/
Автор: Гвоздев А.А.
Теги: строительство бетон строительные материалы строительная механика железобетонные изделия
Год: 1949
Текст
А. А. ГР03ДЕВ
РАСЧЕТ
НЕСУЩЕЙ Cltocf'nh'j. ти
КОНСТРУКЦИЙ ПО МЕТОДУ
ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНЙВЕС 'Я
. ТРОЙИМАТ • I 49
А- А. ГВОЗДЕВ
ПРОФ., д.р ТЕЛН НАук
расчет
ДЕЛЬНОГО РАВНОРРгмл
ОПЕЧАТКИ
к книге А. А. Гвоздева „Расчет несущей способности конструкций
по методу предельного равновесия" _____________________
Стра- ница Строка Напечатано Должно быть По чьей вине
18 Рис. 4 ' Ч
19 формула (1,5) формула (1,6) Px-Q Rpbh?
20 У Px+^Rpbh2
У1
50 10 и 11 сверху
79 формула (2,62) *0-
87 1 и 2 сверху 42
so формула (3,9) /аг \2 \ек )
108 формулы (3,21) 7С
И 109 и (3,22) V
109 11 сверху
G Дс,-0 Rpbh- Автора
У1
ДН-6 Rpb/i"
У > м
Типографии
•Q Автора
43 »
/егУ
И?8 Г
тс
/V »
Зак. 1026
А. А. ГВОЗДЕВ
ПРОФ., Д-Р ТЕХН. НАУК
РАСЧЕТ
НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
КОНСТРУКЦИЙ ПО МЕТОДУ
ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
ВЫПУСК I
СУЩНОСТЬ МЕТОДА
И ЕГО ОБОСНОВАНИЕ
СУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО СТРОИТЕЛЬНОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
Москва — 1949
Редактор—капд. техн, наук М, С. БЕРНШТЕЙН
В книге излагаются основы метода предель-
ного равновесия в строительной механик
теория пластичности металлов и пластических
свойств бетона и камней, расчет несущей
способности стержневых систем (стальных и
железобетонных) и железобетонных плит.-
Книга предназначается для инженеров-проек-
тировщиков, научных работников и аспирантов»
ПРЕДИСЛОВИЕ
Изучение обширнейшего опыта нашего строительства
и результаты широко поставленных экспериментальных и тео-
ретических работ научно-исследовательских институтов в СССР
привели нашу техническую мысль к выводу, что расчет строи-
тельных конструкций надо вести не по единообразным допу-
скаемым напряжениям, а исходя из предельных состояний.
Этот новый подход к построению расчета дает возможность
лучше учесть особенности материалов и условий эксплоатации
конструкций.
Одно из предельных состояний конструкций (часто важ-
нейшее) есть исчерпание их несущей способности. Несущую
способность для многих видов конструкций можно просто и
достоверно рассчитать методом предельного равновесия.
Но хотя начала этого метода были заложены более полу-
тораста лет назад, в настоящее время, особенно за рубе-
жом, им почти не пользуются на практике. Причиной этому—
недостаточная четкость обоснований метода предельного
равновесия, давшая повод к многочисленным сомнениям и
неясностям. Поэтому оказалось необходимым пересмотреть
и заново обосновать этот метод. Базой для пересмотра по-
служили успехи теории пластичности, особенно продвинутой
вперед трудами советских ученых, и созданная в СССР теория
расчета железобетона по стадии разрушения.
В последней главе этого выпуска книги даны некоторые
применения метода предельного равновесия. Второй выпуск
будет целиком посвящен расчету несущей способности же-
лезобетонных конструкций.
Автор
ВВЕДЕНИЕ
Расчет несущих конструкций как проектируемых, так
и осуществленных имеет целью выяснить, будут ли они слу-
жить исправно. Воздействия, на которые конструкция должна
быть проверена, определяются условиями службы сооружения,
а для проектируемых конструкций также условиями их возве-
дения. Требования, включаемые в понятие исправной службы,
зависят от назначения сооружения.
Неисправность может выражаться в возникновении тех
или иных нежелательных, опасных или недопустимых состо-
яний. Так, например, колебания промышленного сооружения
могут вредить точности выполняемых в нем рабочих операций
или дурно отражаться на самочувствии работающих и на
производительности их труда. Трещины, даже не вредящие
прочности конструкций, могут портить их внешний вид или
нарушать непроницаемость. Легко привести множество при-
меров различных неисправностей. Серьезнейшей неисправ-
ностью было бы разрушение конструкции.
Расчеты, имеющие целью оценить опасность того или
jHorn состояния, нежелательного или недопустимого для дан-
ной несущей конструкции, должны строиться, исходя из пред-
посылок, соответствующих этому состоянию. Так, например,
недопустимые колебания могут возникать, когда конструкция
ведет себя вполне упруго. Естественно, что в этом случае
следует рассчитать колебания упругой системы. Разрушению
некоторых конструкций предшествуют значительные пласти-
ческие деформации, существенно впияющие на условия, при
которых разрушение может произойти. В этом случае надо
принять во внимание пластические свойства материала. Поль-
зование во всех случаях каким-либо единообразным методом
расчета (например, расчетом упругой системы с раз навсегда
установленными допускаемыми напряжениями) неизбежно ока-
залось бы в применении к некоторым опасным состояниям
мало удовлетворительным, а то и непригодным. *
В этой работе рассматривается относительно узкая задача,
а именно расчет несущей способности конструкции, да и то
4
с рядом серьезных ограничений, о которых речь еще впереди.
Для ее решения мы воспользуемся методом предельного
равновесия, выяснив предварительно, при каких условиях он
обоснован и применим. Мы покажем, что решение многих за-
дач методом предельного равновесия наглядно и просто и
дает результаты, хорошо согласующиеся с опытом. Поэтому
метод предельного равновесия надо рекомендовать для прак-
тического применения; но отсюда, конечно, отнюдь не сле-
дуем, что он вообще вытеснит другие методы: ведь многие
вопросы по способу предельного равновесия и не могут быть
разрешены. Л
Под исчерпанием несущей способности мы будем пони-
мать не только обрушение, но и возникновение больших
остаточных деформаций, вызывающих значительное провисание
конструкций. Поясним это примерами.
Много лет назад нам пришлось испытать прочность кирпич-
ных перемычек в стене строящегося здания, в том числе пере-
мычки над проемом, расположенным вблизи угла здания. При
некоторой нагрузке обнаружились первые трещины в кладке, но
после этого нагрузку удалось повысить примерно еще вдвое.
Нагружение велось гидравлическим домкратом. С достижением
максимальной нагрузки давление падало, трещины раскрыва-
лись и угловой участок стены постепенно опрокидывался при
уменьшающейся нагрузке. Если бы загружение производилось
не гидравлическим домкратом, а каким-либо тяжелым материа-
лом, то при максимальной достигнутой нагрузке произошло бы
обрушение конструкции. Прогиб перемычки при максималь-
ной нагрузке не превышал Viooo пролета в свету. И до тех
пор, пока нагрузка не стала падать, не обнаруживалось ка-
ких-либо явлений, которые позволили бы утверждать, что
конструкция уже не выполняет своего назначения. Поэтому
пределом несущей способности перемычки следует счи-
тать максимальную нагрузку, которую конструкция выдер-
жала.
Железобетонная квадратная плитка, опертая по контуру,
была испытана в лаборатории ЦНИПС. Вплоть до некоторой
нагрузки Р плита давала небольшие прогибы. Полный прогиб
при нагрузке Р составлял 1/2600 от пролета плиты. Чтобы
увеличить прогиб плиты вдвое, оказалось достаточным под-
нять нагрузку всего на 7,5%. При нагрузке 1,5Р прогиб со-
ставлял уже Vwo пролета, а непосредственно перед полным
разрушением плиты, т. е. при нагрузке 2,07Р, прогиб достиг
1/43 пролета. Как видно из этих данных, нагрузка Р харак-
теризует переломный момент в работе плиты. Еще задолго
до полного разрушения плиты ее прогибы достигали совер-
шенно неприемлемых размеров. Хотя от нагрузки Р до пол-
ного разрушения еще далеко, естественно принять нагрузку/-1
за предел несущей способности плиты.
5
Состояния, которые мы приняли за исчерпание несущей *
способности для двух рассмотренных примеров конструкций,
существенно различны. Исчерпание несущей способности кир-'
пичной перемычки имело бы значительно более тяжелые по-
следствия, чем исчерпание несущей способности железобе-
тонной плиты. С этим следует считаться, но это—уже задача
нормирования, которая может быть решена соответствующим
выбором коэфициентов запаса. Задача расчета — оценить ус-
ловия, при которых несущая способность конструкции может
быть исчерпана. Условия эти определяются свойствами при-
меняемых материалов, воздействиями, которым конструк-
ция подвергается, системой конструкции и ее размерами.
За время службы свойства материала и даже геометри-
ческие характеристики элементов и деталей конструкции мо-
гут изменяться под влиянием разнообразных внешних воз-
действий или внутренних причин.
Как на примеры внешних воздействий, вызывающих упо-
мянутые изменения, можно указать на химически агрессив-
ную среду, высокую температуру, замораживание и оттаива-
ние, истирание, действие напряжений, превышающих длитель-
ное сопротивление материала, многократные колебания напря-
жений достаточной амплитуды, подготовляющие усталостное
разрушение, и т. п.
К числу изменения свойства материалов, вызванных внут-
ренними причинами, относится, например, твердение бетона.
Иногда для выяснения условий исчерпания несущей спо-
собности необходимо проследить последовательность сменя-
ющихся воздействий и наложение их влияния друг на друга.
Так, например, на несущую способность массивных бе-
тонных конструкций могут влиять трещины, возникающие
в первые дни после укладки бетона. Накопление и рассеяние
тепла, выделяемого твердеющим цементом, создает в массиве
переменное по времени температурное поле. Упругость и пол-
зучесть бетона зависят от этого температурного поля и вместе
с ним, а также с объемными деформациями, сопровождающие
ми твердение бетона, определяют поле напряжений. Прочность
бетона также зависит от температурного поля и существенно
меняется во времени. Поэтому сравнение действующих на-
пряжений с пределом прочности требует рассмотрения про-
цессов, происходящих в массиве. Подобного рода анализ
достаточно сложен.
В большинстве случаев практики задачу удается суще-
ственно упростить, в особенности, когда основным воздей-
ствием является нагрузка.
В дальнейшем не рассматриваются вопросы усталости,
длительного сопротивления и динамических воздействий. Пред-
полагается, что свойства материалов и геометрические ха-
рактеристики элементов, отвечающие моменту приложения
6
рассматриваемой нагрузки, могут быть так или иначе оценены
заранее. Таким образом, вопрос сводится к изучению условий
исчерпания несущей способности конструкции при ее по-
следней загрузке.
Хотя нагрузка и рассматривается как основное воздейст-
вие, нельзя в общем случае забывать и о других факторах,
как, например, о влиянии смещений опор, температурных
деформаций или остаточных деформаций, вызванных пред-
шествующими нагрузками или другими причинами. При из-
вестных условиях эти факторы и вызванные ими внутренние
напряжения могут вовсе не влиять на несущую способность;
в других случаях они влияют на нее лишь в определенных
ограниченных пределах или, наконец, могут оказывать и весь-
ма существенное влияние. Метод предельного равновесия
непосредственно не учитывает внутренних напряжений, одна-
ко позволяет установить, в какой мере несущая способность
от них зависит.
В главе I книги дан краткий исторический обзор, из ко-
торого читатель увидит, что расчет несущей способности
конструкций разрабатывался издавна, однако, на протяжении
19-го века он был почти оставлен и его место занял расчет
упругих систем по допускаемым напряжениям. Почему это про-
изошло? С одной стороны, свойства материалов к началу прош-
лого столетия были еще недостаточно изучены и осознаны;
откуда возникали трудности в обосновании метода. С другой
стороны, смутно ощущалась необходимость считаться и с
другими опасными или нежелательными состояниями конструк-
ций кроме их разрушения. Расчет упругих систем по допус-
каемым напряжениям позволял так или иначе удовлетворить
этой потребности, обладая к тому же кажущейся универсаль-
ностью. Он был по своему времени прогрессивным и содей-
ствовал развитию техники. Поскольку, однако, несущая
способность конструкций оценивалась им лишь косвенно, а рас-
смотрение только упругого состояния приводило иногда к не-
верным выводам (например, в отношении несущей способности
заклепочных соединений), расчет по допускаемым напряжениям
стал на определенном этапе развития помехой на пути к даль-
нейшему прогрессу. Возникла необходимость в его замене.
Построенце расчета конструкций на новой основе стало
возможным в результате более глубокого изучения свойств
материалов. Большое значение имело исследование пластич-
ности металлов. Ввиду этого в главе II приведены некоторые
данные о пластических свойствах металлов и о теории пластич-
ности, особенно успешно развивающейся в последние десяти-
летия. В главе III рассмотрены некоторые вопросы расчета
стальных конструкций с учетом пластических деформаций,
-стоящие примерно в такой же связи с теорией пластичности,
как строительная механика упругих стержневых систем с тео-
7
рией упругости. Мы посвятили главу IV некоторым данным о де-
формациях и прочности бетона, а также (но в меньшей мере)
каменных материалов и кладки.
Недостатки теории упругого тела, пользовавшейся допус-
каемыми напряжениями, стали наиболее очевидны и стесни-
тельны прежде всего для железобетонных конструкции.
Естественно, что отказ от расчета по допускаемым напряже-
ниям и разработка расчета конструкций по предельным состоя-
ниям осуществляются именно в нашей стране, где требования
практики гигантского строительства сталинских пятилеток
остро ставили задачу наиболее целесообразного использования
материалов и экономии труда, и где люди науки вооружены
самым передовым мировозрением — диалектическим материа-
лизмом. Еще в 30-х годах был разработан и практически
освоен расчет сечений железобетонных элементов по стадии
разрушения. Некоторые краткие итоги этой работы подведены
в главе V нашей книги.
На основе всего предыдущего материала в главе VI, яв-
ляющейся центральной по своему значению в первом вы-
пуске книги, выясняются предпосылки и основное содержание
метода предельного равновесия в его современной форме.
Этот метод не тождественен методу предельного равно-
весия, применявшемуся 100 и более лет назад. Различие не
только в объектах расчета, из которых в этой работе в связи
с кругом интересов автора на первое место выдвинут железо-
бетон, 100 лет назад еще не существовавший. Основное ра-
зличие мы видим в попытке более строгого обоснования метода,
более тщательного отбора задач, решаемых с его помощью.
В главе VII и последней первого выпуска даны
простые, но довольно разнообразные применения метода пре-
дельного равновесия к расчету некоторых конструкций, кото-
рые могут служить иллюстрацией к общим положениям
шестой главы.
Второй выпуск' книги будет целиком посвящен железо-
бетону. Здесь рассматривается расчет стержневых конструк-
ций, плоских плит, безбалочных покрытий, плит, снабженных
ребрами, некоторых типов фундаментов и других конструкций.
Наряду с приложениями расчетов по методу предельного
равновесия много внимания уделено экспериментам над же-
лезобетенными конструкциями, значительная часть которых вы-
полнена в лаборатории железобетонных конструкций ЦНИПС
под руководством автора. Сопоставление опытных данных
с результатами расчета оказывается для метода предельного
равновесия весьма обнадеживающим. Однако автор старался
не скрывать и трудностей, отмечая еще недоработанные или
не вполне ясные вопросы.
ГЛАВА I
ИЗ ИСТОРИИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
1. До создания строительной механики
В ту эпоху, когда строитель не обладал еще ни теорией
расчета сооружений, ни данными лабораторных испытаний ма-
териалов и конструкций, его единственным руководителем
мог быть только непосредственный практический опыт.
Изучение существующих сооружений, хорошо выполняв-
ших свое назначение, позволяло устанавливать правила проек-
тирования, которыми широко пользовались для новых построек.
Но если перед зодчим ставились задачи, требовавшие созда-
ния новых конструктивных форм или возведения сооружений
дотоле небывалого масштаба или применения еще не прове-
ренных материалов, он зачастую шел на риск—риск ката-
строфы. И, несомненно, разрушения сооружений были луч-
шими, хотя и жестокими учителями строителей далекого,
прошлого.
Знакомясь с сооружениями, простоявшими уже века, мы
нередко изумляемся целесообразности их конструкции. На
первый взгляд непонятно, как мог зодчий, не обладая зна-
ниями, которыми мы теперь вооружены, прийти к этим пора-
зительным решениям.
Но не надо забывать о том, что неудачно задуманные
или плохо выполненные сооружения нередко разрушались уже
при возведении их или после кратковременной службы; поэто-
му до нас дошли лишь наиболее надежные сооружения.
Проектирование без расчета, по существующим образцам,
продолжалось и тогда, когда кое-что в строительной меха-
нике было уже сделано. Так, например, над методами рас-
чета свода начали работать с конца XVII в.1; крупный мосто-
строитель XVIII в. Перронэ пользовался расчетом свода по Де-
1 По истории расчета свода, кроме работ, упомянутых ниже, мы вос-
пользовались статьей проф. Бернштейна [8], а также неопубликованной
рукописью того же автора, которую он любезно предоставил в наше рас-
поряжение.
3‘
.лагиру, однако он же разработал для проектирования каменных
мостов практические правила, которые не только пережили
теорию Делагира, но приводятся иногда и в современных
руководствах.
В XVIII в. многие строители отрицали какую-либо пользу
расчета конструкций.
Даже Навье в предисловии к своему курсу, изданному
в 1826 г. [99], доказывая, насколько расчеты конструкций необ-
ходимы инженеру, признавал, что они „до сих пор принесли
больше пользы прогрессу математики, чем усовершенствова-
нию строительного искусства".
Но обратимся и к самим старым работам по строительной
механике. Мы тотчас увидим, что эта наука с самого момента
ее зарождения занималась расчетом несущей способности
конструкций, и хотя в дальнейшем другие вопросы выступили
на первый план, все же проблема несущей способности по
существу никогда не уходила целиком из ее поля зрения.
В рамках этой главы было бы, конечно, неуместно задер-
живаться долго на работах, представляющих лишь историче-
ский интерес.
Ограничимся поэтому, главным образом, упоминанием о
немногих трудах, в которых были даны идеи и методы, наи-
более близкие к развиваемым в этой книге.
2. От Галилея до Кулона
Работой, в которой были заложены первые основы строи-
тельной механики, считаются галилеевы „Беседы и математи-
ческие доказательства, касающиеся двух новых отраслей
науки, относящихся к механике и местному движению" [18],
изданные в 1638 г. Одна из этих наук, как сказано в преди-
словии, „касается сопротивления, оказываемого твердыми
телами силе, стремящейся их сломить"; это — сопротивление
материалов, или строительная механика.
Основная задача строительной механики, которую решает
Галилей, состоит в определении нагрузки, разрушающей брус
при изгибе.
Галилей считает сопротивление того же бруса растяже-
нию известным и пропорциональным площади его попереч-
ного сечения. Переходя к изгибу, Галилей пишет: „нетрудно
будет понять причину того, что твердые цилиндры или
призмы из стекла, стали, дерева или иного ломкого мате-
риала, будучи подвешены вертикально1 2, выдерживают весьма
большой груз, в то время как при горизонтальном положении3
они могут быть сломаны малым грузом и тем меньшим, чем
1 Т. е. при растяжении.
2 Т. е. при изгибе.
10
<юлее длина цилиндра или призмы превосходит их толщину.
Представим себе призму ABCD, вделанную в стену своей
частью АВ, на другой конец которой действует сила груза Е.
"Ясно, что если призма должна сломаться, то это произойдет
в В, где граница стены служит точкой опоры, а ВС пред-
ставляет одну часть рычага, на которую действует сила; тол-
щина тела ВА ес.чъ другая часть рычага, на которую действует
сопротивление, обусловливаемое сцеплением частиц тела BD
с теми частицами его, которые находятся в стене". И даль-
ше: „поэтому абсолютное сопротивление призмы BD разрыву
(под каковым мы подразумеваем сопротивление действию
силы в продольном направлении, при котором растягивающая
Рис. 1
сила и сопротивление равны ме-
жду собой) так относится к со-
противлению разрыву посред-
ством рычага ВС, как длина ВС
к половине толщины призмы АВ
или к радиусу основания, если
взят цилиндр".
Иллюстрацией к это-
му тексту служит живо-
писный рисунок 1,а.
Поясним зти рассуждения. Во-первых, Галилей намечает
без доказательства место и схему разрушения: брус ломается
в сечении АВ, в месте заделки в стену, при этом он вра-
щается вокруг нижней грани сечения В (рис. 1,6). Такая
картина разрушения для материалов, значительно лучше
сопротивляющихся сжатию, чем растяжению (камень, стекло),
достаточно близка к действительности. Так как при этом
в конечном счете разрывается все сечение, Галилей прини-
мает, что оно сопротивляется так же, как при чистом растя-
жении, т. е. что в нем возникает осевая растягивающая сила.
Если временное сопротивление растяжению обозначить
через Rp, а площадь сечения через F, то растягивающая си-
да равна Np—RpF n уравнение моментов относительно точки В
запишется так:
И
откуда и получается предлагаемая Галилеем пропорция,*
h
Е 2
Np I ‘
Если обозначить Е1=МР, где Мр— разрушающий момент»,
то RPF~ = Мр или
р — Мр -
кр~ н ’
F 2
а при прямоугольном сечении:
2
Рассуждение Галилея, конечно, небезупречно; мы, однако»
не станем обвинять его в том, что он ошибся в 3 раза
в величине момента сопротивления: к моменту разрушения
в изгибаемых балках эпюры напряжений в зависимости от
свойств материалов могут иметь различный вид. Для многих
материалов эпюры эти еще до сих пор недостаточно изучены.
Напомним в качестве примера, что временное сопротивление
бетона растяжению нередко определяется теперь из испыта-
ний прямоугольных сечений на изгиб по формуле:
RP = -Л'—= 3,6 Ж
18 bh
Галилей получил во всяком случае формулу, позволившую
ему сделать ряд верных и глубоких выводов. Он сравнил
сопротивление доски, положенной плашмя и поставленной на
ребро, дал сравнительную оценку влияния нагрузки, сосредо-
точенной на конце балки, и ее равномерно распределенного-
собственного веса, сравнил прочность балки, заделанной
одним концом, и балки, опертой по обоим концам, показал,
что при подобном изменении размеров балки моменты от
собственного веса растут значительно быстрее, чем проч-
ность, откуда он делает практические выводы относительно
машин и сооружений, а также утверждает, что „природа не
могла бы создать лошадь ростом в 20 лошадей иначе, как
изменив в достаточной мере пропорцию ее членов, в особен-
ности костей1'.
Наконец, Галилей вводит понятие бруса равного сопро-
тивления и указывает на экономию веса, получаемую при
его применении, особенно выигрышную в судостроении,
12
Сравнивая прочность балки, опертой по концам, с балкой,
опертой по середине, Галилей дает в качестве иллюстрации
рис. 2, достаточно образно поясняющий подход этого уче-
ного к проблеме изгиба.
Из всего сказанного мы иожем сделать такие выводы:
1. Галилей занимался несущей способностью балок при
изгибе. Он ограничился статически определимыми балками.
2. Место и схему разрушения он намечал без расчетов,
на основании интуиции.
3. Сопротивление се-
чений излому он опреде-
лял, исходя из допуще-
ния, что в балке возни-
кает такая же осевая
растягивающая сила, как
при разрыве.
4. Связь между раз-
рушающими внешними Рис. 2
силами, размерамии проч-
ностью балок он устанавливал из уравнений статики.
Выражаясь современным языком, мы скажем, что Гали-
лей составлял уравнение моментов относительно сжатой
грани сечения. Он, вероятно, и не думал о сжимающих силах,
которые должны возникнуть в сечении при изгибе, однако,
в его выкладках и рассуждениях ничего бы не изменилось,
если бы сжимающее усилие принималось во внимание, но
считалось бы сосредоточенным у края сечения.
После Галилея вопросом прочности изгибаемых элемен-
тов занимался ряд ученых XVII и XVIII вв.
Когда уже был известен закон Гука, Мариотт (1680 г.)
производил опыты над разрушением брусьев при растяжении
и изгибе. Он нашел, что теория Галилея дает преувеличенное
сопротивление изгибу.
Сохраняя предположение Галилея о том, что излом прои-
сходит в месте заделки и что балка вращается вокруг ниж-
него края опорного сечения, он принял растягивающие напря-
жения в опасном сечении не равномерными, а возрастающими
ропорционально расстоянию от нижнего края (т. е. пропор-
ц-юнально перемещениям, отвечающим принятой кинемати-
ческой схеме).
На существование нейтрального слоя и условие для его
.нахождения (равенство нулю суммы проекций всех сил на
продольную ось бруса) указали Паран и Билфингер.
В XVIII в. разрабатываются теория деформаций, теория
колебаний, а также теория упругой устойчивости (тео-
рия Эйлера, 1744 г.). Предлагаются первые теории расчета
свода.
I
13
В большинстве случаев свод рассматривается как система
жестких весомых клиньев, опирающихся друг на друга без.
трения и сцепления. Эти теории дали кое-что для выбора
рационального очертания сводов, но не позволяли проверять
прочность существующих или запроектированных конструк-
ций.
Способы расчета, которые так или иначе подходили
к решению этой задачи, были еще очень несовершенны.
Мы не станем останавливаться на них и перейдем к ра-
боте Кулона, с которой нам необходимо ознакомиться не-
сколько подробнее.
3. Кулон н Паукер
В 1773 г. Кулон представил мемуар [94] под заглавием
„Опыт применения правил максимума и минимума к некото-
рым вопросам статики, относящимся к архитектуре".
В нем излагаются: 1) теория прочности материалов,
2) теория изгиба балок, 3) теория давления земли на под-
порные стены, 4) теория расчета свода. Кулон, как правило,
учитывает одновременно силы трения и сцепление. Силу
трения Кулон принимает пропорциональной нормальному
давлению, однако оговаривается, что „в больших массах тре-
ние не соответствует точно этому закону". Под сцеплением
он понимает „сопротивление твердых тел прямому разъеди-
нению их частей" и считает для однородных тел полную
силу сцепления пропорциональной площади, по которой
происходит разрушение.
Кулон испытывал образцы из камня и из известкового
раствора в возрасте двух лет. Восьмеркообразные образцы
испытывались на растяжение, призматические — на срез и на
изгиб. Для пределов прочности при растяжении и срезе
Кулон получил близкие друг другу значения и практически
принял эти сопротивления одинаковыми.
Сопротивление сжатию для камней и кладки Кулон выво-
дит из сцепления и сил трения.
В столбе, нагруженном сжимающей его осевой силой Р,
Кулон проводит наклонный разрез, образующий угол а
с нормальным сечением. Составляющая нагрузки, параллель-
ная разрезу, т. е. Psina, стремится заставить верхнюю часть
столба скользить по наклонной плоскости. Этому сопротив-
ляются касательные силы сцепления и силы трения.
При равновесии сумма сил, сопротивляющихся скольже-
нию, равна силе, стремящейся его вызвать. „Трение и сцепле-
ние,— говорит Кулон, — не суть активные силы, как тяжесть,
которая всегда проявляет свой эффект целиком. Это силы
коэрцитивные; их оценивают пределом их сопротивле-
ния".
14
Предельная величина напряжения сцепления по Кулону
: jBHa пределу прочности при растяжении, т. е. T—Rp.
Предельная величина силы сцепления в косом сечении есть
COS а ’
где F—площадь поперечного сечения столба.
Предельная величина силы трения:
Pcosa/,
где f—коэфициент трения1.
Предельная величина сопротивления скольжению равна
[ме этих двух сил, т. е.:
R„F . г, г
—+ Р COS а/.
COS а
Если в каком-либо сечении сопротивление достигает пре-
дельной величины, то
Psin а= Pcosa/,
откуда
Р=---------. (1 1)
COS a (sin a — /cos a) ’ '
Чтобы столб мог нести нагрузку, ни в одном его сечении
составляющая внешней силы, параллельная этому сечению,
е должна быть в состоянии вызвать скольжение.
Поэтому для определения несущей способности столба
надо среди всех сечений найти то, которое дает минимум
лы, или, что то же, максимум выражения:
cos a (sin a — /cos a).
Из этого условия легко определяется тангенс угла на-
клона опасного сечения:
tg a = — 1 ----. (1,2)
Из (1,1) и (1,2) можно получить и несущую способность
столба Р. Кулон показывает, что при /—0 сила Р=2РрР, т. е.
сего вдвое больше разрывающего усилия. Приняв /=-^- , он
толучает несущую способность столба на сжатие, равной
учетверенному разрывающему усилию.
За отсутствием собственных опытов со сжатыми элемен-
тами Кулон вынужден для сравнения воспользоваться дан-
ными Мушенбрека, в которых он находит некоторое подтвер-
ждение своим теоретическим расчетам.
1 Мы не сохранили обозначений Кулона.
15
Итледуя изгиб, Кулон, видимо, не зная работ Парана
и Билфингера, заново выводит положение нейтральной оси
«из условия равенства нулю суммы проекций сил на продоль-
ную ось бруса. На его рисунке изображены выпуклые криво-
линейные эпюры напряжений в растянутой и сжатой зонах.
Для случая упругого материала (Кулон приводит как пример
дерево) он принимает прямолинейную эпюру напряжений и
получает соотношение:
.. btf
М=—к—а.
ь
Дальше для жестких тел разбирается решение Галилея.
Сравнение с проведенными Кулоном опытами над изгибом
каменных балок показывает, что у Галилея сопротивление
изгибу преувеличено. Отсюда Кулон делает вывод: „либо
нельзя считать волокна камня жесткими1, либо нельзя при-
нимать, что вращение происходило точно вокруг низа сече-
ния. Это легко было бы предвидеть, так как тогда сила
давления на сжатом краю была бы конечна", т. е. конечное
усилие приходилось бы на бесконечно малую площадь. Кулон
указывает, что величина сжатой зоны должна быть во всяком
случае такова, чтобы она могла воспринять приходящуюся
на нее сжимающую силу. Этот вопрос он предлагает решить
при помощи своей теории прочности при сжатии, однако
не дает никаких окончательных предложений для расчета
несущей способности изгибаемых элементов.
Далее Кулон переходит к задаче о давлении -земли. Как
известно, в расчетной практике давление сыпучих тел на
подпорные стенки еще и в наши дни производится по ме-
тоду, которому положил начало Кулон. В теоретической
части он учитывает и трение, и сцепление грунта, но в при-
мерах полагает сцепление равным нулю. Как он сам указы-
вает, в этой задаче применен тот же метод, что и в теории
прочности. Ищется поверхность, по которой сползающая
часть грунта отделяется от остальной непо шижной массы.
Поверхность эта должна обладать тем свойством, что реак-
ция подпорной стенки, необходимая для поддержания спол-
зающей части в равновесии, является максимальной. Наобо-
рот, в случае отпора грунта, когда давление подпорной
стенки на грунт становится активной силой, по поверхности
раздела грунта должно создаваться минимальное сопротивле-
ние этой силе. Кулон определенно указывает, что линия
обрушения может быть кривой, „но так как опыт дает при-
мерно прямую линию", считает достаточным разыскать линию
обрушения среди всевозможных прямых. Кулон рассматри-
1 Во времена Кулона было не легко с необходимой точностью измерять
деформацию камней. Поэтому нас не должно удивлять, что Кулон только
сомневается в совершенной жесткости этого материала.
16
~ает только стенки с прямолинейной задней гранью и гори-
зонтальную поверхность грунта1. Сечение призмы обрушения
представляет поэтому треугольник.
Давление грунта на стенку определяется из условий
гтатики, если задана линия обрушения. Давление это
должно уравновешиваться с весом призмы обрушения, а так-
Ае с силами сцепления и силами трения на поверхности
раздела. Направление сил трения определяется направлением
движения. Разыскание линии обрушения из условий экстре-
мума Кулон производит аналитически.
В этой задаче, как и в теории прочности, Кулон разыски-
вает схему разрушения и определяет разрушающую силу
(реакцию стенки) из условий статики.
Это, как мы уже видели, делалось уже многими авто-
рами, начиная с Галилея.
Существенно ново в работе Кулона то, что схему раз-
рушения он не назначает произвольно, и выбирает из извест-
ного класса возможных схем (практически из числа таких,
которых отделение частей тела или земляной массы прои-
сходит путем скольжения по некоторой плоскости) ту схему,
которая наиболее опасна.
В этом Кулон делает существенный шаг вперед. Но как
раз в задаче о давлении земли в рассуждениях Кулона нель-
зя не отметить некоторой непоследовательности. Прежде
всего он ищет экстремум горизонтальной составляю-
щей давления земли. Казалось бы это соответствует наи-
более легкому скольжению стенки. Но Кулон считается
ve с опасностью скольжения, а с опасностью опрокиды-
вания стенки.
Для этого случая схему разрушения логически следовало
бы определить из условия экстремума опрокидывающего
момента, создаваемого давлением земли.
Небезупречно также рассуждение, из которого Кулон
оеделяет положение равнодействующей давлений на стенку.
Это рассуждение до сих пор приводится в учебниках строи-
тельной механики. Действительно, если образуется одна
л ния скольжения, как полагает Кулон, то она располагается
б о по Ва, если опрокидывается часть стенки, лежащая
1 дне В, либо по В'а', если опрокидывается вся часть стенки
де В' (рис. 3).
В последнем случае нельзя заранее утверждать, будто
ение на СВ остается таким же, как если бы скольжение
грунта происходило по Ва, а следовательно, положение,
' дто разность давлений, подсчитанных для СВ' и для СВ,
есть давление на ВВ', — недостаточно обосновано.
1 Кулон дает указание, как учесть влияние нагрузки, расположенной
а - жерхности грунта.
i А- А. Гвозде л * If
1
Г одном из параграфов своего мемуара, говоря о давле-
нии жидкостей, обладающих трением и сцеплением, на стенки
заключающих их сосудов, Кулон пытается решить задачу,
приняв линию скольжения криволинейной. При этом он прогз-
вольно предполагает, что сползающая часть жидкости разде-
ляется на вертикальные слои. Пытаясь освободиться от
одного допущения (прямая линия скольжения), он вводит
вместо него другое, отнюдь не лучшее.
Последний вопрос, разобранный в работе Кулона, — это
расчет свода. Для нас он представляет, пожалуй, наибольший
интерес, так как здесь речь идет о несущей способности
статически неопределимой си-
стемы. К сожалению, отведя . у,.
е
в'
Рис. 4
довольно много места цилиндрическим сводам, в швах кото-
рых нет ни сцепления, ни трения, т. е. задаче, имеющей
только косвенное отношение к методу предельного равно-
весия, Кулон уделил равновесию сводов при наличии трения
и сцепления в швах всего 5 страниц.
Он ставит следующую проблему: „Внутреннее и наружное
очертание свода даны, швы перпендикулярны внутренней кри-
вой. Ищутся пределы величины распора, способного поддер-
жать свод, в предположении, что последний нагружен соб-
ственным весом и сдерживаем трением и сцеплением в швах“.
Кулон молчаливо предполагает, что свод симметричен,
а так как нагрузкой в поставленной им задаче служит лишь
собственный вес, то и нагрузка оказывается симметричной.
Это позволяет рассматривать только половину свода и счи-
тать, что сила взаимодействия между его половинками сво-
дится к горизонтальному распору, приложенному к какой-
либо точке шва h (рис. 4).
Кулон рассматривает равновесие части свода GaMtn между
плоскостью симметрии свода Оа и одним из швов Мт. Эта
часть конструкции могла бы, во-первых, скользить по шву
Мт вниз или вверх.
18
Пусть происходит скольжение вниз. Н? рассматриваемую
часть свода действуют:
1) ее вес Р;
2) распор И;
3) сила сцепления в шве, равная TF, тде Т—сопротивле-
вие срезу и А — площадь сечения;
' 4) нормальная сила N в шве Мт\
5) сила трения в шве, равная /7V, где f — коэфцциент
трения.
Из суммы проекций сил на нормаль к шву
Н cos « -j- Р sin а = N.
Из суммы проекций на направление шва
Pcos а— /Уsin к — Nf— TF— О,
©тнуда
г, Р (cos а—/sin о) — ТР .
Sin а/COS а ' ( И/
Такое же условие можно составить для любого из швов;
поэтому Н в формуле (1,3) можно рассматривать как функ-
цию шва или угла а.
Если распор больше величины, определяемой формулой
(1,3) для какого-либо шва, то скольжения вниз в этом шве
не произойдет. Чтобы ни в одном из швов не было сколь-
жения вниз, распор должен быть больше максимального из
значений Н, определяемых из формулы (1,3).
Обозначим эту величину Нг.
Аналогично для скольжения части свода вверх получается
величина распора:
Р (cos а 4-/sin а) 4-ГР
sin а — / COS а V > /
Минимальное из значений распора, определяемых этой
формулой, обозначим через //2. Чтобы ни в одном шве не
происходило скольжение вверх, распор должен быть мень-
ше Л/2.
Итак,
Если бы оказалось, что Н2, равновесие свода было
бы невозможно.
Помимо скольжения по шву Мт, часть свода GaMm
могла бы опрокидываться с раскрытием шва Мт сверху или
снизу. Чтобы этого не произошло, равнодействующая левых
сил должна проходить не ниже М, но и не выше т.
Следовательно: 4>-
„ Рх— flR-bh* ..
~ (1,й)
2* Д 19
и аналогично:
/х
jy Рху ^Rpbh*-
У1
(1,6)
где 6 — некоторая положительная дробь1.
Наибольшее для всех швов значение 7/, Определяемое
из (1,5), назовем Я3, а наименьшее значение И из (1,6) назо-
вем Я4. Очевидно, распор должен удовлетворять условию:
Я3<Я<Я4.
Если H3>HV то свод не может находиться в равно-
весии.
Соединение обеих поверок приводит к следующим Гра-
ницам распора:
[большее из Нг и Я3]<Я<[меньшего из Н2 и A7J.
Для практических целей, по мнению Кулона, во многих
случаях можно не делать поверки на скольжение и прене-
брегать сцеплением; что касается точки приложения распора,
то практически Кулон рекомендует принимать его приложен-
ным в G, т. е. вверху замкового сечения.
Далее Кулон делает очень важное замечание: „если
состояние равновесия определяют из этого условия, пред-
полагая, что силы проходят через G и М, надо считать эти
точки достаточно удаленными от краев шва, чтобы не прои-
сходило раздавливание углов2. Это можно сделать по спо-
собу, примененному для определения прочности столба“.
Замечание это требует, может быть, некоторых поясне-
ний. Пренебрегая сцеплением в швах, мы получаем в них
только сжимающие напряжения.
Если при этом равнодействующая проходила бы через
край сечения, то напряжения на этом краю теоретически бы-
ли бы бесконечны.
Поэтому при отсутствии сцепления кривая давления
должна во всяком случае проходить на некотором расстоя-
нии от края, достаточном для того, чтобй не произошло
раздавливания углов.
Кулон не дает более подробных указаний по этому воп-
росу, но допустим, что мы могли бы при данном положении
сжимающей силы в сечении определить, эпюру напряжений
в шве (рис. 5).
Тогда можно было бы проверить, не отколется ли угол
АС, пользуясь для этого способом, указанным Кулоном для
1 Если бы Кулон считал формулу Галилея правильной, он мог бы при-
мять 6 = -g-. Но, как мы видели, опыт убедил его, что этот коэфициент
велик. Однако Кулон не дает и определенных предложений для величины
коэфициента 0.
2 Мы сказали бы теперь — кривая давления проходит через G и ЛИ,
20
столбов. Такую же проверку можно сделать для другой лю-
бой части сечения АС', однако практически дело свелось бы
к сравнению наибольшего напряжения в сечении с пределом
прочности на сжатие.
_ Минимальное расстояние кривой давления от края сечё-
иия следовало бы поэтому определять так, чтобы предел
прочности на сжатие на краю не был бы превзойден.
В заключение Кулон указывает, что, определив пределы
для распора, надо проверить, пройдет ли опорное давление
в пределах основания, т. е. между Е и е (рис. 4).
Итак, единственный произвол,
который Кулон счел возможным до- _
пустить, это — положение распора (
вверху замкового сечения, что со- |
ответствует раскрытию этого шва \
внизу. Остальные швы, где могло (
бы произойти опрокидывание или |
скольжение, определятся сами со- /
бой при разыскании экстремума |
распора. Очевидно, швом излома (или ( , „
скольжения) и будет тот, который
дает наименьшее (или наибольшее) Р'1С- 5
значение распора. Если принять во
внимание и условие прочности, на которое Кулон указывает
в своем замечании, условия, определяющие возможные гра-
ницы распора, оказываются достаточно полными.
Попробуем теперь выяснить, позволяет ли способ Кулона
проверять несущую способность свода. То обстоятельство,
что он говорит лишь о собственном весе клиньев, не сущест-
венно. К весу каждого клина можно добавить полезную
нагрузку, которая на него передается. Условие симметрии
уже более существенно. Для несимметричных нагрузок метод
Кулона требовал бы обобщения, но это особый вопрос.
Можно ли по способу Кулона проверить несущую спо-
собность симметричного свода при любой симметричны!
шгрузке? Предположим, что путем предварительных подсче-
тов найдены точки, за которые не должна выходить кривая
давления по условиям прочности. Пусть этими точками замс-
1ены края сечений М и т. Производя теперь проверки га
скольжение и опрокидывание, найдем минимальное и макси-
мальное значения распора. Если бы оказалось, что
свод, очевидно, не мог бы нести данной нагрузки ни при
каком значении распора. Но если окажется, что ДтоХД™,
а следовательно, существуют такие значения распора, при
юторых не будет ни скольжения, ни опрокидывания, а также
ее будут нарушены условия прочности, то все же остается
открытым вопрос, будет ли в действительности распор
оежать между допустимыми пределами. Иными словами, дл i
21
того чтобы свод мог нести данную нагрузку, условия Кулона
необходимы, однако достаточность этих условий
Кулоном не была доказана.
В более поздних работах, посвященных расчету свода
по способу предельного равновесия, мы найдем еще несколько
мыслей и методов, представляющих для нас интерес. Как
указывает Паукер в статье, о которой мы еще будем гово-
рить подробнее, Одуа, популяризовавший метод Кулона, ввел
следующий любопытный критерий устойчивости. Опредетяя
по Кулону для существующих сводов наибольшее и наимень-
шее возможное значения распора, он вычислял их отношение,
т. е. откуда вывел правило, что это отношение не должно
быть меньше 1,9—2,0. Одуа и другие современные ему авторы
обычно не учитывали замечания Кулона об условии проч-
ности, но принимали рекомендованные им упрощения, а именно:
прикладывали распор вверху замкового сечения, не делали
проверки на скольжение и пренебрегали сцеплением. Если
при этом получилось бы, что Hs = Ht, т. е. что свод нахо-
дится в состоянии мгновенного равновесия, то нетрудно найти
и схему разрушения свода. Как уже упоминалось, приложив
распор вверху среднего сечения, тем самым в сущности
допускали, что здесь шов раскрывается снизу. Кроме того,
для каждой половины свода имеется еще по одному шву, где
Iаскрытие происходит снизу (из условия опрокидывания
в этом шве величина распора определяется как максималь-
ная), и по одному шву, где раскрытие происходит сверху
(из условия опрокидывания в этом шве величина распора
определяется как минимально возможная). В результате свод
(рис. 6,а) разламывается на 4 части. Рассматривая ребра кам-
ней, вокруг которых происходит опрокидывание, как шар-
ниры, мы получим изменяемую систему. На первый взгляд
может казаться, что свод должен стать изменяемым уже при
раскрытии четырех швов. Однако в этой задаче надо считать
шарниры допускающими вращение лишь в одну сторону, т.е.
так, чтобы происходило раскрытие шва. При обратном направ-
лении вращения шов закрывается и шарнир исчезает. Если бы
мы устранили один шарнир, например, средний, то получи-
лась бы четырехшарнирная арка (рис. 6, б), представляющая
собой неизменяемую систему1.
В 1835 г. Понселе опубликовал статью о расчете сво-
да [101]. Эта работа немногим обогатила строительную меха-
нику. Графическое решение Понселе представляет собой
только перевод на язык геометрии выкладок Кулона. Построе-
ния довольно громоздки и не отличаются наглядностью. Если
мы все же упоминаем об этой статье, то, главным образом,
1 См., например, [63], ч. I, стр. 185.
22
потому, что Понселе учи- тывает возможность смещения точки
приложения распора из верха замкового сечения. Кроме того,
он считается и со скольжением в швах и делает попытку
перечислить возможные схемы разрушения.
Понселе занимается также учетом сцепления в швах,
причем в отличие от Кулона, который не конкретизировал
формулы для учета сцепления1, Понселе предлагает, следуя
Мариотту, считать растягивающие напряжения в шве пропор-
циональными расстоянию от края, вокруг которого происходит
опрокидывание. После Парана и Билфингера, а особенно
Кулона, работу которого Понселе не мог не знать, примене-
ние этого устаревшего приема, вовсе не учитывающего усло-
Значительно изящнее, чем у Понселе, графическое реше-
ние, которое дал в 1849 г. русский ученый, инженер Паукер,
впоследствии профессор Военно-инженерной академии [62].
В работе Паукера можно найти много общего со стать-
ей Понселе: он учитывает, что распор может быть приложен
в любой точке замкового сечения, принимает во внимание
скольжение, получая разнообразные схемы разрушения в про-
тивоположность' единственной схеме, согласно которой свод
может только разламываться на четыре части. Однако в ра-
боте Паукера высказана новая интересная идея. В отличие
от Понселе, который только пробует прикладывать распор
в разных точках, Паукер отчетливо вводит вместо одной не-
известной (распора) две. Но в качестве таких неизвестных
он принимает не распор и момент, а две горизонтальные си-
лы X и а', из которых одна приложена вверху, другая — вни-
зу замкового сечения (рис. 7). Так как в замковом сечении
не должно происходить опрокидывания, силы X и X' не могут
1 См, сноску на стр. 20.
23
быть отрицательными. Дальше Паукер составляет условия
скольжения части свода MmDB по шву Мт вниз или вверх,
а также условия опрокидывания ее вокруг точек М и /п.
Условия эти Паукер записывает в виде неравенств. Вес части
свода MmDB он обозначает через Р, а моменты этой силы
относительно М и т — теми же буквами: М и т\ угол тре-
ния в шве Мт — через а.
Остальные обозначения ясны из чертежа (рис. 7).
Условия устойчивости имеют у Паукера такой вид:
1. Средняя часть свода не скользит вниз:
Pcos?— (Х-ф-Х') sin ?<[Psin?-{-(X + y) cos <?] tga. (1,7)
2. Средняя часть свода не скользит вверх:
(X 4- У) sin ? — Pcos ? < [Р sin ® 4- (X X') cos ?] tg a. (1,8)
3. Она не опрокидывается вокруг точки М\
Х(У0-У) + У(Л-Г)<Л1. (1,9)
4. Также и вокруг точки т-.
}(го— У) + х'(Уо— У)>™. (1.Ю)
Эти четыре неравенства линейны относительно неизве-
стных сил X и X'.
Паукер изображает их графически на плоскости в прямо-
угольных координатах X и X'. Мы будем говорить о точках,
удовлетворяющих или не удовлетворяющих неравенствам
(1,7) до (1,10) в том смысле, чир этим свойством обладают
координаты этих точек. Так как X и X' не могут быть отри-
цательными, все построение разместится в первой четверти
(рис. 8).
Если в (1,7) до (1,10) знаки неравенства заменить знаком
равенства, это будут уравнения четырех прямых, показанных
на чертеже. Каждому из неравенств будут удовлетворять
точки, лежащие по одну сторону от соответствующих пря-
мых. Части плоскости, точки которых не удовлетворяют одно-
му из неравенств, будем называть недопустимыми; они за-
штрихованы на чертеже. Всем четырем неравенствам будут
удовлетворять только точки, лежащие в незаштрихованнои
области, если она существует. Если бы такой допустимой
области не оказалось, это означало бы, что мы убедились
в неустойчивости свода из рассмотрения одного только шва.
Но если существуют точки, удовлетворяющие четырем усло-
виям для одного шва, это еще мало: необходимо одновре-
менно (т. е. теми же значениями X и X') удовлетворить ана-
логичным условиям для всех швов свода.
Если, нанеся на чертеж все прямые, отвечающие усло-
виям устойчивости для всех швов свода, мы обнаружим, что
допустимая область существует, такой свод Паукер считает
.24
устойчивым (рис. 9), если же допустимой области нет, свод
неустойчив. Особый интерес представляет случай, когда до-
пустимая область стягивается в точку (рис. 10, а). В таком
смотрев, каким
эту точку, мы
условиям отвечают прямые, проходящие через
тотчас
установим схему разрушения кон-
струкции. Действительно,если
точка лежит на одной из пря-
мых, это значит, что коорди-
наты ее обращают соответст-
вующее неравенство в равен-
ство. Пусть, например, пря-
мая /—1 (рис. 10, а) отвечает
скольжению средней части
свода по шву I вниз (рис. 10,
б), прямая II—// — опрокиды-
ванию
вокруг точки II, а пря-
Рис. 10
мая III— ///—опрокидыванию вокруг точки III. Мы получаем'
тогда определенную схему разрушения.
В описанном графическом построении заключается глав-
ный интерес работы Паукера.
25-
Рис. 11
Впрочем, в работе Паукера есть еще одна новая мысль,
васлуживающая упоминания. Он предлагает способ учета ме-
таллических связей (пиронов), которые иногда устанавливались
в швах сводов (рис. 11): при проверке
на опрокидывание клиньев растягиваю-
щее усилие в пироне дает дополнитель-
ный момент относительно точки враще-
ния. Правда предельную величину растя-
гивающего усилия в пироне трудно на-
дежно определить: она равна сопротивле-
нию выдергивания стержня из кладки.
Однако при переходе от пиронов к ар-
матуре железобетонного свода предельное
усилие в арматуре зависит уже от механи-
ческих свойств примененного металла. Поэтому идею Пау-
кера легко осуществить, что мы в сущности и делаем, рас-
считывая несущую способность железобетонных конструкций.
Пользуясь построением, аналогичным построению Пауке-
ра, мы покажем теперь, что необходимое условие устойчи-
вости свода, данное Кулоном, недостаточно. Для этого мы
выберем пример, быть ложет несколько искусственный, но
26 <
простой; для нас важна прежде всего принципиальная сторо»
на вопроса.
Пусть невесомый полуциркульный двухшарнирный свод
большой толщины (рис. 12, а) нагружен снаружи равномер-
ным радиальным давлением р, кроме того, изнутри на зам-
ковый клин действует радиально направленная сила 2 И.
Благодаря большой толщине свода поверять условия оп-
рокидывания нет надобности, ограничимся одними условиями
скольжения. Примем, что свод состоит всего из пяти клинь-
ев. По симметрии свода надо будет составить всего четыре
условия скольжения.
Нагрузка р вместе с соответствующими вертикальными
опорными реакциями дает во всех швах одинаковую сжимаю-
щую силу, равную pR\ кроме того, вертикальная реакция V,
соответствующая давлению 2V на замковый клин, и рас-
пор//(рис. 12,(5) создадут в швах нормальную и сдвигающую
силы. Условия скольжения запишутся так:
1) скольжение клина / по клину // внутрь:
— //sin а—- Иcosa < J(pR— И sin аНcos а);
2) скольжение / по // наружу:
//sina-|-И cos a -^f(pR— V sin а Н cos а);
3) скольжение II по 111 внутрь:
— //cosa — V sin a -^f(pR — V COS а -\-Н sin а);
4) скольжение // по III наружу:
// cos а V sin а < f(.pR — V cos а Н sin а).
Примем:
. 1.1 3
tg а = „-, тогда sin а = • cos а = —-г__.
6 3 ’ /10 /10
Примем также _
р/?=/10тя;/=0,5.
Условия скольжения перепишутся:
1. — 1/-Я<2.
2. 7У — //<10.
3. V — 7Н< 10.
4. V+//<2.
На-плоскости с прямоугольными координатами V и Н эти
условия выделят допустимую область, показанную на чертеже
(рис. 12, в). 1
Мы можем теперь выяснить, при каких значениях V свод
еще будет устойчив.
При V —1,25/n //min ~ — 1,25т и Нтзк — 4*0,75т\ необ-
ходимое условие Кулона НкЛп <^Нтй* при этой нагрузке еще
выполняется. По Паукеру надо было бы считать, что свод при
этой нагрузке буде^ устойчив.
27
Однако легко видеть, что точка А с координатами V= 1,25/??,
//=—1,25 т изображает неустойчивое состояние. Дей-
ствительно, в А пересекаются прямые 2—2 и 3—3, иными сло-
вами, при V —1,25 т и И = —1,25 т условия 2 и 3 обращаются
в равенства, клин / может скользить по клину // наружу, а
клин // — по клину 111 внутрь.
Такое перемещение клиньев кинематически возможно
(рис. 12, г), а потому и осуществится, если при V— 1,25 га
распор, например, вследствие понижения температуры свода
или подвижки опор, примет значение—1,25 га. Итак, свод мо-
жет разрушиться, несмотря на то, что необходимое условие
устойчивости Кулона выполняется. По Паукеру мы должны
были бы считать, что свод перестает быть устойчивым лишь
при V=l,5ra, когда Нтт =.//тах =0,5га, чему отвечает точка Д
на рис. 12, в.
Итак, расчет свода, основанный на методе Кулона, может
оказаться недостаточно надежным, если условия скольжения
играют решающую роль. Это тем более верно, если в расче-
те учитывается сцепление камней с заполняющим швы рас-
твором. Легко себе представить, что при каких-нибудь обстоя-
тельствах тот или другой шов будет хоть один раз перена-
пряжен и в растворе этого шва образуется трещина от растя-
жения или сдвига. После этого шов будет уже слабее, чем
принималось в расчете, а следовательно, надежность конструкции
понизится. Здесь мы имеем дело с хрупким разрушением
раствора в шве. Как мы еще увидим в дальнейшем, опасность
хрупкого разрушения представляет собой серьезное затрудне-
ние при расчете несущей способности конструкций.
4. Задача Фурье
Вернемся теперь несколько назад ради работы, видимо,
не стоявшей в прямой связи с идеями Кулона.
Статически неопределимые задачи долгое время представ-
ляли для исследований непреодолимое затруднение. Они часто
формулировались, как проблема о телах, поддерживаемых более
чем тремя опорами. Только в 1808 г. Эйтельвейн решил за-
дачу об упругой неразрезной балке [63]. Эта работа, видимо,
не была известна Навье, который в 1825 г. опубликовал ста-
тью по тому же вопросу [100]. В заключение своей статьи
Навье указывает на пример, который ему сообщил Фурье.
Как увидим, в этом примере речь идет о задаче на определе-
ние несущей способности простой статически неопределимой
системы.
Вот этот пример: „Рассмотрим неизгибаемую линию ММ',
поддержанную тремя опорами,, расположенными в ее середи-
не Л и по концам М и М', и предположим, что усилие (реак-
ция) этих опор имеет заданный предел, так, например, чтс
28
здая из них разрушилась бы, если нагрузить ее грузом,
тыпим, чем единица. Очевидно, что можно было бы, не
крушив ни одной из опор, поставить в А груз, равный трем,
• в М и М' — груз, равный единице. Спрашивается, какова
ж иболыпая сила, которую можно поставить в какой-либо
эоизвольной точке линии ММ'. Решение этого вопроса та-
' эво. Пусть отмечена середина В интервала AM. Наибольшая
сила, которую можно поставить в точке т между М и В
сражается через 7" , а наибольшая сила, которую можно
„ ’ . ЗМА
эставить в точке п между В и А, выражается через м>п'
Это решение может быть изображено простым построением.
Наибольший груз, который мог бы быть постазлен в различ-
ых точках линии ММ', равен единице, деленной на ордина-
ту полигона, построенного на этой линии".
Цитированная формулировка задачи Фурье не отличается
еткостью. Считая балку абсолютно жесткой и приписав опо-
рам лишь одно свойство — разрушаться при усилии, равном
единице, нельзя решить статически неопределимую задачу
и найти опорные реакции, а следовательно, нельзя определить,
разрушится ли та или иная опора или нет.
Математически условие, при котором получается реше-
ние Фурье, можно сформулировать так: опорные реакции
могут быть только положительными и не большими единицы;
требуется для любого положения вертикальной силы на бал-
ке найти наибольшую величину этой силы, при которой она
может быть уравновешена реакциями. Неясно, однако, благо-
даря каким физическим свойствам опор их реакции будут
принимать значения, обеспечивающие максимум нагрузки.
Если мы примем, что реакции так или иначе принимают
значения, позволяющие дать нагрузке максимальную величи-
ну, то правильность решения Фурье можно всего нагляднее
продемонстрировать -так: пусть груз стоит в левом пролете;
обозначим расстояние груза от средней опоры через х, левую
реакцию — через , среднюю — через R„, а правую реакцию
заменим силой X (рис. 13, а). Остальные обозначения видны
из чертежа.
Вместо неразрезной балки мы рассматриваем теперь основ-
ную статически определимую систему — балку с консолью.
Будем распоряжаться величиной X так, чтобы реакции не
выходили из заданных пределов и груз Р получался макси-
мальным (рис. 13, б).
Если груз стоит в левой половине пролета, т. е. х>^-,
и если X = 0, то Рл > Rn, левая опора находится в более
опасных условиях. Приложив силу X, которая по предположе-
нию может быть только положительна (направлена вверх),
29
мы лишь увеличили бы реакцию 7?л. Поэтому надо принять
Х=0. Тогда Рл — — . Приравняв эту величину наибольшему
допустимому значению, т. е. единице, найдем:
' Когда груз стоит в правой половине Аролета, в более
опасных условиях оказывается средняя опора, но ее положе-
ние можно облегчить, прикладывая положительную силу X,.
что, однако, увеличит реакцию Р.л- Теперь X примем уже не
равным нулю, а потому выражения для реакции будут иметь
вид:
+ Xi; 2Х. •
Рх
Так как-у - не отрицательно, то X не больше /?л, а следо-
вательно, если мы позаботимся о том, чтобы реакция RA не
превышала единицы, то для силы X это условие выполнится
само собой. Поэтому мы можем спокойно исключить силу X
из двух предыдущих равенств и получим:
р = (2^+/?л)/-£-.
Р будет, очевидно, наибольшим, когда Ra ~Rn — 1-
Следовательно:
0’12>
При х—-^- выражения (1,11) и (1,12) принимают одина-
ковое значение Р = 2.
Когда груз перейдет в правый пролет, результаты будут
аналогичны по условиям симметрии.
Легко видеть, что обратные йеличины Р в каждом полу-
пролете зависят от х линейно, т. е. изобразятся, как указы-
вает Фурье, полигоном. Этот полигон показан на рис. 13, в.
5; Навье и расчет по допускаемым напряжениям _
Мы проследили развитие идей Кулона вплоть до середины
XIX в., но имели случай упомянуть и о разработке расчета
статически неопределимых конструкций как упругих систем
в начале того же столетия. Подход Фурье к расчету несущей
ч способности долго не находил применения и не разрабаты-
вался. Сен-Венан называет его последней попыткой рассчи-
тать статически неопределимую конструкцию, не учитывая .
ее упругих свойств.
Курс строительной механики Навье ясно показывает, что
в эту эпоху расчет конструкций как упругих систем с повер-
кой прочности по допускаемым напряжениям начинает входить
в употребление, постепенно оттесняя на задний план расчеты
несущей способности, характерные для предшествующего
периода. Свою точку зрения Навье высказывает достаточно
- определенно. Он пишет: „Сопротивление разрушению недо-
статочно для проектирования, так как надо знать не разру-
шающую силу, а ту, которой можно нагрузить элемент без
того, чтобы изменение, возникающее в нем. возрастало со
временем. Эта величина редко может быть объектом прямых
экспериментов, но тут можно воспользоваться с успехом
существующими сооружениями11.
Он предлагает определять расчетом удлинения, возни-
кающие при нагрузке в существующих сооружениях, и при
помощи модуля упругости переходить от них к допускаемым?-
напояжениям. Так, для железных мостов оц получает величину
1 000 кг 1см2.
Если принять мотивировку Навье буквально, можно было
бы думать, что под влиянием работ Бюффона, выявившего
для деревянных балок разницу между временным и длитель-
ным сопротивлением, Навье выбирает допускаемые напряже-
ния близкими к пределу длительного сопротивления. Но на
примере допускаемых напряжений для сварочного железа мы
убеждаемся, что это далеко не так. В сущности же при наз-
начении допускаемых напряжений сознательно или бессозна-
тельно учитывались разнообразные факторы, о которых мы
говорили во введении. Так или иначе, величины напряжений
становятся мерилом прочности конструкций.
Для статически определимых систем при однородном
напряженном состоянии элементов безразлично, будем ли мы
судить о прочности по нагрузке, по усилиям в элементах или
по напряжениям: все эти величины пропорциональны друг
другу и отношение их к опасным нагрузкам, усилиям или
напряжениям выражается одним и тем же числом — коэфи-
циентом запаса. Но как только мы перейдем к задачам, где
распределение усилий или напряжений или тех и других
бдновремщщо зависит от закона, связывающего напряжения
31,
и д еформации, напряжения за пределом пропорциональности
будут изменяться уже иначе, чем нагрузка. Тем не менее
в постановке Навье допускаемые напряжения приобрели, как
мы видели, самостоятельное значение. Так как, по крайней
мере для железа, напряжения эти ниже предела пропорци-
ональности, явилась возможность рассчитывать систему как
упругую, вычислять напряжения в ней и сравнивать их с до-
пускаемыми величинами. Эту процедуру можно было при-
менять и к статически неопределимым конструкциям, так как
принципы расчета упругих статически неопределимых систек
были, как мы видели, уже известны. О
Но книга Навье носит еще ясные следы традиций ра> /
чета несущей способности конструкций, от которого он
стремится освободиться. Терминология Навье еще не успела
приспособиться к норой точке зрения, Так, например,
глава, где излагается теория упругой линии, называется
„Изгиб*1, тогда как поверка напряжений при изгибе отнесена
к „разрушению от изгиба**. Чтобы различать определение
напряжений в упругой стадии от расчета несущей способ-
ности, вводится термин „отдаленное разрушение** в отличие
от „немедленного разрушения**.
Кроме того, нельзя было рассматривать все конструкции
как упругие системы.
Навье не рассчитывал еще свод как упругий, но ввел
поверку напряжений, принимая треугольную эпюру сжимаю-
щих напряжений в сечении, откуда впоследствии вышло пра-
вило о том, что кривая давления не должна выходить из
средней трети его высоты.
Наконец, расчет устойчивости сжатых стержней п о
существу не мог уложиться в ту же схему: снижение
допускаемых напряжений для гибких стоек нельзя объяснить .
ссылками на длительное сопротивление. Руководящим здесь
всегда остается факт потери устойчивости, т. е. исчерпания
несущей способности. Допускаемое усилие или напряжение
может быть введено лишь как критическая сила или крити-
ческое напряжение, деленное на -коэфициент запаса.
Работами Навье переход к расчету по допускаемым на-
пряжениям не заканчивается, а, скорее, начинается. Расчет
несущей способности и расчет по допускаемым напряжениям
длительно применяются рядом друг с другом, а иногда — в
довольно причудливых сочетаниях. Однако расчет по допу-
скаемым напряжениям все больше и больше преобладал, пока,
наконец, не занял (по крайней мере по внешности) господству-
ющего положения.
Своды рассчитывались по способу предельного равновесия
очень долго, даже после того, как расчет их как упругой
системы был полностью разработан [8].
32 *
Этому едва ли можно удивляться. Не надо забывать,
что до широкого распространения портландцемента своды
клались на очень слабых растворах. Между тем в большин-
стве ответственных сооружений применялся тесаный камень
высокой прочности. Неупругие деформации швов играли
в такой системе очень большую роль по сравнению с дефор-
мациями камня. Разрушение свода от опрокидывания или
даже от скольжения его клиньев представляло более реаль-
ную опасность, чем раздробление клиньев.
Вполне естественно, что такую конструкцию рассматри-
вали не как упругий монолит, а как сочетание положенных
друг на друга жестких клиньев и практически пренебрегали
сопротивлением раствора в швах. Если скольжение в швах
оказывается менее опасным, чем опрокидывание, то как мы
увидим ниже, проверка по Кулону дает для такой системы
не только необходимое, но и достаточное условие прочности.
Поэтому не следует удивляться, что практикой расчет сво-
дов по способу предельного равновесия оправдывался. Отказ
от этого метода расчета был вызван прогрессом строитель-
ной техники, выразившимся в широком применении портланд-
цемента, т. е. прочных растворов, а тем более бетона и же-
лезобетона. При прочных растворах было уже нецелесооб-
разно пренебрегать сцеплением в швах, так как это привело
бы к недоучету фактической несущей способности, между
тем расчет по Кулону с учетом сцепления в швах, как мы
уже видели, необоснован.
В бетонных и железобетонных сводах, монолитных по
своей конструкции, клинья и швы представляют собой уже
нереальность, как в старых каменных конструкциях, а фикцию.
Применение бетона и железобетона больше всего способ-
ствовало переходу на расчет сводов как упругих систем,тем
более, что соответствующий метод расчета был наготове.
Так, постепенно и своды перестали рассчитывать по
несущей способности. Но было бы ошибкой думать, что
в какой бы то ни было период расчет по несущей способ-
ности был вполне оставлен. Мы уже упоминали о давлении
сыпучих тел. Кроме того, многие правила расчета, повседневно
применяемые для стальных конструкций, равно как и неко-
торые издавна принятые расчеты железобетона, оправды-
ваются не работой конструкции в упругой стадии, не состо-
янием их при эксплоатационной нагрузке, а представляют
собой по существу расчет несущей способности, которому
только придана внешность поверки допускаемых напряжений.
Здесь мы напомним только, что при появлении новых
конструкций1, надежность которых не умели достаточно
1 Особенно многочисленных „систем" железобетона, а также железо-
каменных перекрытий.
3 А. А. Гвоздев
33
убедительно обосновать расчетом, широко применялся, да
и до сих пор еще применяется способ пробных нагрузок.
Опытную конструкцию нагружают до разрушения и допус-
кают ее к применению в том случае, если отношение разрух
шающей нагрузки к допускаемой не ниже установленного
коэфицйента запаса.
Если теперь расчету несущей способности снова уте-
ляется значительное внимание, это, конечно, не простой воз-
врат к идеям и методамХУШ и начала XIX вв.
