Б. Г. ПОПОВ
РАСЧЕТ
МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ВАРИАЦИОННО-МАТРИЧНЫМИ
МЕТОДАМИ
Допущено Учебно-методическим объединением вузов
по машино- и приборостроительным специальностям
в качестве учебного пособия для студентов
машино- и приборостроительных специальностей
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО МГТУ им. Н. Э. БАУМАНА
1993

П58
УДК 534/63 к620.22-419.8
Рецензенты: чл.-корр. АН СССР В. В. Васильев,
проф. д. т. н. А. А. Шаповалов
Попов Б. Г.
П 58 Расчет многослойных конструкций вариационно-
матричными методами: Учебное йособие,— М.: Изд-во
МГТУ, 1993. —294 с, ил.
5-703Й-О331-4
Изложены теоретические основы, численные методы и алго-
алгоритмы расчета силовых многослойных конструкций из композит-
композитных материалов. Особое внимание уделено вариациоино-матрич-
ным формулировкам задач и построению конечно-элемеитных
моделей деформирования многослойиых стержней, пластин н обо-
оболочек. Теоретический материал проиллюстрирован конкретными
примерами.. Приведены подпрограммы иа языке ФО^РТРАН-4,
которые могут быть использованы для решения широкого круга
задач строительной механики конструкций из композитных ма-
материалов.
Для студентов, аспирантов и Преподавателей вузов. Может
быть полезна для инженеров проектио-коиструкторских и науч-
научно-исследовательских организаций.
Ил. 67. Табл. 12. Библиогр.: 39 назв.
ISBN 5-7038-0331-4
11
3305000000-93 Без объявл
095 B)-93 © Б. Г. Попов, 1993.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Многослойные конструкции находят широкое применение в
различных отраслях современной техники. Это связано, преж-
прежде всего, с тем, что умелым сочетанием полезных свойств от-
отдельных слоев можно обеспечить не только высокую удсль::у:о
жесткость и прочность изделия, но и удовлетворить требованиям
по таким характеристикам, как теплопроводность, термоста-
термостабильность, герметичность, радиопрозрачность, коррозионная
стойкость и многим другим. Для достижения этих целей при
подборе слоев конструктор может использовать самые различ-
различные материалы: металлические сплавы, композиты, пластмас-
пластмассы, пенопласты, керамики, резины и т. д. Однако следует от-
отметить, что наличие требуемого набора исходных материалов
является только необходимым, но не всегда достаточным усло-
условием. Для полной реализации возможностей, заложенных в
самой идее многослойной конструкции, необходимо кроме неза-
незаурядной изобретательности проявить также умение опираться
на надежные методы расчета, позволяющие прогнозировать
свойства и поведение будущей конструкции. Без такого анализа
практически невозможно создать конструкцию, удовлетворяю-
удовлетворяющую требуемому комплексу физико-механических характерис-
характеристик.
В предлагаемом учебном пособии представлен достаточно
общий расчетный аппарат, позволяющий решать широкий круг
задач статики, устойчивости и колебаний многослойных стерж-
стержней, пластин и оболочек. Рассматриваемые методы расчета
названы здесь вариационно-матричными. Это объясняется тем,
что для решения задач используются приемы вариационного
исчисления и матричной алгебры. Сочетание таких математи-
математических процедур позволяет для сложных моделей деформирова-
деформирования, которые характерны для описания многослойных конструк-
конструкций с неоднородной структурой и ярко выраженной анизотро-
анизотропией, во-первых, получать разрешающие уравнения, строго
соответствующие исходным гипотезам, и, во-вторых, достаточно
просто программировать алгоритмы расчетов.
Несмотря на то, что автор ориентировался на подготовленно-
подготовленного читателя, владеющего основами теории упругости, строитель-
строительной механики, вариационного исчисления, матричной алгебры
и программирования, в книге детально поясняются все исход-
1* 3

ные соотношения и гипотезы, формулировки задач и этапы
решения. Предлагаемые примеры и вычислительные програм-
программы соответствуют рассматриваемому теоретическому материа-
материалу и способствуют более глубокой его проработке, а также
развивают практические навыки расчетов.
В приложения вынесены описания и тексты используемых
подпрограмм вычисления коэффициентов квадратурных фор-
формул, элементарных операций матричной алгебры, метода ко-
конечных элементов и численного интегрирования систем диф-
дифференциальных уравнений.
Учебное пособие предназначено для студентов, аспирантов
и преподавателей вузов машиностроительных специальностей;
может быть полезным для инженеров-расчетчиков проектно-
конструкторских и научно-исследовательских организаций.
Автор выражает свою признательность профессору Н. А. Ал-
футову за идею написания этой книги, рецензентам В. В. Ва-
Васильеву и Л. А. Шаповалову за полезные обсуждения и ценные
замечания, а также своим коллегам Э. В. Раман, Е. В. Быкову
и Е. М. Петрину за помощь в редактировании текстов программ
и М. А. Чернышовой за подготовку рукописи.

1. ВАРИАЦИОННО-МАТРИЧНЫЕ
ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
Вариационным формулировкам в современных расчетах отводится важ-
важная роль, поскольку они позволяют получать разрешающие уравнения, стро-
строго соответствующие исходным гипотезам, и служат основой для прямых ме-
методов решения задач. В расчетах многослойных конструкций со сложными
моделями деформирования графическое представление о равновесном состоя-
состоянии теряет свою наглядность и простоту, в то время как методы решений,
основанные на вариационных постановках проявляют свои преимущества
наиболее показательным образом и, пожалуй, становятся единственно
пригодными.
В разделе рассмотрены с позиций принципа возможных перемещений
различные вариационные формулировки задач статики, устойчивости и ди-
динамики твердого деформируемого тела. В общем случае показано, как с
использованием этих формулировок удается получить разрешающие диффе-
дифференциальные уравнения или приближенные решения.
Особое внимание уделено смешанным вариационным формулировкам
двух типов. Первая соответствует смешанному вариационному принципу
Рейссиера, вторая—задачам на экстремум полной потенциальной энергии
системы при наличии дополнительных условий в виде дифференциальных
уравнений связи между перемещениями и их производными. Для одномер-
одномерных задач предлагается вариациоино-матричиый способ вывода канонических
систем разрешающих дифференциальных уравнений. Для двумерных задач
рассматриваются вопросы реализации решений с использованием проекцион-
проекционных методов типа Рэлея—Ритца и конечных элементов с учетом специфики
смешанной вариационной формулировки.
Используемая векторно-матричная символика позволяет проследить об-
общие этапы решения широкого круга задач, компактно записать уравнения
и значительно облегчить процесс составления алгоритмов и программ рас-
расчета на ЭВМ.
1.1. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
1.1.1. Формулировка принципа. Линейная задача статики
Рассмотрим механическую систему, состоящую из произволь-
произвольного деформируемого твердого тела и приложенных к нему
распределенных объемных и поверхностных сил g и р. По по-
поверхности Su тело закреплено в пространстве с помощью некото-
некоторых идеальных связей, исключающих его перемещение как
жесткого целого.
Будем считать, что рассматриваемая система находится в
равновесии. Действительные перемещения, описывающие пере-
переход точек тела из начального ненагруженного состояния в по-
положение равновесия, обозначим u=[«i, и2, щ]т (верхний ин-
индекс Т — знак транспонирования здесь и далее).
Действительное напряженное состояние охарактеризуем
вектор-столбцом о, компонентами которого будут нормальные и

касательные напряжения, определенные в выбранной ортого-
ортогональной системе координат
а=[о\, 02, аз, ai2, агз, CJ31F, A-1)
где
ai=a« (/=1,2,3),
Оц=ац (i, /=1, 2, 3, /*=/),
Оц -г- компоненты тензора напряжений.
Деформированное состояние тела, вызванное действительны-
действительными перемещениями, охарактеризуем вектор-столбцом е, компо-
компоненты которого — относительные удлинения и углы сдвига,
определенные в выбранной системе координат
е=[еь 62, е3, Y12. T23, Y3iF, A.2)
где е,=е« (t=l, 2, 3),
(/, /=1, 2, 3; i=
Ец — компоненты тензора малых деформаций.
Деформации в теле будем считать достаточно малыми,
объем и поверхность тела будем отождествлять с его объе-
объемом V и поверхностью S в начальном недеформированном со-
состоянии.
Считая, что напряженное состояние соответствует положе-
положению равновесия, представим, что тело получило малые допол-
дополнительные перемещения би. Будем считать, что в объеме тела
функции би обладают достаточной степенью гладкости и обра-
обращаются в нуль на поверхности Su, где соответствующие переме-
перемещения запрещены. Введенные таким образом возможные пере-
перемещения не нарушают внутренних и внешних связей системы,
т. е. являются кинематически (или геометрически) допустимы-
допустимыми.
Согласно принципу возможных перемещений работы внеш-
внешних и внутренних сил на возможных перемещениях относитель-
относительно равновесного состояния равны. В случае «мертвых» внеш-
внешних сил их работа на возможных перемещениях определяется
линейным функционалом
/ (би) = U' J 6uTgdV + jj J 6uTpdS, A.3)
у' sp
где SP=S—Su — поверхность тела, на которой заданы внешние
поверхностные силы р. При подсчете работы внутренних сил
учтем, что деформации е являются обобщенными перемещения-
перемещениями для напряжений о. Поэтому при напряжениях о (соответ-
(соответствующих состоянию равновесия) работа внутренних сил на

деформациях бе, вызываемых возможными перемещениями 6ц,
будет равна
A.4)
В соответствии с принципом возможных перемещений a = f.
Тогда, использовав выражения A.3) и A.4), получим уравне-
уравнение в вариациях, представляющее математическую формули-
формулировку принципа возможных перемещений для деформируемого
твердого тела
SP
Уравнение A.5) позволяет получить дифференциальные
уравнения равновесия и обеспечивает выполнение граничных
условий. Относительно граничных условий следует заметить,
что в A.5), во-первых, подразумевается, что действительные и
возможные перемещения удовлетворяют главным (кинемати-
(кинематическим) условиям на Su, т. е. u=u0, 6u=0, во-вторых, внешние
поверхностные силы р, определяющие естественные (силовые)
граничные условия на поверхности SP, непосредственно входят в
функционал работы внешних сил. Для получения уравнений
равновесия необходимо конкретизировать связь между дефор-
деформациями и перемещениями и выполнить операции интегрирова-
интегрирования по частям. Такой прием получения уравнений равновесия
и задания граничных условий оказывается весьма удобным для
получения разрешающих уравнений различных вариантов при-
приближенных теорий, основанных на сложных кинематических
гипотезах деформирования.
Для линейных задач связь деформаций с перемещениями в
общем случае задается линейным соотношением
e = Lu, A.6)
где L — матрица линейных дифференциальных операторов.
Связь возможных деформаций с возможными перемещениями
определяется аналогичным образом 6e = L6u. Тогда формули-
формулировка принципа возможных перемещений A.5) запишется так:
t>u*pdS. A.7)
Sp
Для получения уравнений равновесия избавимся от диф-
дифференциальных операторов L при возможных перемещениях
би. Для этого первое слагаемое в A.7) проинтегрируем по час-
частям, в результате чего получим следующее уравнение в вариа-

циях, которое должно выполняться для любых возможных
перемещений би:
^^ O, A.8)
v sp
где L* — матрица сопряженных дифференциальных операторов;
Lv — матрица направляющих косинусов. Поскольку уравнение
A.8), как было сказано выше, должно выполняться для любых
функций би, принадлежащих области возможных перемещений,
то из него следует дифференциальные уравнения равновесия в
любой точке объема V
L*o— g=0 A.9)
и силовые граничные условия
Va—р=0 на поверхности Sp. A-Ю)
Нетрудно показать, что принцип возможных перемещений
A.7) можно было бы не постулировать, а получить из уравне-
уравнений равновесия A.9) и A.10). Для этого их следовало умно-
умножить на биг и представить в эквивалентной интегральной фор-
форме A.8). После интегрирования по частям A.8) с учетом са-
самосопряженности оператора L получим уравнение A.7).
1.1.2. Метод перемещений для линейно-упругого тела
В случае отсутствия температурных деформаций для ли-
линейно-упругого тела связь напряжений с деформациями опре-
определяется законом Гука
о=Се, A.11)
где С — симметричная положительно определенная матрица
коэффициентов упругости. Тогда с учетом A.6) напряжения о
можно связать с перемещениями и:
o=CLu A.12)
и сформулировать задачу определения напряженно-деформи-
напряженно-деформированного состояния в виде дифференциального уравнения рав-
равновесия, записанного через перемещения, для любой точки
объема V
L*CLu—g=0 A.13)
и граничных условий:
силовых на поверхности SP
LvCLu—p = 0 A.14)
и кинематических на поверхности Su
u=u0. A.15)
8

Интегральные формулировки задачи, эквивалентные A.13) —
A.15), будут записываться следующим образом:
1) согласно A.8): требуется найти такие и, при которых вы-
выполняется уравнение
-p)dS = 0 A.16)
sp
для любых возможных перемещений би;
2) согласно A.7): требуется найти такие и, при которых вы-
выполняется уравнение
jjjJ 0 A.17)
v sp
для любых возможных перемещений би.
Отметим, что области возможных перемещений би для
формулировок задач A.16) и A.17) отличаются по требова-
требованиям гладкости. При построении приближенных решений часто
отдают предпочтение формулировке A.17), поскольку она
предъявляет наименее жесткие требования гладкости и содер-
содержит симметричную билинейную форму.
Формулировку задачи A.17) иногда записывают в следую-
следующем виде. Среди функций, удовлетворяющих главным (кине-
(кинематическим) граничным условиям, требуется найти такие пере-
перемещения и, для которых при любых возможных перемещениях
би выполняется равенство
а(би, и)=/(би), A.18)
где
а(би, u)=jjj^(Lftuf СЬщД/ A.19)
v
— непрерывная и положительно определенная билинейная фор-
форма, а линейный функционал /(би) представляет работу внешних
сил на возможных перемещениях и имеет вид A.3).
Формулировку A.18) можно назвать вариационной, посколь-
поскольку она эквивалентна задаче о нахождении минимума функцио-
функционала полной потенциальной энергии системы
J (u) = i- a(u,u)-/(u), A.20)
где
i- а (и, и)=\ 5$ \ (Lu)r CLudV
v
— потенциальная энергия деформации системы, а
- / (и) = - \ \\ ^ $
— потенциальная энергия внешних сил.

Получим вариационную формулировку линейной задачи
статики при совместном действии силового нагружения и нагре-
нагрева. Будем считать, что предварительным решением задачи теп-
теплопроводности уже определены температуры, и температурные
деформации ет в теле известны, т. е. рассматривается несвязан-
несвязанная задача термоупругости. В этом случае при записи соотно-
соотношений упругости следует исключить из полных деформаций Lu
температурные деформации ет, т. е. вместо A.12) воспользовать:
ся соотношением
d=C(Lu—ет)
или
o=CLu—о,, A.21)
где от=Сет.
Подстановка A.21) в A.5) с учетом того, что 6e = L6u, при-
приводит к вариационной формулировке задачи A.18), где а(би, и)
определяется согласно A.19), а линейный функционал /(би)
содержит слагаемые, характеризующие как силовое, так и тем-
температурное воздействия:
^ UJ A.22)
Sp
Соответствующая A.18), A.22) формулировка задачи в
дифференциальной форме будет иметь следующий вид:
уравнения равновесия для любой точки объема V
L*C(Lu-eT)-g=0, A.23)
силовые граничные условия на поверхности SP
L/C(Lu—eT)— p = 0. A.24)
Кинематические граничные условия соответствуют A.15).
Вариационными формулировками также удобно пользовать-
пользоваться при решении задач о колебаниях. В этом случае математи-
математическую запись принципа возможных перемещений A.5) сле-
следует формально дополнить работой сил инерции (определен-
(определенных согласно принципу Даламбера) на возможных перемеще-
перемещениях. Таким образом, вместо A.5) получим
(^, A.25)
V V Sp V
где 6e = L6u; u — вторая производная от и по времени т; р —
удельная плотность материала. Входящие в A.25) функции
возможных перемещений, деформаций и силовых факторов
должны рассматриваться как функции пространственных коор-
координат и времени. Для решения задач динамики уравнение A.25)
10

дополняется начальными условиями, представляющими рас-
распределение перемещений и скоростей всех точек тела в началь-
начальный момент времени т=0.
1.1.3. Решение задач статики методами Рэлея—Ритца
и конечных элементов
Рассмотрим последовательность решения методом Рэлея—
Ритца задачи статики твердого деформируемого тела, нагру-
нагруженного внешними силами и находящегося под тепловым воз-
воздействием. Вариационная формулировка, соответствующая
A.18), A.19), A.22), будет иметь следующий вид:
(L6uf \ ^ ^
V
J^ A.26)
При решении задачи A.26) методом Рэлея—Ритца или мето-
методом конечных элементов (МКЭ) поле перемещений и аппрок-
аппроксимируют в виде (при ио=О на поверхности Su)
u«uft=<Dq, A.27)
где Ф — матрица функций формы; q — вектор-столбец обобщен-
обобщенных перемещений (для МКЭ) или коэффициентов аппроксима-
аппроксимации для метода Рэлея—Ритца. Аналогичным образом аппрокси-
аппроксимируют возможные перемещения
8и«6и„=Ф6я, A.28)
где 6q — вектор-столбец произвольных коэффициентов. Под-
Подстановка A.27), A.28) в A.26) приводит к уравнению
8qrK(T=6qTP, A.29)
где
5SS=ьф); (i -з0)
A.31)
Матрицу К A.30) называют матрицей жесткости, вектор Р
A.31)—вектором приведенных сил. Из-за произвольности
компонент вектор-столбца 6q уравнение A.29) позволяет полу-
получить разрешающую систему алгебраических уравнений
Kq=P. A.32)
После решения A.32) определяются обобщенные перемещения
(или коэффициенты аппроксимации решения) q. Далее по ним
И

вычисляются распределения перемещений и=Фя, деформаций
8=Bq и напряжений o=C(Bq—ет).
Дадим теоретическую оценку погрешности изложенного вы-
выше метода. Будем считать коэффициенты при дифференциаль-
дифференциальных операторах в матрице L, связывающей деформации с
перемещениями A.6), и коэффициенты симметричной положи-
положительно определенной матрицы соотношений упругости С A.11)
ограниченными. Рассмотрим случай когда ио=О на Su. Для ме-
меры функций би введем энергетическую норму ||6и||, которую
определим следующим образом:
A.33)
Отметим, что поскольку возможные перемещения исключают
функции, соответствующие смещению тела как жесткого целого
(рассматриваемое тело закреплено в пространстве), то ||би||>
>0 и||би|| = 0 лишь для би = 0. Тогда для билинейной формы
A.19) выполняются условия непрерывности
aFu, u)^M||6u||||u||, A.34)
где константа тИ>0,
и положительной определенности
й(би, 6u)>a||6u||2. A.35)
В этом случае согласно теореме Лакса—Мильграма [29, 39]
существует единственное решение и задачи A.18), причем
||и||<—1|/||, где ||/||= |/Fu)|/||6u|| определяет норму действую-
действующих внешних сил.
При конечном числе N аппроксимирующих функций в общем
случае, естественно, нельзя точно воспроизвести любые возмож-
возможные перемещения. Приближенное решение задачи uh ищется
среди подмножества функций возможных перемещений 6uft.
Но набор аппроксимирующих функций при N, стремящемся к
бесконечности, должен удовлетворять условиям полноты. Тог-
Тогда можно построить последовательность решений задач
а(бил, ил)=/(бил), A.36)
таких, что lim||u—ил|| = 0, где 6uft—конечно-мерное подпро-
N-*oo
странство функций возможных перемещений; uft, u — прибли-
приближенное и точное решения задачи.
С использованием точной формулировки задачи A.18) и
приближенной A.36) можно оценить ошибку решения Ди =
= и—щ. Поскольку A.18) справедливо для любых би, в том
числе и для 6щ, то можно записать, что
аFиЛ, нл)=/Fил). A.37)
12

Вычтем из A.37) уравнение A.36), тогда обнаружится свой-
свойство обобщенной ортогональности ошибки
a(8uh, Au)=0 A.38)
для любых 6uft, которое указывает на то обстоятельство, что
ошибка Аи не может быть разложена по выбранной системе
аппроксимирующих функций.
С использованием условий непрерывности A.34), положи-
положительной определенности A.35) и ортогональности A.38) мож-
можно дать априорную оценку ошибки решения
а\\Аи\\2^а(Аи, Аи)=а(и—и„ + 6и„—6и„, Ди) =
= а(и—биЛ, Ди)— а (ил—бил, Ди) =¦
= а(и—бил, Ди)^Л*||и—6ил|| ||Ди||.
Здесь использовано то обстоятельство, что функции uh—
—биЛ и 6uft принадлежат одному подмножеству функций воз-
возможных перемещений, для которого ошибка Ди ортогональна.
Отсюда следует, что для любых функций бщ значение ||Ди||^
< —1|и—6иЛ||. Таким образом, ошибка решения Ди, измеренная
в энергетической норме, ограничена сверху величиной расстоя-
расстояния от точного решения и до любой функции 6uft из конечно-
конечномерного подпространства функций возможных перемещений.
Этот результат сводит задачу исследования сходимости к оцен-
оценке расстояний (||и—6uft||) в нормированных пространствах, т. е.
к оценке интерполяционных свойств аппроксимирующих функ-
функций.
Оценки погрешности различных интерполяций, в том числе и
конечно-элементных, достаточно хорошо изучены. Если в качест-
качестве базисных функций для конечных элементов выбраны полные
полиномы степени т и область интерполяции имеет равномер-
равномерную разбивку с характерным размером конечного элемента h,
то можно показать, что максимальную асимптотическую (при
Л->0) погрешность по энергетической норме A.33) .можно
оценить как
\\Au\[=ch», A.39)
где ц=т—р+1; р — максимальный порядок дифференциаль-
дифференциальных операторов, содержащихся в матрице L (см. A.6), A.33)),
с помощью которой определена норма; с — константа, завися-
зависящая от точного решения задачи и не зависящая от h.
Из A.39) следует, что в логарифмических координатах за-
зависимость log||Au|| от log/i будет представлять прямую линию,
тангенс угла наклона которой равен порядку скорости сходи-
сходимости jx. При отработке новых конечных элементов такие оцен-
оценки скорости сходимости необходимо проводить при решении
тестовых задач. При этом следует помнить, что A.39) получе-
получено для асимптотической скорости сходимости.
13

1.1.4. Решение задач динамики
Решение задач динамики с помощью метода Рэлея—Ритца
(или МКЭ) возможно на основе формулировки A.25). Фор-
Формальное отличие от рассмотренного выше уравнения задачи ста-
статики A.32) состоит в определении приведенных инерционных
нагрузок системы. Для этого отдельно рассмотрим лишь по-
последнее слагаемое в A.25). Воспользуемся аппроксимацией
перемещений такой же, как A.27), тогда, выполнив интегриро-
интегрирование по объему, получим
где
— матрица приведенных масс.
С учетом определений матрицы жесткости A.30), вектора
приведенных нагрузок A.31) и матрицы приведенных масс
A.40) искомое уравнение движения системы примет следующий
вид:
Mq+Kq=P, A.41)
где считается, что Р=Р(т) —известная функция от времени, а
обобщенные перемещения q==q(x) подлежат определению. На-
Начальными условиями для задачи определены q и q при т=0.
Для численного решения уравнения движения известно большое
число шаговых численных методов. Конечно-разностные опера-
операторы по времени, представляющие ускорение q, разделяются на
две группы: условно устойчивые и безусловно устойчивые.
К группе условно устойчивых относится метод центральных
разностей. Для этого метода вектор-столбец обобщенных уско-
ускорений q в момент времени т+/Ат, где / — номер временного ша-
шага, Ат—величина временного шага, аппроксимируется в виде
A.42)
Подстановка A.42) в уравнение движения A.41) приводит к
системе алгебраических уравнений, которая позволяет опреде-
определять обобщенные перемещения в момент времени (у+1)Ат
Mq/+1 = BМ—Дт2К) q,—Mq/_, + Р/Ат2,
где Р/ = Р(т=/Ат) — значение вектор-столбца приведенных на-
нагрузок в момент времени /Ат.
Условно устойчивые методы становятся неустойчивыми, если
шаг интегрирования Дт выбран больше некоторого критическо-
критического значения.
14

К группе безусловно устойчивых методов относится метод
Хубольта (достаточно часто и успешно применяется в расчет-
расчетной практике). Этот метод устойчив вне зависимости от выбора
величины шага по времени, однако при этом усложняется про-
процесс интегрирования и возникает влияние фиктивного затуха-
затухания, вносимого в модель конечно-разностным оператором. При
решении методом Хубольта вектор-столбец обобщенных ускоре-
ускорений q в момент времени т=/Дт аппроксимируется в разност-
разностном виде с интерполированием назад:
q; = Bq/—5q/-,+4q^2—Я;-з)/ЛтА A.43)
Подстановка A.43) в A.41) (при т=/Дт) приводит к следую-
следующей системе алгебраических уравнений:
где
ai=2/Ar2; а2=5/Дт2; а3=—4/Дт2; а4=
На начальных этапах решения задачи динамики методом
Хубольта для /=1 необходимо задать кроме начальных условий
q0, q'o также значения q_b q_2. Их можно определить из следую-
следующих уравнений:
A.44)
где вектор-столбец начальных ускорений q0 вычисляется из
уравнений движения в начальный момент времени Mqo + Kqo=
= Р0. В частном случае при нулевых начальных условиях
qo = 0, qo = O и при отсутствии нагрузки Ро — 0, (qo = O) из A.44)
получим q_i= —q,, q_2= — 8q,.
Определенных рекомендаций для выбора временного шага
Дт практически не существует. Для того, чтобы избежать суще-
существенного влияния, привносимого фиктивным затуханием, на
тона с диапазоном частот меньше to*, шаг интегрирования ори-
ориентировочно подбирают, как Дт<1/Dю*).
При решении задач динамики для линейно-упругих систем
кроме численного интегрирования по времени часто используют
метод разложения по собственным формам (метод модальной
суперпозиции). Для дифференциального уравнения A.41) вна-
вначале решается однородное уравнение
A.45)
Решение A.45) можно искать в форме
° A.46)
15

где &t — угловая частота; q>i — фазовый угол; q,° — амплитуды
собственного вектора t-й формы собственных колебаний. Под-
Подстановка A.46) в A.45) приводит к обобщенной задаче на соб-
собственные значения
(K-cu,2M)q,0=0. A.47)
Аналогично для у-й формы
(K-co/M)q/>=O. A.48)
Из A.47), A.48) легко обнаружить свойства обобщенной орто-
ортогональности собственных векторов. Действительно, выполнив
скалярные умножения A.47) на q/ и A.48) на q^, получим
(Ч/УКЧ,О=СО,2(Ч/УМЧД
A.49)
(qiTKq/^co/^TMq/.
Поскольку матрицы К и М симметричны, то (q/)rKqi0=
= (QiTKq/ H(q/)rMq/0 = (qi°)rMq/. Тогда из A.49) следует, что
(o)i2_M/)(qio)rMq/o=o
или
(ЯЛГМЧ,.°=О для Ьф]
и A.50)
(qi°)rKq/=0 для i±j,
что соответствует свойствам обобщенной ортогональности
собственных векторов qt° и q/,
Если выполнить нормализацию собственных векторов отно-
относительно матрицы масс так, чтобы
(Ч,ТМЧ,°=1, A.51)
то из A.49) с учетом A.50) и A.51) получим
A.52)
Если из k нормированных векторов сформировать матрицу
Q0 = [<ii0'<l20. ....q*0]. A.53)
то свойства A.50) —A.52) можно представить в следующем
матричном виде:
Q?MQo=E(ftx*);
A.54)
QorKQo = Q,
где fi = fco,2, co22, ..., coft2j —диагональная матрица, содержащая
в качестве коэффициентов квадраты собственных частот систе-
системы; Е(»х*) —единичная матрица размерности (kX,k).
16

Вернемся к решению неоднородного уравнения движения
A.41). Решение q(x) будем искать в виде разложения по соб-
собственным формам колебаний системы, т. е. примем
q(T)=Qod(T), A.55)
где матрица Qo определена согласно A.53); d(x)—вектор-
столбец искомых множителей. Подстановка A.55) в уравнение
движения A.41) приводит к уравнению
MQod + KQod = P. A.56)
После умножения A.56) на транспонированную матрицу форм
Qo с учетом A.54) получим
d + Od = QoP. A.57)
Полученное (матричное) дифференциальное уравнение A.57)
значительно проще исходного A.41), поскольку матрицы Q яв-
является диагональной и допускает независимое интегрирование
отдельного коэффициента di искомого вектора d
di + ©,8rf, = /,(*). A.58)
где /Дт) = (цг°)гР(т). В качестве начальных условий для
интегрирования A.57) будут служить выражения d @) = QoMq@);
d@) Q^Mq@)
При решении A.58) обычно поступают следующим образом.
Разбивают интервал интегрирования по времени на отдельные
участки. В пределах участка используют аналитическое реше-
решение. Решение q(x) восстанавливается согласно A.55).
1.2. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ И ВАРИАЦИОННЫЕ
ФОРМУЛИРОВКИ СМЕШАННОГО ТИПА
1.2.1. Принцип возможных изменений напряженного состояния
Представим связь деформаций с перемещениями A.6) в
виде уравнения
Lu—e = 0. A.59)
С помощью неопределенных множителей Лагранжа бо (кото-
(которые по физическому смыслу представляют возможные напря-
напряжения) введем в математическую формулировку принципа воз-
возможных перемещений A.7) уравнение связи A.59)
JJ (L6u)radV- ^J buTgdV-
0. A.60)
sp V
2—1490 17

Относительно напряжений о и деформаций е, присутствующих в
уравнении (L60), будем считать, что, во-первых, напряжения
соответствуют равновесному состоянию и A.7) удовлетворяется
для любых возможных перемещений би, и, во-вторых, деформа-
деформации е однозначно определяются через напряжения о соотноше-
соотношениями упругбБти, т. е. е—ё(д). Тогда из A.60) следует, что для
равновесного состояния деформируемого тела должно выпол-
выполняться уравнение
jjjj u- •) dV=0. A.61)
В уравнении A.61) рассмотрим отдельно слагаемое, содержа-
содержащее произведение 6oTLu. Выполним для него интегрирование по
частям
A.62)
Lu—e = 0. A.59)
где L* и Lv— матрицы сопряженных дифференциальных опера-
операторов и направляющих косинусов (соответствующие Матрице
L); u0 — заданные перемещения на поверхности Sa. Из A.62)
следует, что, если в качестйе возможных напряжений рассмат-
рассматривать такие ба, для которых в любой точке объёма V
L*6o=0 A.63)
и на поверхности SP
U8o=6, A.64)
то
В этом случае уравнение A.61) принимает следующий вид:
A.65)
В частном случае, когда и0 = О, получим
JJJfl<jredV^=i=O. A.66)
Полученные уравнения A.65) и условия на бо в виде уравнений
A.63) и A.64) представляют математические формулировки
принципа возможных изменений напряженного состояния. Из
уравнений A.63) и A.64) следует, что в качестве возможных
18

напряжений бе могут выступать только самоуравновешенные
напряжения, причем такие, которые на поверхности Sp не нару-
нарушают силовых граничйых условий. Следует помнить, что фигу-
фигурирующие в уравнениях A.65) и A.66) деформации е соответ-
соответствуют напряжениям о, удовлетворяющим уравнениям равнове-
равновесия A.9) и силовым граничным условиям A.10).
Можно показать, что уравнения принципа возможных изме-
изменений напряженного состояния A.65), A.66) приводят к усло-
условиям совместности. Для этого напряжения 8а нужно выразить
через функции напряжений (функции Эри, Максвелла, Морера),
т. е. представить 5o=W6s (где W — прямоугольная матрица
дифференциальных операторов, такая, что L*W = 0; 6s— вектор-
столбец независимых функций напряжений) и выполнить инте-
интегрирование по частям.
Для линейно-упругого тела, материал которого при деформи-
деформировании подчиняется закону Гука A.11), деформации е опреде-
определяются через напряжения е = С-1о, где С~'.— матрица коэффи-
коэффициентов податливости. Тогда вариационная формулировка прин-
принципа возможных изменений напряженного состояния, соответ-
соответствующая A.65), принимает вид
uorLv6c;dS A.67)
и (при U0=0) для A.66)
'A-68)
Уравнения A.67) и A.68) можно назвать вариационными, по-
поскольку они соответствуют задачам о нахождении минимумов
функционалов
A.69)
где 1 с (а, <?) = у
Функционал I (a) A.69) носит название полной дополнительной
энергии [10]. Уравнение A.67) или A.68) позволяет получить
уравнения метода сил, рассматриваемые в курсе сопротивления
материалов.
2* 19

1.2.2. Независимые перемещения и напряжения
Формулировку задачи статики с помощью принципа возмож-
возможных перемещений, дополненного условиями связи деформаций с
перемещениями A.60), можно рассматривать как смешанную.
Для линейно-упругого тела A.60) принимает вид
V
где /Fи) — линейный функционал работы внешних сил на воз-
возможных перемещениях A.3). Уравнение A.70) представляет
математическую формулировку принципа Хеллингера — Рейс-
снера [10, 27]. К независимому варьированию в A.70) допус-
допускаются как перемещения, так и напряжения. Из-за произволь-
произвольности 6и и бо A.70) распадается на два уравнения
^ A.72)
v
Таким образом, смешанную вариационную формулировку
задачи статики можно представить в следующем виде. Требует-
Требуется найти такую пару вектор-функций и и о, для которых при
любых допустимых возможных перемещениях би и напряжениях
бо выполняются вариационные уравнения
*(ви, O)=fFu); A.73)
Ь(и, бо) — сFа, о)=0, A.74)
где
Нетрудно заметить, что задача A.73), A.74) соответствует за-
задаче о седловой точке функционала
J (u, a) = b (u, 5)-{c (а, <?) - /(и).
По физическому смыслу условие A.71), или A.73), требует
выполнения уравнений равновесия, а A.72), или A.74), — урав-
уравнений совместности. Для приближенных аппроксимаций напря-
напряжений и перемещений уравнения связи деформаций Lu и напря-
20

жений a (Lu=C~10), а также уравнения равновесия L*o=g
могут точно не выполняться, однако условие A.72) позволяет
получить интегральные соотношения упругости, которые в даль-
дальнейшем могут использоваться в интегральных уравнениях рав-
равновесия A.71).
Иногда при решении задач бывает удобно аппроксимировать
не все компоненты тензора напряжений, а только часть из них,
например напряжения поперечного сдвига и обжатия в много-
многослойных тонкостенных элементах конструкций. Представим
cr = [ef, <т?]г и e = [ef. е?]г. Запишгм фээмулюэв:<у принципа
возможных перемещений
jjjjjj Fsf<J1 + 6s2r<j2 + 6<j[s2-6<J2rs2)^-/Fu) = 0. A.75)
v
Соотношения упругости запишем в блочном виде
Oi = C11e1+C12e2; A.76)
02=C21Ei+C22e2, A.77)
где €„ = €[,A^:2); C2l = C[2. Из A.77) определим е2:
A.78)
Деформации ei и е2 могут быть выражены через перемещения и:
e1 = L1u(l=^=2). A.79)
Тогда с учетом A.76)—A.79) уравнение A.75) можно предста-
представить в следующем виде:
Jjjjj FefC*]Sl+ FsJ + 6s[C12C-') a2-f
v
+ в«2г (ва-Сй'ва + С-'Сяв,)) dV-/(bu) = 0, A.80)
где
6s, = L,6u A^:2); t, = L,aA^2);
^11 —^11 ^12^22 ^21-
В более компактном виде смешанную вариационную постановку
задачи статики A.80) можно сформулировать следующим обра-
образом. Требуется найти такую пару вектор-функций и, о2, для ко-
которых оказываются, при любых би, бо2, справедливыми вариа-
вариационные уравнения
aFu,u)+bFu,02)=/Fu);]
Ь(п, бо2)— с(бо2, о2)=0, / И-81)
21

где
a Fu, u) = J J J (L,o«f C*,
' v
ft (flu. «2)= JJJ ((L26u)r + (L,6uf Cl2C->)
с F*2, <J2)= J J J
v
Система вариационных уравнений A.81) сохраняет свойства
симметрии и соответствует задаче о нахождении седловой точки
для смешанного функционала
/ (и, <з2) = у а (и, и) + *(и,и2)-ус (ff 2- «2) — / (и).
Такую формулировку задачи иногда называют модифицирован-
модифицированным принципом Рейсснера.
1.2.3. Независимые перемещения и деформации.
Согласованность аппроксимаций
В ряде случаев бывает удобно воспользоваться вместо
A.71), A.72) записью вариационной формулировки принципа
Хеллингера — Рейсснера в деформациях и перемещениях. Вос-
Воспользовавшись соотношениями упругости A.11), получим
J J ^ (LSuI" CtdV - / Fu) = 0; A.82)
0. A.83)
Вариационное уравнение A.82) приводит к уравнениям рав-
равновесия, записанным через деформации L*Ce—g=0 в объеме V
и LvCe—р=0 на поверхности SP. Уравнение A.83) требует вы-
выполнения условий совместности деформаций Lu=e.
С использованием обозначений функционального анализа
формулировка задачи A.82), A.83) записывается более кратко
Ъ(И, бе) == с (бе, е),
где
ои, •) = $$$ (LouO"
22
V
с (бе, е) =

Эти уравнения соответствуют условиям седловой точки для
смешанного функционала /(и, е)=Ь(и, е)—^(г, г)—f(u).
Единственность решения смешанных вариационных задач, рас-
рассмотренных выше, обеспечивается выполнением необходимых и
достаточных условий непрерывности и условий Бабушки —
Бреззи, которые обеспечивают выполнение обобщенной теоремы
Лакса—Мильграма [29, 39].
Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной
формулировки задачи A.82), A.83) по сравнению с классиче-
классическим методом перемещений. При решении задач прикладной
теории упругости и строительной механики методом конечных
элементов сходимость решений в ряде случаев определяется
реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геомет-
геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-
либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая схо-
сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволи-
криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация
перемещений полиномами низкой степени является грубой для
описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут
накапливать «ложную» деформацию и вносить существенные
погрешности в решение задач. При учете деформаций попереч-
поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах
учет смещения как жесткого целого становится особенно важ-
важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенное™
(h/R) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициен-
коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бес-
бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении дефор-
деформаций усиливаются и могут дать значительную «ложную» энер-
энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных
деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в
пределах конечного элемента при использовании смешанного
метода позволяет обеспечить минимальную энергию «ложных»
деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости.
При решении задач методом конечных элементов (в вариан-
варианте независимых перемещений) аппроксимация поля перемеще-
перемещений конструируется в виде A.27). В качестве функций формы,
как правило, используют полиномы, обеспечивающие в преде-
пределах элемента геометрическую изотропию аппроксимации, а на
границах элементов — необходимую гладкость сопряжения.
В соответствии с A.27) поле деформаций в конечном элементе
при решении методом перемещений определяется как e=Bq,
где В=ЬФ, а соответствующая матрица жесткости элемента
вычисляется согласно A.30).
Пусть nQ — число обобщенных узловых степеней свободы в
конечном элементе (равно размерности вектора q A.27), а пг —
размерность ядра оператора связи деформаций с перемещения-
перемещениями L (величина пг равна числу независимых смещений элемен-
23

та как жесткого целого). Тогда для конечного элемента ранг
матрицы К должен быть равен
rank К—nq—пг. A.84)
Если функции формы, входящие в матрицу Ф A.27), не содер-
содержат функций, описывающих точно смещения как жесткого це-
целого, то условие A.84) не будет выполняться. В таких элемен-
элементах при смещении как жесткого целого будут возникать «лож-
«ложные» деформации и сходимость МКЭ будет низкой.
При использовании вариационной формулировки задачи в
смешанной форме A.82), A.83) появляется возможность кор-
коррекции ранга матрицы жесткости, и в ряде случаев удается до-
добиться выполнения условия A.84). Для этого в соответствии с
размерностью аппроксимации перемещений A.27) подбирают
размерность независимой аппроксимации поля деформаций
е=<оа A.85)
следующим образом:
Па = Пд—Пг, A.86)
где <о — матрица функций форм аппроксимации деформаций;
а — вектор-столбец коэффициентов аппроксимации; па — раз-
размерность вектор-столбца а. Выполнение A.86) при разумных
аппроксимациях перемещений A.27), деформаций A.85) и под-
подборе формы элемента обеспечивает необходимый ранг матрицы
жесткости К A.84). Согласно A.82), A.83) и A.27), A.85) для
конечного элемента будем иметь
где
у ¦ sp
A.88)
Тогда, исключив из A.87) коэффициенты а, получим a=H~'Gq;
Kq = P, где
K=GTH-'G A.89)
есть матрица жесткости элемента, полученная при независи-
независимой аппроксимации полей перемещений A-27) и деформаций
A.85). Поскольку в лучшем случае rankG = min(rtq—nr, п„) и
гапкН = пя, то при размерности па, соответствующей A.86), для
матрицы К A.89) будет выполняться условие A.84).
Таким образом, независимые, но согласованные по размер-
размерностям аппроксимации деформаций A.85) и перемещений
A.27) позволяют сохранить в интегральной форме (размерность
24

ядра оператора L и тем самым разрешить конечному элементу
необходимое число смещений как жесткого целого. При этом
следует помнить, что внутри элемента нарушаются условия
совместности деформаций. Однако, если вне зависимости от
характерного размера конечного элемента для выбранных
аппроксимаций выполняются условия Бабушки—Бреззи [39], то
сходимость решений теоретически обеспечивается.
При построении конечных элементов с независимой аппрок-
аппроксимацией деформаций в элементе необходимо обеспечить гео-
геометрическую изотропию полей перемещений и деформаций, а
также выполнение условия согласованности размерностей A.86).
Наиболее опасно нарушение условия A.86) при na<.nq—пг.
В этом случае матрица жесткости будет содержать лишние
нулевые собственные значения и конечный элемент превратится
в механизм.
Относительно сравнительной оценки затрат машинного вре-
времени для вычисления матриц жесткости конечных элементов
на основе метода перемещений A.30) и смешанного метода
A.89) можно сказать следующее. На первый взгляд кажется,
что для вычисления матрицы жесткости на основе смешанного
метода требуется значительно больше операций, чем по методу
перемещений, поскольку при использовании квадратурных фор-
формул численного интегрирования одинакового порядка для A.30)
число операций будет пропорционально п,2. Для A.89) даже
без учета обращения матрицы Н и перемножений число опера-
операций, затраченных при вычислении G и Н A.89), будет пропор-
пропорционально ПдПа-^-Па?, что, как правило, больше п,2. Однако
блочная упорядоченность матрицы аппроксимации <о при вы-
вычислении G и Н позволяет затратить число операций всего
лишь пропорционально nqm-\-m2, где пг — число независимых
базисных функций для аппроксимации деформаций (ш2<^п^).
Поэтому вместо проигрыша по времени получаем выигрыш
практически в nq/m раз. С учетом блочной структуры Н опера-
операции обращения этой матрицы будут пропорциональны не па6у
а пг3, что также требует незначительных затрат машинного
времени.
Пример разработки конечного элемента на основе смешан-
смешанной вариационной формулировки дается в разделах 3.5, 4.4>
5.5.
1.3. ВАРИАЦИОННО-МАТРИЧНЫЙ СПОСОБ ПОЛУЧЕНИЯ
КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ ДЛЯ
ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
1.3.1. Преобразования вариационных формулировок
При расчете на ЭВМ наиболее удобной формой представ-
представления разрешающих дифференциальных уравнений одномерных
задач являются системы дифференциальных уравнений первого
25

порядка или канонические системы*. Для таких систем разра-
разработаны стандартные программы интегрирования, а также раз-
различные вычислительные приемы, обеспечивающие достаточную
точность решения краевых задач [7, 15, 21]. К одномерным
можно отнести задачи деформирования стержней, балок, а так-
также круглых пластин и оболочек вращения при осесимметрич-
ном нагружении. В ряде случаев для трехмерных и двумерных
задач теории упругости можно применить метод разделения
переменных и решать задачи в рядах Фурье или методом Кан-
Канторовича. Такие задачи, для которых тем или иным способом
можно приближенно перейти от уравнений в частных производ-
производных к обыкновенным уравнениям (или к последовательности
обыкновенных уравнений), также будем относить к одномер-
одномерным. Иногда такие задачи называются квазиодномерными. Ни-
Ниже рассматривается вариационно-матричный способ получения
систем дифференциальных уравнений первого порядка и матриц
жесткости для одномерных систем, основанный на смешанной
вариационной формулировке [2, 26].
Кинематические компоненты в сечении одномерной системы
будем характеризовать вектор-столбцом обобщенных переме-
перемещений X. С помощью компонент вектора X при стыковке от-
отдельных элементов обеспечивается необходимая гладкость ре-
решения и формируются главные граничные условия. Например,
в расчетах тонкостенных оболочек вращения под компонентами
вектора обобщенных перемещений выступают перемещения и
углы поворота нормали к базовой поверхности.
Распределения перемещений и деформаций по сечению уста-
устанавливаются согласно исходным гипотезам деформирования и,
в общем случае,
u = F,X+F2Y; A.90)
e = B,X+B2Y, A.91)
где Y будем называть вектором производных, его компонента-
компонентами являются первые производные d/ds (условно примем s=Xi)
от компонент вектора обобщенных перемещений или их комби-
комбинации с перемещениями, необходимые для записи распределе-
распределения перемещений и деформаций; Fb F2 и Вь В2 — матрицы,
содержащие заданные функции (аргументов Хч, *з), аппрокси-
аппроксимирующие распределение перемещений и деформаций в сече-
сечении.
Характерной особенностью записи выражений A.90), A-91)
является то, что аппроксимирующие матрицы не содержат в
своих коэффициентах дифференциальных операторов d/ds,
поскольку все необходимые первые производные содержатся в
компонентах вектора. Y. По этой же причине между векторами
* В теории дифференциальных уравнений такие системы называют нор-
нормальными.
26

X и Y можно установить очевидную дифференциальную связь,
которую в общем случае удобно представить следующим обра-
образом:
Х„-С,Х—C2Y=0, A.92)
Это дифференциальное уравнение связи A.92) будем учиты-
учитывать как дополнительное условие при выводе разрешающих
уравнений.
Воспользуемся принципом возможных перемещений и ана-
аналогично A.5) запишем уравнение
«B) ^
[ -6X[1)tA)-6Xf2)tB) = O, A.93)
где А — площадь поперечного сечения рассматриваемой одно-
одномерной системы; g — вектор-столбец, компоненты которого со-
содержат достаточно гладкие функции распределенных объем-
объемных нагрузок; dA = dx2dx3; sA) и sB> — начальная и конечная ко-
координаты s одномерной системы; t<i) и tB> — внешние силовые
факторы, приложенные к системе при s —s<i) и s—SBy, 6X(d =
= 6Х (sA)) A^2).
В уравнении A.93) под возможными перемещениями бы и
возможными деформациями бе будем понимать их представле-
представление, аналогичное A.90), A.91), т. е.
6u = F,6X4:F26Y; A.94)
6e = B,6X+B26Y. A.95)
Между возможными обобщенными перемещениями 6Х и их
производными 6Y также установим дифференциальную связь,
аналогичную A.92):
6X,S—C,6X— C26Y=0. A.96)
Для линейно-упругого тела напряжения а в A.93) опреде-
определим согласно закону Гука, который запишем с учетом пред-
представления деформаций A.91)
o=C(B1X+B2Y). A.97)
Для того чтобы в уравнении A.93) считать независимыми
переменными как обобщенные перемещения X, так и их произ-
производные Y, дополним A.93) с помощью множителей Лагранжа
6А, и X условиями связи A.92) и A.96). Тогда с учетом A-97)
получим следующую вариационную формулировку задачи:
+ 6Yr (S21X + S22Y - C[X - N2) +
+ 6XT(X,i-C1X-C2Y))ds-6Xf1)tA)-6X[2)tB) = 0, A.98)
27

где
SJy=jj BfCB/M, (/,/ = 1,2); A.99)
(/=1,2). A.100)
Приравняв нулю сомножитель при 6Y в подынтегральном вы-
выражении A.98), определим вектор-столбец производных Y че-
через вектор-столбец обобщенных перемещений и вектор-столбец
множителей Лагранжа:
Y = S22 (N2 + C2X — 52lX). A.101)
Далее с помощью A.101) исключим вектор-столбец производ-
производных Y из вариационной формулировки A.98), в результате по-
получим новую смешанную постановку задачи:
A Y t П /11 Г\О
-ОЛ.BIB) =U, A.Шл
где
АП = С,—bS2I; AI2=bC2;
A2I==S,,—dS2I; A22 =—An;
H, = bN2; H2 = — N, + dN2;
b = C2S22; d = S2i S22.
С учетом того обстоятельства, что для матриц Sy A.99) S«=
= S/ir, легко показать, что матрицы А,;- обладают следующими
свойствами:
А12=АГ2; А21 = А2ь А22=—Аи. A.104)
В терминах функционального анализа вариационная фор-
формулировка задачи A.102) будет определяться следующим об-
образом: требуется найти такую пару X и X (из соответствующих
допустимых множеств), для которых при любых возможных
6Х, 6А, оказываются справедливыми уравнения
а(бХ, Х)+ЬFХ, Я,)=/,FХ);
О (Л, Ол)—С (Oh, K)=l
28

где
a (flX, Х)= \
6Х A21Xrfs;
'О)
42)
Л, Л)=
/,FX)= ^ 6XrH2ds-6X[I)t(I)-6X[2)tB);
/2(вЛ)=
Формулировка задачи A.105) соответствует задаче о на-
нахождении седловой точки смешанного функционала
У(Х, Л) = 4-а(Х, Х)+*(Х. Л)—ув(Л, Л)-/,(Х)-/а(Л).
В практике решения задач вариационная формулировка A.102)
/или A.105)/ используется редко. Эффективно применяют
другую формулировку задачи, аналогичную той, которая ис-
используется в прямом методе граничных элементов [6]. Для это-
этого в A.102) проинтегрируем по частям слагаемое 6Х,3ТХ, после
чего получим
-XB)) = 0. A.106)
Для произвольных 6% и 6Х потребуем, чтобы на интервале
(sA), 5B)) обобщенные перемещения X и обобщенные силовые
факторы X /физический смысл множителей Лагранжа следует
29

из A.106)/ удовлетворяли уравнению
Тогда вариационная формулировка задачи A.106) станет
где X,(,)=Ms(o) (i= 1,2). Поскольку Л,(п = Л,(*A)) и А,B) Ц%))
представляют значения обобщенных силовых факторов %, удов-
удовлетворяющих решению A.107), то их можно определить из об-
общего решения A.107), записанного для s=sB):
где о,,- (i, /=1,2) —являются блоками матрицы фундаменталь-
фундаментальных решений, вычисленными при s=sB)j X, к — определяются
частным решением системы A.107), вычисленным при s=SB)-
Воспользовавшись связью A.109), вариационную формули-
формулировку A.108) можно представить в классическом виде метода
перемещений
6qT(Kq—P—1)=0, A.110)
где
6q=[6X[1)( 6X(r2)]r; q = [X(r1),X[2)]7-;
Р = [РО).РГ2)]Г; t = [t('i), t[2)F; (Mil)
Ак Ы
Матричные блогки К« вычисляются через блики матрицы фун-
фундаментальных решений о,-/ A.109) следующим образом:
"яг —1« If i^_ —I
J^^i "~Г" A-П2)
а приведенные узловые силы Р((> определяются через час-Гное
решение
PA)=-w-1X; P=-X-w22P(i). A.113)
Если под действующими внешними торцевыми силами t(u,
tB> понимать реакции отброшенных частей одномерной системы,
то A.110) позволяет получить связь реакций одномерного ко-
конечного элемента с его торцевыми перемещениями:
t=Kq-P. A.114)
Матрица К является матрицей жесткости одномерного элемен-
элемента, построенного с использованием фундаментальных решений
30

одномерной системы согласно зависимостям A.112). Далее кра-
краевая задача решается с использованием A.114) путем стандарт-
стандартных операций метода конечных элементов (приложение 3).
1.3.2. Алгоритм получения канонических систем
и матриц жесткости
В предыдущем разделе было показано, как, используя
последовательные преобразования смешанных вариационных
постановок задачи, удается формализовать процедуры получе-
получения канонических систем дифференциальных уравнений и мат-
матриц жесткости для одномерных систем общего вида. Алгоритм
вариационно-матричного способа получения канонических си-
систем и матриц жесткости будет следующим.
1-й этап. Подготовка исходной информации. В качестве
исходной информации необходимо предоставить: Fb F2 — матри-
матрицы, определяющие распределение по сечению перемещений
A.84); Вь В2—матрицы, определяющие распределение по сече-
сечению деформаций A.95); С — матрицу соотношений упругости
A.97); Сь С2 — Матрицы связи обобщенных перемещений и их
производных A.92); g — вектор внешних распределенных на-
нагрузок; S(d, SB) — начальную и конечную координаты одномер-
одномерной системы.
2-й этап. Переход к одномерной задаче. Последователь-
Последовательно выполнить вычисления и определить: S« — матрицы приве-
приведенных жесткостей A.99); Nt — вектор-столбец приведенных
погонных внешних сил A.100).
3-й этап. Получение канонической системы разрешаю-
разрешающих дифференциальных уравнений. Выполнить матричные Опе-
Операции A.103) и определить матричные блоки А;;- (i, /=1,2) и
вектбр-столбцы свободных членов Н4 A=1,2) канонической
системы дифференциальных уравнений A.107).
4-й этап. Интегрирование канонической системы. Путем
интегрирования системы дифференциальных уравнений A.107)
вычислить матричные блоки <й« матрицы фундаментальных ре-
решений и вектор-столбец [Хт, %т]т частного решения при s=SB>
A.109). Эти вычисления можно выполнять с использованием
стандартных процедур численного интегрирования систем диф-
дифференциальных уравнений первого порядка.
5-й этап. Получение матрицы жесткости и вектора при-
приведенных нагрузок. Выполнить матричные операции A-12) и
определить К;/ — блоки матрицы жесткости одномерного эле-
элемента A.112) и Р(,-) — приведенные узловые силы A.113). Мат-
Матрица жесткости К и вектор приведенных нагрузок формируют-
формируются согласно A.111).
Представленная последовательность вычислений определя-
определяет алгоритм получения канонических систем и матриц жест-
жесткости. Этот алгоритм является общим для широкого класса
одномерных систем и легко поддается программированию (при-
31

ложение 4). Его весьма эффективно можно использовать при
расчете многослойных оболочек вращения со сложными моде-
моделями деформирования.
1.3.3. Свойства симметрии
Кроме полученных свойств симметрии* A.104) матричных
блоков разрешающей системы дифференциальных уравнений
A.107) определенный интерес представляют свойства матрицы
фундаментальных решений A.109) и матрицы жесткости К
A.111).
Предположим, что для вариационной формулировки задачи
A.106) при t(i)=tB) = 0 возможные обобщенные перемещения
6Х и силовые факторы 6% удовлетворяют решению дифферен-
дифференциального уравнения
ГбХ| ГАИ А.ЛГ6Х1 ГвН,]
[6Х \,s~ [A2l A22J[6XJ + [6H2J- A.11J>)
Тогда после интегрирования A.106) по частям получим
*B)
J FХГН2 —6XrH,)rfs
B
= J
Этот результат известен как теорема взаимности работ (теоре-
(теорема Бетти) и означает, что работа сил реального состояния на
перемещениях другого допустимого состояния (параметры до-
допустимого состояния отмечены символом б) равна работе сил
допустимого состояния на перемещениях реального состояния.
При Н,=бН,=0 из A.116) следует
^Щ^^). A.117)
Уравнение A.117)- с учетом связи вектора состояния [ХBJ,
^B>Т в сечении s=sB) с вектором состояния [X(i)T, %u)T]T в сече-
сечении s=sA) A.109) позволяет доказать следующие свойства
блоков матрицы фундаментальных решений:
= <"
A.118)
где Е(пХ„) — единичная матрица размерности (пУ,п); 2п —
порядок канонической системы. Кроме того, на основании
* Другое доказательство этих свойств с помощью теоремы о взаимности
работ можно найти в [7].
32

A.118) или условий симметрии матричных блоков канонической
системы A.104) можно показать, что определитель матрицы
фундаментальных решений для любого участка интегрирова-
интегрирования должен быть равен
Jj
]=.l. A.119)
Условие A.119) можно использовать как необходимое, но, к
сожалению, ие как достаточное для контроля за точностью
численного интегрирования, т. е. если решение верно, то равен-
равенство A.119) выполняется, если A.119) не выполняется, то ре-
решение заведомо неверно.
1.3.4. Особенности численной реализации
Заполнение матрицы фундаментальных решений о можно представить
так. На участке (s<i), SB)) одномерной системы решается задача Коши при
Hi = H2 = 0 A.107) при начальных условиях, когда только ;-я компонента
вектора состояния в первом сечении [Х(от, X(i)T]T равна единице, остальные
компоненты — нули. В результате интегрирования A.107) в сечении s =
=SB) получим определенный вектор состояния. Этот вектор заносится как
/-Й столбец в матрицу о. Получив решения всех 2п задач с единичными
условиями, полностью заполним матрицу фундаментальных решений*. Век-
Вектор частного решения получается после интегрирования неоднородного урав-
уравнения A.107) при нулевых начальных условиях.
При численной реализации процедур заполнения матрицы фундамен-
фундаментальных решений в ряде случаев (например, для моментных оболочечных
элементов или балочных на упругом основании) участки выбирают доста-
достаточно короткими, если не применяют приемы ортогонализации [7, 15, 21].
Это связано со спецификой разрешающей системы дифференциальных урав-
уравнений, для которой возможны быстровозрастающие и быстрозатухающие
решения, а также с неизбежными погрешностями округления при вычисле-
вычислении на ЭВМ. При большом участке интегрирования, если не применяются
специальные приемы, векторы решений в ш при расчете на ЭВМ могут стать
практически линейно зависимыми или будут вычисляться недостаточно точно.
По этой причине метод начальных параметров, который часто используется
при расчете стержней, для моментных оболочек применяется редко. Длину
участка интегрирования необходимо выбирать, ориентируясь на собственные
значения матрицы разрешающей системы А.
Приведенные выше матричные соотношения для определения коэффици-
коэффициентов канонических систем позволяют не получать явных аналитических
зависимостей, а вычислять значения коэффициентов для конкретного сече-
сечения с координатой s. Для сокращения вычислительных операций, выполняе-
выполняемых ЭВМ на каждом шаге численного интегрирования в случае переменных
коэффициентов можно воспользоваться приемом аппроксимации. Для этого
одномерный объект по координате s разобьем иа участки длиной Д. Матри-
Матрицы разрешающей системы будем вычислять только в узлах разбивки. Для
участка интерполяции S(u, s<2) воспользуемся информацией в точках s =
=S(i)—As, S(i), s=SB), s=S(j)+A. Значения матриц в этих точках обозначим
соответственно Ai-ь, Аи Л2, Л2+д. Для гладкого сопряжения аппроксима-
* Другой прием построения матрицы фундаментальных решении с помощью мат-
матричных рядов можно найтн в [13]. Для расчета оболочек вращения этот прием сов-
совместно со стыковкой элементов впервые использовался в работе [12].
3—1490 33

ций А воспользуемся интерполяцией по четырем точкам. Интерполяит пред-
представим в виде кубического полинома. Для --¦ —"— --¦
Для определения коэффициентов матриц интерполяции 6,- (*== 1 ... 4)
будем считать, что аппроксимирующая матрица совпадает с матрицей раз-
разрешающей системы на краях участка интерполяции, т. е. при s=s<i) и
S = SB)
I(s(l))=Ai; J(S(8))=v42. A.121)
Кроме того, выполним следующие сопряжения участков аппроксимации по
первым производным:
A.122)
А,).
После подстановки в A.121) и A.122) выражений для /(s) A.120) получим
систему матричных уравнений, решение которой определит матрицы интер-
интерполяции.
2дг(А, —гА
A.123)
Для решения задач статики аналогичным образом может быть аппрок-
аппроксимирована изменяющаяся вдоль координаты s внешняя распределенная на-
нагрузка или вектор свободных членов в разрешающей системе.
Относительно матрицы жесткости элемента К A.111), A.112) можно
сказать следующее. Полученная с помощью интегрирования канонической
системы A.107) матрица жесткости одномерного элемента не связана с
аппроксимациями по координате s полей перемещений, деформаций или на-
напряжений и является точной в отличие от матриц жесткости, полученных
в предыдущих разделах. В этом случае можно утверждать, что внутри
элемента уравнения равновесия и совместности деформаций выполняются
строго* и соответствующие поля перемещений элемента содержат необхо-
необходимые перемещения как жесткого целого. С использованием свойств мат-
матрицы фундаментальных решений A.118) можно показать, что матричные
блоки Kij, полученные согласно A.112), обладают следующими свойствами:
Kn = KiiT; K2i = Ki2T; К22=К22Г, т. е. матрица жесткости К является сим-
симметричной.
Определенный интерес при решении задач о деформировании многослой-
многослойных одномерных систем представляет случай, когда в сечениях системы
(например, при s=S(i) и/или при s=SB>) ставятся дополнительные кинема-
кинематические связи. Эти связи могут возникнуть при стыковке различных моделей
деформирования многослойных оболочек, в местах установки жестких диа-
диафрагм или кольцевых подкреплений. Вариационная формулировка задачи
A.110), в которой участвуют граничные обобщенные перемещения, позво-
* Здесь речь идет о точности аналитического решения в пределах принятых допу-
допущений по исходной модели деформирования. При численной реализации на ЭВМ погреш-
погрешности безусловно будут присутствовать.
34

