/
Текст
<Р видный. ГЬ КОЛЧИН. с* нлованич
матричный
метод
решения
задач
СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ
rrxiio шгшгто я <о rrvuHLwvTO (vr»*jiw4
МГЪДДА*«г* 4 •»
Г ₽ ***л~-й. Г Б Ко*— С • H.WI
МАТРИЧНЫЙ МЕТОД
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
УДК-бЗ&гЗ^-бЭЭ.З.О!; 624.Oil: 539.4 !
Г.Р.Видный, Г.Б.Колчин, С.Ф.Клованич. Матричный метод решения за-
дач строительной механики. Кишинев: Штиннца, 1981, 308 с., библи-
огр. 84, ил. 87. (МЪССО ЮСР. Кишиневский политехнический ин-
ститут им. С.Лазо)
Книга посвящена изложению основ одного из наиболее аффектив-
ных матричных методов исследований напряженно-деформированного со-
стояния конструкций - метода конечных злементов, а также его при-
ложениям. Подробно рассмотрены принципы метода и вопросы его при-
менения к задачам строительной механики стержневых систем, теорий
упругости, пластинам и оболочкам. В общем виде обсуждаются мате-J
матические аспекты метода, его реализации в физически нелинейных!
задачах, а также при расчете конструкций на устойчивость и дина-
мические воздействия. Рассмотрены вопросы составления программ для
ЭВЫ и приведены примеры расчета некоторых строительных конструк-
ций, иллюстрирующие аффективное» метода.
Ионография рассчитана на инженеров и научных работников, за
иимаюшихся вопросами прочности и жесткости строительных конструк-
ций, а также студентов вузов строительных и машиностроительных спе-
циальностей. ’
Работу рецензировали и рекомендовали к изданию
кандидаты технических наук В.В.Лапенко и Э.А.Пудик
Б 52 •81 -3201010000
Мг5Э(1г) - 81
©Издательство
"Штиинца",1981
ПРЕДИСЛОВИЕ
В современной строительной механике как науке о прочности
и жесткости конструкций различного типа и назначения широко ис-
пользуется аппарат матричной алгебры в сочетании с мощными ЭВМ.
Этот подход нашел наиболее яркое отражение в методе конечных еле-
ментов (МКЭ), который успешно применяется при расчете прочности
различных конструкций, в том числе строительных. Основные идеи ме-
тода были предложены Р.Курантом еще в 40-е годы, а современное
развитие втот метод получил в 50-е годы.
В настоящее время МКЭ используется в большинстве практи-
ческих расчетов на прочность, жесткость и устойчивость в самых
различных областях техники. Причин такого положения несколько.
Во-первых, для МКЭ характерна четкая, физически наглядная ме-
ханическая интерпретация его основных идей, многие из которых в
том или ином виде ранее использовались в инженерных расчетах.
Его можно рассматривать как известное обобщение таких классичес-
ких методов строительной механики, как методы сил и перемеще-
ний, хорошо знакомые специалистам, работающим в области прочнос-
ти конструкций.
Во-вторых, МКЭ по своей математической сущности совпадает
с широко известными вариационными методами решения задач меха-
ники деформируемых тел и его можно интерпретировать как своеоб-
разную разновидность вариационно-разностных методов. Это создало
основу для строгого математического обоснования МКЭ и решения
таких принципиальных вопросов, как сходимость и точность.
В-третьих, причиной иирокого использования МКЭ являются об-
стоятельства, связанные с повсеместным внедрением в практику мощ-
ных вычислительных машин.
Отечественная и зарубежная литература, посвященная МКЭ, его
теории и практическим приложениям, весьма обширна. Однако боль-
шинство рчбот по МКЭ рассчитано на сравнительно подготовленных чи-
тателей и не учитывает особенностей вузовской подготовки инжене-
ров-строителей.
3
Целы» настоящей работы является систематическое изложение
матричных методов расчета конструкций главным образом в форме кКЭ
с единых методических позиций. Детально освещаются вопросы расче-
та наиболее распространенных в практике строительных сооруже-
ний - пространственных и плоских конструкций, плит и оболочек.
Чтобы облегчить чтение книги, предлагается вспомогательная
глава, в которой кратко излагаются два наиболее необходимых раз-
дела математики - матричная алгебра и вариационное исчисление, а
также глава, посвященная вариационным принципам строительной ме-
ханики. Кроме того, приводится материал по расчету стержневых
систем матричным методом, который позволит наиболее естественным
путем ввести читателя в круг идей метода конечных элементов.
В написании отдельных параграфов принимали участие Т.А.Ба-
лан (5 У1.5, УП.1, УП.З), К.И.Триколич (5 УП.2), В.В.Стоянов
И Ю.К.Люненко (I УП.З).
Авторы признательны Н.В.Любимовой за помощь в подготовке
рукописи к изданию.
ГЛАВА I
HEKOTOHliS СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ
$ I.I. Основные понятия «инейной алгебры
I.I.I. Линейную алгебру, или теорию матриц, можно справедли-
во считать арифметикой высшей математики [9]. Хорошо известно,что
математическое описание различных задач связано с многочисленны-
ми преобразованиями. На этом пути велика опасность, по словам
Р.Беллмана, потонуть в море арифметических и алгебраических де-
талей. Очевидно, что система хорошо построенных обозначений позво
ляет четко выявить математическую сущность задачи, не отвлекая
внимание исследователя. С этой точки зрения матрицы являются весь
ма удобным и эффективным способом описания так называемых ли-
нейных преобразований, простейшим примером которых может слу-
жить решение системы линейных алгебраических уравнений.
I.I.2. Матрицей называется совокупность элементов (в част-
ности, чисел, функций), связанных между собой определенным логи-
ческим содержанием или физическим смыслом и расположенных в ви-
де прямоугольной таблицы, содержащей т строк и п столбцов. За-
писываются матрицы в следующем порядке:
(1.1)
или сокращенно
(1.2)
Каждый элемент матрицы обозначается череэ , причем первый ин-
декс соответствует номеру строки, второй - номеру столбца ( I =
» 1 ,2, ..., т ; j = 1,2, , п),
I.I.3. Если в матрице mtn , то она называется прямоуголь-
ной матрицей размером т*п. В том случае, когда т=п, матрица на-
зывается квадратной, а число строк, равное числу столбцов, явля-
ется ее порядком.
°'
а2
•И
(1.5)
ат\
ппи изображении матрицы-столбца часто
запись вида
т J
Есжж в матрице (I.I) число строк m=lt а nfl, то матрица
приобретает вид
= (Ч Ч>] 7 (1-3)
ИЛИ
[А] - [a], (1.4)
и называется матрицей-строкой.
Если п = 1, а т # /, то матрица называется матрицей-столб-
цом
[Л] =
Для економии места
используется строчечная
(А) ={<7Г ог... а„} . (1.6)
I.I.4. Матрица-столбец (матрица-строка) рассматривается обыч-
но как /?7/?77-мерный вектор, компонентами которого в фиксирован-
ной системе координат являются влементы данной матрицы. Повтому
матрицу-столбец (матрицу-строку) принято называть вектор-столбец
(вектор-строка), а прямоугольную матрицу представлять как сово-
купность вектор-отолбцов и вектор-строк*). В втом смысле матрица
представляет собой обобщенное понятие вектора.
I.I.5. Рассмотрим некоторые матрицы, имеющие особые назва-
ния.
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим
чжслом, т.е. любое чжсло можно представить в виде квадратной
матрицы первого порядка
[а] = a PJ . (1.7)
Такая матрмца является скаляром.
*^Если елементамж матрицы являются функции, то матрицу-стол-
бец (матрицу-строку) называют вектор-функцией.
6
Квадратная матрица, у которой отличны от цуля лишь элемен-
ты, расположенные вдоль главной диагонали*^, имеет вид
' aJt а О ... О
о аг2 о ... о (1.8)
О О аз3 ... о
о о О ... атгп
ияи
[Л J - [ at) агг а33 . . . ctrrim - ] , 1. i*)
и называется диагональной матрицей.
Диагональная матрица, все элементы которой равны между со-
бой (а}1 = агг = а33 - ... = атт = а), называется скалярной.
Если в скалярной матрице элемент ат/п равен единице,то мат-
рица называется единичной и обозначается буквой Е :
1 О О .. о -
Е = О 1 О О (I.K.)
о О / . . . о
о О О 1 ..
Матрица, все элементы которой равны нулю, является нулевой
и обозначается символом [о] . Как и другие матрицы, она имеет
определенные размеры т -п.
Следует отметить, что в теории матриц единичная и нулевая
матрицы играет роль, аналогичную роли единицы и нуля в обычной
алгебре.
Если в квадратной матрице элементы, расположенные симметрич-
но относительно главной диагонали, равны между собой, т.е. имеет
место равенство
а,. = а-. , (I.TD
то матрица называется симметричной.
Квадратная матрица порядка тг у которой отличными от нуля
являются элементы, расположенные на главной диагонали и на при-
Прямая, соединяющая верхний левый угол с нижним правым,на-
зывается главной диагональю, а прямая, соединяющая верхний пра-
вый с нижним левым, - побочной диагональю квадратной матрицы.
мыкающих к каждой из сторон (сверху я снизу) к параллельных лини-
ях, называется ленточной (2А +1)-членной матрицей порядка л?.
При к I такая матрица называется трехчленной ленточной,
при к 2 - пятичленной ленточной, я т.д.
В случае к « I эта матрица имеет вид
аи
&т-7 гп
mnj
(1-12)
Трехчленная ленточная матрица, у которой все элементы веществен-
ные и a.if а{ >0, называется якобиевой.
Если в квадратной матрице элементы, лежащие ниже (вше) глав-
ной диагонали, равны нулю, то матрица называется верхней (нижней)
треугольной я имеет вид
И -
(I.13)
I.I.6. В ходе компоновки разрешающих матричных
уравнений
строительной механики я последующего их решения на ЭЦВМ появляет-
ся необходимость блокирования матриц. С этой целью в матрице [Л]
проводят несколько горизонтальных и (или) вертикальных линий,иду-
щих вдоль всей матрицы. Примером может служить матрица
Г ап агг ап агг а,з агз аг« агь а,з a7S
[А] = a3t °32 азз °ЗЬ °35 к (1.14)
аы °Ь2 аъз ai!lf
a5i а52 азз а55
аб2 °63 аб4
8
которую можно представить в виде
МЛ ИЛ И,J
МЛ мл ил
(1.13)
Понятно, пто элементы матрицы (I.15) сами являются матрицами
а о ' о о г
12 13 14 15
°" а31 ^1} ’ (\г] = агг агз MJ- аг4 аг5
азг азз °34 О35
а</2 а43
[Дг/] ' {a5i °5i} ’ [Лгг-1~ а52 а53 О54 а55
a62 °63 О64 a65
В этом случае матрицу [А] называют блочной, а матрицы [А„],[А/г],..
. . . , [ Агз] - подматрицами. Иногда матрицу [А] называют су-
пэрматрицей.
Подобно обычным столбцовым, диагональным, ленточным и дру-
гим матрицам можно представить и соответствующие блочные,так на-
зываемые кваэиматрицы, с той лишь разницей, что в них роль алемен-
тов играют подматрицы [А-] . Так, например, блочная матрица
0 О . . 0
[АЬ О [Агг] 0 . . . 0 (I.I6)
О О (Ди] ' ’ ‘ 0
О 0 0 .. . [А1
и ттл
называется квазидиагональной матрицей, так как только подматрицы,
расположенные на главной диагонали, нэ равны нулю. Матрицы могут
быть также квазитреугольными, кваэиленточнымм и др.
I.I.7. Важную роль в теории квадратных матриц играют их оп-
ределители, или детерминанты. Определитель матрицы составляется
из элементов матрицы без изменения их расположения и обозначает-
ся символом | А I. В отличие от матрицы определитель есть число,
которое может быть найдено по известным правилам [65].
Когда определитель матрицы IAI о, матрица |А( называет-
ся особенной (вырожденной), когда IAI i6 о, матрица /А| - неосо-
бенная (невырожденная).
Зак.641
9
1*1.8. Если в прямоугольной матрице [А] вычеркнуть некото-
рое количество строк и столбцов так, чтобы в остатке получилась
квадратная матрица к—го порядка на незачеркцутых элементов,
то определитель стой матрицы будет называться минором матрицы
А-го порядка, У матрицы [А] размерами т>п число миноров А-**0
порядка составляет Ст Сп (здесь с£ - число сочетаний ия
гп элементов по А). Если рассмотреть численные значения всех ми-
норов, порожденных матрицей [А],то число г, показывакцее наивыс- <*
иий порядок определителя, не равного нулю, из множества рассмот-
ренных называется рангом матрицы. Иными словами, если ранг матри-
цы равен г, то среди миноров атой матрицы есть по крайней мере
один минор порядка г, отличный от нуля, в то время как все ее
миноры порядка (rtf) и выше равны нулю.
1.1.9. Определитель квадратной матрицы, образованный иа зле-
ментов заданной матрицы [А] путем вычеркивания Z-й строки и
J-ro столбца, взятый со знаком (~l)ifJ называется алгебраичес-
ким дополнением элемента а-.. Порядок алгебраического дополнения
на единицу меньше порядка определителя матрицы.Алгебраическое до-
полнение элемента обозначают символом AZy. Матрица, сос-
тавленная из алгебраических дополнений А; • к затем транспони-
рованная*^, называется союзной матрицей и обозначается символом
М']:
[д'] -
(I.I7)
Д/zw ^2т • •
t 1.2. Алгебраические операции над матрицами
I.2.I. Над матрицами могут производиться определенные алгеб-
раические операции, составляющие содержание аппарата исследова-
ния линейных преобразований вектором, т.е. решения и анализа ? *
системы уравнений, в которых одни величины линейно выражаются
через другие. Разумеется, что операции над матрицами должны быть
определены не произвольно, а таким образом, чтобы удовлетво-
рить основным свойствам линейных преобразований в наиболее прос-
той форме. Рассмотрим некоторые определения и правила операций
х)0 понятии транспонирования матрицы см. в n.1.2.3.
10
НЯ|Я матрицами в объеме, необходимом для дальнейших выкла-
док.
1.2.2. Две матрицы [А] = [а^.] , [в] = [б-у] называются
равньаш, если они, имея одинаковые размеры, характеризуются по*
парным равенством всех соответственно расположенных элементов
т.е. если a-Lj =
1.2.3. Есяи в матрице [А] размером тч1 поменять местам)
строки я столбцы, то получится матрица [А]г размером п>т
(I.I8
ат агп азп ' ' ' атп .
которая называется транспонированной по отношению к матрице [А]
(символ Т обозначает процедуру транспонирования). В частности
транспонирование матрицы-столбца дает матрицу-строку, и наобо
рот. Заметим, что при транспонировании блочной матрицы необходим
мо поменять местами не только строки и столбцы, элементами кото'
рых являются блоки, но и транспонировать каждый из блоков.
1.2.4. Операция "суммирование" определяется только для мат
риц одинакового размера и понимается в алгебраическом смысле.Сум
мой двух матриц [А] = !></] и [Я] = lbcj] называется матриц!
[С] = [c;j] того же размера, каждый элемент которой равен сум-
ме соответствующих элементов матриц [А] и [в] :
-Ъ,. . <1.19
Сумма матриц подчиняется следующим законам:
[А] * [S] = fs] * [А] ;
([А] ф]) + [С] = [А] /([5]. И) ;
[А] / [О] =[А] ; (1.20:
([А] > [6] )Т-[А]Г > [в]т .
1.2.5. Произведение матрицы [А] на скаляр к jifiBt в резул!
тате матрицу к [А] = [к а^.] того же размера, каждый элемент к<
торой есть произведение соответствующего элемента этой матриц!
на к.
II
Умножение матрицы на скаляр обладает следующими свойствами:
(Л * 1) [А] = к [А] 1- I [а] ;
* ( [А] ★ [в] ) = к [А] * к [В] ;
(kl)[A]= к(1[А])= 1(к[А]) ; (1.21)
(Я[4])Г= к[А1Г.
1.2.6. Две матрицы могут быть перемножены только тогда, ког-
да число столбцов первой матрицы равно числу отрок второй^.Произ-
веденкем матрицы [А] = (оуу] размером т-п на матрицу [в] ~[^л]
размером п-1 называется матрица (CJ = [с,*] размером т-1, веж-
ды* элемент которой равен сумме проиэвадени* элементов 1-й
строки матрицы [А] на соответствующие элементы Я-го столбца
матрицы [в], т.е.
.22)
c-L - а;. .
Перемножим,
например,
(А]
Получим
ап ап
°22
две матрицы:
&13
агз
hr
^12
^22
&32
А
* °а ЪП ' а,3 Ь3>> (°„ *1г*ак Ь22 'ЧзЫ
(С} = (А] [В] =
# V (°г, ' °22 Ь» * а23 Ь32>
% <?.?
Я» изложенного видно, что матричное умножение не обладает перемес-
тительным свойством. Иными словами, умножение матрицы [А] на мат-
рицу [5] справа не равно умножению матрицы [А] на матрицу [В j
слева, т.е. [А] [В] # (8] [А] . Более того, в приведенном приме-
ре умножить матрицу [А] на матрицу [В] слева вообще не представ-
ляется возможным. Только в исключительных случаях встречаются
матрицы, для которых (А] [В] = [В] [А] Такие матрицы называются
перестановочными или коммутативными. В частности, единичная матри-
*^Такие матрицы называются соответственней.
12
ца t коммутирует со всякой квадратной матрицей одинакового
ней порядка, т.е.
E W = [AR = [A]
(I
Нетрудно убедиться, что произведение матриц подчиняется сл
дующим законам*.
([А] [В]) [С] =ЕА]([В] [С]);
[А] И * [A] [cj;
([A] + [8]) [(?] = [A] [C] t [В] [C] ;
(1.24
HEAJEBJ) = (к [А] [В] =[A](A[SJ),
(EAJ [а] [£]/= fdr [ejr [а]г ;
fA] = [A] [A] [A] . . . [A] - только для квадратных
матриц
1.2.7. При решении задач строительной механики довольно час
то приходится иметь дело с рядом частных случаев умножения мат
риц, которые рассмотрим более подробно.
на матрицу-столбец дает матрицу-столбе
I. Умножение матрицы
% аП" а2п
агг - - агп
X,
у,
У?
ат1 °тг--
V-
£
п
У/п
(1.25
2. Умножение слева матрицы-столбца на матрицу-строку виража
ется суммой произведений соответствующих элементов матриц и дав'
скаляр
*
ЕУ] = Й7 ai2
х,
*2
п
- [а7 ' aln Z ау
J г
(1.26:
3. Умножение справа матрицы-столбца на матрицу-строку дае,
матрицу размером т>п :
13
at ъ, а7ъг... af ьп
агЬ1 a2b2...azbn
ать, аЛ атЬг7
4. Умножение слева матрицы [AJ на диагональную матрицу
['6; ^2^3 • • 4т7 -] приводит к увеличению в раз элементов соот-
ветствующих строк матрицы [А]:
а,1Ь, °,2ЬГ ' а^Ь,
агг &г °гг^г • °2т
(1.28)
1.2.8. Если теперь обратимся к линейным преобразованиям, из
которых матрицы и правила операций над ними выводятся наиболее ес-
тественным путем, то со всей очевидностью обнаружится высокая со-
держательность, легкая обозримость и лаконичность, которую придают
матрицы линейным преобразованиям.
Так, например, система уравнений
У7 = 677 Х1 f672XZf-- - ' Ь7„ Хп ’
Уг = Ъг7ХгЪ22Х2* ★ Ь2„хп ’ (1.29)
Ут ~ &rri7 Х7 * &т2 Х2+ ' ' • Z г
представляющая собой не что иное, как линейное преобразование п
переменных х}, эсг,. . . г хп в т переменных yt , уг , . . . , ут (или
вектора {л:} с п координатами в вектор {у} с т координата-
ми), в соответствии с (1.25) может быть записана в компактной
матричной форме
{У} = {х},
где
[5]
^27 Ъгг . . Ъ2гг
^Г777 ^т2
14
- матрица коэффициентов линейного преобразования;
№
Если наряду с уравнениями (1.29)
нений
имеется еще одна система урав
z = a ijf а и./.. j а У ;
1 11 *'7 12 •’г 1/п t'rn ’
l2~ a2iVi + аг2Уг* - ★С’г'пУщ > ' CL.30)
1р = аР1У^аргУг^- + арт Ут ,
или сокращенно
М-ШЫ ,
преобразующая величины у. (j= J, 2,..., т) в Zf 1,2..р) ,
то линейное преобразование, переводящее вектор-столбец [х } в
{?}, определится матрицей [С] = [А] [В] *1 В том, что ето имен-
но так, легко убедиться непосредственной подстановкой соотно-
шений (1.29) в (1.30). Таким образом, операция перемножения
матриц соответствует последовательному выполнению двух линей-
ных преобразований.
Следует отметить, что использование матриц столь же эффектив-
но и при других линейных преобразованиях.
1.2.9. Одним из центральных объектов применения аппарата ли-
нейных преобразований являются методы решения системы линейных
алгебраических уравнений. При матричной формулировке задачи эти
методы тесно связаны с так называемой обратной матрицей.
Матрица, умноженная справа или слева на данную, дает единич-
ную матрицу и называется обратной по отношению к данной**^. Если
обозначить обратную матрицу через £а] > то
fA] [A]'? = [Л]"’ [Л] - Е. (I.3I)
Отсюда решение матричного уравнения [A] {xj = {у} относи-
тельно {X} может быть записано в виде
к)При этом необходимо, чтобы число строк в матрице первого
преобразования равнялось числу столбцов в матрице второго.
Рассматриваются только квадратные матрицы.
15
OJ -
(1,32)
Для того, чтобы представить, как может быть пожучена обрастая
матрица, найдем решение системы уравнений
*2 'агз хз = У, ' а^'з~ У? ’
или
+ аЭ2Х2+О33Х3-У3,
Пояьэуясь правилом Крамера, запишем
У, а,г а13 °11 У7 °13 % а72 Уг
Уг агг °гз а21 Уг агз аг, °22 Уг
азг азз a3i Уз °33 а31 азг Уз
5= IAI f Х2 = IAI j Х3 = IAI (I .34)
Здесь IAI- определитель системы, причем lAltO. в числителях
выражений (1.34) стоят определителя, раскрыв которые по элемен-
там
у. , получим
хгУ,
^21 ^31 \г ^22 ^32
---+ Уг— + У3 --; хг= У12---------*Уз--- ’
Ml Ml IAI IAI IAI IAI
где
V И,—Ч/г-Ч, — '
IAI 2 IAI IAI
Aji - алгебраическое дополнение элементов.
В матричной форме эта система уравнений запишется в виде
или,
х,
' Х2
Х3
учитывая
= 1
~И1
(I.I7),
^11 ^21 ^31
Агг Агг АА2 . уг
^13 ^23 ^зз Уз,
в более компактном виде
(1.35)
W • 77Г М ' [»-'{</} .
16
я есть обратная матрица:
Так как преобразование (1.36) обратно преобразованию (1.33),
то выражение
I А I
ИГ’ -
(1.37)
Таким образом, элементы обратной матрицы представляют собой
алгебраическое дополнение Adi элемента aLj- матрицы [Л] , делен-
ное на определитель этой матрицы.
Заметим, что указанный способ получения обратной матрицы
при достаточно большом т (т>4) является весьма трудоемким. По-
этому обращение матриц высоких порядков производится другими
способами, описанию которых посвящено много литературных источни-
ков по вычислительной математике [7, 57, 65]. В настоящее эремя
при интенсивном использовании ЭВМ обращение матриц высоких по-
рддков производится, как правило, по готовым программам, заложен-
нш в оперативную память машины.
1.2.10. Бели матрица [Л] задана в виде произведения несколь-
ких квадратных невырожденных матриц [Л] = [Л7] [Л2] . . . [Лл]
то их произведение также не вырожденное, и обратная матрица может
быть получена как произведение матриц, обратных сомножителям, но
записанных в обратном порядке
[А]''= [А„]~Г [А„.ГТ'. . . [А/Г (1-38)
Отметим также, что обратная транспонированная матрица равна тран-
спонированной обратной матрице -
= ([АУ')Г. (1-39)
1.2.II. Бели элементы матрицы [Л] представляют собой функ-
ции скалярного аргумента х, т.е. [Л] = [а- (х)],то производная
этой матрицы ([Л]), если она существует, определится как мат-
рица, у которой^каждый элемент является производной по х соот-
ветствующего влемента матрицы [Л];
(i-4o)
1.2.12. Производная от функции нескольких аргументов xf f
хг,...,хп) по вектор-столбцу> элементами которого являются эти
аргументы, {xj-{х? х2. . . хп} определяется как вектор-столбец
Зак.641
17
ЗУ
3{X)
(I.4I)
„ dXn.
Веля функция представляет собой вектор-столбец
М = Уг ... У„} ,
то дифференцирование ее по вектору {х} будет иметь вид
д{х}
3
3х1
а
дхг
Wr. (1.42)
Э
Зх„
Получится квадратная матрица, определитель которой называется яко-
бианом.
1.2.13. Проинтегрировать матрицу [А] = [о^ • (•&)], элементами
которой являются функции скалярного аргумента хг значит проин-
тегрировать каждый элемент этой матрицы
j [A] of х = [ j aLj (x'ldx] . (1.43)
Заметим, что интеграл (1.43) существует, если существуют интег-
ралы каждого элемента матрицы [А] .
1.2.14. Общие правила алгебраических операций над матрицами
распространяются и на блочные матрицы. Только в этом случае пра-
вила матричных операций применяют сначала к этим матрицам так
как будто подматрицы являются скалярами, а затем производят даль
нейшие операции над подматрицами обычным путем.Естественно, опе-
рации над ними должны иметь смысл. Например, при перемножении
блочных матриц число столбцов в подматрице [А^] должно быть
равно Числу строк в соответственной подматрице [3^] .
$ 1.3. Элементы вариационного исчисления
1.3.1. Вариационное исчисление - это раздел высшей математи-
ки, в котором изучаются методы нахождения функций, сообщающих
максимальное, минимальное или стационарное значение функционалу,
18
т.е. переменном величине, значение которой определяется выбором
одной или нескольких функций [6, 58]. Простейшим примером функ-
ционала может быть длина дуги плоской кривой, соединяющей две
заданные точки. Очевидно, что каждой кривой соответствует своя
длина дуги. В механике функционалами являются моменты инерции и
статические моменты сечений, энергия деформирования и т.д.
К задачам вариационного исчисления сводится большинство про-
блем физики и механики, поскольку, по словам одного из основате-
лей вариационного исчисления Л.Эйлера, все явления природы сле-
дуют какому-либо закону максимума или минимума [67]. Физические
законы, согласно которым некоторый функционал в рассматриваемом
процессе должен достигать экстремального значения, называются ва-
риационными принципами. Примерами могут служить закон сохранения
энергии, принципы Лагранжа и Кастильяно в механике, принцип Фер-
ма в оптике и т.д.
1.3.2. В вариационном исчислении важнейшую роль играет поня-
тие вариации. Пусть имеется функционал
J = J[yW], (1.44)
Очевидно, что каждой функции у (л)отвечает свое значение функцио-
нала J [//(л)].Приращением или вариацией dy называется разность
между двумя функциями у(Х), меняющимися произвольно в опреде-
ленном классе
(?У = yW~yrW- (1-45)
Бели функционал (1.44) непрерывен, то его приращение имеет
вид
= J (yfdy)-J(y) . (1.46)
Непрерывность J(y) означает, что малому изменению у(X) соот-
ветствует малое изменение J(y). При этом малое изменение У(х)
понимается как близость функций у(х)и уг(х). Так, они близки в
смысле близости нулевого порядка, если мал модуль их разности
| yt (х)-у(х)\. Кривые у(х)я уг(л) считаются близкими в смысле
близкости Д-го порядка, если малы модули их разности к разности
всех производных порядка к .
Пусть (1.46) можно представить в виде
- dJ тах\Уу\ f (1.47)
19
где <fJ(y,dy) - линейный по отношению к dy функционал; maxldyl-
максимальное значение модуля Ту; J3——О при maxlcft/l — О. Тогда
77 = 77 (у, dy) (1.48)
называется вариацией функционала. Это главная, линейная по отно-
шению к dy часть приращения функционала.
В исследовании функционалов вариация играет ту же рояь,
что и дифференциал при исследовании функций. При этом для опе-
ратора варьирования 7 можно принять те же правила, что и для
оператора d в дифференциальном исчислении. Это означает, в ча-
ет костя, что справедливы соотношения
~ ~гПс а > “du*=d~j-- d(и&) = udir + vdu ; (Ь49
du(X,y, I) = ^-dx<-^dy+?£-dz ;
дх д у дг
dJ * d[jF(x,y)dx] = J d F (x,y)dx.
Понятие вариации имеет также вполне определенный физический
смысл. Так, если 7- энергия деформирования, то 77- ее при-
ращение. Причем символ d отвечает возможному приращению (вариа-
ции) , а символ d- действительному.
1.3.3. Из определения приращения функционала (1.46) непо-
средственно следует, что вариация его dJ в силу своей линейнос-
ти по отношению к dy при переходе через экстремальное значе-
ние «ибо Jmiff изменяет знак на противоположный. Тогда
по аналогии с задачами на максимум (минимум) функции необходимое
условие стационарности функционала запишется в виде
d J » О. (1.50)
В механике довольно часто функционал может зависеть не толь-
ко от искомой функции, реализующей его стационарное значение, но
также от ее производных 1,2,..., к порядка. Более того, он не-
редко зависит от нескольких функциональных аргументов, каждый из
которых может быть функцией нескольких независимых переменных.
Орг этом совершенно очевидно, что необходимое условие экстремума
будет также иметь вид (1.50).
1.3.4. Рассмотрим в качества примера использование усло-
вия (1.50) для нахождения независимых функций u(x,y,z)* tr(x,y,g)^
сообщающих экстремальное значение функционалу
20
JJJ F<X>!FZ' “ ", vX’^. i i -i >
V
где
' - &u ' - ' - & u
Ux ~ dx ’ uy~ dy ’ uz~ dz ’
. dir , dir , du
v = — i v - ~z— v — ~:—
x dx ’ у dy ' zdz
С учетом соотношений (1.49) условие (1.50) для функционала (1.51;
будет иметь вид
S J =JH JF(x,y,z>u,..., г^) а'гг = ///(^ ^ * *
*/4- ~ ~chr ~ (fff' + -^7-cfv’)(/y= o.
ди& " dut * dv du^ x diTy у d^ г q - )
Используя правило дифференцирования no частям для каждого из сла-
гаемых в подынтегральном выражении (1.52), содержащих производные
искомых функций и к U, и применяя известную формулу Остроград-
ского-Геусса [5б]:
Л/[^ Рz>'-ho(x,y,z)+-^ R(x,у, cfv =
V У
~ ^\P(^,y>z)l + Q(x,y,z)m^R(x,ylz)n^d S, (1.53)
где P(x,y,z), Q(.x,yiz\R(xiyz)~ некоторые непрерывные в области
V функции; l = cos(n,x),m=cos(n,y), п =cos(n,z) - направляющие
косинусы нормали п к поверхности S, ограничивающей объем V, по-
лучим
h %- -к
у х о у г
d dF Э dF d dF
dx do-£. dy du# di d&?
S2
dF . 3F
du' du
dF
dv'
du^/
(1.54 )
21
Поверхностные интегралы в данном случае берутся только по той
части поверхности S2, где функции и и и не заданы, поскольку
для остальной части в и = <fu = О.
В силу независимости функций и и иг а также произволь-
ности их вариаций из выражения (1.54) получим так называемые
уравнения Эйлера в области У
dF = 3F 3 dF д 3F д
ди ~дх ди' ду ди' дг ди' ~ ’ ди дхдгР ду dg дв'
У (1.55а)
и естественные граничные условия на части поверхности Sa
. дР 3F дР . дР dF дР
l^m~d^+n^z ; 1д^тд%-*”д£- =о-
X У г X у г (1.556)
Таким образом, задача об отыскании функций и и и, реализую-
щих стационарное значение функционала (I.5I), свелась к нахожде-
нию их из системы дифференциальных уравнений (1.55а) при гранич-
ных условиях (1.556).
Приведенные выкладки нетрудно обобщить на случаи,когда функ-
ционал зависит более чем от двух функций, а также, когда в выра-
жение дм функционала входят производные более высоких порядков»
1.3.5. Рассмотренный тип задач вариационного исчисления от-
носят к так называемым свободным вариационным задачам ми задачам
на безусловный экстремум функционала, т.е. когда функциональные
аргументы являются независимыми друг от друга функциями.
В конкретных задачах вариационного исчисления на функции,
реализующие стационарное значение функционала, иногда накладыва-
ются некоторые дополнительные условия - уравнения связи. В этом
случае говорят о несвободной вариационной задаче мн задаче на ус-
ловный экстремум.
Например, требуется исследовать на максимум (минимум) функ-
ционал (I.5I) при наличии дополнительного условия
G(x,y, г, и, иу, иг> v'y> (1.56)
Непосредственный переход от вариационной задачи к зквиваленппм
дифференциальным уравнения Эйлера в данном случае совермить не-
льзя, поскольку вариации <fu и du не произвольны, а подчинены
уравнению связи (1.56). Решение подобной задачи можно найти сле-
дующим образом.
22
Варьируя уравнение (1.56), получим
&-(fu Л/. (1.57)
ди ди' х ди' U ди' 1 ди' г
х at *
Умножая почленно (1.57) на некоторый множитель Л (л, у,?) и
интегрируя далее по V о использованием соотношений (1.49) и фор
цулы Остроградского - Гаусса (1.53), будем иметь
д_ дв д дб Э dG\t j,JdG д д&
JJJ Л I а“\ ди дх да' ~ ди ~д% ~дг Эи'Г 0V\dv " дХ до'
у *<< «7 У А X
д дб d dG »7 // г. dG dG дб \
>У * 4^ «г
/ 3G 3G 3G \ 7
(1-58)
Суммируя (1.56) и (1.52), получим
гг х
* •» у х
+j[?a[t£p (Г+Лб^п—р+Лб)*.. ]ds^d4r^.(F^6)^m^(F^G)]dS^
si х х х “ (т кд)
Если теперь ввести новую функцию *
F*^F+AG, (1.60)
то необходимое условие экстремума запишется в виде (1.54), где
функция /"заменена функцией Л*. В этом случае вариации du и du-
становятся произвольными. Следовательно, из формулы (1.59) можно
получить уравнения Эйлера для функционала (1.51) с дополнитель-
ными условиями (1.56):
dF* д dF* д dF* д dF* _ dF* d_ dF* d^ dF* d_ dF*
du дх ди' do. du' dz du' ~°’du~dx du' du дгх' dz dv‘~°’
x, j, ** ir
4
dF* dF* dF*
t-r~~,+п>л~; * n~z—; - O',
du' du' du' ’
ff *-
dF* OF* OF*
t du' * 171 du' * n du'
<йС у *-
(1.61
23
Таким образом, вариационная задача для функционала (I.51)
с дополнительным условием (1.56) равносильна задаче на безуслов-
ный экстремум функционала
J*=J[f(F*A6)dV. (1.62)
V
Функция J (х,у ,z) носит название множителя Лагранжа, а метод
нахождения условного вкстремума называется методом неопределенных
множителей Лагранжа [ 31] .
Заметим, что для любого числа связей типа (1.56) исследова-
ние условного экстремума проводится совершенно аналогично.Так,ес-
ли отыскивается экстремум функционала (I.5I) при дополнительных
условиях
Gt (х, у, z, и, , и* , u'z , v, v£, г£, г£) - <7;
(х, у, z, (/, ,и у , ,гг,г^,^,^О; (1.631
, гг О,
то надо поступить так, как если бы мы искали безусловный экстре-
мум функционала
(1.64)
v
где {6 } = (Gr G2 . . . Gn } - вектор-столбец дополнительных условий
(1.63); (Л| = Л2 . . . Лл j - вектор-столбец неопределенных
множителей Лагранжа.
1.3.6. Переход от вариационной задачи к эквивалентным диф-
ференциальным уравнениям Эйлера сводит ее решение к интегрированию
сложной системы уравнений в частных производных. Хорошо известны
серьезные математические трудности получения точных решений за-
дач такого класса. Это послужило причиной разработки так назы-
ваемых прямых методов решения вариационных задач без сведения их
к системе дифференциальных уравнений.
Сущность этих методов в том [34], что функционал J [&(x,y,z)]
можно рассматривать как функцию бесконечного множества переменных,
если считать, что допустимые функции a(jc,y,z ) представимы в ви-
де степенного ряда, ряда Фурье или вообще какого-либо ряда
24
U(JC,y,Z)=X. (1.65)
A »0
где (x,y,z)- заданные .функции.
Следовательно, значение функционала J[u(x, y,z) ] полностью
определяется заданием бесконечной последовательности чисел
а0 > а1 > а2 > ' • > °П > • • >т е- (I 66'
J=f(a0, a, , а2 , . . .,ап, . . .).
Вариационную задачу при втом можно рассматривать как предельную
для задачи на вкстремум функции конечного числа переменных.
Существуют различные модификации прямых методов. В качестве
иллюстрации остановимся на методе Ритца.
Согласно этому методу значения функционала , у , z) ]
рассматриваются на линейных комбинациях c/fxyj/jZj вида
(1.67)
или в матричной форме
, (1.68)
где - постоянные коэффициенты; - допустимые функции за-
дачи, что налагает на них определенные ограничения.
Как правило, на функцию накладываются требования
непрерывности и гладкости. Кроме того, они должны удовлетворять
граничным условиям. Отметим, что нередко называют коор-
динатными функциями.
Очевидно, что на линейных комбинациях (1.67) функционал
(х, становится функцией коэффициентов оСк ;
(^-Q > • • t°^k > ' ‘ (1.69)
которые находятся из системы уравнений
=0. (1.70)
«’‘Sr
Предельный переход при дает точное решение еадачи,
а если ограничиться несколькими членами в (1.67), то реюение бу-
дет приближенным.
Решение системы уравнений (1.70) является сложной задачей.
Она существенно упрощается, если уравнения (1.70) линейны отно-
Зак.641
25
сительно «I Так бывает в случае квадратичного относительно функ-
ции и (ас и, и ее производных функционала J(a). Именно с зада-
чами этого вида приходится ийеть дело в линейной теории упругос-
ти. Отметим также, что на сложность вычислений и точность реве-
нил существенно влияет вид координатных функций У* (.^у, 2)* ®
работе С.Г.Михлина (34] детально исследованы вопросы сходимос-
ти приближенных реиений по методу Ритца и дана оценка степени их
точности.
л*
ГЛАВА П
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦШЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
} П.1. Расчет конструкций - задача механики сплошной среда
П.1.1. Задача механики сплошной среда формулируется следую-
щим образом: известны (заданы) внешние воздействия на тело, так
или иначе закрепленное или движущееся в пространстве, как функции
координат и времени. Необходимо найти некоторые системы функций
координат и времени, описывающие состояние этого тела. Под внеш-
ним воздействием обычно понимают силовые, температурные, влект-
ромагнитные и другие воздействия. В систему искомых функций вхо-
дят, как правило, компоненты вектора смещения, а также векторов
деформаций и напряжений. Процедура определения указанных функций
применительно к инженерным задачам называется расчетом конструк-
ции.
Термин "расчет", широко распространенный в инженерной прак-
тике, может употребляться в различных значениях. В данной книге
под расчетом будем понимать математическую процедуру, результатом
которой является вычисление характеристик напряженно-деформирован-
ного состояния конструкции на основе решения уравнений,соответст-
вующих выбранной расчетной схеме.
Такая формулировка, по существу, означает, что речь идет о
решении некоторой задачи, т.е. о необходимости сознательного по-
иска соответствующего средства для достижения видимой, но непос-
редственно недоступной цели. Решение означает нахождение этого
средства [42].
П.1.2. С математической точки зрения расчет конструкции
сводится к решению краевых задач для систем уравнений, включаю-
щих соотношения теория напряжений и деформаций (уравнения равно-
весия, уравнения совместности, соотношения между перемещениями
и деформациями), а также определяющие уравнения, т.е. связь между
напряжениями и деформациями.
В качестве иллюстрации рассмотрим постановку задач линейной
теории упругости для однородных тел. При этом имеется в виду,что
в дальнейшем именно на их примерах будут сформулированы основы
современных методов расчета строительных конструкций с примене-
27
наем вычислительных машин. Такой выбор объясняется тем, что, о од-
ной стороны, в инженерной практике аппарат теории упругости рас-
пространен достаточно широко, а с другой -эти уравнения относи-
тельно просты, что позволяет изложить на их основе сущность сов-
ременных методов расчета конструкций. И, наконец, именно аппарат
теории упругости используется для решения большинства конкретных
задач по расчету строительных конструкций. Немаловажным является
также и то, что решение многих нелинейных задач сводится обычно
к последовательному решение задач линейных.
П.1.3. В общем случае задачу теории упругости для изотроп-
ного однородного тела в декартовой системе координат можно сфор-
мулировать как определение вектор-функция { V) = (f } { ц } } из
Системы дифференциальных уравнений, которая в матричной форме име-
ет ввд
Решение ( г j должно при этом удовлетворять граничным условиям на
поверхности тела 5 = 5; *
{“}=к/) >
а также начальным условиям.
В (П.1) введены обозначения:
^)=fc (х,у,z)}_ вектор-функция напряжений;
. ‘Уха;(х,ух)} - вектор-функция деформаций;
{и)={и и (x,yfz) ur(x,y,z)J- вектор-функция перемещений;
28
- матрица операторов размером 6x3 (П.2); [O]9fg~ прямоугольная
нулевая матрица размером 3x6; [0J3, [О] - квадратная нулевая
матрица соответственно 3~го и 6-го порядка; Е6 - единичная мат-
рица 6-го порядка;
[КР^(1+р)(1-2р)
7-// р у
Р 1-р Р
Р Р 1-Р
^-о О
1-2и
О о
Л п 1~2Р
о о
- матрица упругости 6-го порядка (П.З); {6у}^ч(х,у,г)Уу(хгу^)
Zy Cx,yfz)J- вектор-функция объемных сил; {t/sJ ={us(x,y,z)vs (х,
y.,z.)ws(x~ вектор-функция заданных перемещений на поверх-
ности тела; {pa)»{px(x,y,z)p (хгу,я) pzfit,y,x))- вектор-функция
р - коэффициент Пуас-
0 cos(n,z)
cos(n,z) О
поверхностных сил; Е - модуль упругости;
сона; со$(п,х) 0 0 СОЗ(П,Ц)
ад 0 соз(п,у) 0 cos (п,х)
О cos(n,z) О cos(n,y) cosirtfX)
- матрица направляющих косинусов нормали 90 в точке поверхности.
В случае динамической задачи в правые части дифференциальных
уравнений равновесия будут входить инерционные силы, вектор-функ-
ция которых
J3Jt*{“} {“}>
где - плотность материала; t - время.
В блочной матрице (П.1) к первой группе уравнений относятся
дифференциальные уравнения равновесия, ко второй - геометричес-
кие уравнения деформации сплошной среды (уравнения Коши), к тре-
тьей - физические уравнения, связывающие компоненты напряжений в
точке сплошной среды с компонентами деформаций в той же точке
(закон Гука).
П.1.4. При решении некоторых задач теории упругости оказыва-
ется возможным существенно упростить разрешающие уравнения (П.1).
29
Рже. П.1
ризуется век то p-функциями [бЗ]:
В качестве примера рассмот-
рим случай так называемой
осесимметричной задачи ж
воспользуемся цилиндричес-
кими координатами r,z *
е.
Пусть имеется тело вра-
щения (цилиндр, усеченный ко-
нус и т.п.), к которому при-
ложены силы, распределенные
симметрично относительно
его оси z (рис.П.1). Ось,
перпендикулярную к ней,обо-
значим через л . Очевидно,
что в таком теле напряжен-
но-деформированное состоя-
ние не зависит от угла по-
ворота в ра&'куса. г в
плоскости zor и характе-
{б } - {<>(г,z )<3"zO-,z)?rz^,z)};
{г }={er(f,z)Ee(r,i)tz(r-,z) yrz fr,z)}
Вектор-функции воздействий принимают вид
(Д = {RU(r>Zv(r> z)}> {aS}=(u^r>Z)aiCr>z)}i
(PsHPr^^Pz^z)}.
Матрица операторов (П.2)
чае будут иметь вид
и матрица упругости (П.З) в втом еду-
м-
д
dz
1
г
д
dz
О
д
dz
д
dr
(П.2')
•$
О
0
30
П.1.5. Рассмотрим теперь другой класс задач теории упругос-
ти - плоские задачи, когда, как и в осесимметричном случае, ока-
зывается возможным описать напряженно-деформированное состояние
тела также с помощью функций только двух координат.Различают два
типа плоских задач: плоское напряженное состояние и плоскую де-
формацию [бЗ]. Приведем их основные соотношения с использовани-
ем матричной формы записи. Отметим, что с математической точки
зрения эти задачи эквивалентны и соответствующие им уравнения
отличаются лишь значениями упругих постоянных.Воспользуемся декар-
товой системой координат. Тогда как для случая плоского напряжен-
ного состояния (рис.П. 2,а), так и для случая плоской деформации
(рис. П.2,б)
{Е} ={£х^)£^('х>^ > {и}~ •
Отметим, что при плоском напряженном состоянии <3~z - О, но
при этом появляются деформации и перемещения вдоль оси z .*
£z=-y-(<?'x < 6^);w = £zh.
При плоской деформации в случае отсутствия перемещений вдоль
оси z (ъг= О) появляются напряжения = // (б^ * <5^ ) • Если
торцы тела z = у и z = - -^ свободны от напряжений, то этим гранич-
ным условиям можно удовлетворить интегрально в смысле принципа
Сен-Венана, приравняв равнодействующую и моменты напряжений
относительно осей X и у нулю. Очевидно, что в этом случае
го = О .
Система разрешающих уравнений плоской задачи включает: диф-
ференциальные уравнения равновесия [Ф]т + (GJ соотноше-
ния Коши меящу деформациями и перемещения {£) = /9у {а}>физичес-
кие уравнения (закон Гука) {О'} = [Ки]{£} К этим уравнениям не-
31
обходимо присоединить граничные, а в случае динамической задачи -
и начальные условия.
Матрица операторов [ф] и матрица упругости [К
для плоской задачи вид _ ,
О
дх
° -т- '
[ф] = *7 г
д 9
ty 9х
tv-17
принимает
(П.2*)
(П.З*)
о
о
£
В выражении (П.З") введены обозначения: 6 "
сдвига; //'= р - при плоском напряженном состоянии; р'=*
при плоской деформации.
модуль
32
П.1.6. Система основных уравнений теории упругости (I1.I) мо-
жет быть решена разными путями в зависимости от того, что прежде
всего удобно и необходимо определить. Если в (П.1) с помощью за-
кона Гука и соотношений Коши исключить напряжения и деформации,
то получится система разрешающих уравнений теории упругости в
перемещениях (уравнения Лямэ). Если в уравнения неразрывности Сен-
Венана внести компоненты деформаций по закону Гука, то совместно
с дифференциальными уравнениями равновесия получится система раз-
решающих уравнений в напряжениях (уравнения Вельтрами - Мичелла).
Очевидно, что возможна и смешанная система разрешающих уравнений
теории упругости, когда за основные неизвестные принимаются неко-
торые перемещения и напряжения. В качестве величин, полностью ха-
рактеризующих напряженно-деформированное состояние упругого тела,
можно принять компоненты перемещений или напряжений (могут быть и
смешанные компоненты), найденные как функции координат точек тела.
Следует отметить аналогию в выборе основных неизвестных и
метода построения разрешающих уравнений в теории упругости и в
теории расчета статически неопределимых стержневых систем.Заметим,
что на основании этой аналогии уже давно предпринимаются попытки
получить приближенное решение континуальных задач известными ме-
тодами строительной механики [бз].
П.1.7. Несмотря на относительную простоту линейной задачи
упругости, лишь для ограниченного класса тел и нагрузок,
совершенно недостаточных для технических приложений, их удается
проинтегрировать точно и получить систему функций, определяющих
напряжения, деформации и перемещения [в]. Обычно расчет разнооб-
разных и сложных сооружений, распространенных в инженерной прак-
тике, связан с почти непреодолимыми математическими .трудностями,
поэтому часто приходится использовать различные приближенные мето-
ды решений.
В п.1.3.1 уже отмечалось, что эффективные приближенные ре-
шения краевых задач можно получить с использованием аппарата
вариационного исчисления. Для этого необходимо предварительно сфор-
мулировать соответствующий вариационный принцип для рассматри-
ваемой задачи, которому отвечает определенный функционал.Эти прин-
ципы носят энергетический характер, а функционалы связаны между
собой общими энергетическими теоремами. Математические аспекты
данной связи заложены в теории преобразования вариационных проб-
лем, предложенной Р.Курантом и Д.Гильбертом [3IJ .
Отметим, что из вариационных принципов можно получить основ-
ные уравнения, характеризующие напряженно-деформированное состоя-
ние тела (уравнения равновесия и совместности деформаций, геомет-
рические соотношения, а в ряде случаев и закон связи напряжений
и деформаций).
Зак.641 33
i П.2. Работа внешних и внутренних сил
П.2.1. Энергетический характер вариационных принципов строи-
тельной механики естественным образом обусловливает необходимость
рассмотрения работы внешних и внутренних сил при деформации сис-
темы;
Пусть имеется упругое тело в декартовой системе координат
(рис. П.З), определении образом закрепленное в пространстве и
находящееся в равновесии под действием системы сосредоточенных сил,
вектор-столбец которых
VhllWl* ('Т-РП <"•«>
где . Р/*)) - вектор сил в точке к. Компонен-
тами этого вектора являются силы, направленные соответственно
вдоль осей х (1), у (2) , г (3), и моменты относительно этих же осей;
т - число точек приложения сил; г - число степеней свободы в
рассматриваемой точке (в данном случае л 4 6 ).
Согласно теореме Клапейрона [48] действительная работа V ,
статически прикладываемой силы на-вызываемом ев перемещении рав-
на половине произведения данной силы на это перемещение.Рассмат-
ривая [р] как обобщенную силу и введя соответствующее ей обоб-
щенное перемещение
<п.5>
где^У*4р^у<^£*’ . . . J - вектор перемещений в А-м уз-
' ле, содержащий линейные
и угловые перемещения соот-
ветственно по направлению
и относительно осей Х( f),
у. (2) , z (<3)> по теореме
Клапейрона получим
<"-6>
Графически соотношение
(П.6) отвечает площади тре-
угольника ОАВ,изображен-
ного на рис. П.4.
34
Если на тело действуют объем-
ные силы интенсивностью f^/и по- (Д}1
верхностные интенсивностью {^s} >
то, принимая во внимание обозначе- (Дмф
ния, введенные в (П.1), запишем
ДО
ds) -(П.7)
V
П.2.2. Предположим, что сила
(Р) получила приращение { <f Р }
Рис. П.4
(рис. П.З), которому соответствует
приращение перемещения («Л £ }. Тогда приращение работы (рис.П.4)
4 W = {^}Т{Р} * jfeq} Трр}.
(П.8)
Первое слагаемое в правой части выражения (П.8) является глав-
ной частью приращения Д W и называется вариацией работы
внешних сил [р]
cPW = {^}r{p) = {P)r{dty- (П.9)
В случае действия объемных и поверхностных сил заданной ин-
тенсивности
' (П.Ю)
и s2
где 3^- часть поверхности, на которой заданы нагрузки Оче-
видно, что на части поверхности =S- S2 , где заданы перемещения
{&и} = 0.
Из формул (П.9) и (П.Ю) следует, что величину са И' можно
рассматривать как работу внешних сил на изменениях перемещений,
не связанных с изменением внешней нагрузки. Эти изменения пере-
мещений, совместимые с кинематическими граничными условиями и яв-
ляющиеся непрерывными функциями координат, называются возможными.
Таким образом, d* W естественно представить как возможную рабо-
ту, т.е. работу внешних сил на возможных изменениях перемещений.
П.2.3. Когда на упругое тело действует внешняя нагрузка, ра-
боту совершают не только внешние, но и внутренние силы, разви-
35
веющиеся в деформируемом теле. Их работа всегда отрицательна,так
как внутренние силы противодействуют деформации, вызываемой внеш-
ней нагрузкой. Взятая с обратным знаком, она равна потенциальной
анергии деформации и при снятии нагрузки расходуется на восста-
новление первоначальной формы тела. Энергию, накапливаемую при
деформации в единице объема, выделенного в окрестности данной точ-
ки, называют удельной потенциальной энергией деформации или удель-
ным упругим потенциалом Uo . По теореме Клапейрона о учетом при-
нятых обозначений
(П.П)
Очевидно, что для всего тела потенциальная энергия деформации или
упругий потенциал имеет вид
fjfuod^±jff{ty{6}d\l. (П.12)
k V
П.2.4. Предположим, что в результате изменения внешней на-
грузки напряжения {&} получили приращения{<*'6'} <*6? ••
а деформации {£) — приращения [44} = - d1 fza.J-
Тогда вариация потенциальной энергии деформации
* U ^ffd4/od^fff{d£)T <SV=Jf<M}Tfr}dV, (П. 1.3)
у у ' 1 у
Отсюда следует известная формула Грина
W‘^. (П.14)
Выражение (П.13), взятое с обратным знаком, является возможной ра-
ботой внутренних сил, т.е. работой напряжений (сГ }, соответствую-
щих действительному эагружению, на деформациях {d1 £}f отвечающих
возможным изменениям перемещений.
П.2.5. Величина IV*, дополняющая значение V/ (рис. П.4)
до площади прямоугольника, называется дополнительной работой внеш-
ней силы {&} я определяется следующим образом:
(П.15)
Введенное понятие дополнительной работы хотя и не имеет фи-
зического смысла, в дальнейшем будет играть существенную роль при
построении вариационных принципов.
36
Очевидно, для линейно-упругого тела
w*=Ws (ПД6)
Вариацию дополнительной работы величины W* при изменении
внешней нагрузки запишем в виде
= (П.1?)
В случае действия на тело объемных и поверхностных сил задан-
ной интенсивности вариация дополнительной работы
И =а} Греу }<*v+ JJ{“s (П. 18)
V Sf
Здесь $/- та часть поверхности, где заданы перемещения,посколь-
ку на остальной части поверхности {<ЯР5} = fO} .
Соотношения (П.17) и (П.18) можно было бы получить,рассмат-
ривая работу изменений сил на действительных перемещениях. Такие
изменения внешней нагрузки, удовлетворяющие уравнениям равнове-
сия, называются статически возможными.
П.2.6. Введем в рассмотрение величину удельной дополнитель-
ной потенциальной энергии деформации
Тогда, суммируя по всему объему тела, получим
U*'ff[U*dV. (П.20)
Очевидно, что для линейно-упругого тела
и*^ U* 2$№}*{$}dV- (П.21)
и
Вариация дополнительной потенциальной энергии деформации
&U* *JfftTU* d{М)т dV- (П. 22)
V V у
Из выражения (П.22) следует известная формула Кастильяно
(П-23)
37
Выражение (П.22), взятое со знаком минус, можно рассматривать
также как работу статически возможных изменений напряжений
на действительных деформациях {£)
$ П.З. Формулировка вариационных принципов
П.3.1. Одним из наиболее общих вариационных принципов строи-
тельной механики является принцип возможных перемещений, сформу-
лированный Лагранжей. Профессор И.М.Рабинович писал, что эта кон-
цепция была подлинным источником живой воды для всей строитель-
ной механики, она придала всем выводам последней небывалую универ-
сальность, небывалую широту и силу (47]. Принцип возможных пере-
мещений для любой деформируемой системы может быть сформулирован
следующим образом: реальное равновесное состояние системы под дей-
ствием приложенных к ней внешних сил характеризуется тем, что
сумма возможных работ всех внешних и внутренних сил на всяких
кинематически возможных изменениях перемещений точек системы
равна нулю, т.е.
cPW + (-cflC/) =0. (П.24)
Поскольку внешняя нагрузка при возможном перемещении предпола-
гается неизменной, то выражение для dW, взятое с обратным знаком,
можно рассматривать как изменение потенциала внешних сил. Тогда,
учитывая, что </* U - это изменение упругого потенциала, и выно-
ся знак вариации за скобки, принцип возможных перемещений запи-
шем в виде
<F(U-= -О, (П.25)
где функционал
(п.ги
* %
представляет собой полную потенциальную энергию системы, записан-
ную в матричной форме.