Изменилось самое понимание несущей способности.
В числе конструкций, которые мы будем рассчитывать, вид-
нейшее место займет железобетон; мы будем иметь дело
с такими конструктивными формами, каких 100 лет назад
еще не знали. Наконец, современные расчеты несущей способ-
ности в отличие от старых теснейшим образом связаны с пла-
стическими свойствами материалов и теорией пластичности
и опираются на них; этими вопросами мы*я займемся в сле-
дующей главе.
ГЛАВА II
ПЛАСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ И ТЕОРИЯ
ПЛАСТИЧНОЕ Ш1
1. Некоторые сведения из механики непрерывных масс
А. Теория напряжений
Напряженное состояние в достаточно малой окрестности
точки тела вполне определяется, если заданы напряжения
на трех маленьких площадках, проходящих через эту точку.
Выберем в качестве таких площадок грани элементарного
прямоугольного трехгранника с вершиной в рассматриваемой
точке О и ребрами, параллельными координатным осям.
Полное напряжение s, действующее на площадке перпенди-
кулярной оси х, может быть разложено на нормальное на-
пряжение сх и касательное напряжение которое в свою
1 Цель этой главы —подготовить читателя к усвоению дальнейших
разделов книги. Имея в виду инженеров, не встречающихся в своей по-
вседневной практике с задачами теории упругости, изложению тсор и
плас ичиости прелгогланы некоторые сведения из мехники непрерьн них
масс. С другой стороны, мы сочли гозмо ным: 1' не касаться исслелога-
ний пластиче кои деформации монокристал ов, 2) затронуть лишь некото-
рые из важнейших исследований пластическ х свойств поликьисталлич ских
металлов, 3) ограничиться т лько основными п яятиями и оспоысыми сравне-
ниями математической теории пла тичности, . очти не останавливаясь на ре-
шении этих ypai нений. Интересующихся ближе перечисленными во iроса.ми
отсылаем мы к ригина ьным работам, н i которые мы ссылаемся в этой гла е,
а также к р'ко одствам и монографиям [4э], [49], [45], [72], [57], [52], [54],
[55], [51], [73], [32], [43], [33] и [43].
34
очередь может быть разложено на составляющие напряжения
и xzx, соответственно параллельные осям у и z (рис. 14).
Аналогично на площадке, перпендикулярной оси у, опре-
деляются напряжения су тгу, а на площадке, перпенди-
кул рной оси г,— напряжения зг, тхг и т . Перечисленные
шесть касательных напряжений не независимы друг от друга,
а связаны так называемым законом парности касательных
напряжений:
^ik'—^kb (2,1)
который можно получить, вырезав из трехгранника плоскос-
тями, перпендикулярными коортинатным осям, прямоуголь-
ный параллелепипед и
моментов относитель-
но координатных осей.
Напряжения на ко-
сой площадке, опре-
деляемой косинусами
углов ее нормали с ося-
ми координат, т. е.
направляющими коси-
нусами пх, пу, nz, мо-
гут быть выражены че-
рез величины:
X xy XZ>
\х ay V (2'2)
*С Г о
zx zy Z
Для этого можно
выделить у точки О
составляя условия равенства нулю
элементарный тетра-
эдр. отсекаемый от трехгранника плоскостью АВС (рис. 14).
определяемой направляющими косинусами ее внешней нор-
мали пх, пу, nz, и составить условия равновесия этого тетра-
эдра Площадь грани АВС примем равной единице, тогда
площади граней, перпендикулярных координатным осям, будут
соответственно равны пг, пу и пг.
Нормальное усилие на грани АВС есть с„-1. Оно равно
сумме проекций на нормаль к АВС всех усилий, действую-
щих на гранях, перпендикулярных осям координат, т. е.
сл = (°А) Пх + (S-r"x) + (wtt) пг 4- (ухупу)пхАг
+ (?уПу) Пу 4- (-гуПу) Пг 4- (ТлгНг) Пх-\~ (тугПг) Пу-\-(czllz) Пг
ИЛИ
°п = + °уПу + + ^х^з^у 4" ^угПуПг 2 тглПг Пх- (2,3)
Аналогично составляется формула для вычисления проек-
ции касательного напряжения на ось, лежащую в плос-
35
кости АВС и определяемую направляющими косинусами тх,
mt и тг. Формула эта имеет вид:
Хтп = 4- VZS- + Wb 4~ (" Ап и + п^пх} 4-
4- v (”у,нг 4- п.ту) 4- («?и г 4- «(-’Л)
Итак, при помощи формул (2,3) н (2,4) можно выразить
напряжения на любой элементарной площадке, проходящей
через О, если известны напря/хения (2,2).
Величина, характеризующая напряженное состояние в
окрестности точки,назы ается тензором напряжений, а девять
величин (2,2) — составляющими или компонентами этого тен-
зора. Мы будем иногда обозначать тензор таблицей его ком-
понент с двумя парами вертикальных черт по бокам:
С.г " ГУ ~XZ |
'ух Jv S'-г ! •
Xzx Zzy Зг 1
Так как для составляющих тензора напряжений имеет
место равенство (2,1), он определяется заданием шести вели-
чин. Тензоры, компоненты которых удовлетворяют соотноше-
ниям типа (2,1), называются симметричными.
Выясним теперь вопрос о максимальных и минимальных
величинах нормальных напряжений в зависимости от направ-
ления площадки, на которой они действуют. Величины на-
правляющих косинусов связаны зависимостью:
Г1х~ГПу~1~П2 ~ !• (~’,5)
Необходимые условия экстремума суть:
Л. К —к(^4-«м4-«Р1=о, '=^,2, (2,6)
где л — пока неопределенный множитель Лагранжа. По под-
становке (2,3) в (2,6) получаем:
31«г4-^гау + т-хгпг - Хпх = 0;j
V”, 4- °упу -J- ryjiz - \пу=0- > (2,7)
W*.г 4- -гу^у 4- Ч1г - Ыг = 0. J
Умножив первое из этих равенств на пх, второе — на ну;
третье — на nz и сложив, убедимся, принимая во внимание (2,3)
и (2,5), что
(2,8)
Уравнения (2,7) можно, следовательно, переписать в форме:
(°.Г — Зп) «Г 4- ХХуПу 4- XXZnz = °;
\Л4- (=> — 3„) Пу 4- ryjiz = 0;
V.r 4- Vvnv + (о, — Оя) п2 = 0.
36
Так как пх, ну, пг не могут быть одновременно равны
нулю, определитель из коэфициентов при направляющих коси-
нусах должен обратиться в нуль, т. е.:
V °у~Сп II С5
ч '"zx № а°
пли в раскрытом виде:
Ъ — ’I v “ °п —
- (=Л3.> - аЛ - + 2г^Л.г) = 0. (2,9)
Так как мы исходили из необходимого условия экстре-
мума, среди корней этого уравнения должны быть макси-
ма чьное и минимальное значения нормального напряжения.
Э(и корни вещественны, а следовательно, и третий корень
кубического уравнения (2,9) вещественный. Обозначим через з1
больший- из трех корней;меньший из корней обозначим через с3.
Третий корень обозначим з2.
Нормальные напряжения а1; e.,t а,, действующие на трех
площадках 7, 2 и 3, называются главными напряже-
ниями, а направления нормалей к этим площадкам — глав-
ными осями тензора напряжений. Из уравнений (2,7) и(2,8)
вытекает, что на площадках, перпендикулярных главным
осям, касательные напряжения равны нулю.
Действшельно, первые три слагаемых первого из урав-
нений ( ,7) представляют собой сумму всех сил, параллель-
ных оси л и действующих на площадках, перпендикулярных
координатным осям. Последний член — <зп11л есть проекция на
ось х нормальной силы, действующей на косой площадке,
перпендикулярной одной из главных осей.
Остальные два уравнения построены аналогично. Уравне-
ния (2,7) суть, следовательно, уравнения равновесия, а так
как касательное напряжение ни в одно из них не входит,
оно должно быть равно нулю.
Выделим элементарный параллелепипед шестью плоскостя-
ми, перпендикулярными главным осям. Он должен находиться
в равновесии под действием напряжений ог, а2 и as. Уравне-
ния моментов относительно осей, проходящих через центры
тяжести противолежащих граней параллелепипеда, имеют вид:
(с; — ds;dsk cos <о№= 0,
где dst и dsk—ширины граней, на которых действуют на-
пряжения а; и а о>;<! есть угол между этими
гранями.
Так как по предположению sfуглы должны быть
прямыми. Следовательно, главные оси тензора взаимно пер-
пендикулярны.
37
Совместим координатные оси с главными осями. Тогда
тензор напряжений, отнесенный к главным осям, примет,,
следовательно, вид:
О] О О
О а2 О .
О 0 с3
Однако, чтобы вполне определить его, надо, кроме вели-
чин главных напряжений, задать еще и направления главных
осей. Их можно было бы найти из (2,5) и (2,7), подставляя
в последние значения главных напряжений, однако удобнее
избрать другой путь.
Если координатные оси направлены вдоль главных осей,
то три проекции полного напряжения, действующего на косой
площадке, равны соответственно аргр а2п, и а3п3, а следова-
тельно, квадрат полного напряжения равен:
+ + • (2,10Х
Формула (2,3) примет для гл1вных осей вид:
«7 + 32«2 + = °„- (2,! 1 >
Присоединяя сюда соотношение (2,5), определим из этих
трех уравнений квадраты направляющих косинусов:
2 __ 'п + ~ сг) (°п — ®з) )
,г| — (0[ _ Сг) (01 _ Сг) - I
°з) (ал gi) ( (2 121
2 (с> — сз) (с2 — С1)
9 7 л "Ь (Gn с1) (сл
/г~ (Oil—ci)(gs —°г) ' ’
Таким образом, косинусы углов, образуемых нормалью
к площадке с главными осями, выражаются через напряжения
на этой площадке и через главные напряжения.
Формулы (2,12) приводят к графическому изображению
тензора напряжений при помощи кругов Мора (рис. 15).
Первое из них можно переписать так:
На плоскости с координатными осями и тя это уравне-
ние при п±= const изображает окружность с центром в точке
— с" ; Тд — 0- Если главные напряжения и направление
косой площадки заданы, то напряжения ап и на этой пло-
щадке изображаются точкой пересечения окружностей, опре-
. 38
деляемых уравнениями (2,12). Точки, изображающие напряже-
ния с„ и хп, могу г располагаться лишь вне окружности AFE.
Эго вытекает из (2,12').
Здесь разности напряжений во втором слагаемом правой
части имеют одинаковый знак. Поэтому радиус окружности
'не меньше, чем . Аналогично можно показать, что
точки с„, тя должны лежать вне окружности CDE и внутри
окружности АВС.
Радиус окружности, определяемой из (2,12), легко найти
графически.
Точка D (рис. 15) удовлетворяет одновременно первому
уравнению (2,12) при некотором и третьему уравнению
при /г3 = 0. Исключая из этих уравнений хпг найдем:
пг
* Cj -- Gq
. т. е. угол DCG равен a1 = arccosraJ.
Аналогично можно показать, что FAFI— а3 — arccos пя.
Все графическое построение для определения а„ и тл ясно из
чертежа (рис. 15): по заданным углам at и а3 находятся со-
ответствующие точки D и F, через f- проводится окруж-
ность III из центра О3. а через D — окружность / из центра
Координаты тп и точки пересечения /V этих окружностей
изображают напряжения на площадке, определяемой угла-
ми ctj и а8.
39
Из круга Мора видно, что наибольшее по абсолютной
величине касательное напряжение имеет место при О
и — т. е. на площадках, проходящих через глав-
ную ось 2 и образующих с осями 1 и 3 углы, равные 45°.
Напряжение это равно радиусу большого круга Мора. Обо-
значим максимальное касательное напряжение через Итак:
2
(2,13)
Касательные напряжения на площадках, проходящих со-
ответственно через главные оси 1 и 3 и образующих с дру-
гими главными осями углы 45 , обозначим через -р, и.тв>.
Эти напряжения равны по абсолютной величине радиусам
малых кругов Мора, т. е.
т(П=^ И ^(3) = ^. (2,13'),
Напряжения -р), т,2) и -дз» называются главными касатель-
ными напряжениями. Из их выражений через главные напря-
жения вытекает, что
Т(1) + Т(2) -f- "(I) = 0. (2,14)
Кубическое уравнение (2,9) позволяет определять главные
напряжения через составляющие напряжений, действующие
на площадках, перпендикулярных координатным осям. Рели-
чины главных напряжений не зависят, разумеется, от выбора
направлений координатных осей, а следовательно, и величины
коэфициентов кубического уравнения не должны изменяться
при повороте осей. Эти коэфициенты называются поэтому
инвариантами тензора.
Обозначим их через (—/’), (—(— г). Следовательно,
Р = +°.- = 3i + =2 4~ Зз;
С1 — sjpy + ау'г + C-'jr — — ~2Vz ~ ~L= 3i3-- + + ал;
' = - 3Л- =A+2чХ = m (2Л5)
Любые функции инвариантов p, q и г б)дут сами инва-
риантами, т. е. не зависят от выбора направлений коорди-
натных осей.
В тех случаях, когда направление главных осей не играет
роли, три инварианта, независимые друг от друга, могут
служить для определения тензора напряжений.
40
Мы будем пользоваться независимыми инвариантами*:
^+°2 + =3 ~Х~1- Су 4- ~Z I
с= — 3 - 3 — ,
Si — ]/ (<?!—с)2 -j- (с- — °)' “И (®з — °)2 —
=]/ 4н(<(где)
= /(зЛ—з)2+(зу—°)а+ia«—з)2 Н- 2 {xiy+'уг+
_ 3 У"6 (С| — с) (s2 — а) (са — а)
I (С1-=)2+(С2-=)?+6г-3)4 ’ ।
Все они имеют размерность напряжений.
Первый из них будем называть средним нормальным
«ли просто средним напряжением.
Среднее нормальное напряжение равно нормальному на-
пряжению на площадке, одинаково наклоненной к главным
осям напряжений. Действительно, из формулы (2,3), совме-
стив координатные оси с главными осями, имеем:
®„ = + СД5+3Х
1
а так как в нашем случае п,— п2 = п3 = —то —з.
» з
Симметричный тензор, для которого инвариант я — 9,
называется девиатором. Следовательно, девиатор опреде-
ляется инвариантами $1 и Si;
Как показано ниже |«п <Схь
Тензор
1 с О О1
|0 -3 о|
to о =1
называется шаровым тензором. Круги Мора для шарового
тензора стягиваются в точку. Примером шарового тензора
может служить гидростатическое давление. Шаровой тензор
-определяется одним инвариантом а.
1 Легко проверить, что эти инварианты выражаются следующим обра-
зом через величины р, q и г.
Р
° = Т:
«I = у -у (рг —3$);
27г — 9<д> 4- 2р5
5,1 = /6^-39) '
41
Всякий тензор напряжений можно разложить на шаровой
тензор и девиатор
а О О
где
ОТ т
х ху xZ
'ух °у ~vz
zzx zzy az
О а 0 +
О 0 о|
тух °у zyz >
*
~zx Zzy I
= С_ — G.
(2,17)
(2,18)
о
Для девиатора можно ввести инварианты q*, г* или
Sp sn.
Из (2,16) видно, что
о Г с * * *
__ * __ Зу 6
(2,19).
Инвариант $i называется интенсивностью напряжений1.
Он пропорционален величине полного касательного напряжен
ния на площадке, одинаково наклоненной к главным осям.
Совместив оси координат с главными осями, имеем из фор-
мулы (2,4):
+ 1 Qi ТП-\ -J— -4- CqTTZo
а3Ш2Н2 + as/n343 = -J-J--^=----
Так как для взаимно перпендикулярных осей
/П1П1 ~Ь WZ2tt2 + w3n3=0,
а направляющие косинусы нормали к площадке одинаковы,
то /«14- Щ2 -j- т3 = 0, поэтому
* I * • *
C1Z7Z1 ~Г c2mi ' G3m3
Zmn
(2,20)
Аналогично составляющая касательного напряжения, пер-
иендикул ая к ттп, равна:
О Zj + C9Z2 GoZg
(2.21)
где /р l3 — направляющие косинусы оси, по которой на-,
равлено напряжение г1п. Полное касательное напряжение’
на площадке, одинаково наклоненной к главным осям, равна:
= •САП+Т1г •
1 Некоторые авторы называют интенсивностью напряжений величину,
отличающуюся от S| тем или иным числен ым множителем.
42
Подставив сюда выражения для составляющих касатель-
ного напряжения (2,20) и (2,21) и имея в виду равенства:
'«? 4- 4 4- ч=1; mimk4-44 4- пгпк=о,
откуда в рассматриваемом случае следует:
4- 4-=+1‘1“=—4 ’
находим:
но так как с
а следовательно:
имеем:
Поскольку заданием инвариантов с и $г вполне опреде-
ляются величины нормального и полного касательного
напряжений на площадке, равнонаклоненной к главным осям,
изменение величины инварианта $„ влияет только на на-
правление полного касательного напряжения на этой пло-
щадке.
Нам придется иметь дело не только с напряжениями
в точке, но и с их приращениями' во времени 8сг или с их.
ироизводными по времени с;.
Соотношения и понятия, которые даны выше для напря-
жений, сохраняют силу и для этих тензоров.
Б. Малые деформации
При деформации тел точки их перемещаются. Вектор-
перемещения точки может быть задан его составляющими
и, v, w по направлениям координатных осей х, у, z.
Если заданы перемещения для всех точек тела, то из
них можно определить и деформации его элементов. Огра-
ничимся рассмотрением только настолько малых деформаций,
чтобы можно было пренебречь квадратами и произведениями
производных от компонент перемещений по х, у, z.
Напомним, как выражаются через компоненты переме-
щений удлинения в направлении координатных осей и сдви-
ги, параллельные координатным плоскостям. Пусть две близ-
кие точки тела А и Д', лежавшие до деформации на прямой,
параллельной оси х, имели координаты х, y,z их+Дх, у, z.
После деформации координаты их будут х-^-и; y-f-v, z-f-w
и л'-|-Ax-f-K-f-An; y-j-'o’-j-Д©; z-f-w-j-Дет, т. е. проекции
43-
отрезка АА' на координатные оси окажутся равными Лх-|-
-\-Sti, Дг' и Aw. Расстояние АА' после деформации равно:
У (Ax-|- Az?)2 -|-(Д-п,2 -f- (Aw)2,
а относительное удлинение отрезка АА' равно:
\/(Ал- 4- Ди)» 4- (Де)® 4- (Лк')2 ,
Дх Ь
Когда Ах стремится к нулю, относительное удлинение
стремится к пределу — удлинению в точке А.
А
Т
t)
Лу
1_
А
Рис. 16
_ 1 ди
дх "
Аналогично удлинения в точке по направлению осей у и z
dv dw
выразятся через гу — и е.г =
Рассмотрим теперь еще точку А", расположенную до
деформации на прямой, параллельной оси у и проходящей
через А. Пусть расстояние АА" до деформа-
ции равно Ду. Угол А" АА' до деформации пря-
мой (рис. 16).
Изменение этого угла после деформации най-
дем, пренебрегая перемещениями, перпендику-
лярными к плоскости ху, так как влияние их вы-
ражается малыми величинами
высшего порядка Угол пово-
рота отрезка АА' по малости
Ли
заменим его тангенсом ;ана-
логично угол поворота отрез-
ка АА" равен — (рис. 16).
Изменение угла есть .
J A_v A v*
Когда Дх и Ду одновременно стремятся к нулю, изменение
угла А" А А' стремится к пределу — сдвигу в точке А.
___dv ди
'1ху~~ дх + ду '
Аналогично определятся сдвиги и в плоскостях,
параллельных yz и zx.
Выпишем еще раз выражения удлинений в направлении
координатных осей и сдвиги, параллельные плоскостям ко-
ординатных осей:
_ да _ ______dv _ __dw _
Sjr дх ’ ду ’ Ez — дг ’ (
_ du dv _ __dv dw . , _dw ди
"‘ХУ ~ ду + дх ’ дг оу ’ '^х — дх дг '
44
Для того чтобы получить удлинения и сдвиги в других
направлениях, произведем поворот координатных осей.
Пусть ось х' определяется направляющими косинусами
пх, nv\ nz.
Удлинение
_________________ди' ди' дх ди' ду ди' дг
дх' дх дл' ' ду дх' 'дг дх'
НО
и' — ипх-\- vny + wnz
а следовательно:
. ди , , до । dw , ди , dv п . dw ~ „
Е г = дх пх + п>п* + ГГ "Л + X п*пу + & пу +
+ дди~ njiz + пуп.г + ~ п* = sX + syny ++ ’• +
4~ 1угпуп^+ЬЛЛ- <2> 23>
Найдем теперь еще уу,,', где У' ~ ось> определяемая,
направляющими косинусами тх ту, mz.
_ ди' dv' _ ди' дх ди" ду . ди' дг dv' . дх
ду' ’ дх’ ~~ дх ’ ду' ‘ ду ду* дг ду’ "* дх дх'
до' ду _^dv' дг
”* ду дх' дг дх’ ’
но
и
дх ду дг
дУ~т^ ду'~т^
Приняв это во внимание, получим:
улу = ^Jixmx Д- ^упуту 4- 2ег«гтг 4- \ху (п хту 4- путх) 4~
4- Лу2 (путг 4- пгту) 4- (nzmx 4- nxmz). (2,24)
Формула (2,23) очень схожа с (2,3), а формула (2,24) — с (2,4).
Если введем половины сдвигов и то убедимся,
что эти величины и удлинения ех, еу, е2 преобразуются при
повороте осей точно так же, как напряжения txy, tyz, т сх,
о о .
45
Мы будем поэтому говорить о симметричном тензоре
деформаций:
Р I гу
х 2 2
"'у ‘ f У1
L V 2 ’
4zy -
I 2 2 2
а также о симметричных тензорах приращений деформаций
или скоростей деформаций:
сел 8^
S
5 “2* г12Л
glJ'2
2
2
Чуг.
2
которые определяются из компонент приращений перемеще-
ния cu, 8v и и из компонент скорости точек п, г>, от точ-
но так же, как тензор деформаций из компонент перемеще-
ний и. v, w.
Для этих тензоров, так же как и для тензора напряже-
ний, определяются главные оси, главные деформации или
главные приращения деформаций или главные скорости
деформаций.
Аналогично тензору напряжений для них строятся круги
Мора и определяются главные сдвиги (приращения и скоро-
сти сдви[ ов). Также вводятся и инварианты этих тензоров,
в частности, инварианты тензора деформаций:
__ £л + еу 4- Ez _ 61 + е2 4" гя
“ - 3 3 ;
е1 — — е)2 4“ (г2 — е)2 ~Ь (®3 -e)Zi
_ ____3 у/ 6 (st — s) fSg—e) (;) — e)
11 — (4 — e)2 + (E> —e,2 i-Оз —e)2
(2,25)
Инвариант e называется средним удлинением, а величина
ei — интенсивностью деформаций х.
Тензор деформаций также разлагается на шаровой тен-
зор и девиатор. Компоненты и инварианты девиатора будем,
как и для напряжений, О1мечать звездочкой.
1 Интенсивностью деформаций некоторые авторы называют также в&-
личину, отличающуюся от et числовым множителем.
46
Шаровой тензор:
г О О
О е О
О 0 е
(2,26}
очевидно, изображает чистое расширение элемента тела,
рдинаковое во всех направлениях.
Объем кубика, имеющего в исходном состоянии длину
ребер, ртвную единице, после деформации, изображаемой
этим шаровым тензором, станет равен (1 -j-s)3 1-f-Зз. Отно-
ци>ельнсе изменение объема равно Зг. Изменение объема
при деформации, изображаемой девиатором, есть
' (1 + е*)(1+ер(ц.е*)_1^е;4-е;4-е;=о. (2,27)
Таким образом, шаров эй тензор (2,26) целиком характери-
зует изменение объема, тогда ка< девиатор определяет из-
менение фермы, происходящее при неизменном объеме.
В заключение повто| им еще раз, что компонентами тен-
зора деформаций являются удлинения и половины сдвигов.
В. Закон Гука и выражения потенциал!, ной энергии
для изотропного упругого тела
Зависимость между деформациями и напряжениями для
упругого изотропного тела можно записать так:
(2,28)
где К—модуль изменения объема и
е*
тух
2
Тгх
2
ху T*z
2 2
е Ъ*
J 2
с*
2 «
а* Т х
X xy XZ
х _а* х „ .
ух у yz 9
(2,29)
1
~ 2G
где G — модуль сдвига, чли словами: среднее удлинение про-
порционально среднему напряжению, а девиатор дефер ации
пропорционален девиатору напряжений. Последнее можно
записать также в виде равенств:
4- Ь, = ё или Ъу = (2,29')
и аналогичных, получаемых отсюда круговой подстановкой
индексов.
47
Из (2,28) и (2,29) легко получить и обычные формулы
для удлинений:
е*~ е>"Ь1 = = 2С"1'( лг — '2о) 3 =
-£+(£-ю)
^KG
где Е~ G~^^~модуль упругости (модуль Юнга);
К—20 , „
7=-27сГю<)--коэфицпент Пуассона.
Потенциальную энергию в единице объема упругого те.тг
мы можем записать как сумму двух величин, а именно: энер-
гии, затраченной на изменение объема:
п0=4зз5> (2,30>
и энергии, затраченной на изменение формы:
П<#==4-(аХ + аХ + ^ (2,31)
П=СТ0+П*. (2,32>
Пользуясь законом Гука, т. е. равенствами (2,28) и (2,29),
можно выразить каждое из этих слагаемых только через
деформации или только через напряжения:
По=^-°г = 2Т<=-2-’ (2’30>
П - 1 г>2+°*2+°з2 _ _
Ф 2 (°iei । °2“2 । °зе;<) — 4G ~ 4G ~
= G^+^^^) = Gel. (2,31'>
Г. Геометрическое представление тензоров в трехмерном
пространстве
В вопросах, для которых безразлично, как ориентиро-
ваны главные оси симметричного тензора по отношению к
координатным осям, удобно пользоваться геометрическим
изображением тензора в трехмерном пространстве.
Приняв величины главных компонент тензора за прямо-
угольные координаты в трехмерном пространстве, можно
изобразить тензор точкой этого трехмерного пространства
или вектором, соединяющим эту точку с началом координат.
Чтобы остановиться на чем-нибудь определенном, будем ю-
ворить дальше о тензоре напряжений, однако будем помнить,
что и для тензора деформаций, равно как и для тензоров 48
48
приращений и для скоростей деформаций или напряжений, все
паши рассуждения сохранят силу. Будем обозначать глаз-
ные напряжения через с1э s2, з3, не предрешая вопроса о том,
какое из них большее и какое меньшее.
Итак, тензоры напряжений будем изображать трехмер-
рыми векторами а с компонентами ах, а, с3 (вектор OF на
рис. 17). Для точек оси OD, образующей равные углы с ося-
ми координат, с, = а, ~ а8 = з. Поэтому векторы, направлен-
ные по OD, изображают шаровые тензоры.
Направляющие косинусы оси О О по ее определению
одинаковы, поэтому из формулы п[ /г^ — 1 следует
Проекция любого тензора на ось OD равна - =
= а Девиаторы, для которых по определению 0 = 0, бу-
дут в силу этого изображаться векторами, перпендикуляр-
ными оси OD. Разложение тензора на шарозой тензор и на
девиатор_ представляется, следовательно, как разложение
вектора 7 на составляющую, направленную по оси OD и
перпендикулярную ей составляющую, лежащую в плоскости
а = 0.
Подсчитаем величину составляющей, лежащей в плоско-
сти з = С. Она равна:
V |=г—(у/з=л = =
= / ^ + з22 + ^-2(з1 + =3-г^) = + 3=2 =
= / =г+^2+=? = ^.
Следовательно, s, есть длина вектора, изображающего девиа-
тор. Геометрически Sj представляет собой расстояние точки
F от оси OD.
4 А. Л. Г в 2Д.В
49
Поэтому поверхность 5( — const есть круговой цилиндр
радиуса S,, а ось этого цилиндра образует равные углы с
координатными осями.
Направление вектора, изображающего девиатор, опреде-
ляется инвариантом su. На плоскости с = 0 нанесем направ-
ления проекций ОА, ОВ и ОС осей с., и с, (рис. 18).
Угол, образуемый девиатором с направлением проекции
оси ах, обозначим через
Угол между прямой ОА и оеыо а, дополняет до прямого
угол между осью з и прямой OD. Поэтому проекция зд. на
О А равна 1 аналогично проекции з, на ОВ и з3 на ОС
равны соответственно J//-| з2 и -у/ Геометрическая
сумма этих векторов должна быть равна s,, а сумма их проек-
ций на ось ОА равна:
]/!(’
Отсюда
Итак, slt = s1cos3=>, откуда, между прочим, видно, что
| |<sr Таким образом, с^/з, s, и » = g-arccos _Lr являют-
ся цилиндрическими координатами точки F.
Тензор деформаций можно также изобразить в трехмер-
ном пространстве вектором s, задав положение конца это-
го вектора его прямоугольными координатами еъ е2, е3 или
цилиндрическими координатами е з, et и ф = у arccos —.
ei
Закон Гука устанавливает взаимно однозначное соответ-
ствие между векторами сие. Направив оси е3, соот-
ветственно параллельно осям alt с.,, с3, мы увидим из (2,29),
что девиатор тензора деформаций параллелен девиатору
50
соответствующего тензора напряжений. Но так как коэфи-
циенты пропорциональны в (2,28) и (2,29) различны, соответ-
ствующие векторы с и г будут вообще непараллельны.
Выражения потенциальной энергии изменения объема
(2,30) показывают, что состояния напряжений (деформаций)
для которых По = const = С, изображаются точками, лежа-
щими на двух плоскостях, параллельных плоскости с —О
(соответственно г —0) и отстоящими от нее на расстоянии
V^KC ( соответственно j/" 2р- Состояния напряжений
(деформаций), для которых H^ = const = C, как видно пл
(2,30'), изображаются точками, лежащими на цилиндре ра-
диуса 2/"ос соответственно j/"J , с осью, перпендику-
лярной плоскости с — 0 (г = 0).
Полная энергия П = ПО4-И^, как видно из (2,32), (2,30')
и (2,31'), принимает постоянное значение С на поверхности,
второго порядка, каса •
щейся вышеупомянутой
пары плоскостей и кру-
гового цилиндра, т. е. на
поверхности эллипсоида
вращения (рис. 19).
Рис. 19
Рис. 20
При вариации напряженного состояния изменения потен-
циальной энергии есть
ЭП .
У?Гйз*
8п =
. . ЭИ s
CG«j г- -ч
“ ‘ д а3 1
Если 811 = 0, то вектор 8 с лежит в плоскости, касатель-
ной к эллипсоиду П = const. Производные от потенциальной
энергии по напряжениям равны, как известно, и, как легко
проверить из (2,30'), (2,31'), (2,28) и (2,29), соответствующим
деформациям.
4*
51
Следовательно, уравнение SH=: О примет вид:
E1?ZJ1 + S2?j32 + г?’з = 0
или в векторной форме
7 . г7 = о,
т. е. скалярное произведение вектора деформаций г на век-
тор о а равно нулю. Отсюда следует, что для упругого тела
напряженному состоянию, изображаемому вектором з с ком-
понентами з1з2, з3> отвечает деформированное состояние,
изображаемое вектором г, ортогональным к поверхности
И = const в конце вектора з (рис. 20).
2. Разработка основ теории пластичности металлов.
Условие наибольших касательных напряжении
Хотя пластические свойства металлов в общих чертах из-
вестны людям с тех пор, как они научились ими пользовать-
ся, т. е. с эпохи варварства, надобность в
систематических исследованиях и в разработ-
ке математической теории пластичности ме-
таллов возникла только с широким развитием
металлургии и индустриальных методов ме-
таллообработки.
Экспериментальное исследование про-
цессов продавливания дыр в листах, воло-
чения проволок и т. п. в конце 60-х годов
прошлого столетия было дополнено опыт-
ными исследованиями менее прикладного ха-
рактера [105], из которых выяснились основ-
ные факты, использованные вскоре для по-
строения математической теории пластич-
ности. СЦ
Главным образом производились такие
опыты, в которых явление протекало сим-
метрично по отношению к оси. Образцы
составлялись из наложенных друг на друга
листов, а иногда из вставленных друг в друга
полых цилиндров и подвергались большим
деформациям. Разрезая образцы после опыта, можно было
наблюдать простым глазом произошедшие смещения слоев. На
рис. 21 показан разрез одного образца после опыта. Свин-
цовый слоистый цилиндр диаметром 1С0 мм был помещен в
плотно облегающий его стальной стакан с центральным от-
верстием в днище диаметром 30 мм. Образец, сжимаемый
сверху поршнем, вытекал через отверстие, образуя полый
53
1
внутри, а иногда сплошной столб. Длина столба в несколько
раз превышала диаметр образца.
Так как даже после столь сильной деформации не обна-
руживалось изменение объемного веса материала, из подоб-
ных опытов было сделано заключение, что при пластической
деформации объем тела не меняется.
' В дальнейшем [105] на основании опытных данных было
предложено условие текучести, состоящее в том, что когда
пластическое состояние достигнуто, наибольшее по абсолют-
ной-величине из г 1авных касательных напряжений равно по-
стоянному для данного материала коэфициенту текучести.
В наших обозначениях эго запишется так:
_si~ сз _ /г
Д2) — 2 ~ /г‘
(2,32)
Коэфициент k обычно принимался не зависящим ни от
величины, ни от скорости деформации.
Теле, обладающее вышеуказанными свойствами, называют
идеально пластический.
При разработке математической теории пластичности сна-
чала разрабатывался случай плоской деформации и Сен-Еенаном
[89, ст. 1] были предложены следующие уравнения.
1. Уравнения движения, которые, как и для упругого.
тела, имеют вид:
где ? — массовая плотность;
X, Y, X — компоненты ускорения поля;
и, v, w—компоненты скорости движения частиц тела.
2. Условие текучести (2,32), которому для случая плос-
кой деформации можно придать вид:
-’ _ (°*Д~ С-02 I - 2 _ /,2
\2) — 4 —к • (2,32')
3. Условие несжимаемости, показывающее, что объем
при пластической деформации не меняется:
+ = (2,31)
Это условие можно прочитать и так: при пластической де-
формации тензор скоростей деформаций есть девиатор
53
4. Четвертое условие для плоской деформации выражает
мысль, что направления главных напряжений и направления
главных скоростей деформаций совпадают.
Углы а, образуемые главными осями напряжений с осями
'координат, определяются из
“VV
Аналогично углы В между главными осями скоростей де-
формаций и координатными осями определяются из
7xv
откуда
(2,35)
Z LXV -t
I vy
Для случая плоской деформации условие неразрывности
принимает вид:
е v -f- ev = О,
а уравнения движения:
д с г , d тА> __ / V _ । £°J' _ 0 ( у__(К)
дх ду \ it J’ дх ‘ ду ° V dt)'
Для пяти неизвестных ev, г,„ аг, зу и -г имеем, таким
образом, пять уравнений.
Хотя в приведенные выше уравнения входят скорост!
деформаций, однако, если /г не зависит от скорости дефор-
мирования, т. е. когда вязкость не учитывается, время по
существу не играет в задаче пластичности никакой роли.
Если в уравнениях (2,34) и (2,35) помножить все скорости де-
формаций на диференциал времени dt, уравнения эти не на-
рушатся. Поэтому вместо скоростей деформаций $z, у,-4
можно было бы ввести приращения деформаций Ц, оу,-4, од-
нако простая замена приращения деформаций самими де-
формациями гг, "lik возможна только в частных случаях.
В дальнейшем мы еще вернемся к этому вопросу.
Заметим еще, что уравнение (2,35) можно переписать в
виде:
Величина А характеризует соотношение между скоро-
стями (приращениями) деформаций и напряжениями в данной
точке и в данной стадии процесса деформации, меняясь
общем случае от точки к точке, а также, например, с ро-
54
стом нагрузки. Ниже мы поясним это на примере, а теперь
перейдем к дальнейшему развитию теории [89, ст. 4].
В уравнениях (2*33) можно в большинстве случаев поло-
жить правые части равными нулю, т. е. пренебречь ускоре-
нием поля и силами инерции. Они при этом переходят в ус-
ловия равновесия.
'Это и делалось в подавляющем большинстве последую-
щих исследований по теории пластичности.
Для пространственного случая условие текучести можно
всегда-писать в форме (2,32). Но практически это неудобно
в том отношении, что от компонент напряжений, отнесен-
ных к определенным координатным осям, надо еще перейти
к' главным напряжениям и выбрать наибольшее и наименьшее
из них. Л^ви дал выражение, позволяющее ввести компонен-
ты напряжений, отнесенные к координатным осям, однако
его условие небезупречно1 *. Относя это условие текучести
снова к главным осям, мы получили бы такое уравнение:
(*+э-2-) (*+*V) (*+*г) (* -f--Т*») х
Оно будет удовлетворено одновременно с (2,32) но, кроме
того, также во всех случаях, когда какое-нибудь из главных
напряжений, например, среднее или минимальное, будет по
абсолютной величине равно k.
На самом деле в одной части тела, находящегося в со-
стоянии текучести, предельной величины может достигать
одно из главных касательных напряжений, а в остальной ча-
сти— другое. Таким образом, для разных частей тела усло-
вие текучести, выраженное через напряжения, отнесенные к
определенной системе координат, надо записывать в разной
форме. Так как границы между этими областями заранее не-
известны, решение пространственных задач теории пластич-
ности тем самым заметно осложняется.
Чтобы показать нагляднее возможность разных выраже-
ний условия текучести в различных частях тела, дадим усло-
вию наибольших касательных напряжений геометрическую ин-
терпретацию, как мы это сделали в конце § 1 этой главы.
В пространстве с прямоугольными координатами эх, а,, з3
каждому из шести условий типа
(г,; =1,2,3)
1 Михлин [54] отметил, что условие текучести в форме, данной Леви,
де удовлетворяется значениями напряжений, отвечающими условию наи-
больших кас.. тельных напряжений. Но это, видимо, результат опечатки или
описки в статье Леви. По ее исправлении уравнение Леви можно преобра-
зовать к приведенному ниже виду.
55
удовлетворяют точки, лежащие по одну сторону плоскости:
LzJi — k
Ни одна из этих шести плоскостей, очевидно, не пересекает
оси, на которой с1 — а., = а2. Иными словами, рассматриваемые
плоскости все параллельны оси, образующей равные углы с
координатными осями. Следовательно, выделенная плоскостя-
ми фигура есть призма, а в силу равноправности всех шести
условий — правильная шестигранная призма (рис. 22). Условие
наибольших касательных напряжений требует, чтобы напря-
жения на пределе текучести изображались точкой, лежащей
на поверхности этой призмы.
Но в форме, записанной Леви, условию текучести удов-
летворяют также н .пряжения, изображаемые точками (напри-
мер, точкой М, рис. 22), лежащими на продолжении одной
из граничных плоскостей за пределами шестигранной призмы.
Обобщение условий (2,35') на случай пространственной
задачи можно записать в такой форме:
• £"ху _ 2гуг __ 2-гх __ сх— ~у СУ ~ _ gz~ сх — 2 Л. (9 3G)
7-у Tyz 7гх гх гу E.v £z
Если координатные оси направить вдоль главных осей
напряжений, то по крайней мере одна из разностей главных
напряжений по условию текучести должна быть равна 2k, а так
как скорости деформаций конечны, то А отлично о нуля.
Так как числители первых трех отношений благодаря сде-
ланному нами выбору координатных осей будут равны нулю,
то и знаменатели этих отношений будут равны нулю. Из этого
вытекает, что направления главных осей напряжений и глав-
56
ных осей скоростей деформаций совпадают друг с другом. х
Но условие (2,36) дает и нечто большее. Для главных осей
его можно записать в виде:
Е1 — " ~ s3 £3 — Ч
или словами: разности главных напряжений пропорциональны
•соответствующим разностям главных скоростей деформации.
Круги Мора строятся, как мы видели на этих разностях, как
га диаметрах, следовательно, круги Мора для тензора напря-
жении и для тензора скоростей
деформаций будут представ-
лять собой подобные фигу-
ры, хотя они и могут раз-
лично располагаться по отно-
шению к* началу координат I
<рис. 23).
Следовательно, девиатор j
напряжений пропорционален
тензору скоростей деформа-
ций, которой вследствие неиз-
менности объема при пласти-
ческой деформации сам явля-
ется девиатором. Аналити-
чески это можно выразить
формулами:
или с,——(а7-|-с,.) =3As(
и -4i-=Alik- (2»36')
Рис. 23
Резюмируя содержание этого параграфа, напомним, что
теория идеально пластического тела пользуется следующими
уравнениями:
1) уравнениями равновесия;
2) пропорциональностью девиатора напряжений девиатору
деформаций, выражаемой формулами (2,36');
3) условием неизменности объема (2,34);
4) условием текучести, которым на первой стадии разра-
ботки теории служило условие наибольших касательных на-
пряжений.
3. Экспериментатьиая проверка условия текучести.
Условие предельной интенсивности напряжений
Из числа уравнений теории пластичности только уравне-
ния движения (равновесия) не нуждались в эксперименталь-
ной проверке.
57
Условие текучести и постоянство объема при пластиче-
ской деформации хотя и были выведены из опытных данных.
могли бы при более обстоятельном исследовании оказаться
недостаточно точными; наконец, условие пропорциональност;»
.девиатора деформаций девиатору напряжений, повидимому,
не опиралось непосредственно на данные опыта.
Легче всего было проверить условие текучести.
Исследования по пластичности металлов (главным обра-
зом, стали) велись особенно интенсивно с начала XX в.
W
Опыты по определению предела текучести металла про-
изводились, главным образом, на тонкостенных трубчатых
образцах (толщина стенки 1/2- радиуса), которые подвер-
гались осевому растяжению, внутреннему гидростатическому
давлению, или кручению или, наконец, двум из этих воздей-
ствий одновременно. В таких условиях, во-первых, напряжен-
ное и деформированное состояние почти однородны, во-вто-
рых, можно получить напряженные состояния с разнообразными
соотношениями главных напряжений.
Если обозначить через р внутреннее давление, то коль-
цевое усилие на единицу длины образующей равно рг, где
г — внутренний радиус трубы, а кольцевое растягивающее
напряжение, которое для тонкостенной трубы можно принять
равномерным по толщине стенки, равно где 8—тол-
шина стенки. Радиальное напряжение равно нулю у наруж-
ной поверхности, а у внутренней достигает величины—/?, т. е.
всего 4—5% от Практически радиальными напряжениями1
можно пренебрег.
Создавая при помощи осевой растягивающей силы напря-
жение з_ и сочетая его с напряжением зр можно получить
разнообразные (практически плоские) напряженные состояния.
Если приложить крутящий момент, возникает касательное
напряжение ~zt. Сочетая кручение с осевым растяжением,
можно снова получить разные плоские напряженные состо-
яния, но уже при повернутых главных осях. Главные напря-
жения будут при этом:
Их можно выбрать такими же, как в некоторых опытах,
-с внутренним давлением и осевым растяжением и проконтро-
лировать, таким образом, изотропность образцов. Предел те-
кучести определялся по измеренным продольным удлинениям’
и углам закручивания.
Таким образом, можно было эмпирически выявить усло-
вие текучести, правда, только в условиях плоско-нап^яжен-
Jioro состояния.
58
Графически условие предельных наибольших сдвигающих,
напряжений изобразится на плоскости з,, s„ шестиугольников.?:
(рис. 24), представляющим собой сечение шестигранной призмы
(рис. 22), плоскостью з3 =0. Действительно, если
то наибольшее касательное напряжение равно Оно не мо-
ч
жет превосходить величины k, а на пределе текучести равно
ей. Следовательно, з,=2/г (прямая 7—7).
Аналогично, если з1<^з2<С0, то зт =— 2/г (прямая 2—2>.
При
при
при
при
’2>о>0
з2<з,<0
3j 0 > 3,
Д 0 3:
з, — 2/г (прямая 3—3);
з3 =— 2k (прямая 4—4);
3j —з2 = 2k (прямая 5—5);
з2 = —2/г (прямая 6'—6).
Если за
при чистом
характеристику металла принять предел текучести
растяжении зт — 2/г, то предел текучести при чи-
стом сдвиге, т. е.
в случае з2 =— зР
соответствовал бы
величине --
Условие предель-
ных наибольших ка-
сательных напряже-
ний в общем под-
тверждалось данны-
ми опытов, но при
чистом сдвиге каса-
тельные напряжения
были в среднем нем-
ного вышеу-
Для одной се-
рии опытов, в кото-
рой трубы подвер-
гались осевым уси-
лиям и кручению, была предложена эмпирическая зави-
симость между нормальным напряжением от осевой силы з2 и
касательным напряжением от кручения тг/ при пределе теку-
чести:
(2,37>
Согласно (2,37) при чистом сдвиге касательное напряжение'
состав тяет не 0,5сг, как следовало бы из условия наибольших
касательных напряжений, а 0,6зг-
5»
Выразив сг и tzt через зг и з, и подставив в (2,37), по-
лучим:
С2-0,78аЛ-]-а| =4, (2,37')
т. е. эллипс в плоскости с2, показанный пунктиром на
рис. 24.
Отвлекаясь от того, которое из трех главных напряжений
наибольшее и которое наименьшее, условие наибольших каса-
тельных напряжений можно записать в виде трех неравенств:
141)1-0; IЛэiO; IvdI-O-
Имея в виду упростить математическую сторону задачи,
.Мизес [Ь9, стр. 6] предложил заменить предыдущее усллпие, ко-
торому в пространстве с координатами т(1), т(2), т({) соо ве ство-
вал бы куб, условием текучести:
т(|) + Т(Ъ T(i)= ’ (2,38)
которому в тех же координатах отвечал бы шар. Однако поль-
зоваться такими координатами неудобно, так как главные ка-
рательные напряжения не независимы [см. (2,14)]. Поэтому
лучше выразить условие (2,38) через главные напряжения. Оно
принимает вид:
(=. - =2)2 + (=2 - 4,)3+(=з - Ох)2=8Л2 (2,38')
«ли согласно (2,16):
4 =2|/-^ k. (2,38")
Поэтому это условие текучести правильно назвать усло-
вием предельной интенсивности напряжений.
В пространстве с координатами ср с2, с, условие текучести-
<2 38") изображает, следовательно, круговой цилиндр, ось ко-
торого образует равные углы с координатными осями (рис. 25).
В случае чистого растяжения, т. е. при о, = г3 = 0,’мы по-
лучим:
Oj — 2k.
Если попрежнему предел текучести при чистом растяже-
нии обозначим через сг, то условие предельной интенсивности
напряжений примет вид:
(°г _ 02)’- (Са _ Оз)2 _[_ (3; _ 01)2 = 2с| (2,38 "')
«ли
S1 = j/|57. (2>3S<v)
Для плоско-напряженного состояния, при = О оно дает
эллипс:
52-^а+=1 = 4, (2,39)
50
т. е. отличается от эллипса (2,37) только коэфициентом
при Vi
Для чистого сдвига, т. е. при з2 —— сх из (2,39) найдем:.
т=о1 = -^^=0,577а;>
У 3
ч
т. е. величину, близкую к 0,6 зу.
Эллипс (2,39) опи- - г
сан вокруг шестиуголь-
ника (рис. 24). Отсюда
видно, что цилиндр
(2,38") описан вокруг
шестигранной призмы
(рис. 25), отвечающей
условию небольших ка-
сательных . напряже-
ний.
Следует еще отме-
тить случай плоской
деформации. Если ком-
поненты скорости де-
формации пропорцио-
нальны компонентам де-
ъиатора напряжений, то
(2,40' >
Из (2,40) при г2 = 0:
При этом условие текучести примет вид:
4(31-а»)2 = 24
или
|1тЧ^' = 1^)'=0,577зг.
I ~ I
Иными словами, для случая плоской деформации условие
предельной интенсивности напряжений читается так: главное
касательное напряжение постоянно по абсолютной величине..
Однако величина постоянной иная, чем для (2,32).
Дальнейшие опыты либо очень хорошо подтверждали ус-
ловие предельной интенсивности напряжений, либо давали
значения предела текучести, лежащие между условиями наи-
больших касательных напряжений и предельной интенсивности
напряжений, которые, как мы уже видели, близки между собой.
> Для практических целей оба условия текучести дают до-
статочное приближение, поэтому в зависимости от удобства
61
можно воспользоваться любым из них. Преимущество условия
наибольшей интенсивности напряжений состоит в том, что,
применяя его, не приходится заботиться о зонах, в которых
условие текучести различно выражается через напряжения,
отнесенные к определенной системе координат. Зато условие
предельной интенсивности выражается через главные напряже-
ния нелинейно и в применении к ряду задач оказывается ме-
нее удобным, чем условие наибольших касательных напря-
жений х. -
Условию предельной интенсивности напряжений пробо-
вали давать энергетическую трактовку. Еще Бельтрами пред-
полагал, что предел упругости определяется накоплением
в теле некоторого определенного запаса упругой энергии. Как
мы уже видели, условию постоянства потенциальной энергии
-отвечает в пространстве ах, с,, s;j эллипсоид (рис. 19). Если бы
эго условие можно было принять в качестве условия теку-
чести, то при достаточно интенсивном всестороннем сжатии
можно было бы создать в теле остаточные деформации. Но
опыт этого не подтверждает. Большинство исследованных' тел
(в частности, металлы) вело себя при очень интенсивном все-
стороннем сжатии вполне упруго. Львовский профессор Гу-
бер [73(161] попробовал исправить условие Бельтрами сле-
дующим образом: эллипсоид он сохранил только при <?>0,
а при а <С 0 принимал во внимание не полную потенци-
альную энергию, а только энергию изменения формы (2,31).
Стедовательно, в этой области эллипсоид заменен касатель-
ным к нему цилиндром. Для с<[ О это условие есть условие
предельной интенсивности напряжений. Не надо, однако, забы-
вать, что при с ДО условие Губера существенно отлично от
условия предельной интенсивности напряжений.
Генки [89, ст. 10] трактовал это последнее как закон
постоянства потенциальной энергии изменения формы. Мы
-еще вернемся к работе Генки при рассмотрении теории упруго-
пластического тела.
4. Пример применения теории идеально пластического тела
Недостатки этой теории
В качестве иллюстрации применения теории идеально пла-
стического тела рассмотрим неоднократно разобранный в ли-
тературе простой пример, относящийся к плоской деформации.
Для нас он удобен в том отношении, что оба условия те-
кучести при плоской деформации принимают, как показано
выше, одинаковый вид с той только разницей, что по усл&-
1 По этой причине многие авторы при решении конкретных задач поль-
зовались условием наибольших касательных Напряжений [19], [73] или даже
за пеняли цилиндр, выражаемый условием (2,42"), многогранной, например,
12-гранной, призмой [si], [33].
62
.вию наибольших касательных напряжений постоянная k имеет
значение k ——, а по условию наибольшей интенсивности
касательных напряжений k =
у'З
Пусть толстостенный цилиндр с внутренним радиусом а
и наружным радиусом b течет под действием равномерного
внутреннего давления. Его наружная поверхность не нагру-
жена. По симметрии перемещения точек цилиндра происхо-
дят только в радиальном направлении,
а главные оси напряжений по той же
причине направлены по радиусу, по ка-
сательной к образующей и параллельно
оси цилиндра.
Обозначим главные напряжения, пер-
пендикулярные оси цилиндра, через st
и ct (рис. 26), а главное напряжение, па-
раллельное оси цилиндра, — через По
предположению sx=0, а следовательно,
из (2,40'):
Рис. 2b
наибольшим, а усло-
Таким образом, главное напряже-
ние не может быть ни наименьшим, ни
вие текучести примет вид:
ct-G=±2k.
Единственное условие равновесия в нашем случае есть
dar at — тг
dr~ ~r ‘
Пользуясь им и условием текучести, находим:
d<sr ______________________ , 2г
dr — г ’
откуда
cr = ± 2k In | г I Ц- С.
На внутренней поверхности цилиндра, т. е. при г =
радиальное напряжение равно внутреннему давлению, т. е.
бг=—-р, отсюда
С =—р± 2k In! а\,
и, следовательно:
а,=-/>±2Мп|-^-|. (2,41)
63
По условию задачи на внешней поверхности, т. е. при г=Ь
напряжение ог обращается в нуль, т. е.
р=-г-2А1п| — I.
Но так как р, k и In j-^-l величины положительные, в этой
формуле и в предыдущих надо сохранить только верхний знак,
гак, мы нашли величину давления р, которое заставляет
течь цилиндр. Теперь окончательно
3/=-2/г1п Д-|
и из условия текучести:
Мы определили напряжения, не определяя деформаций.
Задачи теории пластичности, которые допускают такое реше-
ние, называют статически определимыми.
Перейдем теперь к определению скоростей движение
частиц, т. е. к разысканию функции и=и(г). Скорости де-
формаций выражаются через и так:
du и • -
с =-7-; £/ = —; е, = 0.
' dr ’ ‘ г ’ г
Следовательно, уравнение (2,34) примет вид:
I ' г, du и п
0 или - = 0.
Его интеграл есть
«=~, (2,42)
где Cj не зависит от г. Параметр С\ в статически опреде-
лимых задачах остается неопределенным, поэтому мы нашли
Iаспределение скоростей вдоль радиуса цилиндра лишь с
точностью до множителя СР
Определив функцию и, легко' вычислить скорости де-
формаций:
____ du С-i е " и _ С-,
‘г fir Г2 ’ У Г2 ’
а также функцию А (г). В нашем случае уравнение (2,35)
примет вид:
с< —gr _ 2k е> л
Ч--Г 2-Q- C1 ’ 1
г2
Величина А есть функция г и параметра Сг
£4
В рассмотренной задаче все тело находится в состоянии
текучести, нет также внешних связей, стесняющих дефор-
мацию (на границе заданы напряжения, а не перемещения).
Мы определили при этом напряжения, но скорости или при-
ращения деформаций и перемещений нашли лишь с точ-
ностью до параметра Сг.
Это можно истолковать так: на пределе текучести де-
формации возрастают при неизменных величинах напряже-
ний неопределенно.
Случай, когда деформация текучести может возрастать
при постоянных напряжениях, называется свободной де-
формацией текучести.
В статически определимых задачах пластическая дефор-
мация всегда свободна. Но иногда задачи теории пластич-
ности статически неопределимы.
В этих задачах могут иметь место не только свободные,
но и вынужденные деформации. Пластические деформации
называются вынужденными, если в процессе деформации на-
пряженное состояние точек тела непрерывно изменяется,
продолжая, однако, удовлетворять условию текучести.
Если, например, в пластическом состоянии находится
только часть тела, тогда как смежные с ней части еще не
достигли предела текучести, то может оказаться, что рост
пластических деформаций невозможен без соответствующей
деформации упругих зон. В этом случае, во-первых, отпадает
неопределенность величин пластических деформаций: они
будут зависеть от упругих деформаций, а последние в свою оче-
редь—от нагрузки. Поэтому, пока упругие зоны ограничивают
деформацию пластических зон, каждому значению, которое при-
мет нагрузка в заданном процессе загружения, будет отвечать
определенная величина пластической деформации. Во-вторых,
в процессе загружения напряжения в пластической зоне, как
правило, будут изменяться, даже оставаясь на пределе те-
кучести, т. е. деформация будет вынужденной.
Рассмотрим для примера тот же случай толстостенной
трубы, нагруженной внутренним давлением, но проследим
процесс перехода трубы в пластическое состояние с ростом
нагрузки.
Решение упругой задачи дает для перемещений и напря-
жений такие значения:
2G« = C2[(l-2v)-^-+^];
ог=С2(-1—А); (2,43)
-5 А. А. Гвоздев
65
На наружной границе цилиндра, т. е. при г — Ъ имеем а, = О,
как и требуется по условиям задачи. Из (2,43) видно, что
at—аг — ^~, т. е. разность главных напряжений с удалением
от центра трубы убывает; поэтому пластические деформа-
ции начинаются у внутренней поверхности трубы. Пусть
имеется и упругая, и пластическая зоны. Границей между ни-
ми вследствие симметрии служит цилиндрическая поверх-
ность. Обозначим ее радиус через р. На границе с пласти-
ческой зоной разность главных напряжений в упругой зоне
должна достигать величины k. Этим условием воспользуемся
для определения С2.
При г = р:
' бг=у = 26, т. е. С2=6Р2.
Подставляя значение С2 в выражения перемещений и на-
пряжений, найдем для упругой зоны:
(2,43')
Из последней формулы видно, что изменение объема во
всей упругой зоне одинаково. Оно растет с расширением
пластической зоны.
Для пластической зоны мы нашли выше [см. (2,41)]:
аг= - р +26 in |4J-|.
Нагрузку р определим теперь из условия, что на границе
между упругой и пластической зонами напряжение а, не
должно иметь разрыва
G,= -p4-261n[-j| = 6p2(A_^>
откуда
р = 6 [21п'-М +1----^-1
г L 1 о. | 1 о2 J
и
dp 4k 62 — Р* n
66
Отсюда видно, что р растет с увеличением р, т. е. с
увеличением нагрузки пластическая зона расширяется. Появ-
лению пластических деформаций отвечает р = а, откуда
»
Наоборот, случай перехода всего тела трубы в пласти-
ческое состояние получим при р = Ь. Это даст нам ранее
найденные формулы.
Когда а < р < Ь, то
e,=»[l+2to|f|+£]; .
Оя=!ф<=ф1п|_£_|+Д].
Отсюда видно, что с расширением пластической зоны,
или, что то же, с ростом нагрузки, напряжения в пластиче-
ской зоне изменяются. Иными словами, деформация — вы-
нужденная.
Однако легко подсчитать, что
а потому
сг—аг—о — — k‘,
о* — ct — о = 4"
с* = 0,
•
т. е. девиатор напряжений в пластической зоне не меняется
с ростом нагрузки. Девиатор характеризуется, как мы виде-
ли, пятью величинами: направлениями трех главных осей и
инвариантами si и sn. Если условие текучести выражается
постоянством интенсивности напряжений, то изменение де-
виатора напряжений в пластической зоне могло бы выражать-
ся в изменении направлений главных осей или в изменении
величины инварианта зп.
Различие между свободной и вынужденной деформация-
ми играет в теории пластичности менее существенную роль,
чем различие между случаями, когда девиатор напряжений
меняется в процессе деформации или остается неизменным.
6» 7 67
А. А. Ильюшин, обративший внимание на это обстоятельство,
ввел [34] понятие о тензоре подобия:
Рхх Рху Pxz * S1 Х*У SI Txz sl
Руу Pyz = zvx sl * °y S1 SI •
' Ргх 1 Ргу Pzz ~zx 1s‘ SI * °z SI
Для этого тензора, очевидно:
pxx+pyy+pzz---А.
1 о — V,
Pl р2хх -\~Pyy H“pzz + 2 (jfxy + Pyz 4-pzx) = 1 •
Поэтому тензор подобия характеризуется только четырьмя
величинами, а именно: направлениями трех главных осей и
одним инвариантом:
Ди = 3 '6 Ди Д22 Дзз,
где рп, рг2, р. 3 — компоненты тензора подобия, отнесенного
к главным осям.
Как легко усмотреть из предыдущего (стр. 43), инва-
риант ри определяет направление касательного напряжения
на площадке, равно наклонной к главным осям.
Случай, когда тензор подобия в точке пластического тела
при нагружении не меняется, А. А. Ильюшин назвал про-
стым нагружением; при сложном нагружении тензор по-
добия меняется, т. е. происходит поворот направлений глав-
ных осей, или с ростом нагрузки меняется величина рц, либо
то и другое происходит одновременно.
Итак в трубе, деформируемой внутренним давлением,
пластическая деформация вынужденная, но нагружение
простое.
Займемся теперь перемещениями и деформациями пласти->
ческой зоны трубы. Мы уже нашли выше (2,42), что прира-
щения пластических деформаций обратно пропорциональны
расстоянию от оси трубы. Но коэфициент пропорционально-
сти оставался прежде неопределенным.
Значение С, мы- должны теперь определить так, чтобы
в течение всего процесса деформации перемещения и удли-
нения на границе упругой и пластической зон были’равны
друг другу. Приращение деформации можно характеризовать
6&
увеличением радиуса цилиндра, ограничивающего пластиче-
скую зону. Заменив — на и Сх на С', перепишем урав-
нение (2,37) в виде
du = dp. (2,42')
Величина С может принимать в процессе деформации
различные значения; она является, следовательно, функци- .
ей от р.
Интегрирование равенства (2,42), дает:
И= ®1й._}_^(г), (2,44)
где Ф и F — пока неизвестные функции.
Отсюда
^=>=—<2>45>
Определим теперь функции Ф и F из условия, чтобы
на границе упругой и пластической зон перемещения и уд-
линения изменялись непрерывно. Напомним, что et — ~ и
ег — 0. Следовательно, et будет непрерывна вместе с и. По-
этому достаточно, положив в выражениях (2,43'), (2,44) и
(2,45) г = р, приравнять значения и и соответственно е, для
упругой и пластической зоны.
Определив отсюда функции Ф и F, находим окончатель-
но для пластической зоны:
2С“=*?’[‘-^(^+^) + 4] (2,44')
И
, - (2,45)
а также
f. kr- 1-—2ч /о исч
Ge==_._. (2,46)
Формула (2,46) показывает, что изменение объема в-пла-
стической зоне не зависит от р, т. е. не меняется в процессе
пластической деформации. Оно сохраняет то значение, кото-
рое было достигнуто в упругой зоне к моменту перехода в
пластическое состояние; в этом легко убедиться, сопоставив
(2,46) с последней из формул (2,43').
Следует отметить, что, пользуясь теорией идеально пла-
стического тела и теорией упругости, не удается во всех
69
случаях обеспечить непрерывность напряжений и деформаций
на стыке упругой и пластической зон [5]. В рассмотренном при-
мере при г«=р обнаруживается разрыв в величине напряже-
ний аг. В упругой зоне эти напряжения определяются из
условия:
ez—-g- к “ >(°/ + °,)] = °»
откуда J
В пластической зоне, как показано выше:
_ — °<+СТГ
2 •
Напряжения ct и ог при переходе из пластической зоны в уп-
ругую не терпят разрыва, но так как коэфициент Пуассона
v ф > то Для °х ПРИ r = Р имеется скачок, что следует от-
нести за счет неточности теории.
Постоянство объема при пластической деформации, как
упоминалось, было принято в теории на том основании, что
даже после больших деформаций грубые измерения не обна-
руживали остаточного изменения объема испытанных об-
разцов.
Однако на основании опыта нельзя утверждать, что вы-
нужденная пластическая деформация не сопровождается из-
менениями объема такого же порядка, как при упругой
деформации.
В следующем параграфе мы перейдем к изложению раз-
ных вариантов теории упруго-пластического тела, в которой
учитывается изменение объема при вынужденной пластической
деформации. Этим теория осложняется, зато удается избежать
противоречий, к которым приводит теория идеально пласти-
ческого тела.
Следует все же подчеркнуть, что пользование теорией
идеально пластического тела дает в ряде случаев простые
и практически приемлемые приближенные решения. Не имея
возможности входить здесь в подробности, мы отсылаем
читателя к работам Беляева и Синицкого [5], Соколовско-
го [73], [74] и другим специальным исследованиям.
'Прежде чем перейти к теории упруго-пластического тела,
отметим еще, что А. А. Марков [53] исследовал уравнения
теории идеально пластического тела с условием текучести в
форме предельной интенсивности касательных напряжений и
пренебрегая объемными силами. Он показал, что если на по-
верхности тела, находящегося в пластическом состоянии, за- '
даны все компоненты скорости точек или же нормальные
составляющие скорости и касательные напряжения, то тензор
напряжений внутри тела, когда решение задачи существует»
•определяется однозначно с точностью до постоянной для всего
тела величины среднего нормального напряжения; если же
•на границе тела, находящегося в пластическом состоянии»
заданы напряжения, тензор напряжений внутри тела, когда
решение задачи существует, определяется однозначно.
5. Учет ^упругих'Деформаций (упруго-пластическое тело).
Потенциал текучести
Попытку учесть одновременно упругие и пластические
свойства материала сделали Хаар и Карман [89, ст. 5].
Упругое состояние решается, исходя из минимума потен-
циальной энергии. Выразив потенциальную энергию в элемен-
те объема тела через напряжения
П = П(3л, <зу, тху, хуг, хгх),
надо разыскать такие функции ах, ау,.чгх, удовлетворяющие
условиям равновесия и заданным значениям на границе тела,
которые обращают потенциальную энергию, накопленную во
всем объеме тела, т. е.:
fffUdx dy dz
в минимум. ' '
Чтобы учесть условия равновесия EX'—0; SK = 0; SZ = 0,
надо умножить их левые части на неопределенные множи-
тели й, v, w и прибавить к подинтегральной функции.
Иными словами, задача сводится к разысканию минимума
функционала:
/=///(п+“(&+^?+Ш+Ч^+.у+^‘)+
+® г?)} * *• <2’47>
где и, v, w — множители. • .
Легко усмотреть физический смысл множителей и, v, чг.
Первое слагаемое подинтегральной функции представляет
упругую энергию, поэтому дополнительные члены в (2,47)
должны 'также иметь смысл и размеренность работы. Но мно-
жители в скобках представляют собой суммы проекций на ко-
ординатные оси всех сил, действующих на элемент тела. Сле-
довательно, множители и, v, w — компоненты перемещений
точек упругого тела.
Если функции ar, ау, хху, туг, тгх реализуют минимум фун-
кционала J, то необходимо, чтобы первая вариация этого ин-
теграла 5J обращалась в нуль.
71
Для этого напряжения должны удовлетворять уравнениям
Эйлера, которые для рассматриваемой задачи примут вид1:
дП _ди _ дП ___ди dv
дсх ~ дх ’ дтху ~ ду ' дх
И Т. Д., круговой подстановкой X, у, Z И и, “V, IV.
Если подставить сюда выражение упругой энергии эле-
мента через напряжения и заменить производные от переме-
щений деформациями по формулам (2,22), получаются форму-
лы теории упругости:
*
= Й + = 4 (°у+ • <2>49>
Формулы (2,48) и (2,49) вместе с условиями равновесия и
граничными условиями принципиально достаточны для реше-
ния задачи.
Но можно, исключив из (2,48) перемещения, получить-
уравнения совместности деформаций, записав их в виде:
д* /ап \ д* /ап \ _ д* ( ап \
а_у2 \дсх) а%2 \dcyj ~ дх ду \д тху)
и т. д., круговой подстановкой х, у, z.