ляет выполнить силовые условия сопряжения и осуществить преобразования'
матриц жесткости и приведенных узловых сил.
Пусть дополнительные кинематические связи иа узловые обобщенные
перемещения задаются в виде
8q = T*8q*; q=T*q*. A124)
где 6q* — допустимые обобщенные перемещения иа границах одномерного
элемента с учетом связей. Тогда вместо вариационной формулировки зада-
задачи A.110) получим
8q*rT*r(KT*q_p)_6q*rt*_0| A.125)
где t* — вектор-столбец торцевых внешних сил, действующих иа систему со
связями. Условие A.125) позволяет записать уравнение равновесия
t* = K*q*—P*. A.126)
где
К* = Т*ТКТ*;
q* = T*q; P* = T*P.
Матрица К* представляет матрицу жесткости элемента с дополнительными
связями, а вектор-столбец Р* содержит компоненты приведенных к узловым
сечениям внешних распределенных сил.
1.4. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ
1.4.1. Линеаризованная формулировка принципа возможных
перемещений для нелинейных систем
Получим формулировку задачи о равновесии физически
нелинейной системы в случае больших перемещений. Процесс
статического нагружения мысленно свяжем с некоторым услов-
условным временем т (или параметром напружения).
Пусть в начальный момент времени (т=0) рассматривае-
рассматриваемый объект имел исходную недеформированную конфигурацию.
Проследим за изменением этой конфигурации в процессе на-.
гружения. Будем считать, что для момента времени т нам из-
известно равновесное напряженно-деформированное состояние
системы, а на интервале времени (т,т+Дт) известны значения
приращений внешних нагрузок. Истинные приращения пере-
перемещений, которые требуется определить, обозначим Ди. По-
Поскольку задача нелинейная, то перемещения Ди определяются
не за один шаг, а требуют для их вычисления итерационного
процесса. Такой итерационный процесс можно организовать с
использованием линеаризации формулировки принципа возмож-
возможных перемещений, записанного для равновесного положения
тела в момент времени т+Дт.
Будем считать, что т-я итерация должна приводить к поло-
положению равновесия. В этом случае должно выполняться усло-
условие
\U = 0. A.127)
35

где
Л+д,= 5S$ 6Au[m)gT+Ax^+S5 6Au[m)Pt+At^ A.128)
-^представляет работу внешних сил; бДе(т) — возможные при-
приращения деформаций; о(т) — напряжения; 6Au(m) — возможные
приращения .перемещений; ?т+дТ, рг+д* — распределенные объем-
объемные и поверхностные силы, соответствующие моменту времени
T-f-Ат. Индекс т указывает на принадлежность к /и-й итера-
итерации; индексы т. и т+Ат — к конфигурациям, соответствующим
моментам времени т и т+Ат.
Суммарные напряжения на /n-й итерации представим следу-
следующим образом:
т-\
. A.129)
а в деформациях Ae(m) выделим линейные Ае(т) и нелинейные
A слагаемые
Ае(т)=Ае(т)+Дт](т). A.130)
Приращение сил Ag и Ар на интервале (т, т+Ат) будем
давать достаточно малым, чтобы считать связь приращений
напряжений с приращениями деформаций линейной, т. е.
Ao(m)=CtAe(m), A.131)
где Ст — матрица касательных модулей, определенная для
конфигурации т.
Запишем формулировку принципа возможных перемещений
A.127) с учетом A.129) —A.131)
= 0. A.132)
Для того чтобы сохранить в A.132) слагаемые только первого
и второго порядков малости, примем
6Ae[OT)CTAe(m)
Тогда получим следующую линеаризованную формулировку
принципа возможных перемещений:
= 0. A.133)
36

Формулировка условия равновесия, записанная в виде A.133),
позволяет получить разрешающие уравнения для определения
перемещений Au(m) и выполнить итерацию u(m) = um_i+Au(m).
Наиболее удобным при решении нелинейных задач [38] ока-
оказываются два варианта интегрирования A.133). В первом вари-
варианте интегрирование проводится по исходному недеформирован-
ному объему, т. е. для конфигурации т=0; во втором — для
конфигурации предыдущего равновесного состояния, соответ-
соответствующего моменту времени т. При этом в декартовой системе
координат для вычисления линейных составляющих прираще-
приращений деформаций при интегрировании по исходному объему надо
воспользоваться для компонент вектора Ле, упорядоченных
аналогично A,2), следующими зависимостями:
(Аи+А«+«ЬА+«ЬАи)' A.134)
где i, j, k пробегают значения 1, 2, 3 (индекс итерации (т)
опущен, по k идет суммирование). Во втором варианте, посколь-
поскольку конфигурация т включает перемещения ит, для вычисления
компонент Де следует воспользоваться зависимостями
Ле^ = 1(Ди;,у + А«у,<) (*. У = 1. 2, 3). A.1=35)
Нелинейные составляющие приращений деформаций Ai|
определяются для первого и второго вариантов следующим
образом: ,,
AMAM (i, у, Л = 1, 2, 3), A.136)
а их вариации
y). A.137)
Компоненты вектор-столбца возможных деформаций 6Ai|
упорядочены следующим образом:
бАл = [бАт1ь бДтц, бДт1з, 6ДХ12, бД^гз, 6Axsi]r, A138)
где
i=l, 2, 3);
=1, 2, 3, 1ф\).
Относительно физических соотношений A.131), связываю-
связывающих приращения напряжений и деформаций, будем считать,
что матрица касательных модулей Сх, вычисленная для равно-
равновесной конфигурации т, сохраняет неизменными свои компо-
компоненты при итерациях в пределах этапа нагружения. Кроме того,
будем считать деформации достаточно малыми, чтобы в соотно-
соотношениях A.131) не делать различия в матрицах Ст для двух
указанных выше вариантов интегрирования. '
37

Такой метод решения нелинейных задач называется шаго-
шаговым методом Ньютона с промежуточной итерационной коррек-
коррекцией модифицированным методом Ньютона. Жесткость систе-
системы пересчитываетея перед переходом к новой порции нагру-
жения. В пределах итерационного процесса для нагрузки,
соответствующей моменту т+Ат, жесткость системы остается
постоянной и соответствует характеристикам Ст.
Рассмотрим частные случаи, которые можно получить из
линеаризованной формулировки принципа возможных переме-
перемещений A.133).
При решении геометрически линейных, но физически нели-
нелинейных задач из вариационной формулировки A.133) получим
ffi (eA«[«)C'Ae(»«) + eAer»,,»(»-»)^-А+Ат = 0, A.139)
V
где компоненты вектор-столбца Де(т) определяются линейными
соотношениями A.135).
При решении линейных задач в A.139) следует принять
l) = 0;
Де(т) = е = е; Ct = C; Ди(т)=и; gT+At = g; p,+At = p;
после чего A.139) будет соответствовать записи формулировки
принципа возможных перемещений A.5).
Уравнение в вариациях A.133) позволяет формально запи-
записать условие смежного равновесного состояния системы. Если
считать, что (т—/)-я итерация соответствует равновесному
состоянию для момента нагружения т, и процесс дальнейшего
деформирования происходит без приращения нагрузки, то, оче-
очевидно, следует потребовать
p
Тогда условие смежного равновесного состояния примет вид
= 0. A.140)
В случае, если состояние системы для момента времени т
считается напряженным, но недеформированным, то вместо Дб
и Дт] можно пользоваться обычными линейными и квадратич-
квадратичными представлениями е и т\, и для линейно-упругого тела ва-
вариационная формулировка задачи устойчивости A.140) может
быть представлена так:
= 0, A.141)
где компоненты вектор-столбца вариаций нелинейных составля-
38

ющих деформаций бт]> упорядоченные аналогично A.138), име-
имеют следующий вид:
вть=8т)« (»=1, 2, 3);
бт),; = у
Формулировка задачи устойчивости в виде A.141) известна
как энергетический критерий устойчивости в форме Брайана
II].
1.4.2. Вариант метода перемещений
Рассмотрим постановку задачи о вычислении поправки Ди<т) иа основе
¦формулировки принципа возможных перемещений A.133). Все компоненты
деформаций и напряжений будем относить к исходному недеформированно-
му базису. В этом случае деформации будут определяться компонентами
тензора деформаций Лагранжа, а напряжения — компонентами тензора на-
напряжений Пиола—Кирхгофа 2-го рода [38]. Рассмотрим отдельно каждое
слагаемое в уравнении A.133).
Для первого слагаемого в подынтегральном выражении A.133) восполь-
воспользуемся соотношениями упругости в приращениях A.131) и связью линейных
составляющих деформаций с перемещениями A.134)
Де=.2\Ди. A.142)
где элементы матрицы дифференциальных операторов &х определяются со-
согласно формулам A.134). (Здесь и в дальнейшем индекс итерации (т)
опущен). Тогда первому слагаемому придадим вид
Второе слагаемое в A.133) также можно преобразовать к симметрично-
симметричному виду. Воспользовавшись для вариаций нелинейных составляющих дефор-
деформаций A.138) их представлением через перемещения A.137), получим
где
бДча,
= AбДи)г2
т1Ди,
I =[v, V. VJ;
9x3
_т т _т ~
а1 а12 а13
СИМ. Од
;
A.144)
±
дхг
т = [[<\]. [ct].
Третье слагаемое в подынтегральном выражении запишем с учетом ли-
иейной связи деформаций 6Ае с перемещениями бДи, аналогичной A.142),
[г(т_1) . A.145)
39

Представленные в виде A.143)—A.145) подынтегральные слагаемые
позволяют привести формулировку задачи A.133) к следующей: требуется
определить такие Аи, для которых выполняется уравнение
A.146)
Sp
для любых возможных перемещений SAu.
Рассмотрим реализацию решения лииеаризоваииой задачи с помощью
МКЭ в варианте метода перемещений. Зададим аппроксимацию приращений
перемещений в форме
Ди = ФДЧ, A.147)
где Ф — матрица функций формы аппроксимаций приращений перемещений,
Aq — приращение узловых обобщенных перемещений. Тогда линеаризован-
линеаризованные приращения деформаций можно выразить с использованием A.142) и
A.147) через приращения узловых обобщенных перемещений следующим об-
образом:
Ae=^tAq, A.148)
где Л!т=^тФ. Компоненты вектор-столбца градиентов перемещений также
иыразим через приращения узловых обобщенных перемещений
IAu=#Aq, A.149)
где 52= 1Ф. Тогда условие равновесия коиечно-элемеитной модели линеари-
линеаризованной системы (на m-й итерации) запишется согласно A.146)—A.149) в
виде
Отсюда, учитывая произвольность выбора коэффициентов 6Aq получим ли-
иейную систему алгебраических уравнений относительно приращений узло-
узловых перемещений
(Kr+St)Aq=X(m-D, A-150)
где
+ ff *
В полученной системе уравнений A.150) вектор-столбец X(m-D представ-
представляет (для (т)-й итерации) невязку между узловыми реакциями элементов и
приведенными узловыми силами, а матрица (Kt+St) характеризует жесткость
системы, определенную с учетом предварительно напряженного и деформиро-
деформированного состояния (к моменту времени т). Решение A.150) дает значение
Aq, которое позволяет выполнить очередную итерацию q(m) = q<m-i)+Aq-
При определении параметра нагружения т матрица (KT+St) может
перестать быть положительно определенной. Как правило, дальнейшее дефор-
деформирование такой системы перестает быть устойчивым (этот момент соот-
соответствует разрушению или потере устойчивости).
1.4.3. Приложения к одномерным системам
Линеаризованную формулировку принципа возможных перемещений
A.133) можно рассматривать как исходную для применения вариационно-
матричного способа получения канонических систем и матриц жесткости од-
40

номерных систем. Представим приращение перемещений, деформаций и гра-
градиентов перемещений в виде следующих комбинаций приращений обобщен-
обобщенных перемещений ДХ н их производных AY (индекс итерации (т) опущеи):
Au=>=FiAX+FaAY;
Де=В1тДХ+В2гДУ; A.151)
IAu=R,AX+RjAY,
где как и прежде (см. разл. 1.3.1) матрицы Fb F2, Bit, В2Т, Ri, R2 не содер-
содержат дифференциальных операторов d/ds, поскольку все необходимые про-
производные вынесены в вектор AY. Заполнение матриц В[Т и В2Т происходит
согласно представлению линеаризованных (относительно конфигурации т)
деформаций через приращения перемещений. Между приращениями обоб-
обобщенных перемещений и их производными по определению существует оче-
очевидная дифференциальна ясвязь, аналогичная A.92),
АХ, ,—С,АХ—C2AY=0. A.152)
Линеаризованную формулировку принципа возможных перемещений
A.133), записанную дли одномерной системы, с учетом A.144)
•гB)
J JJ" (SAeTCTAe + (ISAuO" ETIAu + 6А*Г<*AЙ_1> —
=0
представим с использованием зависимостей A.151) и дополним условиями
связи A.152). Тогда после интегрирования по площади сечения получим
следующую интегральную формулировку задачи:
()
J" (бДХт (S
+ 6AY7" (S21AX+S22AY—С2ГХ—N2) +6ХТ(ДХ^—С,ДХ—
{){I^{2) = 0, A.153)
где
JJ" (f f2TRy) dA (i, J = l, 2); A.154)
Ггв(т-1)) dA (/=1- 2>' (L155>
После интегрирования по частям и исключения AY=S22-1(N2 + C2T>i.—S2iAX)
получим в качестве уравнений Эйлера искомую каноническую систему, сфор-
сформулированную относительно приращений обобщенных перемещений и обоб-
обобщённых силовых факторов
[-ДХ] ГА„ Ам ГДХ-] ГИЛ „ ._
где матричные блоки А,-/ системы A.156) и векторы свободных членов Hi
определиются формально теми же соотношениями, что и для линейной сис-
системы, т. е. A.103), но при этом под матрицами Sy понимаетси их представ-
представление согласно A.154), а под вектор-столбцами N(—A.155). Здесь индекс
итерации (т) опущен.
Следует отметить, что поскольку матрицы S;/ A.154) содержат инфор-
информацию о деформированном состоянии (коэффициенты матриц В;т), соотно-
соотношениях упругости (коэффициенты матрицы Ст) и напряженном состоянии
41

(коэффициенты матрицы St) для равновесной конфигурации системы в мо-
момент времени т, то они в итерационном процессе по т остаются постоянными.
Это приводит к тому, что в итерационном процессе решении задачи для мо-
момента Дт+т остаются неизменными коэффициенты матрицы разрешающей
системы, а следовательно, и матрицы фундаментальных решений A.109), и
матрицы жесткости A.111) одномерных элементов. Таким образом, процесс
решения нелинейных одномерных задач будет соответствовать шаговому ме-
методу Ньютона с промежуточной коррекцией модифицированным методом
Ньютона.
1.4.4. Получение канонических систем для задач
устойчивости и колебаний
При использовании вариационной формулировки критерия
устойчивости в форме Брайана A.141) вариационно-матричный
способ получения разрешающих уравнений приводит к канони-
канонической системе однородных дифференциальных уравнений
где под X и К понимаются дополнительные перемещения и сило-
силовые факторы. Матричные блоки Ач также вычисляются соглас-
согласно A.103) при матрицах, аналогичных A.154):
(I, 7=1. 2), A.158)
где Л — параметр нагружения; 2о — матрица начальных напря-
напряжений, соответствующих Л=1.
При решении задач о колебаниях предварительно напряжен-
напряженных систем для получения разрешающих дифференциальных
уравнений также можно воспользоваться вариационно-матрич-
вариационно-матричным способом. Исходная вариационная формулировка задачи
будет заключаться в записи принципа возможных перемеще-
перемещений, формально дополненной работой сил инерции (определен-
(определенных согласно принципу Даламбера) на возможных перемеще-
перемещениях. Таким образом, вместо A.141) получим
— со2р8иги)сИ/=О. A.159)
где со — круговая частота; р — удельная масса материала. Тог-
Тогда вариационно-матричный способ также приводит к канони-
канонической системе A.157) с однородными граничными условиями
на компоненты X или X, но при этом в вычислениях матричных
блоков Ау A.103) под S,,- следует понимать их представление с
учетом упругих свойств, напряженного состояния и приведен-
приведенных инерционных характеристик:
^ , 0.7 = 1,2). A.160)
А
42

Система дифференциальных уравнений, полученная таким
образом, позволяет решить следующие задачи на собственные
значения: при р=0 и S0=^0 можно определить критическую
нагрузку Лкр; при Л=1; 20=7^0; рфО — найти частоты и формы
колебаний упругой системы с учетом предварительного нагру-
жения (в частном случае при 20=0 — определить частоты и
формы ненагруженной системы).
Коэффициенты матрицы однородной системы дифферен-
дифференциальных уравнений A.157) в общем случае будут зависеть от
координаты одномерной системы s, а также от параметра на-
гружения Л (для задач устойчивости) или частоты колебаний
(для задач динамики). Система уравнений A.157), дополнен-
дополненная однородными граничными условиями, определяет задачу на
собственные значения: требуется найти такие значения пара-
параметра Л или и, при которых имеются нетривиальные решения.
Для задачи устойчивости практический интерес представляет
только наименьшее по модулю собственное значение Лкр = | Л | mm,
которому соответствует значение критической нагрузки.
После выполнения процедур построения матриц фундамен-
фундаментальных решений для отдельных элементов A.109), матриц
жесткости A.11) и стыковки элементов по геометрическим и
силовым факторам с учетом однородных граничных условий по-
получим однородную систему алгебраических уравнений относи-
относительно дополнительных перемещений. Формально эту систему
представим в виде
К(р)Х=0, A.161)
где р = А для задач устойчивости или p = cs2 для задач о собст-
собственных колебаниях. Для нетривиального решения полученной
системы линейных алгебраических уравнений необходимо и
достаточно равенство нулю ее определителя. Этот случай соот-
соответствует одному из собственных значений параметра р. Рас-
Расчет, как правило [21], выполняют следующим образом. Для раз-
различных значений параметра р производят интегрирование си-
системы A.157), осуществляют стыковку элементов, вычисляют
определитель системы A.161) и следят за сменой знака опре-
определителя. Недостатком такого приема определения собствен-
собственных значений параметра р является то, что для каждого р
приходится заново интегрировать системы A.157), что тре-
требует значительных затрат машинного времени. Для сокращения
вычислительных операций можно использовать прием линеари-
линеаризации по параметру р матрицы связи реакций элемента с узло-
узловыми перемещениями элемента, т. е. представить связь реакций
с перемещениями в следующем виде:
Гк?1 к?2
L1V2I К22
lB) j L^l IV22J L^n "¦22j/ LA(
43

В этом случае после стыковки отдельных элементов получим
вместо A.161) разрешающую систему алгебраических уравне-
уравнений следующей структуры: (К°+ДрК)Х=0. Эту систему урав-
уравнений можно рассматривать как математическую формулиров-
формулировку обобщенной задачи на собственные значения относительно
параметра Др и использовать для ее решения стандартные эф-
эффективные методы (метод определителя, метод итераций в под-
подпространстве и другие). Такой прием линеаризации К(р) при
большом числе элементов существенно уменьшает время рас-
расчета, так как матрицы К0 и К определяются лишь за два
приема интегрирования, т. е. для р=ро и /?=/?о+Дро- В случае
необходимости полученное собственное значение р — р. можно
уточнить, при этом линеаризацию матриц следует провести от-
относительно ро=р..
1.5. ПРИМЕРЫ
Пример 1.1. Определение перемещений н наприжеиий в равномерно
нагретом тонком двухслойном кольце (рнс. 1.1). Дано: Ещ— модули упру-
Рнс. 1.1. Схема тоикого двухслойного кольца
гости; a"[ij—коэффициенты линейного температурного расширения;
hm — толщины слоев; R— средний раднус кольца (#»Лп)); Т — перепад
температуры при нагреве; »=1, 2— индексы, указывающие иа принадлеж-
принадлежность к внутреннему и внешнему кольцу; Ъ — ширина кольца.
Для решения воспользуемся формулировкой задачи в форме A.18),
A.19), A.22). Поскольку окружная деформация кольца определяется как
w/R, где w — нормальное перемещение вдоль оси г, то операторная матри-
матрица 'L A.19) будет содержать всего лишь один коэффициент \/R. В качестве
и и 6и будут выступать w н 6а>; вместо матрицы соотношений упругости С
будет выступать модуль упругости Е, измеияющийси скачком от Ещ к
Ещ при переходе от внутреннего кольца к внешнему. Напряжения о>
A.22) будут равны Еа°Т, где а0 так же как и модуль изменяется скачком.
С учетом сделанных обозначений вариационная формулировка задачи бу-
44

дет иметь следующий внд: (Л=Л[и+Л[2])
h 2п h
Ь \ \ ~R~8wE -n~
О О
\ \~R
о о
или
[i.|'ll2la[2]) T-
Из последнего уравнения находим
R , о
где
Воспользовавшись A.21), определим наприжения
W п _ \ „ Ч /О
с (JfL „о т\
=Em{R —атт)="
„о n T
В качестве проверки можно отметить, что суммарное кольцевое усилие
(J[i]'J[i)+O[2]A[2] = 0, а также при одинаковых коэффициентах a°[ij и а°[2]
напряжения <j[ii = <J[2>=0.
Пример 1.2. Определение перемещений и напряжений в трехслойной
сфере при равномерных силовых и температурных воздействиях (рис. 1.2).
Pi
Рис. 1.2. Схема тонкой трехслойной сферы
45

Дано: Е, ц— модуль упругости и коэффициент Пуассона материала слоев;
а" — коэффициент линейного температурного расширения; hln—толщины
слоев; R— средний радиус сферы {R^>hln)\ Тц]—температуры слоев; i=
= 1, 2 — индексы, стоящие в квадратных скобках, указывают на принад-
принадлежность к внутренней и внешней оболочке; pt—внутреннее давление,
р2 — внешнее давление. Заполнитель считать несжимаемым в поперечном
направлении.
Для решения воспользуемся формулировкой задачи в форме A.26).
При центрально-симметричном деформировании тонкой трехслойной сферы с
несжимаемым заполнителем окружные и мерндиаиальные деформации обоих
слоев будут равны w/R, т. е.
и операторные матрицы ^-{цт=~Б [I, 1J. Соотношении упругости, соответ-
соответствующие записи A.21), в рассматриваемом случае имеют вид
<¦¦¦«>
Тогда вариационную формулировку задачи A.26) можно представить сле-
следующим образом:
2 и С
или после выполнения матричных умножений
Отсюда
R
где
Напряжения в слоях вычисляются согласно A.162) прн
in ,111 I tip,-л)« . Д°'
Контактные напряжения поперечного сжатия заполнителя (в рассматри-
рассматриваемом случае являются статически определимым фактором) определяются
из уравнений равновесия обшивок
2Ea°h,u 1
46

Пример 1.3. Две полосы единичной ширины и длины I растягиваются
силой р (рис. 1.3). Выявить закон распределения нормальных усилий и
сдвиговых погонных усилий в клеевом слое, если из эксперимента (рис. 1.4)
определено, что сдвиговые усилия в клеевом слое единичной длины пропор-
пропорциональны взаимному смещению слоев, т. е. t=k(um—ti[2\); k — экспери-
экспериментально найденный коэффициент; («щ—н[2]) — взаимное смещение слоев,
вызванное деформацией клеевого слоя. Жесткости иа растяжение нижней и
верхней полос соответственно равны Вп] и В
Д
Рис. 1.3. Схема клеевого нахлесточного
соедннення
Рис. 1.4. К определению жестко-
сти клеевого слоя
Запишем основные исходные соотношения. Перемещения вдоль оси х
для нижней и верхней полос обозначим иц] и и[2]. Деформации полос и
клеевого слоя определим следующими зависимостями:
е[Ч = и[Ч; е[2\==и[2\> V=B[i] ищ-.
где и' —производная от и по х.
Соотношения упругости будут иметь вид
Наиболее просто данную задачу решить методом сил. Однако, для того
чтобы определить независимые вариации сил необходимо воспользоваться
уравнениями равновесия. Эти уравнения получим с использованием прин-
принципа возможных перемещений, который дли рассматриваемого случая фор-
формулируется следующим образом:
После интегрирования по частям получаем
1 («"in (-"in +0 +&ит (-"[21-0) dx +
о
A.163)
47

Из A.163) следуют уравнения равновесия
N' ,-t = 0; }
A.164)
и граничные условия при х=0 iVm—O; м[2]=0 и при лг=1 ЛГ[1]—р=0;
W[2] = 0. Уравнения равновесии A.164) н силовые граничные условия для
W[2] будут выполнятьси, если принить
t=N'ln; Np^p-Nt. A.165)
Отсюда следует, что независимой вариацией сил может выступать 6Nlu, a
для вариаций б? и 6ЛГ[2] согласно A.65) получим
8t = №'iu; 6ЛГ[2] = — 8Nlly A.166)
После этого можно сформулировать задачу методом сил. Для этого
следует записать вариационное уравнение, соответствующее A-69),
+ я + — )dx = O
о
или с учетом A.165), A.166), выполнив интегрирование по частям, по-
подучим
вт
= J
J
Отсюда следует разрешающее дифференциальное уравнение
где a2=&(l/B[ij + l/B[2]); P=kp/Bm, и граничные условия: при х = 0,
iV, = 0; при x=l, Ni=>p. Ре1Лением A.167) будет
Nlu=A sh ax+B chax+p/a2.
Определив постоянные Л и В из граничных условий
р
где T\ — Bi2)/Bi\], окончательно получим закон распределения усилий в ниж-
нижней полосе:
Согласно A.165) в верхней полосе нормальные усилия будут равны Nl2j =
= р—JV[|j, а погонные сдвиговые усилия в клеевом слое t = N\\] будут оп-
определяться следующей зависимостью:
ре.
'"(l+rDsha/ [ch a <*-*) +rich ax].
48

Характер изменения нормальных усилий в полосах и касательных погон-
погонных усилий в слое клея показан на рис. 1.5. Полученное решение качест-
качественно совпадает с решением задачи о распределнин уснлнй в вннте н Гай-
Гайке [36].
Рнс. 1.5. Эпюры распределения нормальных уснлнй в полосах я касательных
напряжений в клеевом слое
Пример 1.4. Определить нормальное перемещение w н изгибающий мо-
момент М в круговом тонком защемленном стержне (рис. 1.6) (<рог?1 рад)
Сравнить точное решение с приближенными решениями, полученными ме-
методом перемещений и смешанным методом.
Рнс. 1.6. Изгиб защемленного
тонкого кругового стержня
Для тонкого кольца воспользуемся гипотезой о нерастяжимости осн.
Расчет проведем без учета деформаций поперечного сдвига Изменение
кривизиы будем определять
(
4—1940
49

где w" — вторая производная от до по углу <р.
Соотношение упругости запишется в виде
M=Dx, A.169)
где D — изгнбная жесткость.
Для получения разрешающего уравнения воспользуемся принципом
возможных перемещений, формулировка которого для нашего случая будет
выглядеть так:
)—бда(фо)<?=О. A.170)
о
где согласно A.168) 6х=(бш"+бю)/#2. После интегрировании A.170) по
частям получим
| ^ ^$Q = 0. A.171)
о
С учетом A.168) и (I.I69) нз A.171) при I>=const получим дифферен-
дифференциальное уравнение
A.172)
и граничные условии при <р=0 о>=0, о>' = 0; йр«Л*Р=Ф° w"-\-w = Q;
D(W'" + w')=*—QR. Решением A.172) будет
QR )
ю(ф)=-2д-(фсо8(ф0—ф)— совфовШф); I
Л/(ф) = (?/?81П(ф0 —ф). J
В сечении ф=фо будет максимальное значение прогиба
w (Фо )=-/Г (Т фо~ Тsln 2фо )•
В сечении ф=0—^максимальный изгибающий момент
M@)=QRsin<p0.
Для малых значений угла раствора фо решение A.173) можно пред-
представить в виде
, —ф); ЛГ(О)
Прн решении задачи методом перемещений воспользуемся аппроксима-
аппроксимацией w, удовлетворяющей главным граничным условиим w@) =w'@) =0, и
примем по A.174)
нли в матричном виде
w=Фq, A.175)
где Ф=[ф2, ф3!; q=[?i, ?г]г; Ф — матрица функций формы аппроксимации;
q — вектор неизвестных коэффициентов (обобщенных перемещений), под-
подлежащих определению.
Согласно методу перемещений выражение для изменения кривизны
строится с учетом выражений A.168) и A:169):
K=Bq. A176)
50

где
Воспользовавшись A.169), A.170), A.175) и A.176), получим вариаци-
вариационную задачу, соответствующую методу перемещений:
Фа
| q q ф- q ф, - .
Уравнение A.177) приводит к системе линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных коэффициентов q
Kq = P, A.178*
где
?§ т т
К=| В'DBRdqi; Р = фФ' (ф0).
о
или в развернутом внде
D
4ф0 + -д- ф03 + у
12
12ф„3+-Г<
-U*
A.179)
Аналитическое решение A.178) при матрице К A.179) весьма громоздко,
поэтому ограничимся анализом частных случаев.
При малых углах раствора фо в коэффициентах матрицы жесткости
можно ограничиться удержанием лишь первых слагаемых. Тогда система
уравнений A.178) будет выглядеть так:
A.180)
R' [бфо 12ф0
Решением A.180) будут коэффициенты
QR!
и согласно A.175) при ф—фо получим результат, соответствующий прибли-
приближенному значению прогиба ш(фо). Значение изгибающего момента опреде-
определяется зависимостями A.169), A.176) M(O) — QR(wo). Граничное условие по
моменту при Ф=фо ие выполняется М(<р0) = QR3<fo I&.
При <ро= 1 рад система уравнений A.178) с матрицей К A.179) будет
иметь следующий вид: :
D
'8 1"
5Т5 8 6
6 ОО-
A.181)
51

Отсюда получим
OR*
? =?-04
M(l) = QR- 0,049;
;. M($) = QR- 0,942.
Получим решение задачи смешанным методом. Теперь наряду с ап-
ЯрОксИмацией нормального прогиба A.175) зададимся независимой аппрок-
аппроксимацией изменения кривизны х в виде
A.182)
¦ли в матричной записи
х=внх,
тле «=[1, ф]; a=[ab a2]r.
Воспользовавшись смешанной вариационной формулировкой A.82),
A.83), запишем
V,
Г
—х) Rdqi=0.
A.183)
С учетом аппроксимаций да A.175), х A.182) система уравнений A.183)
иревбразуется в вид
Фо
J
BTDa>d(p x—8qT4>T (ф0) Q = 0;
/
mTD (Bq—ша)^ф=0.
Отсюда получаем две системы уравнений
СРо-Р—О;
Gq—Ha=0,
A.184)
A.185)
где
Фо
о
Фо
; H = R *\a>T
о
52

или в развернутом виде
Фо
D
R
2фо + у
Т
A.186)
Исключив из A.185) коэффициенты а:
a=H-'Gq <ЫЮ)
и подставив их в A.184), получим систему линейных алгебраических урав-
уравнений для определения q:
Kq=P, A.18Ю
где
4/фо —6/ф
-6/фо2 12ф02
Для малых фо, оставив в коэффициентах матрицы G A.186) толы»
первые слагаемые и выполнив операция A.188), получим систему уравне-
уравнений A.180) и соответствующие решения для gi и q2. Соответствующие
коэффициенты a A.187) будут раины
QR
а2=— ~
QR
и изменение кривизны х A.182) получит вид
и-— —
что соответствует М (ф) по A.174).
При фо=1 разрешающая система уравнений с матрицей К A.188) •
развернутом виде выглядит так (можно сравнить с системой A.181), поду-
подученной методом перемещений):
D
В результате решения получим
Выполнив операции A.187) при фо=1, определим Oi™:0,888; 02*=—Ф.854.
Тогда согласно A.182) и A.169) можно вычислить M@)=QR 0,888;
M(l) = QR 0,034.
53

Пример 1.5. Требуется получить каноническую систему и матрицу фунда-
фундаментальных решений задач статики для многослойной полосы единичной
ширины. Расчет выполнить с учетом деформаций поперечных сдвигов.
Структура многослойной полосы — симметричная относительно срединной
поверхности.
В качестве исходных данных примем следующие предпосылки.
1. Кинематика деформирования
Согласно рис. 1.7 примем, что в процессе деформирования полосы
волокна в направлении оси г не изменяют своей длины; в отличие от клас-
классической гипотезы Бернулли предположим, что сечеиие полосы остается
плоским, йо поворачивается на угол 9, отличный от угла поворота нор-
нормали. Тогда распределение перемещений можно представить следующим
образом:
¦ ti3=w; ¦ ¦
(w)t
в
Рис. 1.7. Кинематика деформиро-
деформирования многослойной полосы при
изгибе
2. Связь деформаций с перемещениями
Ограничившись решением задачи в геометрически линейной постановке,
примем следующие выражения для деформаций слоя, имеющего координату
г
dv, dv.
где штрихом обозначена производная по х.
54

3. Соотношения упругости
Будем считать, чтр изгиб полосы происходит без растяжения средин-
срединной поверхности. В качестве внутренних силовых факторов выступают из-
изгибающий момент М и перерезывающая сила Q, для которых оказываются
справедливыми следующие приведенные по толщине соотношения упругости:
Q=Bxzy, A.189)
где
х=8';
Y=e+a>'; A.190)
D и Вх2 — приведенные жесткости на изгиб и поперечный сдвиг,
Л/2
D= J ЕхгЧг;
¦ . —А/2
(Л/2 ч -1
5 )
-Л/2
Ёх— модуль упругости материала полосы при растяжении вдоль оси х;
Gxz — модуль упругости материала полосы при поперечных сдвигах; Ех и
Gzx считаются известными кусочно-постояиными функциями аргумента z.
Более подробно вопрос о вычислении приведенных жесткостных характери-
тиках будет рассматриваться в гл. 2.
При выводе канонический системы дифференциальных уравнений
(разд. 1.3) в качестве обобщенных перемещений X примем
Х = [ш, 8]г.
В качестве обобщенных производных Y можно принять
Y=[x, Tf.
Условия связи между X и Y (см. A.92)) в рассматриваемом случае будут
формулироваться на основе очевидных соотношений A.190)
w'+Q—v=0;
9'—х=0. A.191)
Для получения канонической системы разрешающих уравнений восполь-
воспользуемся формулировкой принципа возможных перемещений, дополненного
условиями связи A.191). Тогда с учетом A.190) для случая действия рас-
распределенной нормальной нагрузки р (см. рис. 1.8) запищем:
| (?>х6х + Bxzy6y—pbw + Л, (8a>' + 69 —бт) + Ъ.2 F9'—бх) +
о
'— x))dx = 0. A.192)
Выполним в A.192) интегрирование по частям и избавимся от производных
при вариациях 6ш н S6. Тогда
i
(to (-V —р) + 69, (X,-V) + бх (?>к-
' + 8—7) + Si2 (9' —х)) rf* + [A.,to],' + [Л2б9]0' = 0. A.193)
Приравняв в A.193) нулю слагаемые, содержащие компоненты вектора SY
(т. е. Ох и Sv). получим
ЯЛ0 В0. A.194)
55

Отсюда
х=А,2/?>; y=Xi/Bxt. A.195)
Тогда из A.193) с учетом A.195) получим искомую каноническую систему
дифференциальных уравиеияй
в'— K7/D =
Сравнив A.194) с A.189), заметим,
му A.196) перепишем в следующем виде:
а>'=-е+<Э/Я„;
что Х2=М,
A.196)
и систе-
Q'=-p;
нли в окончательной матричной форме
9
0 0 0
0 0
0 1
о ¦
ID
0
0 .
е
Q
.м .
A.197)
A.198)
Полученная система дифференциальных уравнений соответствует систе-
системе A.107).
Как видно из рис. 1.8 (если силовые факторы Q+dQ и M-\-dM напра-
направить в сторону положительных значений w и в), последние два уравнения
системы A.197) или A.198) представляют уравнения равновесия элемента
стержня.
i_J
Q+dQ
Рнс. 1.8. К уравнениям равновесия эле-
элемента стержня
Как следует из A.193) геометрические граничные условия могут зада-
задаваться на компоненты вектора X, т. е .на перемещение ш и угол поворота
сечения в (заметим, что на w' граничные условия ие задаются); силовые
условия могут задаваться на компоненты вектора X, т. е. на перерезываю-
здук> силу Q и изгибающий момент М.
Полученная разрешающая система дифференциальных уравнений A.198)
достаточно проста и позволяет без особых трудов построить фундамен-
фундаментальные и частные решения для случая постоянных по длине жесткостей D,
56

н нагрузки
*w(x)~|
6(*) 1
<?(*) Г
р:
'1
0
0
-0
— X
1
0
0
I
х
г«/BОПГв@)
*/?> 9@)
0 Q@)
1 JUf(O)J
гХ ¦ (Ы99)
—*'/2
Решение в форме A.199) записано через начальные параметры с по-
помощью матрицы фундаментальных решений и вектора частного решения. Та-
Такая форма записи весьма удобна для решения задач. Два начальных пара-
параметра определяются граничными условиями при дс=О. Два остальных пара-
параметра находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений,
которая представляет запись граничных условий при х=*1 с использованием
A.199).
Пример 1.6. Используя решение предыдущего примера, рассмотреть
задачи об изгибе стержней, показанных на рис. 1.9, а и 1.9,6.
Рис. 1.9. Расчетные схемы изгиба стерж-
стержней
Для консольно защемленного стержня (при х=0, ш@)=0; 8@) =0),
нагруженного на правом краю перерезывающей силой (рис. 1.9,а), граиич-
иые условия при х*=;1 будут записываться в виде
Q(OQ(O)& M(tiiQ(O)M(O)
Отсюда получим Q(O)=Q; M@)=—Ql. Тогда с использованием матрицы
фуидаментальиых решений запишем
1 ' ч2
- / х\
М(*)•=— Ql\ I— ~j-|.
Максимальный прогиб при дс=/
,,, <?** /» D
57

В данном примере учет деформаций поперечного сдвига привел к поправке
DI(BXIl2), которая для изотропных материалов имеет порядок (А//J.
Для задачи. представленной на рис. 1.9, S, получим Q@)=0;
М @)=Л1 и решение определится в виде
Оно ничем не отличается от классического' решения изгиба балки. Такое
совпадение объясняется тем, что в данной задаче перерезывающая сила в
любом сечении равна нулю, и поэтому изгиб стер.жня происходит без дефор-
деформации поперечного сдвига.
Пример 1.7. Требуется получить каноническую систему и матрицу
фундаментальных решений для задач устойчивости многослойных стержней,
имеющих симметричную структуру. Определим критическую силу сжатого
•защемленного по концам стержня. Расчет выполним с учетом деформации
"поперечных сдвигов.
Кинематику деформирования и соотношения упругости примем такими
же, как и при решении задачи статики (пример 1.5):
8i(x)=z6/; 7зцг>
M=D%; Q=Bxzy,
где
Для получения канонической системы воспользуемся энергетическим крите-
критерием Брайана A.141), дополненного условиями связи
6w' + 69—6V) +
+ К E9' — Sx) +8K (да + 9 —у) + 6Я.2 F' —и)) dx = 0, A.200)
где N — осевая сжимающая сила.
После интегрирования A.200) по частям с учетом того, что 5ш'ш'ЛГ=
= (&Y—i69)(Y^e)W получим
i
+ 6Л2(9'—x))d^ + [XISo']«/ + [^6e]o/^0. ( A.201
Приравняв в A.201) нулю слагаемые, содэржащиэ бх, SV' получим
y = K/(Bxz-N)-e Bjc"_N ¦ A-202)
Тогда из A.201) с учетом A.202) получим искому.о канэническую систему
дифференциальных уравнений
Q'—X2/D = 0;
N N2
Q
58

Из соотношений упругости и иыражеиий A.202) следует, что
где Q. представляет сумму проекций перерезывающей силы Q и осевой сжи-
сжимающей силы N иа ось Ог (рис. 1.10). Тогда систему A.203) можно записать
в виде
,8' = M/D ;
* ' Я*
—8
N
A.204)
или в матричной форме
о —1/A—
0 0
0
ЩВХЯ (l-N/BXz)) 0
I/O
О
О J
ш
A.205)
Рис. 1.10. К определению проекций внут-
внутренних сил на ось ог
Полученная система уравнений A.204) или A.205) представляет искомую
каноническую систему. В качестве граничных условий согласно A.201) на
краях стержня могут быть заданы либо главные условия ш=0, 0=0; либо
естественные Q. = 0; Af=O.
Получим матрицу фундаментальных решений для системы.. A.204) в
случае N=const. Обозначим
I Dk*
ь2
N
D{\-NlBKZ)
и пргдставим A*204) в виде
Dk"
' N
Dk*
Q*'=0;
Dk2
M'=— Q.-Dk'B.
Из A.208) получим
Q. = Qo.
A.206)
A.207)
A.208)
A.209)
A.210)
59

