Автор: Харченко В.К.
Теги: алгебра математика теория чисел теория галуа
ISBN: 5-88119-014-9
Год: 1996
Текст
НЕКОММУТАТИВНАЯ
ТЕОРИЯ ГАЛУА
В. К. Харченко
Институт математики СО РАН
Новосибирск, Россия,
Centro de Investigaciones Teoricas
FES-C UNAM, Mexico
Новосибирск · Научная книга · 1996
X227
УДК 512.55
Харченко В. К.
Х227 Некоммутативная теория Галуа. — Новосибирск: Научная
книга, 1996. — 372 с.
ISBN 5-88119-014-9
Классическая теория Галуа — это одна из вершин математики XIX
века, позволившая решить ряд фундаментальных проблем, включая
проблему о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Эта теория
заложила основы современной алгебры, сформировав такие важнейшие
понятия как группа, поле, алгебра, кольцо. В XX веке работами
классиков Э. Нетер, А. Картана, Ж. Дьедонне, Н. Джекобсона, Г. Хохшильда
и др. теория Галуа была распространена на некоммутативные числовые
системы (кольца и алгебры).
В монографии излагаются основы некоммутативной теории Галуа, ее
новейшие достижения и современные методы исследования. Автор
книги широко известен своими научными результатами, которые признаны
основополагающими в этой области. Он является членом Нью-Йоркской
Академии наук, членом редколлегий ряда международных
математических журналов.
Портрет Э. Галуа и краткий биографический очерк предоставил для
публикации в данной книге господин Philippe CHAPLAIN, советник
муниципалитета города Бург-ля-Рейн (Франция)— родины Э. Галуа.
Для научных работников — специалистов по алгебре, теории чисел,
логике, а также математиков, желающих составить представление о
развитии и современном состоянии некоммутативной теории Галуа. Доступна
аспирантам и студентам старших курсов.
Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
по проекту 095-01-021059 б
'#
И
1602040000 - 003
Без объявления
14Б(03) - 96
ISBN 5-88119-014-9 © Харченко В. К., 1996
Посвящаю памяти
моих учителей
Г. П. Акилова,
М.И. Каргаполова,
А. И. Ширшова
Эварист Галуг
25.10.1811 — 31.05.1832
Publie avec l'aimable autorisation de
Monsieur Philippe CHAPLAIN,
Conseiller Municipal delegue a la Valorisation
du Patrimoine historique et culturel de la
VILLE DE BOURG-LA-REINE (FRANCE)
H/variste Galois est ne le 25 octobre 1811 a Bourg-la-Reine au
№ 54 de l'actuelle avenue du General Leclerc, propriete de son grand-
pere, fondateur de l'lnstitution Galois, qui avait profite au bon
moment de la suspicion qui s'attachait au moment de la Revolution aux
etablissements d'enseignement plus ou moins religieux du bourg.
Le grand-pere ceda ensuite la place a son cadet Nicolas Gabriel,
pere d'Evariste et qui fut Maire de Bourg-la-Reine de 1814 a 1829.
Pensionnaire au Lycee Louis-le-Grand des la classe de quatrieme,
il ne cessa de marquer un penchant tres vif pour les mathematiques.
«La fureur des mathematiques me domine» dit-il lui-meme et l'un de
ses professeurs le note aussi simplement que ceci: «Cet eleve a une
superiorite marquee sur tous ses condisciples; il ne travaille qu'aux
parties superieures des mathematiques».
A dix-huit ans il publie son premier memoire: Demonstration
d'un theoreme sur les fractions continues periodiques, et aussitot
apres confie au mathematicien Cauchy une premiere communication
a faire a l'Academie des Sciences. Cauchy perd le manuscrit.
II echoue une premiere fois au concours d'entree a l'Ecole Polytech-
nique. S'y presentant a nouveau, il s'y trouve en butte a l'incompre-
hension de ses examinateurs, et, exaspere, jette, dit-on, le chiffon de
craie a la figure du professeur.
Puis, c'est le suicide de son pere, pousse a bout par des ca-
bales politiques, et le deuil que conduit Evariste menace de tourner a
l'emeute. Evariste, profondement ulcere, desespere d'une societe qu'il
considere comme profondement injuste, se resoud, a defaut de l'Ecole
Polytechnique, a entrer a l'Ecole preparatoire, future Ecole Normale,
abritee alors par le Lycee Louis-le-Grand.
iii
Evariste Galois
II signe enfin, en 1830, un engagement de dix ans qui le lie a
l'Universite et publie la meme annee trois memoires sur les mathemati-
ques.
On propose alors l'ensemble de ses recherches pour le concours
du Grand Prix de mathematiques de l'Academie des sciences, dont le
secretaire perpetuel, Fourrier, meurt avant de l'avoir examine et, une
fois de plus, le manuscrit est perdu, ajoutant encore, s'il le fallait, a
la revolte qui grondait au cceur d'Evariste.
Et c'est la revolution «qui roule a grand fracas du haut en bas
de la Montagne Sainte-Genevieve et de la rue Louis-le-Grand». II
ne parvient pas a s'echapper de Louis-le-Grand pour joindre alors les
manifestants, prend en grippe l'Ecole Preparatoire, devenue l'Ecole
Normale dont il fut d'ailleurs tres vite exclu a la suite d'une lettre qu'il
adressa le 3 decembre 1830 a la Gazette des Ecoles oil il attaquait
violemment le Directeur de l'Ecole Normale, Monsieur Guigniault,
qui soutenait lui-meme une politique contre ce journal.
Suivant les conseils de Poisson, autre celebre mathematicien, il
retablit le manuscrit perdu par Fourrier et qui fut enfin presente a
l'Academie des Sciences le 17 Janvier 1831. II avait ouvert quelques
jours avant un cours public d'algebre superieur chez le libraire Caillot,
5 rue de la Sorbonne.
On le retrouve dans l'artillerie de la Garde nationale oil il figure
en uniforme le 14 juillet 1831 sans cesser de manifester a qui voulait
l'entendre ses sentiments politiques. Sa famille a rapporte de lui cette
prase: «S'il fallait un cadavre pour ameuter le peuple, je donnerais le
mien».
C'est ainsi qu'il fait scandale au fameux banquet des Vendanges
de Bourgogne, le 9 mai 1831, en portant un toast menagant a Louis-
Philippe.
Arrete a la suite de cette serieuse incartade, il fut emprisonne a
Sainte-Pelagie et son proces se termina heureusement par un acquit-
tement, la jeunesse du prevenu ayant attire la bienveillance des jures
en depit de son attitude ironique au cours des debats.
Arrete a nouveau moins d'un mois plus tard au cours d'une
manifestation du parti republicain, il est a nouveau juge et cette -fois,
c'est un verdict assez severe de six mois de prison qui le conduit
a Sainte-Pelagie, oil de mauvais compagnons de prison 1'entrainent
a boire. II doit a son mauvais etat de sante d'etre 1'objet d'une
mesure de bienveillance qui le fait sortir de prison plus tot que prevu
pour etre transporte dans une maison de sante de la rue de Lourcine.
iv
Evariste Galois
C'est a cette epoque qu'Evariste s'amourached'une jeune personne
de moralite probablement assez douteuse, se fait surprendre avec elle
par un pretendu fiance et un pretendu oncle. Provoque en duel, il est
si gravement atteint sur le terrain a Gentilly, d'un coup de pistolet,
qu'il meurt le lendemain 31 mai 1832, a I'Hopital Cochin, en presence
de son jeune frere au desespoir.
La veille du duel, Evariste Galois, sentant sa fin prochaine, n'avait
cesse d'ecrire pour consigner les resultats de ses recherches mathemati-
ques auxquelles il tenait le plus, et redigeait la lettre ci-apres:
«Lettre a tous les Republicains, 29 mai 1832
«Je prie les patriotes mes amis de ne pas me reprocher de mourir
autrement que pour le pays.
«Je meurs victime d'une infame coquette. C'est dans un miserable
cancan que s'eteint ma vie.
«Oh, pourquoi mourir pour si peu de choses, mourir pour quelque
chose d'aussi meprisable!
«Je prends le ciel a temoin que c'est contraint et force que j'ai
cede a une provocation que j'ai conjuree par tous les moyens.
«Je me repends d'avoir dit une verite funeste a des hommes si
peu en etat de 1'entendre de sang-froid. Mais enfin j'ai dit la verite.
J'emporte au tombeau une conscience nette de mensonge, nette de
sang patriote.
«Adieu, j'avais bien de la vie pour le bien public!
«Pardon pour ceux qui m'ont tue, ils sont de bonne foi.
E. Galois»
C'est ainsi qu'a 1'age de 21 ans, porte a la fosse commune par
plusieurs milliers de ses amis republicains, disparut celui qui parmi
ses calculs savants avait un jour griffonne les vers suivants:
«L'eternel cypres m'environne:
«Plus pale que le pale automne,
«Je m'incline vers le tombeau ...»
Mais le genie d'Evariste Galois subsiste et le souvenir de son
etonnante precocite et de son existence si courte et malheureuse, mais
si ardente, restera longtemps encore vivant parmi nous.
СУварист Галуа родился 25 октября 1811 г. в городке Бург-ля-
Рейн в доме № 54 по улице, ныне носящей имя генерала Леклер-
ка. Этот дом принадлежал деду Эвариста, который был
основателем института Галуа. Его младший сын Николь Габриэль —
отец Эвариста Галуа — занимал пост мэра города Бург-ля-Рейн
с 1814 г. по 1829 г.
Воспитанник лицея Луи-ле-Гран, Эварист Галуа проявил
яркие способности к математике уже с четвертого класса.
"Неистовство математики меня подавляет" — говорил он сам. А
один из его учителей отмечал следующее: "Этот ученик
превосходит всех своих одноклассников. Здесь явное вмешательство
Высших сил математики."
В восемнадцать лет Эварист Галуа публикует свою первую
работу Демонстрация теоремы о непрерывных периодических
дробях и немедленно представляет свое первое сообщение в
Академию наук известному математику Коши. Эту рукопись Коши
потерял.
Эварист провалился на вступительных экзаменах в
Политехническую школу. Говорят, что когда он сдавал экзамен повторно
и опять встретил непонимание экзаменаторов, то так возмутился,
что бросил тряпку для мела в лицо профессора.
Политическая напряженность в стране подтолкнула отца
Эвариста к трагическому концу: он окончил жизнь самоубийством.
Скорбь Эвариста грозила обернуться бунтом. Глубоко
уязвленный и введенный в отчаяние, Эварист считал современное
общество глубоко несправедливым. Лишившись возможности учить-
Краткий биографический очерк составлен по материалам, которые
вместе с портретом Е. Галуа любезно предоставил для публикации в данной
книге господин Philippe CHAPLAIN, советник муниципалитета по делам
отечественной истории и культуры города Бург-ля-Рейн (Франция).
Перевод с французского — Н. А. Рожковская.
vi
Эварист Галуа
ся в Политехнической школе, Галуа решил поступить в
Подготовительную школу при лицее Луи-ле-Гран.
В 1830 г. Э. Галуа публикует три математические работы.
Результаты Э. Галуа представлены на конкурс Большой Премии
по математике Академии наук. Однако непременный секретарь
конкурса — известный математик Фурье — скончался, не успев
изучить работы Э. Галуа. И рукопись Э. Галуа была опять
утеряна. Эта стало последней каплей для клокотавшего возмущением
сердца Эвариста.
Настала революция. Она «прокатилась, громыхая, с верху
до низу горы Сант-Женевьев...» Эварист не мог вырваться из
Луи-ле-Гран, чтобы присоединиться к манифестантам. Он
ненавидел Подготовительную школу из которой, впрочем, был вскоре
исключен из-за письма, которое он направил в адрес «Газет де
Эколь» 3 декабря 1830 г. и в котором яростно критиковал
директора школы.
Между тем, следуя совету знаменитого математика
Пуассона, Эварист восстановил рукопись, утерянную Фурье. Рукопись
была представлена в Академию наук 17 января 1831 г. А
несколькими днями раньше Э. Галуа участвовал в открытии публичных
курсов по высшей алгебре при библиотеке Кайо.
Но Эвариста Галуа можно было видеть и в Народной гвардии,
где он пропагандировал свои политические взгляды и излагал
свои суждения всем, кто соглашался его слушать. До семьи
Эвариста дошло такое его высказывание: "Если для бунта народа
нужны будут трупы — я бы предложил себя".
На известном банкете Вандаж-де-Бургон 9 мая 1831 г.
Эварист произнес скандальный тост с угрозами Луи-Филиппу.
Вследствие этого серьезного проступка Эварист был арестован и
заключен в Сант-Пелаги. Несмотря на ироничное отношение
подсудимого к течению судебного процесса, последний закончился,
к счастью, оправданием: молодость подсудимого вызвала
благосклонность судей. Однако через месяц Эварист был вновь
арестован за проведение манифестации республиканской партии и
вновь судим. На этот раз вердикт судей был довольно строгим:
шесть месяцев тюрьмы. Со своими (далеко не лучшими)
товарищами по заключению молодой человек приучился выпивать.
Возможно, из-за плохого состояния здоровья наказание
Эвариста смягчили, и его перевели из тюрьмы в дом здоровья.
vii
Эварист Галуа
Именно в это время Эварист увлекся одной юной особой
довольно сомнительного поведения. Его с ней застали так
называемые жених и дядя, которые и спровоцировали Эвариста к дуэли.
Он был так тяжело ранен на площадке Жентили, что скончался
31 мая 1832 г. в больнице на руках впавшего в отчаяние
младшего брата.
Накануне дуэли Эварист Галуа, предчувствуя близкую смерть,
писал без остановки. Он записывал результаты своих
математических исследований, которыми дорожил больше всего. Его
прощальное письмо обращено к республиканцам:
«Письмо всем республиканцам, 29 мая 1832 года
Я прошу патриотов, моих друзей, не укорять меня за
смерть не за Родину.
Я пал жертвой гнусной кокетки. Из-за жалкой сплетни
угасает моя жизнь.
О, почему же суждено умереть за столь немногое,
умереть за столь незначительное и достойное презрения!
Я призываю небо в свидетели, что по принуждению и от
безысходности я уступил провокации, которой я старался
избежать всеми способами.
Я раскаиваюсь, что сказал гибельную правду людям,
неспособным выслушать ее хладнокровно. Но все же я сказал
правду и уношу с собой в могилу чистую от лжи совесть.
Прощайте, у меня была хорошая жизнь для хорошего
народа.
Простите тех, кто меня убил. Они были искренни.
Э. Галуа»
21-летнего Эвариста Галуа провожали в последний путь
несколько тысяч друзей-республиканцев. Так ушел тот, кто среди
своих математических формул начертал и такие строфы:
Молчат кипарисы, глядят на меня:
Бледнее осеннего бледного дня
Я над могилой склоняюсь ...
Йо гений Эвариста Галуа существует, и память о нем и его
удивительной жизни, такой короткой и драматичной, но столь
стремительной и пылкой, долго будет жить среди нас.
νϋί
НЕКОММУТАТИВНАЯ
ТЕОРИЯ ГАЛУА
Предисловие
Начиная с работы Дж. Бергмана и И. Айзекса о регулярных
действиях конечных групп, изучению автоморфизмов
ассоциативных колец было посвящено очень большое количество работ.
Некоторое время центральной задачей этих исследований
оставалось выявление свойств колец, сохраняющихся при переходах
к кольцу инвариантов конечных групп и обратно — от кольца
инвариантов к исходному кольцу. Затем возникшие здесь
методы показали свою силу при изучении произвольных
автоморфизмов и дифференцирований, главным образом, с точки зрения их
алгебраических зависимостей. Эти методы оказались
настолько эффективными, что удалось доказать теоремы о соответствии
Галуа в классе полупервичных колец как для групп
автоморфизмов, так и для алгебр Ли дифференцирований.
Быстрое развитие теории стало возможным благодаря
накопленным к этому времени результатам в структурной теории
колец с обобщенными тождествами (теорема Мартиндейла), а
также благодаря уже выработанным понятиям некоммутативной
теории Галуа при движении от тел к полным кольцам
непрерывных линейных преобразований пространств в работах Э. Нётер,
Н. Джекобсона, А. Картана, Дж. Хохшильда, Т. Накаяма, Г. Ад-
зумайя и Ж. Дъедонне, А. Розенберга, Д. Зелинского.
7
8
Предисловие
В процессе исследований автоморфизмов,
антиавтоморфизмов и дифференцирований стало ясно, что основные препятствия
в доказательстве теорем преодолеваются уже при рассмотрении
первичных колец, причем прямой перенос на полупервичные
кольца не всегда обнаруживается и приходится доказательства вести
сразу для полупервичных колец, повторяя довольно часто
однообразные рассуждения, Этот эффект был изучен в интересной
работе К. И. Бейдара и А. В. Михалева [17], Суть их результата
(мы называем его метатеоремой) заключается в том, что все
теоремы, задаваемые хорновскими формулами элементарного
языка, переносятся с класса первичных колец на класс
ортогонально полных полупервичных колец. Если к этому добавить, что
в классе первичных колец любая формула элементарного
языка эквивалентна хорновской, прикладное значение метатеоремы
становится очевидным. Примерно в тоже время были получены
похожие результаты С. Бурриса и Г. Вернера [26] о пучках
алгебраических систем, не ориентированные на применения в теории
колец. Кроме того, в исследованиях Е. И. Гордона и В. А. Лю-
бецкого [74, 75], идущих от нестандартного анализа, также
рассматривались близкие вопросы. С этих позиций полупервичное
ортогонально полное кольцо можно рассматривать как
нестандартное первичное кольцо. Предложенные в книге
формулировка и доказательство метатеоремы в большей или меньшей
степени учитывают интуицию этих подходов.
По главам материал распределен следующим образом.
Первая глава — это вводная часть, в которой изложено современное
состояние структурной теории колец для радикала Бэра.
Конечно, мы ориентировали изложение ближе к основному предмету и
уже в § 1.3 привели теорему Бергмана — Айзекса о
нильпотентности любого кольца, обладающей регулярной конечной группой
при естественных ограничениях на характеристику, а также
теорему Квинна о целостности кольца над кольцом инвариантов.
Эти теоремы вместе с теоремой Мартиндейла и метатеоремой
являются ключевыми результатами главы.
В гл. 2 исследуются вопросы алгебраической зависимости
автоморфизмов и дифференцирований. Изложенные здесь
результаты, по-существу, означают алгебраическую независимость
автоморфизмов и дифференцирований полупервичного кольца.
Однако для понимания этого факта требуются некоторые
уточнения, так как зависимости определенного типа (тривиальные) все
же существуют. Например, сумма двух дифференцирований
равна подходящему третьему. Точно так же произведение двух ав-
Предисловие
9
томорфизмов будет автоморфизмом. Более точно, результаты
гл. 3 показывают, что что все алгебраические зависимости
между автоморфизмами и дифференцированиями являются
следствиями простейших — задающих алгебраическую структуру на
множестве дифференцирований и автоморфизмов (это
соответственно структура дифференциальной алгебры Ли, группы и
действие группы на алгебре Ли), а также следствиями
соотношений μ = la — га\ д = /a-ira, определяющих внутренние
дифференцирования и внутренние автоморфизмы для мартин-
дейловского кольца частных.
В связи с уточнением возникает задача нахождения
критериев, позволяющих отличать тривиальные обобщенные многочлены
с автоморфизмами и дифференцированиями от нетривиальных.
В § 3.6 дается такой критерий для полилинейного случая в
терминах значений обобщенных мономов и доказывается, что если
идеал, порожденный значениями обобщенных мономов
тождества с автоморфизмами содержит единицу, то кольцо
удовлетворяет обычному полиномиальному тождеству. Этот факт
справедлив и для дифференциальных тождеств с автоморфизмами в
случае, если кольцо не имеет аддитивного кручения.
В § 3.7 приведены некоторые ближайшие следствия
независимости. Укажем два из них: любое алгебраическое
дифференцирование полупервичного кольца характеристики нуль является
внутренним для мартиндейловского кольца частных; если
кольцо инвариантов конечной группы G автоморфизмов кольца R
удовлетворяет полиномиальному тождеству и в R нет
аддитивного |0|-кручения, то R также удовлетворяет полиномиальному
тождеству.
В следующих главах развивается теория Галуа первичных
колец, а затем, в гл. 5, с помощью метатеоремы переносится на
полупервичные кольца. Результаты этой части книги принадлежат
в основном автору, однако приведенные формулировки и
доказательства учитывают идеи появившейся позднее работы С.
Монтгомери И Д. Пассмана [92], а также исследования в серии работ
Дж. Гурсо, Дж. Остербурга, Дж.-Л. Паско, Дж. Валетта [33-35].
При перенесении результатов на полупервичные кольца
полезными оказались также идеи работы А. В. Яковлева [154] по теории
Галуа пучков множеств.
Так или иначе возникает вопрос о соотношении развитой в
книге теории с классической теорией Галуа полей, тел и колец
непрерывных преобразований. Тот факт, что классические
результаты вытекают из приведенных здесь, дает мало информа-
10
Предисловие
ции, так как любое истинное утверждение вытекает из любого
другого истинного утверждения (впрочем, и из ложного тоже).
Поэтому, на наш взгляд, вопрос необходимо ставить в другой
плоскости — насколько полезно знакомство с общими
результатами для усвоения классических? Что касается теории Галуа
полей, то здесь ответ однозначен — это азбука современной
алгебры, поэтому весьма сомнительно, что кто-либо, желая
познакомиться с ней, начнет с изучения некоммутативных колец. В
случае автоморфизмов тел непосредственное построение теории
Галуа намного проще, так что разумнее знакомиться с этой
теорией по гл. 7 книги Н. Джекобсона [37], которая, впрочем, не
охватывает дифференцирований тел: результаты, изложенные в
гл. 4 нашей монографии являются новыми и для тел, причем
редукция к телам заметных упрощений не дает, поскольку мы
ограничиваемся рассмотрением внешних дифференцирований.
Что касается случая колец непрерывных линейных
преобразований пространств над телами (или простых артиновых колец),
то классические доказательства основаны на том, что
автоморфизмы оказываются сопряжениями с помощью полулинейных
преобразований, и поэтому проблемы в значительной степени
сводятся к телам. В общей ситуации никакого описания
автоморфизмов нет, так что новые доказательства применительно к
кольцам преобразований вскрывают иные причины, приводящие
к теоремам о соответствии Галуа. Разумеется, a posteriori ясно,
что для кольца линейных преобразований соответствие,
описанное нами в теореме 3.10.6 превращается в классическое, поэтому
условия БМ, РП и условие на централизатор можно
рассматривать как внутреннюю характеризацию отмеченных однородных
колец эндоморфизмов.
Таким образом, теория Галуа для первичных колец
проливает свет и на случай колец непрерывных линейных
преобразований. Однако несравненно более важными являются применения
этой теории к другим классам колец, до сих пор не изучавшихся
с позиций теории Галуа. Например, теорема о соответствии для
областей весьма далека от аналогичной теоремы для тел —
существуют области, которые вообще не могут быть вложены в тела.
Неожиданным оказалось и применение к свободным алгебрам,
поскольку для колец многочленов ничего подобного нет.
Последним применением открывается заключительная глава
книги. Она рассчитана в основном на подготовленного в теории
колец читателя. Здесь изложены теоремы А. Н. Корюкина о
некоммутативных инвариантах линейных групп, дающие полное
Предисловие
11
решение аналога 14-й проблемы Гильберта для кольца
некоммутативных многочленов, рассмотрен широкий круг вопросов о
перенесении свойств с кольца инвариантов (с кольца констант) на
исходное кольцо и наоборот, выясняются связи между спектрами
первичных идеалов кольца и кольца инвариантов
(эквивалентность Монтгомери). Доказаны теоремы Дж. Фишера и П. Гр-
жешчука — Пучиловского о конечных группах, действующих на
модулярных решетках, приведено новое доказательство теорем
Гурсо — Паско — Валлета и Дж. Пирс Дос Сантоса о
максимальных кольцах частных. В последнем параграфе излагается общая
концепция действия алгебр Хопфа, охватывающая как случай
автоморфизмов, так и случай дифференцирований. Известная
теорема Костанта — Свидлера (теорема 6.14.7) показывает, что
исследование действий кокоммутативных алгебр Хопфа над
алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики сводится
к изучению действий групп и алгебр Ли. Поэтому наибольший
интерес представляет рассмотрение некокоммутативных алгебр
Хопфа. В последнем параграфе мы рассматриваем некоторые
подходы к изучению косых дифференцирований с этих позиций.
В. К. Харченко
Академгородок, Новосибирск
Глава 1
Строение колец
1.1. РАДИКАЛ БЭРА И ПОЛУПЕРВИЧНОСТЬ
Построение радикала Бэра начнем с простого замечания о том,
что любую абелеву группу можно превратить в кольцо,
определяя умножение по формуле ху = 0. Такое кольцо
называется кольцом с нулевым умножением, и с точки зрения
теории колец оно устроено тривиально. Исходя из произвольного
кольца R, мы можем попытаться «отсечь» от него тривиальную
часть. Если кольцо R содержит ненулевой идеал h, имеющий
нулевое умножение 1\ = 0, то естественно перейти к
рассмотрению фактор-кольца -^//i, так как все кольцо R представи-
мо как расширение «тривиального» кольца 1\ с помощью ^//χ.
К кольцу R/'ιλ можно применить тот же подход, т. е.
найти в нем (если возможно) ненулевой идеал h/l1 с
тривиальным умножением и сосредоточить внимание на фактор-кольце
Я//2 ~ (R/1])/\h/'/,) Продолжение этого процесса
равносильно отысканию в кольце R возрастающей цепочки идеалов
(0)С/,с/2с...с/пс...
13
14
1. Строение колец
такой, что факторы In/ln_1 имеют нулевые умножения, т. е.
/^ С /η_ι. Разумеется, такая цепочка может оказаться
бесконечной. Тогда мы можем ввести в рассмотрение идеал 1Ш =
и/п, полученный расширением «тривиальных» колец (с
помощью «тривиальных»), и применить к кольцу R/ 1ш тот же
подход отсечения «тривиальных» частей. Таким образом, получим
трансфинитную цепочку идеалов кольца R
(0)с71с/2с...с/ас...,
в которой /„+1 С 1а, причем для предельных а выполняется
равенство 1а = U 1р. Ясно, что длина такой цепочки по мощ-
β<α
ности (т. е. по мощности множества идеалов в этой цепочке) не
превосходит мощности \R\ множества элементов кольца R, так
что можно рассмотреть объединение 93(R) = U /„. Идеал
Н<|Я|
23(Д) называется радикалом Бэра (нижним ниль-радикалом)
кольца R. В силу построения от кольца R/^B(R) уже нельзя
«отсечь» тривиальные части, т. е. это кольцо не содержит
ненулевых идеалов с нулевым умножением.
1.1.1. Кольцо называется полупервичным, если все его
ненулевые идеалы имеют ненулевое умножение, т. е. равенство I2 = О
для идеала / влечет включение / = 0.
1.1.2. Идеал / кольца R называется полупервичным, если
фактор-кольцо R/J полупервично.
Итак, радикал Бэра кольца является полупервичным
идеалом. С точки зрения описанного процесса построения возможен
и такой крайний случай, когда строящаяся последовательность
достигает всего кольца R на конечном шаге. Легко видеть, что
в этом случае существует натуральное число η такое, что
произведение любых η элементов кольца R равно нулю, т. е. Rn = 0.
Кольцо с таким свойством называется нильпотентным.
Соответственно идеал / называется нильпотентным, если /" = 0
для некоторого натурального п.
1.1.3. Полупервичное кольцо не содержит ненулевых нильпо-
тентных идеалов, так как одна из степеней нильпотентного
идеала имеет нулевое умножение. Соответственно для
полупервичного идеала J и идеала / условие /" С J влечет включение
I С J.
1.1. Радикал Бэра и полупервичность
15
Данное выше определение радикала Бэра кольца показывает,
что этот радикал «составлен» из колец с нулевым умножением,
однако оно обладает тем недостатком, что его форма зависит
от произвола в выборе идеалов 1а. В связи с этим приведем
следующую теорему.
1.1.4. Теорема, (а) Радикал Бэра кольца можно получить как
объединение трансфинитной цепочки идеалов
(0) = «По С 9ti С «П2 С ... С 91а С ... ,
в которой идеал 9Ί«+ι выбирается так, что сумма всех нилъ-
потентних идеалов кольца R/y\a равна 9Τα+ι/9Τα и ^ля пРе~
дельных а выполняется равенство У\а = U *Ля.
β<* И
(б) Радикал Бэра кольца является наименьшим по
включению полупервичным идеалом.
Доказательство, (а) Пусть 91 — объединение цепочки,
указанной в формулировке теоремы. При помощи трансфинитной
индукции покажем, что 1а С У\а для всех а. Так как идеал с
нулевым умножение нильпотентен, 1\ С 911. Если а предельное и
1р С «Л/з для всех β < α, то Ia = UIp С 1)У\р = 91а. Если а —
не предельный ординал и /α_ι С «Л/з-ь то ϊ\ С 1а~\ С 9t0-i,
так что 1а + yia-i/yia-i — нильпотентныйидеал R/y\a_1,
поэтому 1а С Ща. Итак, 25 (-R) С 91 Обратно, предположим,
что 91 не содержится в *B(R) и выберем наименьшее а такое,
что 91а не содержится в *B(R). Тогда а не может быть
предельным числом, т. е. существует число а — 1, для которого
91α_ι С *B(R). Так как идеал 91а по определению равен сумме
всех нильпотентных по модулю 91α_ι идеалов кольца R,
получаем, что некоторый нильпотентный по модулю 91α-ι идеал N
(т. е. такой, что Ν" С 91α_ι) не содержится в iB(-R). Однако
условие Nn С 91α_ι С 2S(-R) означает, что идеал N + 2S(-R)
нильпотентен по модулю !В(Л), что противоречит
полупервичности фактор-кольца R/*BIR).
(б) Пусть J — произвольный полупервичный идеал. Так как
'ι = (0) Q Ά имеем h С J. Если 1а С J, то /£+1 С 1а С J.
Поэтому Ια+ι С J. Наконец, для предельных а условия 1р С J
[β < а) дают Ια = υΐβ С J. Поэтому в силу трансфинитной
индукции 25 (-R) С J. D
1.1.5. Кольцо R называется первичным, если произведение
любых двух его ненулевых идеалов отлично от нуля. Соответствен-
16
1. Строение колец
но идеал / называется первичным, если фактор-кольцо R/J
первично. Таким образом, кольцо R первично тогда и только тогда,
когда (0) — первичный идеал.
Часто полезной оказывается следующая характеризация
первичных и полупервичных идеалов в терминах элементов кольца.
1.1.6. Лемма, (а) Идеал I кольца R первичен тогда и только
тогда, когда для любых а,Ъ £ R включение aRb С / влечет
либо о £ /, либо b Ε I. В частности, кольцо R первично
тогда и только тогда, когда для любых ненулевых a, b
существует элемент χ £ R такой, что axb φ 0.
(б) Идеал I кольца R полупервичен тогда и только тогда,
когда для любого элемента а Е R включение aRa С /
влечет а £ /. В частности, кольцо R полупервично тогда и
только тогда, когда для любого ненулевого элемента а £ R
существует χ £ R такой, что аха φ 0.
Доказательство, (а) Если / — первичный идеал и aRb С /,
причем Ъ £ I, то идеал (6) = bTL + bR + Rb + RbR,
порожденный элементом Ь, не содержится в /, но произведение идеалов
(aR + RaR) ■ (6) содержится в /. Следовательно, aR + RaR С /.
Пусть (а) — идеал, порожденный элементом а. Тогда (а) · (а) С
aR + RaR, и по определению первичного идеала (а) С /, т. е.
а £ /, что и требовалось доказать. Обратно, если для идеала /
выполняется условие (а) и произведение PQ идеалов Ρ и Q
содержится в /, то для любых ρ £ Ρ, q £ Q имеем pRq С PRQ С
PQ С /. Если q £ Ι, το ρ £ Ι, и, так как ρ — произвольный
элемент идеала Р, имеем PC/, Если не существует элемента
q £ Q такого, что q £ I, Q С /, что и требовалось доказать.
(б) Если / — полупервичный идеал и aRa С /, то идеал
(а) + /// нильпотентен в фактор-кольце R/'/, т. е. (а) С / и,
в частности, а £ /. Обратно пусть выполняется условие (б) и
Р2 С /, где Ρ — идеал кольца R. Тогда для любого ρ £ Ρ
имеем pRp С PRP С Р2 С /, т. е. ρ £ /. Следовательно,
ρ С I, что и требовалось доказать. D
1.1.7. Кольцо R называется подпрямым произведением колец
Ra, а £ А, если существует вложение π кольца R в прямое
произведение \\ Ra такое, что его суперпозиция πρα с
проекциями ра: \\Ra —¥ Ra является эпиморфизмом (понятно, что
подпрямое произведение не определяется однозначно кольцами
Ra, a £ А). Рассматривая ядра 1а суперпозиций жра,
легко получить, что условие разложимости кольца R в подпрямое
1.1. Радикал Бэра и полупервичность
17
произведение колец Ra, а £ А, эквивалентно существованию
семейства идеалов 1а такого, что П/а = (0) и R/]a ~ Ra. В
такой ситуации говорят также, что кольцо R аппроксимируется
кольцами Ra.
1.1.8. Лемма. Любое полупервичное кольцо является подпря-
мым произведением первичных колец.
Доказательство. Пусть а = ао — ненулевой элемент
кольца R. По лемме 1.1.6 найдем элемент х\ €Е R такой, что αϊ =
ах\а φ 0. По элементу αϊ найдем элемент Х2 такой, что 02 =
a\X2<i\ φ 0. Продолжая этот процесс, построим счетную
последовательность ненулевых элементов αο,αι,... ,ап,..., в
которой α„+ι = αηχη+ιαη для некоторых элементов х\,хч, ■ ■ ■ ,
хп,... кольца R. Рассмотрим упорядоченное по включению
множество Μ всех идеалов кольца R, не содержащих ни одного
элемента построенной последовательности. Это множество
непусто, так как оно содержит в качестве элемента нулевой
идеал. Более того, это множество индуктивно, т. е. по лемме Цорна
множество Μ имеет максимальные элементы. Пусть Ра — один
из них. Тогда идеал Ра не пересекается с последовательностью
αο,αι,... , аП!..., но любой идеал, строго содержащий Ра,
имеет непустое пересечение с этой последовательностью. Так как
α Φ Ρα, имеем f] Pa = (0). Осталось показать, что Ра —
первичный идеал. Пусть А и В — идеалы кольца R, не
содержащиеся в Ра. Тогда А\ = A + Pa3pat Βι = В + Ра Э Ра и в
силу максимальности Ра в множестве Μ идеалы А\ и В\ не
принадлежат Μ, т. е. найдутся натуральные числа п, т такие, что
а-п 6 А\, ат £ В\. Пусть η ^ т. Так как по построению
последующий элемент последовательности лежит в идеале,
порожденном предыдущим: ак+\ = акхк+\ак G (ак), имеем ап G (am) С
В\. Теперь получаем α„+ι = апхп+\ап £ ^ι5ι С АВ + Ра.
Таким образом, идеал АВ + Ра не содержится в Ра и АВ не
содержится в Ра. D
Возникает естественный вопрос, насколько далеко от нильпо-
тентного кольца может увести трансфинитный процесс при
построении радикала Бэра. На этот вопрос в некоторой степени
отвечает следующая теорема.
1.1.9. Теорема. Радикал Бэра кольца локально нильпотентен,
т. е. любое конечное множество его элементов порождает
нильпотентное подкольцо.
18
1. Строение колец
Доказательство проведем индукцией по построению. Мы
уже отмечали, что на конечном шаге всегда получаются нильпо-
тентные (и тем более локально нильпотентные) идеалы. Пусть
а — предельное число. Ia = U /я и все идеалы /я
локальна *
но нильпотентны. Если сц,... ,а„ — элементы из 1а, то
существуют трансфинитные числа β\,... ,βη, меньшие а и такие,
что αϊ €Е /я, ,·.. ,ап £ /я„. Пусть β — наибольшее из
чисел β\,... ,βη. Поскольку идеалы {ΙΊ} образуют цепь,
получаем а\,... ,ап £ 1р. В силу локальной нильпотентности /я
эти элементы порождают нильпотентное подкольцо. Если а —
не предельное число, а = β + 1 и идеал /я локально нильпо-
тентен, то любое конечное множество {si,... ,sn} элементов
идеала 1а порождает подкольцо S такое, что S2 С /я.
Однако подкольцо S2 порождается конечным множеством элементов
{s{Sj | 1 ^ г, j'ζ η}, следовательно, S2 (а потому и S) нильпо-
тентно. D
Мы не будем более углубляться в изучение вопросов,
связанных с радикалом Бэра, а заинтересовавшегося читателя отошлем
к обстоятельной монографии В. А. Андрунакиевича и Ю. М. Ря-
бухина [10].
1.2. ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
1.2.1. А втоморфизмом кольца R называется изоморфизм на
себя, т. е. взаимно однозначное отображение д: R —>· R,
сохраняющее операции (ху)3 = х3у3, (х ± у)3 = χ3 ± у3. Легко
видеть, что суперпозиция двух автоморфизмов и отображения,
обратные автоморфизмам, будут автоморфизмами. Это
означает, что множество всех автоморфизмов образует группу, которая
обозначается через Aut R.
В случае некоммутативных колец важное значение имеет
понятие внутреннего автоморфизма. Пусть R — кольцо с
единицей и Ь — его обратимый элемент, т. е. ЬЬ~х = b~1b = 1
для некоторого Ь~1 €Е R. Тогда отображение Ь: χ —»· Ь~1хЬ
будет автоморфизмом кольца R, который называется
внутренним автоморфизмом. Множество всех внутренних
автоморфизмов Iut R образует нормальную подгруппу в Aut Д, поскольку
b ■ d = bd, д^Чд = &я, где b,d G R, g G Aut Л.
Обозначим через R* группу всех обратимых элементов кольца R. То-
1,2. Группы автоморфизмов
19
гда отображение Ь —> Ь будет гомоморфизмом этой группы на
группу Iut.R. Ядро этого гомоморфизма состоит из всех
центральных обратимых элементов. Элемент ζ кольца R
называется центральным, если он перестановочен cq всеми элементами
кольца R: zx = xz для всех χ G R- Множество Z(R) всех
центральных элементов называется центром кольца R. Таким
образом, мы имеем точную последовательность гомоморфизмов
групп {1} -»· Z{R)* -»· R* -»· Iut R.
1.2.2. Дифференцированием кольца R называется отображение
μ: R —»· R, удовлетворяющее следующим условиям: (χ ± \/)μ =
χμ ± у1*, (χν)μ = χμν + χνμ■ Множество всех
дифференцирований кольца R обозначается через Der R. Это множество
замкнуто относительно операции коммутирования: если μ, υ —
дифференцирования, то [μ, ν] — μν—νμ — также
дифференцирование:
{χν)Μ = {{ху)Т - ((*ι/)Ύ = {χμν + *ι/Ύ
- (х"у + xyfY = χμυν + χ* у" + xvtf + χνμυ
- χνμν - χννμ - χμνν - χ\?μ - x^y + xj/f"-"J.
Таким образом, Der R — кольцо Ли. Это кольцо одновременно
является правым модулем над центром кольца R, если
умножение на центральные элементы определить по формуле χ(μζ> =
χμζ. Действительно, (xy)^z> = (χμρ + χ\/μ)ζ, χμζ\/ + χ\/μζ =
χ(μζ) + χρ(μζ\ Вместе с тем нельзя утверждать, что Der Л —
алгебра над кольцом Z(R), так как в определение алгебры
входит тождество [μ2|ΐ/] = [μ,ι/]2. В кольце Der Л вместо него
выполняется тождество
[μζ,ν] = [μ,ν]ζ + μζ". (1.2.1)
Это обстоятельство приводит нас к следующему определению.
Пусть Ζ — коммутативное кольцо, D — некоторое кольцо
Ли, одновременно являющееся правым модулем над Ζ.
Предположим, что задан некоторый гомоморфизм колец Ли и: D —¥
Der Ζ. Тогда D называется дифференциальной Ζ -алгеброй Ли
(короче, д-алгеброй Ли), если в D выполнено тождество (1.2.1),
в котором значение ζ" определяется как zu^>. Таким образом,
множество Der.R образует дифференциальную ^(Л)-алгебру
Ли, в которой гомоморфизм и: Der R —¥ Der Z определяется как
сужение дифференцирований на центр. Отметим, что все диффе-
20
1. Строение колец
ренцирования переводят центральные элементы в центральные:
если zx = xz для всех х, то ζμχ + ζχμ = χμζ + χζμ,
следовательно, ζμχ = χζμ, т. е. ζμ Ε Z(R).
Предположим, что кольцо R имеет простую характеристику
ρ > 0, pR = 0. В этом случае р-я степень дифференцирования
снова оказывается дифференцированием:
(χν)"' = Σ€ϊχμ"νμΡ"' = x"'v + xif'>
так как биномиальные коэффициенты С* кратны р. Поэтому
множество дифференцирований образует ограниченное кольцо
Ли. Напомним, что кольцо Ли называется ограниченным, если
на нем задана дополнительно одноместная операция μ —¥ μΜ,
которая связана со сложением и лиевским умножением
следующими тождествами:
[μ,ν^] = [..\μ,ν^_ν\, (μ + ν)Μ=μΜ+ν\ρ] + \ν(μ,ν),
ρ раз
где W(x,y) — коммутаторное представление некоммутативного
ассоциативного многочлена (х + у)р — хр — ур. Хорошо известно,
что такое представление существует. Например, при ρ = 3
(χ + у)3 - χ3 - у3 = х2у + хух + ух2 + ху2 + уху + у2х
= [[x,vM + [[v,x]x]{™od3).
Алгебра Ли над коммутативным кольцом Ζ называется
ограниченной алгеброй Ли (иногда р-алгеброй Ли), если она
является ограниченным кольцом Ли и операция μ —¥ μ*?' связана
с модульной структурой формулой (/ic)^ = μ*ρ'ερ. В
кольце дифференцирований операция возведения в степень ρ не
удовлетворяет этому тождеству, но вместо него выполнено другое:
(μο)ρ = μρζρ + μ(... ((c/ic)/ic)/i... )μο. Мы приходим к
следующему определению. Дифференциальная Z-алгебра Ли D
называется ограниченной, если на ней задана операция μ —¥ μ^',
превращающая ее в ограниченное кольцо Ли и связанная с
модульной структурой тождеством
(/хс)М =/хМс" +/х-(...((с"с)"с)"с...)''с.
Если D действует тривиально на Ζ (т. е. и = 0), то это
определение превращается в определение обычной р-алгебры Ли над Ζ.
Итак, если кольцо R имеет простую характеристику, то множе-
1.2. Группы автоморфизмов
21
ство дифференцирований образует ограниченную
дифференциальную ^(Л)-алгебру Ли.
Среди дифференцирований так же, как и среди
автоморфизмов, можно выделить внутреннюю часть. Пусть b — элемент
кольца R. Тогда отображение ad 6, действующее по формуле
ad 6: χ —¥ [χ, b] = xb — bx, будет дифференцированием, так как
[ху, Ь] = [ат, 6]у + а;[у,6]. Это дифференцирование называется
внутренним.
Рассмотрим R как (ограниченное) кольцо Ли с операцией
умножения [х,у] —¥ ху — ух (и операцией х*?' = хр, если
ρ > 0; сложение остается прежним). Это кольцо Ли
называется присоединенным к R и обозначается через PS~>.
Теперь отображение χ —¥ ad а; задает гомоморфизм
(ограниченных) колец Ли ad: Д(~) —¥ Der R, который сохраняет также
^(Л)-модульную структуру: [ad6,adr] = ad[6,r], ad (bz) =
(ad6)2. Ядро этого гомоморфизма совпадает с центром кольца
R, поэтому мы имеем точную последовательность
гомоморфизмов колец Ли: (0) -»· Z(R)^ ->· R(~) ->· Der Л. Заметим
также, что [ad6, μ] = ad б**. Поэтому образ ad R образует идеал
(ограниченного) кольца Ли Der R, так что допустимо
рассматривать и внешнюю часть множества дифференцирований как
фактор-кольцо: Der Л = ОегЯ/ас1д.
1.2.3. В этом пункте мы рассмотрим присоединенные 5-алгебры
Ли и универсальные обертывающие. По аналогии с
присоединенными кольцами Ли можно определить присоединенные 5-алгеб-
ры Ли. Пусть А — ассоциативное кольцо с единицей и Ζ — его
подкольцо. Предположим, что Ζ^ — идеал с нулевым
умножением в кольце Ли А^~\ Это означает, что Ζ —
коммутативное подкольцо в А, инвариантное относительно всех внутренних
дифференцирований: αζ — ζα = ζα €Е Ζ. Рассматривая А^ как
правый модуль над коммутативным (ассоциативным) кольцом Ζ,
мы видим, что А^~' превращается в (ограниченную)
дифференциальную Z-алгебру Ли, где действие А^~' на Ζ определяется
формулой ζα = αζ — ζα. Эту алгебру мы будем обозначать
через А2 и называть присоединенной [ограниченной) д-алгеброй
Ли.
Кольцо А называется ассоциативной обертывающей
(ограниченной) дифференциальной 5-алгебры Ли D, если существует
Z-линейный гомоморфизм (ограниченных) колец Ли £а : D —¥
Αζ такой, что действие d £ D на Ζ совпадает с действием
22
1. Строение колец
d(d) и множество £a(-D) порождает А как ассоциативную
алгебру с единицей.
Ассоциативная обертывающая А называется универсальной
обертывающей D, если для любой ассоциативной обертывающей
В существует Z-линейный гомоморфизм колец φ: А —¥ В такой,
4τοξΑφ = ξΒ.
Из категорных соображений легко вывести, что
универсальная обертывающая для D всегда существует. Значительно
труднее выяснить, при каких условиях гомоморфизм £а оказывается
вложением в универсальную обертывающую.
Если D реализована дифференцированиями какого-то
кольца Л с единицей и центром Ζ, т. е. D С Der R, то R
вложена в кольцо эндоморфизмов абелевой группы (R, +). При этом
подкольцо Ф(-О), порожденное D и (правыми) умножениями на
элементы Z, будет ассоциативной обертывающей для D (элемент
ζ £ Ζ отождествляется с умножением χ —¥ χζ). Понятно, что
ξφ'. D —¥ Φ(Ό)Ζ будет вложением. Поэтому вложением будет
также универсальный гомоморфизм £д.
В общем случае, если D — свободный модуль над Ζ, то £д —
вложение. Мы докажем позже это утверждение только для
случая, когда Ζ — поле (см. 6.1.11), при этом мы увидим, что любая
5-алгебра Ли над полем может быть реализована
дифференцированиями свободной алгебры.
1.2.4. Автоморфизмы кольца R естественным образом
действуют на его дифференцированиях: если д £ AutR, μ £ Der Л,
то суперпозиция g~1μg = μ3 является дифференцированием:
(ху)3''"3 = (хО'^у3'1 + X3'1 у3'' μ)3 = хЗ'^Зу + хуЗ'1™.
1.3. ТЕОРЕМА БЕРГМАНА — АЙЗЕКСА.
ЦЕЛОСТНОСТЬ ПО ШЕЛТЕРУ
В этом параграфе мы докажем несколько результатов,
принадлежащих Дж. Бергману и И. Айзексу, о кольцах инвариантов
конечных групп автоморфизмов, а также теорему Квинна.
1.3.1. Пусть G — группа автоморфизмов кольца R. Кольцом
инвариантов группы G называется подкольцо RG всех
неподвижных относительно G элементов RG = {г G Я | Vj G
G, г3 = г}. Наша ближайшая задача — выяснить, при каких
1.3. Теорема Бергмана — Айзекса
23
условиях кольцо RG оказывается «маленьким» (нулевым или
нильпотентным). Ясно, что без этого невозможно дальнейшее
изучение инвариантов конечных групп.
1.3.2. Пример. Пусть F — поле характеристики ρ φ О с
элементом ω φ О,1 конечного мультипликативного порядка ωη = 1,
и пусть F{x,y) — кольцо всех некоммутативных многочленов
от двух переменных без свободных членов. Обозначим через R
кольцо всех 2 χ 2-матриц с элементами из F(x,y). Матрицы
Ί χ
0 1
, м =
1 У
0 1
, А3 =
ω θ"
0 1
не лежат в R. Однако они определяют автоморфизмы у,-: Μ —¥
AJ1 Μ Αχ кольца R. Порядок группы G, порожденной этими
автоморфизмами, равен пр2. Прямые вычисления показывают,
что R = {0}. (Достаточно заметить, что матрица,
перестановочная с Αι и Аъ, имеет вид [„ζ], a матрица такого вида
перестановочна с Аз, только если / = 0.) Этот пример
показывает, что в самой общей ситуации тесной связи между кольцами
R и RG нет. Тем не менее, при условии, что в R нет аддитивного
η-кручения, где τι — порядок группы, такие связи могут быть
установлены.
1.3.3. Пусть X = {<7ι дп} — конечное множество (не
обязательно группа) автоморфизмов кольца R. Обозначим через
U(X) множество всех последовательностей и = (ид)д^х,
элементов кольца R. Пусть τ — отображение из U(X) в R,
сопоставляющее последовательности и = (w5l идп) элемент
1.3.4. Лемма. Пусть V(X) — подмножество
последовательностей (wffl ugn) из U{X) таких, что
ugix31 + ug2x97 + ...+ ugnx9n = 0
для всех χ G R· Тогда левый идеал tV(X) нильпотентен
η
степени не выше Y[ (C„ + 1).
fc = 0
Доказательство. Для любых а £ R и и £ U(X) определим
произведения аи = (аид) £ U(X) и и.а = (ида9) £ U(X).
Тогда V(X) = {и £ U(X) \ т(и.а) = 0 для всех a G R}. Для
каждого Υ С X отождествим множество V(Y) с подмножеством
тех последовательностей (ид) £ V(X), для которых ид = 0
24
1. Строение колец
при любом д G X\Y. Пусть и, ν G V(Y) и д € Υ. Тогда
ugt)-!j.(t;| ) €Ξ V(F\{^}). Действительно, этот элемент лежит
в V(y), и его ^-компонента равна ugvg — ug(v3 )3. Если мы
применим τ к этому элементу, то второе слагаемое исчезнет по
определению V(X). Получим ug(rv) €Ξ rV(Y\{g}). Суммируя
по всем д Ε Υ, находим (tu)(tv) G ^Z tV(Y\{9})- Поэтому
(rV(Y)fcJ2rV(Y\{g}). (1.3.1)
9€Y
Пусть Υ пробегает все множество С™ = к подмножеств X
данной мощности т. Тогда
( Σ rV(Y))k+1 с Σ ^)Д#;
4 |У|=т ' \Z\=m-l
здесь Я* — кольцо, полученное из R присоединением единицы.
Чтобы получить эту формулу, надо левую часть представить в
виде суммы произведений tV(Yq) · ... · rV(Yk). По принципу
Дирихле один из сомножителей встречается дважды, т. е. можно
каждое произведение представить в виде AtV(Y)BtV(Y)C С
[R*tV(Y))(R*t(V{Y))R* = {tV{Y))2R*, т. е. по формуле
(1.3.1) оно содержится в левой части. Индукцией по т получаем
№)Д(С"+1) = о. d
1.3.5. Предложение. Пусть G — конечная группа автомор-
п
физмов кольца Run — ее порядок, h = 1 + Y[ [C%n + 1). Тогда
»=о
для любого натурального d справедливо включение
{nR)hd С nRt(R)dR*,
zdei(r) = Σ г3 — след элемента г.
g€G
Доказательство. Пусть L = {/ G R,lt(R) = 0} — левый
аннулятор всех следов t(R). Если / €Е L, то ^Ζ Ιχ3 = 0. Сле-
g€G
довательно, и = (/,/,...,/) е V(G), и поэтому nl = ru G
tV[G). По лемме 1.3.4 (7iL)h_1 = {0}. Пусть теперь J —
произвольный G-инвариантный левый идеал кольца R, RJ C^ J,
J9 = J, для всех g £ G. Рассмотрим фактор-кольцо R =
1.3. Теорема Бергмана — Айзекса
25
R/jt(R)R#- Так как двусторонний идеал Τ = Jt(R)R*
является G-инвариантным, на R естественно индуцируется действие
группы G: (г + Т)3 = г3 + Т. Для элемента г = г + Τ G R
имеем t(r) = t(r) + Τ = t(r). Поэтому Jt(R) =_0, т. е. 1
содержится в левом аннуляторе всех следов кольца R. Поэтому
(nJ)h~1 = {0}. Для кольца R последнее равенство означает,
что (nJ)h~1 С Jt(R)R&. Умножая справа на nJ, находим
{nJ)h CnJt{R)R*. (1.3.2)
Исходя из (13.2), проведем индукцию по d. Пусть (nJ)h С
nJt(R)d~1R&. Возводя обе части в степень h и используя
включение (1.3.2) для идеала JQ = Jt(R)d~1, получим (nJ)h С
(пЛ(Я)'*-1Я#))л = {nJ0)hR* С nJQt(R)R# = nJt{R)dR^.
Полагая J = R, получим утверждение предложения. D
1.3.6. Теорема [Бергман — Айзеке]. Пусть G — конечная
группа автоморфизмов кольца Run — ее порядок. Тогда если в R
нет аддитивного п-кручения, то из нильпотентности
степени d кольца инвариантов следует нильпотентность
кольца R степени не выше h . В частности, если R = {0}, то
Rh = {0}, где/ι=1+ Π (<# + !)■
»=о
Доказательство вытекает из предложения 1.3.5.
На первый взгляд, оценка нильпотентности в этой теореме
очень грубая. Известно, например, что для разрешимых групп
степень нильпотентности не превосходит nd. Однако пока
детального исследования не проводилось, и интересно было бы
сначала с помощью серии примеров найти границы для оценки
нильпотентности снизу. Полученная теорема дает исключительно
важный инструмент для исследования инвариантов конечных
групп в случае, когда кольцо не имеет аддитивного п-кручения
(га — порядок группы). В этом параграфе мы рассмотрим только
одно применение.
1.3.7. Следствие. Пусть G — конечная группа
автоморфизмов полупервичного кольца R, которое не имеет аддитивного
п-кручения, где га — порядок группы G. Тогда кольцо
инвариантов R также полупервично.
Доказательство. Пусть / — ненулевой идеал кольца RG
такой, что I2 = (0). Рассмотрим в R правый идеал nIR. Если
26
1. Строение колец
ns = n^imrm — неподвижный элемент из этого идеала, то
т
ns = t(s) =tl ]T/mrmJ =^2imt(rm) G /·
^ m ' m
Теперь применим теорему 1.3.6 к кольцу nIR. Мы получили,
что (nIR)G — кольцо с нулевым умножением и, следовательно,
nIR — нильпотентное кольцо степени h2. Так как в кольце R
нет аддитивного η-кручения, нильпотентным будет также
правый идеал IR. Наконец, двусторонний идеал J, порожденный
IR, будет также нильпотентным: (R*IR)h+1CR*(IR)h R*
= О, что противоречит полупервичности кольца R. D
Если исходное кольцо R коммутативно, то все
коэффициенты многочлена Υ[ (χ — а9) при а €Е R будут неподвижными
g€G
относительно действия конечной группы G. Раскрывая скобки,
найдем целый многочлен над RG, корнем которого является а,
т. е. R является целым расширением RG степени \G\. Этот
факт имеет аналог для некоммутативных колец (при
естественных ограничениях на аддитивную структуру), недавно
обнаруженный Д. Квинном.
1.3.8. Пусть Τ — подкольцо кольца R. Целым Τ-многочленом
степени η называется выражение вида
хп + 2_j tnxt{2x ■ ■. xUk,
в котором iy — элементы из Τ или формальные единицы, при
этом в каждом слагаемом под знаком суммы присутствует хотя
бы один сомножитель из Τ (если Τ содержит единицу, то
последнее прибавление излишне).
Кольцо R называется целым по Шелтеру над Τ (степени п),
если для каждого а £ R существует целый Т-многочлен f(x)
(степени τι) такой, что /(а) = 0.
Несколько более глубоким и полезным является
линеаризованный вариант этого понятия. Квазицелым Τ -многочленом
степени η называется выражение вида
Χιχ2...χη + Σ
1.3. Теорема Бергмана — Айзекса
27
в котором, как и выше, ί,-j — элемент из Τ или единица, причем
в каждом слагаемом под знаком суммы не все tjj равны
формальной единице.
Кольцо R называется вполне целым над Τ степени п, если
для каждого набора а\,... ,ап из R существует квазицелый
Т-многочлен f(x\,... ,хп) степени η такой, что выполняется
равенство f(a\,... , ап) = 0.
1.3.9. Теорема [Квинн]. Пусть G — конечная группа
автоморфизмов кольца R. Если \G\R = R, \G\x = 0 => χ = 0, то
кольцо R будет вполне целым над R некоторой степени т.
Доказательство основано на следующем утверждении,
которое, по-существу, получено Р. Паре и У. Шелтером [ПО].
1.3.10. Теорема. Пусть группа G порядка η действует на
кольце R. Рассмотрим в кольце η х η-матриц Rn подкольцо
диагональных матриц Τ = {diag (α51,... , α9η) | α £ R} ~ R,
где {<7ι,- . . ,gn} — G. Тогда кольцо Rn будет вполне целым
над Τ некоторой степени т.
Доказательство. Для к = 1,2,... , η обозначим через Rk
подкольцо в Rn, состоящее из всех матриц, последние η — к строк
и последние η — к столбцов которых нулевые. Индукцией по к
покажем, что Rk вполне целое над Τ некоторой степени т.
Пусть к = 1 и αϊ = diag (π, 0,... , 0) £ R\. Найдем элемент
t £ Τ такой, что t = diag(r\,...). Тогда для любого 02 £ Ri
имеем (αϊ — ί)θ2 = 0. Поэтому αιθ2 = ta<i, что и требуется.
Пусть к > 1. Представим произвольную матрицу α £ Rk в
виде
■а'
*
.0
г"
*
0
0"
0
0
а= * * 0 , (1.3.3)
где а' — (к — 1) χ (к — 1)-матрица, г" — столбец высоты к — 1.
Положим а = ["' о] £ Rk-ι- Для элементов αϊ, 02 £ Rk введем
отношение: αϊ Ξ 02 тогда и только тогда, когда столбцы г'/ и
г2', соответствующие матрицам οι и 02 в представлении (1.3.3),
совпадают: г'{ = г2'. Заметим, что это отношение удовлетворяет
следующим свойствам:
— пусть αϊ, 02, α £ Rk и t £ T\ если αϊ Ξ θ2, το ααι Ξ αα2
и ίαι Ξ <02|
28
1. Строение колец
— если а\,а £ Rk, то существует элемент t €Е Τ такой, что
αια Ξ αια — a\t. (1.3.4)
Действительно, можно найти t Ε Τ такое, что
t =
Поэтому
αϊ (α — t)
* г"
* 0
О 0
г . _/ _//
* *
.0
0
0"
0
*_
0"
0
0
= αια.
Пусть αϊ,... ,ат — произвольные элементы из Rk, где число
т равно степени целостности Rk-i над Т. Тогда мы имеем
зависимость Ъ\.. .ат + 52<»iciji .. .2Tjm_1<ijk = 0. Умножим
последнее равенство справа на произвольный элемент α Ε Rk. В
силу первого свойства отношения Ξ многократное применение
соотношения (1.3.4) позволяет избавиться от тильд. Так как
соотношение (13.4) однородно по αϊ и по совокупности всех
входящих в него переменных, после преобразования старшего члена
получится квазицелый многочлен со старшим членом αϊ . ..ата,
а остальные члены перейдут в Т-многочлены степени, меньшей
т + 1. Таким образом, найдется квазицелый Т-многочлен /
степени т + 1 такой, что /(αϊ,... ,ат,а) = 0. Это означает, что
существует элемент t Ε Τ такой, что разность s = f(a\ ,...)—<
имеет вид
* 0 О'
* о о
0 0*.
(1.3.5)
По предположению индукции для любых элементов S\,... , sn
вида (1.3.5) существует квазицелый многочлен φ степени т
такой, что матрица y(si, ■ ■ · , sm) имеет вид
0 0 σ
♦ 00
0 0*
Поэтому y?(si,... , sm)^(s\,... , s'm)a = 0, где φ' —
квазицелый многочлен для других элементов s'lt... ,s'm вида (1.3.5).
Предположим, что элементы s'( и Sj построены по произвольным
1.4. Мартиндейловское кольцо частных
29
наборам а^ ,... ,а„ , а^\ 1 ^ г ^ 2п, так же, как элемент s
построен по набору αχ,... , ат, а. Тогда мы получим требуемую
зависимость между элементами а^',... , оЦ, а^*\ 1 ^ г ζ 2т,
α степени 2(т + I)2 + 1. Π
1.3.11. Следствие. Кольцо матриц Лп является целым по
Шелтеру над кольцом скалярных матриц {diag (г,. .. , г) |
г ел}.