Напряжения могут быть определены из условий равнове-
сия, уравнений совместности и граничных условий.
Рис. 27
Для упруго-пластиче-
ского тела сохраняют то же
выражение упругой энергии
через напряжения,
как и для идеально упру-
гого тела. Это в сущности
вытекает из известного за-
кона: при разгрузке зависи-
мость между деформациями
е и напряжениями линейна и
характеризуется теми же
постоянными, как и при на-
1 Для рассматриваемой задачи уравнения Эйлера имеют вид:
dF д dF_________________ д dF___________д_ dF ________„
дс, dx ' ~ /дсх\ dy ' fdsv\ дг ’ , /5av\ ’
д\&)
dF д ________dF______д _ dF д . dF
и еще 4 аналогичных уравнения, получаемые круговой подстановкой ин-
дексов при напряжениях и координат. >
Здесь F—подинтегральная функция в (2,47). Так как F не зависит or
de, d<ix d?xv
ду г дг ’ ~dz и т- п-> то Ряд членов в этих уравнениях пропадает. Ос-
тальные производные от напряжений входят в F линейно. Поэтому частные:
производные по производным от напряжений равны миожителям Лагранжа.
72
гружении в упругой стадии. Отсюда вытекает, что и за пре-
делом пропорциональности энергия, освобождающаяся при
разгрузке элемента тела, т. е. упругая энергия этого эле-
мента, выразится через напряжения так же, как для идеально
упругого тела (рис. 27).
Если в теле происходят пластические деформации, •ГЭ'
напряжения должны удовлетворять не только граничным ус-
ловиям и условиям равновесия, но еще и дополнительным
неравенствам, вытекающим из условия текучести.
Хаар и Карман воспользовались условием наибольших
касательных напряжений, которое приводит, как мы. уже ви-
дели, к шести неравенствам типа
Они далее принимают как постулат, что напряжения,
удовлетворяющие всем упомянутым условиям, должны обра-
щать упругую энергию в минимум.
Задачи о разыскании экстремума функционала при допол-
нительных условиях в виде неравенств называются задачами
с односторонними вариациями. Для таких задач функции,
реализующие экстремум, в некоторых областях могут удов-
летворять всем дополнительным условиям, записанным со
знаком неравенства, например,
Для других областей те или иные из дополнительных ус-
ловий переходят в равенства.
Для рассматриваемой задачи возможны три случая:
1) ни одно из неравенств не переходит в равенство (точ-
ка, изображающая напряженное состояние, находится внутри
призмы, рис. 22);
2) в равенство переходит’одно из дополнительных условий,
например, С1~^-8 = k (точка лежит на одной из граней призмы);
3) в равенство переходят два дополнительных условия, на-
пример, “~^-8 = k\ — k (точка лежит на ребре призмы).
В первом случае должны удовлетворяться те же условия,
что для идеально упругого тела.
Второй случай называют полупластическим, а третий —
вполне пластическим. Выясним, как в этих случаях должны
выражаться деформации тела.
Для второго случая искомые функции должны удовлет-
ворять условиям Эйлера для безусловного экстремума функ-
ционала:
J= ‘ "y{lJ(s)4-nX + T/y + wZ-(-rt2)^-~^^dxdydz. (2,51>
Здесь через X, Y, Z, сокращенно обозначены суммы про-
екций на координатные оси напряжений, действующих на эле-
мент объема [сравни (2,47)]. Год есть множитель.
73
Наконец, для третьего случая должны быть удовлетво-
рены условия Эйлера для экстремума функционала: }
J=ff /{n(a) + u^ + z-r+®Z+r(2)^ +
dxdydz. (2,52)
Подинтегральные функции (2,51) и (2,52) отличаются от
таковой в (2,47) добавочными членами, которые, как и упру-
гая энергия Л, зависит лишь от напряжений, а не от их про-
изводных. Поэтому и в уравнения Эйлера и в урав-
нения, получаемые аналогично уравнениям совместности
шо исключении и, v, w, войдут вместо П: для „полупласти-
•ческого“ состояния — величина П -J- Г(2)'—а для вполне
пластического .
Границы областей определяются непрерывностью напря-
жений при переходе из одной области в другую.
Пользуясь уравнениями Эйлера, можно получить выраже-
ния для деформаций в упруго-пластическом состоянии. Ана-
логично уравнениям (2,48) для упругой задачи мы получим,
например, для полупластического состояния:
<? (п+г(2)?Чр) _да _ (П+Гс/-^-3)
дах дх о-Ху
ди , dv 1
= Б> — С2’53)
и аналогичные две пары уравнений круговой подстановкой
Л, у, z и и, v, w.
Если, в частности, направления главных осей напряжений
J, 2, 3 совпадают соответственно с х, у, z, то все 7 = 0, т. е.
главные оси деформаций совпадают с главными осями напря-
жений, а для деформаций е1, е2 и е3 получатся выражения:
о* а Г(2) _
е1 ~ 2G + ~К + 2 ’
°2
е2 — 20 + ^ >
_ с3 , ’ Г<2)
ез —20 — 2 •
(2,54)
Эти деформации отличаются от упругих только 'слагае-
.цыми + -g-Ep), в которых и выражается влияние пластической
деформации.
Отсюда ясен и физический смысл Г(2): это пластический
сдвиг, происходящий в направлении того из главных каса-
74
тельных напряжений, которое достигло предельной величи-
ны А. -
Легко проверить, что для „вполне пластических" областей
будет иметь место наложение двух пластических сдвигов,
•каждый из которых происходит в направлении главного ка-
сательного напряжения, достигающего предельной величины А.
, Пластические сдвиги не меняют объема, поэтому измене-
ние объема выражается в точности так же, как для упругого
тела, формулой:
е = "ТС • ''
Это в равной мере относится и к „полупластическому",
и к „вполне пластическому" состоянию1 * *.
Заслуживает внимания, что характер пластической дефор-
мации получается существенно иным, чем в ранее изложен-
ной теории пластичности. Действительно, согласно (2,53)
пластические удлинения и укорочения происходят только
в направлении наибольшего и наименьшего главного напря-
жения, тогда как по направлению среднего из главных
напряжений пластических удлинений нет. Если же прира-
щения пластических деформаций пропорциональны девиа-
тору напряжений, то такая деформация происходила бы толь-
ко, если
а2=ог — о = 0,
т. е. если
Генки [89, ст. 10] замелил условие наибольших касатель-
ных напряжений условием предельной интенсивности напря-
жении, придав последнему энергетическую трактовку:
.2
тт <<
или, подставляя выражение из (2,31);
тогда
д (П 4- eF) в , а*х , dF ds{ - 8 t ,
~ “ ~К +2G + ? ~ds[ ~К 4 *'2G
1 В статье Хаара и Кармана выкладки не доведены до конца и не дано
выражений для деформаций. Эти авторы утверждают, что уравнения для
вполне пластического состояния не зависят от упругих констант, что не со-
гласуется с результатом, к которому нас привели только что изложенные
рассуждения.
7$
и .
_ Э(П 4-<pF) _txv dF d.sr -ry s 2rrv • -
Otxy G •” ? ~gSj — U * f 2G * 51
= (1+?)V- (2,56)
Здесь ср — снова множитель.
Из (2,55) и (2,56) видно, что по Генки полная деформация
есть сумма упругой и пластической. Последняя определяется
формулами:
*
гх(пл) = ? 26 ’ 1ху(пл) = Т (2,57)
и аналогичными им, получаемыми круговой подстановкой ин-
дексов. Тензор пластических деформаций есть девиатор, он
пропорционален девиатору напряжений. Величина ср есть функ-
ция координат .и нагрузки (или времени). Она играет роль,
сходную с величиной А в (2,36).
Применение вариационного метода в изложенной выше
форме приводит к зависимости полных пластических дефор-
маций от напряжений, тогда как в теории идеально пластиче-
ского тела через напряжения определялись не самые пласти-
ческие деформации, а только их приращения (скорости).
Поэтому, следуя акад. Л. С. Лейбензону [51], мы будем:
различать теорию пластического течения, в которой напряже-
ниями определяются скорости деформаций, от теории малых
пластических деформаций, где через напряжения выражаются
сами пластические деформации.
В обеих описанных выше теориях упруго-пластического
тела остаточный характер пластических деформаций не на-
шел вполне удовлетворительного отражения.
Если нагрузить статически неопределимую систему так,
чтобы в некоторых ее частях возникли пластические дефор-
мации, а затем разгрузить, то, как правило, в этой системе
при отсутствии внешней нагрузки благодаря происшедшем
остаточным деформациям напряжения исчезнут не полностью.
Этим остаточным напряжениям отвечает и некоторая упругая
энергия ПО(т>0. Можно привести много примеров, когда
во всех точках системы остаточные напряжения ниже преде-
ла текучести. В этих случаях, следуя цитированным авторам,
остаточные напряжения должны были бы, удовлетворяя толь-
ко граничным условиям и условиям равновесия, обращать по-
тенциальную энергию в минимум. Но этим условиям, очевид-
но, удовлетворяют напряжения, тождественно равные нул^».
Этот существенный недостаток теории малых пластиче-
ских деформаций устранил А. А. Ильюшин [35], введя разли-
чие между активной и пассивной деформациями. В применении
76
к материалу, не обладающему упрочнением, активная пласти-
ческая деформация имеет место, если интенсивность напряже-
ний достигла предельного значения si = |/"-|- аг и интенсив-
ность деформаций ei возрастает. Если же интенсивность де-
формаций начинает убывать, то происходит разгрузка. При
этом приращения напряжений связаны с приращением дефор-
мации законам упругости, а интенсивность напряжений убы-
вает и становится меньше предельного значения. Если интен-
сивность напряжений после этого снова начинает возрастать,
то деформация остается пассивной, т. е. приращения дефор-
маций связаны с приращениями напряжений законом упруго-
сти до тех пор, пока интенсивность напряжений не достиг-
нет снова предельного значения. Если после этого интенсив-
ность деформаций будет снова возрастать, то деформация
опять становится активной. Учет пассивной деформации поз-
волил А. А. Ильюшину разработать имеющую большое прак-
тическое значение теорию упруго-пластической устойчивости
плит и оболочек [36], [37]. Эти вопросы, однако, мало связаны
с задачами, разбираемыми в этой книге, а потому мы их и не
затрагиваем.
Следует заметить, что в случае, если за пассивной де-
формацией вновь следует активная, уравнения теории малых
пластических деформаций будут годны лишь при условии,
что тело испытывает все время простое загружение (см. стр. 68).
Если, например, подвергнуть цилиндрическую трубку ак-
тивной деформации при чисто осевом растяжении, а затем
полностью разгрузить, то напряжения в ней исчезнут, но
сохранятся остаточные удлинения. Нагрузив после этого стер-
жень крутящим моментом и доведя его до такой величины,
чтобы по всему поперечному сечению напряжения достигли
предела текучести при сдвиге, мы снова приводим трубку
в состояние активной деформации. Однако при этом зависи-
мость между напряжениями и полными деформациями, оче-
видно, не будет такой, как это следовало бы из уравнений
теории малых пластических деформаций. Действительно, ос-
таточные деформации, возникшие при растяжении, не пов-
лияют на напряженное состояние трубки, тогда как в уравне-
нии теории малых пластических деформаций входят полные
деформации. А. А. Ильюшин в последующих своих работах
подчеркивал, что теория пластичности хорошо разработана
только для случаев простого нагружения. Мы ниже еще вер-
немся к этому вопросу.
Применение вариационных методов к задачам пластично-
сти подверглось дальнейшей разработке в упомянутой статье
А. А. Ильюшина [35] и в работе Л. М. Качанова [44]. Возвра-
щаясь к работам Хаара и Кармана и работе Генки, отметим
еще одну iwc особенность.
77
В теории идеально пластического тела, помимо уравне-
ний равновесия (движения), устанавливалось еще три незави-
симых друг от друга соотношения: условие текучести, усло-
вие постоянства объема и пропорциональности тензора (де-
виатора) скоростей деформаций девиатору напряжения. Меж-
ду тем указанные авторы приняли только одно условие теку-
чести, тогда как закон деформаций оказался следствием
условия текучести; при этом условию наибольших касатель-
ных напряжений отвечали сдвиги в направлении главных
касательных напряжений, а условию предельной интенсив-
ности напряжений — пропорциональность между девиато-
рами. В обоих случаях пластическая часть деформации не
меняет объема тела. Если в (2,54), (2,55) и (2,56) пренебречь
упругими деформациями по сравнению с пластическими и за-
писать условие текучести, как F — 0, то пластические дефор-
мации оказываются пропорциональными производным от F по
соответствующим напряжениям:
’ - _df7 dF dF_
61 =е2-е3 ~ Й01'- :Й0з -
Если мы прибегнем к изображению тензора деформаций
и тензора напряжений в трехмерных пространствах о1г а2 и с3
и ev е2, es и условимся, как и прежде, считать оси и £t,
с2 и е2, а8 и е3 соответственно параллельными, то зависимость
(2,58) показывает, что напряженному состоянию, изображае-
мому какой-либо точкой на поверхности F = 0, отвечает де-
формация, изображаемая вектором, параллельным нормали
к поверхности текучести в этой точке.
Это свойство пластических деформаций позволяет опре-
делить их характер из условия текучести, тогда как величи-
на деформации определяется функциями координат и време-
ни или Г.
То же свойство независимо от энергетического подхода
можно приписать скорости пластической деформации, приняв:
> (2’59)
и т. д. круговой подстановкой х, у, z.
В частности, для главных осей:
‘ dF.dF.dF
е1 • е2 - е3 = • да3
Согласно (2,59) и (2,60) скорости пластических деформаций
обладают тем свойством, что работа, затрачиваемая на пла-
стическую деформацию, не меняется при бесконечно маляре
вариациях напряженного состояния на пределе текучести.
Так как аналогичным свойством обладают по отношению к
упругим деформациям поверхности равной упругой энергии
78
(2,60}
H=const, то можно назвать потенциалом текучести функ-
цию F, которая, будучи приравнена нулю, дает условие те-
кучести [73 (33)].
Во многих вопросах теории пластичности потенциал те-
кучести оказывается очень полезным; в дальнейшем мы с
ним еще не раз встретимся.
। Вернемся к упруго-пластическому телу. Для него, помимо
теорий малых пластических деформаций, была предложена
теория, в которой через напряжения выражаются не полные
деформации, а скорости деформаций [89, ст. 14]. Мы назовем
ее теорией упруго-пластического течения.
Упруго-пластическое течение характеризуется условием
2
предельной интенсивности напряжений и следую-
щими выражениями для скоростей деформаций:
1) если sj <, 3 ^-т, т. е. когда напряжения ниже предела
текучести:
: _ А 4--^- Т — -'7- = g. ,-±Л.
г~ К ‘2G’ G \j = x,y,z’ l=rJJ>
2)если5р= т- е- на пределе текучести:
; $ , 4 .
ег — /< + '2g + ’^ 2G ’ — “G ~G~’ (2>61)
В первом случае приращения деформаций получаются ди-
ференцированием по времени формул (2,28) и (2,29) теории
упругости. Во втором — к ним добавляются скорости дефор-
мации идеально пластического тела (2,36), причем введено
обозначение: .
Если после нагрузки, сопровождавшейся текучестью ма-
териала, происходит разгрузка, уравнения упруго-пластиче-
ского течения дают, очевидно, остаточные деформации.
Теория Генки и теория упруго-пластического течения
пользуются одинаковым условием текучести, но для дефор-
маций дают различные выражения1.
Чтобы удобнее сравнить их между собой, возьмем, сле-
дуя Н. М. Беляеву [4], производную по времени от формул
(2,55) и (2,56), тогда
•. . . X
»>-4-+тг<1+т)+®<; =-£ О-Н)+»-£-• (2.в2>
1 Можно было бы дать теорию упруго-пластического течения с усло-
вием наибольших касательных напряжений в качестве условия текучести.
Эту теорио уместно сопоставить с теорией Хаара и Кармана. , "
79-
Когда деформация простая, т. е. производные по времени
от компонент девиатора напряжений равны нулю, то выраже-
ния (2,61) и (2,62) для скоростей деформаций дают одинако-
вые значения, если положить ф = <р.
При сложном нагружении в формулах (2,62) вместо
-простого наложения скоростей упругих и пластических
деформаций, что имеется в формулах (2,61), мы видим
зависимость ez и от <р, т. е. от пластической деформации,
имевшей место раньше.
В одной из своих работ [34] А. А. Ильюшин разбирал
более сложный вопрос о связи между теорией малых пласти-
ческих деформаций и теорией течения для упруго-пластиче-
ских тел, обладающих упрочнением, и показал, что для случая
простого нагружения обе теории идентичны.
В другой работе [38] А. А. Ильюшин изучал условия, при
которых имеет место простое нагружение, и выяснил, что
•если тело, начиная с некоторого момента, целиком нахо-
дится в состоянии активной деформации, а все внешние силы
изменяются пропорционально одному параметру, то нагру-
жение может быть простым при некоторых законах упроч-
нения, которые являются приемлемым приближением к най-
денным из опыта для ряда реальных материалов.
Этот вывод иногда трактуют неправильно, утверждая,
что нагружение является всегда простым, если все нагрузки
изменяются пропорционально одному параметру. На самом
деле, даже когда нагрузки растут пропорционально одному
параметру, границы между областями активной и пассивной
деформации перемещаются, причем с ростом нагрузки воз-
можен не только переход от пассивной деформации к актив-
ной, но и наоборот, как это показано на примере простой
стержневой модели в главе III этой книги (см. стр. 118).
В таких случаях одна из предпосылок вывода А. А. Илью-
шина отпадает и нагружение может оказаться сложным даже
тогда, когда все нагрузки растут пропорционально одному
параметру. Легко также показать, что для материала, не
•обладающего упрочнением, простое нагружение не имеет
места, если к поверхности активной зоны приложены не
только нормальные, но и касательные возрастающие внешние
силы. Действительно, при отсутствии упрочнения и простом
нагружении составляющие девиатора напряжений остаются
постоянными. Меняться и, в частности, возрастать может
только среднее напряжение а. А рост среднего нормального
напряжения увеличит только нормальное, но не касательное
напряжение на поверхности.
На практике нагрузки лишь в редких случаях возрастают
пропорционально одному параметру. Таким образом, рассмот-
рение сложного нагружения представляет существенней ин-
80
терес. Мы поэтому займемся несколько подробнее сравнением
теории малых упруго-пластических деформаций [формулы
«(2,55) и (2,56)] с теорией упруго-пластического течения [фор-
мулы (2,62)].
Разберем пример, легко поддающийся экспериментальной
проверке. Пусть цилиндрическая тонкостенная труба сначала
подвергается кручению, причем материал трубы доводится до
текучести и производится некоторая свободная пластическая
деформация скручивания
<0 е)
Рпс. 28
После этого, не меняя угла закручивания, трубу подвер-
гают растяжению. В этой, второй стадии деформации izt = 0,
а ег>0. Если бы тело было идеально пластичным, то напря-
жения должны были бы сразу полностью исчезнуть, по-
скольку согласно (2,36) они пропорциональны скорости сдви-
га 7г/, а осевые растягивающие напряжения сразу достигли
бы величины сг = аг, т. е. предела текучести при растяжении-
Легко себе представить, что в действительности благодаря
упругости материала изменение напряженного состояния будет
протекать иначе. Рассмотрим сначала вместо трубы простую
стержневую модель, состоящую из ряда жестких колец и
соединяющей их треугольной решетки (рис. 28, а).
Стержни рещетки одинаковы, упруги, обладают пределом
текучести при растяжении и сжатии, но никогда не теряюг
устойчивости. Наша модель, конечно, не отобразит всех свойств
трубы, Зато поведение ее выяснится из самых элементарных
соображений. Действительно, мы можем ограничиться Pae-
'S А. А. Гвоздев 81
смотрением только двух стержней решетки (рис. 28, б).
Точки А и В, лежащие на одном из жестких колец, будем
считать неподвижными. Точка С при кручении модели будет
Перемещаться параллельно АВ, а при растяжении модели —
перпендикулярно АВ. Пусть сначала С перемещается по СС'.
Стержень 1 сжимается, стержень 2 растягивается. Сумма про-
екции сил и N2 на ось трубы (^-}-Л^) cos а остается рав-
ной нулю, тогда как сумма проекций сил и Л/, на направ-
ление касательной к кольцу (7V,— AQsina возрастает, пока
не будет до сти гнуто _усилие = N (предел текучести) и
одновременно = — N.
После этого модель скручивается свободно, т. е. при
постоянной величине крутящего момента. Когда точка С при-
дет в С', подвергаем модель растяжению, не меняя ее угла
закручивания. Точка С теперь будет перемещаться по С'С".
Стержень 2 продолжает удлиняться, поэтому усилие в нем
остается равным N. Стержень 1 тоже начинает удлиняться,
поэтому сначала сжимающее усилие в нем будет убывать,
потом перейдет в растяжение, пока, наконец, не достигнет
предела текучести при растяжении.
Сумма проекции сил N1 и TV2 на ось модели будет равна
(ЛЧ-М) cos а, По мере того как сила будет меняться от
— Д' до продольное усилие в модели будет расти. Сумма
проекций сил N1 и на касательную к кольцу равна
(Д7 — 2VJ sina; при изменении от — N до -f-W она будет
постепенно убывать до нуля. Итак, изменение напряженного
состояния модели происходит не сразу, а постепенно, по мере
перемещения точки С из С' в С".
Вернемся теперь к рассмотрению опыта с трубой [89, ст. 15].
Нетрудно найти решение задачи, исходя из уравнений
малых упруго-пластических деформаций.
Условие текучести применительно к этой задаче полу-
чается из (2,38'"), если подставить туда выражения главных
напряжений через сг и тг/. Это дает:
Согласно (2,56) к моменту начала растяжения:
(1
°r
причем по условию текучести тг/ = ——-.
У 3
Обозначим значение <р, отвечающее этому моменту Опытя»
через тогда
82
Если дана величина f2z, из этого равенства можно опре-
делить <?!
В дальнейшем при растяжении трубы xzt не остается уже
постоянным, однако по условию не меняется. Отсюда
С гр
^(1+т)=-д-(!+?!)
Исключая отсюда тг< при помощи условия текучести,
найдем:
Наконец, деформация удлинения равна:
Введем отношение е удлинения es к удлинению при нача-
ле текучести, получаемому в обычном опыте на растяжение,
т. е. к величине;
аг cr(G-t-/<)
£~= год •
тогда
Кроме того, обозначим:
(2,63)
а из условия текучести t=yl— р2 .
Найдем теперь зависимость между е и р, исходя из тео-
рии упруго-пластического течения.
С начала растяжения \zt — —{- == 0.
Исключим из этого уравнения при помощи условия теку-
чести и производной от условия текучести по времени вели-
чины и izt. Найдем, таким образом: ,
а
4 =
4
г, i....aie -
6*
Тогда
* — °2_ _х. °г.
Ег з/< +'3G * 4~ 4
Интеграл этого уравнения есть
^=ft+310-arcthV+C’
а так как при ог = 0 ez = 0, то С —0.
Б прежних обозначениях найдем отсюда:
е = -q\-k (£р + Кarcth р). (2,64)
Попрежнему £ = —р* .
Зависимость между е, р nt была определена эксперимен-
тально [89, ст. 15J. Чтобы избежать расхождений с теорией, вызы-
ваемых наличием переходного
участка между пределом пропор-
циональности и площадкой те-
кучести, сначала давали трубе
более или меиее значительную
свободную деформацию круче-
ния, а затем переходили и к
растяжению. Поэтому в формуле
(2,63) для следовало принять
соответствующее положитель-
ное значение. Оказалось, одна-
ко, что наилучшее совпадение
с опытом получается, если при-
нять = 0.
Рис. 29
Один из опытов
воспроизведен на графике (рис. 29).
Кривая />1 получена из формулы (2,63) при = 0, кривая
из формулы (2,64). Кривые и t2 построены по формуле:
f=j/l — pa
подстановкой в нее соответственно значений рх и р,.
Из сопоставления теоретических кривых с точками, най-
денными опытным путем, видно, что в начале сложного за-
гружения теория упруго-пластического течения (кривые рж
и £2) хорошо согласуется с данными эксперимента, но с про-
должением сложного загружения расхождения постепенно
увеличиваются. Кривые рх и во время всего опыта хорошо
согласуются с опытными данными, однако не следует забывать,
что вопреки теории малых пластических деформаций при,их
построении принято <Pi = 0. /
В дальнейших опытах [89, ст. 17] трубы подвергались кру-
чению и растяжению на пределе текучести так, что соотноше-
ние между этими деформациями изменялось но время опыта.
84
При этом измерялись растягивающее усилие и крутящий
момент.
Оказалось, что величина свободной деформации, пред-
шествующей сложному загружению, не оказывает на послед-
нее никакого влияния. Однако, если свободная деформация
следует за вынужденной, она уничтожает ее влияние на по-
следующий процесс. Такой же эффект оказывает и разгрузка.
Таким образом, можно было бы выразить скорости де-
формаций формулами:
2 2 2
при -SJ <_ -у Оу
• •» •
1~~ к + 2G ’ G
> 2 ,
И при *1 =~зат
' ° °; ( г А 4с*
е» ~ + 2G~ J + 2G ’
*0
ъу=- TG-(1+/'5,rf7+'5’V’
’ ^0
(2,65)
при этом за момент t0 следует считать всегда начало теку-
щего сложного нагружения. Если оно прерывается свободной
деформацией или разгрузкой, то после этого ftydt нарастает
снова от нуля.
Сравнив формулы (2,65) с формулами теории упруго-пла-
стического течения, легко видеть, что для начального момента
сложного нагружения они полностью совпадают.
Если, следовательно, часто нарушать процесс сложного
нагружения разгрузками и короткими участками свободной
деформации, то процесс будет близок к описываемому урав-
нениями упруго-пластического течения.
Однако опыты показали, что и формулы (2,65) не вполне
точны. При длительном сложном загружении процесс посте-
пенно отклоняется от описываемого формулами (2,65) в том
же направлении, хотя и не столь значительно, как это имело
бы место при перерыве сложного загружения. Нам представ-
ляется, что этим отклонениям можно найти объяснение в не-
однородности материала: в процессе нарастания деформаций
некоторые частицы образца в течение коротких промежутков
времени испытывают свободную деформацию или разгружают-
ся, так что напряжения в них падают ниже предела теку-
чести.
Во всяком случае опыты показывают, что в упруго-пла-
стическом состоянии поведение металлов очень сложно и
85
вполне точное описание его при помощи уравнений встречает-
ся с значительными трудностями.
' Если же удовольствоваться приближенными результатами,
то при не очень длительном сложном загружении теорию
упруго-пластического течения можно считать приемлемой.
Для нас особенно важен другой вывод из описанных
опытов: свободная п л а ст ичес ка я д е ф о р мация вс е г-
да протекает так, как это следует из потенциа-
ла текучести.
На первый взгляд может казаться, что данные некоторых
других экспериментов с этим выводом не согласуются.. Были
сделаны попытки [89, ст. 13] проверить пропорциональность
между тензором скоростей деформаций и девиатором на-
пряжений.
Усилия в трубчатых образцах при пределе текучести, а
•также приращения деформаций сопоставлялись между собой,
путем вычисления величин:
r==2-^=-^-----1 и v = 2 !2~.Ез—1.
С1 — °з е1 — ез
Если девиаторы напряжений и деформаций друг другу
пропорциональны, то
Gj —— Gg Gg — Cg Gg ~~ G-j
* ; . " . ~ ~ »
£1 — e2 — e3 e3 — £1
а потому p.=v. Между тем разным значениям р- отвечают раз-
личные напряженные состояния: если среднее напряжение са
стремится к большему из напряжений, т. е. a2->aj, то
если же а2-*а3, то р.-+—1. Если построить график в прямо-
угольных осях [1 и v и нанести на него опытные точки, ока-
зывается, что они не группируются вокруг прямой ^ = v, а
отклоняются от нее в первом квадранте преимущественно
вниз, а в третьем квадранте — преимущественно вверх. На
графике (рис. 3G) показана эмпирическая кривая, лучше со-
гласующаяся с данными опыта.
Напомним, однако, что по опытным данным условие те-
кучести лежит обычно между условием предельной интен-
сивности напряжений и условием наибольших касательных
напряжений. Если первое из этих теоретических условий те-
кучести приводит, как было показано выше, к равенству v =
то условию наибольших касательных напряжений, как по-
тенциалу текучести отвечает е3 =— е2 и е2 =0, а следовательно,
ч> = 0 при всех значениях ь меньших по модулю, чем единица.
Прир- = ±1 величина становится неопределенной. График
величин v, отвечающих условию наибольших касательных
напряжений, показан на рис. 30 пунктиром. Следовательно,
как и условие текучести, зависимость между v и р лежит
между обеими теоретическими зависимостями.
86 '
По более точным опытам,^выполненным позднее [42 (85)].
были вычислены величины [4^ (74)]:
т=2^-% и п = 2^=^.
°1 — °3 ®1 — е3
Результаты этой обработки показаны на рис. 31.
Условию предельной интенсивности как потенциалу теку-
чести отвечала бы прямая АВ, а потенциалу текучести в
форме условия наибольших касательных напряжений — лома-
ная АСВ. Мы подобрали потенциал текучести F, очень близко
Рис. 31
отвечающий опытным точкам. В координатах alt а,, я. поверх-
ность F=G представляется некруговым цилиндром, лежащим
между шестигранной призмой, соответствующей условию наи-
больших касательных напряжений, и круговым цилиндром
(рис. 25), соответствующим условию предельной интенсивно-
сти напряжений, причем от этого последнего поверхность
F = 0 отклоняется не более чем на 2%.
Это дает нам основание утверждать, что возможность
пользоваться условием текучести, как потенциалом текучести,
хорошо подтверждается данными опыта.
В заключение дадим для одного частного случая форму-
лы, которые нам понадобятся в дальнейшем. Если за упругой
деформацией следует свободная, то полные деформации можно
выразить так:
, сг , 2L.
е‘ ~’ К 2G 24 ’
Г.. Т. .
‘О G + А
87
Легко убедиться, что, вычислив интенсивность деформа-
ций ci, мы придем к формуле:
е' ~ ( 2G 2д~) Sl • (2,66)’
6. Дальнейшие уточнения теории пластичности
А. Упрочнение
До сих пор мы предполагали, что напряжение на пределе-
текучести не зависит от величины деформаций.
В действительности лишь некоторые стали обладают
длинной горизонтальной площадкой текучести; для большин-
ств । же металлов с ростом деформаций и усилие непрерывно
возрастает, поэтому теории пластичности, не учитывающие
упрочнения, могут рассмат-
риваться в применении к
ним лишь как более или
менее грубое приближение.
При простом нагруже-
нии можно [89, ст. 12] учесть
упрочнение, полагая в фор-
муле (2,66) величину А не
константной, а соответст-
венно подобранной функ-
цией от интенсивности де-
формаций е\ или от интен-
сивности напряжений sr
[71], [4]. Проводя опыты с
одним и тем же материалом на простое растяжение, на рас-
тяжение с одновременным гидростатическим давлением на
боков й поверхности образца, на простое сжатие и на сжа-
тие с одновременным гидростатическим давлением на боко-
вой поверхности, а также на кручение, экспериментаторы
строили диаграммы деформаций . в координатах Si и с, .
Все эти диаграммы вплоть до довольно значительных де-
формаций легли близко друг к другу. Пользуясь формулой
(2,66), можно из диаграммы, построенной для одного какого-
либо опыта, определить функцию A (ei ) или A (si ), которая
затем может быть использована в применении к другим опы-
там. На рис. 32 показана заимствованная из работы Смирнов -
Аляева теоретическая кривая зависшяости между крутящим
моментом и углом закручивания, построенная по данным
испытаний той же стали на растяжение. На том же рисунке
показаны точки, полученные непосредственно по испытанию
образца на кручение. Сходимость опыта с теорией оказалась
вполне удовлетворительной.
При сложном нагружении упрочнение не может быть
учтено так же просто. Действительно, меняя напряженное
88 ?~Т
состояние образца, можно создать замкнутый цикл пластиче-
ских деформаций [(например, кручение, затем растяжение,
кручение в обратном направлении и сжатие), так что вели-
чина ei приобретает к концу опыта то же значение, которое
она однажды имела. Если бы $i и ei были связаны взаимно
однозначной зависимостью, то на замкнутом цикле деформа-
ций эффект упрочнения оказался бы равным нулю. Этот не-
достаток можно отчасти исправить [89, ст. 18], выразив эффект
упрочнения в следующей форме:
(2’67>
где
t
Е= ! | е\ I dt.
Интегрирование распространяется на период, пока рас-
сматриваемый элемент тела течет. Вид функции Ф должен
быть подобран на основе какого-нибудь одного опыта. По
(2,67) упрочнение может возрастать, когда интенсивность
пластической деформации ei убывает.
Однако выражение для упрочнения в форме (2,67) не
позволяет учесть так называемого неоднородного упрочнения.
Известно, что пластическая деформация растяжения не по-
вышает в такой же мере предел текучести на сжатие, как
на растяжение. С другой стороны, наблюдалось [89, ст. 16], что
чередование пластического растяжения с пластическим кру-
чением давало более интенсивное упрочнение, чем продол-
жение одной и той же деформации.
В целом вопрос об учете упрочнения при сложной де-
формации еще не достаточно экспериментально изучен. На.
это не раз настойчиво указывал А. А. Ильюшин, призывая
к постановке соответствующих исследований. Что касается
учета упрочнения при простом нагружении, то этот вопрос
обстоятельно изучен в многочисленных исследованиях [73 и др.]..'
В дальнейшем мы не будем учитывать упрочнения при
исследовании несущей способности конструкции по следую-।
щим причинам. Во-первых, с учетом упрочнения теория
сильно осложняется, а свойства материала при произвольном
нагружении все-таки не удается достаточно полно отразить. |
Во-вторых, функции, характеризующие упрочнение, необхо-
димо каждый раз определять опытным путем, а чтобы вос-
пользоваться ими, надо быть уверенным в идентичности свойств
применяемого и предварительного изученного материала.'.
Пренебрегая упрочнением при определении несущей спо-
собности конструкции, мы иногда получим довольно сущест-
венную погрешность, однако она всегда идет в запас проч-
ности.
89
Б. Вязкость
До сих пор мы принимали, что напряжение на пределе
текучести не зависит от скорости деформации; однако и в
уравнениях теории пластичности можно учесть влияние ско-
рости деформации подобно тому, как это делается в гидро-
динамике вязкой жидкости.
В теории вязко-пластического тела1 упругими деформа-
циями обычно пренебрегают. Поэтому скорость деформиро-
вания принимается равной нулю, пока напряжения не превос-
ходят предела текучести. За пределом текучести скорость
деформации уже отлична от нуля; она зависит от того, на-
сколько превзойден предел текучести.
Обращаясь к изображению напряжений в пространстве с(,
о,, с3. мы должны теперь считать, что точкам, расположен-
ным внутри поверхности В~0, изображающей условие теку-
чести, или на самой этой поверхности соответствует скорость
деформации, равная нулю, а каждой точке пространства,
внешней по отношению Е=0, соответствует в пространстве
ei, ез, 6i определенный вектор е скорости деформации.
Таким образом, с учетом вязкости устраняется неопреде-
ленность скорости деформации, с которой мы встречались
для идеально пластического тела, деформируемого свободно.
Пусть вектор е имеет потенциал Н(?1г а2, а3), т. е.:
• • _дН. - _дН
61 ’ Е'2 * даг ' Е3 бг3 *
Чтобы на пределе текучести вектор е был направлен по
нормали к поверхности В—О, надо, чтобы при В—О было
BI— const. Кроме того, скорость деформации | г | должна по
условию обращаться при этом в нуль.
Так, например, если где В —константа, то
*<=£< (*=0,3),
и при В—0 скорость деформации обращается в нуль. Если,
в частности, условие текучести есть условие предельной ин-
тенсивности напряжений, то
г о— s,—k Т Яг °-
F=Si — у ~ zT и е,=-------------------- (i =1,2,3).
1 См. [89, ст. 11], [39], [40], [59]. Применение теории вязко-пластического тела
к конкретным задачам можно найти в ряде статей, опубликованных в жур-
нале „Прикладная математика и механика”. '
90 '
Вычислив инварианте!, найдем:
ei= —
2
3 °г
------- или Si =
£>
Когда деформация происходит очень медленно, иными
словами, когда <?, —► 0, напряжения стремятся к величинам,
удовлетворяющим обычному условию предельной интенсив-
ности напряжений, но если скорость деформации ei значи-
тельна, напряжения поднимаются много выше предела теку-
чести. А. А.« Ильюшин нашел из опытов на удар, что для
•стали коэфициент В может быть принят равным 2,8 кг сек\см1 2.
Отсюда видно, что вязкость играет существенную роль только
при очень больших скоростях деформаций.
Для скоростей, применяемых в наших обычных „статиче-
ских" испытаниях, с ней можно не считаться.
ГЛАВА III
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ РАБОТЫ СТАЛЬНЫХ
СТЕРЖНЕЙ
1. Вводные замечания
В этой главе дается, главным образом, материал, полез-
ный, для обоснования метода предельного равновесия, но она
может служить также и для ознакомления с методами расче-
та стальных конструкций в упруго-пластической стадии, имею-
щими самостоятельное значение1.
В основном для одноосных напряженных состояний при-
нята схематизированная трапецеидальная диаграмма зависи-
мости между напряжением и деформацией2: вплоть до пре-
дела текучести—линейная, по закону Гука, и с горизонтальной
неограниченной площадкой текучести (рис. 33). При разгруз-
ке приращения напряжений пропорциональны приращениям
деформаций d^ — Ede.. В тех случаях, когда возникает не-
обходимость рассмотреть те или иные уточнения диаграммы,
это оговорено особо.
1 Интересуюшиеся расчетом стальных конструкций в упруго-пласти-
ческой стадии найдут более подробные данные в учебных руководствах,
обзорных статьях и монографиях, где даются также ссылки на оригиналь-
ную литературу [76], [63], [64], [30], [9], [78], [87], [32].
2 Следуя немецкой литературе, эту диаграмму у нас часто называли
диаграммой Прандтля,;хотя ею уже пользовались в 60-х годах прошлого
столетия.
91
2. Изгпб балов симметричного сечения
Эта задача, часто встречающаяся в приложениях, решается
наиболее просто. Из гипотезы плоских сечений и диграммы
(рис. 33) следует, что эпюры напряжений в сжатой и растя-
нутой зонах будут трапецеидальные. Для сечений, симмет-
ричных относительно оси, параллельной вектору изгибающе-
го момента, нейтральная ось проходит через центр тяжести'
сечения (рис. 34). Обозначая через ут расстояние от нейтраль-
ной оси до границы упругого ядра, а через гт—удлинение
ври начале текучести, выразим через них кривизну:
Величина изгибающего момента равна:
Л/2 Г УТ Л/2
Л4 = 2/'оу dF = 2 —y2dF-\-3T J" у dF
о • L о vt
(УТ Л/2 \
-,;f y’dF+ f ydF\.
о vt )
С увеличением момента расстояние ут, очевидно, убы-
вает.
Когда ут = -у, упруго-пластическое состояние только
наступает. Соответствующий момент обозначим через
Он равен:
Mt=°t~=cTW.
При Л4 сечение находится в упругой стадии.
Когда ут стремится к нулю, то радиус кривизны согласно
0,1) также стремится к нулю, т. е. ось бруса в рассматри-
82
шаемом сечении может иметь перелом: образуется так назы-
ваемый пластический шарнир. При у г —О
Л/2
2И==М=С7- 2 fydF=^r2S,
о
где S — статический момент полусечения относительно оси,
проходящей через центр тяжести.
Теоретически М есть предельно возможный максималь-
ный момент в сечении. В действительности еше при конеч-
ной кривизне краевые деформации достигнут таких величин.
Рис. 33
Рис. 35
-что площадка текучести для них^удет пройдена и начнется
упрочнение. Поэтому величина М в действительности мо-
жет быть превзойдена. Для балки из строительной стали
при изгибающем моменте М=М кривизна еще конечна, а
эпюра напряжений вместо теоретического очертания по рис.
35,а имеет вид, показанный на рис. 35,6. Несмотря на это,
представление об образовании пластичного шарнира надо
рассматривать как образ, хотя и схематический, но все же
лолезный. Действительно, когда возникает момент, равный
/И, кривизна оси хотя и остается конечной, но очень сильно
возрастает по сравнению с той, которая имела бы место,
если бы при той же величине момента сечение вело себя
упруго. Так как в окрестности сечения, где достигнут мо-
мент М=М, моменты очень близки к нему, то на коротком
участке около воображаемого пластического шарнира направ-
ление касательной к оси бруса значительно меняется, что
схематически можно заменить без большой погрешности пе-
реломом оси.
Однако, пользуясь представлением о пластическом шар-
нире и другими выводами, вытекающими из схематизирован-
' 93
ной диаграммы рис. 33, не следует все же забывать о том,,
что они дают только относительное и нередко довольно гру-
бое приближение к действительности.
Отметим, что пластический шарнир имеет одностороннее
действие, т. е. допускает поворот без изменения усилий толь-
ко до тех пор, пока угол перелома в шарнире не убывает.
Как только деформация начнет убывать, напряжения соглас-
но закону Герстнера убывают по линейному закону (рис. 36)
и момент в пластическом шарнире меняется вместе с изме-
нением кривизны, как на упругом участке стержня. Но пе-
релом оси, образовавшийся во время действия пластического
шарнира, сохраняется при разгрузке и мог бы быть устранен
только при действии предельного момента обратного знака.
В этом отношении пластический шарнир ведет себя анало-
гично растянутому стержню, который на пределе текучести
удлиняется под действием постоянной силы, однако при умень-
шении силы сохраняет накопленную остаточную деформацию;
последняя может быть устранена при действии сжимающего
напряжения, равного пределу текучести.
Перейдем к рассмотрению некоторых конкретных форм
поперечных сечений бруса и прежде всего к прямоугольному
сечению. Для него из формулы (3,2) следует:
Z 2 \
M = (3,3)
h
и, в частности, при ут
.. 6ft2
Мт — °т~о~,
при _уг=0
Следовательно, отношение предельного момента М ю
моменту при фибровой текучести Мт равно:
A = J_-15
Мт 4
Удлинение крайнего волокна
h
ек=-2у~ Вг’ откуда
Подставив это выражение в (3,3) и выразив через Мт,
находим:
94
На рис. 37 показаны эта теоретическая зависимость, а
также средние опытные значения, найденные для стальной
балки прямоугольного сечения В. С. Туркиным [79]. Их сопо-
ставление показывает, что характер нарастания деформаций,
получающийся из трапецеидальной диаграммы, приближенно
отражает картину, наблюдаемую в реальном материале, одна-
ко опытная кривая лежит несколько выше теоретической.
При ~~>3 это объясняется упрочнением, а к возможной
Рис. 37
Рис. 38
причине расхождения при меньших деформациях мы еще
вернемся ниже.
Из (3,5) находим выражение краевого удлинения через
момент:
s________________________
--- г
(3,6>
Чтобы подсчитать прогибы, можно перейти от удлинения
ек к кривизне или, как предпочитают некоторые авторы, к
фиктивному моменту MF, который вызвал бы в идеально упру-
гом стержне такую же кривизну, как фактической момент в
упруго-пластическом стержне. Из (3,6) находим:
м7
г М?
(3,7)
Для квадратного сечения, изгибаемого в плоскости его
диагонали (рис. 38), из формулы (3,2):
Ж = -%- [Л8 - 4 (Л - ут) Л1; (3,8>
h
при ут—-^-
м=мт=^--,
95
при уг=О
А4—М=-^~~, ...
так что ~ = 2.
М-р
Заменив в (3,8) величину ут ее выражением по формуле
i(3,4) и выразив агчерез Мг, находим:
ад
М
Для прямоугольного сечения отношение оказалось
•меньше, чем для квадратного сечения, диагональ которого
расположена в плоскости действия момента. Это легко было
предвидеть, приняв во внимание менее выгодное расположе-
ние материала во втором из рассмотренных сечений; дей-
ствительно, в упругой стадии большая часть материала, рас-
положенная вдоль диагонали, т. е. вблизи нейтральной оси,
работает слабо и используется полностью только с образо-
ванием пластического шарнира.
Для более рациональных профилей, например, для дву-
тавра, в которых значительная часть материала близка к
полному использованию уже при возникновении фибровой
текучести, момент в дальнейшем не может сильно возрасти.
Для прокатных двутавров отношение составляет при-
мерно 1,15—1,17.
Для упрощения исследования некоторых вопросов удоб-
но пользоваться представлением об „идеальном" профиле
[58], в котором материал расположен так, что уже полностью
используется при возникновении фибровой текучести; для
идеального профиля =1. Реально такой профиль неосу-
ществим, но двутавровый профиль данной высоты тем ближе
к идеальному, чем тоньше его стенка и чем тоньше и шире
.полки. Для идеального профиля момент инерции:
v J=F
Поэтому
, a W=F-^ .
M = MT=-^F
где F — площадь;
h — высота сечения.
Рядом экспериментаторов было отмечено, что в изгибае-
'мых, а также в скручиваемых элементах возникновение пла-
стических деформаций, которое может быть обнаружено по
появлению линий Людерса, а также по ускоренному нараста-
нию деформаций, в действительности запаздывает и в слу-
чае изгиба еще не обнаруживается при моментах, больших
t Мт. В некоторых случаях пластические ^деформации
.ли обнаружены только при моментах, равных М.
На основании этих данных Прагер [30(28)] выдвинул пред-
положение, будто волокна, напряженные ниже предела теку-
ести, оказывают на фибры, перенапряженные выше предела
текучести, поддерживающее действие, и что пластическая
еформация может только тогда проявиться, когда все сече-
ние напряжено до предела текучести. Такое объяснение запаз-
дывания пластических деформаций не увязывалось с данными
других опытов, да и само по себе представлялось мало прав-
доподобным. Запаздывание пластических деформаций удается
объяснить более убедительно [102], приняв в расчет зуб на
диаграмме деформаций (рис. 39). Как известно, диаграммы с
зубом, на которых верхний предел текучести оГв заметно от-
личается от нижнего предела текучести с’у, нередко наблю-
даются, но в то время ьак нижний предел текучести являет-
ся надежной характеристикой материала как такового, верх-
ний предел существенно зависит от вида испытательной
машины, от формы образца и ряда других обстоятельств,
которые трудно учесть [28]. Испытание на расстяжение очень
неблагоприятно для выявления зуба: если оу« на 20% выше,
чем от, то достаточно уже эксцентриситета приложения силы
порядка 2 — 3% от диаметра образца, чтобы зуб не обнару-
жился на диаграмме. Действительно, при эксцентриситете
растягивающей силы е=-^-, где г —радиус образца, краевое
напряжение на 20% превышает среднее и, в то время, как сред-
нее напряжение будет равно с7> на краю сечения напряжение
уже перескочит через зуб. При меньшем эксцентриситете зуб
7 А. А. Гвоздев ‘
хотя и обнаружится, но покажется пониженным по сравне-
нию с его действительной величиной. При испытании на из-
гиб или на кручение, а общее — при неоднородных напряжен-
ных состояниях, в которых, однако, нет концентрации напря-
жений, зуб может проявиться в полной мере. Пусть в соот-
ветствии с диаграммой деформации, имеющей зуб, напряже-
ния в сечении распределяются согласно рис. 40- Обозначим
расстояние границы упругой зоны от нейтральной оси через
Утв и удлинение при верхнем пределе текучести гТв. Оче-
видно:
Величина изгибающего момента:
Ж = 2
(3,10)
В частности, для прямоугольного сечения:
Л. (1-4-^)].
Подставив сюда значение утв из (3,9) и выразив ст через
Mt — cj —, находим:
Для квадратного сечения, изгибаемого в плоскости его
диагонали, из формул (3,9) и (3,10) путем аналогичных рассуж-
дений легко вывести формулу:
Формулы (3,11) и (3,12) при — =1, естественно, обраща-
ются соответственно в формулы (3,5) и (3,9). Следует под-
черкнуть, что при возрастании краевого удлинения ек влияние
зуба на величину момента постепенно сглаживается, а при
е,с —»оо, т. е. при образовании шарнира текучести, оно пол-
ностью исчезает, так что на величину предельных моментов
наличие зуба не влияет.
На рис. 41 для прямоугольного сечения и для квадрат-
ного, изгибаемого в плоскости диагонали, показана построен-
98
Рис.
41
ная по формулам (3,11) и (3,12) зависимость отношения
от отношения при различных отношениях верхнего пре-
гТ
дела текучести к нижнему. Из графиков видно, что зуб не
только вызывает запаздывание пластической деформации, но
также повышает начальную часть кривой, после того как
пластические деформации уже возникли. Возможно, что не-
большим зубом диаграммы, который, однако, не удалось об-
наружить при испытании
образцов на расстяжение,
объясняется превышение
опытной кривой над те-
оретической в опытах
В. С. Туркина при -^-<3.
При достаточно большой
^Тв
величине —-зуб диаграм-
ат
мы может объяснить за-
паздывание пластической
деформации вплоть до
величины предельного
момента М. Так, напри-
мер, для прямоугольного
сечения это может иметь
° Те , г
место при = 1,5.
Для двутавровых сечений
для этого достаточно,
чтооы ——=5= 1,1b.
Ринагль испытал балочки нескольких
сечений, изготовленные из сталей разных марок, определил
экспериментально зависимость между изгибающим моментом
и удлинением крайнего волокна и сравнил с теоретическими
кривыми. Оказалось, что для каждой марки стали можно
Те
подобрать такое отношение —- , при котором теоретическая
кривая удовлетворительно согласуется с опытными данными.
Значения —— для разных сталей оказались в пределах от
-=1ДЛ=1>2.
Пределу текучести при изгибе было посвящено экспери-
ментальное исследование Н. Д. Жудина и Стрельбицкой [311.
7* . ’ S9
форм поперечных
а}
X
I
?
6)
Г
1
2
Рис. 42
Результаты этой работы хорошо согласуются с расчетами,,
учитывающими зуб текучести.
При определении деформаций и для расчета статически
неопределимых систем можно было бы, конечно, учесть зуб
диаграммы, но выкладки были бы довольно кропотливы.
Поэтому практически можно было бы пойти двумя путями:
пренебречь влиянием зуба и исходить из диаграммы рис. 33,
либо принять, что влияние зуба отдаляет возникновение пла-
стических деформаций до образования пластического шарни-
ра. Формально такой расчет
совпадает с предложением
Прагера. Его достоинство —
в огромном упрощении рас-
чета. По этим соображениям
его рекомендовал Н. С.Стре-
лецкий. Для сечений, в кото-
рых материал расположен
рационально, например, для
двутавров, этот расчет мо-
жет дать результаты, очень
близкие, к действительно-
сти. При прямоугольном,
сечении текучесть может'
в действительности проя-
виться заметно раньше, чем
получится по расчету, но
для деформаций и усилий
в балках это не играет су-
щественной роли. Иллюст-
рируем это на примере двух-
пролетной неразрезной бал-
ки, нагруженной сосредоточенной силой в середине одного из
пролетов, заимствованном из цитированной выше работы
В. С. Туркина.
В упругой стадии характерные моменты равны по абсо-
лютной величине:
в пролете
М = — РГ
пр 64
на опоре
М =-^— Р1
1Ylon 54
Наибольший момент возникает под грузом (рис. 42,а), поэ-
тому там и появится первый пластический шарнир. Считая
по предыдущему, что упругая стадия продолжается до обра-
зования пластического шарнира, найдем нагрузку Р, при ко-
торой образуется пластический шарнир в пролете из условия
1 64 ’ *
100
откуда
_ 64 М
16 I '
При дальнейшем возрастании нагрузки в сечении под гру-
зом будет происходить излом оси, а момент останется по-
стоянным и равным М. Поэтому при расчете на нагрузку Р^>
Р{ может быть принята схема рис. 42,6. Теперь мы имеем
дело уже со статиче-
ски определимойсисте-
мой, а потому при воз-
растании нагрузки эпю-
ра моментов на левой
половине первого про-
лета останется неиз-
менной. Возрастание на-
грузки сверх величи-
ны Р± вызовет момен-
ты только в правой
половине первого про-
лета и во втором про-
лете. Эта часть кон-
струкции работает как
балка с консолью. При-
ращение опорного мо-
мента теперь равно
(Р—, а полная
величина опорного момента составит:
я.-4 лжр-л)4-(тг~&₽.)z-
Пластический шарнир возникает на опоре при нагрузке
Р2, которая определится из равенства:
Подставив в это выражение ранее найденное значение
находим: _
р __
^2— I •
При нагрузке Р2 опорный и пролетный момент равны каж-
дый предельному моменту М. В системе имеется уже два
пластических шарнира. Система стала изменяемой (рис. 42,в),
и первый пролет может неограниченно провисать при той же
нагрузке Р2. Поэтому нагрузка Р2 является теоретическим
пределом несущей способности неразрезной балки.
На рис. 43 жирными линиями изображено изменение мо-
ментов с ростом нагрузки, подсчитанное по предыдущему
(приближенные теоретические кривые, как назвал их В. С. Тур-
кин), а пунктиром — изменение моментов, подсчитанное, исхо-
дя из трапецеидальной эпюры напряжений (точные теорети-
ческие кривые, как их условно назвал В. С. Туркин). На том
же рисунке нанесены опытные величины опорных моментов,
вычисленные по нагрузке и измеренным опорным реакциям.
Оба метода расчета дают результаты, довольно близкие меж-
ду собой, несмотря на то, что балки были прямоугольного
сечения. Они удовлетворительно сходятся и с опытными дан-
ными за исключением самых больших нагрузок, при которых
сильно сказывалось упрочнение: момент в пролете значитель-
но превзошел величину М, а нагрузка превысила силу Р2.
Прогибы при этом резко возрастали. При теоретической раз-
рушающей нагрузке прогиб под грузом составлял около х/70
пролета, а в конце опыта, когда нагрузка возросла еще на
15%, он примерно удвоился.
Рассмотрим еще простой пример симметричной трехпро-
летной балки, нагруженной по оси симметрии сосредоточенным
грузом (рис- 44,а).
В упругой стадии момент под грузом равен:
14-—____
М ___________-__—
”р 8 , 2 I.. ’
1+ 3 * I
а опорный момент:
М = 1____
оп 8 , 2 1К •
!+ 3—Г
Если только крайний пролет не равен нулю, то пласти-
ческий шарнир образуется сначала под грузом. Это произой-
дет при нагрузке:
— 1Ч-—• —
n _ 8М з 1
' 1 /’ 4 I ' - ’
1+ —А
1+ 3 I
В дальнейшем конструкция работает по схеме (рис. 44,б),
и опорный момент равен:
На обеих промежуточных опорах образуются пластические
шарниры (рис. 44,в), и несущая способность конструкции
исчерпывается при нагрузке:
Р2=-^. (3,13)
Несущая способность конструкции оказалась независящей
от соотношения пролетов.
102
Штюсси указывал, что этот результат не заслужи-
вает доверия, так как при неограниченном возрастании
крайних пролетов их защемляющее действие на средний
пролет в упругой балке стремится к нулю и в пределе сред-
ний пролет работает, как однопролетная балка.
Он предложил поправки к формуле (3,13), которые мы
здесь не будем воспроизводить ввиду их необоснованности.
Однако в критике Штюсси
есть зерно истины. Дополнил
Рис. 45
[58] предыдущий расчет подсчетом прогибов. К моменту об-
разования первого пластического шарнира прогиб под грузом
раген:
8 1К 8 1К
, Р,/з 1+-Т-Г_ Л?/2 ^-ЗГ-Д-
192 2 lK 24 EJ’ 4 1К'
3 " I *+ 3 ‘ /
а при образовании следующих пластических шарниров, т. е.
при исчерпании несущей способности, прогиб в том же месте
равен уже
, — МР л . .
>2— 24£Jv I Г
Отношение
Это отношение можно считать характерным. Если, напри-
мер, балки с разной величиной крайних пролетов запроекти-
ровать так, чтобы в упругой стадии они при одинаковой
величине максимальных напряжений имели равные прогибы
под грузом, то величины /х для таких балок будут примерно
равны. В таком случае отношение у- характеризует отно-‘
1СЗ
сительную величину прогиба при исчерпании несущей спо-
собности. Отношение -у- возрастает при росте отношения
-у- (рис. 45), а потому принципиально мыслимо, что при
очень больших крайних пролетах прогибы под грузом совер-
шенно недопустимо возрастут и конструкцию придется счи-
тать разрушенной раньше, чем будет исчерпана ее теорети-
ческая несущая способность Рг. Практически для неразр.езной
балки такой случай может встретиться лишь как редкое
исключение. < р
При выводе условия образования пластического шарнира
в том виде, как оно дано выше, учитывались только нор-
мальные напряжения. Н. И. Безухов [3] впервые отметил
влияние, которое может оказать поперечная сила на величи-
ну предельного момента. Рассмотрим два поперечных сечения
балки, отстоящие друг от друга на расстоянии dx и работаю-
щие в упруго-пластической стадии. В пластических частях
обоих сечений напряжения равны одной и той же величине
су, а потому касательные напряжения там отсутствуют.
Из этого вытекает, что поперечная сила должна целиком
восприниматься упругим ядром. Если ширина сечения в преде-
лах упругого ядра постоянна, максимальное касательное на-
пряжение (у нейтральной оси) равно:
— 3Q _ 3Q
т— 2Ь(2ут) ~ 4Ьут'
(3,14)
По мере возрастания момента величина ут уменьшается.
Поэтому, если поперечная сила не равна нулю, ут не может
обратиться в нуль. Примем условие предельной интенсивно-
сти напряжений за условия текучести. Тогда напряжение в
зоне чистого сдвига не может превзойти величины т=
°т
чему по формуле (3,14) отвечает:
ут ==
3/3
4
Q_
bzT
(3,15)
Если в пределах упругого ядра ширина сечения b посто-
янная, выражение момента можно представить в виде:
а по подстановке ут из (3,15):
с М = 2«г(5-42.^). (3,16)
Если момент М и поперечная сила удовлетворяют
равенству (3,16), то состояние текучести наступит не только
в верхней и нижней зонах сечения, но также (под влиянием
104
касательных напряжений) у нейтральной оси. Такое состоя-
ние Н. И. Безухов принимает за предельное при наличии
момента и поперечной силы. Правда, между нейтраль-
ней осью и крайними пластическими зонами при этом
сохраняются еще упругие зоны, но и в них напряжен-
нее состояние близко к текучести. Можно подсчитать, что
• минимальное значение инварианта Si в этих упругих зонах
О’ •Т'
р< вно -у-, т. е. всего на 13,5% ниже значения
у 2 -
Sj = у -|- ст, при котором наступает текучесть. Более точная
оценка предельного состояния сечения при действии момен-
тов и поперечных сил потребовала бы отказа от элементар-
ных методов (от применения гипотезы плоских сечений)
я дала бы лишь ничтожную разницу в численных результатах.
Для прямоугольных сечений снижение предельного мо-
мента под влиянием поперечной силы невелико, но цля
двутавров оно при неблагоприятных условиях может стать
заметным и приближать величину предельного момента к
величине Мт. Это одна из причин, почему в нормах реко-
мендуется, учитывая перераспределение моментов вследствие
образования пластических шарниров, или, иными словами,
ведя расчет по выравненным моментам, производить подбор
_ , м
сечений, исходя из формулы ст=-^.
3. Изгиб с продольном силом. Общий случай изгиба
В случае упруго-пластического изгиба с продольной си-
лой или даже при изгибе стержня с сечением, не имеющим
оси симметрии, параллельной вектору изгибающего момен-
та, положение нейтральной оси заранее неизвестно, в связи
с чем расчет заметно осложняется. Не касаясь самого расче-
та, отметим только некоторые особенности работы элемен-
тов в упруго-пластической стадии.
При изгибе нейтральная ось смещается из центра тяжести,
как только на одной стороне сечения появляется пластическая
зона. Так как на площадках, достигших предела текучести,
напряжения перестают возрастать, нейтральная ось постепенно
удатяется от пластической зоны сечения (рис. 46,а). Когда
пл стическая зона появляется и на противоположной стороне
(рис. 46,6') смещение нейтральной оси может замедлиться или
прекратиться или даже переменить знак, т. е. нейтральная
ось, удалившаяся на некоторое расстояние от центра тяжести
сечения, при дальнейшем возрастании момента может снова
приближаться к нему. Аналогичная картина наблюдается и
при постепенном возрастании сжимающей или растягивающей
силы, приложенной с определенным эксцентриситетом: поло-
105
Рис. 46
жение нулевой линии, отвечающее упругой стадии, с появлением
пластической зоны изменяется по мере возрастания величины
действующих сил. При действии изгиба с продольной силой
нулевая линия „блуждает“ даже в случае таких простых форм
сечений, как прямоугольное или круглое.
В упруго-пластической стадии принцип независимости
действия сил не имеет места, поэтому при совместном дей-
ствии изги а с продольной силой изменение моментов меняет
не только прогиб, но и длину оси, а изменение величины
продольной силы влияет на прогибы.
Высказанные замечания относятся к сечениям, симметрич-
ным относительно плоскости действия сил. В общем случае ней-
тральная ось в упруго-
тичесяая пластической стадии не
<а перемещается парал-
лельно самой себе, но
и поворачивается
2-я масти- «даже тогда, когда по-
\чесная зона ложение равнодейству-
ющей неизменно, а
только меняется ее ве-
личина.
В целом расчет
сечений в упруго-пла-
стической стадии хотя и элементарен, но кропотлив, поэтому в
интересах простоты расчета еще более желательно, чем при из-
гибе симметричных сечений, допускать, как это было сделано
в п. 2 настоящей главы, что сечение ведет себя упруго вплоть
до образования пластического шарнира, если только такое
упрощение не влечет за собой существенных погрешностей.
Когда такой путь принят, остается только выяснить, условия
появления пластического шарнира, а также его положение
в сечении при рассматриваемом сочетании сил. Так, например,
при изгибе с продольной силой ось пластического шарнира,
тем больше смещается к краю' сечения, чем меньше эксцент-
риситет приложения равнодействующей. Поскольку в общем
случае ось пластического шарнира не пересекает оси стержня,
взаимный поворот частей стержня вокруг соединяющего их
пластического шарнира вызывает изменение длины оси стер-
жня. В некоторых задачах это обстоятельство может иметь
практическое значение.
Особенно просто решается вопрос об изгибе с продоль-
ной силой для „идеального профиля" в предположении, что
центры тяжести его полок лежат в плоскости действия сил.
Если эксцентриситет продольной силы обозначим через е, а ра-
диус инерции сечения через г, то напряжения в полках равны:
(3,17)
106
Когда одна из полок достигнет текучести, то образуется
пластический шарнир, ось которого совпадает с другой пол-
кой. Только при чистом изгибе пластический шарнир вследствие,
антисимметриинапряженного состояния располагается посере-
дине расстояния между полками.
4. Поведение сжатого стержня при его выпучивании
В конструкции центрально сжатый стержень играет роль
связи, препятствующей сближению узлов, к которым стержень
прикреплен. Поэтому представляет практический интерес
зависимость между величиной равнодействущей силы и вызы-
ваемым ею сближением концов стержня. Если растянутая
связь под влиянием возрастающей силы переходит, наконец,
из упругого состояния в состояние текучести, причем расстоя-
ние между ее концами может значительно возрасти
при неизменной величине действующей силы (усилие те-
кучести), то для сжатой связи нарушение линейной зависимо-
сти между действующей силой и сближением концов опреде-
ляется не достижением предела текучести стали, а выпучива-
нием стержня, т. е. достижением критического напряжения.
М. Грюнинг в работе [30(1)], получившей“болыпую извест-
ность, утверждал, что с достижением критического напряже-
ния сближение концов стержня происходит при постоянной
величине усилия, а поэтому при сжатии получается такая же
трапецеидальная диаграмма, как и при растяжении, с той разни-
цей, что перелом диаграммы происходит не при пределе те-
кучести, а при критическом напряжении. В ряде работ1 советс-
ких исследователей было доказано, что вид диаграммы сбли-
жения концов выпучивающегося стержня существенно за-
висит от гибкости стержня и что при гибкостях, применяемых
в строительных конструкциях, за выпучиванием стержня
следует падение величины сжимающего усилия: немедленное
(если o,v выше предела упругости) или наступающее после
незначительного сближения концов для стержней, теряющих
устойчивость в упругой области. Ниже выведена зависимость
между сжимающей силой и сближением концов стержня,
шарнирно закрепленного по концам. Чтобы сделать вывод
более ясным и упростить выкладки, мы рассматриваем стер-
жень „идеального профиля1*, для которого, как упоминалось
в п. 3 этой главы, за упругой стадией непосредственно сле-
дует образование пластического шарнира, причем определение
положения оси шарнира не представляет никаких трудностей.
Обозначим, как обычно, через <р = - отношение кри-
тической силы к усилию текучести сжатого стержня. Для
1 См. [32], [65], [66], [19], [10], [11] и цитируемую в этих работах
литературу.
107
•-стеожня, теряющего устойчивость в упругой области, со-
гласно формуле Эйлера:
.а следовательно:
*?Е _ Я2
к2аг ~ Х2ег ’
, I
где х = — есть гибкость, т. е. отношение длины стержня
ж радиусу инерции его сечения. Отсюда
(3,18)
Х = —U.
<fST
Обозначим через V— отношение силы, действую-
щей в стержне до или после потери устойчивости прямоли-
нейной формы, к усилию текучести. Величина v для любого
данного стержня величина переменная, в то время как <?
для него постоянная величина. В момент потери устойчиво-
сти прямолинейной формы стержня > = <р. Пока стержень
сохраняет прямую форму, сближение концов его равно:
А N , N ат г -г
(3,19)
Когда стержень искривился, то, обозначив прогиб
в каком-нибудь его сечении через у и заменив через -гат,
имеем из формулы (3,17):
a =vsr (1 = >ог^1 Ч--у- х).
Исключив X при помощи формулы (3,18), находим:
4 4 У Ft
(3,20)
Здесь знак плюс в скобках относится к вогнутой, а знак
минус к выпуклой полке идеального профиля. Обозначим
прогиб по середине высоты стержня через f и выразим от-
ношение стрелы прогиба к длине стержня через величину
у и напряжение в вогнутой полке. Из (3,20) имеем:
(3,21)
С ростом прогиба, как известно из теории идеально
упругого стержня, продольная сила в нем возрастает, но
в начальной стадии незначительно. Рост прогиба увеличивает
напряжение в вогнутой полке профиля. Поэтому по середине
высоты стержня, где прогиб его максимальный, вогнутая
108
полка должна, наконец, достигнуть предела текучести, т. е.
