искомые функции, по-
подобно тому как рассмотренные до сих пор задачи привели нас к обык-
обыкновенным диференциильным уравнениям.
Пусть, например, требуется найти экстремум двойного интеграла:
= \\
о
F(x, у, и,их, иу)dxdy, B2)
распространенного по заданной области G, причем искомая функция и
должна meib непрерывные производные до второго порядка включи-
включительно и принимать на границе области G заданные граничные значе-
значения. Мы снова обозначаем через ц(х, у) произвольную функцию, на
которую мы позже наложим граничное условие 7] = 0, и получаем в
качестве необходимого условия экстремума обращение в нуль первой
вариации:
или, иначе говоря, уравнение-
0. B3)
Это уравнение мы снова преобразовываем путем интегрирования по частям.
Мы предполагаем, как обычно, что граница Г области G имеет ку-
кусочно-непрерывно изменяющуюся касательную.
§ 3 Уравнения Эйлера 181
Тогда по теореме Гаусса 1)
- / л) J
T G
мы получаем таким образом
f
- Fudx) = 0.
В частности, если .мы потребуем, чтобы на границе Г функция щ
была равна нулю, в соответствии с тем, что, согласно предположению,
для функции и заданы постоянные граничные значения, то мы получаем:
Равенство 87 = 0' должно иметь место для произвольной непрерывно
диференцируемой функции >]. Так как лемма п. 1 справедлива также и
для кратных интегралов и, доказывается так же, как и для простых
интегралов, то мы отсюда получаем диференциальное уравнение Эйлера:
-W-=hF:+hF--F' = Q' B5)
или в раскрытом виде:
Из всего многообразия решений этого диференциального уравнения
мы должны выбрать то частное решение, которое удовлетворяет задан-
заданным граничным условиям (краевая задача).
Аналогично мы получаем систему таких диференциальных уравне-
уравнений в том случае, когда требуется найти несколько неизвестных
функций.
Если же функция F содержит частные производные высших поряд-
порядков до «-го порядка включительно, tj мы получаем диференциальное
j,1) См., например, Курант, Курс диференциального и интегрального исчис-
исчисления, т. II, стр. 246.
182 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
уравнение порядка 2я:
rfiFF — F 4- — F 4-2
F F 4 F 42
Ък ах Ъу "у Ъ*2 "*х^ ixiy
В качестве примера рассмотрим
F=4-(H2-r-«2>>
2 V л: i j/,/
(см. стр. 167).
Уравнение Эйлера сводится в этом случае к „уравнению Лапласа"
Lu = uxx-\-uyy=0.
Выражение
приводит к уравнению Эйлера:
ДДи = ихххх
Это же уравнение Эйлера получается и для функции
ДДи = ихххх -\ 2иххуу + иуууу = 0.
при постоянном с.
Проблема минимальных поверхностей, для которой подинтегральное
выражение имеет вид:
приводит к диференциальному уравнению Эйлера:
5. То,ждественное обращение в нуль диференциаль-
иого выражения Эйлера. Подинтегральные выражения,
изображаемые в виде дивергенций. Может случиться,- что ди-
ференциальное выражение Эйлера, образованное для подинтегрального
выражения F(x,y,yl,...), обращается тождественно в нуль для любЬго до-
допустимого функционального аргумента у. Так как всегда можно построить
такой допустимый функциональный аргументу, чтобы при любом заранее
заданном значении х функции у, у',... принимали произвольные заданные
значения, то обращение в нуль диференциального выражения Эйлера для
всякого допустимого функционального аргумента равносильно обращению
в нуль этого выражения при любых значениях переменных х,у,у*,.'..,
рассматриваемых как независимые параметры. Это же относится и к тому
случаю, когда функциональный аргумент и выражения Эйлера является
функцией от многих переменных.
Простейший случай представляет выражение F(x,y,у1). Из тождест-
тождественного обращения в нуль диференциального выражения Эйлера
§ 3 Уравнения Эйлера 183
следует, что Fyy=0, так что выражение F имеет вид:
F=A(x,y)+ylB(x,y).
Тогда уравнение Эйлера переходит в условие интегрируемости:
= 0.
ду дХ
В этом случае интеграл
X X
( Fdx = \ (A +у'В) rfx == f (Adx
не зависит от пути интегрирования г), согласно известной теореме инте-
интегрального исчисления.
Считая верхний предел х переменным, мы получим, что наш интеграл
будет некоторой функцией G (х,у) от своего верхнего предела и тогда
Это соотношение является не только необходимым, но также, как
в этом легко убедиться, и достаточным условием тождественного обраще-
обращения в нуль диференциального выражения Эйлера от функции F.
Аналогичный факт имеет место и для подинтегрального выражения
вида F(x,y,>',..., Ув)), а именно:
Для того чтобы диференциалЬное выражение Эйлера [F] тождественно
обратилось в нуль, необходимо и достаточно, чтобы функцию F можно
было представить в виде:
dx'
где G= G (х,у,у',..., У")) содержит только производные от_у не выше
п—1-го порядка.
В достаточности этого условия можно убедиться дибо непосредственно
путем простого вычисления, либо на основании того, что интеграл
Г* '
\ Fdx зависит в этом случае исключительно от граничных значений функ-
функции у и производных у, У,... .У") при х = х0 и x = xv Поэтому, если
мы будем произвольным образом вариировать функцию у внутри про-
промежутка интегрирования, оставляя неизменными граничные значения, то
наш интеграл не будет при этом изменяться, вследствие чего первая
вариация этого интеграла, а вместе с тем и диференциальное выражение
Эйлера должны тождественно равняться нулю.
Чтобы убедиться в необходимости этого условия, рассмотрим .семей-
.семейство функций у (х, а), зависящее от параметра а, с постоянными, т. е.
не зависящими от а граничными значениями у, у1, .У"^
*) Как мы сейчас увидим, эта независимость от пути вытекает также непосред-
непосредственно из тождественного обращения в нуль диференциального выражения Эйлера.
184 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
Обозначим через J (а) значение, принимаемое интегралом, если заме-
заменить функциональный аргумент функцией у —_у (д:, а). Тогда из выражения
для первой вариации следует, что
to J1
и поэтому в силу нашего предположения
°
Таким образом интеграл J не зависит от а и является поэтому функцией
только от координат х0 и хг и граничных значений функции у и ее пер-
первых п — 1 производных на концах промежутка интегрирования. Оставляя
неизменными х0 и начальные значения функции у и 'ее производных и
считая верхний предел д:, и значения у,у', .. .,^ (п~1) при х = хг пере-
переменными, мы получим, что
откуда диференцированием по верхнему пределу мы и получаем:
что и требовалось доказать.
Для интегралов, функциональным аргументом которых служит функ-
функция от многих переменных, в том случае, когда подинтегральное выра-
выражение F(x,y, и, их, и ) содержит только производные первого порядка,
имеет место совершенно аналогичное соотношение. Именно, путем рас-
рассуждения аналогичного предыдущему, мы получаем следующую теорему:
Для того чтобы диференциальное выражение Эйлера [F]u обращалось
в нуль тождественно относительно функционального аргумента и,
необходимо и достаточно, чтобы выражение F можно было предста-
представить в виде:
где А и В сугь функции от х, у и и. Выражения такого вида мы назы-
называем дивергенциями. Выражение, изображаемое в виде дивергенции,
характеризуется тем, что двойной интеграл \\ Fdxdy не меняет
•о
своего значения, если функция и вариирует так, что при этом изме-
изменяются только значения функции в некоторой внутренней части
области G, тогда как на границе области G как функция и, так и ее
частные производные остаются без изменения.—Согласно теореме Гаусса,
( I Fdxdy = [(Ady — Bdx),
§ 3
Уравнения Эйлера
185
где стоящий справа интеграл является криволинейным интегралом, взятым
вдоль линии Г в положительном направлении.
Несколько сложнее обстоит дело в том случае, когда подинтеграль-
ное выражение F содержит частные производные высших порядков.
В этом случае, хотя и остается в силе теорема, что для того чтобы
выражение Эйлера обращалось в нуль, необходимо и достаточно, чтобы
подинтегральное выражение F можно было представить в виде:
F=AX+By,
т. е. чтобы F было выражением, изображаемым в виде дивергенции, однако
в общем случае невозможно выбрать А и В так, чтобы высший порядок
производных, содержащихся в этих выражениях, был ниже, чем в F.
Простейшим примером выражения второго порядка, изображаемого
в виде дивергенции, является выражение:
Для этого выражения имеет место соотношение
F= К «,А -"{и* "Л=~ &У И
=--т
Другой пример дается тождеством:
Ту
Стоящее слева выражение
равняется, как известно, гауссовой кривизне поверхности z—u(x,y),
умноженной на A -\- и%х -j- и?) 2 . Из того, что это выражение может быть
представлено в виде дивергенции, вытекает тот общеизвестный факт, что
полная кривизна ограниченного куска поверхности зависит только от
значений функции г и ее частных производных на границе этого куска
поверхности.
Следующим непосредственным следствием из полученного нами усло-
условия обращения в нуль диференциального выражения Эйлера является
следующая теорема: Если разность подинтегральных выражений двух
вариационных проблем представляет собой выражение, изображаемое
в виде дивергенции, то уравнения Эйлера, а следовательно и семейства
186 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
экстремалей обеих вариационных проблем, тождественны между собой
(см. стр. 201, примечание 1).
6. Однородная форма диференциальных уравнений
Эйлера. В задачах геометрического характера, в которых идет речь
об определении кривых или поверхностей, удовлетворяющих некоторому
условию минимума, выделение одной из координат в качестве независимой
переменной не соответствует характеру задачи, и поэтому является более
естественным задать кривую или поверхность в параметрическом виде
x = x(t),y=y(t) или соответственно x = x(u,v), y=y(u,v), z =
— z(u,v), где t или соответственно и, v являются независимыми пе-
переменными. Относительно функций л;, у или л:, у, z мы предполагаем
при этом, что не имеют места равенства: х =у = 0 или соответственно
хиУ* — хг,Уи =Уи zv —yv zu = гп xv~z-v *«= °> ™e поставленные сверху
точки означают диференцирование по параметру t. Рассмотрим сначала
простейшую вариационную проблему, имеющую вид:
J = [F (х, у, d?\dx = U (х, у, i,y) dt = rain,
B7)
\ ил j j
Xo t0
где
Функция |у является „однородной" функцией первого измерения отно-
относительно производных х,у и удовлетворяет для всякого k условию
однородности:
%{х,у, кх, ky) = k%(х,у, х,у), B8)
откуда, диференцируя по k и полагая затем k=l, мы получаем:
х®х+УЫ = & B9)
Обратно, если Щ есть произвольная однородная г) функция первого
измерения относительно х и у, так что |у удовлетворяет равенству B8), то
вариационная проблема \$dt = mm определяет кривую независимо
от выбора параметра, ибо если при преобразовании параметра t = t (т),
*) В геометрических примерах функция % очень часто удовлетворяет условию
B8) только для положительных значений k. Мы говорим тогда, что $г только
положительно однородна, а не однородна в полном смысле этого слова. В по-
последнем случае интеграл должен менять знак, если пробегать кривую в проти-
противоположном направлении, но это требование полной однородности не выполняется
уже, например, для длины дуги, выражающейся интегралом
где квадратный корень положителен и интеграл всегда имеет одно и то же значе-
значение независимо ог направления пробега кривой. Приведенные выше соображения
сохраняют свою силу и для таких только положительно однородных подитеграль-
ных выражений.
§ 3 Уравнения Эйлера 187
где — > 0, интервал t0 <; t <; tx переходит в интервал т0 ^ т ^ xlf то
в силу соотношения B8) мы имеем:
dx dy\ К/ • dt
) d)Z[
Таким образом рассматриваемая вариационная проблема инвари-
инвариантна относительно преобразования параметра, не меняющего на-
направления пробега, и экстремальные кривые не зависят поэтому от
выбора параметра.
Приведенной к однородному виду проблеме соответствуют два дифе-
ренциальных уравнения Эйлера:
$,-& = о,§:,-^=о. C0)
Эти два уравнения при выполнении соотношения B9) должны быть
эквивалентны диференциальному уравнению A4) и не могут быть поэтому
независимыми друг от друга. Мы получаем эту зависимость, выводя из B9)
путем диференцирования следующие тождества:
%ХХ'%Х,-® %
Равные между собой отношения
Су. . Су ,
у2 ху
обычно обозначают через с$1.
Из предыдущих тождеств следует, что
Wy — tt'y =х %у'х -\-У%уу —%хУх — %уУу — %хух — %уу у—
== — * [%ху~ %ху "Ь (ХУ —УХ) gj ] .
Таким образом оба уравнения C0) связаны между собой тождеством:
х®х — $х)-\-у®у — $у) = 0 C1)
и могут быть заменены одним уравнением, например уравнением:
188 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
Совершенно аналогично обстоит дело и в том случае, когда речь идет
об отыскании нескольких функций от одной переменной. Например, вариа-
вариационная проблема \ F(x,y, z,y', z*)dx = min переходит в вариацион-
вариационно
и ...
ную проблему \ g= {x,y, z, x,y, z) dt = min, где
... • / w г\
% (X, У, г, х, у, z,) = х F\ x,y, z,^-,-.),
\ хх)
и функция % является однородной функцией первого измерения относи-
относительно производных х,у, z.
Приведение подинтегрального выражения к однородному виду обла-
обладает не только преимуществом формальной симметрии, но и расширяет
область геометрических проблем, доступных непосредственному исследо-
исследованию. Если, например, речь идет о замкнутой кривой, вдоль которой
абсцисса х не возрастает все время монотонно, так что кривая не мо-
может быть представлена в виде у=у(х), то соответствующая вариацион-
вариационная проблема не может быть непосредственно рассмотрена в неоднородной
форме. — Для вариационных проблем в многомерных областях однород-
однородная форма подинтегрального выражения получается следующим образом:
Если "в интеграле
I I F(x,y, z, zx,zy)dxdy
считать переменные х, у и функцию г функциями от двух парамет-
параметров и и v, причем функциональный детерминант х и у по и и v
Ъ {и, v) " v v °
'ц*р гуХи
отличен от нуля, то
ZX— "V J у" ' г? — ' Ху
и рассматриваемый интеграл принимает следующую форму:
F(v,y,z,zx, zy)dxdy=
д (У, г) Ъ (z,jc)
v- V 2 — 1(^. _ *(".*)
. > -У' > -V/.. .Л > -\!.. *Л
d(u,v)
JJ L b(u,v
где подинтегральное выражение $ является однородной функцией пер-
первого измерения относительно последних трех аргументов. Соотношения,
выведенные выше для случаев простых интегралов, и в особенности со-
§ 3 Уравнения Эйлера 189
отношение C1) и симметрический вид C2) диференциального уравнения
распространяются соответственным образом и на случай многих перемен-
переменных. Так как эти соотношения нам в дальнейшем не понадобятся, мы
ограничиваемся указанием литературы г).
7. Вариационные проблемы с расширенными усло-
условиями допустимости. Теорема Дюбуа-Реймона и Га-
ара (На а г). До сих пор мы требовали, чтобы допустимые при вари-
вариации функции сравнения имели непрерывные производные до наивыс-
наивысшего порядка, встречающегося в диференциальном уравнении Эйлера. С
точки зрения вариационной проблемы эти требования неестественно су-
суживают объем класса допустимых функций; так, например, вариационная
проблема с подинтегральным выражением F(x, у, у') имеет смысл уже
тогда, когда мы ограничиваемся требованием кусочной непрерывности пер-
первой производной и не делаем никаких предположений относительно второй
производной. Поэтому a priori не исключена возможность, что при таком
расширении условий допустимости появится новое решение вариационной
проблемы, не удовлетворяющее диференциальному уравнению Эйлера.
Рассмотрим сначала проблему минимума в собственном смысле и до-
допустим, что функция у (х), имеющая непрерывные производные первого
и второго порядка, дает минимум относительно функций сравнения,
удовлетворяющих таким же требованиям непрерывности. Тогда функция
у(х) дает минимум также и относительно таких функций сравне-
сравнения у*, которые удовлетворяют только требованию непрерывности
производной' первого порядка и могут вовсе не иметь производной
второго порядка. Ибо по теореме Вейерштрасса об аппроксимировании
непрерывных функций производная у*' может быть аппроксимирована
полиномом р'(х), а функция^*—полиномом р(х), удовлетворяющим гра-
граничным условиям р(хо)~уо, р(хЛ)=уг. Так как можно определить/7 (л:)
так, чтобы разности (р1 —у*') и (р — у*) были сколь угодно малы2), то
интеграл J[p] может быть сделан сколь угодно мало отличным от инте-
интеграла J[y*]. Так как р(х) является допустимой функцией сравнения,
имеющей непрерывные производные первого и второго порядка, то
[\], а поэтому и J[y*]^J[y].
') См. Bolza 0., Vorlesungen fiber Variationsrechnung, стр. 666—671, Лейп-
Лейпциг 1909; Kolb С, Sur Ies maxima et minima des integrates doubles, Acta Math.,
16, стр. 6>—i40, 1892—1893.
2) Мы образуем для этой цели на основании теоремы Вейерштрасса многочлен
д'{х), который удовлетворял бы неравенству \д'(х)—у*'(х)|< , . , при
•^o^xsgxj, причем е означает любое сколь угодно.малое положительное число.
X
Тогда многочлен д(х) = уо-\- [g'(t)dt принимает при х = х0 заданное начальное
хо
значение у0 и во всем интервале отличается от функции у*(х) не больше
чем на -я-. Чтобы получить теперь многочлен, удовлетворяющий условиям:
\р(х) — У*(х)|<е, [р'{х) — у*'{х) \ < е, р {хе) = у0 и, кроме того, принимающий
при x — Xi заданное значение yit достаточно прибавить к многочлену д(х) ли-
линейную функцию I (х) — —'1~^ -- (х — х0). Легко убедиться, что функция»
)= д(х)-\-1(х) удовлетворяет всем перечисленным в тексте условиям.
190 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
Если же мы заранее вводим в проблему минимума — нлн вообще в
проблему отыскания стационарного значения — расширенные условия до-
допустимости, так что относительно решения проблемы мы требуем только,
чтобы первая производная была.кусочно-непрерывной, то возникает во-
вопрос, не имеет ли эта функция еще производных высших порядкой и
удовлетворяет ли она тогда диференциальному уравнению Эйлера. Этот
вопрос разрешается в положительном смысле на основании следующей
теоремы Дюбуа-Реймона:
Пусть первая вариация интеграла \F(x, у, y')dx обращается в
нуль для некоторой непрерывной и имеющей кусочно~непрерывную
производную функции у(х), равной нулю на концах интервала, и ва-
вариация которой Щ(х) удовлетворяет тем-же требованиям непрерыв-
непрерывности, что и сама функция у\х). Предполагая, что подинтегральное
выражение F(x, у, у1) имеет частные производные первого и второго
порядка по всем своим аргументам и что вдоль кривой у,= у(х)
выполняется условие Р^^ф-^), мы утверждаем, что функция у(х)
удовлетворяет диференциальному уравнению Эйлера и имеет непре-
непрерывную производную второго порядка. Из обращения в нуль первой
вариации само собой вытекает, таким образом, существование и не-
непрерывность второй производной, удовлетворяющей при этом диферен-
диференциальному уравнению Эйлера.
Предпошлем доказательству следующую лемму:
Если <р(лг) есть некоторая кусочно-непрерывная в промежутке
интегрирования функция и если имеет место равенство:
\<Р(*)Ч (¦*)<** = О
для всякой кусочно-непрерывной функции ц (х), удовлетворяющей
условию:
\ 1)(л;)<?х: = 0,
то <р(л) есть постоянная.
Для доказательства заметим, что соотношение \<pjjd.x:—О имеет
место при любом постоянном (р. Определим постоянную с так, чтобы
\('f~c)dx = 0;
так как из условия
§ 3 Уравнения Эйлера 191
вытекает условие:
и так как функция w — с удовлетворяет требованию, наложенному на
функции 7j, то мы имеем право положить здесь т) = ш—с, откуда по-
получаем:
I
(cp — cfdx — Q.
Поэтому ср = с, что и требовалось доказать. Таким же путем полу-
получается следующая более общая теорема:
Если кусочно-непрерывная функция1) <р (дг) удовлетворяет условию
\ wridx = 0
для всех кусочно-непрерывных функций *], удовлетворяющих условиям
то <р ес/иь полином п-й степени:
f = с0 -f CjX -f c2x2 +... + с„л:и.
Перейдем теперь к доказательству теоремы Дюбуа-Реймона. Обращение
в нуль первой вариации означает, как и раньше, что для всякой непре-
непрерывной функции ? (х), имеющей кусочно-непрерывную производную и
обращающейся в нуль на концах интервала, имеет место равенство:
Положим для краткости F —A1, F,=B, \F dx = A. Мы получаем
тогда, интегрируя по частям:
Х1 Ху
I (A'Z-hBZ')dx^= \ ?(B — A)dx = 0.
J J
«) См. глава II, стр. 41.
192 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
В качестве функции <? = щ мы можем здесь выбрать произвольную
кусочно-непрерывную функцию, удовлетворяющую только условию:
\ щ dк = С (лг,) — С (х0) = 0.
х0
Применяя доказанную выше лемму, мы получаем отсюда, что
¦dx = c, C4)
где с не зависит от х. Это уравнение заменяет диференциальное
X
уравнение Эйлера. Так как функция \ F' dx диференцируема, то и F
диференцируема. Поэтому, диференцируя почленно уравнение C4), мы
получаем уравнение Эйлера:
Если F дважды диференцируема по своим аргументам и если, да-
далее, выполнено условие Лежандра F =/=¦ О, то отсюда следует, что функ-
функция У, которая по условию только кусочно-непрерывна, обязательно
непрерывна и имеет непрерывную производную. В самом деле, так как
F , ф. О, то мы можем из уравнения F (х, у, у') = Fy, выразить у1
через х, у, Fyi, так что y' = w(x, у, F ), где w — непрерывно дифе-
ренцнруемая функция. Но на основании C4) Fy, является непрерывной
функцией от х, поэтому у1 также непрерывна. Далее, так как аргумен-
аргументы у и Fy, функции ш непрерывно диференцируемы, то отсюда следует,
что функция у1 также непрерывно диференцируема.
Применяя приведенную выше обобщенную лемму, мы можем непо-
непосредственно распространить результат Дюбуа-Реймона на подинтеграль-
ные выражения вида F(x, у, у1, , у^). Подробное проведение этого
доказательства предоставляем читателю.
Для вариационных проблем со многими независимыми переменными
дело обстоит несколько сложнее. Здесь уже не имеет места теорема,
что если для проблемы с подинтегральным выраженлем F(x, у, и, ихиу)
расширить класс функций сравнения, включив в него все непрерывные
функции с кусочно-непрерывными производными, то из обращения в
нуль первой вариации само собой вытекает диференциальное уравнение
Эйлера и существование и непрерывность вторых производных. Однако
н в этом случае справедлива следующая теорема Гаара, аналогичная
теореме Дюбуа-Реймона.
Обращение в нуль первой вариации интеграла от F (х, у, и,
их> иу) для непрерывной функции и, имеющей кусочно-непрерывные
§3 Уравнения Эйлера 193
производные их и равносильно уравнению
axdy-Fud<, C5)
где стоящий слева интеграл распространяется по произвольной одно-
связной части В области G, ограниченной кусочно гладкими кривыми,
а стоящий справа криволинейный интеграл взят в положительном
направлении вдоль границы R области В. В частном случае, когда и
не содержится явно в F, из теоремы Гаара следует таким образом
обращение в нуль стоящего справа интеграла для всякой замкнутой кри-
кривой R, что эквивалентно существованию во всякой односвязной части
области G функции Ф (л:, у), удовлетворяющей системе диференциальных
уравнений
р ф ¦ р —г ф
Приведенное выше интегральное соотношение или соответственно эта
последняя система диференциальных уравнений первого порядка заменяет
в этом случае диференциальное уравнение Эйлера.
Для доказательства теоремы Гаара достаточно убедиться в справедли-
справедливости нашего интегрального соотношения для специального случая,
когда область В представляет собой квадрат. Тогда теорема непосред-
непосредственно распространяется и на область, состоящую из конечного числа
квадра'ов, а отсюда, применяя обычнчй прием аппроксимирования и
перехода к пределу, можно перейти к произвольной области, удовлетво-
удовлетворяющей перечисленным выше требованиям.
Итак рассмотрим квадрат: xo^x^xlt yo^y^yv
Обращение в нуль первой вариации для этого квадрата В выражается
равенством:
для всякой функции ?, обращающейся в нуль на границе квадрата. Вы-
Выберем специально вариацию ?<*, у) так, чтобы ?(х, y). = v(x)w(y),
где v{x) обращается в нуль при х — х0, xv a w(y) обращается в нуль
при y=yot уг. Мы получаем тогда равенство:
(Favw -f FUx v>w + Fu от1) dx dy = 0,
откуда мы и получим наше интегральное соотношение путем двукрат-
двукратного применения теоремы Дюбуа-Реймона.
Положим
F^ = Ay(x,y); F^ = Bx(x,y); Fu=,Cxy(x, у);
13 Курата-Гильберт.
194 Основные понятия вариационною исчисления Гл. IV
y
Л'о
.*У = Л(*. у); j FUjjdx = B(x, у); j Fudx=Cy(x, у);
У х
1 lFerfxrfy = C(x, у).
У(,х0
Интегрируя по частям, мы получаем:
л (ХА
\dy\ I (—
I-
Уо
- Ayv'w — Bv'w1) dx\—0
или
(— Cyw -\-Avw — Bw1) dy \ == 0.
Так как •»' есть производная от совершенно произвольной функции v,
обращающейся в нуль при х = х0 и х = хг, то согласно приведенной
выше лемме
(— Cyw -\- Ayw — Bw1) dy=c,
Уо
где с не зависит от х. Вторично интегрируя по частям, мы получаем:
\ (C—A — B)wldy=c.
Уо
Полагая в этом равенстве сначала Х — хл, а затем х = х0 и вычи-
вычитая полученные два равенства одно из другого, мы получим, полагая
C—A — B = D:
?
I [D (х,, y) — D (х0, у)] w*dy=0.
Уо
Вторичное применение теоремы Дюбуа-Реймона дает:
D{xx, ул)~~D(xc, yJ = D(x1, yo) — D{xo, y0),
т. е.
где стоящий справа интеграл должен быть взят вдоль границы квадрата,
что и требовалось доказать.
§3
Уравнения Эйлера
195
8. Другие вариационные задачи и их функциональ-
функциональные уравнения. Рассмотренные до сих пор вариационные задачи
относились к функционалам, получающимся путем интегрирования дан-
данного диференциального выражения, составленного из функционального
аргумента и его производных. Однако часто встречаются вариационные
задачи с функционалами более общего характера. Покажем на несколь-
нескольких примерах, как, поступая таким же образом, как и раньше, мы
получим совершенно другие функциональные уравнения, играющие здесь
роль диференциальных уравнений Эйлера.
а) Требуется найти стационарное значение выражения:
= \\
<P(*)<?@dsdt4-
ds>
где K(s, t) — заданная непрерывная симметрическая функция от s и t,
f(s)—заданная непрерывная функция, a w (s) — искомый непрерывный
функциональный аргумент. Все интеграции производятся в пределах
Заменяя w через <р -|- е ? и рассматривая функционал У [tp -f- е ^] = Ф (s)
как функцию от е, мы получим после простого преобразования:
гь
а 7=
Требование i J = (
уравнению:
dt.
приводит таким образом к интегральному
\
K(s,
играющему здесь роль уравнения Эйлера. Нетрудно привести в свя;ь с
этой задачей все те вариационные задачи, с помощью которых мы иссле-
исследовали в гл. III интегральные уравнения с симметрическим ядром K(s, t).
б) Требуется найти стационарное значение выражения:
оо
f
с
— со
причем предполагается, что функциональный аргумент ш (дг) непреры-
непрерывен и имеет кусочно-непрерывные производные во всем интервале
Общий способ образования первой вариации дает после простого
преобразования:
-г-ОО
« = о
—2)-<р (*)—
-OD
13*
196 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
и функциональное уравнение Эйлера, выражающее обращение в нуль
первой вариации для любого С(л), имеет здесь следующий вид:
(/><?')' - ? (х+ 2) - <р (х - 2) +¦ <р (х) +/(jc) = 0.
Это функциональное уравнение представляет собой уже не диферен-
циальное уравнение, а смешанное диференциально-разностное уравнение.
§4. Замечания относительно интегрирования дифе- •
рёнциального уравнения эйлера. примеры.
Систематическое изложение методов интегрирования уравнений Эйлера
будет нами дано во втором томе на основе теории Гамильтона-Якоби.
Здесь мы ограничимся только некоторыми замечаниями, которые дадут
нам возможность выполнить интегрирование в приведенных выше про-
простейших примерах. Мы ограничимся при этом задачей
*%.
I F(x, у, yt)dx=min.
Если функция F вовсе не содержит производной у1, то уравнение
Эйлера сводится к уравнению F =0, которое в неявной форме опре-
определяет функцию у(х). Заметим, что в этом случае невозможно задать
совершенно произвольно граничные значения функции у(х). Если гра-
граничные значения не удовлетворяют условию F =0, то задача не имеет
решения.
Если функция F не содержит зависимой переменной у, то отсюда
следует, что —F =0, так что /rJ4 = const=c, откуда у' = у(х, с),
так что y=\w(x, c)dx; уравнение Эйлера интегрируется в этом слу-
случае с помощью одной квадратуры.
Если функция F не содержит независимой переменной х, то и в этом
случае уравнение Эйлера интегрируется с помощью одной квадратуры.
В этом случае имеем:
так что из уравнения Эйлера тотчас же следует, что
откуда мы получаем, что у' = у(у, с), так что
Г dy
X ¦ 1 - ~~ .
Jt^. c)
Формально тот же самый результат получается, если привести
этот случай к предыдущему, замечая, что первая вариация интеграла
вдоль экстремали обращается в нуль и в том случае, если мы будем
рассматривать у как независимую, а х как зависимую переменную.
§ 4 Примеры интегрирования диференциального уравнения Эйлера 197
Обозначая . диференцирование по у поставленной сверху точкой, мы
придем тогда к вариационной задаче:
\F\y, — ) xdy — шп,
где подинтегральное выражение не содержит зависимой переменной.
Из приведенных на стр. 176 и 177 примеров мы можем теперь
проинтегрировать на основании предыдущего следующие:
Пример б) при 6 = -— , в этом случае:
' V У
V
У
2
t y,F¦ F=
с2
Полагая y = —(\ — cos.t), получим:
Таким образом брахистохроны представляют собой циклоиды, опи-
с2
сываемые точкой, лежащей на окружности радиуса —¦, когда эта окруж-
иость катится по оси *х.
i
Пример в) F=yV^-fyTa> \'Fy1 — F=—~~У = ,
V 1 +У2 с
откуда
У=--сЪ(сх-\-сг).
Для того чтобы поверхность вращения, соединяющая два заданных
круга, имела наименьшую боковую поверхность, необходимо, чтобы эта
поверхность получалась вращением цепной линии вокруг своей оси.
Пример г) F=yV\—y2, yFj— F= ~~У— — ,
1/ 1 ..2 С
откуда для другой координаты х получаем:
-У2
— \Vl >2 ds= \si
sin(C5 -(-fj)ds==
Таким образом решением изопериметрической задачи может быть
только окружность.
198 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
§5. Граничны l условия.
Во всех наших предыдущих рассуждениях мы всегда предполагали,
что искомые функции должны принимать на границе области интегриро-
интегрирования заданные значения. Однако в многочисленных вопросах граничные
значения функции либо вовсе не подчинены никаким условиям, либо
подчинены условиям другого рода. Если при определении функций внутри
заданной постоянной области граничные значения не подчинены ни-
никаким условиям, то мы называем вариационную задачу задачей со.
свободной вариацией на границе.
Наряду с задачами со свободной вариацией на границе, во многих гео-
геометрических вопросах, в которых речь идет о нахождении кривых или
поверхностей, встречаются такие задачи, в которых начальная или конеч-
конечная точка искомой кривой должна лежать на некоторой заданной кри-
кривой или в которых требуется определить искомую поверхность так,
чтобы ее граница- лежала на некоторой заданной поверхности. Таким
образом в задачах этого типа область интегрирования не задается зара-
заранее и сама может вариировать. Из условия экстремума мы должны опре-
определить не только функциональный аргумент, но и область интегрирова-
интегрирования. Чтобы исследовать вопросы этого рода, достаточно несколько обоб-
обобщить наши прежние результаты и видоизменить в соответствии с рас-
расширенными граничными условиями выражение для первой вариации bJ
интеграла J, так как теперь мы уже не имеем права приравнять нулю
вариацию функции на границе.
1. Естественные граничные условия в задачах со
свободной вариацией на границе.
Для простейшей вариационной задачи
ч
F{x, у, У) dx = min,
в которой на граничные значения функционального аргумента у(х) на
границе х—х0 и х^=х1 не накладываются никакие ограничения, мы
получаем в качестве условия стационарности обрзщение в нуль первой
вариации, которая в этом случае выражается следующим образом:
Для того чтобы вариация 8/ равнялась нулю, прежде всего, очевидно,
необходимо, чтобы функция у удовлетворяла уравнению Эйлера [F] ==0.
В самом деле, интеграл J сохраняет свой стационарный характер и
относительно того более узкого класса функций, которые на концах
интервала имеют те же значения, что и экстремальная функция. Ограни-
Ограничиваясь сначала только такими функциями сравнения, т. е. рассматривая
Только такие вариации Ьу, которые обращаются в нуль при х = лг0 и
§ 5 Граничные условия 199
x = xv мы получим в качестве первого необходимого условия экстре-
экстремума уравнение Эйлера:
При выполнении условия \F] =0 уравнение 87 = 0 принимает вид:
fMx:o
и содержит теперь-только граничные значения вариации Ьу при х — х0
и х = хг Так как вариация Ьу может в рассматриваемой задаче прини-
принимать на границе какие угодно значения, то мы получаем в качестве вто-
второго необходимого условия экстремума естественное граничное условие:
l = 0 при х = х0 и x=x
v
Точно так же мы получаем из остальных выведенных нами раньше
выражений для первой вариации интегралов (см. стр. 177, 180, 181):
\ F {x, у, z, . . . , У, *,...) dx, C6)
JJ F (x, у, и, ux, uy) dxdy, C7)
G
F (к, у, и, ux, uy, v, vx, vy . . .) dxdy, C8)
кроме диференциальных уравнений Эйлера, следующие естественные
граничные условия:
для интеграла C6):
F ^зг 0 и F ^=zz 0 при х =^= х их ^^ X-I'
для интеграла C7):
Fux -. Fv ~r = 0
US * US
вдоль границы Г, где 5 означает длину дуги, и, наконец,
для интеграла C8) должны удовлетворяться вдоль границы Г условия:
F ^__F — = U
vxds "у ds
Понятие естественных граничных условий особенно важно благодаря
тому, что оно может быть непосредственно применено к вариационным
задачам более обохего характера и. в части сти к такиа, которые
в явном виде содержат граничные значения искомы i функций.
200 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
В качестве примера приведем следующие выражения:
¦*!
где
или
J = \F {х, у, У) dx—tf (у0) + ф(уг), C9)
J= \ \ F(x, у, и, иг, иу)-\- \ Ф (s, и, us) ds, D0)
с г
где
du
гаы получаем следующие выражения для вариации:
= j [F], by dx + {ф- CVi) + Fr [хг, у (x,), У (jfj} «у, -
— {<РГ (%> + 'jr. 1*0. J' (*o). У Wl} «Уо
и соответственно
(T Г dy dx
JgJ г
,^ ^^«в*, D2)
JgJ г
где
[ф]„з=Фо~-^ф„у. D8)
Соответствующие естественные граничные условия гласят так:
dy dx
В частном случае
У= 1 I (и» -f- «р Же dy + ( аи2 rfs D4)
с г
с непрерывной граничной функцией a(s) вариация] ЗУ выражается так:
5У = — 2 \ \ (млд. -{- Myj/) 8м dx dy -{- 2 \ ( j- -{-ouj Ьи ds, D5)
с г
где — означает диференцирование по внешней нормали к Г.
1) Черта|Л)| означает, что в стоящем слева выражении нужно положить х =
§ 5 Граничные условия 201
Для интеграла несколько более общего вида:
/ = ГС | р (М2 + «р — ?«2 } dx dy -f С pa v?ds, D'4)
с г
где p(x, у) означает функцию, которая в области G непрерывна и
имеет непрерывные частные производные первого порядка; q (x, у) —
функцию, непрерывную в области G, a a(s) — функцию, непрерывную
на границе Г, вариация выражается следующим образом:
= — 21 \ \(pux)x+{puy)y + qu \\и dx dy + 2 I p (~-|- zuj buds, D5r)
C J
Полагая, в частности, в C9) и D1)
мы получим в качестве естественных граничных условий уравнения:
21
2/
Предельный переход / —* оо приводит к случаю неподвижных гра-
граничных значений:
что простейшая вариационная задача с неподвижными кон-
концами экстремалей оказывается предельным случаем задачи со сво-
свободно вариирующими концами.
Вообще, присоединяя к заданному интегралу соответствующие
граничные члены или граничные интегралы Л), мы получаем возмож-
возможность, существенным образом изменять естественные граничные усло-
условия задачи, не меняя при этом диференциального уравнения Эйлера.
2. Геометрические задачи. Трансверсальность. При
рассмотрении геометрических задач, в которых концы искомых
кривых могут перемещаться по данным кривым или поверхностям, и во-
вообще во всех тех задачах, где граница области интегрирования не задана
неподвижно 2), удобнее всего задать кривые или поверхности в пара-
параметрическом виде. Мы остановимся здесь иа том случае, когда начальная
') Вместо присоединения таких граничных интегралов, мы можем также при-
прибавить к подинтегральному выражению любое выражение типа дивергенции
(см. стр. 184 и 242, примечание 1;.
2) Только что рассмотренные нами задачи со свободной вариацией на гра-
границе представляют собой, понятно, частный случай задач более общего характера,
в которых вариация на границе подчиняется тем или иным условиям. Так, напри-
*р
мер, задачу: J F (х, у. У) dx = min, в которой на значения у (х „) и у (дг4)
не наложены никакие ограничительные условия, можно формулировать так:
найти кривую, оба конца которой должны лежать на вертикальных прямых х = х$
и х = х{ и для которой данный интеграл имеет наименьшее значение.
202 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
точка искомой кривой у (к) может перемещаться по кривой 7 (к, _у) = 0,
тогда как конец этой кривой остается неподвижным. Выведем необхо-
необходимые граничные условия эксгремума. Представим заданный интеграл
•*«
•/=(" F(x, у, у1) dx,
xt
в котором нижний предел лг0 может вариировать, в параметриче-
параметрическом виде, положив x = x{t), y=y(t), где параметр t изменяется
в постоянных преде пах to^t^tj, и устраним таким путем неудобство,
причиняемое изменяемостью области интегрирования. Мы иолучаем тогда:
J= I % (х, у, х, у) dt,
где
при начальном условии T[x(f0), _у(/0)] = 0 и при заданных значениях
Введем две обращающиеся при ? = ?, в нуть и в остальном совер-
совершенно произвольные функции S (t), щ (t) и два параметра бй и б2, yдoв^e-
творяющие условию.
? (е,, е2) --= Т[ х (t0) + е, ? (t0), у (t0) + е2 Ч (t0)] = 0.
Мы можем"тогда выразить экстремальное свойство нашей кривой с по
мощью условия, чтобы функция
имела стационарное значение при е, = 0, е2 = 0, где переменные е, и е2
подчинены добавочному условию ^(e,, s2)=0. Но из теории обыкно-
обыкновенных экстремумов мы знаем, что в этом случае существуют два посто-
постоянных и не обращающихся одновременно в нуль множителя i0 и \, для
которых имеют место равенства:
д I й
d?j . |е* = о <>?2
чу4 ЧТ
Предполагая, что частные производные — и — не обращаются одно-
одновременно в нуль вдоль кривой Т (х, у) = 0, мы можем допустить, что
Хо = 1, ибо, если бы 10 равнялась нулю, то мы получили бы, что
ъг ьг
— = 0 и — = 0 при t — t0, вопреки допущению.
§ 5 Граничные условия 203
Так как функции x(t) и y(t) должны удовлетворять диференциаль-
ному уравнению Эйлера, то мы получаем на основании наших выра-
выражений для первой вариации следующие уравнения:
Е(^ж—&i) = 0, щ(кТу-%у) = О при t = t0;
исключая I, мы получаем отсюда та^ называемое условие трансверсаль-
трансверсальности
Если конец экстремали также может перемещаться по некоторой
заданной кривой, то и для этой точки мы получим, разумеется, также
соответствующее условие.
Условие трансверсальности выражает взаимную зависимость между
направлением искомой экстремали и заданным направлением воз-
возможного перемещения начальной точки экстремали. Это соотношение
линейно относительно Тх и Т ; поэтому, если задано направление
экстремали, то условие трансверсальности однозначно определяет направ-
направление возможного перемещения начальной точки экстремали, соответ-
соответствующее данному на шльному направлению экстремали (обратное может,
однако, и не иметь места).
Если задана кривая Т (х, у) = 0, вдоль которой может переме-
перемещаться начальная точка экстремали, то можно построить семейство
трансверсальных к этой кривой экстремалей, зависящих от одного
параметра, проводя через каждую точку кривой Т(х, у) — 0 в транс-
версальном к ней направлении интегральную кривую диференциального
уравнения Эйлера.
Возвращаясь к неоднородной форме уравнения экстремали вида:
y=f(x), мы получаем:
r J %. =/у D7)
Следовательно, условие трансверсальности принимает вид:
(/=•-//>) Ty-FyTx = 0. D8)
Если же кривая, по которой может перемещаться начальная точка экст-
экстремали, задана уравнением вида y — g(x), то условие трансверсальности
выражается уравнением:
Подчеркнем при этом, что этот последний вид условия трансверсальности
теряет смысл, если кривая Т{х, у) = 0 имеет в рассматриваемой точке
касательную, параллельную оси у; в этом случае условие трансверсаль-
трансверсальности сводится, как это следует из уравнения D8), к естественному
граничному условию Fy = 0.
Совершенно аналогично обстоит дело и в случае, когда требуется
найти пространственную кривую у=у(х) ~z = z(x), начальная точка
которой должна лежать на заханной поверхности Т(х, у, z) = 0 и конец
204 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
которой xv yt, Zj задан неподвижно и для которой интеграл
J=\F(x,y,z, У, z')dx
должен иметь стационарное значение.
Введя параметрическое изображение кривой и полагая
F(x, у, z, ?- , 4Л х = % (х, у, z, х, у, г) ,
х х /
мы получим совершенно таким же образом, как и раньше, в качестве
условий трансверсальности два уравнения:
или в неоднородной форме:
Эти условия также приводят в соответствие каждой точке заданной по-
поверхности 7"= 0 одно или несколько трансверсальных направлений, так
что всей поверхности соответствует семейство экстремалей, зависящее
от двух параметров.
Обратно, если задано направление экстремали, то ему однозначно
соответствует единственное трансверсальное направление касательной
плоскости к поверхности Т= 0 (трансверсальное направление поверхности).
Само собой разумеется, что и для другого конца кривой, если он
также может перемещаться по некоторой поверхности, имеют место такие
же условия трансверсальности.
Для случая геодезических линий на поверхности или кратчайших
линий- в пространстве понятие трансверсальности совпадает с понятием
ортогональности. Например, при F=\f\ _i_ уг _i_ zit условие трансвер-
трансверсальности гласит:
Tx:Ty:Tt=UV-z'.
при
F=rVT^7
мы получаем
т. е. условие перпендикулярности линии Т — 0 к геодезической линии.
Если мы, таким образом, из какой-нибудь точки Р поверхности
проведем пучок геодезических линий, то ортогональные траект рии
этого пучка пересекают геодезические линии пучка трансверса аьно.
Длина геодезической линии от точки Р до точки пересечения Q гео-
геодезической линии с какой-нибудь ортогональной траекторией пучка
остается при перемещении точки Q по рассматриваемой ортогональ-
ортогональной траектории все время стационарной. Отсюда следует, что эта
длина постоянна и что ортогональные траектории — так называемые
геодезические круги — являются замкнутыми линиями.
Во втором томе мы остановимся подробнее на связи, существующей
между экстремалями и трансверсальными траекториями. Здесь мы доба-
§ 6 Вторая вариация и условие Лежандра 205
вим только еще следующее замечание: в случае распространения света
трансверсальные кривые или поверхности представляют собой не что
иное, как волновые поверхности световой волны, распространяющейся
п i направлению лучей, являющихся экстремалями. При этом мы по-
понимаем под трансверсальной кривой или поверхностью такую кривую
или поверхность, которая в каждой своей точке пересекает заданное
семейство экстремалей в трансверсальном направлении. Если трансвер-
трансверсальность не совпадает с ортогональностью, то это значит, что
направление светового луча не совпадает с направлением нормали
к поверхности световой волны.
§6. Вторая вариация и условие Лежандра.
Диференциальное уравнение Эйлера представляет собой только не-
необходимое условие экстремума. Для того чтобы заданный интеграл
принимал экстремальное значение вдоль данной экстремали, удовлетво-
удовлетворяющей соответствующим граничным условиям, необходимо, чтобы эта
экстремаль удовлетворяла еще другим необходимым условиям, выра-
выражающимся в форме нераренств; вывод этих неравенств и усиление их
с целью получения достаточных условий экстремума составляют важный
отдел классического вариационного исчисления. Подробно мы остано-
остановимся на этих вопросах только во втором томе, здесь же мы сделаем
только первый шаг в этом направлении, а именно выведем для про*
стейшей задачи вариационного исчисления следующий критерий
Лежандра: если экстремаль <р = и(*) обращает в минимум интеграл
г1
J [ip]= \ F{x, ip, <p') dx относительно всякой непрерывной и имеющей
кусочно-непрерывную производную функции сравнения (р (х), то вдоль
всей экстремали необходимо должно иметь место неравенство:
Для доказательства разложим выражение
согласно формуле Тейлора:'
/ [(р -j- ejj]= J ОД -j- 6 J1 [<p,
где
J» [?. Ч] = j (^„Ч8 + 2/Vl4' + Fvvip) dx,
206 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
причем горизонтальная черта над выражениями F^, F,.^, F^, означает,
что мы должны в этих выражениях заменить аргументы <р и <р' выраже-
выражениями (p = cp-j-p7j, (p1 = ff -\- рг/, где р есть некоторое число, содер-
содержащееся между нулем и 6. Так как интеграл J стационарен приср —к,
то У-, |«, jj]=:O, и мы получаем в качестве необходимого условия ми-
минимума неравенство:
при любом выборе функции 1).
Если в выражении J2[y, ч) мы будем неограниченно приближать
к нулю параметр б, то это выражение будет иметь своим пределом
интеграл
Л [V. Ч] = j (^ Ч2 + 2^w ЧЧ1 + 'W 4й) Л».
и мы получаем в пределе необходимое условие минимума в форме:
h I". Ч! ^ °.
или, вводя выражение:
*2/Л [ ]
которое называется „второй вариацией" интеграла J, мы можем за-
записать это условие в виде:
Из этого интегрального условия мы выведем теперь, пользуясь про-
произвольностью функции J), формулированное выше в качестве необходи-
необходимого условия минимума диференциальное условие Лежандра, которое
должно выполняться в каждой точке х промежутка интегрирования. Для
этой цели выберем в качестве функции »] специальную кусочно-линейную
функцию, которая только в окрестности некоторой точки х — а отлична
от нуля, а именно пусть:
при а—о ^ х ^ а,
при а ss х «s о -J- о
»] —0 для всех остальных значений х.
Интеграл J3 [и, щ] сводится тогда к интегралу, взятому в пределах
а — cs^xsga-j-G, и во всем этом интервале jj'2 — —. Если мы те-
теперь станем неограниченно приближать о к нулю, то первые два слагае-
слагаемых интеграла У2 [и, щ] будут стремиться к нулю, тогда как третье сла-
слагаемое будет иметь своим пределом значение 2F' в точке х = а.
Этот предельный переход приводит нас, таким образом, к формулиро-
формулированному выше условию Лежандра.
§ 7 Вариационные задачи с дополнительными условиями 207
В случае многих неизвестных функций (р, ф,... соответствующее
условие .Лежандра заключается в требовании, чтобы квадратичная форма,
коэфицненты которой образуют матрицу
никогда не принимала отрицательных значений.
Вместо доказанного только что условия Лежандра: F,, ^0, не
исключающего возможности обращения в нул функции F^,, часто
играет важную роль более сильное условие Лежандра:
Если это условие выполнено не только, когда функция со равна
экстремальной функции и, но и для любых значений лик, лежащих
внутри заданной области, и при совершенно произвольных значениях и',
то мы это условие называем усиленным условием Лежандра.
Если кроме условия Лежандра имеет место также неравенство:
для всех и и х, принадлежащих заданной области, и для любых значе-
значений и', то квадратичная форма, стоящая в J2 под знаком интеграла,
является определенной положительной формой, и в этом случае всякая
лежащая в рассматриваемой области экстремаль, действительно, дает
минимум. Это простейшее, но очень грубое достаточное условие
будет нами заменено во втором томе другим, более тонким условием.
§ 7. В АР ИАЦИЮН Н ЫЕ ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ
УСЛОВИЯМИ.
В рассмотренных до сих пор вариационных задачах функциональ-
функциональный аргумент не был подчинен никаким другим условиям, кроме соот-
соответствующих граничных условий, и искомое решение вариационной
задачи определялось с помощью диференциальных уравнений Эйлера
и заданных или естественных граничных условий. Перейдем теперь
к рассмотрению таких вариационных задач, в которых функциональ-
функциональный аргумент кроме граничных условий должен удовлетворять еще до-
дополнительным условиям другого рода, которые относятся к совокупности
всех значений функционального аргумента и под влиянием которых само
диференциальное уравнение Эйлера существенно изменяет свой вид.
1. Изопериметрические задачи. Простейшим типом задач та-
такого рода служит изопериметрическая задача, которую мы формулировали
в § 1, п. 3, г в общем виде следующим образом. Требуется найти
г1
стационарное значение интеграла ^ = \ F (х, у, у') dx при дополнитель-
208
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
ном условии, чтобы функция у, кроме граничных условий, удовлетво-
удовлетворяла также требованию:
E1)
K=\G(x,
хс
где с—заданное постоянное число.
Чтобы решить эту задачу, мы поступим следующим образом: до-
допустим, что граничные значения у (х0) =у0, у (-*1)=.Vi заданы и что
у=у (х) является искомой экстремалью. Рассмотрим семейство кривых:
=у (х) + е2 Ч (х) + е2 S (х),
где ?, и ?2 служат параметрами, a ij (х) и С (х) удовлетворяют условиям
1) ix0) = 1) (л;,) = ? (jc0) = S {хл) = 0, будучи в остальном совершенно
произвольными функциями. Тогда функция
должна иметь при ег = 0, е2 = 0 стационарное значение по сравнению
со всеми достаточно малыми по абсолютной величине значениями ег, е2,
для которых
На основании упомянутых в § 1 теорем относительно обыкновенных
maxima и minima существуют две постоянные 10 и X, не обращающиеся
одновременно в нуль, такие, что
*> -У + М-МЛ У + е]ч' + е1Р)Лс +
+ X j О (ж, у + е, ч + е, С, Уг +.е,ч'+
= 0,
(ж, у + el4 + e2S, У + М'
?) ^
= 0.
§ 7 Вариационные проблемы с дополнительными условиями 209
Отсюда:
Из первого уравнения следует, что отношение постоянных Хо и X не
зависит от <;; но тогда из второго уравнения в силу 'произволь-
'произвольности функции ? следует, что:
Если 10 не равно нулю, т. е. если функция у не удовлетворяет
уравнению: @,У-0, = ОЧ. E2)
то мы можем положить Хо=1, и мы получаем тогда:
[ J
Тх[- ъ'у J гу~ ( }
Мы пришли, таким образом, к следующему результату: Исключая
mom особый случай, когда имеет место уравнение E2), мы получим
уравнение Эйлера рассматриваемой вариационной проблемы, посту-
.пая по следующему правилу: составим с помощью соответствую-
соответствующего параметра X подинтегральное выражение F*=F-\-\G и при-
приравняем нулю вариацию этого выражения, не обращая внимания на
заданное дополнительное условие. Общий интеграл содержит тогда,
кроме двух постоянных интегрирования, еще параметр X. Эти три пара-
параметра определяются с помощью граничных условий и уравнения К=с.
Простейший пример дает обыкновенная изопериметрическая задача,
в которой
F=Y\ -|-y2 и G=y.
Мы получаем:
или
эткуда мы получаем в качестве экстремалей окружности.
В качестве второго примера принедем определение положения равно-
равновесия тяжелой однородной нити, подвешенной на своих концах. Здесь
*) Как легко видеть, в том частном случае, когда существует только одна
единственная функция,)/, удовлетворяющая дополнительному условию J'G <?*¦ = ?,
Хо
эта единственная функция у должна удовлетворять уравнению E2).
14 Курант-Гильберт.
210 Основные понятая вариационного исчисления Гл. IV
F=y\T\ -\-у12 и G—jA -\~У2. Применяя изложенный выше способ
интегрирования диференциального уравнения Эйлера в случае Fx= 0
(см. стр. 196), мы получим:
Таким образом искомая кривая, представляет собой цепную линию.
В качестве примера, когда имеет место отмеченный выше особый
1
1
случай, рассмотрим дополнительное условие \ \^l ~\-y'2dx=l при гра-
граничных условиях: _у@) = 0, _уA) = 0. Здесь, очевидно, имеется только
одна единственная кривая сравнения у = 0, и эта кривая действительно,
удовлетворяет диференциальному уравнению E2); каково бы ни было F,
решением задачи всегда будет функция _у=0 a).
2. Конечные дополнительные условия. Рассмотрим теперь
вариационные проблемы с дополнительными условиями, в которых тре-
требуется найти стационарное значение интеграла
?
J=\F(x, у, г, У, ?)dx,
Хо
причем искомые функции у(х) и z(x), кроме граничных условий
У(хо)=Уо,у{х1)=у1, г(хо) = го, г(х1) = г1,
должны удовлетворять еще дополнительному условию вида:
O(x,y,z) = 0, E4)
или, геометрически выражаясь, требуется найти пространственную кривую
у(х), z(x), обладающую заданным экстремальным свойством и лежащую
на заданной поверхности G(x,y, г):=0 2).
Чтобы получить необходимые условия экстремума для функций
у(х), г(х), естественно поступать так: разрешим уравнение G=0 отно-
относительно одной из функций, например z(л) и сведем таким путем нашу
проблему к нахождению одной функции у(х). Согласно элементарным
теоремам анализа уравнение G = 0 разрешимо относительно z, если
вдоль искомой экстремали —=^0. Пусть z = g(x,y).
dz
Принимая во внимание соотношение: Gx-\-y* G -\-z' Gx = 0 или
г' = — у1-^- г1-, мы можем z' рассматривать как функцию от дг, у и у1
Ьу ох
*) Об этом особом случае см. Caratheodory С, Ober die diskontinuierli-
chen Losungen in der Variationsrechnung, Dissert. Gottingen 1904, стр. 45 и след.
s) Заметим, что в этой геометрической формулировке выделена координата х,
так что ие все кривые, лежащие на поверхности Q == 0, считаются допустимыми.
§ 7 Вариационные проблемы с дополнительными условиями 211
и исключить из F(x,y, z,y', &'). Тогда
F(x,y,z,y,z') = F^x,y,g(x,y),y',
и у должно удовлетворять уравнению Эйлера:
которое после простого преобразования приводится к виду:
С другой стороны, G -f- G ¦-- = 0, поэтому:
у 0\>
Таким образом либо вдоль искомой экстремали Gy и Gz тожде-
тождественно обращаются в нуль, что противоречит сделанному выше допуще-
допущению, либо существует фактор пропорциональности \ = 1(х) такой, что
Fy'-Fy + U)y=0; ib — F, + U). = O. E5)
Полагая
мы можем записать наш результат в форме уравнений* Эйлера для под-
интегрального выражения F*:
- [F*],= Fy -F;=O;- [F*]. = /=:: — fj = 0.
Эти уравнения являются необходимыми условиями экстремума за
исключением того особого случая, когда вдоль экстремали одновременно
имеют место уравнения:
Gy = 0 и G, = Q.
Тогда в силу соотношения Gx-\-ytG -\-z' Gz=*0 должно иметь место
и третье уравнение: Gx—0.
Как и в соответствующих проблемах диференциального исчисле-
исчисления, множители X называются множителями Эйлера или Лагранжа.
Задачи обоих типов формально решаются с помощью одного и
того же приема: мы составляем с помощью множителя \ выраже-
выражение F-\-lG=F* и образуем диференциальные уравнения Эйлера для
этого выражения. Разница заключается только в том, что в пер-
первом случае У является постоянной величиной, а во втором случае
1=1 (х) является функцией от х. Уравнения Эйлера вместе с до-
полнительным условием и граничными условиями дают ровно столько
условий, сколько нужно для н /хождения экстремали.
Простейшим примером вариационной задачи с дополнительными
условиями этого вида служит задача нахождения геодезических линий
на заданной поверхности G (х,у,г) = 0. Здесь F=\/\ -+ У2+ г'2,
и мы получаем для геодезических линий, заданных в параметрической
14*
212 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
форме x=x(t), y=y(t), z—z(t), следующие уравнения:
d xd у d z
G
или
d
d
Эти три уравнения определяют вместе с четвертым уравнением
О=0 геодезические линии и множитель Х(х). Это изображение геоде-
геодезических линий обладает тем преимуществом по сравнению с приве-
приведенным выше видом диференциальных уравнений геодезических линий,
что в этой последней форме непосредственно выражаются главные
свойства геодезических линий, например то свойство, что соприкасаю-
соприкасающаяся плоскость геодезической линии проходит через нормаль к по-
поверхности. Доказательство этого мы можем предоставить читателю.
3. Диференциальные уравнения в качестве дополни-
дополнительных условий. Тогда как в проблемах только что рассмотрен-
рассмотренного типа введение множителя X представляет собой только формально
изящный искусственный прием, при дополнительных условиях более
общего вида
G(x,y,z,y',z') = 0, E6)
где выражение G не получается путем диференцирования по х некото-
некоторой функции H(x,y,z), т. е. не представляет собой вполне интегри-
интегрируемого диференциальЛрго выражения, введение множителя h является
неизбежным по самой сути проблемы. Такие дополнительные условия
называют также „неголономными" условиями. Простейшим условием
такого рода служит, например, условие у — z = 0. Если бы это условие
было голономным, т. е. эквивалентным конечному условию H(x,y,z) —
— const, то значения х, у, z нельзя было бы выбрать совершенно
произвольно, тогда как данное условие У — z — 0 относит только ко
всякой произвольной системе значений х, у, z значение у' — z. Неголо-
иомные условия встречаются в механике во всех тех задачах, в которых
уравнения, связывающие движение, кроме координат, содержат также
и направление движения, как например при движении парохода, коньков
или при качении шара.
Предыдущие типы проблем с дополнительными условиями можно
считать частными случаями рассматриваемой общей проблемы. Для проб-
проблемы 2 это понятно само собой. Но и собственно изопериметрическая
задача также может быть включена как частный случай в рассматри-
рассматриваемую проблему. Действительно, мы придем к изопериметрической
§ 8 Инвариантный характер диференциальных уравнений Эйлера 213
задаче, если предположим, что выражение F не содержит вовсе
величин г, г', тогда как дополнительное условие имеет вид:
а граничные условия гласят:
У (х0) =Уф У (xi) =Уц z(хо) = 0, z (Xj) =c.
Точно так же и случай обыкновенной проблемы минимума с производ-
производными высших порядков под знаком интеграла можно подвести как част-
частный случай под рассматриваемую проблему. Так, например, проблема
с1
нахождения экстремума интеграла \ ^(лг, у, у', у") dx эквивалентна про-
г1
г1
блеме нахождения экстремума интеграла \ F {х, у, у1, z1) dx с допол-
нительным условием z—_/ = 0. Во всех этих частных случаях мы по-
получаем необходимые условия экстремума, поступая каждый раз по
одному и тому же общему правилу: если искомое решение не удовле-
удовлетворяет уравнениям Эйлера, соответствующим выражению G, то
существует множитель 1(х) такой, что искомое решение удовле-
удовлетворяет уравнениям Эйлера, составленным для выражения:
Способ множителей Лагранжа применим также и к формулированной
выше общей проблеме. Мы не приводим здесь доказательства и отсылаем
читателя к соответствующей литературе 1). Наконец, подчеркнем, что
все наши рассмотрения и результаты остаются в силе и для большего
числа неизвестных функций и дополнительных условий. Что касается
тех случаев, когда речь идет об определении функций от многих не-
независимых переменных, то хотя и не подлежит сомнению, что наши
результаты справедливы и в этом случае, однако, пока еще не удалось
получить доказательства для общего случая дополнительных условий,
заданных в виде диференциальных уравнений с частными производными.
§ 8. Инвариантный характер диференциальных
уравнений Эйлера.
1. Выражение Эйлера, как градиент в функциональ-
функциональном пространстве. Инвариантность выражения Эйлера.
Стационарность функции /(хг,х2,..., хп) в определенной точке может
быть выражена условием:
grad/=O,
где grad/ означает градиент функции /, т. е. вектор л-мерного про-
пространства, имеющий компоненты /Xl,fXi, ¦¦¦, fx • Этот вектор обла.
«) См. Hilbert D.. Zur Variationsrechnung, Math. Ann., т. 62, стр. 351—370, 1906.
В упомянутых на стр. 259 учебниках Больца и Адамара также можно найти
подробное изложение этого вопроса.
214 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
дает следующим свойством: если п переменных"^, хг, , хп являются
какими-нибудь диференцируемыми функциями от параметра t, то функ-
функция /(лг3,х2,..., хп) переходит в функцию f(t) такую, что
^ = XV4 = »6Bd/. E7)
1=1
где поставленная сверху точка означает диференцирование по t, a* t)
означает вектор перемещения, имеющий компоненты xt; скорость из-
изменения функции равняется, таким образом, скалярному произведению
вектора перемещения точки {хг, х2, . .., хв) на градиент функции /. Та-
Таким же образом и диференциальное выражение Эйлера, обращение в нуль
которого характеризует стационарность рассматриваемого функционала,
можно истолковать как градиент в функциональном пространстве.
Так, например, если функциональный аргумент <р интеграла
Xl
F(x, Ь
содержит, кроме независимой переменной х, еще и параметр t, то
7[<р] будет некоторой функцией J[t] от параметра t, и, поступая по
правилам нахождения первой вариации, мы получим, если допустить,
что значения tp на концах интеграла не зависят от t:
где поставленная сверху точка снова означает диференцирование по
параметру t. Эта формула совершенно аналогична формуле E7) для
функции /(aTj,jc2, ...,xr). Мы выражаем эту аналогию тем, что называем
выражение [F] градиентом функционала У[ф] в функциональном про-
пространстве.
Вообще мы называем выражение G [tp], зависящее от функциональ-
функционального аргумента <р, градиентом функционала 7[<р], если при замене
функции <р произвольным семейством функций, зависящим от пара-
параметра t, мы для любого ф имеем соотношение:
Так, например, градиентом функционала
1 i
о о
§ 8 Инвариантный характер диференциальных уравнений Эйлера 215
при условии К(х,у) —К(у, х) служит выражение:
1
Известному свойству инвариантности градиента функции при пре-
преобразовании независимых переменных соответствует аналогичное свой-
свойство инвариантности или лучше ковариантности выражений Эйлера при
преобразовании содержащихся в интеграле функций в функции от но-
новых независимых переменных. Эти свойства инвариантности мы выра-
выразим с помощью соответствующих формул преобразования. Введем для
этого в случае функции от одной переменной вместо х перемен-
переменную ? и положим:
\ ж
так что
тогда
*1
[F] у Tidx = A f F{x, у + si], У + и/) dx | е=о
Отсюда следует в силу произвольности функции т] (ограниченной
только условием обращения в нуль на концах интервала), что
В случае двух независимых переменных получаем точно так же:
F(x,y, и, их, uy) = F[K(l, г{),у{1, г]), и, м$ 1Х + и^г1х, и,Zy-f и^иу] =
216 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
откуда
а&4> Г *(хУГ] F0)
Для большего числа независимых переменных выражение Эйлера
преобразовывается совершенно аналогичным образом.
Выражаемое нашими формулами свойство инвариантности дает нам
при преобразовании переменных в рассматриваемых диференциальных
выражениях помимо формальной наглядности формул преобразования боль-
большую экономию в вычислительной работе, так как при вычислении этих
формул мы можем обойтись без преобразования производных второго
порядка.
2. Преобразование выражения Ди. Полярные коорди-
координаты. Рассмотрим в качестве важнейшего примера подинтегральное
выражение и2х -\- и2 -\- и2. Пусть при преобразовании x = x(Z1, ?2, Ss),
j/ = у (?,, S2, Sg), z = z(Zly ?2, ?g) квадрат линейного элемента
dx2 -J- dy2 -f- dz2 переходит в выражение ^g/ftrf^rfSft, где
i.k
Ъх Ъх Ъу Ьу . bz bz
При этом определитель а, составленный из элементов glk, равен
квадрату функционального определителя х, у, z по ?а, ?2, ?3 * ^ас"
сматриваемое выражение u2x-\-wl-\- и2 преобразовывается при этом, как
легко убедиться, следующим образом:
где величины gk определяются посредством формул:
s Ъх Ъх^Ъу Ъу ~*z Ъг
и удовлетворяют соотношениям:
при k — l.
Отсюда мы непосредственно получаем формулу1)
1) Применяя формулу F0) для случая трех переменных к выражению
для которого
§ 8 Инвариантный характер диференциальных уравнений Эйлера 217
т. е. общую формулу преобразования выражения Ди при переходе к кри-
криволинейным координатам ^, ?,, ?3.
В том частном случае, когда if]2—?]з—?гз —^> т. е. когда новая
система координат также прямоугольна, так что координатные поверх-
поверхности ?j = const, ?2 = const, |3 = const пересекаются под прямыми
углами, формула F1) принимает следующий более простой вид:
F2)
Так, например, в случае полярных координат г, tp, Э:
х — г cos (p sin Ь, 3/ = ''sintpsin0, 2:=rcos&,
ds* = dr* -f r2 sin2 Щ*
и мы получим после небольшого вычисления:
F3)
Для случая двух независимых переменных $, jj имеют место совер-
совершенно аналогичные формулы. А именно, если ds2—ecfc2-\-2fd?dri -\- gdrf,
то мы получаем для диференциального выражения Ди следующую Инва-
Инвариантную форму:
Veg -Р I dS \Veg-pJ ^ Ц Weg—p
В частности в полярных координатах мы получаем:
,64)
F5)
3. Эллиптические координаты1). В качестве другого очень
важного примера рассмотрим эллиптические координаты.
Эллиптические координаты определяются как три корня р, о, т урав-
уравнения третьей степени относительно s:
s — e3
*) См. Jacobi С. G. /., Vorlesungen fiber Dynamik (Курс динамики, читан-
читанный в'Кенигсберге в зимнем семестре 1842-1843, изданный А. Клебшом, Берлин
1866, и вошедший в качестве дополнительного тома в полное собрание сочинений
Якоби, Берлин 1886), лекция 26, где читатель может найти подробный вывод при-
приводимых формул. Заметим также, что все следующие рассмотрения непосред-
непосредственно распространяются и на случай числа измерений большего трех.
218 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
где ег, с2 > ез СУТЬ некоторые заданные действительные числа. Корни р,
о, х действительны для всех действительных значений х, у, z, и при
ег имеют место неравенства:
Поверхности р = const представляют собой эллипсоиды, поверхно-
поверхности о = const — однополостньге гиперболоиды, а поверхности т = const —
двуполостные гиперболоиды. Прямоугольные координаты выражаются
через эллиптические координаты так:
_ (Р —ei)(q -gi)ft —
(e3
а для квадрата линейного элемента мы получаем:
(Р--°)(р—с> rfp2 + (g-T)(o-pj rf32
(Р —«i) (P — «¦) (Р — «в) (о — «i)(o —е8)(о — е3)
(х — «i)(x — в,) (X — е,)
Этот вид квадрата линейного элемента упрощается, если ввести
в качестве новых переменных функции
где
Если
чего можно всегда достигнуть подстановкой
' + ( + +
то, взяв в качестве нижнего предела рассматриваемых интегралов i = co,
мы получим, что
где ? означает эллиптическую функцию Вейерштрасса1).
Тогда квадрат линейного элемента принимает вид:
Л« = (р —о) (р —
*) Ср. Hurw.tz-Courant, Vorlesungen liber allgemeine Funktionentheorie und
elliptische Funktionen, 3-е издание, Берлин 1929, стр. 161—171.
Инвариантный характер диференциальных уравнений Эйлера
219
и согласно формуле F2) мы получаем для всякой функции Т от пере-
переменных
1
'(.-ЙО-ЧЧ- F9)
Введение интегралов t{ дает еще и то преимущество, что прямо-
прямоугольные координаты выражаются однозначными функциями от t/t ибо
в выражениях
у ^
Уе,—е2]/е.
Vp{t1)—e2yp(t2) —
Уе2—е3\/е
Vр (t,) — esV p (f2) -
l —e3
е2Ур(^)—е2
е3 У р (t3) — е3
G0)
стоящие в числителе корни могут быть, как известно, однозначно опре-
определены для всех значений tt, если задать знаки корней для начальных
значений этих переменных. Когда точка х, у, z перемещается внутри
одного октанта, то каждая из величин р, о, т пробегает соответствую-
соответствующий ей интервал, и когда какая-нибудь из координат р, о, т прини-
принимает предельное значение, лежащее на одном из двух концов соответ-
соответствующего ей интервала, то точка х, у, z попадает на части граничных
плоскостей октанта, указанные на черт. 1. Рассматриваемая здесь часть
октанта ограничена с внешней стороны эллипсоидом р = р1^>е, ; пло-
плоскость yz разбивается на две части
р — е1 и а = ел дугой „фокаль-
„фокального эллигса"
v2 z2
v П -^ |_ 1
а плоскость xz разбивается на
части а = е2 и 1 = е2 „фокальной
гиперболой"
е„—е„
— 1.
Черт 1. ,
Обозначая через со действи-
действительный, а через со' чисто мнимый период интегралов tt, т. е. полагая
со е„
JK/fl) )УШ
0, —00
220 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
. <о , со со -f- ю'
мы получаем, что когда tx изменяется от 0 до — , t2 — от — до —х-=—,
со 4- a' to' , , " •
a t3 — от —' — до "s- , то точка \х, у, z,) пробегает весь октант.
Если удвоить интервалы изменения переменных t(, то точки (х, у, г)
заполнят все пространство. Для того, чтобы какая-нибудь однозначная
функция от переменных t( была также однозначной функцией от коор-
координат х, у, z, необходимо, чтобы эта функция оставалась инвариантной
при всех тех подстановках переменных tt, которые преобразовывают
х, у, z в самих себя, например при замене 1г и t% через со — tx и со — tv
со со'
Положим: tx = u, tt = -=—\-iv, ta=~-\-w, ^(^),=/(к), pt^/^
= g{v), \> (t3) = h (w). Тогда действительным значениям х, у, z соответ-
соответствуют действительные значения и, v, w и мы получаем:
<&2=[/(«)-g(«)] [/(и) — A (w))du*+ [f {а) -g[v)} [g(v) - h(w)]dv* +
в этом выражении все коэфициенты никогда не отрицательны при
любых действительных значениях к, v, w, так как /(u)^e1^g(v)^
^ е2 ^= h ( w) ^ е3, тогда как в прежнем симметричном выражении для ds2
через ?j, t2, t3 диференциал dt2 имеет чисто мнимое значение, и квад-
квадратичная форма ds2 остается определенной положительной квадратичной
формой лишь вследствие того, что коэфициент при dt^ имеет всегда
отрицательное значение.
В качестве примеров вырождающихся эллиптических координат
мы рассмотрим здесь только два случая (помимо полярных координат,
которые также можно рассматривать как вырождающиеся эллиптические
координаты): во-первых, случай, когда координатными поверхностями
служат софокусные эллипсоиды, гиперболоиды вращения и их меридио-
меридиональные плоскости, и во-вторых, координатные системы, состоящие из
софокусных параболоидов вращения и их меридиональных плоскостей.
Пусть две из величин ер например et и е2 равны между собой. Мы
получаем тогда: »_ц 2 2
7=?+^=1- G2)
Оба корня s = \j, s=X2 этого уравнения вместе с углом <р, опре-
определяемым уравнениями x — rcosy, y — rsiny, r2 = x2-\-y2; образуют
рассматриваемую систему координат. Здесь
-'; 2* = -^ МЦ ??Ь; G3)
ез ei
где
>dt
> dt
== J K4 (X — в,) (X
§ 8 Инвариантный характер дифереициальных уравнений Эйлера 221
Отсюда мы получаем:
Если мы станем удалять одну из вершин эллипсоидов в бесконечность,
то, переходя к пределу а), мы получим два семейства софокусных пара-
параболоидов вращения, определяемых с помощью уравнения:
— 2z S-4-?i = 0. /771
I 1 (II)
-1
Обозначая через Xlf X2 кории этого уравнения, мы получим что
гиг выражаются через Xj, Xj следующим образом:
Координатами точки пространства служат здесь Хт, \ и ср. Квадрат
линейного элемента принимает вид:
^^? 4^II^jl-^) (*?-<$. G4)
где
h=J l^M), — ег) = ^Х, - ег , G5)
а диференциальное выражение Д7" имеет форму:
Отбрасывая в предыдущих выражениях для квадрата линейного эле-
элемента члены, содержащие ф, мы непосредственно получим фор-
формулы, выражающие квадрат линейного элемента в эллиптических и пара-
параболических координатах на плоскости г, г. Для Д7" мы получаем в
обоих случаях согласно формуле F4),
1 (Ш »Т\
причем связь между X; и tt выражается в случае эллиптических коорди-
координат формулой:
а в случае параболических координат формулой:
») Можно, конечно, при введении этих координат не ссылаться иа предыду-
предыдущее, но определить их непосредственно, исходя из семейств софокусных пара-
параболоидов вращения, заданных уравнением G7).
222 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
§ 9. Приведение вариационных проблем к канониче-
каноническому и инволюционному виду.
Метод множителей Лагранжа приводит к различном преобразованиям
вариационных проблем, одинаково важным как в теоретическом, так и
в практическом отношении. С помощью этих преобразований мы связы-
связываем заданную вариационную проблему с рядсм других вариационных
проблем, эквивалентных данной проблеме в том смысле, что функцио-
функционалы, рассматриваемые во всех этих проблемах, однсвременно дости-
достигают своего стационарного значения. Такого рода преобразования
вариационных проблем важны, с одной стороны, в чисто формальном
отношении, благодаря своему симметричному и наглядному характеру;
с другой стороны, эти преобразования приводят в очень многих случаях
к противопоставлению проблеме минимума с минимальньм значением d
рассматриваемого функционала другой эквивалентной ей проблемы
максимума с тем же числом d в качестве максимального значения
соответствующего функционала, и мы непосредственно получаем отсюда
практически важный способ нахождения численных пределов, между ко-
которыми заключается это экстремальное значение d]).
1. Преобразование обыкновенных проблем минимума
с добавочными условиями. Для лучшего понимания дальнейшего
мы предпошлем некоторые замечания относительно обыкновенных про-
проблем минимума с конечным числом независимых переменных и рассмо-
рассмотрим ряд преобразований этих проблем, основанных на следующем непо-
средствено очевидном основном пр'инципе: Если функция /(х,, JCS,..., xn)
имеет в точке xt = bt (/=1,2,..., п) сп.ационарнсе значтие при
заданной системе добавочных условий, и если числа ^ удоелетьоряют
некоторому coi тношению г (Е3, , ?„) = 0, то фу нкция f остается
стационарной в точке л:/= kt также и в том случае, если л ы с са-
самого начала присоединим к даъной системе дсбавсчных условий в каче-
качестве еще одного добавочного условия соотношение г (xvxs, ,хп) — 0.
Начнем со следующей проблемы:
I. Требуется найти стационарное значение функции f(x, у) при
добавочном условии g(x,y)=O; при этом должны выполняться
обычные условия непрерывности и диференцируемости, и, кроме того,
gx~\-gy должно быть отлично от нуля в точке стационарности.
Применяя правило множителей Лагранжа, мы заменяем проблему I
следующей эквивалентной ей проблемой:
П. Найти стационарное значение функции F(x, у; X)=/(jc, j)-f-
-\-^g(x,v), рассматриваемой как функция от трех назависимых пере-
переменных х, у, 1. Условие стационарности dF—О Еквивалентно трем
соотношениям:
0 Эту практическую сторону вопроса мы сможем систематически развить
только во втором томе Укажем згесь на ра'оту Е. Treffti'a „Ein Gegenstuck zum
Ritzschen Venahnn'. Труды второго международного конгресса по технической
механике, Цюрих 1927, стр 131, где впервые было произведено с помощью этого
способа вычисление пределов, между котороши заключается искомый экстремум.
§ 9 Приведение вариационных проблем 223
Обратно, исходя . из проблемы II, мы можем тотчас же свести ее
к проблеме I, присоединяя на основании нашего общего принципа
к условиям проблемы в качестве явно выраженного добавочного усло-
условия соотношение #=0, само собой выполняющееся при достижении
фунцией F(x, v;X) своего стационарного значения.
Из проблемы II мы можем дальше получить другую эквивалентную
проблему, т. е. проблему, имеющую те же точки стационарности, при-
присоединяя в качестве добавочных условий оба других соотношения, вы-
выполняющихся для решения проблемы II. Мы тогда получаем проблему:
III. Найти стационарное значение функцци F(x,y;l)=f(x, y)-\-lg(x, у)
при добавочных условиях fx-\-^gx = Q, fy-\-^gy=^- Предполагая,
что в окрестности точки стационарности можно из последних двух
уравнений выразить х и у в виде функций от I, мы получим, подставляя
эти значения х, у в функцию F{x, у; \), что F(x, у; Х) = ф(),), и это
приводит нас к' еще одной проблеме, эквивалентной предыдущим,
а именно:
IV. Найти стационарное значения функции ф(Х). Уточним теперь
полученные нами результаты, требуя, чтобы в искомой точке рассматривае-
рассматриваемые функции были не только стационарны, но и достигали максимума
или минимума. Предположим, что в проблеме I, которую мы теперь
обозначим через I', функция / в точке х, у действительно имеет мини-
минимальное значение / (х, y) = d. Мы рассматриваем тогда проблему:
II'. (F(k, у; ),)=/-)- lg—min при постоянном X; предположим, что
для любого значения )., содержащегося внутри некоторой окрестности
значения ), = ),, определенного с помошью правила множителей Лагранжа,
функция F(x, у; 1) имеет действительно минимум, который мы обозна-
обозначим через с?Х = ф A) и который характеризуется уравнениями fx-\-lgx—O,
\\g -=0. Тогда имеет место неравенство:
ибо проблема I' с минимумом d получается из проблемы II' с минимумом dx
путем присоединения к этой второй проблеме добавочного условия
g= 0, ограничивающего область изменения точек сравнения. Пред-
Предполагая дальше, что уравнения fr-\-^Sr = O, /у-Ь^=О однозначно
определяют хну как функции от 1, мы получаем, что rf = rfx, так что
т. е. d является максимумом функции ф (X) или другими словами, наи-
наибольшим из наименьших значений фукции F=±f-\- \g, причем мини-
минимум мы находим при постоянном \, а затем, изменяя X, мы находим
то значение X, при котором наименьшее значение функции F достигает
максимума. Мы можем поэтому при выполнении наших предположений
характеризовать d с помощью проблемы:
III'. F(x, у; l)=f-\-lg=max = d при добавочных условиях fx-\-
\gx = {), /y_J_X^j, = 0. Чтобы пояснить геометрически эту задачу на-
' хождения максимума наименьших значений, рассмотрим следующий щм.-
мер: f=(x-\- lJ-|-j/2 = imn при добавочном условии ?=2лг = 0, или
224 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
в геометрической формулировке: найти низшую точку вертикальной
параболы, по которой параболоид z — (лг -\- \f-\-y2 пространства х, у, z
пересекается плоскостью л;=0. Этой низшей точкой будет, очевидно,
вершина этой параболы. Непосредственно очевидно, что наименьшее
значение функции z = (х -\-1 J -\-у* при рассматриваемом добавочном усло-
условии равно d—\. Если мы теперь рассмотрим параболоид z=f-\-\g^=
= (х-\-\-\- 1J-\-у2 — 2),— I2, где X постоянно, то этот параболоид
при всяком \ проходит через интересующую нас параболу, и вершина
этого параболоида всегда лежит ниже вершины параболы. При изменении
X вершина параболоида перемещается, и самым высоким из всех
возможных положений вершины параболоида, выше которого она не мо-
может подняться, является вершина неподвижной параболы. Вершина на-
нашей параболы является таким образом самой высокой из низших
точек рассматриваемых параболоидов.
2. Инволюционное преобразование простейшей ва-
вариационной проблемы. Аналогичные рассмотрения приводят нас
к преобразованию вариационных проблем. Основой этих преобразований
служит следующий общий принцип, аналогичный принципу, формулиро-
формулированному в п. 1: Если функционал J[u,v, ] при заданных условиях
непрерывности и добавочных условиях достигает стационарного
значения для некоторой системы функций и, v, и если эта си-
система функций удовлетворяет некоторым заданным соотношениям,
то функционал J остается стационарным для этой системы функ-
функций также и в том случае, если одно или несколько из этих соот-
соотношений заранее присоединить к добавочным условиям проблемы.
Соотношения, получающиеся путем приравнивания нулю вариации
функционала, т. е. уравнения Эйлера и естественные граничные условия,
мы будем называть естественными условиями, а добавочные или гранич-
граничные условия, входящие в состав условий1 задачи, назовем предваритель-
предварительными условиями. Тогда из нашего принципа следует, что если для
какой-нибудь вариационной проблемы присоединить одно или не-
несколько из соответствующих естественных условий к предварительным
условиям задачи, то стационарный характер рассматриваемого выражения
сохраняется и для новой проблемы.
Рассмотрим сначала проблему простейшего типа:
г1'
I. Найти стационарное значение интеграла 7=\ F (х, и, и')йк при
обычных условиях непрерывности и граничных условиях:
к(л:о)-ко = О, к (*!)-«! = О (80)
и с добавочным условием
?—.-0. (8.)
Мы рассматриваем, таким образом, с самого начала нашу вариационную
проблему как проблему с двумя неизвестными функциями и и и', удо-
удовлетворяющими диференциальному уравнению (81), рассматриваемому
§9 Приведение вариационных задач 225
как добавочное условие. Правило множителей Лагранжа показывает, что
решения задачи I являются в то же.время решениями следующей задачи:
II. Найти стационарное значение выражения:
Н[и,иЧ;
где неизвестными являются функции и(х), и'(х), 1(х) и параметры
]i0 и jAj, причем в этой новой проблеме на искомые функции^ не. нала-
налагаются никакие грацичные и добавочные условия. Условия обращения
в нуль первой вариации, т. е. диференциальные уравнения Эйлера и
естественные граничные условия имеют для нашей задачи следующий
вид:
Fa,-l = O, (81)
для внутренних точек интервала и
! = 0 (85)
l = 0. (86)
для концов интервала.
Эти уравнения получаются непосредственно путем приравнивания
нулю первой вариации. Если исключить из этих уравнений 1, ]i0, jt,,
то мы* получим, разумеется, диференциальное уравнение Эйлера для
функции и (х).
Присоединяя к задаче II на основании нашего общего принципа
условия -z и' = 0; и(х0) — ко = О, «(*]) —й]=0 в качестве пред-
предварительных условий, мы снова вернемся к задаче I. Если же мы
введем в качестве таких предварительных условий уравнения (82),
(83), (85), соответствующие естественным условиям проблемы I,
то мы получим преобразование, открытое только в самое последнее время
Фридрихсом (Friedrichs) и имеющее большое значение для применений
вариационного исчисленияг).' ''Получающаяся таким путем задача III
может быть формулирована в таком же виде, как и задача I, если
путем интегрирования по частям устранить из подинтегрального выраже-
du
ния интеграла Н производную -.- и ввести затем новые переменные р,
р1 и новое подинтегральное выражение ЧР (х, р, р') с помощью уравнений:
Fa. = p, Fa=p>, ptf+p'u-F^V. (87)
*) Friedrichs К.,, Е'п Verfahren der Variationsrechnung (Об одном приеме
вариционного исчисления), Известия Научного Гёттингенского общества (Nach-
richten der Oes. d. Wiss zu Gettingen), 1929, стр. 13—20.