Доказательство. Достаточно предположить, что в
теореме 1.3.10 группа действует тривиально. D
Доказательство теоремы 1.3.9. Рассмотрим формальную
η х τι-матрицу е = [| 1/п|[, на всех местах которой стоят 1/п,
где η — порядок группы G. Так как nR = R и пх = 0 =>
χ = 0 в кольце Л, умножение матриц из R на е
определено. При этом е2 = е, где е понимается как матрица и как
оператор. Пусть αϊ,... , ат — произвольные элементы из Rn.
Рассмотрим целую зависимость элементов еа\е,... , еате над
Т= {diag (г51,... ,г»») | r€ R}.
га\га,2г ...eame = ^,ίίΐεα,-,ε ■ ■ ■ ajm-iei:m·
Умножая последнее равенство слева и справа на е, получим, что
кольцо еЛ„е вполне целое над подкольцом еТе некоторой
степени т. Однако кольцо еЛ„е состоит из матриц, все элементы
которых одинаковы, а кольцо еТе состоит из матриц, все
элементы которых неподвижны относительно G и равны между собой.
Учитывая, что произведение матриц ||а|| ■ ||6|| имеет вид ЦгаабЦ,
а также возможность сокращения на п, получаем, что R вполне
целое над RG. D
1.4. МАРТИНДЕЙЛОВСКОЕ КОЛЬЦО ЧАСТНЫХ
Пусть R — полупервичное кольцо. Обозначим через Τ
множество всех (двусторонних) идеалов кольца R, имеющих
нулевые аннуляторы в R. Напомним, что правым аннулятором
гд(Л) множества А в R называется совокупность χ Ε R
таких, что Ах = 0. Соответственно левый аннулятор Ir(A) —
это множество всех χ €Е R таких, что хА = 0. Пересечение
аппд А = vr(A) Π Ir(A) называется аннулятором А в R.
Следующее утверждение показывает, что все эти понятия
совпадают для идеалов полупервичного кольца.
30
1. Строение колец
1.4.1. Лемма. Пусть I — идеал полупервичного кольца R.
Тогда аппя(/) = rR{I) = Ir(I).
1.4.2. Замечание. Полупервичное кольцо не имеет ненулевых
нильпотентных односторонних идеалов. Действительно, пусть,
например, В — правый нильпотентный идеал Вп = 0.
Рассмотрим идеал В + RB, порожденный множеством В. Учитывая,
что BR С В, получаем (В + RB)n = 0, т. е. в силу
полупервичности В + RB = 0 и тем более В = 0.
Доказательство леммы 1.4.1. Достаточно установить
второе равенство. Пусть 1х = 0. Тогда (xl)2 = xlxl = 0,
т. е. xl — нильпотентный правый идеал. Ввиду замечания 1.4.2
xl = 0. Итак, гя(/) С Ir{I) Обратное включение
доказывается аналогично. D
Лемма 1.4.1 показывает, в частности, что множество Τ
мультипликативно замкнуто, т. е. вместе с идеалами l\, Iq. оно
содержит их произведение I\Iq., так как равенство Ι\Ιιχ = 0 дает
I2X С аппд 1\ = 0, т. е. 1^х = 0 и χ £ аппд /г = 0.
1.4.3. Лемма. Любой идеал I полупервичного кольца R имеет
нулевое пересечение со своим аннулятором аппд/. Прямая
сумма I + аппд/ принадлежит Τ.
Доказательство. Пересечение /Паппд/ имеет нулевое
умножение и поэтому равно нулю. Если (/ + аппя/)а; = 0, то
1х = 0. Следовательно, χ лежит в идеале А = аппя/. С другой
стороны, Ах = 0. Поэтому χ лежит также в аннуляторе идеала
А, т. е. χ G А П аппдЛ = 0. D
1.4.4. Идеал кольца R называется существенным, если он имеет
ненулевое пересечение с любым собственным идеалом кольца R.
1.4.5. Лемма. Идеал I полупервичного кольца R
принадлежит Τ тогда и только тогда, когда он существен.
Доказательство. Если / G Т, то 0 φ IJ С / П J. Обратно,
по лемме 1.4.3 / Π аппя/ = 0. Поэтому аппя/ = -О, если /
существенный, что и требовалось доказать. D
1.4.6. Для каждого / £ Τ обозначим через Horn (rI, R) абелеву
группу всех гомоморфизмов левого Л-модуля / в R. Рассмотрим
объединение V = U Нот {rI, R) всех этих абелевых групп и
введем на нем отношение эквивалентности: ψ\ ~ ψ2, если суще-
1.4. Мартиндейловское кольцо частных
31
ствует идеал I £ Т, лежащий в области определения φι и φ2,
такой, что ψ\{α) = φ2(α) для всех а £ I. На фактор-множестве
V J'г* введем кольцевые операции: если ψ\ £ Нот (h, R), φ2 £
Нот (I2> R), το полагаем ψ\ ±φ2, ψιψι £ Нот(I2I\, Ft),
причем (φι ±φ2){α) = ψι(α)±ψ2{α), (φιφ2)(α) = φ2(φι(α)).
1.4.7. Лемма. Множество V j^, с введенными выше
операциями является кольцом.
Доказательство. Сначала следует проверить корректность
введенных операций. Пусть φ[ ~ φι κφ'2 ~ φ2, причем действие
φι совпадает с действием φ\ на идеале /( £ Т, а действие φ2 — с
действием φ'2 на идеале 12 £ Τ. Тогда 121[ С 12Г\1[ и 1'21[ £ Τ.
Поэтому φ\ ± φ'2 ~ φι ± φ2 и φ[φ2 ~ φιφ2. Кроме того,
гомоморфизм φ2 определен на φι(Ι2Ι[), так как φι — гомоморфизм
левых Д-модулей, и поэтому φι(Ι2Ι[) С Ι2φι(Ι[) С I'2R С 1'2.
Проверка ассоциативности, дистрибутивности и других законов
столь же тривиальна. D
1.4.8. Построенное кольцо Vy~ называется левым мартиндей-
ловским кольцом частных η обозначается далее через Rjr.
Читатель, знакомый с понятием прямого предела, легко заметит,
что Rjr = |im Нотя(я/,Д). Если о — некоторый элемент
кольца R, то можно определить гомоморфизм а £ Horn (rR, R)
левых Л-модулей по формуле а(х) = ха. Отображение г,
сопоставляющее элементу о класс эквивалентности, определяемый
в V Jг^ гомоморфизмом о, будет вложением кольца R в кольцо
Rjr. Действительно, если о ~ 0, то по определению а(1) — О
для подходящего I £ Τ. Однако последнее равенство означает,
что Ια = 0, т. е. о = 0 Далее, если ai,a2 £ R, то
αια2(χ) = χαια2 = (χαι)α2 = 02(01(2;)),
αϊ ± α2{χ) = χ(αι ± α2) = χα,ι ± χα2 = αι(χ) ± α2(χ).
Поэтому i сохраняет кольцевые операции. Теперь мы
отождествим R с его образом i(R) и будем считать, что R является
ПОДКОЛЬЦОМ Rjr.
1.4.9. Теорема. Кольцо R? удовлетворяет следующим
свойствам:
(а) для любого элемента а £ Rjr существует идеал 1а £ Τ
такой, что 1аа С R,
32
1. Строение колец
(б) если а £ Ft? и Ια = 0 для некоторого I £ Τ, то а = О,
(в) если I £ Τ и ψ: I —¥ R — гомоморфизм левых R-модулей,
то существует элемент г £ R? такой, что φ(ϊ) = ir для
всех г £ /,
(г) если W — (Я,Я)-под6имодуль в Rjr и φ: W —У R? —
гомоморфизм левых R-модулей, причем в W содержится
идеал I кольца R такой, что φ(Ι) С R и аппд / = Ir(W),
то существует элемент г £ R? такой, что у?(6) = Ьг
для любого Ь £ W и 1г = 0 для любого I £ Ir{W).
Свойства (а)-(в) вытекают из определения. Более того, эти
свойства определяют кольцо частных Rjr однозначно с
точностью до изоморфизма над R.
1.4.10. Лемма. Если W — ненулевой подмодуль левого
(правого) R-модуля R?, то W2 ф 0. В частности, R? —
полупервичное кольцо.
Доказательство. Действительно, если 0 ф ν £ W η Ιυ —
идеал кольца R, аннулятор в R которого равен нулю и такой,
что Ιυν С R, то 0 ф [Ivv)2 С W2 (в случае правого подмодуля
ϋφνΙνν(Ζ W2, так как (Ινν)2 φ 0). D
Покажем, как из условий (а)-(в) теоремы 1.4.9 следует (г). По
лемме 1.4.10 левый и правый аннуляторы (R, Л)-подбимодуля W
в Rjr совпадают, так как равенство IW = 0 влечет (WI)2 = 0 и,
наоборот, WI = 0 влечет (IW)2 = 0. Это обстоятельство
позволяет в формулировке свойства (г) заменить левые аннуляторы
правыми или двусторонними.
Пусть W удовлетворяет (г). Обозначим через L аннулятор
идеала I в R. Распространим ψ на L + I, полагая f(L) = 0.
Так как аннулятор идеала L + I равен нулю, согласно свойству
(в) найдем элемент г £ R? такой, что Lr = 0, tr = <p{t), где
t £ /. Далее, если ν £ W, a £ //„, то αν £ /. Следовательно,
αψ{ν) = ψ{αν) = avr. Поэтому 1{ψ{ν) — vr) = 0. Кроме того,
по условию L · W = 0, т. е. Lv = 0 и L{<p{v) — vr) = 0. Это
означает, что ψ{ν) = vr. Если IW = 0, то UIW = 0, и поэтому
/ι · / С L. Следовательно, I\lr = 0, что по свойству (б) дает
/г = 0, что и требовалось доказать. D
1.4.11. Аналогично кольцу Rjr можно определить правое
кольцо частных Rjr = lim Нот(Ir,R). Различие в определении
1€?
1.4. Мартиндейловское кольцо частных
33
операций состоит лишь в том, что произведение в Ryr
определяется по формуле (ψιψ2)(χ) = ψι(ψ2(χ)), из которой следует,
что соответствие а —¥ ~а, где ~а(х) = ах, является вложением
R в Rjr. Рассмотрим в Rj- подкольцо Q(R), состоящее из всех
элементов а, для которых существуют идеалы Га £ Τ такие, что
аГа С R. Тогда отображение χ —> αχ, χ Ε Га, определяет
некоторый элемент ~а £ Л0,·. Аналогично, если Ь £ Л^· и lb С R, то
отображение χ —У xb, χ £ I, определяет элемент Ь £ R?. Ясно,
что отображения а —> ~а и Ь —> Ь являются взаимно
обратными изоморфизмами, и мы можем отождествить кольца Q(R) и
Q°(R) = {г £ R°jr | 31 £ Τ, Ir С R}. Кольцо Q(R)
называется двусторонним мартиндейловским кольцом частных (или
симметрическим кольцом частных) кольца R.
1.4.12. Предложение. Пусть кольцо R разложено в прямую
сумму идеалов R= Τφ S. Тогда Rj- = Tj- φ Sj-.
Доказательство. Заметим, что кольца Tj- и Sj-
естественно вкладываются в Rjr: если t £ Tjr и It С Τ, где / —
существенный идеал Т, то TIT + S — существенный идеал R и
отображение а + s —»· at, определенное на этом идеале,
определяет элемент t £ Rjr, с которым естественно отождествляется
элемент t. Так как ST? = 0 и TSjr = 0 по построению, имеем
(S + T)(Tjr C~\Sjr) = О, т. е. пересечение Туг η Sj- равно нулю.
Если q £ Rjr и Iq С R, I £ Τ, то Tlq С Τ, Slq С S,
причем ΤΙ к SI — существенные идеалы в Τ и 5 соответственно.
Поэтому правые умножения на q определяют элементы t £ Туг
и s £ Sjr. Покажем, что q = t + s. Действительно, если а £ TI,
то aq = at и as = 0; если а £ SI, то aq = as и at = 0. Поэтому
aq = at + as для a £TI + SI, т. е. RI(q — t — s) = 0, и свойство
(б) кольца Rjr (см. теорему 1.4.9) дает q = s + t. Покажем, что
7> -Sjr = 0. Действительно, если t £ f>, то (TIT+S)t С Τ для
некоторого существенного идеала / кольца Т. Так как TSj- = 0
по построению Sjr, имеем (TIT + S)tSjr = 0, т. е. по свойству
(б) tSjr = 0.
Таким образом, подкольца Туг и Sjr аннулируют друг друга
и в сумме дают все кольцо Rjr, т. е. они являются идеалами и
Rj- = Tjt φ St. Для кольца частных Q рассуждение^остается
тем же, следует лишь при построении t проверить, что t £ Q(R),
если t £ Q(T). D
34
1. Строение колец
1.4.13. Предложение. Если R — полупервичное кольцо и I £
Τ, то левое мартиндейловское кольцо частных I можно
естественно отождеститъ с R?, причем Q(I) = Q(R)-
Доказательство. Если А — существенный идеал кольца /,
то IAI €Ξ Т, причем IAI С А. Поэтому если q: А —¥ I —
гомоморфизм левых /-модулей, то ограничение q на IAI будет
гомоморфизмом левых Д-модулей, т. е. мы получаем вложение
Ijr С Rjr. Обратное включение столь же очевидно: если J —
существенный идеал R, то IJ является также существенным
идеалом кольца /. При этом образ ограничения φ гомоморфизма
φ: J —»· R на IJ содержится в Itp{J) С /, что позволяет
отождествить У>/~ с элементом ^/~ Ε Ιρ. Равенство Q(I) = Q{R)
при таком отождествлении очевидно. D
1.5. ОБОБЩЕННЫЙ ЦЕНТРОИД
ПОЛУПЕРВИЧНОГО КОЛЬЦА
1.5.1. Обобщенным центроидом полупервичного кольца R
называется центр С его мартиндейловского кольца частных R?.
Понятно, что центр кольца является коммутативным подколь-
цом. Напомним, что централизатором множества S в кольце
А называется подкольцо Za(S) = {а €Е А \ Vs €E S(as = sa)}.
1.5.2. Лемма. Централизатор любого идеала I £ Τ в кольце
R? равен обобщенному центроиду кольца R.
Доказательство. Обозначим, как обычно, [х,у] = ху — ух.
Имеет место тождество [яг, у] — [z,y]z = я[.г,у]. Пусть
элемент а принадлежит централизатору /, т. е. [1,а] — 0. Если
г Ε Rjr, то в силу приведенного выше тождества Пг[г,а] С
[Пгг, а] + [Пг ,а]г = 0. Ввиду свойства (б) кольца частных
(см. теорему 1.4.9) [г, а] = 0, т. е. о g С. Π
1.5.3. Кольцо называется регулярным (в смысле фон Неймана),
если для любого элемента χ существует элемент х' такой, что
XX X = X.
1.5.4. Лемма. Обобщенный центроид полупервичного кольца
является регулярным кольцом.
Доказательство. Пусть а — центральный элемент
мартиндейловского кольца частных. Покажем, что отображение ψ: χα2
—У χα, где χ пробегает множество /α2Π/α, определено корректно.
1.5. Обобщенный центроид полупервичного кольца 35
Пусть ха2 = 0. Тогда (xa)R?(xa) = xa2R?x = 0, т. е. в
силу полупервичности кольца частных ха — 0. Таким образом,
ψ — гомоморфизм левого Я-модуля J а1, где J = 1аз Π Ια £
Т, в Л, т. е. по свойству (в) кольца частных (см. теорему 1.4.9)
найдется элемент αϊ £ Rp такой, что ха2а\ = ха для всех
χ £ J. Ввиду свойства (б) кольца частных а2а\ = а. Пусть
а1 = а\аа\. Тогда а2а1 — а. Покажем, что элемент а' лежит
в центре. Пусть χ — произвольный элемент кольца частных.
Тогда [χι(α2αι)2] = [χ, α2] = 0. Следовательно, a4[a:,ai] =
0. Умножая слева полученное равенство на af, получаем 0 =
α[ι,αι] = [х,а'\. Ώ
1.5.5. Как и любое регулярное кольцо, обобщенный центроид
имеет достаточно много идемпотентов. Действительно, если а2а'
= а, то (аа1)2 = а2а'а' = аа', т. е. е — аа' — идемпотент,
причем еа = а. Последнее условие означает, в частности, что
С-модуль, порожденный элементом а, порождается идемпотен-
том е, т. е. еС — аС. В множестве Ε всех центральных
идемпотентов естественно возникает отношение частичного порядка:
е\ ^ в2 <=? eie2 = e\.
1.5.6. Носителем множества S С R? называется наименьший
идемпотент е = е(5) £ С такой, что se — s для всех s €Ξ S.
1.5.7. Лемма. Любое множество S С R? имеет носитель.
При этом равенство SRx = 0 для элемента χ £ R? [так
же, как и равенство xRS = 0) эквивалентно xe(S) = 0.
Доказательство. Пусть V — двусторонний Л-подмодуль в
Л^·, порожденный множеством S. Тогда I = V Π R —
двусторонний идеал кольца R. Покажем, что его аннулятор в
кольце R совпадает с аннулятором V в R. Пусть 1х = 0. Если
ν £ V, то по свойству (а) кольца частных (см. теорему 1.4.9)
Ιυ ■ ν С R Π V = /. Поэтому Ιννχ = 0. В силу свойства (б)
νχ = 0.
По свойству (г) кольца частных для тождественного
отображения φ: V -+ V существует элемент е £ Rjr такой, что ve = ν
для всех ν £ V (в частности, se = s для всех s £ S) и е
аннулирует аннулятор L множества V в кольце Rjr.
Следовательно, для любых / £ L, ν £ V, χ £ R? справедливы равенства
(/ + v)[x, е] = 0 и (/ + v)(e2 — е) = 0. Так как аннулятор суммы
L + V имеет нулевое умножение, в силу леммы 1.4.10 элемент
е является центральным идемпотентом. Далее, если е\ — цен-
36
1. Строение колец
тральный идемпотент такой, что se\ = s для всех s E 5, то в
силу центральности νβχ = ν для всех ν 6 V: Поэтому 1—е\ £ L,
т.е. О = (l—ei)e = e—eie, что по определению означает ei ^ е.
Пусть, наконец, SRx = 0. Тогда Rx лежит в аннуляторе V.
Поэтому eRx = 0 и, следовательно, Rex = 0, что по свойству (а)
кольца частных влечет ех = 0. D
1.5.8. Лемма. Если 0 φ е\ <С. e{S), mo e\S φ 0.
Доказательство. Если eiS = 0, το идемпотент / = 1 — е\
удовлетворяет равенству sf = s для всех s 6 S. Поэтому / ^
е(5) ^ ei, т. е. е\ = /ei = 0; противоречие. D
Смысл пропорциональности над С в терминах кольца R
хорошо раскрывает следующая лемма.
1.5.9. Лемма. Элементы а, Ь 6 Д?· пропорциональны και? С,
т. е. а = сб для некоторого с 6 С тогда и только тогда,
когда е(а) ^ е(6) и ахб = Ьха для всех χ 6 R.
Эту лемму мы выведем из общего утверждения 1.7.14, а пока
предлагаем читателю доказать ее в качестве упражнения.
Ниже мы установим еще одно важнейшее свойство
обобщенного центроида— самоинъективность (см. 1.6.17).
1.5.10. Предложение. Обобщенный центроид первичного
кольца является полем. Обратно, если обобщенный центроид
полупервичного кольца — поле, то кольцо первично.
Доказательство. Пусть R — первичное кольцо. В силу
регулярности С достаточно показать, что оно не имеет делителей
нуля. Если с\С2 = 0, ci,C2 6 С, то, выбирая ненулевые
идеалы 1\ и /г в R такие, что с\1\ С R и С2/2 Q R> мы получим,
что произведение двусторонних идеалов (c\I\)(c2h) равно нулю,
следовательно, с\ = 0 или С2 = 0. Обратно, если aRb = 0, то
по лемме 1.5.7 е(а)Ь = 0. Поэтому e(a)Rb = 0. Следовательно,
е(а)е(6) = 0, т. е. в С нашлись делители нуля. D
1.6. МОДУЛИ НАД ОБОБЩЕННЫМ ЦЕНТРОИДОМ
В этом параграфе речь пойдет о модулях над произвольным
регулярным самоинъективным коммутативным кольцом, хотя это
выясняется в самом конце. Понятно, что подходы к изложению
такого классического материала могут быть различными. Мы
1.6. Модули над обобщенным центроидом
37
предпочли топологический подход по следующей важной
причине: все модульные гомоморфизмы, кольцевые автоморфизмы
и дифференцирования, а также термальные унарные операции
оказываются непрерывными. Поэтому вопрос перенесения
многих свойств на инъективную оболочку (или в наших терминах,
на топологическое замыкание) оказывается совершенно
прозрачным. В случае первичного кольца все рассматриваемые здесь
модули превращаются в линейные пространства и топология
становится дискретной. Поэтому читатель, интересующийся в
первую очередь первичными кольцами, может этот параграф
пропустить.
1.6.1. Пусть R — полупервичное кольцо и С — его обобщенный
центроид. С помощью идемпотентов из С определим топологию
в произвольном С-модуле М. Частично упорядоченное
множество А называется направленным, если для любых двух
элементов существует их верхняя грань. Множество Ε всех
центральных идемпотентов частично упорядочено относительно введен1
ного выше порядка (см. 1.5.5). При этом любое подмножество
Е\ С Ε имеет точную верхнюю грань sup Ει, которая равна
носителю e(Ei) множества Е\.
1.6.2. Пусть А — направленное частично-упорядоченное
множество. Элемент т модуля Μ над кольцом С является пределом
семейства {та £ М,а £ А}, если существует направленное
семейство идемпотентов {еа,а 6 А} такое, что еа ζ ер при
а ^ β, sup{ea} = 1 и для всех а 6 А справедливы
равенства теа = таеа. В этом случае пишем т = lim ma. Со-
А
ответственно множество Τ С Μ называется замкнутым, если
предел любого семейства элементов из Τ лежит в Т.
Замыканием множества называется наименьшее замкнутое множество,
содержащее данное. Таким образом, операция замыкания
определяет некоторую топологию на С-модуле Μ.
Пусть ψ: М\ —У Μ — некоторое отображение С-модулей.
Отображение ψ называется вполне непрерывным, если из
равенства т = lim та следует ψ(πι) = lim y?(m0). Заметим,
А А
что любое вполне непрерывное отображение является
непрерывным. Действительно, в этом случае полный прообраз замкнутого
множества замкнут и, следовательно, ψ — непрерывное
отображение. Ясно, что если ψ сохраняет операторы умножения на
идемпотенты из С: <р(те) = <р(т)е, то φ будет вполне непре-
38
1. Строение колец
рывным. В частности, любой модульный гомоморфизм является
непрерывным, а изоморфизм — гомеоморфизмом.
1.6.3. Предложение. Операторы левого и правого
умножений, операторы сдвига Πα(ι) = χ + а, а также все
дифференцирования и автоморфизмы кольца Rj? вполне непрерывны.
Более того, если г = lim ra и s = lim sa, то razs = lim ra±sa
A A A
и г ■ s = lim (rasa).
A
Доказательство. Операторы левого и правого умножений
вполне непрерывны, так как являются модульными
гомоморфизмами. Если г = lim ra, то (г+а)еа — геа + аеа = гаеа + аеа =
А
(га + а)еа, т. е. г + а = lim (га + а). Чтобы доказать непре-
А
рывность дифференцирований, заметим сначала, что
центральные идемпотенты являются константами любого
дифференцирования. Если е2 = е, то 2εεμ = εμ. Умножая на е, получаем
εμ = 2εεμ = εεμ, следовательно, εεμ = 0, т. е. εμ = 0. Теперь
raea = (raea)/i = Γμεα, т. е. τμ = lim r£. Если g — авто-
А
морфизм, то, рассматривая семейство идемпотентов {е^}, имеем
riei = (га^а)9 = (геа)5 = гяеяа, т. е. г9 = lim r3a. Наконец,
А
пусть г = lim ra и s = lim sa. Тогда если {еа} и {/«} — соот-
А А
ветству ющие семейства идемпотентов, то для множеств { ra±sa }
и {raSa} рассмотрим семейство идемпотентов {eafa \ a £ А}.
Это семейство направлено, и если ееа/а = 0 для всех а, то,
выбирая для произвольного β 6 А элемент η ^ α,β, получим
(εεα)βρ = ε(εαεΊ)(/ρεΊ) = (εεΊβΊ)(εα/ρ) = 0. Таким
образом, εεα = 0. Поэтому е = 0, т. е. sup{ea/a} = 1. Далее,
(г ± s)ea/a = (геа)/а ± (s/a)ea = (га ± sa)ea/a. Точно так
же (rs)ea/a = (rasa)ea/a. D
1.6.4. Заметим, что последнее утверждение предложения 1.6.3
еще не означает, что Rjr является топологическим кольцом, так
как могут существовать семейства, сходящиеся в определенной
выше топологии, но не имеющие предела (в определенном выше
смысле). Поэтому возникает вопрос (не существенный для
дальнейшего, но представляющий самостоятельный интерес): будет
ли R? топологическим кольцом с определенной выше
топологией.
1.6. Модули над обобщенным центроидом
39
1.6.5. Пусть F(X) — многочлен от некоторого множества
переменных X с коэффициентами из R?, не коммутирующими с
переменными. Предположим, что в его записи кроме операций
сложения и умножения могут участвовать унарные операции
дифференцирований и автоморфизмы.
1.6.6. Лемма. Отображение F(X):Rjr®. . .®Rjr —¥ Rj?
вполне непрерывно. В частности, если F(X) обращается в нуль
ма множестве Τ С R?, то F(X) обращается в нуль ма
замыкании Τ С Rjr.
Доказательство. Заметим, что сумма, разность,
произведение и суперпозиция вполне непрерывных отображений φι,
ip2'- Μ —¥ Rjr, ψ: Μ —¥ Μι —¥ Мъ вполне непрерывны. Если
πι = lim πια, το ψι{πΐ) = lim ψι{πια), ip2{m) = lim ψ2(βτηα)-
A
Поэтому в силу предложения 1.6.3
ψι(πι) ±tp2(m) = \\m (ψι(πια) ± ψ2(πια)),
A
ψι{τη)ψ2{ηι) = lim jJi(ffl0)j?2K).
A
Точно так же по определению вполне непрерывного
преобразования ψ{πΐ) = lim φ(πια), ψ(φ(πι)) = lim ψ(φ(πια)). Остается
А А
заметить, что F(X) представимо в виде суммы произведений
суперпозиций проекций π,·: R?®... R? —¥ Rjr с автоморфизмами,
дифференцированиями Rjr —¥ Rjr и с операторами умножений
на элементы из Rjr. Если F(X) обращается в нуль на Т, то
отображение F(X) равно нулю на Т®.. .®Т, замыкание которого
заведомо содержит Τ Θ ... ® Т. D
Из данного выше определения не следует, что направленное
семейство элементов {та} имеет не более одного предела.
1.6.7. Лемма. Следующие условия на С-модуль Μ
эквивалентны:
(а) любое направленное семейство элементов модуля Μ
имеет не более одного предела,
(б) любое одноэлементное множество замкнуто,
(в) нулевой подмодуль замкнут,
(г) Μ — несингулярный модуль.
Сингулярным подмодулем Ζ(Μ) модуля Μ называется
совокупность всех элементов, имеющих существенные аннуляторы
40
1. Строение колец
в кольце операторов (идеал кольца называется существенным,
если он имеет ненулевое пересечение с любым другим ненулевым
идеалом). Соответственно модуль называется несингулярным,
если его сингулярный подмодуль равен нулю.
Доказательство леммы 1.6.7. Импликации (а) => (б) =>
(в) очевидны. Покажем, что замыкание нулевого подмодуля
совпадает с сингулярным идеалом. Заметим, что для кольца С
существенность идеала / эквивалентна тому, что его носитель
равен единице: е(1) = 1. Действительно, если / существенный,
/ = 1 - е(1), то / П fC = 0, т. е. / = 0. Поэтому е{1) = 1.
Обратно, если е(1) = 1 и / Π J = 0, то, выбирая в J
произвольный элемент /, получим // С / Π J = 0, т. е. / = fe(I) = 0.
Следовательно, J = 0.
Пусть т £ Z(M). Тогда annc (m) — существенный
идеал. Пусть А — множество всех идемпотентов из этого идеала.
Это направленное множество, причем т ■ а = 0 ■ а для всех
а 6 А, так что т = lim та, где та = 0. Следователь-
αζΑ
но, Ζ(Μ) С (0). Покажем, что Ζ(Μ) — замкнутый
подмодуль. Пусть т = lim та, где та 6 Z(M). Допустим, что
а€А
т (£ Z(M), т. е. / = 1 —е(аппс т) φ 0. Так как для семейства
идемпотентов {еа, а 6 А}, определяющего предел, выполняется
условие sup еа = 1, найдется элемент β ζ. А такой, что epf φ 0.
А
Поскольку nip 6 Ζ(Μ), имеем sup (anncwjg) = 1, т. е. можно
найти идемпотент up 6 annc тр такой, что epfup φ 0. Тогда
те ρ f up = mpepfup = {mpUp)epf = 0. Это означает, что
epf up £ annc m. Так как идемпотент / аннулирует annc Щ
получаем 0 = (epfup)f = epfup φ 0; противоречие.
Покажем импликацию (г) => (а). Предположим, что
некоторое направленное семейство та имеет два предела т^ φ
тУ1'. Пусть {еа} и {/«} — соответствующие семейства
идемпотентов. Тогда (m^1) — m^)eafa= (m^ea — m^ga)eafa =
1тт,а(еа — fa)eafa = 0. Осталось вспомнить, что sup {eafa} = 1
А
(см. 1.6.3). D
1.6.8. Если А — кольцо, то End (A, +) обозначает кольцо
эндоморфизмов аддитивной группы кольца А. Кольцо End (A, +)
является правым модулем над центром А, но может не быть
алгеброй над ним. Действие центральных элементов определяется
по формуле χ{φο) = [χψ)ο.
1.6. Модули над обобщенным центроидом
41
1.6.9. Лемма. Модули R? и End(ii^·, +) несингулярны.
Доказательство. Воспользуемся условием (а) леммы 1.6.7.
Пусть г, s являются пределами семейства {га,а G А} и {еа},
{fa} — соответствующие системы идемпотентов. Тогда имеем
(rea)fa = raeafa = sfaea. Поэтому (г- s)eafa = 0. Если
г, s G Rp, то г — s = (г — s) sup{ea/a} = 0. Если г, s G
End (Rp, +), то для любого χ G Rr равенства (г — s)(x)eafa =
0 дают равенство г(i) = s(x). □
1.6.10. Лемма. Если Τ — подкольцо в R?, то его замыкание
Τ также является подкольцом.
Доказательство. Обозначим через к(Т) множество всех
предельных точек Т. Пусть Гх = Т, Та+1 = к(Та), Тр = U Та,
α<β
где β — предельное число. Тогда объединение всех Та является
замкнутым множеством и поэтому совпадает с Т. В силу
трансфинитной индукции достаточно показать, что к(Т) — подкольцо.
Пусть г = lim ra, s — lim sp, ra, sp G Τ, {ea}, {ер} —
соответствующие системы идемпотентов. Рассмотрим семейство {еаер \
{α,β) G А х В}, полагая (α,β) ^ (α\,β\) <=> а ^ αχ,β ^ βχ.
Тогда г ± s = lim (ra ± sp), rs = lim (rasg) G k(T), что и
АхВ АхВ И'
требовалось доказать. D
1.6.11. Лемма. Пусть I — идеал подкольца Τ С R?. Тогда
замыкание I является идеалом в Т.
Доказательство. Так же, как в лемме 1.6.10, достаточно
показать, что k(I) <\ k(T). Пусть г = lim ra G k(T) и s =
А
lim Sfl G к(1). Тогда rs = lim rasg G k(I). Точно так же
в μ ν ' ахв μ ν '
получаем sr G k(I). D
1.6.12. Модуль М называется полным, если любое семейство его
элементов {ma \ a G А}, для которого существует направленное
семейство идемпотентов {еа} такое, что sup{ea} = 1 и при
а ^ β выполняются соотношения таер = трер, еа ^ ер,
имеет предел.
1.6.13. Лемма. Модули Rjr и End (Rp, +) полные.
Доказательство. Предположим сначала, что ra G R?.
Пусть {еа} — семейство идемпотентов такое, что гаер = г pep,
еа ^ ер при а ^ β и sup {еа} = 1. Пусть Na = {χ G R \
42
1. Строение колец
xea,xraea £ R}. Тогда Na — левый идеал кольца R, причем
Na Э Ia £ /"(Л). Объединение iV = UNaea также
являет
ется левым идеалом. Действительно, если ааеа, аре β £ N и
7 ^ α,/З, то (ααεα + αβββ)ΓΊεΊ = ааеага + αβββΤβ £ R Точно
так же получаем (ааеа + αβββ)ε~ι £ Л· Поэтому ааеа +αβββ £
ΛΓ-γβ-γ. Так как ΛΓ-γβ-γ Э /аеа, имеем N Э Х^/аеа = / < Л.
Кроме того, аннулятор / равен нулю. Действительно, если 1х =
О, то 1аеах = О, т. е. еах = 0. Поэтому χ = 0.
Определим гомоморфизм левых Л-модулей ξ: Ν —¥ R по
формуле еага. Если ααεα = Οβββ и 7 ^ α>/Ί
то ааеага = ααβαΓΊ = αβββΓΊ = ΟβββΓβ, т. е. ξ определено
корректно. Так как область определения ξ содержит идеал / £
J", существует элемент г £ Л^· такой, что ааеаг = ааеага, т. е.
1(еаг — еага) = 0. Это означает, что геа = гаеа. Поэтому
г = lim ra.
Если га £ End (Rjr, +), то для любого χ £ Л^· существует
предел га(х), и можно положить r(i) = lim ra(x). Тогда г =
lim ra. D
1.6.14. Лемма. Подкольца Q и С замкнуты в R? и поэтому
являются полными модулями над С.
Доказательство. Пусть г = lim ra и еага1а С R, еа1а С
R, где 1а £ .Т7. Тогда J = ^eaIa £ J", при этом геа1а =
гаеа1а. Поэтому г J С Я, т. е. г £ Q. Подкольцо С
замкнуто как пересечение всех ядер вполне непрерывных отображений
ad α: χ —¥ χα — ах. D
1.6.15. Модуль М называется проективным, если он
обладает следующим свойством. Пусть π — эпиморфизм некоторого
модуля В на некоторый модуль А. Тогда любой гомоморфизм
φ: Μ —> А может быть «поднят» до гомоморфизма ψ: Μ —> В
такого, что π ο ψ = ψ:
Φ
Μ *Β
π
А
Это свойство эквивалентно тому, что для любого эпиморфизма
Θ: М' —*■ Μ существует разложение М' = кег# © Μ".
Легко показать, и это хорошо известно, что прямая сумма модулей
Ψ
1.6. Модули над обобщенным центроидом
43
проективна тогда и только тогда, когда проективны все
слагаемые. Соответственно модуль Μ называется инъективным, если
он обладает дуальным свойством: пусть π — мономорфизм
некоторого модуля А в некоторый модуль В; тогда любой
гомоморфизм φ: А —» Μ допускает продолжение до гомоморфизма
■ψ: В —» Μ такого, что ψ ο π = φ:
Φ
Μ + В
π
А
Это свойство эквивалентно тому, что для любого мономорфизма
θ: Μ —> Μ' существует разложение М' = im0 φ Μ", т. е.
модуль Μ выделяется прямым слагаемым из любого его
содержащего модуля. Легко показать, и это также хорошо известно, что
прямое произведение модулей инъективно тогда и только тогда,
когда инъективны все сомножители. Напомним, что кольцо
называется самоинъективным (справа), если оно инъективно как
(правый) модуль над собой.
1.6.16. Лемма. Любой полный несингулярный модуль над С
инъективен, и наоборот: любой инъективный модуль над С
полный.
Доказательство. Пусть Τ — полный несингулярный
подмодуль модуля М. Требуется показать, что Τ выделяется в
Μ прямым слагаемым. Рассмотрим в Μ множество всех
подмодулей, имеющих нулевые пересечения с Т. Это множество
индуктивно по включению, т. е. в силу леммы Цорна это
множество имеет хотя бы один максимальный элемент М'.
Покажем, что М' — замкнутый подмодуль в М. Пусть т =
lim та, гпа £ М' и {еа} — соответствующее семейство идем-
А
потентов. Если т £ М', то (М' + тС) С\Т ф (0). Пусть
t = гп' + те ф 0 для подходящих m' G Μ', с £ С, t £ Т.
Тогда tea = m'ea + maeac £ Μ' f)T = (0) для любого а £ А,
т. е. в силу несингулярности модуля Τ элемент t равен нулю;
противоречие.
Пусть m — произвольный элемент М. Покажем, что m €Е
Μ' + Т. Предположим, что m (fc M', и рассмотрим множество
А всех идемпотентов а £ С таких, что та €Е М' + Т. Это
множество направлено: если а\,а2 Ε А, то αϊ V аг = «ι +
Ψ
44
1. Строение колец
с*2 — αιθ2 G А, так как т{а\ V аг) = та\ + (ша2)(1 — αϊ).
Покажем, что sup Л = 1. Пусть, напротив, / = 1 — sup Л ^ 0.
Тогда f £ А. Поэтому mf £ Μ' + Τ и, в частности, mf £
Μ1, т. е. (М' + mfC) П Г φ (0). Найдем с G С такой, что
0 ^ mfc + т' £ Τ для подходящего т' £ М'. Тогда mfc —
ненулевой элемент М' + Т. Так как С — регулярное кольцо,
найдется элемент с' такой, что е\ = ее' идемпотентен, причем
е,\с = с. Поэтому ft\ φ 0. С другой стороны, mfe\ = {mfc)c'
лежит в М' + Т, т. е. fe,\ G Л. Однако /А = (0), и поэтому
/ei = f(fe\) = 0; противоречие. Таким образом, sup Л = 1.
Пусть πια = та + tai где та £ М, ta £ Т. Если β <С а, то
т/? = (πια)β = та/? + <а/?. Так как сумма Μ' + Τ прямая,
получаем πΐβ = πιαβ, tp = ίαβ. Β силу полноты модуля Τ
существует предел t = lim ta. Тогда [πι — t)a = πια €Ξ Μ'
αζΑ
и, следовательно, πι — t = limma G M' в силу замкнутости
A
подмодуля Μ'. Итак, πι G Μ' + Τ, что и требовалось доказать.
Обратно, пусть Μ — инъективный С-модуль. Рассмотрим
прямую сумму Μι = Μ ® аС, где аС ~ С — свободный од-
нопорожденный модуль. Пусть {еа} — направленное семейство
идемпотентов и {πια} — семейство элементов из Μ такие, что
sup еа = 1 и треа = таеа при β ^ а. Рассмотрим в М\
подог
модуль ./V, порожденный элементами таеа © аеа. Заметим, что
ΝΠΜ = (0). Действительно, если πι = ^2(πιαεαοα фаеаса) £
а
М, то aJ2eaca = 0, т. е. J2eac<* = 0· Пусть /3 — верхняя
а а
грань элементов а, участвующих в последней сумме. Тогда 0 =
т/э£]еаСа = J2rnPeaCa = Smaeaca. т е т = 0. ТаКИМ
образом, естественный гомоморфизм φ: Μ —> M\jj\[ является
вложением и можно записать соотношения <р(та)еа + аеа = 0
для всех а. Применим определение инъективности к следующей
диаграмме:
0 -М - -Μι//ν
ф ^
1 ^
\ ^
Μ ^
1.6. Модули над обобщенным центроидом
45
Найдем гомоморфизм ф: М\ j' jq —у Μ такой, что ψφ = 1. Пусть
т = —ф(а). Тогда таеа — теа = ф(<р(таеа)) + ф(а)еа =
ф[<р(та)еа + аеа] = 0. Следовательно, т = lim та, что и
требовалось доказать. D
1.6.17. Следствие. Обобщенный центроид полупервичного
кольца — это регулярное самоинъективное кольцо.
1.6.18. Здесь уместно добавить, что любое самоинъективное
полупервичное коммутативное кольцо А совпадает со своим
обобщенным центроидом (и по лемме 1.5.4 регулярно).
Действительно, пусть Q(A) — мартиндейловское кольцо частных.
Рассмотрим его как левый Α-модуль. Так как А С Q(A), имеет место
прямое разложение Q(A) = Α φ Μ. Если πι Ε Μ, то по
определению кольца частных найдется идеал / Ε Τ(Α) такой, что
1т С А С другой стороны, 1т С М. Поэтому 1т = (0).
Следовательно, Μ = (0). Итак, А = Q{A).
1.6.19. Мы видели, что определение топологии зависит только
от й'-линейной структуры модуля, поэтому естественно ожидать,
что сформулированные утверждения для С-модулей сохраняют
силу и для й'-линейных подмножеств (см. 1.6.25, ниже).
1.6.20. Лемма. Пусть Μ — несингулярный С-модуль. Тогда
любой конечно-порожденный С-подмодуль в Μ проективен и
инъективен и является прямой суммой конечного числа
циклических модулей.
Доказательство. Рассмотрим сначала однопорожденный
подмодуль. Имеем тС ~ C/annm. гДе annm = {cG С, тс =
0}. Так как Μ — несингулярный модуль, т lim са = lim mca,
где са — сходящееся семейство элементов из aim т. Поэтому
aim m — замкнутый идеал в С. Любой замкнутый идеал в С
является главным (и наоборот). Действительно, множество всех
идемпотентов из замкнутого идеала образует направленное
семейство, предел которого порождает данный идеал. Этот
предел существует, поскольку С — замкнутый подмодуль
полного модуля Q. Таким образом, annm = еС. Следовательно,
тС ~ (1 - е)С. Поэтому С ~ тС Θ (1 - е)С. Так как С —
инъективный и проективный С-модуль, тС — также инъектив-
ный и проективный С-модуль.
Допустим, что лемма справедлива для подмодулей,
имеющих η — 1 порождающих. Пусть N — η-порожденный подмо-
46
1. Строение колец
дуль и т — один из порождающих элементов. Тогда цепочка
О —> тС —> N —> N jmC —> О расщепляется, так как по
доказанному тС — инъективный модуль. Имеем N ~ тС ® К, где
подмодуль К ~ N J тС порождается η — 1 элементами. В силу
индуктивного предположения лемма доказана. D
В лемме 1.6.20 мы показали, в частности, что если т —
элемент несингулярного модуля, то тС ~ еС для некоторого идем-
потента е £ С. Этот идемпотент в дальнейшем мы будем
обозначать через е(т) и называть носителем элемента т, что не
противоречит принятому выше обозначению e(s) для элементов
1.6.21. Лемма. Пусть Μ — полный несингулярный С-модуль
и N — замкнутый С -подмодуль в Μ. Тогда ΜΙν — полный
несингулярный модуль.
Доказательство. Как замкнутый подмодуль в Μ модуль N
является полным, т. е. по лемме 1.6.16 он инъективен. Поэтому
N выделяется из Μ прямым слагаемым Μ ~ Ν φ К.
Следовательно, Μ J ν ~ К является инъективным несингулярным
модулем. D
1.6.22. Если V\, V2 — несингулярные С-модули, ν\ Ε V\, v^ €Ξ
V2, то v\®V2 = Ов Vi®V2 тогда и только тогда, когда e(v\)e(v2)
= 0. Имеем v\C ~ e{v\)C', 112С — е(у2)С. Поэтому v\C ®
V2C ~ e(vi)e(v2)C, и требуемое утверждение доказано в силу
вложения v\C ® игС —> V\ ® V^.
1.6.23. Предложение. Пусть V\, V2 — несингулярные
С-модули, и пусть «ι, «2ι · · · ι vn £ V\. Тогда существуют
элементы С2, Сз,.. . , с„ £ С такие, что для любых а\,... ,ап £ V2
равенство Σ υ; ® а; = 0 влечет a\e(vi) = y"]g,-ct·.
i^2
Доказательство проведем индукцией по п. При η = 1 из
замечания 1.6.22 следует, что aie(ui) = a\e{a{]e{v\) = 0. Пусть
η > 1. По лемме 1.6.20 подмодуль i>iC выделяется из модуля
J2 viC прямым слагаемым. Пусть J2 viC = v\C Θ г^гС φ ... и
υ; = «iCj + ..., i ^ 2. Тогда 0 = J2 vi ® a« = "ι ® (Σ aici +
ai) + №2 ® a2 + .... Следовательно, v\ ® (a\ + J2 OiCi) = 0, и
по замечанию 1.6.22 a\e[v\) = — £]a;c;e(i>i), что и требовалось
доказать. D
1.6. Модули над обобщенным центроидом
47
1.6.24. Предложение. Пусть D\ni является подмодулем
модуля End(R?, +), состоящим из всех внутренних для Q
дифференцирований. Тогда D\n\, — замкнутый подмодуль и,
следовательно, фактор-модуль End (R?, +)/.Дп1 полный и
несингулярный.
Доказательство. Имеем DlT& ~ Q/C- Так как Q —
полный модуль и С — замкнутый модуль, в силу леммы 1.6.21
— полный несингулярный модуль. Мы уже отмечали,
что любой модульный изоморфизм является вполне
непрерывным. Поэтому Dint также полный модуль. Значит, он замкнут в
End {Rr,+). D
1.6.25. Сумма элементов а + Ь некоторого несингулярного
модуля Μ над коммутативным регулярным самоинъективным
кольцом С\ называется ортогональной, если носители этих
элементов ортогональны е(а)е(6) — 0. Подмножество S модуля Μ
называется Е-подмножеством (здесь Ε — множество всех идем-
потентов из С\), если оно замкнуто относительно умножения на
идемпотенты и вместе с любыми двумя элементами содержит
их сумму, если она ортогональна. Соответственно отображение
f:S—>N называется Ε-отображением, если f{a,\e\ + 0,2^2) =
/(ai)ei +/(<J2)e2 для любых идемпотентов е\, е.2 G Ε и
ортогональной суммы αχεί -\-a2e2, т. е. если / сохраняет умножения на
центральные идемпотенты и сохраняет ортогональные суммы.
1.6.26. Лемма. Пусть Μ — полный несингулярный модуль,
S — замкнутое Ε-подмножество в Μ. Если f: S —l· R?
является Ε -отображением, то найдется элемент s £ S
такой, что носитель образа f совпадает с носителем
элемента f(s).
Доказательство. Заметим сначала, что / уменьшает или
сохраняет носители: е(/(а)) <С е(а). Действительно, /(а)(1 —
е(а)) = /(а - а) = 0. Поэтому е(/(а))(1 - е(а)) = 0.
Рассмотрим множество N всех пар (s, e) таких, что se = s £ S,
e = e(/(s)), и определим в N отношение порядка (s,e) <C
(si, ei) Ό· s\e = s, e ζ. e\. Так как / уменьшает или сохраняет
носители, для любого s €E S пара (se(/(s)), e(/(s))) лежит в
N, поэтому N заведомо непусто. Если {(sa,ea) \ а €Е А} —
линейно-упорядоченное подмножество в N, то в силу
замкнутости S существует предел s = lim sa €Ξ S, при этом e(f(s))ea =
А
e(f(s)ea) = e(f(sa)) = ea- Поэтому e = e(/(s)) ^ ea. Таким
Q С
48
1. Строение колец
образом, пара (s, e) является верхней гранью рассматриваемого
множества.
По лемме Цорна множество N имеет максимальные
элементы. Пусть (s,e) — один из них. Если /(5)(1 — е) φ О, то
найдется элемент s\ £ S такой, что /(si)(l — е) φ 0. Пусть
«2 = si(l - е). Тогда s2e~ = 0 и /(s2) = /(si)(l ~е) Φ®·
Первое из этих равенств показывает, что сумма s2 + s ортогональна.
Ортогональной будет также сумма s2e(/(s2)) + «· Таким
образом, (s,e) ^ (s2e(/(s2)) +s,e(/(s2)) + e) G ЛГ, поскольку
β(/(*2β(/(*2)) + *)) =β(/(β2)+/(*)) =e(/(S2)) + e(/(S)) =
e(/(s2)) + е. Таким образом, носитель ео образа / аннулирует
(1 — е), т. е. ео ^ £. С другой стороны, е — носитель f(s).
Поэтому е" <С ео, т. е. ео = е". D
1.7. ПРОДОЛЖЕНИЕ АВТОМОРФИЗМОВ
НА КОЛЬЦО ЧАСТНЫХ. МОДУЛИ
СОПРЯЖЕНИЯ
Зафиксируем обозначения R, Rjr, Q, С для полупервичного
кольца R, его колец частных и обобщенного центроида. Через
Τ = T(R) будем обозначать совокупность всех существенных
идеалов кольца R.
1.7.1. Лемма. Пусть д — изоморфизм идеала I £ Τ в
кольцо R такой, что I9 Э 1\ £ Τ'. Тогда g однозначно
распространяется до автоморфизма кольца Q и до автоморфизма
кольца Rjr.
Доказательство. Пусть α — произвольный элемент из Rjr.
Заметим, что /2 = Ι\(ΙΙα)9Ιι £ Т, где 1а — идеал из Τ такой,
что 1аа С R. Действительно, если /2г = 0, то 0 = 1\(ПаА)9,
где А — множество такое, что А9 = 1\г. Такое множество
существует, поскольку 1\ — идеал и 1\ С I9. Так как д —
изоморфизм, получаем ПаА = 0, откуда А = 0. Поэтому 1\г = 0.
Однако I\ £ Т, т. е. г = 0, что доказывает включение /2 G Т.
Определим теперь отображение а9: /2 —> R. Если г G /2, то
г G js для некоторого j €Ξ I2IaI Полагаем га9 = (ja)5, при
этом правая часть равенства определена, так как ja 6 /. В
силу свойства (в) (см. 1.4.9) это отображение определяет элемент
а9 £ Rjr. Нетрудно проверить, что а —> а9 — искомое
распространение д. При этом формула j9a3 = (ja)9 показывает его
единственность, так как для другого распространения д' выпол-
1.7. Продолжение автоморфизмов
49
нялось бы равенство j9a9 — j9a9 = (ja)9 — (ja)9 = О, т. е.
h (a3 — аЯ ) = 0, следовательно, д = д'. Если а £ Q и a J С R,
то a9h{IJ)9h С а9(12Л)9 С (а.//)» С /» С Я, т. е. α —
автоморфизм кольца Q. Ώ
1.7.2. Из леммы 1.7.1 следует, что любой автоморфизм кольца
R имеет единственное распространение на Q и на Rjr.
Поэтому будем считать автоморфизмы определенными на Rjr. Введем
обозначение А(Д) = {a G AutQ | 31, h e^,/iC/»C R}.
Группа автоморфизмов кольца R содержится в A(R). Все
дальнейшие утверждения об автоморфизмах справедливы не
только для автоморфизмов кольца R, но и для автоморфизмов из
A(R). Условимся, что если после слова «автоморфизм» не
указано кольцо, то предполагается, что автоморфизм лежит в A(R).
1.7.3. Лемма. Множество А(Л) образует группу, которая
содержат все внутренние автоморфизмы кольца Q.
Доказательство. Пусть а — обратимый элемент из Q.
Обозначим через а внутренний автоморфизм, отвечающий этому
элементу, а: х —» а~1ха. Согласно условию можно найти
идеал / G Τ (К) такой, что /еГ1 С R, еГ1/ С Я, αϊ С R,
/а С Л. В этом случае а(12) = (а~11)(1а) С R. Кроме
того, αΓΌ-1 = {al)l2(la-1) С I2. Поэтому а(Р) Э I4. Таким
образом, α Ε A(R). Пусть g,h £ А(Я). Предположим, что
R Э I9 D h и R 2 Jh 2 J\. гДе Λ h, J, J\ G J7. Тогда
J\h С /5 и, следовательно, Ji/i = А5, где А С /. Рассмотрим
идеал h = Μ/. Если /2υ = 0, то 0 = {I2v)9 = I9JxhI9v9 D
I\J\I2v9, т. е. иэ = 0. Это означает, что /г £ Т. Далее, I9 =
(I9J1hI9)h~1 С (RJihR)h~l С Ji1"1 С J С Д. Кроме того,
/|Λ_1 2 (hJiI2)h~l 2 {RhJiI2R)h~x 2 J{hJJl)h~lJ €
T{R). Последнее включение верно, так как (I\J\I2)h υ = 0
означает, что I\J\I2vh = 0, и поэтому υή = 0 = υ. Таким
образом, д/ι-1 G А(Л). D
1.7.4. Лемма. Пусть I £Т. Тогда А{1) = ЦК).
Доказательство. Пусть g €E A(R) и Л Э J9 D Λ для
подходящих идеалов. Тогда /Ji С J\ С J5, и поэтому /Ji = A9
для некоторого подмножества А С J. Идеал JAIJ
принадлежит Т{1), так как Αν = 0 влечет /Jin5 = 0. Далее, (JAIJ)9 =
50
1. Строение колец
J9IJi{IJ)9 С /. Наконец,
{JAuy 2 JiUi(u2)9 2 J\iJ\{uyJi e ?{R),
так как {Π)9 С J9 С R и (IJ)gv = 0 влечет Uv9 = 0, т. е.
ν = 0. Таким образом, <7 G А(7).
Обратно, если д G А(7) и / Э J5 Э J\ для подходящих
идеалов из Т{1), то Я Э / Э (7J/)3 Э (J3)s D Jf D /Jf/ <
R, причем /J/, /Jf/ G T(R). D
1.7.5. Пусть <7 — автоморфизм из k{R). Обозначим через Фд
совокупность всех элементов кольца Rj? таких, что для любого
χ G R выполняется равенство φχ9 = χψ:
фд = {φ ς Rjr I Vx G R φχ9 = χψ}.
Если h — другой автоморфизм, то Ф5Фл С Ф5/,. Кроме того,
если h — тождественный автоморфизм, то Ф/, = С.
Следовательно, Фд — модуль над С. Модуль Фд называется модулем
сопряжения для автоморфизма g (см. лемму 1.7.7, ниже).
1.7.6. Лемма. Справедливо включение Фд С Q, причем
равенство φχ9 = χψ выполняется для всех χ G Rp, ψ G Фд-
Доказательство. Пусть χ G Rp и / — идеал из Τ такой,
что 1х С R. Тогда для всех ψ G Фд, г G I имеем (ιχ)φ =
φ(ΐχ)9 = (φΐ9)χ9 = ιψχ9. Следовательно, 1{χψ — ψχ9) = 0, т. е.
χψ = φχ9. Пусть ψ — ненулевой элемент из Фд. Тогда можно
подобрать идеал I £ Τ такой, что Ιψ С R. По лемме 1.7.4
автоморфизм д лежит в группе А(7), т. е. можно найти идеал
J G Т(1) такой, что J9 Э J\ G Т(1). Получаем φΠχΙ С
ψ]\ С ψ]9 = J ψ С Ιψ С R. Следовательно, ψ G Q. □
1.7.7. Лемма. Пусть д — автоморфизм из группы А(Л).
Тогда Фд — циклический С-модуль: Фд = tpgC, причем элемент
<рд обратим в кольце е(Фд)С и действие g на е(Ф5)Л^·
совпадает с сопряжением на элемент ψ3.
Доказательство. Покажем, что любой элемент ψ G Фд
обратим в кольце e((p)Q и действие д на e(<p)Rjr совпадает с
сопряжением на ψ. Рассмотрим отображение ξ: χψ —► χε(φ), где
χ пробегает Q. Это отображение определено корректно: если
χψ = 0, то xRψ = xψR9 = 0. Поэтому (см. 1.5.7) χβ(ψ) = 0.
Отображение ξ удовлетворяет всем требованиям из 1.4.9.
Действительно, по лемме 1.7.3 можно найти идеал I £ Τ такой,
что I9 С Л, и по определению Rjr — идеал J G Τ та-
1.7. Продолжение автоморфизмов
51
кой, что 3ψ С R. Тогда Л9 ψ = ]ψΙ — идеал кольца
Rt лежащий в области определения ξ, причем его аннулятор в
R совпадает с аннулятором φ. Итак, можно найти элемент в
b G Rr такой, что xipb = хе(<р). Подставив χ = 1, получим
фЬ — Ь9 ψ = e(ip). Таким образом, ψ обратим слева и справа,
т е. Ь9 = Ь = φ~1, причем по построению е(6) = е(<р).
Последнее равенство дает е(<р)9 = е{Ь)9 = е{Ь3) = е(6) = e(ip).
Если χ €Ξ e((p)Rj?, то а;5 = е(у?)5а;5 = е(у?)хэ = bipx9 =
6x9? = φ~1χφ. Для нахождения образующего введем отношение
частичного порядка в Фд по формуле ψ\ <С у?2 <=> ^{ψ\)ψ2 = ¥>ι·
Если {v«, (»€ А} — линейно-упорядоченное подмножество, то
положим еа = е((ра) + 1 — sup{e(y?a)}. Тогда sup ea = 1
и ψ = limy?a €Ξ Ф5, так как Фд — замкнутое множество (оно
А
равно пересечению всех ядер вполне непрерывных отображений
βχ: а —» хх9 — ха), причем ψ *£ φα для всех а. По лемме
Цорна можно найти максимальный элемент φ 6 Фд. Пусть
■ф €Ξ Фд. Тогда ψ + (1 — е(<р))гр ^ ψ, и поэтому ^ι = β{ψ)φ,
те. V1 = φ{φ~1Ψ)· Осталось заметить, что φ~1ψ €Ξ С, так как
^'еФГ1. D
1.7.8. В дальнейшем идемпотент е(Фд) = е(<р), где Фд = у?С,
будем обозначать через г(д). Этот идемпотент выделяет ту часть
в кольце Rjr, на которой автоморфизм д действует внутренним
образом, т. е. имеет место разложение Rjr = R1 φ R2l где R\ =
i(g)Rjr, R2 = (l-i(g))Rr, такое, что Д|Я1 еШЛьФ5|я = 0.
В частности, справедливо равенство г(д) = г(д~1).
1.7.9. Следствие. Если R — первичное кольцо, то Фд ф 0
тогда и только тогда, когда g — внутренний для Q
автоморфизм. При этом пространство Фд одномерно нас? С.
Важность модулей Фд и значение вышеуказанного
разложения указаны в следующей теореме.
1.7.10. Теорема. Пусть элементы сц,. . . , ап кольца R?
таковы, что αχ £ α2Φ5-ι5ι + ... + ап^д-^п, где дг,... ,дп —
автоморфизмы из А(Л). Тогда найдутся натуральное к и
элементы щ,. . . ,Vk, < 1,. . · , <fc G R такие, что
к к
α=Σ vjditf ф О, ]Г vjditf = О, 2 <ξ i <ξ η.
52
1. Строение колец
1.7.11. Пусть 7L — кольцо целых чисел. Обозначим через L =
~L(R) подкольцо в тензорном произведении Q ®zQop,
порожденное элементами вида 1 ® гор, г ® 1, где кольца Q и Qop анти-
изоморфны, но имеют одинаковые аддитивные группы, а
элементы г и гор пробегают кольца R и Rop соответственно. Считаем
также, что г —> гор — тождественный антиизоморфизм. Если
д С А(Л), β — J2 г; ® а°р G L, то положим г ■ β = J2 βί™",·, где
i i
г G Rjr и β9 = J2ri ® α«· Далее, если 93 — некоторое подмно-
жество L, то полагаем 93-1-» = {г G Л^· | V/3 G 93, г · β3 = 0}.
Для г € Л^· обозначим через г « совокупность всех элементов
β €Е L таких, что г ■ β9 =0.
1.7.12. Лемма. Пусть 03 — правый идеал кольца L, u пусть
9,91, ■ ■ ■ >9п — последовательность (не обязательно
различных) автоморфизмов. Тогда для любых элементов г\,. . . ,гп
кольца Rjr имеет место равенство
®±5 + Σ'·.·ν5=((ΊΓ.±"ηί8) '■ t1·7·1)
Доказательство. Покажем сначала, что левая часть
содержится в правой. Для этого достаточно показать, что если β —
Σ sk ® fk G r{ '', то r{ip ■ β9 = 0 для всех ψ £ Φ^-ι^· Имеем
τίψ ■ β9 = ]Г Anys? = ( Y^fkrisl1 \ψ = 0.
k ^ k '
Доказательство обратного включения проводится индукцией по
числу п. Если ν £ (rf" П «В)-1» и /? G 53 П rf", то υ ■ β9 = 0.
Поэтому ψ: π · /3Sl —> υ ■ β9, /3 € 93, является корректным
отображением подмножества π · 9351 в R?. Кроме того, ψ —
гомоморфизм левых Л-модулей. Действительно,
[γ(γι · β91 )}ψ = [π · [β{\ ® r))5l]y> = υ ■ {β{\ ® γ))«
= ψ·/?3) = γ[(γι -/?5ι)ν]·
1.7. Продолжение автоморфизмов
53
Далее, пусть 1\ — идеал из Τ такой, что R Э 13г . Тогда для
всех г £ 1\ справедливы равенства
[(π · β31 )r]ip = [π · (β(ν9^ ® 1))9ι]<ρ = ν ■ (β(τ9^ ® Ι))9
= (vp9)r9>lg = [(γι · β9ι)ψ]τ9^9.
