Текст
                    Г. БИРКГОФ
ТЕОРИЯ
РЕШЕТОК
Перевел с английского
В. Н. САЛИЙ
Под редакцией
Л. А. СКОРНЯКОВА
МОСКВА «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 84


22.144 Б64 УДК 512.8 LATTICE THEORY . BY GARRETT BIRKHOFF PROVIDENCE RHODE ISLAND 1967 БиркгофГ. Теория решеток: Пер. с англ. — М.: Наука. Главная редак- нзико-математической литературы, 1984. — 568 с. и п р л ция физико Книга является энциклопедией классической теории решеток (структур). В ней отражены основные направления этой теории, развивавшиеся в первые десятилетия ее становления C0 — 50-е годы), а также различные ее приложе- приложения. Многие из этих направлений, имеющих не только историческое значение, не находят должного отражения в современных учебниках. Большую роль в раз- развитии теории решеток сыграли проблемы Биркгофа — некоторые из них продол- продолжают оставаться открытыми. Переводчик и редактор дают, по возможности, пол- полную информацию о современном состоянии этих проблем. 1702030000—061 053 @2)-84 4-83 Перевод на русский язык. Издательство «Наука». Главная-редакция физико- математической литературы, 1984 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому изданию Предисловие автора к третьему изданию Глава I. Типы решеток 1. Упорядоченные множества. Цепи A1). 2. Изоморфизм. Двой- Двойственность A3). 3. Диаграммы. Градуированные у-множества A5). 4. Решетки A8). 5. Решетки как алгебры B1). 6. Дистрибутивность B4). 7. Модулярность B6). 8. Полумодулярность B9). 9. Мо- Модулярные решетки с дополнениями C1). 10. Булевы решетки. Булевы алгебры C2). (Проблемы 1—6) Глава II. Постулаты для решеток 1. Квазипорядки C6). 2. Постулаты для решеток. Полурешетки C7). 3. Гомоморфизмы и идеалы D0). 4. Конгруэнции D3). 5. Решеточные многочлены D7). 6. Дистрибутивность E0). 7. Мо- Модулярность E6). 8. Полумодулярность и длина F0). 9. Отно- Отношение «между» F2). 10. Булевы алгебры F4). 11. Брауэровы ре- решетки F6). 12. Булевы кольца F8). 13. Алгебры Ньюмена G1). 14. Орторешетки G4). Глава III. Строение и теория представлений 1. Кардинальная арифметика G8). 2. Формальные свойства (80). 3. Представление дистрибутивных решеток (82). 4. Свободные ди- дистрибутивные решетки (84). 5. Свободные булевы алгебры (86). 6. Свободная модулярная решетка М28 (88). 7. Свободные модуляр- модулярные решетки, порожденные двумя цепями (90). 8. Центр (93). 9. Дистрибутивные и стандартные элементы (96). 10. Решетки с начальными дополнениями (98). И. Лемма Швана. Независимость A01). 12. Перспективность. Теорема Куроша—Оре A03). 13. Ней- Нейтральные элементы в модулярных решетках A06). (Проблемы 7—11) Глава IV. Геометрические решетки 1. Введение A09). 2. Модулярные пары A11). 3. Примеры A13). 4. Зависимость и ранг A17). 5. Постулаты для геометрических ре- решеток A19). 6. Модулярные геометрические решетки A22). 7. Про- Проективные геометрии A24). 8. Немодулярные геометрические решетки A26). 9. Решетки разбиений. Алгебраически замкнутые подполя A28). 10. Графы. Ширина и Д -ширина A32). 11*. Полиэдральные комплексы A33). 12. Функция Мёбиуса A36). 13*. Проективные преобразования и коллинеации A39). 14*. Проблема координатиза- Ции A40). 15. Ортодополнения в PGn-i (D) A43). (Проблемы 12—30) 7 9 11 36 78 109 *) В оригинале перечисляются лишь названия глав. Для удобства мы при- приводим и названия параграфов. — Прим. перев. 1*
ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ Глава V. Полные решетки 1. Операции замыкания A48). 2. Решетки идеалов A51). 3. Условная полнота. Теорема о неподвижной точке A53). 4. Топо- Топологическое замыкание A55). 5. Бесконечная дистрибутивность A56). 6. Решетки с единственными дополнениями A62). 7. Полярности A63). 8. Связи Галуа A65). 9. Пополнение сечениями A67). 10. Пол- Полные брауэровы решетки A70). 11*. Теорема Гливенко A71). (Проб- (Проблемы 31—37) Глава VI. Универсальная алгебра 1. Алгебра A75). 2. Подалгебры A77). 3. Гомоморфизмы A78). 4. Конгруэнции A80). 5. Прямые и подпрямые произведения A84). 6. Свободные алгебры слов A87). 7. Свободные алгебры A89). 8. Сво- Свободные решетки A92). 9. Постулаты A96). 10. Многообразия алгебр A99). 11. Полиморфизмы. Криптоизоморфизмы B02). *12. Функторы и категории B05). (Проблемы 38—56) 148 Глава VII. Приложения в алгебре 1. Модули. Группы с операторами B09). 2. Квазигруппы и лупы B10). 3. Перестановочные конгруэнции B12). 4. Прямые разложе- разложения B15). 5. Теоремы Жордана—Гёльдера B16). 6. Теорема"|Ку- роша—Оре. Принцип Ремака B18). 7. Теорема Оре B20). 8. Ре- Решетки подгрупп B23). 9. Подгруппы абелевых групп B25). 10. Нейтральные элементы. Центр B28). 11. Модулярные решетки подгрупп B29). 12. Условие Жордана — Дедекинда и сверхразре- сверхразрешимость B31). (Проблемы 57—63) Глава VIII. Трансфииитная индукция 1. Условия обрыва возрастающих и убывающих цепей B35). 2. Нё- теровы дистрибутивные решетки B38). 3. Конечно порожденные подалгебры B40). 4. Алгебраические замыкания B42). 5. Полные алгебраические решетки B44). 6. Регулярные кольца B48). 7. Цорнов- ское свойство. Аксиома Хаусдорфа B50). 8. Теорема о подпрямом разложении B53). 9. Атомно порожденные алгебраические решетки B56). 10. Ординальные суммы и произведения B59). 11. Подцепи в Q и R B61). ^2*. Однородные континуумы. Проблема Суслина B63). 13. Полное упорядочение. Ординалы B65). 14. Аксиома выбора B68). 15*. Ординальные степени B70). 16*. Гипотеза континуума. Некоторые сомнения B72). (Проблемы 64—71) Г л а в а IX. Приложения в общей топологии 1. Метрические пространства B76). 2. Топологические пространства B78). 3. Направленные множества и сети B79). 4. Регулярные от- открытые множества B82). 5. Гх-решетки B85). 6. Решетки топологий. Теорема Арнольда B87). 7. Базисы и предбазисы. Компактность B90). 8. Теоремы Александера и Тихонова. Компактификация B93). 9. Теорема Стоуна о представлении B97). 10. Решетки непрерыв- непрерывных функций B98). (Проблемы 72—80) Глава X. Метрические и топологические решетки 1. Оценки. Квазиметрические решетки C01). 2. Метрические решетк и. Метрическое пополнение C03). 3. Дистрибутивная оценка C06) . 4. Оценки на модулярных решетках C07). 5. Непрерывные геоме- геометрии C10). 6. Жорданово разложение C12). 7. Внутренняя топо- топология цепей C14). 8*. Плотные подмножества цепей C16). 9. Поряд- 175 209 235 276 301 ковая и звездная сходимости C18). 10. Звездная сходимость в метрических решетках C20). 11. Топологические решетки C23). 12. Интервальная топология C26). (Проблемы 81—92) Глава XI. Борелевские алгебры и решетки фон Неймана 1. Борелевские алгебры C31). 2. Представления борелевских алгебр C32). 3. Стандартные борелевские алгебры C35). 4. Булевы (X, X')- алгебры C37). 5. Конечные меры. Алгебры с мерой C39). 6. Внешняя мера. Регулярная мера C41). 7*. Существование мер C44). 8. Ре- Решетки фон Неймана C47). 9. Перспективность транзитивна C50). 10. Функции размерности C53). 11. Орторешетки с размерностью C55). (Проблемы 93—107) Глава XII. Приложения в логике и в теории вероятностей. 1. Булев изоморфизм C60). 2. Препозиционное исчисление. Критика C61). 3. Брауэрова и модальная логики C64). 4. Свойства в клас- классической механике C66). 5. Классическая вероятность C68). 6. Логика квантовой механики C69). (Проблемы 108—110) Глава XIII. Решеточно упорядоченные группы 1. У-группы C72). 2. Направленные группы C75). 3. Свойства /-групп C78). 4. Дальнейшие алгебраические свойства C81). 5*. Ре- Решеточно упорядоченные лупы C85). 6. Дискретные /-группы C86). 7. Линейно упорядоченные группы C87). 8*. Линейно упорядочи- упорядочиваемые группы C90). 9. Конгруэнции, /-идеалы C93). 10. Главные /-идеалы C95). 11. Коммутативные /-группы. Единицы C97). 12*. Стро- Строение /-групп D00). 13. Полные /-группы D03). 14. Бесконечная дистрибутивность. Замкнутые /-идеалы D05). 15. Теорема Ивасавы D07). (Проблемы 111—121) Глава XIV. Решеточио упорядоченные моноиды 1. У-группоиды D11). 2. Естественно упорядоченные моноиды D12). 3. Аксиомы для понятия величины D14). 4. Примеры /-группоидов и /-моноидов D16). 5. Деление D19). 6. Простейшие приложения D22). 7. Целостные /-группоиды D24). 8*. Коммутационные решетки D27). 9. Максимальные и простые элементы D30). 10. Абстрактная теория идеалов D32). 11. Основная теорема теории идеалов D35). 12. Фро- бениусовы /-моноиды D38). 13. Алгебра отношений D40). 14. По- Постулаты для алгебр отношений D41). (Проблемы 122—128) Глава XV. Векторные решетки 1. Основные понятия D45). 2. /-идеалы D48). 3. Функциональные решетки D50). 4. Линейно упорядоченные векторные решетки D53). 5. Свободные векторные решетки D55). 6. Целозамкнутые направ- направленные векторные пространства D57). 7. Дуальные пространства D59). 8. Полные векторные решетки D62). 9. Порядковая сходи- сходимость. Компоненты слабых единиц D63). 10. Представление в виде интеграла Стллтьеса D65). 11. Ограниченные линейные функпии D67). 12. Банаховы решетки D70). 13. Относительно равномерная схо- сходимость D73). 14. Равномерно монотонные нормы D75). 15. (^-про- (^-пространства D79). 16. (М)-пространства D82). 17. Двойственность между (L)- и (М)-пространствами D83). (Проблемы 129—142) 331 360 372 411 445
ОГЛАВЛЕНИЕ Глава XVI. Положительные линейные операторы 488 1. Введение D88). 2. Гильбертова проективная псевдометрика D89). 3. Теорема Перона D92). 4. Примитивные неотрицательные матрицы D95). 5. Равномерно полу примитивные операторы D97). 6. Равно- Равномерно полупримитивные мультипликативные процессы E00). 7. Опе- Операторы перехода E02). 8. Эргодическая теорема E03). 9. Метриче- Метрическая транзитивность. Поточечная эргодическая теорема E07). (Про- (Проблемы 143—146) Глава XVII. Решеточно упорядоченные кольца 511 1. У-кольца и /-кольца E11). 2. Линейно упорядоченные кольца и поля E12). 3. L-идеалы: Радикал E15). 4. Представления. Регу- Регулярные /-кольца E17). 5. Функциональные кольца E19). 6. Почти /-кольца E21). 7*. Полные /-кольца E23). 8. Усредняющие опера- операторы E24). (Проблемы 147—156) Библиография 528 Д о б а в л е н и е. Проблемы Биркгофа (В. Н. С а л и й) 535 Предметный указатель • 558 Указатель обозначений 565 Указатель формул ... 566 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Три издания монографии Г. Биркгофа A940, 1948, 1967 гг.), по существу, различные книги. Первые два издания (русский перевод второго вышел в 1952 г.) были для своего времени энци- энциклопедиями теории решеток (структур), отражая все ее важней- важнейшие направления. Третье издание появилось в период, когда под влиянием общих идей и методов универсальной алгебры в тео- теории решеток начали складываться новые направления: эквацио- нальные теории решеток, исследование решеток многообразий алгебраических систем и других конкретных решеток, связанных с алгебраическими системами. Уже тогда (а тем более через 15 лет после выхода оригинала!) книга не могла претендовать на энци- клопедичность. Написанная довольно сумбурно, она мало при- пригодна для первоначального ознакомления с предметом. Однако этот недостаток с лихвой окупается многочисленными достоин- достоинствами. Пожалуй, самым главным из них является то большое внимание, которое автор уделяет связям теории решеток с самыми разными разделами математики и других естественных наук. Здесь и геометрия, и теория групп, и функциональный анализ, и теоретическая физика, и теория вероятностей. . . Читатель не раз получит повод удивиться продемонстрированному в книге богатству ассоциаций, отражающих огромный диапазон научных интересов автора (от гидродинамики до психологии). Конечно, читать книгу нелегко. Часто предлагаются лишь эскизы доказа- доказательств. Во многих главах как рефрен звучит: «Мы опускаем де- детали». Нередко (в особенности, если дело касается не теории решеток) отсутствуют строгие определения. В некоторых случаях мы снабдили подобные высказывания примечаниями, но немалая часть работы осталась и для читателя. Однако богатство и разно- разнообразие идей безусловно окупят все эти трудности, и пред- представители самых различных разделов математики, механики и физики смогут найти интересное для себя в рассматриваемой книге. Библиография приведена в конце монографии и разбита на три раздела: I) постоянно используемые источники, II).другие источники, III) работы, добавленные при переводе. Для постоянно используемых источников, следуя автору, мы применяли сокра- сокращенные буквенные обозначения. В частности, для первых двух изданий настоящей книги приняты аббревиатуры [LT1 ] и [LT2]. В остальных случаях ссылки оформляются обычным образом: указанием фамилии автора и номера его работы.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Для первоначального знакомства с теорией решеток более подходящими представляются книги Л. А. Скорнякова [III, 2], Д. А. Владимирова [III, 1], Р. Сикорского [II, 1]. Современной теории решеток посвящена монография Г. Гретцера [III, 2]. Новейшие достижения были отражены в обзорах Л. А. Скорня- Скорнякова [III. 1], М. М. Глухова, И. В. Стеллецкого, Т. С. Фофа- новой [III, 1 ], а также в сериях обзоров, помещенных в специаль- специальных выпусках сборника «Упорядоченные множества и решетки» и в сборнике «Теория решеток». Имея в виду эту литературу, мы, как правило, не останавливались на вопросах дальнейшего раз- развития затронутых в книге исследований (напомним, что после выхода оригинала прошло 15 лет), ограничившись комментариями по поводу явно сформулированных проблем. В ряде случаев мы отметили, что те или иные из упоминаемых автором результатов журнальных статей нашли отражение в монографической лите- литературе. Многочисленные небрежности, допущенные в оригинале (опечатки в формулах, очевидные пробелы в ряде доказательств, сбои в нумерациях), при переводе исправлялись без специаль- специальных указаний. Мы выражаем искреннюю признательность проф. А. И. Век- слеру за сделанные им полезные замечания. В. Салий, Л. Скорняков ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Это издание преследует три цели: сделать основные идеи теории решеток доступными для широких кругов математиков, обрисовать общую логическую структуру этой теории и указать некоторые из наиболее интересных ее приложений. Как и в пре- предыдущих изданиях, я старался осветить и последние достижения, в том числе свои собственные, еще не опубликованные резуль- результаты, но библиография на этот раз представлена очень неполно. Где-нибудь в другом месте х) я подробно изложу свои взгляды на ту роль, которую теория решеток играет в математике вообще. Здесь же будет затронута в основном логическая структура тео- теории; я попытался отразить ее в оглавлении книги. Красота теории решеток отчасти объясняется исключительной простотой ее основных понятий: упорядочения, точной верхней и точной нижней граней. В этом отношении она очень напоминает теорию групп. Исходные идеи развиваются в главах I—V, где показано, что за их кажущейся простотой скрываются многие тонкие детали, как, например, свойства модулярности и полу- полумодулярности, конструкции псевдодополнения и ортодополнения. Теоретико-решеточными понятиями пронизана вся современ- современная алгебра, хотя во многих учебниках это обстоятельство явным образом не отмечается. Решетки и группы принадлежат к числу самых основных инструментов «универсальной алгебры»; в част- частности, строение алгебраических систем обычно наиболее отчетливо выявляется путем анализа связанных с ними решеток. В гла- главах VI и VII делается попытка раскрыть и подтвердить смысл этих замечаний рассмотрением достаточного числа специфических приложений в теории групп и луп с операторами. Теория решеток в различных своих аспектах соприкасается с основаниями теории множеств (включая общую топологию) и действительного анализа. Здесь при использовании различных упорядочений, связанных с обоснованием трансфинитной индук- индукции и других предельных процессов, приходится сталкиваться с самыми изощренными во всей математике конструкциями, не- некоторые из которых даже сомнительны! Главы VIII—XII описы- описывают указанные процессы с теоретико-решеточной точки зрения. Ц Б и р к г о ф Г. Что могут дать вам решетки? (В irk h о f f G. What can lattices do for you?) -статья в сборнике Trends in Lattice Theory.- Princeton. Van Nostrand, 1967.
10 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Наконец, многие из весьма глубоких и интересных приложе- приложений теории решеток связаны с упорядоченными математическими структурами, наделенными также бинарным сложением или умно- умножением: решеточно упорядоченные группы, моноиды, векторные пространства, кольца и поля (как, например, действительное поле). В главах XIII—XVII устанавливаются свойства таких систем, а также свойства положительных линейных операторов на упорядоченных векторных пространствах. Теория упорядо- упорядоченных систем сейчас является, по-видимому, наиболее быстро развивающейся частью теории решеток. Создание этой книги потребовало огромного труда, хотя я ни в коей мере не пытался добиться в ней полноты. Я хотел бы выра- выразить свою глубокую признательность тем моим коллегам и уче- ученикам, которые принимали участие в обсуждении рукописи на различных этапах ее подготовки. Я очень обязан, в частности, следующим лицам: Керби Бейкеру, К. Грандье, Джорджу Грет- церу, Роджеру Линдону, Дональду Макларену, Ричарду С. Пирсу, Джорджу Рейни, Эрлану Ремси, Джан-Карло Рота, Уолтеру Тейлору, Алану Уотермену, Орину Фринку, Полю Халмошу, Альфреду Хейлсу, Семьюэлу X. Холанду и М. Ф. Яновицу. -% Я благодарен Национальному научному фонду за частичную поддержку исследований и за помощь в подготовке предваритель- предварительного издания заметок, а также Аргонской национальной лабора- лаборатории и Рэнд Корпорейшн за поддержку исследований в тех областях теории решеток, которые представляли интерес для их персонала. Наконец, я хотел бы поблагодарить Лауру Шлесинджер и Лорен Доэрти за квалифицированную работу по перепечатке рукописи. ГЛАВА I ТИПЫ РЕШЕТОК 1. Упорядоченные множества. Цепи «Чистая» теория решеток имеет дело со свойствами единствен- единственного объекта — первоначально заданного бинарного отношения <:, которое читается как «содержится в», «является частью» или «меньше или равно». У этого отношения предполагается наличие определенных свойств, самые основные из которых приводят к сле- следующему понятию «упорядоченного множества» или, сокращенно, «у-множества». Определение. Упорядоченным множеством г) назы- называется множество, на котором определено бинарное отношение х < У, удовлетворяющее для всех х, у, z следующим условиям: Р1 х < х (рефлексивность); Р2 если х *? у и у <. х, то х = у (антисимметричность); РЗ если х *с у и у < z, то х < z (транзитивность). Если х < у и х Ф у, то пишут х < у и говорят, что чх строго меньше чем у» или «х собственным образом содержится в г/». Отношение х < у записывается и в виде у ^ х, и тогда оно чи- читается как «г/ содержит х» (или «г/ включает ху>). Аналогично х < у записывают и как у > х. Введенные обозначения и терминология являются стандартными. Существует бесконечно много хорошо известных примеров упорядоченных множеств, т. е. математических объектов, опре- определяемых свойствами Р1—РЗ. Вот три простейшие иллюстрации. Пример 1. 2 (I) состоит из всех подмножеств некоторого множества I, включая само I и пустое подмножество 0, а х < у означает, что х является подмножеством в у. Пример 2. Z+ — множество целых положительных чи- чисел, а х < у означает, что х делит у. Пример 3. F состоит из всех действительных функций / (л:), определенных на отрезке —1 <: х < 1, и / < g означает, что / (х) < g (х) для каждого х такого, что —1 <: х < 1. Теперь сформулируем без доказательства два вытекающие из Р1—РЗ известные свойства, которые характеризуют отношение включения. *) В другой терминологии «частично упорядоченное множество». Об «упо- «упорядоченном множестве» говорили раньше в тех случаях, когда любые два элемента оказывались сравнимыми. Однако сейчас в этом смысле, как правило, употребляют выражение «линейно упорядоченное множество», так что термин «упорядоченное множество» остается свободным и его все чаще используют в са- самом общем понимании, как это н принято в настоящем переводе.— Прим. перев.
12 ГЛ. I. ТИПЫ РЕШЕТОК Лемма 1. В любом у-множестве соотношение х < х не имеет места ни для какого х, а изх<.уиу<.г следует, что х < 2. Обратно, если бинарное отношение < обладает этими двумя свойствами, то отношение <:, определенное требованием, что х < у или х = у, удовлетворяет Р1—РЗ. Другими словами, строгое включение характеризуется зако- законами антирефлексивности и транзитивности. Легко показать, что у-множество Р может содержать самое большее один элемент а, который удовлетворял бы неравенству а <: х для всех х ? Р. В самом деле, если а и Ь — два такие элемента, то а <: Ь и в то же время Ь < а, откуда а = Ъ согласно Р2. Такой элемент, если он существует, обозначается символом О и называется наименьшим элементом у-множества Р. Двойственный ему наибольший элемент у-множества Р, если он существует, обозна- обозначается символом /. Элементы О и /, когда они существуют, называ- называются универсальными гранями у-множества Р, поскольку О < х < / для всех х ? Р. Подмножество X cz P называется ограниченным, если существуют а,Ь^Р такие, что а <: х <.Ь для всех х ? X. Лемма 2. Если хх <: х2 < ... < хп < хъ то хг = х2 = = ... — хп. (Антицикличность порядка.) Пример 4. R — множество действительных чисел и х <: у имеет свой обычный для действительных чисел смысл. Отношение порядка в этом и других важных у-множествах удовлетворяет условию Р4 Для любых х, у имеет место х <: у или у < х. Определение. У-множество, удовлетворяющее Р4, на- называется линейно упорядоченным, или цепью. Другими словами, из двух различных элементов цепи один является меньшим, а другой большим. Понятно, что у-множества в примерах 1—3 не, являются цепями: они содержат не сравнимые элементы х, у, т. е. такие, что ни х < у, ни у <: х места не имеют. Отправляясь от примеров 1—4, можно построить много дру- других у-множеств путем перехода к подмножествам. Точнее, если Р — произвольное у-множество и S — некоторое подмножество множества Р, то х < у для элементов х, у ? S, по определению, означает, что х < у в Р. Поскольку условия Р1—РЗ для отноше- отношения <: выполняются в Р, они тем более выполняются в S. Подоб- Подобным образом обстоит дело, конечно, и с Р4, и мы приходим к сле- следующему очевидному заключению. Теорема 1. Всякое подмножество S у-множества Р само является у-множеством относительно того же самого порядка (ограниченного на S). В частности, любое подмножество цепи является цепью. Таким образом, множество Z+ положительных целых чисел является цепью, если рассматривать его с отношением <: из г. изоморфизм, двойственность 13 примера 4, но оно не будет цепью относительно упорядоченности примера 2. Пример 5. (а) Множество {1, 2, . . ., п\ образует цепь п (ординальное число п) в своей естественной упорядоченности, (б) Если это множество не упорядочено, т. е. никакие два его различных элемента не сравнимы х), оно образует другое у-мно- у-множество (кардинальное число п). Совокупность всех подмножеств произвольного множества, выделяемых некоторым заданным свойством, образует у-множе- у-множество относительно теоретико-множественного включения. Это справедливо, в частности, для подгрупп группы, векторных под- подпространств векторного пространства, борелевских подмножеств Т0-пространства и т. д. Например, идеалом кольца R является всякое его подмножество Н, выделяемое свойствами: (i) если а, b ? R, то а—Ъ ? R; (и) если а ? Hub ? R, то ab ? Я и Ьа ? ? Н. Принцип, сформулированный выше, в применении к дан- данному случаю дает еще один важный пример, который более по- подробно будет рассмотрен в главах VII и XIV. Пример 6. Р состоит из идеалов Н, J, К, . ¦ ¦ некоторого кольца R и Н < К для двух идеалов означает, что Н является подмножеством в К (т. е. что Я с: К). 2. Изоморфизм. Двойственность Функция 0 : Р ->- Q, заданная на у-множестве Р и принима- принимающая значения в у-множестве Q, называется сохраняющей поря- порядок или изотопной, если A) из х < у следует, что 0 (х) < 0 (у). Изотонная функция, допускающая изотонную обратную функ- функцию, называется изоморфизмом. Другими словами, изоморфизм между двумя у-множествами есть взаимно однозначное соответ- соответствие между ними, которое удовлетворяет условию A) и условию (Г) из 0 (л;) < 0 (у) следует, что х < у 2). Изоморфизм у-множества Р с самим собой называется его автоморфизмом. Два у-множества Р и Q называются изоморфными (обозначе- (обозначение: Р si Q), если существует изоморфизм между ними. Обратным для отношения р, по определению, является отно- отношение р такое, что хру (читается «х находится в отношении р с у») тогда и только тогда, когда урх. Так, обратным для отноше- х) В таких случаях обычно говорят «тривиально упорядочено». Тривиально упорядоченные подмножества данного у-множества называются его антицепями-— Прим. перев. г) Свойство (Г) называется обратной изотонностью отображения 8.— Прим. перев.
14 ГЛ. I. ТИПЫ РЕШЕТОК ния «включает» будет отношение «включается», обратным для «больше чем» — отношение «меньше чем». Рассматривая условия Р1—РЗ, мы очевидным образом при- приходим к следующему заключению. Теорема 2 (Принцип двойственности). Отношение, об- обратное для отношения порядка, само является упорядоченностью. Определение. Двойственным для у-множества X на- называется у-множество X, определяемое на тех же элементах отношением, обратным к упорядоченности в X. Так как XsX, эта терминология законна: отношение двой- двойственности должно быть симметричным. Определение. Функция 0 : Р ->¦ Q называется анти- изотонной 1), если B) из х < у следует, что 0 (х) ss 8 (у). Взаимно однозначное соответствие 0, удовлетворяющее усло- условию B) и условию B') из 0 (х) <: 0 (у) следует, что х>(/, называется дуальным изоморфизмом 2). Мы будем называть системы, изоморфные X, двойственными по отношению к X. Очевидно, что у-множества по признаку двойственности распределяются парами, если исключить случаи самодвойственности. Аналогично, каждое определение и каждая теорема об у-множествах имеют двойственные аналоги, и если некоторая теорема справедлива для всех у-множеств, то для всех них будет истинным и двойственное утверждение. Как мы увидим впоследствии, этот принцип двойственности находит применение в алгебре, в проективной геометрии и в ло- логике. ч Многие важные у-множества являются самодвойственными (т. е. антиизоморфными себе). Таким будет у-множество в при- примере 1 из § 1: соответствие, сопоставляющее каждому подмноже- подмножеству его дополнение, взаимно однозначно и обращает включение. Аналогично, множество всех линейных подпространств о-мерного евклидова пространства, содержащих начало, самодвойственно: соответствие, соотносящее каждому подпространству его орто- ортогональное дополнение, взаимно однозначно и обращает вклю- включение. В этих примерах самодвойственность имеет период два: для любого х образ (х'У образа х' совпадает с х. Такие самодвойствен- самодвойственности (дуальные автоморфизмы) называются инволюциями. *) Иногда говорят «антитонная».— Прим. перев. 2) Или антиизоморфизмом.— Прим. перев. 3. ДИАГРАММЫ. ГРАДУИРОВАННЫЕ У-МНОЖЕСТВА 15 Упражнения к §§ 1—2 1. Докажите лемму 1. 2. Докажите лемму 2. 3. Покажите, что существует в точности три способа упорядочения двух- двухэлементного множества. 4. (а) Покажите, что есть только два неизоморфных двухэлементных у-мно- у-множества, и оба они самодвойственны. (б) Покажите, что существует пять неизоморфных трехэлементных у-мно- у-множества, и три из них самодвойственны. *5Х). (а) Пусть G (п) обозначает число неизоморфных у-множеств с п эле- элементами. Покажите, что G D) = 16, G E) = 63, G F) = 318. (Роуз и Сасаки.) (б) Пусть G* (п) обозначает число различных упорядочений л-элементного множества. Покажите, что G* B) = 3, G* C) = 19, G* D) = 219, G* E) = 4231, G* F) = 130 023, G* G) = 6 129 859. (в) Сколько в каждом из указанных случаев будет самодвойственных у-мно- у-множеств? (г) Верно ли, что G* (п) будет нечетным при любом п? 3. Диаграммы. Градуированные у-множества Понятие «непосредственно старшего» в иерархии можно пере- перенести и на случай произвольного у-множества следующим образом. Определение. Говорят, что «а покрывает Ь»2) в у- множестве Р, если а > Ь и не существует такого х ? Р, чтобы было а > х"> Ъ. Рис. 1. Примеры диаграмм. Порядком п (Р) у-множества Р называется (кардинальное) число его элементов. Если это число конечно, Р называется ко- конечным у-множеством. Используя отношение покрытия, можно следующим образом получить графическое представление любого конечного у-множе- у-множества Р. Изобразим каждый элемент множества Р в виде неболь- небольшого кружка, располагая а выше Ь, если а > Ь. Соединим а и Ь прямолинейным отрезком, если а покрывает Ь. Полученная фи- фигура называется диаграммой у-множества Р; примеры показаны на рис. 1, а—д. Так как а > Ь тогда и только тогда, когда на диаграмме можно из а в Ъ пройти по нисходящей ломаной, ясно, что любое конечное у-множество с точностью до изоморфизма определяется своей х) Звездочкой, как правило, отмечаются упражнения повышенной сложно- сложности.— Прим. перев. 2) Обозначение: ау-Ь.— Прим. перев.
16 ГЛ. I. ТИПЫ РЕШЕТОК диаграммой. Понятно, что диаграмма двойственного для Р у- множества Р получается, если диаграмму для Р перевернуть «вверх ногами». Определение. Наименьшим элементом подмножества X у-множества Р называется элемент а ? X такой, что а < х для всех х ? X. Наибольшим элементом подмножества X называется элемент b ? X такой, что Ь js х для всех х ? X. Введенные понятия не следует смешивать с понятиями мини- минимального и максимального элементов. Минимальный элемент под- подмножества X упорядоченного множества Р — это такой элемент а, что неравенство а > х невозможно ни для какого х ? X; макси- максимальные элементы определяются двойственно. Понятно, что наи- наименьший элемент дбязательно будет минимальным, а наибольший элемент максимальным, но обратные утверждения уже не верны. Теорема 3. Любое конечное непустое подмножество X произвольного у-множества имеет минимальные и максимальные элементы. Доказательство. Пусть X состоит из элементов хъ . . ., хп. Положим тх = хх, a mk равным xh, если xh < tnh_lt и равным mh_x в противном случае. Тогда элемент тп будет минимальным. Аналогично доказывается существование в X максимального элемента. Теорема 4. В цепях понятия минимального и наимень- наименьшего (максимального и наибольшего) элемента подмножества совпа- совпадают. Таким образом, любая конечная цепь имеет наименьший (первый) и наибольший (последний) элементы. Доказательство. Если неравенство х < а не выпол- выполняется ни для какого х ? X, то согласно Р4 для любого х ? X будет х ss а. Теорема 5. Любая конечная цепь из п элементов изо- изоморфна ордцнальному числу п (т. е. цепи целых чисел 1, . . ., п). Другими словами, существует взаимно однозначное соответ- соответствие ф между тг-элементной цепью X и множеством {1, . . ., п\ такое, что хх < х2 тогда и только тогда, когда ф (хх) <: ф (х2). Таким образом, конечные цепи — это конечные ординальные числа. Доказательство. Пусть ф отображает наименьший элемент х ? X в 1, наименьший элемент из оставшихся х ? X в 2 и т. д. Длина конечной цепи п по определению полагается равной п — 1 (взгляните на ее диаграмму). В общем случае длиной I [P] у-множества Р называется точная верхняя грань длин цепей в Р. Если / [Р] конечна, о Р говорят, что оно имеет конечную длину. Любое у-множество конечной длины с точностью до изо- изоморфизма определяется своим отношением покрытия: а > b тогда и только тогда, когда существует конечная последователь- 3. ДИАГРАММЫ. ГРАДУИРОВАННЫЕ У-МНОЖЕСТВА 17 ность х0, хх хп такая, что а = х0, Ъ = хп и хих покрывает xt для i = 1, . . ., п. Изоморфны или не изоморфны два конечные у-множества часто можно проще всего выяснить, нарисовав их диаграммы. Любой изоморфизм должен устанавливать взаимно однозначное соответствие между элементами низшего уровня, между элемен- элементами следующего уровня и т. д. Соответствующие элементы должны покрываться одинаковым числом элементов, и эти покрывающие элементы также должны находиться в соответствии. Руковод- Руководствуясь этими правилами, можно легко перечислить различные (т. е. неизоморфные) у-множества, состоящие, скажем, из 4 эле- элементов— их окажется в точности 16. В у-множестве Р конечной длины с О высотой или размерно- размерностью h [x] элемента х называется точная верхняя грань длин цепей О = х0 < хг < ... < xt = х между О и х. Если Р имеет наибольший элемент /, то, конечно, h [/] = / [Р]. Понятно также, что h [х] = 1 тогда и только тогда, когда х покрывает О,— такие элементы называются атомами или точками у-множе- у-множества Р. Высота является особенно важной функцией в градуирован- градуированных у-множествах. Градуированным у-множеством называется у-множество Р с заданной на нем функцией g : Р -*¦ Z, прини- принимающей значения в цепи всех целых чисел (с их естественной упорядоченностью) и такой, что G1 если х > у, то g [х] > g [у] (строгая изотонность); G2 если х покрывает у, то g [х ] = g [у ] + 1. Во всяком градуированном у-множестве имеет место следующее Цепное условие Жордана — Дедекинда. Все максимальные цепи между двумя фиксированными точками имеют одинаковую длину. Лемма. В у-множестве Р с О и конечными цепями тогда и только тогда выполняется цепное условие Жордана — Дедекинда, когда Р градуируется функцией h [x]. Доказательство. Если Р градуируется функцией h [x], то условие Жордана—Дедекинда выполняется очевидным образом: длина максимальной цепи, соединяющей точки а и 6Т> а, равна h [b] —h [а]. Обратно, если имеет место условие Жор- Жордана—Дедекинда, то"Л [л:] будет длиной каждой максимальной цепи от О до х, откуда сразу следует выполнимость для h [x] условий G1 и G2. Упражнения 1. (а) Покажите, что диаграмма у-множества является ориентированным графом х), если рисовать стрелку от х к у тогда и только тогда, когда х покрывает у. х) О понятиях графа и ориентированного графа («орграфа см. О р е О. Теория графов.— 2-е изд.— М.: Наука, 1980.
18 ГЛ. I. ТИПЫ РЕШЕТОК (б) Покажите, что конечный ориентированный граф тогда и только тогда соответствует некоторому у-множеству, когда в нем аоаъ ага2 ап_гап не- несовместимо С о (в) Покажите, что любой орграф определяет квазиупорядоченное множе- множество 1), если считать а :> Ь тогда и только тогда, когда а = Ь, или ab, или ааъ aja2, ¦ ¦ ., anb для подходящих аи . . ., ап. 2. Покажите, что «отношения покрытия» в любом у-множестве образуют новое у-множество, если считать, что («х покрывает у») > («и покрывает то) тогда и только тогда, когда у ^s и. 3. Покажите, что любое изотонное отображение Р -* Р\ одного у-множе- ства Р на другое Рц переводит связные компоненты графа для Р в связные ком- компоненты графа для Pi. 4. Какие из диаграмм на рис. 1 изображают самодвойственные у-множе- ства? С помощью диаграмм постройте новые самодвойственные у-множества. 5. Покажите, что цепь можно определить как множество элементов, на ко- котором задано транзитивное отношение х > у такое, что для любых элементов и, v имеет место одно и только одно из соотношений и > v, и = v, v > и. 6. Покажите, что цепи это в точности те у-множества, все у-подмножества которых являются решетками. 7. Покажите, что никакое конечное у-множество с более чем двумя эле- элементами не определяется с точностью до изоморфизма своим графом. 8. Пусть у-множество Р имеет конечную длину. Покажите, что любые два элемента в нем имеют верхнюю грань тогда и только тогда, когда Р имеет уни- универсальную верхнюю грань /. 9. Покажите, что в у-множестве конечной длины цепь максимальна среди цепей, соединяющих элементы а и Ь, тогда и только тогда, когда она связна в графе, представляющем Р. 4. Решетки Верхней гранью подмножества X в у-множестве Р называется элемент а ? Р, содержащий все х ? X. Точная верхняя грань подножества X — это такая его верхняя грань, которая содер- содержится в любой другой его верхней грани 2); она обозначается символом sup X. Согласно Р2, если точная верхняя грань sup X существует, то она единственна. Понятия нижней грани подмно- подмножества X и точной нижней грани (которая обозначается симво- символом inf X) определяются двойственно3). Также согласно Р2, если точная нижняя грань inf X существует, то она единственна. Определение. Решеткой 4) называется у-множество L, в котором любые два элемента имеют точную нижнюю грань, 1) Автор часто использует понятия, формально вводимые позднее. См., например, ниже упр. 6.— Прим. перев. 2) Другими словами, это наименьшая верхняя грань подмножества X или наименьший элемент верхнего конуса множества X. Символ sup X читается «супремум Ху>.— Прим. перев. 3) Таким образом, точная нижняя грань подмножества — это его наибольшая нижняя грань или наибольший элемент нижнего конуса множества X. Символ inf X читается «инфимум X».— Прим. перев. 4) Одинаково распространенный термин «структура» становится неудобным из-за большой смысловой емкости этого слова (к тому же постоянно употребляется «структура» в смысле Бурбаки).— Прим. перев. 4. РЕШЕТКИ 19 или «пересечение», обозначаемое х д у, и точную верхнюю грань, или «объединение», обозначаемое х у У- Решетка L называется полной, если любое ее подмножество X имеет в L точные верхнюю и нижнюю грани 1). Полагая X = L, мы видим, что любая непустая полная ре- решетка содержит наименьший элемент О и наибольший элемент /. Очевидно, что у-множество, двойственное решетке, само является решеткой, а у-множество, двойственное полной решетке, будет полной решеткой с взаимной заменой пересечений и объединений. Любая конечная решетка, а также решетка конечной длины является полной. Более тонкие аналоги «цепных условий», обес- обеспечивающие полноту решетки, будут обсуждаться в главе VIII. Любая цепь является решеткой, в которой х /\ у совпадает с меньшим, а х V у с большим из элементов х, у. Не каждая решетка полна: так, у-множество рациональных чисел не является полной решеткой; и для действительных чисел (с естественным их упорядочением) условия полноты не выполняются, пока мы не присоединим к ним в качестве «универсальных граней» —со И + оо. Решетка всех подмножеств данного множества X (пример 1 § 1) полна; наименьшим элементом О здесь будет пустое множе- множество 0, а роль / играет само X. Для любого семейства А под- подмножеств Sa cz X точная нижняя грань inf А совпадает с теорети- теоретико-множественным пересечением р Sa всех Sa, a sup А есть не А что иное, как теоретико-множественное объединение U Sa. А Определение. Подрешеткой решетки L называется подмножество X cz L такое, что если а ? X, Ь ? X, то a A b ? еХиауЬ^Х. Подрешетка решетки сама является решеткой с теми же опе- операциями объединения и пересечения. Пустое подмножество и любое одноэлементное подмножество также будут подрешетками. Вообще, если а <: Ъ в решетке L, то (замкнутый) интервал [a, b ], состоящий из всех элементов х ? L, которые удовлетворяют неравенствам а < х < Ь, всегда будет подрешеткой. Выпуклым подмножеством в у-множестве Р называется подмножество, ко- которое вместе с любыми своими элементами а, Ь, где а <: Ь, содер- содержит весь интервал [а, Ь]. Подмножество S решетки L, по опре- определению, является выпуклой подрешеткой, если для любых a, b ? С 5 будет [а/\Ь, aVЬ] cr S. Подмножество решетки L может быть решеткой относительно того же (точнее, индуцированного) порядка, не будучи, однако, подрешеткой. Следующий пример иллюстрирует типичную ситуа- ситуацию для широкого класса таких (полных) решеток. х) Понятие решетки («Dualgruppe») впервые глубоко изучалось Дедекиндом [1, S. 113—114]. Полные решетки ввел автор в [1, р. 442].
20 ГЛ. I. ТИПЫ РЕШЕТОК Пример 7. Пусть 2 состоит из подгрупп некоторой группы G и пусть <: означает теоретико-множественное включение. Тогда 2 является полной решеткой, в которой Я д К — Н f| К (теоре- (теоретико-множественное пересечение), а Н у К есть наименьшая подгруппа в 2, содержащая Я и К (и она не совпадает с их тео- теоретико-множественным объединением). В приведенном примере теоретико-множественное объединение двух несравнимых подгрупп никогда не будет подгруппой, так что решетка подгрупп не является подрешеткой решетки всех подмножеств группы G. Примеры 6 и 7 являются типичными для широкого класса полных решеток, характеризуемых в терминах следующего понятия. Определение. Свойство подмножеств множества / на- называется свойством замыкания, если (i) / обладает этим свойством и (ii) любое пересечение подмножеств, имеющих данное свойство, само обладает им. Свойства замыкания систематически изучаются в главах V и VIII. А пока отметим лишь следующий результат. Теорема 6. Пусть L — полная решетка и S — неко- некоторое подмножество в L такое, что (i) / ? S и (ii) если Т с S, mo inf T ? S. Тогда S является полной решеткой. Доказательство. Для любого (непустого) подмно- подмножества Т из S, очевидно, inf T (в L) является элементом подмно- подмножества S согласно (ii), и этот элемент будет точной нижней гра- гранью для Т в S. Двойственно, пусть Ucz S обозначает множество всех верхних граней подмножества Та S; оно не пусто, так как / ? S. Тогда inf U ? S также будет верхней гранью для Т и, более того, наименьшей верхней гранью, так как inf U < и для всех и ? U. Это и доказывает, что S является полной решеткой. Следствие. Подмножества любого множества, обла- обладающие некоторым свойством замыкания, образуют полную ре- решетку, в которой- решеточное пересечение любого семейства под- мноэюеств Sa совпадает с их теоретико-множественным пере- пересечением, а их решеточное объединение совпадает с пересечением всех подмноэюеств Тр, содержащих все Sa. Прямые произведения. Кроме тех решеток, которые естествен- естественным образом возникают в различных областях математики, при помощи специальных конструкций можно строить и новые ре- решетки, отправляясь от некоторых заданных. Одна из таких воз- возможностей — образование прямого произведения, аналогичного прямым произведениям групп или прямым суммам колец. Определение. Прямым произведением *) PQ двух у- множеств Р и Q называется множество всех пар (х, у), где х ? Р, 1) Прямые произведения называются также «кардинальными произведе- произведениями» по причинам, которые выяснятся в § III.1. [Автор использует обозна- че ние PQ вместо более распространенного Р X Q. — Прим. ред. ] 8. РЕШЕТКИ КАК АЛГЕБРЫ 21 у € Q> упорядоченное по следующему правилу: (хъ ух) <: (х2, г/2) тогда и только тогда, когда хх < х2 в Р и ух < у2 в Q. Теорема 7. Прямое произведение LM любых двух реше- решеток является решеткой. Доказательство. Для любых двух элементов (xt, yt) в LM (i = 1, 2) элемент (хг V Н, ух V г/2) содержит оба элемента (хг, г/г) и, следовательно, является верхней гранью для этой пары. Далее, любая другая верхняя грань (и, v) обоих (xit yt) удовлетво- удовлетворяет неравенству и ss xt (i = 1, 2) и значит (по определению точной верхней грани), и ^ хх v х2; аналогично с^^ V Уг> так что (ы, v) ss (Хх у *г, Ух V Уh)- Это показывает, что C) (хх V х2, ух V г/2) = (хъ ух) V (х2, у2), откуда следует, что объединение, стоящее справа, существует. Двойственно, C') (xt Д х2, ух д Уг) = (*ь Ух) Л (*г, Уг), и, таким образом, LM является решеткой. 5. Решетки как алгебры Бинарные операции д и V в решетках имеют важные алгеб- алгебраические свойства, некоторые из которых аналогичны свойствам обычных умножения и сложения (• и +). Прежде всего, легко доказывается следующая Лемма 1. В любом у-множестве для операций пересече- пересечения и объединения выполняются, если, конечно, определены вхо- входящие в них выражения, следующие законы: L1 х /\х = х, х\1 х = х (идемпотентность); L2 х А У = У /\ х, x\J у = у У х (коммутативность); L3 х Л (у Л z) = (х Л у) Л г, х V (у V г) = (х V у) V z (ассоциативность); L4 х Д (х V у) = х V (х Л у) = х (поглощение). Кроме того, неравенство х < у равносильно каждому из усло- условий х Л у = х и х У у = у (совместимость). Доказательство. Законы идемпотентности и комму- коммутативности выполняются очевидным образом. Ассоциативный закон L3 также очевиден, поскольку х Д (у Л г) и (х Л у) Л z равны inf \x, у, z\, если все эти выражения определены. Равно- Равносильность соотношений х <: у, х /\ у = х и х У у = у прове- проверяется непосредственно, и из них следует L4. Лемма 2. Если у-множество Р имеет О, то О А х = О и О У х = х для всех х ? Р. Двойственно, если Р имеет наиболь- наибольший элемент 1,тох/\1 = хихУ1 = 1 для всех х ? X.
22 ГЛ. I. ТИПЫ РЕШЕТОК Доказательства оставляем читателю. Лемма 3. Во всякой решетке операции объединения и пересечения изотопны: D) если у < z, moxAy<xAzux\/y^.x\/z. Доказательство. Согласно LI—L4, если у < г, то х А у = (х Л х) Л (у А г) = (х Л у) Л (х А г), откуда х А у <¦ х /\ z вследствие совместимости. Второе не- неравенство в D) доказывается двойственно (принцип двойственно- двойственности). Лемма 4. Во всякой решетке имеют место следующие неравенства дистрибутивности E) х А (у V г) г* (х А у) V (х Л z), E') V (г/ Л z) <: (х V у) Л (х V г). Доказательство. Ясно, что х А у < х и х А у < <: г/ < г/ V z, откуда я Л г/ < х А (у V z). Точно так же л: Д г <: < х, xAz<z<cy\/z, откуда л; Л г <? л: Л (у V z). Таким образом, х А (у V z) является верхней гранью для х А у и х А г, и значит, выполняется E). Неравенство E') следует из E) по принципу двойственности. Лемма 5. Элементы любой решетки удовлетворяют сле- следующему неравенству модулярности: F) если х < г, то х V (у А г) < (х V у) А г. Доказательство. x<.x\/y\ix*cz, и значит, х <: < (х V у) А г. Аналогично, уАг<у<х\/уи у A z < г. Следовательно, у A z <: (х V у) А г, откуда х V (у А г) < (х V V у) А г. Ч. т. д. После лемм 1—5 становится очевидным, что теория решеток имеет отчетливый алгебраический оттенок. Сейчас мы докажем, что ее в самом деле можно рассматривать как часть алгебры: тождества LI—L4 полностью характеризуют решетки г). При доказательстве этого факта, и во многих других случаях, оказывается полезным следующее понятие. Определение. Система с одной бинарной идемпотент- ной, коммутативной и ассоциативной операцией называется полурешеткой. Следующий факт немедленно вытекает из леммы 1 (справедливо и двойственное утверждение для объединений (см. § П. 2)). J) LI—L4 для определения решеток использовал фактически Дедекинд. Операции inf и sup в у-множествах первым изучал Пирс (Р е i г с е С. S.— Amer. J. Math., 1880, 3. р. 15—57 (особенно р. 33)). Шредер [1, S. 197] указал на ошибочность убеждения Пирса, считавшего все решетки дистрибутивными. 5. РЕШЕТКИ КАК АЛГЕБРЫ 23 Следствие. Пусть в у-множестве Р любые два элемента имеют пересечение. Тогда Р является полурешеткой относительно бинарной операции А. Такие полурешетки называются А-полурешетками или ниж- нижними полурешетками. Обратно: Лемма 6. Если в полурешетке с бинарной операцией ° по- положить (*) х < у тогда и только тогда, когда х°у — х, то она становится у-множеством, в котором inf \х, у\ = х ° у. Доказательство. Из закона идемпотентности Хох = = х следует рефлексивность х < х. При помощи коммутативного закона х ° у = у ° х получается антисимметричность Р2: если х < у (т. е. х о у = х) и у <. х (т. е. у ° х = у), то х = х ° у = = у о х = у. Применяя ассоциативный закон, изх<?.уиу<.г получаем х = х ° у = х • (у » г) = (х » у) » z = х ° z, откуда х < z, т. е. доказана транзитивность РЗ. Предоставим читателю самому доказать, что х°у<?хихоу^у. Наконец, если z < х и z < у, то z о (х о у) = (г о х) « у = z ° у = z, откуда z <: <: х ° у, и значит, х ° у = inf \x, у\. Теорема 8. Любая алгебраическая система L с двумя бинарными операциями, удовлетворяющими условиям LI—L4, является решеткой, и обратно. Доказательство. Во-первых, по лемме 6 любая система L, операции которой удовлетворяют LI—L4, является у-множеством, в котором х А у = inf \х, у], так что х < у озна- означает, что х А у — х. Во-вторых, согласно L4, из х А у — х следует, что хУу = (хАу)Чу = у и (двойственность) об- обратно. Следовательно, неравенство х < у равносильно также и равенству х V у = у. По принципу двойственности получаем, что х V у = sup \x, у], и значит, L является решеткой. Вторая часть теоремы содержится в лемме 1. Этим и завершается дока- доказательство. Упражнения к §§ 4—5 1. Докажите, что в любой решетке (а\/ Ь) Д (с\/ d) :> (а Д с) V Ф А *0> каковы бы ни были а, Ь, с, d. 2. Выведите утверждение D) непосредственно из LI—L4. 3. Докажите, что любой интервал решетки является подрешеткой и что подрешеткой будет любое пересечение интервалов. 4. (а) Нарисуйте диаграммы пяти неизоморфных пятиэлементных решеток; три из них самодвойственны. (б) Покажите, что любая пятиэлементная решетка изоморфна одной из по- построенных пяти решеток. (в) Покажите, что существует в точности четыре неизоморфные непустые решетки, содержащие менее пяти элементов каждая. (г) Покажите, что существует в точности 15 неизоморфных шестиэлементных решеток, из которых семь самодвойственны. (Указание. Добавьте О и / к четырехэлементным у-множествам.)
24 ГЛ. I. ТИПЫ РЕШЕТОК (д) Сколько существует неизоморфных семиэлементных решеток? (Ука- (Указание. Добавьте О и / к пятиэлементным у-множествам. Сколько среди них решеток?) 5. Покажите, что «объединение» любых двух множеств в решетке всех мно- множеств, замкнутых относительно произвольной операции замыкания, является замыканием их теоретико-множественного объединения. 6. Покажите, что следующие совокупности образуют полные решетки: (а) нормальные подгруппы группы; (б) характеристические подгруппы группы; (в) правые идеалы кольца; (г) идеалы решетки; (д) инвариантные подалгебры линейной алгебры. 7. Пусть Ф обозначает класс (однозначных) преобразований ф некоторого множества /. Покажите, что подмножества X нз / такие, что ф (X) а X для всех Ф ? Ф, образуют полную решетку. 8. Покажите, что выпуклые подмножества евклидова пространства обра- образуют полную решетку. * 9. Подмножество S векторного пространства V со скалярами из упоря- упорядоченного поля F называется выпуклым, если для х, у ? S,X, [Д.^ОиЯ,+ р.= 1 всегда будет \х + щ/ ? S. Докажите, что выпуклые подмножества пространства V образуют полную решетку. 10. Покажите, что если п (Р)< 5 и Р содержит универсальные грани О и /, то Р является решеткой. 11. Покажите, что для любого подмножества S решетки L множество всех его нижних граней является подрешеткой в L. 12. Докажите, что полная решетка всех идеалов кольца Z изоморфна ре- решетке всех неотрицательных целых чисел, рассматриваемых относительно де- делимости. Укажите универсальные грани этой последней решетки. 13. (а) Покажите, что восьмиэлементная решетка всех подмножеств трех- трехэлементного множества не содержит семиэлементных подрешеток. (*б) Покажите, что любая решетка с п>6 элементами содержит шести- элементную подрешетку. 6. Дистрибутивность Во многих решетках аналогия между решеточными опера- операциями д, у и арифметическими операциями •, + включает и дистрибутивный закон х (у + г) = ху + хг. В таких решетках неравенства дистрибутивности E)—E') усиливаются до тождеств. Эти тождества выполняются не во всех решетках; они нарушаются, например, в решетках Ма и Nb, изображенных на рис. 2, а, б х). Исследование дистрибутивности мы начнем с результата, который не имеет аналога в обычной алгебре (где в общем случае а + be Ф (а + Ь) (а + с)). Теорема 9. В любой решетке следующие тождества равносильны L6' х А (у V г) = (х А у) V (х А г) для любых х, у, г; L6" х V (у А г) = (х V у) А (х V г) для любых х, у, г. Предостережение. Выполнимость L6' для отдель- отдельных элементов х, у, z решетки не влечет выполнимости для них L6",— это видно на рис. 2, б, в. х) Решетку с диаграммой, изображенной на рис. 2, а, автор обозначает символом Мъ (индекс — число элементов). В переводе он всюду заменен ныне общепринятым знаком М3-— Прим. перге. 6. ДИСТРИБУТИВНОСТЬ 25 Доказательство. Покажем, что из L6' следует L6". Обратная импликация L6" =^ L6' будет тогда получаться по принципу двойственности. Для любых х, у, z имеем: (х V у) А (х V г) = 1(х V у) А х) V 1(х V у) А г] (согласно L6') = х v Iz Л (х V у)] (ввиду L4/L2) = х V [(г А х) V (z Л у) 1 (вследствие L6') = 1х V (z Л *) ] V (z Л у) (на основании L3) = х V (z Л у) (в соответствии с L4). Определение. Решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняется тождество L6' (а значит, и L6"). Все решетки в примерах 1—5 из § 1 дистрибутивны; однако решетки в примерах 6—7 в общем случае дистрибутивными не являются. То, что действительные числа (пример 4) образуют дистрибутивную решетку, вытекает из следующего несложного результата. Лемма. Любая цепь является дистрибутивной решеткой. Действительно, х А у меньше, чем х и у, а х V у больше, чем х и у; элементы л: Л (у Vkz) и (х А у) V (х Л z) оба равны х, если х меньше, чем у или г, и оба'^равны у V z в противном слу- случае — когда х больше, чем у и г. Решетка, двойственная к дистрибутивной, дистрибутивна, и любая подрешетка дистрибутивной решетки дистрибутивна. Пря- Прямое произведение дистрибутивных решеток также является ди- дистрибутивной решеткой. Известный факт дистрибутивности решетки^из примера 1 можно рассматривать в более общих рамках. Определение. Кольцом множеств называется семей- семейство Ф подмножеств множества /, содержащее вместе с любыми двумя множествами S и Т их (теоретико-множественные) пере- пересечение и объединение S [\ Т к S \] Т. Полем множеств назы-
26 ГЛ. I. ТИПЫ РЕШЕТОК вается кольцо множеств, которое вместе с любым S содержит также и его теоретико-множественное дополнение S'. Любое кольцо множеств в естественной упорядоченности S cz T является дистрибутивной решеткой. Например, открытые множества топологического пространства образуют дистрибутив- дистрибутивную решетку (и замкнутые множества тоже). Решетка в примере 2 также дистрибутивна. Здесь х У у есть не что иное, как наименьшее общее кратное чисел хну, ах А у — их наибольший общий делитель. Числа х, у и z можно записать как произведения Пр^ степеней всех простых рг, делящих х, у и г (если нужно, с показателем et = О для простого, не деля- делящего соответствующее число). Тогда et (xaA у) = min |ег (х), et (y)\> et (х V у) — max \et (x), et (y)\, так что для всех i число et (x А (у V z)) = et ((х Л у) У (х Л г)) будет статистической медианой трех показателей et (x), et (r/), et (z). Важное свойство дистрибутивных решеток устанавливает сле- следующая Теорема 10. Если в дистрибутивной решетке г) с А х = = с А у и с V х^= с V у, то х = у. Доказательство, Применяя L4, L2 и L6', получаем: х = х А (с V х) = х А (с V у) = (х А с) V (х А у) = . = (с Л у) У (х Л у) = (с V х) А у = (с У у) А у = у. Этим завершается доказательство. (См. следствие из теоремы 11.13.) 7. Модулярность Рассматривая для дистрибутивного закона L6' случай х <: г, т. е. z = х V z, мы получаем самодвойственный «модулярный» закон L5 если х < г, то х У (у A z) = (х У у) A z. Таким образом, L5 имеет место в любой дистрибутивной ре- решетке. Определение. Решетка называется модулярной, если в ней выполняется модулярный закон 2) L5. Не каждая решетка модулярна: например, немодулярна пятиэлементарная решетка Nb, изображенная на рис. 2, б. Хотя всякая дистрибутивная решетка модулярна, пятиэлементная ре- решетка М3 на рис. 2, а модулярна, но не дистрибутивна. Решетка М3 J) Для произвольного фиксированного с.— Прим. перев. а) Основные свойства модулярных решеток («Dualgruppen von Modultypus») и дистрибутивных решеток были установлены Дедекиндом [1]; см. также Шре- дер [1]. 7. МОДУЛЯРНОСТЬ 27 изоморфна решетке всех нормальных подгрупп четверной группы х). Ее модулярность вытекает из следующей теоремы. Теорема 11. Нормальные подгруппы любой группы G образуют модулярную решетку. Доказательство. Нормальные подгруппы в G, ко- конечно, образуют решетку, в которой М А N = М П Л? является пересечением подгрупп М и JV, а М V iV = MN {Ф М U Щ совпадает с множеством произведений ху, где х ? М, у ? N'. Чтобы доказать модулярность этой решетки, достаточно вслед- вследствие модулярного неравенства F) установить, что из L cz N следует включение (L V М) (] N cz L V (М f] N). Пусть а ? ? (L V М) П N. Тогда если LM = ML, то L V М = LM, откуда а = be, где b ? L, с ? М, be ? N. Отсюда с = Ь~га, где Ь'1 ? L cz N, и а ? (L V М) f| Л? с N, и значит, с ^ N. Но так как с?М, то c?/Wf]W, и следовательно, а = be ? ? L V (М [\ N). Этим и доказывается требуемое включение (L V М) л N cr L V (М П Л0. Замечание. Проведенные рассуждения показывают, что если подгруппы L, М, N группы G таковы, что LM = ML и L a N, то L V (М П W) = (L V М) П W- Любая подрешетка модулярной решетки модулярна. Отсюда следует, что подпространства любого векторного пространства и идеалы любого кольца (пример 6 из § 1) образуют модулярные решетки, будучи элементами модулярной решетки всех (нормаль- (нормальных) подгрупп соответствующей аддитивной группы. Прямое про- произведение модулярных решеток также будет модулярной решеткой. Легко проверить, что решетка на рис. 2, б не модулярна. Оказывается, она является единственной немодулярной решеткой с пятью элементами. На самом деле, имеет место даже более силь- сильный результат. Теорема 12. Любая немодулярная решетка L содержит решетку Nb, изображенную на рис. 2, б, в качестве подрешетки. Доказательство. Если L не модулярна, то она со- содержит элементы х, у и z такие, что х <. z vt. х У (у A z) <(xV V у) А г. Тогда элементы у, х V у, у A z, {х V у) А г и х V V (у А г) образуют подрешетку, изоморфную Nb. В самом деле, очевидно, что у A z < х V (у А г) < (х V у) A z < x V у. Да- Далее, [х У (у А г)] У у = х V у и двойственно. Наконец, равен- равенство у A z = х У (у A z) невозможно, поскольку тогда было бы х < у А г, откуда (х У у) A z — х У (у А г), что противоре- противоречит исходному соотношению. Одним из основных свойств модулярных решеток является следующий «принцип транспозиции», восходящий к Дедекинду [2, S. 245]. х) Впрочем, поскольку эта группа KOMMyTaTHBHas то все ее подгруппы нор- нормальны.— Прим. ред.
28 ГЛ. I. ТИПЫ РЕШЕТОК Теорема 13. В любой модулярной решетке М отобра- отображения фо : л: -> л: Д а и г|>ь : у ->- у V b являются взаимно обрат- обратными изоморфизмами между интервалами [Ь, а V Ъ] и [а Л Ь, а]. Доказательство. Если х ? [b, a \/ b], то *фа ?' ? [of Л Ь, а] вследствие изотонности фа. Далее, (х Л а) V Ь = = л: Л (а V Ь) согласно L5, так как х ? [Ь, а V ft]. Это озна- означает, что лгфаг|5Ь = л:, а из соображений двойственности получается, что г/ \|зь фа = у для всех г/ ? [а Л i, a]. Следствие. В любой модулярной решетке (?) если а Ф b и оба элемента а и b покрывают с, то а V b покрывает и а, и Ь; (?') двойственно, если афЬ и с покрывает оба элемента а и Ь, то а и b оба покрывают а Д Ь. (В теореме 11.16 будет показано, что в решетках конечной длины условия (?)—(?') и необходимы, и достаточны для моду- модулярности.) Доказательство. Если а и b Ф а покрывают с, то с = а Л Ь. Следовательно, по доказанной теореме [а, а V b] ss =ё [а Л b, b] =s 2, и значит, а'У b покрывает а. Те же рассу- рассуждения показывают, что а V b покрывает Ь. Доказательство для (?') проводится двойственно. Теорема 13 имеет и другие следствия, формулировки которых можно упростить, используя следующие два понятия. Определение. Два интервала решетки называются транспонированными, если они могут быть представлены в виде [а Л Ь, а] и [Ь, а V Ь] для подходящих а, Ь. Два интервала [х, у] и [х', у'] называются проективными (записывают [х, у] ~ ~ W, у']), если существует конечная последовательность [х, у], [Х\> Уг], [х2, уг], ..., \х', у'], в которой любые два последо- последовательные интервала транспонированы. Следствие 1. В теореме 13 % (соответственно ц>а) отображает подинтервалы интервала [а Л Ь, а] (соответственно [а, а V Ь]) на (изоморфные им) транспонированные интервалы. Следствие 2. В любой модулярной решетке проектив- проективные интервалы изоморфны. Упражнения к §§ 6—7 1. Покажите, что решетки, изображенные на рис. 2, а, б, являются един- единственными недистрибутивными решетками с пятью элементами. 2. Покажите, что из L6 и L1—L3 следует равенство х\7 (х/\ у) = х /\ А (х v у)- 3. Покажите, что если к дистрибутивной решетке L добавить новые элементы О, I, удовлетворяющие неравенствам О<< *<< / для всех х ? L, то получится дистрибутивная решетка. 4. Покажите, что «римановы» разбиения интервала на конечное число не- непересекающихся подинтервалов образуют дистрибутивную решетку. ¦ 5. Покажите, что L5 равносильно следующему условию: если х <5 г, то v:&AX(V)A 8. ПОЛУМОДУЛЯРНОСТЬ 29 6. (а) Покажите, что решетка Ns, изображенная на рис. 1, б, не моду- лярна. (б) Покажите, что решетка, изображенная на рис. 1, а, модулярна. (в) Покажите, что Л^5 является единственной >немодулярной пятиэлементной решеткой. 7. (а) Покажите, что модулярный закон самодвойствен, (б) Покажите, что'любая решетка длины два модулярна. 8. На рис. 2, в х Д (у \/ г) = х = (х Д у) \/"(х Д г), но двойственное соотношение не выполняется, поскольку х\/ (у Д г) = х<* г = (х\/ у) Д Д (х\/ г). Почему это не противоречит теореме 9? 9. Покажите, что подмодули любого Я-модуля (т. е. модуля над кольцом R) образуют модулярную решетку. 10. Пусть в модулярной решетке а Д Ь = О, a\J Ь = / и О<? с<< а, О < d < b. Покажите, что множество {а, Ь, с, d) порождает подрешетку, изо- изоморфную прямому произведению 3X3, где 3 обозначает трехэлементную цепь. 11. Покажите, что если Р и Q — непустые у-множества, то группа авто- автоморфизмов у-множества PQ содержит подгруппу, изоморфную прямому произ- произведению Aut P X Aut Q. 8. Полумодулярность Решетки конечной длины, удовлетворяющие (?) или (?'), называются полу модулярными г). Более точно, решетка конечной длины, удовлетворяющая условию (?), называется полумодуляр- полумодулярной (сверху), а решетка конечной длины, удовлетворяющая усло- условию (?'),— полумодулярной снизу или «дуально» полумодуляр- полумодулярной. Легко показать, что любой интервал в полумодулярной сверху решетке является полумодулярной (сверху) решеткой и что свойство полумодулярности (сверху) сохраняется при обра- образовании прямого произведения таких решеток. Однако, поскольку каждая немодулярная решетка содержит подрешетку, изоморф- изоморфную решетке N5 (см. рис. 1, б), которая не удовлетворяет ни условию (|), ни условию (?')> подрешетка полумодулярной (сверху) решетки не обязана быть полумодулярной (сверху) 2). Это видно на примере семиэлементной решетки, изображенной на рис. 1, в. На самом деле любая конечная решетка изоморфна подрешетке полумодулярной решетки (Дилуорс) — это будет доказано в главе IV. В следующих двух примерах появляются типичные полу- полумодулярные (сверху) решетки конечной длины. Пример 8. Пусть F — поле и пусть A (F; п) обозначает совокупность всех подпространств (или «плоских подмножеств») п-мерного аффинного пространства над F (это подмножества, которые вместе с любыми двумя точками содержат и всю прямую, J) Полумодулярные решетки впервые рассматривались, по-видимому, авто- автором [1, р. 446]; см. также работу Ф. Клейна (К 1 е i n Fr.— Math. Z., 1936, 42. S. 58—81). Пример 9 впервые исследовал автор в [3, р. 446—452].'" а) Конечно, Здесь подразумевается, что существуют не модулярные полу- полумодулярные сверху решетки* (см. рис. 3, а, где жирными точками выделена подрешетка Nt)— Прим. ред.
30 ГЛ. I. ТИПЫ РЕШЕТОК проходящую через них). Тогда A (F; п) является полумодуляр- полумодулярной сверху решеткой длины п + 1, в которой h lx ] не превосхо- превосходит геометрическую размерность. На рис. 3, а представлена диаграмма для A (Z2, 2). Пример 9. Пусть S — n-элементное множество. Симме- Симметрической решеткой разбиений длины п — 1 называется у-мно- жество Пп отношений эквивалентности (разбиений) на множе- множестве S, в котором р <: т означает, что хру влечет хху, т. е. что разбиение я (р) является измельчением разбиения я (т). В решетке П„ пересечение рЛт имеет своими классами экви- эквивалентности пересечения Rt f| T,- классов эквивалентности R( для р и Tj для т, так что х (р Л т) у тогда и только тогда, когда одновременно хру и хху. Объединение р V т является пересече- пересечением всех отношений эквивалентности, содержащих и р, и т. В П„ наименьшим элементом О будет отношение равенства, а наибольшим элементом / — вырожденное разбиение, единственный класс эквивалентности которого совпадает со всем множеством S. Далее, т покрывает р в Пп в том и только в том случае, когда я (т) получается из я (р) объединением каких-нибудь двух клас- классов эквивалентности. Наконец, h [р] = п — v (р), где v (p) — число классов эквивалентности, на которые р разбивает множе- множество S. Таким образом, П„ является градуированной решеткой при любом конечном п. Рис. 3, б изображает П4. Тесно связано с рассмотренным в примере 9 следующее у-мно- жество. Пример 10. Пусть р : N = т{ + \- тг и v : N = = пх + •••+«» — разбиения положительного целого N на по- положительные целые слагаемые mh соответственно п}. Будем считать ц <: v тогда и только тогда, когда разбиение v может быть получено из ц (возможно, после перегруппировки слагае- слагаемых) выполнением подходящих сложений. Получающееся у-множество PN не может удовлетворять усло- условию (|), если N > 4, поскольку в этом случае оно не является решеткой (рис. 3, в изображает Ръ) г). Однако в этом у-множестве выполняется цепное условие Жордана—Дедекинда (см. § П.8). *) Фраза не совсем логична, ибо свойство (%) определено лишь для решеток, Прим. ред. 9. МОДУЛЯРНЫЕ РЕШЕТКИ С ДОПОЛНЕНИЯМИ 31 Упражнения 1. Покажите, что любая немодулярная решетка содержит подрешетку, не являющуюся полумодулярной. 2. Пусть М — произвольная модулярная решетка и s < / — некоторый максимальный собственный элемент х) в М. Покажите, что если из М исключить все х ^ s, то получится полумодулярная решетка 2) L. Покажите, что если р > О в L, то элементы у ^ р образуют модулярную решетку. 3. (а) Покажите, что если в произвольной полумодулярной решетке L приравнять элементу / все элементы высоты не меньше п (где п — произвольное фиксированное натуральное число), то получится полумодулярная решетка. (б) Покажите, что она будет \J-гомоморфным образом решетки L (Маклейн). 4. Покажите, что симметрическая решетка разбиений длины п при п > 2 не модулярна. 5. Покажите, что решетка всех разбиений конечного графа на связные подграфы полумодулярна. *6. Покажите, что «нормальные смежные классы» (т. е. смежные классы по нормальным подгруппам) конечной группы G образуют полумодулярную решетку тогда и только тогда, когда нормальная подгруппа, порожденная каж- каждым элементом а ? G (отличным от единицы), является минимальной неодно- неодноэлементной нормальной подгруппой. 7. Покажите, что при k ^ 5 каждая решетка порядка п > k содержит k- элементную подрешетку. 8. Покажите, что при 2 ^ п ^ 7 каждая решетка подрядка п содержит (п — 1)-элементную подрешетку. 9. Покажите, что при k ^ 6 каждая модулярная решетка порядка п > k содержит fe-элементную подрешетку. (В упражнениях 7—9 цитируются результаты Ф. Клейна.) 9. Модулярные решетки с дополнениями Под дополнением элемента х в решетке с О и / понимают эле- элемент у ? L такой, что x/\y = Ou.xVy = I. Решетка L назы- называется решеткой с дополнениями, если все ее элементы имеют дополнения. Решетка называется решеткой с относительными дополнениями, если каждый ее (замкнутый) интервал является решеткой с дополнениями 3). Теорема 10 утверждает, что в лю- любом заданном интервале [а, Ь] дистрибутивной решетки элемент с может иметь самое большее одно относительное дополнение. В § 1 только в примере 1 всегда получаются решетки с допол- дополнениями. Модулярная решетка всех подпространств тг-мерного векторного пространства Fn = Vn (F) над любым полем (или телом) F является решеткой с дополнениями. Случай У2 (Z2) дает модулярную решетку М3, изображенную на рис. 1, а. Теорема 14. Любая модулярная решетка М с дополнени- дополнениями является решеткой с относительными дополнениями. х) Под собственным элементом здесь понимается элемент, отличный от /.— Прим. ред. а) Простейшим контрпримером к этому утверждению служит решетка М3. Нужно рассматривать модулярные решетки с О и отбрасывать ненулевые х < s.— Прим. перев. 3) Более общие понятия см. у Саса [1,5 18] и в Publ. Math. Debrecen, 1953, 3, p. 9-16.