После дифференцирования A.207) и подстановки A.200), A210) получим
Тогда М н 8 можвд? предстазнть я виде
M=—BtDk
Dk
A-211)
A.212)
После подстановки выражения для 8 в уравнение A.206) получим
Dk2 Г 1 11
а>' = j{- [Mt-pb sin kx + в, cos kx + QtjjO—cos kx) j +
Dk2 л k
^M
Тогда после интегрирования выражение для w можно представить в виде
~~~M* W sin Ал:—6« ~~N~C0S kx
w=M
1 Dk Dk2 ( N 1 \
jj-cos kx—9, -jy- sin*^— Qt-jjT [jjpx ^-sin*^l + A.
,,jj-
Константу А определим из условия w (*=0)=of0. Л=И1,—M<,/N. В окон-
окончательном виде получим
Dk2 t 1 W \
"aF ( X sln ^"dF^ )—
п Dk
s»= — 60-ту- sin
.. 1
Решения A.210), A.211)—A.213) представим в матричном виде
Dk Dk2/ 1
k I
A.213)
w(x) "I
6 (х) 1
Q* (*) Г
1
0
0
0
~ N
СОЕ
С
— Dk
sin
kx
sin
kx
kx
/ 1 N \ 1
I-^-sin Алг—ЩгХ] —j^(l-
sin A*
cos
X
X
A.214)
Для сжатого защемленного стержня граничные условия имеют вид
и,@)=ш(/)=0, 6@) =6,@=0.
Тогда, воспользовавшись A.214) и граничными условиями при х=0, запи-
запишем условия при х=1
Dk2 I 1 N1 \ 1
(l) Q ^taAZJ AlA*O 0
60

Раскрыв и приравняв нулю определитель система, после некоторых преоб-
преобразований получим уравнение
4 kl I kl kl „ „ kl\ „
¦wjSin^r sin-я <т A—N/BX2) cos -я- =0,
наименьший корень которого будет равен kl=2n. Тогда, обозначив
N9 = Dk* = -2p-,
где
получим
A.215)
Пример 1.8. Исследование нелинейного безмоментного краевого эффекта
в растянутой цилиндрической оболочке (рис. 1.11).
Рис. 1.11. Растяжение цилиндрической
оболочки
Воспользуемся квадратичным представлением осесимметричных дефор-
деформаций для цилиндрической оболочки
A.216)
Соотношения упругости запишем в виде
где Д„, Д,г, В21—привгденнлз мэмбраннл^ жесткостнЫг характеристики,
А/2 А/2
-Л/2
-А/2
61

Согласно принципу возможных перемещений аапишем
f F,eAr, + 6e7Nt) dx +
о
или с учетом A.216)
И
о
0. . A.218)
После выполнения в A.218) операций интегрироваиия по частям получим
Отсюда следуют уравнения равновесия
Граничные условия задачи будут
*=0 N1@) = N; ш@)=0;
0 ( '
Из A.219) и A.220) следует, что NX=N. Воспользовавшись соотноше-
соотношениями упругости A.217). представим
где e,^=w/R. Тогда второе уравнение н системе A.219) можно предста-
представить в следующем виде [11]:
w"—a2w=f. A.221)
где
Решением A.221) будет w=—1/а1+А1?-ах+А2еах. Для анализа краевого
эффекта следует положить Л2=0; а константу At определить из граничного
условия ffii(o) = 0. Тогда форма прогиба w будет иметь следующий вид:
Длину зоны краевого эффекта 1% можно установить, считая достаточным
затухание прогиба в е" раз, тогда
в
Как _видно_ из рис. 1.12 при увеличении растягивающей силы
(N3>N2>N1) не только возрастает значение прогиба датах-
но и увеличивается длина зоны краевого эффекта.
62

Аналогичное A.221) разрешающее уравнение можно получить на ос-
основе линеаризованной формулировки принципа возможных перемещений.
Ограничимся одним шагом итерационного процесса построения решения и
примем начальное состояние напряженным (аг#0) и недеформированным
ет_, = 0; ст(т-о=0 A.133). Тогда для рассматриваемого примера получим
следующую формулировку задачи:
И/ w \ бда / w \ —\
6V (В,,ц' + ^12-^-]+^- ( Впи' + Вгг -Д-) + bw'w'N\ dx +
+ 6u @O7=0.
Рис. 1.12. Распределение прогибов в зо-
зонах краевых эффектов
Отсюда получим разрешающие уравнения
_1_/ , w_\ -
\ 1
И граничные условия:
x=l u(/)=0; ю(/)=0.
тогда, используя решение уравнения A.222)
A.222)
A.223)
уравнение A.223) можно привести к виду уравнения A.221).
Пример 1.9. Требуется дать приближенную оценку критической дефор-
деформации тонкого ортотропиого отслоения, имеющего форму эллиптической плас-
пластинки (рис. 1.13). Считать, что процесс нагружения осуществляется таким
образом, что 810=ег°=—е. Жесткостная структура пластинки симметрична
относительно срединной поверхности z=0.
Для определения критических деформаций отслоения воспользуемся
энергетическим критерием в форме Брайаиа (см. A.141)). Считая, что допол-
дополнительные перемещения соответствуют нормальному прогибу w тонкой
63

ei~*
-ч_ **•¦«
Рис. 1.13. Схема тонкого отслоения
пластинки, примем следующую модель деформирования
^ ' );
) = — 2г
¦ дхду *
Для нелинейных составляющих деформаций ограничимся квадратичным при-
приближением
Л^у&У A.2).
С учетом сделанного в условиях задачи замечания об особенностях нагру-
жения получим
N, = .8,,8,° + Д,г8г°=— (?,, + Д,г) 8A, 2),
где
Л/2
S
Л/2
-Л/2 -ft/2
Вариационную формулировку задачи согласно A.141) можно предста-
представить в следующем виде:
dw dSw dw d&w
e gj7^— (Bn + Blt) e g^-g^-
A.224)
где
Л/2
,,^^ A.2); Mu =
ft/2
-ft/2
Л/2
j
j
-ft/2
fl — область эллиптической пластникн.
-Л/2
64

Будем считать, что граничные условия задачи соответствуют жесткому
защемлению на контуре пластинки. Этим условиям удовлетворяет аппрок-
аппроксимация нормального прогиба w в виде
Тогда
dw
¦S^=—W(x1—x1*la1i—xlxSlail)lali A. 2);
З*,1/*!1 —«iVe»1)/*,' A. 2);
Для выполнения операций интегрирования выражения A.224) по эллипти-
эллиптической области воспользуемся формулами
J J dxldxi= ля,яг; \ \xi2dxldxl= 2ла,3аг/8;
а а
j J"x1idxidxi = 2na1*a2/16; JJ x1edx1dxl=2nal''a2l5/384;
a a
JJxi2x,2dx1dx2 = 2nalta23/48; ^xl2x1idx1dxi= 2ля,'яг53/384 A, 2).
После интегрирования выражение A.224) принимает вид
Отсюда получаем
+ 2 (Р,г + 2Рп) а^а
В частном случае для изотропного материала будем иметь
1,333 I hV
при а, = яг = я eKp= j , I — I , точное решение [1] дает
1,233 / h
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОДЕЛИ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК
В этом разделе представлены основные уравнения и соотношения, ко-
которые используются в расчетах многослойных конструкций. На основе ва-
вариационных методов с использованием деформационных соотношений полу-
получены уравнения равновесия, дай анализ геометрических характеристик по-
поверхностей и соотношений упругости анизотропного тела. Рассмотрены раз-
различные случаи упругой симметрии, показаны преобразования коэффициентов
5—1490 65

упругости при поворотах системы координат, выделены средние коэффици-
коэффициенты упругости (инварианты) и характеристики анизотропии.
Особое внимание уделено получению основных уравнений, соотношений
и вариационных формулировок задач статики и термоупругости многослой-
многослойных оболочек с использованием варианта теории, учитывающего деформации
поперечных сдвигов. В качестве кинематических гипотез выступают предпо-
предположения о несжимаемости стеики оболочки в поперечном направлении и
линейном распределении по толщине многослойного пакета касательных пе-
перемещений. Распределения касательных поперечных напряжений выбираются
в наиболее простом виде независимо от кинематических гипотез. Приведение
трехмерной задачи теории упругости к двумерной осуществляется с ис-
использованием смешанной вариационной формулировки. Все преобразования
выполнены с учетом переменности метрики по толщине оболочки. Показана
идентичность полученных уравнений равновесия с интегральными уравнения-
уравнениями трехмерной теории упругости.
В качестве примеров даются простые подпрограммы вычисления основ-
основных геометрических характеристик оболочек вращения; определения приве-
приведенных жесткостных характеристик и температурных составляющих погон-
погонных усилий и моментов многослойного пакета.
2.1. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ГЛАДКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
2.1.1. Поверхность общего вида
В качестве координатной поверхности многослойной оболоч-
оболочки, как правило, выбирается либо срединная поверхность од-
одного из слоев, либо поверхность сопряжения слоев. Рассмотрим
основные геометрические характеристики координатной поверх-
поверхности. Гладкую поверхность общего вида зададим в парамет-
параметрической форме [37]
*,=-№„ о*), (i=l, 2, 3), B.1)
где Х\, Х2, Хг — координаты точки поверхности в декартовой
системе координат; а\, а2— параметры; Xt(a\, а2) (t=l, 2, 3) —
заданные функции аргументов а.\, а2.
Положение точки на поверхности определим радиус-векто-
радиус-вектором R, который в декартовой системе координат будет иметь
компоненты R=[Xb X2, Хз]т. Здесь и в дальнейшем под матрич-
матричной записью R понимается вектор-столбец, компоненты которо-
которого представляют проекции на оси охи ох2, охг выбранной декар-
декартовой системы координат.
Рассмотрим векторы, касательные к линиям ai и а2, т. е.
к линиям, соответствующим значениям a2=const и ai = const:
В декартовой системе координат компоненты вектора R,,- (i—
= 1, 2) будут равны
^=[Х,,Д2Дз,<]т, (i=l, 2), B.2)
66

где нижним индексом после запятой отмечен параметр, по ко-
которому выполнена операция частного дифференцирования. Мо-
Модули касательных векторов R,b R,2 называют параметрами Ламе
Аи Л2:
A^VR^Rj A,2). B.3)
Рассмотрим приращение вектора R при переходе от точки
поверхности с параметрами (аь аг) в точку с параметрами
(ai + dai, a2 + da2). Линейная часть этого приращения, или
первый дифференциал, обозначается dR и определяется следую-
следующим образом:
dR = R>1da1 + R,2fl!a2. B.4)
Модуль вектора dR представляет длину элемелтлрпой дуги
между точками (ai, аг) и ( d d)
R . B.5)
Стоящая в подкоренном выражении B.5) величина dRTdR на-
называется первой квадратичной формой поверхности. С учетом
B.4) ее можно записать в виде
dl2 ==Rr, r 7
Коэффициенты первой квадратичной формы можно определить
через параметры Ламе и угол % между касательными векто-
векторами:
R,,rR,,=j4,2 A, 2); R/R,2^H2cosx. B.6)
В случае, когда cos%=0, &\- и аг-линии ортогональны.
Введем в рассмотрение единичный вектор нормали к поверх-
поверхности, который определяется векторным произведением
Для вычисления компонент вектора N в декартовой системе
координат воспользуемся правилом векторного произведения и
запишем
где
jV, = detf^'J х'Ц, A, 2, 3)
Здесь круговой перестановке A, 2, 3) подлежат только индек-
индексы, стоящие до запятой, a Xj,i(l,2) (t=l, 2, 3)—компоненты,
касательных векторов в декартовой системе координат B.2).
Тройку единичных векторов -т- R,i; -г- R,2l N называют основ-
ными векторами поверхности, или основным триедром.
5* 67

Рассмотрим векторы вторых производных от радиус-векто-
радиус-вектора R. В декартовой системе координат эти векторы будут
иметь компоненты
R,«=[*i,«, адГвлГ, (i, /=1. 2). B.8)
С помощью векторов R,i; можно определить приращение ра-
радиус-вектора при переходе от точки (aiy а2) к точке ( d
a,2 + da.2) с точностью до величин второго порядка малости
и вычислить проекцию этого вектора на нормаль к поверхности.
Поскольку векторы R,,- перпендикулярны вектору N, то
NrAR =-j (Luda.x2 + 2Ll2dalda2-\- L22da22),
где
Ln = NrR,,, A,2); L12=NrR,12. B.9)
Коэффициенты L,;- называют коэффициентами второй квадротич-
ной формы.
С помощью коэффициентов первой (At) и второй (Ltj) квад-
квадратичных форм определяются кривизны нормальных сечений,
проходящих через линии а\ и а2 [37],
*п=—Ln/Л,2, A, 2); А12=112/Л,Л2.
Координатные линии на поверхности, для которых касательные
векторы R,,- ортогональны и коэффициент L\2 второй квадратич-
квадратичной ормы равен нулю, называют линиями кривизны. В этом
случае кривизны обозначают ki=ku, &2=&22 и называют глав-
главными кривизнами
k^-Lxx/Ax\ A,2) (Zl2 = 0). B.10)
В дальнейшем при получении основных соотношений, опре-
определяющих кинематику деформирования оболочек, будем поль-
пользоваться векторами, заданными своими проекциями на оси
основного триедра. В качестве системы координатных линий
cci, a2 будем выбирать линии кривизны. Чтобы отметить тот
факт, что вектор f задан проекциями на оси основного триедра,
будем этот вектор обозначать строчными буквами. Для точки
поверхности касательные векторы R,i, R,2, заданные проекция-
проекциями на основной триедр, начало координат которого совмещено
с точкой, обозначим г,ь г,2) компонентами этих векторов будут
выступать
г,1=И., 0, OF; r,2=[0,A2, Of. B.11)
Для единичного вектора нормали п = [0, 0, 1]т.
68

При дифференцировании по а* вектора f, заданного проек-
проекциями на оси основного триедра, воспользуемся следующим
правилом [37]:
1,? = 1.1 + Г^, 0=1,2), B,12)
где
ff f f f IT li 1 O\«
,i = [/!,(> /2,o /3,(J > (I—1. ?)i
= ёт- (* = 1.2.3; /=1.2);
0
—Ф12
«1
Ф12
0
0
О
О
2 —'
и
Ф21
0
— Ф21
0
~k2
0
^2
0
-. A. 2)
Векторы f,,- называют векторами локальных производных, мат-
матрицы Гь Г2 характеризуют вращение основного триедра при
движении вдоль ai, аг линий.
Коэффициенты Л,- B,3), &,¦ B,10) и ф); B.13) определяют
основные геометрические характеристики поверхности.
2.1.2. Поверхность вращения
В связи с тем, что оболочки вращения имеют весьма широкое прило-
приложение, имеет смысл более детально рассмотреть основные геометрические ха-
характеристики поверхностей таких тел. Кроме того, это послужит нагляд-
Рис. 2.1
Рис. 2.1. Поверхность вращения
69

ной иллюстрацией практического применения полученных выпе общих соот-
соотношений.
Для поверхности вращения (рис. 2.1) в качестве параметра <Хг удобно
принять угол, определяющий положение меридиана. За параметр <Х\ обычно
принимают одну из величин t, r, 8, s (рис. 2.2), где t — координата вдоль
оси вращения; г — радиус параллели; 6 — угол между осью вращения и
нормалью N; s — расстояние по дуге меридиана. При этом считается, что
радиус параллели г и координата t однозначно определяются заданными
функциями аргумента а,.
Для точки М, принадлежащей поверхности вращения, радиус-вектор R
можно охарактеризовать вектор-столбцом, компоненты которого представля-
представляют координаты точки (см. рис. 2.1),
R = [/-cosa2, rsina2, t]T, B.14)
где
Рис. 2.2. К определению параметров поверхности вращения
Векторы, касательные к линиям а\ и а2, согласно B.2) и B.14)
выражаться следующим образом:
R , = [/•'cos a2. r'sina2, t'f;
R 2=[—
, r cos аг, 0]r,
d
где ()' = 5^~(')- Параметрами Ламе для поверхности вращения
B.15) будут коэффициенты
AYi " ; Аг=г.
Из B.2) и B.15) следует, что
Ххл = г' cosa2; X2X =r' sin a2, Xzx = t';
Хх 2=—rsina,; X22=rcosa2, ^32=0.
Скалярное произведение RTt\Rt2 B-6) и B.17) будет равно нулю для
точки, поэтому можно сделать вывод, что выбранные линии а, и аг
тональны для поверхности вращения.
будут
B.15)
B.3),
B.16)
B.17)
любой
орто-
70

Вычисление компонент вектора нормали N (B.7), B.17)) дает сле-
следующий результат:
N=-r- [ — t' cosa2, — t' sina2, r'f.
B.1S)
Векторы вторых производных от R B.8) для поверхности вращения бу-
будут иметь компоненты
R,u=[r"cosa2, r"sina2, t"]T;
R,22= [—r cos a2, —r sin a2, 0]T;
R,i2= [—r'sin a2, r'cosa2) 0]T.
B.19)
Коэффициенты второй квадратичной формы Z-ij, вычисленные согласно B.9)
при N B.18) и R,a B.19), принимают значения
1_ f п г п 1_ t _
Поскольку Z-i2 = 0, то можно заключить, что выбранные ортогональные ли-
линии ai и а2 для поверхности вращения являются линиями кривизны. Зна-
Значения главных кривизн для поверхности вращения B.10), B.20) будут опре-
определяться следующими зависимостями:
rrr rrff/\. и
Г —Г t ), ?2=—
ft
t .
B.21)
Коэффициенты fij B.13) при Ai B.16) принимают следующий вид:
1
0 "
B'22)
Полученные зависимости B.16), B.21), B.22) определяют основные гео-
геометрические характеристики поверхности вращения. Рассмотрим два частных
случая формы меридиана.
Конус (рис. 2.3) имеет следующие параметры:
al = s; j4,= 1; j42 = '\i + а, cos 90;
h n. h sin9<, cos 9, B.23)
Л ] U , Л 2 Я t ф2 1 ¦ а
Л2 Лг
При 90 = я/2 будем иметь цилиндр, при 90 = 0—круглую пластину.
tk
>
Рис. 2.3. Геометрические Рис. 2.4. Геометрические характери-
характеристики конуса стики эллиптического тора
71

Эллиптический тор (рис. 2.4):
аЧ
1
—; A2=--d +
sin a,
a2 sin а,
cos а,
B.24)
c=Va? sin2 a, -(- b2 cos2 a,.
получим эллипсоид вращения, при
При d=0; а^=?> получим эллипсоид вращения, при d = 0; a=fe —
сферу.
Описание некоторых других частных случаев параметричеткого задания
форм меридиана можно найти в \2, 21].
2.2. СВЯЗЬ ДЕФОРМАЦИЙ С ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ
Получим общие соотношения, связывающие деформации
оболочки с перемещениями. При этом воспользуемся ортого-
ортогональной криволинейной системой координат (рис. 2.5). Будем
Рис. 2.5. Перемещение оболочки при
деформировании
считать, что линии а\ и аг совпадают с линиями кривизн коор-
координатной поверхности г=0; ось Ог является прямой, и ее на-
направление совпадает с направлением вектора нормали п. Поло-
Положение точки, принадлежащей оболочке, определим тремя коор-
координатами аь аг, z. Чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что
точка отстоит на расстояние г от координатной поверхности,
радиус-вектор точки обозначим г(г). Поместим основной триедр
на координатной поверхности так, чтобы ось Ог (рис. 2.5) про-
проходила через точку М. Касательные векторы к поверхности г-го
слоя определим частными производными
гB),(=г,,+гп14, (г=1, 2), B.25)
72

где компоненты векторов г,< определены выражениями B.11).
Для вычисления векторов п,< воспользуемся правилом диффе-
дифференцирования B.12) и получим
Тогда компоненты касательных векторов в точке г-го слоя бу-
будут равны
!¦<„., = [//,, О, Of, B.26)
г(г),2=[0, Я2, Of,
где
Н,=А,A+1цг), (i=l, 2). B.27)
•— коэффициенты Ламе для г-го слоя.
Вектор, касательный к координате г, совпадает с нормалью,
поэтому
г(ж),а=п = [0, 0, If B.28)
здесь и в дальнейшем индекс 3 будет соответствовать коорди-
координате г; (-^з^ д"С {•))¦ Параметр Ламе #3=1.
Пусть в результате внешнего воздействия оболочка деформи-
деформировалась. Рассматриваемая точка М (см. рис. 2.5) получила
перемещение v. Вектор v будем задавать компонентами v\, v2, V3,
которые представляют проекции перемещения на оси основно-
основного триедра исходной координатной поверхности. Для того что-
чтобы охарактеризовать изменение метрических характеристик
деформированной оболочки, предварительно вычислим компо-
компоненты касательных векторов
B.29)
где Г(*),( (»=1, 2, 3) определяются выражениями B.26) ... B.28),
а векторы частных производных от вектора перемещений вычис-
вычисляются с учетом B.12):
}г >
B.30)
j = [t>i,3i 'Ог.З) ^з,з]-
73

Длина элементарного отрезка z-ro слоя, ориентированного
вдоль а,-линии, до деформации составляла
dl, = dalVrlhlr(llhi = Htda,, (/=1,2,3).
После деформирования длина отрезка будет равна
dli* = datVr'ZhlTlu = Hl*dat, (/=1,2,3),
где
"l* = Vr^)ilT;thl, (/=1,2,3) B.31)
— коэффициент Ламе деформированной поверхности. Относи-
Относительное удлинение элементарного отрезка определим так:
e^dli*d7idli или e'==lfi-1' (i = b2,3). B.32)
Поскольку согласно B.31) и B.29) параметр Ламе И* равен
Ni* = Nl ] •' 1 +-|Frf,)(iv,< + ^ v>,if (/ = 1, 2, 3),
а для малых деформаций
^\i=\,2,3), B.33)
то относительное удлинение элементарного отрезка B.32) бу-
будет равно
e'~77?(rH.'v'' + Tvr<v4 ('=1.2, 3). B.34)
Сдвиговые деформации е/;- (/,/ = 1,2,3, i=r=/) определим
как изменения в результате деформирования углов между век-
векторами Г(г),г и Г(г),/. Для малых сдвиговых деформаций
cos (л/2— etJ) = sin eijfvetJ. Косинус угла (л/2— etJ) определя-
определяется скалярным произведением единичных векторов t*,z) JH*
и r*z) ./И' *. Тогда для малых деформаций с учетом B.29) по-
получим
V, j= 1,2,3; i#j). B.35)
Воспользуемся выражениями для касательных векторов
B.26), B.28), векторов частных производных от вектора пере-
перемещений B.30), вычислим скалярные произведения, указанные
в выражениях B.34), B.35), и представим полные деформа-
деформации е в виде линейных ? и нелинейных г\ составляющих. Для
получения более компактных выражений введем дополнитель-
74

ные обозначения:
i = l, 2, 3).
B.36)
Тогда с использованием обозначений B.36) линейные состав-
составляющие деформации ? будут определяться так:
где
8i(z) = en(z), A, 2, 3); "I
. / 1 O\ I
1f31(z) — 8l3(z) + 83!(z), A, ?) ¦ )
Для нелинейных составляющих деформаций г\ получим
Tl=hl> 112- ЛЗ- Л12>
1
B.37)
Т (ен (*) + е>2(г) + Е?з(,))' (Ь 2, 3);
), A, 2).
Тогда
B.38)
будет определять в квадратичном приближении относительные
удлинения и углы сдвигов, записанные в криволинейной орто-
ортогональной системе координат.
В развернутом виде компоненты линейных деформаций
B.37) выглядят следующим образом:
B.39)
A.2);
75

Более часто в литературе встречается иное, чем B.39), написа-
написание выражений для линейных составляющих деформаций:
1 ,1 г, |1 Ы т [Л Ч QV
1=— ^ы +7777- ni,2V2 + jf-H-"i.3v3 A,ЛЗЬ
B.40)
77^
В эквивалентности B.39) и B.40) нетрудно убедиться, если
воспользоваться уравнениями Кодацци—Гаусса [11]
i,2; A, 2)
и показать, что
J\ * 1
где коэффициенты ф12 определяются согласно B.13).
B.41)
2.3. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Получим уравнения равновесия для трехмерного тела в ор-
ортогональной системе криволинейных координат. На рис. 2.6
условно показан элемент тела, выделенный сечениями аь ai +
+ dai, CX2, a2 + flfa2, z, z+dz, и его напряженное состояние. Из
уравнений моментов относительно касательных к координатным
осям следует свойство парности касательных напряжений
0!2=о2Ь A, 2, 3). B.42)
Рис. 2.6. Иллюстрация общего случая на-
напряженного состояния
Линейные уравнения равновесия, соответствующие суммам
проекций сил на касательные к осям координат, получим вариа-
вариационным способом. Для этого воспользуемся принципом воз-
76

можных перемещений A.5)
|Лт -6vTg)HlH2dZda2dal =
B.43)
где о—[аи о2, а3, о!2, а2з,
g=[gi, g2, gaY; v=[oi, o2, ОзГ; Р = [Рь Р2, рз]т; gt — объемные
силы; pi — проекции поверхностных сил на оси а,-.
Воспользовавшись выражениями B.39), выразим деформа-
деформации через перемещения
e = Lv, B.44)
где
J д_
Hi да,
Ж**
О
1 д А,
7USat 77Г ф12
1
Я,
д_
2 да2
О
А,
¦— 77~Ф21
Ахкг
и,
A,kj
Нг
д
~37
О
о
1
' дг Нг даг
•+4г
О -i-
С учетом линейности связи деформаций с перемещениями B.44)
для возможных деформаций бе получим 6? = L6v, тогда форму-
формулировка принципа возможных перемещений B.43) примет сле-
следующий вид:
((L6vf a - 6vrg)
x = J J 6vTpdS. B.45)
Воспользовавшись формулами Остроградского, B.45) можно
преобразовать
6vT (L*a -g)
+ JJ 6vT(L^~p)dS=0,
B.46)
где матрица сопряженных дифференциальных операторов L* и
матрица направляющих косинусов Lv получаются по матри-
матрице L путем ее транспонирования и следующей замены коэффи-
коэффициентов (табл. 1), где U — косинус угла между вектором, каса-
касательным к а,- линии, и вектором внешней нормали v.
77

Таблица 1
Преобразование коэффициентов
Коэффициенты матрицы
L, номер элемента
<*. J)
1 д
#,<?«,
1 д
Нгда2
д
dz
Коэффициент, не содер-
содержащий дифференциаль-
дифференциального оператора
L*, номер элемента (/, i)
1 д Аг
1 д А,
~H2da2~Hl'fii
д j4,A, Агк2
дг Я, Н2
Без изменений
Lv, номер элемента (J, 1]
h
h
/з
0
Из уравнения B.46) следуют уравнения равновесия:
L*o_g=0 в V, B.47)
где
L*=
Hi а», нг
Hf
Аг1<г
Эгаг
_
да.,
Эг
В развернутом виде уравнения равновесия B.47) запишем с
учетом B.41) и того, что
^^як-(Я2Ф),1 A,2);
78

Тогда
(#201) ,1—#2,ia2+ (#ia,2) ,2+#l,2Ol2+ (H1H2O31) ,3 +
2=0 A,2); B.48)
!#2Оз),3+
Как следует из B.46), силовые граничные условия на Sp будут
записываться в виде
1Лт—р = 0 на Sp, B.49)
где
/, 0 0 /2 О /Л
/ / /
Г/, 0 0 /2 О /Л
v= 0/2 0 /, /3 0 ,
Lo о /3 о /2 /,.J
/3 о /2 /,
или в развернутом виде
/lOi + /2Oi2 + /sO3r = Pl, A, 2, 3).
В уравнениях равновесия B.48) можно заметить, что
(Я2Яа),з. A.2);
B.50)
=^-(Я12о1?).2, A, 2).
Соотношения B.50) позволяют получить из B.48) интегральные
по толщине уравнения равновесия [11]
+ F,=0, A,2);
0; B.51)
l = 0, A,2),
где
, Г1, 2);
, A.2); B.52)
A,2);
e, s — расстояние вдоль координаты г от координатной поверх-
поверхности до внутренней и внешней поверхностей оболочек;

—-——- /* = \ g. f~i . ri 2&?~\ ** \[Г12tP\l\~ ** \s 1sP\$ \ ^' ' ^)*
—e
s
B.53)
л, л,'"-' ~
—e
— HuH2lpu (Ь 2, 3);
— приведенные распределенные поверхностные силы. При по-
получении B.53) считалось, что на поверхностях z=—е и z=s
имеются следующие силовые условия:
z=—/оз1 = —рн A,2); аз=—Рги
B.54)
z=s O3i==p\s A,2); аз^Рзя-
Интегральные по толщине уравнения равновесия B.51) спра-
справедливы для любых гипотез деформирования. Шестое уравнение
равновесия, соответствующее сумме моментов относительно
оси z,
выполняется (с учетом выражений для силовых факторов
B.52)) автоматически. В разделе 2.5.3. уравнения B.51) будут
получены вариационным путем.
2.4. СООТНОШЕНИЯ УПРУГОСТИ
2.4.1. Общий случай анизотропии
Для упругого тела можно ввести понятие удельной потен-
потенциальной энергии деформации Uo, являющейся функцией де-
деформаций и обладающей тем свойством, что
° = Ж' B-55>
где
де \_ дег ' де2 ' де3 ' деп ' дегз ' де,
Для линейнс-упругого тела, как это следует из B.55), удель-
удельная потенциальная энергия должна быть квадратичной функ-
функцией деформаций. В общем случае ее можно записать в виде
где С — симметричная матрица коэффициентов упругости.
В форме B.56) с симметричной матрицей С можно записать
любой однородный квадратичный полином аргумента е. По-
80

скольку для деформирования всякого реального тела необходи-
необходимо затратить энергию, то квадратичная форма B.56) должна
быть положительно определенной, т. е. ?/о>О при любых, не
равных нулю значениях е.
Из выражения B.56) и определения B.55) следует матрич-
матричная запись обобщенного закона Гука
о=Се. B.57)
В общем случае анизотропии в симметричной матрице коэффи-
коэффициентов упругости С Fx6) содержится 21 независимый коэф-
коэффициент:
С =
СИМ.
^55 C56
B.58)
причем в силу положительной определенности должны выпол-
выполняться неравенства
det
С12 С-п
A,2 6).
B.59)
Из условий B.59) можно получить ограничения на упругие по-
постоянные [22]. Например, си>0; спс22>с122; сис22Сзз+
+ 2с12С2зС1з>с,,с2з2 + С22С1з2-|-СззС122, A, 2, ..., 6) и другие. Слу-
Случай анизотропии общего вида для реальных материалов встре-
встречается исключительно редко. Обычно структура материала та-
такова, что его упругие свойства в некоторых направлениях оди-
одинаковы, тогда число независимых коэффициентов в матрице С
B.58) уменьшается и при надлежащем выборе системы коор-
координат матрица С становится разреженной.
Прежде чем обсуждать различные свойства упругой симмет-
симметрии, установим в общем случае преобразование матрицы коэф-
коэффициентов упругости при переходе к новой системе координат.
При расчете многослойных конструкций из композиционных ма-
материалов к такому преобразованию прибегают достаточно часто,
поскольку упругие постоянные отдельных слоев задаются в си-
системе координат, связанной со слоем и в общем случае отлич-
отличной от системы координат, в которой рассматривается конструк-
конструкция в целом.
6—1490
81

Пусть в системе ортогональных координат Oxx'x2'xzr
известны матрица коэффициентов упругости С' и вектор-столбец
деформаций е', компоненты которого упорядочены следующим
образом: е' = [е,', е2, е3', еп, е'2У е'ъ1\т. Рассмотрев другую систе-
систему ортогональных координат Од:, х2х3, можно установить, что
связь компонент тензоров деформаций записывается в виде
e'iJ = ltkekllJl, где /ift —косинус угла между осями 0xk и Ох/.
Тогда связь вектор-столбцов деформаций в старой и новой
системах координат будет определяться линейным соотноше-
соотношением
e' = (Je, B.60)
где матрица р содержит комбинации произведений направляю-
направляющих косинусов. Матрицу р удобно представить в блочном виде
где
матричные блоки р,у имеют следующие коэффициенты:
*П*12 *12*13 *13*11
= *21*22 *22*23 *23*21
_*31*32 *32*33 *33*31
B.61)
2/31*ц 2/32*12 2/зз*13_
•I2**2l)
(*22*31 ~\~ *2l*32) (*22*33 "Г" *23*32) (*23*3l"
*2l*3з)
В пределах каждого квадратного матричного блока р,>
(i, /=1, 2) индексы коэффициентов подчиняются циклической
перестановке A, 2, 3): в пределах отдельной строки изменяет-
изменяется второй индекс, в пределах столбца — первый.
Поскольку удельная потенциальная энергия деформации
инвариантна к преобразованию координат, то
Отсюда с учетом B.60) получаем выражение для матрицы ко-
коэффициентов упругости С в новой системе координат:
. B.62)
Таким образом, если для произвольного анизотропного тела
известны коэффициенты упругости (коэффициенты матрицы С)
в системе ортогональных координат ох/х2'х% , то иреобразо-
82

вание B.62) позволяет вычислить коэффициенты упругости
этого материала (коэффициенты матрицы С) в системе коор-
координат ОХ\Х2ХЪ.
2.4.2. Свойства упругой симметрии
Пусть структура анизотропного тела такова, что в любой
его точке упругие свойства эквивалентны в любых двух направ-
направлениях, симметричных относительно некоторой плоскости. Та-
Такую плоскость называют плоскостью упругой симметрии. Совме-
Совместим с плоскостью упругой симметрии систему координат
oxx'x2'xz' так, чтобы ось ох3' была перпендикулярна плоскости
(рис. 2.7). Затем перейдем к системе координат оххх^хг, сим-
симметричной относительно плоскости упругой сяммгтрни. В этом
случае направляющие косинусы будут 1и = 122=—1^=\,
lij = 0 (i=?j), а матр«ца преобразований {5 согласно B.61) будет
диагональной Р = [1, 1, 1, 1, —1, — Ц.
Рис. 2.7. Плоскость упругой симметрии
Если выполнить операции B.62), то можно обнаружить, что
некоторые коэффициенты в пятых и шестых колонках и строках
изменили знаки (сц=сц при i, /=1, 2, 3, 4 и при i, /=5, 6;
для остальных коэффициентов с,/=—с,/'). Но по определению
свойств упругости рассматриваемого тела при таком преобра-
преобразовании системы координат коэффициенты не должны изме-
изменяться. Поэтому можно сделать вывод, что матрица С должна
иметь следующую структуру:
С' =
'-зз1
си
0
0
0
0
0
0
0
0
СИМ.
Сбб 056
6*

Таким образом, для анизотропного тела, имеющего одну пло-
плоскость симметрии, число независимых коэффициентов упруго-
упругости сокращается до 13.
Аналогичным способом можно показать, что если тело име-
имеет две плоскости симметрии (рис. 2.8), то матрица коэффициен-
коэффициентов упругости С в системе координат ох/х2'х3 должна иметь
структуру
С' =
СИМ.
C23
0
0
0
C44
0
0
0
0
C55
0
0
0
0
0
c'
B.63)
Рис. 2.8. Две плоскости упругой симметрии
В этом случае плоскость х{'охъ' также будет плоскостью упру-
упругой симметрии. Такое тело называют ортотропным и для него
число независимых коэффициентов упругости равно девяти.
Если для ортотропного материала при повороте систем ко-
координат относительно одной из главных осей симметрии, напри-
например оси ох{ рис. 2.9, на произвольный угол ф его упругие свой-
Рис. 2.9. Поворот системы координат относительно
одной из главных осей симметрии
84

ства не изменяются, то такой материал называют трансверсаль-
но изотропным. В этом случае среди направляющих косинусов
ненулевые значения будут иметь
Ai = l; /22=cosq>; /2з=—sin ф;
Заполнив матрицу преобразования деформаций р согласно
B.61), выполнив операции пересчета коэффициентов упругости
B.62) и воспользовавшись определением трансверсально изо-
изотропного тела с плоскостью х2о'хг', получим, что
С\3==С\2' С33~С22' С5Ь~\С22
Таким образом, для трансверсально изотропного тела число
независимых констант упругости сокращается до 5. Однона-
Однонаправленный волокнистый композитный материал при равномер-
равномерном распределении армирующих волокон (рис. 2.10) согласно
определению можно отнести к трансверсально изотропным ма-
материалам.
Рис. 2.10. Схема однонаправленного волок-
волокнистого композитного материала
Для изотропного материала, в котором все направления яв-
являются упругоэквивалентными, дополнительно получим, что
и число независимых коэффициентов упругости будет равно
двум.
2.4.3. Ортотропный материал
Наиболее часто в практике расчетов многослойных кон-
конструкций встречается преобразование коэффициентов матрицы
упругости ортотропного тела при повороте системы координат
вокруг оси охг' (которая совпадает с нормалью к плоскости
слоя) на угол ф (рис. 2.11). Матрица коэффициентов упругости
С в осях слоя ох/ х2'хз' имеет структуру B.63). Преобразова-
85

Рис. 2.11. Поворот системы координат вокруг нор-
нормали к плоскости слоя
ние коэффициентов упругости осуществляется согласно B.62),
где для случая поворота вокруг оси ох3' коэффициенты матри-
матрицы р имеют следующий вид:
s2 0 sc О О
С2 о -sc О О
? = cosq>;
; = sin(p.
О 0 10 0 0
— 2sc 2sc 0 с2 — s2 0 0
0 0 0 0 с — s
.0 0 0 0 s с _
После выполнения операций B.62) получим следующие выра-
выражения для ненулевых коэффициентов симметричной матрицы С:
сп = с'пС + c22s* + 2 (с[2 + 2си) s2c2;
с12 = с\2 (с4 + s*) + (си + с21 - 4см) s2c2;
4=[cu s2 + (c[2
- с2) -c'22s2] sc;
sc;
B.64)
4=(cn - 2c'l2 + c22) s2c2 + си (с2 - s2J;
^56 = - c'55sc + c^sc; c66=еда 66
Воспользовавшись тригонометрическими преобразованиями,
можно получить иную форму записи коэффициентов матрицы
упругости
86

cn = Vx + Vi cos 2q> + V3 cos 4ф;
C\2 = V\— ZV4 — V3cos 4<p;
cos 2ф;
= -j V2 sin 2ф + V3 sin 4ф;
4 = y ^2 sin 2ф — Vz sin 4ф;
3=V7; c34 = K6 sin 2ф;
4=^4 —V3cos49; c55 = K8 —К
= V9 sin 2ф; c66 = V8 + V9 cos 2ф,
где
Число коэффициентов Vk не случайно равно девяти, поскольку
оно отражает то обстоятельство, что независимо от преобразо-
преобразований системы координат число независимых характеристик
материала определяется лишь типом его симметрии.
Из B.64), B.65), B.66) видно, что при повороте коорди-
координатной системы вокруг оси охъ' пять независимых характерно
тик V\, Vц, V5, Vv V8 остаются постоянными величинами
Инвариантными являются тацже и их комбинации. Например,
4(К,— У1) = с'п-\-с'22 + 2с[2 = сп-\-сп-\-2сХ1 и другие. Число
инвариантных характеристик, равное 5, также не является слу-
случайным. Для трансвгрсально изотропного тела с плоскостью
упругой симметрии, совпадающей с плоскостью ох\'х2'
(рис. 2.11), нетрудно показать, что
Поэтому можно считать, что пять коэффициентов Уь V4, V5,
Vt, Va характеризуют средние жесткости ортотропного мате-
материала, а четыре коэффициента У2, ^з. Vq, V9 характеризуют сте-
степень анизотропии. Например,
87

На рис. 2.12 показана примерная зависимость коэффициента
сп от угла поворота системы координат q> (рис. 2.11).
Рис. 2.12. Изменение коэффициента упругости Сц
от угла повороса <р системы координат
Характеристики ортотропного материала обычно задают тех-
техническими постоянными в системе координат, оси которой
совпадают с главными осями упругой симметрии. К таким ха-
характеристикам относятся модули упругости Еи Е2> Еъ, соответ-
соответствующие направлениям охх', ох2, ах3' (рис. 2. И); модули
сдвига C?i2. Eгз> <23, в плоскостях Х\'ох2'', х2'ох3'; х^ах^ и ко-
коэффициенты поперечных деформаций vl2, v23, v3i (первый индекс
указывает направление действующего напряжения, а второй —
направление возникающей при этом поперечной деформации,
причем E2v12=Elv2i (Ь 2, 3). Через технические постоянные
связь деформации с напряжениями записывается в следующем
виде:
*-'-у31^, A,2,3);
A,2,3).
B.67)
Обратные соотношения, определяющие связь напряжений с
деформациями, выглядят следующим образом:
o'l2 = Gl2e'l2, A,2,3)

и коэффициенты матрицы упругости С B.63) через технические
постоянные вычисляются так:
A,2,3);
A,2,3);
B.68)
где
_vl2 _vl3
— v2,
= 1 — vl2v21 — v23v32 — v31vl3 —
— 2v12v23v3l; Exv2l=E2v12.
Из приведенных соотношений упругости для ортотропного ма-
материала B.67) следует, что при нагружении деформируемого
тела вдоль осей ортотропии охх', ох2, охг' изменений прямых
углов между этими осями не происходит, а касательные напря-
напряжения а'12, а'23, cTj!1 не вызывают удлинений вдоль осей ортотро
ПИИ.
2.4.4. Трансверсально несжимаемый ортотропный материал
Представим, что мы имеем дело с ортотропным материалом,
не сжимаемым в направлении оси ох3'. В этом случае, как сле-
следует из связи деформаций с напряжениями B.67), при Ез-*00
получим
,' = ?. _v21*. A,2);
'2 = o[2/G12, A,2,3);
B.69)
Соотношения упругости, связывающие напряжения с деформа-
деформациями, получим из уравнений B.69), разрешив их относительно
напряжений. Тогда
а*'=т=^*'+т=ък«- 0-2);
Ui2 = l/l2^i2» U> ~' "/•
Полученную связь напряжений с деформациями B.70) удобно
представить в виде двух матричных выражений
„г г 'о'- т' fV C9 71Y
где
Г = [a,', a2', оп]т; е' = [е/, е2', е[2]т;
8Э

LU31' U32j > T I
''ll ^12
C\2 C22
О О С
0
0
44.
~c,
66
о c
55
При переходе к новой ортогональной системе координат,
повернутой относительно оси ох3' на угол q> (рис. 2.11), полу-
получим связи деформаций
е' = р.е; т' = РтТ. B-72)
где
— 5 С
Соотношения упругости в системе координат ох^х2хъ будут
иметь следующий вид:
о=Сее; т = С7т, B.73)
где
o=[oi, а2,
Связи матриц коэффициентов упругости определяются вы-
выражениями
С = S^C ^S * С = б С-' 6 ^ ТЛ\
где
11 12 1
Cj2 ^22 ^2
_Сц С24 Ci
В развернутом виде коэффициенты матриц Се и Ст определяют-
определяются через коэффициенты матриц С/ и С/ выражениями B.64)
или B.65).
Статические соотношения, связывающие напряжения в си-
системах координат охх'х2'х3' и oxiX2x3, будуг иметь вид [Ц]
(рис. 2.13)
90

Рис. 2.13. Компоненты напряженного состояния в системах координат слоя
и конструкции
B.75)
а,' = агс2 + o2s2 + ol22s с;
2 — a122sc;
a2sc + о12 (с2 — s2);
а31 = a3lC —
a32 = ~
или в матричном виде
з' = Р7га; т' = р7гт, B.76)
где (•)-т=((-)т)-1
Практический интерес представляет определение упругих ха-
характеристик слоистого материала, образованного однородной по
толщине укладкой тонких ортотропных слоев с углами ориента-
ориентации [±ф] (рис. 2.14).
с/*»
Рис. 2.14. Схема симметрично армированного слоя
В этом случае, осреднив по толщине многослойный пакет,
получим ортотропный материал, упругие характеристики кото-
которого в координатах ох!Х2х3 выглядят так:
) s2c2 (I, 2);
—r — П-
4 — C24 —U,
' 2
-4c;4) s2c2;
2 ' 2
с ;c55= c55c
91

Соотношениями B.77) пользуются для определения коэффи-
коэффициентов упругости композитного материала, составленного из
равномерно чередующихся однонаправленных слоев с углами
армирования ±<р.
Рассмотрим термоупругие характеристики трансверсально
несжимаемого ортотропного материала. В случае температур-
температурного воздействия в таком материале появляются дополнитель-
дополнительные деформации вдоль осей ортотропии, связанные с линейным
температурным расширением. Поэтому вместо соотношений
упругости B.69) следует записать
«i/=-Sf-v2i-^-+a1°r, A,2);
e'l2 = a[2/Gi2. A. 2,3); B.78)
еа' = 0,
где cci°, аг°—коэффициенты линейного температурного расши-
расширения; Т — приращение температуры.
Выразив из уравнений B.78) напряжения, получим
<т' = С/е'-вт'; t' = CyY'( B.79)
где
<jT' = С/ет'; е/ = Т fa,0, a/, Of;
матрицы С/, С и вектор'Столбцы <з', е', т', f' определены
ранее для соотношений упругости B.71).
Воспользуемся тем обстоятельством, что работа внутренних
сил на возможных перемещениях инварианта относительно пре-
преобразования координат, т. е.
(бе')г »' + Fт')г *' = sers + буг-5,
тогда с учетом соотношений упругости B.79) и преобразований
деформаций B.72) работу внутренних сил запишем так:
(Се%е - С
Приравняв сомножители при возможностях деформациях, полу-
получим выражения для соотношений упругости
о= Сее—От,
т = СтТ, B.80)
где
После выполнения матричных умножений можно показать, что
компоненты вектор-столбца
92

oT = [aiT, 02т,
будут вычисляться следующим образом:
alT = Т (с2 (спа° + c[pf) + s2 (c[2af> + с22
а2т = Т (s2 (с^0 + с[2щ°) + с2 (с[2а° + С;2а20)); B.81)
а12т = 7"sc (с;^,0^- с;2а2° — с'^ — с;2а20),
где s = sin9; с = cos ср.
Для слоистого ортотропного материала с углами укладки
слоев [±ср] (рис. 2.14), как это следует из B.81), средние на-
напряжения О12т = 0.
2.5. МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК
2.5.1. Энергетические оценки моделей деформирования
Дадим качественную оценку комплексов геометрических и
упругих характеристик многослойной оболочки, в соответствии с
которыми в оболочке будут преобладать те или иные деформа-
деформации. Такие предварительные оценки, пусть даже грубые, полез-
полезны, поскольку они помогают выбрать соответствующую модель
деформирования и приближенно оценить трудоемкость пред-
предстоящего расчета.
Воспользуемся энергетическими оценками для многослойной
пластины [8], подвергающейся поперечному изгибу. Представим
плотность потенциальной энергии деформации многослойной
пластины в виде суммы трех слагаемых
з
U = ^Ut, B.82)
где ?/i = -9-(cr]e1 + a2e2 + ai2gi2) — плотность энергии деформаций
в плоскости пластины; ?/2 = -гг(ст31?з1+аз2?з2)—плотность энер-
энергии деформаций поперечных сдвигов; ^/3 = -2"О'з^з — плотность
энергии деформации поперечного растяжения — сжатия. Для
получения энергетических оценок требуется провести сравнение
указанных слагаемых.
Дадим оценку упругим характеристикам материала. Будем
считать, что в плоскости пластины средний модуль упругости
имеет порядок Е. Величину Е будем называть характерным мо-
модулем. За величину Е можно, например, принять vam(V{, V4)
B.66). Таким образом, будем считать, что Ei~E<2~Gn~E.
Средние модули поперечного сдвига оценим величиной G, т. е.
93

G3i~G32~G. Средний модуль поперечного растяжения — сжа-
сжатия обозначим Ег. В том случае, если многослойный пакет со-
состоит из чередующихся жестких и податливых слоев, то для
оценки модулей Е, G, Ег воспользуемся также осреднением по
толщине h (для Е — осреднением жесткостей, для G и Ег — по-
датливостей):
= E'h'
h'
==~Gr~
+E"h"\
h" A
h'
x h" •
G
где h=h'-\-h", одним штрихом отмечены характеристики жест-
жестких слоев, двумя штрихами — податливых.
Будем считать, что при изгибе пластины основными являют-
являются напряжения растяжения — сжатия и сдвига в плоскости пла-
пластины. Порядок основных напряжений положим равным а, а
порядок основных деформаций е определим, используя соотно-
соотношение упругости
B.83)
Порядки напряжений поперечного сдвига и поперечного рас-
растяжения — сжатия можно приближенно установить, воспользо-
воспользовавшись уравнениями равновесия B.48). Если принять предпо-
предположение о том, что изменяемость напряженного состояния вдоль
координатных линий ai, аг, z для пластины (Я1=Я2=Яз=1)
характеризуется масштабными коэффициентами / и h, т. е.
где / — характерный размер пластины в плане; h — толщина
пластины, то можно получить
B.84)
Порядки соответствующих деформаций оценим с помощью со-
соотношений упругости
h а _ А Е
ез1~-е32~у Q — — а е; ^2.85)
' А \2 a / А \2 ?
Принимая во внимание полученные оценки для напряжений
и деформаций B.83) — B.85), можно дать следующую оценку
плотности потенциальной энергии U B.82):
(()i D)?) B.86)
94

Ограничившись 5%-ной погрешностью оценки составляющих ?/;
B.86), заключаем, что при
{Tj а <го и [i J ё^го
можно считать ез1==?з2=?з=0, и расчет можно проводить без
учета деформаций поперечного сдвига и деформаций попереч-
поперечного растяжения — сжатия. Такие модели деформирования мно-
многослойных оболочек соответствуют гипотезам Кирхгофа — Лява.
При
AfA>l и
можно считать, что ез=0. В этом случае в расчетах необходимо
учитывать деформации поперечных сдвигов; в поперечном на-
направлении оболочку можно считать несжимаемой. При
G ^20'
необходимо решать трехмерную задачу теории упругости. Как
правило, для таких задач имеем l~h и под I понимается мас-
масштаб изменения напряженно-деформированного состояния, ко-
которое имеет локальный характер [8]. Такое деформирование про-
происходит, например, в окрестности точек приложения сосредото-
сосредоточенных сил, закреплений, а также при коротковолновых изгиб-
ных колебаниях и местных формах потери устойчивости мно-
многослойных оболочек.
2.5.2. Кинематические и статические гипотезы
Рассмотрим кинематические и статические гипотезы, лежа-
лежащие в основе теории многослойных оболочек типа Тимошенко.
При выполнении условий B.87) материал оболочек можно счи-
считать несжимаемым в поперечном направлении. Соотношения
упругости для такого материала были приведены в разд. 2.4.4.
При модуле упругости Е3->-°°, как следует из закона Гука
B.69), деформация растяжения — сжатия в направлении оси oz
равна нулю (е3=0). Ограничившись линейным представлением
е3—ез(г), получим из B.39)
^¦3 = 5F = °- <2-88>
Отсюда следует, что нормальное перемещение оболочки v3 не
изменяется вдоль координаты г, т. е.
»аB, сбь а2)=ш(аь а2). B.89)
Предположение о несжимаемости оболочки в поперечном
направлении B.88) или B.89) можно рассматривать как пер-
первую кинематическую гипотезу теории.
95

В качестве второй кинематической гипотезы примем предпо-
предположение о линейном распределении по толщине оболочки каса-
касательных перемещений vh v2, т. е.
vx(z, a,, a2) =
, A,2),
B.90)
где U] = Ui(ai, аг)—касательное перемещение вдоль оси
координатной поверхности в процессе деформирования;
0i(ai, аг)—угол поворота сечения (рис. 2.15). Перемещения
B.89) и B.90) позволяют представить линейные деформации
B.39) в следующем виде:
). A.2);
At
771*21 I-
B.91)
=^i|)i. 0.2); е3(г) =
где
^ ^1*да. A. 2);
«1 — 4-в1.1-т-Ф1яв2. A.2);
e12 = 4-«2,i— Ф12И1. A.2);
«12 = 4-в2,1 — ^l28i, A,2);
•«I
¦^1 = 6, -Ь-34; ^,i —jfei«i» A.2).
B.92)
Рис. 2.15. Распределение перемещений
по толщине оболочки при деформиро-
деформировании
96

Заметим, что вместо кинематических гипотез о линейных аппро-
аппроксимациях касательных перемещений B.90) можно было бы
ввести предположение о том, что деформации поперечного сдви-
сдвига T3i(z). Тзг(г) можно аппроксимировать выражением [11]
=^1|I. A.2), ' : B.93)
где i|)i = i|>i(ai, аг) —функция, подлежащая определению в про-
процессе решения задачи. Соответствующее гипотезам B.89),
B.93) распределение касательных перещений vu v2 можно по-
получить путем интегрирования уравнений
(см. выражение для -узкг) B.39)). Если искать решение B.94)
в виде B.90), получим 9i=i|>i—-ritt>,i+&i"i(l,2), что соответ-
соответствует представлению tylt ty2 (см. B.92)).
Таким образом, гипотезами B.89), B.90) (или B.89) и
B.94)) полностью определяется кинематика деформирования
многослойной оболочки. В принципе для решения задачи мето-
методом перемещений этого достаточно. Однако использование за-
закона Гука a3i = G3iY3i(z)(l, 2) в том случае, когда модули сдвига
G31, G32 меняются скачком при переходе от слоя к слою, приве-
приведет к разрывности касательных напряжений азь азг, что будет
противоречить силовым условиям сопряжения слоев. Это проти-
противоречие можно устранить (интегрально по толщине) путем
введения статических гипотез о независимой аппроксимации
касательных напряжений о3ь 0зг-
Предварительно отметим, что распределение нормальных пе-
перемещений V3 B.89) позволяет предположить [11], что характер
распределения трансверсальных касательных напряжений озь
азг по толщине оболочки не должен оказывать существенного
влияния на основное напряженно-деформированное состояние
оболочки. Существенными являются лишь равнодействующие
этих напряжений, т. е. поперечные силы
z, A,2). B.95)
Для удовлетворения B.95), учитывая непрерывность касатель-
касательных напряжений по толщине оболочки, можно предложить ап-
аппроксимацию характера распределения a3i, 032 в наиболее про-
простом виде
а31=хЙ' A>2)> B'96)
где h=e-{-s — толщина оболочки. Равенство B:95) после под-
подстановки B.96) удовлетворяется тождественно.
7—1490 97

Запишем в матричной форме аппроксимации деформаций
поперечного сдвига B.93)
где
а также независимые аппроксимации поперечных касательных
напряжений B.96)
т=№, B.98)
где
; Q=[Qi, Q2]T;
Таким образом, для поперечных деформаций сдвига имеется
двоякое представление. С одной стороны, через аппроксимации
перемещений мы получили выражение B.97), с другой стороны,
через аппроксимацию напряжений B.98) и соотношения упру-
упругости B.73) можно получить CT~1T=CT-'ftQ. Это противоречие
можно устранить интегрально, путем ортогонализации невязки
деформации сдвигов к произвольным касательным напряжения
вида B.98), т. е. потребовать
^\-b2))^dz = 0, B.99)
е
где
6x=fT6Q.
Подстановка B.97) и B.98) в B.99) приводит к уравнению
6Qr(K~'Q—^) =0. Отсюда получаем
Q=K^, B.100)
где
При получении B.100) учитывалось, что
B.102)
где ЕBх2) — единичная матрица, имеющая размерность BX2).
98

Матрица К B.101) представляет матрицу приведенных жест-
костных характеристик многослойной оболочки на поперечный
сдвиг. В этом случае, если оси упругой симметрии отдельных
слоев совпадают с осями кривизн, то коэффициенты матрицы К
B.101) вычисляются достаточно просто
, A,2); ЛГ,2 = 0, B.103)
где
Полученные приведенные жесткостные характеристики B.101)
соответствуют процедуре суммирования податливостей, выпол-
выполненной с учетом переменной метрики.
Заметим, что работа трансверсальных касательных напря-
напряжений на возможных деформациях поперечного сдвига с учетом
B.97), B.98) и B.102) будет записываться следующим обра-
образом:
S —e S
где
dS=A\A2daida2.
Выражение B.104) будет в дальнейшем использоваться при пе-
переходе к двумерной задаче.
2.5.3 Формулировка линейных двумерных задач статики
и термоупругости
Воспользуемся векторно-матричной символикой для более
компактной записи промежуточных выкладок. Дадим определе-
определение компонентов вектор-столбцов
v=[fi, v2, v3]T; u!=[ui, u2, w, Эь 62]г; e(z)—[ei(z), e2(z), fi2(*)]T
l, 82, 612, 62l]r; Х = [«1, И2, «1
B.105)
f32U)F; *=[i|ji, 1JJ2F;
Здесь и в дальнейшем под коэффициентами вектор-столбца *
будут выступать компоненты мембранных деформаций коорди-
координатной поверхности. Рассмотренные в предыдущем разделе ги-
гипотезы Позволяют установить следующие представления о де-
деформировании многослойной оболочки.
7* 99

Распределение перемещений по толщине оболочки задается
в виде
v=fou, B.106)
где
О 1 OOz
.00100^
Матрица fo заполняется согласно кинематическим гипотезам о
распределении перемещений B.89), B.90).
Распределение деформаций по толщине оболочки запишем в
матричном виде с использованием соотношений B.91)
Г2=М>> B.107)
где
0
. 0
0
^22
0
0
0
Нп
0 '
0
#22-
О
я22
Т» = ^, A.2)-
Деформационные соотношения B.92) позволяют выразить ком-
компоненты е, х и $ через обобщенные перемещения и
e=Leu; x=Lxii; if=
B.108)
где
V,
Ф21
— Ф12
L V2
-Л,
О -
Ф12
v2
Vi
кх 0 0'
&20 0
0 00
-ф210 0 0
0 V, 1 0
000 Vi Ф12
0 0 0 ф2, V2
000 — Ф,2 Vi
_0 0 0 V2 — Ф21_
Статическая гипотеза о распределении по толщине оболочки по-
поперечных касательных напряжений т остается в прежнем ви-
виде B.98).
Поскольку для описания модели деформирования исполь-
используются как аппроксимации перемещений, так и независимые
аппроксимации части компонентов тензора напряжений, то для
вариационной постановки задачи следует воспользоваться сме-
смешанной формулировкой, соответствующей модифицированному
принципу Рейсснера (см. раздел 1.2.2). Для нашего случая ва-
вариационными уравнениями будут
100

^ J z) + ^)^U) 0; B.109)
5 — e
^^,г(С-Ч-Т(ж))Щ.^5 = 0. BЛ10)
5 —e
где
й5=Л1Л2йа1^а2; 6e(Z)=f.Fe+z6»e);
6T(Z)=fT6i|); 6e=Le6u; 6k=L,,6u;
B.111)
б^=Цби; 6v=f^6u; 6x=ft6Q;
/.Fv) —линейный функционал работы внешних сил,
S S ^^dzdP. B.112)
Здесь
Ре = [Аг. ^2е> AieF; P^ = [Pb> ^2
Я1в = ЛA-Л,в), A,2); Яи = Л, A+^,5), A, 2);
<Jr = K. сте, a<]r; vr = [x>v. ve, vt\T\
Г„ — часть контура, на которой заданы внешние поверхностные
силы, 8vr —возможные перемещения на контуре Г„ оболочки.
Компоненты векторов р и вг условно показаны на рис. 2.15.
Направление поверхностных сил av совпадает с направлением
внешней нормали к контуру v; силы oi направлены по касатель-
касательной /; at совпадает с направлением t(z).
Для того чтобы выполнить интегрирование B.109) по пере-
переменной z, дадим следующее определение вектор-столбцов, ха-
характеризующих внутренние силовые факторы:
N = [Nu N2, 7V12, ЛГ21Г = J f Г a ^ dz;
—е
s
m=[Mv м2. м12, м21у= ^ *e«^-d«; B.пз)
101

или
A,2);
12, Ml2)= J -^-
, A, 2);
Qi= \ -!j-ozxdz, A,2).
—e
Компоненты векторов N, Q и М представляют погонные усилия,
перерезывающие силы и моменты, приведенные к координат-
координатной поверхности B.52). С учетом B.111) и B.113) вариацион-
вариационное уравнение B.109) можно проинтегрировать по переменной
z, в результате чего получим
B.114)
jj J FsrN + 6хгМ + 6$rQ) dS — f Fu) = 0.
Для того чтобы получить выражения для приведенных
жесткостных характеристик, связывающих внутренние погонные
усилия N и моменты М с обобщенными деформациями г и и,
воспользуемся соотношениями упругости o=Ce8(Z) B.73), или