(1.7.2)
Выберем идеал I £ Τ таким образом, чтобы выполнялись
включения RD^DI.RD Jf1 D I, In С R, Iv С Л, где J и Λ —
подходящие идеалы из Τ. Тогда Iя С J и /5ι С Ji. Поэтому
/Л5 С (I9"1 R)9 С (7Д)» С J9 С R. Точно так же /Л51 С Я.
Сузим несколько область определения отображения φ. Именно,
будем считать, что β пробегает 03(1 ® I2) Тогда его область
определения V образует идеал кольца R, а область значений
лежит в R. Пусть N — аннулятор V в кольце R. Распространим
φ на V + Ν Ε Τ, полагая φ(Ν) = 0. В силу свойства (в) кольца
Rjr (см. 1.4.9) можно найти элемент ξ G Rjr такой, что Νξ = 0,
αξ — αφ для всех а £ V. Теперь формула (1.7.2) показывает,
что (η ■ β9ι)(τξ - ξτ9ι 9) = 0 для всех /?е<8(1®/2). Кроме
того, Ν(τξ - £rffi 9) — 0, поэтому г£ = £rffi 9, т. е. ξ G φα-1σ·
Если β G (8(1 <8> /2), то (ν - ηξ) ■ β9 = ν ■ β9 - (гх · β91 )ξ =
νβ9-{τι ·β9ι)φ = 0, и поэтому υ G ηΦ^-ι^ + ((8(1 ® Ζ2))-1».
Осталось заметить, что (8х« = ((8(1® /2))±5. Последнее верно,
так как г · [(8(1 ®/2)]5 = /2(г· (85). Итак, лемма доказана для
случая η = 1.
Предположим теперь, что
®±s + I>Vs=fi>.Sni8) '='<'· (L7·3)
i=l ^ 1 '
Тогда согласно разобранному случаю η — 1 имеем
Однако (8ι П г^'п = Пг^"' П (8, и ввиду (1.7.3)
;=ι χ ι '
что и требовалось доказать.
D
54
1. Строение колец
Теперь теорема 1.7.10 вытекает из только что доказанной
леммы, если в ней положитьд = д\, i8 = 1L(R). Действительно,
в этом случае условие теоремы означает, что αϊ не принадлежит
левой части (1.7.1) при г ^ 2, а заключение означает, что αϊ не
принадлежит правой части равенства (1.7.1) при г ^ 2.
1.7.13. Теорема. Если элементы а,\,.. . ,ап кольца R?
таковы, что а\ (£ Χ^Φ0-ισ α,·, то существуют элементы v:, tj €E
i£2 9l
R, 1 ^ j <С т, такие, что а = Σ v9jla\tj ф0, Σ υ|'α,·<^ = 0,
з з
2<ξ г <ξ п.
Доказательство. Эта теорема получается из теоремы 1.7.12
переходом к антиизоморфному кольцу Rop, так как Ф/,(Лор) =
Φ/,-ι (R), где г —> гор — тождественный антиавтоморфизм. D
Приведенные выше теоремы остаются содержательными, если
все автоморфизмы тождественны. В этом случае все модули Фд
совпадают с обобщенным центроидом, и мы получаем характе-
ризацию линейной независимости.
1.7.14. Следствие. Если элементы αϊ,... , αη принадлежат
Rp и а\ (f; aiC' +. . . + апС, то найдутся элементы Vj,tj £ R,
1 <С j <C к, такие, что
2_] Vjditj φ 0, 2_j уза^з = 0, 2 <С г ^ п.
Теперь легко получить также доказательство леммы 1.5.9.
Действительно, пусть е(а) ^ е(6) и ахЬ = Ьха для всех χ £ R.
Если b (fc аС, то найдутся элементы vj, tj £ R, 1 <С j <C к, такие,
что
Имеем
axb\ = у axvjbtj = N bxvjatj = 6а; N "«ja<j = 0.
3 3 3
Это означает, что е(а) · e(&i) = 0. Приходим к противоречию
с тем, что e(&i) <С е(6) <С е(а). Обратно, если Ь = ас, то
аяб = ахас = асха = Ьха и е(6) = е(а)е(с) <С е(а).
1.7.15. Элемент αϊ €Е Л^· называется незаецегш?>ш справа от
элементов аг,... , а„ относительно последовательности ав-
1.8. Продолжение дифференцирований на кольцо частных 55
томорфизмов <7ι,... , дп G А(Д), если αϊ ^ JZ α>^ο-1σ · Те-
орему 1.7.10 можно теперь переформулировать так: если αϊ
независим справа от αϊ,... , αη относительно
последовательности автоморфизмов д\,... ,дп, то существует β £ L(.R)
такой, что ах ■/?fll ^ 0, ах · /35= = 0 а„ ■ /?5" = 0.
1.8. ПРОДОЛЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ
НА КОЛЬЦО ЧАСТНЫХ
1.8.1. Предложение. Пусть μ — дифференцирование,
определенное на существенном идеале I полупервичного кольца R
со значениями в R. Тогда μ единственным способом может
быть продолжено до дифференцирования кольца Q и до
дифференцирования кольца R?.
Доказательство. Пусть г £ R?. Рассмотрим идеал 1Г £.Т
такой, что Irr С Л, и обозначим через J идеал (Пг)2-
Рассмотрим гомоморфизм левых /-модулей ξ: J —г R, действующий по
формуле £(j) = {]Γ)μ — ίμτ. Заметим, что Jr С llrr С I, и
поэтому {}τ)μ определен. Кроме того, }μ £ [{ΙΙτγ]μ С ΙΙτΙμ +
ΙμΙΙΓ С Ir, и поэтому ]μг £ R. Таким образом, в силу
свойства (в) кольца R? (см. 1.4.9) можно найти элемент r\ €E Rp
такой, что j>i = (jr)/i — ίμτ. Положим τμ = г\ и покажем,
что μ — дифференцирование Rj. Пусть r,s G Rp- Выберем
идеал J\ = (IIrIs)2- Тогда для любого j £ J\ мы имеем
соотношения (js)ri* = (jsr)^ — (js)'V, js,tr = (js)'V — j,isr,
j(sr)1* = (jsr)1* — j>isr. Складывая первые два равенства и
вычитая третье, получим J\(sr>i + s'V — (sr)'i) = 0, откуда в
силу свойства (б) кольца R? (см. 1.4.9) (st)1* = s'V + sr>*, т. е.
μ — дифференцирование Rjr. Далее, если г G Q и гГ С R, то
г"i' = (гг')"-г(гу G R, где г' G (77')2. Поэтому r" G Q.
Следовательно, μ — дифференцирование кольца Q. Единственность
продолжения вытекает из равенств ]{τμ — τμι) = jV — jr1*1 =
0>)" - (jr)"1 - j"r + j">r = 0, где j € (Яг)2· □
1.8.2. В силу предложения 1.8.1 любое дифференцирование
кольца R имеет единственное распространение на Q и на Rp.
Поэтому далее считаем, что дифференцирования определены на Q.
Введем обозначение Ю>(Д) = {μ G DerQ \ 31 £ Τ,Ιμ С R}.
Ясно, что дифференцирования кольца R содержатся в Ю>(Д).
Все дальнейшие утверждения верны не только для дифференци-
56
1. Строение колец
рований кольца R, но и для дифференцирований из Ю>(Д),
поэтому, если после слова «дифференцирование» не указывается
кольцо, предполагается, что оно лежит в Ю>(Д).
1.8.3. Лемма. Пусть кольцо R имеет простую или нулевую
характеристику. Тогда множество Ш(Щ образует
дифференциальную С -алгебру Ли, которая содержит все
внутренние дифференцирования кольца Q.
Доказательство. Пусть q Ε Q и / — идеал из Τ такой, что
IqUql С R. Тогда /ad? С ql+Iq С R. Следовательно,
внутреннее дифференцирование, отвечающее элементу q, лежит в Ю> (R).
Множество всех дифференцирований кольца Q образует
дифференциальную алгебру Ли над С. Поэтому осталось проверить,
что Ю> (R) — модуль над С, замкнутый относительно лиевских
операций. Если с Ε С и 1сс С R, то ((77с)2)"с = ((77с)2)"с С
1сс С R. Далее, если μ, ν Ε Ю>(Д) и I, J —
соответствующие идеалы, то ((/J)2)"" С ((Π)μΠ + IJ(IJ)")V С Г С Д.
Следовательно, Ю> (R) замкнуто относительно лиевских операций
\μν\ = μυ — νμ, μ*?' = μ ■ . . . ■ μ. D
1.8.4. Предложение. Пусть I Ε Т. ТогдаШ(1) = Ю>(Д).
Доказательство. Если μ Ε B(R) и ]μ С R, то (Π2Ι)μ С
(и)"Л+и(Л)" С /. Поэтому μ G D(/). Обратное
включение столь же очевидно. D
1.8.5. Лемма. Автоморфизмы из А(Л) действуют на Ю)(Л)
по формуле μ3 = g~1μg.
Доказательство. Тот факт, что μ3 — дифференцирование
кольца Q, проверяется непосредственно. Покажем, что μ3 £
Ю>(Д). Выберем идеал / Ε Τ такой, что Ιμ С R. Уменьшая,
если нужно /, можно считать, что одновременно I3 С R.
Используя равенство А(7) = А(Л), найдем идеал J Ε Τ такой,
что J3"1 С /. Тогда (J2)"" С {Ι2)μ3 С I3 С R. D
1.9. КАНОНИЧЕСКИЙ ПУЧОК
ПОЛУПЕРВИЧНОГО КОЛЬЦА
В этом параграфе мы представим замыкание RE в кольце Rj?
как кольцо глобальных сечений некоторого пучка над
структурным пространством обобщенного центроида. Такое
представление полезно, поскольку позволяет яснее увидеть теоретико-фун-
1.9. Канонический пучок
57
кциональную интуицию, работающую при изучении
полупервичного кольца. Отметим, что в случае первичного кольца все эти
построения вырождаются и смысл и значение их состоит в
сведении изучения полупервичного кольца к первичным (к слоям
канонического пучка). Грубо говоря, кольцо глобальных сечений
пучка — это множество всех непрерывных функций на
некотором топологическом пространстве с тем отличием, что в каждой
точке эти функции принимают значения из своего кольца.
Приведем точные определения.
1.9.1. Пусть задано топологическое пространство X и
каждому его открытому множеству U сопоставлено некоторое
кольцо (группа или, более общо, объект фиксированной категории)
R(U), и предположим, что для любых двух открытых множеств
U С V задан гомоморфизм p\j\ R(V) —> R(U). Эта система
называется предпучком колец (групп, или объектов
фиксированной категории), если выполнены следующие условия:
(a) если U пусто, то 72(?У) — нулевое кольцо (единичная группа,
тривиальный объект),
(b) р]у — тождественное отображение,
(c) р$ = ру рц для любых открытых множеств U С V С W.
Этот предпучок обозначается одной буквой 72. Простейший
пример предпучка — это предпучок всех функций на X со
значениями в некотором кольце А. В этом случае 72(?У) состоит из всех
функций на U со значениями в А, а для U С V гомоморфизм p\j
есть ограничение функции, заданной на V, на подмножество U.
Чтобы перенести «интуицию» этого примера на случай
любого предпучка, гомоморфизмы p\j называют гомоморфизмами
ограничения. Элементы (кольца) 72(?У) называются сечениями
предпучка 72 над U. Сечения 72. над X называются
глобальными. Таким образом, 72(?У) — кольцо сечений предпучка 72 над
U, и 72(А") — кольцо глобальных сечений.
Возвращаясь к примеру предпучка всех функций на X,
предположим, что топологическое пространство X является
объединением открытых множеств Ua. Тогда каждая функция на X
однозначно определяется своими ограничениями на множества
Ua. Кроме того, если на каждом из Ua задана функция fa,
причем ограничения fa и fp на Ua П Up совпадают, то существует
функция на X такая, что каждая fa является ее ограничением
58
1. Строение колец
на Ua. Эти свойства могут быть сформулированы для любого
предпучка. Более того, они выделяют исключительно важный
класс предпучков.
1.9.2. Предпучок (колец) 72 на топологическом пространстве
называется пучком (колец), если для любых открытого множества
U С X и его открытого покрытия U = UUa выполняются
следующие условия:
(а)если s\p]j = s^f^ для si,S2 G 72(^0 и всех а> т0 si = s2;
(Ь)если sa £ lZ(Ua) таковы, что для любых α, β ограничения
sa и sp на Ua Π Up совпадают, то существует s £ 72(?7),
ограничение которого на Ua равно sa для всех а.
Теперь постараемся представить произвольный пучок в
виде пучка функций на пространстве X. Для этого необходимо
для сечения s £ 1Z(U) и любой точки χ £ U определить
значение s(x). Мы можем определить элементы s(V) = sp^, для
открытых окрестностей V точки х, содержащихся в U, поэтому
естественно рассмотреть их «предел», когда V пробегает
множество всех таких окрестностей. Понятно, что этот «предел»
не лежит ни в одном из сечений, так что мы должны ввести в
рассмотрение прямой предел 72г = \imlZ(V) относительно си-
стемы гомоморфизмов р^,: 72(?7) —> Ti-{V). Этот предел
называется слоем пучка (или предпучка) 72 в точке х. Таким
образом, элемент слоя в точке χ задается каким-нибудь
сечением над открытой окрестностью х, но при этом два сечения
и £ 72(?7) к ν £ 72(V) отождествляются, если их ограничения
на некоторую открытую окрестность χ совпадают. Для любого
открытого множества U Э х определен естественный
гомоморфизм р%: 72(?7) —> 72г, сопоставляющий сечению определенный
им элемент слоя. Теперь мы можем определить значение
сечения s в точке χ как sp^. Если 72 — пучок и два сечения
ui,U2 £ 72(?7) таковы, что щр^ = U2p% для всех точек χ £ U,
то щ = U2- Таким образом, для пучка 72 элементы из 72(?7)
могут задаваться функциями s: U —l· U 72г, s(x) £ 1ΖΧ (или, что
χς,υ
то же самое, элементами прямого произведения П^·*)- -Ясно,
и
что не каждая такая функция s определяет сечение. Следующее
условие необходимо и достаточно:
1.9. Канонический пучок
59
(*) для любой точки χ £ U существуют открытая
окрестность W точки х, содержащаяся в U, и элемент w £
1Z(W) такой, что s(y) = Wf№ для всех точек у £ W.
В действительности на множестве U 1ZX можно так ввести то-
χζΧ
пологию, что условие (*) станет эквивалентным непрерывности
функции s.
1.9.3. Перейдем к построению канонического пучка. Пусть С —
обобщенный центроид полупервичного кольца R. Обозначим
через X множество всех его первичных идеалов, отличных от С.
Это множество называется спектром кольца С и часто
обозначается Spec С. Элементы спектра кольца С мы будем называть
точками спектра или просто точками, если это не приводит
к двусмысленности. В теории коммутативных колец
различают простой и максимальный спектры. Однако, как показывает
следующая лемма, в нашем случае различий нет.
1.9.4. Лемма. Если р £ Spec С, то фактор-кольцо Ср = С/в
является полем, т. е. любой первичный идеал кольца С
оказывается максимальным.
Доказательство. Пусть а — прообраз ненулевого элемента
при естественном гомоморфизме С —l· Ср. Тогда в силу
регулярности кольца С можно найти идемпотент е такой, что еа = а и
е = аа' для некоторого а' £ С. Переходя к образам, получаем
а ■ а' = ё. Однако ёСр(1 — ё) = 0. Поэтому либо ё = 0,
либо ё = 1. Первый случай невозможен, так как α = ё · α φ 0.
Поэтому а ■ а' = 1, и, следовательно, Ср — поле. D
1.9.5. Чтобы задать на X топологию, необходимо определить
операцию_замыкания. Для множества А С X определим
замыкание А как совокупность всех точек, содержащих
пересечение f] р. Получающаяся таким образом топология называется
Р€А
спектральной. Для построения пучка над X полезно знать, как
устроены открытые множества в X (их называют также
областями).
1.9.6. Если е — центральный идемпотент, то через U(e)
обозначим множество всех точек р таких, что е ^ р.
1.9.7. Поскольку произведение е(1 — е) = 0 принадлежит
любому первичному идеалу, каждая точка спектра содержит либо
60
1. Строение колец
е, либо 1-е, но не может содержать одновременно оба этих
идемпотента. Таким образом,
i7(e) U U{\ - е) = X, U(e) П [7(1 - е) = 0. (1.9.1)
С другой стороны, замыкание U(e) содержит только точки q,
содержащие пересечение f] р = f| p. Последнее пересечение
egp l-e€p
содержит элемент 1-е. Поэтому 1-е €Е q, следовательно,
е ф. q, т. е. по определению q £ 17(e). Теперь соотношения (1.9.1)
показывают, что 17(e) — одновременно открытое и замкнутое
множество.
1.9.8. Лемма. Множества U(e), е Ε Ε, образуют
фундаментальную систему открытых окрестностей X, т. е. любое
открытое множество представимо в виде объединения
множеств вида U(e).
Доказательство. Пусть W — открытое множество точек,
А = Π р. Обозначим через Е(А) множество всех идемпотен-
vtw
тов из Л и рассмотрим семейство окрестностей 17(e), е £ Е(А).
Если р £ 17(e), е £ Е(А), то е ^ р. Поэтому ρ не содержит А,
т. е. р не принадлежит замыканию дополнения W. Поскольку
дополнение замкнуто, условие ρ £ U(e) влечет р G W. Таким
образом, U и(е) С W. Покажем, что справедливо обрат-
е€Е{А) -
ное включение. Пусть, напротив, р £ W, p ^ U?7(e). Тогда
все идемпотенты из А лежат в р. Так как А — идеал, в
силу регулярности кольца С он вместе с элементом а содержит
его носитель е(а) = а ■ а'. Этот носитель лежит в р, поэтому
а = е(а)а £ р. Таким образом, р содержит А и, следовательно,
принадлежит замыканию дополнения W. Так как дополнение
замкнуто, имеем р ^ W; противоречие. D
Доказанная лемма показывает, в частности, что пространство
X вполне несвязно, причем любое его открытое множество есть
объединение замкнутых областей.
1.9.9. Лемма. Любая замкнутая область в X имеет вид U(e)
для некоторого идемпотента е.
Доказательство. Пусть U — открытое и замкнутое
множество. Рассмотрим его дополнение U' до X. Пусть А = f~) p
Р€С/
и В = Π Р- Пересечение этих идеалов равно нулю, и поэто-
Р€С/'
1.9. Канонический пучок
61
му они образуют прямую сумму. Если некоторый собственный
первичный идеал q кольца С содержит сумму А + В, то он
принадлежит замыканию U и замыканию [/', что невозможно. Это
означает, что А + В = С. В частности, единица кольца С пред-
ставима в виде суммы 1 = ei + е, где ei £ А, е € В. Так как
сумма идеалов А + В прямая, ei и е — идемпотенты, причем
В = еС, А = (1 — е)С. Поскольку U замкнуто, ρ €Ξ U тогда
и только тогда, когда ρ э А, т. е. ρ Э 1 — е, что эквивалентно
условию е £ р. Таким образом, U = 17(e). D
1.9.10. В силу леммы 1.9.9 множество центральных идемпотен-
тов находится во взаимно однозначном соответствии с
множеством замкнутых областей X. Легко видеть, что это
соответствие сохраняет решеточные операции и отношение порядка:
[/(eie2) = [/(ei)ntf(e2),
tf (ei + е2 - eie2) = U{ei) U U(e2), (1.9.2)
U(ei) С U(e2) O· ei < e2.
Этот факт позволяет в ряде случаев отождествлять идемпотенты
с замкнутыми областями и считать, что идемпотенты состоят из
точек, что делает многие рассуждения наглядными. Указанное
соответствие сохраняет и точные верхние грани:
[/(sup{e0}) = M[/(e0), (1.9.3)
где справа стоит замыкание объединения областей U(ea).
Докажем это равенство. Пусть Ва = Π Ρ· Тогда точка q
veu(ea)
принадлежит правой части равенства (1.9.3) тогда и только
тогда, когда q D Г\Ва. Заметим, что Ва = (1 — еа)С, поскольку
Ρ е U(ea) О· 1 - еа С р и фактор-кольцо C/(i _ /0)С ~ еаС
полупервично. Рассмотрим теперь в С топологию, определяемую
модульной структурой. Идеалы Ва замкнуты в этой топологии
и, следовательно, их пересечение В также замкнуто.
Идемпотенты из В образуют направленное семейство, предел е которого
лежит в В. Так как для любого элемента b £ В его носитель
е(6) = ЬЬ' лежит в В, имеем е(Ь) <С е. Поэтому В = еС.
Заметим, что е = 1 — supea. Действительно, с одной стороны,
а
1 — sup еа <С 1 — еа для всех а, и поэтому 1 — sup ea €Ξ В,
а а
т. е. 1 — sup еа <С е. С другой стороны, е Ε В и, следовательно,
а
62
1. Строение колец
е € (1 — еа)С, т. е. ееа = 0 для всех а. Поэтому esup ea = О,
а
откуда е <С 1 — supea. Таким образом, е = 1 — supea. Сле-
ос а
довательно, идеал q принадлежит правой части равенства (1.9.3)
тогда и только тогда, когда 1 — sup ea G q. Последнее вклю-
ОС
чение эквивалентно тому, что q £ U(supea). Формула (1.9.3)
а
доказана. D
1.9.11. Лемма. Замыкание открытого множества
пространства X = Spec С открыто (и, естественно, замкнуто).
Доказательство. Утверждение вытекает из леммы 1.9.8 и
формулы (1.9.3). D
1.9.12. Топологическое пространство называют экстремально
несвязным, если замыкание любой области открыто.
Следовательно, мы показали, что Spec С экстремально несвязно.
1.9.13. Заметим, что пространство X компактно и хаусдорфово.
Если X = UU(ea), то любая точка не содержит один из идем-
а
потентов еа. Это означает, что сумма идеалов еаС не
содержится ни в каком собственном первичном идеале и, следовательно,
J2eaC = С. В частности, 1 = eaic\ +.. - + еапсп. Поэтому лю-
ОС
бой идеал, содержащий все eai, содержит также единицу. Таким
образом, X = UU(eai), и компактность установлена.
Если pi и р2 — различные точки, то можно найти
элементы αϊ €Ε pi\p2 и 02 G Рг\р1 (напомним, что все первичные
идеалы максимальны). Для носителей выполнены включения
e(ai) €Е рДрг и е(аг) £ рг\рь Рассмотрим идемпотенты е\ =
e(ai)(l — е(аг)) и ег = е(аг)(1 — e(ai)). Это
ортогональные идемпотенты, причем е\ $. рг, ег ^ pi, т. е. р2 £ U{e\),
pi G U{e2)- Осталось заметить, что пересечение областей U{e\)
и U(e2) равно U{eie2) = U(0) = 0.
1.9.14. Теперь все подготовлено для определения канонического
пучка Q = Q(R). Пусть U — открытое множество. По формуле
(1.9.3) его замыкание U открыто и имеет вид U(e) для
некоторого е Ε Ε. Положим G(U) = G(U) = eRE. Так как включение
W С U влечет W С U, а последнее включение по формуле
(1.9.2) дает неравенство / <С е для соответствующих идемпотен-
1.9. Канонический пучок
63
тов U(f) = W и U(e) = U, определен гомоморфизм χ —> xf,
действующий из eRE в fRE, который мы и примем за
гомоморфизм ограничения р^,- Справедливость аксиом 1-3 предпучка
для Q (см. 1.9.1) очевидна.
1.9.15. Теорема. Предпучок Q является пучком.
Доказательство. Пусть U — LiUa и врУг = 0 для всех
а а
а и данного s €Ξ G(U) = eRE. Пусть Ua = U(ea).
Равенства spVj = О запишутся в виде sea = 0. Так как по
формуле (1.9.3) е = sup еа, имеем s = se = s ■ sup ea = 0, что
a
и требуется. Пусть sa £ Q{Ua) таковы, что для любых а и
β ограничения sa и sp на Ua П Up совпадают. Это означает,
что saea = sa и saep = snea для всех α, β. Рассмотрим
множество Μ всех пар (s,e'j таких, что se' = s, e' <С e и
sea = sae' для всех а. В этом множестве введем отношение
порядка (s,e') <C (si,e[) О· s\e' = s, е' <С е[. Покажем, что Μ
превращается в индуктивное частично-упорядоченное
подмножество. Если {(s-γ, e-γ)} — линейно-упорядоченное подмножество,
то в силу полноты RE определен предел ? = lims-γ
относительно системы идемпотентов е7 + 1 — supe^. В этом случае
ι
(s,e) = s", где ? = sup εΊ — верхняя грань для {(s7)e7)},
причем sea = (lims-v)ea = limsae~ = salime-, = sae", т. е.
-У Ί Ί
Пусть (s~, e) — какой-то максимальный элемент из М.
Покажем, что (Г= е. Если это не так, то ееа φ еа для некоторого еа
(напомним, что е = sup ea) и пара (s+sa(ea — eea), <Г+еа —<Геа)
а
строго превосходит (S", е) и лежит в М. Итак, е" = е, т. е.
?£ 5(t^) и sp^ = sea = sae'= sae = sa. Таким образом, 's—
искомый элемент D
1.9.16. Итак, поставленная цель достигнута: кольцо RE
представлено как кольцо глобальных сечений пучка Q. Этот пучок
будем называть каноническим пучком кольца R. В тех случаях,
когда нужно подчеркнуть связь с кольцом R, будем писать Q (R).
Этот пучок удовлетворяет следующему важному условию:
любое его сечение может быть продолжено до глобального (пучки,
удовлетворяющие этому свойству, называются вялыми). Более
того, гомоморфизмы ограничения являются ретракциями, поэто-
64
1. Строение колец
му кольцо глобальных сечений естественно содержит все кольца
локальных сечений eRE С RE.
1.9.17. Аналогично образом с любым полным (инъективным)
модулем Μ над любым коммутативным самоинъективным
регулярным кольцом С\ можно связать некоторый пучок Wt: UR(U) =
m(U) = Me, xP\j = xe, где Ί7 = [/(e).
1.9.18. Лемма. Сечение s принадлежит ядру гомоморфизма
Рр тогда и только тогда, когда носитель элемента s
принадлежит р или, что эквивалентно, s €E pRE. Слой Qv может
быть отождествлен с фактор-кольцом RE J fift fl pRE.
Доказательство. Пусть сечение s лежит в ядре pv.
Согласно определению найдется окрестность W = U(e) точки р такая,
что ограничение s на эту окрестность равно нулю, т. е. se = 0.
Следовательно, e(s)e = 0, поэтому e(s) £ р и s — se(s) £ pRE.
Обратно, если s €E pRE, то элемент s представим в виде суммы
a\S\ + ... + ansn, где α; Ε р. Учитывая, что вместе с
двумя идемпотентами е\ и ег идеал р содержит их точную верхнюю
грань eiVe2 = ei+e2—eie2, получаем sup e(a,·) = sup (α,·α;) €Ξ
р, где элементы а'{ существуют в силу регулярности кольца С.
Далее, s-sup е(а,-) = s, что означает e(s) = e(s)-sup e(a,·) £ р.
Таким образом, точка р принадлежит окрестности U{\ — e(s)),
ограничение s на которую равно нулю. D
Ниже при помощи метатеоремы (см. 1.11.13) мы покажем, что
все слои канонического пучка суть первичные кольца.
Конечно, этот факт можно установить, не привлекая методов теории
моделей. Мы рекомендуем читателю провести соответствующие
рассуждения, так как это поможет глубже понять содержание
§ 1.11 о метатеореме.
1.10. ИНВАРИАНТНЫЙ ПУЧОК
В этом параграфе мы применим канонический пучок к изучению
групп автоморфизмов. Пусть R — полупервичное кольцо и G —
некоторая группа автоморфизмов G С A(R). Выбирая
произвольным образом замкнутую область U спектра, мы видим, что
G заведомо не будет группой автоморфизмов для кольца
сечений, если U3 не содержится в U для некоторого g Ε G. Сле-
1.10. Инвариантный пучок
65
довательно, канонический пучок перестает быть пучком, если
кольцо рассматривается вместе с действием группы G. Это
препятствие преодолевается переходом к другому, близкому пучку,
который мы будем называть G-инвариантным или просто
инвариантным, если группа G фиксирована. Заметим, что группа
G действует на пространстве X = Spec С так, что
соответствующие преобразования являются гомеоморфизмами
топологического пространства X.
1.10.1. Орбитой точки р £ X называется множество всех ее
образов при действии группы G. р = {р3,д £ G}. Легко
видеть, что любые две орбиты либо совпадают, либо не
пересекаются, т. е. все пространство X представимо в виде дизъюнктивного
объединения орбит. Обозначим через X JQ множество всех
орбит и рассмотрим отображение тг: X —> X/g, сопоставляющее
точке р ее орбиту р.
1.10.2. Пространством орбит X /Q называется множество
орбит, наделенное слабейшей топологией, для которой отображение
■к непрерывно и открыто (т. е. X JQ — это фактор-пространство
X в топологическом смысле).
1.10.3. Лемма. Открытыми в X/Q являются образы
областей при отображении π, и только они.
Доказательство. Образы областей должны быть
открытыми, так как π — открытое отображение. Эти образы
определяют некоторую топологию, и нам достаточно заметить, что π
непрерывно в этой топологии. Если U — область из X, то
тг-1^?/)) = U U9 также область. D
ff€G
1.10.4. Пучок над пространством орбит X JQ называется
G-инвариантным, если кольцо его сечений над областью W
равно Q(n~1{W)), а гомоморфизмы р^ равны p*.,L·. Так как
/n'~1(W) — инвариантное множество точек и автоморфизмы из
G являются гомеоморфизмами пространства X, получаем, что
замыкание iv~1(W) есть инвариантная область. Следовательно,
отвечающий этой области идемпотент е неподвижен
относительно действия группы G. Мы видим, что структура инвариантного
пучка определяется линейной структурой над множеством EG
инвариантных идемпотентов.
66
1. Строение колец
1.10.5. Лемма. Кольцо С регулярно и самоинъективно.
Доказательство. Покажем сначала, что CG регулярно.
Если χ 6 CG и у — элемент из С такой, что х2у = х, то х2(у —
уя) = 0 для всех д £ G. Умножая это равенство на у, получим
х(у — У9) = 0. Следовательно, х{у2 — (у9)2) = χ (у — у9){у +
у9) = 0. Поэтому ?/1 = ху2 6 CG. Имеем х2у\ = χ у2 = х2у =
х, т. е. CG регулярно (и, в частности, полупервично).
Докажем теперь, что CG совпадает со своим обобщенным
центроидом (тогда в силу леммы 1.6.17 CG будет самоинъек-
тивным). Пусть Iq — существенный идеал CG и Iq С CG
для некоторого q £ Q(CG). Рассмотрим множество носителей
А = {e(i),i 6 /} как направленное множество идемпотентов.
В силу регулярности CG имеем е{г) = И' для подходящего
г' £ CG. Поэтому А С I. Следовательно, Aq С CG.
Теперь в силу полноты С существует предел q\ = lim e(i)q £ С.
e(i)€A
Так как CG совпадает с пересечением ядер вполне непрерывных
отображений i-H-i'jEG, получаем, что CG замкнуто
и q\ £ CG. Теперь имеем e(i)(q — qi) = 0 и, следовательно,
^(?-?ι) = 0, т. е. q= qi. D
Учитывая замечание 1.9.17, можно определить пучок над
пространством Spec CG, кольца сечений и гомоморфизмы
ограничения для которого совпадают с теми же объектами для
инвариантного пучка. По-существу, это одинаковые пучки, хотя
пространства ΧΙΌ и Spec CG могут быть не гомеоморфны.
Естественное отображение р —у pG = {χ £ р | V<7 £ G χ9 = χ}
является открытым и непрерывным, но может оказаться не
взаимно однозначным.
1.10.6. Так как кольца сечений инвариантного пучка суть в
точности кольца сечений канонического пучка над инвариантами
областями, удобно обозначать инвариантный пучок той же
буквой Q, что и канонический пучок. Это не приводит к
недоразумениям, поскольку слой инвариантного пучка над орбитой р
будет обозначаться Q-$, а слой канонического в точке р — Qp.
1.10.7. Лемма. Сечение s принадлежит ядру
естественного гомоморфизма Рр- тогда и только тогда, когда носитель
элемента s принадлежит идеалу р С или, что
эквивалентно, s £ р RE. Слой Q-p может быть отождествлен с
фактор-кольцом RE JpG ββ β RE
1.11. Метатеорема о каноническом пучке
67
Доказательство. Пусть сечение s лежит в ядре р^. По
определению найдется окрестность W орбиты р такая, что
ограничение s на ■k~1(W) равно нулю, т. е. es = О, где U(e) = ir~1(W).
Следовательно, e(s)e = 0. Поэтому e(s) ^ 1-еб pG,
поскольку, с одной стороны, ж~1(Ш) — окрестность точки р, но, с
другой стороны, 1-е — неподвижный идемпотент Таким образом,
e(s) G pGE и s = se(s) G pGR^E. Обратно, если s G pGR^E,
то элемент s представим в виде суммы aiS\ + ... + ansni в
которой а; 6 pG. Заметим, что носители е; элементов а,- также
лежат в pG: если а9 = а, то е(а)9 = е(а9) = е(а). Кроме
того, е(а) = аа', где элемент а' определяется условием
регулярности кольца С. Далее, s = s ■ sup е,·, т. е. ограничение s на
инвариантную окрестность [/(1-е) равно нулю. Эта окрестность
содержит точку р, поскольку e(s) <C sup e,- £ р. Следовательно,
ограничение сечения s на окрестность W = tr(U(l — e)) орбиты
р равно нулю. D
1.10.8. Лемма. Пространство X IQ экстремально несвязно.
Доказательство. Пусть W — область пространства орбит.
Тогда U = 7T_1(W) — инвариантная область спектра. Так как
элементы G действуют на X как гомеоморфизмы, замыкание U
будет инвариантной областью, т. е. ir(U) Π (X\U) = 0.
Поэтому 7r(f7) — замкнутая область пространства орбит. Ясно, что
эта область содержит замыкание W. Более того, так как π
непрерывно, мы заключаем, что тг_1(И/) —замкнутое множество,
содержащее U = tt-1(W). Следовательно, W = тг(?У) —
замкнутая область. D
1.11. МЕТАТЕОРЕМА О КАНОНИЧЕСКОМ ПУЧКЕ
Наша дальнейшая программа состоит в том, чтобы описать как
можно более широкий класс свойств, теорем, утверждений,
которые можно переносить с первичных колец на полупервичные
кольца при помощи канонического и инвариантного пучков. Мы
ограничимся утверждениями, которые могут быть записаны на
«элементарном» языке, т. е. утверждениями, касающимися
элементов. Ситуация, когда утверждение о η элементах
записано в некотором виде и мы имеем способ выяснения, истинно
это утверждение на данной n-ке или нет, эквивалентно заданию
«-местного предиката.
68
1. Строение колец
1.11.1. η- Местным предикатом на множестве А называется
отображение Ρ декартовой степени А" в двухэлементное
множество {И, Л} (И ^ «истина», Л ^ «ложь»). п-Местной
операцией называется отображение / из Ап в А. Одноименные
предикаты (т. е. предикаты с одним именем и одинаковой
местностью) или одноименные операции могут быть заданы на
различных множествах. В этом случае говорят о значениях одного и
того же предиката Ρ (операции /) на различных множествах.
Сигнатурой называется набор Ω имен предикатов и операций,
которым сопоставлены местности. Алгебраической системой
сигнатуры Ω называется множество с заданными на нем значениями
предикатов и операций из Ω соответствующей местности. Нуль-
местной операцией на множестве А называется фиксированный
элемент из этого множества, а нулцместным предикатом —
истина или ложь. Предикаты и операции из Ω, заданные на
алгебраической системе этой сигнатуры, называют главными или
основными. С их помощью можно строить новые операции
(термальные функции) и новые предикаты (формульные
предикаты). К числу термальных функций относятся проекции
произвольной местности (αϊ,... , ап) —> а;, которые имеют
стандартные обозначения х,·, у,·, ζ,·,.... Кроме того, если F — п-местная
основная операция и φι,... ,φη — термальные функции
одинаковой местности т, то F{<pi,... ,ψη) является m-местной
термальной функцией, которая имеет стандартное обозначение
F(<pi,... , ψη), где ψ\,... ,ψη — стандартные обозначения для
φι,... ,φη. Стандартное обозначение для термальной функции
называется термом. Считается, что иных термальных
функций нет. Например, если Ω = { + ,—,·} — кольцевая сигнатура,
то термами будут произвольные неассоциативные многочлены
от переменных а;,·, а термальными функциями — отображения
{αϊ,.. .αη) ι-> /(αϊ,... ,α„), где элемент f{ai,... ,ап)
получается из многочлена / подстановкой х,- = а, £ R. Обобщенные
многочлены также можно рассматривать как термы. Для этого
необходимо расширить сигнатуру, сопоставив каждому
коэффициенту г £ R нульместную операцию аг, значение которой на R
положить равным г.
Простейшие формульные предикаты — это предикаты,
задаваемые атомарными формулами
Р{хи... ,хп), xi=x2, F{xu... ,xn) = xn+i, (1.11.1)
где Р, F — основные предикаты. Произвольный формульный
предикат задается формулой элементарного языка, т. е. «по-
1.11. Метатеорема о каноническом пучке
69
лучается» из простейших формульных предикатов
применением логических связок &;, V, "", —> и навешиванием кванторов 3,
V на предметные переменные х,- (которые в нашем случае
отождествлены с именами некоторых термальных функций).
1.11.2. Пусть /ι,... , /η — термы местности т и Ρ 6 Ω. Тогда
формулы
P(fu---Jn), h=h (1.11.1)
задают некоторые предикаты
P(fi,··· ./η)(αι,... ,вп) = И
тогда и только тогда, когда
P(fi(au... ,α„),... ,/„(αι,... ,α„)) = И.
Аналогично (/ι = /г)(а11 ■ ■ ■ > αη) = И тогда и только тогда,
когда /ι(αι,. .. ,α„) = /2(01, ·. · ,α„). Индукцией по построению
термов легко показать, что это — формульные предикаты,
причем они могут быть получены из простейших формульных
предикатов только навешиванием квантора 3 и применением связки
к. Например^ если^! = ii(Vi> ■ · · , Vfc) и /2 = ^(^ι, ■ · · , Φι),
то формула /ι = /2 эквивалентна следующей формуле:
3yi, ■.. ,yjt+i3zi,... ,z(+i(yjt+i = 2rj+i&yfc+i
= Fi(yi,... ,yk)kzt+i = F2(zi,.. .zt)kzi
= фхк. ..kzi = inkyi = (pik.. .kyk = <pk)·
Входящие в последнюю формулу подформулы ζ; = ф{ и ?/; = ^;
задают формульные предикаты по индуктивному
предположению.
1.11.3. Опишем важнейший для нас класс хорновских формул.
Простейшие хорновские формулы — это формулы вида
AikA2k...kAp -* Αρ+ι\ Αι\" Αχ V "Л2 V.-.V-Ap,
где Ai — формулы вида (1.11.1). Произвольные хорновские
формулы суть кванторизации конъюнкций простейших хорновских
формул. Предикат, задаваемый хорновской формулой,
называется хорновским предикатом. Замечание 1.11.2 показывает, что
предикаты, задаваемые формулами (1.11.2), хорновские.
70
1. Строение колец
1.11.4. Вялый пучок 72 над экстремально несвязным_простран-
ством X называется правильным, если 1Z(U) = 72(?У) для
любой области U, т. е. отображения рц являются изоморфизмами.
Напомним, что пучок называется вялым, если для любых
областей U С V отображения р^ (или, что эквивалентно, pjj)
являются эпиморфизмами. В силу определений 1.9.14 и 1.10.4
канонический и инвариантный пучки являются правильными (см.
также 1.9.11 и 1.10.8).
1.11.5. Зафиксируем правильный пучок 72 алгебраических
систем некоторой сигнатуры Ω (читатель может считать, что 72 —
это пучок колец в расширенной сигнатуре).
1.11.6. η-Местный предикат Р(х\,... ,хп) называется строго
пучковым, если заданы его значения на всех системах (кольцах)
сечений и слоях пучка 72·, причем 72 остается пучком в категории
алгебраических систем с дополнительным предикатом Р.
Аналогично η-местная операция / называется строго пучковой, если
п+ 1-местный предикат Р(х\,. .. , хп+1), задаваемый формулой
f(x\,... , хп) = χη+ι, является строго пучковым. Эти условия
означают, что ограничения p\j и естественные гомоморфизмы pt
остаются гомоморфизмами в категории алгебраических систем,
получающихся добавлением в сигнатуру Ω предикатного
символа Ρ (функционального — /), причем pt остается прямым
пределом p\j, t 6 U, и для любого покрытия U С LiUa система
гомоморфизмов рц остается аппроксимирующей.
1.11.7. Распишем определение строго пучкового предиката более
подробно.
(а) Если P(si,... ,sn) = И для s,· £ 72(V), то для всех
U С V выполняется P(s\p^,... , snp^) = И.
(б) Ρ(«ι,... , sn) = И для s; £ 72t тогда и только тогда,
когда существуют окрестность W точки t и прообразы s,- 6 1Z(W)
такие, что P(s\,... , sn) = И.
(в) Если U = LiUa и si,... , sn £ 1Z{U), причем для любого
Ра = Ри выполняется P(sipa,. .. ,snpa) = И, то P(s\,... ,
Sn)=tt°
Важность строго пучковых предикатов и операций
определяется тем, что их можно включать в сигнатуру, при этом все
теоремы, доказанные для пучков (в частности, нижеследующая мета-
1.11. Метатеорема о каноническом пучке
71
теорема), останутся справедливыми, что значительно расширяет
возможности их применения.
1.11.8. Пусть s — нульместная строго пучковая операция, s(U),
st —ее значения на Έ-(ΙΙ) и lZt соответственно. Если sQ = s(X),
то в силу условий (а), (б) s(U) = sop§ и st = sopt- Обратно,
если s — некоторое глобальное сечение, то нульместная операция
s(U) = spy, st = spt будет строго пучковой. Таким образом,
задание нульместной строго пучковой операции
эквивалентно выделению некоторого глобального сечения.
1.11.9. Одноместные предикаты и операции. Одноместный
предикат определяется множеством тех элементов, на которых
он истинен. Обратно, с любым подмножеством S в
алгебраической системе можно связать предикат Ps: Ps{x) = И тогда
и только тогда, когда χ 6 S. Выясним, для каких множеств
S С RE предикат Ps будет строго пучковым для
инвариантного пучка. Пусть S — множество такое, что предикат Ps строго
пучковый. Условие (а) в 1.11.7 означает, что SEG С S. Условие
(б) показывает, что на слое значение предиката Ps
определяется множеством Sp-p = S. Условие (в) в терминах идемпотентов
выглядит так: если supea = е и еах £ S для всех а 6 А,
а
то ех £ S, где е,еа 6 EG. Это условие вместе с условием
SEG С S означает, что S — замкнутое в топологии,
определяемой неподвижными идемпотентами, £'с-множество (см. 1.6.25
для С\ = CG и лемму 1.10.5). Действительно, если а = limsa,
sa £ S, то аеа = saea 6 S для подходящего направленного
семейства идемпотентов еа £ EG такого, что sup еа = 1-
Следовательно, а = a sup еа 6 S. Кроме того, если Si,S2 6 S
и а = s\ + S2 — ортогональная сумма, то мы можем
рассмотреть покрытие X = U\ U U2 U U3, где U\ = U(ea{s\)), U2 =
U(eG(s2)), U3 - U{1 - sup(eG(si),eG(s2))) (здесь eG(x) —
носитель χ как элемента Сс-модуля Q(R), т. е. это наименьший
неподвижный идемпотент такой, что хес(х) = я). Так как
ограничения а на каждую из этих трех окрестностей лежат в 5,
условие (в) влечет Ps(a) = И, т. е. а £ S.
Обратно, если S — замкнутое .Е^-подмножество, то
предикат Ps будет строго пучковым при условии, что его значения на
слоях определяются формулой Ps(~x) = И <=> χ 6 Spp = S.
Здесь сомнения может вызвать только условие (в), так как в нем
А — ненаправленное множество. Пусть В — множество всех
72
1. Строение колец
конечных подмножеств А, упорядоченное по включению. Для
β £ В положим ер = sup{ea} + (1 — е). Тогда хеер £ S,
αζβ
так как хе sup{ei,e2} = хее\ + хе(е2 — е^) 6 S (здесь
сумма ортогональна). Поэтому хе = limxe^ £ S, что и требуется
установить.
С замкнутым £'с-множеством S можно также связать
строго пучковую одноместную операцию its такую, что ?г(х) £ S
и 7rs(s) = s при s 6 S. Для данного χ 6 RE рассмотрим
множество А всех идемпотентов е 6 EG таких, что хе 6 S.
Это множество направлено: если хе 6 S, xf 6 5, то
ортогональная сумма хе + х(/ — ef) = χ sup {e,/} тоже лежит в
5, и поэтому sup{e,/} £ Л. В силу замкнутости множества
S предел limxe = χ sup Л относительно системы идемпотентов
А
е + (1 — sup Л), е 6 Д принадлежит S. Этот предел мы и
примем за тг(х). На слое Q-p операцию its определим так: its (#) = #,
если ϊ£5ε S/Эр-, и 7Ts (χ) = 0, если χ £ S.
Проверим, что так определенная операция будет строго
пучковой. Условие 1.11.7 (а) определения строго пучкового
предиката означает, что равенство irs(x) = У влечет π$(χβ) = yf для
/ £ EG, т. е. irs(xf) = Ks(x)f- Это равенство выполнено, так
как включение хе £ S влечет (xf)e 6 5.
Докажем справедливость условия 1.11.7(6). Пусть irsfic) = У
на слое ί/ρ-- Если χ 6 5, то у = χ и можно найти прообраз
χ £ S. Тогда tts(x) = у, где j = mj/ = t/, ΐ=ι, что и
дает условие (б). Если χ ^ S, то у = 0. Рассмотрим некоторый
глобальный прообраз χ 6 RE и обозначим, как и выше, через
Л множество всех идемпотентов е 6 EG таких, что хе 6 S.
Тогда irs(x) = х sup А и для идемпотента / = 1 —sup Л имеем
*"s(z/) = tts(x)/ = х sup Af = 0. Если / £ ρ, то [/(/) —
окрестность точки р, т. е. χ = (х/)/9р-, и поэтому равенство
ttsixf) = 0 дает требуемое соотношение в кольце сечений над
U(f). Если же / £ р, то sup А £ р и область [/(sup А) является
окрестностью точки р, т. е. χ = (χ sup A)p$ 6 S, противоречие.
Обратно, если для элементов х, у 6 Q-p существуют
прообразы х, у такие, что irs(x) = у, то у 6 5 и χ sup A = у. Если
sup А £ р, то χ = (х sup Л)рр- 6 S и χ = у, т. е. tts(%) = «7
Если sup A £ р, то / = 1 - sup А <£ ρ и у = {yf)pp =
(χ sup Л/)рр- = 0, при этом χ ^ 5, так как включение χ 6 5
означает, что хе = se 6 5 для некоторого е ^ р, е 6 Ζ?0,
1.11. Метатеорема о каноническом пучке
73
т. е. е G А и sup Л ^ р. Следовательно, тг,(х) = 0 и опять
*s(x) = У-
Условие 1.11.7(b) означает, что если для сечений х, у и
системы неподвижных идемпотентов {еа} выполняется trs(xea) =
уеа, то 7г3(хе) = ye, где е = sup еа. Имеем (7rs(a;e) - уе)еа =
ns(xea)-yea = 0, и поэтому 0 = (irs(xe)~ye)e = irs(xe)~ye,
что и требуется.
Итак, любое замкнутое Ε -подмножество в RE
определяет строго пучковый предикат Ps и строго пучковую
проекцию its'- RE —l· S для инвариантного пучка.
Полагая G = {1}, получаем аналогичное утверждение для
канонического пучка. Здесь уместно добавить, что любое
множество, замкнутое в топологии, определяемой идемпотентами из
Е, будет замкнутым и в топологии, определяемой идемпотентами
из EG, но не наоборот. Поэтому если Ps и its строго пучковые
для канонического пучка, то они будут строго пучковыми и для
инвариантного.
1.11.10. Суперпозиция, носитель. По определению строго
пучковыми будут операции сложения, вычитания и умножения, т. е.
предикаты, задаваемые формулами x+y=z, x — y=z,
ху = ζ. Предложения 1.11.15 и 1.11.16 (см. ниже), а также
замечание 1.11.2 показывают, что любая термальная операция, а
также любой предикат вида /ι = /г или P(f\ fn), где Ρ —
строго пучковый предикат, будут строго пучковыми. Допуская
определенную вольность речи, можно сказать, что суперпозиция
строго пучковых операций и предикатов будет строго пучковой.
Строго пучковой будет также функция носителя е: s —> e(s).
Однако если в кольце RE нет единицы, то эта функция не
будет операцией и, строго говоря, ее нельзя включать в сигнатуру.
Тем не менее, в этом случае определена двуместная операция
(х, у) —> е(х)у, которая будет строго пучковой. Значение
операции е на слоях должно определяться условием 1.11.7(6). Так как
элемент χ принадлежит ядру ρν тогда и только тогда, когда его
носитель лежит в р, для канонического пучка имеем е(х) = 1
па всех ненулевых элементах слоя.
Аналогично операция инвариантного носителя ео(х) будет
строго пучковой для инвариантного пучка, если на слоях
положить eG(x) = 1 при ж^Ои eG(0) = 0.
74
1. Строение колец
1.11.11. η-Местный предикат Ρ называется пучковым, если
заданы его значения на всех кольцах сечений и слоях пучка 72. и
выполняются следующие условия.
(б') Если Ρ(«ι,... , sn) = И для s,· G Έ-t, то существуют
окрестность W точки t и прообразы s,- G 72(W) такие, что Ρ(«ιρ^ ,
... ,snp$) = И для любой непустой области U,
содержащейся в W.
(в') Если U = UUa и si,... , sn 6 TZ(U), причем для любых
непустых областей Va С ?7а выполняется P(sipy ,... ,
e„^J = И, то Ρ(βι,...,«„)= И.
Ясно, что любой строго пучковый предикат является
пучковым. Следующее утверждение показывает, что основной интерес
для нас представляют именно пучковые предикаты.
1.11.12. Предложение. Пусть Ρ — пучковый предикат и
8χ, . .. , sn — сечения над некоторой областью U. Если
множество точек t 6 U, для которых Ρ(sipt, ■■ ■ ,snpt) = И,
плотно в U, то P(s\,.. . ,sn) = И. В частности, если
некоторая теорема задается нульместным пучковым
предикатом и она справедлива на всех (или почти всех) слоях, то она
справедлива и на кольце глобальных сечений.
Доказательство. Пусть А — множество всех точек t, для
которых предикат P(s\pt,... ,snpt) истинен. В силу условия
(б') найдем окрестность Wt точки t. Пусть U\ = U Wt. To-
гда U\ — плотное в U множество, и поэтому TZ(Ui) = 1Z(U).
Остается воспользоваться условием (в'). D
1.11.13. Метатеорема. Любой хорповский предикат является
пучковым. В частности, если формулировка некоторой
теоремы может быть записана в виде хорновской формулы, то
из истинности этой теоремы на почти всех слоях
правильного пучка следует ее истинность на системе [кольце)
глобальных сечений этого пучка.
Важность этой теоремы усиливается благодаря тому, что в
классе первичных колец любая элементарная формула
эквивалентна хорновской. Действительно, при построении хорновских
формул запрещается свободно использовать только дизъюнкцию,
но в классе первичных колец / = О V g = 0 эквивалентно
Va: fxg = 0. В общем случае необходимо привести безквантор-
ную часть произвольной формулы к конъюнктивной нормальной
1.11. Метатеорема о каноническом пучке
75
форме, а затем подформулы вида
/i^OV/2^OV...V/fc^OV<7i = OV...V<7„ = 0
заменить хорновскими формулами
4xix2...xn-\{h = Ok...kfn = 0-> gixig-i- -Xn-Wn = 0).
Доказательство метатеоремы вытекает из следующих лемм и
предложений.
1.11.14. Лемма. Пусть {Ua,a 6 А} — некоторое непустое
семейство замкнутых областей экстремально несвязного
пространства X. Тогда существует набор попарно не
пересекающихся замкнутых областей {Up, β 6 5} такой, что
объединение UU» плотно в UUa, причем для каждого в (ζ В най-
в μ а
дется α(β) 6 А такое, что Up С Ua(py
Доказательство. Рассмотрим множество Μ всех наборов,
удовлетворяющих условиям леммы, за исключением, быть
может, плотности объединения. Это множество непусто, так как
любой одноэлементный набор {Uao} принадлежит М, где ао G
А. Рассмотрим Μ как частично упорядоченное множество по
включению. Тогда Μ индуктивно и по лемме Цорна
существует максимальный элемент ЯК = {Up,β 6 В}. Если некоторая
точка t принадлежит объединению U Ua, но не принадлежит
а£А
замыканию U Ug, то найдется область W Э t, не
пересекаются у
щаяся с областью UUp. Пусть t 6 Ua и Wa = W Π Ua. Тогда
Wa CWJUp — 0, набор {Wa, Up \ β G В} принадлежит М и
строго больше 9И. D
1.11.15. Предложение. Если Р, Q — [строго) пучковые
предикаты, то PkQ — [строго) пучковый предикат.
Доказательство. Предикат PkQ по определению истинен
на n-ке si,.. . ,sn тогда и только тогда, когда на ней истинны оба
предиката PkQ. Отсюда вытекает справедливость условий (а) и
(в) из 1.11.7 для предиката PkQ в случае строгой пучковости Ρ
и Q, а также справедливость (в') (см. 1.11.11) для пучковых Ρ и
Q Проверим (б') (см. 1.11.11) для пучковых предикатов. Пусть
(PkQ)(s ) = И для Si G Tit- Тогда одновременно
P(s\,.. .sn) = И и Q(«i,.. .sn) = И. Следовательно,
найдутся окрестности U и U' точки t и прообразы s[,... ,s' £ TZ{U)
и «?,...,< е Щи') такие, что P(s[p^,... ,s'nP^) = И и
76
1. Строение колец
Q(siPw' ι · · · ι snPw') = И для всех непустых областей W С U
и И·" С U'. Так как элементы sj· и s" определяют один и
тот же элемент слоя, на некоторой окрестности они
совпадают. Следовательно, найдется окрестность V С U f)U' точки
t такая, что s,- = s^py = s'/рц, для всех г. Таким образом,
для любой непустой области W С V оба предиката истинны на
s\Pw, ■ ■ ■ ,snpw, т. е. PkQ(sip^,... ,s„Pw) = И.
Проверим утверждение, обратное к 1.11.7(6) для строго
пучковых предикатов. Если PkQ(si,. .. , sn) = И, то истинны оба
предиката Ρ и Q на si,... ,sn. Следовательно, они истинны на
«ι,... , Ъ~п. Поэтому PkQ(si,... , sn) = И. D
1.11.16. Предложение. Пусть Ρ(χ,Χι,. . . ,хп) — (строго)
пучковый (п +1)-местный предикат. Тогда η-местные
предикаты ЗхР(х, х\,. . . , хп) и УхР(х, Χι, . .. , хп) также
(строго) пучковые.
Доказательство. Предикат Эх Ρ по определению истинен на
n-ке si,.. . ,sn тогда и только тогда, когда существует элемент s
из соответствующего кольца сечений или слоя такой, что
предикат .Р истинен на s, s\,... ,sn. Справедливость 1.11.7(a) для
предиката ЗхР очевидным образом вытекает из этого же
утверждения для предиката Р. Истинность 3xP(x,s~i,... ,Ъ~п)
эквивалентна существованию s £ *R.t такого, что Р(Ъ~, βχ,... , s„) = И.
В силу (строгой) пучковости предиката Ρ это влечет
(эквивалентным образом) существование окрестности W Э t и
прообразов s, si,... ,sn таких, что P(sp'y ,... , Snp'y) = И для всех
непустых областей V С W (V = W), т. е. влечет
(эквивалентно) истинность 3xP(x,Si,... , sn) на *R-(V).
Проверим условие (в') (см. 1.11.11). Пусть U = U Ua и
αζΑ
si,... ,s„ £ Щи), причем ЭхР(х, sipyo,..., snpva) = И для
любых непустых областей Va С Ua. Тогда для каждого а
найдется сечение sa £ H(Ua) такое, что P(sap^°, sipv° ,. ..) = И.
В силу леммы 1.11.14 U содержит плотное дизъюнктивное
объединение областей Up, причем Up С Ua^ для подходящих
α(β) £ А. Это включение и пучковость предиката Ρ
показывают, что P(sa^pv"w,...) = И для любых непустых областей
Vp С Uβ. Кроме того, так как области Up не пересекаются, по
определению пучка найдется элемент s £ lZ(LiUp) = lZ(UUp) =
1.11. Метатеорема о каноническом пучке
77
U(U) такой, что βρ%,β = sa(p)pv°1"'. Поэтому
Ρ(8Ρν,,ΊΡν,,···,*ηΡν,) = 1Λ·
Условие (в'), примененное к предикату Р, показывает, что он
истинен на η + 1-ке s, s\,... , sn, т. е. 3xP(x,si,... ,sn) = И,
что и требуется.
Рассмотрим предикат ViP. По определению он истинен на
n-ке si, S2, · · · > sn тогда и только тогда, когда для любого s из
соответствующего кольца сечений или слоя предикат Ρ истинен
на s, si,.. . ,sn. Так как отображения рц в силу вялости
пучка являются эпиморфизмами, справедливость (а) для предиката
\/хР в случае строгой пучковости Ρ очевидна. Утверждения (в)
и (в') для ViP вытекают из тех же утверждений для Р.
Проверим (б') (см. 1.11.11). Пусть УхР(х, «Ί,... ,s„) = И на
слое Ttf Зафиксируем некоторые глобальные сечения si,.. . ,sn
такие, что S{pt = «;. Тогда для любого глобального сечения s
предикат Ρ истинен Has = spt, «ι,... , ~sn, т. е. существует
окрестность Vs точки t такая, что для любой непустой области
VCV.
Р{8Р1,81р1,...,8пр1) = И. (1.11.3)
В силу условия (в') для предиката Ρ можно найти наибольшее
открытое множество Vs с таким свойством. Так как по
определению правильного пучка кольцо сечений над областью совпадает
с кольцом сечений над ее замыканием, Vs — замкнутая область.
Пусть Ws — дополнение до Vs в пространстве Т. Область Ws
удовлетворяет следующему свойству: если W — непустое
открытое подмножество в Ws, то оно содержит непустое открытое
подмножество W такое, что
P(spw ,8прЪ,,) = Л. (1.11.4)
Действительно, иначе ввиду условия (в') предикат Ρ будет
истинен на spy,... , snpy для любой непустой области V С WuVj,
что противоречит максимальности Vs.
Покажем, что замыкание объединения Ws, где s пробегает
глобальные сечения, не содержит точку t. Пусть, напротив,
t G UW5. По лемме 1.11.14 область UW5 содержит плотное
дизъюнктивное объединение областей Wp, β £ В, такое, что
V/β С Ws(p) для всех β и подходящих s(/3). Так как
объединение дизъюнктивное, существует сечение σ 6 7^(иИ^) =
^(иИ^) = TZ(\JWS) такое, что его ограничение на Wp совпада-
78
1. Строение колец
eTCs(P)pJy при любом β. В силу вялости пучка можно считать,
что σ — глобальное сечение с этими свойствами. Далее,
пересечение νσ Π LiWs есть окрестность точки t, и, следовательно,
имеет непустое пересечение W с одним из множеств Wp. Это
приводит к противоречию, поскольку, с одной стороны, условие
(1.11.4) вместе с равенствами σρ^, = σργ/.Ργ/ = s{@)p'§v вле"
чет существование непустой области W С W такой, что
С другой стороны, включение W С W С V„ вместе с условием
(1.11.3) влечет истинность этого же предиката.
Таким образом, t не лежит в замыкании UWS-
Следовательно, дополнение U до этого замыкания есть окрестность t. Эта
окрестность содержится в пересечении всех Vs. Поэтому для
каждого s и любой непустой области V С U предикат Ρ истинен на
spy > · · · > snPy, т. е. по определению VxP(x, s\py,... , s„py) =
И, что и требуется.
Проверим оставшуюся часть условия 1.11.7(6) для строго
пучкового предиката. Пусть существует окрестность W точки t,
сечения s,s\,... ,sn принадлежат TZ(W) и предикат Ρ истинен
на s, s\,... , sn, тогда в силу условия (б) этот предикат истинен
на s, «ι,... , s„. Так как pt — эпиморфизм, на слое 1Zt истинен
предикат ViP. D
1.11.17. Предложение. Если Ρ — строго пучковый, a Q —
пучковый η-местные предикаты, то Ρ —l· Q — пучковый
предикат.
Доказательство. Предикат Ρ —у Q по определению
истинен на Si,... , sn, если из истинности предиката Ρ на этих
элементах следует истинность предиката Q. Иными словами, этот
предикат истинен в двух случаях — если Ρ ложен или если
Q истинен. Пусть [Р —у Q)(si,.. ■ ,sn) = И для s,- £ TZt.