32 ГЛ. I. ТИПЫ РЕШЕТОК Доказательство. Прежде всего, если О < х <: Ь в М, то, конечно, х А (х' А Ь) = (х А х') Л Ь = О, а согласно L5 х V (х' А Ь) = (х V х') A b = I A b = Ь. Значит, В = [О, Ь] является модулярной подрешеткой с до- дополнениями решетки М. Двойственно, [а, Ь] а В является модулярной подрешеткой с дополнениями в В. Ч. т. д. Немодулярная пятиэлементная решетка Nb (рис. 1, б) яв- является решеткой с дополнениями, но не с относительными до- дополнениями. Теорема 15. В решетке L конечной длины с относитель- относительными дополнениями каждый элементна является объединением содержащихся в нем атомов. Доказательство. Если а > О, то либо а является атомом, либо а > b > О для некоторого b ? L. Пусть с будет относительным дополнением элемента b в а1). Индукцией по длине интервала [О, а] доказывается, что элементы b и с оба являются объединениями атомов. Но тогда это справедливо и для а = Ь V с. Следствие. В модулярной решетке конечной длины с дополнениями каждый элемент является объединением содержа- содержащихся в нем атомов. Пример 11. Решетка М подпространств о-мерного евкли- евклидова пространства Еп модулярна (по теореме 11) и является решеткой с дополнениями, поскольку для ортогонального до- дополнения Sx любого подпространства S будет S A S1 = О, S + S± = En. 10. Булевы решетки. Булевы алгебры По определению, булева решетка — это дистрибутивная ре- решетка с дополнениями. Напомним, что по теореме 10 в дистрибу- дистрибутивной решетке каждый элемент имеет не более одного дополне- дополнения. Отсюда следует Теорема 16. В булевой решетке любой элемент х имеет одно и только одно дополнение х'. При этом х А х' = О, х V х' = /; L8 L9 L10 (х'У = х; (х А у)' = х' V у', (х V у)' = х' д У'- Доказательство. Соответствие х -> х', как мы ви- видели, однозначно. Но в силу симметричности понятия дополне- дополнения элемент х является дополнением для х', откуда х = (х1)' 1) То есть в интервале [О, а].— Прим. перев. 10. БУЛЕВЫ РЕШЕТКИ. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 33 ввиду единственности дополнений, и L9 доказано. Значит, соот- соответствие х -> х' взаимно однозначно. Далее докажем, что G) х /\ а = О тогда и только тогда, когда х < а'. Это получается так: (i) если х < а', то х А а < а' А а = О, и (И) если х А а = О, то х = х А I = х А (а V а') = (х А а) V (х А а') = = О V (х А а') = х А а'. Из G) следует, что при а <: Ь, и значит, при b' A a <: b' A A b = О, будет Ь' <. а': взаимно однозначное соответствие х -> х' антиизотонно (обращает порядок). Так как соответствие х' -> -> (х'У тоже антиизотонно, то х -> х' будет дуальным изомор- изоморфизмом, что и доказывает L10. Отсюда следует, что любая булева решетка дуально изо- изоморфна себе (самодвойственна). Так как дополнения в булевой решетке единственны, ее можно рассматривать и как алгебру с двумя бинарными Л, V и одной унарной операцией'. В этом смысле булева решетка называется булевой алгеброй. Определение. Булевой алгеброй называется алгебра с операциями Л, V, ', удовлетворяющими условиям LI—L10. (Булева) подалгебра булевой алгебры А есть непустое подмно- подмножество в А, содержащее с любыми a, b также a A b, a V b и а'. Таким образом, собственный интервал [а, Ь] булевой ал- алгебры А, хотя и является ее булевой подрешеткой, но булевой подалгеброй не будет. Теперь покажем, что в любой дистрибутивной решетке с О и / имеется наибольшая «булева подалгебра». Теорема 17. Элементы дистрибутивной решетки с О и I, обладающие дополнениями, образуют подрешетку. Доказательство. Если хпу обладают дополнениями, то (х А у) А {х! V у') = (х А у А х') V (* Л у А у') = О V О = О и двойственно. Значит, х А у имеет дополнением элемент х' V у'. Из двойственных соображений получается, что дополнением для х V у будет х' А у', чем и завершается доказательство. Любое поле множеств и, в частности, поле всех подмножеств данного множества является булевой алгеброй. Далее, любая подалгебра булевой алгебры сама будет булевой алгеброй. Буле- Булевыми алгебрами будут любое прямое произведение булевых алгебр и любой интервал булевой алгебры. Пример 12. Класс всех бинарных отношений между эле- элементами двух классов / и J является булевой алгеброй, поскольку 2 Биркгоф Г.
34 ГЛ. I. ТИПЫ РЕШЕТОК этот класс изоморфен классу всех подмножеств в / X J, если сопоставить каждому отношению р его график — множество всех пар (х, у) таких, что хру. Упражнения к §§ 9—10 1. Покажите, что в любой модулярной решетке с дополнениями \у-неразло- \у-неразложимые элементы являются атомами. 2. Покажите, что если г является относительным дополнением для х в x\J у или для х /\ у в у, то г является дополнением для x\J {x\J у)'. 3. Покажите, что все решетки с относительными дополнениями, имеющие ие более восьми элементов, модулярны. (Рубин) 4. (а) Покажите, что решетка на рис. 1, в дуально изоморфна решетке всех подгрупп группы октаэдра. (б) Покажите, что на рис. 1, в средний элемент не имеет дополнения. 5. (а) Покажите, что любая решетка L является подрешеткой решетки с до- дополнениями, содержащей лишь на три элемента больше. (б) Покажите, что если /.^конечна, то достаточно добавить к ней всего один элемент. 6. Докажите, что каждый интервал [а, Ь] булевой решетки L является булевой решеткой, в которой ^, Д, V имеют тот же смысл, что в L, a дополне- дополнениями в [а, Ь] являются относительные дополнения соответствующие элементов в решетке L. , 7. (а) Покажите, что в любой булевой решетке конечной длины каждый элемент является объединением атомов. (б) Покажите, что если в дистрибутивной решетке L конечной длины наибольший Элемент / является объединением атомов, то i — булева ре- решетка. 8. Покажите, что непустое подмножество булевой алгебры будет ее под- подалгеброй, если оно^замкнуто относительно операций Д и '. 9. Найдите семиэлементную модулярную решетку, в которой элементы, имеющие дополнения, не образуют подрешетки. 10. Покажите, что каждое из следующих свойств имеет место в PQ тогда и только тогда, когда оно выполняется в обоих у-множествах Р и Q: (а) PQ — Д-полурешетка; (б) PQ — модулярная решетка; (в) PQ — решетка с дополнениями; (г) PQ —vдистрибутивная решетка. 11. (а) Постройте решетку с относительными дополнениями порядка 9, не удовлетворяющую цепному условию Жордана—Дедекинда. (б) Покажите, что это условие выполняется в любой решетке с относитель- относительными дополнениями, имеющей не более 8 элементов. (в) Постройте шестиэлементную решетку с дополнениями, которая не была бы решеткой с относительными дополнениями, но удовлетворяла бы условию Жор- Жордана—Дедекинда. 12. Постройте решетку с относительными дополнениями порядка 14, кото- которая удовлетворяла бы условию Жордана—Дедекинда, но не была бы полумо- полумодулярной. 13. (а) Покажите, что П4 является полумодулярной решеткой с относитель- относительными дополнениями порядка 15, но что она не модулярна. (б) Покажите, что любая полумодулярная решетка с относительными до- дополнениями порядка не более 11 будет модулярной. * 14. Пусть L — модулярная решетка с универсальными гранями. Дока- Докажите, что: (i) если а/\ b, a\/ b имеют дополнения в L, то а, Ь тоже имеют допол- дополнения в L; (И) если а, Ь имеют единственные дополнения а!, Ь' в L, то a' \J b' и а Д Ь' являются дополнениями для а Д b, a\J Ь (Бамкрет). ПРОБЛЕМЫ 35 ПРОБЛЕМЫ 1« Для данного п каким будет наименьшее целое г|э (/г) такое, что любая решетка порядка г ^ г|э (/г) содержит «-элементную подрешетку? х) 2„ Вычислить для небольших п и найти асимптотику и оценки для степени роста функций G (п) и G * (п) из упр. 5 к § 2.2) 3« Тот же вопрос для чисел Я* (п) и Н (п), обозначающих соответственно количество различных и количество неизоморф- неизоморфных решеточных упорядочений тг-элементного .множества. 4. (а) Подсчитать число 7 (л, Ъ) связных 3) у-множеств длины %, имеющих п элементов, (б) Сколько среди них решеток? (в) Вы- Вывести асимптотические формулы для этих функций при п -> оо для малых фиксированных % или п — "к. 5. Перечислить все конечные решетки, которые однозначно (т. е. с точностью до изоморфизма) определяются своей диаграм- диаграммой, рассматриваемой как граф. (См. упр. 7 к § 3.) 4) 6. Найти все конечные решетки, для которых каждый авто- автоморфизм соответствующего им графа являлся бы решеточным автоморфизмом (Уотермен). х) Проблема 9 из [LT2]. Хейвес и Уорд (Н a v a s G., Ward M.—J. Combin. Theory, 1969, 7, № 3, p. 281—282) показали, что ¦>!> (n) существует для любого п > 0 и что г|з (п) <С NsN при п > 1.— Прим. перев. 2) Кларнер (К 1 а г n e r D. A.— J. Combin. Theory, 1969, 6, № 1, p. 12—19) получил для G* (п) оценку снизу, а Батлер (Ким Ки-ханг) (В u t 1 е г К- К-—Н.—¦ J. Combin. Theory, 1972, 13, p. 276—289) представил G (п) и G* (л) формулами, пригодными для машинного счета.— Прим. перев. 3) То есть со связной как граф диаграммой.— Прим. перев. *) Проблема 8 из [LT2]. Частичное решение (для случая модулярных ре- решеток) дал Якубик (Jakubik J. — Czechosl. Math. J., 1954, 4, p. 131—141). — Прим. перев,
ГЛАВА II ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК 1. Квазипорядки Большинство классов алгебраических систем допускает раз- различные аксиоматические описания. В § 1.1 мы видели, например, что обычные постулаты Р1—РЗ для у-множеств равносильны следующим двум законам строгого включения: PV ни для какого х не может быть х < х (антирефлексивность); РЗ если х < у и у < z, то х < z (транзитивность). Другие системы аксиом для у-множеств можно получить, опи- описывая свойства тернарного отношения между (а х Ь) р\ которое по определению означает, что * *\b,d,e} а < х < b или Ъ < х < а; см. аУ1\ „ Д ниже § 9. * I \ % / \ Подобные системы аксиом, 1 \jf I \ хотя и любопытны, но зачастую * >*г 4 .V оказываются неплодотворными. ^) ^ настоящей главе мы рассмот- а) рим для различных типов ре- Рис- 4- шеток несколько действительно интересных и полезных систем аксиом. Будет исследован и вопрос о том, что получится, если в соответствующих аксиоматиках отказаться от одного или не- нескольких постулатов. Действуя в этом духе,- определим сначала квазиупорядочение множества S как отношение <1, удовлетворяющее условиям Р1 и РЗ, но с необязательным Р2. Пара (S, ^) называется в этом случае квазиупорядоченным множеством. Квазиупорядоченные множества можно строить, исходя из ориентированных графов — совокупностей точек, которые соеди- соединены направленными прямолинейными отрезками. На рис. 4, а показан такой ориентированный граф. Если дан ориентированный граф с вершинами х, у, . . ., то пусть х s^j у означает, что х = у, или существует путь из х в у в направлении стрелок. Так, на рис. 4,a b ^ е, поскольку имеется путь b -*¦ d, d ->- е. Построенное отношение, конечно, транзи- тивно. С другой стороны, как видно из рис. 4;а, b ^ е и е s?3 b, так что антисимметричность не всегда имеет место. Покажем теперь, как из данного квазипорядка построить у-множество, 2. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК. ПОЛУРЕШЕТКИ 37 по- поЛемма. В квазиупорядоченном множестве Q = (S, ложим х ~ у, если х =S3 У и У =?3 х. Тогда (i) ~ является отношением эквивалентности на S; (ii) если Е и F — два класса эквивалентности отношения ~, то либо х =S3 у для всех х ? Е, у ? F, либо подобное соотношение невозможно ни при каких х ? Е, у ? F; (ш) фактор-множество S/~ становится у-множеством, если положить Е < F в случае, когда х ^ у для некоторых (а значит, и для всех) х ? Е, у ? F. Доказательство, (i) Так как х ^ х для всех х ? S, то —' рефлексивно. Далее, изх-~г/иг/~г следует, что х =S3 у и у =S3 ^ (по определению), откуда х s?3 z согласно РЗ. Аналогично z О х, и потому х ~ z, т. е. отношение ~ транзитивно. Оно сим- симметрично по определению. (ii) Если х <1 у для некоторых х ? Е, у ? F, то хх о х о =S3 У =?3 #i для всех % ? ?, г/х ^ F, и значит, % <] г/х вследствие транзитивности. (iii) Ясно, что Е ~ Е (так как х ~ х) для всех Е. Далее, из Е < F и F < G следует, что х ^ г/ ^ z для всех х ? Е, у ? F, z1^ G, откуда х <] z согласно РЗ для <]. Значит, <: транзитивно. Наконец, если Е < F и F < Е, то для всех х ? Е, у Q F будет х о г/ и г/ о х, откуда х ~ у, и значит, ? = F. Ч. т. д. В ориентированном графе на рис. 4, а классами эквивалентно- эквивалентности ~ будут множества \а\, \b, d, e\, \с\, и диаграмма соответ- соответствующего у-множества изображена на рис. 4, б. Ввиду леммы квазипорядки часто называют «предпорядками». Эта лемма имеет множество приложений. Пример 1. В коммутативной полугруппе S с единицей пусть а\Ъ означает, что ах = Ъ для некоторого х ? S. Отноше- Отношение | квазиупорядочивает S; два элемента множества S «эквива- «эквивалентны» в смысле леммы тогда и только тогда, когда они «ассо- «ассоциированы» в теоретико-числовом смысле. 2. Постулаты для решеток. Полурешетки Постулаты LI—L4, определяющие решетку, не являются независимыми: законы идемпотентности выводятся из L4. Именно х v х = х V [* Л (х V х) ] = х, где первое равенство вытекает из закона поглощения х — х Л Л (х V у) при г/ = х, а второе — из двойственного закона при У = х V х. Двойственно доказывается, что х Л х = х. Остальные шесть тождеств L2—L4 независимы. Это означает, что ни одно из них не может быть выведено из остальных пяти. Чтобы доказать это, достаточно, помня о двойственности, при- привести примеры подходящих множеств и определенных на, них
38 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК операций, удовлетворяющих пяти из шести тождеств L2—L4. Этим мы и займемся. Пример 2. Пусть Z+ обозначает- множество положитель- положительных целых чисел. Положим х V у = max (х, у) и х А у = х. Тогда выполняются все тождества L2—L4, кроме х А у = у А х. Пример 3. Рассмотрим диаграмму на рис. 5. Объедине- Объединения определим обычным образом, а пересечения тоже, за исклю- исключением одного случая: а д b положим равным не с, а нижнему элементу. Получающаяся алгебраическая система удовлетворяет L2, Ыпх V {у V г)= (хУ у)У г, но xA(yAz) = = (х А у) A z не выполняется, например, для тройки а, Ъ, с. Пример 4. Пусть Z+ обозначает множест- множество положительных целых чисел. Положим х V V У = max (я, г/), х Д г/ = 1. Закон поглоще- поглощения х А {х Ч у) = х нарушается, но остальные пять тождеств L2—L4 выполнены. Итак, нами доказана Теорема 1. Аксиомы L2—L4 для реше- решеток независимы и из них выводятся тождест- тождества L1. Полурешетки, Интересные обобщения понятия решетки (см. ниже о косых и неассоциативных решетках) получаются исклю- исключением одного или нескольких тождеств из списка L2—L4. Но наиболее важным обобщением решеток как алгебр являются полурешетки г). Как в § 1.5, назовем полу решеткой множество S с бинарной операцией °, которая идемпотентна, коммутативна и ассоциативна. Лемма. Любая полу решетка S упорядочивается отноше- отношением делимости а\Ь {что означает равенство а>х — Ъ для неко- некоторого х)л В этом упорядоченном множестве c-d = с V d для любых с, d. Доказательство. Отношение а\Ь квазиупорядочи" вает 5 (см. пример 1), причем а\а, поскольку операция • идемпо- идемпотентна. Далее, если а*х =» Ь, то Рис. 5. Неассо циативная решетка. а> (а»х) а»х = Ь, а обратное очевидно; следовательно, а\Ь тогда и только тогда, когда а°Ъ = Ь. Поэтому из а\Ь и Ь\а вытекает, что а = Ь«а = = a°b=b, и квазиупорядочение оказывается упорядочением. Наконец, c\c*d (поскольку C"d = cd) и d\c°d (согласно комму- коммутативности), а если с\х и d\x, то х = с-х = с°d-х, откуда (с = d)\х, и значит, C'd = с V d. 1) Полурешетки изучал еще Хантингтон [1, р. 294]. См. также работа ф. .Клечна (К I e i ц Fr.— A^ath. Z., 1943, 48, S. 375-388, 715-734), 2. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК. ПОЛУРЕШЕТКИ 39 Определение. Упорядоченное множество, полученное в лемме, называется V-полурешеткой, определяемой S; двойствен- двойственное ему у-множество называется /\-полу решеткой, определяемой S. Понятно, что любая решетка L одновременно является V- полурешеткой относительно операции V и Л-полурешеткой относительно д; это оправдывает введенную терминологию. Многие полурешетки оказываются решетками. Например, всякая д-полурешетка L конечной длины с наибольшим эле- элементом /. В самом деле, пусть U = 0 (а, Ь) обозначает подмно- подмножество в L, состоящее из всех общих верхних граней для двух данных элементов а и Ь. Множество U содержит / и вместе с лю- любыми двумя элементами х и у также и х А у (если х ^ а а у ^ а, то х А у з? а, по определению, и аналогично х А у s& b). Те- Теперь построим в U цепь следующей рекурсией. Пусть х0 = /. Если хп не является наименьшим элементом в V', возьмем у ? U такой, чтобы не было у ^ хп, и положим хп+1 = хп А у < хп. Как показано выше, вся цепь х0 > хх > х2 > ... лежит в 0. Она, как и каждая цепь в L, конечна, и значит, имеет последний элемент хп ? U. Этот хп и будет наименьшим в 0. Итак, хп = a\J V Ъ существует, и следовательно, L является решеткой. Ч. т. д. Пример 5. Множество Qn всех квазиупорядочений п- элементного множества S является полной решеткой. Подмноже- Подмножество Рп, состоящее из всех упорядочений множества S, будет уже не решеткой, а Л-полурешеткой. Решетка Qn содержит симметрическую решетку разбиений П„. Хотя она и не является полумодулярной, но тем не менее заслу- заслуживает дальнейшего изучения. Связки, косые и неассоциативные решетки. Промежуточным между понятиями полугруппы и полурешетки является понятие связки 1). Связкой называется полугруппа, все элементы которой идемпотентны (т. е. выполняются условия LI, L3). Известно, что всякая связка является полурешеткой «прямоугольных» связок, которые определяются как декартовы произведения S = X X Y с операцией (х, у)°(х', у') = (х, у') для всех х, х' ? X и у, у' ? Y. Если предположить выполнимость L3 и равенств (а А Ь) V V а = а V (Ь А а) = а, то получаются «дуальные связки», или косые решетки, в которых имеет место и L1. Косые решетки изучал Йордан2); мы еще вернемся к ним. *) Это понятие, восходящее к Ф. Клейну, позднее изучал Маклин (М с Lean D. — Amer. Math. Monthly, 1954, 61, p. 110—113). По поводу общей теории связок см. книгу Клиффорда и Престона [1]. 2) J о г d a n P.— Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1957, 21, p. 127—138; Crelle's J., 1962, 211, p. 136—161. См. также работы Келмана (К а 1 m a n J. A.— Math. Ann., 1959, 137, S. 362—370) и Герхарда (G e r h a r d t M. D.— Math. Ann., 1965, 161, S. 231—240).
40 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК Различные понятия «неассоциативной решетки» — когда ослабляется один или оба ассоциативных закона L3 — также исследовались многими авторами *). ° хп как Упражнения к §§ 1—2 1. В произвольной полурешетке определим по индукции Хх X! о (Х2 о • • • ° Хп). (а) Используя L3, докажите индукцией обобщенный ассоциативный закон: если^г =xs;_1° • • • °xs; [0 = So^x-cC • • •< sm = л], то^-- ¦ -°ут = хх°- ¦ -°хп. (б) Используя только L2 и L3, докажите, что Xi°' • -°A:m не меняется при пере- перестановках сомножителей. 2. В классе Л всех топологических линейных пространств пусть SpT озна- означает, что Т топологически изоморфно некоторому подмножеству из S. Пользуясь леммой 1 из § 1, определите у-множество «линейных размерностей». (См. Банах [1, глава XII].) 3. (а) В классе Ф всех групп пусть GpH означает, что группа Н изоморфна некоторой подгруппе группы G. Покажите, что р квазиупорядочивает Ф и яв- является порядком на классе всех конечных групп. (б) Обобщите это на другие классы алгебраических систем. 4. (а) Покажите, что для конечных групп GpH (в смысле упр. 3 и леммы из § II.1) означает.что G изоморфна Н. Обобщите. (б) Установите аналогичный результат для конечномерных векторных пространств и для произвольных кардинальных чисел. 5. Для положительных непрерывных функций, определенных на 0 ^ х<^ оо, пусть f = О (g) означает, что / (х) ^ Kg (х) для всех х > N, где К к N — неко- некоторые постоянные. Покажите, что это квазипорядок и рассмотрите связанное с ним отношение эквивалентности / ~ g. 6. Покажите, что из любого отношения р можно получить транзитивное отношение т = т (р), полагая хху тогда и только тогда, когда для некоторого конечного набора а0, . . ., ап имеют место соотношения а0 = х, ап = у и at хрсц [«= 1 л]. 7. Покажите, что прямое произведение PQ двух у-множеств Р и Q будет \/-полурешеткой, когда \/-полурешетками являются оба сомножителя. 3. Гомоморфизмы 2) и идеалы Обще& понятие гомоморфизма имеет для решеток четыре раз- различные (хотя и связанные) интерпретации и каждая из них на- находит важные приложения. Займемся ими. Определение. Отображение 9 : L -> М решетки L в ре- решетку М называется изотопным, если из х < у следует, что 0 (х) < 9 (у); У -гомоморфизмом, если A) 9 (х V у) = 9 (х) V 9 (у) для всех х, у ? L; А-гомоморфизмом, если выполняется двойственное равенство (Г) 0 (х А у) = 9 (х) Л 9 (у) для всех х, у ? L; х) Кимура (К i m u г а N.— J. Sci. Tokushima Univ., 1950), Фельшер (Felscher W.—Arch. Math., 1957, 8, p. 171—174), Cac (S z a s z G.— Publ. Math. Debrecen, 1963, 10, p. 108—115). 2) Автор использует термины «морфизм», «мономорфизм», «эпиморфизм». Так как в них не вкладывается теоретико-категорное содержание, в переводе они всюду заменены привычными «гомоморфизм», «вложение», <'наложение».— Прим. перев. 3. ГОМОМОРФИЗМЫ И ИДЕАЛЫ 41 гомоморфизмом (или «решеточным гомоморфизмом»), если выпол- выполняются оба равенства A)—(Г). Как всегда (см. § VI.3), гомоморфизм называется (i) изомор- изоморфизмом, если он является взаимно однозначным соответствием; (п) наложением, когда он отображает L на М; (iii) вложением в случае взаимной однозначности; (iv) эндоморфизмом, если L = = М и (v) автоморфизмом, когда L — М и 6 — изоморфизм. Конечно, понятия V- и Л-гомоморфизма имеет смысл рассма- рассматривать в более общем смысле для V-полурешеток и Л-полу- Л-полурешеток соответственно, а изотонные отображения — вообще для всех упорядоченных множеств. Следующие два утверждения очевидны. Лемма 1. Любой V -гомоморфизм для V -полурешеток яв- является изотопным, как и любой Л -гомоморфизм для А-полу- решеток. Лемма 2. Любое изотопное взаимно однозначное соответ- соответствие, обращение которого изотопно, является решеточным изо- изоморфизмом. Таким образом, для взаимно однозначных соответствий нет необходимости делать вышеуказанные различия х). Но для взаимно однозначных отображений и отображений «на» это уже необхо- необходимо. (Например, часто требуется «усилить» порядок в решетке, чтобы получить ее образ при V-вложении 2); или еще, операции замыкания являются V-наложениями, но, как правило, не Л- наложениями.) Понятие ядра гомоморфизма, знакомое из теории групп, в применении к решеткам приобретает несколько искусственный характер. Более подходящей является следующая конструкция 3). Определение. Идеалом называется непустое подмно- подмножество / решетки (или V -полурешетки) 4) L такое, что B) если а ? /, х ? L, х < а, то х ? /, C) если а ? J, Ь ? J, то а V Ь ? J. Двойственное понятие (в решетке или Д-полурешетке) име" нуется дуальным идеалом (или Д-идеалом). Легко показать, что J является идеалом, если а\/ b ^ J тогда и только тогда, когда а ? / и Ь ? J («кастовость»). х) Между гомоморфизмами.— Прим. перев. 2) Непонятно, что здесь имеется в виду.— Прим. перев. 3) Понятие идеала ввел Стоун (S t о п е М. Н.— Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1934, 20, p. 197—202; 1935, 21, p. 103—105). См. также Тарский [1, 2]; Моисил (М о i s i 1 Gr. C— Ann. Sci. Jassy, 1936, 22, p. 1—118). \f- и f\ -гомоморфизмы ввел Ope [1, глава II]. Завершающие результаты, представленные в § 4, были получены многими авторами. *) Об идеалах в у-множествах см. работы Фринка (F r i n k О.— Amer. Math. Monthly, 1954, 61, p. 223—234), Уолка (W о 1 k E. S.— Proc. AMS, 1956. 7, p. 589—594), Фалкерсона (F u 1 k e r s о n D. R.—Proc. AMS, 1956, 7, p. 701—702).
42 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК Пример 6. В «множестве-степени» Р (Е), состоящем из всех подмножеств множества Е, дуальный идеал (не совпадающий с самим Р (Е)) называется фильтром множеств. Теорема 2. Если 0 — \/ -гомоморфизм XJ-полу решетки L на \/-полурешетку М с О, то множество Кег 0 прообразов эле- элемента О (ядро X/-гомоморфизма 0) является идеалом в L. Доказательство. Если ав = О и bQ — О, то (а \/ у Ь) 0 = а0 у bQ = О. С другой стороны, если (а у Ь) 0 == О, то aQ \у bQ = О, откуда aQ = Ьд = О. Таким образом, рассма- рассматриваемое множество является идеалом в смысле приведенного выше определения. Требование непустоты идеалов имеет и преимущества и изве- известные неудобства. Постулирование непустоты идеала / позволяет доказать обращение теоремы 2 (см. теорему 4). Основным недо- недостатком этого требования является невозможность обеспечить непустоту пересечения бесконечного множества- непустых идеалов в решетке без наименьшего элемента О. Но если решетка имеет О, все идеалы содержат этот элемент, и упомянутая трудность не возникает. Пусть а — некоторый фиксированный элемент решетки L. Множество L (а) всех элементов х < а, очевидно, будет идеалом, который называется главным идеалом в L. В любой решетке конеч- конечной длины всякий (непустой) идеал является главным. Вообще, это справедливо для любой решетки L с конечными убывающими цепями (см. главу VIII). Если J = L (а) — главный идеал в L, порожденный элемен- элементом а, то отображение х-> 0 (х) = х у а является \/-эндомор- \/-эндоморфизмом с ядром /. В самом деле, 9 (х V У) = (х V У) V а = (* V а) V (У V а) = 0 (*) V 9 (У)- Далее, >¦ если г С J, то г <. а, откуда г \/ а — а, и значит, 0 (г) = а. Для любого х f- L будет 0 (х) = х \/ а э= а, так что если z С- J, то 0 (г) < 0 (х). Это означает, что а есть наименьший элемент О в Im 0 и таким образом / = Кег 0 является ядром \у -эндоморфизма. Теорема 3. Множество L всех идеалов решетки L, упоря- упорядоченное включением, является решеткой. Множество всех главных идеалов решетки L образует подрешетку решетки L, изоморф- изоморфную L. Доказательство. Любые два идеала / и /С имеют общий элемент, так как если а ? / и b ? К, то а /\ b ? J Д /С- Таким образом, в качестве J /\ К можно взять теоретико-множе- теоретико-множественное пересечение идеалов / и /С, которое, конечно, является идеалом. Далее, любой идеал, который содержит J я К, должен содер- содержать и множество М всех элементов х таких, что х <s a \/ b для 4. КОНГРУЭНЦИИ 43 некоторых а ? /, b ? К- Но множество М само является иде- идеалом. Действительно, если х ^Мну<.х<.а\/Ь, то согласно РЗ, у < а у Ь, а если \х, у\ с; М, то (а vь) v (ai v fri) ¦ = (а v ai) v (& v &i). v у <¦ поскольку х< а\/ 6 и г/ <: а1 у Ьх для некоторых а, ах ^ J и b, bi t /С и а \/ а,. ^ J я b \/ Ьг (z К, так как J я К — иде- идеалы. Так что УИ = sup (/, К) в множестве всех идеалов решетки L. Если J я К — главные идеалы в L, порожденные элементами а и b соответственно, roJyKnJ/\K также будут главными иде- идеалами — их порождают элементы а у b и а Д b соответственно. Таким образом, главные идеалы образуют подрешетку решетки L, и эта подрешетка изоморфна L. Замечание. Если L конечна, то L изоморфна L, так что решетка идеалов L важна главным образом для бесконечных решеток (см. главу V). 4. Конгруэнции Конгруэнцией на алгебраической системе А называется отно- отношение эквивалентности 0 на Л, которое обладает свойством под- подстановки для всех операций системы А (§ VI.4). Когда А является у -полурешеткой, то это означает, что D) если а = b (mod Э), то а у х = b у х для всех х ? А. В решетке требуется еще и выполнимость двойственного к D) соотношения. Лемма 1. Пусть J — идеал в данной у -полурешетке S. Отношение E) а = b (mod /), если а у d = b у d для некоторого d ? /, является конгруэнцией на S. Доказательство. Легко показать, что отношение E) —¦ эквивалентность. Оно будет конгруэнцией для операции объединения, поскольку (а у с) у d = (b у с) у d, если а у d = b у d, и значит, из а = b (mod /) следует, что а у с = = b у с (mod J). Из леммы 1 вытекает следующее обращение *) теоремы 2. Теорема 4. Если J — идеал у-полу решетки S с О, то существует у -гомоморфизм Э этойу-полурешетки на некоторую У -полурешетку Т такой, что Кег 8 = /. Доказательство. Рассмотрим классы эквивалент- эквивалентности, образуемые у -конгруэнцией а= b (mod /). Отображение, г) Этот и многие другие связанные с ним результаты получил Кришнан (Krishna п V. S. — Proc. Indian Acad. Sci. Sect. A, 1945, 22, p. 1—19).
44 ГЛ. П. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК Рис. 6. Различные гомоморфиз- гомоморфизмы с одинаковым ядром. которое сопоставляет элементу из 5 класс эквивалентности, содержащий этот элемент, будет у -гомоморфизмом, что следует из свойства подстановки для конгруэнции. Множество Т классов эквивалентности является у -полурешеткой. Так как / совпадает с одним из классов эквивалентности и при этом содержит элемент О полурешетки 5, то Кег 0 = /. Теорема 5. Если J — идеал дистрибутивной решетки L, то конгруэнция а = b (mod /) определяет гомоморфизм 0 ре- решетки L на решетку М с О такой, что J = Кег 0. Доказательство. Как мы уже показали, если а = = Ь (mod /), то a у с = Ь \] с (mod /) для с ? /. Теперь нужно установить еще, что если а = b (mod /), то а Д с = b Д с (mod /) для любого с (z J. Но это в самом деле так, поскольку при a\jd=b\jd для некоторого d ^ J, получаем: (а Ас) у d = (a yd) A(c\/d) = = (by d) А (с V <0 = = Ф А с) у d. Важно отметить, что в отличие от ситуации, имеющей место в груп- группах, ядро решеточного гомоморфиз- гомоморфизма в общем случае не будет одно- однозначно определять^соответствующую^конгруэнцию. Например, на рис. 6 представлены два^ гомоморфизма цепей, имеющие одно и то же^ ядро, но^определяющие разные конгруэнции. Можно привести примеры, ^огда гомоморфные образы в аналогичной ситуации даже не будут^изоморфными между собой. Однако в решетках с относительными дополнениями подобная двусмысленность уже не возникает. Доказывается это достаточно просто. Лемма 2. Если и = v (mod 0) в решетке Ь,тох = у (mod 0) для всех х, у из интервала [и Д v, u\J v]. Доказательство. По предположению, х = х у (и Д Av) = x\/(uA") = x\/u (mod 0). Двойственно, х = х Д Д и (mod 0). Значит, и — и А (и У х) = и А х = х (mod 0). Аналогично и = у (mod 0), откуда вследствие транзитивности х = у (mod 0). Стандартные идеалы. В решетках с относительными дополне- дополнениями действительно удается построить удовлетворительное вза- взаимно однозначное соответствие между конгруэнциями и некото- некоторыми специальными идеалами. Делается это так. В условиях теоремы 5, как нетрудно заметить, а ~ b (mod /) тогда и только тогда, когда (а Д Ь) у с = а \/ b для некоторого с ? J. В произ- 4. КОНГРУЭНЦИИ 45 вольной решетке L идеал / называется стандартным 1), если указанное отношение эквивалентности обладает свойством под- подстановки и для объединений, и для пересечений (см. лемму 1), т. е. если оно представляет собой конгруэнцию. Теорема 5 утвер- утверждает, что любой идеал в дистрибутивной решетке является стан- стандартным; верно и обратное: если любой идеал решетки стандартен, то эта решетка дистрибутивна. Теперь определим понятие решетки с начальными дополне- дополнениями. Это такая решетка с О, в которой каждый интервал [О, а] является решеткой с дополнениями. Понятно, что решетка с отно- относительными дополнениями, имеющая О, будет и решеткой с на- начальными дополнениями. Теорема 6. Пусть 0 — конгруэнция на решетке с началь- начальными дополнениями L. Тогда элементы х такие, что х = О, образуют стандартный идеал J F) в L, причем х = у @) тогда и только тогда, когда (х/\у)\/а = х\/у для некоторого а ? ? / @). Обратно, всякий стандартный идеал J решетки L опре- определяет указанным образом конгруэнцию на L. Доказательство. В любой решетке, если х \/ а = — у \J а для некоторого а = О, тх = хуО=хуа = уу у а = у у О = у (Q). Обратно, пусть х = у @) в решетке с на- начальными дополнениями и пусть а будет дополнением элемента х А У в интервале [О, х у у], так что х Д у Д а = О и (х А А у) У а = х у у. Тогда а < х у у, откуда а = (хуу)Аа = хАУАа = О @). Иохуу^хуа^ (х А У) V а = х V У> т- &- х V а = = х у у; аналогично, у у а = х у у (= х у а), чем и завер- завершается доказательство. Следствие. В решетке конечной длины с относительными дополнениями каждой конгруэнции 0 соответствует элемент а такой, что х = у F) тогда и только тогда, когда х у а = у у а. Таким элементом а является наибольший элемент (главного) идеала / из теоремы 6. Простые и максимальные идеалы. Идеал Р решетки L назы- называется простым, если его теоретико-множественное дополнение является дуальным идеалом. Это, очевидно, равносильно тому, что если a A b ? Р, то а ? Р или b ? Р. Поэтому в дистрибу- дистрибутивной решетке главный идеал (с) является простым тогда и только тогда, когда элемент с Д-неразложим. Далее, собственный идеал решетки L называется максимальным, если L не содержит боль- х) Это понятие ввел Гретцер (Gratzer G. — Magyar Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt. Kozl., 1959, 9, p. 81—97). См. также работу Гретцера (Grat- (Gratzer G.) и Шмидта (Schmidt Е. Т.). — Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1960, 12, p. 17—86.
46 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК ших собственных идеалов, т. е. если он является дуальным атомом в решетке L. Из теорем 2 и 4 сразу вытекает важное Следствие. Простые идеалы данной решетки L являются ядрами решеточных наложений 9: L -»- 2. В отличие от ситуации для колец, максимальные идеалы в ре- решетках не обязаны, вообще говоря, быть простыми, а простые — максимальными. Однако заметим, что имеет место следующая Теорема 7 (Стоун [1 ]). Идеал нетривиальной булевой алгебры является простым тогда и только тогда, когда он макси- максимален. Доказательство. Если Р — простой идеал в Л, то для любого а ф Р будет а' ? Р, поскольку а Д а' = О ? Р; следовательно, любой идеал J ;> Р содержит некоторый элемент а Ф Р и одновременно а', и значит, содержит I = a\J а'. Об- Обратно, пусть идеал М максимален. Предположим, что х Д у ? М и х Ф М. Тогда идеал х \J М ^> М, и он должен содержать /. Поэтому для некоторого z ? М будет х \у z = I, так что у=у Л1 = у Л(*\/ *) = (у А*)\/ (у Л*) G му м = м. Таким образом, идеал М является простым. Ч. т. д. Упражнения к §§ 3—4 1. Докажите лемму 1 § 3. 2. Докажите лемму 2 § 3. 3. Покажите, что идеалы любой решетки образуют полную решетку. 4. (а) Покажите, что конгруэнции на конечной цепи находятся во взаимно однозначном соответствии с ее разбиениями на интервалы. (б) Покажите, что каждый порядковый гомоморфизм*) цепи является ее решеточным гомоморфизмом. (в) Покажите, что если каждый порядковый гомоморфизм решетки L является ее решеточным гомоморфизмом, то L — цепь. 5. Покажите, что в случае решетки конечной длины прообразы любого эле- элемента при решеточном гомоморфизме образуют интервал [а, Ь]. 6. (а) Покажите, что Д-гомоморфизм решетки L на решетку М является изоморфизмом, если при х<С х' всегда 9 (я) <^ 6 (х'). (б) Покажите, что для произвольных изотонных отображений это уже не- неверно. 7. Покажите, что решетка является цепью тогда и только тогда, когда все ее идеалы просты. 8. (а) Покажите, что соответствие, сопоставляющее каждому подмножеству S группы G подгруппу S, которую оно порождает, является \ЛГОМОМОРФИЗМОМ решетки всех подмножеств множества G на решетку всех подгрупп группы G. (б) Найдите изотонное отображение у-множества 22 на ординал 4, которое не было бы ни \/-, ни Д-гомоморфизмом. 9. В Nb найдите стандартный идеал, не являющийся нейтральным 2). (См. также работу Яновица и Шмидта (Janowitz M., Schmidt E. Т. — Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1965, 16, p. 289—301, 435).) 1) To есть изотонное отображение. — Прим. перев. 2) Идеал решетки L называется нейтральным, если он является нейтральным элементом (§ II 1.9) решетки L идеалов решетки L. — Прим- перев. 5. РЕШЕТОЧНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 47 10. Покажите, что для у-множеств любое изотонное наложение 0: P-^>-Q может быть единственным образом представлено как результат «усиления» *) порядка в Р до более сильного квазипорядка с последующим применением леммы из § 1. 11. Пусть S, Т — произвольные \/-полурешетки с О. (а) Покажите, что для идеала J из S существует («регулярная») наимень- наименьшая конгруэнция 8 (J) на S такая, что Кег 0 = J. (б) Покажите, что любой V -гомоморфизм ф: S—>¦ Т может быть единственным образом представлен как произведение оф «регулярного» V-гомоморфизма а = 0 (J) и «неприводимого» \/"гомомоРфизма с ядром, равным О. (Кришнан) 12. Рассмотрите решеточные гомоморфизмы 9: LM-+L произведения двух решеток на первый множитель. 13. Покажите, что любая конечная решетка является \/"Г0М0М0РФньш обра- образом конечной булевой решетки. (Указание. Рассмотрите подмножества множества «\/-неРазЛ0Жимых» элементов решетки.) 14. (а) Покажите, что простой идеал решетки — это такое непустое ее под- подмножество Р, что а /\Ь ? Р тогда и только тогда, когда а ? Р или Ь ? Р. (б) Покажите, что главный идеал (с) решетки прост тогда и только тогда, когда из х /\у ^ с следует, что х < с или у ^ с. 15. Покажите, что любая дистрибутивная решетка порядка п > 2 имеет две конгруэнции 0 и 0t такие, что 0 Д &i = О (отношение равенства). (У к а- з а н и е. Рассмотрите отображения х^>-х/\аих^>-х\/а.) 16. Покажите, что любая недистрибутивная решетка L имеет (главный) идеал, который не является ядром никакого решеточного гомоморфизма. 17. Пусть Е — отношение эквивалентности на решетке L. Покажите, что Е является конгруэнцией тогда и только тогда, когда @ из аЕЪ и а /\Ь г^.х, у ^а V Ь следует, что хЕу, и (п) (а Д Ь) Еа, если и только если ЬЕ (а V Ь) (Кроун). 5. Решеточные многочлены Выражения, составленные из символов Д, у и букв, назы- называются решеточными многочленами. Точнее, индивидуальные буквы х, у, z, ..., по определению, являются многочленами веса один. Далее, рекурсивно, если р и q — решеточные многочлены весов w и w' соответственно, торД^иру^2) называются ре- решеточными многочленами веса w + w'. При этом определении х Д х и х \/г(х Д х) считаются раз- различными многочленами (веса два и три соответственно), несмотря на то, что они эквивалентны в том смысле, что в любой решетке L представляют одну и ту же функцию р: L -v L. Довольно просто перечисляются все решеточные полиномиаль- полиномиальные функции от х и у. Этому помогает Лемма I. В любой решетке L подрешетка S, порожденная двумя элементами х и у, состоит из элементов х, у, х \/ у = и и х Д у = v, для которых операции у и Д задаются, как пока- показано на рис. 7. Доказательство. Согласно L4 х Д и — х, а из L3, L1 следует, что x\Ju = x\j{x\Jy) = (x\jx)X/y = x\Jy = u. х) То есть увеличения числа сравнимых пар. — Прим. перев. 2) Строго говоря, следует писать (р /\q) и (р V q). Внешние скобки дого- договариваются опускать. — Прим. перев.
48 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК Остальные случаи рассматриваются аналогично с использованием симметрии между х и у и двойственности. (Ввиду L4 и \/ v = = х v у v (х Л у) = * V У = "•) Следствие. Пусть F2 = 22 — решетка, изображенная на рис. 7, ы пусть заданы a, b ? L (L — произвольная решетка). Тогда отображение х -*- а, у -> b можно продолжить до гомо- гомоморфизма 9: F2-+ L. Эти результаты обычно объединяют в утверждение о том, что F2 является свободной решеткой с порождающими х я у; она со- содержит четыре элемента и дистрибутивна (и более того, булева). Решеточные многочлены от трех и более переменных могут быть устроены чрезвычайно сложно (см. §VI.8). Однако у них есть и не- несколько простых свойств. Лемма 2. В любой \/-полурешетке каж- каждый многочлен от символов хъ ..., хГ эквива- эквивалентен объединению V xt некоторого непустого S множества этих xt. Доказательство. Согласно L2—L3 каждый такой многочлен эквивалентен объединению некоторых хъ х2, ¦¦¦, хг в указанном порядке, возможно, с повторениями. Но тогда, ис- используя L1, можно заменить повторяющиеся вхождения одного и того же символа одним вхождением этого символа. Другими словами, свободная полурешетка с г порождающими имеет2Г—1 элементов. (См. М а р т и ч (Martic L.) — С. R. Acad. Sci. Paris, 1957, 244, p. 1953—1955.) Лемма 3. В любой дистрибутивной решетке каждый много- многочлен эквивалентен некоторому объединению пересечений и двой- двойственно: F) ^P(Xl,...,xr)= v_(д*4 = д (V Рис. 7. где Sa, T& — непустые множества индексов. Доказательство. Каждый xt можно записать в таком виде, считая А (или D) семейством множеств, состоящим из един- единственного одноэлементного множества \xt\. С другой стороны, используя LI—L3, как в лемме 1, получаем, что G) V fA*,)V V ГЛ*Л= V (д; a<zA\sa j 3galsp / AUB\sy Вследствие дистрибутивности аналогично имеем: "(?') V(A*,U У \АхЛ= V/A4 где Д обозначает пересечение, а V — объединение конечного числа членов, подобно тому, как в обычной алгебре с помощью 5. РЕШЕТОЧНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 49 2 и П записываются сумма и произведение конечного числа членов. Это дальнейшее обобщение для решеточного аналога знакомого из обычной алгебры общего дистрибутивного закона Б ха)( Б уЛ= Б Xiijj. <.?А I \[3?В / АХВ Оно получается из L2 и L6' в сочетании с соотношением Л xi\ Л {[\хЛ = Д хи которое выводится из LI—L3, как S j \Т J S[jT в лемме 2. Принцип изотонности (лемма 3 из § 1.5) индукцией по весу может быть расширен до следующего результата. Лемма 4. Если yt < гг (i = 1, ..., r)\ mo p (уъ ..., уг) < < р (гь ..., zr) для любого решеточного многочлена р. Вообще, имеет место принцип минимакса: (8) Д ( V *V)P\^V(A*v.e<T>y y(ZC\B(y) I Р \ v / Здесь каждое у ? С определяет индексное множество В (у) с элементами р, так что индексы у, р пробегают декартово произ- произведение П В (у). В первой скобке у фиксировано, а р пробегает с В (у); справа же р (у) обозначает произвольную функцию, сопо- сопоставляющую каждому 7 6 С элемент р G) ? В (у), а Р есть мно- множество всех таких функций. Например, если С = {1, 2}, В A) == = {1, 2}, В B) = {1, 2, 3}, неравенство минимакса (8) приобре- приобретает следующий вид: V *и) Л (*ai V *а« V V (хп Д Х2]) \/ V (xlt Д *aft) • Доказательство. Каждый член V х v я является В (V) верхней гранью для каждого члена Д ху, р (V> из правой части в (8), поскольку они оба имеют некоторый общий элемент ху, р G). Значит, точная нижняя грань множества всех членов левой части будет верхней гранью для каждого члена правой части, и следо- следовательно, верхней гранью для точной верхней грани всех этих членов. Ч. т. д. Упражнения 1. Покажите, что каждая пара конгруэнции.0 на L и 0' на М индуцирует некоторую конгруэнцию на LM (L, М — решетки). 2. (а) Докажите, что в любой решетке (а \/ Ь) Д (с \/ d) ->, (а Д с) \J V (Ь Д d). (б) Докажите, что [а Д Ь Д (с V d) ] V (с Л d) s= с V \b Д (а V d) 1 V V(a Ad).
50 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК 6. ДИСТРИБУТИВНОСТЬ 51 (в) Покажите, что L5 в любой решетке равносильно равенству (а V Ь) Д -: Л (а V с) = а V \Ь Л (с V а) ]. (Дедекинд) 3. х) Выведите D) непосредственно из L1 — L4. :• 4. Элемент а решетки называется \/-неразложимым, если из х V у = а ? следует, что х = а или у = а. Покажите, что если все цепи в решетке L ко- , нечны, то каждый элемент а ? L может быть представлен как объединение а = = Xj V ... V хп конечного числа \/-неРазложимых элементов. л 5. Пусть J — множество \/~неРазЛ0ЖИМЫХ элементов конечной решетки L. ', Каждому а ? L сопоставим множество S (а) элементов х^а из Л Покажите, что это дает изоморфное представление решетки L (как упорядоченного множе- \ ства) подмножествами множества J и что пересечениям из L соответствуют *¦ теоретико-множественные пересечения. 2) ; 6. Определим /\-ширину b (L) конечной решетки L как наименьшее целое b , такое, что любое пересечение Xj Д ... Ахп [п> Ь] равно пересечению : **i Л ••• Л xtb, гДе 1 «S «s «S п. ¦ (а) Покажите, что если Ь [L] = п и S — подрешетка или решеточно гомо- ¦;¦ морфный образ решетки L, то b [S] =5: п. (б) Покажите, что b [LM] = b [L] + b [M]. (в) Покажите, что наименьшей решеткой с b (L) = п является 2". • 7. (а) Покажите, что конечное у-множество Р, диаграмма которого может быть уложена на плоскости 3), является решеткой тогда и только тогда, когда Р имеет универсальные грани. (б) Покажите, что любая решетка L с планарным графом содержит \/~не' разложимый элемент, отличный от О и /. (* в) Покажите, что конечная решетка L имеет плоскую диаграмму тогда и только тогда, когда между ее элементами существует «дополнительный» поря^ док <С такой, что a, b ? L являются «^-сравнимыми, если они <С'-несравнимы, и только в этом случае (Зильбер). 8. Покажите, что в модулярной решетке конгруэнция, отождествляющая две смежные вершины в четырехугольнике, образуемом элементами, связанными отношением покрывания, отождествляет и две другие вершины. (Указание. Если х = х Д у (9), то х V У = У (9)-) 9. Будет ли лемма 1 справедливой, если отказаться .от L3 (т. е. в «неассо- «неассоциативных решетках»)? 6. Дистрибутивность Как и в § 1.6, назовем решетку дистрибутивной, если в ней выполняется какой-нибудь (и значит, каждый) из эквивалентных дистрибутивных законов L6' — L6". Сейчас мы получим еще один результат в этом направлении. Теорема 8. Решетка дистрибутивна тогда и только тогда, когда в ней выполняется самодвойственный закон медианы L6 (х А У) V (У А г) V (г Л х) = (х V у) Д (у \J z) Д (г \у х). х) Это упр. 2 к § II.4 из [LT2]. Номером D) там обозначено модулярное неравенство леммы 5 из § 1.5 настоящего издания. — Прим. перев. 2) См. работу Кемпбела (Campbell A. D. — Bull. AMS, 1943, 49, р. 395— 398). Интересно было бы для произвольной конечной решетки L найти «пред- «представление» в указанном смысле, которое использовало бы минимальное число точек. [См. упр. 5 § II.4 в [LT2]. Такое представление нашел Зарец- кий К. А. —УМН, 1961, 16, № 1, с. 153—154. —Прим. перев.] 3) То есть нарисована без самопересечений. — Прим. перев. Доказательство. При х ^ z левая часть в L6 со- согласно L4 примет вид (х Д у) \/ [(у Д г) у z) = (х Д у) у г; двойственно, правая часть сведется к (х у у) Д (у у z) Д х — = [х А (х У У) ] А (У У г) = х А (У У z). Значит, L6 влечет модулярный закон L5. Записав теперь L6 сокращенно в виде и = v, мы имеем тожде- тождество хДгг = хДу. С помощью L2 — L4 получаем х A v = 1х А У У) 1 Л (У У Л (z V х) = х А (г у х) Д Д (у у г) = х А (У У г) и далее х А и = = х А A z) у (х А У) У (х A z) 1 = (х Д у А г) V V (х А У) У (х А г) (на последнем шаге используется L5). Наконец, применяя L4 к первым двум членам последнего выражения, приходим к ра- равенству х А и = {х А У) У (х А г)- Подставив все это в исходное тождество х Д и = х Д v, завершаем вывод L6'. Обратно, применяя L6' к правой части L6, получаем, что К* V У) А (У У г) А г] V [(* V У) А (У У г) Л х] = = [г Д (х у у) ] V I* Л (У У г)} (мы свободно пользуемся законами L4 и L2). Преобразуем теперь оба члена последнего выражения снова при помощи L6' (и, ко- конечно, L2 — L4): (z А х) у (z А У) У (х А У) У (х А г) = = (х А У) У (У А г) V (г Л х). Мы получаем, что L6' влечет L6, чем и завершается доказатель- доказательство. ^JJIeMMa \. В любой дистрибутивной решетке подрешетка, порожденная тремя заданными элементами хг, х2, xs, состоит из этих Xj, элементов i = хх у х2 у х3, о = хг Д х2 Д х3, и± = = х2 у х3 и т. д., vx = х2 A xs и т. д., сх = «2 Л из « т- д., d\ = v2 у v3 и т. д. и элемента (9) е = (*х Д х2) у (*а Д х3) у (*, Д Xl) = (jcj. V *г) Л Л (х, У х3) А (х3 У Хг). Пояснение. «И т. д.» заменяет два аналогично устроенные элемента (например, и2 = х3 у хх, и3 = хх у х2), которые полу- получаются из первого элемента серии циклической перестановкой индексов. Доказательство. Используя LI — L6, можно явным образом свести объединение и пересечение любой пары перечис- перечисленных выражений к выражению из этого же списка. Если по-
52 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК мнить о шести перестановках индексов и принципе двойственно- двойственности, то каждая такая редукция порождает одиннадцать других, что значительно упрощает вычисление. Далее, для любых j Ф к имеем i. о « Vj < dh < xh, e < ch < и Если исключить случаи объединения и пересечения сравнимых элементов, то останется проверить только следующие соотно- A0) Х} V Ы; = «/V%= t, «j Л СУ = е. xi\le = cb , шения (при Рис. 8. и двойственные им. С этим и завершится дока- доказательство. Лемма 2. Существует '. дистрибутив- дистрибутивная решетка D18 с тремя порождающими, в которой все 18 выражений из леммы 1 представ- представляют различные элементы. Доказательство. Построим ?>18 в виде кольца множеств. Пусть Xj (j = 1, 2, 3) обозначает множество, состоящее из четырех функций /: {1, 2, 3}-Н0, Ц, где /,= 1. Каждую /= (/ь /2, /3) можно отождествить с 3- вектором, компоненты которого принадлежат множеству 2= {0, 1}. Тогда Хг [} Х2 есть множество U3 всех / таких, что /j\//j=l; I, П Х2 — множество всех / со свойством /j Д f2 = 1, и далее циклически. Наконец, Е = — Ux П Ui\ П Уз = Vi U V2 U V3 есть множество всех f, имею- имеющих не менее двух компонент, равных 1. Эти подмножества множества 23 все различны и ни одно из них не равно О = {A, 1, 1)} и его дополнению / = Хг [} Х2 [} Х3. Диаграмма решетки Du показана на рис. 8. Отметим следу- следующее замечательное'свойство этой решетки. Теорема 9. Пусть D1S — решетка, изображенная на рис. 8, с выделенными элементами Хг, Х2, Х3 и пусть аъ аг, а3 — произ- произвольные три элемента некоторой дистрибутивной решетки L. Тогда существует гомоморфизм ц>: Dls -> L, при котором ц> (Xt) = = at (i = 1, 2, 3). Доказательство. По лемме 2 мы можем каждый элемент Pj (Aj, Х2, Х3) дистрибутивной решетки ?>18 отождествить в точ- точности с одним из 18 многочленов pj (хъ хг, х3), построенных в до- доказательстве леммы 1. Положим теперь A1) ф (pj (хъ х2, х3)) = pj (аи а2, а3) = р} (ф (а,), ф (а2), ф (а3)) и покажем, что таким образом определен гомоморфизм. В самом деле, по лемме 1 каждое из возникающих 648 равенств pj \J у pk = Pi и р} Д pk = рт, которые были получены в лемме 1 6. ДИСТРИБУТИВНОСТЬ 53 с использованием LI — L6 и определили «таблицы умножения» для \/ и Д в Dls, истинно в любой дистрибутивной решетке, и значит, в L. Но тогда в L выполняются и соотношения ф (р}) \у V Ф (Р%) = Ф (Pj V Pk) и двойственные -им. Свойство, описанное в теореме 9, дает основание назвать D18 свободной дистрибутивной решеткой с тремя порождающими. Теперь получим результат, показывающий, что для дистри- дистрибутивной решетки с / система аксиом L2 — L4, L6 весьма избы- избыточна. Этот результат, если учесть независимость L2 — L4, уста- установленную в § 2, иллюстрирует силу дистрибутивного закона. Теорема 10. Следующие четыре аксиомы для алгебраиче- алгебраической системы с двумя бинарными операциями и выделенным эле- элементом I описывают дистрибутивную решетку: D1 а Д а = а для всех а; D2 а у I = / у а — I для всех а; D3 а/\1=1/\а = а для всех а; D4 а А (Ь у с) = (а Д Ъ) у (а Д с) и (Ь у с) Д Д а = (Ь Ла) V (с А а). Доказательство. Сначала получаем для всех а, Ь: D5 а = а Д / = а Д (а V /) = (а Л а) у (а Д /) = а у а, D6 (а Д Ь) у а = (а Д Ь) у (а Д /) = а Д (Ь у 1) = = а А / = а и, аналогично, D6' а у {а Д Ь) = а у (Ь Д а) = (Ь Д а) у а = а. Далее, используя D4, D1 и D6', имеем D7 а Д (а у Ь) = (а Д а) у (а Д Ь) = а у (а Д Ь) = а и, аналогично, D7' а Д (Ь у а) = (а у Ь) Д а = (Ь у а) Д а = а. Теперь мы можем вывести коммутативный закон: D8 а у Ь = [а Д (Ь у а) ] у [Ь Д (Ь у а)] = (а V Ь) Д (Ь у а) (согласно D7 — D7', D4) = 1(а у Ь) Д Ь] V [(а V Ь) Д а] = Ь у а (здесь использованы D4, D7 — D7').
54 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК В качестве подготовки к доказательству ассоциативности объединения устанавливаем следующие равенства: а Д 1(а V Ъ) V с\ = [а /\ (а \/ Ь)] у [а Д с] = а V (а Д Д с) = а (согласно D4, D7, D6'); D9 ЬД [{а V &) V с]=[&Д(а\/ Ь)] У lb Ac\ = by (b A Д с) = Ь (аналогично); с Л [(aVbJVcb^A^V^lV lc Ас] = [с Л (a V \/ Ь)] у с = с (использованы D4, Dl, D6). Теперь выводим ассоциативный закон для объединения: D10 а у (Ь у с) = {а Д [(а V Ь) у с]} у (\Ь Д [(а у Ь) у V СП V Iе Л Ка V b) V СШ (согласно D9) = [а у (Ь у с)] A f(a V b) V cJ (дважды использовано D4) = (а у Ь) у с (в силу симметрии предыду- предыдущего выражения). Далее устанавливаем соотношения, двойственные для D4: D11 (ау Ь) A(a\J с)=[а Д (а у с)] у [b/\{a\Jc)] = = а У. \-Ф А а) у (Ь А с) 1 (согласно D4) = [а у (Ь Аа)] у (Ь А с) = =[а y(b Aic) (вследствие D10, D6'), D11' (а А Ь) у с = (а у с) Д (bye) (в силу симметрии). Мы уже получили D5, двойственное для D1, а D6 и D7 двой- двойственны друг для друга. Но только эти соотношения и были использованы при доказательстве D8 и D10. Значит, дуализация доказательства для D8 и D10 даст нам коммутативный и ассоци- ассоциативный законы для пересечения: D12 аД& = ЬДаиаД(йДс) = (яДЬ)Дс. Этим и завершается доказательство истинности LI — L4, а что касается закона дистрибутивности L6, то он постулировался в виде D4. С доказанной теоремой связан следующий остроумный результат. Теорема 10' (Шоландер *)). Система с двумя бинарными операциями Д и у, удовлетворяющими условиям а Д (а у b) = a ^Scholander М. — Canad. J. Math., 1951, 3, p. 28—30. См. также работу КРУ а зо (Croisot R.) — Canad. J. Math., 1951, 3, p. 24—27. 6. ДИСТРИБУТИВНОСТЬ 55 и a A (b У с) = (с А а) \/ Ф А а)> является дистрибутивной ре- решеткой. Медианы. Рис. 8 показывает, что симметричная и самодвой- самодвойственная тернарная операция медианы A2) (а, Ь, c) = (aAb)y(bAc)y(cAa) = (ayb)A(by у с) А (с У а) имеет исключительное значение для дистрибутивных решеток. Ее свойства можно использовать и для характеризации этого класса. Например, [LT2, с. 196—197] имеет место х) Теорема 11. Система М с выделенными элементами О, I и тернарной операцией, удовлетворяющей условиям (О, а, I) = а, (а, Ь, а) = а, A3) (а, Ь, с) = (Ь, а, с) = (Ь, с, а), ((а, Ь, с), d, e) = ((а, d, e), Ъ, (с, d, e)), является дистрибутивной решеткой относительно бинарных one" раций a A b = (а, О, Ь) и а у Ъ = (a, I, b). Шоландер показал также, что можно ограничиться двумя постулатами A4) (О, а, (/, Ь, /)) = а и (а, (Ь, с, d), е) = ({а, с, е), d, (b, a, e)). Операция медианы связана также с различными определени- определениями понятия «между» в решетках; см. ниже § 9. Упражнения 1. В произвольной дистрибутивной решетке L для заданных а, Ь ? L пусть J (а, Ь) обозначает множество всех х таких, что а V х = b \/ х. Покажите, что J (a, b) — дуальный идеал. 2. Покажите, что любая решетка, в которой для всех х, у, z (х V У) A U V (* Л У)} = (ж Л У) V (У Л г) V (г Л х), дистрибутивна. 3. Покажите, что решетка дистрибутивна тогда и только тогда, когда в ней х V (У Л г) > (х V У) Л г для всех х, у, г (Боуден, 1936). 4. Покажите, что если в решетке существуют элементы О и / такие, что а V О = а Л ^ = а Для всех а, то L1 — L4 выводимы из L2, L3, L6' — L6" (Хантингтон [1, р. 292—295]). * 5. Покажите, что следующие постулаты характеризуют дистрибутивные решетки: а /\а = а, а /\Ь = Ъ /\а, а\/ b — b \f а, а Д (b /\с) = (а /\ х) Теорема 11 принадлежит Кишу (Kiss S. А.) и автору. — Bull AMS, 1947, 53, р. 749—752. См. также [LT 2, с. 196—197] и работу Грау (G г а и ' А. А. — Bull. AMS, 1947, 58, p. 567—572).