15 Курант-Гильберт.
226 Основные понятия вариациониого исчисления Гл. IV
Для того чтобы это преобразование (так называемое преобразование
Лежандра) имело смысл, мы должны предположить, что из первых двух
уравнений можно выразить кик' через р, р' и xf полученные значе-
значения к и к' мы должны подставить в левую часть последнего уравнения.
Это условие будет выполнено, если
/V«< ha — {Рш/ JФ 0 (88)
для всех рассматриваемых значений х, и и к'.
Мы получаем таким образом эквивалентную задаче I задачу *)
IV. Найти стационарное значение выражения
— \ Ч? (х, р, р') dx + р (хг )иг—р (хс)и0
при добавочном условии -j-—р' = 0, Не ставя никаких граничных
условий.
Естественные условия проблемы IV гласят:
для внутренних точек интервала и
на концах интеграла. Согласно нашему общему принципу, с помощью
которого мы преобразовали задачу I в задачу IV, эти естественные усло-
условия должны совпадать с предварительными условиями проблемы I.
В самом деле, это непосредственно следует из того, что преобразова-
преобразование обратное рассматриваемому преобразованию Лежандра задается
уравнениями:
Из этих же формул следует далее, что применяя преобразование
Фридрихса к задаче IV, не содержащей граничных условий, мы снова
вернемся к исходной проблеме I. Это преобразование обладает, та-
таким образом, инволюционным характером и преобразовывает есте-
естественные условия одной проблемы в предварительные условия другой.
Особенный интерес представляет тот частный случай, когда под-
интегральное выражение F вариационной задачи либо вовсе не содер-
содержит и, либо зависит от к линейно, т. е. когда
F(x,u,u')=g(x,u')-\-uf(x).
') Эту задачу можно рассматривать как аналогичную задаче VI, п. 1.
§ 9 Приведение вариационных задач 22?
В этом случае рассматриваемое преобразование Лежандра не яв-
является обратимым для любых заданных р и />'. Но видоизменив соот-
соответствующим образом наше общее преобразование, мы непосредствен-
непосредственно получим, что в этом случае вариационная задача I эквивалентна
г1
следующей: — \ Ф (р) dx ~\-р (хг) иг —р (дг0) и0 = стационарному значению,
при добавочном условии -^-=f(x). При этом р и Ф(р) связаны с не-
неизвестной функцией и и подинтегральным выражением первоначальной
задачи с помощью преобразования:
P=g*; — Ф (р) ^е(и') — и'р;
мы предполагаем при этом, что из уравнения gnf=p можно обратно выра-
выразить и' через р. Новая задача представляет собой существенное упро-
упрощение по сравнению с первоначальной задачей. В самом деле, добавоч-
добавочное условие определяет искомую функцию р(х) с помощью квадратуры
с точностью до аддитивного параметра.
Чтобы найти этот параметр, мы должны решить обыкновенную за-
задачу экстремума.
Таким образом путем рассматриваемого преобразования мы сво-
сводим в этом особом случае нашу вариационную задачу к обыкновен-
обыкновенной задаче экстремума.
Уточним теперь наши рассмотрения и, поступая так же, как и в п. 1,
рассмотрим наши преобразования не только как преобразования ста-
стационарных значений одного функционала в стационарные значения дру-
другого, но и спросим себя,' как влияют эти преобразования на минимумы
или максимумы функционалов.
Повторяя- рассуждения п. 1, мы придем к следующему результату:
Если для первоначальной задачи I (которую мы теперь назовем
задачей V) мы имеем минимум, равный d, то для задачи IV (которую
мы теперь назовем задачей IV1) это же значение d служит макси-
максимумом.
Как ив п. 1, это утверждение справедливо лишь при выполнении
известных ограничительных условий; а именно, мы требуем, чтобы при
любой произвольно заданной вспомогательной функции Х(я), имеющей
кусочно-непрерывную производную, выражение //, положенное нами в
основу в 'проблеме II стр. 225, действительно достигало минимума dx,
зависящего от X, если только мы заранее предположим, что 1 {хЛ) -J- jij = О,
^ (•*()) Ч~ Но = О х). Задача нахождения йх приводит нас, если мы устраним
в интеграле Н путем интегрирования по частям производную функ-
функции и, к задаче:
') Если бы X (дг0), X (Xj), |i0, щ не удовлетворяли этим условиям, которые сами
собой должны выполняться для решения нашей задачи, то при таком выборе
*(¦*)> Со и 14 рассматриваемый функционал не может никогда достигнуть мини-
минимума, ибо каковы бы ни были и и и', вариация функционала всегда может
быть сделана отличной от нуля.
228 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
III. Найти минимум выражения:
считая X (х) заданной функцией. Соответствующие решения и и и' этой
задачи удовлегворяют тогда уравнениям:
Fal-l = O, ^e-^=0. (89)
Сделаем теперь по аналогии с п. 1 дальнейшее предположение, что
уравнения (89) однозначно определяют функции и и и1 при любых \
и —. Так как задача Г с минимумом d получается из рассматри-
рассматриваемой задачи II' путем присоединения ограничительных добавочных
йи
условий — и1 — 0, и (хс) — и0 = 0, и (jCj) — кх = 0„ то отсюда сле-
следует, что d"^dx. С другой стороны, решение и задачи Г удовлетво-
удовлетворяет уравнениям (89) при \~\ = Fur, так как уравнения (89), по пред-
предположению, однозначно разрешимы ^относительно и и и', то отсюда сле-
следует, чго d\=d.
Отсюда вытекает, что
d = max dx.
Но проблема IV заключается как раз в разыскании максимума dx, так
что наше утверждение доказано.
Достаточным признаком выполнения наших предположений являются
условия:
для всех и и х рассматриваемой области и при любом значении и'. В самом
деле, мы уже видели на. стр. 207, что тогда решение уравнения Эйлера
дает минимум. Ht> из этих неравенств следует точно так же существова-
существование минимума dy задачи II'; ибо уравнения (89) вместе с неравен-
неравенствами (90) являются условиями того, чтобы подинтегральное выражение
интеграла Н, рассматриваемое как функция от независимых переменных
и и и1, само достигло минимума при значениях и, и', определяемых из
уравнений (89), для любого значения х; тем более это справедливо и
для ишеграла Н.
В заключение" покажем, как этот переход от проблемы минимума
к проблеме максимума с помйщью преобразования Фридрихса может
быть выведен совершенно непосредственно, если имеют место усло-
условия (90). Само преобразование Фридрихса получается при этом само
§ 9 Приведение вариационных задач 229
собой. Формула Тейлора приводит при выполнении неравенств (90) к не-
неравенству:
F(u, и') — F(v, V) — (u — v)Fv — (и' — v1) Fv, ^ 0,
причем знак равенства имеет место лишь при u = v и u' = v'. Если мы
напишем это выражение в форме:
F(u, и>)-[F(v, v') -vF,—dFJ -uFv-u> Fv,
и введем вместо переменных v и •»' новые переменные р и р* с помощью
преобразования Лежандра
то для любых и, и*,р,р' имеет место неравенство:
F(x, и, и') + Ф (дг, р, р') — up1 — и'р S* 0,
причем равенство имеет место лишь тогда, когда функциям р и'р1 соот-
соответствуют функции v=u и v'=u'. Если мы проинтегрируем это не-
неравенство в пределах от д;0 до хг, предполагая при этом, что к, и',р, р1
являются функциями от х, удовлетворяющими условиям:
^ — и' = 0, -*—/>' = 0, и(*0)-и0 = 0, в(*,) —в, = 0,
то мы убедимся, что интеграл от левой части этого неравенства никогда
не отрицателен и обращается в нуль тогда и только тогда, когда функ-
функция и является решением "задачи I', a p является решением задачи IV.
Задача
f [F-b* — upl-u>p]dx=[Fdx-\- [Vdx + uopixo) — ulP(x})=min
Xq Xq Xo
при перечисленных выше предварительных условиях имеет, таким образом,
своим решением эти значения функций к и р, и минимум равняется нулю.
Но это утверждение равносильно формулированной нами выше теореме
относительно взаимоотношения, существующего между задачами I' и IV.
3. Приведение вариационной задачи к канониче-
каноническому виду. Формулированный в п. 2 в общем виде принцип преобра-
преобразования охватывает другое, давно известное и важное преобразование
вариационных проблем, заключающееся в приведении этих задач к
каноническому виду.
Диференциальное уравнение Эйлера второго порядка заменяется при
этом преобразовании' системой диференциальных уравнений первого по-
порядка. Это преобразование, не имеющее аналогичного себе преобразова-
преобразования среди преобразований обыкновенных задач экстремума, рассмот-
рассмотренных в п. 1, получается путем присоединения к задаче II уравнений
(82) и (86) в качестве предварительных условий. Мы тогда приходим
сперва к задаче.
На. Найти стационарное значение интеграла:
230 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
при граничных условиях и(д:0) = к0, a(jc,) = «j, где и и и' следует
рассматривать как два независимых функциональных аргумента.
Если мы теперь введем вместо и' новый функциональный аргумент г)
а вместо подинтегрального выражения F(x, и, и') введем новое подинте-
гральное выражение:
Ф (х, и, р)=ри> — F(x, и, и')
(мы предполагаем при этом, что
так что из уравнения p = Fu, можно обратно выразить и' как функцию
от р, и -и х), то мы получим эквивалентную задачу:
JJ6, Найти стационарное значение интеграла
при граничных условиях и{хй) = ий, и(хг) — иг. При этом выражения,
фигурирующие в эквивалентных задачах I и II б, связаны между собой
преобразованием Лежандра
обратным преобразованием которого, является, как легко видеть, пре-
преобразование:
Ф ' 1 Ф
Мы называем этот вид вариационной задачи каноническим видом.
Приравнивая нулю вариацию этого интеграла по р и к, мы получим
канонические диференциальные уравнения вариационной задачи:
^ + ф о, ^-Фр = 0.
dx ' " dx p
Совершенно аналогично мы можем привести к каноническому виду
и вариационную задачу с л неизвестными функциями иг(х),..., ип(х).
Что касается характера экстремума, то, не перечисляя подробно всех
необходимых условий, формулируем лишь следующий результат. Если
для задачи I имеется налицо минимум d, то это число d будет jj
канонической задаче служить наибольшим из наименьших значений
в том смысле, что для того, чтобы найти это число d, мы должны сперва
найти наименьшее значение функционала при постоянном р и варииру-
ющем к, а затем, вариируя р, должны найти наибольшее из этих наи-
наименьших значений, зависящих от функции р,
4. Обобщения. Вышеизложенную теорию преобразований вариа-
вариационных проблем, как это само собой очевидно и не требует никаких
«) р равняется, таким образом, фигурирующему в задаче Ц множителю
Лагранжа. ' i
§ 9 Приведение вариационных задач 231
особых пояснений, можно непосредственно распространить как' на случай
задач, содержащих многие неизвестные функции и их производные
высших порядков, так и на те задачи, в которых функциональный
аргумент является функцией от многих независимых переменных.
Мы ограничимся рассмотрением одного особенно простого примера
вариационной задачи с функциональным аргументом, зависящим от
двух независимых переменных, соответствующего рассмотренному в п. 2
частному случаю, когда подинтегральиое выражение не содержит в явной
форме функции к, а именно рассмотрим преобразование классической
вариационной задачи Дирихле:
Задача I.
где и есть функция, имеющая в области G кусочно-непрерывную
производную и принимающая на границе заданные неподвижные гранич-
граничные значения и —f(s), где через s мы обозначаем длину дуги границы Г
области С. При этом предполагается, что граница Г области О пред-
представляет собой кривую, имеющую кусочно-непрерывно вращающуюся
касательную.
Заменяя в нашей задаче обе частные производные функциями pug
и присоединяя добавочные условия — р = 0, ¦—¦ — ^ = О, мы
приходим, применяя правило множителей Лагранжа, к задаче II:
Найти стационарное значение выражения:
-J
p(s)[u—/(s)]ds.
При этом ~к(х,у), ]з.(х,у) и p(s) являются множителями Лагранжа. Пре-
Преобразовывая двойной интеграл путем интегрирования по частям, мы по-
приведем проблему II к следующему виду:
-J-1 и(^^—[-^^"p^M+P G?)/E) ^s ^ стационарному значению,
г
При этом — означает диференцирование по внешней нормали, а ц
обозначает, как обычно, граничные значения' функции к,
Составив уравнения Эйлера и уравнения, выражающие естественные
граничные условия этой задачи, присоединим следующие из них»
232 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
к предварительным условиям задачи в качестве добавочных условий:
р — V=0, q— }i = 0,
di . du. . -v- Ъх by .
5* + ^ = °' ^ + 1Л^-Р==0:
мы получаем тогда следующую эквивалентную задачу III:
p(s)f (s)ds = стационарному значению,
G Г
с добавочными условиями:
на .границе и
Ъх Ъу
внутри области. Этим произведено преобразование Фридрихса.
Мы упростим проблему, если заранее удовлетворим второму добавоч-
добавочному условию, введя функцию ~v{x,y) с помощью уравнений:
Тогда
— Ъх.~ йу
Р Ъп ' qHn~
где — означает производную .от граничной функции v щ> направлению
положительной касательной к Г, и наша задача переходит в задачу IV:
^ + \ ^/И rf стационарному зна-
чению.
Входящий в это выражение криволинейный интеграл можно, впрочем,
легко преобразовать с помощью интегрирования по частям в интеграл
— \ "of (s) ds.
г
Эта новая задача имеет под знаком двойного интеграла подинтег-
ральное выражение такого же типа, как и проблема I. В то время как
решение проблемы- I дает функцию, удовлетворяющую уравнению потен-
А Э2н . й2к п
циала а и = —--\- — = 0 и имеющую на границе заданные значения
оХ ду
f(s), вторая задача дает также потенциальную функцию, которая в силу
§ 10 Вариационное исчисление 233
естественных граничных условий является потенциальной функцией,
сопряженной с к.
Наконец, чтобы убедиться в том, что минимуму выражения, рассмат-
рассматриваемого в задаче I, соответствует численно ему равный максимум
выражения, рассматриваемого в задаче IV, проще, всего поступить
так: вычтем из интеграла, рассматриваемого, в задаче I, выражение,
рассматриваемое в задаче IV, и с помощью очень простого преобра-
преобразования представим эту разность в виде:
j
G
Задачи I и IV, взятые вместе, эквивалентны, задаче нахождения ми-
минимума этого последнего интеграла при единственном граничном усло-
условии и =f(s). Но минимум этого интеграла равен нулю, и он достигается,
если функция и является решением соответствующей краевой задачи
теории потенциала, а функция v — сопряженной с и потенциальной функ-
функцией, так как функции и и v удовлетворяют диференциальным уравне-
йи й» Ъи bv _ .
ниям - = —, —=—* — . Отсюда следует, что между задачами I
й* йу ?у йлг
и IV существует формулированная выше зависимость.
§ 10. Вариационное исчисление и диферен ци альные
уравнения математической физики.
1. Общие соображения. Вариационное исчисление является
надежнейшим средством при выводе и исследовании диференциальных
уравнений математической физики. Если идет речь о задачах (устой-
(устойчивого) равновесия, то "можно положить в основу вариационный прин-
принцип минимума потенциальной энергии, тогда как законы процессов
движения проще всего формулируются с помощью вариационного прин-
принципа Гамильтона. Мы займемся в этом параграфе формулировкой важ-
важнейших типичных проблем теории диференциальных уравнений матема-
математической физики, исходя из названных двух вариадионных принципов.
Рассмотрим сначала систему с конечным числом'я степеней свободы.
Пусть положение системы определяется значениями я параметров qv
q2,..., qn. Требуется выразить эти параметры в виде функции от
времени t. Представим себе, что механические свойства системы заданы,
с одной стороны, с помощью кинетической энергии этой системы
T(qJt..., <?„, <7ii- • -5 qn, t), которая является функцией от я скоростей qt,
п координат qt и времени t и притом квадратичной формой относи-
относительно скоростей:
п
и, с другой стороны, потенциальной щнергией системы U(qlt.. .,qn, t),
которую мы считаем'функцией от qv q2,.. ,,qn и t. Принцип Гамильтона
234 Основные понятия вариационного исчисления Гл. iy
гласит так: В течение промежутка времени между моментами t0 и tt
движение системы происходит так, что функции qt(t) делают ста-
стационарным интеграл f
J=\(T—V)dt
по сравнению с такими достаточно близкими функциями qt(t), для
которых 9Д<о) = 9/(*о) и ?i (*i)= 0i (*i)- Или Другими словами. При
действительном движении интеграл J имеет стационарное значение
по сравнению со всеми достаточно близкими возможными движениями,
при которых система в течение заданного промежутка времени пере-
перемещается из того же, начального положения в то же самое конеч-
конечное положение, как и для действительного движения.
Согласно § 3 принцип Гамильтона непосредственно приводит к общим
уравнениям движения Лагранжа:
4-Ат^)-4г(Т-и) = ° (/=1,2,..., и). (91)
Предполагая, что Т и U не содержат в явном виде t,, мы получим из
этих уравнений движения условия равновесия, приравнивая нулю в урав-
уравнениях (91) все производные по времени. Мы получаем:
^=0 (/=1,2,..., л), (92)
т. е. механическая система с потенциальной энергией U(qlt q2,..., qn)
находится в равновесии для некоторой системы значений координат- glt
q2, , qn тогда и только тогда, если при этих значениях координат
потенциальная энергия имеет стационарное значение.
Для устойчивости равновесия является сверх того необходимым и до-
достаточным, чтобы функция U достигала минимума при соответствующих
значениях координат. Этот факт можно доказать, исходя из уравнений
движения; мы, однако, предпочитаем рассматривать это положение как
независимый постулат и класть его в основу при исследовании проблем
равновесия.
Особенно простым характером обладает движение системы в том слу-
случае, когда процесс движения протекает поблизости от положения устой-
устойчивого равновесия системы. Не ограничивая общности, мы можем пред-
предположить, что это положение равновесия характеризуется обращением
в нуль всех координат qt.
Рассматривая только такие состояния движения, при которых система,
остается настолько близкой к положению равновесия, что мы можем пре-
пренебречь высшими степенями координат и их производных по времени, и
предполагая, что Т и U не содержат в явном виде t, мы можем считать
Т определенной положительной квадратичной формой относительно q(
постоянными коэфициентами alk:
п
§ 10 Вариационное исчисление 235
и точно так же мы можем рассматривать U как определенную положи-
тельну юквадратичную форму относительно д{ с постоянными коэфи-
циентами bltt:
п
Уравнения движения переходят тогда в систему линейных диференциаль-
ных уравнений второго порядка с постоянными коэфициентами:
которым подчиняются „малые колебания" около положения устойчивого
равновесия и которые будут исследованы нами в следующей главе.
Точно таким же образом мы будем исходить из принципа Гамильтона
и соответственно из принципа минимума потенциальной энергии и при
исследовании систем, рассматриваемых в механике непрерывно распреде-
распределенных масс, положение которых уже не определяется с помощью конеч-
конечного числа координат. Здесь потенциальная и кинетическая энергии
уже не являются функциями от конечного числа переменных и их
производных, но выражаются интегралами, распространенными по объ-
объемам, поверхностям или линиям, по которым распределены рассматривае-
рассматриваемые системы.
2. Колебания струны и -стержня. Простейший пример дают
колебания однородной струны (или нити), которая в положении покоя
(соответствующем состоянию устойчивого равновесия) совпадает с отрез-
отрезком 0 гд: х ^ / оси х и которая находится под действием постоянного
натяжения |Л и может совершать небольшие поперечные колебания около
положения равновесия. Обозначим через и(х, i) отклонение точки струны
от ее положения равновесия, равное расстоянию этой точки от оси х.
Это отклонение и (х, t) и будет искомой функцией от двух независимых
переменных х и /. Мы предполагаем, что колебания струны настолько
малы, что мы можем пренебрегать более высокими степенями функции и
и ее производных по сравнению с более низкими степенями. Допустим
сначала, что концы струны закреплены, т. е. пусть к @, t) = u(l, ^) —0.
Кинетическая энергия струны задается интегралом
где р означает линейную плотность струны. Потенциальная энергия и
пропорциональна растяжению струны, т. е. увеличению длины струны
по сравнению с ее длиной в состоянии покоя, причем фактор пропор-
пропорциональности равняется натяжению ц. Но пренебрегая членами высших
i
порядкрв, мы можем считать изменение длины \ \^1 -\-и\\йх~1 равным
236 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
1 г.
интегралу — \u2dx, и мы получаем поэтому следующее выражение для
2 б
потенциальной энергии: |
о
Тогда принцип Гамильтона требует, чтобы интеграл
г * ее
\ G- U)dt=*-j \ \ (р и2,-
*
имел стационарное значение, причем в качестве функций сравнения до-
допускаются все функции и (д:, t), имеющие кусочно-непрерывные произ-
производные и обращающиеся в нуль при л; = О и х — 1 и совпадающие при
t = t0 и t = t1 с функциями u(x,t0) и и(х, ?,), изображающими форму
струнь^ в начале и конце промежутка (t0,17) при действительном дви-
движении. Отсюда мы получаем на основании общих принципов вариаци-
вариационного исчисления, при постоянных р и ц, следующее диференциальное
уравнение (в частных произвбдных) колебаний струны:
р«я —лв„—0. (93)
Если на струну действует внешняя сила f(x, t), то в выражение потен-
циальной энергии входит еще добавочный член — \f(x,t)udx, так что
Ъ
в этом случае мы получаем диференциальное уравнение:
]Ltixx=f(x,t). (94)
Положение устойчивого равновесия струны, находящейся под дей-
действием внешней силы, задается согласно нашему общему принципу мини-
минимумом интеграла
причем мы предполагаем, что внешняя сила f(x) не зависит от времени;
уравнение Эйлера этой вариационной задачи имеет вид:
и получается также как частный случай из уравнения движения (94).
Чтобы получить уравнения поперечных. колебаний стержня, мы
исходим из определения стержня как одномерного множества непре-
непрерывно распределенных материальных частиц, имеющего в состоянии
покоя прямолинейную форму и обладающего тем свойством, что при-
приобретаемая им при деформации потенциальная энергия пропорцио-
пропорциональна интегралу от квадрата-кривизны, распространенному по длине
§ 10 Вариационное исчисление 237
стержня. Предполагая снова, что мы имеем право пренебречь более вы-
высокими степенями функции смещения к (д:, t) и ее производных по срав-
сравнению с более низкими степенями, мы получаем для потенциальной
энергии деформации выражение вида:
i
¦L dx'
тогда как кинетическая энергия сохраняет то же выражение, как и для
случая колебаний струны. Предполагая, кроме того, в общем случае
наличие внешней силы f(x, t), мы получаем отсюда на основании прин-
принципа Гамильтона следующее диференциальное уравнение движения:
тогда как условие равновесия под действием внешней силы f{x) имеет вид:
Для решения наших вариационных задач первостепенное значение
имеет вопрос,- каким граничным или другим предварительно налагае-
налагаемым ограничительным условиям должно подчиняться искомое решение:
Вместо случая неподвижных концов, характеризуемого условиями.
а@) = и(/) —0 для струны или и @) ^= их @) = и (/) = их (I) = 0. для
стержня с наглухо закрепленными концами, мы можем также рассматри-
рассматривать случай, когда концы остаются свободными, и мы получаем тогда,
пользуясь методами § 5, естественные' граничные условия, которые для
струны гласят:
ux(O,t)=ux(l,t) = O, (95)
а для стержня:
ихх @, t) = uxx (/, t) = 0; иххх @, t) = uxxx (/, t) = 0. (96)
Если концы струны-не абсолютно неподвижны, но удерживаются с
помощью упругих сил, то к предыдущим выражениям для потенциальной
энергии присоединяются еще члены, обусловливаемые силами, действую-
и и
щими на концах, а именно члены кг ^- и2 @, t) и k2 ? и2 (/, t). Эти члены
не изменяют уравнения движения (94), но зато мы получаем теперь, как
и в § 5, естественные граничные условия вида:
«,@, t) = h1u(Ot t); ux(l, t)=—h2u(l, t)
В остальном сошлемся на дополнения к настоящей главе, где
в п. 15 будет проведено исследование более общих граничных условий
для случая колебаний стержня.
3. Мембрана и пластинка. Принципиальная постановка вопроса
остается такой же, как раньше, и в случае плоской мембраны и пла-
пластинки. Под мембраной мы понимаем упругую материальную поверхность,
плоскую в состоянии покоя, потенциальная энергия которой пропорцио-
пропорциональна изменению площади поверхности, причем множитель пропорцио-
пропорциональности мы назынаем натяжением. Пусть мембрана покрывает в состоянии
238 Основные понятий вариационного исчисления Гл. IV
покоя часть G плоскости х, у; обозначим через к (л:, у) перпендикулярное
к плоскости х, у смещение точки мембраны, и пустьэто смещение доста-
достаточно мало в том смысле, что мы можем пренебрегать более высокими
степенями величин к, их, и по сравнению с более низкими степенями.
Тогда мы можем заменить выражение площади поверхности
и2у -f-1 dx dy
интегралом
ГС/ «2-4-и2Д
dxdy,
и мы получаем в качестве искомого выражения потенциальной энергии
с точностью до постоянного множителя двойной интеграл:
§( $ (97)
G
Рассмотрим сначала задачу равновесия мембраны. Предположим,
что прогиб мембраны и (х, у) имеет на. границе Г области G заранее
заданные значения и = к (s), где s означает длину дуги линии Г, и
предположим далее, что на мембрану не действуют никакие внешние
силы. Тогда функция к, выражающая прогиб в положении равно-
равновесия, определяется следующей вариационной проблемой: для искомой
функции и (х, у), интеграл
должен иметь минимальное значение, если в качестве функций сравнения
допускать все непрерывные в замкнутой ябласти О функции к, при-
принимающие на границе заданные граничные значения и (s) и которые
внутри области имеют непрерывные производные первого порядка и
кусочно-непрерывные производные второго порядка 3).
Диференциальное уравнение Эйлера гласит:
Проблема равновесия эквивалентна, таким образом краевой задаче этого
диференциального уравнения в частных производных (уравнения потен-
потенциала), т. е. нахождению решения диференциального уравнения, удов-
удовлетворяющего данным граничным условиям.
Рассмотрим теперь несколько бодее общий случай.' Пусть мембрана
находится под действием внешней силы, поверхностная плотность которой
во внутренних точках мембраны задается функцией/(х, у); пусть, далее,
граница мембраны является свободно подвижной, и пусть на этой границе
действуют внешняя сила с;линейной плотностью p(s) и упругие силы,
4) Для решения этой задачи, которой мы займемся впоследствии, имеет,
впрочем, большое значение то, что мы имеем право отбросить требование непре-
непрерывности вторых производных; от чего решение задачи не изменяется.
§ 10 Вариационное исчисление 239
'стремящиеся удержать границу в положении равновесия, и пусть мо-
модуль упругости этих снл, расчитанный на единицу длины, равняется § (s).
Тогда потенциальная энергия мембраны с прогибом и(х, у) задается
выражением:
(Т [?(«* + 4)—/« \d* аУ + [ \p(s)u + ±o(s)uA ds. ^
G Г
Положение равновесия здесь также характеризуется тем, что интег-
интеграл достигает минимума, причем допустимые функции сравнения здесь
не должны быть подчинены никаким граничным условиям, но должны
только удовлетворять формулированным выше требованиям непрерывно-
непрерывности. Диференциальное уравнение Эйлера (условие равновесия во внутрен-
внутренних точках мембраны) здесь гласит, если принять, что'}Л=П
а в качестве естественного граничного условия получается уравнение:
о/г
Эти два требования вместе снова составляют краевую задачу.
Из этого общего граничного условия мы можем в качестве предель-
предельного случая получить простейшее граничное условие к=0, полагая
р = 0 и заставляя а стремиться к бесконечности.
Если а = 0, то наша проблема равновесия, вообще говоря, не имеет
решения. С точки зрения физики можно заранее считать вполне
вероятным, что мембрана, свободно подвижная над областью G, под
действием совершенно произвольных сил не имеет в общем случае
устойчивого положения равновесия и что устойчивое положение рав-
равновесия мембраны возможно только в том случае, если мы заранее по-
потребуем, чтобы все действующие внешние силы взаимно уравновешивались.
В самом деле, этот результат непосредственно следует из нашего вариацион-
вариационного принципа, а именно: для того чтобы наше выражение для потенциаль-
потенциальной энергии могло иметьнижнюю грань в случае а = 0, необходимо, чтобы
имело место равенство:
Г
pds= 0. (98)
G Г
Чтобы в этом убедиться, дадим прогибу к в нашем выражении Энергии
постоянное значение с. Тогда величина энергии будет равняться левой
части уравнения (98), умноженной на постоянную с. Поэтому, если левая
часть уравнения (98) отлична от нуля, то, выбрав достаточно большое
по абсолютному значению с, мы получим, если подберем соответствую-
соответствующим образом знак числа с, сколь угодно большое по абсолютному зна-
значению отрицательное значение потенциальной энергии U, и поэтому
множество значений энергии U не имеет нижней грани. Если же выпол-
выполняется условие (98), то решение нашей вариационной задачи или
проблемы равновесия не является единственным, ибо, прибавив к' реше-
решению произвольное постоянное слагаемое' с, мы ничем не изменим
240 Основные понятия вариационного исчислений Гл. IV
выражения энергии U и вместе с тем значение ее минимума. Чтобы
сделать решение однозначным, мы должны поэтому подчинить и некото-
некоторому добавочному условию. Обычно берут для этого условие:
•У
которое означает, что центр тяжести мембраны остается в положении
покоя. Уравнения движения мембраны "мы получаем с помощью принципа
Гамильтона, положив в основу следующее выражение для кинетической
энергии:
(99)
Если на поверхности мембраны действует внешняя сила с поверхно-
поверхностной плотностью f(x, у, t), а на границе мембраны — граничная сила
с линейной плотностью P(s. t), и если, кроме того, имеется упругая связь
о (s), то принцип Гамильтона требует, чтобы выражение:
!(
— \Apudsdt
имело стационарное значение.
Диференциальное уравнение Эйлера гласит для нашей проблемы так:
— putt+f(x, у, 0 = 0,
а естественные граничные условия принимают вид:
^ ) = 0. A00)
Если же речЬ идет о закрепленной мембране, для которой граничные
значения заранее заданы в виде функции от длины дуги, то условие
A00) отпадает и заменяется заданием этих граничных значений.
Тогда как для задачи равновесия принцип минимума непосред-
непосредственно приводит к краевой задаче диференциального уравнения в том
виде, в каком эта задача действительно ставится физическими условиями
проблемы, и здесь, как мы позже увидим, вариационная задача выра-
выражает по су*ги дела самое существо физической проблемы, значение
принципа Гальмитона заключается прежде всего в той формальной про-
простоте, с которой получается с помощью этого принципа диференциаль-
диференциальное уравнение проблемы. Чтобы, однако, действительно получить решение
этого уравнения, необходимо ввести, кроме тех пространственных гра-
граничных, условий, которые либо сами получаются из принципа Гамильтона,
либо-^заранее задаются, еще другие предельные условия, относящиеся
ко времени t. Прн применении принципа Гамильтона мы считаем, что
§ 10 Вариационное исчисление 241
допустимые функции сравнения имеют заранее заданные значения в два
заданных момента времени t0 и tv Однако в проблемах движения мате-
математической физики в общем случае не всегда задаются такого рода
предельные условия в отношении переменного /. Обычно задается, помимо
граничных условий, только начальное состояние, / т. е. для функций
и (х, у, t) и ut (х, у, t) задаются значения этих функций в момент t = 0.
Таким образом проблемы движения приведут нас к проблемам теории
диференциальных уравнений смешанного типа, т. е. к проблемам, в ко-
которых заданы как граничные, так и начальные условия.
Совершенно аналогично обстоит дело и с уравнением колебаний
пластинки.
Пластинкой мы называем упругую материальную поверхность, плоскую
в состоянии покоя, которая при деформации приобретает потенциальную
энергию, равную интегралу от некоторой квадратичной формы от главных
кривизн поверхности, получающейся при изгибании пластинки. Если обо-
обозначить главные радиусы кривизны деформированной пластинки через pj, р2,
то подинтегральное выражение для потенциальной энергии имеет вид:
лМ-4-V В
где А и В суть некоторые постоянные, зависящие от материала пластинки;
так как величины и, их,..., согласно допущению, достаточно малы, то
мы .можем положить
искомая потенциальная энергия изгибания задается поэтому выражением
вида:
с точностью до посгоянного множителя, зависящего от материала пла-
пластинки, который мы считаем равным единице.
К энергии Ux присоединяются еще энергии внешних сил, действую-
действующих на поверхности и на границе пластинки, а также при известных
обстоятельствах еще и энергия заданных на границе изгибающих моментов.
Сумма этих энергий выражается интегралом:
U2 == \\ /и dx dy -j- \ р (s) uds -\- \m(s)— ds, ¦
JJ J J Ъп
G Г Г
где плотности сил, действующих на поверхности и на границе, и изгиба-
изгибающих моментов, действующих по нормали к границе пластинки,'заданы
функциями
f(x,y), p{s) и m(s).
Равновесие снова характеризуется условием, чтобы функция и(х, у)
была подобрана так, чтобы сумма ?/, -f- U2 достигала минимума, причем
16 Куравт-Гидьберт.
242 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
для допустимых функций сравнения и требуется непрерывность произ-
производных вплоть до производных четвертого порядка (впрочем это требо-
требование можно значительно смягчить, не меняя этим решения гфоблемы).
Чтобы получить для нашей проблемы уравнения Эйлера и естественные
граничные условия, мы должны согласно § 5 составить* вариацию
Ьи=Ьиг-\-Ьи2 и приравнять ее нулю.
Мы получаем:
ЫГг = [f (ДДи hi) dxdy — \ Mb^ds — [𧫠ds,
о г г
причем
М(и}=- [РАи + {\-Миххх* + 2"хухпУп + "УуУ2п) ] '
Р («) — ^ А и -Н1 — И) A Uxxxnxs-\- иху {xnys-\-xsyn) + иууупу\
(хп' Уп и xs> Уз означают здесь направляющие косинусы внешней нормали п
и касательной s). Из условия 8?/=0 мы получаем в качестве условий
равновесия, во-первых, диференциальное уравнения Эйлера:
и, во-вторых, так как на границе не заданы никакие ограничительные
условия, то мы получаем естественные граничные условия:
Р(и)—р = 0 и М(и) — т = О.
Если пластинка закреплена вдоль границы, т. е. если на границе и
и — имеют значение нуль, то эти естественные условия отпадают и
дп
должны быть заменены условиями:
и==0 и *? = 0.
Ъп
Если же пластинка только подперта 'на границе, т. е. если только
сама граница пластинки неподвижна, тогда как касательная плоскость
к поверхности пластинки остается, вдоль границы подвижной и может
вращаться вокруг касательной к границе, то мы получаем граничные
условия:
=0*). A02)
Чтобы получить для пластинки диференциальное уравнение движения
(диференциальное уравнение колебаний пластинки), мы попрежнему поль-
пользуемся принципом Гамильтона, вводя для кинетической энергии "зыраже-
*) Для вариапионных задач пластинки характерно, что выражение
Которое в качестве выражения типа дивергенции не оказывает никакого влия-
влияния на уравнение Эйлера, играет решающую роль по отношению к виду есте-
естественных граничных условий.
§ 11 Дополнения и задачи к четвертой главе 243
пне (99). Мы получим тогда, с одной стороны, диференциальное уравнение:
ДД «-j-p«w=O
или в более общем случае:
и„+/(*, у, 0 = 0
и, с другой стороны, соответствующие граничные условия, которые
получаются таким же образом, как и выше для случая пластинки, на-
находящейся в состоянии равновесия. Чтобы полностью охарактеризовать
действительный процесс движения, мы должны к этим граничным усло-
условиям присоединить еще начальные условия, характеризующие начальное
состояние, т. е. задать функции и(х, у, 0) и ut(x, у, 0).
§ 11. Дополнения и задачи к четвертой главе.
1. Вариационная задача, соответствующая задан-
заданному диференциальиому уравнению. Для всякого заданного
обыкновенного диференциального уравнения второго порядка
у=/(х,у, у):
всегда можно найти такую функцию F[x,y,y'), чтобы уравнение [F]=0,
будучи разрешено относительно у", было эквивалентно данному дифе-
ренциальном^. уравнению (ср. Bolza О., „Vorlesungen liber Variations-
rechnung, стр. 37—39)^
2. Закон взаимности изопериметричсск,их задач.
Экстремали задачи
?
?
/=\ F(x, jn,
при добавочном условии
К= I G (х, у, у') dx=const
совпадают с экстремалями задачи /f=extremum, J=const, за исклю-
исключением отмеченного выше особого случая (§ 7, п. 1).
3. Световые лучи, имеющие форму окружностей. Если
скорость света пропорциональна у, то световые лучи представляют собой
окружности, центры которых лежат на оси х.
4. Задача Дидоны состоит в том, чтобы отрезать участок воз-
возможно большей площади, граница которого имела бы заданную длину.
Требуется решить об^щенную задачу, предполагая, что почва рассмат-
рассматриваемого участка земли не всюду равноценна, но плодородность почвы
является некоторой функцией места р (лг, у). Поэтому речь идет о нахож-
нахождении наибольшего значения интеграла \\ pdxdy, распространенного по
о
участку, «окруженному линией заданной длины. Составить диференциальное
' уравнение экстремалей.
16*
244 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
5. Пример пространственной'вариационной задачи.
Шар является той замкнутой поверхностью, которая имеет наименьшую
площадь по сравнению со всеми поверхностями, замыкающими тот же
объем (см. указания у Blaschke W., „Kreis und Kugel, Лейпциг 1916).
Если требуется найти поверхность наименьшей площади,^ограниченную
заданной линией и замыкающую вместе с некоторой заданной поверх-
поверхностью, проходящей через ту же линию, данный объем, то в качестве
экстремалей получаются поверхности постоянной средней кривизны. Если
отбросить последнее условие относительно объема, то мы получим выведен-
выведенное уже в § 3, 4 диференциальное уравнение минимальных поверхностей:
+4) ^-2^%,-ьО +*?)«,,=о,
которое выражает обращение в нуль средней кривизны.
6. Изо пери метр ическая задача на кривой поверхно-
поверхности имеет экстремалями кривые постоянной геодезической кривизны (ср.
Blaschke W., „Vorlesungen fiber Differentialgeometrie und geometrische
Grundlagen von Einsteins Relativitatstheorie", т. 1, изд. 3, стр. 154—155,
Берлин 1910).
7. Индикатриса и ее применения1). При рассмотрении
задачи нахождения экстремума интеграла \ ft (x, у, х, у) dt (где %
'о
является положительной однородной функцией первого измерения относи-
относительно х к у) вводят кривую
где ? и т) мы считаем прямоугольными координатами точки на плоскости
?, J], а х, у являются постоянными параметрами.
Эта кривая называется индикатрисой („Eichkurve").
С помощью этой кривой можно геометрически истолковать много
важных соотношений. Соответственным образом, для пространствен-
пространственной задачи рассматривается в качестве индикатрисы поверхность
%(Х,У, z, ?, J], С) — 1 („Eichflache") в пространстве ?, т], С.
Направление (Ьх, Ьу) трансверсально к направлению (х, у), если
У (* 'А
по уравнение касательной к индикатрисе в точке I -^, -ge I
\(У О')
имеет вид:
/е х \ / у\
\ ?У/ \ ?У/ '
или
Таким образом трансверсальное направление совпадает с направле-
направлением касательной к индикатрисе в точке пересечения индикатрисы
*) См. Caratheodory С, Ober die starken Maxima und Minima bei einfachen Inte-
gralen.Math. Annalen, т. 62, стр. 449—503, 1906.
§ 11 Дополнения и задачи к четвертой главе 245
с лучом, соединяющим начало координат с точкой д:, у. Поэтому, если
мы спросим себя, для каких проблем трансверсальность совпадает с орто-
ортогональностью, то мы получим, что индикатриса должна пересекать
в этом случае под прямым углом лучи, выходящие из начала коорди-
координат, т. е. она должна быть окружностью с центром в начале координат.
В силу однородности функции $ мы получаем отсюда, что
§= (х, У, х, у) = <р (*, у) V х2 + у*.
Далее, для того чтобы соотношение между направлением экстремали
и трансверсальным направлением было симметричным, необходимо, чтобы
индикатриса обладала следующим свойством: если провести через на-
начало координат О прямую, параллельную касательной к индикатрисе
в точке Р, то касательная в точке пересечения индикатрисы с этой
прямой должна быть параллельной лучу ОР.
Рассмотрение индикатрисы оказывается особенно полезным для иссле-
исследования ломаных экстремалей, т. е. экстремалей, имеющих в не-
некоторой точке (xv ул) угловую точку. Спросим себя, когда может дать
экстремум линия, состоящая из двух дуг, из которых одна соединяет
точку (лт0, у0) с точкой (хг, 'уг) и имеет в последней точке направле-
направление (х~, у~), а другая идет^от точки (хг, yt) до точки (х2, у2) $ имеет
в точке (jCj, у^) направление {х+, yf). Вдоль тех кусков кривой, вдоль
которых она имеет непрерывно вращающуюся касательную, кривая
должна, как всегда, удовлетворять уравнениям Эйлера. Чтобы получить
условия экстремума, которые должны выполняться'в угловой точке (х,, у^),
включим нашу экстремаль в семейство линий
имеющих при t = t-y угловую точку, где ? (t) и j] (t) непрерывно дифе-
ренцируемы и обращаются в нуль на концах. Составим теперь- первую
вариацию, т. е. продиференцируем по ? и положим s = 0. Если мы это
проделаем для каждой из двух дуг экстремали в отдельности, то остаются
только члены, содержащие вариации координат угловой точки (xt, yt)^
Внешние члены, содержащие вариации координат концов (л:0, v0) и (х2,у2),
обращаются в нуль, если считать- эти концы неподвижными, а оба инте-
интеграла исчезают в силу экстремального характера обеих дуг.
Таким образом остается уравнение:
&, 1i{t1)fy {х, у, х+
и так как ?(?,) и ij(?,) произвольны, то мы получаем отсюда условие
Вейерштрасса-Эрдмана для угловых точек:
т. е. касательные к индикатрисе в точках пересечения индикатрисы
с векторами (х~, yj^) и (д;+, у+) должны совпадать.
246 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
Обе касательные к экстремали в угловой точке направлены парал-
параллельно лучам, соединяющим начало координат с точками касания двой-
двойной касательной к индикатрисе.
8. Вариация интеграла с переменной областью ин-
интегрирования. Если в интеграле
У== \ F(x, и, u')dx
вариирует не только функция и, но и пределы интегрирования х0 и xv
зависящие от некоторого параметра ?, то в выражении первой вариации
'интеграла сверх обычных членов появляется еще дополнительный член"
обусловленный вариацией области интегрирования, и вариация имеет,
в этом случае следующий вид:
87= ( {[F]a§« -f {Falhuy} dx-\- (FbxK^, A03)
где
a [F]n означает выражение Эйлера для функции F.
Аналогичная формула имеет место и для случая двух измерений,
(а также, разумеется, для большего числа измерений), когда область
интегрирования G вариирует и зависит от параметра е. Чтобы вычи-
вычислить вариацию интеграла
= j j
о
, у, к, их, uy)dxdy,
представим себе, что вариирующая область G*, изменяющаяся в зави-
зависимости от параметра ?, может быть отображена на первоначальную
область G с текущими координатами х, у с помощью одно-однознач-
одно-однозначного и непрерывно диференцируемого преобразования:
содержащего параметр s и совпадающего при ? = 0 с тождественным
преобразованием х"' = х, у*=у. В области G* пусть точке (**, у*)
соответствует новое значение функции и*=и*(х*,у*; г), и пусть к-
выражается через первоначальные переменные функцией:
ti*=U(K,y;s). A04')
Таким образом имеет место соотношение:
иЦХ, Y;s)=V(x,y;s).
В семействе поверхностей и*(х*, у*; г), отдельные члены которого
задаются уравнениями A04), A04') при постоянном ? в параметрическом
§ И Дополнения и задачи к четвертой главе 247
виде с "Параметрами х, у, содержится и наша исходная поверхность
и(х, у) при ? = 0.
Составим теперь, интеграл
Де) = j[ F[x*, у*; в* (**, у*; е), и^ (**, у51; г), нр, (ж*, у*; ?)] rfx* rfy*
о*
и преобразуем его в интеграл, взятый по постоянной области G, путем
введения х, у в качестве независимых переменных. Мы получаем :
J F) = f f F YX, Y, и* (X, Y; в), в*, (*, Г; е), и^, (^, Y; в)]
f f F YX, Y, и*
о
Мы должны теперь составить вариацию, диференцируя по ? и при-
приравнивая k нулю. Введем для удобства следующие обозначения:
«' (Jf, F;
Мы получаем т.огда:
Изменим вид этого интеграла, выразив предыдущие вариации функ-
функций и*, обусловленные одновременным вариированием величин х, у и ?,
через вариации этих функций при неизменных х и у, т.е. через вариации
где черта над знаком вариации означает, что изменяется только пара-
параметр е, тогда как х и у остаются неизменными.
Вариация функции и при вариировании независимых переменных
связана с вариацией Ьи соотношением;
ш ~ Ъи -f ujx + uyby. A05)
Таким же образом
Введя эти выражения в &/, мы получаем:
== JT
248 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
или
где п означает внешнюю нормаль, a s — длину дуги границы Г области G.
(Последнее выражение для tJ легко, впрочем, вывести непосредственно
геометрическим путем, разлагая вариацию интеграла J на две части: одну
часть, обусловленную вариацией интеграла при неизменной области инте-
интегрирования, и другую, вызываемую исключительно вариацией области;
при этом вариацию области можно определить с помощью смещения
точек границы, и при вычислении вариации интеграла J можно допу-
допустить, что вектор смещения п направлен по нормали к границе, а ве-
. te . . Ъу
личина нормального смещения ол: -—\- оу ~ пропорциональна числу ?
oft oft
и зависит от смещаемой точки границы.
9. Теоремы Э. Нетер (Е. Noether) относительно инва-
инвариантных вариационных задач. Интегралы диферен-
циальных уравнений механики1). Рассмотрим преобразование:
я* = Х*(х,у,и;а), )
y*=Y*{x,y,u;a), \ A06)
m* = {7*(x, у, и; a), J
зависящее от непрерывно изменяющегося параметра а. Всякой поверх-
поверхности и = а (х, у) приводится при этом в соответствие семейство по-
поверхностей u* — u*(t*, у*; а), зависящее от а и задаваемое в параме-
параметрическом виде (с параметрами х, у) уравнениями:
х* = Х*[х,у,и(х,у);а[ = Х(х,у\а),
у*= Г* [х, у, а (х, у); а] = Y(x, у; а),
u*=U*\x, у, и (х, у); а] = U(x, у, а).
Нулевому значению параметра а пусть соответствует тождественное
преобразование.
Допустим, что при преобразовании A06) интеграл
о
J
о
не изменяется, т. е. пусть для всякой области G имеет место равенство:
G*
где через G* обозначена область, пробегаемая точкой (х*, у*), когда
точка (л;, у) пробегает область G.
l) Noether E., Invariante Variationsprobleme, Nachr. Ges. Gottingen (math,
phys. Kl.), стр. 235—257, 1918.
§ 11 Дополнения и задачи к четвертой главе 249
Тогда, очевидно,
и мы получаем согласно формуле, выведенной к предыдущем номере:
причем мы здесь полагаем, как и раньше:
Ьх
(ЪХ*\ 1ЬХ\
=a U— = a —
\Ъа }a = 0 \Й2/П=О J
и принимая во внимание формулу A05), мы получаем:
-(и'Ли'>*)а = о™-(и; + и>у)а = 0*У- 009)
Так как. уравнение A07) имеет, по условию, место для любой
области G, то подинтегральное выражение в правой части этого урав-
уравнения должно тождественно обращаться в нуль, т. е.
Соответствующие формулы получаются и для большего числа зави-
зависимых переменных. Так, например, если интеграл
J = | I F(х, у, и, v, ux, vVl uy, vy) dx dy,
остается неизменным при непрерывных преобразованиях:
л* = X* (х, у, и, v; а), у*= F* (ж, у, и, v; a),
и* = U* (х, у, и, v; a), v* = F* (х, у, и, v; a),
то мы получаем:
[F]u Ьи + [F]v bv i- ^ (FUx Ьи + F^S, + Fbx) +
250 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
где
8и = <
a „о
A09')
Эти формулы непосредственно распространяются на случай, когда
искомые функции зависят только от одного независимого переменного
или же от многих независимых переменных. Для случая одного незави-
независимого переменного мы получаем отсюда для экстремалей рассматрива-
рассматриваемой вариационной задачи путем интегрирования первый интеграл:
Fa, Ьи -f- /v Iv + Fbx — Ca,
где С—произвольная постоянная,1 а выражения Ьи, ov, Ьх являются
известными функциями от х, определяемыми формулами, соответствую-
соответствующими формулам A08) и A09').
Проверим этот результат на примере
I F(u, u')dx=tnm.
Так как подинтегральное выражение не содержит в явном виде х,
то оно остается неизменным при непрерывном преобразовании:
отсюда получается для экстремалей - интеграл: F—u'Fu>= const, что
совпадает с результатом, который был нами непосредствен но уже выве-
выведен в § 4.
Если известно семейство преобразований, не изменяющих инте-
интеграла J и зависящих от нескольких параметров, то оно дает нам воз-
возможность получить столько же первых интегралов (для случая одного
независимого переменного) или представить в виде дивергенций столько же
линейно независимых комбинаций выражений Эйлера (для.случая мно-
многих переменных), сколько имеется параметров в данном семействе пре-
преобразований.
Все эти факты могут быть пояснены па примере интегралов дифе-
реьциалъных уравнений движения системы материальных точек.
Траектории точек свободной системы задаются экстремалями проблемы:
ч
I r С
J
где
§11 Дополнения и задачи к четвертой главе 251
а потенциальная энергия зависит только от взаимного положения мате-
материальных точек, т. е. не изменяется при таком изменении положения
псей системы в целом, при котором сохраняется взаимное расположение
точек системы друг относительно друга.
Рассматриваемый интеграл допускает поэтому, например, непрерыв-
непрерывное преобразование:
t* — t, х* = х-\-а, у*—у, г* = г
(так что ot = oy = oz=O, Ьх — а)
или преобразование вида:
t* = t, х*=х cosa-\-ysina, у* = — х sin a -{• у cos a, z:'-: — z
(так что 5/== 6^- = 0, Ьх = ау, оу =— ах).
Отсюда следует на основании предыдущего:
Т'х = X тх — const>
(УТХ — х Ту) = 2^ т (ху —ух) — const.
Эти интегралы вместе с четырьмя другими, получающимися из них
перестановкой координат х, у, г, выражают закон движения центра
тяжести и закон площадей.
Интеграл живой силы в случае, когда Т и U не содержат в явном
виде времени t, получается аналогичным образом на основании замеча-
замечания, что интеграл
допускает в этом случае преобразование t' = t-\-a, ot = a.
(Подробнее см. Bessel-Hagen E., „Ober die Erhaltungsgesetze der Elektro-
dynamik", Math. Ann., т. 84, стр. 258—276, 1921.)
Если интеграл J не изменяется при преобразованиях, содержащих
произвольную функцию р от независимых неременных х, у и ее про-
производные до порядка k:
х,у, it, v, р{х, у), -~Р(х, у), . . . , ^ р(х, ,v)J ,
то отсюда следует тождественное обращение в пуль некоторой линей-
линейной комбинации выражений Эйлера и их полных производных до по-
порядка k, т. е. уравнения Эйлера не являются независимыми между
собой.
Простейшим примером является однородная форма простого интегралу:
252 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
Этот интеграл не изменяется, если заменить
/, x(t), y{t), x(t), y(t)
через
«М. -ВMl. ,VMl.
Отсюда следует, согласно предыдущему, что выражения Эйлера
и [$] связаны между собой соотношением:
(ср. формулу C1) на стр.187).
Более подробные указания, дальнейшие обобщения и различные
применения к механике, электродинамике и теории относительности чи-
читатель ийэжет найти в вышеупомянутой статье Э. Нетер и приведенных
там работах.
10. Трансверсальность для случая кратных интегра-
интегралов. Если требуется найти минимум интеграла
Я
F(x, у, z, xn, yu, zu, xv, уг, zv) dudv,
6
при условии, чтобы граница искомой поверхности [х (и, v), у (и, v), z (и, v)\
лежала на заданной поверхности <р(х, у, z) — 0, то мы получаем, фор-
формально распространяя на этот случай процесс, примененный для кривых,
граничное условие:
тх
F
Уп
= 0,
однако необходимость этого условия до сих пор еще не удалось дока-
доказать (см. Bolza О., „Vorlesungen uber Variationsrechnung", стр. 670).
11. Диференциальные выражения Эйлера на про-
произвольной поверхности. Пусть кривая поверхность простран-
пространства р, q, r задана в параметрическом виде:
p=p{Z,ri), q = q$,ri), r = r(z, ij),
и пусть ds2 =eds? -\- 2fdudr^-\-gdrt2 есть квадрат линейного элемента
этой поверхности. Тогда выражение
не зависит от выбора параметра. Поверхностному интегралу
Q[u, и] Veg —
соответствует выражение Эйлера:
§ 11 Дополнения и задачи к четвертой главе 253
и поэтому выражение
не зависит от выбора параметров.
12. Принцип Томсона в электростатике. Пусть внутри
некоторого конденсатора, т. е. области G, заключенной между зам-
замкнутыми поверхностями Г:, Г2, напряжение электрического поля имеет
компоненты и, v, w. Пусть выполнено условие отсутствия источников:
ux+vy-\-w, = O, (ПО)
и пусть заданы заряды Q и —Q на обеих поверхностях Г, и Г2:
\ A11)
(ил: 4- vyn 4- wzj dS = — Q
(см. обозначения на стр. 242).
Тогда условие электростатического равновесия заключается в том,
чтобы энергия поля, равная с точностью до постоянного множителя,
зависящего от материала конденсатора, интегралу
у (f
2) dx dy dZt
имела наименьшее значение.
Отсюда мы получаем на основании правила множителей Лаграижа,
обозначая через \(к,у,г), jlx-, и ji2 множители уравнений (ПО) и A11),
в качестве уравнения Эйлера:
и=-Лх, v = \, ^ = Хг, A12)
а в качестве естественных граничных условий:
A=jx2^=const на
Г1, \
12, j
т. е. вектор напряжения поля с компонентами и, v, w является градиен-
градиентом потенциала X, имеющего на поверхностях Тг и Г2 постоянное зна-
значение и удовлетворяющего уравнению потенциала ДХ = О.
Этот же результат можно получить без помощи правила множите-
множителей, представляя на основании добавочного условия их -{- v + wz = О
вектор (и, v, w) в виде ротора некоторого другого вектора и элимини-
элиминируя этим путем это добавочное условие.
13. Проблемы равновесия упругого тела. Принцип
Кастилиано (Castigliano). Чтобы формулировать условия равно-
равновесия для трехмерных упругих тел, приведем некоторые определения
и основные факты классической теории упругости, не останавливаясь
подробно на их физическом значении.
254
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
Пусть рассматриваемое тело заполняет в состоянии покоя область G~
пространства (х, у, z), ограниченную кусочно-гладкой поверхностью.
Пусть это тело под влиянием каких-нибудь сил выводится из со-
состояния покоя и принимает некоторое новое положение равновесия,
причем каждая точка (х, у, z) смещается на вектор, имеющий компо-
компоненты и, v, W. Обусловленное смещениями и, v, w изменение формы
тела характеризуется величинами:
?12
= у К
?3i — -2-
1
1
~2
1
vx)> ?i3 = -2-
1
A14)
называемыми „простыми деформациями", и, кроме того, „расширением":
Возникающие же при деформации упругие силы характеризуются
системой девяти компонент натяжения:
J21
J12
ъ22
si3
^33'
являющихся функциями от координат х, у, z и удовлетворяющих усло-
условиям симметрии S12 = S21, S»3 = S32 и S31 = Si3. Эти натяжения свя-
связаны с простыми деформациями согласно закону Гука следующими со-
соотношениями:
==0?
21?
A15)
== й?
32'
= й?
зз
где. а и b — постоянные, зависящие от материала упругого тела.
Пусть на внутреннюю точку (х, у, z) тела действует объемная сила,
объемная плотность которой имеет компоненты Рг, Р2, Р3. Кроме тЬго,
пусть на поверхности тела действует поверхностная сила, поверхностная
плотность которой в точке (х, у, z) имеет компоненты р-,, р2, р3.
Тогда условия равновесия выражаются внутри тела уравнениями:
ос>п I <!г§1 I __21 _1_ р о
Л*- ~Т~ л„ 1 ч_ 1*1 v>
' "•" Ъу~ + i>z
32
йу
+ '
J33
= 0, J
A16)
§ II Дополнения и задачи к четвертой главе 255
тогда как на поверхности должны выполняться условия:
n *n + Sayn + S31zn - Pl = 0, }
\ A17)
Задача заключается в том, чтобы найти натяжения и простые де-
деформации, если заданы, во-первых, объемные силы Рл, Р2, Р3, дей-
действующие внутри тела, во-вторых, поверхностные силы рг, р2, ря, дей-
действующие на некоторой части Тг поверхности тела, тогда как на остальной
части Г2 этой поверхности заданы смещения и, v, w1), так что на Г2
и — и, v = v, w=w.
Состояние равновесия снова характеризуется принципом минимума
потенциальной- энергии и определяется путем решения проблемы I
о нахождении минимума выражения:
U [и, v, w] =
= у f f f [
о
+ 2eI25I3 + ^А-г + ^Лз + ^A+^S^dx dy dz
причем при составлении вариации этого выражения мы рассматриваем
в качестве функциональных аргументов смещения и, v, w, принимающие
на части Г9 поверхности тела заданные значения и, v и та». Чтобы вы-
выразить U через и, v, w, мы должны с помощью уравнений A15) выра-
выразить натяжения 5 через простые деформации б, а простые деформации е
выразить через смещения и, v, w с помощью уравнений A14).
Вариируя интеграл U [и, v, w], мы без труда получим в качестве
условий равновесия уравнения A16) для внутренних точек тела G и урав-
уравнения A17) для точек, лежащих на части поверхности Гг
Состояние равновесия можно определить также и другим путем,
вводя вместо принципа минимума потенциальной энергии принцип мини-
минимума работы деформации. Вывод этого так называемого принципа Ка-
стилиано и доказательство эквивалентности этого принципа принципу
минимума потенциальной энергии проще всего получить, применяя пре-
преобразование Фридрихса.
Для этой цели умножим первоначальные условия A14) и A18) (рас-
(рассматриваемые как предварительные условия) на соответствующие множи-
множители, проинтегрируем их и прибавим к выражению U.
Уравнения Гука A15) рассматриваются при этом исключительно как
уравнения, определяющие величины .S, и остаются без измененияг Решая
получающуюся таким путем вариационную задачу (считая при этом
введенные множители произвольно вариирующиУи функциями), мы опре-
*) Можно также задать на поверхности смещение по нормали и тангенциаль-
тангенциальную составляющую силы или же тангенциальное смещение и нормальную соста-
составляющую силы. Части поверхности Tt и Г2 могут, конечно, в частности совпасть
со всей поверхностью тела.
256 Основные понятия вариационного исчисления Гл. IV
деляем эти множители согласно приведенной нами равьше схеме из
условия обращения в нуль первой вариации и приходим затем (заменяя
предварительные условия естественными, и наоборот) к следующей вариа-
вариационной задаче, эквивалентной нашей предыдущей задаче:
.si S31)dxdydz~
— \ \
г»
Это выражение мы должны вариировать по натяжениям S, подчинен-
подчиненным добавочным условиям A16) внутри G и A17) на Гг При этом
простые деформации е должны быть заменены их выражениями через
натяжения согласно уравнениям A15), а „силы реакции" р , действующие
на части поверхности Г2, должиы быть выражены через натяжения согласно
уравнениям A17). — В качестве диференциальных уравнений задачи полу-
получаются так называемые „условия интегрируемости", которых мы здесь не
приводим в явном виде. Согласно общей теории выполнение этих условий
эквивалентно существованию „смещений" и, v, w, связанных с натяжениями
5 посредством уравнений A14) и A15) и принимающих на поверхности
Г2 заданные значения и, v, w.
Значение принципа Кастилиано заключается в теоретическом отно-
отношении в том, что он служит очень важным примером, подтверждающим
общий закон двойственности вариационных задач. В механике прин-
принцип Кастилиано имеет особенно важное значение, так как в ряде спе-
специальных случаев практически проще пользоваться этим принципом, чем
принципом минимума потенциальной энергии. Это, например, относится
к соответствующему принципу в теории изгиба балок, который сводится
к обыкновенной задаче минимума.
14. Принцип Кастилиано в теории балок. Покажем на
типичном примере, как принцип Кастилиано в теории балок выводится
из принципа минимума потенциальной энергии. Рассмотрим балку, на-
наглухо закрепленную на левом конце дг=—/, подпертую в середине
лг=О и подверженную на правом конце х = 1 действию силы Рг и
момента Мг. Пусть, кроме того, балка имеет непрерывно распределен-
распределенную нагрузку с плотностью д{х) на единицу длины. Если обозначать
через и (X) вертикальный прогиб балки, то потенциальная энергия зада-
задается выражением:
-I
В положении равновесия балки это выражение должно достигнуть
минимума, есаи брать в качестве допустимых функций сравнения все
непрерывные и непрерывно диференцируемые функции и(х), удовлетво-
удовлетворяющие условиям:
и(—1)=0, и'(—/) = 0, и@) = 0, A19)
причем вторая производная и"(х) предполагается кусочно-непрерывной.
§ .11 Дополнения и задави к четвертой главе 257
Чтобы получить естественные условия, определяющие решение нашей
задачи, введем функцию М{х) =—«"(•*) (равную изгибающему мо-
моменту с точностью до множителя, зависящего от материала). Эти усло-
условия выражаются тогда следующим образом: внутри обоих промежутков
( — /, 0) и (/, 0) функция М (х) и ее первая и вторая производные не-
непрерывны и удовлетворяют уравнениям:
(Af-0)--AI<+0)
M
Чтобы получить принцип" Кастильяно, преобразуем предыдущую ва-
вариационную задачу следующим образом:
1. Заменим в U производную и"(лг) через — М(х).
'2. Умножим, уравнение М (х) -}- и", (х) =± 0 и уравнения A20) на про-
произвольные множители и, проинтегрировав уравнения X(/W-j-^)==O и
ц (М-\-и")=0, прибавим полученные интегралы к выражению U.
3. Приравнивая нулю вариацию составленного таким путем выраже-
выражения, мы получим ряд уравнений, из которых мы можем выразит* про-
произвольные множители через М. Заменяя в вариируемом выражении про-
произвольные множители их найденными значениями, мы получим выражение,
равное взятой со знаком иинус „работе деформации":
4- [m*(x)dx,
так что задача сводится к нахождению минимума этого интеграла, при-
причем допустимыми функциями1 сравнения являются функции М (х), дважды
непрерывно диферендируемые внутри каждого иа промежутков (—/, 0)
и @, /) и удовлетворяющие добавочным условиям A20).
Из этих добавочных условий можно определить функцию М(х)
с точностью до одной произвольной постоянной интегрирования (напри-
(например одной из реакций в подпертых точках или момента в точке закре-
закрепления), и данная вариационная проблема сводится к обыкновенной
задаче иа минимум для определения этой постоянной.
Из предыдущего ясно, какой вид принимает это преобразование
в случае других условий в отношении нагрузки и точек опоры балки;
при этом, очевидно, принцип Кастильяно имеет смысл только тогда,
когда число условий, касающихся точек опоры и закрепления балки,
больше двух, т. е. в „статически неопределимых случаях", ибо в про-
противном случае момент М(х) однозначно определяется уже с помощью
одних только естественных условий задачи.
15. Вариационная задача о продольном изгибе
стержня Если на оба конца стержня действует в продольном направле-
направлении сжимающая сила Р, то стержень может находиться в состоянии либо
устойчивого, либо неустойчивого равновесия, т. е. при небольшом боковом
изгибе стержень .либо возвращается снова в свое первоначальное поло-
17 Курант-Гнльберт.
.258 Основные Понятия вариационного исчисления Гл. IV
жение равновесия, либо он „искривляется", в 'зависимости от того,
меньше ли сила Р некоторого верхнего предела Ро или нет. Этот верх-
верхний предел Ро называется „критической силой". Если Р<Р0, то по-
потенциальная энергия стержня имеет в состоянии равновесия минимальное
значение, по сравнению с достаточно малыми изгибаниями; при Р^>Р0
потенциальная энергия стержня в состоянии равновесия не обладает этим
свойством минимума.
Если длина стержня в состоянии равновесия равна единице, то, обо-
обозначая боковой прогиб стержня через и (х) (О <: л: <: /), мы получим,
что потенциальная энергия стержня увеличивается при этом на величину,
равную с точностью до постоянного множителя, зависящего от мате-
материала стержня, выражению:
t
= Г (и"}2 dx ~ P f (м'J dx.
о
Первый член выражает энергию, изгибания, второй — потенциальную
энергию удлинения (как у нити).
Для достаточно малых значений силы Рг) при граничных условиях,
и @) = «(/) = 0 минимум энергии U равен нулю. Но если Р достаточно
велико, то U может принимать отрицательные значения; для этой цели
достаточно для любой допустимой функции и выбрать Р так, чтобы
р>
Таким образом критическая сила Ро, т. е. максимальное значение силы Р,
при котором минимум С/еще равен нулю, может быть определена как
минимум выражения:
J (iff dx
о
\ {u'fdx
о
при граничных условиях: и@) —и(/) = 0 или же, что этому эквива-
эквивалентно, как минимум интеграла:
i
l i
1) Например при Р < -^; в самом деле, так как J u'dx — 0, то имеется точка xt,
о
для которой ы'(лго) = О; тогда
X II
u'(x) = $u''dx, (и1J *?//(«")*<*•*, f
х%. п о
§ 11 Дополнения и задачник четвертой главе 259
. : 1 : > * *t «__
при добавочном условии f (u'Jdx=\ и граничных условиях ц@) =
о
= «(/) = 0.
Мы называем число Р0 = Х первым собственным значением диферен-
циального уравнения:
с граничными условиями и @) = и (/) = О, ц" @) = и" (I) = 0.
Такого рода задача собственных значениях и .' способы их решения
с помощью методов вариационного' исчисления будут нами рассмотрены
в ближайших двух главах.
Литература к главе IV.
Более подробные указания относительно литературы по вариационному исчи-
исчислению можно найти в прекрасной библиографии Лека (Lecat):
Lecat M., Bibliographie du calcul dts variations, 1850—1913, Gand-Parfc 1913.
Lecat M., Bibliographie du calcul des variations depuis les origines jusqu'a 1850
comprenant la liste des trqvaux, qui ont prepare ce calcul, Gand-Paris 1913;
Мы приведем здесь лишь наиболее важные учебники.
Учебники и систематические обозрения.
Немецкое издание энциклопедии математики. Статьи:
Kneser A., Variationsrechnung, т. 2 А, статья 8, стр. 571—625. Доведена
до 1900 г.
Zermelo Е. und Hahn H., Weiterentwicklung der Variationsrechnung in den
leteten Jahren, т. 2А, статья 8а, стр. 626—641. Доведена до 1904 г.
Hellinger E., Die allgemeinen AnsStze der Mechanik der Kontinna, т. 4D,
статья, 30", стр. 601—694. Доведена до 1913 г.
Французское издание энциклопедии:
Lecat M., Calcul des variations, т. II, вып. 6, статья 31, стр. I—288. Дове-
Доведена до 1913 г. ¦
Moigno M. et LindeWf L. L., Calcul des variations. Paris 1861.
Kneser A., Lehrbuch der Variationsrechnung, Braunschweig 1925.
Bolza O., Vorlesungeri Uber Variationsrechnung, Leipzig und Berlin 1909.
Hadamard J., Lecons sur le calcul des variations, I, Paris 1910.
Tonnelli X., Fondamenti del Calcolo delle Variazioni, I и II, Bologna 1921 и 1923.
Vivanti O., Elementi del Calcolo delle Variazioni. 1923.
Bliss Q. A., Calculus of Variations, Chicago 1924.
Глава V.
Проблемы колебаний и задачи о собственных значениях
в математической физике.
Вариационные принципы физики привели нас в гл. IV, §10 к ти-
типичным краевым задачам либо к задачам с начальными условиями для
процессов равновесия и движения непрерывно протяженных физических
систем. Поставленные там в "частности задачи носят все линейный харак-
характер. В рамках систематической законченности мы рассмотрим эти во-
вопросы лишь позднее во втором томе, в общей теории диферендиальных
уравнений с частными производными. Но мы все же хотим в этой и
в следующей главах изложить ряд важнейших черт из теории линей-
линейных диференциальных уравнений, в особенности поскольку они относятся
к колебательным процессам. При этом в центре изучения будет стоять
метод собственных функций.
§ 1. Предварительные замечания о линейных диферен-
циальных уравнЕниях.
Начнем с нескольких общих замечаний о линейных задачах.
1. Общие замечания. Принцип наложени.я. Под ли-
н-ейным однородным диференциальным выражением, или
диферен циальным о ператором, мы разумеем вообще функцию
отнесенную функции и, т.е. линейную однородную комбинацию функ-
функции и и ее производных до какого-нибудь заданного порядка — по-
порядка диференциалъного выражения, — причем коэфициенты являются
данными функциями независимых переменных. Основное свойство, харак-
характеризующее такой диференциальный оператор, выражается следующим
равенством:
L [^^ + с2ц2] = сгЬ [aj -\-caL [и2], A)
где с2 И'С2 — какие угодно постоянные. Уравнение вида:
L[u]=f(x, у,...),
где/—данная функция независимых переменных, представляет собой
самое общее линейное диференциальное уравнение. Если /= 0, то дифе-
ренциальное уравнение называется однородным, в противном случае —
неоднородным.
Линейные однородные диференцнальные операторы являются лишь
частным, хотя в дальнейшем почти исключительно рассматриваемым
§ 1. Предварительные замечания 261
мером линейных однородных функциональных операторов. Другой такой
оператор представляет, например, интегральное выражение:
с
знакомое нам из теории интегральных уравнений, или оператор
Чп
2 г
в [и] = ^ i {«(лг -f Л.cos»,у -f A sin &) — и (лг, j/)} d&,
или разностный оператор
j-p- {u{x-{~.h,y)-\-u(x— h,y) -f u(x,y-\-h)-\-u(x,y— h) — 4u(x,y)}.
Два последних, как это легко проверить, в пределе при h—»0 пере-
переходят в диференциальный оператор Дм в предположении, что и имеет
непрерывные производные до второго порядка: Условие, что линейная
комбинация таких линейных операторов равняется известной функции,
дает линейное функциональное уравнение, примерами чего служат, кроме
диференциальных уравнений, также и интегральные и разностные урав-
уравнения. При йтом вышеприведенное уравнение A) вообще характеризует
линейную однородную природу оператора L[u].
Решения однородного диференциального уравнения-^и вообще одно-
однородного функционального уравнения — обладают следующим основным
свойством, свойством наложения (суперпозиции): Если иг, и3 — два ре.г
шения, то и выражение сгиг-\-с%и2 является решением при произволь-
произвольных значениях постоянных сг, с2. Вообще, можно комбинировать про-
произвольно большое число частных решений иг, и2,... с постоянными
cJt с2,..., и при этом получится новое решение сJu1-\-ciu2-{-...
00
Сходящийся ряд, 2^ спип, составленный из бесконечной последова-
последовательности решений иг, и2,..,, наверно представляет собой решение в
том случае, если возможно почленное применение к этому ряду дифе-
ренциальной операции ?.[«].
Если известно решение и(х, у, ..... а) функционального уравнения
Е[и\—0, зависящее еще от произвольного параметра а, то можно по-
получить новые решения в следующем виде:
v = Iw (а) и (х,у,.,.; а) da,
причем щ (а) — произвольная функция, а область интегрирования может
быть выбрана как угодно, при том лишь ограничении, что интеграл
должен существовать и что должно быть дозволено выполнение процесса L
под знаком интеграла; для диференциальных .операторов, при кусочно-
непрерывной функции w (а) и' конечной области интегрирования, это
условие, во всяком случае, выполняется.
262 Проблемы колебаний Гл. V
Если полностью решено однородное уравнение, то для решения
неоднородного потребуется знание одного лишь частного 'решения, так
как все решения неоднородного уравнения получатся от прибавления одного
его частного решения ко всем решениям однородного.
2. Однородные и неоднородные задали. Краевые
условия. Задачи,. с которыми нам придется иметь дело, состоят
в том, что требуется найти функцию, удовлетворяющую, во-первых,
некоторому линейнбму диференциальному уравнению и, во-вторых, еще
дальнейшим условиям, а именно краевым или же начальным условиям
(ср. гл. IV, § 10). Говорят, что задача носит однородный характер,
если одновременно с решением и является решением и функция си,
при» произвольном значении постоянного с. Для этого должно быть
однородно не только диференциальное уравнение, но и краевое усло-
условие. Такие однородные ¦ краевые условия выражаются преимущественно
условными равенствами, связывающими значения, принимаемые искомой
функцией и и ее производными их, .., на границе Г рассматриваемой
области G. Простейшим условием такого рода является и = 0, или
также — = 0, где — обозначает, по обыкновению, диференцирование
по направлению внешней нормали.
Если функция и подчинена линейным неоднородным краевым условиям,
состоящим, например, в том, что заданы (не всюду исчезающие) кра-
краевые значения и=/, то можно следующим образом притти к эквива-
эквивалентной задаче с однородными краевыми условиями. Допустим, что
деяо идет об однородном уравнении L [и] ==>0 и что краеЁые значения
/ можно непрерывно продолжить внутрь области О таким образом, что
L [/] = g становится в области G непрерывной функцией положения;
в таком случае, для v=f—и получим . диференциальное уравнение
L[v\=g с однородным йраевым условием v — 0. Если, наоборот, пред-
предложено неоднородное уравнение с однородными краевыми условиями
и известно одно частное решение неоднородного уравнения, то вычи-
вычитанием получают задачу с однородным уравнением и неоднородными
краевыми условнями. Можно вообще сказать: Однородное диференциальное
уравнение с неоднородными краевыми условиями равносильно неоднород-
неоднородному диференциальному уравнению с однородными краевыми ус/ювиями,
3. Формальные соотношения. Сопряженные диферен-
циальные выражения. Формулы Грина. Разберем вкратце
некоторые формальные соотношения, касающиеся линейных диферен-
циальных выражений. При' этом мы будем рассматривать преимуще-
преимущественно такие днференциальные выражения, которые, как в гл. IV,'§ 10,
проистекают из вариационной, задачи с однородным квадратичным
подъиитегральным. выражением, а именно так называемые самосопря-
самосопряженные диференциальные выражения.
а) Одно независимое п ер еме нн о е. Квадратичному выражению
Q [и, и] = аи'3 + 2bu'u -f- duz,
где a, b,d — данные функции л:'а, а и (л:) — функциональный аргумент.
Соответствует симметрическое билинейное выражение:
Q [а!v]'— au'v' •+¦ * (и'
Предварительные замечания
26S
так что выполняется равенство:
q [u + Vj B-_j_ v] = q [Ц( u]-f2Q [и, v]
Проинтегрируем выражение Q [и, v][в . интервале х0 хг>. Интегра-
Интеграцией по частям можно освободиться от производных функции V, и мы
получим „формулу Грина?
1 Q[u', v] dx — -- \ vL [и] dx-J-(аи'-f bu)v
причем диференциальное выражение
B)
d)u
q точностью до множителя —2 совпадает с эйлеровым диференциальиым
выражением для подъинтегральиого выражения Q[u, и].
Вследствие симметричности выражения, Q [it, v\ точно так же получим:
f Q[u,v]dx = — \ul[v)dx-{-(av'-\-bv)u
и из B:) и B') — симметричную формулу Грина:
I.С vL [и] — uL [v] ]dx,=s=a (u'v—v' v)
B')
B")
Если вместо симметрического билинейного выражения Q [и, v] исхо-
исходить из произвольного билинейного выражения
В [и, v]—au' rf ¦$- bu'v -j- ctetf + duv,
то с помощью того же приема—интеграции по частям—'получатся фор-
формулы следующего вида:
Xl *l.
i В [и, v) dx == — i vL [u] dx--\- (аи1 + си) v
=; — у «М [v] dx-\- (av1 -f bv) и
у
Xo
*l
\(vL[u] —uM{v] I
Л
C)
— b)uv]
D)
Диференциальное выражение
M la) = (av1)* + (bvI -* erf — dv
взаимно однозначно определяется дифер§нциаль,ным выражением'
I [и] = (аиу — Ьи} ф (си)' -^ 'da
264 Проблемы колебаний Гл. V
1—' ' : ' : ' ¦
с помощью требования, чтобы интеграл на левой, стороне формулы D)
выражался только через значения функции и ее производных на гра-
границе! Оба эти выражения называются взаимно сопряженными. Если
L[u]=M[u] тождественно, то диференциальное выражение L[u] назы-
называется самосопряженным; его можно вывести-, как это сделано выше,
из некоторого квадратичного выражения Q[u,u].
Если исходить из диференциального выражения
то для сопряженного выражения получается:
(pv)"-(rvy-j-qv,
а отсюда вытекает, что необходимым и достаточным условием того
чтобы диференциальное уравнение было самосопряженным, является вы-
выполнение соотношения:
С помощью соотношений а=р, bf — d=q можно товда для вы-
выражения (pu')'-\-qu построить соответствующее квадратичное выражение
Q [и, и] разнообразными способами.
Посредством умножения на. подходящий не исчезающий множитель
р(х) можно любое линейное диференциальное выражение ри"-f-ru''^-q'u
превратить в самосопряженное; надо лишь положить
С тем же успехом можно диференциальиое выражение ри"-\- ru'-\- qu
сделать самосопряженным, введя вместо х новую независимую перемен-
переменную, а- именно:
J ' d
или вместо и новую зависимую переменную:
J f
б) Несколько независимых переменных. Для линейных
дифереициальных уравнений с частными производными второго порядка
получаются совершенно аналогичные преобразования. Идею. этих. пре-
преобразований мы выясним на важнейшем примере квадратичного подъин-
тегрального выражения:
С полярной формой
Q [и, v] = р (их vx -f uy vy) -|^ quv.
§-Г Предварительные замечания 265
Интегрируя выражение Q [и, v]. по области G с кусочно-гладкой гра-
границей Г, получим с помощью интегрирования по частям формулу Грина:
JJ
JJ ^ yv?<ls. E)
G G Г
где
L [и] = (р ах)х 4- (Р иу)у — qu,
предполагая, что в замкнутой области О функция v непрерывна и
имеет кусочно-непрерывные первые производные, между тем как у функ-
функции и требуется непрерывность первых и кусочная непрерывность
вторых производных. При этом через s обозначена длина дуги и через
— диференцирование по направлению внешней нормали..
он
Если у удовлетворяет тем же условиям, что и, то можно в фор-
формуле поменять местами и и v,. и после вычитания обеих формул полу-
получим симметричную формулу Грица:
Наше самосопряженное *) диференциальное выражение L [и] переходит
-при р = 1, q = 0 в выражение потенциала Ди, а формулы (.5) и E') —
в известные формулы Грина из теории потенциала.
4. Линейные функциональные уравнения, как пре-
предельные случаи и аналоги систем линейных уравнений.
Все диференциальные уравнения можно рассматривать как предельные
случаи уравнений в конечных разностях, заменяя отношения диферен-
циалов соответствующими отношениями разностей, причем приращение
независимой переменной, так называемая ширина петли, имеет значение h,
а значения функции и рассматриваются исключительно в узловых точ-
точках решетки, координаты которых х, у% являются целыми кратными
числа h. Диференциальное уравнение переходит тогда- вхистему линейных
уравнений для значений функции а в этих точках решетки. Подобным же
образом можно и интегральные и другие функциональные уравнения за-
заменить системами линейных уравнений. Во втором томе мы примем эту
мысль за исходный пункт для подробного изучения диференциальных
уравнений, здесь же удовольствуемся тем, что воспользуемся аналогией
между диференциальными и разностными уравнениями как эвристическим
принципом, поставив.во главу угла предположение, что задачи, приво-
приводящие к линейным диференциальным уравнениям, имеют совершенно
аналогичные свойства с теми задачами на линейные уравнения, из кото-
которых первые получаются путем предельного перехода. Эта догадка под-
подтвердится впоследртвии при очень, общих предположениях.
% 1) Точно так же, как и у обыкновенных линейных диференциальных уравне-
уравнении, можно и диференциальному выражению L [и] с частными производными от-
отнести сопряженное выражение М [v] с помощыо требования, чтобы сI [и] — &М[г>]
было выражением типа -дивергенции.
266 Проблемы колебаний Гл. V
В частности, по отношению к нашим задачам на линейные диферен-
диференциальные уравнения имеет место следующая альтернатива: если относя-
относящаяся к однородному диферёнциальному выражению однородная же
задача имеет единственное решение и = 0, то неоднородная задача всегда
имеет одно и только одно решение. Если. же однородная задача имеет
нетривиальное решение, то неоднородная имеет решение лишь при
наличии некоторых ограничительных линейных условий, и в последнем
случае это решение неоднозначно. Как и в гл. I, особую роль будет
играть случай, когда в однородное диференциальное выражение входит
линейно Параметр 1. Нас интересуют 'как раз те значения X, собственные
значения нашей задачи, при которых .однородная задача имеет нетри-
нетривиальное решение, собственную или фундаментальную функцию.
R задачах на линейные диференциальные уравнения физики непрерыв-
непрерывных систем, которыми в последующем займемся, замене диференциальных
уравнений уравнениями в конечных разностях соответствует замена не-
непрерывной системы системой с конечным числом степеней свободы
§2. Системы с конечным числом степеней свободы.
Как и в гл. IV, § 10, будем рассматривать систему с п степенями
свободы с обобщенными координатами q^, ..., qn, которой кинетическая
н потенциальная энергии заданы квадратичными формами:
h,k =1 h,k = 1
с постоянными коэфициентами ahk, bhk.
Форма Т—положительная определенная по своей природе, что же
касается формы U, то мы предполагаем, что она положительная определен-
определенная, и в таком случае мы знаем, что при q1==q2 = ...=:.qn = 0 имеет место
устойчивое равновесие. Если некоторым из координат qh дать различные
постоянные отличные от нуля значения или наложить на qh другие не-
неоднородные связи,- то установится новое состояние равновесия, отличное
от первоначального равновесного положения qh — 0. (Эта последняя по-
постановка вопроса, которая при конечном числе степеней свободы не
представляет особого интереса с математической точки зрения, при
предельном переходе п—>оо приводит к типичным краевым задачам
диференциальных уравнений с частными производными.)
1. Собственные колебания. Нормальные коо,рди-
наты. Общая теория процесса. Общая задача о движении на-
нашей системы формулируется с помощью следующих диференциальных
уравнений.
я
И = Ph{t) ih=\t%...,n) F)
(ahk—akh, b^^b^),
Где функции PH (t) обозначают компоненты внешней силы, причем ищется
§ 2 Системы с конечным'числом степеней свободы 267
такое решение qh (t) этой системы дйференциальных уравнений, для ко-
которого заранее заданы значения qh@) и qh@)(h=\r2,..., ri) (начальное
положение и начальная скорость): Если внешние силы Ph{t) равны
нулю, то говорят о свободном движении или свободном колебании
системы.
Полное представление процесса движения легко получается с по-
помощью теории квадратичных форм, как она изложена в гл. I. Рассмот-
Рассмотрим две положительные определенные квадратичные формы;
я я
G= 2 abkXfiXk> F= Е *******
А,й=с1 «,ft = l
и приведем их линейным преобразованием переменных хг, хг,..., хп,
п п
xh = 2 **»?* . %h =
к следующему виду:
где >д, 1,, .. ., 1П—положительные числа, что вследствие определенности,
фбрм U и Т всегда возможно. Введя, соответственно формулам G),
в уравнения F) вместо координат qv ..., qn новые, так называемые
нормальные координаты jjj, , г^„ с помощью формул
Ян = 2 Т«Ч*» Ч* = 2
= 1 ft = l
получим:
A=l *=1
и„ уравнения движения преобразуются к следующему виду:
где
— .нормалвные координаты", внешней силы. В этлх уравнениях все
координаты rlh, которые требуется определить как функции времени,
друг от друга отделены.