Если P(li\,... , s„) = И, то истинным будет также предикат Q
на «ι,... ,sn. Так как Q — пучковый предикат, в этом
случае мы найдем окрестность W и прообразы s,- £ TZ(W)
такие, что Q{s\py ,. .. ,βηρ'ν) — И для всех непустых областей
V С W и тем более (Р -у Q)(s\py ,...) = И, что и
требуется. Если Ρ(«ι,... ,ίη) = Л, то в силу строгой пучковости
Ρ для любых окрестности W Э t и прообразов si,... , sn имеем
P(s\,... , sn) = Л. В силу (а), (в) из 1.11.7 можно найти,
зафиксировав глобальные прообразы s\,... ,sn, наибольшую область
1.11. Метатеорема о каноническом пучке
79
V, на которой Ρ истинен. Эта область замкнута и не содержит
точку t, поэтому ее дополнение W есть окрестность точки t. В
силу максимальности V предикат Ρ ложен в любой непустой
области U С W, не обязательно являющейся окрестностью t.
Поэтому (Р -> Q){s\pjj,... ,snpjj) = И, что и требуется.
Проверим условие (в') (см. 1.11.11). Пусть U = LiUa и
предикат Ρ —> Q истинен на sip^ ,. .. для любых непустых областей
Va С Ua, где Si G TZ(U). Предположим, что (Р ->■ Q)(si,...) =
Л. Тогда P(si,...) = И и Q(s\,... j = Л. В силу строгой
пучковости предиката Ρ имеем P{s\py ,...) = И. Поэтому
Q(siPv > ■ ■ ·) = И. Так как Q — пучковый предикат, имеем
Q(s\ ,...) = И; противоречие. D
1.11.18. Предложение. Пусть Ρ — пучковый, a Q — строго
пучковый предикаты и предикат Ρ —l· Q истинен на всех
системах (кольцах) сечений над непустыми областями. Тогда
этот предикат истинен на всех слоях.
Доказательство. Если предикат Ρ ложен на слое 1Zt, то
импликация Ρ —l· Q истинна. Пусть на слое V,t предикат Ρ
истинен. В силу пучковости Ρ найдем окрестность W точки t, на
которой Ρ истинен. По условию истинным должен быть также
предикат Q на W. Так как Q строго пучковый, он истинен и в
слое над t. D
1.11.19. Теперь мы можем завершить доказательство метатеоре-
мы. Заметим, что ложь х^х — это строго пучковый предикат.
Отрицание ""Р строго пучкового предиката Ρ эквивалентно
импликации Ρ —> χ φ χ. Поэтому ~"Р — пучковый предикат.
Из предложений 1.11.15-1.11.17 вытекает пучковость
предикатов, задаваемых простейшими хорновскими формулами. Эти же
предложения показывают, что конъюнкция и навешивание
кванторов не нарушают пучковости.
1.11.20. Следствие. Пусть Р\, Рг,. .. , Рп, ■ ■ ■ —
последовательность т-местных хорновских предикатов такая, что
импликация Рп —l· Pn+i истинна на некоторых глобальных
сечениях si,. .. , sm инвариантного пучка. Если для каждой
точки р один из предикатов Р,- истинен на «ι,. .. ,Ъ~т, то
один из предикатов Р; истинен на s\,. .. ,sm.
Доказательство. По метатеореме каждая точка р имеет
окрестность Wp такую, что некоторый предикат Рц$) истинен на
80
1. Строение колец
s\pu",... для любой непустой области U С W^. Области W-^
покрывают все компактное пространство орбит. Поэтому
можно найти конечное число орбит {рь ... , р„} такое, что X JG =
Wp U.. .U Wp . Теперь ясно, что на RE выполняется предикат
Ps, где s = max{i(pfc)}. D
1.11.21. Полагая С = {1}, получаем, что аналогичное
утверждение справедливо и для канонического пучка.
1.12. СЛОИ КАНОНИЧЕСКОГО
И ИНВАРИАНТНОГО ПУЧКОВ
1.12.1. Лемма. Все слои канонического пучка суть первичные
кольца.
Доказательство. Зафиксируем точку спектра р и
предположим, что «ι5ρβ2 = 0. Тогда на слое Qv истинен предикат
P(sbs2) ^ Visile = 0. По предложению 1.11.16 этот
предикат строго пучковый, т. е. найдутся окрестность £/(е), е ^ р, и
прообразы si,S2 6 eRE такие, что s\(eER)s2 = 0.
Следовательно, RsiRs2Re = 0, т. е. e(si) · e(s2)e = 0 6 р. Так как ρ —
простой идеал и е ^ р, один из носителей e(si) или e(s2) лежит
в р, т. е. по лемме 1.9.18 «Ί = 0 или «2 = 0, что и требуется. D
1.12.2. Лемма. Все слои инвариантного пучка —
полупервичные кольца.
Доказательство. Зафиксируем орбиту р и предположим,
что 'sQ-p's = 0. Тогда на слое Q-ζ истинен предикат P(s) ^
Varsis = 0. По предложению 1.11.16 это — строго пучковый
предикат, т. е. найдутся окрестность W и прообраз s Ε Q{'^~1{W))
такие, что s(eRE)s = 0, где неподвижный идемпотент е
определяется областью ir~1{W). Таким образом, sReRs = 0, т. е.
e(s)e = 0. Поэтому e(s) ^ 1-eG pG, поскольку точка р
принадлежит окрестности U(e) = tt-1(W). По лемме 1.10.7 сечение
s принадлежит ядру р^. D
1.12.3. Предложение. Пусть р — произвольная точка
спектра. Тогда имеют место естественные включения
Gp(R) С GV(Q) С GV(R?) С (gP(R))r, 9,(Q) С Q(GV(R)).
1.12. Слои канонического и инвариантного пучков 81
Это предложение будет вытекать из аналогичного утверждения
для инвариантного пучка, так как инвариантный пучок для
единичной группы совпадает с каноническим.
1.12.4. Предложение. Пусть р — произвольная орбита.
Тогда имеют место естественные включения
GV(R) с G?(Q) с g^Rjr) с (Gv(R))r, GV(Q) с 0(е?(Л)).
1.12.5. Лемма. Пусть I — существенный идеал кольца R и
р — произвольная орбита. Тогда р^(1Е) — существенный
идеал слоя Q-~.
Доказательство. Так как IE — идеал кольца RE,
достаточно показать, что аннулятор p-^(IE) в слое равен нулю. Если
Ρρ(ΙΕ)Ί = 0, то на слое истинен предикат Ух(Р^(х) —> χϋ =
0), где Pffr — предикат, определеяемый IE (см. 1.11.9). В силу
метатеоремы этот предикат пучковый. В частности, он истинен
на некоторой окрестности W орбиты р. Пусть 7г_1(14/) = U(e),
где е — неподвижный идемпотент. Тогда истинность предиката
означает, что для некоторого прообраза s элемента s
выполняется равенство elEs = 0. Следовательно, es = 0, т. е. ограничение
элемента s на окрестность W равно нулю. Поэтому s = 0. D
Доказательство предложения 1.12.4. По лемме 1.10.7 ядро
гомоморфизма р^ состоит из элементов, носители которых
лежат в pGC. Это условие не зависит от того, в каком из колец
RE, Q, Rjr лежит сам элемент, поэтому гомоморфизм р^ для
пучка Q(R) является ограничением того же гомоморфизма для
пучка G{Q), который, в свою очередь, является ограничением
/Эр- для пучка G(R?). Это доказывает справедливость первых
двух включений первой цепочки. Проверим третье включение
этой цепочки. Элементу слоя Q-^(Rjr), определенному
глобальным сечением ν £ Rp, естественно сопоставить элемент кольца
(Q-p(R))jr, определяемый гомоморфизмом ν: ρ^(ΐΕ) —> Gj{R),
действующим по формуле v[x) — xv + ker /Эр-, где / — идеал из
F(R) такой, что Ιυ С R. Следует заметить, что в силу
леммы 1.12.5 образ p^AJE) — существенный идеал кольца Q^R), и
остается проверить корректность определения действия ν и
вычислить ядро отображения υ + ker р^ —у ϋ. Проверим
корректность. Если α £ ker /Эр-, то е(а) <С е £ pG и e(av) <С е(а)е(и) <С
82
1. Строение колец
е G pG. Поэтому (kerpp-)u С кегрр-, что обеспечивает
корректность. Предположим, что ν = 0. Тогда ΙΕν С ker /Эр-, т. е.
на слое Q-^(Rjr) истинен предикат Vx(P^g,(x) —> xv = 0), где
ϋ = ρρ-(υ). По метатеореме этот предикат истинен на некоторой
окрестности W орбиты р. Пусть it~l(W) = U{e) и е ^ pG.
Тогда el Εν — 0, т. е. ev = 0, и поэтому ограничение ν на W равно
нулю, т. е. »£ ker рр-, что и требуется.
Указанное выше вложение ν —> ν определяет включение во
второй цепочке: если ν £ Q и vl С Л, то υ/Ζ? С US', т. е.
ν е д(^д)). π
1.12.6. Лемма. Обобщенный центроид слоя Qp(R)
канонического пучка равен рр(С) = С /р, где С — обобщенный
центроид кольца R.
Доказательство. Пусть λ — ненулевой элемент
обобщенного центроида слоя. Согласно определению мартиндейловского
кольца частных можно найти ненулевые элементы слоя а и Ь
такие,_что_а = λ&. Для этих элементов рассмотрим предикат
Vx(axb — Ьха). По предложению 1.11.16 это — строго пучковый
предикат. Следовательно, найдутся прообразы α и 6 элементов
а и Ь соответственно такие, что на кольце RE будет выполнено
тождество ахЬ = Ьха. Лемма 1.5.9, примененная к элементам
е(6)а и е(а)6, дает их пропорциональность: е(Ь)а = сЬ для
некоторого с £ С. Так как Ь — ненулевой элемент, образ е(6) равен
единице, т. е. а = cb, где с = pv(c). В частности, разность (λ—с)
аннулирует двусторонний идеал слоя, порожденный элементом
Ь. Для первичного кольца Gp(R) это означает, что λ = с. D
1.12.7. Лемма. Группа G индуцируется на слои
G-инвариантного пучка. Пусть G-z обозначает индуцированную группу.
Тогда Gp С А(£р(Д)).
Доказательство. Так как ядро ρρ Q —► Gp(Q) равно pGQ,
оно инвариантно относительно G и, следовательно, G
индуцируется на слой G-$(Q). Если g 6 G и /, J — существенные идеалы
кольца R такие, что J С I9 С R, то Уе С (ΪΕ)9 С RE,
поскольку автоморфизмы непрерывны в топологии, определяемой
идемпотентами С, и множество всех идемпотентов Ε
инвариантно. Применяя рр- к идеалам последней цепочки и используя
лемму 1.12.5, получаем, что индуцированный автоморфизм ~д лежит
в А(5р(Л)). D
1.13. Теорема Мартиндейла
83
Мы можем теперь рассмотреть инвариантный пучок колец
Q{Q) вместе с автоморфизмами из G, принимая их за
одноместные операции.
1.12.8. Предложение. Инвариантный ny40KQ(Q) с
одноместными операторами из G остается правильным пучком, т. е.
автоморфизмы из G оказываются строго пучковыми
операциями.
Проверим условия из определения строго пучкового
предиката (см. 1.11.7).
(а) Если sf = s2 и «ι> «2 6 eQ Для неподвижного идемпо-
тента е, то (/si )9 = fs<i для любого неподвижного идемпотента
(б) ПуСТЬ sf = S2 И Si, S2 6 Яр-
Согласно определению это означает, что для некоторых
прообразов справедливо включение sf — S2 Gkerpp-, т. е. e(sa1— S2) 6
pGC. Более подробно: e(sf — S2) = eici + ... + епсп для
некоторых неподвижных идемпотентов е\,... , еп из р. Пусть
/ = 1 — sup (ei,.. . е„). Тогда / — неподвижный идемпотент,
причем / ^ р, т. е. U(f) — инвариантная окрестность точки р.
Ограничивая s\, S2 на эту окрестность, получаем (sf — S2)/ =
(sf — S2)e(sg1 — S2)/ = 0, т. е. (sif)g = s2f. Следовательно,
[/(/), sif, S2/ — искомые окрестность и прообразы. Обратное
утверждение вытекает из определения действия G на слое: если
sf = s2 в кольце сечений, то s^ = «2 на слое.
(в) Проверка очевидна. D
1.13. ТЕОРЕМА МАРТИНДЕЙЛА
В этом параграфе изучается строение центрального
замыкания первичного кольца, удовлетворяющего нетривиальному
обобщенному тождеству. Обобщенным тождеством называется
многочлен от некоммутативных переменных с коэффициентами
из R (или из R?), обращающийся в нуль при подстановке
вместо переменных элементов кольца R. К числу тривиальных
относятся тождества, входящие в определение кольца
(дистрибутивность, ассоциативность и пр.), тождества вида хс = сх, где
с — элемент обобщенного центроида и все их следствия. Мы
имеем возможность дать строгие определения в терминах свободных
произведений.
84
1. Строение колец
1.13.1. Свободным произведением алгебр с единицей А, В над
полем С называется алгебра А * В, содержащая Л и β в
качестве подалгебр и порожденная этими подалгебрами, причем
такая, что для любых гомоморфизмов р: А —> D и q: В —l· D
существует гомоморфизм ρ * q: A * В —> D, продолжающий ρ
и q. Такое определение не гарантирует существования
свободного произведения, однако последнее может быть построено как
сумма тензорных произведений пространств
А * В = Σ ΰι ® ΰ2 ® ■ ■ ■ ® Αι,
η
где А 6 {А, В}, Α φ Α+ι· На А*В умножение определяется
естественной формулой (А ® . . . ® Dn)(D'n+1 ® . . . ® D'm) =
А®. ■ -®Dn®D'n+i®.. ,(g>um, где Α®Α+ι = A® A+i,
если Dn φ D'n+1, и ® — произведение в А, если А = D'n+1.
1.13.2. Обобщенным многочленом над R называется элемент
свободного произведения Rjr * С(Х) алгебр над С, где С(Х) —
свободная алгебра со свободными порождающими {х\,Х2, ■ ■ ■ ,
хп,.. .} = X. Согласно этому определению любой обобщенный
многочлен / представим в виде суммы одночленов
/ = Σ,αΐ Х*1а2 ХИ ■ ■ ·αη):Ε·'ηαη + 1) afc e R?,Xij 6 Χ-
(1.13.1)
В частности, он зависит только от конечного числа
переменных, т. е. / = f(xi,. ■ ■ ,хп)- Пусть αϊ,. . . ,ап —
некоторые элементы из Rjr. Значением многочлена f(x\,. . . , хп) при
х\ = αϊ,. .. ,хп = ап называется элемент f{a\ an) кольца
Rjr, получающийся при замене в формуле (1.13.1) вхождений х,-
вхождениями а;. Более строго, значение / — это образ / при
гомоморфизме 1 * ψ, где ψ: С{Х) —> R? — гомоморфизм такой,
что <ρ(χ{) = α,·, и 1: Rjr —> Rjr — тождественный гомоморфизм.
1.13.3. Обобщенным тождеством кольца R называется
обобщенный многочлен /, обращающийся в нуль при всех значениях
переменных из R. Тождество / называется нетривиальным,
если / φ О как элемент Rjr * С(Х).
1.13.4. Теорема [Мартиндейл]. Если на первичном кольце R
выполняется нетривиальное обобщенное тождество, то цен-
1.13. Теорема Мартиндейла
85
тральное замыкание RC имеет идемпотент е такой, что
eRCe является конечномерным над С телом.
Доказательство. Заметим сначала, что в кольце R
выполняется некоторое нетривиальное полилинейное обобщенное
тождество, т. е. тождество /, в записи (1.13.1) которого все мономы
зависят от одного и того же множества переменных х\,. . . ,хп
и каждая из этих переменных входит ровно один раз в каждый
из мономов. Рассмотрим оператор
Δ^.: f{xi,... ,х{,... ,хп) -> f(xi,.. .Xi + y,... ,xn)
- f{x\,... ,xn) -f(xi,-.. ,y,... ,xn),
(1.13.2)
где у — переменная, не входящая в множество {х\,. . . ,хп}·
Понятно, что этот оператор тождество преобразует в тождество.
Если он преобразует / в тривиальное тождество, то / линеен
по переменной х,·. Если получается нетривиальное тождество,
то его степени по Х{ и по у меньше степени / по х,·. Поэтому
многократное применение операторов Δ^ даст в итоге требуемое
нетривиальное полилинейное тождество.
Для произвольного обобщенного многочлена / обозначим
через V/ линейное пространство над С, порожденное всеми
значениями / при Х{ 6 R. Индукцией по степени / покажем, что
если для некоторого нетривиального полилинейного /
размерность Vj конечна, то выполняется заключение теоремы. Пусть
к
степень / равна 1. Тогда / = ^α,·χ6,·, причем можно счи-
1 = 1
тать, что а\,. . . , ад, линейно независимые, а Ь\,.. . ,bk —
ненулевые элементы, так как иначе можно уменьшить число к
в записи /, не меняя самого /. Следствие 1.7.14 утверждает,
что существуют элементы г\,. . . ,rm,ti,... , tm из R такие, что
т т
do = J2 rjaitj Φ Ο, Σ rjditj = 0 при j = 2,3,... , к. Имеем
т
aQxb\ = Y2rjf(tjx). Поэтому aoRCbi С Y^rjVj. В частно-
сти, aoRCbi — конечномерное пространство. Далее,
существуют элементы, г, s £ R такие, что 0 φ гао £ R Э sb\ φ 0. При
этом (rao)RC(sbi) конечномерно. Выберем ненулевые
элементы а, Ь £ R так, чтобы пространство aRCb имело минимальную
возможную размерность /. В силу первичности кольца R
найдем элемент и 6 R такой, что Ьиа φ 0. Тогда пространство
S = (aRCb)u имеет размерность не большую, а потому равную
86
1. Строение колец
/, причем S2 = aRCbuaRCbu φ 0. Кроме того, для любого
ненулевого элемента s £ S имеем sRCs С S и в силу
минимальности размерности sRCs = S. Это в частности, означает,
что s2 φ 0 (иначе S2 = sRCs2RCs = 0). Следовательно,
s2RCs2 = S. Наконец, s ■ S = s2RCs D s2RCs2 = S, т. е. S —
конечномерное тело. Если е — единица тела 5, то eRCe С 5 и
в силу минимальности размерности eRCe = S, что и требуется.
Пусть теперь степень / больше единицы. Элемент / можно
представить в виде
т 8 к
f = Y^diXiWi + ^piXiqi + y\,-a:i6,·,
!=ι ί=ι ;=ι
где α,·, b{ £ R?\ Щ, Pi, qi, v{ — нетривиальные обобщенные
многочлены. Как и раньше, можно считать, что элементы а\,. . . ,ап
линейно независимы. Аналогично случаю η = 1, опираясь на
следствие 1.7.14, найдем многочлен f\ такой, что d\mVji < оо
и /ι имеет вид a[x\Wi + Ylp'iX\q% + Y^v\x\bi. Этот многочлен
I 1
не равен нулю в Rjr * С{Х), так как р\ и ν· в своей записи
первой слева имеют букву, отличную от а;ι и а[ φ 0, а w\ —
нетривиальный обобщенный многочлен. Далее, если для любых
г2, ■ ■ ■ ,rn G R элементы u)i(r2,... ,rn) линейно
выражаются через &1,. . . ,6^, то размерность VWl над С конечна, и мы
можем воспользоваться индуктивным предположением. В
противном случае по следствию 1.7.14 найдем элементы si,. . . , sm,
f ι,... ,<m такие, что ^s,-6ji,· = 0 и многочлен w[ = ^s,iui<,·
i i
не является тождеством на R. Теперь многочлен
m
ί = 1
имеет вид
αΊχινιΊ + ^2p'iXiqi,
причем Vf3 С Y^Vf^i. Понятно также, что fa не равен нулю в
Rjr*C{X). Продолжая аналогичные рассуждения для
переменных Х2, хз, ■ ■ ■ ,хг, которые встречаются первыми в мономах из
/г, мы найдем полином /з, не равный нулю в Rjr *С(Х), такой,
1.13. Теорема Мартиндейла
87
что dim Vf3 < 00 и /з имеет вид
/з = ^α,-ΐιί,· + ^2biX2Ui + .. . +^2diXrhi, (1.13.3)
ί t t
причем ни одна из букв х\,. . . ,хг не является последней ни
для какого монома, встречающегося в записи (1.13.3) элемента
/з, и множества элементов {а,·}, {&;},. .. , {rf,·} линейно
независимые. Так как η ^ 2 и хотя бы одна переменная должна быть
последней в записи некоторого монома, имеем г < п. В силу
индуктивных соображений можно считать, что для некоторых
02, · · · . <*n G Я верно неравенство si(a2,... ,ап)фО. Положим
s; = Si(x2, . ■ ■ ,xn-i,an), и\ = Ui(xi,x3, ■ ■ ■ ,χ„_ι,α„),... , hf
= Л,-(агь... ,xr_i,xr+i,. . . ,α„). Элемент /4 = J2aixis'i +
, . .+Σ diXrh; имеет степень η—1. Крометого, V}4 С V}3-
Наконец, /4 не равен нулю в Rjr *С(Х), так как иначе ^]a,a:isj· = О,
г
и, применяя следствие 1.7.14, мы найдем ненулевой элемент а
такой, что axis[ = 0. Однако s[(a2, ■ ■ ■ , α„) ^ 0, что
противоречит первичности кольца R. В силу индуктивного предположения
теорема доказана. D
В заключение этого параграфа докажем еще три полезных
утверждения о первичных кольцах, удовлетворяющих
обобщенному тождеству.
1.13.5. Лемма. Центр тела Τ = eRCe равен Се.
Доказательство. Пусть t — центральный элемент Т.
Тогда f(x) = txe — exet = О для любого χ £ R. Если
элементы е и t линейно независимы над С в кольце Q, то по
следствию 1.7.14 найдутся элементы υ,·, г,· £ R такие, что 0 =
Συ,-er,· φ Y^vtfri = α. Поэтому О = Y^Vif(rix) = axe для
всех χ, что невозможно. Таким образом, t £ Се. Ώ
1.13.6. Лемма. Для любого линейного над Се преобразования
/: Τ —> Τ существуют элементы а,·, 6,· £ Τ такие, что1(х) =
Σαίχύί
Доказательство. Пусть η — размерность тела Τ над
центром Се. Тогда размерность пространства всех линейных
преобразований равна п2. С другой стороны, п2 линейных пре-
образовываний Uj.x —> a.ixa.j, где а\,. . . ,ап — некоторый
базис Τ над центром, линейно независимы. Действительно, если
f(x) = Σ ajdiXdj = О, χ £Γ, то, применяя следствие 1.7.14,
к кольцу Τ получим c,j =0. D
88
1. Строение колец
1.13.7. Следствие. Если кольцо без делителей нуля
удовлетворяет нетривиальному обобщенному тождеству, то его
центр отличен от нуля, а центральное замыкание является
конечномерным телом.
Доказательство. Заметим, что если кольцо R не имеет
делителей нуля, то двустороннее кольцо частных Q(R) тоже не
имеет делителей нуля. Пусть, напротив, q,v £ Q, qv = 0. Тогда
для подходящего идеала / £ Τ имеем Iq С R, vl С R. Поэтому
(Iq)(vl) = 0, следовательно, Iq = 0 или υΐ = 0, т. е. q = 0 или
ν = 0. Теперь по теореме Мартиндейла RC имеет идемпотент
е такой, что eRCe — конечномерное тело. Однако кольцо без
делителей нуля может иметь только один идемпотент, отличный
отнуля, —единицу. Итак, RC = 1-RC-1 = Τ—конечномерное
над С тело.
Рассмотрим, какую-нибудь линейную над С проекцию /: Τ —ϊ
С, и предположим, что 1(Т) Π R = 0. По лемме 1.13.6 найдутся
элементы а,·, 6,· £ Τ такие, что 1(х) = Σ α,·χ6,· для всех χ £ Т.
Для элементов а,·, 6; можно найти ненулевой элемент q £ R
такой, что а;?, дб; £ R, так как Τ С Q. Имеем l(qRq) С Л, и
поэтому С = l(T) = l(qTq) = l(qRCq) = l(qRq)C С (/(Г) П
R)C = 0. Полученное противоречие доказывает следствие. D
1.14. ВПОЛНЕ ПРИМИТИВНЫЕ КОЛЬЦА
В этом параграфе мы остановимся более подробно на
изучении строения колец, возникающих в теореме Мартиндейла.
Вполне примитивным кольцом мы будем называть первичное кольцо
R, обладающее ненулевым идемпотентом е таким, что eRe —
тело. В литературе такие кольца называют также примитивными
с ненулевым односторонним идеалом или примитивными с
ненулевым цоколем. Идемпотент е φ 0 первичного кольца R такой,
что eRe — тело, называется примитивным. Цоколем вполне
примитивного кольца R называется двусторонний идеал,
порожденный всеми примитивными идемпотентами. Цоколь будем
обозначать через Η (Л) или просто Ш.
1.14.1. Лемма. ЦокольШ вполне примитивного кольца R есть
наименьший ненулевой идеал этого кольца. В частности,
цоколь порождается любым примитивным идемпотентом и
является простым кольцом.
1.14. Вполне примитивные кольца
89
Доказательство. Если / — ненулевой идеал, а е —
произвольный примитивный идемпотент, то 0 φ ele С /Π eRe. Так
как тело не имеет собственных идеалов, имеем / Π eRe 3 е.
Поэтому / Э Ш. Если А — ненулевой идеал кольца Ш, то НЛН —
идеал кольца R, содержащийся в А. По доказанному выше этот
идеал содержит цоколь, т. е. Ш = А. О
Модуль Μ над кольцом R называется неприводимым, если
он не содержит собственных подмодулей (т. е. подмодулей,
отличных от (0) и М).
1.14.2. Лемма. Пусть е, f — примитивные идемпотенты
первичного кольца R. Тогда тела eRe и fRf изоморфны.
Правые идеалы fR и eR, а также левые идеалы Re и Rf
изоморфны между собой как модули над R и являются
неприводимыми.
Доказательство. В силу первичности кольца R найдется
элемент и такой, что fue φ 0. По этой же причине
множество fueRf образует ненулевой правый идеал тела fRf, т. е.
существует элемент и' такой, что fue ■ ей'f = f. Возведя
обе части последнего равенства в квадрат, мы убеждаемся, что
ξ = ей'f · fue φ 0. Поэтому ξ — ненулевой идемпотент (ξ2 =
ей' f (fue ■ ей' f) fue = ξ), лежащий в теле eRe. Таким образом,
ей'f ■ fue = е. Теперь ясно, что отображения ere —l· fuereu'f,
frf —> ей' frfue задают искомый изоморфизм тел. Пусть N —
ненулевой правый идеал, содержащийся в eR. Тогда eN = N.
Ввиду первичности кольца R имеем eNe = Ne φ 0.
Однако eNe — правый идеал тела eRe, поэтому е G eNe С N и
eR = Ν, так что eR (и аналогично Re) — неприводимый
модуль. Рассмотрим теперь отображение φ: eR —l· fR,
действующее по правилу er —> fuer, где и — определенный в начале
доказательства элемент. Так как fue ф 0, заключаем, что ψ —
ненулевой гомоморфизм правых Л-модулей. Поэтому ядро ψ —
подмодуль eR, отличный от eR. В силу неприводимости модуля
eR отображение ψ является вложением, а образ ψ есть
ненулевой подмодуль в fR. Ввиду неприводимости fR он совпадает с
fR. Таким образом, ψ — изоморфизм модулей. D
1.14.3. Доказанная лемма позволяет определить тело вполне
примитивного кольца R как тело Т, изоморфное eRe для
некоторого примитивного идемпотента е. Кроме того, лемма
утверждает, что модуль V = eR также не зависит от выбора
примитивного идемпотента. Поскольку eRe ■ eR С eR, этот модуль
90
1. Строение колец
можно рассматривать как левое векторное пространство над
телом Τ = eRe. В таком случае элементы кольца R
превращаются в линейные преобразования левого векторного
пространства V над телом Т. Действительно, для каждых ν £ V и
г £ R однозначно определен элемент vr £ V, причем
отображение ν —> vr — линейное преобразование V над Т, с которым
и отождествляется элемент г. Это представление точно, так как,
если Vr = 0, то г = 0 ввиду первичности R. Теперь естественно
возникает кольцо L всех линейных преобразований пространства
V над телом Т. Это кольцо имеет ясное описание с помощью
(бесконечных) матриц над Т.
1.14.4. Пусть / — некоторое множество. / χ I-матрицей
называется элемент декартова произведения TIyI (т. е. отображение
ψ: Ι χ I —> Τ), который будем обозначать через ||f 0/j||, где Ιαβ —
элемент тела, стоящий на (а,/3)-м месте (т. е. tap = φ(α,β)).
Под строкой с номером αν £ Ι матрицы \\ίαβ\\ будем понимать
строку (^«„/з), β £ I (т. е. элемент множества Τ^α"}χ/).
Аналогично под столбцом с номером βυ понимаем столбец (tapu),
а £ Ι (τ. е. элемент множества Τ т-Р"'). Матрица
называется конечнострочной, если каждая ее строка содержит только
конечное число ненулевых компонент. На множестве конечно-
строчных / χ /-матриц естественно определяются кольцевые
операции
\\^p\\±\\t'ap\\ = \\tafi±t'ap\\,
\\1<*β\\ ' ΙΙ'α/ίΙΙ = / Ja^'iB
ΊΖΙ
Сумма во второй формуле определена, так как она содержит
только конечное число ненулевых членов. Легко видеть также,
что в результате этих операций снова получаются конечностроч-
ные матрицы.
1.14.5. Лемма. Кольцо L изоморфно кольцу конечнострочных
Ι χ I-матриц над телом Τ для некоторого множества I.
Доказательство. Выберем базис {υα \ а £ 1} пространства
V над телом Т. Тогда для любого преобразования ψ-.V —у V
образы φ(να) представимы в виде конечных линейных
комбинаций базисных элементов φ(εα) = Y^tapep- Соответствие ψ —у
β
\\tap\\ и задает искомый изоморфизм. D
1.14. Вполне примитивные кольца
91
1.14.6. Само по себе вложение вполне примитивного кольца R
в кольцо L малоинформативно. Наиболее существенным
является тот факт, что при этом вложении R оказывается плотным
подкольцом в L. Кольцо S линейных преобразований
пространства V над телом Τ называется плотным (в L), если для любых
конечномерного подпространства W С V и линейного
преобразования / £ L существует элемент s Ε S, который совпадает
с / на W'. В матричном представлении это эквивалентно тому,
что для любых конечного подмножества J С / и J χ J-матрицы
||'а/з|| существует матрица ||sa/g|| G S, продолжающая /, т. е.
такая, что sap = Ιαβ при α, β Ε J. Добавим также, что на кольце
L существует единственная топология, называемая конечной
топологией, плотность в которой совпадает с приведенной выше.
Именно, базой окрестностей нуля в конечной топологии служат
множества WL = {/ Ε L | Wl = 0}, где W пробегает множество
всех конечномерных подпространств V'.
1.14.7. Среди преобразований из L особую роль играют
преобразования конечного ранга, т. е. преобразования, имеющие
конечномерный образ. В матричном представлении такие
преобразования задаются матрицами, имеющими только конечное число
ненулевых столбцов.
1.14.8. Теорема. Вполне примитивное кольцо R плотно в L.
Множество всех преобразований конечного ранга, лежащих в
R, совпадает с цоколем Ш кольца R.
Доказательство. Для того чтобы установить плотность,
достаточно показать, что для линейно независимых над Τ = eRe
элементов w\,.. . , wn £ V = eR и любых элементов v\,. . . ,vn
из V существует элемент г £ R такой, что W\r = ν\,.. . ,wnr =
vn. Проведем индукцию по п. При η = 1 элемент w\
отличен от нуля, и поэтому w\R — ненулевой подмодуль в V,
т. е. в силу неприводимости найдется элемент г £ R такой, что
u>\r = v\. Пусть требуемое утверждение доказано для данного
п. Рассмотрим линейно независимое множество wo, w\,. . . ,wn
и покажем сначала, что существует элемент го £ R такой, что
w0r0 φ 0, luiro = 0,. . . , wnro = 0. Предположим, что это не
так. В силу индуктивного предположения существуют элементы
г\,. . . , гп такие, что ιυ,τ,· = е, ιυ,-rj = 0 при г φ j, г, j > 0. Для
92
1. Строение колец
произвольного х G R имеем систему равенств
τα τα
Wi(x — 2_]rjeu>jx) — (wi ~ 2_jWirJeWi)X = ^>
где г = 1,2,... , п. Поэтому
τα
wq(x — 2_]rjewjx) = (ιυο — 2_,w°riewi)x ~ ^·
i j = i
Следовательно,
τα
ιυ0 = y^(u)orj-e)u)j·.
J' = l
Однако worje £ eRe = T, и последнее равенство противоречит
линейной независимости. Таким образом, существует элемент
го такой, что юого ^ 0, w\ro = 0,. . . , wnro = 0. Аналогично
мы можем найти элементы г\, Г2, ■ ■ ■ , rn £ R, удовлетворяющие
условиям Wiri φ 0, Wirj = 0 при г φ j, i, j ^ 0. В силу случая
η = 1 найдутся элементы s,· £ R такие, что ω,-Γ,-β,- = υ,·. Теперь
τα
ясно, что элемент г = ^V,s,- и есть искомый. Докажем вторую
1=0
часть. Так как Ve = eRe — одномерное подпространство, е есть
преобразование конечного ранга. Образ суммы преобразований
содержится в сумме образов, поэтому множество Н'
преобразований конечного ранга замкнуто по сложению. Правые и левые
умножения не увеличивают размерности образа.
Следовательно, Н' — ненулевой идеал кольца R, и по лемме 1.14.1 Н1 DM.
Обратно, пусть г — некоторое преобразование конечного ранга,
лежащее в R. Так как образ г конечномерен, его ядро К
имеет конечную коразмерность, и мы можем найти конечномерное
подпространство W = Tw\ 4- ... 4- Twn, дополняющее К до
V = eR. В этом случае элементы w\r wnr будут линейно
независимы над Τ и в силу плотности для каждого г, 1 <; г <С п,
существует элемент ξ{ £ R такой, что ιυ,-τξ,- = е, Wjrfc = 0 при
j φ г, а также элемент ipi £ R, подчиненный условию εψ{ = ιο,τ.
Рассмотрим элемент г' = г Σξίεψί. Его действие как
линейного преобразования совпадает с действием г и на К и на всех ιυ,·,
поэтому г = г' £ i. D
1.15. Кольца частных вполне примитивного кольца 93
1.15. КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ ВПОЛНЕ
ПРИМИТИВНОГО КОЛЬЦА
Сохраняя обозначения L, Ш из 1.14, мы охарактеризуем кольца
Rjr и Q(R) для вполне примитивного кольца R.
1.15.1. Теорема. Если R вполне примитивно, то R?
совпадет с кольцом L всех линейных преобразований пространства
V = eR над телом Τ = eRe.
Доказательство. Так как кольцо R имеет наименьший
ненулевой идеал Ш, имеем Rjr = Нот(яШ1,Л). В случае ft £
Нот(яШ1,Л) сужение ft на eR С Ш определяет некоторое
линейное преобразование ft: eR —у eR. Если ft = О, то (eR)h = О,
и поэтому (И)Λ = (MeR)h = M(eR)h = 0, т. е. ft = 0.
Следовательно, ft —>· ft — вложение R? в L. Обратно, если ft G L и
α Ε Н, то по теореме 1.14.8 eRa — конечномерное над Τ
подпространство в V и в силу плотности существует элемент αϊ £ R,
действие которого на этом подпространстве совпадает с
действием ft. Определим действие ft на элементе α формулой aft = ααι.
Это определение корректно. Действительно, если αϊ = α·ι = ft
на eRa, то eu(aai — ааъ) = 0, следовательно, ααι = αα2· Таким
образом, ft G Нот(яШ1,Л), и мы получаем обратное
отображение ft —у ft. D
1.15.2. Сделаем теперь небольшой экскурс в общую топологию.
Рассмотрим произвольное множество X и некоторое множество
F его преобразований. На множестве X могут быть заданы
различные топологии. В связи с выделением множества F особый
интерес представляют те из них, для которых F оказывается
состоящим из непрерывных преобразований. Ясно, что если та,
a G А, — некоторое семейство таких топологий (считаем, что
топология задается набором всех открытых множеств), то их
пересечение |"]та также будет топологией, в которой все функции
А
F непрерывны.
1.15.3. В нашей ситуации естественно рассмотреть слабейшую
топологию на V, превращающую V в топологическое линейное
пространство над телом Т, снабженным дискретной
топологией, и такую, что множество преобразований R состоит из
непрерывных функций. Напомним, что линейное пространство V
(снабженное топологией) над топологическим телом Т, называ-
94
1. Строение колец
ется топологическим линейным пространством, если
линейные операции (сложение и умножение Τ χ V —> V), а также
отображения tv —> t для всех ν φ О непрерывны (здесь t
пробегает Т).
1.15.4. Теорема. Справедливы следующие утверждения:
(а) существует слабейшая топология на V, превращающая его
в топологическое пространство над телом Т,
снабженным дискретной топологией, такая, что R состоит из
непрерывных преобразований]
(б) множество всех линейных непрерывных в этой топологии
преобразований равно Q(R)\
(в) множество всех линейных непрерывных преобразований
конечного ранга совпадает с цоколем кольца R.
Пусть τ' — некоторая (возможно, не слабейшая) топология,
удовлетворяющая условию (а). По определению отображения
Tv —> Τ, действующие по формуле tv —l· t, непрерывны,
поэтому топология, индуцированная на любое одномерное
подпространство, дискретна. Если г — произвольный элемент из Л и
е — примитивный идемпотент такой, что V = eR, Τ = eRe, то
непрерывное преобразование re переводит V в одномерное
подпространство. Поэтому прообраз нуля должен быть и открыт,
и замкнут. Рассмотрим топологию г, подбаза окрестностей
нуля которой состоит из ядер отображений ν —> vre, r £ R, a
окрестности произвольного элемента ν определяются как
суммы ν + W, где W — окрестность нуля. Так как
коразмерность ядра re равна единице, найдется элемент ν Ε V такой,
что V\kerre = (J (tv + kerre). Поэтому дополнение до
ядра открыто, а само ядро замкнуто в г, т. е. топология г не
сильнее топологии т'. Покажем, что топология г удовлетворяет
всем требованиям теоремы. Так как ядра суть подпространства,
(V, т) является топологической абелевой группой и умножение
Τ χ V —ϊ Τ непрерывно. Далее, если 0 φ ν = er £ V, то
в силу первичности R существует элемент r\ £ R такой, что
ег ■ г\е φ 0. В этом случае пересечение ядра г\е с
подпространством Tv равно нулю, т. е. топология, индуцированная на Tv,
дискретна и отображение tv —} t есть гомеоморфизм.
Проверим, что Q(R) состоит из непрерывных
преобразований, учитывая, что Q(R) С Rjr = L (см. 1.15.1). Пусть q G
1.15. Кольца частных вполне примитивного кольца 95
Q{R)- Тогда q — линейное преобразование, причем qM С Л,
поскольку Ш — наименьший ненулевой идеал R. Если U —
некоторая окрестность нуля, то она содержит подмножество
вита
да р) kerr,e, г; G R- Ее полный прообраз при отображении
1 = 1
q содержит пересечение Qkergrye. Так как г,е £ Ш, имеем
ΐ
qrie = (gr,-e)e G Ле, и поэтому прообраз снова есть окрестность
нуля. Обратно, пусть / — непрерывное преобразование. Тогда
для любого г £ R прообраз ker re открыт. Этот прообраз
равен ядру преобразования Ire. Следовательно, ядро Ire содержит
некоторое пересечение W = Р)кегг,е для подходящих г,· £ R.
ΐ
Мы можем считать, что это пересечение минимально по п, т. е.
kerrye Э f] кегг,е, 1 <С j <C п. Это позволяет найти элементы
Vj €Ξ V такие, что VjTje φ 0, Vjrie = 0 при всех г, j, г φ j.
Далее, элементы vjlre и vjrje принадлежат телу eRe, и
поэтому найдется элемент tj Ε R такой, что Vjlre = Vjrjetje. Пусть
η
г' = Y^rjetje. Покажем, что Ire = г'. Действительно, дей-
.7 = 1
ствия этих элементов совпадают на всех vj и на W. Кроме того,
для любого υ £ V образы urye и υ,τ,-e лежат в одномерном
подпространстве eRe, т. е. иг,е = ί(·υ,τ,·ε для некоторого t[ £ Т.
Теперь разностью — Σ Цщ лежит в пересечении W ядер преобра-
ί
зований г,е. Это означает, что V = W + Y^Tvj. Следовательно,
з
Ire = г'. Таким образом, Ire £ R, т. е. IRe С R. Имеем
/И = IReR = (IRe)R С R, поэтому / G Q(R). Утверждение (в)
теперь вытекает из теоремы 1.14.8. D
Источники
С. Амицур [6, 8]; В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин [10];
К. И. Бейдар [15]; К. И. Бейдар, А. В. Михалев [17]; Дж.
Бергман, И. Айзеке [21]; С. Буррис, Г. Вернер [26]; Н. Джекобсон [37];
В. П. Елизаров [45]; И. Ламбек [64]; Дж. Левицкий [66]; В. А. Лю-
бецкий [74]; В. А. Любецкий, Е. И. Гордон [75]; А. И. Мальцев [77,
78]; У. Мартиндейл [80]; Р. Паре, У. Шелтер [110]; В. К. Харченко
[129, 137, 138, 143]; Г. Хигмэн [147].
Глава 2
Вопросы алгебраической
зависимости автоморфизмов
и дифференцирований
Хорошо известно, что автоморфизмы полей алгебраически
независимы. Этот факт играет важную роль в классической теории
Галуа. Поэтому и в некоммутативной ситуации важное
значение имеет вопрос об алгебраической зависимости
автоморфизмов. Следующий простой пример показывает, что в обычном
понимании автоморфизмы некоммутативных колец могут быть
алгебраически (и даже линейно) зависимыми.
Пусть R = Съ — алгебра матриц второго порядка над полем
комплексных чисел, и пусть ψ — сопряжение на диагональную
матрицу ψ = diag (г, 1). Тогда
χφ3 - χφ3 + χφ - χ = 0 (2.0.1)
для всех матриц х, хотя автоморфизмы φ3, φ2, φ, 1
различны в группе Aut (Ft). Ясно, что если д — внутренний
автоморфизм бесконечного порядка любой алгебры, а отвечающий
96
2. Вопросы алгебраической зависимости
97
ему элемент алгебраичен, то степени д будут линейно
зависимы. Ниже мы увидим, что алгебраические зависимости между
элементами, отвечающими внутренним автоморфизмам
(дифференцированиям), оказываются единственной причиной, которая
может приводить к алгебраической зависимости автоморфизмов
(дифференцирований). В некоммутативной ситуации
естественно рассматривать алгебраические зависимости, задаваемые
обобщенными многочленами. Если {<7ι,... ,д„} —некоторое
множество автоморфизмов, то их зависимость в таком смысле
означает, что для некоторого нетривиального обобщенного многочлена
W(zi) справедливо равенство W(x9') = О при всех χ из кольца.
Рассматривая множество {<7ι,... ,дп} как множество
одноместных операций, приходим к необходимости исследовать тождества
с автоморфизмами и аналогично — дифференциальные
тождества.
Нетрудно выписать некоторые тождества с автоморфизмами,
очевидным образом выполняющиеся в любом кольце:
(]) (ху)Э - ХЭу9^ (ζ ± у)9 =Х9 ± y9t
(3) χ9 — ψ~ιχψ = 0, где д — внутренний автоморфизм, а, φ —
отвечающий ему элемент.
Эти тождества и их следствия естественно считать
тривиальными. К числу тривиальных тождеств, с точки зрения изучения
алгебраических зависимостей автоморфизмов, следует отнести
также и обобщенные тождества (без автоморфизмов) самого кольца.
В этом смысле тождество (2.0.1) тривиально, так как после
замены χψ на ψ^χψ1 получается нулевой обобщенный многочлен
(как элемент кольца обобщенных многочленов R * С{Х)).
Полученные в этой главе результаты показывают, в частности, что
нетривиальных полилинейных тождеств с автоморфизмами из
А(Д) у полупервичного кольца нет, и этот факт является
аналогом теоремы об алгебраической независимости автоморфизмов.
Для дифференцирований полупервичного кольца R
характеристики ρ ^ 0 можно выписать тождества, определяющие
структуру 9-алгебры Ли на множестве дифференцирований Ώ(Η,) и
ее внутреннюю (для Q) часть:
{4)(х±у)" =χμ ±у",
(Ь){хУу =х»у + ху»>
98
2. Вопросы алгебраической зависимости
(6) (χμ)6 — (χ6)μ = χίμ6\ где μ, δ — любые дифференцирования
и [μδ] — коммутатор в алгебре Ю>(Д),
(7) χΐ*α+6β = αχμ+βχ6, где μ, δ —любые дифференцирования,
(8) χμ = αχ — χα, где/i — внутреннее для Q дифференцирование
и α — отвечающий ему элемент,
ρ
' Л ч [р]
(9) (... (χμ)μ ■ ■. )μ = χμ , где μ — любое дифференцирование,
μ^' — значение р-операции в алгебре Ш(Щ (в случае ρ = О
это тождество принимает вид χ = χ).
Если эти тождества и их следствия, а также обобщенные
тождества самого кольца считать тривиальными, то полученные
ниже результаты для дифференцирований означают, что
нетривиальных дифференциальных тождеств нет. Это аналог теоремы
об алгебраической независимости дифференцирований.
Наконец, возникает вопрос о зависимости между
автоморфизмами и дифференцированиями. Замечание о том, что
автоморфизмы из A(R) действуют на 5-алгебре Ли Ю>(Д), записывается
с помощью тождества
(10> ((!»"')")» = Χμ\
которое также следует считать тривиальным. Доказывается
также, что нетривиальных полилинейных зависимостей между
автоморфизмами и дифференцированиями нет.
Мы не будем строго определять, что такое тривиальное
тождество и что такое следствие тождеств (хотя в принципе это
сделать не так трудно), но вместо этого покажем, как
произвольный многочлен f(X), включающий в свою запись кроме
переменных, кольцевых операций и коэффициентов из Rj? также
операции дифференцирований и автоморфизмы, можно с
помощью тождеств 1-10 привести к некоторому редуцированному
виду f(X). Затем покажем, что редуцированное выражение
обращается в нуль при всех значениях переменных из R только в том
случае, если оно получается из обобщенного тождества самого
кольца при помощи подстановок г,у = а:3·^, где Δ^· —
суперпозиции дифференцирований из Ю>(Л).
Как и выше, зафиксируем обозначения R, Q, Rjr, С, для
полупервичного кольца, его двустороннего и левого колец частных
и для обобщенного центроида.
2.1. Приведение к редуцированному виду
99
2.1. ПРИВЕДЕНИЕ К РЕДУЦИРОВАННОМУ ВИДУ
2.1.1. Пусть R — некоторое полупервичное кольцо.
Обозначим через 1р идеал в R, состоящий из всех элементов
аддитивного порядка р, где ρ — простое число. Пусть ер = е(1р) и
е0 = 1 — supep. Тогда все идемпотенты 60,62,63,65,... , ер,...
попарно ортогональны и характеристика кольца epRjr равна р.
Кроме того, supep = 1, т. е. выражение f(X) = 0 является то-
р
ждеством в R тогда и только тогда, когда epf(X) — тождество
в epR для всех ρ J> 0. Так как все идемпотенты ер инвариантны
относительно всех автоморфизмов и являются константами всех
дифференцирований, при исследовании тождеств можно
ограничиться случаем, когда кольцо имеет характеристику ρ J> 0
(считаем, что кольцо имеет нулевую характеристику, если в нем нет
аддитивного кручения).
Пусть R — полупервичное кольцо характеристики ρ J> 0.
Тогда, как мы видели выше, Ю>(Д) — 5-алгебра Ли над
обобщенным центроидом.
2.1.2. Множество Μ дифференцирований из Ю>(Д) называется
сильно независимым, если из того, что С-линейная комбинация
Υ^μίβί различных дифференцирований из Μ является внутрен-
i
ним дифференцированием кольца Q, следует, что μ,-c,· = 0 для
всех г. Упорядочим некоторым образом сильно независимое
множество дифференцирований Μ и распространим стандартным
образом этот порядок на множество слов от М, т. е. считаем,
что более длинное слово больше короткого, а слова одинаковой
длины сравниваем лексикографически.
2.1.3. Слово Δ от Μ называется правильным, если оно не
содержит под слов вида μιμ2, гДе Α* ι > А*2, и если ρ > 0, то — под слов
вида/хр. Иными словами, Δ = δχ .. .6т, где($1 <С ($2 <С ... <С ($т,
и в этой цепочке не может быть подряд ρ знаков равенства.
2.1.4. Напомним (см. лемму 1.6.20), что для элемента т
несингулярного модуля мы определили е(т) как идемпотент из С
такой, что тС ~ е(т)С. Если μ £ Ю)(Л), то легко видеть, что
ε(μ) = e(R,i) —носитель образа μ. Напомним также (см. 1.7.8),
что для автоморфизма д Ε A(R) через г(д) мы обозначили но-
100
2. Вопросы алгебраической зависимости
ситель Фд, который выделяет ту часть кольца R?, на которой д
действует внутренним образом.
2.1.5. Многочлен f(x\,... , хп), в записи которого кроме
переменных, операций сложения, умножения и коэффициентов из
кольца частных участвуют операции дифференцирований и
автоморфизмы, для краткости будем называть DA-многочленом.
2.1.6. DA-многочлен f(x\,... , хп) редуцированный, если
существует обобщенный многочлен F(zijk), 1 ^ г <С п, 1 ^ к, j <C m,
такой, что
/(*!,...,*„) = F(*?itA4ert).
где eifc — центральные идемпотенты такие, что
при всех к φ t и всех г, причем для каждого г множества Д· =
{Aij | 1 ^ j ^ т} состоят из попарно различных слов от сильно
независимых множеств дифференцирований М,·.
2.1.7. Теорема. Любой DА-многочлен приводится κ
редуцированному виду при помощи тождеств (1)-(10).
Доказательство. При помощи тождеств (1), (4), (5) можно
добиться того, что автоморфизмы и дифференцирования будут
применяться непосредственно к переменным, т. е. DA-многочлен
f(xi,... ,хп) приводится к виду Р'(х^), где F'(zij)
—некоторый обобщенный многочлен, а 7} — слова от автоморфизмов и
дифференцирований. Тождество (10), записанное в
эквивалентной форме χμ9 = χ9μ , позволяет перенести все автоморфизмы
в начала слов, а тождество (2) — заменить их произведение в
каждом слове одним автоморфизмом. Таким образом /(я;)
приводится к полиномиальному виду
F"(xf,k&iS). (2.1.1)
Чтобы лучше понять существо дела, дальнейшую редукцию
приведем сначала для первичного кольца, а затем для общего
случая.
Пусть R первично. Тогда его обобщенный центроид С —
поле, причем Фд φ 0 для автоморфизма д Ε A(R) тогда и
только тогда, когда д — внутренний автоморфизм для Q. Пусть
2.1. Приведение к редуцированному виду
101
G — группа, порожденная всеми автоморфизмами gik, G\nt —
нормальная подгруппа внутренних для Q автоморфизмов.
Выберем некоторую систему {<7t} представителей смежных классов
G по Gint Тогда gik = hikgt(ik), где hik G Gmt, и поэтому
хзл = (φ~ιχφ)9'. Это позволяет привести f(xi) при помощи
тождеств (3) и (1) к виду (2.1.1), в котором различные
автоморфизмы различны по модулю Gjnt, т. е. i(g~lh) = 0 при д ф h.
В частности, i(g~kgit) = 0 при к ф t, так как gik, git — это
различные автоморфизмы, встречающиеся с переменной а;,·.
Рассмотрим дифференцирования. Зафиксируем некоторый
базис {Ιβ,β €Ξ В} подалгебры adQ С Ю>(Д) (определение ad
см. 1.2.2) и дополним его до базиса {1а \ а £ А Э В} всей
алгебры 3(R). Тогда дифференцирования {la \ a G А\В} = Μ
будут сильно независимы. Расписывая дифференцирования,
встречающиеся в записи слов Δ^·, по этому базису и заменяя
вхождения и " на udp — dpu, где add^ = Ιβ, можно DA-многочлен
f(xi,...) привести к виду (2.1.1), в котором A;j — слова от
сильно независимого множества Μ.
Зафиксируем на Μ некоторый полный порядок. При помощи
тождеств (5), (6), (8) и таблицы умножения в Р(Д)
['*Л1 = !>№/*, \£>€С;
б
можно переработать слова Aj в правильные слова. Таким
образом, исходный многочлен приведется к редуцированному виду
(при этом окажется, что все множества М,- совпадут).
Рассмотрим случай полупервичного кольца. Сначала
преобразуем DA-многочлен к виду (2.1.1), в котором Δ,-j —
правильные слова от сильно независимого множества
дифференцирований.
Для каждого монома т из полиномиальной записи (2.1.1)
многочлена f(x\,...) обозначим через 1(т) сумму длин слов от
дифференцирований, встречающихся в записи т. Пусть Dk(f)
обозначает множество дифференцирований, встречающихся в
записи мономов т таких, что 1(т) — к. Пусть Di = Di(f)C —
подмодуль в End (Rp, +), порожденный дифференцированиями
А(/), где / = /(/) — максимум среди чисел 1(т), по всем
мономам т из записи /. Согласно леммам 1.6.9, 1.6.20 и 1.6.21
конечно-порожденный подмодуль А = Di/Di Π Dmi модуля
102
2. Вопросы алгебраической зависимости
End (Rp, +)/Ant является проективным, и поэтому точная
последовательность
0->ДПД„4->Д->Л->0
расщепляется, т. е. Д = (Д ΠDmt)®A', где А ~ Л' С Д.
Поскольку А' — конечно-порожденный подмодуль, он разлагается
в прямую сумму циклических модулей А' = Σ ®($,С
Таким образом, используя тождества (6), (7), можно
привести f(x{) к полиномиальному виду /', в котором
дифференцирования из Д (/') = {($,·} сильно независимы.
Упорядочим некоторым образом (сильно независимое)
множество {($,·} и распространим стандартным образом этот порядок
на множество слов от {Si}. Используя тождества (5), (8),
можно привести /' к виду /", в котором все слова, встречающиеся в
записи мономов т таких, что 1(т) = /, являются правильными
словами от {δ{} и /(/") <ξ /(/').
Рассмотрим подмодуль Αι в End (В,?, +), порожденный
дифференцированиями Д(/")LiDi-i(f'). ПустьAint = AiCiDint-
Тогда так же, как и выше, Amt выделяется из А\ прямым
слагаемым А\ = (Aint®D(f')C)(BB, где В —конечно-порожденный
подмодуль, т. е. по лемме 1.6.20 В = Σ φμ^Ο. Упорядочим
множество {J,·} U {/ij} так, чтобы Si > μ3·, и преобразуем с помощью
тождеств (6), (9) выражение /" к виду /'", в котором все слова,
встречающиеся в записи мономов т таких, что 1(т) ^ / — 1,
являются правильными словами от сильного независимого
множества {S{} U {μj}■
Продолжая этот процесс далее, получим выражение F(X)
вида (2.1.1), эквивалентное исходному по модулю тождествам (1),
(2), (4)—(10) и исходному, такое, что все слова, входящие в его
запись, являются правильными словами от сильно независимого
множества дифференцирований М.
Преобразуем автоморфизмы. Пусть gu,gi2,-- ,9in — все
автоморфизмы, встречающиеся в записи F(X) с буквой а;,·, и
Φ -ι = <pktC, ekt = e(v?fct). Можно считать (см. 1.7.8), что
ipkt<ptk = ekt = etfc. Из определения Фд получаем систему
равенств ektx9ik = tfktx9''<ptk, к <t ^.п. Пусть e,-fc = l-efcifc+io
• · · ° efclti, где по определению аоЬ— а-\-Ь— ab = sup (α, 6).
Тогда
xfk = eikxfk + ^TAUVtaf'Vtfc, (2-1.2)
t>k
2.2. Линейные тождества
103
где λ^ — некоторые центральные идемпотенты. При этом идем-
потенты £ik характеризуются тем свойством, что 0 = е^Ф -ι
при t > к. Подставим в F(X) вместо вхождения х9л правую
часть (2.1.2) при к — 1. Тогда автоморфизм дц будет
входить в запись только в членах с коэффициентом £ц таким, что
i{g~^git) = 0 при t > 1. Заменив в полученном выражении все
вхождения if'2 правой частью (2.1.2) при к — 2 и т. д., получим
редуцированный DA-многочлен. D
2.2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ТОЖДЕСТВА С АВТОМОРФИЗМАМИ
2.2.1. Автоморфизмы дик называются взаимно внешними,
если i{g~lh) = 0 (см. 1.7.8).
2.2.2. Теорема. Пусть Δι,... , Δη —различные правильные
слова от сильно независимого множества
дифференцирований Μ такого, что β(μ) = 1 для всех μ £ Μ. Пусть gi,... ,
gm — попарно взаимно внешние автоморфизмы. Если ма R
выполняется тождество
/Η=ΣΣΣα?)^δϊ) = 0' с2;2·1)
i=l j = \ fc = l
то в тензорном произведении Rj? ®c Rr имеют место
равенства
£ α? ® δ£> = 0 (2.2.2)
fc = l
для всех г, j, 1 <С г: <С т, 1 <С jΪ <С п(г).
Доказательство проводится в следующих пунктах.
2.2.3. Можно предполагать, что носители всех коэффициентов
совпадают. Действительно, рассмотрим в булевом кольце
центральных идемпотентов Ε подкольцо Т, порожденное единицей
и носителями коэффициентов. Это подкольцо конечно (так как
любое булево кольцо локально-конечно). Пусть е\,... , ег — все
минимальные идемпотенты кольца Т. Поскольку eqet <C eq,et,
эти идемпотенты попарно ортогональны и так как 1 £ Т, их
сумма равна единице. Таким образом, в теореме достаточно показать
104
2. Вопросы алгебраической зависимости
справедливость равенств
к
Умножим все коэффициенты тождества (2.2.1) на et. Тогда
получим е(а,·,· et) = е(а,·,· )et <C et. Поэтому носители всех
ненулевых коэффициентов этого тождества равны между собой (и
равны et), и нам достаточно доказать теорему для полученного
тождества.
2.2.4. Можно считать, что ни одно из равенств (2.2.2) не имеет
места, так как иначе из (2.2.1) можно вычеркнуть определенное
число членов, не нарушив тождества. Именно, если J2 a.(k>®b(k> =
0, то можно вычеркнуть сумму Y^a^xg£ib^k\ так как тогда
J2 a(k)yb(k) = 0 при всех у € Rjr. Эти же аргументы
позволяют считать, что для любых фиксированных г, j элементы {а,·,· }
линейно независимы над С, т. е. никакой из них не принадлежит
модулю, порожденному остальными.
Проведем индукцию по старшему слову Δι, встречающемуся
в записи тождества (2.2.1).
2.2.5. Пусть Δι — пустое слово. Тогда дифференцирования
совсем не участвуют в записи тождества, и оно приобретает вид
m s(i')
/(*) = EEaMfc) = 0·
i = l fc = l
Так как по условию i(g^~ gt) = 0 при г φ ί, это тождество
запишется в виде
f(x) = J2aix9'bi = Q, (2.2.3)
i=l
где элемент αϊ независим справа от 02,... , αη относительно
последовательности автоморфизмов д\, дъ,... ,дп (см. 1.7.15). По
теореме 1.7.10 найдем элемент β Ε L(.R) (см. 1.7.11) такой, что
a=a1■β^^ φ 0, a,- ■ β3> = й при г ^ 2.
2.2.6. Для DA-многочлена f(x) с выделенной переменной χ, β =
Σ ri ® si £ 1ЦД), полагаем f(x) ■ β = Σ sif(rix)-
2.2. Линейные тождества
105
2.2.7. Если β Ε 1ЦД), g — автоморфизм и Δ = δ\ .. .Sm —
правильное слово, то имеет место равенство
(αχ°Η)-β = (а^я)хяАЬ+8-(а-ряб1)х9бз-*'"+... , (2.2.4)
в котором точками обозначена сумма членов ахдАЬ, где Δ <
δ? .. .Sm, a s — натуральное число такое, что δ\ = J2 = ... =
Ss φ δ3+ι и поэтому s φ 0(modp). Равенство (2.2.4) вытекает
из формулы Лейбница
(*y)6'-6- = ]T*A'yAa,
где суммирование ведется по всем правильным подсловам Δι,
получающимся из δ\,... ,δη вычеркиванием некоторых букв, а
Δ2 — правильное слово, дополняющее Δι до Δ. Например,
+ X6l6ly03 +x6l03y02 + X6*6:sySl.