56 ГЛ. П. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК Л Ь) Л с, а Л (а V Ь) = а, а Д (Ь V с) = (а Л Ь) V (а Л с). (У к а з а н и е. Определите а ^ 6 как а /\Ь = Ь.) 6. Покажите, что в дистрибутивной решетке L с О и /, если определить (а, 6, с) как в A2), то имеют место A3) и A4). 7. (а) В дистрибутивной решетке докажите тождество (а, Ь, (с, d, e)) = = ((а, Ь, с), d, (a, b, е)) (б) Покажите, что L6' н L6" являются его частными случаями. *8. Докажите, что решетка L дистрибутивна тогда и только тогда, когда каждый ее идеал стандартен. 9. Покажите, что в Мя невозможно определить операцию медианы (а, Ь, с), которая была бы самодвойственной и инвариантной относительно автоморфизмов. 7. Модулярность Теперь переключим наше внимание с дистрибутивности на модулярность. Как было указано в § 1.7, модулярный закон L5 является частным случаем дистрибутивного закона L6. Колибиар и Речан г) построили для модулярных решеток интересные си- системы аксиом, в некотором смысле аналогичные тем, которые приведены в теоремах 10 и 10'. Как мы увидим, из модулярности выводятся более тонкие следствия, чем из дистрибутивности. Но сначала докажем одну простую лемму. Лемма 1. Если в модулярной решетке элементы х и у срав- сравнимы (т. е. х ^г у или у ^х), то из условий а /\х = а /\у и a\j у x — a у у следует равенство х = у. Доказательство. Если х ^= у, то предположив, что х Ф у, мы получили бы х ;> у, и элементы а, х, у породили бы пятиэлементную немодулярную решетку N6, изображенную на рис. 1, б в § 1.3, а это противоречит условию. Случай х < у рас- рассматривается аналогично: можно взаимно заменить х и у или воспользоваться двойственностью. Теорема 1.12 показывает, что заключение леммы 1 не может выполняться ни в какой немодулярной решетке. Дистрибутивные тройки. В модулярных решетках многие тройки элементов \х, у, z\ порождают дистрибутивные подре- шетки. Если это имеет место, мы будем писать (х, у, z) D и на- называть \х, у, z\ дистрибутивной тройкой. Теорема 12. Если а, Ь, с — элементы модулярной решетки М, то при выполнении любого из двух равенств а Д (I? \у с) = = (а А Ъ) V (а А с) или а\/ (Ь Д с) = (а у Ь) Д {а у с) тройка \а, Ь, с\ будет дистрибутивной. Доказательство. Предположим сначала, что а Д Д (Ь \/ с) — (а Д b) \J {а Д с), и применим предыдущую лемму к трем элементам а, х = {а Д Ь) \/ с, у = (а \/ с) /\ (Ь у с). х) К о 1 i b i a r M./ч Riecan J. — Czechoslovak Math. J., 1956, 6, p. 381—386; Acta Fac. Natur. Univ. Comenian, 1958, 2, p. 257—262T(MR, I960, 21, # 1278, # 1279). 7. МОДУЛЯРНОСТЬ 57 Согласно дистрибутивному неравенству, х < у. Тогда а \/ х = а V (а Д Ь) у с = а ус, а У У = У V а = [(а V с) А {Ь у с) ] V а = = (а у с) Д l(b у с) у а] (согласно L5) = а у с (ввиду L4). Аналогично, а Д х = х А а = [(а Д Ь) у с] Д а = (а Д Ь) у (с Д а) (со- (согласно L5) = (а А Ъ) у {а А с) = а А Ф V с) (п0 предположению), а Д у = а А Ца V с) Д {Ь у с) ] = [а Д (а V с) ] Д (Ь Д с) = = а А Ф V с)- Отсюда по лемме 1 х = у. Итак, из а Д (Ь у с) = (а Д Ь) у у (а Ас) мы получили равенство с у (а Д Ь) = (с у а) Д (с у у Ь). ' По принципу двойственности из с у {a AJ>) — (с V а) Л Д (с У Ь) будет следовать, что Ь Д (с у а) = (Ь Д с) у (Ь Д а). Сопоставляя с предыдущим результатом, мы видим, что ра- равенство Ь А (с V а) = (& А с) у (Ь А а) вытекает из равенства а А (Ь У с) = (а А Ь) у (а Д с). Таким образом, в модулярной решетке выполнимость дистри- дистрибутивного закона для одного размещения элементов тройки \а, Ь, с\ влечет его выполнимость и для размещения \с, а, Ь\, получаемого из первого циклической перестановкой. Повторяя этот процесс, мы получим истинность всех шести реализаций ди- дистрибутивного закона для тройки \а, Ь, с\. Отсюда следует сразу, что {а, Ь, с\ порождает дистрибутивную решетку. Теореме 1.12 показывает, что предположение о модулярности в теореме 12 не только достаточно, но и необходимо. Приводимая далее теорема 13 также подтверждает существен- существенность условия модулярности в теореме 12. Тем не менее, имеет место Теорема 12'. Для любых трех элементов а, о, с произ- произвольной решетки L всегда (а Д Ь, Ь Д с, с Д a) D и (а у Ь, Ь у с, с У a) D. Доказательство. Пусть р = а Д b, q = Ь Д .с, г = с Аа, о = а Аь Ас и ПУСТЬ u^pyq, v = pyr, w = = q у Г} i = p у q у г. Мы покажем, что подмножество {о, р, q, r, и, v, w, i\ образует подрешетку, в которой объединения и пересечения вычисляются как в булевой алгебре 23 всех
58 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК подмножеств множества \р, q, г\. В самом деле, Р < " Л v = [(а Д Ь) у (Ь А с)] Д [{а АЬ) у (с А^)\< < № V ь] Л [а у а] = b A a = р, откуда « Д в = р. Из соображений симметрии ыДйУ = ^иуД Д w = г. Наконец, очевидным образом, рД<? = (?Дг = гД Др = ои«\/у =и\/г — ы \у а>=р yw = vyw = vyq = i. Лемма 2. В любой модулярной решетке для всех х, у, z A5) ixA(yyz)]y ly A(zy х)] = (ху у) А(уу z) A(zy х). Доказательство. Поскольку х Д (у у z) < х < <zyxny<s:yyz, то повторное применение L5 дает: I* Л (у V 2)] V [У Л (z у х) ] = \ [х а (у Vz) 1V У^ Л (z V х) = = Ну V г) А (х у у) 1 Л (z v х). Отсюда и следует (с использованием L2 — L3) формула A5). Используя принцип двойственности, мы получаем Следствие. В любой модулярной решетке A6) lxy(yAz)]A 1У\/ (z Ах)] = {х АУ)У (У Az)y {z Ах). Лемма 3. В модулярной решетке положим e = (yAz)y[xA(y\Jz))=[(yAz)yx]A(yyz) (ввиду L5) и пусть fug определяются аналогично циклической перестановкой элементов х, у, z (например, f = (z Д х) у [у Д (г у х)] и т. д.). Тогда A7) е A f Г f А 8 = g А е = (х Д у) у (у Д г) у (г Д х) и A7') е у f = / V g = g У е = (х у у) Д (у у z) Д (z V x). Доказательство. Согласно L2 — L3 и по постро- построению, если применить лемму 2, то будет в V / = (У Л z) V [х а (У V z) ] V [г/ д (z у л;) ] у (z д л;) = = О/ Л z) у [(х v У) А (У V г) д (z у х) ] у (г д х). Ног/дгигдл; оба содержатся в выражении в квадратных скобках, так как они являются нижними гранями каждого из элементов х у у, у v z, z V •*• Отсюда следует A7'), а A7) полу- получается двойственно. Лемма 4. ?Ъш е условиях леммы 3 какие-нибудь два из эле- элементов е, /, g равны, то (х, у, z) D. 7. МОДУЛЯРНОСТЬ 59 Доказательство. Если равны, скажем, е и /, то е д д / = е V / и тогда, согласно A7)—A7'); будет A8) (х д у) V (У A z) V (z Л *) =* (* V У) Л {У V г) Д (г V *)• Но теперь — как в доказательстве теоремы 8 * Л U* Л У) V (У А г) V (г Л *) 1 = (* Л У) V (* Л г), * Л 1(х V г/) Л (У V г) Д (г V х) ] = х д (у у г) (и это в любой модулярной решетке). Значит, по теореме 12 (х, г/, г) D следует из A8). Теорема 13. Любая модулярная недистрибутивная ре- решетка М содержит подрешетку, изоморфную решетке М3, изоб- изображенной на рис. 1, а. Доказательство. Если М не дистрибутивна, она со- содержит недистрибутивную тройку \х, у, г}. По лемме 4 элементы е, /, g будут различными, а согласно лемме 3 они порождают под- подрешетку, изоморфную М3. Следствие. Следующее условие необходимо и достаточно для дистрибутивности решетки: A9) если аАх = аАУиа\/х = а\/у, то х = у. Другими словами, необходима и достаточна единственность относительных дополнений Упражнения 1. Докажите, что В любой модулярной решетке х Д у = Цх Ау) V (* Л Аг)\АНхАу) V (У Л*)) (Левиг (L 6 w i g H. — Ann. Math., 1943, 44, p. 573—579).). 2. Докажите, что в любой решетке модулярный закон L5 равносилен каж- каждому из тождествJ) V*). [С*ЛЛ Л ГЛ 3 Докажите, что любая подрешетка и любой гомоморфный образ модуляр- модулярной решетки являются модулярными решетками. 4. Докажите, что прямое произведение модулярных решеток является модулярной решеткой. 5. Используя теорему 12, дайте короткое доказательство теоремы 8. 6. Покажите, что заключение теоремы 12 не имеет места ни в какой ие- модулярной решетке. *7. Покажите, что всякая немодулярная решетка с дополнениями L ко- конечной длины содержит немодулярную пятиэлементную подрешетку, в которую входят О и I (Дилуорс (D i I w о г t h R. P. — Tdhoku Math. J., 1940, 47, p. 18—23).). 8. Покажите, что в модулярной решетке L при любом фиксированном а бинарная операция [х, у]а = \х Д (а V У)\ V (° Д У) идемпотентна и ассо- ассоциативна (т. е. определяет «связку») .(Киш). 1) Таким образом, модулярные решетки образуют многообразие (экваци- онально определимой класс), См. также упр, 2 (в) к § II.5, — Прим. перев,
60 ГЛ. И. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК 8. Полумодулярность и длина Пусть Р — у-множество конечной длины с О. Мы будем на- называть Р полумодулярным (сверху), когда в нем выполняется следующее условие: (а) если каждый из различных элементов а и Ь покрывает с, то существует элемент d fj Р, покрывающий а и Ь х). Полумодулярное снизу у-множество конечной длины опреде- определяется двойственно. У-множество конечной длины, которое полу- модулярно и сверху и снизу, называется модулярным. Условие (а) тесно связано с условием (|) из § 1.7. Именно, справедлива Лемма. Если у-множество Р является решеткой, то (а) равносильно (?). Действительно, в (а) элемент d ^ а у Ь, поскольку d является верхней гранью мно- множества \а, Ь\. Но при афЬ неравенство d > > а у b невозможно, так как тогда d > > а у b > а и d не покрывает а. Значит, в решетке условие (о) влечет (?), а обратное очевидно. Двойственный • результат дока- доказывается двойственно. Теорема 14. Цепное условие Жордана — Дедекинда выпол- выполняется в любом полумодулярном (сверху или снизу) у-множестве конечной длины. Доказательство. В силу двойственности достаточно доказать, что в у-множестве конечной длины с О цепное условие Жордана — Дедекинда вытекает из (а). Это доказывается по индукции следующим образом (см. рис. 9). Для любого положительного целого т пусть Р (т.) означает, что если какая-нибудь связная2) цепь у: а = х0 < хх < ... ... <хт = b имеет длину т, то всякая связная цепь, соединяющая а и Ь, имеет длину т. Понятно, что Р A) истинно. Покажем, что из Р (т — 1) следует Р (т). Пусть у': а — у0 < ух < ... < уп = = b — другая (конечная) связная цепь, соединяющая а и Ь. Со- Согласно (а) существует элемент и, который покрывает хх и ух, если только не будет хх — ух — I (тривиальный случай). Построим какую-нибудь связную цепь у", соединяя и и Ь. Вследствие спра- справедливости Р (т — 1) связная цепь (хх, у") имеет длину т — 1, поскольку такую длину имеет связная цепь хх < х2 < ... < хт = = Ь. Значит, у" имеет длину т — 2, а (уъ у") имеет длину т — 1. J) Ope (Ore О. — Bull. AMS, 1943, 49, p. 558—566). _ 2) Цепь xa < x-i < ... ¦< xn в у-множестве Р называется связной, если х\ покрывает х,_^ в Р при всех i js 1. — Прим. перев, 8. ПОЛУМОДУЛЯРНОСТЬ И ДЛИНА 61 Но тогда длина связной цепи ух < у2 < ... < уп = Ь, ввиду Р (т — 1), также равна т — 1, так что т = п. Возвращаясь к § 1.3, мы получаем Следствие. Любое модулярное или полумодулярное у-мно- у-множество конечной длины градуируется своей функцией высоты h \х ]. Более важный вывод содержит Теорема 15. Градуированная решетка конечной длины полу- модулярна (сверху) тогда и только тогда, когда B0) hlx] + h [у] > h lx \/ у] + h Ix д yl Двойственно, она полумодулярна снизу, если и только если B0') h be] + h [у] < h [х у у] + h [х /\ у]. Доказательство. Очевидно, что в градуированной решетке конечной длины из B0) следует условие (?). Обратно, пусть L — полумодулярная решетка конечной длины. Тогда существуют две конечные связные цепи х А У = Ч < xi < ¦¦¦ < хт = х, х А У = Уо < Ух < ¦¦¦ <Уп = У, одна между х д у и х, а другая между х д у и у. Если, проводя индукцию по i + / — 1, мы предположим, что xt_x \/ yj и xt \/ V Уj-\ самое большее покрывают хи1 V г/,-_д (т. е. что каждый из этих элементов покрывает элемент xt_x \/ yt_x или совпадает с ним), то в силу полумодулярности (сверху) решетки L объеди- объединение Xi V У] = (Xui V Vi) V (xt V yj.i) самое большее покрывает xt_x у У) и xt V Уз-г- Таким обра- образом, по индукции h lx у y}]~h lx у yul] <: 1 и, в частности, h lx \j yt\ конечна для всех /. Суммируя по /, получаем, что h lx у у] •— h lx] < п = h ly] —h lx д у). Тем самым доказано, что из полумодулярности следует B0). Второе утверждение получается двойственно. Следствие. В любой полу модулярной решетке конечной длины. B1) h lx] + h ly] =h lx у у] +h lx a yl Теорема 16. Пусть решетка L имеет конечную длину, Тогда следующие условия равносильны: (i) в L выполняется модулярный закон L5; (ii) L полумодулярна сверху и снизу;
9*. ОТНОШЕНИЕ «МЕЖДУ» 63 62 ГЛ. П. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК (iii) в L выполняется цепное условие Жордана — Дедекинда и B1). Доказательство. Импликация (i) -*¦ (ii) уже была доказана в § 1.7, a (ii) -+ (iii) следует из теоремы 14 и предшеству- предшествующей ей леммы. Так что остается доказать, что (iii) -»-(i). По- Поскольку выполнено условие Жордана — Дедекинда, функция h [х] определена. Если L не модулярна, то по теореме 1.12 она содержит подрешетку Ыъ с элементами х < z и у такими, что х д Л У — z Л У и х V У ~ z V У- Но если имеет место (iii), то согласно B1) h [х] +h [у] =/i [x д у] +h [x V у] = h)[z /\y] +'h [z \/у] = = h [г] +h [у], что противоречит неравенству х <z. Значит, (iii) влечет (i). Ч. т. д. Модулярные и полумодулярные решетки с дополнениями будут рассматриваться еще в главе IV, где в § IV.2 будет определена полумодулярность для решеток бесконечной длины. 9*. х) Отношение «между» Нетрудно описать 2) свойства интуитивно понимаемого отно- отношения «между» в цепях. Лемма. Для троек элементов любой цепи следующие условия равносильны: (i) а < Ь < с или с < b < a; (ii) Ь 6 [а /\ с, а у с]; (iii) (а, Ь, с) - Ъ. Мы опускаем доказательство. Если выполнено какое-то (а значит, каждое) из условий дан- данной леммы, то говорят, что элемент Ь находится между а и с, и это тернарное отношение записывают как (abc) р. Оно обладает сле- следующими очевидными свойствами: (81) если (abc) Р, то (cba) Р; (82) если (abc) Р и (acb) Р, то Ь = с; (83) если (abc) Р и (axb) Р, то (ахс) Р; (84) если (abc) p, (bed) р и Ъ Ф с, то"(abd) P; (85) если (abc) р и (acd) P, то (bed) p. *) Звездочка у номера параграфа, по-видимому, является знаком факульта- факультативности. — Прим. перев. 2) См., например, Гильберт Д. Основания геометрии. — М.: ОГИЗ — Гостехиздат, 1948, с. 58 и далее; Хантингтон и Клайн (Н u n t i n g t о n E. V., Kline J. R.—Trans. AMS, 1917, 18, p. 301—325); Хантингтон Щ U n- tington E. V. — Traqs. AMS, 1935, 38, p. 1—19). К сожалению, приведенная лемма не верна для произвольных решеток, хотя, например, (ii) и (iii) равносильны в любой дистри- дистрибутивной решетке. Таким образом, в решетках возникают три не эквивалентные понятия для отношения «между», каждое из которых сохраняет многие из свойств (В1)—(В5), выполняющиеся для отношения «между» в цепях. Но во всех трех случаях, конечно, нарушается (В6) Для любых трех элементов а, Ь, с истинно одно из сле- следующих соотношений: (abc) p, (bca) р или (cab) p. Как ни удивительно, но обычно, определяя отношение «между» в решетках, используют не условия выше приведенной леммы, а следующее, восходящее к Гливенко отношениех). Определение. В произвольной решетке будем писать (abc) p, если B2) (а д 6) V (Ь А с) = b = (а V Ь) Д (Ь V с). Можно показать, что в модулярной решетке условие B2) равносильно тому, что b лежит между а и с в метрическом про- пространстве, определяемом графом этой решетки, если считать, что каждое ребро имеет длину 1. (Здесь «между» означает, что д (а, Ь) + д (Ь, с) = д (а, с).) Отношение «между» B2) имеет много интересных квазигео- квазигеометрических свойств. Например, в дистрибутивной решетке «ме- «медиана» (а, Ь, с) является единственным элементом, который на- находится «между» любыми двумя из трех элементов а, Ь, с. Чита- Читателя, интересующегося этими свойствами, отошлем к журнальным статьям 2). Упражнения к §§ 8—9 1. Если определить (axb) Р условием (i) леммы 1, то какие из свойств (В1)— (В5) будут выполняться в любом у-множестве? (См. работу Альтвега (А 11- wegg M. — Comment. Math. Helv., 1950, 24, p. 149—155).) 2. Покажите, что если {axb) f> определить условием, что х ? [а Д b, a V Ь], то (В2) истинно не во всех решетках. А что можно сказать в этом случае о (ВЗ)— (В5)? 3. Какие из условий (В1)—(В5) будут выполняться для тернарного отноше- отношения (abc) у, определенного условием: a<i x< b или а > х > 6? 4. В дистрибутивной решетке конечной длины L положим д (a, b) = h [a V У b]—h[a Д6]. (а) Покажите, что (axb) fi 3) тогда и только тогда, когда 9 (а, х) + + д (х, Ь) = д (а, Ь). х) G 1 i v е п к о V.—Amer. J. Math., 1936, 58, p. 799—828; 1937, 59, p. 941— 956. См. также работы Питчера и Смайли (Pitcher E., Smiley M. F. — Trans. AMS, 1942, 52, p. 95—114) и Смайли и Трансю (Smiley M. F., Т г a n s u e R. — Bull. AMS, 1943, 49, p. 280—287). 2) Келли (Kelly L. M. — Duke Math. J., 1952, 19, p. 661—669), Шо- ландер (Sholander M. — Proc. AMS, 1952, 3, p. 369—381; 1954, 5, p. 808— 812). См. также работу Хасимото (Hashimoto J. — Osaka Math. J., 1958, 10, p. 147—158) и там же ссылки. 3) В смысле Гливенко. — Прим. перев.
64 ГЛ. П. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК 10. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 65 (б) Проверьте, что сумма д (а, х) + д F, х) + д (с, х) на медиане (а, Ь, с) принимает минимальное значение -L [д(а, д(Ь, с) + д(с, а)]. (в) Установите, что любой автоморфизм графа решетки I является авто- автоморфизмом решетки L по отношению к тернарной операции (в, Ь, с). (г) Проверьте, что решетка 2" имеет 2пп\ автоморфизмов относительно тер- тернарной операции (а, Ь, с) в отличие от п! обычных автоморфизмов. 5. Покажите, что ни одна из двух пятиэлементных недистрибутивных ре- решеток не имеет такого элемента х, который минимизировал бы сумму д (а, х) + + д (Ь, х) + д (с, х) сразу для всех а, Ь, с. #6. Пусть Р— у-множество, в котором каждая ограниченная цепь ко- конечна. Покажите, что любая максимальная цепь между двумя элементами может быть деформирована в любую другую максимальную цепь между теми же эле- элементами путем последовательного замещения одной стороны «простого цикла» другой его стороной х). 7. Покажите, что следующие аксиомы характеризуют отношение «между» в цепях (Альтвег): (i) если (хух) Р, то х = у; (ii) если (хуг) Р, то (гух) Р; (ш) если {хуг) Р, (уга) Р и у Ф г, то (хуи) р; (iv) (хуг) Р, (угх) р или (гху) р. 8. Покажите, что в модулярной решетке с дополнениями следующие усло- условия равносильны для любой конгруэнции 6: (¦) х = у F); (ii) х А у = х У у F); (Hi) (х Д у) Д (х V у) = О F) для некоторого дополнения элемента х Л у; (iv) (х Д у)' А (х V У) = 0 F) Для любого дополнения элемента х Д у. * 9. Пусть G (L) обозначает решетку \/-энДомоРфизмов конечной решетки L. (а) Покажите, что 0 (L) дистрибутивна, если L дистрибутивна; (б) Покажите, что если L не дистрибутивна, то 6 (I) не полумодулярна (и не любой главный идеал этой решетки является ядром решеточного гомо- гомоморфизма) (Гретцер — Шмидт). 10. Булевы алгебры Булева решетка была определена в § 1.10 как дистрибутивная решетка с дополнениями; по самому определению такая решетка должна содержать универсальные грани О и /. Как было пока- показано (там же), дополнения в булевой решетке единственны и функ- функция а -* а' является дуальным автоморфизмом периода два («ин- («инволюцией»): B3) {а д Ь)' = а' V Ь', (а V *)' = а' д V\ B4) (а')' = а для всех а ? L. х) Маклейн (М а с L а п е S. — Bull. AMS, 1943, 49, р. 567—568). (В [LT2] к этому заданию (упр. 6 к § V.6) имеется пояснение: «простой цикл» — это пара цепей у, у' между х и у такая, что если х< t<^ у, то не может быть, чтобы было t J» и > х, t j» и' > х (где и ? у, и' ? у') или ts t^v'<iy (где v ? у, v' ? у'). — Прим. перев.) Эти факты были хорошо известны уже к 1900 г. (см., напри- например, у Шредера [1 ]). Другие системы аксиом для булевой алгебры интенсивно изучались в период 1900—1940 гг.; большие влияние на эти иссле- исследования оказала ранняя работа Хантингтона [1]. Мы не будем пытаться дать обзор обширной литературы, посвященной подоб- подобным системам аксиом, а отметим лишь следующий типичный результат г). Теорема Хантингтона. Пусть А — система с од- одной бинарной операцией V " одной унарной операцией ' и пусть, по определению, а /\Ь = (а' V Ь')'. Если при этом B5а) аУ b = b у а, B56) а V Ф V с) = (а V Ъ) V с, B5в) (а д Ь) V (а Л Ь') = а, то А является булевой алгеброй. Хотя из B3)—B4) сразу следует, что д можно исключить из числа неопределяемых (первоначальных) операций, все же удивительно, что L1 — L4, L6 и L8 — L10 все выводятся из трех тождеств B5а)—B5в), т. е. из половины условий L2 — L3 и одного тождества, связанного с дополнением! В главе I было показано, что в любой дистрибутивной решетке дополнения единственны. Теперь мы займемся выяснением обрат- обратной зависимости этих условий. Хотя в главе VII будет показано, что существование единственного дополнения для любого эле- элемента а влечет дистрибутивный закон в решетках, где каждый элемент является объединением атомов, в общем случае это не так (теорема VI. 15). Мы установим сейчас один частный результат. Теорема 17. Если каждый элемент а решетки L имеет единственное дополнение а' и если в ней выполняется условие B3), то L — булева решетка. Доказательство. Вследствие коммутативности, из ада' = Оиа\/й' = / следует, что а' д а = О и а' у а = I, т. е. выполняется B4). Теперь покажем, что B6) если b ^г а, то (Ь д а') V а = Ь. В самом деле, для с = b Д а' (напомним, что b ^ а) будет с д а < а' д а = О. Далее, согласно B3)—B4) О = (&' V а) Д (а' АЬ)= [(&' V а) Д а'} д Ь. Но (&' v а) д а' = (Ь Д а')' д а' = [ф д а') у а}' = = (с V й)', и подстановкой в предыдущее равенство получаем О = (с у «)' Л Ь. С другой стороны, с у а = (Ь д а') у а < J) H u п t i n g t о n E. V. — Trans. AMS, 1933, 35, p. 274—304. Цитиру- Цитируемая ниже теорема, в которой А рассматривается как «полурешетка с дополне- дополнениями», связана с четвертым множеством постулатов Хантингтона. 3 Биркгоф Г.
66 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК <Ь у а = Ь, так что (с у а)' у Ь > Ъ' у Ь = I. Таким обра- образом, (с у а) является (единственным) дополнением для Ь, и зна- т. И. I у ь = (Ь'У = ((с V а)')' = с у а = (b A а)' у а. Тем самым доказано B6), а в силу самодвойственности усло- вии, налагаемых на решетку L, справедливо и соотношение двойственное к B6). Чтобы доказать дистрибутивность, используем следствие к тео- теореме 13 Предположим, что х [\ у = а, х V У = Ь, и пусть е = ~ V V*J> а )- Так как у = а V У = Ь д У, то, применяя L4, а также BЬ) и двойственное ему условие, получаем, что е V У = Ь' У (х А а') у а у у = Ь' у х у у = Ь' у b = I, е А У = W V (* Л а') ] Д 6 Л У = х д а' Л У = а' Л а = О. Значит, у есть (единственное) дополнение е' элемента е. Ана- Аналогично х = е , так что х = г/, т. е. относительные дополнения единственны. Следовательно, выполняется A9) и решетка L ди- дистрибутивна. Ч. т. д. Шефер *) показал, что все булевы функции могут быть полу- получены из единственной бинарной операции «отвергания» B7) а | Ь = а' д &' (знак | называется штрихом Шефера). Именно, B8) а' = а | а, а у Ъ = (а\Ь)\{а\Ь), а д & = {а \ а) \ (b | &). Тогда булеву алгебру можно охарактеризовать следующими двумя остроумными постулатами: I- F | а) | (&' | а) = а и IL V а|F|с) = 1(с'|а)|(&'|а)]'. Но, конечно, работать с этими аксиомами не так-то просто. И*, Брауэровы решетки В любой булевой алгебре А элемент а' является наибольшим среди таких х, что а д х = О (т. е. среди х, «дизъюнктных» с а). Вообще, а д х < Ь тогда и только тогда, когда а /\х /\Ь' = О т. е. когда (а д &') д х = О, или х < (а д 6')' = b \/ а'. Та- Таким образом, для любых заданных a, b ? А существует наиболь- наибольший элемент с = b у а' такой, что а д с < Ь. г) S hi e f f е г Н. М. — Trans. AMS, 1913, 14, р. 481—488. Система посту- постулатов I—II для булевой алгебры была найдена Бернштейном (Bern- (Bernstein В. А. — Bull. AMS, 1933, 39, p. 783—787). 11». БРАУЭРОВЫ РЕШЕТКИ 67 В связи с исследованиями по основаниям логики (см. главу XII) Брауэр и Рейтинг х) ввели важное обобщение понятия буле- булевой алгебры, основываясь на только чт,о отмеченном свойстве. Определение. Брауэровой решеткой 2) называется ре- решетка L, в которой для любых данных элементов а и b множество всех х ? L таких, что а д х < Ь, имеет наибольший элемент b : а, называемый относительным псевдодополнением а в Ь. Теорема 18. Любая брауэрова решетка дистрибутивна. Доказательство. Для заданных элементов а, Ь, с образуем d = (а д Ь) у (а д с) и рассмотрим d : а. Так как а Д b < d и а д с < d, то b < d : а и с < d : а. Значит, b у у с < d : а и потому а д (Ь у с) < а д (d : а) < d = (а д д Ь) у (а д с). Но отсюда по теореме 1.9 (с учетом неравенства дистрибутивности) следует дистрибутивность. Нетрудно проверить, что любая булева алгебра является бра- брауэровой решеткой, в которой b : а = а' \/ Ь будет относительным дополнением для а в [а /\ Ь,, I). Точно так же любая конечная дистрибутивная решетка брауэрова, поскольку объединение и = = V ха всех ха таких, что а д ха < Ь, удовлетворяет соотноше- соотношению а д и = а д V ха = V (а д ха) < Ь. Любая цепь тоже брауэрова. Полная дистрибутивная решетка всех открытых подмножеств любого топологического пространства также является брауэро- брауэровой. Однако полная дистрибутивная решетка всех замкнутых подмножеств прямой уже не будет брауэровой: не существует наибольшего замкнутого подмножества со свойством р д х = = 0 3). Значит, не все дистрибутивные решетки брауэровы. В брауэровой решетке с О элемент О : а называется псевдо- псевдодополнением для а и обозначается а*. Псевдодополнения в брау- эровых решетках имеют много интересных формальных свойств. Упражнения к]§§ 10—11 1. Покажите, что для булевых алгебр любое решеточное наложение 0: А -*¦ —>- В сохраняет дополнения. 2. Покажите, что следующие постулаты определяют булеву алгебру: (а) х АУ = У Ах; (б) х Д (у Д г) = (х /\у) /\ г; (в) х /\у' = г Л г' тогда и только тогда, когда х Д у — у (Ли Берн) 4). 3. Пусть L — решетка с дополнениями, в которой если а Д х = О, то : a' для любого дополнения а' элемента а. Докажите, что (a) L — решетка с единственными дополнениями; x)Heyting А. — S. В. Preuss. Akad. Wiss., 1930, S. 42—56. Связь с теорией решеток отметил автор [LT 1, §§ 161—162]. 2) О брауэровых полурешетках см. работу Фринка (F r i n k О. — Duke Math. J., 1962, 29, p. 505—514), а также у Бюхи (В и с h i J. R. — Portue. Math., 1948, 7, p. 119—178). 3) Где p — точка. — Прим. перев. 4) См. также С то л л Р. Множества. Логики. Аксиоматические теории. — М.: Просвещение, 1968, с. 199. —Прим. перев.
68 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК (б) если а^б, то аД*' = О, и значит, Ь' =^ а'; (в) L — булева алгебра (Хантингтон [1]). 4. Докажите, что в булевой решетке А тогда и только тогда b s^c, когда из а Д с = О (а € А) следует, что а Д 6 = О. 5. Покажите, что в булевой алгебре (а, Ь, с)' = (а', 6', с'). 6. Покажите, что для псевдодополнений в брауэровой решетке справедливо: (i) если а^Ь, то Ь* г=: а*; (И) asga**; (in) а* — а***; (iv) (а у Ь)* = а* /\Ь* и в решетке замкнутых элемен- элементов 3) (v) (аДЧ* = a* V^*- *7. Докажите, что из постулатов I, II для штриха Шефера выводимы все законы булевой алгебры. *8. Пусть в булевой алгебре А, по определению, а * b = а' /\Ь. Пока- Покажите, что (i) (a*b)*a = а, (а * Ь) * b = ф * а) * а, а * (Ь * с) = 6 * (а * с); (и) а*а = О, 0*а = а, а* О = О; (Hi) существует элемент 1 такой, что 1 * а — О. Покажите, что (i) — (Hi) есть система аксиом для булевых алгебр как «им- пликативных алгебр» с вычитанием 2) (Эбот и Клейндорфер). (Ср. В е г n s t e in В. A.—Trans. Amer. Math. Soc, 1934, 36, p. 876—884.) *9. Покажите, что идеалы дистрибутивной решетки с О образуют полную брауэрову решетку (Рибенбойм). 10. В каждой из двух недистрибутивных пятиэлементных решеток М3 и Ыъ найдите элементы а, Ь такие, что а : b не существует. 11. Покажите, что Nb обладает псевдодополнениями. 12. Покажите, что каждая цепь обладает относительными псевдодополне- псевдодополнениями. 13. Покажите, что любая конечная дистрибутивная решетка является брау- брауэровой. 14. Покажите, что брауэрова решетка является булевой, если в ней (а) (л:*)* = х или (б) х /\х* = О. 15. В пятиэлементной брауэровой решетке найдите элементы а, Ъ такие, что (a /\b)*>a* \/ b*. * 16. Покажите, что следующая система аксиом для брауэровых решеток независима: а: а= 1, а /\0 = О, (а:Ь)/\а=а, (а : Ь) /\Ь = а /\Ь, {а /\Ь) :с=(а:с) /\{Ь:с), а : (Ь V с) = (а : Ь) /\(а : с) (Монтейро (М о n t e i г о А. А. — Rev. Union Mat. Argentina, 1955, 17, p. 148-160).) 12*. Булевы кольца Аналогия между алгеброй логики и обычной алгеброй под- подчеркивалась многими математиками, начиная с Буля [1 ). Однако Стоун [1 ] был первым, кто осознал точную связь между булевыми алгебрами и кольцами 3). J) To есть таких элементов а, что а** — а, ибо можно показать, что равен- равенство а = а** определяет свойство замыкания. — Прим. ред. 2) См. § XII.3. — Прим. перев. 3) По поводу более ранних связанных с этим работ см. ссылки в FLT2, сноска на с. 217]. 12». БУЛЕВЫ КОЛЬЦА 69 Кольцо можно построить из элементов любой булевой алгебры, беря в качестве умножения пересечение и определяя сложение как «симметрическую разность»: B9) аЬ = а д Ь и а + Ь = (а д Ь') V (а' А Ь). Очевидно, что обе операции коммутативны. Проверим ассо- ассоциативность для сложения: (а + Ь) + с = {[(а д Ь') V (а' А Ь) 1 Д с'\ V VI Ца д Ь') у (а' д*)Г Л с}. После упрощения с помощью дистрибутивности получаем (а + Ь) + с = (а' д b Д с') у (а д V Д с') у (Ь' Д с д а') V V (а Л Ь А с) — выражение, симметричное относительно a, b и с. В силу этой симметрии C0) {а + Ь) + с = а + (Ь + с). Элемент О булевой алгебры действует как аддитивный нуль кольца: а + О = (а д О') V (а' Д О) = (а д /) V (а' А О) = а у О = а. Аддитивно обратный (противоположный) элемент для а суще- существует и равен самому а, поскольку согласно B9) будет C1) а + а = ОуО = О. Осталось установить законы дистрибутивности. По определе- определению, а(Ь + с) = а д [(& д с') у (Ь' д с) ] = (а д Ь Д с') у (а д V Д с) ab + ас = {а /\Ь А(а А с)') У ((а Д Ь)' Д а д с) = = ((а д Ь) А (а' у с')) у {{а' у Ь') А а Д с) = = (а д Ь А а') У (а А Ь А О V (а' А а Д с) у (&' д а д с) = = (а д Ь А С) У (Ь' А а А с). Таким образом, а (Ь + с) = ab + ас, чем и завершается дока- доказательство. Очевидно, что построенное кольцо имеет мультипликативную единицу — это будет /, поскольку I /\ а — а А I = а Для всех а. Также очевидно, что в этом кольце аа — а. Поэтому если опре- определить булево кольцо как (ассоциативное) кольцо, в котором C2) аа = а для всех а
70 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК (т. е. умножение идемпотентно), то доказанное можно сформули- сформулировать в следующем виде. Теорема 19. Относительно операций, определенных форму- формулами B3), каждая булева алгебра является булевым кольцом с еди- единицей. Обратно, если задано булево кольцо с единицей, можно по- построить булеву алгебру, полагая C3) а /\ b = ab и а у Ь = а + Ъ + ab. Если определить х 32 У как ху = у, то очевидно, что (i) 1 з& х з& 0 для всех х; (ii) х 32 x вследствие идемпотентности; (iii) если х з= у и у зг х, то х = ух = ху = у по определению и ввиду коммутативности; х) (iv) если х ^ у и г/ зэ х, то х = ху = х (г/г) = (ху) г = xz, так что х Зз г; (v) х 32 -гг/, поскольку х (ху) = (хх) у = ху; (v') У зг хг/, аналогично, с учетом коммутативности; (vi) если х зэ= г и у зэ= г, то хг/г = хг = г, и значит, ху з& г; (vii) соответствие х —>¦ 1 — л; взаимно однозначно. Так как при ху = у будет A — у) A — х) = 1 — у — х + + ху = 1 — х, то это соответствие обращает включение, и сле- следовательно, является дуальным автоморфизмом. Таким образом, наше определение превращает булево кольцо R с единицей в у-множество с О и / (i ¦— iv), в котором х д у опре- определено и совпадает с ху (v — vi), a x \j у существует (vii) и рав- равняется 1 — A — х) A — у) = х + у — ху, как в C3). Итак, если положить х' = 1 —х, то х д х' = = х A — х\= 0 и х у *' = * + A — х) + х (I— х) = 1, и # становится решеткой с дополнениями. Наконец, х А (У V z) = х (у + z — г/г) = ху + xz — хуг = = хг/ + хг — хг/xz = (х Л у) V (х /\ г), и значит, i? является булевой решеткой. Для любого булева кольца R (В) с единицей, построенного из булевой алгебры В согласно B9), булева решетка В (R (В)), полученная из кольца R (В) по правилам C3), изоморфна В. Мы опускаем доказательство. х) Коммутативность умножения следует из его идемпотентности: а + b = (а + бJ = а2 + аЬ + Ьа + Ь* = а + b + аЬ + Ъа и, учитывая, что хН-х=0, достаточно к обеим частям равенства прибавить а -\- b -\- Ьа. — Прим. перев. и ред. 13». АЛГЕБРЫ НЬЮМЕНА 71 Стоун [1] определил обобщенную булеву алгебру как дистри- дистрибутивную решетку с О (но не обязательно с /), обладающую отно- относительными дополнениями. Иллюстрацией является следующий Пример 7. Решетка 2<т> всех конечных подмножеств мно- множества Z+ = со положительных целых чисел будет обобщенной булевой алгеброй. Соответствующие характеристические функции (со значениями в Z2) образуют булево кольцо, которое является ограниченной прямой суммой (произведением) счетного числа экземпляров кольца Z2 (см. ниже упр. 6). Заметим, что 2<т> будет идеалом в 2м — множестве всех подмножеств множества со. Фактор-решетка 2и>/2<-и>'> имеет много интересных свойств (см. ниже упр. 3, а также упр. 1 в конце главы VIII). В обобщенной булевой алгебре мы определяем а + Ь, как в B9), под Ь' и а' [О, ' вольного с за а V Ь. понимая относительные дополнения в интервале [О, с ] для произ- Следующий пример показывает, что существуют и неассо- неассоциативные булевы кольца. Пример 8. Рассмотрим неассоциативную линейную алгебру над полем Z2 вычетов по mod 2 с базисным элементом 1 (единица), элементами а, Ь, с и правилами умножения C4) а2 = а, аЬ = Ьа = с и циклически. Тогда (а + bf = а2 + 0 + Ь2 = а + Ъ и т. д. 13*s Алгебры Ньюмена Замечательный синтез булевых алгебр и булевых колец полу- получил в 1941—1942 гг. Ньюмен х). Назовем алгеброй Ньюмена ал- алгебру А с двумя бинарными операциями, удовлетворяющими условиям N1 а(Ь + с) = аЬ + ас; N1' (а +Ь)с = ас+be; N2 существует элемент 1 такой, что а\ = а для всех а; N3 существует элемент 0 такой, что а + 0 = 0 + а = а для всех а; N4 для каждого а существует по крайней мере один элемент а' такой, что аа! — 0 и а + а' = 1. Заметим, что не предполагается ни идемпотентность, ни комму- коммутативность, ни ассоциативность этих операций. Не требуется заранее и единственность а'. Легко проверить, что каждая булева алгебра и каждое булево кольцо с единицей являются алгебрами Ньюмена, причем булево *) Newman М. Н. А. — J. London Math. Soc, 1941, 16, p. 256—272; 1942, 17, p. 34—47. См. также работу Биркгофов (В i r k h о f f G. D., В i г к- h о f f G. — Trans. AMS, 1946, 60, p. 3—11).
72 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК 13». АЛГЕБРЫ НЬЮМЕНА 73 кольцо не обязано быть ассоциативным. Тогда алгеброй Ньюмена ¦¦ будет и любое прямое произведение булевой алгебры и булева '¦ кольца. s Следующая серия лемм (Т1 — Т7) позволит получить обраще- обращение этого результата. Т1 аа = а для всех а. Доказательство. аа = аа + 0 = аа + аа' = а (а + а') = а\ = а. Затем покажем, что любое дополнение (а1)' произвольного дополнения а' элемента а должно совпадать с а. Т2 (а')' = а. ¦ Доказательство. ; (а')' = 0 + (а')' (а')' = а' (а')' + (а')' (а')' = Ы' + (а1)' ] (а1)' = = 1 (а')' = (а + а') (а1)' = а (а')' + 0 = 0 + а (а1)' = ; = аа' + а (а1)' = а (а' + (а1)') = а\ = а. Ч. т. д. Таким образом, если а' я а* — два дополнения для а, то по доказанному (а*)' = а и ((а*)')' = а*. Но кроме того, {(а*)')' = = а', тзк что а* = а', т. е. дополнения единственны. \ Как следствие Т2 и N4 получаем : N4' о'о = 0иа' + а=1. '\ Далее, применяя N4, N3, N1', N4 и N3, имеем > О = аа' = а {а' + 0) = аа' + аО = 0 + аО = аО, и аналогично, используя N4', N3, N1', N4' и N3, 0 = а'а = (а' + 0) а = а'а + 0а = 0 + 0а = 0а. ' Тем самым мы доказали ¦; ТЗ аО = 0 = 0а для всех а ? А. Заметим, что если 1=0, то 0 = аО = а\ — а для всех а. ;, Значит, за исключением этого тривиального случая всегда 0 Ф- 1, >¦ что мы и будем предполагать в дальнейшем. Теперь получаем N2' 1а = (а + а') а = аа + а'а = а + 0 = а. : Следовательно, имеется полная лево-правая симметрия в свой- ; ствах сложения и умножения. , Положим 1 + 1 = 2 и назовем левые кратные х2 элемента 2 : четными элементами. Заметим, что 2 + 2 = 2 A + 1) = 2-2 = 2 -' (согласно Т1). Используя это новое понятие, устанавливаем > Т4 х является четным тогда и только тогда, когда х + х = х. - В самом деле, г/2 + г/2 = у B + 2) = г/2, и обратно, если х + х = х, то х = х\ + х\ = х A + 1) = х2. Т5 Любое кратное xt или -их четного элемента х будет четным. Действительно, если х = х + х, то xt = (х + х) t = xt + xt и vx = v (х + х) = vx + vx. Т6 Функция х -^ х2 является идемпотентным эндомор- эндоморфизмом : (х + г/J = х2 + г/2, (ху) 2 = (*2) (г/2), (*2) 2 = х2. Доказательство. (х + г/) 2 = х2 + г/2, (х2) 2 = х2 + %2 = х B + 2) = х2 и (*2) (г/2) = (х + х) (г/ + у) = (х + х) у + (х + х) у = = (хг/ + хг/) + (хг/ + хг/) = (ху) 2 + (хг/) 2 = = (хг/) B + 2) = (ху) 2 Отсюда следует, что четные элементы образуют в А подал- подалгебру В с идемпотентным сложением. Для элементов этой под- подалгебры а + 1 = (а + 1) (а + 1) = (аа + а) + (аа' + 1а') = = (а + а) + @ + а') = а + а' = 1, так что а + 2 = а2 + 2 = (а + 1) 2 = 2, a 2 ? В. Таким образом, В удовлетворяет всем указанным в теореме 10 постулатам для дистрибутивной решетки, причем 2 действует здесь как универсальная верхняя грань /. Далее, если а ? В, то а'2 ? В является дополнением для а в В, поскольку а + а'2 = а2 + а'2 = (а + а') 2 = 1.2 = 2 и а (а'2) = а (а' + а') = аа' + аа' = 0 + 0 = 0. Значит, В является булевой алгеброй. Отсюда получается, в частности, ассоциативность умножения «четных» элементов. Левые кратные элемента 2' назовем нечетными элементами. Так как 2' + 2' = 2'-1 + 2'-1 = 2' A + 1) = 2'-2 = 0, то Т7 х является нечетным mozdajx только тогда, когда\х\\- х = 0. Действительно, если х — нечетный элемент, то х = г/2' для некоторого у и х + х = г/2' + г/2' = у B' + 2') = г/0 = 0. С другой стороны, если х + х = 0, то х = xl = х B' + 2) = = х2' + х2 = х2', так как х2 = х + х = 0. Рассуждения, аналогичные тем, которые были использованы в доказательствах утверждений Т5 и Т6, показывают, что мно-
74 ГЛ. И. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК жество'В' всех^нечетных элементов образует булево кольцо с еди- единицей 2', и оно не обязано быть ассоциативным. Наконец, для любого х из нашей алгебры Ньюмена х = xl = х B + 2') = х2 + х2'. Таким образом, мы набросали доказательство следующего результата. Теорема 20. Любая алгебра Ньюмена является прямым произведением булевой алгебры и (возможно неассоциативного) булева кольца с единицей. ^j Упражнения к §§ 12—13 1. Покажите, что в любой булевой алгебре х + у = (х Д у) + (х V У)- 2. Покажите, что каждая групповая трансляция х-*-х-\- а булевой ал- алгебры является автоморфизмом относительно операции медианы. 3. Покажите, что конечные множества целых чисел образуют относительно операций |~| и \J обобщенную булеву алгебру без единицы. 4. (а) Покажите, что идемпотентные элементы коммутативного кольца ха- характеристики два образуют булево подкольцо. (б) Покажите, что коммутативное кольцо с единицей будет кольцом и отно- относительно «двойственных операций» х»у = х+ у — xy, у = х+ у— I. 5. Покажите, что при соответствии, установленном в теореме 19, автомор- автоморфизмы переходят в автоморфизмы, булевы подалгебры — в подкольца, идеалы — в идеалы, а решеточные простые идеалы — в простые идеалы кольца. 6. Распространите теорему 19 на обобщенные булевы алгебры и (ассоциатив- (ассоциативные) булевы кольца, не обязательно имеющие 1. 7. Пусть R — коммутативное и ассоциативное кольцо с 1, в котором 1 + + 1 = 0 и х A — х) у A — у) = 0. Покажите, что тождество а = (а + аа) + аа однозначно разлагает каждое а ? R на сумму нильпотентной и идемпотентной компонент. 8. Используя только N1 — N4 и их следствия, докажите, что (а) а + Ь = (а + Ь) (Ь + У) = (а + 1) Ь + ab' = ... = Ь + а; (б) 1 + (\ + с) = [1 + A + 1)] с + (с' + с') = ... == A + 1) + с, умно- умножая справа на с + с', раскрывая скобки и используя (а), чтобы получить равен- равенство 1 + A+ 1) = A + 1)+ 1; (в) 1 + ф -+¦ с) = A -f 6) + с, используя (б) и аналогичное умножение справа на b Л~ Ь'\ (г) а + F + с) = (а + й) + с, используя (в). *9. Покажите, что в N1 — N4 условие 0 + а = а избыточно. 10. Пусть i? — коммутативное и ассоциативное кольцо с 1 характеристики два, в котором ab (a+ b -\- ab) = ab для всех а, 6. Докажите, что (i) а4 = а2; (ii) /? является прямой суммой булева кольца и нуль-кольца (его радикала), и обратно. См. работу Фостера (Foster A. L/— Trans. AMS, 1946, 59, р.|166—187). 14*. Орторешетки Наконец, рассмотрим недистрибутивные (в отличие от буле- булевых решеток, § 1.10) аналоги булевых алгебр, когда задана унар- унарная операция взятия дополнения а -> а1 вместе с упорядочением, 14». ОРТОРЕШЕТКИ 75 при котором любые два элемента имеют точные нижнюю и верх- верхнюю грани. Определение. Орторешеткой называется решетка с универсальными гранями и унарной операцией а —>а1 такой, что = О, a v а1- = / для всех а; L8-L- а д = a; L10-L- (а д ЬI- = а-»- \/ Ь±, (а \/ Ь)-1- = a-L д Понятно, что любая орторешетка обладает дополнениями, а дистрибутивная орторешетка является булевой алгеброй. Самой известной недистрибутивной орторешеткой является орторешетка подпространств конечномерного евклидова пространства (§ 1.9, пример 11), она модулярна. Теперь мы опишем чрезвычайно важную немодулярную орторешетку. Пример 9. Пусть L (ф) — решетка всех замкнутых под- подпространств (сепарабельного) гильбертова пространства § = = L2 @, 1). Для любого такого замкнутого подпространства S пусть 5-1 будет его ортодополнение. Тогда L является орторе- орторешеткой. Определение. В орторешетке будем писать аСЬ (чи- (читают: а коммутирует с Ь), если а = (а д Ь) у (а д Ьх). Лемма. В любой орторешетке, если а < Ь, то аСЬ. Доказательство. Если а < 6, то (а д 6) V (ад д Ьх) = а V (а А Ьх) = а (по закону поглощения L4). В примере 9 SCT означает, что проекции Es и ЕТ на S и Т коммутируют: ESET = ETES. В этом примере, таким образом, из аСЬ следует ЬСа. Накамурой х) доказана Теорема 21. В любой орторешетке L следующие два усло- условия равносильны: C5) если х < у, то х \/ (хА д у) = у (т. е. уСх); C5') если хСу, то уСх (коммутативность симметрична). Доказательство можно найти у Холанда [1], содержание тео- теорем 1—-3 которого мы излагаем далее. Орторешетка, удовлетворяющая одному (и значит, каждому) из равносильных условий C5)—C5'), называется ортомодулярной решеткой. Согласно C5), любая модулярная орторешетка яв- является ортомодулярной. С другой стороны, в любой ортомодуляр- ной решетке каждая «ортогональная» 2) пара является «модуляр- «модулярной» парой (см. § IV.2), хотя модулярный закон не обязательно выполняется. ^Nakamura М. — Kodai Math. Sem. Rep., 1957, 9, p. 158—160. 2) В орторешетке элемент х ортогонален элементу у, если х =д; у*-. Отношение ортогональности симметрично. — Прим. перев.
76 ГЛ. II. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ РЕШЕТОК Следствие. Любая ортомодулярная решетка обладает относительными дополнениями. Теорема 22 (Фоулис и Холанд). В любой ортомодулярной решетке L для каждого а ? L множество С (а) всех элементов х таких, что аСх, является подорторешеткойх). Заметим также, что имеет место 2) Теорема 23. Если в ортомодулярной решетке L аСЬ и аСс, то \а, Ь, с\ порождает в L дистрибутивную подрешетку. ' Следствие 1. Пусть S — подмножество в ортомодуляр- ортомодулярной решетке L и агСа} для всех at ? 5. Тогда S порождает булеву алгебру относительно операций д, v> aL решетки L. Следствие 2. В любой ортомодулярной решетке L каж- каждая цепь порождает в L булеву подалгебру. Следствие 3. В любой ортомодулярной решетке каждый интервал [а, Ь] является ортомодулярной решеткой, замкнутой относительно д, V " операции взятия относительного дополне- дополнения с* = (а V сх) д Ь = а V (с1- Д Ь). Упражнения (см. также упражнения к § IV. 15) 1. (а) Покажите, что всякая дистрибутивная орторешетка является булевой алгеброй. (б) Пусть LM есть прямое произведение двух орторешеток, рассматриваемых как у-множества. Превратите LM в орторешетку, которая была бы ортомоду- ортомодулярной, когда ортомодулярными являются L и М. 2. Покажите, что в любой орторешетке a=<:fe тогда и только тогда, когда 3. (а) Покажите, что в симметричной 3) орторешетке а =<; Ъ тогда и только тогда, когда из Ь Д с = О следует а /\ с — О. (б) Покажите, что никакая пятиэлементная решетка не может быть превра- превращена в орторешетку. 4\ Покажите, что следующие условия равносильны для элементов а, Ь орто- ортомодулярной решетки L: (i) аСЬ\ (п) "(а V б-1) Л Ь = а Л Ь; (ш) а = (а V Ь) Л (а V *Х): (iv) а = е V' S и b = f V В Для некоторых попарно ортогональных эле- элементов е, f, g ? L (Фоулис и Холанд). 5. Покажите, что любая решетка конечного порядка п > 2 может быть вложена в качестве подрешетки (i) в решетку с дополнениями порядка п + 1 и ^Foulis D. J. — Portug. Math., 1962, 21, p. 65—72, лемма 3; Хо- Холанд [1]. 2) Holland [1, теорема 3], Foul is D. J. — Portugal. Math., 1962, 21, теорема 5. 3) Симметричной называется орторешетка, в которой истинна импликация хМу & х Л У = О =ф- уМх, где хМу означает модулярность пары (х, у) (см. § IV. 2). — Прим. перев. 14». ОРТОРЕШЕТКИ 77 (и) в орторешетку порядка In — 2. 6. Покажите, что любая модулярная орторешетка ортомодулярна. 7. Докажите, что каждое из следующих условий необходимо и достаточно для того, чтобы орторешетка была ортомодулярной: (i) если а ^ Ь и а1- Д Ь = О, то а = Ь; (И) если a s? Ъ «с с, то а \/ (Ьх Д с) = (а V bL) Д с. 8. Покажите, что в примере 9 элементы конечной высоты образуют идеал F, который является модулярной подрешеткой. *9. Опишите фактор-решетку L (§)/F, где F — идеал из упр. 8. (См. главу VIII.) * 10. Найдите решетку длины 5 с 18 элементами, которая имеет дуальный автоморфизм, но не имеет инволютивного дуального автоморфизма. * 11. Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей 1, на котором задано отображение а -»- а* в себя со свойствами а** = а, (а + Ь)* = а* + Ь* и (ab)* = = Ь*а*. Пусть L — множество элементов х ? R таких, что х — х* = х2. До- Докажите, что (а) отношение «х=<: у в смысле х = ху» является порядком; (б) если L — решетка относительно этого порядка, то она является орто- ортомодулярной, причем х1- = 1 — х; (в) ху = ух в L тогда и только тогда, когда хСу; (г) указанным свойствам удовлетворяют ограниченные линейные преобра- преобразования пространства §, где а* обозначает сопряженное для а подпространство.
ГЛАВА III СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 1. Кардинальная арифметика Основная структурная проблема алгебры состоит в разложе- разложении данной алгебраической системы на более простые компо- компоненты, из которых путем синтеза может быть восстановлена исходная система. Классическими результатами в этом напра- направлении являются, например, разложение конечномерного век- векторного пространства в прямую сумму одномерных подпространств (изоморфных основному полю) или разложение конечной абелевой группы в прямую сумму примарных (т. е. с порядком, равным степени простого числа) циклических подгрупп. Подобные теоремы о разложении помогают описать строение данной алгебраической системы. Получающиеся компоненты обычно образуют решетку. Эти компоненты рассматривают либо как специальные подмножества (например, нормальные подгруппы группы), либо как разбиения (отношения конгруэнтности), либо, наконец, как то и другое одновременно. Тем самым естественно возникают два типа связей между исследованием строения алге- алгебраических систем и теорией решеток (см. примеры 6 и 7 в главе I), — они будут рассматриваться в главах VI—VIII. Эту главу мы начнем с изучения строения решеток и, в ча- частности, с проблемы построения решетки из меньших компонент. Оказывается, что в таком синтезе существенную роль играют операции над у-множествами, обобщающие знакомые арифмети- арифметические действия сложения, умножения и возведения в степень. Хотя кардинальные операции умножения и сложения можно определить для множеств с произвольными отношениями 1), мы будем иметь дело только с у-множествами. Определение. Пусть X, Y — у-множества. Кардиналь- Кардинальная сумма X + Y — это множество, элементами которого яв- являются все элементы из X и Y, рассматриваемых как непересека- непересекающиеся множества. Порядок < сохраняет свой смысл отдельно в X и в Y, и ни для каких х ? X, у ? Y не может быть ни х < у, ни х ^ у. Кардинальное произведение XY— это уже определенное в § 1.4 прямое произведение. Кардинальной степенью Yx с осно- г) Уайтхед и Рассел [1, §§ 162, 172]. О приложениях к у-множествам см. в книге Хаусдорф Ф. Теория множеств. — М.: ОНТИ, 1937. Приложения в теории решеток рассматривал автор ([5] и Duke J. Math., 1937, 3, p. 311— 316), им же введено понятие кардинального возведения в степень. 1. КАРДИНАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА 79 ванием Y и показателем X называется множество всех изотонных функций у = / (х), заданных на X и принимающих значения в Y, упорядоченных отношением f < g, означающим, что / (х) < g (x) для всех х ? X. Для конечных у-множеств диаграмма для X + Y состоит из I пред- представляет собой диаграмму для 2 + 2. Далее, если X — конечная цепь, a Y имеет плоскую диаграмму, то декартово произведение диаграммы для X и плоской диаг- диаграммы для Y даст пространственную диаграмму для XY. Вообще, если X и Y имеют пространственные диаграммы, в которых ни- никакой вектор xh — xh не равен никакому вектору з>; — У/, то век- векторы xh + у} образуют вершины пространственной диаграммы для XY, причем вершина xh + yi покрывается вершинами вида х*. + У и где xk покрывает xh, и вершинами вида xh + yj, где у, покрывает yt. Легко показать, что кардинальные сумма, произведение и сте- степень любых двух у-множеств будут снова у-множествами. Более того, из теоремы 1.7 мы знаем, что произведение любых двух ре- решеток является решеткой. Теперь докажем менее очевидный результат. Теорема 1. Если М — решетка, а X — у-множество, то Мх— решетка. При этом если М модулярна или дистри- дистрибутивна, то соответственно модулярной или дистрибутивной будет Мх. Доказательство. Пусть у = / (х) и у = g (х) —. две изотонные функции, заданные на X и со значениями в М. Если для любого х положить h(x) = / (х) V g {x) 6 М, то получается функция h, которая изотонна и является точной верхней гранью для / и g в Мх. Двойственно, h* (х) = f (х) Д g (x) является точ- точной нижней гранью. Этим доказано первое утверждение. Чтобы доказать второе, нужно лишь проверить выполнимость соответст- соответствующих тождеств для каждого х. Важным приложением понятия кардинальной степени явля- является 2х, где 2 обозначает ординальную двойку, а X — произволь- произвольное у-множество. Назовем подмножество А в X J-замкнутым х) (или «дуальным полуидеалом»), если оно содержит вместе с любым а все х =г а, и полуидеалом, или М-замкнутым, если вместе с лю- любым а оно содержит и все х < а. (Таким образом, если X — ре- решетка, то каждый идеал в X будет М-замкнутым, а каждый ду- дуальный идеал — /-замкнутым.ДИмеет место х) Как выяснится в главе IX, 7>пространство, связанное посредством «./-замкнутых подмножеств» с XY, есть произведение 7>пространств, связанных соответственно с X и Y.
80 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Лемма. Дистрибутивная решетка 2х изоморфна кольцу всех J-замкнутых подмножеств у-множества X, упорядоченному теоретико-множественным включением. Именно, каждому такому /-замкнутому подмножеству А соответствует его характеристическая функция QA : X -»- 2, оп- определяемая условием: 1, если х ? А, U если Х&А. Очевидно, что это соответствие взаимно однозначно; оно, кроме того, является отображением на 2х, поскольку произволь- произвольная функция / ? 2х соответствует множеству Jf таких х ? X, что f (х) = 1. Другими словами, QJf = /. Далее, Jf является /-замкнутым в X вследствие изотонности /, так как если а ? Jf и х > а, то / (х) > / (а) = 1, и значит, х ? Jf по определению Jf. Наконец, соответствие А ->¦ QA является изо- изоморфизмом, ибо если В с= А, то QB (х) < QA (х) для всех х ? X, и обратно. Следствие. Двойственно 2х дуально изоморфно кольцу всех М-замкнутых подмножеств у-множества X. 2. Формальные свойства Если использовать знак равенства для обозначения изоморф- ности, то большинство законов арифметики можно перенести на произвольные у-множества и, кроме того, получить ряд свойств путем дуализации *). Теорема 2. Следующие соотношения являются тождест- тождествами кардинальной арифметики у-множеств: X + (Y + Z) = (X + Y) + Z; X (YZ) = (XY) Z; (X + Y) Z = XZ + YZ; A) X + Y = Y + X, B) XY = YX, C) X (Y + Z) = XY + XZ, D) XY+Z = E) X~+Y Доказательство. Доказательство для A) тривиально. Тождество XY = YX следует из того факта, что отображение' (х, у) 0 = (у, х), определяемое для всех х ? X и у ? Y, является *) Много других свойств можно найти в работах Биркгофа [5] и Дея [1]. Некоторые из них встречаются ниже в упражнениях. 2. ФОРМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 81 взаимно однозначным и сохраняющим порядок1) отображением у-множества XY на у-множество YX, т. е. изоморфизмом. Анало- Аналогично отображение ф : (х, (у, z)) ф = {(х, у), z) определяет оче- очевидный изоморфизм у-множества X (YZ) на у-множество (XY) Z. Выполнимость дистрибутивных законов C) столь же очевидна. Простым применением принципа двойственности получаются за- законы E) для дуализации. Доказательства трех «показательных законов» D) менее три- тривиальны, и мы по очереди проведем их. Если / ? XY+Z, то f является функцией, определенной на объединении двух не пересекающихся множеств Y я Z. Пусть f соответствует паре (/у, fz) ? XYXZ, где /у и fz определяются как ограничения / на Y и Z соответственно. Ясно, что fY и fz изотонны, если изотонна /; построенное соответствие взаимно од- однозначно, поскольку Y и Z вместе дают все множество Y + Z. Обратно, каждый элемент (fx, /a) из XYXZ соответствует функции, равной fx на Y и /2 на Z. Она определена корректно, поскольку Y и Z не пересекаются, и является изотонной, так как упорядоче- упорядочение на Y + Z согласовано с исходными упорядочениями на Y и Z. Наконец, наше соответствие является изоморфизмом: если f <¦ g, т. е. / (х) < g (х) для всех х ? Y и всех х ? Z, то /г < gx и /2 < < ga, и обратно. Предположим, что f ? (ХУJ, и пусть эта функция соответст- соответствует паре (fx, fy), где fx (z), z ? Z, является Х-компонентой функции /, а /у соответственно ^-компонентой. Тем самым опре- определен изоморфизм между (XY)Z и XZYZ. Изотонность пары (fx, /у) следует сразу из покоординатного рассмотрения. По- Построенное соответствие взаимно однозначно, поскольку / опреде- определяется через свои компоненты. Далее, если пара (/ъ /2) ? XZYZ, то она соответствует функции f (z) = (fx (z), /3 (z)) ? (XVOZ, так что наше соответствие будет отображением на. Наконец, / < g в (XY)Z означает, что fx (z) < gK (z) и /у (z) < gY (г) для всех z ? Z. Таким образом, мы получаем изотонность и об- обратную изотонность. Если / ? (XY)Z, то / является изотонной функцией, заданной на Z и со значениями в множестве изотонных функций из Y в X. Обозначим образ z ? Z через />. Построим функцию ф из (Xy)z в XYZ, полагая /ф (у, z) = fz (у). Она изотонна, так как изотонна /:если z < zx и у < уг, то /z < /Zl, откуда, в свою очередь, /Ф (У. z) = Д (У) < fz 0/i) < /г, (№l) = /ф (i/i. гх). Очевидно, что q> взаимно однозначна и является отображением на, поскольку если g (z XYZ, то функцию g, b (Xy)z, определяемую условием gz (у) = = g (z. У). Ф будет отображать в g. Если / < g, f, g с (XF)Z, то /2 < gz для всех z ? Z, a это означает выполнимость неравен- неравенства /, (у) < gz (у) для любых z ? Z и г/ t Y. То есть выполняются оба условия A) и A') из § 1.2. — Прим. перев.
82 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Упражнения к §§ 1—2 1. Покажите, что если X и Y — у-множества, то X + Y, XY и К также яв- являются у-множествами. 2. Докажите первые соотношения в A)—C) и второе в E). 3. Докажите, что X + Y не может быть решеткой, если X и Y оба не пусты. 4. Покажите, что если X — у-множество, то Мх является решеткой тогда и только тогда, когда М — решетка. 5. Покажите, что если положить 0° = 1, то Ха = 1 для всех X. Покажите, что 0х = 0 для всех непустых X1). 6. Покажите, что решетка всех /-замкнутых подмножеств вХ-f К является произведением решетки всех /-замкнутых подмножеств в X и решетки всех J- замкнутых подмножеств в Y. 7. Покажите, что у-множество на рис. 1, г есть 23. (Биркгоф [1, теорема 5.1 ].) 8. Докажите, что если п (X) обозначает порядок множества X, то п (X + Y) = п (X) + a (Y) и п (XY) = п (X) п (Y), но может случиться, что п (Yx) < п (К)" <х>. 9. (а) Докажите, что X1 = X и что ХтХп = хт^п для любых кардинальных чисел (неупорядоченных множеств) тип. (б) Пусть Р, Q, R — конечные у-множества и Р имеет наименьший элемент. Покажите, что если Р® ?з Р1*, то Q ?з R. 10. (а) Покажите, что множество интервалов у-множества Р, упорядоченное теоретико-множественным включением, изоморфно некоторому у-подмножеству в PP. (б) Покажите, что оно находится во взаимно однозначном соответствии с Р2, где 2 — двухэлементная решетка. (в) Покажите, что если (как у Оре [1, р. 425]) [х, у]^. [xlt уг] означает, что х ^ Xi и у =s: (/i, то получается Р2, 3. Представление дистрибутивных решеток Теперь мы покажем, что любая дистрибутивная решетка ко- конечной длины допускает изоморфное представление в виде кольца множеств. Именно, L s 2х, где X есть [у-множество \/"неРаз' ложимых элементов решетки L. В главе VIII первый из этих ре- результатов (но не второй) мы докажем без предположения о конеч- конечности длины. Определение. Представлением дистрибутивной ре- решетки L называется ее решеточный гомоморфизм в кольцо R подмножеств S, Т, ... некоторого множества X. Элемент а ф 0 решетки L, по определению, \J -неразложим, если из Ь у с — а следует, что b = а или с = а; д-неразложимость определяется двойственно. Лемма 1. Если элемент р \J -неразложим в дистрибутив- k ной решетке L, то из р < V х, следует, что р < xt для некото- рого I. J) Здесь 0 обозначает пустое, а 1 — одноэлементное множества. — Прим. перев. 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИСТРИБУТИВНЫХ РЕШЕТОК 83 Доказательство. Если р < V xit то вследствие ди- 1 (=1 k k стрибутивности р ~ р Л V xt = V (р /\ х^. Так как р у - неразложим, то р = р д xt для некоторого i. Значит, р < xt для некоторого i. Следствие. В дистрибутивной решетке конечной длины каждый элемент а имеет точно одно представление в виде объеди- объединения V -несократимого множества \j-неразложимых элементов. Доказательство. Таким будет представление элемента а в виде объединения максимальных элементов множества V" неразложимых элементов, содержащихся в а. (V-несократимость означает, что объединение элементов любого собственного подмно- подмножества дает меньший элемент.) Лемма 2. Если дистрибутивная решетка L имеет п у - неразложимых элементов ри ..., рп, то ее длина d [L] = п. Доказательство. Перенумеруем элементы pt таким об- образом, чтобы при pi < pj было i < /; это можно сделать, поскольку отношение порядка не допускает циклов. Тогда О < рх < Pi V Рг < " '' pi будет цепью длины п, так как, предпо- »1 ложив, что />! V Рг V ' ¦ • V Pi = Рг V Рг V ' ' ' V Pi V Pi+n МЫ получили бы неравенство pj+1 <s pl у р2 V *"" V Pi' откуда по лемме 1 р1+1 < pi для некоторого i, 1 < t <: / — противоречие *). Теорема 3. Пусть L — дистрибутивная решетка длины п. Тогда у-множество X ее у -неразложимых элементов Pt > О имеет порядок п и L s 2х. Доказательство. Простой индукцией получаем, что каждый элемент а из L является объединением V pt множества А А V-неразложимых элементов pt > О, которые он содержит. Если Pi < а и pj <; pi, то, конечно, pj < а, т. е. каждое множество А будет М -замкнутым в X. Но, с другой стороны, по лемме 1, если А является М-замкнутым множеством, то Vpt не содержит ph, А не входящих в А. Следовательно, два отображения а *-* А, ко- которое очевидным образом изотонны, будут взаимно однозначными, и значит, являются изоморфизмами между L и кольцом /-замкну- /-замкнутых подмножеств из X, или, по лемме 1 из § 1, между L и 2х. Но длина 2х и есть порядок у-множества X. Этим и завершается доказательство. Следствие 1. Число (неизоморфных) дистрибутивных ре- решеток длины п равно числу у-множеств с п элементами. г) Строго говоря, доказано лишь, что d [L] ;> п. Впрочем, для дальнейшего этого достаточно. — Прим. перев. и ред.
84 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Таким образом, имеется 2 неизоморфные дистрибутивные ре- решетки длины два, 5 — длины три, 16 — длины четыре и 63 — длины пять. Следствие 2. Дистрибутивная решетка длины п изо- изоморфна кольцу подмножеств п-элёментного множества X. Так как каждая булева решетка L обладает относительными дополнениями (теорема 1.14), то V -неразложимые ее элементы р > > О являются атомами, и значит, у-множество X из теоремы 3 будет неупорядоченным. Теорема 4. Булева алгебра конечной длины п изоморфна полю всех подмножеств п-элементного множества. Таким образом, существует в точности одна 1) булева алгебра длины п, именно 2п. Упражнения 1. Покажите, что Aut P s Aut BP) для любого конечного у -множества Р. 2. (а) Покажите, что главный идеал а Д L дистрибутивной решетки L яв- является простым тогда и только тогда, когда элемент а д-неразложим. (б) Покажите, что если L имеет конечную длину п, то L имеет в точности п. простых идеалов, не считая пустого множества и самой L. 3. Покажите, что в дистрибутивной решетке L представление а = хх /\-¦ • • • • Д хг элемента а в виде пересечения Д-неразложимых элементов несократимо, если только не будет xi > xj для некоторых i, j. 4. Покажите, что у-неразложимыми элементами в примере 2 из § 1.1 яв- являются степени простых чисел. 5. Покажите, что порядок / (т, п) у-множества т" определяется рекуррент- рекуррентной формулой / (т, п) = / (т — 1, я) + / (т, п — 1), где / A, п) = 1, / (т, 1) = = т. 4. Свободные дистрибутивные решетки Понятия решеточного многочлена и «свободной» решетки уже появлялись неформально в § II.5, где было показано, что свобод- свободная дистрибутивная решетка Dlg с тремя порождающими содер- содержит в точности 18 элементов. Изучая помещенный там рис. 8, мы замечаем, что на самом деле Dla ss 2P, где Р есть у-множество, получающееся из 23 исключением О и /. Таким образом, если мы присоединим О и / к D18, то получится 223. Используя подобные рассуждения, мы сейчас обобщим этот результат. Определение. Решеточный многочлен вида = fj(X)= V ( Д Xh Sj\klS F) где / есть /-замкнутое семейство подмножеств S множества ин- индексов k = 1, ..., п, называется J-нормальным. Лемма 1. В любой решетке J -нормальная полиномиальная функция fj удовлетворяет условию G) f (x) \/ f (x) = Конечно, с точностью до изоморфизма. — Прим. перев. 4. СВОБОДНЫЕ ДИСТРИБУТИВНЫЕ РЕШЕТКИ 85 Доказательство. Тождество G) очевидным образом следует из LI—L3 и F), если исключить повторные вхождения каж- каждого S. Лемма 2. В любой дистрибутивной решетке (8) fj(x)AfK(x) = fjnK(x). Доказательство. Полагая ys = Д хг и т. д., мы по- лучаем (9) ввиду дистрибутивности V.ifeln/V..^ = V \ys/\yT\= V ys[jT JxK JxK (последний переход обеспечивается законами LI—L3 для пере- пересечения). Так как J и К оба J -замкнуты, то S\JT= U ? J П К для любых S ? J, Т ? К, и обратно, если U ? J П К, то по- полагая S = Т = U, видим, что уи = ys Д уГ является одним из членов в правой части (9), и тогда fjAfK= V Уи= V ( Д xk] = fjUK- Ч.т.д. Так как одноэлементное множество St — \i\, состоящее из одного элемента i, тривиально /-замкнуто, то каждый хг = = \/{Д хЛ записывается в /-нормальной форме. Отсюда, а также из G) и (8) получается Лемма 3. Пусть аи ..., ап — некоторые элементы дистри- дистрибутивной решетки L. Тогда подрешетка, порожденная в L эле- элементами ait совпадает с множеством всех fj (a1, ..., ап) — (фор- (формально) различных J-нормальных многочленов F). Теперь рассмотрим пример, в котором различные нормальные многочлены F) задают различные функции. Пример 1. В булевой алгебре 2" с атомами plt ..., Рп пусть Xt обозначает главный идеал, состоящий из всех х < р\. Согласно леммам 1—2 кольцо множеств, порожденное идеалами Xit состоит из всех f, (Хг, ..., Хп), где ДХг — (главный) идеал, s элементами которого являются все х < Д pi = (урЛ'. Следо- S \ S / вательно, f, (Xlt ..., Хп) будет /-замкнутым подмножеством, ко- которое содержит О и не содержит / у-множества 2". Обратно, так как каждое такое /-замкнутое подмножество в 2'1 является тео- теоретико-множественным объединением главных идеалов, порожден- порожденных его максимальными элементами, мы получим все искомые многочлены, и все они будут различными!. Из лемм 1—3 по теореме VI. 13 следует, как в теореме II.9, что /-нормальные многочлены от хг, ..., хп определяют свободную дистрибутивную решетку с п порождающими. Далее, G) и (8) показывают, что она изоморфна кольцу /-замкнутых множеств,
86 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ элементами которых являются подмножества множества {1, ..., п\. При этом все J, участвующие в F), сами не пусты и не содержат пустого множества 0 индексов. В противном случае такое J содержит все подмножества из 2s. Если мы теперь присоединим О (представляющий / = 0 с 2s) и / (представляющую множество всех, включая пустое, подмножеств индексного множества), то получается Теорема 5. Свободная дистрибутивная решетка, по- рожденная п символами, с присоединенными О и I, изоморфна кольцу всех J -замкнутых подмножеств решетки 2" всех подмно- подмножеств п-элементного множества. Из теоремы 5, так как 2" самодвойственна, сразу выводим Следствие. Свободная дистрибутивная решетка, порож- порожденная п символами, ^присоединенными О и I, совпадает с 22". Свободные дистрибутивные решетки с п порождающими ин- тенсивно изучались *). В заключение приведем без доказательства обобщенный конеч- конечный дистрибутивный закон: г (s (i) I Г r 1 Л V xUi =V л*ьмо. Л л =1 где F — множество всех функций, сопоставляющих каждому i некоторое f (i) из множества l,...,s(t). 5. Свободные булевы алгебры Булев многочлен от п переменных хг, ..., хп строится анало- аналогичным образом с использованием трех основных операций — объединения, пересечения и взятия дополнения. Например, бу- булевыми многочленами от одной переменной будут в точности 2) х, х', х V х', х д х'. Применейием законов булевой алгебры можно любой булев многочлен от п переменных ylt ..., уп привести к дизъюнктивной нормальной форме следующим образом: (i) если некоторый штрих встречается в многочлене вслед за знаком скобки, вводим его внутрь, применяя законы дуализа- ции: (р л»' = р'уя\{ру яг = р'- л я'. Тем самым многочлены превращаются в выражения, содержа- щие штрихованные и нештрихованные буквы, соединенные зна- ками объединения и пересечения. х) Ямамото (Y a m a m о t о К. — J. Math. Soc. Japan, 1954, 6, p. 343—353). О связанных с этим вопросах (на языке релейно-контактных схем) см. у Мура и Шеннона (М о о г е Е. F., S h a n n о п С. — J. Franklin Inst., 1956, 262, p. 191— 208, 281—297). 2) Если отождествлять булевы многочлены, задающие одну и ту же булеву функцию. — Прим. перев. и ред. 5. СВОБОДНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 87 (И) Последовательным применением дистрибутивного закона (в сочетании с LI—L4) приводим полученные выражения к виду F), где S теперь могут содержать х) как yt = хи так и у\ = xn+i> i = 1, ..., п. (iii) Если какое-нибудь S содержит одновременно yt и y'ir то /\xk = О и соответствующий член можно опустить. S (iv) Если какое-нибудь S не содержит ни уг, ни у'{, то записы- записываем = Axk Л (yt У уд = V (Л**). где Si = у( U S и S2 = y\ U S. Повторяя этот процесс, мы можем добиться того, чтобы каждое S в F) содержало е точности один из элементов каждой пары уи у\. Рассмотрим все это на примере многочлена от трех переменных F=l(x/\ у')' V z' ] Л (г V *')' = W V У V г' ] Л (г' Л х) (согласно (i)) = (х' Д г' д х) V (У Л г' Л х) V (г' Л г' Л х) (согласно (iv)) = (у л г' Л х) V (г' д х) (согласно (iii)) = (у д г' Д х) V (У Л г> Л х) V {У' Л z' Л х) (согласно (iv)). Шаги (i)-—(iv) приводят любой многочлен от трех переменных либо к О, либо к объединению некоторого набора членов х Д у Л г. *' А У Л г> х д у' д г, х /\у /\z', х д у' д г', х' д у д г', х' д у' д г, х' Д у' д г'. Эти 23 выражений называются минимальными булевыми много- многочленами (от трех переменных). Точно так же любой булев многочлен от п переменных xt, ... ..., хпможно свести к объединению некоторого множества мини- минимальных булевых многочленов от п переменных (всего их 2п). Теорема 6. Любой заданный булев многочлен одним и только одним способом можно представить в виде объединения минимальных многочленов. Доказательство. Существование по крайней мере одного такого представления обеспечивается описанным процес- процессом редукции. Чтобы доказать, что существует не более одного представления, другими словами, что объединения различных наборов минимальных многочленов представляют различные бу- булевы функции, вернемся к примеру 1 из § 4, где Хг- было множе- множеством всех t ? 2п таких, что t Д pt — О, т. е. Х{ исключало pt. Тогда Х\ является множеством всех х ? 2", которые содержат pt. *) В этих рассуждениях под S понимается совокупность переменных, индек- ироЕанных элементами множества S из F). — Прим. перев.