Из (П.25) следует, что равновесию системы под действием внеш-
них сил соответствует то ее состояние, при котором полная потен-
циальная энергия системы принимает стационарное значение. Сог-
ласно принципу Дирихле [65] это стационарное значение есть мини-
мум. Необходимо особо подчеркнуть тот известный факт, что прин-
цип возможных перемещений можно распространить и на малые конеч-
38
ные перемещения точек деформируемой системы, если она обладает
линейной деформативностью. Существенным в этом случае является и
то, что возможные перемещения можно принять такого порядка, ко-
торый отвечает фактической величине деформаций реальных сооруже-
ний.
П.3.2. Другим важнейшим энергетическим принципом механики
деформируемых сред является принцип Кастильяно, или начало воз-
можных изменений напряженного состояния, который формулируется
следующим образом: если деформация системы согласована со всеми
имеющимися внутренними и внешними связями, т.е. если соблюдена со-
вместность деформации системы, то сумма возможных работ, произво-
димых возможными изменениями всех внешних и внутренних сил на
действительных перемещениях системы (вызванных самими статичес-
ки действующими силами), равна нулю [65], т.е.
0iW*+(-d'U*) = О. (п.гп
Рассматривая величину cf1 У*, взятую с обратным знаком, как
вариацию дополнительного потенциала внешних сил, и вынося знак
вариации в (П.27) за скобки, при возможном изменении напряженного
состояния деформированное состояние остается неизменным . Принцип
возможных изменений напряженного состояния можно записать следую-
щим образом:
= d*d*-O, (П.28)
где
и'- 7*} -dS (П. 29)
V S>
- функционал, представляющий собой полную дополнительную потен-
циальную энергию системы.
Из функционала (П.28) следует, что из всех статически воз-
можных напряженных состояний имеет место лишь то, при котором
полная дополнительная энергия системы принимает стационарное знаг-
чение. В [65] показано, что это стационарное значение есть мини-
мум. Особое значение для теории деформируемых сред имеет тот факт,
что принцип возможных изменений напряженного состояния справед-
лив и при малых конечных вариациях внешних и внутренних сил, ес-
ли система линейно деформируема.
В частном случае линейно-упругие тела, когда отсутствует
вариация объемных сил {cfG},a также поверхностных сил {c^ps}
39
на той части поверхности, где заданы перемещения, из (П.29) мож-
но получить начало наименьшей работы Кастильяно:
d'-и-О. (П.30)
Хотя функционалы (П.26) и (П.29) и имеют внешнее сходство,
но тем не менее они принципиально различны. В выражении (П.26)
варьируются параметры деформируемого состояния, тогда как напря-
женное состояние системы, вызванное воздействием внешней нагруз-
ки, остается неизменным. При использовании выражения (П.29) варьи-
руется напряженное состояние системы, в то время как деформируе-
мое состояние остается постоянным.
П.3.3. Функционалы (П.26) и (П.29) могут быть сведены
(см. § 1.3) к эквивалентным дифференциальным уравнениям Эйлера,
которые в данном случае представляют собой лишь часть уравнений
теории упругости (I.I). Так, при использовании функционала (П.26)
получаются дифференциальные уравнения равновесия и соответствую-
щие им статические граничные условия (см. п.П.4.1). Если же варьи-
руется функционал (П.29), то в качестве уравнений Эйлера получа-
ются геометрические соотношения и кинематические граничные усло-
вия. Как видно, в обоих случаях не удается получить полный ком-
плект уравнений теории упругости. Недостающие уравнения образуют
дополнительные условия, которые связывают варьируемые параметры
между собой. Заметим, что эти дополнительные условия должны быть
удовлетворены предварительно еще до варьирования функционалов
[l]. Так, удовлетворяя физическим и геометрическим соотношени-
ям, функционал (П.26) можно привести к виду
эл(ы) -
V
~[a}T{Gy)]dtr ~/{u}r{ps) ds, (П.31)
si
который носит название функционала Лагранжа. Из выражения (П.31)
следует, что принцип возможных перемещений можно сформулировать
как вариационный, согласно которому истинные поля деформирован-
ного состояния упругого тела, удовлетворяющие дополнительньа! ус-
ловиям, придают функционалу (П.31) минимальное значение, т.е.
(^Эл([и))^О. (П.32)
Преобразуя (П.29) при помощи закона Гука и уравнений равно-
весия, получим функционал
40
эк (Ю) (И ] "
V
JMW)*-
5,
называемый функционалом Кастильяно. Отсюда принцип возможных из*
менений напряженного состояния формулируется как вадача отыскания
компонент напряженного состояния, удовлетворяющих дополнительные
условиям и сообщающих функционалу (И.33) минимальное значение,
т.е.
^\([^}) = О. (П.34
Таким образом, использование функционалов Лагранжа и Кастил!
яно сводит задачу теории упругости к несвободной вариационной задаче.
Чтобы получить в качестве уравнений Эйлера и естественных гра-
ничных условий полный комплект статических, геометрических и фи-
зических уравнений с соответствующими граничными условиями,
необходимо, очевидно, минимизировать такой функционал, у которо-
го независимыми варьируемыми параметрами является совокупност!
всех величин, характеризующих напряженно-деформируемое состояли»
системы [ V} = {{б'} {£} { и } ) , т.е. перейти от несвобод-
ной вариационной задачи с дополнительными условиями к свободной.
Этот функционал, называемый полным, получается обычно в результат
те обобщения одного из частных функционалов (Лагранжа или Кас-
тильяно) с использованием метода неопределенных множителей Лаг-
ранжа в соответствии с теорией преобразования вариационных проб-
лем франта и Гильберта [1,31].
Так, например, обобщая функционал Лагранжа, выражение да
полного функционала в матричной форме можно записать в виде
^2
где {Л (Л}з - вектор-функции неопределенных множителе!
Лагранжа.
Физический смысл множителей Лагранжа в функционале (П.35
можно вскрыть следующим образом..,Переход от выражения (П.26) <
дополнительными условиями к полному функционалу означает, что св.
Зак.641
41
эи как бы отбрасываются и система рассматривается без них, но при
этом к энергии системы добавляется некоторая потенциальная анер-
гия сил, обеспечивающих удовлетворение заданных связей. Следова-
тельно, множители Лагранжа при введении связей статического харак-
тера выражают соответствующие деформации, а при введении геомет-
ричебких связей - соответствующие напряжения. Это и позволяет пе-
реписать выражение для Г{Р))в виде
?. <м> <
у
*/ ft
Установив, таким образом, выражение для полного функционала,
можно сформировать соответствующий ему общий вариационный прин-
цип: истинные поля напряжений, деформаций и смещений таковы, что
полный функционал имеет стационарное значение, т.е.
(П.36)
П.3.4. В соответствии с теорией преобразования вариационных
проблем можно получить различные виды частных функционалов,перей-
дя обратным путем от свободной вариационной задачи к задаче о не-
которыми дополнительными условиями, и сформулировать различные ча-
стные вариационные принципы. Вое они сводятся к утверждению, что
из всех полей напряженного и деформированного состояния упругого
тела, удовлетворяющих дополнительным условиям, имеют место лишь
те, которые придают соответствующему частному функционалу стацио-
нарное значение. При этом некоторую часть уравнений Эйлера и ес-
тественных граничных условий, реализующих стационарное значение
полного функционала, Необходимо выбрать в качестве дополнительных
условий, которые в совокупности с уравнениями Эйлера и граничны-
ми условиями полученного частного функционала дадут полный комп-
лект уравнений и граничных условий теории упругости.Это и озна-
чает тождественность постановки задач на основе полного и частных
функционалов. Так, если в качестве дополнительных условий при-
нять физические соотношения, то из полного функционала можно полу-
чить важный для дальнейшего изложения частный функционал 9р, назы-
ваемый функционалом Рейснера
42
V
st s,
(П.38)
Выражение (П.38) для его дальнейшего использования удобно
представить в несколько другом виде. С этой цель» введем в рас-
смотрение матрицы
бх
?уж
Сху
%
г,..
^xz
д
дх
д
д
«zx ‘zy
Тогда второе слагаемое в выражении (П.38), стоящее под знаком объ-
емкого интеграла с учетом правила дифференцирования по частям
(1.49), перепишется в виде
«.39)
V V V
Преобразуем, далее, первый член в правой части (П.39) по форцуле
Остроградского-Гаусса (1.53):
V f
Имея в ваду, что [Ф] Г I&] {и) “ (и}Т([Ф] Г{&}), функционал Рейсне-
ра (П.38) запишем следующим образом:
* Jf -{$}}<* ** (П-40)
«г
43
Нетрудно видеть» что функционал (П.40) является обобщением функ-
ционала Кастильяно, если в качестве дополнительных условий к не-
му принять физические соотношения.
Таким же образом, принимая в качестве дополнительных усло-
вий те или иные соотношения из (П.1), можно из полного функцио-
нала ' получить множество различных видов частных функционалов(%Ц-
Вашицу, функционалы граничных условий, физических соотношений,
смешанные функционалы).
Взаимосвязь различных функционалов показана на рис.П.5.
П.3.5. Предположим теперь, что упругое тело, изображенное
на рио. П.З, находится в состоянии движения, перемещаясь непре-
рывно во времени t0 < t < tf . В этом случае согласно началу Далам-
бера для того чтобы тело в каждый данный момент времени находи-
лось в равновесии к действующей внешней нагрузке,необходимо до-
бавить инерционные силы интенсивностью (и) = - f> { и'} .
Тогда принцип возможных перемещений вапцшется следующим образом
(46]:
= О л (П.41)
V V
или с учетом преобразований по п.П.3.3 (полагая /э - const )
8.3л (М) = О. (П.42)
Поскольку выражение (П.42) остается справеддивш для любого t
в заданном интервале, то, интегрируя его по времени от t0 до
t1 кполучим
Л
J &3A((u})dt+f dtjifffl&uy{и} dV - О . (П.43) "
to t0 v
Второе слагаемое в (ПЛЗ), пользуясь правилом интегрирования по
частям, можно записать в виде
• f, г **
to V It ° te v (II.44)
Если вариацию перемещений подчинить условию, согласно которому
{d1#} - О при t-t0K t - tf, to первый чин в правой части
(П.44) становится равным нулю. Второй же член, используя правило
44
варьирования произведения функций, запишем следующим образом:
-/ (П.45)
t0 V t0 V *
Нетрудно видеть, что выражение под знаком интеграла в (П.45)
представляет собой кинетическую энергию системы. Введем обозна-
чение
^4^clV‘ (П.46)
Тогда (П.43) с учетом выражений (П.44) и (П.45) принимает вид
45
r1 s1
j f c^r([u})c/t=O, (П.47)
t-о
«w, вытося знак вариации c^, подучим
Л/
d'J Mu))-r({t>))]dt -О. (П.48)
fo
В ферчуле (П.48) выражение
f,
/А ГМ) - T(fu})]dt (П.49)
to
носит название функционала Гамильтона, а зависимость (П.48) пред-
ставляет ообой математическую запись вариационного принципа Га-
мильтона, согласно которому на участке действительного движения
системы в промежутке времени to < t < tf функционал (П.48) при-
нимает стационарное значение.
!
| П.4. О применении вариационных принципов
П.4.1. Как уже отмечалось, располагая тем или иным функцио-
налом, можно получить те или иные уравнения Эйлера, которые при-
менительно к задачам строительной механики будут представлять оо-
бой уравнения равновесия, совместности деформаций и т.д.
Рассмотрим в качестве примера получение дифференциальных урав-
нений равновесия и статических граничных условий из вариационно-
го принципа Лагранжа (П.32), который в развернутом виде о учетом
(П.31) запишется таким образом:
~ff 1*и)Т(Рз} dS=O, (П.50)
Si
или, используя преобразования, приведенные в п.П.3.4,
•®i
= (П.51)
V
46
В силу проиввольности вариации {<?и} из (П.51), исключая физи-
ческие соотношения, получим
[^]ТКИЮя0’> (П.513
[*О]Ю-(Ъ)*О- (П.53)
Нетрудно видеть, что соотношение (П.52) представляет собой
искомые уравнения равновесия, а (П.53) - статические граничные
условия.
П.4.2. В качестве второго примера рассмотрим вывод дифферен-
циальных уравнений равновесия системы при движении, воспользовав-
поь для етого функционалом Гамильтона (П.49), условие стацио-
нарности которого имеет вид (П.48).
Выражение (П.48) согласно (1.49) можно переписать в виде
*0 to
или
t0 to
Второе слагаемое в (П.54) преобразуем к виду
° ° (Л.55)
Учитывая, что при t = t0 и t -tr (cflu)-О, выражение (П.54) можно
записать таким образом:
to
Из уравнения (П.56) непосредственно следует уравнение Эйлера для
функционала (П.49):
^дй))
д[и) dt д{а} 1
(П.57)
47
которое представляет собой матричную вались уравнений равновеоия
системы при динамическом воздействии на нее. В технической лите-
ратуре выражение (П.57) называют уравнением Лагранжа второго ро-
да.
Если умножить теперь уравнение (П.57) на [du}r = [й)rdt, то
и так как
,.. г дТ ,,. .т 1 . ,т &Т г . tr дТ
(u>d wjs d<{“> M 5тз)=гг>
то уравнение (П.58) преобразуется к виду
★2dT-MT-3$js°
или
d3^+2dT-dT = d3 + dT= d(3 + Т)~О. (П.59)
Отсюда
Э * Т - const. (П.60)
Таким образом, полная энергия системы, равная сумме потен-
циальной и кинетической энергий, есть величина постоянная во
время движения тела, и следовательно, вариационный принцип Гамиль-
тона является формой проявления всеобщего закона сохранения меха-
нической энергии.
П.4.3. Из вариационных принципов можно получить также я раз-
решающие уравнения основных методов строительной механики - мето-
да перемещений как уравнения равновесия из принципа Лагранжа и
метода сил - уравнения совместности деформаций из принципа Кас-
тил ьяно.
Однако прежде чем проиллюстрировать сказанное на примере
стержневых систем, необходимо обратить внимание на одно важное об-
стоятельство. Поскольку задачи теории упругости в строгой поста-
новке сводятся, как уже отмечалось, к сложным краевым задачам для
48
уравнений в частных производных, в технических приложениях широ-
ко применяются при соответствующем теоретическом и зксперименталь
ном обосновании упрощенные расчетные схемы сооружений. Главная
их особенность состоит в переходе от трехмерной задачи к двумер-
ной или одномерной. Так, лри расчете стержневых систем вводится
гипотеза плоских сечений, и в результате решения находятся интег-
ральные характеристики напряженного состояния (изгибающие и кру-
тящие моменты, поперечные и нормальные силы в сечениях стержня),
т.е. задача сводится к одномерной. Применительно к пластинам
и оболочкам введение дополнительных гипотез приводит к двумерно»
еадаче (подробнее см. гл. У1).
Рассмотрим процедуру построения разрешающих уравнений мето-
да сил из вариационного принципа Кастильяно, записанного в фор-
ме (П.30) применительно к плоской линейно-упругой стержневой сис-
теме, пренебрегая, как обычно, влиянием на перемещения нормальны?
и поперечных сил [48].
Дополнительная потенциальная энергия деформации такой систе-
мы в стандартных обозначениях имеет вид
f-£J ds. (П.61)
а.
Как известно, в методе сил
М*МР* (М)ТЩ, (П.62:
где М — изгибающий момент в данном сечении; /Ур- изгибающий мо-
мент в основной системе от заданной нагрузки; {X}- вектор-стол-
бец основных неизвестных метода сил; (М)- вектор-функция изгиба!
щих моментов в основной системе от(Х}=(//- - - f). '
Основные неизвестные (К) найдем из условия (П.30)
, .у ди
&U = (дХ) (П.бЗ
Так как (д'Х‘) f 0, то
<"•“
В формулу (П.64) подставим выражение (П.61) с учетом (П.62) и п
лучим
Зак.641
49
По формуле Мора
" f M.JM} , [М){Й}Т г ,
<"-ю>
4 /
где {^}хр- вектор-столбец перемещений в основной системе по на-
правлению отброшенных связей от действия внешней нагрузки-
так называемая матрица податливости системы, компоненты которой
представляют собой перемещения по направлению отброшенных связей
от единичных неизвестных.
Теперь (П.65) можно переписать в вцце
= (П.67)
Выражение (П.67) представляет собой матричную запись системы
уравнений метода сил.
П.4.4. Располагая полным и частным функционалами и соответ-
ствующими им вариационными принципами, представляется возможным
использовать весь арсенал метода теории вариационного исчисления
для решения задач строительной механики. При этом преимущество
вариационной постановки задач объясняется не столько возможностью
сведения ее к эквивалентным дифференциальным уравнениям Эйлера,
решение которых приводится к большим математическим трудностям,
сколько тем, что использование того или иного функционала предоп-
ределяет и методы непосредственного получения приближенного реше-
ния задачи. Эти методы, не связанные с переходом к дифференциа-
льным уравнениям Эйлера, как уже отмечалось, называются прямыми
методами вариационного исчисления.
«•Для определенности остановимся на процедуре получения приб-
лиженного решения задачи теории упругости с помощью метода Ритца,
согласно которому отыскиваются функции, удовлетворяющие гранич-
ным условиям и минимизирующие функционал Лагранжа (П.31).
С этой целью вначале представим искомое решение в виде агирок-
оимирующего ряда
V,г) * >°гг (x,V>z)cii2+- • • •; (<П.б8)
50
где заданные координатные функции, удовлетворяющие гра-
ничным условиям; ,<*2к " ' “ неопределенные коэффициенты,в ка-
честве которых принимается совокупность параметров,характеризую-
щих деформируемое состояние системы.
Выражение (П.68) перепишем в матричной форме
о
Ik
^22 • • ^2к • '
<$22
^Зк
компактном
соответствующие обозначения, в более
Подставим, далее, (П.69) в (П.31). Тогда будем иметь
или, введя
виде
(П.69)
^3/ -*32 ' • ’ ’j* • *
4/*
• •
(П.70)
V
- ([ri^))T{G,})cfV-Jf([?>]fi))T{ps)cfS.
si
Из (П.70) вадно, что функционал Лагранжа в этом случае оказыва-
ется функцией от неопределенных параметров вектора {<<}, которые
обеспечивают его минимум, будучи найденными [см. (I.70)J из сис-
темы уравнений
дЭА ({<<))
*&} =о
(П.71)
Заметим, что поскольку функционал (П.70) является квадратич-
ным относительно компонент [с£) , то каждое из уравнений (П.71) -
линейное относительно этих компонент. Следовательно,систему урав-
нений (П.71) можно символически записать в виде [21]
х°> (П‘72)
где [К^] и { Р } - постоянные матрицы.
Очевидно, что выражение (Л,69) при найденном из (П.72) век-
торе ^о(. } и будет искомым решением поставленной задачи.
51
П.4.5. Хотя описанная процедура построения приближенного ре-
шения задач теории упругости чрезвычайно проста, ее практичес-
кая реализация встречает, как правило, серьезные трудности, свя-
занные с необходимостью задания системы координатных функций с
учетом обычно сложной конфигурации рассматриваемой области, ха-
рактера эагружения и граничных условий. Существуют различные при-
емы преодоления этих затруднений. Один из наиболее известных ме-
тодов состоит в следующем.
Заданную область представляют набором конечного числа подоб-
ластей (элементов) относительно простой формы. Решение ищут о
помощью того же ооотношения (П.69), но записанного для каждой
I -й подобласти в отдельности:
= [y>k (П.73)
Ясно, что в этом случае компонентами матрицы являются
относительно простые координатные функции, а элементами векто-
ра {dL)i - параметры, характеризующие деформированное состояние
I-го элемента.
Далее полагают, что объединение отдельных элементов в еди-
ное целое тождественно суммированию их энергий, т.е.
Э = Т. Э£ , (П.74)
где - функционал (П.31), записанный для Z-й подобласти через
(П.73).
Тогда систему уравнений (П.71), минимизирующую функционал
(П.70), можно формально переписать в виде
(п-75>
Сравнивая (П.72) с (П.75), наедем
. (П.76)
Решение системы (П.75) дает, очевидно, набор дискретных числен-
ных значений параметров °<Л , с помощью которых, используя (П.73),
можно через отдельные элементы описать соотояние области в целом.
Сформулированная процедура является, по существу, вариа-
ционно-разностным методом решения задач о напряженно-деформирован-
ном состоянии континуума, основанном на его дискретном представ-
лении. При. етом следует отметить, что Практическая реализация
такого подхода, связанного с резким увеличением объема , вычисле-
ний, возможна лишь с применением современных мощных ЭЦВМ.
ШВА Ш
СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
I Ш.1. Формулировка вариационных принципов
для стержневых систем
Ш.1.1. Расчетная схема сооружений в виде линейно-дефорыируе-
мой упругой стержневой системы является одной из наиболее распро-
страненных в практике проектирования строительных конструкций.
Наиболее общий способ построения теории расчета таких стерж-
невых систем основан на применении вариационных принципов меха-
ники (5,54,65]. С учетом этого сформулируем изложенные выше ва-
риационные принципы применительно к стержневым системам с учетом
специфических особенностей матричной формулировки этих задач и
последующей их реализации на ЭЦВМ. Предварительно введем важные
для дальнейшего изложения понятия и определения, связанные, преж-
де всего, с дискретизацией расчетной схемы, что позволяет осуще-
ствить необходимый при матричной формулировке переход от системы
с бесконечным числом степеней свободы к системе с конечна* чис-
лом степеней свободы.
Ш.1.2. Рассмотрим произвольную стержневую систему в прямо-
угольной декартовой системе координат и наметим на ней т сече-
ний, которые расчленяют ее на N частей. Вообще говоря, эти се-
чения можно назначить совершенно произвольно, однако в дальнейшем
жх положения будем выбирать таким образом, чтобы в резуль-
тате конструкции расчленялись на учаотки в виде прямолинейных
стержней, каждый из которых удобно рассматривать в местной сис-
теме координат. При этом для простоты изложения основных понятий
и определений будем считать, что общие и местные оси координат
совпадают.
В рамках стандартных гипотез линейной строительной механики
стержневых систем эти конструкции можно представить в виде мно-
жества линий, совпадающих с осями стержней, а зафиксированные се-
чения, называемые узлами, - в виде точек. Очевидно, что каждая из
узловых точек в общем случае обладает шестью степенями свободы
( Г -- 6) и ее положение при деформации системы определяется тре-
мя линейными и тремя угловыми перемещениями, совокупность кото-
рых образует вектор-столбец
53
= • (Ш-1)
Если узловая точка совпадает с шарни-
ром, то она обладает в пространствен-
ной системе тремя степенями свободы
( г в 3) и ее положение определяется
трехкомпонентным вектором
Чз'М"* J • (Ш.1' >
f
Правило внаков для компонентов в выражениях (Ш.1) и (Ш.1 )
принято согласно рис.Ш.1, где изображены положительные перемеще-
ния. Вцделим участок, свободный от внешней нагрузки, между двумя
соседними узлами j и н, который, следуя общепринятой терминоло-
гии, будем называть элементом. В пространственной системе г-цу
элементу присущи двенадцать степеней свободы и он характеризует-
ся вектор-столбцом перемещений
<«.2>
где/9}^ и векторы перемещений узлов ё-го элемента,
каждый из которых в общем случае содержит по шесть компонент.
Ясно, что когда у'-й или я-й узел элемента совпадает ол-м
узлом системы, то
19}/*ЧЦМ- (Ш-3)
Отсюда следует, что объединение всех элементов в систему дости-
гается при выполнении равенства перемещений и углов поворота кон-
цевых сечений элемента, сходящихся в узле. Например, когда в узлэ
системы стыкуются два элемента,
МГ-м!",- ям
На выделенный элемент оо стороны каждого из узлов действует
система сил, образующих вектор-столбец
<ш-5)
по структуре, аналогичной вектору (Ш.2)
54
<=f<’ • (ш-б)
Компонентами являются силы и моменты, соответствующие ли-
нейным и угловым компонентам вектор-столбца Положительные
направления составляющих этого вектора в соответствии с их номе-
рами показаны на рис.Ш.1. Ясно, что в случае шарнирного узла {/?}
содержит только три компоненты в виде сосредоточенных сил.
По отношению к выделенному i-ыу элементу компоненты векто-
ра являются внешними силами. Когда же элемент рассматрива-
ется в составе системы, вектор является вектором внутренних
усилий, действующих со стороны узлов на элемент. Естественно,что
напряженно-деформированное состояние элемента полностью определя-
ется векторами и (Я), при условии, что непосредственно к
нему внешняя нагрузка не приложена. Другими словами, чтобы а по-
мощью векторов, содержащих перемещения и усилия в конечном числе
узловых точек, описать состояние стержневой системы, она должна
быть загружена только узловыми воздействиями. Поэтому если на
элементы системы действуют внеузловые нагрузки, их предваритель-
но следует свести к узловым. Для этого в каждый узел системы вво-
дятся связи, чиоло которых равно числу его степеней свободы, и из-
вестными методами строительной механики f48] выполняются расчеты
отдельных элементов. В результате находятся усилия по длинам эле-
ментов и реакции во введенных связях. Очевидно, что конструкция
в этом случае оказывается загруженной не только внешними силами,
но и реактивными усилиями во введенных закреплениях. Чтобы по-
лучить окончательное решение задачи, необходимо, руководствуясь
принципом независимости действия сил, сложить результаты,получен-
ные при расчете отдельных элементов и системы в целом от воздей-
ствия узловых нагрузок, обратных по знаку суммарным реактивным уси-
лиям во введенных связях. При этом совокупность узловых нагрузок в
*-м узле пространственной системы может быть представлена век-
тором-столбцом
(pf}= {Р^Р^Р^Р^} (Ш.7)
Компонентами (Ш.7) являются силы и моменты, представляющие собой
суммы заданных узловых нагрузок и усилий, численно равных реак-
циям по направлению вводимых в узлы связей. Видно, что для кон-
струкции в целом (Ш.7) образует вектор-столбец
{Р} = {{Р)с,)1Р}1г)...{Р}м..}. (1Л.М)
Общее число компонентов в (Ш.8) равно числу степеней свободы
узлов системы или, иначе говоря, в векторе {Р} отсутствуют ком-
поненты, соответствующие только тем узлам и направлениям, по ко-
торым на систему наложены связи, препятствующие ее перемещению,
! как жесткого целого.
Объединяя векторы узловых усилий в элементах {Я }z, образуем
I j вектор внутренних узловых усилий системы
(и.®)
Число компонентов в векторе fR) равно числу степеней овободы
узлов элементов системы. При этом будем считать, что в точки при-
мыкания элементов к опорам вводятся обычцые узлы, которые в даль-
нейшем называются приопорными.
Поставим в соответствие вектору-отолбцу {R} вектор обобщен-
ных перемещений узлов элементов
у - -fak • • (ШЛО)
который будет содержать столько же компонентов, что и вектор
И (Ш.9). При этом очевидно, что если связи в опорах жесткие, то
j соответствующие компоненты векторов узловых перемещений элемен-
тов, примыкающих к опорам, равны нулю.
Вектору-столбцу узловых нагрузок {PJ поставим в соответ-
ствие вектор перемещений узлов системы
(шли
Естественно, что вектор /9} имеет ту же размерность, что и век-
тор {Р}, т.е. наличие кинематических закреплений, исключающих
перемещения системы как абсолютно твердого тела, подразумевает при
к дальнейшем изложении автоматическое вычеркивание соответствующих
111 компонент в векторе }
111 Таким образом, расчетная схема конструкции представляется в
'11 виде совокупности элементов, соединенных в узлах, под действием
V узловых нагрузок.
Ш.1.3. Перейдем теперь к формулировке вариационных принци-
пов для дискретизированной выпеописанным_образом стержневой сис-
темы. Пусть она под действием нагрузки [Р] находится в равнове-
сии. Назовем это состояние системы состоянием I и воспользуемся
принципом возможных перемещений. В качестве возможных примем пере-
мещения точек системы, допускаемые связями от дополнительной груп-
пы оил:
56
(Ш.12
Поскольку для рассматриваемой линейно-деформируемой упругой сис-
темы справедлив принцип независимости действия сил, то возможны
перемещения будем отсчитывать не от положения равновесия посл<
деформации, а от начального недеформированного состояния. Возмож
ные перемещения узлов системы и узлов элементов от дополнитель
ной группы сил по направлению действия внешних и внутренних сю
состояния I обозначим соответственно через
{<*?} = )'
{<*<{} = - {‘fy}#}- (Ш’141
Условимся состояние системы под действием дополнительных сил на-
зывать состоянием П.
Возможную работу внешних сил состояния I на соответствующие
им перемещениях, вызванных силами состояния П, представим в виде
cPW = , (Ш.15)
а возможную работу внутренних сил таким образом:
Отсюда на основании (П.25) принцип возможных перемещений
для идеализированной стержневой системы в матричной форме может
быть записан в виде
{^}T[P}-{d9}T(R}. ’ (НИ?)
Соотношению (Ш.7) эквивалентно равенство
{р}Г{#9} ={Я}Т{<?<}} <ШЛ8)
При использовании принципа возможных перемещений для линей-
но-деформируемых упругих систем возможные перемещения обычно при-
нимают конечными и самыми простыми - равными единицам. При этом,
учитывая справедливость для таких систем принципа независимости
действия сил, перемещения задают не одновременно, а как ряд по-
следовательно прикладываемых единичных перемещений по направле-
нию каждой из внешних сил. При матричной записи это означает, что
вектор-столбец ] можно заменить единичной матрицей
Зак.641
57
/ о о ... о
О 1 о ... о
00 1 ... о
(Ш.19)
г [ о о о ... 11
'Так как £=£ и любая матрица, будучи умноженной справа или
слева на единичную матрицу, не изменяет своего вида, то в дальней-
шем матрицу £ писать не будем. Таким образом, получаем
{рНч°]г[я}> (ш’20)
где fy°]= [{ц°} { 4° ) • • • ll°}' ']~ прямоугольная матрица,каждый
вектор-столбец которой представляет собой перемещения узлов эле-
ментов системы, возникающих от единичных возможных (допускаемых
связями) перемещений, последовательно накладываемых по каждому
направлению в узлах системы.
Заметим, что представление принципа возможных перемещений
уравнением (111,20) имеет первостепенное значение для всей теории
линейно-деформируемых систем.
Ш.1.4. Рассмотрим принцип возможных изменений напряженного
состояния для стержневых систем.
Под действием статически приложенной группы сил {Р} систе-
ма будет находиться в равновесии, п ее деформации - совместны с
наложенными на систему связями. Это состояние, как и прежде,на-
зовем состоянием I.
Рассмотрим, далее, систему в равновесном состоянии при дей-
ствии на нее дополнительной группы статически возможных сил {d'P}.
Очэвидно, что эти силы вызовут в узлах элементов системы усилия
(д’/?}. Состояние системы под действием сил вновь назовем
состоянием П.
На основании принципа возможных изменений напряженного сос-
тояния Ш.28) можно написать, что сумма возможных работ внешних
и внутренних статически возможных сил состояния П на соответст-
вующих им перемещениях состояния I равна нулю, т.е.
• При использовании принципа возможных изменений напряженного
состояния для линейно-деформируемых систем возможные силы, при-
ложенные по направлению действительных перемещений, ради простоты
и удобства принимают обычно в виде ряда последовательно задавае-
мых единичных сил. При матричной записи.в этом случае вектор-
столбец / d1 Р } заменяется единичной матрицей £. Рассуждая ана-
логично предьщущему, получим
58
{q}=[R°Jr {4} > (ш-22)
где [R°] (R° } ••] - прямоугольная матрица,
каждый вектор-столбец которой представляет собой усилия в узлах
элементов конструкций от возможных единичных сил, последовательно
прикладываемых в ее узлы по всем направлениям и свободных • от
опорных связей.
Уравнение (Ш.22) играет важную роль в теории линейно-дефор-
мируемых систем.
§ Ш.2. Основные характеристики элемента
Ш.2.1. Реализация обсуждаемого подхода к расчету стержневых
систем, представленных в виде совокупности элементов, контакти-
рующих в узлах, требует, очевидно, в первую очередь детального
изучения отдельных элементов при узловых воздействиях.
Для наглядности изложения рассмотрим Z-й элемент в виде пря-
молинейного стержня постоянного сечения, выделенный из плоской
стержневой системы, загруженной только в узлах. Этот элемент в
местной системе координат изображен на рис.Ш.2. На концевые сече-
ния I -го элемента со стороны узлов будут действовать в данном
случае силы и моменты, вектор-столбец которых {%} >'
причем = [RfM } (*=j,n ) . Учитывая, что каждый
узел плоской системы может обладать тремя степенями свободы,пере-
мещение Z-ro элемента будет описываться вектором (</} = {{у }.<J> f?}™}
в котором fa}/*1* {Ч™ 9™)- 1 L ‘ ’
В силу того, что компоненты вектора /ЯД. представляют собой
уравновешенную систему сил, запишем прежде всего соотношения, ус-
танавливающие связь между усилиями в конце и начале элемента. Для
этого, во-первых, можно воспользоваться уравнениями равновесия,
во-вторых, применить принцип возможных перемещений. Из уравнения
равновесия непосредственно получаем
Rf W = О; R^* R(6**Ta "R<e^ 0 •
или в матричной форме
- (Ш.23)
где
59
1 О о'\1 О О
I
о 1 о\о 1 о
о О l\o а 1
Р и с.Ш.2
J (Ш.24)
- матрица равновесия элемента; Е3- единичная матрица третьего
порядка.
Чтобы применить принцип возможных перемещений, необходимо
(54] сначала найти связь менаду перемещениями узлов элемента при
его смещении как жесткого целого. Можно записать
Mi = [ЛЪ > (Ш.25)
где - прямоугольная матрица с компонентами, определяющими
перемещения узлов элемента от единичных смещений, последовательно
накладываемых на этот элемент; ty)t~ вектор-столбец, компоненты
которого обусловливают перемещения элемента как абсолютно твердо-
го тела. Если,например, перемещения элемента как жесткой системы
вызваны малши перемещениями узла J, т.е. » то, по-
лагая связь линейной, согласно рис. Ш.2 найдем =
«JrW + tjWa;q,("*= (jV и, следовательно,
О 1 О
О____0__1_
1 J О
О 1 а
^00 Г
Отсюда, имея в виду, что для равновесия жесткой системы необходи-
мо и'достаточно, чтобы z
с учетом (Ш.25) и (Ш.26) получим
{*?}[ ["]i{*}i = O.. (Ш.27)
Полагая в (Ш.27) /д’найдем выражение, совпадающее с (Ш.23),
ОШ'»''
Обратимся к отдельному элементу, на узлы которого наложены
связи, ликвидирующие перемещения его как жесткого целого (рисЛиЗд
б). Поскольку в этом случае только часть усилий в /#]z будет опре-
деляться из условия взаимодействия элемента с системой (совокуп-
ность этих усилий образует вектор {Я*}), возникает необходи-
60
месть перехода от век-
тора меньшей размер-
ности (Л*}гк
новеяенному на
менте вектору
{R)i , В общем
эта процедура
быть выполнена по фор-
муле
a
у
урав-
эле-
усилий
виде
может
n
в
У
у$а)
1 у‘(ш.28)
и, в частности, для
элемента, показанного
на рис. Ш.З,а, записы-
вается :
R®
. ...
R™
R™
Ф
В случае,
Рис. Ш.З
виде
О -1
0-а
-1
n(h)
*2
К6
-нт
^3
О
О
когда
связи наложены по
схеме рис.Ш.З,б, получим
/ О
О
О
О
О
1
О
О
1
R(j}
R[j)
R‘j>
R<n>
*<*>
n (fl)
K6
RT
ц(п)
6
(Ш.29')
1
О
О
О
О
о
_ 1
1
о
о
О
. 1
О
О
1
t
и (Ш.29) получены из
Блочные матрицы [T]^
ственного рассмотрения равновесия элементов. Подставляя
в (Ш.23), найдем, что матрица [rfy должна удовлетворять
в (Ш.29)
непосред-
(Ш.28)
условия
f//7. [T]i =о.
(Ш.ЭО)
Ш.2.2. Приложим теперь к узлам 4-го элемента вектор / <7 ,
компонентами которого является соответствующие перемещения узлов
рассматриваемой стержневой системы. Понятно, что этот элемент об-
ретет в данном случае то же напряженно-деформированное состояние
61
что и в заданной системе. Определим усилия в узлах элемента,
отвечающие компонентам вектора { Согласно принципу независи-
мости действия сил искомые усилия можно представить линейной од-
нородной функцией перемещений
(Ш.31)
или в компактной форме
(«К-ГЦ 1ч), -
(Ш.32)
W
п-
- матрица жесткости /-го элемента о блоками размером, соответст-
вующим числу степеней свободы узлов, к которым они относятся.
Из (Ш.32) следует, что кавдая компонента матрицы жесткости
представляет собой усилие по одному из направлений, например, в
j-м узле от соответствующего единичного перемещения в том же
или /7-м узле при условии, что перемещения по всем остальньм на-
правлениям равны нулю. При этом в силу взаимности реакций [48]
матрица [K]i является квадратной симметричной, блоки которой свя-
заны зависимостью
м?Ч№)г-
J /
(Ш.ЗЗ)
Для элемента, показанного на рис. Ш.2, принимая во внимание стан-
дартные результаты расчета стержня на узловые единичные перемеще-
ния [48], блоки матрицы жесткости записываются следующим образом:
п 12EJ 6EJ .
° а» ~ат ’
„ 6EJ 4E.J
О -Х2- -------
аг а
(Ш.34)
62
EF Q 0 0
<• 0 12EJ а* 6EJ а*
п 6EJ ЬЕЗ
и ~~а* а
' EF
Q О О .
О 12EJ а3 6EJ аг
0 - 6EJ 2EJ
(Ш.35)
(Ш.36),
В общем случав матрица [K]L является особенной,поскольку ком-
поненты вектора (Р}£ в (Ш.32) - линейно зависимые величины,свя-
занные уравнениями равновесия (Ш.2Э). Или, иначе говоря, потому
что компоненты в [q )• содержат неопределенные значения перемеще-
ний элемента как жесткой системы. Так как для дальнейшего изло-
жения иногда удобно располагать неособенной матрицей жесткости,
рассмотрим элемент, поступательное и вращательное перемещения ко-
торого как жесткого целого аннулированы. Очевидно, что состояние
такого элемента будет однозначно определяться векторами и
{<7*}/, которые получаются из (q удалением членов,соот-
ветствующих введенным кинематическим связям. Аналогично (Ш.32)
запишем
где матрица [К*]. уже не будет особенной. Например, для элемента,
представленного на рис. Ш.3,а, вектор /7*^ = вектор
=[Х’)^И следовательно, /Х'*/- = [К]!”'*- Для элемента,
показанного на рис. Ш.3,б, (q*). = fq?,q<j) qln>} соответственно
{X?*h = R<*>] и ? 1 %
О О
К*], = О . (Ш.38)
„ 267 Тб7
Естественно, что с помощью матрицы [K*]i может быть восстанов-
лена полная матрица жесткости /-го элемента. Для втого прежде
всего развернем вектор перемещений в {qj- :
Ыг[п].
(ili. 39 )
63
Здесь [П]с- прямоугольная матрица, содержащая единицы и нули,
которые переводят компоненты ({qji и дают нуль в развер-
нутом векторе по направление наложенных кинематических связей.
Например, для влемента с = О (рис. Ш.З.а) матрица
ВД - [°].
Далее, в равенстве работ
{<**}[{**}< (Ш.40)
учтем (Ш.28) и (Ш.39). Получим
откуда
[П]ТС[Т]Г [Т][[П].-Е (Ш.41)
и, следовательно, (Ш.39) можно переписать в виде
{?*}< = [rft 9 k' (Ш.42)
Внесем (Ш.42) в (Ш.37) и умножим полученное выражение слева на
ГЦ • Будем иметь
= П 1^Цт]^ , / <Ш.43)
или, принимая во внимание (Ш.38),
Отсюда, сравнивая (Ш.44) с (Ш.32), получим
[^•[гЦК’ЦГ]' <«.45>
Ш.2.3. Вновь обратимся к с-*у влементу, в узлы которого вве-
дено столько связей, сколькими степенями свободы обладает он как
жесткое целое. Приложим к узлам втого елемента усилия по направ-
лениям, свободным от кинематических закреплений. Совокупность этих
усилий, образуя вектор вызывает узловые перемещения, век-
тор которых |можно о учетом принципа суперпозиции определить
по формуле
fa*}. = ’ (Ш’46)
где и - матрица податливости г-го элемента.
64
Физический смысл значения каждого компонента матрицы подат-
ливости следует непосредственно из формулы (Ш.46). Произвольный
компонент в [F"]i является узловым перемещением, например, в уз-
ле j по свободному от связи направлению, вызванному действием
единичного усилия, приложенного в том же или /?-ы узле по одному
из возможных направлений при условии, что все остальные узловые
усилия разны нулю.
Матрица [F*]^- квадратная, порядок ее равен размерности
вектора {,#*); или При этом, имея а ваду теорему Максвел-
ла о взаимности перемещений, заключаем, что матрица податливости
всегда симметрична.
Чтобы построить матрицу податливссти для 4-го элемента, мож-
но, конечно, воспользоваться известными результатами расчета стер-
жней на единичные узловые воздействия [48]. Однако удобнее при-
менить очевидное соотнопение
[к"]:', «.«'
которое следует непосредственно из сравнения (Ш.46) с (Ш.37). На-
пример, для рассматриваемых в иллюстративных целях елементов (рис.
Ш.3,а,б) матрицы податливости будут соответственно
иметь вид
’ а EF 0 0 а EF 0 0
0 а3 3EJ аг 2EJ 0 а 3EJ а 6EJ
аг а а а
0 2EJ EJ - и 6EJ 3EJ.
• (Ш.48)
учесть зависимость
Отметим, что всегда имеется несколько возможностей для выбора схе-
мы закрепления элемента как жесткой системы, а поэтому и для по-
лучения различных матриц, характеризующих его упругие свойства.
Если равенство (Ш.46) умножить слева на матрицу ,[n]L и
(Ш.39) и (Ш.41), то его можно переписать в виде
или
(Ш.49)'
где/f/. =/77/./. [П] - особенная матрица податливости /'-го
елемента. Ранг этой матрицы меньше ее порядка на число степеней
свобода элемента как абсолютно твердого тела. Например,для еле-
мента, показанного на рис. Ш.З.а,
Зак.641
65
№
3«3
И"’
(Ш.49')
Отметим, что общий вид соотношений, полученных в данном парагра-
фе, остается неизменным и в случае пространственной задачи, но
при етом, естественно, возрастают размеры соответствующих матриц
и векторов.
$ Ш.З. Преобразование координат
Ш.2.1. Очень часто матрицы для отдельных элементов определя-
ются в системе координат, отличной от той, которая используется
для описания поведения системы в целом. Более того, в практичес-
ких расчетах, как правило, применяются уже готовые матрицы жест-
кости и податливости для отдельных элементов, найденные в мест-
ной системе координат. Поэтому перед тем, как будет сделана по-
пытка объединить отдельные елементы в конструкцию,необходимо осу-
ществить переход из местной системы координат в общую для всей
конструкции.
Обозначим местную систему координат, в которой получена, на-
пример, матрица жесткости /-го елемента, череза общую
систему координат, необходимую для объединения элементов, через
>г1 •
Запишем в местной системе координат уравнение (Ш.32), связы-
вающее узловые усилия и условие перемещения в /~м елементе
= [/(]. .В общей системе координат эта зависимость принима-
ет вид
(<hh-
Допустим далее, что нам известна матрица /Л^,с помощью которой
компоненты узловых перемещений элемента преобразовываются из об-
щей системы координат в местную, тогда
а-51>
Естественно, что компоненты узловых усилий, направления которых
совпадают с направлениями соответствующих перемещений, будут пре-
образовываться из общей системы координат в местную посредством
той же матрицы
‘ (Ш-52)
бб
Теперь» произведя подстановку матриц и в уравнение
(Ш.32) и разрешая полученную зависимость относительно векторе
, получим
Можно показать, что матрица преобразования Ао7<’ обладает сво!
ством ортогональности, поэтому [No]?1 - [No][. В самом деле, ис-
ходя из того, что действительная работа, произведенная силами не
соответствующих перемещениях, не зависит от системы координат,
Ы'/'Ц -Ш- {R>h (ш-53)
Поэтому внося в (Ш.53) значение векторов (<?,} и из (Ш.50)
и (Ш.51), после простых преобразований получим
/47/ (Ш.54)
Отсюда [Ко]] ~ [^о]< f< Следовательно,
hi (ш-55
Сравнивая выражения (Ш.32) и (Ш.55), находим
ЛЛ - (Ш.56)
Зависимость (Ш.56) и дает возможность определить матрицу жесткос-
ти элемента в общей системе координат.
Матрица податливости в общей системе координат находится ана
логично
/Л [ = Z4 [Ск [Noli • (Ш.56'
Отметим, что такие же соотношения можно записать и для эле-
ментов, смещения которых как жестких систем аннулированы
п --К№К №; *]< ,
Ш.3.2. Если (Ш.52) умножить слева на матрицу [Н ]., то на” ос
новании (Ш.23) получим уравнение равновесия для отдельного вле-
мента в общей системе координат
Hi {R}. - [И]. -[HJMi ~~ О. (К.57)
67
Ш.3.3. Поскольку векторы узловых перемещений и усилий в мест-
ной и общей системах координат содержат в данном случае по два
блока [см. (Ш.2), (Ш.5)], матрица преобразований /X,]. является
кваэцциагональной с двумя подматрицами:
вания записывается в виде
cos )Р
-sin У
О
При атом для прямолиней-
ного элемента, выделенно-
го иа плоской стержневой
системы (рис. Ш.4), типо-
вая подматрица преобраэо-
sin У О
cos Г О
О 1
(Ш.58')
§ Ш.4. Расчет статически определимых систем
Ш.4.1. Для расчета стержневой системы, состоящей иа ансамб-
ля элементов, соединенных друг с другом в узловых точках, необ-
ходимо, очевидно, располагать не только матрицами, характеривую-
щими упругие свойства элементов, но также и сведениями о струк-
туре системы, нагрузках и условиях ее закрепления. Далее на осно-
вании этих данных следует составить уравнения статики, отра-
жающие равновесное состояние совокупности отдельных элементов и
системы в целом, соотношения, связывающие перемещения узловых то-
чек элементов с перемещениями узлов системы, а также зависимости
между узловыми усилиями и перемещениями для не связанных между со-
бою элементов и элементов, объединенных в исходную конструкцию.
Другими словами, для расчета стержневых систем требуется сформи-
ровать три группы уравнений по аналогии с тем, как это делается
в теории упругости. Однако поскольку статически определимые сис-
темы можно рассчитывать, используя лишь уравнения равновесия,
что, естественно, упрощает задачу, целесообразно рассмотреть их
расчет отдельно.
Ш.4.2. Не ограничивая общности рассуждений, проведем вывод
разрешающих уравнений для статически определимых систем на приме-
68
ре плоской рамы, изображенной на рис. Ш.5. Выберем и пронумеруем
узлы и элементы рамы и допустим, что известен вектор-столбец уз-
ловых нагрузок [Р} - . .[Р)1т)].Ь данном случае в лю-
бом К -м узле ( А м 1,2,..., /77;л7=5) вектор [ Р } (к> содержит
силы Р^\Р^ и момент Рва>, положительное направление которых
показано на рис. Ш.5,б. Причем если нагрузка в каком-либо узле от-
сутствует, то соответствующие компоненты в векторе [Р] равны ну-
лю. Очевидно также, что в опорном узле (I) вектор может вклю-
чать лишь момент Р£1), в узле (5) - [P}(s)= (Р,<5) P£<S)}-
Введем в рассмотрение шестикомпонентные векторы узловых пере-
мещений и усилий для отдельных элементов в общей системе коорди-
нат /9,/^ и “ I,2,...,/V ; Л/ «4), а также векторы
перемещений узлов системы [у /^размерность и характер которых
отвечают векторам и легко устанавливаются из рис.Ш.5,а.
Путем непосредственного рассмотрения отдельных злементоз и
рамы в целом запишем в развернутой матричной форме в общей сис-
теме координат связь между вектором > объединяющим перемеще -
ния узлов элементов (Ш.10), и вектором /9], содержащим переме-
щения узлов системы (Ш.П). Будем иметь
69
О 0 °/>3 °из °1<з °1*3 Ofx3 °1>3 Oft 2 °U2
1 °3»1 °3»1 °1ХЗ °,.з °3 °1*з о3 0 14 0
Оз 03 J«2 Оз*2
< °3'1 °3 Ез °3 ^3x2
°3 ^3 О3 0з*г
®3*1 °3 °з £з °3х2
°3»1 03 о3 £3 °3х2
или в компактно . ^3*f й форме о3 °з °з °0 LO 1
wu> Ц,У3’ „(Ш.Э9)
(4, У"
{$}’ (Ш.бО)
Где [$] - структурная матрица или матрица соединений [54].
Понятно, что (Ш.60) строится для каждой конкретной конст-
рукции в отдельности и является, по существу, уравнением нераз-
рывности стержневой системы.
Воспользуемся теперь принципом возможных перемещений в фор-
ме (Ш.17) и учтем в нем, имея в виду (Ш.60), что(<Г^(} = [&]{&$}>
получим
{'чМН'чГМЧ'',}- «.«>
Отсюда, принимая во внимание, что {<?<}}/0, найдем уравнение рав-
новесия в узлах системы
Чтобы получить окончательное решение задачи, т.е. найти уси-
лия в узлах отдельных элементов, необходимо к (Ш.62) добавить
зависимости (Ш.57), определяющие связь между усилиями в конце и
начале кащдого из элементов в общей системе координат. Разумеет-
ся, этого в данном случае будет достаточно, поскольку статичес-
кий расчет рассматриваемой системы осуществим, как уже отмеча-
лось, с привлечением лишь уравнений равновесия. Введем квази-
диагональную матрицу
70
ИД 0
ТНЛ.
0 ’ Wh
(Ш.63)
в которой блоками согласно (Ш.57) являются произведения [Ht J- -
[No] '& частности, для рамы, изображенной на рис.Ш.5,а,
матрица [И]- принимается в виде (Ш.24), матрица [^o]i по (Ш.5в),
а угол J® в (Ш.58*) для двух первых и четвертого элементов
берется равным 3/2 if-, для третьего - f = О.
На основании (Ш.63) для совокупности несвязанных мзжду собой
элементов соотношения (Ш.57) записываются в виде
№]-]{*,} = °-
(Ш.64)
Объединив,(Ш.62) и (Ш.64) в одно матричное выражение, получим
(Ш.65)
Зависимость (Ш.65) является искомым разрешающим уравнением для
статически определимых систем. Из (Ш.65) следует
(Ш.66)
Отсюда, учитывая (Ш.52), найдем узловые усилия последовательно в
каждом из элементов в местной системе координат
Ш.4.3. Существует и другой подход к расчету статически опре-
делимых систем, связанный с применением матрицы [R°],компонента-
ми которой (см. п.Ш.1.4) являются усилия в узлах элементов,
возникающие от единичных сил, поочередно прикладываемых в загру-
женные узлы системы по направлению действия внешних сил.Очевид-
но, располагая матрицей [R0], на основании принципа независимости
действия сил узловые усилия в последовательно рассматриваемых
элементах системы от совокупности внешних сил в общей системе
координат можно определить следующим образом:
{#,} =
Если (Ш.68) внести в (Е.62) и (П1.64), то получится система
соотношений, которой должна удовлетворять |’.атрицо f R°1
71
Mr[W]’ M - c frJjlrt- о.
(Ш.69)
Заметим, что когда возникает необходимость рассчитать конструкцию
на действие нескольких вариантов нагрузки, внешние силы представ-
ляются прямоугольной матрицей [р], число столбцов которой соответ-
ствует количеству вариантов загружения. При этом матрица внут-
ренних усилий р?] будет иметь такое же количество столбцов, ка-
кое имеет матрица [Р], а все остальные матрицы останутся без из-
менений.
Ш.4.4. Перейдем к определению вектора перемещений узлов ста-
тически определимой системы по заданным направлениям {q ) в об-
щей системе координат. Для этого удобно использовать матричное
уравнение принципа возможных изменений напряженного состояния в
ввде (Ш.22), в котором матрицуp?°J необходимо заменить на матри-
цу^/?0/, так как в этом случае в качестве возможных сил прини-
мается ряд последовательно задаваемых единичных сил, ориентиро-
ванных лишь вдоль искомых перемещений. Запишем
(Ш.70)
Введем в обсуждение квазидиагональну» матрицу податливости в об-
щей системе координат Г г 1
[-HJ -
(Ш.71)
с помощью которой на основании выражений (Ш.49) и (Ш_.5б') уста-
навливается связь между узловыми перемещениями и усилиями после-
довательно во всех N элементах системы в виде одного матрично-
го соотношения
(Ш.72)
Внося (Ш.72) в (Ш.70) и учитывая (Ш.68), получим зависи-
мость
(111.73)
являющуюся формулой Мора в матричной форме.
Если искомом является вектор перемещений по направлению дей-
ствия внешних сил (q ), то [R°j = /я°; и
и} = Мг[’[Н-Ия0ЛП, <ш-74>
или
{’q} = k'I I/5), <ш-75)
где [F] = Р?°]Г[~[^]-] [#°] “ матрица податливости всей системы.
§ Ш.5. Статически неопределимые системы
Ш.5.1. Статически неопределимыми называются, как известно[48),
системы, в которых для нахождения опорных реакций, а также
внутренних усилий от заданного внешнего воздействия недостаточно
уравнений равновесия твердого тела или геометрически неизменяе-
мей системы твердых тел. Признаком статической неопределимости яв-
ляется наличие в системе связей, лишних с точки зрения обеспече-
ния ее геометрической неизменяемости. Число "лишних" связей назы-
вается обычно степенью статической неопределимости. Расчет таких
конструкций возможен лишь с привлечением, наряду с уравнениями
равновесия (Ш.57) и (Ш.62), также уравнений совместности дефор-
маций (Ш.60) и физических соотношений типа (Ш.32) или (Ш.49).
Другими словами, в этом случае оказывается необходимым воспользо-
ваться всем комплексом уравнений, аналогичным, как уже отмеча-
лось, по своему содержанию дифференциальным уравнениям теории
упругости.
Классический подход к расчету статически неопределимых стерж-
невых систем основан на понятии так называемых лишних неизвест-
ных. Если в качестве таких неизвестных приняты усилия в лишних
связях, то метод расчета называется методом сил. Второй метод за-
ключается в том, что за неизвестные принимаются перемещения неко-
торых точек системы. Эта процедура расчета известна как метод
перемещений, а число неизвестных называется степенью кинемати-
ческой неопределимости системы. Кроме того, нередко используется
также и смешанный метод, когда за неизвестные принтлают и усилия
и перемещения. Практическая реализация всех этих методов осуще-
ствляется с помощью так называемой основной системы,которая по-
лучается из заданной либо путем отбрасывания лишних связей и за-
мены их неизвестными усилиями (метод сил), либо введением допол-
нительных связей, препятствующих перемещениям, принятым за неиз-
вестные (метод перемещений). Разрешающие уравнения метода сил
обычно получают из условия равенства нулю перемещений по направ-
лению отброшенных связей в основной системе, а разрешающие урав-
Зак.641
73
нения метода перемещений - из условий равновесия. Видно, что как
Первые, так и вторые могут быть также выведены из соответствую-
щих вариационных принципов.
Представление стержневой системы в виде набора елементов,
взаимодействующих в узлах, И загруженной лишь узловыми воздейст-
виями позволяет, вообще говоря, отказаться от понятия основной
системы и добиться высокой степени формализации процедуры расче-
та [45]. Вместе с тем представляется целесообразным и при таком
подходе использовать этот методический прием, поскольку наряду с
сохранением преемственности с традиционным изложением удается до-
биться и иззестной физической наглядности.