Если Δ пусто, то формула (2.2.4) имеет вид
(ах9Ь) ·/? = {а^д)хяЬ. (2.2.5)
2.2.8. Применяя найденный в 2.2.5 элемент β к соотношению
(2.2.3), получим ахЯ1Ьх = f(x) ■ β = 0. Поэтому e(a)e(&i) = 0.
Однако элемент а выражается через αϊ, следовательно, е(а) <С
e(ai) = e(&i) в силу 2.2.3. Таким образом, e(a) = e(a)e(6i) =
0, противоречие, которое дает основание индукции.
Проведем индукционный шаг.
2.2.9. В дополнение к 2.2.4, можно считать что старшее слово
Δι встречается в записи тождества (2.2.1) ровно один раз. Дей-
(1)
ствительно, элемент а^' независим справа от
„(2) _(п(1)) (1) (п(2)) (к) _(n(m(l)))
"11 > · · · > "11 > "12 > · · · > "12 > · · · > "К > · · · > alm(l)
относительно последовательности автоморфизмов
91, ■■ ■ ,91,92, ■■ ■ ,92, ■ ■ ■ ,9i, ■ ■ ■ ,9т(1),
гак как ajj не выражается линейно над С через а\1 ,... , αη '
и Φ„-ι„ = 0 при г φ 1. В силу теоремы 1.7.10 найдется элемент
β С ЦД) такой, что а = а[\] ■ ^ φ 0, с$° · β9· = 0, если i φ Ι
или к φ I. По формуле (2.2.4) / ■ β имеет единственный член
106
2. Вопросы алгебраической зависимости
ax9lAlb[1\ содержащий Δι, при этом е(а) <С e(a\i ) = e(6jj ).
Поэтому е(а) = e(a)e(b[1') ^ 0, т. е. по лемме 1.6.22 а ® b\i ^
0. Таким образом, подставляя вместо χ элемент х9г , можно
считать, что 5ι = 1, п(1) = т(1) = 1.
2.2.10. Пусть μι,μ2, ■ ■ ■_ιβη — все^цифференцирования,
отличные от ($ι, такие, что μιΔ,... , μηΔ входят в запись /, где Δ =
διδ2 ...Sm, Δ = 62...6т. Если β G b(R), то в силу (2.2.4)
сумма членов / · β, содержащих в своей записи жЛ, будет иметь
вид
г,к к
_ _ (2.2.6)
где Δ = Aj, μΓΔ = ΔΓ и для краткости мы опустили второй
индекс 1 при всех коэффициентах а, Ь (напомним, что <7ι = 1).
Если α\'-β = 0, то f(x) ■ β = 0 — тождество, к которому
можно применить индуктивное предположение. Это означает,
что в тензорном произведении Rjrt&R?- выполняется равенство,
получающееся из (2.2.6) заменой всех вхождений £Δ знаком ®.
В силу леммы 1.6.23 можно найти элементы С2,.. · , с„ G С, не
зависящие от β и такие, что первый левый коэффициент а =
s-(a\ ' -β ') в (2.2.6) линейно выражается через остальные левые
коэффициенты с помощью с2, ■ ■ ■ ,cv. Здесь мы учли, что е(а) =
e(s ■ а\ β6ί) ^ е(а\ ') = e(b[ ') и тем самым а = ае(а) =
ae(b[ '). Пользуясь линейностью операторов β и βμΓ и вводя
новые обозначения, получаем для элемента β такого, что а\ ' ■
/3 = 0, соотношение вида
а[1] -β6ί +Υ^άΓβ^ +Η-β = 0. (2.2.7)
г
При этом элементы dr, h не зависят от выбора элемента /3, так
как от выбора β не зависят с2,... ,cv. (Мы воспользовались
также тем, что если R имеет характеристику ρ ^ 0, то любое
натуральное число s φ 0(modp) обратимо в С.)
Равенство (2.2.7) показывает, что отображение '
ξ: α[1] · β -+ αγ] · β*> + £ dr ■ β"' + h · β,
2.2. Линейные тождества
107
где /3 пробегает множество L(.R), определено корректно.
Выберем идеал / €Е Τ так, чтобы 1а\ ' С R, Idr С Я, /ft С R,
1^ С R, I01 С R. Если /3 пробегает Τ = L(R)(1 ® I2), то
область определения соответствующего отображения является
идеалом в Л, а область значений лежит в R. Далее,
ξ(ν(α[1] ■ β)) = ξ(α[1] ■ /3(1 ® «)) = α*1' ■ β6ί (1 ® «)
+ Σ<1τ-βμ'(1®ν) + }ιβ-(\®ν) = <(αίΧ) -/3).
г
Доопределим ξ на аннуляторе Oj · Γ в Д нулевым способом.
Тогда ξ — гомоморфизм левых Л-модулей и свойство (в) кольца
R? (см. 1.4.9) определяет некоторый элемент t такой, что
(а[1] ■ β)ί = α[1] . /З*1 + £ dr · /3"' + /ι · β. (2.2.8)
Пусть χ е R. Тогда
(а[1] ■ β)χί = (α^ ■ β(χ ® 1))ί = а[1] ■ (β(χ ® I))6'
+ ]Γ<ίΓ(/?·(*®ΐ))',Γ + Α/?·(*®ΐ)
Г
= (а[1] ■ β6ι)χ + (α{ι] ■ β)χ61
+ J2(dr- βμ')χ + Σ(dr ■ β)χμ' + (h ■ β)χ.
Г Г
(2.2.9)
Умножим соотношение (2.2.8) справа на а; и вычтем из (2.2.9),
получим
(а[1] · β)[χ,ί] = (а[1] ■ β)χ*> +Σ(άΓ- β)χ^. (2.2.10)
Рассмотрим модуль Μ = а\'С + Σ drC. В силу лемм 1.6.9 и
г
16.20 можно его представить в виде прямой суммы циклических
модулей Μ = а\1]С®а2С®.. .®апС. Если/3 С 7\ = П а±ПТ
(напомним, что Τ = ЦД)(1 ® I2)) и dr - araS^ + ..., ar G С,
то dr ■ β = αΓα^ · /3 и равенство, (2.2.10) приобретает вид
(а[1] · /3) ([x,t] - xil - Σ °*гх"г) = 0. (2.2.11)
108
2. Вопросы алгебраической зависимости
Так как TL = 0 и элемент а\ ' не выражается линейно над С
через 02,... , αη, в силу леммы 1.7.12 при д = <7,· = 1 получаем,
что а\ ■ Т\ — ненулевой двусторонний идеал R. Пусть ео —
его носитель. Тогда равенство (2.2.11) дает
eo<ii + 2je0ar/ir = adeo< G Ant·
Так как {δ\, μΓ } — сильно независимое множество
дифференцирований, получаем eo^i = 0, что противоречит предположению
e(($i) = 1. Теорема 2.2.2 доказана. D
Из теоремы 2.2.2 вытекает следствие, которое можно также
доказать непосредственно с помощью следствия 1.7.14.
2.2.11. Следствие. На полупервичном кольце R выполняется
линейное обобщенное тождество У^,—1 α;ΐ6,· = 0 с
коэффициентами из Rjr тогда и только тогда, когда Σ αί ® δ,- = 0 в
тензорном произведении Rj? ®c R?-
2.3. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ТОЖДЕСТВА
2.3.1. Теорема. Если на полупервичном кольце R
выполняется полилинейное редуцированное дифференциальное
тождество с автоморфизмами f(x\,.. . ,хп) = F(xi'k ''£ik) = О,
то на R? справедливо обобщенное тождествоF(zijkSikeij) =
О, где eij = β(μι)β(μ2),· .. ,e(/it), Δ,-y = μι .. ./it.
Доказательство. Достаточно показать, что для любого
ненулевого центрального идемпотента е существует ненулевой
центральный идемпотент е\ <С е такой, что e\F(zijkS.ik^ij) = О —
тождество на Rjr. Действительно, в этом случае, если а =
F(aijk£ikSij) φ 0, то мы найдем идемпотент е± <С е(а) такой,
что ае\ = 0, а это невозможно (так как е\ = е\е(а) = 0). Кроме
того, достаточно рассмотреть случай, когда f(x\,.. . , хп)
зависит от одной переменной. Действительно, придавая конкретные
значения всем переменным, кроме первой, мы получим
тождество F(zijkCikeij,x9i'k ''£ik) = 0, г ^ 2. Продолжая эти
рассуждения для букв Х2,.. ., приходим к требуемому результату.
Поэтому всюду далее можно опускать индекс г.
Зафиксируем ненулевой центральный идемпотент е. Наша
ближайшая цель — найти ненулевой идемпотент и <; е и
разбить uf(x) на сумму нескольких слагаемых uf(x) = Y^ufx(x)
λ
2.3. Полилинейные тождества
109
таких, что uf\(x) — тождество некоторого идеала / £ Τ и все
автоморфизмы, участвующие в записи fx(x), действуют
одинаково на множестве всех идемпотентов, меньших или равных и.
Если все автоморфизмы действуют одинаково на {иа <С е}, то
можно положить и = е. Если это не так, то выберем идем-
потент iti <C е, на котором не все автоморфизмы действуют
одинаково. Тогда f(xu\) = Σ Д(а;)и^х, где ufx —
различные (центральные) идемпотенты. Выберем в конечном булевом
кольце, порожденном элементами и9^, минимальный идемпотент
«2- Тогда для каждого λ либо u|A u2 = 0, либо ttfx tt2 = "2,
причем it2 можно выбрать так, что ни первое, ни второе
равенство не выполняется для всех λ. Поэтому получаем разбиение
и2/(г;) = [f(x)u2 — f{xui)u-i\ + [/(atttjjttj], в котором
выражения в квадратных скобках обращаются в нуль на / £ Τ и
содержат меньшее число членов (здесь / — идеал такой, что
1и\ С R). По индукции получаем требуемое разбиение.
В различных слагаемых uf\{x) не могут встречаться
одинаковые автоморфизмы, поэтому uF(zkj) = Σ uFx(zkj), где
λ
ufx(x) = uF\{x9k^'ek) — редуцированный многочлен, и нам
достаточно установить справедливость теоремы для слагаемых
uf\(x). Пусть h — один из автоморфизмов, встречающихся в
uf\{x). Тогда все автоморфизмы из uf\(xh ) действуют
тождественно на {еа <С и}. При этом ufx(xh ) —
редуцированный DA-многочлен, так как (h~1gk)~1h~1gj = д^ gj.
Уменьшив, если потребуется, идемпотент и, можно считать, что для
любого к либо и£к = и, либо ивк = 0 и для любого j либо
uej = и, либо uej = 0. Это, в частности, означает, что
автоморфизмы дк, для которых и£к φ и, и слова Δ^·, для которых
uej φ и, вообще не участвуют в записи f"{x) = uF\(xh ).
Переходя к кольцу uRt можно считать, что все £к и еу равны
единице; все автоморфизмы, встречающиеся в f"{x), действуют
тождественно на Е, и f"(x) обращается в нуль на / £ Т.
Применим теорему 2.2.2 к тождеству f"(x) = 0 кольца/. Мы имеем
возможность это сделать, так как £fc = 1, и поэтому
автоморфизмы, встречающиеся в записи /", попарно взаимно внешние.
Кроме того, β(μι).. .e(/it) = е,- = 1. Следовательно, ε(μ) = 1 для
всех дифференцирований, встречающихся в записи /". Пусть
m п(')»('.Л
i=lj=l fc=l
по
2. Вопросы алгебраической зависимости
тогда по теореме 2.2.2 в тензорном произведении I?®Ijr = R?®
Rjr имеют место равенства
£<#><> = о
к
для всех г, j, 1 <; г <С т, 1 <С j <С п(г).
Следовательно, при любом zjj £ Rr
Σ 'ίΝ*!?' = о.
поэтому
m n(»)j(ij)
»=1 j = l fc = l
что и требуется доказать. D
2.3.2. Следствие. Если некоторое полилинейное
дифференциальное тождество с автоморфизмами выполняется на
кольце R, то оно выполняется также на кольце частных Rjr.
Доказательство. Действительно, все тождества вида (1)-
(10) справедливы для любых х,у £ R?, т. е. по теореме 2.1.7
следствие достаточно установить для редуцированных тождеств.
Так как в теореме 2.3.1 Zjjk могут принимать любые значения из
Rjr, утверждение верно. D
2.3.3. Следствие. Пусть Δ = δ\ . . .δη — правильное слово
от сильно независимых дифференцирований. Тогда е(А) =
e(ii) ...e(Sn).
Доказательство. Напомним, что носитель Δ равен
носителю образа е(Лл). Пусть / = 1 — е(А). Тогда /ιΔ = 0 —
редуцированное тождество, т. е. по теореме 2.3.1 fze(6{) .. . е(($„) =
0. Поэтому e(($i). . . е(($п) <С е(А). С другой стороны,
хА = e(J„)(. ..e(S2)(e(S1)x6^ ... )4- = e(*i).. .е{6п)х*.
Следовательно, е(Д) <; е{6\).. .е{6п). D
2.3.4. Пример. В теореме 2.3.1 условие полилинейности
тождества нельзя отбросить. Пусть R — совершенное поле
характеристики ρ > 0. Рассмотрим автоморфизм д: χ —>· хр, и
пусть W(x, у) = хр - у. Тогда W(x,x9) = 0, в то время как
W(x, у) φ Она. R. Отметим, что в случае нулевой характеристи-
2.4. Дифференциальные тождества первичного кольца 111
ки условие полилинейности в теореме 2.3.1 несущественно, так
как тогда любое тождество эквивалентно системе полных
линеаризации своих однородных компонент. Но и в случае
произвольной характеристики наличие (неполилинейного)
нетривиального тождества с автоморфизмами дает большую информацию о
строении кольца R. Например, в случае первичного кольца при
помощи операторов Δ|, возникающих в доказательстве теоремы
Мартиндейла, можно получить нетривиальное полилинейное
тождество. Теорема 2.3.1 показывает, что в этом случае исходное
кольцо удовлетворяет нетривиальному обобщенному тождеству,
т. е. по теореме Мартиндейла его центральное замыкание вполне
примитивно, а тело конечномерно над центром.
В следующих двух параграфах мы увидим, что условие
полилинейности несущественно для дифференциальных тождеств
(без автоморфизмов).
2.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА
ПЕРВИЧНОГО КОЛЬЦА
В этом параграфе R — первичное кольцо.
2.4.1. Теорема. Пусть f(x\,- . ■ ,хп) = О —
дифференциальное тождество первичного кольца R, где f(X) = F(xi 3) —
редуцированный дифференциальный многочлен. Тогда Ffaj)
— 0 — обобщенное тождество на Rjr.
Доказательство. Если характеристика поля С равна нулю,
то любое тождество эквивалентно системе полных линеаризации
своих однородных компонент. Поэтому считаем, что ρ > 0. Так
как операторы Δ| (см. (1.13.2)) не нарушают редуцированность
(если только сразу заменить (х + у)^ на χΔ + !/Δ), полная
линеаризация ф(у!,... ,ут) многочлена f(xlt... ,xn) будет
редуцированным тождеством. Следовательно, в кольце R выполняется
обобщенное тождество Ф(г,-7·) = 0, где Ф(у1,---) = Ф(у; J)·
Предположим, что это тождество тривиально, т. е. вытекает из
тождеств вида сх = хс, где с £ С. Эти тождества не
меняют порядка следования переменных. Это означает, что если
мы в выражении Ф(г,7) соберем все члены, в которых порядок
следования переменных фиксирован, то их сумма также будет
тривиальным тождеством. Отождествляя в этой сумме
переменные подходящим образом, получим старшую однородную часть
112
2. Вопросы алгебраической зависимости
F(zij), т. е. из индуктивных соображений F(z{j) = О —
тривиальное тождество в Л, а следовательно, в Rjr, что и требуется
доказать. Предположим, что Ф(г,7) =0 —'■ нетривиальное
тождество. Тогда по теореме Мартиндейла RC — примитивное
кольцо с ненулевым цоколем Ш, тело Τ которого конечномерно
над центром С.
Для дальнейшего нам потребуется следующая лемма,
2.4.2. Лемма. Пусть первичное кольцо R удовлетворяет
нетривиальному обобщенному тождеству. Тогда любое
дифференцирование, действующее тривиально на обобщенном
центроиде С, будет внутренним для Q.
Доказательство. Пусть е — примитивный идемпотент из
RC. Тогда тело Τ изоморфно eRCe и является конечномерным
над центром Се ~ С. Согласно леммам 1.13.5 и 1.13.6 алгебра
умножений тела Τ равна полному кольцу эндоморфизмов End Т.
В частности, проекция /: Τ —»· С имеет вид 1(х) = Σ а,хЬ{, где
α;, 6; G Т.
Пусть μ — дифференцирование, действующие тривиально
на С, х,у 6 R. Тогда Цехе) = с\е, 1(еуе) = сге, с\,С2 £
С. Поэтому 1(εχε)μ = ο\εμ, l(eye),i = с^е11. Следовательно,
1(хех)1(еуе)>* = l(eye)l(exe),i = cic^ee^, т. е. мы получили
полилинейное дифференциальное тождество. Имеем 1(εχε)μ =
£[(а,е)"а:е&,· + а,-е1(е&,·)"] + 1{ех»е) = А(х) + 1{ех"е). Если
μ — внешнее дифференцирование, то мы получаем
полилинейное редуцированное тождество
1(ехе)[А(у) + /(е^е)] = 1(еуе)[А(х) + 1{ех»е)\.
Поэтому по теореме 2.3.1 в кольце R? справедливо тождество
1{ехе)[А(у) + l{ezie)\ = 1{еуе)[А{х) + l(ez2e)},
подставляя в которое χ = 0, получим 0 = l(eye)l(ez2e), что
невозможно, так как / — эпиморфизм на центр. D
Продолжим доказательство теоремы 2.4.1. Из леммы 2.4.2
следует, что если два дифференцирования совпадают на С, то
они равны по модулю Дп4. В частности, дифференцирования,
индуцированные на С сильно независимыми
дифференцированиями, линейно независимы над С. Справедливо обратное
утверждение: если индуцированные дифференцирования линейно
независимы, то исходные дифференцирования сильно независимы
(напомним, что теперь С — поле).
2.4. Дифференциальные тождества первичного кольца 113
Если поле С конечно, то с —у ср —его автоморфизм и (ορ)μ =
■рс?~1сц = 0, т. е. все дифференцирования тривиальны на С.
Это означает, что все дифференцирования кольца R являются
внутренними. Следовательно, редуцированное тождество не
содержит в своей записи дифференцирований и / Ξ F. Осталось
показать, что F = О — тождество на R?. Мы знаем
(теорема 1.15.1), что Rjr = L — полное кольцо линейных
преобразований некоторого пространства над телом, причем RC плотно в L .
Так как С конечно, можно найти ненулевой идеал / <3 R такой,
что 1С С R. Следовательно, F — тождество на 1С. Однако 1С
содержит цоколь кольца RC, поэтому 1С также плотно в L . В
силу непрерывности кольцевых операций в конечной топологии
тождество F переносится с 1С на L , что и требуется доказать.
Осталось рассмотреть случай бесконечного обобщенного
центроида С. Рассуждения разобьем на несколько пунктов.
1. Покажем сначала, что наша теорема справедлива в случае,
когда R = С — бесконечное поле характеристики ρ > 0. Так как
поле С бесконечно, бесконечным будет также поле С,
состоящее, как мы видели выше, из констант всех дифференцирований.
Поэтому можно считать, что f(x\,... , хп) — однородное (по
каждой из переменных) тождество (это, конечно, не означает, что
F — однородный по каждой из переменных многочлен).
Достаточно рассматривать тождества, зависящие от одной
переменной. Действительно, если / зависит от нескольких
переменных, то можно выделить одну из них и рассматривать
остальные как коэффициенты. При этом коэффициенты окажутся
дифференциальными выражениями, зависящими от меньшего числа
переменных. Учитывая, что многочлен над бесконечным полем
однозначно определяется своими значениями, можно проводить
индукцию.
Начнем с рассмотрения простейших случаев. Пусть f(x) =
т
Σ ii{xs')p , 7; G С, и {($,·} — линейно независимые над С
»' = 1
дифференцирования. Если f(x) =0 — тождество на С, то для
каждого с £ С получаем уравнение
m
Σ ^ci')pn = о.
»·=ι
имеющее ненулевое решение г,- = 7» в С Если с пробегает все
поле С, то мы получаем бесконечную систему уравнений, кото-
114
2. Вопросы алгебраической зависимости
рая имеет ненулевое решение в С. Это означает, что ранг каждой
конечной подсистемы строго меньше т, и, так как все
коэффициенты лежат в поле Ср , каждая конечная подсистема имеет
решение в Ср . Выбирая подсистему так, чтобы пространство ее
решений над Ср имело максимально возможную размерность,
мы получаем, что решения этой подсистемы будут решениями
всей бесконечной системы. Таким образом, найдутся элементы
с[ ,... , &т 6 Ср , не все равные нулю и такие, что
Σ^ν·)ρη = (Σ^·)'
Поэтому Y^SjCi = О, что противоречит линейной независимости
дифференцирований δχ,... , 6т.
Пусть/(а;) = ^7»'(а;Л')Р ■ гДе^»'—различные правильные
слова от линейно независимого множества дифференцирований.
Проведем индукцию по старшему слову Δο· Среди слов Δ,· нет
пустого, так как подстановка χ = 1 показывает, что
соответствующий коэффициент равен нулю. Для случая, когда старшее
слово имеет длину 1, доказательство проведено выше.
Рассмотрим выражение
G(x, у) = F(xy) - xpnF{y) - F{x)f\
Все члены, содержащие слово Δο в этом выражении,
сокращаются. Пусть Δο = δ'Α', где Δ' не начинается на δ и s < p. Тогда
слово Δ = δ'~1Α' непусто и члены, содержащие это слово в
своей записи, будут иметь вид
*рП7о(^)рП + Σ>(*6*)Ρ
(2/Δ)ρη +
где суммирование ведется по тем индексам к φ 0, для которых
слово Δ;. имеет вид ί^Δ (напомним, что все слова правильные и
Ak < Δο). Таким образом, ввиду индуктивного предположения
и замечаний, сделанных в начале этого пункта,
что невозможно в силу рассмотренного выше случая.
2.4. Дифференциальные тождества первичного кольца 115
Любое однородное дифференциальное выражение можно
привести к виду
Σ7ι(*Δ·)η(·°-(*Δ-)η-=Σ^4(*).
г
где Πι + ... + пт — η = const, Δι < Δ2 < ... < Am —
все различные правильные слова от некоторого конечного
множества дифференцирований.
Разложим показатели пк по степеням р.
пк — г0,к + г1,кР Τ Г2,кР Τ ■ ■ ■ , U ^- Г^к ^ р.
Преобразуем тождество к виду
Σ И Π [^Δ*Γ°'*[(^Δ*)Τ';*[(^Δ*)ρ2Γ'°* ■■■ = 0. (2.4.1)
i fc = l
Здесь важен тот факт, что выражения в квадратных скобках
являются аддитивными гомоморфизмами, а показатели над
ними строго меньше р.
Проведем индукцию по числу q = max{g,· = Σ г\*1}. Если
q = 1, то в силу однородности выражение принимает уже
рассмотренный вид. Если выражение G(x,y) = F(x + y) — F(x) — F(y)
привести к виду (2.4.1), считая, что 7» зависят от х, то получим,
что число q для выражения Gx{y) = G(x, у) уменьшится. То же
справедливо для переменной у. Более того, члены G(x, у), для
которых q{ = q — 1, будут появляться только из членов F(x),
для которых qi = q, причем по формуле бинома Ньютона
соответствующие коэффициенты будут домножаться на некоторое из
чисел г\ 'к.
Упорядочим m-ки чисел (rim ,... , щ'), для которых qi = q,
7; φ 0, лексикографически. Пусть (rim ,■■■ ,п\" ) —
максимальная m-ка и в ней nf — первое справа ненулевое число и
г = r\ I — ненулевое число с наименьшим возможным номером
t. Тогда в Gx(y) коэффициент при
Пу) d=f [(»Δ·)ρ,]Γ-1[(»Δ·)ρ,+,]Γίί·- · · ■ · · Π[»Δ*]Γβ · · ·
k>s
116
2. Вопросы алгебраической зависимости
будет равен
пЛх*'У'+ Ε 7.·ϋ,ο(*ν+ Σ -Λ-Μί**')"'.
°<<
где i(j, I) — индекс г такой, что Vi = (х^')р Τ(χ).
Однородная компонента степени р' этого коэффициента
имеет вид
Па(хАУ+ Σ 7,·ϋ,<)(ΐΔί)''·
Таким образом, в силу бесконечности поля констант,
индуктивных предположений и рассмотренного выше случая получаем
7а = 0. Полученное противоречие показывает, что все
коэффициенты 7; равны нулю.
2. Предположим, что коэффициенты f(X) лежат в более
широком кольце L, содержащем С в качестве подкольца центра L,
а дифференцирования определены только на С. В этом
случае естественно считать, что переменные коммутируют с L, т. е.
F G L ®с С"^·]. Покажем, что если f(x\,... ,хп) обращается
в нуль на С, то F(zij) — нулевой многочлен. Представим F в
виде суммы F = Y^lk ® F^faj), где Ik — линейно
независимые над С элементы кольца L. По условию ^2,lkFl^k\ci ') = 0
для с,· £ С, т. е. в силу линейной независимости элементов 1к
получаем, что F^k\xi ') = 0 — тождества в С. Из п. 1 следует,
что F^(zij) — нулевые многочлены. Следовательно, нулевым
будет и F.
Продолжим рассмотрение общего случая.
3. Покажем, что f(x\,... ,хп) обращается в нуль на Ш.
Выделим некоторую переменную Х\ и разложим f(x\ хп) в
сумму однородных по х\ компонент: f(x\) = fo(xi) + · · · +
fm(xi). Так как поле Ср бесконечно, можно выбрать
различные центральные константы (Ό, · · · ,ζά, где d — общая степень
/. Выберем идеал I £ Τ так, чтобы /С С R, 0 <С г, j <C d.
Тогда для любого г £ /
/К/) = /о(г) + /i(r)G + · ■ ■ + /m(r)Cf = 0.
Так как эти равенства справедливы для всех j и определитель
Вандермонда det||£j|| = Π (О — С') не равен нулю, справед-
3>i
2.4. Дифференциальные тождества первичного кольца 117
ливы равенства /0(r) = 0,/i(r) =0, ... , fm(r) = 0.
Продолжая эти рассуждения для остальных переменных Х2, ■ ■ · ,Хп,
находим, что все полиоднородные компоненты fk(x\, ■ ■ ■ ,хп)
многочлена f(x\,... ,хп) обращаются в нуль на /. Если к =
(fci кп) — набор степеней компоненты fk(xi, ■ ■ · ,хп) по
χι,... , хп соответственно, то, подставляя вместо х,- элемент
вида (%Xi, получим
Μ4*ί) = 1[№'·Μ*ι,-·-,*η),
г
т. е. все полиоднородные компоненты, а следовательно, f(X)
обращаются в нуль на элементах вида (%Г{, где с,· £ С, г,· £ /.
Подставим в дифференциальный многочлен f(X) вместо х,
суммы Σ xi ■ Тогда полиоднородные компоненты /^(х\3 )
3 = 1
многочлена /(Σχί ) бУДУт тождествами на /. Это означает,
чт0 /(Σ xi ) 6уДет обращаться в нуль и при x\J' = rf'(?·, где
Cj £ С, г,- ' £ /. Таким образом, f(%2 x\ Cj) = 0 — тождество
на /. Следовательно, f(x\ хп) = 0 — тождество на 1СР.
Покажем, что 1С D Ш. Достаточно показать, что RCP D
И. Действительно, в этом случае 1СР — двусторонний идеал
в RCP, а цоколь является простым кольцом и наименьшим
идеалом. Пусть е — примитивный идемпотент и 0 φ Ι\ — идеал
R такой, что eli, lie Я Я· Тогда А = el\Cpe — подкольцо
конечномерного над центром тела Τ = eRCe, причем АС —
идеал в Τ и поэтому АС = Т. Кольцо А не имеет делителей
нуля и удовлетворяет обобщенному тождеству (даже
полиномиальному, как подкольцо конечномерного тела). Поэтому в силу
следствия 1.13.7 существует ненулевой элемент се £ Л Π Се.
Имеем е = (се)р(с~1)р £ А. Таким образом, RCP содержит все
примитивные идемпотенты.
Если е — примитивный идемпотент, χ £ RC, то / = е +
ех(1 — е) — примитивный идемпотент, так как ψ: t —¥ tf —
гомоморфизм из Τ на fRCf. Поэтому RCP D eRC(l — e).
Аналогично RCP D (1 — e)RCe. Так как RCP — подкольцо,
оно содержит и произведение eRC{\ — е)(1 — e)RCe = eRCe.
Поэтому eRC = eRCe + eRC(l — e) С RCP. Аналогично
RCe С RCp. Окончательно, И = RCe ■ eRC С RCP.
4. Теперь мы завершим доказательство теоремы.
Доказательство стандартным образом сводится к случаю одной пере-
118
2. Вопросы алгебраической зависимости
менной: если 0 = F(x13,... ,xn'), то, придавая всем
переменным, кроме первой, конкретные значения, найдем тождество
F(zij,x2 '',·■■)· Затем можно фиксировать значения всех
переменных, кроме второй, и т. д.
Пусть f(x) = F(x^i) = О — тождество на Ш. Расположим
все правильные слова от дифференцирований в порядке
убывания Δι > Δ2 > ... > Δη и сопоставим каждому из них свою
переменную Δ^· <-> Zj. Одночлены πΐχ, т.2 от ζ\,... ,ζη будем
считать эквивалентными, если их степени по каждой из
переменных одинаковы. Таким образом, F(zj) разлагается в сумму
слагаемых, в каждом из которых собраны попарно
эквивалентные одночлены (т. е. сумму полиоднородных компонент):
F(*J) = F(1>(*J)+...+ F(fc>(*j)- (2.4.2)
Каждый класс эквивалентности одночленов определяется
набором степеней по переменным. Предположим для
определенности, что одночленам из F^(zj) соответствует наибольший в
лексикографическом смысле набор (/ι,... ,ln)- Покажем, что
F^(zj) —тождество наН.
Пусть т — произвольное натуральное число и h\,... , hm —
любые элементы из Ш. Рассмотрим т коммутативных
переменных ξι,. .. , £m. Тогда на С верно тождество (см. п. 3).
0(6,... ,ξη)=/^ιξι + ...+ Ηηξ,η)=0.
В силу п. 2 многочлен G(£\j,... ,£mj) равен нулю как элемент
тензорного произведения L ®с С^у,... ,£mj], где
5(ii,...,im) = G(tfv..,i£>).
В частности, нулю равна сумма G^faj, ■.. ,£mj) всех
одночленов G, имеющих суммарную степень 1\ по переменным £п,... ,
ζτηύ суммарную степень/г попеременным^, · ■ · , £m2i · ■ ·)
суммарную степень /п по переменным ξ\η, ■ · · ,ζτηη
Отметим, что
G(1)(6j,. · · ,U) Ξ FW ( £>&i, ·.. ,£>&„) · (2.4.3)
Действительно,
(Σ^») J=E^fJ + ··. (2-4.4)
2.5. Дифференциальные тождества полупервичных колец 119
где точками обозначена сумма членов, в которые ξ; входит со
словом, меньшим Aj. Поэтому члены степени 1\ по ξχ ',... , ξ^1
могут возникнуть только из одночленов многочлена f{X)
степени /ι по ιΔι, так как Δι — самое старшее слово, а /ι —
наибольшее число вхождений ιΔι в одночлены из f(X). Из таких
одночленов степень Ιχ по £х ' ξΔι и одновременно степень
/2 по £Δϊ,.. · , £Δ* (при подстановке χ = Σ /ι,·£,·) дают только те
одночлены, которые имеют степень li по х^3, и т. д. Таким
образом, члены нужной степени получаются только из одночленов
F(1>(xAi). Формула (2.4.4) показывает, что справедливо
равенство (2.4.3). Так как левая часть равенства (2.4.3) обращается
в нуль при всех значениях переменных, F^'(zj) = О при всех
zj G h\C + ... + hmC. Поскольку элементы h\,... ,hm
выбирались произвольно, F^1' = 0 есть тождество на Ш. Применив
те же рассуждения кразности-Р^^)—F^^x^'), находим, что
F^2\zj) = О — тождество на Ш. Продолжая этот процесс,
получим, что все F^k\zj), а следовательно, F(zj) суть тождества
на И.
Так как кольцевые операции непрерывны в конечной
топологии, а Ш плотно в L, получаем, что F(zj) = 0 — тождество на
L = (RC)? D Rr- Теорема 2.4.1 доказана. D
2.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА
ПОЛУПЕРВИЧНЫХ КОЛЕЦ
2.5.1. Теорема. Пусть f(x\,... ,х„) = 0 —
дифференциальное тождество полу пер винного кольца R характеристики ρ ^
0, где f(x\ хп) = F{xi ') — редуцированный многочлен.
Тогда F(zijej) = 0 — обобщенное тождество кольца Rjr, где
е,=е(Д,).
Сделаем предварительно несколько замечаний.
2.5.2. Замечание. Любой центральный идемпотент является
константой каждого дифференцирования. Действительно, если
е2 = е, то (ε2)μ = 1εεμ = εμ, поэтому 1ε2εμ = εεμ.
Следовательно, εεμ = 0, т. е. εμ = 1εεμ — 0.
2.5.3. Замечание. Любой идеал обобщенного центроида С
является дифференциальным, т. е. выдерживает любые дифферен-
120
2. Вопросы алгебраической зависимости
цирования. Действительно, ввиду регулярности С любой
идеал порождается своими идемпотентами, которые, как мы видели
выше, оказываются константами.
2.5.4. Замечание. Произвольное дифференцирование μ из
D (R) индуцируется на слои Qp (Q), причем индуцированное
дифференцирование μ принадлежит D(Qp (R)). Действительно, если
α £ kerpp, то е(а) £ р. Поэтому αμ = (αε(α))μ = αμε(α) ё
kerpp, т. е. формула ρν(χ)μ = Ρρ(χμ) определяет
дифференцирование μ корректно. Кроме того, если Ιμ С R, то (ΙΕ)μ С RE
и в силу непрерывности дифференцирований (ΙΕ)μ С RE.
Следовательно, ρν(ΐΕ)μ С Qv, т. е. по лемме 1.12.5 μ Ε D(i7p)·
2.5.5. Теперь дифференцирование μ 6 Р(Л) можно
рассматривать как одноместную операцию. Эта операция оказывается
строго пучковой. Условия (а), (в) строгой пучковости (см. 1.11.7)
очевидны, условие (б) проверяется непосредственно: если ~χμ =
у, то ρ Э е(х» - у) и / = 1 - е(х" - у) £ р, т. е. р <Е ?/(/),
причем (а;'' — y)f = 0 или (χ/)μ = у/, т. е. равенство χμ = у
справедливо на Q{U{f)), что и требуется.
2.5.6. Лемма. Пусть μι,. .. , μη — сильно независимое
множество дифференцирований из D(u), p — точка спектра та-
п
кая, что р 6 .Π ?7(β(μ,·)). Тогда μ^ . .. , μη — сильно незави-
1 = 1
симое множество дифференцирований слоя Qv.
Доказательство. Пусть, напротив, Σ ζίχμ' ~£оя+:е£о = 0
для всех χ 6 ί/ρ и подходящих ξ,·, £ο из кольца <2(£7р), причем
ξι ,έ 0. Можно найти элемент α слоя такой, что αξ,- £ Sp,
г = 0,1,... , η, αξι φ 0. Пусть αξ,· = 6,·. Тогда
TJ α£; · (ζα)'1' — αξ0χά + αχαξο — 0.
;;>ι
Это означает, что на слое истинен η + 2-местный предикат
Va: I 2_]biX^'a + 2_] 1>ίΧαμ' — boxa + axbo = 0 1.
Так как операции дифференцирования строго пучковые, этот
предикат тоже строго пучковый. Поэтому для некоторого е ^ р
2.5. Дифференциальные тождества полупервичных колец 121
и подходящих прообразов а, 6,- 6 .RZ? справедливо тождество
е · I Vj Ь{Х>*'а + 2_] ^χαμ' — Ьоха + axbo I = 0;
причем ee(6i) ^ р, так как &ι φ 0. Применив теорему 2.3.1,
находим βΙ\Ζ\αε(μ\) — 0, т. е. εβ(&ι)β(α)β(μι) = 0. Однако все
идемпотенты в этом произведении не принадлежат р и поэтому
оно не может обращаться в нуль; противоречие. D
Доказательство теоремы 2.5.1. Рассмотрим булево под-
кольцо в Е, порожденное всеми носителями элементов и
дифференцирований, участвующих в записи f(x\,... ,хп)- Пусть
ei, · · ■ , em — множество всех минимальных идемпотентов этого
кольца. Тогда {е^} — попарно ортогональные идемпотенты и
f(X) = Σ ekf{X) = Σ f{k4x), где через /(fc>(*) обозначено
выражение, получающееся из / заменой всех коэффициентов t
на efci и всех дифференцирований δ на бек. Понятно также, что
F(zijej) = Y^F^h\zijej). Таким образом, если мы докажем
теорему для тождеств f^k>{xi, ■ ■ ■ ,хп) = 0, то она будет
доказана и в общем случае. Переходя к рассмотрению кольца ekR,
можно считать, что e(t) = е(6) — 1 для всех t, δ, участвующих
в записи f(x\,... ,хп)- Так как любой идемпотент из Ε
является константой, тождество f(x\,... , хп) = 0 справедливо
также на кольце RE. Действительно, пусть f(a\,... , ап) φ 0, где
a, = Σ, bijCij, bij 6 R, eij £ E. В булевом кольце, порожденном
идемпотентами e,-j, e(f(a\,... , α„)), выберем минимальный
ненулевой идемпотент ео ^ e(/(ai,... ,an)). Тогда для любого
ец либо е,7-ео = ео, либо е,7ео = 0, и поэтому
0 φ e0/(ai,... , αη) = /(... , ]Ρ Ь^еце0, · · ·)
i
= /(·> Σ δΟ·.···)εο = 0;
здесь в последних суммах j пробегает множество Д· тех
индексов, для которых е,7ео = ео.
По лемме 1.6.6 f(x\, ■ ■ ■ ,хп) является тождеством
замыкания RE кольца RE в Q.
В силу предложения 1.12.3 Qp(Rjr) С (Gv{R))f- Применяя
гомоморфизм pv, находим, что на слое Qv справедливо тождество
f{x\,... ,хп) = 0, получающееся из / заменой всех коэффици-
122
2. Вопросы алгебраической зависимости
ентов их образами и заменой дифференцирований μ
индуцированными μ. Так как β(μ,) = 1, по лемме 2.5.6 f(x\ Хп) —
редуцированный многочлен, т. е. по теореме 2.4.1 F(zjj) = О —
тождество на слое QV(R?). Это означает, что область значений
F(z{j)l где переменные пробегают Rjr, содержится в пересечении
ядер всех pv, которое равно нулю. D
2.5.7. Следствие. Любое дифференциальное тождество,
выполняющееся ка полупервичном кольце R, будет выполняться
также на кольце R?.
Доказательство. Пусть ео,ег, ез, ·.. ,ер,... —попарно
ортогональные идемпотенты такие, что supep = 1 и кольцо epRj
р>0
имеет характеристику ρ (см. 2.1.1). Тождество f(X) = 0
выполняется на Rjr тогда и только тогда, когда все тождества
epf{X) = 0 справедливы на epRjr. Учитывая, что {epR)? =
epR^, достаточно установить справедливость следствия для
случая, когда кольцо R имеет характеристику ρ ^ 0. В силу
теоремы 2.1.7 и теоремы 2.5.1 остается заметить, что тривиальные
тождества (4)-(9) выполняются в Rj? очевидным образом. D
Теорема об алгебраической независимости
дифференцирований иногда оказывается полезной и в несколько иной
формулировке.
2.5.8. Следствие. Пусть Δι,. .. ,Ат — различные
правильные слова от сильно независимого множества
дифференцирований полупервичного кольца R. Если ка R выполняется
тождество вида /ι ' + · · · + fmm = 0, где f\ /m —
полилинейные обобщенные многочлены, то на R? выполняются
тождества β(Δι)/ι = 0,... ,e(Am)fm = 0.
Доказательство. Выделим некоторую переменную х\. Так
как тождество F{x\,...) = 0 эквивалентно двум: F(0,...) = 0
и F(x\,...) — F(0,...) = 0, без ограничения общности
можно считать, что Х\ встречается во всех многочленах /ι, ·.. , /m-
Придадим конкретные значения всем переменным, кроме χ\.
Исходное тождество приведем к редуцированному виду F(x1 ') =
0, где {Δ; | 1 <С г: <С п} — все подслова слов Δι Δ„,. Тогда
по теореме 2.5.1 на R выполнено тождество F(z\i) = 0. Пусть
Δι —старшее слово среди слов Δι,... ,Δη. Применяя формулу
Лейбница к выражению (а\Х\а,2)^1, мы видим что при приве-
дении к редуцированному виду выражение хх ' возникает
только из одночленов многочлена f\. Поэтому ^(гц,0 0) =
2.6. Существенные тождества
123
/ι(·£ιι),τ. е. β(Δι)/(2π) = 0 — тождество на Л. Далее
применяем индукцию (и следствие 2.5.7). D
2.5.9. Замечание. Следствие 2.5.8 в случае неполилинейных
тождеств выполняется не всегда. Например, в поле
характеристики ρ > О выполняется тождество (χρ)μ = 0 для любого
дифференцирования μ, в то время как хр φ 0. Тем не менее
рассуждения из доказательства следствия 2.5.8 показывают, что в
произвольном случае будут выполняться частичные
линеаризации тождеств е(А,·)/,' = 0 по каждой переменной.
2.6. СУЩЕСТВЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА
В этом параграфе мы рассмотрим полилинейные
дифференциальные тождества с автоморфизмами произвольных (не
обязательно полупервичных) колец с единицей.
Пусть f(x ι,... , хп) — произвольный полилинейный
дифференциальный многочлен с автоморфизмами и коэффициентами
из заданного кольца R:
Ι(Λ) - l_j aijr,wxn(l) aijr,wXn(2) ■■■ aijr,w ΙΛΟ·1)
ir£S„
2.6.1. Обобщенным мономом /π многочлена f(X),
отвечающим подстановке π, называется сумма всех одночленов,
встречающихся в записи f(X), порядок букв х,- в записи которых
фиксирован и равен Χπ(ΐ), · ■ ■ >χπ(η)-
г _ V^ „(0) -Sj.iAi.i _5>,«Δ.,η (")
J* — 2-j °0>,τ π(1) ■ ■ ■ тг(п) aijr,n-
Ясно, что f(X) разлагается в сумму своих обобщенных мономов.
В случае полупервичного кольца процесс приведения DA-много-
члена к редуцированному виду происходит независимо в каждом
из обобщенных мономов, так как ни одно из тождеств (1)-(10) не
меняет порядка следования переменных. Если в процессе
приведения все обобщенные мономы обратятся в нуль, то,,
естественно, / будет нулевым DA-многочленом. С другой стороны, часто
можно по данному (вообще говоря, не редуцированному) тожде-
124
2. Вопросы алгебраической зависимости
ству легко обнаружить ненулевые значения его обобщенных
мономов при конкретных значениях переменных. Это сразу дает
информацию о том, что /(-X") — не нулевой DA-многочлен, при
этом не требуется приводить его к редуцированному виду. По
этой причине полезно изучение тождеств, для которых имеется
достаточная информация о значениях обобщенных мономов.
2.6.2. Пусть f(X) — произвольный полилинейный
дифференциальный многочлен с автоморфизмами и коэффициентами из
данного кольца R. Ядром нетривиальности f называется
двусторонний идеал If кольца R, порожденный всеми значениями
всех обобщенных мономов. Аналогично ядром
нетривиальности множества Г = {fa(X)} называется идеал /г = Σ ^/«·
а
2.6.3. Тождество /(-X") = 0 кольца R называется
существенным, если If = R. Аналогично система тождеств называется
существенной, если ее ядро нетривиальности совпадает с R.
2.6.4. Теорема. Если кольцо R с единицей удовлетворяет
существенной системе полилинейных тождеств с
автоморфизмами, то в R выполняется обычное полиномиальное
тождество
τεδη
где коэффициенты ап можно выбрать равными ±1.
Мы докажем сначала эту теорему для первичного R, затем
с помощью канонического пучка перенесем на полупервичные
кольца (одновременно убедимся, что теорема справедлива и для
дифференциальных тождеств с автоморфизмами полупервично-
го кольца), и, наконец, при помощи метода Амицура получим в
общем виде.
2.6.5. Теорема. Если полупервичное кольцо с единицей R
удовлетворяет существенной системе ΌΑ-тождеств, то в R
выполняется некоторое стандартное тождество
Σ (-1)π2/π(1)2/π(2)---2/)Γ(η) = 0.
*€Sn
Доказательство. В случае первичного кольца приведем все
тождества к редуцированному виду F^a\x^'k '). Приэтомядро
2.6. Существенные тождества
125
нетривиальности системы не изменится. По теореме 2.3.1 в
кольце R справедлива система тождеств F*·"'fatf) = 0. Если левая
часть какого-то из этих тождеств равна нулю как обобщенный
многочлен, то нулевыми будут и его обобщенные мономы. С
другой стороны, обобщенные мономы многочлена F^a\x3ik^)
являются суммами обобщенных мономов многочлена F^a\zijk),
в которых проведены замены гць = хя{'к '. По этой причине
все обобщенные мономы соответствующего DA-многочлена
будут принимать нулевые значения на R. Таким образом, один из
многочленов F^^Zijk) не тривиален и можно воспользоваться
теоремой Мартиндейла. В силу этой теоремы и теоремы 1.15.1
Г' = {F^a\zijk)} — существенная система тождеств кольца
Rjr = L всех линейных преобразований пространства V над
телом Δ, имеющим конечную размерность над С. Пусть β —
размерность V над Δ. Обозначим через Ρ множество всех линейных
преобразований пространства V, ранг которого строго меньше β.
Покажем, что если β бесконечно, то в фактор-кольце L = L/P
не выполняется условие минимальности для односторонних
идеалов.
Пусть {е7,7 6 А} — некоторый базис пространства V и
А = Αι D Лг Э ... D Лп Э ... — бесконечная убывающая
цепочка подмножеств в А такая, что мощности А,\А{+\ равны
β, и пусть /„ = {ψ 6 L | εΊψ = 0 для всех η G Л\Л„}. Тогда
h + Ρ/Ρ D h + Ρ/Ρ D ... D /„ + Ρ/Ρ D ... есть бесконечно
убывающая цепочка правых идеалов кольца /. Действительно,
если 1п + Ρ = In+i + Ρ, то для преобразования ν такого, что
/е-,, -у €An\An+i,
^0 в противном случае,
мы должны получить представление ν = а + р, где а £ In+i,
ρ £ Р. Пусть V\ — подпространство, натянутое на {εΊ | -γ G
An\An+i}. Тогда V\ = V\v С Via + V\p = V\p. Однако
dimVi = β, a Vip_iC dim Vp < β] противоречие.
Заметим, что L — простое кольцо с единицей.
Действительно, чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что Ρ —
максимальный идеал. Если / ^ Р, то размерность VI равна β.
Пусть W = кег/ и W\ — некоторое дополнение W до V, т. е.
V = W®W\. Тогда / отображает W\ взаимно однозначно на VI
и размерность W\ равна β. Поэтому можно найти взаимно
однозначное линейное преобразование 1\:V —> W\ С V, при этом
1\1: V —¥ VI взаимно однозначно, т. е. найдется обратное отобра-
126
2. Вопросы алгебраической зависимости
жение/г: VI —¥ V. Доопределяя это отображение на дополнении
к VI, можно считать, что /2 £ L. Таким образом, если / ^ Р, то
/х//2 = 1 для подходящих /ι,/г 6 L, т. е. Ρ — максимальный
идеал. _
Так как L — простое кольцо с единицей, оно совпадает со
своим мартиндейловским кольцом частных и в нем выполняется
система тождеств Г", получающаяся заменой всех
коэффициентов их образами при естественном гомоморфизме L —»· L. Ядро
нетривиальности системы Г" равно гомоморфному образу ядра
/г', и поэтому среди тождеств Г" имеются нетривиальные. По
теореме Мартиндейла L —примитивное кольцо с ненулевым
цоколем. Более того, так как Ljr = L, заключаем, что L — кольцо
всех линейных преобразований некоторого векторного
пространства У_над телом Δ. Так как L — простое кольцо,
размерность V над Δ должна быть конечной (в случае бесконечной
размерности преобразования ранга, строго меньшего
размерности, образуют идеал). В частности, в L выполняется условие
минимальности для односторонних идеалов. Мы видели выше,
что это невозможно для бесконечного β.
Таким образом, Rjr = L — кольцо всех линейных
преобразований конечномерного пространства V над телом Δ, причем
размерность Δ над С тоже конечна. Следовательно, L
конечномерно над С, в частности в кольце L. Поэтому в R выполняется
некоторое полиномиальное тождество. Например, если т —
размерность L над С, то выполнено стандартное тождество степени
т+ 1:
Sm + l (X) = 2J ( — ΐΥχπ{1) · · · · ' Zjr(m+1) = 0.
π
Рассмотрим случай полупервичного кольца. Пусть р —
произвольная точка спектра. Достаточно показать, что на слое Qv
выполняется некоторая система тождеств Гр, ядро
нетривиальности которой совпадает с Qv. Действительно, под
доказанному выше в этом случае на слое будет истинен некоторый
предикат Van .. .xnSn{xi, ■ ■ ■ ,Χη) = 0, где η = п(р). Так как
(см. 1.11.16) это — строго пучковый предикат, найдется
окрестность Uv точки ρ такая, что этот предикат истинен на кольце
сечений Q(UV). Так как спектр образует компактное пространство
(см. 1.9.13) и он имеет открытое покрытие X = UUV, можно
найти и конечное подпокрытие X = UUVk. Пусть г = maxn(pfc).
к к
Тогда на кольце глобальных сечений будет выполнено стандарт-
2.6. Существенные тождества
127
ное тождество Sr(x\,... ,хп) = О, что и требуется (см. также
следствие 1.11.20).
Для построения системы тождеств Гр приведем все
тождества из Г к редуцированному виду ^<а)(а;?'*Л,е,й) = 0. При
этом ядро нетривиальности системы не изменится. По
теореме 2.3.1 в кольце R? справедлива система тождеств
Г' = {F^\zikjeikea) = 0},
где ej — e(Aj). Заметим, что обобщенные мономы многочлена
являются суммами обобщенных мономов
F^a>{zikj£ikej), в которых проведены замены Zj^j = х?'к '
(напомним, что ej можно определить как наименьший идемпотент
такой, что ejy^' = ?/Δ> для всех у). Это означает, в частности,
что ядро нетривиальности системы Гр содержит ядро
нетривиальности системы Г, т. е. Г' — существенная_система. Теперь
в каждом слое Qv{Rjr) выполняется система Гр, полученная из
Г' заменой всех коэффициентов их образами при естественном
гомоморфизме. При этом ядро нетривиальности полученной
системы будет образом ядра нетривиальности Г', т. е. оно будет
содержать единицу. Таким образом, Гр — искомая
существенная система. D
Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 2.6.4
при помощи_ метода Амицура. Рассмотрим полное прямое
произведение R = Y[ Ra, где А — множество счетных последова-
αζΑ
тельностей элементов, принадлежащих R, Ra = R. Если ψ £ R,
то положим у?9(α) = (φ(α))9, где д — автоморфизм Д. В кольце
R выполняется система тождеств Г', полученная из Г заменой
коэффициентов α на У[ аа, где аа = а. При этом единица коль-
а£А
ца R будет лежать в идеале /г', т. е. Г' — существенная система
тождеств R.
Пусть 93 — радикал Бэра кольца R. В силу теоремы 1.1.4(6)
ЯЗ — наименьший полупервичный идеал._Однако Ъ9 также
полупервичный идеал, поскольку R/Ъ9 ~ R/Ъ и, следовательно,
ЯЗ9 С ЯЗ Применяя к этому включению автоморфизм д~1,
получим ЯЗ Э Ъ9 , т. е. снова в силу минимальности ЯЗ = Ъ9 .
Таким образом, радикал Бэра инвариантен относительно всех
автоморфизмов кольца R, т. е. ^действие всех автоморфизмов
индуцируется на фактор-кольцо R/Ъ.
128
2. Вопросы алгебраической зависимости
На этом фактор-кольце выполняется существенная система
тождеств Г", полученная заменой коэффициентов их образами
при естественном гомоморфизме и заменой автоморфизмов
индуцированными. В силу теоремы 2.6.5 фактор-кольцо
удовлетворяет некоторому стандартному тождеству Sm.
Выберем элементы ψ\,... ,ipm так, что у?;(а) = a{i).
Имеем 5m(vi, ■ ■ ■ ,<рт) 6 В- Так как Ъ состоит из нильпотентных
элементов (см. 1.1.9), для некоторого к справедливо равенство
Sm(v>i Ψτη) = 0. Выбирая а = (χι,... , хт,...)
произвольно, получаем 0 = S£,(y?i,... ,<рт)(а) = S£,(xi,... ,xm),
т. е. в кольце R выполняется некоторая степень стандартного
тождества. Теорема 2.6.4 доказана. D
2.6.6. Замечание. Единственная причина, по которой в
формулировке теоремы 2.6.4 мы отказались от дифференцирований,
состоит в том, что радикал Бэра может оказаться не
дифференциальным идеалом, что делает невозможным прямое применение
метода Амицура. Интересно было бы как-то преодолеть это
препятствие. Ситуация выясняется в том случае, когда R не имеет
аддитивного кручения.
2.6.7. Лемма. Если кольцо R не имеет аддитивного кручения,
то радикал Бэра ®(Д) является дифференциальным идеалом.
Доказательство. В силу теоремы 1.1.4 (а) достаточно
показать, что сумма всех нильпотентных идеалов *Xli является
дифференциальным идеалом и фактор-кольцо R/4\i не имеет
аддитивного кручения. Второе утверждение очевидно: если пх 6 9ΐι,
то идеал п(х), порожденный τιχ, нильпотентен: пт(х)т = 0.
Поэтому (х)т = 0, т. е. χ 6 9ΐι. Пусть μ — некоторое
дифференцирование, а £ 9U. Тогда идеал (а), порожденный
элементом а, нильпотентен: (а)т = 0. В частности, для любых
χι,... , хт 6 Л U {1} выполняется равенство
{χ\ά){χ2θ) ... (хта) = 0.
Продифференцируем это равенство т раз:
]Г ηαμα4χ1α)μ0"(χ2α)...μ°"»(χ,ηα) = 0,
<*i + ...+orm=m
где па — некоторые целые коэффициенты. Среди всех этих
слагаемых только одно — ημ(χια).. . μ(χ„,α) — не содержит
сомножителя вида ха, т. е. ημ{χ\ά)... μ{χγηα) £ (α) Так
как μ(χα) = μ(χ)α + χμ(α) Ξ χμ(α) (mod(α)), выполняется
2.7. Некоторые применения
129
включение ηχ\μ(ά)χ2μ(α).. .χγημ{α) £ (α). Это означает, что
идеал, порожденный ημ(α), нильпотентен по модулю (а), т. е.
nm(/i(a))m2 С (а)т = 0. Таким образом, μ(α) G 9ti, что и
требуется доказать. D
Учитывая замечание 2.6.6, получаем следующую теорему.
2.6.8. Теорема. Если кольцо R с единицей удовлетворяет
существенной системе полилинейных дифференциальных
тождеств с автоморфизмами и в R нет аддитивного кручения,
то в R выполняется полиномиальное тождество.
2.7. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые
непосредственные следствия теорем об алгебраической независимости
автоморфизмов и дифференцирований.
Напомним, что кольцо R называется ΡΊ-кольцом, если
существует некоторый многочлен f(X) с целыми коэффициентами,
один из которых при одночлене наивысшей степени равен
единице, тождественно обращающийся в нуль на R:
53 а{Х{1Х{,...Х{„ = 0.
• = (»1 'т)
2.7.1. Теорема. Пусть G — конечная группа автоморфизмов
кольца R, не имеющего аддитивного \0\-кручения. Если под-
кольцо неподвижных элементов — PI-кольцо, то R также
Р1-кольцо.
Доказательство. При помощи операторов Δ^ (см.
формулу (1.13.2)) легко построить полилинейный многочлен,
обращающийся в нуль на кольце неподвижных элементов, один из
коэффициентов которого равен единице:
f(xi,... ,xm) - 22 απχπ(ι) ...х„(т) = 0.
Будем считать для определенности, что коэффициент αχ,
отвечающий единичной подстановке, равен единице. Предположим
сначала, что кольцо R обладает элементом 7, слеД которого
ί(7) = Σΐβ равен единице (т. е. R имеет также и единицу).
Так как для любого χ 6 R элемент t(x) принадлежит кольцу
130
2. Вопросы алгебраической зависимости
неподвижных элементов RG, в кольце R выполняется тождество
с автоморфизмами
^απί(χπ(1))ί(χπ(2)).. .<U(m)) = 0, (2-7.1)
обобщенный одночлен которого, отвечающий единичной
подстановке, имеет вид t(xi)t(x2) ■ ■ Л(хп). Подставляя Х\ = хг =
... = хт = 7, получим, что (2.7.1) — существенное тождество,
т. е. по теореме 2.6.4 R — Ρ/-кольцо. Для завершения доказаг
тельства теоремы достаточно вложить кольцо R, не имеющее
аддитивного |0|-кручения, в кольцо R\, содержащее элемент тщ
(так как t(rL·) = 1), кольцо инвариантов которого
удовлетворяет полиномиальному тождеству. Это делается стандартным
образом. Рассмотрим множество формальных выражений вида
г -4- тп
г—, где г £ R, т, к — целые числа, к > 0, τι = \G\. Счи-
71
r + m n+mi к . fci k
таем г— = г , если η γτ = nKr\, nKlm = η гщ, и
пк τι*1
определяем операции сложения и умножения как обычно:
r + т г\ + т\ nklr + nkri + (nklm +nkmi)
Пк Tlkl 7l*+*i
r + m r\ + mi (rri + rm\ + rim) + rami
71* Tl^i 7l*+*i
Легко видеть, что таким образом получится кольцо, причем ото-
г + 0
бражение г —у будет вложением R С Ri (здесь нужно
воспользоваться отсутствием аддитивного τι-кручения). Действие
группы G распространяется на Ri по формуле
9 _д
(г + ту _
ry + m
г + т г9 + т k _
Для неподвижного элемента имеем г— = г—, т. е. η г
71* 71*
τι* г9 или г = г9. Это означает, что коммутатор [у, ζ] = у ζ — zy
неподвижных у, ζ £ Ri лежит в кольце инвариантов R. Поэтому
в кольце RG имеем f([yi,zi],... ,[ут,гт]) = 0. D
Заметим, что в первой части доказательства мы не
использовали ограничение на аддитивную структуру кольца R.
Теорема 2.6.4 также использовалась не в полном объеме. Так что
2.7. Некоторые применения
131
можно сформулировать более общее, хотя и менее изящное
утверждение.
2.7.2. Теорема. Пусть G — конечная группа
автоморфизмов кольца R с единицей. Если идеал t(R) кольца RG
удовлетворяет полиномиальному тождеству степени т и 1 £
Rt(R)mR, то R — ΡΙ-кольцо.
2.7.3. Автоморфизм s алгебры R над полем F называется
алгебраическим, если существует полином φ(ί) £ F[t] такой, что
^>(s) = 0 в кольце Endj-Д (т. е. s — алгебраический элемент,
рассматриваемый как линейное преобразование пространства R
над полем F).
Следующий результат при несколько более жестких
ограничениях получен В. Е. Барбаумовым.
2.7.4. Следствие. Пусть s — алгебраический автоморфизм
алгебры R над полем F такой, что единица не является
кратным корнем минимального многочлена. Если подалгебра
инвариантов s удовлетворяет полиномиальному тождеству, то
R — Р1-алгебра.
Доказательство. Пусть <p(t) = α0 + ait + ... + antn —
минимальный многочлен для s. Тогда аоа + a\axs + ... +
anaxs = О для всех а, х 6 R. Это означает, что верно
включение (аоа апа) 6 V^s0^1 s"})· Поэтому в силу
леммы 1.3.4 идеал R<p(l) является нильпотентным. Если φ(1) ф О,
то этот идеал совпадает с Л, и доказывать больше нечего.
Таким образом, в дальнейшем можно считать, что φ(1) = 0 и
^>(ί) = (t — l)if>(t), причем ф(\) ф 0. Так как <p(s) — 0, имеем
ip(s)s = ip(s), т. е. a^(s) — неподвижный элемент для
любого а £ R. Пусть R* = R Θ F — алгебра, полученная из R
внешним присоединением единицы. На Л* распространим
действие s, полагая (а + a)s = as + а, а 6 R, а 6 F. Пусть
f(x\,... , хп) = 0 — полилинейное тождество, выполняющееся
в подалгебре неподвижных элементов. Тогда в подалгебре
неподвижных элементов алгебры Л* выполняется полилинейное
тождество
g(xi,yi,... ,Хт,Ут) = f([xi,Vl] [Хт,Ут]) = 0.