¦38 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Если задано какое-нибудь множество Т атомов ри мы можем пред- представить это множество как пересечение множеств Zit где Z; сов- совпадает с Xi или X} в зависимости от того, будет или нет рг ? Т. Значит, в примере 1 все 224 объединений минимальных многочле- многочленов, о которых говорится в теореме 6, представляют различные булевы функции. Этим доказано, что семейство всех совокупно- совокупностей подмножеств множества {1, ..., п\ дает изоморфное представ- представление свободной булевой алгебры с п порождающими. Итак, Теорема 7. Свободная булева алгебра с п порождающими ¦совпадает с 22". Упражнения к §§ 4—5 1. Покажите, что свободная решетка с двумя порождающими является буле- булевой решеткой, но что она не будет свободной булевой алгеброй с двумя порож- порождающими. 2. Для каких X решетка 2х будет свободной дистрибутивной решеткой с п порождающими без присоединения О и /? 3. Покажите, что подрешетка, порожденная «-элементным подмножеством в дистрибутивной решетке, содержит не более 22П элементов, и следовательно, конечна. 4. Пусть f («) обозначает число элементов в FD (п) х). Покажите, что / A) = = 3, / B) = 6, / C) = 20, f D) = 168, f E) = 7581, / F) = 7 828 354, f G) = = 2 414 682 040 998 2). 5. Докажите, что булев многочлен эквивалентен решеточному многочлену тогда и только тогда, когда он является изотонным (как булева функция). 6. Докажите, что при четных п число элементов в FD (я) четно. 7. Рассмотрите алгебры с двумя бинарными идемпотентными, коммутатив- коммутативными, ассоциативными и взаимно дистрибутивными операциями, а также с двумя фиксированными элементами О и I такими, что О\/а=1/\а=а. Покажите, что в данном случае «свободная» алгебра с одним порождающим имеет в точности пять элементов 3). 6. Свободная модулярная решетка М^ Алгебраические следствия модулярного закона гораздо менее отчетливы, чем в случае дистрибутивности. Тем не менее имеет место следующий замечательный результат. Теорема 8 (Дедекинд). Свободная модулярная решетка с тремя порождающими4) имеет 28 элементов и диаграмму, представленную на рис. 10, а. Доказательство. Понятно, что основным является второе утверждение. Мы покажем, что рис. 10, а представляет диаграмму модулярной решетки М28 с порождающими х, у, z г) Стандартное обозначение свободной дистрибутивной решетки с п порож- порождающими. — Прим. перев. 3) Чёрч (Church R. — Notices AMC, 1965, 12, р. 724). 3) Келман (К а 1 m a n J. А. — Math. Chron., 1971, 1, p. 147—150. Другие обобщения дистрибутивных решеток рассматривали Моисил и Смайли (Smiley М. — Trans. AMS, 1944, 56, р. 435—437). 4) Стандартное обозначение FM C). — Прим. перев. 6. СВОБОДНАЯ! МОДУЛЯРНАЯ РЕШЕТКА М2 89- и что тождества, выполнимые в М№, являются следствиями LI—L5. Приступая к доказательству, выделим элементы х, у, г„ О = х/\уАг'1 = х\/У\/ги о = (х А У) У (У A z) V B Д х), i = (х У у) А (У V z) Д (г V х), а оставшиеся 21 элемент решетки М28 сгруппируем по тройкам,, эквивалентным относительно перестановки порождающих х, у, z. > \ / Z 6 / \ / 7 Рис. 10. Таким образом, положим р = х АУ> Я = х А*> г г* = у д г; р* = х у у, q* = x У г, и = р У q, v = р у г, w = qy г; и* = у V v*, w* двойственны им; а'='х a (y'v'z), Ь = у А (х V г), с =г д (х у у); -Y* = / \ \Z/ V / /\ х у (у А г). ь* = У V (х А г), с* = z у \х д у); С 1 \ / е = а у о, f = b у о, g = с у о. Так как (х д у) У (у Д г) V (г V *) < У V z, то е = а у о = о у а = [(* Д у) У {у Д г) V (г Л х) ] V V \.х А (У V г) ] = [(х А У) V (У A z) V (г Л х) У х] А (У V г) (согласно L5) = Ш A z) V *! Л (У V г) = (у A z) V lx А (У V z) I') (согласно L2—L4, L5). 1) Последнее равенство показывает, что е самодвойственно. — Прим. перев.
•90 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Значит, е = а у о = а* д i = e*; подобные рассуждения при- приводят к аналогичным равенствам / = /* и g = g*. Восьмиэлементные подрешетки, состоящие из элементов t < о я t* s* i (см. рис. 10, а), можно получить, используя теорему 11.13. После этого, если учесть еще симметрию и двойственность, •остается проверить уже небольшое число соотношений. Поскольку х д г* <s х < х V z = q*, мы, как в лемме 2 из § II.7, имеем согласно L5: а V Ь = (х д г*) V (У A q*) = Ь* Л (* V У) 1 Л <7* = = [(х Д г*) V у] Д <7* = (У V г) Д (х V У) Л (* V z Отсюда в силу симметрии b\/c=c\/a = i, а вследствие двойственности a/\b = bf\c = cf\a = o. Как в лемме 3 из § П.7, будет e/\f = ff\g = g/\e = o и, двойственно, е V Остальные клетки в таблице объединений для М28 можно за- заполнить, сделав приведенные ниже упражнения, а таблица пере- пересечений для М28 получается по принципу двойственности. Замечание. Свободная модулярная решетка с четырьмя порождающими бесконечна. Чтобы проверить это, рассмотрим подрешетку модулярной (орто) решетки подпространств трехмер- трехмерного действительного векторного пространства, порожденную од- одномерными подпространствами векторов вида (кх, 0, кх), @, ку, ку), @, 0, kz) и (it, kt, kt). Рассматриваемые как точки про- проективной плоскости, они порождают подрешетку 5, элементами которой являются проективные точки и прямые, и которая содер- содержит четыре точки х, у, z, t, никакие три из которых не колли- неарны. Подрешетке S вместе с любыми двумя точками принад- принадлежит и прямая, проходящая через них, и вместе с двумя пря- прямыми — точка их пересечения. На рис. 10, б показаны проек- проекции некоторых точек и прямых из S на «конечную» (х, г/)-плоскость векторов (х, у, 1); геометрически очевидно (так как (х V 0 Л А (у у г) и (у V 0 Л (z V x) лежат на «бесконечно удаленной прямой» векторов (х, у, 0)), что последовательными делениями углов пополам можно получить в 5 бесконечное подмножество. 7. Свободные модулярные решетки, порожденные двумя цепями Теперь мы рассмотрим подрешетку модулярной решетки об- общего вида, порожденную двумя цепями. Пусть L — некоторая решетка и пусть О = х0 <.хг <• • • < хт = / и О = у0 <[у1 <¦ • • ¦ ¦ ¦ < Уп — I — Две цепи в ней между О и /. Понятно, что мно- множество элементов и) = xt V У) содержит все хг и у} (поскольку Xi А Уп — Xi и хт д у, = у}); и двойственно, среди элементов 7. СВОБ. МОД. РЕШЕТКИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ДВУМЯ ЦЕПЯМИ 91 v{. = xt V У] также содержатся все xt и yt. Но тогда все хг и у} входят в множество объединений элементов и) и в множество пере- пересечений элементов v\. Лемма 1. Любое объединение элементов и) можно записать в виде (xt (и Л У! A)) V • • • V (*< (г) Л У, {г)), где i(l) > ¦••> i(r) и } A) <• • •< j(r). Доказательство. Если два и) имеют одинаковый верх- верхний индекс, то поскольку у} образуют цепь, один из элементов и) должен содержаться в другом и, следовательно, согласно L4, будет поглощаться им. Поэтому мы можем сделать все i (k) и, симметрично, все / (k) различными. Далее, если i > i' и / > j', то Xi д у} содержит и будет поглощать хг д г/у. Так что если после поглощения всех возможных элементов мы, используя L2, рас- расположим i (k) в убывающем порядке, то будет / A) <•••</ (г). Лемма 2. Если в модулярной решетке аь ^ ai+1 и bt < < bi+1 для всех i, то (fli Ah) V• • • V («г Л К) = аг Л {К V «2) Л • • • Л Фг-i V ъ) Л К (h V fli) Л • ¦ • А[Фг V ar) = t>i V («1 Л h) V • • • V (*« Л ьг) V оТ. Доказательство. Будем доказывать индукцией по г. Из соображений двойственности достаточно проверить выполни- выполнимость первого равенства в предположении, что второе истинно при меньшем, чем г, числе объединяемых пар. Применяя дважды L5, мы можем (аг д Ьг) V • • • V (°т Л Ьг) переписать в виде «1 Л 0i V @2 Л Ь*) V • • • V ("г-1 Л br_i) V ог] Л V Согласно второму равенству (для случая г — 1) выражения \(bi V <h) A (b* V flu) Л'' * Д (br-i V ar) bj VfeA^VfeA^JV-V (Or_i!A K_x) V ar равны. И если теперь первое из них подставить вместо второго в квадратные скобки, то получится правая часть доказываемого равенства. Лемма 3. Объединения элементов и) образуют подрешетку. Доказательство. Очевидно, что объединение объеди- объединений элементов вида и' будет объединением некоторых и). Что- касается пересечения объединений элементов и), то согласно лем- леммам 1—2 оно будет равно пересечению пересечений элементов вида v), т. е. пересечению некоторых v), и значит, по леммам 1—2 совпадет с объединением элементов вида и).
92 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Теперь заметим, что если Xt обозначает множество точек (х, у) прямоугольника О < х < т, О < у < п, удовлетворяющих ус- условию х < i, a Yj обозначает множество точек этого прямоуголь- прямоугольника, удовлетворяющих неравенству у < /, и если при этом объ- объединения и пересечения рассматривать как теоретико-множествен- теоретико-множественные операции, то всем выражениям, получающимся в лемме 1, будут соответствовать различные множества (пилообразной формы). Например, на рис. 10, в изображено (х2 д уъ) \J V (*з Л УИ V (*« Л Уз) V (*5 Л У2) V (хв Л Уг) "(т- е. т = 6, л = 5). По лемме 3 эти множества образуют кольцо множеств ^подрешетку решетки всех подмножеств квадрата), которое и бу- будет изоморфно представлять свободную модулярную решетку, порожденную двумя цепями. Отсюда мы заключаем, что эта ре- решетка дистрибутивна и конечна. Таким образом, доказана Теорема 9. Свободная модулярная решетка, порожденная двумя конечными цепями, является конечной дистрибутивной ре- решеткой г). Следствие. В модулярной решетке любые две конечные цепи между одними и теми же двумя точками обладают такими уплотнениями, что каждый интервал одного взаимно проективен (см. § 11) с некоторым интервалом другого. Упражнения к §§ 6—7 1. Покажите, что в модулярной решетке каждое из следующих условий вле- влечет (х, у, г) D (обозначение см. в § II.7): (О х Д (У V *) = (х Л У) V (* Л г); (п) в = /. 2. Покажите, что в немодулярной решетке ни одно из условий упр. 1 не обес- обеспечивает (х, у, г) D. * 3. (а) Представьте УИ28 как подрешетку решетки 2вМ3. (б) Убедитесь, что рис. 10, а есть диаграмма модулярной решетки. 4. Покажите, что /И28 имеет Д-ширину 3. 5. Пусть А —коммутативная группа с 256 элементами и порождающими ег, ..., ее порядка два. Пусть Хъ Х2, Х3 —подгруппы, порожденные соответственно подмножествами {еъ е2, е4! е-,}, {<*2, е3, еь, е8}, \еъ е3, ев, е7 + es}. Покажите, что все 28 подгрупп на рис. 10, а будут различными. 6. (а) Покажите, что свободная модулярная решетка, порожденная элемен- элементами а > Ь и с > d, имеет 18 элементов. (Заметим, что это не будет частным слу- случаем теоремы 9, — нужно присоединить еще О и /.) (б) Покажите, что если т = 1,п=ЗиОи/не присоединены, то на рис. 10, б представлена диаграмма решетки, получаемой в теореме 9. 7. (а) Покажите, что если т = 2, то решетка из теоремы 9 планарна 2). (б) Какова в общем случае ее Д-ширина? х) Этот результат принадлежит автору [LT1, р. 51]. Доказательство, по су- существу, повторяет рассуждения Шрейера (Schreier О. — Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1928, 6, S. 300—302) и Цасенхауза (ZassenhausH. — Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1934, 10, S. 106—108). 2) To есть диаграмма может быть нарисована на плоскости без самопересече- лий. — Прим. перев. 8. ЦЕНТР 93 8. (а) Пусть две цепи в теореме 9 имеют т — 1 и « — 1 элементов соответ- соответственно. Покажите, что если к получающейся дистрибутивной решетке добавить О и /, то она превратится в 2т". (б) Покажите, что упомянутая решетка содержит (т + п)\/т\п\ элементов. (Указание. Жирную ломаную на рис. 10, в отождествите с представлением х"уъ в виде ххухухуухху.) В упр. 9—11 содержатся результаты Йонссона (J 6 п s s о п В. — Ргос. AMS, 1955, 6, р. 682—688). 9. Пусть Xlt ..., Хр — цепи в модулярной решетке. Покажите, что Хг[] ¦ ¦ • ¦ ¦•(jXp порождает дистрибутивную решетку тогда и только тогда, когда {xlt x2,...,xp)D для всех xi ? Xt. 10. Пусть S, Т — дистрибутивные подрешетки модулярной решетки. Пока- Покажите, что S U Т порождает дистрибутивную подрешетку тогда и только тогда, когда (х, у, z) D для всех х, у, z ? S (J Т. 11. Пусть X — подмножество модулярной решетки. Покажите, что X по- порождает дистрибутивную подрешетку тогда и только тогда, когда (V#() Д А (Д2-7') = V [Уг Л /\zj] для всех у и zj ? X. * 12. Обобщите теорему 9 на случай произвольных цепей. 8Я Центр Разложения у-множества с универсальными гранями О и / удобнее всего изучать, пользуясь понятием центра, которое вво- вводится следующим образом1). Определение. Центром у-множества Р с О и / назы- называется множество элементов е ? Р, у которых при некотором раз- разложении Р в прямое произведение одна компонента равна /, а остальные — О. Поскольку кардинальное умножение решеток2) коммута- коммутативно и ассоциативно, мы видим, что е принадлежит центру тогда и только тогда, когда е = (I, О) при некотором представлении Р в виде произведения двух множителей Р = XY. Всюду в дальнейшем пусть Р обозначает у-множество с О и /, а С — его центр. Лемма 1. Каждый элемент е ? С имеет единственное дополнение е', которое тоже лежит в С. Доказательство. Ясно, что (/, О) Д (х, у) = (*, О) и (/, О) \/ (х, у) = (/, у), поэтому (х, у) будет дополнением для е = (/, О) тогда и только тогда, когда (х, у) = (О, /) = е', и это дополнение единственно и принадлежит центру. При этом Р является произведением множества всех х < (/, О) и множества всех у < (О, /) тогда и только тогда, когда Р является произве- произведением множества всех s ~^z (I, 0) и множества всех t 5= (О, /). Лемма 2. Если е ? С, то z д е и z \J e существуют для любого z ? Р и отображение z ->¦ (г д е, z \J e) является изо- 1) Для модулярных решеток с дополнениями это понятие ввел фон Нейман, для произвольных у-множеств — автор [LT1, р. 24]. 2) И у-множеств вообще. — Прим. перев.
94 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ морфизмом у-множества Р на ЕЕ*, где Е обозначает идеал [О, е]г а Е* — дуальный идеал [е, I ] в Р. Доказательство. Если Р — XY и е = (/, О), то отображение г-*(где, г V е) действует следующим образом: (х, У) - ((*, у) А (/, О)); (х, у) V (/, О) = ((х, О), (I, у)). Отсюда и получается требуемое утверждение, поскольку [О, е] главный идеал (изоморфный X), состоящий из элементов (х, О) < < (/, О), а [е, I]— дуальный идеал, состоящий из (/, у) ^> (/, О). Для произвольного е ? С пусть фе и tye обозначают проекции z -»- z V е = Фг (г) и z -*¦ z A e ~ tye (z) соответственно. Нетрудно проверить, что для любой пары дополнительных элементов е, е' ? С отображение ц>е является изоморфизмом интервала 1е', I] на [О, е) и ¦фе' — обратный для него изоморфизм. Далее, для лю- любых е, f ? С будет qeAf = qe% = Мр$е, поскольку z д (е Д f) = = (г д е) д / и т. д. Двойственно феу/ = феф/ и (на [О, ед/]) Фёд f = (ФеФ/Г* = Ф/Чё* = ф/'фг' = ф««у/'- Этими и другими аналогичными равенствами доказывается Лемма 3. Если е, f принадлежат С, то е д / и е V / (которые определены в Р по лемме 2) также лежат в С. Теорема 10. Центр С любого у-множества Р с О и I яв- является булевой решеткой, в которой объединения и пересечения совпадают соответственно с точными верхними и точными ниж- нижними гранями в Р. Доказательство. По лемме 3 С является подрешеткой в Р. Если в этой подрешетке е /\ f = е /\ g и е \/ f = е \/ gr то по лемме 2 / = g. Значит, согласно следствию из теоремы 11.13 эта подрешетка дистрибутивна. Наконец, по лемме 1 С обладает дополнениями, что и доказывает теорему 10. Так как ^определение прямого произведения инвариантно от- относительно изоморфизмов и дуальных изоморфизмов, то очевидно, что центр любого у-множества Р с универсальными гранями отоб- отображается на себя при всех автоморфизмах и дуальных автомор- автоморфизмах у-множества Р. Однозначность разложения. Теорема об однозначности разло- разложения на множители для кардинальных произведений легко вы- выводится из полученных результатов1). Сначала доказывается т Лемма 4. Если задано прямое разложение Р = П Х; у-множества Р с универсальными гранями, то пусть для et ? Р Хгкомпонента будет равна I, а все другие компоненты. ¦— О. Тогда элементы et являются дизъюнктными элементами центра у-множества Р, объединение которых равно I. Обратно, любое х) Первоначальное доказательство этой теоремы было иным. См. В i г к - h о f f G. — Bull. AMS, 1934, 40, p. 613—619. 8. ЦЕНТР 95 такое подмножество центра соответствует некоторому прямому разложению у-множества Р. Доказательство. Первое утверждение становится оче- очевидным, если представить е, в виде векторов с подходящими коор- координатами (дизъюнктность означает, что et д е, = О при i Ф j). Для доказательства обратного утверждения рассмотрим ото- отображение A2) г — (г д elt г д е2, ..., г д ej, определенное согласно лемме 2. Элемент е\ = е2 V """ V ет яв- является единственным (по лемме 1) дополнением для ег и z ? [elf I ] тогда и только тогда, когда z ^ ех. Следовательно, как в доказа- доказательстве леммы 1, Р ss ЕхЕ\, где Е\ есть идеал [ег, I] = [О, е\ ]. Индукцией по т получаем, что Е\ si чем и завершается доказательство. Теорема 11. С любыми двумя разложениями у-множества Р с О и I в произведение сомножителей X; и Yj соответственно свя- связано разложение его на множители Z) такие, что произведение всех Z] с фиксированным / дает Xit а поизведение всех Z) с фиксиро- фиксированным i дает Yj, Доказательство. Пусть даны разложения Р = ПХг и Р = YlYj на множители, определяемые соответственно элемен- элементами et и fj центра у-множества Р, так что Хг з* [О, et ] и Yj ss =s [О, fj]. Тогда идеалы Z) = [О, еь д f}\, некоторые из которых могут вырождаться в тривиальный идеал [О], определяют по лемме 4 разложение Р = YIZ). Далее, так как V (е, Afj) = et /\V f, = et\/ I = elt i i то Xi = IlZ/, как и требовалось. Аналогично Yj — flZ/, чем и завершается доказательство. Следствие 1. Если у-множгство Р можно разложить в произведение неразложимых сомножителей, то это разложение однозначно в том точном смысле, что любое несократимоех) разложение для Р получается группировкой этих неразложимых множителей в некоторые подсемейства. Следствие 2. Если у-множество Р содержит конечную максимальную цепь, то Р можно разложить в произведение нетри- нетривиальных неразложимых у-множгств и притом единственным образом. Доказательство. Однозначность разложения обеспе- обеспечивается следствием 1, а его существование доказывается индук- 2) Разложения, содержащие тривиальный множитель О, называются сокра- сократимыми, и они, таким образом, исключаются из рассмотрения.
96 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ цией по длине самой короткой из максимальных цепей. Мы опус- опускаем детали. Дальнейшие результаты. Накаяма1) показал, что разложение на неразложимые сомножители однозначно и в более общем слу- случае бинаправленных множеств. Однако оно не будет однозначным для конечных несвязных у-множеств; например, A + 23) A + 2 + 22) s A + 22 + 24) A + 2), совсем как для обычных многочленов с целыми положительными. коэффициентами. Впрочем, полукольцо !Р конечных у-множеств можно вложить в Z [хъ х2, х3, ... ], где имеет место однозначность разложения на множители (это будет коммутативное /-кольцо,, см. главу XIII). 9. Дистрибутивные и стандартные элементы Теперь покажем, что центр любой решетки L состоит из та- таких элементов а ? L, которые обладают дополнениями и дистри- дистрибутивны (или «нейтральны» 2)) в следующем смысле. Определение. Элемент а решетки L называется нейтраль- нейтральным (иначе «дистрибутивным»), если (а, х, у) D для всех х, у ? L, т. е. если любая тройка, содержащая а, порождает дистрибутив- дистрибутивную подрешетку в L. Лемма 1. Элемент а дистрибутивен (нейтрален) тогда и только тогда, когда функции фа: х —» х д а и Ира: х —> х V о- являются (решеточными) эндоморфизмами, причем соответствие х —* (хфа, х$а) будет вложением решетки L в произведение идеала А, состоящего из элементов у < а, и дуального идеала Ad, состоящего из всех г sa a. Доказательство. Первые два утверждения очевидны, а последнее выводится в точности, как формула A9) в главе II. Приведенные условия представляют L в виде подпрямого произ- произведения идеала А и дуального идеала Ad, и вложение отображает элемент а на элемент (/, О) из A xAd. Отсюда следует справедли- справедливость обратного утверждения. Понятно, что а' является дополнением для а тогда и только тогда, когда (а'фа, a'tya) = (О, /). Следовательно, элемент а' должен быть нейтральным и однозначно определенным, к тому же он лежит в центре решетки L. Таким образом, доказана J) NakayamaT. — Math. Japon., 1948, 1, p. 49—50. См. также работы Хасимото (Н a s h i m о t о J. — Math. Japon., 1948, 1, p. 120—123; Ann. Math., 1951, 54, p. 315—318) и Чэна (С h a n g С. С. [Symp, p. 123.]). 2) Ope [1, p. 419—421] первым изучал «нейтральные» элементы в модуляр- модулярных решетках; на общий случай это понятие перенес автор (Bull. AMS, 1940, 46, р. 702—705). Хотя синоним «дистрибутивный» более соответствует сути дела, сочетание «дистрибутивный идеал» все же звучало бы двусмысленно. Поэтому мы будем употреблять оба термина — «нейтральный» и «дистрибутивный». 9. ДИСТРИБУТИВНЫЕ И СТАНДАРТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 97 Теорема 12. Нейтральный элемент может иметь не более одного дополнения, и каждое его дополнение нейтрально. Центр решетки состоит из ее нейтральных элементов, обладаю- обладающих дополнениями. Следуя Гретцеру и Шмидту (см. сноску в § П.4), назовем эле- элемент s решетки L стандартным, когда (i) функция %: х -> х V s является эндоморфизмом ре- решетки L; (И) если x\Js = y\/sux/\s = y/\s, то х = у. Очевидно, что элемент нейтрален в L тогда и только тогда, когда он стандартен и в решетке L и в двойственной ей решетке, по- екольку условия (i), двойственное ему (Г) и самодвойственное (ii) совпадают с условиями леммы 1. Если, кроме того, L модулярна, то из (i) следует (Г), поскольку любое из равенств дистрибутив- дистрибутивности между элементами s, x, у влечет все шесть таких равенств. Наконец, согласно (ii) стандартный элемент может иметь не более одного дополнения. Из этих рассуждений получаются следующие два результата. Лемма 2. В модулярной решетке каждый стандартный элемент является дуально стандартным (нейтральным); в произ- произвольной решетке элемент нейтрален тогда и только тогда, когда он стандартен и дуально стандартен. Дополнения стандартных элементов единственны (если они существуют). Теорема 13. Множество нейтральных элементов ре- решетки L совпадает с пересечением ее максимальных дистрибутив- дистрибутивных подрешеток. Доказательство. Если элемента не является нейтраль- нейтральным, то какая-нибудь из троек {а, х, у] не дистрибутивна. Следо- Следовательно, никакая максимальная дистрибутивная подрешетка, получаемая расширением дистрибутивной подрешетки, порожден- порожденной парой1) \х, у], не может содержать а. Отсюда заключаем, что в пересечении максимальных дистрибутивных подрешеток ре- решетки L все элементы нейтральны. Обратно, пусть 5 — максимальная дистрибутивная подрешетка в L, а элемент а нейтрален. Легко показать, что подрешетка {a, S} решетки L c= AAd, порожденная элементом а = [/, О] и S, дистрибутивна. Но тогда а ? S, так как подрешетка 5 максимальна. (Детализация доказательства: достаточно по- показать, что Л-компоненты элементов подрешетки \а, S], так же как их Л^-компоненты, образуют дистрибутивные подре- подрешетки, а к ним нужно присоединить соответственно / или О.) 1) В этом месте в [LT2, с. 53] автор делает примечание: «Предполагая, что всякую дистрибутивную подрешетку можно расширить до максимальной дистри- дистрибутивной подрешетки, мы предвосхищаем результаты главы III» (глава VIII в настоящем издании). — Прим. перев. 4 Бнркгоф г.
98 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ В качестве следствия получаем, что нейтральные элементы ре- решетки образуют дистрибутивную подрешетку. Гретцер получил более сильный результат: стандартные элементы любой решетки образуют в ней дистрибутивную подрешетку. 10. Решетки с начальными дополнениями В этом разделе через L будет обозначаться произвольная ре- решетка с начальными дополнениями (§ 11.4). Такими решетками будут, например, модулярные решетки с дополнениями (теорема 1.13),—они имеют особенно простое строение. Вспомним, что конгруэнции 9 на решетке L находятся во вза- взаимно однозначном соответствии со стандартными идеалами (теорема II.6), которое устанавливается условием: х = у (9) тогда и только тогда, когда (х/\у)уа = хуууа для некоторого а ? J. Если теперь L имеет конечную длину, то J (9) = (s) будет главным идеалом с наибольшим элементом s. В этом случае (х д /\y)\ja = xyyya для некоторого а ? (s) тогда и только тогда, когда (х д у) у s = x у у у s, т. е. тогда и только тогда, когда s стандартен х). Тем самым доказана Лемма 1. В решетке с начальными дополнениями, имеющей конечную длину, х = у (9) е том и только в том случае, когда (*A#)VS=:*V#VS для некоторого стандартного элемента s. Следствие 1. Пусть s — наибольший элемент ядра J (9) конгруэнции 9. Проектирующий эндоморфизм i|v х —* х у s устанавливает изоморфизм между фактор-решеткой L/9 и ду- дуальным идеалом решетки L, состоящим из элементов х ^ s. Из двойственных соображений получается Следствие 2. В решетке конечной длины с относитель- относительными дополнениями пусть d будет наименьшим элементом «дуального ядра» для конгруэнции 9, т. е. дуального идеала D (9), состоящего шз всех х = I (9) в L. Тогда х = у @) в том и только в том случае, когда х д d = у д d, и при этом проектирующий эндоморфизм <pd: x ->- х д d устанавливает изоморфизм между фактор-решеткой L/9 и идеалом [О, d]. Заметим, что для каждого х элемент х у s будет наибольшим, а элемент х д d — наименьшим в классе конгруэнтности, содер- содержащем х. Следовательно, dys = Ins/\d — О, т. е. элементы s и d являются дополнениями друг для друга. На самом деле, как мы сейчас покажем, s и d принадлежат центру решетки L. В самом деле, если х д d = О, то s = о у s = (х д d) у s = (х у s) д (d у s) = х у s, так что х < s. Другими словами, d является псевдодополнением для s (§ 11.11). Кроме того, для любого х ? L элемент s д х *) См. ниже упр. 3. — Прим. перев. 10. РЕШЕТКИ С НАЧАЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ 99 имеет относительное дополнение в [О, х]—такое t, что (s/\ д х) Л t = О и (s д х) у t = х. Так как d является псевдо- псевдодополнением для s, то t = х д t < d., Но t < х, поэтому t <. < d д х, откуда * = (s Л *) V t <¦ (s Л х) у (d д х) < х. Таким образом, соответствие х ->¦ (х д s, x д d) является изомор- изоморфизмом между L и произведением [О, s] [О, а]. Итак, справедлива Теорема 14 (Дилуорс 1)). Решетка конечной длины с отно- относительными дополнениями либо проста (т. е. не имеет соб- собственных конгруэнции), либо разлагается в прямое произведение. Следствие 1. Любая решетка конечной длины с относи- относительными дополнениями разлагается в произведение простых ре- решеток. Для модулярных решеток теорему Дилуорса можно получить независимо следующим образом. Если М — модулярная решетка конечной длины, то применима теорема II.5 2), и каждая конгруэн- конгруэнция на М будет ассоциирована с некоторым эндоморфизмом х -> х у а. Так как (х д у) у а = (х у а) д {у у а), то по тео- теореме 11.12 (а, х, у) D, откуда следует, что а — нейтральный эле- элемент. Но в решетке с дополнениями каждый нейтральный элемент принадлежит центру. Отсюда получаем Следствие 2. Модулярная решетка с дополнениями, имеющая конечную длину, разлагается в произведение простых модулярных решеток с дополнениями, также имеющих конечную длину. Мы закончим параграф неопубликованной леммой Яновица. Вслед за Маедой ([1], р. 20) будем писать а V b в решетке L, если a/\b = On(ayx)/\b = x/\b для всех х ? L. Напри- Например, в модулярной решетке а V b тогда и только тогда, когда а д Ь = О и (a, b)D3). Интересный результат содержит Л е м м а 2. В решетке L с относительными дополнениями, содержащей О и I, следующие условия равносильны: (i) a V Ь; (ii) b содержится в каждом дополнении элемента а; (ш) если а!< a, bx < b иах~ Ьг4), то ах = Ьх = О; (iv) x = (х у а) /\ д (х у Ь) для всех х ? L. Доказательство. Из (i) следует (п). Если с является дополнением для а, то Ъ — (а у с) д b = с д Ь, откуда b < о. 1) D i I w о г t h R. P.— Ann. Math., 1950, 51, p. 348—359. Эта работа ее держит и много других интересных результатов в данном направлении. См. также статью Маклафлина (М с L a u g h I i n J. E. — Pacif. J. Math., 1953, 3, p. 197— 208). 2) Лучше сослаться на теорему 1.14 и следствие из теоремы II.6. — Прим. перев. 8) (а, Ь) D означает, что (а V ь) А х = (а Л х) V (* Л х) Для любого х ? L. — Прим. перев. *) а ~ b означает, что элементы аи b имеют в решетке L общее дополнение с (см. § IV.6). 4*
100 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Из (ii) следует (iii). Пусть с будет общим дополнением для аг и V Тогда суа^суа1 = 1. Пусть, далее, d — относительное дополнение для а д с в [О, с], т. е. d/\a<cc/\a = O и d у (а д с) = с. Так как d у а ^ d у (с /\ а) = с, то d у уа^суа — I. Следовательно, d является дополнением для а и, значит, согласно (ii) b <s d. Тем более 6Х < d, так что b\ = — Ьг /\ d <. bx /\ с ~ О, откуда с = Ьх у с = I и fli = ах д Из (iii) следует (iv). Для любого х ? L, очевидно, (х у а) /\ (х у b) ^ х. Пусть г/ будет относительным дополне- дополнением для элемента (х у а) д (х у Ь) в [я, /]. Тогда у у а = = У W х у а^ у у ((х у а) /\ (х у Ь)) = I и, аналогично, у у b = I. Далее, У /\ й имеет относительное дополнение а2 в [О, а], a I/ д 6 — относительное дополнение Ьх в [О, Ь]. Тогда У У ах 2з (у Д а) у ах = а, откуда ууаг^ууа^1. Точно так же </ оказывается дополнением для Ьх. Но теперь согласно (iii) ai — bi = О, так что у — I, и значит, д; = (х у а) д (л: v 6). Из (iv) следует (i). Если х — (х у а) д (х у Ь) для всех х ? L,tox /\ b = (х у а) /\ Ь, чем и завершается доказательство. Следствие. 5 любой решетке с относительными дополне- дополнениями отношение as/ b симметрично и при этом если а V b и ах < а, Ьх < 6, то а2 V &i- Упражнения к §§ 8—10 1. (а) Покажите, что N6 содержит стандартный элемент, не являющийся ней- нейтральным. (б) Покажите, что решетка L& конгруэнции решетки Nb есть 2Р, где Р и следовательно, не является булевой алгеброй. 2. (а) Докажите, что в решетке с относительными дополнениями каждый про- простой идеал максимален (см. теорему II.7). (б) Докажите, что дистрибутивная решетка тогда и только тогда обладает дополнениями, когда каждый ее простой идеал максимален. (Нахбин и Монтейро; см. также у ^Хасимото [1, р. 162].) 3. Покажите, что в решетке L главный идеал [О, а] стандартен тогда и только тогда, когда а — стандартный элемент. 4. (а) Покажите, что решетка на рис. 11, а содержит нестандартный элемент, который имеет единственное дополнение. (б) Покажите, что существуют главные идеалы [О, а], являющиеся прооб- прообразами элемента О при решеточных гомоморфизмах, но с не стандартным о (см. рис. 11, б). 5. Покажите, что всякое решеточное наложение переводит нейтральные эле- элементы в нейтральные, а стандартные — в стандартные. Верно ли это для дуаль- дуальных наложений? 6. (а) Покажите, что элемент п решетки L нейтрален тогда н только тогда, когда для всех х, у ? L (п д х) у (я Л У) V (* Л У) = (« V *) Л (« V У) Л (* V У)- (б) Покажите, что в решетке с дополнениями элемент нейтрален тогда и только тогда, когда он имеет единственное дополнение *). х) Упр. 6 содержит результаты Хасимото и Кинугавы (Hashimoto, Kinugawa. — Ргос. Japan Acad. Sci., 1963, 39, p. 162—163). Упр. 7—8 П. ЛЕММА ШВАНА. НЕЗАВИСИМОСТЬ 101 5) Рис. 11. *7. Покажите, что элемент s решетки L стандартен тогда и только тогда, когда х Д (s V У) = (х A s) V (х Л У) Ддя всех х, у ? L. *8. Покажите, что стандартные элементы любой решетки образуют дистри- дистрибутивную подрешетку. 11, Лемма Швана. Независимость В любой решетке L при заданных a, b функции <ра: х -> х д а и ip6: у -*~ у у b изотопно отображают соответственно [Ь, а у Ь] в [а д Ь, а] и обратно. В модулярной решетке они являются вза- взаимно обратными изоморфизмами (§ 1.7). В общем случае ввиду модулярного неравенства F) главы 1 xq>atyb < х для всех х ^ ? [Ь, а у Ь] и у < г/1р&фа для всех у ? [а д Ь, а]. Так как сра отображает [Ь, а у Ь] в [а д Ь, а], а 0рь отображает [а д 6, а! в [Ь, а у Ь], то A3) фа^Ьфа = Фа НЭ [Ь, <Х \] Ь] И A3') г|>ьфаЧ>ь = Фь на [а Д Ь, а]. Отсюда следует простой, но очень важный результат1). Лемма Швана. В любой решетке функции ц>а: х ->¦ х д а и tyb'- У -*¦ У У Ь являются изотопными отображениями соот- соответственно [Ь, а у Ь] в [а д Ь, а] и обратно и при этом выпол- выполняются условия A3) и A3'). В модулярной решетке неравенства, установленные в начале параграфа, становятся тождествами и отсюда как частный случай получается классический принцип транспозиции Дедекинда (тео- (теорема 1.13). Сейчас мы более детально рассмотрим некоторые след- следствия принципа транспозиции Дедекинда в произвольных модуляр- модулярных решетках. Теорема15. Подрешетка модулярной решетки, порож- порожденная интервалами U = [и /\ v, и] и V — [и д v, v], является кардинальным произведением UV. связаны с работами Гретцера и Шмидта (G г a t z e r G., Schmidt E. Т. — Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1961, 12, p. 17—86) и Яновица (J a n о - w i t z M. F. — Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1965, 16, p. 289—301). i) SchwanW. — Math. Z., 1948, 51, S. 126—134, 346—354.
102 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Доказательство. Пусть (х, у) обозначает элемент х у у при любых х ? U, у ? V. Тогда согласно L2—L3 для лю- любых х, х' ? U и у, у' ? V будет (*. У) V (*'. У') = х V У V *' V У' -= = (* V *') V (У V У') = (* V х', у у У')- Кроме того, применяя теорему 1.13 и условие L5, получаем (х,у) = хуу= l(v у *) 1 Д У = (у V х) д (" V «/)• Значит, (х, г/) д (*', г/') = [(и у *) Д (v V *') 1 Л U" V V У) Л (и V У'I ввиду L2—L3. Снова используем теорему 1.13: (v v х) д (v v *') = о V (* Л *'). (" V У) Л (" V У') = = и \/ (У /\ У )¦ Поэтому (*, у) Л (*', »') = [о V (* Л *')! Л [« V (у Л у'I = (* Л *', у Л у')- Этим и завершается доказательство. В частности, полагая u = a\/cnv — b \/ d и замечая, что в любой решетке двухэлементное подмножество, например, \а, с] или \b, d), порождает дистрибутивную подрешетку, мы получаем Следствие 1. В любой модулярной решетке, если (а V с) Л Ф V d) = О, то (« V ь) Л (с V d) = (а д с) у F Л <0- Детали оставляем читателю. Из теоремы 15 индукцией выво- выводится Следствие 2. Если в модулярной решетке (хг у < • • yxh) Д Л Xfc+i = а для к = 1, ..., п — 1, то подрешетка, порожденная в ней интерралами Xh = la,xk], совпадает с произведением ХхХг... • ••Хп. к Так как, по определению, XtX2... Хп симметрично относи- относительно индексов, то условие, сформулированное в следствии 2, инвариантно относительно всех перестановок индексов, и зна- значит, корректно следующее Определение. Если для элементов xlt ..., хп выпол- выполняется условие следствия 2, то они называются независимыми над а. Используя понятие независимости, мы можем доказать еще одну лемму, простую, но полезную в теории решеток фон Ней- Неймана (глава XI). Лемма фон Неймана — Гальперина. Пусть х и а <: b — элементы модулярной решетки М с дополнениями. Тогда существует относительное дополнение у для а в b такое, что х = (х V у) Д (х V а). Дока зательство. Если хг = х Д а, х2 — относитель- относительное дополнение для хДавхДб, уг — относительное дополне- 12. ПЕРСПЕКТИВНОСТЬ. ТЕОРЕМА КУРОША-ОРЕ 103 ние для а /\ х в а, Уъ — относительное дополнение для а ^ хг в Ь, то хх, х2, уг, у2 независимы х) и потому элемент у = х2 V Уг обладает требуемым свойством. 12S Перспективность. Теорема Куроша—Оре В модулярной решетке с дополнениями вместо транспониро- транспонированных интервалов можно рассматривать перспективные эле- элементы. Приступая к обоснованию этого, докажем одну лемму. Лемма 1. «Разности» dh = xLi Д xh между двумя после- последовательными членами произвольной цепи О = х0 < хх <.. .<3 ха являются независимыми (над О) элементами, объединение которых равно xs. (Заметим, что дополнения xLi не обязательно единствен- единственны.) Доказательство. Очевидно, что dx = х'о Д хх = / Д Л хх = хх. Дальше движемся индукцией по k. Пусть dx V • • • • • • V dk = xh. Тогда V dt = 1=1 / 4+i = xk v (x'k Л xh+1) = = («ft V X'k) Л *ft+l = 7 Л Xk+1 = Xk+1. Элементы dk независимы над О, так как для k = 1,2, ..., s — 1 (di V 4 V •¦• V 4) Л 4+i= *ь Л 4+i=** Л 4 Л %+i = о Л **+i=O. Определение. Два элемента а и b модулярной решетки с дополнениями называются перспективными, если они имеют об- общее дополнение с, называемое «осью перспективы» для а и Ь. В любой конечномерной модулярной решетке с дополнениями, как будет показано в главе IV, перспективность является отно- отношением эквивалентности. Она очевидным образом рефлексивна и симметрична в любой модулярной решетке с дополнениями, так что суть дела заключается в том, будет ли перспективность тран- транзитивной (см. § IV.6). Так как в модулярной решетке из а <: Ь, а/\с = Ь/\сиаус = Ь,ус следует равенство а — b (в про- противном случае эти элементы порождают JV5), то ясно, что ни один элемент модулярной решетки не может быть перспективным со своей собственной частью. С другой стороны, если элементы а и Ъ перспективны, то ин- интервалы [О, а] и [О, Ь] проективны посредством интервала [с, /], который является транспонированным по отношению к ним обоим. Поэтому, если перспективность транзитивна, то элементы а и b перспективны тогда и только тогда, когда интервалы [О, а] и [О, Ь] проективны. Приведем пример, в котором указанное ус- условие нарушается. *) Над нулем. — Прим. перев.
104 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ П р и м е р 2. Пусть М — модулярная решетка с дополнения- дополнениями всех подгрупп абелевой группы Л = Zf (прямое произведение счетного числа циклических групп порядка два). Тогда любые две подгруппы S с Л и Гс Л бесконечного порядка и индекса являются проективными г) в М (будучи связанными последова- последовательностью перспектив) и в то же время существуют две такие подгруппы, что S <^ Т. Более общую ситуацию описывает Л е м м а 2. Пусть М —¦ решетка всех подпространств счет- номерного векторного пространства V над некоторым полем F. Любые два идеала [О, а] и [О, Ь], имеющие бесконечную размер- размерность и бесконечномерные дополнения, проективны в М. Доказательство. Сначала заметим, что если подпро- подпространства Л и В, представленные в М элементами а и Ь соответ- соответственно, таковы, что А д В = О, то существует изоморфизм 9: А -*- В, а «диагональное» подпространство D, состоящее из всех сумм вида х + 9 (х) (где х ? Л), является общим относительным дополнением для А и В в А у В. Следовательно, если С — какое- нибудь дополнение для А у В, то С у D будет общим дополне- дополнением для А и В, которые, таким образом, оказываются перспек- перспективными с осью перспективы С у D. Доказательство легко переносится на случай, когда А/А д В и В/А Д В оба бесконечномерны, продолжением перспективы с относительного дополнения А для А д В в А на относительное дополнение В' для А д В в В. Наконец, если А/А д В или В/А Д В конечномерно, то А у В имеет бесконечномерное до- дополнение Сх\ оно пересекается по нулю и с Л, и с В, и следователь- следовательно, перспективно обоим. Теорема Куроша—Оре. Покажем теперь, что несократимое представление элемента а дистрибутивной решетки в виде объеди- объединения V ¦неразложимых элементов, существование и единствен- единственность которого были установлены в § 3, имеет аналог в модуляр- модулярных решетках. Эта ослабленная теорема единственности относится лишь к числу компонент такого разложения. В доказательстве ее снова используется принцип транспозиции Дедекинда (теорема 1.13). Т е о р е м а 16. Пусть а — хх д ... д хТ = х\ д ... Д xt — несократимые разложения элемента а на неразложимые компо- компоненты. Тогда можно заменить произвольно выбранный элемент xt на подходящий х* и снова получится разложение элемента а. Доказательство. Положим yt = хг Д ... Д #,_i Д д xi+1 д ... д хг. Конечно, xt д yt = а, а в силу несократимости разложения yt > а. Теперь построим Zj = yt д х*. Очевидно, что yi ss Zj s& а, а так как z, < х*, то г) То есть проективны интервалы [О, 5] и [О, Т], где О — нулевая подгруп- подгруппа. — Прим. перев. 12. ПЕРСПЕКТИВНОСТЬ. ТЕОРЕМА КУРОША—ОРЕ 105 Но по теореме 1.13 интервал между а = xt Д уъ и yt изомор- изоморфен интервалу между xt и xt у yt. Поскольку элемент xt неразло- неразложим в этом последнем интервале, то элемент а будет неразложимым в первом. Значит, а совпадает с одним из Zj и xi А • • • Л *и Л х) Д *г+1 Л • • • Л хг = а. Теорема 17. Число компонент в несократимых разложениях любого элемента не зависит от разложения (в теореме 16 г = s). Доказательство. Будем считать, что г не больше s, и по очереди заменим элементы xt на подходящие х*. В конце концов получится а = х/(\) Д---Д #/(/•), где в силу несократи- несократимости встретятся по крайней мере s штук элементов вида / (i). Значит, s < г, откуда s = г. Упражнения к §§ 11—12 1. (а) Покажите, что на диаграмме модулярной решетки конечной длины противоположные стороны четырехугольников представляют транспонированные интервалы. (б) Покажите, что два простых интервала проективны тогда и только тогда, когда от одного к другому можно перейти за конечное число шагов, заменяя на каждом шаге одну из сторон четырехугольника диаграммы его противоположной стороной. 2. Покажите, что в модулярной решетке элемент с является относительным дополнением для о в 6 (где 0^6) тогда и только тогда, когда с = а' Д Ь для некоторого дополнения а! элемента а. 3. Покажите, что а и Ь перспективны в модулярной решетке, если сущест- существует элемент d такой, что a f\d= b /\d= О и о V d = Ь у d. 4. Покажите, что в дистрибутивной решетке любое произведение эндомор- эндоморфизмов вида х -*¦ х V с или х -* х д с можно записать в виде х -*¦ (х у а) Д Ь при подходящих а, Ь. 5. (а) Используя упр. 4, докажите, что если в дистрибутивной решетке ин- интервалы [х, у] и [хь Ух\ проективны, то хг = (х у а) Д Ь и у1 = (у V а) Д 6 при некоторых а, Ь. (б) Убедитесь, что в дистрибутивной решетке никакой интервал не проекти- вен своему собственному подинтервалу. 6. (а) Покажите, что для любых элементов а, Ь решетки L соответствие х -* -*¦ [(о Д Ь) у х] Д [а у Ь] является изотонным и идемпотентным отображе- отображением L на [а Д Ь, а у ft]. (б) Покажите, что если 6 и <р являются изотонными преобразованиями у- множества Р, то множество неподвижных точек произведения 6<р изоморфно-1) множеству неподвижных точек для <р6 (Шван). *7. Для произвольных элементов а, Ь решетки L пусть а/а Л b обозначает множество всех х = (х у Ь) Л а, а а у bib — двойственное множество всех У — {У Л а) у Ь. Покажите, что а/а А Ья а у Ь/Ь всегда будут изоморфными ре- решетками, хотя не обязательно подрешетками в L. Покажите, что L5 равносильно тождеству а/а Л 6 = а/а Д 6 (Шван). 8. Покажите, что в доказательстве теоремы 16 элементы yi на самом деле независимы над а. 9. Покажите, что в теореме 16 можно так перенумеровать элементы х/, чтобы каждый xl можно было заменить на xi, i = 1 г. х) Как у-множество. — Прим. перев.
106 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ *10. (а) Покажите, что в теореме 16 для любого xt существует х/, который взаимно заменим с x-t. (б) Покажите, что в общем случае не существует такой нумерации, чтобы при всех i элементы х1 были взаимно заменимы с хг-. 11. (а) Покажите, что заключение теоремы Куроша—Оре х) неверно в полумо- полумодулярной решетке, изображенной на рис. 12. (*б) Покажите, что заключение теоремы Куроша—Оре истинно в конечной полумодуляр- полумодулярной решетке М тогда и только тогда, когда подрешетка L (а), порожденная элементами pi, покрывающими произвольный элемент а ? М, модулярна 2). • 12. (а) Покажите, что если в полумоду- полумодулярной решетке Ly/\z^.xss:z, то в Z. су- существует элемент t такой, что у Д г < t ;g у и х = {х у t) д z. (б) Покажите, что если элемент а полумоду- полумодулярной решетки L Д-неразложим, то из а д с = = b/\cna>b следует, что b ;> с (Лезье [ 1, р. 179, задача 7.1]). 13. Покажите, что заключение теоремы 15 остается верным, если uCv в ортомодулярной решетке (§ 11.14). Рис. 12. 13. Нейтральные элементы в модулярных решетках Нейтральные (т. е. дистрибутивные) элементы в модулярных решетках с дополнениями имеют много специфических свойств. Прежде всего, лемма 2 из § 9 может быть усилена: Лемма. В модулярной решетке элемент а нейтрален, если х -*¦ х V а или х -*~ х д а является эндоморфизмом, В самом деле, любое из соотношений дистрибутивности между а, х, у влечет все шесть, и теперь применяется лемма 1 из § 9. Следствие. В модулярной решетке с дополнениями эле- элемент а принадлежит центру, если к -у х \/ а или х -> х д а является эндоморфизмом. Теорема 18 (фон Нейман3). Элемент принадлежит центру модулярной решетки с дополнениями L тогда и только тогда, когда он имеет единственное дополнение. Доказательство. В любой решетке L — MxN эле- элемент [/, О] может иметь дополнением только [О, /], поэтому ни- никакой элемент центра не может иметь более одного дополнения. С другой стороны, предположим, что а имеет единственное допол- дополнение а' и что и 1\ а = О. Тогда, по предположению, и, а и лю- любое дополнение (и V а)' для и у а будут независимыми элемен- элементами, объединение которых равно /. Значит, и у (и \/ а)' = а' и и <. а'. Таким образом, а' содержит все и такие, что ид а = О. г) То есть теоремы 17. — Прим. перев. 2) См. работы Дилуорса (D i I w о г t h R. P.— Duke Math., 1941, 8, p. 286 — 299; Trans. AMS, 1941, 49, p. 325—353). 3) [Neu, часть I, теоремы 5.3—5.4]. См. упр. 6 (б) к § 10. 13. НЕЙТРАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В МОДУЛЯРНЫХ РЕШЕТКАХ 107 В частности, так как [(а д х)' д х] Д а = О независимо от вы- выбора х, то (а Д х)' Д х содержится одновременно в а' и в х, откуда х = (а Д х) V [{а Л х)' Л х] < (а Д х} V («' Л *) < * V * = *• Следовательно, х = (а Д х) у (а' Д х) и каждый х ? L можно записать в виде у у г, у <: а, г < а'. По теореме 15 L = = [О, а]х[0, а']. Ч. т. д. Теорема 19. В модулярной решетке с дополнениями L два элемента а и Ь связаны последовательностью перспектив тогда и только тогда, когда идеалы 10, а] и [О, Ь\ проективны. Доказательство. Если а и Ь перспективны с осью с, то [О, а], 1с, I] и [О, Ь] являются транспонированными в указан- указанном порядке, и следовательно, [О, а] и [О, Ь] проективны. Так как проективность является транзитивным отношением, то [О, а ] и [О, Ь] проективны (в смысле § 1.7), если их можно связать по- последовательностью перспектив. Обратно, пусть [О, а] и [О, Ь] проективны и пусть [и д v, v] и [и, и V v] будут какими-нибудь соседними интервалами в последовательности транспонирован- транспонированных интервалов, связывающих (по определению) [О, а] и [О, Ь]. Тогда любые относительные дополнения w для и Д v в v и шг для и ь и у v перспективны, и осью является любой элемент (и V v)' V *i гДе t — произвольное относительное дополнение для и д v в и. (Доказательство. Рассмотрите цепи О^цдв^ц^иук/ и О««Ди«и<ы\/у<^-) Следовательно, по индукции, любые относительные дополнения элемента О в а и элемента О в b связаны последовательностью перспектив. Но а и Ь являются единственными относительными дополнениями для О в [О, а] и в [О, Ь] соответственно. Ч. т. д. Теорема 20. В модулярной решетке L с дополнениями конгруэнции находятся во взаимно однозначном соответствии с ней- нейтральными идеалами N из L, т. е. с идеалами, содержащими вместе с каждым своим элементом все элементы, перспективные ему. Доказательство. Предположим, что идеал N опре- определяет конгруэнцию на L, как в теореме П.З, что а ? N и что а и Ъ перспективны с осью перспективы с. Тогда b = b/\I = b/\(a\/c) = b/\c = O (mod N). Значит, b ? N, и потому N нейтрален. Обратно, пусть N — нейтральный идеал и х = у означает, что х \J a = у V а для некоторого а ? N. Это отношение эквивалентности и, более того, V-конгруэнция, какими бы ни были идеал N и решетка L (§ II.4, лемма 1). Мы хотим доказать, что в модулярной решетке с допол- дополнениями, если идеал N нейтрален, то из х = у следует, что х д д и = у д и. Поскольку мы имеем дело с отношением эквива- эквивалентности и х = х\/а = у\/а = у, мы можем ограничиться случаем у = х \J а, т. е. достаточно показать, что (х д и) V а = 1(х V а) д и] V а = (х V а) д (и V а)
108 ГЛ. III. СТРОЕНИЕ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ в любой модулярной решетке. Но в самом деле, если положить и = у и а = г, то все сводится к доказательству соотношения w* = с* в свободной модулярной решетке с тремя порождающими (рис. 10, а). Анализ показывает, однако, что интервал [с*, w* ] проективен части элемента *) г = а. Тогда по теореме 19 z и не- некоторый элемент d, который содержит w* д с*' (где с*'— любое из дополнений для с* в L), будут перспективными. Следовательно, w* д с*' ? N и с* = с* V (с*' Д w*) = w*> чем и завершается доказательство. Упражнения 1. Покажите, что идеал модулярной решетки с дополнениями нейтрален 2) тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию теоремы 20. 2. Постройте модулярную решетку с десятью элементами, которая содер- содержала бы З2 в качестве подрешетки и имела бы элемент, обладающий единственным дополнением и в то же время не нейтральный (М. Холл). ПРОБЛЕМЫ 7. Найти естественное расширение понятий нейтрального эле- элемента и стандартного идеала на общий случай у-множеств. 8. ф-подрешетка решетки L определяется как пересечение Ф (L) всех ее максимальных собственных подрешеток. Найти условия, которым должна удовлетворять решетка L, чтобы ф (L) была пустой 3). 9. Верно ли, что каждое истинное равенство для операций кардинального сложения, умножения и возведения в степень сле- следует из тождеств A)—D) теоремы 2? Если присоединить еще дуа- лизацию, то будут ли A)—E) составлять полную систему тождеств (i) для класса всех у-множеств; (ii) для положительных действи- действительных чисел; (ш) для положительных целых чисел? 10. Описать алгоритм для приведения произвольного булева многочлена к наикратчайшей форме, т. е. к виду, содержащему наименьшее число входящих букв4). 11. Каков порядок f (n) для 22 ? Описать асимптотическое по- поведение log log / (я) при больших пъ). г) То есть подинтервалу интервала [О, а]. — Прим. перев. 2) В смысле примечания к упр. 9 из § II.4. — Прим. перев. 3) Подрешетка <р (L) называется подрешеткой Фраттини решетки L. Проб- Проблема 8 выступала в [LT2] в качестве упр. 9 к § П.4. Частичное решение (для слу- случая обрыва в L возрастающих или убывающих цепей) дал Ко (К о К.-М. — Al- Algebra univers., 1971, 1, № 1, p. 104—116). — Прим. перев. 4) О связанной с этим проблеме см. у Барти (Bartee Т. — IRE Trans. ЕС-10, 1961, р. 21—26). 5) См. Коробков В. К. — Докл. АН СССР, 1963, 150, с. 744—747. [Алгоритм, позволяющий вычислять / (п), нашли Берман и Келер ( В е г - m a n J., К б h 1 е г Р. — Mitt. Math. Sem. Giessen, 1976, № 121, p. 103—124). Асимптотическую формулу для / (п) вывел Коршунов А. Д. — Докл. АН СССР, 1977, 233, с. 543—546. — Прим. перев. ] ГЛАВА IV ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 1. Введение Идея рассматривать различные совокупности точек, прямых, плоскостей и т. д. как геометрические «конфигурации», упорядо- упорядоченные теоретико-множественным включением, далеко не нова. Многие важные конфигурации подобного рода представляют со- собой геометрические (или матроидные) решетки в смысле следую- следующего определения х). Определение. Точечной (или «атомно порожденной») называется решетка, в которой каждый элемент является объеди- объединением точек. Геометрическая решетка (или «матроидная ре- решетка») — это конечномерная полумодулярная (сверху) точеч- точечная решетка. Пример 1. Аффинные подпространства (включая пустое подмножество) я-мерного векторного пространства Dn s Vn (D) над некоторым полем или телом D образуют немодулярную гео- геометрическую решетку AGn (D). Пример 2. В «аффинной» геометрической решетке AGn (D) «линейные» подпространства, содержащие начало, образуют мо- модулярную геометрическую решетку PGn_x (D), называемую (п — 1)-мерной проективной геометрией над D (см. ниже § 7). Если D = Zp (поле вычетов по mod p), то решетка PGn_i (Zp) изоморфна решетке всех подгрупп аддитивной группы Zp. Заметим, что в решетке AGn (D) высота h [x] (§ 1.3) любого элемента на единицу больше геометрической размерности соот- соответствующего аффинного подпространства: «точки» имеют вы- высоту один, «прямые» — высоту два и т. д. В то же время в PGn_x (D) теоретико-решеточная высота элемента совпадает с геометриче- геометрической размерностью соответствующего подпространства 2). Если же, как в проективной геометрии, переименовать прямые из PG^x (D) в «точки», плоскости — в «прямые» и т. д., то высота снова будет х) В i r k h о i f G. — Amer. J. Math., 1935, 57, p. 800—804. Эта работа была стимулирована введенным Уитни (Whitney Н.—Arner. J. Math., 1935, 57, p. 509—533) понятием матроида, которое автор воспринял как естественное обобщение понятия конечномерной модулярной решетки с дополнениями. Мен- гер, Альт и Шрейбер независимо развивали очень близкие идеи в 1928—1935 гг.— см. Менгер [1]. 2) Этим оправдывается равноправное в настоящей главе употребление сим» волов h [х] и d [х] для высоты элемента х. — Прим. перев.
по ГЛ. ГУ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 2. МОДУЛЯРНЫЕ ПАРЫ 111 превышать на единицу проективную геометрическую размер- » ность. ; Другой интересной геометрической решеткой, которая в яв- '•> ном виде не возникает в геометрии, является симметрическая ре- * шетка разбиений П„ степени п (§ 1.8, пример 9). Она будет изу- ¦? чаться ниже в § 9. Геометрические решетки в приведенных примерах обладают ¦ высокой степенью симметрии. Так, группы автоморфизмов реше- решеток вида PG^i (D), если их рассматривать как группы переста- перестановок, действуют транзитивно на элементах любой заданной раз- ' мерности и трижды транзитивно на точках любой «прямой». Группы же автоморфизмов решеток вида AGn (D) действуют тран- транзитивно на элементах любой заданной размерности и дважды тран- транзитивно на точках любой прямой. Наконец, группа автоморфиз- автоморфизмов решетки П„ представляет собой симметрическую группу \ степени п. '" В теоремах 14—15 из § II.8 было показано, что решетка ко- ¦<¦ нечной длины тогда и только тогда полумодулярна, когда она удовлетворяет цепному условию Жордана—Дедекинда (т. е. когда она градуируема) и, кроме того, A) h[x\ + h[y]^h[x/\y] + h[x\J у). Это важное неравенство имеет несколько полезных следствий. ''¦' Так, если учесть что h [х д у] ^ 0 'т з A) е неравенство и лзных следствий. Так, если учесть, что h [х д у] ^ 0, 'то из A) вытекает нера- ствоh [ \/ ] h lx] -\-h [у], и следовательно (по индукции) , сли учес венствоh [х \/ у] B) ,VV^U*W+-+AW. Из B) также получается условие (|), введенное в § 1.7. Следствие 1. Решетка конечной длины полумодулярна тогда и только тогда, когда для любых элементов х, у справедливо: C) если х покрывает х д у, то х XJ у покрывает у. Следствие 2. Если хх < х2 <... <3 хп — связная цепь в полумодулярной решетке, то область изменения функции tya: *i -*~ %i V а такоюе является связной цепью (может быть, более короткой). Следствие 3. В полумодулярной решетке конечной длины имеет место: D) если р — точка, то р < а или а \/ р покрывает а. Доказательство, р д а < р. Если р Д а — р, то р < а. Если р Д а </?, то р д а = О. Тогда, согласно B), h [p \J а] <¦ h [pi + h la] = 1 + h [а]. Так как р ^ а, то h[p V а] Ф h[a], откуда h [p \/ a] = h [а] + 1. Следствие 4. В полумодулярной решетке конечной длины выполнено условие: E) если р, q — точки и а <<а \J q <с а \/ р, то а \] р = Доказательство вытекает из следствия 3. Соотношение E) называют аксиомой о замене Штейница— Маклейна. 2Щ Модулярные пары Теперь введем основное понятие модулярной пары1), которое связано с построениями Швана, рассматривавшимися в § 111.11. Как было отмечено там, каждая упорядоченная пара элементов а, Ь решетки L определяет четыре изотопные функции: i|v x -> ->- х V а> отображающая интервал [а д Ь, Ъ\ в интервал [а, а V b], i])b: x-+x\J b, отображающая [а /\ Ь, а] в [b, a V Ь], Фа: х->- х д а, заданная на [Ь, а \/ Ь] и со значениями в [а Д д Ъ, Ь], и фЬ: х ->¦ х д Ъ с областью определения [а, а V Ь] и со значениями в [ад Ь, Ь\. Кроме того, фа'ФьФо = Фа и 'ФьФо'Фь — Фь- В модулярных решетках все эти функции по тео- теореме Дедекинда 1.13 являются взаимно однозначными соответст- соответствиями, причем г])ь = ф^1 и i|)a = фь1 (двусторонняя обратимость). Определение. Говорят, что (а, Ь) является модулярной парой в решетке L, и пишут аМЪ или (а, Ь) М, если F) х = (х V а) Д b = АГфафЬ для всех х ? [а д Ь, Ъ\. Лемма 1. аМЬ тогда и только тогда, когда G) из t <c b следует, что t \/ (a /\ b) = (t \/ a) /\ b. Доказательство. Для t ? [а д Ь, Ь] имеем t \/ V (а д b) = t и потому из G) следует F). Обратно, если выпол- выполняется F) и ? < Ь, то полагая х = t V (я Л Ь) 6 [й Д Ь, Ы, мы получаем, что * = * V (а Л &) = I' V (а Л *) V а] Л & = I' V а] Л * (здесь второе равенство вытекает из F)). Этим и доказывается G). Следствие. Решетка L модулярна тогда и только тогда, когда аМЬ для всех а, Ь ? L. Двойственное для аМЬ отношение аМ*Ь определяется усло- условием F') у=(у Л а) V Ь = г/фаг|>& для всех у ?{b,a\J b]. Очевидно, что % и фь являются взаимно обратными изомор- изоморфизмами тогда и только тогда, когда одновременно аМЬ и ЬМ*а. Отсюда вытекает Лемма 2. Если в решетке L одновременно имеет место аМЬ и ЬМ*а, то интервалы [а д Ь, Ь\ и la, a V Ь] изоморфны. J) Это понятие введено Уилкоксом (W i 1 с о х L. R. — Ann. Math., 1939, 40, p. 490—505), который употреблял терминологию, двойственную нашей. [Автор следовал Уилкоксу в [LT2]. В оригинале настоящего издания переход к новым обозначениям осуществляется очень непоследовательно. — Прим. перев. ]
112 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ В общем случае условие аМЬ влечет взаимную однозначность отображения i]>a (т. е. то, что оно является порядковым вложением). В частности, я|>а будет переводить цепи длины л из [а Д b, b] в цепи той же длины в la, a \y b]. Поэтому если [а д Ъ, a \J b] является интервалом конечной длины в решетке, удовлетворяющей цепному условию Жордана—Дедекинда, то из аМЬ следует, что h lb] —h la Д 6]</i la \J b] —h la]. Перенося соответствую- соответствующие члены из одной части неравенства в другую, получаем следующий результат. Теорема 1. В любой решетке L конечной длины, удовлетво- удовлетворяющей цепному условию Жордана—Дедекинда, из аМЬ следует, что (8) h la] + h lb] <h la A b] + h la V b]. Эта теорема применима, в частности, к полумодулярным (сверху) решеткам конечной длины. Но в них, согласно A), вы- выполняется неравенство, обратное для (8). Значит, из аМЬ следует равенствоh la] + h [b] = h la д b] + h la \J b]. Покажем, что верно и обратное. Сначала устанавливается Лемма 3. В любой решетке следующие утверждения равно- равносильны: (i) aMb; (ii) ij>a взаимно однозначно; (ш) фь является на- наложением. Доказательство. Для того чтобы произведение ^ащ было тождественным на [а Д b, b], в любом случае^ должно быть взаимно однозначным, а щ —• наложением, так что (ii) и (ш) выводятся из (i) почти тривиально. Более тонкие обратные импли- импликации следуют из соотношений леммы Швана (§ III. 11) (9) Поэтому если аМЬ не имеет места, то х < (х \/ а) Д b = х' для некоторого х ? [ад 6, Ь], хотя х'^а = xtyaq>btya = xtya, и значит, i[v не является взаимно однозначным. Так что из (ii) следует (i). Наконец, если фь является наложением, то х = = УЧ>ь = УФь'ФаФь = •Й'афь для всех х ? [а д b, Ь], откуда аМЬ, и таким образом, (i) выводится из (iii). Теорема 2. В полумодулярной (сверху) решетке L конеч- конечной длины аМЬ тогда и только тогда, когда A0) h la) + h [b] = h la д b] + h la V b]. Доказательство. Импликация аМЬ =ф» A0) уже до- доказана. Для доказательства обратного утверждения предположим, что аМЬ не выполняется. Тогда по лемме 3 V-гомоморфизм tya не является взаимно однозначным, и следовательно, он должен отображать какие-то различные элементы х и х V z > x какой- нибудь связной цепи из [а Д b, b ] в один и тот же элемент у = = лгфа из la, а \/ Ь]. Но ввиду следствия 2 из § 1 1]>а переводит связные цепи интервала la Д b, b ] в связные цепи интервала [а, з. примеры 113 а V Ь\. Значит, если аМЬ не выполняется, то связные цепи, со- соединяющие а д b и b и проходящие через х и х \/ г, укорачи- укорачиваются при отображении фа, и потому . hlb]—hla/\b]>h[aS/b]—h[al Следствие 1. В любой полумодулярной (сверху) решетке конечной длины из аМЬ следует ЬМа. Следствие 2. В любой полу модулярной снизу решетке L конечной длины из аМ*Ь следует ЬМ*а. Эти два результата позволяют следующим образом перенести понятие полумодулярности на решетки бесконечной длины. Определение. Решетка L называется полумодулярной, если из аМЬ следует ЬМа для всех a, b ? L. Она называется полу- полумодулярной снизу (или «дуально полумодулярной»), если из аМ*Ь следует ЬМ*а для всех a, b ? L. 3. Примеры Хотя каждая немодулярная решетка содержит пятиэлементную подрешетку, которая не является полумодулярной (теорема 1.12), имеет место очевидная Лемма 1. Любая выпуклая под решетка полу модулярной ре- решетки полумодулярна. Менее тривиальным результатом является Лемма 2. Пусть L = L^L% — кардинальное произведение ре- решеток Lx и L2. Тогда (аг, a2) M (Ьг, Ь2) в L тогда и только тогда, когда агМЬ{ в Lt для i = 1, 2. Доказательство. Так как при любом фиксированном ct множество всех пар (съ х2) является выпуклой подрешеткой, изо- изоморфной L2, и аналогично для Llt то импликация «только тогда» следует из леммы 1. Для доказательства импликации «тогда» напомним, что (aL, a2) M (bL, b2) в том и только в том случае, когда из at д bt < a; V bt для I = 1, 2 следует, что i])a: x -> -v х V о. является в LXL2 взаимно однозначным отображением ин- интервала Га Д b, b ] в интервал [а, а V b ], т. е. тогда и только тогда, когда tya{: xt ->- xt \J at взаимно однозначно отображает lat Д Д bt, bt ] в [ab at V bt ] в каждой решетке L;. Но это и означает, что aiMbi при I — 1, 2. Следствие. Кардинальное произведение двух решеток тогда и только тогда полу моду лярно, когда полумодулярны оба сомножителя. Теперь рассмотрим одно далеко идущее обобщение примеров 1 — 2. Истоки этой конструкции можно найти в работе Тутте г); приводимые здесь формулировки принадлежат Рота и Уотермену (личные сообщения). J)Tutte W. М. — Trans. AMS, 1958, 88, р. 144—174.
114 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ Лемма. 3. Пусть G — геометрическая решетка и Р — некоторое множество ее атомов («точек»). Тогда множество L всевозможных объединений атомов pi ? Р является геометриче- геометрической решеткой (если присоединить еще 0=\//?Л. Доказательство. Ясно, что Ь покрывает а в L тогда и только тогда, когда Ъ — а у р для некоторого р ? Р. Поэтому если Ь и с оба покрывают а в L, то элемент Ъ \] с — (a \j p) у \/(a\/q) = a\/p\/q будет покрывать Ь и с в G и тем более в L. Значит, L удовлетворяет условию C). Но очевидно, что L является точечной решеткой конечной длины. Этим и завершается доказательство. Пусть теперь Ф будет n-мерным подпространством векторного пространства Dx всех функций /: X -> D, где D — тело, а X— некоторое множество. Для каждого х ? X пусть Fx с Ф обозна- обозначает подпространство, состоящее из всех / ? Ф таких, что f (x) = = 0. Понятно, что либо Fx = Ф, либо Fx является гиперплос- гиперплоскостью вФ, другими словами, дуальным атомом в решетке L (Ф) а^ =5 PG^ (D) всех линейных подпространств пространства Ф. Назовем Ф разделяющим, если для каждого х ? X существует ненулевая функция f ? Ф такая, что / (х) = 0, т. е. если Fx всегда является дуальным атомом. Тогда множество всех пере- пересечений П Fx для подмножеств S cz X, упорядоченное теоре- s тико-множественным включением, изморфно множеству всех пере- пересечений множества дуальных атомов Fx ? L (Ф). Значит, по лемме 3 мы получаем решетку, двойственную геометрической. Эти рассуждения можно подытожить следующим образом. Лемма 4. Пусть Ф — произвольное разделяющее конечно- конечномерное линейное пространство функций, заданных на множе- множестве X. Для каждого х ? X пусть Fx обозначает множество всех функций /? Ф таких, что f (х) = 0. Тогда множество Р (Ф) всевозможных пересечений f| Fx, упорядоченное теоретико-мно- теоретико-множественным включением, образует решетку, двойственную гео- геометрической. Заметим, что решетка, двойственная для Р (Ф), допускает естественную интерпретацию. Для произвольного подмножества S cz X определим замыкание S следующим образом: A1) р ? ~S тогда и только тогда, когда f (р) = 0 для всех f х (ZS Fx. «Замкнутые» подмножества множества X и образуют геомет- геометрическую решетку, двойственную Р (Ф). Это один из примеров общего понятия «полярности», которое систематически изучается в главе V. Проведенными рассуждениями доказывается з. примеры 115 Теорема 3. Пусть Ф — разделяющее конечномерное ли- линейное пространство функций, заданных на множестве X. Назо- Назовем подмножество S cz X Ф-замкнутым, если для любого р, не при- принадлежащего S, существует функция f ? Ф такая, что f (р) Ф 0, но f (х) = 0 для всех х ? S. Тогда Ф-замкнутые подмножества множества X образуют геометрическую решетку. В примере 1 в роли Ф выступало множество всех линейных функций на Vn (D). Решетка PG^ (D) получается, если в качест- качестве Ф взять множество всех линейных однородных функций на Vn(D) (т. е. сопряженное пространство Vn (D)). Если Ф является множеством всех действительных функций вида f = а + У> ^ixt + + с 2 xj, то получится сферическая геометрия. Подобным образом можно построить и много других любо- любопытных примеров. «Геометрические» решетки бесконечной длины. Предположе- Предположение о конечности длины будет играть существенную роль в этой главе. Если от него отказаться, то понятие «полумодулярности» неприятным образом разветвляется х). Представление о возни- возникающих при этом возможностях дает следующий важный пример. П р и м е р 3. Пусть Ш — банахово пространство и L ($) — решетка всех замкнутых подпространств пространства Jf. Макки доказал, что аМЬ в L (Щ тогда и только тогда, когда линейная сумма замкнутых подпространств а и b является замкнутой, и что аМ*Ь также равносильно этому условию2). Но оно симмет- симметрично относительно а и Ь, так что имеет место Теорема 4. Для любого банахова пространства Ш решетка L C8) является полумодулярной сверху и снизу. Случай гильбертова пространства § особенно интересен, поскольку здесь получается полумодулярная ортомодулярная решетка (§11.14). Объединяя теорему 11.16 с только что доказан- доказанной теоремой 4, получаем Следствие. В любой полумодулярной орторешетке все интервалы конечной длины являются модулярными решетками. В дополнение к этому свойству можно доказать, что в решетке L (?>) выполняется условие A2) аМа1- для всех а ? L (?>). Ортомодулярные полумодулярные решетки, удовлетворяющие условию A2), можно назвать строго ортомодулярными. Так, L (?>) — строго ортомодулярная решетка, в которой каждый элемент является объединением некоторого числа точек (т. е. эта решетка атомно порожденная). х) Круазо (С г о i s о t R. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 1951, 68, p. 203—265) обсуждает взаимосвязь между 23 такими возможностями! См. также § VIII.9. 2) Mac Key G. — Trans. AMS, 1945, 57, p. 155—207.