Впрочем, часто целесообразно бывает дать понятию нормальных ко-
ррдинат несколько более общее определение, понимая под ними такие
268 Проблемы колебаний Гл. V
координаты, в которых выражения энергий имеют следующий вид:
п п
X*
причем, в этом случае Хй = —= v|.
С
Л=1 Л=1
X*
С
В случае свободного движения Nh(t) — 0, и решение тотчас же по-
получается в следующем виде:
% =yh cos vft (t—<pA) (Ун ^VJh) (8)
= ahcosvht-\- bhsinvht (A = l,2,... , й).
Величины ай, йА или j/ft, <рй являются здесь произвольными постоян-
постоянными интеграции. То свободное колебание, в котором все нормальные
координаты, кроме Л-й, — нули, между тем как движение Л-й нормаль-
нормальной координаты дается уравнением r^h=yhcosvh(t — срй), называют А»м
главным или собственным колебанием системы с амплитудой yh и
фазой (f>ft. Еслитоворят просто о Л-м главном колебании, то имеют в виду
функцию j]ft—cosvft?, т.е. берут для амплитуды значение 1,а. для фазы
значение 0. Значения \t называются числами собственных колебаний
или собственными частотами или, пользуясь выражением, заимство-
заимствованным из акустики, высотами тонов системы. Выражение й-го главного
колебания в первоначальных координатах q'k можно получить, с помощью
формул преобразования G'), подставляя в них вместо . tift значение
iosVff, а вместо всех остальных j] значение нуль.
Всякое свободное движение системы есть наложение различных соб-
собственных колебаний с различными фазами и амплитудами. В In посто-
постоянных интеграции аг, , ап, Ь1Л , Ьп мы имеем в нашем распоряже-
распоряжении ровно столько произвольных параметров, сколько требуется для
трго, чтобы приспособить решеиие к произвольно заданному начальному-
состоянию, т. е. к заданным начальным значениям координат и скоростей.
Для того чтобы формально представить решение этой задачи, объе-
объединим величины^, ...,.qn в я-мерный вектор q. Обозначим через е,
вектор с компонентами ти, тгл ..., Тм (/== 1, 2, .,., п); тогда в силу
формул G') и (8) получим:
п
4@ = ?, h Vicos v/ (f — <Pi)«
'/= i
Если начальное состояние охарактеризовать векторами q @) и q @),
то эта форма общего решени» для свободного движения немедленно
приводит к уравнениям:
(9)
§,2 Системы с конечным числом степеней свободы 269-
Если для простоты принять, что форма О уже является единичной
п
формой О = 5^ х2{, то „собственные векторы' zt образуют полную ор-
/= i
тЪгональную систему векторов (ср. гл. I, § 1), и из (9) умножением
на ih получаем следующие соотношения:'
с их помощью можно определить амплитуды yh и фазы cpft.
Сделаем еще. следующее замечание: собственные колебания могут
быть о гределены как такие движения системы, при которых отношения
координат qk друг к другу не зависят от времени, у которых, следова-
следовательно, qk имеет вид: qk = v^g(t), где vh ие зависит от времени. С по-
помощью этой подстановки •немедленно приводим от уравнений F) при
Я/==0 к следующим уравнениям:
Замечая,-что здееь в правой части стоит независищая от i и от t
постоянная, которую обозначим через X, получим немедленно для квад-
квадратичных форм G и F задачу о собственных значениях, выраженную
уравнениями:
п
чем установлена связь с изложенным выше методом, покоящимся на пре-
преобразовании координат.
Для того чтобы затем, решить также задачу о вынужденном дви-
движении, в которой внешние силы Ph (t) одновременно не исчезают, доста-
достаточно найти одно единственное решение диференциальных уравнений
Чл И" Via== ^л@- Таким решением, для которого к тому же Щн@) = О
и 7)л@)==0, являетвя1)
г
ъ W = J= f ^ (т) sin/X" (*-т)'<*г, (Ю)
0
а общее вынужденное движение получится тогда наложением этого част-
частного движения на самое обьцее свободное движение.
Если внешняя сила N,, (t) чисто периодическая с частотой юй, напри-
например Л^ (t) = ah cos <oA (t — о), то формула A0) показывает, что коль скоро
*) Это решение можно пчлучить, заменяя непрерывно действующую внеш-
внешнюю силу прерывными толчками, отделенными промежутками &t, и совершая
затем предельный переход Д<->-0.
270 Проблемы колебаний Гл. V
а>2 ф ^/i> движение координаты jjft получается наложением чисто перио-
периодического колебания частоты «й и собственного колебания частоты \f\.
Если же ®\=\ или, как говорят', возникает резонанс, то вынужденное
движение координаты rilt уже не следует ритму возбуждения Nh (t), но,
как это легко вытекает из формулы A0),
и 1Чл1 остается не ограниченной при возрастании t.
2. Общие свойства колебательных систем. Если рас-
расположить квадраты Хх,..., \п чисел колебаний в порядке возрастающей
величины: \<*\ =S... <Лп-, то число \р, согласно гл. I, § 4, можно
определить как наибольшее значение, которое может принять минимум
п
квадратичной формы Т7— \\ ^hkxhxk> когДа переменные подчинены, во-
первых, условию G== ^ аыекккк==: ^- и> во-вторых, еще р—1 доба-
ft,*= 1
вечному условию вида:
п
hJxh = 0 (/=1,2, . . ., р-\) (И)
с г/роизвольно. выбранными ah,. Отсюда немедленно получаются некото-
некоторые общие теоремы об этих частотах и о соответствующих им высотах
тонов. Эти теоремы были уже приведены и доказаны в гл. I. § 4 без
указания их физического значения.
ТЕОРЕМА I. р-й обертон колеблющейся системы является наивыс-
наивысшим из основных тонов всех систем, получающихся из данной нало-
наложением каких угодно р — 1. связей вида A1).
ТЕОРЕМА -IL Если система S благодаря наложению г ограничи-
ограничительных условий вида A1) переходит в систему S' с г связями, то
частоты Vj,«.., \_r связанной системы не меньше соответствующих
частот vv...t vn_r свободной системы и вместе с тем не больше
частот vr+1,..., vn свободной системы, т. е. имеют место следующие
соотношения: \р^\'р<^\р +, и соответственно
vp<v^«?vp+, (p—\,2,...fn — r).
ТЕОРЕМА. III. При увеличении инертности основной тон и все
обертоны падают или, по меньшей мере, не повышаются.
При этом под увеличением инертности мы понимаем переход к сис-
системе с такой кинетической энергией Т', что Т — Т никогда не при-
принимает отрицательных значений: потенциальная энергия пусть остается
при этом неизменной.
ТЕОРЕМА IV. При увеличении жесткости системы основной тон
и все обертоны повышаются или, во всяком случае, не понижаются.
§ 3 Колебания струны 271
При этом мы понимаем под увеличением жесткости переход к си-
системе с той же кинетической энергией,' но потенциальная энергия ко-
которой получается из данной прибавлением неотрицательной формы.
Едва ли нуждается в особом упоминании, что основной тон и обер-
обертоны изменяются в противоположном смысле, чем по теоремам II — IV,
когда связи снимают, массы уменьшают, или же систему расшатывают,
т. е. уменьшают ее жесткость.
§ 3. Колебания стру.ны.
Мы видели, что при конечном числе степеней свободы можно овла-
овладеть всей совокупностью движений, если знать только синхронные ко-
колебания. То же относится и к непрерывным колебательным системам.
Мы у них, будем искать такие свободные колебания, при которых откло-
отклонение к может быть представлено как произведение множителя g(l),
зависящего только от времени, на зависящий только от положения мно-
множитель v (х); называемый. формой колебанья или множителем формы
(стоячие колебания). Любой колебательный процесс можно тогда пред-
представить как наложение таких синхронных колебаний.
Мы выясним эти свойства на ряде важных примеров.
1. Свободные колебания однородной струны. Прежде
всего рассмотрим простейший пример, а именно диференциальное
уравнение:
или uxx=\i?utt
закрепленной однородной струны с краевыми условиями
u@,t) = u(n,t) = 0
(ср. гл. IV, § 10, стр. 235, 236). В целях упрощения письма представим
себе, что единица времени так выбрана, что ji=l. Сообразно с нашим
общим планом будем искать такие функции, удовлетворяющие уравне-
уравнению A2), которые расщепляются на множитель, зависящий только от
времени, и множитель, зависящий только от места, т. е. могут быть
представлены в таком виде,:
u = v(x)g{t).
Дифереициальное уравнение A2) можно в таком случае привести к
следующему виду:
v(x) g(t)'
откуда вытекает, что обе стороны должны равняться одной и той же
постоянной —\, ибо одна сторонач не зависит ог х, а другая — от L
Из краевого условия v@)g(t) = v(it)g(t) = O следует, что
1)@) = gGT) = 0.
Стало быть, функцию v (х). следует, определить из диференциального
уравнения:
/'{l = 0 A3)
272 Проблемы колебаний Гл. V
и- краевых условий
г/(О) = г>(тг) = О. A31)
Эти требования ие могут выполняться при произвольных значениях по-
постоянной X. Напротив, из вида общего решения диференциального урав-
уравнения A3): сгеУ~х х + с2е У~г " вытекает, что краевые условия выпол-
,нимы в том и только в том случае, если \ = п2 есть квадрат целого числа hi
Соответствующими решениями являются функции vn = sin nx. Числа 1,
22, З2, ... и функции sin x, sin 2x, ... мы будем называть соответственно
собственными значениями и собственными функциями нашей задачи,'
а самую задачу — „задачей о собственных значениях", определенной,
диференциальиым уравнением A3) и краевыми условиями A3');
Для g(t) получается вообще g=a,zu%nt-\-bs\tint с произвольными
постоянными а, Ь. Таким образом для всякого положительного целого
значения я имеем решение диференциальнот уравнения A.2) в следу-
следующем виде:
sin nx (an cos nt -j- bn sin nt),
представленные в такой форме синусоидальные или гармонические дви-
движения называются собственными колебаниями струны; числа я = \>„ —
это соответствующие, собственные частоты. Более общие решения
можно получить в следующей форме:
и = \\ sin nx (an"cos nt -J- bn sin nl)^
n
причем сумма может содержать как конечное, так и бесконечно боль-
большое, число членов; в последнем случае, конечно, определенно предпола-
предполагается, что ряд равномерно сходится и допускает двукратное почленное
диференцирование по каждой из двух переменных.
Возникает вопрос, можно ли подходящим, выбором коэфициеитов.
ап, Ьп приспособить решение к произвольно заданному при помощр
функций и(#,0) == <р (х), и/(Л;,О) = ф (л:), начальному состоянию, т. е. вы-
выбрать коэфициенты так, чтобы выполняли"сь равенства:
со. со
nbn.Sin nX-
bn.
Но теорема о разложении в теории рядов Фурье утверждает, что
вышеприведенные разложения возможны при надлежащем определении
постоянных ап, Ьп. .В таком случае ряд, образованный с помощью опре-
определенных таким образом коэфициентов, действительно представляет ис-
искомое решение 1).
Совершенно аналогичные результаты получим, если струна подчинена
другим краевым условиям. Если, например, начальная точка закреплена,
т. е. и@,-<) = 0, а конечная точка-упруго связана со своим положением
*) При этом предполагаем, что функции % ф, ?', ?", ф1— кусочно-гладкие. Мо-
Можно, конечно, избежать этих значительных ограничений, если отказаться от раз-
лож е н и я наших функций и их производных и ограничиться только тем, чтобы
охарактеризовать эти функции с помощью их коэфициентов Фурье.
Колебания струны 27S
равновесия, что соответствует уравнению tix=—пи (Л^ОI), то
в результате постановки и(х, t)~v(x) g(f) получается следующая
задача о собственных значениях: требуется определить постоянные X = v2
таким образом, чтобы диференциальное уравнение г>" + Хг> = 0 при кра-
краевых условиях #@) —О, г)'(тг) -\-hv(iz) — 0 имело неисчезающее тож-
тождественно решение v. Первое краевое условие показывает, что функция
v должна быть вида sin vx, 4 второе дает для v трансцендентное уравнение
AsinviT= — vcosvir. Если h ф 0, корни этого уравнения можно получить
графически, беря сечения последовательных ветвей кривой z==tgVK'B
плоскости z, v прямой линией g — — v. Опять, стало быть, полу*
п
чается последовательность собственных значений \v V> • • • с соответ-
ctвyющими фундаментальными функциями sin v1 x, sin v2 x,... и собствен-
собственными колебаниями (a., cos vt t -}- Ъг sin vx t) sin vx x,...
Кстати, для я-Й собственной * частоты vn непосредственно получается
„асимптотическое* соотношение
я-кх> п
Если, в частном случае, конец струны „свободен", т.е. Л = 0 и, зна-
• 1
чит, их=0, то у. = л— -jr , и мы имеем:
¦y_=t=sin I я —
Решение уравнения A2) мы опять сможем искать в виде ряда:
"Ы, t) = 2 sm vft х (а" cos v« ' + *¦ sin v* 'Ь
ожидая при этом, что подходящим выбором постоянных ап, Ьп можно
будет приспособить это решение к произвольно заданному начальному
состоянию. Для проверки этого предположения придется исследовать во1
прос о разложимости произвольной функции w(x) в промежутке
О .^ х «S тг по функциям sin vB д:, собственным функциям диференциаль-
ного уравнения A2), с краевыми условиями
г/@) = 0, я»(тг) = — ^(тт), A4)
что будет сделано в §14. Однако укажем здесь же на свойство ортого-
нальности функций г>л=sinvnx. Действительно, оказывается,
aJLx = 0 при vn ф vCT , A5)
в чем непосредственно убеждаемся, умножая уравнение <o"n-\-\lnvn=^0
») Ср. гл. IV, § 10, стр. 237, где это краевое условие выведено из факта по-
появления в выражении потенциальной энергии добавочного краевого члена.
18 Курант-Гйльберг.
274 Проблемы колебаний Гл. V
иа vm, уравнение v? -f- v^ vm — 0 на vn, вычитая одно из другого и
интегрируя. В результате получим:
I"V« Vm dx + f^("» Vm — Va Va) dX = 0,
откуда в силу A4) и вытекает свойство ортогональности.
?. Вынужденные движения. Движение струны с закрепленными
концами под влиянием произвольной внешней силы Q (x, t) получается
из неоднородного диференциального уравнения:
Для решения этой задачи представим себе, что функция Q (x, t)
в момент времени t разложена по фундаментальным функциям sin nx:
00
Q (x, t)— ^Qn (t) sin nx ,
n = 1
0
и решение будем искать в таком же виде:
со
и (х, t)= ^ qn (t) sin nx,
n=l
2 Г
— I u(x,t) si
sin nxdx.
Днференциальному уравнению A6) мы попытаемся удовлетворить,
решая бесконечную последовательность обыкновенных диференциальных
уравнений: ¦
t)^=gn(f)~Qn(t). A7)
Общими решениями этих уравнений являются функции:
дп (t) == — Г sin n (t — ё) Qn (lf) dl1 + ап cos ni -f *„ sin nt A7')
о
с произвольными постоянными an, bn (ср. стр. 269). Постоянные ап, Ъп
должны быть определены по начальным условиям, так что— предполагая
сходимость ряда и его почленную диференцируемость — сумма
(*) sin/zx;
представляет,требуемое решение уравнения A6).
§ 3 Колебания струны 275
Другой путь к решению неоднородного уравнения будет развит
в § 5, 2 и § 14, 1 в более общем аспекте.
В задаче о вынужденных движениях можно избежать пользования
теоремой о разложении. Для этого рассматриваем величины Qn{t)
и qn(t) как коэфициенты Фурье функций Q(x, t) и и (х, t), определенные
вышеприведенными равенствами — существование этого решения при этом
предполагается, — и ставим себе задачей определение величин qn(t) через
величины Qm(t)- Умножая уравнение A6) на sinnx и интегрируя затем
по основной области, после преобразования левой стороны интеграцией
по частям тотчас получим A7) и отсюда опять формулу A7'). Вследствие
полноты ортогональной системы функций sin nx функция и (х, t) одно-
однозначно характеризуется полученными таким путем коэфицирнтами Фурье.
Как и в §2, особенный интерес представляет опять случай, когда
Qn(t)—чисто периодические функции:
Qn (t) = a cos Ы -f- b sin at.
В этом случае, если <о2 ф л2, функции qn (t) составляются аддитивно
из чисто периодической функции частоты <о и такой же функции час-
частоты п, при наличии же резонанса ю2^=/г2 функция Qn{t) является не-
неограниченной (ср. стр. 270).
Обстоятельства, имеющие место у однородной колеблющейся струны,
типичны для более общих непрерывных колебательных систем, которые
составляют предмет дальнейших исследований этой, главы. Существен-
Существенными моментами являются при этом нахождение собственных колебаний,
полнота системы этих колебаний и теорема о разложении. Однако в этих
теоремах, в отличие от случая однородной струны, мы не сможем ссы-
ссылаться на готовую теорию, наподобие теории рядов Фурье. Доказатель-
Доказательства их, чтобы не прерывать хода мысли, приведем впоследствии, — в§ 14.
3. Общий случай неоднородной струны и задача
Штурм-Лиувилля. Рассмотрим теперь общий случай неоднородной
струны:
где р(х) — модуль упругосги, помноженный на площадь поперечного
сечения, а р(х) обозначает массу, отнесенную к_единице длины. Задача
состоит в том, чтобы найти решения этого уравнения, удовлетворяющие
известным однородным краевым условиям. Пытаемся найти решение
в форме u — v(x)g(t) и при этом предположении приходим непосред-
венно к уравнению:
(pv1)' :vp~-=g:g,
которое может выполняться лишь в том случае, если каждая его сторона
равна одной и той же постоянной величине — L Для функции v(x)
получается тогда диференциальное уравнение:
{pv>y-t-\9v = 0, A8)
а функция g должна удовлетворять диференциальному уравнению
g-{-lg=0. Если положить Ji==y« (что отрицательных значений X рас-
18*
276 Проблемы колебаний Гя. V
сматривать не приходится, вскоре выяснится само собой), то и примет
следующий вид:
и = v (x) (acos
причем функцию v (x) придется определить из диференциального уравнения
A8), в согласии с краевыми условиями. Как и в частном случае одно-
однородной струны, возникает задача об определении тех „собственных
значений" А диференциального уравнения A8), для которых существует
не исчезающее тождественно решение, удовлетворяющее краевым
условиям. Это решение' называют собственной или фундаментальной
функцией, принадлежащей собственному значению А; оно определяется
лишь с точностью до произвольного постоянного множителя.
В качестве краевых условий для начальной и конечной точки прежде
всего напрашиваются каждый из следующих типов г):
1. •' ф@) = 0 и г>(тг) = О (закрепленная струна);
2. h0 v@)—v'@) „ — Ajv(it) == if, (тт) (упруго связанный конец);
3. ¦о'@) = 0 „ -о'(тт) = 0 (свободный конец)
или условие
4. v@) = v(n) и
которое в случае р@)=р(п) можно рассматривать как условие перио-
периодичности.
Сообразно с физическим смыслом нашей задачи мы будем предпола-
предполагать в дальнейшем, что функции р и р положительны при О «S x «s: тт.
Затем, числа h0, hx должны быть положительны, если положение покоя
есть положение усто'йчивого равновесия 2).
Формулированная таким образом задача о собственных значениях но-
носит название задачи Штурм-Лиувилля (Sturm-Liouville), по имени ее пер-
первых и плодотворнейших исследователей. Ее можно еще несколько
обобщить, рассматривая вместо уравнения A8) диференциальное уравнение:
= 0, A9)
где q — заданная непрерывная функция. Для некоторых вопросов имеет
значение то обстоятельство, что диференциальные уравнения A8) и A9)
можно преобразованием независимого либо зависимого переменного при-
привести к простым нормальным формам. Например, пользуясь преобразо-
преобразованием *z = v\/~p, приходим к виду:
-J— (р*г') — (q* — X) г=0 , B0)
их
где
-._ р -_... l d (- d Mi я
р ' |/-р йх\* йхл/Т) ¦ р
*) Что именно эти типы выделяются, проще всего обосновать с точки зрения
вариационного исчисления (ср. гл. IV и VI).
в) Ср. гл. IV, § 10,2.
§ 3 Колебания струны 277
Точно так же можно при q = 0 преобразовать диференциальное урав-
нение к виду:
введя вместо х новую переменную ? = \ и заменяя затем опять S
через х.
Другое важное преобразование диференциального уравнения A9)
дается формулами:
X тс
, <=fi/-P.<uc, l=\-\fl-dx. B0')
д\ р J V р
о о
При этом уравнение A9) переходит в
и" — ги-\-1и~0, A9')
где г обозначает непрерывную функцию1).
Фундаментальным функциям v и (положительным) собственным зна-
значениям \ диференциального уравнения A9) соответствуют. собственные
колебания струны с частотой \=\Г \ , изображаемые функциями:
v (х) (ач cos \t -J- b4 sin \t).
И здесь фундамент'альные функции наших задач типа Штурм-Лиувилля
представляют собой системы ортогональных функций; свойство это
получается к тому же без знания специальных свойств этих функций,
из одного лишь диференциального уравнения, а.именно, если Х„, \т —
два различных собственных значения, vn и vm — принадлежащие им
собственные функции, то, как и выше в п. 1, имеем:
тс п
&„— К) \ РЭА dx + J feiP Wnvm — ^Х»]) dX =0,
0 0
причем второе выражение, вследствие однородности краевых условий
обращается в нуль, так что для функций ]/ р vt действительно выполня-
¦л
ется соотношение ортогональности: \ pvnvm dx = 0. Эти функции можно
о
предполагать нормированными, что мы и делаем в дальнейшем. В § 14
мы покажем, что собственные значения X диференциального уравне-
уравнения A9) при заданных краевых условиях, будучи расположены по по-
порядку их величины, образуют бесконечную последовательность X,. Х2.
Х3, —, а принадлежащая им система фундаментальных функций
представляет собою полную ортогональную систему. Далее, всякая
fa i
О Функция г=у- + —, где f=y
278 Проблемы колебаний Гл. V
удовлетворяющая краевым условиям задачи непрерывная функция f(x),
с кусочно-непрерывными первой и второй производными, может быть
разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд:
со
по собственным функциям. Эта теорема о разложении делает возмож-
возможным приспособление решения
00
и {ху f) = ]Tvn (x) (an cos \nt + bn sin \nt)
n= 1
к заданному начальному состоянию.
Собственные значения X задачи Шгурм-Лиувилля, за исключением
.задачи с-условиями периодичности 1), все являются простыми, т. е.
одному собственному значению \ не могут принадлежать две друг от
друга линейно не зависимые собственные функции v, v*. В самом деле,
если бы существовали две такие собственные функции, то в форме
cv-\-c*v* содержалось бы всякое решение уравнения A9); в таком слу-
случае любое решение должно было бы удовлетворять одним и тем же
заданным однородным краевым условиям, что противоречит тому обсто-
обстоятельству, что можно, например, найти решение с произвольно4 наперед
заданными значениями v@) и г»'@), между тем как краевые условия
1—3 содержат соотношение между v@) и if @).
Собственные значения X = v2 при ^5зО, Л05з0, кг^0 все поло-
положительны. Действительно, имеем:
Я тс тс
Х = * Г pv2dx = — f [(ptfyv— qv^dx — ^ipv12 -f q&) dx — pjfv |* ,
о о о
а правая сторона этого равенства в силу краевых условий 1—4 поло-
положительна. Положительность собственных значений играет существен-
существенную роль в том смысле, что благодаря ей все фундаментальные
функции соответствуют колебательным, процессам.
Если какое-нибудь собственное значение отрицательно, то вместо
соответствующего собственного колебания появляется апериодический
процесс, но, как мы позже увидим, и при отрицательном q это может
случиться лишь конечное число раз 2).
Наконец, что касается вынужденных движений струны, то можно
поступить так же, как в § 2 у однородной струны. Однако в частном
случае, когда в неоднородном диференциальном уравнении (рих)х=
= putt—Q (x, t) возбуждающая сила является периодической функцией
времени вида Q (x, t) = y (x)eilot, применяют обыкновенно следующий
') В последней задаче Х = «2 при п=\, 2, 3,... является двукратным собст-
собственным значением уравнения у" -f- Xy = O с собственными функциями sinnx и cosnx.
а) См. гл. VI, § 2.
§ 4 Колебания стержня
379
метод 1): предполагают решение в форме u==v{x)eiuit и немедленно
получают- для ©(л;) соответствующее уравнению A8) неоднородное
уравнение
v')' + Ipv=—f{x) (X=со?).
Для определения коэфициентов разложения решения v(x),
умножаем наше диференциальное уравнение nzvn(x), интегрируем по
основной области и преобразуем первый член интеграцией по частям.
Тогда, принимая во внимание диференциальное уравненне для vn, немед-
немедленно получаем: у„ (Хя—Х) = с„, и следовательно,
п
с г
Y = *— ~г , где с = \ <fvn ax.
" А«—А " о
Этот метод решения утрачивает смысл в случае резонанса, т. е.
когда возбуждающая частота ]/Х == о) совпадает с одной из собственных
частот ]/Хя = соп, а соответствующий коэфициент сп отличен от нуля.
Случай произвольной возбуждающей силы Q (x, t) можно привести
к рассмотренному частному случаю, разлагая спектрально силу Q (x, t)
как функцию от t с помощью ряда или интеграла Фурье (ср, гл. II, § 5 и 6).
§ 4. КОЛЕ&АИИЯ СТЕРЖНЯ.
Для краткости мы ограничимся случаем однородного стержня, ибо
рассмотрение неоднородного не прибавит ничего поучительного к сооб-
соображениям, изложенным в § 3. У диференциального уравнения поперечных
колебаний однородного стержня,
дело идет опять об определении собственных колебаний, которые полу-
получим, полагая u — v (x) g(t). Подобно предыдущему имеем:
v g
¦ т. е.
vlv-lv=O,' g+lg—O, B1)
причем постоянная X должна быть определена так, что/>ы стёрж нь на
своих концах удовлетворял предписанным краевым условиям. Опять при-
») Ср. аналогичное алгебра ическое^рассмотрение в гл. I, § 3, 6.
280 Проблемы колебаний Гл. V
нимаем длину стержня равной тс, а за положение равновесия — промежуток
0^\ различаем разные типы краевых условий (ср. гл. IV, § 10):
1. v" (x) = i?"(x) = 0 при х = 0 и х=п (свободный конец);
2. v (х) —¦&" (х) = 0 я дг = О я-дг=чг (подпертый конец);
3. v (x)~v' (х) — 0 '„ х<=0 „ х=п (заделанный конец);
4. v'(x)=v'"(x) = 6 „ х*=0ях=±п;
5. v @) = v (тг), ч! @) = г»' (тс) )
и \ (периодичность).
v"@) = Vя (тт), г»'"@) = t»'"(Tu)j
Во всех этих случаях можно указать в явном виде еобствениые функции
и собственные значения, так как известен общий интеграл первого из ди-
ференциальных уравнений B1), а именно, еслиХфО1), положив yX==v,
имеем:
v — CjCos vx -]- c2sin vjc -f- c3e4X -f- c4e~VJ:
или
v = SjCos vx -]- S2sin w -J- S3ch vjc -f- S4sh we.
Если X = 0, общее решение вырождается в многочлен третьей степени:
Четыре однородных краевых условия, которым подчинен стержень,
дают, теперь для четырех величин ?lt S2, S3, ?4 четыре однородных урав-
нения вида^ ай?й = 0(/=1, 2, 3, 4), требующих исчезания определи-
к = 1
теля |crt|, т. е. некоторое трансцендентное уравнение для собственных
значений X. Каждый корень этого уравнения дает одну или несколько
фундаментальных функций, которые можно выбрать нормированными.
В частности в случае стержня, свободного на обоих концах, получим
для v трансцендентное уравнение:
ch w cos vtt=1;
соответствующими (еще не нормированными) собственными функциями,
не считая функции ?: -j- S2#. принадлежащей двукратному собственному
значению Х=0, являются функции:
v—(sin vrr — sh vrr) (cos vx -J- ch \x) — (cos vit — ch vrr) (sin vx -f- sh vjc).
Решение для стержня, заделанного на обоих концах, можно получить
из только что написанного решения для свободного стержня (за исклю-
исключением собственной функции, принадлежащей значению Х=0) двукратным*
диференцированием, так как полученная таким путем функция удовле-
удовлетворяет, во-первых, диференциальному уравнению и, во-вторых, краевым
условиям заделанного стержня; к тому же мы таким способом получаем
. любую собственную функцию заделанного стержня, ибо из всякой такой
функции двукратным интегрированием', при подходящем выборе постоян-
постоянных интеграции, получается собственная функция свободного стержня»
') Что X 3* 0, доказывается таким же путем, как в' § 3,
§ 5 Колебания мембраны 281
Собственными значениями являются корни того же трансцендентного
уравнения, что и прежде; фундаментальные функции даются выражением:
х»=(sin щ — sh vtc) ( — ccs ух -f- ch vx) —
— (cos vn — ch vit) (— sin vx -j- sh vx).
В задаче о стержне, в противоположность задаче о колебании струны,
не исключено появление кратных собственных значений. Например, в за-
задаче о стержне, свободном на обоих концах, собственному значению X = О
соответствуют две друг от друга не зависимые нормированные фундамен-
тальные функции v = -j=- и v=x~\/ —. При переходе к-заделанному
у тт |/ тс3
стержню путем двукратного 'диференцирования обе эти фундаментальные
функции и соответствующее им собственное значение Х = 0 пропадают.
Во всех случаях собственные функции диференциального уравнения
B1) образуют ортогональную систему функций, что можно доказать
обычным способом, а именно, еслиХ„,Хт — два различных собственных зна-
значения, щ vn, vm — соответствующие фундаментальные функции, то после
двукратной интеграции по частям имеем:
. . ч С » .Iff 14 t ГГ f p
V ffl '/2' 1 It In, * П *'* tfl' П Tl Ifi I *^/7J tlf
ъ
а правая сторона этой формулы на основании однородных краевых ус-
условий обращается в нуль. Полнота системы собственных функций
и теорема о разложимости произвольных функций с непрерывными
первой и второй и кусочно-непрерывными третьей и четвертой произ-
производными имеет место и здесь, как это обнаружится из даль-
дальнейших рассуждений (§ 14).
В остальном теория поперечных колебаний стержня, развивается со-
совершенно аналогично теории струны, и нет нужды ее здесь подробнее
излагать.
§ 5. Колебания мембраны.
1. Общая задача об однородной мембране. Диференци-
Диференциальное уравнение колебания однородной мембраны Ди = ий, так же как
и рассмотренные до сих пор случаи, приводит к задаче о нахождении
собственных значений, только здесь диференциальное уравнение является
уравнением с частными производными. Пусть мембрана покрывает область О
плоскости х, у с контуром Г; остальные предположения и обозна-
обозначения остаются те же, что в гл. IV, § 10, 3. Краевое условие возьмем
сначала самое простое, а именно и = 0, т. е. будем рассматривать за-
закрепленную мембрану. Положив и (х, у, t) = v(x, у) $ (t), получим
тотчас для функций v {x, у), g (t) следующее соотношение:
Дг> g
из которого вытекает, что X, должна быть постоянной, которую положим
282 Проблемы колебаний Гл. V
равной v2. Функция v (х, у) получается, как и выше, из следующей за-
задачи: определить параметр X как „собственное значение" таким образом,
чтобы существовала функция v (х, у), непрерывная в области G вместе
со своими производными, которая удовлетворяла бы диференциальному
уравнению:
Дг> -j- Хг» = 0, B2)
исчезала бы на контуре и могла бы быть выбрана нормированной. Соб-
Собственные значения X должны быть положительными числами, как это
уже подчеркнуто обозначением X —v2. В самом деле, применяя формулу
Грина (ср. § 1) к уравнению B2), помноженному на v, имеем:
\\ (vx-\- у2) dxdv = — \\ vb)dxdy = l \\
dxdy,
откуда и вытекает положительность X, Общее решение диференциального
уравнения — — — Х =— v2 имеет поэтому вид g— a cos vt -f- b sin vt и,
g
стало быть, является периодической функцией времени. Решение урав-
уравнения колебания
и{х,у, t) = v (х, у) (a cos v/ -|- Ь sin v^)
соответствует тогда собственному колебанию с частотой v =
Существование собственных колебаний, точнее, существование бес-
бесконечной последовательности собственных значений Xj, Х2, )в,... и соот-
соответствующих собственных функций v1 (х, у), v2 (х, у), v3 (х, у),..., мы
докажем впоследствии — в § 14;, там же будут доказаны и соответствующие
теоремы о разложении по ортогональным функциям и о полноте системы
этих функций. Однако здесь же мы докажем свойство ортогональности
фундаментальных функций, выражающееся в следующей теореме: две
собственные функции vt, vk, принадлежащие различным собственным
значениям Хл Xft, взаимно ортогональны, т. е. выполняется тождество:
§¦
dxdy~O.
Доказательство ведется по хорошо знакомому нам уже образцу; с по-
помощью формулы Грина и краевого условия и = 0 получим:
гг гг
(Х/ — Xfc) Jj vtvk dx dy = — \\ (vk kvl — vl ?Lvk) dxdy=0.
с "о
Движение свободно колеблющейся закрепленной мембраны при произ-
произвольно заданных начальных условиях и (х, у, 0) =/ (х, у), щ (х, у, 0) =
=g(x.y) можно попрежнему представить с помощью разложения в ряд
по фундаментальным функциям, а именно в форме:
со
и (х,у, t) =? vn (х, у) (ап cos V + Ьп sin\nt), B3)
п = I
§ 5 Колебания мембраны 283
причем коэфициенты ап, Ьп определяются по начальным условиям
следующими формулами:
в„— Si /(*» У) vn (*» У) dx аУ> ьп = - й ё (*> у) vn (х, у) dx dy.
О vn О
При этом предполагается, что ряд B3) сходится н допускает почлен-
почленное диференцирование достаточное число раз.
Совершенно аналогично, как у закрепленной мембраны, обстоит;
дело у мембраны с упруго связанными краями, что соответствует крае-
Ъи
вому условию вида — = — аи, причем о — положительная величина,
дп
зависящая от положения на контуре. Задача об определении собствен-
собственных значений формулируется точно так же, как это было сделано
выше; точно так же производится определение коэфициентов из началь-
начальных условий на основании теоремы о разложении. Собственные значе-
значения X здесь также положительные числа. Действительно, умножая дифе-
ренциальное уравнение B2) наг» и интегрируя по области G, пользуясь
формулой Грина из § 1 и краевым условием at»-}-г— = 0, получаем:
X = X Ц г.2 dx dy=JJ (vl -f г.») dx dy -f f or»2 ds.
Числа v = V^cyTb частоты соответствующих собственных колебаний.
Фундаментальные функции, принадлежащие различным собственным зна-
значениям Х/5 Хл, взаимно ортогональны.
Представляет интерес предельный случай о = 0 — случай свободной
мембраны, который может быть физически реализован при помощи
надлежащих приспособлений. В то время как при всех остальных крае-
краевых условиях все собственные значения положительны, в этом случае
существует собственное значение X = 0 с принадлежащей ему собственной
функцией z>(je,j/):=const.
2. Вынужденные движения. Вынужденные движения мембраны,
удовлетворяющие диференциальному уравнению:
Ди = ий— Q(x, у, t), B4)
можно также трактовать по образцу § 3, 2. Либо разлагают как внеш-
внешнюю силу Q[x,y,t), так и искомую функцию и в ряд: Q(x,y,t) =
оо со
— ]С In О vn (х> У) и> соответственно, и = ^ и„ @ vn (х> У) по фуВДамен-
п=4 й = 1
тальным функциям vn {x,y) свободно колеблющейся мембраны, а затем
определяют коэфициенты un(t) из диференциальных уравнений:
либо, предполагая, что внешняя сила периодическая, разлагают ее в ряд
Фурье; тогда достаточно будет найти решение уравнения B4) лишь для
случая чисто периодической силы <р (х, у) еш в виде функции v (x, у) еш.
Для функции v(x, у) тотчас получается диференциальное уравнение:
, .у) (Х=(о*), B5)
284 Проблемы колебаний Гл. V
решение которого мы, например, получим, разлагая v(x, у) в ряд
оо
оо
г»=У^ У„^„; коэфициенты этого ряда, если положить сп=\\ <р vn dxdy,
« = i XT
определяются аналогично тому, как на стр. 279, формулой:
3. Узловые линии. Подобно тому, как у струны или стержня
особый интерес представляют те точки, в которых исчезает какая-нибудь
фундаментальная функция vn, „узловые точки" соответствующего соб-
собственного колебания wne'v« , в собственных колебаниях мембраны играют
роль узловые линии, т. е. кривые vn (х, у) = 0. Совершая собственные
колебания, мембрана вдоль этих узловых линий остается всегда в покое.
Мы не можем здесь заняться изложением вопроса об узловых линиях,
но мы к нему вернемся при рассмотрении примеров (ср. также гл. VI, § 6).
4. Прямоугольная мембрана. Ввиду того, что собственные
значения задачи о колебании мембраны зависят от .формы и размеров
последней, наша общая задача включает еще в себя большое количество,
частных вопросов, из которых мы некоторые выделим и рассмотрим здесь.
Начнем с прямоугольной мембраны, покрывающей область G @ <: x <: at
O^ys^b). Для краевых условий и = 0 или — = 0 собственные значе-
дп
нйя и фундаментальные функции находятся без всяких затруднений.
В первом случае собственными ¦ значениями являются числа
(«,« = 1,2,3,...),
а соответствующими фундаментальными функциями (не нормированными)
пкх . тпу _,
являются произведения sin sin ——. Во втором случае собствен-
а о
ными значениями являются числа
) («,« = 0,1,2,...),
гтх тпу
которым соответствуют собственные функции cos cos —-?— ; в этом
случае имеется также собственное значение X —0, как уже было отме-
отмечено ранее. (Заметим, что собственные функции закрепленной мембраны
можно получить из решений для свободной мембраны диференцирова-
нием по л; и у.)
Что мы таким путем получили все фундаментальные функции задачи,
вытекает непосредственно из того, например, факта, что функций
. гтх . тпу
sin sin —-— образуют в области G полную ортогональную систему,
так что иной собственной функции, ортогональной ко всем приведенным,
быть не может. В самом деле, всякая другая фундаментальная функция,
если ее собственное значение не совпадает ни с одним из данных выше
значений X, должна быть ортогональна ко всем приведенным произведе-
Колебания мембрана
285
нйям синусов; если же ее собственное значение совпадает с одним из
указанных выше значений >, а сама эта функция линейно не зависит
от принадлежащих этому собственному значению произведений синусов,
то после вычитания надлежащей линейной комбинации этих произведений •
синусов остается функция, ортогональная к последним, а также, подобно
предыдущему, и ко всем остальным произведениям синусов, и, следова-
следовательно, тождественно исчезающая.
Теоремы о разложении и т. д. здесь просто сводятся к сведениям, из-
известным из гл. II, о рядах Фурье с двумя переменными.
Черт. 2. Узловые линии квадратной мембраны.
Пример прямоугольника показывает, что у мембраны вполне воз-
возможны кратные 'собственные значения. Эхо всегда бывает, если отно-
. . л т* . л2
шение сторон а: о рационально, ибо в этом случае уравнение —-[- — =
Я* ' Ь*
т
= — -j- -т? всегда имеет нетривиальные целые решения. Например, у
квадрата а = # = тт таким'решением является т' = п, п' = т, чему, при
краевом условии и = 0, соответствуют фундаментальные функции
sin mx sin ny и sin nx sin my.
Вопрос о показателе кратности какого-либо собственного значения сво-
286 Проблемы колебаний Гл. V
дится тогда к задаче из теории чисел о числе способов, которым число v2
можно представить как сумму двух квадратов:
Узловыми линиями для собственных функций sin nx sin ту являются
просто прямые, параллельные осям координат. Однако при кратных соб-
собственных значениях могут появиться и совершенно иные узловые линии,
например, у квадрата — геометрическое место точек, в которых функция
д sin тх sin /гу-j^- ^ sin nx sin my
равна нулю. На прилагаемых рисунках2) дано несколько характерных
примеров такого рода случаев. В надписях под рисунками для сокраще-
сокращения положено итп = sin mx sin пу.
5. Круговая мембрана. Бесселевы функции. Круговая
мембрана, радиус которой, изменив в случае надобности масштаб, можно
принять равным единице, также допускает решение в явной форме.
Диференциальное уравнение задачи, согласно гл. IV, § 8, 2, принимает
в полярных координатах следующий вид:
+U + b = O. B6)
Если будем опять рассматривать случай закрепленной мембраны, то
краевое условие будет: v A, Э) = 0. Естественно искать решение диферен-
циального уравнения B6) в форме v (г, 9) =/(г) А (&), откуда сейчас
же получается следующее соотношение:
=c=2= const.
f(r) h (в)
Так как функция, v (г, Э), а стало быть, и h (&) должны быть перио-
периодическими функциями от Э с периодом 2тг — в противном случае v не
была бы однозначной функцией точки,— постоянная с должна ¦ иметь
значение с = п2, где п — произвольное неотрицательное целое число.
Имеем:
h (&) = a cos п Э -f- b sin nb
и для f(r)=y —¦ диференциальное уравнение:
«2)j, = 0, B7)
и задача заключается в определении собственных значений \, для кото-
которых существует непрерывное при г=0 решение этого диференциаль-
ного уравнения, удовлетворяющее еще краевому условию /A) = 0.
*) По этому поводу ср. DirkMet-Dedeklnd, Vorlesungen fiber Zahlentheorie,
4 Aufl., § 68, S. 161—166, Braunschweig 1894>
2) Они взяты частью из книги Покельса (Pockels), упомянутой в списке
литературы.
§ 5 Колебания мембраны 287
После преобразования г|/Х = р (X ф 0) или kr=p, если положить
X = k2, уравнение B7) переходит в
Решения этого уравнения — диференциального уравнения Бесселя, —
так называемые бесселевы функции, играют в анализе и в математиче-
математической физике особо важную роль, и позже, в гл. VII, мы ими еще зай-
займемся подробнее. Здесь заметим лишь, что подстановкой в уравнение B8)
со
степенного ряда у(р) = ^ атрт получим решение:
т — 0
которое называют бесселевой функцией п-го порядка. Уже простейшие
признаки сходимости обнаруживают, что этот ряд сходится при всяком
значении р, т. е. бесселевы функции /п(р) СУТЬ целые трансцендентные
функции. В частности имеет место следующее разложение:
об
Заметим, далее, соотношеиие:
Л(Р) = -Л(Р)» B9)
которое легко получается из разложения в ряд.
Решения уравнения B7) получатся теперь в следующем виде:
yn = Jn(kr) (*2 = Х), C0)
причем постоянную k следует определить из краевого условияуп(\) — 0,
т. е. из условия Jn(k) = 0. Следовательно, собственными значениями
X — k2 уравнения B7) являются квадраты нулей бесселевых функций.
Что касается вопроса о существовании этих нулей, то мы впоследствии
покажем, что каждая из я функций Jn действительно имеет бесконечное
множество действительных нулей, которые мы обозначим через
ft* m(«= 1.2,3,...).
Прн таком обозначении собственные функции запишутся в форме:
При этом а и Р' остаются еще произвольными, откуда вытекает, что,
если не считать фундаментальных функций, соответствующих значению
я = 0, все собственные значения по меньшей мере двойные, ибо им
принадлежат линейно независимые фундаментальные функций Jncosnb,
Jnsinnb. Узловыми линиями этих собственных функций являются
окружности р = const и радиусы & = const. Собственные Колебания
выражаются следующей формулой:
288 Проблемы колебаний Гл. V
Если положить в основу более общее краевое условие ^-=*—аи,
о/*
где о — постоянное число, то в вышеприведенных наших рассуждениях
все почти остается без изменения. Лишь краевое условие, из которого
определяются собственные значения, гласит несколько иначе, а именно:
Кроме найденных нами функций Jn (kn т г) никаких других собствен-
собственных функций не существует. Доказательство этого можно, например,
вести, исходя из замечания, что всякая фундаментальная функция v
является периодической функцией от Э периода 2п, имеющей непрерыв-
непрерывные производные до второго порядка, Ти, стало быть, допускает раз-
разложение в ряд Фурье:
n= — CO
Подставив этот ряд в диференциальное уравнение B6), тотчас обна-
обнаружим, что каждый член /п (г)ешЬ в отдельности удовлетворяет диферен,-
циальному уравнению.
Из общей теоремы о разложении вытекает, что функцию w (г, Э),
исчезающую на периферии круга, а внутри него непрерывную вместе
со своими производными до второго порядка, можно разложить в абсо-
абсолютно и равномерно сходящийся ряд вида:
со
w (г, Ь) = "V апт Jn (kn m r) cos я (Э — Ьа т).
п, т =0
В качестве частного случая, когда w не зависит от Э, в этом пред-
предложении содержится теорема о разложимости произвольной функции
от v, непрерывной вместе со своими производными до второго порядка
и исчезающей при г=1, в интервале Osgrs^l в ряд по бесселевым
функциям Jo(kOmr).
Из общего соотношения ортогональности для фундаментальных функ-
функций уравнения мембраны получаем для бесселевых функций и, соответ-
соответственно, для функций C0), после интеграции по Э, следующее соотноше-
соотношение ортогональности:
1
гJn(К ir)Jn (Кir)dr= ° V ФА
которое можно вывести и непосредственно из диференциального урав-
уравнения B7) способом, которым мы уже не раз пользовались. Кстати,
непосредственно можно также обнаружить, что ортогональность сохра-
сохраняется и при более общем краевом условии A7n'(ft) = —aJn(k).
Для нормирования этих функций Jn{knmr) мы воспользуемся соотно-
соотношением:
1
2[jl(kr)rdr = fn2(k)t C1)
о
§ 5 Колебания мембраны 289
которое доказывается следующим образом: помножим диференциальное
уравнение для Jn {kr) —у, а именно:
на гу' и проинтегрируем его от 0 до г. После некоторых преобразо-
преобразований с помощью интеграции по частям получим:
г
2k* \ гуЫг= (гу'J + (r2ft2 ~ п2)У2>
Ъ
откуда при г = 1, в силу соотношения _уA)==Ув(А) = О, и вытекает
равенство C1). Итак, функции
V~2 , (k >
являются нормированными собственными функциями уравнения B7).
Более подробные сведения о бесселевых функциях читатель может найти
в гл. VII и затем в специальных сочинениях.
6. Неоднородная мембрана. Обобщенное диференциальное
уравнение неоднородной мембраны
РДи + Рхих+Руиу ~~ди = 9 (*. У)««.
где р и р имеют повсюду в области G положительные значения, приводит
к задаче о собственных значениях, аналогичной общей задаче Штурм-
Лиувилля из § 3, а именно к задаче об определении тех значений 1,
для которых диференциальное уравнение
L [v] -\-\pv=pHv -\-pxvx-\-pyvy — q
имеет нормированное решение, удовлетворяющее заданным однородным
краевым условиям. При помощи формулы Грина
1сгр. 265, формула EГ)] получается, как и выше, для фундаментальных
функций vt, Vj, принадлежащих различным собственным значениям \, lJy
следующее соотношение:
о
Собственные функции мы определим вообще таким образом, чтобы
функции У р vt образовали нормированную ортогональную систему,
т. е. положим:
Кураат-Гиаьберт.
'290 Проблемы колебаний Гл. V
Вопрос о существовании собственных значений, теорема о полноте
и теорема о разложении, которая утверждает разложимость функции
f{x,y), удовлетворяющей краевым условиям и имеющей непрерывные
00
производные до второго порядка, в рял f==^^cnvn(x,y), с коэфициен-
тамй сп = \ \ pfvn dx dy, — все эти вопросы рассмотрены в § 14 этой
п
главы.
§ 6. Колебания пластинки.
1. Общие соображения. Вопрос.о диференцйальном уравнении
колебания однородной пластинки
ДДи-f utt = 0
мы будем излагать с возможной краткостью, упоминая лишь то, что
возникает принципиально нового по сравнению с изложенным раньше.
Здлача о собственных значениях, которая опять получается из предполо-
предположения u — v(x,y)g(t), гласит так:
ДДг/—- Ь=0, C2)
причем
или
g{t) = a cos v t -j- b sin v t.
В качестве краевых условий приходится рассматривать условия, напри-
Мер, следующего типа:
и = 0, .—= 0, т. е. v — 0, ^-=0
йя йя
(закрепленная пластинка). Ортогональность двух фундаментальных
функций, принадлежащих различным собственным значениям, доказы-
доказывается тем же способом, что и раньше, причем следует воспользоваться
теоремой Грина (§ 1). Единственное принципиальное отличие состоит
в том, что задача о собственных значениях, рассматриваемая здесь, ха-
характеризуется двумя однородными краевыми условиями, в связи с тем
обстоятельством, что мы здесь имеем дело с диференциальным уравне*
нием с частными производными четвертого порядка.
2. Круговая пластинка. Аналитических трудностей в этой з'а-'
даче, естественно, значительно больше, чем у мембраны. Здесь, напри-
например, не удается разрешить случай прямоугольной границы с помощью
известных, явно выраженных функций. Единственным видом границы,
для которого удается такое явное рассмотрение, является окружность.
Здесь мы также придем к бесселевым функциям, если введем полярные
координаты г, й. Полагая 1 = й4, можно привести диференциальное урав-
уравнение к понятному без дальнейших пояснений символическому виду:
(ДД — k*)v = O-
или
(Д —*
§ 7 Колебания пластинка 291
причем оператор Д имеет следующее значение:
Если - представить себе, что функция v .разложена в ряд Фурье:
+ СО
v = 2^ у„(г)е ,
п = — 00
то каждый член этого ряда сам по себе должен удовлетворять диферен-
циальному уравнению, а потому функция уп должна быть решением
следующего уравнения:
? I d ф .Л I d* I d я2 ,
F^Td7-^-k2) [d7* + Tdr-T> +
Можно сразу указать два друг от друга не зависимых решения этого
диференциального уравнения, регулярных при г—0, именно Jn{kr) и
Jn(lkr), где i=y —1 , а следовательно, функция
V (Г, Щ = Jn (kr) (flj COS Я Й -f- *l'sin П $) + Jn (ikr) (a2 COS Л Й 4" *2 Sin n Q)
есть решение уравнения C2). Для того чтобы удовлетворить краевым
условиям г/A,в) = 0, ф/.A,й) = 0, полагаем:
•4 (к) ах Л- fn {Щ а2 =. О, Jn (k) b, -f- Jn (ik) b2 = 0,
/„ (k) a, -b U'n (ik) a2 = 0, ^ (ft) Aa -|- «Уя (ik) b2 = Q,
откуда для собственной частоты k получается трансцендентное урав-
уравнение:
Уп (к) _ и'„ (ik).
jn(k) jn(ik),'
как показывают разложения в ряд на стр. 287, мнимая единица /'
в действительности в это уравнение не входит. За дальнейшими под-
подробностями мы и здесь отошлем читателя к литературе вопроса.
§7. Общие соображения о методе собственных функций.
После рассмотрения приведенных выше примеров полезно будет
подчеркнуть-основную сущность метода.
1. Применение метода к задачам о колебаниях и к
задачам о равновесии. Рассмотренные нами задачи относились
к следующему типу: пусть О — область изменения независимых перемен-
переменных х,..., определяющих положение точки, а именно, смотря по числу
независимых переменных, пусть G представляет либо интервал оси д;, либо
область плоскости х, у или пространства х, у, z с кусочно-гладкой гра-
границей. Состояние заполняющей область О непрерывной среды пусть харак-
характеризуется функцией и (х,.. .; t), тождественное исчезание которой соответ-
19*
292 Проблемы колебаний Гл. V
ствует положению устойчивого равновесия. Пусть, далее, L [и] — определен-
определенное в области О самосопряженное линейное диферен .иальное выражение
относительно переменных х,..., полученное, вариацией принадлежащей
системе потенциальной энергии, р («,...) — заданная функция точки, пред-
представляющая плотность массы, a Q(x,...; t) — заданная внешняя сила.
Ищется такое решение диференциального уравнения:
L[u] = 9ui(~Q, C3)
которое на границе Г области О удовлетворяет заданным однородным,
не содержащим времени, краевым условиям и соответствует заданному
начальному состоянию, определенному равенствами:
и(х,...;0) = у(х,...),
в,(*,...;0) = ф (*,...).
У всех встречающихся функций предполагается непрерывность произ-
производных до наивысшего встречающегося в данной задаче порядка.
Сюда включен и случай равновесия, для которого надо принять,
что все встречающиеся функции не зависят от времени и не дано
начальных условий. Тогда мы вместо смешанной задачи о колебаниях
.с заданными краевыми и начальными условиями получим краевую
задачу о равновесии.
Из свободных движений, т. е. из решений однородного диферен-
диференциального уравнения:
удовлетворяющих заданным однородным краевым условиям, выделяют
собственные колебания требованием синхронизма: u = v(x,.. .)g(t).'Каж-
.)g(t).'Каждое такое собственное колебание соответствует постоянному значению 1,
собственному значению, таким образом, что g(t) удовлетворяет урав-
уравнению g -f- >^=0, и, стало быть,
g (t) = a cos /U -f b sin Ylt,
a v (x,...) -— уравнению:
L[v] + l9v=0, C4)
причем функция v должна удовлетворять поставленным выше для и
краевым условиям. Типичная задача — задача о собственных значе-
значениях — состоит теперь в том, чтобы определить такие значения пара-
параметра 1—собственные значения,—для которых однородное диференциаль-
ное уравнение C4) имеет при заданных краевых условиях неисчезающие
тождественно решения {собственные или фундаментальные функции).
Тогда колебание, удовлетворяющее первоначальному, уравнению C3'),
изобразится формулой:
и — (acosVU 4- Ь sin \T\t) v(x,...).
В случае конечной основной области G положение дела в общем
таково: собственные значения \ образуют бесконечную последователь-
§ 7 Общие соображения о методе собственных функций 293
ность \,\„ Существует система соответствующих фундаменталь-
фундаментальных функций Vj, v2, . . . , которая является полной системой в смысле
гл. II, § 1 и удовлетворяет соотношениям ортогональности *)
{ pv{vkdt—0 (гфА), Cpty'dT^sl.
о о
Больше того, имеет место еще теорема о разложении: всякая функ-
функция w с непрерывным ?[w], удовлетворяющая заданным однородным
краевым условиям, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд:
оо
v = I G
по фундаментальным функциям.
На основании этих фактов [которые, во всяком случае, нуждаются
в особом доказательстве (см. § 14)] получаем бесконечную последова-
последовательность собственных колебаний (avcos \f\j- -f- b^sm \Z~\t) vv (x,...), нало-
наложением которых, при надлежащем выборе коэфициентов<ач и &v, находим
решение уравнения C3'i, соответствующее заданным начальным условиям,
а именно следует положить:
=l
Для неоднородного уравнения C3) при однородных краевых усло-
условиях — согласно §1,2 предположение однородных краевых условий у
неоднородного уравнения не означает ограничения общности — решение
и (х,... ; t) находят, определяя коэфициенты y4(t) его разложения по функ-
функциям ¦»„. Дчя этой цели умножа'ют диференциальное уравнение C3) на
v.,, интегрируют по области G, преобразовывают левую сторону с по-
помощью формулы Грина E'), § 1, пользуясь краевыми условиями, при-
применяют затем диф?ренциальное уравнение для функции г»„-и в результате
получается уравнение:
где Qv (t) — заданный коэфициент разложения функции Q (х,...; t) по
функциям t»v. Наше диференциальное уравнение для yv имеет частное
решение:
t
VX
о
Функция, образованная с помощью этих коэфициентов разложения,
будет частным решением уравнения C3), а всякое другое решение можно
получить прибавлением некоторого решения уравнения C3'), так что
решение предложенной задачи с начальными условиями сведено к со-
соответствующей задаче для однородного уравнения C3')-
') Символом\ fd- мы обдзначаем интеграл функции /(*,...) по области G.
6
294 Проблемы колебаний Гл. V
Задачу о равновесии, т. е. краевую задачу диференциального уравнения
при однородных краевых условиях также можно решить с помощью
фундаментальных функций. Как и выше, получаем для постоянных
коэфициентов yv разложения искомого решения и по функциям v4
уравнение Xvyv = Qv; стало быть,
Y -I.,
v
' о
Таким образом, согласно теореме о разложении, решение дается еле •
дующей формулой:
оо
Если бы позволено было поменять местами суммирование и инте-
интеграцию, то мы получили бы функцию:
.с \ ^*^6)
,...;?,.. • )—
с помощью которой решение краевой задачи можно было бы записать
в следующем виде:
причем интеграцию надо производить по переменным ?,...
Этой функции К, „функции Грина" для диференциального выражения
L[u], мы в § 14 дадим совершенно другое определение и сделаем ее
исходной точкой более углубленного рассмотрения, перерастающего
формальные рамки.
2. Задачи о собственных значениях в теории тепло-
теплопроводности. Совершенно подобным же образом и теория теплопро-
теплопроводности приводит к задачам на определение собственных значений.
Диференциальное уравнение теплопроводности в однородных изотроп-
изотропных телах, при надлежащем выборе единиц времени и длины, гласит:
где и означает температуру, как функцию .точки х, у, г и времени t.
Излучение однородного тела О с поверхностью Г в бесконечно прости-
простирающуюся среду постоянной нулевой температуры характеризуется на
поверхности Г краевым условием вида -—\- аи = 0, где а—положитель-
ная константа, зависящая от материала; т. е. падение температуры
по направлению внутрь тела пропорционально температурному скач-
скачку изнутри наружу. Вопрос состоит в том, чтобы найти при этом
§ 7 Общие соображения о методе собственных функций 295
краевой условии такое решение уравнения теплопроводности, которое
при t==0 переходит в заданное начальное состояние <р(х, у, z).
Относительно и делаем предположение u — v(x, yt z)g(t) и тотчас
получаем уравнение:
i
V g
Таким образом для функции v получается следующая задача о соб-
собственных значениях: L[v]-\-\v = 0 в области G и — -\-av = 0 на по-
поверхности Г; решение диференциального уравнения, соответствующее
собственному значению 1 и собственной функции v, имеет вид:
u = ave~u.
Теорема о разложении по собственным функциям, как и раньше, дает
возможность приспособить решение тс заданному начальному состоянию,
так что и (х, у, г; 0) оказывается равной произвольно заданной функ-
функции <р (л:, у, z), непрерывной в области О вместе со своими производ-
производными первого и второго порядка и удовлетворяющей краевому условию.
Если, скажем, vv v^,... и \lt l^,... представляют собою соответственно
полную систему нормированных фундаментальных функций и собствен-
собственных значений, то искомое решение дается формулой:
оо
и (х,у, z; t) = ? cnvn (х, у, z) e~xt,
и=1
где с„= \ \ \ yvndx dy dz.
Заметим вкратце, что в силу положительности собственных значений)
решение и (х, у, z; l) с возрастанием t стремится асимптотически к нулю,
как и следовало ожидать из физических соображений.
Если вместо однородного уравнения теплопроводности рассматривать
неоднородное уравнение
L[u]=ut— Q(x, y,z),
где заданная функция Q не должна зависеть от времени, и если поста-
поставить те же однородные краевые условия, что и выше, то по нашему
общему методу получится решение и (х, у, z;t), которое при t—>ОО
переходит в решение соответствующей краевой задачи для уравнения,
L[u] = — Q(x, у, z).
3. Другие вопросы, приводящие к задачам о собствен-
собственных значениях. Помимо рассмотренных вопросов, многочисленные
вопросы анализа приводят к задачам о собственных значениях, т. е. к
линейному диференциальному уравнению (или другбго типа функциог
нальному уравнению) для функции и, содержащему параметр 1, который
требуется определить в качестве „собственного значения" таким образом,
чтобы однородная краевая задача, кроме тривиального решения и = 0.
296 Проблемы колебаний Гл. V
имела еще нетривиальное решение. Эта постановка вопроса часто возни-
возникает в задачах, где один из аргументов играет особую роль. В таком
случае пытаются найти решения, которые можно представить в виде.,
произведения функции этого самого аргумента на функцию всех осталь-
остальных, чтобы получить для этой последней функции задачу о собственных
значениях. В ближайших Параграфах мыу рассмотрим еще ряд таких
задач, возникающих из совершенно различных источников.
§ 8. Колебания трехмерных континуумов.
Вопросы колебаний трехмерных континуумов, например в акустике,
теории упругости или электродинамике, требующие решения уравнения
Дм = ин,
где Дн — диференциальное выражение Лапласа в трех переменных, при-
приводят к задаче о собственных значениях вида:
Ди-f Хы = О
с соответствующими однородными краевыми условиями.
Часто встречается .случай, когда специальный вид основной области
нозволяет дальнейшее расщепление решений этой задачи и приводит та-
таким образом к задачам о собственных значениях с меньшим числом
независимых переменных.
Примером может служить цилиндрическая область, имеющая основа-
основанием область G плоскости х, у и ограниченная плоскостями z = 0,
z = k. В качестве краевого условия возьмем, например, и —0. Подста-
Подстановкой u—f(z)v (x,y) эту задачу можно свести к соответствующей за-
задаче для плоской области G; при этом получается:
— ——- -j- i = k = const,
/= sin У k z,
причем k= I2, 22, 32,...; для v получается уравнение Дг»4- A — яг)г> = 0,
собственные значения которого отличаются от собственных значений
плоской области G лишь слагаемым — я2, а фундаментальные функции
совпадают с фундаментальными функциями плоской области Q.
Что таким путем при 'заданных краевых условиях опять получаются
все фунзаменгальные функции цилиндра, выводится из полноты системы
этих функций способом, уже не раз примененным.
Если взять в частности цилиндр с прямоугольным основанием, т. е.
прямоугольный параллелепипед, например куб 0=^x,y,z^n, то полу-
получим таким путем, в качестве почти само собою разумеющегося решения
задачи, собственные значения /2 -\-rrfi -f- я2 (/, т, п— 1, 2, 3,...) и соб-
собственные функции sin lx sin my sin nz.
В качестве следующего примера рассмотрим уравнение колебания для
шаровой области х" -\-_ys -\- z2 sg 1 радиуса 1. Введя полярные координа-
§ 9 Колебания трехмерных континуумов 297
ты г, Q, (р, преобразуем уравнение колебания к виду (ср. гл. IV, § 8, 2):
[Ь <" ur™
пытаемся удолетворить этому уравнению, полагая и= Y(b,w)f(r), где
У зависит только от <р и й, а /— только от г. Имеем:
причем k должно быть постоянно. Эта постоянная не может, однако,
быть произвольной; она должна быть так выбрана, чтобы диференциаль-
диференциальное уравнение
имело решение, непрерывное на всей поверхности шара, т. е. периоди-
периодическое относительно ср с, периодом 2тс и остающееся еще регулярным
при & = 0 и в —тг (при приближении к этим точкам наше решение
должно стремиться к пределу, не зависящему от (р). В гл. VII,- § 5 мы уви-
увидим, что этому требованию можно удовле1вори1ь лишь для значений
k — n(n-\-1) (л = 0,1, 2, ...), а именно шаровыми функциями Y (9, <р)
(ср. также § 9). Для функции/(л) получается диференциальное уравнение:
для которого решениями, регулярными в нулевой точке, являются функции
(ср. §5 и §10). Параметр \ следует теперь определить из краевого
условия, например при краевом условии и = 0, из уравнения
Обозначая корни этого уравнения через 1П]) \п 2,.. , , получим решения
нашей краевой задачи в виде:
Что таким образом мы получаем полную ортогональную систему функ-
функций и, следовательно, все фундаментальные функции и собственные
значения нашего диференциального уравнения, будет доказано позже,
в гл. VII, §5.
§ 9. Краевая задача теории потенциала и собственные
функции.
Краевая задача теории потенциала состоит в определении функ-
функции и, которая внутри области G удовлетворяет диференциальному
298 Проблемы колебаний Гл. V
уравнению Ди = 0, а на границе принимает заданные значения, Соглас-
Согласно § 1, 2 эту задачу можно привести к решению неоднородного урав-
уравнения Ди=/ при краевом условии м = 0. Решение этой задачи всегда
можно найти методом, изложенным в § 7, разложением по фундамен-
фундаментальным функциям диференциального уравнения:
Дг, -f \v — 0.
Однако при некоторых специального вида областях G можно притти
к цели другим, более простым путем, при помощи процесса расщепления
и приведения к фундаментальным функциям диференциального выраже»
ния с меньшим числом независимых переменных. Покажем это на не-
нескольких важных примерах.
1. Окружность, сфера, сферический слой. Прежде всего
рассмотрим случай двух независимых переменных х, у, а в качестве
области G возьмем окружность радиуса 1 с центром в начале. После
преобразования выражения Дм к полярным координатам г, ср имеем за>
дачу о решении диференциального уравнения:
при заданных краевых значениях и A, ср) =/(ср), где /(ср) — периодиче-
периодическая, с периодом 2тг, непрерывная функция, имеющая кусочно-непре-
кусочно-непрерывную первую производную. Отыскание решений однородного уравне-
ния — без рассмотрения краевого условия — при помощи расщепления
вида и = v (r)w(y) приводит обычным путем к задаче о собственных
значениях уравнения:
причем в качестве краевых условий надо поставить условия периодично-
периодичности и|@)=и)B7г), а/'@)=щ/Bтг). Эта простая задача приводит к соб-
собственным значениям X = rfi (n — целое) и соответствующим собственным
функциям w = ancosяср -|- bnsian ср. Для множителя v(r) получается
диференциальное уравнение r^v1I — tfiv — Q, имеющее линейно неза-
независимые решения v — r" и v = r~n. Стало быть, имеем частные реше-
решения первоначального диференциального уравнения, регулярные в круге
радиуса 1, в форме:
(ап cos я (р -\- bn sin n (р) гп
с произвольными коэфициентами ап и Ъп. Эти решения можно также
охарактеризовать как целые, рациональные относительно х и у, однород-
однородные степени п решения диференциального уравнения Дн = 0.
Процессом наложения, на основании теории ряда Фурье, можно по-
получить желаемое решение краевой задачи в виде:
оо
и = ? г" (ап cos я (р -j- Ьп sin я tp),
о
причем коэфициенты ап и Ъп надо взять из разложения в ряд Фурье за-
заданной функции f(x) (ср. гл. IV, § 2, стр. 168),
§ 9 Краевая, задача теории потенциала и собственные функции 299
Совершенно аналогично складываются обстоятельства в трех изме-
измерениях, если в качестве области G выбрана единичная сфера х2 -\-у2 -(-
-\~ z2 ;е?; 1. Место тригонометрических функций здесь занимают шаровые
функции' Лапласа. Преобразуя диференциальное уравнение к полярным
координатам г, О, <р (ср. стр. 217 и 296), получим уравнение:
которое в результате процесса расщепления u = v(r) Y(b, у) приводит
для v к диференциальному уравнению:
(rV/— Ь = 0, C5)
общее решение которого гласит:
где сг и с2 — произвольные постоянные, a av o2 — корни квадратного
уравнения:
+ 1)=*.
Для функции Y получаем поставленную уже в § 8 задачу о нахож-
нахождении собственных значений диференциального уравнения:
причем собственное значение 1 следует так определить, чтобы диферен-
циальиое уравнение имело не исчезающее тождественно решение, допу-
допускающее на всей сфере непрерывные производные первого и второго
порядка.
Для того чтобы выяснить, какого поведения функций Y надо потре-
потребовать на полюсах сферы, т. е. при 0 = 0 и О = тг, заметим, что вы-
выражение Д инвариантно относительно вращений координатной системы,
а следовательно, и выражение Д* на поверхности шара, - т. е. выражение,
получающееся из Д при г = 1, должно оставаться инвариантным
при введении иначе ориентированных полярных координат, т. е.
другой системы кругов долготы и широты, так что особенность дифе-
диференциального уравнения C6) при й = 0 и 9 = тс кроется лишь в несим-
несимметричности координатной системы. В силу этого потребуем, чтобы при
вращении системы координат полюса сферы утрачивали свое исклю-
исключительное положение для функции Y, стало быть, чтобы Y, как функция
положения точки на поверхности сферы, удовлетворяла повсюду одним
и тем же условиям непрерывности.
Проще всего можно определить собственные значения 1 и соответ-
соответствующие собственные функции К, если искать, как в § 8, целые рацио-
начьные относительно х, у, z и однородные степени п решения
и —Un уравнения Ди'=0. Позже (гл. VII, § 5) мы увидим, что суще-
ст вует точно In -J- 1 таких линейно независимых потенциалов л-й сте-
степени. Если записать их, после введения полярных координат, в форме
Un = r" Yn (ft, <p), то легко видеть, что функции Yn являются решениями
диференциального уравнения C6). Собственное значение, принадлежащее
300 Проблемы колебаний Гл. V
2п~\~\ функциям Yn (Ь, (р), оказываете^
Что определенные таким' образом функции Yn дают всю систему фун-
фундаментальных функций нашей задачи, будет показано в гл. VII, § 5.
Далее, как и у функций Штурм-Лиувилля, получается свойство пол-
полноты и соответственно теорема о разложении, 'на основании которых
суперпозицией решений: и=^^гп?п можно получить решение уравнения
Ди — 0, принимающее заданные значения на поверхности сферы.
Наряду с функцией м = г"Кп и функция u — r~(n + '1)Yn, имеющая
начало особой точкой, также является решением уравнения Ди = 0. Стало
быть, суперпозицией решений вида гпУ„ иг"'° + 1'Кя можно найти такое
решение уравнения Дм = 0, которое на двух концентрических шаровых
поверхностях принимает заданные значения и регулярно в слое, лежащем
между ними.
Если искать в частности такие шаровые функции, которые зависят
только от полярного угла Ь, но не от долготы ср, полагая, следовательно,
F ==0, то придем к диференциальному уравнению:
которое преобразованием x = cos Ь приводится к диференциальному
уравнению полиномов Лежандра [ср. B0) гл. Щ. Стало быть, полиномы
Лежандра Рп (cos й) являются частного вида шаровыми функциями.
Можно притти к обобщению шаровых функций, если рассматривать
произвольную область G на шаровой поверхности и искать регулярное
в области G решение Y (&, <р) диференциального уравнения:
Д*К-|~ХГ=0, C6)
удовлетворяющее на границе области однородным краевым условиям,
например исчезающее на границе. Принадлежащие этой области фунда-
фундаментальные функции К,, F2,... называются,вообще обобщенными шаро-
шаровыми функциями х). Из проделанных выше вычислений следует, что функ-
функция r*Y (&, ф) = м (х, у, z) является решением диференциального урав-
уравнения Ди = 0, непрерывным в конусе, имеющем основанием область G,
а вершиной — центр шара всюду, за исключением, самое большее, нуле-
нулевой точки, если а и X связаны уравнением:
a
Диференциальное уравнение шаровых функций Д*К-]~ХК=0 явля-
является частным случаем общего диференциального уравнения:
^
- Р \*у Veg -P
принадлежащего любой кривой поверхности с линейным элементом
ds2 — edx2-\- 2fdxdy-\-gdyi. Об инвариантном характере этого диферен-
») Ср. Thomson W. and Teat P. G., Treatise on Natural Philosophy, т. 1, стр.
171—213, Cambridge 1886.
§ 9 Краевая задача теории потенциала и собственные функции 301
циального уравнения уже было упомянуто в гл. IV, § 8, 2. Его можно
рассматривать как уравнение колебания „кривой мембраны", лежащей
на нашей поверхности. Для поверхности сферы при введении полярных
координат оно переходит в уравнение C6).
2. Цилиндрическая область. Дальнейший пример представ-
представляет цилиндр, имеющий основанием область Q плоскости х, у и ограни-
ограниченный плоскостями 2 = 0, 2 = тт. Предположим, что краевые значения
заданы на боковой поверхности тождественно равными нулю, а на поверх-
поверхностях оснований — произвольными функциями/ имеющими непрерывные
производные до второго порядка и исчезающими на их границах Г.
Ищем теперь решение уравнения Ди = 0 в виде u=f (z)v (х,у) и по-
получаем непосредственно, подобно предыдущему, для функций / и v
диференциальные уравнения ^—= = ),, где \ надо так определить,
чтобы для нее существовала собственная функция v (x, у), исчезающая
на контуре Г. Если vv v2,... — полная система фундаментальных функ-
функций с собственными значениями \, 12,..., то теорема о разложении
утверждает, что рядом видаУд апе nZ-\- bne~* n \ vn (х,у)приг = 0
л = 1
и z = n можно представить заданные краевые значения на поверхно-
поверхностях оснований. Стало быть, этот ряд представляет собой решение нашей
краевой задачи, если только он равномерно сходится и если равномер-
равномерная сходимость сохранится и после того, как мы его продиференцируем
один или два раза по любому из переменных х, у, z.
3. Задача Ламэ (Lame). По существу самый общий случай,
в котором краевую задачу теории потенциала можно процессом рас-
расщепления привести к задаче о нахождении функций одного единственного
переменного, которые с своей стороны характеризуются задачей о соб-
собственных значениях, это случай софокусного ортогонального шестигран-
шестигранника. Под- этим на}ванием мы разумеем область, ограниченную попарно
кусками двух эллипсоидов, двух однополых и двух двуполых гиперболой'
дов, принадлежащих к одному и тому же софокусному семейству
_ 1
(ср. гл. IV, § 8, 3). Почти все разобранные раньше случаи краевой
задачи можно рассматривать как частные или предельные случаи
этой „задачи Ламэ". Если ввести, пользуясь обозначениями гл. IV,
эллиптические координаты р =/(«), o = g\v), x — h(w), то уравнение
потенциала ДГ=0 принимает следующий вид:
jr_ [zW) — h(w)]Tn,,±\f(u)-h(w)}T^+[f(u)-g(v)]Tww
\g(v) - h {w)\ [/(и) - h (да)] [/(и) - g(v)\
Попытаемся теперь удовлетворить этому уравнению предположением
T=U{u)V{v)W{w);
<ЗО2 Проблемы колебаний Гл. V
мы получим решение диференциального уравнения ЬТ—0, найдя ре-
решения следующих трех обыкновенных диференциальных уравнений с двумя
произвольными постоянными \, ц:
= О, C7)
=0, C8)
0. C9)
При этом переменные и, v, w лежат в различных интервалах, определен-
определенных условиями:
которым соответствуют следующие условия:
М2 sg U ^ Mj,
Наш софокусный ортогональный шестигранник задан при этом условия-
условиями вида
р2 ^ р < Pi «S о, ss о «S Cj < т2 ==: т «S тг
Если вместо и, v, w пользоваться координатами р, о, t и обозначать
без различия независимую переменную через s, а зависимую — через Y,
то уравнения C7), C8), C9) можно записать в общей форме:
причем введено обозначение
4 (s — ej) (s — е2) (s — е3) = <р (s).
Решения этого уравнения, так называемого уравнения Ламэ, представ-
представляют собою функции, зависящие от выбора постоянных X, fx и не при-
приводящиеся, вообще говоря, к элементарным трансцендентным функциям.
Они носят название функций Ламэ и являются предметом многочисленных
исследований, хотя до сего времени разработано относительно мало
средств для их вычисления. Мы удовольствуемся здесь постановкой со-
соответствующей задачи о собственных значениях. Краевую задачу теории
потенциала для софокусного ортогонального шестигранника, очевидно,
можно б/дет решить, если владеть ее решением для того частного слу-
случая, когда заданные краевые значения на пяти из шести граней суть
нули. Решение общей краевой зада щ представится тогда в виде суммы
шести таких частных решений. Теперь пусть, например, т=т2 — та
грань, для которой не задано краевое значение нуль. В таком случае
вопрос закчючается в отыскании таких решений U, V, W уравнений
Ламэ C7), C8), C9), для которых выполняются условия:
) = U(u2) = V («,) = V (v2) = W{Wj) = 0,
между тем как для W(w2) не поставлено никакого условия. Произведение
7==: U (и) V(v) W(w)
§ 9 Краевая задача теории потенциала и собственные функции 30S
будет тогда решением уравнения ДГ=0, исчезающим при
Р — р2. P = Pi> <* = о2, o = Oj, т = тг
И вот, как будет выяснено, указанным условиям возможно удовлетворить
не при всяких значениях постоянных 1, ц. Мы именно и поставим зада-
задачу: выбрать эти постоянные таким образом, чтобы можно было удовле-
удовлетворить поставленным требованиям надлежащими функциями Ламэ
U, V; в таком случае всегда будет существовать и соответствующая
функция W. Перед нами здесь задача о собственных значениях но-
нового рода, так называемая задача о собственных значениях с двумя
параметралш, в которой речь идет об определении пар друг другу
соответствующих собственных значений X, ц, для которых диферен-
циальное уравнение C7) имеет решение, исчезающее при и = иг и
и = и2, а диференциальное уравнение C8) имеет решение, исчезающее
при v = v^ и v — v2.
В этой задаче о собственных значениях дело обстоит вполне анало-
аналогично, как и в обыкновенной задаче с одним параметром, а именно:
существует бесконечно большое число пар собственных значений
\, щ и соответствующих решений Ut, Vt нашей задачи. Всякая функ-
ция от u,v, непрерывная в прямоугольнике u2^u^u1,v2^v^v1
вместе со своими производными до второго порядка и исчезающая
на контуре этого прямоугольника, может быть разложена в абсо-
абсолютно и равномерно сходящийся ряд вида:
00
причем суммирование распространяется на все произведения Ламэ
U^ujV^v), принадлежащие парам собственных значений. Эти про-
произведения Ламэ удовлетворяют, кроме того, условию ортогональности:
й'
[/(«) -*(«)] Ц (в) V, (v) Uk {и) Vh (v) dvdu =
если они принадлежат различным парам собственных значений*
Для решения нашей краевой задачи отнесем функциям Ut, V, такие
функции Wgiw), которые удовлетворяют уравнению C9) при Х=Х/,
?1 = ^ и исчезают при да = да1. (Что такое решение существует, сле-
следует из общих теорем существования в теории диференциальных урав-
уравнений.) Функции Wt(w) при w — w2 не исчезают; ибо в противном
случае функция Г= UVW была бы неисчезающим решением уравнения
ДГ=О с равными нулю краевыми значениями, что в силу элементарных
фактов теории потенциала невозможно (ср. т. II).
Краевые значения, заданные на грани w = w2i можно разложить
в ряд вида:
оо
304 Проблемы колебаний Гл. V
тогда ряд
со
даст требуемое решение краевой задачи теории потенциала для нашего
софокусного ортогонального шестигранника.
Необходимо заметить при этом, что, в связи с данной выше форму-
формулировкой теоремы разложения, на заданные значения функции Т на гра-
гранях должно еще быть наложено то ограничение, что 7 исчезает на
всех ребрах софокусного шестигранника. В действительности, однако,
это ограничение не обязательно, на чем мы здесь, впрочем, останавли-
останавливаться не будем.
Покажем еще, что наша задача о собственных значениях с двумя
параметрами может быть естественным образом приведена к задаче с
одним параметром привычной нам формы, но на уравнение с частными
производными. В самом деле, возьмем функцию Z(u, v) = U(u) V(v),
причем U (и) удовлетворяет диференциальному уравнению C7), а V (v) —
диференциальном} уравнению C8); из этих двух уравнений, помножив
первое на V, а второе на U и сложив их, получим для функции Z («, v)
диференциальное уравнение с частными производными:
-gW\Z=0. D0)
Собственное значение \=\ и соответствующая фундаментальная
функция Zt = Ut (и) Vt (v) решают задачу о собственных значениях этого ди-
ференциального уравнения для прямоугольника G: u2^ us^u1, г»2^ v «Si г>2
при краевом условии Z = 0. [Заметим, что это диференциальное урав-
уравнение можно было также получить из уравнения ДГ—0 подстанов-
подстановкой T=Z(u, v) W(w)y] Диференциальное уравнение DQ) имеет вид
&Z-\-\pZ — 0,. причем функция р=/(и) — g(v) положительна во всем
прямоугольнике G; перед нами, стало быть, задача о собственных зна-
значениях с одним Параметром X совершенно в прежнем смысле, а для
этой задачи вопросы о существовании фундаментальных функций и о
теореме разложения полностью укладываются в привычную для иас
схему. Забегая вперед с ответом на этот вопрос J), мы можем, таким
образом, утверждать существование для прямоугольника О бесконечного
множества собственных значений \v Х„ ... и соответствующих, исчезаю-
исчезающих на границе фундаментальных функций Zy, Z2,..., по которым
можно разложить произвольные, в очерченных выше рамках, функции.
Остается только показать, что все собственные функции Zt являются
произведениями Ламэ U(u) V (v) или, самое большее, суммами конеч-
конечного числа произведений Ламэ, принадлежащих одному и тому же соб-
собственному значению \.
Для этой цели обозначим полную систему собственных значений и
фундаментальных функций уравнения D0) через \,\г, и Z,, Z,,...
соответственно. Пусть \h — одно из собственных значений; рассмотрим
*) См. §§ 14 и 15.
§ 9 Краевая задача теории потенциала и собственные функции 305
¦ теперь задачу о собственных значениях обыкновенного диференциаль-
диференциального уравнения:
при том же кр зевом условии А' = 0 при k = «j и и = и2. Обозначим
соответствующую бесконечную последовательность собственных значений
и нормированных собственных функций через jij, ц?)... и Xv X2,...
соответственно. По этим собственным функциям можно разложить вся-
всякую функцию, исчезающую при и = и1 и и —и2, непрерывную в интер-
интервале и2 г?; и sg: «j вместе со своими производными до второго порядка,
а в остальном совершенно .произвольную. В частности эта теорема о
разложимости справедлива и для функции Z(u, v), зависящей еще от v
как параметра; пишем это разложение в следующем виде:
со
Z(«,z>) = ]T Yn{v)Xa(u),
л = 1
причем
Yn{v)=[z{u,v)Xniu)du.
щ
Продиференцируем Yn дважды по г» и преобразуем интеграцией по
частям. Имеем:
~ Zuu - \ [/(«) - g HI ^) Xn du
n,
т. е Yn есть фундаментальная функция диференциального уравнения C8)
для области v2^v^v1 при заданном краевом условии. Другими сло-
словами, пара значений 1Й, несоответствующими функциями Х'п(и), Yn(v)
являются решением нашей двухпараметров! й задачи о собственных зна-
значениях— если только соответствующая функция Yn (v) ие исчезает
тождественно. Но ведь на основании исходных рассуждений произведе-
произведение XnYn является собственной функцией уравнения D0), принадлежа-
принадлежащей собственному значению \, а всякое собственное значение этого
уравнения в силу общей теории (которая будет обоснована лишь в сле-
следующей главе) может обладать только конечной кратностью. Поэтому
20 Курант-Гильберт.
306 Проблемы колебаний ¦ Гл. V
среди функций ХпУп обоих переменных и и v может встретиться лишь
конечн )е число k линейно независимых. Кроме того, можно принять,
чю ни одна из функций Хп и Yn не исчезает тождественно, ибо в про-
противном случае соотв тствующий член можно просто опустить. Между
всякими k-\- 1 произведениями XnYn существует тогда линейное соот-
соотношение-
Е <•*«/«,=°-
.V = 1
Если дать в этом равенстве переменному v такое значение, при кото-
котором все Yn отличны от нуля, то получим линейное соотношение между
всеми Х„ . Но так как фундаментальные функции, принадлежащие раз-
"v
личным собственным значениям ц, линейно независимы, выражение
Z — ^XnYn вообще может содержать лишь конечное число членов, что
мы и имели в виду показать.
Теперь можно произвольную, с указанными выше ограничениями,
функцию разложить по собственным функциям Z{, и мы попучаем таким
образом следующий результат: всякая функция, непрерывная в прямо-
. угольнике и? <;«<;«], v9 «Si v ^ vt вместе со своими производными до
второго порядка и исчезающая на его контуре, может быть разложена
в ряд произведений Ламэ.
§ 10. Задачи штурм-лиувиллевского типа. Особые
краевые точки.
Прч процессах расщепления, приводящих к задачам на определение
собственных значений, часто получаются диференциальные уравнения,
принадлежащие к штурм-лиувиллевскому типу, т. е. уравнения вида:
(ри1I — q
с тем, однако, существенным отличием от случаев, рассмотренных в § 3,
что в конечных точках основной области могут иметь места особенности
диференциального уравнения, например исчезание значения р@). Для
э'их особых точек из самого характера задачи получаются при этом
некоторые условия, как, например, непрерывность или конечность ре пе-
пения или обращение его в бесконечность не выше заданного порядка,
каковые условия принимают на себя роль однородного краевого условия.
1. Бесселевы функции. Примером может служить рассмотрен-
рассмотренное уже в § 5, 5 диференциальное уравнение Бесселя:
(хи'У — — и-\-\хи = 0, D1)
X
которое получается в самых разнообразных вопросах математической
физики. Сделанное в § 3, 3' предположение, что р ^> 0 во всей основ-
основной области 0=^л-=^1, здесь уже не имеет места, ибо р{0) = 0.