Ш.5.?. Рассмотрим расчет статически неопределимой системы
методом сил, которая загружена узловыми усилиями, образующими век-
тор {Р}‘
Введем в рассмотрение вектор лииних неизвестных [X] =(Х,Х,...),
число компонент которого равно степени статической неопределимос-
ти. Как известно, для одной и той же конструкции можно предло-
жить несколько вариантов основной системы. Однако представление
ее набором элементов, взаимодействующих в узлах, и допущение о
том, что нагрузки должны быть лишь- узловыми, накладывают опреде-
ленные требования на возможную основную систему, поскольку лишние
Неизвестные должны, очевидно, быть приложены только в узлах. Дру-
гими словами, это означает, что в некоторых узлах отбрасывается
определенное число связей, которые заменяются неизвестными уси-
лиями, образующими вектор [X]. Следовательно, основная система
Является статически определимой конструкцией, загруженной как
Силами {Р }, так и силами [X } *\ Такую суммарную нагрузку можно
представить в виде • Очевидно, и в этом случае для одной и
той же конструкции можно предложить несколько вариантов основной
Системы. Но поскольку расчет статически неопределимой конструкции
связан с решением системы алгебраических уравнений, желательно,
Чтобы матрица этой системы была хорошо обусловленной. В противном
Случае неизбежно появление значительных вычислительных труднос-
тей, некоторые рекомендации преодоления которых рассмотрены в[б5].
С этой точки зрения более удачной будет основная система, в ста-
тическом отношении мало отличающаяся от заданной. Если, например,
конструкция внешне статически неопределима, целесообразно, по воз-
можности, в опоре отбрасывать не все, а лишь часть связей.
Таким образом, задача сводится к определению вектора (х),
зная который,с помощью зависимостей (Ш.68) и (Ш.73) на основе
^Вообще говоря, метод сил допускает использование и стати-
чески неопределимых основных систем.
. 74
принципа независимости действия сил нетрудно вычислить усилия и
перемещения в заданной статически неопределимой системе.
Ш.5.3. Разрешающие уравнения метода сил могут быть получены
несколькими путями (см. п.П.4.3) [5,45,69]. Ниже приводится вы-
вод этих уравнений о помощью принципа возможных изменений напря-
женного состояния системы в форме (Ш.22), выражающего условие сов-
местности её деформации. Для этого в первую очередь составляется
подматрица узловых усилий в элементах основной системы [R0] р от
заданных внешних сил, принимаемых за единицы, и отдельно подмат-
рица [R°]х от основных неизвестных Х=1',Хг = , последовательно
прикладываемых к этой же статически определимой основной сис-
теме. Затем по этим двум подматрицам записывается матрица [ R0]
для основной статически определимой системы
[r°] -[[r°Ця°]х]. (Ш.76)
Далее компонуется квазидиагональная матрица податливости
в общей системе координат [~[F]_] и затем, учитывая (Ш.68),
(Ш.72) и (Ш.76), переписывается выражение (Ш.22) для перемещений
по направлению лишних неизвестных в основной системе от дейст-
вия етих неизвестных и заданных сил
(К)
Г г т 1
=[R0]*)] [ .
Введем обозначения 1{Х} У
Тогда
ftp}}
W,-<"•”>
Поскольку в заданной статически неопределимой системе пере-
мещения по направлению лишних неизвестных отсутствуют, то напря-
женное и деформированное состояние основной системы будет экви-
валентно напряженному и деформированному состоянию заданной сис-
темы только тогда, когда вектор перемещений будет равен нулю,т.е.
VLD{Ph[FLy(X}=0. (Ш.78)
лг ЛА
75
Отсюда
/*Ь<Чх (Ш‘79)
Ш.5.4. Перейдем к определению усилий и перемещений в стати-
чески неопределимой системе. По формуле (Ш.68) найдем усилия в
элементах в общей системе координат
или, учитывая (Ш.79),
lP)-[^°]x[Р]хх [Р:]хр (Р) = [Рс°] (Р) • (Ш.80)
Здесь [Р°]- [[Р°]р- [Р°]х [Р]х~х [F]KP ] - матрица усилий в узлах
статически неопределимой системы от единичных сил, последова-
тельно прикладываемых к ее узлам по всем направлениям. Для пере-
хода от к усилиям в узлах элементов, рассматриваемых в мест-
ных системах координат, используется зависимость (Ш.67). Вектор
перемещений в статически неопределимой системе по направлению за-
данных сил найдем по формуле Мора (Ш.73):
Введём обозначения
Тогда в новых обозначениях
или, принимая во внимание (Ш.79),
где 747^„,1 - матрица податливости
статически неопределимой системы для заданных направлений внешних
сил.
76
Ш.5.5. Обратимся к расчету статически неопределимой системы
методом перемещений. Представление ее набором элементов, взаимо-
действующих в узлах автоматически, предопределяет, что за неиз-
вестные в этом случае естественно принять перемещения узлов систе-
мы {<?) • Другими словами, при решении задачи методом перемещений
основная система является единственной. Отметим, что здесь, как
и в методе сил, возможно возникновение определенных вычислитель-
ных трудностей, способы преодоления которых описаны в [54,65].
Для построения разрешающих уравнений этого метода применим
принцип возможных перемещений (Ш.17), используя для наглядности
выводов плоскую раму, показанную в общей системе координат на
рис. Ш.6.
Сначала рассуждая, как и при рассмотрении статически
делимых систем, найдем связь между векторами и {<$)>
туру которых нетрудно установить из рис. Ш.б. Будем иметь
опре-
струк-
(Ш.82)
°3 °з 1
е3 03 о3
{’Л Ъ Оз 03
1 — о3 °з < & г
(Ч °з Е-з о3
о3 °3
°3
% Оз °3
Затем, переписав (Ш.82) кратко {<?,} ), с помощью (Ш.17) по-
лучим уравнение равновесия для системы в целом (Р) = [$]Г {&,)•
Далее введем в рассмотрение квазидиагональную матрицу жест-
кости в общей системе координат
[W-7-
[А It _ о
'М
(Ш.83)
о
и на основании (Ш.55) запишем
(Ш.84)
Внесем (Ш.84) в уравнение равновесия (Ш.62), примем ьо
(Ш.60) и получим
внимание
[phsjtm-im {4} > (ш-85)
или в компактной форме
{Р} = [К]{А}> (Ш.86)
где [к] = [S]T['[K]_] [S] - матрица жесткости для всей стержне-
вой системы в общей системе координат.
Поскольку при построении разрешающего уравнения метода пере-
мещений (Ш.86) учитывается кинематическое закрепление конструк-
ции как жесткой системы (см. п.Ш.1.2), матрица [К ] является не-
особенной и допускает операцию обращения. Тогда
{?}=[*]''№}• (Ш-87)
Отсюда, используя соотношения (Ш.60) и (Ш.55), определим
Ь,1=[5][*Г'Р}; (UL88)
кЬГМ-ПеКкГ1 {р},
или по аналогии с методом сил
{Р,} =[/?°] {р} • (Ш.90)
78
Естественно, что вектор узловых усилий в элементах в местной
системе координат (/?) можно найти по формуле (Ш.67). При этом
будут иметь место преобразования координат, аналогичные описан-
ным в п.Ш.4.2.
Ш.5.6. Сравнивая метод сил и метод перемещений, видим, что
последний обладает рядом преимуществ. Это прежде всего однознач-
ное решение вопроса о выборе основной системы, стандартность мат-
риц жесткости отдельных элементов, а также относительная просто-
та разрешающего уравнения. Все это позволяет достичь существен-
ной формализации процедуры расчета, что и предопределило более
широкое использование метода перемещений при разработке программ
для ЭВМ. Не менее существенным является и то обстоятельство, что
метод перемещений в изложенной трактовке применим также и для
расчета статически определимых систем. При этом известное увели-
чение объема вычислений компенсируется единообразием подхода и
возможностью использования одной и той же вычислительной програм
мы.
Ш.5.7, Анализ процедур расчета статически неопределимых сис
тем методом сил и методом перемещений со всей очевидностью по-
казывает замечательную особенность этих методов, отмеченную И.М.Ра-
биновичем еще в 1934 г. [48]. Она заключается в том, что каждому
положению метода сил строго параллельно соответствует подобное по
форме положение метода перемещений. Следует отметить, что осно-
вой сходства методов расчета статически неопределимых систем,
базисом их единства является аналогия энергетических принципов
строительной механики, из которых эти методы выводятся наиболее
естественным путем. Подробный анализ аналогии методов сил и пере-
мещений в матричной форме можно найти в [5].
§ Ш.6. Учет начальных воздействий
Ш.6.1. В статически неопределимых системах изменение темпе-
ратуры после их сборки, неточности изготовления отдельных элемен-
тов конструкций, а также неравномерное смещение опор вызывают
начальные упругие деформации элементов и соответствующие им уси-
лия*^. В статически определимых системах перемещения от указан-
ных факторов усилий в элементах не вызывают. Поэтому статически
неопределимые системы при расчете их на начальные воздействия по
методу сил можно рассматривать как статически определимые, но на-
х^При расчете на начальные воздействия будем считать, что
внешняя нагрузка отсутствует.
79
ходящиеся под совместным действием отмеченных факторов и вызван-
ных ими реакций в лишних связях.
В соответствии с общей процедурой метода сил заменим реакции
в лишних связях неизвестными усилиями [К] и определим по форму-
ле (Ш.72) с учетом зависимости (Ш.68) перемещения узлов элементов
основной системы от этих усилий:
HL = (Ш.91)
Л Л
Введем в рассмотрение вектор начальных перемещений
узлов элементов в основной системе, компонентами которого являют-
ся удлинения элементов и углы поворота их концевых сечений, дос-
таточно просто определяемые в основной статически определимой сис-
теме.
В результате полные Перемещения узлов злементов можно пред-
ставить в виде
Запишем с использованием (Ш.70) условие, аннулирующее проти-
воречие между заданной и основной системами, а именно: приравняем
нулю перемещения по направлению отброшенных связей
(Пк93)
Подставляя в выражение (Ш.93) значение полных деформаций, с
учетом (Ш.91) получаем
Введем обозначение
к»-/«’< W-
Тогда каноническое уравнение метода сил при начальных воздействи-
ях запишется в виде
[F]xx[x'+ {Tt} = 0. (Ш.95)
Отсюда найдем основные неизвестные
МЬ-ГЧ‘х ftb (Ш-96)
Внеся (Ш.96) в зависимость (Ш.91), а затем в уравнение (Ш.92}
можно определить полные деформации элементов конструкции от на-
чальных воздействий в общей системе координат
80
{<1г)Ч"М-][/го]я [f]^ (ш.У7)
Внутренние узловые усилия в рассчитываемой системе от началь-
ных воздействий можно найти по формуле (Ш.67)
Ч Щ (Ш.98)
Для определения перемещений т узлов статически неопредели-
мой системы необходимо дополнительно построить матрицу узловых
усилий в элементах системы ст единичных сил, приложенных по на-
правлению искомых перемещений. Затем, используя формулы (Ш.22),
(Ш.67) и (Ш.72), получим
или с учетом (Ш.96)
й} =-^°7ГГ'^].][R°]X [F]'^(rt) • (ш.ICO)
Ш.6.2. При расчете статически неопределимых систем на началь-
ные воздействия методом перемещений внутренние усилия, соответст-
вующие начальным деформациям, возникают не только в заданной сис-
теме, но и в основной, которая также является статически неопре-
делимой. При этом основная система находится в равновесии,так как
реакции от начальных усилий частично или полностью воспринима-
ются дополнительными связями. Разумеется, если введенные связи
удалить, то по их направления?.! возникают неизвестные перемещения,
вызывающие в узлах основной системы упругие деформации и соответ-
ствующие им усилия. Вектор этих усилий от основных неизвестных
метода перемещений [? } можно определить по формуле (Ш.89>, учи-
тывая (Ш.87):
{я9}=['№.][$] {?}• (B.I0I)
Введем в рассмотрение матрицу ~ ’ ')> представляющую
векторы усилий в узлах элементов основной системы от начального
воздействия (матрицу можно считать известной, так как эле-
менты основной системы бывают заблаговременно рассчитаны на раз-
личные воздействия).
Тогда полные усилия в узлах кинематически определимых элемен-
тов системы от основных неизвестных и начальных воздействий будут
иметь вид
Зак.641
81
• (Ш.102)
Так как внешние нагрузки отсутствуют, то из уравнения равно-
весия (Ш.62), полученного с помощью принципа возможных перемеще-
ний, следует выражение
[5]Г1Л»}=С>- (Ш.ЮЗ)
Подставляя в формулу (Ш.ЮЗ) значение полных усилий (Ш.102), запи-
шем
или, учитывая (Ш.86),
[*]{<}} * [sf = 0 • (Ш.104)
Выражение (Ш.104) и есть матричное уравнение метода перемещений
при начальных воздействиях.
Из (Ш.104) находим основные неизвестные
[$]Г(#,} (Ш.105)
и по формуле (Ш.102) определяем полные усилия в узлах элементов
заданной системы от начальных воздействий в общей системе коор-
ШмКМГ'Ы'Ш'М-
$ Ш.7. Расчет стержневых систем методом конечных элементов
Ш.7.1. Как известно, окончательный результат расчета конст-
рукции методом перемещений представляет собой сумму двух решений,
полученных при расчете отдельных элементов на приложенную к ним
нагрузку и системы в целом на узловые воздействия. Вместе с тем
обсуждаемая процедура расчета стержневых систем, связанная с рас-
членением конструкции на отдельные элементы, дает возможность от-
казаться от необходимости расчета отдельных элементов на местную
нагрузку, а также от последующего суммирования решений. Для это-
го достаточно в случае, когда конструкция загружена распределен-
ной нагрузкой, представить ее набором относительных малых,так на-
зываемых конечных элементов, а заданную нагрузку заменить экви-
валентной системой сосредоточенных сил, действующих в узлах.Оче-
видно, полученное таким образом решение будет уже приближенным и
82
его точность зависит от числа конечных элементов, на которые раз-
бивается конструкция. Достоинством же такого подхода является вы-
сокая степень формализации и возможность использования его при ре-
шении более сложных континуальных задач.
С учетом этого расчет стержневых конструкций будем произво-
дить следующим образом. Из уравнения (Ш.86) (Р) = [К] [д } най-
дем вектор-столбец перемещений узлов системы в общей системе коор-
динат^}. Затем с помощью формул (Ш.60) и (Ш.51) перейдем от
вектора [д} к вектору перемещений узлов элементов {<7 } • Если
теперь будет установлена связь между (д } и перемещениями внутри
элемента, которые в данном случае являются прогибами балки и (х)
и продольными перемещениями и(х),то задача об определении на-
пряженно-деформированного состояния системы будет решена полно-
стью. Действительно, используя известные соотношения теории ба-
лок, получим
N(x) = £Fu'(x);H(x)=EJ^"(x);Qfx)^Ux"'fic). (Ш.Ю7)
Переход от узловых перемещений к перемещениям внутри элемен-
та в рамках стандартных гипотез линейной механики стержневых сис-
тем можно осуществить точно, применив, например, так называемые'
функции Эрмита, представляющие собой зависимость прогибов и про-
дольных перемещений балки от единичных смещений ее концов.
Ш.7.2. Как известно [14], функции Эрмита в данном случае
можно получить, проинтегрировав дифференциальное уравнение изо-
гнутой оси элемента
ЕЗ w”(х) * О , (Ш.108)
которое удобно для дальнейшего изложения выразить с’ помощью нор-
мализованной координаты (рис. Ш.7,а):
J” i . (Ш.109)
Подставляя (Ш.Ю9) в (Ш.108) и последовательно интегрируя, полу-
чим
/<» с’^ с2^г t
★ ~2~ ,
где - произвольные постоянные, определенные из граничных ус-
ловий.
Так, для элемента с защемленными концами (рис. Ш.7,б) при
смещении левого конца по вертикали на wj = <}(2=1 граничные условия
83
при
*z<4)=7; w‘(f)=O;
при $ =/:
w(i)=O; = O.
В результате функция
Эрмита запишется сле-
дующим образом:
При повороте левого кон-
ца этой балки на ел *
граничные условия
будут иметь вид
при £ = - 1:
t^(i)x О; ~ 1и'(^} = Г,
при 1=1:
йл(?) « О w'(f} = О.
Соответствующая функция Эрмита
Аналогично функции прогибов от единичных перемещений правого
конца балки г^ = <72'ч,“ = запишутся в виде
Когда концы балки получат, хроме указанных перемещений,пере-
мещения в горизонтальном направлении Uj = ифунк-
ции Эрмита, очевидно, будут равны
•?(<-:); S'"/'!)‘{(fth
Легко видеть, что использование нормализованных координат позво-
ляет шесть эрмитовых функций записать тремя формулами
<1t);
84
где индекс к может принимать значения jи п.
Для балки, защемленной, с одной стороны, и шарнирно-опертой-
с другой (рис.Ш.7,в), функции Эрмита имеют вид
(^.Ш)
Ш.7.3. В силу линейности рассматриваемой задачи в общем слу-
чае, когда концы балки получают два угловых и четыре линейных пере-
мещения 1, учитывая принцип независимости действия сил и пре-
небрегая влиянием продольных сил на изгиб, можно записать
ит-Л'Л^ч':1
Выражение (Ш.П2) в матричной форме после соответствующих переста-
новок можно представить следуюцим образом:
(Ч =[cli {<?)г >
(Ш.НЗ)
где
- вектор-функция перемещений точек оси балки: (а ). = =
. м 61 /п м jm /ла . * ' 11 г *1
I концевых перемещений;
О
(? вектор-столбец
Гэ® О О 3м
и(-
о 3® 3(J> О
w гг
- матрица функций, интерполирующих
рассматриваемого элемента, или так
(Ш.П4)
3^ 3(п>
W V
узловые перемещения в пределах
называемая интерполяционная мат
О
рица.
Яз выражения (Ш.П4) следует, что матрица [С], имеет блоч-
ную структуру
типовой блок которой можно представить в виде
[с]^\Эо} °Л' (ШЛ16)
L и J
Таким образом, с помощью (Ш.ПЗ) установлена необходимая связ1
между перемещениями по длине элемента и перемещениями его узлов,
и,следовательно, совместно с уравнениями (Ш.82), (Ш.86) и (Ш.107)
Получено решение поставленной задачи о расчете плоской стержне-
вой конструкции при действии на нее системы сосредоточенных сил
{Р )Описанный подход применительно к расчету стержневых систем
носит название метода конечных элементов (МКЭ).
Ш.7.4. Рассмотрим теперь способ приведения реальных распре-
деленных внешних нагрузок к эквивалентным узловым, а также полу-
чение матрицы жесткости с использованием эрмитовых функций. Пусть
на i-Я элемент с узлами Jи п действует распределенная внеш-
няя нагрузка: продольная интенсивностью рг (%) и поперечная интен-
сивностью Эквивалентную узловую нагрузку представим век-
тором Для определения этого вектора воспользуемся принци-
пом возможных перемещений, который в данном случае записывается
в виде
(d1? )'!?}, • »), d!,
1 -1
где [ps(f)} = (р1 ($ ) Р2 <'()) Выражение (Ш.117) с учетом
(Ш.113) перепишется в виде
(| (fyJiltflPs ( >
и, поскольку £ О, получим
, , /г тГг Z. > . (Ш.П8>
[Р\ = af[c].{ps(V}{ *?
Отсюда, принимая во внимание блочное строение [С]^,[Р). ~([Р}^(Р}™},
где типичная подматрица
. (Ш.П9)
-1
Учитывая (Ш.П6), можно записать (Pjf1* [PfM Р2к> Pgfk>), причем
и Р^- соответственно продольная и поперечная сила; Pg(k)~
сосредоточенный момент.
Переходя от элемента к системе и полагая, что в узлах могут
действовать сосредоточенные силы (Рс} , для л-го узла,например,
будем иметь
где if. к означает, что суммирование производится по всем 4-м эле-
ментам, сходящимся в узле к .
Матрица жесткости системы [К], как было показано, определяет-
ся при помощи зависимости (Ш.86) через матрицы жесткости сос-
тавляющих ее елементов [К]i . Для определения [K]t воспользуемся
принципом возможных перемещений, который для элемента записывает-
ся в виде
86
(Ш.121)
Здесь правая часть выражения (Ш.121) представляет собой вариацию
работы внутренних оил, если, как обычно, пренебречь влиянием по-
перечных сил на перемещения. Используя (Ш.107), выражение (Ш.121)
перепишем следующим образом:
-1
или в матричной форме
«•«'(Of
И7Л^^-(Ш-122)
Подставляя (Ш.П4) в (Ш.122), получаем
{ $1 I о ffif) 3^jl(()
3,(nJ(^ о о
0 Э^{
~ 0 3,(tyt) о о
о р][ о э^Ц)э^(!) о
о о
V {<й •
Отсюда, учитывая, что {cffj О, с помощью соотношения (Ш.32)
нетрудно убедиться в том, что подынтегральное выражение представ-
ляет собой искомую матрицу жесткости t-ro элемента [К]е. Видно,
что эта матрица имеет блочное строение
и,-
(<
(Ш.123)
с типовым блоком
О
W,=S
-1
о
о
<*!
В частности, для элемента, изображенного на рис. Ш.7,6, Стандарт-
ннй блок имеет вид а ч о О
о 2 a3 5J h 3 EJ 2 a* . (Ш.124)
3EJ . EJ. л .
о -2^^ 2сЛ3Ч^Л
Подстановка в (Ш.124) нормализованных координат рассматривае-
мых узлов® позволит определить соответствующую подматрицу в (Ш.123),
которая полностью совпадает с выражениям (Ш.34) - (Ш.Зб).
Таким же образом получаются блоки матрицы жесткости для эле-
мента, показанного на рис. Ш.7,в.
Ш.7.5. Метод конечных элементов в силу присущих ему спе-
цифических особенностей допускает, как уже отмечалось, обобщение
его на задачи расчета практически любых систем, включая конти-
нуальные, с эффективным использованием вычислительной техники.При
этом оказывается возможным рассматривать не только задачи линей-
ные, но и нелинейные, а также задачи устойчивости и динамики. И
вообще, МКЭ можно трактовать как своеобразный численный метод ре-
шения дифференциальных уравнений краевых задач математической фи-
зики [21, 39} .
ГЛАВА 1У
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
5 1У.1. Основные положения
1У.1.1. Для наглядности изложения сущности метода конечных
элементов применительно к объектам непрерывной (континуальной)
структуры ограничимся рассмотрением области упругого тела в ус-
ловиях плоской задачи. Вначале мысленно расчленим это тело на
элементы конечных размеров, например, треугольной формы и примем
эа узловые точки их вершины (рис. 1У.1). Вцделим отмеченный на
рис.1У.1 жирными линиями типичный 4 —й конечный элемент,опреде-
ленный узлами J ,к ,п (рис. 1У.1,а), и предположим, что этот эле-
мент находится под воздействием только усилий взаимодействия оо
смежными элементами, которые по отношению к нему будем рассматри-
вать как внешние. Очевидно, если тело в целом находится в равно-
весии, то и его 4-й элемент под действием указанных сил также на
ходится в равновесии.
Приложим далее к 4-му элементу вместо реальных усилий, дей-
ствующих вдоль границ стыковки его со смежными элементами, ста-
тически эквивалентные узловые силы, т.е. силы, действие которых
вызывает внутри элемента напряженно-деформированное состояние,
аналогичное тому, какое было в нем при фактическом нагружении*1^. В
случае двумерной задачи совокупность этих усилий может быть пред
ставлена вектором-столбцом
где {R= IR^ ^2^} ~ вектор узлового усилия в л -м узле I -го
элемента, компонентами которого являются эквивалентные силы,от-
несенные к осям х(1) и у (2).
Поставим в соответствие каждому узловому усилию узловое пере
мещение и введем в рассмотрение вектор-столбец узловых перемеще-
ний
Такая замена усилий осуществляется на основе соблюдения
энергетического баланса.
Зак.641
89
a
С
W-M'nnf1), 2)
\ tk.1
ГДв {ffiff} * [uk °it ) “ вектор перемещений в к -м узле
t-ro элемента с компонентами перемещений по направлению осей х(1)
и ц(2)- .
В результате сплошное тело оказывается представленным набо-
ром конечного числа элементов, взаимодействующих между собой в
конечном числе узловых точек. Очевидно, что интерпретируя не-
90
о
прерывную ореду такой моделью, можно свести расчет упругого тела
к расчету системы с конечным числом степеней свободы и, следова-
тельно , определить узловые усилия или узловые перемещения по про-
цедуре, аналогичной по смыслу алгоритму процедуры расчета стерж-
невых систем методами строительной механики. Для этого остается
найти матрицы жесткости (податливости) для отдельных элементов,
а затем рассмотреть условия статической или кинематической сов-
местности совокупности элементов, получив тем самым разрешающие
уравнения задачи.
Разумеется, найденные в результате такого подхода узловые пе-
ремещения (усилия) не дают полной характеристики напряженно-де-
формированного состояния континуальной системы. Поэтому возника-
ет необходимость найти споооб перехода от этих величин к переме-
щениям, напряжениям и деформациям внутри конечных элементов. Сле-
дует особо подчеркнуть, что данный момент является одним из
центральных в МКЭ, во многом предопределяющим его точность. По
существу, речь идет о решении задач теории упругости для некото-
рых областей в форме конечных элементов, находящихся под воздей-
ствием узловых перемещений или усилий. Если бы такие задачи мож-
но было решать точно, то и МКЭ в этом смысле был бы точным мето-
дом. Так, например, обстоит дело в методе конечных элементов для
стержневых систем, когда в рамках гипотез сопротивления материа-
лов поведение стержней-элементов от узловых воздействий описыва-
ется точно (см. § Ш.7).
1У.1.2. При реализации МКЭ для континуальных тел переход
от узловых перемещений (усилий) к перемещениям (усилиям) внутри
элемента осуществляется приближенно путем априорного задания так
называемых интерполяционных функций [27]. Характер этих функций
должен быть таким, чтобы обеспечить, по крайней мере, неразрыв-
ность перемещений (напряжений) при переходе от элемента к элемен-
ту^. При уменьшении размеров элементов это должно привести к по-
лучению решения, стремящегося к точному.
Ясно, что при таком подходе поведение кавдого конечного эле-
мента, загруженного в узлах, не произвольно, а находится в соот-
ветствии с некоторыми внутренними связями, накладываемыми на него
интерполяционными функциями. Последние однозначно определяют сос-
тояние элемента с помощью вектора узловых перемещений или
вектора узловых усилий Особо следует отметить, что из-за на-
ложенных на элемент связей приложение сосредоточенных узловых
*>0 характере требований, предъявляемых к этим функциям, бо-
лее подробно см. в § 1У.2.
91
усилий не вызывает концентрации напряжений в узловых точках.Сле-
довательно, конечные элементы представляют собой элементы особо-
го типа, а именно: их напряженное и деформированное состояние обус-
ловливается связями, при которых по возможности сохраняется сплош-
ность рассматриваемого объекта [16, 27].
'1У.1.3. Реализация МКЭ, основанного на дискретном представ-
лении континуума в виде набора конечного числа элементов, вызы-
вает необходимость дискретизации не только внутренних усилий, но
и действующих на конструкцию нагрузок путем замены их системой
сосредоточенных узловых сил. Такая замена, подробно рассмотренная
ниже, осуществляется, как и для внутренних усилий, с соблюдением
энергетического баланса.
Заметим, что все зависимости, характеризующие конечные эле-
менты, строятся в местной системе координат о последующим перехо-
дом в общую систему для всей области. Это позволяет заранее сфор-
мировать указанные соотношения независимо от очертания области
для наиболее распространенных типов конечных элементов
1У.1.4. Таким образом, процедура МКЭ состоит из ряда самос-
тоятельных этапов, связанных определенной последовательностью:
- упругое тело расчленяется воображаемыми линиями или плос-
костями на расчетное число конечных элементов, взаимодействие ко-
торых предполагается в дискретном числе увловых точек,расположен-
ных на границах смежных элементов;
- в качестве основных неизвестных параметров принимаются пе-
ремещения или усилия в узловых точках (возможна и смешанная по-
становка задачи);
- выбираются интерполяционные функции, которые полностью и
единственным образом описывают перемещения (напряжения) по облас-
ти конечного элемента и на его границах через неизвестные узловые
перемещения (усилия);
- определяются матрицы, характеризующие напряженное и дефор- ’
мированное состояние конечного элемента с помощью узловых пере-
мещений или усилий;
- формируются матрицы жесткости или матрицы податливости для
конечных элементов, однозначно устанавливающие связь между узло-
выми усилиями и узловыми перемещениями элемента;
- осуществляется приведение объемных и поверхностных сил, а
также начальных деформаций к эквивалентным узловым воздействиям;
- строится матрица преобразования координат;
- составляются и решаются уравнения равновесия (канонические
уравнения метода перемещений ) или уравнения неразрывности пере-
мещений (канонические уравнения метода сил). Другими словами,осу-
ПО
ществляется объединение отдельных элементов в единое целое;
- определяется напряженно-деформированное состояние рассмат-
риваемой области по узловым перемещениям (усилиям) с помощью
матриц, найденных на четвертом этапе.
1У.1.5. Решение вопросов, связанных с первым этапом МКЭ, в
настоящее время осуществляется практически произвольно, на полу-
интуитивном уровне, поскольку надежных критериев, определяющих
форму и размеры элементов, до сих пор нет. Обычно при решении про-
странственных задач используются конечные элементы в форме тет-
раэдров, призм, параллелепипедов, а в плоских задачах - треуголь-
ные и четырехугольные. Иногда находят применение криволинейные
элементы. Аналогичные типы элементов применяются для решения за-
дач теории плит и оболочек. Ниже будут детально рассмотрены от-
дельные виды элементов, наиболее часто применяемые на практике.
1У.1.6. На втором этапе необходимо иметь в виду, что опыт мнэ
голетнего использования МКЭ в вариантах метода сил и мет еда пере-
мещений убедительно свидетельствует в пользу метода перемеще-
ний, хотя теоретически они оба дают одинаковый результат. Пред-
почтение методу перемещений отдано потому, что при его использо-
вании решается простое матричное уравнение, аналогичное уравнению
(Ш.86) и связывающее внешние силы с искомыми перемещениями в ко-
нечном числе узловых точек. При этом общее число уравнений для
определения основных неизвестных оказывается меньшим, чем в ме-
тоде сил, а матрица коэффициентов при неизвестных очень часто
получается ленточной. Кроме того, преимущественное использова-
ние в расчетной практике метода перемещений обусловливается про-
стотой и стандартностью выбора основной системы. Действительно,
если в методе перемещений основная система для данного конечнопо
элемента представляется единственным образом, то в методе сил мож-
но выбрать несколько основных систем. Последнее обстоятельство
может привести к тому, что при неудачном выборе основной системы
матрица податливости окажется плохо обусловленной, не дающей ус-
тойчивого решения системы уравнений. Заметим, что в методе пере-
мещений отсутствует сложная численная процедура определения ле-
вого члена в разрешающем уравнении (Ш.78), приоущая методу сил,
а именно: процедура нахождения перемещений от внешней нагрузки по
направлению основных неизвестных.
Однако следует отметить, что для некоторых специальных кон-
струкций метод сил может быть использован эффективно.
Но тем не менее относительная простота алгоритмизации и про-
граммирования, а также большая универсальность Ж-J в варианте ме-
тода перемещений оказались решающими для окончательного выбора ; •>
Vf!
в качестве основного варианта в процедуре метода конечных элемен-
тов. Поэтому в дальнейшем главное внимание будет уделено получе-
нию характеристик для конечных елементов и систем в целом, ис-
пользуемых в методе перемещений.
Как уже отмечалось, характеристики элементов удобнее полу-
чать в местной системе координат. Математическая сторона вопроса
перехода от местной системы координат к общей подробно опиаана
в § Ш.З. Это позволяет опустить описание седьмого этапа процеду-
ры МКЭ.
Перейдем к детальному рассмотрению остальных этапов МКЭ.
$ 1У.2. Интерполяционные функции перемещений
1У.2.1. Выше указывалось, что функции, связывающие узловые
перемещения с перемещениями внутренних точек конечного элемента,
называются интерполяционными. Для иллюстрации процедуры формиро-
вания этих функций и изучения их свойств рассмотрим для определен-
ности <-й элемент треугольной формы, выделенный на рис.1У.1, век-
тор-столбец узловых перемещений которого имеет вид
Г <р 1 72 , u. j V. j
(9h = 1 (9Г • а < > = < * к* *5 3 3 a , >
Разумеется, в данном случае речь идет о функциях, с помощью кото-
рых перемещения по области элемента и(х,у) и y(jc, у ) выражаются
через компоненты . Поскольку составляющие перемещений зави-
сят лишь от соответствующих компонентов вектора представим
их в виде суммы Рэлея-Ритца [35}:
} (1У.З)
С!(х,у)гг. < C'n(x^)vn . j
Здесь С(х,у)~ интерполяционные функции, так как именно они свя-
зывают перемещения узлов с перемещениями внутренних точек элемен-
та.
В матричной форме выражение (1У.З) записывается следующим
образом:
94
u(x,yh Cj(x,y) 0 Ck (z,y) 0 Cn(x,<^) 0
0 С!(х,у) о Ck(x,y) 0 C‘(x,y)
или в компактной форме
Мг-ШчЬ. <и-=>
где р/)г - вектор-функция компонентов перемещений /'-го элемента
[С 7г - матрица функций, интерполирующих узловые перемещения,
или интерполяционная матрица
Для дальнейшего изложения матрицу [С]^ удобно представить
о помощью подматриц
[С]. = [[Cj^Cj^Cj^], (1У.6)
где, например,
[С]^
сь(х>¥) 0
о Ск(х,ц)
Каждая из этих подматриц связывает перемещения точек внутри
элемента о перемещениями соответствующей узловой точки.
ХУ.2.2. Если в выражение (1У.З) подставить, например,
и у = у*,то,поскольку в этом случае должны выполняться очевидные
соотношения
(1У.7)
оказывается, что
Ск(хк>^ = C'Jx>c>^ 1> CJ\,yX-CJ (1У.8)
Аналогичные зависимости получаются и при подстановке в (I У.З)
координат узлов j и п.
*)В работе [2l] [С]- называют матрицей функций формы или ап-
проксимирующей матрицей.
95
Таким образом, каждая интерполяционная функция должна удов-
летворять следующему требованию: в рассматриваемом узле она рав-
няется единице, во всех остальных - нулю. Заметим, иго именно по-
этому диагональные элементы подматриц в (1У.6) равны между собой
и матрицу [С J; можно представить в виде
= [E-gCj (Х’Ц) , (1У.9)
где, например, ] = ЕгСк (х,у),Е- единичная матрица второго
порядка.
1У.2.3. Построение интерполяционных функций можно осущест-
вить несколькими способами. Наиболее распространенный прием состо-
ит в том, что сначала задаются законом распределения перемещения
по области элемента, который выбирают обычно в виде степенного
полинома. Так, в рассматриваемом случае плоской задачи можно за-
писать
^Зх -foCs у + оС-7ху+...
V(x,y)=<£.,+<£4x. +oLe у ->
(1У.10)
Полиномы (1У.10) должны, по-видимоцу, удовлетворять определенным
требованиям.
Во-первых, на каждой стороне элемента, где величины х и у
связаны некоторой зависимостью, полиномы являются функциями одной
переменной и обеспечивают непрерывность перемещений при переходе
от элемента к элементу. Это означает, что их степень относитель-
но координаты по оси, совмещенной со стороной элемента, определя-
ется заданным числом узловых точек на этой стороне. Действитель-
но, если смежные элементы взаимодействуют в двух узловых точках,
то, считая перемещения этих точек равными, получаем, что непре-
рывность будет обеспечена только тогда, когда на каждой стороне
перемещения будут представлены полиномами первой степени,посколь-
ку между двумя точками можно провести только одну прямую. Если
же таких точек на кавдой стороне элемента р +1, то полиномы дол-
жны быть степени р. Следует отметить, что на каждой стороне эле-
мента должно быть одинаковое число узловых точек.
Во-вторых, при подстановке в (1У.10) координат узловых то-
чек должны выполняться соотношения (1У.7). Это означает, что чис-
ло членов, удерживаемых в полиномах, не произвольно, а равно чис-
лу узловых перемещений.
Несомненно, в рассматриваемом случае, когда {qj. содержит 6
компонентов, в соотношениях (1У.10) можно сохранить только по три
96
• с
члена. Но поскольку для треугольного элемента о узлами в вершинах
эти полиномы должны быть первой степени, получаем
U(x,y)s^ х +<*.$ у; v(x,y)‘oCt+ol4x+oCfy. (1У.П)
ХУ.2.4. Располагая требованиями к интерполяционным функциям
и полиномам, через которые они определяются, можно найти интерпо-
ляционную матрицу [С ]; Для этого соотношения (ХУ.10) представим
в матричной форме
(и}г •[#] {^\ , (1У.13)
где
' 1 0 х О U О хи 0 ..."
PN = ;
, О 10х0у 0 ху
{оС «><г о<л •.. ) - вектор неопределенных коэффициентов.
Иэ выражения (ХУ.12) с учетом (ХУ.7) следует, что
№ • ч ч и* Чг Ч,. ► S / 0 о / 1 0 0 / / 0 0 / XJ 0 я 0 Xj 0 4 o 0 xk 0 xn 0 Цп 0 xn 0 0 Ъ 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 ... . . . ЛЛЛЛ * . J •(ХУ.13)
или в компактной форме
= W; Ml- 1 (1У.14)
Отсюда -- ад’ (1У.15)
тогда с учетом (ХУ.II) получаем
{u}i = WWWi (1У.16)
Сравнивая (ХУ.15) с (ХУ.5), находим интерполяционную матрицу
(ХУ.17)
Зак.641
97
1У.2.5. Рассмотрим несколько иной путь получения интерполя-
ционных функций, позволяющий, как это будет показано ниже, значи-
тельно упростить технику их определения.
G этой целью вновь обратимся к элементу треугольной формы
(рис.ХУ.1). Подставив в (1У.11) координаты узловых точек, полу-
чим узловые перемещения. Введем значения этих перемещений в (1У.З),
Послз несложных алгебраических преобразований найдем
CJ (1УЛ8)
или в матричном: виде
1 1 1 1 <7
X <4 (Х,у) (1У.19)
V .я у* Ул. Сп
Если перейти теперь к элементу произвольной формы, в том чис-
ле' и к пространственному, с п узловыми точками, то можно записать
1 1 1 к
X Xj- хк • • • *„
ч # У* у« • • • Ул ^3
Z 2;’ Zk Z. • • . z„
J К f fl , . (1У.20)
xj4j х*ч* Х*Ч* • • • -Мл
Ч1- • ч***
• « •
Нетрудно видеть,что компонентами вектора-столбца {/я у г xyyz.-.}
в (1У.20) являются члены полинома (1У.10) при «К* » I, порядок
и число членов которого определяются сформулированными выше тре-
бованиями. Компоненты столбцов средней матрицы в (1У.20) представ-
ляют собой те же члены полинома, в которых вместо величин х, у
я z подставлены координаты узловых точек элемента, а число этих
столбцов равно числу узловых точек.
Из (1У.20) следует, что интерполяционные функции для элемен-
та произвольной формы с п узловыми точками, после того как
задан закон распределения перемещений (1У.1€), определяются по
формуле.
98
о
4 / 1 1 . . / -I /
хк • xn X
У/ Чк 4s • • • 4» У
2к zs- • zn z
, 3 ХкЧк Xs4s • • • x^n xy
чя Чк*к 4s*s • Ч*1»
« • > . . «
(1У.21)
1У.2.6. Нахождение интерполяционных функций по формулам (ДР)
или (1У.21) связано с громоздкой процедурой обращения соответст-
вующих матриц, которая не всегда осуществима [21].
Однако ети трудности можно обойти, если учесть, что соотно-
шение (1У.21) имеет определенный физический смысл.
Проиллюстрируем это на примере элемента треугольной форм*
(рис .1У.1). Из соотношения (1У.21) с Cj(x,y) 1 1 1 * учетом (1У.19) находим
или Ск(х,у) « xj [th Чк в развернутом виде Л ’ (1У.22) Л
(1у.23)
^7 (an^bnx+cnt]^
где
Ч= xj
4i
i
хк
У*
/
Чк
- удвоенная площадь треугольника J, к, п;
aj =
= Л* ; ЬГЧ*~У* > 'г*,-** •
Остальные коэффициенты а,Ь и с получаются циклической пе-
рестановкой индексов. Нетрудно заметить, что выражения (1У.23) имэ
ют ясный физический смысл: каждая из зависимостей представляет
собой отношение площади соответствующего заштрихованного треуголь-
ника к площади всего треугольного конечного элемента (рис.1У.2)^.е
Cj(X,y) =
^ткп
&jkn
(1У.24)
99
что и позволяет ввести интерполяционные функции непосредственно,
избежав процедуру обращения матрицы.
В [21] функции, определенные соотношением (1У.24), называют
L-координатами. Таким образом,
Lj~Cj(x,y)’t Lk * Сл (х,у); Ln* С* ). (1У.25)
Ясно, что выражения (1У.25) могут быть записаны одним выражением
с переменным индексом к.
Отметим, что и при использовании конечных элементов треуголь-
ной формы с дополнительными равноотстоящими друг от друга узловы-
ми точками, расположенными на их сторонах (рис.ТУ.З), соответст-
вующие интерполяционные функции могут быть получены также без об-
ращения матрицы о помощью рекуррентного соотношения [21].
’ Так, для угловых узлов треугольников второго порддка с одним
доподнительньм узлом на стороне (рис.1У.З,а)
Cj (ZLj-DLj ,
(1У.26)
для узлов на его сторонах
Если используются тре-
угольники третьего по-
рядка (рис.1У.З,б), то
соответственно
100
J (3Lrl)(3Lj-2)Lj ; (ГУ.28)
CjfX.y)* J >-j Lk (3Lj-1)
Приведем, кроме того, необходимое для дальнейшего изложения
соотношение
ff L* LC dx du * u 2Л: . (ХУ.30)
J J J * n (a+b+c+2)! 1
Л1
ХУ.2.7. При решении плоской задачи теории упругости широко
используются также конечные элементы прямоугольной формы с различ-
ным числом узловых точек (рис.ГУЛ).
Для получения интерполяционных функций а помощью (ХУ.21) в
этом случае удобно ввести нормализованные координаты (рис.ХУ.5):
5 = 4 (ГУ.ЗГ)
Тогда для элемента, показанного на рис.ХУ.4, а, запишем
[С-1 1111 -1 1 '
. — -1-111 • , (ГУ.32)
с -1 1 ! -1
J -1 1-1.
откуда
1CI
Cs(K,f?) ‘ cn ($,'?)= L(1+(1У.ЗЗ)
Зависимости (1У.ЗЗ) могут быть объединены формулой
(1У.34)
или, учитывая (Ш.ПО), представлены с помощью эрмитовых функций
Ск ($,?) = Э<к)(^)Э<ю(^).
Легко ввдеть, что и в этом случае формула (1У.34) выражает
отношение площадей заштрихованного и всего прямоугольников (рис.
1У.4,а)х! Это обстоятельство весьма существенно, так как позво-
ляет получать интерполяционные функции для прямоугольных элемен-
тов непосредственно, избежав процедуры обращения матрицы.
Так, например, для элемента второго порядка (рис.1У.4,б) не-
обходимо обращать матрицу размером 8x8. Если же воспользоваться
функциями Сирендипова семейства, то сразу можно записать [21]:
С, f С,
Не представляет принципиальных трудностей при таком подходе и по-
лучение интерполяционных функций для элементов более высокого по-
рядка.
Если использовать Лагранжево семейство функций, то интерпо-
ляционные функции для прямоугольных элементов любого порядка так-
же представляют собой произведения полиномов
СО,,?) -- L”(t,) L17 (?) ,
(1У.36)
где, например,
Отметим, что способы построения интерполяционных функций для
двумерных элементов без особого труда обобщаются на пространствен-
ные конечные элементы.
1У.2.8. Рассмотренные выше процедуры построения интерполя-
ционных функций относятся к элементам с независимыми друг от дру-
•'Выражение (1У.34) носит название интерполяционной функ-
ции Сирендипова или Лагранжева семейств [21].
IC2
га узловыми перемещениями. Однако существует широкий класс задач,
решаемых с помощью конечных элементов, часть узловых перемеще-
ний которых является зависимыми величинами. Примерами могут слу-
жить стержневые системы, а также тонкие пластины и оболочки, рас-
считываемые по теории Кирхгофа-Лява. Так, например, у конечных
элементов плоских стержневых систем [см. выражение (Ш.72)]в каж-
дом узле имеются три неизвестных перемещения, два из которых (про-
гиб и угол поворота) связаны известной дифференциальной зависи-
мостью.
В этих случаях для построения интерполяционных функций также
можно воспользоваться соотношениями типа (1У.20).Например,для ко-
нечного элемента плоской стержневой системы без учета продольных
перемещений,’ имея в виду (Ш.ПО), можно записать
' 1 / 0 / o' 'э? ’
X X: 1 X* 1
« хг * « 1 XJ 2xj х£ 2х* .<*) « (И-37) ^3
Lxj Зх‘ х* 3 х* _ -М 4- .
Из выражения (1У.37) видно, что квадратная матрица преобра-
зования получается либо по алгоритму, описанному в П.1У.2.5, либо
непосредственно. Действительно, первый столбец матрицы преобразо-
вания (1У.37) {/Xj х* jtj } является значением вектора {1хх1х*}
вJ —й узловой точке, второй столбец - производной этого вектора
в той же точке и т.д. Аналогично записываются матрицы преобразо-
вания для плит и оболочек.
Однако, как будет показано ниже, интерполяционные функции длт
конечных элементов, используемых при расчете плит и оболочек,
наиболее просто записываются в виде парных произведений одномер-
ных эрмитовых функций. Таким образом, вся совокупность функций,
интерполирующих узловые перемещения для рассматриваемых типов
элементов в задачах строительной механики (в том числе плит и
оболочек), может быть, по существу, выражена с помощью четырех
функций
г ДтгД- -Л,)- г Г V
3(k’a)(агЬкХ.с^),
103
Отсюда следует, что использование нормализованных координат дает
возможность представить интерполяционные функции стандартным об-
разом для типового /r-го узла. Это в дальнейшем позволит записать
все соотношения для г-го элемента в наиболее компактной форме.
1У.2.9. В конкретных задачах нередко приходится иметь дело
с телами сложной геометрии, удовлетворительное описание которой
набором относительно малого числа элементов с прямолинейными сто-
ронами ведет к существенным погрешностям. Избежать их можно вве-
дением так называемых криволинейных конечных элементов [16,21,39],
конфигурацию которых удобно описать с помощью местной криволи-
нейной системы координат (рис. 1У.6). Поскольку в дальнейшем
необходимо переходить от местной системы координат $ , у , к об-
щей (x,y,z), удобно, следуя работе [21], для описания формы кри-
волинейных элементов использовать систему введенных ранее интер-
поляционных функций
^=С,хг.Сгхг. .... >
Z --С< th +СгЦ2 + • • ' * у* * • • • ’
z ~ гг * + ‘ " J
(1У.38)
Р и С.1У.6
где - интерполяционная функция
в местной системе координат
Ул-»гА- " координаты точек на повер-
хности элемента в общей системе
координат.
Разумеется, с учетом требо-
ваний к функциям типа (см.п.1У.2.1)
такой подход обеспечивает непре-
рывную аппроксимацию тела криво-
линейными элементами,точность ко-
торой предопределяется выбранным
числом точек на поверхности эле-
мента. Если число этих точек сов-
падает с числом узлов, то такие
элементы называются изопараметри-
ческими. Когда число точек для
задания геометрии элемента больше
числа узлов, элементы называются
суперпараметрическими, если мень-
ше - субпараметрическими [21].
104
О
§ 1У.З. Матрицы деформаций и напряжений
1У.3.1. Располагая вектор-функцией { ц }z (1У.5.), с помощью
известных соотношений Коши (см. п.П.1.3) можно определить вектор-
функцию деформаций по области /-го элемента через / В самом
деле,
где (£}. ~{£х Уху] ~ вектор-функция компонентов относитель-
ных деформаций в 4-м элементе для рассматриваемой в качестве при-
мера двумерной задачи теории упругости;
fl
д
для случая плосконапряженного состоя-
д
дх
О
д
- матрица операторов (П.2)
ния размером 3x2.
Подставив в (1У.39) значение {ииз выражения (ТУ.5), по-
лучим
{‘h - № [СЦ
( I / . J )
или с учетом (ТУ.9)
(е h - I [<Р] Cj [ Ф]Ск (1У.ч1)
Введем новое обозначение
Щ ’ [<Р] [C]i-[[d^W^ld]^], (ТУ.42)
где, например, [Ф]у) - подматрица, определяющая де-
формации в 1-м элемент;} от единичных перемещений в /(-м узле.
Тогда компоненты относительных деформаций запишем в виде
-- [Л]; (ЧЬ,
(ТУ .43.)
где [Ojj -прямоугольная блочная матрица деформаций,элементы ко-
торой зависят от координат положения рассматриваемой точки в 1-м
элементе.
ТУ.3.2. Теперь по закону Гука, используя матрицу упругости
GI.3), найдем вектор-функцию koj.jiohghtob напряжений по области/-го
элемента
Зак. 6-11
IC5
Я Г^] {£}• . (1У.44)
Здесь {&}[ * {еж - вектор-функция искомых напряжений
при плосконапряженном состоянии Z-ro элемента;
- матрица упругости в плоской задаче теории упругости.
Подставим {£} иэ (1У.43) в (1У.44). Тогда с учетом (1У.42)
получим ;
(1У.4о)
Введем обозначение
Uli = . (1У-4б)
где типичный блок, определяющий напряжение по области Z-ro эле-
мента и отвечающий единичным перемещениям в к-м узле, имеет вид
Тогда напряжение в любой точке елемента
Ю, = U Ji , (1У.47)
где [Е]^- прямоугольная блочная матрица, элементы которой зави-
сят от координат и упругих свойств материала в пределах рассмат-
риваемого конечного элемента.
. Заметим, что если материал в границах элемента испытывает на-
чальные деформации (от изменения температуры, усадки и т.д.), то
силовые напряжения будут вызваны разностью между полными и началь-
ными деформациями
’ • = (1У.48)
Здесь {£jJi - вектор-функция начальных деформаций, которая для кон-
кретного случая плосконапряженного состояния содержит три компо-
ненты (£t}t « (£л< }.
При этом если начальные деформации обусловлены только изме-
нением температуры, то так как при тепловом
расширении не возникает сдвиговой деформации.
106
о
1У.З.З. Построение матриц и [£]. в местной системе
координат для прямолинейных и криволинейных элементов вызывает
необходимость выразить производные интерполяционных функций по
декартовым координатам через производные по местным координатам,
поскольку построение свяеано с матрицей операторов [Ф] . Для
этого, используя правило дифференцирования сложной функции, на-
пример, для Ск (t,, q), запишем
[ _#l1 дх дц ' 1
► = d$ Л- дх дц - дх дСк (1У.49)
дг? . d ф д'? {дЧ
или, имея в виду, что средняя матрица в этом выражении - матрица
Якоби (см. п. 1.2.II), обозначим ее через [j] :
< ds, дСк = И дСк ' • . (1У.50)
д/? J Idy J
Так как вектор в левой части (1У.50) находится достаточно
просто, а матрица [JJ с учетом (1У.38) вполне определена
'дС, dt, дС, < . ду ЗСг п nt ... дСк ds, дС„ ду • • « Ч4’ • У* > (1У.51)
то искомые прои Если в кач динаты, то удоб зводш f дСк} dCh [•<?</ естве НО ВВ( je = IJ]' местной эсти обоз ' дс^ ds, дСк 1 систе начен иы ИЯ к [; эординат 21]: > (1У.52) используются L-KOCp-
Тогда 1 = *; 7- 4 (1У.53)
дГ fL L L)= — ’'LS’Ls' dL, dL. ds, дСк d^t dL, dt, + d£* dL3 dL3 dt, (1У.54)
или, учитывая (1У.53),
дСк de, дСк = dL, ~ дСк dL3 (1У.55)
107
и все дальнейшие операции осуществляются по выиеприведенным фор-
мулам.
Отметим, что все полученные в этом параграфе соотношения, не-
смотря на конкретизацию объекта изучения, носят общий характер.
§ 1У.4. Матрицы жесткости и податливости
1У.4.1, Рассмотрим в декартовой системе координат г-й ко-
нечный элемент произвольной формы с л узлами, вектор-столбец уз-
ловых перемещений которого
причем в каждом К-ы узле
иг -
Здесь г равно числу степеней свободы данного узла, т.е. числу
линейных и угловых компонентов перемещений по направлению и отно-
сительно выбранных осей координат.
Вектору {q}. отвечает, как известно, вектор узловых усилий
где / R)'Ю- вектор усилий з Л-м узле, компоненты которого
R™,.. R™ соответствуют компонентам АЦ^и являются в опре-
деленном порядке силами и моментами в той же системе координат.
Представим далее, что компоненты {Л)(- являются по отношению
к l-му элементу внешними силами, которые вызывают в нем переме-
щения, деформации и напряжения, описываемые зависимостями (1У.5),
(1У.43) и (1У.47).
Чтобы определить матрицу жесткости для /-го конечного эле-
мента, т.е. установить связь между / Rfa и (q } , воспользуемся
принципом возможных перемещений
• +я™ <%';>- +
(1У.56)
» <7 »
или в матричной форме
108
-/If
v'
Отсюда, если учесть, что на основании (1У.43) ^г}(Г= Г Л7<>
по формуле (1У.47) /(Ц = [£ ]. [qj- и что *0, получим
и -- [ jjj ит (1У-м)
v<
Введем обозначение
Щ = Ш ЩТЩ
Тогда
Щ = ГЛ"], [q^ . (1У.60)
Матрица [KJ^, как и в стержневых системах, носит название
матрицы жесткости t-ro конечного элемента. Компонентами этой мат-
рицы являются реактивные усилия в узлах по заданным направлениям,
отвечающие единичным узловым перемещениям, последовательно на-
кладываемым по этим направлениям, при условии, что остальные
перемещения в узлах элемента равны нулю. Матрица жесткости явля-
ется квадратной, поредок которой равен числу степеней свободы
рассматриваемого конечного элемента.
1У.4.2. Кроме изложенного, существуют и другие способы полу-
чения матрицы жесткости конечного элемента [5,45]. Приведем один
•из наиболее распространенных и наглядных методов [5]. Для этого
вновь обратимся к произвольному l-му конечному элементу и пред-
положим, что в его узлах по направлениям компонент вектора /
поставлены соответствующие связи. Зададим по направлениям введен-
ных связей последовательно единичные перемещения. С этой целью
будем каждый раз освобождать узел от соответствующей связи и да-
вать по ее направлению единичное перемещение, а затем в дефор-
мированном состоянии вновь вводить эту связь. Очевидно, что в
ней, как и в других связях, будут возникать реактивные усилия,
обусловленные заданным единичным перемещением. Причем возникающие
по области конечного элемента деформации и напряжения можно будет
определить по формулам (1У.43) и (1У.47) с заменой в них вектора
узловых перемещений единичной матрицей Е , которую записывать не
будем. Тогда
[еЧ = Щ;
(1У.61)
[Г]. = Щ, (1У.62)
где [f’]j г J - прямоугольная матрица, каждая
вектор-функция которой представляет собой компоненты деформаций в
точках элемента, возникающие от единичных перемещений, последова-
тельно накладываемых по направлениям компонент перемещений в уз-
лах при условии, что остальные перемещения узлов равны нулю; [f ’J=
= ‘ ~ прямоугольная матрица, кавдая вектор-
функция которой суть компоненты напряжений в конечном элементе,
вызванные теми же причинами.
Рассматривая реакции в дополнительных связях как внешние си-
лы по отношению к конечному елементу, используем для их определе-
ния принцип возможных перемещений. При этом в качестве возможных
перемещений примем самые простые, равные единицам, и зададим их
по направлениям искомых сил, но не одновременно, а как ряд по-
следовательно накладываемых единичных перемещений. При матрич-
ном подходе это означает, что возможные перемещения задаются еди-
ничной матрицей £ . Опуская далее матрицу £ и учитывая, что ис-
комые реактивные усилия являются не чем иным, как элементами мат-
рицы жесткости конечного Элемента, получим
щ = Ш <1у-бз)
Ч'
Подставляя в выражейие (1У.63) значения и из выра-
жений (1У.61) и (1У.62), получим соотношение, совпадающее с
(1У.59)
WJ;
У/
1У.4.3. Теперь для анализа структуры матрицы жесткости запи-
шем (1У.59) с учетом (1У.42) и (1У.46):
Г «У '
(М-п,)т
по
Из (1У.64) следует, что матрица жеоткости для /-го элемента яв-
ляется симметричной и имеет блочную структуру
’щ" ... «'
[К]'.’ ...