с учетом B.107)
a=Cefe(e+zx). B.115)
Подстановка B.115) в выражения для N и М B.113) позво-
позволяет получить интегральные по толщине соотношения упругости
N = Be+Cx; B 116)
где,
—е
B.117)
— \ Tr ^-»/>Ir^ ~~л ж i
или в развернутом виде
(В, C,D) =
Cl4
H
.сим
A,2, z2)dz;
102

). A-2).
Симметричные матрицы В, С и D характеризуют приведенные
мембранные, смешанные (мембранно-изгибные) и изгибные
жесткостные характеристики оболочки.
Для перерезывающих сил Q связь с обобщенными деформа-
деформациями if устанавливается на основе интегрирования по толщи-
толщине оболочки уравнения B.110). Это было выполнено в преды-
предыдущем разделе и получено соотношение B.100).
Выражение для линейного функционала работы внешних сил
/(би) B.114) можно получить из f, Fv) B.112) после выполне-
выполнения интегрирования по переменной z:
B.118)
где
=\l]\ С о];
L 0 0 lJ
р=
, hi — косинусы углов между осями v, / и касательными к
— линиям на контуре Г; ось t совпадает с осью z (рис. 2.16).
Рис. 2.16. Элемент контура миогослойиой оболочки
Компоненты вектор-столбца приведенных нагрузок р представ-
представляют распределенные по поверхности 2=0 касательные и нор-
нормальные силы, а также моменты, статически эквивалентные
объемным силам g и поверхностным нагрузкам, действующим
на поверхностях z=—е, z=s. Компоненты вектор-столбца
внешних силовых факторов р представляют погонные усилия и
моменты, заданные на контуре Г„.
103

Полученное вариационное уравнение B.114) можно рас-
рассматривать как двумерную формулировку принципа возмож-
возможных перемещений для линейной задачи статики многослойной
оболочки. Воспользовавшись деформационными соотношениями
B.108), уравнение B.114) можно записать в виде
Если воспользоваться формулами Остроградского—Гаусса и
избавиться в B.119) от дифференциальных операторов, дейст-
действующих на би, то уравнение B.119) с учетом B.118) можно
преобразовать следующим образом:
+ jJ6ur(L«
?M + LJQ-р) df = 0, B.120)
где матрицы Le*, L**, Ц,* получаются из матриц Le, Lx,
L* B.108) путем транспонирования и замены операторов
V,-(-921-V1), A,2).
Матрицы Lev, W, L/ получаются из матрицы Le, Ц,
L* путем транспонирования, замены операторов V,-»-/, A,2) и
обнуления всех остальных коэффициентов, где U — косинус угла
между вектором, касательным к аглинии (/?,*), и вектором
внешней нормали v.
Из B.120) следует матричное дифференциальное уравнение
равновесия
которое в развернутом виде соответствует пяти интегральным
уравнениям равновесия B.51). Шестое уравнение равновесия
(уравнение моментов относительно оси 0г) выполняется авто-
автоматически, так как при выводе использовалось условие парнос-
парности касательных напряжений и учитывалось изменение метрики.
Главные граничные условия задачи могут задаваться на
кинематические факторы и. Естественные (силовые) граничные
условия задаются на контуре Г„
L8vN-t-L^M + L;Q-p = O на Га.
В случае, если контур Го совпадает с линией oci=const(/i = l,
/2=0), силовые граничные условия будут выглядеть так:
Для того чтобы получить вариационную формулировку за-
задачи в перемещениях, нужно воспользоваться уравнением
104

B.119) и соотношениями упругости B.116), B.100). После под-
подстановки соотношений упругости в B.119) получим
5
где
<T=Lu; B.122)
ГВ С (Л [Хе] ГеТ
0 = С D 0 ; L = \ьЛ 8=\ъ ; B.123)
Lo о kJ LlJ UJ
и==[ыь и2, и, эь е2]г
или
5 5 (L6u)r^>Lurf5 - / (би) = 0. B.124)
Таким образом, в варианте метода перемещений вариационная
формулировка задачи статики выглядит следующим образом.
Требуется найти такие функции и, для которых B.124) выпол-
выполняется при любых возможных перемещениях би.
При формулировке задачи термоупругости исходная запись
вариационных уравнений остается прежней B.109), B.110).
Однако связь напряжений о с деформациями следует записы-
записывать с учетом температурных составляющих B.80)
o=Ce8(z)—от, B.125)
где компоненты вектор-столбца от определяются в общем слу-
случае соотношениями B.81) и считаются известными функциями
аргументов z, ax, а2.
Подстановка напряжений о B.125) и деформаций E(z>
B.107) в выражения для погонных усилий N и моментов М
B.113) приводит к следующим интегральным соотношениям
термоупругости:
N = Be+Cx—NT; ^9i9fiv
M=Ce+Dx—Мт; K }
где
В результате интегрирования по аргументу z уравнений
B.109), B.110) получим последовательно уравнения B.114) и
B.119), где под N и М понимается их представление согласно
105

B.126). В окончательном виде вариационная формулировка
задачи термоупругости многослойной оболочки будет весьма
похожа на формулировку задачи статики B.121) или B.124).
Отличие будет заключаться в том, что в линейный функционал
кроме внешних сил войдут также температурные составляю-
составляющие NT и Мт, т. е.
= 0, B.127)
где
Л Fu) = / Fu) + jj J FsrNT + 65crMT) ^5 =•
= / (Щ + { \ ((Le6u)rNT + (Lx6u)rMT) dS, B.128)
V
/Fu) представляет линейный функционал работы внешних сил
B.118); под обобщенными деформациями & понимается их
представление через перемещения B.122); 6<e?=L6u.
Дифференциальные уравнения равновесия для многослой-
многослойной оболочки в случае совместного силового и температурного
нагружения можно записать через перемещения следующим
образом:
-p-LeNT — L*Mr = 0. B.129)
Естественные (силовые) граничные условия, записанные через
перемещения, будут иметь следующий вид:
(L^BLe + LevCLx -f LVKCLV + L^DLlt + L^KL*) u -
-p-LEvNt-LX = 0. B.130)
Таким образом, специфика учета нагрева многослойных оболо-
оболочек отражается в формулировках задач B.127) и B.129),
B.130) присутствием приведенных грузовых членов NT и Мт,
характеризующих линейное расширение материала.
2.5.4. Линеаризованные формулировки и задачи устойчивости
Для решения нелинейной задачи о больших перемещениях
многослойной оболочки воспользуемся итерационным процес-
процессом, основанным на линеаризованной формулировке принципа
возможных перемещений A.133), записанной относительно ис-
исходного координатного базиса. Для рассматриваемого случая
будем иметь
106

(бДе[г)СеДе(г)
i = 0. B.131)
Интегрирование в B.131) ведется по объему и поверхности,
соответствующим исходной конфигурации. Для того чтобы
получить выражения для линеаризованных ДеB), Ду(г> и не-
нелинейных Дт) составляющих приращений деформаций, рассмот-
рассмотрим нелинейные деформационные соотношения, соответствую-
соответствующие модели многослойной оболочки. Воспользуемся квадратич-
квадратичным представлением относительных удлинений и углов сдвигов
B.38)
1 '/О
,2
¦12(г)
+е13(г))
+е31(г)
> A. 2);
4
} B.132)
где
. A,2);
(I. 2);
) = Ъ1,з A,2); 833 = ^3,3.
B.133)
Будем считать, что деформирование многослойной оболочки
происходит без поперечных деформаций растяжения — сжатия
(е3=0). Для учета деформаций поперечных сдвигов ограничим-
ограничимся линейным приближением ез1 = Е13(г)+езкг) A.2), поскольку
эти деформации не являются основными, а только уточняют
классическую теорию оболочек. Основные деформации еи. е2,
еХ2 будем считать малыми, поэтому произведениями ещ,),
822@. ei2B), 82K0 можно пренебречь. С учетом сделанных заме-
замечаний для многослойной оболочки вместо деформационных
соотношений B.132) можно воспользоваться следующими выра-
выражениями:
S\2= е12(г) +821 (г) + 813B)823B)!
е31 = е13(г) + ез1(г) A. 2); е3=0.
B.134)
101

Для несжимаемого многослойного пакета при линейном рас-
распределении касательных перемещений B.90) можно восполь-
воспользоваться выражениями B.133) и выразить деформации B.134)
через перемещения
e8i=-H7*1 A>2); ез=0>
где
ifa = Qi+-j^v>.i — кущ, A,2);
coi=—-^-ffi),i+*!«,, A,2);
При получении B.135) в нелинейных составляющих были от-
отброшены слагаемые, содержащие множители k\Z, I12Z. На основе
B.135) можно получить линеаризованные соотношения
Aei(Z) = -^-(Ae, + 2Axi), A,2);
где
1
(i )Y^j«1j, A,2);
~
. 0.2); B.137)
Аи12=--т-Д92,1— Ф12А01, A,2);
л1
j|—ДАМ A.2);
со^; coj—углы поворота н ормали к бгзовой поверхности в момент
нагружения, соответствующий условному времени т. В матрич-
матричном виде выражения B.136), B.137) будут записываться так:
108

где
>, = ЬБТДи; Дх = L>
). Дб2(г).
Ф21
ф,2
As = [Aep Ae2, Ae^, Ae2l]r;
kx — coJVi
—«2
B.138)
0 0"
00
0 0
Остальные матрицы определены для соотношений B.107),
B.108).
С учетом B.138) два первых слагаемых в линеаризованной
формулировке B.131) будут выглядеть следующим образом:
Ш
B.139)
где
5\ =
Третье слагаемое в B.131) также удобно представить в били-
билинейной форме с симметричной матрицей. Для этого выделим
из полных деформаций нелинейные составляющие Ati:
Arj = [ATip ДтJ> Дх12]г,
где
At1 = !AuJ (!2>;
109

Вариации нелинейных составляющих будут
6Дг2 = [6Дт],, бДт]2, бДх12]г, B.140)
где
1. A.2);
Тогда с учетом B.140) можно выполнить следующие преобра-
преобразования:
B.141)
где
Дм = 1Ди;
Ao) = [AcOj, Дсо2]г;
~kx 0 — Vi 0 01
[о kx -v2 о
S
\ Oix-^-dz, A, 2);
—е
tf2, A,2).
Работу внутренних сил запишем с учетом B.138), B.113)
B.142)
5"
ПО

где
Д<!Г =
"Де
Дх
F(m-l)=
в-1)
Д|Г=2'тДи.
Для случая «мертвых» сил линейный функционал
будет иметь вид, аналогичный B.118)
/т+Дт(бДи) = 55 6AuTpx+AxdS
B. ИЗ)
где рт+дт и pt+дт — внешние распределенные силы, соответст-
соответствующие условному моменту времени нагружения т + Дт.
В окончательном виде вариационная формулировка линеа-
линеаризованной задачи записывается в следующем виде:
_i)) dS =
= /т+дт(бДиO
B.144)
где Д<У=.2\Ди; Д« = 1Ди.
Вариационная формулировка B.144) позволяет получить раз-
разрешающие уравнения относительно приращений Ди и выполнить
очередную итерацию u(m)=u(m_1)+Au. Уравнение B.144) можно
также использовать для анализа смежного равновесного состо-
состояния, т. е. для решения задачи устойчивости. Если считать, что
итерация (ш—1) соответствует равновесному состоянию для
момента нагружения т и процесс дальнейшего деформирования
происходит без приращения нагрузки, то, очевидно, следует
потребовать
Тогда условие смежного равновесного состояния примет вид
S = 0. BЛ45)
В случае, если состояние системы для момента времени т счи-
считается напряженным, но недеформированным, то вместо Д<!Г, Д©
можно пользоваться обычными линейными представлениями,
и вариационная формулировка задачи устойчивости B.145)
может быть представлена так:
B.146)
где JT =
ill

Формулировка задачи устойчивости в виде B.146) извест-
известна как энергетический критерий в форме Брайана [1].
2.6. ПРИМЕРЫ
Пример 2.1. Составить подпрограмму определения геометрических ха-
характеристик конических и торовых оболочек.
В качестве исходных параметров примем:
N — суммарное число оболочек в конструкции; I — номер оболочки в
конструкции; IT — тип оболочки. Если 1Т=1, то оболочка с номером I —
конус, если 1Т=2 — эллиптический тор; X—текущая координата <Xi /для
конуса совпадает с s (рис. 2.3)/; GEME, N) —массив исходной информа-
информации по геометрии оболочек. В 1-м столбце массива GEM хранится следую-
следующая исходная информация
Условия
Если 1-я обо-
оболочка конус
Если 1-я обо-
оболочка эллип-
эллиптический тор
OEM A, I)
0
«10
GEM B, I)
/
aiA
GEM C, I)
Го
a
GEM D,1)
во
b
OEM E, I)
0
d
Здесь / — длина образующей конуса (рис. 2.3); га — радиус параллели при
s = 0; во(рад) —угол между нормалью к образующей N и осью вращения t;
«ю, а!д —начальная и конечная координаты at (рад) эллиптического тора
(рис. 2.4); a, b, d — параметры эллиптического тора.
Выходные параметры обозначим следующими идентификаторами:
А1, А2 — параметры Ламе Аи А2; RK1, RK2 — кривизны k\, k% F21—пара-
F21—параметр <p2i; TET— угол наклона нормали к оси вращения. Дли вычислении
геометрических характеристик используются соотношения B.23), B.24).
Текст подпрограммы GEOM
SUBROUTINE GEOM <(N, I, IT, X, GEM, Al, A2, RK1, RK2, F21, TET)
DIMENSION GEME, N)
GO TO A,2), IT
1. TET = GEM D, I)
C = COS (TET)
Al = l.
A2 = GEMC, I)+X*C
RK1 = 0.
RK2 = SIN (TET)/A2
F21=C/A2
RETURN
2. A = GEMC, I)
В = GEMD, I)
D = GEME, I)
S = SIN(X)
C = COS(X)
T = SQRT((A*S)**2+(B*C)**2)
Al = (A*B/T)**2/C
RK1 = 1./A1
= D+A*A*S/T
K = S/A2
F21=C/A2
TET = X
112

RETURN
END
Пример 2.2. Составить подпрограмму определения коэффициентов мат-
матрицы приведенных жесткостей 3) для многослойного пакета, составленного
из различных слоев ортотропных материалов (рис. 2.14).
Представим основные аналитические соотношении, необходимые для
проведения расчетов.
Дли записи соотношений упругости в осях ортотропии материала
B.71) необходимо вычислить коэффициенты
' ?i
cii = i_v,sv,,> A' 2); ci2=ciiv!b B.147)
44 *-*х2» 65 ^зх» 55 из2*
Для слоя, образованного равномерной укладкой с армированием ±<р
(рис. 2.14), коэффициенты упругости пересчитываются следующим образом:
; (Ь2)
+ c22~4c4i) s2c2;
! + C;4(c2-S2J;
B.148)
c,4==c24=c5e = 0;
где c=cosq>; 8=51Пф.
Матрица приведенных жесткостных характеристик &) связывает погонные
усилия и моменты с обобщенными деформациями
[¦К;]
где
]T;
N=[Nlt N2, N12, N21]
Q=[Qb QaJT
e= [eb 82, ei2, 82i]T; x=,[xi,
= [Mt, M2, M12, M21]T;
T;
В развернутом виде матрица 3> имеет следующую структуру:
Зц В12 О О !С„ С12 О О О О
в12
0
0
G,,
С12
0
0
0
0
В22
0
0
Ct2
с82
0
0
0
0
0
Взз
В34
0
0
Сзз
Сз4
0
0
0
В 34
В44
0
0
G34
С44
0
0
!С,2
1 °
! 0
Го и
\D12
\ о
jo
1 0
0
с82
0
0
о,2
?>г2
0
0
0
0
0
Сзз
С31
0
0
?>зз
D 34
0
0
0
Сз4
С44
0
0
^34
О44
0
0
0
0
0
0
0
0
0
/<„
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8—1490
ИЗ

Согласно соотношениям B.117). B.103) коэффициенты матрицы %> для
многослойных оболочек вычисляются следующим образом:
1 =
B-149>
где
k — число слоев в многослойной оболочке; z»-», гщ — нормальные координа-
координаты z внутренней и внешней поверхностей i-го слоя; Z(o> = — e — координата
г внутренней поверхности оболочки; k\, кг — главные кривизны оболочки;
h — толщина многослойной оболочки.
В качестве исходных данных примем:
RK1, RK2 — главные кривизны оболочки k\. кг; KSL — число слоев в
оболочке k; CCG, KSL)—массив технических констант упругости слоев
оболочки.
В 1-м столбце массива последовательно размещаетси следующая инфор-
информации для г-го слоя.
ОЙ1
Й1
vH
Нумерация слоев даиа от внутреннего слоя к внешнему; H(KSL) —
массив, содержащий толщины слоев; F(KSL) — массив, содержащий углы
укладки слоев (рад); Е — расстояние е от координатной поверхности до
внутренней поверхности оболочки.
В результате работы подпрограммы DKSL в массиве DA0, 10) будут
содержаться коэффициенты матрицы приведенных жесткостей 3).
Текст подпрограммы DKSL
SUBROUTINE DKSL ,(RK1, RK2, KSL, CC, H, F, E, D)
114

DIMENSION CCG, KSL), H(KSL), F(KSL), DA0, 10)
DO 1 1=1, 10
DO 1 J=l, 10
1 D(I, J) = 0.
2i = e
DO 21 = 1, KSL
T=l.—CCF, I)#CCG, I)
C1I=CCA, I)/T
C22=CCB, I)/T
C12 = CII#CCG, I)
C44=CCC, I)
C55 = CCE, I)
C66=CCD, I)
FI = F(I)
T=COS(FI)
C2=T#T
T = SIN(FI)
S2 = T#T
C4 = C2*C2
S4 = S2*S2
S2C2=S2*C2
T=2.# (C12+2.#C44) #S2C2
CC11 = С11 #C4+C22 # S4+T
CC22 = C22*C4+C11*S4+T
CCI2=C12*(C4+S4) + (C11+C22—4.#C44)#S2C2
CC44=(C11—2.*CI2+C22)#S2C2+C44#(C2—S2)#*2
CC66=C66#C2+C55#S2
CC55 = C55#C2+C66*S2
Z2 = Z1+H(I)
T1=H(I)
T2 = 0.5*(Z2#*2—ZI*#2)
T3=(Z2**3—ZI#*3)/3.
T = 0.5*(ZI+Z2)
H12=>A.+RK2#T)/A.+RKUT)
H2I = I./HI2
D(I,1)=DA,I)+CC1I#H12#T1
D(l,2)=D(I,2)+CC12#TI
DB,2)=DB,2)+CC22#H21#T1
DC,3)=DC,3)+CC44#H12#T1
D C,4) = D C,4) +CC44 * TI
DD,4) =DD,4)+CC44#H21#T1
D(I,5)=D(l,5)+CCll*H12#T2
D(I,6)=DA,6)+CC12#T2
D B,6) = D B,6) +CC22 # H21 *T2
DC,7)=DC,7)+CC44#H12#T2
D C,8) = D C,8) +CC44*T2
DD,8)=DD,8)+CC44#H21#T2
DE,5)=DE,5)+CC1I#H12#T3
DE,6)=DE,6)+CC12*T3
D F,6) = D F,6) +CC22 # H21 #T3
DG,7)=DG,7)+CC44#HI2#T3
DG,8)=DG,8)+CC44*T3
D(8,8)=D(8,8)+CC44*H21#T3
D(9,9)=D(9,9)+H21*T1,/CC66
DA0,I0)=DA0,10)+H12*Tl/CC55
2 Z1=Z2
DB,1)=DA,2)
DD,3)=DC,4)
DB,5)=D(I,6)
DD,7)=DC,8)

DF,5) = DE,6)
D(8,7)=DG,8)
0E,0 = 0A,5)
DE,2)=DB,5)
DF,1)=DA,6)
DF,2)=DB,6)
DG,3)=DC,7)
DG,4)=DD,7)
D(8,3)=DC,8)
D(8,4)=DD,8)
A=Z1+E
D(9,9)=A#A/D(9,9)
DA0,10)=A*/DA0,10)
RETURN
END
В качестве примера расчета дадим оценку приведенных жесткостных ха-
характеристик многослойных пластин, состоящих из k слоев, каждый из кото-
которых образован перекрестной укладкой [±<рц]] однонаправлениого компози-
композита. Суммарная толщина всех слоев в пластине равна h.
Для приближенной оценки мембранных, смешанных и изгибных жест-
костных характеристик воспользуемся упрощенной нитяной моделью одно-
однонаправленного материала. В этом случае принято считать, что слой одно-
однонаправлениого композита обладает жесткостью только вдоль волокон (Ei =
= ЕфО; ?2=C?i2 = 0; v12=v2i = 0). Согласно B.147) — B.149) и сделанным
выше допущениям полупим следующие выражения.
Для мембранных жесткостей:
где
Для смешанных жесткостей:
* *
k
~t\l] 51пгФ[г, сов'ф,,,.
где
Для изгибных жесткостей:
2 7J'1 Sin' ф[;] COS2
где
Мб

Нетрудно показать, что при переходе к новэй координатной повэрхко -
сти (г' = г—А, где А—смещение координатной поверхности вдоль оси Ог)
мембранные жесткости не изменяются B'tj-—Bij, а новые смешанные С'ц
и изгибные Dt. жесткости связаны со старыми жесткостями соотноше-
соотношениями
Минимальные значения изгибных жесткостей D*.j будут равны
D^Dtf-Cfj/Bij
при A = dj/Bij. Для многослойной пластины, имеющей произвольную после-
последовательность чередования различных ортотропных слое», может ие суще-
существовать одной координатной поверхности, относительно которой все изгвб-
ные жесткости принимают наименьшее значение.
Для многослойной пластины, имеющей структуру пакета [±<р]. паду-
падучим следующие значения жесткостиых характеристик, вычисленных относи-
относительно координатной поверхности, совпадающей с нижней лицевой поверх-
поверхностью,
Вц=?Л cos\, В22 — ЕИ. sin^qp;
Вl2 = Вj3 = В34= В44 = Eh sin2 ф cos2 <p;
Eh2 Eh?
Сц = — cos4q>; Сгг—-2~
Eh2
С,2 = Сзз==Лз4 = С44= —
Eh3 Eh3
?>n=-g-cos49; D2t = -g- sin* ф;
Eh*
Dn = Z>33= ?>34 = ?>44=-^- sin2 ф cos2 ф.
Выбрав в качестве координатной сргдинную поверхность, получим
Eh3 Eh*
С*у = О; ?>*, = -j2-eos^; D*22=-^2 sin4 ф;
Eh*
D*\2= ^33 = Dli = D44= ТГ S'nZ ЧР COs2 Ф>
соответствующие изгибные жесткости равны минимальным.
Рассмотрим многослойную пластину, имеющую структуру пакета
[0/±ф], т. е. первая половина пакета набрана слоями с укладкой СР, вто-
вторая — слоями с укладкой ±ф. Относительно координатной поверхности, сов-
совпадающей с нижней лицевой поверхностью, получим следующие жесткастные
характеристики:
Eh Eh
ЯA+4) ?
Eh
2 = Взз = 634= B« = ~2 sin2 ф cos- ф;
Eh1 3?Л2
A+З4) C i*
3Eh*
С12 = Сзз = С34=С44 = —g- sin2 ф cos2 ф;
117

Eh' 7Eh>
D „= ^ A+7 cos* <p); ?>22=
7EFi>
Минимальное значение изгибиой жесткости ?>*: будет равно
л*_л г2 ,д Д*'Г1+7сов«ф 3(l+3cos«9J]
и!1'-у11-Ьц/с„- 12 L 2 8(l+cos49) J
при
1 + 3 cos4 ф
Минимальные значения изгибных жесткостей D^2, D*2, .... Z?44 будут равны
при Д=ЗЛ/4, т. е. при совмещении координатной поверхности со срединной
поверхностью второй половины пакета, имеющей армирование с углами
укладки ±<р.
Пример 2.3. Составить подпрограмму вычисления температурных состав-
составляющих погонных усилий и моментов NT и Мт B.126).
Предварительно определим распределение температуры по толщине мно-
многослойного пакета. Будем считать, что неравномерность распределения тем-
температуры по поверхности оболочки незначительна и основной тепловой поток
направлен вдоль нормальной координаты г. Интенсивность передачи теплоты
характеризуется плотностью теплового потока q, т. е. количеством теплоты,
передаваемой в единицу времени через единицу площади изотермической
поверхности. Связь между градиентом температуры и вектором плотности
теплового потока устанавливается согласно гипотезе Фурье. Для рассмат-
рассматриваемого одномерного случая получим
<7=—Я7", , B.150)
где 7" — первая производная от Т по z; Л — коэффициент теплопроводности
(считается известной кусочио-поетоянной функцией аргумента г). Для ста-
стационарного процесса теплопроводности с учетом отсутствия внутренних ис-
источников тепла в многослойной оболочке условие баланса энергии приво-
приводит к уравнению
<7'=0. B.151)
' . Й качестве граничных условий задачи примем заданные температуры
внутренней и внешней поверхностей многослойного пакета:
: z=— e, Т=Те;
z=s, T=TS.
Воспользуемся интегральной формулировкой уравнения B.150) и выпол-
выполним интегрирование по частям:
S
^ = 0. B.152)
Потребуем для функций bq, q выполнения уравнения B.151), т. е. 6^' = 0;
0' = О, тогда из B.152) получим вариационную формулировку, аналогичную
методу сил
щ

.7
или
B.153)
где /i[(], Я[,] — толщина н коэффициент теплопроводности i-го слоя; k —
число слоев. Уравнение B.153) позволяет определить плотность теплового
потока
B.154)
Распределение температуры по i-му слою получим нитегрироваиием уравне-
уравнения B.150)
Т (г)= T(i_t) -j-^z-
B.155)
где Г(*-1> —температура внутренней поверхности t-ro слои; для первого слоя
Т(о) = Те. Положив в B.155) z=Z(i), получим температуру внешней поверх-
поверхности г-го слоя
Полученные уравнения B.154)—B.156) позволяют однозначно определить
температурное состояние многослойного пакета.
Для ортотропиого материала, образованного перекрестной укладкой с
углами армирования ±<Р, согласно B.81) температурные составляющие
напряжений можно представить в виде
T=d1T7" A,2),
B.157)
где
Средние напряжении CTi2t при вычислении NT и Мт можно принять равными
нулю.
Воспользовавшись выражениями для NT и Мт B.126), получим
NT=[A/1T> Л/2Т) Л/12Т, AT21Tjr;
Мт= [Af1T, M2I> Мит, Л121Т]Т,
где
С я2
=) ""ЗИ^1 (Ь2);
—e
M1T=\ ct,tX
B.158)
119.

Прн вычислении интегралов B.158) будем считать, что в пределах г-го слоя
wr
^=A+*,*)*(!+*,*,„). A.2);
где q определяется выражением B.154); коэффициенты d\lJ, A, 2); Хщ
считаются постоянными в пределах слоя. Тогда с учетом сделанных
допущений можно выполнить интегрирование B.158) н получить
k
#'• A. 2);
B.159)
где
В качестве исходных данных примем:
RK1, RK2, KSL, CCG, KSL), H(KSL), F(KSL), E — см. описание
исходных данных для подпрограимн DKSL (пример 2.2);
ТЕ, TS — температуры te и tt (град. С) внутренней и внешней поверхности
оболочки; BL (KSLJ — массив коэффициентов теплопроводности отдельных
слоев Й.[,] (нумерация слоев от внутреннего к внешнему); А B, KSL) —мас-
—массив коэффициентов линейного температурного расширения. В i-u столбте
массива размещаются коэффициенты а° и «2° i-го слоя.
В результате работы подпрограммы TERMN в массивах TN D), ТМ D)
будут располагаться коэффициенты, соответствующие вектор-столбцам NT,
Мт B.159).
Текст, подпрограммы TERMN
SUBROUTINE TERMN (RK1, RK2, KSL, CC, H, F, Е,
# ТЕ, TS, BL, A, TN, TM)
DIMENSION CCG, KSL), H(KSL), F(KSL),
# BL(KSL), AB, KSL), TND), TMD)
DO 11=1,4
TN(I) = 0.
1 TM(I)=0.
T11=TE
HL = 0.
DO 2 1 = 1, KSL
2 HL = HL+H(I)/BLA)
Q=(TE—TS)/HL
Zl=—E
DO 3 1=1, KSL
T=l. —CCF, I)*CCG, 1)
C11=CCA, I)/T
120

C22=CCB,
C12=CCG,
FI = F(I)
T=COS(FI)
C2=T#T
T=SIN(FI)
S2=T#T
D1T=C2#(C11#AA, I)+C12#AB,
¦ S2#(C12#AA, I)+C22#AB, I))
D2T=C2#(C22*AB, I)+CL2*AA,
# S2#(C12#AB, I)+C11#AA, I))
Z2=Z1+H(I)
T1 = H(I)
T2=0. 5#(Z2##2—Zl##2)
T3=(Z2##3—Zl##3)/3.
1=0. 5#(Z1+Z2)
TK1 = 1. +RKUT
TK2=1.+RR2#T
TTN=T11#T1—Q#(T2—Z1#T1)/BL(I)
TTM=T1UT2—Q#(T3—Z1#T2)/BL(I)
TNA)=TNA)+D1T#TK2#TTN
TN B) =TNB) +D2T#TK1 *TTN
TMA) =TMA)+D1T#TK2#TTM
TMB)=TMB)+D2T#TK1*TTM
Z1=Z2
TI1=TU—Q*H(I)/BL(I)
3 CONTINUE
RETURN
END
В качестве примера рассмотрим однородную многослойную пластину,
образованную перекрестной укладкой однонаправленных слоев композита
[±'ф]. За координатную поверхность (z=0) примем нижнюю лицевую по-
поверхность. Рассмотрим случай, когда oci°=0; ФрфЪ. Тогда коэффициенты
diT, d2T /см. B.157)/ будут равны
Ем °
d2T = 1— yjv» (Vl! Sin2 Ф + COS2
Плотность теплового потока q=(Te—T,)k/h; Z@)==0; Z(d==/i, h согласно
B.159) получим
'^ Ts) (Vls
Если в качестве координатной принять срединную поверхность пластины
(Z(o)=—Л/2; z(i)=ft/2), то температурные составляющие погонных усилий
Nit, Nzr останутся без изменений, а температурные составляющие погонных
моментов М\т, М2т будут определяться выражениями
121

12A—viavai) (Г*~ r*)(v" **г<Р + ™г Ф>-
Пример 2.4. Составим подпрограмму определения напряжений в отдель-
отдельных слоях многослойного пакета. Будем считать, что нам известны: геомет-
геометрические и механические характеристики многослойного пакета; температуры
на лицевых поверхностях; коэффициенты теплопроводности, а также обоб-
обобщенные деформации (8i, «2, 612, 621, Х\, к2, Kit, К21, грь 'фг).
Предварительно представим аналитические соотношения, необходимые
для проведения расчета.
Тепловой поток через многослойную стенку q будет определяться соглас-
согласно B.154). Температура внешней поверхности г-го слоя Т^) определяется
выражением B.156).
Для определения деформаций ек2), e2(Z), Yi«*) в слое с координатой
) воспользуемся соотношениями B.91)
Далее выполним преобразования, связанные с переходом от системы коор-.
дииат оболочки к системе координат слоя. Для ортотропного слоя, образо-
образованного из однонаправленного материала с углами армирования [±|ф] (рис,
2.14), согласно B.72) запишем:
el (z) = 8l (zf* + 82(г)*2 ± Т12(г) SC'
где 5 = sin |'ф|, c = cos|<p|, верхний знак соответствует углу армирования +ф,
нижний знак соответствует углу армирования —ф.
Напряжения в слое (определенные в системе координат слоя) вычислим,
используя соотношения упругости B.79)
B-160)
здесь
Е
С '
где для г'-го слоя 7"=7"(i-i) для внутренней поверхности (z=z(i-u) н 7"=
= 7"(i) для наружной поверхности (z=z(i), ai° — коэффициент линейного
температурного расширения (КЛТР) однонаправленного материала вдоль на-
направления армирования; «2° — КЛТР поперек армирования; Е\, Е2, Gn —
модули упругости однонаправленного материала при деформировании вдоль
армирования, поперек и на сдвиг в плоскости слоя.
Для определения напряжений поперечного сдвига предварительно опре-
определим перерезывающие силы по B.100), B.103)
Qi-*h*i. A.2).
122

где
Далее, воспользовавшись аппроксимацией B.96), определим поперечные каса-
касательные напряжения
Пересчет поперечных касательных напряжения при переходе в систему коор-
координат, связанную со слоем (рис. 2.13, 2.14), выполним согласно B.75)
о32= ±(
где e=cos<p, s = sin(p.
Напряжения, определенные соотношениями B.160), B.161), являются
яскомыми.
В качестве исходных данных для работы подпрограммы примем:
RK1, RK2, KSL, CCG, KSL), H(KSL), F(KSL), Е, ТЕ, TS, BL(KSL),
АB, KSL) — даны в описании исходных данных для подпрограммы DKSL
(пример 2.2) и TERMN (пример 2.3); EPS D)—в массиве последовательно
размещаются значения ei, е2, «12, 821; САРD) —в массиве последовательно
размещаются значения ки Иг, Хп, Х21; PSIB)—в массиве последовательно
размещаются значения г|>1, гр2;
В результате работы подпрограммы STRSL будут определены:
FLC, KSL) —массив, в г'-м столбце которого размещаются значения на-
напряжений ст/(ф), oV(<p)> о2'(ф) для t-ro слоя, вычисленные пси z=
= z(i_i), FMLC, KSL)—массив, содержащий в г-м столбце <xi'(—ф),
<х/(—ф), CTi2'(—ф) (для г-го слоя при z=z(,_i)); FUC, KSL)—массив, со-
содержащий в г-м столбце (Т1'(ф), (^'(ф), <Т12'(ф) (для г-го слоя при z=z(i));
FMUC, KSL) —массив, содержащий в г'-м столбце а/(—ф),аг'(—Ф), <Ti2'{—ф)
(для г-ro слоя при z=z{i))\ TFB, KSL) —массив, в г-м столбце которого по-
последовательно размещается информация о средних поперечных касательных
напряжениях г-го слоя а31'(ф); азг'(ф); TMFB, KSL)—массив, содержащий
в t-м столбце СТз/(—ф); сгзг'(—Ф) для г'го слоя.
Текст подпрограммы STRSL
SUBROUTINE STRSL (RK1, RK2, KSL, CC, H, F,
E, ТЕ, TS, BL, A, EPS, CAP, PSI,
FL, FML, FU; FMN, TF, TMF)
DIMENSION CCG,KSL), H(KSL), F(KSL), BL(KSL),
AB, KSL), EPSD), CAPD), PSIB), SSC),
FLC,KSL), FMLC,KSL), FUC, KSL), FMUC,KSL),
TFB,KSL), TMFB, KSL)
DO 1 1 = 1,3
DO 1 J=1,KSL
FL(I,J)=0.
FML(I, J)=0.
FU(I, J) = 0.
1 FMU(I,J)='0.
DO2I = 1, 2
DO2J=1,KSL
TF(I,J)=0.
2 TMF(I,J)=0.
HL = 0.
123

DO 31=1, KSL
3 HL=HL+H(I)/BL(I)
Q=(TE—TS)/HL
Zl= — E
D99=0.
D 1010=0.
DO 4 1=1, KSL
C55=CCE,1)
C66=CCD,1)
FI = F(I)
C2=COS(FI)**2
S2 = SIN(FI)#*2
CC66 = C66* C2+C55 • S2
CC55 = C55 * C2+C66* S2
Z2=Z1+H(I)
T1 = H(I)
T=0.5»(Z1+Z2)
H12=A.+RK2#T)/A.+RK1*T)
H21 = l./H12
D99=D99+H21 *T1/CC66
D1010=D1010+H12#T1/CC55
4 Z1==Z2
HH=Z1+E
D99 = HH»HH/D99
D1010 = HH#HH/D10I0
Ql=D99#PSf(l)
Q2=D1010#PSIB)
Zl= — E
T1=TE
DO 5 1 = 1, KSL
Z2=Z1+H(I)
T2=T1—Q#H(I)/BL(I)
FI = F(I)
C=COS(FI)
S = SIN(FI)
T=0.5»(Z1+Z2)
S31=Q1/HH/A.+RK2#T)
S32=Q2/HH/A.+RK1*T)
TFA,I)=S31#C—S32#S
TFB,1)=S31*S+S32#C
TMFA,I)=S31#C+S32*S
TMFB,1)=—S3US+S32.C
T=l.—CCF,1)*CCG,I)
Cll=CC(l,I)/T
C22=CCB,1)/T
C1:2=C11*CCG,I)
C44 = CCC,1)
AL1=AA,I)
AL2=AB,I)
FI = F(I)
FIM=—FI
CALL SGM(EPS, CAP, RK1, RK2, Zl, FI, Tl,
# СП, C12, C22, C44, AL1, AL2, SS)
DO 6 J= 1,3
6 FL(J, I)=SS(J)
CALL SGM(EPS, CAP, RK1, RK2, Zl, FIM, Tl,
# Cll, C12, C22, C44, AL1, AL2, SS)
DO7J = 1,3
7 FML(J, I) = SS(J)
CALL SGM(EPS, CAP, RK1, RK2, Z2, FI, T2,
124

* СП, С12, С22, С44, AL1, AL2, SS)
DO8J=1,3
8 FU(J, I)=SS(J)
CALL SGM(EPS, CAP, RK1, RK2, Z2, FIM, T2,
* СП, C12, C22, C44, AL1, AL2, SS)
DO9J=1,3
9 FMU(J,I)=SS(J)
Z1=Z2
T1 = T2
5 CONTINUE
RETURN
END
SUBROUTINE SGM(EPS, CAP, RK1, RK2, Z, FI, T,
* СП, Cli2, C22, C44, AL1, AL2, SS)
DIMENSION EPSD), CAPD), SSC)
EE1=(EPSA)+Z*CAPA))/A.+RK1*Z)
EE2=(EPSB)+Z#CAPB))/A.+RK2#Z)
EE12=(EPSC)+Z»CAPC))/A.+RK1*Z) +
* (EPSD)+Z#CAPD)IA.+RK2*Z)
S = SIN(FI)
C = COS(FI)
S2=S*S
C2 = C*C
E1 = EE1*C2+EE2*S2+EE12*S*C
E2=EE1*S2+EE2#C2—EE12*S*C
E12= (EE2—EE1) *2.*S*C+EE12* (C2—S2)
SSA)=C11*E1+C12*E2—T*(C11»AL1+C12#AL2)
SSB)=C12*E1+C22*E2—T*(C12*AL1+C22*AL2)
SSC)=C44*E12
RETURN
END
3. КОМПОЗИТНЫЕ СТЕРЖНИ, БАЛКИ
И СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Характерной особенностью силовых элементов в виде балок и стержней
является то, что их длина существенно превосходит поперечные размеры.
Это обстоятельство позволяет упростить модель деформирования и сделать
ее квазиодномерной.
Стержневые элементы и системы широко применяют в различных сило-
силовых конструкциях. Стержни и балки используют в элементах силовых карка-
каркасов в виде лонжеронов, стрингеров, силовых поясов. С помощью стержневых
кронштейнов осуществляется крепление различных узлов и элементов обо-
оборудования. Объединенные с помощью соединительных узлов в единую гео-
геометрически неизменяемую конструкцию стержни образуют силовые стержне-
стержневые системы, которые применяют в строительстве, машиностроении, авиа-
авиационной и ракетно-космической технике.
Для стержневых элементов рассматриваются нагружеиие внешними си-
силами и нагрев. Для полых толстостенных и тонкостенных многослойных ци-
цилиндрических стержней, работающих на растяжение — сжатие и изгиб, при-
приводятся программы вычисления' матриц жесткости. Рассмотрены особенности
деформирования стержней несимметричной структуры, растяжение и сжатие
которых сопровождается закручиванием. Для исследования устойчивости
дается матрица приведенных начальных усилий. Изгиб и устойчивость
стержней рассматриваются с учетом деформаций сдвига.
Основное внимание уделяется построению матриц жесткости и векторов
приведенных узловых сил для конечных элементов многослойных стержней.
125

3.1. СТЕРЖНЕВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФЕРМЕННЫХ
КОНСТРУКЦИИ
3.1.1. Кинематика деформирования и жесткостные
характеристики
Рассмотрим элемент ферменной конструкции в виде прямо-
прямолинейного стержня. Отдельные стержни соединяются между со-
собой с помощью соединительных шарниров (шаровых или ци-
цилиндрических) . Стержни равномерно нагреты, на систему дей-
действуют сосредоточенные силы, приложенные в узлах. Будем
считать, что основное напряженно-деформированное состояние
стержня достаточно точно описывается однородным растяже-
растяжением—сжатием вдоль его продольной оси.
Рассмотрим деформирование цилиндрического полого много-
многослойного стержня (рис. 3.1). При однородном продольном рас-
растяжении—сжатии деформации в стержне будут осесимметрич-
ными и постоянными по длине и в соответствии с B.91), B.92)
C.1)
где и — осевое перемещение; w — радиальное перемещение ба-
базовой поверхности (z=0); R — средний радиус.
Рнс. 3.1. Цилиндрический полый многослойный стер-
стержень
Для связи напряжений с деформациями воспользуемся соот-
соотношениями упругости. Для ортотропного материала с учетом
температурных составляющих деформаций будем иметь соглас-
согласно B.80)
)—01т;
02 —
C.2)
126

где
с м= С12 (с4
о1т = Г (C2(
c =
s2c2 A,2);
сп + с'22 - 4си) s2c2;
, A, 2)
C.3)
Коэффициенты стп и отТ в соотношениях упругости C.2) счи-
считаются известными кусочно-постоянными функциями аргумента
z (эти коэффициенты могут изменяться скачком при переходе
от одного слоя к другому, например при смене угла армиро-
армирования).
Для приведения задачи к одномерной воспользуемся ин-
интегральными погонными усилиями и жесткостными характери-
характеристиками B.116), B.117), B.126)
—NlT;
+^2282—N2T,
C.4)
где
da
w
A/2
—Л/2
A/2
A/2
\ N2=
—Л/2
Л/2
—Л/2 —А/2
Для многослойного цилиндрического стержня, состоящего
из k ортотропных слоев, приведенные жесткостные характери-
характеристики и температурные составляющие погонных усилий будут
вычисляться следующим образом (см. пример 2.2):
12
= ^ Си
где
t\i] =2@—г((_1
k—число слоев; 2((-_i), z<o — нормальные координаты г внут-
внутренней и внешней поверхностей г-ro слоя. Коэффициенты
127

ст]п' (Тя}(я>'г = 1'2) определяются выражениями C.3) для г-го
слоя.
При вычислениях, проводимых без учета изменения метрики
(для тонкостенных стержней г/Ж1), выражения для Втп и
Mm? упрощаются:
«((-о). Ы, л=1, 2);
г((_1)), (да=1, 2).
В частном случае для изотропного тонкостенного цилиндриче-
цилиндрического стержня получим
о р Eh • о _?Av .
?>11 — С22— lv2 > -2—Ivz »
При деформировании стержня окружные погонные усилия
равны нулю, т. е.
Из этого уравнения можно определить окружные деформации
е2 = Б2~21 (N2j- Д12е,). C.5)
Тогда погонные осевые ус^лля Ni C.4) будут связаны только
с осевыми деформациями е^
Nx = Bz{-NT, C.6)
где
2 NT = NlT- N2tB12/B 22.
Для изотропного тонкостенного цилиндрического стержня
B=Eh; NT=Eha°T.
Суммарную осевую силу в стержне с учетом C.6) можно
представить в следующем виде:
-F^ C.7)
i
2те А/2
где А = \ \ i?rfzrfa2—коэффициент, представляющий площадь
О -h/2
2п
поперечного сечения стержня; Е = -^ \ ВЦ.йЩ — приведенный
128

модуль на осевое растяжение — сжатие многослойного стержня;
FT = \ ArTRda2 — температурная составляющая осевой силы,
о
Для кругового цилиндрического стержня постоянной толщи-
толщины будем иметь
A = 2nRh; E=B/h; F-t=N-t2nR=EAa°T; C.8)
°F/AT
3.1.2. Матрица жесткости и приведенные узловые силы
конечного элемента ферменной конструкции
Для получения жесткостных характеристик стержневого
конечного элемента ферменной конструкции воспользуемся ва-
вариационной формулировкой принципа возможных перемещений.
Рассмотрим цилиндрический многослойный стержень (рис. 3.2).
(Т) B)
Рис. 3.2. Конечный элемент ферменной конструкции
Начальное и конечное сечения стержня обозначим цифрами 1
и 2. Осевые перемещения этих сечений обозначим Щ\) и Щ2)-
Реакции отброшенных частей ферменной конструкции иденти-
идентифицируем силами -F(i), FB).
Запишем для рассматриваемого случая формулировку прин-
принципа возможных перемещений
I 2п Л/2
ft У"
О О —Л/2
C.9)
где
= 68, = —(би); 6е2(г) =
бы, бш представляют возможные осевые и радиальные пере-
перемещения; 6«(i), бЫB) — возможные перемещения торцевых сече-
сечений A) и B). С учетом определений внутренних силовых фак-
9—1490
129

торов, полученных в разделе 3.1.1, уравнение C.9) можно пред-
представить в следующем виде:
F -г- (Ьи) + 2nN2bw) dx —F^bu^ —FB)dUB) = O. C.10)
Отсюда следует, что окружное погонное усилие Л^2=0, и вместо
C.10) для решения задачи можно пользоваться уравнением
F ^ (би) dx -Т0Nи{1) -FB)bu{2) = 0, C.11)
где под суммарной осевой силой F понимается согласно C.7)
F = EA^-FT. C.12)
Воспользовавшись C.12), получим вариационную формулиров-
формулировку задачи в перемещениях:
i
= 0. C.13)
Будем искать решение на линейных аппроксимациях осевых
перемещений:
C.14)
Осевые деформации, соответствующие C.14),
e,= (a)f A) C.I5)
Для стержня, у которого температурная составляющая осевой
силы и жесткостные характеристики не изменяются по длине
стержня, подстановка перемещений C.14) в C.13) приводит к
следующим уравнениям:
| —
ЕА - (зл6>
( FF] 0
ЕА -
—(-«(!) + ui2))-FT—FB)] = 0.
Эти уравнения позволяют связать реакции F(i), F^) с узловыми
перемещениями щ^, иB)
-I UL«B)J L ^т
130

и определить матрицу жесткости К' стержневого элемента
фермы и вектор приведенных узловых сил Р':
га
C.17)
В качестве примера рассмотрим простейший частный слу-
случай. Определим температурные смещения и усилия в стержне,
закрепленном в сечении A) (рис. 3.2). Граничными условиями
будут ЫA)=0FЫA)=0); ti2)==0. Тогда из C.16) получим при
FT=*EAa°T
u{2)=FTl/(EA)=a°Tl.
Для этого случая деформации ei=a°7\ осевая сила F=0.
3.1.3. Преобразования характеристик конечного элемента
для плоских и пространственных систем
Для более компактной записи необходимых преобразований,
выполняемых при переходе от местной системы координат о'х
к пространственной системе oxix2x3 (рис. 3.3), воспользуемся
Рис. 3.3. Стержневой конечный элемент в пространственной
системе координат
матричной записью вариационной формулировки. Для этого
с учетом C.14), C.17) перепишем C.13) в виде
6q'T(K'q'-P'-t')=0, C.18)
где
6q' =
Р' =
ГбиAI Гй(
• К'-ЕЛ\ 1
9*
131

(штрихом специально отмечается принадлежность к местной
системе координат о'х, связанной со стержнем).
В пространственной системе координат ох\Х2х3 перемещения
узлов A) и B) можно задать проекциями осевых смещений
Ы(О и ЫB) на оси ох\, ох2, ох3. Перемещения вдоль этих осей
обозначим vi, V2, v3 соответственно. Тогда можно записать
• fi(o=W(oA; *>2(o = «(,)/2; v3(i) = u{l)l3 (/=1,2), C.19)
•*ч •'S /*s
где /, ==cos (jc, JC]); /2 = cos(.*, л^); l3 = cos(x, x3)— направляющие
косинусы, определяющие угловую ориентацию стержня в про
странстве,
27** А = 1.2,3;
C-20)
•«KD, ^2(i), *з(п — координаты начального узла стержня A);
*К2), %2), *зB) — координаты конечного узла стержня B);
/ — длина стержня. Из уравнений C.19) можно получить
)
Воспользовавшись C.20), легко доказать, что /,2 + li + /32 = 1»
тогда уравнение C.21) упростится '
, (/=Ь2) C.22)
Полученное равенство позволяет вычислить осевое смеще-
смещение 1-го узла стержня, если известны проекции этого смещения
на оси охи ох2, х3. Равенство C.22) можно рассматривать как
правило, позволяющее выразить узловые перемещения, задан-
заданные в местной системе координат, через узловые перемещения
в пространственной системе координат. С использованием
C.22) запишем
q' = Tq, C.23)
где
Г/, /2 /3 0 0 01
<у\-[о о о /, /2 /3J"
Z»2B),
Вернемся к исходной вариационной формулировке задачи
C.18). С учетом C.23) и аналогичного преобразования 6q' =
=T6q вариационное уравнение C.18) можно записать через но-
новые обобщенные перемещения:
132

6qrT(K'Tq—P'—1')=0.
Из полученного уравнения следует
t=Kq-P, C.24)
где
t=TTt'; P = TTP';
к=гкт.
Матрица К представляет матрицу жесткости стержневого эле-
элемента, вычисленную в пространственной системе координат.
Вектор-столбец Р представляет приведенные узловые силы
(от температурного воздействия), согласованные с новыми
обобщенными перемещениями q. Поскольку в качестве компо-
компонент вектор-столбца q выступают проекции узловых перемеще-
перемещений на оси oxh, то сопряженными силовыми факторами, высту-
выступающими в качестве компонент вектор-столбца Р, будут соот-
соответствующие проекции узловых сил. Аналогичным образом
упорядочены компоненты вектор-столбца сил реакций t. В раз-
развернутом виде матрица жесткости стержневого элемента и век-
вектор приведенных узловых сил можно представить следующим
образом:
к2 кк кк
к кк
к2
сим.
-А2
— кк
11
ч
-кк
-к2
-кк
кк
к2
-кк ~
— к'з
— к2
kh
 3
к2
C.25)
При решении задач о деформировании плоских стержневых
систем один из направляющих косинусов (например, /3„ если
ферма расположена в плоскости о;с,;сг) равен нулю. Это приво-
приводит к тому, что матрица жесткости конструкции становится
особенной. При решении таких задач можно закрепить все
узлы в направлении оси, перпендикулярной плоскости кон-
конструкции, либо воспользоваться конечным элементом плоской
фермы. Получение матрицы жесткости стержневого элемента
133

плоской фермы осуществляется путем преобразований, анало-
аналогичных рассмотренным выше. В результате получаем (при
/*=0)
ЕА
—
7,2
СИМ.
-kh -к2
н2
h2
-h
U
C.26)
Сборка отдельных конечных элементов и определение узло-
узловых перемещений осуществляется с помощью стандартных про-
процедур метода конечных элементов (приложение 3).
В качестве примера рассмотрим расчет плоской конструкции, состоящей
из трех стержней. Нумерация и координаты узлов приводятся в табл. 3.1.
В узле 2 приложены силы Pi, P2, действующие вдоль осей ох\, ох2. В резуль-
результате нагрева во всех стержнях увеличение температуры составляет Т гра-
градусов. Жесткостные характеристики стержней одинаковы и равны ЕА, ко-
коэффициенты линейного температурного расширения равны а". Узлы 1, 3, 4
закреплены. Требуется определить перемещения узла 2.
.Согласно исходным данным (табл. 3.1) вычислим по C.20) длины стерж-
стержней н направляющие косинусы (табл. 3.2).
'.' Таблица 3.1
Номер
стержня
М to —
Номер
начального
узла
1
3
4
конечного
узла
2
2
2
Координаты
начального узла
0
L
2L
Хг
L
L
L
конечного узла
Хг
L
L
L
ооо
Таблица 3.2
Номер стержня
1
2
3
Длина стержня /
?У2
L
t-V2
Направляющие косинусы
U | 1,
У2/2
0
-У2/2
-/2/2
—1
— 1/2/2
Вычислим для всех стержней коэффициенты матриц жесткости и приведен-
приведенных узловых сил C.26). Затем с учетом граничных условий осуществим с
помощью стандартных процедур МКЭ (приложение 3) сборку отдельных
элементов. В результате получим систему уравнений относительно искомых
перемещений Vt и V2 узла 2:
_
0
L 0
JNJ Л -1
2-liyiJ LP,— ЕАа*Т П + У2 )У
134

Отсюда
у _VW_. V2L Г Я,
3.1.4. Подпрограмма вычисления матрицы жесткости
Составим подпрограмму вычисления матрицы жесткости н вектора при-
приведенных узловых сил пространственного конечного элемента ферменной
конструкции (разд. 3.1).
Предварительно отметим, что приведенные жесткостные характеристики
многослойного элемента Вч, Bi2, В22 C.4) могут быть вычислены с использо-
использованием подпрограммы DKSL. Этим коэффициентам будут соответствовать
следующие элементы массива D:
Bu=D A,1); Bl2=D A,2); В22=?> B,2).
Для вычисления температурных составляющих погонных усилий Nit, N2t
можно воспользоваться подпрограммой TERMN. Значениям Nit, N2t будут
соответствовать следующие элементы массива TN:
JV1T=TNA); JV2I =
В качестве исходных данных примем:
KSL, СС, Н, F, ТЕ, TS, BL, А (см. описание подпрограмм DKSL в Ьри-
мере 2.2 и TERMN в примере 2.3); R — средний радиус цилиндрического
стержня; XI B), Х2B), Х3B)—в массивах соответственно идентификато-
идентификаторам размещаются координаты начального н конечного узлов стержня: *ко,
#К2) — в массиве XI; ХгШ. х%2) — в массиве Х2; *з(и> ХШ —в массиве ХЗ.
В результате работы подпрограммы FRM1 в массиве STF,6) будет раз-
размещаться матрица К, в массиве РF) —вектор приведенных узловых сил Р
по C.25).
Текст программы FRM1
SUBROUTINE FRM 1 (KSL, СС, Н, F, ТЕ, TS, BL, А,
* R, XI, Х2, ХЗ, ST, Р)
DIMENSION XI B), Х2B), Х3B), ССG, KSL), H(KSL),
* F(KSL), DA0, 10), TND), TMD), BL(KSL), AB,KSL),
* CC), STF,6), PF)
HH = 0.
DO1 I=1,KSL
1 HH=HH+H(I)
E = 0.5*HH
RK1=0.
RK2=1./R
CALL DKSL (RK1, RK2, KSL, CC, H, F, E, D)
EE=(DA,1)— DA,2)**2/DB,2))/HH
CALL TERMN (RK1, RK2, KSL, CC, H, F, E,
* ТЕ, TS, BL, A, TN, TM)
TTN = TNA)—TNB)*DA,2)/DB,2)
AA=6.283.2* R*HH
FT=6.2832*R*TTN
DL=(X1B)— X1A))**2+(X2B)— X2(l))**2+
* (X3B)—X3A))**S
DL=SQRT(DL)
CA) (X1B)
() (()())/
С B) = (X2 B) —X2 A)) /DL
CC) = (X3B)— X3A))/DL
EAL=EE*AA/DL
DO2I = 1,3
13=1+3
135

P(I)=—FT*C(I)
P(I3)=-P(I)
DO2J=1,3
J3=J+3
SS = C(I)*C(J)*EAL
ST(I,J) = SS
ST(I,J3)=—SS
ST(I3,J)=—SS
2 ST(I3,J3)=SS
RETURN
END
3.1.5. Подпрограмма обработки результатов расчета
Составить подпрограмму, позволяющую по узловым перемещениям мно-
многослойного цилиндрического остержня q см. C.23) определить осевые де-
деформации стержня 8i C.15), окружные деформации ег C.5) и напряжения в
отдельных слоях (в системах координат, связанных со слоями).
В качестве исходных данных примем:
KSL, СС, Н, F, ТЕ, TS, BL, A, R, XI, Х2, ХЗ (описание подпрограмм DKSL
в примере 2.2, TERMN в примере 2.3, FRM1 в примере 3.1); QF)—массив,
в котором последовательно размещаются значения узловых перемещений
стержня
oi(o; QB)=f2(l);
QD)=t»IB); QE)=f2B);
В результате работы подпрограммы FRES1 переменные Е1 н Е2 примут
значения 8i н 8г. Значения искомых напряжений будут содержаться в мас-
массивах FL, FML, FU, FMU (см. описание подпрограммы STRSL в приме-
примере 2.4).
Текст подпрограммы FRES1
SUBROUTINE FRES1 (KSL, СС, Н, F, ТЕ, TS, BL, А,
* R, XI, Х2, ХЗ, Q, El, E2, FL, FML, FU, FMU)
DIMENSION XI B), Х2B), Х3B), CCG,KSL), H(KSL),
* F(KSL), DA0, 10), TND), TMD), BL(KSL), AB, KSL),
* CC), 0F), EPSD), CAPD), PSIB). FLC, KSL),
* FMLC, KSL), FUC, KSL), FMUC, KSL), TFA00), TMFA00)
HH=0.
DO 1 1=1, KSL
1 HH=HH+H(I)
E = 0. 5*HH
RK1=0.
RK2=1./R
DL=(X1B)-X1A))**2+(X2B)-X2A))**2+
* (X3B)—X3(l))**2
DL = SQRT(DL)
CA) (X1B)X
С B) = (Х2 B) —Х2 A)) /DL
СC) = (ХЗB)—X3A))/DL
U1=QA)»CA)+QB)*CB)+QC)*CC)
U2=QD)*CA)+QE)*CB)+QF)*CC)
CALL DKSL (RK1, RK2, KSL, CC, H, F, E, D)
CALL TERMN (RK1, RK2, KSL, CC, H, F, E, ТЕ, TS,
* BL, A, TN, TM)
DO 2 1=1,4
2 CAP (I)=0.
PSI A)=0.
PSI B)=0.
EPSA) = (U2—U1)/DL
136

EPSB) = (TNB)—DA,2)*EPSA)/DB,2)
EPSC)=0.
EPSD)=0.
CALL STRSL (RK1, RK2, KSL, CC, H, F, E, ТЕ, TS,
* BL, A, EPS, CAP, PSI, FL, FML, FU, FMU, TF, TMF)
E1=EPSA)
E2=EPSB)
RETURN
END
3.1.6. Особенности деформирования цилиндрического
многослойного стержня несимметричной структуры
Рассмотрим деформирование цилиндрического многослойного стержня,
структура пакета которого несимметрична. В этом случае продольное де-
деформирование стержня может сопровождаться закручиванием стержня во-
вокруг продольной оси (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Кручение многослойного стержня несимметричной
структуры при осевом деформировании
Кинематику деформирования определим следующим образом:
»,'=/? A+аг/Л)ф(х); C.27)
vt = w(x), J
где »i, v2, Vi — продольное, касательное и нормальное перемещения; R —
средний радиус цнлнндра; г — нормальная координата, отсчитываемая от
срединной поверхности цилиндрического стержня в сторону внешней нор-
нормали; ф — угол закручивания.
Распределение перемещений C.27) соответствует B.90) при
Ui = u; ы2 = Яф; в!=0; 92=ф. C.28)
Тогда согласно B.92) и C.28) получим
du w
C.29)
137

dtp
Интегральные (по толщине) соотношения упругости запишем с учетом
температурных составляющих B.126)
N1 — Blle1 +В12г, + 513е12 + С13к12 — N1T;
где погонные усилия и моменты определяются соотношениями B.113), жест-
костные характеристики—соотношениями B.117).
Вариационная формулировка задачи о продольном деформировании и
кручении стержня (рис. 3.4) выглядит следующим образом:
/ 271
f f Fe,Af,+ бе2лгг +6e,JV11, +6x12Af12) Rda^dx —
0 b
-~РANи{1)-Р{2)8и{2)-М*{1N<рО)-М*2)8<р{2) = 0. C.31)
Для того чтобы прейти к одномерной задаче, нужно выполнить в C.31)
интегрирование по угловой координате аг. Для этого введем обозначения:
2=Г N2Rda2;
о
C.32)
С учетом соотношений упругости C.30) выражения C.32) запищем так:
C.33)
г = В12г1 + В~22ъ2 + Cl3Kl2—N,,T;
где
<./ = 1,2); Nh = 2nRNh (/=1.2);
RBi3) (/=1.2); D33 = 2nR (D33 + 2RC33 + R2B33);
Miir = 2nR (M11T + RNlir).
Из C.31) следует, что значение JV2 (а следовательно, н F2) равно нулк>1
Это обстоятельство позволяет из второго уравнения системы C.33) опре-
определить окружную деформацию е2
ei = B-1(N2T~ S'.ze, — Сгзх1г) C-34)
и упростить соотношения C.33)
F=EAe1—XX12—FT;
где
C.35)
C.36)
138

Коэффициенты ?А и Окр характеризуют жесткости стержня иа растяжения
и кручение, коэффициент / определяет жесткостную характеристику взаим-
взаимного влияния растяжения и кручения; значения FT и Л4КрТ представляют
приведенные температурные составляющие осевой силы и крутящего мо-
момента.
С учетом сделанных выше обозначений для силовых факторов вариа-
вариационную формулировку задачи C.31) запишем в виде
•"B)
= 0,
C.37)
где
da
dtp
Получим матрицу жесткости н вектор приведенных узловых сил для стерж-
стержня, работающего на растяжение — сжатие и кручеиие. Для более компакт-
компактной записи вместо C.37) воспользуемся эквивалентной матричной формули-
формулировкой
—6qrt—j
C.38)
где
-du-
dx
rf<p
Jdx_
*
~ d
~dx
0 —
L x
t=[F{lyMoyF{2yM{2)\';
QT = [FT, MKpjf-
Воспользуемся линейной аппроксимацией и в пределах стержня
C.39)
где
Ф =
О
0
х/1 О
A— х/1) 0 х,
q — вектор-столбец узловых обобщенных перемещений. Тогда выражение для
деформаций C.39) можно представить так
# = Bq, C.40)
где В=ЬФ или в развернутом виде
139

1 г_1 0 1 ОТ
i L о —1 о 1J -
г ше C.40) позволяет из вариационной формулировки задачи C.38)
получить связь реакций с обобщенными узловыми перемещениями
t = Kq-P,
где
0
или в развернутом
j
К = —
ЕА
X
—ЕА
—х
0
виде
X
<3кр
— %
— Окп
?
ЕА
X
-О,
кр
о,
кр
р=
-Ft
-мкрт
C.41)
Матрица К представляет матрицу жесткости, а вектор-столбец Р—вектор
приведенных узловых обобщенных сил, обусловленных температурным воз-
воздействием. Как следует нз C.36) и C.41) для стержней с симметричной
структурой многослойного пакета коэффициент жесткости /, характеризую-
характеризующий взаимное влияние растяжения — сжатия и кручения, равен нулю.
В этом слу2ае матрица К C.41) будет иметь диагональные блоки и осевое
перемещение не будет вызывать закручивание стержня. Следует также отме-
отметить, что прн несимметричной структуре многослойного пакета возможно
существование структур, для которых взаимное влияние растяжения — сжа-
сжатия и кручения стержня отсутствует.
3.2. КОМПОЗИТНЫЕ БАЛКИ
3.2.1. Изгиб и растяжение композитных стержней
Рассмотрим деформирование многослойного композитного
стержня (рис. 3.5), нагруженного в плоскости oxz поперечны-
Рис. 3.5. Схема многослойной балки
140

ми силами, осевыми силами и изгибающими моментами; по-
поперечное сечение стержня симметрично относительно оси ог;
температура слоев одинакова.
Для описания кинематики деформирования примем линей-
линейное распределение перемещений по координате z (аналогично
распределению перемещений, показанному на рис. 2.15),
где и, w — осевое и нормальное перемещения; 0 — угол пово-
поворота сечения стержня.
Воспользовавшись соотношениями B.91) при Ui = u; 0i=9,
получим следующее распределение деформаций:
где
dw
Исходную вариационную формулировку задачи запишем с
использованием принципа возможных перемещений и соотно-
соотношений C.43)
=I
— bwp
/
0, C.45)
где / — длина стержня; Л—число слоев —полосок; Ьщ — ширина
i-го слоя; z^-i), Z(/>— координаты z нижней и верхней
поверхностей г-го слоя (рис. 3.6). Под силовыми факторами
?<о> Q(O> ^(O (i = b 2) будем понимать реакции.
Для перехода к одномерной задаче выполним в C.45) ин-
интегрирование по координате z. Для этого введем обозначения:
ft ЧП
^=2 J
141

Внутренние силовые факторы F и Мх представляют осевую си-
силу и изгибающий момент, подсчитанный относительно оси оу
(рис. 3.6).
Рис. 3.6. Поперечное сечение многослойной балки
Запишем соотношения упругости для ортотропных мате-
материалов слоев B.80)
где согласно B.77), B.81)
c[2-2c4t) s2c2, (I, 2);
— 4c'u) s2c2;
), A, 2);
= созср; « =
(индекс слоя [i] опущен). Будем считать, что нормальные на-
напряжения 02=О. Тогда из C.45) получим
1(z)—0т,
где
E- = Ct\ С\г
С использованием соотношения упругости и выражения eiB>
C.43) осевую силу F и изгибающий момент М C.46) можно
связать с в и у. так:
C.47)
где
142

C.48)
)' 0' 2)^
Для случая, когда температура Г изменяется по координа-
координате z, при вычислении FT и ЛТЖТ следует воспользоваться общи-
общими выражениями, аналогичными C.46),
ft *(О
ft г(о
Л1^ = 2 J
'=1 г(г-1)
Как видно из соотношений C.47), в общем случае при Сх?=0
изгиб стержня будет вызывать деформации в координатной
плоскости 2=0. Для того чтобы координатную плоскость сов-
совместить с нейтральной, нужно сместить начало отсчета нор-