в стержне образуется пластический шарнир. При этом сог-
ласно (3,21) имеем:
— С ' (3,22)
Чтобы оценить, насколько может отличаться величина v
в момент образования пластического шарнира от значения
v = ф, которое она имела при потере стержнем прямолиней-
ной формы, воспользуемся, как это делал в цитированной
работе С. А, Бернштейн, оценкой величины -у-, для выпу-
чивающегося упругого стержня согласно этой оценки:
/ _ ?
Вводя эту. величину в (3,22), находим:
__________1 — _L'|/'8(v — ?)
v____f Г sT ’
откуда
ет / 1 \а
V = ? ( - у-У - . (3,23)
1 + f
Если в скобках правой части этого равенства пренеб-
речь положительной величиной — по сравнению с еди-
ницей, то от этого правая часть возрастает. Следовательно,
v<? + -f (1 —с?)2-
Так как величина -g- мала (при — 2 400 кг]см*
ет 1 \
~8~~ тТхю)’ т0 v очень мало отличается от величины ф.
Разница между ними растет с уменьшением ?, но для значе-
ния <р = 0 2 наименьшего, встречающегося в стальных строи-
, 1
тельных конструкциях, v — ’Р^Поооб'
В дальнейшем мы воспользуемся формулой (3,22) для
определения стрелы прогиба стержня. Формула эта, год-
ная для момента образования пластического шарнира, сохра-
няет силу и при дальнейшем возрастании деформации, так
как напряжение сжатой полки остается постоянным и рав-
ным ст. Из формулы (3,22) видно, что после образования
пластического шарнира рост стрелы прогиба сопровождается
уменьшением величины v, а следовательно, и сжимающей
силы в стержне. В момент образования пластического шар-
нира стрелу прогиба также можно определять по формуле
109
<3,22), но так как в этот момент величина v почти не отли-
чается от <р, то можно положить приближенно *=». Примем
поэтому, что с момента начала выпучивания до образования
пластического шарнира сближение концов возрастает при
постоянной силе. '
Перейдем теперь к подсчету сближения концов выпучив-
шегося стержня после образования пластического шарнира
и в момент его образования.
Заметим, что выпуклая полка стержня на всем ее про-
тяжении находится в упругом состоянии, а вогнутая полка
течет только по середине высоты стержня. Поэтому для
каждой из половин стержня должно удовлетворяться ди^е-
ренциальное уравнение Эйлера Ny-^-EJy" = 0, которое, поде-
/2 /2
лив на Far и заменив г2 = -р- = -^'<Рев можно переписать в
виде:
=0-
Этому уравнению и условиям по концам удовлетворяет
функция:
Подставив сюда выражение находим: стрелы прогиба из (3,22),
у=<•:--! А Уv-т ( кх sin 1 —р П) (3,24)
) к s,n ("2 ПУ
откуда
cosV~ Г ~г) (3,25)
Тангенс стержня угла поворота равен: касательной на середине высоты
44Н4 — /ver etg ( — ]/— 2 Г <р ) (3,26)
Таким образом, стержень имеет перелом в пластическом
шарнире.
При v='p линия прогиба стержня обращается в синусо-
иду, не имеющую перелома при х — что и соответствует
моменту образования пластического шарнира.
ПО
Сближение концов стержня складывается из следующих
частей:
1) Упругое укорочение, равное согласно (3,19) величине:
= У&т1.
2) Укорочение вследствие поворота в пластическом шар-
нире.
Взаимный угол поворота половин стержня в пластиче-
ском шарнире равен 2у' а так как ось. пластического
шарнира лежит на выпуклой полке профиля на расстоянии г
от оси, то укорочение последней равно:
( 2") г=2у ("2“)
что по подстановке у’ из (3,26) дает:
v ' * l/jL
"2 V <р
3) Сближение концов вследствие искривления оси:
in щ
Д3=2 Г-1- Гу'ъ dx\ = у’~ dx.
1 о J б
По подстановке уг из (3,25) и выполнении интегрирования:
Формулу (3,27) можно было бы вывести и иначе, а имен-
но, подсчитав упругое укорочение выпуклой полки, сближе-
ние ее концов вследствие искривления полки по уравнению
(3,24) и разность между сближением концов оси и концов
111
выпуклой полки,' равную 2у' (0)г. Сумма этих трех слагаемых
снова дает ту же величину Д. При v=y>
\=”p[i+4(v-1 (3,28>
На рис. 47 величины v нанесены в функции от отношения
8 = —сближения концов стержня Д к сближению концов
Zey при пределе текучести. Жирная прямая отвечает форму-
Рис. 47
ле (3,19). От нее при значениях м = ф ответвляются горизон-
тальные площадки, изображающие возрастающее сближение
концов при постоянной силе в период от начала выпучива-
ния до образования пластического
У шарнира. Моменту образования
пластического шарнира на рисунке
отве> ает пунктирная кривая, по-
s____________________ строенная по формуле (3,28). При
\ / дальнейшем сближении концов си-
'/ ла уменьшается, что на рисунке
I изображают тонкие сплошные ли-
\ нии, построенные по формуле
\ (3,27). Отметим, что для о >0,586
\ из (3,27) для значения v, близких
► ко, получаются значения Д<ДФ.
-* Рис. 48 Течение кривых в этой области
схематически показано на рис. 48.
Следовательно, сближению концов, имеющемуся при образо-
вании пластического шарнира, отвечают две различные вели-
чины >: одна из них > = <р, а другая — меньшая. На рис. 47 для
f —0,7 это изображено вертикальным отрезком кривой. Та-
кик» збразом, получается, что когда сближение концов воз-
растет "настолько, что образуется пластический шарнир, ве-
112
личина сжимающей силы падает скачкообразно (например,
яри о = 0,7 до величины v = 0,557), а с дальнейшим сбли-
жением концов уменьшается плавно. При 0,586 кривые из-
менения v = v(o) непрерывны. Мы не б v дем углубляться в ана-
лиз последствий скачкообразного изменения сжимающей си-
лы. Скачок появился потому, что мы оперировали с идеаль-
ным профилем.
На самом деле постоянство сжимающей силы (или, точ-
нее, очень медленное ее нарастание) нарушится уже тогда,
когда в крайних фибрах сечения возникнут пластические де-
формации. С этого момента сила начнет падать, как показано
пунктиром на рис. 48. Что имеет для нас наибольшее значе-
ние и ради чего здесь приведено построение зависимости
между сближением концов и сжимающей силой — это вывод,
что падение сжимающей силы для гибкостей, применяемых
в строительных конструкциях, начинается при очень незна-
чительном сближении концов, не превышающем сближения
(5 = 1), которое имело бы место при достижении предела
текучести от сжатия. Падение сопротивления стержня тем
стремительнее, чем меньше гибкость, но даже при ® = 0,2
усилие в выпучившемся стержне падает на 30% уже при
сближении концов, равном Д = 2/е?- (или при о = 2).
Мы рассмотрели простейшую задачу устойчивости. Но
аналогичное явление может иметь место и в других случаях
(при потере устойчивости плоской формы изгиба балок, по-
тере устойчивости сжатых полок балок и т. п.). Во всяком
случае для конструктивных элементов, теряющих устойчи-
вость, необходим тщательный анализ их поведения после
потери устойчивости с учетом упруго-пластической стадии
работы.
Если о поведении элемента после потери устойчивости
нет достаточных данных, остается только простейший путь:
предположить в запас прочности, что потеря устойчивости
равносильна разрушению элемента.
5. Методы расчета статически неопределимых стержневых
систем в упруго-пластической стадии
. В общем случае расчет статически неопределимых стер-
жневых систем в упруго-пластической стадии представляет
собой сложную задачу. Так, например, расчет статически не-
определимой фермы, стержни которой могут терять устойчи-
вость, потребовал бы применения зависимостей между пере-
мещением и силой типа формулы (3,27) и графика рис. 47.
Если же в целях упрощения положить, что с потерей устой-
чивости стержень вовсе перестает сопротивляться сжимаю-
щей силе, то в большинстве случаев окажется, что потеря
устойчивости одного стержня равносильна разрушению фер-
8 Л. Л. Гвоздев 113
мы. Можно поставить задачу о проектировании статически
неопределимых ферм, сжатые стержни которых имеют повы-
шенный запас прочности, так что разрушение может прои-
зойти только от текучести растянутых стержней и в крайнем
случае от потери устойчивости одного (последнего) стержня.
С. А. Бернштейн в цитированной работе затронул этот вопрос
и показал, что упомянутая задача не для всякой произвольно
заданной схемы статически неопределимой фермы может
иметь решение. Наоборот, на простых примерах обнаружи-
вается, что для определенных схем ферм никаким подбором
сечений стержней нельзя обеспечить, чтобы нарушение про-
порциональности между силой и сближением (удалением)
концов произошло в первую очередь у растянутого стержня.
Представляло бы интерес выявить класс ферм, для которых
решение поставленной задачи возможно, однако, останется
еще выяснить, будут ли экономичны фермы, разрушающиеся
только от текучести растянутых стержней.
.s> Если нет опасения за уст шчивость элементов статически
неопределимой системы, то ее расчет может быть выполнен
в ynpvro-пластической стадии достаточно просто. Для этого
обьчно рекомендуется метод последовательного выключения
связей, который уже применялся в п. 2 этой главы к про-
стейшим неразрезным балкам.
Существо этого метода для системы с п лишними неизвест-
ными нередко формулируют следующим образом. Из расчета
упругой системы с п неизвестными определяется та связь а,
которая первой достигнет пластического состояния, например;
растянутый стержень, напряжение в котором достигнет вели-
чины ат, или сечение балки (рис. 49,а и б), где образу-
ется пластический шарнир.
Эту часть расчета назовем первым шагом; обобщенную
нагрузку, при которой первая связь достигает пластического
состояния, обозначим через Рг, а соответствующее усилие,
в каком-нибудь элементе i— через S^P^ Нагрузка Рг опреде-
ляется из условия SalP1~Sa, где Sa — предельное усилие
связи а.
Для второго шага расчета связь, достигшая пластического
состояния, удаляется и заменяется предельными силами в ней
(например, удаляется растянутый стержень и заменяется уси-
лиями текучести, действующими на точки прикрепления стер-
жня или вместо пластического шарнира ставится обыкновен-
ный шарнир, по сторонам которого прикладываются предель-
ные моменты М, отвечающие образованию пластического шар-
нира). Эта замена мотивируется тем, что с увеличением де-
формации пластической связи усилие в ней остается посто-
янным. После упомянутой замены степень статической неоп-
ределимости системы становится равной (п—1). Для второго
114 г 'l
шага ведется расчет упругой системы с («— 1) лишней неиз-
вестной на приращение нагрузки сверх первого шага, т. е-
на нагрузку Р— Рх(рис. 49, в). Усилие в элементе г, получен-
ное из этого расчета, обозначим через S/2 (P—-PJ. Полное
усилие в элементе i есть, следовательно, Sf(2) — StlPy
-f-S;2(P—Pj). Конец второго шага определяется тем, что уси-
лие в какой-нибудь связи b достигает предельного значения.
115
Обозначив нагрузку, соответствующую этому моменту, через
Р2, имеем:
где Sb — предельное усилие связи Ь. Из последнего равенл
ства определяется нагрузка Р2.
Для перехода к третьему шагу удаляется связь b и за-
меняется предельным усилием Sb (рис. 49, г). В третьем шаге
приходится иметь дело с системой, имеющей (п — 2) лишних
неизвестных. Из расчета этой системы на нагрузку (Р— Р2)
определяются усилия в элементах Sl3 (Р — Р2) (рис- 49, д).
Полные усилия в элементах составят:
+Si2 (Р2 - Л) ++3 (Р - Р2).
Конец третьего шага определится переходом в пластическое
состояние связи с, а нагрузка Ps, отвечающая концу третьего
шага (рис. 49, ё), найдется из равенства:
ЗД + 5с2(Р2- Л)+5е3(Р3-Р2)=5е,
где Sc — предельное усилие связи с.
Расчет может вестись шаг за шагом до тех пор, пока
система, освобожденная от ряда связей, не окажется изменя-
емой, что отвечает исчерпанию несущей способности кон-
струкции. Можно встретить в литературе утверждение, будто
для системы с п неизвестными это произойдет в конце (« +
+ 1)-го шага, однако это не всегда так. На рис. 49, иллю-'
стрирующем расчет пятипролетной неразрезной балки по мето-
ду последовательного выключения связей, показано (рис. 49, ж),
что система, имевшая четыре лишних неизвестных, оказалась
изменяемой после выключения трех .связей, а не пяти.
Метод последовательного выключения связей пригоден и
удобен во многих частных случаях, но он отнюдь не являет-
ся общим. Дело в том, что усилие в связи, достигшей пла-
стического состояния, как уже отмечалось, остается постоян-
ным только до тех пор, пока соответствующая деформация
не убывает. Как только деформация начинает убывать, усилие
в связи становится переменным. Поэтому при убывании дефор-
мации выключенную связь необходимо снова включить, причем
должна быть учтена происшедшая остаточная деформация.
Так, например, растянутый стержень, вставляемый между
узлами, которые он соединял, должен, помимо упругого
удлинения, соответствующего величине предельной силы,
иметь еще остаточное удлинение, равное удалению узлов
друг от друга, произошедшему при выключенной связи. Также
шарнир, в котором знак ^гла поворота меняется, должен
быть замкнут с сохранением образовавшегося в нем перелома
оси стержня,
„6 1
Возвращение связей из пластического состояния в упру-
гое иллюстрируем на элементарном примере. Жесткая плоская
поперечина (рис. 50) подвешена на трех параллельных стерж-
нях а, Ь, и с, расставленных на равных расстояниях друг от
друга, и нагружена параллельной стержням силой Р, прило-
женной к поперечине посредине между стержнями а и Ь.
Длины и сечения стержней а и b одинаковы; длина стержня
с вчетверо меньше длины других стержней, а площадь его
в 12 раз меньше площади каждого из стержней а и Ь. Мате-
риал всех стержней одинаковый. Обозначив усилие текучести
для стержней а и b через S,
имеем усилие текучести для
S ТЛ
стержня с, равнее Изме-
нение усилий в стержнях при
росте нагрузки показано на
рис. 51.
Рис. 50 Рис. 51
Из расчета упругой системы находим усилия в стержнях}
S.=4P" s<-.'p
При росте силы Р первым будет достигнуто усилие те-
кучести в стержне с. Это произойдет при нагрузке:
Р>=16 12 -4s'
при этом S S, = -g-. •
Когда груз Р будет дальше возрастать, усилие Sc оста-
нется постоянным и равным усилию текучести, а усилия в
двух других стержнях определяются из условий статики:
с _А. A <г—А_о5_А А
ь 2 12 2 б"
117
Стержень а, очевидно, достигнет предела текучести
раньше, чем стержень Ь. Это случится при нагрузке Р2, опре-
деляемой из условия:
2 12 “ °'
откуда
р — — S
^2— 6 °’
При этом
С — 3 С
— 4 °-
Рассматриваемая задача однажды статически неопредели-
мая. С достижением нагрузки Р2 в состоянии текучести нахо-
дятся два стержня {а и с), однако несущая способность си-
стемы не исчерпана.
Если бы груз Р опустился, удлиняя стержень а и не ме-
няя своей величины, то вследствие неизменности нагрузки
длина упругого стержня b оставалась бы постоянной. Стер-
жень с должен бйл бы укоротиться, а усилие в нем — умень-
шиться.
Произведем дальнейший расчет, считая усилие Sa посто-
янным и равным S. Тогда из условий статики
5,=4р-25и^=5-4-
Из этих формул видно, что с возрастанием нагрузки
расти будет усилие Sb, а усилие S, станет уменьшаться, т. е..
стержень с разгружается. Усилие текучести в стержне b до-
стигается при нагрузке Р3 = 25. В стержне с при этом усилие
падает до нуля. Нагрузка Р3 есть предельная нагрузка Р
для рассматриваемой системы: поперечина может вращаться
вокруг точки ее привеса к стержню с за счет текучести
стержней а и Ь, а груз, привешенный к ней, будет опускать-
ся.
Учитывая возможность обратного выключения связей,
расчет статически неопределимой системы в упруго-пласти-
ческой стадии можно вести по методу последовательного
измененья системы, отличающемуся от вышеописанного тем,
что при достижении второй или последующей связью пласти-
ческого состояния производится исследование знаков прира-
щений перемещений по направлению ранее выключенных свя-
зей, и те связи, по направлению которых перемещения умень-
шаются, включаются вновь с сохранением накопившихся
остаточных деформаций. В таком случае для каждого после-
дующего шага степень статической неопределимости не всегда
будет на единицу ниже, чем для предыдущего. Так, например,
после системы с п — k неизвестными может последовать рас-
118
чет другой системы с п — k неизвестными, образовавшейся
вследствие выключения одной новой и обратного включения
одной ранее выключенной связи. В применении к некоторым
конструкциям метод последовательного изменения системы
может потребовать многократного расчета разных статически
неопределимых схем, а потому оказывается кропотливым. Бо-
лее того, можно привести простые примеры, для которых
расчет вообще не может быть выполнен при помощи конеч-
ного числа шагов. Так, например, для двухпролетной нераз-
резной балки с равными пролетами, загруженной в одном
пролете равномерной нагрузкой, в упругой стадии момент
над опорой равен™, а максимальный момент в загруженном
пролете (на расстоянии-^-/ от крайней опоры) равен -^-4 ,
т. е. по абсолютной величине больше опорного момента. По-
этому первый пластический шарнир образуется в загружен-
ном пролете на расстоянии-^/—0,4375 I от крайней опоры
(рис. 52, а). При дальнейшем возрастании нагрузки образо-
вавшийся пластический шарнир непрерывно перемещается по
направлению к крайней опоре, а опорный момент возрастет. При
исчерпании несущей способнссти, когда опорный момент ста-
новится равным пролетному, расстояние пластического шар-
нира от крайней опоры достигает величины (J/2—1) /=0,414/
(рис. 52, б). Ступенчатый расчет для упруго-пластической
стадии в этом случае неприменим.
Для расчета статически неопределимых систем в упруго-
пластической стадии можно указать другой, более общий и
иногда более удобный метод. Он состоит в том, что рассчи-
тывается только заданная система с п неизвестными, но
в качестве воздействий рассматриваются не только нагрузки,
но и пластические деформации системы. Назовем его мето-
дом непосредственного учета пластических деформаций.
Первая связь а, которая переходит в пластическое состоя-
ние, определяется из расчета упругой системы на нагрузку
данной конфигурации. Расчет может вестись любым извест-
ным методом. Интенсивность нагрузки Pi, при которой
связь а достигает предельного состояния, определится из
равенства:
SapPi = Sa, (3,29)
где Sap—iусилие в связи а от единичной нагрузки;
Ло—предельное усилие в связи а.
Выяснив, какая из связей переходит в пластическое со-
стояние, надо рассчитать систему на единичную деформацию
этой связи До=1. Усилие в какой-либо связи i от деформа-
ции Дд=1 обозначим через б1Л.
119
Под действием нагрузки P>Pi и пластической дефор-
мации связи а усилие в элементе i системы равно:
Sl^^aSia-^PSip, (3,30)
где Sip — усилие в связи i от нагрузки Р=1.
В частности, для связи а:
(3,31)
Из (3,31) Да выражается через Р, после чего, пользуясь
формулой (3,30), усилия в остальных связях выражаются
через одну переменную — величину нагрузки. Пусть при на-
грузке Рп>Р| в пластическое состояние приходит связь Ь.
Рассчитав систему на единичную деформацию = l связи Ь,
т. е. найдя усилия Sib в связях, можно выразить усилия в
элементах системы от нагрузки и от пластических деформа-
ций связей а и b формулой:
$/= дХ + bbSib + PSip. (3,32) .
В частности, для связей а и b имеем:
^aSaa~\~ ^bSab PSap= Sa', ,
&aSba -ф-&bSbb-\- PSbp = Sb.
Из уравнений (3,33) величины Д„ и Д& выражаются через Р.
Г ели бы оказалось, что с дальнейшим ростом нагрузки пла-
< гическая деформация Дв должна убывать, это значит, что
ci язь а разгружается. При этом ее пластическая деформация
< охраняет постоянную величину, которую она приобрела при
нагрузке Рп. В таком случае это значение Да вводится вр
второе из уравнений (3,33) и при помощи этого уравнения
деформации Дй выражается через нагрузку. Когда так или
j наче величины деформаций До и Д6 определились, усилия во
в ех элементах могут быть выражены через одну только
1 еременную Р при помощи равенств (3,32). После этого снова
изыскиваются следующий элемент с, достигающий пласти-
ческого состояния, и нагрузка Рш, которая этому соответ-
ствует.
Упругую систему надо рассчитать на единичные дефор-
мации каждого из элементов, достигающих пл <стического
состояния Если таких элементов много, а тем богее когда
их бесчисленное множество, удобным или даже необходимым
становится пользование своеобразными линиями влияния, за-
гружаемыми пластическими деформациями, как об эт€»м будет
сказано ниже.
Заметим, что на любой стадии расчета усилия в элемен-
тах определяются формулами вида:
. = (3,34)
ГО
причем суммирование ведется как по всем элементам, нахо-
дящимся в пластическом состоянии, так и по тем, которые
в пластическом состоянии находились на предшествующих
этапах.
Когда в пластическом состоянии уже находится т — 1
элемент и при нагрузке Р— Рг вступает в предельное состоя-
ние еще т-й элемент, следует найти решение т неравенств
вида:
j=m
Y^jSij + PSi^i, (3,35)
>=i
такое, чтобы при Р~^>РГ величины Д7- были неубывающими
функциями Р. При этом для тех связей, деформации которых
возрастают с ростом Р при Рг, выражения (3,35) должны
удовлетворяться со знаком равенства, а для связей, пласти-
ческие деформации которых при Р^> Рг остаются постоянны-
ми, выражения (3,35) должны удовлетворяться со знаком <.
Метод непосредственного учета пластических деформа-
ций позволяет для любой стадии работы найти усилия в си-
стеме, а так как попутно вычисляются и величины пластиче-
ских деформаций, то определение перемещений можно всегда
выполнить.
Детали метода, насколько нам известно, не подвергались
обстоятельной прораоотке.
Остановимся еще на построении и использовании „линий
влияния“, загружаемых деформациями.
Как известно, обычные линии влияния можно строить,
опираясь на теоремы взаимности, а именно: 1) линию влияния
перемещения по направлению а, опираясь на теорему взаим-
ности перемещений Ъдь — Ъьа можно построить, как эпюру
перемещений, вызванную единичной силой, действующей по
* 121
направлению а\ 2) линию влияния усилия в элементе или свя-
зи а можно построить, опираясь на теорему взаимности
между реакцией и перемещением гаь = —ЪЬа, как эпюру
перемещений, вызванную единичной деформацией связи а.
Аналогично этому для определения усилий и перемеще-
ний статически неопределимых систем, вызванных деформа-
циями (например, температурными или пластическими), можно-
воспользоваться теоремой взаимности реакций и теоремой
взаимности между реакцией и перемещением.
Теорема взаимности реакций читается так:
реакция rat, в какой-либо связи а, вызванная единичной
деформацией связи Ь, равна реакции связи Ь, вызываемой
единичной деформацией связи а:
ГаЬ=ГЬа. (3,36)
Если, например, для балки, заделанной одним концом
и опертой на другом, требуется определить величину опор-
ного момента, вызванного единичным поворотом в пластиче-
ском шарнире Ь, образовавшемся на оси балки на расстоянии х
от шарнирной опоры (рис. 53, а), то для этого достаточно знать
величину изгибающего момента 'М (х), возникающего на рас-
стоянии х от шарнирной опоры при единичном повороте опор-
‘4EJx
ного сечения балки (рис. 53, б). Как известно, М (х)==—-р— (рис.
53, в). Следовательно, согласно (3,36) такую же величину будет
иметь опорный момент, вызванный единичным поворотом в
пластическом шарнире Ь. Эпюру моментов (рис. 53, б) можно
поэтому рассматривать как линию влияния опорного момента,
„загружаемую" углами перелома в пластических шарнирах1.
Если для рамы (рис. 54, а) надо определить горизонталь-
ную опорную реакцию //, вызванную единичным поворотом
в пластическом шарнире, образовавшемся на оси ригеля
в сечении а (рис. 54, б), то величина этой реакции численно
равна величине момента Ма (рис. 54, в), возникающего в сече-
нии а при единичной деформации горизонтального стержня
правой опоры (рис. 54, г). Если имеется та же реакция, но
вызванная единичным поворотом в пластическом шарнире,
образовавшемся в сечении b стойки на расстоянии е от ее
оси (рис. 54, д), то реакция равна моменту относительно точ-
ки, отстоящей на величину е от оси в сечении Ь, вызванному
единичной деформацией опорного стержня. Таким образом,
если известны усилия в раме, вызванные единичной дефор-
мацией горизонтального опорного стержня, а именно изгибаю-
щие моменты: в сечении а и Мь в сечении Ъ, а также
продольная сила N в стойке, то соответствующая этому со-
1 Возможность использования теории вз-имности для построения линий
влияния, загружаемых деформациями, был;, от 1ечена в [21] и [68].
422
стоянию величина изгибающего момента Ма = гац есть число
влияния горизонтальной реакции опоры при повороте в пла-
стическом шарнире а, а величина — — число
влияния при повороте в пластическом шарнире, внецентрен-
но расположенном в сечении Ь.
При вычислении чисел влияния знаки величин, входящих
в их выражение, определяются знаком работы, которую эти
силы совершают на рассматриваемом перемещении. Так, на-
пример, при подсчете числа влияния гьп учитывается, что-
изгибающий момент и продольная сила в стойке, вызванные
горизонтальным смещением опоры в направлении положитель-
ного распора Н, совершают отрицательную работу при пово-
роте пластического шарнира (рис. 54, е).
Для рамы рис. 55 коэфициент влияния удлинения затяж-
ки на распор рамы равен усилию затяжки, вызываемому еди-
ничным горизонтальным смещением опоры.
Теорему взаимности между реакцией и перемещением
можно высказать в такой форме:
Перемещение 8ог> по направлению а, вызванное единичной
деформацией связи Ь, численно равно по величине, но про-
тивоположно по знаку усилию гЬа в связи Ь, вызванному^
единичной силой, действующей по направлению а-
Ьаъ = -гЬа- (3,37>
Так, например, угол поворота оси неразрезной балки
в сечении а над опорой (рис. 56, а) при единичном переломе
123-
оси в сечении b численно равен, но противоположен по знаку,
моменту в сечении b (рис. 56, б), вызванному единичной парой,
приложенной в а.
Прогиб в сечении с при единичном переломе в сече-
нии b численно равен по абсолютной величине, по противо-
положен по знаку моменту гЬс в сечении b при действии
единичной силы, приложенной в сечении с (рис. 56, в).
Пользуясь теоремами взаимности (3,36) и (3,37), можно
длч рассчитываемой системы построить „линию влияния"
неизвестных. Чтобы построить линию влияния i й неизвест-
ной, следует решить систему уравнений упругости, в ко-
торой свободные члены всех уравнений равны нулю, а в
i м уравнении в правой
части стоит 1, если
jj-я неизвестная есть си-
ла, или (—1), если Z-я неизвестная есть перемещение. Эпю-
ры усилий в системе, отвечающие найденным таким образом
не 13вестным, представляют собой „линию влияния" Z-й не-
известной. Действительно, если Z-я неизвестная есть сила,
то поставив в правой части 7-го уравнения еди .иду, мы дали"
«типичное перемещение связи i. Найденное усилие rk; в ка-
кой-нибудь связи k согласно (3,36) численно равно усилию
в связи i, вызванному единичной деформ дней связи k. Если
1-т\ неизвестная представляет собой перемете 1ие, то, поставив
в правой части уравнения—1, мы приложили единичное уси-
лие в направлении, противоположном этому перемещу ию.
Усилие rkt, найденное в связи k, согласно (3,37) численно
равно перемещению з направлении приложенной силы, взя-
тому с обратным знаком, т. е. 7-й неизвест юй с ее знаком.
В качестве иллюстрации применения „линий влияния"
рассмотрим задачу, которую разобрал Л. И. Ма .амеат [52]»
пользуясь другим способом.
По неразрезной балке постоянного сеченпя с двумя рав-
ными пролетами катится груз Р, недостаточный для чсчек пД^
124
ния ее несущей способности, но настолько большой, что otr
вызывает в ней остаточную деформацию. Требуется опреде-
лить деформации балки при перемещении груза.
Заметим прежде всего, что если бы при расстоянии гру-
за от крайней опоры, равном $/, момент под грузом и опорный
момент одновременно имели бы предельное значение Ж, это
означало бы, что в балке образовалось два пластических
шарнира и несущая способность ее исчерпана (рис. 57). Из-
условий статики убеждаемся, что соответствующая величина
груза равна:
+ {3i38>
Так как мы имеем в виду груз, не способный исчерпать
несущую способность балки пи при каком его положении, то»
рассмотрению подлежат
вой части (3,38). Легко видеть, что минимум выражения,
достигается при ? = 1/2—1, а следовательно, груз
. ч 1 —- S
не должен быть больше, чем
Р=5,83 4-
В дальнейшем нам будет удобно выражать величину гру-
за в форме P=k Согласно предыдущему будем рас-
сматривать только случаи, когда k <5,83.
Игра сил в балке вполне ясна, если в любой стадии
работы известна величина опорного момента X. Опорный
момент зависит от величины и положения груза, а также от
происшедших пластических деформаций. Для учета обоих
факторов воспользуемся линиями влияния: обычной линией
влияния, загружаемой силами (рис. 58, а), и „линией влияния",
загружаемой деформациями (рис. 58, б), т. е. переломами
и искривлениями оси балки.
Линия влияния (рис. 58, б), как упоминалось выше, может
быть построена, как эпюра моментов, отвечающая единичному
125
перелому оси балки над опорой. По симметрии балки каса-
тельная на опоре каждого пролета должна повернуться на
угол 1/2, чему соответствует момент —. Заметим, что за
величину X мы приняли момент на опоре, растягивающий
верхнее волокно, поэтому и на линии влияния ордината над
опорой отложена вверх. Если пластическая деформация искрив-
ляет участок балки выпуклостью вниз или создает излом оси,
направленный острием вниз, величина X получает от этог®
-положительное приращение. Наоборот, при искривлении
выпуклостью вверх или изломе оси острием вверх величина X
уменьшается.
Величина момента под грузом равна:
М=Р1- (1— В) — 5ЛЛ = AM (1-5) - IX. (3,39)
В упругой стадии:
X = ~ 5 (1 -<) = t (1-5),
а следовательно, момент под грузом равен:
Ж = -^-(4г-5^ + ?).
(3,4В)
(3,41)
Наибольшее значение опорного момента достигается при
с= ——
ТогдаЛ’ = у^5. Наибольшее значение момент под гру-
зом имеет при 5=0,432. Оно равно М— Отсюда видно,
что пластические деформации возникают только при k >4,83,
причем пластический шарнир образуется под грузом. Итак,
мае интересует только значение А, удовлетворяющее условно
4,83 < k <5,83.
Если груз катится, начиная от крайней опоры, то пласти-
ческий шарнир под ним возникнет, когда или соглас-
но (3,41) при 5 = 5О, Удовлетворяющем условия*
4(4%-5^+^) = 1. “ (3,42)
Если бы не возникло пластической деформации, то при
дальнейшем перемещении груза момент под ним возрос б д,
что невозможно, так какуже при 5=5О мы имели М=М. От-
сюда можно видеть, что с образованием пластического шарнира
этот последний перемещается, оставляя за собой пластическое
искривление х(5), изменяющее величину опорного момента.
Если пластическое искривление возникнет на участке от 5 = 5»
126
до то величина X, как легко подсчитать по линии
нлияния (рис. 58,6), возрастет на величину:
Хпл = [ld-ч = f'x(7j) 7j dri, (3,43)
E, I
где Хпл — приращение опорного момента, вызванное пласти-
ческой деформацией.
При этом момент под грузом будет равен согласно (3,39)
и (3,41):
+ х^Ф]. (3,44)
Ео
Положив момент под грузом равным М, находим из (3,44):
Г
,/*х(г1)т1 [4 (4—5= Н- В8)—f ] -
Еэ
Так как при перемещении груза на некотором участке
момент под ним постоянно равен М, диференцируем послед-
нее равенство по Е и находим:
- (Е) = да[т(з( - т) + v] • . (3,45)
Из (3,45) видно, что остаточная кривизна под грузом
обращается в нуль при S = 5P где удовлетворяет условию:
А (5-3=?)=(3,46)
ч
откуда
или
к=*г%- (М8)
Графики гД) при нескольких значениях k изображены
на рис. 59. Величина всегда меньше, чем 0,432 Когда груз
идет дальше по первому пролету и то момент под
грузом остается меньше предельного. Выясним, какую вели-
чину примет опорный момент, когда Из (3,40) и (3,43)
находим:
_ Е. _
х=^Е(1-?)+ у*^х(^)^=^е(1-е2)+ 3)
Ео
127
Ч-Ж./1 * (3r/-5)+ = ^-;(1-?2) +
+ 4 (* - 5ч) ~ Г + |]’ (3’49)
или после преобразования (3,49) при помощи равенств (3,42)
и (3,46):
X = {= (1 -?)+ 4^-10^+4}. (3,50)
Первое слагаемое в фигурной скобке достигает максиму-
образовался пластический шарнир, необходимо, чтобы удов-
летворялось неравенство:
4,386-Н«-Юч> 4 ,
или, заменив правую часть при помощи (3,48) и перенеся все
члены в левую сторону,
4,386—10=!—К?+4;?+3;? > 0. (3,51)
Для соблюдения неравенства (3,51) необходимо 0,393
или из (3,48) £>-5,72.
Итак, при 4,83 <£<5,72 пластические шарниры при
пробеге грузом одного пролета образуются только под гру-
зом, тогда как опорное сечение остается в упругом состоянии.
тт г, 5,7244 „
Легко убедиться, что когда груз —— пройдет во
второй ролет или вернется обратно или вообще будет со-
вершать любые движения по балке, после того как он прошел
от крайней опоры на расстояние V, новых пластических
деформаций в конструкции уже не возникнет. Действительно,
пластический шарнир не может образоваться на опоре. Он
не образуется также и' под грузом, так как остаточный мо-
мент на опоре, вызванный пластическими деформациями при
первом проходе груза между сечениями % и изменил
напряженное состояние балки так, что момент под грузом
будет меньше величины М. при всяком его положении кроме
двух симметричных точек, отстоящих от концов балки на
расстоянии £г/.
При 5,72 5,83 пробег груза по пролету вызовет
Сначала пластические деформации под грузом, отчего опорный
момент возрастет, а затем, находясь вблизи точки 5 = , груз
вызовет образование пластического шарнира и перелом оси
на опоре, отчего опорный момелт снова уменьшается. При
пробеге по второму пролету или при обратном ходе груза
по первому пролету под грузом снова возникнут пластиче-
ские деформации, которые должны компенсировать падение
опорного момента, вызванное переломом оси на опоре. По-
этому при каждом пробеге груза по пролету пластические
деформации в пролете и на опоре должны возрастать, а сле-
довательно. будет расти провисание балки.
Г. Блейх (30(21)] рассматривал повторное приложение на-
грузки к неразрезным балкам то в одном пролете, то в двух
и пришел к выводу, что после начальных пластических дефор-
маций дальнейшее нарастание их прекратится, если можно
подобрать такое состояние собственного напряжения конструк-
ции, чтобы каждая из чередующихся нагрузок вызывала
усилия, не превосходящие предельных. Этот критерий приме-
ним и к рассматриваемой задаче и приводит к тому же гра-
ничному значению силы Р=5,72—} которое мы нашли
выше1.
В задачах, рассмотренных в этой главе, основное внима-
ние было обращено на изменение напряженного состояния
и на деформации в упруго-пластической стадии. В результате
изучения работы конструкций в этой стадии можно, как было
показано на нескольких примерах, определить и несущую
способность конструкции. Расчеты показывают, что несущая
способность не зависит от упругих свойств конструкции,
а определяется только условиями статики и предельными
усилиями элементов. Так, например, для крайнего пролета
неразрезной балки величина предельной равномерно распре-
, „ - 11,6644
деленной нагрузки оказалась равной р — ~—— независимо
от числа и «размеров остальных пролетов; для трехпролетной
1 В цитированной работе Л. И. Маламента получился немного иной
оезультат. Расхождение вызвано неточностью расчета.
1 А. А. Гвоздев
129
балки, загруженной сосредоточенным грузом по середине
среднего пролета, Р==-^- независимо от жесткости крайних
пролетов. Это обстоятельство неоднократно отмечалось и
предлагались методы определения предельной нагрузки, в ко-
торых вовсе не учитывались упругие свойства материала [19.
89, ст. 8; 30(8) и (12)]. Связи этих методов с методом предель-
ного равновесия и их обоснованию обычно не уделялось вни-
мания. Мы вернемся к этому вопросу в главе VI.
ГЛАВА IV
ДЕФОРМАЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ БЕТОНА, КАМЕННЫХ
МАТЕРИАЛОВ И КЛАДКИ
1. Общие сведения
Механические свойства бетона и каменной кладки изучены
гораздо слабее, чем прочность и деформации конструкционных
металлов. Это объясняется не только меньшим размахом ис-
следовательских работ, но также особенностями кладки и бе-
тона: их неоднородностью, изменением свойств с возрастом,
влиянием условий твердения, значительными отклонениями от
закона Гука, резко различным сопротивлением на растяжение
и на сжатие. 3 сущности для бетона и каменной кладки еще
нет ни удовлетворительной теории деформаций, ни достаточно
общей теории прочности, хотя потребность в них, несомненно,
назрела и многими осознана.
В условиях обычных испытаний на простое сжатие, на
растяжение или изгиб бетон, каменные материалы и кладка
разрушаются при малых деформациях; их поэтому принято
считать хрупкими. Так, бетон при простом сжатии разрушается,
достигнув укорочения порядка г/1000, а разрыв бетона, испы-
тываемого на растяжение, происходит при удлинении порядка
всего ’/юооо- Указанные величины предельных деформаций на-
до рассматривать только как грубо ориентировочные; они мо-
гут изменяться в ту или другую сторону в зависимости от
ряда обстоятельств.
Даже под влиянием небольших напряжений в бетоне, по-
мимо упругих деформаций возникают деформации ползучести \
определяемые не только напряжениями, действующими в рас-
сматриваемый момент, но и ранее действовавшими напря-
жениями.
В частности, при выдержке под постоянной по величине
нагрузкой происходит длительное, постепенно замедляющееся
1 Сводку опытных данных о ползучести бетона можно найти в работах
[69] и (J0).
130
нарастание деформаций- При прочих равных условиях скорость
деформаций „однородно"1 напряженных образцов пропорцио-
нальна величине напряжений, если напряжения не слишком
велики. После разгрузки наблюдается упругое последействие-
Когда нагружение бетонных образцов производится с посто-
янной скоростью, деформации растут быстрее напряжений. По-
вторные нагрузки и разгрузки вызывают петли гистерезиса,
постепенно сужающиеся с нарастанием числа повторений.
За один и тот же промежуток времени деформации ползучести
больше в тех образцах, которые имеют меньшие абсолютные
размеры. Если бы пропорциональность между напряжениями
и скоростями деформаций можно было бы перенести и на не-
однородные напряженные состояния, то ползучесть не вызы-
вала бы перераспределения усилий в образцах: приращения
всех деформаций за какой-либо промежуток времени были бы
пропорциональны соответствующим напряжениям, а следова-
тельно, и первоначальным упругим деформациям. Однако опыт
показывает, что при выдержке под нагрузкой внецентренно
сжатых образцов наблюдается смещение нейтральной оси2, что
свидетельствует о перераспределении напряжений.
При высоких напряжениях деформации бетона мало изу-
чены, но для ряда случаев обнаружено (как будет показано
ниже), что с приближением к разрушению характер деформа-
ций существенно меняется. В связи с этим при неоднородных
напряженных состояниях с приближением к опасным величи-
нам напряжений, невидимому, происходит интенсивное пере-
распределение усилий.
Поведение нагруженной каменной кладки во многом сходно
с поведением бетона.
При благоприятных обстоятельствах деформации бетона
и каменных материалов могут во много раз превосходить упо-
мянутые выше предельные величины. В связи с задачами пре-
дельного равновесия это представляет особый интерес. Можно
привести практически важные примеры, из которых видно,
что бетон во многих случаях ведет себя уже не так хрупко,
как могло бы казаться на первый взгляд. Так, например, эле-
менты, внецентренно сжатые при достаточном эксцентриситете,
или армированные изгибаемые элементы могут иметь трещины,
перерезающие большую часть сечения. Часть сечения остав-
шаяся целой, воспринимает при этом значительное сжимаю-
щее усилие, но еще не разрушается, допуская раскрытие ши-
роких трещин на противоположной стороне элемента.
1 Учитывая грубую неоднородность бетона и другие его особенности,
термин .однородное напряженное состояние* мы берем в кавычки, понимая
под ним действие таких внешних сил, которые вызвали бы в идеально-упру-
гом однородном изотропном теле напряжения, не зависящие от координат.
2 Попытка математического описания упомянутых свойств бетона дана
в работе [22].
9* 131
Измерения тензометрами, произведенные на базе порядка
100 мм, показывают, что в этих условиях укорочение бетона
значительно больше, чем прп простом сжатии, однако, учиты-
вая, что высота сжатой зоны составляет нередко 3—4 см или
0,1—0,2 от полной высоты сечения, а наибольшее раскрытие
трещины может достигать нескольких миллиметров, следует
полагать, что деформации сжатой зоны резко неравномерны:
участки, расположенные вблизи трещин (зоны а на рис. 6С),
деформируются значительно сильнее, чем участки, отстоящие
дальше от трещин (зоны б на рис. 60). Чтобы достоверно
установить величины наибольших де-
формаций, возникающие при такого
рода испытаниях, надо было бы про-
извести измерения на малых базах,
Рис. 61
Рис. 6Э
что для такого неоднородного материала, как бетон, сопря-
жено с некоторыми трудностями. Однако, если бы это и было
уже осуществлено, не легко было бы перейти от измеренных
деформаций к картине напряженного состояния.
В некоторых случаях камни и бетон удается без разру-
шения доводить до значительных деформаций также и при
„однородном" напряженном состоянии. Эти случаи, понятно,
легче исследовать, а потому они сравнительно хорошо изучены.
Способность бетона претерпевать, не разрушаясь, боль-
шие деформации была, насколько нам известно, впервые уста-
новлена в 1902 г. Консидером [93].
Консидер предложил применять для сжатых железобетон-
ных элементов арматуру, состоящую из продольных стержней,
обвитых спиралью с небольшим шагом (рис. 61,а). В отличие
от обыкновенных колонн с хомутами (рис. 61,6), расположен-
ными достаточно часто, чтобы предотвратить преждевремен-
ное выпучивание продольной арматуры, но не способными
эффективно препятствовать поперечному расширению бетона
в промежутках между ними, густая спираль, противодействуя
поперечному расширению бетона, создает на него боковое
давление, вследствие чего ядро колонны, т. е. часть, распо-
ложенная внутри спирали, оказывается в условиях всесторон-
него сжатия. Вследствие этого не только повышается проч-
ность ядра, но оно получает, кроме того, способность де-
формироваться во много раз больше, чем бетон обычных ко-
лонн с хомутами. Продольное укорочение испытанных образ-
132
нов в обойме удавалось доводить до 3% (т. е. до величины,
в десятки раз большей, чем предельное укорочение бетона
«без обоймы), а в одном опыте даже до 12%. Полученная дефор-
мация в большей ее части была остаточная, что видно из
рис. 62.
При испытании колонн со спиральной арматурой бетон, рас-
положенный вне спирали (защитный слой), разрушался и от-
валивался значительно раньше, чем исчерпывалось сопротив-
ление бетона ядра.
Некоторые образцы, подвергнутые интенсивному обжатию
в обойме, Консидер освобождал от спирали и испытывал вто-
рично. По его утверждению при вто-
ричном испытании прочность оказы-
валась не ниже, чем нормальная проч-
ность такого же бетона, не подвер-
гнутого предварительно сжатию в
обойме.
Е
Рис. 62
&
Рис. 63
Несколько позже Консидер испытал цилиндры, под-
вергая их одновременно продольному сжатию и боковому
гидростатическому давлению, и обнаружил, что наличие гид-
ростатического давления повышает наибольшее продольное
напряжение, которое может выдержать цилиндр, на величину,
в несколько раз (примерно в 5 раз) большую, чем приложен-
ное боковое давление.
Итак, для бетона необходимо считаться с существенно
различным его поведением при разных напряженных состоя-
ниях: он разрушается при малых деформациях, когда испыты-
вается на растяжение или на простое сжатие, но способен
к большим деформациям, когда подвергается со всех сторон
действию сжимающих напряжений, не одинаковых по вели-
чине. Большие деформации, видимо, возможны также в от-
дельных, испытывающих сложное напряженное состояние зо-
нах бетонных тел.
133
2. Теоркя прочности Мора
Были сделаны попытки установить на основе опыта и тео-
ретических соображений некоторые соотношения между на-
пряжениями, при которых наступает хрупкое разрушение бе-
тона и каменных материалов, а также соотношения между
напряжениями, при которых материал начинает сильно дефор-
мироваться. Эти соотношения в известном смысле аналогичны
условию текучести металлов.
В главе I уже упоминалась теория прочности Кулона. Ку-
лон не имел в виду различия между хрупким и нехрупким,
разрушением, но его теория скольжения по плоскостям наи-
меньшего сопротивления, учитывающая силы сцепления и внут-
реннего трения, была, глав ыл образом, предназначена для
растворов и каменных материалов и имела целью объяснить
разную величину прочности, обнаруживаемую для разных ви-
дов напряженного состояния, например, при сдвиге и при сжа-
тии. Применяя эту теорию к произвольным напряженным со-
стояниям, условие прочности Кулона (1,1) можно выразить
через напряжения следующим образом:
А» (4Л>
где | | —абсолютная величина стремящегося вызвать сдвиг
касательного напряжения tn на рассматриваемой пло-
щадке;
А—сопротивление чистому сдвигу;
/—коэфициент внутреннего трения;
сл—нормальное напряжение на рассматриваемой пло-
щадке (сжимающие напряжения имеют отрицатель-
ный знак).
Прибегнув к изображению напряженных состояний
площадок точками плоскости с координатами с„, тл, убеж-
даемся, что согласно (4,1) точки, изображающие безопасные
напряженные состояния площадок, должны лежать в кли-
новидной области Q/?S (рис. 63). Для какого-либо напря-
женного состояния элемента, характеризуемого главными на-
пряжениями Ср а2 и с3, в наиболее опасном состоянии будут,
очевидно, две площадки, отвечающие точкам а и v большого
круга Мора, в которых касательные к этому кругу парал-
лельны прямым Q/? и Разрушение по этим площадкам
должно наступить, когда большой круг коснется пря-
мых QR и RS (рис. 64). Итак, условие прочности Кулона в фор-
ме, предложенной Мором [98], можно высказать так:
Все напряженные состояния, для которых большие круги
Мора размещаются в области QRS, возможны. Предельным
состояниям (т. е. разрушению или возникновению больших
деформаций) отвечают круги Мора, касающиеся прямых Q?
и /Д>. При этом направления плоскостей скольжения опреде-
134
ляются углами с3 и ctp образуемыми прямыми AU, CUи AV, CV
с осью (рис. 64). Так как при этом
cos2 аг cos2 а3 =п2 -]~п% = 1,
то
п2 = cos а2 — О,
т. е. плоскости скольжения проходят через ось среднего из
главных напряжений с2.
Рис. 64
Если, в частности, принять коэфициент внутреннего
трения f равным нулю, то прямые QR и RS станут парал-
лельными оси ал. Величина максимального касательного на-
пряжения т2 = сокажется для всех предельных состояний
одинаковой и равной k, что полностью отвечает условию
наибольших касательных напряжений. При этом плоскости
сдвигов образуют углы 45е с осями главных напряжений а.
и с3, т. е. соответствуют направлениям линий Людерса. Мор
в упомянутой работе не только.дал изложенную выше трак-
товку теории Кулона и условия наибольших касательных на-
пряжений, но предложил обобщение теории плоскостей сколь-
жения, заключающееся в том, что предельное состояние харак-
теризуется не касанием больших кругов Мора к паре прямых,
а соприкосновением кругов с огибающей кривой, определяе-
мой для каждого материала опытным путем (рис. 65).
Для обеих теорий характерны два обстоятельства:
1) в предельном состоянии предполагается скольжение
по некоторым плоскостям, поэтому объем материала должен
оставаться неизменным;
2) в условие прочности (или текучести) вовсе не входит
среднее из главных нормальных напряжений а,. Действитель-
но. большой круг Мора строится на напряжениях и а3,
135
тогда как напряжение а2 определяет только расположение
малых кругов внутри большого.
Теория опасных плоскостей скольжения, очевидно, не
подходит для случая разрыва бетона и каменных материалов,
так как в этом случае происходит отчетливый отрыв, а не
скольжение. При испытании призм на сжатие разрушение
характеризуется иногда образованием косых плоскостей
среза, что как будто согласуется с гипотезой Мора, однако
разрушение призм часто начинается с образования трещин,
параллельных направлению сжатия. Выкалывание боковых
граней при испытании кубиков, на которое ссылался Мор,
представляет собой сложное явление, обусловленное трением
на подушках пресса. Благодаря силам трения на горизонталь-
ных поверхностях сжимаемый кубик испытывает неоднород-
ное сложное напряженное состояние, а потому этот вид
испытаний трудно использовать для оценки той или иной
гипотезы прочности.
3. Испытания камней и бетона при всестороннем сжатии
Опыты над всесторонним сжатием цилиндров из мрамора
и песчаника были произведены в начале этого столетия [97].
Цилиндры, заключенные в специальную камеру, и защищен-
ные тонкой латунной оболочкой от проникания масла в по-
] ы образца, подвергались сначала равномерному всесторон-
нему сжатию, к которому затем добавлялось осевое, посте-
пенно возрастающее сжатие. В этой стадии опыта =
= с2^>а3. Для опытов с мрамором зависимость между осевым
укорочением и разностью главных напряжений показана на
рис. 66, откуда видно, что с изменением величины гидроста-
тического давления меняется не только величина разности
главных напряжений, при которой резко ускоряется нараста-
ние деформаций, но и самый характер диаграммы, а также
величина укорочения, до которой удавалось доводить образ-
цы. Для характерных точек диаграммы были построены кру-
ги Мора и их огибающая, а по ним определено теоретичес-
кое направление плоскостей скольжения. После испытания на
поверхности образцов можно было наблюдать линии сколь-
жения, подобные линиям Людерса для металлов. Направление
наблюденных линий скольжения (с учетом поправки на боль-
шую деформацию образцов) удовлетнорительно совпало с
теоретическим, вычисленным по Мору.
Дальнейшие опыты в том же направлении были произве-
дены [91] над мраморными, а также цинковыми образцами.
Давление создавалось на боковую поверхность (гидростати-
ческое) и на торцы (прессом), так что все три главных на-
пряжения были равны друг другу. Затем ссевое давление
постепенно уменьшалось. В этих опытах 0>з1>з2=з3.
Установка позволяла также прикладывать крутящий момент,
что и осуществлялось на некоторых образцах, снабженных
шестигранной головкой. Зависимость между разностью главных
напряжений и осевым удлинением при испытаниях мрамора
(без кручения) показана на рис. 67. Как и в предыдущих
опытах, при наличии бокового давления удалось довести
мраморные образцы до очень больших деформаций. Однако
при испытаниях с уменьшающимся осевым сжатием даже
для самых высоких боковых давлений диаграмма имеет почти
горизонтальный участок, так что упрочнение слабо выражено*
Рис. 66 Рис. 67
Мрамор в обеих сериях опытов был одинакового происхож-
дения, но сгибающие кругов Мора не вполне совпали. При
испытании с уменьшающимся осевым сжатием огибающая
отстоит несколько дальше от оси ап, чем при испытаниях с
возрастающим осевым сжатием, так что среднее главнее нач
пряжение о2, видимо, оказывает некоторое влияние на
результат опыта.
При всестороннем сжатии с кручением огибающая еще
несколько видоизменялась, но еще важнее тот факт, что
нередко наблюдалось разрушение путем отрыва, а не сколь-
жения. Этот вид разрушения наступал, когда наибольшее
растягивающее напряжение достигало определенного предела,
не зависевшего от величины двух других напряжений.
Испытания на всестороннее сжатие мрамора, цементного
раствора, цементного камня, а также фарфора, гипса и пласт-
массы были произведены параллельно с возрастающим и с
мбывающим осевым сжатием в одной и той же лаборатории
1101]. Для мрамора результаты в общем сходны с полученным
прежде, но при испытаниях с убывающим осевым сжатием
137
на этот раз применяли более низкие величины гидростати-
ческого давления и обнаружили в этой области резкую-
несходимость между направлениями линий скольжения,
найденными из опыта и подсчитанными по Мору. В указан-
ной области напряженных состояний наблюдался переход от
явления скольжения к отрыву.
Мраморные цилиндры после испытаний на всестороннее
сжатие обнаруживали ничтожное сопротивление растяжению.
Для цементного камня при испытании его при возрастаю-
щем осевом сжатии были получены очень большие 'еформа-
ции (укорочение до 30%), а при испытании с убывающим
осевым сжатием осевые удлинения цилиндров не превосхо-
дили 1 — 2%. Это различие авторы опытов приписывают осо-
бенностям методики испытаний.
Фарфор во всех случаях, даже при самом большом боко-
вом давлении, разрушался хрупко.
Для цементного камня и цементного раствора огибающие
кругов Мора при обеих схемах испытания (с возрастающим
и с убывающим осевым сжатием) хотя и не вполне совпали,
но были близки друг к другу.
Заслуживает упоминания специальное исследование бето-
на при всестороннем сжатии [103]. Бетонные цилиндры под-
вергались одновременно действию осевой сжимающей силы
и бокового гидростатического давления, причем в серии ЗА
осевое напряжение возрастало, а гидростатическое давление
сохранялось постоянным, а в серии ЗВ создавалось всесто-
роннее давление на цилиндр, после чего осевое сжатие
оставалось постоянным, а гидростатическое давление на боко-
вую поверхность постепенно повышалось.
133
В серии 1 были испытаны цилиндры со спиральной'
обоймой. На них измерялись не только продольные, но и
поперечные деформации. Спирали не имели защитного слоя.
Высота цилиндров была в 4 раза больше их диаметра.
Была еще проведена серия опытов 2, в которой созда-
валось только гидростатическое (боковое) давление, в то
время как по оси цилиндра давления не прикладывали.
Результаты этой серии пестры, из них нельзя сделать убеди-
тельных выводов, кроме того, что при сжатии в двух на-
правлениях прочность бетона не отличается очень суще-
ственно от прочности при простом сжатии и что разрушение
происходит путем образования трещин, перпендикулярных к.
оси цилиндра.
В сериях 1, ЗА и ЗВ применялись бетоны нескольких-
составов, однако во всех случаях на тех же заполнителях и
на том же цементе. Консистенция бетона была во всех слу-
чаях пластичная. Прочность бетона при простом сжатии
определялась из обычных испытаний цилиндров.
На рис. 68 показаны для одного из составов бетона
продольные укорочения цилиндров серии ЗА$ри разных,
величинах бокового давления. В серии ЗВ больших деформа-
ций получить не удалось, что, видимо, обусловливалось осо-
бенностями постановки эксперимента.
Наибольшее сжимающее напряжение, которое выдержи-
вали образцы серий ЗА и ЗВ, было выше предела прочности
бетона при простом сжатии. Превышение это тем больше,
чем больше было напряжение, минимальное по абсолютной
величине, т. е. гидростатическое давление в серии ЗА и
13»
осевое—в серии ЗВ. На рис. 69 это показано графически. Кри-
вая, относящаяся к серии ЗА, лежит несколько выше кривой
для серии ЗВ. Однако авторы опытов не считают точность
результатов достаточной для суждения о том, влияет ли
среднее из главных напряжений а, на предельное состояние.
На том же рисунке нанесена прямая с3 — А?П:з = 4,1 кото-
рую авторы опытов сочли возможным принять для обработ-
ки серии 1. Величина R„p обозначает предел прочности
цилиндров при простом сжатии.
Зависимость А.| = Rnp 4,1 |gJ очень близка к найденной
•Консидером с той разницей, что у Консидера сопротивление
---------- сжима-
ющей силе возра-
стало благодаря ги-
дростатич ескому да-
влению, приложен-
ному к боковой по-
верхности,на вели-
чину, превышавшую
гидростатическое
давление не в 4 ра-
за, а примерно в
5 раз.
В той же работе
при испытании ци-
линдров на простое
сжатие измерялись
продольные и попе-
речные деформации
и была обнаружена интересная зависимость между ними. На
рис. 70 показано отношение поперечных деформаций к про-
дольным в зависимости от роста нагрузки. График отчетливо
показывает, что, когда продольное сжимающее напряжение
превышает половину предела прочности на сжатие, попереч-
ные деформации начинают расти очень быстро. На рис. 71
для тех же цилиндров показано изменение объема Sj.—|—®2—|—
4-г., в зависимости от величины нагрузки. Сначала объем
сжимаемого цилиндра уменьшается, но примерно при 75—
85% от разрушающей нагрузки объем цилиндра снова на-
чинает воз^тать, а к концу опыта видимый объем образца
уже превышает его первоначальный объем.
При испытании цилиндров со спиральной арматурой из-
мерялись удлинения последней, а также продольное укоро-
чение цилиндров. Так как для материала спиралей зависи-
мость между деформациями и напряжениями была предвари-
тельно изучена и введены были поправки на влияние хопод-
ной обработки при скручивании спирали, то можно было
определить величину давления витка спирали на боковую
140
поверхность бетона. Давчспие витка относили к расстоянию»
между витками. Таким образом, на каждый момент опыта
можно было определить гидростатическое давление, эквива-
лентное давлению спиральной арматуры на цилиндр.
Величины бокового давления, найденные таким путем,,
показаны на рис. 72. При продольных напряжениях до-
70 кг! см2, т. е. примерно до половины призменной прочности
бетона, напряжение в спирали ничтожно. Следовательно,
бетон в это время работает фактически на простое сжатие.
При более высоких напряжениях, как уже упо:»гиналось, в.
бетоне, работающем на простое сжатие, начинает интенсив-
но увеличиваться попереч-
ное расширение. Понятно,
что в этой стадии работы
должно возрастать боковое
давление спирали на ци-
линдр, что можно ясно ви-
деть на рис. 72 для всех
шести серий опытов, отли-
чающихся друг от друга
процентом спиральной ар-
матуры, а также механиче-
скими характеристиками ма-
териала спирали. Когда про-
дольное напряжение в ци-
линдре превышает призмен-
ную прочность бетона, при-
ращение бокового давления
Рис. 71
спирали становится почти пропорциональным приращению-
осевого напряжения. На графиках нанесены прямые, отвечаю-
щие уравнению |оэ1= |зх|; точки, построенные по
данным опыта, лежат волизи этих прямых.
Если обозначить величину осевого сжимающего напря-
жения через с# а величину радиального сжимающего напря-
жения через эта формула перепишется так:
аг —+ зг.
(4,2’)
Из условий равновесия полувитка спирали следует:
, f
fs = rs з_ или а, — — з .
J а г г г$ а?
где f—площадь сечения прутка спирали;
зй— растягивающее спряжение в прутке спирали;
г — радиус цилиндра;
s — шаг спирали.
141
Коэфициент армирования цилиндра спиральной армату-
рой р., т. е. отношение объема спирали к объему цилиндра,
ложно выразить формулой:
Вводя величину р. в выражение для получим:
а подставив это выражение в формулу (4,2’), найдем:
сг = #„/>+2,05 (4,3)
При максимальной нагрузке, которую цилиндры были
способны выдержать, напряжение в спирали имело различную
величину в зависимости от материала спирали и процента
армирования. В спиралях из катанки напряжение соответ-
ствовало почти горизонтальному участку диаграммы растя-
142
жения (исправленной с учетом наклепа при сгибании арма-
туры в спираль). Спирали из канатной проволоки, имевшей
времени е сопротивление около 130 кг)смг (группа колонн 13),
в моменту разрушения колонн разорвались. Спирали из холодно-
тянутой оттожженной пооволоки при относительно высоком
проценте армирования (1,11%) были напряжены почти до
предела прочности, а при низком проценте армирования
(0,50% — группа 1) — примерно на 80% от предела прочности.
Изменение объема для цилиндров групп 1 до 4 со спи-
ральной арматурой показано на рис. 73. И здесь, как и для
ьеармированных цилиндров, с увеличением продольной сжи-
мающей силы уменьшение объема сменяется в некоторый
момент увеличением объема, однако необходимая для этого
нагрузка тем больше, чем выше сопротивление спирали.
Для группы 13 разрушение произошло из-за разрыва
спирали и увеличение объема до конца опыта не наблюдалось.
Для группы 5 оно едва обозначалось, что авторы опытов
объясняют тем, что непосредственно перед разрушением не
были сделаны соответствующие измерения.
После испытания в обойме одна из колонн группы 3,
получившая уже укорочение около 2%, была освобождена
от спирали и испытана на простое сжатие. Разрушение насту-
пило при нагрузке, составлязшей около половины от разру-
шающего усилия для неармированных цилиндров из такого же
бетона.
Характерное увеличение видимого объема сжимаемого
бетона наблюдалось и в других опытах. На рис. 74 показаны
типичные графики продольных деформаций ег, поперечных
деформаций ег и изменений объема e — &z-\r^r для сжимаемых
цилиндров [92]. На рис. 75 показаны заимствованные из той же
работы графики деформаций наиболее напряженной грани
143
прямоугольной внецентренно сжатой колонны. Продольное
укорочение обозначено через ег, а через е — видимое изме-
нение объема, подсчитанное по формуле е=ег-|-2гд., где гх—-
поперечное расширение.
Рис. 74
Автор этих строк измерял продольные и поперечные де-
формации на небольшой серии образцов бетона в обойме
при испытании их на сжатие. Обоймы этих образцов изгото-
влялись из цельнотянутой стальной
трубы. На наружной
поверхности обойм бы-
ли проточены желоб-
ки, так что обоймы
представляли собой
тонкостенные цилин-
дры, усиленные коль-
цами, расположенными
на равных расстояниях
друг от друга.
Обоймы были двух
типов: „легкие11, имев-
шие среднюю толщину стенки 1,25 мм при толщине в местах же-
лобков в 0,5 и 2,5 мм. в местах колец, и „тяжелые" со средней
толщиной стенки в 2,33 мм при 1 мм в местах желобков
и 3 мм в местах колец. Часть обойм использовалась в вице
круговых цилиндров; другие обоймы растягивались в овалы.
Обоймы служили формами для бетонирования образцов. Испы-
тания показали, что неоднородность бетона отчетливо про-
является при больших деформациях: бетонное тело теряет
цилиндрическую форму не только за счет большего расши-
рения образца по середине зысоты, но и за счет образования
местных бугров и впадин. Это можно было наблюдать по за-
метному на-глаз скручиванию колец обойм. Так как измерение
деформаций производилось переносным индикатором, упирав-
шимся в шарики, укрепленные на кольцах обойм, скручива-
ние и изгиб колец влияли на результаты измерений. Однако
их общий характер остался вполне четким. На рис. 76 пока-
144
заны графики продольных укорочений ez, поперечных удли-
нений ег и инварианта е = Для кругового цилиндра
рис. 77 и 78 —Продольные укоро-
Рис. 76
в „легкой" обойме, а на
чения гг, поперечное рас-
ширение ел в направле-
нии длинной оси сечения
и поперечное расшире-
ние е , в направлении ко- -
роткой оси сечения, а -
е „ —|— е v Ч—
также е — --—------ для -
овальных цилиндров: «а
рис. 77 — в „легкой", а на
рис. 78 —в „тяжелой"
обойме. Для всех образ-
цов инвариант ев начале
опыта уменьшался, т. е.
происходило уменьшение объема, а к концу опыта увели-
чивался, так что объем образца превышал первоначальны .
Для овальных образ-
цов поперечное рас-
ширение в направ-
лении длинной оси
сечения во всех слу-
чаях меньше, чем в
направлении корот-
кой оси. 5очкообраз-
ность образцов мог-
ла создать преуве-
личенное представ-
ление об увел! Ч2НИИ
объема бетона, так
как измерение попе-
речных деформаций
производилось по середине высоты цилиндров. Чтобы оценить
вносимую этим погрешность, было произведено определение
объема образцов после испытания путем их взвешивания
в воде1. Остаточное увеличение объема образцов оказалось
меньшим, чем следовало бы из измерения деформаций, однако
было вполне отчетливо обнаружено.
Образцы в „легкой" обойме изготовлялись из очень жест-
кого бетона с кубиковой прочностью 500 кг; см1. Для образцов
в .тяжелой" обойме с целью получить примерно ту же раз-
рушающую силу был взят пластичный бетон с кубиковой
прочностью около 200 кг)см2.
1 Терцы образцов покрывались парафином, вес которого учитывался.
145
10 А. А. Гвоздев
Так как обоймы растягивались очень сильно, а, кроме
того, вертикальные усилия в них не могли быть велики из-за
наличия желобков, можно было рассчитывать напряжения
в них по удлинениям, как при одноосном напряженном состо-
янии. Было принято, что усилие по длине каждого кольца
постоянно не только в образцах кругового, но и овального
сечения. Это позволило определить боковое давление на
образцы к концу опыта. При легких обоймах оно составляло
J2.0 кг см- для круговых цилиндров, а при овальном сечении
цилиндра достигало 175 кг/см2 в направлении длинной оси
и около 80 кг, см2— в направлении короткой оси. При тяже-
лых обоймах на круговых цилиндрах боковое давление было
к концу опыта равно 225 кг,см\ а при
цилиндрах овального
сечения достигало
320 кг'см2 в направ-
лении длинной в
1А5кг/см2 в направ-
лении короткой оси.