[К]” [К]"’... [к],1*1... [К](.. ’ aj‘^'
где г«™,мая
подматрица, элементами которой являются реактивные усилия по соот
ветствующим направлениям в j-u уэле, отвечающие единичным пере-
мещениям по направлению компонент перемещений в К-и узле.
Легко показать, что подматрица [<](у'в свою очередь являет-
ся квадратной симметричной порядка г С г - число компонент пе-
ремещений (усилий) в каждом иэ
узлов элемента) вида
.Симметрично krr
Поскольку при выводе уравнений для матриц жесткости конечных
элементов никаких ограничений, касающихся формы элемента и вцца
интерполяционных функций для перемещений, не вводилось, формула
(1У.59) имеет общий характер.
Заметим, что матрица жесткости конечного элемента зависит не
только от его геометрии и механических свойств материала, но и
от принятого закона изменения компонентов деформаций по облас-
ти конечного элемента.
1У.4.4. В случае, когда матрицы [Z>]i и [f ], входящие в
подынтегральное выражение(1У.59), являются функциями местных, в
том числе криволинейных координат, для выполнения интегриро-
вания необходимо выразить элементарный объем или поверхность в
местных координатах и изменить пределы интегрирования. Как иэве-*
стно [36],
dx dz. = /J/ dt, dqd^ ,
(1У.67)
III
где I J| - определитель матрицы Якоби (1У.51), или якобиан.
Поэтому если, например, криволинейный четырехугольный эле-
мент задан с помощью нормализованных координат, то для него после
соответствующих преобразований выражение (1У.59) можно записать
в виде
1 1
J J [ЛЧ, (iy.68)
-1 -z
Когда конечный элемент имеет форму криволинейного треугольника,
описанного /.-координатами, то с учетом (1У.53) формулу (1У.59)
можно представить в виде
t 1-?
j / (1У.69)
о о
1У.4.5. Матрица податливости элемента может быть получена^оэк
известно, с помощью операции обращения матрицы жесткости. Однако
использовать такой подход непосредственно к выражениям для матри-
цы жесткости конечного элемента (1У.59) не представляется
можннм, так как матрица [К] в общем случае является особенной,
т.е. не поддающейся обращению. Объясняется это, как и в п.Ш.2.2,
тем, что при выводе выражений для матрицы жесткости конечного
элемента был выбран путь, при котором число варьируемых парамет-
ров функций перемещений принималось равным числу независимых ком-
понентов узловых перемещений рассматриваемого элемента (т.е. чис-
лу степеней свободы элемента при принятых допущениях).В резуль-
тате компоненты вектора {<%.}< оказываются зависимыми от неопре-
деленных значений перемещений элемента как жесткого тела, а ком-
поненты вектора-столбца //?}<•, определяемые уравнением (1У.60), -
линейно зависимыми величинами, связанными между собой системой урав-
нений равновесия для конечного элемента в целом. Другими слова-
ми, при указанном подходе к выводу матрицы жесткости перемещения
определяются через силы не единственным путем. Поэтому прежде чем
допустить операцию обращения матрицы [Д’]. наконечные элементы,
следует наложить определенное число кинематических закреплений,ко-
торые ликвидировали бы его поступательное и вращательное движение
как жесткого тела. В результате в зависимости (1У.60) останутся
только члены, обусловливающие изменение напряженно-деформирован-
ного состояния конечного элемента
• (1С70)
112
Отсюда
(1У.71)
Здесь [FJ- = [К*]7* -.матрица податливости конечного элемента.
Заметим, что в дальнейшем, когда недоразумения не возникают, ин-
декс в зависимости (1У.71) писать не будем.
$ 1У.5. Определение узловых внешних воздействий
1У.5.1. При замене сплошной среды дискретной моделью внешние
силы, действующие на элементы, приводятся к статически эквивалент’
ным узловым силам, которые должны содержать такое же число ком-
понентов, как и соответствующие перемещения в узлах, и действо-
вать в заданных направлениях. Данное приведение осуществляется,
как уже отмечалось, на основе равенства работ, совершаемых внеш-
ней распределенной нагрузкой, приложенной к конечному элементу, и
эквивалентными ей узловыми силами на соответствующих возможных
перемещениях с учетом того, что перемещение любой точки внутри эле
мента связано с узловыми перемещениями уравнением (1У.5).
Возьмем t-й конечный элемент с п узловыми точками, каждая
из которых обладает г степенями свободы. Предположим, что на
элемент действуют объемные силы интенсивностью ( Uv
Введем вектор-столбец узловых сил / Р^ } , отвечающих этим объем-
ным силам. Чтобы найти вектор [Pv j)., дадим компонентам перемещений
узлов конечного элемента малые вариации . Вследствие
этого перемещения точек элемента получат соответствующие возмож-
ные перемещения {(Ра fitr fiw). Запишем работу указанных сил
на этих вариациях
W<r I V, = J// /Л'}'
v<
Так как то {<?“}[= {fy } [С]{ . Поэтому
(1У.73)
V;
откуда, имея в виду, что
V; V.
iO, с учетом (1У.6) получим
([С^)г
I ([C]'n)JT
(Gv}tcfV.
(1У.74)
Зак.641
113
Из выражения (1У.74) вытекает, что вектор {Р*} имеет структуру
рд=W- iv''”},™ • • О -
вектор сил в К—и уэле, компоненты которого соответствуют ком-
понентам вектора узлового перемещения.
.1У.5.2. Рассмотрим теперь конечный элемент, расположенный
у границы конструкций. Допустим, что граничный участок элемента
площадью S| подвергается воздействию нагрузки интенсивностью
= {?» /’у Рг }/ • Введем вектор-столбец узловых сил стати-
чески эквивалентных заданным поверхностным силам.
Запишем равенство работ внешних распределенных сил на воз-
можных изменениях перемещений и узловых искомых сил на возмож-
ных вариациях перемещений в узлах в виде
V { Psh “ Jf I dS . (1У.75)
*<
Отсюда после соответствующих преобразований получим матрицу для
определения узловых сил, отвечающих поверхностной нагрузке задан-
ной интенсивности
/44- Л 1П.Т !₽,),." (И.76>
где {Psh --{{PJi'Wr • • Ш!" • • {Ps}"”};
Ip e I pM р<к>.. . p!k) i
1У.5.3. Допустим, что Z-й конечный элемент имеет начальные
деформации > выэванные изменением темпе-
ратуры, усадкой, увеличением кристаллов и т.д. От этих деформаций
по закону Гука (П.1) вектор-функция напряжений
{£t J, • (1У.77)
Поставим в соответствие напряженно-деформированному состоянию 4-го
элемента от начальных воздействий вектор-столбец сил {Pi}i, дей-
ствующих в узловых точках элемента. На основании принципа воз-
можных перемещений запишем
w/w-Л! к “"в’
V:
или . 1
114
W.'Wi-JH 1^1' (И.7Л
Так как по уравнению (1У.43) {£,}. = [])] то
Отсюда вектор узловых сил, статически эквивалентных начальным
воздействиям, будет иметь вид
m-Ш (И.ео>
где, имея в виду блочное строение матрицы ,
{р, h-ilWiP,
I /}ttf’
Заметим, что использование местной системы координат в про.
цедуре приведения нагрузок к узловым требует замены переменных
при интегрировании.
1У.5.4. Если на рассматриваемый конечный элемент,имеющий на-
чальное деформированное состояние, кроме объемных и поверхност-
ных распределенных сил действуют и внешние сосредоточенные уз-
ловые силы
{ Рс h = И Ре (РЛ“ --1Рс I!" • • !Ре ’
где { Р. {Р.'** Р’к)• • • Р(к)} , то вектор равнодействующей стати-
• fC ГС *
чески эквивалентных сил в /г-м узле д-го элемента запишется
следующим образом:
' р,1с>+р(к>,pfk\ р<к> ЧсЪ IS *
- = • p(kt + р<к) р<к) р<><) (1У.81)
р(к) . г Р1>С> + P(V -t Ptk)+ Ptk>
Разумеется, что компоненты вектора этом выражении
следует принять равными нулю, если узел к относится к элементу,
расположенному не у границы конструкции.
1У.5.5. Переходя к рассмотрению всей системы,мысленно рас-
члененной на конечные элементы, взаимодействующие между собой в
115
узловых точках, необходимо учесть, что в каждом к -м узле сходит-
ся несколько элементов. Поэтому полный вектор узловых внешних
сил можно представить зависимостью
. 1р>:чь
‘lPf рг ' • • > )• (1У.82)
где символ i tk означает, что суммирование производится по всем
l-м элементам, примыкающим к Л-му узлу, т.е. вектор /Д/*-1 явля-
ется равнодействующей всех внешних сил, приложенных к узлу А.
Совокупность векторов {£/^представляет собой вектор-столбец
полных узловых сил для всей конструкции
= (1У.83)
где т - общее число узловых точэк в системе.
Следует отметить, что точность замены внешних распределенных
нагрузок и начальных воедействий .статически эквивалентными узло-
выми силами во многом зависит от того, насколько удачно выбрана
матрица [С/ функций, интерполирующих перемещения точек элемен-
та, обусловленных перемещением его узлов.
$ 1У.6. Разрешающие уравнения МКЭ
1У.6.1. Для описания напряженного и деформированного состоя-
ния упругого тела, расчлененного на конечные элементы, матрицы
жесткости (податливости) для которых известны, необходимо все эле-
менты соединить в единую систецу, аппроксимирующую рассчитываемую,
т.е. удовлетворить условиям статической и кинематической совмест-
ности для конструкции в целом. При этом следует учесть, что кон-
струкция представлена совокупностью элементов, взаимодействующих
в конечном числе узловых точек, а поэтому указанные условия не-
обходимо установить для выделенных точек системы. Чаще всего эти
вопросы решаются на основе энэргетических принципов механики де-
формируемых сред, исходя главным образом из того, что внергия сис-
темы равна сумме энергии, каждая из которых относится к соответ-
ствующему конечному элементу (см. п.П.7.4).
Рассмотрим упругое тело, подверженное начальным воздействи-
ям, на части поверхности которого Sf наложены некоторые кинемати-
ческие связи. Предположим, что на тело действуют объемные силы/zJJ
116
и краевые напряжения интенсивностью {ps )= {рл р* рг } , распре
деленные на части поверхности тела Зг .
Разобьем весь объем тела на N конечных элементов по анало-
гии с выражением (Ш.10) и введем вектор-столбец перемещений в уз
л о вых точках для всего тела в общей системе координат
где } - вектор перемещения в А-м узле с
линейным и угловыми компонентами по направлению и относительно
общих осей х(1), ^(2), 2(3).
Бели на тело кроме выпеуказанных нагрузок действуют и сосре-
доточенные силы, приложенные непосредственно к узлам, то вектор-
столбец полных узловых сил для всей системы,представленной дис-
кретной моделью, будет (1У.83).
На основании принципа возможных перемещений для системы.на-
ходящейся в положении равновесия,
i?) - JJJ (1У.85)
V
Заменив энергию, представленную интегралом в (1У.85), суммой
интегралов, взятых по каждому конечному элементу, получим
= Z Д/ {#£}*(1У.86)
vi
Перепишем уравнение (1У.86) с учетом зависимости (1У.57)
(PJ = X . (1У.87)
Группируя в правой части выражения (1У.87) те члены, вариации ко-
торых имеют одинаковые направления смещений в одних и тех же уз-
лах, будем иметь
/•=/
где (R) = {{ R)ai {R)a>... f R /*J- • - вектор полных внутрен-
них узловых усилий для всей конструкции, вызванный перемещения-
ми узлов ее дискретной модели. Причем
IR}(*’--X {X rf’x R,k-- X R”’}-
iek 1 ie* " ifk ,«* “
II?
- вектор равнодействующей внутренних узловых усилий по всем эле-
ментам, сходящимся в Д'-m узле.
Вектор-столбец {£} представляет собой усилия, действующие
со стороны узлов на конечные элементы. Очевидно, что на сами уз-
лы со стороны элементов действуют усилия {R}, т.е. реакции, вы-
званные перемещениями узлов системы и являющиеся результатом дей-
ствия внутренних усилий, приведенных к узловому воздействию.
Подставляя выражение (ТУ.88) в уравнение (ТУ.87) и имея в
виду изложенное, получим
{{Р\- {R}} =0, (ТУ.89)
Чтобы от (ТУ.89) перейти к уравнениям равновесия, необходимо
либо положить, что в {(?$} нет нулевых членов, связанных с пере-
мещением системы как жесткого целого (см. п.Ш.2.2), либо ввести в
рассмотрение диагональную матрицу £/ [53] с числом элементов
по диагонали, равным порядку {. При этом каждому компоненту век-
тора ] ставится в соответствие диагональный член матрицы .
Там, где компонент {q} известен из кинематических условий задачи,
диагональный элемент матрицы £; примем равным нулю, а все ос-
тальные диагональные элементы положим равными единице. Тогда, ес-
ли учесть, что возможные перемещений в узлах, где заданы кинема-
тические условия, равны нулю, можно записать
* Ег , (ТУ.90)
где - вектор возможных перемещений в узлах системы по всем
компонентам перемещений. Подставив выражение (ТУ.90) в зависимость
(ТУ.89), получим
[£,{<^Г {{PJ(ту.91)
Так как то Е, .Отсюда, учитывая, что
получим
Ef (ТУ.92)
Уравнение (ТУ.92) является матричной формой условий равновесия
всех сил, приложенных к узлам системы.
ТУ.6.2. Мевду вектором-столбцом полных узловых реактивных уси-
лий для всего тела {R} и перемещением узлов {$} существует
связь
(ТУ.93)
где [К] - матрица жесткости всей системы.
118
Матрицу [К] можно получить с помощью известных матри
жесткости для отдельных элементов, если, например, представить
развернутой матричной форме вектор-столбец [/?] [8].
‘{Л}ю
1*}а)
{«}«' г X < ► =
нг Z. (1*С14А-гС 14Г) *
s, z iff w<1}
S Й tc • -z ift [K]^ {^}<г)
‘fj J £ • z <*J * 1^’ ’’(1У.94
z м<"т" Um tm [Х]"” b JlfTl
Здесь индекс it]
дящимся в узле у
цы жесткости для
4-м элементам,с?
означает суммирование по всем
. Подматрица является блоком (1У.66)матр1
/-го элемента, определяющим реакции в у'-м узле
от единичных перемещений в /с-м узле. Причем если 4-й элемент
не содержит либо узла j, либо узла к , то подматрицу [к]!*’ сле-
дует положить равной нулю. Таким образом, матрица жесткости дл»
всей системы будет иметь вид
пу
... [к]?’ [к]'”'
[к](г1> ... [к]?' ... fi[]™
bbf' ' ' тГ-'~ '[к]Г
m.i1 '
(1У.95)
' л^
[* Jjk> -L .
<«/ 4
Подставляя теперь (1У.93) в уравнение (1У.92), получим раз-
решающее матричное уравнение МКЭ в форме метода перемещений
Е, {[*]($} ~ {р}} = ° (1У.96)
Заметим, что поскольку матрица £/, содержащая нулевые строки,явля-
ется особенной, она обращает матрицу системы линейных неоднород-
ных алгебраических уравнений тоже в особенную. В силу этого вы-
ражение (1У.96) следует рассматривать только как систему уравне-
ний относительно искомых компонент перемещений без нулевых строк.
Однако если заданные кинематические условия системы представить
в виде [53J
[E-Et]{^} = Е2{^} , (1У.97)
где Е= Е1+Ег- единичная матрица, то уравнение (1У.96) можно за-
писать следующим образом:
Е, [KlCEi + ЕгЩ}- Е((Р} = О.
Отсюда получим выражение
[E2+Et [HjE,]^} = Е1 {P}-Ef[Kj Ег{^} + Ег{^}, (1У.98)
в котором уже не содержится нулевых строк. При этом в правую часть
уравнения (1У.98) входят только известные компоненты перемещений
системы Ег{ц} , в левую - все искомые компоненты вектора ( if.}.
Поэтому уравнение (1У.98) следует рассматривать как систему урав-
нений относительно разыскиваемых компонент вектора-столбца узло-
вых перемещений системы.
120
о
1У.6.3. Разрешающее уравнение (1У.96) может быть получено та
же из рассмотрения общей потенциальной энергии (см. п.П.4.4)дл
системы, представленной дискретной моделью. Для этого сначала с п
мощью узловых параметров по теореме Клайперона (И.6) записыва-
ется потенциальная энергия деформации, накапливаемая в i-м эле-
менте
ui {R}{ (1У.99)
Затем общая потенциальная энергия деформации системы представля-
ется суммой энергий, содержащихся в отдельных элементах. С уче-
том (1У.88) получим
u =Ztui т = т ( (ly.ioo)
Поскольку работа узловых нагрузок (1У.83) на соответствующих им
окончательных узловых перемещениях (gj равна
W~{q)T{P}, (И .101)
ТО
э “ i(q}T(R} - (ц}т(р} (1У.Ю2)
или, имея в виду (1У.93),
5 = . (1У.ЮЗ)
Рассматривая теперь компоненты узловых перемещений как переменные
параметры и учитывая, что Э является квадратичной функцией узло-
вых перемещений, условие стационарности общей потенциальной энер-
гии системы на возможных вариациях Е/ f<5^ можно привести со-
гласно правилу дифференцирования по вектору к следующему выраже-
нию:
(1У.104)
>
Отсюда, в силу того что получаем матричное уравне-
ние метода перемещений, совпадающее с (1У.96).
с
Зак. 641 ТГ1Т
Заметим, что кроме изложенных в этом параграфе путей полу-
чения разрешающего матричного уравнения (1У.96) и способа пост-
роения матрицы жеоткоСти всей системы может быть использован так-
же достаточно удобный подход, описанный в п.Ш.5.5.
Таким образом, если в качестве расчетного метода принять
метоД перемещений, то для нахождения узловых перемещений, одно-
значно определяющих состояние исследуемого тела, следует соста-
вить матричное уравнение равновесия узловых точек (1У.92), а за-
тем вектор {R} в этом уравнении заменить с помощью матрицы жест-
кости системы [к] и вектора неизвестных узловых перемещений (jf).
При этом, чтобы аннулировать перемещение системы как твердого
тела, в вектор перемещений необходимо ввести определенное число
связей, отвечающих нулям на диагонали матрицы £/ . Полученная
система линейных неоднородных алгебраических уравнений (количе-
ство уравнений в системе равно произведению количества узловых
точек в системе на число степеней свободы в узле) и позволяет оп-
ределить компоненты искомых узловых перемещений.
1У.6.4. При расчете некоторых конструкций может оказаться
более удобным и эффективным за основные Неизвестные, характеризу-
ющие напряженно-деформированное состояние тела, принять не уз-
ловые перемещения, а узловые усилия взаимодействия между смеж-
ными элементами. Для определения этих сил составляется разрешаю-
щее матричное уравнение метода сил, представляющее собой систе-
му уравнений совместности перемещений в узловых точках. Компо-
ненты узловых перемещений в этих уравнениях затем выражаются
через искомые узловые усилия. Осуществляется такая замена с по-
мощью матрицы податливости системы, которую нетрудно определить,
коль скоро извеотны матрицы податливости для отдельных элементов.
-Существуют разнообразные подходы к записи МКЭ в форме мето-
да сил Можно, например, отнести к узловым точкам напряже-
ния { 6} и ввести предположение о характере их распределения в
пределах каждого конечного элемента. Затем определить перемеще-
ния и деформации как некоторые функции узловых напряжений. Ис-
пользуя далее принцип возможных изменений напряженного состоя-
ния (Д'.27) или условие минимума общей потенциальной энергии сис-
темы в напряжениях (П.34), представляемой в виде суммы энергий,
содержащихся в отдельных элементах, прийти к системе неоднород-
ных алгебраических линейных уравнений относительно искомых
узловых напряжений. Однако преимущественное распространение полу-
чил другой вид метода сил, в котором в качестве узловых парамет-
ров приняты узловые усилия. Разрешающе'е уравнение метода сил при
таком подходе аналогично выражению (Ш.78). Из него видно,что по
122
сравнению с методом перемещений в методе сил появляется ране<
отмеченная дополнительная процедура нахождения вектора перемеще-
ний от внешней нагрузки.
1У.6.5. Решение системы общих уравнений МКЭ дает вектор
столбец компонентов перемещений узловых точек тела, зная кото-
рый, с помощью зависимостей (1У.43) и (1У.47) легко вычислит;
компоненты деформаций и напряжений в любой точке конечных эле-
ментов и, следовательно, дать приближенное описание состояли;
всей системы в целом.
Следует отметить, что при реализации МКЭ любым из двух сфо]
мулированных выше методов число неизвестных оказывается доста-
точно большим. Поэтому эффективность МКЭ проявляется лишь при р
шении задач на быстродействующих ЭЦВМ. Добавим, что и все опера-
ции, связанные с определением характеристик отдельных конечных эл
ментов, также целесообразно выполнять на ЭЦВМ, используя различ-
ные численные процедуры.
§ 1У.7. Динамические задачи
1У.7.1. Вывод общих соотношений МЕСЭ в динамических задача)
проследим на примере плосконапряженного тела (рис.1У.1), расчл/
ненного на конечные элементы, при действии на него внешних натр}
зок, заданных как функции времени t.
Вновь обратимся к i-ity конечному элементу с узлами j, К, п ,
Будем, как и ранее, характеризовать состояние этого элемента эн«
чениями его узловых перемещений, но изменяющимися во времени
(1У.Ю5)
Введем вектор-столбец узловых усилий, соответствующих узловьа
перемещениям. Компоненты этого вектора также будут функциями вре-
мени
/Wz = (1У.Ю6)
Согласно принципу Даламбера задача динамики упругих систем может
быть рассмотрена как статическая, если ко всем внешним силам,дей-
ствующим на тело, добавить силы инерции, равные произведению масс
на их ускорения, взятые со знаком минус. Следовательно, если не-
посредственно к /‘-му элементу никакие внешние силы не приложе-
123
ны, то в результате ускорений следует учесть только инерционную
нагрузку от массы, распределенной по всему элементу. Очевидно,
что вектор-функция интенсивности инерционной нагрузки будет
(Pfh ~ -Р$Р<и(х>У’Н}< . (1У.107)
Используя зависимость (1У.5), положим, что
{Pg)l .
(1У.108)
Приведем теперь распределенные силы инерции, которые по ха-
рактеру своего действия могут быть отнесены к объемному типу на-
грузок, к эквивалентным узловым усилиям {Р#}. Естественно, что это
приведение может быть выполнено на основе равенства работ распре-
деленных сил на возможных вариациях перемещений и узловых сил на
возможных вариациях перемещений в узлах
Отсюда
(1У.П0)
Введем новое обозначение
Pt
J>[EtCj(x,y) ЕгСкЩ)EtCn(x,y)]dF.
(1У.Ш)
^2^1
Тогда
(Р^=-[М].^т),, (1У.П2)
где {Py]i = ((P^lPfif^Pp^- вектор узловых сил инерции в i-м
элементе; {Ру}( = {Pf£'Piy.} ~ вектор инерционной силы в /г-м
узле. Компоненты этого вектора ^направлены соответственно
по осям х(1) ,у(2);[м](- матрица инерции- t-го конечного элемента,
которая согласно (1У.1П) может быть представлена следующим об-
разом:
124
Mi
/<
М“’ Ма
/< mS
MS MS
(1У.ИЗ)
м21
М12
^22
(1У.114)
W" =
Несомненно, компонентами матрицы инерции являются силы,направлен-
ные по х(1) и Ц(2] в узле j и отвечающие единичным ускорени-
ям, последовательно накладываемым по направлениям х(7) или у(2) в
узле Л при условии, что ускорения по всем остальным направлени-
ям во всех остальных узлах равны нулю.
Из сравнения (1У.65) с (1У.ПЗ) и (1У.60) с (1У.114) видно,
что матрица Д//- и ее блоки по своей структуре аналогичны матри-
це жесткости и ее подматрицам.
Используя зависимости (1У.60) и (1У.112), связь между узло-
выми перемещениями и узловыми усилиями с учетом сил инерции для
любого
/-го конечного элемента можно представить в
виде
Mi (чт/i = {(awk + (p9h},
(1У.П5)
или
М7/ /W “ Ж - M/W •
(1У.П6)
1У.7.2. Перейдем к рассмотрению динамической задачи, в кото-
рой тело представляется как совокупность N конечных элементов,по-
ведение каждого из которых уже известно. Будем считать, что на-
пряженно-деформированное состояние упругого тела полностью опре-
деляется вектором-столбцом
С целью определения вектора (fyltlj запишем принцип возможных
перемещений для всего тела с учетом инерционных сил
\{^s}T{ps) dS + ^{fu}T{(Gv} + {р*}} dF -Jff№;7^^fi(iy.II7)
S F F
Группируя инерционные силы таким же способом, как и объемные в слу-
чае статической задачи, после выкладок, аналогичных п.1У.6.1,по-
лучим
125
Ej{{P(t)) + {P^}- (Rft)}} = o.
(1У.118)
Введем в рассмотрение матрицу инерции для всего тела [М]. Учитыг
вая способ построения матрицы жесткости всей системы и отмечен-
ное выше соотве' гствие между и [КJj,буде м иметь
где [м] = /<' W™. [мр... > (1У.П9)
M(f = Г [М]'*>
1 iej v '
Следовательно,
(P^} = ~[м]{^(И}. (1У.120)
Подставляя в (1У.120) вместо f^w/и {Р&) их выражения че-
рез узловые перемещения, получим
{{[к](fit)} + [м]{$ (t)} - {рт}} =о. (1У.121)
Зависимость (1У.121) представляет собой разрешающее матрич-
ное уравнение МКЭ в форме перемещений при действии инерционных
сил. Учитывая структуру диагональной матрицы Et , выражение (Ш21)
без нулевых строк следует рассматривать как систему обыкновен-
ных дифференциальных уравнений второго порядка. Естественно,что
для решения этой системы необходимо задание, кроме граничных ус-
ловий на контуре тела, начальных условий ввда при t ~ 0 :
= : (1У.122)
Уравнение (1У.121) можно получить также, рассматривая полную
потенциальную энергию тела Э в форме (1У.103) и приближенную
аппроксимацию кинетической энергии системы Т (П.46) суммой энер-
гий, содержащихся в отдельных элементах, на возможных вариациях
вектора перемещений в узловых точках тела
126
^Ш=,> 11,дгз’
T- £ Ti - 1/ jp $ 1'j)Im (“)i Ifita-l^[cj-flcyrj,
“f 4 Ai 14 &i
*(№}[= { (iy.i24)
Разумеется, в основу вывода уравнения (1У.121) могут быть поло-
жены и другие энергетические подходы, связанные между собой тео-
рией преобразованных вариационных проблем [зх].
ХУ.7.3. При исследовании динамического поведения системы не-
обходимо определить частоту и форму свободных колебаний тела,
т.е, решить так называемую задачу на собственные значения.
Обратимся для этого к зависимости (1У.Х2Х), исключив предва-
рительно из него строки, равные нулю, количество которых равно
числу наложенных на тело кинематических связей. Тогда, учитывая,
что при свободных колебаниях внешние силы отсутствуют, получим
[i<*]{j*m}+ [М*НУ(Ц} = 0 . (ХУ.125)
Решение системы обыкновенных дифференциальных однородных уравне-
ний (ХУ.125) будем искать в виде
(9*®} аЦо)Мп• (1У• 126)
Тогда
[[«*]+ <лг[М*]] (q0}== 0. (ХУ.127)
Уравнение (ХУ.127) есть система однородных алгебраических
уравнений, которая имеет нетривиальные (отличные от нуля) решения
лишь при условии равенства нулю определителя системы
КкЧ^^[м*]1-о.
(1У.128)
Из выражения (ХУ.128) можно найти частоты собственных колебаний
со. Спектр этих частот определяется порядком матриц fK*J и
127
[М*] . Если размеры данных матриц тхт, то собственных частот у
конструкций будет т. Соответствующие частоте свободных коле-
баний формы колебаний {<}}0 определяются зависимостью (ТУ.127).
Следует отметить, что решение уравнения (ТУ.128) является
весьма трудоемкой в вычислительном отношении операций. Чтобы со-
кратить объем вычислений и исключить возможность пропуска какой-
либо частоты, можно рекомендовать прием, изложенный в работе [30].
Добавим, что обычно требуется определить лишь несколько самых
больших величин и , соответствующих основным периодам колебаний.
ТУ.7.4. Рассмотрим влияние сил сопротивления на колеблющую-
ся систему, изображенную на рис.1У.1. Предположим, что силы со-
противления пропорциональны скорости или первой производной пере-
мещений. Поскольку такой тип вязкого сопротивления ни в коей мере
не является единственным, будем считать его следствием линеариза-
ции действительной более сложной нелинейной задачи, решение кото-
рой получается с помощью итерационного или пошагового метода вы-
числения.
Введем в рассмотрение матрицу коэффициентов пропорциональ-
ности [Д], характеризующую вязкие свойства тела по направлениям
х(1), у (2) . Тогда вектор-функция интенсивности сопротивления коле-
банию по области тела будет
{p'J ~ (ТУ.129)
где для частного случая двумерной задачи
d11
d21 d.
d,2
{Рр= {pfg. = {и(х^гг(х^)}.
Зависимость (ТУ.129) для любой точки <-го элемента предста-
вим также с помощью (ТУ.5) следующим образом:
Ш = -[4][c]i {j<• . (1У. 130)
а
Распределенные по области <-го элемента силы сопротивления (ТУ. 130)
снова приведем к эквивалентным узловых силам [ р?
ле ле (ТУ.131)
Отсюда, учитывая, что получим
128
о
(Р}}~ [t]i H(V)i ,
ну. 132:
где [f]j - квадратная матрица сопротивления /-го элемента [5J
Матрицу //Д можно представить в виде
/С
< 1
где til ^12 tn hz •
(1У.1зз:
Здесь [f]^ ~ подматрица сопротивления для /'-го элемента,
компонентами которой являются силы в /-м узле по направления!/
х(1) и у(2) , отвечающие единичным скоростям, последовательно на-
кладываемьм по направлениям компонент сил в узле к . При этом
всякий раз скорости по всем остальным направлениям в узлах эле-
мента равны нулю. Видно, что матрица [f](- и ее подматрицы [f]-h-
совпадают по структуре с матрицей жесткости и ее блоками для рас-
сматриваемого <‘-го элемента.
Если по аналогии с ранее изложенным ввести матрицу сопротив-
ления для всей системы [f] и вектор-столбец полных сил сопро-
тивления в узловых точках тела
.. {Pg}lh-{P,Cg РгС9/, (1У.134)
ТО
(Р9) = , (1У.135)
а уравнение равновесия узловых точек в матричной форме при коле-
бании тела с учетом сил сопротивления будет иметь вид
Е1 {{ PW} ~{R(t)} + {Р°} + о (1У.136)
Е< fth + [f]{q(t)} -Р[М]{у It))) = { P(t)}. (1У.137)
Зак. 641
129
§ 1У.8. Задачи устойчивости
1У.8.1. Постановку и методику решения задач устойчивости
проиллюстрируем на примере пластины (см. рис.1У.1), находящейся
в условиях плоского напряженного состояния. Будем считать, что
вектор-функция {&} = {&х 6^ ?ху} известна. Найти ее можно либо
точно, либо приближенно, в том числе и по МКЭ.
Под потерей устойчивости такой пластины понимают явление,
связанное с переходом ее из одного равновесного состояния (плос-
кого) в другое (изгибное), отличающееся по напряжениям и дефор-
мациям от первого сколь угодно мало. Причем напряженное состояние,
при котором пластина теряет свою устойчивую форму и выгибается,т.е.
когда становится возможным появление смежных форм равновесия,
называется критическим.
Для определения критических напряжений обычно исследуют фор-
мы равновесия пластины, при которых она испытывает воздействие от
весьма малых отклонений W в плоскости наименьшей жесткости. При
этом если приращение потенциальной энергии деформации вследствие
возможного изгиба U^0n равно изменению энергии определяю-
щейся работой напряжений в плоскости пластины на деформациях в
ней от vf , то эти напряжения и являются критическими [62] .
1У.8.2. Деформации в плоскости пластины при появлении пере-
мещений W находятся следующим образом [б2]. Иэ рис. 1У.7 ви-
но , что за счет иг первоначальная длина dx увеличивается
о-х, = dx + dx[l * (1У-138)
Отсюда, удерживая в разложении (1У.138) только два первых члена
ряда,, получим деформацию срединной плоскости в направлении х
(1У.139)
Подобным же образом получим дополнительную деформацию в средин-
ной плоскости, соответствующую перемещению в направлении у _•
Чтобы определить деформацию сдвига
в плоскости пластины, обусловленную
ее возможным изгибом, рассмотрим
два бесконечно малых линейных отрез-
ка 0A=>dxyi (рис.1У.8), кото-
рые при появлении перемещений и/зай-
130
соответственно. Очевидно, что разность
ДОВ=-£ и углом Л101В1 и будет искомой
на
мут положение 0/Д1 и 01Bi
мехру первоначальным углом
деформацией сдвига. Повернем плоскость Д1О,Ьг вокруг
угол (здесь ОВг11ОВ'л //^йу^.При этом плоскость Д^В*
совместится с плоскостью Д^О^В^ t точка же В? совместится с
Из рис.1У.8 видно, что смещение В^- ty наклонено к вер-
тикали ВгВ1 , образуя с ней угол dw/дх . Поэтому В1 Bf-
а искомая дополнительная деформация сдвига *
(1У.141)
° ху I дх/ \ ду/
1У.8.3. Обозначим вектор-функцию напряжений, соответствующую
начальному (критическому) состоянию конструкции, через
(1У.142)
^7 = /^ ?у ?ху}
и рассмотрим работу его компонент на дополнительных деформациях.
Поскольку дополнительные деформации, обусловленные малыми
прогибами, по сравнению с деформациями, связанными с вектором {&°}t
весьма малы, можно допустить, что напряжения остаются
при изгибе неизменными и, следовательно, дополнительная потен-
циальная энергия на единицу объема в плоскости конструкции может
быть записана в виде
2
,, доп
ио
или в матричной форме
131
dur
дх,
ды
Xff
(1У.144)
Применительно к пластине, представленной дискретной моделью,со-
гласно общей процедуре МКЭ прогибы и их производные в любой
точке Z-го элемента можно представить таким образом:
Л
8
Uf(X, jf)
lchM, = l63iM
(1У.145)
d
Ы
где [C]i - интерполяционная матрица (1У.9); {qfa - вектор-столбец
узловых перемещений /-го элемента из плоскости.
Отсюда подставляя (1У.145) в (1У.144) и интегрируя
нее выражение по площади /-го элемента, получим
послед-
Введем обозначение
Jj
4/
Г»
г9
r°
xy
Тогда выражение (1У.146) принимает
И; МЛ
'1'.
вид
(1У.146)
(1У.147)
4;
4
v
(tffylt (th • (iy-I48>
Выражение (1У.148) является дополнительной потенциальной энерги-
ей, появляющейся в плоскости /-го элемента из-за ее искривле-
ния. Матрица /ЛуУ/ носит название матрицы жесткости "начальных
напряжений" или, по Аргиросу [4], матрицы "геометрических жест-
костей". Эта матрица зависит не только от свойств элемента, но и
от его напряженного состояния. Она учитывает влияние изменений
геометрии системы, вызванных деформацией срединной плоскости, на
его напряженное состояние [5].
1У.8.4. Используя далее принятое правило перехода от энергий,
содержащихся в отдельных элементах, к энергий в пластине,получим
(1У.149)
132
где [Ку] - общая матрица геометрических жесткостей пластины;[у} -
вектор-столбец перемещений узловых точек пластины при ее деформа-
ции из плоскости.
Определим теперь дополнительную потенциальную энергию изгиба
пластины U^n. В соответствии с общей процедурой энергия,взятая со
знаком "минус", приближенно равна работе узловых усилий, возни-
кающих в пластине при появлении прогиба w, на соответствующих
им узловых перемещениях
(1У.150)
где [К] - общая матрица жесткости пластины при изгибе.
Так как пластина при начальных напряжениях {S0} находится в
равновесном состоянии, то дополнительная энергия в ее плоскости
(1У.149), связанная с возможными перемещениями точек пластины иэ
плоскости, равна энергии изгиба (1У.150), т.е.
J- (liflMH! + (Ц Т№1М-
Ясно, что продифференцировав выражение (1У.151) по {а}, придем
к уравнению равновесия узловых точек тела в матричной форме
[[Ку] + [ к}]{^} = 0. (1У. 152)
Из выражения (1У.152) следует, что для существования искривлен-
ных равновесных состояний определитель этого уравнения должен
быть равным нулю
)[Ку] + (1У.153)
1У.8.5. Если напряжения определяются с помощью за-
висимостей линейной теории упругости, то вектор критических на-
пряжений можно записать следующим образом [21,45]:
1&0) = А (Х,^)<рг (х,у)у3 (Х,у)}. (1У.154)
При этом легко убедиться, что выражение (1У.153) предстанет в виде
1л[Ку]+[К]1 = О , (1У.155)
существенно упрощающем решение задачи устойчивости, поскольку но-
вая общая матрица геометрических жесткостей пластины [Ку] уже не
содержит неизвестных амплитуд внешних сил. Нетрудно видеть,
133
что решение задачи устойчивости по форме совпадает с решением за-
дачи на собственные значения, которая рассматривалась вмпе. Заме-
тим, что и в данном случае особый интерес для практики представ-
ляют только величины критических напряжений, соответствующие наи-
меньшим значениям собственных чисел Л уравнения (1У.155) и свя-
занные с ними формы потери устойчивости.
1У.Э.6. Если общую матрицу геометрических жесткостей пласти-
ны [Куучитывающую эффект плоскостного напряжения при изгибе,рас-
сматривать как дополнительную жесткость, увеличивающую матрицу
жесткости для всей системы [к], то для расчета плиты на нагрузку,
лежащую в ее плоскости, можно записать выражение
[[Ку] + [K]](q}=<F}, (1У.156)
где {р} - вектор-столбец внешних узловых нагрузок.
§ 1У.9. О нелинейных задачах в расчетах конструкций
1У.9.1. Рассмотренные ранее методы определения напряженно-
деформированного состояния упругих тел с помощью МКЭ существенным
образом опирались на линейность соответствующих уравнений. В за-
дачах линейной теории упругости такая постановка является следст-
вием двух важнейших допущений: линейной связи между напряжения-
ми и деформациями (закон Гука)'и линейной связи между деформация-
ми и перемещениями (соотношения Коши)м1
Однако в строгой постановке задача механики сплошной среды,
к которой в конечном итоге сводится проблема расчета сооружений,
не является в общем случае линейной. Указанные вше допущения сле-
дует рассматривать лишь как линеаризацию, цель которой - упроще-
ние процедуры построения искомых решений.
Отказ от гипотез линейности, очевидно, может быть осуществ-
лен тремя путями. Первый путь, следствием которого являются наи-
более сложные разрешающие уравнения, состоит в отбрасывании обоих
допущений, что приводит к физически и геометрически нелинейным за-
дачам. Второй и третий случаи следует считать известным компромис-
сом. Так, если предположить, что напряжения и деформации связаны
нелинейно, а деформации и перемещения - линейно, можно прийти к
физически нелинейным задачам, примерами которых являются задачи
теории пластичности, физически нелинейной теории упругости, неко-
Здесь и далее речь идет о конструкциях, перемещения ко-
торых малы.
134
торые реологические проблемы. В свою очередь, при нелинейной свя-
зи деформаций и перемещений и справедливости закона Гука полу-
чаются геометрически нелинейные задачи.
За последнее время значительно возрос интерес к расчету кон-
струкций в нелинейной постановке. Это объясняется тем, что возник-
ла необходимость в более точной оценке напряженного состояния
сооружений. Это, естественно, привело к учету в расчетных схемах
конструкций эффектов пластичности и ползучести. Однако для ряда
современных облегченных тонкостенных конструкций решение задач
прочности и устойчивости возможно лишь в рамках геометрически
нелинейных теорий.
1У.9.2. Перейдем к математической формулировке нелинейной
задачи. Независимо от ее типа разрешающим уравнением МКЭ в форме
метода перемещений является уравнение равновесия. При этом вся ин-
формация о физической и геометрической нелинейности конструкции
полностью содержится в матрице жесткости системы [к] , компоненты
которой связаны с матрицами жесткости отдельных элементов соот-
ношением (1У.95)
где согласно (1У.65)
или с учетом (1У.46)
Ж'*'"-ЖЖ Т
J Vi
В физически нелинейных задачах механические характеристики
материала являются, как известно, сложными функциями компонентов
напряжений, деформаций или перемещений, взятыми из опытов. Так,
например, определяющие уравнения в теории малых упругопластичес-
ких деформаций при активной деформации в условиях простого на-
гружения, а также в нелинейной теории упругости имеют вид
П , (1У.157)
где матрица по форме совпадает с матрицей упругости (П.З),
но ее элементы в этом случае зависят от достигнутого уровня напря-
жений, деформаций или перемещений [16, 21].
135
Следовательно, разрешающее уравнение МКЭ будет нелинейньм и
его можно записать следующим образом:
[*«?))]{&-{Р} =0. (1У.158)
В ряде случаев (ассоциированная теория течения, теория пол-
зучести) определяющие уравнения (1У.157) могут быть записаны лить
в приращениях
(d&] = [К^ ({ . (1У. 159)
Тогда уравнения равновесия МКЭ принимают вид
[ К ({q})](dq.} - (dP) =0. (1У.160)
Если рассматривается геометрически нелинейная, но физически
линейная задача, то элементы матрицы зависят от перемещений
и поэтому разрешающее уравнение вновь может быть записано в фор-
ме (1У.158).
Таким образом, независимо от типа нелинейности с математи-
ческих позиций задача остается неизменной, поскольку она всегда
сводится при использовании метода конечных элементов к решению
нелинейных алгебраических уравнений в виде (1У.158) или (1У.160).
1У.9.3. Для решения системы нелинейных алгебраических урав-
нений существует широкий выбор различных итерационных методов,
основы которых были заложены в работах Ньютона [7, 5б].
Рассмотрим систему нелинейных уравнений
= - , Хп)]=0, (1=1,2, (1УД61)
Допустим, что известен вектор-столбец (xwJ= {xlfv х^ ... яв-
ляющийся 3-м приближением к вектору-корню {х) = (х1 хг ... х„}
этого уравнения. Тогда искомое решение векторного уравнения
(1У.161) можно представить в виде
(х) = (х<5}} + {e(s)} , (1У.162)
где {e<s1} - вектор-столбец погрешностей Л-го приближения.
Подставляя выражение (1У.162) в уравнение (1У.161), получим
зависимость F((x^} + 0 , которую, используя разложение в
ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами, можно переписать
так:
+ F((x<s>}) + F'((xls)})(ew}^o,
136
где t\(x(s)}) = df2 дх4 df, . д/г дх2 ( " df2 дхп
&fn dfn . . 8fn
дх2
- матрица Якоби. Если матрица [У(5,]= F'({х<s>}) существует и неосо-
бенная, то вектор погрешности запишется в виде
Таким образом, последовательные приближения находятся по
формуле
{х (s”>} = {х v>} , (s=o,1,2...). (1У.163)
Этот метод называется модифицированным методом Ньютона-Рафсона (ил1
методом касательной плоскости в л-мерном пространстве в соответ-
ствии с его геометрическим смыслом). Заметим, что за так называе-
мое "нулевое приближение" обычно принимается грубое решение сис-
темы, которое находится, например, из физического смысла задачи.
Если на каждом шаге итерационного процесса использовать не-
которое постоянное значение матрицы Якоби, например то
приближение к точному вектору-корню уравнения (1У.161)будет разыс
киваться по формуле ,
{x(s^>} = {х (S>} - [J10]’"' F({x(i>}) (1У.164)
Эта процедура называется модифицированным методом Ньютона - Кан-
торовича .
Естественно , что при таком подходе требуется большее число
итераций, хотя в целом эта модификация более экономична,так как
матрица Якоби определяется и обращается в данном случае только
один раз.
Если систему нелинейных уравнений (1У.161), определенную и
непрерывную в окрестностях искомого решения, можно переписать
в равносильной форме
{х} = Ф({х}) , (1У.165)
Зак.641
137
то для нахождения вектора-корня иногда удобно использовать метод
итераций [64]:
(x(s+1)} = Ф({х<5>}) f (s-0,1,2,...), (1У.166)
где (х(0)}- нулевое приближение.
Принимая во внимание, что итерирующая вектор-функция Ф({х})
разыскивается при этом в виде Ф({х)) = {х) + ЛР({х)), где Л
неособенная матрица, причем Л» £77,приходим, в сущности, к моди-
фицированному методу Ньютона-Рафсона, примененному к уравнению
(1У.161).
Условия сходимости изложенных методов исследованы в [25].Мож-
но отметить, что процесс довольно быстро сходится к решению, если
нулевое приближение не лежало от него слишком далеко.Однако следу-
ет учитывать, что в нелинейных задачах часто имеется несколько
изолированных корней, поэтому найденное решение не обязательно Су-
дет искомым. 0.Зенкевич [21] считает, что для получения правиль-
ного ответа необходимо применять метод малых приращений и четко
представлять физичеокую сущность задачи.'
1У.9.4. Изложенные методы решения системы нелинейных алгеб-
раических уравнений могут быть чиото формально применены к нели-
нейному разрешающему уравнению МКЭ
= 0 . (1У.167)
Допустим, что известно решение этого уравнения {q} . Тогда
вариация (1У.167) из положения равновесия по {&q} с учетом того,
что {Р} нэ зависит от {q} , будет иметь вид
^F({q})^^([K((q})]{q}). (1У.168)
Введем в рассмотрение матрицу жесткости [Кт], зависящую от.
достигнутого уровня перемещений {q - d'q). Согласно рис. 1У.9 по-
лучим
Рассмотрим процедуру Ньютона - Рафсона применительно к Урав-
нению (1У. 167) , взяв за 5-е приближение к корню вектор-столбец
(q_fSIJ- Легко видеть, что если ~ (q~ 6q}, то B'F
, и, следовательно,
(^+1>}^-[K({qrt,}]~1F({ql5>}). (1У.169)
Отсюда .
= { q fS1} - [К (( q(S1} ]~1 F((-q/s>}), (s= 0,1,2...). (1У.170)
138
Р и С.1У.9
Если в (1У.170) положить матрицу [K({q<s>})]постоянной,то при-
дем к процедуре Ньютона - Канторовича
= {q(s>}F(( f1}) • (1У.171)
Отметим, что F({^S)})fno существу, является неуравновешен-
ным вектором-столбцом нагрузки {ЛР} (невязкой сил), что хорошо
видно из рис.1У.9.
Для решения уравнения (1У.167) можно использовать также ме-
тод итерации
{ q(S+i)} = [К(( (1У.172)
непосредственно следующий из (1У.166). Ясно, что на первом этапе
такой процедуры вектор определяется посредством матрицы
жесткости [Ко]>3 которой все члены, связанные с физической и гео-
метрической нелинейностью, принимаются равными нулю. Затем реше-
ния повторяются, причем на каждом s + t этапе матрица лееткостиуточ-
няется с помощью вектора узловых перемещений, найденного на преды-
дущем шаге итерационного процесса.
Если задача формулируется в приращениях, то для ее решения
вся нагрузка разбивается на ряд ступеней и в пределах каждого ин-
139
тервала в общем случав решается нелинейная задача одним из опи-
санных методов последовательных приближений с начальной матрицей
жесткости, соответствующей перемещениямполученным на конце пре-
дыдущего интервала, т.е. {Ау/**1'} = [ К({(АР) , причем
— {у1**} + {Aq,(5^^}. Отметим, что когда ступени нагру-
жения достаточно малы, можно ограничиться на каждом этапе решени-
ем линейной задачи, используя матрицу жесткости системы, соответ-
ствующую перемещениям, найденным на предыдущем шаге нагружения.
Разумеется, что при любом итерационном процессе процедуру сче-
та повторяют до тех пор, пока разница между результатами реше-
ний, полученными на данном и предыдущем этапах, не будет достато-
чно малой.
1У.9.5. Как уже отмечалось, в нелинейных задачах существенное
значение имеет физическая интерпретация вычислительной процеду-
ры, поскольку это создает определенную уверенность в том, что по-
лученное решение будет искомым. Именно на этом и основаны все из-
вестные методы'решения нелинейных задач механики сплошной среды.
Однако можно показать, что такие приемы сводятся в конечном счете
к какой-либо модификации метода Ньютона.
Рассмотрим, например, метод упругих решений А.А.Ильюшина[23],
заключающийся в следующем. Вначале решается чисто упругая зада-
ча и определяется вектор-столбец узловых перемещений {р},
которому соответствует в каждом <-м конечном элементе вектор-функ-
Ц"я
Затем, используя определяющие уравнения связи между напря-
жениями и деформациями (1У.157), находится вектор-функция {& го>)/~
— [ К 'Ц (( ^)]- {£}[ .Это дает возможность с помощью уравнения
(Р^)} = fff Ы {em)idv (1У.173)
и
и известной процедуры, изложенной в П.1У.5.5, определить вектор-
столбец узловых внешних сил {Pg-(o>) обусловленный узловыми пере-
мещениями { д, }в рассматриваемой нелинейной системе. Далее вычис-
ляете# разность
{АР(1>) = {Р} Р6(О1), (1У.174)
представляющая собой вектор невязки сил, который прикладывается к
рассчитываемой конструкции и иэ упругого решения находятся пере-
мещения
{Aq,1)} = [RoJ{AP<1)} .
140
После этого определяется вектор-столбец [ <1 !<1} = {у ,0>} + {Дц
и соответствующие ему ( £(t1} ; {{ДР<}>}. Зелем процесс повто-
ряется до тех пор, пока невязка сил {ДР(^} не будет меньше за-
данной точности решения.
Нетрудно видеть, что описанная процедура полностью совпада-
ет с модифицированным методом Ньютона - Канторовича, но здесь
каждая иэ рассматриваемых величин имеет вполне определенный фи-
зический смысл.
§ 1У.10. Теоретические аспекты МКЭ
1У.10.1. Для МКЭ как численного метода решения задач меха-
ники сплошной среды весьма важной и принципиальной является про-
блема его строго математического обоснования, что, по существу,
предопределяет ответ на такие вопросы, как сходимость и точность
полученных приближенных решений. Строго говоря, исследование его
представляет собой весьма сложную математическую задачу, для ре-
шения которой необходимо использовать аппарат теории функций,
функционального анализа и других разделов математики. Детальное
обсуждение этих вопросов выходит за рамки настоящей книги, имею-
щей в основном прикладную направленность. Можно лишь указать на
ряд специальных работ, посвященных тщательному и строгому изуче-
нию математического обоснования МКЭ [21, 26,35,53,66, 72J.
1У.10.2. Вместе с тем можно дать в известном смысле ответ
на затрагиваемые вопросы, используя определенную тождественность
МКЭ таким апробированным в инженерной практике и теории мето-
дам, как вариационные и вариационно-разностные. Основанием для
этого может служить тот факт, что разрешающие уравнения МКЭ вы-
водятся из энергетических принципов строительной механики.Дейст-
вительно, если сравнить разрешающее уравнение МКЭ, полученное иэ
условия минимума функционала потенциальной энергии системы,с вы-
ражением (П.75), найденным с помощью вариационного метода Ритца,
при использовании системы локальных координатных функций, то ска-
зывается, что МКЭ можно интерпретировать как классический вариа-
ционно-разностный метод.
Возможен и другой подход к трактовке МКЭ, если иметь в ви-
ду, что разрешающие уравнения этого метода получают также непос-
редственно из принципа возможных перемещений (см. п.ХУ.6.1).Как
известно, из этого же принципа для упругих систем может быть по-
лучен метод Бубнова - Галеркина [Зв].
Таким образом, и оказывается возможным использовать мощный
математический аппарат вариационного и вариационно-разностного ис-
I4X
числений для исследования вопросов сходимости и точности МКЭ.
1У.10.3. Как известно, метод Бубнова - Галеркина носит
более универсальный характер и не обязательно связан с вариа-
ционными принципами [24]. В этом случае данный метод является об-
щим методом решения задач математической физики.
Следовательно, МКЭ тоже можно рассматривать не только как
некоторый способ решения задач строительной механики, но и как
универсальный приближенный прием решения достаточно широкого клас-
са краевых задач. Вообще, если смотреть на метод конечных эле-
ментов как на способ соответствующей приближенной аппроксимации
решения на некоторой сетке узлов и элементов с координатными функ-
циями, имеющими локальный характер, то его можно связать с раз-
личными приближенными методами решения задач математической физи-
ки [53]. В качестые примера можно указать на успешное приложение
МКЭ к задачам, описываемым кваэигармоническими дифференциальны-
ми формами [21].
1У.10.4. При реализации МКЭ наиболее существенным является,
как это видно из вышеизложенного, выбор типа локальных координат-
ных функций, или,другими словами, формирование матрицы функций,
интерполирующих поле перемещений через перемещения узловых то-
чек, так как именно ими определяется близость энергий дискретной
модели к действительной, т.е. в конечном итоге сходимость и точ-
ность приближенного решения.
Исследованиями показано [21, 45J, что интерполяционные функ-
ции МКЭ должны удовлетворять следующим требованиям:
- они не должны вызывать изменения напряженного и деформиро-
ванного состояния в элементах, когда существуют перемещения его
узлов, связанные лишь со смещением элемента как абсолютно твердо-
го тела;
- они должны обеспечить постоянство напряженно-деформирован-
ного состояния в элементе при уменьшении его размеров;
- необходимо, чтобы деформации по всем поверхностям раздела
между смежными элементами были конечны, или перемещения в случае
плоской задачи, перемещения и их первые производные при изгибе
тонких пластин и оболочек должны удовлетворять условиям непре-
рывности при переходе границ между элементами.
1 У.10.5. Нетрудно видеть, что использование МКЭ в форме ме-
тода перемещений приводит к тому, что автоматически удовлетворя-
ются уравнения равновесия и непрерывности перемещений в узлах.
Если же выбранные интерполяционные функции удовлетворяют вышепере-
численным трем условиям, то, очевидно, выполняются условия непре-
рывности перемещений для области в целом. Однако при этом, как
142
правило, имеют место разрывы в деформациях и напряжениях при пе-
реходе от элемента к элементу.
Вместе с тем следует особо подчеркнуть, что именно выполне-
ние условия неразрывности перемещений обеспечивает, при увели-
чении числа элемента в рассматриваемой области вплоть до беско-
нечности, сходимость решения к точному.
В работе [45] показано, что относительная ошибка дискрети-
зации может быть определена по формуле
л /о i2(P+t~Pl)
ZT = , (1У.175)
где a,t - характерный размер соответственно конечного элемента
для конструкций; р - степень интерполяционных полиномов; 2pt
пордцок разрешающих уравнений.
Отсюда следует, что при -*-0стремится к нулю и ошибка,
обусловленная количеством элементов, на которые разбивается кон-
струкция. Однако простое увеличение числа конечных элементов для
повышения точности решения не всегда приводит к желаемым резуль-
татам. Это связано прежде всего с тем, что резко возрастают ошиб-
ки округления, вызванные ростом числа арифметических операций (крс
ме того, погрешности возникают и вследствие округления исход-
ных данных).
В [65J показано, что при использовании точных методов реше-
ния системы, содержащей N алгебраических уравнений, количество
умножений огромно и равно ~ М3/з . При этом если компоненты в
матрицах (например, в [К] и (Р) уравнения 1У.96) заданы с точно-
стью до t знаков, то компоненты в векторе-столбце решения ({$})
с учетом статистического характера накопления ошибок будут полу-
чены с точностью до
t - (1У.176)
знаков.
Следует иметь в веду, что ошибки округления при увеличении
числа конечных элементов в конструкции возрастают также и за
счет абсолютного уменьшения величин относительных деформаций.
В связи с изложенным заметим, что размеры конечных элементов
необходимо назначать так, чтобы погрешности округлений, связанные
о числом уравнений Д', были в допустимых пределах,поскольку ошиб-
ку дискретизации (1У.175) можно уменьшить, применяя конечные эле-
менты с большим числом степеней свободы.
1 У.10.6. Как показывают опыт и теоретические исследования,
весьма важным при реализации численных методов является обеспече-
143
ние устойчивости вычислительного процесса. Известно, например,
что при решении системы линейных алгебраических уравнений с так
называемой плохо обусловленной матрицей коэффициентов небольшие
изменения компонентов этой матрицы приводят к существенному ис-
кажению результатов решения (65j. Поэтому целесообразно в каждом
конкретном случае производить оценку обусловленности матрицы
линейного преобразования каким-либо из существующих методов [64J.