Это означает, что на R* выполнено тождество с автоморфизма-
ми Λ ξ g(xi(s\yi(s] xt(s\yt(s]) = 0. Некоторые обоб-
132
2. Вопросы алгебраической зависимости
щенные мономы многочлена h имеют вид
απΧπ(1)»π(1) ■ ■ ·Χπ(Γη)»π(Γη)
В частности, Ih(R&) содержит аж
F. Поэтому 1 £ h, т. е. по теореме 2.6.4 кольцо Л*
(следовательно, R) удовлетворяют полиномиальному тождеству. D
2.7.5. Дифференцирование μ полупервичного кольца
называется внешним, если μΟ Π Dj„t = 0, т. е. если ни для какого с £ С
произведение μο не может быть ненулевым внутренним
дифференцированием. Это определение эквивалентно тому, что
одноэлементное множество {μ} сильно независимо.
2.7.6. Лемма. Любое дифференцирование μ полупервичного ко·
льца разлагается в прямую сумму внутреннего /iint и
внешнего /iext дифференцирований:
μ = Wnt + Aiext, e(/iint)e(/iext) = 0.
Доказательство. Рассмотрим точную последовательность
гомоморфизмов С-модулей
О -»· D>int Γ\μΟ-+μΟ-+ μΟ/Βίηί Π μΟ -»· 0.
По лемме 1.6.20 предпоследний модуль в этой цепочке проекти·»
вен и инъективен, т. е. цепочка расщепляется, и поэтому μΟ —
AiintCe/iextC. Имеем /хех4СПЮ>;п4 £ (μΟΠΏ>-ιηί) П/хех4С = 0.
Кроме того, /iintC ~ е(/х;п4)С и μβχί(7 ~ e(/iext)C. Следоваг
тельно, e(/iint)e(/iext) = 0. D
2.7.7. Эндоморфизм φ абелевой группы (Q, +) называется
алгебраическим, если существует многочлен
η
f(t)=J2nti,r1,...,rn£Q,
»=ι
такой, что Σ, Γ'ψ' = Οι причем коэффициенты Γι,... , гп
порождают идеал, имеющий нулевой аннулятор в Q, т. е.
sup{e(r!),... ,e(rn)} = 1.
2.7.8. Теорема. Любое алгебраическое дифференцирование μ
полупервичного кольца R без аддитивного кручения является
внутренним для Q.
2.7. Некоторые применения
133
Доказательство. Пусть J2 τ^μ' = 0 для подходящих г, 6
Q, т. е. в кольце R выполняется дифференциальное тождество
^2τ,χμ = 0. Пусть μίηί = ad£. Тогда имеем редуцированное
тождество
Следовательно, по теореме 2.3.1 справедливо тождество
]TVt(x(ad£)1) + ]Г]пе(/хех02* = °,
подставив в которое χ = Zj = 0, j φ г'о, получим г,0 e(/iext) =
0. Таким образом, идеал, порожденный элементами г1?... ,г„,
аннулирует идемпотент e(/iext), т. е. e(/iext) = 0 = /iext· Это
означает, что μ = μιηί — внутреннее дифференцирование, что и
требовалось доказать. D
Отметим, что теорема 2.7.8 допускает усиления. Можно,
например, требовать алгебраичность μ только на некоторых под-
кольцах (или термальных множествах).
2.7.9. Следствие. Пусть R — первичное кольцо
характеристики 0. Предположим, что ограничение дифференцирования
μ на некоторый ненулевой левый идеал Rb алгебраическое.
Тогда μ — внутреннее для Q дифференцирование.
Доказательство. Аналогично предыдущему получаем
редуцированное тождество (при этом в случае первичного кольца
либо μ = /iint, либо μ = /iext)
5>,(χ&Η0') + 53г,-х"««ь +... = о,
откуда r,-2&e(/iext) = 0 для всех г. Поэтому /iext = 0. D
2.7.10. Пусть £ —дифференциальная С-подалгебра Ли в O(R)
и Ф(£) обозначает ассоциативное подкольцо в End(Q,-|-),
порожденное £ и операторами левых умножений 1С на элементы
с G С. Пусть £jnt — совокупность всех внутренних
дифференцирований из £ и Ш5(£) обозначает ассоциативную С-подалгебру
в Q, порожденную элементами, соответствующими
дифференцированиям из £int. В дальнейших следствиях считаем, что R
имеет характеристику ρ ^ 0.
2.7.11. Следствие. Если дифференцирование μ принадлежит
Ф(£), то существует элемент δ £ С такой, что μ—δ — вну-
134
2. Вопросы алгебраической зависимости
треннее дифференцирование и соответствующий элемент из
Q принадлежит Ш!(£). >
Доказательство. По условию имеем μ = φ{&\, ■ ■ ■ ,δ„), где
δχ,... ,δη £ С, φ — некоторый многочлен с коэффициента
ми из 1с- Приведем выражение χ^ι.···.*») к
редуцированному виду a;/(<5i'"'<5m) Тогда / будет многочленом с
коэффициентами из 1щс)Тж(С) (записываемыми справа от слов, здесь'
Г(, обозначает оператор правого умножения на 6). Рассмотрим
С-модуль М, порожденный (сильно независимым) множеством
дифференцирований δ[ 6'т, и пусть Μ' = Μ + μΟ. Пусть
M(nt — подмодуль внутренних дифференцирований из М'. То-,
гда M{nt Π Μ = О, так как δ[,... , 6'т — сильно независимое
множество. В силу леммы 1.6.20 конечно порожденный
подмодуль А = M'/M{nt модуля EndQ/ID>int является
проективным, и поэтому расщепляется точная последовательность 0 -4
M?nt —¥ Μ' —>· А —¥ 0. В частности, M(nt — конечно
порожденный, а поэтому инъективный подмодуль. Таким образом,
инъективный подмодуль Μ + Μ/ηί выделяется из М' прямым
слагаемым М' = (М + M{nt) φ μ'С. Можно также считать,
что μ = μ'(τηοάΜ + M(nt), т. е. μ = μ' + δ + ad£, где
δ = Υ^δ'{\ϊ £ £, λ,· £ С, ξ 6 Q. По построению множество
(${,... ,S'm, μ', является сильно независимым. Поэтому
тождество xad£ + χμ + Σ XiX6' — χ'('<) = 0 редуцированное. Так
как в его записи дифференцирование μ' встречается только один
раз, по теореме 2.3.1 в R справедливо тождество
xadi + ye(/i') +53 λ,-β(ίί)^ + F(zihx) = 0, (2.7.2)
подставляя в которое χ = г,- = г.-j = 0, получаем β(μ') = 0,
т. е. μ' = 0. Таким образом, μ — δ = ad ξ. Подставив г,- =
Zij = 0 в (2.7.2), приходим к равенству xad£ = χ X^'b^d,, где
bi,di £]BS(£). Следовательно,/ξ—г^ = Σ^^^- Учитывая, что
Iqtq ~ Iq ®c rQ, получаем равенство Ιξ = Σ с,7ы, где a G С.
Поэтому ξ = Σ а Ь{ <Е В(£). D
2.7.12. Следствие. Пусть £ — дифференциальная С-подал-
гебра Ли в Ю>(Д), где R — полупервичное кольцо
характеристики ρ ^ 0, С — его обобщений центроид. Если £ не
содержит ненулевых внутренних для Q дифференцирований,
то Ф(£) изоморфна универсальной обертывающей для £.
Доказательство. Пусть Τ — тензорная алгебра
пространства L = £ + 1с над полем F центральных констант. Тожде-
2.7. Некоторые применения
135
ственное отображение L —>· L определяет эпиморфизм
ассоциативных F-алгебр ζ: Τ —¥ Ф(£) Пусть А — некоторая
ассоциативная обертывающая для С, Тогда существует С-линейный
гомоморфизм (ограниченных) алгебр Ли £л: С —у А^ такой,
что действие С на, С совпадет с действием £л(£) и множество
£yi(£) вместе с пространством 1 ■ С порождает А как
ассоциативную алгебру. Отображение £л продолжим на L, полагая
£л(/с) = 1 · с. Тогда £а продолжается до гомоморфизма
ассоциативных алгебр ψ: Τ —у А. Достаточно показать, что ядро ζ
содержится в ядре ψ. Если / £ Т, то / можно рассматривать как
формальный ассоциативный многочлен от дифференцирований с
некоммутирующими коэффициентами из 1с. При этом условие
/ 6 кег ζ означает, что в кольце R выполняется линейное
дифференциальное тождество χ! = 0. По теоремам 2.1.7 и 2.3.1 это
тождество вытекает из тождеств вида (4)-(9). (Отметим, что
нетривиальных линейных обобщенных тождеств не существует,
см. следствие 2.2.11.) Таким образом, осталось показать, что
элементы Т, соответствующие тождествам (4)-(9), принадлежат
ядру ψ- Элементы, соответствующие тождествам (4), (6), (7),
(9), лежат в ядре ψ, поскольку £л — С-линейный гомоморфизм
ограниченных алгебр Ли. Тождеству 5 соответствуют элементы
вида Ιαμ — μΙα = h», которые при действии ·φ переходят в
элементы вида (1л ■ ο)(μξΑ) — (^л)с- 1л ■ ομ = с^4' — ομ = 0.
Тождества вида 8 отсутствуют, так как по условию £ не
содержит ненулевых внутренних для Q дифференцирований. D
2.7.13. Следствие. Пусть G — конечная группа
автоморфизмов полупервичного кольца R и μ — дифференцирование R,
действующее тривиально на кольце инвариантов R . Если
e(t(R)) = 1, то μ — внутреннее дифференцирование для Q;
здесь ί(χ) = Σ, χ9 ■
g€G
Доказательство. Пусть р — произвольное простое число
или нуль, ер — соответствующий ему идемпотент (см. 2.1.1).
Приведем выражение ept(x) = Σ epxg к редуцированному ви-
g€G
ду Y^aijXg'bijei. Пусть μ = ad£ + μ6Χί. Тогда в кольце epR
выполняется соотношение
ept(xY = 5>&***У + 4}*я%)ъ
136
2. Вопросы алгебраической зависимости
ij *,3
По теореме 2.3.1 получаем тождества в epR:
5^ауу6уе<е(^ехО — 0.
j
Подставляя в эти тождества вместо у элементы x9i и суммируя
по всем г, получаем
0 = 5Z ау χ£" 6<ie(/iext )е< = ep<(a;)e(/iext).
»'i
Так как е(<(Л)) = 1, имеем epe(/iext) = 0. Поэтому μ6Χί = 0,
поскольку sup {ep} = 0. D
Отметим, что условие e(t(R)) = 1 эквивалентно тому, что
аннулятор идеала Rt(R)R в кольце R равен нулю. Это
условие выполняется, если, например, в кольце R нет аддитивного
lGI-кручения. В этом случае уже аннулятор множества t(R)
равен нулю (см. лемму 1.3.4).
Источники
С. Амицур [4-6]; В. Е. Барбаумов [13]; К. И. Бейдар [15]; К. И. Бей-
дар, А. В. Михалев [16]; У. Мартиндейл [80]; Е. Познер [109];
Л. Роуэн [115]; В. К. Харченко [127, 129, 131, 133, 136, 138, 140].
Глава 3
Группы автоморфизмов
первичных колец
Под построением теории Галуа в некотором классе колец обычно
понимается доказательство теоремы о соответствии между
определенными типами конечных (или приведенно конечных) групп
автоморфизмов и определенными типами подколец из данного
класса.
Пусть R — кольцо, S — подкольцо и G — некоторая
группа автоморфизмов (т. е. подгруппа группы всех автоморфизмов)
кольца R. Элемент а £ R называется G-инвариантом, если
а9 = а для каждого д 6 G. Множество всех G-инвариантов
обозначается через RG или через 1(G). Множество всех
автоморфизмов, для которых элементы S служат инвариантами,
обозначается через A(S). Ясно, что I (G) является подкольцом
кольца R и A(S) есть некоторая группа автоморфизмов.
Как и в классическом случае полей, группа A(S) называется
группой Галуа кольца R над S. Подкольцо S называется
подкольцом Галуа в R, a R — расширением Галуа кольца S, если
5 = 1 (G) для некоторой группы автоморфизмов G.
137
138 3. Группы автоморфизмов первичных колец
Соответствия G —¥ I (G) и S —> A(S) обращают
отношения включения, т. е. если G\ С G2, то I(Gi) Э I (G2) и
если Si С S2, то .A(Si) Э i4(S2). Кроме того, .A(I(G)) Э
G, 1{A{S)) 2 S, откуда получаем I(A(I(G))) = 1(G) и
j4(I(j4(S))) = A(S). Таким образом, указанные отображения
задают взаимно однозначное соответствие между группами Га-
луа и подкольцами Галуа. Поэтому группы A(S) и подкольца
I (G) представляют основной интерес в теории Галуа.
Для того чтобы доказать теорему о соответствии в некотором
классе колец 21, необходимо (и достаточно) ответить на
следующие вопросы:
1. При каких условиях подкольцо неподвижных элементов для
группы G автоморфизмов кольца R £ 21 принадлежит 21?
2. Когда группа G, удовлетворяющая условиям вопроса 1, будет
группой Галуа?
3. Когда промежуточное кольцо S £ 21, I (G)C SCR,
является подкольцом Галуа?
Аналогичный подход возможен и для исследования
дифференцирований. В этом случае роль объектов Галуа играют
дифференциальные (ограниченные) Z-алгебры Ли и подкольца
констант таких алгебр. При этом возникают те же основные вопросы
1-3, что и для групп.
В гл. 3-5 мы займемся построением теории Галуа для
автоморфизмов и дифференцирований в классах первичных и
полупервичных колец. Как и выше, мы будем рассматривать
несколько более общую ситуацию, считая, что автоморфизмы
принадлежат А (Л), а дифференцирования — Ю>(Д) (см. 1.7).
3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть R — первичное кольцо, G — некоторая группа
автоморфизмов. Напомним, что Фд обозначает множество элементов
ψ £ Rr таких, что χφ = ψχ9 для всех χ £ Rjr (см. 1.7.5, 1.7.6).
Для таких множеств выполняются соотношения ФдФ/, С Фд/,, из
которых следует, что Фд — линейное пространство над
обобщенным центроидом С кольца R. Более того, согласно следствию
1.7.9 Фд будет ненулевым, только если д — внутренний для Q
автоморфизм.
3.1. Основные понятия
139
3.1.1. Алгеброй группы автоморфизмов G называется С-алгеб-
paB(G) = Σ Фд. Таким образом, алгебра группы имеет базис
g€G
из элементов, соответствующих внутренним для Q
автоморфизмам, т. е. представляет собой внутреннюю часть группы в
кольцевом виде. Если G — конечная группа, то ее алгебра M[G)
будет конечномерной над С. Конечный порядок будет иметь
также фактор-группа Gj' Gmt> гДе ^int — нормальная
подгруппа внутренних для Q автоморфизмов.
3.1.2. Группа G называется приведение конечной, если ее
алгебра Ш (G) конечномерна, а фактор-группа G/Gmt конечна.
Число dime Ш[G) ■ \G/Gmt\ называется в этом случае
приведенным порядком группы G.
3.1.3. Приведенно конечная группа G называется Μ -группой
[группой Машке), если ее алгебра полупервична (или, что
эквивалентно, полупроста).
3.1.4. Группа G называется N-группой [группой Нётер), если
каждый внутренний автоморфизм кольца Q, отвечающий
обратимому элементу из M[G), принадлежит G.
3.1.5. Лемма. Любая группа Галуа является группой Нётер.
Доказательство. Пусть G = A[S). Если s G S, то βψ =
ips9 = y?s для всех g £ G, ψ 6 Фд, т. е. Фд (следовательно,
и M[G)) поэлементно перестановочны с подкольцом S. В
частности, если Ь — обратимый элемент из M[G), то внутренний
автоморфизм Ь[х) = 6-1х6 действует тождественно на S, т. е.
Ь £ G, что и требуется доказать. D
Значение групп Машке выяснится позднее (см. 3.6). Теперь
мы переходим к центральному понятию.
3.1.6. Группа Машке G называется регулярной, если она
одновременно является группой Нётер.
3.1.7. Регулярная группа G называется вполне регулярной, если
ее алгебра проста.
Отметим, что все эти понятия (кроме приведенного порядка)
касаются только внутренней части группы G. Следовательно,
любая конечная группа автоморфизмов, не содержащая
неединичных внутренних для Q автоморфизмов, будет вполне регу-
140
3. Группы автоморфизмов первичных колец
лярной. Такую группу естественно называть (конечной) группой
внешних автоморфизмов.
Основные понятия, касающиеся подколец, мы введем ниже.
Остановимся здесь только на понятии конечности идеала над
подкольцом. В классической теории Галуа важное значение
имеет тот факт, что поле имеет конечную размерность над подполем
Галуа. В общей ситуации этот факт не имеет места, но
некоторое соотношение конечности (возникшее в работе А. И. Ширшова
при исследовании колец с полиномиальными тождествами) в
ряде случаев справедливо и также играет важную роль.
3.1.8. Подкольцо А кольца R называется конечным (справа) в
смысле Ширшова нас? подкольцом D С Rt если существуют
элементы г\,. . . , гп 6 R такие, что А С r\D + .. . + rnD.
3.1.9. Двусторонний идеал / кольца R называется локально
конечным (справа) над подкольцом D С Rt если любой конечно
порожденный правый идеал кольца R, лежащий в /, является
конечным в смысле Ширшова подкольцом над D.
3.2. ГРУППЫ ВНЕШНИХ АВТОМОРФИЗМОВ
Этот параграф носит вспомогательный характер. Все
утверждения, приводимые в этом параграфе, будут далее установлены
в более общей форме. Однако разобранные здесь частные случаи
указывают направления нашего дальнейшего исследования, при
этом их доказательства просты благодаря результатам из гл. 2.
3.2.1. Теорема. Пусть G — конечная группа внешних (для Q)
автоморфизмов первичного кольца R. Тогда централизатор
кольца инвариантов R в кольце частных R? равен
обобщенному центроиду С.
Доказательство. Пусть элемент а перестановочен со всеми
неподвижными элементами кольца R. Тогда справедливо
тождество с автоморфизмами
а Σχ3 - Σ χ3°= ° (3-2Л)
g€G geG
при всех χ 6 R таких, что х9 6 R для любых g G G. Так как
G С A(R) и G конечна, существует двусторонний идеал / φ 0
3.2. Группы внешних автоморфизмов
141
такой, что I9 С R для всех д 6 G, т. е. (3.2.1) — тождество на /.
По теореме 2.2.2 имеем о®1-1®а = 0,т,е, о£С, Π
3.2.2. Теорема. Любая конечная группа внешних
автоморфизмов первичного кольца является группой Галуа.
Доказательство. Пусть h — произвольный автоморфизм
h 6 А(Л), действующий тривиально на RG, т. е. h £ AI(G).
Так же, как в теореме 3.2.1, найдем ненулевой идеал /, на
котором выполняется тождество с автоморфизмами
Σx9h - Σχ9 = °·
g€G g£G
Это тождество не может быть редуцированным, так как по
теореме 2.2.2 было бы верно равенство 1 ® 1 = 0.
Нередуцированность этого тождества означает, что один из автоморфизмов
(gih)(gjh)~1 = gigj1, {gih)g^1, g{ φ gj £ G, является
внутренним. Пусть gthg^ = b. Тогда 6 6 AI(G). Следовательно,
b перестановочен со всеми неподвижными элементами, т. е. по
теореме 3.2.1 6 = 1. Таким образом, h = g~lgk £ G. D
3.2.3. Теорема. Кольцо инвариантов конечной группы
внешних автоморфизмов первичного кольца является первичным.
Доказательство. Пусть aRGb = 0. На некотором идеале
Ι Φ 0 справедливо тождество α Σ, χ9^ = 0, и по теореме 2.2.2
g€G
а ® b = 0. Поэтому а = 0 либо 6 = 0. D
3.2.4. Теорема. Пусть G — конечная группа внешних
автоморфизмов первичного кольца R. Тогда существует
ненулевой локально конечный над R идеал кольца R.
Доказательство. В силу теоремы 1.7.10 существуют
элементы tj, Vj такие, что
j i
для всех g £ G, g φ 1. Полагая τ(χ) = Σ χ9, получаем
g€G
ax = ^2tjT(vjx).
j
142 3. Группы автоморфизмов первичных колец
Если χ пробегает идеал / такой, что Iя С R для всех д £ G,
то αϊ С Y^tjRG. Осталось заметить, что идеал Ral локально
конечен над RG, так как Σ Γ·α/ С J^ rtfjR . D
• 'J
3.2.5. Теорема. Пусть G — конечная группа внешних
автоморфизмов и R Э S Э Я . Тогда любой изоморфизм
φ: S —¥ R, тождественный на R , продолжается до
автоморфизма из G.
Эту и следующую несколько более сложную теорему мы
выведем ниже из общих результатов (см. 3.9, 3.11).
3.2.6. Подкольцо S называется рационально полным в
первичном кольце R, если условие Ах С S для x£RhQ^A<S
влечет χ £ 5. Легко видеть, что для первичного подкольца S
это условие эквивалентно равенству Sjf Π R = S
3.2.7. Теорема. Пусть G — конечная группа внешних
автоморфизмов, R Э S Э R . Тогда S — подкольцо Галуа в R
тогда и только тогда, когда оно рационально полное.
Приведенные теоремы позволяют сформулировать теорему о
соответствии для внешних групп (см. теорему 3.10.2, ниже).
Естественно в общих чертах выяснить ситуацию для другого
крайнего случая — внутренних автоморфизмов. Так как
кольцо инвариантов приведенно конечной группы внутренних
автоморфизмов совпадает с централизатором конечномерной
алгебры Ш (G), необходимо исследовать централизаторы
конечномерных алгебр в первичных кольцах. Это тем более важно, что
практически любая конечномерная алгебра с единицей
порождается своими обратимыми элементами и поэтому может служить
алгеброй некоторой приведенно конечной группы (исключение
составляют только алгебры над двухэлементным полем GF(2),
фактор-алгебры по радикалу которых имеют два и более прямых
слагаемых, изоморфных GF(2)).
3.3. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ
КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБР
3.3.1. Конечномерная алгебра с единицей В над полем С
называется централизуемой, если для любого первичного кольца R
с обобщенным центроидом С такого, что В С Q(R), централи-
3.3. Централизаторы конечномерных алгебр 143
затор В в R отличен от нуля. Конечномерная алгебра с
единицей называется фробениусовой, если она имеет невырожденную
ассоциативную билинейную форму. Алгебра В называется
частично фробениусовой, если она имеет частичную
невырожденную ассоциативную билинейную форму, т. е. если существуют
ненулевые правый ρ и левый идеалы и билинейное
отображение ρ χ λ —¥ С такие, что (rbj) = (r,bl) для всех г £ р,
I £ λ, Ь £ В и равенство (г, λ) = 0 справедливо только при
г = 0, а равенство (р,1) = 0 только при I — 0. Эти
понятия можно определить в терминах сопряженных модулей.
Напомним, что для левого В-модуля λ через λ* обозначается
дуальный правый В-модуль λ* = Homc(A,C), структура модуля
на котором задается формулой [ipb)(l) = φ(Μ). Любой правый
В-модуль, изоморфный λ*, называется сопряженным модулю λ.
Соответственно для правого В-модуля ρ через р* обозначается
дуальный левый модуль р* = Ноте{р, С), структура модуля
на котором задается формулой (bifi)(r) = ifi(rb). Последнюю
формулу удобно записать в виде r(bifi) = (rb)ip, располагая
аргумент левее функции. Любой левый В-модуль, изоморфный
ρ*, называется сопряженным модулю р. На паре дуальных
модулей естественно возникает невырожденная ассоциативная
билинейная форма λ* χ λ —¥ С: (φ,Ι) = ψ{1) и соответственно
ρ χ ρ* —»· С", (г, ·φ) = rip. В конечномерном случае
справедливо также обратное утверждение. Если для пары модулей ρ
и λ (правого и левого соответственно) существует
невырожденная билинейная ассоциативная форма ρ χ λ —У С, то λ ~ р*
и ρ ~ λ*, т. е. модули ρ и λ сопряжены. Теперь определение
фробениусовой алгебры можно задать формулой В* ~ В, где В
выступает, с одной стороны, как левый регулярный модуль, а с
другой — как правый. Частичная фробениусовость означает
наличие ненулевого одностороннего идеала ρ такого, что дуальный
ему модуль изоморфен другому одностороннему идеалу.
Естественно ввести еще одно определение — алгебра «фробе-
ниусова по частям», т. е. алгебра, у которой сумма всех правых
идеалов, сопряженных левым идеалам, совпадает со всей
алгеброй В. Такие алгебры также изучались в литературе. Они
называются квазифробениусовыми алгебрами.
Фробениусовы и квазифробениусовы алгебры возникли в
теории представлений групп и конечномерных алгебр. Следующие
две теоремы, характеризующие эти алгебры, хорошо известны;
их доказательства можно найти в монографии [63, теоремы 61.2,
61.3.
144
3. Группы автоморфизмов первичных колец
3.3.2. Теорема. Следующие утверждения о конечномерной
алгебре с единицей В эквивалентны:
(a) алгебра В фробениуеова,
(b) существует линейная форма ε £ В*, ядро которой не
содержит ненулевых односторонних идеалов алгебры В,
(c) для всех левых идеалов X и правых идеалов ρ алгебры В
справедливы равенства dim г (λ) +dim λ = dimB udimZ(p)
+ dimp = dimB, где r(X) = {b £ В \ Xb = 0} и l(p) = {b 6
В | bp = 0} суть правый и левый аннуляторы в В.
Правый и левый аннуляторы в В иногда обозначаются через
anng(A) и &пп1в(р) соответственно.
3.3.3. Теорема. Следующие утверждения о конечномерной
алгебре с единицей В эквивалентны:
(a) алгебра В квазифробениусова]
(b) левый В-модуль В ишективен,
(c) правый В-модуль В инъективен,
(d) для каждого левого идеала λ и правого идеала ρ алгебры В
справедливы равенства 1(г(Х)) = λ и г(1(р)) = Р-
3.3.4. Приведем важнейшие примеры фробениусовых алгебр.
1. Групповая алгебра конечной группы. Если В = C[G]
и b = Σ c„g — произвольный элемент групповой алгебры, то
положим е(6) = се, где е — единичный элемент группы G.
Тогда ε — линейная форма, ядро которой не содержит ненулевых
идеалов.
2. Универсальная р-обертывающая конечномерной р-
алгебры Ли. Если μι μη — база р-алгебры Ли L, то
базой ее р-обертывающей служат слова вида μ™1 .. .μ™η, где 0 ^
m,- < р. Обозначим через е(6) коэффициент при μνγ~ .. .μ£-1 в
разложении элемента b £ u(L) по этой базе. Тогда ε — искомая
линейная форма.
3. Полупростая алгебра. Достаточно заметить, что все
неприводимые левые (правые) модули простой алгебры
изоморфны между собой и любой модуль есть прямая сумма
неприводимых. Поэтому {вВ)* ~ Вв в силу размерностных соображений
3.3. Централизаторы конечномерных алгебр
145
(если В проста). Для полупростой алгебры В имеем
разложение в сумму простых алгебр В\ Θ ... Θ В„. Легко видеть, что
В* =Βί θ...θ5;~Β1Θ...ΘΒη~Β.
3.3.5. Лемма. В квазифробениусовой алгебре аннулятор
пересечения односторонних идеалов равен сумме их аннуляторов:
1{р\ П р2) = 1{ρι) + 1{Р2), г{Хг П λ2) = г(\г) + r(A2).
Доказательство. Проверим, например, первое равенство. В
силу утверждения (d) теоремы 3.3.3 достаточно показать, что
совпадают правые аннуляторы обеих частей равенства, т. е. ρι Π
р2 = r(l(pi)+l(p2)). Однако r(l(Pl)+l(p2)) = rl(pi)C\rl(p2) =
ρι С\р2- □
3.3.6. В линейной алгебре хорошо известно, что сопряженные
модули ρ и λ имеют взаимно дуальные базисы, т. е. базисы {а»}"=1
и {6»}"=1 над С такие, что
(α<Λ) = <β
если г = j,
если г φ j,
где (ρ, λ) — соответствующая форма. Более того, для любого
базиса {а*} модуля ρ существует дуальный базис {&,·}
сопряженного модуля р*. Важнейшее свойство дуализации модулей состоит
в том, что это — точный контравариантный функтор, т. е. для
любой точной последовательности гомоморфизмов модулей
0-)-£;-)-F-)-D-)-0
имеет место точная последовательность
О -► D* -► F* -► Е* -► 0.
Кроме того, сопряжение инволютивно, т. е. (А*)* ~ А для
конечномерного модуля А. Доказательство приведенных
утверждений мы оставляем читателю в качестве упражнения и
переходим к основной теме.
3.3.7. Теорема. Алгебра В централизуема тогда и только
тогда, когда она частично фробениусова.
Докажем предварительно две леммы.
3.3.8. Лемма. Если размерность алгебры В больше единицы,
то свободное произведение В *с С[х] = В(х) первично и его
обобщенный центроид равен С.
146
3. Группы автоморфизмов первичных колец
Доказательство. База алгебры В(х) состоит из всех слов
вида βαχβί2Χ. ■ .χβίη, η^Ι, где fiij — элементы некоторой
фиксированной базы В. Упорядочим некоторым образом базу В
и распространим этот порядок стандартным способом на базу
В(х) (т. е. считаем, что более длинное слово больше, а слова
одинаковой длины сравниваем лексикографически). Если и и
ν — некоторые элементы из В(х), то старшее слово произведения
uxv равно йхЛ, где й, ν — старшие слова и и ν соответственно.
Таким образом, uB(x)v φ О и В(х) — первичное кольцо. Пусть
ζ — элемент обобщенного центроида, ζ £ С. Можно найти
ненулевой элемент / £ В(х) такой, что ft = fz 6 В(х). Будем
считать, что элемент ζ (fc С выбран так, что старшее слово ft
наименьшее из возможных. Если ft = 0, то B(x)fB(x)z = 0.
Поэтому ζ = 0 6 С, что невозможно. Пусть и —
произвольный элемент из В(х). Тогда fuhz = fzuh = huh = hufz.
Таким образом, fuh = huf. Покажем,_что последнее
равенство _влечет равенство старших слов /и /ι, Если степени слов
/ w ft_ по χ совпадают, то_эти слова имеют одинаковую длину
и fxh = fxh =_hxf = hxf. Следовательно, f = h. Пусть,
например, degj. / < degj. h. Поскольку размерность В
больше единицы, можно подобрать элемент Ь\ такой, что fxb\ не
является начальным подсловом для ft^ Положим и = хЬ\х.
Тогда fxb\xh = fxb\xh = huf = hxb\xf. Следовательно,
fxb\ — начальное подслово слова ft, что приводит к
противоречию. Таким образом, / = ft, т. е. можно подобрать а_£ С
так, чтобы старшее слово элемента ft — af было меньше ft.
Тогда f(z — а) = ft — af, при этом ζ — а £ С, что противоречит
выбору элементов г и ft. D
3.3.9. Лемма. Пусть В — подалгебра алгебры В' над полем С.
Тогда централизатор В в алгебре В'(х) порождается
централизатором В в В1 и элементами вида ^]ajit&,·, где {oj},
{6,·} — дуальные базисы сопряженных левого В-подмодуля λ
в В' и правого В-подмодуля ρ в В' соответственно.
Доказательство. Пусть {а*}, {&*} — дуальные базисы
сопряженных В-подмодулей в В'. Если 6 6 В, то Ьсц 6 λ и 6;6 £ р.
Поэтому Ьак = Σ <*ki<4 и bib = Σ a'ikbk. Ввиду ассоциативно-
> к
сти соответствующей билинейной формы справедливы равенства
3.3. Централизаторы конечномерных алгебр 147
a'ik = (bib,ak) = (bi,bak) = aki. Поэтому
ί £ °i ubi ) Ь = £ a'ik<li Ubk = Σ akiCLi НЬк ~ Ь Σ ak Ubk '
^ i ' ' i,k i,k к
т. е. указанные в лемме элементы алгебры В'(х) принадлежат
централизатору подалгебры В.
Докажем обратное утверждение. Зафиксируем некоторую
базу {/3j} алгебры В'. Тогда любой элемент / свободного
произведения представим в виде
*ο + ££«,ϋ4Α0'
,,ϋ)...ϋϋ)
i ·
где Uj — попарно различные подслова базисных слов,
начинающиеся и оканчивающиеся на х, и af', b\J , &о — элементы из В'.
Если элемент / лежит в централизаторе В, то для любого b £ В
[ЬЬ0 - b0b] + £ ^Ьа(ри^] - a\j)Ujb\j)b
0.
Это означает, что если все элементы baf , of , of b, of
расписать по базе {Pi}, то в полученной линейной комбинации
базисных слов вида PnxPi2X . ■ ■ xPim все члены сократятся. Так как
все Uj попарно различны, сокращаться между собой могут
только члены, возникающие внутри одной и той же пары
квадратных скобок. Это означает, что все суммы, стоящие в квадратных
скобках, равны нулю. Таким образом, &о принадлежит
централизатору В в В' и все суммы Σα\ Ujbf' перестановочны с В,
i
так что в дальнейшем можно опускать индекс j.
η
Пусть / = Σ, Qiubi, причем число τι минимальное из воз-
i = l
можных. Тогда элементы {а,} и {&,·} линейно независимы над С.
Пусть ρ = Σ biC и λ = Σ aiC. Определим невырожденную
билинейную форму нар χ λ, полагая (bj,aj) = Sij, где ($ij —символ
Кропекера. Осталось показать, что ρ — правый, а λ — левый
В-подмодули и форма ρ χ λ --> С ассоциативна. Пусть 6 £ В.
Дополним {aic}1kl=1 до базиса {ак}к^1 алгебры В' и запишем в
m
этом базисе произведения bat = Σ ctikCik, 1 ^ г ^ п. Точно так
к = 1
же дополним {&ί}"=1 до базиса {6j}ie/ и запишем произведения
148 3. Группы автоморфизмов первичных колец
ЬкЬ - Σ a'kibi, 1 «ζ к «ζ τι. Тогда
»'=ι
bf-fb - Σ Σ aikakubi - 53 53 a'kiakubi
» = 1 k = \ k = l »=1
η η m
~ 53 (Qik ~ Q'ki)akUbi + 53 53 Qil<akUbi
»,/c=l » = 1 k=n+l
η m
-53 53 a'kiakubi = 0. (3.3.1)
k=li=n+l
Это означает, что если мы распишем левые и правые
коэффициенты при и по базе {$}, то после приведения подобных членов
все члены должны сократиться, т. е., заменяя формально в
равенстве (3.3.1) букву и значком ®, мы получим верное равенство
в тензорном произведении В' ® В'. Однако элементы ак ® 6»,
к, г €Е /, образуют базу этого тензорного произведения, т. е.
равенство (3.3.1) показывает, что а{к = a'ki при 1 ^ к, г ^ τι,
анс — О при к > η и ом — 0 при г > п. Последние два условия
эквивалентны тому, что ρ — правый, а λ — левый В-подмодулИ
в В', а первое условие эквивалентно условию ассоциативности
формы
(&fc„Mi0) - ( 53αΜδ«>α<0) = о4о»о -aiaka
^ »=ι '
(6*ο.53α<»*
4 k=l
как) - {bk0,baio).
Лемма доказана. Π
Доказательство теоремы 3.3.7. Пусть В —
централизуемая алгебра. Рассмотрим в свободном произведении В(х)
идеал R, порожденный базисными словами, содержащими
переменную χ (т. е. R — многочлены без свободных членов с
коэффициентами из В от некоммутирующей переменной х). Тогда
R — первичное кольцо как идеал первичного В(х). Кроме того,
Q(R) — Q(B(x)), и поэтому обобщенный центроид равен С и
Q(R) Э В. Если В не имеет пар ненулевых сопряженных
односторонних идеалов, то по лемме 3.3.9 централизатор В в В(х)
равен центру В, который не пересекается с R, т. е. Zr(B) — О,
что приводит к противоречию.
3.3. Централизаторы конечномерных алгебр
149
Обратно, пусть В — частично фробениусова алгебра и ρ, λ —
ее сопряженные правый и левый идеалы. Выберем в этих иде-
m m
алах дуальные базисы ρ — Σ bjC и λ = Σ ajC. По лемме
«=ι »=ι
m
3.3.9 элемент Σ dfxbi перестановочен в В(х) с элементами В,
i = l
Если В С Q(R) для первичного кольца R с обобщенным
центроидом С, то для любого г 6 R отображение χ —> г продолжается
до гомоморфизма В(х) —l· Q тождественного на В, т. е. эле-
m
мент /(г) = Σ airbi лежит в Zq(B). Выберем идеал Ι φ О
кольца R такой, что а\1 С R, /6,· С R. Тогда /(г) £ Ζχ(Β)
при г£/2, Предположим, что /(I2) — 0. По следствию 1.7.14
можно подобрать элементы tj, Vj £ I2 так, что
ao = ^Jijai^ t^ 0, 2_,^iakVi ~ ®
j i
при к > 1. Поэтому aor&i = Y^,tjf{vjr) — 0, τ· e· QoRbi — 0,
что противоречит первичности Л. D
3.3.10. Теорема. Пусть В — не централизуемая алгебра и
S — произвольная алгебра над С. Тогда существует
первичное кольцо R с обобщенным центроидом С такое, что
В С Q{R) и ZR{B) ~ S.
Доказательство. Рассмотрим алгебру В' — В ®с 5', где
5' получается из S внешним присоединением единицы.
Покажем, что В' не может содержать пар сопряженных ненулевых
конечномерных В-подмодулей. Заметим, что S' — свободный
С-модуль, так как С — поле, и поэтому В' — свободный левый
и свободный правый В-модуль. Для пары р} λ сопряженных
ненулевых В-подмодулей в В' можно построить гомоморфизм
правых В-модулей ψ: В' —> В такой, что ψ{ρ) φ 0. Для
эпиморфизма ρ —> ψ{ρ) —> 0 имеем сопряженный мономорфизм
0 —у ιρ(ρ)* —> ρ* ~ λ, т. е. можно считать, что φ{ρ)* —
подмодуль модуля λ. Точно так же можно построить гомоморфизм
левых В-модулей ф: В' —► В такой, что ψ(φ(ρ)*) ф 0.
Тогда модуль ψ(φ(ρ)* )* можно отождествить с подмодулем модуля
ψ{ρ) ~ {<р{р)*У, и в В можно найти пару ненулевых
сопряженных идеалов ψ(φ(ρ)*) и ψ(φ(ρ)*)*} что согласно теореме 3.3.7
противоречит нецентрализуемости алгебры В.
150
3. Группы автоморфизмов первичных колец
Таким образом, в силу леммы 3.3.9 централизатор В в
свободном произведении В'(х) равен централизатору В в В', т. е.
Zb{B) ®c S'. Пусть подкольцо R порождается 1 ® S и всеми
элементами, существенно зависящими от х. Тогда RΠ (Ζβ(Β) ®
S') — 1 ® S. Поэтому Zr(B) ~ S. Осталось заметить, что R
содержит ненулевой идеал кольца В'(х), и воспользоваться
леммой 3.3.8. D
Класс централизуемых алгебр достаточно широк. Кроме ква-
зифробениусовых алгебр он содержит все конечномерные
коммутативные и все конечномерные матрично локальные алгебры.
Более того, если В — централизуемая алгебра, а В\ —
произвольная алгебра, то прямая сумма В Θ Β\ тоже
централизуема. Ввиду последнего обстоятельства и теоремы 3.3.10
становится проблематичным возможность изучения централизаторов
частично фробениусовых алгебр с общих позиций. По-видимому,
минимальное ограничение, которое следует потребовать, — это
условие фробениусовости алгебры В «по частям». Это
интуитивное предположение подтверждают две теоремы, приводимые
ниже.
3.3.11. Алгебра В над полем С называется вполне
централизуемой, если для любого первичного кольца R с обобщенным
центроидом С такого, что В С Q(R), можно найти ненулевой
идеал I < R, локально конечный над централизатором Ζχ(Β).
3.3.12. Теорема. Алгебра В вполне централизуема тогда и
только тогда, когда она квазифробениусова.
Доказательство. Пусть В вполне централизуема.
Рассмотрим в качестве R кольцо В(Х) — В *с С(Х), где С(Х) —
свободная ассоциативная алгебра счетного ранга. Учитывая, что
В{Х) — В(Х\ {х}) *сС(х)} где χ — произвольный элемент X,
по лемме 3.3.8 заключаем, что В(Х) — первичная алгебра с
обобщенным центроидом С. Пусть / — ненулевой локально
конечный идеал над Zr(B), 0 φ w £ I. По условию можно найти
элементы W\,... , wn £ R такие, что wR С Σ WiZji(B). Пусть
χ — буква из X, не встречающаяся в записи w, w\,... , wn.
Тогда
η
υ)χζ=Ύ^υ)ίη{χ), (3.3.2)
«=ι
3.3. Централизаторы конечномерных.алгебр
151
где п(х) G Zr(B), причем можно считать, что степень ъ(х) по
х равна единице. По лемме 3.3.9 централизатор В в идеале коль-
m
ца R, порожденном х, порождается элементами вида Σ djitbj,
3 = 1
где \ — Y^djC к ρ — Y^bjC — сопряженные левый и правый
идеалы алгебры В. Поэтому равенство (3.3.2) принимает вид
η m
wx = ^tw,i^ia{j\^(x)bf, (3.3.3)
«=i j=\
где w[ по-прежнему не зависят от χ. Из правой части равенства
(3.3.3) можно удалить все члены, в которых последняя буква
г/') (ж) алфавита X отличается от х, так как все члены в
левой части равенства (3.3.3) оканчиваются на х. Учитывая, что
свободное произведение В(Х) естественно представимо в виде
(В *с С(Х \ {х})) *с С[х]} мы получаем, что правый
коэффициент при χ в левой части равенства (3.3.3) (т. е. единица)
должен линейно выражаться через правые коэффициенты в правой
части. Следовательно, можно найти конечное число
конечномерных идеалов р\,... , рп таких, что 1 £ pi + ... + рп, причем
р\ ~ Aj <; В. Поэтому В — р\ + ... + рп, т. е. В —
конечномерная алгебра.
Эпиморфизм правых В-модулей J2 ®pi —>■ J2 pi — В
определяет вложение сопряженных левых модулей
(вв)*-^ (γ^®Ρλ =5>а,-с]ГфвВ.
Однако (Вв)* является инъективным модулем, так как он
сопряжен свободному. Поэтому этот модуль выделяется из
своего расширения Σ®βΒ прямым слагаемым и, следовательно,
является проективным. Таким образом, сопряженный модуль
((Вв)*)* — Вв инъективен, и по теореме 3.3.3 В квазифробе-
ниусова.
Обратное утверждение установлено в следствии 3.5.6. D
3.3.13. Теорема. Пусть R — первичное кольцо, В — квази-
фробениусова подалгебра Q(R). Тогда централизатор кольца
Zji(B) в кольце Rj: (и тем более в Q(R)) равен В.
Доказательство. Пусть ζ — элемент кольца Rjr,
перестановочный с Zr(B), а λ, ρ — пара сопряженных идеалов с
дуальными базисами, а\,... , α„, 6Х,.. . , 6„. Дополним базис простран-
152
3. Группы автоморфизмов первичных колец
ства λ до базиса а\,... ,αη, ζα.\,... , ζαη пространства λ + ζΧ,
По лемме 3.3.9 можно найти ненулевой идеал / кольца R такой,·
что J2 aixbi б Zr(B) для всех ι£/, и поэтому
21 У^а,а;6,· ) — )"(сцхЬ{)г — 0.
^ «=i ' »=ι
По следствию 2.2.11
η η
]Р 20; ® &i - ]Р Orf ® 6f2 = 0. (3.3.4)
i=\ i=\
В фактор-пространстве
(λ + z\) ®(p + pz)f\ Θ (p + рг) ~ (гАДл η λ) Θ (ρ + ρζ)
равенство (3.3.4) преобразуется к виду
к
^2 гсч ® [ &,· + ^2 ajbj j - 0,
i=l ^ j>k '
что невозможно при к ^ 1, так как {ζα{}*=ι — линейно
независимые элементы в фактор-пространстве ζλ/ ίζ\ р| \\, Таким
образом, к — 0, т. е. ζ\ С λ.
Поскольку выбор λ не зависит от г и в квазифробениусовой
алгебре сумма всех левых идеалов, сопряженных правым
идеалам, содержит единицу, получаем
*■!€* Σ λ^ Σ λ = 5'
λ·~ρ<ΓΒ X'~p<rB
что и требовалось доказать. D
3.4. ПОСТРОЕНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ ФОРМ
Пусть G — приведенно конечная группа автоморфизмов
первичного кольца R.
3.4.1. Лемма. Пусть X и ρ — ненулевые сопряженные левый
и правый идеалы алгебры 18(G), а а,\,... ,ап и Ь\,... , Ьп —
их дуальные базисы. Выберем систему представителей 1 —
<7i> <72j · · ■ 19т смежных классов G по нормальной подгруппе Η
3.4. Построение инвариантных форм
153
внутренних для Q автоморфизмов. Тогда
j = \ ^ j = l '
для любого i£(J. При этом существует ненулевой идеал I
кольца R такой, 'что О φ τ\ιΡ(Ι) С R .
Доказательство. По лемме 3.3.9
η
v(x) = Y^aiXbi <E ZQ{M{G)) = QH.
i = \
Для любого g Ε G имеют место равенстваg$g — /ij^y), где π —
перестановка множества {1,... , τη], зависящая от gt и hj £ Η.
Поэтому ν(χ)3'3 — v(x)3l,<.i). Суммируя последние равенства по
всем j, получим t\iP(x)s — τ\ιΡ(χ), т. е. τ\ιΡ(χ) £ QG. Выберем
ненулевой идеал I < R так, что а< / С R, 1Ъ{ С R, 13> С R для
всех i, j. Тогда τχιΡ(χ) G RG для всех χ £ I3. D
3.4.2. Форму τ\ιΡ, построенную в лемме 3.4.1, будем называть
инвариантной. Ясно, что если алгебра группы G не
централизуема, то группа вообще не имеет инвариантных форм.
3.4.3. Лемма. Если форма т(х) — Σ a,iX3ibi принимает
только неподвижные значения, aj,6j £ 18(G), gi £ G, то τ(χ) —
инвариантная форма, т. е. найдутся левый и правый
сопряженные идеалы Χ, ρ < 1BS(G) такие, что ^2,aiX3ibi — r\tP(x)
на Rf.
Доказательство. Так же, как в лемме 3.4.1, рассмотрим
систему 1 = <7ι,... ,gm представителей смежных классов G по
нормальной подгруппе Я внутренних автоморфизмов.
Перепишем форму т(х) в виде
m / \5i
τ(*) = Σ( Σ°«ι6«) ■
Так как значения т(х) перестановочны с элементами из 18(G),
Для любого i ξ В имеем редуцированное тождество т{х)Ь —
Ьт(х) — 0. В силу теоремы 2.2.2 это означает, что vj(x) —
Y2 dijxbij — линейная форма, перестановочная с 18(G). Рассма-
г
тривая эту форму как элемент свободного произведения Ш (G) *
С(х), по лемме 3.3.9 найдем сопряженные идеалы Xj и pj такие,
154
3. Группы автоморфизмов первичных колец
что vj{x) — v\jiPj(x). Осталось показать, что Vj(x) — v\(x) на
Rjr. Рассматривая часть тождества т(х) — τ{χ)3* , свободную
от автоморфизмов (см. теорему 2.2.2), находим V\{x) = Vj{x)- □
3.4.4. Если алгебра группы G фробениусова, то форма тш,ш(х)
называется главной инвариантной формой.
3.4.5. Замечание. Пусть Ш фробениусова. Тогда инвариантная
форма т(х) является главной тогда и только тогда, когда
выполнено одно из следующих эквивалентных между собой условий:
— для любого ненулевого Ь £ Ш форма т(Ьх) ненулевая,
— для любого Ненулевого Ь £ R? форма т{хЬ) ненулевая.
Действительно, пусть λ — собственный инвариантный левый
идеал. Ввиду фробениусовости правый аннулятор отличен от
нуля: \Ь — О, Ь φ 0. Имеем т\<р{Ьх) = 0. Обратно, если
7"в,в {Ьх) Ξ 0, то Σ aib ® α·1 = 0, где {аг,... , α„} — базис Ш и
{aj, ... , α* } — дуальный ему базис. Так как а[ линейно
независимы, а^ — 0 для всех г. Поэтому Mb — 0. Следовательно,
6 = 0, так как Ш содержит единицу.
3.4.6. Подкольцо S С R называется квазипромежутпочным,
если для любой инвариантной формы т(х) существует ненулевой
идеал I <R такой, что т{1) С S.
3.4.7. Лемма. Пусть алгебра приведение конечной группы G
полупроста (т. е. G — Μ -группа; см. 3.1.3). Подкольцо S
является квазипромежуточным тогда и только тогда, когда
для главной инвариантной формыт(х) существует ненулевой
идеал I < R такой, что τ(Ι) С S.
Доказательство. Утверждение легко вытекает из того
факта, что любой односторонний идеал полупростой конечномерной
алгебры порождается идемпотентом: λ = USe, ρ = /В. Поэтому
т\,р — ти,и(еа:/). D
Понятие квазипромежуточного кольца пока не играет
никакой роли. Для дальнейшего важно лишь отметить, что в
доказательствах используются не все неподвижные элементы, а только
значения инвариантных форм. На протяжении этой главы
читатель может не различать промежуточные (R D S D RG) и
квазипромежуточные кольца.
3.5. Группы Галуа
155
3.4.8. Лемма. Главная инвариантная форма однозначно
определяется невырожденной ассоциативной билинейной формой
waB(G).
Доказательство. Отметим, что при построении главной
инвариантной формы выбор базиса αχ,. . . ,α„ и представителей
1 = 9ι, ■ ■ ■ ,9т смежных классов G по Я произволен. Легко
видеть, что форма ν(χ) не зависит от выбора базиса αχ,. . . , ап,
так как при элементарных преобразованиях базиса а* —> ащ
или а; —> а; + /?<Zj дуальный базис преобразуется обратным
отображением 6* —> a~lbi или bj —> bj — /?&;, поэтому
форма ν не меняется: ащха~1Ь( — а^хб;, (щ + Pa,j)xbi + ajx(bj —
/?&,-) — dixbi + djxbj. При выборе другой системы
представителей /ι, /2,. . . , /т имеем /,· = /ггй'г Для подходящих hi G Я.
Поэтому и(х)!' — u{x)hi9i — u{x)9i и форма τ[χ) не зависит от
конкретного выбора представителей. D
3.4.9. Теорема. Главная инвариантная форма определяется
однозначно с точностью до замены переменной х\ — Ьх, где
b — обратимый элемент ioB(G).
Доказательство. Невырожденная ассоциативная
билинейная форма / на B(G) задает изоморфизм ψ}\ вВ —> {№§,)*■
Если g — другая форма, то fffg1 — изоморфизм левого
модуля вВ на себя. Так как Нот(жВ, вВ) ~ В, получаем, что ψ/ψ^1
определяется правым умножением на обратимый элемент Ь.
Таким образом, χφ;ψ~ι = xb или χφ; = (xb)ipg и f(t,x) =
g(t, xb), поскольку (xiff)(t) — f(t, x). Если αχ,. .. , α„ — базис
В и αχ,... , α* — дуальный ему базис относительно формы /, то
а*Ь,... , α* &— дуальный базис относительно формы д. Поэтому
vj{x) = vg[bx). Π
3.5. ГРУППЫ ГАЛУА
Результаты предыдущих параграфов показывают, что группы
автоморфизмов, имеющих квазифробениусовы алгебры,
представляют особый интерес.
3.5.1. Теорема. Пусть G — приведение конечная группа
автоморфизмов, алгебра B(G) которой квазифробениусова. Тогда
централизатор в В,? кольца инвариантов Я (G) = RG равен
IB (G) (α централизатор любого квазипромежуточного кольца
содержится в B(G)).
156
3. Группы автоморфизмов первичных колец
Доказательство. Пусть Аир — произвольные сопряженные
левый и правый идеалы алгебры группы G и т(х) — τ\ιΡ(χ) —
определяемая ими инвариантная форма (см. 3.4.1). Выберем
ненулевой идеал I < R так, что т{1) С R. Если ζ
принадлежит централизатору RG в Rjr, то можно записать тождество
ζτ(χ) — τ(χ)ζ — 0. Это тождество редуцированное, т. е. по
теореме 2.2.2 верно соотношение
2_]ζα{ ® bi — yja» ® hz — 0,
которое есть в точности (3.3.4). Так как Аир— произвольная
пара сопряженных идеалов квазифробениусовой алгебры, так же,
как в теореме 3.3.13, имеем ζ €Ξ 1BS(G). Π
3.5.2. Теорема. Пусть G — приведение конечная N-группа
автоморфизмов, алгебра которой квазифробениуеова, и S —
квазипромежуточное кольцо. Тогда A(S) С G. В частности,
G — группа Галуа.
Доказательство. Требуется показать, что каждый
автоморфизм h £ А (Я), оставляющий неподвижными элементы под-
кольца 5, лежит в G. Выберем произвольно сопряженные
ненулевые идеалы А и ρ в алгебре 18(G). Пусть αχ,... , α„ и
b\,... , b„ — дуальные им базисы, 1 = g\,... ,gm — система
представителей смежных классов G по нормальной подгруппе
Я = Gint. Выберем ненулевой идеал I< R так, что τχίΡ(Ι) С S.
Тогда можно записать тождество, выполняющееся на /:
^(ζ)^ -£>(*)<» =0,
5 i
η
где ν(χ) — Σ dixbi. Если это тождество редуцированное, то в
» = 1
силу теоремы 2.2.2 приходим к противоречию: £^а,- ® 6,- = 0.
ί
В ином случае один из автоморфизмов {gjh)(gih)~l — gjgj1,
(gjh)gj , i φ j, является внутренним. Пусть gjhgjλ — b. Тогда
b €Ξ A(S). Следовательно, b перестановочен со всеми элементами
из S, т. е. по теореме 3.5.1 b €E 18(G). Так как G является
ΛΓ-группой, получаем 6 е G, т. е. h — gj1bgi G G. Π
3.5.3. Теорема. Пусть G — приведенно конечная группа
автоморфизмов, алгебра которой квазифробениуеова. Тогда в R
3.5. Группы Галуа
157
существует ненулевой локально конечный над R идеал
кольца R.
Доказательство. Покажем, как теорема 3.5.3 выводится из
предложения 3.5.4 (см. ниже). Рассмотрим множество /
элементов а, для которых существуют элементы г\,... , rmiay G R
такие, что при всех χ £ R выполняется равенство (3.5.1) (см. ниже).
Нетрудно видеть, что IR — локально конечный над RG идеал
кольца R. Соотношение Ι φ О следует из предложения 3.5.4. Π
3.5.4. Предложение. В условиях теоремы 3.5.3 существуют
элементы а φ О и г\,... , г* Ε R такие, что при всех χ Ε R
t
αχ — ^2riTi(x)' (3.5.1)
где τ,- — гомоморфизмы правых RG-модулей из R в RG.
Доказательство. Пусть Аир — произвольные сопряженные
левый и правый идеалы алгебры группы G. Используя лемму
3.4.1, найдем форму τ — τ\ιΡ и идеал / такие, что при χ £ I
]Γί ]Γα<ζ&,-1 =ф)еЯс. (3.5.2)
}=\ ^ »=ι '
Зафиксируем индекс ι'ο. Так как элементы а\,... ,ап линейно
независимы над С, а автоморфизмы gj взаимно внешние (т. е.
<Pgh-i — 0 при g φ h), согласно теореме 1.7.10 существуют
элементы vk,wk G / такие, что J2 vka{wk = 0 при г φ iQ и
к
Т^ъксцахик — а0 φ О, J2vkaiW9k' — О при всех г и при j φ Ι.
Умножим равенство (3.5.2) слева на vk и подставим вместо χ
значение wkx. Суммируя по всем к, получим
aoxbil} - ^2vkr(wkx). (3.5.3)
к
Воспользуемся произволом в выборе сопряженных идеалов λ, ρ и
элемента г'о. Ввиду квазифробениусовости можно найти систему
элементов 6*, 1 ^ г ^ s, такую, что Σ с*6,- = 1 для подходящих
с,- Ε С и для каждого 6; выполняется тождество вида (3.5.3) с
«?> Φ 0:
a^xbi^Y^vUKiw^x). (3.5.4)
к
158 3. Группы автоморфизмов первичных колец
Так как кольцо R первично, можно выбрать элементы У\, ■ ■ ■ ,
у„_1 такие, что а — Од у\сг0' уъ .. .у,_1ао φ 0. Умножив
/о г л\ (!) (»-!)
равенство (3.5.4) слева на а0 yi .. .а0 y,-_i и подставив а; =
2/;а|, ' .. .y5_ia0', получим равенство αιο* = 1^гк тк \х)·
к
Умножив его на с* и просуммировав по всем г, приходим к
тождеству требуемого вида: ах — Y^rkTk(x). В этом тождестве
к
(«)
элементы Гк получаются умножением г^' на элементы а из
обобщенного центроида, и поэтому могут не принадлежать R.
Чтобы обойти это препятствие, достаточно последнее тождество
умножить слева на элемент у Ε R такой, что уа φ 0, yci E R.
Такой элемент существует, поскольку J а ф 0, где J — идеал
такой, что Jci С Я. D
3.5.5. Следствие. Пусть G — приведение конечная группа
автоморфизмов простого кольца R с единицей. Если алгебра
группы G квазифробениусова, то R является конечно
порожденным правым модулем над RG.
Доказательство. Пусть / — локально конечный идеал над
RG. По условию I £ I — R. Поэтому 1 ■ R содержится в конечно
порожденном правом Дс-подмодуле модуля R. D
3.5.6. Следствие. Пусть В — квазифробениусова С-подалгеб-
ра в Q(R). Тогда кольцо R содержит ненулевой идеал,
локально конечный над централизатором В в R.
Доказательство. Если В порождается своими обратимыми
элементами, то можно формально применить теорему 3.5.3. В
противном случае для произвольных сопряженных идеалов λ
и ρ в В и дуальных им базисов а\,... , ап и Ь\,... , Ьп форма
Σ o.ixbi принимает значения в централизаторе В. Тогда можно
повторить доказательство предложения 3.5.4, начиная с
формулы (3.5.2), положив m = 1 и yi = 1. Π
3.6. ГРУППЫ МАШКЕ.
ПЕРВИЧНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Напомним, что наша цель — построение теории Галуа в
классе полупервичных колец, и поэтому необходимо выяснить, при
каких условиях подкольцо инвариантов будет полупервичным.
3.6. Группы Машке. Первичная размерность 159
3.6.1. Теорема. Пусть G — приведение конечная группа
автоморфизмов первичного кольца R, алгебра 18(G) которой ква-
зифробениусова. Тогда подкольцо инвариантов RG
полупервично тогда и только тогда, когда 18(G) полупроста.
Доказательство. Пусть 18(G) не полупроста. Покажем, что
можно найти ненулевые сопряженные идеалы Аир алгебры
B(G) такие, что p9Xh — О для всех g,h £ G. Пусть J —
радикал алгебры 18(G). Это наибольший нильпотентный идеал. В
частности, J9 С J для всех g £ G. Пусть η — наибольшее число
такое, что А = Jn φ 0. Тогда А2 — 0 и идеал А инвариантен
относительно действия G: А9 С A, g £ G. Так как сумма всех
правых идеалов, сопряженных левым идеалам, содержит
единицу, Ар\ φ 0 для одного из этих идеалов р\. Пусть ар\ φ 0
и а £ А. Рассмотрим эпиморфизм р\ —> ар\ —> 0 правых
В-модулей. Сопряженная точная последовательность имеет вид
0 —> (αρι)* —> Р\ — λχ, т. е. правый идеал ρ = ар\ сопряжен
некоторому левому идеалу λ, содержащемуся в \\. Так как ρ
содержится в инвариантом идеале А, получаем, что p-pgh — 0
для всех h,g £ G. Ввиду ассоциативности соответствующей
формы имеем 0 = {рр9*1 , λ) = (ρ, Ρ911 λ). Невырожденность
формы дает равенство ps,h λ = 0 или ρ9Xh =0. Построим
для идеалов ρ и λ инвариантную форму т\у. I —у RG} где / —
некоторый ненулевой идеал кольца R. Тогда τ\ιΡ(Ι) —
ненулевой идеал кольца RG. Как показывают равенства p9Xh — 0, его
квадрат равен нулю. Следовательно, RG не полупервично.
Обратно, пусть 18(G) полупроста и tRGt — 0 для некоторого
ненулевого t £ RG. Так как 18(G) порождается обратимыми
элементами, отвечающими внутренним автоморфизмам из G, а
t перестановочен с этими элементами, t перестановочен со
всеми элементами из 18(G). В частности, аннулятор t в алгебре
Ш есть двусторонний идеал, отличный от 18(G), и можно найти
ненулевое простое слагаемое S алгебры 18, не пересекающееся
с аннулятором t. Это означает, что если Si,... , sn — линейно
независимые над С элементы из 5, то tsi,. .. , tsn также будут
линейно независимыми.