Сравнение об-
разцов одинаковой
формы, имевших
„легкие" и „тяже-
лые" обоймы, пока-
зало, что эффект
бокового давления
опыта R,. было не
Рис. 7й-
на продольное напряжение к концу
одинаково. Так, например, для круговых цилиндров отно-
шение ——где R—прочность бетона без обоймы, со-
аг
ставляло около 5 при „легких" обоймах и жестком бетоне,
а при „тяжелых" обоймах и пластичном бетоне — всего
около 2,5. Для овальных образцов отношение —— равня-
су
лось 6,4 при „легких" обоймах и жестком бетоне, а при „тя-
желых" обоймах и пластичном бетоне — всего 3,6.
После основных испытаний со всех образцов снимались
обоймы. Несмотря на значительную остаточную деформацию,
образцы сохраняли связность и имели гладкую, хотя и не-
правильную поверхность. Будучи испытаны на простое сжатие,
они обнаружили пониженную прочность. Образцы из жест-
кого бетона сохранили после их испытания в обойме лишь
около 25%, а образцы из пластического бетона — около 40%
прочности. Различную эффективность обоймы, обнаруженную
в наших опытах для разных типов образцов, не следует
считать вполне неожиданной. Даже в опытах со спиральной
обоймой, как видно на рис. 69, с повышением бокового дав-
ления рост сопротивления цилиндров продольному сжатию
не строго линейный и при больших величинах бокового дав-
146
ления несколько замедляется, что соответствует выпуклой
огибающей кругов Мора. Поэтому для ,тяжелых“ обойм,
-создававших большое боковое давление на бетон, можно
было ожидать понижения эффективности. Однако еще большее
влияние оказало, видимо, различие в качестве бетона.
Сведения об эффективности обоймы, а следовательно,
и о влиянии бокового давления, можно извлечь из данных
испытаний железобетонных колонн с продольной и спираль-
ной арматурой, которые были произведены в большом коли-
честве.
Расчет несущей способности железобетонных колонн со
спиральной и продольной арматурой обычно производят по
формулам типа:
NP = RnPF^aTFa-\-kbcFc, (4,4)
где Np — разрушающая сила;
F» — площадь сечения ядра, заключенного в обойму;
Fa— площадь сечения продольной арматуры;
Fc— приведенное сечение спиральной арматуры, т. е.
объем спиральной арматуры на единицу длины колонны;
az — предел текучести продольной арматуры;
— предел текучести спиральной арматуры;
Л —численный коэфициент, который мы назовем коэфи-
циентом эффективности обоймы.
Обоснование формулы (4,4) таково: при разрушении ко-
лонны в продольной и в спиральной арматуре обычно дости-
гается предел текучести. Разрушающую продольную силу
в колонне можно выразить как сумму усилий, воспринимаемых
продольной арматурой и ядром в обойме, следовательно,
= + (4,5)
где через /?0 обозначено продольное сжимающее напряжение
в ядре при разрушении, величина /?0 по данным опытов может
быть представлена в виде:
/?0 = Rnp 4- k\^Tc — Rnp-\-k сТс.
1 я
Последнее равенство совпадает с (4,3), если считать при
разрушении колонны аа — аТс и положить коэфициент эффек-
тивности k = 2,05.
По разным опытным данным величина коэфициента k по-
лучается различной, что в некоторой мере зависит и от
случайных факторов. Действительно из (4,4):
h Np (Fa^a + Fffinp)
?с°Тс
а так как числитель последнего выражения есть разность
двух относительно близких величин, случайные колебания
призменной прочности бетона и предела текучести арматуры
10* 147
сильно влияют на величину k. Однако она, несомненно, зави-
сит и от свойств бетона. В большой серии опытов с колон-
нами в спиральной [89] обойме значения величины k колебались-
для отдельных групп колонн от 1,03 до 3,33, несмотря на то,
что бетон изготовлялся на одном виде цемента и на одинаковых
заполнителях. В отчете одной из лабораторий, проводившей
опыты [89], отмечается влияние условий хранения колонн на
величину коэфициента эффективности: при сухом хранении
в среднем & = 2,2—2,5, а при влажном хранении k 1,7.
В лаборатории железобетонных конструкций ЦНИПС
научный сотрудник А. Н. Кузнецов провел серию испыта-
ний колонн квадратного сечения, армированных поперечными
сетками. Сетки в таких колоннах выполняют ту же роль,
как спирали в колоннах Консидера: они препятствуют попе-
речному расширению бетона1.
Было проведено три группы опытов. В первой кубиковая
прочность бетона была около 400 кг/см2. Бетон был жесткой
консистенции с расходом цемента на 1 ж3 320 кг.
Во второй группе опытов прочность бетона была прак-
тически та же, как и в первой, но бетон был литой с рас-
ходом цемента 560 кг)мл.
В третьей группе бетон тоже был литой, но имел проч-
ность около 100 кг/см2 при расходе цемента 240 кг!м2.
В первой группе опытов применялся цемент Вольского
завода, а во второй и в третьей — цемент Краматорского
завода двух разньдх партий.
Опытами было установлено, что к моменту разрушения
прутки сеток достигали предела текучести.
Прирост прочности, создаваемый сетками для колонн
всех трех групп, показан на рис. 79. Через Rc обозначена
прочность бетона, армированного сетками. Для колонн пер-
вой группы прирост прочности, создаваемый сетками, оказался
почти пропорциональным величине рог, где р — объем металла
сеток в единице объема бетона, а аг—предел текучести
стали, применявшейся для сеток. Для колонн второй группы
влияние сеток, особенно при большой величине рзг, оказа-
лось значительно более слабым. Число опытов третьей груп-
пы было незначительно, а значение раг для них было такое,
что они оказались довольно близки к результатам обеих
других групп опытов.
Характер разрушения колонн из бетона литой и жесткой
консистенции был также несколько различен. Влияние кон-
систенции бетона (и разного связанного с консистенцией
состава бетона) на эффективность поперечной арматуры было,
повидимому, отмечено впервые А. Н. Кузнецовым, косвен-
1 Этот способ армирования разрабатывался, начиная с 1908 г., В. П. Не-
красовым применительно к различным конструкциям.
148
мое подтверждение этому можно найти в упомянутых ис-
следованиях [89]. В одной из серий опытов каждая из двух
лабораторий, участвовавших в работе, испытала колонны
с разным армированием и бетоном прочностью около
250 кг'см2 (в цилиндрах). Бетон имел осадку конуса около
10 см. Наряду с этим испытывались колонны тех же раз-
меров и с тем же армированием, но из бетона прочностью
около 500 кг^м2. Этот бетон был столь жесткой консистенции,
что мог быть уложен только
Рис. 79
высокочастотным вибратором.
Цемент в обоих случаях
был одинаковый.
Обработка данных об испытании этих колонн дает зна-
чения коэфициента эффективности для пластичного бетона
® среднем 1,14, а для жесткого бетона — в среднем 2,03.
4. Некоторые выводы
Из приведенных данных, несмотря на их неполноту, можно
сделать ряд выводов о характере и об условиях разрушения
•бетона.
Теория скольжения по наиболее опасным плоскостям
в том виде, как ее предлагал Мор, к бетону неприменима.
Чистое скольжение должно приводить к деформации, не
меняющей объема тела, что характерно для пластической
деформации металлов, но не для бетона, видимый объем
которого, как показали опыты, увеличивается при возникно-
вении больших деформаций.
С другой стороны, прочность бетона в значительной мере
-определяется сопротивлением отрыву, что наблюдается не
только при растяжении или кручении, но также и при одно-
осном или двухосном сжатии. В качестве критерия сопротив-
ления материалов отрыву неоднократно предлагались, даже
в последнее время [83], [84], условие наибольших удлинений и
расчет по так называемым „привед енным“ напряжениям. Но для
«Эетока и каменных материалов это условие совершенно не-
14Э
приемлемо1. Сравнивая образцы, подвергающиеся одноосному
сжатию, с образцами, сжимаемыми в двух направлениях,
следовало бы ожидать с точки зрения расчета по приведенным
напряжениям, что при плоско-напряженном состоянии разру-
шение от отрыва наступит при вдвое меньшей величине
сжимающих напряжений, чем при простом сжатии. Но, как
упоминалось, опыт показывает, что для бетона отрыв насту-
пает в обоих случаях при примерно одинаковых напряжениях.
Еще резче противоречат условию наибольших удлинений
результаты испытаний бетона на всестороннее сжатие. Попе-
речное расширение цилиндров достигает в этом случае не-
скольких процентов и не приводит к отрыву, тогда как при
простом растяжении отрыв происходит уже при удлинениях
порядка 1/1оС%- Следовательно, в зависимости • от вида напря-
женного состояния наибольшее удлинение, которое способен
выдержать бетон, меняется в coihh раз.
Еще в 20-х годах нашего столетия было обращено вни-
мание на огромное влияние, которое имеют дефекты структуры
на прочность материалов. Так, акад. А. Ф. Иоффе [41] указал
на значение поверхностных трещин для прочности кристалли-
ческих тел. Гриффис [95] объяснял соотношение прочностей
стеклообразных материалов при различных напряженных со-
стояниях внутренними дефектами их структуры. Из теории
упругости известно, что у отверстий имеет место концентрация
напряжений. Так, например, в теле, имеющем цилиндрическое .
отверстие и подвергающемся сжатию в плоскости, перпенди-
кулярной оси отверстия, наблюдается не только значительное
увеличение сжимающих напряжений вблизи места ослабления,
но на площадках, параллельных сжимающей силе, возникают
также и растягивающие напряжения (рис. 80). Нечто сходное
должно происходить и во всяком неоднородном теле. Поэтому
на поле напряжений, которое могло бы возникнуть под влия-
нием тех или иных заданных воздействий в идеально одно-
родном теле, следует наложить, если рассматривается не одно-
родное тело, еще и вторичное поле возмущений, вызванное
неоднородностью структуры.
Поле напряжений, вызванное неоднородностью материала,
не поддается теоретическому подсчету. Распределение пор,
а также более жестких или податливых частей и частиц носит
„случайный" характер и подчиняется лишь статическим за-
кономерностям. Такой же характер имеет и поле напряжений,
вызванное неоднородностью.
1 Это относится и к плексиглазу, поскольку этот материал (по дан-
ным, приведенным по второй из цитированных работ Я- Б. Фридмана) спосо-
бен, не разрушаясь путем отрыва, претерпевать большое поперечное рас-
ширение, когда образцы подвергаются с катаю и одновременно боковому
давлению, но разрушается путем отрыва при малых поперечных деформа-
циях в случае простого сжатия.
'150
Как показано ниже, с этой точки зрения можно подойти
к объяснению разрушения путем отрыва по площадкам, на
которых напряжения в предположении идеально однород-
ного тела были бы равны нулю.
Против гипотезы о влиянии неоднородностей возражал
Я- Б. Фридман [83], [84], считая ее явно искусственной на том
основании, что эта гипотеза будто бы предполагает суще-
ствование одинаковых неоднородностей в столь различных по
природе телах, как стекло, камни, пластмассы и некоторые
металлы. В действительности эта гипотеза не нуждается в
таком предположении. В разных материалах вторичное поле,
вызванное неоднородностью, может иметь резко различную
интенсивность и в зависимости от св йств этих материалов
в разной мере влиять на их поведение.
Бетон представляет собой грубо неоднородное тело.
Зерна заполнителя и цементный камень, обладая существенно
различными упругими свойствами, действуют друг на друга,
как факторы, возмущающие поле напряжений. Кроме того,
в бетоне имеются поры разной крупности, заполненные водой,
водяными парами и воздухом.
Если бетон подвергается сжатию в одном или в двух
направлениях, то на площадках, где теоретически вовсе нет
напряжений, возникают растягивающие, сжимающие и скалы-
вающие напряжения, вызванные неоднор щностыо материала.
На наклонных площадках к ним добавляются напряжения,
поддающиеся теоретическому подсчету, а так как нормаль-
ные напряжения этой категории —только сжимающие, то
возникновение значительных растягивающих напряжений тем
менее вероятно, чем дальше площадка отклоняется о г оси
или от плоскости действия сжимающих сил. Поэтому тре-
щины отрыва, которые могут возникнуть в результате растя-
гивающих напряжений, наиболее вероятны в плоскостях, тео-
ретически слабо напряженных или свободных от сил.
Трещинки отрыва, возникающие при сжатии, вначале
распространяются лишь на очень небольшие площадки: ведь
поле напряжений, вызванное неоднородностью, очень пестро.
Образование этих трещинок повышает неоднородность и при-
дает ей в известной мере ориентированный характер. Возник-
шие трещинки изменяют силовое поле и под влиянием про-
исходящих изменений напряженного состояния и деформаций
ползучести они местами раскрываются, а местами зажимаются,
причем соприкасающиеся частицы оказывают друг на друга
расклинивающее действие. Эго ведет к дальнейшему наруше-
нию структуры, сопровождающемуся кажущимся увеличением
объема тела. При одноосном или двухосном сжатии процесс
нарушения структуры довольно быстро заканчивается тем, что
микроскопические трещинки соединяются, образуя видимые
трещины с шероховатой поверхностью, общее направление
» 151
которых имеет слабый наклон по отношению к направлению
или к направлениям действия сжимающих сил. Наконец, про-
исходит и разрушение.
При всестороннем сжатии наличие сжимающих напряже-
ний не только задерживает возникновение трещинок отрыва,
но стремится снова закрыть их, когда они образовались, а
при сближении берегов трещины между ними возникают силы,
препятствующие их отделению друг от друга. Поэтому про-
цесс деформации без нарушения связности тела может итти
очень далеко. Однако возникновение мельчайших трещинок
продолжается и видимый объем тела растет. Если после
большой деформации, происходившей при всестороннем сжа-
тии, бетон разгружается, азатем подвергается новой нагрузке
на одноосное сжатие, он оказывает слабое сопротивление и
легко разрушается, так как его структура уже была испор-
чена предыдущей деформацией.
Высказанными соображениями можно качественно объяс-
нить многие из описанных свойств бетона-
При действии растяжения или кручения растягивающие
напряжения складываются из начальных напряжений и из
напряжений основного поля, поэтому разрушение наступает
при небольших расчетных напряжениях и малых деформа-
циях. При одноосном или двухосном сжатии растягивающие
напряжения принадлежат начальным напряжениям и вторичному
полю (полю неоднородности), которое порождается основным
полем. Поэтому расчетные напряжения при разрушении зна-
чительно выше, а деформации больше, чем в случае растя-
жения или кручения. Если кроме осевого сжатия действует
боковое сжатие (гидростатическое), оно уменьшает растяги-
вающие напряжения, вызванные начальными напряжениями и
вторичным полем. Осевое сжимающее напряжение, необхо-
димое для разрушения бетона, возрастает благодаря гидро-
статическому боковому давлению, а величины деформации
становятся настолько значительными, что бетон в этом отно-
шении напоминает поведение металлов в пластическом состоя-
нии.
Что касается количественных соотношений, то о них
. удастся высказать мало определенного. Довольно простые
и ясные закономерности, обнаруженные в отдельных сериях
испытаний, относятся к тому виду бетона, который в этих
опытах применялся. Ряд факторов, как, например, консистен-
ция бетона, условия хранения образцов, расход цемента,
а может быть, и минералогический состав клинкера, влияет
на соотношение между осевым и боковым давлением, кото-
рые при трехосном сжатии заставляют бетон сильно дефор-
мироваться. При бетоне другого качества вид кривых (рис. 69)
мог бы, вероятно, существенно измениться. Все имеющиеся
данные говорят только о том, что [з3] есть возрастающая
152
функция от [aj. Трудно сказать что-либо определенное
о влиянии на предельное состояние среднего из главных
напряжений с2. Судя по имеющимся опытам, это влияние не
должно быть велико. Цилиндры овального сечения были
включены в наши опыты с целью получить некоторые допол-
нительные данные по этому вопросу. Правда, напряженное
состояние бетона в овальных обоймах не является „однород-
ным" (даже однородным в кавычках). Но грубо можно рас-
сматривать состояние бетона в этих образцах как всесторон-
нее сжатие при трех главных напряжениях, различных по
‘величине.
Если бы среднее из главных напряжений не играло
никакой роли, следовало бы ожидать, что для образцов
в одинаковых обоймах и изготовленных из одинакового бе-
тона различие между отношениями ——— и носило бы
сг <3у
чисто случайный характер, между тем как мы во всех слу-
чаях1 получили большую величину упомянутого отношения
для овальных образцов, что как будто указывает на влияние
(хотя и небольшое) напряжения сх. Характер деформации
цилиндров овального сечения говорит тоже против гипотезы
Мора, согласно которой расширение должно было бы происхо-
дить только в направлении оси у, но не оси х. Если бы дефор-
мация в направлении оси х происходила только от того, что
напряженное состояние образцов неоднородно, следовало бы
ожидать, что величины и будут разного порядка. На
деле же они различались к концу опыта грубо в 1,5—2,5 раза.
О зависимости между напряжениями F (съ сг, с3) = О,
которая имеет место, когда бетон, мрамор и некоторые дру-
гие обычно хрупкие материалы сильно деформируются, мы,
как упоминалось, имеем далеко не достаточные сведения,
однако, если представить себе это соотношение как поверх-
ность в прямоугольных координатах с2, о3 или в цилиндри-
ческих координатах a]<3,Si и arccos
О
SH,
-j- , то следует
ожидать, что эта поверхность должна расширяться в сторону
отрицательной оси s/З, т. е. в случае, когда среднее напря-
жение представляет собой значительное сжатие. Так, напри-
мер, если в эмпирической формуле (4,2) выразить напряже-
ния Cj и о3 через инварианты о и Si , то для случая, когда
c2 = ci> имеем из (2,16):
«| = (3i—°з) и а = -1 2+-^,
1 См. данные об эффективности обойм при цилиндрических образцах
круглого и овального сечения, приведенные на стр. 146.
2 См. главу II, п. I ,Г“ — .Геометрическое представление тензоров
ь трехмерном пространстве”.
153
откуда
i 1 2
'=‘==+7Fs'”’’==-VTS1’
а по подстановке этих выражений в (4,2):
s'“-7r<3’+V-
(4,6)
Следовательно, когда среднее напряжение с приобретает
отрицательные значения, возрастающие по абсолютной вели-
чине, интенсивность напряжений si увеличивается.
Некоторые авторы [88, 43(82), 1] предлагали представить
зависимость между напряжениями при „текучести“ мрамора
или бетона в форме:
«!=/(=), (4,7>
т. е. как зависимость между двумя из трех инвариантов
напряженного состояния. Условие предельной интенсивности
напряжений представляло бы собой частный случай зависи-
мости (4,7), а именно: получалась бы в том случае, когда
функция в правой части равенства вырождается в константу.
Таким образом, условие (4,7) кажется довольно естественным
обобщением условия текучести металлов. К сожалению, в тех
случаях, когда от наложения всестороннего сжатия разность
главных напряжений существенно возрастает (а это и было
обнаружено для мрамора, бетона и других материалов
в экспериментальных исследованиях, описанных выше), усло-
вие (4,7) не подтверждается опытными данными. Действитель-
_ | 5 тт
но, в координатах с -/3,Si и с? — — arc cos— условие (4,7),
о 7
как не зависящее от хц, а следовательно, и от », представляло
бы собой поверхность вращения. В случае, когда два главных
напряжения равны друг другу, т. е. при испытаниях цилин-
дров с постоянным гидростатическим и возрастающим или
убываюгЦим осевым сжатием, опытные точки-должны были бы
лежать на линиях пересечения поверхности вращения плос-
костью, проходящей через ось вращения (т. е. через ось з).
Опытные данные не подтверждают этого, причем расхо-
ждение оказывается значительным.
Проще всего можно показать это, обратившись снова
к эмпирической формуле (4,2).
Для_испытаний серии ЗВ, т. е. когда =2—=з, находим
Si — j/'f-(3i — сз) и = = Выразив отсюда и с3 через
инварианты с и si и подставив найденные выражения в (4,6),
находим:
s,=-^(3=+R„). (4,8)
О | и
154
При данных с и R,ip инвариант Si по формуле (4,6) оказы-
вается в 1,5 раза больше, чем по формуле (4,8), тогда как
для поверхности вращения величина $i должна была бы иметь
в обоих случаях одинаковое значение.
На рис. 81, а показано применительно к формуле. (4,2)
сечение поверхности si = / (с Дз, <?) плоскостью, на которой
два главных напряжения равны друг другу, а на рис. 81,(5—
возможный вид сечения этой поверхности плоскостью G=const.
В связи с представлением предельного условия для бетона.
именно о потенциале текучести. Поставим вопрос, к чему приве-
ло бы для деформаций бетона представление о предельном усло-
вии как потенциале текучести. Как упоминалось выше1, если
направить оси е1э е2, е3 параллельно осям сх, а,, с3, то вектор,
изображающий приращение деформации, соответствующее
напряженному состоянию, изображаемому какой-либо точкой
А на поверхности текучести, должен быть параллелен нор-
мали к этой поверхности в точке А. На рис. 82 для случая,
когда два главных напряжения равны друг другу, показано'
в координатах о уТ и Si сечение поверхности текучести, рас-
ширяющееся в сторону отрицательной оси а. Для какого-
либо напряженного состояния сл, изображаемого точкой А
на поверхности текучести, вектор ел, параллельный нормали
к поверхности текучести в А, имеет проекцию на ось е Дз,
направленную в сторону возрастания е уАз. Иными словами,
1 См. гласу II, и. 4 — „Потенциал текучести".
155.
вектору ел отвечает деформация, при которой объем тела
•возрастает. Данные о деформациях бетона в предельном
состоянии еще совершенно не достаточны для того, чтобы
проверить, подчиняются ли эти деформации закономерностям
потенциала текучести или заметно отступают от них.
ГЛАВА V
РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
I. Состояние вопроса
В главе IV и во введении были приведены некоторые
данные о деформациях и прочности бетона, а также отмеча-
лось, что распределение напряжений в бетоне в сущности
не может быть достоверно определено без учета фактора
времени (эффекта ползучести) и объемных деформаций, вы-
званных изменениями температуры и влажности о-сружающей
среды, а также явлениями, сопровождающими твердение бе-
тона. В железобетоне вопрос еще осложняется наличием
арматуры. Вдоль прутьев арматуры напряжения вообще не
остаются постоянными, а следовательно, на поверхности
стержней возникают напряжения, передающиеся на бетон.
Распределение этих напряжений не легка достоверно опре-
делить, а потому напряженное состояние железобетонного
элемента еще сложнее для анализа, чем элемента из неарми-
.рованного бетона. Прежде чем мы научимся вскрывать
напряженное и деформированное состояние железобетонных
конструкций во всех стадиях их работы, хотя бы с той же
•степенью достоверности, как это можно сделать сегодня для
стальных конструкций, необходимо провести еще много хо-
рошо продуманных и тщательно поставленных исследований.
Из сказанного отнюдь не следует, чтобы теория железо-
бетона отстала от требований практики или, чго инженер не
имеет необходимого расчетного аппарата для проектирования
железобетонных конструкций. Целям практики относительно
удовлетворительно служила даже так называемая „классичес-
кая" теория, в которой железобетон рассматривался как соче-
тание двух идеально упругих материалов: стали и бетона.
Критика этой теории привела к тому, что мы уже не верим
в нее как в универсальное орудие расчета, а строим расчет
отдельно для разных предельных состояний, которые интере-
суют инженера, опираясь на данные опыта и на элементар-
ные соображения, заботясь о сходимости результатов расчета
с данными опыта и о возможной простоте расчетных операций.
В рамках этой книги нас будет интересовать в основном
одно из предельных состояний — состояние, определяющее
несущую способность конструкций. Расчет несущей способ-
156
ности железобетонных элементов был разработан советскими
учеными. В начале 30-х годов проф. А. Ф. Лолейт и проф.
М. Я- Штаерман выступили с критикой „классической" тео-
рии и выдвинули свои предложения для ее замены. Сходные
в основных чертах теории Лолейта и Штаермана расходились-
в некоторых довольно существенных пунктах. В дальнейшей
разработке теории железобетона принял участие широкий
круг специалистов, причем в основу теории были приняты
положения проф. Лолейта. Были произведены многочисленные
экспериментальные исследования [23, 24, 13, 14, 29, 17, 70, 2,
85, 16], подробно обсуждавшиеся в печати. С 1938 г. расчет
несущей способности железобетонных элементов введен
в нормы. Его изложение дается во всех наших учебниках и
пособиях по проектированию. Он проще, чем расчет по „клас-
сической" теории, и значительно лучше согласуется с опыт-
ными данными. За границей „классической" теорией поль-
зуются в основном и по сей день. -ч
Прежде чем перейти к расчету прочности железобетон-
ных элементов при различных видах их нагружения, заметим,
что скорость возрастания нагрузки и длительность выдержки
под нагрузкой сказываются на прочности бетона в меньшей
мере, чем на его деформациях. Правда, при очень быстром
нагружении, когда разрушение образца осуществляется за
несколько секунд, предел прочности бетона заметно выше,
чем при испытании, длящемся десятки минут или несколько
часов. Также длительное сопротивление, определяемое при
выдержке максимальной нагрузки в течение месяцев, несколь-
ко ниже предела прочности, определяемого обычными испы-
таниями [90]. Однако эти отклонения относятся к крайним
случаям, т. е. к очень длительным или к весьма кратковре-
менным нагрузкам, а величина колебаний предела прочности
в зависимости от скорости нагружения не так уж велика,
особенно если сравнить ее с влиянием длительности действия
нагрузки на величину деформаций. Поэтому при расчетах
прочности железобетона мы пользуемся характеристиками
прочности, не зависящими от скорости нагружения.
2. Сжатые элементы
Основной производственной характеристикой прочности
бетона в СССР и во всех европейских странах служат испы-
тания на сжатие кубиков с длиной ребра 20 см (или 15 сл),
а в американских странах и в Австралии — цилиндров высо-
той 12" и диаметром 6". Однако благодаря трению на по-
душках испытательного пресса и малой высоте образцов по
сравнению с их поперечными размерами оба типа образцов
дают лишь относительную оценку качества бетона, а для
определения сопротивления бетона сжатию в реальных кон-
157
«структивных элементах, например, в колоннах, приходится
производить испытание более высоких образцов в форме
призм или цилиндров либо пользоваться для оценки призменной
прочности R„p по кубнковой прочности R (или по прочности
цилиндров) переходными коэфициентами, найденными из ранее
произведенных сравнительных испытаний.
Прочность железобетонных колонн с продольной арма-
турой и хомутами определяется по формуле:
NP = R^6+oTFa, (5,1)
где Np — разрушающая сжимающая сила;
Рб — площадь сечения бетона;
сг—предел текучести продольной арматуры;
/^ — площадь сечения всей продольной арматуры.
Для колонн со спиральной арматурой несущая способ-
ность определяется по формуле (4,4), обоснование которой
дано в предыдущей главе.
Колонны, армированные продольной арматурой и хому-
тами, разрушаются при значительно меньшем укорочении,
чем колонны со спиральной арматурой, поэтому при лабора-
торных испытаниях, длящихся максимум несколько час >в,
деформация арматуры обычно применяемых марок может
оказаться и недостаточной для достижения предела теку-
чести. В реальных условиях службы, даже под влиянием
одной только постоянной нагрузки, происходят деформации
ползучест 1 бетона, благодаря которым бетон разгружается,
а напряжения и деформации арматуры возрастают. Поэтому
при приложении дополнительной продольной силы к колонне,
уже постоявшей под действием постоянной нагрузки, разру-
шение колонны произойдет не раньше, чем предел текучести
обычной арматуры будет достигнут.
Для железобетонных колонн гибкостью Х<50 продоль-
ный изгиб не учитывается ввиду малости его влияния. При
больших гибкостях несущая способность уменьшается умно-
жением на коэфициент Колонны со спиральной арматурой
гибкостью больше 50 не применяются, так как спираль не
повышает устойчивость колонн, а также оказывает незначи-
тельную помощь при внецентренном сжатии, которому ко-
лонна должна сопротивляться после ее выпучивания.
В общем железобетонные элементы, работающие на цен-
тральное сжатие, за исключением коротких колонн со спи-
ральной арматурой или поперечными сетками, разрушаются при
малых деформациях, а потому могут рассматриваться как до-
вольно хрупкие.
< 3. Изгибаемые элементы
Изгибаемые железобетонные элементы ведут себя суще-
ственно иначе. При малых изгибающих моментах растяжению
сопротивляются как арматура, так и бетон .растянутой зоны.
.158
•Однако сопротивление бетона растяжению не высоко, а ра-
стягивающие напряжения в бетоне, находящемся на воздухе,
возникают не только под действием внешних сил, но также
и вследствие укорочения бетона от усадки, которому пре-
пятствует арматура. Только в гидротехнических сооружениях
и в предварительно напряженных конструкциях железобетон-
ные изшзаемые элементы не имеют трещин при эксплоата-
ционных Hai ручках. В гражданских и промышленных соору-
жениях, а также в мостах трещины в условиях эксплоатации
допускаются, но, если это необходимо, принимаются меры
к ограничению их раскрытия [50, 56, 6J.
С образованием и дальнейшим развитием трещин в растя-
нутой зоне бетона жесткость элемента снижается, однако,
пока напряжение в растянутой арматуре не достигло предела
текучести, или пока не разрушилась сжатая зона бетона,
элемент сохраняет способность сопротивляться возрастающим
изгибающим моментам.
Рассмотрим подробнее балку с одиночной арматурой.
При армировании, применяемом на практике,- сжатая зона
изгибаемого элемента не должна разрушаться раньше, чем
растянута! арматура потечет. С достижением предела теку-
чести а, м ггуры трещины сильно раскрываются и удлиняются,
причем постепенно уменьшается высота еще не треснувшей
части сечения. С продолжающимся раскрытием трещин сжа-
тая зона уменьшается настолько, что происходит ее разру-
шение. Может случиться, что при разрушении сжатой зоны
в арматуре будет уже пройдена площадка текучести и напря-
жения перейдут в зону упрочнения. Однако превышение
предела текучести зависит от вида диаграммы растяжения
арматуры, а, кроме того, от процента армирования и свойств
бетона. В статически определимых элементах текучесть арма-
туры сопровождается обычно резким и недопустимым возра-
станием прогибов. Поэтому практически при определении
разрушающего момента с упрочнением арматуры не считаются.
Мы не имеем достоверных данных о распределении
напряжений по сжатой зоне при ее разрушении, а также
о величине сопротивления бетона сжатию при изгибе. Однако,
зная полное усилие в сжатой зоне, которое при разрушении
равно усилию текучести в растянутой арматуре, и определив
площадь нетреснувшей части сечения, непосредственно перед
разрушением, удалось установить по данным опытов, что
в-шр'жение в сжатой зоне изгибаемой балки при ее разру-
: во всяком случае выше, чем Rnp. Нормами 1938 г. при-
» та условная величина временного сопротивления сжатию
б при изгибе /?в= 1,25/?пр, которая скорее занижена,
ч мена. Так как о действительном распределении напря-
э в растянутой зоне мы не располагаем достаточными
-пшьмя а величина Ru назначена ориентировочно, то для
159
упрощения расчета принимается, что вся сжатая зона напря-
жена равномерно1. В таком случае площадь F сжатой зоны
может быть определена из равенства нулю суммы проекций
внутренних сил на ось балки:
RaF= cTFa, (5,2)
а разрушающий изгибающий момент равен (рис. 83, а):
Mp = zTFaz = RaFz, (5,3)
где z— расстояние между цен-
трами тяжести сжатой зоны
бетона F и растянутой арма-
туры Fа.
Для прямоугольного се-
чения, обозначив ширину ег&
через расстояние от центра
тяжасти растянутой арматуры
до сжатой грани (так называе-
мую полезную высоту) через-
h0, высоту сжатой зоны через
х и через 3 = ~—отношение,
высоты сжатой зоны к полезней высоте, имеем из (5,2):
g_ °rFa
Rubh0'
Так как .для прямоугольного сечения z=h0
(5,3):
МР = aTFah0 (1 - |-) = Ra bhft (1-4 )
(5,4)
4", то из=
(5,5)
Момент, при котором растянутая арматура достигает пре-
дела текучести, строго говоря, не равен Мр. Только при
весьма сильном армировании (на практике не применяемом)
разрушение сжатой зоны наступает одновременно с началом
текучести растянутой арматуры. Однако даже при очень сла-
бом армировании трещины к моменту начала текучести разви-
ваются далеко в глубь сечения и равнодействующая сжимаю-
1 А. Ф. Лолейт показал, что при изгибе вид эпюры напряжений в сжа-
той золе балки не оказывает решающего влияния на результат расчета.-
В нормах 1938 г. вид расчетной эпюры не уточнялся; для ходовых случаев
достаточно было установить величину одного коэфициента, зависящего от
формы эпюры. В ряде случаев, например, для сечений с жесткой армату-
рой (см. цитированную книгу А. П. Васильева), ради упрощения расчета
принималась прямоугольная эпюра, что мало отражалось на результатах.
Теперь по предложению ряда специалистов и особенно П. Л. Пастернака
(см. его статью в журнале „Строительная промышленность” за 1946 г.),
принимается прямоугольная, эпюра сжимающих напряжений в бетоне для.
всех случаев, когда растянутая арматура течет при исчерпании несущей;
способности.
160
тих напряжений располагается лишь немногим ниже центра
тяжести площади F (рис. 83, б). Поэтому без сколько-нибудь
<ущественной погрешности можно определять момент М, при
котором растянутая арматура достигает предела текучести,
по формуле (5,3) или для прямоугольных сечений — по фор-
муле (5,5).
На рис. 84 изображена по данным ЦНИПС зависимость
между взаимным поворотом двух близких друг к другу сече-
ний изгибаемой балки Д'-? и величиной изгибающего момента.
Из приведенного графика видно, что с достижением текучести
арматуры деформация очень сильно возрастает при практи-
•чески постоянной величине момента и «что Мр = М, если
пренебречь упрочнением.
Элемент балки, в котором растянутая арматура достигла
предела текучести, ведет себя как пластический шарнир, т. е.
допускает при постоян-
ной величине момента
взаимный поворот частей
балки, расположенных
•справа и слева от него.
Как и для стальных ба-
лок, — это шарнир одно-
стороннего действия: при
уменьшении взаимного
у гла поворота в шарнире
.момент уже не остается
постоянным, а убывает.
Положение оси пластического шарнира, т. е. оси взаим-
ного вращения прилежащих частей балки, затруднительно
определить вполне точно, однако она, несомненно, лежит
в пределах зоны бетона, которая к моменту возникновения
пластического шарнира испытывает сжатие. Ведь в процессе
раскрытия трещины при пластическом удлинении арматуры
сжатая зона .д 'лжна сократиться за счет роста трещины
в глубь сечения. Однако при образовании пластического шар-
нира высота еще не треснувшей части сечения составляет
незначительную долю его полезной высоты (например, 1/к),
поэтому положение оси пластического шарнира м жно оце-
нить без большой погрешности. Во всяком случае для железо?
бетонных элементов характерно, что ось пластического шар-
нира смещается с геометрической оси элемента в сторону его
сжатой зоны
Как показывает формула (5,2), с увеличением сечения ра-
стянутой арматуры Fa и ее предела текучести аг должна воз-
растать площадь сжатой зоны бетона F. При очень сильном
армировании разрушение сжатой зон л могло бы'1 наступить
раньше, чем растянутая арматура потечет. По соображениям.
11 к. А. Гвоздев
' (16.1
которые будут подробно выяснены ниже, считается, что раз-
рушение сечения должно начинаться с текучести растянутой
арматуры, если статический момент площади F относительно
центра тяжести растянутой арматуры меньше, чем 0,8S,
где 5 — статический момент площади полного сечения бетона,
относительно растянутой арматуры. с
Подставив вместо Fz предельную величину 0.8S й фор-
мулу (5,5), находим для „переармированного“ сечения (т. е.
разрушающегося в сжатой зоне ранее, чем арматура может
потечь) величину разрушающего -момента:
~ Ru 0,8 S=RnpS. (5,6)
Применение переармированных изгибаемых элементов
нормами не допускается.
Двойная арматура в изгибаемых Сечениях ставится при
работе элемента на моменты противоположных знаков или по-
конструктивным со-
ображениям и толь-
ко в исключитель-
ных случаях для уси-
ления сжатой зоны.
По данным опытов
арматура сжатой зо-
ны к моменту раз-
рушения балки до-
стигает предела те-
кучести, если толь-
ко сечение этой ар-
матуры не чрезмер-
но велико. Учет
сжатой арматуры можно произвести, приняв, что часть мо-
мента воспринимается сечением сжатой арматуры F^ и рав-
ным еХгу сечением растянутой арматуры, а остальной момент—
сечением с одиночной арматурой, имеющей площадь (Fa — F')
(рис. 85). Такая трактовка вытекает из следующей записи урав-
нений равновесия:
уравнение проекций ' ".
sTFa — cTF'a—RuF\
J
ч уравнение моментов
—RuFz-\-gtF^ (h0 — а').
Нормы разрешают упитывать сжатую арматуру полностью,
если z<h0 — а'. В противном случае: , —---- — ~ '*
7Ир = агГв(А0 —а'). ' (5,9)
(5,7^
(5,8)
16S
До сих пор рассматривался случай чистого изгиба, когда
образующиеся трещины примерно перпендикулярны оси эле-
мента. При наличии поперечных сил возможны образование
косых трещин и разрушение балки по косому сечению [15]. Пе-
ред разрушением косая трещина перерезает значительную
часть высоты балки. Части балки, расположенные справа и
слева от косой трещины, связаны между собой сжатой зоной
бетона у конца трещины и пересекающей косую трещину
арматурой, которая может состоять из прямых стержней,
хомутов и отогнутых стержней (рис. 86, а). Разрушение по
косой трещине может произойти от одной из двух причин:
а) Преодолевается сопротивление арматуры и происходит
взаимное вращение обеих частей балки вокруг оси, располо-
женной в сжатой зоне на продолжении косой трещины, сопро-
вождающееся раскрытием трещины и текучестью или выдер-
гиванием арматуры, пересекающей трещину (рис. 86, б).
В результате раскрытия и удлинения косой трещины сжатая
зона сокращается и, наконец, разрушается. Этот вид разру-
шения схож с разрушением балки по вертикальной трещине,
рассмотренным выше.
б) При наличии мощной хорошо заанкеренной прямой
арматуры она не течет, но сжатая зона разрушается под
влиянием совместного действия сжимающих напряжений и
срезывающей силы (рис. 86, Ь).
Случай „а“ назовем излом по косой трещине, а случай
„6“ (условно) — срезом сжатой зоны.
Условие прочности относительно излома по косой тре-
щине можно записать в виде неравенства1:
осFaZ '£-3omfomZom “Ь ^^xfx %х , (5,10)
где Л(р — момент сил, лежащих по одну сторону от
косой трещины, относительно центра тяжести
сжатой зоны на продолжении косой трещины;
°о, °om, °jc — напряжения в арматуре, отогнутых стержнях
и хомутах при разрушении:
Fa, fom> fx — площади сечений прямой арматуры, каждого
из отгибов и каждого из хомутов, пересе-
кающих трещину;
z, zom, zx — плечи усилий в арматуре относительно мо-
ментной точки О (рис. 86, а).
Если стержни, пересекающие трещину, надежно заанке-
рены, то напряжения в них могут быть приняты равными
пределу текучести. Это быть может не вполне точно для
1 Это неравенство можно применить также в случае внецеитренного
сжатия или внецеитренного растяжения, если в сечении имеется сжатая
зона, а арматура на противоположной стороне растянута. В величине Мр
следует только учесть моменты всех сил, приложенных по одну сторону
ет косого сечения.
И*
163
отгибов и хомутов, пересекающих трещину вблизи сжатой
зоны, но так как соответствующие плечи малы, неточность
эта не вносит большой погрешности. Излом по косому сече-
нию может быть опаснее разрушения по вертикальной тре-
щине в ряде случаев, а именно:
1) если анкеровка прямой арматуры на участке от верти-
кальной трещины до опоры (рис. 87, а) достаточна, а на длине
Рис. 86 Рис. 87
от нижнего конца косой трещины до опоры недостаточна для
того, чтобы прямую арматуру можно было довести до состоя-
ния текучести;
2) если между вертикальным и косым сечением часть
прямой арматуры обрывается или отгибается так, что
zom < Z (рис. 87, б);
3) если в пределах горизонтальной проекции косой тре-
щины приложены нагрузки, способствующие ее раскрытию.
На рис. 87, в левыми силами по отношению к вертикаль-
ному сечению OD являются реакция опоры Л и сила Р, так
что момент левых сил относительно О равен Mod = А-а— P-d.
По отношению к косому сечению ОС левой силой является
только реакция А, а потому момент левых сил относительно
точки О равен Мос = A-a>M0D.
* В неравенство (5,10) входят усилия в хомутах и отгибах,
пересекаемых косой трещиной, но не пересекаемых верти-
164 ’
калькой трещиной. Поэтому хомуты, а также те отгибы, для
которых zom>-z, повышают сопротивление излому по косой
трещине по сравнению с прочностью вертикального сечения.
Можно добиться того, что сопротивление излому по косым
сечениям будет не ниже прочности вертикальных сечений,
следующими конструктивными мерами:
1) Надежной анеровкой прямой арматуры.
2) Расположением отгибов с таким расчетом, чтобы их
качало (точка Н на рис. 87, б) отстояло от вертикального
сечения, где отгибаемый стержень полностью используется
. » 1 — cos ©
в составе прямой арматуры на расстоянии —sin т z, где
ф — угол между направлением отогнутой и прямой арматуры.
При этом условии zom>z.
3) Отказом от обрыва стержней прямой арматуры в рас-
тянутой зоне, а если это невозможно или неудобно, как,
например, для верхней арматуры вблизи промежуточных опор
неразрезных балок, то продолжением обрываемых стержней
на достаточную длину за вертикальное сечение, где они тео-
ретически становятся ненужными, и постановкой в достаточ-
ном количестве отгибов и хомутов.
4) В случае нагрузок, способствующих раскрытию косой
трещины (как на рис. 87, в), постановкой специальных хому-
тов для подвески этих нагрузок к противолежащей грани
балки.
Если излом по косому сечению происходит при текучести
всех стержней арматуры, пересекающей трещину, то тре-
щина постепенно раскрывается при постоянной величине
момента, подобно тому как это показано на рис. 84. Если же
происходит выдергивание арматуры, ее сопротивление может
уменьшаться по мере увеличения подвижки, а диаграмма
зависимости между моментом левых сил и взаимным углом
поворота может принять вид, показанный на рис. 88.
Условие прочности относительно среза сжатой зоны мо-
жет быть записано в виде неравенства между проекциями на
нормаль к оси балки внешних и внутренних сил, действую-
щих на одну из двух частей балки, рассеченной косой тре-
щиной:
Qp = ^rfom Sin + ^xfx4- Qe, (5,11)
где Qp — проекция на нормаль к оси элемента внешних сил,
приложенных по одну сторону от косой трещины;
Qe — поперечная сила, воспринимаемая сжатой зоной бе-
тона над косой трещиной;
<Р— угол между направлением отогнутых и прямых
стержней.
Остальные величины имеют то же значение, как и
в (5,10). Как выявилось из опытов ЦНИПС, величина Qe су-
165
щественно зависит от угла наклона косой трещины. М. С. Бо-
ришанский предложил применительно к прямоугольным сече-
ниям следующую эмпирическую формулу для ее подсчета:
0,15Ы&?я
Q*= —
(5,12)
где v— проекция косой трещины на ось балки.
Эта эмпирическая формула в тех пределах изменения
переменных, в которых ею приходится пользоваться, удовлет-
ворительно согласуется с данными экспериментов.
Не входя в детали вопроса о разрушении балок от среза
сжатой зоны и о расчете отогнутых стержней и хомутов,
отметим только, что этому виду разрушения не предшествуют
значите чьные общие деформации балки, а потому с точки
зрения поведения конструкции в целом он должен рассматри-
ваться как хрупкое разрушение.
4. Внецентренно сжатые и внецентренно растянутые
элементы
При внецентренном сжатии с большим эксцентриситетом
явление разрушения протекает почти так же, как при изгибе,
а расчет строится,' исходя из тех же соображений и допуще-
ний. Приняв, что при разрушении сжатая и растянутая арма-
тура напряжена до предела текучести, а сжатая зона равно-
мерно напряжена с напряжением Ra, имеем два уравнения
равновесия (рис. 89);
1) сумма проекций на ось элемента:
RuE — Np-\-cTFa — cTF'a- (5,13)
►
2) схмма моментов сил относительно центра тяжести
растянутой арматуры:
NB е = Ru Fz 4- (7г0 - а'). (5,14)
166
Здесь Np — разрушающая продольная сжимающая сила; .
е — расстояние от точки приложения силы Np до
*. ». центра тяжести растянутой арматуры, ?1 >
Заменив1 продольную силу Np, приложенную на рас?
стоянии е от .центра тяжести растянутой арматуры, такой же
силой, приложенной в центре тяжести растянутой арматуру $
„заменяющим" моментом M3 = NPe, возникшим от переноса
силы, легко видеть, что уравнение (5,14) отличается от урав-
нения (5,8) для изгибающей балки только тем, что в нем
вместо изгибающего момента стоит заменяющий момент, а
уравнение (5,13) отличается от (5,7) добавочным слагаемым Np
в правой части. Этим удобно пользоваться при подборе се-
чений.
Как и при изгибе, на усилие текучести в сжатой аома-
туре можно рассчитывать, если эта арматура расположена не
слишком близко от нулевой линии. Полное ус <лие в сжатой
арматуре принимается в расчет, если .г</г0—та', т. е. до тех
пор, пока сжатая арматура располагается между наиболее
напряженным краем и центром тяжести сжатой зоны бетона.
Если бы из (5,13) получился размер сжатой зоны, при, кото-
ром’ z>/z0— а', то расчет ведется не по формулам (5,13) и
14), а по уравнению моментов относительно центра тяжести
сжатой арматуры:
Np (е — h0-\~a') =<srFa (60 — а'). (5,15)
Рассмотренный выше случай разрушения при внецентрен-
1ЮМ сжатии назовем первым случаем.
Для внецентренного сжатия еще важнее, чем для изгиба,
рассмотреть второй случай разрушения, когда растянутая
арматура не достигает предела текучести к моменту разру-
шения сжатой зоны бетона. Если при изгибе соответствующим
подбором сечений можно исключить возможность разрушения
такого • вида, то при внецентренном сжатии он становится
неизбежным, если эксцентриситет продольной силы достаточно
мал.
Второй случай разрушения должен смыкаться с первым,
когда растянутая арматура достигает предела текучести од-
новременно с разрушением сжатой зоны. С другой стороны,
он должен переходить в равномерное сжатие, когда бетон
разрушается по всей площади сечения и обе арматуры на-
пряжены на сжатие до предела текучести.
Расчет прочности для второго случая разрушения удает-
ся построить, пользуясь одним только уравнением равнове-
сия, а именно уравнением моментов относительно центра
1 Указанное разложение сил еще применительно к расчету по класси-
ческой теории предложил проф. П. Л. Пастернак. Оно с таким же успехом
Применяется и при расчете сечений железобетонных Э7емеитов по стадии
разрушения.
167
тяжести растянутой или слабее сжатой арматуры (площадь
сечения этой арматуры обозначалась через Fa).
Как и в уравнении (5,14), относящемся к первому слу-
чаю, в левой части этого уравнения должен стоять момент
сжимающей силы относительно центра тяжести арматуры,,
а в правой части — два слагаемых, из которых первое выра-
жает сопротивление бетона, а второе — сопротивление арма-
туры, сильно напряженной на сжатие. Поскольку эта арма-
тура при разрушении внецентренно сжатого элемента напря-
жена до предела текучести, второе слагаемое правой части
имеет тот же вид, как и в уравнении (5,14). Что касается
сопротивления бетона, то при втором случае внецентренно-
го сжатия его влияние удается выразить, не прибегая к урав-
нению проекций сил на ось элемента. Действительно, экспе-
рименты, проведенные в лаборатории железобетонных кон-
струкций ЦНИПС М. С. Боришанским [13], показали, что при
внецентренном сжатии бетонных призм с не слишком боль-
шим эксцентриситетом момент разрушающей силы относи-
тельно слабее напряженной грани сечения не зависит от
эксцентриситета и равен произведению призменной прочно-
сти на статический момент площади сечения относительно
слабее напряженной грани элемента. Это можно записать
в виде равенства:
* Npe = R„pS, (5,1 G>
где Np — разрушающая сила;
е — расстояние ее от слабее напряженной грани эле-
мента;
S — статический момент площади сечения относительно
слабее напряженной грани.
S
В предельном случае центрального сжатия е— , где
Fg— полная площадь сечения. При этом из (5,16) получается
обычная формула Np = Rnp F6 .
Первоначально были испытаны бетонные призмы прямо-
угольного сечения, затем зависимость (5,16) была использо-
вана при обработке испытаний внецентренно сжатых колонн,,
разрушавшихся согласно второму случаю. При этом, так каю
расстояние менее напряженной арматуры от ближайшего'
края сечения относительно невелико, можно было без боль-
шой погрешности и в запас прочности заменить статический
момент площади сечения относительно слабо напряженной
грани элемента статическим моментом относительно центра
тяжести слабее напряженной арматуры. Сходимость резуль-
татов расчета с опытными данными оказалась вполне удов-
летворительной. Несколько позже С. А. Дмитриев с успе-
хом воспользовался зависимостью (5,16) при обработке испы-
таний внецентренно сжатых железобетонных трубчатых эле-
168
ментов. Формула (5,16) оказалась в хорошем согласии с ре-
зультатами испытаний прямоугольных внецентренно сжаты к.,
кирпичных столбов [60], а в недавнее время, также с поло-
жительным результатом, была проверена на испытаниях кир-
пичных столбов таврового сечения.
Итак, при внецентренном сжатии второго случая величи-
ну разрушающего усилия железобетонного элемента можно
определить по формуле:
^e=/?„pS4-OrF;(/z0-fl'), (5,17>
где S—статический момент площади сечения бетона отно-
сительно центра тяжести растянутой или слабее сжа-
той арматуры1.
Формулы (5,16) и (5,17) следует рассматривать как эмпи-
рические зависимости, пригодные для употребительных форм
сечений. Возможно, что для некоторых форм сечений, напри-
мер, для тавровых сечений с тонкими полками и стенкой, они
дадут заметную погрешность. Пределы их применимости под-
вергаются дальнейшему изучению. Для наиболее ходовых:
случаев практики они оказались вполне удовлетворительными,
несмотря на их исключительную простоту.
Поскольку зависимость (5,17) была уже известна, граница,
между первым и вторым случаями внецеитренного сжатия
была установлена так, чтобы переход от одного к другому
происходил непрерывно, т. е. чтобы формула (5,14) перехо-
дила в формулу (5,17). Это имеет место при RaFz—RnpS
или при Fz = 0,8S. Поэтому, когда FzCO.SS, имеет место-
первый случай, а когда это неравенство нарушается,—второй.
Для прямоугольного сечения формулы (5,13) и (5,14) при-
нимают вид:
Rubhoz — Np-irSTFa — zrF'a-, (5,18>
NP е = Ru bfi S (1— I) 4- F'a (h0 - a'), (5,19}
а формула (5,17):
Np e=0,4 Ru bhl + aTFa (Ло — a'). (5,20>
Расчет внецентренно сжатых элементов строится, исхо-
дя из формул (5,13), (5,14), (5,15) и (5,17) или для частного-
случая прямоугольных сечений из ф°РмУл (5,18) до (5,20)
и (5,15). Некоторую особенность представляют гибкие вне-
цен<тренно сжатые элементы, для которых эксцентриситет
силы заметно возрастает к моменту разрушения • в связи»
1 При малых эксцентриситетах продольной силы и несимметричном арми-
ровании может оказаться, что слабее сжатой будет арматура а не Ра~
В этих случаях необходимо произвести аналогичную проверку моментов*
относительво центра тяжести арматуры Ра.
169-
с происходящей деформацией (рис. 90). Учетом добавочного
эксцентриситета влияние гибкости и исчерпывается. Увели-
ченный эксцентриситет вводится в расчетные формулы вместо
первоначального. Ограничимся этим упоминанием, не входя
в дальнейшие детали.
Для внецентренно сжатых элементов характер разруше-
ния меняется в зависимости от эксцентриситета и армирова-
ния, начиная от
Н-е
Рис. 90
довольно хрупкого при приближении к рав-
номерному сжатию и до типичного образо-
вания пластического 'шарнира при разруше-
нии по первому случаю. Угол поворота,
который может осуществиться в пласти-
ческом шарнире до момента разрушения
сжатой зоны, тем больше, чем меньше от-
Fz
ношение , >т. е. чем дальше граница
со вторым случаем.
Остается еще рассмотреть внецентрен-
ное растяжение железобетонного элемента.
Если при разрушении все сечение элемента
растянуто, то принимая во внимание слабое
сопротивление бетона растяжению, учету
подлежит только сечение арматуры. Для
сечения, имеющего арматуру площадью Fa
у одной грани сечения и площадью Fa у
противоположной грани сечения, при расстоя-
нии между их центрами тяжести, равном
h0 — а' (рис. 91), бетон не работает на сжа-
тие, если равнодействующая внешних сил
проходит между центрами тяжести обеих
арматур. При этом предельное растягиваю-
щее усилие равно меньшей из двух величин:
CTF'a^~^
е
__ °Т Fn (1’л —
h0-u'-e
(5,21)
Здесь Np — предельная растягивающая сила.
Равенства (5,21) получаются из уравнений моментов от-
носительно центров тяжести одной и другой арматуры в пред-
положении, что противоположная арматура достигла предела
текучести.
Если равнодействующая внешних сил не проходит между
центрами тяжести обеих арматур, в сечении возникает сжа-
тие. Расчетные формулы аналогичны формулам (5,13) и (5,14)
ш отличаются от них только противоположным знаком при Np
з уравнении проекций, так как теперь Np обозначает растя-
170
гивающую силу. Под гЛ в этих формулах следует понимать
арматуру, ближайшую к равнодействующей, а под Fa — ар-
матуру, более удаленную от равнодействующей Np.
При внецентренном растяжении надо считаться с огра-
ничением, о котором уже упоминалось для изгибаемых и вне-
центренно сжатых сечений: если одна из арматур сжата, ее
можно вводить в расчет полностью только при условии, что
[расстояние z центра тяжести сжатой зоны от центра тяже-
Рпс. 91
Рис. 92
•сти, растянутой арматуры оказывается не более расстояния
Д,— а' между центрами тяжести арматур. В противном слу-
чае разрушающую силу можно найти из равенства:
. Np{e-\-ho — a') = aTFa(h0 — а'), , (5,22)
представляющего собой уравнение моментов относительно
центра тяжести сжатой зоны бетона, совпадающего с цент-
ром тяжести сжатой арматуры (рис. 92).
Случай чистого кручения железобетонных сечений не
встречается в практических задачах. Случай совместного дей-
ствия изгиба и кручения практически важен, но способы ра-
счета несущей способности для него еще не разработаны.
5. Сводка формул
Ji
В заключение целесообразно представить формулы для
расчета прочности нормальных сечений в другой форме, ко-
торая пригодится в дальнейшем. Силу, разрушающую сече-
ние, зададим не ее величиной Np и расстоянием от центра
тяжести одной из арматур е и не продольной силой и мо-
ментом, а двумя составляющими, параллельными оси элемен-
та, одна из которых Т приложена в уровне центра тяжести
нижней арматуры, а другая Г— в уровне центра тяжести
верхи' й арматуры. Силы Т и Т положительны, когда они ра-
171
стягивают соответствующую арматуру1. Через Fa и Fa обо*
значим площади нижней и верхней арматуры независимо от
знака напряжений в них.
Кроме ранее применявшихся, введем еще следующие
обозначения:
/ — расстояние между центрами тяжести верхней и нижней*
арматуры (ранее обозначалось через Ло — а');
г'— расстояние от центра тяжести сжатой зоны до центра;
тяжести верхней арматуры;
S'—статический момент площади сечения бетона относитель-
но оси, проходящей через центр тяжести верхней арма-
туры.
Очевидно z-f-z' — t, чем мы и воспользуемся для упро-
щения формул. *>
Схему напряженного состояния сечения при разрушении
можно свести к шести расчетным состояниям, попарно сим-
метричным в том смысле, что для них верхняя и нижняя зо-
ны меняются ролями. Обозначим эти состояния через А, Вг
С, С', В' и А'.
Ниже дана характеристика каждого из расчетных состоя-
ний сечений и приведено выражение сил Т и F через гео-
метрические характеристики сечения и механические характе-
ристики бетона и арматуры. Выражения эти выведены из-
уравнений моментов относительно центров тяжести верхней,
и нижней арматуры.
Состояние А. Верхняя зона сечения сжата и разру-
шается, верхняя арматура сжата до предела текучести. На-
пряжение в нижней арматуре неопределенно (рис. 93, Л).
Т неопределенно; Т'— — ~— — ctFo. (5,23>
Состояние А'. Аналогично состоянию А (рис. 93,А')
Т— — —— ст Fa\ Т' неопределенно. (5,24>
Состояния Ав А' охватывают второй случай разрушения!
от внецентренного сжатия. При переходе от одного из ни^
к другому имеем равномерное сжатие:
у__ р. р'__ F„ps ,
1 —-----1---ОТГа, 1 —— —t-----Ст Г а,
при этом величина продольной силы равна:
Г+ Т'=-
Rnr,{S+S')
t
3TFa — cTFat
1 В I-й главе, при рассмотрении расчета свода по Паукеру мы уж&
встречались с компонентами внешней силы в виде двух параллельных
сил, приложенных по краям сечения.
172
з так как = Ft, где F— полная площадь сечения бе-
тона, то
Т-]~ Т' = — [/?npFЦ-сг (Fв + Х>)]-
Состояние Б. Сжатая зона вверху разрушается, верх-
няя арматура сжата до предела текучести, а нижняя — растя-
нута до предела текучести (рис. 93,В):
/?uFz-
Fz , Tf
— Оу Fa.
(5,25)
В состоянии В Fz<0,8S; z<^t, а следовательно, z'>0. При
Fz = 0,85 состояние В переходит в состояние А, а при z<=t,
Рис. 93
t
чему соответствует z' = 0, состояние В переходит в состоя-
ние С.
Состояние В'. Аналогично состоянию В (рис. 93,В'):
Т= - - ст F^ Т'= - 4- ст Fa. (5,26)
В состоянии В' Fz'<0,8S' и z'<t, чему отвечает z>0.
При Fz' —0,8$' состояние В' переходит в состояние А',
а при zr=t, чему соответствует z — 0,' состояние В1 перехо-
дит в состояние С'.
Состояние С. Нижняя арматура напряжена на растя-
жение до предела текучести, а в верхней арматуре напряже-
ние неопределенно. Бетон в верхней зоне не работает или
173
сжат на площадке, центр тяжести которой совпадает с цент-
ром тяжести верхней арматуры (рис. 93,С):
T—cTFa\ V неопределенно. (5,27}
Состояние С'* Аналогично состоянию С (рис. 93,С').
Т неопределенно-, Т' = зтРа- (5,28)
При переходе от состояния С к состоянию С имеем:
Т—^тРаг Т1 = ст Ftа»
Рис. 94
Это отвечает растяжению сечения силой, проходящей через
общий центр тяжести обеих арматур. Величина силы равна:
Л Т+Г=аг(Го + ^).
На рис. 94 для двух прямоугольных сечений показаны
Г v
в прямоугольных координатах-^-^- и линии, отвечаю-
щие формулам (5,23) до (5,28).
Линии В В строятся по формулам (5,25), а линии В'В’—по
формулам (5,26), представляющим собой уравнения кривых
-в параметрической форме. Для прямоугольного сечения удоб-
но в качестве параметра принять высоту сжатой зоны, через
174
которую легко выражаются площадь сжатой зоны и расстоя-
ния ее центра тяжести до обеих арматур.
Для обоих прямоугольных сечений принято, что расстоя-
ния центров тяжести обеих арматур от ближайших сторон?
сечения составляют 0,1 Ло, а следовательно, t = 0,9 /г0. Для од-
ного из сечений = 0,2и рг,.а- =0,1, Линии, отве-
чающие этому сечению, показаны на рисунке сплош*
oTFa °Т^а
ны.ми. Для другого сечения R ь =0,3 и -bf^ — 0,05. Линии,
относящиеся к этому сечению, показаны на рисунке пункти-
ром. Линии, изображаемые формулами (5,23) до (5,28), всегда
выделяют замкнутую фигуру. Любой ее внутренней точке от-
вечает определяемое координатами этой точки силовое воз-
действие, при котором железобетонный элемент прочен, а точ-
кам контура фигуры — силовые воздействия, разрушающие
элемент. На рисунке показаны участки контуров, соответству-
ющие состояниям А, В, С, С', В', А', а также виды воздействий
(внецентренное растяжение, изгиб и т. п.), отвечающие раз-
ным секторам чергежа.
ГЛАВА VI
в
МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ 1
В первой главе метод предельного равновесия был изло-
жен по работам Кулона, Понселе и Паукера. К ним тесно
примыкает задача Фурье о неразрезной балке.
Теперь мы пересмотрим сущность метода и выясним, при.
каких условиях пользование им обосновано.
1. Границы несущем способности конструкций
Метод предельного равновесия мы применим для расчета
несущей способности конструкций, т. е. для определения на-
грузок, при которых конструкция разрушается или начинает
чрезмерно деформироваться. Мерой несущей способности
будем считать нагрузку. Однако в общем случае разрушение
или чрезмерные деформации конструкции могут быть обус-
ловлены не только нагрузкой, но и другими факторами: сме-
щениями опор, температурными, усадочными деформациями,
остаточными деформациями, возникшими в предшествующих
циклах нагружения и другими причинами, вызывающими внут-
1 Вкратце содержание этой главы было изложено в статье .О предель-
ном равновесии0, Инженерный сборник, том V, вып. I и в III главе книги
«Введение в теорию расчета конструкций по предельному состоянию", вып. 1,
под редакцией В. М. Келдыш, 1948.
175.
^енние, или, как их иногда называют, собственные напряже-
ния.
Положим, что для каждой конструкции заранее устано-
влены категории собственных напряжений, подлежащие уче-
ту при оценке ее несущей способности. В общем случае,
.когда собственные напряжения влияют на несущую способ-
ность, повышая или понижая ее в ограниченных пределах,
нагрузки, которые могли бы действовать на рассматриваемую
конструкцию, разделяются на три класса:
I. Нагрузки, при которых исчерпание несущей способно-
сти невозможно, как бы ни менялись собственные напряже-
ния, подлежащие учету для данной системы.
II. Нагрузки, при которых исчерпание несущей способ-
ности конструкций неизбежно, как бы ни менялись подлежа-
щие учету собственные напряжения.
III. Нагрузки, при которых исчерпание несущей способ-
ности возможно, но не неизбежно и может произойти или не
произойти в зависимости от характера и величины собствен-
ных напряжений-
Метод предельного равновесия в случаях, когда он при-
меним, позволяет (по крайней мере в принципе) определить
для каждой данной конструкции, к какому из указанных клас-
"Сов относится заданная нагрузка. При определенных усло-
виях, как будет ниже показано, класс III исчезает. В таком
случае метод предельного равновесия дает „точный" .ответ <
о несущей способности конструкции. Но если класс III и су-
сществует, то решение, даваемое методом предельного равно-
весия, еще не теряет смысла: часто полезно знать, что та
пли иная нагрузка относится к классу I или, что она отно-
сится к классу II. Метод предельного равновесия становится
бесплодным только тогда, когда все нагрузки, представляю-
щие практический интерес, попадают в класс III.
Нагрузки, различающиеся по интенсивности и даже по
конфигурации, практически можно задать при помощи несколь-
ких параметров. При непрерывном изменении параметров на-
грузки класса I образуют область, границу которой мы на-
зовем внутренней границей несущей способно-
сти. Также совокупность нагрузок, относящихся к классам
I и III, образует область, границу которой назовем внешней
.границей несущей способности. На рис. 95 для на-
грузки, которая может быть задана двумя параметрами Рг и
Р2, показан в прямоугольных координатах Р, и пример
возможного взаимного расположения внешней и внутренней
границ несущей способности.
В главе первой был рассмотрен пример пятиклинного
двухшарнирного свода. Нагрузка в этом случае определялась
одним параметром (величиной силы) и притом подлежали рас-
смотрению только положительные значения параметра (сила
.176
направлена »верх). Внешний предел несущей способности ока-
зался равным I/— 1,5 т, а также было обнаружено, что раз-
ушение может произойти уже при нагрузке V —1,25 т.
Ввгду прО'- тогы этой конструкции легко видеть, что нагруз-
ка V=L,25 т является для нее внутренним пределом несу-
щей способности. Ниже мы еще вернемся к этому примеру
и дадим величине внут-
реннего предела несу-
щей способности под-
робное обоснование.
Мы будем, главным
образом, рассматри-
вать задачи, для кото-
рых нагрузка опреде-
ляется одним перемен-
ным параметром — ин-
тенсивностью „времен-
ной" ее части. При
этом, как показано ни-
же, может случиться,
что придется рассмат-
ривать четыре предела
несущей способности:
внутренний верхний,
[nncofinocrnu
/ исчерпание
'несущей способности
пеОссмомно
7 »
б~г со
t
' внешняя граница
несущей способности
, Внутренняя граница
несущей способности
Рис. 95
внутренний нижний, внешний верхний и внешний нижний.
Так, например, для случая, показанного на рис. 95, если зна-
чение параметра Р2 зафиксировано (Р2 = Л), то остается один
переменный параметр Рг и отрезки Blt В2, Bs и В4 изобразят
соответственно внутренний верхний, внутренний нижний, внеш-
ний верхний и внешний нижний пределы несущей способ-
ности.
2. Деформации в методе предельного равновесия
Некоторые расчеты по методу предельного равновесия
выполняются так, что деформации в них вовсе не входят.
Однако обоснование метода, а иногда и его применение не-
возможны без определенных предположений о деформациях.
В методе предельного равновесия рассматривается толь-
ко момент исчерпания несущей способности конструкции,
тогда как вся ее. предыдущая история остается вне поля
зрения. Поэтому достаточно ограничиться немногочисленными
данными о деформациях.