В этой связи уместно еще раз подчеркнуть преимущество МКЭ в фор-
ме метода перемещений по сравнению с МКЭ в форме метода сил, в
котором основная система не единственна, и может оказаться, что
выбрана та, которая приводит к плохо обусловленной матрице подат-
ливости.
В заключение следует отметить, что несмотря на имеющиеся
теоретические исследования математических аспектов МКЭ, подтвер-
жденных в ряде случаев численными экспериментами, в настоящее вре-
мя отсутствуют строго обоснованные рекомендации по выбору числа
и формы конечных элементов, вида интерполяционных функций и
других наперед задаваемых параметров в МКЭ. Решение всех этих
вопросов до сих пор в значительной степени осуществляется на ос-
нове априорных соображений интуитивного характера, зависит от
квалификации и опыта расчетчика, роль которого пока остается оп-
ределяющей.
ГЛАВА У
КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
5 У.Х. Плоская задача
У.Х.Х. При решении плоской задачи теории упругости в декарто-
вой системе координат наибольшее распространение получили треу-
гольные и прямоугольные элементы. Рассмотрим подробно первые из
них и учтем, что все соотношения, характеризующие напряженно-де-
формированное состояние конечных элементов, были получены в об-
щем виде с использованием в иллюстративных целях главным образом
конечных элементов треугольной формы. Поэтому Представляется воз-
можным при детальном описании таких элементов существенно опира-
ться на результаты, приведенные в четвертой главе,
У.1.2. Треугольный элемент с узлами в вершинах дан на рисДУД.
Как известно, напряженно-деформированное состояние этого элемента
однозначно определяется перемещениями всех его точек, которые в
соответствии с процедурой МКЭ выражаются с помощью интерполяцион-
ной матрицы [С], через перемещения узлов элемента. Но посколь-
ку структура этой матрицы (ХУ.9) и формулы для ее компонентов
(1У.23) уже известны, можно в данном случае перейти непосредст-
венно к формированию других матриц, определяющих этот треуголь-
ный элемент.
Согласно выражению (1У.42) матрица деформаций [Л].= [С].
является блочной, стандартный блок которой, имея в виду (П.2"),
* * ч
(У.Х)
Матрица напряжений [£].s [fy] [2)]. также относится к блочной
(ХУ.46). Типичная подматрица ее с учетом (П.З")
(У.2)
Зак.641
145
Остальные подматрицы в (У.1) и (У.2) записываются аналогично с
заменой индекса к на j и п .
Перейдем к определению матрицы жесткости рассматриваемого
элемента. Для этого воспользуемся общим соотношением (1У.59), в
котором интегрирование по объему элемента в данном случае заме-
няется интегрированием по его площади
Щ «А, IJ [Е (У.З)
где Л(- - толщина z-ro элемента, предполагаемая постоянной.
В (У.З) матрицы, стоящие под знаком интеграла, не содержат
Л и у , поэтому
. =Д.А. [Dl-^-Л^ ’ б (</]'« (Id)'-’)7. ([с/]"’)' (У.4)
или ’ (к
Щх [С Щ'Г
Симметрично К
где, например,
В развернутом виде стандартный блок матрицы жесткости имеет
ввд
1
(У.5)
c c * z~<z/- 5- Ъ \l ‘V* £ °j uk
146
Заметим, что впервые матрица жесткости для такого элемента была
получена в работе [84].
У.1.3. В П.1У.2.3 было показано, что задание закона для
перемещений в виде (1У.П) обеспечивает непрерывность перемещений
при переходе от элемента ,к элементу. Вместе с тем задача при та-
ком подходе решается приближенно, поскольку компоненты деформа-
ций (1У.43) {£} = [£)]; { qи напряжений (1У.47) {б=
= [£]. {]; остаются постоянными по области элемента, а на его
границах претерпевают разрывы. Тем не менее расчеты показывают [45^
что представление (1У.П) дает возможность получить в ряде слу-
чаев результаты, удовлетворяющие запросам практики.
Однако вполне естественной является попытка повысить точ-
ность решения без увеличения числа элементов. Можно показать,
что это достигается, например, введением на сторонах треуголь-
ников дополнительных точек, в которых приравниваются перемещения
смежных элементов.
Рассмотрим треугольный элемент второго порядка с шестью уз-
ловыми точками, расположив дополнительные три узла е,/,I на се-
рединах его сторон (рис. У.1). В результате число компонентов
узловых перемещений увеличится до 12 и функции, регулирующие из-
менение компонентов перемещений и и v по области элемента,
могут быть заданы в соответствии с п.ХУ.2.3 полными полиномами
второго порядка
гг = у хухг^1г у*.
Нетрудно видеть,что и в данном случае обеспечивается совместность
перемещений на границах смежных элементов при условии равенства
соответствующих узловых перемещений. В самом деле, соотношения
(У.6) для любой иэ сторон элемента, где х и у связаны зави-
симостью у = кх +&, представляют собой уравнения параболы, коэф-
фициенты которой однозначно определяются тремя перемещениями в
узлах на каждой из сторон элемента.
Придерживаясь далее стандартной схемы определения характе-
ристик элемента, запишем согласно п.ХУ.2.3 интерполяционную мат-
рицу для треугольного элемента второго порядка в общем виде
[CJ; --[£г се (х,у) ЕгСк(х,у)ЕгС/(х,у)Е£Сп(х,у)
ЕгС1(х,у)]. (У.7)
Компоненты этой матрицы, отвечающие соотношениям (У,6),могут
быть получены по формуле (1У.21). Однако, имея в виду (1У.26)
и (1У.27), запишем их непосредственно с помощью (.-координат
147
для узла в вершине
для узла на стороне элемента
Ce(^^)-kLjLk.
Получив таким образом интерполяционные функции, выв блоки матриц реформаций и напряжений найдем типо-
’ (^Lk-1)hk 0 0 (4^k1)CK (ULk-1)bk 1 (У.8)
0 4(LjC^Lkc.) 0 ^WP (У.9)
’ (^Lk-I)bk ^Lt-»bk (^Lk-f)ck ; (У.io)
148
(У.П)
Из формул (У.8) - (У.П) следует, что компоненты деформаций
и напряжения являются линейными функциями эс и ц , поскольку в
них входят 1-координаты. Это позволяет рассчитывать на полу-
чение более точного решения при использовании элементов второго
порядка.
Матрица жесткости для рассматриваемого элемента определяется
по общей для плоских элементов формуле (У.З). И хотя вычисле-
ния соответствующих интегралов не встречают принципиальных труд-
ностей, однако выражения оказываются весьма громоздкими. Поэтому
для таких элементов компоненты матрицы жесткости удобней опре-
делять на ЭЦВМ, применяя численное интегрирование.
УЛЛ. Теперь осуществим приведение объемных и поверхно-
стных сил, а также начальных деформаций к статически эквива-
лентным узловым силам.
Вектор-столбец узловых сил для плоского i-ro элемента треу-
гольной формы, отвечающий объемным силам интенсивностью / } =
*(XV Уу } согласно формуле (1У.73) запишется в виде
1! [СЛ (У.12)
Отсюда, принимая во внимание блочное строение матрицы 1£]( , на-
ходим вектор узловой силы в к-м узле элемента
{Pv}-*^ hi Jj E.2Ck(x,^)[G^ c/xdy (У.13)
или
fj Ck (x,y) (Gvj dxdy, (У.14)
A
где ipyf)i ~ \ "tv и " компоненты этого вектора
по осям координат ж (I), у (2).
В том случае, когда объемные силы являются постоянными
16,} J! С* ' (УЛ5)
4t-
149
и если применяются элементы с тремя узловыми точками,нетрудно про-
извести интегрирование этого выражения в замкнутом виде. Особенно
просто это выполняется, если начало координат выбирается в центре
тяжести элемента. Тогда [21]*^
„ 2Дг
Xj+x^x^^+i^^O; aj’ak°an^ ~3^"' (У.16)
xdxdy = IJ ydxdy-O.
Поэтому, имея в виду (1У.23),
IPv^^lGjjj-^iajb.x.c^dxd^^-h, {GJ. (У.17)
А
Таким образом, для всего элемента первого порядка
W?' У*
{Pvh* - ip,)!” - -f-ч • (У.18)
ip,}'” Ху
т.е. узловые силы, статически эквивалентные объемным силам, дей-
ствуют в направлении осей х, у и перераспределяются между узлами
элемента на три равные части.
Перейдем к рассмотрению 1-го элемента, расположенного на гра-
нице области, и допустим, что по одной из его сторон действуют по-
верхностные силы Рх и , являющиеся компонентами вектора-функ-
ции }рЛ}.На основании (1У.76) вектор-столбец узловых сил,обуслов-
ленных заданными поверхностными силами, определяется формулой
1°Д hJWl’ip.W,
sl
в которой интегрирование по поверхности заменено интегрированием
по граничной стороне элемента 5(- .Отсюда, учитывая структуру мат-
рицы [C]i ,вектор силы в Л-м узле будет
J Ег Cjx^JpJdS-J Cli(X,J[pJdS, (У.19)
A A
и если поверхностные силы постоянны, то
х)5сли центр тяжести элемента не совпадает с началом коорди-
нат, то необходима соответствующая замена переменных.
150
si
При решении плоской динамической задачи теории упругости bi
тор-столбец узловых сил инерции для 4-го элемента ^^,отвеча1
щий распределенным силам инерции, согласно выражению (1У.120) б;
дет иметь вид
{^}z --[Mh .
где [Af]- - блочная матрица инерции (1У.121) с типовой цодматр
цей для двухмерного конечного элемента;
Д ^гСк(х’^ (У.2
Aj
Поскольку для элемента с тремя узловыми точками, учитывая (1У.2.
и (У.16),
Д fjc^x^C/x.yJdx^ (у.г
д, д.
матрица инерции для него имеет вид
у 0 т 0 ¥ 0 2 4 4
0 1 ° i 0 z 2 4 4
L 0 L о ± 0 4 2 4 0 I 0 i 0 I
L о f о 1 0 4 4 2
i <=> ^1"
(У.2
Если 4-й элемент подвергается начальной деформации {£* }, '
вектор-столбец узловых сил, эквивалентный этому воздействию,опр
деляется с помощью уравнения (1У.80)
( Pt }<• - \ ff {ЦГ [Kp] {(.t\dxdy. (У.2
Полагая, что начальная деформация постоянна в пределах ЗЛ'
мента и что конечный элемент треугольной формы имеет только т
узловые точки в его вершинах, выражение (У.24) в соответствии
(У.1) может быть переписано следующим образом:
151
{P^ -hlAi {eti. ,
(У.25)
где
Таким образом, получены все необходимые для реализации МКЭ
зависимости, связанные с конечным элементом треугольной формы.От-
метим, что в замкнутом виде они выписаны лишь для треугольных эле-
ментов первого порядка. Если используются элементы второго и бо-
лее высоких порядков, а также криволинейные элементы, то их ха-
рактеристики удобно находить численно с применением ЭЦВМ.
У.1.5. В раде случаев конфигурация области такова, что ее
удовлетворительная аппроксимация достигается с помощью конечных
элементов прямоугольной формы.
Рассмотрим вначале Z-й прямоугольный элемент с узлами J,
(рис.У.2). Вектор-столбец узловых перемещений такого элемента име-
ет, очевидно, восемь компонентов
= ((^iJ>IЯffy}? fЯUk vk uSWb
Возможно несколько путей получения соотношений, необходимых
для анализа напряженно-деформированного состояния прямоугольного
элемента [5,27,41]. Один иэ них является распространением на рас-
сматриваемый случай способа, примененного в предыдущем параграфе
и основанного на задании закона изменения перемещений по области
элемента. При этом необходимо иметь в виду, что за счет повышения
числа степеней свободы элемента до восьми к линейным функциям ти-
па (1У.11) следует добавить по одному квадратичному члену. Однако
если оставить в силе условие непрерывности перемещений при пере-
ходе от элемента к элементу, то такие добавочные члены должны
быть вполне определенными, и соответствующие полиномы для переме-
щений принимают вид
лу. (У.26)
Из зависимостей (У.26) видно, что вдоль любой иэ сторон пря-
моугольника перемещения изменяются по линейному закону, а это при
равенстве узловых перемещений в соответствующих узлах обеспечива-
ет, очевидно, требуемую непрерывность при переходе от элемента
к элементу.
152
Рис. У.2
У.1.6. Для построения матрицы интерполяционных функций, отв
чающих (У.26), воспользуемся способом, описанным в П.1У.2.4.
этой целью перепишем зависимости (У.26) в матричной форме
{и\ = (У.27
где
0 Х ° V ° ХЧ ° 1 •
1 J I 0 .1 0 л о ц 0 ху J ’
{etjl = fcCtcCt ... oCg ) .
Выразим с помощью (У.26) компоненты узловых перемещений
х <$ * сС3 Xj < у,- Xj ft ;
VJ xj * ‘Sf # XJ У J !
Uk. = o<, * otj Л, xk ; (У .28:
zr X t<3 t Xn *9<.g уЛ * oCg Xn ,
или в матричной форме
19k s /cK }• , (У.29)
где матрица [S] в соответствии с рис. У.2 имеет вад
Зак.641
153
IBV f о О 0 0 0 а1 0 а, 0 <2 О 0 0 °. Ь, 0 0 0 ь, °, 0 0 я а, 0 0 0 0 Ь 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Q 0 0 0 0 0 (У.30)
0 /
1 0
0 /
1 0
0 /
/ 0
0 . /
Из (У.29) найдем • где матрица [В, V л 0 ‘[в];1 {<nit (у.з!) обратная к (У.30), будет
/ 0 atb, 0 •ь, Q 0 0 0 0 д 0 0 0 0 Q Q 0 0 0 0 0 0 bt 0 0 0 0 b.
Щ - al -а, f 0 а. 0 0 7 0 0 •
В результате мат 0 1 . 0 рица 0 1 (У.27) а, а, -1 0 0 -/ с учетом 0 000 f 0 -1 0 0 1 0 -f _ (У.31) записывается следую-
щим рбразом:
(tfj; (У.ЗЗ)
В этом выражении матрицу [£](., интерполирующую узловые перемеще-
ния по площади прямоугольного конечного элемента с узлами в вер-
шинах, можно представить в вида четырехблочной матрица
[£]j *И2 С- (я,у) ^гСк(л^ £»Са(л>У> £гСп(л>р1 • (У.34)
Здесь
Cj (л,^) > а- )u- ?r); ck (я, ра- ;
(У.35)
154
если
е “Ч _ У
Однако применение (У.34) крайне неудобно, поскольку все функ-
ции в этом выражении представлены по-разному, что требует развер-
нутой записи матрицы, определяющей рассматриваемый элемент.Вместе
с тем, учитывая (1У.34) и (1У.36), блоки в (У.34) можно записать
единообразно
где Ck (%, р)~ W*??* ) • Тогда, принимая во внимание струк-
туру [С]< и (1У.47), матрица деформаций
[Z)J; --[[dl'f М™ [cf]‘S}
(У.36)
а ее типичный блок
Матрица напряжения [Е]^ ,если ввести в рассмотрение
ствующие подматрицы, будет
где, учитывая (1У.46),
(У.37)
соответ-
(У.38)
г 1lM G
leJ<’ ‘ 2Щ)
(У.39)
. е, ск t(, ?>,
а
О
4
о
(1^1;)
L ь ""'ч
а
Для построения
лой (У1.3), которая
зом:
матрицы жесткости воспользуемся
в данном случае записывается следующим обра-
<7, 6,
J J IDJilElirt'ty,
О О
или, переходя к нормализованным координатам,
форму-
155
lltk-atyj]
-t -f
((d]-JJ)r'
(Id]'*’)'
(ld]^)r
([d^}T.
(У.40)
Отсюда следует, что (У.40) - блочная матрица четвертого поредка,
компонентами которой являются подматрицы второго порядка. Легко
можно увидеть, что элементы подматрицы интегрируются явно. Поэто-
му, опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный вид ти-
пового блока матрицы жесткости для конечного элемента прямоуголь-
ной формы, изображенного на рис.У.2:
Gh
" 1-//
где m*-~
Заметим, что все остальные расчетные величины, относящиеся к
прямоугольному конечному элементу первого порядка (узловые усилия,
матрица инерции и т.п.), могут быть достаточно просто получены по
формулам п.У.1.4.
У.1.8. Выбор закона распределения перемещений по области пря-
моугольного конечного элемента в ввде (У.26) приводит к тому, что
уравнения равновесия (см. п.П.1.5) могут быть удовлетворены лишь
приближенно, в чем легко убедиться путем подстановки в них напря-
жений ](. = [£] { q j(. . Однако можно подойти к заданию функ-
ций перемещений несколько иначе, обеспечив удовлетворение урав-
нений равновесия [5,84]. Для этого введем в рассмотрение функцию
напряжений
156
J. <y•42 >
которая полностью описывает напряженно-деформированное состояние
прямоугольного элемента [63]. При этом изменение компонентов на-
пряжений по его области носит линейный характер
* *А у = °S f >
дгч дги
2а★***= ^х> <у-43>
или в матричной форме
(У.44)
где
1
W- о
О
у о о о
0 1x0
0 0 0 1
loijhfyoCj... 0<s}.
Очевидно, что в силу относительной малости конечного элемен-
та такой подход к заданию функции можно считать вполне допус-
тимым.
Теперь, используя обобщенный закон Гука, наедем компоненты
деформаций
= -JT s yr
» У ) = 77 (-?'*, '^‘еС^оС^х);
<У-^
или в матричной форме
{«},• = [X] {<<,}, , (У.46)
где
1 О ‘
IX]. j. 1 X О (У.47)
0 0 О 0 <7^ 1
157
Интегрируя далее геометрические соотношения Коши, в которых ком-
поненты деформаций подставляются из (У.45), получим искомые выра-
жения для перемещений*)
и = о<
(У.48)
ZdL
£'
или в компактной матричной форме
Л- (У.49)
где
р'уЧх1
2Е'
V»
О у t О
хи X п '
-f- J -х О /
Ясно, что после определения соотношения (У.49) все остальные опе-
рации, связанные с нахождением интерполяционной матрицы, матриц
напряжений и жесткости, векторов узловых сил, могут быть выполне-
ны способом, аналогичным рассматриваемому выше. Однако вычисления
в этом случае оказываются более сложными и громоздкими. Поэтому,
опуская выкладки, приведем в развернутом виде окончательное выра-
жение для определения компонентов напряжений (У.50)и матрицу жест-
кости (У.51) для конечного элемента прямоугольной формы, показан-
ного на рис. У.2.
Эпюра распределения напряжений по площади элемента,построен-
ная в соответствии с функцией (У.42) и значениями напряжений в
узлах элемента по (У.50), показана на рис. У.З.
Легко водеть, что при таком подходе к определению вектор-
функции {S' J(. f хотя уравнения равновесия и удовлетворяются,нераз-
рывность перемещений вдоль каждой общей стороны двух прямоуголь-
ников не обеспечивается. Кроме того, на линиях стыковки смежных
элементов компоненты напряжений и деформаций терпят разрыв.
У.1.9. Точность расчетов при использовании четырехугольных
элементов может быть повыпена так же, как и при использовании тре-
*?Коэффициенты сСе, оС7 и , появившиеся в процессе интегри-
рования, определяют перемещения элемента как абсолютно твердого
тела.
158
159
ы
1Л
*4
160
угольных, а именно: введением на их сторонах промежуточных узлов
которые обычно располагают на серединах сторон элемента, как пока
зано на рис. У.4. Ясно, что такой элемент обладает уже шестнад-
цатью степенями свободы и поэтому каждое выражение для перемеще-
ния может содержать восемь членов, два из которых - любые кубичес
кие. Однако и в этом случае, если при выборе полиномов,аппрокси-
мирующих поле перемещений, потребовать выполнения условий их не-
разрывности вдоль границ элементов, то вид функций будет единст-
венным
(У.52)
V X Y<<rs *
Нетрудно убедиться, что при равенстве соответствующих узло-
вых перемещений непрерывность перемещений гарантируется, так как
на каждой из сторон элемента любая из этих зависимостей является
квадратичной параболой, однозначно определяемой заданием переме-
щений в трех точках.
Приняв в качестве функций, аппроксимирующих перемещения в
пределах рассматриваемого прямоугольного элемента, полиномы (У.52)
можно на основе вышеописанных рассуждений получить все необхо-
димые для расчета формулы без принципиальных усложнений. Тем не
менее из-за громоздкости вычислений выполнение всех матричных
Зак. 641 161
Рио. У.4
операций в данном случае целесообразно включать в программу и
реализовывать на ЭЦВМ.
У.1.10. Наличие матриц жесткости и других характеристик для
алементов различного типа позволяет решить любую двумерную задачу
теории упругости независимо от формы области, схемы загружения и
условий закрепления на контуре. Однако при этом естественно воз-
никает вопрос о том, какому типу конечных элементов следует от-
дать предпочтение, поскольку одну и ту же задачу можно решить,
используя элементы разной формы. Кроме того, возникают вопросы
о выборе количества узловых точек для конечных элементов, о на-
значении их размеров или густоте сетки, которая обеспечила бы не-
обходимую точность расчета. Следует отметить, что несмотря на всю
важность затрагиваемых вопросов, строгое их математическое обос-
нование до настоящего времени отсутствует [21]. Это заставляет при
выборе расчетной схемы руководствоваться некоторыми прагматичес-
кими принципами, основанными на опыте и интуиции проектировщика.
При этом приходится учитывать такие обстоятельства, как наличие,
надежно работающей программы,типа ЭВМ, удобство разбивки конструн»
ций на элементы, зависящие от конфигурации области.
У.1.П. Располагая значениями матриц жесткости, для приня-
тых в расчете конечных, элементов с помощью уравнения (1У.60) мож-
но записать в окончательном воде овяэь между вектором-столбцом уз-
ловых усилий в любом 4-м элементе (#}, и вектором-столбцом уз-
ловых перемещений [}<•
•
Естественно, если рассчитываемая область представляет собой
один конечный элемент в равновесном состоянии, то вектор узло-
вых реактивных усилий , отвечающий узловым перемещениям
162 •
должен уравновесить вектор-столбец внешних сосредоточенных уз-
ловых сил {Р*}; , статически эквивалентных всем реальным нагруз-
кам, действующим на элемент по направлению компонентов
или iq k ’ 0 , где индекс " * " овначает, как и
прежде, что из соответствующих матриц исключены члены, связанные
с наличием у рассматриваемого элемента перемещений как абсолютно
жесткого тела.
Отсюда следует, что искомые перемещения узловых точек еле-
мента
В действительности конструкция рассматривается как совокуп-
ность конечных влементов, в каждом узле которой соединяется не-
сколько элементов. Поэтому условие равновесия для нее выполняет-
ся, если в каждом Ar-м узле вектор внешней узловой силы {Р}а>,
определяемый по (1У.82) суммированием векторов (Pj!*1 по всем
элементам, примыкающим к узлу
Z Р<к>
{pf-r Н п - ,
It k I ₽•
itк
будет равен вектору равнодействующей реактивных усилий в этом узле
(fk
Ъ.
Здесь сумма берется по всем l-м элементам, сходящимся
(рис. У.5). Отсюда уравнение равновесия для конструкции
в узле Лг
в целом мо-
жет быть записано следующим образом:
{Р*}={#*}, (У.53)
где /Р*} - вектор-столбец внешних полных сил во всех узловых точ-
ках, кроме опорных; {$*}- вектор-столбец полных реактивных уси-
лий в неопорных узлах конструкции.
163
и с. У.5
Заменяя теперь в уравнении (У.53) вектор [£*} его выражени-
ем через матрицу жесткости всей системы [X*] [см. (1У.93)] ,по-
лучим разрешающее уравнение МКЭ в форме метода перемещений
[Р*} = [К*] {$*). (У.54)
Непосредственно из этого выражения находим вектор-столбец переме-
щений неопорных узловых точек системы
(?*} = [£*]’’ IP*}, (У.55)
с помощь» которого легко определяются перемещения узлов элементов,
а затем деформации и напряжения в любой точке каждого элемента,
ж следовательно, и в системе в целом. При этом необходимо отме-
тить, что если в расчетах используются зависимости, полученные
при условии соблюдения неразрывности перемещений по области те-
ла, то его расчетная модель оказывается "ужесточенной",что дает
в конечном итоге оценку напряженно-деформированного состояния
конструкции "снизу" (45J. Если же используются элементы,характе-
ристики которых определены с нарушением условий неразрывности
перемещений, (см. п.У.1.8), то это может как "ужесточить",так и
"ослабить" идеализированную модель тела. Понятно, что в этом слу-
чае оценка результатов расчета затруднена, и поэтому такой под-
ход рекомендуется применять весьма осторожно (45].
$ У.З. Пространственная задача
У.2.1. Сначала детально рассмотрим наиболее простой и вместе
с тем широко распространенный в расчетной практике конечный эле-
мент в форме тетраэдра с четырьм., точками, расположенными в его
вершинах (рис.У.6). Введем в анализ вектор-столбец узловых переме-
щений этого элемента
164
{<1^ i UjVJWjW^U$Vs4UnW,}
и соответствующий ему вектор-столбец реактивных узловых усилий
{/? jz = {I *}?’ Ir7 *11 * )iM} -
= {R^R'W’R? R.WR'*' R^R^Rf R^R^R™},
которые связаны между собой соотношением (1У.60)
Чтобы определить матрицу жесткости типичного <-го тетраэд-
рального элемента [Л]( ,а также другие матрицы и формулы,характе-
ризующие этот элемент, допустим, что вектор-столбец узловых пере^
мещений {q}. известен. Тогда, принимая во внимание, что состоя-
ние рассматриваемого элемента однозначно определяется вектор-функ-
цией перемещений по его области /z/J.»[uCx,y,z) v(х,ц,z) w(x,pz)},
необходимо прежде всего построить интерполяционную матрицу
с помощью которой устанавливается искомая связь (1У.5) {$}..
Для этого примем закон изменения компонент перемещений по объему
элемента в виде линейных функций координат, т.е.
U « cCft- аС£ л * <<j у х ;
V-aCs-K3i.sx + оС7 у toCg z; ' (у-5б>
или в компактной матричной форме
165
{C/Ji = [Я] {<*.}; ,
(У.57)
где матрица [fl] и вектор неизвестных коэффициентов {с<}( имеют
вид
№
1 X
О О
О О
У
о
о
Z
о
о
о
/
о
О 0 0 0 0 0 01 Г/7Т
х у z О О О О - О
О 0 0 / Л! у Z О
О О
flT О
О flT
:[£]; (У-58)
/7 = / / лул}; 0 = [0 0 00];
= {{<>(, о(го(3<К4}(оС^оСео(71/у }{о£9 <<и }}. (У.59)
Зависимости (У.56), являясь наиболее простыми и естественны-
ми, удовлетворяют условиям непрерывности перемещений внутри эле-
ментов и на границах их стыковки друг с другом. Кроме того, заме-
тим, что для определения 12 коэффициентов с£ имеется 12 ком-
понент узловых перемещений, которые полагаются известными.Поэто-
му, чтобы придать вектору коэффициентов физический смысл,
запишем с помощью (У.57) выражение для этих компонент, предвари-
тельно перегруппировав вектор в вектор {q}. следующим об-
разом:
(У.60)
Получим
(У.61)
где
166
1 XJ 4j 2J
В. * 1 1 1 х* ч* Xt У» (У.62)
/ Х„ У* 2 Г» .
Иэ (У.61) найдем
• S } Z (У.63)
или В- о 0
1*},= - 1 6V-. о в[ о > (У.64)
О 0 в'. J'?*)
где
XJ У7 zj
6V:- л к у* 2* (У.65)
1 X $ Уз ls
1 л Л Уп 2п
- определитель матрицы (У.62); - объем тетраэдра;
а
s'.. <7 Ъп с* С" (У.66)
к
- союзная матрица Компоненты матрицы В: вычисляются через опре-
делители
хк у* г У* 2к
aJ- Х3 Уз 23 ; 6,.»- 1 у$ Zs
х* Ун 2Н f Уп Уп
(У.67)
167
/ 2k 1
с/=. xt f 2S ; d. = - Xs V» t
хп 1 2п xn i
Значения остальных элементов матрицы 3(' определяются с помощью
циклической перестановки индексов j, Л , $ ,п, которые считываются
путем последовательного обхода узлов по часовой стрелке, если
смотреть на них из вершины, индекс которой присваивается соответ-
ствующей компоненте блока В( .
На основании полученных матриц зависимость (У.57) можно за-
писать в виде
и(x,y,z)
и
u(x,y,z)
ЯГВ’{ О О
О fBl о
о о ятв\
(У.68)
Отсюда следует, например, что
и(х>^л z)uk+
t(at +6, x ^os^d$
или, вводя обозначения
(OJ tbjX+c.y+djz)-,
‘ (У.69)
ТУ (a^bkXt И Т.Д.
получим
u(xtyZ)*Cj(xty,i) Uj +Ск(х,цуг)uk+Cs (x,y,z)us* Сп(х,у,г)ип . (У.70)
Аналогично можно записать функции для v(x,y,z) и иг(х,у,г).
Если теперь соответствующей перестановкой компонентов вектор
(У.60) вновь заменить вектором-столбцом узловых перемещений
и учесть формулу (У.70), то вектор-функция перемещений перепишется
так:
0 0 Ct(x,^) 0 0 Cs(x,^z) 0 0 С„(Хф) 0 0
о CjtxtyZ) 0 0 С^ц Q о Q(x,p} 0 0 Cn(X,!j,z) 0 (;у.7[)
0 0 С.(х,рп 0 0 Ck(x,^z) 0 0 Cs(x,t/a) 0 0fyxtyz)
168
Следовательно, интерполяционная матрица для конечного элемента
тетраэдральной формы с четырьмя узлами может быть представлена в
виде
[C]i-[E3Cj(x,^z)EsCl((x,^z) EsCs(x,y,z) ЕлСп(х^,г)], (У.72)
где - единичная матрица третьего порядка.
У.2.2. Интерполяционная матрица [/7]. может быть получена, од-
нако, и более простым путем, если для определения ее компонентов
воспользоваться соотношением (1У.21).
В самом деле, принимая во внимание (У.56), можно сразу запи-
сать
Cj (x,y,z) / 1 1 1 -1 1
Ck(x^,z) XJ \ XS X
Cs(x, y,z) — 4j 4k 4s 4* • 4 ’ . . (У.73)
Cn(X,<j,Z) N N 4 i z
или, введя обозначение {С}- - (х,у, z) Ck(x,y,z)Cs(x,y,z)Cn(x,u,z)}
и учитывая (У.58) и (У.62),
{С\ =(8;)4/!. (У.74)
Отсюда, имея в виду зависимости (У.64) - (У.67), получим выраже-
ние
(У.75)
которое полностью совпадает с (У.69). В свою очередь, каждую из
формул (У.69) представляется возможным интерпретировать как объем-
ную L- координату, поскольку, например, ck(x,y,z) можно рассмат-
ривать как отношение объема Mjsn к объему всего элемента kjsn
(рис.У.6). Следовательно,
Зак.641
169
Cj (я, y,z)' Lj
Ck (x, y,z)
C, — >
'С„(М,г> ,1-..
(У. 76)
или в компактной форме
lC}i = U, , (У.77)
поэтому матрицу (У.72) можно переписать в виде
lC]j ® [Е3 Lj Lk Ег L3 EjL„ ] . (У.78)
У.2.3. Вектор-функция деформаций в пределах конечного эле-
мента {£};•{ £х £ . zyJBx } определяется, как известно, по
формуле (1У.43), в которой матрица деформаций содержит в данном
случае четыре блока
Щ , (У.79)
причем типичный блок имеет вид
1 6fy_ * Таким образом, в пределах pa bj 0 0 0 С.- 0 0 0 di , ч Cj bj 0 • (y-80) o dj Cj 0 bj осматриваемого элемента компо-.
ненты вектора деформаций постоянны и определяются значениями ком-
понент вектора-столбца узловых перемещений { л и координатами
вершин тетраэдра.
У.2.4. Вектор-столбец компонентов напряжений, действующих в
границах области t-ro тетраэдрального элемента (6"^ = {6*х .
, . , 'fcjeu j, как функций узловых перемещений определяется по стан-
дартному выражению (1У.47). При атом прямоугольная блочная матри-
ца напряжений представляется в виде
СЦ • [I']f [ejf [е]™ [ej^] , (У .81)
170
а ее типичный блок
а-у)Ък у ск yd*
• уЬк (t-y)c* yd*
ybk (f-y)d*
Ь 0 . (У.82)
г к г *
0 t^Lc 2 * 2 к
ЦЧ °
Ясно, что и компоненты напряжений в пределах конечного эле-
мента являются постоянными величинами, зависящими от тех же пара-
метров, что и компоненты вектора {2^ и, кроме того, от упругих
свойств материала. Очевидно, что при переходе через границу раз-
дела смежных элементов компоненты векторов {£}( и {£}. претер-
певают разрыв.
У.2.5. Располагая значениями матриц деформаций и напряже-
ний, матрицу жесткости для рассматриваемого элемента получим с по-
мощью соотношения (1У.59). При этом в силу того, что компоненты
в матрицах [Я], и [Е]. являются величинами,не зависящими от преде-
лов интегрирования, выражение (1У.59) примет вид
Щ = Щг [£]i К- • <у-83)
Поскольку матрицы [Л], и [ £]i имеют блочную структуру,матри-
ца жесткости [К ется через блок* ]/ Для 1 тетраэдрального элемент а также записыва-
где К= Симметрично > (У.84)
= )ri^> (У.85)
В развернутой форме подматрица имеет вид
171
,(*) _ _____________4_________________
‘j * *
ybjC^^Cjb,
(t-^Ojt
^^(b^jt^Cj)
Lid c * I'?#- d c-
f jfc* 2 tJ
ub. d t d b.
K 2 J k
fJCj dk + di ck
(W dk dj <
•^.5*».‘P
. (У.86)
У.2.6. Использование линейных функций (У.56) в качестве за-
конов изменения компонент перемещений по области тетраэдральных
конечных элементов приводит к тому, что наряду с выполнением ус-
ловия неразрывности перемещений в .пределах рассчитываемого те-
ла-, компоненты деформаций и напряжений, как уже отмечалось, ос-
таются постоянными внутри элементов и поэтому терпят разрыв на
границах их стыковки. Кроме этого, матрицы жесткости (У.84) дают
в этом случае "ужесточенную" модель упругого тела и, как след-
ствие, заниженные значения расчетных величин перемещений,напря-
женйй и деформаций. Очевидно, что чем меньше будут выбраны раз-
меры конечных элементов, тем меньше окажутся упомянутые разрывы,
тем точнее будут вычислены компоненты напряжений и деформаций.
Вместе с тем введение в расчет достаточно большого количества
конечных элементов приводит к огромному числу уравнений, что со-
здает значительные вычислительные трудности. Поэтому на практике
требуемую точность решений трехмерных задач при использовании
тетраэдральных элементов получают обычно не за счет увеличения
числа вкладываемых в тело элементов, а путем выбора в качестве за-
конов изменения перемещений внутри элементов функций второго по-
рядка, обеспечивающих линейный характер распределения деформаций
и напряжений'по их объемам. Разумеется, что при таком подходе во-
зникает необходимость повысить число степеней свободы у конечных
элементов. Естественней всего это достигается с помощью уже из-
вестного приема - введением дополнительных узловых точек на се-
рединах каждого из ребер тетраэдра [78j. В результате количество
узловых точек в элементе (рис. У.7) увеличивается до 10, а чис-
ло степеней свободы - до 30.
172
В связи с изложенным зададим для
кавдой из компоненты вектор-функция
перемещений {u}t закон изменений по
области элемента в виде десятичленно-
го полинома
U(X, у 2 *cis ХЦ +
xztd7 yz*<*e xe+ z *;
(У.87)
V(X,y,£)*cL)ti<AuX + ...tal.jgZt; urfX,y,z)=oC.e/+eCieX-r...+ol.J0Z*
В данном случае также выполняется условие неразрывности переме-
щений при переходе от элемента к элементу.поскольку на каждой гра-
ни квадратичная парабола от двух переменных единственным обра-
зом определяется шестью параметрами: соответствующими компонен-
тами узловых перемещений, попарно равных друг другу на каждом об-
щем ребре смежных элементов.
Перейдем к построению матриц, характеризующих элемент с де-
сятью узловыми точками.
Разумеется, что зто может быть сделано по процедуре,идентич-
ной той, какая была использована в п.У.2.1. Однако и в данном
случае наиболее просто искомые матрицы строятся с помощью объем-
ных £- координат [21]. Так, вектор-столбец интерполяционных функ-
ций для тетраэдра второго порядка, отвечающих (У.87).записывает-
ся в виде
х(ZLt-Lk) I La ) I(2L*-Ln ) I
}, (У.88)
где Lj,Lk, Ls,Ln определяются по (У.69).
Для дальнейшего изложения вектор-столбец узловых перемеще-
ний (д). вновь удобнее выразить через [ , содержащий три век-
тора, определяющие перемещения узловых точек тетраэдра в направ-
лении осей х,ц,г соответственно. Таким образом,
(У.89)
W цки$ип иа иь Uc ud ые^}; векторы и
/записываются аналогично.
173
Теперь при помощи (У.68) можно записать выражения,отражаю-
щие характер распределения компонент перемещений в пределах ко-
нечного элемента, как функции компонент его узловых смещений
и(х,^,г) 0 0
v(x,y,z) • — 0 (‘.)т 0
гч(х, 0 0 kJ.
(У.90)
или в компактной форме
(У.91)
Ясно, что имея (У.91), нетрудно найти остальные зависимости,
определяющие рассматриваемый элемент. Так, вектор-функция дефор-
маций согласно (1У.40) записывается следующим образом:
{£}< -ЮЩ (Vi ' <у-92)
Здесь
О О
О о
О о М[
М- М- о
0
адг о {dt}[
(У.93)
{6jULj-f)l t>k(Uk-1);^Ls~f):6n(^n-f)
4bjLk^kL.)^{6.L$t6sL.)!^.Lht6ttL)
(У.94)
О - матрица-строка размером I х 10.
Остальные векторы (d) получаются заменой б соответственно
на с и d.
Вектор-функция напряжений, определяемая в общем случае соот-
ношением (1У.47), представляется в виде
174
МЛ- (У.95
где ^з)т
P{*}T
e-p)fd3}T
2 1^2) 0 . (У.96
О
0 ^Mr.
Выражение для матрицы жесткости, которая в данном случае имее'
30-й порядок, запишется с помощью уравнения (1У.59). Заметим, чт<
при определении ее компонентов, хотя интегрирование и может быт1
проведено в замкнутом виде, зависимости получаются настолько слог
ними и громоздкими, что целесообразнее перепоручить эту процеду-
ру ЭЦВМ.
У.2.7. Матрицу жесткости для тетраэдра с десятью узловьмиточ
ками можно построить и несколько иначе [45]. Для этого, учиты-
вая, что компоненты деформаций и напряжений согласно (У.93) i
(У.96) изменяются линейно внутри объема элемента, их представ-
ляют линейными функциями от узловых деформаций. Последние в cboi
очередь выражают с помощью (У.92) через координаты основных уз-
лов, расположенных в вершинах элемента. Затем с помощью векторе
интерполяционных функций для тетраэдра первого порядка(У.761
записывают выражение для вектор-функции деформаций в тетраэдре вт
рого порядка и полученные зависимости подставляют в формулу ЦУ. 55
определяющую в общем случае матрицу жесткости для конечного эле
мента.
У.2.8. Перейдем к определению системы узловых сил.статичесю
эквивалентных реальным распределенным внешним и внутренним на-
грузкам, а также начальным воздействиям.
Рассмотрим сначала тетраэдральный конечный элемент, гране
(грани) которого принадлежит поверхности тела ^2, где действун,
распределенная нагрузка, заданная вектор-функцией {ps\s{px>p^,pz
В соответствии с (1У.76) вектор-столбец искомых узловых сил буде1
('Л л
175
Причем в блочной матрице [С]с следует приравнять нулю блоки, ко-
торые связаны с узлами элемента, не выходящими на поверхность те-
ла. Нетрудно видеть, что, например, для *-го узла тетраэдра пер-
вого порядка, принадлежащего загруженной грани элемента,
ds =
St
w-9”
Вектор-столбец узловых сил, соответствующий вектор-функции
объемной нагрузки [бД. = [Ху Уу Zy)( , с помощью (1У.74) запи-
сывается следующим образом:
<у-90>
*<•
где, например, для к-го узла тетраэдра с четырьмя узловыми точка-
ми
vl
Вектор узловых сил, отвечающий начальной деформации (^t)i ~
= постоянной в пределах элемента, записывается
согласно (1У.80) в виде
(У.100)
v<
Принимая во внимание, что для элементарного тетраэдра с че-
тырьмя узловыми точками матрица [О]. не содержит переменных х,
и z, получим
гдэ, например,
{Pt Vi<^02)
Заметим, что когда для расчета конструкции применяют тетраэд-
ры второго порядка (рис.У.7), в (У.П6) матрицу необходимо заме-
нить матрицей р),[см. (У.93)}. При этом необходимо иметь в
виду, что компоненты векторов эквивалентных узловых сил будут соот-
ветствовать компонентам вектора-столбца [^}. (У.89).Позтоцу
176
(fc.H'iJ Pie )< ),
(""«J (У.103»
У.2.9. Если на тело действует система изменяющихся во време-
ни внешних нагрузок, то в соответствии с общей процедурой реше-
ния динамических задач с помощью МКЭ (см. П.1У.7.2) в узловые
точки объемных элементов требуется ввести реакции от инерционных
сил. Представим вектор этих реакций совокупностью трех векторов
> характеризующих усилия в узлах i-ro
элемента в направлении осейх, у их соответственно. Вследст-
вие этого зависимость (1У.120) перепишется следующим образом:
= (У-104)
а матрица масс Z-го конечного элемента, полагая^ постоянным, так:
(У-105)
Выражение (У.105) с помощью соотношения [73 ]
а а г- ч а ! 6! с / d I
fffL L*L'Ln dx du dz = . . .J j. 6V (У. 106)
JJ) j к S n f (att*c>a *j)
v
интегрируется достаточно просто и может быть записано в ваде
fc]=/>['l>J-] , ' (У.107)
где [[г]-] - квазидиагональная матрица 3x3;
.III2.
У.2.10. При расчленении трехмерной области на тетраэдральные
элементы возникают определенные трудности в вычислении координат
узловых точек. Поэтому рекомендуется [21] пространство прежде все-
го представить ансамблем восьмиугольных элементов, каждый иэ ко-
торых затем разбить на пять или шесть тетраэдров (рис.У.8).
У.2.II. Обратимся теперь к элементу в форме прямоугольной
призмы с восемью узловыми точками (рис. У.9). Вектор-столбец уз-
ловых перемещений
Зак.641
177
Рис. У.8
(?)£3WW*’• • Й)П>. *0
содержит в данном случае 24 компоненты. Поэтому закон изменения
для каждой из компоненты вектор-функции’ перемещений [и] внутри
объема элемента должен быть задан полиномом, имеющим восемь неоп-
178
ределенных коэффициентов. При этом, чтобы удовлетворить условию
непрерывности перемещений при переходе от одного элемента к дру-
гому, данный полином, например для компоненты и следует
представить в виде
(У,109)
Аналогично записываются функции для vfx^z) и z) ,
Ясно, что с помощью (У.109) все операции, связанные с пост-
роением матриц, характеризующих призматический конечный элемент,
могут быть выполнены по одной из примененных выше процедур.Однако
и в данном случае удобнее, используя формулы Сирендипова или
Лагранжева семейств для объемных элементов (21],прямо записать
выражения для компонент перемещений в функциях от узловых пере-
мещений, соответствующих (У.109), автоматически обеспечивающих не-
прерывность перемещений по всей области тела. Так, например,
** V J * J
★(« X XJv • • • (У.ПО)
где?=*2^;
Выражения для2г(С 'i>Х) и , X) записываются по анало-
гии е (У.ПО).
Отсюда, принимая во внимание (ТУ.9), непосредственно устанав-
л““е" и,- fee /г, t, х), е,с,а, >, j).. .zc„a, t, х>].
J (У.Ill)
179
гда Cjц,i,ck(x,i,p=/(('ЦХ/^J/*rrA);
И Т.Д.
Матрицу деформаций на основании (ТУ.42) можно записать сле-
дующим образом:
[D]. -[[d^fd]'?.. [d]'n)], (У.Т12)
где типичный блок
1 0 1 °
J J ** и < w
°
I* J * J
о
1 0
ОЛЖ'П/
(У.ИЗ)
Матрица напряжений, учитывая (ТУ.46), имеет вид
(£]. - [[е]^[е]^[в]^Ге]^], (У. 114)
где, например.
г £
0
Теперь, воспользовавшись общим соотношением (ТУ.59), матрицу
жесткости для рассматриваемого конечного элемента можно записать
в виде блочной матрицы размером 8 х 8, в которой каждый блок
(У.И6)
7 vi
180
представляет собой подматрицу третьего порядка. В развернутом ви-
де (У.116) записывается так:
Коэффициенты
Кп
^22
К.-
ЕаЪс
L ~8(1vX1-2p)
... ттн\ Л3/ Лз2х Лл3
в (У.117) определяются формулами
^21
.К
^23
К-
(У.П7)
i к -wi;
‘Чц)'г^у4м/'4 V?];
к3Ж*к К % Ч - tj г« Я;
*МЖ'4 Ч S г, ij*n о, г, - tj \)];
Ksi7!W*k W'k <j)”
yl
У.2.12. Перейдем к рассмотрению конечного элемента призмати-
ческой формы с 20 узловыми точками (рис.У.10). Поскольку задание
дополнительных узлов приводит в данном случае к увеличению до 60
числа степеней свободы, применение такого элемента для построе-
ния дискретной модели тела позволяет более точно аппроксимиро-
вать действительно напряженно-деформированное состояние конструк-
ции при относительно меньшем числе узловых точек для системы в
целом.
Выразим функции, интерполирующие узловые перемещения по об-
ласти конечного элемента, с помощью нормализованных координат
181
£ используя полиномы Сирендипова семейства для прямоу-
гольных призм второго порядка [21]. Будем иметь
Для записи функций v(x,y.,z) и w(x,y,z) в выражении (У.118) следу-
ет заменить компоненты «л , uk f..., ип на v. t vk f... ,vn и az., wk,...
..., u/h соответственно.
Таким образом, можно считать, что интерполяционная матрица
построена и поэтому все остальные матрицы, определявшие рассматри-
ваемый элемент, а также формулы для приведения реальных воздей-
ствий к узловым могут быть найдены без особых затруднений по про-
цедуре, изложенной выше.
Заметим, что использование призматических конечных элементов,
характеристики которых построены на базе (У.118), приводит к точ-
ному удовлетворению условий неразрывности перемещений в простран-
стве всей конструкции. Следовательно, и в данном случае диск-
ретная модель тела обладает повышенной "жесткостью" по сравне-
нию с действительной "жесткостью" системы. По этой причине ком-
поненты напряжений, найденные по такой расчетной схеме,будут не-
сколько меньше реальных напряжений.
У.2.13. Сравнивая формулы, полученные в этом и предыдущем
параграфах, нетрудно ввдеть, что они отличаются друг от друга линь
размерами соответствующих матриц. Вот почему решение вопросов,свя-
занных с выбором типов
элементов, их размеров
и количества узловых то-
чек, а также построе-
ние системы разрешаю-
щих уравнений и оценка
напряженно-деформирован-
ного состояния отдель-
ных элементов и конст-
рукции в целом формаль-
но может быть выполне-
но так же, как и при реа-
лизации МКЭ применитель-
но к плоской задаче тео
182
рии упругости.Однако из-за высокого порядка получающейся системы
линейных уравнений решение пространственных задач по МКЭ вызыва-
ет дополнительные трудности, которые частично можно преодолеть за
счет использования элементов относительно больших размеров. При
этом, естественно, потребуется увеличить число узлов в элементах,
а в раде случаев перейти и к криволинейным элементам. Как и ра-
нее, все процедуры, связанные с определением характеристик таких
элементов, целесообразно осуществлять на ЭЦВМ [33,49].
§ У.З. Осесимметричная задача
У.3.1. Напряженно-деформированное состояние тела вращения
при осесимметричном нагружении полностью определяется(см.п.П.1.4)
двумя компонентами перемещений и и га, зависящими от координат
г их. Тем не менее векторы-функции {£}и [G'J содержат по четыре
компоненты, поскольку радиальное перемещение и вызывает в окруж-
ном направлении деформацию £в и соответствующее напряжение ,
которые все же от 0 не зависят. Поэтому при конечноэлементной ап-
проксимации осесимметричного тела вращения его разбивают на коль-
цевые элементы с треугольными (рис. У.П) или прямоугольными
(рис.У.12) поперечными сечениями. При этом узлами элементов явля-
ются кольца, образующиеся по длинам соответствующих окружностей.
Очевидно, что осесимметричная задача представляет собой ча-
стный случай пространственной. Однако удобнее рассматривать таку»
задачу как самостоятельную, используя при выкладках ее несомнен-
ное сходство с математической точки зрения с плоской задачей тео-
рии упругости.
У.3.2. Обратимся вначале к кольцевому элементу с треуголь-
ным сечением (рис. У.13). Для определения его характеристик будем
исходить из того, что вектор-функция перемещений внутренних то-
чек кольцевого элемента может быть записана в виде
Рис. У.12
Р и с.У.П
183
j ufr-.z)) .
fu} d z HcJ. [?}
1 4 (arfr, z) J ‘ 1
' (У.П9)
где матрица [c]( установ-
лена соотношениями (1У.9)и
(1У.23) с заменой в (1У.23)
х и у на г иг соот-
ветственно; [у,
{ф}^} - вектор
перемещений узловых линий
элемента.
Ясно, что при таком
подходе непрерывность пе-
ремещений внутри элементов и на поверхностях
обеспечивается автоматически.
(У 119) связь
случае вид
Г —
дг
1
Согласно СП.г') и
мещениями имеет в данном
между
раздела между ними
деформациями и пере-
£в
£г
*rz
Отсюда, принимая во
д
dz
d
dz
d
dr
* 1с1№г су. 120)
внимание (1У.42), матрица деформаций
О
О
о
а, например,
bJ
(У.121)
с.
6.
'j(r,
О
О
О
где
Из (У.121) следует, что
компоненты деформаций не остаются
постоянными в пределах треугольного сечения, как это было в эле-
менте с тремя узлами в условиях плоской задачи, а зависят от
координат г и z .
184
о
Вектор-функцию напряжений для кольцевого треугольного эле-
мента согласно с п.П.1.4 и (1У.47) можно представить следующие
образом:
(У.122'
При этом матрица напряжений [Е]г в общем виде записывается аналс
гично (1У.46), а ее типичный блок, имея в виду (П.З'),
(1- (jyfaz)
Еск
ск
1-2и п г f-2/J
(У. 123)
Следовательно, компоненты вектора напряжений по области кол1
цевого конечного элемента с треугольным сечением также являются
функциями от г и z .
Для получения матрицы жесткости рассматриваемого элемент!
воспользуемся стандартным соотношением (1У.59), которое, учитыва
осевую симметрию, можно переписать в виде
[К]. = 2#ff [D].r[E].rdrdz W.VA
и интегрирование осуществить лишь в плоскости треугольного сече
ния. Однако в этом случае оно не может быть выполнено так же про
то, как в соответствующей плоской задаче, поскольку матрицы [D]
и [EJi зависят сейчас от координат гиг. Тем не менее решени
может быть получено в замкнутом виде путем почленного интегриро
вания, либо приближенно с помощью численной процедуры [20]. Про
стейший приближенный прием заключается в определении матриц [D
и [Е ] для центра тяжести сечения элемента по координатам
rj + + *-п ,
rci = j ’ ~ 3
Тогда приближенное значение матрицы жесткости запишется в виде
[К]. = 2Krc.A.[Dc]t [Ес]. , (У,125
а ее типичный блок
Зак.641 185
Iм-
V ^1-2
*<И • г‘] •
1-2и
+ 2 ckcj
* J J
1-2р
+ -ц— с с
,W.T26)
cj(fj6k +
где, например,
Следует отметить, что такое приближенное интегрирование дает
достаточную точность решения задачи в целом, поскольку при ис-
пользовании треугольных элементов с узлами в вершинах требуется
довольно мелкое разбиение исследуемой области тела.
Вместе с тем удовлетворительные результаты для осесиммет-
ричной задачи могут быть получены при использовании кольцевых эле-
ментов относительно больших размеров, если, конечно, повысить
порядок интерполяционных функций, или, другими словами,применить
элементы с дополнительными узлами, в том числе криволинейные коль-
цевые элементы (рис.У.14). При этом характеристики таких элемен-
тов можно получить, воспользовавшись соображениями,изложенными при-
менительно к плоской задаче.
У.3.3. Определим теперь матрицы для кольцевого конечного
элемента с прямоугольным сечением (рис. У.15).
186
В нормализованных
координатах
Р и с.У.15
s а • 3 6
компоненты-функции интер-
поляционной матрицы [ С]. f
общий вид которой совпа-
дает с (У.34), учитывая
(ТУ.34), могут быть запи-
саны одной формулой
(У.127)
Тогда типичный блок матрицы деформаций, содержащей, имея
виду (У.36), четыре подматрицы, согласно (ТУ.42) принимает вид
О
О
Mw- z
1 Jl *
'с + °f
О
а блок матрицы напряжений, например,
выразится следующим образом:
ДЛЯ
(У.1281
'/MV
^"Ч>
к -го узла с учетом (ТУА
г № 6
Щ s2(f-2fj)
Р^<МГ,)
L 2 6 ' ‘ V 2
Для построения матрицы жесткости воспользуемся
(У.40), переписав его в нормализованных координатах
° (У.129
соотношение!
И.= аб/ [D][[£]d(^.
-1-1
(У.13С
187
Легко видеть, что [K]t - блочная матрица четвертого порядка о
подматрицами размером 2x2. Причем стандартный блок этой матри-
цы
[efaW
[К]^- а 6
(У.131)
после почленного интегрирования имеет вид (У.132).
У.3.4. Применение кольцевых элементов с прямоугольным сече-
нием первого пордцка, характеристики которых сформированы на базе
закона (У.127), позволяет получать результаты решения осесиммет-
ричных задач с достаточной для практики точностью. Тем не менее
нередко возникает необходимость в повышении точности расчетов.Для
этого существует, как известно, две возможности: I) сгустить сет-
ку элементов и 2) повысить порядок функций, интерполирующих уз-
ловые перемещения, задавая при этом дополнительную информацию о
геометрии элемента. Поскольку увеличение числа узловых точек для
каждого из элементов повышает точность расчета задачи в целом при
относительно меньшем числе степеней свободы для всей конструкции,
целесообразней, как правило, использовать кольцевые элементы,обес-
печивающие лучшую аппроксимацию действительного напряженно-дефор-
мированного состояния в пределах объема элемента (рис.У.12).
Получение интерполяционных матриц и других основных харак-
теристик для кольцевых элементов второго и более высоких порядков
в осесимметричной задаче осуществляется аналогично тому, как и в
соответствующей плоской. Однако в рассматриваемом случае это ока-
зывается технически более сложным и громоздким. Вот почему проце-
дуру построения этих матриц следует включить в общую программу .
расчета конструкций и реализовать ее на вычислительной машине.
Исследование кольцевых конечных элементов с дополнительны-
ми узлами-кольцами допускает в ряде случаев увеличение их разме-
ров. При этом, естественно, может возникнуть необходимость в коль-
цевых конечных элементах с криволинейными профилями (рис. У.14).
Отметим, что матрицы, определяющие такие элементы, строятся на
ЭЦВМ точно так же, как и в случае плоской задачи теории упругос-
ти с использованием общих соотношений, изложенных в четвертой гла-
ве.'
У.3.5. Перейдем к определению узловых сил, статически эквива-
лентных реальным распределенным нагрузкам, имея в виду, что в дан-
ном случае они действуют равномерно по длинам окружностей,образую-
щих узлы кольцевого элемента (рис.У.17).