нормальной координаты и осуществить замену z' = z—А (рис. 3.6),
где А=СЖ/В. В этом случае вместо C.47) можно пользовать-
пользоваться более простыми выражениями для записи соотношений уп-
упругости:
F = Be-FT;
C.49)
где
* г(<)
Ж =2 f oV\bwz'dz'\
D = DX-CX2/B; [MT = MXr-F^.
143

Коэффициент D представляет минимальную изгибную жест-
жесткость многослойного стержня*; Мт представляет температур-
температурную составляющую приведенного изгибающего момента,
обусловленную различными коэффициентами линейного тем-
температурного расширения отдельных слоев.
Для того чтобы не менять исходную вариационную фор-
формулировку задачи C.45), будем считать, что в качестве коор-
координатной плоскости B=0) сразу выбрана нейтральная пло-
плоскость. В этом случае можно пользоваться соотношениями
упругости в виде уравнений C.49). При вычислении коэффи-
коэффициентов Сх, Dx, MXT C.48) в качестве координатной может вы-
выступать любая плоскость.
Относительно распределения поперечных касательных на-
напряжений сип сделаем дополнительно предположение
Потребуем, чтобы невязка в деформациях поперечного сдвига
<fsi/G3i и if была ортогональна любым напряжениям вида
C.50) для поперечного сечения, т. е.
I
Отсюда получаем
. . \-1 к 2(i)
{Bxz определяет приведенную жесткость многослойной балки
на поперечный сдвиг); Q — перерезывающая сила.
С учетом сделанных определений внутренних силовых фак-
факторов F, M, Q исходную вариационную формуилровку задачи
C.45) можно представить в следующем виде:
к
1
* Можно показать, что для сумм вида /г = —^jCi [гЬ)—гЬ~1))'
(*(f)—*(f-i))- r^e Л=Ь 2-3; •г(/) = г(;)~~д- выполняются со-
г=1
отношения /,' = /j; /2' = /2 — д/,;/3'=/3—2А12+А211. Минимизация 1 / по Д
позволяет определить значение Д¦= Уз/^i. при котором /3' принимает зна-
значение /3* = /3 — h'lli. при этом /2'=0.
I44

(бе/7 + Ь%М + 6t|)Q — bwp) dx —
—б0B)Л1B)=О1
где
dbu
C.52)
C.53)
C.54)
Вариационное уравнение C.52) позволяет получить уравне-
уравнения равновесия и записать граничные условия. Воспользуемся
выражениями для возможных деформаций C.53), подставим их
в уравнение C.52) и выполним интегрирование по частям.
В результате получим
-бЫB)(/7B)— I
-bB)(QB)-QB))-
— B) (¦Л^B)—•/VjB)) = 0, C.55\
где A) —нижний индекс, присвоен внутренним силовым факто-
факторам F, Q, М. при х=0; B)—индекс при х=1. Из C.55) сле-
следуют уравнения равновесия
dM
dx
C.56)
Уравнения C.56), дополненные соотношениями упругости
C.54), представляют полную разрешающую систему диффе-
дифференциальных уравнений. Как следует из C.55), на торцах
стержня могут задаваться либо перемещения щ{), w^ и угол
поворота сечения 0(<), либо сопряженные силовые факторы F^,
Q Щ
10—1490
145

3.2.2. Конечный элемент композитной балки
Из уравнения равновесия C.56), соотношений упругости
C.54) и граничных условий, следующих из C.55), видно, что
изгиб и растяжение стержня описываются несвязанными урав-
уравнениями (если в качестве координатной поверхности выбрана
нейтральная поверхность). Поскольку растяжение стержня
рассмотрено ранее в разделе 3.1, здесь рассмотрим изгиб мно-
многослойного стержня (в этом случае стержень будем называть
балкой). Из уравнений C.54) и C.56) следуют разрешающие
уравнения, описывающие изгиб балки:
М
C.57)
Выполнив интегрирование C.57) (см. пример 1.5), вектор
состояния для сечения х=1 можно связать с вектором состо-
состояния, определенным при х—0,
10B)
0B)
QB)
MB)
1
0
0
0
-I
1
0
0
2D
1
) -w
I
0
1
9(i)
Q(i)
ЖA)
2D
-pl
C.58)
где k,=D/(Bxzl2). С помощью матрицы фундаментальных ре-
решений и вектора частного решения, соответствующих C.58),
можно построить матрицу жесткости К и вектор приведенных
узловых сил Р конечного элемента. Для этого следует выпол-
выполнить матричные операции A.112) и A.113) при
146

2D
D
В результате получим
12 -6/
D
-12
12
-6/
6/
сим.
C.59)
Такие конечные элементы балок обладают весьма полезными
«вычислительными» свойствами. Во-первых, при постоянных
жесткостных характеристиках и нагрузках дают точное реше-
решение, во-вторых, не реагируют на смещения как жесткого цело-
целого и, в-третьих, обеспечивают устойчивый предельный переход
при ?-»-0 к решениям, соответствующим классическим гипоте-
гипотезам Бернулли. Другой способ получения матрицы жесткости
C.59) можно найти в [35].
3.2.3. Изгиб цилиндрического полого стержня
Рассмотрим деформирование тонкостенного многослойного
стержня. Относительно малые размеры сечения позволяют сде-;
лать допущения об отсутствии деформаций контура сечения в
своей плоскости [11]. В этом случае при описании кинематики
деформирования можно воспользоваться следующими аппро-
аппроксимациями перемещений:
г>, = 9/? cos a2;
V2=— №sina
C.60)
пли см. B.89), B.90)
w=W cos a2;
ы1=0/? cos a2;
ы2= —№ sin a2;
10*
М7

где W — смещение сечения в нормальной плоскости; 0 — угол
поворота сечения из плоскости (рис. 3.7).
в/fccs <
Рис. 3.7. К определению кинематики деформирования тонкого цилиндриче-
цилиндрического полого стержня при изгибе
Деформации координатной поверхности, соответствующие
перемещениям C.60), будут иметь следующий вид:
C.61)
Изменения кривизн и деформации поперечного сдвига, соответ-
соответствующие аппроксимациям перемещений C.60), равны нулю.
Вариационную формулировку задачи об изгибе цилиндриче-
цилиндрического стержня представим в виде
2я \
C.62)
где р — погонная нормальная сила; M(i), Qw (i= 1, 2) — внеш-
внешние суммгрные изгибающие моменты и перерезывающие силы,
приложенные в начальном и конечном сечениях стержня.
Соотношения упругости запишем с учетом температурных
составляющих. Для ортотропных слоев получим
148

C3)
где NiT=NiT cos a2.
Для перехода к одномерной задаче введем обозначения
2п
М = \ NXR2 cos a2da2;
о
C.64)
2п V '
Q = _Д 7V12 sin a2JRda2.
Выполнив операции интегрирования C.64) с учетом C.63),
C.61), получим выражения интегральных соотношений упру-
упругости
где
Выражения для силовых факторов C.64) и деформационных
соотношений C.61) позволяют представить вариационную фор-
формулировку задачи в следующем виде:
2
C.67)
где ои=-
Разрешающие дифференциальные уравнения, которые следуют
из уравнений Эйлера, для C.67) и соотношений упругости
C.65) полностью соответствуют уравнениям системы C.57).
Таким образом, показано, что изгиб цилиндрического тонко-
тонкостенного многослойного стержня можно описать уравнениями
изгиба многослойной балки C.57). При решении задач мето-
методом конечных элементов можно воспользоваться матрицей же-
жесткости и вектором приведенных сил C.59), при этом приве-
приведенные жесткостные характеристики следует вычислять на ос-
основе соотношений C.66).
149

Для получения разрешающих уравнений, описывающих из-
ряб толстостенного многослойного цилиндрического стержня,
будем учитывать изменение радиуса по толщине стенки
(рис. 3.8) и вместо аппроксимаций перемещений C.60) запи-
запишем
о»= —W Sinai',
»,= W cos <z2.
C.68)
Ш+г
W/Z/f
Рис. 3.8. Учет толщины полого ци-
цилиндрического стержня
Распределение перемещений в форме C.68) соответствует
B.89), в которых под и{, 9{ и w следует понимать
u,=9/?cosa2; 91=9cosa2;
«,= —lFsina2; 92=0; C.69)
to—W cos a2.
Подстановка C.69) в деформационные соотношения B.92)
приводит к следующим выражениям:
дих dQ „ ^
дх
dW .
—-—sina2:
dx z
-^-^-= — 9 sin
дх
C.70)
Для компактной записи дальнейших выкладок воспользуем-
воспользуемся векторно-матричной символикой. В матричной форме выра-
выражения C.70) можно представить так:
150

C.71)
где
¦ ei2. ?2i> «i. «21. ipi]7";
' # cos oc2 0
0 —sin a2
0 0
COS «2 0
0 0
0 COS a2
0
0
и u —sin a2
I/./?) sina2
cos a2 _
Необходимые для расчета соотношения упругости представим
в виде
? = ?>&— FT, . C;72)
где
F = [NU Nl2, N2V Mv M2\, Q\]T;
FT = [ArlT, 0, 0, iWlT, О, 0]7";
¦^riT==-^iTc°sa2; Л11т = Л1
вп о о cn о о
О ??зз ?34 и С з4 О
0 ?з4 ^44 О С44 О
С„ 0 0 ?>,, 0 ' О
О С34 С44 0 Dn О
.000 0 0 /Гц
Заметим, что температурные составляющие погонных усилий
можно представить FT = cos a2FT, где
Р —ГЛЛ О П М. О (WT
Вариационную формулировку задачи запишем на основе
принципа возможных перемещений
C.73)
где
151

С учетом C.71), C.72) можно выполнить в C.73) интегриро-
интегрирование по угловой координате «2, в результате получим форму-
формулировку одномерной задачи
C.74)
где
5=LX;
L =
"о
d
dx
0
d ~
dx
0
1
2jt
ftt
В развернутом виде матрица 3) и вектор-столбец F записываются
C.75)
р о о I _ г
>= 0 GnGx2 ; FT-
L 0 Gl2 G22] L
-I 0
0
где
n/R2);
Заметим, что в качестве силовых факторов, сопряженных
с обобщенными деформациями & (см. C.74)), выступают
C.76)
Компоненты вектор-столбца F обозначим следующим образом1
Уравнение C.76) можно рассматривать как интегральные со-
соотношения упругости
152

C.77)
С учетом C.76) систему уравнений Эйлера, соответствующую
вариационной формулировке C.74), можно представить в виде
L*F-N = 0,
где
L* =
ИЛИ
Окончательный вид разрешающей системы дифференциальных
уравнений следующий:
-37-~оП"9+о^'
D
dM
C.78)
Полученная система дифференциальных уравнений C.78),
описывающая изгиб многослойного толстостенного цилиндри-
цилиндрического стержня, отличается от системы C.57), описывающей
изгиб балки. Однако для тонкостенного стержня вполне допус-
допустимо принять Gn = Gi2=G22; и система C.78) становится экви-
эквивалентной системе C.57).
При построении матрицы жесткости конечного элемента
многослойного толстостенного цилиндрического стержня удобно
воспользоваться функциями формы конечного элемента балки
(ом. 3.2.2).
Замечание. В общем случае функции формы, основанные на фундамен-
фундаментальных решениях, записываются в виде Х=Фч, где Ф=[ФЬ Ф2]; q=
=]X(D, Xfj)]1. Матрицы Ф1 н Фг определяются следующими матричными опе-
операциями
153

*i = «*n— «*цК„; Фг=—а
где taij = toi)(x)\ K1S. К,,—матрицы, олрэделягмыэ соотношениями A.112).
Для рассматриваемого случая Х=[да, 9]г;
6?>^
Z
~2D
2D
К„ = 1
D
D
— 12! —61 1
"бП272"A—6g)J
$13 Фи"
C.79)
3.2.4. Подпрограмма вычисления матрицы жесткости
Составим подпрограмму вычисления матрицы жесткости для нзгнбного
конечного элемента цилиндрического многослойного полого стержня. Вос-
Воспользуемся вариационной формулировкой задачи C.74) и функциями фор-
формы C.79). Согласно C.74) получим
t=Kq—P, C.80)
где
154

/ _
= J(BrFT—<I>TN)dx;
о
J
о
ЛA)- QB)' MB)]T<
021 022 023 #24
.021 022 02« Ф
\D ° ° 1 _ [MA
=\0 G»G12 ; FT= 0 .
LO G12 G22 I L О J
Жесткостные характеристики D, Оц, G12, G22 и температурная состав-
составляющая нзгнбного момента М? определены ранее в C.75).
Аналитическое интегрирование матрицы жесткости К (см. 3.80)) до-
достаточно трудоемко. Для того, чтобы эти операции поручить выполнять
ЭВМ, следует воспользоваться квадратурными формулами численного интег-
интегрирования (Приложение 1).
При составлении подпрограммы вычисления матрицы жесткости К нс-
пользуем подпрограмму численного интегрирования KSIW1 (Приложение 1).
Поскольку подынтегральные функции в C.80) содержат полиномы, степени
которых не выше четвертой, то достаточно применить квадратурную форму-
формулу Гаусса прн п = 3.
При вычислении подынтегральной матрицы ВГ25В воспользуемся под-
подпрограммами матричной алгебры МТМ и MUM (Приложение 2).
В качестве исходных данных примем:
DL—длина стержня; DD, Gil, G12, G22 — нзгибная жесткость D и
сдвиговые жесткости стержня Оц, G12, G22 (см. C.75)); ТМ — температурная
составляющая изгибающего момента Мт C.75); РР — поперечная равномер-
равномерно распределенная по длине стержня сила.
В результате работы подпрограммы ВЕАМ1 получим: STD,4) —массив
матрицы жесткости нзгнбного конечного элемента многослойного толсто-
толстостенного цилиндрического стержня; РD)—массив, в котором размещаются
коэффициенты вектора приведенных узловых сил.
Текст подпрограммы ВЕАМ1
SUBROUTINE BEAM1 (DL, DD, Gil, G12, G22,
* TM, PP, ST, Р)
DIMENSION STD,4), PD), DC,3), WWE),
• XX E), В C,4), BDD,3), STRD,4)
DO 1 1 = 1,4
DO 1 J=l,4
1 ST(I, J)=0.
DO 2 1=1,3
DO 2 J=l,3
2 DO(I, J)=0.
D(l, 1)=DD
DB, 2)=G11
DB, 3)=G12
DC, 2) = G12
DC, 3)=G22
N1N = 3
A==0.
CALL KSIW1 (N1N, A, DL, WW, XX)
DL2 = DL»DL
S = DD/(G11*DL2)
Z=l.+ 12. »S
ZA=1./Z
155

ZZ=ZA/DL
S3=l.+3. »S
S6=l.+6. »S
SS6=1.— 6. *S
DO 3 KIN=1, NIN
X = XX(KIN)
X1=X/DL
X2 = X1*X1
1,1)=—6.*ZA/DL2»B.»X1—1.)
1,2)=ZZ»F.»X1-4.»S3)
1,3)=—B(l,l)
BA,4)=ZZ»F.»X1—2.»SS6)
BB,l) =—6.»ZZ» B.»S+X1—X2)
BB,2)=ZA»(—S6+4.»S3»X1—3.»X2)
В B,3)=— В B,1)
BB,4) =ZA» F.»S+2.#SS6»X1—3.»X2)
BC,l) =— 6.#ZZ» (X2—XI)
BC,2)=ZA»(Z+3.»X2—4.»X1»S3)
В C,3)=— В C,1)
ВC,4) =ZA» C.»X2—2.»X1»SS6)
CALL MTM (B, D, BD, 3, 4, 3)
CALL MUM (BD, B, STR, 4, 3, 4)
WKIN=WW (KIN)
DO 4 1 = 1,4
DO 4 J=l,4
4 ST(I, J)=ST(I, J) + STR(I, J)*WKIN
3 CONTINUE
P(l)=PP»DL/2.
PB) =—PP»DL 2/12. —TM
PC =PA)
PD =-PB)
RETURN
END
Прн расчете композитной балки (рнс. 3.5, 3.6), деформирование кото-
которой описано в разделах 3.2.1, 3.2.2, в качестве исходных данных для под-
подпрограммы ВЕАМ1 будут выступать DD = ?>, Gll=G12=G22 = .83:z. При-
Причем для вычисления коэффициентов D и Л1Т следует воспользоваться соот-
соотношениями C.49) н В„ C.51). В этом случае полученная матрица жестко-
жесткости К будет соответствовать C.59).
3.3. УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
3.3.1. Вычисление матрицы приведенных начальных усилий
для многослойного стержня
Будем считать [1], что в начальном состоянии сжатый стер-
стержень имеет прямолинейную ось. Все внешние нагрузки и реак-
реакции опор до лотери устойчивости действуют строго вдоль этой
оси и являются «мертвыми», т. е. при деформациях стержня
они не изменяются ни по величине, ни по направлению. Изме-
Изменение геометрических размеров стержня при докритических
деформациях будем считать пренебрежимо малым. Для описа-
описания физических соотношений при потере устойчивости восполь-
воспользуемся линейными соотношениями упругости.
156

С учетом принятых допущений определим условия, при ко-
которых возможны формы равновесия стержня с изогнутой осью,
смежные с исходной прямолинейной формой. Для формулиров-
формулировки задачи устойчивости воспользуемся энергетическим крите-
критерием в форме Брайана. Считая, что дополнительные перемеще-
перемещения, обусловленные переходом стержня в смежное равновесное
состояние, вызывают изгибное деформирование, согласно
B.146) запишем
(ЬкМ + bqQ — Nw'bw') dx —
о
2
C-81)
x rf59 , , ddw
6x=__; 6^=69 + -^;
N — осевая сжимающая сила; щ),_9 — дополнительные переме-
перемещения и угол поворота сечения; Q<*) и Мщ—дополнительные
реакции. При решении задачи МКЭ воспользуемся аппроксима-
аппроксимацией w и 9
Х = Фя, C.82
где
X = [w, Q]T; q = [
ф = Г^п Фи Ф\з Фи\.
[ф21 фж $23 $24J'
функции формы фц матрицы Ф определены выражениями
C.79). Для аппроксимации перемещений w и угла повооота 6
C.82) вариационную формулировку задачи C.81) можно пред-
представить в виде
8qT((K— NS)q—1)=0.
Отсюда получаем
t=(K— NS)q, C.83)
где
b
Ф\'= [ф'п> ф'12, ф'н, ф'н]', C.84)
-•' 6
125) [ j
157

Матрица жесткости К определяется выражением C.59). Мат-
Матрица приведенных начальных напряжений S C.84) в разверну-
развернутом виде будет выглядеть следующим образом:
[^22 3 *^24
СИМ 544.
544_
где
i
После выполнения интегрирования получим значения коэффи-
коэффициентов
3=—sn; sl4 = sl2',
523=-s12; C.85)
При |=0 деформации поперечного сдвига отсутствуют и
матрица S C.82) совпадает с матрицей приведенных началь-
начальных напряжений, полученной на основе гипотез деформирова-
деформирования Бернулли и кубической аппроксимации перемещения w.
В качестве теста рассмотрим задачу устойчивости сжатого, защемлен-
защемленного по торцам стержня. Точное решение этой задачи A.215) было получе-
получено в примере 1.7. Получим решение с помощью МКЭ, воспользовавшись
коэффициентами матрицы жесткости C.59) н коэффициентами матрицы
начальных напряжений C.85). Разобьем стержень на два конечных элемен-
элемента, длиной 1/2 каждый. Выполнив процедуры сборки конечных элементов
с учетом граничных условий (приложение 3), получим однородную систему
алгебраических уравнений относительно перемещения W(%) и угла поворота
Эй) среднего сечения
fKu—NSn 0 l[w,2J ГО
g д' дг? 19/
где
192?> 16/3A + 126)
Asm- /з A +48g) ¦' А"- /A+48§)
158

144 (If 805 + 1920S2) 4/A +240? + 5760g2)
6ll~ 30/(l+48gJ ' i22~" 30(l+48gJ
Значение критической силы будет равно •/VKp = /<'11/S1i нлн
4OZ>A +48E)
N«P- /2(l+80g+1920g2)'
Из полученного выражения NKp следует, что для длинных стержней прн
1-Ю получаем приближенное значение критической нагрузки Ns, вычислен-
вычисленное без учета деформаций поперечного сдвига Na=40D/l2. Прн 1-*-0 полу-
получаем NKP—Bxz; прн малых значениях %, после линеаризации выражения ЛГ„Р
получим
., 40D
что удовлетворительно согласуется с точным решением A.215).
3.3.2. Устойчивость цилиндрического полого стержня
Рассмотрим особенности формулировки задачи устойчивости для много-
многослойного цилиндрического полого стержня. Кинематику деформирования
определим аналогично C.68), где под перемещением W н углом поворота 0
будем понимать дополнительные кинематические факторы, связанные с пе-
переходом в смежное равновесное состояние.
Для рассматриваемого случая при записи вариационной формулировки
критерия устойчивости Брайана будет недостаточно удержания нелинейных
составляющих деформации, связанных с углом поворота а>\. Особенность
задачи заключается в том, что при смещении сечения как жесткого целого
максимальные касательные перемещения v2 (при a2=±jt/2) равны макси-
максимальным нормальным перемещениям Vs(w) (при аг=0, я), (рис. 3.7, а). По-
Поэтому в нелинейных деформациях г\{ кроме е^2 необходимо учитывать
также 8и2, поскольку они имеют одинаковый порядок малости (см. B.132)).
С учетом вышеизложенного вариационная формулировка задачи устой-
устойчивости будет иметь вид:
t=i
где
dv
6т)' =
2 _ _
^ ( Q + 89(OAf(o)=0, C.86)
дх~ ~5F" + ~дх~ ~дГ"'
N10—начальное осевое погонное уснлне. Воспользовавшись кинематикой
деформирования, соответствующей C.68). получим
= Nd7~dx"> N=2^Nio-
Вариационная формулировка C.86) приводит к уравнению C.83), где для
толстостенного многослойного стержня матрица жесткости определяется
согласно выражению C.80), матрица приведенных начальных усилий S вы-
вычисляется согласно C.84); N=2nRNi0 — суммарная осевая сжимающая
сила.
159

3.4. РАСЧЕТ КОНИЧЕСКОГО ОТСЕКА ФЕРМЕННОЙ
КОНСТРУКЦИИ
На рис. 3.9 показан вид рассматриваемой ферменной конст-
конструкции. Геометрические характеристики конструкции опреде-
определим следующими параметрами: R — радиус нижнего шпангоу-
Рис. 3.9. Отсек ферменной конструкции
Рис. 3.10. Возможные перемещения и повороты верхнего шпангоута
160

та, г — радиус верхнего шпангоута; Я — высота отсека. Число
узловых точек на шпангоуте обозначим п; число стержней — 2и.
Рассмотрим случай, когда во всех узловых точках стержней
на нижнем шпангоуте запрещены все перемещения. Верхний
шпангоут, на котором закреплены верхние узловые точки, бу-
будем считать абсолютно жестким. Верхнему шпангоуту разреше-
разрешены перемещения U, V, W, как жесткому целому вдоль осей ох,
оу, oz, и повороты вокруг этих осей 6„г, 0„, 6IV (рис. 3.10).
Нагрузками, приложенными к верхнему шпангоуту, явля-
являются (рис. 3.11): Qx, Qv — перерезывающие силы, направленные
вдоль осей ох и оу; N — осевая сила, направленная вдоль оси
oz; Mvz, Mzx — изгибающие моменты, действующие в плоскостях
yoz, xoz, и крутящий момент Мху.
Рис. 3.11. Нагрузки, приложенные к верхнему шпан-
шпангоуту
Для подготовки задачи к расчету методом конечных элемен-
элементов выполним нумерацию стержней и узлов на рис. 3.12. Это
удобно представить в виде таблицы (табл. 3.3).
Рис. 3.12. Нумерация стержней и уз-
узлов соединений
11—1490
161

Таблица 3.3
Номер
стержни
1
2
2л
Номера узлов
начальный
1
2
2га
конечный
2
3
i
Координаты узлов стержневых элементов вычисляются сле-
следующим образом (рис. 3.9).
Для узлов, находящихся на нижнем шпангоуте (номера
узлов k = \, 3, 5, ..., 2п—1), имеем:
угловые координаты Qk
Qk = — (i — l); i=»l, 2 п; k = 2i-l;
декартовы координаты
xh=RcosQk; yk*=RsmBh; zk=0.
Для узлов, находящихся на верхнем шпангоуте (номера
узлов k=2, 4, б, ... 2п), имеем:
угловые координаты Э4
в* = ^- + ^(г+1); /=1.2 п; k = 2i;
декартовы координаты
xh=rcos Эй; yk=rsin Qk; zh=H.
Каждый стержень конструкции после нумерации будет
иметь номера начального и конечного узлов. Поскольку нуме-
нумерация выполнена так, что для t'-ro стержня начальный узел
имеет номер i, а конечный узел имеет номер t+1, то при вычис-
вычислении направляющих косинусов t-ro стержня по формуле C.20)
следует положить
¦#1@=*i; X2(i)=yi', *a(o~2<;
Для вычисления матрицы жесткости пространственного
стержня можно воспользоваться подпрограммой FRM1, опи-
описание которой дано в разделе 3.1.4.
Особенность решения данной задачи заключается в форму-
формулировке граничных условий. Согласно заданным граничным
условиям перемещения узлов стержней, примыкающих к верх-
верхнему шпангоуту, определяются шестью степенями свободы
q=[t/, v, w, е„2, е«, ejr, (з.87)
362

а перемещения узлов стержней на нижнем шпангоуте равны
нулю. Таким образом, на вектор узловых перемещений 1-го стер-
стержня q(i) накладываются дополнительные связи, которые фор-
формально можно записать в виде
qw = C(J)q, (t=l, 2, ..., 2я), C.88)
где
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Ум
0
0
0
0
0
~х1+\
0
0
0
-Ум
Xi+\
0
fн»), v2(,t), f3«) — перемещения начального узла t-ro стержня
вдоль осей ох, оу, oz; vh,+i), v20+1), »з«+о — перемещения конеч-
конечного узла стержня вдоль осей ох, оу, ог. Для стержней с не-
нечетными номерами начальный узел будет находиться на ниж-
нижнем шпангоуте, тогда матрица связи С^) будет иметь вид:
= l,3, ..., 2я—I).
Для стержней с четными номерами на нижнем шпангоуте будет
находиться конечный узел стержня и матрица C(i) будет содер-
содержать следующие коэффициенты:
(t = 2,4, ..., 2га).
Согласно принципу возможных перемещений для равновес-
равновесного положения рассматриваемой ферменной конструкции запи-
запи1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
У i
0
0
0
0
0
—xi
0
0
0
— Ui
xt
0
0
0
0
шем
2л
C.89)
где
=[Q*. Qv, N, MyI, Мг
К«ь Р«) — матрица жесткости и вектор приведенных узловых
сил для i-ro стержня, вычисленные согласно C.26); q — вектор-
столбец обобщенных перемещений ферменной конструкции
C.87). Подстановка условий связи C.88) в C.89) приводит к
разрешающей системе алгебраических уравнений
Kq = P, C.90)
11*

где
In
Матрица К характеризует приведенные жесткостные свойства
рассматриваемой ферменной конструкции, а вектор-столбец
Р — внешние силовые нагрузки и температурное воздействие.
Поскольку в качестве обобщенных перемещений q C.87) высту-
выступают перемещения и углы поворота жесткого верхнего шпанго-
шпангоута, то размерность матрицы К не зависит от числа стержней
и равна FX6). После решения системы алгебраических урав-
уравнений C.89) вычисляются узловые перемещения отдельных
стержней q(l) C.88). Для анализа напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния стержней можно воспользоваться подпрограм-
подпрограммой обработки результатов расчета FRES1 C.1.5).
3.5. СТЕРЖНЕВЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
ПОДКРЕПЛЕНИЙ
В современных многослойных конструкциях широко приме-
применяют различные подкрепления в виде стрингеров, шпангоутов,
фитингов, наличие которых обусловлено как конструктивными,
так и технологическими соображениями. Например, это могут
быть местные подкрепления, увеличивающие жесткость, эле-
элементы стыковки с другими частями конструкции, закладные
технологические элементы, необходимые при изготовлении
крупногабаритных изделий и др. Подкрепления вносят возму-
возмущения в напряженно-деформированное состояние конструкции,
изменяют ее жесткостные и прочностные характеристики. По
этой причине в математическом обеспечении расчета многослой-
многослойных конструкций конечные элементы подкреплений играют не
менее важную роль, чем элементы многослойных оболочек.
, Рассмотрим подкрепляющий элемент в виде криволинейного
плоского стержня. Введем систему криволинейных ортогональ-
ортогональных координат (рис. 3.13), направив ось ох вдоль линий цент-
центров тяжести сечений. Вкладом в энергию деформирования от
кручения и изгиба из плоскости (xoz) будем пренебрегать по
сравнению с вкладом от растяжения — сжатия и изгиба в плос-
плоскости стержня.
При выводе основных соотношений воспользуемся гипоте-
гипотезой плоских сечений, учитывающей деформации поперечного
сдвига. В этом случае распределение касательного перемеще-
перемещения и нормального прогиба по сечению элемента можно пред-
представить в виде C.42). Ограничившись линейным представлени-
164

Рис. 3.13. Криволинейный плоский стержень
ем о связи деформаций с перемещениями, воспользуемся соот-
соотношениями B.91) при «i = «, 6i = 6 и получим ei = f ' ~ '
Бз1==Ф- Здесь
= и' -\-kw, х =
C.91)
где и — касательное перемещение вдоль оси ox; w — нормаль-
нормальное перемещение, 6 — угол поворота сечения; k — кривизна под-
подкрепляющего элемента.
Для кругового кольца радиуса R k — 1/R; для прямолиней-
прямолинейного стержня & = 0.
В качестве обобщенных перемещений и и деформаций &
примем
u=[u, w,
и деформационные соотношения C.91) представим в виде
C.92)
C.93)
C.94)
где
' V k О"
О О V
.—* v 1.
Соотношения упругости запишем аналогично C.47), C.51)
jri, , C.95)

где
jrT = [FT,MXT,OY
' = [F,MX, Q]T
В Cx 0
Cx Dx 0
-0 0 BXi_
В — жесткость на растяжение вдоль оси ох; Сх — смешанная
жесткость; Dx — изгибная жесткость; Вхг — жесткость на попе-
поперечный сдвиг.
При вычислении этих жесткостей можно воспользоваться
соотношениями для В, Сх, Dx C.48) и Bxz C.51). При вычисле-
вычислении температурных составляющих FT, Mxr можно воспользо-
воспользоваться выражениями C.48).
Число узлов в элементе и порядки аппроксимаций переме-
перемещений и и деформаций 8 выберем, исходя из удобства стыков-
стыковки элементов подкреплений и оболочечных элементов, описан-
описанных в разделах 4.4, 5.5, а также из условия согласованности
аппроксимаций A.86). Нетрудно убедиться, что таким элемен-
элементом будет трехузловои конечный элемент (рис. 3.14) с квадра-
квадратичной аппроксимацией компонент вектор-столбца и C.92)
(рис. 3.15)
Рис. 3.14. Трехузловои конечный элемент криволинейного стержня
u=Oq,
Рис. 3.15. Аппроксимирующие функции перемещений
C.96)
где
— \ат ат пт
— [4(iy ЯBу Я(Ъ
165

4@ = Ко> Щ1)> Э(о1г> ('=1. 2, 3);
Ф —[Ф<1>, ФB), Ф(8)]
(*==1, 2, 3)
и линейной аппроксимацией компонент вектор-столбца обоб-
обобщенных деформаций ?" C.93) (рис. 3.16)
а=[аь
1.0
0)[ = 1— %\
C.97)
Рис. 3.16. Аппроксимирующие функции деформаций
Для получения матрицы жесткости конечного элемента и век-
вектора приведенных узловых сил воспользуемся смешанной ва-
вариационной формулировкой задачи, аналогичной A.82), A.83).
Тогда с учетом C.95) для отдельного конечного элемента запи-
запишем:
гC)
C.98)
rC)
=0,
XC)
где
/(du)= J Fu^p+(Uu)r^T;
p=[pI( pZt mf — вектор-столбец распределенных внешних сил
и моментов; Хц), х$) — координаты х начального и конечного
узлов стержневого элемента (рис. 3.14); t — вектор-столбец
167

узловых реакций; 6q — вектор-столбец возможных узловых
обобщенных перемещений конечного элемента. Условия C.98)
с учетом C.96), C.97) позволяют получить уравнения
6qr(G7'a—p—1)=0; 6aT(Gq— Ha) =0. Отсюда после преобра-
преобразований, аналогичных A.87) — A.89), можно установить связь
между реакциями t с обобщенными узловыми перемещения-
перемещениями q
t=Kq-P,
где
Ги-i
= О'Н-'О;
'C)
0= J
ГC)
Р= j (fl/p + B
*C)
; Н= J
C.99)
0'
0 ф,'
'=^-г; '=*<»>-*<«>•
Для интегрирования по координате х выражений C.99)
удобно воспользоваться квадратурными формулами и подпрог-
подпрограммой KSIW1 (приложение 1). Поскольку подынтегральные
выражения C.99) содержат полиномы не выше третьей степе-
степени, то для получения точного результата по квадратурным фор-
формулам Гаусса достаточно взять две точки интегрирования.
После выполнения общих процедур МКЭ и определения уз-
узловых обобщенных перемещений q можно вычислить обобщен-
обобщенные деформации & в любой точке конечного элемента 8=
= mH~1Gq. Например, при выводе результатов в середине эле-
элемента (? = 1/2) получим
<T=B*q, C.100)
где i, /-й элемент матриц В* будет вычисляться как
mi
A= 1.2,3; у = 1,2 9);
Wmj—m, /-й элемент матрицы W=H~1G.
168

Составим подпрограмму вычисления матрицы жесткости и вектора приве-
приведенных узловых сил стержневого конечного элемента подкрепления.
В качестве исходных данных примем: RK — кривизна стержня A//?)
считается постоянной по длине конечного элемента; DL — длина стержнево-
стержневого элемента (*«)—x<i>); ?>C,3) —двумерный массив, коэффициенты которого
соответствуют коэффициентам матрицы приведенных жесткостей 3) в C.95);
TN C) — массив, коэффициенты которого соответствуют коэффициентам
вектор-столбца температурных составляющих погонных усилий Jfr в C.95);
РРC)—массив, коэффициенты которого соответствуют коэффициентам век-
вектор-столбца внешних распределенных снл (р).
В результате работы подпрограммы STRIN получим: SE(9,9)—массив,
содержащий коэффициенты матрицы жесткости конечного элемента (К);
РЕ (9) — массив, содержащий коэффициенты вектор-столбца приведенных
узловых сил (Р); ВВC,9)—массив, содержащий коэффициенты матрицы В.
C.100).
При работе подпрограммы STRIN используются подпрограммы: MUM,
МТМ, MATIN (Приложение 2) и подпрограмма KSIW1 (Приложение 1).
Текст подпрограммы STRIN
SUBROUTINE STRIN (RK, DL, D, TN, PP, SE, РЕ, ВВ)
DIMENSION DC,3), TNC), PPC), SE(9,9), PE(9),
* GF,9), HF,6), В C,9), ОМC,6), FC,9),
* WE), XXE), FUC), DFC), FEB), BBC,9),
* ODF,3), GRF,9), HRF,6), FP(9), BN(9)
DO 1 J=l,9
PE(J)=0.
DO 1 1=1,6
1 G(I, J) = 0.
DO 2 1=1,6
DO 2 J=l,6
2 H(I, J)=0.
DO 3 1=1,3
DO 3 J=l,9
3 B(I, J)=0.
DO 4 1=1,3
DO 4 J=l,6
4 OM(I, J)=0.
DO 5 1=1,3
DO 5 J=l,9
5 F(I, J)=0.
DLL=1./DL
NIN=2
CALL KSIWl (MIN, 0., DL, W, XX)
DO6KIN=1,NIN
X=XX(KIN)
WK1N=W(K1N)
T=X*DLL
T2 = T*T*2.
FU
FU
FU
1)=T2—3.*T+1.
2)=—2.*T2+4.»T
3)=T2—T
DFA) = D.*T—3.) «DLL
DFB) = (8T+4) DL
3)
() (.) «
DFB) = (—8.*T+4.) *DLL
DFC) = D.*T—l.)*DLL
FEA)=1.—T
FEB)=T
DO 7 K=l,3
J=3*(K—1)
DO 7 1=1,3
J=J+1
7 F(I, J)=FU(K)
169

DO 8 K=l,3
J=2*(K-1) + 1
ОМ (К, J)=FEA)
8 ОМ(К, J+1)=FEB)
DO 9 K=l,3
J1=3*(K—1) + 1
J2=J1 + 1
J3=J2+1
B(l, J1)=DF(K)
B(l, J2)=RK*FU(K)
BB, J3)=DF(K)
BC, +1)=—RK»FU(K)
BC, J2)=DF(K)
9 BC, J3)=FU(K)
CALL MTM (OM, D, OD, 3, 6, 3)
CALL MUM (OD, B, GR, 6, 3, 9)
CALL MUM (OD, OM, HR, 6, 3, 6)
CALL MTM (F, PP, FP, 3, 9, 1)
CALL MTM (B, TN, BN, 3, 9, 1)
DO 10 J= 1,9
PE (J) = PE (J) + (FP (J) + BN(J)) *WKIN
DO 10 1=1,6
10 G(I, J)=G(I, J)+GR(I, J)*WKIN
DO 11 1=1,6
DO 11 J=l,6
11 H(I, J)=H(I, J)+HR(I, J)*WKIN
CONTINUE
CALL MATIN (H, HR, 6)
CALL MUM (HR, G, GR, 6, 6, 9)
CALL MTM (G, GR, SE, 6, 9, 9)
DO 12 1 = 1,3
M1=2*(I—1)+1
M2=M1 + 1
DO 12J=1,9
12 BB(I, J)=0.5*(GR (Ml, J) + GR(M2, J))
RETURN
END
В качестве тестов можно воспользоваться решениями задач, рассмот-
рассмотренных в примерах 1.4, 1.5.
4. МНОГОСЛОЙНЫЕ ПАНЕЛИ И ПЛАСТИНЫ
Панелями в строительной механике называют тонкостенные конструк-
конструкции, имеющие форму незамкнутых оболочек, с плавными, как правило,
пологими поверхностями, ограниченные контурами различных очертаний.
Композитные многослойные панели и пластины изготавливают прессовани-
прессованием, вакуумным или автоклавным формованием заготовок в виде пакетов,
уложенных с определенной ориентацией слоев из препрегов. Такие техноло-
технологии позволяют получать материал с заданными свойствами, обеспечивающи-
обеспечивающими высокую весовую эффективность изделия. Композитные панели и пласти-
пластины являются распространенными силовыми элементами и широко исполь-
используются в качестве несущих плоскостей различных конструкций, обтекателей,
обшивок летательных аппаратов и др.
В главе рассматриваются задачи изгиба многослойных панелей и пла-
пластин при действии нормальных и касательных снл и нагрева. Аналитические
решения получены для свободно опертых по контуру прямоугольных мно-
170

гослойных панелей. Для решения задач термоупругости многослойных па-
панелей предлагается шестиузловой треугольный конечный элемент много-
многослойной пологой оболочки, построенный на основе вариационной формули-
формулировки смешанного типа.
Задачи усточивостн решены для прямоугольных свободно опертых мно-
многослойных пластин, равномерно нагруженных в своей плоскости.
В конце главы рассмотрены вопросы, связанные с возможностью по-
построения континуальной модели крупногабаритной стержневой платформы.
4.1. УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ МНОГОСЛОЙНЫХ ПАНЕЛЕЙ
И ПЛАСТИН
Рассмотрим панель, представляющую пологую многослой-
многослойную оболочку (рис. 4.1). Допущение о пологости позволяет счи-
считать одинаковыми метрические свойства элемента поверхности
и его проекции на плоскость оххх2. Геометрические характерис-
характеристики для панелей будут иметь следующий вид:
где Ru R2 — главные радиусы кривизны панели, для пластин
k\—&2=0. Выражения D.1) позволяют представить da\ = dx\
A,2) и вместо параметров oci, аг использовать декартовы коор-
координаты х\, х2. Кроме того, свойства пологости D.1) приводят
к тому, что жесткостные характеристики B33=B3i=Bu; CS3=
= С34=С44; D33=D3i=Du и
Рис. 4.1. Многослойная панель
Поэтому для описания сдвига и крутки можно ввести следую-
следующие обобщенные деформации:
171

Тогда деформационные соотношения
следующими выражениями:
A,2);
(I.
Xl2= 02,1+61,2
A.2),
достаточно определить
D.3)
где {¦),i=dldxi(-) в предположении, что оси охх и ох2 парал-
параллельны линиям главных кривизн.
В матричной форме записи деформационные соотношения
D.3) можно представить так:
'& = L\x, D.4)
где
=[&v е2
, u2, w, 9,, 9
V, 0 kx
0 V2 k2
V2 V, 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
'0
Vi 0
0 V2
Здесь
0
0
0
0
0
0 V2 V.
V, 1 0
о о v2 о i _
i = d/dx{, A,2).
Физические соотношения для случая, когда оси упругой сим-
симметрии материалов слоев параллельны осям ох\, ох% с учетом
D.2) запишем в виде
A.2);
D.5)
D.6)
Af1=Cli'e1+C11e1+ZI1x1+ZI13ti—Mit A,2)
Qi = Knb A,2);
или в матричной форме
где
a, Q,, Q2]r
172

. = [NU, N2t, 0,
B\\ B12 0
в22 о
а> =
22
2т. о, о, of
. о о о
0 0 0
?зз 0 0 Сзз О О
Dn D12 О О О
D22 О О О
?>зз О О
СИМ.
Жесткостные характеристики Bih Сц, Dih Кц определяются
выражениями B.117), B.103) при ?; = 0; температурные со-
составляющие внутренних силовых факторов NiT, Mn определены
для выражений B.126).
Рассмотрим общий случай силового и температурного на-
гружения панели, ограниченной гладким контуром Г. Будем
считать, что на поверхности S (z—0) действуют распределенные
поверхностные силы рь р2, р3, направление которых совпадает
с направлениями осей охи ох2, oz; на контуре Га действуют
внешние погонные силы Nv N2, Q и моменты Мх, М2 (рис.
4.2). На контуре Ги — Г — Га заданы кинематические граничные
условия. Воспользуемся математической формулировкой прин-
принципа возможных перемещений и для рассматриваемого случая
запишем
D.7)
( [ (б Srjf — 6urp) dS — \ btfJfdT = 0,
S Я
где
= [Pi- Рь Рз. 0, 0]г,
=[v1,7v2, Q. Mv
Рис. 4.2. Внешние погонные силы и моменты
на контуре панелн
173

dS=dx\dx2; компоненты вектор-столбцов обобщенных деформа-
деформаций <В и внутренних силовых факторов /С определены для
выражений D.4), D.6). Воспользовавшись деформационными
соотношениями D.4), выразим возможные деформации Ь& че-
через возможные перемещения
6<Г=Ь6и. D.8)
После подстановки D.8) в D.7) и интегрирования по частям
получим
^O, D.9)
где L* получается по матрице L путем транспонирования и сме-
смены знаков у дифференциальных операторов; матрица направ-
направляющих косинусов V получается по матрице L путем транспо-
транспонирования и замены дифференциальных операторов V,. на U
(U — косинус угла между осью oXi и внешней нормалью к кон-
контуру v), коэффициенты, не содержащие дифференциальных опе-
операторов, принимают нулевые значения. Из уравнения D.9)
следуют дифференциальные уравнения равновесия
1ЛЛ°— р=0 в S D.10)
и силовые граничные условия
LVP—Jf=Q на Го. D.11)
После выполнения матричных операций D.10), D.11) получим
в развернутом виде уравнения равновесия
= 0, A,2);
и силовые граничные условия на Г„
,2—#; = 0, A, 2);l1Q1
li-M = 0, (I, 2).
Принцип возможных перемещений D.7), дополненный де-
деформационными соотношениями D.4), D.8) и физическими
соотношениями D.6), позволяет сформулировать линейную за-
задачу термоупругости многослойной панели следующим образом.
Требуется найти такие перемещения и, для которых вариацион-
вариационное уравнение
174

(L6u)r ®LudS = jj jj ((L6UO" Л% + 6urp) dS +
5
D.12)
выполняется для любых 6u (достаточно гладких, не нарушаю-
нарушающих внутренних и внешних связей).
4.2. ИЗГИБ МНОГОСЛОЙНЫХ СВОБОДНО ОПЕРТЫХ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПАНЕЛЕЙ И ПЛАСТИН
4.2.1. Общий случай
Рассмотрим многослойную, прямоугольную панель, свобод-
свободно опертую по контуру, нагруженную внутренним давлением
рз=р, сосредоточенными нормальными силами Рг (i=l, 2, ...
..., N) и тепловым потоком (рис. 4.3).
tf*
*z
Рис. 4.3. Прямоугольная многослойная панель
Решение получим на основе метода Рэлея—Ритца. Для это-
этого воспользуемся принципом возможных перемещений, форму-
формулировку которого для рассматриваемого случая запишем в сле-
следующем виде:
а, а, а, а2
{ \ \ \ 6<ГГЛ\ - 6Xrp) dx2dx
а, а
= \ \
oJ б'
N
D.13)
где
Щ, U2]T;
175

p = [p, 0,0, 0, Of;
Qi = [P|, 0,0,0, О]г.
Компоненты вектор-столбца <§ приводятся для выражения
D.4); компоненты вектор-столбца JfT и матрицы 3) приводят-
приводятся для D.6). Отметим, что в вектор обобщенных перемеще-
перемещений X вместо углов поворота сечений Эь Э2 введены средние
деформации поперечного сдвига грь грг- Такой прием замены
переменных, допустимый при свободном опирании панели по
контуру, приводит к хорошо обусловленной системе алгебраи-
алгебраических уравнений не только для толстых, но и для тонких мно-
многослойных панелей. Для выбранных переменных X обобщенные
деформации представим в виде
sp \ X
D.14)
где
0
О 0 Vi О
о о о v2
о о v2 v,
о
— ViVi Vi О О
— V2V2 О V2 О О
— 2ViV2 V2 V, О О
О 1ООО
О 0 10 0
Решение будем искать в виде двойных тригонометрических
рядов
п ) sin mxx sin nx2;
(и,, ipi) =
оо оо
(«2. f 2) =
п) Sin щХх COS HX2\
m=\ н=1
(Tl2> l\2) = ^i ?(Ч\2тп, Хптп) СО S ГПХХ COS <
TTl=\ Ft = l
0.—
где пг==тл,/ах; /г = тт/#2; «,, а2 — размеры панели в плане
(рис. 4.3). В матричном виде разложение решения в тригоно-
тригонометрические ряды можно записать так:
176

2Vp
«-1 nl
OO OO
'2 2 p.
D.15)
m=l л=1
гДе $хтп> ^emn—диагональные матрицы произведений тригоно-
тригонометрических функций:
=|SmSn, SmSn, CmCn, SmSn, SmSn, CmCn, CmSn', SmCn\',
cn = cosnx2.
С учетом D.14), D.15) формулировка задачи D.13) приводит
к системе алгебраических уравнений
KmnXmn=Pmn (m, n=l, 2, ...),
где
тп — ^
Pirnn-
Ps
Втп=-
¦ kx о о -w о*
&2 о о о —л
0 0 0 n m
m2 —Hi 0 0 0
л2_ 0 —«_ 0 0
— 2тл п ~т 0 0
0 1 0 0 0
О 0 1 о 0_
N
¦4-й2ЛТ2т) sin mxj sin
+
D.16)
D.17)
sin ва,г sinлх2/;
l 2
Pimn= —\\ /nMiT sin /rex, sin nx2dx2dxv
Pzmn= ~\\ ч-М^ sin /их, sin
о о
12—1490
177

sin mxl sin nx2dx2dx1;
at a%
p5mn= — \ \ nN2r sin tnx1 sinnx2dx2dxx.
о о
Для случая равномерного распределения давления и теп-
теплового потока по поверхности панели получим
тп тп
N
УЧтп стп~==~> Рътп стп^= >
п т
_ М„ . _ N-n .
Pimn ~~Cmn — ' Pbmn ^тп — >
п т
Стп = A — COS ЩП) A — COS
т
Таким образом, решение задачи свелось к последователь-
последовательности решений системы алгебраических уравнений D.16) при
различных формах волнообразования (т, п). Основные опера-
операции получения матрицы разрешающей системы Ктп, как видно
из D.17), сводятся к перемножению трех матриц. Компоненты
вектор-столбца свободных членов Ртп вычисляются согласно
D.18). После решения системы алгебраических уравнений для
каждой гармоники волнообразования проводится вычисление
амплитудных значений обобщенных деформаций ^mn=BmnXmn.
Далее в точках вывода результатов (xlh, x2h) определяются об-
обобщенные деформации $emn(x\k,x2h)S'mn и производится сумми-
суммирование результатов. После окончания набора обобщенных де-
деформаций в точках вывода можно вычислить деформации в
любом слое в системе координат {pxxx2z) панели, а затем
определить деформации в системе координат, связанной со
слоем. С использованием соотношений упругости для однона-
однонаправленного слоя вычисляются напряжения вдоль, поперек ар-
армирования и на сдвиг в плоскости слоя. Средние напряжения
поперечного сдвига можно оценить отношением перерезываю-
перерезывающей силы к толщине панели.
4.2.2. Изгиб тонких панелей
При расчете тонких композитных панелей, которые не со-
содержат слоев, обладающих низкой сдвиговой жесткостью, учет
деформаций поперечного сдвига не вносит существенных уточ-
уточнений. В этом случае для формулировки задачи принимается
178

= [гх, е2, у12, Щ> Щ> Xi2]r:
= [Nv N2, Nia, Mv M2,
X=[w,
= [P,.O, Of;
fi12 О Сц С12 0
?>22 0 ^12 ^22 ^
?33 0 0 C3
D,, Dn 0
?J2 0
_снм.
D.19)
Деформационные соотношения для тонких панелей имеют
следующий вид:
, A,2)
xi = —а»,п. A, 2)
Xi2=—2ш,12
При решении задачи в двойных тригонометрических рядах 1Kb
лучим систему уравнений, аналогичную D.16), в которой при
вычислении матрицы Kmn участвует матрица 2> D.19) и матри-
матрица Bmn, имеющая следующие коэффициенты:
«1
k2
0
m2
— m
0
n
0
0
0
и
— п.
m
0
0
0
Bmn =
После выполнения матричных операций D.17) получим
D.20)
[^11 ^12 ^13
^12 ^22 ^23 •
^13 ^23 ^33-1
где
+ (С12 + 2С33)
12*

В качестве компонент вектор-столбца Pmn будут выступать
Pmn=[pimn, p4mn, psmnf, где коэффициенты pimn определены вы-
выражениями D.18).
После решения системы алгебраических уравнений для гар-
гармоники т,п волнообразования получим
D.21)
где
!2^ 23^13 — ^13
= ^12^23 ¦— ^22^13' ^22 = ^33^11 —&13
D.22)
Полученное решение выглядит достаточно громоздко. В случае
использования ЭВМ целесообразно получать решение на основе
D.16), D.17) при исходной информации D.19), D.20) с исполь-
использованием стандартных матричных операций.
4.2.3. Изгиб многослойных симметричных пластин
Многослойные пластины с симметричным расположением
слоев обладают двумя характерными особенностями. Во-пер-
Во-первых, такие пластины могут иметь наибольшие изгибные жест-
жесткости среди пластин с аналогичным набором схем армирова-
армирования. Во-вторых, изгиб пластин с симметричным расположением
слоев не сопровождается деформированием срединной поверх-
поверхности. В этом случае система уравнений D.16) дает независи-
независимые решеНИЯ ДЛЯ Wmn, tyimn, ty2mn И ДЛЯ Щтп, U2mn-
Рассмотрим изгиб многослойных симметричных пластин с
учетом деформаций поперечных сдвигов. В качестве коорди-
координатной выберем срединную плоскость пластины (e=h/2).
В этом случае смешанные жесткости Сп = С\2=С22=Сзз=0.
Для формулировки задачи изгиба примем
Л>=[Ми М2, Ml2, QVQ2]T;
Л% = [Ж1т> Ж2т, 0, 0. Of;
X±=[w, г|I(г|J]г;
р = [р,О,О]Т; Ог = [Рг, 0,0]Т;
180

DnDn 0 0 0 1 Г —V,V2 Vi 0"
D22 0 0 0 —V2V2 0 V2
D33 0 0 ; L,= —2V,V2V2Vi
Кп 0 0 10
-Сим. К22-* L .0 0 1 J
При решении задачи в двойных тригонометрических рядах по-
получим систему алгебраических уравнений D.16) или в развер-
развернутом виде
™mn~\ fPlmnl
¦фшп = Р2тп •
II I
где
D.23)
5 ~~1 W
22
l2 + 2D33) m 2n);
D.24)
N
Cmn
mn
/ sin
P2mn= —
П
Рзтп= =~
m
— cos mi).
Решением D.22) будет
«flran =~ Л12 Л22 Л23 Р2тп !•
LiJJmn-' L^j3 /l23 -3J L/73/nnJ
D.25)
где коэффициенты А и AiS вычисляются согласно D.22) при
kji D.24). Отличительной особенностью полученной матрицы
системы D.23) является то, что жесткости на поперечные
сдвиги /Сц и /С22 входят только в диагональные коэффициенты
&22 и &зз. В этом случае решение системы допускает устойчивый
(с вычислительной точки зрения) предельный переход к реше-
решению тонких пластин. При Ки-*~°°, K.2Z-*-00 получим i|)i=i|>2=
= 0.
При расчете тонких многослойных свободно опертых сим-
симметричных пластин исходными данными для формулировки
задачи D.13) будут:
181

g=[xv щ, х,2]г; Jf=[Mv М2, Ми}т; JfT = [MlT, М2т, Of;
Х=[да]; р = [/?]; Q = [/>,];
oo oo
2 2 ^яиsin ^^1sin ^ D-26)
/п=1 п=1
[D,, D12 О "I Г -V,Vi1
>= D12D22 О ; L,= -V2V2 •
LOO D33J L-2V1V2J
Решением алгебраического уравнения D.16) (размерность мат-
матрицы Kmn(lXl)), сформированного с исходными данными
D.26), будет
«W=*p. D.27)
где pimn, kn определены в выражениях D.24). Решение D.27)
соответствует решению D.25) при /Си-»0, /Сгг-*0, а также
решению D.21) при нулевых мембранных жесткостях (С,-3=0)
и нулевых кривизнах (&=0).
4.2.4. Программа вычисления
напряженно-деформированного состояния
многослойной свободно опертой панели
Воспользуемся алгоритмом расчета многослойной оболочки, рассмотрен-
рассмотренным в разделе 4.2.1.
В качестве исходных данных примем: RK1, RK2, KSL, CCG, KSL),
H(KSL), F(KSL), E, ТЕ, TS, BL(KSL), AB,KSL) —описание исходных дан-
данных для подпрограмм DKSL (пример 2.2), TERMN (пример B.3); ААB) —
в массиве размещаются значения alt a2 — размеры панели вдоль осей охх и
ох%, РР — нормальное -давление р; NSIL — число сосредоточенных снл
(:>1); ХРB, NSIL) — массив координат точек приложения сосредоточенных
сил, в г-м столбце последовательно размещаются координаты xlit x2i;
PN(NSIL)—массив значений сосредоточенных сил; NR — число точек вы-
вывода результатов расчета; XRB, NR)—координаты точек вывода (в i-м
столбце последовательно размещаются координаты хц, хщ); ММ, NN —
число гармоник разложении по координатам ох\, олг2.
В результате работы подпрограммы PANEL получим: ЕРC, NR) —
массив, содержащий в i'-м столбце значения 8Ь 82, Vi2. вычисленные в
«-Й точке вывода; САC, NR)—массив, содержащий в i'-м столбце значения
*ь *2. Xi2. вычисленные в i-й точке вывода; PS B, NR) — массив, содержа-
содержащий в t-м столбце значения фь tj32. вычисленные в i-й точке вывода;
UC, NR)—массив, содержащий в i-м столбце значения ш, иь и2, вычислен-
вычисленные в i-й точке вывода; ТЕТB, NR) —массив, содержащий в i-м столбце
значения 8i, 82, вычисленные в i-й точке вывода. Подпрограмма PANEL
использует подпрограммы DKSL, TERMN (примеры 2.2, 2.3) и подпрограм-
подпрограммы MUM, MTM, GAUSS (Приложение 2).
Текст подпрограммы PANEL
SUBROUTINE PANEL (RK1, RK2, KSL, CC,
¦ H, F, E, ТЕ, TS, BL, A, AA, PP, NSIL,
¦ XP, PN, NR, XR, EP, CA, PS, U, TET, MM, NN)
DIMENSION CCG,KSL), H(KSL), F(KSL),
¦ BL(KSL), AB,KSL), AAB), XPB,NSIL),
¦ PN(NSIL), XRB,NR), EPC, NR), CAC,NR),
182

¦ PSB,NR), UC,NR), TETB,NR), DDA0, 10),
¦ TMD), TND), D(8,8), В (8,5), BDE,8),
¦ STRE,5), PE), XE)
CALL DKSL (RK1, RK2, KSL, CC, H, F, E, DD)
CALL TERMN (RK1, RK2, KSL, CC, H, F, E,
¦ ТЕ, TS, BL, A, TN, TM).
DO 1 1=1,8
DO 1 J = l,8
1 D(I, J)=0.
DO 21 = 1,3
13 = 1 + 3
14=1+4
DO 2 J=l,3
J3=J+3
J4 = J+4
D(I, J)=DD(I, J)
D(I, J3)=DD(I, J4)
D(I3, J)=DD(I4, J)
2 D(I3, J3)=DD(I4, J4)
DG,7)=DD(9,9)
D(8,8)=DDA0, 10)
DO 3 1 = 1,8
DO 3 J=l,8
3 D(I, J)=D(I, J)*AA(l)»AAB)/4.
DO 4 1=1,8
DO 4 J=l,5
4 B(I, J)=0.
BA,1)=RK1
BB,1)=RK2
BG,2)=l.
B(8,3) = l.
DO 5 1=1,3
DO 5 J=1,NR
EP (I, J)=0.
CA(I, J)=0.
5 U(I, J)=0.
DO 6 1=1,2
DO6J=1,NR
PS(I, J)=0.
6 TET(I, J)=0.
DO 12 M=1,MM
DO 12 N=1,NN
AM=3. 1416*M/AAA)
AN = 3. 1416*N/AAB)
BD,1)=AM*AM
BE,1)=AN»AN
BF,l)=—2.*AM»AN
В D,2)=— AM
BF,2)=AN
В E,3)=— AN
В F,3)= AM
В A,4)=—AM
BC,4)=AN
В B,5)=— AN
В C,5)= AM
CALL MTM (B, D, BD, 8 5, 8)
CALL MUM (BD, B, STR, 5, 8 5)
C=(l— COSC. 1416»M))»(L—COSC.1416»N))
IF((C—0.5)O, 7, 8
7 C=0.
1S3

GOTO 9
8 C=4.
9 PA)=C»(PP+RKUTNA)+RK2*TNB) +
¦AM*AM*TMA)+AN*AN»TM(,2))/(AM»AN)
DO 10 1=1, NSIL
S = SIN(AM»XPA,I))»SIN(AN»XPB,I))
10 PA)=PA)+S*PN(I)
PB)=— C*TMA)/AN
PC)=— C»TMB)/AM
PD)=— C»TNA)/AN
PE)=—C»TNB)/AM
CALL GAUSS (STR, P, X, 5)
DO 11 I=1,NR
SM=SIN(AM*XRA,I))
CM=COS(AM*XRA, /))
SN = SIN(AN»XRB, 1))
CN=COS(AN*XRB,I))
U(l, I) = UA,1) +XA)»SM»SN
UB,1) =UB,1) +XD)»CM»SN
UC, 1)=UC, I)+XE)*SM»CN
TETA, I)=TETA, I) + (XB)—AM*XA))»CM»SN
TETB, I)=TET 2, I) + (XC)—AN»XA))*SM»CN
EPA,I)==EP
EPB,I)=EP
EPC,1)=EP
RKUX(l)—AM»XD))»SM»SN
2,I) + (RK2»XA)—AN»XE))»SM»SN
3,1) + (AN»XD)+AM»XE))»CM»CN
CAA, I)=CAA, I) + (AM*AM*XA)—AM»XB))»SM»SN
CAB, I)=CAB, I) + (AN*AN»XA)—AN»XC))»SM»SN
CAC, I)=CAC, I) + (—2.*AM*AN»XA)+AN»XB) +
¦AM»XC))»CM*CN
PSA,I)=PSA,I)+XB)»CM»SN
11 PSB, I) = PSB, I)+XC)*SM*CN
12 CONTINUE
RETURN
END
В качестве теста можно воспользоваться решением D.27) для тонкой
пластины симметричного строения. Ограничившись первым членом разложе-
разложения лг = п=1, получим коэффициенты уравнения
и его решение
Для квадратной пластины в, = яг = в максимальное значение прогиба
будет равно
Ыра* 1
Для однородной квадратной пластины, образованной перекрестной уклад-
укладкой [ + ф] однонаправленных композитов, воспользовавшись нитяной
моделью (El = E, Et=Gti=0. v,2=v21 = 0). получим
Eh* Eh' „ Eh'
184

тогда
2?2 _Р_1_аУ ?
Wll= я6 E\h) 1+si:
+ sin22<p'
Для обработки полученных результатов и вычислений напряжений в осях
систем координат, связанных с отдельными слоями, можно воспользоваться
подпрограммой STRSL, описание которой приводится в примере 2.4. Посколь-
Поскольку в качестве исходных данных для подпрограммы STRSL требуются значе-
значения 6i2, «21 и Xi2, х2ь а в подпрограмме PANEL вычисляются 712 и Xi2> то
можно воспользоваться соотношениями D.2) •yi2==ei2+e2h Х'г=='*1г+'<21 и
формально присвоить значения 812=821 =Yi2/2; >«i2=X2i;
4.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ТОНКОЙ
МНОГОСЛОЙНОЙ СИММЕТРИЧНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
ПЛАСТИНЫ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим прямоугольную пластину, у которой а^Ь. Для
получения приближенного решения воспользуемся методом раз-
разделения переменных В. 3. Власова и Л. В. Канторовича. Пред-
Представим прогиб пластины и кривизны в следующем виде:
2=—w,22=—Wf"; D.28)
где (•).!=&;(•). A.2); <•)'»?¦(.)! <•>•-?-
— функция, выбранная так, чтобы были удовлетворены,
по крайней мере, геометрические граничные условия на про-
продольных краях. Например, если продольные края свободно
оперты, аппроксимирующую функцию f(x2) можно выбрать
в виде:
fLL_2f^V + —•
a2) \a2 j ' a2
Для защемленных продольных краев пластины аппрокси-
аппроксимирующую функцию /(х2) можно задать в форме
Распределение изменений кривизн D.28) запишем в мат-
матричном виде
D.29)
где
гх,] г-/ о о] rv,v,'i
= х2 ; В.= 0 -/" 0 ; L= 1 .
Lx12J Loo -2/-J L v, J
185

Здесь Vi = ^-.
Для прямоугольной пластины, нагруженной нормальным
давлением, вариационная формулировка задачи будет выглядеть
следующим образом:
а, а2
[ \ {6gT2)g—dwp)dx2dxl = 0, D.30)
о'
где
iZ>— матрица изгибных жесткостей, структура которой приведе-
приведена в соотношениях D.26). Поскольку все функции, входящие в
вариационное уравнение D.30), определены по переменной х2,
то можно выполнить интегрирование по этой переменной. В ре-
результате получим одномерную формулировку задачи
dxl = 0, D.31)
где
а,
Коэффициенты матрицы 3)% определяются так:
\dn d12 0 ]
2)^ = 1 dl2d22 0 , D.32)
LOO d^\
где
а2 а2
tn = \ Dnf2dx2; й?12=\ Dl2ff"dx2;
о
3=4\ D33(ffdx2.
о
Вариационная формулировка задачи D.31) позволяет получить
разрешающее дифференциальное уравнение, а также дает воз-
возможность построить 'конечно-элементную модель.
Для получения разрешающего дифференциального уравне-
уравнения выполним интегрирование D.31) по частям. При постоян-
постоянных коэффициентах матрицы 3D. получим
ai
186

uW" + (dn - d33) W')}%> = 0. D.33)
Из D.33) следует разрешающее уравнение
Wiy-2k1*W" + k2*W = kp, D-34)
где
nt 2 "зз— ^12 . t 4 dit. и P*
^к\  > "-2  K~
1 > "-2 1
11
Граничные условия для уравнения D.34) записываются при
Xi = 0 и Xi = ai следующим образом.
Если запрещен прогиб w, то W=0.
Если прогиб w разрешается, то dn^'
Если запрещен угол поворота а)>1 = 0, то
Если угол поворота разрешается, то d\\W"
Решение уравнения D.34) можно записать в виде
4
^a0m, D.35)
где \F — частное решение, а функции Фт определяются, как
дано ниже.
Если ki2<k22, то
cos
где г= Y^
Если k2yk22, то
где
Для случая равномерного давления частное решение W равно