При расчете несущей способности конструкций по мето-
ду предельного равновесия используются уравнения равно-
весия недеформированной системы. Это допустимо только
в трм случае, если, вплоть до исчерпания несущей способ-
ности, деформации остаются настолько малыми, чтобы без
12 А. А. Гвоздев 177
существенной погрешности можно было пренебречь измене-
нием всех геометрических величин, входящих в условия рав-
новесия. г
В соблюдении этого условия состоит, следовательно, од-
на из необходимых предпосылок метода. Требование малости
деформаций представляет собой существенное ограничение
метода предельного равновесия, особенно чувствительное в
том случае, если исчерпание несущей способности выражает-
ся не в подлинном разрушении конструкции, а в ее резком
провисании или ином существенном изменении формы. Дей-
ствительно, до исчерпания несущей способности деформации
должны оставаться малыми, иначе метод предельного равно-
весия был бы неприменим. С другой стороны, само исчерпа-
ние несущей способности определяется возникновением значи-
тельных деформаций. Поэтому предел несущей способности
должен представлять собой достаточно резко выраженную
границу между двумя областями поведения конструкции. "Во
введении уже упоминалась железобетонная плита, для кото-
рой существование такой границы обнаружено на опыте.
В главе III рассматривались возражения Штюсси против
расчета несущей способности неразрезных балок без учета
соотношения жесткости их пролетов. При разборе этих за-
мечаний было показано, что с увеличением боковых проле-
тов исчерпание несущей способности загруженного среднего
пролета происходит при все большей величине прогиба. При
очень больших боковых пролетах прогиб этот мог бы до-
стигнуть такой величины, что деформации уже нельзя было
бы считать малыми. Метод предельного равновесия в таком
случае был бы непригоден.
При решении некоторых вопросов, например, при расче-
те несущей способности статически определимых систем,
можно обойтись без других предположений о деформациях,
кро^е их малости, однако метод предельного равновесия
практически интересен только в применении к статически
неопределимым конструкциям.
Конструкция в методе предельного равновесия рассмат-
ривается как система элементов, которые при определенных
заранее известных усилиях или сочетаниях усилий достигают
предельного состояния, т. е. разрушаются или приобретают
способность сильно деформироваться без изменения величины
действующих на них сил. Случай, когда предельное состоя-
ние элемента выражается в его разрушении, придется, как
будет показано ниже, исключить при расчете несущей спо-
собности статически неопределимых систем. Если элемент
в предельном состоянии сильно деформируется, то для
полного решения задачи по методу предельного равновесия
необходимо знать не только соотношение усилий, вызываю-
щее предельное состояние, но еще и характер (вид) дефор-
178
мации элемента при этом сочетании усилий. Под характером
(видом) деформаций мы понимаем соотношение компонент
приращения свободных деформаций элемента, т. е. деформа-
ций, возникающих в предельном состоянии элемента, когда
действующие на него силы остаются неизменными. Более
подробно виды деформаций элементов будут рассмотрены
в п. 5 этой главы.
При обосновании метода предельного равновесия для ста-
тически неопределимых систем нам придется столкнуться
с вопросом о поведении системы, когда один, несколько или
множество ее элементов находятся в предельном состоянии.
Деформации элементов в предельном состоянии, происходя-
щие при неизменной нагрузке, могут вызывать изменение
напряженного состояния системы, а следовательно, и самих
элементов, находящихся в предельном состоянии. В таком
случае деформация этих элементов оказывается вынужденной.
Поэтому наряду с приращением свободных деформаций эле-
ментов, находящихся в предельном состоянии, придется
учесть также приращение деформаций системы в целом,
вызванное изменением ее напряженного состояния.
Имея в виду разнообразие объектов, к которым может
быть применен метод предельного равновесия, надо признать,
что законы вынуждевной деформации для них не изучены
до конца. Достаточно напомнить о трудностях, возникающих
в теории пластичности металлов (даже не обнаруживающих
упрочнения) для случаев сложного нагружения. Хотя теория
упруго-пластического течения и не дает идеального совпа-
дения с данными опытов, она все же может служить доста-
точно удовлетворительной основой для приближенных при-
кладных расчетов. Поэтому в дальнейшем для приращения
вынужденных деформаций, принято простое наложение де-
формаций, вызванных изменением напряженного состояния
системы, на приращения деформаций элементов, находящихся
в предельном состоянии.
3. Элементы системы
Как уже упоминалось, предельное состояние элементов
характеризуется их разрушением или способностью сильно
деформироваться при сохранении величины действующих на
них сил. Следовательно, признаки предельного состояния эле-
мента те же, что признаки исчерпания несущей способности
конструкции.
Различие между конструкцией и элементом заключается,
во-первых, в том, что элемент есть часть конструкции. Во-
вторых, предел или пределы несущей способности конструк-
ции требуется определить в результате расчета, тогда как
за элемент можно принять только такую часть конструкции,
12*
179
для которой условия возникновения предельного состояния
уже известны и не зависят от собственных напряжений, ко-
торые могли бы появиться в элементе, рассматриваемого изо-
лированно от системы. Чтобы выявить отчетливее различие
между конструкцией и элементом, вообразим, что для рас-
чета конструкции А методом предельного равновесия мы рас-
членим ее мысленно на произвольные части at. Исследуем
каждую из них как самостоятельную конструкцию, находя-
щуюся под действием приложенных к ней нагрузок и сил
взаимодействия данной части с соседними частями^ Пусть
конструкции а,- представлены как системы элементов, удов-
летворяющих поставленным выше условиям, т. е. для каждо-
го элемента известны возможные виды приращения свободных
деформаций в предельном состоянии и для каждого вида де°
формации дано предельное неравенство. Вообразим, что для
каждой конструкции at при действии на нее нагрузки и сил
взаимодействия со смежными элементами найдены метод' м
предельного равновесия границы несущей способности, а так-
же и виды деформаций для каждого напряженного состояния
на границе несущей способности. Конструкцию а{ можно рас-
сматривать как элемент конструкции А только при том усло-
вии, что внешняя и внутренняя границы несущей способности
конструкции at полностью совпадут между собой, иными сло-
вами, если собственные напряжения, которые следует, учи-
тывать в условиях рассматриваемой задачи, не могут влиять
на несущую способность конструкции а,- ч
Если неосуществимо мысленное разделение заданной кон-
струкции на такие части, несущая способность которых не
зависит от подлежащих учету собственных напряжений, то
метод предельного равновесия к этой конструкции непри-
меним.
Заметим еще, что могут встречаться элементы, заведомо
не достигающие предельного состояния в условиях рассматри-
ваемой задачи. Тогда предельные условия этих элементов
не влияют на границы несущей способности конструкций.
Назовем такие элементы несобственными. Несобственным
элементом была бы всякая часть конструкции, способная
воспринять неограниченно большие усилия, не достигая пре-
дельного состояния, но элемент оказывается несобственным
также и тогда, когда он может достигать предельного состоя-
ния при конечных значениях действующих на него сил, но
„защищен* от возникновения предельного состояния другими
элементами. Пусть, например, стержень, работающий в кон-
струкции как растянутая связь, состоят по длине из двух ча-
стей А и В (рис. 96), причем часть А достигает предельного
состояния при растягивающей силе NA, а часть В — при рас-
тягивающей силе NB. Если Na>Nb, то часть А стержня
есть несобственный защищенный элемент, поскольку часть
180
В'не может передать на часть А усилия, большего, чем Л/я.
Обратимся теперь к примерам элементов, с которыми мы уже
встречались в предыдущих главах.
В теории прочности Кулона сжатый столб есть элемент,
притом единственный. В предельном состоянии одна часть
столба скользит относительно другой по некоторой плоско,
сти. Соответственно различным положениям плоскостей сколь-
жения в предельном состоянии возможно бесконечное мно-
Рис. 96
жсство видов деформации. Для каждого из них предельное
условие выражается неравенством:
\T\^K+Nf.
где 7 — составляющая внешней силы, касательная к плоско-
сти скольжения;
К—сила сцепления на всю площадь плоскости скольже-
ния;
Л-— составляющая внешней силы, нормальная к шву; ohj
** считается положительной, если прижимает части стол-
ба друг к другу;
f — коэфициент трения.
Если силы Т и N выразить через внешнюю силу Р г
угол наклона а плоскости скольжения к горизонту, а силу К
через поперечное сечение столба F, наклон плоскости сколь-
жения и прочность сцепления Rp, то предельное условие
приобретает вид (1,1).
В теории расчета свода элементом является любая пара
смежных клиньев. Число элементов равно числу швов. В пре-
дельном состоянии возможно четыре вида деформации каждо-
го элемента: раскрытие шва сверху или снизу и скольжение
левого клина по правому вверх или вниз. Предельные условия
для каждого из видов деформации даны были в главе 1 [фор-
мулы (1,3) до (1,6)]. Если учитывается сцепление раствора в
шве, то каждый из видов деформаций сопровождается нару-
шением сцепления. Дальнейшее раскрытие шва или сколь-
жение клиньев возможны при силах, которые для нарушения
сцепления были недостаточны. Если сцепления в швах свода
нет, раскрытие шва или скольжение в нем продолжаются при
силах, отвечающих предельному равенству.
В задаче Фурье о неразрезной балке относительно кон-
струкции опор не дано ясных указаний. Но решение его
окажется правильным, если представить опоры в виде очень
181
гибких стальных стержней, на которых балка подвешена’.
Элементами являются опорные стержни числом три. Сама
балка представляет собой несобственный элемент, так как
Фурье предположил ее бесконечно прочной, не переходящей
в предельное состояние. В предельном состоянии для каждой
опоры возможны два вида деформации: <
1) удлинение при пределе текучести, чему соответствует
положительная опорная реакция R, равная единице (предель-
ное условие 1);
2) выпучивание стержня, наступающее как только точка
балки, к которой стержень прикреплен, стремится припод-
няться (предельное условие
В качестве элемента конструкции можно рассматривать
элементарный объем мягкой стали, пользуясь как потенциалом
текучести условием текучести.
Если в предельном состоянии возможными видами дефор-
мации являются только сдвиги в плоскостях главных напря-
жений, то каждому из этих видов деформаций отвечает ра-
венство главного сдвигающего напряжения постоянной ве-
личине k; предельное условие есть условие наибольших ка-
сательных напряжений, в котором знак равенства заменяется
знаком Если же в предельном состоянии возможны все
виды деформаций, не меняющие объема элемента, то предель-
ным условием служит условие предельной интенсивности на-
пряжений с соответствующей заменой равенства неравенством.
Когда конструкция представляет собой стальную бдлку
симметричного сечения, в качестве ее элемента можно рас-
сматривать элемент длины балки. Если сдвигающие напряже-
ния невелики, то в предельном состоянии возможны два вида
деформации элемента: искривление эле „ента выпуклостью
вниз, чему отвечает предельное условие Ж</И, и искривле-
ние его выпуклостью вверх, чему отвечает предельное ус-
ловие — М, где М—изгибающий момент, а М — 2S07-—
предельный изгибающий момент.
Если балка не теряет устойчивости, то с ростом дефор-
мации элемента в предельном состоянии величина момента
не уменьшается (но могла бы увеличиваться, если учесть
упрочнение).
Для стальной фермы с идеально шарнирными узлами при
узловой нагрузке в качестве элементов можно рассматривать
стержни фермы. В предельном состоянии возможны два вида
деформации стержня: удлинение при текучести, которому
отвечает предельное условие N^Nt = ctF, и выпучивание
при сжатии, чему отвечает предельное условие — <pFaT.
С возрастающим удалением узлов фермы продольная сила
в стержне, растянутом до предела текучести, не уменьшает-
ся, При возрастающем сближении узлов продольная сила в
182
“упивающемся сжатом стержне, как было показано в главе III,
юкОре начинает стремительно падать.
Для железобетонной стержневой конструкции, если проч-
есть косых сечений заведомо обеспечена, а опасность по-
-ерн устойчивости исключена, можно рассматривать как эле-
менты конструкции элементы длины стержней. В предель-
вом состоянии возможен взаимный поворот обеих частей эле-
мента, причем в зависимости от положения оси вращения
в от направления поворота возможно множество видов де-
формаций; им соответствуют предельные условия (5,23) до
5,28), в которых знак равенства должен быть заменен знаком
неравенства. При внецентренном растяжении, при изгибе не
переармированных сечений и при внецентренном сжатии пер-
вого рода в предельном состоянии могут произойти довольно
большие деформации при неубывающих усилиях. При пере-
армированных изгибаемых элементах и внецентренном сжатии
второго рода, а тем более при центральном сжатии элементы,
достигшие предельного состояния, разрушаются после неболь-
ших деформаций. «
Приведенных примеров достаточно, чтобы судить о раз-
нообразии элементов конструкций. С дальнейшими примерами
мы встретимся в приложениях метода предельного равновесия.
4. Хрупкие и нехрупкие элементы. Условия применимости
метода предельного равновесия к статически определимым
и к статически неопределимым системам
Для большинства элементов, встречающихся в строитель-
ных конструкциях, можно допустить, что предельные условия
для них не меняются при изменении действующих усилий,
лишь бы эти усилия не приводили элемент в предельное со-
стояние.
Для статически определимых систем (или статически оп-
ределимых частей статически неопределимых систем) этого
допущения уже достаточно: действительно, пока ни в одном
элементе не достигнуто предельное состояние, предельные
условия не меняются, а как только в каком-нибудь одном
элементе предельное состояние достигается, тем самым ис-
черпывается несущая способность системы.
Для статически неопределимой системы положение слож-
нее: нагрузка, доводящая только один или несколько ее эле-
ментов до предельного состояния, еще не исчерпывает во
многих случаях несущую способность системы, однако она
может изменить свойства элемента, находившегося в предель-
ном состоянии, например, разрушить его или снизить его со-
противление.
Мыслимо также, что разрушение или ослабление элемента
статически неопределимой системы произойдет даже без вся-
183
кой. нагрузки, только под влиянием собственных напряжений,
приводящих элемент в предельное состояние и вызванных,
например, смещениями опор или температурными деформа-
циями. -- ~
В предыдущем нам встречались элементы, которые с на-
ступлением предельного состояния или после некоторой де-
формации в предельном состоянии становились слабее. Таковы,
например, пара клиньев при учете сцепления в шве, выпучи-
вающийся сжатый стальной стержень, в котором возникли
пласти ческие деформации, элементы железобетонных конструк-
ций, разрушение которых начинается в сжатой зоне. Для дру-
гих элементов ослабления не наблюдается даже после значи-
тельных деформаций, происходящих в предельном состоянии.
Примерами таких элементов могут служить пара клиньев свода
без сцепления в шве, элементарный объем пластического ме-
талла, элемент длины изгибаемой стальной балки, растянутый
стальной стержень, элемент длины железобетонного стержня,
работающий на изгиб при малом проценте армирования.
Существенно, чтобы ослабление элементов не наступало
при деформациях тех видов и такой величины, которые могут
в ззникнуть до исчерпания несущей способности системы. Тер-
мин „ослабление" следует понимать в том смысле, что предель-
ные условия, имевшие место до наступления предельного со-
стояния, могут после деформации элемента в предельном
состоянии измениться, а вследствие этого силы, удовлетворяв-
шие первоначальному предельному неравенству, перестанут
удовлетворять изменившемуся предельному неравенству, что,
например, имеет место для пары клиньев со сцеплением в шве.
Введем разделение элементов на хрупкие и нехрупкие,
воспользовавшись следующим определением:
Если деформация элемента в предельном со-
стоянии, возможная в условиях рассматривае-
мой задачи, изменяет предельные условия эле-
мента так, что какие-либо усилия, удовлетворя-
ющие первоначальным предельным условиям,
уже не удовлетворяют изменившимся предель-
ным условиям, назовем такой элемент хрупким.
Если деформация элемента в предельном со-
стоянии, возможная в условиях рассматривае-
мой задачи, не меняет предельных условий эле-
мента или меняет их так, что любые усилия,
удовлетворяющие первоначальным предельным
условиям, удовлетворяют также и изменившим-
ся предельным условиям, назовем элемент не-
хрупким.
Пусть при действии какой-либо нагрузки или собственных
напряжений, или того и другого одновременно в каком-либо
элементе наступило предельное состояние, но несущая способ-
184
Деформация
ость системы еще не исчерпана. Если элемент хрупкий, то
-недельные условия для него меняются в неблагоприятную
сторону. Мы не можем уже пользоваться первоначальными
предельными условиями.
Если элемент, пришедший в предельное состояние, не
х; уп <ий, то его предельные условия не меняются или изме-
няются в благоприятную сторону (происходит упрочнение),
чем мы пренебрежем в запас надежности.
Говоря о деформациях, возможных в условиях задачи,
следует иметь в виду не только вид, но также и ожидаемую
величину деформации эле-
мента к моменту исчерпания
несущей способности системы.
Пусть с достижением предель-
ного состояния деформации
растут вначале при постоян- о
пых усилиях, а в дальней- §
шем—при убывающих усилиях
(рис. 97). Элемент придется
считать хрупким, если при ис-
черпании несущей способно-
сти системы он будет иметь .
деформацию, которой отвечает
убывание сил (точка а на диа-
грамме), но он будет не хруп-
ким, если несущая способность системы исчерпается прч
меньшей деформации, пока усилия в элементе еще не начали
убывать (точка b на диаграмме).
Величина деформации, которой элемент достигает при ис-
черпании несущей способности системы, зависит от геометри-
ческой конфигурации системы, от механических Свойств дру-
гих элементов, а также от расположения нагрузки. Деление
элементов на хрупкие и нехрупкие носит, таким образом, от-
носительный характер.
Итак, чтобы метод предельного равновесия был обосно-
ван, необходимы следующие свойства системы:
а) вплоть до исчерпания несущей способности системы
ее деформации остаются настолько малыми, что можно пре-
небречь изменением всех геометрических величин, входящих
в условия равновесия;
б) сопротивление элементов системы действующим на них
усилиям характеризуется неравенствами, нарушение кото-
рых (включая и обращение в равенство) есть необходимое
и достаточное условие наступления предельного состояния.
Этих свойств уже достаточно для статически определимых
систем.
Для статически аеопределимых систем, кроме того, все
собственные элементы должны быть нехрупкими.
185
В дальнейшем мы будем предполагать эти предпосылки
способа предельного равновесия выполненными и займемся
только статически неопределимыми системами. Для них ока-
зывается полезным внимательнее рассмотреть свойства не-
хрупких элементов и разделить последние на два класса: на
пластические и псевдопластические элементы.
5. Пластические и псевдопластические элементы
В этом пункте речь будет итти о приращениях свобод-
ных деформаций элемента, происходящих в предельном со-
стоянии. Краткости ради они названы просто деформациями.
В применении к методу предельного равновесия это не вызо-
вет недоразумений.
Пусть в условиях рассматриваемой задачи на нехрупкий
элемент могут действовать обобщенные силы s1, s2,..., sn,
которые мы выберем так, чтобы все они имели одинаковую
размерность.
Например, для элементарного кубика, мысленно вырезан-
ного из непрерывной массы, можно принять за обобщенные
силы нормальные напряжения ал, с зг и касательные напря-
жения тху, тух, 1гу, тгх, xxz.
Соответственно выбранным обобщенным силам деформа-
ции элемента описываются обобщенными перемещениями, ко-
торые в общем случае обозначим через elt е2,..., еп.
В случае элементарного кубика это будут удлинения:
ех> £у> £z
и полусдвиги
L- 1 1 1 _ J 1 ®
2 ^ХУ' 2 Ту* *’ 2 Ту*’ 2 ^гУ’ 2 ^2Л’ 2 '
В предельном состоянии элемент испытывает деформации,,
которые вообще можно представить как линейные комбина-
ции обобщенных перемещений. Величиной этих комбиниро-
ванных деформаций назовем положительное число
О двух деформациях, при которых величины соответствую-
щих обобщенных перемещений пропорциональны, будем гово-
рить, что это деформации одинакового вида. Они отлича-
ются друг от друга только по величине. Величина деформа-
ции не может быть отрицательной. Если же знак всех
составляющих деформаций еи е2,..., еп меняется на обратный,
то тем самым меняется и вид деформации.
Введем обозначение:
. (6,2>
* См. главу II стр. 47.
186
Вид деформации можно задать величинами е[, е'2, • • •, e'ni-
которые не все независимы, а должны удовлетворять выте-
кающему из (6,1) и (6,2) равенству
п
Е<’=1- <6>3>
1
Деформацию, определяемую компонентами е'., назовем
единичной деформацией. Работа, затрачиваемая на
единичную деформацию нехрупкого элемента, в предельном,
состоянии равна
п
м-
1
Если в предельном состоянии элемент может претерпе-
вать деформации различных видов, то величина работы яв-
ляется вообще функцией вида деформаций. Однако может
случиться, что заданием вида деформации величина работы,
затрачиваемой на единичную деформацию, еще не опреде-
ляется. Так, например, при взаимном скольжении пары клиньев-
свода вид деформации вполне определен, если известно на-
правление скольжения. Выберем в качестве обобщенных сил,
определяющих напряженное состояние элемента, поперечную
силу Q и продольную сжимающую силу М Единичной дефор-
мацией будет скольжение клиньев друг по другу в направле-
нии силы Q на длину, равную единице. Работа, затрачиваемая
на эту деформацию, равна:
W" = Q-1,
но по Кулону Q = /V/, а следовательно, W' = Nf, т. е. работа
еще не определяется видом деформации, а зависит от вели-
чины силы N, которая сама на данном перемещении не со-
вершает работы.
Итак,, в общем случае работа, затрачиваемая на единич-
ную деформацию элемента в предельном состоянии, может
быть функцией вида деформации, а также и напряженного
состояния элемента в предельном состоянии, т. е.
^ = ф«. ёп, Sj, s2, ..., s„).
Предельное условие может быть записано в следующем
виде:
п
^х^^Ф (<?;, е'2,...,ёп, s1( s2,..., х„). (6,4).
1=1
Запись предельных условий в форме (6,4) имеет то пре«
имущество, что в них в явной форме входит вид деформации
элемента. Это позволяет ответить на вопрос, произойдет или
нет та или иная деформация предельного состояния при данном
187
напряженном состоянии. Пусть дано произвольное напряженное
состояние элемента, характеризуемое компонентами %•••»
s„. Задав компонентами e'v е'2,..., ёп вид деформации, возмож-
ный в предельном состоянии, подставляем данные величины хг
и е) в (6,4). Если условие (6,4) этими значениями удовлетво-
ряется как неравенство, то рассматриваемый вид деформации
не имеет места. Деформация данного вида реализуется, если
неравенство обращается в равенство. Если условие (6,4) ока-
зывается нарушенным, то данное напряженное состояние эле-
мента „недопустимо", т. е. не может возникнуть, пока несу-
щая способ' ость конструкции не исчерпана.
Если в предельном состоянии могут иметь место только
дискретные виды деформации элемента (а в таких случаях
обычно число возможных видов деформаций невелико), из
(6,4) нетрудно определить, допустимо ли произвольно выбран-
ное напряженное состояние для данного элемента и отвечает
ли оно его предельному состоянию или нет. Для этого надо
только проверить условие (6,4) при выбранном напряженном
состоянии и каждом из возможных в предельном состоянии
видов деформации. Если при всех возможных видах дефор-
мации условие (6,4) удовлетворяется как неравенство, то рас-
сматриваемое напряженное состояние допустимо и не приво-
дит элемент в предельное состояние. Предельное состояние
имеет место, если при одном (или нескольких1) видах дефор-
мации предельное условие обращается в равенство, а при
остальных возможных видах деформации условие (6,4) удов-
летворяется как неравенство. Если хотя бы для одного из воз-
можных видов деформации окажется, что то рас-
сматриваемое напряженное состояние для данного элемента
недойустимо.
Запись предельного условия в форме (6,4) иногда может
оказаться и не вполне удобной. Так, для элемента, который в
предельном сэстоянии может испытывать бесконечное множе-
ство видов деформации, уже не так просто выяснить из (6,4),
допустимо ли какое-либо произвольно выбранное напряженное
состояние, и если допустимо, то приводит ли оно элемент в
предельное состояние или нет. Чтобы решить эту задачу,
следует записать предельное условие в форме зависимости
между компонентами напряженного состояния, куда компо-
ненты единичной деформации не входят.. С бесконечным мно-
жеством видов деформаций приходится иметь дело в тех слу-
чаях, когда возможен непрерывный переход от одного вида
деформации к другому. Виды деформации, возможные в пре-
дельном состоянии, образуют тогда аналитическое многообра-
1 Это означало бы, что несколько видов деформации накладываются друг
иа друга.
188
Напомним, что компоненты единичной деформации не
» независимы друг от друга, а должны удовлетворять усло-
аж, (6,3). Кроме того, существуют элементы, для которых в
^сдельном состоянии не все мыслимые виды деформации
жхзможны. Примерами таких элементов могут служить пара
кжиньев свода, скользящих друг по другу, где в предельном
о стоянии не происходит перемещения по направлению силы,
= рпендикулярной шву, а также элемент пластического ме-
талла, для которого в предельном состоянии возможен только
сдвиг в плоскости наибольшего и наименьшего главного на-
ряжения (что соответствует условию наибольших касатель
жых напряжений), или же все деформации, не меняющие
объема элемента (что соответствует условию предельной интен-
сивности напряжений). Если не все мыслимые виды деформа-
ции возможны, это выражается одним или несколькими урав-
нениями, которым должны удовлетворять компоненты е\ еди
-.нчной деформации.
е2, =0; I (6,5)
Ч1* ^2’ • " • > )
Предполагается, что уравнения (6,3) и (6,5) независимы,
т. е. ни одно из них не является следствием остальных. Всего
п компонент единичной деформации связаны условием,
причем, очевидно, поскольку возможных видов
деформации бесчисленное множество. При выборе величин е\
можно задать п — k—1 из них1, а остальные определить из
условий (6,5) и (6,3).
Рассмотрим вариацию вида деформации. Давая компонен-
там единичной деформации приращения 8е', Ъе2,..., 8е'п, полу-
чим из предельного условия (6,4), записанного в форме ра-
венства:
дФ
или, обозначив —г — “V; и перенеся все члены в левую часть
йе1
уравнения:
п
£(5г-^)Ц = 0. (6,6)
Z=el
1 Задание компонент единичной деформации, понятно, не вполне про-
извольно. Так, например, нельзя было бы задать е'^ > 1, поскольку это, оче-
видно, противоречило бы условию (6,3).
189
Далее из (6,3):
(6,7)
а из уравнений (6,5), обозначая величины = wi}
1
У, wa Йе' = 0;
(6,8)
0.
п
У win8(?;. = 0;
1—П
)
Уравнения (6,6), (6,7) и (6,8) линейны и однородны отно-
сительно вариаций компонент единичной деформации 8е‘.. Об-
щее число этих уравнений равно k 4*2, т. е. не более, чем п.
Составив матрицу этой системы уравнений
(S; - t-J (s2 - ®г) . . . - (s„ - -»„)
С)-.................... в“ (6,9)
wh ст21........................... тг’п1 I
W'/г ОТ2/г................................. Wnk
Легко видеть, что все определители (fe-42)-ro порядка, со-
ставленные из ее столбцов, должны быть равны нулю. Дей-
ствительно, по южив какие-нибудь (/г — k — 2) величин 8е' рав-
ными нулю и приняв одну из остальных не равной нулю, по-
лучаем систему из /?4~2 линейных однородных уравнений o'
АД2 неизвестными, в которой не все неизвестные равны
нулю, из чего следует равенство нулю определителя.
Приравняв нулю (п — k — 1) определителей, порождаемых
матрицей (6,9) получаем вместе с имевшимися k уравнениями
(6,5) и уравнением (6,4) всего п уравнений. Если эти уравне-
ния удается решить относительно величин е), то тем самым
190
сненты единичной деформации выражаются через ком-
- -енты напряженного состояния:
<=/i(Si,S2..........." -s„);
e2=f2(s1,s2..............s„);
< = fn (Sl. S2...........S„).
(6,10)
Подставив выражения компонент единичной деформации
«з (6,10) в (6,3), найдем предельное условие в форме зависи-
мости между компонентами напряженного состояния, в кото-
рой вид деформации уже не фигурирует.
Обычно известны такие напряженные состояния, при ко-
торых элемент заведомо предельного состояния не достигает.
Таково в большинстве случаев ненапряженное состояние эле-
мента. Пользуясь этим, легко выяснить, по какую сторону от
границы, выражаемой предельным условием, лежат допустимые
состояния, после чего это условие можно написать в виде
неравенства:
r(S1,s2,...,s„)<0. (6,11)
Предельное условие (6,11) позволяет найти напряженные
состояния, которые отвечают предельному состоянию, а из
равенств (6,10) определяется соответствующий каждому пре-
дельному напряженному состоянию вид деформации элемента.
Таким образом, (6,11) вместе с (6,10) заменяют предельное
условие (6,4). Если дано только предельное условие (6,11), а
о связи напряженных состояний с видами деформаций ничего
не известно, то характеристика элемента оказывается недо-
статочной. Как показано ниже, полностью решить метод®» пре-
дельного равновесия задачу о несущей способности конструк-
ции, состоящей из таких элементов, нельзя.
В общем случае предельное условие, содержащее ком-
поненты вида деформации, было записано в форме (6,4). Прак-
тически часто встречается случай, когда правая часть от
компонент напряженного состояния не зависит, т. е.:
^-=zz,- = O (i = l, 2,.. .,п). (6,12)
Нехрупкие элементы, обладающие этими свойствами, назо-
вем пластическими, а нехрупкие элементы, для которых Ф
есть функций компонент напряженного состояния, — п с е в д о-
пластическими.
Для псевдопластического элемента по крайней мере одна
ЙФ „
из величин щ = не равна нулю. Пример псевдопласти-
ческого элемента представляет собой пара клиньев свода,
скользящих друг по другу.
191
Примером пластических элементов являются пластические
металлы, для которых условие текучести есть потенциал те-
кучести. Имея их в виду, мы распространили термин „пласти-
ческий" на все элементы, обладающие некоторыми свойствами,
родственными пластическим металлам.
Для элемента пластического металла, подчиняющегося
условию наибольших касательных напряжений, которое слу-
жит и потенциалом текучести, условие (6,4) таково:
°хг'х 4" °у еу ~Ьаг£г+ ~ixy + lvx +
+ О'* у Tyz + “J + Tzx у lzx + Y^z —
=cxe;+c>-s+oz<+^3,+w>2+Tz4jc< . (6,i3)
В том, что правая часть равенства должна иметь именно
такое выражение, мы сейчас убедимся.
Условие (6,3) в данном случае примет вид:
В предельном состоянии возможны только деформации
чистого сдвига в плоскостях главных напряжений. Если оси х
и у лежат в одной плоскости с двумя осями главных напря-
жений и повернуты по отношению к последним на угол 45°,
т0 ex = e'y = £'z = 1'yz = 1'zx = ^ Поэтому из (6,14) т^ = ±]/2, а
подстановка величин компонент единичной деформации в (6,13)
приводит к неравенству-----что действительно
соответствует условию наибольших касательных напряжений.
Если совместить главные оси с осями х, у, z то из (6,13).
°iei,+O2£2 + ®3S3^^» ‘ (6,15)
а из (6,14):
£'/+£2+£з’=1. (6,16)
При сдвиге в плоскости (1,3)
ез = ~е'1 и е2 = °-
По подстановке в (6,16) находим:
, ,1,_1
е -4----* £ = —!___ •
1 -^/2’ * ’
Введя же эти значения и ^ = 0в (6,15), имеем:
— Cj — 5.J -С аТ •
192
Для пластического металла, подчиняющегося условию
редельнсй интенсивности напряжений, которое служит и по-
тенциалом текучести, условие (6,4) примет вид:
~Г ауеу + °z ez + Хху[ху -j- V'zlyz ~Г rzxT2JC '< )/7 3Г. (6,17)
Условие (6,17) отлйчается от (6,13) только косфициентом
при правой части. Условие (6,3) будет попрежнему иметь вид
(6,13), но в предельном состоянии теперь возможна все де-
формации, не меняющие .объема. Легко видеть, что дл>; -чис-
того сдвига из (6,13) и (6,17) получим:
°т °т
---т ->=•
|/3 /з
Чтобы показать, что (6,17) действительно выражает усло-
вие предельней интенсивности напряжений, надо исключить
компоненты единичной деформации, как об этом упоминалось
выше.
Выкладки значительно упрощаются, если перейти к глав-
ным осям. Тогда
°ie’i4-°2е2+азез<УД (6,18)
£'>+^ + ез = 1; (6,19)
< + *2 + ^ = 0. (6,20)
Заменим неравенство (6,18) равенством, и, варьируя де-
формированное состояние, имеем из (6,18) до (6,20)
Mei о28е' + °sf4 = 0;
1 • 86] -j~ 1 • ог2 —1 • — 0.
Приравняв нулю определитель этой системы уравнений,
находим:
< (®2 — °з) + е2 (°з — °i) + ез (=i — °г) = °- (6,21)
Из (6,18), записанного в форме равенства, и уравнений
(6,20) и (6,21) легко выразить s', &2 и е' через напряжения.
По подстановке значений е', е2 и е' в (6,19) получаем равен-
ство:
(°1 - + (=4 - =з)8 + (Зз - °1)2 = 24 (6,22)
как уравнение границы предельных состояний элемента. Это
одна из форм условия предельной интенсивности напряжений
[см. (2,38'")].
Ненапряженный элемент пластического металла, очевидно,
не находится в предельном состоянии. Поэтому, чтобы из
(6,22) получить предельное условие в форме (6,11). следует
заменить знак равенства знаком <С- 13
13 А. А. г-яадс.
193
Пластические элементы обладают некоторыми существен-
ными свойствами, которые вообще не присущи псевдопласти-
ческим элементам.
_ “ i
Свойство 1 »
Для пластических элементов виртуальная
работа компонент любого допустимого и ап па-
женного состояния на любой единичной дефор-
мации, возможной в предельном состоянии, не
больше, чемработа компонент напряженного
состояния, отвечающего рассматриваемой де-
формации.
Действительно, пусть e'w. е'2О,..., еп0— компоненты еди-
ничной деформации, возможной в предельном состоянии, а
sio, s2o, • •. s«o — компоненты напряженного состояния, при
которых эта деформация реализуется. Тогда (6,4) примет вид:
п
22 5юею = Ф (ею’ е-ю' • • •» (6,23)
i=I
Рассматривая теперь ту же единичную деформацию и
любое допустимое напряженное состояние элемента, опреде-
ляемое компонентами sv s2,..., sn, имеем из (6,4):
п
22 S‘^iO Ф ^10» ^20’ • • ' » ^по)' (5,24)
i=I
Из (6,23) и (6,24):
и п
22 S‘SiO 22 Si<>eiO' (6,25)
i=l i—I
что и выражает вышеупомянутое свойство пластического
элемента.
Пример пары скользящих клиньев, к которому мы уже
прибегали, показывает, что псевдопластические элементы мо-
гут этим свойством не обладать.
Рассмотрим два напряженных состояния пары клиньев,
определяемые компонентами Qo, No и А',. Пусть’
Q0=/A/0 и
где Аз — некоторая положительная величина, меньшая, чем
Nx, а — N2>-No. Первое состояние предельное, и ему со-
ответствует единичный сдвиг клиньев друг по другу. Поэтому
в этом случае: 22
22 SiOeiO ~ Q<>’ 1 ~f^0'
194
Второе напряженное состояние, допустимое и не предельное,
поскольку Qx <fNy. Работа сил второго состояния на еди-
ничной деформации первого состояния равна:
По условию:
Следовательно, для данного псевдопластического эле-
мента виртуальная работа компонент допустимого напряжен-
ного состояния на единичной деформации, возможной в пре-
дельном состоянии, оказалась больше работы компонент на-
пряженного состояния, отвечающего этой деформации
Свойство 2
Дляпластических элементовфункция Непре-
дельном условии (6,11) есть выпуклая функция.
Иными словами, если напряженное состояние первое,
характеризуемое компонентами sn, s21...snl, а также и на-
пряженное состояние второе, характеризуемое компонентами
$Г2, s22,, sn2, являются допустимыми состояниями для пла-
стического элемента, то допустимо и напряженное состояние
третье, характеризуемое компонентами:
$13 = $11 "4” $15 0 ^)> $23 = $21 Н- $22 О ^)» • - • »
.-•>$Л3 = $„!& + $„.. (1—0).
где 0 — положительное число, меньшее единицы.
Действительно, по условию для каждого вида деформа-
ции е^, ew,...,e'n0 возможного в предельном состоянии:
' п
У $и«ю < ф (₽Ю. » <о); (6,25)
п
У Sil ею < ф (е10, еа,..., е^). (6.27)
i=i
Умножив обе части неравенства (6,26) на положительное
число 0. а обе части неравенства (6,27) на положительно^
•число (1—0) и сложив оба неравенства, имеем;
fj п
X [«а о+S/2 (1 — Ь)1 ёа = У ею < ф (е'1О, ёж,..., е„0). (6,28)
1=1 1= I
Так как третье напряженное состояние удовлетворяет
предельному условию при любом возможном виде деформа-
ции, оно является допустимым. Тем самым второе свойство
пластического элемента доказано.
43*
195
Свойство 3
Для пластических элементов функция F в
предельном условии, записанном в форме (6,11),
является потенциалом деформации предель-
ного состояния. Иными словами, если известно, что эле-
мент пластический, то компоненты единичной деформации e1C)t
ё20, • • • > еп0’ реализующейся при предельном напряженном состо-
янии s10, s2O,...,sno, могут быть вычислены по формулам:
Ж
ею=-----(i = 1,2,..., n), (6.29)
1/ yf^y
F ^\°si Jsi=sio
j=i
где обозначает значение частной производной
dF
-0— при подстановке в нее величин = s10. s2 = s20,...,s„ = s„0.-
Предполагается, что функция F обладает при Si = Si„
s2 — Sso , • • • >sn — sno непрерывными частными производными по
всем аргументам.
Для доказательства формул (6,29) построим линейную^
функцию, апроксимирующую функцию F при напряженных
состояниях, близких к состоянию s10, s20,.. .,S„Q:
п
L(S1,s2,...,Sn) = ^s, = s.o • ~s.o)- (6,30)
i=l
При sx = s10; s2 — s20,... , sn = sn0 имеем из (6,30) L = 0.
Также F(s10, s20,..., s„o) = 0, так как напряженное состо-
яние s10, s20,..., sno есть предельное состояние. Поскольку
функция F выпуклая, для всякого допустимого состояния,
определяемого компонентами sx, s2,..., sn, имеем не только
F(s1,s2, 0, но также и Z($г s2,..., s„)<0, а следова-
тельно, для всех допустимых напряженных состояний:
п
<ад'>
i=I
С другой стороны, можно переписать (6,25) в виде:
Л
/Е2 eio (si S‘o) 6, (6,32)
2=1
причем (6,32) при sx = в]0, з2 = s20,..., sn = s„0, очевидно, обра-
щается в равенство. Имея в виду непрерывность частных
dF-
производных — по всем аргументам при Si = s10, s2=s20,...,
sn = зл0, можно утверждать, что неравенства (6,31) и (6,32)
196
о'эащаются в равенства при одних и тех же значениях sz,
а следовательно,
*>'" ’ ’ :е”° “ Ы) = = ”• -:Un ) ^ = ^0. (6,3о)
п
Поскольку же ё?0 = 1, из (6,33) вытекает (6,29).
Предельные условия (6,4) и (6,11), а также свойства пла-
стических элементов приобретают большую наглядность пни
х геометрической трактов-
ке1 * *, что мы продемонстри-
руем для случая, когда напря-
женное состояние элемента
характеризуется двумя компо-
нентами sx и s2, а деформа-
ция— компонентами ех и е2-
В таком случае единичная де-
трмация изображается век-
тором длиной единица, а виды
деформации различаются на-
равлением этого вектора.
В общем случае (т. е. для
гсевдопластического элемен-
та) при возможной деформации
заданного вида и е2=
= ё2А условие (6,3) изобра
жается на плоскости s3 некоторой кривой А —
на которой
Рис. 98
А (рис. 98),
+Мгл = ф (Sl> S2- е1Д> е2л)-
Точки, лежащие по одну сторону этой кривой, удовлет-
воряют неравенству (6,3/. Точки, лежащие по другую сторону
кривой, — недопустимые, т.« е. изображают недопустимые
напряженные состояния элемента. Для возможной деформации
другого видае\ ~ё^, ё2=-ё2В условие (6,3) изображается кривой
ВВ. Когда число возможных видов деформации конечно, об-
ласть допустимых напряженных состояний замыкается дугами
аа, bb и т. д., а при бесконечном множестве видов деформа-
ций, когда вид деформации может изменяться непрерывно, —
огибающей кривых, отвечающих возможным видам деформаций.
Для пары клиньев, скользящих друг по другу так, что их
перемещения параллельны чертежу, обозначим через 'зх сжи-
1 Мы сознательно избегали прибегать к представлениям и терминim
л-мерной геометрии, чтобы не затруднять непривычных к ним читателей.
Подготовленный читатель сам переведет предыдущее рассуждение на гео-
метрический язык.
Р7
мающую силу N, а через s2 — сдвигающую силу Q. Взаимное
смешение клиньев в направлении силы N, т. е. е\, равно нулю,
поэтому ^2=1, а следовательно, возможны только два вида
деформации, которым отвечают векторы с компонентами: в-
первом случае е\ = 0 и е'2 = -\-1, а во втором е\ — 0 и е2 = — 1
Предельное условие для первого вида де-
формации принимает вид s2~^fs1. или чему отвечают
напряженные состояния, изображаемые точками, леж щими
не выше прямой О А (рис. 99). Для второго вида деформации
предельное условие принимает вид—s2 <;/s5, или Q — /л’, чему
отвечают точки, расположенные не ниже прямой ОВ (рис. 99).
Векторы, изображающие возможные виды деформации, обра-
зуют соответственно с прямыми О А и ОВ углы, равные arcctg/.
Для пластического элемента предельное условие (6,4>
принимает вид:
M'i + < Ф (е;, е'). (6 34)
Левую часть удобно рассматривать как скалярное произ-
ведение s-e', т. е. как проекцию вектора s, изображающего
напряженное состояние элемента, на направление единичного
вектора е', изображающего вид деформации в предетьном
состоянии. Правая часть (6,34) есть функция вида деформа-
ции, т. е. направления вектора е'. Итак,
5?<Ф(?) (6 35)
есть запись предельного условия пластического элемен а в
векторной форме.
Словами предельное условие (6,3") читается так: проек-
ция вектора, изображающего допустимое напряженное состоя-
ние, на направление вектора возможной единичной деформа-
ции, или, что то же, виртуальная работа сил допустимого
198
напряженного состояния на единичной возможной деформа-
ции, не больше величины, зависящей только от вида возмож-
ной деформации. Следовательно, при данном е' недопустимы-
ми оказываются напряженные состояния, изображаемые точ-
ками, лежащими по одну сторону от прямой, перпендикуляр-
ной вектору е' и отстоящей от начала координат на расстоя-
нии Ф(е') (рис. 100). Свойство первое пластического элемен-
та становится отсюда очевидным.
Для каждого другого возможного вида деформации эле-
мента предельное условие (6,35) дает новую прямую, по одну
сторону от которой ле-
жат только точки, изоб-
ражающие недопустимые
напряженные состояния.
Если возможных видов
деформации конечное чи-
сло, то условие (6,35)
определяет выпуклый
многоугольник, вне ко-
торого все напряженные
состояния недопустимы.
Если возможных видов
деформации в предельном
состоянии бесконечное
множество и от одного
вида деформации к другому возможен непрерывный переход,
граница допустимых состояний определяется огибающей се-
мейства прямых, отвечающих всем возможным видам дефор-
мации (рис. 101). Эта граница отвечает уравнению F(s„ s,)=0.
Очевидно фигура, которую очерчивает эта кривая, всегда
выпуклая (второе свойство пластического элемента), а век-
тор е' в каждой точке контура (кроме угловых точек, если
таковые имеются) направлен по нормали к контуру (третье
свойство пластического элемента).
6. Разыскание внешней границы несущей способности
статически неопределимой системы
Нагрузка на конструкцию обычно состоит из данной п®
расположению и величине постоянной нагрузки и из вре-
менной нагрузки, определяемой одним или несколькими
параметрами. Наибольшее практическое значение имеют задачи,
в которых временная нагрузка задана по расположению, а ее
интенсивность зависит от одного только параметра. При этом
внешняя граница несущей способности определяется двумя
числами: верхним и нижним внешними пределами несущей
способности. Для нахождения этих пределов как при пласти-
1J J
ческих, так и при псевдопластических элементах можно вос-
пользоваться одним и тем же методом, который мы назовеп
статическим.
Помимо временной нагрузки и постоянной нагрузки, на-
пряженное состояние элементов статически неопределимой
системы зависит еще от конечного числа, или от-счетного
множества статически неопределимых параметров X,, или от
одной или нескольких „статически неопределимых" функций
координат fj. Потребуем, чтобы система находилась в равно-
весии и чтобы предельные условия для всех ее элементов
выполнялись в форме ли неравенств или равенств — без-
)азлично.
Предельные условия могут быть даны в форме (6,11);
знать виды деформаций, соответствующие предельным напря-
женным состояниям, для применения статического метода нег
надобности.
Предположим, что при некотором значении параметра Р=
_ p<s) этам условиям можно удовлетворить соответствующим
подбором параметров X, или статически неопределимых функ-,
ний. При непрерывном увеличении Р<& должно найтись чис*
ло Ртах такое, что при Р>Р£ах выполнение условий равно-
весия и предельных условий уже невозможно, как бы ни под-
бирались параметры Х}- или статически неопределимые функ-
ции. Если бы конечного числа PmL не нашлось, можно было
бы сказать, что Р^\х = оо.
При непрерывном уменьшении Р& должно найтись чис-
ло Pmm такое, что при Р < Рты никаким подбором пара-
метров А} или функций /у нельзя одновременно удовлетво-
рить предельным условиям и условиям равновесия. Если бы
конечного числа Р£'п не нашлось, можно было бы сказать,
ЧТО Pm]n = — ОО. Числа Pmin и Р^ах дают нижний и верхний
внешние пределы несущей способности конструкции. Дей-
ствительно, при Р<Р$П и при Р>Рт’ах равновесие по опре-
делению невозможно и конструкция неизбежно разрушается.
Границы несущей способности даже внешние, в действи-
тельности должны быть конечными числами, так как немы-
слимо, чтобы конструкция обладала бесконечной прочностью.
Если формально Рты или /’SL оказывается бесконечным,
это означает, что какие-то предельные условия элементов
не учтены или что способ предельного равновесия не позво-
ляет определить соответствующую точку внешней границы
несущей способности конструкции.
Если бы оказалось, что условиям равновесия и предель-
ным условиям элементов нельзя удовлетворить ни при каком
значении параметра Р, это показывало бы, что конструкция
неизбежно разрушается под воздействием одной постоянной
200
нагрузки и что „временная" нагрузка так расположена, что
не может поддержать систему, как бы мы ни изменяли ин-
тенсивность „временной" нагрузки, включая и изменение на-
правления ее на обратное.
Указанный способ определения внешнего верхнего пре-
дела несущей способности Атах и внешнего нижнего преде-
ла несущей способности РЙп назван статическим по следую-
щим мотивам: в нем используются условия равновесия и
предельные условия элементов, однако виды деформаций
элементов, которым эти предельные условия отвечают, не
играют явной роли. Иными словами, кинематическая сторона
задачи может оставаться вне нашего поля зрения.
Когда временная нагрузка зависит от нескольких пара-
метров, разыскание внешней границы несущей способности
практически становится сложнее, однако оно также может
быть выполнено статическим методом.
Чтобы выявить пути определения внутренней границы
несущей способности, необходимо принять во внимание де-
формации системы и ее элементов.
7. Устойчивость напряженного состояния статически
неопределимых конструкций
Рассмотрим состояние статически неопределимой систе-
мы, в которой один, несколько или бесконечное множество
элементов находится в предельном состоянии. Будем счи-
тать внешние силы данными и неизменными. Переменными
будут приращения деформаций элементов, достигших пре-
дельного состояния, и лишние неизвестные силы, а вслед-
ствие этого также и упругие деформации системы. Мы ог-
раничимся рассмотрением весьма малых деформаций. Поэто-
му, отнюдь не предполагая, что система следовала закону
Гука, начиная от незагруженного состояния до того, с кото-
рого мы начнем ее рассмотрение, мы все же будем иметь
право положить приращения деформаций, вызванные изме-
нением ее напряженного состояния, пропорциональными при-
ращениям усилий.
Как уже упомянуто в п. 3 этой главы, приращения де-
формаций системы будут складываться из приращений де-
формаций элементов, следующих законам свободной дефор-
мации и приращений упругих деформаций. Начнем со случая,
когда в предельном состоянии находятся элементы системы
числом q. Занумеруем их номерами 1, 2,.. .,т,.. .,п,.. .,а.
Напряженное состояние какого-нибудь т-го элемента пусть
определяется р компонентами Sim>, s^,..., s\m\..., °. Соот-
ветствующие компоненты единичной свободной деформации
этого элемента обозначим через е(™, е^....,etn\•.., а
малое приращение величины деформации — через 8Ет. Лиш-
ние неизвестные выберем таким образом, чтобы в каждое
из уравнений перемещений входил только один статически
неопределимый параметр, что, как известно, всегда возмож-
но. Обозначим приращения ст 'тически неопределимых пара-
метров, вызванные деформация ш ЪЕ^ ЪЕ„,.. .,ЪЕт, ...ЪЕ„...,
ЪЕд, через BXi, ЪХп,.. .pXj,.. .,ЪХГ. Под влиянием прираще-
ний деформаций элементов, находящихся в предельном со-
стоянии, перемещения по направлению лишних неизвестных
не должны измениться, что можно записать в виде уравнений:
ч Р
+ (6,36)
т=Л i=l
Число таких уравнений равно числу лишних неизвест-
ных, т. е. г.
В уравнениях (6,36):
Cjj — есть перемещение по направлению у-й неизвестнойХ
при Xj = 1;
су?— перемещение по направлению у-й неизвестной, соот-
ветствующее e*m)— 1 \
Из (6,36):
- 77 S (6-37>
m=l i—Л
где обозначено:
= (6.38)
is=l
Величина ajm представляет собой перемещение по на-
правлению j-й неизвестной при данного вида единичной де-
формации ш-го элемента.
Приращения компонент усилий в n-м элементе системы
определяются приращениями лишних неизвестных:
Г
= (6,39)
/=>
1 Было бы правильнее сказать, что Суу есть частная производная го пере-
менной от перемещения по направлению Xj, а с)”-* — частная производ-
ная от того же перемещения по гой компоненте деформации m-го элемента.
Также и дальше ajm есть частная производная по величине деформации
m-го элемента от перемещения по направлению А). Однако наименования
этих величин, принятые в тексте, более привычны инженерам.
202
где б<”' — компоненты усилий, возникающих в элементе л-
основной системы под влиянием А’?- = 1.
Установим зависимости между величинами cW и с1$.
Величина есть перемещение по направлению j, вызван-
ное перемещением е(”>=1 или в обозначениях, принятых
в главе III:
$> = W
Величина cW есть усилие
по направлению е^\ вызван-
ное силой Х} — \, а следова-
тельно, она равна взятой с
обратным знаком реакции:
Но ^j(tn) = — г(щ} j, а сле-
довательно,
с^)=с(»). (6,40)
Если, например, элемент п есть стержень, поддерживаю-
щий левый конец балки (рис. 102), а лишняя неизвестная X,
прикладывается к концу консоли этой балки, то с*"’ есть,
перемещение по направлению X/ (рис. 102, а), а — усилие
в стержне п, вызванное силой Х;=1 (рис. 102,6). Если с^> =
= о/(м)>0, то Г(/п);<0, т. е. реакция левой опоры отрица-
тельная, а усилие в стержне п равно т. е. представ-
ляет собой растяжение, отвечающее по знаку деформации,
удлинения стержня.
Подставляя в (6,39) звачения 5А}из (6,37), находим:
' с(я) Q
/==1 т—1
(6,41 >
По условию компоненты усилий в элементах 1,2
п,..., q системы обращают предельные условия для этих
элементов в равенства, так что
р
'У' e<n)sj.n> = Фп(5("\ sSf',. • • > sp*)‘ (6,42)
i=l
Или, обозначая через Rn разногтъ между правой и левой
частями предельного неравенства «-го элемента:
р
Rn=$„tfr\sp,...,sM)—^е{п№Я = 0. (6,43)*
х=1
2СЗ
Когда компоненты усилий в элементе получают прираще-
ния, изменение величины Rn равно:
р р лл р
ZR„ = - + X = — У. (4Л) - И1В)) 84я). (6,44)
j=! fc=l °' i=I
где обозначено
^ = ^}- (6.45)
Если 3/?ч>0, то элемент выходит из предельного состоя-
ния в смежное допустимое состояние и рост деформации Еп
прекращается.
Если %Rn = 0 элемент остается в предельному состоянии
и деформация Еп может и дальше возрастать.
Если, наконец, 8/?л<0, то элемент должен был бы перейти
в недопустимое напряженное состояние.
Подставив в (6,44) значения 8s<"> из (6,41) и группируя
•слагаемые, зависящие от деформации каждого из элементов,
находим:
р
« . о/. 2'5? ,
=Нт--------------<6>4в»
m=l j=l 1 т=1 г=Л 1
«где обозначено:
= (М7)
i=!
Величина bjn характеризует влияние лишней неизвест-
ной на предельное условие л-го элемента.
Вводя еще для сокращения обозначение:
= (6,48)
7=1
(можно записать выражения (6,46) в развернутой форме:
8/?„ = 8Е^л1 + 8E2kri2 +... + ZEmknm +... +
+ ^ЛП + - + Й^ (6.46Э
Мы предположили, что малые приращения деформаций
(вызвали изменение напряженного состояния системы. Если
при э том некоторые из величин 87? окажутся положительными,
соответствующие элементы выходят из предельного состояния.
Рассмотрев систему с элементами, оставшимися в предельном
состоянии, можно повторить для нее тот же анализ и выяс-
нить, какие еще элементы должны выйти из .предельного со-
.204
стояния в смежное допустимое. Если после нескольких шагоа
мы обнаружим, что все q элементов перешли из предельного»
состояния к смежным допустимым состояниям, это покажет,
что несущая способность системы не исчерпана.
Если же сразу или после нескольких шагов расчета об-
наружится, что для всех элементов, остававшихся в предель-
ном состоянии, £/? 0, то это покажет, что деформации этих
элементов могут возрастать беспрепятственно, что указывает
на исчерпание несущей способности системы. При этом воз-
можны два случая: либо приращения деформаций происходят
так, что все величины £Л;-, определяемые формулой (6,37),
остаются равными нулю, либо все или некоторые величины bXf
Отличны от нуля. В первом случае мы будем говорить, что
исчерпание несущей способности происходит при устойчивом
напряженном состоянии, а во втором, что несущая способ-
ность исчерпывается при неустойчиво-напряженном состоянии.
Действительно, при беспрепятственном росте деформаций
напряженное состояние системы будут все время изменяться,
если не все величины £А} равны нулю. Неустойчивость напря-
X женного состояния есть достаточный, хотя и не необходимый
признак исчерпания несущей способности.
Рассмотрим теперь подробнее случай, когда в предель-
ном состоянии находится только один элемент системы. Тогда
г E^M’-^-EW
«=^Е—----—-—
“ CJJ
1=1
(6,49>
Поскольку величина деформации элемента в предельном
состоянии может только возрастать, всегда £^>0, а следо-
вательно, знак £А\ определяется знаком k^. Чтобы деформа-
ция элемента, возникающая в предельном состоянии, тотча:
прекратилась, необходимо и достаточно условие £А\>0, или,
что то же,
*п>0. (6,50>
При этом напряженное состояние системы устойчиво.
Если же это условие не соблюдается, то деформация Ег мо-
жет и дальше возрастать. Но, поскольку в дальнейшем воз-
растание вызовет те же последствия, т. е- не выведет эле-
мент из предельного состояния в другое допустимое состоя-
ние, мы имеем дело с исчерпанием несущей способности
системы.
Пусть условие (6,50) не соблюдается и мы имеем ku = 0.
Тогда возможны два случая: либо все величины ау1 = 0 и тогда
105
согласно (6,37) исчерпание несущей способности происходит
пои неменяющихся величинах лишних неизвестных, а следо-
зательно, при неизменном, т. е. устойчивом, напряженном
состоянии системы, либо хоть одна из величин tz;1 не равна
нулю, а следовательно рост деформации сопровождается
мшенением хотя бы одной лишней неизвестной и напряжен-
ное состояние окажется неустойчивым.
Величины йд представляют собой перемещение в основ*
ной системе по направлению лишних неизвестных при едини1?
.ной деформации, которую претерпевает э темент, достигший
пределгн эго состояния. Если
__________' -------------, Р все ау|=0, то отсюда сле-
--------------------------1।_дует, что обобщенная сила,
Ослабленный участок ' отвечающая деформации Ег,
балки._______________________есть статически определи-
мая величина.
Рис’ 103 Такой случай можно ил-
люстрировать простым при-
мером. Продольная сила в обыкновенной неразрезной балке
есть статически определимая величина. Если к стальной нераз-
резной балке приложим продольную силу, которая доведет
какой-то (наиболее слабый) участок балки до текучести на ра-
стяжение (рис. 103), то балка будет сильно деформироваться
(удлиняться) при неизменных внешних и внутренних силах.
Это состояние балки следует рассматривать как исчерпание
ее несущей способности при данной нагрузке. Аналогичное
явление произойдет во всякой конструкции, у которой один
элемент достиг предельного состояния и все величины
равны нулю.
Когда величина оказывается отрицательной, то рост
деформации Et тем более возможен, а величины не могут
быть одновременно равны нулю, так как в противном случае
величина kn согласно (6,48) была бы равна нулю. Поэтому
при kn<ZO напряженное состояние системы всегда неустой-
чиво.
Итак, если один элементсистемы достиг пре-
дельного состояния и условие (6,50) не соблю-
дается, то несущая способность системы исчер-
пана; при этом, если все величины равны нулю,
то напряженное состояние системы устойчиво,
если же хоть одна из величин aJt не равна нулю,
то напряженное состояние системы неустой-
чиво.
Хотя исчерпание несущей способности все равно опасно,
протекает ли оно при устойчивом или неустойчивом напря-
женном состоянии, выявление условий устойчивости напря-
женных состояний окажется нам полезным. ,
506
Величина Лп зависит от коэфициентов уравнений пере-
мещений Cjj, т. е. от упругих свойств системы Для системы,
в которой только один элемент достиг предельного состоя-
ния, легко дать достаточное условие устойчивости, не зави-
сящее от упругих свойств. Оно состоит в том, чтобы при
любом j от j— I до j = r выполнялось неравенство:
р р
bnan =Е W - «IV Ж>>0. (6,51)
!=1 <=1
В самом деле, ни одна из величин, входящих в неравен-
ство (6,51), не зависит от упругих свойств системы. Если все
• bnaj\
произведения >0, то и выражения -^->0, так как
коэфициенты уравнений перемещений всегда положительны.
Но из этого следует, что и величина klb представляющая
собой сумму положительных величин, будет положительной.
Условие (6,51) можно переписать и в другой форме, иногда
более удобной:
р
v-------О- (6,52>
f=l
д Ф
Для пластических элементов вс" величины и,- — — 0,
так как величина Ф не зависит от компонент напряженного
состояния. Следовательно, для пластических элементов имеем
равенство:
bfi = ajh (6,53)
элемент нахо-
и этот элемент
состояние с и-
откуда вытекает важное следствие.
Если в системе один только
дится в предельном состоянии
пластический, то напряженное
стемы устойчиво.
Прежде чем перейти к анализу систем, в которых более
чем один элемент находится в предельном состоянии, обра-
тимся к простому примеру системы с псевдопластическими
элементами, а именно к двухшарнирному своду из пяти клиньев,
рассмотренному в главе I. Так как этот свод представляет
собой систему с одной лишней неизвестной, неравенство (6,52)
будет для его элементов не только достаточным условием
устойчивости, но и необходимым условием.
Компоненты напряженного состояния элементов свода:
X = N и s2 — Q;
207
компоненты единичной деформации в предельном состоянии:
е{ по направлению N и е'2 по направлению Q. Так как клинья
не могут сблизиться или раздвинуться, то = а следова-
тельно, из = 1 вытекает:
— -4~ 1.
Предельное условие для пар клиньев:
Sjgj -j-s2c9 = -4- Q Nf Ф;
„ __дФ . d-Ф п
dN~ f’ и* ~ ?Q"0’
Как было принято в главе I, /= 4~.
Таким образом, условие (6,52) принимает вид:
CjUj -+- с2и2 _ [ q < ,
с!е1 + сге'2 2с2
Рассмотрению подлежат четыре предельных состояния
(см. главу I, рис. 12).
1. Создаются предпосылки для скольжения клина / по
клину II внутрь; е'2 = —1. Величины и с2 представляют
собой сжимающую силу и поперечную силу в шве I — II при
действии распора Н—1. с1 = cos а; с2 = sin а. Так как tg а
то
___£L — — 1 ______3
2с2 2 tg а 2 ’
напряженное состояние устойчиво.
2. То же, что и I, но скольжение клиньев происходит в
обратную сторону. Поэтому e2 = -j-l, а условие устойчиво-
з
сти не выполняется:-g-> 1. Итак, напряженные состояния,
соответствующие скольжению клина I по клину II наружу,
неустойчизы.
3. Создаются условия для скольжения клина II по III
внутрь ё2 = — 1; Ci = sina; с., — cos а,
_£1_ _ tg° _____
2с2 2 ~ 6 *•
Условие устойчивости выполнено.
4. То же, но клин II скользит по клину III наружу. Те-
перь 62 = 4-1.
< 1,
2 с2 1 6 ’
т. е. условие устойчивости снова выполнено.
Мы обнаружили, что из четырех предельных состоянии
элементов пятиклинного свода одно, а именно то, которое
£G8
отвечает условию 2 на стр. 27, главы I, приводит к неустой-
чивым напряженным состояниям системы. *•
На рис. 104 повторен рис. 12 главы 1 с той разницей,
что прямая 2 — 2, отвечающая неустойчивым напряженным
состояниям свода, изображена пунктиром. Мы теперь можем
убедиться, что величина 17=1,25 т действительно представ-
ляет собой внутреннюю границу несущей способности
свода. При V< 1,95 т точка, изображающая напряжен-
ное состояние свода, не может покинуть допустимой обла-
сти: если она и достигнет вследствие изменения величины
распора, вызванного какими-либо причинами, границы допу-
стимой области на прямых 1 — 1, 3—3 и 4—4, то она не
сможет пересечь их, поскольку напряженные состояния на
этих прямых устойчивы1.
Но при 1,25 т < V<Z 1,50 т
разрушение может произой-
ти, если точка, изображаю-
щая напряженное состояние
свода, придет на прямую
2 — 2, например в С. Когда
это случится, то сколь
угодно малое скольжение
клина / по клину II вызо-
вет такое изменение распо-
ра (его уменьшение), что
точка, изображающая на-
пряженное состояние, пе-
реместится из С влево,
в направлении D. Сколь-
жение клина 1 по // после
спор уменьшаться. Когда
стигнет точки D на прямой 3 — 3, то клинья // начнут сколь-
зив по клиньям Ill вниз. Невидимому, с достижением точки
С разрушение свода произошло бы катастрофически. Пунк-
тирная прямая 2 — 2 оказывается такой частью границы допу-
стимой области, которая проницаема для точки, изобра-
жающей напряженное состояние. Э1о — обветшалая часть
изгороди, ' сквозь которую овца может убежать из загона.
Вернемся опять к общему случаю. Если исследование си-
стемы при некоторой заданной нагрузке обнаруживает, что при
этой нагрузке может быть достигнуто предельное состояние
т-го элемента системы и что с достижением предельного
состояния m-го элемента несущая способность системы ис-
черпывается (т. е. мы должны заключить отсюда,
1 Чтобы показать, что внутренний предел несущей снособностн не ниже
1,25 т, надо, строго говоря, еще убедиться, что в точке пересечения /—I
и 3—3 напряженное состояние устойчиво. Аналитическое выраже’ме этого
условия даио ниже.
этого будет продолжаться, а ра-
же напряженное состояние до-
14 А. А. Гвозае!
209
что рассматриваемая нагрузка отвечает внутренней границе'
несущей способности конструкции или л киг за пределами
ь ой границы. Но если бы сказалось, что для любого из эле-
ментов, которые могут при данной нагрузке достигнуть пре-
дельного состояния, величины Amm>0, то на этом основании
<?ше нельзя утверждать, что при рассматриваемой нйгрузке
исчерпание несущей способности системы, а в частности, се
неустойчивое напряженное состояние не может иметь места.
Действительно несущая способность может оказаться исчер-
панной, когда в предельном состоянии находятся двд элемен-
та или большее их число.
ГДсть в предельном состоянии находятся два элемента
1 и 2. Согласно (6,46) мы можем записать:
%RX = /г]2;
т2 = дЕл kn + *E2k22.
Предположим, что 8/?,>0. Тогда второй элемент выйдет
из предельного coctos’hhh и в предельном состоянии останет-
ся только один первый элемент. Тогда поведение системы
определится величиной /г,,. Также если 8/?t>0, первый эле-
мент выйдет из вреде. ыюго состояния и поведение системы
определится коэфициентом /г22.
Наличие двух элементов, находящихся в предельном со-
стоянии, могло бы дать нечто новое только при условии, что
одновременно
8£^n4-8£-.^12<0; )
S/?! &21 4-8 £2^22 J
Предположим сначала, что, когда в предельном состоя-
нии находится один первый или один второй элемент, то на-
пряженное состояние устойчиво и один из коэфициентов, на-
пример ku = 0. В таком случае, как было выше показано,
все величины а}1 равны нулю, а следовательно,
Второе неравенство (6,54) тогда принимает вид:
8£2/?23 = 0,
однако по предположению напряженное состояние системы
устойчиво, когда в предельном состоянии находится один
только второй элемент, следовательно, k22 не отрицательная
величина и она может обратиться в нуль, только если все
коэфициенты аг равны нулю. В таком случае согласно (6,37)
величины лишних неизвестных не меняются, а следовательно,
напряженное состояние устойчиво. Т
210
Рассмотрим теперь случай, когда й,х>0 и >0. Чтобы
при этом выполнялись неравенства (6,54), величины и /г41
должны быть, очевидно, отрицательны. Умножив nej в зе из
неравенств (6,54) на положительную величину 6г2, а второе
неравенство (6,54) на положительную величину (— А13) и сло-
жив их, убеждаемся, что должно выполняться условие:
Ал Л|2
<0-
I
(6,55) •
Итак, при /гп>0 и 622>0 для исчерпания несущей спо-
собности системы должно одновременно выполняться условие
-(6,55), а также неравенства А12<0 и Л21<0.