188
"S:
189
Вектор-столбец узловых сил {Р,}, соответствующих объемным
силам интенсивностью {Gv(rfz)j = {R4(r> z) <r> z ) } > учитывая
(1У.74), определяется следующим образом:
(Ру I’ = Iff [С]ТЮ rd6a rc/z = 2^ff [C]r[Gv)rdrcfz. (У. 133)
v(. &L
Причем если используются конечные элементы с треугольным се-
чением первого порядка, а объемные силы постоянны, то, например,
в к —м узле
(У.134)
At
и в первом приближении, заменяя Ск (г, z ) ее значением в центре
тяжести треугольника,
Г nW ]
IV
pfk)
получим
Ру Г
4*4 г
м 4 4
(У.135)
«V
v
Ясно, что почленное интегрирование (У.134) дает более точные
значения компонент вектора }f*\
Когда осесимметричное тело представляется совокупностью ко-
нечных элементов прямоугольного профиля с четырьмя узловыми точ-
ками и f(?k) = const, вектор сил в k-м узле будет
р% = 2 W P'v I ff C* (t, D(rc + a
'tv J I V J -1-f
Ру^=
(У.136)
190
Огметим, что компоненты вектора объемных узловых сил для эле-
ментов более сложной геометрии рекомендуется находить численно по
специальной программе на ЭЦВМ, Добавим, что к численной процедуре
определения узловых сил удобно обращаться и при расчете тел вра-
щения на распределенные центробежные силы
(У. 137)
где си - угловая скорость; уз - плотность.
Для определения узловых сил (Р }. , отвечающих поверхност-
ной нагрузке интенсивностью [ps) = \Pr(r>z)Pz(r> z)},воспользуемся
зависимостью (1У.76)
(ps}= Я = [Cl'lpjrrt, (У.138)
5i
в которой интегрирование по поверхности элемента, принадлежащей^,
заменено интегрированием по длине образующей в пределах 4-го эле-
мента.
Вектор-столбец узловых сил, обусловленный начальной деформа-
цией, записывается согласно (1У.80) следующим образом:
dV=^ (У.139)
V.
Полагая, как обычно, вектор начальных деформаций в пределах
рассматриваемого элемента постоянным применительно к элементу с
треугольным сечением первого порядка, получим
fPe}. = 2fr[ff [of.rdrdz. . (У. 140)
ai
Отсюда, используя способ приведения к центру тяжести треу-
гольного элемента, в первом приближении можно записать
(Pt )t * ГРе ^h))= . (у.Ш)
Если для построения дискретной модели тела вращения применя-
ют кольцевые элементы прямоугольного профиля (рис.У.15), то, на-
пример, в к-м узле
191
[р«
ft pto = 2fra6 г а
lit и
° -ч о мч 4ц
(У.142)
Получив основные характеристики для кольцевых конечных эле-
ментов, дальнейший переход к рассмотрению тела вращения в целом
осуществляется стандартным образом.
ГЛАВА У1
РАСЧЕТ ПЛИТ И ОБОЛОЧЕК
§ У1.1. .Основные соотношения линейной теории плит и оболочек
У1.1.1. Расчет плит и оболочек, как известно, ведется на ба
эе прикладных теорий, позволяющих перейти от трехмерной задачи
двумерной, что существенно упрощает как математическую, так
чисто вычислительную процедуру. Очевидно, что реализация подобно
го подхода, в основе которого лежит исследование поведения среди
ной поверхности плиты или оболочки, по МКЭ обусловливает появле
ние специфических конечных элементов. Для построения матриц, ха
рактеризующих такие элементы, используются, естественно, соответ-
ствующие соотношения теории оболочек, причем их необходимо пред-
ставить в форме, удобной с точки зрения МКЭ.
У1.1.2. Теория оболочек, как известно £3,3'7,611, строится ir
тем введения априорных гипотез об изменении напряженно-деформиро-
ванного состояния по толщине конструкции. Причем имеется целы)
рад таких теорий, отличающихся характером и степенью обоснован-
ности принимаемых допущений.
Одной иэ наиболее общих теорий, из которой как частные слу-
чаи вытекает большинство других, является теория оболочек сред-
ней толщины, предложенная Э.Рейснером [51,52]. Поэтому представ-
ляется целесообразным вначале привести основные соотношения ее
для оболочки произвольной формы, что позволит в дальнейшем пол}
чить из них необходимые уравнения как для других теорий (в част-
ности, теории тонких оболочек Кирхгофа-Лява), так и для частных
случаев геометрии срединной поверхности (пологие оболочки,оболоч
ки вращения, плиты и т.д.). При этом воспользуемся ортогональной
системой криволинейных координат </, уЗ , z, полагая, что оС и J3
совпадают с главными линиями кривизны (рис.У1.1). Будем также счи
тать, что оболочка имеет постоянную толщину h и находится под
воздействием распределенной нагрузки с составляющими интенсивнос-
тью Рх > Ру >Рг на поверхности z = j и рх , р? , pz на поверхнос-
ти z = - . Отсюда нагрузка, приведенная к срединной поверхности,
имеет следующие компоненты:
Зак.641
193
Р* = ^/+ 2ИЛ^i+2R^Px + ^'2^ ^1~2r№x >
• * >3 г «с Z3 *
pz 2ff)h^1~2H)^‘2^Ж >
(Л. |/J ®Ь •/*
<vrf/+W ’
OU У* * . Qt yj Г
=?[^^^2R^Px^'2^)^'2Rg)Px] ’
где Px , Pa , Рг>тх,ту~ распределенные силы и моменты относи-
тельно осей-Хи Ц. соответственно.
УТ.1.3. Замкнутая система уравнений теории оболочек включа-
ет, как известно, три группы зависимостей - уравнения равновесия,
физические и геометрические соотношения. При этом уравнения равно-
весия не связаны с вводимыми допущениями и получаются обычно из
рассмотрения равновесия в местной системе декартовых координат х,
у. f z бесконечно малого элемента оболочки o4<xqja,совмещенного со
срединной поверхностью (рис.УТ.2).
Используя известные понятия внутренних усилий, отнесенных к
единице длины срединной поверхности, представим уравнения равно-
весия в матричной форме
194
z
Рис. У1.2
1
flB
~ д . *. дВ д ... дй ЙВ л
др "02 0 0 0 0 0
-%Г—(f)——(В*) 0^- О О О О
д/з dj3‘ 'd< дл' Rjj
ЙВ ЙВ л д ... д , „
° °^(^(ff)0 ° ° °
о о о о о
о о о о -п
cL
*й
<?м
°й
0 0-1
i о о о о -X _£
R. м
или в краткой записи
{р,}-
Здесь В и В - параметры искажения Ламэ, преобразующие криволиней-
ные отрезки координатных линий в прямолинейные.
УТ.1.4. Физические и геометрические соотношения теории обо-
лочек Э.Рейснера наиболее просто можно получить, воспользовавшись
сформулированными во второй главе вариационными принципами,прини-
мая во внимание вводимые гипотезы.
^Символ означает, что при перемножении матриц сомножи-
тель вносится под знак производной.
195
Согласно Э.Рейснеру искривление срединной поверхности обо-
лочки характеризуется вектором-функцией эффективных перемещений
{ ио], компонентами которого являются усредненные по толщине Л
линейные и угловые перемещения вдоль и относительно осей х и у,
касательных к и и линейное перемещение по направлению оси
z С52,53,611:
. Л/2 _ А/2 А/2
1 Г , 1Г , 12 Г , .
uos~hJudz> vox7TJ
-h/2 -h/2 -h/2
jn М2 \ 1,12
♦'’p/ ^dzj (У1.2)
-h/2 -h/2
Здесь следует обратить внимание на весьма важное для МКЭ обстоя-
тельство - угловые перемещения v и V не зависят от перемещения
иг.
Далее, по Э.Рейснеру, для напряжений 2^ задается
закон их изменения по толщине, а остальные компоненты вектор-функ-
ции напряжений [в'} определяются из уравнений равновесия теории
упругости, записанных в криволинейных координатах. При этом счи-
таете^, что на оболочку действует только нормальная нагрузка на
верхней и нижней поверхностях с равнодействующей р^, а также
вводится допущение £, = - -^(<5/* + 6^).
Кроме того, для совместности системы (УХ.Х) относительно ком-
понент вектора Э.Рейснер записал дополнительно к шести урав-
нениям равновесия еще одно, являющееся следствием закона Гука при
сдвиге
и ввел некоторое фиктивное перемещение точек срединной поверхнос-
ти 2, отвечающее этому соотношению.
С учетом указанных допущений физические соотношения теории
Э.Рейонера в матричной форме можно записать в виде
(У1.4)
[KJ- матрица упругости.
Вектор [У } - вектор-функция эффективных деформаций, причем
каждый компонент его отвечает соответствующей составляющей векто-
ра [М] •
196
197
198
Выражение для матрицы [Ко],полученное с использованием нача
наименьшей работы Кастильяно, имеет вид (УХ.5).
Геометрические соотношения теории оболочек Э.Рейснера мож
найти, обратившись к его вариационному принципу, приняв для удо
отва, что нагрузка на той части контура, где известны . смещени
постоянна, а также равны нулю вариации перемещений там, где эт
нагрузка задана [50 ].
С учетом введенных обозначений функционал (ХУ.40) принима
вид
<yi-
j
где Uo- потенциальная энергия деформации, приходящаяся на ед
ницу площади срединной поверхности; {иа} = {с/оггои/о £) ~ f(с
52 } ; си - угол поворота относительно оси z.
Отметим, что здесь матрица [F] дополняется седьмой строке
соответствующей уравнению (У1.3).
Минимизируя функционал (УХ.6) и выполнив обычные для вари
ционного исчисления преобразования, получим геометрические сое
ношения, как уравнения Эйлера,
{*)=№), <у1
где [Фо] - матрица-оператор геометрических соотношений, раз верь
тая форма которой дается формулой (УХ.8).
УХ.1.5. Рассмотрим теперь так называемые тонкие оболочки,;
чет которых, как известно, с достаточной степенью точности мол
вести с использованием теории Кирхгофа - Лява [29,37,61]. Соглг
но гипотезам,положенным в ее основу,
= (yi
Тогда из (УХ.7) с учетом (УХ.8) следует, что
/?в В д/з’ R* Я д*
Следовательно, в этом случае угловые перемещения являю*
функциями линейных перемещений. Таким образом, напряженно-дефо;
рованное состояние тонкой оболочки полностью определяется тр<
линейными перемещениями ее срединной поверхности [ио] =
Нетрудно видеть, что, если принять во.внимание (У1.9)и(УХ
геометрические и физические соотношения теории тонких оболочек
посредственно получаются из соответствующих зависимостей тео
199
Э.Рейснера вычеркиванием определенных строк и столбцов. Отметим,
что поскольку рассматриваются тонкие оболочки, беэ ущерба для
точности оказывается возможным при этом пренебречь членами поряд-
ка h/R по сравнению с единицей.
Приведем необходимые для дальнейшего изложения зависимости
теории тонких оболочек применительно к некоторым частным случаям.
У1.1.6. Для пологой оболочки в декартовых координатах, когда
/7= Z3 = /, = о: и уЗ=у, получим
{x}={Ex^2g Хл^2Х}-,
дх 0 ~R?
п — —
д О
Т- Т- О
ду дх
_ _ _ --г-
0 0 'дх*
О О -
dyi
О О ~2^xr~
охду}
(У1.П)
(У1.12)
ад
ад
(У1.13)
1 р О \ О О О
(J 1 о\ о о о
О О ООО
-------2-1“Л2—F----
° ° О\пЪ °
„ I Л2 А2
0 ° ° Г 12 12 °
I А2
L О О О 10 О 24(1-й\
°з*з
(УЕМ)
Для осесимметричной оболочки (рис.У1.3)
при использовании
гауссовских (местных) координат оС = S,y3 = &, Я = 7,3=r, = R
и Rn- [3]. В этом случае
cos f
W-R,«, xsxe !XS,}’ Wl-IS’
200
№
д
dS
sin?
1 д
г дв
ds ' Rl
sin?
~R~r~
1 0
.Rr d0
/ d
r de
'd sin'?
ds r
1
R
cos ?
дг .(У1.17
' ds*
cos? d
r? ~d§
cos? d sin?cos?
r ds rl
/ d* sin? d
rl 96*- ~r ds
2 9
г дздв пг дв.
0
Матрица упругости для такой оболочки имеет вид (У1.14).
У1.1.7. Основные соотношения теории плит непосредственно сле-
дуют из вышеприведенных зависимостей, если в них положить R^ -
= Р^=со. Анализируя полученные таким образом уравнения,можно убе-
диться, что они распадаются на две независимые группы.Первая иэ
них связана с усилиями, деформациями и перемещениями в плоскости
срединной поверхности, вторая - с поперечным изгибом. Итак,задача
расчета плиты состоит из двух самостоятельных задач, одна из ко-
торых, а именно плоское напряженное состояние, была уже подробно
рассмотрена ранее. Это позволяет непосредственно перейти к задаче
изгиба плиты, приведя необходимые для дальнейшего соотношения.
Воспользуемся декартовой системой координат и рассмотрим из-
гиб плиты по Э.Рейснеру. В этом случае
(и0}={^ & г) >
(У1.18)
(У1.19)
(У1.20)
д
dx
д
О
О
О
1
О
д
д
дх
О
д
дх
О
д
(У1.21)
О 1
Зак.641
201
202
л _ СП
где V - Цилиндрическая жесткость.
Для тонкой плиты, как это следует из (У1.10),
V = * = (У1.23)
д у.' дх.
и, следовательно, ее напряженно-деформированное состояние полно-
стью определяется лишь одной функцией - прогибом срединной поверх
ности В этом случае
, , , , . дгм дгиг д2ы л
(ff} = (xx Ху 2Х} = {- дхг - ~2дхду )>
»х^};
(У1.24)
(У1.25)
' 1 р О'
[к0]-о у/ 1 О (У1.26)
о о LiL
L 2 -I
Приведем необходимое в дальнейшем выражение для удельной по-
тенциальной энергии деформации тонкой плиты
D г , , гдгкх дгиг
^ = t(v 7 (У1-27'
«2 с?г д2
где V = j-y + — оператор Лапласа.
§ У1.2. Конечные элементы для плит средней толщины
У1.2.1. При расчете плиты с помощью МКЭ ее представляют дис-
кретной моделью в виде набора плоских элементов треугольной или
прямоугольной форм, взаимодействующих между собой в конечном чис-
ле узловых точек, взятых на уровне срединной плоскости плиты. При
этом формулы для МКЭ применительно к плите средней толщины строят-
ся обычно в рамках гипотез Э.Рейснера. Это согласно п. У1. 1.4
дает возможность описать напряженно-деформированное состояние пли-
ты при изгибе вектором усредненных по толщине перемещений (У1.20)
{^0} = ( v Р). При этом компонентами [и0] являются, как из-
вестно, независимые функции координат точек срединной плоскости
плиты х и у .
У1.2.2. Рассмотрим вначале модель плиты, состоящую из конеч-
ных элементов треугольной формы, контактирующих в узлах, распо-
ложенных в вершинах треугольников. Очевидно, что в этом случае в
203
качестве узловых параметров
следует назначать прогибы и
углы поворота нормалей соот-
ветственно вокруг осей ос и
У • В результате вектор-стол-
бец обобщенных узловых пере-
мещений для £-го конечного
элемента (рис.У1.4) будет
м;"’), а
‘ ‘ 4 (У1.28)
где, например,
(У1.29)
Если потребовать неразрывность прогиба и углов наклона нор-
малей на сторонах - границах при переходе от элемента к элементу,
то, рассувдая так же, как и в случае плоской задачи теории упру-
гости, законы изменения для компонентов (У1.20) можно принять в
виде
ы0(х,у)= + d2x + ос3у;+<<ву; (ух.зо)
W(x, у) + d-gX
и все выкладки, связанные с построением расчетных матриц, осуще-
ствить по стандартной схеме.
Так, интерполяционную матрицу в уравнении
(У1-ЗП
можно представить, используя Z-координаты (1У.25) по аналогии с
(1У.9), следующим образом:
где Е3- единичная матрица третьего порядка.
Отметим, что интерполяцию перемещений можно осуществить так-
же, используя полиномы более высокого порядка от L -координат.
Например, учитывая, что полином C^-Lj + L^Lh+ L2. Lk-LjL2n-Lj Lk
удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к интерполяционным
функциям, получим [С*]. ~[Е3 С(£ Е3 С%> Е3 С^>].
204
Из (У1.32) вектор-функция деформаций в пределах t-ro алемен
та с учетом (У1.21) и (У1.31) записывается в виде
[<%] = Ысх]< ' (Л .33)
Здесь - матрица деформаций срединной плоскости, которая со
гласно (У1.32) содержит три блока
<»-м>
причем, имея в виду (1У.42),
б. J с. J О О о О CJ О О ‘ (У1.35)
О 6J с- j
Выражение для вектор-функции усилий в срединном слое 1 -го эле-
мента, принимая во внимание (У1.22) и (У1 .33), можно представить
так:
{”}, ’О*}. hl =Ы № • (У1,36)
где £*£ *3 ~ матРица напряжений (усилий)
срединной плоскости с типичным блоком;
’ S 10
7?(wck
о
о
О
^ск
с
(У1.37)
Располагая матрицами [D*]. и [£^]^ , матрицу жесткости для
рассматриваемого элемента можно найти по общей формуле (1У.65)
с учетом (У.16). Очевидно, что [К], в этом случае будет симмет-
ричной квазиквадратной матрицей третьего порядка с блоками также
третьего порядка. Например,
<’=ЖЛГЫ“’*^.
Л,
205
_п_
'«л
+ ск cj) 10, , 3h^'^Ai 6J
1-р ~г\ьГ 1-fJ
^^1~Tckc;
(У1.38)
1-u
j * 2 X- J
10 '
3hl Ai 6*
У1.2.3. Перейдем к обсуждению конечного элемента прямоуголь-
ной формы, показанного на рис.У1.5.
В данном случае вектор > определяющий перемещение точек
срединной плоскости 4-го элемента, содержит 12 компонентов, и
следовательно, условия неразрывности для&70,гг и ¥ на сторонах-
границах элемента автоматически выполняются (см. п.У.1.5), если
принять *
ъ}0(х, у) - c£f + a(.t х + о<3у ху;
v(x,^}= +d6x^7<^^exyi (У1.39)
Y(xf = + <<„x^lf^^,sx^.
Разумеется, что для перехода от перемещений в форме (У1.39)
к матрице интерполяционных функций можно воспользоваться,напри-
мер, соотношением (1У.21). Однако и в данном случае проще с помо-
х,Для интерполяции перемещений можно, очевидно, использовать
также матрицу в виде
Ы = fc CW^> » с^( »Е3 СШ>(^ » £3 с^> »1:
206
и все остальные матрицы
Z-ro элемента построить так же,как ето
делалось выше. Будем иметь:
r, 1&-1 ' 4 1 °'k3- q|c^ о о о X ? Of* <jy- 4-« 0 CJ 0 О О “4 (-V4 ’ (У1.41)
0 (1-/')£cj?,^
5^ 5 (1-^(1^к) (ly'WW 0
Г Iм D Ы '4 0 0 * ’ (У1.42)
0 0 *
0
м Dai
16
. 5 1. ..
.(У1.43)
207
Очевидно, что располагая выражениями для типовых блоков
(У1.41) -(У1.43), можно подстановкой соответствующих индексов по-
лучить их полный набор для каждой матрицы.
У1.2.4. Рассмотрим приведение поверхностных и краевых нагру-
зок к узловым.
Если в пределах конечного элемента действует только попереч-
ная нагрузка pz (х, у) = т^=О), т.е. {ps(x, y)J = (рг (х,у.) О О ),
то, например, в л-м узле вектор-столбец эквивалентных узловых
сил, определяемый в соответствии с (1У.76) по формуле
)=ff fyw)); dx dy,
имеет вид ° °) •
Пусть на часть контура г-го элемента , расположенного у
границы плиты, действует распределенная краевая нагрузка с
составляющими Q , поперечной силой и моментами относитель-
но осей п и t, направленных о нормали и вдоль границы «5?°. Введем
в рассмотрение вектор перемещений точек, лежащих на контуре S-L
которая в краткой матричной записи имеет вид = [n]L [^0}--
Здесь у угол между осями лип.
Тогда для /г -го узла вектор-столбец эквивалентных узловых
сил {нетрудно найти, воспользовавшись принципом возможных пе-
ремещений. После соответствующих преобразований получим
(?}“•/ОТ-4Ь>
где I рг h = 1^г ^гх г ) > рзг “ сосредоточенная сила по направ-
лению оси z ; узловые моменты относительно осей JT и у•
У1.2.5. С помощью конечных элементов треугольной или прямо-
угольной форм представляется возможным достаточно просто повысить
точность расчета плит, если ввести дополнительные узлы на их сто-
х^Для прямоугольных элементов оси п и t совпадают с осями
ОС И
208
ронах и за счет этого увеличить порядок функций, интерполирующих
узловые перемещения. При этом целесообразно воспользоваться прие-
мами, изложенными в § У.1.
Для окончательного решения задачи, в которой плита рассмат-
ривается как совокупность элементов, составляется (см.п.1У.6.2)
уравнение равновесия в узлах (без нулевых строк)[X](у } - (Р) = О
и на ЭЦВМ определяется вектор-столбец основных неизвестных (у.)
Затем осуществляется переход к перемещениям узлов отдельных эле-
ментов fи тем самым приближенно описывается напряженно-дефор-
мированное состояние плиты средней толщины.
§ У1.3. Особенности конечноэлементной аппроксимации тонких плит
У1.3.1. Как указывалось выше, сплошность дискретной модели
плиты достижима лишь тогда, когда вдоль линии стыковки смежных
элементов обеспечивается непрерывность функций как для га
так и для углов наклона нормалей v(x (х, у) Именно поэтому
в каждой узловой точке элемента параметрами, определяющими его
состояние, назначаются по крайней мере три обобщенных перемеще-
ния: линейное по направлению оси z и два угла поворота нормали
относительно осей х и у . Вместе с тем если для расчета плит по
МКЭ матрицы, характеризующие отдельные элементы и их ансамбли,
строятся с помощью соотношения классической теории, то необходи-
мо учесть, что углы поворота не являются независимыми, а пред-
ставляют собой первые производные от Вот почему матрица
интерполяционных функций должна связать в этом случае узловые
параметры только с нормальными перемещениями точек срединной плос-
кости конечного элемента, с помощью которых полностью определяет-
ся состояние плиты. Другими словами, использование соотношений
классической теории для расчета тонких плит по МКЭ позволяет на-
значить в качестве закона для перемещений по области конечного
элемента лишь одну функцию для их (х,у) п приводит к тому, что
перерождается в матрицу-строку. Однако в отличие от всех вы-
шерассмотренных задач функция для должна быть в данном
случае непрерывной при переходе от элемента к элементу не только
сама по себе, но вместе со своими первыми производными. Заметим,
что указанные требования гладкости к функции для следуют
непосредственно из третьего критерия сплошности, сформулированно-
го в П.1У.7.4, если учесть, что в зависимости для потенциальной
энергии изгиба плит (см. п.УТ.2.7) входят вторые производные от
этой функции.
Зак.641
209
У1.3.2. Выбор гладких функ-
ций для ы(х,у) связан обычно
с определенными трудностями, что
хорошо иллюстрируется на следую-
щем примере [21].
Рассмотрим прямоугольный
конечный элемент,срединная плос-
кость которого совмещена с плос-
Р и с.УХ.6 костьюдекартовой системы
координат (рис. У1.6). Допустим, что в каждой узловой точке эле-
мента j,k>s,n основными неизвестными являются три отмеченных вы-
ше обобщенных перемещения. Зададим для ы(х,у) закон в виде по-
линома />-й степени
= + <*3у. + dtx2 + '<gxy+ • • (У1.46)
Нетрудно убедиться в том, что вдоль любой из сторон элемента этот
полином, а также первые производные от него становятся функциями
от одной переменной. Например, для стороны jn, направленной вдоль
оси х, где у = cons t, после приведения подобных членов получим
га(х) = й. + tflx1 + • • • г
г £ <3
дгх
й2 ★гязх"' ’ ’ ’ > (У1.47)
= * в2х + в3х ;
где и В. - коэффициенты, для определения которых в данном слу-
чае имеется шесть узловых параметров.
.Поскольку в первых двух функциях (У1.47) коэффициенты Z7
одни и те же, то они однозначно устанавливаются по четырем соот-
ветствующим узловым перемещениям ( Wj , V. и гап , *?п ) и, следова-
тельно, для tx(x) можно задать четырехчленный полином третьей сте-
пени. При этом »7я),имея в виду структуру (У1.46), будет полино-
мом второй или третьей степени, постоянные Bi которого уже не
могут быть определены однозначно по двум оставшимся узловым пара-
метрам гг- и ггп . Таким образом, при условии равенства узловых
перемещений В двух общих узлах смежных элементов нельзя, задав-
шись (У1.46), обеспечить неразрывность первой производной от
ur(x,y.) по нормали к линии стыка между элементами. Кроме это-
го, при таком подходе оказывается невозможным единственным обра-
зом определить значения вторых смешанных производных в узловых точ-
ках конечных элементов. Так, например, на стороне j Я, располо-
210
женной вдоль оси х, функция зависит только от перемещений
в узлах у и п, а на стороне у* - по направлению оси у от
параметров в узлах у и Отсюда следует, что в общей узловой
точке у возникает противоречие, так как значения перемещений в
узлах п и х произвольны.
В работе [2] установлено, что если в качестве узловых пара-
метров выбираются нормальные перемещения и углы поворота норма-
* лей, то интерполяционную функцию для ui(x,y)f удовлетворяющую всем
условиям совместности, принципиально нельзя представить в виде
полинома (У1.46).
Заметим, что этот вывод распространяется и на случаи, когда
в рассматриваемом узле стороны элемента пересекаются под произ-
вольным углом.
У1.3.3. В f20, 70, 83] разработано немало приемов, с помощью
которых можно преодолеть отмеченные затруднения. Например, в рабо-
те [70] для прямоугольного элемента смешанная производная была
принята в качестве узлового параметра. В [20] для непрямоугольно-
го элемента исследовался эффект включения в узловые параметры
>’ производных высшего порядка. Ниже будут подробно рассмотрены не-
которые конечные элементы, совместные относительно перемещений
и углов наклона нормалей вдоль линии стыка смежных элементов.От-
. метим, однако, что в этих случаях, как правило, вычислительные
трудности становятся весьма значительными.
В связи с изложенным на практике довольно широко использу-
ются так называемые "несовместные’' конечные элементы, опреде-
ляющие матрицы которых строятся на базе интерполяционных функ-
ций, обеспечивающих неразрывность при переходе от элемента к
элементу только аГ и первой производной по касательной к линии
стыка между элементами. При этом в каждой узловой точке условия
совместности выполняются для всех трех параметров. В [68] дока-
зано, что очень часто при таком подходе обеспечивается сходимость
решения к точному, полученному в рамках гипотез классической тео-
рии изгиба тонких плит.
* § У1.4. Конечные элементы прямоугольной формы для тонкой плиты
У1.4.1. Рассмотрим вначале "несовместный" конечный элемент
. с четырьмя узловыми точками, в каждой из которых имеется по три
неизвестных перемещения (рис.У1.7). Обозначим вектор-столбец уз-
ловых перемещений, характеризующий состояние этого элемента,)г
= {(}}?'>)>гДв> например, для А--го узла, принимая
во внимание положительные направления углов поворота, показанные
на рис./1.7
211
№
Поставим в соответствие вектору вектор-столбец узловых
реактивных усилий
где, например, } содержит сосредоточенную силу
и два момента, положительные направления которых показаны
на том же рисунке.
Дальнейшая задача состоит, как обычно, в том, чтобы построить
матрицу интерполяционных функций и вслед за ней определить мат-
рицы деформаций, напряжений, жесткости и др.
У1.4.2. Имеется, как известно, несколько возможностей для по-
строения интерполяционной матрицы • Воспользуемся сначала
приемом, основанным на задании закона распределения перемещений
в пределах срединной плоскости конечного элемента в виде поли-
нома р -й степени.
Поскольку вектор {у } имеет в данном случае 12 компонент,
можно принять неполный полином четвертой степени, содержащий 12
из 15 неопределенных коэффициентов. Установлено [59], что удоб-
нее всего использовать полином, удовлетворяющий однородному би-
гарноническому уравнению VlV2 & (ж,у )- О, т.е. без членов с х/
их^/Л Таким образом, принимаем
toYx,y) = ^2х + оСзУ * *о(3ху+с(6уя+<>С7х3 +
+ сС^ху3* dt0y3 + х3у + ху3, (У1.48)
или в матричной форме
ът(х,у)=[Я}Г{</},, (И.49)
где {#} = {( х у х2 ху у2
х3хг^ хуг у3 х3у ху3};
*г
S
Р и с.УХ.7
212
Нетрудно видеть, что, например, на стороне где у =const,
этот полином становится параболой третьего порядка гсг(х) = й, + йгх
+ й3ссг+ й^х^а.-^^ = йг + 2й3х + 3/^хсг-параболой второго порядка
и, следовательно, прогиб линии стыка между смежными элементами,
а также угол наклона вдоль нее описываются однозначно, посколь-
ку в общих узлах к и 5 равны перемещения ъа и углы наклона
V . В то же время закон (У1.48) не может обеспечить неразрыв-
ность первой производной > так как на рассматриваемой сто-
0SJ г
роне остается только два узловых параметра ( vk и vs ) для оп-
ределения четырех коэффициентов в уравнении
дг& 2
77=5r + S2'X+53X +S4X-
Разумеется, что аналогичная картина наблюдается и на сторо-
нах элемента зс-const.Таким образом, применение (У1.48) приводит
к "несовместным" элементам прямоугольной формы.
Для перехода от закона (У1.48) к интерполяционным функциям
воспользуемся формулой (1У.37), переписав предварительно (У1.48)
в нормализованных координатах. Получим
г с“«,» = 100100100100 -1 0^-10^10^101 1111 1 7 0-1-7 0-1-J- 0 1-7-0 о о Ъ Ъ 2 2 2 2 fo.-toif 0-1 0- .Л 6 а 1 h а ъ а ' 6 о 2 2 2 2 1-01-01^0,-^ -10^-10^1 0^1 о| ,1.2 < 1 2. 1 _2i 1 2 'Ъа'Ьаоа'^а -1-2L-1 2 !_. .2. 1_ 2.1 ,1а1~Ба'Ьа'Ьа i^o-i^o-ij-o ijo L3 ba' I a ' t> a 1 6 a -1 i- 1 -$—i-i 4 1 T i . 'ba' t a a' T a _ -< 1 2 U 2г ►.(У1.50
или в матричной форме
213
{cx}L - [в]’* {В,
(У1.51)
где, например, С™({,?), С™(t, ,^) ,С(^ ~ функции, интерпо-
лирующие ztzA , глЛ , Vk по области элемента соответственно.
Из (У1.51) следует, что интерполяционная матрица-строка
(У1.52)
содержит четыре блока, каждый из которых можно представить так:
* Ъ~?г~ *2 >{
(У1.53)
6 ^J(^k 'О\а f(f+ ft f(ff'1)(^ ^)].
У1.4.3. Имея в виду, что ы(%, 2) = [Сх]. согласно (У1.24)
можно записать д2
{*]*- а^д(г дг (У1.54)
Ь2д^ д2
или, учитывая (У1.33), б’ ‘'afidfd^ /дем иметь
М=адд<?}.- (УК55)
Очевидно, что матрица деформаций fZ)^ может быть записана как блоч-
ная размером 1x4 с блоками третьего порядка
^2 цищ) о k^)d^
. (У1.56)
Теперь с помощью соотношений (У1.36) и (У1.26) легко убе-
диться, что
214
[e]^-D
чЙ"'Ч)‘ О
8а 6 *
x(3J2^^-4) ~^г) -зГ)
(У1.57)
У1.4.4. Матрицу жесткости для рассматриваемого элемента опре
делим с помощью общего соотношения (1У.65), которое с учетом полу
ченных зависимостей в нормализованных координатах при условии
h = const можно переписать следующим образом:
-1-1
(У1.58)
Выражение (У1.58) дает симметричную блочную матрицу четвертого ПО'
рядка с подматрицами третьего порядка в виде
-Л2
4/ аь
+^(7'2^)] + ^у(^г~/)]+ х(^~/) +
+J^ + ЗУ *
(У1.59)
215
°'^(4W
2 . . 2 -i
7Ц7Г
*т‘(**зЪУ)
_ a
гдет = у
У1.4.5. Для элемента, изображенного на рис. У1.7, блоки мат-
рицы-строки [£%]. могут быть искусственно синтезированы с помо-
щью интерполяционных функций Эрмита. При этом, учитывая идентич-
ность в представлении таких функций (Ш.ПО), удобно ввести в рас-
смотрение типовой блок
(У1.60)
V=(У1.61)
Очевидно, что при использовании одномерных функций (Ш.98)
неразрывность перемещений г# и углов поворота нормалей на сторо-
нах - границах между смежными элементами достигается автоматичес-
ки. Однако в узловых точках смешанные производные не совпадают.
Подставляя (У1.60) в (У1.24), определим стандартный блок мат-
рицы деформаций
ад6'- 26 (У1.62)
9 *
Опуская из-за громоздкости блок матрицы напряжений Jex]r*=p^Jfc/x]f^
с помощью соотношения (У1.58) запишем для 4-го прямоугольного
элемента плиты типовой блок матрицы жесткости
216
к31
к 21 кгз
к32 к33
(У1.63)
где введены обозначения
v4&2+^4] ц
ЛтЧК ’
,(г1 /7 17 , /т 1 ,1 51 . 3 У
К21 6 +70^+'гт^25}^
ки= а 6 (Ыо^г ’л?7) +юо (2^J^)] I-
+т\к+(^^К-^’
Кзг= aill^o(^^)+^d (2 ^)]&J +I^J
+т^+(4г^4^л}>
1>г, I О
+^3+чу> т^'
Зак.641
217
У1.4.6. Перейдем к рассмотрению элемента, изображенного на
рис.У1.7, введя в каждый его узел по одному дополнительному пара-
метру в виде второй смешанной производной. Поскольку в этом слу-
чае каждый вектор станет четырехкомпонентным,состояние эле-
мента будет описываться уже 16 обобщенными перемещениями и,сле-
довательно, для ы(х,у) можно принять полный полином четвертого по-
рядка. Нетрудно видеть, что при подходе автоматически устраняют-
ся противоречия, отмеченные в П.У1.3.2, и обеспечивается сплош-
ность дискретной модели плиты. Таким образом, обсуждаемый эле-
мент будет "совместным* относительно перемещения углов
наклона нормалей v(x,a) и Yfx.u), а также смешанной производной
дгы
дхду *
Для построения матрицы [С#]; и других характеристик этого
элемента можно, очевидно, использовать прием, основанный на (1У.37).
Однако гораздо проще сформировать интерполяционную матрицу-стро-
ку следующим образом: в типичный блок (У1.60) ввести' четвертую
компоненту-функцию, соответствующую и принимающую Значение
единицы в рассматриваемом узле и нулевое - в остальных узловых
точках. Можно показать, что для типовой подматрицы этот член при
использовании функций Эрмита можно записать так:
(У1.64)
Отсюда, чтобы получить стандартный блок матрицы деформаций для со-
вместного элемента, к (У1.62) следует дописать четвертый столбец
в виде 1
----
Подматрицу напряжений для рассматриваемого элемента также
выписывать не будем, а сразу дадим компоненты типового блока мат-
рицы жёсткости
*11 Кп к13 kf4
*и *23 *2+ , (У1.66)
l Jtj а 6
к31 к32 к33 к3*
’ кН к^2 к43 к44 '
218
имея при этом в виду, что с до aJ3 они равны соответствующим
членам в (У1.63). Будем иметь
кг^а6Ч[7о(^т2^Ь (2^)Ц 4^^}^ '
-a6414(4”2 Ж) 4о(г^)1Ь 4(т‘ 4^41 >
ъ=-аЧ[&^'п2)-
iK *j +
4(mi+%)lj\}'>
^'аб2{1то(^т1 ~
\з=-*4fe%6* тг>£(2^ж4&+^к ь-
-°2ь {&7Г* ^‘h4o(2+^)k4(4 4^-} •
=°2бг4$т24*) 41 к ь 4(m^44)k +
(411(”г4?)+/]ц+^2^) ★£} •
У1.4.7. Иногда очертание плиты таково, что возникает необхо-
димость в использовании конечных элементов в виде параллелограм-
мов (рис. У1.8). При этом все вышеприведенные формулы для прямо-
угольных элементов остаются в силе, если в них произвести заме-
ну декартовых координат на косоугольные t и /?.Из pic .Л. 8 следует
219
JC — t + ncost<j у. = /75г/?оС,(У1.67)
У1.4.8. Рассмотрим приве-
дение заданных поверхностных
нагрузок к эквивалентным узло-
вым силам. Пусть на плиту дей-
ствует распределенная попереч-
ная нагрузка интенсивностью
/^£г,у).Тогда согласно (1У.76) вектор-столбец узловых сил
" т
(У1-68)
или с учетом (У1.52)
{pA4B]/o6ff (У1.69)
-1-1 •*
Выражение (У1.69) при Ps(f,t) “ const интегрируется явно. В
результате для "несовместного" i'-ro элемента имеем
(„ 1 t Ь а , Ъ а Ь- а Ь а у
3 3’ 3 3>1~з ~ З'1 3 ~ 3 J' -(У1.70)
Когда в центр прямоугольного конечного элемента приложена
сосредоточенная сила Р , то отвечающий ей вектор узловых сил бу-
дет
i-i Ь а Ь а 6 а 6 а >
Аналогично компоненты векторов {^}- и получаются и при
использовании для [с*]. выражения (У1.60). Причем если интер-
поляционную матрицу-строку принять в виде (У1.60), учтя в ней
(У1.64), то нрк const (У1.68) также легко интегрирует-
ся. Однако в этом случае в каждом векторе появляется четвертая
компонента, которая не обладает ясным физическим смыслом, что и
является одной из причин, затрудняющих использование в практичес-
ких расчетах совместных элементов прямоугольной формы.
!£сли на плиту действует динамическая поперечная нагрузка,
Согласно (1У.120) вектор инерционных сил в узлах Z-ro элемен-
ТО
та
f/V]. (t)},, где блочная матрица масс
М< =-pJf
д.
(У1.72)
220
плотность, принимаемая постоянной в пределах элемента.
Заменяя в (У1.72) [С#], с помощью (У1.60), после интегриро-
вания типичный блок матрицы масс получим в виде
г,;/*; аЬ 234 112,78 66а -т,7ь 52b2 -31.8 а 6 66а 31,8аЬ 2Ьаг (У1.73)
Если добавим теперь в блоки [с*]- функции (У1.64), то подмат-
рица масс, построенная на "совместном" выражении для прогиба,бу-
дет такой:
’ 234 ~112,7Ъ 66а 31,8аЪ
т,7ь 52 62 31,8 а 6 -&,7а6г
Wij '^1225 66 а -31,Bab 2Ьаг -Т1,6а2Ь ' (У1.74)
. 31,8аЬ -1k,7ab2 11,6агЬ -14аг6г 3
У1 .4.9. Располагая всеми необходимыми матрицами, характери-
зующими с-й конечный элемент прямоугольной формы для тонкой пли-
ты, можно перейти к анализу напряженно-деформированного состоя-
ния конструкции в целом, придерживаясь общей схемы метода ко-
нечных элементов.
§ У1.5. Треугольные конечные элементы для тонкой плиты
У1.5 .1. Дискретная модель плиты любого очертания наиболее
просто и с достаточной степенью точности строится с помощью ко-
нечных элементов треугольной формы. Кроме того, как показано в
[21,45], такие элементы могут быть с успехом использованы для идеа-
лизированного представления оболочечных конструкций.Именно по-
этому они находят широкое применение в расчетной практике и тре-
буют детального изучения.
Рассмотрим треугольный элемент с узлами j ,к,п (рис.У1.9) и
выберем в качестве параметров, определяющих его состояние,те же,
что и ранее, физически очевидные узловые перемещения: прогибы и уг-
лы поворота нормалей соответственно вокруг осей х и у. В резуль-
тате вектор-столбец узловых перемещений {<£ }(. = ({}
будет содержать девять компонент, так как, например, fa},fa
У г’
Нетрудно убедиться, имея в виду доводы, приведенные в п. Я.3.2,
что применение таких элементов так же, как прямоугольных о 12 сте-
2.21
пенями свободы, не обес-
печивает неразрывность
углов наклона нормалей
в плоскостях, перпенди-
кулярных сторонам-грани-
цам между смежными эле-
ментами, т.е. при таком
подходе треугольные
элементы оказываются "не-
совместными" .
У1.5.2. Интерполя-
ционная матрица-строка
для рассматри-
ваемого элемента,несом-
ненно, может быть построена с помощью приема, основанного на за-
дании для закона в виде неполного полинома третьей степе-
ни, в котором для симметрии принимается oCfl = [21J, т.е.
р}Г{ос). , (У 1.75)
где
; {<<}. -- (*,оС2 . . . Л9}.
Однако в этом случае при переходе от (У1.75) к [С*] (см.п.1У.2.4)
появляется, кая уже отмечалось, весьма сложная и, более того, не
всегда осуществимая операция, связанная с обращением матрицы [в]..
В силу этого матрица-строка [CM]i , а вслед за ней и все другие
зависимости, характеризующие "несовместный" элемент для тонкой пли-
ты, удобно сформировать, воспользовавшись L-координатами. При
этом, учитывая специфические особенности этих координат, напри-
мер, для к -го уэла можно сразу записать
[^Г = ’
(У1.76)
= [z *Z*Z.-Zfz -LL2 - L L2
1 к к j к n kJ к n
bn (Lk Lj * 2 LjLkLh}'bj(LkL h* I Lj LkL^>
Cn (Lk Lj к Ln +7bJ Lk Lh^>
222
где 6Л = - Я* ; сп=хА - х. , и т.д.
Все компоненты в (УХ.76), в чем нетрудно убедиться, действи-
тельно удовлетворяют условиям, предъявляемым к функциям, интерпо-
лирующим узловые перемещения по области изгибаемого конечного
элемента. Так, если первая из них равна единице в узле с коорди-
натами ссЛ и и нулю -в остальных, то две другие компоненты-
функции равны нулю во всех узловых точках, но зато производные
от них соответственно по у их будут в рассматриваемом узле рав-
ны минус I и плюс I. При этом каждая из компонент и все они вмес-
те взятые единственным образом определяют кубичный закон изме-
нения прогиба по области конечного элемента и, следовательно,
вдоль линии стыка между смежными елементами. Это, как известно,
обеспечивает неразрывность функции w, а также производной от
нее по касательной к линии-границе при переходе от элемента к эле-
менту. К сожалению, в этом случае нормальные производные, измене-
ние которых следует по параболе второго порядка, неоднозначно оп-
ределяются двумя узловыми параметрами на калодой стороне элемента,
предопределяя его несовместность. Вместе с тем заданная таким об-
разом интерполяционная матрица дает возможность получить любое
произвольное значение кривизны во всех точках элемента, что по-
зволяет добиться сходимости решения [бб]. Заметим, что подматрицы
записываются аналогично путем циклической пере-
становки индексов j~ к .
УХ.5.3. Располагая типичным блоком интерполяционной матри-
цы все выражения для рассматриваемого элемента могут быть
получены по стандартным формулам (УХ.33), (УХ.36) и (1У.65), в
использовать соотношения (1У.30)
которых для удобства дифференцирования и интегрирования по декар-
товым координатам целесообразно
и (ХУ.54). Будем иметь
а»;
13
Л)
d23
d(i>
12
d(i)
22
(УХ.77)
d<i>
32
d<»
33
где d„= ? = б 2 *
14 11 J ' 1> *' п J J п' J k'j k' J П к 12 J
J (\~ + Lkt>ni>j + Lh 6j 6k)i dj3^6j(LnCk-Lkch} +
W)-21.6.(сЛ
Компоненты второй строки получаются простой заменой индек-
сов 6 на с :
223
d^2l^j(^^(bnc ^.Cn)(L -Ln) +
+^Ac. * бЛ)б!7.-L^Ljfyc** 6ncn)];
d32=^\' bAL№jcn+cj №cjW*
+LA cn «М 6A
j(C* ' \ CJ ★ 6J <>) *
+Z/M ^лМ^ЛсЛ *лАса Л s,)]-
Подматрицу [*o] [d*]-*1 иэ-за громоздкости писать не
будем. Блок матрицы жесткости имеет вид
Ми к12 кгг к
13 кгз (У1.78)
Компоненты (У1.78) кз1 кзг в сокращенной кзз . запис л можно представить сие-
дующим образом: с/с)+5>^с,^/Я +
* rJk fa, c,c)+(f ~p)rjK( 6, с, Ь, с);
*?2=Ь(6>6’6> 6’с^^с>с> Ь> б^1+
+ т (с,с,Ь,с)+(1-р)t. (Ь,с,б,с);
J*
*13*'П!к(Ь>Ъ>С> Ь^^к(Ь^Ь>С^ * +
J Jib
(с,с, с, с) +(f-p)tJk(b, с,с, 6);
Лг/= tkJ(6>6, bJ>)*p[rnkj(bf>J>,№^
224
+ mK. (c,c,6,c) + (f-р) tkj (6, c, 6, c);
= nik Ь> 6> Ь’ +'4/ [fl* Ь’ Ь> C^Pik Ь> Ь> Ь> СЯ + C> 6’ C) + C> Ь>С^>
£* Jn u jA yA J ул УА
*23= Pjk b>C>b^ P b> С^ + Ш]к(Ь>С>С>ЬУ\ *Рк/С> C> C) +^nj^b>C’ C>b^'
^3ff»kj(b,f>,c,^'-/J[tkj(b,b,c,c)^nikj(c,c)cfb)]<k.(c)c,cJc')+(i-/j)t^(6>c)c,6);
^г=Рк1(Ь>Ь’с''^+Лпк;(6'6'с>с^ 4,(b>c>c>b)l* Pik(c>c> b>c)
ac *J j KJ J* V
k33 = n.k (c,c,c,c)^[p.k (c,c,c, b)-pk. (cfi,c,c)]i- ^(c, t>, c,6)^(f-p)n.k (c,6, c, b);
где введены обозначения
^Jk bj (f, <?)]} i
(°> dfykSk (f,^ +fijk Sn(f>frfjk M] ★
★ bk (a>d)frjksk (f> v)]+
ЧП (f> ^^Jksn (f, ^jksj (f> <?>] } > '
★ №d)[lfjk ^k (ft ч) ^jk %(f, 4)^Jk
+tn(a>d)[PjkQk(f>4>^n(f>4) *jkQj (f> 4)1} >
Зак.641
225
+sn(a>d^j^(f^^sn(f>^+^sj </><Л}'>
PJk (a^M)sJ8^{sjM[^ Q^f’ Qn (/>?)* ’9)]*
* «* MlSjA (f>9^jkqn(f^ ^jkQj (f>
Ujk(a^f,‘l)a^{Qj(old)[djkQk(f)^^.kQn(f^)^JkQj(f^)]+
+qk(a>d)bjA(f>9^djkqn(h9^J3JI,^(f><l)] +
+%<a>d)[fyW^
В евою очередь
t. (а,с1)=-(2а}с1. + + andn);
sj {a’d> = laK°n}(W аЛ>^аА dk,~ ап\У>
Sk(a,dHdk -an )(a.d^an d.}^a. and.;
s^.dl’ia^a^a.d^a^.)^ a^d.;
Q.KdHa- ^)dkdn^d.(akdn-d^Y,
<ik(o,d^ak-an}d.dn-2d^-, Qn(a,d)-(Ok-afj)d.dk-2d;ak.
Коэффициенты <<A , J3jk , g\k в представленных выражениях в
вависимости от значений индексов у и Л могут быть определены по
таблице:
226
Ч6>с)+^П(Ъ’с)^ Ь
^n^4fi.^c)^.ktn(6,C)^t/6,c)]},
при этом
£/&,с)=-(2б7с.*б^* 6лсп); ^ф6.с.-6.ск - ькс. ; и т.д.
У1.5.4. Перейдем к обсуждении некоторых способов построения
конечных элементов треугольной формы, совместных относительно функ-
ции ы(х,у) и обоих ее производных.
Сначала подробно рассмотрим прием, описанный в работах [69,
71, 83], согласно которому в каждый узел элемента, показанного на
рис. У1.9, введено по шесть узловых параметров. Так, напримэр,
( Х<*> I №_\ !dw\ /дг”\ /dlur\ 1
(У1.79)
а закон для прогиба по области конечного элемента принят в виде
полинома пятой степени
z«r('x?y;=o<z + o<2 jc + o<^y+о^х2 + о^л:у+</бу2+ <<7ос',+о^гг^ *
*оСдху2 *<^юу3 * +^rzx3V^13xY* (У1,80)
Чг / * *16 +*17Х\?+*18ХУ +<*Г9Х^ 4
227
или в компактной форме
ч
га(х,и)=£ d.!f(x,u).
г * * 'г
(У1.81)
Из (У1.80) следует, что вдоль любой стороны, где х и
связаны линейной зависимостью, функция для иг может быть пред-
ставлена параболой пятой степени от координаты t , направленной
вдоль рассматриваемой стороны*} Ясно, что шесть коэффициентов
этого полинома единственным образом определятся через шесть
обобщенных узловых перемещений. Например, на стороне кп через
Ч’Ч, (W51’ • Таким о6*»30”’ Ыя соседних
элементов с одинаковыми параметрами в соответствующих узлах не-
прерывность перемещений не нарушается. Вместе с тем на каждой сто-
роне треугольника функция - парабола четвертого порядка от
t , для определения коэффициентов которой имеется лишь четыре уз-
ловых параметра. В частности, на стороне кп
)п > Следовательно, чтобы добиться неразрывности узйов на-
клона нормалей в плоскостях, перпендикулярных линиям стыка между
элементами функции вдоль этих линий tfn (t) должны быть
параболами третьего порядка. Для этого на (У1.80) накладываются
дополнительные условия - равенство нулю коэффициентов в
мах щ, (t) при t выше третьего порядка. Легко видеть, что
роне jn, где - j*- , а координата t совпадает с
условие выполняется при
оСл, =0.
На стороне jk и кп соответственно при
полино-
на сто-
ят , это
(У1.82)
5а*с*„ +(3а*с*(2ас*-3аУ)</..,+ (с5-4-агс3Jd.-5асЪ =0;
IB It 'О Tjf •v
(У1.83)
5Ь*с*„<-(з№2Ъ*с)А, t(3b3c-2bc3)oCu+(Cs*fb*c3)t<e+Sbc*J *0.
if If Iff >9 tv
Далее, используя (У1.81), запишем в соответствии с общей про-
цедурой МКЭ функции для компонент обобщенных перемещений (про-
гиба, его первых и вторых производных) по области конечного эле-
мента и подставим в них координаты узловых точек. Тогда, прини-
мая во внимание (У1.83), будем иметь
*)Замена координат производится по формулам
X = tcosd * п sind j а = С + ncosd - tsind.
228
^Пропущенные члены равны нулю; °, ~За2с3-2а^с > а^-2ас^-3агсг
а = с5- 4а2 с3; 6=36‘с3-264с; 6 = 363сг-2бс*;Ъ =с*-4Ъгс3.
229
I Vi
0
0
-- CBli M h ,
(У1.84)
I Vi
0
0
где /<£),• = {е(,с(.г .. .0<гд } , а матрица (BJ- в развернутой форме име-
ет вид (У1.85). Из (У1.84) находим
/
или, отбрасывая в [В два последних столбца,
(У1.86)
(У1.87)
Внося затем с определенной последовательностью члены полино-
ма (У1.81) в выражение потенциальной энергии деформации изгиба
тонкой плиты (У1.27), получим
(У1.вв)
Введем новое обозначение
[ Д’ Д -
2 дх1 дуг г дх1 дуг jj Ч' (У1.89)
Тогда выражение (У1.88) в компактной матричной форме перепишется
так:
Vj W • (yi.9°)
или, имея в виду (У1.87),
ад. (у1.91)
Сравнивая (У1.91) с выражением для потенциальной энергии в форме
(П.6) и учитывая (1У.60), устанавливаем матрицу жесткости для t-ro
"совместного" конечного элемента треугольной формы в местной сис-
теме координат
230
[кЗ^ав^'П^ЧСв*]:’
(У1.92)
В общей системе координат оогласно (Ш.56) IMrWl Щ Щ,где
для рассматриваемого элемента
f/vjf7 0 0
[А^ = 0 0 (У1.93)
0 0 ^]-П>
10 0 0 0 0 '
0 -1 п 0 0 0
Ont 0 0 0 0 л 0 0 2 2nt Сг ; n*cos(x,xf); t*sin(x,^).
0 0 0 / г -2nt Пг
0 0 0 -nl Пг-12 nl
Заметим, что применительно к элементу с 18 степенями свободы
расчетные матрицы получаются весьма сложными и громоздкими, поэто-
му их в явной форме обычно не пишут, а все вычисления осуществ-
ляются на ЭЦВМ путем численного интегрирования.
У 1.5.5. Для треугольного элемента, рассмотренного выше, в
качестве дополнительных узловых параметров всегда можно ввести
значения нормальных производных в середине каждой из его
сторон [69, 79]. В результате конечный элемент станет обладать
21 степенью свободы и, следовательно, коэффициенты полинома пя-
той степени (У1.80) сразу же определятся, например, по формуле
(1У.37), При этом вдоль любой стороны-границы при равенстве соо>
ветствующих узловых параметров по аргументам, приводимым в п.У1
3.2, неразрывность w(t) и нормальной производной w„(t) обеспе-
чится автоматически.
Как и в предцдущем случае, матрицы, характеризующие такой эле
мент, в связи со сложностью выражений рекомендуется определятьni
специальной программе на ЭЦВМ.
У 1.5.6. Прежде чем обсудить другие способы построения совме-
стных конечных элементов треугольной формы, введем в рассмотре-
ние рдц так называемых "корректирующих" функций f(x, у?, скомбини-
рованных из /.-координат [21]. Потребуем, чтобы J(x,у; были непре-
рывны вместе со своими производными по всей области элемента
и равны нулю на его сторонах и в узлах, чтобы были равны ну-
лю углы наклона во всех узлах и на сторонах, кроме той, с кото-
рой связана эта функция и где нормальная производная должна су-
23.1
Шествовать, быть равной единице посредине этой стороны и изме-
няться по параболическому закону.
Этим условиям удовлетворяют, например,
4 Ln
(У1.94)
Функции которые, имея в виду их свойства, можно доба-
влять к начальным интерполяционным функциям, не изменяя вектор
узловых параметров (д)/>представляют две возможности для получе-
ния совместных относительно функции ИГ(х,Ц) и производных от нее
конечных элементов. Во-первых, с их помощью можно обеспечить
линейный закон изменения нормальной производной вдоль любой сто-
роны - границы элемента с девятью степенями свободы; во-вторых,
приняв в качестве дополнительных узловых параметров на
серединах сторон элемента, создать условие для однозначного пара-
болического изменения wn(t> вдоль каждой линии между смежными
элементами. *
У 1.5.7. Приведем в общем виде процедуру построения совмест-
ных треугольных элементов, реализуя вначале первую из перечи-
сленных возможностей. Для этого из выражения ,
где - матрица-строка из компонент вида (У1.76), определим
вектор нормальных углов наклона в точках посредине его сторон
' dur j
. dn цк
( dur j
. дп /кп
(dur )
< dn /nj
. (У1.95)
а затем найдем величины этих же углов как средние значения соот-
ветствующих углов наклона нормалей в узловых точках
Ш /<?}/ • (У1.96)
В результате можно записать вектор
(У1.97)
с помощью которого определяется вектор-функция
l/jk fkn fnj ] = [/]{/}> (У1.96)
232
приводящая к линейному закону у— вдоль каждой пограничной ли-
нии между элементами. Таким образом, окончательно получим
V = (УI • 99)
•
У 1.5.8. Введем теперь посредине сторон элемента .изображен-
ного на рис. У1.9, дополнительные узлы и зададим в каждом из них
в качестве параметра угол^^^у*, доведя таким образом число сте-
пеней свободы до 12. Чтобы описать напряженно-деформированное со-
стояние такого элемента, включим в типичные блоки матрицы (УТ.'ЙЗ)
функции (У1.94). Очевидно, что в этом случае вдоль границ элемен-
та непрерывность не тольконо и нормальной производ-
ной обеспечивается автоматически, поскольку законом для (t)
является парабола второго порядка, коэффициенты которой одноз-
начно определяются тремя узловыми перемещениями на каждой сто-
роне-границе.