W = kp/k24.
Постоянные С\ . . .С* находятся из граничных условий.
Для построения квазиодномерного конечного элемента пла-
пластины воспользуемся вариационной формулировкой принципа
возможных перемещений, аналогичной D.31), записанной для
отдельного элемента
187

D.36)
где / — размер конечного элемента вдоль оси ох{, oq = [()
&WA), oWB), бW"B)]T — вектор-столбец возможных обобщенных
узловых перемещений; t — вектор-столбец реакций.
Аппроксимацию функций 8W, W и вектор-столбца LW
представим в следующем виде:
где
HF = Bq,
w (]), w B), vv B)j ,
&, Фа\т
ф," ф2" ф3" ф
Ф\ Фъ Фъ 04
— 2хЦ ф^Цх2—
Подстановка D.37) в D.36) позволяет получить соотношения,
связывающие реакции t с обобщенными узловыми перемещения-
перемещениями q
t = Kq-P,
где
Полученные матрица К и вектор Р представляют матрицу жест-
жесткости и вектор-столбец приведенных узловых сил для квази-
квазиодномерного конечного элемента прямоугольной пластины.
4.4. КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ МНОГОСЛОЙНОЙ ПАНЕЛИ
4.4.1. Теоретическое описание
На основе принципа возможных перемещений вариационную
формулировку задачи статики для многослойной композитной
оболочки можно записать в следующием виде:
188

= Q, D.38)
где
|T = Lu; D.39)
dS=dxidx2; u— вектор-столбец обобщенных перемещений;
<S — вектор-столбец обобщенных деформаций; L—матрица опе-
операторов деформационных соотношений D.4); р — вектор-стол-
вектор-столбец поверхностных нагрузок. Под Jf для конечного элемента
будем понимать вектор-столбец распределенных реакций.
Для случая, когда оси упругой симметрии не совпадают с
координатными линиями ох\, 0X2, структуры матрицы приведен-
приведенных жесткостных характеристик 2) и вектора-столбца темпера-
температурных составляющих внутренних силовых факторов JF? будут
следующими:
•S22 ^23 ?>12 ^гг С2з О О
Взз С13 С 23 С33 О О
Dn Di2 Dl3 О О
D22 D23 О О
?>зз О
3> =
СИМ.
tV1t, tV2t,
0
Ki2
К 22
т, 0, Of
D-40)
В формулировке задачи D.38) подразумевается, что обоб-
обобщенные деформации <? определены через обобщенные переме-
перемещения и D.39). Если уравнение D.39) использовать в качест-
качестве дополнительного условия связи Lu—S'—O, то, потребовав
равенства нулю интегральной невязки //6JTr^5(Lu—S')dS=0
s
для любых допустимых деформаций Ь&, получим вариационную
формулировку смешанного типа, аналогичную A.82), A.83)
6uf 3>&dS - / (ва) = 0;
D.41)
D.42)
где
/ (ви) = \ J Furp + (L6u)r JTJ dS
S
189

Таким образом, задачу удалось свести к следующей. Тре-
Требуется определить такую пару вектор-функций и и 8 из соот-
соответствующих множеств допустимых функций, для которых урав-
уравнения D.41), D.42) выполняются при любых Su, Ь<?, принад-
принадлежащих тем же множествам.
При решении задачи статики многослойных панелей общего
вида методом конечных элементов (МКЭ) на основе вариацион-
вариационных формулировок смешанного типа D.41), D.42) требования к
выбору функций формы остаются такими же, как и в методе
перемещений. В качестве функций формы конечного элемента
наиболее часто используются алгебраические полиномы, поря-
порядок которых должен обеспечивать требуемую гладкость функ-
функций и их производных. В МКЭ важным требованием к функ-
функциям формы является требование воспроизводить в элементе
однородное напряженно-деформированное состояние и, в част-
частности, описывать смещение элемента как жесткого целого. Наи-
Наиболее распространенный способ удовлетворения указанным
требованиям состоит в повышении порядка аппроксимирующих
полиномов. При этом используются полиномы более высокого
порядка, чем это требуется, исходя из структуры вариацион-
вариационных уравнений, что приводит к увеличению обобщенных степе-
степеней свободы конечного элемента. Применение смешанных ва-
вариационных формулировок позволяет с помощью независимой
аппроксимации деформаций и перемещений улучшить свойства
конечных элементов.
Воспользуемся общим видом аппроксимации перемещений
конечного элемента
и = Фя. D.43)
Аппроксимацию обобщенных деформаций & запишем следую-
следующим образом:
1Г=е>а, D.44)
где Ф, (о — матрицы функций форм аппроксимаций; q — вектор-
столбец обобщенных узловых перемещений элемента; а — век-
вектор-столбец коэффициентов аппроксимации обобщенных дефор-
деформаций. Условия D.41), D.42) с учетом D.43), D.44) позволяют
получить уравнения 8qT(GTa—P—1)=0; aT(Gq—Ha)=0.
Отсюда, учитывая производительность коэффициентов 6q, 8a,
следует, что
Gra—P—1=0; D.45)
Gq— Ha=0, D.46)
где
D.47)
190
S 5
{<brp + BrJfT)dS; t=\0TJfdr; B = LO

После исключения из уравнения D.46) коэффициентов а урав-
уравнение D.45) примет вид
t=Kq—P, D.48)
где
K = GTH-'G D.49)
— определяет матрицу жесткости конечного элемента.
Число независимых смещений конечного элемента как твер-
твердого тела пт равно шести, и ранг матрицы жесткости К должен
равняться nq — 6, где nq — размерность вектора обобщенных
узловых перемещений элемента. Это условие будет выполнять-
выполняться при выборе аппроксимации & D.44) такой, что na=nq—6,
где па — размерность вектор-столбца коэффициентов аппрокси-
аппроксимации а D.44). Для согласованной аппроксимации перемеще-
перемещений и деформаций A.86) подходит треугольный конечный эле-
элемент с шестью узлами (рис. 4.4). Суммарное число обобщенных
узловых перемещений пд~30 при аппроксимации всех пяти ком-
компонент вектор-столбца и=[ии и2, w, 61; 02]г полными полинома-
полиномами второго порядка. Суммарное число независимых компо-
компонент вектор-столбца а D.44) будет равно 24 при аппроксима-
аппроксимации всех восьми компонент вектор-столбца S — \zu e2, Y12, ^i>
И2, %i2, 'фь 'фгР полными полиномами первого порядка.
Рис. 4.4. Треугольный конечный элемент много-
многослойной панели
Вектор-столбец обобщенных узловых перемещений q предста-
представим в виде
&=№.>• ч&, ч[.,]г. D-50)
где
E)
— вектор-столбец обобщенных перемещений 1-го узла. Индекс,
заключенный вк руглые скобки, указывает номер узла.
191

Матрица функций формы Ф (см. D.43)) имеет размерность
EX30) и в блочном матричном виде записывается следующим
образом:
Ф =
Eхго)
), Ф
B)
D.52)
где
Ex5) EX5)
Е —единичная матрица размерности EX5); ф1A=1, 2, ...
EX5)
.... 6) —квадратичные функции формы. Для представления ф1
удобно воспользоваться естественными безразмерными (бари-
центричными) координатами [17].
#! = ?, B1,-1); дб2=
Нумерация функций формы соответствует нумерации узлов
элемента. Примерный вид функций ф\ и ф4 показан на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Примеры функций, аппроксимирующих перемещения в конечном
элементе
Естественные координаты L* определяются через координаты
х\, х2 следующим образом:
= l, 2, 3),
D.54)
где
); A,2,3);
)=х2B)—х2C), A,2,3);
=Хцз)—хц2), A,2,3);
192

*ко> X2(o (t=l, 2, 3) —координаты xx и x2 вершин треугольни-
треугольника. Остальные коэффициенты щ{), 6(;), c(i> получаются с по-
помощью круговой перестановки индексов, заключенных в круг-
круглые скобки. Коэффициент S равен площади треугольного эле-
элемента. Для обратных соотношений справедливо
В развернутом виде аппроксимация любой компоненты век-
вектор-столбца и имеет следующий вид:
BL3— 1 ) ФC) + 4L
где под Ф может выступать любая функция из списка (иь и2,
w, 6i, е2).
Размерность вектора а согласно сделанным выше замеча-
замечаниям должна равняться na=nq—6 = 24. Поскольку размерность
вектор-столбца & D.44) равна 8, то на конечном элементе мож-
можно принять аппроксимацию всех компонент <§ в виде полных
линейных полиномов, т. е.
Ф(хи x2) = Li0A) + L20B)+L30C), где под Ф может высту-
выступать любая функция из списка (еь г?., 712, иь х-2, 1\ъ if>i, 'фг)-
В качестве компонент вектор-столбца а выступают
B4)
J<2B). >«2C). Xl2(l), Xl2B) . 7l2C).
При такой последовательности компонент вектор-столбца а
матрица ю размерностью (8X24) D.44) будет иметь блочную
диагональную структуру:
w =[F, F, F, F, F, F, F, Fj, D.55)
(8x24)
где
F =[LVL«,L3].
AX3)
Для вычисления матрицы жесткости К конечного элемента
многослойной оболочки D.49) необходимо располагать инфор-
информацией о матрицах В, Н, G D.47).
Матрицу В размерностью (8X30) с учетом блочной струк-
структуры матрицы функций форм Ф D.52) можно представить в
виде
13—1490 193

B = [B(i), ВB) ВF)], D.56)
(8X30)
где матричные блоки В«) (t=l, 2, ..., 6) определяются соот-
соотношением ВA) = ЬФA) при (t=l, 2, ..., 6), где L—матрица
(8X5)
дифференциальных операторов в деформационных соотноше-
соотношениях S=\m (см. D.4)). В блочном виде матрицу В@ удобно
представить так:
[
[() О(ЭХ2)"|
О(зхэ) .Ьжо (/ = 1,2 6), D.57)
Ьз1(/) b32(i)J
где
Гфи 0 кхф
I 0 $ kifi
il2 g6i,i О
Л \фи\ 0 I
i ; Ьг2(г) = 0 Фгл ;
J <3х2) 1ф1,2 фиЛ
А..-^ С 2).
Индекс вида CX3) определяет размерность матрицы. При вы-
вычислении производных ф(>\, ф,-,2 от квадратичных функций ап-
аппроксимации D.53) следует воспользоваться правилом диффе-
дифференцирования сложных функций:
1\ //. 1 О O\.
2
D.58)
2 2
фб,\ =-§¦ FC)Ii+ 6(i)Z3); ф4,2 = -§-
2
Учитывая блочную структуру матриц В D.56), 2> D.40), &
D.55), матрицу G B4X30) D.47) удобно представить в сле-
следующем виде:
G =[G(i), ОB) О(вI. D-59)
B4X30)
где матрицы G(,-) размерностью B4X5) состоят из блоков
gi2(o "I
g22(o (i
g32(O
= \\
(i = l, 2 6);
g(O \\ (о g
(9x3) •'gJ (9x2)
194

(9X3)
= \\
g
(9X2)
FX3)
(9X3)
FX2)
?7"
7Т
7Т
FX2)
рГ
o = \\
(В, С, D);
D.60)
'i.Fr К»
Перестановкой (В, С, D) указывается, что матрицы <ec, «D
имеют аналогичную структуру с матрицей а>в, однако, множите-
множителями при матрице FT выступают жесткости Ctj и Юц.
Для случая постоянных жесткостей в пределах конечного
элемента матрица Н D.47) обращается достаточно просто.
В блочном виде матрицу Н размерностью B4X24) можно
представить следующим образом:
— ттП гг12 гЛЗ ггП г,12 „13
пв jib пв пс пс пс
Hf Hi3 Hlc2 H? He3
ЗЗ г,13 r,23 rj33
пс пс пс
н-'=
B4X24)
23
0
О
О
О
о
О
0
О
О
О
о
О
1 гг12
к пк
СИМ.
D.61)
где
FTFdS\ ', (Б, С, D, К);
D.62)
Bij, Cij, Di] — коэффициенты матрицы приведенных податли-
востей многослойного пакета 3) = 3)~1:
в с
D
сим.
D =(D-(
CX3)
В =
CX3)
В1-
L0
0
к.
:в
в-
'С)"';
ССГ;
С
CX3)
к
BX2)
= -B-'CD;
=К;
D.63)
13*
195

ГВп 5,2 Bl3l
В = I B\i B<i% Вчъ |! (В, С, D)', К
ix3> 1в13 в23 в33\ <2х2>
CX3)
Таким образом, удается заменить обращение матрицы Н
размерностью B4X24) операциями D.62) и D.63) с матрица-
матрицами меньшей размерности, что приводит к существенному сни-
снижению вычислительных затрат.
Вектор-столбец приведенных узловых сил конечного элемен-
элемента D.47) удобно представить в блочном виде
р = [рг{1),Рт{2) p[6)f, D.64)
где
M
^ Mt
Nt = [7VIt, Л^2т. iV12T]r; МТ = [Ж1Т, M2r, Ml2Ty.
Для интегрирования по треугольной области удобно пользо-
пользоваться квадратурными формулами и подпрограммой KSIW3
(см. приложение 1).
После выполнения общих процедур МКЭ и определения
узловых обобщенных перемещений q можно вычислить обоб-
обобщенные деформации & в любой точке конечного элемента
Например, при выводе результатов в центре тяжести треуголь-
треугольного элемента (Li = L2 = L3= 1/3) получим
&=В^, D.65)
.где i, /-й элемент матрицы Выбудет вычисляться следующим
образом:
m—m,
где
Wmj—m, /-й элемент матрицы W=H~'G.
4.4,2. Подпрограмма вычисления матрицы жесткости
Составим подпрограмму вычисления матрицы жесткости и вектора при-
приведенных узловых сил треугольного конечного элемента многослойной пане-
панели. В качестве исходных данных примем:

RK1, RK2 — главные кривизны ku k2. XTC,2)—массив координат вершин
треугольного элемента. В г-й строке массива последовательно размещаются
координаты (-й вершины:
хт(«, 1)=*1(<>; XT(i, 2)=xm,
D(8,8)—массив приведенных жесткостиых характеристик многослойного па-
пакета (матрица й)D.40); РРC)—массив, содержащий коэффициенты вектор-
столбца поверхностных нагрузок pi, рг, /?зD.7); TNC)—массив, содержа-
содержащий коэффицие-нты температурных составляющих погонных сил: NlT, #«,
N12t D.64); ТМC)—массив, содержащий коэффициенты температурных со-
составляющих погонных моментов: Мп, М&, Мп? D.64).
В результате работы подпрограммы STPAN получим:
ВВ(8,30)—массив соответствует матрице В» D.65), связывающей обобщен-
обобщенные деформации (в центре тяжести конечного элемента) с узловыми обоб-
обобщенными перемещениями; STC0,30)—массив, содержащий коэффициенты
матрицы жесткости К D.49); РC0)—массив, содержащий коэффициенты
вектора приведенных узловых сил D.47), D.64).
При работе подпрограммы STPAN используются подпрограммы MUM,
МТМ, MATIN (см. приложение 2) и подпрограмма K.S1W3 (приложение 1).
Для удобства чтения текста подпрограммы STPAN в табл. 4.1 приводят-
приводятся наименования некоторых рабочих массивов н соответствующих им матриц.
Таблица 4.1
Рабочие массивы подпрограммы STPAN и соответствующие матрицы
Идентификаторы и размерности массивов
АC), вC), СC), TLC).
FF), FlF), F2F)
OMB (9,3), OMC (9,3), OMD(9,3),
OMKF,2)
Bl 1C,3), B22C,3), B31C,3)
Gll(9,3), G12(9,3), G21(9,3),
G22(9,2), G31F,3), G32F,2)
B3C,3), C3C,3), D3C,3), G2B,2)
ODC,3), ОС C,3), OB C,3), OGB,2)
HH B4,24)
HG B3,30)
Обозначения в тексте раздела 4.4.4
а@> Ь«> с(». Цг),
Фи Фи 1> Фь 2
CUB, (DC, 0>D,
bli(i), &22@> &S1C0
lfu(i>> guw> gmi)>
gmi), gani), g3W),
B, C, D, /CBX2)
D, С, Б, KBX2)
я-1
H-'G
Последовательность работы подпрограммы STPAN можно укрупиеиио
представить по алгоритму рис. 4.6.
Замечание: все действительные переменные в подпрограммах STPAN,
MUM, МТМ, MATIN, KSIW3 должны быть описаны как переменные «двой-
«двойной точности», т. е. во все указанные подпрограммы перед описанием
DIMENSION необходимо поместить: IMPLICIT REAL»8 (A—H, О—Z)
SUBROUTINE STPAN (RK1, RK2, XT, D,
* PP, TN, TM, BB, ST, P)
IMPLICIT REAL»8(A—H, O—Z)
197

в, с, л, к, в с, л,к,
*>3Ui'~ °
G = И'1 = Р = О
I
Определение течек интегрирова-
интегрирования и Весовых наэсрфициеитов
(KSIW3)
a
fij
, 2S , 2/S
Цикл по точкам unmeepupoffa
ним (KIN)
Ф1.1 ><Pi,Z (*¦
. 60)
Ципп по узлам конечного зле-
мента (II/)
I
Заполнение в D. S9)
заполнение Р DЛ7)
Заполнение Н
I
(+.65)
I
Выход
Рис. 4.6. Блок-схема подпрограммы вычисления матрицы жесткости для тре-
треугольного конечного элемента многослойной панели
DIMENSION XTC,2), D(8,8), PPC), TNC), TMC),
• ВВ(8,30), STC0,30), Р(ЗО), 11D), АC), ВC),
. СC), TLC), FF), FlF), F2F), OMB(9,3), OMC(9,3),
198

* OMD(9,3), OMKF,2), Bl 1C,3), B22C,2), B31B,3),
* Gil (9,3), G12(9,2), G21(9,3), G22(9,2), G31F,3),
* G32F,2), FTFC,3), WG), XYG,2), XB), PNTC),
* PMTB), B3C,3), C3C,3), D3C,3), G2B,2),
* B3MC,3), BMCC,3), OD3C,3), ODC,3), ОСC,3),
* OBC,3), OGB,2), HHB4,24), GB4,30), HGB4,30)
DO 100 1=1,3
14=1+3
DO 101 J=l,3
J4=J+3
B3(I,J)=D(I,J)
C3(I,J)=D(I,J4)
D3(I,J)=D(I4,J4)
101 FTF(l,J)=0.
DO 102 J= 1,2
B22(I,J)=0.
102 B31(J, I)=0.
100 CONTINUE
G2A,1)=DG,7)
G2A,2)=DG,8)
G2B,1)=D(8,7)
G2Br2)=D(8,8)
CALL MATIN (ВЗ, ВЗМ, 3)
CALL MATIN (G2, OG, 2)
CALL MUM (ВЗМ, СЗ, BMC, 3, 3, 3)
CALL MUM (C3, BMC, OD3, 3, 3, 3)
DO 23 1 = 1,3
DO23J=1,3
B3(I,J)=D(I,J)
23 OD3(I,J)=D3(I,J)—OD3(I,J)
CALL MATIN (OD3, OD, 3)
CALL MUM (BMC, OD, ОС, 3, 3, 3)
DO 24 1 = 1,3
DO 24 J= 1,3
OC(I, J)=— OC(I, J)
24 B11(J, I)=OC(I,J)
CALL MUM (BMC, Bll, OB, 3, 3, 3)
DO 25 1 = 1,3
DO 25 J= 1,3
B11(I,J)=O.
25 OB(I,J)=B3M(I,J)—OB(I,J)
G2A,1)=DG,7)
G2A,2)=DG,8)
G2B,1)=D(8,7)
G2B,2)=D(8,8)
DO 4 1=1,30
P(I)=0.
DO 4 J= 1,24
4 G(J, I)=0.
DO 5 1=1,24
DO 5 J= 1,24
5 HH(I,J)=0.
II(J
()
11B) =3
IIC) = 1
IID)=2
NIN = 7
CALL KSIW3 (NIN, XT, W, XY)
DO 6 1 = 1,3
12 = 11A)
199

13 = 11A+1)
A(I) = XT(I2, 1) •XT(I3, 2)—XTA3, 1) »XT(I2, 2)
B(I) =XT(I2, 2)— XT(I3, 2)
6 C(I)=XT(I3, 1)—XT(I2, 1)
S2 = BA)*CB)—BB)*CA)
DS = 4./S2
DO22KIN = 1, N1N
WKIN = W(KIN)
XA)=XY(KIN, 1)
XB)=XY(K1N, 2)
DO 7 1=1,3
7 TL(I) = (A(I)+B(I)#XA)+CA)*XB))/S2
DO 8 1=1,3
12 = 11A)
14 = 1+3
F)L(
F(I)TL(I)«B.*TL(II.)
F(I4)=4.»TL(I)*TL(I2)
TLS=D.«TL(I)—l.)/S2
F1A)=B(I)#TLS
F2(I)=C I)*TLS
F1(I4)=DS«(B(I)*TL(I2) + B(I2)»
8 F2(I4) =DS» (C(I) *TLA2)+C(I2)
DO 9 1=1,3
IK=3»(I—1)
DO 9 J=l,3
DO 9 K= 1,3
IIK=IK+K
OMB(IIK, J) = B3(I,J)*TL(K)
OMC(IIK,J)=C3(I,J)*TL(K)
9 OMD(IIK,J)=D3(I,J)»TL(K)
DO 10 K= 1,3
K4=K+3
OMK(K, 1)=G2A,1)»TL(K)
OMK(K, 2) =G2A,2) »TL(K)
OMK(K4,1)=OMK(K,2)
10 OMK(K4,2)=G2B,2)*TL(K)
DO 20 IU=1,6
F
(,)()
B11A,3)=RKUF(IU)
B11B,2)=F2(IU)
B11B,3)=RK2»F(IU)
B11C,1)=F2(IU)
B11C,2)=F1(IU
B22A,1)=F1(IU
B22B,2)=F2(IU
B22C,1)=F2(IU)
B22C,2)=F1(IU)
B31A,3)=F1(IU)
B31B,3)=F2(IU)
JU1=5»(IU—1)
JU2=JUl+3
CALL MUM(OMB, Bll, Gil, 9, 3, 3)
CALL MUM (OMC, B22, G12, 9, 3, 2)
CALL MUM (OMC, Bll, G21, 9, 3, 3)
CAL MUM (OMD, B22, G22, 9, 3, 2)
CALL MUM (OMK, B31, G31, 6, 2, 3)
DO11 1=1,6
DO 11 J=l,2
11 G32(I,J)=F(IU)*OMK(I,J)
DO 12 1=1,9
200

110 = 1+9
DO13J=1,3
JJ=JU1+J
G(I, JJ) =G(I, JJ) +G11 (I, J) «WKIN
13 GA10, JJ)=G(I 10,JJ)+G21(I,J)»WKIN
DO 14 J= 1,2
JJ=JU2+J
G(I, JJ)=G(I, JJ)+G12(I, J)»WKIN
14 G(I10, JJ) =G(I10, JJ)+G22(I, J)«WKIN
12 CONTINUE
DO 15 1=1,6
119 = 1+18
DO 16 J= 1,3
JJ=JU1+J
16 G(I19,JJ)=G(I19,JJ)+G31(I,J)»WKIN
DO17J=1,2
JJ=JU2+J
17 G(I19, JJ) =G(I19, JJ)+G32(I, J) «WK1N
15 CONTINUE
CALL MTM (Bll, TN, PNT, 3, 3, 1)
CALL MTM (B22, TM, PMT, 3, 2, 1)
DO 18 1=1,3
JJ=JU1+I
18 P(JJ)=P(JJ) + (PP(I)*F(IU)+PNT(I))»WKIN
DO 19 1 = 1,2
JJ=JU2+I
19 P(JJ)=P(JJ)+PMT(I)»WKIN
20 CONTINUE
DO21 1 = 1,3
DO 21 J= 1,3
21 FTF(I, J) =FTF(I, J)+TL(I) »TL(J) «WKIN
22 CONTINUE
DO 30 1=1,3
DO 30 J= 1,3
30 B3M(I,J)=FTF(I,J)
CALL MATIN (B3M, FTF, 3)
DO 26 I = 1,3
IBB = 3»(I—1)
IDD = IBB+9
ICC=IBB
DO 26 J= 1,3
JBB = 3*(J—1)
JCC = JBB+9
JDD=JCC
OBIJ=OB(I,J)
OCIJ=OC(I,J)
ODIJ = OD(I, J)
OCJI = OC(J, I)
DO26K1 = 1,3
IBK=IBB+K1
ICK = ICC+K1
IDK=IDD+K1
DO26K2 = 1,3
JBK=JBB+K2
JCK=JCC+K2
JDK=JDD+K2
FF=FTF(K1, K2)
HH(IBK, JBK)=OBIJ»FF
HH(ICK, JCK)=OCIJ»FF
HH(IDK, JDK) =ODIJ»FF
201

26 HH(JCK,ICK)=OCJUFF
DO 271 = 1,3
119 = 1+18
122 = 1+21
DO 27 J= 1,3
J19=j+18
J22 = J+21
FF=FTF(I,J)
HH(I19,J19)=OGA,1)»FF
HH(I19, J22) =OGA,2) »FF
HH(I22, J19) = OGB,1) »FF
27 HH(I22,J22)=OGB,2)»FF
CALL MUM (HH, G, HG, 24, 24, 30)
CALL MTM (G, HG, ST, 24, 30, 30)
DO 28 1=1,8
K1=3»(I—1) + 1
K2=Kl+2
DO 28 J= 1,30
FF=0.
DO29K = K1, K2
29 FF=FF+HG(K,J)
28 BB(I,J)=FF/3.
RETURN
END
4.5. УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН
4.5.1. Вариационные формулировки задачи устойчивости
многослойной пластины
Одним из распространенных видов нагружения многослой-
многослойных пластин, работающих в качестве силовых элементов кон-
конструкций, является воздействие нормальных сжимающих или
касательных усилий, которые могут привести к потере устойчи-
устойчивости плоской формы равновесия.
Рассмотрим вариационную формулировку задачи устойчи-
устойчивости многослойной пластины. Воспользуемся энергетическим
критерием устойчивости Брайана B.146):
D.66)
где
со,= — и>,1 A, 2);
<? — вектор-столбец обобщенных деформаций; Jf=2)^ — век-
вектор-столбец обобщенных внутренних силовых факторов; 2) —
матрица приведенных жесткостных характеристик многослойно-
многослойного пакета; A^i°; N20', Nn° — начальные погонные усилия в пласти-
пластине, определяющиеся решением задачи статики ;Л — параметр
нагружения (нагружение предполагается пропорциональным,
202

начальные усилия вычисляются при Л=1); со( (t=l, 2) —углы
поворота нормали.
Для получения уравнений смежного равновесного состоя-
состояния следует б^Г и бсо выразить через возможные (дополнитель-
(дополнительные) перемещения
6#=L6u; 6eo=R6u, D.67)
подставить D.67) в уравнение D.66) и выполнить интегрирова-
интегрирование по частям. В результате выполнения этих процедур полу-
получим
J (Л») dS + JJ би
Отсюда следуют уравнения равновесия
1Л/Г—AR*(.AV»)=0 на поверхности 5 D.68)
и естественные (силовые) граничные условия
1Л/Г—Atfvr0to = 0 на Га. D.69)
Следует помнить, что под JC понимаются дополнительные си-
силовые факторы, которые появляются в пластине при переходе
от плоской формы к изгибной. Поскольку перемещения U счи-
считаются дополнительными, то на закрепленной части контура Ги
главные (или геометрические) граничные условия будут одно-
однородными, т. е. и=0 на Г„.
В общем случае для и и L, соответствующих D.4) при kt=
ГО 0 -у, 0 01
К-|оО -V2OOJ'
и согласно D.68) получим следующие уравнения равновесия:
и силовые граничные условия на Га
11N1+12N12 = O, A,2);
/,^, + /2^,2=0, A,2);
203

Вариационную формулировку задачи можно записать через
перемещения. Для этого уравнение D.66) следует записать с
учетом D.67) и подставить JF=&Lu и co=Ru. В результате
этих подстановок получим
O. ( .0)
Уравнение D.70) соответствует условию стационарности функ-
функционала изменения полной потенциальной энергии AJ
A J=.1 ^ ((Luf 0Lu - Л (RuO" ^0Ru) dS = 0,
.1 ^
т. е. 6(Д/)=0 и может использоваться как для получения раз-
разрешающих уравнений в перемещениях, так и для построения
приближенных решений задачи устойчивости многослойных
пластин.
4.5.2. Устойчивость толстой свободно опертой многослойной
пластины
Рассмотрим последовательность решения задачи об опреде-
определении критических нагрузок прямоугольной свободно опертой
многослойной пластины несимметричного строения при двух-
двухосном равномерном сжатии*. Расчет проведем с учетом дефор-
деформаций поперечного сдвига. Так же, как и при решении задачи
статики (раздел 4.2.1), для свободно опертой многослойной
пластины в вектор-столбец обобщенных перемещений вместо
углов поворота сечений 6Ь 02 можно включить средние дефор-
деформации поперечных сдвигов af>i, -ф2- В этом случае при числен-
численной реализации на ЭВМ с помощью одной программы можно
выполнить расчет как толстых, так и тонких многослойных
пластин.
В качестве компонент вектор-столбца обобщенных переме-
перемещений примем X = [w, of)!, a|J, Щ, и2]т. Обобщенными деформа-
деформациями и внутренними силовыми факторами будут выступать
<^ = [еь е2, Vi2. xi, X2, %\2, 'фь ^гГ;
Jf=[Nlt N2, N12, Ми М2, Af,2, Qi, Q2]T.
Будем считать, что оси упругой симметрии материалов слоев
параллельны осям охи ох2, тогда матрица приведенных жест-
костных характеристик многослойного пакета будет такой же,
* Для многослойных пластин несимметричной структуры сжатие сопро-
сопровождается изгибом. При нагрузках, близких к критическим, возможно пере-
перестроение изгибиых форм равновесия.
204

как и матрица 2D для соотношений упругости D.6). Таким об-
образом, для исходной вариационной формулировки задачи устой-
устойчивости D.66) будем иметь
0
0
0
V,Vi
V2V2
2ViVs
*0
0
0
0
0
V,
0
! V2
1
0
0
0
0
0
V2
Vi
0.
1
v,
0
v2
0
0
0
0
0
0
v2
V,
0
0
0
0
0
R
¦Vi 00001 ,._,.
•V20000_p D-71)
0
где Г]0, Т-2—погонные снимающие нагрузки. И окончательный
вид формулировки будет следующим:
-A
Ax^X2=0.
о о
Воспользовавшись разложением решений в двойные триго-
тригонометрические ряды D.15), можно обнаружить, что относитель-
относительно отдельных гармоник разложения система разрешающих
уравнений, полученная на основе D.6), D.71), оказывается не-
несвязанной. Для отдельной tn, п-й гармоники волнообразования
можно решать следующую обобщенную задачу на собственные
значения:
( Kr,m ?»Smn) Х,„п — 0,
где
Д1Д2 oT
•=TB»
r>
0
0
9
nr
ft2__
-2tnn
0
0
0
0
0
0
0
0
-tn 0_
0 —n
(i tn
1
0
0
1
iiimnY;
-In 0
_0
n
0
О
0
0
0
-n
tn
0
0
0
0
0
D.72)
D.73)
205

D _ Г — m 000 О] —_mn -_ nn
к^-[_я 0000j' m-~Zr; "— аг-
Матрица системы D.72) имеет следующую структуру:
13 14
^23 ^24
LCHM.
D.74)
где sn = ^^G^0/^2_|_зг2ол2)_единственнь1й ненулевой коэффи-
коэффициент матрицы Smn; ktJ (i, j = 1, 2 5) —коэффициенты мат-
матрицы Kmn. Как следует из анализа структуры матрицы D.74),
ее определитель будет линейно зависеть от параметра нагру-
жения Л, т. е.
n-ASmn) = do-Ad1, D.75)
где
^23 ^24
^33 ^34
i5
Lchm.
С использованием D.75) находят значение параметра нагруже-
ния Л=Лт", при котором определитель матрицы D.74) равен
нулю
Amn—doldi. D.76)
Параметр нагружения, соответствующий критической комбина-
комбинации нагрузок, определяется минимизацией по всем гармоникам
волнообразования
AKp = minAmn. D.77)
(т,п)
Затем вычисляют
Соответствующие Лкр номера гамоник т и п будет определять
форму потери устойчивости.
Основная трудоемкость расчета заключается в вычислении
определителей пятого и четвертого порядков, необходимость
использования ЭВМ здесь очевидна. Приближенные оценки
критических нагрузок можно получить, используя метод мини-
минимальных жесткостей, т. е. положить
l, (kl=\\, 12, 22, 33)
D.78)
206

и с новыми значениями изгибных жесткостей DA1* выполнить
расчет, как для пластин с симметричной структурой.
Рассмотрим последовательность решения задачи об опреде-
определении критических нагрузок свободно опертой прямоугольной
многослойной пластины, имеющей симметричное строение мно-
многослойного пакета. В этом случае при потере устойчивости де-
деформации срединной поверхности и ее перемещения ии и2 бу-
будут равны нулю. Поэтому для формулировки задачи D.71)
достаточно воспользоваться следующими выражениями:
l2, Ql,Q2]T;
~Dn Dn 0
D22 0
¦^33
_сим.
0
0
0
0
0
0
0
•^22
— ViVi V, 0
— V2V2 0 V2
— 2V1V2 V2 Vi
0 1 0
0 0 1 J
R*=
-V2 0 01-
Причем для метода минимальных жесткостей вместо Dtj сле-
следует положить Da* D.78).
Разрешающая система однородных линейных алгебраических
уравнений будет иметь вид D.72). Матрицы К™„ и Smn, форми-
формирующие обобщенную задачу на собственные значения, опреде-
определяются согласно D.73) при
-m 0 0
— n О 0
m2 —m 0
n?_ 0 — ~rt_
— 2тл Ъ In ; Rmn=|~^'
0 1 0
0 0 1 _
Структура матрицы системы уравнений D.72) будет иметь сле-
следующий вид:
12 ^22 ^23 . D.79)
^23 ^33J
где коэффициенты k{j определены ранее для D.24), a Su для
D.74).
Значение критического параметра нагружения Атп будет опре-
определяться из условия равенства нулю определителя матрицы
D.79)
Г
= k
207

*2«*
.«2(,
~-*12 «
2(,»
33
1*22*33
D.80)
где
Коэффициенты k*l} можно представить в виде:
ku = lmn\ k*n = —т (dmn h
?13= — ~h{dnm^-~m2dk)\
k
; dnm = D22n2
n = dmnm2
2dk~m2n
2n2
Критический параметр нагружения Лкр определяется путем ми-
минимизации по всем гармоникам волнообразования выражения
D.80). С учетом вышеуказанного представления коэффициентов
Sii* и кц* выражение для Акр будет иметь вид:
Лкр = гшп
{т,п)
г'Пг) I
L
1 +
Агг
dnm
. D.81)
Соответствующие вьфажению D.81) значения погонных крити-
критических сжимающих нагрузок будут равны ТЫр = АкрТ]°A, 2).
4.5.3. Устойчивость тонкой свободно опертой пластины
Рассмотрим решение задачи об устойчивости тонкой свобод-
свободно опертой прямоугольной многослойной пластины несиммет-
несимметричной структуры при двухосном равномерном сжатии. Для
тонких пластин, которые не содержат слоев с низкой трансвер-
сальной сдвиговой жесткостью, учет деформаций поперечного
сдвига не дает существенных уточнений. Поэтому при расчете
можно сразу положить if>i = if>2 = 0, В этом случае в формули-
формулировке задачи D.71) будут участвовать следующие обобщенные
перемещения:
Х=[ш, ии и2]т.
В качестве компонент вектор-столбца обобщенных деформаций
<$ следует принять
208

S — [бь 62r If 12, Xi, X2, X12F-
Структура матриц Lx(^f=LxX) и Rx(co = RxX) будет следую-
следующей:
0 Vi О"
О О V2
О V2 Vi
— V1V1 О О
-V2V2 О О
_-2ViV2 О О.
-При решении задачи в двойных тригонометрических .рядах
,D.15) разрешающая система однородных линейных алгебраи-
алгебраических уравнений D.72) будет формироваться согласно D.73)
с помощью следующих исходных матриц Bmn и Rmn:
Г
R,=[lVl °
V2 О
Л*о=
О '
0
0
т?
п?
2тп
0 1
Т2Л
— т
0
п
0
0
0
0
—п
т
0
0
0
\ — т 0 0
соответ-
соответМатрица приведенных жесткостных характеристик
ствует D.19). .
Структура матрицы системы уравнений D.72) будет анало-
аналогична D.79). Коэффициенты kti определяются выражениями :¦"
(С12 + 2С33
Критический параметр нагружения Лкр определяется путем ми-
минимизации по всем гармоникам волнообразования выражения
(Я1.Я)
Аи 1 —
/i _f23 \ /K12 , Л13 о«12«13«2з )
I Ь k \~Ь~ Ь ~k~k /
\ /v22#t33/ \'г22 ^33 ^22^33 /
14—1490
209

Для тонкой пластины симметричной структуры коэффициен-
коэффициенты смешанных жесткостей Сц равны нулю. Это приводит к су-
существенному упрощению решения задачи, поскольку вместо си-
системы трех однородных уравнений можно рассматривать толь-
только первое уравнение &ц—Л5ц = 0. Отсюда получаем Amn — kiifsn-
В развернутом виде критический параметр нагружения опреде-
определяется минимизацией выражения
Л mJn p..W2(p.i+2gM)»q+p11ff) D 82)
Выражение D.82) можно использовать также для оценки кри-
критических нагрузок тонких иластин несимметричного строения.
При этом вместо нзгибным жесткостей DKt следует воспользо-
воспользоваться жесткостями DM* D.78).
Для случая одноосного сжатия G"i°=l, 7У=0) из D.82)
следует, что потеря устойчивости происходит с образованием
одной полуволны в направлении оси 0X2, и значение Т\кр опре-
определяется подбором формы волнообразования вдоль оси ох\
Для пластин, имеющих большое удлинение вдоль оси ох\
(ci>a2), число полуволн, возникающих при потере устойчи-
устойчивости, велико. В этом случае минимизацию по пг можно вы-
выполнить, считая m непрерывным аргументом. В результате та-
такой минимизации получим
V D
p^ D.83)
Для удлиненной многослойной пластины, образованной пере-
перекрестной укладкой [±ф] слоев однонаправленного композита,
воспользовавшись нитяной моделью, из D.83) можно опреде-
определить следующую зависимость:
4.5.4. Подпрограмма вычисления
критических сжимающих нагрузок
для прямоугольных свободно опертых
многослойных пластин
Воспользуемся алгоритмом расчета критических нагрузок, рассмотрен-
рассмотренным в разделе 4.5.2.
В качестве исходных данных примем:
KSL, CCG, KSL), H(KSL), F(KSL), E (описание исходных данных для
подпрограммы DKSL в примере 2.2); ААB) — в массиве размещаются зна-
значения аи а% — размеры пластины вдоль осей охи ох2; ТО B)—в массиве
210

размещаются значении ГД Г2° — начальные сжимающие погонные усилии,
действующие вдоль осей ох{, охг (величинами Ti0, Г2° задается лишь соот-
соотношение между погонными усилиями); ММ, NN—числа просматриваемых
гармоник волнообразования вдоль осей од;, и ох2.
В результате работы подпрограммы PANCR получим:
TCRB)—массив, содержащий значения критических погонных усилий
Ti кр, Тг кр; MCR, NCR — номера гармоник, соответствующих форме потери
устойчивости.
Подпрограмма PANCR использует подпрограмму DKSL (см. пример 2.2)
и подпрограммы MUM, MTM, DETMN (см. приложение 2).
Текст подпрограммы PANCR
SUBROUTINE PANCR (KSL, CC, H, F, E,
• AA, TO, MM, NN, TCR, MCR, NCR)
DIMENSION CCG, KSL), H(KSL), F(KSL),
• AAB), TOB), TCRB), DDA0, 10), D(8,8),
• B(8,5), BDE,8), STRE,5), ST4D,4)
CALL DKSL @., 0.. KSL, CC, H, F, E, DD).
DO 1 1 = 1,8
DO 1 J=l,8
1 D(I, J)=0.
A4=AA(l)»AAB)/4.
DO 2 1 = 1,3
13=1+3
14=1+4
DO 2 J=l,3
J3=J+3
J4=J+4
D(I, J)=DD(I, J)»A4
D(I, J3)=DD(I, J4)»A4
DA3, J)=DDA4, J)»A4
2 D(I3, J3)=DD(I4, J4)*A4
DG,7)=DD(9,9)»A4
D(8,8)=DDA0,10))*A4
Tl=T0(l)»A4
T2=T0B)*A4
DO 4 1 = 1,8
DO 4 J=l,5
4 B<I, J)=0.
BG,2) = l.
B(8,3) = l.
IK=0
DO 12 M = l, MM
AM=3.1416*M/AAA)
BD,1)=AM»AM
BD,2)=—AM
BF,3)=AM
В A,4)=—AM
BC,5)=AM
DO 12 N=1, NN
AN = 3.1416»N/AAB)
BE,1)=AN*AN
В F,1)=—2.»AMf»AN
В F,2)= AN
В E,3)=—AN
В C,4)= AN
В B,5)==—AN
CALL MTM (B, D, BD, 8, 5, 8)
CALL MUM (BD, B, STR, 5, 8, 5)
S11=TUAM*AM+T2*AN»AN
DO 5 1=1,4
14* 2i,-

+
DO 5 J=l,4
Jl=J+l;
5 ST4(I, J) = STR(I1, Jl)
CALL DETMN(ST4, 4, Dl)
CALL. DETMN(STR,5, DO)
D1 = S1UD1.
CRMN=DO/D1
e)go
()
CR=CRMN
MCR=M
NCR = N . ,
13 IK=1
AMN=ABS(CRMN)
ACR=ABS(CR) .
IF(ACR—AMN) 6, 6, 7
7 CR=CRMN
MCR=M
NCR=N
6 CONTINUE
12 CONTINUE
TCRA)=TOA)*CR
TCRB)=T0B)#CR
RETURN
END
4.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПРИВЕДЕННЫХ ЖЕСТКОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
КОНТИНУАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ РЕГУЛЯРНЫХ
ФЕРМЕННЫХ БАЛОК И ПАНЕЛЕЙ
Для оценки напряженно-деформированного состояния крупногабаритных
ферменных балок, панелей или платформ (рис. 4.7), построенных из набора
регулярных стержневых ячеек, можно воспользоваться приемом энергети-
энергетического осреднения жесткостных характеристик и выполнить необходимые
расчеты с использованием моделей деформирования многослойных балок или
панелей [35].
Рис. 4.7. Примеры схем ферменных панелей и балок
212

Выделим в ферменной конструкции несущие и промежуточные слои.
Замкнутые силовые наборы стержневых решеток, параллельных плоскости
0*1*2, назовем несущими слоями. Соединительный слой стержневого набора1,
связывающий несущие слои, будем называть промежуточным.
Будем считать,- что несущие слои воспринимают мембранные нагрузки»
а промежуточный слой — сдвиговые. Согласно модели деформирования мно-
многослойной оболочки для слоя с координатой гц-\, отсчитываемой от коорди-
координатной поверхности, мембранные деформации будут равны:
,, A,2); , , ,; \ , ' ' ^
Средние деформации поперечного сдвига в промежуточных слоях опреде1
ляются как
Тз1=Ч>1, A,2). ' ..'.::. , . D.85);
Воспользовавшись связью деформаций, записанных в исходной и повернуг
той системах координат B.60), можно установить, что относительное удли-
удлинение' стержня в направлении прямой линии ох на поверхности несущего
слоя (рис. 4.8) будет равно . . !
*щ = 11ге1Ц] + 1**е2Щ + 111гУ1211у': ¦ ¦' ¦'¦ D.86)
где
li — cos(x, *i) = cos«i, A,2). , . , . , , .
Будем считать, что такое же: удлинение возникнет в стержне/ если его ось
совпадает с направлением ох. _ - , . . ,;ч
Рис. 4.8. Ориентация стержня в
поверхности несущего слоя . — •¦ ', ¦¦ ¦ -<
Для промежуточного слой, в нотором деформации сдвига считаются.ос1-
новными, относительное удлинение стержня вдоль прямой ох (рис. 4.9) вы-
вычисляется следующим образом
Рис. 4.9. Ориентация стержня в
промежуточном слое

D.87)
где
h=cos(*. ^a)==cos«», (k=\, 2, 3).
По известным координатам конечного и начального узлов стержня направ-
направляющие косинусы 1к определяются как
*«=!. 2.3);
если принять, что *j=z.
Таким образом, иа основании соотношений D.84)—D.87) для (-го
стержня можно получить связь линейных деформаций стержня с обобщенны-
обобщенными деформациями континуальной модели панели (пластина и балка будут
частными случаями):
ец}=Тщ9, D.88)
где
&=[еи е2, Yi2. xi, x2, Xi2. *ь «М*;
для стержня в несущем слое
Tm = IV. /,«. (/,/,). (*mV). (г,,,/,1). (*„,/,/,), 0, 0];
для стержня в промежуточном слое
Тт=[0, 0, 0, 0, 0, 0, («,), №)].
Здесь индекс [i] для направляющих косинусов /* опущен.
Приведенные жесткостные характеристики и температурные составляющие
внутренних силовых факторов можно определить, приравняв работы внут-
внутренних сил иа возможных деформациях дискретной и континуальной моде-
моделей. Пусть регулярная ячейка дискретной модели содержит Af стержней и
ее проекция иа плоскость oxiXi ограничена контуром, охватываемая пло-
площадь которого равна So, тогда
N
где /[<) — длина «-го стержня.
С учетом D.88) это равенство работ можно переписать в виде:
2
Отсюда следует, что
N
Следует заметить, что при вычислении матрицы 3) D.89) и вектор-столбца
JCt для тех стержней, которые одновременно формируют п ячеек (ивлиют-
ся общими), жесткости [ЕА)т и силы /чщ должны браться уменьшенными
в п раз.
214

После определения 3D D.89) и Л?т D.90) процедуры расчета контину-
континуальной модели выполняются согласно теории многослойных стержней плас-
пластин и оболочек. Оценку деформаций в стержнях производят с использовани-
использованием соотношений D.88).
Составим подпрограмму определения приведенных жесткостных харак-
характеристик континуальной модели ферменной панели.
В качестве исходных данных примем:
NST — число стержневых элементов в ячейке; NUS — число узлов стержне-
стержневых элементов в ячейке; LINB, NST) —массив, содержащий номера на-
начальных и конечных узлов стержневых элементов; XX C, NUS)—массив,
содержащий координаты Х\, Хъ г уэлов стержневых элементов; EA(NST> —
массив, содержащий жесткости стержней (ЕА)(п (полные жесткости)]
FT(NST) — массив, содержащий температурные составляющие Етц\ (пол-
(полные) стержней; MM(NST)—массив, t-й коэффициент которого уиазывает
число ячеек, примыкающих к данному стержню; SO — эффективная площадь
ячейки.
В результате работы подпрограммы CONTI получим:
D(8,8) — массив, содержащий коэффициенты матрицы приведенных жесткост-
иых характеристик 3); TN(8) — массив, содержащий коэффициенты темпе-
температурных составляющих внутренних силовых факторов континуальной по-
подели JfT.
Текст подпрограммы CONTI
SUBROUTINE CONTI,(NST, NUS, LIN,
¦ XX EA, FT, MM, SO, D, TN).
DIMENSION LINB, NST), XXC, NUS), EA(NST),
¦ FT(NST), MM(NST), XLC), CC), T(8), D(8,8), TN(8)
: DO 7 1=1,8
TN(I)=0.
DO 7 J=l,8
! 7 D(I, J)=0.
DO 1 1=1, NST
; I1 = LINA, I)
I2=LINB, I)
\ DL=0.
DO 2 J= 1,3
XL(J),=XX(J, 12)—XX(J, II).
2 DL=DL+XL(J)#»2
DL=SQRT(DL)
DO 3 J=l,3
3 C(J)=XL(J)/DL
DO 4 J= 1,8
4T(J)=0.
IF(ABS(CC)).GT.1.0E—4)GO TO 5
Z=(XXC, I1)+XXC, 12))»0.5
TA)=CA
()(
TB)= С B
TC)=CA
**2
#CB)
TD)==TA)»Z
TE)=TB)!,Z
TF)=*TC)»Z
5 TG)=CC)»CA)
T(8)=CC)*CB)
EAS==EA(I)/M]Vl(I)/SO»DL
DO 6 J=l,8
TN(J)==TN(J)+T(J)»FT(I)/SO/MM(I)«DL
DO 6 K=1.8
6 D(J, K)=D(J, K)+T(J)»T(K)»EAS
1 CONTINUE
RETURN
END
215

5. МНОГОСЛОЙНЫЕ ОБОЛОЧКИ
Особое внимание в главе уделено оболочкам вращения. Среди много:
слойных конструкций, выполненных из композитных материалов, оболочки
вращения занимают особое место, поскольку они весьма технологичны, при
изготовлении естественным для волокнистых композитов методом — методом
намотки. С точки зрения расчета многослойных конструкций оболочки вра-
вращения являются достаточно простыми объектами исследования. Аппроксима-
Аппроксимации деформаций в трансверсальном направлении и периодичность решений
по .окружной координате позволяют свести решение трехмерной задачи тео-
теории уцругохт.и к последовательности решений одномерных краевых задач.
Р главе показано, как, используя вариационно-матричный способ, для обо-
ободочек вращения произвольной геометрии и жесткостной структуры можно
получать "канонические системы дифференциальных уравнений для решения
задач статики, устойчивости,и колебаний.
Отдельный раздед посвящен цилиндрическим оболочкам. Расчет ци-
цилиндрических оболочек из. слоистых композитных материалов обладает ря-
рядом особенностей,, и далеко :не всегда удается воспользоваться известными
решениями, полученными для" тонких ортотропных оболочек. Кроме того,'
даже для простых расчетных схем аналитические решения для оболочек из
слоистых композитных материалов, как правило, теряют свои основные
преимущества, заключающиеся в простоте расчетных зависимостей и обозри-
обозримости аналитических выкладок. В этих случаях оказывается удобней исполь-
использовать более общий математический аппарат и проводить расчеты на ЭВМ.
5.1. СТАТИКА МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
5.1.1. Вариационно-матричный способ получения канонических
систем дифференциальных уравнений
Рассмотрим многослойную оболочку вращения. Координаты
cti, яг направим вдоль меридиана и параллели. Материалы
слоев пусть будут ортотропными с осями упругой симметрии,
совпадающими с направлениями координатных линий. В этом
случае при получении разрешающих уравнений можно пользо-
пользоваться соотношениями, записанными для амплитудных значе-
значений л-й гармоники разложений функции в ряды Фурье по
угловой координате а2- Ниже приводятся процедуры получе-
получения канонических систем разрешающих дифференциальных
уравнений для решения задач статики многослойных оболочек
вращения общего вида.
На рис. 5.1 показан кольцевой оболочечный элемент, огра-;
ничейный нормальными коническими сечениями ai = a(u и ы,\ = -
=аB). Ось cti направлена вдоль меридиана, угловая координа-
координата «2 определяет плоскость меридиана, координата Z направ-
направлена вдоль внешней нормали; радиус параллели равен пара-
параметру Ламе А2. , . .
Будем считать, что в пределах кольцевого элемента геомет-
геометрические параметры, жесткостные характеристики и внешние
поверхностные силы изменяются непрерывно. В общем случае
216-

Рис. 5.1. Кольцевой оболочечный элемент
математическая формулировка принципа возможных перемеще-
перемещений для кольцевого оболочечного элемента имеет следующий
вид (разд. 2. 5. 3):
аB) 2п , , ; 2 2ге
J J (баггЛ"-6Хгр) Л^а^а,-^ J eX[(]tw^2(oda2=0, E.1)
аA)° =10
где ^—¦ вектор-столбец обобщенных деформаций; Л3 — вектор-
столбец внутренних силовых факторов, сопряженных с <§; X —
вектор'Столбец обобщенных перемещений; р — вектор-столбец
распределенных сил, сопряженных с X; Х«) = Х(а1=а«)), (t =
= 1,2)—обобщенные перемещения торцевых сечений; t(t), (i=.
=¦1,2)—вектор-столбцы внешних торцевых реакций (считает-
(считается, что положительные направления X(i) и t(j> совпадают)/,
А2(ц~A2(a(i)). Связь обобщенных внутренних силовых факто*
ров и деформаций устанавливается на основе соотношений
упругости
/С=Ш, . ' . E.2)
где St> — симметричная положительно определенная матрица,
содержащая приведенные жесткостные характеристики много-
многослойного пакета. Конкретное представление компонент векто-
векторов и матриц будет приводиться ниже для конкретных моде-:
лей деформирования.
Воспользовавшись периодичностью решений по угловой коор-,
динате аг, кинематические и силовые факторы разложим в три-
тригонометрические ряды и представим в виде
2 2Рф«Ф«. / "¦ .E.3)
п=0 п=0
где Ф = ($\ JP, X, р, X(i)( t{i)), а матрицы Рф„, $фп содержат
тригонометрические функции sin na2, cos na2. Коэффициенты
21Т

разложений Ф„ и Ф„ соответствуют симметричным и косо*
симметричным (относительно нулевого меридиана ос2=О) со-
составляющим решений и являются функциями координаты а,. Спе-
Специальный выбор знаков при коэффициентах матриц р$п и |фЛ
позволяет формировать одинаковые системы разрешающих урав-
уравнений как для симметричных, так и для кососиметричных со-
составляющих. Поэтому в дальнейшем, если не указывается при-
принадлежность к симметричным или кососимметричным состав-
составляющим (т. е., если отсутствуют символы «—> или «~»), то
подразумевается, что такая запись справедлива как для сим-
симметричных, так и для кососимметричных составляющих. Ниж-
Нижним индексом п будет отмечаться принадлежность к n-й гар-
гармонике разложения.
После подстановки E.3) в E.1) и интегрирования по угло-
угловой координате осг получим следующую одномерную вариацион-
вариационную формулировку:
"B) 2
j &>Я- ЪХтпрп) АхА^ах - 2 f>Xl)at{l)nAm = 0, E.4)
где
Jf 1=208*. E.5)
Для того, чтобы записать связь компонент $п с перемеще-
перемещениями, коэффициентов вектор-столбца Х„ оказывается, как
правило, недостаточно, поскольку необходимо располагать так-
также некоторыми производными d/dai от коэффициентов Хт (на-
(например, производными от перемещений или углов поворота).
Эти производные удобно сгруппировать в отдельный вектор-
столбец Yn. После этого можно представить связь %а с переме-
перемещениями следующим образом:
#n=BInXn+B2nYn- E.6)
Особенностью записи E.6) является то, что матрицы В]„ и
В2„ не содержат дифференциальных операторов d/dai, посколь-
поскольку все необходимые производные от обобщенных перемещений
Хп присутствуют в вектор-столбце Yn. Возможные деформации
ЛУ?„ определяются аналогично E.6), т. е. б^Г„»= ВьоХ«+ Bsn6Y».
Между коэффициентами Хп и Yn, а также 6Х„, 6Yn по опре-
определению существует дифференциальная связь, которую в об-
общем виде можно представить:
E.7)
Л, dat
Для того, чтобы в формулировке задачи E.4) коэффициен-
коэффициенты Xn, Yn считать независимыми, нужно дополнительные уага-
.218

вия связи E.7) ввести в E.4) с помощью множителей Лагран-
жа. В результате этих процедур с учетом F.5), E.6) получим
«B)
J ((В1пбХ„ + B2ndYn)T 3) (В1ЯХЯ + B2nYn) - бХ?р„) A2A1dal +
»B)
аA)
E.8)
где %п и 6Я„ — множители Лагранжа. Вариационная формули-
формулировка E.8) позволяет получить искомую каноническую систе-
систему дифференциальных уравнений (см. раздел 1.3)
_1_ _*_ [XJ _ ГА„ А121 ГХ„] , ГН
At da, [Хп J - [А21 A22J [Х„ ] +
где матричные блоки системы определяются следующими со-
соотношениями:
A2i = Sn— dS2I; Агг=—Аи; E.10)
b = C2S22; d == S2i S22;
SlJ=A2BLs>BJn, (i, У = 1,2); E.11)
H, = 0; Н2=-Л2р„, E.12)
также выразить компоненты вектор-столбца Yn
Vn=S?(Cl\n-S21Xn) E.13)
и записать граничные условия при
E.14)
где ^(j)n=^n(a(i)) (t=l, 2). Кинематические граничные условия
могут задаваться на компоненты векторов Х«)п. Как следует
из записи силовых граничных условий E.14), множители Лаг-
Лагранжа кп представляют внутренние силовые факторы, умно-
умноженные на радиус параллели.
219

Полученная вариационно-матричным способом система диф-
дифференциальных уравнений E.9) в качестве неизвестных функ-.
ций аргумента оц содержит компоненты вектор-столбцов обоб-
обобщенных перемещений Х„ и обобщенных силовых факторов кя.
Соотношения E.10) — E.12) определяют алгоритм получения
коэффициентов канонической системы. В качестве исходной
информации выступают матрицы Bin, B2n E.6), определяющие-
кинематику деформирования; матрица ??> E.5), характеризую-
характеризующая приведенные жесткости многослойного пакета; матрицы
Сь С2 E.7), устанавливающие связи между Х„ и Yn; вектор-
столбец р« E.12), определяющий-коэффициенты разложения в
ряды Фурье внешних распределенных сил и моментов. Конкрет-
Конкретное содержание исходной информации приводится в последую-
последующих, разделах.
После решения краевой задачи и определения в сечениях
вывода результатов Х„ и Х„ определяется вектор-столбец Yrt =
= ЬГХ„ — dTXn E. Ю), E.13). После этого с использованием E.6)
восстанавливаются значения обобщенных деформаций <8п
и осуществляется пересчет результатов для точек вывода E.3).
В точках вывода производится суммирование решений по от-
отдельным гармоникам. \ --¦"¦'
Рассмотрим особенности получения разрешающих уравнений
для случая совместного силового нагружения и нагрева. Исход-
Исходная вариационная формулировка остается прежней E.4). Из-
Изменяется запись связи обобщенных силовых факторов с дефор-
деформациями J?=?)&—JTT, где Jfi — вектор-столбец температур-
температурных, составляющих внутренних силрвых факторов B.126). Для
п-вг Гармоники разложения запишем
JTTn. : -' E.15)
Такое представление внутренних.силовых факторов приведет к
изменению вектор-столбца свободных членов в системе диф-
дифференциальных уравнений E.9). Вместо- E.12) получим
г дег
N, = А2 (р„
Кроме того, вместо выражения (.5.13) для \п следует восполь-
воспользоваться зависимостью
Уп = S^1 (N2 + С!\ - S21Xn), E.17}
Или
Значения обобщенных деформаций вычисляются согласно
E.6), для определения внутренних силовых факторов необхо--
димо использовать выражение E.15).

5.1.2. Подпрограмма получения канонической системы
дифференциальных уравнений
Разрешающую систему дифференциальных уравнений E.9) представим
в виде .,,.,.
'•••••' E.18)
где
п А,,! ГНЛ
it A22J; и—яЧН1]-_ ,
Составим подпрограмму вычисления матрицы канонической системы А
и вектора свободных членов Н. ( г , ,
В качестве исходных данных примем:
NX, NY — целые числа, определяющие размерности вектор-столбцов Х„ и
"Yn; NE — размерность вектор-столбца обобщенных деформаций &; N —
число уравнений, формирующих разрещающуЮ систему дифференциальных
уравнений (N=2NX); B1(NE, NX)—массив коэффициентов, соответствую-
соответствующий матрице Вш E.6); B2(NE, NY) —'масрив коэффициентов, соответствую-
соответствующий матрице Bin E.6); DD(NE, NE)—массив, содержащий коэффициенты
матрицы приведенных жесткостных. характеристик многослоиного пакета Ф
E.2);C1(NX, NX), C2(NX, NY)—массивы, соответствующие матрицам свя-
связи С,, С2 E.7); P(NX), TN(NE)—массивы, соответствующие вектор-столб-
вектор-столбцам распределенных сил р„ (сопряженных с Х„) н температурных состав-
составляющих внутренних силовых факторов JTn\ ,A1, A2 — параметры Ламе
Аи А2.
В результате работы подпрограммы STAH получим:
A(N, N) — массив, содержащий коэффициенты матрицы А, разрешающей
системы дифференциальных уравнений E.18); H(N)—массив, содержащий
коэффициенты вектор-столбца свободных членов Н E.18).
Рабочие массивы: В (NX, NY) D(NX, NX), S(NY, NY), S11(NX, NX),
S22(NY, NY), S21(NY, NX), Ql(NX), Q2(NY), BD(NX, NE).
В массивах В (NX, NY), D(NX, NY), S(NY, NY), Ql(NX), Q2(NY)
после работы подпрограммы находятся вспомогательные матрицы b, d, Sjj-'
E.10) и вектор-столбцы Nb N2 E.16). Массив Cl после работы подпрограм-
подпрограммы не сохраняется.
При работе подпрограммы STAH используются подпрограммы MUM,
МТМ, ММТ, MATIN, SKM (Приложение 2).
Текст подпрограммы STAH
SUBROUTINE STAH(NX NY, NE, N, Bl, B2 DD, Cl C2,
* P, TN, Al, A2, A, H, B, D, S, SI 1, S22, S21-, Ql, Q2, BD)
DIMENSION B1(NE, NX), B2(NE, NY), DD(NE, NE),
1 --» C1(NX, NX), C2(NX, NY), P(NX), TN(NE),-A(N,N),
* H(N), В (NX, NY), D(NX, NY), S(NY, NY), S11(NX, NX),
* S22(NY, NY), S21(NY, NX), Ql(NX), Q2(NY), BD(NX, NE.)
CALL MTM(B1, TN, Ql, NE, NX, 1)
CALL MTM(B2, TN, Q2, NE, NY, 1)
CALL SKM(Q2, A2, NY, 1)
CALL SKM(DD, A2, NE, NE)
CALL MTM(B1, DD, BD, NE, NX NE)
CALL MUM(BD, Bl, Sll. NX, NE, NX)
CALL MTM(B2, DD, BD, NE, NY, NE)
CALL MUM(BD, B2, S22, NY, NE, NY)
CALL MUM(BD, Bl, S21, N4, NE, NX)
DO 1 1=1, NX
IN = I+NX
Q1(I)=A2*(P(I)+Q1(I))
DO 1 J = l, NX :
221

A(I, J)=C1(I, J)
1 A(IN, J] =S11(I, J)
CALL MATIN(S22, S, NY)
CALL MUM(C2, S, B, NX, NY, NY)
CALL MTM(S21, S, D, NY, NX, NY)
CALL MMT(B. C2, Cl, NX, NY, NX)
CALL MUM(B, S21, Sll, NX, NY, NX)
DO 2 J= 1, NX
JN=J+NX
DO 2 1=1. NX
IN=I+NX
Ai(I, J)=A(I, J)-S11(I, J)
A(JN, IN),=—A(I, J)
2 A(I, JN)=C1(I, J)
CALL MUM(D, S21. Cl, NX, NY. NX)
DO 3 1=1, NX
+
DO 3 J=l, NX
3 A(IN, J)=A(IN, J)—C1<I, J)
CALL SKM(A, Al, N, N)
CALL MUM(B, Q2, H, NX, NY, 1)
I=NX+1
CALL MUM(D, Q2, H(I), NX, NY, 1)
DO 4 1=1. NX
IN=I+NX
4 ЩШ) =H(IN)—Q1(I)
CALL SKM(H, Al, N, 1)
A3i=l./A2
CALL SKM(DD, A3, NE, NE)
RETURN
END
5.1.3. Тонкие многослойные оболочки
Исходные данные для получения разрешающей системы диф-
дифференциальных уравнений E.9) имеют следующий вид.
Обобщенные деформации S и матрицы разложения & в
тригонометрические ряды:
<Г=[е,, е2, ч,2, и,, и2, Х12Г;
pen = fcn, cn, sn, cn, с„, sn\; E.19)
Рвл = |5п, Sn, Сп> Sn, Sa, Сп\,
где sn=sinna2; cn=cosraa2; угловыми скобками обозначаются
диагональные матрицы.
Внутренние силовые факторы Jf и матрицы разложения JC
в тригонометрические ряды:
Jf=[Nu N2, Ni2, Мь М2, Mi2]T;
$Nn — %w> §Nn = Pen-
Обобщенные перемещения X и матрицы разложения X з
тригонометрические ряды:
222

Х=[и,, и2, w, со,]7";
fxn=\cn, sn, сп, сп\; E.20>
P*na=[sn>—С „г Sn, Sn\.
Компоненты вектор-столбца Y и матрицы разложения Y в три-
тригонометрические ряды:
=[cn, sn, cn\;
E.21)
Компоненты вектор-столбца внешних распределенных сил
р и матрицы разложения р в тригонометрические ряды:
где рь р2 — распределенные касательные поверхностные силы,
действующие вдоль <хг и аг-линий; рз — нормальное давление
(положительное направление действия давления рз соответст-
соответствует положительному направлению оси ог).
Обобщенные силовые факторы к, сопряженные с перемеще-
перемещениями X E.19), будут представлены следующими компонента-
компонентами:
\=A2[NV N*2, Q,*. Mtf;
где
Матрица приведенных жесткостных характеристик многослой-
многослойного пакета 3) имеет структуру D.19).
Для амплитудных значений n-х гармоник разложения де-
деформационные соотношения устанавливаются на основе соот-
соотношений
-r;?- Л;
1 d
и1л»
Xl2= 2
^ ^ U2\
E.22>
223

где
Согласно E.22) для выбранных последовательностей ком-
компонент вектор-столбцов & E.19), X E.20) и Y E.21) матрицы
ф й В В E6) б
в,„=
деформационных соотношений
дующие коэффициенты:
¦ о о
Ф_21 «
— П —ф21
О 0_
О к2п
О -
Матрицы связи Ci и
0 00 О
О О О О
() () р
Вг„ E.6) будут иметь сле-
сле*2
о
О
в
'2л-=
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0"
0
0
1
0
О"
о
о
о
Ф21
— 2п_ 0 2k-> О
E.7) в этом случае:
rl О 0-
п 0 10
Ч = 0 0 0
.0* 0 0 Oj L0 О 1J
Компоненты вектор-столбца температурных составляющих внут-
внутренних силовых факторов Jf? упорядочены следующим рбразом:
Л°т = [ЛГ1т, ЛГ2т, 0,Ми, М2т, Of.
Матрицы разложения JVT в тригонометрические ряды совпада-
совпадают с матрицами §еп, р8л E.19).
5.1.4. Учет деформаций поперечных сдвигов
Компоненты обобщенных- деформаций S" и матриц р8П, pgn
имеют следующий вид: '
?T = [8j, e2, "fl2. Ир Х2, Xl2, 1J3,, Ч^г]^
. ?еп = \сп, сп, sn, cn, cn, sn, cn, sn]; E.23)
Внутренние силовые факторы