116 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ Какутани и Макки г) рассматривали возможность введения операции взятия ортодополнения в решетках вида L (Jf), где 3S— другие банаховы пространства. Они показали, что это возможно тогда и только тогда, когда J? топологически и линейно изо- изоморфно некоторому гильбертову пространству. Упражнения к §§ 1—3 1. Покажите, что в любой решетке L, если р— точка, то хМр для всех x?L. 2. Покажите, что если F не состоит только из 0 и 1, то каждая «прямая» в PG (F, п) содержит по крайней мере четыре точки. 3. Покажите, что если р— точка в AGn(D), то дуальный идеал [р, I], состоящий из всех х ^> р, является модулярной решеткой, изоморфной ре- решетке PGn.i (D). 4. Покажите, что если в произвольной полумодулярной решетке L прирав- приравнять / все элементы высоты h [х] ^ п (« — произвольное фиксированное нату- натуральное число), то получится полумодулярная решетка. Покажите, что она будет V-гомоморфным образом решетки L (МаклейнJ). 5. Покажите, что если R — поле действительных чисел, то части аффинных подпространств, содержащиеся в любом открытом выпуклом подмножестве 5 пространства V (R, я), образуют полумодулярную решетку. (Если в качестве 5 взять «-сферу, то получится n-мерная гиперболическая геометрия.) 6. Покажите, что решетка всех подгрупп любой р-группы дуально полу- полумоду лярна. * 7. Покажите, что подпространства конечномерного действительного про- пространства, левоинвариантные относительно любой конечной группы линейных операторов, образуют модулярную орторешетку. *8. Постройте 16-элементную немодулярную орторешетку длины 3, в ко- которой каждая подрешетка замкнута относительно а /\ Ь' и Ъ \/ (о Л &')• (D i 1- worth R. P. — Tohoku Math. J., 1940, 47, p. 18—23.) 9. Покажите, что свободная модулярная орторешетка с двумя порождаю- порождающими есть 24 X PG (Z3, 1) и что она имеет 96 элементов. 10. Покажите, что решетка с диаграммой не вложима в геометрическую решетку той же длины (Уотермен). 11. Пусть L (G) — решетка всех подгрупп группы G. (а) Покажите, что если ST = TS в G, то E, Т) является дуально полумо- полумодулярной парой в L (G). (б) Покажите, что если N — нормальная подгруппа в G, то (N, S) будет в L (G) дуально полумодулярной парой, какова бы ни была подгруппа S a G. (Указание. Используйте замечание после теоремы 1.11.) *) К a k u t a n i S., MacKey G. — Ann. Math., 1944, 45, p. 50 — 58 (действительные &); Bull. AMS, 1946, 52, p. 727—733 (комплексные Я). ?) Это задание повторяет упр. 3 к § 1.8. — Прим. перев. 4. ЗАВИСИМОСТЬ И РАНГ 117 * !2. Пусть L — решетка, в которой любые два элемента о < b могут быть соединены по крайней мере одной конечной цепью. Покажите, что в L из C) следует полумодулярность и найдите подходящее обобщение для (8) (Капланский). *13. Покажите, что в теореме 3*3 является множеством всех р ? X таких, что если / (х) = 0 для всех х ? S, то / (р) = 0. 4. Зависимость и ранг До конца этой главы мы будем рассматривать только решетки конечной длины. Начнем с естественного расширения понятия линейной независимости г) на случай геометрических решеток. Определение. Последовательность xlt ..., хг элемен- элементов полумодулярной решетки конечной длины называется неза- независимой, если она удовлетворяет следующему симметричному условию: A3) h txxV •¦• V*J = h UJ + ... + h [xr]. Значение условия A3) становится ясным, если сравнить его с B). Согласно A) для любых элементов хх, ..., хт полумодуляр- полумодулярной решетки L конечной длины h[Xl V •. • V xr] = /i[*i V • • • V *r_i] + h[xr] - Далее, ввиду A0), равенство имеет место тогда и только тогда, когда (О (*iV ••• V*r_i) Л хт = О; (ii) xx\/ ... Vxr_L и хт образуют модулярную пару и (ш) хг, ..., хг_! независимы. Из (ш) в силу симметрии условия A3) по индукции получается, что любое подмножество независимого множества независимо. Наиболее интересен случай, когда все xt являются точками; тогда вышеуказанное условие (ii) выполняется автоматически и имеет место следующая Лемма 1. Последовательность хх, ..., хТ точек независима тогда и только тогда, когда A4) {хг\1...\Jxh) д *ft+i = О для k = 1, .... г— 1. Доказательство. Поскольку из следствия 1 тео- теоремы 1 вытекает, что хх\/ ... V-*-fc+i самое большее покрывает хг\/...\/хк, мы получаем, что h [хг\/... \/xh+i] равняется h [xx\J... ...\Jxh]-\-\ или [h lxx\/ ...\/xh] — в зависимости от того, будет ли (xxV...\/xk) д xk+1 равно О или нет. Вообще, последовательность элементов хг, ..., хТ решетки с О назовем секвенциально независимой, если для нее выполняется 1) См. работы Уитни (Whitney Н. — Amer. J. Math., 1935, 57, p. 507— 533) и Маклейна [1].
113 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 5. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РЕШЕТОК 119 равенство A4): (*iV--V*ft-i) Л хк = О Для k = 2. •••. г. Мы только что видели, что свойство секвенциальной незави- независимости симметрично (т. е. инвариантно относительно всех пере- перестановок) для последовательности точек в любой полумодуляр- полумодулярной (и значит, в любой геометрической) решетке. ' Следующее определение вводит понятие, тесно связанное с независимостью. Определение. Пусть X — некоторое множество точек и sup X обозначает его точную верхнюю грань. Тогда г (X) = = h [sup X] называется рангом множества X. (Заметим, что sup X есть нечто иное, как замыкание X множества X в обозна- обозначениях § 3). Лемма 2. В полумодулярной решетке х) любое множество точек содержит независимое подмножество того же ранга (т. е. с тем же объединением). Доказательство. Пусть хг, ..., хг — произвольная по- последовательность точек, независимая или нет. Мы можем, про- просматривая элемент за элементом и опуская xh, если xk < хх \J ... ••• V^ft-i* построить последовательность, у которой ни один член не будет содержаться в объединении предыдущих, а объ- объединение всех членов совпадет с xx\J ... V хт- Она и будет не- независимой. Теорема 5. Пусть X — некоторое множество независи- независимых элементов xt > О в полумодулярной решетке L конечной длины. Тогда эти элементы xt порождают под решетку, изоморф- изоморфную полю всех подмножеств множества X. Доказательство. Каждому подмножеству S множе- множества X сопоставим sup S. Множество всех элементов вида sup S, очевидно,, замкнуто относительно объединений. Согласно нера- неравенству минимакса (глава II, § 5, (8)), будет sup (S Л Т) < <: sup 5 д sup Т, а ввиду L1—L3 имеет место равенство sup (S (J U Г) = sup S v sup Т. Отсюда и из B) получаем h [sup S Д sup 7] < h [sup SJ + ft [sup T] — ft [sup E (J T)] = + I h [xt] - Ц ft [x,] = S T S\JT Sf]T [*fl = A [sup (S П T)]. Значит, в неравенстве минимакса на самом деле имеет место равенство и пересечения соответствуют теоретико-множественным пересечениям, также как объединения —теоретико-множествен- —теоретико-множественным объединениям. Условие xt > О гарантирует, что мы имеем не просто наложение, а изоморфизм. 5. Постулаты для геометрических решеток Определение геометрической решетки, данное в § 1, соответ- соответствует интуитивным геометрическим представлениям, в частности, об аффинной и проективной геометриях. Но оно не входит в рамки классификации решеток, проведенной в главах I — II. Чтобы установить связь с этой классификацией, мы охарактеризуем теперь геометрические решетки как полумодулярные решетки конечной длины с (относительными) дополнениями. Напомним, что в § 1.9 решетка была названа решеткой с до- дополнениями, если в ней L7 для любого х существует элемент х' такой, что х д х' = О, х V *' = I- Решетка называется решеткой с относительными дополне- дополнениями, если в ней L7R из того, что а < х < Ь, следует существование у, для которого х Л у = а, х \j у — Ь. Конечно, любая решетка с относительными дополнениями, имеющая О и /, обладает дополнениями. Обратное, вообще говоря, не верно, хотя любая моду- модулярная решетка с дополнениями бу- будет и решеткой с относительными дополнениями (см. теорему 1.14). В частности, как показывает диаграм- диаграмма на рис. 13, а, полумодулярная (сверху) решетка с дополнениями не обязательно обладает относительны- относительными дополнениями. Теорема 6. Полу модулярная решетка конечной длины обладает дополнениями тогда и только тогда, когда в ней Рис. 13. L7' элемент I является объединением точек. Напомним, что речь идет о решетках конечной длины. — Прим. перев. Она.является решеткой с относительными дополнениями тогда и только тогда, когда в ней L7R' каждый элемент х > О является объединением точек. Доказательство. В любой решетке L конечной длины из L7 следует L7'. В самом деле, если а — объединение всех точек решетки L, то а' = О, поскольку этот элемент не содержит точек. Значит, / = а у а' = а у О == а, т. е. / является объединением точек. Обратно, пусть L — полумодулярная решетка конечной длины, удовлетворяющая условию L7', и дан элемент а ? L. Тогда существует последовательность точек рх ^ а, /?2 ^ a \j pu ...,
120 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ такая, что для некоторого г будет а у рх у ... у рт = I. Как в лемме 1 из § 4, h [а у (Pi V ¦•• V РгI = h \а\ + г, откуда Л [а д (Pi V ••• V Pr)l < Л [а] + h [рг у ... у рг] — — h la у рх у ... у Рг] = h [a] + r — (h [а] + г) = 0. Следовательно, элемент а' = рх у ... у рг является допол- дополнением для а и, более того, а и а' образуют модулярную пару. Далее, по теореме 1.15, в любой решетке конечной длины из L7R следует L7R'. С другой стороны, если L — полумодуляр- полумодулярная решетка, удовлетворяющая условию L7R', и в ней а < х < Ь, то существует последовательность точек р1 рт < b такая, что (х У Pi у ... V Рп) Л Ph+i = О и х у рх у ... у Рт = Ь. Если положить z = рх у ... у рг, то, как в лемме 1 из § 4 и как в пре- предыдущем параграфе, будет h [а у z] = h [а] + г к h [х у z] = = h [х] + г — h lb]. Пусть у = а у z. Тогда х у у = х у yayz = x.yz = b, в то время как х/\у^акп[х/\у]< <ЛЫ + Л [a yz] — К [х у y] = h Ы+Л [а]-{-г — (h[x] + r) = = /i [а]. Значит, * Л г/ = а, и L7R и L7R' равносильны в любой полумодулярной решетке конечной длины. Таким образом, геометрическая решетка — это просто полу- полумодулярная решетка конечной длины с относительными допол- дополнениями. Следовательно, модулярные геометрические решетки— это в точности модулярные решетки конечной длины с дополне- дополнениями. Решетка, в которой выполняется L7' или L7R', не обязательно обладает дополнениями, если, конечно, она не является полумоду- полумодулярной. Рис. 13, б показывает пример такой решетки: заштри- хованньда элемент не имеет дополнений. Теперь докажем довольно сильное обращение предыдущих результатов х). Теорема 7. Решетка конечной длины с дополнениями тогда и только тогда является геометрической решеткой, когда в ней выполняется одно из следующих условий: (i) L удовлетворяет усло- условию (?), т. е. является полумодулярной; (и) L удовлетворяет D); (Hi) в L выполняется E); (iv) секвенциальная независимость в L симметрична. Доказательство. Так как L7R' следует из L7R в лю- любой решетке конечной длины, то достаточно показать, что при выполнении L7R' условия (?), (iv), D) и E) циклически следуют друг из друга. Действительно, тогда любое из этих условий в сочетании с L7R' повлечет (?) и L7R', и значит, L7R и (?), а это означает, что L — геометрическая решетка. у) См. [LT2, с. 157, теорема 7] и Дюбрей-Жакотен, Лезье, Круазо [1]. 5. ПОСТУЛАТЫ ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РЕШЕТОК 121 Сначала заметим, что, как в лемме 1 из § 4, из (|) следует (iv). Далее, из (iv) выводится E). Используя L7R', легко найти неза- независимые plt ..., рг такие, что рг у ... у рТ = а. Затем, так как а у q < а у р, то последовательность ри ..., pr, p, q не является независимой, а тогда, согласно A3), независимой не будет и последовательность рг, ..., рт, q, р. Значит, р ss (а у q) д р> > О, откуда р < а у q и а у р < а у q, и следовательно, ayp = ayqno условию и ввиду Р2. Из E) следует D). В самом деле, если а < b < а у р, то согласно L7R' существует точка q, содержащаяся в b и не содер- содержащаяся в а. Ясно, что а < а у q < b. Согласно E) а у р = Ь, и значит, аур покрывает а. Наконец, из D) выводится (|). Действительно, если х и у покрывают а, то ввиду L7R' существуют точки р, q такие, что а<а у р < х, а<а у q < у, откуда ayp = xnayq = y. Поэтому xyy = aypyq, а этот элемент, вследствие D), покрывает х = аурпу — а у q. Теорема 8. Точечная решетка конечной длины является полу модулярной (сверху) тогда и только тогда, когда рМа имеет место для любого элемента а ? L и любой точки р ? L. Доказательство. Пусть L полумодулярна сверху. Нужно показать, что для любого элемента а и любой точки р, если b < а, то а д (р у Ь) = (а д р) у Ь. Ввиду следствия 3 из § 1 р < а или а V р покрывает а. Если р <: а, то р д а = р, откуда (а д р) у b = р у Ь. Но так как b < а, то b у р < а, и значит, а д (р у Ь) = Ь у р. Если же р ^ а, то р ^ Ь, и следовательно, b у р покрывает Ь. Поэтому а д (Ь у р) — b = — (а А Р) V Ь, ибо р д а = О при р ^ а. Обратно, предположим, что а д (Ь у р) = (а Д р) V b для всех b < а и всех точек р. Так как каждый элемент решетки по условию является объединением точек, то достаточно убе- убедиться в выполнимости D), поскольку тогда по теореме 7 решетка будет геометрической, и значит, полумодулярной. Пусть р ^.Ь и пусть существует элемент с такой, что b < с < b у р. Если р < с, то byp<^c<byp, откуда с = b у р. Если же р не содержится в с, то с = с д (Ь у р) = b у (с д р) = Ь. Так что b V р покрывает b и D) выполняется. Упражнения 1. (а) Покажите, что точечная решетка L является геометрической тогда и только тогда, когда для любой точки р при всех а ? L истинно рМа. (б) Докажите, что это условие равносильно тому, что из b ^ а следует а Л F V Р)=ЬУ (а /\р). 2. Покажите, что в решетке конечной длины, удовлетворяющей L7 , каждый интервал вида [а, /] является решеткой с дополнениями. 3. Пусть в геометрической решетке элементы с ^ Ъ являются дополнениями для а. Покажите, что если аМЬ и аМс, то Ъ = с.
122 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 6. МОДУЛЯРНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 123 4. Покажите, что если в полумодулярной решетке точки plt ..., ps незави- независимы и точки qlt ..., qs+1 независимы, то будет независимым и некоторое множе- множество Pi ps, qi (Уитни). 5. Покажите, что в геометрической решетке, даже если^элементы х±, ..., хт независимы, интервалы [О, xi ] не обязательно порождают подрешетку, изоморф- изоморфную их кардинальному произведению. (Указание. Рассмотрите полумо- полумодулярную решетку, получающуюся из 24 удалением какой-нибудь точки.) (Чейз) 6. (а) Покажите, что в решетке, изображенной на рис. 13, б, из аМЬ не сле- следует ЬМа. (б) Покажите, что заключение теоремы Куроша—Оре в этой решетке не выполняется. (*в) Покажите, что заключение теоремы Куроша—Оре выполняется в ко- конечной полумодулярной решетке М тогда и только тогда, когда для любого а ? М подрешетка L (а), порожденная элементами pi, покрываемыми а, модулярна 1). 7. Установите связь между наблюдением Ф. Клейна о том, что в полумо- полумодулярной решетке независимость симметрична, с условием Уилкокса о сим- симметричности отношения модулярности для пар. 8. Покажите, что на любой решетке конечной длины можно определить изотонную функцию со значениями 0, 1/2, 3/4. Ч). ••¦> Для которой будет выпол- выполняться A). 9. Постройте одиннадцатиэлементную полумодулярную решетку длины 3 с относительными дополнениями, которая содержит шестиэлементную подрешетку, обладающую относительными дополнениями, но не удовлетворяющую условию Жордана—Дедекинда (Дилуорс). 10. Покажите, что аксиома о замене выполняется для ./?-подмодулей /?-мо- дуля тогда и только тогда, когда кольцо Ц является «регулярным слева» коль- кольцом ?), 6. Модулярные геометрические решетки В § 5 было показано, что модулярные геометрические решетки— это в точности модулярные решетки конечной длины с дополне- дополнениями. По теореме Дилуорса (теорема III. 14) любая геометри- геометрическая решетка G (будучи решеткой с дополнениями) разлагается в прямое произведение простых (геометрических) решеток. Теперь покажем, что если G модулярна, то сомножители этого прямого произведения будут проективными геометриями. Для этого по- потребуется Лемма 1. Пусть р и q — различные точки модулярной геометрической решетки М. Тогда р у q содержит третью точку s тогда и только тогда, когда р и q имеют общее дополне- дополнение. Доказательство. Любая третья точка в р у q яв- является общим относительным дополнением для р и q в [О, р \j q]. Тогда, как в теореме 1.14, элемент s у (р у q)' = с будет общим дополнением для р и q, каким бы ни было дополнение (р у q)' элемента р у q. х) Пункты (б), (*в) повторяют упр. 11 к § III. 12. — Прим. перев. ?) Вероятно, имеются в виду штейницевы кольца, исчерпывающее описание которых дали Г. М. Бродский (Матем. исслед., 1972, 7, №2, с. 14—28) и Лен- циг (Lenzig Н.—Ргос. AMS, 1971, 29, р. 269—271). — Прим. ред. Обратно, пусть р и q имеют общее дополнение с. Понятно, что I = pyc = qyc покрывает с. Положим s = (p у q) Д с. Тогда d Is] = d [р у q] + (d [с] — d [р у q у с]) = 2 — 1 = 1, поскольку р у q у с = / покрывает с. Значит, г < р у q яв- является точкой и притом отличной от р и q, так как г <. с, ар д с = = q д с = О. Это и есть третья точка в р у q. Определение. Два элемента а и Ъ решетки с дополне- дополнениями L называются перспективными, если они имеют общее дополнение (обозначение: а <~ Ь). Лемма 2. В модулярной гео- геометрической решетке М перспектив- перспективность является отношением эквива- эквивалентности. Доказательство. В лю- любой решетке с дополнениями перс- перспективность рефлексивна и симмет- симметрична; остается доказать, что перс- перспективность точек транзитивна в Рис. 14. любой модулярной геометрической решетке. Для доказательства используется лемма 1, которая утверждает, что если р ~ q и q ~r, то (за исключением тривиального случая p — q или q = г) сущест- существуют точки s на /; v ? и < на ? v f такие, что образуется кон- конфигурация, изображенная на рис. 14. Теперь построим «прямую» s у t. Очевидно, что d l(s у t) /\ (р у г)] = d [s у t] + d [р у г] — — d[s у t у р у г] ^2 + 2 — 3 = 1, поскольку sytypyr<.pyqyr. Это означает, что s у t и р у г имеют общую точку и. Но ясно, что прямая s у t не может содержать р, иначе она содержала бы р у s, и следовательно, q, а вместе с этой точкой q у t, и значит, г, откуда получилось бы d [р у q у г] = d Is у t] = 2. Аналогично выводится, что s у t не может содержать г. Поэтому и является третьей точкой на р у г vi, таким образом, по лемме 1 будет р~г. Ч. т. д. Отсюда следует, что в любой модулярной геометрической решетке М (т. е. в любой модулярной решетке конечной длины с дополнениями) отношение перспективности разбивает множество точек на классы эквивалентности Et такие, что для р ? Е( и q ? Е) будет р ~ q тогда и только тогда, когда i — /. Пусть теперь Еи ..., Es будут классами эквивалентности, состоящими из взаимно перспективных точек, и пусть е1г ..., еа обозначают объединения точек, принадлежащих этим классам. Мы еще не знаем, будет ли s конечным. Сами же классы эквива- эквивалентности в общем случае не являются конечными.
124 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 7. ПРОЕКТИВНЫЕ ГЕОМЕТРИИ 125 Лемма 3. В конечномерной модулярной решетке с допол- дополнениями только что определенные элементы et независимы. : Доказательство. Для доказательства равенства (ех V ••• V ek) A ek+i — О достаточно заметить, что никакая-, точка из ek+1 не может содержаться в ег \j ... \j ek, поскольку Et не пересекаются, и что каждый элемент х > О содержит точку. . Теорема 9. Любая модулярная решетка конечной длины с дополнениями является произведением идеалов [О, et], где et — объединения элементов различных классов Еь отношения перспек- перспективности точек. Доказательство. Любой элемент а является объеди- объединением точек, которые он содержит; так что а = (at), где at ? ? [О, et], будет объединением точек из Eit содержащихся в а. Поэтому ввиду следствия 2 из теоремы III. 15 достаточно показать, что элементы ег независимы. Но это только что доказано. Отсюда следует, что элементы ег принадлежат центру данной решетки. А обратное утверждение немедленно получается из того факта, что элемент центра решетки М должен иметь единствен- единственное дополнение (т. е. быть перспективным лишь с собой). 7. Проективные геометрии Очевидно, что сомножители длины один в теореме 9 — это в точности экземпляры решетки 2, и их произведение является булевой алгеброй. Теперь рассмотрим сомножители длины d [L] > 1 в этой теореме — простые (модулярные) геометриче- геометрические решетки *). Мы будем называть атомы такой решетки «точ- «точками», а ее элементы X размерности d [X] = 2— «прямыми». Будем говорить, что р «лежит на» X и писать р ? X, если р < X. Лемма I. Решетки PGn_x (D) из примера 1 § 1 все являются простыми геометрическими решетками. Набросок доказательства. Условия независи- независимости, приведенные в § 4, — это известные свойства линейной независимости над полем или телом. Тот факт, что «прямая» содержит три «точки», очевиден. Модулярность следует из тео- теоремы 1.11. Лемма 2. В любой простой модулярной геометрической решетке длины d > 1: PG1 две разные точки лежат на одной и только одной прямой; PG2 если прямая X пересекает две стороны треугольника (не в точке их пересечения), то она пересекает и третью его сторону; PG3 каждая прямая содержит по крайней мере три точки; PG4 множество всех точек порождается подмножеством, содер- содержащим d точек, но не порождается никаким подмноже- подмножеством с меньшим числом точек. Доказательство. Во-первых, если р ф а — разные точки, то любая прямая X, соединяющая их, содержит р у q и потому совпадает с р у Я- Во-вторых, предполагая, что в PG2 речь идет о треугольнике с вершинами р, q, r и о прямой X, поло- положим, что X д (р у а) = s и X д (q у г) = t (где s, t4=q), и тогда (см. рис. 14) d & Л (Р V г) 1 = d [X] + d [р у г] — d [X \/ р у г] = = 2 + 2 — 3 = 1, так что X д (р у г) является точкой. Это доказывает PG2. Наконец, PG3 следует, как в § 6, из предположения о простоте решетки. Но условия PG1—PG4 представляют собой классическое опре- определение г) проективной геометрии размерности d — 1. Таким образом, нами доказана Теорема 10. Всякая модулярная геометрическая решетка является произведением булевой алгебры и проективных геометрий. С другой стороны, из любой проективной геометрии Л можно построить простую геометрическую решетку, состоящую из плос- плоских (в смысле следующего определения) множеств геометрии Л. Определение. Множество точек проективной геометрии называется плоским, если оно вместе с любыми двумя различными точками р и q содержит все точки, лежащие на прямой р \/ q. Очевидно, что плоские множества любой проективной гео- геометрии образуют полную атомно порожденную решетку (каждое плоское множество является объединением точек). Некоторых усилий потребует доказательство выполнимости условия замены Штейница—Маклейна для конечных подмножеств. Если про- пространство порождается конечным числом точек, то решетка будет геометрической. Далее, можно показать, что d [x] + d [у] = = d lx д у] + d [x v yh т- е- решетка модулярна. Согласно PG3 она является простой. Следствие. Каждое из следующих условий необходимо и достаточно для того, чтобы модулярная геометрическая решетка L была проективной геометрией: (i) L проста; (ii) L неразложима в прямое произведение; (iii) все точки L перспективны. Чуть менее тривиален следующий результат. Теорема 11. В конечномерной проективной геометрии элементы х и у перспективны тогда и только тогда, когда d [x] — = d [у]. 1) То есть модулярные геометрические решетки с попарно перспективными точками. — Прим. перев. и ред. ') Юнг Дж. Проективная геометрия — М.: ИЛ, 1949. Результаты 6—7 принадлежат автору [2].
126 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ Доказательство. Если х и у перспективны и их общим дополнением является с, rod [х] = d [у] = d [I] — d [с]. Обратно, пусть d [x] = d [у] и пусть точки р{, ..., рг н qi, ..., qr будут базисами *) для х Л (х д у)' и у д (д; д г/)' соответственно. Если 4. •••. tr — третьи точки на прямых pi у qx, ..., рт у qT, то, очевидно, х V к V ••• V ^ = (* Д i/) V Pi V к V ••• V Pr V t = = (х ЛУ) V Pi V Яг V •¦¦ V РгУ qr = x\/ у, и потому из размерностных соображений элементы х /\ у, pt, t} и (х V г/)' независимы и их объединение равно /. Значит, (х V У)' V *i V ¦•• V U и л: = (х д г/) у Pi V ••• V Рг являются дополнениями друг для друга. Аналогично^ V #)' V к V ••• V 4 будет дополнением и для г/. Таким образом, х и у перспективны. Упражнения к §§ 6—7 !. Проведите подробное доказательство следствия из теоремы 10. 2. Покажите, что если отношение перспективности между точками геометри- геометрической решетки G транзитивно, то G модулярна. 3. (а) Покажите, что если а и а^ — перспективные элементы в решетке А, то (а, Ь) и (ai, Ь) при любом Ь ? В будут перспективными элементами карди- кардинального произведения АВ. (б) Покажите, что отношение перспективности между элементами любой модулярной геометрической решетки М транзитивно. 4. Покажите, что в простой модулярной геометрической решетке (т. е. в проективной геометрии) все прямые содержат одинаковое число точек. (Ука- (Указание. По теореме 11 все прямые перспективны.) 5. Покажите, что если в модулярной геометрической решетке все прямые содержат одинаковое число точек, то эта решетка будет или проективной гео- геометрией, или конечной булевой алгеброй. 6. Докажите, что гомоморфный образ геометрической решетки является геометрической решеткой. 7. Покажите, что модулярная геометрическая решетка тогда и только тогда будет проективной геометрией, когда в ней только О и / являются элементами, обладающими единственными дополнениями. 8. (а) Покажите, что модулярная решетка всех конечномерных подпро- подпространств бесконечномерного векторного пространства обладает относительными дополнениями, но не является решеткой с дополнениями. (б) Покажите, что эта решетка удовлетворяет также условию L7R'. (в) Постройте модулярную решетку, в которой выполнялось бы L7R и не выполнялось бы L7R', и в которой было бы истинно L7R', но не L7R. (См. § III.12, пример 3.) 9. Пусть Хр — поле простой характеристики. Покажите, что PG3 (Zp) яв- является модулярной решеткой, порождаемой четырьмя элементами. 8. Немодулярные геометрические решетки Много типов немодулярных геометрических решеток возни- возникает в геометрии. Мы начнем с более детального рассмотрения примера 1 из § 1: геометрической решетки AGn (D) всех аффин- 1) То есть дают в объединении соответствующий элемент, — Прим. перев. 8. НЕМОДУЛЯРНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 127 Рис. 15. них подпространств n-мерного пространства Vn (D) над телом. Такие «аффинные геометрии» впервые изучал Менгер х). В лю- любой решетке AGn (D) для любого элемента а > О дуальный идеал [а, I] является проективной геометрией PGn_l(D). Другое, связанное с этим, свойство состоит в следующем. Если заданы произвольный элемент а>Ои точка р ^ а, то существует един- единственная «параллель b к а, проходящая через р», т. е. такой элемент Ь, что а д Ь = О, р < b, d [b] = d [а] и а у b — = а у р. Наконец, для любого а > О идеал [О, а] также является аффинной геометрией, и каждая прямая содержит не менее двух точек. Возмож- Возможность обращения этих результатов рас- рассматривал Сасаки 2) в двух своих важных работах. Он показал, что геометрические решетки, являющиеся «аффинными геометриями», можно охарактеризовать следующим постулатом о параллельных. РР Если р, q, r — независимые точки, то существует един- единственная прямая К такая, что р <.^ <. р у q у г и *¦ Л (Я V г) = О. Сасаки^и Фудзивара, кроме того, следующим образом пере- перенесли теорему автора о разложении для модулярных геометри- геометрических решеток на случай немодулярных геометрических решеток. Определение. В геометрической решетке G точки р и г называются псевдоперспективными, если р = г или г < р у х для некоторого х такого, что р д х = О. Теорема Сасак и—Ф у д з и в а р ы. Отношение псев- псевдоперспективности является отношением эквивалентности. Центр любой геометрической решетки состоит из объединений et для классов Et отношения псевдоперспективности элементов. Разницу между «перспективностью» в первоначальном смысле фон Неймана и «псевдоперспективностью» хорошо иллюстрирует геометрическая решетка, изображенная на рис. 15. В этой решетке точки q и р, а также q и г перспективны, но р будет не перспектив- перспективной, а псевдоперспективной с г. Другой интересный пример геометрической решетки возни- возникает в действительной сферической геометрии. Здесь геометри- геометрическую решетку составляют те подмножества действительной n-сферы (но не n-шара), которые либо (i) содержат не более двух точек, либо (ii) содержат вместе с любыми тремя точками и ту единственную окружность, которая проходит через них. Строение х) Менгер, Альт, Шрейбер [1]. 2) Sasaki U., Fuji war a S. — J. Sci. Hiroshima Univ., 1951, 15, p. 183—188; Sasaki U. — J. Sci. Hiroshima Univ., 1952, 16, p. 223—228, 409—416. Сасаки говорит о «перспективных» элементах там, где мы употребляем термин «псевдоперспективные» элементы. t
128 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ этой геометрической решетки анализировать сложнее *); она яв- является «полярой» в У„ (R) по отношению к множеству всех функ- функций вида f = а + ^btXi + с 2 А (см. § 3). Еще один тип_?геометрических решеток получается, если рассмотреть «поляру» множества всех квадратичных функций + 2 b + 2 I II / = а + 2 ру р фу + 2 cifxtxj> гДе I cu II — произвольная невырож- невырожЕ F й / 2 ti 2 fj I u II р денная матрица. Если F — поле действительных чисел, то клас- классические теоремы Брианшона и Паскаля описывают некоторые из основных свойств этой решетки. Такие геометрические решетки характеризуются высшей сте- степенью симметрии: группа автоморфизмов каждой из них дей- действует транзитивно на элементах любой заданной размерности. То же верно и для гиперболической геометрии, определяемой как решетка всех пересечений плоских множеств с внутренностью некоторой фиксированной поверхности второго порядка. Однако из всех рассмотренных геометрий только проективная геометрия (которую можно определить как геометрию геодезических в эл- эллиптическом пространстве) определяет модулярную решетку. 9. Решетки разбиений. Алгебраически замкнутые подполя В последние годы важное развитие получила теория немоду- немодулярных геометрических решеток. Постепенно стало ясно, что большинство геометрических решеток возникает в комбинаторном анализе, а не в геометрии или в абстрактной алгебре — этих двух областях математики (не считая логики и теории множеств), с которыми были связаны первые приложения теории решеток. Первым объектом изучения 2) из этих решеток стала П„ — сим- симметрическая решетка всех разбиений совокупности из п объек- объектов, уже появлявшаяся в § 1.8. Одним из начальных результатов здесь является Теорема 12. Решетка П„ всех разбиений конечного п-эле- ментного множества является геометрической решеткой длины п — 1. Доказательство. «Точками» в П„ будут отношения эквивалентности, отождествляющие точно два элемента. Выпол- Выполнимость условия покрытия (|) и тот факт, что П„ является точеч- точечной решеткой, проверяются без труда. Теорема 13. Пусть 6 и 0' — перестановочные отношения эквивалентности на множестве S. Тогда 9Af*0', m. e. бы 9' образуют модулярную пару в решетке, двойственной для П (S). Доказательство. Вспоминая определение, мы ви- видим, что суть дела состоит в том, чтобы из 8 < 6" вывести ра- J) См. работы Хофмана (Hoffman A. J. — Trans. AMS, 1951, 71, р. 218—242) и Преновица (Р г е п о w i t z W. — Canad. J. Math., 1950, 2, p. 100—119). 2) В i г k h о f f G. [3, §§ 16—22] и Bull. AMS, 1934, 40, p. 797. 9. РЕШЕТКИ РАЗБИЕНИЙ. АЛГЕБРАИЧ. ЗАМКНУТЫЕ ПОДПОЛЯ 129 венство (9 V 9') Л 9" = 9 v (е' Л 9"). в силУ модулярного неравенства (глава I, F)) достаточно показать, что (8 v 9') Л д 8" < 9 у (9' Л 6")- Этим мы и займемся. Если 99' = 6'9 и 9 < 8", то (8 у 6') Л э" < 9 V (9' Л е")- В самом деле, если 89' = 9'8, то 8 у 8' = 99' = 9'9, и значит, из х = у F у 9') следует существование t такого, что х = t F) и t = у (9'). Если, кроме того, 9 < 6" и х = у (8), то х = у (8") и потому (так как 9"—отношение эквивалентности) t = у (9' д 6"). Наконец, так как х = t (9) и t = у (9' д 8"), мы получаем, что х = у (9 (9' д 9")). Таким образом, если 68' = 8'9 и 8 < 8", то (8 v в') Д 9й < 9 (8' д 8") < 9 у (9' Д 9"), чем и завершается доказательство1). Следствие 1. Любая подрешетка решетки Пл, состоя- состоящая из попарно перестановочных отношений эквивалентности, является модулярной решеткой. Следствие 2. Пусть 9, 9' — перестановочные отношения эквивалентности на множестве S. Тогда A5) если 9 д 8' = О и 9 V 9' = /, то S = (S/9) x(S/8'). Доказательство. Так как 0 д 9' = О, каждое пе- пересечение Хг П Yj 9-класса Xt и 0'-класса Yj содержит самое большее один элемент: Xt П У, пусто или состоит из некоторого элемента ztl. Но так как 99' = 9 \/ 9' = /, то для любых х ? Xt и у ? Yj существует элемент s ? S такой, что xQs и sQ'y. Ясно, что s ? Xt П У], и поэтому Xt П У) содержит в точности один элемент s — гц ? S. Наконец, гц$гы тогда и только тогда, когда / = I, чем и завершается доказательство. Геометрические решетки совершенно иного типа возникают в алгебраической теории чисел. Здесь имеет место Теорема 14. Пусть I — F (tx, ..., tr) — некоторое ко- конечное трансцендентное расширение поля F. Тогда алгебраически замкнутые 2) поля S такие, что F a S cz I, образуют геометри- геометрическую решетку длины г. Доказательство. Пусть S — алгебраически замкну- замкнутое подполе поля /, а Я и К покрывают S. Выберем элементы';*: в Н и у в /(, не принадлежащие S. Тогда Я является множеством чисел из /, алгебраических над кольцом \S, x\\ К состоит из чи- чисел, алгебраических над \S, y\, а Я \/ К — над \S, x, у\. Если 1) Интересную характеризацию решетки Пп см. у Ope (Ore О. — Duke Math. J., 1942, 6, p. 573—627, в частности, глава IV) и у Сакса (Sachs D — Pacif. J. Math., 1961, 11, p. 325—345). ?) «Алгебраически замкнутое» означает, что если х ? К. и р (х) = 0 где р— многочлен с коэффициентами из S, то х ? S. Теорема 14 принадлежит Мак- лейну [1 ]. Бвркгоф Г.
130 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ теперь z лежит в Я V /(, то р (х, у, г) = 0 для некоторого мно- многочлена, и если г не принадлежит Я, то в этом многочлене встре- встретится у в положительной степени. Значит, у является алгебраи- алгебраическим над \S, х, z\. Отсюда следует, что если Н < Z < Я V К, то Z содержит у и потому Z = Н у К. Этим доказана выполни- выполнимость условия (?) и «аксиомы о замене» Штейница—Маклейна E). Наконец, рассматриваемая решетка удовлетворяет и условию L7R': если G > F, то возьмем максимальное множество чисел ха из G, алгебраически независимых над F, и тогда алгебраические замыкания колец \F, xa\ и будут теми точками, объединение ко- которых совпадает с G. Степень трансцендентности поля G над F можно определить как теоретико-решеточную размерность поля G над F. Тогда встречавшиеся уже теоремы о зависимости, ранге и т. д. включают в себя большую часть теории Штейница об алгебраической зави- зависимости. Например, количество элементов ха есть не что иное, как d IG/F]. И геометрическая решетка, описанная в теореме 14, и П„ симметричны в том смысле, что группа их автоморфизмов дей- действует транзитивно на точках (атомах). Кроме того, в П„ все дуальные идеалы [л, /] длины / изоморфны решетке П, и потому все попарно изоморфны. А в решетке из теоремы 14 группа авто- автоморфизмов транзитивна на элементах любой заданной высоты. Основное различие между П„ и решетками из теоремы 14 состоит в том, что П„ конечна. В П„ каждая «прямая» содержит не более трех точек. Точнее, если / [щ, я„] = h [я2] — h [яг] = = 2, то интервал [nlt я2 ] содержит три элемента высоты h [ях ]+1, когда я2 получается из яа объединением трех л^классов, и два таких элемента, когда л2 получается из щ объединением двух пар л^-классов. Нерешенная проблема. Очень интересная комбинаторная про- проблема заключается в следующем: всякая ли конечная решетка изоморфна подрешетке некоторой конечной решетки П„? х) (Глу- (Глубокий результат Уитмена 2) утверждает, что любая решетка изо- изоморфна подрешетке некоторой бесконечной решетки Пс*,.) Важным результатом в этом направлении является Теорема о вложении (Дилуорс) 3). Любая конеч- конечная решетка изоморфна некоторой подрешетке конечной полу- полумодулярной решетки. г) Пудлак и Тума (Р u d I a k P., Tnma J. — Comment, math. univ. carol., 1977, 18, №2, p. 409—414) дали положительный ответ на этот вопрос (проблема 48 из [LT2]). — Прим. перев. 2) W h i t m a n P. — Bull. AMS, 1946, 52, p. 507—522. В доказательстве существенно используется теория свободных решеток (глава VI). О последующих результатах см. обзор Хартманиса [Symp, p. 22—30]. 3) [LT2, с. 154]. Доказательство см. в работе Финкбейнера (F i n k b e i- п е г D. Т. — Canad. J. Math., 1960, 12, p. 582—591). 9. РЕШЕТКИ РАЗБИЕНИЙ. АЛГЕБРАИЧ. ЗАМКНУТЫЕ ПОДПОЛЯ 131 Доказательство начинается с построения для произвольной решетки L конечной длины целозначного псевдоранга г [а] та- такого, что г [О] = 0, из а > Ъ следует г [а] > г [Ъ\ и выпол- выполняется A). Упражнения к §§ 8—9 1. Покажите, что если только F не совпадает с Z2, то каждая «прямая» в PGn (F) содержит не менее четырех точек. 2. Покажите, что если р — какая-нибудь точка в AGn (F), то элементы х^р образуют модулярную решетку, изоморфную PGn_i (F) (Менгер). 3. (а) Покажите, что части аффинных подпространств, содержащиеся в от- открытом выпуклом подмножестве S пространства R", образуют геометрическую решетку. (Если S — n-сфера, то получится действительная л-мерная гипер- гиперболическая геометрия.) *) (б) Обобщите насколько возможно этот результат на случай других упоря- упорядоченных полей. 4. Покажите, что решетка подалгебр булевой алгебры 23 модулярна, но что это не так для 2*. 5. (а) Покажите, что решетка Пп модулярна тогда и только тогда, когда п ^ 3. (б) Покажите, что число п (п) разбиений л-элементного множества удовлет воряет рекурсивной формуле (=0 (в) Покажите, что для л!я (л) производящей функцией будет ее — 1. (г) Вычислите я (л) для л=1, .... 10. (Например, я A0) = 115 975.) 6. Покажите, что существует V -гомоморфизм, отображающий геометри- геометрическую решетку 22 на цепь 3. 7. Покажите, что любой интервал геометрической решетки и кардинальное произведение геометрических решеток являются геометрическими решетками. 8. (а) Покажите, что Пп изоморфна подрешетке решетки всех подгрупп симметрической группы степени л. (Указание. Каждому разбиению я сопоставьте множество перестановок, для которых я-классы являются областями импримитивности.) (б) Перенесите этот результат на бесконечный случай (Левиг). (Указа- (Указание. Проделайте то же самое, но только возьмите перестановки, оставляющие неподвижными все точки за исключением конечного числа.) 9. Покажите, что если л конечно, то решетка Пп не имеет собственных кон- конгруэнции. 10. (а) Покажите, что в П„ любой дуальный идеал [а, /] длины k изо- изоморфен lift. (б) Покажите, что в Пп любой интервал [а, Ь] длины k изоморфен произ- произведению s= d [I] + 1 — d [b] симметрических решеток разбиений Пт(г), где т @ = d [/] — d [a]. , 11. Покажите, что 6Af*6' в Пп тогда и только тогда, когда 6 V ° = 66 6 (Уотермен). 12. Покажите, что в действительной сферической геометрии для любой точки р дуальный идеал [р, I] является действительной аффинной геометрией. А что можно сказать о дуальном идеале [р \/ q, I], если р Фц— две точки? Задания 1, 2, 3 (а) повторяют соответственно упр. 2, 3, 5 к § 3. — Прим. перев. 5*
132 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 13. (а) Покажите, что ft-сферы и fe-плоскости (fe= 0, 1 п— 1) евкли- евклидова п-пространства / образуют вместе с / и пустым множеством 0 геометриче- геометрическую решетку Ls длины п + 2. (Замечание. О-сфера — это пара точек.) (б) Покажите, что аналогичные утверждения верны для сферического п-про- п-пространства и эллиптического n-пространства, где получаются решетки L's и L"s соответственно. (в) Покажите, что каждая «инверсия» порождает автоморфизм решетки L's. 14. (а) Используя проекцию Птолемея, покажите, что (для данного п) решетка Ls изоморфна подрешетке решетки L's, получаемой исключением един- единственной точки. (б) Покажите, что если р — точка в L's, то дуальный идеал, состоящий из элементов х^*р, в L's изоморфен решетке AGnl(R), где R — поле действи- хельных чисел. (в) Сформулируйте соответствующий результат для Ls. 10. Графы. Ширина и Д-ширина Фактически по самому своему определению граф есть градуи- градуированная точечная решетка длины 3, в которой каждая «прямая» (ребро) содержит точно две точки (вершины) *). Было бы нера- неразумным вдаваться здесь в детали обширной теории графов 2). Но поскольку любой конечной решетке сопоставляется ориенти- ориентированный граф, и она определяется им, мы отметим две связи между теорией графов и теорией геометрических (или «матроидных») решеток, имеющие важные приложения в теории решеток. Прежде всего, Теорема Кёнига3). Пусть G — граф ил — разбие- разбиение множества Р «точек» графа G на два дополняющие друг друга подмножества S и Т. Определим (S, Т)-сечение как минимальное подмножество С а Р такое, что каждое ребро, соединяющее точку из S с точкой из Т, имеет один конец в С. Определим (S, Т)- соединение как множество J ребер, соединяющих точки из S с точ- точками из Т и не имеющих общих концов. Тогда max | J \ = min | С |, где вертикальные черточки являются знаком для количества эле- элементов соответствующего множества 4). Ширина и Д-ширина. Определим ширину w [P] у-множе- ства Р как максимальное число элементов в его подмножествах, состоящих из попарно не сравнимых элементов. Очевидно, что Р нельзя представить в виде теоретико-множественного объедине- объединения меньшего, чем w [P\ количества цепей. Следующее обращение 1) В теории графов, как и при изучении топологических комплексов высших размерностей вообще, пустое множество и / обычно исключаются. ?) О самодвойственных графах с высокой степенью симметрии см. у Кок- сетера (С о х е t е г Н. S. М. — Bull. AMS, 1950, 56, р. 413—455). •) К б n i g J. Theorie der Graphen. — Leipzig: Akad. Verlag, 1936, p. 232. 4) См. теорему 7.9.4 в книге О р е О. Теория графов. — М.: Наука, 1981.— Прим. черев. 11*. ПОЛИЭДРАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 133 этого факта, впервые отмеченное Дилуорсом *), является простым следствием теоремы Кбнига. Теорема 15. Если w [Р ] конечна, то Р можно представить в виде теоретико-множественного объединения w [Р ] цепей. Практически определить величину w [P] не так-то просто. Но в случае Р = 2" имеет место Лемма Шпернера. Число w [2п\ равно числу Ckn подмножеств п-элементного множества, содержащих k = ln/2] элементов 2). (Понятно, что никакие два из таких подмножеств не срав- сравнимы, и поэтому w [2п] < Ckn.) Тесно связано с w [Р] понятие размерности б [Р] у-мно- жества, которую не следует путать с его длиной. Размерность у-множества Р определяется 3) как наименьшее число т цепей Ри ..., Рт таких, что Р изоморфно подмножеству произведе- произведения Рг ... -Рт. Введенные числа связаны и с понятием /\-ширины решетки L, определенным в упр. 6 к §11.5 как наибольшее положительное целое Ь = b [L] такое, что любое пересечение хх Д ... Д хп (п>Ь) равно пересечению уже Ь из этих элементов xt. Легко показать, что в любой решетке b [L] < б [L]. В конечной дистрибутивной решетке L = 2я, как нетрудно проверить, b[2p] = w[P]. Следствие. Д-ширина свободной дистрибутивной ре- решетки с п порождающими 22" равна Сп, где k = [га/2]. 11*. Полиэдральные комплексы Дальнейшее очень важное обобщение понятия геометрической решетки возникает в комбинаторной топологии при изучении сим- плициальных и полиэдральных комплексов. Это конечные градуи- градуированные у-множества, минимальные элементы которых назы- называются «точками» или «0-клетками». При этом требуется: (i) чтобы любой идеал являлся «точечной полурешеткой», т. е. чтобы каждое его подмножество, имеющее верхнюю грань, имело бы и точную верхнюю грань, которая была бы объедине- объединением точек; 1) Dil worth R. P. — Ann. Math., 1950, 51, p. 161—166. На связь с теоремой Кёнига указал Фалкерсон (Fulkerson D. R. — Ргос. AMS, 1956, 7, р. 701—702). 2) Sperner А. — Hamb. Abh., 1930, 7, S. 149—163. См. также работы Лирнера (Learner А. — MR., 21, #4930) и Эрдеша и Радо (Е г d 6 s P., Rado R. — Quart. J. Math., 1961, 12, p. 313—320). 3) Душник и Миллер (D u s h n i k В., M i 11 e r E. W. — Amer. J. Math., 1941, 63, p. 600—610).
134 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ (И) чтобы каждая «прямая» (или «1-клетка») содержала в точ- точности две точки. Таким образом, граф является просто комплек- комплексом высоты один. На рис. 16, а—в изображены комплексы, соответствующие сегменту, треугольнику и квадрату. По определению, м-симплекс есть у-множество 2"+' с исключенным 0. На рис. 16, а—б представ- представлены симплексы для /2 = 1,2. Комплекс, все идеалы которого являются симплексами, называется симплициальным комплексом в силу понятных геометрических ассоциаций. Как ни удивительно, но, по-видимому, до сих пор не найдена простая характеризация комплексов (полурешеток), которые соот- соответствуют «-мерным поли- полиэдрам для п > 3; отыска- о сг а ъ qCjf Ъ ^ъ ние такои характеристики ./>>. Dx/xl IxT^^L/l представляет собой одну о \ <г\/у> Y О>1 из основных проблем, пред- предложенных ван Кампеном1). Однако, если определить границу dat /г-клетки at как множество всех (k — 1)- клеток, покрываемых а{, а границу dR множества R /г-клеток аг, ..., ат как булеву сумму (в смысле булевых колец) 2^<?ab то классическим результатом является равенство A6) д (dR) = 0 для всех R. Поэтому мы постулируем: (iii) в любом комплексе должно выполняться условие A6). Интересные абстрактные теории в комбинаторной топологии, основанные на подобных аксиомах, были предложены Майером, П. С. Александровым и др. 2). Налагают еще и самодвойственное условие ориентируемости: (iv) можно приписать значение ±1 каждому случаю покрытия таким образом, что если даь принимает значения ±1 6 Z, то вы- выполняется A6K). Мы ограничимся упоминанием лишь о некоторых очевидных фактах, связанных с введенными понятиями. Во-первых, кардинальная сумма двух комплексов Сх и С2 представляет топологическую сумму соответствующих многооб- многообразий, а кардинальное произведение С^С^—декартово произве- произведение М (Ci) х М (С2) соответствующих многообразий (напри- (например, рис. 16, в изображает Si, где S1 —симплекс на рис. 16, а). ') К a m p e n E. R. van. Die kombinatorische Topologie. — Hague, 1929 • 2) Mayer W. — Monatsh. Math. Phys., 1929, 36, S. 1—42, 219—258- Александров П. С. — Матем. сб., 1937, 44, с. 501—519. 3) Имеется в виду сложение по mod 2 и нуль в правой части. — Прим, перев. и ред. 11*. ПОЛИЭДРАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 135 Далее, двойственность при разбиении многообразий без края — это не что иное, как решеточная двойственность. В полиэдральном комплексе С множество /г-клеток S с усло- условием dS = 0 называется h-циклом. Число Бетти pft для комплекса С — это максимальное число (линейно) независимых х) «-циклов комплекса С минус максимальное число независимых границ «-циклов В = дА, где А — произвольное множество (« + ^-цик- ^-циклов. Обратно, любая геометрическая решетка имеет свою харак- характеристику Эйлера—Пуанкаре и группу гомологии 2). Упражнения к §§ 10—11 В упр. 1—8 Р обозначает произвольное у-множество. Большинство упраж» нений принадлежит Бейкеру. 1. Покажите, что условия Ь [Р] = 1, б [Р] = 1 и то, что Р — цепь, рав- равносильны. 2. Покажите, что если у-множество Р конечно и содержит универсальные грани, то Р имеет плоскую диаграмму тогда и только тогда, когда оно является решеткой и притом размерности, не большей двух. 3. Покажите, что Ь [L] = b [L] 3). (Указание. См. теорему 11.13.) 4. Постройте девятиэлементную решетку L такую, что b [L] = 2, б [L]= 3. 5. Покажите, что 6 [L]:~cS [L] для любой решетки L. 6. Покажите, что Ь [L] = б [L] для любой конечной дистрибутивной ре- решетки. (Указание. Используйте теорему Дилуорса.) * 7. (а) Покажите, что если Р и Q — у-множества с универсальными гра- гранями, то б [PQ] = б [Р] + б [Q], Ь [PQ] = Ь[Р] + Ь [Q]. (б) Обобщите этот результат на случай произвольных кардинальных произ- произведений. .о(Р) *8. Покажите, что если Р конечно и о (Р) ^ 3, то б (Р): •«) (Хи- рагути). 9. Покажите, что любой комплекс становится решеткой, если присоеди- присоединить О. 10. Нарисуйте диаграмму, представляющую треугольную призму (произ- (произведение 1-симплекса и 2-симплекса). 11. Нарисуйте диаграмму, двойственную для комплекса, соответствующего кубу, и объясните, каким образом (присоединением / и исключением О) она представляет октаэдр. 12. (а) Охарактеризуйте абстрактные конфигурации, представляющие поли- полигональные разбиения 1-сферы (окружности). (б) То же для полиэдральных разбиений 2-сферы. (Указание. Каждое ребро имеет две вершины, а грани, сходящиеся в одной точке, упорядочены циклически.) # 13. (а) Покажите, что я и я' образуют модулярную пару в том и только в том случае, когда топологический граф для я и я' не имеет циклов (вершинами х) По поводу «линейной зависимости» рассмотрите булеву алгебру 2" * ' й-цепей как булево кольцо Vrnh) (Z2). 2) Фолкмен (Folkman J. — J. Math. Mech., 1966, 15, p. 631—636). 3) Таким образом, двойственная для Л'ширины величина (которую можно было бы назвать V"Шириной решетки) совпадает с ней. —Доказательство см. в работе Л. Н. Шеврина в кн. Теория полугрупп и ее приложения. — Сара- Саратов, 1965, с. 325—351. — Прим. перев. 4) о (Р) обозначает порядок (число элементов) множества Р. — Прим. перев.
136 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ этого графа являются я-классы Ai и я'-классы Л'-, причем At и А'- соединены ребром тогда и только тогда, когда А; Д^/>0I). (б) Убедитесь, что определению полумодулярности по Уилкоксу 2) удов- удовлетворяют даже разбиения бесконечных множеств. * 14. (а) Покажите, что разбиения любого пространства с мерой на конеч- конечное число непересекающихся измеримых подмножеств образуют полумодуляр- полумодулярную решетку. (б) В каком смысле разбиения на счетное число непересекающихся изме- измеримых подмножеств образуют полумодулярную решетку? А если отбросить мно- множества меры нуль? 4 15. (а) Назовем комплекс «/i-симметричным», если его группа автоморфиз- автоморфизмов транзитивна на fi-клетках. Покажите, что тогда число (A, k) А-клеток, инци- инцидентных с каждой fe-клеткой, зависит только от А и k (условие Мура). (б) Покажите, что это справедливо для n-симплекса, причем (A, fe) = С%?\, если h>k. 12. Функция Мёбиуса Пусть Р — произвольное у-множество. Определим функцию инцидентности п (х, у) на Р (классической для комплексов) фор- формулой: ( 1, если х <С у, A7) п {х, у) = { . у ' \ •»/ у о в противном случае. Таким образом, п (х, у) является характеристической функцией для отношения <, а | (х, у) = Ьху + п (х, у) — для отношения порядка < на Р. Если у-множество Р конечно, то заданный в нем порядок можно усилить до. линейного порядка, который расположит элементы множества Р в конечную последовательность хг, ..., х„ так, что если xt <. Xj, то i <; /. Для любого такого «допустимого» линейногЪ порядка на Р числа ni} = n (xit Xj) образуют тре- треугольную матрицу N = || пи \\, которая называется матрицей инцидентности для Р (относительно допустимого линейного порядка). Отсюда следует, что I -\- N (дзета-матрица) обратима. Обрат- Обратная для нее матрица (/ + N)'1 имеет много важных приложений в теории вероятностей, в теории чисел, в комбинаторном анализе и т. д. Полный обзор по этим вопросам содержится в фундамен- фундаментальной работе Рота [I]3), мы же ограничимся очень беглым перечислением результатов, представляющих интерес для теории решеток. !) Оре (О г. е О. — Duke Math. J., 1942, 6, p. 583), а также Дюбрей и Дюб- рей-Жакотен (Dubreil P., Dubreil-Jacotin M.-L. — J. Pur. Appl. Math., 1939, 18, p. 63—96). 2) To есть в смысле завершающего § 2 определения. — Прим. перев. а) Автор хотел бы выразить свою признательность профессору Рота за мно- многие весьма полезные беседы. 12. ФУНКЦИЯ МЁБИУСА 137 Определение. Функция Мёбиуса 1) \х (х, у) для конеч- конечного у-множества определяется следующим образом: (i) \i (x, x) = = 1, (И) |х (х, у) = 0, если х ^ у, и A8) ja (х, у) = — Г' если х<у. Лемма 1 (Рота). Функция Мёбиуса удовлетворяет условию A9) \р(х, у)\\ = \\1 ± N1*= I - N + N2 - N3 ^ ± #'<*>. Доказательство непосредственное, по индукции. В качестве тривиального следствия получается следующая теорема Ф. Холла. Первая теорема Холла. Если К (х, у; п) обозна- обозначает число цепей длины п, которыми можно связать х и у, то Лемма 2. Пусть 6: х -> х* — дуальный изоморфизм Р->Р*. Тогда функция Мёбиуса [х* на Р* удовлетворяет равенству B0) \i*(xty)=\L(x*,y*). Мы опускаем доказательство этой леммы и последующих важ- важной теоремы Холла и теоремы Рота [1]. Вторая теорема Холла. Если Р — решетка, то [х (х, у) = 0 за исключением того случая, когда у является объеди- объединением элементов, покрывающих х. Теорема Рота. Пусть в конечной геометрической решетке х < у. Тогда \а (х, у) Ф О, причем значение \х (х, у) положительно, если h [у] —h [х] четно, и отрицательно, если h ly] —h [x] нечетно. Теперь определим характеристический многочлен конечного градуированного у-множества (§ 1.3) как B1) рх (*,) = ** [*]+!_ 2 РуМ- У<х Связь с функцией Мёбиуса устанавливается формулой B1') Л«(Я.)=2М.(*,^)^1+1- Это частный случай формулы для числа способов раскраски графа (карты) Q в % цветов. Рассмотрим у-множество Р «подкарт» карты Q (подкарта получается стиранием некоторых границ). Имеется %п способов раскраски п областей в X цветов, каждый из которых окрашивает либо всю Q, либо однозначно определенную подкарту карты Q таким образом, чтобы никакие две прилегающие области не были окрашены в один цвет. Значит, р& (К) есть количество способов *) Mobius A. F. — J. reine angew. Math., 1832, 9, S. 105—123 (см. ниже упр. 1.) ^Обобщение" на случай у-множеств дали Вайснер A] и Ф. Холл (Hall Р. — Quart. J. Math., 1936, 7, p. 134—151); см. также [LT1, §§ 39—4Q].
138 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ раскраски карты Q в ?. цветов таким образом, чтобы никакие две смежные области не имели одного цвета *). Связанное с этим приложение к релейно-контактным схемам рассматривал Тутте. Функция Мёбиуса была применена Дилуорсом2) для дока- доказательства следующего замечательного результата. Теорема Дилуорса. Пусть в конечной модулярной решетке М через Vk обозначено множество элементов, каждый из которых покрывается в точности k элементами, а через Wk — множество элементов, каждый из которых покрывает в точности k элементов. Тогда Vh и Wh имеют одинаковое число элементов. Полагая k = 1, получаем Следствие. В любой конечной модулярной решетке число Д-неразложимых элементов равно числу \J-неразложимых эле- элементов. (В конечной дистрибутивной решетке L = 2роба числа по тео- теореме III.3 совпадают с о (Р) = / (L) —длиной решетки L.) Упражнения 1. Пусть в дистрибутивной решетке L натуральных чисел относительно де- делимости т\п будет \и (п) = \и A, п). (а) Покажите, что р. (/г) = 0 за исключением случая, когда п свободно от квадратов, а в этом случае ц (/г) = (—l)s, где s — число различных простых в разложении числа п. (б) Покажите, что [j, (m/г) = ц (т) \х, (п), если т и п взаимно просты, (в) Покажите, что если п= рх ¦¦¦ Ps (Pi — различные простые), то рп(Х)= = %(%— l)s. 2. (а) Докажите лемму 1. (б) Докажите лемму 2. 3. Докажите, что для любых х^у в у-множестве Р функция |х (х, у) имеет на [х, у) те же значения, что и на Р. 4. Покажите, что на Р — 2п, если х sg у, то \i (х, у) = (—i)ft t^l ft t^l. 5. Пусть Р = PGn (F), где F — поле Галуа с q = pr элементами. Покажите, что для х sg: i) будет (*) ц (х, у) = (~ 1)н qch , где h=h[y]-h[x]. 6. (а) Пусть ]хр обозначает \л (О, /) в Р. Покажите, что \ipq = hp\iq. (б) Пусть Цх, ц.2, \i обозначают функции Мёбиуса на конечных у-множествах Р, Q и PQ соответственно. Докажите, что |л ((х, у), (и, v)) = ^ (х, и) ц2 (у, v) (Рота). 7. Пусть цп = ц (О, /) в симметрической решетке разбиений Пп. (а) Покажите, что цп = (—\)п~1 (п— 1)!. (б) Вычислите \и (х, у) в Пп. (Указание. Используйте упр. 6 и упр. 10 (б) к § 9.) !) См. работы Биркгофа (В i r k h о f f G. D. — Ann. Math., 1913, 14, p. 42—46), Биркгофа и Льюиса (В i r k h о f f G. D., Lewis D. С — Trans. AMS, 1946, 60, p. 355—451, и здесь же ссылки), Тутте (Т u t t e W. Т. — Са- nad. J. Math., 1953, 6, p. 80—91). Связь с функцией Мёбиуса впервые была отмечена автором. 2) Dilworth R. Р. — Ann. Math., 1954, 60, p. 359—364; см. также работу Эвана (Avann S. Р. — Ргос. AMS, 1960, 11, р. 9—16). 13*. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КОЛЛИНЕАЦИИ 139 8. Покажите, что «подкарты» конечной карты образуют решетку, дуальную геометрической. 9. Покажите, что в любой конечной дистрибутивной решетке |i (О, х ,\ у) |i (О, х V У) = |i (О, х) |i (О, у). 10. Покажите, что стягивания любого графа образуют геометрическую решетку. («Стягивание» графа получается последовательным отождествлением пар смежных вершин с удалением соответствующего ребра.) 11. Сколько существует способов раскраски в X цветов карты, состоящей из п треугольников, сторонами которых являются стороны правильного п-уголь- ника и радиусы из его центра к вершинам? 12. Любой набор из % элементов группы G конечного порядка g порождает либо саму G, либо подгруппу S в G. Проверьте, что число Ре (^) порождающих множеств группы G, имеющих X элементов каждое, определяется рекурсивно формулой Р0(Х)=Х«-2 PS(X). 13. Покажите, что разбиения числа п (§ 1.8, пример 10) образуют модуляр- модулярное у-множество, в котором \i @, х) равняется (—1) для любых двух элементов высоты d и равняется 0 в остальных случаях (Уэйлс). 13*. Проективные преобразования и коллинеации Задача изучения группы Aut G всех автоморфизмов («сим- («симметрии») геометрической решетки представляется чрезвычайно заманчивой и имеет длинную историю. Сначала рассмотрим случай G = PGn (D) /г-мерной проективной геометрии над телом D. Случай п = 1 тривиален: здесь Aut G совпадает с симметриче- симметрической группой всех перестановок множества точек в G. Для произвольного п группа Proj G всех проективных преоб- преобразований /оо\ гхаи + ¦ ¦ ¦ + znani + an+1 i -is B2) wt= Zibi+...+Znbn+bn+i (b, = <W«=l,...,i»), где I ац || — невырожденная (п + 1) x (n + 1)-матрица, очевидно, является подгруппой группы Aut G, если отождествлять матрицы, отличающиеся числовым множителем. При п = 1 эта подгруппа трижды транзитивна, для п > 1 дважды транзитивна и «почти» трижды транзитивна (она переводит три коллинеарные или не- коллинеарные точки в три другие, обладающие этим же свой- свойством). Если в качестве D взять поле действительных чисел R, то при п > 1 группа Proj G = Proj PG (R) совпадает с груп- группой Aut G, которая, таким образом, имеет те же свойства. В общем случае (для п > 1) Aut G является группой коллинеа- коллинеации; для любого автоморфизма гр тела D преобразование B3) щ = *?*!+ также является коллинеацией, и обратно. Таким образом, группа Aut G будет полупрямым произведением группы Proj G и группы
140 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ Галуа тела D (над его простым подполем). См. также [LT2, глава VIII, §7]. Наконец, классическим результатом является то, что любая проективная плоскость, в которой имеет место теорема Дезарга х) (т. е. дезаргова), есть PG., (D); этот результат мы обсудим в § 14. Далее, при h > 2 любая проективная геометрия длины h + 1, и в частности PGh (D), является дезарговой. Однако существуют и недезарговы проективные плоскости. Приведенные результаты сводят изучение модулярных геоме- геометрических решеток и их автоморфизмов (i) к изучению тел и их групп Галуа и (ii) к изучению недезарговых проективных пло- плоскостей. Более того, в конечном случае, который является наибо- наиболее интересным с комбинаторной точки зрения, все тела и их группы автоморфизмов легко перечисляются: существует только одно тело2) (для каждого возможного порядка: ими являются степени простых чисел рГ) — это «поле Галуа» с циклической группой автоморфизмов порядка г. Следовательно, по крайней мере, когда речь идет о конечных модулярных геометрических решетках, покров тайны скрывает именно недезарговы проек- проективные плоскости. Теории конечных недезарговых проективных плоскостей в ма- математической литературе уделено огромное внимание3). Замеча- Замечательная теорема Острома и Вагнера, например, утверждает, что конечная проективная плоскость Р является дезарговой тогда и только тогда, когда ее группа коллинеаций Aut P дважды тран- зитивна на точках. Другие теоремы связаны с описанием целых п, для которых существуют проективные плоскости с п + 1 точками на каждой прямой (и значит, с общим числом точек пг + п + 1). Такой плоскости нет, например, при п = 6 (Тарри) и вообще при любом п, сравнимом с 1 или 2 по модулю 4 и не являющемся сум- суммой двух квадратов (теорема Брака—Райзера). 14*. Проблема координатизации Теперь обратимся к проблеме координатизации, т. е. к проблеме представления данной геометрической решетки «замкнутыми» подмножествами некоторой алгебраической системы, например, х) Эта теорема утверждает, что два треугольника, перспективные по отно- отношению к точке, перспективны по отношению к некоторой прямой, и обратно. 2) Каждое конечное тело коммутативно. О конечных полях см. в книге ван дер Вардена [II, 1, §43]. 3) Прекрасное, ставшее классическим изложение см. в книге Холл М. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962, глава XX. По поводу теоремы Острома—Вагнера см. Math Z., 1959, 71, S. 186—199. См. также работу Фрайера (Fryer К. D.) в [Symp, р. 71—78]. [Можно назвать также обзорную статью Л. А. Скорня- кова (УМН, 1951, 6, №6, с. 112—154) и энциклопедическую монографию Пик- керта (Р i с k e r t G. Projektive Ebenen. — 2 Aufl. — Springer-Verlag, 1975).— Прим. ред. ] U». ПРОБЛЕМА КООРДИНАТИЗАЦИИ 141 подпространствами или «плоскими множествами» векторного про- пространства или аффинного пространства. Возможность такой координатизации в проективных геометриях была осознана при- примерно сто лет назад фон Штаудтом х), который изобрел для этого «алгебру вурфов». Технически, как впервые отметили Артин и Холл 2), эта проблема более проста для аффинных плоскостей (в которых определена параллельность), чем в случае проектив- проективных плоскостей. В принципе эта проблема берет свое начало в «геометрической алгебре» греков, которые использовали конфигурации вместо алгебраических равенств (по-видимому, из-за отсутствия хороших алгебраических обозначений). Зафиксируем (произвольным обра- образом) начало отсчета @, 0) и три множества параллельных прямых, которые будем представлять себе как прямые вида х = а, у = Ь и х + у = с при произвольных постоянных а, Ь, с. Осями х и у будут прямые у = 0 и х = 0, проходящие через «начало». Нужно выбрать еще единицу 1, фиксируя точку A, 0) на оси х. Прямая х + у = 1 будет проходить через эту точку и пересекать прямую х = 0 в точке @, 1). Тогда каждая точка на плоскости получит координаты (а, Ь). Чтобы построить а + Ь, проведем через точку (Ь, 0) прямую, параллельную прямой, проходящей через @, 0) и (а, 1). Она пересечет прямую у = 1 в точке (а + Ь, 1). Чтобы построить ab, проведем через точку @, Ь) прямую, параллельную прямой, про- проходящей через @, 1) и (а, 0). Построенная прямая пересечет ось х в точке (ab, 0). Коммутативность умножения будет равносильна тео- теореме Паппа: если вершины шестивершинника лежат поочередно на двух прямых, то три точки пересечения пар его противоположных сторон располагаются на одной прямой. Остальные тождества из аксиом поля (т. е. тождества, определяющие тело) равносильны другим «конфигурационным» геометрическим теоремам3). Обратно, пусть дана алгебра Н с одной тернарной опера- операцией а 4- sx, которая удовлетворяет следующим условиям: (i) если а + sx = а' + sx, то а = а'; (ii) если s Ф s', то а + sx = а' + s'x в точности для одного х; 1) Исторические сведения см. у Веблена и Юнга (Veblen O.,YoungJ.M. Projective Geometry. — Boston, 1910, v. I, p. 141, §55). 2) А г t i n E. — Coordinates in affine geometry. Reps. Math. Colloq. Notre Dame, 1940. Его же. — Геометрическая алгебра.—М.: Наука, 1969, глава II. Также работа Холла (Hall М. — Trans. AMS, 1943, 54, р. 229—277, § 5). [Об исчислении вурфов см. также Глаголев Н. А. Проективная геометрия.— М.: Высшая школа, 1963. — Прим. ред.] *) Классическая трактовка этих вопросов содержится в книге Веблена и Юнга (Veblen О., Young J. W. Projective Geometry. — Boston, 1910). О современном подходе см. у Пиккерта (Р i с k e r t G. Projective Ebene. — 2 Aufl. — Springer, 1975), а также Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — М.: ИЛ, 1955, глава VII, и книги Артина (Артин Э. Геоме- Геометрическая алгебра. — М.: Наука, 1969) и Холла (Холл М. Теория групп.— М.: ИЛ, 1962, глава XX).