У 1.5.9. Совместный треугольный элемент с 12’ степенями свобо-
ды может быть построен также следующим способом [74]. Сначала его
разбивают на три треугольника с общей вершиной (рис.УI.10) и для
каждого из внутренних треугольников принимают десятичленный поли-
ном третьей степени. Далее приравнивают значения узловых переме-
щений, определяемых по этим уравнениям в вершинах треугольни-
ка, что дает 18 уравнений. Затем записывают три уравнения для
углов, в узлах на серединах внешних сторон; шесть уравнений,от-
ражающих непрерывность прогиба его первых и вторых производных
в общей точке и, наконец, три уравнения совместности нормальных
производных в узлах на серединах сторон внутренних треугольни-
ков. В результате получается система из тридцати уравнений с три-
дцатью неизвестными коэффициентами, что и позволяет с помощью
обычной процедуры МКЭ определить все матрицы для элементов,
обеспечивающих сплошность дискретной модели тонкой плиты.
В работах [69,79] показано, что наличие в узловых точках эле-
ментов различного числа степеней свободы создает определенные
трудности при их объединении. Поэтому считается целесообразным ис-
пользовать элементы с 18 степенями свободы, введя в узлы на
срединах сторон по три обобщенных перемещения, например
' ‘'‘ат₽ицы, характеризующие такой элемент, даны
в [80]. п
У 1.5.10. Применительно к конечным элементам треугольной фор-
мы операции, связанные с переходом от распределенных нагрузок к
эквивалентным узловым силам (в том числе построение матриц инер-
ций), ничем, по существу, не отличается от тех, какие уже не раз
Зак.641 233
были описаны выие. В си-
лу этого, опуская вы-
кладки, подчеркнем лишь,
что в данном случае обыч-
но удобнее предусмотреть
в программе процедуры
численного определения уз-
ловых воздействий. Заме-
тим к тому же, что и
переход к идеализирован-
ной конструкции плиты, состоящей из ансамбля треугольных конеч-
ных элементов, взаимодействующих в узловых точках, осуществля-
ется стандартным образом.
У 1.5.П. Располагая матрицами для конечных элементов,исполь-
зуемых в плоской задаче теории упругости и при расчете плит на
изгиб, можно перейти к обсуждению классической задачи устойчи-
вости плоской формы тонкой пластины. Для этого, имея в виду
рассуждения § 1У.8, необходимо определить матриц/ геометрических
жесткостей (см.п.1У.15.5), которая с учетом принятых в этой
главе обозначений и при h* const перепишется так:
(У1.100)
а ее типичный блок следующим образом:
(У1.101)
Чтобы конкретизировать (У1.101), допустим, что идеализирован-
ная модель плиты состоит из конечных элементов треугольной фор-
мы первого порядка. Тогда, во-первых, типичный блок интерполирую-
щей матрицы можно принять в виде (У1.76) и в соответствии с
(1У.153) записать
3
3 '
Зч.
/ч
if <>2 “3
(У1.102)
где введены обозначения
234
bj >„ L. >:
ълч-¥.) < №. ьгсЛ)г >
^’--<:,[i'2(L,Lt>i.kL^ijL,l-ari,)!K<':J^.>-2i.t(i-^J'L„^i;
•2“'-2L,ck (c, L. .CjLk),^lc,LJLk^kLJl:^ciLkL„>.
Другие блоки матрицы [Сх]. могут быть получены простой переста-
новкой индексов.
Во-вторых, исходя из того, что компоненты напряжений, опре-
деляемые с помощью МКЭ, являются в пределах рассматриваемого эле-
мента постоянными величинами, выражение (У1.101) можно предста-
вить в виде суммы:
И'”Г<Гк,’Т% <П.ЮЗ)
* J Ji J tf J
где
ot-iw
или с учетом (У1.102)
w
F
tf}
v2
<k)
>
<k)
dxdy. (У1.Ю5)
jT /Г
tf tf}
Члены в (У1.105) интегрируются явно. В результате будем иметь
235
bj*b„
15
t* i
f
x«‘-k f-'1^'^1^ *& -
)* "и2 (уге»~е/)^^ /go ।
^.-$ -%
lt^-4)^ybb
r£vA h 17 \ w*
-[~H Г" * 1зГ~й~
[^(т'^^г (.I'-fr)'
» й1
bj\bn f 3J_ V w A bn /. , j ,fy &£ / A*z _ 5 c L
+ /44 (7 ю ») 7 360 ^Cj °j f>}t 80 I 9 * V
AAiS' /А _ A. ) y. Al /i< _ Qz) AL (c -c<) - ^^1 •
68 ( tO 3 J /80 {"^ 2 J 260 '" r 7201’
4>. >]
^-4? JJ /Г^‘ Д (¥ -%)-
•A
236
bL_(c -с )+ -- & (c _ /A1£j. &*<*)].
240 k n! 30 ( 3 8/ W* 4 ) 30 I 3 в JY
Ktx>- h ff (*LC nc )+ (JL. c _CY
K>‘ '4& JJ & Ь ^-JTL W ( 3 60 ( 12 c" Cj)
‘ *1
her
24
Второй блок в (У1.103), как нетрудно убедиться,
= h JJ ([С^1) т[°0 °] [Сж]^^, (У1.Ю6)
или
ф W
^к)
(вФ
S 13
. . (У1.107)
dxdu.
и, следовательно, его компоненты после интегрирования могут быть
записаны подобно членам для (У1.105) с заменой в них Ъ на С> и
наоборот.
И, наконец, очевидно, что третий блок
ft wli? =
А
^T4^v
dxdy.
vf ч'» >
(У1.1О0)
237
получается суммированием двух предыдущих.
Если теперь предположить, что компоненты вектора напряжений
докритического состояния z-ro элемента определены для некоторых
заданных условий на контуре плиты и при Л»/ (1У.162), то мат-
рицу
рению всей
можно считать известной и затем, перейдя к рассмот-
конструкции, из (1У.163) найти параметры А и свя-
занные с ними формы потери устойчивости плиты.
Следует отметить, что описанный подход может быть использо-
ван исключительно для решения классических задач устойчивости,
когда возможна бифуркация равновесия [21]. В общем случае задачи,
в которых необходим учет взаимосвязи поперечных и продольных
воздействий, решаются как геометрически нелинейные с помощью ите-
рационных методов.
5 У1.6. Тонкие оболочки как совокупность конечных элементов
У 1.6.1. Существуют два принципиально различных подхода к
аппроксимации тонких оболочек конечными элементами.
Первый и наиболее распространенный подход основан на пред-
положении, что поведение непрерывной криволинейной поверхности
достаточно точно характеризуется поведением поверхности, состав-
ленной из малых плоских элементов [21], как правило, треуголь-
ной или прямоугольной формы. Построение матриц таких элементов
осуществляется обычно из условия независимости деформаций от из-
гибающих и мембранных усилий с использованием полученных ра-
нее соотношений для плоской задачи теории упругости и тонких
плит. Отметим, что известные, но вполне преодолимые трудности во-
зникают в этом случае при переходе от местной системы координат
к общей. Примеры реализации подобного подхода можно найти в [21].
У 1.6.2. Второй способ конечноэлементной аппроксимации тон-
ких оболочек основан на представлении их набором криволинейных
оболочечных элементов. В общем случае для описания геометрии и
поведения таких элементов следует воспользоваться криволинейны-
ми координатами, введенными в П.1У.2.9. Однако наиболее простой
и эффективный прием построения соответствующих расчетных зависи-
мостей состоит в применении теории пологих оболочек.
В [ 75, 76] отмечается, что пологие оболочечные элементы, в
выражении для энергии которых содержатся члены, характеризующие
взаимное влияние друг на друга изгибных и мембранных деформаций,
более эффективны, чем плоские, для которых это влияние учитывает-
ся на границах стыковки.
238
Рис. У1.11
Вместе с тем допущение о пологости позволяет существенн
упростить получение соответствующих расчетных зависимостей, по
скольку оказывается возможным считать горизонтальные и вертикаль
ные перемещения независимыми, а, значит, применять те же интерпо
ляционные функции, что и для плоских элементов.
У 1.6.3. Рассмотрим вначале прямоугольный в плане пологи
оболочечный элемент в местной системе координат (рис.УТ.П).
качестве параметров, определяющих состояние этого элемента, при
мем обобщенные узловые перемещения, вектор-столбец которых [д
= Iсодержит в самом общем случае 24 компо
ненты, поскольку каждому пространственному узлу присущи шесть
компонентов перемещений. Например, {д { и* % -иг* д>к Д }
может включать три перемещения, обусловленные действием мембран-
ных сил (в том числе j* - угол поворота относительно оси х
и три, вызванные изгибом.
Адекватный вектору / д}. вектор-столбец / R}t в общем слу-
чае также имеет 24 компоненты, причем в (R}-*- { R^ R2t>
войдут реактивные сосредоточенные силы и момен-
ты, отвечающие соответствующим компонентам вектора / д }!к).
Определение зависимостей, характеризующих обсуждаемый эле
мент, начнем, как обычно, с построения интерполяционной матрицы,
которая для прямоугольного элемента с четырьмя узловыми точкам>
записывается с помощью четырех блоков. При этом, имея в виду
рассуждения, относящиеся к пологим оболочкам, и возможность едино
образного представления интерполяционных функций, матрицу [<?
выразим посредством типичного блока
Щ'*'- М-П^Г.? >
(У1.Ю9:
239
который в развернутой форме с учетом (У.34)
и (У1.60)
перепишем
в виде
Ct(z,p) 0 0 0 0 0
о Ck 0 0 0 0 CVLIIO)
ООО с^,^) с?(ч}
Выбор эрмитовых функций для образования компонентов (У1.110)
обеспечивает сплошность идеализированной модели оболочки, так как
вдоль линий-границ между элементами эти компоненты зависят толь-
ко от узловых параметров. Вместе с тем при таком подходе углы
поворота нормалей в узлах относительно оси г исключаются из
рассмотрения, поскольку они не входят в число узловых парамет-
ров, определяющих состояние элемента в плоской задаче теории
упругости. Заметим, что причина, по которой узловые параметры у,
не связанные с перемещениями точек элемента, вводятся в рассмот-
рение, а также пути преодоления возникающего при этом противоре-
чия будут обсуждены ниже.
Сформировав выражение (У1.П0), по общей формуле (1У.42)
с помощью (У1.13) запишем типовую подматрицу деформаций в ви-
де суперблока следующим образом:
'МЛ МЛ]
. МЛ’ ^Л}> J ’
(У1.П1)
или, принимая во внимание структуру (У1.13), в виде
Wlf-
(У1.П2)
где диагональный блок [0^]^ имее'г ВИД (У.37) с дополнительным -
третьим нулевым столбцом; соответствует (У1.62);
**
Су (*,,!?) . (У1.ПЗ)
0 0 0
240
Типовой суперблок матрицы напряжений согласно (1У.45) и с ис
пользованием (У1.14) представим так:
Г [е]; = Уз>з 0J«3 ^3*3 1^' =
< г ^3»3 [еЛк) 9 (У1.П4)
где содержит члены (У.39) и дополнительный нулевой стол-
бец, а [ем]'.>:>легко строится по (1У.45) с помощью (У1.62) и (У126
Ге
~ j.jji
С*(*’ <?)( С« ★fy) C<R *Rfi)
0 0 0
(У1.П5)
В соответствии с (У1.58) стандартный суперблок матрицы жест
кости для 4-го прямоугольного элемента с четырьмя узловыми точка
ми удобно записать в виде
[К?"
[^]у}
(У1.П6
где [Х„]У содержит блок (У.41), а также третьи нулевые столбец
и строку; [имеет вид (У1.63)
*('*h**J
ООО
Зак.641
241
[К* ]ц} определяется выражением (У1.П9).
У1.6.4. Перейдем к изучению треугольного в плане пологого
элемента (pHO.yi.I2), состояние которого определяется 15 узло-
выми перемещениями (угол поворота /ив данном случае прини-
мается равным нулю).
Для интерполяции узловых перемещений по области такого эле-
мента воспользуемся функциями, которые наиболее просто состав-
ляются из безразмерных, "естественных" для треугольника /.-коор-
динат. В результате, учитывая (1У.9), (1У.25) и (У1.76), типич-
ный блок интерполяционной матрицы-строки можно представить в ви-
де
^к
О
О
0 0 0 0 О'
L" О О О О .
о L„ ^(Lj.Lk,Ln) ^LjW
Рис. У1.12
242
о»
">l$
rs>
hr
">Ий
<s>
MT'
к?
МГ
MT
l*>
lo>
1Й
CS?
cC-
*S>
Mr
3?П=
t
243
Выражение (У1.120), хотя и приводит к "несовместным" элемен-
там, тем не менее, как было указано в п.У1.5.2, позволяет рас-
считывать на сходимость решэния к точному.
С помощью (У1.120) все суперблоки, характеризующие треу-
гольный элемент, можно построить так же, как и для прямоугольно-
го элемента. Опуская промежуточные выкладки, отметим, что при этом
в суперблоке деформаций (У1.112) по главной диагонали будут
размещаться подматрицы (У.1) с дополнительным нулевым столбцом
и (У1.77), а по побочной диагонали - блок, подобный (У1.ПЗ),
с заменой в нем функций Cw($,q) на соответствен-
но. В суперблоке напряжений (У1.114) подматрицы будут
содержать (У.2) и третий нулевой столбец, блок без тру-
да может быть построен по стандартной формуле (1У.45), а [е„к]^
будет иметь вид (У1.П5) с заменой на Clk,(Lj,Lk,Ln) . И,
наконец, в суперблоке матрицы жесткости (У1.П6) подматрица
содержит блок (У.5) и нулевые столбец и строку; подмат-
рица будет иметь вид (У1.78)
.b,j -{L + iL\ . h flf#\
0 O ' 0 .
(У1.121)
6 I 6 KJ
a
о
(У1.122)
0
244
зэ 1260
r^i м . Е6Д_ -L- (196-Mb) 2520 k * ^11bjbk) 10080 ★W-iibA -25bnc„] • (У1.123)
* 2520 —— [ I3 10080 1 * rt * W’ HbjCk- 'юоГо ^38c‘f
Здесь И- .
У1.6.5. На практике, как уже отмечалось, довольно часто обо-
лочечные конструкции аппроксимируются плоскими элементами прямо-
угольной или треугольной формы. При этом предполагается, что сос-
тояние элемента от мембранных усилий определяется соотношениями
плоской задачи теории упругости, а состояние, вызванное изгибом,
описывается независимо с помощью аппарата теории изгиба тонких
плит. Нетрудно убедиться, что характеристики плоских элементов
в этом случае могут быть легко получены из приведенных выражений,
если в соответствующих суперблоках сохранить подматрицы, лежа-
щие лишь на главных диагоналях. Кроме того, в (У1.116) при таком
подходе следует принять равным нулю блок
У1.6.6. Поскольку приведенные выше матрицы жесткости получе-
ны при определенном расположении координатных осей, то прежде
чем перейти к составлению ансамбля элементов, их следует найти в
произвольно ориентированной общей системе координат j,
этого сначала имеет смысл путем перестановки некоторых строк и
столбцов переписать матрицы жесткости так, чтобы они отвечали
перегруппированным векторам {а}?* / 4/. гГ 1Я. </Л, Z};
• f Затем в соответствии с § Ш.З ввести
в рассмотрение кваэидиагональную матрицу преобразований [ Ne j .f
количество блоков в которой соответствует числу узловых точек эле
мента
= О Щ]'*’
(VI.124)
245
где
; (У1.125)
L ° Jl [о [П] J
ПХЦ, ^Xz,
[*] ; (yi.i26)
L J
Пхх = C0S i « Т.д. (У1.127)
Тогда с учетом (Ш.81), (Ш.82) и (Ш.86) получим
{4k -Ч; Ilk > !*k * Ш i^k; M =[",][[KJiMi
Заметим, что направляющие косинусы (У1.127) достаточно про-
сто могут быть определены по формулам аналитической геометрии [17].
У1.6.7. Объединение конечных элементов при расчете простран-
ственной задачи по МКЭ в форме метода перемещений сводится, как
известно, к составлению в каждой узловой точке шести уравне-
ний равновесия. Вот почему на предыдущих этапах и были введены в
рассмотрение фиктивные узловые перемещения по шестому направлению
. И хотя это делалось чисто формально и учет выразился
лишь в появлении в матрицах нулевых строк и столбцов, теперь это
дает возможность непосредственно перейти к составлению уравнения
статики без принципиальных затруднений. Однако имеется один ча-
стный, исключительный случай, когда плоскости проекций элементов,
сходящихся в узле, компланарны. Тогда шестое уравнение статики
относительно оси Z в местной системе координат превращается в
тождество 0=0, и, если направление местных и общих координат-
ных осей различно, это уравнение после преобразований становит-
ся вполне корректным. Разумеется, что матрица жесткости системы
в этом случае оказывается вырожденной.
Имеется несколько возможностей обойти это затруднение. Во-
первых, в указанную точку можно ввести дополнительное кинемати-
ческое закрепление и исключить уравнение 0=0 обычным обра-
зом (см. П.1У.6.1). Во-вторых, при решении плоской задачи тео-
рии упругости можно ввести в число основных неизвестных узловые
перемещения = у ($7~~ В-третьих, включить в расчет
систему фиктивных коэффициентов жесткости для всех элементов как
компланарных, так и некомпланарных [21] .
246
§ У1.7. Расчет тонких оболочек вращения
У1.7.1. Особенности геометрии тонких оболочек вращения, на-
ходящих широкое применение в строительной практике, позволяют су-
щественно упростить их расчет. Так, если нагрузка на осесиммет-
ричную оболочку не изменяется в окружном направлении, двумерная
задача сводится к одномерной, поскольку в этом случае деформация
ее срединной поверхности также является осесимметричной, и все
величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние,
зависят лишь от одной переменной S, отсчитываемой вдоль мери-
диана.
Более того, и при неосесимметричном эагружении такой обо-
лочки задачу можно свести к одномерной, воспользовавшись мето-
дом разделения переменных и принципом суперпозиции [37]. Для это-
го необходимо представить заданную нагрузку и искомое решение в
виде рядов Фурье по угловой координате
{Ps(s> (s)co$ke+pk (s)sinke]} ;
fcnQ *
(У1.12Й)
{u(s,0)}=£ I[ut(s)eosk8i- uk(s)sink e]} .
k~Q
Поскольку каждому члену ряда рк ($) отвечает решение то
задача с математической точки зрения сводится к одномерной. Сум-
мируя эти решения, получим искомый результат для неосесимметрич-
ного нагружения.
Отсюда следует, что при расчете оболочки вращения по МКЭ ее
срединную поверхность удобно представить ансамблем кольцевых эле-
ментов, контактирующих по длинам окружностей кругов, рассматри-
ваемых как узлы таких элементов (рис. У1.13). При этом если реше-
ние разыскивается в перемещениях, то задача сводится к определе-
нию для каждого элемента вектора-функции перемещений и0 , со-
держащего в общем случае три компоненты и, VJ и f зависящие
только от s .
Таким образом, при расчете оболочки вращения задача об ее
осесимметричной деформации является, по существу, основной.
У1.7.2. Рассмотрим срединную поверхность i-ro кольцевого
элемента с узлами j. и п, образованную вращением произвольной
кривой относительно некоторой оси z . Как и ранее, в качестве па-
раметров, определяющих состояние конечного элемента, примем узло-
вые перемещения в местной (гауссовской) системе координат, по-
скольку именно в ней согласно (У1.17) определяются деформации.
247
Вектор-столбец этих пере-
мещений для кольцевого эле-
мента, находящегося в усло-
виях осесимметричной дефор-
мации и испытывающего рас-
тяжение (сжатие) и изгиб,
будет (рис.УI.14,а)
/ did \
где, например, у - VflT# "
угол поворота нормали вдоль
меридиана.
Наряду с J о I, уже сейчас удобно ввести в рассмотрение век-
тор перемещений {^j. в общёи, например, цилиндрической системе
координат (z, в , л),в которой разыскивается решение задачи. Из
рис. У1.14,а видно, что
(У1.130)
где
(ih - iii”i vi u"‘'"9- > -
О
О
С")
(У1.131)
(к)
ах^
~sin<fk
О
sin^
О
О
О
1
(У1.131')
Векторам {
Векторам { и отвечают векторы реактивных
усилий. В соответствии с рис. У1.14.6 можно записать
узловых
.(У1.132)
248
У1.7.3. Чтобы с по-
мощью узловых перемеще-
ний определить сос-
тояние срединной поверх-
ности кольцевого эле- ।
мента, будем исходить
иэ обычного предположе-
ния о том, что вектор-
функция перемещений то-
чек элемента может быть
представлена зависимос-
тью
[ и ) aj с„}
'ЫМ >
(У1.133)
в которой блоки интерпо-
ляционной матрицы [С,].
наиболее просто комплек-
туются иэ одномерных
эрмитовых функций (Ш.ПО)
в нормализованных криво-
линейных координатах и могут быть записаны с помощью типовой
подматрицы
(У1.134)
k=j-,n i -^сГ i ds = ad%.
При этом если параметрами, характеризующими состояние коль-
цевого элемента, являются компоненты вектора I. то, учитывая
(У1.130), ' 6
[No]i llh “ I Cxjl , (У1.135)
и, следовательно, типичный блок интерполяционной матрицы перепи-
шется в виде
а) а) (к) 3 3
~[CX]L [n]L - -3(^(J;)sinyL 3^(^coscfk
О
.(У1.136)
Зак.641
249
Несложно показать, что выбранные функции обеспечивает непре-
рывность перемещений и углов наклона нормалей при переходе от
элемента к элементу.
Формирование других матриц для срединной поверхности коль-
цевого конечного элемента осуществляется по стандартным, уже не-
однократно используемым формулам. При этом необходимо иметь в
виду, что вектор деформаций (УХ.15) и соответствующий ему век-
тор погонных усилий (УХ.16) будут включать в данном случае по
четыре компоненты {г} еа *а хв } , { м} = {ns Ne Ма Мву
Кроме того, при осесимметричной деформации в матрицах (У1.14) и
(УХ.17) следует вычеркнуть строки и столбцы, связанные с окруж-
ным перемещениям и иметь в виду, что все производные по в
обращаются в нуль. Тогда, например, типичный блок матрицы дефор-
маций в местной системе координат будет таким:
3^(4)
JT и
4-%- •<У1ДЗ”
2a
3 Л)
Как обычно, из-за
пряжений [е* ] .
. — громоздкости выражение для подматрицы на-
[К0][е(ж].ъ развернутой форме приводить не бу-
дем. Типовой блок матрицы жесткости для рассматриваемого кругово-
го элемента в местной сиотеме криволинейных координат записывает
ся таким образом:
_ (k) f „ .(/) Т (к)
[Г]у = 2яа J (fa,]; ) [Кв][<*л]; ,
(УХ.138)
в общей
(УХ. 138')
Очевидно, что для вычислений компонентов подматрицы жесткос-
ти необходимо предварительно задать форму срединной поверхности
кольцевого элемента и выразить радиус г через криволинейную
нормализованную координату .
250
У1.7.4. Простейшая
аппроксимация оболочки
вращения с криволиней-
ной образующей может
быть достигнута с помо-
щью кольцевых элемен-
тов в виде усеченных ко-
нусов [13,40,82] .В этом
случае иэ рис.У1.15 най-
дем
Р и С.У1.15
у-const ; R=«** ; г =rc+a^siny>.
Тогда, полагая h =const tзапишем типовую подматрицу (У1.138)
в явном виде
ла L J L> /-/< 2 * K" ^21 ^22 ^23 (У1.139)
_ ^31 ^32 ^33 .
Компоненты в (У1.139) определяются формулами
к,2 = + ^)+±$к”(”-з)*2')п]}>
(-%”)- i (tj*- / *„)-$
T (f ' f
X ^^k[~2 (l~m2"S'3)] ’
. acosp Г/ , .r, 5/, m } m 3 f
+(m~ 4kl ( tk)-2]} <
251
йпЩ {±(1-nS) *
*(m~j)n+ t^C 1~ti)'hmC?+tjn~i>m*)} >
7^ {(”-'/W*
*^Т +2m)~ 48 {^>n(l5-9m)+(^^k)(2+2ft+3mi) +
ч i (trti)(™mI)m+m47+%mt*b )+ %ln}>
V 9
r , Ъ+aain^ m+j
asin<f ^-asintf, m-1
У1.7.5. Для более точного описания срединной поверхности обо-
лочки вращения с криволинейной образующей в расчетной практике
достаточно часто используются криволинейные кольцевые элемента в
виде части поверхности шара или тора. Однако с помощью таких эле-
ментов, как и конических, не всегда удается избежать изломов по-
верхности оболочки в местах их стыковки. Очевидно, что обеспечить
непрерывность геометрии при переходе от элемента к элементу можно
либо используя элементы с естественной кривизной в меридиальном
направлении [15] либо криволинейные элементы с общей касатель-
ной между ними [60,77,81]. Практика показала, что использование
элементов второго типа является предпочтительным, поскольку по-
зволяет применять для описания их геометрии те же интерполяци-
онные функции, что й для аппроксимации перемещений.
Так, если заданы узловые координаты Г „и z^,a таю1!е значе-
ния Z-VT-) и (Ц* ),связанные известным соотношением
I di Jk \ di 4
252
<Ж" <«•“<»
то геометрию срединной
поверхности оболочеч-
ного элемента, изобра-
женного на рис. У1.16,
можно записать следую-
щим образом:
J.
Р и С.У1.16
U1 }
В (У1.141) интерполяционная матрица [C(4)]i ~[[с(4)]. [c(i)]~ ]и
может быть представлена типичным блоком, компонентами,которого яв-
ляются ермитовые функции
ад Г
где
Г Л) о з^а) о 1
’ I о £’(() о 3“’(4)\
Щ-----а----
(У1.142)
поскольку угловые параметры в (У1.141) взяты по относительной
координате $ .
Если теперь в узлы L-го кольцевого элемента ввести по че-
тыре обобщенных перемещения в общей системе координат, то соот-
ветствующую вектор-функцию можно будет записать с помощью
интерполяционной матрицы с блоками (У1.142)
В результате получается так называемый изопараметрический элемент
(см. П.1У.2.9) и автоматически обеспечивается неразрывность пе-
ремещений и углов наклона нормалей при переходе от элемента к
элементу.
Однако поскольку деформации в пределах 4-го элемента опре-
к^Чтобы обеспечить достаточно гладкую аппроксимацию поверх-
ности оболочки в целом рекомендуется принять [21J
2 •
253
деляются в соответствии с (У1.17) по
рис. У1.16 найдем
(и cosy sin<f
{uah ~ I W - -siny COS If
местным перемещениям, из
и
<У1Л44)
где угол if устанавливается из выражения
-(Ж!
(У1.145)
с учетом соотношения (У1.141). Кроме того, для определения дефор-
маций необходимо иметь в виду, что
du fdu\[(ds\, du (d.M\l{ds \
ds ~\d^J/(dr)i
В явной форме матрица деформаций имеет весьма сложный вид
и поэтому не приводится. Матрица жесткости в данном случае нахо-
дится по формуле (У1.138) с помощью численного интегрирования.
У1.7.6. Так же, как и при решении осесимметричной задачи
теории упругости, реальные распределенные нагрузки,приложенные к
кольцевому оболочечному элементу, приводятся к специфическим уз-
ловым силам, действующим по длинам окружностей, образующих узлы
элемента. При осесимметричной нагрузке, принимая во внимание за-
висимости $ 1У.5, можно записать
I
{PJ. . (У1.147)
-f
Заметим, что в окончательном виде (У1.147) выписывается лишь
для элемента в виде усеченного конуса. Во всех остальных случаях
узловую нагрузку рекомендуется определять на ЭЦВМ по специальным
программам.
У1.7.7. Когда на тонкую оболочку вращения действует неосесим-
метричная нагрузка, задача, очевидно, становится существенно двух-
мерной и ее напряженно-деформированное состояние обусловливается
тремя компонентами перемещений u(s,e), v(s,e) и U(s,e) и описывает-
ся с помощью общих соотношений (У1.14) - (У1.17). Однако,как ука-
зывалось выше, такую задачу можно свести к одномерной с помощью
зависимостей метода разделения переменных (У1.128), которые при-
менительно к отдельному конечному элементу в местной системе коор-
динат переписываются так:
254
{u(s,e)
v(.s,e)
ur(s,e),
«о . (m) \
=Z fs (s-e>}i =
/n=fl
0®
z
m*O
и (s) cos me
v(^(s)sin me
VT(m\s) COS m 0
'-Z irjMin,
(У.148)
1 zr
; -to
где
cosme 0 0
0 sin те 0
0 0 cosme
(У1.150)
- матрица тригонометрических функций.;
( (т1 (т) (т) ,<т) (п>)(т) (т) /т)-,
{Ч }^{«; Un Un ч>(п ] (У1Д51)
- вектор-столбец узловых перемещений, отвечающих л?-му решению.
Поскольку для окружной компоненты V нет необходимости обес-
печивать неразрывность углов наклона нормалей, в (У1.148) типич-
ная подматрица двухблочной интерполяционной матрицы [£($)]; имеет
вид Zfo 0 0 0 ~
[са)]Л 0 3(t)a) 0 0
_ 0 0 3^(0 3*!(f) _
В зависимости (У1.149) вектор-столбец {р^1. содержит узло-
вые нагрузки,соответствующие (У1.151),вектор {p^^fP^djP^C^Pi”^)}
(У1.152)
включает компоненты, не зависящие от в и представляющие из-
вестные коэффициенты разложения заданной непрерывной нагрузки в
направлении по окружности.
Располагая (У1.148), выражения для матриц деформаций и напря-
жений могут быть получены, как обычно, по формулам (1У.42) и
(1У.46) с использованием (У1.14) и (У1.17). Затем с помощью стан-
дартного соотношения (1У.59) формально нетрудно записать матрицу
жесткости для кольцевого элемента в местной системе координат при
265
неосесимметричном загружении
ZFt
гц=fkf [ята,е)])г(?. (у1-153)
J J т=о т*О
О -Г
В общей системе координат согласно (Ш.86)
[КJi = Г MiNNi , (У1.154)
где [No];, определяется по формуле (УП.130) причем
а» 0 0
Г 0 1 0 0
Mi = -sin<Pk О cos</>k 0 (У1.155)
0 0 0 0
Матрица жесткости (У1 .153), учитывая ортогональность триго-
нометрических функций, после несложных преобразований распада-
ется на сумму матриц, каждая иэ которых отвечает какому-либо чле-
ну ряда, в который раскладывается узловая нагрузка (У1.149). В
результате задача сводится к решению подсистем уравнений относи-
тельно неизвестных узловых перемещений для каждого значения т
[К (m)]i {Ч + { р fm)}- ’°- (У1Д56)
Очевидно, что результаты, полученные при расчете на нагруз-
ку от разных членов ряда, в конце расчета суммируются.Установ-
лено [21], что рассмотренный метод дает относительно экономичное
решение, если нагрузка задана несколькими членами ряда.
Рассмотренная процедура естественным образом распространяет-
ся на решение пространственных задач теории упругости для осе-
симметричных тел при неосесимметричном загружении.
$ У1.8. Конечные элементы для оболочек средней толщины
У1.8.1. Ввделим иэ оболочки средней толщины конечный эле-
мент, поверхности которого криволинейны, а боковые грани образо-
ваны движением нормали постоянной длины А вдоль линий главных
кривизн (рис. У1.17). Рассмотрим два наиболее распространенных под-
хода к описанию состояния таких элементов от узловых воздейст-
вий [21, 53].
Первый метод, заключающийся в использовании теории оболочек
Э.Рейснера, аналогичен, по существу, описанному в § У1.2. Однако
256
z
Рис. У1.17
поскольку в данном случае состояние элемента определяется не толь-
ко перемещениями, связанными с его изгибом, но и перемещениями в
срединной поверхности, то в качестве узловых параметров,например
для £-го узла, следует принять
(к)
(th (У1.157)
Тогда для элемента в целом
Для перехода от узловых перемещений к перемещениям по облас-
ти элемента воспользуемся обычным соотношением c{uoji = [C]i
котором интерполяционная матрица [С], содержит четыре блока.Разу-
меется, что для обеспечения неразрывности перемещений при перехо-
де от элемента к элементу типовой блок интерполяционной матрицы
(С]£ с учетом (1У.34) и (У1.40) в нормализованных криволиней-
ных координатах (см. П.У1.7.3) может быть представлен в веде
^[~[ ЕлСк(^а.)] [ ]. (У1.159)
Располагая (У1.159), а также матрицами [KgJ (У1.5) и f^J(yl.8),
типовые блоки матриц деформаций й напряжений можно получить иэ
стандартных соотношений (1У.42) и (1У.46), а матрицу жесткости -
по формуле (У1.58). Но для этого, очевидно, предварительно следу-
Зак.641 257
ет найти явное выражение параметров Ляме и главных радиусов кри-
визны через нормализованные координаты 4 и ? >а также произвес-
ти замену переменных, учитывая, что fldol^ а<Ц , Bdj* » Bchf.
Чтобы в данном случае реальные распределенные поверхности и
краевую нагрузки привести к узловым, воспользуемся рассуждениями,
подробно изложенными в П.У1.2.4. При этом, как и ранее, будем
считать что распределенная по поверхности конечного элемента на-
грузка содержит только вертикальную составляющую 64, ?) } “
=/0 0/^(4, Тогда для определения пятикомпонентного вектора
- {00 р//)О О } можно записать соотношение
{Ps }(i “ ab jf([С]?)
-t-i
Для приведения краевых нагрузок применим формулу
в которой вектор-функция распределенных краевых нагрузок J а ?. =
причем Nn> f Q - силы, направленные вдоль
осей п, t и z соответственно, Мд и - распределенные момен-
ты’относительно тех же осей. Из рис. У1.18 видно, что
005/ 54я/ о 0 0 1
-sin^ cos] ООО
= 0 0 1 0 0.
О' О 0 cos# sin/
ООО -Sin/ cos/
Ясно, что в данном случае
' Гл ?(к) гп& п(к) (*) )
{РГ I i = for Ptr рзг Mnt M rr }
У Заметим, что расчет оболочек сред-
\t ' ней толщины с помощью полученных зави-
лд . У симостей связан со значительными вы-
f I s' числительными трудностями, так как,
/у х по существу, для каждого элемента
~lF~ необходимо определять свои параметры
Лямэ и радиусы кривизны. По этим при-
чинам такой подход используется в
X практических расчетах сравнительно
редко.
_ т„ У1.8.2. Перейдем теперь к обсуж-
Рис УХ 18 *
дению второго подхода, в котором обо-
258
о
лочечный элемент рассматривается как трехмерное тело. В этом
случае [21], учитывая относительную малость толщины оболочки по
сравнению с другими ее размерами, перемещения, деформации и напря-
жения по толщине описываются при помощи гипотезы о поведении
нормали к срединной поверхности в процессе деформации. Это, есте-
ственно, позволяет упростить общие соотношения теории упругости,
а с позиции МКЭ принять в качестве узлов нормали к срединной
поверхности до ее деформации. В результате вектор узловых переме-
щений, например, в к-м узле, записывается так:
<я.160)
Ясно, что компонентами в (У1.160) являются перемещения точек нор-
мали, зависящие от нормализованной координаты у (см. рис.У1.19).
Для всего i-ro элемента
/.(У1.16Р
Очевидно, что переход от (У1.161) к перемещениям по области рас-
сматриваемого элемента можно, пользуясь методом разделения пере-
менных, представить в виде
1. м - (to йГ [«Хи«й .
В работе [21] было показано, что даже в случае достаточно толстых
оболочек использование линейного закона для f (это экви-
валентно гипотезе о прямолинейности нормали к срединной поверх-
ности после деформации) дает удовлетворительные результаты.По-
этому принимая такой закон и пренебрегая, как обычно, деформа?-
цией в направлении толщины элемента] запишем
или
л
259
ет найти явное выражение параметров Лямэ и главных радиусов кри-
визны через нормализованные координаты 4 и ?,а также произвес-
ти замену переменных; учитывая, что Adoi = ad£ , Bdj* - Bdq.
Чтобы в данном случае реальные распределенные поверхности и
краевую нагрузки привести к узловым, воспользуемся рассуждениями,
подробно изложенными в П.У1.2.4. При этом, как и ранее, будем
считать что распределенная по поверхности конечного элемента на-
грузка содержит только вертикальную составляющую (4, % ) } “
= {в0 a (^h)Q0l.Тогда для определения пятикомпонентного вектора
- {ОО0 0 } можно записать соотношение
{Ps ’ abjj(и?)7Р, (*> V} -
-1-1
Для приведения краевых нагрузок применим формулу
в которой вектор-функция распределенных краевых нагрузок {у}- =
= Мл Nt Q Мп причем t Ц - силы, направленные вдоль
осей п, t иг соответственно, Мп и М* - распределенные момен-
ты’ относительно тех же осей. Из рис. У1.18 видно, что
л>з/ s/nj '0 0 0 '
-s/л/ COS( f 0 0 0
= 0 О 1 0 0 •
o' 0 о cosf sin/
0 0 0 cosy
Ясно, что в данном случае
{Ргк -{P,rPtrP3rMril М„].
У Заметим, что раочет оболочек сред-
не ’ ней толщины с помощью полученных эави-
лА. симостей связан со значительными вы-
f * ./ числительными трудностями, так как,
<<ДХ-'У # по существу, для каждого элемента
% —j/— необходимо определять свои параметры
А Лямэ и радиусы кривизны. По этим при-
'А чинам такой подход используется в
практических расчетах сравнительно
редко.
У1.8.2. Перейдем теперь к обсуж-
Р и С.У1.18 дению второго подхода, в котором обо-
258
G
лочечный элемент рассматривается как трехмерное тело. В этом
случае [21], учитывая относительную малость толщины оболочки по
сравнению с другими ее размерами, перемещения, деформации и напря-
жения по толщине описываются при помощи гипотезы о поведении
нормали к срединной поверхности в процессе деформации. Это, есте-
ственно, позволяет упростить общие соотношения теории упругости,
а с позиции МКЭ принять в качестве узлов нормали к срединной
поверхности до ее деформации. В результате вектор узловых переме-
щений, например, в к-м узле, записывается так:
(У1.160)
Ясно, что компонентами в (У1.160) являются перемещения точек нор-
мали, зависящие от нормализованной координаты | (см. рис.У1.19).
Для всего i-ro элемента
(У1.16П
Очевидно, что переход от (У1.161) к перемещениям по области рас-
сматриваемого элемента можно, пользуясь методом разделения пере-
менных, представить в виде
П Гп 3 • (У1.162)
В работе [_21] было показано, что даже в случае достаточно толстых
оболочек использование линейного закона для f U это экви-
валентно гипотезе о прямолинейности нормали к срединной поверх-
ности после деформации) дает удовлетворительные результаты.По-
этому принимая такой закон и пренебрегая, как обычно, деформа-
цией в направлении толщины элемента] запишем
или
л
259
где xffi , , zM - направление местных ортогональных координат-
ных осей в' *-м узле , причем ось z1 перпендикулярна поверх-
ности {= const; xt и у,- оси, касательные к той же поверхности;
пятикомпонентный вектор-столбец линейных и угловых
перемещений . Л -го узла на уровне срединной поверхности.
Подставляя (У1.163) в (У1.162), получим стандартное соотно-
шение
260
MrlFW- • [‘T’l
(У1.164)
wp{WH"
У1.8.3. Для перехода от (УI.164) к деформациям и напряжениям
по области элемента установим связь между общей и местной криво-
линейной системами координат. По аналогии с (У1.162) будем иметь
•(У1.165)
г(Ш). i
Здесь zkCC)}~ вектор координат точек, ле-
жащих на к~й узловой нормали. Его компоненты, учитывая очевид-
ное равенство координат верхних и нижних граничных точек узло-
вых нормалей соседних элементов, равны
(У1.166)
Тогда
(У1.165)
'х'
¥
ZJ
бери
перепишем таким образом:
(У1.167)
£3 - единичная матрица третьего порядка.
Из изложенного видно, что для описания геометрии элемента
требуется большее число узловых параметров, чем для описания по-
ля перемещений. Следовательно, данный елемент относится к субпа-
раметрическому типу.
У1.8.4. Располагая (У1.164) и (У1.167), можно перейти непо-
средственно к построению матриц деформаций и напряжений
[Е]. с помощью формул (1У.42) и (1У.46). Однако принимая во вни-
мание, что в местной ортогональной системе координату , , zr
(рис.У1.18) напряжение <ог - О , а деформацией в направлении оси
261
zt можно пренебречь, целесообразно соотношения (П.2) и (П.З),вхо-
дящие в (1У.42) и (1У.46), записать именно в этой системе коор-
динат. Для этого предварительно требуется осуществить два пре-
образования. Прежде всего, используя зависимость (У1.167), найдем
производные оте/, по общим координатам х, у., z, следуя про-
цедуре, описанной в П.1У.З.З. Далее, установив направление осей
х, ,yt)zt (см. П.У1.6.6), переДцем к производным от и, , wf, ar, по
местным декартовым координатам. Получим
(Г д Л лТ
(Ц=
fa
•Xxflt '
дх,
О
д
О
dz,
о
д
д
дх,
д
О
О
д
2’
дх.
«г,
ЭД' (У1.168)
о
о
1
%
1
О
О
О
О
О
О
£
Q
О
О
2
fcMfyWr (У1.169)
Симметрично
^7
Определив [D], и [Е]. , можно найти матрицу жесткости i -го элемен-
та по стандартной формуле (1У.59) о учетом (1У.67).
У1.8.5. Предположим теперь, что на поверхности элемента дей-
ствует распределенная нагрузка, вектор-функция интенсивностей ко-
торой fa (f, ЬРг. (f> Рассмотрим приведение
этих нагрузок к эквивалентным узловым, имея при этом в виду, что
узловая нагрузка в Я-м узле должна быть представлена пятиком-
понентным вектором, аналогичным по структуре вектору (у.}?* . Для
этого вновь обратимся к принципу возможных перемещений,‘который
для 1-го элемента будет иметь вид
&«= fah = ff t Г= aF > (У1.170)
-* РД - (('5)"’ ft hw F‘ a)'” ’ [4 }{" № № p&’} -
вектор узловых сил, приложенных к точкеf = 7 я -й узловой норма-
ли.
262
Принимая во внимание (У1.164), перепишем (У1.170) для л-го
узла
Так как и учитывая, что О,
будем иметь
<yi. ге>
I Fi
f
Введем обозначение, [Ps](*} = ([£(?*= ]^)Т[Р}^- Тогда (У1.172) будет
иметь вид
(РЛ )х//([С]г (У1.173)
/у
Нетрудно убедиться, что [Ps}^ представляет собой вектор-столбец
'• узловых сил, приведенных к срединной поверхности
Н^} > причем М™ и - результирующие моменты сил
Р^> Р^>Р^> отнесенные к осям, параллельным х и у. на уров-
не срединной поверхности элемента.
ГЛАВА УП
РЕАЛИЗАЦИЯ МКЭ И ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА НЕКОТОРЫХ КОНСТРУКЦИЙ
$ УП.1. Вычислительные программы МКЭ
У П.1.1. Реализация МКЭ, являющегося численным методом иссле-
дования напряженно-деформированного состояния конструкций, связа-
на, как уже отмечалось, с большим объемом вычислений и, следо-
вательно, возможна лишь на базе современных вычислительных машин.
К настоящему времени в Советском Союзе и за рубежом накоплен зна-
чительный опыт по использованию МКЭ в практике инженерных расче-
тов и научных исследований, анализ которого показывает, что ме-
тод конечных элементов легко программируется и достаточно эф-
фективен [21] .
У П.1.2. Программы для расчета конструкций по МКЭ независимо
от их назначения, круга решаемых задач, мощности и типа исполь-
зуемых ЭВМ состоят из стандартных блоков, каждый иэ которых от-
вечает определенному этапу процедуры метода, описанного в гл. 1У.
Такими блоками являются: ввод исходных данных, вычисление матриц
жесткости элементов, формирование матрицы жесткости системы в
целом, ремениэ системы алгебраических уравнений высокого поряд-
ка, вычисление параметров напряженно-деформированного состояния -
напряжений, деформаций и перемещений.
Кроме того, в состав вычислительной программы нередко включа-
ют также специальные блоки контроля, выбора сочетаний нагрузок,
определения площади сечения арматуры в железобетонных конструкци-
ях и т.д. Некоторые рекомендации по разработке отдельных частей
таких программ можно найти, например, в [ll] . Более подробные
сведения о конкретных программах имеются в [5,10,12,16,18, 21,
32 и др.], а также в отраслевых фондах алгоритмов.
У П.1.3. Большое количество разнообразных вычислительных про-
грамм, реаливующих МКЭ, можно разделить на две группы.
К первой группе относятся программы, предназначенные
для решения относительно узкого класса задач и основанные, как
Правило, на использовании конечных элементов одного типа. Такой
Подход характерен главным образом для первых этапов освоения
МКЭ, однако разработка подобных программ продолжается и в настоя-
264
щее время. Опыт их эксплуатации в инженерных расчетах и научных
исследованиях показывает, что они эффективны в тех случаях,ког-
да приходится либо сталкиваться с решением однотипных задач,ли-
бо выполнять большой объем вычислений для качественного и коли-
чественного исследования делений, связанных с новой постановкой
задачи, решение которой другими методами практически неосуществим'/.
Типичным примером может служить созданная во ЬНЮ1 гидротех-
ники им. Б.Е.Веденеева программа МКЭСТД [18]. Она предназначена
для решения плоских статических и динамических задач линейной
теории упругости, а также квазистатических задач тормоуиругости.
Программа реализует МКЭ в форме метода перемещений с использова-
нием треугольных элементов первого порядка при следующих тех-
нических характеристиках:
- число узлов в области не более 999;
- число элементов при статическом расчете не более 2000, а
при динамическом - не более 250;
- ширина полосы в матрице жесткости системы не более 59,
для чего разность номеров узлов в элементе не должна превышать
23;
- свойства материала элементов (£,//, объемный вес и
коэффициент линейного расширения) могут быть различными, но чис-
ло типов таких элементов ограничено десятью.
Программа ориентирована на ЭВМ типа М-20, М-220, М-222,БЭЖ-З
и БЭСМ-4. Необходимое машинное время для решения статической за-
дачи при максимальном числе узлов составляет около трех часов.
Результаты счета выдаются в виде перемещений узлов, деформаций
и напряжений в узлах и элементах, а также главных напряжений
в узлах с указанием углов наклона площадок, по которым они дейст-
вуют. Отметил, что подготовка исходных данных для этой программы
достаточно трудоемка и требует известной изобретательности в свя-
зи с ограничением на максимальную разность номеров узлов элемента.
У П.1.4. Другим примером программы рассматриваемого типа яв-
ляется система "Парадокс-ЕС", разработанная в проектном инсти-
туте Укрпроектстальконструкция. Она также реализует МКЭ в форме
метода перемещений и предназначается для статического расчета
пространственных стержневых конструкций, обладающих циклической
симметрией. Примерами их могут служить каркасы башенных градирен,
решетчатые купола, радио- и телебашни, антенны радиотелескопов
и т.д. Использование свойств циклической симметрии позволяет су-
щественно расширить количественные параметры решаемых задач при
одновременном сокращении объема ‘исходной информации и снижении
расхода машинного времени. Технические возможности программы та-
ковы:
Зак.641 265
- максимальное число секторов в циклической системе 99;
- число неизвестных в одном секторе до 2000;
- число стержней в отдельном секторе до нескольких тысяч.
Программа снабжена вспомогательными блоками для логического
контроля исходных данных, фиксации промежуточных этапов вычисле-
ний, вцдачи справок о состоянии вычислительного процесса и т.д.
Кроме того, предусмотрена возможность ее совершенствования путем
пополнения новыми блоками и подсистемами, в частности блоком рас-
чета на динамические воздействия. Программа ориентирована на ЕСЗВМ
и прошла широкую опытную проверку в ряде проектных институтов.При
этом, как показал опыт ее эксплуатации, в два-три раза сокраща-
ются сроки проектирования, а повышение уровня расчетной проработ-
ки дает снижение стоимости объектов на 5 - 10 %.
У П.1.5. Представляет определенный интерес также использова-
ние МКЭ для решения сложных задач механики в новой постановке .При-
мером может служить программа, описанная в работе [36] и предназ-
наченная для вычисления коэффициента интенсивности напряжений в
прямоугольных, образцах при развитии трещины вдоль оси симметрии.
Расчет ведется для одной из симметричных частей образца,которая
автоматически разбивается на прямоугольные элементы. Изменение
длины трещины моделируется при этом последовательным запрещением
перемещений по направлению, перпендикулярному трещине.Следует от-
метить, что применение.МКЭ в задачах механики разрушения требует
использования специальных приемов, обусловленных спецификой про-
блемы. Анализ их можно найти в [36].
У П.1.6. Вторая группа программ по реализации МКЭ осно-
вана на универсальности этого метода и существенно использует об-
щность его процедуры, не зависящей от класса рассчитываемых кон-
струкций. Отличительной их особенностью является наличие специа-
льной "библиотеки" или "банка" конечных элементов, что позво-
ляет по одной и той же программе верти расчет самых различных
систем - стержневых, континуальных, оболочечных, комбинированных.
Такие программы правильнее, видимо, называть вычислительными ком-
плексами, и хотй их создание требует значительных затрат времени
и средств, в условиях массового применения они оказываются весь-
ма эффективными и экономичными.
Примером такого комплекса, предназначенного для решения ши-
рокого класса статических задач строительной механики стержне-
вых и комбинированных систем в физически и геометрически линей-
ной постановке, может служить программа "Мираж" [12]. Располагая
богатым набором конечных элементов, этот комплекс позволяет рас-
считывать плоские и пространственные стержневые системы, плиты и
266
оболочки, массивные пространственные конструкции, сооружения,
работающие в условиях плоской задачи, а также комбинированные
системы типа подкрепленных ребрами плит и оболочек, рамно-свя-
зевых каркасов и т.д.
В основу алгоритма положен МКЭ в форме метода перемещений.
"Мираж" ориентирован на ЭВМ "Минск-32" и накладывает сравни-
тельно слабые ограничения на количество решаемых уравнений (до
3500) при ширине ленты до 1700. Если рассматриваемая конструкция
достаточно сложна, то программой предусмотрена возможность рекур-
сивного счета, основанного на раздельном расчете отдельных ее
частей - сулерзлементов, с последующим их объединением.Подготовка
исходной информации относительно проста и включает минимум данных
о геометрии, физико-механических свойствах и загружении конструк-
ции. Отметим, что имеется и более совершенный вариант этого ком-
плекса - "Супер", при разработке которого учтен опыт эксплуата-
ции программы "Мираж". Число этих примеров легко увеличить.
УП.1.7. Увеличение мощности ЭВМ, совершенствование теории и
практики программирования, а также постоянное накопление опыта
по реализации МКЭ обусловливает появление все более эффективных
вычислительных программ по расчету конструкций, открывает новые
возможности по практическому применению МКЭ. Примером может слу-
жить вычислительный комплекс "Икарус-ЕС", разработанный в отделе
математических методов проектирования института Молдместпромпроеки
Подробное описание его передано в отраслевой фонд алгоритмов
Центрального института научной информации по строительству и
архитектуре, что позволяет ограничиться лишь краткой характерис-
тикой принципов построения этого комплекса и его технических воз-
можностей.
Комплекс "Икарус-ЕС" реализует МКЭ в форме метода переме-
щений и представляет пакет программ, записанных на языках "Assem-
bler" и "Fortran-IV" для ЭВМ серии ЕС, оснащенных дисковой опе-
рационной системой (ДОС) ЕС. Он предназначен для статического рас-
чета стержневых и континуальных строительных конструкций в гео-
метрически линейной и физически нелинейной постановке с учетом со-
четания нагрузок по действующим СНиП.
Схема комплекса позволяет сравнительно легко присоединять к
нему различные новые блоки и процедуры, расширяющие его возмож-
ности, сохраняя принципы функционирования комплекса в целом. Так,
в настоящее время ведется разработка подсистемы "Дирак" для рас-
чета конструкций на динамические воздействия.
У П.1.8. Библиотека конечных элементов комплекса включает:
- прямолинейный стержень постоянного сечения;
267
- прямолинейный стержень постоянного сечения с учетом сдви-
говой жесткости;
- прямолинейный Стержень постоянного сечения на упругом ос-
новании с двумя коэффициентами постели;
- плоский треугольный элемент первого порядка;
' - плоский прямоугольный элемент первого порядка;
- тетраэдр с узлами в вершинах;
- параллелепипед с узлами в вершинах;
- кольцевой элемент тела вращения треугольного поперечного
сечения при осесимметричной нагрузке;
- кольцевой элемент тела вращения прямоугольного поперечного
сечения при осесимметричной нагрузке;
- треугольный элемент тонкой изгибаемой плиты с тремя степе-
нями свободы в узлах;
- прямоугольный элемент тонкой изгибаемой плиты;
- конический элемент тонкой оболочки вращения при осесиммет-
ричной нагрузке;
- треугольный элемент тонкой оболочки нулевой кривизны;
- прямоугольный элемент тонкой оболочки нулевой кривизны;
- прямоугольный элемент тонкой пологой оболочки двоякой кри-
визны;
- элемент, моделирующий связь конечной жесткости;
- элемент, моделирующий упругую связь меВДу узлами.
Большинство перечисленных элементов детально описано в пре-
дыдущих главах и приведены соответствующие матрицы жесткости, а
также матрицы напряжений и деформаций.
Нетрудно видеть, что столь богатый набор конечных элементов
позволяет с помощью комплекса "Икарус-ЕС" выполнять расчеты для
любого строительного сооружения.
У П.1.9, Комплекс ориентирован на анализ наряженно-деформиро-
ванного состояния конструкций как в физически линейной, так и фи-
зически нелинейной постановке. В первом случае система линейных
алгебраических уравнений решается методом Гаусса, модифицирован-
ного применительно к симметричным ленточным матрицам. Учет физи-
ческой нелинейности предусмотрен в двух вариантах: для железобе-
тонных конструкций используется деформационная теория Гвоздева -
Карпенко [2&J, а для металлических - диаграмма Прандтля с упроч-
нением. Для таких задач расчет ведется методом последовательных
нагружений с решением системы нелинейных алгебраических уравне-
ний на каждом шаге по процедуре Ньютона-Рафсона. Кроме того,
имеется возможность осуществлять расчет только методом последова-
тельных эагружений без итераций на отдельном шаге. В комплексе
268
имеется также блок для определения площади сечения арматуры в
железобетонных конструкциях по данным "линейного" расчета. Для
практического использования весьма существенна предусмотренная
в программе возможность прерывания счета и записи промежуточных
результатов на диски. В случае необходимости в нужный момент счет
может быть продолжен.
За счет эффективного использования оперативной памяти, а
также ряда специальных приемов при программировании вычислитель-
ный комплекс "Икарус-ЕС" обладает весьма высокими техническими ха-
рактеристиками :
- число элементов в конструкции до 10 ;
- числе? неизвестных в системе уравнений до 6 • loS
- максимальное количество узлов 10^;
- предельная ширина ленты матрицы системы уравнений 510^.
Работа комплекса была проверена на широком круге тестовых
задач, решение которых дало положительные результаты.
У П.1.10. Исходные данные для решения задачи с помощью комп-
лекса "Икарус-ЕС" записываются на стандартных бланках языка
"Fortran". Поскольку в ряде случаев каждый десятичный разряд
несет самостоятельную информацию, ячейка с целочисленной инфор-
мацией имеет вид, показанный на рис.УП.1. Для записи действитель-
ных чисел такое разбиение не имеет смысла, поскольку в обычную
ячейку заносится одно число. Исходная информация набивается на
80-колонных перфокартах и группируется в массивы, конец каждого
из которых отмечается признаком 999 999 999.