Напряженное состояние будет неустойчивым, если не
эавпа нулю хотя бы одна из величин:
с (° afl ajs)-
(6,56)
Если в предельном состоянии находятся два элемента, то
легко выявить условия исчерпания несущей способности кон-
струкций, не зависящие от ее упругих свойств, в
двух частных случаях, а именно: для системы с одной лиш-
ней неизвестной, когда в предельном состоянии находятся
псевдопластические элементы, а также для системы с любым
числом лишних неизвестных, если в предельном состоянии
находятся только пластические элементы.
При - одной лишней неизвестной Xi определитель (6,55),
как легко видеть, подставив в него значения kmn из (6,48), об-
ращается тождественно в нуль, поэтому остается проверить
условия &12<0 и &21<0, которые можно переписать в такой
<форме *:
И 612 « п <0.
Если элементы 1 и 2 пластические, то
г а2
(6,57)
7=1
'Поэтому определитель (6,55) равен:
(6,58)
1 При помощи этих неравенств обнаруживается, что несущая способ-
ность рассмотренного выше пятиклинного свода не исчерпывается в точке
пересечения прямых 1 — 1 «3-3 (рис. 104).
14*
211
но согласно неравенству Шварца правая часть (6,58) всегда
больше или равна нулю, причем она обращается в нуль тогда
и только тогда, если для всех j
0/2 = С-а]1г (6,59)
где С — постоянная, не зависящая от j.
Из (6,57) и (6,59) вытекает, что постоянная С должна
иметь тот же знак, как и коэфициенты А12=Л21. А так как
эти коэфициенты должны быть отрицательными, то и С<0.
Итак, исчерпание несущей способности системы, у кото-
рой в предельном состоянии находятся два пластических:
элемента, может произойти только при соблюдении условий
(6,59), где С—отрицательное число. Подставляя в неравенства
(6,54) значения knm из (6,57) и пользуясь равенством (6,59),
г а2
находим, сократив на положительную величину :
C(8£,14-C«£,2)<0. J <6’60>
При C<^Q второе условие не противоречит первому
только в том случае, если (6,60) представляют собой равен-
ства. Поэтому, когда оба элемента, находящиеся в предель-
ном состоянии, пластические, их переход к недопустимым
напряженным состояниям невозможен.
Из 5Е'1-4-С8£’2 = Ои (6,59) следует, что даже при исчерпа-
нии несущей способности величины согласно (6,55) ока-
зываются равными нулю, а следовательно, напряженное со-
стояние системы, у которой в предельном coctohhi и нахо-
дятся два пластических элемента, всегда устойчиво.
Мы не будем продолжать в общем виде исследования
устойчивости напряженного состояния и условий исчерпания
несущей способности систем в случаях, когда в предельном
состоянии находится более двух элементов, а ограничимся
доказательством следующей теоремы:
Если все элементы, находящиеся в предель-
ном состоянии, пластические, то напряженное
состояние системы всегда устойчиво независи-
мо от того, исчерпывается ли илине исчерпы-
вается при этом несущая способность конструк-
ции, а также независимо от того, будет ли в пре-
дельном состоянии конечное число или беско-
нечное множество элементов.
Для доказательства прежде всего покажем, что в случае
пластических элементов величины kmn представляют собой
реакции1, а именно kmn есть взятая с обратным знаком обоб-
1 Как и прежде, можно было бы спадать, что это—производная от ре-
акции по величине Еп.
212
;енная сила, соответствующая виду деформации, который
оетерпевает /n-й элемент при деформации n-го элемента
£„=1. Действительно, как показано выше, ajm есть переме-
щение по направлению неизвестной Х} в основной статически
определимой системе, вызванное деформацией Ет = 1. Одно-
временно а)т есть вызванная силой Xj = 1 обобщенная сила в
элементе т, отвечающая тому виду деформации, который пре-
терпевает пг-й элемент. Аналогичное значение по отношению
к деформации n-го элемента имеет величина ajn. Величины
---представляют собой значения лишних неизвестных,
вызванные деформацией Еп=1, а величина — У,—-1:*7 — есть
/=1 77
обобщенная сила, соответствующая рассматриваемой дефор-
мации /n-го элемента под влиянием Еп—1. Величина kmn от-
Рис. 105
личается от усилия в т-м элементе только знаком, а следова-
тельно, представляет собой реакцию т-го элемента при Е — 1.
Так, для двухпролетной неразрезной балки (рис- 105) рас-
смотрим удлинения опорных стержней А и В как деформации
элементов системы в предельном состоянии. В основной си-
стеме, когда стержень А удлиняется на единицу, происходит
по направлению лишней неизвестной А\ перемещение a,A>0,
а когда стержень В удлиняется на единицу, то по направле-
нию Л* происходит перемещение Вследствие пласти-
ческого удлинения стержня В на единицу {Ев = 1) лишняя
неизвестная равна X, —--усилие в стержне А равно
—EisEia_ _ Стержень А сжимается. Его реакция на балку
равна •+• а1Вс^А
Отметим, что при псевдопластических элементах величи-
вы kmn не являются реакциями, а имеют более сложный смысл,
213
поскольку они зависят и от правых частей предельных усло-
вий, записанных в форме (6,4).
Так как для пластических элементов, находящихся в пре-
дельном состоянии, величины kmn представляют собой реак-
ции, отвечающие единичным деформациями, .о очевидна их
симметрия по отношению к индексам. Так же ясно, что ли-
нейное выражение, стоящее в правой части (6,46), представ-
ляет собой реакцию n-го элемента, вызванную одновременны-
ми деформациями ЪЕХУ8f2>... $Ет,... ЪЕт... а произведение-
^knl + t>E2kn2 +... -f- t>Emk„m + . • • + *Enknn + ... +
о
+ lEqkny = ^ЕпУоЕк„т
I л nq> n t tn ntn
» tn=^l
есть удвоенная величина работы этой реакции. Сумма анало-
гичных выражений, взятая по всем элементам, находящимся
в предельном состоянии, т. е. квадратичная форма
’ «
Е Ег^Аи. (6-61>
л==1 т—\
есть удвоенное приращение потенциальной энергии системы
при деформации ее элементов ЪЕ1уЪЕ2,... ,^Ет,ЪЕп,... ,8£,;. Эта
величина не может быть отрицательной и обращается в нуль
только в том случае, если данное сочетание деформаций не
вызывает в системе изменения упругих сил. Последнее воз-
можно только при условии, что в основной статически опре-
делимой системе рассматриваемое сочетание деформаций дает
по направлению всех неизвестных перемещения, равные ну-
лю, т. е.
<7
Е5^^0 <6’62>
т—'
при любом j от 7=1 до j=r.
Такое сочетание деформаций элементов, находящихся в
предельном состоянии, не противоречит связям статически
неопределимой системы и может возрастать, не сопровожда-
ясь изменением упругих деформаций. Очевидно, случай, ког-
да квадратическая форма (6,61) обращается в нуль, отвечает
цсчерпанию несущей способности системы.
На рис. 106 в качестве иллюстрации показаны некоторые
сочетания углов перелома оси неразрезной балки, которые
могут отвечать образованию в местах перелома пластических
шарниров. Выбрав в качестве неизвестных такие линейно не-»
зависимые группы опорных реакций, которые приводят к
ортогональной системе уравнений перемещений (т. е. к урдрп
нениям, в которых все побочные коэфициенты равны вулю)„
2i;
мы можем для неразрезной балки пользоваться выведенным,и
выше формулами. Сочетания углов перелома оси на рис, 106
выбраны так, чтобы перемещения по направлению лишних
неизвестных были равны нулю. Эти сочетания деформаций,
следовательно, не вызывают никаких усилий в статически не-
определимой системе, что выражается равенством нулю квад-
ратичной формы (6,61). Ломаные линии рис. 106 принадлежат
к числу возможных схем разрушения неразрезной балки-
Выяснив физический смысл квадратичной формы и ее
К'-эфициентов kmny легко доказать, что неустойчиво^ напря-
женное состояние системы невозможно, если в предельном
состоянии находятся только пластические элементы.
Проведем доказательство методом полной индукции, на-
помнив, что для одного и двух пластических элементов не-
возможность неустойчивых напряженных состояний уже была
доказана.
Итак, пусть неустойчивые напряженные состояния невоз-
можны, когда в предельном состоянии находится q — 1 пла-
стических элементов. Покажем, что это справедливо и в том
случае, когда в предельном состоянии находятся q пластиче-
ких элементов.
Если напряженное состояние системы неустойчиво, то
необходимо, чтобы для каждого из q элементов .выполнялось
неравенство:
Q
= (6,63)
Действительно, если хотя бы для одного m-го из числа q
элементов условие (6,63) нарушено, то 8/?т>0 и этот элемент
выходит из предельного состояния. В таком случае в предель-
ном состоянии остается (у — 1) элементов, а для них по предпо-
ложению напряженное состояние устойчиво.
Если неравенства (6,63) имеют место для всех q элемен-
тов, то умножив каждое неравенство на соответствующую
величину ЪЕ (например, т-е неравенство на оЕт) и сложив
все неравенства, мы должны были бы иметь:
<7 ч
, 7П=1 Л=1
Однако квадратичная форма, стоящая в левой части нера-
венства, как выше доказано, не отрицательна, а если обра-
щается в нуль, то только в тех флучаях, когда при любом /
обращается в нуль величина: '
ч - -
?15
что согласно (6,37) характеризует устойчивое напряженное
состояние.
Итак, теорема доказана для случая, когда множество
элементов, находящихся в предельном состоянии, счетное.
Предположим теперь, что в предельном состоянии на-
ходится бесконечное множество пластических элементов,
образующих в конструкции одну или несколько областей.
Совокупность областей, в которых элементы находятся
в предельном состоянии, назовем пластической зоной кон-
струкции. Будем считать, что для каждой точки пластиче-
ской зоны, положение которой определяется вектором
и, известен вид деформации e'(w)1, отвечающий напряженно-
му состоянию в этой точке, и что вид деформации есть
непрерывная функция от и. Принципиально возможно, по-
лагая конструкцию упругой, определить функцию влияния
(функцию Грина) К (и, v), где и и v— векторы, определяющие
положение двух точек пластической зоны, а К (и, <v) есть вы-
званная единичной деформацией е' (г>) реакция в точке, оп-
ределяемой вектором и, т. е. взятая с обратным знаком обоб-
щенная сила, совершающая работу на деформации е' (и).
Предположим, что по всей пластической зоне происходит
приращение деформаций предельного состояния. Величину
приращения деформации как функцию положения точки в
пластической зоне обозначим через 5ZT (w). Тогда вызванная
приращением деформации реакция в точке, положение кото-
рой определяется вектором и, будет равна:
5/?(и) == ['lE (ф) K(u, v) dw, (6,65)
S
где dto — элемент объема конструкции, ай обозначает пласти-
ческую зону. Во всей пластической зоне или в некоторых ее
частях реакция может оказаться положительной. Это значит,
что соответствующие элементы конструкции перейдут из
предельного состояния в соседнее допустимое состояние и
рост деформаций в них прекратится. Исчерпание несущей
способности конструкции может произойти только в том слу-
чае, если существует зона 2', во всех точках которой реак-
ции равны нулю или отрицательны, т. е.
8/?' (и) — fib (») К (и, v) dm < 0. (6,66)
9'
1 е' (и) обозначает здесь совокупность компонент единичной деформа-
ции, т. е. (и), е.г (и).ер (и).
216
Умножив реакцию в точке, определяемой вектором и на
ЛЕ (и) и интегрируя по всей зоне Q', находим удвоенное при-
ащение потенциальной энергии:
J fiE (й) ЬЕ (v) К (и, v) do> da. (6,67)
o' а'
Величина эта по смыслу не может быть отрицательной, а
так как ££'(«)> О ва Q', то приращение потенциальной энер-
гии может обратится в нуль только при условии, что 8/?' (w) =
= 0 на Q', т. е. что напряженное состояние всех элементов,
в которых происходит нарастание деформаций, не меняется.
Следовательно, и для конструкции, обладающей пластической
зоной, неустойчивое напряженное состояние не может иметь
места.
Резюмируем теперь основные результаты этого пун-
кта.
Для статически неопределимых систем, к которым при-
меним метод предельного равновесия, исчерпание несущей
способности может вообще происходить двояким путем:
1- При неустойчивом напряженном состоянии, когда нара-
стание перемещений при неизменной величине нагрузки
осуществляется не только за счет деформаций элементов, на-
ходящихся в предельном состоянии, но также и за счет упру-
гих деформаций, обусловленных изменением напряженного
состояния системы. Рост перемещения оказался бы в этом
случае невозможным, если пренебречь упругими деформа-
циями.
2. При устойчивом напряженном состоянии, когда нара-
стание перемещений осуществляется только за счет дефор-
маций элементов, находящихся в предельном состоянии. При
этом напряженное состояние системы не меняется и части
системы, в которых предельное состояние не имеет места,
сохраняют неизменную форму, а потому могут рассматриваться
как абсолютно жесткие. Это возможно только при усло-
вии, что расположение элементов, находящихся в предельном
состоянии, виды деформаций, которые эти элементы претер-
певают, а также соотношения между величинами деформаций
различных элементов таковы, что эти деформации не проти-
воречат связям системы. Состояния деформаций системы, удов-
летворяющие этому последнему условию, мы назовем кине-
матически возможными.
Система, у которой все ее собственные элементы пла-
стические, не может оказаться в неустойчивом напряженном
состоянии. Поэтому исчерпанию ее несущей способности
всегда отвечает некоторое кинематически возможное со-
стояние.
217
•. 8. Внутренний предел несущей способности для систем,
у которых все элементы пластические’
Пусть все собственные элементы статически неопредели-
мой системы пластические. Если в системе есть части леев-
(допластические или хрупкие, то должно быть заведомо изве-
стно. что их предельное состояние не может быть достигнх о
ни при каких учитываемых сочетаниях нагрузки и внутренних
. напряжений, так что при определении несущей способности
надо считаться только с предельным состоянием пластичес-
ких элементов системы.
Выберем теперь конечное число, а если это потребуется,
то и бесконечное множество элементов системы и для каж-
дого из них зададимся видом деформации, возможным в его
предельном состоянии. Выбор элементов, видов деформаций
и соотношения величин деформаций подчиним условию сов-
местности их в рассматриваемой системе, т. е. потребуем,
чтобы они не противоречили связи элементов между собой
И внешним закреплениям системы. Иными словами, рассмот-
рим какое-либо кинематически возможное состояние системы.
В остальном характер деформаций мы ничем не ограничива-
ем, в частности, не будем пока ставить вопроса о том, нахо-
дятся ли деформирующиеся элементы в напряженном состо-
янии, отвечающем принятому виду их деформации, и удов-
летворяет ли напряженное состояние недеформирующихся
элементов соответствующим предельным неравенствам. Од-
нако, рассмотрев всевозможные состояния деформаций, сов-
местные в системе, мы найдем среди них и такие, которые
не будут противоречить ни условиям статики, ни предельным
условиям, т. е. будут и статически возможными состояниями2.
Выбрав какое-либо кинематически возможное состояние,
дадим системе соответствующее этому состоянию бесконечно
малое перемещение. Пусть временной нагрузке данной кон-
фигурации при этом соответствует обобщенное перемещение
'S/р, а постоянной нагрузке, конфигурация которой также из-
вестна, — обобщенное перемещение 8/g. Величину соответ-
ствующей деформации какого-нибудь элемента т системы
обозначим через
Разделим все кинематически возможные состояния на
трц класса в зависимости от знака к классу ноль (0)
отнесем состояния, для которых о/р = и, к классу плюс (+)
1 В основном содержание этого пункта было доложено нами конферен-
ции по пластическим деформациям в 1936 г. См. „Труды конференции", изд.
1938 г.
; 2 Это вытекает из того, что для систем, у которых все собственные
.элементы пластические, напряженное состояние при исчерпании несущей,
способности всегда устойчиво, а потому кинематически возможное состоя-
'йие, отвечающее исчерпанию несущей способности, должно быть также н
статически возможным. >. >
‘218
•е, для которых 8/р>0, и к классу минус(—)—состояния, где
<0.
Вопрос об определении пределов несущей способности
меет смысл только тогда, когда исчерпание несущей спо-
.обности зависит от величины временной нагпузки. Если же
есущая способность конструкции исчерпывается под влия-i
пнем постоянной нагрузки, какое бы значение временная на-
грузка ни принимала, т. е. когда при данной конфигурации
временной нагрузки нельзя подобрать ее величину таким об-
разом, чтобы удержать систему от потери несущей способ-
ности, то вопрос о пределах несущей способности сам собой'
отпадает.
Чтобы выявить этот случай, рассмотрим кинематически
возможное состояние класса нуль, как состояние перемещении
системы и составим выражение работы постоянной нагрузки,
а также выражение работы, затрачиваемой на деформацию
элементов, находящихся в предельном состоянии.
Работа постоянной нагрузки равна:
%
где G — величина этой нагрузки.
Работа, затрачиваемая на деформацию элементов конст-
рукции, равна:
(6,68)
где первая сумма распространяется на все элементы системы,
находящиеся в предельном состоянии, а вторая — на все
обобщенные силы, которыми определяется напряженное со?
стояние элемента.
Через обозначена Z-я составляющая единичной де-
формации m-го элемента для того вида деформации, которую
m-й элемент претерпевает в данном кинематически возмож-
ном состоянии, s есть обобщенная сила, совершающая ра-
боту на деформации е($. . >
Так как все деформирующиеся элементы по предположе-
нию пластические, выражение (6,68) имеет для каждого воз-
можного перемещения системы вполне определенную вели-
чину. Действительно, для пластического элемента 1 ZsCg"> effl,
т. е. работа, затрачиваемая на его единичную деформацию дан-
ного вида, есть величина определенная. Определенную величину
представляет также затрата работы jia данную (не единичную)
деформацию каждого элемента, а следовательно, и сумма
работ для всех деформирующихся элементов. Заметим, что
если бы речь шла о псевдопластических элементах, то при
данном виде деформации работа зависела бы еще и от фак-
тического напряженного состояний системы,
Если среди кинематически возможных состояний нулевого
класса найдется такое, для которого
Glfg>^Em^^\
то несущая способность системы под данной нагрузкой неиз-
бежно окажется исчерпанной, какова бы ни была величина
временной нагрузки.
В рассматриваемом случае, очевидно, не существует та-
кой интенсивности А5* временной нагрузки, при которой мож-
но было бы удовлетворить условиям равновесия и предель-
ным условиям для всех элементов системы.
Вопрос о пределах несущей способности системы при
действии временной нагрузки имеет смысл только в том слу-
чае, если для всех кинематически возможных состояний
класса нуль соблюдается неравенство:
Glfg<^Em^^\ (6,69)
Если неравенство (6,69) соблюдается для всех возможных
перемещений класса нуль, найдется величина временной на-
грузки, при которой несущая способность системы не будет
исчерпана, а потому существует интенсивность Ps^ временной
нагрузки, при которой удовлетворяются предельные условия
и условия равновесия для всех элементов, а следовательно,
-существуют также величины нагрузок Р(£’ах и /^in-
Пусть условие (6,69) соблюдается для всех возможных
перемещений класса нуль. Рассмотрим какое-нибудь из воз-
можных перемещений класса плюс и приравняем работу
внешних сил на этом перемещении затрате работы на дефор-
мацию элементов системы:
Р<+)8/р + 0Zfg = S 8E„SS(-> (6,70)
«где — величина временной нагрузки.
При помощи равенства (6,70) можно установить соответ-
ствие между выбранным нами кинематически возможным
состоянием класса плюс и величиной нагрузки Р<+\
Запишем также уравнение виртуальных работ на тех же
возможных перемещениях для сил, отвечающих той же кон-
фигурации нагрузок при величине временной нагрузки
W + = S 6Ет^ е'”\ (6,71)
где s'm> — компоненты напряженного состояния т-го элемента,
отвечающие состоянию Р(^ах-
Вычитая (6,71) из (6,70), находим:
= (Ss-'e-) -2Sm’^)). (6,72)
220
Согласно (6,25) для пластического элемента работ, затра-
чиваемая на его единичную деформацию, не меньше вирту-
альной работы компонент любого допустимого напряженного
состояния на той же единичной деформации. Следовательно,
разность
24о1)его) — ^т)е<0)
для всех деформирующихся элементов не отрицательна. А так
как, кроме того, все 8Рт>0 и 8/р>0, то из (6,72) вытекает
неравенство:
(6,73)
Рассмотрим теперь какое-либо из возможных перемещений
класса минус и составим уравнение работ:
Л-)8/р + = 2 (6,74)
а также уравнение виртуальных работ на тех же перемеще-
ниях для той же конфигурации нагрузок при величине вре-
менной нагрузки Р$п:
+ G5A = е^. (6,75)
Вычитая (6,75) из (6,74), получим:
(М-) - ) 5Д = 28 Em (2< в'** - (6,76)
Рассуждая так же, как и для класса плюс, но имея в ви-
ду, что теперь 8/р<0, придем к неравенству
(6,77)
Итак, какие бы кинематически возможные состояния
классов плюс и минус мы ни рассматривали, соответствующие
им значения временной нагрузки не могут лежать в интервале
(P*$n, ^тах)’ т- е- не МОГУТ удовлетворять условиям:
/>*) р р(’)
min тих*
С другой стороны, согласно п. 7, поскольку все собствен-
ные элементы системы пластические, среди кинематически
возможных состояний должны найтись: состояние, определя-
ющее внутренний верхний предел несущей способности Р*+’п,
а также состояние, определяющее внутренний нижний пре-
дел несущей способности Р<~Н По смыслу внешней и внут-
ренней границы несущей способности должно быть:
Р<‘1П < Р~> и Р+ < Р£’ . (6,78)
Из сопоставления неравенств (6,78) с (6,73) и (6,77) вытекает:
р(-у = p(s\ . рт = />(»). ' (6,79)
max mm’ n in max v ’ '
221
Мы пэишли к существенному выводу: для статичес-
-хи неопределимых систем, все собственные эле-
менты которых пластические, внутренний верх-
ний предел несущей способности совпадает с
внешним верхним пределом несущей способно-
сти, а внутренний нижний предел несущей спо-
собности совпадает с внешним нижним преде-
лом несущей способности.
Мы рассмотрели случай, когда временная нагруз .а зави-
села только от одного параметра. Но, когда нагрузка зависит
от нескольких или многих параметров, можно, задавая зна-
чения некоторых параметров или устанавливая между пара-
метрами то или иное соотношение, разными способами свести
задачу к случаю, когда переменный параметр только один.
Согласно доказанному выше, увеличивая или уменьшая этот
единственный параметр, мы при одном и том же его значении
встретим и внешнюю и внутреннюю границу несущей способ-
ности системы. Поскольку соотношения между параметрами
можно установить произвольно, отсюда вытекает, что для
^систем, у которых все собственные элементы
пластические, внешняя и внутренняя границы
несущей с пособности сливаются между собой.
Я. Разновидности расчета несущей способности конструкций
до методу предельного равновесна и некоторые свойства
систем с пластическими и .нсевдопластическими элементами.
Метод предельного равновесия может быть применен
с наибольшим эффектом к системам, у которых все собствен-
ные элементы пластические. Действительно, в этом случае
все нагрузки делятся только на два класса, и для каждой
данной нагрузки исчерпание несущей способности оказывается
либо невозможным, либо неизбежным.
Если нагрузка дана с точностью до одного параметра,
который можно рассматривать как интенсивность некоторой
•ее части, например, как величину временной нагрузки, то для
определения несущей способности можно указать два доста-
точно общих пути.
Пусть ищется верхний предел несущей способности Рв.
Как было показано выше:
рв = Р^ — Я+>
Поэтому верхний предел несущей способности конструк-
ции, у которой все собственные элементы пластические, можно
определить как максимальную нагрузку, при которой еще
могут быть удовлетворены условия равновесия и предельные
условия для всех элементов. Этот способ разыскания верх-
него предела несущей способности мы назвали статическим.
222
Другой способ Определения Ре состоит в том, что, рас-
сматривая кинематически возможные состояния класса плюс
определяя величину Р(+> из уравнения (6,70), разыскивают
: ^п = Рв. Этот способ расчета назовем кинематическим.
Аналогично, если ищется нижний предел несущей способ-’
ости Рн, его можно определить либо статическим способом,
как Р^\п, либо кинематическим способом, рассматривая кине-
атически возможные состояния класса минус, определяя РН>
•яз уравнения (6,74) и разыскивая, наконец, Р^ = Рн-
Если точное определение Р^’ах и Р<+> или Р£|п и Р^
затруднительно, то возможно приближенное решение, заклю-
чающееся в разыскании достаточно близких друг к другу
значений Р1^ и Р+\ между которыми „зажата" величина Ре,
и достаточно близких друг к другу значений Р^ и Р(—), между
которыми „зажата" величина Ря.
Покажем, что для определения несущей способности ки-
нематическим способом достаточно рассмотреть только кине-
матически возможные состояния с одной степенью свободы.
Пусть верхний предел несущей способности отвечает ки-
нематически возможному состоянию с несколькими степенями
свободы или с множеством степеней свободы. Тогда возмож-
ные перемещения точек системы можно представить как сум-
му двух составляющих перемещений, одно из которых зависит
от произвольной части степеней свободы, а другое—от осталь-
ных степеней свободы. Каждое из слагающих перемещений
должно принадлежать к классу плюс. Докажем это. Обозна-
чим величину:
Тогда уравнение (6,70) запишется в форме:
P(^fp=W- (6,80)
Аналогично для каждого из слагающих перемещений
Л 2/,=^; P2tf2 = W2. (6,81)
Кроме того
¥1 + = В/р; W2 = W. (6,82)
По предположению 3/р>0. Пусть 8/i>0 и 8/2<С0, тогда
Ра<Р«<Р»<Р1.
Из (6,80) и (6,82):
о(+)= W Fj + iF, г; 8/2
'“1П УР 6/i + e/2~8/f S/i + 8/«\Vi
млн, учитывая (6,81):
= -(6,83)
223
Но по предыдущему Pj—Р2> 0; <0, а следовательнрт
Р (6,84>
что невозможно, так как 8/х^О. >
Итак, оба слагаемые перемещения принадлежат классу
плюс, и следовательно, 3/j>0 и 3/2>0- Допустим теперь,
что Рг ф Р2 и обозначим большее из них через Р2. Тогда
из (6,83) следовало бы неравенство (6,84), что невозможно.
Отсюда вытекает, что Р, = Р2, а в силу (6,83) также
= Л = (6,15)
Если одно из слагающих перемещений будет принадле-
жать к кинематически возможному состоянию с одной сте-
пенью свободы, то согласно (6,85) по нему определится та же
величина верхнего предела несущей способности, как по ис-
ходному кинематически возможному состоянию с большим чис-
лом степеней свободы.
Для случая нижнего предела несущей способности рас-
суждения проводятся аналогично.
Когда в числе собственных элементов системы имеются
псевдопластическне, внешние^ пределы ее несущей способ-
ности могут быть определены тем же путем, как и для си-
стем, у которых все собственные элементы пластические. Что
касается внутренних пределов несущей способности, то для
их нахождения необходимо исследование устойчивости напря-
женного состояния системы. Как указывалось выше, изучение
устойчивости напряженного состояния разработано до конца
только для самых простых систем.
Мы упоминали в главе I о формулировке условий устой-
чивости свода, данной Паукером. Ее можно было бы приме-
нительно к произвольной статически неопределимой системе
пересказать таким образом: если для данной нагрузки суще-
ствует статически возможное состояние системы, т. е. такое,
что ври как-либо подобранных значениях статически неопре-
делимых параметров или при как-либо выбранных статически не-
определимых функциях предельные неравенства для всех эле-
ментов выполняются, то система при действии этой нагрузки
окажется всегда прочной. Нетрудно видеть, что это утвер-
ждение совпадает с так называемым принципом Гиркмана [30],
высказанным, как известно, без какого-либо обоснования. При
каких условиях это утверждение правильно? Нам теперь легка
ответить на такой вопрос. Оно правильно, если метод пре-
дельного равновесия применим к определению несущей спо-
собности системы и если все элементы системы пластические.
Оно может быть неправильным при наличии псевдопластиче-
ских, а тем более хрупких элементов, а также если дефор-
мации недостаточно малы. В этой связи целесообразно рас-
224
смотреть некоторые примеры пластических элементов в допол-
нение к тем, о которых говорилось выше.
Части стальных конструкций как состоящие из пласти-
ческого материала являются всегда пластическими элементами,
если их деформации малы вплоть до исчерпания несущей спо-
собности системы. Однако требование малости деформаций на-
рушается во всех случаях, когда
деляется потерей устойчивости.
он ре-
несущая способность
Внецрнтренмор растя-
жение; cj^a со сна-
раны Верхней арна-
туры
С 2^.3 W
Рабно, мерное сжатие
U
Внецентренное
Рис. 107
02 4
Железобетонные стержни и плиты с обыкновенной арма-
турой, подвергающиеся изгибу, внецентренному растяжению
или внецентренному сжатию с большим эксцентриситетом,
если их деформации можно считать малыми вплоть до исчер-
пания несущей способности и если они не разрушаются хрупко,
могут рассматриваться как пластические элементы, по край-
ней мере с достаточным приближением. Чтобы иллюстриро-
вать это положение, на рис. 107 граница несущей способности
железобетонного элемента, представленная на рис. 94 главы V,
сопоставлена с видами деформации элемента в предельном
состоянии. Виды деформаций изображены векторами на соот-
ветствующих участках фигуры.
Для пластического элемента, как показано в п. 5 настоя-
щей главы, векторы, изображающие виды деформаций, должны
Сыть направлены по нормали к контуру фигуры. Это условие
строго соблюдается на участках контура СС и С'С', постро-
енных по уравнениям (5,27) и (5,28), в которых бетон не играет
15 Л. А. Гвоздев 2_5
никакой роли. На участках ВВ и В'В', построенных по урав-
нениям (5,25) и (5,26), вид деформации не может быть опре-
делен вполне точно теоретическим путем; для этого нет также
исчерпывающих опытных данных. Однако приняв, что в пре-
дельном состоянии элемента вид его деформации отвечает
вращению сечений вокруг нейтральной оси, определенной
теоретическим путем, как указано в главе V, что. вероятно;
не вполне точно, но едва ли может привести к сколько-нибудь
существенным погрешностям, мы нашли бы для векторов, изо-
бражающих вид деформаций, направления, совпадающие с нор-
малями к граничной кривой. На рис. 107 несколько таких век-
торов показано пунктиром. На прямых АА и Д'Д', построенных
по уравнениям (5,23) и (5,24), что отвечает внецентренному
сжатию второго рода, векторы, изображающие вид деформа-
ций, должны постепенно поворачиваться от направления I
в точке АВ к направлению // в точке, отвечающей разруше-
нию при равномерном сжатии, и, наконец, к направлению Г
в точке А'В'. Таким образом, при внецентренном сжатии вто-
рого рода элемент железобетонной конструкции нельзя'счи-
тать пластическим. Однако в этом случае можно опасаться
и хрупкого разрушения элемента, а потому применение ме-
тода предельного равновесия требует особой осторожности.
В главе IV уже указывалось, что до сих пор нет еще до-
статочных данных для суждения о том, является ли бетон
в обойме пластическим или псевдопластическим элементом.
Каменные конструкции надо, повидимому, считать хруп-
кими при разрушении их элементов от обыкновенного (цен-
трального) или внецентренного сжатия. При разрушении от
растяжении в швах с учетом сцепления раствора с кладкой
элементы каменных конструкций хрупки. Швы кладки, в ко-
торых сцепление не учитывается, могут при их раскрытии от
опрокидывания рассматриваться как „пластические" элементы:
предельное условие Паукера (1,9) можно переписать, пере-
неся все моменты в левую часть, тогда оно представляет со-
бой частный случай условия (6,24), где Ф = 0. Этим удачно
воспользовался М. С. Бернштейн [7] для расчета некоторых
каменных конструкций.
Из других объектов, к которым применяется метод пре-
дельного равновесия, нет еще достаточной ясности в отно-
шении сыпучих сред.
Если принять согласно Кулону, что в предельном состо-
янии одна часть сыпучего тела скользит по другой, как твер-
дое це.' оз, то сыпучее тело псевдопластично, как и пара клинь-
ев свода. Если же рассматривать сыпучее как среду, для
каждого элемента которой возможно предельное состояние,
определяемое предельными условиями, то для суждения о том,
является ли сыпучая среда в применяемом нами смысле слова
пластической или псевдопластической, необходимо сопоста-
226 л
условиям должны
вить предельные условия с кинематическими свойствами сы-
пучей среды, т. е. с видами деформации, которым предельные
условия соответствуют. Известно, что деформация сыпучей
среды (например, песка) сопровождается увеличением объема
пор, т. е. видимым увеличением объема. Мы не располагаем,
однако, достаточно полными характеристиками деформаций
сыпучих сред. Нетрудно выяснить, каю
удовлетворять виды деформаций сыпу-
чей среды, чтобы элемент ее объема
был пластическим. Предельное условие
для сыпучей среды, выраженное через
главные напряжения, имеет вид [75]:
(°i - °з) + (°1 + Зз) sin ? < 2k cos р,*
где k — коэфициент сцепления;
р —угол внутреннего трения;
ci и аз — наибольшее и наименьшее нор-
мальное напряжения, причем за
положительное напряжения считаются растягивающие.
Переписав его в форме:
ai С1 + sin Р) — Та (1 — sin р) 2k cos р, (6,86)
легко усмотреть, что это неравенство можно рассматривать
как предельное условие вида (6,4), если только принять, что
£1 _ г1 _ 1 + Sin р
7Г ~ ~ — 1 — ЫД ? ”
Это равенство можно переписать так:
e-L±^ = £’_psinp.
Как видно из круга Мора (рис. 108), это означает, что
при плоской деформации сыпучей среды удлинения равньГ-
нулю по направлениям, образующим с направлением наиболь-
ших напряжений углы-4-^45° , т. е. вдоль линий сколь-
жения.
Итак, элемент сыпучей среды оказывается пластическим,
если при его плоской деформации в предельном состояний
удлинения линий скольжения равны нулю. В частном случае,
когда среда не обладает трением, т. е- когда р = 0, это свой-
ство сохраняется. При коэфициенте сцепления k, равном нулю,
работа, затрачиваемая на деформацию „пластической" сыпучей
среды, как видно из (6,86), становится равной нулю. Модель
сыпучей среды, находящейся в предельном состоянии, в этом
случае очень проста. Ее можно представить как сетку же-
стких стержней, направленных по линиям скольжения и со-
единенных друг с другом в узлах идеальными шарнирами,
15*
227
допускающими однако поворот только в одну сторону, а и.че ото
так, чтобы углы параллелограмов сетки приближались к пря-
мым. Вес среды следует при этом представлять силами, рас-
положенными в узлах сетки.
Опытное выяснение кинематических свойств сыпучих сред
имеет большое значение, и результаты опытов должны опре-
делить наше отношение к расчетам сыпучих сред, выполнен-
ным статическим способом.
Эти замечания относятся только к малым деформациям
сыпучих сред. Если же приходится считаться с значительными
деформациями, а тем более и истечением сыпучих сред, как,
например, для зерна, цемента и т. п„ хранимых в силосах,
то явления, как показали исследования С. Г. Тахтымышева
[77] и М. С. Бернштейна [7], чрезвычайно осложняются.
В заключение этой главы остановимся на вопросе, имею-
щем большое значение для метода предельного равновесия,
а именно: влияют ли собственные напряжения (следовательно,
и факторы, их вызывающие, как температура, осадка опор
и т. п.) на несущую способность систем, состоящих из не-
хрупких элементов. Мы так определили внутренюю и внеш-
нюю границы несущей способности (независимо от того, сли-
ваются они между собой или нет), что уже предусмотрели
возможное влияние собственных напряжений. В расчетах, при
помощи которых эти границы определяются, фактически воз-
никающие в системе собственные напряжения не находят
никакого отражения. Поэтому можно утверждать, что пока
метод предельного равновесия остается в си-
ле, границы несущей способности совершенно не зависят
от фактически возникающих собственных напряжений, а сле-
довательно, и от таких факторов, как температурные дефор-
мации, смещения опор и т. д. С другой стороны, факторы
эти, действуя при нагрузке, лежащей между внутренними
пределами несущей способности, могут довести некоторые
элементы до предельного состояния, но поскольку внутрен-
ние пределы несущей способности не достигнуты, напряжен-
ные состояния систем будут устойчивы. Они будут, однако,
сопровождаться некоторыми деформациями элементов в пре-
дельном состоянии. Если величину воздействий, вызывающих
собственные напряжения системы, например, смещений опор,
ничем не ограничивать, то устойчивое напряженное состояние
может сопровождаться очень большими деформациями эле-
ментов и большими перемещениями системы, так что одна
из предпосылок метода предельного равновесия может быть
нарушена. Если в числе элементов есть такие, которые в
предельном состоянии деформируются сначала при неубываю-
щих, а затем при убывающих усилиях и если при отсутствии
осадки опор или иных аналогичных факторов мы могли от-
нести эти элементы к нехрупким, то может случиться, ч о
228
з результате осадок опор элементы эти придется уже считать
хрупкими, а при этом, как мы видели, метод предельного
равновесий становится неприменимым для статически неопре-
делимых систем. Наконец собственные напряжения, которые
могли бы повлиять на предельные условия элементов, так же
сделали бы невозможным применение метода предельного
равновесия.
Следовательно, вывод таков: собственные напряжения мо-
гут при известных условиях привести к нарушению предпо-
сылок метода предельного равновесия. Тогда этим методом
нельзя пользоваться. Если же метод предельного равновесия
можно применить, то собственные напряжения не влияют на
внутренний и на внешний предел несущей способности кон-
струкции.
ГЛАВА VII
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ПРЕДЕЛЬНОГО
Равновесия
Основное назначение этой главы—иллюстрировать примерами
расчет конструкций по методу предельного равновесия. Не-
которые из разбираемых в ней вопросов имеют значение
для стальных конструкций, другие — представляют принципи-
альный или теоретический интерес.
Наибольшую практическую ценность имеют приложения
метода к расчету железобетонных конструкций. Их изложе-
нию посвящен второй выпуск книги.
1. Исследование сечений стержнем1
Пусть в поперечном сечении стержня возникают только
нормальные сжимающие и растягивающие напряжения, а на
площадках, параллельных оси стержня, напряжения отсутст-
вуют. При этих условиях для стержня из пластичного мате-
риала можно установить некоторые простые свойства, выяс-
нением которых мы и займемся. Одноосное напряженное со-
стояние волокон стержня возникает, например, если ось стер-
жня прямолинейна, сечение его постоянно, а равнодейству-
ющая сил, приложенных по одну сторону сечения, параллельна
оси или если стержень работает на чистый изгиб.
Элементами стержня являются его волокна. Предельное
условие для каждого волокна запишем в форме:
'С- , )
причем о„ и могут быть функциями положения, волокна в
1 Исследованию косого изгиба были посвящены работы [27] и [47].
229
.поперечном сечении стержня, но не меняются от одного се-
чения к другому. •*
При исчерпании несущей способности стержня напряже-
ния по всему его сечению должны достигать предельных зна-
чений. Это очевидно, когда по всему сечению а = се или с=ви.
Действительно, в первом из этих двух случаев величина про-
дольной силы равна:
- dF, (7,2)
где интеграл берется по всей площади поперечного сечения.
По положению равнодействующая левых сил, совпадает
с равнодействующей предельных напряжений эе. Продольная
сила, определяемая по формуле (7,2), есть верхний предел
несущей способности стержня при данном положении равно-
изгибу отвечают при
действующей, так как вся-
кое изменение напряжен-
ного состояния, согласно
(7,1) и (7,2), может привести
только к уменьшению про-
дольной силы. Аналогично
сила N=fsK dF представ-
ляет собой нижний предел
несущей способности при
том положении равнодей-
ствующей левых сил, ко-
торое соответствует распре-
делению напряжений о=а„.
Докажем, что другим по-
ложениям равнодействую-
щей левых сил или чистому
исчерпании несущей способности на-
пряжения с=се на одной части сечения и о = с„на осталь-
ной части сечения, причем границей между этими двумя
частями сечения служит прямая, которую мы назовем ну-
левой линией. При этом, когда равнодействующая левых сил
не равна нулю, она расположена по ту же сторону от нуле-
вой линии, как и часть сечения, на которой с=се , если
достигается верхний предел несущей способности, а если
достигается нижний предел несущей способности, то равно-
действующая расположена поту же сторону от нулевой линии,
как и часть сечения, на которой а —сн. Начнем со случая,
когда продольная сила не равна нулю и достигнут верхний
предел несущей способности. Поместим начало координат в
точке, где проходит равнодействующая левых сил (точга В
на рис. 109). Ось х направим перпендикулярно нулевой линии
DE так, чтобы ее пересечение с нулевой линией лежало на
положительной-полуоси. Расстояние от нулевой линии до
равнодействующей обозначим через х0.
Уравнение проекций сил на ось стержня при принятом
выше распределении напряжений имеет вид:
(7,3)
J 8 гн
Первый интеграл берется по всей части сечения, где с=
= ав, а второй —по остальной части сечения. Уравнение мо-
ментов относительно оси у есть
(7,4)
J xsB dF-\- J xsH dF=Q,
*Fe
Рассмотрим вариацию напряжений, при которой положе-
ние равнодействующей левых сил не меняется. Тогда вариа-
ция продольной силы равна:
(7,5)
2в гн
а так как положение равнодействующей не меняется, то
/ xicdF-\- f xosdF = 0. (7,6)
1 в 1 н
Вариации напряжений на площади Fe по условию (7,1) не
положительны, т. е. сс^О, а на площади FH — не отрицатель-
ны.
Поэтому
(7,7)
в
По теореме о среднем значении можно переписать усло-
вие (7,6) в форме:
хе fcdF-\-xH dF—Q, (7,8)
Fe FH
где
(7,9)
Неравенства (7,7) выражают мысль, что вариация напря-
жений на площади FB может добавить только отрицательную,
а вариация напряжений на площади FH—только положитель-
ную силу. В форме неравенства (7,9) записан очевидный факт,
что равнодействующая -вариаций напряжений на площади F6
имеет меньшее плечо относительно оси у, чем равнодейству-
ющая вариаций напряжений на площади FH, а так как согласно
(7,8) момент этих двух сил относительно оси у должен быть
равен нулю, отсюда вытекает, что по абсолютной величине
вариация сил на площади FB больше вариации сил на
площади FH:
| ladp\> /^dF,
^6 Fн
231
откуда следует согласно (7,5), что при вариации напряжений
продольная сила в сечении может только уменьшиться. Но
верхний предел несущей способности, как было показано в
главе VI, есть наибольшая сила, при которой еще удовле-
творяются условия равновесия и предельные условия. Следо-
вательно, принятое распределение напряжений в сечеции дей-
ствительно отвечает верхнему пределу несущей способности
стержня. Для случая нижнего предела несущей способности
рассуждения совершенно аналогичны.
В случае чистого изгиба совместим ось у с нулевой ли-
нией, а ось х направим в сторону площади Fe. Запишем усло-
вия равновесия:
t
(7,ю)
f а„ dF-j- у dF=0;
'?е. 'FH
xz3 dF—Xjh dF — ГЛ.
При вариации напряжений;
f bdF=0,
‘н
(7,12)
в
а неравенства (7,7) остаются в силе. Вариация изгибающего
момента
8Л1
= (хк — хв
) У tedF,
FH
(ЛЮ)
причем хн, откуда вытекает, что при вариации на-
пряжений момент может только убывать.
Распределение напряжений, к которому мы пришли, ра-
вно как и прямолинейность нулевой линии можно было пред-
I идеть хотя бы по аналогии с изгибом упруго-пластической
балки симметричного сечения, однако из приведеных выше
рассуждений нетрудно получить и более глубокий результат.
Пусть, например, стержень работает на внецентреяное
растяжение. Каждому положению равнодействующей левых
сил на плоскости сечения, определяемому координатами и и v,
должна соответствовать определенная предельная величина
продольной силы.
Следовательно,
N (и, &).
Назовем геометрическое место точек, для которых пре-
дельная продольная сила имеет одну и ту же величину, изо-
сгатической линией. Очевидно, плоскость и, v должна быть
гокрыта замкнутыми изостатическими линиями. Докажем сле-
дующую теорему:
Изостатические линии суть выпуклые кри-
вые, а направление касательной к изостатиче-
ской линии в каждой ее точке параллельнонуле-
вой линии, отвечающей положению равнодейст-
вующей левых сил в этой точке.
Для доказательства теоремы обратим внимание на то, что
равенства (7,5) и (7,6) должны соблюдаться, если равнодей-
ствующая левых сил перемещается параллельно нулевой линии.
Для этого случая действительны также равенство (7,8) и не-
равенства (7,7) и (7,9). Отсюда вытекает, что если равнодей-
ствующая перемещается по прямой АС (рис. 109), проходящей
через точку В и параллельной нулевой линии DE, оторая
отвечает исчерпанию несущей способности стержня при равно-
действующей в точке В, то значение предела несущей спо-
собности N на прямой АС не может быть больше величины
Л в, соответствующей положению равнодействующей в точ-
ке В. Следовательно, прямая АС не пересекает изостатиче-
ской линии, проходящей через точку В. Так как это рассуж-
дение относится к любой точке каждой изостатической линии,
теорема доказана.
Из доказанной теоремы вытекает, что при данном направ-
лении нулевой линии геометрическое место точек, опреде-
ляющих положение равнодействующей левых сил, есть кривая
(изоклина), пересекающая изостатические линии в точках, где
касательные к ним имеют одинаковое направление, парал-
лельное данному направлению нулевой линии (рис. ПО).
Пусть нулевая линия переместится параллельно самой
себе на малое расстояние С точностью до малых высших
порядков
dN — dxbj — (7,14)
i
где интеграл берется по всей длине нулевой линии в пределах
сечения (рис. 109). Из (7,14) следует;
~ = f^-^dy. (7,15)
UXq J
I
Приращения моментов относительно осей х и у равны:
dMy=xodV,
dMx — dx^J" (ув — ан) у dy =
t
— dxQy0 / (зв — a„)dy — ybdN,
(7,16)
233
де
(7,17)
Так как при параллельном перемещении нулевой линии
равнодействующая i еремещается по изоклине, то тангенс угла,
образуемого изоклиной с линией градиента (рис. 109), равен:
dMx _ Jh.
z/ fyly .Xq
(7,18)
Рассмотрим теперь перемещение равнодействующей по
дуге изостатической линии .из точки В в близкую к ней точ-
ку В'. При таком перемеще-
нии равнодействующей нулевая
Рис. по
линия поворачивается на угол dy, равный углу между касатеть-
ными к изостатической линии в точке В и В’ (рис. 111). При-
ращение равнодействующей при этом должно быть равно ну но.
Пусть новая нулевая линия пересекает первоначальную в точ-
ке G с координатой yv Тогда
dN— , (ун —ce) dF -j- J' (ос —i^dr,
Ь E
где первый интеграл берется по площади фигуры DGD', на
которой напряжение ав заменяется напряжением с„, а второй
интеграл — по площади фигуры EGE', на которой напряже-
ние заменяется напряжением ое. Если угол dy достаточно
мал, то с точностью до малых второго порядка:
Ж УЕ
dN~J(s« —ce) (Ji —f ^e—cH)(y—y1)didy =
>'О У'
= d'f (зв — Он) (у— y^dy — 0 (7,19)
:34
или
>'l f (°« —
sH)dy= / (se — ajydy,
а следовательно, У1=УС и определяется по формуле (7,17).
Введя обозначения s—y — у0, запишем приращение мо-
мента относительно оси х
dMx — dy ! (se — сн )z7dz.
i
Длина дуги ВВ' равна с точностью до малых высших,
порядков:
f (Св-Сн)2^
ds= ^ = -J---------, (7,20>
а кривизна изостатической линии в точке В:
Эта формула может оказаться полезной при решении прак-
тических задач.
Когда равнодействующая перемещается по линии гра-
диента на бесконечно малую величину, то нулевая линия
вращается вокруг какой-нибудь точки Н с координатой у2 на
бесконечно малый угол dty. При этом, так как равнодейству-
ющая в направлении оси у не перемещается:
dMx = d\ у"(зв — ак) (у—yjy dy = 0.
Введя снова переменную z вместо у и обозначив у3—y0 = z0,.
находим из (7,22):
J (о« — с«) (~ — (z+у0) dz — 0
или
f — s«) z2dz - (г0 —у0) У (j, — а«) zdz —
I I
— гоУо [ (’«— а«)dz = °-
i
Согласно (7,19) второй интеграл в левой части последнего-
равенства исчезает, а следовательно,
f
----------= Р!, (7,23>
У
L
235
где по аналогии с известными формулам сопротивления мате-
риалов мы назовем величину р радиусом инерции нулевой линии.
Из (7,23) видно, что отрезки z0 и у0 связаны с радиусом инер-
ции р той же зависимостью, как в сопротивлении материалов,
расстояния от центра тяжести сечения до равнодействующей
левых сил и до нулевой .
линии связаны с радиу-
- сом инерции площади се-
чения (рис. 112).
Диференциал нор-
мальной силы при беско-
нечно малом перемеще-
нии равнодействующей
по линии градиента равен:
> j (%в сн) (с z^) clz —
I
?2о J" (°«—^H)dz, (7,24)
i
dMy = X(sdN.
Отсюда величина смещения равнодействующей вдоль линии
градиента:
, dN
-- [\J - хо д ,
а градиент предельной силы:
^=gradJV=-A (7,25)
С другой стороны, разделив обе части равенства (7,24) на
dslt находим:
^ = gradW=-^z./(3.-=.)fc (7,26)
I
Величина есть кривизна линии градиента, которую
обозначим через х1 = ^-. Поэтому из (7,26)
____ 1 _ gradW
zi — йу — г- .
г° J (г« “ с«} dz
I
а принимая во внимание (7,25):
*а=к-=--------------------• (7>27>
*0*0 / (*в — ) dz
236
С другой стороны, формула (7,21) при помощи равенства
(7,23) приводится к виду:
i
Из (7,26 )и (7,27) имеем:
_-g.= -tga. (7,29)
X Д()
Отсюда по радиусу кривизны изостатической линии в ка-
кой-либо точке можно определить радиус кривизны линии
градиента, проходящей через ту же точку (рис. 112). Если
касательная к изоклине совпадает с касательной к линии
градиента, то tga = O. При этом, если кривизна изостатиче-
ской линии конечна, то кривизна линии градиента равна
нулю.
Применим выведенные выше зависимости к исследованию
некоторых сечений.
Круглое сечение при св = аг и s„ = — cr; ar= const.
Если нулевая линия отсекает сегмент, которому соответствует
центральный угол 2<? (рис. 113, а), то площадь этого сегмента
равна г2 (ср — sin <р cos ср).
При этом продольная сила в сечении:
[-г2 — 2г2 (ср — sin с? cos cp)]=arr2 [-—2 (<р—sin ® cos ср)]. (7,30)
Для определения соответствующего положения равно-
действующей можно определить изгибающий момент, который
равен пределу текучести ат, умноженному на удвоенный ста-
тический момент площади сегмента JDEJ относительно оси KL,
параллельной DE и проходящей через центр круга.
Удобнее определить положение равнодействующей, вос-
пользовавшись формулой (7,21). Для круглого сечения изо-
статические линии представляют собой концентрические
окружности; для каждой из них радиус кривизны равен
237
эксцентриситету приложения силы е. Формула (7,21) запишется
поэтому так;
(7,31)
Обозначая длину хорды АС через / = 2rsin?, имеем:
У* z2dz = = -|- г’ sin3 <?. (7,32)
i
Из (7,31) и (7,32):
-о-атГ3 Sin^s (/,34)
О
N
«ли
М = Ne — 4 втг3 sin3 ®. (7,35)
Формулы (7,30) и (7,34) или (7,30) и (7,35) полностью опре-
деляют сопротивление круглого сече шя при действии момента
и продольной силы. Введя обозначение ? = cos®, где р — дотя
радиуса, отсекаемая нулевой линией, можно переписать выра-
жения для предельной продольной силы и изгибающего мо-
мента в форме:
з [т: — 2 (arccos р — ₽у/1 — t52)] 1
лг=4^г3(1 “ ?2)’г- (7,36)
Эллиптическое сечение
При аффинном преобразовании плоскости1 круг переходит
в эллипс, хорда DE — в хорду D'E' (рис. 113), а диаметр,
перпендикулярный хорде DE,— в диаметр, сопряженный
хорде D'E'-, площадь сегмента D' E'J' в преобразованном сече-
нии составляет ту же долю от всего сечения, как площадь
•сегмента DEJ в первоначальном сечении, а координаты центра
тяжести сегмента D'E J' представляют собой подвергнутые
•аффинному преобразовани о координаты центра тяжести сег-
мента DEJ. Поэтому положение равнодействующей, отвечаю-
щее данному положению нулевой линии D'E' в эллиптическом
сечении, получается из положения равнодействующей в круг-
лом сечении, отвечающего нулевой линии DE, путем того же
аффинного преобразования. Отсюда следует, что для эллип-
1 Аффинным называется преобразование плоскости, при котором пре-
образованные координаты связаны с начальными линейной зависимостью.
Плоские фигуры при аффинном преобразовании деформируются путем
неодинакового растяжения по двум взаимно перпендикулярным направле-
ниям.
238
тического сечения изостатические линии суть эллипсы^по-
добные эллипсу, ограничивающему сечение. Если коэфициент
годобия для какой-либо изостатической линии есть а, то
уравнение этой линии можно написать так:
2
I = 1
Mv мх
или, заменив х ; У — > имеем:
= а2№.
(7,37)
\ а
Исходя из формул (7,36), в результате аффинного преоб-
разования находим для эллиптического сечения:
N—aTab [т: — 2 (arccosp — р К1 — р:)]; |
аДГ= — = 4 *таЬ (1 - р2Г=:
где р — радиус-вектор эллипса. Подстановка последнего вы-
ражения в (7,37) дает:
(7,38)
у^(1-^.
(7,39)
Схематизированные сечения
Исследование сечений имеет наибольшее значение для
тонкостенных, а также для составных сечений, широко при-
меняемых в стальных конструкциях. Для таких сечений можно
воспользоваться довольно простыми приближенными выра-
жениями, которые получаются, если толщину t стенок тонко-
стенных сечений считать стремящейся к нулю при сохране-
нии постоянным произведения (с?/) или, если для составных
сечений стягивать площади Т отдельных частей сечения
в точки, полагая постоянными произведения атр.
Тонкостенное кольцевое сечение
Для этого сечения дадим приближенные формулы и огра-
ничимся рассмотрением случая, когда нулевая линия пере-
секает внутреннюю полость. Обозначив через г средний
радиус кольца (рис. 114), через t— толщину стенки и через
Ф—.половину центрального угла, стягиваемого нулевой линией,
имеем длину дуги 2шг и приближенное выражение площади
части сечения, отсекаемой нулевой линией, 2'^rt. Отсюда
N = 2rtzT(- — 2<?). (7,40)
Отрезок нулевой линии в пределах одной стенки приб-
t ГТ
лиженно равен $—— . Приближенное значение интеграла:
/" Cdz (г sin с)- = 2tr- sin ?.
J SID f ' т/
239
Рассуждая так же, как для круглого сечения, находим:
1 ________________________ЛГ_
е 2 sr2Z/-2 sin ч •
откуда
М = Ne = 4s^r2 sin <?. (7,41>
Наибольшее значение продольной силы равно No —
= 2^гЬт, а наибольшее значение момента Мо ~ 4tr^T. Введя
величину ®, находим простую зависимость:
m = sin^=^-. (7,42)
Сечение, состоящее из двух параллельных полос одинаковой;
толщины, и ширины (рис. 115)
В первом приближении это сечение можно рассматривать
как очень схематизированный двутавр. Нулевая линия может
занимать следующие характерные положения:
1) проходить вне сечения,
2) проходить между полками,
3) пересекать обе полки,
4) совпадать с одной из полок,
5) пересекать одну полку.
Обозначив ширину полок через Ь, их толщину — через tr
расстояние между центрами тяжести полок — через h и пре-
дел текучести—через о г, имеем в случае, когда в предель-
ном состоянии напряжение по всему сечению имеет один
знак (центральное приложение силы):
N=N0 = 2btsr. (7,43).
Когда нулевая линия проходит между полками;
Л7=0; /Иу = 0; M^ = bthar. (7,44}
240
Для случая, когда нулевая линия пересекает' обе прлки,
рассмотрим сначала простейшее ее расположение, т.! е. пер-
пендикулярное полкам. Если нулевая линия при этом отсе-
кает от каждой полки отрезок длиной с, то
N = 2bter — 4ch т; С = -2— ; (7,45)
М'у — 4Ьзтс = 2txsTc{Ь—с). (7,46)
Наибольшее возможное значение момента относительно
оси у получается из (7,46), когда с — . Оно равно:
(7,47)
Подставив значение с из (7,45) в (7,46), имеем:
а разделив обе части этого равенства на 74J и обозначив
, м'у N
т==—£ и п — —
У М°у -о’
J .
получаем:
ту=\—п\ (7,48)
Перейдем теперь к общему случаю, когда нулевая линия
образует с перпендикуляром к полкам угол <р. Длина нулезой
линии в пределах толщины одной полки при этом равна
t „ •
. Тогда приближенное значение интеграла:
f#dz = 2 _1_ (_L_Y = Л*
J zcos<p (,2cos<f>7 2cos3<? ’
По формуле (7,21) при ав — аг и ая=—аг кривизна изо-
статической линии:
d<f N _____________N cos3 f
* ds „ Г . th3<sT *
2зу / z3dz ’ Т
l
откуда
— ds cos dy. i (7,49)
cos2<? t№vT ‘ irfaT ।
i
Интегрируя (7,49), находим для изостатической линии: ’
N . f
а так как при <р=0 будет > = 0, то С = 0. - г : {
16 А. А. Гвоздев
Заметив (рис. 115), что tg<?*= — 7 имеем:
I
Л = —7^ у “у Р.50>
И после вторичного интегрирования:
’ ' x==xi_2^”- <7’51>
где хг есть отрезок, отсекаемый изостатической линией на
оси х. Следовательно, когда нулевая линия пересекает сбе
полки, изостатические линии представляют собой параболы..
Помножив обе части (7,51) на N, имеем:
м2
М — М'____—г
У — jviy 2th^T’
а разделив на и обозначив ~^ = тх, получаем:
/Мд.
ту=т'у — т2. (7,52)
При помощи (7,48) равенство (7,52) преобразуется в сле-
дующее простое уравнение:
> ту + ^2х +«2 = 1. (7,53)
Когда нулевая линия совпадает с полкой (нижней), имеем
уравнение моментов относительно оси этой полки:
1 + Y^ = bthaT,
которое, вводя прежние обозначения, преобразуем к видуг
тх-\-п—\. (7,54)
Аналогично выводится зависимость между силами, если,
нулевая линия совпадает с верхней полкой.
Остается рассмотреть случай, когда нулевая линия пере-
секает одну полку. Закрепив точку пересечения нулевой ли-
нии с полкой, будем вращать нулевую линию. Так как тол-
щину полок мы приняли стремящейся к нулю, то при враще-
нии нулевой линии напряженное состояние сечения не будет
меняться до тех пор, пока эта линия не пересечет вторую!
полку или пока она не совпадет с осью полки. Следовательно,
рассматриваемому случаю отвечают не дуги, а точки изо-
статических линий, а сам он является только границей между
рассмотренными выше случаями третьим и четвертым. Когда
-пулевая линия пересекает одну полку, / z2dz стремится к
ч f
нулю, а потому согласно формуле (7,21) кривизна изостати-
242 ~ " . . л а 1
ческих линий стремится к бесконечности. В пределе изоста-
тические линии имеют перелом, когда нулевая линия пере-
секает одну только полку, а величина угла перелома равна
углу, на который можно повернуть нулевую линию, оставаясь
в границах этого случая. Итак, из рассмотренных пяти слу-
чаев главенствующее значение имеют третий и четвертый.
Первому случаю отвечает действие центрально приложенной
силы (п=1; тх = ту = 0),
тельно горизонтальной оси
(п = 0; тх=\\ ту=0), в
третьем случае имеет место
уравнение (7,53), а в чет-
вертом — уравнение (7,54).
Пятый случай — погранич-
ный между третьим и чет-
вертым; для него находим,
исключая п из (7,53) и (7,54):
ту = 2тх(1 -тх). (7,55)
Результат исследования
сечения, состоящего из двух
параллельных тонких палок,
графически представлен на
второму — чистый изгиб относи-
рис. 116. В прямоугольных Рис 11б
осях ту и тх нанесены ли-
нии п — const. Пунктиром показана граница применимости урав-
нений (7,53) и (7,54). В первом квадранте она построена по
уравнению (7,55), а в остальных — дополнена зеркальным ото-
бражением относительно координатных осей. Линии n=const
вблизи оси тх построены по уравнению (7,54), а в остальном—
по уравнению (7,53).
Составное сечение, состоящее из трех одинаковых
профилей, расположенных в вершинах равностороннего
треугольника
Предполагается, что стороны треугольника достаточно
велики по сравнению с размерами профилей, так что можно
считать его приближенно состоящим из трех „точек" (рис. 117).
Обозначим сторону треугольника через а, площадь каждого
профиля — через f и предел текучести материала — через аТ.
Если нулевая линия не пересекает в предельном состоянии
нн одного из профилей, то в каждом из них усилие равно fir
im-fa. Такие напряженные состояния возможны, только
когда равнодействующая приложена в определенных точках
(в общем центре тяжести сечения или в точках А', А" и А"',
образующих вместе с центрами тяжести отдельных профилей
вершины ромбов). Когда нулевая линия пересекает только
16* ‘ 243
ОДИН ИЗ' профилёй, 'ТО в двух других усилия могут быть
(одинакового знака и тогда точка приложения равнодействующей
1тежит на одном из отрезков ОА', О А" или ОА"’. Либо нулевая
(линия пересекает один из профилей, а в двух других знаки
(усилий противоположны, причем, очевидно, точка приложения
(равнодействующей лежит тогда на одном из шести л-'чей
Рис. 117
А'В', А'С', А"В", А" С", А"'В'" или А'" С"'. При всех других
положениях равнодействующей нулевая линия должна пере-
секать два профиля. Так как величина предельной силы в се-
чении должна непрерывно зависеть от координат точки при-
ложения равнодействующей, то достаточно вывести формулу
только для случая, когда нулевая линия пересекает два про-
филя, например, профили 1 и II.
Уравнение моментов относительно нулевой линии I—II
дает:
A'(w-+^=±^alr-
откуда
лг==_±зл1_>
. , 2'/3>
г 1+~а----
i. Это уравнение годно, когда точка приложения равно-
действующей располагается в областях 3 (рис. 117) или на их
241 . .
границе. Если же равнодействующая расположена, в обла-
стях J или 2, то той же формулой можно воспользоваться,
повернув предварительно координатные оси -на 120° в ту или
другую сторону. 4
2. Сопротивление стержней чистому кручению
Предел несущей способности при кручении для- призма-
тического стержня из пластического материала удобно опре-
делить статическим способом, который был применен и в пре-
дыдущем пункте.
Направим ось z параллельно оси стержня и примем, как
обычно при рассмотрении задач о чистом кручении, что на-
пряжения не зависят от координаты z. Тогда уравнения рав-
новесия примут вид:
д^х 1 — л.
дх + Оу ~ и’ ‘ 3
(7,56)
дх ду
дх ' dv )
На боковой поверхности (или на боковых поверхностях,
если сечение стержня ограничено неодносвязным контуром)
нормальные и касательные напряжения должны быть равны
нулю, а на торцах стержня нормальные напряжения должны
давать равную нулю продольную силу и изгибающий момент.
Заметим, что граничные условия и первые два условия равно-
весия будут удовлетворены, если положим ах— ay = sz = ?ху—
= 0. Однако пока мы еще не имеем достаточных оснований,
чтобы считать, что они действительно должны обратиться
в нуль в предельном состоянии.
Что касается третьего уравнения, то оно
ворено, если положим:
____д/(*>')._________d_f(x,j)
xz ду ’ Уг дх ’
будет удовлет-
(7,57)
где /— функция напряжений, которую нам еще предстоит
определить.
Задав или определив функцию /, можно по ней найти
в каждой точке сечения составляющую касательного напря-
жения в любом направлении. Для этого следует направить
ось х' вспомогательной системы координат в направлении,
по которому ищется составляющая касательного напряжения,
д f г--
и найти производную . Если в плоскости сечения нанестц
линии, на которых функция / имеет постоянное значение
/(х,у) = const, то в направлении нормалей к этим линиям,
т. е. вдоль линии градиента составляющая касательного на-
245
пряжения окажется равной нулю. Следовательно, линии f(x,y)=
— const являются траекториями касательных напряжений.
;. Градиент функции напряжений равен полному касатель-
ному напряжению х=у *
На контуре сечения (или на контурах, если сечение не
односвязное) полное касательное напряжение должно быть
направлено по касательной к контуру. Следовательно, контур
(или контуры) сечения являются линиями f(x,y) — const. Так
как напряжения определяются производными от f, то без
ущерба для общности функцию напряжений на наружном
контуре можно положить равной нулю-
Предельное условие запишем в форме:
У »? + ’? + °r + 2'J,+2('% + 'У <“Г
ИЛИ
1
т-4 iwkw (7,58)
Оно выражает мысль, что полное касательное напряжение
не должно превосходить некоторых пределов. Выражение
в квадратной скобке в правой части (7,58) существенно поло-
жительно. Решая задачу о несущей способности, мы должны
разыскать решение задачи, удовлетворяющее условиям равно-
весия и предельным условиям и дающие максимальную вели-
чину нагрузки; а в данной задаче — крутящего момента. Оче-
видно, наибольшее значение крутящего момента можно будет
получить в том случае, если предельное условие будет до-
пускать наиболее высокие значения полного касательного
напряжения. Из (7,58) видно, что это имеет место, когда
о* ~ay~az — xxy—0, что, как отмечалось выше, не противо-
речит условиям равновесия и граничным условиям. Теперь
мы убедились, что при исчерпании несущей способности
в стержне действуют только напряжения и з,г. Предель-
ное условие будет иметь вид:
Итак, нам остается выбрать такую функцию f (х, у), кото-
рая, имея на наружном -контуре сечения значение /=0 (а на
внутренних контурах, если они имеются,—какие-либо посто-
янные значения) идрадиент, нигде не превышающий величины
%г
Уз ’
давала бы максимальное значение крутящего момента.