142 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ (iii) при заданных х, у, х Ф х' и у' система уравнений а + + sx = у, а + sx' = у' имеет в точности одно решение a, s. Мы назовем такую алгебру тернаром. Если задан тернар А, то «точками» назовем пары чисел (х, у) ? А2, а «прямыми»—множества, определяемые уравне- уравнениями вида х = с и у = а + sx при любых заданных с, s, а из А. Тогда выполняются следующие аксиомы для аффинной плоскости: API Любые две различные точки р, q лежат на одной и только на одной прямой р \J q. АР2 Если дана прямая р \J q и г ^ р \J q, то существует в точ- точности одна прямая г \) sтакая, что (р \J q) д (г \/ s) — 0. АРЗ Существуют три точки, не лежащие на. одной прямой. Мы опускаем (почти тривиальную) проверку. В результате получается Теорема 16. Любую аффинную плоскость можно коорди- натизировать некоторым тернаром, и любой тернар определяет некоторую аффинную плоскость. Однако, одной и той же аффинной плоскости могут соответ- соответствовать много тернаров в зависимости от выбора начала и мно- множества (пучков) параллельных прямых. В дезарговом случае все они будут изоморфными, но в общей ситуации это не так х). Координаты в кольцах. Остроумная, основанная на совсем других соображениях «координатизация» для модулярных гео- геометрических решеток, являющихся произведениями проективных геометрий, была предложена фон Нейманом [Neu, ч. II]. Основ- Основная идея связана с фундаментальной теоремой 10 для модулярных геометрических решеток. Именно, любая такая «дезаргова» геометрическая решетка G S является произведением 2Г П Pt булевой алгебры 2Г и дезарговых v 1=1 проективных геометрий Рг. Каждая Pt = PGn <o (D() изоморфна решетке всех правых идеалов «полного матричного кольца» Mt = М„A) (Dt), состоящего из п (i) х п (/)-матриц над телом Dt, а 2 изоморфна решетке всех правых идеалов поля F. Значит, G изоморфна решетке всех правых идеалов (полупростого) кольца, S являющегося прямой суммой © Mt ф Fr s колец М; и г экземпля- i=i ров поля F. Этим доказана 1) Тернары связаны с лупами. См. у Хьюгса (Hughes D. R. — Ргос. AMS, 1955, 6, р. 973—980). Как в [LT2, с. 162], мы не предполагаем наличия 0 или 1. См. еще работу Уэссена (Wesson J. R.—Amer. Math. Monthly, 1966, 73, p. 36—40). [См. также Скорняков Л. А. — УМН, 1951, 6, № 6, с. 112—154; Белоусов В. Д. Алгебраические сети и квазигруппы. — Ки- Кишинев: Штиинца, 1971. — Прим. перев. и ред.] 15. ОРТОДОПОЛНЕНИЯ В Р вп-\ (D) 143 Теорема 17 (фон Нейман). Любая дезаргова геометриче- геометрическая решетка G изоморфна решетке всех правых идеалов подхо- подходящего полупростого кольца. Заметим, что хотя F произвольно, множества тел Dt и поряд- порядков п @ в вышеуказанном разложении определяются однозначно. Обратно, если R — произвольное полупростое кольцо и если решетка L его правых идеалов имеет конечную длину, то L яв- является модулярной геометрической решеткой. Бинарные геометрические решетки. Другой, очень оригиналь- оригинальный подход к проблеме координатизации нашел Тутте 1), который, следуя первоначальным построениям Уитни, рассматривает гео- геометрические решетки как «матроиды». Назовем геометрическую решетку бинарной, если никакой ее интервал высоты два не со- содержит более трех точек. Например, решетки разбиений П„ «бинарны». Тутте доказал, что матроид всех «многоугольников» (простых циклов) любого графа Г также является бинарным и «регулярным», и эта регулярность равносильна исключению двух специальных конечных конфигураций (конфигурации Фано и «семигранника»). Такие регулярные бинарные матроиды могут быть (единственным образом) координатизированы при помощи «цепных групп» над Z«. 15. Ортодополнения в РОп_х (D) Сравнительно нетрудно описать операции взятия ортодопол- ортодополнения, которые можно построить в дезарговой модулярной гео- геометрической решетке. Этим мы сейчас и займемся 2). Поскольку центр является булевой алгеброй, в которой существует только одна операция взятия ортодополнения, то в силу результатов § 14 достаточно описать все возможные операции взятия ортодо- ортодополнения в произвольной «конкретной» проективной геометрии PGn_! (D), т. е. в решетке всех подпространств м-мерного правого векторного пространства Vn (D) = Dn над некоторым телом. Сопряженное пространство Vn состоит из всех линейных слева функционалов / (х) на Dn, удовлетворяющих условиям B4) f(x + y)=f (х) +¦/ (у) и / (хК) = / (х) % для всех К ? D. Они образуют также левое м-мерное векторное пространство над D —изоморфную копию пространства D#n, где D# получается из D обращением порядка сомножителей в операции умножения. Далее, из теории систем линейных уравнений над телом следует, что для любого fe-мерного подпространства Sk с: Vn множество !) Т u t t е W. R. — Trans. AMS, 1958, 88, p. 144—174; 1959, 90, p. 527— 552; Proc. AMS, 1960, 11, p. 905—917; J. Res. Nat. Bureau Standarts Sect., 1965, 69B, p. 1—47. 2) См. статью Биркгофа и фон Неймана [1, приложение].
144 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ всех / ? Vn таких, что f (х) =0 для любого х ? Sk, является (л—1)-мерным подпространством 7Vft — SJ в V*n. Этим доказана следующая Теорема двойственности для линейных ур авнений. Отображение 6: Sk -*¦ SI является дуальным изоморфизмом решетки PGn_x (D) на решетку PGn_x (D#). Если б*: Tk -> ft —аналогичное соответствие между PGn_x (D#) и PGn_x (D), то 66* и 6*6 являются тождественными преобразо- преобразованиями на своей области определения (т. е. б и б* взаимно об- ратны). Отсюда очевидным образом следует, что если Р = PGn_x (D), то РР* всегда можно превратить в орторешетку. Однако сделать орторешеткой саму решетку Р (т. е. задать операцию ортодопол- ортодополнения на Р) не так просто, а если Р не является самодвойственной, то и вовсе невозможно! Если решетка Р самодвойственна, то произведение срб* любого ее дуального автоморфизма <р на определенную выше каноническую двойственность б* является автоморфизмом решетки Р, и значит (при п > 2) коллинеацией. Таким образом, этот автоморфизм определяется преобразованием вида B3) решетки Р, соответ- соответствующим полулинейному преобразованию xt -*¦ ^ацх^ (где а— автоморфизм тела D, а А = || ау ||—невырожденная матрица) векторного пространства Vn. Из этого результата как следствие получается Теорема 18. Дуальный изоморфизм PGn_x (D) -*¦ PGn_x (D#) самого общего вида сопоставляет каждому Sk ? PGn_x (D) мно- множество Tn_k всех f ? D#n таких, что k^O для всех х = (хь ..., хп) ? Sh B5) где А = || ац |) — некоторая невырожденная (п х п)-матрица, а а— некоторый кавтоморфизм тела D. Следствие 1. Дуальный автоморфизм решетки PGn_L (D) самого общего вида получается заданием матрицы А — || aiS || и антиавтоморфизма х -> х* тела D и связывает с каждым S ? PGn_x (D) множество Sx всех у ? Dn таких, что B6) 2 хТа;нУк = 0 для любого х ? S. Следствие 2. Дезаргова геометрия PGn_x (?>), п > 2, тогда и только тогда имеет дуальный автоморфизм, когда тело D допускает антиавтоморфизм. Для заданного антиавтоморфизма х -*¦ х# и матрицы aJk всегда будет B7) (S V ТУ = SJ- Д Тх и (s Л Т)х == 5J- V 7й- Для того, чтобы было (S-1)-1- =S, необходимо и достаточно выполнение равенства ahj = afk (с точностью до числового mho- is. ОРТОДОПОЛНЕНИЯ В РО„_1 (D) 145 жителя, который определяется однозначно, если только не все ai} равны 0). Для выполнения равенства S Д S-1 = О (равносильного согласно B7) равенству S \/ S-1 = /) нербходимо и достаточно, чтобы матрица А = | atj \\ была для антиавтоморфизма ф^ опре- определенной, т. е. чтобы B8) если 2 xTajhXk = 0. то хх = • • • = хп = 0. Поскольку поле действительных чисел не допускает собствен- собственных автоморфизмов, то имеет место Теорема 19. Чтобы, превратить PGn-1 (R) в орторешетку при п > 2, 5х должно быть ортодополнением для S относительно некоторой положительно определенной квадратичной формы. Следствие. При п > 2 любая орторешетка, изоморфная решетке PGn_x (R) /сак решетка, будет изоморфна как орторешетка орторешетке подпространств евклидова п-пространства (упо- (упорядоченной теоретике-множественным включением и с операцией вчятия ортогонального дополнения). Упражнения к §§ 13—15 1. Покажите, что «прямая» с п точками может быть координатизирована телом тогда и только тогда, когда п = р + 1, где р — простое и k — натураль- натуральное числа. 2. Дайте прямое доказательство того, что точки решетки PGn (D) порож- порождают относительно операции V полурешетку. 3. (а) Покажите, что в PGn (R), /г > 1, каждая операция ортодополнения подобна ортодополнению, определяемому скалярным произведением ?*;!/,¦. (б) Покажите, что в PGn (С), п > 1, каждая операция ортодополнения изо- изоморфна ортодополнению, определяемому эрмитовым произведением ? xty*. 4. Пусть F — поле «формальных действительных чисел», в котором все xi = 0, если ?*? = 0, и пусть S-1 будет множеством всех у таких в Vn {F), что S Xit/i = 0. Покажите, что тем самым PGn-i (F) превращается в модулярную орторешетку. 5. (а) Покажите, что если R — поле действительных чисел, a Q — тело кватернионов, то PG2 (Q) изоморфна подрешетке решетки PG1X (R). (*б) Убедитесь, что теорема Паскаля не эквивалентна никакому реше- решеточному тождеству. (Указание. См. главу VI.) *6. На проективной плоскости для заданных at (i = 1, 2, 3, 4) положим bi2 = (ay V а2) Д (as V a4) и т. д., с12 = (аг \J a2) Л (bis V М и т. д. Пока- Покажите1), что теорема Дезарга эквивалентна тождеству с12 sg: c23 V Csi- #7. На проективной плоскости для а;, 6* (i = 1,2,3) положим у = (ах V а2) Л (Ьх V Ь2) Л ЦК V «з) Л (&i V 63)} V {(а2 V а3) Л (Ь2 V Ь3)}]. Покажите, что теорема Дезарга эквивалентна тождеству 3 Л (% V bi) sc [п1 Л (а2 V г/I V [&1 Л (ь2 V */)]¦ 1=1 х) Упр. 6 принадлежит Шютценберже (Schiitzenberger M. Р.— С. R. Acad. Sci., 1945, 221, p. 218—220), а упр. 7—8 — Йонссону (J 6 n s - son В.—Math. Scad., 1953, 1, p. 193—206).
146 ГЛ. IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ * 8. (а) Покажите, что никакая недезаргова проективная геометрия не может быть изоморфной решетке нормальных подгрупп. (б) Покажите, что аналогичный результат верен и для свободной модуляр- модулярной решетки с четырьмя порождающими. 9. (а) Покажите, что если М — подрешетка модулярной геометрической решетки, все простые интервалы которой проективны, и если [а, Ь\ и [с, d] — интервалы длины 3 в М, то они одновременно являются или не являются де- зарговыми плоскостями. (б) Покажите, что не всякая модулярная решетка изоморфна подрешетке модулярной решетки с дополнениями х). «Нуль-системой»2) называется проективная геометрия Р с полярностью S -*¦ S* такой, что р ^ р* для любой точки р ? Р. 10. (а) Покажите, что в нуль-системе, если р =s; q*, то р* 5* q. (б) Докажите, что никакая проективная геометрия на плоскости не может быть превращена в нуль-систему. * 11. (а) Покажите, что любая нуль-система содержит цепь О < хг < х2 < ... <.хп—1 </, в которой xi покрывает xt—x и х\ = хп— t- (б) Покажите, что если в PGn (D) задана нуль-система и в качестве коор- координатных пространств взяты эти xt, то в матрице «полярности» \\aij\\ можно эле- элементы первых двух строк и столбцов сделать нулевыми, кроме а01 = 1 и а10 = —1. (в) Покажите, что п нечетно и что можно все коэффициенты сделать рав- равными нулю, кроме a2i,2i+i= 1 и fl2i+i, 2; = —1. (г) Установите, что тело D должно быть коммутативным. ПРОБЛЕМЫ 12. Как можно было бы определить «модулярные пары» (т. е. отношение аМЬ) в произвольном у-множестве? 13. Найти необходимое и достаточное условие, которому должна удовлетворять решетка, чтобы все ее гомоморфные об- образы были полумодулярными. Будет ли гомоморфный образ полумодулярной решетки полумодулярной решеткой? 3) (См. Дюб- рей-Жакотен, Лезье, Круазо [1, р. 95, теорема 2J.) 14. Для каких т, п решетка Пт допускает вложение в ре- решетку Пп? 15. Каждая ли конечная решетка является гомоморфным образом подходящей подрешетки симметрической решетки раз- разбиений Пп при некотором конечном п? 16. Каждый ли гомоморфный образ подрешетки решетки Пп допускает вложение в некоторую решетку Пт (т конечное)? 4) 17. Каждая ли решетка конечной длины изоморфна подре- подрешетке некоторой' геометрической решетки конечной длины? 18. Какие модулярные решетки М можно представить как подрешетки модулярных решеток с дополнениями L? В тех слу- х) Холл и Дилуорс (Hall M., D i I w о г t h R. P. — Ann. Math., 1944, 45, p. 450—456). *) См. работы Брауэра (В r a u e r R. — Bull. AMS, 1936, 42, p. 247—254) и Бэра (Ваег R. — Bull. AMS, 1945, 51, p. 903—906). 3) Джонс (Jones P. R. — Algebra univers., 1979, 9, №1, p. 127—130) дал отрицательный ответ на этот вопрос. — Прим. перев. 4) Из результата Пудлака и Тумы (см. сноску на с. 130) следует положи- положительный ответ на вопросы 15 и 16. — Прим. перев. ПРОБЛЕМЫ 147 чаях, когда это возможно, нельзя ли сделать длину решетки L равной длине решетки М (Дилуорс — Холл)?х) 19. Определить все симметричные . конфигурации, имеющие малую длину и небольшое число элементов 2). 20. Какие (т, п)-системы для заданных т, п допускают группу автоморфизмов, транзитивную на точках? 3) 21. При каких п существуют проективные плоскости, имею- имеющие п + 1 точку на каждой прямой? 22. Перечислите все конечные проективные плоскости. Какие из них самодвойственны? Какие допускают ортодополнение? 23. Какие конечные проективные плоскости имеют группы автоморфизмов, транзитивные: (а) на точках; (б) на прямых? Не следует ли из всех этих условий теорема Дезарга? Есть ли среди этих геометрий такая, которая не имеет нетривиальных автоморфизмов? 24. Существует ли проективная плоскость, которая имеет дуальный автоморфизм периода два, перестановочный с каждой коллинеацией (решеточным автоморфизмом)? 25. Охарактеризовать комбинаторно все у-множества, которые соответствуют полиэдральным разбиениям сферы4). 26. Получить эффективный тест для распознавания ориенти- ориентируемости конфигураций. 27. Какие конечные у-множества с /, удовлетворяющие усло- условию Жордана — Дедекинда, с точностью до изоморфизма опре- определяются характеристическим многочленом pi (X)? Множеством всех характеристических многочленов рх (X)? 5) 28. Пусть L — «конфигурация», определяемая выпуклым мно- многогранником в «-пространстве. Найти оценку для «размерности» (в смысле Душника — Миллера) конфигурации L (Курепа). 29. Охарактеризовать абстрактно (с точностью до изомор- изоморфизма) решетку Тп всех выпуклых многогранников в действитель- действительном л-пространстве. Каковы ее модулярные пары? 30. Будет ли каждая конечная модулярная орторешетка дезарговой (Фоулис)? х) Проблемы 18, 19, 20, 25 и 26 — это соответственно проблемы 55, 5, 53, 3 и 4 из [LT2]. — Прим. перев. 2)См. Мур (Moore Е. Н. — Arner. J. Math., 1896, 18, p. 264) и Леви (L e v i F. Geometrische Konfigurationen. — Berlin: Springer, 1927). 3) По поводу проблем 18—21 см. книгу Холла (Hall M. Combinatory Analysis. — Ginn — Blaisdell, 1967). *) См. книгу ван Кампена (К a m p e n E. R. van. Kombinatorische Topo- logie. — Hague, 1929). б) Проблема 6 из [LT2]. Ответ на первый вопрос дал Сокол Ю. (В кн.: Упорядоченные множества и решетки, вып. 4. — Саратов. Изд-во Саратовск. ун-та, 1977, с. 113—123). —Прим. перев.
ГЛАВА V ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ 1. Операции замыкания В § 1.4 полная решетка была определена как у-множество, в котором каждое подмножество имеет точную верхнюю грань и точную нижнюю грань. Понятно, что всякая решетка конечной длины является полной. Прямое произведение любых двух пол- полных решеток также будет полной решеткой. Кардинальная сте- степень XY для у-множеств X и У является полной решеткой, если основание X — полная решетка. В теореме 1.6 мы показали также, что подмножества произ- произвольного множества /, «замкнутые» относительно какого-нибудь свойства замыкания на /, образуют полную решетку, причем свойство замыкания для подмножеств множества / выделялось условиями: 1) для самого / выполняется это свойство и 2) любое пересечение подмножеств, имеющих указанное свойство, также им обладает. Очевидно, что совокупности подмножеств, «замкнутых» отно- относительно свойств замыканий, это в точности муровские семейства в смысле следующего определения. Определение. Муровское семейство подмножеств мно- множества / — это семейство подмножеств, которое 1) содержит / и 2) содержит пересечение |~1 -^а» если все Ха принадлежат семей- семейству (т. е. оно замкнуто относительно пересечений). Теперь покажем, что понятие «свойство замыкания» в сущ- сущности своей равносильно понятию «операция замыкания», опре- определяемому ниже, и дадим другое доказательство теоремы 1.6. Определение. Операцией замыкания на множестве / называется оператор X ->¦ X на подмножествах этого множества такой, что С1 . X а X (экстенсивность); С2 X = X (идемпотентность); СЗ если X с Y, то X с= Y (изотонность). Подмножество X сг. I, по определению, замкнуто относи- относительно данной операции замыкания, если оно совпадает со своим «замыканием» X ¦ Теорема 1. Подмножества множества I, «замкнутые» относительно какой-нибудь операции замыкания, образуют муров- муровское семейство, и обратно. I. ОПЕРАЦИИ ЗАМЫКАНИЯ 149 Другими словами, свойство «быть замкнутым» является свой- свойством замыкания, и обратно х). Доказательство. Пересечение D = |~| Хф любого ф набора замкнутых множеств замкнуто, поскольку в силу СЗ будет D сг Хф = Хф для всех ср ? Ф, откуда D сг D. Согласно С1, это означает, что D замкнуто. Обратно, если &" — муровское семейство подмножеств множества /, то пусть X обозначает пере- пересечение множеств Fa ? #", содержащих X. Так как / ? &", то существует по крайней мере одно такое множество. Далее, X = = |~] Fa содержит X, поскольку каждое Fa содержит X, — это доказывает выполнимость С1. Так как каждое Fa ? &", содер- содержащее X, содержит и X (по определению X), то С2 истинно. На- Наконец, СЗ выполняется тривиально, и доказательство за- закончено. Теорема 2. Любое муровское семейство ЗГ подмножеств множества I образует полную решетку относительно теоретико- множественного включения. Доказательство. Очевидно, что для любого семей- ства {Ха} сг &~ в Т существуют inf \Ха\ = Г\Ха и sup {Xa\ = Ua Следствие. Подмножества произвольного множества, «замкнутые» относительно заданной на нем операции замыкания, образуют полную решетку, в которой точная нижняя грань совпадает с теоретико-множественным пересечением. Пример 1. Пусть G — произвольный моноид непрерывных преобразований, действующих на пространстве S. По определе- определению, X ? У означает, что X с S и для х ? X и у ? G всегда ху ? X. Тогда У является полной решеткой относительно теоре- теоретико-множественного включения. Предыдущие результаты могут быть обобщены следующим образом. Теорема 3. Если Р — у-множество и любое его подмноже- подмножество (включая пустое) имеет в Р точную нижнюю грань, то Р является полной решеткой. Доказательство. Пусть X сг Р и пусть U обозначает множество верхних граней для X. Положим а = inf U. Если х ? X, то х является нижней гранью для U, так что х < а. Зна- Значит, а будет верхней гранью для X. Если теперь и Ь является верхней гранью для X, то Ь ? U, откуда а < Ь. Таким образом, а = sup X; точные верхние грани подмножеств множества Р существуют, и следовательно, Р — полная решетка. ^Теорема 1 восходит к Муру [1, р. 53—80]. Мур «свойства замыкания» называет «экстенсивно достижимыми». У Кона [ 1 ] «муровское семейство» высту- выступает как «система замыканий».
150 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ Вообще, если S — произвольное подмножество полной ре- решетки L такое, что inf X ? S для любого X a S, то S также является полной решеткой. Определение. Если S с L содержит inf X и sup X для любого X с: S, то S называется замкнутой под решеткой в L. Операция замыкания на решетке L — это операция х -*¦ х на элементах решетки L, удовлетворяющая вышеуказанным усло- условиям С1 — СЗ. Элементы х ? L, для которых х = х, называются замкнутыми. Следующие непосредственные обобщения теорем 1—3 полу- получаются соответствующим пересказом их доказательств. Теорема 4. Пусть х -*х — операция замыкания на полной решетке L и пусть S — множество замкнутых элементов этой решетки. Тогда для ха ? S будет Дха ? S. Следствие. Замкнутые элементы решетки L образуют полную решетку. Решетка всех операторов замыкания на данной решетке из- изучалась Морганом Уордом и др. *). Упражнения 1. Покажите, что факторы 2) alb (а :> 6) полной решетки образуют полную решетку в том случае, когда (i) alb ^ eld означает, что [Ь, а] С Id, с], и в том случае, когда (И) alb ^ eld означает, что о^си b ^.d. 2. Покажите, что если L — полная решетка и Р — произвольное у-мно- жество, то Lp является полной решеткой. 3. (а) Покажите, что бинарные отношения на любом множестве А образуют полную булеву алгебру R (А) = 2А1- (б) Покажите, что рефлексивные отношения образуют в ней главный дуаль- дуальный идеал, который, таким образом, является подрешеткой. (в) Покажите, что симметричные отношения образуют в R (А) замкнутую булеву подалгебру. (г) Покажите, что транзитивные отношения образуют полную решетку, которая не является подрешеткой в i? (A). 4. Покажите, что тождество х V х ^ х V У является характеристическим для операции замыкания в любой полной решетке (Исеки). 5. Покажите, что условия С1 — СЗ равносильны одному условию у (J У U U х С х (J у (Монтейро). 6. Решеточный гомоморфизм называется «полным», если он сохраняет точные грани любых подмножеств. Покажите, что прообраз элемента при полном гомо- гомоморфизме полных решеток является замкнутым интервалом. 7. Покажите, что решеточный гомоморфизм между полными решетками не обязательно сохраняет бесконечные объединения и пересечения. J) W a r d М. — Ann. Math., 1942, 43, p. 191—196. См. также работы Оре (Ore О. — Ann Math., 1943, 44, p. 514—533; Duke Math. J., 1943, 10, p. 761— 785), Монтейро и Рибейро (Monteiro A., Ribeiro H. — Portug. Math., 1942, 3, p. 191—284), Моргадо (М о г g a d о J.—Math. Revs., 1962, 24, p. 3092—3094). 2) В восходящей к Дедекинду традиции интервалы решетки называются ее факторами. Эту терминологию и соответствующее обозначение (Ыа вместо [а, Ь]) автор использовал в [LT1]. — Прим. перев. 2. РЕШЕТКИ ИДЕАЛОВ 151 8. Покажите, что любой гомоморфный образ полной цепи—полная цепь. *9. Пусть 2т = А — булева решетка всех подмножеств счетного множества и пусть F обозначает идеал конечных подмножертв. Покажите, что А полна, но ее гомоморфный образ A/F уже не будет полным. 10. В множестве С/, всех операторов замыкания на решетке L пусть ф г?Г г?Г i|) означает, что ф (х) sg: i|) (х) для любого х ? L. (а) Докажите, что если L полна, то получается полная решетка С/, cr LL. (б) Докажите, что, если L не полна, то и С/, не будет полной. 11. Покажите, что решетка С/, модулярна тогда и только тогда, когда L — (полная?) цепь. 2. Решетки идеалов В § П.З мы уже встречались с решеткой L всех идеалов данной решетки L. Она содержит L в качестве подрешетки х) (подрешетки главных идеалов). Очевидно, что идеалы любой решетки L обра- образуют муровское семейство подмножеств 2) в L. Если L рассматри- рассматривать как алгебру с одной бинарной операцией объединения х v у и с унарными операциями /„ (х) = х Д а для всевозможных а ? L, то идеалы решетки L будут в точности ее подалгебрами. Теорема 5. Всякая решетка L может быть вложена как под решетка в полную решетку L всех своих идеалов. Можно дать явное описание пересечений и объединений в L. Именно, имеет место Лемма 1. Если А, В — непустые идеалы решетки L, то пересечение А д В = А (] В совпадает с множеством всех эле- элементов вида а д Ь {где а ? A, b ? В), а объединение А у В — с множеством всех х <с а V Ъ, где аи Ь пробегают соответственно А и В. Доказательство. Так как а д Ь < а, Ь, то каждое такое а Д Ь находится и в Л, и в В, т. е. в пересечении А {] В. Обратно, если с ? А [\ В, то с = с /\ с, где с ? А, с ? В. Да- Далее, любой идеал, который содержит А и В, должен содержать все х < а \/ Ь, где а ? А, Ь ? В. Обратно, множество х < < а \/ Ь, а ? A, b ? В, очевидным образом содержит А и В и содержится в любом идеале, содержащем А и В. Так как для всех а, а'' ? А и Ь, Ь' ? В будет (а V Ъ) V (а' V Ъ') = (а V V а') V Ф V Ь'), то это множество является идеалом. Теорема 6 (Дилуорс). Идеалы любой модулярной решетки М образуют модулярную решетку 3) М. х) Понятно, что имеется в виду вложимость решетки L в решетку L ее иде- идеалов. — Прим. перев. 2) Если решетка L не содержит О, то к числу идеалов придется отнести и пустое подмножество. — Прим. перев. и ред. 3) Так как класс всех модулярных решеток является многообразием, то утверждение теоремы следует из того, что всякое тождество, выполнимое в L, выполняется ив! (см. упр. 10 к § VI.9). Этот последний факт, сформулиро- сформулированный в [LT2 (упр. 2 к § V.8) ], доказал Сакс (S а с h s D. — Proc. AMS, 1961, 12, p. 944—945). — Прим. перев.
152 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ Доказательство. Пусть X с: Z и Y — некоторые идеалы. Поскольку модулярное неравенство всегда имеет место, нам достаточно показать, что каждый элемент t ? (X V У) А % лежит в X V (Y /\ Z). Но для идеалов t ? (X V У) А % всегда означает, что t < (х V у) д г для некоторых х € X, у ? У, z ? Z. В данном случае, так как X cr Z, то х ? Z, откуда а» = = х V г ( Z, и следовательно, t < (х \J у) A w> причем х < да. Тогда, согласно модулярному закону, t < х \/ (у /\ w), т. е. * 6 X V (Y A Z). Ч. т. д. Следствие. Любая модулярная решетка может быть вложена в полную модулярную решетку. Лемма 2. Если А и В— идеалы дистрибутивной решетки, то А V В = {а V Ь\а ? А, Ь ? В]. Доказательство. Используем лемму 1: если х <г < a v Ь, а ? A, b ? В, то х = х А {а V Ь) = (х д а) V (* Л /\ Ь) = а' \/ &'» причем а'=л:да?ЛиЬ' = л:дЬ?В. Теорема 7. Идеалы любой дистрибутивной решетки L образуют дистрибутивную решетку г) L. Доказательство. Если X, У, Z — идеалы, то согласно дистрибутивному неравенству (X д Y) V (X д Z) с X Л (У V 2). С другой стороны, если а ? X д (К V 2), то а = д; д (г/ V г) для некоторых х ? X, г/ ? К, z ? Z. Тогда, вследствие дистри- дистрибутивного закона, а = (х д г/) V (х Д z), и значит, а ? (X А AY)V (X А Z). С л е д с^т в и е. Любая дистрибутивная решетка может быть вложена в полную дистрибутивную решетку. Но об идеалах булевой решетки мы уже не можем сказать, что они образуют булеву решетку. В самом деле, пусть, например, X — идеал конечных множеств в полной булевой решетке А = 2s всех подмножеств некоторого бесконечного множества S. Если X д У = О для некоторого идеала Y из А, то х А У ~ 0 Для всех х ? X, у ? У. Пусть у ? Y. Тогда для любого р ? S будет \р\ ? X, {/?} д (/ = 0, р Ф у, откуда г/ = 0 и Г = О. Но тогда X V Y = X Ф А, так что У не будет дополнением для X. Значит, X не имеет дополнения в Л и Л не является булевой решеткой 2). *) См. примечание3) на с. 151. —Прим. перге, 2) Заметим, что соображения, приведенные в примечании3) на с. 151, к бу- булевым алгебрам, не образующим многообразия в сигнатуре решетки (т. е. отно- относительно операций V. Л). не применимы. — Прим. перев. 3. УСЛОВНАЯ ПОЛНОТА. ТЕОРЕМА О НЕПОДВИЖНОЩТОЧКЕ 153 3. Условная полнота. Теорема о неподвижной точке Многие важные решетки, хотя и не.являются полными, обла- обладают тем свойством, что каждое их непустое ограниченное под- подмножество имеет обе точные грани. Решетки (и у-множества) с этим свойством называются условно полными. Так, поле действи- действительных чисел R является условно полным; другой пример — множество всех функций, выпуклых на данном замкнутом интер- интервале и принимающих данные значения на его концах. Мы имеем следующий частичный аналог теоремы 3. Теорема 8. Решетка L условно полна, если каждое ее ограниченное непустое подмножество имеет точную нижнюю грань. Доказательство. Пусть X — непустое ограниченное подмножество решетки L. Обозначим через U множество всех верхних граней для X. Так как X ограничено, то U не пусто. Выберем a (i U. Пусть V — множество всех элементов вида а д и, где и ? U, и пусть х0 ? X. Понятно, что V ограничено снизу элементом х0, сверху элементом а и не пусто, так как а = — а А а ? У- Значит, b = ml V существует в L. Если х ? X, то х является нижней гранью для V, так что х < Ь. Таким образом, построенный элемент b будет верхней гранью для X. Если и ? ? U, то а А и € V, так что Ъ < а Д и < и. Итак, b = sup X. Следствие. Решетка L условно полна, если каждое ее непустое ограниченное подмножество имеет точную верхнюю грань. Теорема 9. В условно полной решетке L каждое непустое подмножество, имеющее нижнюю грань, имеет и точную нижнюю грань и двойственно. Доказательство. Пусть X — непустое подмножество решетки L и b — нижняя грань для X. Выберем с ? X. Мно- Множество всех элементов вида с А х, где х ? X, ограничено и не пусто, а тогда оно имеет точную нижнюю грань, которая будет также и точной нижней гранью для X. Покажем теперь, что условно полные у-множества отличаются от полных решеток лишь отсутствием универсальных граней О и /. Это обобщает известный факт: R можно превратить в полную решетку, присоединяя — оо и +оо. Теорема 10. Если Р — условно полное у-множество, то присоединяя к Р элементы О и I, получим полную решетку ~Р. Д о к а_з а т е л ь с т в о. Пусть X — произвольное подмно- подмножество в Р. Покажем, что X имеет точную нижнюю грань. Если О ? X, то О = inf X. Поэтому можно предположить, что О Ф X. Положим в этом случае X' = X — {/}. Очевидно, X' а Р. Если X' = 0, то X = 0 или X = {/}. В обеих ситуациях / = = inf X. Будем теперь считать, что X' Ф 0. Если X' не имеет нижних граней в Р, то О = inf X' = inf X. Если же X' имеет в Р
154 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ нижнюю грань, то пусть Ъ = inf X'. Но тогда Ь = inf X. Значит, р X имеет точную нижнюю грань, и можно применить теорему 3. Теорема о неподвижной точке. Для изотонных операторов, удовлетворяющих одному лишь условию СЗ, имеет место следу- следующий замечательный факт, установленный Тарским в 1942 г., но не публиковавшийся им вплоть до 1955 г. 2) Теорема 11. Пусть L — полная решетка и f — изотопное ее отображение в себя. Тогда f (а) = а для некоторого а ? L. Доказательство. Пусть S обозначает множество всех х ? L таких, что х <s / (л:), и пусть а = sup S. Конечно, О ? S. Далее, по предположению и вследствие изотонности отоб- отображения / получаем, что х < / (х) < / (а) для всех х ? S. Значит, а = sup S < / (а), откуда а ? S. Снова, ввиду изо- изотонности, / (а) < / (/ (а)), так что / (а) < sup S = а. Но а < < / (а), откуда / (а) = а, что и требовалось. У п р а ж нения к §§ 2—3 1. Покажите, что пятиэлементная модулярная недистрибутивная решетка М3 имеет два идеала J, К, объединение которых не совпадает с множеством эле- элементов вида х V У, где х ? J, у ? К. 2.2) (а) Покажите, что главный идеал а Д L дистрибутивной решетки L является простым тогда и только тогда, когда элемент а Д-неразложим. (б) Покажите, что если L имеет конечную длину п, то L имеет в точности п собственных идеалов, включая О. (в) Докажите, что каждый максимальный идеал дистрибутивной решетки является простым. 3. Покажите, что интервал [0, 1] числовой прямой, хотя и является полной цепью, но не изоморфен полной решетке своих идеалов. 4. Покажите, что идеалы булевой решетки А образуют булеву решетку А тогда и только тогда, когда А конечна. 5. Докажите, что субгармонические функции, принимающие данные непре- непрерывные значения на границе плоской области i?, образуют условно полную решетку. 6. Покажите, что если изотонный оператор / на условно полной решетке таков, что а ^ / (а) ^ / F) ^ Ь, то с = f (с) для некоторого с между а и Ь. 7. Покажите, что в условиях теоремы 11 существует наименьшая непо- неподвижная точка. Покажите, что неподвижные точки не обязательно образуют подрешетку. Образуют ли они решетку? 8. Докажите, что лемма 2 из § 2 справедлива для любого идеала А и любого стандартного идеала В в произвольной решетке (Гретцер и Шмидт). 9. Докажите, что если в решетке L каждое изотонное преобразование имеет неподвижную точку, то L полна (Девис), J) См. Т а г s k i А. — Pacif. J. Math., 1955, 5, p. 285—309; также работу Девис (Davis А. С. — Pacif. J. Math., 1955, 5, p. 311—319). Близкий ре- результат был получен ранее Л. В. Канторовичем (Acta Math., 1939, 71, р. 63—97). 2) Задания (а), (б) этого упражнения повторяют упр. 2 к § III.3. — Прим. перге. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ЗАМЫКАНИЕ 155 4. Топологическое замыкание Наиболее подробно изученные операции замыкания встре- встречаются в теории множеств, хотя это понятие играет важную роль и в алгебре. Определим топологическое пространство г) как мно- множество Q вместе с семейством R «замкнутых» множеств, имеющим следующие три свойства: (а) объединение любых двух замкнутых множеств замкнуто; (Р) любое пересечение замкнутых множеств замкнуто; (у) Q и пустое множество 0 замкнуты. По теореме 1 из (р) и (у) следует, что тем самым в любом топо~ логическом пространстве определяется операция замыкания со свойствами С1 — СЗ. Вследствие (а) эта операция удовлетворяет также условию СЗ* X U Y = I[jF. Наконец, (у) влечет еще равенство 0 = 0. Вообще, семейство множеств, удовлетворяющее условиям (а) и (Р), т. е. замкнутое относительно конечных объединений и произ- произвольных пересечений, будем называть П -кольцом множеств. Понятие U -кольца множеств вводится двойственно. Таким образом, в любом топологическом пространстве Q замкнутые множества образуют f| -кольцо, элементами которого являются, в частности, 0 и Q; «открытые» множества (т. е. до- дополнения замкнутых множеств) составляют дуально изоморфное U -кольцо, также содержащее 0 и Q. Очевидно имеет место Теорема 12. Замкнутые (и, двойственно, открытые) подмножества любого топологического пространства образуют полную дистрибутивную решетку. Вообще, если L — любая полная дистрибутивная решетка с операцией «замыкания» х^*-х, удовлетворяющей условиям С1, С2, СЗ*, то подмножество S, состоящее из «замкнутых» элементов, является полной дистрибутивной подрешеткой в L. Топологическое пространство называется Тупространством, когда в нем имеет место С4 Если р — точка, то р = р. Т^-пространство удовлетворяет более слабому условию С4' Для двух точек р и q из р = q следует, что р = q. Между конечными Т0-пространствами и конечными у-множе- ствами имеется естественное взаимно однозначное соответствие. В самом деле, назовем М-замыканием подмножества S у-множе- х) Топологические пространства систематически изучаются в главе IX. Условия О — С4 были впервые сформулированы Рисом A909). См. К У Р а- т о в с к и й К- Топология, т. 1. — М.: Мир, 1966.
156 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ ства Р множество S всех t ? Р таких, что / < s для некоторого s е S. Тогда С1 следует из Р1; С2 из РЗ; С4' из Cl, P2; а выпол- выполнимость СЗ* очевидна. Значит, Р является Го-пространством. Заметим, что в этом пространстве q ? р тогда и только тогда, когда q < р. С другой стороны полагая q < р тогда и только тогда, когда q ? р, мы упорядочиваем точки Го-пространства. Для конечного множе- п п ства S = V pi получаем, что S = V pt будет множеством точек ?~1 1 = 1 q ? Q таких, что q < р для некоторого /? ? S. Таким образом, установленные соответствия между Г„-топологиями и упорядоче- упорядочениями взаимно обратны. Нами доказана Теорема 13. Существует взаимно однозначное соответ- соответствие между конечными у-множествами Р и конечными Т0-про- странствами Q: q < р в Р означает, что q ? р в Q. Семейство подмножеств некоторого множества называется «кольцом», если оно содержит вместе с любыми двумя подмноже- подмножествами S и Г их объединение S U Г и их пересечение S f\ Т. Теорема 14. Соответствие, устанавливаемое в предыдущей теореме, показывает, что решетка 2Р изоморфна кольцу всех открытых подмножеств пространства Q, и следовательно, анти- изоморфна кольцу всех замкнутых подмножеств этого простран- пространства. Доказательство. Каждому подмножеству S из Q сопоставим его «характеристическую функцию» fs: fs (p) = 1 или 0 в зависимости от того, будет ли р ? S или р Ф- S. Тогда S с Г в том и только в том случае, если fs <с /V. Далее, S за- замкнуто, если и только если /s (q) За fs (р) при q < p, и значит, S открыто тогда и только тогда, когда /s изотонна. Этим и уста- устанавливается искомый изоморфизм. Полученный результат тесно связан с теоремой III.3. Он по- показывает, что каждая конечная дистрибутивная решетка изо- изоморфна решетке всех замкнутых подмножеств конечного Го-про- Го-пространства своих \/-неРазложимых элементов. 5. Бесконечная дистрибутивность В любой полной решетке L операции inf S = Д S и sup S = = Vs применимы не только к конечным, но и к бесконечным подмножествам S cz L. Рассмотрим некоторые основные свойства этих бесконечноместных х) операций.2) *) Этому термину в алгебре придается и другое толкование, но здесь оно не встречается. — Прим. перев. ?) См. упр. 6—9 к § 1, а также работу Дилуорса и Маклафлина (D i 1- worth R. P., Mclaughlin J. E. — Duke Math. J., 1952, 19, p. 683— 693). 5. БЕСКОНЕЧНАЯ ДИСТРИБУТИВНОСТЬ 157 Следующие «обобщенные ассоциативные законы» почти очевидны. L* Если Ф — произвольное семейство .подмножеств Sv полной решетки L, то д |д4= Л х и двойственно, V (V х\= V х. *{ь; J ил ФК / и*<р Обратно, опираясь на свойства теоретико-множественной опе- операции U, мы получаем из этих законов LI — L3, так что L* вместе с L4 характеризуют полные решетки. Теорема 15. Любая система L с бесконечноместными опе- операциями S -> VS ? L и S -»> As € Ь, 5 с= L, удовлетворя- удовлетворяющими условиям L4 и L*, является полной решетлой. Доказательство. Пусть х < у означает, что h\x, у] = х и V \х, у} = у; согласно L4 эти соотношения равно- равносильны. Так как L4 влечет L1, мы имеем х = х /\ х = 1\\х, х\ = = Д {х} для всех х ? L. Если х, у, г ? L, то хЛ (У Л г) = Д \х, у, z] = д {д {х\, A\y>z\\ = A \х> У' 2Ь согласно L*. Итак, L — решетка. Пусть теперь S cz L. Тогда (Л5) Л * = Л1Л5, х) = д {Д5, д {*}} = Д(* U W) = AS для всех х 6 5 и, если х /\ t = t для всех х ? S, то \t}) = так что Д5 = inf S. В любой дистрибутивной решетке, по индукции, выводится, что A) а /\ у х0 = V (a /\ xa) s s и, двойственно, A') а V Аха = Л (а V ха) S S для произвольного конечного множества индексов S. Формулы A)—A') имеют место для любого S во всякой полной булевой ал- алгебре, но не во всякой полной дистрибутивной решетке. Например, A) не выполняется в полной дистрибутивной ре- решетке всех замкнутых подмножеств плоскости: если с обозначает окружность х2 + У2 = 1, а 4 — круг х2 + у2 < 1 — k~2, то с д °° \°/ д V dk = с, в то время как множество V (с /\ dh) пусто.
158 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ С другой стороны, (Г) истинно в рассматриваемой решетке, так как V и Д совпадают в ней с теоретико-множественными опера- операциями U и П соответственно. Полные решетки, в которых имеет место условие A), будут изучаться в §§ 10—11, а различные более тонкие вариации этого свойства — в § Х.11. Но пока мы ограничимся случаем булевых решеток. Сначала доказывается Теорема 16. Дистрибутивные законы A) и (Г) истинны в любой полной булевой решетке А при произвольном выборе мно- множества индексов S. Доказательство. Вследствие изотонности, а д Vxa s является верхней гранью для любого а д х„, так что всегда V (а д ха) < а д V ха. Чтобы доказать противоположное не- s s равенство и, значит A), достаточно убедиться, что а Д V ха < и s для любой верхней грани и элементов а д ха. Но если а д ха < < и для всех а, то ха = (а д ха) V (а' А хо) < " V а' для всех а ? S, и значит, а A а А (" V а') = (а д и) у (а д а') = а А и < и, что и доказывает A). Двойственно, получается (Г). Лемма. В любой полной решетке бесконечный дистрибутив- дистрибутивный закон A) влечет равенство B) V (ха SxT Доказательство. Согласно A) и получающемуся из него применением L2 (коммутативность) соотношению, будет откуда с помощью обобщенного ассоциативного закона и полу- получается B). Следствие. В любой полной булевой алгебре имеют место B) и двойственное ему соотношение B') 5. БЕСКОНЕЧНАЯ ДИСТРИБУТИВНОСТЬ 159 Для конечных множеств элементов (и конечных индексных множеств) в дистрибутивной решетке выполняется обобщенный конечный дистрибутивный закон A0) главы III: г rs(ft) "I C) Л I У Хн, I | = V [XI, М1) Д ¦ ¦ • Л Xr. f (г)] = V | Д.Xh, Л=1 (=1 A.xh,f(h) , La=i J где F — множество всех функций, сопоставляющих каждому h = 1, ..., г некоторое значение / (К) из множества {1, ..., s (h)\. Имея теорему 16, естественно предположить, что в каждой полной булевой алгебре справедлив бесконечный аналог и соотношения C). Однако это не так. Назовем (полную) решетку вполне дистрибутивной, если она удовлетворяет взаимно двойственным расширенным дистрибутив- дистрибутивным законам: D) Л [V ху, «1 = V Г л*7, ф (v) I с [лу J ф L с , J D') A ф для любого непустого семейства индексных множеств .dv, у ? С, при условии, что Ф есть множество всех функций ср, определенных на С и таких, что ср (у) ? Ау. Теорема 17 (Тарский х)). Если полная булева алгебра А вполне дистрибутивна, то она изоморфна алгебре 2х всех под- подмножеств некоторого множества. Замечание. На самом деле, достаточно предположить D). Доказательство. Пусть С — множество пар вида (Ху, Ху), где ху — дополнение элемента ху ? А; Ф — множество функций ф, выбирающих из каждой такой пары один элемент х^(у)\ наконец, пусть /?ф = Д^фМ- Тогда, согласно D), С ф[С J ф Ар- Покажем теперь, что каждое /?ф самое большее покрывает О (т. е. что pv = О или pv является атомом булевой алгебры А). В самом деле, если ху < pv, то лгф (V) = x'y, так как равенство х9 (V) = Ху повлекло бы соотношение рф = Дхф (v) <: ху. Но из Ху < /?ф следует, что Ху :^ Ху Д P(f <5 Ху Д Ху (.у) == ЛГ-у Д ЛГ^ = О. J) Т а г s k i A.—Fund, math., 1929, 16, p. 195—197. См. также работу Ope (Ore О. —Ann. Math., 1946, 47, p. 56—72), где (теорема 23) детализи- детализируется доказательство Тарского.
160 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ Далее, всякий элемент ха = ха д / = ха д V pv = V (ха д ф д /?ф), где ха д /?ф есть атом р9, если рф < дга, и О — в против ном случае. Это означает, что каждый элемент ха ? Л является объединением тех «точек», которые он содержит. Наконец, объеди- объединение^ = V/7,p точек /7Ф не содержит точек р, не принадлежащих 5, поскольку, согласно A), если р не совпадает ни с одним рф ? 5. Этим устанавливается изоморфизм между элементами булевой алгебры А и подмноже- подмножествами 5 множества всех точек рф, чем и завершается доказа- доказательство теоремы. Теоремы Рейни. Класс всех вполне дистрибутивных (полных) решеток содержит много небулевых решеток. Например, имеет место следующая Лемма. Любая полная цепь является вполне дистрибутивной решеткой. Доказательство. В любой полной решетке а=$ [Ух*'а] ^ У так как левая часть является верхней гранью для /\xVl ф (V> при с любом ф ? Ф. Для доказательства противоположного неравен- неравенства заметим, что если Ъ < а, то для любого у ? С существует а — Ф (У) такое, что хуа > Ъ. Если а покрывает 6, то отсюда следует, что xva ^ а, и значит, A^v. ф(т) Э? а, что и доказывает требуемое неравенство. Если же это не так, то а будет объединением некоторых у < а, а для любого такого у, как мы уже видели, /\ху, ф(т) ^ У ПРИ подходя- С щем ф = ф7 ^ Ф. Значит, V ГЛ*у.ф(т)] ^ V У = а, чем и за- вершается доказательство. Следствие. Любая замкнутая под решетка прямого произ- произведения полных цепей является вполне дистрибутивной (полной) решеткой. Рейни доказал несколько сильных обращений приведенных результатов, используя понятие «полуидеала» (ЛГ-замкнутого под- подмножества) г). Ч R а п е у G. N. — Ргос. AMS, 1952, 3, р. 677—680; 1953, 4, р. 518—522. См. также работы Брунса (В г u n s G.—J. reine angew. Math 1962 209 p. 167—200; 210, p. 1—23). 5. БЕСКОНЕЧНАЯ ДИСТРИБУТИВНОСТЬ 161 Так, он установил, что в любой полную решетке L каждое из условий D)—D') влечет другое (и значит, полную дистрибу- дистрибутивность) и равносильно тому, что V является гомоморфным образом полного кольца множеств по отношению к произвольным объединениям и пересечениям. Он доказал также глубокое обра- обращение вышеуказанного следствия, именно, что каждая вполне дистрибутивная полная решетка является замкнутой подрешет- кой прямого произведения полных цепей. Упражнения к §§ 4—5 1 *). В произвольной полурешетке положим по индукции х1 ° ... ° хп равным Xi° (х^о ... ° хп). (а) Используя L3, докажите индукцией обобщенный ассоциативный закон: если т = xHl о ... о xSi [О = s0 <Si< ... < sm = я], то Ш ° ... ° Ут= 4° ¦¦¦ " Хп- (б) Используя только L2 и L3, докажите, что хг ° ... » хп не меняется при перестановках сомножителей. (в) Докажите L* индукцией, используя LI — L3, в случае, когда Ф и все Sq, конечны. 2. Получите LI, L2, L3 как частные случаи закона L*. 3. Сформулируйте ослабленную форму закона L*, истинную во всякой ст-решетке^). 4. (а) Покажите, что точка а лежит в замыкании X множества X тогда и только тогда, когда каждое открытое множество U, содержащее а, содержит некоторую точку из X. (б) Покажите, что для доказательства этого результата достаточно исполь- использовать лишь A) (Оре). 5. Покажите, что доказательство теоремы 17 требует лишь «промежуточ- «промежуточного» дистрибутивного закона ( 6 / 4f 6. Покажите, что для любого у-множества Р (полная) решетка 2Р является вполне дистрибутивной. (Указание. Это будет П-подрешетка и [J"ncW- решетка решетки 2°^.) 7. Обобщите результат упр. 6 на случай Dp, где D —любая вполне ди- дистрибутивная решетка. 8. Пусть ф: А —>¦ В — гомоморфизм между двумя полными булевыми ал- алгебрами А и В. Покажите, что ф является ДУ-гомоморфизмом 8) тогда и только тогда, когда Кег ф — главный идеал (Двингер). 1) Задания (а), (б) этого упражнения повторяют упр. 1 к § II.2. — Прим, перев. ?) См. § XI. 1. — Прим. перев. *) То есть сохраняет произвольные объединения и пересечения. — Прим. перев. Биркгоф Г
162 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ 7. ПОЛЯРНОСТИ 163 6. Решетки с единственными дополнениями Решетка, в которой каждый элемент имеет одно и только одно ;: дополнение, называется решеткой с единственными дополнениями. ; Мы видели в § 1.10, что булевы решетки обладают единственными \ дополнениями. Теперь докажем частичное обращение этого ре- { зультата. > Лемма. Если р и q — различные точки (атомы) решетки > с единственными дополнениями, то р < q'. Щ \ Доказательство. Пусть р ^ q'. Тогда р д q' < р .;' и поэтому р д q' = О. Положим х — р V?'; очевидно, что х > : > q'. Если не будет х Зг q, то х Д q < q, откуда х Д q = О. Но ' x\jq^.q'\/q = I. Следовательно, х = q', а это противоре- противоречит неравенству х > q'. Значит, х ^ q. Но тогда х 5г q V я' = - = I, х — I, p \j q' = I, так что q' = р', и значит, q = р, что ' также невозможно. • Теорема 18. Пусть L — полная решетка с единственными , дополнениями, в которой каждый элемент а > О содержит точку1). Тогда L изоморфна булевой решетке всех подмножеств } множества Р своих точек. Доказательство. Для произвольного а ? L пусть 5 (а) обозначает множество всех точек р < а. С другой^стороны, ¦¦ каждому множеству 5 точек решетки L сопоставим объединение j (S) всех точек р ? S. Соответствие a ->-S(a), очевидно, яв- является изотонным отображением решетки L в множество-степень 2° <р> всех подмножеств множества Р, a S ->/ E) изотонно отобра- отображает 2° (Р> в L. При этом, так как / (Р) содержит все точки, то 1} (Р)У не может содержать ни одной точки. Следовательно, [/ (Р) ]' = О и / (Р) = О' = / ? ?• Используя предыдущую лемму, получаем, что если q <? S, то q' ^ р для всех р ? S, откуда q' ^> j (S). Значит, из р < / E) следует, что р ? 5; но для р (j $ очевидным образом будет р < / E). Итак, E) 5 (/ E)) = 5 для любого множества 5 точек решетки L. Пусть теперь А = 5 (а). Конечно, / (А) = / (S (а)) < а, а / (Л) < а не может содержать точек, не содержащихся в а. Значит, a A j (А1) не содержит точек, не принадлежащих А и А' одновременно, откуда а д / (А1) = О. Но ay / (А') > ^ У (А) V У (^') = / (Л V А') = у (Р) = /. Итак, F) у (А1) = а', если Л = 5 (а). Взаимно заменяя a = (а')' и а', получаем, что а = у ([5 (а') ]')> т. е. а является объединением точек р (j [5 (а')]'. Таким обра- образом, а будет объединением множества А всех точек р < а. Это х) Такие решетки называются атомными. Огасэвара и Сасаки доказали эту теорему Биркгофа — Уорда, не предполагая полноты решетки (О g а s а w а- г а Т., Sasaki U. — J. Sci. Hiroshima Univ., Ser. A, 1949, 14, p. 13). — Прим. перев. доказывает, что j (S (a)) = а для всех a (j L. Следовательно, согласно E), соответствия а -> S (а) и 5 ^-/E) будут взаимно обратными изоморфизмами между решетками L и 2°(р). Следствие. Любая конечная решетка с единственными дополнениями является булевой решеткой. Используя понятие «свободной алгебры» (глава VI), Дилуорс доказалг), что любая решетка является подрешеткой решетки с единственными дополнениями. Отсюда следует, что решетки с единственными дополнениями не обязаны быть ни дистрибутив- дистрибутивными, ни даже модулярными. Упражнения ^ 1. Покажите, что во всякой решетке с единственными дополнениями (а')' = = а. 2. Покажите, что- любая модулярная решетка с единственными дополне- дополнениями является булевой решеткой. (См. § III.7.) 3. Покажите, что полная атомно порожденная решетка L тогда и только тогда является булевой решеткой, когда каждый элемент в L имеет единственное дополнение. 4. Покажите, что полная булева решетка является атомно порожденной тогда и только тогда, когда она вполне дистрибутивна. 7. Полярности Теперь опишем важную конструкцию, которая позволяет полу- получить из произвольного бинарного отношения два взаимно обрат- обратных дуальных изоморфизма. Они называются «полярностями», поскольку обобщают дуальный изоморфизм между «полярами» в аналитической геометрии 2) (см. далее пример 4). Пусть р — некоторое бинарное отношение между элементами двух классов / и'7. Для любых подмножеств X а I и У a J определим X* a J («поляра» для X) как множество всех у (j J таких, что хру для всех х ? X, и определим Y* а I («поляра» для Y) как множество всех х ? / таких, что хру для всех у ? Y'. Очевидна следующая Лемма. Для любого бинарного отношения р G) если X с= Хи то X* гэ Х\\ (Г) если Y с= У,, то Y+ гэ Y\\ (8) X с (Х*)+ и Y c= (Y+)*. Следствие. В условиях леммы (9) ((Х*)+)* = X* и (((Г)+)*)+ = Y+. J) D i I w о г t h R. P. — Trans. AMS, 1945, 57, p. 123—154. — Прим- перев. 2) Эта конструкция была, по-видимому, впервые описана в общем виде в [LT1, § 32].
164 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ Доказательство. Согласно (8) имеем X* с= ((Х*)+)* и X cz (X*)*, откуда вследствие G) X* гэ ((Х*)+)*. Доказатель- Доказательство равенства ((Y+)*)+ = Y+ проводится аналогично. Теорема 19. Операции X -у (Х*)+ и Y -*¦ (У4)* являются операциями замыкания. Соответствия X ->¦ X* и Y -*Y+ опре- определяют дуальный изоморфизм между полными решетками «за- «замкнутых» подмножеств множеств I и J. Доказательство. Условие С1 следует из (8), С2 — из (9) и СЗ — из G)—G'). Согласно (9) замкнутые подмножества в / и / суть те, которые имеют вид У+ и X* соответственно. Также вследствие (9) соответствия Y+ -> (Y+)* и X* -у (Х*)+ взаимно обратны; значит, они являются взаимно однозначными отображе- отображениями «на», обращающими согласно G)—G') включение. Пример 2. Пусть / = J — некоторое кольцо и хру озна- означает, что ху = О. Тогда каждое X* является правым идеалом, а каждое Х+ — левым идеалом. Пример 3. Пусть / — некоторое поле или тело и J — не- некоторая конечная группа автоморфизмов а этого /. Если положим яра тогда и только тогда, когда а (х) = х, то получим хорошо известный дуальный изоморфизм между решеткой подгрупп группы J и решеткой подполей в /. Имеются и другие важные примеры, где / = /, а бинарное отношение р симметрично. Пример 4. Пусть А = || ati || — некоторая симметричная невырожденная п X п-матрица. Для двух векторов I = (х0, ..., хп) и т| = (#о. •••> Уп) проективного «-пространства / пусть ?рт} озна- означает, что сумма Q (?, у\) = 2 Xia^yj = О. Замкнутыми подмно- подмножествами множества / тогда будут точки, линии, плоскости и дру- другие подпространства; если X — такое подпространство, то, X* — его поляра относительно Q в смысле классической геометрии *). ПослеДним из рассмотренных примеров навеян следующий общий результат. Следствие. Если I = J и отношение р симметрично, то X* = X* ив полной решетке замкнутых (т. е. таких, что X = (X*)*) множеств соответствие X -*Х* является инволю- инволюцией, т. е. для замкнутых множеств X, Y будет A0) (Л"*)* = X; A1) (X Л Y)* = X* V Y*, (X V Y)* = X* д Y*. Если р антирефлексивно (т. е. если хрх не имеет места ни для какого х) или если хрх влечет хру для всех у, то A2) X ^ X* = 0 и X \J X* = I. 1)Ч етвер ухин Н. Ф. Проективная геометрия.—М.: Учпедгиз, 1953. — Прим. ред. 8. СВЯЗИ ГАЛУА 165 Доказательство. Так как X* — Х+, то A0) следует из (9), A1) — из теоремы 19: дуальный изоморфизм взаимно заменяет объединения и пересечения, а'A2) оставляем читателю. Пример 5. Пусть / — группа и хру означает, что ху = ух. Тогда A0)—A1) выполняются, каждое замкнутое множество является подгруппой, а соответствие X -*¦ X* сопоставляет каж- каждой подгруппе ее «централизатор». Пример 6. Пусть / — некоторый класс и хру означает, что хфу. Тогда выполняются условия A0)—A2), все подмно- подмножества замкнуты, а инволюция X -> X* отображает каждое подмножество на его теоретико-множественное дополнение. Пример 7. Пусть / — декартово л-пространство и хру означает, что х _L у (х ортогонален с у). Тогда A0)—A2) выпол- выполняются, «замкнутыми» подмножествами будут подпространства, а инволюция сопоставляет каждому подпространству его ортого- ортогональное дополнение (это частный случай примера 4). Заметим, что X д X* содержит только такие элементы х, что хрх, и следо- следовательно, это будет пустое множество 0 в примере 6 и начало координат в примере 7. Пример 8. Пусть F — некоторое множество функций / (х) = f (хг, ..., хп) из R? в R. Пусть fpx означает, что / (х) = О. Тогда в число «замкнутых» множеств в R", определяемых получа- получающейся полярностью, входят многие семейства множеств, игра- играющие важную роль в геометрии (см. упр. 7 ниже и § IV.3). 8. Связи Галуа Предыдущие результаты могут быть следующим образом об- обобщены на случай произвольных у-множеств г). Определение. Пусть Р, Q — некоторые у-множества и пусть х -ух*, у ->-гЛ будут такими соответствиями ф: Р -v Q и i{>: Q -*-Р, что A3) если х < х\, то х* ^ х*\ A3') если у <. уи то у+ ^ yt; A4) х < (**)+ и у <: (г/+)*. Говорят, что эти соответствия х -* х* и у -*у+ определяют связь Галуа между Р и Q. Доказательства из § 7 равенств (9) и того факта, что соответ- соответствия х -у (х*)+ и у -у (у+)* являются операциями замыкания, если Р и Q — полные решетки, проходят без изменения. Известно также, что связи Галуа определяются условием: Ъ < а* тогда и только тогда, когда а < Ь+ (Ю. Шмидт). 1) См. работы Ope (Ore О. — Trans. AMS, 1944, 55, р. 494—513), Эверета (Everett С. J.— Trans. AMS, 1944, 55, p. 514—525), Пиккерта (Р i c- k е г t G. — Arch. Math., 1962, 29, p. 505—514).
166 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ Применением теорем 1—2 получается Теорема 20. Связь Галуа х -*¦ х*, у -*¦ у+ между двумя полными решетками L и М определяет дуальный изоморфизм между полными решетками S и Т «замкнутых» подмножеств в L и М. Другие результаты § 7 также обобщаются на случай произ- произвольных связей Галуа. Так, если L = М и ф = "ф, получается A1). Эверет *) показал, что все связи Галуа между вполне дистри- дистрибутивными (полными) решетками L = 2s и М = 2Т могут быть получены из подходящих полярностей. Условия, при которых связи Галуа между другими полными решетками имеют аналогич- аналогичные свойства, обнаружил Рейни. Псевдодополнения в полурешетках2). Хотя большинство свя- связей Галуа возникает из полярностей, и следовательно, устанавли- устанавливается между решетками множеств, достаточное число их есте- естественно появляется и в других решетках. Пусть, например, 5 будет Л-полурешеткой с О, в которой каждый элемент а имеет псевдодополнение — такой элемент а*, что а д х = О тогда и только тогда, когда х <: а*. Другими словами, мы предполагаем, что для любого а ? 5 множество элементов, дизъюнктных с а, имеет наибольший элемент а* (который, понятно, однозначно определен). Любая булева решетка является такой полурешеткой «с псевдодополнениями» (см. § П.9); другие примеры будут при- приведены в следующем разделе. Таким образом, по определению, A5) а д а* = О. Далее, О А х = О для всех х ? 5, откуда О* ^ х для всех х ? 5: каждая такая полурешетка 5 имеет универсальную верх- верхнюю грань О*. Так как из а <: Ь следует, что а /\Ь* < Ъ д 6* = О, то A6) если а < Ь, то Ь* < а*. Поскольку а* д а = О, то а < (а*)*. Все вместе дает следу- следующий результат. Лемма. В Л -полурешетке с псевдодополнениями операция взятия псевдодополнения определяет симметричную связь Галуа. Упражнения к §§ 7—8 1. Покажите, что для любых элементов а, Ъ произвольной решетки L соот- соответствия х —> х\/ any—> у Л Ь определяют двойственную по отношению к связи Галуа связь между решетками [а /\Ь, Ь] и [а, а\/ Ь]. l) Everett С. J. —Trans. AMS, 1944, 55, р. 514—525. Результаты Рейни (Raney G. N.) см. в Trans. AMS, I960, 97, p. 418—426. С этим связаны и результаты Аумана (A u m a n n G.-S.-B. Bayer. Akad. Wiss., 1955, p. 281 — 284) и Райта (Wright E. F. — Pacif. J. Math., 1960, 10, p. 723—730). a) См. работы Фринка (F г i n k O. — Duke Math. J., 1962, 29, p. 505— 514) и Нимица (N e m i t z W. С — Trans. AMS, 1965, 115, p. 128—142). 9. ПОПОЛНЕНИЕ СЕЧЕНИЯМИ 167 2. Пусть р — некоторое бинарное отношение. Расширим систему обозначе- обозначений § 7, обозначая через X f| Хг и X \J Хг соответственно теоретико-множе- теоретико-множественное пересечение и объединение. Покажите, что для любых замкнутых мно- множеств X = (Х*)+ и Xi = (Х{)+ будет X Д *i - X П Хъ но X V Xt = ((X [] U Xi)*)+ — (X* Л Х\)* >Х[|^в общем случае (Леви). 3. Пусть V — действительное векторное пространство и У* — сопряженное ему. Положим xpf тогда и только тогда, когда |/(±х)|^;1. Покажите, что полярой симметричного выпуклого «единичного шара» в V будет сопряженный единичный шар в V*. 4. Пусть / — некоторая конечная абелева группа, J — группа ее характе- характеров, а арх означает, что % (а) = О (здесь а ? /, / ? J). (а) Покажите, что «замкнутыми» подмножествами в / и / являются их подгруппы. (б) Выведите, что решетка подгрупп группы / дуально изоморфна решетке подгрупп группы J. (в) Докажите, что решетка подгрупп группы / самодвойственна. 5. (а) Пусть хру означает, что х±у в гильбертовом пространстве. Пока- Покажите, что полная решетка замкнутых подпространств гильбертова пространства самодвойственна. (б) Пусть / — какое-нибудь банахово пространство, a J — пространство его линейных функционалов. Пусть хрХ для х ? I, % ? J означает, что Я. (х) = = О. Покажите, что решетки слабо замкнутых подпространств в / и J дуально изоморфны. *6. Пусть Мп — класс всех комплексных п х n-матриц, а АрВ, где А, В ? Мп, означает, что АВ = В А. Используя теорему Фробениуса — Берн- сайда — Шура, выясните, как теорема 19 применяется в этой специализации примера 2. 7. В примере 8 дайте описание элементов решетки конфигураций для слу- случаев, когда F состоит из: (а) всех линейных функций; (б) всех аффинных функ- функций; (в) всех однородных квадратичных функций; (г) всех квадратичных функ- функций; (д) всех полиномиальных функций; (*е) всех аналитических функций. 8. Пусть Q—множество всех изотонных отображений х—> ш (х) полной решетки L в себя. Пусть, по определению, хрсо означает, что <в (х) ^ х. (а) Покажите, что если X С L, то X* — подполугруппа в Q, и если 2 С С й, то 2+ является полной решеткой. (б) Покажите, что если Ха €: 2+ для всех а, то П^а 6 2+. 9. Пусть р — некоторое бинарное отношение между элементами полных решеток L и М такое, что: (i) из хру и ts^.x, и ssiy следует, что tpu; (ii) если ХаРУ$ Для всех а, Р, то (Vxa) p (V(/p). Для любых х 6 L и у ? М через Y (х) и X (у) обозначим соответственно множество (/р ? М таких, что хру$, и множе- множество ха ? L таких, что хару. Покажите, что функции х—у sup Y {х) и у—*- —*¦ sup X (у) определяют связь Галуа. 9. Пополнение сечениями Пусть Р — некоторое у-множество и пусть хру (х, у ? Р) означает, что х < у в Р. Тогда, в обозначениях § 7, X* предста- представляет собой множество верхних граней, аХ* — множество ниж- нижних граней для X, и следовательно, (Х*)+ является множеством всех нижних граней множества всех верхних граней множества X. В частности, если х — какой-то элемент у-множества Р, то х* — это множество всех и > х, а (х*)+ — главный идеал, со- состоящий из элементов t <: х. Значит, если х > у, то (х*)+ > > (у*)+. Далее, если а = inf X, то t < а тогда и только тогда, когда t < х для всех х ? X, т. е. когда (а*)+ совпадает с пере-
168 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ 9. ПОПОЛНЕНИЕ СЕЧЕНИЯМИ 169 сечением множеств (х*)+, х ? X. Это доказывает следующую теорему о представлении. Теорема 21. Всякое у-множество Р допускает изоморфизм на некоторое семейство ф (Р) подмножеств множества Р, при -. котором точные нижние грани в Р (когда они существуют) пере- переходят в теоретико-множественные пересечения. Следствие. Отношение включения на множествах пол- полностью характеризуется постулатами Р1 — РЗ (см. §1.1). Модификация предыдущего доказательства показывает, что * знаменитое дедекиндово построение действительных чисел «се- «сечениями» на самом деле применимо к любому у-множеству. ' Теорема 22 (Макнил г)). Всякое у-множество Р может \ быть вложено в полную решетку L таким образом, что порядок сохраняется вместе со всеми точными гранями, существующими в Р. Доказательство. Если Р не имеет наименьшего элемента, присоединим к этому у-множеству О. Пусть теперь L состоит из всех непустых «замкнутых» подмножеств X = (Х*)+ из Р; по теореме 19 L будет полной решеткой. В силу теоремы 21 соответствие а -*¦ (а*)+ вкладывает Р в L с сохранением порядка и точных нижних граней; напомним, что (а*)+ — это главный идеал — совокупность всех х <. а в Р. Пусть а = sup X в Р. Для Т с= L, согласно (9), (Т*)+ гэ (Х*)+ в L тогда и только тогда, когда Т* с X*. Но X* = а* по определению точной верхней грани. Значит, (Г*)+ :э (Х*)+ тогда и только тогда, когда Т* а - с: а*, или, вследствие G), тогда и только тогда, когда (Т*)+ гэ zd (а*)+. Таким образом, (а*)+ является точной верхней гранью для (Х*)+ в L, и значит, точные верхние грани ; сохраняются. Заметим, что если L — решетка и X — некоторое ее подмно- подмножество, тр (Х*)+ является идеалом. Действительно, если а, Ъ ? ? (Х*)+, то поскольку а < у, Ь < у для любого у ? X*, то а у V Ь < у для всех у ? X*, и значит, а у Ь ? (X*)*. Далее, из t <: а ? (Х*)+ очевидным образом следует, что t (j (X*)+. Это узаконивает следующую терминологию. Определение. Замкнутым идеалом у-множества Р называется такое подмножество множества Р, которое включает в себя множество (на самом деле, состоит из) всех нижних граней ; множества всех своих верхних граней. Теорема 23. Решетка L полна тогда и только тогда, когда каждый ее замкнутый идеал является главным идеалом. Доказательство. Пусть каждый замкнутый идеал в L является главным, и X cr L. Тогда идеал (Х*)+ замкнут со- согласно (9) и, следовательно, будет главным идеалом, определя- определяемым некоторым а ? L. Вследствие (8), X с= (Х*)+, так что х <: а для всех х ? X, а так как а ? (Х*)+, то а < Ь для любой верх- верхней грани Ъ множества X, поскольку Ь ?' X*. Поэтому а = sup X, и значит, L полна. Обратно, пусть решетка L полна. Если / — замкнутый идеал: / = (J*)+, то пусть а = sup J. Тогда а = inf У*. Если х ? J, то х < а, а если *«а, то х ? (J*)+ = J¦ Значит, / является главным идеалом, определяемым элементом а. Условная полнота. Докажем один специальный вариант тео- теоремы 22, который потребуется нам в главе XV. Следствие. Условное пополнение D# непустыми сече- сечениями бинаправленного 1) множества D является условно полной решеткой. Доказательство. Очевидно, что D# получается из D — пополнения сечениями у-множества D — исключением эле- элементов О и /, если они существуют в D. Значит, D* всегда будет условно полным у-множеством. Если D бинаправлено и а, Ъ принадлежат D*, то можно найти и, v ? D такие, что главные идеалы в D, состоящие из элементов х < и и из элементов у <: и, оба будут содержать нижние части «сечений», определяющих а и Ь. Поэтому D* также направлено и, следовательно (будучи условно полным), является \/"полУРешеткой- Доказательство завершается обращением к принципу двойственности. Пример 9. Рассмотрим модулярную орторешетку М (§) всех замкнутых подпространств гильбертова пространства \, которые имеют конечную размерность или коразмерность. Тогда пополнение этой решетки сечениями изоморфно немодулярной (слабо ортомодулярной) решетке L (§) всех замкнутых подпро- подпространств пространства ф (пример 9, § 11.14). Сопоставление с идеальным пополнением. Интересно сопоста- сопоставить пополнение сечениями (или «нормальное» пополнение) с иде- идеальным пополнением L -у L из § 2. В то время, как последнее сохраняет модулярный и дистрибутивный законы (если они имеют место в L), пример 9 показывает, что это уже не будет верным для пополнения сечениями. С другой стороны, конструкция пополнения сечениями имеет то преимущество, что она самодвойственна, а для идеального пополнения это не так. Кроме того, как будет показано в § 11, пополнение сечениями булевой алгебры есть снова булева алгебра, в то время как для идеального пополнения это неверно. Другие методы пополнения будут рассмотрены в главе X («метрическое пополнение») и в главе XV. ^Первоначальное доказательство см. в работе Макнила [1]. Некоторые обобщения получил Брунс (В г u n s G. — J. reine angew. Math., 1962, 209, p. 167-200). x) У-множество называется бинаправленным, если любые два его элемента имеют в нем верхнюю грань и нижнюю грань. — Прим. перев.