Точка д; = 0 является в смысле общей теории линейных диференциаль-
ных уравнений особой точкой диференциального уравнения Бесселя,
и требование, чтобы решение оставалось конечным в этой точке,
§ 10 Задачи штурм-лиувиллевского типа 307
будет для него специального вида краевым условием. Кр евые условия
нашей штурм-лиувиллевской задачи гласят здесь так: решение остается
конечным при х — 0 и, например, исчезает при х=\. Фундаменталь-
Фундаментальными функциями являются бесселевы функции Jn \\f\x), причем \ = \пт
определяется из краевого условия при jc=1, как корень некоторого
трансцендентного уравнения.
Если вместо бесселевых функций u = Jn(yr\ х) пожелаем рассматри-
рассматривать соответствующие ортогональные функции г = У^ xJn(\f \х), то
можно их охарактеризовать как решения диференциального уравнения:
^b = 0, D2)
которое получается без затруднений из уравнения Бесселя.
(Мы имеем здесь примеэ того преобразования, которое в общем виде
было приведено на стр. 276.)
Для функции
4 * Vic
получается диференциальное уравнение:
(А2 ?)Г _ («2 _ 1/4) ? _J- U* С = 0. D3)
2. Функции Лежандра любого порядка. Задачу того же
типа представляет штурм-лиувиллевское диференциальное уравнение:
[A—л8) ul\l-\-\u = 0 D4)
при следующих краевых условиях: и остается конечной для х = -\-1 и
х — —1, обеих особых точек дифзренциального уравнения; основной
областью является— 1 sgrjesg; + 1- Из гл. II, § 8 мы знаем, что числа Х =
= я (л -}-1) являются собственными значениями, а функции Лежан-
Лежандра Рп(х) — собственными функциями этой задачи.
Нетрудно показать, что полиномы Лежандра — единственные реше-
решения этой задачи о собственных значениях. Доказательство вытекает,
например, без дальнейших рассуждений из того известного уже из
гл. II, § 8 факта, что функции Лежандра образуют полную ортогональ-
ортогональную сисгему. Независимо or этого дадим нижеследующее прямое дока-
доказательство. Заметим, что одновременно с и=/(х) удовлетворяет нашему
диференциальному уравнению и функция/(—к), а стало быть, удовлет-
удовлетворяют ему и функции f(x) +/( — х) и f(x) —/( — х), из которых
одна — четная, другая — нечетная и одна, по крайней мере, не исчезает
тождественно, ибо функция и, по предположению, не равна тождест-
тождественно нулю. Итак, достаточно показать, что всякое четное и всякое
нечетное решение и уравнения D4), непрерывное при —1^дг^ + 1,
есть полином Лежандра и что при этом X должно быть числом вина
п (п -f- I). Подставив и в виде степенного ряда-
со
20*
308 Проблемы колебаний Гл. V
получим из уравнения D4) рекуррентную формулу:
Если и — четная функция, то все av с нечетным v — пула; если же
и — нечетная функция, то нулями будут коэфициенты а., с четным v.
Из уравнения D5) в случае v — 2/г>0 имеем:
I ^l I1 |" • ¦ I.1 ~ -(v-2A+l)F=2A) I Ы* D6)
где fe=v — 2/г. Наш ряд для и обрывается в том и только в том слу-
случае, если 1 — число вида п(п-\-\); нетрудно убедиться, что в этом слу-
случае и представляет собой и-й полином Лежандра. Для всех иных значе-
значений X получится бесконечный ряд, который, согласно элементарным при-
признакам, сходится при |*|<1. Дадим числу k определенное значение,
притом столь большое, чтобы все сомножители написанного выше
произведения были положительны {ak можно считать положительным).
Так как с возрастанием v произведение, записанное при помощи квад-
квадратных скобок, в правой части формулы D6), в силу известных теорем,
стремится к положительному предельному значению, то при v ^> k наверно
V
д„ ]> — , где с — положительная постоянная. В силу этого сумма \\ ап х"
n-k
становится сколь угодно большой по абсолютной величине, когда | х |
достаточно близка к единице, a v выбрано 'достаточно большим. Но
отсюда следует, что lim |м(л:)^=со, так что X не может быть собст-
венным значением Ц.
Из диференциального уравнения полиномов Лежандра легко вывести
другие ортогональные системы собственных функций методом, идея кото-
которого имеет далеко идущую общность. Диференцируя уравнение D4) по х,
получим диференциальное уравнение для функции и' (х), и так же точно,
как и выше, окажется, что лишь при Х = п(п-\-\) существует решение,
регулярное в обеих конечных точках интервала, а именно Рп' (х). Полу-
Полученное таким путем для Рп' (х) уравнение не является еще самосопря-
самосопряженным, но его можно сделать самосопряженным, введя функцию
Рп'(х)\/~\—x2--=zn в качестве неизвестной. Тогда новое уравнение
гласит так:
собственными значениями будут числа X = /z(«-j-l)(n=l, 2, 3, ...) с
фундаментальными функциями:
>) С изложенным выше рассуждением, которое, кстати, находится в тесной
связи с' признаком сходимости Раабе и, соответственно, Гаусса, ср. Kneser A.,
Zur Theorie der Legendreschen Polynome, Tohoku math. Journ., т. 5, стр. 1 -—7, 1914.
§ 10 Задачи штурм-лиув«ллевского типа 309
Функции ап=Рп1 (л) называются сопряженными функциями Ле-
Лежандра первого порядка. (Функции Рп(х) = Рп0(х) мы при случае
будем называть функциями Лежандра нулевого порядка.) Функции Лежан-
Лежандра Рп ] удовлетворяют соотношению ортогональности
+ i
\ рплрщ\ах = ° ПРИ ифт.
— 1
Точно так же, диференцирун уравнение D4) я раз, получим для
функции
диференциальное уравнение:
[A_л2J']'_г^_ + ).г==0 D7)
с собственными значениями ). = я(я-|- 1) (я —/г, Л 4- 1,...) и соответ-
соответствующими собственными функциями Pllh(x), которые также взаимно
ортогональны и называются функциями Лежандра /г-го порядка. Их
нормирование, производится при помощи следующего легко доказывае-
доказываемого равенства:
Y 2
Что таким путем получены все собственные значения и фундаменталь-
фундаментальные функции диференциального уравнения D7), доказывается таким же
образом, как и для полиномов Лежандра.
3. Полиномы Якоби и Чебышева. Обобщение полиномов
Лежандра представляют полиномы Якоби из гл. II, § 9, диференциаль-
диференциальное уравнение которых можно записать в следующей, также штурм-лиу-
виллевской, формеJ) :
[A —х)ч A +x)P~i+l KfJr-f-X A—x)9-i A -f x) Р-ч u = 0;
я-му полиному Якоби принадлежит собственное значение ). — я (р-\-п)
при краевых условиях: конечность при х^ + Ь Что других решений
этой краевой задачи, кроме полиномов Якоби, не существует, можно
доказать так же, как и выше, двояким путем.
') Промежуток изменения х в данном случаи, к отличие от гл II, взят
1 < .t< 1. Связь между старым независимым переменным Е и новым х дается
формулой: z = —-— . Для нового независимого переменного дифереициальное
уравнение B5'), стр. 83, имеет вид:
A-х) A+х) и" — \2q-(p+\) A-х)] и! -f-0» + n)n«=0
или в самосопряженном виде:
|A _ ху, fi + х) "-"*' „-; + х A-,)?-'A4 х) р " „ = 0.
(Прим. пер.)
310 Проблемы колебаний Гл. V
Дальнейший пример представляют полиномы Чебышева, удовлетво-
удовлетворяющие штурм-лиувиллевскому диференциальному уравнению:
1^
тоже при краевых условиях: регулярность при х — +1. Собственное
значение, принадлежащее полиному Чебышева Тп(х), есть Х=я2, и
так же, как и выше, этим исчерпываются все собственные значения и
фундаментальные функции.
4. Полиномы Эрмита и Лагерра. Аналогично определяются
полиномы Эрмнта и = Нп (х) и соответствующие эрмитовы ортого-
нальные функции v = Htf'~2~, как решения следующих задач о собствен-
собственных значениях (ср. гл. II, § 9, 4):
(е~х2и'У-\-\е-х2и = 0 D8)
и соответственно
— х2) v-\-lv~0 D9)
с собственными значениями X = 0, 2, 4, 6,... Основной областью является
вся прямая — сю < х + со, а краевое условие к уравнению D8) требует,
чтобы фундаментальная функция и прн л: = + 00 могла обращаться в бес-
бесконечность лишь того же порядка, как конечная степень х. Что кроме этих
полиномов эрмитовская задача о собственных значениях других решений
не имеет, можно показать следующим образом. Напишем диференциаль-
диференциальное уравнение D8) в виде: и" — 2л:«!-4~Х« = О и вместо и подставим
со
степенной ряд «= ^ апхП- Как и выше. У диференциального -урав-
нения D4), можно принять, что и является четной или нечетной функцией,
что, стало быть, в степенной ряд входят лишь только четные или только
нечетные степени х. Диференциальное уравнение дает для неисчезающих
d 2и — X
коэфициентов рекуррентную формулу -^-? ~ -т—г-тг-—.—^. , откуда
прежде всего следует, что наш ряд либо обрывается — именно, если
X = 2и, четному целому неотрицательному числу — ив этом случае дает
полином Эрмита Нп, либо имеет бесконечное число неисчезающих ко-
коэфициентов и сходится для всех значений х. Коль скоро 2л — X поло-
положительно, все коэфициенты ап-—одного знака. Так как во втором слу-
случае имеются члены ап хп со сколь угодно большим п, которые превос-
превосходят при достаточно большом значении х всякую заданную степень
х, то и не может быть фундаментальной функцией нашей задачи. Этим
самым устанавливается, что полиномы Эрмита являются единственными
решениями нашей задачи.
Полиномы Лагерра мы рассмотрим несколько подробнее, имея в ви-
виду их применение в дальнейшем (стр. 323). Основной .областью является
здесь положительная действительная ось 0^дг<^ш, а диференциальное
уравнение, которому удовлетворяют полиномы Лагерра u = Ln(x) для
§ 10 . . Задачи штурм-лиувиллевского типа 311
собственного значения 1-=п (я— целое положител1ное число), гласит:
xtf-\-(\~x) u'-\~lu = Q E0)
(см. гл. II, § 9), или в самосопряженной форме:
(хе~х и'У-f Ъе-хи~0,
причем в качестве краевых условий требуем: конечности решения при
X = 0 и обращения в бесконечность порядка не выше, чем некоторая
положительная степень х при лг~>со. Для соответствуй.щих ортого-
ортогональных функций
получается штурм-лиувиллевское диференциальное уравнение:
причем в качестве краевого условия требуется регулярность решения
при л: = 0. Заметим, наконец, что функции
которые в дальнейшем встретятся, удовлетворяют самосопряженному ди-
ференциальному уравнению:
Х2 2х 1
(x2w')' — w -J- \xw = 0,
причем требуется исчезание решения при х-*со. Соответствующими
собственными значениями являются положительные целые числа 1= п.
Как и у функций Лежандра в п. 2, процессом диференцирования
и умножения на подходящих множителей приходим и здесь к лагерров-
ским функциям высшего порядка, которые удовлетворяют аналогичным
диференциальным уравнениям. Прежде ьсего из уравнения E0) после
ffi-кратного диференцирования следует, что функции
dm
L" () М)
удовлетворяют диференциальному уравнению;
хи"-{-(т + \ — аг)и' + (а— от)и = 0, E1)
которое можно записать в следующей самосопряженной форме:
Соответствующие ортогональные функции
т х
312 Проблемы колебаний Гл. V
удовлетворяют штурм-лиувиллевскому уравнению
U^'+(I^-4--g)<, + b = 0, E1')
а функции
1
те1 = 5™ =
удовлетворяют диференциальному уравнению
(*%¦' У -- J- w + >. xw =/) E1")
для соответствующих собственных значений а = й, где и—целое число,
большее или равное т, а краевые условия разумеются сами собой из
предыдущего.
Для того чтобы показать, что наши диференциальные уравнения
не имеют других собственных значений и собственных функций, вносим
со
в уравнение E1) степенной ряди = '^ а.. X* и получаем для коэфициен-
о
тов с помощью рекуррентной формулы следующее выражение:
а0 (т — а) ... (т — "/. + v — 1)
Замечаем, что при произвольно заданном значении X коэфициенты этого
ряда, начиная с некоторого определенного v, имеют постоянный знак и
что ряд сходится для всех значений х, стало быть, действительно пред-
представляет регулярное при 0=^л<^со решение диференциального урав-
уравнения E1). Для целого положительного \ = п (п^>т) ряд обрывается
и представпяет собою, следовательно, многочлен. При всяком другом
значении X легко получить оценку вида:
где с—надлежащая постоянная, а г —также подходящий положительный
целый показатель. Но отсюда вытекает, что наше решение при х—>со
ех
стремится к бесконечности порядка не ниже чем —-¦. Таким образом
доказано, что оно не может быть фундаментальной функцией нашей задачи.
§ 11. Об асимптотическом поведении решений штурм-
лиувиллевских диферкнциальных уравнений.
Специальный вид штурм-лиувиллевских диференциальпых уравнений
позволяет, при общих предположениях относительно коэфициентов, вы-
вывести суждения о поведении всех решений как при возрастании парамет-
параметра, так и ири бесконечном возрастании независимых переменных.
11 Об асимптотическом поведении решений 313
1. Ограниченность при бесконечном возрастании
независимого переменного. Представим себе, что диферен-
диференциальное уравнение, согласно формуле A9') на стр. 277, приведено к виду
«"-f- jjl (х) и = 0, и предположим, что ]i(x) при х-*со стремится к поло-
положительному пределу, который без ограничения общности можно при-
принять равным единице. В таком случае, введя обозначение jjL=l-|-p,
можно в основу нашего рассмотрения положить диференцнальное
уравнение:
и" ~\-пАггМ-^ 0. E2)
Допущение р-*0 мы заменим более жестким требованием:
1РК~- IP'Kj, E3)
где а—положительная постоянная. При этом предположении мы утверж-
утверждаем, что всякое решение диференциального уравнения E2) ограничено
при д:->оо, что, впрочем, естественно, ибо близкое для больших значе-
значений х диференциальное уравнение и"-\-и — 0 имеет только ограничен-
ограниченные решения.
Для доказательства помножим уравнение E2) на и', проинтегрируем
его от положительного числа а, значение которого будет надлежащим
образом выбрано позже, до а: и получим:
X X
и'2 -\-и'г =— 2 1 аии1 dx = — ри2 -f- I pu2dx. ,гд.
а а
Отсюда непосредственно получается:
^и'2 (х)
И2 (jc)-bf
.V
11
p'
где С{а) — выражение, зависящее только от нижнего предела а. Обозна-
Обозначив через М = М(х) наибольшее значение функции ] и (?) | в интервале
a^Z^x, принимаемое этой функцией, скажем, в точке ?, получим
us последнего неравенства и неравенств E3):
-АР:
откуда
1 --.ff-
Если теперь выбрать a s= 2а. то для М2 получится независящая от х
граница 2С (а), и паше утверждение доказано.
2. Уточнение результата (бесселе вы функции). Если
мы относительно диференциального уравнения н"-|-и-(-ри = 0 сделаем
предположение, более жесткое, чем в п. 1, а именно, что- порядок
314 Проблемы колебаний Гл. V
исчезания р(х) в бесконечности выше первого, например *), .что
E5)
то большая близость нашего диференциального уравнения к уравнению
и"-|-к = О влечет за собою не только ограниченность решений, но и
асимптотическое их приближение к тригонометрическим функциям.
Если положить
и = a sin (х -f- Ь), и' = а cos (x-f- 8),
где а(х) и Ь(к) — подлежащие определению функции х с производ-
производными а' и Ь' (кстати, а нигде не может исчезать, ибо в противном
случае кии' исчезали бы одновременно в одной точке, а потому, в
силу диференциачьного уравнения E2), функция и исчезала бы тожде-
тождественно), то и" и и' можно вычислить двояким путем. Имеем:
+ 8) = — A+p)asln(x + &),
\)cos(x-\-b),
-f S), E6)
E7)
Стало быть, каждая из функций а и 8 имеет при *->со определен-
определенный предел. В самом деле, b(x) — b (р) — \ 8' ($) d?; если дать [5 безгра-
лг
нично возрастать, то в силу уравнений E5) и E6) интеграл справа схо-
сходится, так как подинтегральное выражение имеет такой же порядок
исчезания, как — . Следовательно, существует lim Ь (р) = Sqq ; и по-
х Р-»со
следнее выражение для Ь(х), кроме того, показывает, что
Аналогично получается из формулы E7) для — = -т- log а следующее
*) Мы пользуемся здесь общепринятым обозначением, иа основании которого
под О lf(x)] разумеется функция g(x), для которой отношение I гт^г
1 }\Х)
ограниченным при возрастании аргумента.
остается
§ 11 Об асимптотическом поведении решений 315
соотношение:
в котором, кстати, а^ ф О- Таким образом имеем для всякого решения
и нашего диференциального уравнения следующее асимптотическое
выражение:
и —a sin (л:+ 8)== Ясо sin (л:-}-Sqc)-}-01 —) .
\х /
Этот результат можно непосредственно применить к диференциаль-
ному уравнению:
решения которого, как показано на стр. 307, связаны с решениями
Ут(х) диференциального уравнения Бесселя равенством:
Стало быть, для этих решений Ут(х) диференциального уравнения
Бесселя всегда справедливы асимптотические формулы следующего вида:
Значения Ооэ и 8со для бесселевых функций Jm (х) мы позже, в гл. VII,
§ 6, 2, определим из других соображений, причем окажется
/2
/ . тя
3. Ограниченность решения при возрастании пара-
м етра. Рассуждениями, аналогичными рассуждениям п. 1, можно дока-
доказать следующую теорему: Решения штурм-лиувиллевского уравнения
и" — ги-\-1и = 0, E8)
где г — непрерывная функция, для интервала О ^ д; ^ 1, с нормирую-
нормирующим условием
[
о
и краевыми условиями и@) —мA) = 0, остаются по абсолютной
величине ниже границы, не зависящей от \ и от х.
Для доказательства помножим опять диференциальное уравнение на
и' и проинтегрируем от 0 до х. Получаем:
X
и'2 (дг) + Хи2 (л:) — 2 { ruu'dx = и'2 @) + Us@). E9)
316 Проблемы колебаний Гл. V
— i ,
Для вычисления правой части интегрируем это равенство между преде-
пределами 0 и 1, в результате чего получим:
и'2 @) -f Ь2 @) = Jи'Чх-f X — 2 { dt[ruu'dx. f60)
0 0
Внеся эго значение в E9) и оценив встречающиеся интегралы с помощью
неравенства Шварца, имеем:
1а* < Ф + 1и* < I + [ и'Чх -f С, Л/ \ ц* dx i/\u*dx,
о У о V о
где Cj — положительная постоянная, не зависящая ни от х, ни от \.
Из равенства
1 i
\ul2dx-\- ^тЧх = \,
которое выводится знакомым нам способом путем умножения уравнения
E8) на и и при помощи преобразования Грина, получаем:
о
и затем, по подстановке в F1):
где С2, С3 — опять положительные числа, не зависящие от х и X.
Отсюда вытекает, что
чем и доказывается наше утверждение.
В заключение заметим, что наш результат и наш метод доказатель-
доказательства остаются в силе и в том случае, если решения наших диференци-
альных уравнений не ограничены более краевыми условиями. Подчеркнем,
однако, что при большем числе независимых переменных аналогичный
результат уже несправедлив *).
4. Асимптотическое выражение решений. Обнаружив
ограниченность решений, мы сверх того докажем следующее предложе-
предложение: для всякого нормированного в интервале 0 ^ х ^ 1 решения урав-
»)_ Простой пример противного дают нормированные фундаментальные функции
/Т
^ (* т г) — СР- СТР- 289 — диференциального уравнения Ди -J- 1и = 0, исче-
J o\Ra,m) .
зающие на окружности единичного круга (ср. W. Sternberg. Uber die asympto-
tische Integration partieller Differentialeleichungen II, Math. Ann., т. 86, особенно
стр. 292—295).
§ 11 Об асимптотическом поведении решений 317
нения и" — ru -\- \и = 0 со значением I > 0 существует такое решение
уравнения v"-\-lv = 0, что
Эта формула дает, таким образом, для больших значений \ асимптоти-
асимптотическое выражение решений и через тригонометрические функции v. Для
доказательства рассмотрим то решение уравнения if -f \v = 0, для ко-
которого а @)= ¦а(О), «•(()) = f'@); тогда и — г»=«г» удовлетворяет урав-
уравнению:
w" -\-\w-ru.
Помножив это уравнение на 2w' и интегрируя от 0 до х, в силу того,
что ¦и/@) = те>' @) = 0, получим следующее равенство:
¦и/'2 (л:) -|- to2 (х) = 2 С rWdx. F2)
о
Если обозначить через М .наибольшее значение |«;(х)|, через Ж' — наи-
наибольшее значение |те>'(л;)|, в интервале 0 «^; л: ^ 1,« то из F2) в резуль-
результате применения неравенства Шварца к правой части, в связи с -тем,
что Х>0, вытск-ает равенство:
где с — положительная постоянная, не зависящая ни от X, ни от х; сле-
следовательно, на основании равенства F2):
а стало быть,
как мы и утверждали.
5. Асимптотическое выражение шту рм-л и у в иллевских
фундаментальных функций. Для того случая, когда речь идет
не о произвольных решениях диференциального уравнения (ри)' — ди -f-
~|->ры —0, но о фундаментальных функциях для интервала, скажем,
О^аг^тт с краевыми условиями и @) = и (тт) = 0, мы задачу об асимп-
асимптотическом выражении поставим несколько иначе. Для этой цели,,пред-
цели,,предположим прежде всего, что дифе.ренциальное уравнение приведено с по-
помощью преобразования B0г); указанного на стр. 277, к виду:
=0, F3)
где новое. независимое переменное t изменяется в интервале
а г обозначает функцию, непрерывную в этом интервале. Будем теперь
сравнивать и-ю фундаментальную функцию zn уравнения F3), принад-
принадлежащую собственному значению 1п, с соответствующей и-й собственной
функцией диференциального уравнения v" -\- lv — 0.
В качестве удобного вспомогательного средства воспользуемся тем
фактом, что выражение для z, представляющее интегральное уравнение
318 Проблемы колебаний Гл. V
типа Вольтерры:
i
z(t) = asinY\t-I—L[r(z)z(т) sinJ/T(t—т)dz F4)
с произвольным постоянным а, дает те решения уравнения F3), кото-
которые исчезают при t = 0, что непосредственно получаем из формулы A0)
на стр. 269, подставляя в нее вместо Nh функцию rz.
Так как z(t), согласно п. 3, остается ограниченной при всех значе-
значениях X, то из F4) тотчас вытекает ограниченность постоянной а1). От-
Отсюда получается для а из уравнения F4) и из нормирующего условия
i
\ z2dt = 1 точная оценка
о
и вытекающая из нее оценка для z:
Так как л-е собственное значение диференциального уравнения Х„ с воз-
возрастанием п стремится к бесконечности (ср. гл. VI, § 2, 2), то отсюда
непосредственно получим Для «-Й собственной функции zn(t) асимптоти-
асимптотическое выражение:
o A).
Но для Х„ имеется асимптотическая оценка (ср. гл. VI, § 2, 8):
Следовательно,
откуда
Стало быть, для нормированных собственных функций диференциального
уравнения г" — гг-\-\г — 0 получается следующее асимптотическое вы-
выражение:
/) F5)
*) Впрочем, ограниченность функции г (t) нетрудно обнаружить непосредствен-
непосредственно из интегрального уравнения F4).
§11 Об асимптотическом поведении решений 319
Соответствующим же образом, после диференцирования интегрального
уравнения F4), получается формула:
it /™2П тт
z' (t) = n-— 1/' — cos/z — f-f- О(\). F6)
I у/ I I
Для исходного диференциального уравнения полученный результат выра.-
жается следующими соотношениями:
причем нормирующий множитель сп определяется формулой:
7
о
Соответствующим образом имеем:
F8)
Точно таким же образом получаются асимптотические выражения
для фундаментальных функций и их производных и при более общих
однородных краевых условиях. Выражения
F9)
G0)
справедливы вообще; коль скоро в краевом условии -г'(О) — hz(O) = O
коэфициент h остается конечным.
Кстати заметим, что из нашего интегрального уравнения F4) Воль-
терры можно выв'ести даже значительно более точные выражения для
фундаментальных функций и их производных, соответственно подчерк-
320 Проблемы колебаний Гл. V
нутому уже в гл. III обстоятельству, что ряд Неймана такого интег-
интегрального уравнения Вольтерры всегда сходится1). Для вывода нет нужды
возвращаться к общей теории; берем для а в F4) значение 1, отказы-
отказываясь тем самым от нормирования, подставляем затем под знаком инте-
интеграла в правой части вместо функции #(т) снова ее значение, даваемое
интегральным уравнением; повторяя последовательно этот процесс и
полагая для краткости v (t) = sin"|/~), t, получим непосредственно следу-
следующую формулу:
т,)
+ у] *1 J dx2v (т2) r(tj г (т2) sin ]/Т(/ - т,) sin VТ (т, - т
о о
т,
T (/- т,) X
0 0 0
X sin/ X (т, — T2)sinУ I (т2 — т8) -f ...
/M/-T1) .. .sin )/1
Итак, мы видим, что этот ряд, расположенный по убывающим сте-
степеням j/" X, можно продолжать до бесконечности и получить таким
образом для z(t, \) ряд, сходящийся для всех значений ),^>0, распо-
расположенный по убывающим степеням \f \ . Если оборвать ряд на п-и
I x Y
члене, то ошибка будет более высокого порядка малости, чем I Гру I ¦
Стало быть, ряд имеет асимптотический характер.
§ 12. Краевые задачи с непрерывным спектром соб-
собственных значений.
Собственные значения рассмотренных нами до сих пор задач обра-
образуют безгранично возрастающую числовую последовательность. Если
же коэфициенты диференциального уравнения имеют особую \очку на
границе основной области, прежде всего, однако, в том случае, если
основная область простирается в бесконечность, спектр, т. е. совокупность
собственных значений, может показывать совершенно другую картину.
') См. Liouville J., Journ. de math, pures et appl., т. 1, 2 A836—1837) (см.
перечень литературы), где встречаются интегральное уравнение Вольтерры и ряд
Неймана.
§ 12 Краевые задачи с непрерывным спектром собственных значений 321
В частности могут встретиться спектры, содержащие все числа какого-
нибудь интервала значений переменной X, так называемые непрерывные
спектры. В отношении соответствующих собственных функций теорема
о разложении переходит в этом случае в теорему о выражении с помо-
помощью интеграла типа Фурье.
1. Тригонометрические функции. Простейшую задачу
такого рода представляет диференциальное уравнение
для интервала — со<л:<^со с „краевым условием": в ограничено в
бесконечности. Очевидно, всякое неотрицательное число \ является соб-
собственным значением с собственными функциями sin]/)i х, cos"|/)ia:.
Специальная интегральная теорема Фурье из гл. II, § 6 заменяет для
этой задачи о собственных значениях теорему о разложении.
Появление непрерывного спектра можно себе уяснить точно так же,
как и происхождение интеграла Фурье, из теоремы о разложении, ис-
исходя из задачи о собственных значениях для конечного интервала и
совершая затем предельный переход к бесконечному интервалу.
2. Бесселевы функции. Аналогично обстоит дело и в задаче
о собственных значениях диференциального уравнения Бесселя:
для интервала 0^л;<^оо при краевом условии ограниченности реше-
решения для jc = O и х—>-оо. Все бесселевы функции u = Jn(\r^ x) ПРИ
\ ^ 0 являются фундаментальными функциями. Мы имеем, стало быть,
непрерывный спектр из всех неотрицательных значений \.
И здесь теорема о разложении заменяется теоремой о представлении
произвольной функции f(x) в виде интеграла, у которого областью
интегрирования является спектр, т. е. континуум положительных чисел.
Эта интегральная теорема гласит так:
со со
f(x) = \tJn (tx)g(t) dt, g(t) = jj Vn (&)/ (S) dS.
'o "b
Для того чтобы эти равенства были справедливы, достаточно выполне-
выполнения следующих условий: 1) чтобы функция f(x) была кусочно-гладкой
при х^О, 2) чтобы существовал интеграл
СП
]x\f(x)\dx,
V
и 3) если п^>0, чтобы было/@) = 0. Доказательство этой интеграль-
интегральной теоремы мы дадим лишь позднее, в гл. VII, § 2.
3. Задача о собственных значениях уравнения ко-
колебания для бесконечной плоскости. Задача о собственных
значениях диференциального уравнения Дм-|-1« = 0 для всей плрскости
х, у, при краевом условии ограниченности решения в бесконечном, до-
допускает решение в двух различных видах. Во-первых, можно рассма-
21 Курант-Гяаьберт.
322 Проблемы колебаний Гл. V
тривать как фундаментальные функции все произведения тригонометри-
тригонометрических функций вида и — sin а (л:—?)sin$(y—Jj), причем S, jj и
а, [$— произвольны, а собственным значением является 1 = а2-(- [$2.
Стало быть, и здесь собственным значением является всякое неотрица-
неотрицательное число \, а всякому такому собственному значению, очевидно,
принадлежит еще континуум собственных функций. Соответствующее
интегральное выражение есть не что иное, как интегральная теорема
Фурье для плоскости (ср. гл. II, § 6).
Другой тип фундаментальных функций мы получим по введении по-
полярных координат г, <р в следующем виде:
и = Jn (]/ \ г) sin щ, u — Jn (\T\r) cos щ
при любом целом п и любом неотрицательном h Спектром остается,
само собою разумеется, и здесь континуум неотрицательных чисел
У,^ 0, между тем как каждому собственному значению Х>0 принадле-
принадлежит лишь счетное множество фундаментальных функций, в соответствии
с целочисленным характером п. Представление произвольной функции
достигается здесь разложением в ряд Фурье в отношении п и интег-
интегральным выражением каждого коэфициента относительно г сообразно
с предыдущим пунктом (ср. гл. VII, § 2).
Эти последние фундаментальные функции можно, впрочем, рассмат-
рассматривать Как линейную комбинацию произведений синусов с одним и тем
же значением \ =±= а2 -\- [$2. Существует именно формула
2я __
Ш ixV i. cos / + iy V к sin /
e dt
(ср. гл. VII, § 2, 4).
4. Задача Шредингера о собственных значениях
(ср. также гл. VI, § 5). В недавнее время, в связи с физической теорией
квантов, Шредингерг) натолкнулся на тип задач о собственных значениях,
спектр которых обнаруживает совершенно иную структуру, чем рас-
рассмотренные до сих пор, а именно состоит из непрерывной и из дис-
дискретной части, причем дискретный спектр не простирается в бесконеч-
бесконечность, но имеет конечную точку сгущения. В простейшей задаче
Шредингера речь идет о диференциальном уравнении
Ды-f— и + Хи = О G2)
в пространстве, причем с обозначает данную положительную постоянную,
rt Э, (р—полярные координаты, а от собственных функций и требуется
непрерывность в начале координат и конечность при г—»со. Умножая
диференциальное уравнение на шаровую функцию Yn(b, <p) и интегри-
интегрируя по поверхности единичной сферы, получим для функции
v (г) = [[и {г, Э, <р) Yn (», <р) sin 9 db dy
<) SchrOdinger E., Abhandlungen zur Wellenmechanik, Leipzig 1927.
§ 12. Краевые задачи С непрерывным спектром собственных значеннй 323
обычным образом диференциальное уравнение
и из фундаментальных функций v этого уравнения при тех же краевых
условиях, что и выше, для г=0 и г—*со, умножением на Yn получим
фундаментальные функции u = vYn уравнения G2).
Введя вместо \ в качестве нового параметра величину
2V—1
И вместо г переменную
получим диференциальное уравнение
,2 .
которое мы установили в § 10, формула E1"). Из проведенных там
рассуждений вытекает; что при действительном /, т. е. отрицательном 1
условие непрерывности в нулевой точке и конечности при г—>-оо
может быть выполнено лишь для целых значений 1^>п и что решения
даются производными полиномов Лагерра в следующем виде;
_,?. BЯ+1)
v~zae 2 L (г).
1 + п
Следовательно, для первоначального диференциального уравнения числа
А~ 4/2"
и только эти числа, являются отрицательными собственными значениями,
которым принадлежат собственные функции:
1 + п
При этом п, при заданном целом /, может пробегать все целые числа
от 0 до /—1, a Yn представляет каждый раз 2га-}-1 линейно независи-
независимых шаровых функций. Найденный таким путем дискретный спектр
состоит из бесконечного множества чисел с точкой сгущения нуль.
Далее?* утверждаем, что уравнение G2) Шредингера имеет собствен-
собственным значением всякое положительное число \, т. е. обладает непре-
непрерывным спектром в виде континуума всех неотрицательных чисел.
Для доказательства подставим в G3) вместо v функцию w — riP;
получится диференциальное уравнение
У с п(п-{- II
21*
324 Проблемы колебаний Гл. V
типа, рассмотренного в § 11, п. 1. Его решения w остаются, таким
образом, ограниченными при всяком положительном \, г 'решения
w
v=— стремятся к нулю при бесконечном возрастаний г. Для t того
чтобы обнаружить, что всякое положительное число \ является соб-
собственным значением, остается лишь доказать существование при всяком
1^>0 регулярного в нулевой точке решения v. Этот факт можно полу-
получить из общей теории линейных диференциальных уравнений. Но мож-
можно также непосредственно получить такое решение методом, не раз
уже примененным нами, в -виде постоянно сходящегося степенного ряда,
причем целесообразно предварительно преобразовать наше диференци-
ашьное уравнение подстановкой s = r~"ei^r*rv в такое диференциаль-
ное уравнение для s, у которого подстановка степенного ряда приво-
приводит к двучленной рекуррентной формуле.
§ 13. Теория возмущений.
Если известны собственные значения \п и соответствующие нормиро-
нормированные и ортогональные собственные функции ип линейного самосопря-
самосопряженного диференциального уравнения
M«J+Vn = O G4)
для заданной области1) и заданных краевых условий, то с помощью
важного для приложений метода приближений, так называемой теории
возмущений, можно вычислить собсгвенные значения и фундаментальные
функции задачи о собственных значениях „близкого" или „возмущен-
„возмущенного" диференциального уравнения
^К1-еЯ+^«„ = 0; G5)
при этом краевые условия и область остаются те же; г обозначает за-
заданную, непрерывную в основной области функцию, а е— параметр;
а и \ —фунчаментальные функции и собственные значения новой
задачи. В дальнейшем мы предполагаем, что как новью собственные
значения, так и новые собственные функции допускают разложение по
степеням параметра возмущения е, причем от доказательства возможно-
возможности такого разложения мы здесь .воздержимся.
1. Простые собственные значения Сначала предположим,
что первоначальная, невозмущенная задача имеет только простые соб-
собственные значения. Соответственно этому предположению полагаем:
Путем подстановки этих рядов в G5) получим диферг .иальное уравне-
уравнение G4) и затем следующие диференциальные уравнения:
^ К1+ *»«»-'«„-iw (Щ
n = rvn — ixnvn - v«n, G9)
') При этом число измерений области безразлично. Интеграции в дальнейшем
распространяются по всей области; элемент области обозначен здесь через dg.
§ 13 Теория возмущений 325
из которых можно одно за другим определить возмущения различного
порядка, т. е. величины |лл, )/„,... и vn, wn,...
Для этой цели введем в качестве искомых величин коэфициенты
разложения
функции vn по фучдаментальным функциям ujf помножим уравнение
G4) (заменив в нем индекс п через /) на vnt a G8) на и, и вычтем из
второго уравнения первое; интегрируя полу енное уравнение по основ-
основной области и ттргобразуя первый член в левой части с помощью фор-
формулы Грина с учетом краевых условий (скажем, исчезающие краевые
значения) получим:
причем 8я/ = 0 при яф/ и Ьпп=\, и для сокращения положено
В результате имеем при 1 = п:
рп = dnn (80)
и при / ф /г:
Значение апп определяется из условия нормирования^ u2ndg=\, из ко-
торого получается \ unvndg~0, откуда апп = 0. Таким образом, если
функции vn можно разложить по функциям и., то
ос .
nJ ., и i ... .. АгЛ (R\\
причем штрих у знака суммы указывает, что следует опустить член
с индексом- у = п.
После определения первого приближения аналогичным путем полу-
получаем второе:
со
с помощью уравнений G4) и G9), из которых подобно предыдущему
вытекает:
Полагая п = /, получим второй возмущающий член для собственного
значения, а именно:
со
326 Проблемы колебаний Гл. V
полагая же / ф п, получим:
. / 00 ч
Для определения коэфициента Ьпп опять прибегаем к нормирующему
условию \ u2dg= 1 и множитель при е2 приравниваем в нем нулю, от-
откуда легко получить:
\Г <84>
и второе приближение полностью определено.
Точно таким же образом определяются последовательно дальнейшие
приближения.
2. Кратные собственные значения. В случае наличия крат-
кратных собственных значений, или, как иногда также выражаются, в слу-
случае „вырождения", необходимо дальнейшее исследование. Для понима-
понимания рассуждения, достаточно предположить, что первое собственное
значение уравнения G4) кратности а, т. е. что \=\= ... =^\=\
все же собственные значения \п с индексом п"^>а являются простыми.
Усложнение, которое имеет здесь место, покоится на том факте, что
в случае кратного собственного значения фундаментальные функции
определены лишь с точностью до ортогонального преобразования и что
при возмущении возможно ожидать непрерывного продолжения отдельных
собственных функций лишь после надлежащего выбора системы этих
функций, принадлежащих кратному собственному значению (ср. также
гл. III, § 8, 4). Соответственно этому представим себе, что а фунда-
фундаментальных функций, принадлежащих собственному значению X, пере-
переведены в другую систему таких функций с помощью подлежащего еще
определению ортогонального преобразования:
_ (и=1,2, ...,я)
и положим
причем /как коэфициенты уяу, так и функции vn, wn, ... предстоит те-
теперь определить. При п^>а следует здесь положить и*п—ип, и ника-
никаких изменений против рассуждений, проведенных в п. 1, не будет, вслед-
вследствие чего можно ограничиться рассмотрением случаев /г—1, 2, ...,а.
На основании последней формулы и диференциального уравнения G5)
получим для vn и wn следующие уравнения:
а
? (85)
(86)
§ 13 Теория возмущений 327
Помножив уравнение (85) на к2 и уравнение G4) (после замены в нем
индекса п через /) на vn и поступая затем, как в п. 1, получим, поль-
пользуясь обозначениями предыдущего пункта, уравнение
««1 а* - v=2 id» - *«bitw (8>
стало быть, в частности для /= 1, 2, ... , а:
(/,« = 1,2 а).
Из этих а2 уравнений, по методам гл. I, § 2, определяются однозначно,
с точностью до порядка их расположения, величины ft,, 'ji2, ,.. , р^,
как корни характеристического детерминантного уравнения
В интересах простоты предположим, что все эти корни различны
между собой, т. е. что форма ^^dj[xJxl имеет только отличные друг
от друга собственные значения. В таком случае однозначно определена
и ортогональная матрица (у„,-). Для удобства записи обозначим теперь
ее
фундаментальные функции и* — ^Тя/"/ снова знаК0м ип> матрица (dj)
является, стало быть, диагональной матрицей с элементами
между тем как остальные элементы — нули. Уравнения (87) дают теперь
непосредственно для
Из нормирующего условия, как и в п. 1, вытекает апп = 0, для опреде-
определения же величин ап1A, п= 1, 2, , а, п ф I) придется воспользоваться
еще уравнениями (86) для второго приближения; из них вытекают равен-
равенства (82), которые при /, л = 1, 2, .,., а принимают следующий вид:
со
0 =
или, учитывая то обстоятельство, что (ljt) (/,/== 1, 2, ..., а) — диаго-
диагональная матрица с диагональными элементами ц„:
ос
0 = ' ? anfdjl + "nlV-l — V-nanl — vAi-
При l=z.n это дает:
328 Проблемы колебаний Гл. V
где коэфициенты anJ уже определены по формуле (88). При /гф/ имеем:
1
t
Резюмируем полученный результат. Для а-кратного собственного
значения \ = \ надо выбрать такую систему нормированных ортогональ-
ортогональных собственных функций ult...,ua, чтобы матрица dnl=\ rnjifix
оказалась диагональной матрицей с элементами dnn. Тогда воз-
возмущение первого порядка для собственного значения дается формулой
а возмущение первого порядка для фундаментальных функций —
формулой
со
причем
И
a =
nl \ ¦ \ ¦>
если по крайней мере один индекс / или п больше чем а и
если оба индекса / и и различны и не превышают а.
Совершенно аналогично получаются члены возмущения второго и
высших порядков, из которых, кстати, возм^рцение второго порядка
для я-го собственного значения получается из (89):
d2,
v =
3. Пример к теории возмущений3). Рассмотрим задачу о
закрепленной в точках jc = O и л:=тг, свободно колеблющейся струне
с постоянным коэфициентом упругости р = 1 и с массовой плотно-
плотностью р (лг), которая для всех значений х из "интервала О^лг^тт мало
отличается от постоянного значения р0 и, стало быть, имеет вид
р (х) = р0 -|— ea(.vr), где а(х) — заданная функция, а е обозначает „пара-
„параметр возмущения". Согласно § 3, имеем задачу о собственных значениях
диференциального уравнения:
„ = (>. (90)
Ср. Rayleigh J. W. S., The Theory of Sound, 2 изд., т. I. стр. 115—118.
§ 13 Теория возмущений 329
При 6 = 0 получается невозмущенная задача и^-М„Рок„ = О с реше-
я2 1
нием кп=—, ип =
Ро
Для того чтобы получить первое приближение возмущенной за-
задачи (90), достаточно (так как все собственные значения являются
простыми) подставить в формулы (80) и (81) из п. 1.
и2 1
** = —»
Ро
-1по(х)=,-~а(х)^.
Ро
Для возмущения первого порядка \in собственных значений получим:
п2 2 Г
ц„ =? — - — \ о (х) sin2 nx dx,
Ро тс J
о
а для возмущения vn в фундаментальных функциях:
оо
причем
О я2 1 Г
(92)
Vе Т /»~^ — 1 ° (*)sin "*sin^ dx U Ф
Чтобы пояснить эти результаты на примере, рассчитаем вместе
с Рэлеем (Rayleigh) смещение Ьх первого узла, соответствующего зна-
значению п=2 иу однородной струны лежащего в ее середине.
Так как мы предполагали разложимость функции ип по степеням г,
можно Ьх написать в виде bx=ez-\- e2 (...). Для определения т по-
получится уравнение:
*) Конечно, в п. I мы предполагали, что в возмущающем члене zr(x) функ»
ция г(х) не зависит от е, между тем как в соответствующем возмущающем
члене уравнения (90) функция Х„о(*) зависит еще от г', однако, так как в по-
последующем нас будут занимать лишь возмущения первого порядка, мы имеем
право, как легко видеть, положить г (х) = — Х„о (дс), где ).„ уже не зависит от е.
330 Проблемы колебаний Гл. V
Приравнивая нулю коэфициент при е в этом уравнении и принимая во
внимание (91) и и2 (х) = const X sin 2x, получим:
Г"- ••)•
/ п ,
Если, например, неоднородность вызвана тем, что в точке х = ~ по-
помещена малая масса рох, то при помощи легко выполнимого предель-
предельного перехода получим из формулы (92):
. 5тг
sin —
4
sin
З2-
Зтг
4 .
-4 '
1
52 —
—4 5« —
"З 5 7^9^11
Значение ряда в скобках есть
1
i
+ ¦
о
Следовательно,
х
2
§14. Функция Грина (функция влияния) и приведение
краевых задач диференциальных уравнений к инте-
интегральным уравнениям.
Расширим теперь круг наших рассмотрений и сделаем принципиаль-
принципиально новый шаг, полагая в основу не задачу о колебаниях или о собствен-
собственных значениях, а краевую задачу, и разовьем независимо от всего
предыдущего метод решения подобных краевых задач с помощью функ-
функции Грина (функции влияния). Этот метод естественно приводит наши
диференциальные уравнения с- собственными значениями к симметриче-
симметрическим интегральным уравнениям и дает таким путем решение остающихся
еще открытыми вопросов о существовании системы собственных функций,
о полноте этой системы и о разложении по собственным функциям.
1. Функция Грина и краевая задача для обыкновен-
обыкновенных диференциальных уравнений. Прежде всего рассмотрим
линейное однородное самосопряженное диференциальное выражение вто-
второго порядка:
L [и] ~ри" -f jfu% — qu
§ 14 Функция Грина 331
для функции и(х) в основной области G: x0 «?! # «? х, , где р, р' и
д ^ непрерывные функции от х и /?>0; соответствующее неодно-
неоднородное диференциальное уравнение гласит:
L[u) = -tf(x)t (93)
где <р (дг) обозначает функцию, кусочно-непрерывную в области G. Речь
идет о краевой задаче: найти такое решение u = f(x) уравнения (93),
которое на границе области G удовлетворяет заданным однородным
краевым условиям, например краевому условию и = 0 *). При рассмо-
рассмотрении этой задачи напрашивается следующая мысль: мы истолковываем
диференциальное уравнение (93), сообразно с прежними рассуждениями,
как условие равновесия струны под влиянием распределенной вдоль
нее постоянной во времени силы, плотность которой дается функ-
функцией у(х). Совершим теперь предельный переход от непрерывно рас-
распределенной силы (р (х) к сосредоточенной силе, т. е. к сил"е (вели-
(величины 1 или другой величины), приложенной в точке лт = ?, и
пусть К(х, S)— смещение струны под влиянием „этой сосредоточенной
силы величины 1, причем наложенные на струну краевые условия
остаются все время в силе. В таком случае действие непрерывно рас-
распределенной силы <р (лг) можно рассматривать как наложение действий
непрерывно распределенных сосредоточенных сил, плотность которых
в точке ? равна <р(?); можно, следовательно, ожидать, что искомое
решение представится в виде:
г1
(94)
Функция К(х, 5), которую мы будем называть функцией влияния или
функцией Грина для диференциального выражения L [и], в силу своего
определения, должна для всякого значения параметра S удовлетворять
краевым усдрвиям при х=х0 и х = хЛ; отсюда непосредственно выте-
вытекает, что функция и (л), истокообразно представленная формулой (94)
при помощи ядра К (х, ?) с плотностью источников ср (дг), тоже удовле-
удовлетворяет этим краевым условиям.
Функция влияния К(дг, Е)" должна повсюду, кроме точки дг = ?,
удовлетворять диференциальному уравнению
ибо она соответствует силе, равной нулю при л:ф?. В точке лг == ? функ-
функция К(дг, ?) должна обнаруживать особенность, на существование ко-
которой наводит следующее соображение: представим себе, что сосредо-
сосредоточенная сила возникла путем предельного перехода из силы ф?(*),
которая в области G при \х — S| > e равна нулю и общая величина
которой дается равенством
*) Напомним еще раз, что к этой задаче можно привести краевую задачу
однородного днференциального уравнения при неоднородных краевых усло-
условиях (ср. § 1, 2).
332 Проблемы колебаний Гл. V
Соответствующее смещение струны обозначим через КЕ(лг, ?)].,оно удов-
удовлетворяет, стало быть, уравнению L [Ке| = (/»Ке')' — 9К6 =— ?e(*)- Ин-
Интегрируем это равенство между пределами ? — Ь и S —|— S, причем 8s*e
может быть выбрано совершенно произвольно, но с тем, чтобы проме-
промежуток интегрирования оставался внутри области G. Имеем:
Совершим теперь прежде всего предельный переход е—>0 и допустим,
что Кв сходится при этом к непрерывной функции К(х, S), имеющей
повсюду, кроме точки лг = ?, непрерывную производную. Если заставим
теперь также и 8 стремиться к нулю, то для К(л;, ?) получим следую-
следующее соотношение:
г—»о dx
характеризующее особенность функции Грина.
Это эвристическое рассуждение мы теперь обратим и превратим его
в строгую математическую теорию. Определим прежде всего как функ-
функцию Грина для диференциального выражения L [и] при заданных одно-
однородных краевых условиях функцию К (лг, S) от х и $, удовлетворяющую
следующим условиям:
1. К(х, ?) при фиксированном значении ? является непрерывной
функцией от х и удовлетворяет заданным однородным краевым условиям.
2. Производные первого и второго порядка от К по х непрерывны
повсюду в области G, кроме точки x = k; в точке же дг = ? первая
производная делает скачок, определяемый следующей формулой:
(95)
dx
3. К, как функция от х, повсюду в области G, кроме точки х = ?
удовлетворяет диференциальному уравнению L [К] = 0. ,
Заметим, кстати, что непрерывную функцию, удовлетворяющую
условиям 2 и 3, но не обязательно однородным краевым условиям,
называют основным решением диференциального уравнения L [и] = 0.
Определенная таким образом функция Грина действительно дает то,
что требовалось, а именно мы сейчас докажем следующую теорему,
на существование которой наводят изложенные выше соображения.
Если (р [х) — непрерывная или кусочно-непрерывная функция от х,
то функция
S (96)
удовлетворяет диференциальному уравнению
[ (97)
Функция Грина 833
и краевым условиям. Если, наоборот, функция и (х) удовлетворяет
дифференциальному уравнению (97) и краевым условиям, то ее можно
представить в форме (96). Для доказательства первого' утверждения
надо только применить элементарные правила диференцирования инте-
интеграла по параметру. ¦ Этим путем, принимая во внимание (95), получаем
последовательно следующие равенства:
«•(*) = ( К1
+ [К1 (х, х-0) -К'(х, х + 0)) <р(лг)
= J Я" (*,'
, л) - К» (* - 0, *)] <р (ж)
следовательно,
-«о
что в силу тождества L [К] — 0 и дает требуемое доказательство.
Для доказательства обратного утверждения воспользуемся снова
формулой Грина B") из § 1, подставим в нее и = 1 и применим $е
к обоим промежуткам интеграции xo^x^Z и ?sgлт<: дг1. Из фор-
формулы разрыва (95) и краевых условий получится тогда непосредственно
формула (96) с перестановкой букв х и ?.
Точно таким же путем получим общее, если и не подчинено, как %,
заданным однородным краевым условиям — скажем, и(х0) = и(х1) =-0 —
выражение для и:
в котором при ф = 0 содержится выражение решения краевой задачи
для однородного диференциального уравнения L[u] = 0 через краевые
значения.
Функция Грина самосопряженного диференциального выражения
симметрична относительно параметра и аргумента, т. е. имеет
место тождество
К (*,') = К (?,*).
Доказательство вытекает почти непосредственно из формулы Грина
[§Ы2')]. если в ней положить г> = К(<,7)), к = К(«, S) и взять об-
область интегрирования, составленную из трех раздельных отрезков
x?^? $^^ jjs=? Jts^Xjj принимая во внимание условие раз-
334 Проблемы колебаний Гл. V
рьгаа (95) в точках # = ? и лг=з] и краевые условия, получим дока-
доказываемое утверждение. Симметричность функции Грина во многих
случаях выражает в отчетливой форме часто встречающийся в фи-
физике принцип взаимности: если сила, равная единице, приложенная в
точке S, производит действие К (х, &) в точке х, то сила, равная
единице, приложенная в точке х, вызовет в ? то же самое действие.
2. Построение функции Грина и обобщеннаяфункция
Грина. Для построения функции Грина для L [и] при заданных крае-
краевых условиях поступаем следующим образом. Рассмотрим решение ио(х)
диференциального уравнения L[u] — 0, удовлетворяющее при х—х0
заданному краевому условию, скажем, исчезающее при х = х0; в таком
случае с0и0(х) есть самое общее такое решение. Точно так же пусть
сЛиЛ(х) — семейство решений диференциального уравнения L[u] — 0,
удовлетворяющих краевому условию при х = хг. Тогда возможны два
случая. Либо оба семейства отличны друг от друга, — что следует счи-
считать общим случаем —, либо они совпадают. В первом случае функции
и0, Hj линейно независимы, т. е. на основании известной теоремы
цок1 — KoHi Ф 0 г)> и «и в какой точке основной области кривая первого
семейства не может касаться кривой второго семейства (так как в точ-
точке касания получилось бы противоречие с последним равенством). Воз-
Возможно, стало быть, так выбрать обе постоянные- с0, сЛ, чтобы точка
пересечения принадлежала заданной абсциссе лг = ? в интервале G
и чтобы скачок производной в этой точке имел в точности значе-
значение Yt\ • Таким путем мы получим функцию Грина выраженной в
явном виде следующими формулами:
с =*р (S) [во E) и[ (S) - и' (?) и, ($)] = const.
н = — -wo(SK(*)
Во втором случае н0 и Kj отличаются лишь постоянным множителем;
всякое решение первого семейства принадлежит в то же время и вто-
второму. Стало быть, функция ио(х) удовлетворяет в этом случае не толь-
только краевому условию в начальной точке, но и краевому. условию на
конце, и диференциальное уравнение5 L [и|= 0 имеет не исчезающее
тождественно решение ио(х), удовлетворяющее краевым условиям. Это
можно выразить еще и таким образом: 1=0 есть собственное значение
диференциального уравнения L [и]-\-~ки — 0. Таким образом изложенное
выше построение отказывается служить, функция Грина не существует.
Так как, согласно п. 1, построением функции Грина обеспечивается
существование однозначного решения однородной краевой задачи для
диференциального уравнения L[u] = —<р (л), то наши рассуждения
показывают, что имеет место следующая альтернатива: При за-
*) В самом деле, Д = нои1 — ИОН1= —.причем с постоянно,что нетрудно про-
проверить. Достаточно для этого из заданного диференцнального уравнения вывести
для Д дифереициальное уравнение рА' + А/7г = 0.
§ 14 Функция Грина 335
данных однородных краевых условиях либо диференциальное уравнение
L [и\ =— <р (х) имеет однозначно определенное решение и (х) для всякой
заданной правой части <р (х), либо однородное уравнение L [и] = 0 имеет
не исчезающее тождественно решение.
Далее докажем еще следующее: Во втором случае для разрешимости
краевой задачи для диференциалъногоуравнения L, и]=—<р (дг) необходимо
и достаточно, чтобы для решений ио(х) однородного уравнения Z.[w0]=O
и правой части <р (лг) выполнялось соотношение ортогональности:
Что это условие необходимо, обнаруживается непосредственно, если
помножить диференциальное уравнение L[u] •+ <р(je) = 0 на ио(х), инте-
интегрировать по области G и воспользоваться формулой Грина с.учетом
краевых условий. Что это условие также и достаточно, можно показать,
введя вместо обыкновенной обобщенную функцию Грина. К последней
тоже приводит эвристическое рассуждение, вытекающее из физических
соображений. Напомним (ср. стр. 279), что собственное значение X и со-
соответствующая нормированная фундаментальная функция и имеют то зна-
значение, что наша струна под влиянием внешней силы вида — ф (х) е *
становится неустойчивой (резонанс), если не выполняется равенство
В рассматриваемом случае Х = 0 это означает неустойчивость под влия-
влиянием постоянной во времени внешней силы; в частности, под воздейст-
воздействием сосредоточенной силы с -произвольной точкой приложения струна
не может установиться в каком-нибудь положении равновесия. Если мы
желаем подвергнуть систему действию такой сосредоточенной силы без
того, чтобы система как угодно далеко отклонилась от своего положе:
ния равновесия, то необходимо ее прежде всего удержать с помощью
вполне определенной, постоянной во времени противодействующей силы.
Эту противодействующую силу можно выбрать произвольно, но только
не ортогонально к фундаментальной функции * и0 (х), ибо в последнем
случае эта сила не противодействовала бы возбуждению нулевой часто-
частоты. Удобнее всего взять противодействующую силу в симметрическом
виде: <}>(#) =— н,,(дг)нп(с); тогда функция влияния К(х, &) сосредото-
сосредоточенной силы, приложенной в точке х — ?, будет удовлетворять не толь-
только краевым условиям, но, исключая точку х=?, еще и диференциаль-
ному уравнению
L[K]=uo(x)uo?),
а при х=? условию разрыва (95). Решение этой задачи может быть
определено лишь до произвольной аддитивной функции с(?)ио(х). Эту
неопределенность мы устраняем требованием
\К(х,
336 Проблемы колебаний Гл. V
и функцию Bl(x, S), определенную таким образом, назовем обобщенной
функцией Грина для диференциального выражения L [и]. В предполо-
предположений, что L и] есть самосопряженное диференциальное выражение,
получим точно так же, как на стр. 333, 'свойство симметричности
обобщенной функции Грина:
Читатель может уяснить себе эти рассуждения на простейшем при*
мере однородной струны, свободной на обоих концах (ср. также §45, 1).
В этом примере фундаментальной функцией для Х=О является ио = const,
и в качестве противодействующей силы мы возьмем повсюду вдоль стру-
струны одну и ту же постоянную силу.
Построение обобщенной функции Грина производится точно так же,
как и построение обыкновенной функции Грина. При этом опираются
на следующую теорему: Если диференциальное уравнение L[u] = 0
имеет не исчезающее тождественно решение Hq a), удовлетворяющее
краевым условиям, то уравнение L[v] = uo(^)u0(x)' такого решения
иметь не может. Действительно, из последнего уравнения, если помно-
помножить его на к0 (х) и проинтегрировать по основной области с учетом
краевых условий, вытекало бы равенство
** Ч
«оE)\ к0{xf dx=\v(x)L[u0]dx=0,
что противоречит предположению, что \ и0 (хJ dx ф 0.
Обобщенная функция Грина играет ту же роль, которую выше
шрала обыкновенная функция Грина. Следует лишь заметить, что
решение w(x) диференциального уравнения L[w] = — <р (дг) определенно
лишь» до произвольной аддитивной. функции си0 (дг), а потому может
Г1
быть сделано однозначным при помощи требования \ wu0dx=0. Теперь
мы можем сформулировать следующую теорему: Если ортогональная
к к„ (х) и удовлетворяющая краевым условиям фу кция w (x), имею-
имеющая непрерывную первую и кусочно-непрерывную вторую производную,
связана с кусочно-непрерывной функцией (р (х) соотношением
L [w] = —> tp (x),
то существует также соотношение
w(x) = \K(x, Z)y(~.)dz. (98)
*) Под решением диференциального уравнения здесь подразумевается функ-
функция, удовлетворяющая этому диференциальному уравнению во всем промежутке
х0, х{ и поэтому непрерывная вместе со своей производной во всем промежутке.
{Прим. пер.)
§ 14 Функция Грина 337
Обратно, из последнего соотношения, в случае если <р (х) ортого-
ортогональна к функции ио(х), вытекает предыдущее. Это обратное пред-
предложение содержит вторую часть теоремы, высказанной выше (стр. 335).
Доказательство 'ведется точно так же, как доказательство соответ-
соответствующей теоремы для обыкновенной функции Грина, причем следует
заметить, что всякая функция w (х) вида (98) должна быть ортогональна
к н„ (л), так как функция Грина К (х, ?)' обладает этим свойством.
У наших диференциальных уравнений второго порядка Х = 0 во
всяком случае является простым собственным значением, как мы узнали
уже раньше. Однако, имея в виду более общие случаи, укажем вкратце,
что в случае кратного собственного значения Х = 0 простейший сим-
симметрический способ построения обобщенной функции Грина получается,
если выбрать противодействующую силу вида:
ф (*) = - н0 (х) и0 (ё) - иг (х) иг (?) — ...,
а затем все дальнейшие рассуждения протекают по-предыдущему. При
этом н0, и1( обозначают нормированные ортогональные фундамен-
фундаментальные функции, принадлежащие собственному значению \ = 0.
3. Эквивалентность краевой задачи диференциаль-
ного уравнения задаче решения интегрального урав-
уравнения. С помощью функции Грина мы достигнем теперь окончатель-
окончательного решения рассмотренной раньше задачи о собственных знамениях
тем, что перейдем от диференциального уравнения к интегральному.
Рассмотрим линейную совокупность диференциальных уравнений, зави-
зависящую от одного параметра X:
(99)
где ф (дг) — кусочно-непрерывная, р (х) — положительная непрерывная
функция, а и должна удовлетворять заданным краевым условиям, скажем
и = 0. С помощью функции Грина для L[u], существование которой
при заданных краевых условиях мы здесь предполагаем, из формулы (94)
для у(х)=\ри— ф получаем непосредственно следующее уравнение, со-
совершенно эквивалентное уравнению (99):
\ , A00)
причем
есть данная непрерывная функция от дг. Определение решения и урав-
уравнения (99) при заданных краевых условиях эквивалентно, стало быть,
решению интегрального уравнения A00). Однородному уравнению
= 0 A01)
соответствует однородное интегральное уравнение:
u(x)=l\K(x,
22 Курант-Гильберт.
338 Проблемы колебаний Гл.- V
или, если ввести
в качестве новой неизвестной функции, помножить интегральное урав*
нение на Ур(х) и положить К(х, ?)=К(*, ?)|/р(Х) р (I):
^ A02)
Ядро K(xt ?) нашего интегрального уравнения A02) симметрично, так
как Ци)— диференциальное выражение самосопряженное1); мы можем
применить все соответствующие теоремы из гл. III, и из них мы тот-
тотчас получим для диференциального уравнения (99) следующие результаты
(отчасти, впрочем, явствующие уже из п. 2):
Между краевой задачей неоднородного диференциального уравне-
уравнения (99) и краевой задачей однородного диференциального уравнения
A01) при заданных однородных краевых условиях существует следую-
следующая альтернатива: при твердо выбранном значении \ либо однород-
однородное диференциальное уравнение A01) имеет лишь тождественно исче-
исчезающее решение — „\ не является собственным значением уравнения
A01)"; в этом случае неоднородное уравнение (99) имеет при произволь-
произвольно выбранном ф (х) одно и только одно решение. Либо для значения
Х — Х; однородное уравнение A01) имеет не исчезающее тождественно
решение ut— „1{ есть собственное значение уравнения A01) с соот-
ветствующей собственной функцией ut"; в таком случае для раз-
разрешимости неоднородного диференциального уравнения (99) при 1=\
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
для всех собственных функций щ, принадлежащих собственному зна*
чению \t.
Далее' существует последовательность собственных значений
\,\, ..., причем \п—»со, с соответствующими собственными функ-
функциями uv u2,..., которые образуют бесконечную систему функций,
удовлетворяющих условиям ортогональности:
Всякая функция w(x), которую можно выразить истокообразно
с помощью функции Грина К(дг, S) через кусочно-непрерывную функ-
функцию <р (S) в виде
*) На этом выводе и его дальнейших следствиях основывается важность этого
предположения, сделанного о диференциальном выражении L {и).
§ 14 Функция Грина 339
допускает, разложение по собственным функциям в абсолютно и
равномерно сходящийся ряд:
СО
я=1 0
Совокупность функций, разложимых по этой теореме, можно охарак-
охарактеризовать еще иначе и притом проще. В силу основного свойства
функции Грина из формулы (94) следует уравнение L [w\ = — <р (х)\
обратно, если перед нами какая-либо функция w(x), удовлетворяющая
краевым условиям и имеющая непрерывную первую и кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывную вторую производную, то можно для нее построить распределение
истоков <р(х) при помощи равенства L[w] = — <?(¦*)• Мы получаем,
стало быть, следующий результат: Всякая удовлетворяющая краевым
условиям функция w(x) с непрерывной первой и кусочно-непрерывной
второй производной допускает разложение в абсолютно и равномерно
сходящийся ряд
СО
Из этого предложения непосредственно вытекает, что фундаменталЬ'
ные функции образуют полную ортогональную систему. В самом деле,
всякую непрерывную в области G функцию можно аппроксимировать
в среднем с какой угодно точностью при помощи непрерывной, удовле-
удовлетворяющей краевым условиям функции с непрерывными первой и второй
производными, а стало быть, в силу упомянутой теоремы разложения,
ее можно также аппроксимировать при помощи конечного аггрегата вида:
л=1
К уточнению теоремы о разложении иас приводит сделанное уже ранее
замечание, что все собственные значения положительны (ср. стр. 278),
что, стало быть, на языке теории интегральных уравнений, ядро К(х, ?)
определенно.^Так как к тому же К(х, Ё)— непрерывная функция от х
и S, то можно применить теорему Мерсера из гл. III, § 5, 4, и мы
приходим к выводу, что разложение в ряд ядра
К(х, g)= tff®UiX[U®
и срответственно
сходится абсолютно и равномерно. Эта формула, которая представляет
выражение функции Грина в явном виде через фундаментальные функ-
функции и кратко называется билинейной формулой, при постоянном ? дает
22*
340 Проблемы колебаний Гл. V
разложение непрерывной функции с кусочно-иепрерывной первой про-
производной. Построив линейную комбинацию
получаем непрерывную функцию, первая производная которой делает
в заданных точках ?lf ?2,:.. заданные скачки — • Д , -|- , и кото-
Р\^и Р\*)
и
рая разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся р*ц по собствен-
собственным функциям. Так как из всякой функции с кусочно-непрерывными
первой и второй производными можно вычесть такую специально подо-
подобранную функцию S, чтобы разность удовлетворяла условиям приведен-
приведенной выше теоремы разложения, мы приходим непосредственно к следую-
следующему результату: для применимости теоремы о разложении достаточно,
если производные первого и второго порядка непрерывной функции w (x)
кусочно-непрерывны.
В этом пункте мы до сих пор предполагали, что функция Грина для
L[u] существует, т. е., согласно п. 2, что Х=0 не является собствен-
собственным значением нашего диференциального уравнения L[u]-\-~kpu — 0;
если же это предположение не оправдывается, то следует лишь заменить
обыкновенную функцию Грина обобщенной функцией Грина, и все дальней-
дальнейшие рассуждения, касающиеся приведения задачи о собственных значениях
уравнения A01) к интегральному уравнению, остаются в силе без изменений.
Что касается теоремы разложения, то здесь появляется еще дополни-
дополнительное условие ортогональности к собственной функции и0 (х), принад-
принадлежащей значению Х = 0.< Но это условие совершенно исчезает из
окончательной формулировки теоремы разложения, если к функциям,
по которым производится разложение, ¦ причислить фундаментальные
функции, принадлежащие собственному значению X = 0. Позже (гл. VI,
§ 1) при другом методе рассмотрения задачи о собственных значениях,
иа основе вариационного исчисления, отчетливо видно будет, что дей-
действительно появление собственного значения Х=0 ие означает никакой
особенности.
В заключение дадим еше разложение по собственным функциям для
решения неоднородного ¦ уравнения (99). В согласии с прежней схемой,
данной нами в § 3, 3 и оправданной теперь теоремой разложения, или
непосредственно из теоремы теории интегральных уравнений из гл. III,
формула E6), решение. получается в следующем виде:
СО
Эта формула делает очевидным то обстоятельство, что разрешимость
уравнения (99) в том случае, если X—X, есть собственное значение, пред-
полагает условием выполнение соотношения ортогональности \ tyutdx=0.
Выражаясь физически: если внешняя сила в резонансе с одним из
собственных колебаний, то стационарное состояние существует в тон
и только в том случае, если эта сила не совершает работы
§ 14 Функция Грина 341
над системой, когда она колеблется в соответствующем чистом соб-
собственном тоне.
4. Обыкновенные диференциальные уравнения выс-
высшего порядка. У обыкновенных диференциальных уравнений выс-
высшего порядка не появляется никаких существенно новых соображений.
Можно поэтому ограничиться рассмотрением одного типичного примера,
IV
а именно диференциального уравнения однородного стержня и — Х« = О
и неоднородного стержня и — \ри = 0 (ср. § 4). Мы и здесь под функ-
функцией влияния или функцией Грина К (х, ?) разумеем смещение стержня,
находящегося в равновесии под влиянием единичной силы, приложенной
в точке х --= ?, при заданных однородных краевых условиях. В точности
тем же методом, что и раньше, получаются для этой функции следую-
следующие характеристические условия:
1. Функция К(х, ?) непрерывна при всяком значении параметра ?
вместе со своими двумя первыми производными и удовлетворяет заданным
однородным краевым условиям.
2. Для каждого значения х, отличного от S, непрерывны также тре-
третья и четвертая производные по х.. При х = 2 выполняется, напротив,
следующее условие разрыва:
lira [K"'(S + 6,5) — К"'E - в, ?)] = «1.
»о
3. Повсюду, кроме х = ?, удовлетворяетсядиференциальноеуравнение:
IV
К {х, ?) = 0.
Главное характеристическое свойство функции Грина выражается в
в следующем предложении: если между непрерывной, удовлетворяющей
кра.вым условиям функцией и(х) с непрерывными производными первого,,
второго, третьего порядка и кусочно-непрерывной' производной четвер-
четвертого порядка, с одной стороны, и кусочно-непрерывной функцией <р (х),
с другой стороны, существует соотношение:
IV
то существует также соотношение:
и обратно.
Решение задачи о собственных значениях диференциальиого уравнения
и —Хри = О,
соответствующая теорема о разложении, теория неоднородного уравнения
и — Хри = — ф {х) и т. д. развиваются здесь точно так же, как соответст-
соответствующие вопросы в п. 3, с помощью приведения к интегральному уравнению
с симметрическим ядром К(х, S)=K(a:i?) j/p(*)p(?). Результатом явля~
342 Проблемы колебаний Гл. V
ется существование бесконечной системы собственных значений \v \p...
и соответствующих фундаментальных функций и2, и2, ..., обладаю-
обладающих тем свойством, что функции |/"р ut образуют полную ортого-
ортогональную систему, и всякая функция w{x), удовлетворяющая краевым
условиям и имеющая непрерывные производные до третьего порядка
и кусочно-непрерывную производную четвертого порядка, допускает
разложение по этим функциям в абсолютно и равномерно сходящийся
ряд. Теорема МерсераЛ) утверждает, далее, существование билиней-
билинейного соотношения:
оо . , ,».
из которого можно вывести, что справедливость теоремы разложе-
разложения распространяется и на такие функции, которых третья произ-
производная лишь кусочно-непрерывна.
Вопрос о существовании и построении функции Грина или, соответ-
соответственно, обобщенной функции Грина не представляет здесь никаких новых
затруднений; он будет разъяснен на примерах в следующем параграфе.
5. Диференциальные уравнения с частными произ-
производными. Точно те же идеи, что и у обыкновенных диференциаль-
ных уравнений, приводят также и для уравнений с частными производ-
производными к функции Грина и к применению метода интегральных уравнений.
В качестве примера "рассмотрим диференциальное уравнение с частными
производными второго порядка:
Дг> = — у(х, у)
в плоскости х, у для какой-либо ооласти G при однородном краевом
условии, например т> = 0; оно характеризует форму закрепленной мем-
мембраны, находящейся в равновесии под влиянием постоянной во времени
силы плотности <р (х, у). Решение этого уравнения можно опять получить
с помощью функции Грина К(х,у; Е, jj), представляющей влияние сосредо-
хоченной единичной силы, приложенной в точке $, ij. Эта функция дол-
должна быть непрерывна вместе со своими производными до второго по-
порядка повсюду, кроме ' точки х=?, у = г^, должна удовлетворять
диференциальному уравнению ДК = О, а также заданному однородному
краевому условию и наконец в месте нахождения точечного источника
jc = ?, y=t\ она должна обладать особенностью, характеризующей еди-
единичную силу. Характер этой особенности обнаружится, если окружить
точечный источник кругом k радиуса е, допустить наличие внешней силы
плотности <ре (х, у), которая равна нулю вне круга k и для которой вы-
выполняется соотношение» \\<р6(х, y)dxdy=\, и функцию Грина рассма-
тривать как предел при исчезающем е того решения К^ (х, у; ?, J])
уравнения ДК = — <рЕ, которое удовлетворяет заданному краевому усло-
') Ср. гл. III, § 5, 4; определенность ядра доказывается здесь таким же обра-
дом, как в задаче о колебании струны (ср. стр. 339).
§ 14 Функция Грина 343
вию. Интегрируя уравнение ДК = —ше по кругу радиуса J^e с окруж»
ностью % и применяя формулу Грина E') на стр. 265, получим:
причем под r=~\f(x— SJ -f- (у — г^ разумеется расстояние от точки
х, у до точки ?, j], под S-— длина дуги на окружности х. Стало быть,
наша функция- Грина должна быть подчинена условию
;M*, у; 5
Этому условию мы удовлетворим, если потребуем, чтобы в окрестности
точечного источника функция К имела следующий вид:
1
К(*, у; ?, ч) = — K-logr+YC*. У» Б, г,;,
причем функция уС^У^» rj) непрерывна вместе со своими производными
первого и второго порядка по х и у (и сама является регулярной потен-
потенциальной функцией, так как log г при г ф 0 удовлетворяет уравнению
потенциала).
Это эвристическое рассуждение мы теперь обратим и определим
функцию К Грина при помощи следующих требований:
1, Функция К (л;, у; S, i]) повсюду внутри области G, кроме точки
х=?, y = iq , где находится источник, непрерывна вместе со своими
производными первого и второго порядка. Она имеет следующий вид;
К(*, у; 5, г;) = —— logr f y(*. У. Б, ч).
где у (х> У\ Б, 1]) непрерывна вместе с производными до второго порядка.
1. Функция К удовлетворяет заданным однородным краевым услоаиям.
3. Повсюду, кроме точки, где находится источник, удовлетворяется
диференциальное уравнение ДК = 0.
Функция Грина, определенная этими условиями, обладает свойством
симметричности:
К( у;
Доказательство этого закона симметрии, выражающего все то же
отмеченное выше физическое свойство взаимности, получается и здесь
почти непосредственно из формулы Грина. Применяем эту формулу для
функций К (х' у; ?, J]) и К (л:, у; ?', т/) к области, получающейся из G,
если вырезать из нее по кругу k и Ы радиуса е с центром 'соответ-
'соответственно в точках ?, j] и ?', г/; совершая затем предельный переход
е —>¦ 0 с учетом особенности функции Грина, получим непосредственно
формулу симметрии в виде К(?г, г/; ?, rj) = K(S, rj; ?', г/) (интеграл по
контуру Г области G исчезает в силу краевого условия).
Основное свойство функции Грина выражается и здесь в следующей
теореме: Если и(х, у)—какая-либо функция, удовлетворяющая одно-
однородным краевым условиям, — скажем, и = 0, — непрерывная в области
344 Проблемы колебаний Гл. V
G и имеющая в этой области непрерывные первые и куеочнс-непре-
рывные вторые производные и если
L[u] = bu — -~y(x, у),
то имеет место соотношение:
«(*. У) = \\Щх, у; S
С другой стороны, если <р (д:, _у) — какая-либо функция, непрерывная
в области G вместе со своими производными первого порядка, то
функция
«(*. -У)=ЦК(л:, у;
с
непрерывная в области G, удовлетворяет краевому условию, обладает
непрерывными производными первого и второго порядка и удовлетво-
удовлетворяет диференциальному уравнению
Дв = — ф (х, у).
Обратим внимание, что во второй части о характере диференцируемости
функции <р (х, у) сделано более сильное предположение, чем в первой, в чем
не было необходимости у обыкновенных диференциальных уравнений.
Первая часть теоремы и здесь почти непосредственно вытекает из
формулы Грина E'), стр. 265. Применяем ее для v=K(x, у; ?, jj) к об-
области G — k, получающейся' из О, если вырезать вокруг точки х, у
небольшой круг k радиуса е с окружностью %; так как в области инте-
интегрирования ДК = 0 и интеграл по контуру Г исчезает, то в формуле
Грина остается
a-k
При предельном переходе е—>-0 интеграл \и — ds стремится к «,
J an
Г' ~titJ
I К — ds — к нулю, откуда получается искомый результат:
о
Вторую часть теоремы проще всего доказать с помощью искусствен-
искусственного приема, введенного Риманом, пользуясь при этом предположенной
непрерывностью первых производных функции <р (х, у)J). Разложим
функцию и(х, у) = [<\К{х,у; ?, т])<р ($, j])d?A] на два слагаемых, соответ-
G
') Действительно, одной лишь непрерывности функции 9 недостаточно, чтобы
позволить сделать заключение о существовании непрерывных вторых производ-
производных; однако предположение, сделанное в тексте, все же сильнее, чем это необ-
необходимо.
§ 14 Функция Грина 345
ствующих разложению функции Грина К = — ^~ log г-(-у (*» У> S, Ч) ¦
а именно и = ф + X > пРичем
(а;, у) — — ^ <р (?, т]) log г <# rfij,
о
о
Так как функция у(*1 J'l Si Ч) ВС1°ДУ непрерывна вместе со своими
производными до второго порядка, то Дх можно образовать дифе-
диференцированием' под знаком интеграла, и в силу того, что Ду=О,
непосредственно получим и Дх=О. Для вычисления Ди остается, стало
быть, вычислить только Д(Ь. Первую производную tyx можно еще по-
получить диференцированием под знаком интеграла. По введении поляр-
полярных координат г, & интеграл и<р (?, r^logrdZdr^ принимает вид:
ее °
\\угlogrdrd& ; если до введения полярных координат диференцировать
Й"
по дг, то интеграл примет вид: U (p cos bdrdb, причем подъинтегральное
выражение остается непрерывным. Полагая временно для сокращения
— — - —S(x, у; ?, j]), имеем:
о
Заметим теперь, что Sx = — S^, что, стало быть, можно также писать:
а эта формула позволяет при помощи интеграции по частям осво-
освободиться от производной S^, после чего можно будет еще раз диферен-
диференцировать под знаком интеграла. Имеем:
5 j,
г о
и далее:
Ф« = —J 5x?A] + 5j
го
Точно так же получим:
и тем самым
346 Проблемы колебаний Гл. V
Если теперь двойной интеграл в правой части распространить не на
всю область G, но на область Gt, которая получается из О вырезыва-
вырезыванием маленького круга k радиуса е и окружности х с центром в точ-
точке (л;, у), то можно писать:
Г GB
Двойной интеграл в правой части преобразуем по формуле Грина
и, так как, повсюду в области G, &S—0, получим:
Д6= f — шds — № yds-f lim f ^<p ds = lim ГЪ—<? ds,
Г Г * x
Но, как мы уже раньше видели, интеграл по контуру % при е—>0
переходит в—<f(x,y), и, стало быть, доказано, что и удовлетворяет
„уравнению Пуассона" Д/=— (р.
Для уравнения потенциала в трех измерениях Д« = — <р (х, у, z) и
для относящейся к нему задачи о собственных значениях уравнения
получаются дословно соответствующие результаты. Только в этом слу-
случае у функции Грина появляется другая особенность
(* — Ер + (у — чр + (г — С)»'
так что функция Грина К (л:, у, г; 2, jj, С) должна иметь вид:
К {х, у, г; е, ijv С)=^ + у (^, .У, -г; 5, ij, С),
причем у (х, у, z; ?, ij, С) непрерывна вместе с производными первого
и второго порядка. Сама функция j— есть основное решение диферен-
циального уравнения Дк = 0 (ср. стр. 332 и § 15, 2 этой главы).
Вопрос о существовании функции Грина в случае диференциаль-
диференциальных уравнений с частными' производными отнюдь не так легко иссле-
исследовать, как для обыкновенных диференциальных уравнений. Общее дока-
доказательство существования мы дадим лишь позднее, в связи с прямыми
методами вариационного исчисления, а здесь мы должны ограничиться
тем, что либо постулируем существование функции Грина, либо удо-
удовольствуемся теми случаями, в которых, как в ближайшем параграфе,
удается ее явное построение. Но коль скоро функция Грина имеется,
дальнейшие рассуждения протекают совершенно параллельно аналогичным
рассуждениям у обыкновенных диференциальных уравнений. Рассмотрим
здесь задачу о собственных значениях диференциального уравнения:
bv + lp(x,y)v = 0 A04)
(причем р > 0) при заданных однородных краевых условиях.
§ 14 Функция Грииа 347
Вследствие основного свойства функции. Грина, из A04) непосред-
непосредственно вытекает однородное интегральное уравнение:
G
Если ввести симметрическое ядро
то функция
«{х, у) = V? (х, У) ъ (*> У)
удовлетворяет симметрическому однородному интегральному уравнению:
и(х, у) = -к[\к(х,у; S, 4)e(S, 4)dSrf4l A05)
с
и в силу обратимости этих соотношений задача о собственных значе-
значениях диференциального уравнения A04) полностью эквивалентна соот-
соответствующей задаче для симметрического интегрального уравнения A05).
Это интегральное уравнение допускает применение теории гл. III,. ибо
хотя ядро и обращается в одной точке области интегрирования в бес-
бесконечность, но такого порядка, что интеграл \ \ К(х, у; ?, j]JdSfi?J] cy-
"о
ществует и является непрерывной функцией переменных х, у. Стало
быть, существуют собственные значения Х3, Xg,. - - и принадлежащая
им система собственных функций uv и2,...исоответственноvvv2,...,
причем функции ип можно считать нормированными.
Если w (х, у) — какая-либо функция с непрерывными первыми и вто-
вторыми производными, удовлетворяющая краевому условию, то на осно-
основании нашей теоремы о функции Грина она может быть представлена
истокообразно в виде:
w (х, у) = §К (лг, у; 5, г,) h E, г,) dZ A]
G
при помощи функции, h = — Да». Имеем, таким образом, следующий
результат: Всякая удовлетворяющая краевым условиям функция w (ус, у),
имеющая непрерывные производные до второго порядка, допускает разло-
оо
жение в абсолютно и равномерно сходящийся ряд w = V* сп vn (x, у),
п =1
ГС
cn=\\pwvndxdy no фундаментальным функциям. Нормированные
Ъ
фундамента пъные функции |/"р* vn образуют, стало быть, полную
ортогональную систему функций.
В отличие от обыкновенных диференциальных уравнений здесь необ-
необходимо отметить, что вследствие обращения в бесконечность функции
Грина сюда нельзя применить хе°рему Мерсера, так что, несмотря на
348 Проблемы колебаний Гл. V
положительно определенный характер ядра, нельзя заключать о суще-
существовании равенства:
Наша общая теория доказывает лишь более слабое соотношение:
Для общего самосопряженного диференциального уравнения
p\v 4- pxvx + pyvy — qv -f Хрг> = О
рассуждения протекают совершенно параллельно только что проведенным,
и мы можем ограничиться констатированием, что и результаты остаются
дословно те же. Единственное отличие, которое следует отметить, состоит
в том, что функция Грина должна теперь иметь следующий вид:
К (х, у, 5, Ч) = - а^У
причем у (х, у, S, jj) в окрестности точки ?, j] непрерывна вместе со своими
производными до второго порядка /(но, вообще говоря, уже не будет
удовлетворять диференциальиому уравнению), а а обозначает подходящим
образом определенную функцию, имеющую непрерывные производные
до второго порядка и для которой выполняется тождество:
У диференциальных уравнений с частными производными высшего
порядка единственным существенным отличием тоже является лишь другой
вид особенности, присущей ф,нкцни Грина. Рассмотрим, например,—для
двух независимых переменных—диференциальное уравнение пластинки
треб!вание, которое мы в этом случае налагаем на функцию Грина,
сверх краевых условий и условия ДДК=0, заключается в том, что мы
предписываем ей следующий вид:
К = —~
где у (*. у, ?> ij) есть функция, непрерывная вместе со своими производ-
производными до четвертого порядка. Что указанная особенность действительно
та, что требуется, т. е. соответствует единичной силе, читатель легко
сам проверит. Кстати, подчеркнем, что сама функция г2 logr является
„основным решением" диференциального уравнения ДАг> —0.
И в этом случае переход к интегральному уравнению доказывает
существование собственных' значений и соответствующей полной
ортогональной системы собственных функций, по которым может
§ 15 Примеры функций Грина 349
быть разложена в области О в абсолютно и равномерно сходящийся
ряд всякая функция, удовлетворяющая краевым условиям и имеющая
непрерызные производные до четвертого порядка.
§ 15. Примеры функций Грина.
1. Обыкновенные диференциальные уравнения. Чтобы
пояснить теории предыдущих параграфов на примерах, рассмотрим важ-
важнейшие из изученных ранее диференциальных уравнений.