Первый из Них, называемый массивом параметров, содержит при-
знаки л - системы, fl- армирования, N - количества ступеней
нагружения, Н- метода (т.е. показывает, решается линейная или
нелинейная задача). Структура массива элементов MS показана на
рис.УП.2. Отметим, что узлы, входящие в него, желательно распо-
лагать по возрастающей нумерации. Следующим является массив жест-
костей МТ (рис. УП.З). Затем идет массив ME физико-механичес-
ких характеристик (рис.УП.4), последовательность задания которых
зависит от типа конечного элемента. Массивы координат МП ,МУ и
ME (рис.УП.5) заполняются в порядке нумерации узлов, причем
в МП указываются их абсциссы, в МУ - ординаты, а в ME - аппли-
Номера десятичных разрядов Стандартная ячейка
°1 °з Я, °3
Р и с.УП.1
269
каты. Далее следует массив
количества нагрузок в от-
дельных загружениях MQ
(рис.УП.б), где каждому за-
гружению отвечает одна ячей-
ка. Массив нагрузки типа MF
(рис. УП.7) предусматривает
следующие их вады: I, 2,3 -
сосредоточенные силы, при-
ложенные к узлам вдоль осей
х , Ц и z соответственно;
4, 5 и 6 - сосредоточенные
моменты относительно осей
и z . Затем следует
массив величин нагрузок ML
(рис. УП. 8) • В нем знак "пляс"
отвечает направлению сосре-
доточенных сил вдоль поло-
жительного направления осей
общей системы координат и
действию сосредоточенного
момента относительно соот-
ветствующей оси по часовой стрелке. На рис. УП.9 представлена струк-
тура массива граничных условий МСf а на рис.УП.10 - структура
массива "выбор".
Сведения о логических связях между загружениями размещены в
массиве "сочет", о материалах - в массиве "мат" (рис.УП.II).Далее
идут массивы информации об элементах "элем" (рис. УП.12) и о гео-
метрических характеристиках (рис.УП.13).
Если рассматриваемая система имеет регулярную структуру, то
исходную информацию можно сократить за счет признаков повторений,
которые могут применяться при задании некоторых массивов.Признак
повторений состоит из двух ячеек. В первых трех разрядах первой
ячейки указывается признак 999, с четвертого по шестой разряды -
количество чисел, которые надо повторить, а с седьмого по девя-
тый - количество циклов, которые повторяют эту группу чисел. Во
второй ячейке указывается шаг повторений. Так, например,сочетание
ячеек
004003004
0 0 0 0 I I 0 I 2
999002003
000001001
270
характерно для массива эле-
ментов MS и представляет
собой информацию о такой
группе элементов
004003004
0 0 0 0 I I 0 I 2
004004005
0 О О «О I 2 О I 3
004005006
000013014
004006007
000014015
Признаки повторений мо-
гут следовать один за дру-
гим. Так, для массива дей-
ствительных чисел (напри-
мер, для массива MX) ин-
формацию можно записать в
виде
0.0
999001003
2.0
999004001
0.0
что представляет собой ин-
формацию о координатах уз-
лов в массиве MX
0.0
2.0
4.0
6.0
0.0
2.0
4.0
6.0
а, аг а3 ое а, ав Оц
деличина характеристик
Рис. УП.4
о. °г Од °в а? ов ов
величина координаты
Рис. УП.5
Of °г о3 Os OS ое От ав Од
Тип нагрузки Номер узла, в котором приложена сила Адрес величины нагрузки в массиве ML
Необходимо иметь в виду, что если повторяющееся число имеет
знак "минус" и следующие числа образуются с наращиванием,то шаг
повторения тоже должен быть отрицательным.
УП.1,11. Метод конечных элементов в сочетании с универсаль-
ными вычислительными программами открывает широкие возможности по
совершенствованию расчетных схем сооружений. Как известно,выбор
расчетной схемы представляет собой весьма сложную и ответствен-
271
а, аг а. а<. Чу °в ав
Список номеров элементов, для которые делаются расчетные сочетания
а, аг аз а4 а, ае а? ав а3
Индекс Номер последнего элемента, для которого действитель- на информа- ция в данной ячейке
марки бетона армату- ры вдоль армату- ры вдоль
приМ200 индекс 20 при индексе^ при Ray'2700 индекс 27
ную задачу, решение которой
требует не только специаль-
ных знаний и высокой квали-
фикации инженера, но и боль-
шого опыта, детального пред-
варительного анализа изучае-
мого явления. Хорошо извест-
но, что расчетная схема в
значительной степени предоп-
ределяет технико-экономичес-
кую эффективность и надеж-
ность сооружения.
Принципиальной особен-
ностью задачи о выборе рас-
четной схемы является ее
внутренняя противоречивость.
Действительно, с одной
стороны вполне естественным
и логичным представляется
стремление инженера учесть
в расчетной схеме все аспек-
ты работы конструкции
пространственность, свойства
материалов, характер нагру-
жения и т.д. Вместе с тем
необходимо считаться с воз-
можностью практической реа-
лизации принимаемых гипотез
и допущений, поскольку имен-
но на основании расчетов мож-
но получить объективные ка-
чественные и количественные
Р и с. УП.П параметры, характеризующие
поведение сооружений. Други-
ми словами, нельзя допустить, чтобы задача с математической точки
зрения оказалась слишком громоздкой, но в то же время нельзя че-
ресчур упрощать физическую сторону дела [42].
Использование МКЭ позволяет в значительной степени разрешить
указанную противоречивость, поскольку, и это подтверждается опы-
том его применения, открываются практические возможности по реа-
лизации самых сложных современных представлений о работе конст-
рукций. Одновременно МКЭ естественным образом стимулирует и даль-
272
нейшее развитие теории де-
формирования конструкцион-
ных материалов. Здесь сле-
дует особо подчеркнуть, что
речь идет не только и 'не
столько об уникальных кон-
струкциях. Дело в том, что
наибольший эффект дает,оче-
видно, уточнение расчетных
схем массовых сооружений,по-
скольку это позволяет за
счет выявления дополнитель-
ных резервов несущей спо-
собности значительно повы-
сить их экономичность и
надёжность.
УП.1.12. Проиллюстриру-
ем сказанное следующим при-
мером. В настоящее время в
практике строительного про-
«4 а» а* ав °Т ав а9
Величина характеристики
Р и с. УП.13
ектирования широко используются расчетные схемы, основанные на
представлении конструкции как стержневой. Причем такой подход не-
редко распространяется и на сооружения, соотношения размеров эле-
ментов которых весьма далеки от обычно принимаемых в теории стер-
жней. Примером могут служить, в частности, обычные 4 - 5-этаж-
ные каменные здания.
Очевидным шагом на пути совершенствования расчетной схемы
таких конструкций является рассмотрение их напряженно-деформиро-
ванного состояния на основе уравнений теории упругооти.т.е. пере-
ход к континуальной модели. При этом возникает необходимость ре-
шения соответствующих пространственных или, в крайнем случае,
плоских задач для областей сложной формы при смешанных граничных
условиях. Использование МКЭ позволяет это сделать без каких-либо
принципиальных и даже технических затруднений, что и будет пока-
зано ниже на ряде примеров.
По-видимому, в настоящее время аппарат линейной теории упру-
гости необходимо уже считать обычным рабочим инструментом проек-
тировщика.
УП.1.13. Большие перспективы открывает МКЭ и для учета реаль-
ных свойств конструкционных материалов - пластичности, вязкости
и т.д. Об этом свидетельствует, в частности, все возрастающий ин-
терес расчетчиков к решению физически нелинейных задач. Однако
Зак.641 273
практическое использование таких подходов обязано пока что как
с техническими, так и принципиальными трудностями. Прежде всего,
решение нелинэйных задач даже на самых современных ЭВМ требу-
ет относительно больших затрат машинного времени, что, естествен-
но, сдерживает массовое внедрение их в практику. Очевидно, что с
ростом мощности ЭВМ и дальнейшим совершенствованием теории нели-
нейных уравнений эти препятствия будут в значительной степени
преодолены.
Более сложными представляются трудности принципиального ха-
рактера, связанные с выбором определяющих соотношений для реаль-
ных конструкционных материалов. Так, например, для металлов име-
ется несколько вариантов теории пластичности, каждая из которых
действуетотносительно узком диапазоне нагрузок и температур и
зависит, кроме того, от вида металла. Для такого широко распро-
страненного материала, как железобетон, лишь в последнее время
удалось построить удовлетворительные определяющие соотношения и
то только при кратковременном действии нагрузки [11,26]. Очевид-
но, здесь МКЭ должен был явиться мощным стимулом к дальнейшему
совершенствованию теории. В качестве примера можно сослаться на
работу (10], в которой именно на базе МКЭ удалось разработать
теорию деформирования железобетона в условиях сложного напря-
женного состояния и получить удобный в приложении мощный вычис-
лительный алгоритм для решения сложных инженерных задач.
} УП.2, Расчет рамы с каменным заполнением
УП.2.1. В практике промышленного и'жилищного строительства ши-
рокое распространение получили здания каркасно-каменной конструк-
ции,- в которых железобетонный или металлический каркас в виде
рамы заполняется каменной кладкой того или иного типа - обыкно-
венным или пустотным кирпичом, бетонными или природными камнями,
керамикой. Такие конструкции особенно применяются в сейсмически
активных районах, поскольку, как показывает анализ последствий
землетрясений, они хорошо сопротивляются сейсмическим воздействи-
ям [44]. Следует также отметить, что к сооружениям подобного ти-
па в настоящее время можно отнести и каменные здания в сейсми-
ческих районах, поскольку действующие строительные нормы требу-
ют обязательного устройства железобетонных антисейсмических поя-
сов и вертикального обрамления проемов.
УП.2.2. Стена каркасно-каменного здания представляет собой
многосвязную пластину, составленную из' двух материалов с различ-
ными физико-механическими свойствами- каменной кладки и железобето-
274
на. В соответствии с общепринятой методикой в первом приближении
можно считать, что эта пластина жестко защемлена по грани сопря-
жения с фундаментом. Следует отметить, что не представляет прин-
ципиальных затруднений учет податливости в месте ее связи с
фундаментом, однако для простоты в дальнейшем ограничимся схемой
жесткого защемления.
Нагрузки, действующие на стену, можно разделить на две груп-
пы. Первая группа - в плоскости стены, вторая - силы, приложен-
ные перпендикулярно ее плоскости, обусловленные взаимодействием со
стенами другого направления. Очевидно, что усилия, действующие иэ
плоскости стены, в силу большой деформативности последней в этом
направлении будут относительно невелики, так как главная их
часть передается на стены соответствующего направления. Таким об
разом, в большинстве случаев стены зданий каркасно-каменной кон-
струкции можно рассматривать как многосвяэные слоистые пластины,
загруженные в своей плоскости и работающие в условиях плоского
напряженного состояния. Отметим, что определение сейсмической на-
грузки, действующей на стены каркасно-каменных зданий, представ-
ляет собой сложную самостоятельную задачу. Поэтому в дальней-
шем считается, что она может быть найдена по известной методи-
ке [22].
УП.2.3. Проблеме расчета стен каркасно-каменной конструкции
посвящено много литературных источников, имеются также специаль-
ные инструкции, развивающие и дополняющие общие положения,сформу-
лированные в СНиП П - А. 12 - 69м. Отметим, прежде всего, боль-
шую группу работ по экспериментальному изучению работы каменного
заполнения, выполненных как у нас в стране, так и за рубежом [22,
43, 44]. Эти исследования, проведенные на фрагментах’каркасов с
заполнением из каменной кладки и отличающиеся как видом испы-
танных конструкций, так и схемой загружении, показали сущест-
венное влияние кладки на работу каркасно-каменных сооружений. Иэ
анализа экспериментальных данных следует, что полное исключе-
ние кладки из работы и расчет стены как рамы, в которой кладка
рассматривается лишь как внешняя нагрузка, ведет к существенному
утяжелению железобетонных элементов и неоправданно высокому их
армированию. Эти факты обусловили стремление к разработке мето-
дов расчета каркасно-каменных стен, в которых так или иначе бы-
ла бы учтена работа заполнения. Наибольшее распространение полу-
чила методика, основанная на замене каменной кладки раскосом со
специально подобранной жесткостью. Усилие в таком раскосе, полу-
ченное из расчета конструкции как рамы, используется в дальнейшем
для оценки прочности кладки [44].
Первая попытка применения методов теории упругости к опреде-
лению напряжений в кладке каркасно-каменной стены была предпри-
нята, по-видимому, С.В.Поляковым с использованием вариационных
методов (43]. В дальнейшем появился ряд работ, развивающих это
направление, в том числе и на основе метода конечных элементов.
Анализ этих исследований показывает эффективность такого подхода,
однако в большинстве случаев обычно рассматривается не конструк-
ция » целом, а отдельные ее элементы.
УП.2.4. Если считать, что материалы каменной кладки и рамы
следуют закону Гука, а также предположить, что между кладкой и
бетоном имеет место полное сцепление, то расчет каркасно-каменной
стены сводится с учетом сделанных ранее допущений к решению
плоской задачи теории упругости для области весьма сложного очер-
тания при смешанных граничных условиях. МКЭ позволяет найти это
решение, причем не для отдельных элементов, а для всей стены в
целом. Очевидно, допущение о справедливости закона Гука наклады-
вает определенные ограничения на такую расчетную схему. Вместе с
тем на ее основе можно перейти к расчету стены с учетом пласти-
ческих свойств материалов и трещинообразования в каменной кладке.
Так, если в кладке на каком-либо этапе нагружения появляются глав-
ные растягивающие напряжения, превышающие предел прочности на рас-
тяжение, то в дальнейшем соответствующие конечные элементы мож-
но исключить из работы,
УП.2.5. В качестве примера, иллюстрирующего предлагаемую ме-
тодику, рассмотрим продольную отену пятиэтажного жилого дома се-
рии 102, проект которого разработан институтом Молдгипрострой.Осо-
бенность его состоит в том, что продольные стены не воспринимают
вертикальной нагрузки от перекрытий, опирающихся на поперечные
стенй. Каждая такая стена представляет собой пятиэтажную много-
пролетную сборно-монолитную железобетонную раму, ячейки которой
заполнены кладкой из пильного известняка (котельца). Это заполне-
ние имеет различное очертание, так как в каждой ячейке имеется,
как правило, по два проема (два оконных или один оконный и один
дверной). Основными нагрузками на раму , являются собственный вес
и горизонтальное сейсмическое или ветровое воздействие. При этом
связь продольной стены с поперечными такова, что она работает, по
существу, как пластина в условиях плоского напряженного состоя-
ния, что полностью отвечает намеченной выпе расчетной схеме. От-
метим, что проектным институтом расчет стены был выполнен,как рас-
чет рамы без учета работы заполнения, что привело к весьма высоко-
му расходу арматуры.
276
УП.2.6, Предложенная расчетная схема нужд»чг»н, еетсста<лыи,
в тщательном обосновании, которое можно выполнить только путая
критического сопоставления данных расчетов и опытов. Если про-
ведение расчетов по МКЭ не встречает принципиальных и технологи-
ческих затруднений, то проведение экспериментов на всей стоне в
целом, даже если она и будет выполнена в уменьшенном масштабе,
оказывается весьма сложным. В частности, для изготовления модели
масштаба 1:4 потребовалось бы уникальное по размерам помещение.
Кроме того, в этом случае возникают большие трудности с армиро-
ванием железобетонных элементов ввиду отсутствия арматуры малых
диаметров соответствующего класса. Указанные обстоятельства приве
ли к тому, что на первом этале исследовании рассчитывалась не
вся конструкция в целом, а отдельные, наиболее характерные ее
фрагменты в масштабе 1:2.
Выбор фрагментов и их расчет осуществлялись следующим обра-
зом. Вначале по методике института Молдгипрострой был проведен
расчет всей стены в целом для зданий в масштабе 1:2. Как уже от-
мечалось, в етом случае продольная стена здания рассматривалась
как плоская рама. По полученным данным с соблюдением всех требо-
ваний строительных норы были заармированы железобетонные элемен-
ты и введена конструктивная арматура в каменную кладку. Эти ре-
зультаты позволили в дальнейшем изготовить соответствующие образ-
цы для проведения экспериментов. Фрагменты, подлежащие расчету
по МКЭ, были вырезаны из средней части стены и представляли со-
бой замкнутые рамы с консолями. Длина консолей подбиралась та-
ким образом,чтобы разрезы приходились на сечения с нулевой точ-
кой эпюры изгибающих моментов. Наличие консолей дало возмож-
ность в дальнейшем сравнительно просто осуществлять нагружение ра-
мы системой горизонтальных и Яертикальных сил. Ешо рассмотрено
два типа фрагментов,отличающихся очертанием проемов в кладке
(рис.УП.14, а, б).
Механические свойства материалов следующие: модуль упругости
железобетона 265 000 кгс/см*", объемный вес железобетона
0,0025 кгс/см3, объемный вес кладки 0,0016 кгс/см?', коэффициент
Пуассона для обоих материалов 0,15. Модуль упругости кладки при-
нимался равным 19 000, 10 000 и 5000 кгс/ся/'. Это связано с
тем, что модуль упругости 19 000 кгс/см^ соответствует экспери-
ментальным данным, а 10 000 кгс/см^ - данным СНиП. Снижением его
до 5000 кгс/см^ тлелось в виду имитировать ухудшение качества
кладки эа счет дефектов при произведет работ, а также проана-
лизировать влияние возможности наругоени. цепления в г"-зк югядги
и между ней и бетоном.
УП.2.7. Типичные результаты расчета фрагмента по программе
МКЭСТД на действие расчетной нагрузки при модуле упругости клад-
ки 19 000 кгс/см?' представлены на рис.УП.15 ( ) и УП.16 (бу )
279
278
Рис. УП.16
280
в виде эпюр напряжений (кгс/см*") в характерных сечениях фраг-
ментов. Там же пунктиром показаны эпюры напряжений в железобе-
тонных элементах, полученные по формулам сопротивления материа-
лов для усилий, вычисленных при расчете стены как рамы.Из срав-
нения хорошо видно, что.кладка оказывает существенное влияние
на работу железобетонных элементов, воспринимая значительную до-
лю расчетной нагрузки. Даже при уменьшении модуля упругости клад-
ки до 5000 кгс/см^ это влияние оказывается заметным, снижая при
этом величины усилий в железобетонных ригелях и стойках пример-
но на 60 % по сравнению с расчетом конструкции как рамы. При
этом величины главных напряжений в кладке не превышают ее расчет-
ного сопротивления растяжению.
УП.2.8. Фрагменты продольной стены здания, рассчитанные по
МКЭ, подвергались экспериментальному исследованию в лабораторных
условиях. Всего было испытано три фрагмента - два с заполнением
(рис.УП.14,а,б) и один без заполнения кладкой (рис.УП.14,в).Ар-
мирование железобетонных элементов фрагментов всех типов принято
по данным расчета стены как рамы.
Образцы изготовлялись в вертикальном положении и крепились
к силовому полу шарнирными неподвижными опорами. Технология изго-
товления их соответствовала принятой в проекте серии 102.Ригели
и консоли образцов были сборными, а стойки - монолитными. Для ри-
гелей и стоек применялась арматура класса A-iil и бетон марки 200
состава 1:2,2:3,23 с расходом цемента марки 300 в количестве
320 кг/м3 при В/Ц = 0,55. Заполнение фрагментов осуществлялось
каменной кладкой из пильного известняка марки 35 на цементно-изве-
стковом растворе марки 25 при номинальных размерах камней 19х
х9х9 см и толщине шва 10 - 12 мм. По высоте кладка ' армировалась
сеткой диаметром 3 мм с ячейками 8x15 см и шагом по высоте 40 см.
Для нагружения фрагментов горизонтальными и вертикальными
силами, приложенными к консолям, была создана система специаль-
ных устройств. Усилия передавались через торцы консолей ригелей
и стоек, в которые были замоноличены анкерные плиты. К ним при-
варивались столики и кронштейны. Вертикальное нагружение создава-
лось винтовыми домкратами, упиравшимися в систеьг/ стоек, а гори-
зонтальное - винтовыми приспособлениями с тарировочными устройст-
вами. Величины усилий контролировались динамометрами Токаря.
Деформации и перемещения фрагмента фиксировались комплексом
измерительных устройств, в который входили прогибомеры Аистова и
Максимова с ценой деления 0,02-0,1 мм; индикаторы часового типа
с ценой деления 0,002 и 0,001 мм; тензометры Гугенбергера на базе
20 мм для измерения деформаций бетона и арматуры. Схема раэмеще-
ррг
Рис. УП.17
ния приборов для одного из фрагментов показана на рис. УП.17.
УП.2.9. Подробный анализ результатов проведенных эксперимен-
тов выходит эа рамки настоящей книги. Отметим лишь два факта,вы-
текающие из экспериментальных данных и представляющих интерес для
обоснования предлагаемой расчетной схемы.
Во-первых, вновь было подтверждено существенное влияние клад-
ки заполнения на работу стены на всех стадиях нагружения,несмот-
ря на значительный размер проемов. Достаточно, например,отметить,
что фактическая разрушающая нагрузка в четыре-лесть раз превы-
шает теоретическую. В то же время при испытании фрагмента без
заполнения, т.е. в условиях, полностью отвечающих расчетной схе-
ме стены в виде рамы, зто превышение находится в пределах 1,7-1,8.
Во-вторых, данные измерений показали, что расчетные и опыт-
ные значения деформаций как в бетоне, так и в кладке при воздей-
ствии расчетной нагрузки совпадают не только качественно, но и
с учетом точности измерений на таких материалах, как бетон и ка-
мень, количественно. <Это хорошо видно из рис. УП.18, на котором
представлены епюры деформаций в двух характерных сечениях одно-
го из фрагментов.
УП.2.10. Для определения количества арматуры в железобетон-
ных элементах каркасно-каменной стены был выполнен ее расчет
в целом в натуральную величину. При этом число конечных элементов
282
составляло 999, т.е. полностью использовалась мощность програм-
мы МКЭСТД. По напряжениям в железобетонных элементах затем вы-
числялись соответствующие изгибающие моменты, нормальные и попе-
речные силы, через которые по известным зависимостям теории же-
лезобетона были найдены площади рабочей арматуры. По сравнению
с принятым в проекте армированием такой подход дает снижение рас-
хода стали для домов серии 102 около 40 %. Кроме того, оказа-
лось возможным получить оценку напряженного состояния каменной
кладки, которую в настоящее время делают, как правило, по весьма
приближенным полуэмпирическим формулам.
Таким образом, использование МКЭ при расчете стандартных кон-
струкций массового изготовления позволило по-новому, более стро-
го подойти к выбору расчетной схемы. Это, в свою очередь,дает воз-
можность получить надежную количественную и качественную оценку
работы сооружения.
§ УП.З. Исследование работы узла железобетонной рамы
У Л.3.1. В рамных железобетонных конструкциях одними иэ наи-
более ответственных и вместе с тем'трудно поддающихся расчету яв-
ляются узлы сопряжения отдельных элементов. Вез преувеличения мож-
но сказать, что "проблема узла" В железобетоне до оих пор
далека от удовлетворительного решения, несмотря на большое коли-
чество экспериментальных исследований и попыток теоретического
анализа. Причины такого положения, когда вопросы обеспечения на-
дежности одного из ответственных элементов железобетонной конст-
рукции решались почти на интуитивном уровне, весьма многочислен-
ны. Главными из них являлись отсутствие надежной теории деформи-
рования железобетона в условиях сложного напряженного состояния,
характерного для узлов, и трудность задачи об определении напря-
жений в узлах на основе сравнительно простых расчетных моделей.
У П.З.2. Метод конечных элементов можно применить и к иссле-
дованию напряженно-деформированного состояния узлов. При этом
возникают, по меньшей мере, две самостоятельные проблемы,решение
которых должно предшествовать непосредственной реализации МКЭ.
Во-первых, необходимо остановиться на тех или иных опреде-
ляющих уравнениях для рассматриваемой задачи. В данном случае
был использован закон Гука. При всей очевидности недостатков
такого подхода он, тем не менее, позволяет в первом приближении
дать достаточно надежную базу для последующего определения коли-
чества рабочей арматуры, обеспечивающего необходимую прочность.
Можно указать на целый ряд исследований узлов железобетонных кон-
284
струкций, использующих аппарат теории упругости (см., например,
[28]).
Вторая проблема заключается в выборе геометрии исследуемой
части конструкции, а также схемы ее загружения, т.е. в форму-
лировке граничных условий. В общем случае в любой рамной конструк-
ции достаточно четко можно указать участки, где напряженно-де-
формированное состояние определяется законами строительной меха-
ники стержневых систем. Тогда, очевидно, нетрудно сформулиро-
вать силовые граничные условия для узловой зоны рамы, в которой
напряженно-деформированное состояние необходимо рассчитывать
о использованием аппарата теории упругости. Для наиболее распрост-
раненных типов рам с ортогональными ригелями и стойками соотно-
шение размеров узлов таково, что задачу необходимо рассматривать
как пространственную. МКЭ позволяет это сделать, однако возни-
кают определенные трудности при экспериментальной проверке тако-
го решения, что необходимо иметь в виду при интерпретации резуль-
татов. Кроме того, нельзя не считаться с тем, что обычно рамы
рассматриваются как плоские системы, чем в известной степени
предопределяется характер распределения усилий, приложенных к
узлу.
У П.3.3. С учетом сформулированных требований к задаче о
напряженном состоянии узла, а также в целях получения наиболее
надежных результатов расчета, допускающих экспериментальную про-
верку, в качестве объекта исследования был выбран узел сопря-
жения ригеля со стойкой железобетонной трехшарнирной рамы. При
этом учитывалось также и то обстоятельство, что конструкции та-
кого типа,обладающие известными конструктивными, архитектурными и
технологическими преимуществами, получили широкое распространение
при сооружении животноводческих и других сельскохозяйственных по-
мещений в Молдавии и в других союзных республиках [19].
Одним из важнейших преимуществ узла такой рамы (рис.УП.19)
является то, что он, по существу, находится в условиях плоского
напряженного состояния, а это, с одной стороны, позволяет приме-
нить весьма эффективные программы по реализации МКЭ, а с дру-
гой - провести корректную экспериментальную проверку решения с
использованием стандартной методики тензометрирования в лабора-
торных условиях.
Кроме того, результаты подобного исследования дают возмож-
ность сформулировать вполне конкретные Практические выводы по ар-
мированию ответственного узла массовой конструкции.
Рядом проектных организаций Кишинева и других городов нашей
страны кроме трехшарнирных рам для некоторых сельскохозяйствен-
285
ных сооружений разработаны и внедряются проекты многопролетных
рам, в которых конструктивное решение узла сопряжения ригеля со
стойкой практически такое же, как и для трехшарнирных рам. Оче-
видно, полученные результаты могут быть использованы и в этих
случаях.
У П.3.4. В качестве объекта теоретического и эксперименталь-
ного исследования были выбраны трехшарнирные рамы пролетом 18 -
21 м, проект которых разработан в институте Колхозстройпроект
(г.Кишинев).
Схема рамы с указанием ее геометрических параметров, а так-
же с действующими вертикальными усилиями, соответствующими рас-
четной нагрузке, приводится на рис. УП.19. Сечение ригеля и стоек
приняты в проекте прямоугольными или тавровыми, узел их сопряже-
ния имеет постоянную толщину 18 см, что хорошо соответствует
условиям плоского напряженного состояния.
На первом этапе исследования был выполнен расчет рам в
целом по МКЭ с использованием программы МКЭСТД. В силу симмет-
рии рассматривалась только половина рам с постановкой в конь-
ковом шарнире закреплений, препятствующих горизонтальным переме-
щениям.
Полурама была разбита на 572 треугольных элемента.Результа-
ты расчета в виде графиков изменения нормальных напряжений 6^,
и (кгс/см^) по отдельным сечениям рамы пролетом 21 м пред-
ставлены на рис. УП.20 (ригель) и рис. УП.21 (стойкаХАнализ эпюр
нормальных напряжений в ригеле и стойке позволяет сделать сле-
дующие выводы:
- расчетная схема рамы как стержневой системы удовлетвори-
тельно описывает напряженное состояние ригеля и стойки,что под-
тверждается линейным характером распределения напряжений по соот-
ветствующим сечениям;
- четко выделяется зона узла, в которой распределение напря-
жений носит весьма сложный характер и не может быть оценено эле-
ментарными способами расчета. Эта зона определяется сечением в
ригеле I-I и горизонтальным сечением в стойке П-П (рис.УП.19).
У П.3.5. На втором этапе был произведен детальный расчет уз-
лов сопряжения, которые для получения более точных результатов раз-
бивались на 354 треугольных элемента. Нагрузка в этом случае бы-
ла приведена к равномерно распределенной интенсивностью I500ktc/i.m.
Известные трудности возникли при постановке граничных условий.
Было принято в сечении I-I задать силовые граничные условия, а
в сечении П-П - кинематические (рис. УП.22). При этом сама рас-
считываемая область была несколько увеличена по сравнению с
286
oootz*
stst best best best best ssbt oezt
287
-63,0
288
Рис. УП.21
ввделенной на рис. УП.22 с тем, чтобы в соответствии с принципом
Сен-Венаиа смягчить влияние такой формулировки краевых условий
на результаты расчета. Отметим, что последующее сопоставление ве-
личин напряжений в сечениях I-I и П-П, полученных на первом и
втором этапах расчета, подтвердило справедливость такого подхода
(см. рис. УП.22).
УП.3.6. Для оценки достоверности результатов расчета рам
и их узлов проведена серия испытаний рам на вертикальную нагруз-
ку в соответствии с ГОСТ 8829-66*2 Рамы испытывались в нату-
проведении экспериментов участвовали Г.З.Бордеяну.П.Г.Лет-
ший, 2. «‘.караулу и К.Г.Сургуч.
ральную величину. Для этого они устанавливались на силовом полу
в специальные П-образные конструкции, снабженные в своей верх-
ней части винтовыми шарнирными устройствами, которые обеспечивали
расположение рам в вертикальной плоскости при нагружении вплоть
до разрушения. Стойки рам свободно устанавливались в металличес-
кие башмаки, образующие цилиндрические неподвижные опоры, что
соответствует принятой расчетной схеме.
290
Рис. 711.23
Вертикальное нагружение создавалось с помощью натяжных уст-
ройств, каждое из которых состояло из двух вертикальных тяг плос-
кого шарнира для передачи нагрузки на рамы через закладную де-
таль прогонов, измерительных рамок в виде пластинчатых динамо-
метров и винтовых нагрузочных приспособлений.
Измерение вертикальных перемещений конструктивных элементов
рам в процессе испытаний производилось прогибомерами с ценой де-
ления 0,01 мм. Деформации в арматуре измерялись рычажными тен-
зометрами системы Гугенбергера. Ширина раскрытия трещин оценива-
лась с помощью микроскопа с ценой деления 0,03 мм при 24-крат-
291
ном увеличении. Кроме того, в области узла были наклеены "ро-
зетки" тензорезисторов с базой 50 мм (рис.УЛ.23).
Нагружение рам осуществлялось ступенями по 0,1 от контроль-
ной разрушающей нагрузки, что составляло около 240 кгс/п.м.
Весь комплекс испытаний позволил дать оценку конструкций по
прочности, деформациям и ширине раскрытия трещин. Не останавли-
ваясь подробно на результатах экспериментов, отметим лишь, что
величины деформаций и прогибов, полученные в расчете и опытах,со-
впали с точностью до 10 %. Это позволяет считать, что оценка
напряженно-деформированного состояния узлов рамы по МКЭ даетудов-
летворительные результаты.
УП.З.7. Известно, что расчет прочности сечений железобетон-
ных конструкций производится по изгибающему моменту, нормальной
и поперечной силам при определенном характере напряженного сос-
тояния в сечении, отличающемся четко выраженными зонами сжатия
и растяжения. Однако, как видно из рис.УП.23 (эпюры 6^ ) и
рис.УП.24 (эпюры б'х ), в рассматриваемом узле такая расчетная
схема явно неприемлема, поскольку эпюры напряжений в отдельных,
нормальных к осям ригелей и стоек рам сечениях достаточно сложны,
Причем величины их в ряде случаев таковы, что прочность сече-
ний, на первый взгляд,обеспечивается без постановки арматуры.
Вместе с тем хорошо известно, что прочность подобных узлов мо-
жет быть обеспечена только при наличии достаточно мощного арми-
рования. Возникающее противоречие, однако, только кажущееся,легко
устранимо, если учесть, что расчет прочности железобетонных кон-
струкций проводится по сечениям, в которых нормальные напряжения
являются,по существу, главными. В рассматриваемом случае естест-
венно перейти к анализу главных напряжений в узле. Эпюры их
приводятся на рис.УП.25 (главные растягивающие напряжения) и
рис.i'll.26 (главные сжимающие напряжения). Из этих рисунков вид-
но, что и в данном случае с определенной степенью точности йЬж-
но использовать методику расчета по предельным состояниям, взяв
за расчетные сечения, совпадающие с площадками главных напряже-
ний, поскольку эти площадки лежат практически на одной прямой,на-
клоненной под некоторым углом к осям ригеля и стойки.
Из анализа полученных по МКЭ теоретических картин распре-
деления глазных напряжений следует, что максимальные растягиваю-
щие напряжения сосредоточены не у края исходящего угла узла,что
согласуется с многочисленными экспериментальными исследованиями
[55], а на некотором расстоянии от него. Поэтому можно предполо-
жить несколько иной способ армирования узла - дисперсный,когда
арматура размещается по линиям, перпендикулярным площадкам глав-
292
л
Р и с.УП.24
ных растягивающих напряжений. Количество ее в этом случае не-
трудно определить, если, например, пренебречь работой бетона на
растяжение и все усилия, собираемые с некоторой площади,передать
на арматуру. При этом принципиально изменяется характер армиро-
вания, поскольку вся арматура не будет уже сосредоточена на крае
сечения, а определенным образом распределена по всей растянутой
зоне. Заметим, что эффективность армирования узла по такой схе-
ме, безусловно, нуждается в экспериментальной проверке.
УП.З.8. В настоящем и предыдущем параграфах были рассмот-
рены две различные по назначению и условиям работы конструк-
ции. Однако общим для них является то, что вместо расчетной
293
76
Р и с.УП.25
А
схемы в виде стержневой системы использовано их представле-
ние в виде двумерной континуальной системы. В обоих случаях для
реализации такой расчетной схемы потребовалось решать весьма слож-
ные задачи теории упругости для области нетривиальной формы при
смешанных краевых условиях. Использование МКЭ позволило сделать
это сравнительно быстро и дало возможность выявить интересные ка-
чественные и количественные эффекты, не поддающиеся оценке на
базе традиционных расчетных схем.
Очевидно, что принятые расчетные схемы не исчерпывают всех
возможностей МКЭ. Ведь в обоих случаях расчет был выполнен с ис-
294
4
пользованием аппарата плоской задачи линейной теории упругости,
что следует рассматривать лишь как первое, приближение,посколь-
ку речь вдет о конструкциях из таких материалов, как камень и
железобетон, обладающих пластическими и реологическими свойства-
ми. Дальнейшее уточнение работы таких и подобных им конструк-
ций возможно на основе той или иной теории деформирования желе-
зобетона с решением соответствующей задачи теории пластичности
или ползучести.
§ УП.4. Расчет пространственных конструкций
УП.4.1. За последнее время в гражданском строительстве,осо-
бенно в сейсмически активных районах, возрос интерес к приме-
нению монолитного бетона для возведения многоэтажных зданий спо-
собом объемно-переставной опалубки, что объясняется рядом техни-
295
Р и с.УП.27
ко-эиономических достоинств этих конструкций. Так, в г.Кишиневе
уже построены здания подобного типа повышенной этажности общей
площадью около 250 тыс.м .
У11.4.2. Одним из вариантов конструктивного решения таких
этип’чй предусматривается устройство наружных стен из' сборных
296
керамзитобетонных блоков заводского изготовления (рис. УП.27).
В процессе строительства эти блоки играют роль опалубки, причем
после возведения внутренних несущих стен они оказываются свя-
занными с ними за счет сил сцепления. При расчете работа ограж-
дающих блоков обычно не учитывается. Вместе с тем очевидно, что,
находясь на краю сечения здания в самой напряженной эоне эти бло-
ки включаются в работу, воспринимая известную часть нагрузки.
У П.4.3. Для оценки степени участия легкобетонных блоков в
работе стен зданий были проведены специальные эксперименты на
Фрагментах, представляющих собой призматический брус высотой
на этаж, поперечное сечение которого отвечало одному из узлов
сопряжения стен (узел А на рис. УП.27). Размеры фрагмента и его
общий вид показаны на рис.УП.28. Бетонирование опытного образ-
ца осуществлялось по общепринятой технологии с использованием
керамзитобетонного блока заводского изготовления. Армирование эо-
ны тяжелого бетона отвечало заложенному в типовом проекте 16-
этажному жилому дому.
У Н.4.4. Фрагмент через специальную траверсу загружался рав-
номерно распределенной нагрузкой, приложенной только к тяжело-
му бетону, В процессе испытаний с помощью механической аппарату-
ры и системы тензодатчиков фиксировались деформации в трех сече-
ниях по высоте фрагмента, а также сдвиговые деформации по кон-
такту легкого и тяжелого бетона. Непосредственно перед испытания-
ми по стандартной методике определялись физико-механические свой-
ства материалов фрагмента (кубиковая и призменная прочность, а
также модуль упругости). Нагружение осуществлялось ступенями по
10 т, что составило около 3 % от разрушающей нагрузки.На рис.УП,
29 приводятся экспериментальные эпюры деформаций, отвечающие
нагрузкам в 30, 80 и 130 т соответственно. Разрушение образца
произошло по линии стыка легкого и тяжелого бетона при нагруз-
ке, равной 380 т.
У П.4.5. Попытка теоретической оценки напряженного состояния
фрагмента с использованием гипотезы приведенного сечения оказа-
лась несостоятельной, поэтому было решено его расчет выполнить
методами теории упругости с использованием М1О по схеме простран-
ственной задачи. Образец разбивался на 448 конечных элементов в
виде параллелепипедов (рис.УП.29) и рассчитывался по программе
"Икарус-ЕС" на указанные ранее три загружения. Поскольку экспе-
риментом была выявлена существенная роль шва в работе фрагмен-
та, последний был смоделирован связями некоторой жесткости меж-
ду соседними конечными элементами. Жесткость связей предваритель-
но назначалась по данным специальных опытов на сдвиг и затем
Зак.641 297
298
Р а с. УП.29
уточнялась по ходу расчета. В конечном итоге замеренные и вычис-
ленные деформации отличались для тяжелого бетона на 5 - 10 %,
а для легкого - на 10 - 15 %, что можно считать удовлетворитель-
ным.
У П.4.6. Результаты расчета и эксперимента позволяют учиты-
вать при оценке напряженного состояния подобных конструкций ра-
боту легкого бетона, используя найденную жесткость связи между
ним и тяжелым бетоном. Так, например, стены здания можно рассчи-
тывать по схеме плоской задачи теории упругости как двухслойные
пластины, вводя между слоями овяэи соответствующей жесткости.
Предварительные расчеты показывают, что в втом случае за счет
учета работы легкого бетона напряженное состояние стены изменя-
ется в благоприятную сторону.
У П.4.7. Вторым примером пространственной конструкции может
служить квадратная в плане клеефанерная оболочка типа гиперболи-
ческого параболоида размером 150 х 150 см с опиранием по углам.
Подъем оболочки равнялся 45 см, а поверхность ее была образо-
вана из десяти скрученных клеефанерных ребристых панелей, соеди-
няемых болтами.
Элементы деревянного каркаса' панелей изготовлялись из дре-
весины сосны, удовлетворяющей требованиям второй категории по
СНиП П-В. 13-62.
Обшивка панелей выполнялась из пятислойной водостойкой фа-
неры марки ФСФ сорта А/АВ, склеенной клеями типа фенолфармальде-
гидных, в соответствии с ГОСТ 3916-69. Толщина фанеры составляла
6 мм.
. Приклеивание обшивки к каркасу скрученного клеефанерного
елемента производилось на специальном стенде при помощи карба-
мидндго клея. Размер сборного элемента в плане составлял 150 х
х 150 х 4,5 см. Ребра каркаса панелей были приняты сечениями
Ij5 х 2,6 см. По двум сторонам оболочки вдоль торцов панелей (по-
верху и понизу) были установлены бортовые элементы,каждый се-
чением 1,2 х 3,0 см, которые приклеивались к оболочке при помо-
щи болтов.
У П.4.8. В эксперименте оболочка загружалась сосредоточенной
силой в центре (рис. УП.ЗО).
Для измерения вертикальных перемещений использовались про-
гибомеры Максимова с ценой Делений 0,1 мм и прогибомеры Аистова
с ценой деления 0,01 мм. Горизонтальные Перемещения оболочки из-
мерялись индикаторами часового типа с Ценой деления 0,005 мм.Для
измерения деформаций использовались тензорезисторы с базой 50 мм,
которые.устанавливались как в виде прямоугольных розеток, так и
300
z
(50 JOO 450 600 ISO 900
Рис. УП.31
по направлению главных напряжений. Причем в каждой точке тензоре-
зисторы устанавливались поверху и понизу сечения. Всего на оболоч-
ке было установлено более 150 измерительных приборов.
У П.4.9. Расчет оболочки по МКЭ был выполнен с помощью прог-
раммы "Икарус-ЕС". Конструкция была представлена набором из 100
конечных оболочечных элементов двоякой кривизны и 220 стержневых
элементов, о помощью которых моделировались ребра.
Результаты расчета в виде эпюр перемещений в двух сечениях
оболочки Представлены на рис. УП.31,а,б. Там же пунктиром нанесе-
ны величины прогибов по данным эксперимента. Очевидно, что имеет
место удовлетворительное качественное и количественное совпадение
расчетных и опытных значений прогибов. Это еще раз подтверждает
высокую эффективность МКЭ для расчета сложных континуальных сис-
тем.
301
ЛИТЕРАТУРА
i. Абовский Н.П.«Андреев Н.П. Вариационные принципы теории упру-
гости и теории оболочек.Красноярск, 1973.
2. Айронс В.М., Дрейнер К.И. Несоответствие узловых связей при
расчете изгиба пластин методом жесткостей. - Ракетная техника
и космонавтика, 1965, Ж 5.
3, Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Нау-
ка, 1974.
4. Аргирос Дж. Матричный анализ малых и больших перемещений в
трехмерных упругих средах. - Ракетная техника и космонавтика,
1965, » I.
5. Аргирос Дж. Современные достижения в методах расчета конст-
рукций с применением матриц. М.: Госстройиздат, 1968.
6. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостех-
теориздат, 1955.
7, Бахвалов Н.С. Численные методы. T.I. М.: Наука, 1975.
8. Безухов Н.И., Лужйн О.В. Приложение методов теории упругос-
ти и пластичности к решению инженерных задач. М.; Высшая шко-
ла, 1974.
9. Веллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.
10. Видный Г.Р. Расчет железобетонных конструкций методом конеч-
ных элементов. Кишинев : Штиинца, 1979.
II. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бе-
тона и железобетона. М.: Стройиэдат, 1974.
12. Городецкий А.С., Горобовец А.В., Павловский В.Э. Программа
статического расчета объектов механики "Мираж" методом конеч-
ных элементов на ЭВМ типа "Минск-22". Киев: Гипрохиммаш,
1974.
13. Графтон Г!., Строум Д. Расчет осесимметричных оболочек методом
прямого определения жесткости. - Ракетная техника и космонав-
тика, 1963, I, > 10.
14. Дейлу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976.
302
16. Джонс Р., Строум Д. Расчет оболочек вращения прямым методам
жесткостей с помощью криволинейных элементов. ~ Ракетная тех-
ника и космонавтика, 1966, 4, * 9.
16. Ержанов Ж.С., Каримбаев Т.Д. Метод конечных элементов в за-
дачах механики горных пород. Алма-Ата : Наука, 1975.
17. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.:Наука,
1967.
18. Ефимов Ю.Н., Сапожников Л.Б., Троицкий А.Г1. Программа стати-
ческого и динамического расчета сооружений по методу конеч-
ных элементов для ЭВМ типа М-220. Л.: Изд-во ВНИИГ им.БЕ.Ве-
денеева, 1972.
19. Журавок В.И., Лопатто А.Э., Сергейчук А.Ф., Феофанов А.Н.
Рамные железобетонные конструкции в сельском строительстве.
Одесса : Маяк, 1974.
20. Зенкевич 0., Чанг И. Метод конечных элементов в теории соору-
жений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974.
21. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир,
1975.
22. Измайлов Ю.В. Сейсмостойкость каркасно-каменных зданий. Киши-
нев; Картя мслдовеняскэ, 1975.
23. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиэдат, 1948.
24. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего ана-
лиза. М.: Гостехиэдат, 1949.
25. Канторович Л.В. О методе Ньютона. - Труды математического ин-
ститута им. В.А.Стеклова АН СССР, 1949, ХХУШ.
26. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами.
М.: Стройиедат, 1976.
27. Клаф Р.У. Метод конечных элементов в решении плоской задачи
теории упругости. - В кн.: Расчет строительных конструкций с
применением электронных машин. М.: Госотройиздат, 1967.
28. Коган Г.Н., Краснощеков Ю.В. Исследования напряженного состоя-
ния в узлах сборных железобетонных каркасов с применением
метода сеток. - Труда Сибирского автодорожного института,
1974, выл.44.
29. Колдунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.:Высшая шко-
ла, 1972.
30. Курдюмов А.А., Постнов В.А. Применение алгоритма Гаусса для
определения и разделения корней частного уравнения консер-
вативных систем. - В кн.: Строительная механика корабля.Выл.
40. Л.: Судостроение, 1961.
31. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. T.I. М,-
Л.: Гостехтеориздат, 1951.
303
32, Мелош Р. Расчет массивных тел методами строительной механики
стрежневых систем. - В кн.: Расчет строительных конструкций
с применением электронных машин. М.: Стройиэдат, 1967.
33. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек на ЭВМ.
Ч.1-Л . Под ред. А.Ф.Смирнова. М.: Стройиэдат, 1976.
34. Михлин С.Г. Прямые методы в математической физике. М.; Гос-
техиздат, 1950.
35. Михлин С.Г. О вариационно-разностном методе для многомерных
краевых задач. Численные методы и функциональный аналиэ.Т.23.
М.: Наука, 1971.
36, Морозов Е.М., Партон В.З. Механика упругопластического раз-
рушения. М.: Наука, 1974.
37, Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Судпромгиз, 1951.
38. Новожилов В.В. Теория упругости. Судпромгиз, 1958.
39. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных
сред. М.: Мир, 1976.
40. Перед И., Пиан Т,, Клей" С., Наваратна Д. Приложение матрич-
ного метода к линейному упругому анализу оболочек вращения.-
Ракетная техника и космонавтика, 1965, 3, М II.
41. Перед Д. Дискретный четырехугольный элемент при расчете упру-
гопластических плоских напряжений. - Ракетная техника и кос-
монавтика, 1967, № 2.
42. Пойя Д, Математическое открытие.М.: Наука, 1970.
43. Поляков С,В. Каменная кладка в каркасных зданиях. М.: Госст-
ройиздат, 1956.
44. Поляков С.В. Сейсмостойкие конструкции зданий. М.: Высшая шко-
ла, 1969.
45. Постнов В.А., Хархурим Х.Я. Метод конечных элементов в рас-
четах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974,
46. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике.
М.: Гостехиздат, 1948.
47. Рабинович И.М. Основы новейших методов расчета рамных систем.
4.1. М.: Госотройиздат, 1933.
48. Рабинович И.М. Курс строительной механики. Ч.П. М.: Госстрой- ।
иэдат, 1954.
49. Рашид И., Смит П., Принц Н. Развитие метода конечных элемен-
тов в применении к решению трехмерных задач теории упругос-
ти. - В кн.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ.
Т.2. Л.: Судостроение, 1974.
50. Рейснер Э. О некоторых вариационных теоремах теории упругос-
ти. - В кн.: Проблемы механики сплошной среды (к 70-летию ака-
демика Н.И.Мусхелишвили). М.: Изд-во АН СССР, 1961.
304
51. Рейснер Э. Некоторые проблемы теории оболочек. - В кн.: Упру-
гие оболочки. М.: ИЛ, 1962.
52. Розин Л.А., Гордон Л.А. Метод конечных элементов в теории
пластин и оболочек. - Известия ВНИИ11 им. Б.Е.Веденеева, 1971,
95.
53. Розин Л,А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод
конечных элементов. Л.: Энергия, 1971.
54, Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элемен-
тов, Л,: Изд-во ЛГУ, 1976.
55. Сахновский К.В. Железобетонные конструкции. М.:Госстройиздат,
1959.
56. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.П. М.: Наука, 1974.
57. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.Ш, ч.1. М.: Наука,1974.
58, Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1У, ч.1. М.: Наука, 1974.
59. Справочник по теории упругости. Киев: Буд1вельник, 1971.
60. Стринклин И., Наваратна Д., Пиан Т.Усовершенствование расчета
оболочек вращения матричным методом перемещений. - Ракетная
техника и космонавтика, 1966, 4, >11.
61. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки.М.:
Наука, 1966.
62. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наукова думка,
1972.
63. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости.М.: Наука, 1975.
64. Фаддеев Д.К., Фаддеева Ь.Н.Вычислительные методы линейной ал-
гебры. М.: Физматгиз, I960.
65. Филин А.П. Матрицы в статике стержневых систем. М.-Л.: Строй-
издат, 1966.
66. Шапошников II. Н. Предельный переход для дискретной модели плос-
кой задачи теории упругости. - Труды МИИТ. Вып.374. М.,1968.
67. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойст-
вами максимума либо минимума. М.-Л., 1934, с.573 - 574.
68. Bazely G.P,, Chsung Y.K., Irons В.Н., Zienkiewicz О.C. Tri-
angular Elements in Bending-Conforming and Nonconforming So-
lution. - Proc. Conf. Matrix Methode in Struct. Meeh., Air
Force Inat. oi' Techn., Wright Patterson A.F. Base.Ohio,*1965,
Oct.
69. Bell K. A Refined Triangular Plate Bending Element. - Int.
I. Num. Meth. Eng., 1969, 1»
70. Bogner P.K., Fox R.L., Schit L.A. The Generation of Intere-
lerrent-Compatible Stiffness and Mass Matrices by the Use of
Interpolation Fo^Tnulae. - Proc. Conf. Matrix Methods in Struct.
Зак.641
305
Meeh., A1r Force Inst, of Techn., Wright Patterson A.if, Ba-
es. Ohio, 1965, Oct.
71. Butlin G.A., Fora R. Compatible Plate Bending Element,Univ.
of Leicester Eng. Dept. Rept,, 1968.
72. Clough R.W. The Finite Element Method in Structural Mechanics.
Stress Analysis. N. Y., 1965.
73. Clough R.W. Comparison of Three Dimensional Finite Elements.-
Proc, of Application of Finite Element Methods in Civil Eng.,
19b9, November.
74. Qlough R.W., Totihea T.L. Finite Element Stiffness Matrices
for Analysis of Plates in Bending. - Proc. Conf. Matrix Met-
hods in Struct. Meeh., Air Force Inst, of Techn., Wright
Patterson A.F. Base. Ohio, 1965, Oct.
75. Connor T., Brebbia 0. Stiffness Matrix for Shallow Rectangu-
lar Shell Element. - Proc. Amer. Soo. Civ. Eng., 1967, 93.
76. Cowper G.R., Lindberg G.M., Olson M.D. A Shallow Shell Finite
Element of Triangular Shape. - J, Solids and Struct.,1970,
6.
77. Delpak R. Axi-Symmetric Vibration of Shells of Revolution by
the Finite Element Method. M.. Sol. Thesis. Univ, of Wales,
Swansea, 1967.
78, De Veubeke B.F, Dieplacement and Equilibrium Models in the
Finite Element Method. Stress Analysis. London - Rew York -
Sydney, 1965.
79. Irone B.M. Comments on Complete Polynomial Displacement
Fields fes? Finite Element Method By ihinne P.O. - The Aeronau-
tical J., R. Ae. S., 1968, 72.
80. Irons B.M. A Conforming Quartic Triangular' Element for Blate
Bending. - Int. T. Num. Meth. Eng., *1969, 1.
81, Khojasten-Bakht M. Analysis of Elastic Plastic Shells of
Revolution Under Axi-Symmetric Loading by the Finite Ele-
ment Method. Dept. Civ. Eng, Univ, of California SE SA,1967,
p.67-68.
82. Klein S. A Study of the Matrix Displacement Methods as Ap-
plied to Shells of Revolution. - Proo. Conf. Matrix Methods
’ in Struot, Meoh., Air Force Inst, of Teohn., Wright Patter-
son A.F. Base. Ohio, 1965, Oct*
83. Smith j.M., Duncan W. The Effectiveness of Nodal Continui-
ties in Finite Element Analysis of Thin Rectangular and
Skew Plates in Bending.-Int. J. Num. Meth. Eng.,1970,2.
84. Turner M.Y., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.Stiffness and
Deflection Analysis of Complex Structures. - J. Aeronaut.Sci,,
1956, vol.23.
306
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.................................................. О
ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЙ ИЗ МАТЕМАТИКИ
§ I.I. Основные понятия линейной алгебры ............. ... о
$ 1.2. Алгебраические операции над матрицами ............. 10
I 1.3. Элементы вариационного исчисления ................. 18
ГЛАВА П. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
( И.1. Расчет конструкций - задача Механики сплошной среды 27
I 11.2. Работа внешних и внутренних сил....................34
I П.З. Формулировка вариационных принципов .............. 38
I 11.4. О применении вариационных принципов .............. 46
ГЛАВА Ш. СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
J Ш.1. Формулировка вариационных принципов для стержневых
Систем ....................................................03
t Ш.2. Основные характеристики элемента .................. 59
$ Ш.З. Преобразование координат ......................... 66
I Ш.4. Расчет статически определимых систем ....... 68
I Ш.5. Статически неопределимые системы ................. 73
I Ш.6. Учет начальных воздействий........................ 79
§ Ш.7. Расчет стержневых систем методом конечных элементов 82
ГЛАВА 1У. 1ЛЕТ0Д КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛИ СПЛОШНОЙ СРВДЫ
§ 1У.1. Основные положения ........................... ... 89
§ 1У.2. Интерполяционные функции перемещений ............. 94
§ 1У.З. Матрицы деформаций и напряжений ................. 105
§ 1У.4. МатрйцЫ Жесткости и Податливости ............ .... 108
§ 1У.5, Определение узловых внешних воздействий .......... ИЗ
§ 1У.6. Разрешающие уравнений МКЭ ....................... 116
§ 1У.7. Динамические задачи ............................. 123
§ 1У.8. Задачи устойчивости ............................. 130
§ 1У.9. О нелинейных задачах в расчетах конструкций . . . 134
§ 1У.10. Теоретические аспекты МКЭ........................141
ГЛАВА У. КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ У.1. Плоская задача................................... 145
§ У.2. Пространственная задача ...........................164
§ У.З. Осесимметричная задача . . . s » » ................183
Г Л А В А У1. РАСЧЕТ ПЛИТ И ОБОЛОЧЕК
§ У1.1. Основные соотношения линейной ТвдрИи плит и оболо-
чек .................................................... 193
§ У1.2. Конечные элементы для плит средней толщины . . . 203
§ У1.3. Особенности конечноэлементной аппроксимации тон-
ких плит..................................................209
307
S УI,.4. Конечные элементы прямоугольной формы для тонкой
плиты............................................... 211
§ У1.5. Треугольные конечные элементы для тонкой плиты . 221 ।
§ У1.6. Тонкие оболочки как совокупность конечных элемен-
тов ......................................................238
} У1.7. Расчет тонких оболочек вращения . . ............. 247
§ У1.8. Конечные элементы для оболочек средней толщины . 256
I Л А В А УП. РЕАЛИЗАЦИЯ МКЭ И ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА НЕКОТОРЫХ
К ИНСТРУКЦИЙ
§ УН.1. Вычислительные программы МКЭ .................... 264
§ УП.2. Расчет рамы с каменным заполнением .............. 274
5 УП.З. Исследование работы узла железобетонной рамы 284
§ УП.4. Расчет пространственных конструкций ............. 295
ПИТЕРАТУРА....................................................302
Григорий Рафаилович Видный
Глеб Борисович Колчин
Сергей Федорович Клованич
МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Утверждено Советом Кишиневского
политехнического института им.С.Лазо
ИВ 1271
*
Редактор Г.С.Байчурина
Художник В.В.Драничер
Художественный редактор Г.В.Стог
Технический редактор Я.Е.Ютиш
Корректоры Н.И.Корчимарь, А.В.Сушкевич
Оператор-наборщик М.В.Чурбакова
, Подписано -в печать 15.01.81. АВ 07414. Формат 60x90 1/1,6. Бумага
офсетная'# I. Печать ротапринтная. Усл.печ.л. 19,25.Уч.-изд.л.19,0.
Тираж 1160. Заказ 541. Цена 2р. 90к.
Издательство--, "штииНца", 277028. Кишинев, ул. Академическая, 3.
Типография' издательства "штиийЦа",_ 277004.Кишинев, Берзарина, 8-v