170 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ Упражнения 1. «Сегмент» у-множества определяется (Дьюси) как пересечение замкнутых интервалов. Покажите, что идеал решетки является сегментом тогда и только тогда, когда он замкнут. 2. Покажите, что замкнутые идеалы решетки L не обязательно образуют подрешетку решетки L всех идеалов решетки L. 3. Нарисуйте диаграмму пополнения сечениями у-множества Рв, изобра- изображенного на рис. 1, д в § 1.3. 4. Докажите, что условно полное бинаправленное у-множество является решеткой. 5. (а) Покажите, что если = и ^ истолковывать как изоморфизм и вложе- вложение соответственно, то операция Р—>¦ L (Р) «пополнения сечениями» имеет сле- следующие характеристические1) свойства: P^L (Р); если Р гс О, то L (Р) г? sS L «?); L (L (Р)) = L. (б) Покажите, что она самодвойственна в том смысле, что решетка L (Р) дуально изоморфна решетке L (Р). 6. Пусть R = (—сю, +оо) — действительная ось с ее естественной упорядо- упорядоченностью. Покажите, что пополнение сечениями для R2 не изоморфно квадрату пополнения сечениями для R. * 7. Покажите, что Д-ширина и размерность сохраняются при пополнении сечениями. * 8. Покажите, что пополнение сечениями модулярной орторешетки (с до- дополнениями) всех подпространств гильбертова пространства, имеющих конеч- конечную размерность или коразмерность, не модулярно. * 9. Покажите, что если А — полная булева решетка и J — идеал в Л, то ре- решетка A/J полна тогда и только тогда, когда полна решетка J/J (Двингер). * 10. Постройте дистрибутивную решетку L, которая не может быть вложенэ «регулярно» (т. е. с сохранением всех точных граней, существующих в L) ни в какую полную дистрибутивную решетку 2). 10. Полные брауэровы решетки Брауэровы решетки были определены в § 11.11 как решетки, в которых любые два элемента а, Ь имеют «относительное псевдо- псевдодополнение» Ь: а — наибольший элемент х со свойством а д х < < Ъ. Теперь мы охарактеризуем класс полных брауэровых реше- решеток с другой точки зрения. Теорема 24. Полная решетка является брауэровой тогда и только тогда, когда операция объединения в ней вполне дистри- дистрибутивна относительно пересечения, т. е. когда в ней L6* а Д V ха = V (а д ха) для любого множества \ха\. Доказательство. Если L — полная брауэрова ре- решетка, то пусть для произвольного множества {л:а} будет Ъ = V д а Ъ для всех а; значит, каждый ха < b : а, так что Vха <: Ь : а. у р {а} = V (а /\ ха). По определению точной верхней грани а д ха ; , д а < а, так что V Подстановкой в тождество а /\ (Ь : а) а b получаем, что а д *) Биркгоф (В i r k n о f f G. — Ann. Math., 1937, 38, p. 57—60). 2) Кроули (С r a w 1 e у P. — Proc. AMS, 1962, 13, p. 748—752). 11». ТЕОРЕМА ГЛИВЕНКО 171 д Via< Ь = У(ад ха). Объединяя это с дистрибутивным не- неравенством, получаем L6*. Обратно, если даны элементы а, Ь некоторой полной решетки В, удовлетворяющей условию L6*, то пусть X = X (а, Ь) обозначает множество всех элементов ха из В таких, что а д ха < Ь, и пусть Ь : а = V ха. Тогда со- X гласно L6* будет а д (Ь : а) = а д V ха = V (а А ха) < Ъ. Л Значит, b : а ? X и, следовательно, X имеет наибольший эле- элемент. Ясно, что а А х < b тогда и только тогда, когда х <: b : a. Таким образом, b : а и есть искомое относительное псевдодопол- псевдодополнение. Решетка L брауэрова, что и требовалось доказать. В качестве следствия получается, что всякое U -кольцо мно- множеств является полной брауэровой решеткой, так как операци- операциями, участвующими в L6*, в данном случае будут теоретико- множественные объединение и (бинарное) пересечение. Отсюда вытекает, что открытые множества в любом топологическом про- пространстве (§ 4) образуют полную брауэрову решетку. В теореме VI.9 будет показано, что конгруэнции на любой решетке также образуют полную брауэрову решетку. Теорема 25 (Стоун). Идеалы любой дистрибутивной решетки L образуют полную брауэрову решетку. Доказательство. Как было показано в § 2, идеалы любой решетки образуют полную решетку. Значит, достаточно доказать, что для любых двух идеалов А я В решетки L суще- существует относительное псевдодополнение В : А. Но элементы с ? ? L, для которых а А с ? В при любом а ? А, образуют именно такой идеал С = В : А. Действительно, (i) из А д X а В и х ? ? X следует, что для любого а ? А будет а д х ? В, откуда X с С; а с другой стороны, (И) из адс<&иадс1<& сле- следует, что а а (с V ci) < (° Л с) V (« Л ci) < fc. и значит, С —т идеал. 11*. Теорема Гливенко Лемма, доказанная в конце § 8, показывает, что для любого фиксированного элемента с брауэровой решетки L функция A7) /с: а^с:а = а° определяет симметричную связь Галуа на решетке L. Тогда а < асс; ас = ассс; если а < Ь, то ас s& bc; (lo) (a\/by = ас Л Ьс и (а Д Ь)с ^ас\/ Ьс. Множество «замкнутых» элементов, т. е. таких, что а = асс, об- образует полную решетку С с новой бинарной операцией а V b = = (a v b)cc B качестве объединения, в то время как пере-
172 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ сечения будут такими же, как в L. Теперь докажем менее очевид- очевидный факт. Лемма. Во всякой брауэровой решетке A9) (а Д Ь)с = ас V Ь°'. Доказательство. Определяя ас как с : а, очевидно, получим а д а0 < с для всех а ? L. Заменяя а на ас, имеем B0) ас д а" < с для всех а ? L. Теперь предположим, что х/\а/\Ь^.свЬ, и возьмем у = = х /\ асс /\ Ьсс. Ясно, что у < х, откуда у д а д & < с, что влечет в свою очередь неравенство у д а < с : b = bc. Но У Л д а < у < &сс по определению г/; значит, согласно B0) г/ Л а < < 6е д &сс < с. Отсюда следует, что г/ < с : а = ас. Но (/ < йи по определению и, следовательно, у < ас д асс <: с ввиду B0). Итак, если х д а д b < с, то л: д асе Л &ес < с, или (а Л &)с < < (асс д &<*)«. Обратное неравенство очевидно, и значит, всегда (а д Ь)с = (асс д &")«. С другой стороны, (ас д &с)с = асс д Ьсс, так что (а Д Ь)с = (асс Д Ьсс'у = ((ас V Ьс)с)с = ас V &с, чем и завершается доказательство леммы. Полагая с = 0, мы в полученном результате должны заменить ас на а*. В этом случае, поскольку (а у а*)* = а* д а** = О и а у й* = О* = /, будет B1) а д а* = О и а V а* = /• Следовательно, замкнутые элементы образуют булеву решетку. Из этого факта получается первое утверждение следующей замечательной теоремы, по существу принадлежащей Гливенко. Теорема 26. Если L — брауэрова решетка, то соответ- соответствие а ->»а** является операцией замыкания на L и гомоморфиз- гомоморфизмом решетки L на (полную) булеву решетку С всех ее «замкнутых» элементов. При этом а** — Ь** тогда и только тогда, когда а д d = b д d для некоторого «плотного» d (j L, т. е. такого, что d** = /. Чтобы доказать второе утверждение, предположим, что а д д d = b д d, где d** = I. Тогда а** = а** д / = а** д d** = (а д d)**. Аналогично &** = (Ъ д d)**. Но а /\ d = b /\ d, так что а** = &**. Обратно, пусть а** = &**. Положим d = (а у Ь*) /\ /\(а* у Ь). Тогда d** = (a** v &*) Д (а* V &**) = (/?** V как было показано раньше. Далее, Л (а* V а**) = /, Л d = а д (а \/ Ь*) Д (о* у Ь) = а д (а* у &) = = (а д а*) у (а Л ь) = а Л &- II». ТЕОРЕМА ГЛИВЕНКО 173 Аналогично b /\ d = а /\ Ь, откуда а д d — b д d, чем и за- завершается доказательство. По теореме 26 булева решетка С полна, если полной является решетка L. Полученный результат можно применить к полной булевой решетке L (А) всех идеалов данной булевой алгебры А. В этом случае а д х' = О для всех х ? X (где X — произвольное под- подмножество алгебры А) тогда и только тогда, когда а <. х для всех х ? X, т. е. тогда и только тогда, когда а принадлежит замкну' тому идеалу, состоящему из всех нижних граней множества X (см. § 10). Из этого результата получается Теорема 27 (Гливенко — Стоун) х). Пополнение сечениями С (А) любой булевой алгебры А является булевой алгеброй; при этом соответствие J -*¦ J** отображает решетку А всех идеалов алгебры А на булеву решетку С (А). Доказательство. Мы только что показали, что за- замкнутые элементы в L (А) соответствуют замкнутым идеалам булевой алгебры А, и J с К в L (А) означает, что J < К в по- пополнении алгебры А сечениями. Значит, булева алгебра С из теоремы 26 изоморфна С (А) и функция J -*¦ J** является ре- решеточным гомоморфизмом. Ч. т. д. Стоуновы решетки. Нетрудно доказать2), что следующие усло- условия равносильны в любой брауэровой решетке: (i) а* у а** — I для всех а; (И) а* у Ь* — (а /\ Ь)* для всех а, b\ (Hi) булева алгебра всех замкнутых элементов является подрешеткой; (iv) каждый элемент а* (а ? L) имеет дополнение. Брауэрова решетка, которая удовлетворяет какому-нибудь одному (и значит, каждому) из условий (i)—(iv), называется «стоуновой решеткой». Известно, что решетка всех идеалов любой полной булевой алгебры (тоже стоуновой решетки!) сама яв- является стоуновой решеткой. Упражнения к §§10—11 1 8). В каждой из двух недистрибутивных пятиэлементных решеток укажите пару а, Ь такую, что а : Ь не существует. 2. Покажите, что немодулярная решетка N6 и все ее подрешетки-интервалы обладают псевдодополнениями, но N6 не является решеткой с относительными псевдодополнениями. *) G 1 i v e n к о V. — Bull. Acad. Sci. Belgique, 1929, 15, p. 183—188; Stone M. H. [3], Монтейро (Monteiro A.) — Revista Union. Mat. Argentina, 1955, 17, p. 149—160. ?) Ф р и н к (Frink O.) — Duke Math. J., 1962, 29, p. 505—514; В а р л е (Varlet J.) —Mem. Soc. Roy. Sci. Liege, 1963, 8, p. 1—71. Стоуновы ре- решетки впервые специально изучались Гретцером и Шмидтом (G г a t z e r G., Schmidt E. Т. — Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1957, 8, p. 455—460). *) Задания 1, 4 и 5 (а) повторяют соответственно упр. 10, 14 и 12 к § 11.11. — Прим.перев.
174 ГЛ. V. ПОЛНЫЕ РЕШЕТКИ 3. В решетке найдите все элементы а и Ь такие, что (а Д Ь)* = а* V Ь*. 4. Покажите, что брауэрова решетка является булевой алгеброй, если в ней (i) (**)* = х для всех х, или если (п) х /\х* = О для всех х. 5. (а) Докажите, что каждая цепь является брауэровой решеткой. (б) Постройте решетку с относительными дополнениями, которая не была бы решеткой с относительными псевдодополнениями. 6. Покажите, что любая дистрибутивная решетка изоморфна подрешетке решетки с относительными псевдодополнениями. *7. Покажите, что брауэрова решетка будет стоуновой решеткой тогда и только тогда, когда любые два ее различные минимальные простые идеала яв- являются взаимно простыми (т. е. когда их объединение совпадает со своей решет- решеткой) (Гретцер и Шмидт). г) ПРОБЛЕМЫ (см. также главу IX) 31. Описать с точностью до изоморфизма (нётерову2)) ре- решетку всех алгебраических многообразий в аффинном и проектив- проективном л-пространстве: (а) над полем комплексных чисел; (б) над полем действительных чисел; (в) над полем рациональных чисел; (г) над произвольным полем. 32. Описать класс (полных) решеток, все решеточно-гомо- морфные образы которых полны. 33. Что можно сказать о полных дистрибутивных решетках, которые удовлетворяют обоим законам B) (т. е. являются брау- эровыми и дуально брауэровыми)? Какие из них счетны? 3) 34. Является ли центр любой полной решетки ее выпуклой подрешеткой (Холанд)? 4) 35. Является ли пополнение сечениями любой решетки с един- единственными дополнениями решеткой с единственными дополне- дополнениями (Уотермен)? i 36. Является ли пополнение сечениями любой ортомодуляр- ной решетки ортомодулярной решеткой (Ремси)? 5) 37. Существует ли нетривиальная полная булева алгебра, которая не имеет собственных автоморфизмов (Ионссон)? 6) !) Решение проблемы 70 из [LT2]. — Прим. перев. 2) См. § VII 1.1. — Прим. перев. 3) О связанной с этой проблеме см. работы Рейни (R a n е у G. — Ргос. AMS, 1953, 4, р. 518—522; Trans. AMS, 1960, 97, р. 418—426). 4) По поводу проблемы 34 см. теорему XI.14'. [Отрицательный ответ на этот вопрос дал Якубик (Jakubi k J. —Czechosl. Math. J., 1973, 23, p. 125— 138). — Прим. перев.] 8) Отрицательный ответ на этот вопрос дал Адаме (Adams D. Н. — Bull. Austral. Math. Soc, 1969, 1, № 2, p. 279—280). — Прим. перев. •) Модель теории множеств, в которой такая булева алгебра существует, построил Макалун (М с А 1 о о п К. — Ann. Math. Log., 1971, 2, № 4, p. 449— 467). — Прим. перев. ГЛАВА VI УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА 1. Алгебра «Универсальная алгебра» устанавливает общие теоремы об алгебрах с однозначными, всюду определенными, конечноме- стными операциями. Основное понятие может быть введено сле- следующим образом 1). Определение. Алгеброй А называется пара E, F), где S — непустое множество элементов, a F —• заданное множе- множество операций fa, каждая из которых отображает степень Sn (<x) множества 5 в S, где л (а) — некоторое подходящее неотрица- неотрицательное конечное целое число. Другими словами, операция /а соотносит каждому упоря- упорядоченному'набору (хъ ..., хп(а)) из л (а) элементов множества 5 значение fa (xlt ..., *n(<*>)> принадлежащее 5, — результат применения операции fa к последовательности xlt ..., xnW. Если п (а) = 1, операция fa называется унарной, если п (а) = 2 — бинарной, при л (а) = 3 — тернарной и т. д. Когда л (а) = 0, операция /„ называется нульарной; она фиксирует некоторый элемент из 5 (например, в группе единицу, в решетке О или /). Пример 1. Группа 2) есть множество с одной бинарной операцией / (х, у) = ху и одной унарной операцией g {х) = лГ1, удовлетворяющими тождествам (la) / (x, f (у, z)) = f (f (х, у), z) (ассоциативный закон); A6) ! (/ (g (х), х), у) =fiy,f (g (х), х)) = у. Пример 2. Решетка есть множество с двумя бинарными операциями / (х, у) = х д у и g (х, у) = х \г у, удовлетворя- удовлетворяющими тождествам L1 — L4 главы 1: / (х, х) ¦= g (x, х) = х, f (х, у) = f {у, х) и т. д. Группы, решетки и кольца дают примеры типовых классов алгебр 3): предполагается, что все алгебры такого класса имеют одно и то же множество операций (и удовлетворяют некоторому заданному множеству постулатов). Такие классы алгебр будут изучаться ниже в §§ 6—12, а пока мы рассматриваем их только как источники примеров индивидуальных алгебр. х) Биркгоф ([1], [3] и Ргос. I Canad. Math. Congress, 1945, p. 310—326). 2) Другие, эквивалентные определения группы приведены ниже в § 12. 3) В оригинале «family». В последующих параграфах это слово означает у ав- автора «многообразие». — Прим. перев.
176 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА Пример 3. Векторное пространство над телом D есть мно- множество с одной бинарной операцией / (х, у) = х + у и с заданной для каждого X ? D унарной операцией /^ (х) = Хх, называемой умножением (слева) на X. Предполагается, что эти операции удовлетворяют определенным коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным законам (X а л м о ш П. Конечномерные век- векторные пространства.—М.: Физматгиз, 1963). Заметим, что в примере 3 число различных операций, как правило, бесконечно, — эта возможность допускается нашим опре- определением алгебры. Заметим также, что множество операций здесь зависит от D, поэтому класс всех векторных пространств (с не- нефиксированным D) не будет типовым классом алгебр. Пример 4. Если рассматривать поле как множество 5 с двумя бинарными операциями + и • и двумя унарными опера- операциями х ->¦ —х и х -> лГ1, то оно не является алгеброй в нашем смысле, поскольку О не определено. Мы можем, конечно, превра- превратить поле в алгебру, полагая О = 0, но тогда придется пожертво- пожертвовать таким важным тождеством, как (хх'1) у — у. Пример 5. а-решетка, определяемая как множество, за- 00 ОО мкнутое относительно двух счетноместных операций Д xku V xh, подчиненных определенным тождествам, также не будет абстракт- абстрактной алгеброй, поскольку эти операции не являются конечноме- стными: они применяются к бесконечным совокупностям эле- элементов. Целый ряд результатов универсальной алгебры можно пере- перенести на множества с бесконечноместными операциями («бес- конечноместные алгебры») и на случай не всюду определенных операций («частичные алгебры»). Например, многие топологи- топологические пространства можно рассматривать (глава IX) как мно- множества, снабженные единственной операцией «сходимости» хп -> х. Определения подалгебры, гомоморфизма и прямого произведения, которые будут даны ниже, переходят здесь в понятия замкнутого подпространства, непрерывного отображения и декартова произ- произведения соответственно. Но мы не будем обсуждать эти возмож- возможности. Универсальная алгебра лежит где-то между математикой и математической логикой. Некоторые ее результаты являются «теоремами о теоремах» и в этом смысле относятся к метаматема- метаматематике. Мы сосредоточимся на математических аспектах универсаль- универсальной алгебры, отсылая читателя по вопросам, связанным с мета- метаматематикой, к соответствующей литературе 1). х) Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. — М.: Наука, 1967; Т а р о к и й (Tarski А.) — Ргос. Intern. Congr. Math. Cambridge, 1950, 1, p. 705—720; Кон [1 ]. [См. также Мальцев А. И. Алгебраические системы. —М.: Наука, 1970. —Прим. ред.] 2. ПОДАЛГЕБРЫ 177 2. Подалгебры Подалгеброй абстрактной алгебры А = E, F) называется (возможно и пустое')) подмножество Т множества 5, которое замкнуто относительно операций из F, т. е. F-замкнуто. Таким образом, мы требуем для /а ? F и хъ ..., хп (а) ? Т, чтобы /а {хи ... •¦•>*л(а)) 6 Т2). Пара (Т, F) оказывается тогда абстрактной алгеброй. Очевидно, что если (Т, F) — подалгебра в (S, F) и (U, F) — подалгебра в (Т, F), то (U, F) будет подалгеброй в E, F). Применяя это определение к примерам 1—3, получаем поня- понятия подгруппы, подрешетки и (векторного) подпространства соот- соответственно. Заметим, что в подпространстве О «различные» опера- операции умножения на число совпадают как функции. С другой сто- стороны, «одна и та же» операция определяет «различные» функции (с различными областями определения и областями изменения), будучи ограниченной на те или иные подалгебры. С точки зре- зрения алгебраических вопросов удобнее принять используемое ниже соглашение, чем применять стандартную для функций терми- терминологию (см. также § 6). Покажем теперь, что подалгебры любой абстрактной алгебры А образуют муровское семейство подмножеств множества 5 (§ V. 1). Теорема 1. Любое пересечение fl Тх подалгебр Тх алгебры А будет подалгеброй, и сама А является своей подалгеброй. В самом деле, если хи ..., хп (а) ? Тх, то хъ ..., хп (а) ? Тх для всех подалгебр Т% данного семейства, поэтому элемент /а (xlt ... ¦ ••, х,ца)) ? Тх входит во все Тх, и значит, fa (x1 дг„(в)) ? € ПТХ. Следствие. Подалгебры любой алгебры А образуют полную решетку. С другой стороны, любая решетка L изоморфна решетке L своих главных идеалов. Если L конечна, то эти идеалы будут «подалгебрами» алгебры А = (L, F) по отношению к бинарной операции a \r b и унарным операциям проекций i|)c: а -у а д с. Поэтому каждая конечная (полная) решетка изоморфна решетке всех подалгебр подходящей алгебры. Аналогичные результаты для бесконечных полных решеток выглядят не столь просто (см. § VIII.5). Пересечение Т = f|^a всех подалгебр Sa алгебры А, содер- содержащих данное подмножество Т, называется подалгеброй, по- порожденной подмножеством Т. Из теоремы 1 и результатов § V. 1 1) Если А содержит наименьшую непустую подалгебру (как например, еди- единичная подгруппа в группе), то пустое подмножество подалгеброй не считается. [Точнее, пустое множество не считается подалгеброй, если среди операций имеются 0-арные. — Прим. ред. ] 2) В частности, при п (а) = 0 это означает, что элемент, выделяемый О-арной операцией /а в алгебре (S, F), принадлежал подмножеству Т. — Прим. ред.
178 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА следует, что соответствие Т ->¦ Т является операцией замыкания на подмножествах алгебры А. Можно также определить Т рекурсивно как множество всех значений производных операций, или многочленов с аргументами из Т, причем само Т называется при этом множеством порожда- порождающих для Т. Этот подход развивается ниже в § 8. Упражнения к §§ 1—2 1. Пусть А = (S, F) — унарная алгебра, т. е. алгебра, имеющая только унарные и нульарные операции. Покажите, что X (J Y = X {J ~У для любых двух подмножеств из А, но что решетка всех подалгебр алгебры А не обяза- обязательно булева х). 2. Пусть алгебра А = (S, F) имеет только нульарные операции. Покажите, что подалгебры алгебры А образуют булеву решетку, которая является главным дуальным идеалом в решетке 2s. 3. Рассмотрите группу как алгебру G = (S, F) с единственной бинарной операцией xtf1. Получите систему аксиом, равносильную аксиомам Aа)—A6). 4. Постройте полную систему аксиом для коммутативных колец как алгебр R= (S, F) с бинарными операциями — и •. Покажите, что подалгебрами бу- будут в точности подкольца. 5. В упр. 4 добавьте к F унарные операции fa (х) = ах (трансляции) для каждого а ? S. Что будет «подалгебрами» в этом случае? 6. Перенесите результаты упр. 4—5 на линейные ассоциативные алгебры. 7. Покажите, что любая полная решетка изоморфна решетке всех под- подалгебр некоторой «бесконечноместной алгебры» (Биркгоф [1, теорема 5.1]). 3. Гомоморфизмы В §§ 3—11 мы фиксируем множество F операций fa и соответ- соответствующие числа п (а) и будем рассматривать алгебры А = (S, F) с различными 5. Такие алгебры будем называть однотипными. Наши рассуждения тогда окажутся применимыми к группам, решеткам^ кольцам, левым модулям над фиксированным коль- кольцом R и т. д. Мы начнем с понятия гомоморфизма. Определение. Пусть А = E, F) и В = (Т, F) — одно- однотипные абстрактные алгебры. Отображение ср: 5 -*¦ Т называется гомоморфизмом 2) алгебры А в алгебру В, если для всех /а (j F и xt 6 5 B) /а (*!ф, ...,*„ (а)ф) = (/а (*ь ...,*/• (а))) ф. Гомоморфизм А на В называется наложением, а взаимно одно- однозначный гомоморфизм — вложением. Изоморфизм алгебр А а В определяется как взаимно однозначный гомоморфизм алгебры А на алгебру В. Автоморфизм есть изоморфизм алгебры на себя, а эндоморфизмом называется гомоморфизм алгебры в себя. *) В оригинале очевидная описка: «не обязательно дистрибутивна». — Прим. перев. 2) Автор, использующий термин «морфизм», в этом месте делает сноску: «или, как часто говорят, гомоморфизмом». — Прим. перев. 3. ГОМОМОРФИЗМЫ 179 Если ф: А ->¦ В и ty: В ->¦ С — гомоморфизмы, то их произ- произведение фф: А -*¦ С также является гомоморфизмом, — это до- доказывается непосредственной подстановкой в B). В частности, это имеет место и для эндоморфизмов алгебры. Поскольку умно- умножение отображений ассоциативно, то справедлива Теорема 2. Эндоморфизмы любой абстрактной алгебры образуют полугруппу с единицей. Если гомоморфизм ц>: А ->¦ В взаимно однозначен, то обратное для него отображение ф также будет гомоморфизмом, поскольку (/ {хг, ..., хп)) ф = [/ (*i9"V •••. *пФ~хф)] Ф = = [/ (*i<P~\ -, ХпЦ»-1)} фф = / (*i<p-\ .... *пФ-1)- Следствие. Автоморфизмы любой абстрактной ал- алгебры А образуют группу Aut A. Можно показать, что верно и обратное: любая группа G изо- изоморфна группе всех автоморфизмов подходящей абстрактной алгебры, именно l), G s Aut L для некоторой подходящей ди- дистрибутивной решетки L. Аналогично каждая полугруппа с еди- единицей является полугруппой всех эндоморфизмов подходящей унарной алгебры, как было показано Армбрустом и Шмидтом. Теорема 3. При любом гомоморфизме ф алгебры А в ал- алгебру В, (i) если Т — подалгебра алгебры А, то ф (Т) — под- подалгебра алгебры В, и (И) если U — подалгебра в В, то ф (U) будет подалгеброй в А. Доказательство, (i) Если задана операция fa (j F и элементы уъ ...,уП(а) € Ф СП» то выберем xlt ..., хП(а) ? Т так, чтобы ф (xt) = Ух. Так как Т — подалгебра, то /„ (хи ... • ••> */i«z)) 6 Т, откуда вследствие B) /„ (уи ..., уП(а)) = fa (ф (*i). .... Ф (*»<«))) = ф(/а (*i, .... *!.(«>)) € ф (Л. чем и Доказы- Доказывается, что ф (Г) является подалгеброй. (И) Если /а^и х1г ..., хп(а) 6 Ф'1 (U), то по определению Ф все yt = ф (xt) ? U. Отсюда, ввиду B), Ф (/а (*1. • • ¦. Хп (а))) = /а (ф (*i), . . ., ф (*„ (а))) =  поскольку f/ — подалгебра. Значит, /„ {хг, ..., xnw) G Ф чем и завершается доказательство. В частности, если Т порождается k элементами хи .... хь, то Ф (Г) порождается элементами ф (х^, ..., ц> (xk). Можно расширить множество F основных операций алгебры А = E, F), добавляя к нему (i) множество Fx всех автоморфиз- автоморфизмов алгебры А, (п) множество F2 всех ее эндоморфизмов или х) Биркгоф (Birkhoff G.) — Revista Union Mat. Argentina, 1946, 11, № 4; Ф р у x т (Frucht R.) — Canad. J. Math., 1950, 2, p. 417—419; A p м- бруст и Шмидт (Armbrust M., Schmidt J.) — Math. Ann., 1964, 154, S. 70—72.
180 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА (ш) множество F3 всех эндоморфизмов алгебры Л на себя. За- Заметим, что Fx < F3 < ^2 и что F3 = ^1, если Л конечна. Под- Подалгебры алгебры Лх = E, F [} Fx) называются характеристи- характеристическими подалгебрами алгебры А (обозначение: 5 <\ А), подал- подалгебры алгебры Ла = (S, F [] F2) —вполне характеристическими подалгебрами в Л и, наконец, подалгебры алгебры Л3 == E, F U U F3) — строго характеристическими подалгебрами *) алгебры Л. Поскольку операции из Flt F2, F3 все являются унарными, то отсюда следует, что решетка характеристических, а также решетки вполне характеристических и строго характеристических под- подалгебр алгебры Л все будут замкнутыми под решетками полной решетки всех подалгебр алгебры Л. Большая часть результатов в §§ 1—3 сохраняется для частич- частичных и бесконечноместных операций. Упражнения 1. Покажите, что если алгебра А имеет единственную одноэлементную под- подалгебру, то эта подалгебра является вполне характеристической. 2. Определим ф-подалгебру М алгебры А = (S, F) как пересечение макси- максимальных собственных подалгебр алгебры А, Покажите, что М является харак- характеристической подалгеброй алгебры А (в обозначениях: М < А). 3. Покажите, что если В < А и С < В, то С < А. 4. Докажите аналоги результатов упр. 3 для вполне и строго характери- характеристических подалгебр. 5. Покажите, что в группе Dt симметрии квадрата, хотя центр Z и подгруппа вращений {R} з Z являются вполне характеристическими, {R)IZ не будет ха- характеристической подгруппой группы DJZ. 6. Покажите, что гомоморфные вложения любой алгебры в себя образуют полугруппу. 7. Пусть А — произвольная алгебра и G (А) — группа ее автоморфизмов. Исходя из отношения ару, определяемого как а= у (а) (где а ? А, у ? G (А)), при помощи полярности постройте «теорию Галуа», сопоставляя некоторым подалгебрам алгебры А подгруппы группы G (А). 4. Конгруэнции Покажем теперь, что гомоморфные образы ср (Л) абстрактной алгебры Л с точностью до изоморфизма могут быть определены рассмотрением некоторых отношений эквивалентности на Л. Напомним, что «отношение эквивалентности» — это бинарное отношение хду, также записываемое в виде х = у (mod 0), которое рефлексивно, симметрично и транзитивно. Через Л/6 будем обо- обозначать множество классов эквивалентности на Л. Определение. Конгруэнцией на алгебре Л = E, F) называется отношение эквивалентности 0 на Л такое, что для всех /а ? F, если xt = у, (mode), i = 1, ..., п (а),то/а (хи ...,дсп(в)) = = /а (Уь •¦¦Уп(а)) (mod 6) (свойство подстановки). г) Это обобщает соответствующую терминологию для подгрупп, см. у Бэра (В а е г R. — Bull. AMS, 1944, 50, р. 143—160). 4. КОНГРУЭНЦИИ 181 Теорема 4. Пусть ф — гомоморфизм алгебры А в алгебру В. Тогда отношение 6 такое, чтоxQy тогда и только тогда, когда Ф (х) = ф (у), является конгруэнцией н~а А. ¦ Доказательство. Так как отношение равенства ре- рефлексивно, симметрично и транзитивно, 0 будет отношением экви- эквивалентности. Далее, равенство B) утверждает, что если xfiyt для i = 1, ..., п (а), то /„ {хъ ..., *„«*)) = /„ (уу, ..., Уп(а)) (mod 0), т. е. что наше отношение эквивалентности является конгруэн- конгруэнцией. Обратно, имеет место Теорема 5. Пусть 0 — конгруэнция на абстрактной ал- алгебре А = (S, F) и х -> Ре (х) — отображение, сопоставляющее каждому элементу х ? S содержащий его класс эквивалентности из S/0. Тогда операции /„ на 5/6, задаваемые формулой C) U (Рв (*i), • ¦ •. ^е (*» («))) = рв (fa (*ь ••••*» «*>))- определяют алгебру В = E/0, F), однотипную с А. При этом отображение х ->¦ Рв (х) будет гомоморфизмом алгебры А на В. Доказательство. Согласно свойству подстановки, п (а)-местные функции, задаваемые формулой C), однозначны и определены для любой п (а)-системы из 5/0. Алгебра х) В из теоремы 5 будет обозначаться Л/0. Согласно C), отображение х -> Ре (х) является гомоморфизмом алгебры Л на Л/6. Обратно, если ф: Л -»• В — какое-то гомоморфное нало- наложение, то по теореме 4 элементы алгебры В будут классами экви- эквивалентности из Л/0, а ввиду B) операциями алгебры В являются операции алгебры E/6, F). Этим доказана Теорема 6. Гомоморфные образы любой абстрактной ал- алгебры А исчерпываются алгебрами Л/0, определяемыми конгруэн- циями 0 алгебры А. В случае, когда А — группа, конгруэнции на Л — это в точ- точности разбиения группы Л на классы смежности по ее нормаль- нормальным подгруппам. Если Л — кольцо, то конгруэнциями будут его разбиения на классы вычетов по идеалам. Конгруэнции абстрактной алгебры Л упорядочены как отно- отношения эквивалентности: 0 <: 6' означает, что если х = у (mod 0), то х = у (mod 0'). В у-множестве 0 (Л) всех конгруэнции ал- алгебры Л универсальные грани О и / определяются формулами D) х = у (mod О) тогда и только тогда, когда х = у, D') х = у (mod /) для всех х, у. Это тривиальные конгруэнции. х) Это фактор-алгебра алгебры А по конгруэнции 6. — Прим. перев.
182 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА Теорема 7. Пусть В = Л/0 —какой-нибудь гомоморфный образ абстрактной алгебры А. Тогда конгруэнциями на В яв- являются разбиения алгебры В, соответствующие конгруэнциям 0' ss 6 на А. Набросок доказательства. Если ф: А -*¦ В — наложение, определяемое конгруэнцией 6, и ^ — любая конгруэн- конгруэнция на В, то пусть xQ'y означает в А, что ф (х) = ф (у) (modif) в В. Тогда 9' будет на А отношением эквивалентности, удовлет- удовлетворяющим свойству подстановки, и при этом 0' ^ 0. Обратно, если 0' ^г 0 — конгруэнция на Л и utyv в В по определению озна- означает, что xQ'y для каких-то (и значит, для всех) х ? ф (и) я у ? ? Ф (и) в Л, то на В отношение if) будет отношением эквивалент- эквивалентности со свойством подстановки. Читатель, по-видимому, без особых затруднений проверит в деталях рассмотренные утверждения. Теорема 7 содержит в ка- качестве частного случая Вторую теорему об изоморфизме из теории групп *). Определим теперь трансляции алгебры Л = E, F) как унар- унарные операции, имеющие (при подходящих постоянных ct) следу- следующий вид: E) ga,c,k(x) = fa(ci, ..., ck-\, x, ck+i сп(а)), где fa ? F. Лемма. Отношение эквивалентности на алгебре А тогда и только тогда является конгруэнцией, когда оно обладает свой- свойством подстановки по отношению к любой трансляции алгебры А. Доказательство. Сформулированное условие, оче- очевидно, необходимо. Оно и достаточно, поскольку если xkQyk для k — 1, ..., п (а), то ввиду E) будет E ) /акУъ ¦ ¦ •> Уь.-Ъ xh, • • ¦> хп (а))в/а(#1> ¦ ¦ •> Уь> xk+l, ¦ ¦ ¦, хп (<Х)) для k = 1, ..., п (а) — 1, откуда в силу транзитивности fa (ХЪ • • •> хп (а)) "/а (Уъ ¦ ¦ -г Уп (а)). что и требовалось. Теорема 8. Конгруэнции произвольной алгебры А = (S, F) образуют замкнутую подрешетку 2) 0 (Л) полной решетки Е (S) всех отношений эквивалентности на множестве S. Доказательство. Согласно лемме, достаточно рассмо- рассмотреть лишь случай унарных операций gfv (x). Пусть В — некото- некоторое множество конгруэнции 0Р на Л. В решетке Е (S) пересече- пересечение 0 = ДЭр определяется условием В F) xQy тогда и только тогда, когда х%0 для всех 0р ? В. х) Более тщательное обсуждение теорем об изоморфизме см. в книге Кона [1. гл. II, § 6]. 2) Автор [3, теорема 24] доказал, что 9 (А) является подрешеткой, а Криш- нан (К г i s h n a n V. S. — J. Madras Univ., 16B, p. 16) установил ее замкну- замкнутость. 4. КОНГРУЭНЦИИ 183 Но если л%г/ для всех 0р, то, поскольку каждая 0Р обладает свойством подстановки, ввиду E) будет gy (x) ~ gy (у) для всех 0р 6 В. Следовательно, в силу F), gy (x) = gy (у) (mod 0), т. е. 0 обладает свойством подстановки по отношению ко всем gv, и значит, является конгруэнцией. Двойственно, ф = V 0о определяется условием в F') хц>у тогда и только тогда, когда для некоторой конечной последовательности х = г0, гъ ..., zm = у и соответству- соответствующих р (/) ? В будет 2/_i0p(/J/ при / = 1 т. Поэтому если хщ, то г/_1 = z, (mod 0p</)) и, следовательно, gy (Z]_x) = gy (z}) (mod 0p(/)) при / == 1, ..., m, ввиду свойства подстановки для 0р{/). Но тогда gY (z^) = gv (z}) (mod ф) согласно F'), если это условие применить к gv (zj). Так как ф транзитивно, то gy (х) = gy (у) (mod ф), и значит, ф обладает свойством подстановки, что и требовалось доказать. Полная решетка 0 (Л) называется структурной решеткой алгебры Л. Если 0 (Л) ss 2, т. е. если алгебра Л имеет только тривиальные конгруэнции, она называется (конгруэнц-) простой. Теорема 9 (Фунаяма и Накаяма 1)). Для любой решетки L решетка 0 (L) является полной брауэровой решеткой. Доказательство. То, что в (L) — полная решетка, следует из теоремы 8. Поэтому (см. § V.10) достаточно доказать L6 *: если а = Ь (mod 0 Д V 0YV то а ее fc /mod V @ Д 0Y)\ . Но если а = b (Q /\ V0vV то у = z @) для всех у, z ? [а Д Ь, а V Ь\ и *и1 = х-1 @;) для некоторой конечной последователь- последовательности а = х0, хх, ..., хп = b элементов хг ? L, где 0г ? С. Теперь построим yt = [(а Д b) \J xt ] Д (а V Ь). Ясно, что у0 = а, уп = Ь и yt_i = yt @ Д 0,). Отсюда в силу транзитивности и следует L6*. Ч. т. д. Упражнения 1. Докажите, что конгруэнциями на цепи (рассматриваемой кэк дистрибу- дистрибутивная решетка) будут в точности ее разбиения на неперекрывающиеся интер- интервалы 2). 2. Докажите, что любая конгруэнция на алгебре А индуцирует конгруэн- конгруэнцию на каждой подалгебре алгебры А. 3. Докажите, что если 6 и Bt — какие-то конгруэнции на решетке с отно- относительными дополнениями, то BB1 = 0i03). x)Funayama N., NakayamaT. — Proc. Imp. Acad. Tokyo, 1942, 18, p. 553—554. 2) Ср. с упр. 4 (а) к §11.4. — Прим. перев. 3) Этот факт, сформулированный в [LT2, упр. 3 к § VI. 1) в виде вопроса, доказал Дилуорс (D i I w о г t h R. P. — Ann. Math., 1950, 51, p. 348—359).— Прим. перев.
5. ПРЯМЫЕ И ПОДПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 185 184 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА 4. Покажите, что конгруэнция 0 на группе G является характеристиче- ., ской х) тогда и только тогда, когда ее ядро — характеристическая подгруппа группы G. 5. Покажите, что если С — характеристическая подалгебра алгебры A/Q, то ее полный прообраз будет характеристической подалгеброй в А. 6. Пусть G — группа, действующая на множестве S. Покажите, что отно- отношение эквивалентности на S является конгруэнцией алгебры А = (S, G) тогда •: и только тогда, когда оно разбивает S на «области импримитивности». i 7. Пусть А — некоторая алгебра, Т — какая-то ее подалгебра и 0 — конгруэнция на А. Покажите, что множество элементов х ? А таких, что xQt по крайней мере для одного t ? Т, образует подалгебру. 8. Для произвольной группы G пусть А = (G, F), где F — множество всех ? левых трансляций fa (х) = ах, а ? G. Покажите, что решетка конгруэнции ' алгебры А изоморфна решетке всех подгрупп группы G. 9. С помощью контрпримера покажите, что теорема 8 не имеет места для алгебр с бесконечноместными операциями. 5. Прямые и подпрямые произведения Из двух однотипных абстрактных алгебр А = (X,F) и В — = (Y, F) можно построить прямое произведение АхВ = {Х xY, F), где для любой операции fa ? F и л = п (а) Ы(*1> </l). • • •' (*«- #п)) = (Ы*1> • • •- хп), fab/l, ¦¦-, Уп))- Эта конструкция содержит в себе как частные случаи опре- определения прямого произведения двух (мультипликативных) групп, прямой суммы двух колец, кардинального произведения двух решеток и прямой суммы двух /^-модулей над одним и тем же кольцом R. С помощью взаимно однозначного соответствия (х, у) ¦*-> (у, х) и т. д. легко устанавливаются следующие изоморфизмы: G) , А х(В ^(А хВ) хС. В общем случае, если Г — произвольное множество однотип- однотипных алгебр Av — EY, F), у?Т, то определим (неограниченное) прямое произведение ПЛ7 как множество всех функций а: г у ->¦ а (у) ? Ач, полагая /«(fli, ¦¦¦, ап(а)) = 6: y-yfa(ai(y), ¦ ¦., ап <«> (у)) € П Ат г Это прямое произведение ПЛ7, очевидно, не зависит от по- г рядка сомножителей 2). Конгруэнции на прямом произведении А х В можно построить из конгруэнции сомножителей следующим образом. Теорема 10. Пусть 0А и QB — конгруэнции на однотип- однотипных алгебрах А и В. Тогда, полагая 1) То есть если х = у (9), то ха = щ @) для любого автоморфизма а. — Прим,, перев. 2) Разумеется, с точностью до изоморфизма. — Прим. ред. (8) (a, b) = (alt &x) тогда и только тогда, когда а9Аах и bQBbu мы получаем конгруэнцию на А х В. Доказательство. Совсем просто проверяются рефлек- рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения (8), а также выполнимость свойства подстановки для него: соответствующие законы применяются к каждой компоненте по отдельности. Конгруэнцию (8) мы будем обозначать как 8А х 6в- Нетрудно показать, что (Л/9А) х (B/QB) = (A x B)/(QA x бв). Доказа- Доказательство мы опускаем. В общем случае не каждая конгруэнция на А х В имеет вид 6а X 9д. Например, если G = {0, 1} является аддитивной груп- группой со сложением по mod 2, то конгруэнция четверной группы G х G, имеющая классы эквивалентности {@, 0), A, Щ и {A 0), @, \)\, не будет произведением конгруэнции. Аналогичные результаты можно доказать и для общего пря- прямого произведения ПАУ, полагая х = у (mod II0Y) тогда и только тогда, когда ху = г/7 (mod 0V) для всех у, т. е. если элементы каждой пары соответствующих компонент конгруэнтны. Определение. Подалгебра С = (S, F) прямого про- произведения однотипных алгебр Ау = (Ху, F) называется под- прямым произведением алгебр Ау, если для любого xv ? XY существует элемент с ? 5, имеющий ху своей компонентой в АТ Гомоморфизм ф: А -> С алгебры А — (X, F) на подпрямое про- произведение однотипных алгебр Ау = (Ху, F) называется представ- представлением алгебры А в виде подпрямого произведения алгебр Лг Представление называется изоморфным, если ф — вложение. Теорема 11. Если ф — представление алгебры А в виде подпрямого произведения С однотипных алгебр Ау, то С^ Л/Дб.^, где 0Т — конгруэнция, связанная с гомоморфизмом ф7, отобра- отображающим А на Ау = Л/0Г Обратно, любой набор конгруэнции 0V на А задает представление алгебры А в виде подпрямого произ- произведения С = Л/Дв? алгебр Ау = Л/9Г Доказательство. Ввиду F) гомоморфизм ф: Л ->¦ С определяет гомоморфизм алгебры Л на каждую Ау, а по теореме 4 каждый из этих гомоморфизмов определяется некоторой кон- конгруэнцией 0Y такой, что Ау ss Л/67. Два элемента алгебры Л отображаются на один и тот же элемент алгебры С тогда и только тогда, когда они конгруэнтны по модулю каждой 9Г Значит, С=*Л/Д0Г Обратно, если задано индексированное множество \Qy\ конгруэнции на Л, то естественные гомоморфизмы ф7: Л -»• А у алгебры Л на алгебры Л7 = Л/87 определяют гомо- гомоморфизм алгебры Л на подалгебру С прямого произведения ИАу, которая и будет подпрямым произведением алгебр АТ Следствие 1. Изоморфные представления алгебры А в виде подпрямого произведения находятся во взаимно однозначном
186 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА соответствии с множествами конгруэнции 6V на А такими, что Д 0V = О (отношение равенства). Определение. Алгебра А называется подпрямо нераз- неразложимой, если в любом изоморфном представлении алгебры А в виде подпрямого произведения алгебр Ау по крайней мере одно из естественных наложений А -*• Ау является изомор- изоморфизмом. Попросту говоря, это означает, что алгебра подпрямо неразложима, если она не может быть представлена в виде под- подпрямого произведения «меньших» алгебр (т. е. собственных гомо- гомоморфных образов)*). Следствие 2. Пусть Р —у-множество всех конгруэнции 0Y > О на алгебре А. Тогда А подпрямо неразложима в том и только в том случае, когда Р имеет наименьший элемент 0т. Доказательство. Если Вт существует и 07 > О, то 0V s& 9m- Значит, Д 0V = О < 0m означало бы, что какая-то 0V = О. Но тогда, по предыдущему определению и ввиду след- следствия 1, алгебра А подпрямо неразложима. Обратно, если 6т не существует, то Д07 = О, где все 0V > О, и потому А не будет подпрямо неразложимой. Пример 6. Единственной подпрямо неразложимой ди- дистрибутивной решеткой является ординал 2 (одноэлементные алгебры, для которых О = //здесь исключаются из рассмотрения). Действительно, если О < а < /, то эндоморфизмы фа: л: ->¦ х д а и фа: х ->• х V « определяют собственные конгруэнции 0а и 0а такие, что 6а Д 9а = О. Аналогичный результат имеет место для булевых алгебр. Основная теорема о подпрямых разложениях, которая будет доказана в главе VIII, утверждает, что каждая алгебра, имеющая более одного элемента, является подпрямым произведением под- подпрямо неразложимых алгебр. Теоремы об однозначности прямых разложений будут доказаны в главе VII (см. также теорему III. 11). Упражнения 1. Докажите, что каждая булева алгебра, имеющая более двух элементов, подпрямо разложима. 2. Покажите, что решетка конгруэнции в (А) любого прямого произведе- произведения А = Пл7 алгебр содержит произведение Пв (Ау) в качестве подрешетки. 3. Пусть А, В —алгебры с двумя элементами 0, 1, операцией сложения по mod 2 и унарной операцией, определяемой равенствами х = х в А и х' — = 1 — х в В. Докажите, что А X В si В X А, хотя А и В не изоморфны Маккензи). 4. (а) Покажите, что если А — группа или булева алгебра и если 6 Л9' = = Ои9\/в' = /в0 (А), то А зг (А/9) X (А/9'). (б) Покажите, что это не так для дистрибутивных решеток. (Указание. Рассмотрите А — 3.) 1) Впрочем, не исключено, что A s Ay. Важно лишь, что 7- — Прим. ред. для всех 6. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ СЛОВ 187 * 5. Покажите, что если А и В — конечные алгебры с одной унарной опе- операцией и если A2 sz В2, то А =й В (Марица и Брайант). *6. Покажите, что если в условиях упр. 5 Ап^Вп, то А& В. (Ива- (Иванова О. А. —Вестник МГУ. Матем. и мех., 1964, № 3, с. 31—38.) 6. Свободные алгебры слов Зафиксируем теперь «тип» алгебр, имеющих данное множе- множество F операций. Более точно, мы предполагаем заданным множе- множество индексов, обозначаемых а, и множество связанных с ними неотрицательных целых чисел п (а). Будем рассматривать класс всех алгебр А = (S, F) данного типа. В каждой из них для фик- фиксированного а определена п (а)-арная операция /а: Sn (а) ->¦ 5. Любой такой класс алгебр замкнут относительно образования подалгебр и прямых произведений — эти конструкции уже были определены. Кроме того, гомоморфизмы определялись только для однотипных алгебр (впрочем, см. ниже §§ 11—12). Для любого набора операций F и любого кардинального числа г, конечного или бесконечного, мы можем построить (свободную) алгебру слое Wr (F) = (Wr, F) (иногда называемую «примитивной алгеброй»), которая имеет г порождающих или буке х% (множе- (множество X элементов xt часто называют алфавитом алгебры WT (F)). Делается это следующим образом. Назовем каждую букву xt F-многочленом ранга 0. Для любого положительного целого р определяем рекурсивно F-многочлен ранга р как выражение («слово») вида /а (ыь ..., ип«х.)), где хотя бы одно из щ = pj (xlt ..., хг) будет F-многочленом ранга р—I и все uj являются F-многочленами ранга <р—1. Равенство в Wr (F) определяется как формальное тождество: xt = xj озна- означает, что i = /, а (9) fa («1 ип (а)) == /р (vit . . ., vn ф) имеет место тогда и только тогда, когда а = р и uk = vk для всех k = 1, .... я (о) =лф). Например, пусть F состоит из двух бинарных операций Д и V и пусть г = 2. Для простоты обозначим хх и х2 через х и у соответственно. Тогда элементов ранга 1 в W2 (F) будет восемь: х Д х, х Д У, У Л х, у Л У, * V х, x\J у, у у х, у у у. Элементов ранга 2 уже 64 + 128 = 192, —64 комбинации х и у с элементами ранга 1: xf\{x/\x),...,y\J{y\Jy); (х Ax)Ax,...,(y\Jy)\/y и 128 комбинаций пар элементов ранга 1: (х/\х)А(хА х), .... (х Л х) V {у Л У), ¦•• • • ¦> (у V у) Л (х V х) (у У у) У (у У у). Более интересен следующий
188 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА 7. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ 189 Пример 7. Пусть F состоит из единственной унарной операции /. Тогда Wx (F) содержит для каждого неотрицательного целого р в точности один F-многочлен / (рр) = рр+1. Поэтому алгебра Wx (F) изоморфна множеству N всех неотрицательных целых чисел, рассматриваемых с функцией следования Пеано: а (п) = п + 1. Ввиду этого, алгебры слов называют также и «алгебрами Пеано»; заметим, что для Wr (F) можно указатьх) множество аксиом, напоминающих аксиомы Пеано для N. Основное свойство (свободных) алгебр слов раскрывает Теорема 12. Любое вложение 2) 6: X -*¦ А алфавита X в F-алгебру А = (S, F) может быть (однозначно) продолжено до гомоморфизма алгебры слов WT (F) в А. Доказательство проводится индукцией по рангу. Каждому слову р ? Wr (F) ранга р сопоставляется однозначно определенный элемент q = р<р ? А такой, что (9') если р = , «„«*, )> то q = >ф)- Согласно (9)—(9') это отображение будет гомоморфизмом < («F-гомоморфизмом»). Следствие. Если А = (S, F) имеет г порождающих, ¦¦_ то A s±WT (F)/9, т. е. А является гомоморфным образом алгебры I слов Wr(F). > Упражнения 1. Сколько элементов ранга 3 содержит №2 в случае двух бинарных операций? 2. Покажите, что каждая алгебра со счетным множеством порождающих и операций счетна. 3. Покажите, что Wr (F) не может быть конечной, если только F не пусто. 4. (а) Покажите, что в любой алгебре слов Wr (F) максимальные под- подалгебры — это в точности подмножества, получающиеся при исключении одного порождающего. (б) Докажите, что множество порождающих в любой алгебре слов является дополнением ее ср-подалгебры8). 5. Покажите, что группа автоморфизмов любой алгебры слов изоморфна : симметрической • группе на множестве порождающих этой алгебры. 6. (а) Докажите, что алгебра слов №х (а) с одним порождающим и одной унарной операцией изоморфна Z+ с функцией следования Пеано. ' (б) Покажите, что полугруппа эндоморфизмов алгебры Wi (а) изоморфна аддитивной полугруппе Z+. -, 7. Докажите, что алгебра слов Wr (а) изоморфна теоретико-множествен- теоретико-множественному объединению г копий алгебры W± (о). Опишите моноид эндоморфизмов алгебры Wr (о). !) См. у Шмидта (Schmidt J. — Zeitschr. Math. Logik Grundl. Math., 1965, 11, p. 227—239), где обсуждается и более ранняя работа Левига и Сломинского. а) И даже любое отображение. — Прим. ред. ») См. упр. 2 к § 3. — Прим. перев. 8. (а) Докажите, что алгебра слов с одним порождающим и т унарными операциями аь ..., ат изоморфна регулярному *) представлению свободного моноида FSm с т. порождающими. (б) Докажите, что моноид эндоморфизмов алге'бры Wj (o^, ..., ат) изомор- изоморфен FSm. 9. Рассмотрите задания упр. 8 для WT (ctj, ..., om). 7. Свободные алгебры Свойством, сформулированным в теореме 12, обладают (в под- подходящих классах алгебр) многие алгебры, отличные от обсуж- обсуждавшихся по этому поводу свободных алгебр слов. В общем слу- случае алгебра С = (Г, F), которая имеет это свойство для гомомор- гомоморфизмов по отношению к некоторому классу Г однотипных алгебр А у = (S, Fv), называется «свободной алгеброй» в Г. В этом разделе мы будем иметь дело с такими свободными алгебрами и их свойствами. Свободные булевы алгебры, построенные в § III.5, свободны в этом смысле в классе всех булевых алгебр. Подобным образом обстоит дело и со свободными дистрибутивными решетками, по- построенными в § III.4, и со свободной модулярной решеткой M2S из § II 1.6. Точно так же аналог теоремы 12 справедлив и для свободной группы с г порождающими в классе всех групп 2). Дадим теперь общее Определение. Пусть Г — произвольный класс одно- однотипных алгебр Ау = (Sv, F). Говорят, что'алгебра С ? Г сво- свободно порождается подмножеством X а С, если (i) X порож- порождает С и (ii) любая функция /: X -+ 5Y может быть продолжена до гомоморфизма ф: С ->¦ АТ Так как X порождает С, то очевидно, что это продолжение единственно. Если Сг и С2 — алгебры из Г, свободно порожден- порожденные подмножествами X, сг Сг одинаковой мощности, то любое вза- взаимно однозначное соответствие Р: Хг ¦«-> Х2 может быть (однозначно) продолжено до изоморфизма [х: Сг «-»• С2. Тем самым доказана Теорема 13. Б произвольном классе Г однотипных алгебр ^свободная алгебра с г порождающими» однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется кардинальным числом г и классом Г. Теперь рассмотрим, как строятся эти свободные алгебры. Определение. Пусть Г — произвольный класс одно- однотипных алгебр Ау = EV, F) и г — кардинальное число. Пусть А обозначает множество всех функций S: xt -> 6 (*,) (j Ay^), отображающих некоторое фиксированное множество X, состоящее из символов xt, в Ау. Для любого многочлена р (xlt ..., хТ) ? ? (WT, F) положим A0) i) То есть представлению правыми трансляциями. — Прим. перев. а) Холл М. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962, теорема 7.1.2.
190 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА 7. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ 191 Пусть, по определению, р = ,q (mod Г) означает, что S (р) = = 6 (q) для всех таких 6. Это будет конгруэнцией 0 (Г) на алгебре слов (WT, F). Тогда алгебра (WT, F)/0 (Г) называется свободной ; алгеброй с г порождающими, связанной с классом Г. Мы обозна- обозначим ее через Fr (Г). Спрашивается, когда Fr (Г) будет принадлежать классу Г? ¦¦' Хотя по построению каждое вложение 0: X ->¦ А может быть (однозначно) продолжено до гомоморфизма, отсюда не следует, : что Fr (Г) свободно порождается множеством X: для этого нужно, > чтобы FT (Г) 6 Г. Очевидно, что рассмотренная конструкция пред тавляет Fr (Г) , как подалгебру произведения алгебр Ау ? Г. Отсюда следует Лемма. Если Г — класс однотипных алгебр Лу, то FT (Г) является подпрямым произведением подалгебр алгебр АТ Следствие. Если класс Г замкнут относительно под- ; алгебр и прямых произведений, то FT (Г) ? Г. i Ввиду сделанных ранее замечаний, этот результат дает до- ; статочное условие для того, чтобы алгебра FT (Г) свободно порож- . далась множеством X. Теорема 13'. Пусть Г — класс алгебр, замкнутый отно- относительно подалгебр и прямых произведений. Тогда алгебра Fr (Г) свободно порождается множеством X элементов х-г. : Следствие 1. Каждое отображение /: X -»• Fr (Г) мно- i жества порождающих алгебры Fr (Г) в Fr (Г) может быть про- продолжено до эндоморфизма алгебры Fr (Г). Следствие. 2. Пусть 0 — какое-нибудь вложение мно- множества X порождающих алгебры FT (Г) в множество Y порожда- порождающих алгебры_ Fa (Г), г <. s. Тогда 0 может быть продолжено ; до вложения 0: FT (Г) -» Fs (Г). ¦< В самом деле, 0 имеет обратную справа проекцию of: Y -у X, которую можно продолжить до наложения ур: Fs (Г) -+Fr(T). Тогда искомым продолжением 0: Fr (Г) -> Fs (Г) будет функция, имеющая обратной справа для себя а|з; понятно, что она и будет осуществлять вложение. Так как произведение любых двух гомоморфизмов является гомоморфизмом, то FT (Г) останется «свободной», если Г расши- расширить, присоединяя к этому классу все гомоморфные образы вхо- входящих в него алгебр. Отсюда получаем. Следствие 3. В классе % всех алгебр, получающемся из данной алгебры А путем образования подалгебр, прямых произведений и гомоморфных образов, свободная алгебра РГ с г порождающими является подалгеброй алгебры1) А0<-А)Г. Точнее, если X—множество всех элементов xt ? Л0(Л)Г, 6-координатами которых являются S (xt) ? А для любого S, то Fr будет подалгеброй алгебры Л0(Л)\ порожденной множе- множеством X = {?j}. Алгебраическая независимость. Тесно связана с понятием свободной алгебры следующая концепция алгебраической не- независимости, принадлежащая Марчевскому *). Определение. Множество элементов %, ..., аТ алгебры А = E, F) называется алгебраически независимым, если для любых многочленов р, q ? Рт (F) из равенства р (аи ..., ат) = = q (%, ..., ат) следует тождество р (xlf ..., хт) = q (xlt ..., хт) для всех Xt ? A. Таким образом, алгебра А = E, F) является свободно порож- порожденной тогда и только тогда, когда она имеет алгебраически независимое множество порождающих (это будут образы порож- порождающих алгебры слов FT (A)). Упражнения 1. (а) Почему регулярные кольца не образуют многообразия алгебр? (б) Покажите, что группы не образуют многообразия моноидов. 2. Покажите, что свободное коммутативное кольцо с г порождающими сов- совпадает с кольцом целочисленных многочленов Z [xj хГ], и значит, является областью целостности. 3. Докажите, что алгебра А свободно порождена тогда и только тогда, когда она имеет алгебраически независимое множество порождающих. 4. Докажите, что для любого коммутативного2) кольца R свободный .R-модуль с г порождающими есть Rr. 5. (а) Покажите, что если алгебра А имеет конечный порядок г, то порядок свободной алгебры Fn (А) не превосходит /-г . (б) Для произвольного конечного г постройте алгебру А, для которой ука- указанная граница достигается. 6. Множество G порождающих алгебры А называется «независимым», если никакое собственное подмножество множества G не порождает А. Пересечение всех максимальных подалгебр алгебры А можно назвать ее «ф-подалгеброй». Покажите, что если А конечна, то ее ф-подалгебра состоит в точности из тех элементов, которые не входят ни в какое множество независимых порождающих алгебры А. * 7. Расширьте теорию свободных алгебр на случай бесконечноместных операций, в качестве иллюстрации рассмотрев сначала случай, когда F состоит из единственной операции, определенной на счетных последовательностях3). 8. Почему результат упр. 7 совместим с тем фактом, что не существует «свободной полной решетки» (§ XI.4) с тремя порождающими? 9. Покажите, что если Fr — свободная полурешетка с г порождающими, то Fr+S 35 Fr X Fs. х)/3десь о (А) обозначает мощность множества А. Обобщения следствия 3 см. в работах Биркгофа ([3, р. 44, следствие 2] и Ргос. I Canad. Math. Congr., 1945, p. 321). !) Marczewski E. — Fund. Math., 1959, 48, p. 135—145; Ann. mat. pura et appl., 1962, 59, p. 1—9. 2) Коммутативность здесь не существенна. — Прим. ред. 3) Это сделали Сломинский (S 1 о m i n s k i A. — Rozpr. mat., 1968, 57, 60 pp.) и Риччи (R i с с i A. — Riv mat. univ. Parma, 1979, 52, p. 577—589). — Прим. перев.
192 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА 8. Свободные решетки Введенные понятия применимы, в частности, и к классу всех решеток. В этом случае явный критерий для проверки соотно- соотношений р < q и р = q между многочленами был предложен Уитме- Уитменом х). Проверка осуществляется в Wr(/\, V) индукцией по рангу р путем рекурсивного применения следующих четырех основных правил: A1) р V q < а, если р < а и q <: а, AГ) Ь < р д q, если b < р и b < q, A2) р д q < а, если р < а или q < а, A2') b < p У q, если 6 < р или b ^i q.' Ясно, что A1) и AГ) двойственны друг другу, так же, как A2) и A2'). Например, если мы хотим выяснить, будет ли р V ? < < г V s, то сначала нужно применить A1) к р V q, принимая г V s за а, а затем A2') к г V s, принимая р \J q за Ь. Поэтому р V <? < г V s тогда и только тогда, когда (i) р < г У s и g < < г V s, или (ii) p \J q <. г, или (iii) p V?<s. Таким образом, проверка неравенства р V <7 < г V s сводится к рассмотрению не более чем четырех случаев, в каждом из которых суммарный ранг участвующих выражений понижается на единицу. Следова- Следовательно, повторяя процесс редукции для исследования выраже- выражения a < b, имеющего сумму рангов для а и Ь, равную w + w', мы сводим дело к проверке самое большее 4w+w элементарных неравенств вида xt < xj (истинных тогда и только тогда, когда i = у). Теорема 14. Если в Wr (Д, V) определить aBb как а < b и b <. a, то относительно порядка < у-множество WT (Д, V)/9 будет свободной решеткой FL (г) с г порождающими 2). Доказательство разбивается на две леммы. Лемма 1. FL (г) является квазиупорядоченным множеством. Доказательство проводится индукцией. Так как р < р и q < q, то, согласно A2'), р < р У <? и q <: р V q, откуда р У q < p У q -ввиду A1). Ссылка на двойственность и принцип индукции завершает доказательство рефлексивности. Докажем теперь транзитивность: если а < b и b < с, то а < с. Сначала рассмотрим случай, когда один из крайних членов а, с входит в неравенство по одному или сразу по обоим основным правилам. х) Уитмен [1], [2]. Обзор более поздних результатов см. у Дина [Symp, р. 31—42]. а) Более общее утверждение см. С к о р н я к о в Л. А. Элементы теории структур. — М.: Наука, 1982, § 5. — Прим. ред. 8. СВОБОДНЫЕ РЕШЕТКИ 193 Если а = р У q < b, как в A1), и b < с, то р <: b <: с и q < b < с, откуда по предположению индукции р < с и q < с, и значит, ввиду A1) р У q <: с. Далее, если a = р д q < b, как в A2), и6<с, то/7<6<с или q < b ^ с, откуда по пред- предположению индукции р < с или ^ < с> и значит, ввиду A2) р /\ q <? с. Двойственно, если a<ib<p/\q=c или a < Ь < <. р У q = с, то разложением неравенств для р /\ q или р У q мы докажем, что a <. р /\ q или a <. р У q соответственно. Остается случай, когда оба неравенства а < Ь и Ь < с под- подлежат редукции, так как Ь = р У q (или b = р ,\ q). Если а<.рУ q, как в A2'), и. p\Jq <с, как в A1), то а < р или а < <7, а также р *ё с и q <. с. Значит, а < /? < с или а <: <7 < с; в обоих случаях, по предположению индукции, а < с. Случай а < р Д Д <7<с рассматривается двойственно, и этим завершается доказа- доказательство. Используя теперь теорему 1.3, получаем Следствие. Если в FL (г) положить а — b тогда и только тогда, когда одновременно а < b и b < а, то FL (г) становится упорядоченным множеством. Лемма 2. FL (г) является решеткой, в которой выражение а /\ b представляет собой точную нижнюю грань, а выражение а У b — точную верхнюю грань для пары элементов а, Ь. Доказательство. Согласно A2) и лемме 1, а Д b < a и а д b < b. Виду A1')» если х <. а и *<&, то х < а Д fc. Значит, а [\Ь будет точной нижней гранью для {а, &[. Двой- Двойственно, а У b будет точной верхней гранью для {а, Ь\. Доказательство теоремы. Выберем элементы ga в произвольной решетке L по одному для каждого ха. Прямой подстановкой убеждаемся, что каждый элемент а ? FL (г) опре- определяет единственный элемент а* ? L. По лемме 2 это соответствие является гомоморфизмом решетки FL (г) на подрешетку ре- решетки L, порожденную элементами ga. Используя аналогичную технику, Дилуорс [2] доказал за- замечательное обобщение теоремы Уитмена, которое показывает, в частности, что теорема V.18 не может быть перенесена на не- неатомные решетки. Теорема 15. В свободной решетке с дополнениями Рт (Л» V. ') с г порождающими каждый элемент имеет в точности одно дополнение; при этом F2 (Д, V, ') содержит Fd (Д, V, '), где d —счетный кардинал, в качестве под решетки. (В этой теореме предполагаются заданными законы LI—L4, универсальные грани О и /, а также тождества х д х' = О и (х'У = х. Не предполагается, что из х < у следует х' з& У'¦) В этой же работе Дилуорс показал еще, что любая решетка мо- может быть расширена до решетки с единственными дополнениями. Проблема тождества слов. Проблема выяснения в конечное число шагов, будут ли два многочлена р, q ? Wr (F) иметь одно 7 Биркгоф Г.