Пусть ρ и λ — сопряженные правый и левый идеалы,
лежащие в 5. С помощью леммы 3.4.1 построим инвариантную форму
т\<р: I —у RG, где 0 φ I < R. По условию на идеале / имеем
trxtP(x)t = J2tij2aixb<) < = °·
j = l 4 = 1 '
160 3. Группы автоморфизмов первичных колец
Последнее тождество редуцированное, т. е. по теореме 2.2.2 вер-
п
но равенство Σ td{ ® b,t — 0, которое противоречит тому, что
i = l
ta\,.. . , tan и b\t,... , bnt — линейно независимые системы
элементов. D
В следствии 1.3.7 мы уже встречались со случаем, когда
кольцо инвариантов полупервично. В связи с этим совершенно
естественно выглядит следующая теорема, представляющая собой
вариант теоремы Машке.
3.6.2. Теорема. Если G — конечная группа автоморфизмов
первичного кольца R и в R нет аддитивного \С\-кручения, то
18(G) полупроста.
Доказательство. Эта теорема может быть доказана
стандартным образом подобно теореме Машке. Чтобы не повторять
хорошо известные рассуждения, покажем, как эта теорема
вытекает из теоремы 3.6.1 и следствия 1.3.7.
Пусть Η — подгруппа внутренних для Q автоморфизмов.
Ее порядок делит порядок группы G, и поэтому взаимно прост
с характеристикой обобщенного центроида С. Для h £ Η
зафиксируем элемент <рь £ 18(G) = Ш(Н) такой, что h — iph.
Элементы ψ^ порождаютШк <рь<рд = c(h,g)tphg для всехg,h £
Η, где c(h,g) — однозначно определенные ненулевые элементы
из С. Рассмотрим алгебру В', размерность которой равна
порядку группы Я, а базисные элементы it/, перемножаются по
формуле UhUg — c(h,g)uhg. Ввиду однозначной определенности
коэффициентов c(h,g) и ассоциативностиШ это есть
ассоциативная алгебра и отображение Uh —> ψκ определяет гомоморфизм
В' —у Ш, Остается показать, что В' — полупростая алгебра.
Заметим, что В' — фробениусова алгебра. Она имеет
невырожденную билинейную форму
1„ „ \ - jc(h>9)> 5 = Λ-1,
К'"5)-\0, дфН~\
ассоциативность которой вытекает из ассоциативности алгебры
Ш: если fhg - 1, то (u}uh,ug) - c(f,h)c(fh,g), (u},uhug) -
c{h,g)c{f,hg), при этом
(<PfPh)<pg - c{f,h)VshVg = c{f,h)c{fh,g)VSgh,
fiifhfg) = c(h,g)c(f,hg)<pfgh.
3.6. Группы Машке. Первичная размерность 161
Погрузим алгебру В' в некоторое первичное кольцо До с
обобщенным центроидом С (например, До == В'(х)). Тогда
действие Я на До можно определить формулой xh — u^xuh- По
следствию 1.3.7 подкольцо инвариантов Я полупервично, а по
теореме 3.6.1 алгебра группы Я, равная В', полупроста. D
3.6.3. Замечание. Построения, проведенные при доказательстве
теоремы 3.6.2, применимы к любой конечной группе
автоморфизмов (без ограничения на аддитивную группу кольца). В
частности, алгебра любой конечной группы является гомоморфным
образом фробениусовой алгебры В'. Если порядок конечной
группы автоморфизмов совпадает с приведенным порядком, то
этот гомоморфизм будет изоморфизмом. Ввиду теоремы 3.5.2 в
этом случае группа Галуа, порожденная G, получается из G
присоединением внутренних автоморфизмов, отвечающих элементам
из HS(G) (их число может быть бесконечным).
Теорема 3.6.1 показывает, что основной интерес для нас
представляют группы с полупростой алгеброй, а теорема 3.6.2 дает
обоснование названию таких групп (см. 3.1.3).
3.6.4. Первичной размерностью кольца Д называется
наибольшее число η такое, что Д содержит прямую сумму τι ненулевых
двусторонних идеалов. Ясно, что первичная размерность
первичного кольца равна единице. Полупервичное кольцо может иметь
как конечную, так и бесконечную первичную размерность.
Однако если эта размерность равна единице, то кольцо первично:
при IJ — О в полупервичном кольце / Π J — О, поэтому сумма
I + J прямая.
3.6.5. Инвариантной первичной размерностью кольца В, на
котором действует группа G, называется наибольшее число τι
такое, что В содержит прямую сумму τι ненулевых
инвариантных двусторонних идеалов. Если инвариантная первичная
размерность равна единице, то кольцо называется G-первичным.
Ясно, что если В — полупростая конечномерная алгебра, то ее
G-первичность означает, что В не имеет собственных
инвариантных идеалов, т. е. В является G-простой.
3.6.6. Лемма. Следующие утверждения для полупервичного
кольца R эквивалентны:
(а) первичная размерность кольца R равна п,
162 3. Группы автоморфизмов первичных колец
(b) кольцо R содержит существенную (см. 1.4.4) прямую
сумму идеалов Ι\ φ ... φ Д,, каждый из которых является
ненулевым первичным подкольцом,
(c) кольцо частных Rj: разлагается в прямую сумму η
ненулевых первичных колец,
(d) кольцо частных Q(R) разлагается в прямую сумму η
ненулевых первичных колец,
(e) обобщенный центроид R изоморфен прямой сумме η полей,
(f) кольцо Rj: имеет ровно 2" различных центральных идем-
потентов.
Доказательство. (а')=^(Ь) Пусть А — h θ ·. · θ Ιη —
прямая сумма ненулевых идеалов. По лемме 1.4.3 А + aim Л —
прямая сумма. Поэтому А £ Т, так как η — первичная
размерность. Если один из идеалов, например 1\, не является
первичным кольцом, т. е. EF — О для ненулевых идеалов Е, F < Ιχ, то
(hEh)(hFh) - О, причем Ех - ΙλΕΙλ и^ = IxFh —
идеалы R. Тогда мы находим прямую сумму Е\ φ F\ φ h Φ... θ Ιη
длины больше чем п.
(Ъ)=>(с) В силу предложения 1.4.12
Rr = (h θ ... θ In)? = {Ιι)τ θ ... θ (/„)*·.
(c)=>(d) Пусть Rj: — Ri®...®Rn и 1 = ci + .. .+c„
—соответствующее разложение единицы. Тогда Q — Qe\ + .. .+Qen —
искомое прямое разложение Q, так как е,· — центральные
ортогональные идемпотенты. Если, например, qQe\r — О для q,r £
Qe\, то по лемме 1.5.7 e(q)e(r) — 0. Поэтому e(q)Rie(r) — 0,
т. е. e(q) = 0 или е(г) = 0, что по определению носителя
(см. 1.5.6) дает q — 0 или г = 0.
(d)=}-(e) Пусть Q — Q1 φ ... φ Qn. Так как идеалы Q,
аннулируют друг друга, центр Q равен прямой сумме центров Q,·.
Каждый из этих центров не имеет делителей нуля (как центр
первичного кольца) и является регулярным кольцом (как идеал
регулярного кольца), т. е. является полем.
(e)=}-(f) Требуется показать, что прямая сумма η полей имеет
ровно 2" идемпотентов. Это в точности суммы единиц слагаемых
по всевозможным подмножествам этих единиц — число таких
подмножеств равно 2П.
3,6. Группы Машке. Первичная размерность 163
(f)=}-(a) Пусть ei,... , ет — все ненулевые минимальные
центральные идемпотенты. Тогда они попарно ортогональны.
Поскольку число центральных идемпотентов конечно, любой такой
идемпотент больше некоторого минимального (определение
порядка см. в 1.5.5). В частности, идемпотент 1 — (ei + ... + em)
не может быть ненулевым, так как меньший его минимальный
идемпотент аннулирует все е*. Далее, для любого
центрального идемпотента е имеем е — е · \ — ее\ + ... + еет — Σ ei,
г £ А С {1,... , т}, поскольку произведение ее; равно либо О,
либо ei. Кроме того, две суммы минимальных идемпотентов по
различным подмножествам различны. Следовательно, 2т = 2",
τ е. т — п. Используя определение кольца частных, можно
найти существенный идеал / такой, что lei С R для всех г.
Тогда /ex + ... + 1еп — прямая сумма ненулевых идеалов в R, т. е.
первичная размерность R не меньше п.
Если /χ Θ ... Θ /; — прямая сумма ненулевых идеалов
кольца R, то носители Д = е{1к) попарно ортогональны и можно
найти 2' различных центральных идемпотентов — сумм Σ, Λ
/сел
по подмножествам А С {1,...,/}, т. е. 2' ^ 2" и / ^ п. D
3.6.7. Теорема. Пусть G — Μ-группа автоморфизмов
первичного кольца R. Тогда первичная размерность кольца
инвариантов равна инвариантной первичной размерности алге-
6puM{G).
Доказательство. Пусть 18(G) = Βλ φ.. .®Вп —
разложение полупростой алгебры Ш (G) в прямую сумму ненулевых
инвариантных G-простых идеалов. В каждом из колец Bi выберем
сопряженные левый и правый идеалы λ; и pi. Эти идеалы
аннулируют все другие слагаемые Bj, j φ г, поэтому они сопряжены
так же, как Ш (О)-модули. С помощью леммы 3.4.1 построим
инвариантные формы T\tjPi: I —> RG, где / — ненулевой
идеал кольца R. Пусть Д — образ соответствующего отображения.
Тогда /, < RG и идеалы /;, 1 ^ г ^ п, попарно аннулируют друг
друга, т. е. 1\ + ... + 1п — прямая сумма в RG. Все слагаемые в
этой сумме — первичные кольца. Покажем, например, что 1\ —
первичное кольцо. Пусть 0 φ а £ 1\. Тогда элемент α (как
элемент RG) перестановочен с элементами из 1BS(G).
Следовательно, его аннулятор aim а в 18(G) — двусторонний инвариантный
идеал. С другой стороны, по построению 1\ аннулирует сумму
-£?2 + · · ·+Βη, т. е. anna D B2 + .. .+Вп. Пересечение annaС\В\
есть инвариантный идеал в В\, причем этот идеал не равен В\,
164
3. Группы автоморфизмов первичных колец
так как иначе а аннулировал бы всю алгебру 18(G). Поэтому
апп οΠΒι =0 ввиду G-простоты Βλ. Пусть 0 φ ν, w G I\, и
пусть αχ,... ,am,bi,... ,bm — дуальные базисы идеалов Х\, р\.
Аннуляторы элементов ν и w имеют нулевое пересечение с В\,
поэтому ναι,■■ ■ ,vam и biw bmw — линейно независимые
множества. В случае vl\w — 0 мы имеем на / редуцированное
тождество ντχ1ιΡι (x)w — 0, из которого по теореме 2.2.2 следу-
m
ет Σ, να> ®b{W— 0, что противоречит линейной независимости
1 = 1
указанных выше множеств. Наконец, если а{1\ + ... + 1п) — 0,
α G RG, то ατχχιΡϊ(χ) — 0 и в силу теоремы 2.2.2 а\{ — 0, т. е.
Bi Π апп α~Ό. Следовательно, В{ С апп а, т. е. а — 0. Согласно
лемме 3.6.6 первичная размерность RG равна п. D
3.6.8. Теорема. Пусть G — приведение конечная группа
автоморфизмов первичного кольца R, алгебра которой квазифро-
бениусова. Кольцо инвариантов RG первично тогда и только
тогда, когда Ш (G) не содержит собственных инвариантных
идеалов (т. е. является G-простой).
Доказательство вытекает из теорем 3.6.1 и 3.6.7. D
Из теоремы 3.6.8 получаем следующий результат.
3.6.9. Теорема. Пусть G — конечная группа автоморфизмов
простого кольца R, не имеющего аддитивного \С\-кручения.
Тогда кольцо инвариантов RG изоморфно прямой сумме не
более чем \G\ простых колец.
Доказательство. По теореме 3.6.2 G является группой
Машке. Инвариантная первичная размерность т алгебры этой
группы заведомо меньше ее размерности, которая не превосходит
порядка η группы G. По теореме 3.6.7 первичная размерность RG
равна m ^ п. Пусть I = 1\ + ... + 1т — произвольная
прямая сумма ненулевых идеалов кольца RG. Покажем, что
/ = RG. Сначала заметим, что левый аннулятор / в RG равен
нулю. Действительно, иначе по теореме Бергмана — Айзекса
(теорема 1.3.6) апп; / — левый инвариантный не нильпотентный
идеал кольца R — имеет ненулевое пересечение с RG и сумма
/ + (апп; / Π RG) будет прямой.
Далее, отметим, что IR — первичное подкольцо в R. Если
alRb — 0 и 6 φ 0, то αϊ — 0 ввиду первичности R.
Следовательно, a G апп; / = 0. Таким образом, IR является инвариантным
первичным подкольцом в R и к нему можно применить
предложение 3.5.4. В результате найдем ненулевой элемент а такой,
3.7. Бимодальные свойства колец инвариантов 165
что alR С IR(IR)G. Заметим также, что n(IR)G С /.
Действительно, если ν — Σ iara G (IR)G, ia G /, ra G R, то
ην — t(y) — Σ iat(ra) G /, где t(x) — Σ χ9 ~ след элемен-
g€G
та х относительно группы G. Аналогично n(RI)G С /. Теперь
мы имеем цепочку включений
R - R{na)IR С R ■ IRn(IR)G С RIR -I-RI.
Поэтому nRG С n(RI)G С /. Так как R не имеет аддитивного
τι-кручения получаем 0 φ nR<R, т. е. в силу простоты nR — R,
Поэтому RG - nRG С /.
Остается показать, что каждый из идеалов Ik является
простым кольцом. Если А — собственный идеал (например, в 1\),
то А\ — 1\А1\ — идеал RG, причем 0 φ Α\ φ 1\. Однако ввиду
доказанного выше прямая сумма Αλ + Ιι +... + Im также равна
RG, т.е. Аг - h. D
3.7. БИМОДУЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
КОЛЕЦ ИНВАРИАНТОВ
В этом параграфе мы рассмотрим (R, R°)- и (RG, Д)-подби-
модули в Rj: для группы Машке G.
3.7.1. Теорема. Пусть G — М-группа автоморфизмов
первичного кольца R и V — некоторый (Я, Б)-подбимодуль в
R?, где S — квазипромежуточное кольцо. Тогда
существуют идемпотент е G 18(G) и идеал I G Τ такие, что It С
V С Rjre.
Теорему 3.7.1 мы выведем из предложения 3.7.2. Напомним,
что для формы f(x) и элемента β G R®Rop, β — Σ rk®tk, мы
определили f(x) · β — J^ tkf(rkx) и положили a · β — J^ tkark
для a G Rp. Кроме того, если g G G, το β9 — Σ r9k ® tk.
3.7.2. Предложение. Пусть V — непустое подмножество в
Rp. Тогда существуют элементы a G R, а ф О, t>i,... , vm G
V, βι,... , βτη G Я ® Rop такие, что для любого χ G Rp
m
αχε = Σ(υ*τ(χ))·&· (3-7.1)
« = ι
166 3. Группы автоморфизмов первичных колец
где е — идемпотент из 18(G), определяемый условием (1 —
e)HS(G) = аппж V, и т(х) — главная инвариантная форма.
Доказательство. Пусть ν — произвольный элемент из V и
(1 — р)Ш — его правый аннулятор в Ш, где ρ — ρυ — идемпотент
из Ш. Выберем базис αχ,... ,ак над С этого аннулятора и
дополним его до базиса ах ап алгебры Ш. Пусть aj,... , α* —
дуальный базис алгебры Ш. Элементы vak+i,... , ναη линейно
независимы над С: если Σ CfWa,- = 0, то ν Σ CjOj = 0, т. е.
i>k i>k
Σ c,a,· G Σ Cdi, что приводит к противоречию. Распишем
i>k i$k
главную инвариантную форму в базисе а\,... , ап и умножим ее
слева на v. В результате получим
vak+ixal+1 + ... + vanxa*n + ν V^ (a,·а;aJ')fl,,' = ντ(χ).
В силу теоремы 1.7.10 для каждого s, к < s ^ п, можно найти
β, G R ® Дор такой, что d, - (να,) ■ β, φ О и (να,·) · β, - О при
i ^ s, а также (i>afJ) · β9,' = О при j φ 1 и любом i. Поэтому
d.xa* - (ντ(χ)) -β,, k<s^.n. (3.7.2)
Заметим, что α%,ι α* образуют базис идеала Шр.
Действительно, линейная оболочка этих элементов состоит из всех
элементов, ортогональных а\ ак относительно билинейной
формы, т. е. Са*к+1 + ... + Са*п - {Ь G Ш | (6,(1 — р)Ш) - 0}.
Ввиду ассоциативности и невырожденности билинейной формы
линейная оболочка равна Шр.
Далее, правый аннулятор V в алгебре Ш равен пересечению
всех правых аннуляторов элементов из V, т. е. (1 — е)Ш —
Π (1 — р«)В. Поскольку алгебра Ш конечномерна, можно счи-
υεν
тать, что последнее пересечение берется по конечному множеству
элементов из V. Переходя к левым аннуляторам в В, по лемме
3.3.5 находим '
Ше - Σ №ρυ.
»€{«i,...,«m}
Записав для каждого υ,-, 1 ^ г ^ т, формулу (3.7.2), получим
систему равенств
d>,ixa*,,i ~ iViT{x)) · β',ί· к{ <S ζη, 1 «ξ ί «ξ 771,
3.7. Бимодальные свойства колец инвариантов 167
причем (и это важно) е = JZ αί »с»,* для подходящих с,,,- €Е С.
Ввиду первичности кольца R пересечение всех (R, Я)-бимоду-
лей /,,,-, порожденных элементами d,ti, λ, < s ^ п, 1 ^ г ^ т,
отлично от нуля и имеет ненулевое пресечение с R. Это означает,
что существуют элементы /3J; £ Я ® Дор и ненулевой элемент
d £ R такие, что d — dSii · β'3 { для всех s, г, к{ < s ζ. п,
1 ^ i ^ т. Кроме того, можно найти элемент и £ R такой, что
ud φ О и uc,ti £ R для всех s, i. Получаем систему равенств
Поэтому
udie = ]Р(1>;т(а:))/?м ·#_, · (1 ® uc,,,).
Полагая α = ud, /3,- = Σβ>,ί · β',ί · (1 ® "с,,,·), приходим к
5
заключению предложения. D
Доказательство теоремы 3.7.1. Выберем ненулевой идеал
J < R так, что t(J) С S. Тогда правая часть равенства (3.7.1)
при любом a; G J содержится в V, т.е. aJe С V. Следовательно,
It С V, где / = RaJ. Так как ^(1 — е) = О ввиду определения
е, получаем V — Ve С Д^-е. Π
3.7.3. Теорема. Пусть G — М-группа автоморфизмов
первичного кольца RuW — некоторый (5, К)-подбимодуль в Rj?,
где S — квазипромежуточное кольцо. Тогда el С W С eRp
для некоторого ненулевого идеала I < R и идемпотента е £
B(G).
Доказательство симметрично доказательству теоремы 3.7.1.
3.7.4. Следствие. Если правый аннулятор (R, RG)-nod6uMO-
дуля V С Rjr в алгебре 18(G) равен нулю, то V содержит
ненулевой идеал кольца R. Аналогично, если левый аннулятор
(R , Р)-подбимодуля W С R? в алгебреШ(С) равен нулю, то
W содержит ненулевой идеал кольца R.
Понятно, что справедлив также левый аналог предложения
3.7.2. Мы приведем его соответствующую формулировку, но в
несколько измененном виде.
3.7.5. Предложение. Пусть W — непустое подмножество в
R?. Тогда существуют элементы а £ R, а φ О, W\,... ,wn
168 3. Группы автоморфизмов первичных колец
£ W, ti,ri £ R, 1 ^ г ^ τι, такие, что для любого χ £ R?
еха — \~]T(xri)witi, (3.7.3)
i
где US(G)(1 — е) = annjj W, τ — главная инвариантная
форма.
3.7.6. Предложение. Пусть G — Μ -группа, S —
квазипромежуточное кольцо, а — идемпотент из R? такой, что
sa — asa для любого s £ S. Тогда существует идемпотент
ρ £ HS(G) такой, что ар — р, ра — а. Обратно, если ра — а
и ар — ρ для некоторого ρ £ US(G), то sa — asa для любого
seRG.
Доказательство.'Если ра — а, ар — р, s £ R°, то sa —
spa — psa — apsa.= aspa — asa. Пусть sa — asa для всех s £
S. Рассмотрим правый идеал V — aR?. Если s £ 5, то saR? —
asaR? С aRjr. Поэтому V является (5, Я)-подбимодулем и по
теореме 3.7.3 pi С V С pRp, где ρ — идемпотент из 18(G).
Второе включение показывает, что ра — а. Если i £ /, то рг —
аг. Следовательно, apt — а2г — аг — рг. Таким образом,
{ар — р)1 — О, т. е. ар — p. D
3.8. КОЛЬЦО ЧАСТНЫХ
КОЛЬЦА ИНВАРИАНТОВ
В этом параграфе мы вычислим мартиндейловское кольцо
частных кольца инвариантов группы Машке.
3.8.1. Лемма. Пусть алгебра приведение конечной группы G
полупроста. Тогда для любых ненулевого левого (правого)
идеала А и ненулевого идеала I верно соотношение τ(ΙΑ) φ О
(τ(ΑΙ) φ 0), где τ — главная инвариантная форма.
Доказательство. Рассмотрим (R, Яс)-бимодуль ARG. В
силу теоремы 3.7.1 можно найти ненулевой идеал J и
ненулевой идемпотент е £ M(G) такие, что Je С ARG С R?e. Если
τ(ΙΑ) = 0, то т(Пе) С r(IARG) С t(IA)Rg = 0. В силу
теоремы 2.2.2 Σ ai ® е^« = 0, где {а,·} и {&,} — дуальные базисы
алгебры группы G. Последнее равенство возможно лишь, если
ebi = 0 для всех г, т. е. еШ (G) = 0, что приводит к
противоречию. D
3.8. Кольцо частных кольца инвариантов
169
3.8.2. Теорема. Пусть G — М-группа автоморфизмов
первичного кольца R. Тогда (R?)G = (R0)^, где Т\ —
совокупность всех идеалов R , имеющих нулевые аннуляторы в
кольце инвариантов.
Для доказательства теоремы нам потребуются
нижеследующие леммы 3.8.3 и 3.8.4.
3.8.3. Лемма. Пусть А — существенный идеал кольца
инвариантов. Тогда аннуляторы [левый и правый) А в R? равны
нулю и каждое из множеств RA, AR содержит некоторый
идеал I £ Т.
Доказательство. Если qA = О и Iq С Я, где 0 φ Ι < Я,
О φ q €Ξ 18(G), то (Iq)A = 0. Поэтому левый аннулятор L
множествам! в Я не равен нулю. Выберем идеал / так, что τ(Ι) С R
для главной инвариантной формы т. По лемме 3.8.1 t(IL) φβ.
С другой стороны, t(IL)-A = t(ILA) = 0 и t(IL) = 0, так как
А — существенный идеал кольца инвариантов. Таким образом,
аннулятор А в Ш (G) равен нулю (как левый, так и правый,
поскольку А коммутирует с элементами из 18(G)). По следствию
3.7.4 левый идеал RA содержит ненулевой двусторонний идеал
кольца R. В частности, правый аннулятор множества RA, a
следовательно, и множества А, в R? равен нулю. Из следствия
3.7.4 вытекает также, что AR содержит ненулевой двусторонний
идеал кольца R. D
3.8.4. Лемма. Если в условиях теоремы 3.8.2 / £ Τ, то I О
RG GTl
Доказательство. Ясно, что / Π RG — двусторонний
идеал RG. Если а{1 Π RG) = 0 для 0 φ α €Ε RG, то согласно
лемме 3.8.1 τ{αΗ) φ 0 для любого ненулевого J < R. Кроме
того, можно подобрать идеал J так, что r(J) С /. Поэтому
0 φ r(aIJ) = ar(IJ) С α(Ι Π RG) = 0, что приводит к
противоречию. D
Доказательство теоремы 3.8.2. Покажем, что (Я0)^
естественно вкладывается в R?. Пусть ξ £ Hom(A, RG), A £ Τι.
Определим соответствие ξ'1: RA —> R по формуле ( ^ raaa Ιξ'1
= Σ Γα(ααξ) и покажем, что £h является отображением. Пусть
^ = {Х>«(я«0 I !>«<*« = θ}·
170 3. Группы автоморфизмов первичных колец
ί = ο,
Тогда V — левый идеал и для любого идеала / такого, что
т(1) С RG, имеем
^2т(гга)аа ξ= τί ]T\Y0a0J
где г — любой элемент из /. Таким образом, по лемме 3.8.1
V = 0. Это означает, что £h — гомоморфизм левых Д-модулей.
По лемме 3.8.3 его область определения RA содержит ненулевой
идеал кольца R. Поэтому £h определяет некоторый элемент из
Rjr, который по-прежнему будем обозначать через £h. Ясно,
что отображение h: ξ —у £h является вложением (R0)^ в Rp.
Остается показать, что образ h совпадает с (Rj?)G. Если χ £
яд,ее(Яс)^,то
h\g —
χ(ξη)° =
Σ^Γκο
χξ*
Поэтому образ h содержится в (Rp)G. Обратно, пусть ψ €Ε
(Rjr)G, ψ: Ι —> R. Рассмотрим сужение ψ на RG. По
лемме 3.8.4 его область определения принадлежит Τι. Далее, (/ Π
RG)(p С (Rr)G П Я = RG. Поэтому сужение ξ принадлежит
(Rr)?!, причем £h = ν, так как R(I П RG) D J £T. Поэтому
J(th -φ) = 0. Π
3.8.5. Следствие. В условиях теоремы 3.8.2 верно равенство
Q(R)G = Q(RG).
Доказательство. Утверждение легко получить из теоремы
3.8.2, применяя лемму 3.8.4. D
3.9. ПОДКОЛЬЦА ГАЛУА
В этом параграфе мы выясним, при каких условиях
промежуточное кольцо S, R Э S Э RG, будет подкольцом Галуа
М-группы. Пусть G — некоторая М-группа автоморфизмов
первичного кольца R (G С А (Я), см. 1.7) и 5 — (квази)проме-
жуточное кольцо. По теореме 3.5.1 централизатор 5 в кольце R?
3.9. Подкольца Галуа
171
содержится в алгебре Ш = US(G) группы G. Этот
централизатор на протяжении всего параграфа будем обозначать через Z.
Сформулируем следующие условия на кольцо S.
БМ Бимодульное условие. Пусть е — идемпотент из Ш (G)
такой, что se = ese для любого s Ε S. Тогда существует
(идемпотент) / €Е Ζ такой, что е/ = /, /е = е.
РП Рациональная полнота. Если А — существенный идеал S
и Аг С S для некоторого г е R, то г е S.
ДО Достаточность обратимых элементов. Алгебра Ζ
порождается своими обратимыми элементами, и если для
автоморфизма д €Ξ G существует ненулевой элемент t £ 1 (G)
такой, что sb = bs3 для всех s €Ξ S, то найдется обратимый
элемент с таким же свойством.
В связи с первой частью условия ДО отметим, что если поле
С (обобщенный центроид R) содержит хотя бы три элемента, то
любая конечномерная алгебра с единицей над С (и тем более Z)
порождается своими обратимыми элементами. Поэтому первая
часть условия ДО ограничительна только когда С —
двухэлементное поле.
3.9.1. Теорема. Любое промежуточное подкольцо Галуа
подгруппы Машке удовлетворяет условиям БМ, РП, ДО.
Доказательство. Пусть S = RH, где Я — подгруппа
группы G, алгебра Ш(Я) которой полупроста. По теореме 3.5.1
централизатор Ζ подкольца S в US(G) (и даже в R?) равен Ш(Я).
Условие БМ вытекает из предложения 3.7.6. Условие РП можно
проверить следующим образом: если h £ Я, то А(г — rh) = О,
т. е. лемма 3.8.3 дает г = rh, что и требуется.
Проверим условие ДО. Алгебра Ζ = Ш(Н) по определению
порождается обратимыми элементами (см. 3.1.1). Пусть bs = s9b
для всех s €Ξ 5, и пусть тн — главная инвариантная форма
группы Я. Тогда для всех χ из подходящего ненулевого идеала имеем
Ьтн(х) = Tfj(x)9b. Если это тождество редуцированное, то по
теореме 2.2.2 получаем J2 &а» ® Ь» = 0, где {а,·} и {&,} —
дуальные базисы И (Я), т. е. Ьщ = О для всех г, что невозможно.
Нередуцированность тождества означает, что hig = /i2(modG;nt)
для некоторых hi, h2 €Ξ Я, т. е. g = ha± где h £ Я, а —
обратимый элемент из 18(G). Имеем a~1s = s11^1 = s^a-1 = s9a~1)
т. е. α — искомый элемент. D
172 3. Группы автоморфизмов первичных колец
Докажем обратное утверждение.
3.9.2. Теорема. Пусть G — регулярная группа
автоморфизмов первичного кольца R. Тогда если промежуточное под-
кольцо S удовлетворяет условиям БМ, РП, ДО, то S = RH
для некоторой М-подгруппы Я группы G.
Доказательство теоремы будет следовать из
нижеприводимых понятий и вспомогательных лемм. Чтобы прояснить их
смысл и значение, наметим в общих чертах доказательство этой
теоремы. Прежде всего отметим, что группа Я вычисляется сра-
зу Я = .4 (5) = {д £ G | Vs £ S s9 = s} и достаточно лишь
показать, что ее алгебра Ш(Н) = Ζ полупроста (лемма 3.9.4,
ниже). Дальнейшие рассуждения сводятся к доказательству
равенства S = RA(sy Поэтому для любого S (возможно, не
удовлетворяющего условиям БМ, РП, ДО) мы рассматриваем
замыкание Галуа 5 = 1 (A(S)). Ввиду условия РП достаточно для
каждого s €Ξ S найти подходящий идеал знаменателей I~s С S.
Однако мы ставим (и решаем для кольца 5, удовлетворяющего
условиям БМ и ДО) более сложную задачу — найти общий
идеал знаменателей, т. е. показать, что S содержит существенный
идеал кольца S. Для этого необходимо иметь какие-то
способы построения (или нахождения) элементов из S. Некоторый
запас элементов дает включение S Э RG, т. е. для любой
инвариантной формы τ мы имеем соотношение т(х) £ S, где χ
пробегает некоторый ненулевой идеал кольца R. Если в это
соотношение вместо χ подставить произведение 6,· χ и умножить
слева на элемент s,- £ S, то получится новая форма со
значениями в S. Сумма Σ Sir(bix) таких форм также принимает
значения из S. Основная идея доказательства состоит в том,
чтобы такими преобразованиями и их правыми аналогами получить
форму т'{х) со значениями в S, причем такую, чтобы
отображение χ —^ т'(х) было (5,5)-бимодульным, т. е. сомножители из
S можно было выносить за знак т'\ t'(sxsi) = st'(x)~si. Мы
достигнем желаемого, если такое вынесение станет возможно в
каждом слагаемом ахдЬ, т. е. asgx9b = sax9b и ax9s9b = ax9bs
или as9 = На, iFb — bs. Последние соотношения объясняют
значение вводимых ниже (см. 3.9.5) множеств Фд , Фд ' (см. также
условие ДО). В действительности нам удастся таким образом
получить главную инвариантную форму т# группы Я.
Рассмотрим как изменяются коэффициенты формы г при
применении указанных преобразований. Ясно, что множество
3.9. Подкольца Галуа
173
всех значений, в которые может преобразоваться данный левый
коэффициент, образует (S, Я)-подбимодуль. По этой причине мы
изучаем (см. лемму 3.9.3, ниже) такие подбимодули. Само
преобразование формы можно отождествить с линейной
комбинацией β = J2 bt <g> Si £Й® 5, где тензорное произведение берется
над кольцом целых чисел. Воздействие этого элемента на левый
коэффициент при χ в слагаемом (axb)3 проводится по формуле
а -)■ Σ β'"' аК те. α -)■ (α» · /?ψ~', где β' = £ Щ ® *, а
точкой обозначено уже встречавшееся у нас действие (см. 1.7).
Связь этих преобразований на конечных наборах элементов и
множеств Фд ' изучена в следствии 3.9.10.
Приступим к подробному изложению. До конца этого
параграфа зафиксируем обозначения: G — М-группа, S — (ква-
зи)промежуточное кольцо, Ζ — централизатор S в алгебре Ш (G).
3.9.3. Лемма. Пусть S удовлетворяет условию БМ и А —
некоторый (S, Щ-подбимодуль в R?. Тогда существуют идем-
потент f £ Ζ и идеал I £ Τ такие, что fR? DAD fl.
Если А — некоторый (Я, 8)-подбимодуль, то R?f D AD If
для идемпотента f £ Ζ и идеала I £ Τ'.
Доказательство. По теореме 3.7.3 eR? D A D el для
некоторого идемпотента е £ 18(G). Так как А — левый 5-модуль,
имеем set £ А для всех s £ S, г £ I, т. е. set = ег*, г,· £ R?.
Умножив слева на е, находим esei = eri = set. Учитывая,
что i — произвольный элемент идеала /, получаем se = ese.
Воспользовавшись свойством БМ, найдем идемпотент / £ Ζ
такой, что е/ = /, /е = е. Пусть J — ненулевой идеал такой, что
fJCR (напомним, что Ш (G) С Q( R)). Тогда / Л = e(fJ)I С
el С А. Кроме того, fR? D f(eRjr) = eR? D e(fRjr) = fR7)
т. e. fRjr = eRjr D A.
Пусть A — некоторый (R, 5)-подбимодуль. По теореме 3.7.1
R?e D A D Ie для некоторого е £ 18(G), т. е. ies = r,e для
любых s £ S, i £ / и подходящих г, £ R?. Умножая последнее
равенство справа на е и учитывая, что г — произвольный
элемент идеала, получим ese = es или s(l — е) = (1 — e)s(l — e).
Используя условие БМ, найдем идемпотент 1 — / £ Ζ такой,
что (1 - е)(1 - /) = 1 - /, (1 - /)(1 - е) = (1 - е), т. е.
е/ = е, /е = /. Если J — ненулевой идеал кольца R
такой, что Jf С Я, то IJf С I(Jf)e С Ie С А. Кроме того,
Rjrf D {Rre)f = Rjre. D
174 3. Группы автоморфизмов первичных колец
3.9.4. Лемма. Если (квази)промежуточное кольцо S
удовлетворяет условию БМ, то оно полупервично, а его
централизатор Ζ полупрост.
Доказательство. Если Τ < S и Т2 = О, то (Т + RT)(TR +
Τ) = 0. По лемме 3.9.3 найдем идемпотенты t,f Ε Ζ такие, что
Rjre Э T+RT Э It, fR? Э T+TR Э fJ, где I,J GT. Тогда
te = t, ft = t для любого (еГ,и поэтому tef = tf = ft = t.
Однако It ■ fJ = 0, т. е. tf = 0 и Τ = 0.
Для доказательства полупростоты Ζ достаточно показать,
что любой главный правый идеал ρΖ алгебры Ζ порождается
идемпотентом. Так как ρ £ Ζ, получаем, что pR является
(S, Д)-бимодулем и по лемме 3.9.3 fQ Э pR D //, где Ι Ε Τ,
f — идемпотент из Ζ. Покажем, что рШ = /В. Для этого
воспользуемся квазифробениусовостью Ш:
рШ = ann^Canni0 рШ) = апп^(Щ(1 - /)) = /В,
где равенство апп^ рШ = Щ(1 — /) справедливо ввиду цепочки
включений fQ Э pR Э fl и того факта, что / — идемпотент.
Пусть / = pb, где Ь £ Ш. Тогда p[b, s] = pbs — psb = fs —
spb = [f,s] = 0, т. e. [b,s] €Ξ аппд (ρ) для любого s €Ξ S.
Так как ainig (p) — (5, Д)-бимоДуль, по лемме 3.9.3 найдется
идемпотент е €Е Ζ такой, что tQ Э aniiq/ (p) D tJ. В частности,
(1 - t)[b,s] = 0, т. е. (1 - t)bs = (1 - t)sb = β(1 - t)b.
Следовательно, (I — t)b £ Ζ. Кроме того, ptJ = 0, т. е. ре = 0,
и р(1 — е) = р. Поэтому / = pb = р(1 — t)b €E pZ и, так как
рЩ = /В, получаем ρ = fp £ fZ, т. е. pZ = fZ. D
ί s\
3.9.5. Для мономорфизма ψ: S —> R? обозначим через Ф^, ;
множество всех элементов а £ R? таких, что sa = αεφ для
всех s €Ξ S. Аналогично Ф^, ' = {a €Е R? | Vs €Ξ S : as =
εφα}. Заметим, что если φ действует тождественно на RGC~\S, то
Φφ ' С 18(G). Действительно, если χ €Ε RG, то χα = αχφ = ах,
т. е. по теореме 3.5.1 а €Ξ 18(G).
3.9.6. Лемма. Справедливы соотношения (Фд ;) = Φ\-ι h,
*ff (*Λ ) *= ®hq ■ ° частности, полагая во втором
включении поочередно h — 1 и g = 1, получим Ф5 'Z9 С Фд ',
Ζφ[δ] СФ<,5), ideg,h£A(R).
3.9. Подкольца Галуа
175
Доказательство. Применяя к равенству sa = as3
автоморфизм ft, получаем shah = ahs9h или shah = ah ■ (s',)',~Ifl,',,
что доказывает первое равенство. Если а G Фд и b G Фк , то
sab9 = as9b9 = a{sb)9 = a(bsh)9 = ab9sh9. D
3.9.7. Обозначим через L(5) подкольцо в тензорном
произведении Q ® Qop над кольцом целых чисел, порожденное
элементами вида г <g> 1, 1 ® s, где г е Я, s e S, а кольцо Qop
антиизоморфно Q, но имеет ту же аддитивную группу. Если
/3 = ^ г,· ® s,· G L (5), полагаем у?(6) = ^ г* <g> sf (в отличие от
βφ =J2rf® s«; см· 1·7). Если £ — некоторое подмножество в
L (5), полагаем £± = {г G Q | V/3 G £ г ■ β = 0}. Напомним,
что г ■ β = Σ s«»"»"«, где /3 = J2 r« ® s« · Для r £ Q определим
riS = {/3 e L (5) | r ■ /3 = 0} = rL П L (5).
3.9.8. Лемма. Пусть £ — правый идеал в L (5), gi,... ,gn —
изоморфизмы кольца S на подкольца Q(R), действующие
тождественно на RG О S. Предположим, что образы S9'
удовлетворяют условию БМ. Тогда для любых г\,... , гп G Q(R)
^+έφ^=ίή^ν59,)η£)±.
» = 1 4 = 1 '
Доказательство. Покажем сначала, что левая часть
равенства содержится в правой. Для этого достаточно показать, что
если gi(fi) = X]6fc®sf G r±s9\ τοα»ν/3 = 0 для всех α G Φ9ί>.
Имеем
(ατή ■ β = Y^Skaribk = а^^к^к = α(Γ«' ' 9ί(β)) = 0.
k k
Докажем обратное включение индукцией по п. Пусть η = 1,
υ G (5Γ1(Γι"5!") η £)L- Так как ν £ Q(R): имеем νΐ С R для
некоторого/ G Т. Пусть£i = £(/<g>l). ТогдаvC\ С Ди£^- =
£-"-. Поэтому достаточно показать, что ν G Ф^ г ι + £f. Если
/3 G5r1(ri"5!")n'ci. του·/3= 0. Поэтому ν?: гш(/3) -Λν-β —
корректно определенное отображение множества А = ri ■ <7ι(£ι)
в Я, где /3 пробегает £ι. Кроме того, ψ — гомоморфизм правых
Я-модулей. Действительно,
<f[(ri ■ 9ι{β))Λ = <f[ri ■ 9ι(β(τ ® 1))] = [ν ■ /3(r <g> 1)]
= {ν-β)Γ=[ψ{Γι-9ι{β))}τ.
176
3. Группы автоморфизмов первичных колец
Так как £ι — правый идеал в L (5), то А — (S91, Я)-бимо-
дуль. По лемме 3.9.3 A Э pj, J €Е Tt где ρ2 = ρ принадлежит
централизатору S91 в HS(G) и pa = а для всех а £ Α.
Распространим действие у? на J по формуле φ{ΐ) = ψ{ρ3)-
Так как ψ является гомоморфизмом правых Я-модулей и его
область определения принадлежит Т, имеем ψ(ϊ) = £j для
некоторого ξ €Е R"? и всех j €E J (здесь Щ^ — правое кольцо
частных R относительно Т\ см. 1.4.11).
Покажем, что ξ Ε Ф^'. Пусть s Ε S. Найдем идеал 1\ЕТ
такой, что s91 h С R. Пусть j — произвольный элемент из I\ J,
pj = α = ri ■ 9\{β) €Ξ Α. Тогда ps91 = s91 p и s91 j £ J. Поэтому
ξ89^ = <p(s9ij) = ψ{ρε9^) = <f(s9lpj) = ν[«5ι('·ι ■ 9ι(β))}
= ψ[τί ■ 9ι{β{\ ® β))] = ν ■ /3(1 ® β) = s(v ■ β)
= sy(PJ) = slf(J) = s&-
Следовательно, (£sffI — sξ)IιJ = 0. Поэтому s£ = £sffI для всех
s €Ξ S. В частности, если s €Ξ RG, το s£ = £s, т. е. по теореме
3.5.1 ξ G B(G) С б?(Д). Таким образом, ξ G Ф^}.
Покажем, что ξα = φ(α) для всех а £ А. Найдем идеал 1а €Е
Τ такой, что Ια· а С. R. Если / е Ла Π Дс, то la e pJ, так как
ра = а к 1р — pi. Поэтому Ιξα = ξΐα = ψ(1α) = Ιψ(α). Таким
образом, 1(ξα — ψ(α)) = 0. Следовательно, (Ла Π ήα)(ξα —
ψ{α)) = 0. В силу лемм 3.8.3 и 3.8.4 получаем ξα — ψ(α).
Наконец, для любого β Ε £f имеем
(V - ξη) -β = νβ-ξη-β = νβ- ί(Γχ ■ 9ι(β))
= νβ- φ(η ■ 9ι{β)) = υ·β-νβ = 0.
Поэтому ν €Ξ Φ9ι ri + £±. Тем самым лемма доказана для
случая η = 1.
Предположим, что
^+Σ*^= ί nVi^Jnr)^^, (3.9.1)
«=i ^ ι '
n-l
где £2 = Π 5Γ1(Γϊ'"5!'') η ^ Тогда £2 будет правым идеалом
ι
в L (S). В силу случая η = 1
3.9. Подкольца Галуа
177
однако £2n<7-1(r^59'') = ^g^i^'^nC и по формуле (3.9.1)
ι
что и требовалось доказать. D
3.9.9. Замечание. Лемма 3.9.8 потребуется нам также в
несколько более общем виде. Пусть R = Дф ... φ R — прямая
сумма η копий кольца_^Д. На каждом из слагаемых действует
группа (^поэтому на R действует прямая степень G". Кроме
того, на R действует группа подстановок 5„, которая
переставляет слагаемые. Пусть G = G" X Sn — группа, порожденная
G" и_5„, a S — квазипромежуточное кольцо, т. е. подколь-
цо в R, содержащее все суммы т(х) φ ... Θ т(х) при χ £ I
для некоторого / £ ?{Щ- Лемма 3.9.8 остается справедливой
и в такой ситуации. Действительно, алгебра группы G равна
Ш (G)", централизатор S равен прямой сумме Ζ\ φ... φ Ζη
централизаторов проекций S на слагаемые R и поэтому содержится
в US(G)n. Кроме того, любой правый (левый) Д-подмодуль в
Rj: — Rj: φ ... φ Rjr разлагается в прямую сумму своих
компонент. Ввиду этих замечаний леммы 3.8.3, 3.8.4, теоремы 3.7.^
3.5.1 и лемма 3.9.3 остаются справедливыми при замене R на R
и G на G. Остается убедиться, что в доказательстве леммы 3.9.8
мы использовали перечисленные утверждения, но не
использовали первичность кольца R.
3.9.10. Следствие. В условиях леммы 3.9.8 (и в условиях
замечания 3.9.9) имеет место равенство
» = 1 ^ 1 '
3.9.11. Пусть 5 — некотороеподкольцокольцаR. Формаг(а;) =
Σ a{X3ibi называется S-формой, если существует ненулевой
идеал / кольца R такой, что т(а) £ S для всех а £ I. Например, по
построению, проведенному в 3.4.1, любая инвариантная форма
является Яс-формой.
178 3. Группы автоморфизмов первичных колец
3.9.12. Теорема. Пусть S — (квази)промежуточное кольцо,
удовлетворяющее условиям БМ и ДО, Η = A(S). Тогда Η
является Μ -подгруппой группы G и главная Η -инвариантная
форма будет S-формой.
Эта теорема очевидным образом вытекает из леммы 3.9.4 и
следующего предложения.
3.9.13. Предложение. В условиях теоремы 3.9.12
существуют элементы а £ R, а ф О, г,·, t>,· £ R, Si E S, 1 ^ г ^ m,
такие, что для любых i,j/€ R? выполняется равенство
тн(уах) = ^2T(yri)siT(vix),
i
где Tji — главная Η -инвариантная форма, τ — главная G-ин-
вариантная форма.
Для доказательства предложения нам потребуются
следующие леммы.
3.9.14. Лемма. Если централизатор Ζ
квазипромежуточного кольца S, удовлетворяющего условию БМ, порождается
обратимыми элементами, то группа A(S) является группой
Машке.
Доказательство. Так как Ζ порождается обратимыми
элементами, алгебра группы A(S) равна Ζ. По лемме 3.9.4 алгебра
Ζ полупроста. Поэтому A(S) — группа Машке. D
3.9.15. Лемма. В условиях теоремы 3.9.12 для главных
инвариантных форм групп G и Η = A(S) имеет место
соотношение вида
т(х) = rH{dx) + ^2(wiXVi)hi + ^(wjXVj)9^ (3.9.2)
« ί
такое, что
(а) ФдЛ' = О для всех j,
(б) hi £ Η для всех г,
i
(г) левый аннулятор d в Ζ равен пулю: ann^ d = 0.
3.9. Подкольца Галуа
179
Доказательство. Рассмотрим алгебру Ш как правый модуль
над Z. Ввиду полупростоты Ζ можно найти прямое
разложение Ш = Ζ φ V. Выберем некоторый базис z\,... ,Zk
алгебры Ζ над С и дополним его элементами Vk+i,. ■ · ,vn €Ξ V до
базиса алгебры Ш. Пусть w\,... ,wn — дуальный базис, т. е.
(ы, wj) = Sij, где ы = z{ при 1 ^ i ^ к и скобками
обозначена некоторая ассоциативная билинейная невырожденная форма
к
на Ш. Пусть Α=Σ wiC, -D = Σ wic- ТогДа A = V± nD =
» = 1 i>k
ZL. Ввиду ассоциативности формы (V,ZA) = (VZ,A) = 0 и
(Ζ, ZD) = (Ζ, D) = О, т. е. А и D — левые Z-подмодули IB,
причем они не пересекаются. Следовательно, Ш = А ф D — прямое
разложение в сумму левых Z-модулей. Ограничивая
билинейную форму на пару Z-модулей (Ζ,Α), получаем ζ А — (Ζζ)*,
т. е. ζ Α ~ ζ Ζ в силу фробениусовости полупростой алгебры Ζ.
Таким образом, можно найти элемент d е А такой, что А = Zd
и левый аннулятор d в Ζ равен нулю (d — это образ единицы при
изоморфизме А ~ Z). В частности, w\ = z^d,..., Wk = z£d для
некоторых элементов z\,... ,ζ£ Ε Ζ. Ясно, что эти элементы
образуют базис Ζ.
Определим на Ζ билинейную форму [х,у] = (x,yd). Эта
форма ассоциативная и невырожденная, поскольку \z\,... , г^}
оказывается дуальным базисом к {ζχ,... ,Zk]. Теперь можно
построить главную форму, перестановочную с Z;
υΗ{χ) = ζ{χζι + ... + z"kxzk.
Для главной формы, перестановочной с IB, имеем
а
v(x) = 2_, uiiXVi = vjj(dx) + 2_\uiiXVi.
«=1 i>k
Для наших целей важно, что ZdC\ Σ Zw{ = 0 и левый аннуля-
i>k
тор d в Ζ равен нулю. Выберем систему представителей правых
смежных классов группы Gint# по подгруппе Gint из
элементов 1 = Αι, /12,... , ht, принадлежащих Я, и систему
представителей 1 = <7ι,... , д, правых смежных классов группы G по
подгруппе GintЯ. Обе эти системы конечны, так как G — при-
веденно конечная группа.
180 3. Группы автоморфизмов первичных колец
Теперь мы имеем представление для главной G-инвариантной
формы:
t
т{х) =Y^v{x)h'91 = J2{vH(dx))hi
ΐ,ι «'=ι
Заметим, что Фд = 0 при любом д = (Ajyj)-1, где / ^ 2.
Действительно, в противном случае в силу условия ДО найдется
обратимый элемент Ь G Ш такой, что 6-1s6 = s9 для всех s €Ξ 5,
т. е. Ьд~1 £ A(S) — Η. Следовательно, hjgi E Gint#. Так
как Gint — нормальная подгруппа, получаем gi £ Gint#, что
противоречит выбору <7ι,... ,да. Упрощая обозначения, находим
соотношение требуемого вида. D
3.9.16. Доказательство предложения 3.9.13. Сохраняя
обозначения леммы 3.9.15, полагаем £ = HW"5 ηΠ071(ιϋ/5 ')■
« j
Применяя β €Ε £ к обеим частям равенства (3.9.2), получаем
т(х) ■ β = rH((d ■ β)χ). (3.9.3)
Так как £ — правый идеал в L (5), множество d ■ £ является
(5, Д)-подбимодулем в R?. По лемме 3.9.3 находим идемпотент
/ С Ζ и идеал I £ Τ такие, что fICd£C fRp. Тогда
[(1 - f)d] ■ £ = (1 - /)(d ■ £) = 0, т. е. (1 - f)d e £х.
Применяя следствие 3.9.10 и используя условие (а) леммы 3.9.15,
получаем (1 — f)d £ ^Zwit т. е. в силу условия (в) той же
леммы (1 — f)d = 0. Условие (г) леммы 3.9.15 дает / = 1.
Согласно предложению 3.7.5 можно найти конечное
множество элементов νι,... ,υη €Ξ d ■ £ такое, что уа = Σ T(yri)viti
i
для подходящих a,ri,ti £ R, α φ 0, и любого у £ R?. Пусть
Ы = d ■ /?,·, где /?,· €Е £. Тогда формула (3.9.3) дает Tjj(vitix) =
r(tix) ■ /?,·. Следовательно,
тн(уах) = тн ( Σ T(yri)viUx )
= ^2r(yn)TH{vitix) = ^2т(уг{)[т(их) ■ βί].
3.9. Подкольца Галуа
181
Расписывая подробно действия #, приходим к равенству
требуемого вида. □
3.9.17. Теперь справедливость теоремы 3.9.2 не вызывает
сомнений: если S — промежуточное подкольцо, удовлетворяющее
условиям БМ, РП и ДО, то по теореме 3.9.12 найдется ненулевой
идеал / кольца R такой, что т#(/) С 5, где Я = A(S).
Однако тн(1) — существенный двусторонний идеал кольца RH = S:
если тн(1)д = О, то на / выполняется тождество с
автоморфизмами Tff(x)q = 0, т. е. по теореме 2.2.2 Zq = О и q = 0.
Наконец, в силу рациональной полноты S получаем S = S, что
и требуется.
3.9.18. Следствие. Пусть S — (квази)промежуточное
кольцо, удовлетворяющее условиям БМ и ДО. Тогда кольцо S
содержит существенный идеал кольца S = 1^4(5).
Доказательство. Действительно, по теореме 3.9.12 т"#(/) С
S для некоторого ненулевого идеала / < R и множество т"#(/) —
существенный идеал S. D
3.9.19. Замечание. Основное утверждение этого параграфа
(предложение 3.9.13) остается справедливым и в более общей
ситуации (см. замечание 3.9.9). Именно, пусть R = Д φ ... φ Я,
G = Gn X 5„, и пусть квазипромежуточное кольцо S С R
удовлетворяет условию БМ, а его проекция на первую
компоненту — условию ДО, причем A(S) = (Нт X Sm) x G", где
Η — подгруппа группы_(7, Sm — группа подстановок первых т
компонент разложения R, а группа G" действует тривиально на
этих компонентах. Обозначим через е единицу первой компонен-
(s\
ты и предположим, что еФ^х;(11 = 0 при всех j > m и любых
3 ЕС, где (lj) — трансвекция из Sn. Отождествим кольцо R
с первой компонентой R, а автоморфизмы из G распространим
на Я, полагая их действия на всех компонентах, кроме первой,
тождественными. В этом случае G С G и подгруппа G"
отождествляется с G χ (12)G(12) χ ... χ (ln)G(ln), где (li) —
трансвекция из 5„, представляющая первое и г-е слагаемые R.
η
Положим т^(х) = J2 τ(1ι)(χ). Тогда т-^ — инвариантная фор-
« = 1
182 3. Группы автоморфизмов первичных колец
ма для группы G. Аналогично Ta(S) = Σ тн (х) — инвари-
.7=1
антная форма для группы A(S).
3.9.20. Лемма. Существуют ненулевой элемент а £ R
(точнее, а £ eR), элементы гх,... , Гк, νχ,... ,Vk £ R и элементы
sx, ■ ■ ■ ,Sk E S такие, что для любых 1,у£ R? выполняется
к
равенство TA(S){yax) = Σ rg.(yr,)sir-(t;1a;).
ι' = 1
Доказательство. Проекция eS кольца S на первую
компоненту, рассматриваемую как подкольцо R, удовлетворяет
условиям теоремы 3.9.12. При этом ее группа Галуа A(eS) С А (Я)
совпадает с Η. Действительно, если g £ A(eS), то по
определению действие g на (1 — e)R тривиально. Поэтому g как
элемент G удовлетворяет соотношению s3 = (es)g + [(1 — e)s]g =
es + (1 - e)s = s,%e. g £ A(S) = (Hm X Sm) x G".
Следовательно, g £ Η. Используя лемму 3.9.15, запишем равенство
т т
.7 = 1 j=l «
+ΣΣκ^)57ΐχ(1'°
к = 1 j
+ Σ [τΗ{άχ) + Σ(ινίΧν{)^ +J2(wjXVj)g7l \ ,
к=т + 1 ^ »' ί
где элементы d ιυ, v принадлежат первой компоненте eR.
Учитывая, что gj (Щ = [(ΙΑ)^]-1 и (lk)gj = g'j Χ (ΙΑ), где
g'j = (Ik)gj(lk) £ Gn. Можно переобозначить коэффициенты и
операторы так, что получится представление
τπ(χ) = TA{S)(dx) + Y^(wiXVi)h· + ^(wjxvj)3?1 ,
для которого выполнены следующие условия:
(а) еФ^' = О для всех j,
(б) hi £ A(S) для всех г,
(в) Zd П £ Zwi - О,
3.10. Теоремы о соответствии
183
(г) левый аннулятор d в Ze равен нулю: ann^e d = 0.
Теперь остается почти дословно повторить доказательство
предложения 3.9.13 (см. 3.9.16), заменяя Я, т# иг на R, tA(s) и
Tq соответственно. При этом следует обратить внимание на то,
что d ■ С содержится в первой компоненте, и поэтому идемпотент
/ будет равен единице е первой компоненты. Аналогично в силу
предложения 3.7.5 существуют элементы а ф О, г,·, t{ из первой
компоненты, для которых
уа = ]TV(yr,>;i,· = ]T)r^(j/r,>;t.·,
i i
поскольку ет^(х) = т(х). D
3.10. ТЕОРЕМЫ О СООТВЕТСТВИИ
Теперь мы суммируем полученные в предыдущих параграфах
результаты в традиционной для теории Галуа форме.
3.10.1. Теорема. Пусть G —регулярная группа
автоморфизмов первичного кольца R. Тогда отображения Η —> Π (Я),
S —> A(S) задают взаимно однозначное соответствие
между всеми регулярными подгруппами группы G и всеми
промежуточными подкольцами, которые удовлетворяют
условиям БМ, РП и ДО.
Утверждение вытекает из теорем 3.5.2, 3.9.1, 3.9.2.
Условия БМ, ДО касаются только взаимоотношений
элементов алгебры группы G с промежуточными подкольцами.
Поэтому для внешних групп справедлива следующая теорема.
3.10.2. Теорема. Пусть G — конечная группа внешних
автоморфизмов первичного кольца R. Тогда отображения Η —ϊ
Π (Η), S —> A(S) задают взаимно однозначное соответствие
между всеми подгруппами группы G и всеми
промежуточными рационально полными подкольцами R.
Другой частный случай, когда алгебра группы содержит
мало идемпотентов и много обратимых элементов, возникает, если
18(G) — тело. Этот случай реализуется, если R не содержит
делителей нуля. Действительно, тогда Q(R) также не имеет
делителей нуля: если q · ρ = 0, то (Iq) (pJ) = 0 для ненулевых
184 3. Группы автоморфизмов первичных колец
идеалов I, J < R таких, что Iq С R, pj С R. Поэтому либо
Iq = 0, либо pJ = 0. Таким образом, алгебра любой приведен-
но конечной группы автоморфизмов области будет телом и мы
приходим к следующей теореме.
3.10.3. Теорема. Пусть G — приведение конечная N-группа
автоморфизмов области R. Тогда отображения Я —ϊ 1(H),
S —l· A(S) задают взаимно однозначное соответствие между
всеми N -подгруппами группы G и всеми промежуточными
рационально полными подкольцами.
Здесь полезно отметить, что условие рациональной полноты
для промежуточных колец в случае областей эквивалентно более
сильному элементарному условию: если rs = Si для некоторых
О φ s, si G S, г G Д, то г 6 S (такие подкольца называют
также антиидеалами). Это вытекает, например, из теоремы 3.10.3
и того очевидного факта, что кольцо инвариантов области
является антиидеалом: если rs = Si, то (rs)g = s31: т. е. r9s = Si,
следовательно, (г — r3)s = 0 и г — г3.
Следующий естественный шаг заключается в рассмотрении
групп Я, алгебры И (Я) которых просты (см. определение 3.1.7).
Этот случай близок к общей ситуации М-групп — изучение
произвольной М-группы может быть с точностью до матричных
конструкций сведено к таким группам.
3.10.4. Приведенно конечная группа автоморфизмов G
первичного кольца R называется F-группой, если ее алгебра проста.
3.10.5. Наметим общую схему сведения изучения произвольной
М-группы к исследованию .F-групп. Пусть M(G) = Βχ φ ... φ
Bk — разложение алгебры М-группы G на G-простые
компоненты. Обозначим через е,- единицу алгебры В,·. Тогда Q; =
e«Qe« — инвариантное подкольцо и QG = QY φ... φ Q„:
причем на Q группа G действует так, что ее алгебра изоморфна В,·,
т. е. является G-простой.
Рассмотрим случай G-простой алгебры. Пусть 18(G) = Βι φ
... φ Βη — разложение на простые компоненты. Так как
разложение единственно с точностью до перестановки слагаемых,
для каждого g £ G существует перестановка π5 чисел 1,... , η
такая, что В% = BWg^. Ввиду G-простоты для каждого к
существует автоморфизм д^ £ G такой, что Bf* = В^. В частности,
все компоненты разложения изоморфны.
3.10. Теоремы о соответствии
185
Обозначим через Gk подгруппу всех автоморфизмов, для
которых Kg(k) = к. Иными словами, это те автоморфизмы,
которые единицу вк кольца Вк оставляют на месте. Ясно, что все
группы Gk сопряжены между собой: Gk = д^ Gigk-
Рассмотрим подкольцо Qk = ZkQzk- На него естественным
образом индуцируется действие группы Gk, при этом алгебра
индуцированной группы будет равна Вк = efcUS(G). Докажем
это утверждение. Пусть ξ £ (Qk)r κ χξ = ξχ9 для всех х £Qk
и некоторого д G G. Если д = Ь — внутренний автоморфизм из
Gk, то он будет внутренним и для (Qk)? и ему будет отвечать
элемент е^б. Тогда ξ и е^б линейно зависимы над обобщенным
центроидом кольца Qk, который равен е^С, ί. е. ξ £ Вк.
Если д не является внутренним автоморфизмом, то можно
выбрать элемент и £ Qk так, что υ,ξ φ 0, υ,ξ G Qk. Тогда для
любого у EQ получаем тождество «е^уе^(и^) = (υξ)β^9 е3ки9,
т. е. по теореме 2.2.2 utk ® е^ (υ,ξ) = 0, что невозможно,
поскольку иек = «, е*«) = υξ.