Функция Грина выражения
L [и] = и"
при краезых условиях и@) = иA)== 0 для интервала @, 1) есть
V—Z)*: Для
При краевых условиях к@) = 0, и'A) = 0 функция Грина будет:
Для интервала — lsgjtsg-j-l и краевых условий
м(— 1) = мA) = 0
получается:
что- можно также получить преобразованием из первого примера. Для
интервала же 0^л^1 при краевых условиях и@) = — иA). и'@) =
= -«'A)
Функция Грина для диференциального выражения
относящегося к бесселевой функции нулевого порядка 70 (х), для интер-
интервала 0^д:^1 и краевых условий яиA) = 0, и @) конечно" определя-
определяется так:
Все это легко вывести и проверить на основании общих правил
предыдущего параграфа. Гринова функция диференциального выражения
I [и] = (*«')'— ув,
350 Проблемы колебаний Гл. V
принадлежащего бесселевой функции Jn (x) [ср. формулу B8 ], при кра-
краевых условиях ,иA) = 0, u(fi) конечно" имеет следующий вид:
и соответственно
В качестве следующего примера рассмотрим диференциальное выра-
выражение:
которое при h = 0, 1, 2,... принадлежит шаровым функциям Лежандра
нулевого, первого и т. д. порядка. Соответствующий интервал бу-
будет— 1 г^ л: =^;-}-1 > краевые условия: конечность на обоих концах.
Можно сразу указать решение уравнения L[u] = 0, остающееся конечным
при х = — 1, а именно: сЛ - I ; точно так же решение, остаю-
\ * х I
h
I \ х \Т
щееся конечным при х = -{- 1, равно с2 I ) . Из этих решений
по правилам § 14,' 2 составляется функция Грина следующим образом:
Этот метод отказывается служить лишь при h = 0, как и должно
быть согласно нашей общей теории, ибо при к = 0 уравнение L [и] — 0
1
имеет нормированное, всюду регулярное решение и=~р=, удовлетво-
V 2
ряющее обоим краевым условиям. Стало быть, здесь следует построить
^ринову функцию в обобщенном смысле, удовлетворяющую диферен-
циальному уравнению:
1[]
Нетрудно получить для =>той функции следующее выражение:
—— I, Г/i
для
§ 15 Примеры функций Грина 351
где c = log2 —-g-.
В качестве другого простого примера существования обобщенной
функции Грина возьмем диференциальное выражение:
рассматриваемое в интервале — 1 ==; х =sS -f-1 при краевых условиях пери-
периодичности: м(—1) = ы(—|— 1*), м'( — 1) = и'(-}-1)- Так как —=. есть
регулярное решение уравнения L [и] = 0, удовлетворяющее обоим кра-
краевым условиям (физически речь идет о струне, свободной на обоих концах),
то необходимо построить обобщенную функцию Грина, удовлетворяющую
диференциальному уравнению.
Нетрудно получить
Пользуясь всеми этими гриновыми функциями как ядрами, можно
теперь построить соответствующие интегральные уравнения, но нет необ-
необходимости выписывать их в явном виде. Зато мы рассмотрим следующие
билинейные формулы, относящиеся к нашим примерам:
2 sin nnx sin /гтт?
где
—1 для
В заключение отметим еще особо гриновы функции и интегральные
уравнения, относящиеся соответственно к полиномам и ортогональным
функциям Эрмита и Лагерра.
Диференциальное уравнение D9) ортогональных функций Эрмита:
и" + A— х2)
352 Проблемы колебаний Гл. V
при краевом условии: регулярность в бесконечности, имеет число Х = 0
собственным значением. Во избежание необходимости построения обоб-
обобщенной функции Грина рассмотрим значение X = — 2, которое наверно
не является собственным значением (ср. стр. 310), и в соответствии
с этим построим гринову функцию для диференциального выражения:
L[u] = u"— {\-\-x*)u
при краевом условии исчезания при х = ¦+: со. Для того чтобы получить
общее решение диференциального уравнения ?[и] = 0, исходим из
X*
замечания, что и(х) = е2 есть решение этого уравнения. Полагаем общее
решение в форме u~we2 и для w получаем диференциальное
уравнение:
зд/'-J- 2w*x = 0,
которое, помимо само собою разумеющегося решения w = const., имеет
еще решения:
Г -**
w = c1 \e dx.
Следовательно,
-=- 1 -— х*
dx.
-С
= сге2 \ ,
Отсюда получаем частные решения, исчезающие соответственно при
—-|-со и при д: = — со:
.со
ае2 \е " dx и be2 \ е * dx,
С
и be2 I
х —со
и с их помощью находим для функции Грина следующее выражение1):
х СО
—-* е ~t~ \ e ' dt \ e dt для х
—со е
v ? со
j=eX~~T~\e ''dt\e ''dt для *3s?,
— со
причем коэфициент -^= появляется вследствие нормирования разрыва
•) Ср. Neumann R., Die Entwicklung willkurlicher FunKtionen и т. д., Дисс.
Breslau 1912.
§ 15 Примеры функций Грина
на основании интегральной формулы:
+ 00
-со
Диференциальное уравнение L [и] -(- \и = 0 и соответственно интег •
со
ральное уравнение и(х) = \ \ К (х, S) и (?) rfS имеют собственные значе-
—со
ния \ = 2п-\-2 (/2 = 0,1,2,...) и фундаментальные функции
е~Ь/о(*).
Ортогональные функции Лагерра e~~2La(x) удовлетворяют диферен-
циальному уравнению:'
для собственных значений \ = п(п = 0,1, 2, ). Рассмотрим это дифе-
диференциальное уравнение для частного значения X = — 1 и определим
/.[и] равенством:
л-
Диференциальное уравнение L [и] = 0 имеет частное решение е2.
Полагаем общее решение в виде:
X
и = щ>? 2 ;
для w мы получим тогда совершенно подобно предыдущему:
х
™=сА-^~' dt,
так что два частных решения, из которых первое регулярно при
а второе исчезает при лг = -|-со, даются выражениями:
х °°
— —- Г р —t
ае 2 и be 2 \ —- dt.
Из этих частных решений гринова функция для поставленных в
§ 10 4 краевых условий составляется следующим образом:
Куравт-ГвльОерт.
е
е 2
.00
\т
х
dt
-t
at
ДЛЯ
для
354 Проблемы колебаний Гл. V
Диференциальное выражение
/.[«] = «•
для интервала — со<^х<^со, с краевыми условиями: ограниченность
при х —>¦ + оо, не имеет функции Грина в соответствии с тем обстоятель-
обстоятельством, что однородное уравнение и"=0 имеет регулярное в бесконеч-
бесконечности решение и = const. Напротив, диференциальному выражению
Z. [«] = «" —и
принадлежит гринова функция
а построенное с помощью этого ядра особенное интегральное уравнение
со
<р (х) = — l e <р
— со
имеет непрерывный спектр, состоящий из всех значений X = 1 + s2 :э= 1
cos sx sin sx , _ , _.
с фундаментальными функциями —j=^-, —т=- (ср. § 12). Билинейное
]/тг |/тг
соотношение заменяется здесь интегральной формулой:
со со
cos sx cos s? -|- sin sx sin s? A 1 f coss(x— S) 1 — \x—ei
о о
В качестве примера гриновой функции диференциального выражения
четвертого порядка рассмотрим функцию Грина, принадлежащую диферен-
циальному выражению L [и] = uiv для интервала 0 sg; x sg 1 при краевых
условиях и @) = и A) = и! @) = и' A) = 0 (стержень, заделанный на обоих
концах). Без затруднений получается:
»-2 /С 1 \2
=—^—*-Bx6 + * —35)
для
и соответствующее выражение для
2. Функция Грина выражения Дм для круга и шара.
Самые простые и вместе с тем самые интересные примеры гриновых
функций для диференциальных выражений с частными производными
доставляет диференциальное выражение Лапласа Аи для плоских или
пространственных областей. Для некоторых видов областей удается вы-
выразить функции Грина явно через известные трансцендентные функции.
При этом целесообразно всегда представлять себе наглядное значе-
значение тех введенных выше для уравнения Лапласа функций, которые харак-
характеризуют поведение функции Грина в особой точке, причем дли более
подробного рассмотрения мы отсылаем к систематическому изложению
теории потенциала во втором томе. Если рассматривать пространство трех
1 1
измерений, то функция —— есть
§ 15 Примеры функций Грина 355
ньютонов потенциал массы величины 1, сосредоточенной в точке ?, j], ?,
т.е., диференцируя это выражение по какой-либо из координат x,y,z,
пдлучим отрицательные компоненты силового поля, которое распро-
распространяет мокруг себя по закону тяготения Ньютона масса 1 в то-
точечном источнике. Если в пространственной области G имеется непре-
непрерывное распределение масс с плотностью р (х, у, г), то его потенциал
представится интегралом вида:
в(*,^г) = \\\рE,Ч.С)
^-SJ + Cv-4J + (^ — С
причем интеграл берется по области G.
Этот потенциал распределения масс р удовлетворяет, как мы видели
выше, вне области G уравнению Ди = 0, а в области G—поскольку
функция р диференцируема — уравнению Ди= — 4ттр.
Если в области G имеется распределение дискретных точечных масс,
то его потенциал находят соответствующим суммированием по
всем отдельным точкам, в которых сосредоточены притягивающие массы.
В случае двух независимых переменных х, у деле обстоит анало-
аналогичным образом. Вместо —- здесь появляется функция log — , почему
и говорят о логарифмическом потенциале.
Рассмотрим простейшее краевое условие, а именно и = 0, и прежде
всего построим функцию Грина для круга и шара. К той и к другой
нас приводит тот элементарно-геометрический факт, что окружность
и сфера являются геометрическим местом всех точек, расстояния кото-
которых от двух точек Pv P2 находятся в постоянном отношении; точнее,
если Pj (?, tj) [или соответственно (?, ij, Q] — какая-либо точка внутри
круга x2-|_j/B —1 (шара x2-\-yi-\-z2 = l), а точка Р2 с координатами
является ее отражением относительно окружности или сферы (и,
стало быть, непременно лежит вне круга или шара), если, далее, гг, г2
обозначают расстояния любой точки Р (х, у) [или соответственно (х, у, z)]
от Я] и Р2, то отношение г,:^ остается постоянным, когда точка Р
движется по окружности круга (по поверхности шара), а значение этого
отношения равно соответственно j/"?2-|-Jj2 и j/?2 -j- tj2 -j- ?2. Заметим
теперь, что функции ——log/-j, — —Jog/-2 /функции -^~,
являются решениями уравнения Ди = 0 и что функции — — log/-j и со-
ответственно — обладают в точке Р2 особенностью именно того типа,
23*
356 Проблемы колебаний Гл. V
который предписывается для основного решения. Таким образом функции
как раз и представляют собой функции Грина для круга и шара, при-
принадлежащие краевому условию и = 0, ибо эти функции на границе
исчезают.
3. Функция Грина и конформное отображение. В случае
двух независимых переменных можно вообше воспользоваться тем фак-
фактом из теории функций, что гринова функция дает конформное ото-
отображение области G на единичный круг. Пусть ? =f(x -\-iy)—анали-
-\-iy)—аналитическая функция, конформно отображающая область G на единичный
круг плоскости С таким образом, что точка &, jj области О переходит
в центр единичного круга; в таком случае выражение — 5- log |/(j;-f- iy)\
есть искомая функция Грина для области G. Следовательно, мы знаем
функцию Грина для всех тех областей, которые умеем отобразить
конформно на круг. Тот факт, что таковыми являются все области,
ограниченные кусочно-гладкими односвязными контурами, составляет
содержание одной из важнейших теорем теории функций1).
4. Функция Грина уравнения потенциала для шаровой
поверхности. Простой пример существования обобщенной функции
Грина дает диференциальное уравнение Д*а = 0 (см. § 8 и § 9, 1) при
условии регулярности на всей поверхности шара, за исключением точки,
где находится источник. Так как функция и = удовлетворяет этому
У4п
условию, то необходимо построить обобщенную функцию Грина, удо-
удовлетворяющую диференциальному уравнению Д*и = j- . Эту функцию
легко получить, пользуясь свойством инвариантности выражения Д*и от-
относительно любых вращений шара. Если источник Р, поместить сначала
на северном полюсе &=0, то немедленно убеждаемся, что диференциальному
уравнению Д*и = — можно удовлетворить функцией — — log I 2 sin — I,
зависящей только от координаты S. Стало быть, в силу инвариантности
относительно вращений, если обозначить через р @, <р; ft,,^) сферическое
расстояние между двумя точками Р(Ь, <р) и Pjlft,,^) шаровой поверх-
поверхности, функция
») Ср. Hurwitz-Courant, Funktionentheorie, 3 Aufl. (Berlin, 1929), стр. 389—423,
в особенности стр. 390—398.
§ 15 Примеры функций Грина 357
является решением уравнения Д*и ——, нерегулярным лишь в точке
P=Pj. Так как, кроме того, эта функция при Р=РЛ обладает особен-
особенностью как раз требуемого типа, то она и представляет собой искомую
функцию Грина. Если принять эту функцию за ядро интегрального
уравнения
= Xj J log
2 sin |-j F@a, Vl) аЬг dp
то этому уравнению принадлежат, стало быть, B/z-j- 1)-кратные собствен-
собственные значения \ = п(п~\-\) и соответствующие собственные функции
У= Уя (&, <р) и только они.
5. Функция Грина уравнения Дм—О для прямоуголь-
прямоугольного параллелепипеда1). Пусть ограничивающие прямоугольный
* , a b . , с
параллелепипед плоскости будут х =+ ¦=-, ^=гЬ-п" » z = -t- -^- «
Для определения принадлежащей краевому условию и = 0 функции
Грина с установленными выше свойствами, обобщая естественным образом
метод, примененный для шара (§ 15, 2), строим пространственную ре-
решетку, соответствующую данному параллелепипеду, с узловыми точками
-i)a, /m-f- \ ( )
вторно отражаем точку (&, ij, С) в плоскостях решетки. В результате по-
получается система точек [ka + (— 1)% mb -j- (— 1 )mjj, ис-f- (— 1)"?]. Пред-
Представим себе, что в каждой из этих точек сосредоточена единица массы,
соответственно положительная или отрицательная, смотря по тому, четно
или нечетно значение суммы k-\-m-\-n. В таком случае можно ожидать,
что потенциал такого распределения масс на плоскостях решетки равен
нулю, ибо на них взаимно компенсируется влияние отдельных единич-
единичных масс. Мы приходим таким образом к следующему выражению
для К2):
СО СЮ / 1\к+т+п
У У (~ '
и по-
. С» СО СЮ / 1\к+т+п
к—1 V У У (~ ' поб)
4*ь = -оэ т --со п =-со VN(k, т, п; ?, Ч> С; х,у, г)"
где
В выражении A06) необходимо, однако, еще исследовать порядок сум-
суммирования, так как сходимость может быть, самое большее, условной.
Для этой цели обозначим вообще выражение cp(fc-|-l) — <р(?), где
<р(&) — любая функция от k, через Ak<p(k). В таком случае в выраже-
выражении для К при фиксированных значениях k и т можно внутреннюю
0 Рассмотрением вопросов сходимости и проведением вычислений этого
пункта мы обязаны А. Островскому (A. Ostrowski).
' а) Ср. Шетапп В. und Hattendorf К., Schwere, Elektrizitat und Magnetismus,
84-,88, Hannover 1880.
358 Проблемы колебаний Гл. V
сумму по п, опуская множитель (— 1)*+т, писать следующим образом:
N4k,m)= У Д 1 -=! — У, А *
Г "VN(kтп) "
У Д У, А
«=±Г±з,... "VN(k,т,п) п=0.±х±4,... "VN(ft, m, n)
так как lim N(k,m,n) = со. То же преобразование применяем к суммам
|и|-»СО
по т и k и, так как lim W(ft, /и) = 0, получим, как сейчас будет до-
\т\ ->СО
казано:
AT(ft)= ^ AIB^(ft,«)= — ? bmN'(k,m),
m=±l,.±3,... m=0, ±2,±4,...
и далее
ибо и lim N"(k) — 0. Окончательно получаем следующее разложение:
1*1-» со
^ДтД- .— ' A07)
У N(k, т,п)
где каждый из индексов суммирования пробегает либо все четные, либо
все нечетные целые числа от — со до -j- со, а перед всей суммой стоит
знак плюс или минус, смотря по тому, производится ли суммирование
четное или нечетное число раз по всем четным целым числам.
Для доказательства всех наших утверждений достаточно будет дока-
доказать абсолютную сходимость последней суммы, которая непосредственно
вытекает из оценки общего члена этой суммы:
1
YN(k,m,n)
^te ) (ds\n
^ A/&2 + т2 + л2O
при
d^d^h),..., cs = c3(h), c = c(h).
Эта оценка получается трехкратным применением теоремы диферен-
циального исчисления о среднем значении и неравенства 2af> <^ а2 -|^- Ь2.
Одновременно обнаруживается также и равномерность сходимости отно-
относительно х, у, z, ?, >], С, если только суммирование производится по k, т, п,
при условии k2 -j- /и2 -j- и2 ^> с4 (А), так что N(k,tn,n) не исчезает ни
для какой тройки этих значений ft, /и, п.
То же рассуждение обнаруживает также абсолютную и равномерную
относительно х,у,г,й,г],^ сходимость всех частных производных суммы
A07), образованных почленным диференцированием при х2 -\-у2 -j- z2 < h,
& + 2 + Л j
Теперь получается уже без затруднений, что выражение A07) есть
искомая функция Грина; само собой разумеется, что выражения A06)
и A07) имеют смысл лишь в том случае, если ни одно из значении
§ 15 Примеры функций Грина 359
N(k,m,n) не исчезает. Что требования 1 и 3 (§ 14, 5) выполняются, не
нуждается в доказательстве. Для требования 2, скажем, в плоскости
а т,
х = -~, воспользуемся следующим видом выражения для К:
Так как при д;=— конечные суммы 2** AkN"(k) исчезают,
* й=-±-1,±гЗ ±rB/+ll
потому что отдельные члены суммы попарно уничтожаются, получается
К = 0. Точно так же доказывается, что требование 2 выполняется на дру-
других плоскостях решетки.—Уже Риман представил сумму A06) в виде
интеграла известных тета-произведений. Это выражение Римана для суммы
A06) можно вывести следующим образом. Исходим из равенства:
~ со
= ri- (*>0)
и подставляем в него вместо 5 выражение N(k, m, n; x,y, z; 2, Jj, Q. Мы
получаем тогда:
со
о
Если бы можно было в этом выражении поменять местами сумми-
суммирование и интегрирование, то получилось бы:
со оо
где три множителя под знаком интеграла обозначают следующие
выражения:
со
00
т = - СО
СО
и = —СО
которые могут быть выражены через тета-функцию:
00
= —ОО
360 Проблемы колебаний Гл. V
Прежде всего надо доказать формулу A09), причем главное затруд-
затруднение доставляет точка t=0, так как наши три ряда вблизи значения
i=0 не сходятся равномерно. Начнем с доказательства того, что сум-
суммирование по k и интегрирование можно поменять местами:
о ~ = -со й
Что можно поменять местами суммирование и интегрирование в ин-
интервале от 1 до со, нетрудно усмотреть. Действительно, для остатка
суммы/х при t^>l, р]> F1 (S, х)> 2 справедлива оценка:
?
2е
а?
Е
i*i>p
<е~'
1 <2е-$* 1
Р-
Т
1
ч
1 ^
i\>P
4
pa*1-
4~
а интеграл этого выражения от 1 до со сходится к нулю с возраста-
возрастанием р до со. С другой стороны, на отрезке от 1 до со /2 и /3, оче-
очевидно, остаются равномерно ограниченными.
Для доказательства нашего права поменять местами суммирование и
интегрирование в интервале от 0 до 1 достаточно будет на основании
известного предложения показать ограниченность частных сумм подъ-
00 -СО
интегрального выражения. Но каждая из двух сумм ^v и \^ ¦> на ко-
k=0 k= 1
торые разлагается /j, является знакочередующимся рядом, члены кото-
которого, начиная с определенного k, монотонно убывают, причем это зна-
значение k зависит лишь от S и л;, но не от /. Поэтому значение каждой
частной суммы обоих рядов при всяком t^>0 заключено между опре-
определенными границами. С другой стороны, то же справедливо и для
частных сумм выражений /2 и /,, так что /2 и /3 тоже равномерно
ограничены при t^>0. Стало быть, можно применить упомянутую теорему,
и равенство (ПО) доказано. Совершенно аналогичным рассуждением дока-
доказывается также правомерность перемены порядка интеграции и суммиро-
суммирования по т и п (в правой части A09), и это соотношение, стало быть,
полностью .^доказано.
Выразим теперь К через функцию 000. Имеем:
00
§ 15 Примеры функций Грина 361
ТТ
' 71 /
Применяем к каждому - множителю формулу преобразования для
тета-функции:
/т
с главным значением для корня. Если положить еще
1i3 1t«
"*** Чу=е
то получим:
2в~*
*=-co
( {x ?)
^ cos —i — cos —
at tix \ a
Аналогичные выражения получаются для /^, /8, и мы имеем для К:
? со со со
it» /ft» Ж«
Введя новую переменную интеграции —=т, получим:
°^ со со со
. / лттС лтг\
... sm { -jr- JdT.
\ с л I
362 Проблемы колебаний Гл. V
Эта формула заменяет формулу разложения функции Грина по соб-
собственным функциям:
00 00 СО
sin I — I sin I — I ... sin 4 — I
\ a 2 ) \ a 2 ) \ с 2 }
° yi v1 V1
abciz2 Zj Zj Zj k2 m2 n2
ft=lra = ln=l To" I TS T ~Za
которую можно формально получить, переменив порядок суммирова-
суммирования и интеграции, но сходимость которой еще не доказана.
Простейшее выражение для К получается из A09) подстанов-
1
кой т= -2- :
оэ
Г/Г —a Trft
47»; *т\ 2с '
6. Функция Грина уравнения Ди^=О для внутренней
области прямоугольника. Пусть стороны прямоугольника /?
параллельны осям, пусть одна вершина его в начале, а остальные в точ-
точках (а, 0), (О, Ь), (а, Ь). Пусть источник находится в. точке (?, ц),
а точка наблюдения (х, у). Если К(хг, у; S, jj) есть функция Грина,
принадлежащая краевому условию к = 0, то К, как функция от х и у,
должна, внутри R удовлетворять уравнению Ди = О, исчезать на контуре
и лишь в точке ($, jj) обладать особенностью типа — — log r, где
г — У(х — ?J-|-(j/ — i]J. Естественно теперь, аналогично случаю пря-
прямоугольного параллелепипеда, построить решетку, соответствующую
прямоугольнику R, многократно отразить точку (S, Jj) в прямых ре-
решетки и каждую из полученных таким образом точек рассматривать
как источник или сток поля мощности 1, смотря по тому, получилась
ли она из точки ($, jj) путем четного или нечетного числа отражений
в прямых решетки.
Для того чтобы выразить потенциал X полученного таким образом
распределения масс, можно было бы, как в предыдущем пункте, вос-
воспользоваться суммированием бесконечного ряда. Удобнее, однако, при-
прибегнув к помощи теории функций, построить соответствующую анали-
аналитическую функцию <р(* -\-iy) = X-\-lY, действительной частью которой
является X. Тогда функция
) __ е2шр (x+ly)
должна иметь в точке (S, jj) и в точках, происшедших из нее путем
отражений, соответственно простые нули и полюсы. Соединим теперь
по четыре смежных прямоугольника нашей решетки в прямоугольники
§ 15 Примеры функций Грина 363
новой решетки. Функция f(x -\-iy) имеет в каждом прямоугольнике
новой решетки два простых нуля и два простых полюса, которые рас-
распределены симметрично относительно начала координат и сравнимы
по modBа, 2Ь):
нули: с ($, jj), (— 5, — г,),
полюсы: с (—?, Jj). E,—*j),
соответственно.
Простейшей аналитической функцией этого рода является эллипти-
эллиптическая функция, имеющая в прямоугольнике периодов с вершинами {а, Ь),
(—а, Ь), (а, — Ь), (— а, — Ь) указанные выше нули и полюсы и вы-
выражающаяся через соответствующую функцию о следующим образом:
a(z — ? -^- f ч) о (g + 6 + *'Ч)
М/ 0B — S-|-n])
где1)
Подставив это выражение в f(z) и перемножив соответствующие
множители, получим, полагая условно еш!=1 при (о = О:
|- П
Остается нам еще только проверить, выполняется ли краевое усло-
условие, т. е. имеет ли f(z) на контуре области R модуль 1.
При z = x = dl(z) множитель с @ = 0 имеет модуль 1, а множи-
множителей с остальными значениями (о можно так сгруппировать попарно,
соответственно комплексно-сопряженным значениям (о, чтобы числитель
одной пары был сопряжен знаменателю другой. При z=x+ib мы
вычисляем наше двойное произведение, изменяя сначала /, а затем k.
В произведении, взятом по индексу /, показательный множитель еш*
можно опустить, так как сумма V—г- по I при заданном к сходится
^"*^ (О
абсолютно и имеет действительное значение. Остальные сомножители
группируем попарно, соединяя множитель, соответствующий значению
и = ka 4- 1Ы, с множителем, соответствующим значению <u±=ka —
— (/—\)Ы. Нетрудно видеть, что произведение такой пары имеет
модуль \.
Если же z = iy, то сначала изменяем / и при |А|>0 группируем
по два такие частные произведения, -которые соответствуют значе-
значениям Чл k. Мы можем опять не обращать внимания на показательный
множитель, ибо V* —- по I сходится абсолютно и имеет действительное
1) Штрих при знаке произведения П указывает здесь, что значение ю = О
следует опустить.
364 Проблемы колебаний Гл. V
значение. Остальные множители соединяем опять в пары таким обра-
образом, чтобы одному множителю соответствовало значение w = ka -f Ibi,
другому же о = — ka-f- Ibi. Каждое такое парное произведение имеет
модуль 1.
Наконец, рассматриваем случай z = a-\-iy, соединяя попарно мно-
множители, соответствующие значениям a> = ka-\-lbi и <о = — (в—1)а -(—
-4- Ш, и перемножая затем по I. Таким образом для искомой функции
Грина получается выражение:
К(Х,у; 6, Ч) J-
2тг V
(г=дг + /у, ? = ?-{-«], "?=? — щ, ^ = 0, ы2 = Щ.
Построенная сейчас функция Грина может быть разложена по соб-
собственным функциям
2 . , тг тг
, 1 sin к — a; sin m —• v
Yab a b
всюду, за исключением окрестности источника, в абсолютно и равно-
равномерно сходящийся ряд, так как теория рядов Фурье утверждает разло-
разложимость функции, обладающей разрывом непрерывности только лога-
рифмияеского типа. Это разложение гласит:
ТГ . . 71
5
со со sin в -^ х sin т — у sin в — 5 sin/и—г;
4 wi«-i, а Ь' а Ь '
m2 в2
Мы имеем здесь пример функции Грина, для которой справедлива
билинейная формула, не доказанная для общего случая.
7. Функция Грина для кругового кольца. Берем обе
ограничивающие окружности с центром в начале, произведение их ра-
радиусов полагаем равным единице (что может быть достигнуто надлежа-
надлежащим выбором единицы длины), и соответственно этому обозначаем радиус
внутренней окружности kx через д 'я, радиус внешней окружности k2
через q~ '2 , причем q—правильная дробь. Если теперь источник по-
поместим в точке с, которую будем пока считать лежащей на действитель-
действительной и положительной оси, а через z = x-\-iy обозначим переменную
точку поля этого источника,' причем обе точки находятся внутри кру-
кругового кольца /?, то наша задача сводится к следующей задаче теории
функций: определить аналитическую функцию f{z), имеющую в точке с
простой нуль, повсюду в R регулярную и на контуре кольца R имею-
имеющую модуль 1.
Из f{z) можно будет тогда получить значение функции Грина при
источнике с в точке поля z по формуле:
К(х,у; ?,*]) = — ~ Ш logf(z).
§ 15 Примеры функций Грина 365
Попытаемся искомую функцию f(z) продолжить за пределы обеих
окружностей для того, чтобы найти таким образом достаточное число
требуемых теорией функций данных для ее построения. Для этой цели
отнесем каждой точке z в R точку гг внутри kt при помощи равенства
zz1 = q. Если z приближается к окружности kx, то и zx приближается
к этой окружности, и очевидно, что гг стремится к комплексио-сопря-
женной точке. Но f(z) вследствие симметричности наших допущений
следует рассматривать как действительную функцию, т. е. такую,
которая в действительных точках принимает действительные значения и,
общее, в комплексно-сопряженных точках принимает комплексно-сопря-
комплексно-сопряженные значения. Поэтому f(z)fl-) стремится к действительному по-
положительному значению \f(z0) \2, когда z стремится к точке z0 окруж-
окружности k\. С другой стороны, f(z) имеет на kr модуль 1. Стало быть,
f(z) удовлетворяет на kt равенству:
Mz)f\z) = lt (U2)
и это равенство удовлетворяется тогда тождественно для всех значе-
значений г. Точно так же отражение в окружности k2 дает второе функ-
функциональное уравнение:
1
Так как f(z) имеет в точке с простой нуль, то из последователь-
последовательного применения этих соотношений вытекает, что f(z) имеет в точках
с, q— с, q~ с, ...
простые нули и в точках
q— с , q— с , q-" с , ...
простые полюсы, -и, стало быть, функция / (г) имеет те же нули и по-
полюсы, что и функция
СО
п
'«-0-f)<f
Но эта функция F(z) удовлетворяет следующим функциональным
уравнениям типа A12) и A13):
что подтверждается простым вычислением. Следовательно, можно так
определить постоянные а, Ь, чтобы функция az"F(z) удовлетворяла
функциональным уравнениям A12), A13) и на 1гг, А2 имела модуль 1,
366 Проблемы колебаний Гл. V
так как постоянные а, р получают действительные значения, а именно:
/— 4-- , 1 log с
—г 2
log ^
Выбирая для а отрицательное значение, имеем:
Это выражение может быть представлено с помощью тета-функиий:
1 °°
в,(г)=г —iQ 4 (ekz — e~hz)]~[ (I — 92ve2fcr)(l — q^e~4-kz),
oo
где
со
Полагая z — e2lKV, t = e2:rM, получим:
и действительная часть от log f(z) исчезает на klt k2, естественно, и
при комплексных значениях с внутри ^?, и наша задача, стало быть,
действительно решена.
§ 16. Дополнения к пятой главе.
1. Примеры на колебания струны, а) Оттянутая стру-
н а. Для случая оттянутой струны мы представим решение в виде на-
наложения синхронных колебаний. Пусть в момент ^ = 0 сообщено струне
в точке х = Ь смещение А, которое следует линейно продолжить до
обоих концов; начальная скорость пусть будет нуль. Тогда разложение
в ряд смещения u(x,t) будет иметь следующий вид:
оо
И (X, t) = У^ ап S'n ПХ C0S й^>
§ 16 Дополнения к пятой главе 367
причем
ь
2п= — 1 и(х,0)sinnxdx —— I j -— sinnxdx -j-A -sinnxdx 1 =
b l
= -— — sinnb;
таким образом
2h v-i sin nb sin nx
б) Возбуждение импульсом. Аналогично можно рассмотреть
случай, когда струне сообщается колебательное движение тем, что .она
гвыврдится из положения равновесия импульсом, приложенным в точке
х=Ь. Имеем:
оо
и (х, t) = \^ bn sin nx sin nt,
¦ 2 f
nbn = — I ut(x, 0) sin nxdx.
о
Теперь необходимо совершить предельный переход, стягивая участок
возбуждения в точку х = Ь, но так, чтобы интеграл
\ut(x,0)dx=U
о
сохранял постоянное значение. В пределе получим:
sinnb
СО . ,
/ л ,П.,Г1 Sin ПХ Sin nb .
и (x, t) = 2u >, sin nt.
в) Вынужденные движения. Общее решение диференциаль-
ного уравнения вынужденного колебания
utt — uxx=f(x) cos nt
с периодической внешней силой гласит:
тс
^ [f(x)sinvxdx
и = cos nt V sin vx ъ 5 у
Tt ^f П2 V2
00
sin vx (a4 sin \t -}- 6V eos \t).
v=l
368 Проблемы колебаний Гл. V
Полагая
Е
\ /(¦*) Sin VJt dX ~ Cv »
О
при начальных условиях и (х, 0) = 0, ut (лг, 0) = 0, получим для со-
соответствующего интеграла:
со с
и(х, t) = — \\ sin vx "—g (cos nt — cos vt).
~^ n — v
v=l
В этой сумме, вообще говоря, преобладает тот член
2 "- sin vjc (cos nt — cos vt),
в котором п меньше всего отличается от v. Лучше всего рассмотреть
поведение этого члена, представив его в виде:
2с я 4- v и — v
—-—^ sin we sin —-— / sin —-— t;
n -j- v
это выражение можно толковать как колебание sin —~— t с перемен-
переменной амплитудой sin —-— t. Колебание становится попеременно то силь-
сильнее, то слабее, получается явление „биений". В пределе, при и—»v,
интересующий нас член получает вид:
с, . . t
— SinVATSinv --^,
и амплитуда возрастает со временем до бесконечности.
2. Колебания свободно подвешенного каната ибессе-
левы функции. Однородный канат длины и веса 1 подвеи/ен вдоль
оси лг, положительное направление которой противоположно силе
тяжести, и именно подвешен в точке х=1, так что свободный конец
находится в точке дг = О. Если теперь и есть смещение перпендику-
перпендикулярно оси а;, то для и получается1) диференциальное уравнение:
Подстановка
приводит- к расщеплению:
q
и к краевому условию: уA) = 0, у@) остается конечным.
«) Ср. Kneser A., Integralgieichungen,. стр. 39-43.
Дополнения к пятой главе 369
Отсюда получается:
где J0(x) обозначает бесселеву функцию нулевого порядка, причем из
условия УоB^)=0 определяется последовательность собственных частот
v = j/T
3. Дальнейшие примеры случаев колебательного
уравнения, разрешимых в явном виде. ФункцииМатье
(М a t h i e u).
а) Круговой сектор. Уравнение колебания ки-\-\и=0 для
кругового сектора,-представленного в полярных координатах неравенст-
неравенствами 0=^/=g: I, Os^&^a, также решается расщеплением: u=f{')g(b).
По образцу § 9, в качестве системы собственных функций получается.
причем краевое условие взято и = 0, Jnr_ — бесселева функция порядка
о
— (ср. гл. VII), а собственные значения \п т определяются из трансцен-
трансцендентного уравнения У„^(]/Х„ т) = 0.
a
б) Эллипс. Решение задачи о собственных значениях для эллипса
получается при помощи введения эллиптических координат (см. гл. IV,
§ 8, 3). Имеем:
1
и подстановка T=-U(t1) V (t2) приводит к уравнению:
U" V
которое удовлетворяется в том и только в том случае, если U и V
являются решениями диференциальных уравнений:
или
dU
^22
и соответствующего уравнения для V.
Если положить
г 1—^- = cos v,
4 ei
24 Курант-Гйльберг.
370 Проблемы колебаний Гл. V
то и и v действительны; в результате получаются уравнения:
Решения этих уравнений, которые, кстати, при подстановке u = iv
переходят друг в друга, называются функциями эллиптического цилин-
цилиндра или функциями Матье а).
в) Циклический четыреугольник и циклидный шести-
шестигранник. Все рассмотренные специальные области, для которых мы
сумели решить уравнение колебания и уравнение потенциала методом
расщепления, являются частными или предельными случаями четыре-
угольника либо шестигранника, образованного из софокусной системы
циклических кривых или циклид (ср. § 9, 3).
4. Параметры в краевых условиях2). Упомянем еще
вкратце, каким образом можно привести к интегральным уравнениям
некоторые краевые задачи с параметрами в краевых условиях. Пусть,
например, предложено диференциальное уравнение Дк = О со следующим
краевым условием на регулярной, граничной кривой Г односвязной
области G, целиком лежащей в конечной части плоскости:
где п — внешняя нормаль, X — параметр, h (s) — заданная функция длины
дуги s на8кривой Г, Воспользуемся той гриновой функцией К(х,у;$, г()
области G, у которой производные по нормали на контуре' исчезают.
Тогда формула Грина дает:
и (*> Ч) = \ [*« (х,у) -f h (s)] К (х, у; ?, tj) ds,
г
где точка х,у пробегает кривую Г. Если воспользоваться Параметри-
Параметрическими уравнениями кривой Г, х — a (s),y = b (s), то функция К (дг, у; S,r()
обратится в симметрическую функцию K(s, о) двух переменных- s, <з:
K(s, а) = К [в (s), Ь (s); а (о), Ь (о)]:
Полараем еще
в t« (*).*(*)]=*?(*).
[K(s,s)h(s)ds=f(cj);
г
тогда написанное выше соотношение для- и примет следующий вид:
f (о) =- <р (о) — X \.К (s, о) ip E) ds.
*) Ср. Whittaker Е. Т. a"d Watson G. N.. A Course of Modern Analysis, 3-е
изд., стр. 404—428, Cambridge 1920.
2) Ср. Hilbert, Integralgleichungen, стр. 77—81,
§ 16 Дополнения к .пятой главе 371
Так как определение и по ср (s) требует только решения первой
краевой задачи, то придется исследовать лишь то интегральное уравне-
уравнение, ядро которого только при <3 = s логарифмически бесконечно, так
что общая теория применима к этому ядру.
Аналогичные рассуждения применимы к общему самосопряженному
диференц"иальному уравнению второго порядка эллиптического типа. ¦
5. Тензоры Грина для систем диференциальных
уравнений. Идея, лежащая в основе введения функции Грина, до-
допускает обобщение почти без видоизменения на задачи, в которых
речь идет о системах диференциальных уравнений, например, об опре-
определении вектора U (иг, к2, и3) из диференциального уравнения L [и] =—f,
где f (/],/2./з) — заданный вектор. Под гриновым тензором @ дифе-
диференциального уравнения L [и] = —f, соответствующим заданным однород-
однородным краевым условиям, например, и = 0,мы разумеем
К„ К12 К13\
)
@ (х, у, z; I, г), Q~[ К21 К22 К
23
такого рода, что диференциальное уравнение L [и] = —f эквивалентно
формуле:
и (х, у, z) = Ш (х,у, z; 6, ч, ?> f F, ч, С) с? dn dX,
и что всякий вектор U, представленный в этом виде, удовлетворяет
краевым условиям. При этом под Щ мы понимаем вектор, получаемый
посредством умножения общепринятым способом матрицы @ на вектор f,
т. е. вектор с компонентами
Kn/i + Kj2/2-f-Kls/3, Kgj/j -j- K22/2 + Ка/^ Кз1/1 + Кз2/2 + К3з/з.
Каждая вертикаль гринова тензора представляет собою вектор f/f
который, за исключением точки x = Z,_y = j], z=Z, (источника), непре-
непрерывен вместе со своими производными и удовлетворяет диференциаль-
ному; уравнению L [ft\ — 0 и краевым условиям. Тип особенности, кото-
которой этот вектор обладает "в источнике, легко вывести из его физического
смысла, который он сохраняет, как и в случае, одного диференциального
уравнения, как функция влияния единичной сосредоточенной силы, при-
приложенной в точке х=?,У — Ъ 2= С. Тензор Грина удовлетворяет
условиям симметрии:
Кй (*, у, г; ?, J), О = КЙ E, j), С; а:, у, z),
Klk (х, у,г-Л, J], С) = Кй/ (S, j], Zrx, у, г).
коль скоро, как мы будем предполагать^ диференциальное выражение
L [и] самосопряженное, т. е. получается вариацией квадратичного дифе-
диференциального выражения, зависящего от вектора и и его первой произ-
производной. С помощью тензора Грина разрешается задача о собственных
значениях и т. д. дл.я диференциального уравнения L [и] -}- tot = 0 совер-
совершенно аналогично, как в обыкновенном случае *).
*) Ср. Hilbert D., Integralglelchungen, стр. 206—212.
24*
372 Проблемы колебаний Гл. V
6. Аналитическое продолжение, решений уравнения
Аи-\-\и = 0. Если решение уравнения Au-\-hz = 0 непрерывно вместе
со своими производными до второго порядка в замкнутой области G,
граница которой содержит прямолинейную часть 1, и если функция и
ди
или ее производная по нормали- — исчезает на /, то мы продолжим
дП
функцию и в область G', которая получается- из G путем отражения в
/, относя' соответствующим друг другу точкам равно-противоположные
значения при краевом условии к = 0 и равные значения при краевом
условии—=0. Тогда полученная функция является в соединенной об-
оП
ласти >G-}-G' -решением уравнения Дм-|-)># = (), непрерывным вместе со
своими производными до второго порядка 1); Аналогичные теоремы
справедливы для уравнения пластинки ДДи-}-Хи = 0.
Условие теоремы можно еще более смягчить подобно тому, как это
делается с принципом отражения в теории функций, для чего читатель
найдет вспомогательные средства в дальнейшем изложении этой книги.
7. Теорема об узловых линиях решений у.равнения
Ам-(-Хы = 0. Если внутри какой-либо области плоскости- х, у, в ко-
которой функция и регулярна 2), пересекается несколько ветвей кривой
и = 0, то в этой точке пересечения совокупность встречающихся
в ней узловых линий образует равноугольную сщтему лучей. Эту
теорему можно доказать, разлагая функцию и в окрестности рассматри-
рассматриваемой точки в степенной ряд.
8. Пример собственного значения бесконечно боль-
большой кратности. Рассмотрим'произвольную плоскую область G, на-
например круг, и для этой области задачу о собственных -значениях урав-
о
нения ДДг^ — Хи=^О, при краевых условиях Ди.=О, —Дм"= 0. Легко
&п
получить бесконечное множество собственных значений ХЛ и собственных
функций ин этой задачи, если заметить, что функции ДиЛ = г>Л должны
быть собственными функциями закрепленной пластинки, если только ДмЛ
не равно тождественно, нулю. Таким образом мы получаем собственные
значения, совпадающие с собственными значениями закрепленной плас-
пластинки, к которым присоединяется еще нуль, как собственное значение
бесконечно большой кратности. В самом деле, при Х = 0 каждая из
бесконечного множества линейно друг от друга не зависимых, регуляр-
регулярных в области G потенциальных функций удовлетворяет уравнению
ДДк-}-Хи = 0 при заданных краевых условиях.
9. Границы применимости теорем разложения. Для
наших теорем о разложении по собственным функциям диференциаль-
ного уравнения
*) Ср. Courant R., Beweis des Satzes и т. д., Math. Zeitschrift, т. 1, стр. 321—328,
^У Нетрудно. усмотреть, что всякое решение и, непрерывное вместе со
своей прои шодной, является регулярной аналитической функцией от х и у
(ср. также т. II).
§ 16 Дополнения к пятой главе 373
мы положили в основу предположение р ^> 0. Что это предположение
существенно, показывает следующий пример. Пусть в диференциальном
уравнении у" -\-1-ру=0 для произвольного частичного интервала основ-
основной области р = 0. Тогда всякая собственная функция должна быть ли-
линейной в этом частичном интервале; стало быть, теорем*а о разложении
не может быть справедлива для „произвольных" функций.
Литература к главе V.
Bdcher M., Ober die Reihenentwicklungerr der Potentialtheorie, Leipzig 1894.
— Lecons sur les methodes de Sturm, Paris 1)917.
Courant R., Zur Theorieder kleinen Schwingungen, Zeitschr. flir angew. Math,
u. Merft., т. II, стр. 278-285, 1922.
Hubert D,, Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichun-
gen, Lei zig ttnd Berlin 1912.
Hort W., Technische Schwingungslehre, 2-е изд., Berlin 1922.
Kneser A., Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der mathemati-
schen Physik, 2-е изд., Braunschweig 1922.
Pockets F., Ober die partieHe Differentialgleichung Аи + k2u = 0 und deren
Auftreten in der mathematischen Phys k, Leipzig 1891.
Rayleigh J. W, The Theory of Sound, 2 тома, London 1894, 1896. (Перепеча-
(Перепечатано без изменений 1926, 1929.)
Riemann В. und Hattendorf К., Schwere, Elektrizitat und Magnetismus,
Hannover 1880.
Weber H., De partiellen Differentialgleichungen der mathematiscrien Physik, 2 тома,
4-е изд., Braunschweig 1900, 1901. 5-е изд:, Braunschweig 1910, 1912.
v. Mises R. und Frank Ph., Die partiellen Dilfereniial- und lntegralgleichungen
der Mechanik und Physik, Leipzig und Berlin 1925, 1927.
Whittaker E. T. and Watson G. N., A Course of Modern Analysis, 3-е изд.,
Cambridge 1920.
Глава VI.
Применение вариационного исчисления к задачам
о собственных значениях.
Уже в прошлой главе мы указали на тесную связь, существующую
между задачей нахождения собственных значений диференциального
уравнения и такой же задачей для квадратичной формы. Задачи нахо-
нахождения собственных значений рассмотренных нами диференциальных
уравнений эквивалентны задачам преобразования к главным осям соот-
соответствующих квадратичных форм, содержащих бесконечно много пере-
переменных. Если, например, выражения
T— —
означают, потенциальную и кинетическую энергию некоторого одномер-
одномерного непрерывного многообразия, то достаточно положить
со
v=l
и разложить функции р и -р в ряды Фурье. Тогда " оба выражения V и
Т для потенциальной и кинетической энергии принимают вид квадра-
квадратичных форм от бесконечно многих переменных /v и /,. Если бы нам
удалось найти такое ортогональное преобразование
оо оо
этих переменных в новые переменные д и у^, при котором выраже-
выражения Г и U принимают вид:
оЪ оо
v=l v=l
то числа 1 и будут собственными значениями рассматриваемой задачи
колебаний. Собственные значения квадратичной формы от конечного
§ I Экстремальные свойства собственных значений 373
числа переменных характеризуются простыми экстремальными свой-
свойствами; поэтому естественно распространить этот способ определения
собственных значений также и на случай форм от бесконечного числа
переменныхг Но вместо того, чтобы провести здесь все переходы к пре-
пределу и исследования сходимости, требующиеся для строгого обоснования
этих эвристических рассуждений, мы .предпочитаем вывести интересую-'
щие нас экстремальные свойства, не вводя функций от бесконечно мно-
многих переменных и опираясь исключительно на общие методы вариа-
вариационного исчисления.
При этом нам придется рассмотреть вместо квадратичных форм Т
и U два однородных квадратичных функционала. Этот путь приведет
нас не только к новому .более простому способу рассмотрения тех за-
задач на нахождение собственных значений, которыми мы занимались
в прошлой главе, но он даст нам также возможность глубже исследо-
исследовать поведение, собственных значений и собственных функций, особенно
в случае многих независимых переменных, и обобщить полученные
раньше результаты,
§ 1. Экстремальные свойства собственных значений.
1. Классические экстремальные свойства. Рассмотрим
задачу нахождения собственных значений самосопряженного диферен»
циального уравнения в частных производных второго порядка:
L[u]+l9u = (pux)x-{- (pu^-qu + lpu^O (/7>0, ?>0) A)
с двумя независимыми переменными х, у для области G, ограниченной
одной или несколькими линиями Г, имеющими куочно-непрерывно
вращающуюся касательную.
Граничное условие пусть имеет вид и==0 или в более общем случае:
где а означает некоторую кусочно-непрерывную функцию, заданную
на границе Г, а — означает диференцирование по внешней нормали.
Эквивалентные этим краевым задачам вариационные задачи относятся
к следующим квадратичным функционалам:
B)
г
где
" fdxdy B')
376 Применение вариационного исчисления Гл. VI
Этим квадратичным функционалам соответствуют следующие били-
билинейные выражения:
Ф №> Ф]=D fa.
г
причем имеют место соотношения:
При эхом мы требуем, чтобы функциональный аргумент ср был не-
непрерывен внутри G, включая границу Г, и имел кусочно-непрерывные
производные первого порядка.
Мы можем теперь полуаить собственные значения \ и соответствую-
соответствующие собственные функции mv диференциального уравнения A) на осно-
основании следующих минимальных свойств:
Та из допустимых функций, для которой функционал 2) [<р] до-
достигает миниму на при ообавочном условии Н [ср] = 1, является соб-
собственной функцией иг диференциального уравнения A) при' естествен-
естественном граничном условии
минимальное значение функционала © является соответствующим
собственным значением.
Если же присоединить теперь к нашей задаче на безусловный ми-
минимум, кроме нормирующего условия
ны = \, C')
еще добавочное условие
то решение будет снова собственной функцией иг уравнения A) с
тем же граничным условием, а минимум Ф[к2] = Х2 будет соответ-
соответствующим- собственным значением.
Вообще задача на минимум 2) [<р] == mm при нормирующем усло-
условии Н [ср] = 1 и добавочных условиях
ЩЬ «J = 0 (/=1,2, ..., я—I)
последовательно определяет собственные -функции ' иа уравнения A)
при граничном условии
и соответствующее собственное значение \п равняется значению ми-
минимума .I4 [«J
§ 1 Экстремальные свойства собственных значений 377
Вместо того, чтобы искать минимум fD [<f] при нормирующем усло-
условии //['л]=1, можно, отбросив это последнее условие, искать минимум
отношения —г 1 > причем искомая функция определяется только с точ-
точностью до постоянного множителя.
В случае граничного условия ср = 0 мы должны только присоеди-
присоединить к условиям допустимости предыдущих вариационных задач со сво-
свободно вариирующими граничными значениями функции ср граничное
условие ср =^0. Тогда в выражении 2) [ср] исчезает член j" patfds, зави-
г
сящий от граничных значений функции ср.
Теорема о том, что действительно существуют решения рассматри-
рассматриваемых задач на минимум, имеющие непрерывные производные второго
порядка, требует особого доказательства. Мы приведем это доказатель-
доказательство позже во втором томе, опираясь на общую теорию прямых методов
вариационного исчисления, и примем пока в виде постулата, что инте-
'ресующие нас проблемы минимума действительно разрешимы.
Мы должны сначала доказать^ что решения наших вариационных
задач являются собственными функциями наших диференциальных
уравнений и, далее, что мы этим путем получаем все собственные функции
диференциального уравнения. Второе утверждение нами будет доказано
в § 3 и будет следовать из того, что получающаяся при решении' ва-
вариационной задачи система функций ил, и2, является, как.
нами будет установлено, полной системой. Чтобы доказать наше первое
утверждение, мы могли бы опираться'' на общее правило множителей,
приведенное- в гл. IV, § 7. Однако мы приведем доказательство, не-
независимое от этой теории.
Рассмотрим сначала первую из наших вариационных задач; мы мо-
можем допустить, что решение иг этой задачи заранее нормировано,,
т. е. удовлетворяет условию:
.#[«,1=1.
Если обозначим через ? некоторую функцию, удовлетворяющую тем же
условиям непрерывности,, что и функция ср, и .в остальном совершенно
произвольную, а через е произвольную постоянную, то для любого
значения е и при и = иг, \ — \ должно иметь место неравенство:
откуда,- принимая во внимание, что
следует:
Это неравенство может иметь место при всех значениях е только тогда,
если ¦ выполняется условие:
?[«, q—w[«, q=o, D)
378 Применение вариационного исчисления Гл. VI
т. е. если обращается в нуль первая вариация выражения 5)—X//.
Преобразуем теперь выражение 2) [и, С] согласно формуле Грина:
Ф [
и, Q = - j f tf [к] dx dy -f J/< g +
G Г
отсюда вследствие произвольности функции ? и получается уравнение A)
и граничное условие
-—|- аи = О
для k = Kj и Х = ХП . Для второй задачи на минимум, в которой имеется
еще добавочное условие Н [я, kJ =0, мы сначала получаем уравнение D)
при м=к2 и Х = Х2 только для функций С, удовлетворяющих условию:
,]^0. E)
Но для всякой непрерывной функции yj, имеющей кусочно-непре-
кусочно-непрерывные производные первого и второго порядка, мы можем определить
число t так, чтобы функция ? = 7} -[- 1ил удовлетворяла условию E).
Для этого достаточно положить < = — Н[ил,г^]; замечая, далее, что
в уравнении D) мы имеем право вместо ? взять в частности функ-
функцию и2, которая по условию удовлетворяет соотношению:
//[«8,11,] = 0, F)
мы получим, что
Ф[и8,В1] = 0. G)
Подставляя теперь в уравнение D) нашу функцию S = ij--(- tu^, по-
получаем, что при и~и2, Х = Х2:
Ф [и, tj] -\fi[u, tj] +« {Ф [и, в,] — Х«[в, в,]} =-0,
откуда, принимая во внимание уравнения F) и G), мы получаем:
ч] = 0, D-)
т. е. уравнение D) имеет место и для произвольных функций tj или ?
независимо от того, удовлетворяют ли они или нет_ добавочному усло-
условию E). Но отсюда непосредственно следует, что функция k=w2 удо-
удовлетворяет при Х = Х2 диференциальному уравнению A) и соответствую-
соответствующему граничному условию. Продолжая таким же путем дальше, мы
убедимся, что вообще все решения ut наших вариационных задач,
удовлетворяют при Х^^Х,, где X, — соответствующие значения мини-
2) [и]
мума выражения -„>—f , диференциальному уравнению A) и заданному
И [и]
граничному условию; эти решения, нормированные согласно уравнению
C'), удовлетворяют соотношениям:
§ 1 ЭкстремалБные свойства собственных значений 379
Полученные смнм путем собственные значения удовлетворяют, во
всяком случае, соотношению:
ибо для и-го собственного значения нашей задачи на минимум область
допустимых функций сравнений сужена по сравнению с я—1-м соб-
собственным значением. Поэтому минимум ~кп не может быть меньше пре-
предыдущего' минимума \_i-
С помощью наших вариационных задач мы таким образом, по-
получаем бесконечную последовательность собственных значений и соб-
собственных функций соответствующего диференциального уравнения. Этими
функциями, получающимися в качестве решений нашей последователь-
последовательности вариационных задач, исчерпывается вся система собственных
функций и собственных значений диференциального уравнения, что
является следствием из теоремы о полноте, системы решений вариацион-
вариационных проблем, которая будет доказана в § 3, 1.
2. Дополнения и обобщения1). Само собой очевидно, что
и. остальные задачи о собственных значениях, рассмотренные нами
в предыдущей главе, совершенно аналогичным образом могут (Эыть све-
сведены к проблемам вариационного исчисления. При этом является совер-
совершенно безразличным, идет ли > речь о кратных или о простых инте-
интегралах и будут ли соответствующие диференциальные уравнения
Эйлера уравнениями второго или высшего порядка. Так, например, за-
задача нахождения собственных значений диференциального уравнения
Щтурм-Лиувилля
(ри')' — q
при граничных условиях
к'@) —Aj«(°)=°. u'(u)-\-ft2u(n) = 0
сводится к вариационной проблеме типа:
тс
55 [ф] = К (P'f'2 + W2)dx + V (°) V (°J + hP (я) tp (ггJ =s min
о
при добавочном условии:.
и без граничных условий; придавая кл и h2 различные частные значе-
значения, мы получим любой из рассмотренных нами случаев однородных
фаничных условий; если h^ или h2 обращаются в бесконечность, то
пблучаются в качестве предельных случаев граничные условия и@) = 0
и и(тг) = 0.
В тех особых предельных случаях, когда дифёренциалЬное уравне-
уравнение Штурм-Лиувилля имеет на концах основного промежутка особые
•точки, можно также определить собственные значения и собственные
функции с помощью соответствующих вариационных проблем. Ограни-
<) Ср. Cgurant /?., Ober die Anwendung der Variationsrechnung... Acta math., 49.
380 Применение вариационного исчисления Гл. VI
чимся случаями полиномов Лежандра и бесселевых функций. Полиномы
Лежандра получаются. при
25 [ф] = \ A — л:2) y^dx, H[y]=\ уЧх,
-1 i-l
причем функция у не подчинена никаким граничным условиям.
Бесселейа функция нулевого порядка 70(л:]/Х) получается при
1 1
о ' 6
где функция <р может при л: —0 свободно, вариировать. Бе'сселевы
функции аи-го порядка для /и ^ 1 получаются при
с / т2 \ г
25 [<р] = \ ( лгш'2 + — у2) dx, Н Щ = \ xtfdx
О Ч "V 7 О,
и при. граничном условии (р @) = 0.
Для самосопряженных диференциальных уравнений высших порядков
и с большим числом независимых переменных получаются совершенно
аналогичные результаты. Так, для диференциального уравнения коле-
колебаний пластинки
ДДи — )i« = 0, A0)
например для. случая пластинку с неподвижно закрепленной границей
(см. гл. IV, § 10), имее*м:
2) [ф] — D [ф] = \\ (А<р)? dx dy, H[y\ = \\ ф2 dx dy,
причем на границе Г области G
т Ьп
Все рассмотрения и формулы п. 1 дословно остаются в силе и
в этом случае.
Но и другие типы задач о собственных значениях, не рассмотрен-
рассмотренные нами в явном виде в гл. V, легко укладываются в рамки при-
приведенной в п. 1 схемы. Вспомним, что если р означает плотность
массы, непрерывно распределенной по некоторому континууму, то
Щ} выражает кинетическую энергию, а -^-Ф[ф] — потенциальную
энергию этого континуума. Является поэтому естественным* рассмот-
рассмотреть и те случаи, когда наряду с массой, непрерывно райпределенной по
области G, имеются еще отдельные концентрированные массы. Так,
например, в случае одномерной области G мы можем допустить, что
§ 1 Экстремальные свойства собственных значений 381
имеются еще массы, сосредоточенные в отдельных точках. Тогда кине-
кинетическая энергия задается выражением:
4 Ф М =4 \ ™Чх + If. Jj
где хх, х2, .... xh означают заданные точки области G, a bv — неко
торые постоянные. Этот вид функционала § [<р] соответствует, следо-
следовательно, тому случаю, когда в точках хг, х2, , хн сосредоточены
Массы ftv, причем мы здесь считаем все эти массы положительными.
Обобщая таким же образом выражение для потендиальной энергии, мы
получаем функционалы вида:
у f 'w'*c 4- \ S «v? № A2)
G
К таким „задачам с нагрузкой" мы можем применить в точности
те же самые обозначения и рассуждения п. 1, и мы получим таким
путем собственные значения и собственные функции задач этого типа.
Эти собственные функции удовлетворяют диференциальному уравнению:
L[u]-\-l?u = (pu')' — qu-{-lpu = 0 A3)
всюду за исключением точек х,,..., xni Для этих же точек полу-
получаются сами собой естественные граничные условия и условия разрыча,
непосредственно вытекающие из условия обращения в нуль первой ва-
вариации. Умноженные на у р собственные функции этих задач уже не
ортогональны между собой. -Условия ортогональности заменяются здесь
условиям вида1):
\ twjdx + ?m,(*jM*j = {J 21 \%{
О v=l ' " '
Другой пример дают выражения:
A5)
G
\x,yL(xL{y)dxdy, A5')
GG
где k(x, у) есть некоторая заданная симметрическая функция от х и
У, причем мы для простоты предполагаем, что функционал & [у] не
может принимать отрицательных значений. С помощью процесса, изло-
изложенного в п. 1, мы получаем в этом случае для собственных функций
вместо ди'ференциального уравнения интегро-диференциалъное уравнение:
(ри1I — qu+l[pu+{k(x, y)u(y)dy] = O A6)
G
*) Г. Кнезер называет эти условия „ортогональностью- с нагрузкой'.
382 Применение вйрйациойного исчисления Гл. VI
с краевым условием, например, и —0. Обобщенные условия ортого-
ортогональности для собственных функций этой задачи гласят так1):
\ut(х)Ujix-) dx + \[k(х,у)щ(х)и,(у)dxdy = (° при [ + {
3. Задачи о собственных значениям для областей,
состоящих из отдельных не связанных, между_ собой
кцсков. Для Е-сех задач, приводящих к разысканию собственных зна-
значений диференциальных уравнений; имеет место следующее общее поло-
положение, которое пригодится нам позже.
Если область G состоит из'нескольких не связанных между собой
частичных областей G'.G", , так что эти частичные области не
имеют между собой общих внутренних точек, но могут иметь общие
граничные точки, то совокупность собственных значений и собствен-
собственных функций для всей области G состоит из совокупности всех
собственных значений и собственных функций для отдельных час-
частичных областей G', G",..., причем каждую из этих собственных
функций, определенную только внутри соответствующей частичной
области, мы во всех остальных частичных областях полагаем рав-
равной нулю.
С физической точки зрения это положение выражает тот очевидный
факт, что если в колебательном процессе участвуют несколько не связан-
связанных между собой многообразий, то колебания каждого из этих много-
многообразий происходят независимо друг от друга.
Чтобы математически доказать наше утверждение, мы можем посту-
поступить двояким образом. Во-первых, мы можем исходить из определения
собственных функций с помощью диференциального уравнения. Тогда
достаточно заметить, что собственные функции, определенные внутри
какой-нибудь из частичных областей G1, G", и равные нулю вне этой
области, а также все линейные комбинации, составленные из собствен-
собственных функций этого рода, принадлежащих одному и тому же собствен-
собственному значению, являются в то же время собственными функциями для
всей области О. Обратно, всякая собственная функция для области G
является, по меньшей мере, для одной из частичных областей собствен-
собственной функцией этой частичной области, не обращающееся тождественно
в нуль. Во-вторых, мы можем исходить из определения собственных
значений с помощью наших вариационных задач и последовательно, шаг
за шагом, доказать, что каждое собственное значение для всей области G
является в то же время собственным значением для одной из частичных
областей.
*) Если ввести, кроме собственных функций и,(*), функции
vt (х) = щ (х) + f k (x, у) щ (у) dy,
о
о
то можно эти условия рассматривать как „условия биортогональности" между
системой функций щ, с одной стороны, и системой функций f,-—с другой, т. е.
представить эти условия в виде:
~ при /=7
§ i Экстремальные свойства собственных значений 383
4. Максимально-минимальное свойство собствен-
собственных значений. Так же, как в гл. I для случая квадратичных форм,
приведенный выше способ последовательного определения и-го со ствен-
ного значения и п-й собственной функции может быть и здесь зач енен
другим определением, не зависящим от определения предшествующих
собственных значений и функций. Это второе определение непосред-
непосредственно определяет и-е собственное значение и и-ю собственную функ-
функцию с помощью свойства, не предполагающего знания предыдущих соб-
собственных значений и функций.
Рассмо рим какую-нибудь из исследованных нами вариационных за-
задач, сохраняя обозначения п. 1, и видоизменим условия1 задачи в
том смысле, что вместо условий H[w, uj\ = O (*=1, 2, , и—1) мы
подчиняем теперь^ункции ^ и — 1 условиям:
//[?, г>;] = 0 (*=1, 2,..., «—1),
где vJt v2,..., ^„_j означают совершенно произвольные функции, ку-
кусочно-непрерывные в области G. Ра-решима ли эта вариационная за-
задача и при каких условиях она разрешима, нас здесь не интересует.
Во всяком случае, интеграл ?>[(?], или более общее выражение 25 [<р],
имеет при рассматриваемых условиях некоторую нижнюю грань, зави-
зависящую от функций "г>„ v2, , vn^, которую мы обозначим через
d \vu v2, , vn_1\. Мы утверждаем, что. собственная функция vn и
собственное значение 1п, которые раньше были нами последовательно
определены с помощью зависимых вариационных задач, могут теперь
после этого видоизменения рассматриваемых задач быть охарактери-
охарактеризованы с помощью следующей теоремы:
Пусть в области О заданы п — / кусочно-непрерывных функций
•ог. v2, —, vn'_v и пусть d{vj, v2, , г>я_, } означает минимум jiau
нижнюю грань всех возможных 3Ha4enuui которые может принимать
25[1
25[ср1
выражение - Т* для любых внутри G непрерывных и имеющих ку-
кусочно-непрерывные производные функций ^, удовлетворяющих уе
ЩЪ ^]=° ('=1. 2?..., «—1). A7)
Тогда \ равняется наибольшему значению, которое может принять
эта нижняя грань d, если вариировать систему функций vv v2,..., vn,
придавая им всевозможные допустимые значения. Это максимальное
значение минимумов d достигается при и—ип и v1 — uv v2 = и2,...,
Для случая граничного условия и = 0 мы и нашу вспомогателъ*
ную вариационную задачу должны рассматривать не как свободную
задачу, но дополнить ее добавочным граничным условием ф —0 на
границе Г.
Для доказчтельства этой теоремы заметим прежде всего, что при
vl = ui A=^ fsg и—1), действительно, согласно определению
d{vlt %,,..., Wn_j}=Xn.
Докажем, что при любом выборе vlt vi7..., vn_r всегда имеет место
384 Применение вариационного исчисления- Гл. VI
неравенство d {vlt v2, , •г»ч_1} ^Х„. Для этого достаточно построить
такую специальную функцию <р, которая удовлетворяла бы условиям
Н[у, vt] = Q ~(i = 1, 2,..., п—1) и для.которой имеет место неравен-
неравенство Ф[<р] ^^„- Но мы можем, в самом деле, получить такую функцию,
полагая ее равной надлежащим образом выбранной линейной комбина-
комбинации первых я собственных функций, т. е. полагая
где Cj, с2,..., сп — некоторые постоянные. Тогда из и—1 условий A7)
мы получаем и — 1 линейных однородных условий для постоянных
Cj, c2, , сп, которым можно всегда удовлетворить; условие
служит только для нормирования остающегося еще неопределенным ко-
эфициента пропорциональности. Так как, далее,
i,k=\
причем
$)[ult ик] = 0 при /фА.и 35[oJ=>i [ср. (8)],
то
но
п
][Уу = 1, й\^\ (»=1, 2,..., я),
поэтому
Следовательно, минимум d\vv vit..., w/!_1} подавно не может
превосходить собственного значения Хя, так что 1п является, действи-
действительно, наибольшим из значений, которые может принимать минимум
d{vv va,..., wn_j}.
§ 2. Общие следствия из экстремальных свойств
собственных значений.
1. Общие теоремы. Результаты, полученные нами в предше-
предшествующих параграфах, приводят к целому ряду очень важных следствий,
так как дают возможность связать максимально-минимальное свойство
собственных значений с некоторыми простыми принципами вариацион-
вариационного исчисления. Первый из этих принципов выражает тот очевидный
факт, что при усилении добавочны к условий в какой-нибудь заоаче
минимума значение минимума не уменьшается, а при ослаблении
добавочных условий минимум не возрастает. Второй принцип гласит:
§^2 Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений 38$
если даны две задачи на разыскание минимума с одним, и тем же клас-
классам допустимых функций <р и если для каждой допустимой Функши (р
выражение, минимум которого требуется определить в первой задаче,
имеет знгчение не меньшее, чем выражение, рассматриваемое во вто-
второй задаче, то и значение минимума в первой задаче не может быть
меньше значения минимума во второй задаче.
Чтобы с помощью этих принципов, сравнить, между собой .собствен-
.собственные значения дйух проблем, мы должны устранить затруднение, возни-
возникающее при классическом определении собстве-нных значений с по-
помощью их минимального свойства и состоящее в том, что классы допу*
:тимых функций для различных собственных значен™ не совпадают
между собой ввиду различия добавочных условий. Мы достигаем этого,
определяя собственные значения с помощью их максимально-минималь-
максимально-минимального свойства и получая этим путем для всех соответствующих вариа-
вариационных проблем один и тот же класс допустимых функций, что де-
делает возможным применение приведенных выше принципов.
Из первого принципа мы можем непосредственно вывести следующее
важное следствие, касающееся/всех колебательных процессов. Рассмот-
Рассмотрим'*какую-нибудь колебательную систему, собственные колебания кото-
которой характеризуются с помощью задачи нахождения собственных зна-
значений рассмотренного' типа. Заметим, что любые условия связи, ко-
которым должны подчиняться колебания системы, выражаются математи-
математически, в виде добааочных условий, накладываемых на класс допустимых
функций сравнения у. Если в соответствующей проблеме разыскания
максимума минимумов усилить ограничительные условия, накладываемые
на функции, tp, то для каждой заданной системы функций vlt v2, ,'ОЯ_1
нижняя грань d {vlt v2, ... , vn_1\ либо розрастает, либо остается без
изменения, а потому и максимум этих нижних граней, т. е. п-ё соб-
собственное значение, либо становится больше, либо остается без измене-
изменения при всяком усилении добавочных условий.
Обратно, при ослаблении добавочных условий и-е собственное зна-
значение либо становится меньше, либо не изменяется.
С физической точки зрения это означает следующее:
. ТЕОРЕМА 1. Если первоначально свободную колебательную сис-
систему подчинить каким угодно внешним условиям, то основной тон
и все обертоны системы либо повышаются, либо остаются без
изменения. Обратно, если освободить систему от условий, связываю-
связывающих ее колебания, то как основной тон, так и все обертоны системы
либо понижаются, либо не изменяются.
Так, например, для случая колебаний закрепленной упругой мем-
мембраны мы получаем, что если мембрана закреплена не только вдоль
границы, но также и вдоль других линий или кусков поверхности, то
основной тон и все обертоны могут измениться лишь в сторону повы-
повышения. Наоборот, если мембрана в каком-нибудь месте разрывается, или,
Для случая колебаний пластинки, если материал пластинки в каком-ни-
каком-нибудь месте получает „трещину", то как основной тон, так и все обер-
обертоны могут измениться лишь в сторону понижения. В самом деле,
В этом последнем случае для функций сравнения и и для их произ-
производных на месте разрыва или трещины отпадают условия непрерывности.
25 Курант-Гильберт.
386 Применение вариационного исчисления Гл. VI
Из нашего принципа мы получаем, далее, целый ряд важных общих
теорем относительно распределения собственных значений для рассмот-^
ренных краевых задач. Первая теорема касается случая граничного ус-
условия и = 0 и сравнивает распределение собственных значений Для всей
области G в целом с распределением собственных значений для частей
этой области. Вторая теорема относится к случаю граничного условия
— = 0. Дальнейшие теоремы рассматривают более общие граничные ус-
дП
ловия и сравнивают спектры1) диференциального уравнения для различ-
различных граничных условий.
ТЕОРЕМА 2. Рассмотрим некоторое конечное число частичных
областей G', G", G"',... заданной области • G, не имеющих между
собой общих внутренних точек. Обозначим через А (%) число тех
собственных значений диференциального уравнения ,L[u]r-\-lpu^=0 при
граничном условии и=Ь для области G, которые не превышают
верхней грани %, а через 4Л' (¦/), А" (%), А'" (и), ... — чисра соответ-
соответствующих собственных значений для частичных областей G', G",
G'", ... при том же граничном условии и той же верхней грани ж.
Тогда имеет место неравенство:
А (х) ^ А1 (У.) + A" (х) + Л"' (%)+...
Эту теорему мы можем формулировать также и следующим образом:
при граничном условии и=0 п-е собственное значение \п для всей
области не превосходит п-го члена ^* последовательности всех соб-
собственных значений, принадлежащих всем отдельным частичным обла-
областям G<'> и расположенных в порядке возрастания их величины, при-
'чем каждое собственное' значение т-й кратности повторяется т раз.
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из следую-
следующего замечания. Присоединим к условиям, определяющим собственное
значение 1п как максимальное значение минимумов рассматриваемого ин-
интеграла, в качестве нового добавочного условия, требование, чтобы функ-
функции сравнения <р обращались в нуль как вдоль всех границ частичных
областей GW, так и внутри всей части области G, не содержащейся ни
в одной из частичных областей GW. В силу формулированного выше
основного принципа новое значение максимума минимумов при таком
видоизменении условий задачи не меньше прежнего его значения. С дру-
другой стороны, видоизмененная, таким образом вариационная проблема
является как раз той проблемой, которая определяет п-е собственное
значение для области, составленной из несвязанных кусков G', G", .... ,
т. е. новбе значение максимума минимумов равно 1*. Отсюда следует,
что Х„ ^ X*; согласно утверждению теоремы.
В частности, мы получаем из доказанной только что теоремы следую-
следующее очень важное свойство собственных значений \п для граничного
условия и = 0, которое можно назвать свойством монотонности.
*) Спектром мы называем здесь, так же как и раньше, совокупность всех
собственных значений.
§ 2 Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений 387
ТЕОРЕМА 3. При граничном условии и = 0 п-е собственное значе-
значение для области G не может быть больше п-го собственного значе-
значения для любой части области О при том же граничном условииг).
Ьи Л
Для случая граничного условия — = 0 получаем следующую теорему:
дП
ТЕОРЕМА 4. Пусть G','G'',G'",... означают некоторое конечное
число частичных областей, заполняющих целиком область О и не
имеющих между собой общих внутренних точек. Обозначим через
В {%) число собственных значений диференциалъного уравнения
Ъи
?, [и] -\- Хрк = 0 для области О при граничном условии ~~ = 0, не пре-
превосходящих верхней ^грани у.. Тогда В (у) не превосходит общего
числа соответствующих собственных значений даннога диференциаль-
'ного уравнения для всех частичных областей G^l\ при том же гра-
граничном условии и при той же -верхней грани- %.
¦ Эту теорему мы можем формулировать также и следующим, образом:
Пусть х* означает п-й член последовательности всех собственных
значений, взятых для каждой из частичных областей G<*> и принад-
лежащих граничному условию — = 0, расположенных в порядке воз-
аП
растания их величины и повторяющихся сообразно с их кратностью.
Тогда п-е собственное значение %п области G бЬлъше (или равно), чем
собственное значение х*.
Доказательство здесь также получается почти непосредственно путем
применения нашего первого общего принципа к вариационной проблеме,
характеризующей я-е собственное значение %п области G. В самом деле,
если мы в этой проблеме расширим класс допустимых функций сравне-
сравнения if и будем считать допустимыми функции у, имеющие вдоль гра-
граничных линий областей О<'> разрывы непрерывности такого рода, что
при переходе через эти линии функция делает конечный скачок, то это
ослабление ограничительных условий либо уменьшает значение макси-
максимума минимумов, либо оставляет его неизменным. С другой стороны,
видоизмененная вариационная проблема дает согласно § 1, стр. 382 как
Оаз п-е собственное значение для области, • состоящей из несвязан-
несвязанных кусков GW, при естественном граничном условии — ==0, т. е.
дп
число . у*. Таким образом соотношение жп^%* доказано.
Следующие теоремы касаются взаимоотношений между спектрами
Диференциального уравнения для различных типов, граничных условий.
ТЕОРЕМА 5. Обозначим через \п п-е собственное значение дифе-
диференциального уравнения L [и] -f Хрч = 0 для области G при граничном
условии к = 0, а через цп п-е собственное значение, соответствующее
граничному условию — -\- аи = 0 или более общим условиям: — -\- аи == 0
*) И притом всегда будет меньше последнего, если речь идет о правильной
частичной области, как это легко доказать, применяя рассуждение "§ 6.
25*
388 Применение вариационного исчисления Гл. VI
вдоль одной часта Г' границы Т и и = 0 вдоль остальной части Г"
границы. Тогда всегда имеет место, неравенство:
Мы приходим, к этому результату следующим образом: если в про-
проблему, определяющую п-е собственное значение \in области О как
максимум минимумов выражения 2) [у] и не содержащую никаких
граничных условий, ввести затем требование, чтобы функция у об-
обращалась в нуль вдоль границы Г области G, то значение каждого из
минимумов, а потому и максимума этих минимумов от введения этого
дополнительного условия не уменьшается. С другой стороны, новое зна-
значение максимума минимумов равно, очевидно, 1п, так как в силу гра-
граничного условия выражение 23 ['f ] совпадает теперь с выражением D [у].
Поэтому }х„^Хя, что и требовалось доказать.
Добавление к теореме 5. Теорема 5 остается в силе и в
том случае, когда граничное условие — -\-аи — 0 заменяется условием
и = 0 не вдоль всей, границы Г, а только вдоль некоторой части Г'
этой границы.
Доказательство такое же, как и для самой теоремы 5.
ТЕОРЕМА 6. Если в граничном условии — -\- аи — 0 изменить функ-
цию а так, чтобы 'во всех точках границы значения функции о либо
всюду увеличились, либо всюду уменьшились, то и все собственные
значения изменяются при этом в том же самом направлении, что
и функция о, mi e. увеличиваются (или не изменяются) при увели-
увеличении а и уменьшаются (или не изменяются) при уменьшении а.
Этот очень важный факт также является непосредственным след-
следствием максимально-минимального свойства собственных значений и вы-
выводится на основании второго из формулированных выше принципов.
В самом деле, если о во всех точках границы изменяется в одном и
том же направлении, то и выражение 2) [<f] для всякой заданной функ-
функции у изменяется в Том же направлении, а потому и нижняя грань
этого выражения при заданных функциях %>1 и максимум этих нижних
граней могут измениться при этом только в том же самом направлении.
Из теорем 5 и 6 видно, что Собственные значения для различных
граничных условий находятся между собой в харачтерной зависимости.
Когда функция о всюду монотонно растет от нуля до бесконечности,
то и каждое собственное значение ji монотонно растет от значения,
Ъи
принимаемого им при граничном условии — = 0, до его значения при
дп
условии и = 0. Другими словами, услсвие и = 0 является самым силь-
ным из рассматриваемых условий (считая а^О), а условие — = 0
oft
является самым слабым. Что предел собственного значения цп при не-
неограниченном увеличении о действительно равняется "кп, проще всего
доказать, предварительно исследовав более подробно природу собствен-
собственных функций. Так как это будет сделано нами. лишь впоследствии, то
мы не приводим здесь доказательства этого положения (см. т. II).
§ 2 Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений 389
Мы увидим в п. 6, что возрастание собственных значений с воз-
возрастанием а происходит непрерывным образом. Далее, исследование
асимптотического распределения собственных значений покажет, что, не-
несмотря на отмеченное только что поведение собственных значений,
асимптотическое поведение л-го собственного значения" не зависит от
граничного условия, так как увеличение собственного значения, вызы-
вызываемое возрастанием функции с, становится при достаточно большом п
сколь угодно малым по сравнению с величиной собственного значения.
Факты, формулированные' в теоремах 5 и 6, имеют очень простое
физическое значение. Граничное условие -—|-си=±=0 соответствует слу-
случаю, когда граница упруго связана с положением равновесия, причем
величина удерживающей силы задается функцией с (см. стр. 272). Наши
теоремы выражают поэтому тот физический закон,-что при возрастании
этой силы все собственные частоты возрастают. Условие к = 0 соответ-
соответствует тому случаю, когда удерживающая сила становится бесконечно
большой, т. е. когда граница является абсолютно неподвижной.
Наконец, максимально-минимальное свойство собственных значений
дает нам возможность исследовать зависимость собственных значений от
коэфициентов диференциального уравнения и области G, опираясь на
второй из установленных нами в начале параграфа принципов.
ТЕОРЕМА 7. Если в диференциальном уравнении ?[к]-|-)ри = 0
ковфициент р изменяется во всех точках области -в оаном и том
же направлении, то п-е собственное значение изменяется при любом
граничном условии в противоположном направлении; при изменении же
коэфициентов р или q в одном и том же направлении во всех точках
области собственные значения изменяются в том же самом направ-
направлении. (В случае граничного условия — -f си = 0 мы должны здесь.
предполагать, чтр с^О.)
В самом деле, предположим сначала, что р изменяется всюду в од-
. ном и том же направлении. Тогда значение выражения 2!) [<р] для любой
допустимой функции ф. изменяется монотонно в том же направлении;
¦поэтому и нижняя грань всех значений 25 [ф] при заданных vt, а вместе
с тем и максимум этих нижних граней, т. е. и-е собственное значение,
изменяется при этом в том же направлении, что и функция р. Если же
мы будем монотонно изменять функцию р. и придадим ей, например,
значение pf Ss p, то для любой допустимой функции сравнения лр мы бу-
будем иметь
25 [<р] __ 25 [ф]
[[ру [
if V
Отсюда следует, что и нижняя грань левой части этого неравенства
не может быть меньше (или ?оотв?тственно при pf ^ p больше} нижней
грани правой части. При этом, образуя нижнюю грань стоящего спра-
справа выражения, мы должны в соответствии с заменой функции р функ-
390 Применение вариационного исчисления Гл. VI
¦цией р' брать вместо функций vt функции v'. = vt~. Так как системы
функций v'. пробегают все множество допустимых систем функций, когда
системы функций v{ принимают "все возможные допустимые значения,
то отсюда следует, что максимум всех нижних граней для выражения,
стоящего слева, не-может быть меньше максимума всех нижних граней
выражения, стоящего справа, откуда следует, что максимум этих ниж-
нижних граней, т. е. я-е собственное значение, изменяется в направлении,
противоположном направлению изменения функции р.
2. Неограниченное возрастание собственных значе-
значений. Докажем, что собственные значения \п рассматриваемых вариаци-
вариационных проблем неограниченно возрастают при возрастании п; в част-
частности из этого будет следовать, что всякое собственное значение имеет
только конечную кратность и что только конечное число собственных
значений могут бьпь отрицательными. Важнейшим следствием, вытекаю*
щим из неограниченного возрастания собственных значений, является,
как мы увидим в § 3, 1, свойство полноты системы собственных функ-
функций, откуда, далее, будет следовать, что система собственных функций
вариационной проблемы совпадает с системой собственных функций ди-°
ференциального уравнения.
Для доказательства (при этом нам не придется пользоваться усло-
условием, что д^>0) обозначим через рм, qM, pM наибольшие, а через
Рт' 9т' ?т наименьшие значения функций р, q и р внутри G и рас-
рассмотрим сначала случай граничного условия и = 0. Если мы заменим в
выражениях 2) и Н функции р, q и р постоянными рт, qm и рм или со-
соответственно постоянными рм, qM и рт, то мы получим новые вариаци-
вариационные проблемы с собственными значениями Vn и Х'п. На основании тео-
теоремы 7 имеют место неравенства ^^"ХЛ^Х^. Но нетрудно убедиться,
что собственные значения V неограниченно возрзстают. Например, для
случая одного независимого переменного мы можем решить в явном виде
соответствующее • диференциальное уравнение с помощью тригонометри-
тригонометрических функций, причем собственными значениями этого диференциаль-
ного уравнения являются числа ^ 2«(v=I, 2,...). Так как соб-
?м
ственные значения Уп соответствующей вариационной проблемы содер-
содержатся в этой последовательности собственных значений диференциаль-
ного уравнения, то отсюда непосредственно вытекает наше утвержде-
утверждение, что Х„-»со.
Если; далее, принять во внимание, что, как мы упомянули выше и
как нами будет скоро доказано, собственные значения вариационной
проблемы образуют не только часть множества собственных значений
диференциального уравнения, но полностью его исчерпывают, то в на-
нашем случае
§ 2 Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений 391
К
и отсюда следует, что отношение -у при неограниченном возрастании
п остается конечным и содержится между двумя положительными гра-
границами.
Чтобы оценить собственные значения ~к'п для случая большего числа
измерений и для любой области G, сравним ~к'п с собственными значе-
значениями X* для квадрата, лежащего целиком внутри области G; собствен
ные значения X* целиком принадлежат множеству собственных значений-
соответствующего диференциальнрго уравнения, которые, как мы уже
доказали в гл. V, § 14, неограниченно возрастают при возрастании п.
Так как на основании теорем 3 и 7 X* =sS l'n «S 1„, то отсюда следует, что
и Хи-*оз при неограниченном возрастании п.
Мы не останавливаемся здесь на проведении этих рассмотрений для
случая других граничных условий, тем более что из более точной ас-
симптотической оценки собственных значений, которую мы получим ниже,
-само собой, будет, следовать неограниченное их возрастание. Приведем
вместо этого другое доказательство неограниченного возрастания соб-
собственных значений, которое, по сравнению с приведенным только что
доказательством, обладает тем принципиальным преимуществом, что не
предполагает знания решений вариационных проблем в отдельных част-
частных случаях1).
Рассмотрим сначала случай одного независимого переменного. Пусть
рассматриваемая "вариационная проблема имеет бесконечное множество
собственных значений Х1? Xg, ... , не превосходящих по своему абсолют-
абсолютному значению некоторой положительной верхней грани. Тогда из огра-
ограниченности совокупности чисел
К =
непосредственно следует ограниченность совокупности значений-
X,
если постоянные А3 и h2 не отрицательны (от этого ограничения легко
Освободиться на основании замечаний п. ¦ 5).
Воспользуемся теперь следующей леммой: если для некоторого мно-
множества функций <f (лг) интегралы \yt2dx и \<p2djc ограничены, то функ-
Ь а
ции <р (х) равномерно непрерывны и равномерно ограничены в своей сово-
совокупности (см. гл. II, стр. 52). На основании принципа предельных точек
(гл. II, § 2) можно поэтому выделить из последовательности собственных
функций ип равномерно сходящуюся подпоследовательность. Если мы
«) Этот метод принадлежит Фр., Реллиху: Fr. Rellich, Ein Satz iiber raittlere
Kpnvergenz, Gett. Nachr. (raath.-phys. Kl.). 1930.
392 Применение вариационного исчисления Гл. VI
обозначим эту подпоследовательность снова через ип, то
limtfK —eJ = 0,
п-*са
т-»СО
но, с другой стороны, в силу свойства ортогональности функций ип
мы имеем при п ф т:
Это противоречие доказывает справедливость теоремы.