194 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА и то же значение р (х) для всех наборов *,, ..., хт в каждой алгебре Ау некоторого класса Г, называется «проблемой тождества слов» для Г. Понятно, что она равносильна проблеме установления истинности равенства р (х) = q (x) в Fr (Г). Теорема 14 ре- решает проблему тождества для решеток; Дилуорс [2] решил проблему тождества для решеток с дополнениями. Проблемы тождества для дистрибутивных решеток, булевых алгебр и для многочленов («слов»), имеющих <3 переменных, в модулярных решетках были решены в главе III *). Нетрудно понять, что если построены алгебры Fr (Г) для всех конечных г, то F# (Г) для любого кардинального числа X может быть получена трансфинитным продолжением на «индук- «индуктивный предел» простейшего вида (см. главу VIII). Это поясняет Теорема 162). Пусть 0 —некоторое вложение множества X порождающих алгебры Fr (Г) в множество Y порождающих алгебры Fs (Г), г < s. Тогда 0 можно продолжить до гомоморфного вложе- вложения ц: Fr (Г) -> Fs (Г). В самом деле, 0 имеет обратную справа проекцию of: Y ->¦ X, которую можно продолжить до гомоморфного наложения if: Fs (Г) -> Fr (Г), по определению «свободной алгебры». Тогда искомым продолжением 0: FT (Г) ->¦ Fs (Г) будет функция, име- имеющая обратной справа для себя -ф; понятно, что она и осуществ- осуществляет требуемое гомоморфное вложение. Пример 8. При помощи этого результата легко можно построить свободную булеву алгебру Fa (Г) со счетным числом порождающих. Рассмотрим множество 2ю всех бесконечных двоичных «десятичных» дробей: 0,010010111... и т. д. Пусть Sk — множество всех таких дробей, укоторых k-я цифра после запятой равна \, a S'k —дополнение этого множества. Используя дизъ- дизъюнктивную нормальную форму, можно представить Fr (Г), где Г — класс «сех булевых алгебр, как кольцо таких подмножеств множества 2ю, где первые г цифр после запятой принадлежат некоторому заданному множеству последовательностей п = = (пи ..., пг). Ясно, что имеет место включение Fx (Г) cz F2 (Г) с= а F3 (Г) cz ... и потому, согласно сделанному замечанию, Fa (Г) = = U Fг (Г). В главах IX—X мы увидим, что полученное представ- представление изоморфно (i) полю всех открыто-замкнутых подмножеств канторова дисконтинуума (т. е. множества троичных десятичных дробей вида 0, пгп.гп3 ..., в которых цифрами являются 0 или 1) и (И) полю подмножеств отрезка [0, 1 ], порожденному интерва- интервалами с двоично рациональными концами, по модулю конечных множеств. J) По поводу проблемы тождества для других алгебраических систем см. работу Холла (Hall Р. — J. London Math. Soc, 1958, 33, p. 482—496). 2) См. следствие 2 из теоремы 13'. —Прим. перев. 8. СВОБОДНЫЕ РЕШЕТКИ 195 Свободные модулярные решетки. Свободная модулярная ре- решетка Mz$ с тремя порождающими подробно обсуждалась в§ III.6, и мы уже видели (§ III.7 и в частности, упр. 8), что свободная модулярная решетка, порожденная двумя конечными цепями, дистрибутивна. Однако проблема тождества для свободных мо- модулярных решеток с п = 4 порождающими не решена и пред- представляется очень трудной. Известно лишь, что такая решетка бесконечна и имеет бесконечную длину. Не пытаясь представить здесь все известные результаты, ка- касающиеся этой проблемы, отошлем читателя к интересному обзору Уитмена [Symp, p. 17—22] 1). Упражнения 1. (а) Покажите, что FL A + 2) имеет 9 элементов и плоскую диаграмму. (б) Покажите, что FL A + 3) имеет 20 элементов и плоскую диаграмму. *2. Покажите, что свободная модулярная решетка, порожденная у-мно- жеством 2+ 1 + 1, содержит в точности 238 элементов2). * 3. Покажите, что FL B + 2) и FL A + 4) бесконечны (Рольф, Ю. И. Сор- кии 3)). 4. (а) Покажите, что FL C) бесконечна. (б) Покажите, что FL C) содержит бесконечную цепь. 5. (а) В FL D) пусть р,: = Vxj. Покажите, что Pi\/ Pz< (Pi V Pi V Pa) Л A(PiV P*V P-»)- ' , , * (б) Покажите, что атомы решетки FL (n) порождают дистрибутивную ре- решетку тогда и только тогда, когда п ^ 3. (в) Покажите, что атомы решетки FL D) порождают подрешетку, содержа- содержащую 22 элемента. (Упр. 5 (а)—(в), 6, 9 содержат результаты Уитмена [1].) 6. Покажите, что группа автоморфизмов решетки FL (п) является симме- симметрической группой степени п и что ср-подрешетка решетки FL (п) получается из нее исключением порождающих. 7. (а) Покажите, что FL C) содержит в качестве подрешетки решетку FL (п), каково бы ни было конечное или счетное п. (* б) Покажите, что любая бесконечная подрешетка свободной решетки имеет бесконечную длину *). J) Обзор последних результатов приведен в работе Фриза (FreeseR,— Trans. AMS, 1980, 261, № 1, p. 81—91), где доказана также неразрешимость проблемы тождества для свободной модулярной решетки с пятью порождающими FM E). — Прим. перев. 2) Такеути (Т a k e u с h i К. — Tdhoku Math. J., 1969, И, р. 1—12). [Описание этой решетки (решив тем самым проблему 29 из [LT2 ]) еще раньше получили Трол и Данкен (Thrall R. M., Duncan D. G. — Amer. J. Math, 1953, 75, № 3, p. 627—632). — Прим. перев.] 3) Соркин Ю. И. — Матем. сб., 1952, 30, р. 677—694. 4) См. работы Йонссона (J о n s s о п В. — Canad. J. Math., 1961, 13, p. 256—264), Йонссона и Кифера (J о n s s о п В., Kiefer J. E. — Canad. J. Math , 1962 14, p. 487—497), Гелвина и Йонссона (G a 1 v i n F., Jons- son В.—Canad. J. Math., 1961, 13, p. 265—272) — по этим и связанным с ними вопросам. Огмегчм тдкже статью Дина (Dean R. A.) [Symp, p. 31—42, теоремы 6, 8], 7*
196 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА * 8. (а) Покажите, что свободная решетка FL (Р), порожденная любым конечным или счетным у-множеством Р допускает вложение в FL C) 1). (б) Покажите, что если все решетки с тремя порождающими можно вложить в некоторую решетку L, то L несчетная 2). *9. Покажите, что из всех элементов алгебры слов W^, (Д, \/), равных данному элементу решетки FL (X), любые два элемента наименьшей длины эквивалентны уже в силу L2—L3. 10. Покажите, что свободная модулярная орторешетка, порожденная цепью длины г, есть 2Г (см. также § IV.3, упр. 9). * П. Покажите, что в любой конечной решетке, допускающей вложение 5 5 / 5 \ в свободную решетку, х Д V щ = V х/\ V уЛ, но что это тож- «=1 /=1 \ '=1.1+i I дество истинно не во всех решетках (Йонссон). 9. Постулаты Как было отмечено в § 1, в наиболее привычных классах абстрактных алгебр эти последние определяются как множества элементов, замкнутые относительно некоторых операций, удовле- удовлетворяющих определенным постулатам. Эти постулаты весьма различны по своему характеру, но среди них выделяются по край- крайней мере четыре типа предложений 3). 1. Тождество. Пусть (Л, F) —алгебра и р, q—многочлены из (Pr, FL). Предложение A3) р(аь ..., ar) = q(aL, .. ., аТ) для всех at ? Л называется тождеством. Для бинарных операций примером тож- тождества являются коммутативный (г = 2) и ассоциативный (г = 3) законы, закон идемпотентности (г = 1), а для систем с двумя бинарными операциями Д и V —законы поглощения (г ==2): х Д (х V у) - х V (х Д у) - х. 2. Квазитождество. Пусть р0, рх, •¦•, Рв и <?«,, qx, ¦¦¦, qs — конечные множества многочленов из (Рг, F). Предложение A4) если pt (ах аТ) = qt (ах а,.) при i =» 1 s, то ar) называется квазитождеством. Если s = 0, то предложение A4) превращается в A3) и поэтому каждое тождество является ква- квазитождеством. J) О решетках, свободно порожденных у-множествами, см. § 5 в книге Л. А. Скорнякова [1]. — Прим. перев. 2) По поводу упр. 8 см. работу Кроули и Дина (С г a w I e у Р., Dean R. А. — Trans. AMS, 1959, 92, р. 35—47, теоремы 6, 8). 3) Обсуждение этих вопросов с логической точки зрения см. у Линдона (Lyndon R. — Bull. AMS, 1959, 65, p. 287—299). 4) Pr обозн.а,ча,е.т м.нож,е.ств,о всех многочленов ранга г. — Прищ. перев. 9. ПОСТУЛАТЫ 197 Закон сокращения в группах («если ах = ау, то х = у») яв- является примером квазитождества. Другой пример: «если а Д х = = а Д у и а V х — а V у, то х — yt — в дистрибутивных ре- решетках. И еще: «если a/\x=a/\y=Ona\/x=a\/y~f, то х = у»; это квазитождество истинно в любой дистрибутивной решетке и в любой решетке с единственными дополнениями. 3. Дизъюнктивная импликация. Если в A4) для краткости по- положить (аи..., аТ) = а, то предложение A5) если pi (a) = qt (а) при i = 2, ..., s, то р0(а) = ?о (*) или л (а) = ft (а) можно было бы назвать дизъюнктивной импликацией. Например, закон сокращения в целостном кольце («если ах = ау, то х = у или а = 0») является дизъюнктивной импликацией. 4. Экзистенциальное тождество. В обозначениях из A5) предложение вида «(Qai) ... (Qar) (р (аг, ..., ar) = q (au ..., аг))», где Qat означает «для всех at ? Л» или «существует at ? Л» и по крайней мере один из кванторов является квантором суще- существования, можно назвать экзистенциальным тождеством. На- Например, предложение «для всех a, b уравнение ха = Ь имеет решение» является экзистенциальным тождеством. Постулаты различных типов, описанные выше, по-разному ведут себя в смысле сохранения при образовании подалгебр, гомоморфных образов и прямых произведений. Теорема 17. Тождества сохраняются при переходе к под* алгебрам, гомоморфным образам и прямым произведениям. Доказательство. Если A3) выполняется в А и S — подалгебра алгебры А, то A3) тем более выполняется в S. То же справедливо и если заменить Л на Л/9, т. е. равенство в за* менить на 8 (точнее, на сравнение = по mod 6). Наконец, если тождество A3) истинно в каждом сомножителе прямого произ- произведения ПЛ7, то оно выполняется и в ПЛ„, поскольку выпол- выполняется для каждой компоненты п{У любых элементов 'at С ПЛ«. Теорема 18. Квазитождества сохраняются при переходе к подалгебрам и прямым произведениям. Доказательство. Если A4) выполняется в А и S — подалгебра алгебры Л, то A4) тем более выполняется в S. Далее, если A4) истинно в каждом сомножителе Лу прямого произведе- произведения IL4V и pt (a) = qt (а) в ПЛ7 при i = 1, ..., s, то рь (av) = = qt (a7) истинно в каждом Л7 при i = 1, ..., s по определению ГТЛ7. Значит, р0 (a7) = qQ (a7) в каждом Л7, согласно A4), при- примененному к Л7. Поэтому рп (а) = qn (а) истинно в ПЛ7 по опре- определению ПЛ7. Следствие. Любое тождество или квазитождество, истин- в каком-нибудь классу однотипных алгебр Av истинно и в с$я_-
198 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА занной с этим классом свободной алгебре с г порождающими для любого кардинального числа г. Квазитождества не обязательно сохраняются при гомомор- гомоморфизмах. Пусть, например, А — аддитивная полугруппа неотри- неотрицательных целых чисел и 6 = 0 (N, т) отождествляет п с п + km при п ia N. Тогда закон сокращения (если а + х = а + у, то х = у) выполняется в Л, то не выполняется в Л/0 при N > 0. Дизъюнктивные импликации сохраняются при переходе к под- подалгебрам, но не сохраняются ни в гомоморфных образах, ни при образовании прямых произведений. Например, закон сокращения для областей целостности, выполняющийся в кольце Z положи- положительных целых чисел, не выполняется ни в кольце Zn вычетов по mod n, если только п не является простым, ни в прямом произведении Z x Z. Экзистенциальные тождества не сохраняются при переходе к подалгебрам, если не вводить дополнительных операций. Бейкер построил (бесконечную) систему с бинарным (неассоциативным) умножением, в которой уравнение ха = b имеет решение при любых а, Ь, но в которой множество всех подалгебр, удовлетворя- удовлетворяющих этому условию, не замкнуто относительно пересечения. Упражнения 1. Покажите, что в любом Подпрямом произведении копий пятиэлементной немодулярной решетки • (a) (x/\y)\J (x f\z) = xf\ [(</Az)V (*A*)V (*Л</I (Левиг); (б) если х V у = у V г = г у х, то (х /\ у) \/ (у /\ г) = у *) (Уотермен). 2. Покажите, что свободная решетка с тремя порождающими, в которой истинны все тождества, выполняющиеся в решетке Nt, содержит 99 элементов (Уотермен). 3. Рассмотрите для коммутативного кольца R условие: «для любого а ? R Найдется я = п (а) ? Z+ такое, что ап = 0». Сохраняется ли это условие в под- подалгебрах? В произвольных прямых произведениях? В гомоморфных образах? *4. Покажите, что не существует решеточного квазитождества, не выводи- выводимого из LI—L4 и выполняющегося во всех симметрических решетках разбие- разбиений; то же для всех решеток подгрупп. 5. Опишите свободные алгебры Ньюмена с одним и двумя порождающими соответственно. в. В решетке L с более чем одним элементом пусть а обозначает предло- предложение «если х > г, то р (х, у, г) = q (х, у, г)». Покажите, что либо о выпол- выполняется во всех решетках, либо из а следует L5. (Указание. Изучите vnp. 1 из § 8.) 7. В модулярной решетке L с более чем одним элементом пусть C обозна- обозначает тождество / (х, у, г) = g (х, у, г). Покажите, что либо р выполняется во всех модулярных решетках, либо из Р следует L6. * 8. Покажите, что существует не выводимое из L5 тождество, которое истинно в любой решетке нормальных подгрупп 2). г) В оригинале тождество в правой части импликации не дописано, и здесь приводится один из возможных вариантов. — Прим. перев. 2)Йонссон (Jonsson В.).—Math. Scand., 1953, 1, p. 193—206. В упр. 9 имеется в виду результат Линдона (Lyndon R. С. -~ Proc, AMS, J954, 5, р. 8-9); см. еще ВцЦ. A^S, 1959, 65, р. §87—§99, 10. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР 199 * 9. Постройте семиэлементную алгебру, которая не имела бы конечного базиса тождеств. * 10. Покажите, что если тождество р = q истинно в решетке L, то р = (/ будет тождеством и в полной решетке L идеалов решетки L. 10. Многообразия алгебр В каждом классе &~ однотипных (§ 6) алгебр с заданным мно- множеством F операций можно выделить различные «многообразия» алгебр, каждое из которых характеризуется множеством полино- полиноминальных тождеств р =q, которые выполняются на всех его алгебрах. Чтобы уточнить это понятие, введем играющую здесь основную роль полярность х). Определение. Для F-равенства р — q и F-алгебры Л = (S, F) пусть (р = q) рЛ означает, что р = q тождественно истинно в Л. Имея в виду полярность, определяемую отношением р при заданном F, назовем замкнутыми множествами F-алгебр и F-тождеств многообразия Г = (Г+)* и совокупности Г+ соответ- соответственно. Из результатов §§7,9 следует, что любое многообразие алгебр (i) замкнуто относительно подалгебр, прямых произведений и гомоморфных образов и Ш) содержит для любого кардинального числа г «свободную алгебру» FT (Г) с г порождающими. Тожде- Тождества от г переменных из Г+ (поляра для Г) —это в точности равенства между многочленами от порождающих алгебры Fr (Г). В этом разделе мы докажем несколько сильных обращений этих результатов. Пусть Л = (S, F) —произвольная алгебра с г порождающими, в которой выполняются все тождества из Г. По только что ска- сказанному, FT (Г) допускает гомоморфизм на Л и, в свою очередь, FT (Г) является гомоморфным образом алгебры слов Wr (F). Таким образом, доказана Теорема 19. Пусть А —произвольная F-алгебра с г по- порождающими, в которой выполняются все тождества, истинные в некотором классе F-алгебр, замкнутом относительно подалгебр и прямых произведений. Тогда А является гомоморфным образом алгебры Fr (Г). Более того, A6) ^Wr (F)/0X и Fr (Г) s Wr (F)/0, где 0! < 0. (В доказательстве используется еще следствие 1 из теоремы 13'.) Зафиксируем некоторое множество Д равенств для данного множества F операций и пусть Д* = Г — соответствующее мно- 1) Биркгоф [3, § 10]. Доказываемая ниже теорема 22 выступает там как теорема 10; доказательство проходит и для бесконечноместных операций. Заметим, что хотя &" является классом (мощности входящих в него алгебр не ограни- ограничены), F предполагается множеством.
200 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА гообразие алгебр. Тогда свободную алгебру с г порождающими хи ..., хг часто можно построить, используя следующий результат. Теорема 20. Допустим, что каждый элемент р = р (хъ ... ..., хТ) алгебры слов Wr (F) можно преобразовать путем повторного применения тождеств из А в один из многочленов pj подмножества С a Wr (F). Пусть, далее, в многообразии Д* существует алгебра А = (S, F) с порождающими хъ ..., хг такими, что если pj ф ри и \р}, ph\ cz С, то р} (xlt „., хг) Ф ph (хъ ..., хг). Тогда А яв- является свободной алгеброй с г порождающими в многообразии Д*. Доказательство. Пусть заданы алгебра В = (Т, F), принадлежащая Д*, и функция <р: X -»¦ Т, где Х = {х1г ..., хг\. Определим продолжение ф функции ф, полагая A7) ¦ф(а]) = Р где pj —единственный F-многочлен такой, что pj (xlt ..., xr) =a} в E, F). Мы должны показать, что ф — гомоморфизм, т. е. что для любой операции /„ ? F A8) /а Шах) Ф (а« (а))) = Ф (/а («1, • • •> СЩ (а)))- Ввиду соотношения A7) левая часть в A8) есть /„ (Pxip) ..-, Рп(а) С*ф))> где л; = {хг, ..., хг). Но правая часть в A8) равна ф (<7 (л;)), где q (х) = fa(pi(x), ..., рп(а) (х)) — тот единственный многочлен в С, к которому при помощи Д приводится данное выражение. Каждое равенство /а (а) = с в каждой «таблице умножения» алгебры А можно получить из Д как A9) /« (Pi (X), -.., Рп (а) (X)) = q (X), X = (хь . . ., ХТ), где pi и q — однозначно определенные ^-многочлены из С такие, что pi (x) =,ui и q (x) = с. Поэтому доказываемое тождество A8) равносильно тождеству B0) fa (Pi (*Ф) Рп (а) (ДГф)) = q (Ххф Хг(р), которое, поскольку (Т, F) ? Д*, получается применением тож- тождеств из Д к многочленам от уг = л;гф. Ч. т. д. Теперь докажем одну изящную теорему Неймана 1). Теорема 21. Пусть А —свободная алгебра с порождав ющими xt. Тогда алгебра Л/9 свободно порождается классами эквивалентности х{, содержащими элементы xt, в том и только в том случае, если 9 является вполне характеристической 2) кон- конгруэнцией. ^Neumann В. Н. Special topics in algebra. — N. Y. University, 1962, p. 58—62. См. также работу Шмидта (S с h m i d t J. — Math. Ann., 1965, 158, p. 131—157). 2) To есть совместимой со всеми эндоморфизмами алгебры А. — Прим. перев. 10. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР 201 Доказательство этого результата опирается на следующую очевидную лемму. (Заметим, что классы xt в любом случае порож- порождают Л/0.) Лемма 1. Эндоморфизм <р алгебры А индуцирует эндо- эндоморфизм алгебры Л/9 тогда и только тогда, когда из xQy следует, что (xq>) 9 (г/ф). Доказательство теоремы. Предположим, что 9 —вполне характеристическая конгруэнция на Л. Если xt -* —у г/, — какое-то отображение множества классов xt в Л/9, то пусть хг -> г/г будет одно из соответствующих отображений А -+ А, а ф — единственное его продолжение до эндоморфизма алгебры Л. Для любых элементов р (хг, ..., хТ) и q (xl7 ..., хг) алгебры А, если pQqB А, то обязательно будет и [р (хгц>, ..., хгц>)] 9 [q (л^ф, ... ..., хг<р)], поскольку 9 вполне характеристическая конгруэнция. По лемме 1 это как раз и означает, что ф индуцирует некоторый эндоморфизм ф алгебры Л/9. Следовательно, Л/9 свободна. Обратно, если алгебра Л/9 свободно порождена классами хи то существует эндоморфизм ф алгебры Л, переводящий xt в yit и он индуцирует эндоморфизм ф на Л/9. Поэтому для любых многочленов р и q из pQq в Л (т. е. из [р (х1у ..., хг)] 9 [q (xly ... ..., хг)]) следует . . ., хтц) = р{уъ . . ., уг) = q(yu . . ., уг)= :. ., хгф) = ф (q\xr, ..., хт)). Значит, по лемме 1, если xQy, то (хц>) 9 (г/ф). Но в силу про- произвольности элементов yt каждый эндоморфизм ф алгебры Л будет индуцироваться подобным образом, и следовательно (по определению) 9 является вполне характеристической конгруэн- конгруэнцией. Этим и завершается доказательство. Следствие. При заданных Fur свободные алгебры с г порождающими являются фактор-алгебрами WT (F)!Q алгебры слов Wr (F) по вполне характеристическим конгруэнциям. Лемма 2. Множество Г+ всех тождеств, истинных в алгебре А или в множестве Г однотипных алгебр Av = (Sy, F), замкнуто относительно следующих правил вывода: (]) если ph=qh —тождество для h=\, ...,n,'mofi (pu ...,pn) = = fi (q1, ..., qn) для любой п-арной операции fi ? F; (ii) если р — q — тождество в Г, то при подстановке любого многочлена r\ (Xj) вместо переменной Xj во всех ее вхождениях в р =q снова получится тождество для Г. Указанные правила вывода очевидны и столь же очевидно, что они устанавливают определенную связь класса Г с алгеброй слов WT (F). Именно, правило подстановки (i) утверждает, что любое отношение эквивалентности 9 является конгруэнцией на каждой алгебре. слов Wr(F). Подстановки же вида (ii) — это в точности эндоморфизмы алгебры слов WT (F). Поэтому в силу теоремы 21 замкнутость относительно правила подстановки (ii)
202 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА означает, что Wr (F)/Q является свободной алгеброй. Таким обра- образом, доказана Теорема 22. Для произвольного заданного множества F операций рассмотрим полярность между алгебрами А = (S, F) и тождествами р — q, определяемую следующим отношением: B1) (р = а) рА означает, что р = q в А. (/Замкнутыми» относительно этой полярности будут мно- множества алгебр, замкнутые относительно подалгебр, прямых произведений и гомоморфных образов, и совокупности тождеств, являющиеся отношениями эквивалентности, замкнутыми в смысле правил вывода (i)—(И). Тарский назвал классы алгебр, определяемые указанной полярностью, «эквационально определимыми». 11. Полиморфизмы. Криптоизоморфизмы В идеале универсальная алгебра должна бы дать системати- систематическую классификацию и описание всех мыслимых алгебр. Вы- Выполнение этой программы начинается с логической классификации алгебр по типам в соответствии с числом их различных нульар- ных, унарных, бинарных, тернарных и т. д. операций и по ми- минимальному числу их образующих. (Это число всегда существует, поскольку кардинальные числа вполне упорядочены (см. главу VIII).) Таким образом с каждой алгеброй А = E, F) связывается единственная алгебра слов WT (F) и конгруэнция 9. Действуя в этом духе, можно легко перечислить, например, все алгебры с одним порождающим и одной унарной операцией х) а. Сначала вспомним упр. 7 из § 6, где высказано следующее утверждение. Лемма 1. (Свободная) алгебра слов Wx (а) с одной унар- унарной операцией а и одним порождающим х изоморфна множеству N неотрицательных целых чисел с операцией следования a (k) — = k + 1. Алгебра слов Wr (о) является дизъюнктным объеди- объединением г копий алгебры N. Лемма 2. Собственная конгруэнция 9 самого общгго вида на алгебре слов Wx (а) задается выбором двух положительных целых чисел т и п и условием B2) kQl тогда и только тогда, когда k = I (п) и k, I зг т. Классификация унарных алгебр с г порождающими xt про- производится аналогично. Каждому i сопоставляется либо пустое множество 0, либо два положительных целых числа т (i) и п (i), наименьшие со свойством ат (xt) = am+n (xi). Кроме того, х) Детальное обсуждение алгебр с одной унарной операцией, по существу, повторило бы соответствующую часть классической монографии Дедекинда «Was sind und was sollen die Zahien». [Русский перевод: Что такое числа и для чего они служат. — Казань, 1905.—Прим. перев.] 11. ПОЛИМОРФИЗМЫ. КРЙПТОИЗОМОРФЙЗМЫ 203 каждой паре i, j соотносится либо пустое множество, либо наи- наименьшая пара положительных целых чисел h, k таких, что oh (xt) — Аналогичная задача для бинарных алгебр, даже с одной опе- операцией, уже невероятно усложняется. Здесь мы не будем ее рас- рассматривать. И вместо этого закончим пессимистическим замеча- замечанием о том, что, даже решив эту задачу для каждой алгебры слов Wr (F), мы не получим полного решения проблемы классификации алгебр. Это объясняется двумя трудностями, связанными с по- понятиями полиморфизма и криптоизоморфизма. Сейчас мы обсу- обсудим эти понятия, первое из которых вдел Бурбаки. Определение. Полиморфизмом алгебры А = E, F) в алгебру В = (Т, G) называется пара функций, состоящая из взаимно однозначного соответствия 9: F *-*¦ G такого, что B3) если gp = 9 (/а), то пф) = п (а), и отображения ср: 5 -> Т, для которого B4) ёГр (Ф (*i). ¦ • •> Ф (*»)) = Ф (U (*i. ¦ • - *»)). я = п (а) = я (Р). Полиморфизм, у которого ф — тоже взаимно однозначное соответствие, называется полиизоморфизмом. Например, дуальный изоморфизм между решетками является полиизоморфизмом, при котором 9 (д) = V и 9 (V) = Л- Очевидным образом детализируя понятие полиизоморфизма, при- приходим к полиавтоморфизму. Важным примером полиавтоморфиз- полиавтоморфизмов являются невырожденные полулинейные преобразования п-мер- ного (правого) векторного пространства над телом D — мы имеем в виду отображения х -> у вида B5) yi = ff(Sflfi*/). где а — автоморфизм тела D, а |а^|| — невырожденная квадрат- квадратная матрица с элементами из D. Гораздо более серьезное затруднение связано с тем, что одна и та же абстрактная алгебра часто может быть определена раз- различными неполиизоморфными способами. Например, группа в § 1 была введена как алгебра с одной бинарной и одной унарной операцией. Ее можно определить и как множество с одной би- бинарной операцией ху, одной унарной операцией х ->х~х и одной нульарной операцией, выбирающей постоянный «единичный эле- элемент» е, причем для этих операций выполняются тождества B6) х (уг) = (ху) г, хх'1 = х~хх = е, еу == уе = у. Группу можно задать и как множество с двумя бинарными операциями х/у = ху'1 и х\у = х~гу (как кольцо или решетку), подчиненными тождествам B7) х/х = у\у, у/(у\х) = х, x\(y/z) = (x\y)/z и т. д. для всех х, у, г.
204 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА Наконец, группу можно определить одной ассоциативной би- бинарной операцией ху такой, что уравнения ха = Ъ и ау = Ъ всегда разрешимы относительно х и у (экзистенциальные тождества). Поэтому, если задана какая-то группа (X, F), где F = {•, ~г\, то из нее можно получить три другие группы (X, Ft) (i = 1, 2, 3) с различными множествами операций, причем они не будут полиизоморфными. Но все они криптоизоморфны (от греческого слова «скрытый, тайный») в следующем смысле. Определение. Пусть А = (X, F) и В = (X, G) — алгебры с одними и теми же элементами. Криптоизоморфизм между А а В состоит из двух наборов равенств: (i) для каждой операции fa ? F задаются G-полиномиальные равенства qf (х, у) = = qf (х, у), равносильные равенствам у = /а (jc) в А, и (и) для каждой операции gg ? G указаны F-полиномиальные ра- равенства /?f (х, ,у) = р^(х, у), равносильные равенствам у = = #»(•*) в В- ~ " -*«^., Например, булева решетка криптоизоморфна подходящей булевой алгебре и (очевидно) наоборот. В несколько более общем смысле любая решетка L криптоизоморфна полурешетке, зада- задаваемой на том же множестве элементов одной лишь операцией V. Это потому, что равенство у = х± д х2 равносильно следующему набору из двух равенств и одного условного равенства: (i) xx V у= = xi, (ii) x2 V у = х2; (iii) если хх V z = хг и л;2 V z = x2, то г/ V z = г/. Упражнения к §§ 10—11 1. Покажите, что в полной решетке, элементами которой являются «замкну- «замкнутые» множества тождеств, / будет замыканием тождества х = у. Опишите для заданного F двойственное многообразие /+ алгебр. 2. Пусть Э — конгруэнция на некоторой алгебре А и 0: А->- А/В —^вязан- —^вязанное с ней «естественное» наложение. Покажите, что для гомоморфизма ф: А -> В (i) существует гомоморфизм ij>: (А/в) -*¦ В такой, что Gij) = ф тогда и только тогда, когда из ава^ в А следует а<р = ^ф (ф «совместим» с 0), и (ii) этот гомоморфизм г)з является единственным в данном случае. 3. Убедитесь в справедливости леммы 1 из § 11. 4. Покажите, что решетка всех многообразий решеток дистрибутивна. (Указание. Используйте теоремы 9 и 21.) 5. (а) Докажите, что решетка всех многообразий групп модулярна. (б) Покажите, что каждое многообразие абелевых групп состоит из таких групп, в которых пх = 0 для некоторого подходящею натурального п. (в) Покажите, что решетка всех многообразий абелевых групп дистрибутивна. 6. Покажите, что решетка всех многообразий алгебр с одной унарной опе- операцией и одним порождающим дистрибутивна. 7. Покажите, что если алгебры А и В криптоизоморфны, то Aut A se Aut В, но А и В не обязательно имеют изоморфные решетки подалгебр или решетки конгруэнции. 8. (а) х) Для произвольной группы G пусть А = (G, Т), где Т — множество всех левых трансляций fa (х) = ах, а ? G. Покажите, что решетка конгруэн- конгруэнции алгебры А изоморфна решетке всех подгрупп группы G. -1) Это задание повторяет упр. 8 к § 4. — Прим. перев. * 12. ФУНКТОРЫ И КАТЕГОРИИ 205 (б) Покажите, что алгебра А не будет криптоизоморфной группе G. 9. Покажите, что соответствие между дистрибутивной решеткой (L, Д, \J) и тернарной алгеброй А, задаваемой на L операцией медианы, иногда является криптоизоморфизмом, но что это бывает далеко "не всегда. 10. Покажите, что если А — конечно порожденная алгебра, то каждое множество ее порождающих содержит конечное подмножество, порождающее А. 11. Докажите, что полиизоморфизм и криптоизоморфизм являются отно- отношениями эквивалентности между алгебрами. 12. Постройте криптоизоморфизм булевой алгебры (i) с булевым кольцом, (ii) с алгеброй Шефера *). 13. Решите проблему тождества для свободной алгебры Шефера с г порож- порождающими. 14. Покажите, что любые две криптоизоморфные алгебры (S, F) и (S, G) имеют криптоизоморфные свободные алгебры. 15. Покажите, что в решетке решеточных эквациональных теорий совокуп- совокупность всех тождеств, истинных в пятиэлементной немодулярной решетке Л/й, покрывается совокупностью тождеств, истинных в дистрибутивных решетках. (Указание. Все собственные подрешетки и все гомоморфные образы реше1ки Л'5 дистрибутивны.) 16. Установите криптоизоморфизм между алгеброй Ли и «обертывающей» линейной ассоциативной алгеброй 2). *12. Функторы и категории Многие из рассмотренных конструкций определяют функторы из одного класса однотипных алгебр в другой класс алгебр того же самого или иного типа. Под функтором мы понимаем функцию г|з, которая переводит множества в множества, отображения в ото- отображения и сохраняет суперпозицию и тождественное отобра- отображение: для любых множества S и отображений /: S -+Т, g: T -*¦ U. Более того, большинство из упомянутых конструкций яв- являются соответствиями, сопоставляющими гомоморфизмам класса алгебр данного типа гомоморфизмы класса г|з (Г) (некоторые пере- переводят только изоморфизмы в изоморфизмы). Любой типовой класс алгебр определяет конкретную кате- категорию, объектами которой являются алгебры этого класса, а Нот (А, В) для двух его алгебр состоит из всех гомоморфиз- гомоморфизмов ф: А -+В. Очевидно, что \А является изоморфизмом и что множество гомоморфизмов замкнуто относительно суперпозиции функций. Так же как понятие упорядоченного множества обобщает (путем абстракции) упорядоченность в совокупности подмножеств данного множества, так и идея категории является естественной абстракцией от взаимосвязей в какой-нибудь совокупности функ- х) Под алгеброй Шефера понимается алгебра с одной унарной операцией удовлетворяющей тождествам I и II из § 11.10. —Прим. перев. и ред. 2) Это теорема Биркгофа — Витта (см. Кон [1, с. 308]).
206 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА ций между множествами *). Но в отличие от у-множеств, кате- категории не обязаны быть «множествами» (их мощность может быть неопределимой); и даже если они являются множествами, они будут лишь «частичными» алгебрами. Поэтому техника этой главы к категориям не приложима. Из быстро развивающейся теории категорий мы позаимствуем лишь два относящихся к нашим рассмотрениям понятия: инъек- тивная и проективная категории. Конкретная категория всех множеств и функций (отображений) имеет следующие два свойства: (i) для любого заданного вложения ц,: А ->¦ В существует правое обратное наложение v: В -*А, такое, что рл> = 1Д; (И) для любого заданного наложения v: В -*¦ А существует левое обратное вложение [х: А —>В такое, что ц/v = 1А. Этими свойствами не обладает, однако, категория всех абеле- вых групп и их гомоморфизмов. Так, вложение ц,: Z2 -> Z4, где [i (п) = 2п, не имеет правого обратного, а наложение v: Z4 ->¦ Z2, где v (n) = п (mod 2), не имеет левого обратного. Определение. (Конкретная) категория Г называется инъекпгивной, если в Г выполняется условие (i), и называется проективной, если в ней выполняется условие (И). Для многообразия Ф алгебр возникают два важных вопроса: является ли Ф инъективным? будет ли Ф проективным? Класси- Классическим результатом является тот факт, что категория всех век- векторных пространств (или «D-модулей») над фиксированным полем или телом D инъективна и проективна. Точно так же обстоит дело для категории всех конечных булевых алгебр 2) и для категории всех цепей. (А что можно сказать о категории всех конечных дистрибутивных решеток? о категории всех булевых решеток?K) Теорема 23. Любая свободная алгебра F проективна. Это означает, что если заданы гомоморфизм ц,: F ->¦ В и нало- наложение v: Л'->-В, то существует гомоморфизм 0: F ->-Л такой, что [а = v0 4). Пусть \ха\ есть множество канонических порож- *) По поводу общей теории категорий и функторов см. статью Маклейна (М а с 1 a n e S. — Bull. AMS, 1965, 71, р. 40—106) и книгу Фрейда (F г е у d Р. Abelian Categories. — Harper and Row, 1964). Некоторые приложения этих понятий к универсальной алгебре указаны в книге Кона [1]; многие же более глубокие теории двойственности в категориях применимы лишь к специальным алгебраическим структурам на абелевых группах. [См. также Ц а л е н к о М. Ш., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий.—М.: Наука, 1974; Б у- кур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов.—М.: Мир, 1972. — Прим. ред.] 2) Любой обратимый функтор, такой как, например, функтор из категории 22-модулей в категорию обобщенных булевых алгебр, очевидно, переводит инъ- ективные или проективные конкретные категории в категории с тем же свой- свойством. 3) Правильнее ставить вопрос о наличии достаточно большого числа инъек- тивных и проективных алгебр в данном многообразии Ф. Эта задача явилась предметом многочисленных исследований. — Прим. ред. 4) Это и есть определение проективной алгебры. — Прим. ред. ПРОБЛЕМЫ 207 дающих алгебры F. Выберем уа ? А таким образом, чтобы v {Уа) — М- (ха)- Эт° возможно, поскольку v — наложение. Тогда отображение, переводящее каждый ха 'в выбранный уа, можно продолжить до гомоморфизма 0: F ->А, так как F свободна. Ввиду того, что \i (ха) = v (ха) = v @ (ха)) и ха порождают F, теорема доказана. ПРОБЛЕМЫ 38. Будет ли теорема Фунаямы выполняться в коммутатив- коммутативных моноидах, в которых из а + Ъ = 0 следует а = Ь = 0, т. е. в коммутативных моноидах «без центра» в смысле Йонссона и Тарского? (Ответ отрицательный (Йонссон).) 39. Найти необходимые и достаточные условия для решетки L, чтобы ее конгруэнции образовывали булеву алгебру *). 40 2). Какие конечные решетки допускают вложение в FL C)? Какие счетные решетки обладают этим свойством? Какие конеч- конечные решетки являются интервалами решетки FL (п)? 41. Описать подрешетку решетки FL (п), состоящую из эле- элементов, инвариантных при всех ее автоморфизмах. Что пред- представляют из себя модулярные пары в FL (п) (Уотермен)? *42. Решить проблему тождества слов для свободной моду- модулярной решетки с четырьмя порождающими, с п порождающими 3). 43 4). Описать свободную модулярную решетку, порожденную четырьмя элементами а, а', Ъ, Ъ' такими, что а д а! = Ъ Д Ъ' = = Ona\fa' = b\/b' = I. 44 5). Описать свободную модулярную решетку, порожденную у-множеством 1 + 1 + и (см. упр. 2 к § 8). 45 е). Показать, что модулярная решетка тогда и только тогда разложима в подпрямое произведение копий решеток 2 и М3, когда она тождественно удовлетворяет неравенству а V (х А Ь) V (у А Ъ) =э Ъ д (а V х)\ А (а V у) А (х V У) и двой- двойственному ему. *) Проблема 72 из [LT2]. См. работы Гретцера и Шмидта (G r a t 7 е г G., Schmidt Е. Т. — Ada Math. Acad. Sci. Hung., 1958, 9, p. 137—175), Икбалуннсы (I q b a 1 u n i ss a. — J. Madras Univ., 1963, 33, p. 113—128), Кроули (Crawley P. — Pacific J. Math., 1960, 10, p. 787—7951. 2) Ответ на первый вопрос получил Нейшн (Nation J. В. — Trans. AMS, 1982, 269, p. 311—337). Описание пленарных подрешеток свободных решеток см. у Райвела и Сэндса (Rival I., Sands В. — Canad. J. Math,, 1979, 31, № 1, p. 17—34). — Прим. перев. 3) Проблема 28 из [LT21. См. примечание1) на с. 195. Звездочка отмечает «неприступные» проблемы. — Прим. перев. 4) Эту проблему решил Херман (Herrman С. — Housto.i J. Math., 1976, 2, № 4, p. 513—523). — Прим. перев. 5) Эту проблему решил Вилле (W i I I e R.—Algebra univers., 1973, 3, № 2, p. 131—138). — Прим. перев. е) Эту проблему решил Йонссон (J о n s s о п В.—Math. Scand., 1968, 22, № 1, p. 187—196). —Прим. перев.
208 ГЛ. VI. УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА 461). Найти свободные решетки с четырьмя порождающими в многообразии, порожденном решеткой М3, и в многообразии, порожденном решеткой N6. 47. Для каждых п, р построить свободную (модулярную) решетку с четырьмя порождающими в многообразии, порожден- порожденном решеткой PGn_t (Zp). 48. Решить проблему тождества слов для свободной орто- решетки с двумя порождающими, с п порождающими, с п орто- ортогональными порождающими 2). 49. Пусть F (m, k) обозначает свободную примитивную алгебру с т унарными операциями и k порождающими. Будет ли F (m, k) при т = 1 криптоизоморфной свободной полугруппе с k порождающими? Какова решетка конгруэнции алгебры F (т, й)? Какие конгруэнции на ней будут строго характеристическими 3)? 50. Охарактеризовать (как решетку) полную решетку всех строго характеристических подалгебр алгебры слов с двумя по- порождающими и одной унарной операцией 4). * 51. Описать решетку всех групповых эквациональных теорий. *52Б). Описать решетку всех решеточных эквациональных теорий; всех решеточных эквациональных теорий, содержащих модулярный закон L5. *53. Пусть / — класс всех алгебр с одной бинарной опера- операцией и /* — множество всех тождеств для одной бинарной опе- операции. Пусть ApL (где А ? /, L ? /*) означает, что тождество L истинно в алгебре А. Изучить полную решетку, определяемую получающейся полярностью. 54. Как, используя «клоны» (Кон [1, глава III]), распозна- распознавать возможность изоморфного вложения одной (свободной) алгебры слов в другую? 55. Если р — бинарное отношение между элементами мно- множеств X и Y, то пусть (х, у) р (х*, у*) в кардинальном произве- произведении XY означает, что хрх* и уру*. Для каких операций х°х*, определяемых при помощи р, в XY будет (х, г/)« (х*, у*) — (хох*, у°у*)?°) *56. Решить проблему тождества слов для операций сложе- сложения, умножения и суперпозиции в RR и Zz. х) Берман и Уолк (В е г m a n J., W о 1 к В. — Algebra univers., 1980, 10, №3, p. 269—289) установили, что FM3D) содержит 19 982 элемента, a FN5 D) состоит из 540 792 672 элементов. — Прим. перев. 2) Разрешимость проблемы тождества для свободных орторешеток установил Брунс (Bruns G. — Canad. J. Math., 1976, 28, № 5, p. 977—985). — Прим. перев. 3) To есть совместимыми со всеми эндоморфизмами этой алгебры на себя. — Прим. перев. 4) Калицкий и Скотт (Kalicki J., Scott D. — Indac;. Math., 1955, 17, p. 650-652). 5) Проблема, поставленная А. И. Мальцевым на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 г. — Прим. перев. 6) Проблема 10 из [1Д2]. — Прим. перед, ГЛАВА VII ПРИЛОЖЕНИЯ В АЛГЕБРЕ 1. Модули. Группы с операторами Абелевы группы, векторные пространства, линейные алгебры, кольца и представления групп и колец линейными операторами на векторных пространствах можно рассматривать как специаль- специального вида «модули» в смысле, который мы уточним ниже. Первая половина этой главы будет посвящена анализу строения таких модулей х) и более общих групп и луп с операторами. Основным инструментом при этом является теория модулярных решеток и «универсальная алгебра», как она представлена в главе VI. Модулем (или «Q-модулем») называется аддитивная абелева группа А вместе с некоторым (может быть, пустым) множеством Q ее эндоморфизмов. Такой модуль является «алгеброй» в смысле главы VI: множеством операций можно считать "F ="{—, Q} (т. е. вычитание и «умножение на со» для каждого со ? Q или F* = { + , —, Q}. С точки зрения своего устройства модули отли- отличаются одним очень специальным свойством. Теорема 1. Решетка конгруэнции и решетка подалгебр любого модуля являются изоморфными модулярными решетками. Набросок доказательства. Конгруэнции на М являются разбиениями модуля М на классы сопряженности по различным его О-подмодулям, т. е. по таким аддитивным под- подгруппам 5 а М, для которых если х ? S, то и>х ? 5 при всех со ? О. Но этими Q-подмодулями будут в точности «подалгебры» модуля М, рассматриваемого как «алгебра». Эти «подалгебры», наконец, образуют подрешетку модулярной решетки (теорема 1.11) всех подгрупп (абелевой) группы М: в любой алгебре А подалгебры, замкнутые относительно неко- некоторого набора эндоморфизмов, образуют подрешетку решетки всех подалгебр (глава VI, § 3). Пример 1. Пусть R — кольцо с единицей 1. Если в ка- качестве Q выбрать множество левых мультипликативных трансля- трансляций а: х -+ах, то решеткой, о которой говорится в теореме 1, будет решетка левых идеалов кольца R. Решетки его правых идеалов и двусторонних идеалов могут аналогичным образом рас- х) Получение подобных структурных и декомпозиционных теорем было одной из первых целей теории решеток. См., например, работы Дедекинда [1], Биркгофа [1], [3] и Оре [1]. Заметим, что приводимое здесь определение «мо- «модуля» является более общим, чем то, которое обычно используется, — мы не требуем, чтобы Р было кольцом эндоморфизмов.
210 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ В АЛГЕБРЕ сматриваться как подмодули при соответствующей понятной модификации Q. Пример 2. Пусть /: G -> Ln (D) — какой-нибудь гомо- гомоморфизм группы G в полную линейную группу невырожденных п X n-матриц над телом D. Возьмем в качестве й множество ли- линейных операторов Tg на Dn, которые соответствуют элементам группы G при отображении /, и всевозможные умножения на скаляры X ? D. Тем самым задается модуль, О-подмодулями которого будут подпространства в Dn, которые отображаются в себя под действием всех указанных линейных операторов. С подобных позиций можно подходить и к декомпозициям представлений колец. Группы с операторами. Существенная часть теоремы 1 остается справедливой и для неабелевых групп с операторами *) (т. е. с заданным множеством эндоморфизмов). Именно, имеет место Теорема Г. Пусть G — какая-нибудь группа с множе- множеством Q операторов (эндоморфизмов группы G). Тогда Q-инва- Q-инвариантные нормальные подгруппы группы G образуют модулярную решетку. Доказательство — как в теореме 1. Ясно, что если Q содержит все внутренние автоморфизмы, то решетка О-подалегбр алгебры {G, —, О,)} будет изоморфна решетке всех конгруэнции этой алгебры. Однако в общем случае неабелевых групп без операто- операторов это уже не верно 2). 2. Квазигруппы и лупы Некоторые результаты § 1 и их важные следствия можно перенести на лупы с операторами. Мы наметим основы этого обобщения. Определение. Квазигруппой называется алгебра с би- бинарным умножением, в которой любые два из трех членов урав- уравнения аЪ = с однозначно определяют третий. Таким образом, в квазигруппе деление однозначно и имеет место следующий двусторонний закон сокращения: A) если ах — ау или xb = yb, то х = у. Отсюда видно, что класс квазигрупп может быть определен квазитождествами. г) Важное понятие «группы с операторами» было развито Эмми Нётер и ее сотрудниками для унификации структурных теорий для систем вышеуказанных типов. См. работу Крулля (Krull W. — Math. Z., 1925, 23, S. 161—196) и книгу ван дер Вардена [1,§ 38 и далее]. [В настоящее время теория модулей выросла в большую самостоятельную теорию, отраженную в многочисленных монографиях (см. Ламбек И. Кольца и модули.—М.: Мир, 1971; Каш Д. Кольца и модули.—М.: Мир, 1981; Фейс К- Алгебра: кольца, модули и категории, т. 1—2. — М.: Мир, 1977—1979). — Прим. ред.] 2) Ср. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1973, гл. III, § 2. — Прим. ред. 2. КВАЗИГРУППЫ И ЛУПЫ 211 Если в квазигруппе ввести дополнительные бинарные опера- операции левого деления \ и правого деления /, полагая х =а\с тогда и только тогда, когда ах — с, и -у = с/а тогда и только тогда, когда уа = с, то, как легко убедиться, будут выполняться следующие тождества: EQ1 а (а\с) = с и (с/Ь) Ъ = с; EQ2 а\(аЬ) = Ъ и (ab)/b = а; EQ3 с/(а\с) = а и (с/Ь)\с = Ъ. Обратно, любая эквазигруппа, т. е. система E, •, \, /) с тож- тождествами EQ1—EQ3, будет квазигруппой в смысле основного определения. Таким образом, квазигруппы и эквазигруппы являются криптоизоморфными классами алгебр. С общеалгебраической точки зрения понятие эквазигруппы представляется более естественным по двум причинам. Во-первых, непустое подмножество квазигруппы Q является квазигруппой тогда и только тогда, когда оно будет подалгеброй (в смысле главы VI) эквазигруппы (Q, •, \, /). А во-вторых, если 0 — конгруэнция на Q, то Q/0 будет квазигруппой тогда и только тогда, когда 6 является конгруэнцией на Q как на эквазигруппе, т. е. тогда и только тогда, когда для 0 выполняется свойство под- подстановки не только относительно умножения, но и относительно обоих делений. Лупой называется квазигруппа с двусторонней «единицей» 1, удовлетворяющей тождествам \х = х\ = х для всех х, так что х/х = х\х = 1. Лупы тоже можно определить двумя способами в соответствии с двумя рассмотренными способами определения квазигруппы. Определение. Мультипликативная (т. е. относительно умножения) конгруэнция 6 называется нормальной конгруэн- конгруэнцией лупы G, если из того, что их = х @) или хи = х @) для всех х, следует, что и = 1 @). Лупа, по определению, нормальна, когда все ее (мультипликативные) конгруэнции нормальны. Любое отношение эквивалентности на лупе, обладающее свой- свойством подстановки по отношению ко всем трем эквазигрупповым операциям, очевидно, будет нормальной конгруэнцией, если его рассматривать относительно одного лишь умножения: действи- действительно, из их = х следует, что и = х/х = 1. Теорема 2. Лупа G нормальна, если выполняется хотя бы одно из следующих условий: (i) G является группой; (И) (ух) х'х= — у = х'1 (ху) для всех х, у ? G [и некоторого лГ1; (iii) G конечна. Доказательство. Ясно, что (и) следует из (i). В слу- случае (ii), если их = х, то и — (их) лГ1 = хх'1 =1 @), и симме- симметрично. Пусть, наконец, выполняется условие (iii). В любой лупе, если х = у @), то xb = yb @). Так как отображение х -»¦ xb переводит различные элементы в различные, то число
212 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ В АЛГЕБРЕ элементов в классе, содержащем xb, во всяком случае не меньше числа элементов в классе, содержащем х. Но уравнение xb = у. имеет решение при любом х, поэтому все классы эквивалентности имеют одинаковую мощность. Если G конечна, то отсюда следует нормальность конгруэнции 0: множества элементов вида хи, соответственно их, при и ее 1 @) должны содержать все у = х @). Лупы с операторами. Точно так же, как и в случае групп, эндоморфизмы лупы можно назвать «операторами». При этом решетка конгруэнции лупы с операторами оказывается замкну- замкнутой подрешеткой решетки конгруэнции лупы как таковой х). 3. Перестановочные конгруэнции Общее понятие конгруэнции для алгебр было введено в § VI.4. Там было показано, что конгруэнции любой алгебры А = (S, F) образуют замкнутую подрешетку решетки Е (S) всех отношений эквивалентности между элементами множества 5. Теперь мы рассмотрим свойство перестановочности 2) конгруэнции; оно будет играть ключевую роль во многих построениях настоящей главы. В общем виде (см. § XIV. 13) произведение 00' двух бинарных отношений 0 и 0' на множестве S определяется следующим пра- правилом: B) а = Ъ @0') тогда и только тогда, когда существует эле- элемент х (j S такой, что а = х @) и х = b @'). Умножение отношений ассоциативно. Кроме того, поскольку отношения эквивалентности рефлексивны и транзитивны, оно для отношений эквивалентности и идемпотентно, в том смысле, что 0" = 0 при любом п = 2, 3, 4, ... Определение. Два отношения 0 и 0' на множестве 5 перестановочны, если 00' = 0'0. Это означает, что если а = х @) и х ее b @'1) для некоторого х 6 S, то а = у @') и у ее Ь @) для некоторого у ? S, и обратно. Лемма. Любые две конгруэнции эквазигруппы] перестано- перестановочны. Доказательство. Пусть 0 и ср — конгруэнции на эквазигруппе и пусть адх и хц>Ь. Определим элемент у формулой у = ф/и) ((х/и) а). Тогда а = ф/и) (ф/и)\а) ц>у, г/0 ф/и) ((а/и)\а) = ф/и)и = Ь. J) Ср. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — М: Наука, 1967. — Прим. ред. 2) Перестановочные отношения эквивалентности впервые изучали Дюбрей и Дюбрей-Жакотен, назвавшие их «содружественными» (D u b г е i I, P., D и fa- fare il-Jacotin M.-L. — J. de Math., 1939, 18, p. 63—95). 3. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 213 Более того, каждая конгруэнция на эквазигруппе определяется любым своим классом. Чтобы получить аналог доказанной леммы для луп (и квази- квазигрупп), нам придется ограничиться нормальными конгруэнциями, определенными в § 2. Теорема 3. Всякая нормальная конгруэнция на лупе перестановочна с любой конгруэнцией. Доказательство. Предположим, что а ее х @) и х = = b @'), и пусть а = их, b = xv и у = и (xv) = ub. Поскольку х = b @'), то у = ub = их — а @'). Так как их = а ее х = = \х @) и 0 нормальна, то и = 1 @), и значит, у = ub = b @). Этим доказано, что 00' < 0'0. Для доказательства обратного включения достаточно всюду изменить порядок сомножителей. Следствие. В любой нормальной лупе конгруэнции пере- перестановочны. В самом деле, если мы присоединяем к алгебре новые операции, решетка конгруэнции становится меньше. Поэтому если кон- конгруэнции на группе (или другой лупе) G нормальны, то они остаются нормальными и на той же группе, рассматриваемой как группа с операторами. Теорема 4. Конгруэнции алгебры с перестановочными конгруэнциями образуют модулярную решетку, в которой 0 V 0' = = 90' = 0'0. Косвенное доказательство. По теоремам VI.8 и IV. 13 любые две перестановочные конгруэнции алгебры А образуют модулярную пару в решетке, двойственной решетке конгруэнции алгебры А. Отсюда непосредственно следует тео- теорема 4. Прямое доказательство. По определению а = = b @ V 0') тогда и только тогда, когда а = XoQxxQ'XiQx-s ... хп = Ъ для некоторой конечной последовательности. Другими словами, 0 V 0' является теоретико-множественным объединением всех конечных произведений 00'00'... Но поскольку, по условию, конгруэнции перестановочны, их умножение будет идемпотент- ным, коммутативным и ассоциативным, и следовательно, опреде- определит структуру полурешетки на множестве всех конгруэнции. Значит, все указанные произведения совпадают с 00' = 0'0, что и доказывает требуемые в теореме равенства. Согласно модулярному неравенству, чтобы доказать моду- модулярность решетки конгруэнции, достаточно убедиться в том, что C) если 0" < 0', то 0' д (99") = (& Л 0) 0". Предположим, что а = b @') и а = b @0"), т. е. что а ее = Ь (9' Л (96"))- Тогда для некоторого х будет а ее х @) и х ее ее Ъ @"). Но 0" < 0', поэтому х = b @;). Так как а ее Ъ @') и 0'
214 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ В АЛГЕБРЕ транзитивно, отсюда следует, что а = х (9 Д 6'). Поскольку х ~ Ь @"), мы получаем C). Ч. т. д. На самом деле, как заметил Йонссон, достаточно предполо- предположить, что ее'е = е v e' для всех е, е'. Обобщения. Многообразия, все алгебры которых имеют пере- перестановочные конгруэнции, чрезвычайно редки, как показывает следующее замечательное обобщение теоремы 3, принадлежащее А. И. Мальцеву 1). Теорема Мальцева. Для того чтобы любые две конгруэнции на всех алгебрах многообразия были перестано- перестановочны, необходимо и достаточно, чтобы существовал тернарный многочлен р (х, у, г) такой, что р (х, х, у) = р (у, х, х) = х. Как показал Тревизан2), на квазигруппах существуют не- неперестановочные конгруэнции. Точно так же, хотя по теореме Фунаямы VI.9 конгруэнции на любой решетке образуют дистри- дистрибутивную решетку, конгруэнции на решетке, вообще говоря, не перестановочны. Якубик нашел необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять решетка, чтобы все ее конгруэнции были перестановочны (см. ниже упр. 10). Упражнения ꧧ 1—3 1. Покажите, что ассоциативная квазигруппа является группой. 2. Покажите, что группу можно определить (с точностью до криптоизомор- физма) как квазигруппу, которая удовлетворяет тождеству (х/у)\г = у/(г\х). (Указание. См. Кон [1, с. 180, упр. 4—6].) 3. Покажите, что класс луп замкнут относительно прямых произведений, но не замкнут относительно подалгебр и гомоморфных образов. (Киокемейстер и Бейтс). 4. Покажите, что если все конгруэнции алгебры А перестановочны, то это верно и для любого ее гомоморфного образа. 5. Покажите, что в алгебре, имеющей только унарные операции, все кон- конгруэнции перестановочны тогда и только тогда, когда общее число конгруэн- конгруэнции этой алгебры не превышает трех3). 6. Покажите, что решетка конгруэнции цепи 4 является булевой, хотя кон- конгруэнции на решетке 4 не перестановочны. Упр. 7—8 содержат результаты Вана (Wang S.-C. — Acta Math. Sinica, 1953, 3, p. 133—141). * 7. Покажите, что конгруэнции модулярной решетки с дополнениями L образуют булеву, алгебру тогда и только тогда, когда все нейтральные идеалы решетки L — главные. 2) Матем. сб., 1954, 35, р. 3—20. См. также работы Терстона (Thur - ston Н. А. — Proc. London Math. Soc, 1958, 8, p. 127—134) и Пиксли ( Р i x- 1 е у A. F. — Proc. AMS, 1963, 14, р. 105—109). [См. также S m i t h J. D. H. Mal'cev varieties.—Lect. Notes. Math., vol. 554, 1976. — Прим. ред.] 2)Trevisan G. — Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1953, 22, p. 11—22. [Из теоремы Мальцева следует перестановочность конгруэнции на любой эква- зигруппе. — Прим. перев.] 3) Как отметил Якубик (J a k u b i к J. — Casop. pestov. mat., 1956, 81, p. 43—54), указанное условие не является необходимым. — Прим. перев. 4. ПРЯМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 215 8. Покажите, что конгруэнции любой решетки с относительными дополне- дополнениями перестановочны !). 9. Покажите, что если конгруэнции дистрибутивной решетки перестано- перестановочны, то она обладает относительными дополнениями (Хасимото). 10. Покажите, что конгруэнции на решетке L перестановочны тогда и только тогда, когда для любых Э,ф ? в (L) и а < *•< Ь, таких, чтоаОяи x(fb, в 1/F Дер) существует относительное дополнение для х в \а, Ь] 2) (Якубик). 11. Покажите, что теорема 4 не обязательно выполняется в частичных алгебрах с бесконечноместными операциями (например, в топологических абеле- вых группах). 4. Прямые разложения Покажем теперь, как можно отыскать прямые разложения алгебры с перестановочными конгруэнциями, зная ее решетку конгруэнции. Лемма. Пусть 0Ь 02 — перестановочные конгруэнции на алгебре А, причем 9Х д 92 = О и 9Х у бг = /• Тогда А изо- изоморфна прямому произведению Лх X Л2, где At является гомо- гомоморфным образом А/9; алгебры A (i = 1, 2). Доказательство. Пусть хЬг обозначает класс конгруэн- конгруэнции 9;, содержащий х. Тогда соответствие х -> (xQx, хв2) является гомоморфизмом алгебры А на подалгебру прямого произведения Ах X Л2. Если хд± = yQi и xQ2 = yQ2, то х = у, поскольку 9Х Д д 62 = О. Значит, это соответствие взаимно однозначно. Если х и у заданы в Л, то поскольку Э^ = 9] V ®2 — I, найдется эле- элемент z такой, что х = г FХ) и z = у F2). Так что z ->¦ (л;01, г/92), т. е. наше отображение будет наложением. Теорема 5. Прямые разложения A ss Ах X ... X Л„ алгебры А определяются совокупностями конгруэнции 9; такими, п что А 9; = О и для i — 2 п Dа) бх Д . . . Д 9j_x перестановочна с 0г; D6) (ОхЛ-.-Ле^уе^/- Доказательство. Если задано прямое разложение и xQty означает, что х и у имеют одинаковую t-компоненту, то требуемые соотношения выполняются очевидным образом. Обратно, если выполнены условия теоремы, то В = Л/(9Х д ... д 9n_j) ss = Ах X ... X Л„_! (мы действуем индукцией по п) и А = В X Л„ по предыдущей лемме. Следствие 1. Если все конгруэнции алгебры А перестано- перестановочны, то ее прямые разложения определяются имеющими нулевое пересечение множествами двойственно независимых3) элементов в (модулярной) решетке конгруэнции алгебры А. !) См. упр. 3 к § VI.4. — Прим. перев. 2) Понятно, что речь идет о соответствующих классах конгруэнции 9 Д <р. — Прим. перев. 3) То есть независимых в двойственной решетке. — Прим. перев. и ред.
216 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ В АЛГЕБРЕ Предостережение. В теореме 5 нельзя ограничиться перестановочностью конгруэнции 0Ь условиями Д 0г = О и D6). В самом деле, пусть А — (тривиальная) алгебра с пятью элемен- элементами 0, 1, 2, 3, 4 и без операций. Пусть, далее, ех = @, 1) B, 3, 4), 02 = @, 2) A, 3, 4), 93 = @, 3) A, 2, 4). Тогда 8;0j- = 0;0г = / при i Ф /, 0! д 02 д 63 = О и, тем не менее, Л не будет изоморфной прямому произведению (Л/0г) х х (Л/ея) х (л/03). Вспоминая теперь, что все конгруэнции нормальной лупы с операторами или без операторов перестановочны, получаем Следствие 2. Прямые разложения любой группы или лупы с операторами или без операторов определяются множествами двойственно независимых элементов 0г ? в (G) такими, что Л в, = о. 5. Теоремы Жордана—Гёльдера Цепное условие Жордана—Дедекинда (§ II.8) и понятия пер- перспективности и проективности (глава III, §§ 11—12) возникли под влиянием идей, использованных при доказательстве теоремы Жордана—Гёльдера в теории групп. Сейчас мы докажем обобщен- обобщенную теорему Жордана—Гёльдера для групп и луп с операторами. Доказательство проходит для любой алгебры А с перестановоч- перестановочными конгруэнциями^и с одноэлементной подалгеброй 1. Имея в виду эту подалгебру 1, с каждой конгруэнцией 0 на Л можно связать подалгебру S F), состоящую из всех и = 1 @), и соответ- соответствующую фактор-алгебру Л/6. Эти обозначения мы и будем использовать в дальнейшем. Теорема 6. Пусть А — алгебра с одноэлементной под- подалгеброй \ и перестановочными конгруэнциями. Тогда для любых конгруэнции 0Ъ 62 на А алгебры S (9а V 92)/02 « S @i)/@i Д 02) изоморфны. Доказательство. Рассмотрим алгебру Т — S @Х V V 02)/(9i Д 02). На ней 0Х и 02 будут конгруэнциями, удовлетво- удовлетворяющими условиям леммы, предшествующей теореме 5. Поэтому теорема 6 превращается в утверждение, что если В = В1 хВ2, то В/В2 изоморфна В,. Этот результат обобщает то, что иногда называют Первой теоремой об изоморфизме. В случае, когда Л — группа или нор- нормальная лупа (с операторами или без операторов), доказанной теореме можно придать более сильную 'формулировку. Если а'1 —правый обратный элемент для а, то «трансляции» Та (х) = — а (ха'1) и Uа (х) = (ах) а'1 (в группах, являющиеся внутрен- внутренними автоморфизмами), очевидно, оставляют неподвижным эле- элемент 1. Тогда, если 0 — конгруэнция на Л, то она будет конгруэн- конгруэнцией и относительно унарных операций Та и U(l, и потому Та и Ua 5. ТЕОРЕМЫ] ЖОРДАНА-ГЕЛЬДЕРА 217 будут оставлять инвариантной нормальную подлупу, состоящую из элементов xQl. Следовательно, в теореме 6 изоморфизм должен сохранять операции Та и Ua Для всех а ? Л, а не только для а ? S @! V 92). Поэтому если назвать две фактор-лупы центрально-изоморфными, когда они изоморфны как по умножению, так и относительно всех операций Та и Ua (и относительно всех операторов), то получится Следствие 1. Если в теореме 6 алгебра А является груп- группой или нормальной лупой, то алгебры S @Х V 02)/02 и S (9i)/@i Д д 92) центрально изоморфны. Если в условиях теоремы 6 две конгруэнции связаны нера- неравенством 0' <: 0, то фактор-алгебр a S @)/0' имеет своим теоретико- решеточным аналогом интервал [0', 0]. Й тогда теорема 6 утвер- утверждает, что фактор-алгебры, соответствующие транспонированным интервалам [02, 9Х V 02] и [0Х Д 92, 9J, изоморфны: Из определе- определения перспективности и ввиду транзитивности изоморфизма, получается Следствие 2. Если А — алгебра с одноэлементной под- подалгеброй и перестановочными конгруэнциями, то проективные интервалы в решетке конгруэнции алгебры А соответствуют изомор фным фактор -алгебрам. Применяя это соответствие к проективности, установленной в следствии из теоремы II 1.9, мы получим следующий результат. Теорема 7. Пусть А — алгебра с одноэлементной под- подалгеброй и перестановочными конгруэнциями. Если 0 = 90<...<9т=/ и О = 9о<...<9; = / — конечные цепи конгруэнции на А, то эти цепи можно уплотнить, включая новые элементы 9^ ^ = 0;-1 V (б/ Д 9*) и 9J, / = 9/_i V V (9г Д 9/) так, что соответствующие факторы S (9г,^)/9г, у_х и 5 (9(, /)/9Li,j будут изоморфными. Следствие 1. Пусть 0=90<...<9т=/ и О = = 0о < ... < 0п = / — конечные максимальные цепи конгруэнции алгебры А, в которой имеется одноэлементная подалгебра и все конгруэнции перестановочны. Тогда т = п и факторы S @г)/9г_1 попарно изоморфны соответствующим факторам S @/)/0/_i. Следствие 2. В условиях теоремы 7 и следствия 1, если А — группа или нормальная лупа с операторами, то получаю- получающиеся изоморфизмы будут центральными изоморфизмами. Дальнейшие результаты. Полученные результаты можно обоб- обобщить в разных направлениях. Так старейшая форма теоремы Жордана—Гёльдера относится к композиционным рядам, в кото- которых каждая 0г-1 является максимальной конгруэнцией в под- подалгебре S @г), причем предполагается, что все конгруэнции на 5 @г) так же, как и на Л, перестановочны. Поскольку классы алгебр, рассматривавшиеся в теореме 2, замкнуты относительно
218 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ В АЛГЕБРЕ подалгебр, для них эти условия выполняются. Из результатов § П.8 получается Следствие 3. Если А — группа (с операторами или без операторов) или лупа, удовлетворяющая одному из условий теоремы 2, то фактор-группы любых двух конечных композиционных рядов попарно изоморфны. Важная теорема Виландта г) утверждает, что «композиционные» подгруппы любой конечной группы (т. е. подгруппы, входящие в композиционные ряды) образуют подрешетку решетки всех подгрупп. По поводу других обобщений см. ссылки в сносках на с. 132— 133 в [LT2]. Обобщения на бесконечные цепи нормальных под- подгрупп рассматриваются ниже в главе VIII. Упражнения к §§ 4—5 1. Покажите, что каждая лупа имеет единственную одноэлементную под- подалгебру. 2. Дайте прямые доказательства теорем 5 и 7 для колец, отправляясь от первоначальных постулатов. 3. Примените теорему 5 и следствие 2 из теоремы 7 (а) к кольцам; (б) к век- векторным пространствам над телами; (в) к инвариантным подпространствам пред- представлений колец. 4. Выведите «инвариантность размерности» векторного пространства из следствия 1 к теореме 7. 5. Покажите, что соответствие 0 -*¦ S @), определенное в начале § 5, явля- является вложением решетки G (А) в решетку подалгебр алгебры А. 6. Выведите лемму § 3 из следствия 2 к теореме IV. 13. 7 2). Покажите, что существует алгебра А с одноэлементной подалгеброй и перестановочными конгруэнциями, допускающая тем не менее две конгруэнции 0 ф 0' такие, что S (Q) = S @'). 8. Пусть А — алгебра, имеющая только унарные операции, которые распре- распределены по парам а,-, Р; так, что ai (Рг М) = Рг (а* (*)) = * Для всех *• Покажите, что алгебра А проста тогда и только тогда, когда группа перестановок, порожденная операциями а;, примитивна. 9. Назовем трансляцию алгебры А «обратимой», если она имеет обратную трансляцию. Покажите, что обратимые трансляции на А образуют группу Г и что если Г действует транзитивно на А, то все конгруэнции на А коммутируют (А. И. Мальцев). 6. Теорема Куроша—Оре. Принцип Ремака Вернемся теперь к введенному в § IV.5 понятию подпрямого произведения. Мы уже видели в следствии 1 из теоремы VI. 11, что подпрямые произведения абстрактной алгебры А задаются мно- множествами конгруэнции на А такими, что Д Qt = О. г) Доказательство см. в книге Холл М. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962, с. 153. 2) Якубик (J a k u b f к J. — Czechosl. Math. J., 1954, 4, p. 314—317). [Это решает проблему 33 из [LT2]. Несколько раньше она была решена А. И. Мальце- Мальцевым (Матем. сб., 1954, 35, с. 3—20). — Прим. перев.] 6. ТЕОРЕМА КУРОША-ОРЕ. ПРИНЦИП РЕМАКА 219 В случае алгебр с перестановочными конгруэнциями теорема 5 показывает, что если г конечно, то прямое произведение получа- получается тогда и только тогда, когда (Qi Л - Л 0ft-i) V еь = / для k = 2, ..., г. Теорема 8. Пусть А — алгебра с перестановочными кон- конгруэнциями. Число сомножителей в любом несократимом представ- представлении алгебры А в виде конечного подпрямого произведения под- прямо неразложимых алгебр одно и то же для всех таких пред- представлений. Доказательство. Это утверждение немедленно следует из теоремы Куроша—Оре (§ III. 12) и того факта (теорема 4), что конгруэнции на любой алгебре с перестановочными конгруэнциями образуют модулярную решетку. По теоремам 2—3 приведенный результат имеет место для нормальных луп, включая все конечные лупы, лупы с условием лГ1 (хи) = (их) х~х = и и группы с операторами. Так как он прохо- проходит для групп с операторами, то можно применить его, в частности, к нормальным подгруппам произвольной группы и идеалам кольца. Принцип Ремака. Пусть хи х2, х3 — конгруэнции на алгебре А, имеющей одноэлементную подалгебру и перестановочные кон- конгруэнции. Обращаясь к помещенной в § III.7 диаграмме свободной модулярной решетки M2S с тремя порождающими, мы видим, что = gAe = o, e\J / = / V g = & V e = i. Поэтому факторы е/о и glo оба перспективны с ilf, и значит, ввиду следствия из теоремы 6, они изоморфны. Аналогично е/о и flo изоморфны, и по лемме из § 4 фактор-алгебра S AIо изоморфна их прямому произведению. Отсюда следует Теорема 9 (принцип Ремака). Пусть 0г, 6а, 03 — кон- конгруэнции на алгебре А, имеющей одноэлементную подалгебру и перестановочные конгруэнции. Пусть, далее, ах = @2 V Э8) Д Л [9Х V (92 Д 08) ] и циклически для а2, а8; введем еще 6 = @Х д Д 82) V @а Д 08) V (88 Д 0а) и двойственно определим у. Тогда все шесть фактор-алгебр S («;)/6 и S (y)/aj изоморфны, а фактор- алгебра S (у)/Ь изоморфна прямому квадрату любой из них. Заметим, что в случае нормальных луп указанные изоморфизмы являются центральными ввиду следствия 2 из теоремы 7. Кроме того, для любых элементов х) (а, 1) алгебры 5 (а^/Ь и A, у) алгебры 5 (а3)/б в алгебре S (а^/б х S (а3)/б, очевидно, будет ((а, I) A, у)) (а, 1) = ((а-Ч) а, = A, у). В силу центральности изоморфизма, ((а~гх) а, 1~Ч) = (х, 1) для элемента (х, 1) алгебры 5 (ai)/6, соответствующего элементу Читатель отметит своеобразие последующих обозначений, — Прим.
220 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ В АЛГЕБРЕ A, у) алгебры S (а3)/8. Но каждый элемент (х, 1) соответствует некоторому A, у), поэтому (а~гх) а = л; для всех х, а. Мы получаем Следствие 1. В любой нормальной лупе фактор-алгебры S (ai)/S из теоремы 9 будут лупами, в которых все трансляции х -> (а*) а и х -> а'1 (ха) являются тождественными . Следствие 2. В любой группе все факторы 5 (ai)/8, рассматриваемые в теореме 9, коммутативны. Теорема 9 имеет много других аналогичных следствий, из которых мы докажем только одно Следствие 3. Пусть S, Т и U — идеалы алгебры Ли. Если порожденная ими подрешетка решетки всех иделов алгебры Ли не дистрибутивна, то алгебра (s v т) д (г v и) л (?/ v s)/(s д т) v (т л и) v (и д s) является нуль-алгеброй. Доказательство. Эти идеалы алгебры Ли удовлетво- удовлетворяют условиям теоремы 9, если положить 5=5 (аг), Т = 5 (а2) . и U = 5 (а3). Любой элемент из S (а2)/б можно записать в виде (х, х) как элемент алгебры S (у)/8 = S (ах)/8 х S (а3)/8. Но теперь, если (а, 0) является элементом алгебры S (у)/8, мы видим, что (а, 0) (х, х) = (ах, 0), и в то же время элемент (ах, 0), находясь в 5 (ос2)/6, должен иметь вид (у, у). Значит, ах = 0. Это выполня- выполняется для всех х и а из S (у)/8 и потому S (y)J8 будет нуль-алгеброй. 7. Теорема Оре Теперь докажем принадлежащую Оре [2, р. 272] теорему о модулярных решетках, следствием которой является единствен- единственность разложения группы или нормальной лупы с операторами в случае, когда ее решетка конгруэнции имеет конечную длину. Чтобы Сформулировать этот теоретико-решеточный результат, назовем элемент е модулярной решетки прямым объединением элементов ах, ..., ап (в обозначениях е = ах х ... х а„), если эти элементы независимы и дают в объединении е. Теорема 10 (Оре). Пусть L—модулярная решетка конечной длины. Если I имеет два представления ах х ... X ат и Ъх х ... Х'Ьп в виде прямого объединения неразложимых элемен- элементов, то т = п и при подходящей нумерации элементы а} и bj проективны. Доказательство. Пусть а] — ах х ... X at_x х X aUl х х а„ Ъ) = Ьх х ... X bj_L х bj+1 x ... х bn тогда / = at x a't = bj x b) при всех i, j. Если / = bj x a\ для некоторых i, j, мы будем говорить, что at заменим на bj. Покажем индукцией по длине решетки L, что каждый элемент at заменим некоторым bj. He теряя общности, предположим, что 1=1. Случай I. Допустим, что аг V Ь) <3 1 при некотором /, скажем, при j = 1. Пусть а^ обозначает (а; V &л) Д bh. Так 7. ТЕОРЕМА ОРЕ 221 при ах V b\ is bx было бы ах V Ъ\ s& bx V b\ = /, что противо- противоречит предположению, то, очевидно, что qx = (ах V &I) Д Ъх < Ь2. Кроме того, так как элементы &Л независимы и oft < ЬА, то с = = V qh будет прямым объединением элементов qh, и потому d [с] =1, d [qh] <!, d [bh] = d II], откуда с < 1. Далее, полагая ах V fc/i = dh и действуя индукцией по п, получаем: := V«,, = , bk/\ Д k=2 -dt Д (&! V I V bh Д Л rfJ) (согласно L5) , \ Lfe=2 fe=2 J/ ( П \ П = dx Д I V bh Д Л 4 (ввиду L5 с учетом Д = ^ л / л л dh = л (<h v ад =s fll. Следовательно, (с д aj) V flx = с д (aj V aj = с согласно модулярному закону, и с /\ а\ /\ аг = О, откуда с = а± х X (с д(а|). Отсюда индукцией по длине решетки L получается, что эле- элемент ах заменим некоторым множителем ehl > О некоторого qh в любом представлении элемента < с = qx х ... X ^ = ^l X X (с Д ai) в виде прямого объединения неразложимых множителей еЛЙ элементов ^ft. Для краткости пусть е = еЛ1. Тогда, по определе- определению, с = е х (с Д ai), откуда е у а[ — е у (с /\ а[) у а{ (в силу L4) = ai V (с Л а'\) V ai =¦ с V а\ — ^ (ввиду доказанного выше). Hod [e] =d [ах ] вследствие заменяемости в с = ах х (с Да!); поэтому е Д а| = 0 и / s= е х ах. Кроме того, е = bh. В самом деле, е Д (bh V a!) < е Д а' = 0, а в силу модулярного закона « V (^ Л а\) = (е V ai) Д ЬА= / Д &, = &„ откуда получается, что е будет прямым множителем в представле- представлении bh = е х (bh х a'h). Но по предположению, элемент bh неразложим, следовательно, е = bh и, значит, / = bh x a[. Таким образом, элемент ах заменим элементом bh, где h Ф 1. Случай II. Предположим, что ах V Ь/ = / для всех /, но а[ у b <<. I при всех /, — остается рассмотреть только эту возможность, Тогда, как в случае 1, но со взаимной заменой ах и bi%
222 ГЛ. VII. ПРИЛОЖЕНИЯ В АЛГЕБРЕ мы получаем, что Ь± можно заменить некоторым a'k Ф alt скажем, элементом ат (нумерация может измениться). Тогда отображение х -> (х V ат) Д а'т будет устанавливать проективность интерва- интервалов [О, Ъ\} и [О, а'т]. Поэтому если обозначить (bj V ат) д а'т через Ь], тоа'т = а± х ... х am_i = Ы X ... X К. В силу индук- индукции по длине решетки элемент ах заменим некоторым Ъ* в [О, а',п ]. Кроме того, bj V а\ содержит Ъ) V am = (fy V О Л (От V От) = К* 1 V От) Л «ml V «m = &/ V «т- Следовательно, Ь^ V а[ содержит Ъ) V а2 V ... V ат_г V ат = = а'т V ато (так как ах заменим в а'т на Ь*), т. е. bj \J а\ = I. Но d taj = d [Ь* ] = d [bj], поскольку эти три элемента проек- тивны. Значит, / = bj x а{ и элемент аг заменим на bj. Этим завер- завершается доказательство. Используя теорему 4 и следствие из теоремы 5, мы получаем Следствие 1. Пусть А = AL х ... X Ат = Вх х ... ... х В