j?> = [Nl, N2, N12, Mv M2, Mi2, Q,, Q2]r;
Обобщенные перемещения X и матрицы
как
' Х=[й,, «2. ®. 8р 02]Г;
hn=\cn, sn, ca, с„. sn\;
~§xn записываются
E.24)
Компоненты вектор-столбца Y соответственно
.224

Y=—— \u и да 0 0 V E25)
Матрицы разложения Y в тригонометрические ряды РУЛ = Р*Л,
Компоненты вектор-столбца внешних распределенных сил р
с учетом пояснений к выражению B.118):
Р=Ьь Pi, Рз, ти m2f E.26)
Матрицы разложения р в тригонометрические ряды Ррл—Р*л»
Обобщенные силовые факторы X, сопряженные с перемеще-
перемещениями X E.24), имеют следующие компоненты:
k=A2[Nu N12, Q, Ми Ml2]T. E.27)
Матрицы разложения X в тригонометрические ряды pa,n = fUi>
Ры=%п- Матрица приведенных жесткостных характеристик
многослойного пакета Ф имеет структуру D.6).
Коэффициенты обобщенных деформаций &п выражаются
через перемещения следующим образом:
1
1 d
— Ф21«2Л + J^ ^"
2п = — «01« — Ф2102« + X, Ж;
На основе соотношении
В2„ с учетом E.6):
~ 0
Ф21
— п
0
0
0
— к.
0
0
п
— Ф21
0
0
0
0
1
k2
0
0
0
0
0
— п
E..
0
0
0
0
Фа
— п.
1
0
;!б) заполняются
0 ""
0
0
0
п
— Ф21
0
1
матрицы
10 0 0
0 0 0 0
0 10 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 10
_0 0 0 0
0
0
0
0
0
1
0
0
15—1490
225

Матрицы связи Ci и С2 с учетом E.7):
Ci = OEX5),; С2=ЕEх5), E.29)
где 0Ex5) и ЕEх5) — нулевая и единичная матрицы размерности
EX5).
Компоненты вектор-столбца температурных составляю-
составляющих внутренних силовых факторов Л°т упорядочены следующим
образом:
JT,=[Nb, N2u О, Ми, М2т, О, О, 0]г. E.30)
Матрицы разложения NT в тригонометрические рялы совпа
дают с матрицами §еп и р8и.
5.1.5. Учет деформаций поперечных сдвигов и изменения
метрических характеристик
Обобщенные деформации & и матрицы pfra, ~pen имеют вид:
^=[б,, 62. Е,2, Б21, И,, И2> И,2, И2], -ф!, ¦фг]7';
Внутренние силовые факторы 7V соответственно:
Jf=*[Nv N2, Nl2, N2l, Mi, M2, Mn, M2V Q,, Q2]
Коэффициенты матрицы приведенных жесткостных характе-
характеристик многослойного пакета 2) определяются с учетом изме-
изменения метрических свойств B.149) (пример 2.2 и подпрограм-
подпрограмма DKSL).
Для п-й гармоники разложения коэффициенты вектор-столб-
вектор-столбца обобщенных деформаций <!?„ выражаются через перемеще-
перемещения следующим образом:
1 d
Е21л= —ПЩп —
% 1± a ¦
1 d
'21л-
E.31)
226

На основе соотношений
с учетом E.6)
в,„=
~ 0
Ф21
0
— п
0
0
0
0
-kx
0
0 '
п
0
— Ф21
0
0
0
0
0
__и
*1
?2
0
0
0
0
0
0
0
E.31)
0
0
0
0
0
Ф21
0
— п
1
я 0
заполняются матрицы
о -
0
0
0
0
п
0
— Ф21
0
1
. В2га=
~1 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
в
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
о-
0
0
0
0
1
0
0
0
0
•
Представление компонент вектор-столбцов X, Y, р, к дается
выражениями E.24) — E.27). Матрицы связи Сь С2 и вектор-
столбец JfT определяются согласно E.29), E.30).
5.1.6. Подпрограмма вычисления матриц жесткости
кольцевых оболочечных элементов
Подпрограмма использует вариационно-матричный способ получения
канонической системы разрешающих уравнений, численное интегрирование
методом Рунге—Кутта для формирования матрицы фундаментальных ре-
решений (МФР) на кольцевом оболочечном элементе и получение на основе.
МФР матрицы жесткости конечного элемента оболочки вращения.
Формальные параметры головной подпрограммы SHEST: NSH — суммар-
суммарное число оболочек в конструкции; 1SH—номер рассматриваемой оболочки
в конструкции; NEL — число конечных элементов в рассматриваемой оболоч-
оболочке; IEL — номер конечного элемента в рассматриваемой оболочке
(ls?lEL<NEL); IT — признак типа оболочки AТ= 1—конус; 1Т=2 —эллип-
—эллиптический тор); GEME, NSH)—массив геометрических характеристик обо-
оболочек (см. описание исходных данных для подпрограммы GEOM, при-
пример 2.1); KSL, CC, H, E, F, ТЕ, TS, BL, AL — даны в описании исходных
данных для подпрограмм DKSL=TERMN (примеры 2.2, 2.3); NG — номер
гармоник и разложения решений в ряды Фурье по угловой координате о2
(соответствует га); KIN—число шагов интегрирования канонической систе-
системы на конечном элементе; NX, NY, NE, N — целые числа, указывающие
размерности вектор-столбцов X, Y, E, Z; (Af=2XNX); P(NX)—массив,
содержащий коэффициенты вектор-столбца распределенных сил р„ (сопря-
(сопряженных с Х„).
В результате работы подпрограммы SHEST получим: SE(N,N) —мас-
—массив, содержащий коэффициенты матрицы жесткости кольцевого конечного
элемента оболочки вращения, соответствующий К= А'11Д'12| в выра-
выражении A.111); PE(N)—массив, содержащий коэффициенты вектор-столбца
приведенных узловых сил, соответствующий P={P(i)T, P<2)T]T в выражении
A.111); BB(NE, N); EE(NE)—массивы, содержащие коэффициенты матри-
матрицы В и вектор-столбца Е, с помощью которых после решения задачи мож-
можно вычислить значения коэффициентов вектор-столбцов обобщенных дефор-
деформаций в конечном сечении элемента (?T=Bq+E, где q = [XA)r, XB)TJr —
вектор-столбец узловых обобщенных перемещений конечного элемента; В=
15*
227

=[Вп, B,2]; B,i = B2brK2i; Bi2=B2brK22—B2dr+B,; E=B2(S22-'N2())
Здесь использовались зависимости E.6), E.14), E.17), а также представле-
представление *,B)=K2iX(i)+K22XB)—P(j) (индекс п опущен)).
Для работы подпрограммы SHEST используются следующие подпро-
подпрограммы: GEOM, DKSL, TERMN (примеры 2.1, 2.2, 2.3); STAH (разд. 5.1.2);
MFR, STF (Приложение 4), а также четыре специальные подпрограммы
DMODL, TLOAD, DEFOR, RELAT — которые формируют исходные данные
для выбранной модели деформировании оболочки. В текстах, приведенных
ниже, эти специальные подпрограммы написаны для оболочки, модель де-
деформирования которой учитывает деформации поперечных сдвигов и изме-
изменение метрических характеристик по толщине многослойного пакета (раз-
(раздел 5.1.5). В случае использования других моделей эти подпрограммы не-
необходимо заменить.
В подпрограмме DMODL вычисляется матрица приведенных жесткостей
3D (идентификатор DM) многослойного пакета, соответствующая выбран-
выбранной модели деформировании.
В подпрограмме TLOAD формируется вектор-столбец температурных
составляющих погонных силовых факторов yfTn (идентификатор TTN).
Подпрограмма DEFOR заполняет массивы, соответствующие матрицам
Вт, В2„ (идентификаторы Bl, B2), которые связывают обобщенные де-
деформации 8 с вектор-столбцами Хге и Yn E.6).
В подпрограмме RELAT заполняются матрицы связи Сь С2, где иденти-
идентификаторы Cl, C2—из уравнения E.7).
Тексты подпрограмм
SUBROUTINE SHEST (NSH, 1SH, NEL, IEL, IT,
* GEM, KSL, CC, H, F, E, ТЕ, TS, BL, AL, NG, KIN,
* NX, NY, NE, N, P, SE, РЕ, ВВ, ЕЕ)
DIMENSION GEME, NSH), CCG, KSL), H(KSL)
* F(KSL), BL(KSL), ALB,KSL), P(NX), SE(N, N), PE(N),
* TND), TMD), BH50), B2E0), DD(IOO), DM(IOO),
* TTN A0), С 1B5), C2B5), AAC00), HHC0),
* BB5), DB5), SB5), SllB5), S22B5), S21B5),
* QlE), Q2E), BDE0), XC), YA10), YlA10),
* Y2A10), Y3A10), Y4A10), ZA10), AXA00),
* HXA0), RlB5), R2B5), BB(NE, N), EE(NE)
DL=(GEMB, ISH) — GEMA, ISH))/NEL
XC)=DL*1EL+GEMA, ISH)
XA)=XC)— DL
XB)=0.5*(X(l)+XC))
XX=XB)
CALL GEOM (NSH, ISH, IT, XX,
* GEM, Al, A2, RK1, RK2, F21, TET)
CALL DKSL (RK1, RK2, KSL, CC, H, F, E, DD)
CALL TERMN (RK1, RK2, KSL, CC,
* H, F, E, ТЕ, TS, BL, AL, TN, TM)
CALL DMODL (DD, NE, DM)
CALL TLOAD (TN, TM, NE, TTN)
DO 1 1=1,3
XX=X(I)
CALL GEOM (NSH, ISH, IT, XX,
* GEM, Al, A2, RK1, RK2, F21, TET)
CALL DEFOR (NX, NY, NE, RK1, RK2,
* F21, A2, NG, Bl, B2)
CALL RELAT (NX, NY, RK1, Cl, C2)
IA = N*N*(I—1) + 1
IH = N*(I—1) + 1
CALL STAH (NX, NY, NE, N, Bl, B2, DM, Cl C2 P, TTN,
* AI, A2, AA (IA), HH (IH), B. D, S, Sll, S22, S21, Ql, 02, BD)
1 CONTINUE
CALL MFR (X(l), XC), AA, HH, N,
22S

* Yl Y2, Y3, Y4, Z, AX, HX, KIN, Y)
N1=N + 1
CALL STF(Y, N, NX, N1, Rl, R2, SE, PE)
DO 2 1=1, NX
M=NX+1
IJ = I—NX
DO 2 J=l, NX
K = NX+J
1J = IJ + NX
S21(IJ)=SE(M, J)
2 S22(IJ) = SE(M, K)
CALL MMT(B2, B, Z, NE, NY, NX)
CALL MUM(Z, S21, BB, NE, NX, NX)
CALL MUM(Z, S22, Yl, NE, NX, NX)
CALL MMT(B2, D, Y2, NE, NY, NX)
M=NE*NX
DO 3 1=1, M
k=m+i
I2=K/NE+1
I1 = K~NE*(I2— 1)
3 BB(I1, I2)=Y1(I)— Y2(I)+B1(I)
CALL MUM(S, Q2, Yl, NY, NY, 1)
N1=NX+1
CALL MTM(B, PE(N1), Y2, NX, NY, 1)
DO 4 1=1, NY
4 Y1(I)=Y1(I)— Y2(I)
CALL MUM(B2, Yl, ЕЕ, NE, NY, 1)
RETURN
END
SUBROUTINE RELAT (NX, NY, RK1, Cl, C2)
DIMENSION C1(NX, NX), C2(NX, NY)
DO 1 1=1, NX
DO 2 J=1,NX
2 Cl (I, J)=0.
DO 1 J=1,NY
1 C2(I, J)=0.
DO 3 1=1, NX
3 C2(I, 1) = 1.
RETURN
END
SUBROUTINE DEFOR (NX, NY, NE,
* RK1, RK2, F21, A2, NG, Bl, B2)
DIMENSION B1(NE, NX), B2(NE, NY)
DO 1 1=1, NE
DO 2 J=1,NX
2 Bl(l, J)=0.
DO 3 J=1,NY
3 B2(I, J)=0.
1 CONTINUE
AN = NG/A2
B1A,3)=RK1
B1B,1)=F21
B1B,2)=AN
B1B,3)=RK2
BlD, 1)=—AN
BlD,2)=— F21
B1F,4)=F21
B1F,5)=AN
Bl(8,4)=—AN
Bl(8,5)=—F21
229

Bl(9,1)=—RK1
Bl(9,4) = l.
BlA0,2)=—RK2
Bl A0,3)=—AN
BlA0,5) = l.
B2(l, 1) = 1.
В2C,2) = 1.
В2E,4) = 1.
В2G,5) = 1.
В2(9,3) = 1.
RETURN
END
SUBROUTINE TLOAD(TN, TM.NE, TTN)
DIMENSION TND), TMD), TTN(NE)
DO 1 1=1,4
TTN(I)=TN(I)
1 TTN(I+4)=TM(I)
TTN(9)=0.
TTNA0)=0.
RETURN
END
SUBROUTINE DMODL (DD, NE, DM)
DIMENSION DD A0, 10), DM(NE, NE)
DO 1 I =1,NE
DO 1 J=1,NE
1 DM(I, J)=DD(I, J)
RETURN
END
5.2. Устойчивость и колебания многослойных
оболочек вращения
При получении разрешающих уравнений будем считать, что
в исходном невозмущенном состоянии оболочка напряжена, но
не деформирована. Исходное напряженное состояние опреде-
определяется решением задачи статики в линейной постановке. При
составлении уравнений движения в окрестности исходного со-
состояния будем учитывать начальное напряженное состояние.
В деформационных соотношениях кроме линейных составляю-
составляющих будем учитывать нелинейные слагаемые, связанные с до-
дополнительными углами поворота нормалей. При решении задач
рассмотрим только осесиМметричное начальное напряженное
состояние. Будем считать, что действующие на конструкцию
внешние нагрузки при движении системы не изменяются ни по
величине, ни по направлению. В целом систему, включая внеш-
внешние нагрузки, поведение материала и условия связи, будем счи-
считать консервативной.
5.2.1. Получение канонических систем
дифференциальных уравнений
Для исследования гармонического движения системы отно-
относительно начального напряженного состояния воспользуемся
линеаризованной вариационной формулировкой B,146), допол-
дополненной работой сил инерции,
230

B) 2п
2 2п
E.32)
E.33)
где Л—параметр нагружения; со — круговая частота гармони-
гармонических колебаний;
*7 о 1
О 7V2°J
— определяет матрицу начальных погонных усилий, коэффи-
коэффициенты которой определяются решением задачи статики при
л=1 (нагружение считается пропорциональным);
<о=[соь со2]г
— вектор-столбец углов поворота нормали;
'Вр 0
СИМ.
0
0
Вр
Ср
0
0
Dp
0 ~
сР
0
0
Dp
E.34)
— матрица приведенных инерционных характеристик много-
многослойного пакета. В общем случае для распределения переме-
перемещений B.106) матрица Ж вычисляется так:
Для вычисления коэффициентов Вр, Ср, Dp можно
ваться приближенными формулами
пользо-
пользогде
Р[М = Рш
'з'1 = D) -4-1)) /3; <[М = B@
Р[<] — плотность t-ro слоя, ^ — число слоев; 2(<-d, Z(,) — началь-
начальная и конечная координаты t'-ro слоя.
231

Воспользуемся периодичностью решения по угловой коорди-
координате «2 и представим искомые функции аналогично E.3). Так
же, как это было сделано в разделе 5.1.1, введем вектор-столб-
вектор-столбцы обобщенных перемещений X и производных Y. Тогда для
и-й гармоники разложения дополнительно к деформационным
соотношениям E.6) запишем выражения для углов поворота
нормали и перемещений
e>n = RA + R2nYn; j
u=FX-f-FY I (o.oo)
После выполнения процедур вариационно-матричного способл
получим однородную разрешающую систему дифференциальных
уравнений для решения задач устойчивости и колебаний
^A]2UXJ E36)
Матричные блоки А,/ системы E.36) определяются выражения-
выражениями E.10) при
S,, = А2 {Bj 0J j)
(/,7 = 1,2). E.37)
С учетом того, что обобщенные перемещения Х„ и силовые фак-
факторы кп являются дополнительными, граничные условия на тор-
торцах рассматриваемой оболочки будут однородными.
Отличие процедур получения канонической системы E.36)
от процедур получения матрицы разрешающей системы диффе-
дифференциальных уравнений для решения задачи статики E.9) за-
заключается в вычислении матриц S;y. Матрицы S,;- E.37) содер-
содержат кроме жесткостных характеристик информацию о началь-
начальном напряженном состоянии, а также инерционные характери-
характеристики системы.
Полученная система дифференциальных уравнений E.36)
позволяет для многослойной оболочки вращения решать задачи
устойчивости и определять критический параметр нагружения.
Для этого в выражении S,/ E.37) следует положить ю2=0. Для
определения частот колебаний оболочки вычисление матриц S,-/
E.37) выполняется при Л=const. В частном случае при Л=0
определяются частоты ненагруженной системы.
Поскольку искомый параметр собственного значения Л
(или со2) входит в коэффициенты матрицы разрешающих диф-
дифференциальных уравнений, то коэффициенты матрицы фунда-
фундаментальных решений, а следовательно, и коэффициенты жест-
жесткости кольцевого оболочечного элемента будут в общем случае
иметь нелинейную зависимость от Л (или со2). В случае разбив-
разбивки оболочки на короткие элементы для каждого элемента мож-
можно применить прием линеаризации матрицы жесткости по па-
параметру собственного значения и выделить для элемента мат-
232

рицу, аналогичную (в МК.Э) матрице приведенных начальных
напряжений (или матрице приведенных масс) конечного эле-
элемента.
5.2.2. Подпрограмма получения канонической системы
для решения задач на собственные значения
Разрешающую систему дифференциальных уравнений E.36) представим
в виде
SS.Z-AZ. <*•*>
Ч» *-*.[?: ?]•
где
Составим подпрограмму вычисления матрицы канонической системы А
(см. E.38)).
В качестве исходных примем: NX, NY, NE, N, Bl, B2, DD, Cl, C2, Al,
A2 —даны в описании подпрограммы STAH (раздел 5.1.2); AN B,2) — мас-
массив, соответствующий матрице AJfo; AM E,5)—массив, соответствующий
матрице <s?Jt\ R1B,NX)—массив, соответствующий матрице Rin E.35);
R2B,NY)—массив, соответствующий матрице R2n E.35); FlE,NX)—мас-
FlE,NX)—массив, соответствующий матрице Fln E.35); F2E, NY)—массив, соответ-
соответствующий матрице iF2n E.35).
В результате работы подпрограммы STAS получим: A(N, N)—массив,
содержащий коэффициенты матрицы А разрешающей системы дифференци-
дифференциальных уравнений E.38).
Рабочие массивы: В (NX, NY), D(NX, NX), S(NY, NY), S11(NX, NX),
S22(NY, NY), S2HNY, NX), BD(NX, NE), R11(NX, NX), R22(NY, NY),
R21(NY, NX), Fll (NX, NX), F22(NY, NY), F21(NY, NX).
Массивы DD, Cl, AN, AM после работы подпрограммы ие сохраняются.
При работе подпрограммы STAS используются подпрограммы MUM
МТМ, ММТ, MATIN, SKM (Приложение 2).
Текст подпрограммы STAS
SUBROUTINE STAS (NX, NY, NE, N, Bl, B2, DD,
Cl, C2, Al, A2, AN, AM, Rl, R2, Fl, F2, A, B, D,
S, Sll, S22, S21, BD, Rll, R22, R21, Fll, F22, F21)
DIMENSION B1(NE, NX), B2(NE, NY), DD(NE, NE),
C1(NX, NX), C2(NX, NY), ANB,2), AME,5), RlB, NX),
R2B, NY), FlE, NX), F2E, NY), A(N, N), В (NX, NY),
D(NX, NY), S(NY, NY), Sll (NX, NX), S22(NY, NY),
S21(NY, NX), BD(NX, NE), Rll (NX, NX), R22(NY, NY),
R21(NY, NX), Fll (NX, NX), F22(NY, NY), F21(NY, NX),
CALL SKM(DD, A2, NE, NE)
CALL SKM (AN, A2, 2, 2)
CALL SKM (AM, A2, 5, 5)
CALL MTM(B1, DD, BD, NE, NX, NE)
CALL MUM(BD, Bl, Sll, NX, NE, NX)
CALL MTM(R1, AN, BD, 2, NX, 2)
CALL MUM(BD, Rl, Rll, NX, 2, NX)
CALL MTM(F1, AM, BD, 5, NX, 5)
CALL MUM(BD, Fl, Fll, NX, 5. NX)
CALL MTM(B2, DD, BD, NE, NY, NE)
CALL MUM(BD, B2, S22, NY, NE, NY)
CALL MUM(BD, Bl, S21, NY, NE, NX)
CALL MTM(R2, AN, BD, 2, NY, 2)
CALL MUM(BD, R2, R22, NY, 2, NY)
233

CALL MUM(BD, Rl, R21, NY, 2, NX)
CALL MTM(F2, AM, BD, 5, NY, 5)
CALL MUM(BD, F2, F22, NY, 5, NY)
CALL MUM(BD, Fl, F21, NY, 5, NX)
DO 1 1=1, NX
IN = I + NX
DO 1 J=1,NX
A(I, J)=C1(I, J)
1 A(IN, J)=S11(I, J)—R11(I, J)— Fll (I, J)
DO 10 1=1,NY
DO 10 J=1,NY
10 S22(I, J) = S22(I, J)—R22(I, J)— F22(I, J)
DO 11 1=1,NY
DO 11 J=1,NX
11 S21(I, J) = S21(I, J)— R21(I, J)— F21(I
CALL MATIN(S22, S, NY)
CALL MUM(C2, S, B, NX, NY, NY)
CALL MTM(S21, S, D, NY, NX, NY)
CALL MMT(B, C2, Cl, NX, NY, NX)
CALL MUM(B, S21, Sll, NX, NY, NX)
DO2J=1, NX
JN=J+NX
DO 2 1=1, NX
IN = I+NX-
A(I, J)=A(I, J)—Sll (I, J)
A(JN, IN)=—A(I, J)
2 A(I, JN)=C1(I, J)
CALL MUM(D, S21, Cl, NX, NY, NX)
DO 3 1 = 1, NX
N N
J)
DO 3 =J1,NX
3 A(IN, J)=A(IN, J)—C1(I, J)
CALL SKM(A, Al, N, N)
DETURN
END
5.2.3. Устойчивость и колебания тонких многослойных оболочек
Исходные данные для получения разрешающей системы
E.36):
матрицы Вт, B2n, Cl С2 в разделе 5.1.3.;
матрица приведенных жесткостных характеристик 2) D.19);
матрицы Rm, R2n, Fm, F2n (см. E.35)) имеют следующий вид:
го
-1
О
О
О
-О
О
k2
О
1
О
О
k
О
п
О
О
1
О
п
о.
Ol
0
0
1
о_
Bx3)
• fl2n=- О
Ex3)'
где 0 —нулевая матрица размерности
dXj)
234

При вычислении коэффициентов Вр, С9, Dp матрицы Ж E.34)
изменение метрических характеристик можно не учитывать.
Компоненты векторов §>, JC, X, Y, % определены в разделе
5.1.3.
5.2.4. Учет деформаций поперечных сдвигов
Исходными данными для получения разрешающей системы
E.36) будут матрицы В1П, В2„, Сь С2, приведенные в разде-
разделе 5.1.4; матрица приведенных жесткостных характеристик мно-
многослойного пакета ЯЬ имеет структуру D.6); матрицы Кщ, Rsn,
Fm. F2n E.35) имеют следующий вид:
~kx 0 0 0 01 ГО 0 —10 0"
0 k, я 0 0 Г R2n= 0 0 0 00
Fln= F ; F2n= 0 ,
Ex5) (SxS)
где F —единичная матрица размерности EX5).
EX5)
Компоненты векторов &, JC, X, Y, к определены в разде-
разделе 5.1.4.
5.2.5. Учет деформаций поперечных сдвигов и изменения
метрических характеристик
Исходные данные для получения разрешающей системы
E.36):
матрицы В1п, В2„, Сь С2, приведенные в разделе 5.1.5;
коэффициенты матрицы приведенных жесткостных характе-
характеристик многослойного пакета Ж) определяются с учетом измене-
изменения метрических свойств (пример 2.2 и подпрограмма DKSL).
Матрицы Rin> R2n, Fln, F2n определяются соотношениями E.39).
Коэффициенты матрицы приведенных инерционных характери-
характеристик Ж E.34) вычисляются с учетом изменения метрических
характеристик (подпрограмма MKSL в разделе 5.2.6).
5.2.6. Подпрограмма вычисления приведенных
инерционных характеристик многослойного пакета
В качестве исходных данных примем: RK1, RK2, KSL, Н, Е—даны в
описании DKSL (пример 2.2); RR(KSL)—массив, коэффициенты которого
содержат значения удельных плотностей слоев p[ij;
В результате работы подпрограммы MKSL получим: АММE,5)—мас-
АММE,5)—массив, соответствующий матрице приведенных инерционных характеристик М
E.34).
Текст подпрограммы MKSL
SUBROUTINE MKSL(RK1, RK2, KSL, H, E, RR, AMM)
DIMENSION H(KSL), RR(KSL), AMME,5)
DO 1 1=1,5
DO 1 J=l,5
235

1 AMM(I, J)=0.
Zl=-E
DO 2 1 = 1, KSL
Z2 =
T1 = ()
T2= (Z2* »2—Zl» »2) *0.5
T3=(Z2**3—Zl**3)/3.
T=O.5*(Z1+Z2)
S= A.+RK1 *T) * (l.+RK2»T) *RR(I)
AMMA,1)=AMMA,1)+S»T1
AMMA,4)=AMMA,4)+S*T2
AMM D,4) = AMM D,4) + S » T3
2 Z1 = Z2
AMM B,2)= AMM A,1)
AMM C,3)= AMM A,1)
AMM B,5)= AMM A,4)
AMM E,5)= AMM D,4)
AMMD,1)=AMMA,4)
AMME,2)=AMMB,5)
RETURN
END
5.3. РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
5.3.1. Задача статики свободно опертой многослойной
цилиндрической оболочки
Рассмотрим замкнутую круговую цилиндрическую оболочку,
свободно опертую по торцам х—0 и х=1 (рис. 5.2), нагружен-
Рис. 5.2. Многослойная цилиндрическая оболочка
ную нормальными силами р и q по внутренней и внешней по-
поверхностям (рис. 5.3). Граничные условия свободного опирания
предполагают отсутствие на торцах нормального прогиба ш,
касательного перемещения и2, угла поворота сечения в плоско-
236

Рис. 5.3. Поверхностные нагрузки,
действующие на цилиндрическую
оболочку
сти торца, осевого усилия и изгибающего момента М\. Такие
граничные условия приближенно моделируют опирание края
оболочки на шпангоут, жесткий в своей плоскости и податли-
податливый при кручении и изгибе из плоскости.
Для решения воспользуемся вариационной формулировкой
задачи, основанной на принципе возможных перемещений.
С учетом граничных условий запишем
' 2п/? / 2п/?
i be?TJPdydx — \ \ 6XTpdydx = 0, E.39)
0 0 0 0
где
Ж= [sj, e2, el2, е21, Ир %2, %l2, %2l, i|)[, ty2]T', E.40)
Jf = [Nv N2, Nl2, N2V Mv M2, M{2, M2V Qv Q2]T; E.41)
Х = [да, ifp гр2> к,, u2]r; E.42)
p = [Рз, 0, 0, 0, 0]T; E.43)
p3=(l—e/R)p—(l+s/R)q; e и s — расстояния от координатной
поверхности до внутренней и внешней поверхностей цилиндри-
цилиндрической оболочки (рис. 5.3); х, у — осевая и окружная коорди-
координаты.
Замечания. Следует обратить внимание, что включение в
компоненты вектор-столбца обобщенных перемещений X E.42)
средних углов поперечного сдвига грь грг (а не углов поворота
сечений Эь Эг) возможно только для граничных условий свобод-
свободного опирания. В этом случае разрешающие системы алгебраи-
алгебраических уравнений не содержат особенностей при переходе к
тонким оболочкам и дают результаты, соответствующие гипоте-
гипотезам Кирхгофа—Лява. При выборе обобщенных перемещений
237

в виде Х=[до, Эь Э2, Mi, «гГ определитель разрешающей систе-
системы стремится к нулю при R/h->-°o.
Связь обобщенных деформаций с обобщенными перемеще-
перемещениями устанавливается согласно деформационным соотноше-
соотношениям B.92) при
ду; q>2i = <Pi2 = 0; ?i=0; k2=\/R;
диг . w ди2 du-i
e e
ди2
И21 ~" Ту
где использованы соотношения
d и2
Связь внутренних силовых факторов JC с обобщенными де-
деформациями ё? определяется соотношениями упругости E.2);
коэффициенты матрицы Ж) вычисляются согласно зависимостям
B.17) с учетом нулевой кривизны оболочки в меридиональном
направлении (й] = 0).
При симметричном (относительно вертикальной плоскости
z/=0) нагружении в случае, когда оси упругой симметрии сов-
совпадают с линиями главных кривизн, решение может быть пред-
представлено в виде двойных тригонометрических рядов
ртп,
N2mn, e2mn \sinщхcosny;
с
оо оо
Щ, 92 \ у у (ihmn.
Q2, Ь1~^ ?0 \Q2mn'
Nx2miv rl2mn
— ,
cos mX sin пУ>
2°D

m=mn/t; n=
или в матричном виде
/П=1 Л=0
oo oo
^ 2^
oo oo
**¦=
m=\ /z=0
oo oo
E.45)
P — Zd Zd rpmnPmni
m=l n=0
:^|SmCn) SmCn, CmSn, CmSn, SmCn, SmCn,
лт^п> ^тУп' °/n°n» ^m^ti' ^m^nl*
Здесь обозначено:
sm=sin mx\ cm = cos m.x; т = тл/1;
sn= sin tiy; с n = cos ny; n = n/R.
С учетом соотношений D.45) можно представить связь
амплитудных значений гармоник разложения <?тп и Хт„ в сле-
следующем виде:
^тп = ВтпХтл> E.46)
где
О 0 0 —т 0
VR 0 0 0 ^
0 0 0 0_ т
^0 0_ 0 - п. 0
и! -иО 0 _ 0
jf 0 я_ 0 /г//?
/и/г 0 т 0 m/R
тп —Ъ 0 0 0
О 10 0 0
_ 0 0 1 О О
Для JCmn и <%тп связь устанавливается приведенными соотноше-
соотношениями упругости
E.47)
239
В/пи =

После подстановки в вариационную формулировку задачи
E.39) выражений E.45) —E.47) и выполнения операций ин-
интегрирования получим для т, п-й гармоники разложения реше-
решения систему линейных алгебраических уравнений
KmnXmn = Pmn> E.48)
где
inRl/2 при пфО, т=\, 2,3
d* = \ nRl при я = 0, да = 1,2,3, ... E'49)
представляет приведенную матрицу жесткости; Рт„ — вектор-
столбец приведенных нагрузок. Для рассматриваемой задачи
в вектор-столбце Pmn содержится только один (первый) ненуле-
ненулевой коэффициент
е 2гс/?
Ртп ==\ \ р (х, у) sin щх cos tiydydx.
о oJ
Для случая равномерного давления
, {Ар0/т при я = 0, т= 1, 3, 5, ...
Ртп=\ 0, если/г^О. E>50)
При нагружении оболочки системой N сосредоточенных нор-
нормальных сил (симметрично расположенных относительно обра-
образующей у=0) для вычисления коэффициентов Р1тп можно вос-
воспользоваться выражением
/V
-.1
= 2,^г sin mxt cos nyt,
1=1
где Pi — значение нормальной силы (положительное направле-
направление вдоль внешней нормали); х,, у г — координаты х, у точки
приложения г-й силы.
После решения системы алгебраических уравнений E.48) и
определения коэффициентов вектор-столбца Хт„ вычисляются
компоненты &тп E.46). Далее согласно E.45) производится
накопление результатов в точках вывода.
Рассмотрим один частный случай расчета, относящийся к
тонким цилиндрическим многослойным оболочкам, нагружен-
нагруженным нормальными силами. При расчете таких оболочек можно
не учитывать изменение радиуса кривизны по толщине, дефор-
деформации поперечных сдвигов можно положить равными нулю.
Решением для т, n-й гармоники разложения будут следующие
амплитудные значения перемещений:
240

„ Pmn
u\mn —
E.51)
где
-
«„ = 5n m? + 533«2; fli2 = E,2 + 533) mm
]2 + 2Сгг)тп2;
з=C22«3 + (C,2 + 2C33) m2n;
^ = й?зз {d\\di2 — cf 12) — d\\d2z
Для вычисления амплитудных значений гармоник разложе-
разложения обобщенных деформаций можно воспользоваться зависи-
зависимостями E.48), положив i(iI mn и r|Jmn равными нулю.
5.3.2. Подпрограмма определения напряженно-деформированного
состояния многослойной цилиндрической оболочки
Воспользуемся алгоритмом расчета многослойной оболочки, рассмотрен-
рассмотренным в разд. 5.3.1.
В качестве исходных данных примем:
KSL, CCG, KSL), H(KSL), F(KSL), E —даны в описании исходных дан-
данных подпрограммы DKSL (пример 2.2); R — радиус координатной поверхно-
поверхности R цилиндрической оболочки; DL — длина цилиндрической оболочки; РР —
нормальное давление р; NSIL — число сосредоточенных сил; ХРB, NSIL) —
массив координат точек приложения сосредоточенных сил. В i-м столбце
массива последовательно размещаются значения координат xt, у,;
PN (NSIL) — массив значений сосредоточенных сил; NR—число точек вы-
вывода результатов расчета; XRB, NR)—координаты точек вывода. В i-м
столбце массива последовательно размещаются координаты Xi, ус ММ,
NN — предельные номера гармоник разложения по осевой и окружной ко-
координатам.
1 6—1490 241

В результате работы подпрограммы CILIN получим:
ЕРD, NR)—массив, содержащий в i-u столбце значения ei, е2) е1г, егь вы-
вычисленные в i-й точке вывода; САD, NR) — массив, содержащий в г-м
столбце значения Xi, Х2, Xi2, Х21, вычисленные в t'-й точке вывода;
PSB, NR)—массив, содержащий в i-u столбце значения ipi, 1р2, вычислен-
вычисленные в i-й точке вывода; UC, NR)—массив, содержащий в г-м столбце
значения ш, щ, «г. вычисленные в i-й точке вывода; ТЕТB, NR)—массив,
содержащий в i'-м столбце значения 9Ь 92, вычисленные в i-й точке вывода.
Подпрограмма CILIN использует подпрограммы DKSL (пример 2.2),
MUM, MTM, SKM, GAUSS (Приложение 2).
Текст подпрограммы CILIN
SUBROUTINE CILIN (KSL, CC, H, F, E, R, DL, PP,
* NSIL, XP, PN, NR, XR, EP, CA, PS, U, TET, MM, NN)
DIMENSION CCG, KSL), H(KSL), F(KSL), XPB, NSIL),
« PN(NSIL), XRB, NR), EPD, NR), CAD, NR), PSB, NR),
* NC, NR), TETB, NR), DA0, 10), BA0, 5), BDA0, 5),
* STE,5), PE), XE)
RK1=O.
RK2=1./R
CALL DKSL(RK1, RK2, KSL, CC, H, F, E, D)
DO 1 1 = 1,10
DO 1 J=l,5
1 B(I, J)=0.
BB,1)=RK2
B(9,2) = l.
BA0,3) = l.
DZ0=3.1416*R*DL
DZl=DZ0/2,
DO 5 J=l, NR
DO 2 1 = 1,2
PS(I, J)=0.
2 TET (I, J)=0.
DO 3 1=1,3
3 U(I, J)=0.
DO 4 1=1,4
EP(I, J)=0.
4 CA(I, J)=0.
5 CONTINUE
N1 = NN+1
DO 6 M=l, MM
AM=3.1416*M/DL
BE,1)=AM*AM
В E,2)=—AM
В G,3)= AM
B(l,4)=—AM
BC,5)=AM
BG,5)=AM*RK2
PM = 4.*PP#R*DL/M
DO 6 N0=1, N1
N = N0—1
AN = N*RK2
BF,1)=AN*AN
BG,1)=AM*AN
B(8,1)=BG,1)
B(8,2)=—AN
BF,3)=AN
В D,4)=— AN
В B,5)= AN
BF,5)=AN*RK2
CALL MTM(B, D, BD, 10, 5, 10)
242

CALL MUM(BD, В, ST, 5, 10, 5)
S = DZ1
IF(N.EQ.O) S = DZO
CALL SKM(ST, S, 5, 5)
DO 7 1=1,5
7 P(I)=0.
IF(N.EQ.O) PA)=PM
IF(NSIL.EQ.0)GOTO 9
DO 8 1=1, NSIL
XM=AM#XPA, I)
YN=AN*XPB, I)
8 PA)=PA)+PN(I)«SIN(XM)«COS(YN)
9 CONTINUE
CALL GAUSS (ST, P, X, 5)
DO 10 1=1, NR
XM=AM*XRA, I)
YN=AN*XRB, I)
SM = SIN(XM)
CM=COS(XM)
SN = SIN(YN)
CN=COS(YN)
U(l, I)=UA,1)+XA)*SM*CN
UB, I) =UB,1)+XD) *CM*CN
UC,1) =UC,1)+XE)*SM*SN
TETA, I)=TETA, I) + (XB)— AM*XA))*CM*CN
TETB,1)=TETB, I) + (XC)+RK2*XE) +
* AN*XA))*SM*SN
EPA,1) =EPA,1)— AM*XD)*SM*CN
EPB, I)=EPB, /) + (X(l)*RK2+AN*XE))*SM*CN
EPC,1) =EPC,1)+AM*XE) *CM*CN
EPD,1) =EPD,1)—AN*XD)*CM*SN
CAA, I)=CAA, I) + (AM*AM*XA)—AM*XB))*SM*CN
CAB,1) = CAB,1) + (AN*AN*XA)+AN*XC) +
* AN*RK2*XE))*SM*CN
CAC, I) =CAC,1) + (AM*AN*XA)+AM*XC) +
* AM*RK2*XE))*CM*SN
CAD,1)=CAD,1) + (AM*AN*XA)— AN*XB))*CM*SN
10 CONTINUE
6 CONTINUE
RETURN
END
5.3.3. Осесимметричное деформирование многослойных
цилиндрических оболочек
Для замкнутых цилиндрических оболочек, нагруженных
внутренним давлением р, внешним давлением q и осевыми уси-
усилиями Af=const, не изменяющимися по окружной координате у,
исходными данными для проведения расчета будут следующие
соотношения.
Связь деформаций с перемещениями:
?, = «'; e2 = |s *,=9i'; iCi=91 + «;'. E.52)
где (•)'=d/dx. Физические соотношения
16* 2-13

E.53)
Расстояние е от внутренней поверхности до координатной вы-
выбрано так, чтобы смешанная жесткость Сх обращалась в ноль.
В этом случае Сх=Сц—е5п=0;
Вх=Вц; Bxy=Bi2; ВУ=В22',
где жесткостные коэффициенты В{], Cih D{j (г,/=1,2) вычисле-
вычислены для произвольно выбранной координатной поверхности.
Коэффициент Dx представляет минимальную изгибную жест-
жесткость в осевом направлении с учетом примечания к формуле
C.49).
Каноническая система разрешающих дифференциальных
уравнений имеет следующий вид:
ft'—e?Z^
7V,' = 0; E.54)
где B=BxBy—B\y, p3=p(l—e/R)—q(l+s/R); p — внутреннее
давление; q—внешнее давление (рис. 5.3).
Если в качестве вектора состояния принять Z—[ti\, w, 9i, Nu
Qh MtY> то полученную разрешающую систему дифференциаль-
дифференциальных уравнений E.54) можно записать в следующем матричном
виде:
Z'^=AZ+H, E.55)
где
Н = [0,0, 0,0, —ръ. Of;
244

A =
0
0
0
0
0
0
— 0]2
'0
— #32
0
0S2
0
О:0,4
-li 0
0! 0
о'Го"
O;0t2
0| 0
0
«25
0
0
0
1
0
0
«3fi
0
032
0_
= (B/Bx-C2xy/Dx)/R2.
Решение системы будем искать в форме 2 = 2^ + 2* где Z^ —
решение однородной системы Z!ic' = AZ:ic, t — частног решение
неоднородной системы E.55). Для однородной системы
с постоянными коэффициентами примем вид ргшэния %* =
= Cev<:. Для определения коэффициентов v получим хдрахтг-
d(A
эистическое
виде:
det
— V
0
0
0
0
0
уравнение
— 0]2
— V
о3
0S2
0
0
-1
— V
0
0
0
det(A—vE) =
0,4
0
0
— V
012 -
0
0
#25
0
0
— V
1 -
о-
0
#35
a
«32
— V
3 или в развернутом
=
E.56)
где
или
~2RDX
'Ху
BD,
в
RBXKX
Два нулевых корня уравнения E.56) соответствуют осевому
смещению оболочки как твердого тела и равномерному растя-
растяжению вдоль оси ох. Четыре ненулевых корня уравнения E.56)
определяются в зависимости от соотношений k\ и k2 следующим
образом [11]:
при
,2==— г ±it; v3,4 = r ±it,
где
при ?i2> k?
v,= — r{, v2=—r2; v3=r1;
где
E.57)
245

-k24. E.58)
При постоянном давлении рз и осевой растягивающей силе
Ni=N полное решение системы E.55) можно представить так:
- -^ J wdxj I Bx + и;
E.59)
где
w^RiPzRBx-NBxyVB;
(o.bO)
к —осевое смещение иилиндричедкой оболочки как твердого
тела.
Константы Сг (t=1...4), присутствующие в решениях
E.59), определяются с использованием граничных условий за-
задачи. Функции Фы, Фе;, Фдй Фмг имеют вид:
E.61)
~
Для расчета коротких оболочек, края которых «влияют»
друг на друга, удобно пользоваться функциями:
/5 g2\
ПрИ k
Фх = ch rx cos tx; (p2 — shrxsintx;
где rat вычисляются согласно E.57);
при ki2>k22
246

где Г\, г2 вычисляются согласно E.58).
Для расчета длинных оболочек, края которых практически
«не влияют» друг на друга, используется запись через экспо-
экспоненциальные функции:
при ?,2 <k
ф, = е~гхcos tx; Ф2 — e'rxsin tx:
Ф^е'-xcostx; Ф4 = егх5т tx,
при k
Ф1 = е-Г^; Ф2 = е-Л2<:; Ф3=еЛ'г; Ф4 = ег»*. E.65)
Для определения коэффициентов С{ (?=1, 2, 3, 4) исполь-
используются четыре граничных условия задачи, которые при х=0
и х=1 могут быть сформулированы для 0i (либо .Mi), а также
для w (либо Qi).
При анализе краевого эффекта вблизи х=0 для длинных
оболочек можно воспользоваться функциями E.64) или E.65)
(в зависимости от соотношения параметров kf и k2), положив
С"з = С4 = 0, а коэффициенты С,, С2 определить из граничных
условий при х = 0.
Для удобства проведения вычислений в табл. 5.1 представ-
представлены функции Ф1 и их производные; в табл. 5.2 приводятся
выражения для функций решений Фт, Ф^, Фт{, Фш;
в табл. 5.3 даны значения функций решения при х = 0
(в таблице они обозначены коэффициентами Фж/. Ф<эг> Ф1е1,Ф%1)'
При расчете краевых эффектов в многослойной цилиндри-
цилиндрической оболочке общее решение E.59) упрощается и может
быть записано в следующем виде:
E.66)
где w и М определяются выражениями E.60); вид функций
решения дается в табл. 5.2; значения функций решения при
х = 0 приводятся в табл. 5.3.
247

Таблица 5.1
Вид функции Ф[ и их производные
Функции
Фх
ф2
Фх'
ф/
Фх"
фг"
Фх'"
ф2'"
В случае *?<*|
e-r*cos to
e~r*sin /ж
—гФ2—гФх
гФ\—гФ2
(г2—Р)Фх+2ггФ2
\г2—Р)Ф2—2ггФх
—r(r2—Zt2) Фх+ЦР—Ъг2) Ф2
—г(гг—ft2) Ф2—г(Р—Ъг*)Фх
В случае #?>*2
е-г,х
—ГхФх
—Г2Ф2
Гх2Фх
Г22Ф2
-П3Фх
—Г23Ф2
Таблица 5.2
Функции решений
Функция
Фмх
ФМ2
фв2
Ф\гх
Фв2
При *i2<fta2
Ф2=е-Г*зт tx
гФх—гФ2
(rS—t*2 aiS\ 2rt
2rT fi-V '2\
\ /
V /
\ /
[t*—3r2 \
Ф,( + в* +
/r^St1 \
\ ^52 /
При ?i2>fc2*
*=ФхГх
—Ф2Г2
\ 1
С]2 \
24 8

Таблица 5.3
Значение коэффициентов Ф°т, <P°Qi, Ф^, Ф°в
т
Коэффициент
Ф°М2
о
ф<31
ф°92
Ф°т1
Ф°т2
ФЬ
Ф62
При ft!2<fti»
1
0
—г
t
(r2—t2—a32)las2
—2rtIaS2
r((r2—3/2)/аБ2—а.)
t((t2-3r2)/aS2+a.)
При Й12>Й23
1
1
—Г\
—r2
(Г,2—а32) /Я52
(г22_аз2)/ав2
ri (ri2/a52—а.)
г2(г2%52-а.)
Для определения напряжений в i-м слое оболочки вычис-
вычисляются
,—Cxvwl(DxR).
Далее подсчитываются деформации в i-м слое
где 2[i] — нормальная координата г рассматриваемой точки
i-ro слоя. Затем осуществляется пересчет деформаций в системе
координат, связанной со слоем, и с помощью соотношений упру-
упругости определяются искомые напряжения.
Рассмотрим несколько примеров расчета краевых эффектов.
Свободный край (рис. 5,4).
О х
Рис. 5.4. К определению граничных условий свобод-
свободного края

Граничные условия прн х=0, Afi(O)=O; Qi@)=0, или с учетом E.66):
Решэнием полученной системы будет
где
Согласно табл. 5.3 получаем:
1. Если параметры оболочки таковы E.56), что ?,2<?22, тогда
д = ^; С,= — М; C2=—Mr/t,
где rut вычисляются согласно E.57), а М—согласно E.60).
2. При k,'>k^
где гь г2 — вычисляются согласно E.58).
Отметим, что для оболочки симметричного строения (при Сху=0) Й
= 0 E.60) и краевой эффект свободного края отсутствует.
Действие торцевых моментов М и перерезывающих сил Q (рис. 5.5).
V//////& '.
Рис. 5.5. Общий случай осесимметрнч-
ного иагружения торца цилиндрической
оболочки
Граннчные условня при х—0 М1@)=М; Qt(O) = Q, или
Отсюда
250

где
Дальнейшая последовательность решения такая же, как в предыдущем при-
примере.
Подкрепление упругим шпангоутом (рис. 5.6).
Г Рис. 5.6. Схема подкрепления цилиндрической оболочки
\j шпангоутом
Граничные условия при *=0 8i@)=0; w@)=Wk, где Whp
+2Qi@))/Bfc—перемещение шпангоута; Bh=Ehhah— жесткость шпангоута
на растяжение.
С помощью констант С\, Съ граничные условия задачи запишутся в
виде:
Вк
Решением системы прн Сху=0 и
будет [11]:
2r /
w —
/Bk
2 ——i-1
(cos rx + sin
Для анализа краевого эффекта в тонких многослойных цилиндрических
оболочках коэффициенты разрешающей системы дифференциальных уравне-
уравнений упрощаются
В заключение отметим, что разрешающая система дифференциальных
уравнений E.54) может быть сведена к следующему виду [11]:
w"—2k12w" + k2*w = kp (x).
251

где
1 / Вху
0ЛРз~ R
5.3.4. Устойчивость цилиндрических оболочек
Рассмотрим решение задачи устойчивости многослойной ци-
цилиндрической оболочки, свободно опертой по торцам х=0, х=1,
находящейся в безмоментном осесимметричном состоянии:
Nxo=-T; N2°=-qR; №2i = N$i^O.
Для случая «мертвых» внешних сил воспользуемся следующей
вариационной формулировкой задачи:
E.67)
о
где
dw dw , v
А — параметр нагружения. Компоненты вектор-столбцов <§', Jf
при расчете толстых многослойных цилиндрических оболочек
определяются выражениями E.40), E.41). Связь деформаций
с перемещениями определяется так же, как и при решении за-
задачи статики выражениями E.44).
Введем в рассмотрение вектор-столбец обобщенных переме-
перемещений X E.42). Воспользуемся разложением решений в триго-
тригонометрические ряды E.45) и для гп, п-й гармоники разложения
запишем
E.68)
где
—те 0 0 0 0 1 — _тп ~_п
п 0 0 0 1/tfJ' т~~ I ' /?•
Матрица Вт„ определена для выражения E.46); коэффициенты
матрицы 2) вычисляются согласно зависимостям B.17) с уче-
учетом нулевой кривизны оболочки в меридиональном направле-
направлении.
Воспользовавшись разложением в двойные тригонометриче-
тригонометрические ряды и выполнив интегрирование E.67) по переменным х
и у, можно обнаружить, что относительно отдельных гармоник
252

разложения система разрешающих уравнений оказывается не-
несвязанной. Для отдельной т, п-й гармоники волнообразования
можно решать следующую обобщенную задачу на собственные
значения:
= О,
E.69)
где
Матрица Ктп характеризует приведенную жесткость оболоч-
оболочки; с помощью матрицы Smn учитывается начальное напряжен-
напряженное состояние оболочки. Нагружение считается пропорциональ-
пропорциональным (параметром нагружения выступает коэффициент Л); зна-
значения начального осевого погонного усилия Т и окружного сжи-
сжимающего усилия qR определяют только направление луча на-
нагружения на плоскости iVi°, iV2°. Значения параметров нагруже-
нагружения Л=Лт„, при которых система E.69) имеет нетривиальные
решения, называются собственными значениями. Собственные
значения Атп определяются корнями уравнения det(Kmn—
—ASmn)=0. Наименьшее из всех собственных значений Лк» =
= min (Лт„) определяет критическую комбинацию нагрузки
Ткр=АкрТ; <7кр=ЛКр<7. Параметры волнообразования тип,
соответствующие критической комбинации нагрузки, характе-
характеризуют форму потери устойчивости.
Рассмотрим случай одноосного осевого сжатия. Для иссле-
исследования осесимметричной формы потери устойчивости положим
га=0, 0J=0; «2=0, грг—0. Соответствующая E.69) обобщенная
задача на собственные значения будет иметь следующий вид:
(Km-ASm)Xm = 0, E.70)
где
0
\/R
m2
0
0
0
— m
1
— m
0
0
0
Матрица приведенных жесткостных характеристик 2D запол-
заполняется на основе соотношений упругости для осесимметричного
состояния E.53) и имеет структуру
~вх вху о о
2) =
Bv С
ху
сим.
0
0
Кх

После выполнения соответствующих матричных перемноже-
перемножений задачу E.70) можно представить в виде
ku—Asn kn kl3~
сим.
= 0,
E.71)
где
in = By/R2 + 2,n2CXy/R + mADx;
/R — m?Dx\ ^i3==—mBXy/R',
Из условия равенства нулю определителя системы E.71)
получим собственное значение параметра нагружения Л=Лт.
Путем минимизации параметра Ат по числу полуволн опреде-
определим критический параметр нагружения AKp=minAm и значение
критической погонной сжимающей нагрузки, соответствующей
осесимметричной форме потери устойчивости Ткр=ЛКрТ. В раз-
развернутом виде значение Ткр определяется минимизацией следу-
следующего выражения:
Ску\ BDX 1 В
(я»)
f
E.72)
где m =
= BxBy —
Sly.
При работе с выражением E.72) следует помнить, что в каче-
качестве координатной поверхности 2=0 выбрана поверхность, соот-
соответствующая наименьшей изгибной жесткости многослойной
оболочки в осевом направлении, и радиус R представляет ра-
радиус этой координатной поверхности.
При расчете тонких оболочек можно пренебречь деформа-
деформацией поперечного сдвига (/С—>оо). Тогда из E.72) получим
Т кр = min {m2Dx + 2Cxy/R + B/{m2R2Bxj}.
(я»)
E.73)
При большом числе полуволн m выражение E.73) допускает
приближенную минимизацию. Используя условие минимума
функции с непрерывным аргументом, получим
m
2
кр
1
R
2
V
IV
В
BXDX
вох
При исследовании неосесимметричной формы потери устой-
устойчивости необходимо воспользоваться общей формулировкой
254

задачи E.69). Для случая осевого сжатия критическое значе-
значение погонной нагрузки Гкр будет определяться на основе мини-
минимизации следующего выражения:
Л E.74)
где ki}— элементы матрицы Ктп E.69); А;; — миноры матрицы
где ktj — элементы матрицы Ктп E.69); А;,-— миноры матрицы
ветствующие тем матрицам, которые получаются из матрицы
Kmn в результате вычеркивания i-й строки и /-го столбца.
Для тонких слоистых оболочек, при анализе которых можно
не учитывать изменение радиуса кривизны по толщине и де-
деформации поперечного сдвига, выражение E.74) упрощается:
(Г j j2 i .2 п j л j 1
=i Кзз — " 23 d г\ ™_d2 }• E-75)
где коэффициенты di} определены ранее для решения E.51).
Рассмотрим случай действия бокового внешнего давления
(при осевой силе Г=0). Будем считать, что потеря устойчивости
сопровождается появлением системы волн т=1, п^>\. Тогда
угол поворота нормали со2 можно приближенно определить
со2 = —дхю/ду.
Для толстых многослойных оболочек, расчет которых про-
проводится с учетом изменения метрических характеристик по тол-
толщине пакета и с учетом деформаций поперечных сдвигов, полу-
получим аналогично E.74).
<7кр/?= min Ц-Га,,-!* (—*12Д,2-|-*18Д
-k.^ + k^s)]}. E.76)
Для тонких слоистых оболочек, аналогично E.75)
Минимизация выражений E.76), E.77) выполняется по п при
171=1.
В случае пропорционального нагружения осевой силой и бо-
боковым внешним давлением для определения критического па-
параметра нагружения можно воспользоваться минимизацией
следующего выражения:
E.78)
где для расчета толстых оболочек

для расчета тонких оболочек
Т, q — силовые факторы, соответствующие параметру нагруже-
ния Л=1. Критические нагрузки будут вычисляться как
При выполнении проектных расчетов удовлетворительные
оценки критического параметра нагружения можно получить,
используя результаты обобщенной полубезмоментной тео-
теории [11]
Лк0= min \—=-
(т,п\ I/ /И
\п>2)
где
Dm=-J± ; Д, = -
Dx=Dn — C\\/B\\, Dy = D22
При 533->-oo; K.y-*-oo, Г=0; m=n/l, используя минимизацию по
n, получим для оболочек средней длины
E'79)
Приведенные жесткости 5Х, Z}x, Д, приближенно учитывают не-
несимметричность в расположении слоев по толщине. Жесткостя-
ми стенки при кручении, растяжимостью контура, а также эф-
эффектами Пуассона пренебрегают. Полученное значение qKp для
изотропных оболочек средней длины соответствует критическо-
критическому давлению, вычисленному по формуле Папковича [см. I].
5.3.5. Подпрограмма вычисления критических значений
осевого сжатия и внешнего давления
Воспользуемся алгоритмом расчета критических нагрузок для толстых
многослойных цилиндрических оболочек, рассмотренным в разд. 5.3.2. В об-
общем случае совместного действия осевого сжатия и внешнего давления
структура матрицы разрешающей системы алгебраических уравнений E.69)
имеет следующий вид:
256

(?,,—As,,) й,2
#22
_сим.
k
k
k
13
23
33
#14 ('
#24
#34
" (
«15
#25
#35
где s11 = T+q q q
Для определения наименьшего корня характеристического уравнения
det (Ктл—ASmn)=0 в подпрограмме используется итерационный процесс:
#11 #12 #13 #14 (#15 Л/-,,
/?22 "*23 ^*24 **25
d.(Ai_1)=det
.СИМ.
^23 ^24
^33 *34
В качестве исходных данных примем:
KSL; CCG, KSL); H(KSL); F(KSL); E—даны в описании исходных дан-
данных подпрограммы DKSL (пример 2.2); R — раднус координатной поверх-
поверхности цилиндрической оболочки; DL — длина цилиндрической оболочки;
Ml, M2 — целые числа, определяющие диапазон изменения числа полуволн
т в осевом направлении при поиске критической нагрузки; N1, N2 — целые
числа, определяющие диапазон изменения числа волн я в окружном направ-
направлении при поиске критической нагрузки; Т, Q — начальные значения погон-
иой осевой сжимающей силы Т и внешнего давления q (определяют на-
направление луча нагружения в плоскости (Toq), соответствуют параметру иа-
гружения Л=1).
В результате работы подпрограммы CILCR получаем:
TCR — значение критической осевой сжимающей силы TKV; QCR — значение
критического давления <7„р; MCR, NCR — значения чисел /пкр, яКр, соответст-
соответствующих потери устойчивости для заданного нагружения.
Подпрограмма CILCR использует подпрограммы DKSL (пример 2.?'
MUM, MTM, DETMN (Приложение 2).
Текст подпрограммы C1LCR
SUBROUTINE CILCR(KSL, CC, H, F, E, R, DL,
* Т, Q, Ml, M2, N1, N2, TCR, QCR, MCR, NCR)
DIMENSION CCG, KSL), H(KSL), F(KSL), DA0.10),
* BA0,5), BD10.5), STRE,5), ST4E,5), SE,5)
RK2=1./R
CALL DKSL@., RK2, KSL, CC, H, F, E, D)
HH=0.
DO 1 1 = 1, KSL
1 HH=HH+H(I)
QQ=A.+ (HH-E)/R)*Q
QR=QQ*R
S55 = QQ/R
DO 2 1=1,10
DO 2 J=l,5
2 B(I,J)=0.
BB,1) = RK2
В (9,2) = 1.
17—1490
257

BA0,3) = l.
NO=N1
NK=N2
IN=O
IF(Nl.NE.O) GO TO 3
N0=1
NK=N2+1
IN=1
3 IK=0
EPS=0.001
DO 11 M=M1, M2
AM=3.1416»M/DL
BE,1)=AM*AM
В E,2)=—AM
В G,3)= AM
В (l,4) = —AM
В C,5)= AM
BG,5)=AM*RK2
DO 11 NN=N0, NK
N=NN—IN
AN —N»RK2
BF,1)=AN»AN
BG,1)=AM*AN
B(8,1)=BG,1)
В (8,2)=—AN
BF,3)=AN
В D,4)=—AN
BB,5)=AN
BF,5)=AN*RK2
CALL MTM(B, D, BD, 10, 5, 10)
CALL MUM(BD, B, STR.5, 10, 5)
Si 1 =T* AM* AM+QR»AN#AN
S15=—QQ*AN
P=0.
6 S15P=S15»P
S55P=S55*P
DO 4 1=1,5
DO 4 J=l,5
4 S(I, J):=STR(I, J)
SA,5) = SA,5)+S15P
SE,l),= Si(l,5)
SE,5)=SE,5)+S55P
DO 5 1 = 1,4
11 = 1+1
DO 5 J=l,4
J1=J+1
5 ST4(I, J]=S(I1, Jl)
CALL DETMN,(ST4, 4, Dl)
CALL DETMN,(S, 5, DO)
D1 = S11*D1
CRR=D0/Dl
IF(P.NE.0.) GO TO 7
P=CRR
GO TO 6
7 EPSS=ABS((CRR—P)/CRR)
IF(EPSS.LE.EPS) GO TO 8
P=CRR
GO TO 6
8 CRMN=CRR
IF(IK.EQ.O) CR=CRMN
258

IK=1
AMN=ABS(CRMN)
ACR=ABS(CR)
IF(ACR—AMN) 9, 10, 10
10 CR=CRMN
MCR=M
NCR = N
9 CONTINUE
11 CONTINUE
TCR=T»CR
QCR=Q*CR
RETURN
END
5.4. УСЛОВИЯ СОПРЯЖЕНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ -
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С КОЛЬЦЕВЫМИ
ПОДКРЕПЛЯЮЩИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
В многослойных оболочечных конструкциях при стыковке
отдельных элементов, а также в ряде случаев для создания до-
дополнительной жесткости применяют подкрепляющие силовые
элементы. Ниже приводится описание деформирования и усло-
условия сопряжения с многослойными оболочками вращения коль-
кольцевых подкрепляющих элементов (шпангоутов).
Рассмотрим замкнутое круговое кольцо. Введем для него
местную систему координат t, p, г (рис. 5.7), центр которой
Рис. 5.7. Система координат для кругового
кольца
поместим в центре тяжести сечения кольца. При выводе основ-
основных соотношений воспользуемся гипотезой плоских сечений,
согласно которой пренебрегают деформациями в плоскости по-
поперечного сечения кольца и депланациями сечений. В этом слу-
17*
259

чае распределение радиальных (|), касательных (и) и осевых
(?) перемещений по сечению кольца можно представить в сле-
следующем виде:
E.80ч
где |г, vr, ?г — соответственно радиальное, касательное и осе-
осевое перемещения центра тяжести сечения кольца, положитель-
положительные направления которых совпадают с направлениями коорди-
координатных осей г, C, t; cof — угол поворота кольца вокруг центра
тяжести сечения (угол закручивания); со/, со3г — углы поворота
сечений кольца вокруг осей t, r соответственно. Здесь и в даль-
дальнейшем индекс г будет указывать на принадлежность к кольцу.
Согласно кинематическим гипотезам углы поворота со2г и созг
определяются через перемещения следующим образом:
^^тг-Зг+т^ v—Ttw- E-81)
где R — радиус окружности, на которой лежат центры тяжести
сечений кольца.
Окружную деформацию кольцевой линии с координатами t;
г запишем через перемещения и углы поворота линии центров
тяжести сечений '
Т(<в*гJ + -2~(а)згJ > E-82)
1 dvr ?r
где Е2г = -о"-ж~ + Т?—окружная линейная деформация линии
центров тяжести сечений.
Изменения кривизн в плоскости кольца и из плоскости кольца
щг, щг определяются следующими выражениями:
_
1 ~
R ^ — R
Нелинейную составляющую окружной деформации будем
определять лишь квадратами углов поворота нормали (под-
(подчеркнутые слагаемые в выражении E.82)).
Будем считать, что деформация сдвига в плоскости сечения
кольца, связанная с кручением, распределена в сечении по за-
закону
4r=b{t,r)r, E.84)
где
*r-7TT+-W <5'85>
260

— относительный угол закручивания; b — функция кручения,
определяющая закон распределения сдвиговых деформаций и
зависящая от формы сечения. ,
При выводе основных соотношений воспользуемся матрич-
матричной символикой. Введем в рассмотрение вектор-столбец обоб-
обобщенных перемещений кольца. В качестве компонент этого век-
вектора примем радиальное, касательное и осевое смещения линии
центров тяжести сечений, а также угол закручивания
ХГ=[Г, v\ Г, о>Г]г. E.86)
Учитывая разложения решений в тригонометрические ряды по
угловой координате р, распределение перемещений в сечении
кольца E.80) представим в виде
уг=ФДГ) E.87)
где
IV;
Ф =
1
гп
0
1-
0
\-r/R
0
0
tn
1
—
0
г
n = n/R;
n — номер гармоники разложения. Индекс п, указывающий на
принадлежность к n-й гармонике разложения, будем опускать.
Углы поворота со2г, ©зг E.81) выразим через компоненты
обобщенных перемещений кольца следующим образом:
tor = RrXf> E.88)
где
Для линейных составляющих деформаций кольца E.82)—E.85)
связь с обобщенными перемещениями с учетом разложния в
тригонометрические ряды по угловой координате [} в матричной
форме запишется в виде
sr = BrXr, E.89)
где
0
,==Je'2, Г]Г
) (n+rn/R) tn2-t/R_]
0 bn/R — bn\'
После того, как полностью установлена кинематика дефор-
деформирования кольцевого подкрепления, приступим к формулиров-
формулировке условий сопряжения. Для простоты вначале рассмотрим
стыковку одного оболочечного элемента со шпангоутом. На
261

рис. 5.8 условно показан узел сопряжения многослойной оболоч-
оболочки вращения со шпангоутом. Номера узловых линий примыкаю-
примыкающего элемента оболочки при ai=a(n и ai=otB) обозначены i и j
соответственно.
Рис. 5.8. Сопряжение многослойной оболочки со шпангоутом
При формулировке геометрических граничных условий бу-
будем считать, что перемещения оболочки в сечении
однозначно определяются перемещениями и
шпангоута. Воспользовавшись рис. 5.9 и тем
что
и>
углами поворота
обстоятельством,
Рис. 5.9. К определению связи нормаль-
нормальных и касательных перемещений с ра-
радиальными и осевыми перемещениями
2 62

au = |sin 9—?cos9,
запишем условия равенства перемещений оболочки и шпангоу-
шпангоута в точке с координатами {t0, го)
u2=v0; ;E.90)
ay=|osin 9—?ocos 9,
где |о=?(*о, г0); vo=v(to, roj; ?o=?Po, roj. В свою очередь, пе-
перемещения |о, v0, to согласно 'E.87) можно выразить через ком-
компоненты вектора Хг
v0 = rjiV + A + ro/R) V
E.91)
Углы поворота 9i, 9г нормальных линий в сопрягаемом сечении
зим следующим образом:
Углы поворота 9i, 9г нормальных линии
оболочки выразим следующим образом:
-; 02=:
*—vte
E.92)
Где
•Oi*=!"cos9 + ^sine, (s, ё);
v2ls=vs, (s, e);
h—толщина оболочки в сечении сопряжения; перемещения |„
gs, us и |е, ge, ve определяются соотношениями, аналогичными
E.91) при замене to, Го на fs> rs и te, re соответственно. С учетом
сделанных замечаний, а также, принимая во внимание, что
(rs—re)sin9—(ts—k?)cos9=ft, геометрические условия сопря-
сопряжения E.90), E.92) можно представить так:
X(t)=Q@Xr,
E.93)
где
h, и2. w,
cos 9
лг0
sine
О
л (о—ге)
в„
О
0
sine
nt0
—cose
о
n(ts-te)
— ^о cose + Го sin 9"
0
rо cose
1
о
263

tk, rk (k=0, e, s) —координаты t иг точек сопряжения
(рис. 5.8).
Полученное матричное уравнение E.93), представляющее
геометрические условия сопряжения, показывает, что обобщен-
обобщенные перемещения в i-u сечении многослойной оболочки Х(,->
однозначно выражаются через обобщенные перемещения шпан-
шпангоута Хг.
Силовые граничные условия будут представлять уравнения
равновесия шпангоута, на который кроме внешних сил Рг дей-
действуют реакции многослойной оболочки. Получим эти уравне-
уравнения с использованием принципа возможных перемещений. При
этом будем считать, ч^о для п-й гармоники разложения извест-
известны матрида жесткости и вектор-столбец приведенных узловых
сил конечного элемента многослойной оболочки, которые вы-
вычисляются по стандартным процедурам интегрирования кано-
канонической системы дифференциальных уравнений статики и по-
последующих преобразований (разд. 5.1.6). Для узла конструк-
конструкции, содержащего шпангоут и примыкающий элемент оболочки,
согласно принципу возможных перемещений для равновесного
состояния будем иметь
-P_t) = O, E.94)
где
Kr = R { BTrCr1SrdA; E.95)
Cr = \E2, G\;
[T T ~\T
Здесь Ar — площадь поперечного сечения штангоута; dA=dtdr;
Е2 — модуль на растяжение в окружном направлении; G — мо-
модуль сдвига в плоскости поперечного сечения шпангоута (в об;
щем случае модули Е2, G считаются известными функциями
аргументов t, г); t(j) — вектор-столбец реакций отброшенной
части оболочки; Кг — матрица жесткости шпангоута, в развер-