В случае большего числа переменных, например двух переменных
х к у, можно рассуждать точно таким же образом, опираясь на сле-
следующую лемму, которую мы приводим здесь без доказательства1):
Если для множества функций ф (х, у), заданных в области G,
оба выражения
остаются ограниченными, то из множества функций <р можно выде-
выделить- подпоследовательность <fn, такую, что
lim §
и,т->00 V?
3. Асимптотическое поведение собственных значе-
значений для задачи Шту рм-Л и у в и л л я. Для случая задачи
Штурм-Лиувилля максимально-минимальное свойство собственных зна-
значений дает возможность не только определить очень просто порядок роста
л-го собственного значения, но и получить для него асимптотическое
выражение. Преобразуем диференциальное уравнение (ру1I—?У~Ь^ЯУ;=О
с помощью приведенной на стр. 277 ^замены переменных к виду:
z" — rz-\-lz = 0, A8)
где r(t) есть некоторая непрерывная функция, йричем первоначальные
однородные граничные условия для промежутка О^х^тт переходят
в новые граничные условия такого же вида для промежутка 0 <; t <; /.
Рассмотрим сначала случай: _у@) ==^(тт) = 0, так что z@) = z(l)—0.
Соответствующая вариационная проблема определяет тогда собственные
значения этого диференциального уравнения как максимумы минимумов
выражения:\ (z12-\-ггг)dx. При этом мы опираемся на теорему, кото-
о
рая будет доказана нами позже (§3, 1), о том, что совокупность соб-
собственных функций и собственных значений диференииальногЪ уравнения
совпадает с совокупностью- собственных функций и собственных значе-
значений соответствующей вариационной проблемы.
п
Если мы в предыдущем выражении отбросим член \ rz2 dx, т. е. если
См. Rellich Fr, ibidem,
§ 2 Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений 393
I
мы вместо него рассмотрим выражение: \z12dx, то вследствие условия
i
\zzdx=l второр выражение отличается от первого на величину, не
'и
превосходящую постоянной верхней границы гм (максимум абсолютного
значения г). Но максимумы минимумов второго интеграла равны собствен-
тт2
ным значениям jxn=n2 —- диференциального уравнения z"-f-jjiz—О
для интервала @, 1), и так как Итцп— со, то мы получаем отсюда
л-*СО
асимптотическую формулу:
K = K + OV), 09)
где О A) означает, как и раньше (стр. 314), число, остающееся ограни-
ограниченным при возрастании п. Возвращаясь к первоначальным обозначе-
обозначениям, мы получаем:
lim ~ = -2 |/ *-dx • A9')
n->CO К n \J У P I
Точно такая оке оценка получается и при любых других гранич-
граничных условиях, если заметить, что асимптотическое поведение собствен-
собственных значений диференциального уравнения z"-\-]iz=0 не зависит
от граничных условий (см. также § 4).
4. Диференциальные уравнения, имеющие особые
.очки. Наша асимптотическая оценка легко распространяется на те
случаи, когда диференциальное уравнение имеет особые точки. Огра-
Ограничимся рассмотрением диференциального уравнения Бесселя:
хи" + и' + (xl — "^ ]и=0 ,
имеющего решениями бесселевы функции Jm{x\^),); зададим при этом
в качестве граничных условий условие конечности функции и при х, = О
и условие и A) = 0, тогда собственными значениями X являются квад-
квадраты \тп нулей функции Jm (ср. _ стр. 3G7). В случае, когда /яг=>1,
полезно ввести функции v = \^x Jm(x\f\), удовлетворяющие диферен-
циальному уравнению:
— 1
и определить собственные значения этого диференциального уравнения
В отличие от § 1, п. 2 с помощью максимума минимумов выражения ту> i t
f'Vf]
394 Применение вариационного исчисления Гл. VI
где
причем в качестве граничных условий мы задаем условия <р @) = <р (Л) = 0.
Так как т^\, то ?>[ср] Зэ \<f'*dx, так что Х„ S» л2тт2. С другой стороны,
б
мы получим верхний предел значения Хи, если усилим условия допусти-
допустимости и введем требование ср (х) = 0 внутри интервала 0 =s: x sg е, длину
которого мы сейчас выберем подходящим образом, и если, кроме того,
увеличим второй член выражения ?%>], заменив его постоянной:
1
Отсюда непосредственно следует, что Л„ гё — ~г -\—^.. Ьи»и мы
заставим теперь е стремиться к нулю и выберем подходящим образом
закон убывания е, например, положим е = —- , то мы получим асимп-
V п
тотическую формулу:
для нулей У~кт „ функции1 Jm, так что полученная нами раньше асимп-
асимптотическая формула для собственных значений регулярной проблемы
остается в силе и в этом случае. Точно такое же соотношение полу-
получается и для других граничных условий, например для граничного усло-
условия и'A) = 0.
Наш результат непосредственно распространя*ется на нули бесселе-
бесселевой функции нулевого порядка, если принять во внимание соотноше-
соотношение J0'(x)=—J-y(x) (см. стр. 287). Из этого соотношения следует, что
собственные значения проблемы Бесселя при т=0и граничном усло-
условии ы'A) = 0 совпадают с собственными значениями этой проблемы в
случае, когда m=V, при гранинном условии йA) = 0 (не считая пер-
первого собственного значения, равного нулю).
Отсюда непосредственно следует справедливость асимптотической
формулы при т = 0г).
.5. Дальнейшие замечания относительно возрастания
собственных значений. Случай, когда имеются отрица-
отрицательные собственные значения. Если в вариационных проб-
проблемах п. 2 функция с или соответственно числа Л, и h2 не отрицатель-
отрицательны, как мы это до сих пор предполагали, равно как и функция q2),
то непосредственно очевидно, что ни одно собственное значение
•) Другое доказательство для случая т = и будет приведено в § 7, 10.
*) Функция р, а также р всегда считаютсяч неотрицательными.
§ 2 Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений 395
не может быть отрицательным. Рассмотрения п. 2 показывают, далее, что
если функция д не всюду положительна, то может появиться только
конечное число отрицательных собственных значений. Но это ос-
остается справедливым и в том случае, когда функция о или постоян-
постоянные h-i и h2 принимают отрицательные значения. Это следует непосред-
непосредственно из того, что и в этом случае собственные значения при возра-
возрастании п стремятся к бесконечности.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим для краткости случай функций
от одного независимого переменного, изменяющегося в интервале
О ^ х sg тс, и оценим отрицате ьные члены, обусловленные граничными
условиями, поступая следующим образом:
Напишем тождество:
е
где ? означает точку интервала 0 sg x s? t, причем под t мы подразу-
подразумеваем некоторое число, лежащее в интервале 0<^^^тс и которое
мы сейчас выберем подходящим образом.
Тогда на основании неравенства^ Шварца имеем:
•V
откуда, обозначая через рт минимум р, получаем, что
Если имеет место условие \ py2dx= I, to имеется такое промежуточ-
о
ное значение ?, что у (SJ ^ -г-^, где рт означает минимум функции р.
Тогда '
Выберем теперь число t следующим образом:
Пусть
о
если стоящий под корнем интеграл превышает — ; тогда t содержится
в интервале 0 <; х ^ тс. В противном случае мы полагаем t = тс. Мы
получаем отсюда:
396 Применение вариационного исчисления Гл. VI
где с и Cj суть* постоянные, не зависящие от функции у(х). Так как
такая же оценка имеет место и для >(тг), то мы получаем отсюда следую-
следующее очень важное соотношение:
^ сг у I )
с„
где Сг и С2 — некоторые постоянные.
Далее, имеем:
\\qfdx
о
Таким образом мы, наконец, получаем:
- Ql/ f
» о
[У] > $ РУ2^ - Ql/ f ду*Ле- С5 5* ~ \py»dx- С,.
о
Так как собственные значения, соответствующие интегралу \ py'2dxt
о
неограниченно возрастают, то это же имеет место и для собственных
значений, соответствующих выражению ?) [у]- Поэтому число отрицатель-
отрицательных собственных значений остается и в этом случае конечным.
Для проблем в двумерной области получается совершенно аналогич-
аналогичным образом оценка:
/r B0)
и из - этой оценки вытекают такие же следствия относительно суще-
существенно положительного характера собственных значений 3).
Наконец, заметим, что и для общих вариационных проблем §1,п. 2
можно с помощыд' совершенно аналогичных рассуждений доказать
неограниченное возраста ние -собственных значений 2).
6. Свойства непрерывности собственных значений.
Рассмотрим сначала случай, когда функция р заменяется функцией р',
и пусть 0 < A— е) р ==? р' ^A -f- e) р, где е означает некоторое положитель-
положительное число. Тогда*, согласно теореме 7, п-е собственное значение ди-
ференциального уравнения, соответствующего функции р', содержится
между л-ми собственными значениями диференциальных уравнений,
соответствующих функциям A—е)р и A-(-е)р но эти последние соб-
собственные значения, очевидно, равны л-му собственному значению пер-
первоначального диференциального уравнения, умноженному на A — е)
и на A-f-s)- Когда е становится достатожо малым, то эти числа не-
неограниченно сближаются между собой. Таким образом доказано, что п-е
') Ср Courant R., Ober die Eigenwerte bel den DifferentiaUleichungen der
mathematischen Pnysi.<, Math. Zeitschrift, Bd. 7, стр. 1—57, 1920. особенно
стр. 13-17.
') См. Courant R., Ober die Anwendung der Variatiopsrechnung. .... Acta
math., 49.
§ 2 Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений 397
собственное значение изменяется непрерывно при непрерывном изме-
изменении р.
Точно так же п-е собственное значение зависит непрерывным образом
от д. В самом деле, из соотношения р ^ рт, где рт — положительная
постоянная, следует:
1 = \ J p:p2 dx dy S* pm \) ^dx dy.
"g '6
Таким образом интеграл J <p2 dx dy остается ограниченным для всех
дбпустимых функций <р.
Отсюда следует, что выражение 55 [<р] изменяется сколь угодно
мало при достаточно малом изменении функции д. и притом равномерно
для всех допустимых функций д. Поэтому то же самое имеет место и
для максимума минимумов выражения 33 [<р].
Аналогичным путем мы убеждаемся в непрерывности изменения соб-
собственных значений при непрерывна изм"нении функции о, содержащейся
в граничном условии. Мы можем и здесь заранее предположив, что
<D [<р] не превышает некоторой постоянной грани J).
Тогда, согласно оценке B0), интеграл по контуру f y2ds, а вместе
г
с тем и интеграл по контуру f p&yds, не превосходит постоянной верх-
верхней грани. Поэтому, если мы изменим на достаточно малую величину
функцию о в интеграле по контуру J" payPds, то этот интеграл .изменяется
г
сколь угодно мало и притом равномерно для всех допустимых функций <р;
следовательно, и выражение 55 [<р], а вместе с тем и максимум мини-
минимумов 55['f], изменяется на сколь угодно малую величину при достаточно
малом изменении о.
Совершенно таким же образом получается непрерывность зависимо-
зависимости собственных значений от функции р.
Итак, резюмируя вышесказанное, мы получаем:
ТЕОРЕМА 8. п-е собственное зшчение диференциального уравнения
?[«]-j-Xpa = O для всех рассматриваемых граничных условий изме-
изменяется Ht прерывно при непрерывном изменении коэфициентов дифе-
диференциального уравнения.
ТЕОРЕМА • 9. п-е собственное значение изменяется непргрывно
при непрерывном изменении содержащейся в граничном условии
<*« , Л ,
.г—|- аи = 0 функции а.
Исследуем, наконец, свойства непрерывности п-го собственного
значения, рассматриваемого > как функция области G, и покажем, что
•) Например, остается меньше чем п-е собственное значение при гранич-
граничном условии и — 0 для какого-нибудь квадрата, лежащего внутри области G. Ибо
согласно теоремам 3 и 5 п-е собственное значение для.области G при перво-
первоначальном граничном условии не может быть больше, чем п-е собственное
значение' для такого квадрата при граничном условии, и = 0. Поэтому, если огра-
ограничить этой верхне- гранью допустимые значения 3)[f|, то это не повлияет на
решение данной вариационной проблемы.
398 Применение вариационного исчисления Гл. VI
если облггсть G' достаточно мало отличается от области G, то и п-е
собственное значение для области О' при соответствующих граничных
условиях сколь угоано мало отличается от- л-го собственного значе-
значения для области G. При этом мы должны, однако предварительно уточ-
уточнить понятие достаточно малого изменения, области Gi
Если граничные условия содержат производные по нормали, то мы
не можем ограничиться обычным в топологии требованием, чтобы точки
границ областей G и G' были соответственно достаточно близки между
собой, но должны присоединить, еще условие, чтобы направления иор-
малей к границам этих областей в соответствующих tohkjx достаточно
мало отличались друг от друга. В самом деле, можно показать, что
если области G и G' сколь угодно близки между собой в более слабом
смысле, то- п-е собственное значение может изменяться на конечную
величину при бесконечно малом изменении области G\).
Аналитически мы можем выразить эту достаточную близость облас-
областей G и G' в более сильном смысле следующим образом.
Пусть область G, включая границу, переходит в область G' с по-
помощью точечного преобразования:
x'=je-{-g{x,y), y'=y~\-h(x,y), B1)
где функции g и h во всей области G- непрерывны и имеют кусочно
непрерывные первые • производные. Если при этом функции g(x> \) и
•) Приведем следующий пример: пусть Z. [у] = Д'-р, р = 1 и пусть область О
представляет собой квадрат со стороной, равной единице. Построим второй
квадрат-Ge со стороной е, лежащий вне квадрата G против середины одной
из ст рон G на р.асс:оянии е от нее, и пусть стороны G% параллельны сторонам G.
Внутреннюю область квадрата Gs мы соединяем с внутренней областью кваграта
G поперечной полоской S, ограниченной двумя прямыми длины е, отстоящими
одна от другой на расстоянии т]. Пусть область G' состоит из квадратов G и Gs и
полоски S. Первое собственное значение для области G' при граничном условии
v- = 0. равно нулю и соответствующая собственная функция есть щ = const. Если
выбрать ширину ч полоски S достаточно малой по отношению к числу е, то мы
сможем и второе собственное значение для области G сделать сколь угодно малым.
В самом деле, рассмотрим в (У функцию ?, которая в Gs равна , в G равна
постоянной с, а в S линейно убывает от с до . Выберем с так, чтобы ий-
S
теграя от <р, взятый по области G', обратился в нуль.
Если е достаточно мало, то с сколь угодно 'мало отличается от нуля. Инте-
Интеграл D[(f], взятый по области G', будет поэтому порядка -^. Если мы поло-
положим теперь ч = е*, то этот интеграл будет скаль угоднб мал, тогда как инте-
интеграл от ?2, взятый по G, сколь угодно мало отличается от единицы. Отсюда сле-
следует на основании классического минимального свойства собственных значений и
собственных фу кций, что второе собственное значение для области G' будет
сколь угодно малым.
Если мы теперь будем приближать е к.нулю, то второе собственное значе-.
ние для области G' будет стремиться к нулю, если -~ стремится к нулю. Но
второе собственное значение для области G положительно; оно, следовательно,
не является пределом второго собственного значения для области С, несмотря на
TOt что граница области G' неограниченно приближается к границе области G.
§ 2 Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений 399
h{x,y), а также их производные первого порядка по своей абсолютной
величине не превосходят достаточно малого положительного числа 6, то
мы говорим, что степень близости между областями О и G' равна е или
что область U аппроксимируется областью G' с точностью до е.
Если s стремится к нулю, то мы говорим, что G' непрерывным об-
образом переходит в область G. Докажем теперь следующую теорему:
ТЕОРЕМА 10: Если область G деформиоуется непрерывным обра-
образом в только что определенном смысле, то п-е собственное значение
диференциальнбго уравнения L [и] -J- V"==а^ для какого угодно из
рассмотренных граничных условий изменяется при этом также не-
непрерывным образом.
Для доказательства рассмотрим последовательность областей G', для
которых введенное выше число е стремится к нулю. Разрешим уравне-
уравнения B1) относительно х и у и, положив:
Ч{*,*У) = Ч?(*-', У), Р(*, У)=Р'(х\ У) и т. д., o[x(s), y(s)] =4=t(s),
преобразуем оба интеграла, составляющие выражение 35 [<f], в инте-
интеграл, взятый по области G', и интеграл, взятый по границе Г' этой
области.
Мы получим тогда для области G' новую вариационную проблему
с коэфициентами, очень мало отличающимися от первоначальных, и мы
сможем доказать непрерывность изменения (:обственных значений с по-
-мощью методов, аналогичных методам, примененным при доказательстве
теорем 8 и 9. Проведем подробнее эти вычисления.
Интеграл ?>[<р] переходит в интеграл:
где М означает функциональный определитель:
5_у йдг '
который при достаточно малом е сколь угодно мало отличается
от единицы.
Для интеграла по контуру мы получаем:
\ pa y*ds = ^ р'т (s) ?* ^г
где ds' означает линейный элемент границы Г.' области G'.
Полож им, далее,
О [ф] = J J [р («й+^> + Ч Г) dx dy, ЗУ [ф] = U [ф] -4- 5 рт (s) Г М-
Ь' г'
Тогда подинтегральное выражение интеграла B2) отличается о1* под-
интегрального выражения интеграла D' \jp'], во-пе, вых, множителем М~г,
сколь угодно близким к единице, во-вторых, множителем - F , также
400 Применение вариационного исчислеиия Гл. VI
сколь угодно близким к единице, и, наконец, аддитивными членами,
содержащими множители:
?*» Чу* fWy и (Р'2'
умноженные на функции, стремящиеся к нулю при неограниченном
убывании 6. На основании неравенства
2
"c'1'
мы получаем соотношение;
где через Ь мы обозначаем, как и в следующих формулах, некоторую
(правда, не одну и ту же) величину, стремящуюся вместе сек нулю.
ds
Но при достаточно малом е величина -j-j также сколь угодно мало от-
отличается от единицы, поэтому
Г ds
Г'
откуда получаем:
2) [<р]=
Мы должны, далее, преобразовать добавочные услОвия C'), A7) § 1
для всех функций <р. Получаем: '
J \ p fdx Sy = ^ p'Af-i tf'dx'dy1 = 1,
G G'
СГр(рг>^л-йу=^р'ЛГ-уг;^А^У = О A=1, 2, 3,..., и—1).
о с1"
Введем вместо функций \р' и vt функции у" и г/., отличающиеся от
первых множителем ]/ ! , стремящимся к единице, когда е стре-
стремится к нулю, т. е. положим
-i
Тогда функции <р" и ф^ удовлетворяют- соотношениям:
G-"
Отсюда следует, во-первых, что
О'
= 0 (/=1,2,. .,« —1).
§ 2 Общие Следствия из экстремальных свойств собственных значений 401
а во-вторых, что функция <f" удовлетворяет условиям вариационной
задачи, характеризующей п-е собственное значение для области С,
причем функции v\ для области G' играют ту же роль, что функции vl
для области G. Так как системы функций v\ пробегают вместе с систе-
системами функций vt всю область допустимых систем функций, то отсюда
следует, что и максимум минимумов стоящгго слева выражения отли-
отличается от максимума минимумов выражения, стоящего справа, множи-
множителем, стремящимся к единице, когда е стремится к нулю.
Таким образом теорема 10 доказана. Вместе с тем проведенное нами
рассуждение дает возможность уточнить эту теорему следующим образом.
Добавление к теореме 10. Если область G' переходит
в область G с помощью преобразований B1) и если при этом:
а/И
<
а*
ду
дх
где е означает некоторое сколь угодно малое положительное число,
то существует такое, зависящее исключительно от е, число т\,
стремящееся вместе с ? к нулю, что п-е собственные значения
р.п и ц'п для областей G и G' при любых из рассмотренных гранич-
граничных условий удовлетворяют для любого п соотношению:
к
В случае граничного условия к = 0, не содержащего вовсе производ-
производной по нормали, теорема о непрерывности имеет место при более ши-
широких условиях, а именно:
ТЕОРЕМА 11. В случае граничного условия и — 0 п-е собствен-
собственное значение диференциального уравнения L [и] -+- 1ри = 0 является
непрерывной функцией области G и в том случае, если при непре-
непрерывной деформации области не соблюдается требование непрерывного
изменения направления нормали.
В самом деле, если границы двух областей G и G' достаточно
близки между собой и если направления нормалей в соседних точках
отклоняются друг от друга на конечную величину, то мы можем всегда
заключить эти две границы между границами двух областей В и В1,
достаточно близких между собой в определенном выше более узком
смысле. Так как п-е собственное значение при граничном условии
и = 0 является согласно теореме 3 монотонной функцией области, то
п-е собственные значения областей G и G' лежат между и-ми собствен-
собственными значениями областей В и В'; но эти последние собственные зна-
значения на основании теоремы 10 сколь угодно близки между собой, что
и доказывает теорему 11.
Если в предыдущих рассуждениях рассматривать ? как некоторое
¦произвольное конечное число и не делать предельного перехода е—»0,
то мы получим следующий более общий результат.
Если две области G и G' переходят одна в другую с помощью
точечного преобразования указанного выше вида, для которого абсо-
26 Кур&нт-Гвльберт.
402 Применение вариационного исчисления Гл. VI
лютное значение функционального определителя заключается между
конечными положительными границами, то, обозначая через \п и \'п п-е
собственные значения для областей G и G', мы получаем, что отно-
отношение у" для достаточно большого п содержится между двумя по-
ложитсльными границами, не зависящими от п.
§ 3. Теорема о полноте системы с о б с т в.е н и ы х функций
и теорема о разложении.
1. Полнота системы собственных функций. Для рас-
рассмотренных в § 1 и 2 вариационных задач, касающихся выражений
вида «г ¦, . мы получили для собственных значений соотношение:
lim \п = оо.
л-»ОО
При этом существенным было то обстоятельство, что выражение
имеет определенный положительный характер и обращается в нуль только
при <р = 0. Опираясь на этот факт бесконечного возрастания собствен-
собственных значений, докажем теперь теорему о полноте в следующей форме:
Система собственных функций для выражения _ ; : является
полной системой функций, а именно в том смысле, что для всякой
непрерывной функции / и любого сколь угодно малого положительного
числа е существует такая линейная комбинация конечного числа
собственных функций
апип =
для которой
Наилучшее приближение, т. е. наименьшее значение ^[f—о)в],
достигается, когда коэфициенты at равняются коэфициентам Фурье:
Для этих коэфициентов выполняется условие полноты:
оо
*?• B3)
Заметим сначала следующее: то, что наилучшее среднее приближение
функции / посредством линейной комбинации первых п собственных
функций, оцениваемое с помощью интеграла 4р, т, е. наименьшее значение
выражения <§ [/—соя] достигается при ai—ci = $2[c, ut], доказывается
точно таким же образом, как и для любой системы ортогональных
функций, на основании соотношений (8)из§1. Далее, из соотношения:
0 ^
§ 3 Теорема о полноте системы собственных функций 403
оо
непосредственно следует сходимость бесконечного ряда ^ с\ и неравен-
неравенство Бесселя:
Чтобы доказать справедливость не только этого неравенства, но и
условия полноты B3), предположим сначала, что функция / удовлетво-
удовлетворяет условиям допустимости, введенным при соответствующих вариа-
вариационных задачах.
Тогда функция
Р„=/-
удовлетворяет обобщенным условиям ортогональности, определяемой
с помощью формы ,§:
а поэтому согласно § 1 G) выполняются также и условия ортогональ-
ортогональности, определяемой с помощью формы 35:
?[Р„. «,] = 0 («=1, 2, ...,«). B4)
Из условий ортогональности первого рода следует в силу минималь-
минимального свойства собственного значения Ъп+1, что
pJ. B5)
С другой стороны, 2) [ ря ] остается ограниченным, ибо
а потому в силу соотношений B4)
г"=1
Но
откуда следует, что это выражение при неограниченном возрастании п
остается больше некоторой постоянной нижней грани, ибо число отри-
отрицательных собственных значений конечно. Поэтому выражение 2)[рп]
остается ограниченным сверху.
26*
404 Применение вариационного исчисления Гл. VI
Из соотношения B5) и из неограниченного возрастания Уп+1 при
и —> оо мы теперь заключаем, что при неограниченном возрастании и
что и доказываем условие полноты B3) и вместе с тем полноту системы
собственных функций.
Если непрерывная функция / не удовлетворяет условиям допусти-
допустимости проблемы, то ее во всяком случае можно аппроксимировать с по-
помощью функции /*, удовлетворяющей этим условиям, и такой, что
функцию же /* мы можем аппроксимировать с помощью функции:
и
1=1
так, чтобы"
Тогда из соотношения
1 Ф -/*, /*
следует, если воспользоваться неравенством Шварца, что ф [/—/*]
а в силу минимального свойства интеграла § [ Р„ ] тем более имеет
место неравенство ф [ рп ] <^ е; таким образом условие полноты доказано
и для любой непрерывной функции /.
Из доказанного таким образом свойства полноты системы решений
наших вариационных задач следует, что этими решениями исчерпы-
исчерпывается вся система собственных функций соответствующего диферен-
циального уравнения (доказывается методом, часто применявшимся
в гл. V; ср., например, стр. 284).
Из условия полноты B3) легко получить более общее соотношение
для двух функций / и g:
оо
«,]• B3')
2. Теорема о разложении. В случае одного независимого пере-
переменного нетрудно теперь в дополнение к теореме о полноте доказать
с нашей теперешней точки зрения теорему о разложении произвольных
функций по собственным функциям и притом при значительно более
широких условиях по сравнению с гл, V. Докажем, что всякая
функция f(x), удовлетворяющая условиям допустимости вариацион-
вариационной задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно
§ 3 Теорема о полноте системы собственных функций 405
оо
сходящийся ряд Z сп ип по собственным функциям данной задачи.
л=1 _
" юдствие полноты системы ортогональных функций у р ип оста-
ОО it
точно показать, что ряд "V спип, где cn=\pfundx, равномерно схо-
л=1 О
дится (см. гл. II, стр. 47). Для доказательства рассмотрим снова
функцию р„=/— Zc*"v Как мы видели выше, на стр. 403,
v=l
При достаточно большом п, например при я 5= /V, собственное зна-
оо
чение Хв+1^0 и 3)[р„]^0; поэтому ряд Zcv^v сходится, ибо его
v = l
члены при v ^> /V положительны. Из неравенства Шварца следует,
далее, что:
*„«„(•*)) < Z c«x«Z -г— < Z c«^ Z -V" •
л=Л /z=ft л=Л п п=Л и=А л
Но мы знаем из гл. V, § 11, 3, что \ип{х)\<^С, где С означает
постоянную, не зависящую от п. Так как согласно § 2, 2 и 3,
отношение —у содержится между конечными пределами и так как
ряд ^—г сходится, то отсюда следует, что сумма 2^ —^— ПРИ В03'
растании h и k равномерно стремится к нулю при всех значениях х.
к
Таким образом и сумма V^ | сп ип (х) \ также равномерно стре-
в=й
мится к нулю при неограниченном возрастании h и k; но это означает,
что рассматриваемый нами ряд сходится абсолютно и равномерно, что
и доказывает теорему о разложении.
Наши рассуждения и результаты остаются справедливыми и в случае
диференциальных уравнений, имеющих особые точки, как, например, для
собственных функций Лежандра и Бесселя. Однако в этом случае наше
доказательство остается в силе только при том условии, если мы
исключим из рассматриваемой области некоторую, сколь угодно малую
окрестность особых точек, ибо для такой окрестности мы не доказали
ограниченности нормированных собственных функций.
3. Обобщение теоремы о разложение Полученные нами
в гл. V, § 11, 5, асимптотические выражения для собственных функций
Штурм-Лиувилля дают нам возможность существенно обобщить дока-
доказанную теорему о разложении и доказать следующую теорему:
406 Применение вариационного исчисления Гл. VI
Всякая кусочно-непрерывная в основной области функция, имеющая
квадратично интегрируемую первую производную *), может быть раз-
разложена в ряд по собственным функциям, который сходится абсо-
абсолютно и равномерно во всех замкнутых частичных областях основ-
основной области, не содержащих точек разрыва функции, а в точках
разрыва сумма данного ряда равняется, как и в случае ряда Фурье,
среднему арифметическому правого и левого предельных значений
функции (заметим, что эта теорема не предполагает, что разлагаемая
функция удовлетворяет граничным условиям).
Предположим сначала, как и в § 2, 3, что диференциальное урав-
уравнение приведено к виду:
z"~ rz-t-lz=0, A8
где функция z = z(t) определена в интервале Os^/sg/. Рассмот-
Рассмотрим ряд:
n=\ ' n
где zn означает и-ю собственную функцию рассматриваемого диферен-
циального уравнения при граничном условии z =0.
Применяя асимптотические формулы G0) и G1) гл. V, а также
формулу A9), мы получаем:
тт тг
оо smn — tcosn — т оо
л=1 п=1
где tyn(t, т) = О (~), так что ряд G(t, т) отличается на абсолютно
и равномерно сходящийся ряд от ряда
00 sin и — / cos и — т
оо ¦ п ¦ п
sin п - - (t -|- т) -f- sin n -j (t — -)
Относительно этого ряда мы уже установили в гл. II, § 5, 1 „ что при
постоянном х он сходится равномерно и абсолютно относительно / во
всяком замкнутом интервале, удовлетворяющем условиям | / + т | > ?,
\t — т]>?, где s>0. Так как t^>0 и т>0, то эти условия означают,
4) Под квадратичной интегрируемостью производной мы подразумеваем усло-
условие конечности интеграла от квадрата производной, взятого по какому-нибудь из
конечного числа интервалов основной области, внутри которых функция остается
непрерывной,
§ 4 Асимптотическое распределение собственных значений 407
.——— , -л . i '
что этот интервал не может содержать точки /=т. Поэтому при /фс
наш ряд представляет собой непрерывную функцию; при < = т сумма
ряда получает разрыв непрерывности, делая конечный скачок, и сумма
ряда при / —т равняется согласно гл. II, § 5, среднему арифметическому
правого и левого предельных значений этой функции.
Если для произвольной функции, удовлетворяющей перечисленным
выше условиям, мы» устраним имеющиеся разрывы и, если нужно, до-
достигнем выполнения граничных условий путем прибавления суммы вида:
с подходящим образом подобранными коэфициентами а{, то мы получим
функцию, удовлетворяющую условиям доказанной уже в п. 2 теоремы
о разложении, так что эта функция может быть разложена,' в равно-
равномерно сходящийся ряд по собственным функциям задачи. Но при-
присоединенная сумма может быть, согласно полученному только что ре-
результату, также разложена в ряд по собственным функциям, и этот ряд
обладает свойствами, перечисленными в формулированной выше теореме.
Эта теорема, таким образом, доказана для случая разложения по соб-
собственным функциям диференциального уравнения A8). Но если мы снова
преобразуем переменные z и t в переменные у и х и приведем таким
путем диференциальное уравнение обратно к виду общего диферен-
диференциального уравнения типа Штурма-Лиувилля, то мы непосредственно
получим теорему о разложении и по собственным функциям уп (к) перво-
первоначального диференциального уравнения, так как эти собственные
функции получаются из собственных функций zn путем умножения на
функции, нигде не обращающиеся в нуль и отличающиеся между собой
только постоянными множителями.
§ 4. Асимптотическое распределение собственных]
значений.
Результаты, полученные нами в § 27 и примененные • там методы
дают нам возможность исследовать асимптотическое поведение и-го соб-
собственного значения при неограниченном возрастании и и в случае многих
независимых переменных так же, как это нами уже было сделано
в § 2, 2 и 3, для случая одного независимого переменного. Самым ха-
характерным результатом наших исследований, наиболее важным с точки
зрения применений к различным физическим вопросам принципиального
характера, явится тот факт, что для диференциальных уравнений с
постоянными коэфициентами асимптотическое поведение собственных
значений зависит не от формы, а исключительно от площади основ-
основной области.
1. Диференциальное уравнение Lu-\-\u = 0 для прямо-
прямоугольника. Для прямоугольника со сторонами а и Ь мы можем
согласно гл. V, § 5, 4, задать в явном виде собственные функции и
собственные значения диференциального уравнения Ди-{-Хи = 0, а
408 Применение варнационного исчисления Гл. VI
именно: при граничном условии и = 0 мы получаем t точностью до
нормирующего множителя выражения:
sin — sm-yS п2(-24-^2 С «=1,2,3,...),
a
при граничном условии —
l-кх тку IP . m*
cos cos —A tt2( — -f--nr
a b \a2 b*
Если мы обозначим число собственных значений, ие превосходящих
числа X, в первом случае через А (X), а во втором случае через В (X),
то эти числа совпадают с числом целочисленных решений неравенства,'
9 I i-9 ^"^ 9*
U и 7Т
причем I н т должны в первом случае удовлетворять условиям: /^>0,
и т^>0, а во втором случае условиям 1^0, т^О. Мы можем теперь
легко по 1учить для искомых функций А (X) и В (X) простые асимптО'
тические выражения для больших значений X. Так, например, В (X) в
точности равняется числу узлов сети квадратов, параллельных осям ко-
координат со стороной, равной единице, лежащих внутри положительного
х2 V2 X
квадранта эллипса -=-4-7ir =-г- Отношение площади этого квадранта
а* о2 тт2
эллипса к числу лежащих в нем узлов рассматриваемой сети стремится
к единице при неограниченном возрастании X. В самом деле, если мы
каждому узлу сети приведем в соответствие квадрат этой сети, лежащий
вправо и выше данного узла, то область, составленная из квадратов,
соответствующих узлам, лежащим внутри рассматриваемого квадранта
эллипса, содержит в себе весь этот квадрант; если же отбросить те из
квадратов сети, которые пересекаются с дугой эллипса и число кото-
которых мы обозначим через /? (X), то оставшаяся область содержится внутри
квадранта эллипса. Мы получаем, таким образом, неравенство:
ab
4тт
Но дуга эллипса, заключенная в двух смежных граничных квадратах,
имеет при достаточно большом X длину, большую единицы; поэтому
число R (X) — 1 не превосходит удвоенной длины дуги четверти эллипса,
которая растет пропорционально j^X. Отсюда получается искомая
асимптотическая формула:
lim ^М а^ пл) \ а^
>->оо ^ 4тг 4тг'
Точнее мы можем это записать так:
§ 4 Асимптотическое распределение собственных значений 409
где с означает независимую от ~к постоянную, а |Ь|< I. Это выраже-
выражение справедливо для обоих рассмотренных граничных условий, т. е. и
для А A), так как число узлов сети на прямолинейных частях границы
квадранта эллипса асимптотически равно числу ]/Т. Если мы рас-
расположим собственные значения в последовательность \, \,..., Ая,...
в поряаке их возрастания, то мы можем на основании предыдущего
асимптотически вычислить п-е собственное значение, полагая А (кп) = п
или B(kJ — n. Мы получаем:
. 4т1 . .. . 4ti
или
lim K==^
я-»°° п ab'
2. Днференциальное уравнение ?ш-\-\и = 0 для обла-
областей, состоящих из конечного числа квадратов или ку-
кубов. Рассмотрим теперь диференциальное уравнение &и-\-ки = 0 для
области О, состоящей из конечного числа -А квадратов (или кубов в слу-
случае трех независимых переменных): Площадь или соответственно объем
такой области G равняется/= Аа2 или соответственно V—ha3.
В дальнейшем мы будем обозначать всегда буквой в число, лежащее
между—1 и-J-l, а буквами с и С положительные постоянные и разре-
разрешим себе не вводить для различных чисел в, с и С особых индек-
индексов, если по ходу рассуждения это не сможет привести ни к каким
недоразумениям.
Остановимся сначала на случае двух независимых переменных. Пусть
А 0) или В A) означают числа собственных значений диференциального
уравнения Дц-^-1и=0 для области G, не превосходящих верхней гра-
грани 1, при граничных условиях и—0 или — = 0.
дп
Обозначим через Aq (k), Aq (к),..., Aq (к) соответствующие числа
собственных значений для отдельных квадратов, составляющих об-
область G, прн граничном условии «=0, а через Bq (^), В„ (К),....
Bq A) соответствующие числа собственных значений при граничной
условии — = 0. Согласно п. 1 имеем:
^QM = f^ + »^T;Se(*)==|U-f»/I. B6)
Но из теоремы 5 в связи с теоремами 2 и 4 (см. § 2) следует, что
\M+ . + BQ(l), а так
2 hi h
как эти числа AQ (к) и BQ (к) задаются формулами B6),то мы отсюда
заключаем, что
410 Применение вариациоиного исчисления Гл. VI
Другими словами, имеет место следующая теорема:
ТЕОРЕМА 12. Для случая области, состоящей из конечного числа
квадратов с площадью / и при всех рассмотренных выше граничных
условиях, число A (Vj собственных значений диференциального уравнения
Дм -Ь 1м = 0, не превосходящих верхней границы \, асимптотически
равняется числу
т. е. имеет место соотношение:
х -»оо /1 4тг
Точнее, А (к) удовлетворяет для достаточни больших значений I со-
соотношению:
п
где С означает некоторую постоянную, не зависящую от \.
Если обозначить через ря л-е собственное значение для любого из
рассматриваемых граничных условий, то теорема 12 и соотношение B8)
эквивалентны соотношению:
Ря= %п-\-дсу^ t B9)
где снова — 1^в^1, а с означает не зависящую от п постоянную.
Чтобы в этом убедиться, достаточно положить в соотношении B8)
А(Рп) = п.
Теорема 12 сохраняет свою сипу также и в том случае, когда в гра-
дм .
ничном условии -—[-ам = 0 функция о может принимать отрицательные
дП
значения. Мы в этом убеждаемся, применяя доказательства § 2, 5. Заме-
Заметим прежде всего, что согласно теореме 5 и-е собственное значение \in
для рассматриваемого граничного условия }-ои = 0 во всяком случае
не. может быть больше и-го собственного значения \п для граничного
условия и = 0. Мы можем поэтому заранее предположить, что выражение
Я) [<?] = D [<p] -f \" p о ^ds,
г
максимум минимумов которого равен р.п, не превосходит границы \п ни
для какой допустимой функции сравнения <р; решение вариационной
задачи от этого нового ограничения, накладываемого на функции <р,
не изменяется. Но согласно § 2, 5,
г
где Ср с2 — некоторые постоянные; поэтому
§ 4 Асимптотическое распределение собственных значений 411
Из условия .25 [<р]=^ля следует, далее:
откуда вытекает, что порядок роста D [<р] при неограниченном возраста-
возрастании п не превосходит порядка роста 1п, т. е. имеет место соотношение:
D[f]<c3ln,
где с3 снова означает некоторую постоянную.
Так как собственное значение ля = ри удовлетворяет соотношению B9),
то при сделанных предположениях относительно <р имеет место неравенство:
D [<р] — ct /Т< 2) [ср] < D [<р] + c41/7,
и это неравенство сохраняется и для нижних граней выражений D [<р]
и 2) [<р] при данных функциях vv v2,.. .vn_1, а вместе с тем и для мак-
максимумов этих нижних граней. Но этот максимум для D [<р] является я-м
сббственным значением при граничном условии — = 0, для которого соот-
Ъп
ношение (?9) уже доказано. Поэтому отсюда непосредственно следует,
что и максимум нижних граней выражения 2) [<р], т. е. рассматриваемое
я-е собственное значение р. , прн граничном условии.-—\-аи=0 также
удовлетворяет этому соотношению, которое эквивалентно теореме 12.
Если вместо двух независимых переменных рассмотреть случай трех
независимых переменных, то в предыдущих рассуждениях меняются толь-
только выражения А^(к) и Bq(а) для числа собственных значений, не превос:
ходящих границы А, при граничных условиях к = 0 и — = 0, а именно:
дп
l2 12 B6')
Мы получаем таким образом в этом случае следующую теорему:
ТЕОРЕМА 13. Число Д(а) собственных значений диференциаль-
ного уравнения Дм-}-аи = 0, не превосходящих верхней границы л,
для многогранника, состоящего из конечного числа кубов, с объемом V,
при всех рассматриваемых граничных условиях асимптотически рав-
равняется числу
B7')
т. е.
lim A (I)
412 Применение вариационного исчисления Гл. V
Точнее, выражение А (к) удовлетворяет в этом случае при доста-
достаточно больших значениях к соотношению:
1
где С означает постоянную, не зависящую от к1).
3. Распространение полученного результата на об-
общее диференциальное уравнение L[u] + 1 рк = 0. Чтобы рас-
распространить полученные теоремы относительно асимптотического распреде-
распределения собственных значений на случай общего самосопряженного дифе-
ренциального уравнения A), представим себе, что квадраты или кубы,
составляющие область G, разбиваются путем последовательного деления
пополам их сторон на все более и более мелкие квадраты или кубы, и
продолжим этот процесс разбиения до тех пор, пока разность между наи-
наибольшим и наименьшим значением функций р или р внутри одной и той
же элементарной области не станет меньше произвольно заданно! о доста-
достаточно малого числа е. Заметим, далее, что функция g не оказывает
вообще никакого влияния на асимптотическое распределение собствен-
собственных значений, так как выражение 2) [<g] и максимумы минимумов этого
выражения изменяются при отбрасывании функции g на конечную вели-
чину, а именно меньшую, чем -&¦, где цм и рт имеют то же значение,
г/я
что и раньше. Мы можем поэтому предположить в дальнейшем, что # = 0.
Ограничимся рассмотрением плоской области, состоящей из конечно-
конечного числа квадратов. Обозначим число квадратов снова через А, а длину
сторон через а; пусть А' (к) означает число собственных значений дифе-
ренциального уравнения L [и] -(-к р и — 0 для области G, не превосходя-
превосходящих верхней границы к, причем в качестве граничного условия может
быть взято какое-нибудь нз рассмотренных граничных условий; пред-
предположим сначала, что в условии г |-ом = 0 функция о^О. Обозначим
квадраты, составляющие область G, через Qj, Q2,..., QA, соответствую-
соответствующие им числа собственных значений, не превосходящих к, при граничном
условии и = 0 обозначим через A'Q (к), A'Q (к),..., A'q (I), а при гра-
граничном условии —=0 через B'q (k),B'Q (к),..., B'q (к).
Согласно теоремам 2, 4 и 5 имеем:
(к)-f... + А^(к) < А'(к) <В^ (к) + BQ) +...
(k). C0)
О Невозможно дать более точную О0щую оценку погрешности, допускаемой при
замене числа А(Ь) его асимптотическим значением, так как установленная нами
-верхняя грань порядка этой погрешности действительно достигается для случая
квадрата или соответственно куба.
§ 4 Асимптотическое распределение собственных значений 413
Но из теоремы 7, принимая во внимание соотношение B3), следует, что
где р<$ и /?№ означают максимальные значения, р$ и Рт—минимальные
значения функций р и /> в квадрате Qf, а Л^ (X) и Bq (к) означают,
как и в предыдущем номере, числа тех собственных значений диферен-
диференциального уравнения Дм 4- 1ч = 0, которые не превосходят верхней
грани X, причем для этих чисел Aq (к) и Bq (к) имеют 'место асимптоти-
асимптотические формулы B6). В самом деле, если заменить в диференциальном
уравнении A) функции р и р через р^> и pj?, то каждое собственное
значение согласно теореме 7 либо увеличится, либо останется без
изменения, и поэтому число собственных значений, не превосходящих
верхней границы I, либо уменьшится либо останется без изменения. С дру-
другой стороны, диференциальное уравнение A) принимает при этом вид:
рЛ
а собственные значения. этого диференЦиального уравнения равны соб-
собственным значениям диференциального уравнения Дм -J- \и = 0, умножен-
умноженным на - ^ J). Аналогичное происходит, если заменить р через р'т, а р
Рт
через р«.
Далее, из непрерывности функций р и р следует, что
я-
Zjp(Q
где числа |8( и |5'| становятся сколь угодно малыми, если квадраты Qi
достаточно мелки, т. е. если длина сторон а доааточно мала. Отсюда
мы получаем, применяя соотношение C0), точно так же, как и в п. 2:
где |8"| может быть сделано сколь угодно малым.
*) Отсюда следует, что A'q Q)^Aq( —77Д ), но из асимптотической форму-
формулы B6) следует, что
(Прам. перее.).
414 Применение вариационного исчисления Гл. VI
Но это соотношение эквивалентно следующей теореме относительно
асимптотического распределения собственных значений:
ТЕОРЕМА 14. Число А(\) собственных значений диференциального
уравнения L [и] -f- 1ри — О, не превосходящих верхней границы 1, для
области О, состоящей из конечного числа квадратов, при любом
из рассмотренных граничных условий асимптотически равняется
а ГГр
выражению: — \ I — dxdy, т.е.
Первоначальное предположение о^О ярляется и в этом случае из-
излишним, в чем легко убедиться таким же путем, как и в п. 2.
Те . же рассуждения приводят для пространства к следующему
результату:
ТЕОРЕМА 15. Число собственных значений диференциального
уравнения Ци]-{~'кри = О, не превосходящих границы i, для области
G, состоящей из конечного числа кубов, при любом из рассмотренных
граничных условий асимптотически равняется выражению:
—2 \ \ И I dxdy dz,
о
т. е. имеет место соотношение:
^Ш=^Щ$***У*. C2)
В заключение заметим, что все рассуждения .последних двух пунктов
можно точно таким же образом провести и для обдасти несколько
более общего вида, а именно для области, состоящей из конечного
числа любых прямоугольников или прямоугольных параллелепипедов.
4. Законы асимптотического распределения соб-
собственных значений для произвольной области. Для того
чтобы распространить изложенные в предыдущих пунктах законы асимпто-
асимптотического распределения собственных значений на произвольные области,
мы должны аппроксимировать эти области с помощью квадратов или
кубов, лежащих внутри рассматриваемой области. При этом новых
рассмотрений потребует только оценка влияния отбрасываемой при
аппроксимировании пограничной полосы.
Предположим сначала, что G представляет собой плоскую область,
граница которой имеет непрерывно изменяющуюся кривизну, и рассмот-
рассмотрим исключительно диференциальное уравнение Дк-+-Хк = 0.
Предпошлем сначала~»несколько замечаний, относящихся к числу
собственных значений этого диференциального уравнения, не превос-
§ 4 Асимптотическое распределение собственных значений 415
ходящих заданной верхней грани, для некоторых простых областей при
ди
граничном условии — = 0.
оП
Пусть, во-первых, G представляет собой равнобедренный прямоуголь-
прямоугольный треугольник с катетом а. Всякая собственная функция этого
треугольника является в то же самое время собственной функцией для
квадрата, получающегося из треугольника G путем зеркального отраже-
ния относительно гипотенузы, при том же граничном условии — = 0.
дП
Ибо непосредственно очевидно, что собственную функцию данного
треугольника можно продолжить на отраженный треугольник, приписы-
приписывая функции в точках, симметрично лежащих относительно гипотенузы,
одинаковые значения; при этом граничное условие -— = 0 сохраняется
дП
вдоль всей границы квадрата. Поэтому и-е собственное значение тре-
треугольника является также собственным значением квадрата, а, я-е соб-
собственное значение квадрата во всяком случае не больше я-го собствен-
собственного значения треугольника, другими словами: число собственных
значений, не превосходящих данной верхней грани, при граничном
Эй „ ,
условии — = 0 для треугольника, не. больше соответствующего числа
собственных значений для квадрата-, т. е. числа, выражающегося
формулой B6).
Рассмотрим, во-вторых, случай, когда область G представляет собой
произвольный прямоугольный треугольник с катетами а и Ь, и пусть
Ь<^а. Поместим вершину прямого угла в начале координат и направим
катет а по о;и х, катет b по оси у. Преобразуем треугольник G в
равнобедренный прямоугольный треугольник G' с катетом а с помощью
преобразования Z = x, rt=-z-y. Тогда выражение D[y] переходит в
выражение:
=v\ 5+^C hr**i.
а добавочное условие Н [<р] = 1 переходит в условие:
тогда как остальные добавочные условия H[y,vt] = 0 из § 1,4, не из-
изменяют своего вида. Мы можем поэтому, отбрасывая несущественный
постоянный множитель —, входящий в оба интеграла, определить я-е
собственное значение для треугольника G как максимум минимумов
416 Применение вариационного исчисления Гл. VI
взятого по области G' интеграла
причем все остальные условия имеют обычный для области G' вид. Так
как по условию — ^ 1, так что:
то и максимум минимумов левой части не может быть меньше макси-
максимума минимумов правой части, откуда следует, что п-е собственное
значение для равнобедренного треугольника О1 не может быть меньше
й-го собственного значения для равнобедренного треугольника G', а
потому и пода но не может быть меньше и-го собственного значения
для квадрата со стороной а.
Таким образом при граничном условии —=0 число собственных
значений, не превосходящих данной верхней грани, для прямоуголь-
прямоугольного треугольника с катетами а и Ь<^а не может быть больше
соответствующего числа собственных значений для квадрата со
стороной а и тем более не может быть больше соответствующего
числа собственных значений для квадрата со стороной, большей, чем. а.
Точно так же число собственных значений, не превосходящих дан-
данной верхней грани, для произвольного прямоугольника не может быть
больше соответствующего числа собственных значений для квадрата со
стороной, большей, чем наибольшая сторона этого прямоугольника.
На основании этих фактов и с помощью теоремы 4 мы получаем
возможность найти верхний предел для числа собственных значений,
не превосходящих данной грани, в случае, когда рассматриваемая
область образована из конечного числа прямоугольников и прямоуголь-
прямоугольных треугольников.
Применим теперь эти результаты для того, чтобы оценить влияние,
оказываемое на распределение собственных значений пограничной поло-
полосой, откидываемой при аппроксимировании области G с помощью квадратов;
для этой цепи мы должны сперва точнее определить эту пограничную
полосу. Мы предполагаем, что путем последовательного деления сторон
мы сделали аппроксимирующие квадраты настолько мелкими, что внутри
каждого из пограничных квадратов угол, на который поворачивается
нормаль к границе области вдоль лежащей в этом квадрате части гра-
границы при переходе от одной точки дуги к другой,' не превосходит напе-
наперед заданного сколь угодно малого числа ij, величину которого мы
выберем надлежащим образом.
Мы можем тогда составить прилежащую к границе Г полосу из ко-
конечного числа г примыкающих друг к другу элементарных областей
§4
Асимптотическое распределение собственных значений
411
1
A
r
Черт. 3.
Ev Е2,...,ЕГ следующего вида (черт. 3): каждая область Е либо огра-
ограничена двумя взаимно перпендикулярными прямыми АВ и АС, принад-
принадлежащими данной сети квадратов, длина которых содержится между
а и За и куском границы ВС,
либо область Е ограничена
стороной квадрата АВ, двумя
перпендикулярными к АВ от-
отрезками АС и BD, длина кото-
которых содержится между а и За
н частью границы CD (черт. 5).
Из г таких областей мы со-
составляем пограничную полосу,
отбрасывая которую мы полу-
получаем вместо первоначальной об-
области G область, состоящую из
А квадратов Qr и Q2,..., Q,,1).
Число г, очевидно, не превос-
превосходит некоторой постоянной С,
не зависящей от а и исключительно зависящей от отношения длины
границы Г к стороне а квадратов сети.
Чтобы получить верхнюю грань числа ВЕ(к) собственных "значений
диференциального уравнения Дм -(- Ьг = 0, не превосходящих грани 1,
для элементарной области Е при граничном
йи
условии — = 0 мы должны найти нижнюю
Ъп
грань для й-го собственного значения. Для
Этой цели проведем в какой-нибудь точке
дуги кривой, составляющей часть границы
области Е, касательную. Эта касательная
образует вместе с прямолинейными частями
границы Е в зависимости от того, к какому
типу принадлежит область Е, либо область
типа А В'С (черт. 4), т. е. прямоугольный
треугольник, катеты которого при достаточно
малой ij будут меньше, чем 4а, либо область
типа АВСЧУ, т. е. трапецию, у которой сто-
стороны АС а В1У меньше 4а (черт. 5). Обла-
Области АВ'С и ABCD' мы обозначим через ?'.
Но область Е можно всегда преобразовать Черт. 4.
*) Предоставляем читателю самому провести это построение. Ограничимся
следующим указанием. Мы сначала разбиваем границу на конечное число дуг
троякого рода. Влоль дуг первого рода пусть касательная образует с осью л: .угол,
не превосходящий 30°; вдоль дуг второго рода пусть угол касательной с осью
у не превосходна1 30°, а вдоль дуг третьего рода пусть оба угла, образуемые
касательной с осями коор-инат, не будут меньше 20°. Пусть, далее, концы дуг
первого рода имеют рациональные абсциссы, а концы дуг второго рода — рацио-
рациональные ординаты. Тогда, чтобы провести описанное в тексте построение, нужно
только построить достаточно мелкую сеть квадратов, стороны которой проходят
через концы этих дуг.
27 Курант-Гиаьберт.
418
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
g(d), то, полагая в' = в, р' = р^-^, мы получим преоб-
преобв область ?' с помощью преобразования вида B1), рассмотренного нами
в § 2. Если, например, для областей первого типа мы примем А за полюс
системы полярных координат с координатами р и,в и если линия ВС в этих
полярных координатах выражается уравнением р=/(Э), а прямая В'С —
уравнением
разование криволинейного треугольника ? в прямолинейный треугольник ?'.
Для областей второго типа ABCD предположим, что АВ является отрезком
оси х и зададим прямую CD1 уравнением y=g{x), а кривую CD
уравнениему=/(х). Тогда мы получим искомое преобразование, полагая
Черт. 5.
Если длина а стороны квадратов нашей сети
достаточно мала, то угол, на который поворачи-
поворачивается касательная при перемещении вдоль дуги
СВ или CD, будет сколь угодно мал, и наши преоб-
преобразования имеют в точности вид B1), причем
величина, которую мы там обозначили через е,
может быть сделана сколь угодно малой. Но со-
согласно добавлению к теореме 10 п-е собственные
значения для областей ? и ?' отличаются тогда
между собой лишь множителем, который для всех
значений п равномерно стремится к единице, когда е
стремится к нулю. Следовательно, это же имеет место и для соответ-
соответствующих выражений ВЕ (А) и Be (к), т. е. чисел собственных значений,
не превосходящих А, при граничном условии — = 0.
дП
Но область ?' либо представляет собой прямоугольный треугольник
со сторонами, меньшими 4а, либо состоит из такого треугольника и из
прямоугольника со сторонами, меньшими За. Поэтому если а достаточно
мало, то ВЕ (X) удовлетворяет неравенству:
ВЕ0ХсгаП-{- с2а\/\, C3)
где Су, с2 означают некоторые надлежащим образом выбранные по-
постоянные.
После этих подготовительных рассмотрений мы можем теперь вы-
вывести законы асимптотического распределения собственных значений для
области G. Обозначим снова через А (А) число собственных значений
диференциального уравнения Дм-[-Ам = 0 для области G, не превосхо-
превосходящих X, при граничном условии —-\-ои = 0, предполагая сначала, что
0 3=0. Пусть область G разбита с помощью сети квадратов со сторо-
стороной а на h квадратов Q]? Q2,..., Qh и г пограничных областей Ег,
Е2,..., Ег. Числа собственных значений, не превосходящих А, для квад"
рата Qj при грани"ных условиях м = 0и г- = 0 обозначим через At(k)
atl
§ 4 Асимптотическое распределение собственных значений 419
и соответственно через В{ (X). Соответствующие числа для областей Et
мы обозначим через АЕ (X) и ВЕ. (X) [причем нам понадобятся только
числа ВЕ/ (к)].
Согласно формулам B6) имеем:
а согласно C3):
где через blt &2,... мы обозначаем, как раньше, числа, содержащиеся
между —1 и -j-1, а через сг, сг,... обозначаем постоянные, не зависящие
от a, i и \.
Тогда имеем на основании теорем 5, 2 и 4:
Но аг<^с5, так что член а?г при неограниченном убывании а ста-
становится сколь угодно малым; так как, с другой стороны, для любого
сколь угодно малого числа S при достаточно малом а имеет место.не-
место.неравенство:
\
то мы получаем отсюда:
ибо мы можем свободно распоряжаться величиной а и выбрать такое
постоянное сколь угодно малое значение а, чтобы множители при X в
написанных выше неравенствах были при достаточно больших значениях
X сколь угодно близки к числу //4тт.
Мы можем, наконец, отбросить ограничение а^О, ибо, повторяя рас-
рассуждение, проведенное в аналогичном месте в п. 2, мы убедимся, что
в этом случае сохраняется тот же закон асимптотического распределе-
распределения собственных значений. — Резюмируя наши результаты, мы получаем,
таким образом, следующую теорему:
ТЕОРЕМА 16. Для всех рассмотренных граничных условий число
А (X) собственных значений диференциального уравнения &и-\-\и = О,
27*
420 Применение вариационного исчисления Гл. VI
не превосходящих верхней грани \ для области О асимптотически
равно —-, т. е. имеет место соотношение:
iHAWl, C4)
limH
>.-*со ?
где / означает площадь области G.
При доказательстве мы предполагали, что граница Г области О не
имеет угловых точек. Однако все наши рассуждения и полученный ре-
результат остаются в силе и в том случае, адгда имеется конечное число
угловых точек. Точно так же наши предыдущие рассуждения остаются
в силе и в том случае, если мы вместо диференциального уравнения
Ди -ьХи=О будем исходить из более общего диференциального урав-
уравнения L [и] + Хри = 0. Для этого случая мы получаем таким же путем,
как и в п. 3 следующий результат:
ТЕОРЕМА 17. Число А (к) собственных значений диференциального
уравнения L [и] -\- кри = 0, не превосходящих верхней грани к, для
области О при. всех рассмотренных граничных условиях асимпто*
тически равняется выражению:
а
т. е.
,. А (к) 1 ГС р . ,
hm —\- = Т- \ J- dxdy.
х к 4ttJJ р
о
JJ р
о
С помощью таких же рассуждений, какие были нами проведены
здесь для плоских областей, мы получаем для собственных значений
пространственных областей следующие результаты:
ТЕОРЕМА 18. Число А (к) собстченных значений диференциального
уравнения Аи -j- Хк = 0, не превосходящих грани к, для простран-
пространственной области G, объем которой равен V, при всех рассмотренных
граничных условиях асимптотически равняется числу -=-j V, т. е.
имеет место соотношение:
ТЕОРЕМА 19. Соответствующее число собственных значений для
общего диференциального уравнения L [и]-\-lpu —0 асимптотически
равчо выражению:
dxdydz,
§ 4 Асимптотическое распределение собственных значений 421
т. е. имеет место соотношение:
о
При этом предполагается, что область G ограничена конечным числом
кусков поверхностей, имеющих непрерывно вращающуюся касательную
плоскость, причем эти отдельные куски поверхностей не должны касаться
друг друга, но могут образовать при пересечении ребра или угловые точки.
5. Законы асимптотического распределения соб-
собственных значений дйференциального ур-авнения
Ди + Хи = 0 в уточненной форме. Изложенная нами теория дает
возможность уточнить законы асимптотического распределения собствен-
собственных значений, выражаемые приведенными выше теоремами, т. е. оценить
ошибку, допускаемую при замене выражения А (к) его асимптотическим
значением. Мы проведем это исследование для дйференциального уравнения
Для этого мы должны только целесообразнее использовать все воз-
возможности, которые нам дает аппроксимирование области G с помощью
элементарных квадратов или кубов, и не выбирать эти элементарные
области более мелкими и более многочисленными, чем нужно. Рассмот-
Рассмотрим сначала случай плоской области G. Мы аппроксимируем G следую-
следующим образом: постр им плоскую сеть квадратов со стороной, равной
единице. Пусть h0 квадратов QJ, Q%,..., QoAo этой сети целиком лежат
внутри G. Разобьем теперь все квадраты этой сети на четыре конгруэнт-
конгруэнтных квадрата со стороной, равной у. Пусть Иг из этих квадратов,
которые обозначим через Q\, <?*,..., Q^ , лежат внутри G и в то же
время не содержатся внутри какого-нибудь из квадратов Q°. Разделив
снова попопам стороны квадратов второй сети, получим третью, более
мелкую сеть, которая дает нам еще h^ новых квадратов Q^, Q\,...,
Q? лежащих внутри G, но не содержащихся внутри какого-нибудь из
квадратов Q9 и Q\, и длина стороны которых равна щ. Через t шагов
мы получим ht квадратов Q*v Ql2,..., Qlh со стороной ^. Остаточную
часть области G мы разобьем при этом согласно предписаниям преды-
предыдущего пункта на г элементарных областей Ev E2,..., Ег указанного
там вида, причем обозначенное там через а число равно теперь -=-<•
При наших предположениях относительно границы области G имеют
место следующие соотношения для чисел ht и г:
к^2{с, г^2'с, C7)
где с означает некоторую постоянную, не зависящую от i и t и опре-
определяемую длиной границы области G г).
1) Эти неравенства показывают, что сумма' периметров квадратов Q1 или Q*
является величиной, порядок которой не превосходит порядка длины границы
области G.
422 Применение вариационного исчисления Гл. VI
Обозначим снова числа собственных значений, не превосходящих гра-
грани X, для областей G^ и Ет при граничном условии и = 0 через А^ (X),
АЕ (X) и через В?(к), ВЕт (к) при граничном условии — = 0.
Тогда согласно теоремам 2, 4, 5, в случае, когда в граничном условии
-—\-аи = 0 коэфициент о^О, имеют место неравенства:
C8)
Но в силу соотношений B6) и неравенства C3) предыдущего пункта
правая часть первого неравенства равняется
i К i К i 1 ht i r
причем
Поэтому, принимая во внимание неравенства C7), мы можем пра-
правую часть первого неравенства представить в виде:
Мы получаем, таким образом, что при достаточно больших значе-
значениях X имеет место неравенство:
* / \ \
где С означает не зависящую от X и t постоянную.
Выберем теперь остающееся еще в нашем распоряжении число t так,
чтобы оба члена выражения, заключенного в скобки, были приблизи-
приблизительно равны между собой, а именно положим t равным наибольшему
1 logX
целому числу, содержащемуся в -~-. „; тогда мы получаем из нера-
неравенств C8) и C9), что при ¦ достаточно большом X
^W<^^4-C|/X logX. D0)
Точно такой же вид принимает и нижняя грань выражения А (X),
причем постоянная С будет отрицательной.
Эти рассуждения основываются на предположении, что входящая , в
граничное условие функция а нигде не отрицательна, так как только
§ 5 Задачи о собственных значениях шредингеровского типа 423
при этом предположении имеет место первое из неравенств C8). Одна-
Однако рассуждение, совершенно аналогичное рассуждению, приведенному
нами в п. 2 и основывавшемуся на неравенстве B0) из § 2, 5, показывает,
что полученные нами пределы для выражения А (к) сохраняются и в том
случае, если мы отбросим это ограничительное условие. Мы получаем,
таким? образом, следующий общий уточненный асимптотический закон:
TEOFEMA 20. При всех рассмотренных граничных условиях по-
порядок роста разности
?
при неограниченном возрастании \ не превосходит порядка роста вы-
выражения
\П logX.
Аналогичные рассуждения, проведенные для пространства, приводят
к следующей теореме:
ТЕОРЕМА 21. При всех рассмотренных граничных условиях по-
порядок роста разности
для пространственной области О с объемом V при неограниченном
возрастании X не превосходит порядка роста выражения:
Uogl.
§ 5. Задачи о собственных значениях шредингеров-
шредингеровского типа.
В главе V, § 12 мы рассмотрели задачу Шредингера, в которой
речь идет о нахождении собственных значений для бесконечной области,
и исследовали особенности спектра этой задачи. Мы теперь покажем
здесь в общих чертах, как можно подойти к этой задаче с точки
зрения вариационного исчисления; правда, результаты, которые получаются
при этом, еще очень далеки от более или менее удовлетворительного
решения задач этого рода во всей их полноте. Однако не только для
задачи Шредингера, но и для задач более общего типа, приводящих
к разысканию собственных значений для бесконечной области и которые
уже не решаются с помощью представления решения в виде произведения
вида w(r)ty(b, ш), мы получим тог важный результат, что спектры этих
задач содержат бесконечное, счетное множество отрицательных собствен-
собственных значений.
Пусть диференциальное уравнение, определяющее собственные зна-
значения, имеет вид:
Дк-f Vu-\-lu=0, D1)
причем на и(х, у, z) налагается требование конечности в бесконечно
удаленных точках пространства.
424 Применение вариационного исчисления Гл. VI
Мы предполагаем, что коэфициент V (х, у, z), выражающий потен-
потенциальную, энергию, взятую со знаком минус, остается положительным
во всем пространстве и обращается в нуль в бесконечно удаленных точках,
причем V удовлетворяет при достаточно большом г неравенствам:
где А и В — положительные постоянные, а показатели а и [3 удовлетворя-
удовлетворяют условию 0 <^ р ^ а <С 2. Функция. V может обратиться в бесконеч-
бесконечность в начале координат1), причем порядок роста V в окрестности
начала координат не должен превосходить грани —, где 0 <: у <[ 2.
При этом г означает расстояние точки х, у, z от начала.
Обозначим через \... dg интегрирование по всему пространству
лг, у, z. Тогда вариационная задача, определяющая собственное значе-
значение \п и собственную функцию ип, сводится к нахождению максимума
минимумов выражения:
г
J [to] = I (<p* -j- yz -J- if2 — V<f2) dg D3)
J * У
при добавочных условиях
ig=0 (v=l,..., я —1).
!¦
D4)
При этом функция <р (лг, у, z) должна быть непрерывной и иметь не-
непрерывные первые производные, и, кроме того, должны существовать
г г
оба интеграла \<f2dg w \ Vy2dg; vlt v2,..., vn_1 снова означают не-
некоторые кусочно-непрерывные функции.
Докажем сначала, что наша вариационная задача имеет смысл,
т. е. что интеграл У[<р] остается ограниченным снизу. Для^ этого вос-
воспользуемся тем, что функция V в силу сделанных предположений всюду
удовлетворяет соотношению:
причем, выбрав положительную постоянную b достаточно большой, мы
можем придать положительной постоянной а сколь угодно малое значение.
Поэтому
V 1*р2dg^a \ ^-<р2 dg-\-b f <p2 dg%
D5)
Ч) Все наши дальнейшие рассуждения легко распространяются и на тот слу-
случай, когда V имеет конечное число особых точек такого же рода, как начало
координат в рассматриваемом случае.
§ 5 Задачи о собственных значениях шредингеровского типа 425,
Воспольауемся теперь неравенством:
' 1 Г
-?- <р2 dg «g: 4 I (<p| -\- <pjj -f <pg) 4g"> D6)
которое получается следующим образом: положим ф = ш|/ г , тогда
и, следовательно,
Первый член справа может быть проинтегрирован в явном виде, и мы
получим, что в силу условия конечности интеграла \ w2 dg1) этот член
1 Г 1
должен равняться нулю; второй член справа равняется — l -у <j>2^iTi и
неравенство D6), таким образом, доказано.
На основании этого неравенства получаем из соотношения D5), что
J [<р] > A - 4о) L» + ш| + т1) <fe- *»
и так как мы можем выбрать а так, чтобы а<^~, то У [<р] ^ — 6,
откуда следует, что выражение У[<р] и собственные значения уравнения
D1) ограничены снизу.
Чтобы найти теперь верхнюю грань собственных значений, усилим
условия допустимости в нашей вариационной задаче, вводя добавоч-
добавочное требование, чтобы функция <р обращалась в нуль вне шара KR, опи-
описанного из начала координат радиусом R. Согласно нашим сбщим прин-
принципам я-е собственное значение vn(/?) получающейся таким путем за-
задачи для шара радиуса R удовлетворяет условию vn (R) ^ ~к„; с другой
стороны, собственное значение Vn(/?) легко оценить, сравнив его с
собственным значением Vn(R) диференциального уравнения Ди-|~
-|-}Ш —0 для шара KR при граничном условии и = &. В самом деле,
так как в силу условия D2) функция V удовлетворяет внутри К^ усло-
вию VlSz-pi (ПРИ достаточно большом R), то
KR KR
О В самом деле, из этого условия следует, что должна существовать после-
последовательность значений Rt, R% Rn таких, что интегралы \ у2 dS. взятые по
поверхности шаров радиуса Rn, стремятся к нулю при неограниченном возраста-
возрастании Rn. Мы должны сначала взять'рассматриваемый интеграл по шару радиуса
Rn н перейти затем к пределу при «->оо.
426 Применение вариационного исчисления Гл. VI
Отсюда непосредственно следует, что
но jin(/?) = д^р.п(I), где }л„A) означает я-е собственное значение для
шара радиуса 1. Мы получаем, таким образом:
Так как а<С%, то при всяком заданном я можно выбрать R настолько
большим, чтобы правая часть была отрицательной. Этим доказано, что
наши вариационные задачи дают нам монотонную последовательность
неубывающих отрицательных собственных значений.
Чтобы доказать, что эти собственные значения при возрастании я
стремятся к нулю, мы оценим их величину, предполагая известными
собственные значения %п специальной задачи Шредингера для случая
с
V = — , для которых соотношение %п —> 0 нами уже было доказано в
гл. V, § 12, 4. Для этого заметим, что имеет место неравенство:
причем, выбрав достаточно большое значение Ъ, мы. можем сделать по-
положительные постоянные а и k сколь угодно малыми. Тогда на основа-
основании наших принципов и применяя неравенство D6) мы получим:
4я) %n — k,
где %п означает собственное значение специальной задачи Шредин-
гера для случая V = ————. Отсюда следует, что при достаточно боль-
большом я собственное значение 1п превосходит число —2k и стремится поэтому
к нулю, так как чЪсло k может быть сделано сколь угодно малым.
То обстоятельство, что для рассматриваемой вариационной задачи
существует, кроме того, непрерывный спектр положительных собственных
значений, можно объяснить так:.будем рассматривать задачу нахожде-
нахождения собственных значений для бесконечной области как предельный
случай задачи для конечной области, например для шара KR с беско-
бесконечно возрастающим радиусом R. Хотя я-е собственное значение vn (/?) при
возрастании R монотонно убывает и стремится, как это можно доказать,
к пределу \п, где 1п означает я-е собственное значение ¦ для всего про-
пространства х, у, z, однако всяк е положительное число является точкой
накопления бесконечного множества собственных значений vn(#); ибо
для к шечных областей существуют бесконечно большие положительные
собственные значения, и мы можем всегда выбрать такой закон одно-
одновременного возрастания чисел я и /?, чтобы vn(/?) стремилось при этом
к любому наперед заданному положительному числу..
§ 5 Задачи о собственных значениях шредингеровского типа 427
Теорему о том, что для задач с бесконечной основной областью G
собственные значения стремятся к нулю, мы можем доказать и другим
путем," не предполагая известными собственные значения частной задачи
этого типа; это доказательство аналогично приведенному выше второму
доказательству неограниченного возрастания собственных значений для
конечной области.
Мы исходим при доказательстве из того, что если бы все собствен-
собственные значения не превосходили некоторой постоянной верхней отрица-
отрицательной грани, то мы могли бы, как мы сейчас это докажем, построить
последовательность функций ш^ <рг,..., <рл,..„, для которой, «во-пер-
«во-первых, интегралы ?>[<{>] = W<f? + <f>j;-|-<р|)<^ и Н [<р] = {<р2 dg остаются
ниже некоторой постоянной верхней грани, а во-вторых, интеграл
/^[(р] == \ У<р2 dg превосходит постоянное положительное число, причем
выполняются условия ортогональности:
ПЪ, фJ = 0-
Вследствие ограниченности интегралов ?)[<р] и Н[у) мы можем на
основании леммы, доказательство которой мы приводим ниже, выделить
из последовательности функций <pv подпоследовательность <ря такую;
что F [шл — <рт]—*•(). Но так как F[wn, <f>m] = 0, то отсюда следовало
в> т-*со
бы соотношение F[<$Jl-\- F[<fm]—*0, что противоречит второму свой-
свойству нашей последовательности. — Последовательность функций <pv может
быть построена следующим образом: рассмотрим первую из вариацион-
вариационных задач, определяющую первое собственное значение^. Для любого
числа б^>0 мы можем найти такую функцию <рх, для которой
тогда как
От этой задачи перейдем ко второй вариационной задаче D3), D4),
определяющей второе собственное значение ^. Если мы введем при
этом в качестве добавочного условия требование:
то мы получим в силу максимально-минимального свойства собственного
значения 12 в качестве минимума число, не превосходящее Х2. Мы мо-
можем поэтому найти такую функцию <р2, чтобы
тогда как
//[%] = !; /="[<plf <Р»] = 0.
Продолжая таким же образом, мы получим последовательность функ-
функций ф,, ш2,..., <{>„,..., для которой
«pJ=o.
428 Применение вариационного исчисления Гл. VI
Если числа X, не преросходит верхней границы — 2s, то для всех
наших функций имеет место неравенство:
;—к. D7)
Из этого неравенства мы заключаем прежде рсего, что выражение D[<р„]
остается ограниченным, ибо из неравенств D5) и D6) следует, что
откуда
A —
С другой стороны, из неравенства D7) следует, что F[<f]^s. Таким
образом наша последовате шность функций <р обладает указанными выше
свбй 1вами.
Остается доказать упомянутую выше лемму: если задана последо-
последовательность функций <pv, для которой D [<р] и //[<р] ограничены, то мы
можем из этой последовательности выделить такую подпсследовател!ность
<р„, для которой F [ш„ — <pj—*0.
п, m-vCO
Эта лемма представляет собой обобщение приведенной выше (§ 2, 2)
леммы Реллиха, на основании которой мы смогли доказать бесконечное
возрастание*собственных значений для конечной области. Ограничимся
тем случаем, когда функция V регулярна в окрестности начала коорди-
координат (если V обращается в начале координат в бесконечность и если
порядок роста V ниже второго порядка, то лемма остается в силе н
доказывается с помощью оценок, вполне аналогичных приводимым ниже).
Для доказательства построим последовательность шаров К, с радиу-
радиусами /?,. На основании упомянутой только что леммы Реллиха существует
подпоследовагельность <р, функций <pv, для которой t [шя—<рт] стре-
стремится к нулю, если мы будем этот интеграл брать только по внутренней
части шара Кг. Из этой подпоследовательности выделим вторую подпо-
подпоследовательность, для которой стремится к нулю интеграл F [<рл — <рт],
взятый по внутренней части шара К%. Продолжаем этот процесс и об-
образуем из этих подпоследоватечьностей обычным способом диагональную
последовательность, которую мы снова обозначаем через <рп. Тогда для
этой последовательности интеграл F[yn — <pm], взятый по внутренней
части какого-нибудь из шаров Kt, стремится к нулю. Чтобы доказать,
что это остается в силе и если мы распространим интеграл F [шя — шет]
на все бесконечное пространство, достаточно показать, что этот интеграл,
взятый по части пространства, лежащей вне шара Кг не превосходит
некоторой верхней грани, не зависящей от я и т и стремящейся
к нулю при неограниченном возрастании R. Для этой цели заметим,
что при достаточно большом /? и rT^R функция V удовлетворяет, со-
В В
гласно предположению, неравенству V ^ -„- sg ~= , откуда следует, что
/*Р R?
интеграл F[yn — <pm], взятый по части пространства, лежащей вне шара
радиуса /?, удовлетворяет неравенству:
AFi
J ^
что и доказывает наше утверждение.
§ 6 Умы собственных функций 429
§ 6. Узлы собственных функций
Исследование общих свойств собственных функций представляет
несравненно большие трудности, чем исследование собственных значе-
значений. В то время' как относительно поведения собственных значений
получены, как мы видели в предыдущих параграфах, точные результаты
большой степени общности, исследование собственных функций в общем
виде еще очень мало продвинулось вперед, что и неудивительно, если
принять во внимание, насколько разнообразны по своей природе все
те различные классы функций, которые определяются с помощью задач
на нахождение собственных значений. В следующей главе мы займемс
более подробным исследованием некоторых специальных функций этого
рода. В этом же параграфе мы остановимся на некоторых общих свой-
свойствах собственных функций рассмотренных задач.
Особенный интерес представляют те точки основной области О, в
которых обращается в нуль какая-нибудь из собственных функций.
Смотря по тому, является ли область О областью одного, двух, трех
или большего числа измерений, мы говорим об узловых точках,
об узловых линиях, об узловых поверхностях и т. д. В качестве
общего термина мы называем многообразия нулей собственных функций
узлами1).
Отметим прежде всего тот факт, доказательство которого непосред-
непосредственно будет следовать из приводимой ниже теоремы, что первая соб'
ственная функция вариационной задачи не может иметь узлов
внутри основной области. Эта функция имеет поэтому постоянный
знак, а вследствие этого все другие собственные функции, ортогональ-
ортогональные к первой, обязательно имеют узловые точки.
Основываясь на этом, можно установить некоторые общие положения
относительно расположения и плотности распределения узлов. Рассмот-
Рассмотрим, например, диференциальное уравнение ки -}- \и — 0 при граничном
условии и = 0. Пусть область G' целиком лежит внутри области О и не
содержит ни одной узловой точки собственной функции ип. Рассмотрим
наименьшую область С, лежащую внутри О и содержащую область О',
все граничные точки которой являются узловыми точками функции ип.
Для этой области О" функция ип должна быть первой собственной функ-
функцией, а Х„ — наименьшим собственным значением. С другой стороны,
согласно нашей общей теореме 3 первое собственное значение для об-
области G" не может быть больше первого собственного значения у для
области G', так что у~2*\п. Если, например, G' представляет собой
окружность радиуса а, то у=*г> гДе т есть наименьший нуль уравнения
ft2
Jo (ai) = 0. Поэтому у == ¦— , где под k01 мы подразумеваем в соответ-
соответствии с обозначениями гл. V, § 5, 5 первый нуль бесселевой функции
нулевого порядка.
*) Мы здесь принимаем без доказательства, что узловые линии или поверх-
поверхности наших диференциальных уравнений представляют собой кусочно-г адкие
кривые или поверхности, разбивающие основную область на конечное число час-
частичных областей, имеющих кусочно-гладкую границу.
430 Применение вариационного исчисления Гл. VI
Мы получаем отсюда ,2
Это соотношение характеризует плотность сети узловых линий в той
степени, в какой это представляется вообще возможным в об-
общем случае. Если примем во внимание асимптотическое соотно-
соотношение Х„ ел 4тг —- из § 4, то мы получим, что при достаточно большом
kli
п всякий круг, площадь которого больше, чем — - , содержит внутри
себя узловые точки я-й собственной функции. Если вместо круга мы
возьмем квадрат со стороной а, то мы получаем аналогичным образом:
Предоставляем читателю вывести аналогичные неравенства для других
задач с одйой или многими независимыми переменными.
Мы можем, далее, доказать следующую общую теорему относительно
узлов собственных функций: если расположить собственные функции
самосопряженного диференциального уравнения второго порядка
L[u] + lpu = 0 (p>0)
для некоторой области G при любых однородных граничных условиях
в порядке возрастания соответствующих собственных значений, то
узловые линии п-й собственной функции ип делят область О не более
чем на п частичных областей, каково бы ни было число независимых
переменных г).
Для простоты будем при доказательстве считать область G двумер-
двумерной областью плоскости х, у и предположим, что граничное условие
имеет вид и = 0. Пусть 1п является п-и собственным значением, т. е.
максимумом минимумов соответствующего интеграла D [<р] при добавоч-
добавочных условиях:
fj р<р«Ле<*у=1, D8)
Я
о
p<?vdxdy = 0 (/=1,2, ..., л—1). D9)
Предположим теперь, что узловые линии собственной функции ип
разбивают область G больше чем на п частичных областей. Обозначим
эти частичные области через G,, С2,..., Gn, Gn+],... и определим п функ-
функций Wj, w2,..., wn, полагая функцию wt равной нулю вне частичной обла-
области Gt и равной собственной функции ип, умноженной на некоторый
*) См. Courant ?>., Ein allgemeiner Satz zur Theorie der Eigenfunktionen
selbstadjuneierter Differentialausdriicke, „Nachr. Ges. UOttingen (math.-phys. Kl-)°, 1923,
Sitzung vom 13 Juni.'
§ 6 Уэлы собственных функций 431
нормирующий множитель, внутри Gt, причем этот нормирующий множи-
множитель мы выберем так, чтобы
pw2. dxdy— I.
а
Если мы составим линейную комбинацию <р — CjWj -{-... -j- cnwn, удовле-
удовлетворяющую условию:
II
и если примем во внимание, что каждая из функций wt удовлетво-
удовлетворяет уравнению
то мы убедимся путем интегрирования по частям, что для функции
имеет место равенство:
Так как мы можем, далее, для произвольно заданных функций vt
всегда определить коэфициенты ct так, чтобы функция tp удовлетворяла,
кроме условия D8), также и условиям D9), то отсюда следует, что п-е
собственное значение Vn нашего диференциального уравнения для обла-
области G' = Gj -|- G2 -|r-... -f- Gn при граничном условии и — О не может
быть, больше, чем \п; поэтому Vn=\, ибо согласно теореме 3 из § 2, 1
собственное значение Уп не может быть также и меньше, чем Х„. Но отсюда
следует согласно той же теореме 3, что для всякой промежуточной
межяу G' и G области G", содержащей G' и содержащейся в G, я-е соб-
собственное значение также равно Хл. Составим теперь последовательность
таких областей Gf, G", G"f,..., G(m>, из которых каждая содержит пре-
предыдущую, и образуем соответствующие им собственные функции ulnJ
"«>*••' "л*» пРичем мы продолжаем эти функции на всю область G,
полагая kW=0 вне GW. Эти т функций линейно между собой неза-
независимы ]) и удовлетворяют диференциальному уравнению:
Мы можем тогда определить т не обращающихся одновременно
в нуль постоянных Yj, у2,..., ym так, чтобы линейная комбинация
(т)
*) Что эти функции линейно независимы между собой, следует непосредствен-
непосредственно из того, что функция tffi не может тождественно обратиться в нуль в какой-
нибудь частичной области, лежащей внутри области GM. Это утверждение, вы-
вытекающее для случая обыкновенных диференциальных уравнений из теоремы о
единственности, для уравнений с частными ¦ производными, является следствием
эллиптического характера диференциального уравнения. Мы вернемся к этому
позже, во втором томе.
482 Применение вариационного исчисления Гл. VI
удовлетворяла т — 1 условиям:
1 = 0 (i=l,2t3,..., т— 1),
а
и так как в силу линейной независимости функций и^>,... , «{,") функция tp
не обращается тождественно в нуль, то мы можем коэфициенты yi так
нормировать, чтобы функция (р удовлетворяла также условию D8). Поэто-
Поэтому в силу максимально-минимального свойства /я-го собственного значения
С другой стороны, мы получаем непосредственным вычислением
путем интегрирования по частям, что
Так как Игл Хп = оз, то при достаточно большом т должно иметь
л-* 03
место неравенство: Хт>Х„; мы приходим таким образом к противоречию,
которое доказывает, что число областей Glt G2,... не может быть
больше п. Само собой очевидно, что доказательство нашей теоремы
протекает точно таким же образом и при другом числе независимых
переменных').
В частном случае задачи Штурм-Лиувилля (ру1)'— вУ-4-^У = 0
мы можем значительно уточнить только что доказанную теорему. В этом
случае число областей G^,G2,... не может быть и меньше чем п, так
что мы получим следующую теорему:
Узловые точки п-й собственной функции задачи Штурм-Лиу-
виллч делят основной интервал в точности на п частей. Доказатель-
Доказательство опирается на свойство непрерывной зависимости решения диферен-
циального уравнения от йараметра *к. Ограничимся для краткости дифе-
ренциальным уравнением у"-\- 1ру = 0. Обозначим через у{х,\) реше
ние этого диференциального уравнения, обращающееся в нуль при л;—0 и
непрерывно зависящее от параметра X. Мы получаем непосредственно
тождество:
X
у (х, \)у9 (х,Ц - у (х, Х)У (х, Х2) = (Х3 — I) J ру (х, I)у (х, \) dx.
Если x=s? является положительным нулем функции у(х,X), то
У (Е, М У (?, X) = 0, — X) J ру (х, 1)у (х, \) dx.
Пусть \~^>\, и пусть X, настолько мало отличается от \ что стоя-
стоящий справа интеграл имеет положительное значение. Тогда у$,\) и
*) Доказанная здесь теорема может быть обобщена следующим образом: узло-
узловые линии всякой линейной комбинации первых я собственных функций делят
основную область не более чем на п частичных областей. См. диссертацию Г. Гер-
Герман, которая должна появиться в печати в ближайшем будущем.
§ Ь Узлы собственных функций 433
у'(?Л) должны иметь одинаковые знаки. Предположим, что при х — ?