Установим связь функции напряжений с величиной кру-
тящего момента.
246
Участие элемента площади сечения (оис. 118) в сопротив-
лении крутящему моменту равно: > • 1
Следовательно, крутящий момент:
пли, выразив напряжения через функцию напряжений
помощи (7,57);
при
м,= AdF.
2 J \ду 1 дх J
F
Взятый по площади сечения интеграл:
f f^yd»dx.
представляет собой объем, заключенный между поверхностью
и плоскостью С = 0. Действительно,
df а
есть площадь элементарного прямоугольника abed (рис. 118).
Для другого элемента площади, заштрихованного на чертеже,
аналогичное выражение дает площадь элементарного прямо-
угольника a'b'cd со знаком минус. Для обоих элементов пло-
щади сечения, взятых вместе, имеем элементарный прямо-
угольник abb'а', а по умножении на dx — элемент объема,
заключенного между поверхностью С =/ и плоскосью С = 0.
Интегрирование по площади сечения даст весь этот объем.
которой мц обозначим через V. Такое же значение имеет
и интеграл ~
— xdF.
J дх • Э '
Итак, MZ — 2V, т. е. крутящий момент равен удвоенному
объему, заключенному между поверхностью С =/(х,у) и плос-
костью С = 0.
Мы пришли к наглядной аналогии, установленной
А. Надаи [57]. Функция напряжений, решающая задачу
о пластическом кручении, изображает поверхность, построен-
ную на площади сечения и обладающую следующими свой-
ствами:
1) на наружном контуре/= 0, а на внутренних контурах,
если они имеются, f= const;
2) угол наибольшего ската поверхности не должен пре-
(Су \
grad I ;
/ 3/
3) объем, заключенный между поверхностью f и пло-
скостью сечения, должен быть максимальным.
Этим условиям, очевидно, удовлетворит поверхность ку-
чи песка, насыпанной на площади сечения и обладающей тан-
генсом угла естественного откоса:
G у
tg <р = = тшах.
Благодаря этой аналогии решение задач о пластическом
кручении становится весьма наглядным.
Круглое сечение
Куча песка представляет собой конус с высотой "ШахГ,
где г—радиус круга. Объем кучи 'г2(ттахг) =-:mai
Предельный крутящий момент:
Mz=Tmax -|- кг8.
Кольцевое сечение с наружным радиусом г и внутренним г0
Куча песка — усеченный конус, который равен разности
объемов конусов, построенных на наружном круге и на вну-
тренней полости '
, / . . ( ' = 7t(r8- г03).
248 '
Прямоугольное сечение со сторонами а и b (а^>Ь)
Куча песка подобна четырехткатной кровле (рис. 119).
Высота кончча ттах ~. Объем:
< . ? г *
V—у -у Ь2 + у b {a b) j = Тпих у ;
Жг = тшах ~-^а 0.
Подсчет несущей способности стержней при пластиче-
ском кручении сводится к простым подсчетам объемов куч
Рис. 120
песка. Для квадратного сечения с внецентренно расположен-
ной прямоугольной пустотой схема поверхности напряжений
показана на рис. 120.
3. Предельное состояние стальной трубы под влиянием сил.
действующих по ее концам
Наружная и внутренняя поверхности трубы предполага-
ются ненагруженными. Напряженное состояние определяется-
продольной силой N, крутящим моментом изгибающими
моментами Мх и Му и поперечными силами и Qy.
Толщина стенки трубы t предполагается небольшой по
сравнению с радиусом, поэтому можно с достаточной степенью
точности положить a,s=az=Trt = Trz=0.
Предельное условие для элемента трубы имеет вид:
Силы N, М-, Qr и Qy по длине трубы не меняются, по-
этому опасным будет сечение, в котором геометрическая сум-
ма изгибающих моментов имеет наибольшее значение. Если
поперечные силы не равны нулю, это будет одно из конце-
вых сечений трубы; при отсутствии поперечных сил условия-
во всех поперечных сечениях трубы одинаковы. Предельное
249^
состояние трубы определяется состоянием опасного сечения
ее. Положив для этого сечения:
= а г cos ф И т2( = S|n ф, (7,59)
где ф=ф(?) есть пока неизвестная функция положения точки
в сечении, убеждаемся, что условие текучести удовлетво-
ряется при любом вещественном значении ф. Наша задача
будет состоять в разыскании функции ф(?) в зависимости от
^усилий, действующих в опасном сечении.
Выразим усилия N, Мг, Му, Qx, Мх и Qv через функцию ф:
2я 2«
N= уorcos<|rfrdri==aTtr^yf costprfcp;
о ’ • о
2л 2к
Мг= / ~~Г Sln^tr-d'-f=:-^ tr2 f 81пф(/?;
6 * 3 о
2« 2л
Му = J вгС08ф^Г2С08®</ф = 0г^Г2 У* COS Ф COS erf?;
о о
2- 2к
Qx— / Sin 6tr sin odo—-^~tr Г sinфsin ?rf?;
О о
2я 2к
'Мх~ I orCOS’^r2Sinot/cp = cjrfr2 f COS $ Sin ©d?;
о 6
2тс 2тс
Qy= [ Sin Ф^Г COS ?rfe =-^Г-rfr [' Sin Ф COS erf?.
6 ' ' 0
Эти усилия ^огут достигать наибольшей величины, когда
'каждое из них действует отдельно от остальных. При этом,
как легко видеть:
тахЛ'=Л'':'=сгй'г; maxAf_=2H°=-~- t-r2-.
z /з
max Му =МУ = 4sr tr2\ max Qx = Qx=4 tr\
тахЛ1ж = 7Й° = 4зг^г2; max Q =Q°=4 tr.
V 3
Обозначив:
mz~ Qx Q°x My Mx ; mv = —7-; /77 =—£- ’ y M^ x m\ Qy
250
яаходим:
2* 2*
п == 2л /* C0S 'р ту ~ т f C0S Cos
О о
, 2тс
тх—-^-1" cosO sin corf?;
о
2к 2«
тг J sin ф rf<p; qx—-^-,/*sln sin ?
о о
2w
• qy = ^f sin ф cos <р </<р.
. г /’ 0
(7,60)
Величины п, mz, тх, ту, qx v. q согласно определению
не могут быть больше единицы по абсолютной величине.
Пусть пять из этих усилий заданы и требуется найти, при
каком значении шестого усилия труба достигнет предельного
состояния. Для этого надо найти наибольшее значение шесто-
го усилия при заданных величинах остальных пяти усилий,
т. е. решить задачу на условный экстремум, что сводится
к разысканию безусловного экстремума функционала: ,
4- \4ту + \4тх + \2ктг+K£qx+Х64^=
2гс
•== С[()»! -j-X3 cos © —р X- sin у) cos ф 0'2 sin +
0
+Х6 cos о) sin ф] dv, (7,61)
где Х2, Х3, >4, 1В и Х6 — неопределенные множители, одному
из которых можно дать произвольное значение, а остальные
должны быть определены из условий, что пять усилий имеют
заданные величины.
Необходимое условие экстремума функционала (7,61) най-
дем, взяв частную производную по переменной ф от подин-
тегральной функции и приравняв нулю. Отсюда
tg ф == -±ksin (7 62)
° • М -f- л3 cos ip -f- к5 sin -f ’ ’
Выразив sin<b и cosd> через tg ф и подставив в (7,60), мы
получим уравнения для определения множителей X.
Если множители К выражены через пять данных усилий,
то определится и шестое усилие, а также распределение на-
пряжений по сечению.
Не останавливаясь больше на общем случае, ограничимся
рассмотрением некоторых простейших частных задач.
А. Если все множители X с четными индексами равны ну-
лю, то по (7,62) Б1пф=О, а следовательно, согласно (7,59) в се-
251
чении трубы нет касательных напряжений. При этом крутя-
щий момент и полеречные силы исчезают и задача сводится
к внецентренному растяжению или сжатию. Она уже была ра-
зобрана выше.
Случай, когда множители X с нечетными индексами равны
нулю, не представляет интереса, так как при этом в сечении
трубы нет нормальных напряжений, а при этом оно могло бы
быть опасным сечением только в случае чистого кручения.
Б. Множители Xi и Х2 не равны нулю, а остальные мно-
жители исчезают. В этом случае tg6=const, а следовательно,
нормальные и касательные напряжения по сечению не меня-
ются. Это отвечает действию продольной силы и крутящего
момента. Очевидно, при этом
п2+/л2 = 1.
В. Х1=Х4=ХБ=Хв = 0. В этом случае
„ , ~Ь cos ср , -F- Ло
cos ф — ; sin ф=—7=.---- .
У Xg COS2 у v у cos2 у -J- ^2
Легко видеть, что sin ф имеет одинаковые значения при
аргументах ф, (.— <?), (к — с) и (к-ф-ср); поэтому согласно (7,60)
qx—qy—Q- Величина соэф не меняется при замене ф на—ср,
но меняет знак при замене аргумента о на п — <?, а следова-
тельно, из (7,60) найдем п — 0 и ;пх = 0. Рассматриваемый слу-
чай отвечает кручению совместно с круговым изгибом.
Положив ~ =tg 0, преобразуем выражения для cos ф и Б1пф
к виду:
„„ , + sin б cos ? . , ± cos 6
cos ф — — ; sin ф = - ..... (7,63)
У1 — sin2 б sin2 4 V1 — sin2 S sin2 ?
Из (7,60) находим:
Я
Т
। а п Л1 cos2 ® da .
mv = + sin 0 / -Л—Г-----;
у 1 — sin2 б sin2 ф
2
, 2 с /* do
= — cos 0 / -----------•------.
J У1 — sin2 б Sin2 f
Интеграл в выражении для mz есть полный эллиптический
интеграл первого рода, а интеграл в выражении для ту вы-
ражается через полные эллиптические интегралы первого
и второго рода, для которых имеются таблицы.
Давая параметру 0 различные значения, находим для ту
и тг численные величины. Результат вычислений приведен
в следующей таблице: . .
252
0 0° 15° 30° 45° ео° 75° 90“
ту 0 0,21. 0,41 0,59 0,77 0,92 1
тг 1 0,98 0,93 0,84 0,69 0,46 0
На рис. 121 показано распределение напряжений по по-
ловине сечения трубы при значении параметра 6 = 60°.
Г. Xj = Х2 ^5 ~ *-6 “ О-
В этом случае:
, 4X3C0S? „.„л, + >4 Sin Ф
cos ф = г. ~ ; sln *=,—• <7*64)
у Х3 cos*? -г /4sin2? У Цcos2 ? -f- Х4 sin2 ?
Легко видеть из (7,60), что таким выражениям для соэф
и sin ф отвечают n = mz — mx=qy—0. Следовательно, рас-
сматриваемый случай отвечает изгибу с поперечной силой.
Если Х3 = Х4, то cos ф=±соБ<р и sin ty=±sin<p. Согласно (7,60)
my=±-J- И <7r = ±^-
Если X8>X4, положим
21. — cos 6.
zs
При этом формулы
(7,64) принимают вид:
cos ф = -4--- С0?5. ;
у/1 — sin2 0 sin2 ?
. , , cos 0 sin о
Sin 6=4; -- Y
УI — sin2 6 sin2 ?
Согласно (7,60):
cos®
у У1 — sin2 0 sin2 ?
<7x = ±cosO f_______gfofo___
У Vl — sin2 В sin2 <f>
(7,65)
Эти величины легко вычислить, выразив их через полные
эллиптические интегралы первого и второго рода.
253
Когда Х3<Х4, положим
на ----<р. Тогда выражения
Рис. 122
= cos 0 и заменим аргумент
для mv и qx получаются те же,
что (7,65), но меняются ме-
стами.
В таблице даны величины,
Шу и qx при некоторых зна-
ниях параметра 0, а на рис. 122 показано распределение на-
пряжений по сечению для -^- = 4-, для 4^=1, для -Л=2 и
Ад Z Ад
_ Х3
• ДЛЯ -^=00.
Л4
Для Хз>Х4 Для 0
0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°
ГПу Чх ТС т 0,80 0,81 0,85 0,90 0,95 1,00
Чх ту тс Т 0,78 0,76 0,71 0,63 0,47 0
4. Неразрезные балки и плоские рамы
Для неразрезных балок постоянного сечения, выполнен-
ных из пластического материала, расчет несущей способности
по методу предельного равновесия чрезвычайно прост. Как
показано в главе III, влияние поперечной силы на несущую
способность балок можно оценить, приняв величину предель-
ного момента несколько сниженной и равной М =.Мт—<>т№»
254
Несущую способность балки постоянного сечения при дей-
ствии вертикальной нагрузки, направленной всюду вниз, мож-
но найти, рассматривая загружение каждого пролета в от
дельности и определяя каждый раз интенсивность временной
нагрузки при исчерпании несущей способности, т. е. величину
параметра Pt, которым интенсивность временной нагрузки ха-
рактеризуется, Если, таким образом, для каждого из т про-
летов определены величины параметров Р}, Р2,..., Рт при
загружении только одного пролета, то при загружении не-
скольких пролетов одновременно несущая способность балки
определится наименьшей из величин Рь отвечающих загру-
женным пролетам.
* Обоснование этому мы дадим несколько позже, а пока
рассмотрим какой-либо промежуточный n-й пролет, предпо-
лагая, что остальные пролеты вовсе не загружены ни времен-
ной, ни постоянной нагрузкой. При решении этой задачи
можно сосредоточить внимание на одном только загруженном
пролете. Действительно, в остальных пролетах изгиб возникает
толькочерез посредство опорныхмоментов загруженного проле-
та Хп~ 1 и Хп, и изгибающие моменты незагруженных пролетов
будут не больше, чем эти опорные моменты. Ведь значения,
лишних неизвестных в незагруженных пролетах должны при-
нять такие значения, которые обращают в максимум несущую
способность конструкции. Поскольку же сечение балки посто-
янное, в незагруженных пролетах пластические шарниры не:
образуются.
В загруженном пролете изгибающий момент равен:
М (х) = АР (х)-Х„ _ j 1^-Хп
1п 1п
где Af°(x)— момент в простой балке.
Момент в пролете не должен быть больше предельного
момента М. Очевидно, нагрузка может стать тем больше, чем
больше величина опорных моментов и Х„. Эти моментьг
в свою очередь не могут стать больше, чем Хп — i = Хп =М.
Следовательно, несущая способность пролета определяется
из условия:
7И°(л-)-ЛГ<М или = (7,66).
Предельные моменты достигаются на опорах загружен-
ного пролета и в месте максимума момента для простой балки.
Так как сечение балки постоянное, все три предельных мо-
мента равны друг другу. Расчет балок постоянного сечения
по предельному равновесию называют поэтому расчетом по
выравненным моментам. Если имеется только временная на-
грузка или если место макимума момента в простой балке от
постоянной и от временной нагрузки совпадают, то в равен-
ство (7,66) достаточно подставить величину х, отвечающую
255-
максимуму момента, после чего несущая способность пролета
немедленно определяется. Когда конфигурация постоянной
я временной нагрузки существенно различны, место макси-
мума момента 7И°(х) будет зависеть от величины временной
нагрузки при разрушении и заранее не известно. В таком
случае удобно прибегнуть к кинематическому методу. Схема
разрушения загруженного пролета уже известна с точностью
до одного параметра—положения шарнира в пролете, посколь-
ку наличие пластических шарниров на опорах уже установ-
лено. Обозначив расстояние от левой опоры до пролетного
шарнира через и, составим выражение работы постоянной
и временной нагрузки, а также моментов в пластических шар-
нирах на возможном перемещении, отвечающем схеме разру-
шения. Отсюда интенсивность временной нагрузки определится
как функция положения шарнира в пролете-.
Р=Р(«),
после чего останется только определить минимум величи-
ны Р(и).
Пусть, например, в пролете действует постоянная равно-
мерно распределенная нагрузка g и сосредоточенная времен-
ная в виде груза Р на расстоянии 1п от левой опоры. Про-
летный пластический шарнир может расположиться между
-серединой пролета и грузом или под грузом. Примем и<^
Тогда возможное перемещение представится треуголь-
ником (рис. 123). Масштаб возможного перемещения выби-
раем так, чтобы разность тангенсов наклона частей балки,
примыкающих к пролетному шарниру, была равна единице.
Тогда уравнение работ на возможном перемещении:
—-”~ц)4-Р 4-=2М,
Z 1п о
откуда
и L 2 J
Пусть gl^ = 8M, т. е. постоянная нагрузка исчерпывает
половину несущей способности пролета. Тогда
J___2 (/„-»)
“ %
(7,67)
Р=10Ж
Экстремум выражения в скобках имеет место при и—
= 0,707/ 4-/_. При этом Р=8,28
При значительно меньшей величине постоянной нагрузки-
или если бы груз стоял ближе к середине пролета, пласти-
ческий шарнир оказался бы под грузом. . , 4
256
В некоторых случаях, например, когда временная нагрузка
равномерно распределена на части пролета, разыскание эк-
стремума временной нагрузки как функции положения пла-
стического шарнира оказывается несколько кропотливым. В та-
ких случаях можно найти пластический шарнир путем после-
довательных приближений. Для этого, задав сначала вели-
чину и „на глаз“, подсчитаем по уравнению работ интенсив-
ность временной нагрузки, а зная ее, определим место, где
поперечная сила обратится в нуль, т. е. где момент дости-
гает максимума. Во втором приближении расположим пл’сти-
ческий шарнир в сечении, где при предыдущем приближении
получился максимум момента. Если требуется, можно после
этого найти следующее приближение. ф *
Покажем это на только что разобранном примере. Пред-
положим, что пластический шарнир образовался под грузом.
Тогда п.=0,8/ и из (7,67) /^ = 8,5 ~. Поскольку схема раз-
рушения взята произвольно, несущая способность получалась
несколько преувеличенной. Теперь определим левую реакцию.
Она равна:
+ = (if7-]_4)^=5,7^-
О z I п I п
Поперечная сила равна нулю при х, определяемом из
условия А — gx = 0 или 5,7 ~— 8— J-x = 0, откуда х =
1п
= 0,712/„.
Во втором приближении примем и 2~=0,7\21п. Тогда из (7,67):
Р2 = 8,30 ~.
2 1п
Эта величина только на 1li% отличается от точного зна-
чения. Если бы первоначальное положение пластического шар-
нира было выбрано менее удачно, потребовалось бы может
быть еще одно приближение. Так, например, приняв itt =
= , находим из (7,67):
Р1=10^; А, =6 4- и -/Umax при х=0,751.
1п 1п
Приняв и2 — 0,751п, найдем из (7,67) Р2 = 8,35 у- , чт® дает
погрешность около 1%. Не зная точного значения, мы могли
бы итги дальше и определить:
А = 5,67
Ln
причем /Umax найдется для х = 0,709/„. Ясно, что, взяв и3=
= 0,709/„, мы нашли бы практически точное значение Р.
17 А. А. Гвоздев
257
Если загружен только крайний пролет, то подобными же
рассуждениями легко показать, что опорный момент над пер-
вой промежуточной опорой равен предельному. Тогда для
крайнего пролета останется определить место пластического
шарнира в пролете и несущую способность. - s
Для этого можно опять применить кинематический мёггод;
следует, разумеется, учесть, что на крайней опоре момент
равен нулю.
Если по предыдущему определена несущая способность
балки при загрузке каждого пролета в отдельности и выбрана
наименьшая из возможных интенсивностей временной нагрузки,
то и при одновременном загружении пролетов найденная не-
сущая способность сохранится. Действительно, для опасного
пролета, по которому определилась несущая способность
балки, загружение других пролетов нагрузкой, направленной
в ту же сторону (т. е. вниз), не повысит и не понизит его
несущей способности. Не повысит потому, что опорные мо-
менты не могут стать больше предельных, а не понизит по
той причине, что опорные моменты опасного пролета могут
сохранить предельную величину. Если же это возможно, тО
и должно случиться, поскольку лишние неизвестные должны
принимать значения, обеспечивающие максимум несущей спо-
собности.
Иное положение было бы, если бы в неразрезной балке
одни пролеты загружались нагрузкой, направленной вниз, а
другие —‘нагрузкой, направленной вверх. Тогда при одновре-
менном нагружении пролетов несущая способность могла бы
оказаться меньшей, чем при поочередном загружении про-
летов.
Так, например, для двухпролетной балки с равными про-
летами при загружении первого пролета сплошной равномер-
ной нагрузкой, направленной вниз, мы имели бы несущую
11.67Л1 ™ -
способность р =----р—. Такая же несущая способность по-
лучилась бы при загружении одного второго пролета нагруз-
кой, направленной снизу вверх.
При загружении обоих пролетов нагрузка падает до
р—^р^. Это происходит потому (рис. 124), что при загруже-
нии отдельных пролетов момент на средней опоре оказы-
вается то отрицательным, то положительным. При загруже-
нии обоих пролетов он не может принять сразу два разных
значения и приобретает менее благоприятную величину (в дан-
ном примере он равен нулю).
Расчет неразрезной балки заметно осложняется также в
том случае, когда ее сечение переменное. Пластические шар-
ниры могут тогда образоваться не на опорах, а в других
сечениях балки.
258
Так, например, для балки, приведенной на рис. 125. имеющей
в средней части среднего пролета более слабое сечение, чем
на остальном протяжении, возможны различные схемы раз-
рушения, показанные на том же рисунке. Расчет целесообраз-
но вести кинаметическим методом с учетом этих схем.
Для рам расчет по способу предельного равновесия в
значительно большей мере ограничивается опасностью поте-
ри устойчивости, чем для балок. Если гибкость стоек настолько
мала, что можно не считаться с их деформациями при опре-
делении эксцентриситета действующих усилий вплоть до
исчерпания несущей способности, метод предельного равно-
весия применим к рамам,
однако продольные силы в
стержнях следует вообще
учитывать.
Иллюстрируем это простым примером. Пусть трехстоеч-
ная рама с одинаковыми стойками нагружена в узлах равны-
ми вертикальными силами Р и горизонтальной силой Н, при-
ложенной на уровне оси ригеля. Ригель настолько мощный,
что для его сечений предельный изгибающий момент боль-
ше, чем для сечения стоек. В таком случае схема разруше-
ния рамы достаточно ясна: пластические шарниры образуют-
ся в верхнем и в нижнем сечении каждой стойки. Однако
благодаря наличию продольных сил в стойках оси пласти-
ческих шарниров расположатся не по осям. Предположим,
простоты ради, что сечение стоек можно приближенно заме-
нить идеальным профилем. Тогда при совместном действии
сжимающей продольной силы и изгибающего момента предел
текучести будет достигнут в тех полках профиля, в которых
изгибающий момент вызывает сжимающее напряжение, тогда
как полки, в которых изгибающий момент вызывает растя-
17* 259
жение, будут еще находиться в упругом состоянии. Поэтому
оси пластических шарниров расположатся в полках профиля
и будут смещены с оси колонн для верхних сечений — в сто-
рону действия горизонтальной силы Н, а в нижних сечениях
в противоположную сторону (рис. 126,а). Определив положе-
ние пластических шарниров, а следовательно, схему разру-
шения рамы, дадим ей возможное перемещение (рис. 126,5).-
Примем полное перемещение вершин стоек равным единице.
Это перемещение наклонное, поэтому на нем совершит рабо-
ту не только горизонталь-
ная сила Н, но и верти-
кальные силы Р. Расстоя-
ние между пластически-
ми шарнирами каждой,
л
стоики равно — —, где
а—угол, образуемый пря-
мой, соединяющей пла-
стические шарниры с
вертикалью. Угол пово-
рота стойки при возмож-
ном перемещении равен
COS а
—, горизонталь-
ное перемещение вер-
шин стоек равно cos а,
вертикальное их переме-
щение равно sin а. Если
F есть площадь, a t—высота идеального профиля, то мо-'
мент относительно оси пластического шарнира в предель-
ном состоянии равен Уравнение работ на возмож-
ном перемещении есть:
Нcos a-f-3Psin а = 6 (-у
или, приняв во внимание, что tga = -^-:
Я^з4(^г-Р).
Таким образом, наличие вертикальной нагрузки понижает
сопротивление рамы горизонтальной силе. Рама не могла бы
вовсе сопротивляться горизонтальной нагрузке, если бы силы-
Р могли достигнуть величины P=F?t.
Замечательно, что для нагруженных вертикальными сила-
ми ригелей симметричного сечения, если пластические шарни-
ры возникают на их концах, несущая способность опреде-
ляется совершенно так же, как для балок, т. е. продольная
260
сила в ригеле обращается в нуль при исчерпании несущей
способности, а потому не оказывает на нее никакого влия-
ния. Это вытекает из того, что лишние неизвестные прини-
мают при исчерпании несущей способности значения, реали-
зующие максимум нагрузки. Если в симметричном сечении,
кпоме изгибающего момента, действует положительная или
'Отрицательная продольная сила, то предельный- изгибающий
момент будет меньше, чем при отсутствии продольной силы.
Между тем, величина поперечной нагрузки ограничивается
величиной предельных изгибающих моментов, что видно, на-
пример из (7,66). Если в ригеле имелась бы продольная сила,
то вместо М следовало бы подставить некоторую меньшую
величину. Итак, если в упругой стадии ригель симметричного
Рис. 127
сечения испытывает, кроме изгиба, еще растяжение или сжа-
тие, то к моменту исчерпания несущей способности продоль-
ная сила в нем должна исчезнуть. Можно сказать поэтому,
что ригели стальных рам, имеющие обычно симметричное
сечение, постоянное по всей длине, стремятся при исчерпа-
нии несущей способности работать безраспорнр.
Однако при исчерпании несущей способности ригеля
стальной рамы, имеющего вуты, распор может возникнуть и
при наличии трех пластических шарниров на его длине. Пусть
в ригеле с вутами распора нет и под влиянием поперечной
нагрузки пластические шарниры образовались в сечениях
1 — 1, II—II и III — III. Профиль ригеля предполагается сим-
метричным относительно горизонтальной оси. Оси пластичес-
ких шарниров при отсутствии продольной силы расположи-
лись бы по середине высоты сечений, а при этом шарнир в
сечении II — II оказался бы выше прямой, соединяющей шар-
ниры в сечениях I—/и III — III (рис. 127, с). Представим себе
на минуту, что правая опора ригеля может смещаться без
сопротивления в горизонтальном направлении. Тогда обе по-
ловины ригеля, соединенные между собой и с опорами пла-
стическими шарнирами, образуют вместе с правым опорным
шарниром кинематическую цепь. Считая землю за неподвиж-
ное звено и имея мгновенные центры вращения звеньев (7)
и (3). строим по известным правилам (63) мгновенные центр
261
звена (2) (рис. 127,6). Он лежит выше пластического шарни-
ра В в сечении III— III. Дав кинематической цепи возмож-
ное перемещение, которое допускают пластические шарниры,
убеждаемся, что при вращении звена (2) вокруг его мгновен-
ного центра 2, точка В должна сместиться вправо, т. е. опоры
ригеля должны были бы раздвинуться. Но опоры могут ока-
зать известное сопротивление раздвижке, за счет чего воз-
никнет распор, который повысит сопротивление ригеля. Если
конструкции, примыкающие к ригелю слева и справа, способ-
ны воспринять сколь угодно большой распор, то исчерпание
несущей способности ригеля может произойти двояко: либо
в сечениях, где вуты кончаются, возникнут отрицательные
моменты, достаточные для образования пластических шарни-
ров, и тогда распор исчезнет, а схема разрушения примет
вид рис. 127,а, либо под влиянием распора оси пластических
шарниров в сечениях I—1 и 111— III настолько поднимутся,
а ось шарнира II — II настолько опустится, что они окажут-
ся на одной прямой. Тогда схема разрушения будет иметь
вид, показанный на рис. 127,г. Если бы высота ригеля была
постоянная, но в средней части пролета большая часть мате-
риала была расположена в верхней половине сечения, а у
опор большая часть материала располагалась бы в нижней
половине сечения, исчерпание несущей способности ригеля
тоже произошло бы при наличии распора: при отсутствии
распора шарниры в ригеле расположились бы не на одной
прямой.
В прямолинейных стальных элементах симметричного се-
чения распор обратного знака (вызывающий растяжение) воз-
никает после того, как они сильно провиснут, но это происг
ходит уже при значительных деформациях, т. е. когда несу-
щую способность конструкции надо уже считать исчерпанной.
Работа провисших стальных конструкций как висячих систем
может предотвратить их полное обрушение [25], но к разбирае-
мым здесь вопросам это не имеет отношения.
Работа с распором при исчерпании несущей способности
имеет несравненно большее значение для железобетонных
конструкций, чем для стальных. Этот вопрос будет подробно
разобран во втором выпуске книги.
5. Перекрестные балки
К числу задач, которые можно успешно решать методом
предельного равновесия, принадлежит расчет несущей спо-
собности перекрестных балок. Простейшим можно считать
случай, когда одна или две одинаково нагруженные продоль-
ные балки постоянного сечения поддерживаются рядом оди-
наковых поперечин, расставленных на равных расстояниях
друг от друга. Поперечины в этом случае играют роль подат-
262
ливых опор, обладающих тем свойством, что при известной
величине давления они проседают без увеличения нагрузки.
Величина предельной реакции легко находится из расчета
поперечин на опорные давления продольных балок. Если,
например, поперечины по концам свободно оперты и не-
сут две симметрично расположенные и одинаково нагружен-
ные продольные балки, то предельная реакция поперечиты
на одну продольную балку равна где/Илоп—пре-
дельный изгибающий момент поперечины, а с—расстояние
от опоры поперечины до ближайшей продольной балки.
Рис. 128
Будем считать заданным расстояние а между поперечи-
нами, предельную величину реакции поперечины на балку
и предельный изгибающий момент балки М. Как и предель-
ные изгибающие моменты, предельные реакции поперечин
могут быть положительными или отрицательными, но не могут
превосходить величину R по абсолютной величине. Несущую
способность балки на податливых поперечинах при вышеука-
занных условиях удобно определять кинематическим способом,
так как разнообразие возможных схем разрушения не очень
велико, а расчет по каждой из схем разрушения выполняет-
ся очень просто.
В зависимости от расположения нагрузки, числа попере-
м
чин и численного значения параметра , могут встре-
титься схемы разрушения следующих видов.
1. В продольной балке пластических шарнирв не обра-
зуется. При исчерпании несущей способности она поворачи-
вается как жесткое целое вокруг некоторого мгновенного
центра (рис. 128,а). Этот мгновенный центр может быть рас-
263
положен между какой-нибудь парой поперечин или за пре-
делами балки, но это исключительные случаи. Действительно,
если мгновенный центр расположен таким образом, то все
поперечины дают предельные величины реакций. По одну
сторону от мгновенного центра все реакции направлены вверх,
а по другую — вниз. Поэтому, когда мгновенный центр рас-
полагается в определенной панели продольной балки, то
равнодействующая реакций, а следовательно, и равнодейст-
вующая активных сил, имеет вполне определенное положе-
ние и величину. Если мгновенный центр вращения балки пе-
ремещается в пределах панели, то от этого положение, а
также величина равнодействующей активных сил не меня-
ются. Итак, положениям мгновенного центра в пределах па-
нелей балки или за ее пределами отвечают изолированные
точки приложения равнодействующей активных сил.
Когда мгновенный центр вращения балки совпадает
одной из поперечин, реакция этой поперечины заранее не-
известна.
- Она не должна только превышать по абсолютной вели-
чине предельною значения реакции. Момент, который дадут
реакции остальных поперечин по отношению к мгновенному
центру вращения, имеет вполне определенную величину и
должен, разумеется, равняться моменту активных сил. Но
равнодействующая реакций может изменяться в известных
пределах в зависимости от величины реакции поперечины, на
которой расположен мгновенный центр вращения Поэтому
мгновенному центру, совпадающему с одной из поперечин,
могут отвечать различные положения равнодействующей ак-
тивных сил в некотором интервале. Концы этою интервала
определяются положениями равнодействующей активных сил,
отвечающими расположению мгновенных центров в смежных
с рассматриваемой поперечиной панелях.
Поэтому для определения положения мгновенного центра
вращения балки целесообразно искать номер поперечины, с
которой он совпадает. Как это сделать, показано дальше на
примере.
2. В продольной балке образуется один только пласти-
ческий шарнир. Так как мы рассматриваем только схемы раз-
рушения, представляющие собой однократно изменяемые си-
стемы1, то с появлением пластического шарнира уже не одна
точка балки, а две по крайней мере не должны испытывать
вертикальных перемещений. При этом либо обе неподвижные
точки расположатся по одну сторону от пластического шар-
нира (случай 2а), либо пластический шарнир расположится
между неподвижными точками (случай 26). В дальнейшем мы
ограничимся случаем, когда все активные нагрузки направле-
1 Си- гласу VI, стр. 223.
цы сверху вниз. Это значительно упростит отбор возможных
схем разрушения. Рассмотрим внимательнее случай 2а. Так
как по одну сторону от пластического шарнира две точки
балки не испытывают вертикальных смещений при исчерпании
несущей способности, то, следовательно, весь участок балки
по одну сторону от шарнира не перемещается. Остальная
часть балки перемещается по отношению к ней, вращаясь
вокруг пластического шарнира. Но так как активные силы
при исчерпании несущей способности должны совершать по-
ложительную работу, то перелом оси в пластическом шар-
нире может быть направлен только острием вверх (рис. 128.б).
Покажем еще, что пластический шарнир при схеме 2а может
образоваться только над поперечиной. Действительно, если
бы пластический шарнир образовался между поперечинами,
то на участке от шарнира до ближайшей поперечины абсо-
лютная величина отрицательного изгибающего момента в бал-
ке не могла бы убывать; наоборот, она должна была бы воз-
растать под влиянием направленной вниз нагрузки, например,
собственного веса балки. Это рассуждение справедливо и для
дальнейших схем в отношении пластических шарниров, в
которых излом оси балки происходит острием вверх.
В случае 26 сам пластический шарнир, расположенный
между двумя неподвижными точками, перемещается (рис.
128,в). Он не может перемещаться кверху, так как в против-
ном случае он по предыдущему расположился бы над попе-
речиной, которая оказывала бы на балку предельную по ве-
личине реакцию, направленную вниз, а в таком случае мо-
мент, имеющий непосредственно слева от поперечины пре-
дельное отрицательное значение, должен был бы еще возра-
стать по абсолютной величине вправо от пластического шар-
нира. Следовательно, в случае 26 ось балки в пластическом
шарнире ломается острием вниз.
3. В балке может образоваться два пластических шарни-
ра. Тогда три точки балки не дожны иметь вертикальных
перемещений и при том две из этих точек должны располо-
житься по одну сторону от пластического шарнира, а тре-
тья — по другую сторону от него. Иначе схема разрушения
имела бы больше одной степени свободы. В одном из двух
шарниров ось балки должна ломаться острием вверх. Этот
шарнир должен расположиться над одной из поперечин и не
может перемещаться. В другом пластическом шарнире ось
балки ломается острием вниз. Этот шарнир перемещается по
вертикали (рис. П'8,г).
4. Путем таких же рассуждений легко обнаружить, что,
когда в балке образуется три шарнира, схема разрушения
имеет вид, показанный на рис. 128,д.
< Поскольку мы ограничиваемся схемами разрушения с од-
ной степенью свободы, больше трех шарниров в балке по-
265
стоянного сечения, нагруженной силами, направленными толь-
ко вниз, не может образоваться, поэтому перечень схем раз-
рушения этим исчерпывается.
Заметим еще, что число поперечин на участках балки,
перемещающихся при исчерпании несущей способности, не
ограничивается в перечисленных выше схемах. В частности,
при схемах 3 и 4 на этих участках может не оказаться ни
одной поперечины. Тогда балка ведет себя так же, как обык-
новенная неразрезная балка на жестких опорах.
Поясним расчет балки на податливых опорах примером.
Балка, лежащая на
семи поперечинах, нагру-
жена сплошнойравномер-
ной постоянной нагруз-
койинтенсивностыо g=
= -g^-, а в четвертом и
пятом пролете еще
сплошной равномерной
временной нагрузкой р.
(рис. 129,о). Введем обоз-
ъ
начение р — а. . Тре-
буется определить ин-
тенсивность временной
-орзНа ♦ К нагрузки при исчерпании
— несущей способное ги
рнс 129 балки, или, что приво-
дится к тому же,опре-
делить параметр а. Предельный изгибающий момент для
балки A'l — Ra.
Зададимся сначала схемой разрушения типа 1 как наи-
более простой. В дальнейшем мы уточним схему, пользуясь
методом последовательных приближений.
Пусть мгновенный центр вращения балки расположен над
/г-й поперечиной. Составим уравнение моментов активных и
реактивных сил относительно мгновенного центра. Величина
всей постоянной нагрузки равна:
ё6а==1^ 6a = R.
Центр тяжести этой нагрузки расположен над третьей попе-
'речиной, поэтому плечо равнодействующей постоянной наг-
рузки относительно мгновенного центра равно:
(3 — k)a,
и момент постоянной нагрузки дает величину.-
R (3 — k, а,
266
Аналогично подсчитаем, что момент от временной нагрузки-
равен: _
а/?2 (4 — k) а.
Момент относительно мгновенного центра от реакции
m-й опоры есть — R(rn— k)a при m^>k, а при m<^k ра-
вен — R(k—tri) а.
Момент от всех реакций опор равен:
Л-1 6
— Ra^JJz— tri) — Ra У*, (т — к) = ~-Ra(k2— 6А4-21).
тп=0 т=7г+1
Уравнение моментов имеет вид:
[3 — k -{- 2а (4 — k) — k2 4- 6k + 21] Ra = О,
откуда
_ Л2 — 5/г+ 18
2(4 — k) '
Наименьшее положительное значение а имеет место при k=0..
Тогда а — 2,25.
Мгновенный центр вращения балки оказалася на крайней
левой опоре. Поскольку реакции опор от 1-й до 6-й оказа-
лись равными -J- R, а также известна временная нагрузка, лег-
ко построить эпюру моментов в балке и определить, не воз-
никнут ли в ней изгибающие моменты, превышающие по аб-
солютной величине предельный момент M = Ra.
Если это выявится из расчета, то схему разрушения при-
дется изменить. Эпюра моментов в балке показана на рис.
129,6. Из нее видно, что положительные изгибающие момен-
ты значительно превосходят предельные величины М. Поэто-
му следует исправить схему разрушения и снова пересчитать
систему. Очевидно, величина а при этом снизится.
При выборе новой схемы примем, что в балке образуется
пластический шарнир под влиянием положительного изгибаю-
щего момента. Следовательно, речь могла бы итти о схемах
26, 3 и 4 рис. 128. Но отрицательные моменты на рис. 129,6
невелики и еще далеки от величины М — Ra. Поэтому нет ос-
нований полагать, что образуются шарниры под влиянием от-
рицательных изгибающих моментов. Следовательно, надо при-
нять схему 26. Что касается места расположения пластиче-
ского шарнира, то его естественно принять примерно там, где
по эпюре рис. 129,6 изгибающий момент был наибольшим.
Несколько округляя, примем пластический шарнир на рас-
стоянии 1,75а от правого конца балки. Эпюра возможных пе-
ремещений для новой схемы разрушения системы показана на
рис. 129,е.
267
Уравнение работ примет вид:
с . 1 , Г, о- 0,875а4-1.240а .
^ба 1,24а ~21,2ой —-------------------h
_J_0,75e —’240a-^~-Q’-1-?-j Я (0,292а 4-0,584а-[-
4- 0,875а -4-1,168а 4- 0,710а),
R R
-откуда, подставив g = — н р = я — п произведя вычис-
ления, определяется:
а = 1,95.
При пересчете величина а заметно уменьшилась.
Проверим теперь напряженное состояние конструкции.
Определим, во-первых, опорные реакции крайних опор. Соста-
вив момент всех правых сил относительно пластического шар-
нира и приравняв его величине М, определяем реакцию край-
ней правой опоры. Она оказывается равной —0,6 R. Следова-
тельно, крайняя правая поперечина не находится в предельном
состоянии, как и было принято при выборе схемы разруше-
ния. Крайняя левая реакция оказалась равной—0,7 Я, т. е. со-
стояние левой крайней поперечины тоже не противоречит
принятой схеме разрушения. Построив по найденным реакци-
ям и нагрузке эдюру моментов (рис 129,г}, убеждаемся, что
она практически точно удовлетворяет выбранной схеме: мак-
симальный момент оказывается в сечении, состоящем на 1,67а
от правого конца балки, т. е. очень близко от пластического
шарнира. В пластическом шарнире момент равен, разумеется,
предельному, а в месте максимального момента превышает его
на ничтожную величину в полторы тысячных от /Й. Дальше
уточнять решение нет никакой надобности.
Не составляет труда распространить расчет балок на по-
датливых поперечинах на случай сплошного податливого ос-
нования Ч
6. Расчет несущей способности круглых и кольцевых стать-
пых плит с центрально-симметричной нагрузкой
Этот вопрос был подробно разработан В. В. Соколов-
ским (73), применявшим другой метод. Избегая математических
трудностей, мы ограничимся тем, что приведем здесь в не-
сколько расширенном виде решения некоторых задач о круг-
лых плитах, опубликованное нами еще в 1934 г. [19].
В качестве условия текучести воспользуемся простоты
ради условием наибольших касательных напряжений. При
1 Задача о балке на податливом основании была рассмотрена в рабо-
те [19].
268
составлении предельных условий для элемента плиты мы будем
пренебрегать влиянием касательных напряжений, поскольку
и в балках прямоугольного сечения влияние касательных
напряжений на величину предельного изгибающего момента
незначительно1. Вырежем из пли-
ты вертикальный столбик, у кото-
рого высота равна толщине пли-
ты, а среднее сечение представ-
ляет собой бесконечно малый пря-
моугольный элемент срединной
плоскости плиты. Пусть на эле-
мент плиты действуют по его бо-
ковым граням моменты
Рис. 130
Mxdy и Mydx (рис. 130).
Предельные условия для моментов можно записать такг
если моменты Мг и М„ имеют один и тот же знак, то
л У ,
- М < Мх < 7Й; - М < Му < М, (7,68)
а если знаки моментов Мх и Му разные, то
- М < Мх — Му < М, (7,69)
— й2
где М = а7 -4~.
Действительно, при прямоугольной эпюре напряжений
имеем для точек, расположенных ниже, срединной плоскости:
4МХ 4М„
a • a -----х—
х й2 ’ У й2 ’
а для точек, расположенных выше срединной плоскости, те же
выражения с обратным знаком. Для плит можно пренебречь,
напряжением <зг, поэтому каждый элементарный слой плиты
находится в плоско-напряженном состоянии. Неравенства
(7,68) и (7,69) по подстановке в них величин моментов пере-
ходят в условия наибольших касательных напряжений для
плоско-напряженного состояния.
Применив для центрально симметричных плит цилин-
дрические координаты, перепишем предельные условия, когда Мг
и Mt одного знака
(7,68')
когда Мг и Mt разных знаков:
— М < Мг — Mt < М.
(7,69')
1 См. главу III стр. 105.
269»
Составим уравнение равновесия для элемента плиты. Вы-
резав двумя радиусами, образующими друг с другом угол d&
и двумя концентрическими окружностями радиусов г0 и г
кусок срединной плоскости (рис. 131), можно записать урав-
Рис. 131
нение моментов относительно касательной I—I к внешней
окружности
Г
Mrrdt-M°rod'?— Q°r0(r - r0)rf? - f 2Mt dp +
ro
r
+/q?d<?(r — р)Ф = о,
или
Mrr — M°r0 — Q>o(Г ~r^~ f Mtd? + fq?(r — $d? = 0. (7,70)
ro ro
Обратимся теперь к решению конкретных задач. Обо-
значим радиус наружного контура плиты через а.
А. Круглая плита, свободно опертая по краю-, временная
нагрузка расположена по всей площади плиты
В этой задаче.
го = о, q=sA-p-
Уравнение равновесия примет вид:
Г
Mrr — J + &+/>)-£= °. <7’71)
о*7
При г = а Мг = 0, поэтому
а
-f Mtdp-\-{g-\-p)^ = Q,
и
270
откуда
а
(7,72)
Р = ~^--------Я,
а следовательно, интенсивность временной нагрузки растет
а
вместе с значением интеграла l' Mtdp. Величина Mt ограни-
о
чена предельными условиями. Попробуем положить Mt =
= const = М, что допустимо, если функция Мг не отрица-
тельна.
Находим из (7,72)
6М
P = ^~g
(7,73)
и из (7,71)
т. е. Мг действительно не отрицательная величина. Следо-
вательно, найдено правильное решение задачи.
Б. Кольцевая плита, свободно опертая по наружному краю
под равномерной нагрузкой
Внутренний край при г=гй свободен от сил, т. е.
= Q° = 0.
Уравнение равновесия:
Мр-— —3rr2-|-2r^) = 0.
Го
При г — а Л1г=0, а следовательно:
а
6 !
Р~ а?-3аг% + 2г%
Положив Mt=M^ имеем:
Р~ (« —r0)(e-b2re)
И
М — ЛЛ (г ~ го> <а - г)(г + а + го)
г г (а — 2гс) ’
т. е. Мг неотрицательно при г0<г<а. .
271
Следовательно, несущая способность плиты выразится
формулой (7,74).
В. Круглая равномерно нагруженная пла на с заделанным
краем
Уравнением равновесия служит (7,71), как и при свобод-
ном крае, но при г = а момент Мг уже не равен нулю. Теперь
Р =
Мг (а)-а
~ё,
поэтому максимум несущей способности следует искать при
Мг(а) — — М. Но при этом в пределах некоторого кольца,
примыкающего к краю плиты, моменты Мт будут отрицатель-
ными, а следовательно, в пределах этого кольца надо поль-
зоваться предельным условием (7,69'). В центральной зоне
плиты моменты будут одного знака; поэтому там действи-
тельны предельные условия (7,68') и можно положить =
На границе обеих зон Мг = 0, а радиус центральной зоны
определится из решения круглой плиты с опертым краем.
/Км
--------------
g-t-p
r-r 1 / 6Л4
При ~^тр условие равновесия перепишем, дифе-
ренцируя (7,71) по г и приняв Mt <= М-[-Мг
Тогда это условие равновесия примет вид:
dr 2
Интегрируя его, находим:
Al, = /Wln|ri— С. (7,75)
Произвольная постоянная определяется из условия, что
при r===j/^ -дру Mr — Q. Ora равна
С = м( .L- 1п1/(з —In—
\ 2 у g+P/ 2 \ gyPJ
Подставив значение С в (7,75) и произведя небольшие преоб-
разования, находим:
=4 (3+ш
' Л 1 6Л1 ) 4
272
При г = а мы положили Л1Г = — М, поэтому
5+1п(£±^’ = 3^±£^
1 6М 6Л1
или
5 + In х = Зх, (7,76)
где обозначено
блг
Из трансцедентного уравнения (7,76) определяется х= 1,88,
а следовательно, окончательно
р— 11,3-^ — g.
Вопросом о несущей способности стальных плит занима-
лись также С. И. Фейнберг [81] и А. Р. Ржаницын [67].
Расчет несущей способности для железобетонных плит
разного очертания при различных нагрузках будет дан во
втором выпуске книги.
18 А. А. Гвоздев
ЛИТЕРАТУРА
1. Баландин П. П., К вопросу о гипотезах прочности, „Вестник ин-
женеров и техников" № 1, 1937.
2. Безухов К. И., Поперечный изгиб железобетона на высокопроч-
ных материалах, „Строительная промышленность", 1939.
3. Безухов Н. И., Основы теории сооружений, материал которых
не следует закону Гука. „Труды Московского Автодорожного института",
вып. IV.
4. Беляев Н. М., Теории пластических деформаций, „Труды конфе-
ренции по пластическим деформациям", изд. АН СССР, 1938.
5. Беляев и Синиц кий, Напряжения и деформации в толстостен-
ных цилиндрах при упруго-пластическом состоянии материала, „Известия
Отделения технических наук АН СССР" № 2, 1938.
6. Б е р г О. Я., Исследование работы растянутых железобетонных эле-
ментов под повторной нагрузкой. Сборник опытно-теоретических исследова-
ний железобетонных конструкций, 1940.
7. Бернштейн М. С., Расчет конструкций с односторонними связя-
ми, Стройиздат, 1947.
8. Бернштейн С. А.', Очерк истории расчета свода, сборник „Ис-
следования по теории сооружений", вып. II, 1936.
9. Расчет металлических конструкций с учетом пластических дефор-
маций, сборник работ ЦНИПС, под редакцией Бернштейна С. А. 1938.
10. Б е р н ш т е й н С. А., Работа статически неопределимых ферм в уп-
руго-пластической стадии, статья в сборнике (см. № 9).
11. Бернштейн С. А., О расчете статически неопределимых ферм
в пластической стадии. Труды конференции по пластическим деформациям.
Издание АН СССР 1938 г.
12. Бернштейн С, А. и Туркин В. С., Экспериментально-теорети-
ческие исследования упруго-пластической работы стальных неразрезных
балок, „Труды конференции по пластическим деформациям", изд. АН СССР
1938.
13. Б о р и ш а н с к и й М. С., Исследование работы внецентренно сжа-
тых железобетонных элементов, „Проект и стандарт" Хе 6, 1936.
14. Бори ш а н с кий М С, Исследование гибких внецентренно сжатых
железобетонных колонн, „Строительная промышленность" № 6, 1938.
15. Боришанский М. С., Расчет отогнутых стержней и хомутов
в изгибаемых железобетонных элементах по стадии разрушения, 1946.
16. Бы ч к о в М. И., Расчет изгибаемых элементов непрямоугольного
сечения по разрушающим нагрузкам, „Строительная промышленность", 1940.
17. Васильев А. П., Железобетон с жесткой арматурой, 1941.
18. Галилео Г ал и лей, русский перевод, соч. т. 1, 1934.
19. Гвоздев А. А., Определение разрушающей нагрузки для стати-
чески неопределимых систем, претерпевающих пластические деформации,
„Проект и стандарт" № 8, 1934.
20. Г в о з д е в А. А., Определение величины разрушающей нагрузки для
статически неопределимых систем, претерпевающих пластические деформа-
ции, „Труды конференции по пластическим деформациям", изд. АН СССР
1938.
21. Г в о з д е в А. А., Общий метод расчета статически неопределчмул
систем, изд. Московского института инженеров транспорта, 1927.
274
22. Гвоздев А. А., Опыт теории ползучести бетона, „Известия Отде-
ления технических наук АН СССР", 1943.
23. Гвоздев А. А., О пересмотре методов расчета железобетонных
конструкций и первых его результатах, Стройиздат, 1934.
24. Гвоздев А. А. и Б о р и ш а н с к и й М. С., К вопросу о расчете
изгибаемых железобетонных элементов по стадии разрушения, „Проект и
стандарт " № 6, 1934.
25. Восстановление основных конструкций капитальных зданий и со-
оружений, под ред. Гвоздева А. А., Стройиздат, 1947.
26. Голушкевич С. С., Плоская задача теории предельного равно-
весия сыпучей среды, Гостехиздат, 1948.
27. Г о р б у н о в Б. Н. и Ч у Д н о в с к и й В. Г., Расчет балок на ко-
сой изгиб при пластических деформациях, сборник трудов Киевского строи-
тельного института", вып. II, 1935.
28. Давиденко в Н. Н., Механические свойства и испытания метал-
лов, 1933.
29. Дмитриев С. А., Расчет железобетонных элементов кольцевого
сечения, „Строительная промышленность", 1940.
30. Ж у дин Н. Д., Расчет стальных конструкций с учетом пластиче-
ских деформаций, Сборник трудов Киевского строительного института", вып.
2, 1935.
31. Ж у дин Н. Д., Предел текучести при изгибе „Журнал технической
физики", т. IX, вып. II, 1939.
32 3 а в р и е в К. С., Расчетные формулы в особых случаях, Строй-
издат, 1935.
33. Ильюшин А. А., Пластичность, Гостехиздат, 1948.
34. Ильюшин А. А., Связь между теорией Сен-Венана — Леви — Ми-
зеса и теорией малых упруго-пластических деформаций, „Прикладная мате-
матика и механика", т. IX, вып. 3, 1945.
35.. Ильюшин А. А., Некоторые вопросы теории пластических де-
формаций ПММ, т. VII, вып. 4, 1943.
36. Ильюшин А. А., Устойчивость пластинок и оболочек за преде-
лом упругости, Прикладная математика и механика, т. VIII, вып. 5, 1944.
37. Ильюшин А. А., Упруго-пластическая устойчивость пластин,»
Прикладная математика и механика, т. X, вып. 5—6, 1946.
38. Ильюшин А. А., К теории малых упруго-пластических деформа-
ций, Прикладная математика и механика, т. X, вып. 3, 1946.
39. Ильюшин А. А., К вопросу о вязко-пластическом течении мате-
риала, „Труды конференции по пластическим деформациям" изд. АН СССР,
1938.
40. Ильюшин А. А., Деформации вязко-пластического тела, „Ученые
записки Московского государственного университета", вып. 39, „Механика",
1940.
41. Иоффе А. Ф., Физика кристаллов, 1929.
42 И шли нс кий А. Ю-, Об уравнениях пространственного деформи-
рования не вполне упругих и вязко-пластических тел, „Известия Отделения
технических наук АН СССР" № 3, 1945.
43. Качанов Л. М., Механика пластических сред, Гостехиздат, 1948-
44. Качанов Л. М., Вариационные принципы для упруго-пластических
средин, Прикладная математика и механика, т. VI, вып. 2—3, 1942.
45. Классе н-Н еклюдова М. В., Пластические свойства и прочность
кристаллов, 1938.
46. Классен-Неклюдова М. В. и Конто ров а Т. А., Развитие
современных теоретических представлений о природе пластической дефор-
мации , „Успехи физических паук", т. XXVI, вып. 2, 1944.
47. Кудрявцев И. Н., Косой изгиб в области пластических деформа-
ций, 1940. --
j» 48. К у з н е ц о в В. Д., Физика твердого тела, 1944 г. 41 ;,
49. Ку зне цо в В. Д., Физика твердого тела, изд, Кубуч, 1932.
18*
275
50. Кузнецов А. Н., Раскрытие трещин в центрально-растянутых
железобетонных элементах, .Строительная промышленность", 1939.
51. Лейбензон Л. С., Элементы математической теории пластично-
сти, 1943.
52. Мала мент Л. И., Упруго-пластический процесс в неразрезной
балке при подвижной нагрузке, статья в сборнике .Исследования металли-
ческих конструкций", Стройиздат, 1940.
53. Марк ов А. А., О вариационных принципах теории пластичности,
Прикладная- математика и механика, т. XI, вып. 3, 1947.
54. Михлин С. Г., Основные уравнения математической теории пла-
стичности, изд. АН СССР, 1934.
55. Михлин С. Г., Математическая теория пластичности, сборник „Не-
которые новые вопросы механики сплошной среды", изд. АН СССР, 1938.
56. Мурашов В. И., Теория появления и развития трещин в железо-
бетоне, „Строительная промышленность', 1940.
57. Над а и, Пластичность, русский перевод, 1936.
58.. Н а з а р о в А. Г., О применении понятия „идеального профиля"
к анализу несущей способности статически неопределимых систем, „Труды
конференции по пластическим деформациям", изд. АН СССР, 1938.
59. Огибало в, О распространении вязко-пластического течения с уче-
том упрочнения, Прикладная математика и механика, т. V, вып. 1, 1941.
60. О н и щ и к Л. И., Каменные конструкции, Стройиздат, 1939.
61. Пастернак П. Л.. Комплексные конструкции, 1938.
62. Па у кер Г. Е., О проверке устойчивости цилиндрических сводов,
„Инженерные записки, издаваемые по повелению инженерного начальства
Инженерным отделом Военно-учетного комитета", часть XXXIII, СПБ 1849.
63. Рабинович И. М., Курс строительной механики стержневых си-
стем, ч. I, 1938, ч. II, Стройиздат, 1940.
64. Рабинович И. М., Строительная механика стержневых систем,
Стройиздат, 1946.
65. Рабинович И. М., Об устойчивости стержней в статически неоп-
ределимых системах, Стройиздат, 1932.
66. Рабинович И. М., К теории статически неопределимых ферм,
1933.
67. Ржаиицин А. Р., Расчет пластинок по предельному состоянию
на действие сосредоточенной силы, сборник „Исследования по теории со-
оружений", вып. 4, Стройиздат, 1949.
68. Риппенбейн Я, М.,Обобщение понятия нагрузка, „ТрудыМИИТ",
вып. III, 1927.
69. Саталкин А. В., Ползучесть бетона, сборник „Прочность упру-
гость и ползучесть бетона", ред. Беляева Н. М., 1941.
70. Симонов М. 3., Вопросы расчета обычного и легкого железобе-
тона", 1935.
71. Смирнов-Аляев Г. А., Статьи в сборнике трудов Ленинград-
ского государственного университета, „Экспериментальные методы опреде-
ления напряжений и деформаций в упругой и пластической зонах", 1935.
72. Снитко Н. К., Теория прочности металлов с учетом виутрикри-
сталлической структуры, 1946.
73. Соколовский В. В., Теория пластичности, изд. АН СССР, 1946.
74. Соколовский В. В., Упруго пластическое напряженное состоя-
ние трубы, находящейся под действием равномерных внутреннего и внеш-
него давлений, Прикладная математика и механика, т. VII, вып. 1, 1943,
75. Соколовский В. В., Статика сыпучей среды, изд. АН СССР, 1942.
276
76. Стрелецкий М. С., Курс металлических конструкций, ч. I, 1940.
77. Бернштейн М. С, Исследовательские работы по инженерным
сооружениям, вып. II, Стройиздат, 1949.
78. Тимошенко С. П., Устойчивость упругих систем, 1946.
79. Туркин В. С., Исследование упруго-пластической работы сталь-
ных неразрезных балок, статья в сборнике (см. № 9).
80. Улицкий И. И., Ползучесть бетона, Гостехиздат Украины, 1948
81. Фейнберг С. М., Принцип предельной напряженности, Приклад
ная математика и механика, вып. 1, 1948.
82. Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, 1946.
83. Фридман Я. Б., Единая теория прочности металлов, 1943.
84. Фридман Я- Б., Деформация и разрушение металлов при стати-
ческих и ударных нагрузках, 1946.
85. Шаве ль с кий М. Е., Некоторые вопросы теории железобетона,
1938.
86. Шмидт и Боас,, Пластичность кристаллов в особенности метал-
лических, русский перевод, 1938.
87. Штаерман И. Я. и Пиковскнй, Методы расчета конструкций
на устойчивость, 1938.
88. Ягн Ю. М., „Вестник инженеров и техников", № 6, 1921.
89. Теория пластичности, сборник статей под ред. Ю. Н. Работнова,
Москва, Гос. изд. иностр, литературы, 1948.
90. American Concrete Institute, Reinforced Concrete Column. Investigation,
„Journal of the American Concrete institute", April 1930; February 1931;
March 1931; November 1931; January; 1932, Juny 1933.
91. Boker R., Die Mechanik der bleibenden Eormarnderung in kristalli-
nisch aufgebauten Korpern, 1914.
92. В r a n d t z a e g, A., Der Bruchspannungszustand und der Sicherheits-
grad von rechteckigen Eisenbetonquerschnitten unter Biegung Oder ausmittigem
Druck, Trondheim 1935.
93. С о n si d ё re, Resistance a la compression du beton arrae et du beton
frette, „Genie Civil" T. XLII, 1902, См. также его сообщения в „С. R. de
I’Academie des Sciences" 25/VIII, 6/IX 1902 и 18/IV 1904 r.
94. Coulomb, Essai sur 1’application des regies de Maximis et Minimis
a quelques problemes de Statique, relatifs a i’Architecture. Memoires de Ma-
thematique et de Physique, presentes a l’Acad£mie Royale des Sciences, Annee
1773. A Paris, de i’imprimerie Royale, 1776.
95. Griffith, Proceedings of the I International Congress for applied
mechanics.
96. Guest J., On the Strength of Ductile Materials under Combined
Stresses, „Philosophical Magasine", Vol 50, 1900, p. 69—132.
97. Karman Th., Versuche unter allseitigem Druck, „Mitteilungen fiber
Forschungsarbeiten", VDI N 118, ZdVDI 1911, S. 1749.
98. Mohr O„ Welche Umstande bedingen die Elastizitatsgrenze und
den Bruch eines Materials?, ZdVDI, 1900, S. 1524, Mohr O., Abhandlungen
aus dem Gebiete der technischen Mechanik, Abh. V, 1914.
99. N a v i e r, Resume des lemons, donnfees a I’ecole royale des ponis et
chaussees sur 1’application de la mecanique a I’etablissement des constructions
et des machines, 1826.
100. Na vi er M., Note sur les questions de statique, dans lesquelles on
considere un corps pesant, supporte par un nombre de points d’appuis, surpas-
sant trois, „Bulletin de la Societe Phylomatigue", III, 1825, p. 35 и „Bullehp
des sciences mathematiques", т. V, 1826.
277
101. Poncelet, Solution graphique des principals questions sur la sta-
billtd des voutes, .Memorial de 1’officier du Genie" N 12, 1835.
102. R i n a g 1 E, Sur les limites d’ecoulement et les diagrammes de flexion.
Association Internationale des ponts et charpentes. Publication preliminaire du
П-me Congres”, 1936.
103. Rich art, Brandtzaeg. Brown, A study of the failure of con-
crete under combined compressive stresses, .University of Illinois Bull”, N 185,
„Eng. Experimet Station’ IX, 1928 u тех же авторов .The Failure of plain
and spirally reinforced concrete in compression”, Bull. N 190, IV, 1929.
104. Ros und Eichinger, Versnche zur Klarung der Bruchgefahr, II
Nichtmetallische Stotfe. .Eidgenossische Materlalprufungsanstalt”, Zurich.
„Diskussionsbericht” N 28. 1928.
105, Tresca, Memoire sur I’Scoulement des corps solides Annales du
conservatoire des Arts et Metiers, Paris 1865, также в .Contes Rendus de
I’Academie des Sciences”, 1869, Memoire sur le poinsonnage et la theorie
mecanjque de la deformation des nietaux. Там же за 1871 г. Etude sur la
torsion proIongee au dela de la limite d’elasticite. Resultats des experiences
de flexion, fades sur des rails ea fer et en acier au dela de la limite
elastque. 4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ...... ................'............... . 3
Введение......................................................... 4
Глава 1. Из истории строительной механики
1. До создания строительной механики................... 9
2. От Галилея до Кулона...................................... 10
3. Кулон и Паукер........................................... 14
4. Задача Фурье.............................................. 23
б. Навье и расчет ио допускаемым напряжениям................. 31
Глава 11. Пластические свойства материалов и теория пластичности
1. Некоторые сведения их механики непрерывных масс........... 34
А. Теория напряжений...................................... —
Б. Малые деформации....................................... 43
В. Закон Гука и выражения потенциальной энергии для изотроп-
ного упругого тела......................................... 47
Г. Геометрическое представление тензоров в трехмерном про-
странстве ............................................. 48
2. Разработка основ теории пластичности металлов. Условие наи-
больших касательных напряжений............................... 52
3. Экспериментальная проверка условия текучести. Условие предель-
ной интенсивности напряжений................................. 57
4. Пример применения теории идеально-пластического тела. Недо-
статки этой теории.......................................... 62
5. Учет упругих деформаций (упруго-пластическое тело). Потенциал
текучести.................................................... 71
6. Дальнейшие уточнения теории пластичности...................88
А. Упрочнение.............................................. —
Б. Вязкость........................................ . . . 90
Глава III. Упруго-пластическая стадия работы стальных стержней
1. Вводные замечания......................................... 91
2. Изгиб балок симметричного сечения . ..................... 92
3. Изгиб с продольной силой. Обший случай изгиба............105
4. Поведение сжатого стержня при его выпучивании.............107
5. Методы расчета статически неопределимых стержневых систем
в упруго-пластической стадии.................................113
Глава IV. Деформации и прочность бетона, каменных материалов
и кладки
1. Общие сведения............................................1?0
2. Теория прочности Мора.....................................134
3. Испытания камней и бетона при всестороннем сжатии.136
4. Некоторые выводы ............................149
279
,. Стр.
. Глава (Z. Расчет ирб^йбсти железобетонных элементов
1. Состояние вопроса.........................................156
2. Сжатые элементы...........................................157
3. Изгибаемые элементы.......................................158
4. Внецентренно сжатые и внецентренно растянутые элементы . . 166
5. Сводка формул ............................................171
*
Глава VI Метод предельного равновесия
1. Границы несущей способности конструкции.............". 175
2. Деформация в методе предельного равновесия................177
3. Элементы системы........................................•_ 179
4. Хрупкие и нехрупкие элементы. Условия применимости метода
предельного равновесия к статически определимым и к статиче-
ски неопределимым системам....................................183
5. Пластические и псевдопластические элементы.................186
6. Разыскание внешней границы несущей способности статически
неопределимой системы.........................................199
7. Устойчивость напряженного состояния статически неопредели-
мых конструкций...............................................201
8. Внутренний предел несущей способности для систем, у которых
все элементы пластические.....................................218
9. Разновидности расчета несущей способности конструкций по ме-
тоду предельного равновесия и некоторые свойства систем с пла-
стическими и с псевдопластическими элементами.................222
Глава VII. Некоторые применения метода предельного равновесия
1. Исследование сечений стержней .............................229
2. Сопротивление стержней чистому кручению...................245
3. Предельное состояние стальной трубы под влиянием сил, дей-
ствующих по ее концам........................................249
4. Неразрезные балки и плоские рамы..........................254
5. Перекрестные балки........................................262
6. Расчет несущей способности круглых и кольцевых стальных
плит с центрально-симметричной "нагрузкой....................268
Литература.......................................... . 274
Техн, редактор Ё. С. Герасимова
Сдано в набор 18/ХП-48 г.
60Х921/1в- Печати, л. 17,5
Л 145222. Тираж 3000. Цена 15 р.
Подписано к печати 17/V-I949 г.
УИЛ 17,36. уч. № 7604
65 к.4-1 р. 50 к пер. Зак. № 1026
Отпечатано в типографии Стройиздата. г. Владимир с матриц изготовлен-
ных в 13-й типографии треста „Полиграфкнига* ОГИЗа при Совете
Министров СССР, Москва, Денисовским пер. дом № 30.