развернутом виде ее коэффициенты определяются следующими выра-
выражениями:
^11 ^12 *мЗ *^14 I
кц ^23 ^24 I.
^33 ^34 Г
:им. ktA-i
-СИМ. ^44-
264

Здесь
^ [, (r, t);
А Л
At Ar
D, = ^ E2r2dA, (r, t); Drt = ^ E2rtdA;
К Ar
Ar
Для изотропного материала шпангоута выражения приве-
приведенных жесткостных характеристик упрощаются:
где
Ik — приведенный момент инерции на кручение.
Вектор-столбец внешних сил, действующих на шпангоуг
PT=R\pr, рц, р,, т]т, содержит амплитудные значения гармоник
разложения погонных радиальных, окружных и осевых нагру-
нагрузок и момента, выкручивающего шпангоут из плоскости.
Принимая во внимание геометрические условия сопряжения
E.93), показывающие, что на обобщенные перемещения в ме-
месте стыковки многослойной оболочки со шпангоутом наложены
дополнительные связи, перейдем в конечном элементе оболоч-
оболочки к новым обобщенным перемещениям
q=T(i)q*; 6q = T(O6q*, E.96}
где
265

Преобразование E.96) устанавливает тот факт, что для узло-
узловой окружности (t) многослойной оболочки ее обобщенные пе-
перемещения однозначно определяются обобщенными перемеще-
перемещениями шпангоута, в то время как для узловой окружности (/)
•обобщенные перемещения многослойной оболочки остаются
без изменения (?Ex5) — единичная матрица).
Подставим E.96) в условие равновесия E.94), матрицу
жесткости многослойного элемента и вектор-столбец приведен-
приведенных сил преобразуем к следующему виду:
; E.97)
Р*=Т?)Р E.98)
или в блочном представлении с учетом структуры матрицы
К
Раскрыв скалярные произведения в условии E.94) с учетом
E.97)—E.98), получим искомое матричное уравнение равнове-
равновесия шпангоута:
(кг+кг,) хг
Таким образом, при решении задач с помощью МКЭ (ва-
(вариант перемещений) стыковку многослойной оболочки со шпан-
шпангоутом формально можно рассматривать как сопряжение эле-
элементов, у которых имеются различные узловые обобщенные
перемещения. Причем на перемещения примыкающего сечения
многослойной оболочки накладываются дополнительные кине-
кинематические условия E.93), в соответствии с которыми пере-
перестраиваются матрица жесткости элемента E.97) и вектор-стол-
вектор-столбец приведенных узловых сил E.98).
При решении задач устойчивости и колебаний для дополни-
дополнительных перемещений геометрические условия сопряжения
остаются такими же, как и при решении задачи статики E.93),
лоэтому для многослойного конечного элемента его матрица
приведенных начальных напряжений и матрица приведенных
масс преобразуется таким же образом, как и матрица жестко-
жесткости элемента, т. е. с использованием соотношений, аналогичных
E.97). Для задач устойчивости и колебаний вариационная фор-
формулировка условия равновесия узла сопряжения (рис. 5.8) бу-
будет выглядеть следующим образом:
6Xrr(Kr+ASr-co2Mr)Xr +
+ 6qr(K+AS-co2M)q-6qrt = 0, E.99)
266

где
Здесь No— начальная окружная сила в шпангоуте; р — удель-
удельная плотность материала шпангоута. С помощью матрицы Sr
для n-й гармоники волнообразования учитывается начальное
осесимметричное напряженное состояние, а с помощью матри-
матрицы МЛ — приведенные инерционные характеристики шпангоута.
Из вариационного уравнения E.99) для узла конструкции
(рис. 5.8) с учетом условия геометрической стыковки E.93)
лолучим следующее однородное матричное уравнение равнове-
равновесия:
+кг*) +л (sr+s;o -со2 (м,+мг,)) хг+
+ (к;,+as;, - со2мг/) х(У)=о,
тде
— преобразованные блоки матриц приведенных начальных на-
.пряжений и приведенных масс элемента многослойной обо-
оболочки.
5.5. ТРЕУГОЛЬНЫЙ ШЕСТИУЗЛОВОЙ КОНЕЧНЫЙ
ОБОЛОЧЕЧНЫЯ ЭЛЕМЕНТ СМЕШАННОГО ТИПА
Рассмотрим многослойную оболочку общего вида, закреп-
закрепленную в пространстве, ограниченную произвольным гладким
контуром и нагруженную системой внешних консервативных
сил. Стационарное температурное поле оболочки будем считать
известным. Свяжем с оболочкой систему ортогональных кри-
криволинейных координат «ь «2, z. Оболочку будем считать до-
достаточно тонкой, чтобы изменение по толщине коэффициентов
первой квадратной формы не учитывать.
На параметрической плоскости (с^Оаг) (рис. 5.10) выде-
;лим область определения координатной поверхности рассмат-
рассматриваемой оболочки и выполним разбивку этой области на тре-
треугольные конечные элементы. Вариационная формулировка сме-
267

в
Рис. 5.10. Разбивка поверхности оболочки на треугольные элементы
шанного типа для конечного элемента многослойной оболочки
будет выглядеть аналогично D.41), D.42)
(L6u
A2daxda.2 — / (би) = 0;
E. Ю0>
где
/ (би) = \ J (бигр + (L6u
2 - \
E.102)
Sa — площадь треугольного элемента на параметрической пло-
плоскости (aioa,2); u — вектор-столбец обобщенных перемещений;
& — вектор-столбец обобщенных деформаций; L— матрица опе-
операторов деформационных соотношений; 3) — матрица приведен-
приведенных жесткостных характеристик; р — вектор-столбец поверх-
поверхностных нагрузок; JPT — вектор-столбец температурных состав-
составляющих внутренних силовых факторов; Jf — вектор-столбец
распределенных реакций от соседних элементов; Г„ — граница
контура конечного элемента.
Для модели деформирования многослойной оболочки, учи-
учитывающей деформации поперечных сдвигов, в качестве компо-
компонент вектор-столбца обобщенных перемещений и выступают:
и=К us, w, 9i, Q2]T, E.103)
Деформационные соотношения (без учета изменения мат-
матричных характеристик по толщине оболочки) согласно B.91),
B.92) можно представить следующим образом:
1, A, 2);
E.Ю4>
Т81 (,)
268

где
. A. 2);
E.105)
2 = ^ 02,1—Ф129|+3^-81,2 —
Согласно E.104), E.105) в качестве вектор-столбца обобщен-
обобщенных деформаций & примем
!T = [ei, е2, 1A2, хь Х2, Xi2. 'Фь 'Фг?. E.106)
Деформационные соотношения E.105) с учетом E.103) пред-
представим в виде IT = Lu, где
k\
Vj Ф12
Ф21 V2 k
V2 —Ф12 V,— Ф21 0
0 0 0
О 0 0
О
— А,
О
0
о
о
о
V,
Ф21
0 V2—Ф12
0 Vi
— k2 V2
1
О
о
о
Ф12
V2
1 —Ф21
0
1
E.107)
Структура матрицы приведенных жесткостных характери-
характеристик многослойного пакета Я) соответствует D.40). Вектор-стол-
Вектор-столбец температурных составляющих внутренних силовых факто-
факторов /Ст в общем случае имеет следующие компоненты:
Jfr=[Nn, N2r, Nm, M^, M2T, Mm, QIT, Q2Tf. E.108)
При аппроксимации на конечном элементе перемещений и и
деформаций <8 в виде
и=Фя; E.109)
!Г=(аа E.110)
из вариационных уравнений E.100), E.101) можно установить
связь между узловыми реакциями t и узловыми обобщенными
перемещениями q D.45)—D.49) t=Kq—В,
где
269

О = ^ С ытЮВА1А2р[а1с1а2; Н =
JB=ЬФ; Р =
Сделаем несколько замечаний, касающихся отличий от конеч-
конечного элемента пологой оболочки (разд. 4.4). Для шестиузло-
вого треугольного конечного элемента (рис. 4.4) в качестве
узловых обобщенных перемещений примем компоненты вектор-
столбца q D.50), D.51). Матрица функций формы Ф соответ-
соответствует D.52), D.53), где под естественными координатами Ьь
вместо D.54) следует понимать
1
где
!= 1,2,3),
)> (I, 2, 3);
) = a2B) — a2C), A,2,3);
E.112)
) = aiC)—aiB), A, 2, 3);
2Sa=b(i)CB) — ЬB)С(\)Ш,
ai(<), «2@ (i=l, 2, 3) —координаты ab a2 вершин треугольника
на параметрической плоскости (a,oa2).
Структура матрицы деформационных соотношений (В=ЬФ)
остается такой же, как D.56), но компоненты в блоках D.57)
будут определяться следующими выражениями:
Ф120/
А.0, 0 0(,,].
о -^A
где
При вычислении производных 0,-,i, 0,,2 в соотношениях D.58)
необходимо вместо 5 подставить 5„ и для ?>(,-), сA) воспользо-
воспользоваться выражениями E.112).
270

Для вектор-столбца приведенных узловых сил Р D.64) тем-
температурные составляющие Рт«> для JFt E.108) будут выглядеть
следующим образом:
0 Ьз1(о1 ГЛТ1 л
w b32(i)J LQj
7* 7"
b22(i) b32(i).
= [MU, М2т, М12т]т;
Для интегрирования E.111) по треугольной области Sx
удооно пользоваться квадратурными формулами и подпрограм-
подпрограммой KSIW3 (приложение 1). При достаточно мелкой разбивке
оболочки на конечные элементы геометрические характеристики
координатной поверхности в пределах отдельного элемента
можно считать постоянными. При составлении подпрограммы
конечного элемента можно взять за основу подпрограмму
STPAN (разд. 4.4.2), в которую следует внести добавления, со-
соответствующие сделанным выше замечаниям.
ПРИЛОЖЕНИЕ t
ПОДПРОГРАММЫ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
При вычислении одномерных интегралов удобно пользоваться квадратур-
квадратурными формулами Гаусса:
где
п — число точек, в которых вычисляются значения подынтегральной функции;
Хк —* значение аргумента х в k-fi точке Гаусса; W^ — весовой коэффициент
квадратурной формулы (П1.1). В табл. П1.1 приводятся значения |* и У*
для квадратурных формул при п=\, 2, 3, 4, 5.
Таблица П1.Г
Значения аргументов \к и весовых коэффициентов
V* для квадратурных формул Гаусса
V,=2
271

Продолжение табл. 1.1
п
2
3
4
5
1г-1/Уз-
62='—61
61=-УЗ/5"
63=-61
ii=-V(A5+2V30)/35)
62=-У(A5-2у30)/35)
63 = — 62
64 = -6!
б1=-УC5+2У70)/63
62=— УC5—2У70)/63
бз=О
64 = -62
is=-6i
V, = l
У2=1
V.=5/9
V2=8/9
Va=Vi
У,=49/FA8+У30))
Уг=49/FA8-уз0»
V3=V2
V4=V,
Vi = 5103/E0C22+3y70))
V2=5103/E0C22—13У7О))
V3= 128/225
VA=V2
V5=K,
Отметим, что квадратурная формула (П1.1) является точной для поли-
полиномов степени 2п—1. Например, прн л=4 вычисления по формуле (П1.1)
будут точными, если f(x) представляет собой любой полином седьмой сте-
степени.
Составим подпрограмму вычисления весовых коэффициентов и значе-
значений аргумента в точках интегрирования для квадратурной формулы Гаусса
(П1.1).
В качестве исходных данных будут выступать:
N — число точек интегрирования п(ЛГ=^5); А, Д—пределы интегрирова-
интегрирования а, Ь.
В результате работы подпрограммы KSIW1 получим:
WE)—массив, ?-й коэффициент которого содержит весовой коэффициент
Wk (k=l, 2, ..., n), XE)—массив, содержащий значения аргументов хк.
Текст подпрограммы KSIW1
SUBROUTINE KSIW1 (N, А, В, W, X)
DIMENSION WE), XE)
DO 101=1,5
X(I)=0. • .,. ,.
10W(I)=0.
GOTO A, 2, 3, 4, 5), N
1 X(l)=0.
W(l)=2.
GO TO 20
2 X(l)=—l./SQRTC.)
XB)=-X(l)
W(l) l
()
WB) = l.
GO TO 20
3 X(l)=—SQRT@.6)
XB)=0.
XC)=-X(l)
W(l)=5./9.
272

WB) =8.19.
WC)=WA)
GO TO 20
4 X(l)=—SQRT(A5.+2.*SQRTC0.))/35.)
X B) = —SQRT (A5.—2. * SQRT C0.)) /35.)
XC)=-XB)
XD)=-X(l)
W(l)=49./F.*A8.+SQRTC0.)))
WB)=49./F.*A8.—SQRTC0)))
WC)=WB)
WD)=WA)
GO TO 20
5 S = SQRT G0.)
X(l)=—SQRT(C5.+2.*S)/63.)
XB) =—SQRT(C5.—2.*S)/63.)
XC)=0.
XD)=-XB)
XE)=-X(l)
W(l) =5103./E0.* C22.+ 13.*S))
WB) =51037E0.* C22.—13.*S))
WC) = 128./225.
WD)=WB)
WE)=WA)
20 DL2=0.5*(B—A)
DO 30 1=1,5
W(I)=W(I)*DL2
30 X(I)=0.5*(A+B)+X(I)*DL2
RETURN
END
При вычислении двумерных интегралов иа треугольных областях квад-
квадратурные формулы имеют следующий вид:
Ц f{x. у) dxdy-^ Wkf (xk. yk). (П1.2)
s k=\
где
*ft=*(i)i*+*B)Ti*+*u)(l—Ik—щ), (х, у);
$ =~2 ^A3)^B3) ХB3)У(\3)У>
Xm)=X(i)—XC), A,2);
УA3) = УA)—У(з), A,2),
S — площадь треугольника; п — число точек, в которых вычисляются зна-
значения подынтегральной функции; Xh, yk — значения переменных х, у в
k-й точке Гаусса; Wk — весовой коэффициент квадратурной формулы (П1.2);
X(i), Уа) — координаты х, у, t-й вершниы треугольника (i=l, 2, 3). Нумера-
Нумерация вершии треугольника проводится против часовой стрелки. В табл. П1.2
18—1490 273

Значения аргументов §t, r\k и весовых коэффициентов
Vk в квадратурных формулах для треугольной области
Таблица П1.2
п
(р)
1A)
3B)
4C)
6D)
7E)
и
§. = 1/3
ii=i/6
§2 = 2/3
§3=1.
§.= 1/3
§2=1/5
§3=3/5
64=52:
§1 = 0,091576213509771
§2 = 0,816847572980459
бз = §.
|4=0,445948490915965
|5 = 0,108103018168070
§6= §4
§. = 1/3
§, = 0,101286507323456
§3=0,797426985353087
§4=§2
§5 = 0,470142064105115
§6=0,059715871789770
§7= §5
Я*
ТЦ = §1
Л1 = §1
Г]2:=§1
Г13=§2
rii = §i
Л2=§2
Т13=§2
Я4=§3
fll = §l
Т]2=§1
Т]3=§2
14 =§4
Т15=§4
fl6 = g5
T]l = Sl
Tl2=§2
Tl3=§2
Г14=§3
Tl5=§5
¦Пб=§5
Tl7=§6
vk
v,=\
V,= l/3
V2=Vt
V3=Vt
V,=—27/48
V2=25/48
V4=V2
Vi = 0,109951743655322
vs=vt
V4=0,223381589678011
V5=V4
v,= v4
Vi = 0,225
V2=0,125939180544827
V3=V2
V4=V2
V5=0,132394152788506
Vr=Vs
ириводятся значения коэффициентов gt, т]ь, Vh для различных п.
В первой колонке в скобках указана максимальная степень полинома,
для которого даииая схема квадратурной формулы дает точный результат
(в пределах точности ЭВМ).
Составим подпрограмму вычисления весовых коэффициентов и значений
аргументов в точках интегрирования для квадратурной формулы (П1.2).
В качестве исходных данных будут выступать:
Af—-число точек интегрирования (п); N=\, 3, 4, 6, 7 (для iV=2 и N =
=5 делается переприсвоение N=1 и ЛГ=4); ХТC, 2)—массив координат
вершин треугольника. В г-й строке массива последовательно размещаются
координаты г-й вершины ХТA, 1) =хцу, ХТA, 2) =(/(>>•
В результате работы подпрограммы KSIW3 получим:
WG) — массив, k-й коэффициент которого содержит весовой коэффициент
W(K) = ^ft (k = l, 2 п) (для заданного и); XYG,2) — массив, в k-й
строке которого содержатся значения координат в k-u точке интегрирова-
интегрирования XY(K, I) =xk, XY(K, 2) =t/h (для заданного п).
Текст подпрограммы KSIW3
SUBROUTINE KSIW3 (N, XT, W, XY)
DIMENSION XTC,2), WG), XYG,2), XG), YG)
274

DO 10 1=1,7
W(I)=0.
DO10J=l,2
10 XY(I, J)=0.
GOTO A, 1, 3, 4, 4, 6, 7), N
1 N=1
()
GO TO 8
3 X(l) = l./6.
XB)=2./3.
XC)=XA)
YA)XA)
()()
YB)=XA)
YC)=XB)
W( /3
()
WB)=WA)
WC)=WA)
GO TO 8
4 N = 4
()
XB) = l./5.
XC)=3./5.
XD)=XB)
YAX(
()()
YB)=XB)
YC)=XB)
YD)=XC)
W(l)=—27./48.
WB)=25./48.
WC)=WB)
WD)=WB)
GO TO 8
6 X(l) =0.091576
XB) =0.816848
XC)=XA)
XD) =0.445948
XE) =0.108103
XF)=XD)
YA)=XA)
YB)=XA)
YC)=XB)
YD)=XD)
YE)=XD)
YF)=XE)
W(l) =0.109951
WB)=WA)
WC)=WA)
W D) =0.223382
WE)=WD)
WF)=WD)
GO TO 8
7 X(l) = l./3.
XB) =0.101286
XC) =0.797426
XD)=XB)
XE) =0.470142
XF) =0.059716
XG)=XE)
275

()()
YB)=XB)
YC)=XB)
YD)=XC)
YE)=XE)
YF)=XE)
YG)=XF)
W(l) =0.225
W B) =0.125939
WC)=WB)
WD)=WB)
W E) =0.132394
WF)=WE)
WG)=WE)
8 CONTINUE
X13 = XTA,1)—XTC,1)
Y13=XTA,2)—XTC,2)
X23=XTB,1)—XT C,1)
Y23=XTB,2)—XT C,2)
S=0.5* (X13*Y23—X23*Y13)
DO9K=1, N
XY(K, 1)=XTA,1)*X(K)+XTB,1)»Y(K) +
* XTC,1)*A.—X(K)—Y(K))
XY(K, 2) ==XTA,2) *X(K)+XTB,2) *Y(K) +
* XTC,2)*A.-X(K)-Y(K))
9 W(K)=S*W(K)
RETURN
END
При вычислении двумерных интегралов на четырехугольных областях
можно воспользоваться следующей квадратурной формулой:
Г Г
Где
/ (х, y)dxdy=^ 2 Wk[f(xki- ykt). (П.З)
-4"
4"
S — площадь четырехугольника; It, |/ и V*, V; (й, /=1, 2 га)—значе-
га)—значения аргументов и весовых коэффициентов для квадратурных формул (П1.1)
(табл. П1.1); *«), yd) — координаты х, у i-й вершины четырехугольника. Ну-
Нумерация вершии проводится против часовой стрелки.
276

Составим подпрограмму вычисления весовых коэффициентов Wm и зна-
значений аргументов Xki, уы в точках интегрирования для квадратурной фор-
формулы (Ш.З).
В качестве исходных данных примем:
N — число точек интегрирования (и) вдоль стороны четырехугольника
(Nsg5). Суммарное число точек интегрирования равно п2 (^25); XQD,2) —
массив координат вершин четырехугольника. В г'-й строке последовательно
размещены координаты *<*), У(г)-
В результате работы подпрограммы KSIW4 получим:
WE,5)—массив весовых коэффициентов Wkv, ХE,5)—массив значений ар-
аргументов Xhi (k, 1=1, 2, ..., и); YE,5) —массив значений аргументов
ykl (k, 1=1, 2, ..., п). При работе используется подпрограмма KSIW1.
Текст подпрограммы KSIW4
SUBROUTINE KSIW4 (N, XQ, W, X, Y)
DIMENSION XQD,2), WE,5), XE,5),
* YE,5), XX E), WWE)
A=—1.
B=l.
CALL KSIW1 (N, A, B, WW, XX)
DO 1 1 = 1,5
DO 1 J=l,5
W(I,J)=0.
X(I,J)=0.
1 Y(I,J)=O.
DO2K=1, N
XK=XX(K)
DO2L=1, N
XL = XX(L)
EP = 1.+XL
EM=1.—XL
XP=1.+XK
XM=1.—XK
X(K, L)=0.25*(XM*EM*XQ(l,l)+XP*EM*XQB,l) +
* XP*EP*XQC,1)+XM*EP*XQD,1))
Y(K, L)=0.25*(XM*EM*XQ(l,2)+XP*EM*XQB,2) +
* XP*EP*XQC,2)+XM*EP*XQD,2))
Al 1=0.25* (EM* (XQB,1)—XQA,1))+EP*(XQC,1)—XQD,1)))
A12 = 0.25*(EM*(XQB,2)—XQA,2))+EP* (XQC,2)— XQD,2)))
A21 =0.25* (XM*(XQD,1)—XQA,1))+XP*(XQC,1)—XQB,1)))
A22 = 0.25* (XM* (XQD,2) —XQA,2)) +XP* (XQC,2) —XQ B,2)))
W (K, L) =WW(K) *WW(L) * (Al 1 *A22—A12* A21)
2 CONTINUE
RETURN
END
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ПОДПРОГРАММЫ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ
Подпрограмма MUM выполняет умножение матрицы на матрицу (С =
=А-В). Размерности матриц: А(М, N), B(N, L), C(M, L).
Исходные данные:
А—'Матрица первого сомножителя; В — матрица второго сомножителя;
М, N, L—целые числа, определяющие размерности матриц.
В результате работы подпрограммы MUM в массиве С будут распола-
располагаться коэффициенты матрицы С (размещение коэффициентов идет по столб-
столбцам).
Замечание. В вызывающей программе матрицы А, В, С могут быть опи-
описаны как двумерные массивы. Подпрограмма MUM работает с одномерны-
одномерными массивами, что сокращает число операций индексации.
277

Текст подпрограммы MUM
SUBROUTINE MUM (А, В, С, М, N, L)
DIMENSION A(l), B(l), C(l)
DO 1 1=1, M
IM=I—M
JN=—N
IJ = IM
DO1J=1, L
IJ=IJ-j-M
JN=JN+N
IK=IM
D=0.
DO2K=1, N
+
KJ=JN+K
2 D = D+A(IK)*B(KJ)
1 C(IJ)=D
RETURN
END
Подпрограмма МТМ выполняет умножение транспонированной матрицы
на матрицу С = АТВ. Размерности матриц: А(М, N), B(M, L), C(N, L).
Исходные данные:
А — матрица первого сомножителя; В — матрица второго сомножителя;
М, N, L — целые числа, определяющие размерности матриц.
В результате работы подпрограммы МТМ в массиве С будут распола-
располагаться коэффициенты матрицы С (размещение коэффициентов идет по столб-
столбцам).
Текст подпрограммы МТМ
SUBROUTINE МТМ (А, В, С, М, N, L)
DIMENSION A(l), ВA), СA)
11 = —М
DO1 1=1, N
IJ = I—N
н=п+м
JJ=— М
DO I J=l, L
IJ=IJ+N
JJ=JJ+M
D = 0.
DO2K=1, M
KJ=JJ+K
2 D = D+A(KI)*B(KJ)
1 C(IJ)=D
RETURN
END
Подпрограмма SKM выполняет умножение матрицы иа скаляр.
Исходные данные:
А(М, N)—исходная и результирующая матрица; S — скалярная вели-
величина; М, N — целые числа, определяющие размер матрицы А.
Текст подпрограммы SKM
SUBROUTINE SKM (A, S, M, N)
DIMENSION A(l)
MN=M*N
DO I 1 = 1, MN
1 A(I)=A(I)*S
RETURN
END
Подпрограмма ММТ выполняет умножение матрицы на матрицу транс-
транспонированную (С = АВТ). Размерности матриц А(М, N); B(L, N); C(M, L).
278

Исходные данные:
А — матрица первого сомножителя; В — матрица второго сомножителя;
М, N, L — целые числа, определяющие размерности матриц.
В результате работы подпрограммы ММТ в массиве С будут распола-
располагаться коэффициенты матрицы С (размещение коэффициентов идет по
столбцам).
Текст подпрограммы ММТ
SUBROUTINE ММТ (А, В, С, М, N, L)
DIMENSION A(l), ВA), СA)
DO 1 1 = 1, М
IJ = I—M
II = IJ
DO I J=l, L
IJ = IJ+M
ik=ii
JK = J—L
D = 0.
DO 2 K=l, N
ik=ik+m
JK = JK+L
2 D = D+A(IK)*B(JK)
1 C(IJ)=D
RETURN
END
Подпрограмма GAUSS решает линейную систему алгебраических урав-
уравнений АХ = В методом Гаусса.
Исходные данные:
А(М, М)—массив коэффициентов матрицы системы алгебраических
уравнений; В(М)—массив коэффициентов вектор-столбца правых частей;
М— целое число, определяющее размерности массивов, равно числу уравне-
уравнений и числу неизвестных.
В результате работы подпрограммы GAUSS в массиве Х(М) будут по-
последовательно располагаться коэффициенты вектор-столбца решений.
Текст подпрограммы GAUSS
SUBROUTINE GAUSS (А, В, X, М)
DIMENSION А(М,М), В(М), Х(М)
М1=М—1
DO 1 1 = 1, Ml
J1 = I+1
DO2J=J1, M
F=A(J, I)/A(I, I)
B(J)=B(J)—B(I)*F
DO3K=1, M
3 A(J, K)=A(J, K)—A(I, K)*F
2 CONTINUE
1 CONTINUE
X(M)=B(M)/A(M,M)
DO4I=1, Ml
IX=M— I
J1 = IX+1
DO5J=J1, M
5 B(IX)=B(IX)— A(IX, J)*X(J)
X(IX)=B(IX)/A(IX, IX)
4 CONTINUE
RETURN
END
Подпрограмма DETMN выполняет вычисление определителя матрицы
методом Гаусса.
Исходные данные: А(М, М)—исходная матрица; М—размерность ма-
матрицы.
279

В результате работы подпрограммы DETMN переменная DET равна оп-
определителю матрицы.
Текст подпрограммы DETMN
SUBROUTINE DETMN (A, M, DET)
DIMENSION A(M,M)
М1=М—1
DO1 1 = 1, Ml
J1 = I+1
DO2J=J1, M
F=A(J, I)/A(I,I)
DO3K=1, M
3 A(J, K) =A(J, K)— A(I, K) *F
2 CONTINUE
1 CONTINUE
DET=1.
DO 4 1=1, M
4 DET=DET*A(I, I)
RETURN
END
Подпрограмма MATIN выполняет обращение матрицы методом Гаусса
без выбора главного элемента.
Исходные данные:
A(N, N) — массив коэффициентов исходной матрицы (после работы не
сохраняется); N — целое положительное число, определяющее размерность
матрицы.
В результате работы подпрограммы MATIN в массиве E(N, N) распола-
располагаются коэффициенты обратной матрицы (Е=А-').
Текст подпрограммы MATIN
SUBROUTINE MATIN (A, E, N)
DIMENSION A(N,N), E(N,N)
DO11 1 = 1, N
DO10J=l, N
10 E(I,J)=O.
11 E(I,I) = 1.
DO 271 = 1, N
J = I
L=I
LD = 0
12 IF(ABS(A(I, J))) 16, 13, 16
13 LD = 1
IF(L—N) 15, 14, 14
14 CONTINUE
WRITE(#, 100)
GOTO 27
15 L=L+1
GOTO 12
16 IF(LD—1J6, 17, 26
17 DO 18K=1, N
T=A(L,K)
A(L,K)=A(I,K)
A(I,K)=T
T = E(L,K)
E(L,K) = E(I,K)
18 E(I,K)=T
26 BM=1./A(I, I)
DO19K=1, N
19 E(I,K)=E(I,K)*BM
11 = 1+1
DO20KI = H, N
K
280

20 A(I,K)=A(I,K)*BM
DO23L=1, N
IF(L.EQ.I) GOTO 23
BM=A(L,I)
DO21K=1, N
21 E(L,K) = E(L,K) — E(I,K)*BM
11 = 1+1
DO22KI = I1, N
K=N+I1—KI
22 A(L, K) = A(L, K)—A(I, K) »BM
23 CONTINUE
27 CONTINUE
100 FORMAT EX, «сбой при обращении матрицы:»)
RETURN
END
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ПРОЦЕДУРЫ ФОРМИРОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МКЭ
Для пояснения процедур формироваиия разрешающей системы линей-
линейных алгебраических уравнений МКЭ рассмотрим трактовку МКЭ, соответ-
соответствующую методу перемещений при решении задач теории упругости. Будем
считать, что конечные элементы взаимодействуют лишь в узловых точках.
Мысленно выделим отдельные конечные элементы н в узловых точках при-
приложим реакции отброшенных частей. В пределах конечных элементов, эле-
пользуя аппроксимации перемещений, получим уравнения равновесия эле-
элементов и определим связи реакций с обобщенными перемещениями узлов
элементов и внешними нагрузками. Далее соединим в узлах элементы и за-
запишем условия равновесия отдельных узлов. Для этого приравняем нулю
для каждого узла сумму сил реакций от отдельных элементов, примыкаю-
примыкающих к рассматриваемому узлу. Полученная система алгебраических уравне-
уравнений позволит определить неизвестные узловые обобщенные перемещения,
через которые в дальнейшем можно вычислить деформации и напряжения
в элементах.
Для числеииой реализации рассмотренной выше процедуры формироваиия
разрешающей системы условно представим конструкцию в виде набора ко-
конечных элементов простой формы. Присвоим номера всем конечным элемен-
элементам. Обойдем все узлы и пронумеруем по порядку все обобщенные переме-
перемещения в узлах или узловые степени свободы. Такую нумерацию обобщен-
обобщенных перемещений будем называть глобальной.
Рассмотрим отдельный элемент с номером е. В заранее установленной
последовательности обхода для элементов данного типа обойдем все узлы
элемеита и пронумеруем по порядку, начиная с единицы, все обобщенные
перемещения в узлах элемента. Такую нумерацию степеней свободы назо-
назовем локальной.
Пусть общее число узловых обобщенных перемещений в конечном эле-
элементе будет п. Из сказанного выше следует, что для отдельного конечного
элемеита имеются два иабора из п целых чисел, соответствующих локальной
и глобальной нумерациям обобщенных перемещений. Условно их представим
в виде следующих упорядоченных массивов номеров или индексных масси-
массивов:
пв = [1, 2, 3 k п]\
19—1490 281

где Nke — целое число, равное номеру степени свободы в глобальной нуме-
нумерации и соответствующее степени свободы с номером k в локальной нуме-
нумерации для элемента е. На рис. П3.1, а, П3.2, а для конечных элементов про-
Рис. П3.1 Нумерация обобщенных степеней свободы стерженевых конечных
элементов: л— локальная нумерация; б—глобальная нумерация
страиственной фермы и пластины (для плоской задачи) показаны нумера-
нумерации степеней свободы в локальных системах координат. На рис. П3.1, б,
П3.2, б показаны нумерации степеней свободы в глобальных системах ко-
73
б 7
Рис. П3.2. Нумерация обобщенных степеней свободы треугольных элементов
для плоской задачи теории упругости: а — локальная нумерация; б — глобаль-
глобальная нумерация
282

ординат. Для плоской задачи рис. ГОД б индексный массив глобальной ну-
нумерации степеней свободы для первого элемента будет содержать следую-
следующие номера N'=[1, 2, ?, 8, 9, 10]; для восьмого элемента — М"==
= {9, 10, 17, 18, 11, 12].
Отметим, что для элементов, имеющих общие узлы, в индексных масси-
массивах глобальной нумерации номера степеней свободы, принадлежащие общин
узлам, равны. В дальнейшем индексными массивами будем пользоваться при
записи уравнений равновесия узлов.
После обработки всех элементов и установления связей векторов реак-
реакций с перемещениями (te = K'qe— Pe, где te — вектор-столбец реакций; К*—
мартица жесткости; qe — вектор-столбец узловых обобщенных перемещений;
Ре — вектор-столбец приведенных узловых сил; е — номер конечного элемен-
элемента) можно приступить к составлению уравнений равновесия узлов конструк-
конструкции. В каждом узле сумма вкладов реакций от отдельных элементов, окру-
окружающих узел, должна равняться нулю. Причем должна равняться нулю
любая составляющая обобщенных суммарных реакций, направление которой
соответствует направлению обобщенного перемещения. Для обобщенного пе-
перемещения с номером ( (в глобальной нумерации) прираснясм пулю соот-
соответствующую составляющую суммы реакций от окружающих данный узел
элементов:
2>«=0. e = (e|* = AV). (П3.2)
е
Здесь указано, что суммирование идет по тем элементам, которые в индекс-
индексных массивах глобальной нумерации степеней свободы, т. е. в массивах N',
содержат номер L Для получения разрешающей системы уравнение (П3.2)
записывается через перемещения для t=l, 2, ..., N (N—суммарное число
иезапрещенных степеней свободы в рассматриваемой конструкции).
где j=Nse, t=l, 2, ..., N. Полученная матрица коэффициентов системы ио-
сит название глобальной матрицы жесткости, или матрицы жесткости ков-
струкции (МЖК).
При реализации расчета иа ЭВМ формирование МЖК с помощью ин-
индексных массивов выполняется достаточно просто и наглядно. После обра-
обработки отдельного конечного элемента, т. е. после получения его матрицы
жесткости К" и вектора приведенных узловых сил Р«, сразу ;же можно про-
производить рассылку этих коэффициентов в матрицу жесткости конструкции и
в вектор узловых сил (вектор-столбец свободных членов в правой части).
Для коэффициента матрицы жесткости конечного элемента, находящегося в
k-й строке и s-м столбце, вычисляются с использованием выражения (П3.1)
номер строки и номер столбца в матрице жесткости конструкции: (=#*';
j=Nse. По этому адресу (г, /) в МЖК отсылается коэффициент kkee, где
производится суммирование с находящимся там числом. Для k-то коэффици-
коэффициента вектора приведенных узловых сил pfte вычисляется только номер стро-
строки i=Nhe и также производится отсылка и суммирование. Например, для
элемента с номером 1 (рис. П3.2, б) на рис. ПЗ.З представлена структура,
его матрицы жесткости. Коэффициент матрицы жесткости элемента, находя-
находящийся в третьей строке и четвертом столбце, т. е. ?34 (отмечен точкой на
рис. ПЗ.З) будет направлен в седьмую строку и восьмой столбец МЖК (на
рис. ПЗ.З номера даны в рамке). Рассмотренный выше прием формирования
разрешающей системы называется поэлементным. Рассылку коэффициентов
матриц жесткости элементов и векторов приведенных узловых сил согласна
глобальной нумерации следует рассматривать как формирование уравнений
равновесия узлов, принадлежащих рассматриваемому элементу.
19* 283

Рассмотрим задание граничных условий. Поскольку уравнения (ПЗ.З)
представляют уравнения равновесия, то силовые граничные условия форми-
формируются автоматически. Из геометрических условий рассмотрим лишь про-
стейшнй случай, когда запрещены в граничных узловых точках некоторые
2
2
7
3
[3J9
<t 5
70
В
—
1
1
1
4
Рис. ПЗ.З. К определению адресов рассылки коэффициентов
матриц жесткости
обобщенные перемещения в глобальной системе координат. В этом случае
запрещенные степени свободы можно сразу исключить и формировать сис-
систему уравнений (ПЗ.З) только относительно незапрещениых (активных)
степеней свободы. Указанное исключение удобно выполняется с помощью
индексных массивов (П3.1). Признаком запрещения ?-го обобщенного пе-
перемещения в элементе е можно положить ЛГ^^О. ОГ1Г1.д
Подпрограмма формирования разрешающих уравнении МКЭ FORM име-
имеет следующие формальные параметры:
N — число обобщенных узловых перемещений конечного элемента, равно
размерности вектора столбца qe; SE(N, N) —двумерный массив, содержащий
коэффициенты матрицы жесткости конечного элемента К"; PE(N) —массив,
содержащий коэффициенты вектор-столбца приведенных узловых сил ко-
конечного элемента Р"; LIN(N) —индексный массив глобальной нумерации
обобщенных узловых перемещений конечного элемента, соответствует ин-
индексному массиву N" (П3.1); NB — целое число, указывающее полуширину
ленты алгебраической системы, равно наибольшей разности номеров в ин-
индексных массивах Ne (среди всех элементов) плюс 1. Для примера рис. П3.1,
я NB = 6; для примера рис. П3.2, a NB = 10; SKA) —одномерный массив,
в котором формируется матрица коэффициентов разрешающей системы урав-
уравнений; МКЭ, соответствует матрице жесткости конструкции. В головной
программе размерность массива SK должна быть объявлена конкретно
SK(L), где L — целое число, которое больше нли равно NBXNZ, NZ—число
уравнений в разрешающей системе (равно суммарному числу незапрещениых
обобщенных узловых перемещений конструкции). При формировании масси-
массива SK элемент глобальной матрицы жесткости с номером строки i и номе-
номером столбца / (в глобальной нумерации) занимает место т в одномерном
массиве SK m=b(i—\)+k, где *=/—i+l, 6 = NB. При этом в силу сим-
симметрии МЖК формируется только верхняя полулента системы; R(l) —одно-
—одномерный массив, в котором формируется вектор-столбец узловых снл (век-
(вектор-столбец свободных членов в правой части разрешающей системы алгебра-
алгебраических уравнений). В головной программе размерность массива R должна
быть объявлена конкретно R(L), где L —целое число, которое больше или
равно NZ (число уравнений в системе).
284

Подпрограмма формирования вызывается в цикле обработки отдельных
конечных элементов. Перед началом формирования массивы SK и R следует
обнулить.
Текст подпрограммы FORM
SUBROUTINE FORM (N, SE, РЕ, LIN, NB, SK, R)
DIMENSION SE(N,N), PE(N), LIN(N), SKA), R(l)
DO1 1=1, N
IS = LIN(I)
IF(IS) 1, 1, 3
3 R(IS)=R(IS)+PEA)
DO2J = 1,N
JS = LIN(J)
IF(JS) 2, 2, 4
4 CONTINUE
K=JS—IS+1
IF(K) 2, 2, 5
5 M=NB*(IS—1)+K
SK(M)=SK(M)+SE(I,J)
2 CONTINUE
1 CONTINUE
RETURN
END
Подпрограмма SOLV — подпрограмма решения симметричной леиточиой
системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, ее можно
применять для решения сформированной подпрограммой FORM системы
уравнений.
Формальные параметры подпрограммы:
SK, R, NB — даны в описании формальных параметров для подпрограммы
FORM; NZ — число уравнений в системе.
После работы подпрограммы SOLV решение располагается в массиве R.
Текст подпрограммы SOLV
SUBROUTINE SOLV (SK, R, NB, NZ)
DIMENSION SKA), R(l)
DO5N=1, NZ
I = N
NNB = NB*(N—1)
DO4L=2, NB
1 = 1+1
INB = NB*(I—1)
NL=NNB+L
N1=NNB+1
IF(SK(NL)) 1, 4, 1
1 C=SK(NL)/SK(N1)
J=0
DO3K=L, NB
J=J+1
NK=NNB+K
IF(SK(NK)) 2, 3, 2
2 IJ=INB-W
SK(U) =SK(U)—C*SK(NK)
3 CONTINUE
SK(NL)=C
R(I)=R(I)-C*R(N)
4 CONTINUE
5 R(N)=R(N)/SK(N1)
N=NZ
6 N=N—1
IF(NI0, 10, 7
7 L=N
NNB=NB*(N—1)
285

DO 9 K=2, NB
L=L+1
NK=NNB+K
IF(SK(NK)) 8, 9, 8
8 R(N)=R(N)—SK(NK)*R(L)
9 CONTINUE
GOTO 6
10 RETURN
END
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ПОДПРОГРАММЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
И ПОЛУЧЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ
ОДНОМЕРНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Подпрограмма MFR на основе интегрирования канонической системы ме-
методом Рунге—Кутта (по четырехточечной схеме) осуществляет заполнение
матрицы фундаментальных решений н вычисление вектор-столбца частного
решения (см. A.109) н разд. 5.1.6). Согласно методу Рунге—Кутта для сис-
системы дифференциальных уравнений Y'==AY+H на шаге интегрирования
[х, jc+s] выполняются следующие вычисления
2 = \(x+s/2) Z+H (*+s/2) ¦
= Y(*)+Y2s/2;
3 = A(*+s/2)Z+H(*+s/2);
\(x+s) = \(x) + (YI+2(Y2+Y3) +Y4)s/6.
В подпрограмме одновременно интегрируется N единичных задач Коши
нри Н = 0 и одно частное решение при нулевых начальных условиях.
Формальные параметры подпрограммы MFR:
Х0, ХК — начальная и конечная координаты х отрезка интегрирования Хо
н Хк\ ААA)—массив, в котором последовательно располагаются коэффи-
коэффициенты матриц разрешающей системы, вычисленные при х0, хСр— (*о+*ь)/2;
Хк. Коэффициенты матриц А(х0), А(хср), А(хь) упорядочены в одномерном
массиве АА по столбцам. В вызывающей подпрограмме необходимо кон-
конкретно указать размерность массива AA(L), где L^3XiV2; HHA) —массив,
в котором последовательно размещаются коэффициенты вектор-столбцов
свободных членов Н(*о), Н(дгср), Н(**). В вызывающей подпрограмме кон-
конкретно указывается размерность массива HH(L), где L^3XN; N — число
дифференциальных уравнений в системе; Y1 A), Y2(l), Y3(l), Y4(l), Z(l)—
рабочие массивы. В вызывающей подпрограмме указываются размерности
массивов L>N2+N; AXA) —рабочий массив. В вызывающей подпрограмме
размерность массива указывается L>N2; HX(N)—рабочий массив; KIN —
число шагов интегрирования на отрезке [*o, ж*].
В результате работы подпрограммы MFR получим:
Y(I)—¦массив, в котором последовательно по столбцам размещается матри-
матрица фундаментальных решений и вектор-столбец частного решения, вычислен-
вычисленные при х=хк.
286

В вызывающей подпрограмме размерность массива Y указывается Y(L),
где L>N2+N. При работе используются подпрограммы INTP3, DERV.
В подпрограмме INTP3 вычисляются коэффициенты матрицы разрешаю-
разрешающей системы А и вектора свободных членов Н для текущего значения аргу-
аргумента х с использованием интерполяционной зависимости F(*)F()$+
+F()#F ()#
где
l=(x-xQ)l(xk—Xo); F=(A, H).
Формальные параметры подпрограммы: X — текущее значение аргумента х;
ХО, ХК, N, АА, НН — описаны ранее для подпрограммы MFR; АХ; НХ —
массивы, содержащие коэффициенты матрицы А(лг) и вектор-столбца Н(я).
В подпрограмме DERV вычисляются производные для процедур интегри-
интегрирования матрицы фундаментальных решений и частного решения. Формаль-
Формальные параметры: DY — массив, содержащий коэффициенты вектор-столбца
производных ;(для всех решаемых задач Коши; АХ, НХ — описаны ранее для
подпрограммы ШТРЗ; N — см. MFR; Y—текущий вектор состояния (для
всех решаемых задач Коши).
Подпрограмма STF вычисляет матрицу жесткости одномерного конеч-
конечного элемента и вектор-столбец приведенных узловых сил. В алгоритме ис-
используются зависимости A.112), A.113).
Формальные параметры подпрограммы STF:
Y, N—описаны ранее для подпрограммы MFR; M=N/2; Nl=N+l;
R1(M,M), R2(M,M)—рабочие массивы; SE(N,N)—массив, содержащий
коэффициенты матрицы жесткости; PE(N)—массив, содержащий коэффици-
коэффициенты вектор-столбца приведенных узловых сил. ¦
В подпрограмме STF используется подпрограмма обращения матрицы
MATIN [(Приложение 2).
Тексты подпрограмм
SUBROUTINE MFR (ХО, ХК, АА, НН,
* N, Yl, Y2, Y3, Y4, Z, АХ, НХ, KIN, Y)
DIMENSION ААA), ННA), Yl(l), Y2(l),
Y3(l) Y4(l) Z(l) AXA) HXA) Y(l)
(), (),
KK=N*N+N
S=(XK—X0)/KIN
S2 = S/2.
S6 = S/6.
X=X0
DO2I = 1, KK
2 Y(I)=0.
DO3I=1, N
L=I+N*(I—1)
3 Y(L) = 1.
CALL INTP3 (X, XO, XK, N, АА, НН, АХ, НХ)
DO7INT = 1, KIN
CALL DERV (Yl, AX, Y, HX, N)
DO 4 1=1, KK
4 Z(I)=Y(I)+Y1(I)*S2
X = X+S2
CALL INTP3 (X, XO, XK, N, АА, НН, АХ, НХ)
CALL DERV (Y2, AX, Z, HX, N)
DO 5 1 = 1, KK
b Z(I)=Y(I)+Y2(I)*S2
CALL DERV (Y3, AX, Z, HX, N)
DO6I = 1, KK
287

6 Z(I)=Y(I)+Y3(I)*S
X=X+S2
CALL INTP3 (X, XO, XK, N, AA, HH, AX, HX)
CALL DERV (Y4, AX, Z, HX, N)
DO 7 1=1, KK
7 Y(I)=Y(I) + (Y1(I)+2.*(Y2(I)+Y3(I))+Y4(I))*S6
RETURN
END
SUBROUTINE INTP3 (X, XO, XK, N, AA, HH, AX, HX)
DIMENSION, AAA), HHA), AXA), HX(N)
DL=XK—XO
T=(X—X0)/DL
T2=T*T»2.
F1 = T2—3.*T+1.
F2=—2.»T2+4.*T
F3 = T2—T
NN=N*N
DO 111 = 1, NN
I2=I1+NN
I3=I2+NN
1 AX (II) =AA(I1) *F1+AA(I2) *F2+AA(I3) »F3
DO2I1 = 1, N
12 = I1+N
13 = I2+N
2 HX(I1) =HH(I1) *F1+HH(I2) »F2+HH(I3) *F3
RETURN
END
SUBROUTINE DERV (DY, AX, Y, HX, N)
DIMENSION DYA), AXA), Y(l), HXA)
K=N*N
•DO 11=1, К
1 DY(I)=0.
DO2I=1, N
K=K+1
2 DY(K)=HX(I)
N1=N+1
L=-N
DO3K=1, N1
L = L+N
DO3I=1, N
IJ = I_N
KI = L+I
D = DY(KI)
DO4J = 1, N
IJ=IJ+N
MJ = L+J
4 D = D+AX(IJ)*Y(MJ)
3 DY(KI)=D
RETURN
END
SUBROUTINE STF(Y, N, M, N1, Rl, R2, SE, PE)
DIMENSION Y(N,N1), R1(M,M), R2(M,M),
* SE(N, N), PE(N)
DO1 J=l, M
JM=J+M
DO1 1=1, M
1 R1(I,J)=Y(I,JM)
CALL MATIN (R1,R2,M)
DO3I = 1, M
IM=I+M
288

DO3J=1, M
JM=J+M
A=0.
D=0.
SE(I,JM)=— R2(I,J)
SE(IM,J)=—R2(J,I)
DO2L=1, M
LM=L+M
A=A+R2(I, L)*Y(L,J)
2 D = D+Y(IM,LM)*R2(L,J)
SE(I,J)=A
3 SE(IM,JM)=D
DO 4 1=1, M
A = 0.
DO5J = 1, M
5 A=A—R2(I,J)»Y(J,N1)
4 PE(I)=A
DO6I=1, M
IM=I+M
A=—Y(IM,N1)
DO7J=1, M
JM=J+M
7 A=A—Y(IM,JM)»PE(J)
6 PE(IM)=A
RETURN
END
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алфутов Н. А. Основы расчета иа устойчивость упругих систем.— М.:
Машиностроение, 1978.— 311 с.
2. Алфутов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пла-
пластин и оболочек из композиционных материалов.— М.: Машиностроение,
1984. —264 с.
3. Амбарцумян С. А Общая теория анизотропных оболочек.— М.: Нау-
Наука, 1974.— 448 с.
4. Балабух Л. И., Алфутов Н. А., Усюкин В. И. Строительная механика
ракет.— М.: Высшая школа, 1984.— 391 с.
5. Бате К.-Ю., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных
элементов.— М.: Стройиздат, 1982.— 494 с.
6. Бинерджи П., Баттерфильд Р. Методы граничных элементов в при-
прикладных науках.— М.: Мир, 1984.— 494 с.
7. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика.— М.:
Машиностроение, 1977.— 488 с.
8. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструк-
конструкций.— М.: Машиностроение, 1980.— 376 с.
9. Быков Е. В., Попов Б. Г. Расчет многослойных оболочечных кон-
конструкций с учетом деформаций поперечных сдвигов // Расчеты на прочность.
Сб. статей. Вып. 30.— М.: Машиностроение, 1989.— С. 66-87.
10. Васидзу К- Вариационные методы в теории упругости и пластично-
пластичности.— М.: Мир, 1987.— 542 с.
11. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материа-
материалов.— М.: Машиностроение, 1988.— 272 с.
12. Виноградов Ю. И., Клюев Ю. И. Напряженно-деформированное со-
состояние цилиндрической оболочки при сосредоточенном нагружеиии // Изв.
вузов. Сер. Машиностроение.— 1973.— № 11.—> С. 5-9.
13. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— М.: Наука, 1967.— 496 с.
289

14. Григолюк Э. И., Куликов Г. М. Многослойные армированные обо-
оболочки. Расчет пневматических шии.— М.: Машиностроение, 1988.— 288 с.
15. Григоренко Я. М., Мукоед А. П. Решение задач теории оболочек на
ЭВМ.— Киев: Вища школа, 1979.— 280 с.
16. Григоренко Я. М., Мукоед А. П. Решение нелинейных задач теории
оболочек на ЭВМ.— Киев: Вища школа, 1983.— 286 с.
17. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.— М.: Мир, 1975.—
541 с.
18. Зиновьев П. А. Расчет конструкций из композиционных материалов.
— М.: МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1982,— 63 с.
19. Лехницкий С. Г Теория упругости анизотропного тела.— М.: Наука,
1977,— 415 с.
20. Ли С. В., Пиан Т. X. X. Усовершенствование метода расчета конеч-
конечных элементов для пластинок и оболочек с помощью смешанного подхода //
РТК-— 1978— Т. 16, № 1.— С. 38-45.
21. Мяченков В. И., Григорьев И. В. Расчет составных оболочечных кон-
конструкций на ЭВМ: Справочник.— М.: Машиностроение, 1981.— 212 с.
22. Новицкий В. В. Прочность н проектирование конструкций из компо-
композиционных материалов.— М.: ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1984.— 300 с.
23. Образцов И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армиро-
армирование оболочек вращений из композиционных материалов.— М.: Машино-
Машиностроение, 1977.—' 144 с.
24. Основы проектирования и изготовления конструкций летательных
аппаратов из композиционных материалов / В. В. Васильев, А. А. Доб-
Добряков, А. А. Дудченко и др.— М.: МАИ, 1985.— 218 с.
25. Попов Б. Г, Коррекция ранга матрицы жесткости конечного элемен-
элемента // Изв. вузов. Сер. Машиностроение.— 1984.— № 12.— С. 3-6.
26. Попов Б. Г., Раман Э. В. Об одном подходе к решению задач ста-
статики многослойных оболочек вращения // Прикладная механика.— 1984.—
Т. 20, № 7.— С. 59-65.
27. Постное В. А. Численные методы расчета судовых конструкций.—
М.: Судостроение, 1977.— 2,79 с.
28. Рассказов А. О., Соколовская И. И., Шульга Н. А. Теория и расчет
слоистых ортотропных пластин и оболочек.— Киев: Вища школа, 1986.—
191 с.
29. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике н тех-
технике,— М.: Мир, 1985.— 589 с.
30. Рикардс Р. Б. МКЭ в теории оболочек и пластин.— Рига: Зииатне,
1988.— 284 с.
31. Разин Л. А. Теоремы и методы статики деформируемых систем: Учеб.
пособие.— Л.: Изд-во Леииигр. ун-та, 1986.— 276 с.
32. Сахаров А. С. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с уче-
учетом жестких смещений // Сопротивление материалов и теория сооружений.
— Киев: Буд1вельник, 1974,— Вып. 24.— С. 147—156.
33. Строительная механика летательных аппаратов / И. Ф. Образцоь,
Л. А. Булычев, В. В. Васильев и др.; Под ред. И. Ф. Образцова.— М.: Ма-
Машиностроение, 1986.— 536 с.
34. Тарнапольский Ю. М., Кинцис Т. Я. Методы статических испытаний
армированных пластиков.— М.: Химия, 1981.— 272 с.
35. Усюкин В. И. Строительная механика конструкций космической тех-
техники.— М.: Машиностроение, 1988.— 390 с.
36. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению ма-
материалов.— М.: Наука, 1973,— 399 с.
37. Филин А. П. Элементы теории оболочек.— Л.: Стройиздат, Ленингр.
отд-ние, 1987— 384 с.
38. Bathe K--J. The finite element procedures in engineering analysis.—
Englwood Cliffs.— N. J.: Prentice— Hall, 1982.— 615 p.
39. Oden I. Т., Carey G. F. Finite elements Mathematical aspects.— Engl-
Englwood Cliffs— N. J.: Prentice — Hall.— 1983.— Vol. 4.— 195 p.
290

СОДЕРЖАН ИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
1. Вариационно-матричные формулировки задач механики твердого де-
деформируемого тела 5
1.1. Принцип возможных перемещений 5
1.1.1. Формулировка принципа. Линейная задача статики .... 5
1.1.2. Метод перемещений для линейно-упругого тела 8
1.1.3. Решение задач статики методами Рэлея — Ритца и конечных эле-
элементов 11
1.1.4. Решение задач динамики 14
1.2. Принцип возможных изменений напряженного состоиния и вариа-
вариационные формулировки смешанного типа 17
1.2.1. Принцип возможных изменений напряженного состояния . . 17
1.2.2. Независимые перемещения и напряжения 20
1.2.3. Независимые перемещения и деформации. Согласованность аппро-
аппроксимаций 22
1.3. Вариационно-матричный способ получения канонических систем и
матриц жесткости для одномерных задач 25
1.3.1. Преобразования вариационных формулировок 25
1.3.2. Алгоритм получения канонических систем и матриц жесткости . 31
1.3.3. Свойства симметрии 32
1.3.4. Особенности численной реализации 33
1.4. Линеаризованные формулировки 35
1.4.1. Линеаризованная формулировка принципа возможных перемеще-
перемещений для нелинейных систем 35
1.4.2. Вариант метода перемещений 39
1.4.3. Приложения к одномерным системам 40
1.4.4. Получение канонических систем для задач устойчивости и коле-
колебаний 42
1.5. Примеры 44
2. Основные уравнения и модели деформирования многослойных обо-
оболочек 65
2.1. Основные геометрические характеристики гладких поверхностей . 66
2.1.1. Поверхность общего вида 66
2.1.2. Поверхность вращения 69
2.2. Связь деформаций с перемещениями 72
2.3. Уравнения равновесия 76
2.4. Соотношения упругости 80
2.4.1. Общий случай анизотропии 80
2.4.2. Свойства упругой симметрии 83
2.4.3. Ортотропиый материал 85
2.4.4. Трансверсально несжимаемый ортотропный материал ... 89
2.5. Модели деформирования многослойных оболочек 93
2.5.1. Энергетические оценки моделей деформирования 93
2.5.2. Кинематические и статические гипотезы 95
291

2.5.3. Формулировка линейных двумерных задач статики и термоупру-
термоупругости 99
2.5.4. Линеаризованные формулировки и задачи устойчивости . . 106
2.6. Примеры 112
3. Композитные стержни, балки и стержневые конструкции . . 125
3.1. Стержневые элементы ферменных конструкций 126
3.1.1. Кинематика деформирования и жесткостные характеристики . 126
3.1.2. Матрица жесткости и приведенные узловые силы конечного эле-
элемента ферменной конструкции 129
3.1.3. Преобразования характеристик конечного элемента для плоских
и пространственных систем 131
3.1.4. Подпрограмма вычислении матрицы жесткости 135
3.1.5. Подпрограмма обработки результатов расчета 136
3.1.6. Особенности деформирования цилиндрического многослойного
стержня несимметричной структуры 137
3.2. Композитные балки 140
3.2.1. Изгиб и растяжение композитных стержней 140
3.2.2. Конечный элемент композитной балки 146
3.2.3. Изгиб цилиндрического полого стержня 147
3.2.4. Подпрограмма вычисления матрицы жесткости 154
3~3* Устойчивость многослойных стержней 156
3.3.1. Вычисление матрицы приведенных начальных усилий для много-
многослойного стержня 156
3.3.2. Устойчивость цилиндрического полого стержня 159
3.4. Расчет конического отсека ферменной конструкции .... 160
3.5. Стержневые конечные элементы подкреплений 164
4. Многослойные панели и пластины . 170
4.1. Уравнения теории многослойных панелей и пластин .... 171
4.2. Изгиб многослойных свободно опертых прямоугольных панелей и
пластин 175
4.2.1. Общий случай 175
4.2.2. Изгиб тонких панелей 178
4.2.3. Изгиб многослойных симметричных пластин 180
4.2.4. Программа вычисления напряженно-деформированного состояния
многослойной свободно опертой панели 182
4.3. Решение задачи об изгибе тонкой многослойной симметричной пря-
прямоугольной пластины методом разделения переменных .... 185
4.4. Конечный элемент многослойной панели 188
4.4.1. Теоретическое описание . 188
4.4.2. Подпрограмма вычисления матрицы жесткости 196
4.5. Устойчивость многослойных пластин 202
4.5.1. Вариационные формулировки задачи устойчивости многослойной
пластины 202
4.5.2. Устойчивость толстой свободно опертой многослойной пластины 204
4.5.3. Устойчивость тонкой свободно опертой пластины .... 208
4.5.4. Подпрограмма вычисления критических сжимающих нагрузок для
прямоугольных свободно опертных многослойных пластин . . 210
4.6. Определение приведенных жесткостных характеристик континуаль-
континуальных моделей регулярных ферменных балок и панелей .... 212
5. Многослойные оболочки 216
5.1. Статика многослойных оболочек вращения .216
5.1.1. Вариационно-матричный способ получения канонических систем
дифференциальных уравнений 216
5.1.2. Подпрограмма получения канонической системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений 221
292

5.1.3. Тонкие многослойные оболочки 222
5.1.4. Учет деформаций поперечных сдвигов 224
5.1.5. Учет деформаций поперечных сдвигов и изменения метрических
характеристик 226
5.1.6. Подпрограмма вычисления матриц жесткости кольцевых оболо-
чечных элементов 227
5.2. Устойчивость и колебания многослойных оболочек вращения . . 230
5.2.1. Получение канонических систем дифференциальных уравнений . 230
5.2.2. Подпрограмма получения канонической системы для решения за-
задач на собственные значения 233
5.2.3. Устойчивость и колебания тонких многослойных оболочек . . 234
5.2.4. Учет деформаций поперечных сдвигов 235
5.2.5. Учет деформаций поперечных сдвигов и изменения метрических
характеристик 235
5.2.6. Подпрограмма вычисления приведенных инерционных характерис-
характеристик многослойного пакета 235
5.3. Расчет цилиндрических оболочек 236
5.3.1. Задача статики свободно опертой многослойной цилиндрической
оболочки 236
5.3.2. Подпрограмма определения напряженно-деформированного состоя-
состояния многослойной цилиндрической оболочки 241
5.3.3. Осесимметричное деформирование многослойных цилиндрических
оболочек 243
5.3.4. Устойчивость цилиндрических оболочек 252
5.3.5. Подпрограмма вычисления критических значений осевого сжатия
и внешнего давления 256
5.4. Условия сопряжения многослойных оболочек вращения с кольце-
кольцевыми подкрепляющими элементами 259
5.5. Треугольный шестиузловой конечный оболочечный элемент смешан-
смешанного типа 267
Приложение 1. Подпрограммы квадратурных формул .... 271
Приложение 2. Подпрограммы матричной алгебры .... 277
Приложение 3. Процедуры формирования и решения систем ли-
линейных алгебраических уравнений МКЭ . . . 281
Приложение 4. Подпрограммы интегрирования канонических систем
и получения матриц жесткости одномерных конеч-
конечных элементов . 286
•Список литературы 289

В1ВЛ1ЯТЗКД.
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Борис Глебович Попов
РАСЧЕТ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИИ
ВАРИАЦИОННО-МАТРИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
Редактор В. А. Солдатенков
Художник Т. Н. Кольченко
Технический редактор В. С. Рябова
Корректоры: О. В. Калашникова, Л. И. Малютина
Сдано в набор 30.03.93 Подписано в печать 23.06.93 ЛР № 020523 от 23.04.92
Формат бумаги бОхЭО'Аб- Бум. тип. Литературная гарнитура
Высокая печать. Усл. печ. л. 18,5 Уч.-изд. л. 21,07
Тираж 1000 экз. Заказ 1490
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана. 107005, Москва, 2-я Бауманская, 5
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ
140010, Люберцы, 10, Московской обл., Октябрьский просп., 403

В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ МГТУ
ВЫЙДУТ В СВЕТ В 1993 ГОДУ:
Светлицкий В. А. Задачи и примеры по теории колебаний:
Учебное пособие. Ч. I.—M.: Изд-во МТТУ, 1993,-15 л. (в пер.)
В первую часть пособия включены задачи и упражнения по
всем основным разделам курсов теории колебаний, относящихся
к системам с конечным числом степеней свободы. Сформулиро-
Сформулированы задачи, связанные: с анализом установившихся и неустано-
неустановившихся режимов колебаний; определением вероятностных
характеристик решений при действии случайных сил; анализом
нелинейных колебаний; анализом устойчивости параметрических
колебаний и др. Для большинства задач приведены ответы и
алгоритмы решения, в том числе с использованием ЭВМ.
Для студентов и аспирантов технических вузов. Может быть
полезно научным и инженерно-техническим, работаюсам.
Орловская И. В., Самсонова Л. С, Скубриева А. И. Учеб-
Учебник английского языка для технических университетов и ву-
вузов. — М.: Изд-во МГТУ, 1993,-22 л. (в пер.)
Учебник состоит из 12 циклов-уроков. Каждый цикл объеди-
объединен единой тематикой, содержит: основной текст, назначением
которого является обучение чтению технической литературы по
специальностям машиностроительных вузов; дополнительные
тексты и диалоги для ознакомительного чтения, активизации
грамматических конструкций и общественной лексики и разви-
развития навыков профессионального общения по изучаемой темати-
тематике; письменные и устные грамматические и лексические упраж-
упражнения, контрольные упражнения для самостоятельной работы;
упражнения коммуникативной направленности. Тексты взяты
из оригинальных английских и американских источников. Учеб-
Учебник прошел успешную апробацию в учебных группах МГТУ
им. Н. Э. Баумана.
Для студентов технических университетов и вузов машино-
машиностроительного и приборостроительного профиля. Полезен для
специалистов, желающих научиться профессиональному обще-
общению на английском языке и имеющих начальную языковую
подготовку.

ИЗДАТЕЛЬСТВО МГТУ
принимает заказы
на рекламные объявления
по машиностроительной
и приборостроительной тематике
Рекламная информация
по согласованию с заказчиком
будет помещаться на свободных полосах
книг и журнала «Вестник МГТУ»
С предложениями обращаться по адресу:
107005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5,
тел.: 265-37-97, 263-67-51