функция у (лгД) переходит от отрицательных значений к положительным,
так что УAД) положительна [у'(?Д) не может обращаться в нуль
одновременно с.у(?Д)]. Тогда у(к,\) также положительно. Но при
достаточно малом значении разности \ — X функция у(х,'к1) сколь угодно
мало отличается от функции у (х,\) и должна поэтому * окрестности
значения лг = (; переходить от отрицательных значений к положитель-
положительным; поэтому функция у(хЛ]) имеет нуль, лежащий слев^ от Е, откуда
следует 1), что при непрерывном возрастании \ все нули функции у (хЛ)
перемещаются влево. Первая собственная функция не имеет внутри основ-
основного интервала ни одного нуля, обращаясь в нуль только на обоих кон-
концах. Когда X растет от первого собственного значения до второго,
то второй нуль перемещается справа внутрь интервала и притом
до тех пор, пока правый конец интервала не становится третьим
нулем функции и т. ц.., что и доказывает высказанную нами теорему2)..
¦*) Что при возрастании 1 число нулей функции у(х,\) между 0 и? остается
неизменным, следует также из того, что у и у1 нигде не смогут одновременно
обратиться в нуль.
2) Мы можем доказать эту теорему другим путем, ие прибегая к свойству
непрерывности, если будем исходить из следующей теоремы, справедливой
таюке и в случае многих независимых переменных: если дважды диференцируемое
решение и диференциального уравнения L [и] +¦ Хри = 0 обращается в нуль на
границе Г замкнутой области .В, сохраняя внутри области В постоянный знак, и
если с/является решением 'уравнения L[v] 4-|ipo = 0, где ii>l, то функция v
должна внутри области В менять свой знак (при этом, понятно, исключается тот
случай, когда и или v тождественно обращаются в нуль в области В). Доказательство
получается непосредственно с помощью следующего соотношения, вытекающего
из формулы Грина:
f Г [<[н] - и?[о]] их dy = (ц -1) U рю dx dy = f v *j dSt
В ВТ
где г- означает диференцирование по внешней нормали границы Г. Не ограни-
ограничивая общности, мы можем предположить, что и и v имеют в В положитель
ные значения; так как на Г производная =r- =S 0, то если бы функция v не меняла
on
знака внутри В, то стоящее справа выражение ие было бы положительным,
тогда как (ц— I) \ \ р uv dx dy > 0.
В
Применяя этот результат к задаче Штурм-Лиувилля для случая, когда,
граничные значения .равны нулю, мы заключаем, что из двух собственных функ-
функций той из них, которая имеет большее число нулей на основном промежутке,
соответствует большее собственное значение, ибо для собственной функции,
имеющей меньшее число нулей, существует такой интервал между двумя после-
последовательными нулями этой функции, внутри которого содержится по меньшей
мере один Нуль другой собственной функции. Так как первая собственная
функция не имеет внутри основного интервалЬ ни одного нуля, а n-я собственная
функция ие может иметь больше п — 1 нулей, то эта последняя функция
'долина'ровно л — 1 раз-обращаться в нуль внутри основного интервала.
2а KVnaiM>.1ViiEAai>n
434
Применение-вариационного исчисления
Гл. VI
Доказанная только что теорема в противоположность предыдущему
общему результату справедлива только для обыкновенных диференциаль-
ных уравнений. Для уравнений в частных производных может случиться,
что имеются сколь угодно большие значения и, для которых узловые
линии собственной функции ип делят основную область всего на две
части. В качестве примера приведемг) диференциальное уравнение
Ди-г-^и = О для квадрата О^х^тг, Os^ys^n. Легко убедиться, что
принадлежащие собственным значениям ~к = 4г2 -|~ 1 собственные функции
Черт. 6.
sin2rxsiny-\-iisin2rysinx, где ji означает положительную постоян-
постоянную, достаточно близкую к единице, имеют только одну узловую линию.
На черт. 6 и 7 показано для случая г= 6, как такая узловая линия
получается путем непрерывной деформации из системы узловых линий
при ji=l.
§ 7. Дополнения и задачи к шестой главе.
1. Вывод минимальных свойств собственных значе-
значений из их полноты» Опираясь на свойство полноты системы соб-
собственных функций, определяемых вариационной задачей, мы доказали
в настоящей главе, что этими функциями исчерпывается вся совокупность
решений соответствующего диференциального уравнения. Но может
случиться, как,, например, в случае тригонометрических функций и
функций Лежандра, что нам заранее известно, что найденная система
собственных функций данного диференциального уравнения обладает
свойством полноты. Тогда можно, наоборот, доказать, что эта система
функций совпадает с системой функций, определяемых соответствующей
вариационной задачей. Приведем эта доказательство.
Пусть речь идет о диференциальном уравнении:
L[u]-\-lpu~O
*) Ср. Stern A, Bemerkungen iiber asymptotisches Verhalten von Eigenwerten
und Eigenfunktionen, Diss. Gottingen, 1925.
§ 7 Дополнения к задачи к шестой главе 435
для двумерной области G и при граничном условии м —0. Пусть
И], и2,... означают собственные функции этого диференциального
уравнения, \, Х2,... — соответствующие собственные значения.
Докажем прежде всего, что для всех функций tp, непрерывных внутри
О, имеющих в G непрерывные первые и кусочно-непрерывные вторые
прЪизводные и, сверх того, удовлетворяющих граничному условию
ср = О на границе Г области О и добавочным условиям:
РФ2 dxdy = 1, E0)
I
о
pfutdxdy=0{i=\,2,..., п— 1), E1)
о
имеет место неравенство:
В самом деле, из формулы Грина и в силу граничного условия (р = О
следует, что
а
Применяя, далее, условие полноты [см. формулу B3'), стр. 404] к функ-
функциям <р и * , мы попучим:
E2)
где
о
Но из уравнения E2) мы получаем, снова применяя формулу Грина
и принимая во внимание, что L [и{] = — Х7ри,, соотношение:
со
E3)
Так как в силу условия E1)у/ = 0 при t = 1,2,..., и — 1, а в силу E0)
и условия полноты имеет место равенство:
со
то отсюда непосредственно следует, что если X, расположены в порядке
их возрастания, то
28*
436 Применение вариационного исчисления Гл. VI
Путем непосредственного вычисления мы получаем далее, как мы уже пока-
показали раньше, что
что и доказывает минимальное свойство и-й собственной функции отно-
относительно определенного выше класса функций сравнения <р. Что это
свойство сохраняется и относительно таких функций <р, для которых
предполагается только непрерывность и существование кусочно-непре-
кусочно-непрерывных первых производных, следует из того, что всякую такую функцию
и ее производную всегда можно аппроксимировать с помощью функций,
имеющих кусочно-непрерывные вторые производные, так, чтобы интеграл
D [<р] сколь угодно мало отличался от соответствующего интеграла для
аппроксимирующей функции.
2. Отсутствие нулей у первой собственной функции.
На стр. 429 мы охарактеризовали первую собственную функцию как
единственную собственную функцию, не имеющую нулей внутри основ-
основной области. Приведем другое доказательство этого свойства первой
собственной функции, основанное на методе, принадлежащем Якоби
и часто применяемом в вариационном исчислении (метод мультиплика-
мультипликативной вариации).
Ограничимся случаем диференциального уравнения:
Ди — qu -\- \и = 0.
Мы должны доказать следующую теорему: если существует такое реше-
решение и этого диференциального уравнения, которое обращается в нуль
на границе Г области G, но не обращается в нуль нигде внутри G, то
для всех допустимых функций сравнения <р, причем равенство идоеет
место только для функций tp = си, где с — постоянная. Для доказатель-
доказательства представим функцию <р в виде <p = ijK, что возможно, так как и
ие обращается в нуль внутри G. Тогда
5) fe]=4\[H»(i?+ г$+2иихщх± 2ииуЩу+ К + ир if -f qu*rf] dxdy.
"а
Так как 2щх — (Ч2)*' ^4riv== W) v< то, интегрируя по частям и принимая
во внимание, что появляющиеся при этом интегралы, взятые по границе,
обращаются в нуль, мы получаем:
] dx dy.
Принимая во внимание диференциальное уравнение Дм — qu -\- iu = 0,
которому удовлетворяет функция и, мы получаем:
35 [tp] = ^\ [u2(Tj2 + ij2) 4-\и?г?]dxdy^l [[ u2rfdx dy=\ \[ y*dxdv,
о U -<5
причем равенство имеет место только в случае Г1Х='Ц =0, т. е. для
7] = const, что и требовалось доказать.
§ 7 Дополнения и задачи к шестой главе 437
3. Другие минимальные свойства собственных зна-
значений.
Задача. Доказать следующую теорему:
Задача нахождения минимума интегрального выражения:
D К va,... ,vn] = 5) [«J. + ... S> [<g,
где в качестве систем функций сравнения vit v2,..., vn допускаются
все системы взаимно ортогональных и нормированных функций, непре-
непрерывных и имеющих кусочно-непрерывные производные в основной
области, имеет решением систему функций:
или какую-нибудь систему функций, получающуюся из системы функций ut
путем ортогонального преобразования, где ил, и.г, , ип означают
п первых собственных функций для данной области. Минимальное зна-
значение рассматриваемого функционала равняется Х3 —J- >.2 —J— -\- Х„.
Задача. Доказать следующую теорему:
Обозначим через г»а, v2, \ vn_1 какие-нибудь непрерывные функции
в области G и пусть d{v.j, v2>...,vn_1} означает нижнюю грань интеграль-
интегрального выражения 5D['f] для функций (р, которые помимо обычных условий
непрерывности удовлетворяют еще только единственному добавочному
условию:
\[ p'f2 dxdy—Y\\\ рщ dx dy ) = 1.
Тогда я-е собственное значение \п равняется максимуму выражения
rf{i»j,t'2).. .,vn_1}, иэтот максимум достигается при 1']=и];... «»„_ j = "n_xi
(р = ип. Эта формулировка любопытна в том отношении, что в нее вхо-
входит только одно квадратичное добавочное условие и совершенно отбра-
отбрасываются линейные добавочные условия. Зато, впрочем, это квадратичное
добавочное условие принимает несколько более сложный вид и выходит
за пределы обычных рамок изопериметрических задач.
Предоставляем читателю в виде задачи аналогично формулировать
соответствующую элементарную задачу для квадратичных форм.
Другие формулировки задачи нахождения собственных значений,
полезные при некоторых применениях, мы приведем здесь для частного
случая диференциального уравнения Дк-}-Хи = 0 при граничном усло-
условии и = 0.
Найти минимум максимумов выражения:
Н [у] = [\ if* dxdy
о
п'ри добавочных условиях:
l),
43§ Применение вариационного исчисления Гл. VI
где смысл термина „минимум максимумов" очевиден. Этой задаче экви-
эквивалентна, далее, задача нахождения максимума минимумов выражения:
(ДерJ их dy
при тех же добавочных условиях, причем только на функции сравнения <р
должны быть наложены требования непрерывности первых производ-
производных и кусочной непрерывности вторых производных.
4. Асимптотическое распределение собственных
значений для случая колебания пластинки. Для дифе-
ренциального уравнения колебаний пластинки
ДДи — Хи = О
при граничных условиях и = 0 и — = 0 (закрепленная пластинка)
дп
имеет место асимптотическая оценка:
откуда следует:
при этом ,А (к) означает число собственных значений, не превосходящих
грани а, а "кп означает /z-e собственное значение, /—площадь пластин-
пластинки. Мы можем поэтому сказать: п-е собственное значение закреплен-
закрепленной пластинки при неограниченном возрастании п асимптотически рав-
равняется квадрату и-го собственного значения закрепленной мембраны.
В частности, это асимптотическое собственное значение здесь также
не зависит от формы, а зависит исключительно от площади пластинки.
Аналогичное имеет место и для случая трех измерений 1).
5. Вывести законы асимптотического распределе-
распределения собственных значений для диференциального
уравнения Штурм-Лиувилля (ср. результаты § 2, 3), а также для
обыкновенных диференциальных уравнений четвертого порядка, поль-
пользуясь методом § 4, 3.
6. Вывести законы асимптотического распределе-
распределения собственных значений для самосопряженных ди-
диференциальных уравнений эллиптического типа, к кото-
которым приводит любая вариационная задача с определенным положитель-
положительным квадратичным функционапом.
7. Провести рассмотрение задач на нахождение па-
пары собственных значений (задач с двумя параметрами, напри-
например проблема Ламэ, см. гл. V, § 9, 3) с помощью методов вариацион-
вариационного исчисления.
8. Задачи с граничными условиями, содержащими
параметр I. Рассмотренные нами в гл. V, § 16, 4 примеры задач на
*) См. Courant f?., Ober' die Schwingungen eingespannter Platten, „Math.
Zeitschr.", т. XV, 1922, стр. 195-200.
§ 7 Дополнения и задачи к шестой главе 439
разыскание собственных значений с граничными условиями, содержащими
параметр X, также легко сводятся к вариационным задачам. Так, напри-
например, чтобы найти функцию и, удовлетворяющую диференциальному урав-
нению аи =и и граничному условию — = Аи, мы должны решить сле-
дующую вариационную задачу: найти минимум интеграла
если на функции сравнения ср наложены условия, чтобы интеграл по
контуру от ср2 удовлетворял соотношению:
I
и чтобы выполнялись еще некоторые другие добавочные линейные
условия, выбранные подходящим образом. Предоставляем читателю про-
провести подробнее эту мысль.
В случае, когда G является кругом радиуса, равного единице, реше-
решениями этой задачи служат гармонические функции rncosn$, rnsinnb, a
собственными значениями являются числа \п = п2.
Вообще для любой области G можно показать, пользуясь методами,
изложенными выше в настоящей главе, что собственное значение \п
является величиной порядка и2, откуда вытекает согласно § 3, п. 1
полнота системы собственных функций, причем полнота определяется
с помощью выражения
т. е. граничные значения собственных функций образуют полную систему
функций от дуги s, откуда снова следует, что всякая гармоническая
функция, регулярная в области G, может быть аппроксимирована в сред-
среднем с помощью собственных функций рассматриваемой краевой задачи,
9. Задачи на разыскание собственных значений для
замкнутых поверхностей. Простейшим примером задачи на разыс-
разыскание собственных значений для замкнутой поверхности служит задача,
приводящая к шаровым функциям Лапласа, причем вместо граничных
условий здесь вводится1 условие регулярности на всей поверхности. С по-
помощью метода, изложенного в гл. VI, можно и в этом случае свести
задачу к задаче нахождения минимума или соответственно максимума
минимумов отношения -=¦, где 3) представляет собой квадратичное выра-
ч?
жение, содержащее производные функции tp, а ^ [:р] — определенное по-
положительное квадратичное выражение, не содержащее производных,
причем оба эти выражения являются в этом случае интегралами, взятыми
по данной замкнутой поверхности. Теория . таких задач на разыскание
собственных значений мЪжет быть распространена и на другие квадра-
квадратичные диференциальные выражения для замкнутых поверхностей.
440 Применение вариационного исчисления Гл. V]
10. Оценка собственных значений в случае наличия
особых точек. В § 2, п. 4 мы рассмотрели на примере собственных
значений бесселевых функций случай, когда диференциальное уравне-
уравнение имеет особую точку, причем для бесселевых функций нулевого
порядка потребовалось отдельное исследование, опирающееся на специаль-
специальные свойства бесселевых функций. Покажем, как можно избегнуть
такого специального исспедования с помощью общего п тема, примени-
применимого и в других случаях. Речь идет о задачах, относящихся к выражениям:
1 1
г г
D Ы = I лгш'2 dx, //[(?] = \
J J
о о
и не содержащих граничного условия для точки л; = 0; для точки х=1
пусть задано граничное условие <рA) = 0. Введя в качестве искомой
функции функцию уху, мы легкополучим для л-го собственного зна-
значения 1п нашей задачи оценку
а для числа А (к) собственных значений, не превосходящих верхней гра-
грани \, мы получаем, таким образом, оценку:
Чтобы найти теперь нижний предел для "кп или верхний предел для А (к,)
в чем в сущности и заключается специфическая трудность нашей
задачи, мы поступаем следующим образом: выберем какое-нчбудь сколь
угодно малое положительное число е, не превосходящее во всяком случае
единицы, и обозначим через Вл (к), В2 (к) числа собственных значений,
не превосходящих верхней грани I, для выражений:
и соответственно
Е Е
>]= I jc;p'2 dx, Я, =\
с о
D2 = 1 ху'г dx, И2 =
причем в точке х = е функции сравнения могут и ие удовлетворять условию
непрерывности, так чго для обоих случа в граничная точка лг = е не
подчинена никаким гран"ич >ым условиям. Т >гда
л м <д, он-ад.
Для В2 (к) мы получаем, применяя общие методы настоящей главы,
асимптотическое соотношение:
__.__.
§ 7 Дополнения и задачи к шестой главе 441
Что касается числа 63A), то мы его оцениваем следующим образом:
увеличим Н], заменив его выражением:
Е
о
и уменьшим Dy, заменив его выражением:
Обозначая через В^* (к) измененное число собственных значений, не пре-
превосходящих 1, мы, очевидно, получаем:
Но-для измененной таким образом задачи мы можем получить в явном
виде соответствующие собственные функции, преобразуя интервал
О ^ х sg: е в интервал — 1 *? ? ^ 1 с помощью преобразования
Мы получаем тогда в качестве собственных функций полиномы Лежандра
я(и4-1)
от переменного $, а в качестве собственных.значений числа ^ .
Отсюда следует, что Я, (Ъ) s? ?j*(X)<eA -}-S) j/T, причем при возра-
возрастании X число Ь стремится к нулю. Сопоставляя найденные результаты,
мы получаем отсюда, принимая bi внимани:\ что число S мокет быть
сделано сколь угодно малым, следующую асимптотическую оценку:
и» ^Ll.
11. Минимальное свойство круглой мембраны или
пластинки. Из всех закрепленных мембран или пластинок данного
периметра или данной площади и при заданной постоянной плотности
и упругости самый низкий основной тон дает мембрана или пластинка,
имеющая форму окружности [доказательство для случая заданного
периметра см. в первой из цитируемых ниже работ; для случая заданной
площади см. работы Фабера а) (Faber) и Э. Крана 2) (Е. Krahn)].
12. 'Задачи минимума для случая неравномерного
распределения масс. Доказать следующие теоремы, представляющие
интересные случаи применения вариационного исчисления.
l) Faber G., Beweis, dass unter alien homogenen Membranen von gleicher
Fiache..., Bayr. Akad., 1923.
*) Krahn В.. Ober eine von Rayleigh formulierte Minimaleigenschaft des
Krelses, Math. Ann., 94.
442 Применение вариационного исчисления Гл. VI
Основной тон закрепленной струны с заданной постоянной упругостью
и с заданной общей массой достигает минимума тогда, когда вся масса
сконцентрирована в центре струны.
Доказать аналогичные теоремы для мембраны и пластинки.
13. Узловые точки для задачи Штурм-Лиувилля и
принцип максимума минимумов. Теорема § 6 о том, что
нули й-й собственной функции задачи Штурм-Лиувилля делят основ-
основную область на п частей, может быть доказана следующим образом1).
Если закрепить п—1 произвольно взятых внутренних, точек колеб-
колеблющейся струны, то основной тон получающейся таким путем системы
п независимых струн совпадает с самым низким из основных тонов этих
п частичных колебательных систем, отдельно взятых (см. § 1, п. 3).
Основное колебание разложенной системы задается тогда функцией, вы-
выражающей основное колебание .соответствующей частичной колебатель-
колебательной системы и равной нулю на остальных участках всей заданной системы.
Поэтому, если мы будем перемещать заданные узловые точки, то
основной тон разложенной системы достигнет максимума в том случае,
когда все п частичных систем будут иметь один и тот же основной тон.
В самом деле, если две соседние части струны имеют разные основные
тоны, то, перемещая общий узел этих двух частей, мы сможем понижать
основной тон одной части и повышать основной тон другой части до
тех пор, пока оба основных тона не достигнут одинаковой высоты. В рас-
рассматриваемом экстремальном случае основное колебание разложенной
системы выражается с помощью непрерывно диференцируемой функции,
являющейся собственной функцией всей системы, принадлежащей соот-
соответствующему числу колебаний и обращающейся в нуль в п—1 точках
первоначальной системы. Итак: если закрепить п—1 точек струны, вы-
выбрав эти точки так, чтобы разложенная система имела по возможности
наиболее высокий тон, то в качестве решения получается собственная
функция первоначальной системы, имеющая п—1 внутренних нулей.
Если мы обозначим полученные таким путем собственные значения через
)ЛЯ, а соответствующие собственные функции через vn, то во всяком
случае (хл+] ^= р.п, так как безусловно существует по меньшей мере один
такой интервал между двумя соседними нулями функции vn, который
содержит внутри себя в качестве правильнбй части один из интервалов
между двумя соседними нулями функции ^я+1, а уменьшение интервала
вызывает повышение основного тона (см. стр. 433, примечание).
Если мы теперь обозначим, как раньше, через "кп собственные зна-
значения струны, расположенные в порядке возрастания, то мы видим, что
\i.n"^\n, так как числа ;ля составляют часть множества чисел \п. С дру-
другой стороны, закрепление заданной узловой точки представляет собой
специальный предельный случай общих линейных добавочных условий,
накладываемых на функции сравнения в вариационных задачах, опре-
определяющих собственные значения Хп (см. §'1, 4). Очевидно, что если
ограничиться только добавочными линейными условиями этого специаль-
специального типа, то соответствующий максимум минимумов, т. е. число р.п
') См. Hohenetnser, „Ingenieurarchiv", 1930, вып. 3, где проводится аналогич-
аналогичное рассуждение.
§ 7 Дополнения и задачи к шестой гяаве 443
не может быть больше максимума минимумов всех вариационных за-
задач с любыми добавочными линейными условиями, т. е. числа \п. По-
Поэтому iLn^\n, и, принимая во внимание предыдущий результат, мы по-
получаем, что Г1„ = \1. Теорема о числе нулей собственных функций
Штурм-Лиувилля, таким образом, доказана.
Литература к главе VI.
Courant /?., Beweis des Satzes, dass von alien horaogenen Membranen gesrebe-
nen Umfrmges und gegebener Spannung die Kreisformige den tiefsLen Grundton
besitzt, „Math. Zeitschr.% т. I, стр. 321— 28, 1918.
— 0>er die Eigenwerte bei den Differentialgleichungen der mathematischen
Physik, там же, т. VII, стр. 1—57, 1920.
— Ober die Schwingungen eingespannter Platten, там же, т. XV, стр. 195—200,
1922.
— Ein allgemeiner Satz zur Theorie der Eigenfunktionen selbstadjungierter Diffe-
Differential usdriicke, „Nachr. Ges. Gottingen (raath.-phys. Kl.)", 1923, заседание от
13 июля
— Ober die Anwendung der Variationsrechnung..., Acta math., 49.
Kneser A,, Integralgleichungen (см. литературу к гл. III).
Liouville J., Memoire sur le developpement des fonctions ou parties de fon-
ctjons en series dont les divers termes sont assujettis a satis'aire a une meme equa-
equation differentielle du second ordre conterii-nt un parametre variable, .J. math, pures
et appl.", Ser. 1, т. I, стр. 25<—255, 1«}6, там же, т. И, стр. 16—35, 418—433, 1837.
WeylH.. Das ^symptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partle ler
Diff rentialgleichungen (miteiner Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung),
„Math. Ann.", т. LXXI, стр. 441—479, 1912.
— Ober die AbhSngigkeit der Eigenschwingungen einer Membrane von deren
Begrenzung, „J. f. d. reine und angew. Math.", т CXLI, стр. 1—11, 1912.
— Ober das Spektrum der Hohlraumstrahlung, там же, стр. 163—181.
— Ober die Kandwertaufgabe der Strahlungstheorie und asymptotische Spek-
tralgesetVe; там же, т. CXLIII, стр. 177—202, 1913.
Richardson R. G. D., Das Jakobische Kriterium der Variationsrechnung und
die Oszillationseigenschaften iinearer Differentiaigleichimg'n zweiter Ordnung. Пер-
Первое сообщение „Math. Ann.", LXV1II, стр. 279. Второе сообщение „Math. Ann.',
LXXI, стр. 214.
— Ober die notwendigen und hinre'chenden Bedir.gungen fur das Bestehen
eines Kieinschen Oszillationstneorems, „Math. Ann.", LXXIII, стр. 289.
Считаю своим долгом отметить, >iTO Ричардсон в присланной незадолго до
начала мировой войны в редакцию „Mathematische Annalen" и, к сожалению,
неопубликованной рукописи, представлявшей набросок предполагавшейся рабо-
работы, рассматривал задачу нахождения собственных значений диференциальных
уравнений эллиптического типа и другим путем получил результаты, имеющие
очень много точек соприкосновения с результатами, изложенными в настоящей
главе; это относится прежде всего к исследованию поведения собственных зна-
значений при расширении основной области и при возрастании коэфициентов, со-
содержащихся в граничном условии, затем к исследованию зависимости собствен-
собственных значений от коэфициеитов дифереициального уравнения и, наконец, к
теоремам о нулях собственных функций.
Глава VII.
Специальные функции, к которым приводят задачи,
о собственных значениях.
§ 1. Предварительные замечания относительно
линейных диференциальных уравнений второго
П ОРЯД К А.
В этой главе мы подробнее исследуем некоторые классы функций
из тех, которые мы раньше определили, а именно бесселевы функции,
функции Лежандра и общие шаровые функции Лапласа; при этом мы ста-
станем на несколько более общую точку зрения, чем в предыдущих гла-
главах, а именно: мы будем придавать независимой переменной произволь-
произвольные комплексные значения и будем изучать наши функции как функ-
функции комплексного переменного методами теории функций. При этом
мы будем рассматривать не только указанные функции, но и совокуп-
совокупность всех решений соответствующих диференциальных уравнений, ко-
которым удовлетворяют эти функции. Мы будем считать известным, что
всякое такое линейное диференциальное уравнение и в случае комплекс-
комплексной независимой переменной z = x-\-iy имеет два линейно независи-
независимых решения, из которых самое общее решение может быть состав-
составлено линейно при помощи постоянных коэфициентов, и что все реше-
решения представляют регулярные аналитические функции от г повсюду,
за исключением постоянных особых точек, задаваемых коэфициентами
уравнения. Такого рода линейными диференциальными уравнениями
определяются многие новые и важные классы функций, которые не могут
быть непосредственно выражены с помощью элементарных -функций, но
которые могут быть часто представлены при помощи интегралов от эле-
элементарных функций.
Чтобы получить решение линейного диференциального уравнения
в виде интегрального выражения, часто пользуются методом интеграль-
интегрального преобразования, который мы здесь сперва изложим в общем виде.
Вместо неизвестной функции к (г) вводят новую неизвестную функцию
v (?) от комплексной переменной ? —?-|-irj с помощью равенства:
v(QdZ, A)
причем ядро преобразования K(z, Q, которое должно быть аналитиче-
аналитической функцией от каждой из комплексных переменных, и путь интегриро-
§ 2 Фуйкции Бесселя 445
вания С следует каждый раз надлежащим образом выбрать. Тогда дифе-
ренциальное уравнение переходит в уравнение:
где диференциальная операция L относится к переменной z; при этом
предполагается, что можно изменить порядок операций интегрирования
и операции L.
Если теперь выбрать функцию К так, чтобы можно было заменить
выражение L[K] диференциальным выражением А \К], относящимся
только к переменной С, т. е. подчинить К (z, Q уравнению с частными
производными
L[K\
и затем путем интегрирования по частям, допуская опять законность
такого интегрирования, изгнать производные функции К, то предыдущий
интеграл переходит в
при этом В [v] есть диференциальное выражение, сопряженное ztA \v]
(см. гл. V, § 1). К этому интегралу присоединяется еще выражение,
зависящее от значений на концах пути интегрирования, которое можно
сделать равным нулю при надлежащем выборе пути интегрирования.
Если уравнение в частных производных, в выборе которого нам пред-
представлен большой простор, и преобразованное диференциальное уравнение
В [v] -\- p.v = О
могут быть просто решены в явном виде и притом так, чтобы были
справедливы предыдущие допущения, то при помощи этого метода по-
получается решение к (г) в указанной интегральной форме.
В анализе такие интегральные преобразования встречаются в различ-
различных видах. При ядре
K(z, Q = e* или е1Л
мы получаем, например, преобразование Лапласа, при
получаем преобразование Эйлера.
§ 2. Функции Бесселя.
Рассмотрим прежде всего диференциальное уравнение Бесселя:
zW + zu' + ztu — tfu^O. B)
Мы хотим найти и исследовать все его решения, причем мы будем
считать независимую переменную z и параметр \ комплексными ве-
величинами.
446
Специальные функции
Гл. VII
1. Интегральное преобразование. Попытаемся проинтегри-
проинтегрировать уравнение B) с помощью преобразования A). Подставляя в ди-
ференциальное уравнение, получаем:
+ z Кх + г2 К
. = 0.
Налагаем теперь на функцию К требование удовлетворять диферен-
циальному уравнению:
однозначным и регулярным решением которого во всей плоскости z
и во всей плоскости ? является функция
Днференциальное уравнение B) переходит в уравнение:
или после интегрирования по частям в уравнение:
[k(z
-71
о
о
Черт. 8.
-/оо
Черт. 9.
ТХ +/оо Так как преобразованное дифе-
ренциальное уравнение v"-\-)?v~0
имеет решения е~л5, то остается
только определить надлежащим об-
образом путь интегрирования. Для
этого заметим, что на вертикальных
отрезках путей, отмеченных на
черт. 8 и 9 буквами L, и L2,
действительная часть от —iz sin?
имеет отрицательное значение при
Stz^O1) и с возрастанием | ? |
стремится к отрицательной беско-
бесконечности, причем порядок роста та-
такой же, как у прказательн'ой функ-
функции. Полагая К (z,Q = e"'zsia':,
мы видим, что добавочный член
стремится на L, и на L2 с обеих сторон к нулю,
интегралы
тг
C)
«) Под символом §Кг мы разумеем действительную часть комплексного
г, а под $z — коафициеит при / в мнимой части этого числа,
т. е. если z = a-\- Ы, то 5Rz = а, а 3* = Ъ. (Прим. перев.)
§ 2 Функции Бесселя 447
дают нам два решения диференциального уравнения B); это так назы-
называемые функции Ганкеля (Hankel). Легко видеть, что эти интегралы
сходятся при 922>0 и удовлетворяют тем условиям, которые нужны
были для вывода их.
2. Функция Ганкеля. Функции Ганкеля fi\(z) и Нх (z) опреде-
определены с помощью интегралов C) только в правой полуплоскости Шг > 0.
Но можно без труда аналитически продолжить их следующим образом.
Полагая для краткости при постоянном значении z — x-\-iy
j> \ = a-\-ib,
имеем:
у sin S ch r, -f- jc cos ? sh ij — fcE —
= — Jc sin S ch rj + J> cos ? sh *j -f- a?
Если выбрать для вертикальных частей пути Ьг вместо абсцисс О
и —тт абциссы ?0 и —тг—?0, то взятый по этому пути L\ интеграл
\е1'ГО dZ, будет сходящимся при тех значениях z, для которых
у sin ?0 — х cos So <^ 0,
т. е. для тех, которые лежат в полуплоскости, ограниченной прямой
у sin So — х cos So = 0.
Для той части этой полуплоскости, которая лежит также в полуплоскости
х^>0, можно пользоваться либо тем, либо другим путем интегриро-
интегрирования,' и результат получается, как это следует нз интегральной теоремы
Коши, тот же самый. Но в другой части полуплоскости интеграл, взятый
по новому пути, дает нам аналитическое продолжение функции H'^z).
Если заставим теперь ?0 пробегать неограниченную последователь-
последовательность положительных значений и неограниченную последовательность
отрицательных значений, то постепенно получим все аналитическое про-
продолжение функции H\(z), а именно риманову поверхность, которая
имеет в точке нуль точку разветвления, порядок которой зависит от \.
При ?0= ^г исчезает горизонтальная часть пути интегрирования,
и мы получаем для H\(z) интеграл:
\
)
— СО
представляющий функцию в верхней полуплоскости 3>.г>0. Ьсли
в секторе
точка z удаляется в бесконечность, то подинтегральное выражение на
448 Специальные функции Гл. VII
всем пути интегрирования стремится к нулю; в силу равномерной схо-
сходимости интеграла в любой области ^z^p^>0 стремится к нулю й
функция ^(г). Аналогичным образом получаем, что функция Щ(г)
стремится к нулю, когда точка z удаляется в бесконечность в секторе
тт — 8.
Мы получаем, следовательно, следующий результат.
Функция Ганкеля H\(z) стремится к нулю, когда переменная z,
оставаясь внутри сектор г о ^argz^n— 8 в верхней полуплоскости,
n
стремится к бесконечности. Функция Ганкеля H\(z) стремится
к нулю, когда z стремится к бесконечности, оставаясь в секторе
тг -f- 8 < arg z < 2тг — Ь нижней полуплоскостиJ).
Из поведения функций Ганкеля в бесконечности легко заключить,
что ни одна из функций Н{ (z) и н\ (г) не обращается в нуль тожде-
тождественно и что при любом значении \ зти обе функции линейно неза-
независимы друг от друга.
Чтобы это обнаружить, мы докажем, что с возрастанием j z | функ-
функция H\(z) неограниченно возрастает на положительной части мнимой
оси, а функция H\(z) неограниченно возрастает на отрицательной части
мнимой оси.
Для того чтобы получить выражение для HK(z), которое сходи-
сходилось бы вдоль положительной части мнимой оси, мы выбираем в каче-
качестве абсцисс вертикальных частей пути интегрирования ?2 значения —?0
и тт-|-$о, гДе ?0 — произвольное число из интервала 0<^к0^ -=-. Так
как интегралы \efeJd?, взятые по этим вертикальным частям пути, с воз-
возрастанием у стремятся к нулю, to мы можем ограничиться исследованием
остающейся части:
-Ее
J:
или же интеграла:
в чем легко убедиться путем подстановки $ = ?' -]- -=-. Но мы видим
при | а | ^ 1 непосредственно, ¦ а при | а \ > 1 с помощью несколько
*) Это утверждение справедливо только по отношению к рассматриваемой
исходной ветви функции Hx(z) или H\{z). Другие ветви выражаются в виде
линейных комбинаций исходных ветвей и "указанными свойствами не обладают.
§ 2 Функции Бесселя 449
более точных оценок1), что этот интеграл при у-*со неограниченно
возрастает.
Аналогичное рассуждение можно провести и для функции H\(z) на
отрицательной части мнимой оси.
Из доказанной таким образом линейной независимости функций
H\{z) и н\ (z) следует, что при помощи» функций Ганкеля мы можем
выразить всю совокупность решений диференцнального уравнения Бес-
Бесселя. В самом деле, любое решение ножно представить в виде линейной
комбинации:
Заметим еще, что функции H\(z) кН\{г) однозначно определяются
диференциальным уравнением B) и поведением в бесконечности с точ-
точностью до множителя, не зависящего от z. Действительно, если бы
существовали два линейно независимых решения уравнения Бесселя,
которые обладали бы указанным свойством,' скажем, для верхней полу-
полуплоскости, то этим свойством обладало бы и любое решение, следо-
следовательно, также и h\{z). Но это противоречит только что доказанному
положению, что \Н\(z)\ на положительной части мнимой оси неогра-
неограниченно возрастает.
Наконец рассмотрим еще функции Ганкеля при постоянном значе-
значении z ф 0 в их зависимости от параметра \. Так как подинтеграль-
ное выражение в C) представляет аналитическую' функцию от X и инте-
интегралы равномерно сходятся в любой конечной области изменения \ то
функции Ганкеля являются аналитическими функциями от I,
а именно целыми трансцендентными функциями.
3. Бесселевы функции и функции Неймана. Для физики
представляют интерес те решения диференциального уравнения B), ко-
которые при действительных значениях 1иг имеют действительные зна-
значения. Чтобы получить эти решения, мы полагаем
\
i) Выберем Е„ так, чтобы -S- + 50 было кратным от ~. Тогда мы можем пред-
представить исследуемый интеграл в виде:
--1L ch А(?+^
о о v=0
В этой сумме все более и более преобладающее значение 'с возрастанием у
приобретает первый член, так как показатель cos — E по крайней мере на
1—cos ^-больше любого из следующих показателей cos— (Е +v")< Ho этот
первый член с возрастанием у неограниченно растет.
29 Курант-Гильберт".-
450 Специальные функций Гл. VII
функция
называется функцией Бесселя индекса X, а
есть соответствующая функция Неймана. Так как определитель
1 1_
2
1 —1
2/ " 21
отличен от нуля для любого значения \, то и функции Jx (z) и Afx (z)
линейно независимы при всех значениях X.
При действительных значениях z и \ функции Ганкеля H{(z) и
Hy{z) являются сопряженными комплексными функциями. В. самом
деле, заменяя ? через — С в выражении
— 1 \
где Z.J есть зеркальное отражение пути ?: в действительной ос», полу-
получаем:
ННг)*=-
-I,
так как путь — ij есть путь ?2, пробегаемый в отрицательном напра-
направлении, то
п
Следовательно, при действительных значениях 1иг функция Jx (z) пред-
представляет действительную часть, а Л/х (z) — коэфициент при I в мнимой
части функции Ганкеля /У* (г), т. е. Jx (z) и /Vx B) имеют действительные
значения.
Функция H]_x(z) (v= I» 2) является решением диференциального урав-
уравнения Бесселя при том же значении X, что и H*(z), так как в дифе-
ренциальное уравнение входит только X2. Однако функции Hj(z) и
H^_ki_z) не могут быть линейно независимы, так как согласно п. 2 они
одинаково ведут себя в бесконечности.
И действительно, если в выражение
/yi B\ !_
L
§2
Функции БессеЛя
451
ввести новую переменную интегрирования
получается соотношение:
и аналогичным образом получаем:
; —тт, то непосредственно
F)
)• F')
Для бесселевых функций и функций Неймана с отрицательными индек-
индексами имеем:
G)
"-и*/ 2/ ' ' '
в противоположность функциям Ганкеля. эти функции J_} (z) и Jx(z) и
соответственно N_y(z) и A/Xi2j линейно зависимы не при всяком зна-
значении параметра X, а только в том случае, когда определитель
1
1
1 [=-2"Sin
обращается в нуль, т. е. когда 1 является целым-числом. В этом случае
У_„(?) = (—1)яУя(г), (8)
Поэтому мы можем выразить, когда i не является целым числом, общее
решение диференциального уравнения B) в виде:
В случае \==п общее решение выражают нижеследующей суммой:
-TX+foo
однако мы дальше увидим, что и в этом
случае Nn (z) можно просто вычислить
с помощью Jn{z) и J_n(z) (см. п. 9).
4. Выражение бесселевых
функций в виде интегралов.
Если сложить интегралы C), представ-
представляющие, функции Щ (г) и HI (z), то ин-
интегралы, взятые вдоль мнимой оси, вза-
взаимно уничтожаются; следовательно, в пра-
правой полуплоскости Шг*^>0 мы получаем
для J^(z) выражение:
О
У, (г)
2L Г
TL
L Г в
(9)
Черт. 10.
где L есть путь, изображенный на черт. 10.
Если в частности \ является целым числом, то в силу периодичности
29*
452 Специальные функции Гл. VII
подинтегральной функции пропадают и интегралы вдоль вертикальных
частей пути L; мы получаем:
It
Л
или
J (z) = — \ cos (z sin С-— я?) с?ч,
о
так как действительная часть подинтегрального выражения в интег-
интеграле A0) есть чет :ая функция, а мнимая часть — нечетная- функция.
С помощью этих интегрзлов Jn>z) определяется для любых значе-
значений z. Итак, мы видим, что функции Бесселя с целочисленным ин-
индексом однозначны и регулярны во всей плоскости и являю/т я по-
поэтому целыми. функциями.
Выражение- A0>, далее, обнаруживает, что Jn(z) есть л-й коэфи-
циент Фурье в разложении функции
оэ
—со
рассматриваемой как функция от ?, в ряд Фурье. Мы можем также рас-
рассматривать это разложение как определение функций Jn(z) при целых
значениях п с помощью производящей функции ¦etzsia'-.
При действительных значениях z и ? из соотношения A1) следуют
соотношения-:
оо
cos {z sin Z) = У"* Jn (z) cos /??,
— oo
со
sin (z sin Q = V* Jn (z) sin я?,
— oo
которые, однако, остаются справедливыми и для комплексных значе-
значений z и Z- Замечая, что
•f-я (*) = (—1L, (*)»
мы получаем:
со ^
cos (z sin С) = ^о B) 4" 2 ^ Ля (г)cos 2лС, .
1
00
A2)
в частности при Z = -„- имеем
cos z = Jo (z) r- 2J2 (z) ' 2/4 (г)
sin z = 2Jj B) —2У3 (г) +..
§2
Функции Бесселя
453
Если ввести в выражение (9) переменную интегрирования ?'=
то получим:
A3)
причем за путь интегрирования L следует взять отмеченный на черт. 11
путь, имеющий форму петли. Он идет вдоль нижнего края отрицатель-
отрицательной части действительной оси до
точки ? = — 1, окружает начало ко-
координат вдоль единичной окружности
и затем идет по верхнему краю от- —оо
рицательной части действительной ;
оси от ? = — 1 до —со1).
При целых значениях \^=п ин-
интегралы вдоль прямолинейных от-
отрезков взаимно уничтожаются, и мы
получаем:
Черт. 11.
A4)
Следовательно, Jn{z) является п-и коэфициентом разложения в ряд Ло-
Лорана функции
A
со
A5)
-г СО
И это разложение можно было бы использовать для определения Jn(z)
для целых значений п.
2v
Если в выражении A3) выполнить преобразование С— — сперва при
условии, что z — действительное положительное числог то получим:
с тем же путем интегрирования L.
Так как интеграл в правой части сходится при всех значениях z, то
выражение A6) представляет бесселевы функции при любых значениях z.
В частности мы видим, что отношение
от z при любом значении h
J (z)
является целой функцией
О К этому выражению мы могли бы непосредственно притти на основании
метода, указанного в § 1, если бы мы подчинили ядро преобразования диферен-
цйальнойу уравнению:
*К„ 4- zKz + Z1K-Z (Ж& = О,
-Ис-4)
которому удовлетворяет функция К= е _ *• . Преобразованное диференциаль-
ное уравнение имело бы тогда вид [C(Cf)']' — Ха& = 0 и ему удовлетворяли бы
решения i» = C=fc l-
454 Специальные функции Гл. VI
5. Дру-roe выражение функций Ганкеля и бесселевых,
функций в виде интегралов. Обратимся теперь к другому вы-
выражению бессел'евых функций в виде интегралов, которое получается,
если составить диференциальное уравнение для функции -Ц-^ и применить
г*-
к нему преобразование Лапласа. Естественно ожидать, что таким об-
разом получится- простой результат, так как х х- есть однозначная функ-
функция от z. С этой целью вводим в уравнение
вместо и новую переменную v>(z) при помощи соотношения:
и — со V-
и получаем уравнение:
zco-Bi+ l)co' + гсо = О. A7)
Полагая
имеем:
| [гК„ ^
с
или, так как в случае преобразования Лапласа имеют место соотно-
соотношения:
а.следовательно и zKzz = ^2K^, то:
J
¦1
Следовательно, диференциальное уравнение будет решено, если мы
определим ©(С) и путь С так, чтобы имело место уравнение:
О
и чтобы функция ег'©(?)A -J-С2) принимала одинаковые значения на
концах пути С; мы получаем:
или
х- L
@ A+Р) 2
§2
Функции Бесселя
455
Следовательно,
или, вводя новую переменную интегрирования ? —- It?, относя постоян-
X—i
ный множитель 1(—1) 2 к постоянной и обозначая новый путь инте-
интегрирования опять через- С, имеем:
Г
Чтобы найти допустимый путь интегрирования, мы строим сперва
риманову поверхность подинтегральной функции, соединяя обе точки
разветвления С = 4-1 и ? = — 1 сечением и прикре-
прикрепляя вдоль этого селения друг к другу бесчисленное
множество листов. В частности мы можем провести это
сечение вдоль двух лучей, исходящих из точек 4-1
и —1 в бесконечнрсть. Разумея под Сл и С2 два пути,
проходящие в основном листе римановой поверхности,
каждый из которых окружает только один из лучей
и не проходит через точки 4-1 и —1 (см. черт. 12,
где лучи идут параллельно мнимой оси), мы видим, что
интегг/ал со (z) сходится на одном из этих путей для
тех значений z, для которых вдоль луча $R.(izQ стре-
стремится к — оо; вместе с тем выражение
Kv (С2 — 1) = (С2 — 1)''+ 2
Черт. 12.
стремится на обоих концах пути интегрирования к нулю, т. е. со (z)
является решением' уравнения A7). Если луч образует с направлением
оси ?• угол а> то предыдущее условие выполнено, если
-v cos a-\- xsma"^>0,
т. е. если z = x-\-ty лежит в определенней полуплоскости", ограничен-
ограниченной прямой ycosa-\-xsina — 0. Мы можем, однако, таким же образом,
как в п. 2, аналитически продолжить интегралы, если заставим а про-
пробежать надлежащим образом выбранную бесконечную последовательность
положительных, значений и бесконечную последовательность отрицатель-
отрицательных значений.
Если в частности возьмем на обоих путях а= — (как это сделано
на черт. 12), то оба интеграла сходятся в правой полуплоскости Щ)^
Если повернуть путь С, в положение положительной части действитель-
действительной оси, то соответствующий интеграл .сходится в верхней полуплоско-
полуплоскости и стремится, к нулю, когда z неограниченно возрастает в секторе
— 5 (о<а<-|-).
456 Специальные функции Гл. VII
Следовательно, на основании замечания в п. 2 интеграл может отли-
отличаться только множителем, не зависящим от z, от функции —^—.
Итак,
Г х-1
с
и аналогично
х--1-
) 2
Коэфициенты Ъ\ и о2, которые, могут зависеть только от X, являются
комплексно сопряженными числами. Это следует для действительных
значений X изч замечания п. 3, что функции Ганкеля при действительных
значениях \ и z представляют сопряженно комплексные функции. В са-
самом деле из соотношения
1
-с.
в силу того, что путь — С? отличается от пути Сй 3) только направле-
направлением обхода, непосредственно следует:
а отсюда Ь2 (к) =± Ь1 (к).
Так как функции Ганкеля, как было указано в п. 2, являются анали-
тическими функциями от i и так как интегралы \е'л (![2 — 1) d?, оче-
очевидно, представляют аналитические функции от I, то и коэфициенты
Ьл Q) и Ь2 (к) являются аналитическими функциями от \, и потому со-
соотношение Ь2 — Ь] имеет место при всех значениях \.
Вычтем из первого интеграла второй, тогда
мы можем преобразовать получающийся путь ин-
интегрирования в путь, имеющий вид восьмерки,
изображенный на черт. 13, который обходит точку
-j-1 в положительном смысле и точку — 1 в от-
рицательном смысле. Мы получаем
>_!
Г '—L
\е'г!:(С2 — 1) 2
Г '—
Интеграл \е'г!:(С2 — 1) 2 d^ представляет целую функцию от г, так
как подинтегральная функция есть целая функция от г, а путь йнтегри-
*) Здесь Ct и С2 идут параллельно мнимой оси (см. черт. 12) для того, чтоС
обеспечить сходимость интегралов для положительных действительных значений г.
§ 2 Функции Бесселя 4$7
рования конечный. (Если > = «-[- —, где п целое неотрицательное
число, то на основании теоремы Коши значение интеграла равно нулю.)
Кроме того интеграл является решением уравнения A7). Условимся рас-
рассматривать пока такие значения \ для которых Ш1>0, Ъфп и
i ф n-j-^—, где п^О целое число. При этих условиях наш интеграл
не равен тождественно нулю. В самом деле, при 2 = 0 он равен
2га
ru+i)T(i-x)
(см. следующий'п. 6). Отсюда следует, что-й, и #2™ Д,, при этих зна-
значениях \ не равны нулю. Далее мы можем утверждать, что наш инте-
интеграл равен с1 -^у-, 'гДе с\ некоторое постоянное число. Действительно,
общее решение уравнения A7) при наших условиях можно представить
в виде:
Jx(z)
Но наш интеграл и функция —^— являются целыми функДиями от z,
между тем —^—- не является целой функцией от z, следовательно с2
должно равняться нулю. Итак,
Г х--1-
= ^ j е'* (С2 — 1) " 2 К = c
с —
Сравнивая с формулой E) п. 3, имеем: -2 = ^ = — Ь.2-=—ftj.T. e.
неравные нулю числа Ьх и Ь2 отличаются только знаком и являются
чисто мнимыми. Обозначив — через с, получаем выражение для JJz),
которое во всяком случае имеет место при наших условиях относи-
относительно 1г
Jx{z) = cz1 \ elz'- (Р — 1)" 2 rfC
Чтобы определить постоянную с, мы сравниваем это выражение
с выражением A6) и, полагая 2 = 0, находим соотношение:
\(С2- I)" ^
2х 2га
L
458 Специальные функции Гл. VII
Интеграл в левой части, как мы увидим в дальнейшем, имеет зна-
значение:
Чтобы вычислить значение интеграла в правой части, рассмотрим интеграл
для действительных положительных значений г. Так как этот интеграл
представляет аналитическую функцию от. /, то достаточно свести его
к известным аналитическим функциям при указанных значениях t.
Предполагая, что t^>0, мы
* л л можем стянуть круг радиуса 1 в
~ °° „ у точку — в начало координат; в са-
самом деле, интеграл остается схо-
Черт. 14. дящимся, тесли путь интегрирова-
интегрирования доходит до начала коорди-
координат, так как показатель степени t — 1 больше чем — 1.
По теореме Коши значение интеграла не изменится, если интегриро-
интегрировать не по пути I, а от —со до 0 под действительной осью и^от О
до —оо над действительной осью (черт. 14):
—со
то J 2то J 2та J
ц о
J \ eV^= \ eV%4\ ev4v (при
2то J 2то J 2та J
ц -оо о
под над
действительной осыг
Полагаем v — — w, тогда первый интеграл равен:
о со
со
\ wt~'ie-f-t-'l>'e-w(— dw) = -— \
2то J 2га J
о
\ wee( dw) \ nif-ie-V-We-0'dw,
2то J 2га J
оо
а второй ттеграл:
оо
о
следовательно, сумма равна:
со
Л- \ wt-iev-n*e-w{—dw),
2m J
_Lf.
о
§ 2
Функции Бесселя
459
так- как еы—e~M = 2isimrt и согласно определению
00
T(t).
то сумма интегралов равна:
sinrrf
IT
Из формулы для гамма-функций
Г(*)ГA-*) =
получаем:
Следовательно:
Таким образом .мы получаем для постоянной с значение:
и находим, наконец, для Jx{z) выражение:
A8)
Это выражение имеет место для всех значений X за исключением
где п есть целое рациональное число, большее или равное нулю.
Для функций Ганкеля имеем соответствующие формулы:
460 Специальные функции Гл. VII
Если 9^(^)> ~, то из формулы A8) можно вывести часто упо-
требляемую формулу:
I Т\ A)'
1
Полагая ?=sinT, получаем при условии Эх(Х)^> — формулу:
к
~) I cos(zsin-c)(cosT)ntfT. B0)
¦6. Разложение- б е'с'С елевых функций в степенные
ряды. Можно получить разложение в степенной ряд функции -~~¦ ,
однозначной и регулярной во всей' плоскости z, элементарным путем,
если подставить, как мы это делали в гл. V, в диференциальное урав-
нение B) ряд:
со
и (z) = zx ^ aj?
о
и последовательно определять коэфициенты ач. Но соответственно нашему
ходу рассуждений мы здесь получим разложение в степенной ряд из
интегральных выражений.
Мы исходим Из формулы A8) и разлагаем функцию е'г* в степенной
ряд; при этом, чтобы иметь право применять эту формулу, мы. предпо-
предполагаем, что \ отлично от n-j--^- (где я = 0, Л, 2, ... ). Так как этот
ряд сходится равномерно в любой конечной области ?, то мы можем
почленно интегрировать и получаем:
При вычислении интегралов
мы примем во. внимание, что мы имеем дело с аналитическими функ-
функциями от 1 и что поэтому достаточно определить эти функции для всех
§ 2 Функции Бесселя 461
значений i, где Ш (к) ]> 0. В этом случае мы можем стянуть путь инте-
интегрирования в отрезок - 1 sg?sS 1, который пробегается с обеих сторон.
Значение подинтегрального выражения равно: споава над действи-
действительной осью и слева под ней:
справа под действительной осью и слева над ней:
-"'л J\ х-—
и¦следовательно:
U"(C2— \)l~Y
—1
Интеграл, стоящий в правой части, обращается в нуль при нечетном Щ
при четных значениях имеем:
я
Путем подстановки ?2 = и получаем:
K2
к
( i) \ ~~*(\)'~^
Интеграл в правой части является эйлеровым интегралом нервого рода
Из известного соотношения
следует:
Но Г (х) Г A — л:) = , следовательно:
462 Специальные функции Гл. VIj
Таким образом получаем:
в частности при п--
х-1
Подставляя найденные значения в наш ряд для Jx(z),
1 /*\*й/ IV Г
~ny2' h Bп) 1
или, в&иду того что
г(в+±У-BяIг(Ч
^ id
Коэфициенты- ~ . не обращаются в. нуль, если, \ не является
1 (я-f- A-j-1)
целым числом. Если \ целое число, тс
при
при
Сделанное раньше допущение, что 1фв-(-~ j оказывается ненуж-
ненужным для справедливости разложения B1), так как этот ряд равномерно
сходится и при \ = п -\- -^ >. а Л(г)) как мы Уже видели, представляет ана-
аналитическую функцию от h
J (z)
Так как ряд в формуле B1) сходится при всех значениях z, то - х? ,
представляет целую трансцендентную функцию от z, если только он
не сводится к многочлену или постоянной. Но последнее невозможно,
так как Т(п-\-\-\- 1) представляет конечное число за исключением^ тех
случаев, когда X есть целое отрицательное число,- но и тогда в ряду
§ 2 Функции Бесселя 463
исчезает только конечное число членов,' потому что коэфицнент при я2"
при достаточно больших значениях п отличен от нуля; следовательно,
J (z)
ряд для х у во всяком случае содержит бесчисленное множество отлич-
отличных от нуля членов.
Из формулы B1) непосредственно ясно, что функция Jx(z) имеет
при действительных значениях "к и z действительные значения, так как
гамма-функция имеет действительные значения при действительных зна-
значениях аргумента.
7. Соотношения между бесселевыми функциями. Мы
вывели для бесселевых функций разложение в степенной ряд и полу-
получили для них выражения с помощью интегралов; теперь мы перейдем
к выводу некоторых общих свойств этих функций, исходя из их выра-
выражений в виде интегралов. Из, формулы (см. стр. 453)
где L есть путь интегрирования, изображенный на черт. 11 (стр: 453),
следует:
Диференцируем обе части по z2, причем в правой части будем ди-
ференцировать под знаком интеграла:
dk Jy(z
(z) I 1 Г _(Х+1)/_1\*в_^
—'- == I it I 1 р vv rill
2*2raJ \ 4v J
i
Мы имеем право диференцировать под знаком интеграла, так как
вдоль пути интегрирования L имеет место неравенство \v ¦ is* 1 и вместе
с тем при | z | <[ h функция
4v
равномерно ограничена, т. е-, правая часть представляет равномерно сходя-
сходящийся интеграл от Аналитической функции от z2. Умножая обе части
последнего равенства на zx+k, замечаем, что справа .стоит опять бессе-
лева функция, и мы получаем:
B2)
или, записывая в иной форме:
zdz
В частности при k = \ имеем:
d Jx(z)
dz * — * ' B3>
464 Специальные функции Гл. VII
т. е. рекуррентную формулу:
—— = Л (z) — Л+i (z)> B4)
которая при 1 = 0 принимает вид:
Исследуем еще особо случаи, Ъ = —=-, \— _- . На основании
формулы B1) имеем:
J-Lto=(Z)
л=0 1 "Р 1 I
так как
то .
Пользуясь формулой B3) при Х = — :
получаем:
т. е.
Разделив,
dz X тт
находим:
J i
d -i
dz z-
cos z =
Г
1 T
-VI
i (г)
2 —M
Ji(z)
2
Z~~b
sin г:
- sin z.
z
B5)
2
Следовательно, функции Бесселя при Х = — -, \= — просто вы-
выражаются с помощью тригонометрических- функций.
§ 2 Функции Бесселя 4G<1
Из соотношений
1
при Л = к- следует:
. 17/} (*)_//? (г)
. I 2 2
или
2
Складывая, получаем:
1 /~ 2^ /" 2" .
Н i(z) = J i (z) — U 1 (,) = 1/ —(sin, - i cos г) = — i\/ —e'z, B6)
2" У ~У V kz \ ¦kz
а вычитая, получаем:
2 /~2" A^
H\(z)~Jl (zL-U ! (,) = 1/ — (sin2;4-tcosz) = il/ —e-!z. B6r)
у у -у V nz у -nz
Эти' выкладки иллюстрируют тот факт, о котором мы уже упоми-
упоминали, что между функциями Бесселя, Неймана и Ганкеля существуют
соотношения, аналогичные соотношениям между синусом, косинусом и
показательной функцией. И в. теоремах, которые мы дальше выведем,
относительно распределения нулей мы снова заметим эту аналогию
(см. п. 8).
На стр. 463 мы вывели соотношение:
Применим его
тогда получим:
30 Курант-Гильберт.
к случаю i
z?f у тт
*+у Z
к~~ 2
sin,
*
¦(¦
2 rffe sin г
466 Специальные функции Гл. VII
т. е. всякая бесселева функция J i (z) может быть выражена в виде
произведения рациональной функции от z и от тригонометрических
функций z на ]Лг.
К другой рекуррентной формуле мы приходим, диференцируя обе
части ^равенства:
Таким образом получаем:
или
J[ (z) = 11 Л_! (z) - JM (г) j.. B7)
Вычитая из последней формулы соотношение
находим:
Л-1И + Л+1(^)-~!ЛИ- B8)
Это соотношение мы можем записать-также следующим образом:
Jx(z)~z Jx{z)
Таким образом мы представили отношение ¦ х~1 в виде бесконеч-
ной непрерывной дроби; 'однако мы здесь не можем останавливаться на
исследовании сходимости этой дроби. Если умножим обе части на z,
то непрерывная дробь примет вид:
У,(г)
При \-=— имеем:
2Х + 4-...
r
§ 2 Функции Бес селя 467
Эта бесконечная непрерывная дробь для ctg? была известна уже
в XVIII столетии, и с помощью этой непрерывной дроби ЛамбертJ)
доказал иррациональность числа тт, положив в ней z = — .
Для бесселевых функций с целочисленным индексом я имеет место
следующая теорема сложения:
со
Jn(a + b) = -?JAa)Jn^(b). C1)
v=-CO
Доказательство непосредственно вытекает из рассмотрения произво-
производящей функции e'(a+u)sirn__etosinc .gttsin'^ j-ja основании этого имеем:
СО СО 00
[
и=—COj я=—СО v=— CO
откуда следует наше утверждение.
При ге = 0 имеет место несколько более общее соотношение:
со
4) (V^2 + б2 -i- 2ab cos а) = Уо (а) Jo (Ь) -}- 2 ^ 7V (а) y_v (ft) cos va. C2)
l
Для доказательства воспользуемся интегральным выражением A0) и
запишем произведение J,t(a)J_^(b) в виде двойного интеграла:
—зс —тс
Но этот интеграл можно после некоторых преобразований привести
к виду:
sj<^'
27Г 1 -oi г - I - , ¦ 2aft cos а ) е Лвйа,
а отсюда следует соотношение C2).
Наконец, заметим еще, что функция f(r), удовлетворяющая некото-
некоторым условиям, может быть представлена с помощью бесселевых функ-
функций подобным же образом, как с помощью показательных функций на
основании интегральной теоремы Фурье (см. гл. II, § 6 и гл. V, § 12).
Пусть f(r) — непрерывная и кусочно гладкая функция, и пусть
существует
со
\r\f(r)\dr.
о
*) Lambert J. H., Memoire sur quelques proprietes remarquables des quan-
tites transcendantes circulates et logarithmiques, Hist. Acad., Berlin 1761, стр. 265—
322, особенно стр. 269.
30*
Ш Специальные функции Гл. Vll
Тогда для каждого целого числа п и г]>0 справедлива формула:
со со
/(л) = [sds\ tf(t) Jn (st) Jn (sr) dt. C3)
о о
К этой формуле приводит следующее рассуждение: полагаем
и рассматриваем функцию:
которая в силу наших допущений относительно функции f(r) непре-
непрерывна и имеет кусочно-непрерывные производные повсюду за исключе-
исключением окрестности начала координат. Применяя к этой функции g(x, у)
интегральную теорему Фурье для случая двух измерений (см. гл. И,
§ б, п. 2) и изменяя порядок интегрирования двух внутренних интегра-
интегралов, что требует, конечно, строгого обоснования, получим:
со со со со
с с
g(x, у) = ~ I \ e*l«+4V> dudv\ gfc,
— CO—CO —CO-CO
Вводя также для переменных интегрирования 5, jj; и, v полярные
координаты:
получим:
со * со
со
= ~ \ tdt \ e**co»(?-»)rfp I sf(s)ds \eime
О О
О —7U
Применяя подстановку
и принимая во внимание периодичность показательной функции, приво-
приводим это выражение к виду:
СО iz СО
=-m^ \ tdt
СО С
\ tdt \ er-HW+wap sf(s)ds e-«*»'+*«'Лг.
О —я 0 —л
выполнив при помощи формулы A0) интегрирования по а' и по Р',
непосредственно получаем требуемое соотношение:
со ' со
f(r)= [tJn(rt)dt\sf(s)Jn(st)ds.
о о
Вместо того чтобы доказывать законность изменения порядка интегри-
§ 2 Функции Бесселя 469
рования, мы можем вести доказательство формулы C3) также следую-
следующим способом, аналогичным методу доказательства интегральной фор-
формулы Фурье (гл. II, § 6). Мы пользуемся соотношением, имеющим место
для любой кусочно-гладкой и обращающейся в нуль при г=0 функ-
функции /(/•):
а \
/(r) = lim Гsf(s)Pv(s, r)ds,
в-> о
v
PJs,r)=\tJn(st)Jjrt)dt,
° C4)
)
где а есть произвольное положительное число а^>г^>0. Это соотно-
соотношение вполне соответствует интегралу Дирихле (гл. II) и аналогичным
образом доказывается. Мы покажем, что при условии существования
оо
интеграла \ г\f(r)\dr интегрирование по s можно распространить до
о
бесконечности. В самом деле, из тождества
K{r^)=^-72{sJn(vr)Jn^{vs)-rJn(vs)Jn^(vr)} (гфз), C5)
которое вытекает из формулы C6) следующего пункта, если принять во
внимание рекуррентную формулу B4), следует, что Pv (r, s) при постоян-
постоянном значении г ф 0 с возрастанием s стремится к нулю равномерно
бтносительно v (можно воспользоваться, например, асимптотическими
разложениями бесселевых функций, см. гл. V, § 11, п. 2 или гл. VII,
§ 6, п. 2). Поэтому и интеграл
ь
fjSf(s)Pv>(r,s)]ds
может быть сделан путем выбора достаточно большого значения а сколь
угодно малым и притом равномерно относительно v и Ъ. Отсюда сле-
следует наше утверждение, т.-е. правильность формулы C3).
8. Нули бесселевых функций. В заключение выведем еще
несколько теорем относительно нулей бесселевых функций1).
Бесселева функция Jx (z) удовлетворяет диференциальному уравнению.
Полагая
z = ^t, S2 = const ф О,
имеем:
См, также аналогичные рассуждения в гл, VI, § 2, п. 4..
470 Специальные функции Гл. VII
Подобным же образом, полагая
г = ^, ?2 = const:J:0,
имеем:
J" ikt)+^ Л М + A - ip) Л (М>=о.
Из этих двух уравнений выведем новое уравнение, умножая первое
на l\tJx(i2t), второе на — ZpJ^t) и складывая. Получаем:
t р? j? ft') Л (М) - S2 Л'
+ [?, Л ft<) Л (V) - *А ft 0 Л ft
Сумма первых двух слагаемых представляет производную по t от
функции
t [%J'x МЛ (М) - ^Л М Л Ml;
интегрируя последнее равенство в пределах от 0 до t, находим по-
поэтому:
t fcJiW) Л М - ^2 ^ М Л М]+(^ - Si) J ^Л М Л М л=о. C6)
о
Следовательно, интегрируя в пределах от 0 до 1, получим:
1
Из этого уравнения мы можем сделать заключение относительно рас»
пределения корней функции J} (z) (см. гл. VI, § 6).
Пусть ? есть отличный от нуля корень функции Jx(z). Полагаем
$! = ?, Z2 = Z, где ? означает число, сопряженное с ?. Следовательно,
Sj и ?2 совпадают только для действительных значений ?.
Пусть X имеет действительное значение, тогда при действительных
значениях z функция Jx(z) также имеет действительные значения. Ко-
эфициенты степенного ряда B1) имеют действительные значения; поэтому,
если Jx (S) равно нулю, то и Ух (?) = 0. Следовательно, в уравнении C7)
мы должны положить J./(Z-i) = Jx(^2) = 0; тогда выражение в квадрат-
квадратных скобках обращается в нуль, и второе слагаемое принимает вид:
1
о
Мы предположили, что ? не равно нулю. Так как бесселева функция
1
с
не равна тождественно нулю, то \t\Jx(Zt)|2dtф0, следовательно,
§ 2 Функции Бесселя 471
т. е. $ —? или $ = — S. Таким образом ? есть либо действительное
число, либо чисто мнимое. Итак, при действительных значениях Х^> 1
бесселева функция Jx(z) может иметь только действительнее или чисто
мнимые корни.
Чтобы исследовать, как обстоит дело с чисто мнимыми корнями
бесселевых функций, мы исходим из разложения в степенной ряд:
M*) * A
я=0
Полагая z — ai, где а — действительное число, не равное нулю, имеем!
г / \ 1 00
Так как X имеет действительное значение, то >n~{-X-j-l имеет для
всех" п, за исключением конечного числа, положительные значения; так
как, далее, гамма-функция имеет при положительных значениях аргу-
аргумента положительные значения, то все коэфициенты ряда, за исключен
нием конечного числа в начале ряда, положительны; При больших зна-
значениях | а | преобладающее влияние имеют более высокие степени, кроме
того, при афО всегда f-^-j ~^>0, следовательно, —j^->0 при всех.
достаточно больших значениях | а |. Итак, корни функции —^- могут
JJz)
встречаться тилько на конечном отрезке мнимой оси; поэтому у '
z
как целая трансцендентная функция может иметь только конечное число
чисто мнимых корней. При \ > — 1 функция —— не может иметь чи-
чисто мнимых корней, так как в этом случае для всех значений п имеем:
все коэфициенты ряда имеют, следовательно, положительные значения,
а потому и сумма ряда положительна* В частности при X = 0, 1, 2,»..
не существует чисто мнимых корней.
Итак, имеем следующий результат: при действительных значениях \
функция J^(z) может иметь только конечное число чисто мнимых
корней; при \ >• — 1 функция Jx (z) имеет только вещественные Kopjui.
Что функция J^(z) имеет при целом положительном значении X бес-
бесчисленное, множество вещественных корней, доказано уже рассмотре-
рассмотрениями предыдущей главы, так как корни Jn(z) представляют систему
собственных значений диференциального уравнения.
В заключение скажем еще о расположении действительных корней
бесселевых функций.
472 Специальные функции Гл. VII
Полагая при действительном значении >
имеем (см. стр. 454):
zz/'±B\+-l)vt~\-zv = 0. A7)
Если S есть положительный корень производной v', то диференциаль-
ное уравнение при z = ? переходит в
Т. е. в
Отсюда следует, что в точке ? не может обращаться в нуль также вто-
вторая производная г>"(?), ибо в противном случае и значение г>(?) равня-
равнялось бы нулю, но из условий г>($) = 0 и v'(?) = 0 вытекало бы, что
решение v(z) уравнения A7) тождественно равно нулю. Поэтому г>"(?)
и г>(?) имеют разные знаки.
Пусть Sj и S2 O-Sj)—два последовательных положительных корня
производной v'(z), т. е. пусть v'(z)dpO при $1О<&2. По теореме
Ролля в промежутке между йг и Е2 лежит нечетное число корней v";
следовательно, г>"($,) и г>"(?2), а вместе с тем и •»(?,) и г>(?2) имеют
разные знаки. Следовательно, между Еэ и $2 должно лежать нечетное
число корней функции v(z), т. е. по крайней мере один корень. С дру-
другой стороны, на основании теоремы Ролля в этом промежутке может
лежать только один корень v, так как между двумя последовательными
корнями функции v должно лежать нечетное число корней производ-
производной "d, но i/ по условию не имеет корней между S, и S2. Итак, между
?, и ?g функция v имеет только один корень, т. е. между двумя после-
последовательными положительными корнями производной г»' лежит один и
только один корень функции v. Положительные корни v и г>' взаимно
отделяют друг*друга; то же справедливо и для отрицательных корней.
Мы вывели в п. 7 стр. 463 соотношение:
dz
т. е.
Так как корни функции v и корни ее производной v' взаимно отде-
отделяют друг друга и так как, далее,
z\ ' z\
и потому все положительные и отрицательные корни v и if являются
соответственно корнями .функций Jx(z) и Ух+1 (z), то мы имеем: корни
функции J,(z) и корни функции Jx+1(z) взаимно отделяют друг друга.
§ 2 Функции Бесселя 473
При Х =— -«-, *• —"К" мь1> например, нашли:
=-\/ —cosz, J\ B) = л/ — smz;
у nz у V uz
J \
корь..ми первой функции являются числа:
4JL ? i
— У' — У ' — 2"' ''' ' — 2
корнями второй:
О, +тс» гЬ2тт, ..., Ч- /гп. ... ;
действительно, эти корни взаимно отделяют друг друга.
И в этом отношении функции Бесселя обнаруживают сходство с три-
тригонометрическими функциями.
9. Функции Неймана. Если X не является целым числом, то из
соотношений:
Л(*) = у[ЗД + Л?(*)]. E)
J^ (z) = 1 [е»* HI (z) -f e-a- H? (z)] G)
можно определить H\(z) и НЦг). Мы получаем:
[Л () ^ ~у-^{z)]' C8)
и вместе с тем
^^^^-'^K C9).
Однако это, выражение неймановой функции с помощью J^(z) и J_^(z)
неприменимо, когда X есть целое число. В самом деле тогда и числи-
числитель 7xcosX7r — У_х, рассматриваемый как функция от X, и знаменатель
sintor обращаются в нуль, причем X является простым корнем этих
функций. Но так как числитель при z zj: 0 и знаменатель являются
аналитическими функциями от X, то мы имеем право диференцировать
числитель и знаменатель, чтобы найти значение функций Nx(z) при це-
целом значении X. Переходя к пределу в частном
cos Хп — 7Х (z) л sin Хтг =i^-'
ОЛ
7Г COS Х7Г
находим, что при целом X
474 Специальные функции Гл. VII
Легко непосредственно проверить, что полученное выражение является'
при целых значениях X решением диференциального уравнения. В самом
деле, диференцируя диференциальное уравнение Бесселя
которое представляет тождество относительно X, по X, получаем:
dz* ax r z dz ax ' v z*l ax
Подобным же образом для —X имеем:
d2 bJ_\{z) , 1 d iJ_x(z)
+ -^^+A-
Умножаем обе части второго уравнения на (— \)х и вычитаем из
первого уравнения, тогда в силу соотношения /x(z) = (—l)*J_^(z),
имеющего место при целых значениях X, правая часть результирующего
уравнения будет равна нулю; следовательно, решением диференциаль-
ного уравнения Бесселя при целом X будет также функция
о/.
—(—1)'-—^-^ = пЛ^(г) (X —целое число).
о/
Только что выведенные соотношения между функцией Неймана Nx(z)
и функциями Jy(z) и Jy(z) дают нам возможность находить при по-
помощи выражений для бесселевых функций соответствующие выражения
для Nx(z). Так, например, из интегрального выражения (9) при Хфи
получаем:
/, (z) == — 2 ?д \ е-^йпс^х: cos ях — е-
'l
меем:
NH (z) = — ^ \ Се' 'г sin - cos и; rfS (и — четное), D2)
Л/, (z) == — 2 ?д \ е-^йпс^х: cos ях — е-Л!:) rfC; D1)
при Х==я имеем:
if
Nn(z)= — I &~izsm-sinnZdZ (n — нечетное). D2')
Применяя интегральную формулу B0) из п. 5, получаем, например,
для N0(z), ввиду того, что
формулу:
тс
тгЛГ0 (z) = 2 (С -f log 2) Jo (z) -\- -^ I cos (z cos Q log (z sins Q d^, D3)
0
где С есть постоянная Эйлера.
§ 2 Функции Бесселя 475
Подобным же образом можно подучить разложение в ряд для N^(z)
из разложений для Jx (z) и J_x (z). Рассмотрим ближе тот случай, когда \
целое число. Имеем:
так как мы имеем право диференцировать под знаком суммы по X, то
получаем:
h(z) , я ,
'°°(_1)«/ zyn/ d - ¦ ' l '
rf 1
Определим прежде всего значения производных -г.-=тт: "ри целых
at L(t)
значениях t. Из функционального соотношения
Г(* + 1) = *Г(<) (<фО, -1, -2, ...)
путем логарифмического диференцирования получаем:
Применяя эту формулу & раз, имеем:
Далее,
L
dtY(t)~ T2(t)~ T(t)'T(t)'
Полагая в предыдущей формуле < = 1, k = n—1, получаем:
Г'ш
для п=\, 2, 3,.., Зная значения -у-тт; для целых положительных
1 (г)
значений t, мы вместе с тем знаем искомые значения производ-
„ d 1
нои —г frn: B этих точках:
dt Г (t)
.. - fb 1 — Cj при < = 2, 3,...
Ш Щ = ~ (ZZTl 1 +
Ш Щ = ~ (tZZT)l 17=1 + 7^
476
Специальные функции
Гл. VII
Чтобы найти значения производной при целых отрицательных значе-
значениях t, мы решим уравнение:
-i)__ 1iJi ¦ | } | г'W
Г' (/) 1
относительно -,—' • Умножая затем обе части на —frr\ , получим:
1
1
— 1
"Если будем теперь неограниченно приближать t к —k (k=0, 1,2,...),
то левая часть равенства, а следовательно и правая будет, стремиться
к значению производной (-^frT^) • Но при t—»— k выражение j^-
\ ail (t)tt__k 1 (г)
стремится к нулю, следовательно, в правой части остается только
V так как cyMMaT + <TT + ----+<+/Li и выра'
жение ^
имеют конечные значения. Умножив числитель и
\{)
знаменатель остающегося члена на t(t-\-\) ... (tf-f- k — 1) и приняв
во внимание функциональное уравнение для гамма-функции, получим,
что знаменатель равен T(t-\-k-^-\) и стремится при t—> — k к
ГA) = 1; так как числитель стремится при этом к (—Цкк\, то:
Подставив значения производной -г.^гттг для целых значений t в ряды
D4), мы при Х= 1,2,... получаем:
dt Г (t)
\> VJ — \
и=1
¦+
D5)
§ 3 Шароьые функции Лежандра 477
а при Х = 0 имеем:
тг No (z) = 2 /„ (z) (log -J + с) -
Последние разложения позволяют нам выяснить характер особых
точек, которые могут встретиться в решениях диференциального урав-
уравнения Бесселя.
Если не считать точки z=oo, которая является существенной осо-
особой точкой для любого решения, не обращающегося тождественно в нуль,
единственной особой точкой решений диференциального уравнения Бес-
Бесселя может служить точка r=0.
Если X не является целым числом, то общее решение можно пред-
представить с помощью функций J^(z) и J_^(z), и потому при z — 0 могут
встретиться только особенности вида zx или z~K
Если \ равно целому числу п, то решения могут иметь при z = 0,
кроме полюса порядка и, 'еще логарифмическую особенность вида
zn log z. В самом деле любое решение можно выразить как линейную
комбинацию функций Jn(z) и Na(z), а эти функции других особенно-
особенностей ие имеют.
В частности бесселевы функции Jn(z) с целочисленным индексом п
представляют решения, которые остаются регулярными и в точке z = 0.
§ 3. Шаровые функции Лежандра.
Мы в нескольких местах этой книги 1) исследовали шаровые функ-
функции Лежандра и получающиеся из них диференцированием шаровые
функций высшего порядка, при действительных значениях независимой
переменной, и вывели много свойств этих функций. Теперь, переходя
к комплексному переменному z = x-{-iy, мы выведем здесь для этих
функций выражения с помощью интегралов и вместе с тем найдем
остальные решения диференциального уравнения Лежандра; при этом
сама србой обнаружится возможность освободиться от ограничения, что
параметр л в функции Лежандрi Pn(z) есть целое положительное число 2).
1. Интеграл Шлефли. Из выражения (гл. II, § 8, стр. 77)
для полинома Лежандра л-го порядка на основании интегральной
формулы Коши вытекает дляг любых комплексных значений z соотно-
соотношение:
р ir% \\п
1) В гл. II, § 8 и гл. V. § 10, 2.
¦ 2) Ср. Wdttaker E. Т. and Watson G. N., A course ot modern analysis,
3-е издание, стр. 302—336, Cambridge 1920.
478 Специальные функции Гл. VII
где путь интегрирования С в» плоскости комплексного переменного С =
= S-j-nj окружает точку Z,=z и пробегается в положительном напра-
направлении. Это выражение, которое было дано Шлефли (Schlafli), приво-
приводит к важным следствиям и обобщениям. Прежде всего заметим, что
мы можем .непосредственно, проверить, что интегральное выражение D6)
удовлетворяет диференциальному уравнению Лежандра:
В самом деле, диференцирование под знаком интеграла дает для
левой части уравнения выражение:
2пй» J
с
ч>
которое должно равняться нулю, так как путь интегрирования С—
/?2 1H+1
замкнутая линия, а функция — —— есть однозначная функция
от С- Мы можем теперь воспользоваться этой проверкой, для того чтобы
обобщить определение функции Pn(z) на любые значения параметра п.
Действительно, интеграл Шлефли D6) представляет для любого п
решение диференциального уравнения Лежандра, если только выражение
(Р —1)«+1
-т^ —г при обходе пути интегрировании возвращается к своему
\S—z)
первоначальному значекию, т. е. тогда, например, когда путь интегри-
интегрирования замкнут на римановой поверхности подинтегрального выражения.
Но функция Pn(z) уже не будет, вообще говоря, целой рациональной
функцией от z и даже не будет однозначной аналитической функцией
от z. Такой путь получаем следующим образом: разрежем плоскость ?
вдоль действительной оси от — 1 до — со и вдоль произвольного пути
от точки 1 до точки z; подобным же образом разрежем плоскость z
от — 1 до — со и выберем за путь С замкнутую кривую, содержащую
внутри точки ? = z и 5 = -]-1> обходя их в положительном направлении,
и не содержащую точки ? = — 1. Определенную таким образом функцию
Однозначную во всей взрезанной плоскости z, мы назовем шаровой
функцией Лежандра индекса v. Она удовлетворяет диференциальному
уравнению Лежандра
[A—zP)b']' + ><v + 1)b = 0 D8)
§ 3 Шаровые функции Лежандра 479
и может быть охарактеризирована как тот однозначно определенный
интеграл этого уравнения, который при z = \ остается конечным3)
и имеет значение
Это непосредственно следует из интегрального выражения, если
в нем z неограниченно приближать к единице. Так как диференциаль-
ное уравнение не изменяется, если в нем заменить v через — v — 1, то
отсюда вытекает тождество:
лроверка которого путем вычисления не так проста.
Функция Рч (z) удовлетворяет, как читатель легко проверит, исходя
из интегрального выражения, рекуррентным формулам:
р;+1 (г) — zP[ (z) = (v +1 )РЧ (-г), D9)
(v + 1) /\+1 (*) — * BV + 1) Pv (г) + vPv_, (z) = О,
из которых вторая была выведена для целых v в главе II, § 8, п. 3.
2. Интегральные выражения Лапласа. Если действитель-
действительная часть числа z положительна и z ф 1, то мы можем выбрать за путь
С окружность радиуса | j/z2 — 11 с центром в точке z, так как из не-
неравенства \г — 1 |2 < | z -}- 111 z — 1 | <[ | z -f- I p, имеющего место при
ffiz y>0 и z ф 1, следует, что эта окружность обладает требуемыми
свойствами. Вводя вещественную переменную интегрирования <р, пола-
i
гаем Z=z-J- |г2 •—1 |2 e'f, |^|^тт; тогда из интеграла Шлефли непо-
непосредственно получаем первое интегральное выражение Лапласа:
(Г
) = -1 \
о
Ру (г) = -1 \(г + Vz*—l cos(p)vrf<f, E0)
причем выбираем ту ветвь многозначной функции (z -f- V^z2 — 1 cos (p)v,
тт
которая при (р = — принимает ¦ значение z>, где под z4 разумеем „глав-
л
ное" значение этой функции, в частности при положительном z и ве-
вещественном v — действительное значение. Формула Лапласа справед-
справедлива и при z= 1.
Формула Ру = /Э_ч_1 непосредственно приводит ко второму инте-
интегральному выражению Лапласа:
\Lг. E1)
Заметим, что первое выражение в случае v ^ — 1 и второе в случае
v 5г 0 неприменимы для тех значений z-, при которых выражение
') Действительно, второй интеграл этого уравнения Qv, который мы опреде-
определим, в п. 3, становится при z = 1 логарифмически бесконечным, а потому этим
свойством обладает и всякий интеграл, линейно независимый от Pv.
480 Специальные функции Гл. VII
z 4- V^2 — 1 cos sp обращается в нуль на пути интегрирования. Следо-
Следовательно, по крайней мере одно из них имеет место во всей плоскости z.
3. Функции Лежандра второго рода. Диференциальное
уравнение D8) должно кроме P4(z), иметь еще один линейно незави-
независимый интеграл. Мы можем его легко получить из интеграла Шлефли,
если вместо прежнего пути выберем другой путь интегрирования. Такой
путь дается кривой 31, имеющей вид восьмерки, ¦ изображенной на
черт. 13, если только точка z остается вне этой кривой. Определенная
с помощью интеграла
1 С 1 (г?—
аналитическая функция Qy(z) также удовлетворяет диференциальному
уравнению Лежандра. Она называется функцией Лежандра второго
рода и представляет однозначную и регулярную функцию в плоскости г,
взрезанной вдоль действительной оси от — 1 до — со. В этом выра-
выражении мы сперва предполагаем, что v не является целым числом, так
как в противном случае выбранный нами нормирующий множитель
становится бесконечным. Если действительная часть числа v —4— 1
S1I1VTT '
имеет положительное значение и г не лежит в промежутке — 1 ^ ? <: 1,
то мы можем, стягивая путь интегрирования, написать (ср. вычисления
на стр. 461):
1
Эта формула применима и для целых значений v.
Из выражения E2)"легко заключить, что функция Qw при г=\ и
z=—1 становится логарифмически бесконечной, если принять во вни-
внимание, ¦ что путь 3t пересекает линии, соединяющие точку z с точками
— 1 и -j- 1. Для отрицательных значений v или для значений v с отри-
отрицательной действительной частью можно определить Qv с помощью
равенства:
И для функций Qv(z) имеет место интегральное выражение, анало-
аналогичное интегралам Лапласа для Py(z). Сделав в интеграле E3), сперва
при действительных значениях z^>\, подстановку:
~~
мы после некоторых вычислений получим:
со
rim
-1), E4)
'J
(г,+ V z — 1 ch
§ 4
Применение метода ийтегральных преобразований
481
причем выбор однозначной ветви подинтегральной функции, которая
сама по себе многозначна', производится таким же образом, как и
раньше. Но эта формула справедлива для любых значений z в разре-
разрезанной от — 1 до -}-1 плоскости z, за исключением, в случае v :з= О,
тех значений, при которых знаменатель на пути интегрирования обра-
обращается в нуль; знакомый с теорией функций читатель непосредственно
выведет это заключение из того факта, что подинтегральное выражение
в этой области представляет однозначную регулярную функцию от z.
Из равенства QV = Q_V-1 мы непосредственно получаем вторую
формулу:
00
\ E5)
причем в случае v ^ — 1 мы опять должны сделать указанное раньше
предположение относительно значений z.
4. Сопряженные шаровые функции. (Функции Ле-
жандра высшего порядка.) Для шаровых функций высшего
порядка, которые мы определяем с помощью равенств (см. гл. V, § 10,
п. 2, стр. 309):
н
dh
мы путем диференцирования интеграла Шлефли D7) и затем с по
\^
мощью подстановки ? = z-{-|z2— 112 е*1 из п. 2 получаем интегральные
выражения, из которых мы приведем следующее:
= (— 1 )*
•к
о
cos
Из этой формулы мы видим, например, что все функции Рч h{z),
где h ~^> 0, при z =Ь= 1 равны нулюг
§ 4. Применение метода интегральных преобразований
к диференциальным уравнениям лежандра, чевышева,
Эрмита и Ла'герра.
Мы можем развить теорию диференциального уравнения Лежандра
и теорию рассмотренных во второй главе ортогональных функций так-
также с помощью метода интегрального преобразования, изложенного
в § 1. Наметим здесь в общих чертах этот путь.
1. Функции Лежандра. В диференциальном уравнении Ле-
Лежандра
L[u] = (\— z*)u" — 2г«' = — *Qi-f 1)к E6)
31 Курант-Гидьберт.
482
Специальные функций
Гл. VII
преобразование
приводит к условию
Если ядро преобразования подчинить' диференциальиому уравнению,
A — z2) Кгг— 2гКг -+- Z (К)к = 0, {57)
1
решением которого является функция К=
Yl—
, и преобра-
зовать интеграл, получающийся заменой L[K] через — ?(?/Qk, при по-
помощи интегрирования по частям, то для функции v(Q получаем дифе-
ренциальное уравнение:
которое имеет решения z>=?x и v = Z~1~1- Мы приходим, таким обра-
образом, к интегралам:
Г
4i sin пХ .1^1—
с
E8)
где Cj и С2 представляют изображенные на черт. 15 и 16 кривые, на-
находящиеся на римановой поверхности подинтегрального> выражения.
Черт. 15.
При помощи преобразования
Черт. 16.
— lcostp
и соответствующей деформации пути интегрирования мы получаем ин-
интегралы Лапласа:
) — -1 I
о
_ 1 cos (p)
00
E1)
1). E4)
Применение метода. интегральных преобразований
483
Выбранное нами ядро
K(z, С)=-
как п другое ядро, удовлетворяющее уравнению E7), является
производящей функцией диференциального уравнения Лежандра. В самом
деле, коэфициент un(z) разложения
со
такого ядра есть интефал предыдущего вида
и потому вследствие замкнутости пути интегрирования представляет ре-
решение диференциального уравнения E6) при 1 = п.
2. Функции Чебышева. В случае диференциального уравнения
Чебышева
L [и] = A — z2) и" — zu' = —14 E9)
мы берем в качестве ядра К решение диференциального уравнения
например,
П - Z%) «г: —
K(z, 0 =
1 —С2
1
и получаем таким образом .решения вида:
1—Р
2та 1 1 —
При этом С, и С2 (черт. 17) представляют
замкнутые кривые, которые на римановой поверх-
поверхности подинтегрального выражения окружают кор-
корни знаменателя:
Применяя интегральную формулу Коши, имеем:
Сумма
F0)
F1)
-0
Черт. 17.
F2)
31*
484 Специальные функций Гл. VII
которую можно представить также в виде интеграла
с
где путь интегрирования С должен теперь окружать обе точки ^ и 5,
переходит при \ = п в я-й многочлен Чебышева.
3. Функции Эрмита. Для диференциального уравнения Эрмита:
L [и] — и"—2ZU1 = — 21и F3)
мы выбираем функцию К, удовлетворяющую
уравнению:
Черт. 18. К — 2zKr4-2ZKr — 0, F4)
Для которого функция е2*'-с* является решением. Если возьмем за путь
интегрирования С одну из кривых Са или Са, изображенных на черт. 18,
то получим решения:
F5)
С,
Полусумма этих решений
т. е. интеграл
где С—есть путь, изображенный на черт. 20, переходит при \ — п
в полином Эрмита Hn{z).
Если /?(^)<^0, то мы можем провести путь интегрирования через
начадо координат и получаем, отвлекаясь от множителей, не зависящих
от z, решения:
со
J-
о
00
J!
-со
4. ФункцииЛагерра. Соответствующим образом в диференциаль-
ном уравнении Лагерра
L[u] = zu"+A— z)u' = — la F8)
§5
Шаровые функции Лапласа
485
мы подчиняем функцию K(z, Q диференциальному уравнению в част-
частных производных:
+)K + ZKO F9)
G0)
и приходим к интегралам вида:
i
е
При выборе пути интегрирования С следует обратить внимание на
то, что точка ?=1 является существенно особой точкой подинтеграль-
ного выражения. Если возьмем в частности за С путь, изображенный
на черт. 19, то интеграл
М*)
1 [е г~
~2raJ 1 —!
представляет решения, которые при \ = п в
основном - тождественны с полиномами Лагерра.
Подстановка г
и — —
Черт. 19.
приводит интеграл G1) к виду:
G2)
Черт. 20.
где под С мы теперь разумеем путь, изображен-
изображенный на черт. 20.
Заметим еще в заключение, что так же, как в случае диферен-
диференциального уравнения Лежандра, можно и в остальных разобранных
здесь случаях рассматривать решение соответствующего уравнения
в частных производных как производящую функцию семейства решений
данного диференциального уравнения. В частности те специальные ядра,
которые мы здесь применяли, определяют при разложении их в степей*
ной ряд полиномы Чебышева, Эрмита и Лагерра.
§5. Шаровые функции Лапласа.
Мы ввели в гл. V, § 8, стр. 297 шаровые функции Лапласа
Кл(&, (р) как повсюду регулярные на поверхности шара фундаменталь-
фундаментальные функции диференциального уравнения
G3)
соответствующие собственным значениям \ — п(п-\-\). Тогда функции
rttYn=Un являются целыми рациональными функциями прямоугольных
координат х, у, z, которые удовлетворяют диференциальному уравне-
486 Специальные функции Гл. VII
нию Д[/=:0, однородны, и степень однородности равна я. Обратно,
каждая целая рациональная функция я-го измерения Un, удовлетворяю-
удовлетворяющая диференциальному уравнению Д{7= 0, будучи разделена на /¦", дает
шаровую функцию Лапласа. Так как целая однородная функция сте-
(я+1)(я4-2) . ...
пени и имеет 1—-—-^—!—' коэфициентов, а условие ДС/Л = 0 налагает
—- линейных однородных соотношений между коэфициентами [ибо
Ш'п есть однородная функция («— 2)-го измерения], то многочлен Un
. (я+1)(я+ 2) я(и—1) _ , .
должен иметь не менее чем —!—=—! —^—- = 2и -\- 1 незави-
симых коэфициентов; следовательно, существуют по крайней мере
2п-\-\ линейно независимых шаровых функций порядка я.
Мы в этом параграфе покажем, что предыдущие соотношения неза-
независимы, т. е. что существуют ровно 2я -f-1 линейно независимых шаро-
шаровых функций я-го порядка. Далее, мы докажем, что этими функциями
Yn действительно исчерпываются все фундаментальные функции, а числа-
числами Х = я(я-{- .1) исчерпываются все собственные значения нашей задачи;
наконец, мы выразим эти функции с помощью функций Лежандра выс-
высшего порядка, с которыми мы встречались в § 3 этой главы и в гл. V,
§ 10, п. 2, стр. 309. Начнем с последнего пункта.
1. Нахождение 2я-{-1 шаровых функций я-го порядка.
К специальным шаровым функциям мы приходим с 'помощью часто при-
применявшегося нами приема: мы полагаем Y(d,y)=p(y)q(d). Подставляя
это выражение в диференциальное уравнение G3) при I = я («4- 1) и
обозначая диференцирование по <р штрихом, а по & точкой, получаем:
7^»(
где р должно быть постоянным числом. Мы получаем, следовательно,
для q уравнение
^J-f Гп(п-{-1)8Ь1&— JL~L—0
и должны определить в нем параметр р так, чтобы существовало -реше-
-решение, регулярное при & = 0 и при & = тт. Подстановкой z = cos & это
уравнение преобразуется следующим образом:
[A -
где штрихом обозначается диференцирование по z и требуется найти
решение, регулярное при z=\ и z = —\. С этой задачей в несколько
ином виде м*Г встречались в гл. V, § 10, п. 2, стр. 308. Мы знаем реше-
решения р = А2, q = Pn,h{z), причем Pnh(z) являются функциями Лежандра
порядка h: '
a
§ 5 Шаровые функции Лапласа 487
А может принимать значения 0,1,2,..., я. Так как р определяется из
уравнения р" (у)-\-Игр(ч>) = 0 в виде aAcosAcp-j^ftAsin/Kp, то мы полу-
получаем решение уравнения G3) в виде:
F(»,sf) = (ah cos Asp -f bh sin Asp) Pnh (cos »).
Следовательно, функция
Yn = —к- Pn(cos6) -f- x* (ara ft cos Asp -f- ^я a s'n ^P) ^n ft (cos ®) G4)
представляет шаровую функцию я-го измерения, зависящую от 2и-{- 1
произвольных линейных параметров; мы сейчас увидим, что это есть самая
общ^я шаровая функция я-го порядка. Все функции cos Asp Pn h (cos &),
sin ftsp Pn h (cos &) линейно независимы между собой, так как они'попарно
ортогональны. Мы будем называть их симметрическими шаровыми
функциями п-го порядка.
2. Полнота полученной системы функций. Из теорем,
доказанных нами раньше, непосредственно следует, что система функций
c6sAtpPnA(cos&), sin Asp Ряй (cos &) представляет полную систему ортого-
ортогональных 'функций на поверхности шара. Действительно, с одной стороны,
функции sin Asp, cos Asp образуют полную систему функций относительно sp,
с другой стороны, для каждого значения А функции Pnh{z) образуют
полную систему функций относительно z, так как система всех фунда-
фундаментальных функций, получающихся в задаче на разыскание собственных
значений, представляет всегда полную систему (гл. VI, § 3, п. 1). Теперь
нам остается только вспомнить теорему гл. II, § 1, п. 6, которая содер-
содержит общее правило образования системы функций от двух переменных
из систем функций, зависящих каждая только от одной переменной, для
того чтобы убедиться в полноте нашей системы. Из этого результата
непосредственно следует, что диференциальное уравнение G3) не может
иметь никаких других фундаментальных функций, кроме указанных,
и, следовательно, не имеет других собственных значений, кроме чисел
вида «(я -j- 1). Таким образом разрешены все вопросы, которые были
поставлены раньше. Заметим, .что таким путем мы получили трансцен*
дентное доказательство того алгебраического факта, что существует
ровно 2я -f- 1 линейно независимых функций Yn,
Этот алгебраический факт можно; разумеется, легко доказать и чисто
алгебраическим путем. Рассмотрим произвольную целую однородную
функцию степени я от х,у, z:
каждый коэфициент arst можно представить в виде произведения неко-
Ъпи
торого числового множителя на я-ю частную производную
Ъ
Диференциальное уравнение иах= — и
. Ъти
заменить все частные производные -——-^-— , в которых диференцирова-
оХ ay? dz^
ние по переменной х производится более одного раза, частными про-
488 Специальные функции TJi. VII
изводными, в которых диференцирование по х производится не более
Ъ3и &и д3н
одного раза, например, —=_ _ - ^_ .
Следовательно, при условии Ди = О все коэфициенты многочлена и
являются линейными комбинациями коэфициентов яООя,яО1 „_-,, ,
ао,я,о fli,o,«-i>- • •> Д1,я-1,о> которые могут быть выбраны произвольно.
'З. Теорема о разложении. На основании доказанных раньше
(см., например, гл. V, § 14, п. 5) теорем мы можем утверждать, что
любая непрерывная на поверхности шара и имеющая там непрерывные
производные до второго порядка включительно функция g(b,y) может
быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по шаровым
функциям:
00 я
я=0 Л=1
причем коэфициенты ап0, anh, bnh определяются на основании формул
гл. V, § 10, п. 2, стр.'308'соотношениями:
а„,0 = ^ti Г Гg(ft, «p) pn (cos &) sin Ь db Of ,
—тс О
^ ' (я + ЛI ] \ «"(*» V)^*
: О
71 7t
(n — h)\
-TtO
G5)
Распространением этого результата на функции ^(&, (р) более общего
характера мы здесь заниматься не будем.
4. Интеграл Пуассона. Мы можем теперь написать решение
краевой задачи теории потенциала для шара радиуса 1 с краевыми
значениями g-(&, (p) явно в следующем виде:
СО Г я -1
« = X г"\ ап,о Рп (cos &) + ^ (an>h cos Щ -f bn>h sin Л(р) Pn>h (cos &) .
я=0 L Л=1 J
В силу равномерной сходимости при г<>0<;1 мы можем, вводя
интегральные выражения G5), изменить порядок суммирования и интег-
интегрирования. Тогда можно просуммировать в конечной форме; для этого
удобнее всего принять & = 0 и (р = 0 и заметить, что вследствие произ-
произвольности выбора северного полюса на поверхности шара результат
должен иметь место для произвольной точки Ь, (р на поверхности шара.
Так как РпA) = 1, р„<ЛA) = 0 (Л= 1,2,.. .,я), мы получаем:
• '/СО 1
4тт и (г,0,0) == J J | ? Bя+1)г" Рп (cos&) i g(&, ш) sin 9 rf& rfsp,
§ 5 Шаровые функции Лапласа 489
и здесь можно выполнить суммирование, если воспользоваться соотно-
соотношением
00 1-й2
A
которое выводится из равенства, определяющего полиномы Лежандра,
со
^y\h"Pn(z) = (l —-2hz-\- A2)~''a, и из равенства, получающегося из него
71=0
диференцированием по h.
После того как суммирование выполнено, мы можем представить себе
полюс перенесенным и пишем результат в общем виде:
—д О
Этот интеграл, называемый интегралом Пуассона, выражает
гармоническую функцию' внутри шара с помощью значений ее на по-
поверхности и не содержит явно шаровых функций. Во втором томе мы
еще вернемся к этому интегралу н выясним его значение для теории
потенциала.
5. Выражение шаровых функций Максвелла-Сильве-
Максвелла-Сильвестра. Совершенно иное выражение для шаровых функций, связанное
с физическим значением потенциала, дал Максвелл1). Мы здесь иссле-
исследуем шаровые функции, руководствуясь основной идеей Максвелла и
дополнительным замечанием Сильвестра, и получим таким образом
новое изложение теории этих функций.
Мы берем за исходный пункт основной потенциал — = .
г j/
г
соответствующий единичной массе, сосредоточенной в начале координат,
Ъпи
и замечаем, что производная v — (я = а -\- fi -f- у) потенциаль-
потенциальной функции и также удовлетворяет уравнению Да = 0. В самом деле,
диференцированием получаем из равенства Дк=;0:
0 = —- Ди = Д—
Ъх Ъх
и т. д. Поэтому и функция
где a, b и с — постоянные, представляет гармоническую функцию.
») „A Treatise on Electricity and Magnetism", т. 1, изд. 2-е, стр. 179-214,
Oxford 1881.
490 Специальные функции Гл. VII
Запишем ее, пользуясь символической линейной формой:
в виде L I —) или также в виде
д
а ''
г д
причем а — У a2 -j-^-j-c2, a тг означает диференцирование по на-
направлению v, направляющие косинусы которого пропорциональны чис-
числам a, b и с 1). Этот потенциал, физически говоря, соответствует биполю
момента а и направления v. Вообще
G7)
представляет потенциальную функцию, соответствующую „мультиполю"
с осями Vj, v2, ,vn. При этом Lt означают линейные формы относи-
d d d , .
тельно операторов — , —, —, и коэфициенты их ар bt, ct определяют
направления осей vi. Легко видеть, что потенциал и имеет вид:
u = Un'(x,y,z,)r-™-\ G8)
где Un есть целая рациональная однородная функция степени п относи-
относительно х, у, z. Функция Vn также удовлетворяет уравнению Д?/и = 0,
что вытекает из следующей «общей теоремы: одновременно с функцией
и (х, у, z) является решением уравнения Лапласа функция
?. У. ±\
2>
Полученные таким образом функции Un(x,y,z) представляют прн /"=1
согласно нашим прежним определениям ^гл. V, § 9, п. 1, стр. 299) ша-
шаровые функции я-го порядка.
Так как каждое из встречающихся в формуле G7) п направлений
характеризуется при помощи двух параметров и, кроме того, в потен-
потенциал и входит еще произвольный постоянный множитель, то в общем
мы имеем 2/г —|— 1 произвольных постоянных. Естественно поэтому ожи-
ожидать, что в виде G7) могут быть представлены все шаровые функции
*) Если допустить, что я, бис могут принимать и комплексные значения, "то
для тех значений а, Ъ, с, для которых^я2-J- ?2 + е2 = 0,- нужно соблюдать необ-
необходимую предосторожность.
2) Доказательство этой теоремы просто получается, если уравнение Лапласа
преобразовать к полярным координатам (см. гл. IV, § 8, п. 2, стр. 217).
§ 5 Шаровые функции Лапласа 491
я-го порядка. Строгое доказательство этого положения мы проведем
следующим образом: прежде всего представим 2я-{— 1 линейно незави-
независимых симметричных шаровых функций Рп,н(cosЩcosh^,Pnfl(cosQ)sinh^f
в виде потенциалов мультиполей. Отсюда непосредственно следует, что
любая шаровая функция п-ro порядка выражается в виде суммы потен-
потенциалов мультиполей. Наконец, мы докажем, что каждая такая сумма
равна потенциалу мультиполя, который мы можем получить при помощи
простого геометрического построения. Симметричные шаровые функции
легко получить, рассматривая симметричные мультиполи. Пусть имеем
я осей с направлениями vx, va,...,vR в плоскости х, у, расположен-
расположение
ных симметрично так, что каждые две соседних образуют угол —.
Полагая п
м )
и заметив, что левая часть инвариантна относительно вращений шара
вокруг оси z на угол — , мы непосредственно видим, что необращаю-
необращающаяся тождественно <в нуль1) шаровая функция я-ro порядка
2тг
как функция от <р, имеет период-—. Так как на основании п. 3 всякая
шаровая функция я-го порядка может быть представлена в виде
(апЛ cos я<р -f bHih sin Щ) Pnh (cos 9),
ft=O
то отсюда следует, что функция Yn(d, <р) должна иметь вид:
Yn (s> *J=(°п,п cos я<р + Ъп>п sin щ) Рп>п (cos 9) -f anfi Я„,о (cos Ь) =
= a cos п (<р — %) Рп>п (cos 9) + anja Pn,o (cos 9).
— I = ~L r«+i - Л .
r} n\ dzn
Принимая, далее, во внимание произвол в выборе одной из осей Vj-, мы
видим, что действительно всякую шаровую функцию вида
a cos n (у — (p0)Pnn(cos9)
можно представить в виде линейной комбинации двух мультиполей:
одного — вида G9), а другого — вида —^
*) Что потенциал мультиполя не может тождественно равняться нулю, будет
доказано на стр. 494,
492
Специальные функции
Гл. VII
Чтобы получить выражение для остальных шаровых функций я-го
порядка с помощью мультиполей, мы заметим, что функция ип может
быть представлена на основании формулы (80) в виде
где fn (х,у) = a cos п (tp — у0), /в @,0) = 0, а р — постоянное число. В этом
выражении заменяем п через h и затем диференцируем п — h раз по z.
Получающаяся таким образом потенциальная функция ив,л также
имеет вид
и отсюда мы можем заключить, что шаровая функция и-го порядка
должна иметь вид a cos h (tp — ср0) о (в) -f- Pj Яи0 (cos Ь). Поэтому на осно-
основании п. 1 она должна иметь форму:
(81)
Const X cos h (<p — <ро)Яя,л (cos ») + Pj ЯВ@ (cos »).
Что таким образом можно получить любую функцию этого семейства,
опять непосредственно следует из произвольности выбора направления
одной оси.
Так как согласно п. 2 любую шаровую функцию порядка п можно
представить в виде суммы 2п-\-\ шаровых функций вида (81), to ясно,
что мы получим любую шаровую функцию й-го порядка, если образуем
суммы потенциалов мультиполей:
А1)
(82)
Обратно, любая сумма такого вида, очевидно (см. стр. 485), дает
шаровую функцию я-го порядка. Более того, если будем придавать
коэфициентам ам всевозможные значения, то получим, как сейчас по-
покажем, каждую отдельную шаровую функцию бесчисленное множество раз.
Сначала мы еще докажем, что любая сумма предыдущего вида
является потенциалом одного мультиполя с надлежаще выбранными осями.
При этом мы будем пользоваться символической записью, а именно
рассмотрим однородный многочлен я-й степени
и запишем наш потенциал в виде Н—, где ?, j], ? в выражении И надо
заменить символами диференцирования —, — и — . Так как при этом
§ 5 Шаровые функции Лапласа 493
условии относительно S, J], С функция (S2 -|- if -f- С2) — тождественно
равна нулю, то//— = W1-—» если только разность //—//3, рассматри-
рассматриваемая как многочлен относительно S, jj, ?, может быть представлена
в виде Q (S2 —|— Ч2 Н— С2), где Q — однородный многочлен (л — 2/-го
измерения относительно ?,!],?•
Теперь мы будем опираться на простую алгебраическую теорему,
которой пользовался Сильвестр х). Для каждого однородного много-
многочлена п-й степени #(?, j], ?) можно определить п линейных форм
Lj, L2,...,Ln и многочлен (п—2)-й степени Q(S, jj, С) «а/с, чтяобы
имело место соотношение вида
Н= CLX L2. ..Ln + Q (S2 + ч» + S2).
?сли Н имеет действительные коэфициенты, то линейные формы
Lj,Z,2,...^„определяются с точностью до постоянных множителей
однозначно требованием, чтобы их коэфициенты быт действитель-
действительными числами. Доказательство этой теоремы и геометрическое истолко-
истолкование форм Lt мы дадим, чтобы не прерывать хода рассуждений, в конце
этого пункта. Из теоремы Сильвестра вытекает наше утверждение отно-
относительно выражения суммы (82) в виде потенциала одного единственного
мультиполя. В самом деле, разумея под v, направление, перпендикуляр-
перпендикулярное к плоскости ?^=0, мы получаем:
>¦-!-
и = Н~ = СЛ л Г -,
г dv1dv2...dvn
что и дает нам искомое выражение.
Таким образом основные положения нашей теории установлены. Мы
можем придать нашим рассуждениям несколько иной оборот, при кото-
котором можно избежать ссылок на результаты п. 1 и 2 и при котором
более выпукло оттеняется чисто алгебраический характер наших теорем,_
но зато теряется связь с выражениями в явном виде. Мы начнем с заме-
замечания, что две функции Н — и //, — тождественны между собой в том
и только в том случае, когда разность И* (S, >]• Q=#(S. 1> О —Н\ (?• Ч> О
делится на ?2 + if-|-C2. Первая часть этого утверждения, как мы уже
отмечали, очевидна. Чтобы доказать вторую часть, мы должны обнару-
обнаружить, что из соотношения Н*—=0 следует делимость однородного
многочлена П*(й, rhQ на (?2 -f jj2 -j- С2) 2). Но согласно теореме Силь-
Сильвестра имеем:
H* = CL*L*... L* -f Q* (S2 + >j2 + С2), (83)
1) Sylvester J. J., Note on spherical harmonics, Phil. Mag., т. 2,
стр. 291—307 и 400, 1876; Papers, т. 3, стр. 37—51, Cambridge 1909.
2) См. цитируемую далее работу А. Островского (стр. 496, сноска 1).
494 Специальные функции Гл. VII
где Z.J*, 12*,... ,Ln* означают линейные формы, которые в случае дейст-
действительной функции Н* можно считать действительными. Если .одна из
форм L{ тождественно равна нулю, то наше утверждение очевидно. Если
же ни одна из линейных форм не обращается тождественно в нуль, то
tl f — СЦ L2 ...Ln f — LdV*
вследствие того, что начало координат представляет особую точку,
потенциал мультиполя в правой части может равняться нулю во всем
пространстве только в том случае, если С=0. Действительно, в про-
противном случае мы имели бы при надлежаще выбранном т @^т<^п)
соотношения:— — =эиф0, -—^- = 0, и поэтому функция ют
должна была иметь на всякой параллели к оси vm+1 постоянные значе-
значения, что невозможно, так как начало координат является особой точкой.
Таким образом имеем
Н* (S, 4,0 = 0* (S, ч, С) • (S2 -f f + t?f,
как мы и утверждали.
Как легко видеть, мы можем любую однородную функцию //(?, jj, Q
я-й степени привести и притом единственным образом к виду
//E,Ч,0 = оя(ч.О + 50я_1(ч,0-1-(? + Ч" + Р)<гE,ч.О. (84)
При этом Gn означает однородную функцию я-го измерения только
от J] и S, Gnl—функцию (п—1)-го измерения, a Q — однородную
функцию (я—2)-го измерения. Разность двух функций я-й степени
//(&, J], С)и/? (S, jj, Q делится на S2 + »j2-j-S2 в том и только в том
случае, если для соответствующих функций Gn, Gn_v Gn, Gn_1 имеют
место тождественные соотношения:
На основании только что доказанной вспомогательной теоремы мы
имеем в форме Н— ровно 2п-\-\ линейно независимых гармонических
функций соответственно 2п-\-\ коэфициентам, входящим в функции
Gn и Gn_j, которыми мы можем располагать по нашему усмотрению.
Следовательно, мы действительно можем всякую шаровую функцию
порядка п представить как сумму потенциалов мультиполей. Однако,
чтобы действительно получить выражение шаровой функции в этой
форме, возможность чего. мы доказали, надо будет в той или иной
форме прибегнуть к рассуждениям, аналогичным ранее изложенным.
Остается только привести в заключение доказательство теоремы
Сильвестра. Мы проведем это доказательство с помощью простого
рассуждения из области алгебраической геометрии. Коническая поверх-
§ 5 Шаровые функции Лапласа 495
ность й-го порядка //(^,rj,Q = O в пространстве S, Jj, ? пересекает
на основании теоремы Безу абсолютный конус S2 -J- if + ?2 — 0 ровно
по 2л образующим, причем кратные пересечения, если таковые имеются,
надо считать сообразно их кратности. Мы проводим через эти 2« обра-
образующих п плоскостей таким образом, чтобы каждая плоскость содержала
две образующие и чтобы каждая образующая лежала на какой-нибудь
из этих плоскостей. Пусть уравнения этих плоскостей:
При этом кратные образующие должны входить сообразно их крат-
кратности1). Рассмотрим теперь пучок конусов и-го порядка, содержащий
два параметра I и »л:
Каждый конус этого пучка пересекает абсолютный конус по указан-
указанным 2я образующим. Теперь возьмем произвольную образующую абсо-
абсолютного конуса, отличающуюся от указанных, и определим отношение
параметров Х:}л так, чтобы конус я-го порядка IH-^p.^^. ,.Ln = 0
проходил также и через эту образующую, что всегда возможно и дает
для X:ja значение, отличное от нуля и от бесконечности. Этот новый
конус я-го порядка имеет с абсолютным конусом, представляющим конус
второго порядка, более 2п общих образующих, что возможно только
тогда, когда этот конус содержит в себе целиком конус второго порядка.
Но это будет в том и только в том случае, когда левая часть равенства
содержит выражение (S2-j-jj2-f-?2) в качестве множителя2), т. е. если
\Н+ jiIjL,. . .La = {t' + rf + С2) Q.
*) Чтобы уточвить это правило, не прибегая к сложной общей алгебраической
теории элиминирования, мы поступаем следующим образом. Мы униформизируем
геометрический образ ?2 + iJ + t2 —0, полагая, например,
Однородная функция й-го измерения //(?, ч, О переходит тогда при этой под-
подстановке в рациональную функцию H*(t) степени 2и от и Корни этой функции
определяют общие образующие конусов #(?,ч, 0 = 0 и S2 -J- ч2 + Са = 0. Мы
скажем, что общая образующая этих конусов является ft-кратной, если соот-
соответствующее значение t является корнем k-к кратности уравнения //*$) = 0.
Линейные формы ?j, L%,..., Ln надо выбрать таким образом, чтобы каждая общая
образующая k-й кратности конуса //=0 и абсолютного конуса была также
fc-кратной линией пересечения агрегата плоскостей ?t L2 ... La = 0. Легко ви-
видеть, что это предписание можно всегда осуществить -j\
2) Первая часть утверждения очевидна; вторую часть проще всего можно
доказать, если представить данную форму согласно формуле (84) в виде:
О„ (ч, 0 + 5 0<г_1 ft, 0 + (& + ъ* + С2) Q E, ч, S).
Если теперь ч. С представляют любую пару значений, для которой ч8 + ?а фО, т0
имеют место одновремевно оба соотношения:
и 0 = Оя (Ч, 0 + |/-(Ч2-К2) О„_,D,0
0 = Оп (Ч, 0 - /-(Ч2+^) О„_, (ч, Г),
на основании которых мы непосредственно заключаем, что
О» (ч,0 = 0. Оя_1(ч,О = 0.
Таким образом функции Оп и Gп_^ равны нулю для всех пар значений ч,?> для
которых ч2 + ?гф0, следовательно, они очевидно тождественно равны нулю.
496 Специальные функции Гл. VII
Тем самым теорема Сильвестра.доказана1). Вместе с тем дано простое
геометрическое истолкование осей мультиполя, соответствующего шаро-
шаровой функции.
Что касается условий действительности, надо обратить внимание на
то, что хотя при действительной функции Н все общие образующие
должны быть мнимыми, но что они являются попарно сопряженно-ком-
сопряженно-комплексными, следовательно существует одна и только одна возможность
расположить ик на п действительных плоскостях.
§ 6. Асимптотические разложения.
Во многик случаях важно знать асимптотические выражения для наших
функций при больших значениях входящих в них переменных или пара-
параметров. В предыдущей главе мы рассмотрели асимптотические выражения
для штурм-лиувиллевских и бесселевых функций, ограничившись действи-
действительной областью изменения переменных. В этом параграфе мы ознако-
ознакомимся с методами нахождения асимптотических выражений, которые по
существу связаны с применением. комплексных переменных и комплекс-
комплексных интегралов.
1. Формула Стирлинга. В качестве первого примера асимптоти-
асимптотических разложений рассмотрим формулу Стирлинга; при выводе ее
обнаружится основной принцип доказательства, которым нам в дальней-
дальнейшем неоднократно придется пользоваться, хотя применять интегрирования
в комплексной области мы в данном случае не будем. При s ]> 0 имеем:
со
00
о
со
00
?в-*(*-1-1о^)Лв
\ e~sm dx [/(т)=т - 1 — log т)].
о
Подинтегральная функция в последнем интеграле при т = 1 имеет
значение,, равное единице; при всех же остальных значениях т она
с возрастанием 5 стремится к нулю. Мы можем поэтому ожидать, что
значение нашего интеграла при достаточно больших s в основном зави-
зависит от значений подинтегральной функции в небольшой окрестности
точки т=1. Соответственно этому мы заменяем наш интеграл интегра-
интегралом, взятым в пределах от1—е до 1 -|- е (причем О < е</о") » и прежде
*) Эта алгебраическая теорема была использована в указанном месте Силь-
Сильвестром, причем он ее не доказывает. А. Островский указал на необходимость
дать доказательство для этой теоремы. См. Ostrowski A., Mathematische Miszellen I.
Die Maxwellsche Erzeugung der Kugelfunktionen, Jabresber. deutsch. Mathem. Ver.",
т. ХХХ1П, 1924.
§ 6 Асимптотические разложения 497
всего оцениваем погрешность, которая получается при отбрасывании
интегралов от 0 до 1—? и от 1-|-едооо. При-т,-=?^ т < 1 имеем:
т- 1 -logt=j^-
а пги 1^т<4 имеем:
t-l-logt=f(l—i)d«^lf(B-l)rf«==|(t- IJ-
В интегралах
1-е 4
[e-sf^dz, [er-sf-todx
0 l+s '
мы заменяем подинтегральную функцию ее наибольшим значением, ко-
которое достигается соответственно в точках 1 — s и 1 -}- ?, а это значе-
ние в свою очередь — верхней гранью е 8 . Таким путем получаем:
1 -е 4
При t^s4 имеем:
~— logt>- ;
поэтому при s ^> 4
4 4
_ 2
Если выберем теперь е = s 5 , то получим:
О (е" ^ 5 5 j 'I
Чтобы приближенно вычислить интеграл, стоящий в правой части,
мы будем опираться на соотношение:
1 3
в котором ф (т) означает регулярную функцию в интервале -^ sg: т «S -„ ,
*) Здесь обозначение О[^(*)] имеет то же значение, что и в гл. V, § 11,
32 Курант-Гильберт.
498 Специальные функции Гл. VII
абсолютное значение которой не превосходит некоторой конечной
грани М. Из этого соотношения мы выводим заключение, что при
1 — е<^т<^1-|-е имеют место неравенства:
е 2
и далее, что
е
Отсюда получаем:
1-е
т. е.
Г(в+1) = Я'+Тв-Т^[1+0(ГТ)], (85)
следователь :о,=
T(s-f 1)^/2to"s^-s. (86)
2. Асимптотическое вычисление функций Ганкеля
и Бесселя для б о^л ьших значений аргументов. Подобным же
образом мы можем вычислить асимптотически функцию Ганкеля Щ(г)
внутри угла — — -\-b<^aigz<d~- — 8 для больших \г\ пользуясь
интегралом:
г(т-0(т^г -J-
Щ (z) = -li /yj \е^{12 _
(см. § 2, п. 5), взятым по пути, изображенному справа на черт. 12,
причем — < zxgz<^ -5-, и, кроме того, мы принимаем, что log (т2 — 1)
Z 2,'
при т>1 имеет действительные значения. Не изменяя значения инте-
интеграла, мы можем повернуть разрезы и путь, идущий вдоль одного из
этих разрезов, в плоскости т так, чтобы их направление образовало
§ б Асимптотические разложения 499
с осью х угол — 3sgz. Применим подстановку
тогда плоскость и окажется разрезанной вдоль двух горизонтальных
лучей, идущих вправо соответственно из точек 0 и 2zi; новый путь
интегрирования окружает разрез, идущий вдоль положительной части
действительной оси, причем в верхней полуплоскости путь пробегается
справа налево, а в нижней — слева направо. Разумея под и 2 ту
однозначную в разрезанной плоскости ветвь этой функции, которая по-
получается, если считать значения на нижнем крае положительной части
действительной оси аргумента и равными нулю, а
ту ветвь, которая при и = 0 имеет значение 1, получаем:
У и
Если ЭМХ -„-1 >— 1, то можно петлю вокруг,точки к = 0 стынуть
в точку и, следовательно, заменить наш интеграл интегралом, взятым
вдоль нижнего края положительной части действительной оси от О до оо,
к которому надо прибавить интеграл, взятый вдоль верхнего края от оо
до 0. Но последний интеграл равен первому, умноженному на
-2rf(l+J-)
— е 2 . Поэтому после легких преобразований, в которых при-
приходится пользоваться формулой Г(лг)ГA—х)'=- , получаем:
Хтг тг\ ОО ,1
Т) 6
"-" 'O+s
6
(87)
Последний множитель под знаком интеграла выражаем при помощи
формулы Тейлора с остаточным членом Коши в виде определенного
интеграла:
(¦+?) -
V
_ 1
р
о
и замечаем, что для остаточного члена получается при этом удобна^
оценка.
32*
500
Специальные функции
Гл. VII
В самом деле, для положительных значений и имеем:
>sinS;
arg
О;
/ 1 \
предполагая, далее, 2л(Х— р\ <0, что во всяком случае спра-
справедливо при достаточно больших значениях р, имеем:
1
р'
где Лр не зависит от г и /. Подставляя выражение (88) в формулу (87)
и почленно интегрируя, получаем:
9 \
s)
(9
причем
1 / Xit тс \
1 . I в _ 1
Г1Х + 4
v=0
,(89)
Таким же образом, а именно с помощью подстановки т-|- 1 = —, мы
получаем:
,(90)
Отсюда следует:
¦К
(91)
§ 6 Асимптотические разложения 501
где из двух выражений, стоящих внутри фигурных скобок, надо брать
верхнее в случае четного v и нижнее в случае нечетного v. Ограничи-
Ограничиваясь первым членом разложения, имеем:
Г1). (92)
тем самым определены пределы, о которых шла речь в гл. V, § 11, п. 2,
а именно:
«00=^1/ — , 000=: — — + —.
3. Метод перевала. Во многих случаях можно применить более
общий метод для асимптотического вычисления интегралов, называемый
.методом перевала" (Sattelpunktmethode). Если имеем интеграл
1'
dz,
взятый по пути С, на котором действительная часть функции /(т) по
мере приближения к обоим концам этого пути стремится к — оо, то
при больших положительных значениях z удаленные части пути инте-
интегрирования, т. е. те части, для которых действительная часть 91/(т)
имеет большие отрицательные значения, будут оказывать тем меньшее
влияние на значение интеграла, чем больше z. Мы попытаемся теперь
так изменить путь интегрирования в плоскости комплексного перемен-
переменного, чтобы та часть пути интегрирования, которая имеет решающее
значение при вычислении интеграла, была по возможности меньЧле. Нам
нуж.но, следовательно, выбрать такой путь, на котором ?Н/(т) как
можно быстрее убывала бы по обе стороны от некоторого наибольшего
значения! Полагаем T=u-\-iv и представляем себе, что 91/(т) изо-
изображена в виде поверхности, простирающейся над плоскостью и, v (по-
(поверхность имеет повсюду отрицательную кривизну); тогда мы достигнем
цели, если нам удастся провести путь через точку перевала на этой
поверхности так, чтобы по обе стороны от этой точки путь как можно
более круто спускался к большим отрицательным Значениям Ш/(т).
В таком случае для больших положительных значений z будет играть
роль только ближайшая окрестность точки перевала.
Линии наиболее быстрого спада являются ортогональными траекто-
траекториями линий уровня 9^/(т)= const, т. е. представляют кривые JJ/(t) =
= const. В точке перевала обращаются в нуль производные, взятые по
направлению • касательной к кривой 2i/(T) = constj от функций Ш/(т) и
S/(t)i а потому обращается в нуль также и производная /'(т) самой
функции /(т). Следовательно, мы должны искать точки перевала среди
корней уравнения
Вывод формулы Стирлинга подходит под этот метод, поскольку там
действительная ось как раз и была требуемым путем, наиболее круто
спускающимся от перевальной точки т = 1.
502 Специальные функции Гл. VII
4. Применение метода перевала к вычислению функ'-
ций Ганкеля и Бесселя для больших значений пара-
параметра и больших значений аргумента. Мы здесь со всей
возможной краткостью проведем при помощи этого приема асимпто-
асимптотическое вычисление функции (см. формулу C) на стр. 446):
# 1 (а\) = — 1Г (?¦ (-ta «n <+ f)ttt
h
при действительном значении а и большом положительном значении \.
Разложим множитель при X в показателе на действительную и мнимую части:
— / a sin т -f- /т =/(т) = a cos и sh v — v -j- i (и — a sin и ch v).
Точки перевала являются корнями уравнения a cos т = 1; через эти точки
мы должны провести кривые и — asinKchw=const и посмотреть,
можно ли составить из них требуемые пути интегрирования.
1. Если «<Ч, скажем а = —— (а>0), то точками перевала яв-
являются точки т==ЧЬ а/, а уравнения проходящих через них кривых будут:
и — a sin и ch v = 0 — a sin]0 ch a = 0.
Первая кривая состоит из мнимой оси н = 0 и ветви кривой, прохо-
проходящей через точку т=си и приближающейся сверху неограниченно
к прямым и = тт и и = — тт, а вторая кривая состоит
из мнимой оси и = 0 и ветви, проходящей через
т = — ал и неограниченно приближающейся снизу
к тем же прямым. Это показано на черт. 2Д, на ко-
котором отмечено стрелками направление возрастания
действительной части функции /(т). Составленная из
отрезков кривых ^(/) = 0 кривая, отмеченная на
чертеже сплошной линией и пробегаемая снизу
вверх, дает, если по ней интегрировать, очевидно,
И[\ в самом деле, эта кривая может быть преобра-
преобразована в путь Lt за исключением одной части ее,
начало которой лежит сколь угодно высоко и ко-
которая находится целиком внутри полосы — тт ^ н ^
— тт-f-e, следовательно, значение интеграла вдоль
этой части может быть сделано сколь угодно малым. Действитель-
Действительная часть функции —/jasint+iT достигает наибольшего значения
а-—tha при т = — ал. Заменим опять (ср. стр. 496) путь Ьл
прямолинейным куском V, идущим от точки (—а—e)i до точки
_ 2
(—¦ a -j- s) /, где s = \ s. Разлагая остающуюся часть пути интегри-
интегрирования на две примыкающие конечные части и на две части, идущие
в бесконечность, и производя оценку, совершенно аналогичную оценке
в п. 1, получаем, что
(-a-e)/
+
-Voo
§ 6 Асимптотические разложения 503
где Cj, как и дальше встречающиеся с2, са и т. д., означает некоторое
положительное постоянное число, не зависящее от X (а следовательно,
и от е). В самом деле, на обоих конечных отрезках абсолютное зна-
значение подинтегрального выражения не больше тех значений, которые
оно принимает в точках (—a — г) г и (—a-{-s)i, а для этих значений
имеет место указанная оценка. Для простирающихся в бесконечность
кусков пути интегрирования легко указать верхнюю грань абсолютного
значения подинтегрального выражения вида е~сХ1я+*\ где s есть длина
дуги пути интегрирования, а с и с'—положительные постоянные, не за-
зависящие от X и ?. Отсюда следует для абсолютного значения интегралов
по этим частям оценка вида О(е~с^). На куске V имеем:
/Ч)
следовательно,
[ еУ
о/
-[-
>/(¦) =
Wrft =
-tha
/(-
(-0
'(-аО(т
i e
V
oo
=- i I/ j-^- * (« " th«) f е-^н [ 1 + О (е- ^е2)] [ 1 -f О \l~ ~5~J J =
—Ъо
Таким образом мы получаем:
^f'^)] (93)
2. Если й^>1, например a::=- lO<^a<^—J, то мы^имеем точки
ла т==а и т = — а и соответственно кривы
и — asmuchv = -\-(a — a sin а), или chw=
—
перевала т==а и т = — а и соответственно кривые
tga)
a sin к
изображенные на черт. 22. При интегрировании по пути, изображен-
изображенному сплошной линией, получаем Щ1Цг). Если заменим этот путь
вблизи точки перевала прямолинейным отрезком, наклоненным под
углом — - - к действительной оси, и соединительными отрезками ко-
504
Специальные функции
Гл. VJI
нечной длины, на которых
З
не принимает больших значений, чем
' 2
в точках т = —ctrhee 4(черт. 23), н положим опять е = Х 5, то по
лучим таким же путем, как и раньше:
Зга
- к- ее
3*/
4
Zt.i
— «-[-Ее
__ gik (tg a — «)
J
3. Если а=1, то в точке перевала т
и f"(x). Кривая 3:/(т) = и—sin и ch v =
(94)
0 обращается в нуль также
= 0 имеет поэтому три
Черт. 22.
Черт. 23.
Черт. 24.
Черт. 25.
ветви, проходящие через точку т = 0 (черт. 24); одни из этих ветвей
есть мнимая ось. Мы опять заменим криволинейную часть пути L, (этот путь
на черт. 24 изображен сплошной линией), примыкающую к точке т= О,
прямолинейным отрезком (черт. 25), наклоненным к действительной оси
под углом в — и имеющим длину е = К 4. Тогда для всех т пут^и
§6
Асимптотические разложения
505
интегрирования между
Далее,
ei ц ее6 имеем:
/(г)-6-
,е6
5га
*6
SrJ
Ы
ее и — и
— e»
0 0
при последнем преобразовании -мы полагаем в первом интеграле
3 /~Ъ Ътй 3 ,'
= "|/ — е6 и, а во втором —т=—|/ ~ iu. Правая часть послед-
последнего равенства равна:
3 Г~с /5^'
оо
если е3Х остается больше некоторой положительной грани. Но
оо оо
1 Г - - 1
e-"sdu= \ е Ч *dt=~
и J О
О ' О
следовательно, окончательно получаем:
<95>
Асимптотические формулы для Ух (оХ) получаем в случае а ^ 1 из
выведенных здесь формул для Щ (а\) и из формул, которые находятся
совершенно аналогичным образом, для Щ (аХ):
ттХШа
_3га
g^ (к — th к)
), (96)
(а>1), (96')
:(«=!), (96")
506 Специальные функции Гл. VII
путем комбинирования по формуле:
Но в случае а <^ 1 мы получаем таким образом для главного члена зна-
значение нуль. В этом случае мы можем выбрать также для получения У,
путь интегрирования, изображённый на черт. 2.6 сплош-
1\ | /| ной линией, и тем же методом получаем:
i ]p I
""}" j I 5. Общие замечания по поводу метода
' . ! перевала. Мы воспользовались методом перевала для
__¦¦'* ¦ тч if nit* паи на орпшптптттй/ч/иу *4ч/-»гми л г тт trnTnni.m nr\r\ пг"гс_
j У 1 Л
I / j
вычисления асимптотических формул, которые предста-
i вляют только первые члены асимптотических рядов,
j
i
\ j получающихся с помощью принципа, намеченного в на-
начале. Что касается этих рядов, мы отсылаем к по-
Черт. 26. дробному изложению у Watson G. N., A treatise on the
theory of Bessel Functions, Cambridge 1922 и к ориги-
оригинальным работам, особенно к статье Debye P., Math. Ann., т. LXVII,
стр. 535-558, 1909.
Впрочем, при применении метода перевала не является необходимым
выбирать путь интегрирования в точности указанным образом; доста-
достаточно только, чтобы этот путь при больших значениях параметра, по
которому производится разложение, достаточно близко подходил к ука-
указанному положению. Таким образом Г. Фабер получил целый ряд асимп-
асимптотических разложений, например для полиномов Эрмита и Лагерра [см.
FaberG., Sitzungsber. Akad. Miinchen (math.-phys. Kl.), 1922, стр. 285-304].
6. Метод Дарбу. Другой метод для вывода асимптотических фор-
формул принадлежит Дарбу1). Пусть рассматриваемые величины ov заданы
как коэфициенты степенного ряда, т. е. при. помощи производящей
оо
функции K(Q = y^avC- Если • известны особые точки этой функ-
ции на окружности круга сходимости (пусть это будет окружность
| Z [ = 1, Z = е?') и если можно путем вычитания известных функций
оо
,fn (?) = ]^аЯ7С достигнуть того, чтобы разность К—/„ при приближении
к окружности круга сходимости равномерно сходилась к некоторой и раз
непрерывно диференцируемой функции от ср, то коэфициенты ач — апч
степенного ряда
оо
*) Darboux С, Memoire sur I'approximat'on des fonctions des tres-grands
nombres, et sur une classe etendue de develop-ements en serie, Journ. math, pures
etappl., серия З, т. 4, стр. 5—56 и стр. 377—416, 1878. См. также Нааг А.,
Ober asymptdtische Entwicklungen, Matti. Ann., 96.
§ 6 Асимптотические разложения 57
являются коэфициентами Фурье и раз непрерывно диференцируемвп
(при и = 0 непрерывной) функции от if и удовлетворяют поэтому со-
согласно гл. И, § 5, п. 3 условию:
"-i|av — an.,| = 0;
v-»OO
следовательно, значения anv дают при больших значениях v тем лучшее
приближение к av, чем больше п.
7. Применение метода Дарбу к асимптотическому
разложению полиномов Лежандра. Применим этот метод
к полиномам Лежандра Pv(z), которые определены при помощи про-
производящей функции:
Допустим сперва, что —\<^z<^\, и положим z — cosie, ^ <
Тогда 1—2z?-\- !?=(?— е?')(ч— е-*'); радиус круга сходимости'равен •
единице, и на окружности его лежат особые точки ^ = е~ч1. Чтобы
получить разложения функции К по степеням ? — е—?', мы условимся
/
под |/? — е±?' разуметь следующее:
где квадратный корень справа означает ту ветвь функции, которая вы-
выражается биномиальным рядом1). Тогда
1 JL
, Зга
"Г 4" I _Л
' у( 2
/2 sin ф/ С — е* vt^V v
2 )( ^ —е' \
Д ef — в"'1/ ~~
/2 sin ?/С — e-«vt
Полагаем
тогда /^—fn на окружности круга сходимости является непрерывной
функцией, имеющей непрерывные производные первых п порядков.
») Следовательно, если a — число положительное, то для Zz=et'—a корень
|/С — еч' должен быть чисто мнимым и иметь положительный знак; наоборот, для
? = е-у'—а корень j/f — е-ч1 должен иметь чисто мнимое отрицательное зна-
значение. Условие, принятое в тексте, согласуется с требованием, налагаемым фор-
формулой (97), чтобы при К == 0 корень \/\ — 2г? + С* имел значение + 1.
508 Специальные функции Гл. VII
Следовательно, разлагая fn по степеням ?, имеем:
1\ / 1 \ I „—. n—'+v(<P + 7r)' — !*(? + ")<
Г/>9« о-Л "I
отсюда получаем
притом равномерно во всяком интервале
Если принять во внимание, что pn + i, ц — Рп, |i = О(ц~ "" 1), то отсюда
следует, что р ^==р (^-j-'О (ji-"-1).
Если ограничиться первым членом в этом асимптотическом разложении,
то получим:
2 Ь3...<2}х— 1)
11 |/ sin <p 2-4...2}i
Если г не является действительным числом, заключенным в проме-
промежутке между — 1 и -|- 1, то одна из особых точек С, по абсолютному
значению меньше единицы, а другая ?2 по абсолютному значению
больше единицы, так как С|С2=Ь
На окружности круга сходимости |'?| = |?j| лежит только особая
точка d, и только эту особую точку нам приходится принимать во
внимание. Если мы поэтому преобразуем первые п «ленов разложения
функции K(z, Q по степеням ? — ?, в степенной ряд относительно Z,
то коэфициенты его представляют асимптотические выражения для Р„(^),
с той, однако, разницей по сравнению с предыдущим случаем, что
теперь имеет, место соотношение:
I Si \"(p*~ PnJ> — О (II-"-!).
Примечания.
К стр. 71 A-я строка снизу):
Интеграл Дирихле (Courant-Hilbert, 1-е издание, стр. 54—55).
Пусть f (х) — кусочно-гладкая функция, а—-произвольное положительное
число, тогда имеет место "формула:
а
lim 1 Г
с-»оо п J
интеграл, находящийся в левой части этой формулы, принято называть интегр/i-
а —<)
лом Дирихле. Прежде всего докажем, что интегралы \ и \ при произвольно ма-
г, -а
лом постоянном значении i) стремятся к нулю, когда v -»оо. Применяем к пер-
первому из этих интегралов интегрирование по частям:
ч
S означает сумму скачков функции -— cos {vt) внутри интервала (i), a).
Так как выражение в квадратных скобках и подинтегральнре выражение интеграла,
находящегося в правой части, остаются ограниченными при постоянном значении i),
то наше утверждение доказано. Совершенно таким же образом проводится до-
доказательство и для второго интеграла,
г,
,i ^ f ,, , .. sinvt
Чтобы найти предел интеграла \ f(x -j- t) —-— dt>, рассмотрением кото-
— о
рого мы. можем ограничиться, мы рассмотрим разность
причем число i) выбираем настолько малым, чтобы производная от /(лг + f) была
непрерывна при 0<?sg;i), а также в интервале — i)^f<0.
Так как первый множитель под знаком интеграла остается по" абсолютному
значению ограниченным и ^.М*. где М+ означает верхнюю грань абсолютных
значений производной от f{x + t) при 0 <<<i), то наша разность по абсолют-
абсолютному значению sg; M+-t\. Подобным же образом получаем, что разность
о оо
J f(x -f-1) —— dt—f{x — 0) \ —f— dt= \ — ~~t sin vt dt
\ —f— dt= \
— 4 - i)
510 Примечаний
по абсолютному значению меньше МГ1, где М — верхняя грань абсолютных
значений f'(x-\-t) при —i) < t < 0. Таким образом мы получаем:
— ч
так как, очевидно,
—ч
Это неравенство имеет место равномерно для всех vЗг 0. Но так как М+ и Л1~
безусловно не возрастают, если число т\ > 0 уменьшается, то достаточно только
обнаружить справедливость равенства
sin vt ., я
Л
«7OO
Путем подстановки vt — u находим:
fsin»^ .. ,. fsinH, fsinu .
Iim I dt= hm ¦ rfH=\ du.
J J H J u
О 0
Но из соотношения (см. стр. 514, 515)
со
,. fsinH, fsin
г» -»OO J H J u
0 0
J <2 d?~ 2
о
J
о
интегрированием по частям находим:
оо оо со оо
f
=—г J
о оо
sin и
т. е. получаем искомое равенство. Доказанную формулу можно, как это сделал
Дирихле в своей классической работе *), положить в основание теории рядов
Фурье.
К стр. 89 (9-я строка сверху):
I. Функцию F{x) строим следующим образом. Выбираем такое число А, чтобы
оо. - со
I /2(лг) йх < ^- (это возможно, так как по условию интеграл I Р(х)йх суще-
А 0;
ствует). Далее строим непрерывную функцию F(x), равную нулю при х^А,
а в интервале 0 ==? * sg; Д отличающуюся от/(*) только в весьма малой окре-
окрестности каждой точки разрыва так, чтобы (см. стр. 49)
А
») См. Dirichlet P.G.L., Sur la convergence des series trigonometriques qui
servent a representer une fonction arbitraire entre des limites donnees. J. reine angew.
Math., т. 4, стр. 157-169, 1829; собрание сочинений, т. I, стр. 117—132, Berlin 1889.
Примечаний 511
тогда
о
A6-я строка сверху):
Н.'В самом деле, мы можем выбрать такой многочлен я4 -f- я2 5 + ... + ап\п~ '•
чтобы
:i/i" нли 1у(~) — аЛ—...— аЛп]3<?*.
следовательно,
1 1
J ftp (E) - «.G — • • - «Л2 f < f « ^ = | < *.
о о
1
J
о
Производя подстановку ? = е-х, получаем:
сю
[ [F(x) — ар-* —... — а„е-
о
(8-я строка снизу):
III. После того как по данному е мы фиксировали число п, мы можем аппрок-
аппроксимировать в среднем каждую функцию а^е-Ьх при помощи функции Qk(x), пред-
представляющей линейный агрегат ортогональных функций Лагерра, так, чтобы
со
Далее, пользуясь неравенством Шварца, имеем:
со со
о о
• со
я СО
ft=i о
п СО
+ 2S
ft,e=\ О
Выбирая а — —|, находим, что рассматриваемый интеграл меньше 4е. Наконец,
полагая для краткости C?t +... -|- Qn = Q(-*)i находим:
со
о
512
Примечаний
К стр. 95 D-я строка сверху):
Приведем здесь доказательство этой интересной теоремы (Courant-Hilbert,
1-е издание, стр. 48, 49).
Подставляя вместо a.t и 6, их выражения в виде интегралов, имеем:
п-\
2-
sn (х) = "у
n—1
C0S VX +¦
1= 1
if (i W л|
= — ш){-й-+ > cosvfcosvx-f sinvtsinvx \dt =
-ж)\л (л = 2, 3,...);
v = 1
так как подинтегральное выражение имеет период 2п, 'то мы можем также за-
записать sn (x) в виде:
2л
V = 1
Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, находим:
п-1 п — \ . . . п-1
v= 1
1/ = 1
V =—Л+1
1 —
it
sin 2-
_ •> B)
1 cos (n — 1) t — cos nt
~2 1 — cos t '
следовательно,
Итак,
2*
cos (n — 1) t — cos nt
— cos nt
dt =
ГХПП~2
C)
Чтобы доказать соотношение lim S-n{x) — fix), заметим, что для функции
ft-*oo
Примечания
513
f{x\—\ все частичные суммы Sn(x), а следовательно, и их среднее арифме-
арифметическое равны единице, т. е.
2-х
D)
Умножая равенство D) на f(x) и вычитая из равенства C), получаем:
2—
E)
Пусть г — произвольно малое положительное число; в .силу равномерной не-
непрерывности функции f(x) можно определить такое зависящее только от е чи-
число 8 = 8(е) в интервале 0<8<tc, чтобы при |<|^8для всех значений л: имело
место неравенство
\f
Разбивая интеграл в формуле E) на три интеграла:
2п 8 2л —8 2л
0 0 8 2л —8
и обозначая для краткости подинтегральную функцию через ш(^), а максимум,
I/С*)! через М, имеем:
sm
.?]-<=\(^'=-
,sin^
'¦¦<
M
its sine —
nt\
sin '_ I /ш
2/
следовательно,
л sin2 -
S3
514 Примечания
Но при достаточно больших значениях и > щ (е) имеем:
Ш
следовательно,
Тем самым доказано соотношение
limSn (*)=/(*),
л-» 00
а вместе с тем и полнота системы тригонометрических функций
1 cos vx sin чх
]/2п ' j/п ' )Л
=1, 2,...).
Замечание. Из формулы D) нетрудно путем перехода к пределу При я_»оО
вывести формулу:
оо
Г sin» и __ л
J «2 U~^'
о
Действительно,
2it я
1=^1 [~~1. I dt= —
так как
в чем непосредственно убеждаемся подстановкой f = 2n — v. Выберем теперь
столь малое положительное число 8, хчтобы при 0^и^8< 1 имело место не-
неравенство:
suih
где е — произвольно малое, наперед заданное положительное число. Разобьем
наш интеграл на два и перепишем предыдущую формулу следующим образом:
Примечания
В первом интеграле полагаем: -=- = и, тогда он примет вид:
2
2 р sin^H
— | 5—
ч ^
о
du;
второй интеграл меньше
в оо
" ' • !*\* Г
Sm 2 I ^/2е I sin2« ^ ^4e
— л<7Л1ггЛ1<Т'
о
так как
{(-4L
в промежутке интегрирования (кроме того,
оо 1 со 1 оо
Г f Г C
о
Г fsin2H, , Psins«, ^ Г , . Cdu
J = j -IT du + J IT UU < \dU + J Ф =
о 'о 1 'о "i
J J
о о 1
наконец, третий интеграл меньше
При неограниченном возрастании и первый-интеграл стремится к
00
2
третий интеграл стремится к-нулю. Отсюда ввиду произвольности % заключаем,
что
J
или
оо
sins и
К стр. 105 A6-я строка снизу):
Немецкий термин „queUenmassig", который мы переводим „истокообразно",
подсказан физическими применениями. Пусть, например, изучается стационарное
распределение температуры в стержне, расположенном, вдоль-оси 5 от s=a до
5 = Ь (основной промежуток интегрирования) и пусть K(s, t) есть температура,
вызванная в любой точке * стержня наличием в точке t источника тепла мощ-
мощности *Ь
516
Примечания
В таком случае функцию g[s) = \ K(s, t) h (t) dt B) можно истолковать как
установившееся распределение температуры в стержне, усеянном вдоль всей
своей длины от s = a до s = b источниками тепла мощности h(s). Функция h(s)
есть .плотность распределения источников". Таким образом функция g(s) фор-
формулы B) представлена с помощью источников (Quelle) или истоков. Отсюда тер-
термин: функция, представленная истокообразно. Читатель найдет другие анало-
аналогичные примеры в § 14 пятой главы.
К стр. 455 A5-я строка снизу):
во взрезанной плоскости (черт. 12) значения arg (С — 1) и arg (К + 1) будут одно-
однозначно определены, если мы примем arg (С — 1) и arg(C-j-l) равными^ нулю для
положительных значений К > 1. Тогда
и в тех же пределах изменяется arg (С + 1). Вдоль пути Q условимся считать
X—i
2
arg (С2 — 1) = arg $ — 1) +• arg (C-f 1); тем самым значение (С2 — 1) 2 во
занной плоскости однозначно определяется. Вдоль пути С2 будем считать
arg (Р -1) = arg (С — 1) + arg (С + 1) + йс,
взре-
взрет. е. берем другую ветвь функции {& — 1)
2
При таком условии значения
функции (?2 — 1) 2 в точках пути С? будут для действительных X комплексно
сопряженными со значениями этой функции в точках пути С4, симметричных
первым относительно мнимой оси.
В самом деле, обозначая через arg(C+l) угол, отсчитываемый во взрезан-
взрезанной плоскости по часовой стрелке от отрицательного направления действитель-
действительной оси, по симметрии имеем:
но
arg (- С - 1) = argtf + 1), и arg (- С + 1) = arg (Г - 1),
?^1)=-Я —arg(C—1),
и
G
F
С
<-
У1
D
Е
L
0
М
и
л
1
¦ >' -|
А
N
следовательно,
К стр. 456 F-я строка снизу):
Вдоль пути 91 мы считаем: arg(P—1) =
= arg (С — 1) -f- arg (К + 1), причем в точке А пере-
пересечения этого пути справа с действительной осью
мы принимаем:
arg (С — 1) = 0 и
Черт. А.
и непрерывно изменяем значения этих аргументов,
вдоль пути 31 в направлении обхода. Путь Щ. мы
можем заменить контуром ABCDEFGHKLMNA,
ивображенным на чертеже А.
В самом деле, по теореме Коши путь ABCDO
й ODEFQ
с д, по теореме Коши ут ABCD
эквивалентен части пути 2t, лежащей в первой четверти, путь ODEFQ эквивалентен
части пути % лежащей в третьей четверти, и аналогично для остальных двух частей.
Примечания
517
Если неограниченно удалять отрезки ВС и НК пути интегрирования, па-
параллельные действительной оси, то виачения интегралов вдоль этих отрезков
будут стремиться к нулю. Иитеграл вдоль пути KLMNABi, при этом в пределе
будет равен интегралу вдоль пути Cit так как вначения arg (? — 1) и arg (? -t- 1)
вдоль части Ач определены одинаково в обоих случаях, а вдоль части KLMNA
значения arg (С — 1) на 2п больше соответствующих значений на пути С1г а зна-
значения arg(C-f-l) н* 2я меньше, следовательно, и в данном случае значения
arg (.С2 — I) одинаковы на обоих путях. Аналогично убеждаемся в том, что ин-
интеграл вдоль пути CDEFOU переходит в интеграл, взятый в обратном направ-
направлении по пути С2. Действительно, arg (? +1) имеет одинаковое значение на
обоих путях, arg (? — 1) имеет значение на 2п большее, чем на пути С2, следо-
следовательно, в обоих случаях значения arg(P—l) = arg(?—l) + arg(J-j-1) + 2п.
К стр. 457 A2-я строка снизу):
Формула A6) на стр. 453 дает.
интеграл в правой части равен
гг
(см. стр. 458, 459), т. е. не равен нулю,
если \ не является целым числом. Но в таком случае
?,-+0
так что г = 0 является особой точкой функции
~^
К стр. 470 A6-я строка сверху):
При этом мы принимаем, что I > — 1, так как только в этом случае мы имеем
право интегрировать от нуля. Легко видеть, что» и при отрицательных значениях
>> — 1 произведение t [Si./^OAW) — ^(^Vx^iO] при t = 0 равно нулю.
К стр. 471 A1-я строка снизу):
Jyfz) имеет бесчисленное множество действительных корней. Гурвиц (Hurwitz)
доказал *, что если I лежит между — Bs -+-1) и — Bs -|- 2), где s з= 0 — целое
число, то Jy(z) имеет 45-1-2 комплексных кор-
корня, из коих два чисто мнимые; если I лежит
между — 2s и — Bs + 1), то J\(z) имеет 4s ком- *
плексных корней (чисто мнимых нет). См. Wat-
Watson, A treatise on the theory of Bessel. Funktions,
гл. XV, стр, 483.
Q
К стр. 491 (8-я строка снизу):
I. Для доказательства берем произвольную
точку Р (х, у, г), полярные координаты кото-
которой обозначим через г, », у, и точку Q на оси Z,
расстояние которой р от начала О ^меньше г.
Обозначив расстояние между точками Р и Q че-
через й, имеем:
d =
2/-р cos в.
Math. Arm., XXXIII, 1889, стр. 246-266,
518 Примечания
Разложим функцию —, рассматриваемую как функцию от р, в ряд Маклорена
1 _
но
следовательно,
и вообще
dp» Jp=O
итак, получаем:
L dp Jp=o Эг
с другой стороны, имеем:
Сравнивая оба разложения, получаем искомое соотношение:
К стр. 491 C-я строка снизу):
II. Если повернуть все оси мультиполя на угол Yi то потенпиал нового муль-
типоля будет отличаться от прежнего только тем, что угол ? придется заменить
углом ? — у. так как в системе координат, повернутой на угол y вокруг оси г,
выражение для потенциала осталось бы без изменения (непосредственным вы-
вычислением можно показать, что у0 есть угол между осью х и> осью v,, что
а= ^у и что потенциал мультиполя при нечетном и равен нулю для точек,
it
лежащих на оси г).
К стр. 508 A8-я строка снизу):
Это выражение удобнее представить, пользуясь формулой Валлисса, в виде:
так как
2-4. „2,1
Предметный указатель.
Абеля интегральное уравнение 146
Адамар, оценка определителя 32—33
Амплитуда 268
Аппроксимирование в среднем 44
— теорема Вейерштрасса об аппрокси-
аппроксимировании 58
— одновременное аппроксимирование
производных 61
Аргумент функциональный 156
Асимптотическое поведение
бесселевых функций 314—315,
498 — 506
функций Лежандра 507—508
собственных функций Штурм-
Лиувилля 312—320
Асимптотическое поведение собствен-
собственных значений 120, 273, 384—402
у диференциального урав-
уравнения Бесселя 393—394
в задаче Штурм-Лиувил-
ля 392
Асимптотическое число измерений
56
Асимптотические разложения 496—508
Бесконечно большое число, перемен-
переменных 35, 48-49,148—149, 165—171
Бесконечное возрастание собственных
значений 120, 273, 390
Бесконечно малое линейное преобразо-
преобразование 35—36
Бесселевы функции 286, 306, 350, 368,
380, 445—477
асимптотическое поведение при
больших значениях аргумента 314,
498
при больших значениях парамет-
параметра 393
выражение бесселевых функций
в виде интегралов 451—460
интегральная теорема 321, 467—
468
нули бесселевых функций 469—
473
особые точки 477
соотношения между бесселевыми
функциими 463—467
Бесселевы функции, степенной ряд
460—463
—,— теорема сложения 467
Бесселя неравенство для систем векто-
векторов 4
для систем функций 45
Биения 368
Билинейная интегральная форма 114
Билинейная форма 10
Билинейная формула для итерирован-
итерированных ядер 127
Билинейное соотношение 339, 342, 348
Биортогональности условия 382
Биполь 490
Брахистохрона 158
Вариационная производная 175
Вариация первая 176, 198—205
— вторая 205
— в случае переменной области ин-
интегрирования 246
Вейерштрасс, теорема об аппроксими-
аппроксимировании 58
— теорема об экстремумах непрерыв-
непрерывных функций 20—21, 152
— условие для угловых точек 245
Векторы 1—3
Взаимное ядро 130
Взаимно обратные формулы для опре-
определенных интегралов 74—75, 91
Взаимность в вариационных' задачах с
дополнительными условиями 153
Влияния функция см. Гринова функ-
функция
Возмущений теория 324—328
— — пример к теории возмуще-
возмущений 328—330
Волновая поверхность 205
Вольтерра, интегральное уравнение
146, 317—320
Вынужденное движение 269, 274, 278,
283, 367
Выродившиеся квадратичные формы 24
— ядра 106
Высота гона 268
Гаара теорема 192—193
Гамильтона принцип 233—234
Гаммерштейна теорема 150
Ганкеля функции 447—451, 454—460
асимптотическое вычисление для
больших значений аргумента 498—
500
520
Предметный указатель
Ганикеля функции для больших значений
аргумента и параметра 502—506
особые точки 477
Геодезические линии 158, 178, 204
Гиббса явление 98
Главные колебания 268
Гладкие, кусочно-гладкие функции 41
Гладкость множества функций 54
Градиент в функциональном простран-
пространстве 214
Грама определитель 31—32, 100
Граница, свободная вариация на грани-
границе 198-201
Граничные условия см. Краевые усло-
условия
Гринова функция 294, 330—348
диференциального уравнения Бес-
Бесселя 349-350
диференциального уравнения Ла-
герра 353
диференциального уравнения Ле-
жандра 350
двференциального уравнения Эр-
мита 351—352
¦ для круга и шара 354—356
Гринова функция для прямоугольника
362—364
для прямоугольного параллелепи-
параллелепипеда 357—362
— — для шаровой поверхности 356—
357
и конформное отображение 356
и краевая задача 330—337, 342—
. 346
обобщенная 335
построение 334—335
примеры 349—66
симметричность 333, 343
существование 345
Гриновы тензоры 371
Дарбу, метод асимптотического вычис-
вычисления 506—508
Движение вынужденное 269, 274, 278,
283, 367
Делитель элементарный 39
Дивергенция, выражение типа дивер-
дивергенции 182—185, 242, 255
Дини теорема 50
Диполь см. Биполь
Дирихле, задача Дирихле 167—170
— интегральная формула 71
— разрывный множитель 75—76
Дюбуа-Реймона теорема 190
Единичная сила см. Сосредоточенная
сила
Естественные граничные условия 198
Жесткость, увеличение жесткости 27,
271 .
Задачи о собственных значениях
— асимптотическое поведение 312—
320
— для замкнутых поверхностей 439
— определение 272, 292
— с непрерывным спектром 320—324
— Шредингера 322—324
— Штурм-Лиувилля 275, 306, 312—320
Замкнутые системы функций 102—103
Измеримые точечные множества 101
Изопериметрическая задача
для многоугольников 162—КЗ
на кривой поверхности 244
решение Гурвица 90
уравнение Эйлера 207—209
Изопериметрические задачи 159—161,
207—210
Инвариантность диференциальных урав-
уравнений Эйлера 213-221
Инвариантные вариационные задачи 248
Индикатрисса 244
Инерция, закон инерции квадратипчых
форм 25
Интеграл Дирихле 71
— Лебега 100—103
— Пуассона 488—489
— Фурье 70—76
Интегралы уравнений движения систе-
системы материальных точек 250—252
Интегральная теорема для бесселевых
функций 321, 467-469
Фурье 70—76
Интегральная форма, билинейная и
квадратичная 113 и след.
Интегральное преобразование, метод и.
п. 444—445, 446, 481—485
Интегральные выражения
бесселевых функций 451—460
функций Ганкеля 447, 459—460
. Лагерра 484—485
Лежандра 477—483
Неймана 474
Чебышева 483—484
Эрмита 484
Интегральные уравнения (линейные)
первого рода 147
— — второго рода или Фредгольма 104
третьего рода или полярные 149
Вольтерра 146, 317—320
неоднородные 126, 138—139
однородные 104
особенные 142—143
симметрические 113—131, 137—
138
применение к задачам о собствен-
собственных значениях диферерциального
уравнения 330—348
Интегральные формулы Мелина 95—98
Интегродиференциальиые уравнения
Предметный указатель
521
Истокообразно представленные функ-
функции 105
Итерированные ядра 127
Канат, колебание каната, подвешенно-
подвешенного за один конец 368
Каноническая форма вариационных за-
задач 229
Канонические диференциальные урав-
уравнения 230
Кастильяно, принцип Кастильяно 253,256
Квадратичная форма 10—12, 20—30
— интегральная форма 113 и след.
Кели, теорема Кели 19
Келлог, метод определения собствен-
собственных функций 145
Кинетическая энергия 233
Колебание, уравнение колебания 271,
275, 282, >!90, 369
Колебание, примеры на уравнение ко-
колебания 369—370
Конечные разности, метод конечных
разностей 165
Континуумы, колебания трехмерных кон-
континуумов 296—297
Конформное отображение 356
Координаты нормальные 267
— полярные 216
— эллиптические 217
— эллиптические вырождающиеся 220—
221
Краевое условие теории потенциала
239, 297-306
Краевые условия естественные 198—205
— однородные и неоднородные 262
— содержащие параметр 370, 438—439
— для колеблющейся струны 276
— для колеблющегося стержня 280
Кратное собственное значение 120
Кратность собственного значения 105,
120
Кратчайшие линии 158, 178, 204
Критическая сила 258
Кусочно-гладкие функций 41
.— непрерывные функции 41
Лагерр, диференциальное уравнение
Лагерра, применение метода интег-
интегрального преобразования 484—485
— полиномы и ортогональные функции
Л. 81, 86, 89, 310—312, 323, 353,
484—485
Лагранж, уравнения движения Лагран-
жа 234.
— множитель Лагранжа 153, 211, 222
и след,
Ламэ, функции Ламэ, уравнение Ламэ,
задача Ламэ 301—306
Лаплас, интегральное выражение ша-
шаровых функций Лежандра 479—481,
482
Лаплас, преобразование Лапласа 445,454
— шаровые функции см. Шаровые
функции Лапласа
Лебег, теория Лебега 51, 52
— интеграл Лебега 100, 101
— теорема сходимости Лебега 101
Лежандр, диференциальное уравнение
Лежандра, применение метода инте-
интегрального преобразования 481, 432
— полиномы Лежандра 77—80, 307,
308, 380, 483, 507, 508
— условие Лежандра в вариационном
исчислении 175, 205
— шаровые функции Лежандра см
Шаровые функции Лежандра
Линейная зависимость векторов 2
функций 43
Линейное преобразование 5, 14
Линейные уравнения 1, 5 и след.
Лиувилль см. Штурм-Лиувилль
Логарифмический потенциал 355
Максвелл, теория шаровых функций
Максвелла 489—496
Максимальная последовательность 163
Максимально-минимальное свойство соб-
собственных значений 28—30, 122, 383
Малые колебания 235
Матрица 6 и след.
Матье, функции Матье 369, 370
Мелин, формулы обращения Мелина 95-
Мембрана, потенциальная энергия 238
— вариационная задача и диференци-
диференциальное уравнение 237—240
— однородная 281—289
— неоднородная 289
— круговая 286—289
— прямоугольная 284—286
— „кривая* 300
— минимальное свойство 441
Мера независимости 32, 55—56
Мера точечного множества 100—101
Мерсер, теорема Мерсера 128
Минимальные поверхности 171, 182
Минимальные последовательности 163
Минимальные свойства
— собственных значений 434, 437
— собственных функций 149
Множество, мера точечного множества
100—101
— меры нуль 101
Множитель Эйлера-Лагранжа 153, 211,
222 и след.
Мультипликативная вариация 436
Мультиполь 490
Мюнц, теорема о полноте системы сте-
степеней 94
Нагрузка, задачи с нагрузкой 381
— ортогональные- полиномы, соответ-
соответствующие .нагрузке р (х) 80—81
522
Предметный указатель
Наложение, принцип наложения 261
Начальное состояние 241
Неголономные условия 212
Независимость, мера независимости
32, 55—56
Неймана ряд 8, 16, 130—131, 320
Неймана функции 449—451, 473—476
— интегральные выражения 474
— особые точки 477
— разложения в степенной ряд 475—
477
Неограниченное возрастание собствен-
собственных значений 120, 273, 390
Неоднородная мембрана 289—290
— струна 275—279
Неоднородные интегральные уравнения
126, 138-139
— краевые условия 262
Неопределенное ядро 114
Непрерывная зависимость от ядра 139
—140
Непрерывность, кусочная непрерыв-
непрерывность 41
— свойства непрерывности собствен-
собственных значений 396
Непрерывный спектр 320—324
Нормальные координаты" 267
Норм, вектора 2
— функции 42
Нормированные векторы 2
— функции 42
Нули бесселевых функций 429, 469—
473
Нули собственных функций 429—434
Ньютонов потенциал 354—355
Обертоны 270
Обращение, формулы обращения Ме-
лина 95—98
Однородная мембрана 281—289
— струна 271—275
Однородная форма диференциального
уравнения Эйлера 193
Однородные интегральные уравнения
104
Однородный стержень 279
Окрестность функции 157
Определенная квадратичная форма 11
Определенное ядро 114
Ортогонализация системы векторов 4
функций 43—44
Ортогональная система векторов, пол-
полная 3, 4
функций, полная 46
Ортогональные векторы 3
— преобразования 12—14, 48—49
— функции 42
Ортогональные системы специальные
см. Бесселевы функции, Эрмита по-
полиномы, Лагерра' полиномы, Яко-
биевы полиномы, Шаровые функции
Лапласа, Шаровые функции Лвжан-
дра, Чебышева полиномы
Ортогональные системы,принадлежащие
несимметрическому ядру 147
Основное решение 332, 346
Основной тон 270
Особенные интегральные уравнения
142—143
Особые точки бесселевых функций 477
Отображение' конформное 356
Отрицательные собственные значения
394
Перевал, метод перевала 501, 506
Пикар, теорема Пикара о разрешимости
интегрального уравнения 148
Пластинка, потенциальная энергия 241
— вариационная задача и диференци-
альное уравнение 241—243
— задача о собственных значениях
290-291
— круговая 290—291
—• минимальное свойство 441
— асимптотическое распределение соб-
собственных значений 438
Плотность спектра 93
Плотные системы функций 93
Площадей теорема 251
Полная ортогональная система векторов
3,4
_ функций 46
функций многих переменных
49—50
Полнота системы
— полиномов Лагерра 88-
— полиномов Лёкандра 77
— полиномов Эрмита 88
— собственных функций диференциаль-
диференциального уравнения 339, 331—342, 347,
402
— степеней 58—61
— тригонометрических функций $1—62
— шаровых функций Лапласа 487
— штурм-лиувиллевских собственных
функций 339
— соотношение или условие полноты
4, 46
Полярное интегральное уравнение 149
Полярные координаты, преобразование
Дн к полярным координатам 216—217
Потенциал Шютона 354—355
— логарифмический 355
— теория потенциала 166—171, 297—
306, 342—348, 354—366
— уравнение потенциала 182
Предельные точки, принцип предель-
предельных точек 52
Преобразование
— бесконечно большого числа пере-
переменных 48—49
— бесконечно малое линейное 35—36
Предметный указатель
Преобразование вариационных задач
222-233*
— диференциального выражения Д и
216
— интегральное преобразование ди-
диференциального уравнения 444—445,
446, 481—485
— интегральное п. Мелина 95—98
— квадратичной формы к главным осям
20-30
— Лапласа 445, 454
Преобразование линейное 5 и след.
— ортогональное 12—14, 4в—49
— унитарное 14
—, формула преобразования тета-функ-
ции 68—69
— Фридрихса 225, 226
— Эйлера 445
Продольный изгиб 258
Произведение скалярное
— векторов 1—2
— функций 42
Производящие функции 452, 453, 483,
485
Пространство функций 51
Прямые методы вариационного исчисле-
исчисления 162
Пуассон
— интеграл Пуассона 488—489
— уравнение Пуассона 346
— формула суммирования Пуассона 69
Равностепенная непрерывность 52, 105
Разложение, теоремы о разложении
339—340, 342, 347, 348, 349, 373,
404—407, 488
Разрешающее ядро 130, 131
Разрыв, условия разрыва 381
Резольвента билинейной формы 16
— квадратичной формы 26—28
— линейного интегрального уравнения
130, 135
Рисса-Фишера теорема 102
Ритц, метод решения вариационных
задач 163—165
Ряд Неймана 8, 16, 130, 320
— Фурье 62—70
Свет, кратчайшее время распростра-;
нения света, принцип Ферма 153
Световые лучи 153, 158, 179, 205, 243
Свободные края, свободная вариация на
границе 198—201
Сильвестр, алгебраическая теорема
Сильвестра 493, 494—496
— выражение шаровых функций Мак-
Максвелла-Сильвестра 489—496
Симметризация, ядро, допускающее
симметризацию 150
Симметрическое ядро 113—124
Скалярное произведение векторов 1—2
функций 42
Собственная частота 268, 272
Собственные векторы 21, 26&
Собственные значения 15. 23—24
113-124, 272, 292, 375 и след.
кратные 120
бесконечно большой кратности
372
, задачи, о собственных значениях
см. Задачи о собственных значениях
нх распределение 385—402 407—
-423
их существование 28—30, ИЗ—
—124, 338, 341—342, 347, 348
максимально-минимальное свой-
свойство 28-30, 122-124, 383
оценки 439-441
— — экстремальные свойства 375
Собственные колебания 268, 272
Собственные функции 105, 272
, их существование 338, 341—342,
347, 348—349
Сопряженное диференциальное выра-
выражение 262—265
Сосредоточенная сила 331, 342
Спектральное разложение 92—93
Спектр матрицы 15
Спектр унитарной матрицы 39—40
— диференциального уравнения 320,321
—» дискретный, имеющий конечную
точку сгущения 322—324
— непрерывный 92—93, 320—324, 426
Стационарные функции и кривые 176
Стержень, потенциальная энергия 237
— вариационная задача и диферен-
диференциальное уравнение 237
— естественные краевые условия 237
— задача о собственных значениях
279—281
— однородный 279
Стирлинг, формула Стирлинга 496—498
Струна, потенциальная энергия 236
¦— вариационная задача и диферен-
диференциальное уравнение 236
— неоднородная 275—279
— однородная 271—275
— оттянутая 366—367
— примеры на колебание-_хтруны
366-368
Суммирование, формула суммирования
Пуассона 69
Суммируемые функции 100
Суперпозиция, принцип суперпозиции
261
Сходимость в среднем 102
—, теоремы сходимости Лебега 101
Тензор Грина 371
Теплопроводность, задачи о собствен-
собственных значениях в теории теЦлопро-
водности, дифереициальное уравне-
уравнение теплопроводности 294—295 ,
Тета-функции, применевия 360—362,366
524
Предметный указатель
Тета-функции,- функциональное уравне-
уравнение 68-69
Томсона принцип в электростатике 253
Тон, высота тона 268
Трансверсальность 201—205
Угловые точки, условие Вейерштрасса-
Эрдмана для угловых точек 245
Узловые линии 284, 286, 287, 372
Узловые точки 284, 429 и след., 442
Унитарная матрица 9
Унитарное преобразование 14
Условия разрыва 332, 334, 335, 340,
341, 381
Фаза 268
Фейер, теорема Фейера о суммирова-
суммировании 94—95
Ферма, принцип Ферма 153
Фишер-Рисса теорема 102
Форма билинейная 10
— интегральная 113
— квадратичная 11
Формы, зависящие от бесконечно боль-
большого числа переменных 35
Фредгольм, теоремы Фредгольма 107,
109
— формулы Фредгольма 132—135
Фридрихса преобразование 225, 226
Фундаментальная лемма вариационного
исчислений 174
Фундаментальные функции см. Соб-
Собственные функции
Функционал 155
Функциональное пространство 51
Функциональное уравнение тета-функ-
тета-функции 68-69
Функциональный аргумент 156
Фурье, коэфициенты Фурье 44,63
порядок их малости 67
— интеграл Фурье 70—/6
— ряд Фурье 62—70
Характеристические числа 19, 23
Центр тяжести, теорема о движении
центра тяжести 251
Цепная линия 160, 210
Цилиндрические функции см. Бессе-
левы ' функции, Ганкеяя функции,
Матье, функции Матье, Неймана
функции
Чебышева диференциальное уравнение,
применение метода интегрального
преобразования 483—484
— полиномы 81, 82—83, 309—310, 483,
485
Число измерений последовательности
функций 56, 136, 137, 138
Шаровые функции Лапласа 297,. 298—
—299, 485—496
выражение Максвелла-Сильвестра
489-496
симметрические 487
полнота системы шаровых функ-
функций Лапласа 487
теорема о разложении 488
Шаровые функции Лежандра 307—309,
350, 477—481
асимптотические формулы 507 —
—508
второго рода 480—481
высшего порядка 309, 481
диференциальное уравнение 79 —
—80
интегральные выражения 477—483
как частный случай шаровых
функций Лапласа 300
производящая функция 79, 483
.рекуррентные формулы 479
сопряженные 309, 481
Шаровые функции обобщенные 300
Шварц, неравенство Шварца для векто-
векторов 2
для- функций 42
Шестигранник, софокусный ортогональ-
ортогональный 301
Шлефли, интегральное выражение ша-
шаровых функций Лежандра 477—479
Шмидт, метод вывода теорем Фред-
Фредгольма 143—144
Шредингер, задача 'Шредингера о соб-
собственных значениях 322—324
— задачи о • собственных значениях
шредингеровского типа 423
Штейнера задача 154
— решение изопериметрической за-
задачи 162-163
Штурм-Лиувилля задача о собственных
значениях 275—278, 306—312, 312—
—320, 379, 432
Эйлер, диференциальное уравнение
Эйлера 175
— преобразование Эйлера 445
Экстремали 175, 178
— ломаные 245
Элементарный делитель .39
Эллиптические координаты 217
вырождающиеся 220—221
Эллиптические функции 218, 219
Энергия, интеграл энергии 253
Энског 144
Эрдман, условие для угловых точек 245
Эрмита диференциальное уравнение,
применение метода интегрального
преобразования 484
— ортогональные функции 351
— полиномы 310, 484
— полиномы, их производящая функ-
функция 485
Предметный указатель 525
Ядро, определение 104' Ядро симметрическое 113—124
— выродившееся 106 — допускающее симметризацию 150
Ядро итерированное 127 — несимметрическое 145, 147
— определенное 114 Якоби, полиномы Якоби 81, 83, 309-310
— разрешающее или взаимное 130, 135