Покажем, что Qk * ~ QG. Достаточно рассмотреть случай
к = 1. Построим два отображения следующим образом.
Полагаем ψ(α) = ei<z, если а €Е QG, и ψ(ά) = d+d92 +.. .+d9n, если d G
Qi . Так как ef* = e^ и идемпотенты t\,... ,en ортогональны,
имеем ψ(φ(ά)) = d. Далее, ψ(φ(α)) = eia + e2<i + ■ ■ - + ena = a.
Очевидно, что эти отображения сохраняют операции.
Таким образом, учитывая, что кольцо Q представимо в виде
кольца обобщенных матриц Q = ||е^<Зе,-||, можно свести в
значительной мере изучение М-группы автоморфизмов первичного
кольца к изучению .F-rpynn.
3.10.6. Теорема. Пусть G — регулярная группа
автоморфизмов первичного кольца R. Тогда отображения Η —> Π (Η)
и S —l· A(S) задают взаимно однозначное отображение
между всеми вполне регулярными подгруппами группы G и
всеми промежуточными (первичными) кольцами,
удовлетворяющими условиям БМ, РП и имеющими простые
централизаторы в Ш (G).
Доказательство. В силу теоремы 3.10.1 достаточно
заметить, что кольцо инвариантов ^-группы по теореме 3.5.1 имеет
простой централизатор (и по теореме 3.6.8 является первичным),
а также показать, что промежуточное подкольцо,
удовлетворяющее условию БМ и имеющее простой централизатор,
удовлетворяет условию ДО. Первая часть условия ДО справедлива, так
186 3. Группы автоморфизмов первичных колец
как любая простая конечномерная алгебра порождается своими
обратимыми элементами. Вторую часть докажем в более общем
виде. D
3.10.7. Лемма. Пусть промежуточные кольца S и Si
имеют простые централизаторы и удовлетворяют условию БМ.
Тогда для любого изоморфизма g: S —> Si, действующего
тождественно на RG либо Фд содержит обратимый элемент,
либо <bgS) = 0.
Доказательство. Пусть Ζ — централизатор S в 18(G), а
Ζι — централизатор Si. Множество Фд ' является (Ζ,Ζι)-6κ-
модулем. Рассмотрим это множество как левый Z-модуль. Пусть
0 φ фд ' = Li +.. · + Lm — разложение этого модуля на
неприводимые компоненты. Тогда L,- ~ Ze,·, где е,- — примитивный
идемпотент из Z. Рассмотрим разложение Ζ на неприводимые
компоненты Ζ = Zei + Ζβ2 4- ■ ■ ■ 4- Ze„. Предположим
сначала, что m ^ τι. Тогда левый Z-модуль Ζ изоморфно вложим в
Фд '. Поэтому Фд ' содержит элемент а, левый аннулятор
которого в Ζ равен нулю — это элемент, соответствующий единице
при вложении. Так как sa = as3 для всех s E 5, получаем,
что aRjr является (S, Д)-подбимодулем в R? и по лемме 3.9.3
eRjr D aRj: D el для некоторых / £ Tt е €Ξ Ζ. Так как
(1 — е)а = О, имеем е = 1. Следовательно, aR? Э /. В
частности, левый аннулятор а в алгебре 18(G) равен нулю, и поэтому
dime В (G)a = dime Ш (G), т. е. а — обратимый элемент.
Пусть т < п. Тогда Фд ' изоморфен левому идеалу
алгебры Ζ и, следовательно, является циклическим Z-модулем Фд '
= Ζ а. Правый аннулятор элемента а в Ζι равен правому анну-
лятору Фд '. Однако последний является идеалом в Ζι и
поэтому равен нулю. Учитывая, что as3 = sa для всех s £ S,
получаем, что Rjra — (Я, 51)-модуль и по лемме 3.9.3 Rj?e Э Rjra D
It для подходящего е €Ξ Ζγ. С другой стороны, а(1 — е) = 0.
Поэтому е = 1, т. е. Rjra Э / и правый аннулятор а в алгебре
18(G) равен нулю. В частности, dimcalB(G) = dime 18(G) и
а — обратимый элемент 18 (G). D
3.11. Продолжение изоморфизмов
187
3.11. ПРОДОЛЖЕНИЕ ИЗОМОРФИЗМОВ
К числу традиционных вопросов теории Галуа относится
вопрос об отыскании критериев того, когда промежуточное под-
кольцо S является расширением Галуа над RG. В общем случае
эти критерии довольно сложны, и мы не будем их здесь
приводить. При исследовании промежуточных расширений Галуа
рассуждения основаны на теореме о продолжении
изоморфизмов, которую мы приводим здесь вместе с двумя применениями,
касающимися искомых критериев для внешних групп и для
областей.
Мы начнем с простого примера, показывающего, что для
произвольных М-групп продолжение изоморфизмов над RG между
промежуточными подкольцами не всегда возможно.
3.11.1. Пример. Пусть R — кольцо матриц четвертого
порядка над полем F φ GF(2) и G — группа всех (внутренних)
автоморфизмов этой алгебры. Положим S = {diag(a, α, α, Ь) \
a, 6 G F} и Si = {diag(a, a, 6, b) | ο,ί e F}. Тогда S ~
Si, причем соответствующий изоморфизм тождествен на RG =
{diag(a, a, a, a)}. Оба кольца являются подкольцами Галуа, так
как их централизаторы Ζ и Ζι порождаются обратимыми
элементами. Вместе с тем изоморфизм между S и Si не может быть
продолжен до автоморфизма R, поскольку Ζ £ Ζι.
Ситуация меняется в лучшую сторону, если предположить,
что 5, Si — подкольца Галуа F-групп.
3.11.2. Теорема. Пусть G —регулярная группа
автоморфизмов первичного кольца и S, Si — промежуточные
подкольца Галуа вполне регулярных групп. Тогда любой изоморфизм
ψ: S —l· Si, тождественный на RG, продолжается до
автоморфизма ψ £ G.
Это утверждение легко вывести из теоремы о соответствии
для кольца R φ R с группой G2 X 5г (см. теорему 5.9.2,
ниже). Здесь мы приведем прямое доказательство несколько более
общего утверждения, полезного в ряде случаев. Теорема 3.11.2
вытекает из него в силу леммы 3.10.7.
3.11.3. Предложение. Пусть G — регулярная группа
автоморфизмов первичного кольца R и S, Si — промежуточные
подкольца, удовлетворяющие условию БМ. Если φ: S —> Si
изоморфизм, тождественный на RG, и кольцо S удовлетво-
188 3. Группы автоморфизмов первичных колец
ряет условию ДО для множества изоморфизмов G U tpG, то
φ продолжается до автоморфизма φ £ G.
Доказательство. Рассмотрим 18(G) как левый Z-модуль,
где Ζ = Z{S). По лемме 3.9.4 алгебра Ζ полупроста и,
следовательно, 18(G) — вполне приводимый Z-модуль. В
частности, Ζ можно выделить прямым слагаемым из 18(G), т. е.
Ш (G) = Ζ φ V, где V — некоторый левый Z-модуль. Выберем в
Ζ базис 2ι,... , Zk над С, причем так, чтобы z\ = 1. Дополним
этот базис элементами V до базиса Ь\,... , Ьп алгебры Ш над С.
Пусть b*i,... ,6* — дуальный базис. Пусть, далее, Я = A(S),
Hi = A(Si). Положим также G(S) = Gint ■ Я, G(Si) =
G;nt ■ Hi, где Gjnt — подгруппа внутренних автоморфизмов из
G. Выберем систему представителей правых смежных классов
группы G(S) по подгруппе Gj„t из элементов 1 = hi,... , ft;,
принадлежащих Я, и систему представителей 1 = gi,...,gt
правых смежных классов группы G по подгруппе G{S). Так
как G — приведенно конечная группа, обе эти системы конечны.
Более того, множество {higj} образует систему представителей
правых смежных классов G по Gint. Проделав то же для группы
G(5i), мы найдем систему представителей Щд'Л правых
смежных классов G по Gjnt, в которой h'{ £ Hi. Для произвольного χ
положим tii(x) = Σχ,ίί> *ffi(x) = Ί2χΗί- ^ салУ леммы 3.4.1
мы имеем две инвариантные формы
.Т(х) =Y^tH{v{x))3i, τι(χ) = 5>Я1 ("(*))»>,
3 3
где v(x) = ^6ti6j. Покажем, что эти формы равны. Имеем
t
higj = ^K(i,j)9e(ijy где <* е С'п'· Поэтому
φ) = ]Г V{x)h^ = 5^(l/(l)3)h'-(i.i)ei(i.i)
«J i,3
= ^v(x)h'<9'i =ti{x).
i,3
Распишем равенство τ(χ)φ — τι(χ) подробнее:
ν = Σί^πι))β'ί· (3-1L1)
Х>яИ*)>
3.11. Продолжение изоморфизмов
189
Пусть φ(β) — произвольный элемент из L(5i) = L(5V') (см.
3.9.7). Применяя ψ(β) к обеим частям равенства (3.11.1),
получаем
Σ *яИ*) ■ яГ W'] Ψ = Σ^ И*) ■ Ψ9'~\β))3'' ■
(3.11.2)
Как обычно, считаем f(x) ■ β = J2sjf(rjx)> ψ{β) — J2rj ®
sf, где β = J2rj ® Sj G L(S). Заметим, что Φκ_\ — 0 при
г ф 1. Действительно, иначе в силу условия ДО можно найти
обратимый элемент а €Е 18(G) такой, что sa = as3i для всех
s £ S. Это означает, что автоморфизм д,~12-1 принадлежит
>1(5) и, следовательно, д^1 — (Зу,-)-1а €Ξ G(S). Следовательно,
i= l.
Предположим, что Ф( \_λ = О для всех г (в том числе для
г — 1), Тогда можно записать
πΣζ^ + Σ *£*6> +Σ *$-''■
так как обе последние суммы равны нулю. (Напомним, что Ьт =
zm при т ^ к.) В силу следствия 3.9.10 можно найти β £ L(5)
такой, что bo = 1 ■ β Φ 0 и одновременно 6m ■ β = 0 при
m > к; bj ■ 9]1(β) = 0 при всех j, 1 <ζ j <ζ η, и г ф 1;
6j ■ од(·- (/3) = 0 при всех г и _/. В силу равенства (3.11.2)
к
tH{vi(x)) = 0, где νι(χ) = Σ bmbaxb*m или более подроб-
m=l
но Σ &m^o'a;'>'(^m)'>i = 0· Так как ПРИ ''■ Φ 1 элементы Л,·
»',т
не принадлежат Gint, последнее тождество в силу теоремы 2.2.2
приводит к равенству J2 ЪтЬо ® Ь*т = 0 в кольце Q ® Q, что
невозможно, так как {&„} — линейно независимые элементы и
6χ6ο = bo φ 0. Итак, можно подобрать элемент д = д[ G G
такой, что Φφ9' ф 0. По условию ДО для φ$ можно найти
обратимый элемент a G 18(G) такой, что sa = αεφ9. Поэтому
sf — (α5 )~1s9 a3 , т. е. д~1аЗ~1 — искомое
продолжение φ. D
190 3, Группы автоморфизмов первичных колец
3.11.4. Следствие. Пусть G — приведение конечная группа
автоморфизмов области R. Тогда любой изоморфизм между
промежуточными подкольцами, тождественный на RG,
может быть продолжен до автоморфизма из А(Л).
Доказательство. Действительно, уже отмечалось, что
любое промежуточное подкольцо области удовлетворяет условию
БМ и его централизатор в Q является телом. Поэтому
остается дополнить группу G до вполне регулярной. При этом кольцо
инвариантов не изменится, и можно воспользоваться
предложением 3.11.3. D
3.11.5. Следствие. Пусть G — конечная группа внешних [для
Q) автоморфизмов первичного кольца R. Тогда любой
изоморфизм между промежуточными подкольцами,
тождественный на RG, может быть продолжен до автоморфизма
из G.
3.11.6. Теорема. Пусть G — конечная группа внешних {для
Q) автоморфизмов первичного кольца R. Промежуточное
кольцо S будет расширением Галуа RG тогда и только
тогда, когда группа A(S) нормальна в G. В этом случае группа
Галуа расширения S \ RG равна GJAVS)·
Доказательство. Пусть A(S) нормальна в G. Покажем
сначала, что Q(S) — расширение Галуа Q(RG). По теореме 3.8.2
Q(S) — подкольцо Галуа Q(S) = Q(R)A(S\ и поэтому оно
инвариантно относительно G: если α €Ξ Q(S), g €Ξ G, h G A(S), то
(a5ftff_I)5 = agi T. e. a» G Q(R)A^ = Q(S). Поэтому действие
группы G индуцируется на Q(S) и индуцированная группа
изоморфна G/Atsy Эта группа будет внешней: если а = g €E G
на Q(S), где а е Q(S), то для любого s €E RG имеем sa = s,
т. е. αξ Z(RG) = С. Понятно также, что кольцо
инвариантов этой группы равно Q(RG). Осталось показать, что
индуцированные автоморфизмы принадлежат А(5) (см. 1.7). В силу
следствия 3.9.18 и предложения 1.4.13 имеем А(5) = А(5), где
S = IA(S) = Q(S)r\R, поэтому достаточно для каждого g e G
найти идеалы U\t Ό2 из T{S) такие, что U\ С и$ С S.
Согласно определению А(Д) найдутся идеалы Ι\, Ι2 €Ε Τ такие, что
h С /f С Д. Поэтому для U2 = hnQ(S) = I2nS
имеем Щ = {h П Q(S))° = Ιξ Π Q(S) С Л Π Q(S) = S и для
Ui = h П S получаем UY С /f П Л П Q(S) = /f П Q(S) =
(/2DQ(S))* = [/|.
3.11. Продолжение изоморфизмов
191
Обратно, предположим, что S — расширение Галуа RG с
группой Я С А(5). Покажем, что автоморфизмы из Я имеют
продолжение до автоморфизмов из группы G. Если ψ €Ε Я, то
найдутся U\, [/2 €Ξ -^(5) такие, что U\ С U£ С S. В силу
следствия 3.11.5 сужение у?на U2+RG можетбыть продолжено до
автоморфизма д G G. Так как сужение д на 5 принадлежит А(5)
и д = V на U2 G ?{$), заключаем, что д = φ также на S. Пусть
N — группа всех возможных продолжений автоморфизмов из Я.
Тогда N С G, поскольку G — группа Галуа и N D A(S).
Более того, A(S) — нормальная подгруппа в N и Ν/α($) — Я.
Заметим также, что Я является внешней группой для S: если
ip{s) = a~1sa для a G Q(S), s g S, то s = a~1sa при s €
Я*3. Поэтому α G ^(Лс) = С. Вычислим Q(R)N. Так как
A(S) С ΛΓ, находим б^Д)* С Q{R)A^ = Q(S). Поэтому
QfflTc Q(S)H = Q{Sn) = Q{Rd) = Q{R)G. Так как Ν
также является группой Галуа, N = G. Π
3.11.7. Пусть G — приведений конечная ./V-группа
автоморфизмов области R. Подгруппа Я группы G называется почти
нормальной в G, если наименьшая ./V-подгруппа группы G,
содержащая нормализатор Ng{H), совпадает с G.
3.11.8. Теорема. Пусть G — приведение конечная N-группа
автоморфизмов области R. Промежуточное подкольцо S
является расширением Галуа R тогда и только тогда, когда
группа A(S) почти нормальна в G. В этом случае группа
Галуа расширения S С RG равна Ng(A(S)) / Д(§\.
Доказательство. Пусть 5я = RG для некоторой группы
автоморфизмов Я С А(5). Для каждого h £ Η можно найти
ненулевые идеалы I,J<S такие, что / С Jh С S. В силу
следствия 3.11.4 автоморфизм h может быть продолжен с J + RG до
автоморфизма g £ G. Легко проверить, что g совпадает с h и
на 5, поскольку (sh — s9)Jh = 0 для любого s e S.
Обозначим через Μ множество всех продолжений элементов Я. Чтобы
показать, что A(S) почти нормальна в G, осталось проверить
справедливость следующих двух утверждений:
(а) группа A(S) нормальна в Μ,
(б) RM =RG.
(а) Пусть т € М, а € A(S). Выберем ненулевой идеал
I < S так, что 1т С S. Тогда ограничение тат~1 на /
будет тождественным автоморфизмом. Так как продолжение ав-
192 3. Группы автоморфизмов первичных колец
томорфизмов с идеала на S (и даже на Q(S)) единственно, имеем
mam"1 G A(S).
(б) Пусть г G RM. Тогда г £ RA^ = S, поскольку A(S) С
М. В силу следствия 3.9.18 найдем ненулевой идеал I < S,
содержащийся в S. Так как Я — приведений конечная группа
автоморфизмов для области S, идеал / имеет ненулевое
пересечение с 5* = RG. Пусть < — неподвижный для G элемент
такой, что St С S. Тогда rt £ RM П S = SH = RG, т. е.
(г9 — r)t = (rt)9 — rt = 0 для всех д £ G. Следовательно,
г €Е Лс, что и требуется доказать.
Обратно, пусть A(S) почти нормальна в G и Μ — ее
нормализатор. Покажем, что сужение πι Ε Μ на S является
автоморфизмом S, т. е. принадлежит А(5). Так как S и S = RA^
имеют общий ненулевой идеал, получаем А(5) = А(5). Если
m £ Μ, а £ A(S), то ma = (тат~1)т, причем тат~1 G
A(S). Это означает, что S С <3Л(5). Так как т G А(Л),
можно найти ненулевые идеалы I,J<R такие, что / С Jm C_ R.
Поэтому (J П S)m С QAW HR = S. Кроме того, / П S С
JmnS= (Jnr"')m С (JnQ^(5))m = (JDunQ^(5>)m_=
(JnS)m. Так как j4(5) —приведений конечная группа, JnS и
IJlS — ненулевые идеалы S. Следовательно, ограничение т на
S принадлежит А(5). Ясно, что ядро отображения ограничения
Μ —^ А(5) равно A(S). Поэтому индуцированная группа
изоморфна Μ/ A(S)- Кольцо инвариантов этой группы совпадает с
RM Π S. Остается заметить, что RM = RG, так как при
добавлении к Μ внутренних автоморфизмов, отвечающих элементам
алгебры группы М, кольцо инвариантов не меняется. D
Источники
Е. Артин [11]; А. Берксон [23]; О. Е. Вильмайор, Д. Зелинский
[29]; Н. Джекобсон [37, 39, 40]; Ж. Дъедонне [43]; Т. Канзаки
[48]; А. Картан [49]; Г. Креймер [62]; Ч. Кэртис, И. Райнер [63];
И. Мияшита [83]; С. Монтгомери, Д. С. Пассман [93]; Р. Муре
[97]; Т. Накаяма [99]; Т. Накаяма, Г. Адзумайя [100]; Э. Нётер
[101]; Дж. Остербург [102-104]; А. Розенберг, Д. Зелинский [114];
X. Томинага, Т. Нагахара [120]; В. К. Харченко [127-130,134,139];
Г. Хохшильд [148]; Л. Н. Чилдс, Ф. Р. Де-Мейер [151]; А. И.
Ширшов [153].
Глава 4
Дифференцирования
первичных колец
В этой главе мы исследуем связи данного первичного кольца R
и подкольца констант конечномерной алгебры Ли L его
дифференцирований. Если характеристика кольца равна нулю, то
константы конечномерных алгебр Ли слабо связаны с основным
кольцом. Например, пусть R = F{x, у) —свободная алгебра без
единицы. Рассмотрим дифференцирование μ такое, что у1* = у,
χμ = χ. Оно имеет единственную константу — нуль. При этом
алгебра Ли, порожденная μ, одномерна. Разумное ограничение,
которое может быть наложено в случае нулевой
характеристики, — это требование конечномерности ассоциативной алгебры,
порожденной рассматриваемыми дифференцированиями в
кольце эндоморфизмов аддитивной группы кольца R. Однако
согласно теореме 2.7.8 L состоит только из внутренних для кольца
частных Q(R) дифференцирований и вопрос о константах
сводится к вопросу о централизаторах конечномерных подалгебр,
который был рассмотрен в 3.3.
Таким образом, основной интерес представляет случай
положительной характеристики р. В этом случае р-я степень лю-
193
194
4. Дифференцирования первичных колец
бого дифференцирования снова является дифференцированием,
причем все константы исходного дифференцирования являются
константами также его р-й степени. Поэтому в качестве L
естественно рассматривать ограниченную алгебру Ли.
Напомним, что мы несколько расширяем рассматриваемую
ситуацию, считая, что дифференцирования из L переводят R в
Q(R), но не обязательно в R, но предполагаем, что для каждого
μ Ε L существует ненулевой идеал I < R такой, что Ιμ С R.
Множество всех таких дифференцирований обозначается Ю>(Д)
(см. 1.8). Это множество образует дифференциальную С-алгебру
Ли (см. лемму 1.8.3), т. е. оно является пространством над
обобщенным центроидом С. Так как при умножении на ненулевой
центральный элемент его константы не меняются, естественно
считать, что L является δ-подалгеброй Ли в Ю>(Д) (см. 1.2).
Пусть L — конечномерная ограниченная δ-алгебра Ли над
С. Если Λ — подалгебра внутренних для Q
дифференцирований из L, то Λ — идеал в L и подпространство над С. Поэтому
на кольце констант RA = {χ €Ξ R | V/i €Ξ Λ (χμ = 0)}
индуцируется действие фактор-алгебры L/\t причем RL = (RA)L'A.
Это обстоятельство и тот факт, что RA — централизатор
конечномерной С-подалгебры Q, позволяет ограничиться
рассмотрением δ-алгебр Ли внешних дифференцирований.
Всюду в этой главе (за исключением следствия 4.4.4) мы
будем считать, что L — конечномерная ограниченная δ-алгебра
внешних для Q дифференцирований из Ю>(Д) данного
первичного кольца R характеристики ρ > 0.
4.1. ДВОЙСТВЕННОСТЬ
В АЛГЕБРЕ УМНОЖЕНИЙ
Пусть S — некоторое подкольцо первичного кольца R.
Обозначим через Lop(S) подкольцо в тензорном произведении Q ®
Qop (как обычно, Qop — кольцо, антиизоморфное Q с прежней
аддитивной группой), порожденное элементами вида s® 1, 1 <g> r,
где s £ S, r e R. Напомним, что кольцо L(5) порождается
элементами вида 1 <g> s, r <g> 1 (см. 3.9.7). Если а €Е R?, β = Σ s» ®
V{ £ Lop(S), то, как и раньше, положим а ■ β = ^υ,-αδ;. Для
отображения Δ из 5 в Л положим /3Δ = Σ δΔ ® vi- Обозначим
через a±s множество всех β €Е Lop(S) таких, что а ■ β = 0, т. е.
4.1. Двойственность в алгебре умножений
195
aLS = aL DL°P(5). Напомним, что если V С h°P(R) = h(R),
ToVL = {aeRjr\a-V = 0}.
4.1.1. Лемма. Пусть S — подкольцо в R такое, что каждый
ненулевой (R, 5)-подбимодулъ в R содержит ненулевой идеал
кольца R. Тогда
т , т s _i_
ί=1 ^ ί=1 '
где а,- — произвольные элементы из R?, £ —
произвольный правый идеал из Lop(5), Z — централизатор S в кольце
частных R?.
Доказательство. Включение левой части в правую часть
очевидно. Доказательство обратного включения проведем
индукцией по т. Если т = 1 и ν — элемент из правой части, то
для любого β Ε С равенство αχ -β = 0 влечет равенство ν -β = 0.
Поэтому корректно определено отображение ψ: α,γ ■ β —> ν ■ β,
где β пробегает £. Можно выбрать ненулевой идеал I<R такой,
что Iv С Л, 1а\ С R. Если β пробегает £(1 <g> /), то область
значений ψ содержится в Л, а область определения образует
(R, 5)-подбимодуль в R. Если этот подбимодуль равен нулю,
т. е. αχ ■ £(1 ® /) = 0, то αχ ■ £ = 0. Следовательно, ν ■ £ = 0,
т. е. ν £ £ . Таким образом, можно считать, что область
определения φ содержит ненулевой идеал кольца R. Ясно также, что
ψ является гомоморфизмом (Л,5)-бимодулей, и поэтому
существует элемент ξ €Ε Rp такой, что [а.\ ■ β)ξ = ν ■ β. Заменяя в
последнем равенстве β на /3(s®l), получим (ai-/?)£s = (ai-/?)s£,
т. е. ξ £ Ζ. Равенство (αχ ξ — ν) ■ β = 0 показывает, что
αιξ — ν €Ε (£(1 ® Ι))1' = £"""· Таким образом, ν €Ε £""" + αιζ-
Предположим, что утверждение леммы справедливо для т =
к
к. Положим £χ = Ρ) α;-5 Π £. В силу случая т = 1
i = l
,к+1 J.
ak+1Z + Ct=( f)aj-sn£\ ,
^ 1 = 1 '
что и требуется доказать, так как согласно индуктивным пред-
к
положениям £ι~ = Σ α»·^ + £"""■ ^
ί=ι
196
4. Дифференцирования первичных колец
4.1.2. Лемма. Пусть S — под-кольцо кольца R такое, что
каждый ненулевой (R, Б)-подбимодулъ в R содержит
ненулевой идеал кольца R, и Ζ — централизатор S в Rjr. Если
а\,... ,ат £ R? ua,\ (fc a^Z + α·$Ζ +. ■ . + amZ, то
существует элемент β £ Lop(5) такой, что а\ ■ β φ О, а^ ■ β = <*з ■ β =
... = αη-β = 0.
Доказательство. Если элемента β с указанными в лемме
свойствами не существует, то αχ €Е (a^S Π a^s ... Π α^)-1. По
лемме 4.1.1 правая часть последнего включения равна αη,Ζ-\-.. .+
amZ. D
4.1.3. Лемма. Пусть кольца R и S удовлетворяют
условиям леммы 4.1.2, αχ,... ,ат £ R?, и пусть Ζ — тело. Если
μι,... ,μ„ — дифференцирования, определенные на S и
принимающие значения в R, а О φ г\, г?,... , rv+i — элементы
из R?, то справедливо одно из следующих утверждений:
т
(а) существует элемент β G f] α,- такой, что
ί=ι
V
Σπβ»'+Γυ+1-βφΟ, (4.1.1)
ί=1
(б) существуют элементы ζ?,... ,ζυ,Ε Ζ ut €E R? такие,
что для всех s £ S
V
8μι +Υ^Ζ{8μ· =St-ts.
i=2
Доказательство. Рассмотрим правый Z-модуль πΖ+ηΖ+
... + α\Ζ + .. . + amZ. Пусть di = ri,d2,... ,d„ — его базис.
m m
Очевидно, что f~) dj-s С f~) aj-s. Пусть / — ненулевой идеал
i = l i-l
R такой, что In, Idj С R для всех i,jt l^i^w+1,1^
m
j ^ п. Рассмотрим множество £ = Π dfs. По лемме 4.1.2
3=2
элемент π не принадлежит CL. Поэтому 1{г\ ■ £) — ненулевой
(R, 5)-подбимодуль в R, т. е. по условию он содержит ненулевой
двусторонний идеал кольца R. Предположим, что для любого
β G r^s П £ι С Π dj-s, где £χ = £(1 <g> /) С £, левая часть
i=l
4.1. Двойственность в адгебре ушюЯ№]Л т
соотношения (4.1.1) обращается в нуль. Тогда отображение
V
i = l
где β пробегает С\, определено корректно. Это отображение
является гомоморфизмом левых Л-модулей,
i[r(ri-/3)] = i[r1./3(l®r)]
V
= Σηβμί{1®Γ) + rv+1 /3(1®г)
i = l
ν
i = l
Так как область определения ξ содержит ненулевой идеал
кольца R, а область значений лежит в R, существует элемент t £ Rjr
такой, что
(π·/?)ί = 5>ι·/?"< + .·,,+!■/?. (4.1.2)
ί=1
Пусть s G S. Тогда
ν
(η · 0)st = [π ■ β{8 ® 1)]ί = Σ π ■ №"' (s ® 0 + ^ ® !)1
ί=1
υ
+ Γ„+ι·/9(β®1) = ]Г[(г,·-/J"')»
ί=1
+ (r,--15)S'i']+(r„+1-15)S.
(4.1.3)
Умножая (4.1.2) справа на 5 и вычитая из (4.1.3), получим
ν
(п ■/?)[*,<] = 5>'-fle',i- (4-1.4)
ί=1
Если /3 G £ι и г,- = пч + ..., Zi G Ζ — разложение π по базе
{dj}, то η ■ β = (π ■ /?)£,· и равенство (4.1.4) приобретает вид
(п-/?)(м]-Х>^)=о,
^ 1 = 1 '
198
4. Дифференцирования первичных колец
где Z\ = 1. По лемме 4.1.2 элемент π не принадлежит £jL.
Поэтому г\С\ — ненулевой (R, 5)-подбимодуль в R, т. е. по
условию он содержит ненулевой двусторонний идеал кольца R.
Таким образом, последнее равенство означает, что выполняется
утверждение (б). □
4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
4.2.1. Дифференциальной формой называется выражение вида
52а,-а;л'6,·, в котором а,·, 6; G Rp, a Δ,- — некоторые слова от
г
дифференцирований из Ю>(Д). Напомним (см. следствие 2.3.2),
что если форма обращается в нуль на некотором ненулевом
идеале кольца R, то она будет нулевой на Л и даже на Rjr. В связи
с этим естественно принять следующее соглашение.
4.2.2. Пусть Τ — подмножество Rjr. Для формы f(x) пишем
f(x) С Т, если найдется ненулевой идеал / кольца R такой, что
/(г) £ Τ для всех г €Е /. Аналогично, если f(xi,·.. ,хп) —
некоторый £)-дифференциальный многочлен (полилинейная
дифференциальная форма), то запись f(xi,... , хп) С Τ означает,
что найдется ненулевой идеал I<R такой, что /(ii,... ,i„) Ε Ι
для всех »Ί,... , »'n G Ι-
4.2.3. Пусть f(x) — дифференциальная форма, а элемент β =
Σ8* ® Γ· принадлежит Lop(5). Тогда полагаем f(x) · β =
J^rif(six). Кроме того, f(x) *β = J2f(xri)si
4.2.4. Лемма. Если f(χ) С Τ, mof{x)-fi С RT, ϊ{χ)*β С TS
для всех β GL°P(5).
Доказательство очевидно.
4.2.5. Пусть μι,... ,μη — некоторое множество
дифференцирований из Ю>(Д). Зафиксируем некоторый порядок μι < μι <
... < μ„ на этом множестве и распространим его стандартным
образом на множество всех слов от μι,... ,μ„, т. е. считаем
(как и раньше), что более длинное слово больше короткого, а
слова одинаковой длины сравниваем, двигаясь слева направо,
как в словаре. Напомним, что слово Δ = δ\.. ,Sm называется
ρ
правильным, если оно не содержит подслов вида μ,'/iy, μι.. .μι,
4.2. Преобразования дифференциальных форм 199
где μ,- > β], ρ — характеристика данного кольца. Иными
словами, для правильного слова δ\ <^ ($2 ^ ... ^ ($„, где в
выписанной цепочке не могут стоять подряд ρ знаков равенства.
Для двух правильных слов Δι и Δ2 обозначим через Δι ο Δ2
правильное слово, полученное соединением всех
дифференцирований, входящих в Δι и Δ2, τ. е. если Δι = μ™ΐ ...μ™",
Δ2 = μΊ1 .. .μή", το Δχ ο Δ2 = μ™Ι+ίι . . .μ™·^+t·^; причем если
одна из сумм m; + <; окажется большей или равной р, то
считаем, что Δι ο Δ2 = О — нулевое слово. Нулевое слово следует
отличать от пустого. Именно, пустому слову соответствует
тождественное отображение х0 = х, что согласуется с
возведением дифференцирования в нулевую степень, μ° = 0. Нулевому
слову соответствует нулевое отображение 0: χ —> 0. Таким
образом, пустое слово является полсловом любого другого слова, в то
время как нулевое не может быть полсловом никакого другого
слова. Как принято в теории алгебр Ли, называем правильное
слово Δι φ О подсловом правильного словаА, если Δ = Δ10Δ2
для некоторого правильного слова Δ2.
4.2.6. Пусть Δ = μ™* .. .μ™" — правильное слово, тк > 0.
Хорошо известно (и это легко доказать индукцией по длине слова
Δ), что для любых х, у имеет место равенство
ΔΌΔ"=Δ
= хуА+ткх"куА+..., (4.2.1)
Δ» т. т „ Ύ rril· — 1 тпк+ι m
= μ,. * .. .μ„ ", слово Δ = μ,. μΛ+Γ ■ ■ -А*™" имеет
длину, меньшую, чем слово Δ, и является наибольшим среди
слов, отличных от Δ, с которыми входит элемент у в правую
часть. Поэтому если β €Ξ Lop(u), то
(ахАЬ) -β = (α· β)χΗ + mk(a- β^)χΗ +..., (4.2.2)
где точками обозначена сумма членов вида darA6, в которых Δ <
Δ, причем Δ является подсловом слова Δ. Далее, имеет место
формула
(ахАЬ) = (axb)A + ]Γ(α,·:τ&,·)Δί, (4.2.3)
где Δ,- — некоторые правильные подслова слова Δ, имеющие
длину, меньшую, чем слово Δ. Действительно, если длина слова
200
4. Дифференцирования первичных колец
Δ равна единице, то ах^Ь = {ахЪу — αμι6 — αχψ. В общем
случае по индукции получаем
ахН = ах*кН = (ах"кЬ)А + ...= [(ахЬ)"к - а"кхЬ
- аагб"*]5 + ... = (ахЬ)"1* + ...= (ахЬ)А + ... .
В случае двух сомножителей формулу (4.2.3) можно уточнить
следующим образом:
хН= (хЬ)* - т^хЬ^)* + ... , (4.2.4)
где точками обозначена сумма членов (ха)А, в которых Δ < Δ.
Действительно, если длина слова Δ равна единице, то ιμ6 =
{χΙ)μ — ι6μ. Если μ* > 1, то по индукции получаем
хН = х"кН = (аг"*Ь)5 - {тк - 1)(х>1кЬ>1к)А + ...
= {хЬук* - (агб"*)* - (тк - l)^"*)"*5
- (xb"')A + ...= (хЬ)А - тк(хЬ"к)А + ....
Если тк = 1, то точно так же находим
хН = χμ'Ή = (χμ4)Ά + ...= (xb)"1* - (xb"1)* + ...;
здесь мы учли, что
Л*АА*А + 1 ΑΆ+2 •••Ип ^ " — ΑΆ + 1 •••А*п ■
По аналогии с формулой (4.2.2) получаем
(αζ&)Δ * β = [ах(Ь ■ /?)]Δ - [ах{ткЬ ■ /?"*)]* + ... , (4.2.5)
где точками обозначена сумма членов (aid)A, в которых Δ < Δ
и Δ — полслова слова Δ. Предположим, что {μι,... , μ„]
является базисом над С некоторой ограниченной δ-алгебры Ли. То-
Е(к) ρ ν-> (*)
cij Ик, β{ = L,ci Рк, Т. е. С ПОМОЩЬЮ
тождества (1.2.1) (см. 1.2.3) произведение слов Δι, Δ2 можно
представить в виде С-линейной комбинации некоторых правиль-
ныххлов, при этом
ΔχΔ2 = ΔιοΔ2 + ... , (4.2.6)
где точками обозначена линейная комбинация слов, длины
которых строго меньше суммы длин Δι и Δ2. В частности, если
4.3. Универсальные константы
201
Δι ο Δ2 = 0, то слово Δ1Δ2 представимо в виде линейной
комбинации правильных слов строго меньшей длины.
4.3. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ КОНСТАНТЫ
Пусть L — конечномерная ограниченная δ-алгебра Ли
внешних дифференцирований. Зафиксируем базис μι,... ,μη
правого векторного пространства L над обобщенным центроидом С
первичного кольца R. Будем считать, что этот базис
упорядочен: μι < μη. < ... < μ„. Пусть Δχ,... , Δ„, — множество всех
правильных слов и Δι — пустое слово. Ясно, что т = р".
Рассмотрим множество V(L) всех дифференциальных многочленов
с коэффициентами из Q, в запись которых входят
дифференцирования из L. Будем отождествлять элементы из V(L)I если их
разность является тождеством на R. Понятно, что V(L)
образует кольцо, причем L действует на нем дифференцированиями.
4.3.1. Универсальной константой (для L) называется
произвольная ненулевая константа из V (L).
4.3.2. Лемма. Если f(xi,... , хп) — универсальная
константа, то
f{xu...,xn)CRL. (4.3.1)
Доказательство. Без ограничения общности можно считать,
что / приведена к редуцированному виду (см. 2.1), т. е.
представлена как многочлен от {i; ' |l^i^i, l^j^ m}. Выберем
ненулевой идеал 1\ кольца R так, что /{*' С R, 1 ζ % ζ к,
и для всех коэффициентов q, встречающихся в редуцированной
записи f(X), выполняются включения I\q С R, ql\ С R.
Тогда для любых целого / > 1 и базисного μ справедливо
включение (1[у С Ι1'1. Поэтому (/(ρ-1)"+1)Δ. ς Λ. Полагая
/ = /j '" , получим, что значения / на / принадлежат R.
Осталось заметить, что по определению универсальной
константы f = 0, и поэтому /(/) С QL П R = RL. Ώ
4.3.3. Лемма. Для любой конечномерной ограниченной д-ал-
гебры Ли L существует линейная универсальная константа
f(x) = 53 cyxAj' с коэффициентами из С.
202
4. Дифференцирования первичных колец
Доказательство. Достаточно найти элемент / φ 0 из
универсальной обертывающей U для L (см. 1.2,3) такой, что / ·
μ; = 0, 1 ^ ι ^ τι, где {μ,·} — базис L над С.
Действительно, представив / в виде линейной комбинации правильных
слов ΣΔ/cy, получим, что Σχ^'°ϊ — искомая универсальная
константа. Заметим, что U — фробениусова алгебра над
полем констант CL. Действительно, рассмотрим произвольный
С^-линейный эпиморфизм ψ: С —> С1 и определим
линейное отображение ψ: U —> С, сопоставляя линейной
комбинации X^Ajcy коэффициент при слове μ^- ...μ£-1. Тогда
линейная функция λ = ψψ переводит U в CL и ядро этой
функции не содержит ненулевых правых и ненулевых левых идеалов,
поскольку для любого и φ 0 можно подобрать и\ £ U так,
что с = y?(uiii) = fp(u\u) φ 0. В этом случае \{uu\c~l) =
\{c~lu\u) = 1, так как в U имеет место правило
коммутирования сА = Ас + ..., где точками обозначена линейная
комбинация слов меньшей длины. Таким образом, U —
фробениусова алгебра. В силу теоремы 3.3.3(d) справедливо равенство
r(l(U')) = U', где U' — правый идеал в U, порожденный
элементами μι,... ,μη· Этот идеал состоит из линейных
комбинаций Y^AjCj непустых правильных слов. Поэтому 1 (fc U'.
Следовательно, U φ U', т. е. l(U') ф0. D
4.3.4. Рассмотрим случай, когда R удовлетворяет
нетривиальному обобщенному тождеству (короче, R — G/-кольцо). Сужение
η дифференцирований на С является гомоморфизмом δ-алгебры
JlnDerQ вБегС. Если Л — GI-кольцо, то ядро η состоит
только из внутренних дифференцирований (лемма 2.4.2), и поэтому
оно не пересекается с L, т. е. L ~ i]{L) С DerC.
4.3.5. Теорема. Если R — первичное GI-кольцо, то
RC = (RC)L ®F С,
где F = Сь.
Доказательство. Пусть f(x) = Y2x^'cj —универсальная
константа для L. Рассмотрим подкольцо Лх = (RC)LC и
покажем, что R\ ~ (RC)L ® С. Достаточно показать, что если
7ъ ■ · ■ > Чп — линейно независимые над F элементы из (RC)L,
то они линейно независимы также над С. Пусть, напротив,
Σ?ίλ,· = 0. Тогда ^7,'А,-с = 0 для произвольного с £ С.
Применяя к обеим частям этого равенства AjCj и суммируя по j,
находим 52?;/(А,-с) = 0. Так как / — универсальная констан-
(4.3.2)
4.3. Универсальные константы
203
та и щ линейно независимы над F, имеем /(λ,-c) = 0 для всех г.
Учитывая, что с — произвольный элемент, получаем тождество
f(x) = 0 в кольце С, т. е. по теореме 2.2.2 все коэффициенты
справны нулю; противоречие.
Для того чтобы показать, что Ri = R, зафиксируем q £ RC
и рассмотрим соотношение, справедливое для всех с Ε С,
f(cq) = £>?)А'с, € Ri. (4.3.3)
з
Индукцией по старшему слову покажем, что соотношение вида
Емд^ = ЕсЖс<>)' (4·3·4)
в котором 0 = Δι < ... < Ак — правильные слова, с* φ 0,
влечет равенство
</ = Ес'Дс"</)еД1, (4.3.5)
г
в котором центральные элементы с'{,<^ не зависят от выбора q.
Если старшее слово в левой части (4.3.4) пустое, то при с = 1
получаем q = с^1 Y2cif{c'i £ ^ι· Пусть Afc — старшее слово,
встречающееся в левой части (4.3.4). Подставим вместо с
произведение с'с" и распишем (4.3.4) с помощью формулы (4.2.1),
полагая χ = с', у = c"q. Тогда старший член для c"q имеет
вид с''(с"'?)Δ*Cjt. Поэтому если в соотношение (4.3.4) подставим
с = с", умножим результат на с' и вычтем соотношение (4.3.4),
в котором с заменено на с'с", то получим соотношение
прежнего вида, в котором роль с играет с", а старшее слово меньше
Δ^. Подберем элемент с' так, чтобы не все члены полученной
разности сокращались. Для этого вычислим коэффициент при
(c"q)Ak (здесь Δ* = μ,Δ*, см. (4.2.1)). Слово Δ* в
разложении (4.2.1) может образоваться только для слов Δ таких, что
Δ" ο Δ^ = Δ при некотором Δ". Так как Δ встречается в
записи (4.3.4), получаем Δ ^ Δ^, τ. е. для Δ" имеются только
следующие возможности: А" = 0 и Δ" = μΓ < μ,. Пусть
s{r) — номер слова μΓΔ* в записи (4.3.4), s(0) — номер слова
Δ*. В силу формулы (4.2.1) коэффициент при (c"q)Ak равен
с*-т,(сУ'-5>(г)(сТ. (4.3.6)
г£0
204
4. Дифференцирования первичных колец
Так как L ~ T)(L), дифференцирования μι,... ,μ, линейно
независимы как дифференцирования поля С, т. е, элемент с'
можно подобрать так, чтобы коэффициент (4.3.6) был ненулевым
(при этом выбор с' не зависит от q). Применяя индуктивное
предположение, получаем требуемое равенство (4.3.5), которое
означает, что RC = (RC)L ®f С. Ώ
4.3.6. Замечание. В доказательстве теоремы 4.3.5
использовалось только то обстоятельство, что гомоморфизм η: L —у DerC
является вложением, так что в формулировке теоремы 4.3.5
условие «Л — GZ-кольцо» можно заменить условием «£ ~ >7(Ό»·
4.3.7. Подкольцо S кольца R называется
квазипромежуточным, если f(x) С S для некоторой линейной универсальной
константы f(x). Подкольцо S называется промежуточным, если
RDSDR1.
'4.3.8. Теорема. Если S — квазипромежуточное подкольцо,
а,Ь — ненулевые элементы из Q, то aSb φ 0. В частности,
R — первичное кольцо.
Доказательство. Предположим противное: aSb = 0. Тогда
af(x)b = a^x^'cjb = 0, т. е. по теореме 2.2.2 a <g> cjb = 0,
откуда су = 0 при всех j, что приводит к противоречию. D
4.3.9. Теорема. Если некоторое полиномиальное тождество
выполняется в R , то оно выполняется также в R.
Доказательство. Пусть g{zi) = 0 — тождество в RL. По
лемме 4.3.2 можно найти ненулевой идеал, на котором
выполняется дифференциальное тождество g\ Y^CjXf ') = 0. По тео-
з
реме 2.4.1 на кольце R? найдем тождество д( Σ0]'2*/) = 0. В
случае cj0 φ 0 положим Z{j = cj1^,· при j = jo и 2,-у = 0 при
j φ jo. Мы получим тождество g(z{) = 0 на R?. О
4.4. КОНЕЧНОСТЬ В СМЫСЛЕ ШИРШОВА
Если R = С — поле, то можно показать (см. следствие 4.4.4,
ниже), что оно имеет конечную размерность над CL. В общем
случае R не является конечно порожденным правым (левым)
Л^-модулем.
4.4. Конечность в смысле Ширшова
205
4.4.1. Пример. Пусть С(х, у) — свободная ассоциативная
алгебра над полем характеристики 2 и μ — ее
дифференцирование такое, что μ(χ) = О, μ(·μ) = у. Тогда μ2 = μ, и поэтому
L = μΟ — одномерная ограниченная δ-алгебра Ли. Алгебра
RL порождается одночленами, имеющими четную степень по у.
Любой одночлен, не лежащий в RL, можно представить в виде
хку · w, где w £ RL. Если {xkiyw{} — конечное множество
одночленов, то хтаж(1ч)+1у £ '^ixkiyRL + RL. Следовательно,
R не может порождаться как модуль над RL конечным числом
элементов.
4.4.2. Теорема. В первичном кольце R существует ненулевой
идеал, локально конечный справа [слева) над RL (см. 3.1.9).
Эта теорема вытекает из следующего предложения.
4.4.3. Предложение. Для любого ненулевого элемента и
кольца R существуют элементы а φ О, г\,... ,rt €Ξ R такие, что
при всех igfl
t
ах = 2~*пит{(х), (4-4.1)
ί=1
где Т{ — отображения из R в R вида ту = f(s{x) с
подходящими S{ €E R и линейной универсальной константой f.
Покажем, как выводится теорема 4.4.2 из этого
предложения. Возьмем произвольный ненулевой элемент и и рассмотрим
множество / элементов а, для которых существуют элементы
П> · · · j *7η(α) £ R такие, что при всех χ Ε R верно равенство
(4.4.1). Нетрудно видеть, что IR — локально конечный справа
идеал над RL. Соотношение I фО следует из предложения 4.4.3.
Доказательство предложения 4.4.3. Пусть f(x) —
линейная универсальная константа для L. Рассмотрим соотношение
вида
Vix + V2x^ + ... + Vkx*k = Y^nuf{t{x), (4.4.2)
где, как обычно, 0 = Δι < Δ2 < ... < Δ* < ... — все
правильные слова, Vi,... ,Vk, и, U — элементы кольца Q, причем
Vk φ 0. В кольце R очевидным образом выполняется
соотношение вида^(суи)а:л' = uf(x)t где f(x) = Σ4Χ^'· Индукцией
по старшему слову Δ* покажем, что если выполняется соотноше-
206
4. Дифференцирования первичных колец
ние вида (4.4.2), то справедливо заключение предложения. Если
Δ^ = 0, то соотношение (4.4.2) приобретает вид
Vi* = 5>,«/(ί,·*). (4.4.3)
ί
Выберем ненулевой идеал / кольца R так, чтобы /(/) С Л,
IV\ С R, I?i С R, t{I С R для всех г. Тогда в силу
первичности R произведение IV\I2 отлично от нуля. Выберем элементы
ао, а,\, 02 G / так, что а = aoVi · а,\а,2 φ 0. Подставляя в (4.4.3)
вместо χ выражение а,\а,2Х и умножая слева на ао, получим, что
для элементов а, г,- = аог,- и отображений ту(а;) = f((Ua\)a2x)
выполняется соотношение (4.4.1).
Проведем индукционный шаг. Применим произвольный
оператор ·β к обеим частям равенства (4.4.2) и воспользуемся
равенством (4.2.2). Тогда, если β € V^, то получим снова
соотношение вида (4.4.2) с меньшим старшим словом. Осталось показать,
что при некотором β €Ξ V^- один из коэффициентов V{, V2',...
вновь полученного соотношения не обращается в нуль.
Вычислим коэффициент при ιΔ*, где Δ* = μ5Δ^ (см.
формулу (4.2.1)). Слово Afc в разложении (4.2.2) может образоваться
только для слов Δ таких, что Δ"·Δ^ = Δ при некотором Δ".
Так как Δ встречается в записи (4.4.2), получаем Δ ^ Δ*, τ. е.
для Δ" имеются только следующие возможности: Δ" = 0 и
Δ" = μΓ < μ,. Пусть σ(τ) — порядковый номер слова μ,-Δ*, и
σ(0) — номер слова Δ*. Из формулы (4.2.2) находим
коэффициент при ιΔ*:
fc-l
tyo) = ms(vk -β"·) + £>„(,.) ■/?"'. (4.4.4)
r=0
Применим лемму 4.1.3 к кольцу R и последовательности μί,
μ,-ι,... ,μι, считая, что S = R, π = msVk, η = 1, αλ = Vk.
Условие (б) леммы 4.1.3 выполняться не может, так как С = Ζ
и линейная комбинация над С дифференцирований μ,- лежит в
L.' Таким образом, можно подобрать элемент β €Ξ V^- так, что
VL0\ φ 0, что завершает доказательство предложения 4.4.3. D
4.4.4. Следствие. Пусть Τ — некоторое тело
характеристики ρ > 0 и L — конечномерная ограниченная д-алгебра
Ли дифференцирований тела Τ [возможно, содержащая вну-
4.5. Теорема о соответствии
207
тренние дифференцирования). Тогда правая и левая
размерности Τ над телом констант Τ конечны.
Доказательство. В силу симметричности условий
достаточно показать, что правая размерность Τ над TL конечна.
Проведем индукцию по размерности L. В случае L = 0 доказывать
нечего. Если Λ — идеал внутренних дифференцирований, то
TL = (Th)Llh, при этом центр Ζ тела ТА может строго
содержать С, но dimz(L/\ · Ζ) ζ dime ^/Л- Поэтому
согласно индукционному предположению достаточно разобрать случаи
L = Л и Л = 0. В первом случае ассоциативная алгебра 5(L),
порожденная над С элементами, соответствующими
дифференцированиям из L, конечномерна. Следовательно, она является
телом. Поэтому \Т : TL\ = \Т : С{В)\ «ξ dimc В, где С {В) —
централизатор B(L) в теле Τ (разумеется, С(В) = TL). Во
втором случае из теоремы 4.4.2 непосредственно вытекает, что
\T:TL\ <oo. D
4.4.5. Следствие. Пусть S — квазипромежуточное подколь-
цо. Тогда любой ненулевой (R, Б)-подбимодуль и любой
ненулевой (5, Щ-подбимодуль в R содержит ненулевой
двусторонний идеал кольца R.
Доказательство. Пусть U — некоторый (R, 5)-подбимодуль
и и — его ненулевой элемент. В силу предложения 4.4.3 для
подходящих элементов выполняется равенство (4.4.1), правая часть
которого принадлежит U при всех χ из R. Таким образом, aR С
U. Учитывая, что U — левый идеал, получаем RaR С U. Если
U является (5, Л)-подбимодулем, то, переходя к кольцу,
антиизоморфному R, получаем требуемое утверждение. D
4.5. ТЕОРЕМА О СООТВЕТСТВИИ
4.5.1. Лемма. Кольцо констант RL рационально полно в R.
Доказательство. Если г е R и ненулевой идеал Я
кольца RL такие, что Η г С RL, то Ητμ = 0 для любого μ £ L.
Поэтому HR1^ = 0, т. е. по теореме 4.3.8 τμ = 0. доказать. D
4.5.2. Теорема [о соответствии]. Пусть R — первичное
кольцо характеристики ρ > 0, L — конечномерная ограниченная
д-алгебра Ли внешних дифференцирований из Ρ (Л). Тогда
отображения Λ ->■ RA; S ->■ BS(R) = {μ £ D(r) | 5μ =
0} задают взаимно однозначное соответствие между всеми
208
4. Дифференцирования первичных колец
ограниченными д-подалгебрами Ли в L и всеми
промежуточными рационально полными подкольцами в R.
Докажем предварительно несколько утверждений.
4.5.3. Лемма. Централизатор (квази)промежуточного
кольца S в R? равен С.
Доказательство. Пусть [S, а] = 0. Если f(x) = Σ суял' —
линейная универсальная константа такая, что f(x) С 5, то в
силу формулы (4.3.1) справедливо равенство [f(x), α] = 0 на
некотором ненулевом идеале кольца R. По теореме 2.2.2 су <g>
а — Cjd <g> 1 = 0. Так как один из коэффициентов су не равен
нулю, заключаем, что 1 <g> a = a <g> 1, т. е. а £ С. D
4.5.4. Теорема. Пусть μ — дифференцирование из Ю)(Л)
такое, что 5μ = 0 для (квази)промежуточного кольца S. Тогда
μ£ L.
Доказательство. Пусть μι,... , μ„ — некоторый базис L
над С. Предположим сначала, что μ, μι,... , μ„ — сильно
независимое множество. Пусть f(x) = Х^суа;Лу С S. В R
выполняется соотношение/(χ)μ-С {0},т.е. Y2cjxA'l>+YlcjxA' Q {0}·
По теореме 2.2.2 су ® 1 = 0. Следовательно, все су равны нулю,
и мы приходим к противоречию.
Итак, существуют элементы с, с\,...,сп Ε С такие, что
/ic + /iiCi + .. . + /i„c„ = αάξ — внутреннее дифференцирование
для Q. Так как L не содержит внутренних для Q
дифференцирований, получаем с φ 0. Следовательно, μ+Σ AiiCjC-1 = ad£c~l.
По условию ί{χ)μί С {0} это означает, что [£с-1,/(а:)] С {0},
т. е. по лемме 4.5.3 элемент £с-1 принадлежит С. Поэтому
αάξο"1 = 0 и μ = -^/ijcjc"1 £i. D
4.5.5. Зафиксируем квазипромежуточное кольцо S и обозначим
через D>s(.R) множество всех дифференцирований из Ю>(Д),
отображающих S в нуль. По теореме 4.5.4 D>s (R) является δ-подал-
геброй в L· Через S обозначим подкольцо
д»5(Л) Очевидно, что
S Э S и S — промежуточное кольцо. Выберем базис μι,... ,μι<
алгебры IB>s(.R) и продолжим его до базиса μι,... , μη алгебры
L. Будем считать, что этот базис упорядочен: μι > μι >
... > μ„. Любое правильное слово в этом базисе имеет вид
Ау = Δ^· 'Δ^· , где Δ ■ ' — правильное слово от μι, ... , μ*,, а
Aj — правильное слово от μ*+ι,... , μη.
4.5. Теорема о соответствии
209
4.5.6. Лемма. Существует квазипромежуточное кольцо Si С
S такое, что S^' С R для всех базисных дифференцирований
μ,·, причем Si = S.
Доказательство. Рассмотрим подкольцо Si = {s £ S \
βμί £ R, 1 ^ i ^ n}. Так как Si D S Π RL, заключаем, что
Si — квазипромежуточное кольцо. В случае D>Sl (R) = Ш>$ (R)
доказывать нечего. Допустим, что существуют элементы μ £ L
и s £ S такие, что βμ φ 0 и 5{* = 0. Выберем идеал I £ Τ
такой, что 8μ'Ι С R для всех г, 1 ^ i ^ п. Пусть J —
ненулевой идеал такой, что /(J) С5и /(J) С / (применяем формулу
(4.3.1) к кольцу /). Тогда (s/(J))'ii = s^f{J) С /·/ С Д, и
поэтому sf(J) С S\. Таким образом, (sf(J))11 = 0.
Следовательно, βμ/(.7) = 0, т. е. по теореме 2.2.2 βμ = 0, и мы приходим
к противоречию. D
4.5.7. Предложение. Существуют элементы αϊ,... , αρ* £
R, не все равные нулю, и элементы Si,... , st £ 5и{1} такие,
что при всех χ £ R
ρ" t
5>ау)4-4 =Σ>(φ,·, (4.5.1)
J=l 1=1
где г,- — отображения из R в RL вида Т{(х) = f(xrj), г,- £
Ли{1}, аАу — правильные слова от μι,... , μι^ (см. 4.5.5).
Доказательство. Согласно лемме 4.5.6 можно считать, что
5μ· С R. Пусть f(x) = ΣχΑ'4 ίΞ S- Используя формулы
(4.2.3), (4.2.4), можно переписать / в виде
Σ{Β^·)ΔΜ =/(*)■ <4·5·2)
• У
Заменив правую часть равенства (4.5.2) величиной Y^,f(xrq)sq,
я
получим
ΣίΒ^Η ' =ЕЛ",)в,. (4.5.3)
Исходя из последнего равенства, докажем (4.5.1). Выберем среди
(2)
слов Δ,: , для которых в фигурных скобках встречаются
непустые слова, старшее слово Δι, '. Пусть Δ^ — старшее слово в
210
4. Дифференцирования первичных колец
сумме Σ(ζ»>/)Δί , Для которого rvw φ 0. Если такой выбор
j
невозможен, то все слова Aj ' пустые, и (4.5.3) превращается в
(4.5.1). Это обстоятельство будет служить основанием индукции
по ΑΪ2\
Индукционный шаг проведем индукцией по Δω'. Иными
словами, мы преобразуем равенство (4.5.3) к такому же виду, но с
меньшим словом Δω' в фигурных скобках при А{, ' причем так,
чтобы в фигурных скобках для слов Δ} ; > Δ„ встречались
только пустые слова. Пусть β = ΣΓ> ® βχ £ г^ С Lop(5).
Применим оператор *β к обеим частям (4.5.3). Поскольку
слова Δ,· ' действуют тривиально на S, в фигурных скобках для
(2) (2)
слов Δ; ; > Δ„ ; по-прежнему будут встречаться только пустые
/п\ (2\
слова. Выражения в фигурных скобках для слов Δ|· ; ^ Δ„
преобразуем с помощью тождества (4.2.5). Тогда коэффициент
при Δω будет равен rvw · β = 0, и мы можем воспользоваться
индукционным предположением, показав, что не все
коэффициенты г'· вновь полученного выражения равны нулю.
Рассмотрим коэффициент г'-,0* для слова A;.,L = Δω , где,
как обычно (напомним, что μι > μ2 > ... > μη, см. 4.5.5),
Δ£}> = μ,Δ^ = μ™' ...μψ\ 1 ^ τη, < ρ.
Так как каждое Δ^· не превосходит Δω , слово Δω в
разложении (4.2.5) может появиться только для слов вида μ^Δ^, где
либо μ4 = 0, либо μι ^ μι. Пусть μίΔω' = Ау/у Тогда по
формуле (4.2.5) г(,у(0) = т/(г„ш-1й'") + Ег«У(О·^'"· Учитывая
следствие 4.4.5, применим лемму 4.1.3 к кольцу R и подкольцу S,
считая, что η = mirVWl n = 1, αχ = rvw. Утверждение (а) этой
леммы дает r'v,,Q^ φ 0, что нам и требуется. Покажем, что
утверждение (б) выполняться не может. Действительно, оно означает,
что для дифференцирования μ = Σμj(t)Ct найдется элемент
ξ €Ξ Rp такой, что [s, ξ] = δμ для всех s £ S. Для s = f(x)
получим [f(x), ξ] = 0, т. е. по лемме 4.5.3 элемент ξ принадлежит С и
5μ = 0. Это означает, что μ G Bs(R) = μ\0+-. .+μι<0. С
другой стороны, μ принадлежит подпространству μ^+ι(7+.. .+μ„0
и (так как все μ,- образуют базу L). Поэтому μ = 0, что
противоречит линейной независимости элементов μ/, μ,-f^. D
4.6. Продолжение дифференцирований
211
4.5.8. Теорема. Кольцо S содержит ненулевой идеал
кольца S.
Доказательство. Применим предложение 4.5.7. Заметим,
что левая часть V(x) равенства (4.5.1) не обращается
тождественно в нуль на R, так как иначе, используя формулу (4.2.1) и
теорему 2.2.2, мы немедленно получили бы, что все aj равны
нулю. Равенство (4.5.1) показывает, что V(I) содержится в S для
подходящего / < R, Ι φ О, поскольку S — квазипромежуточное
кольцо. С другой стороны, слова Ау ' действуют тривиально на
S. Поэтому V{I) D V(SI) = ~SV(I), т. е. V(I) порождает в S
левый идеал А кольца S. Переходя к кольцу, антиизоморфному
R, мы найдем также ненулевой правый идеал В кольца S,
содержащийся в S. Теперь AS В — двусторонний идеал кольца S,
содержащийся в S, причем ASB φ О в силу теоремы 4.3.8. D
4.5.9. Доказательство теоремы 4.5.2. По лемме 4.5.1 кольцо
констант RA для δ-подалгебры Ли Λ С L является
промежуточным рационально полным подкольцом в R. Обратно, если
S — промежуточное рационально полное подкольцо в Л, то по
теореме 4.5.8 можно найти ненулевой идеал_Я кольца S,
содержащийся в S. Поэтому для любого s G S верны включения
#s С Я С 5, т. е. в силу рациональной полноты s € S. Таким
образом, S = S — кольцо констант для δ-алгебры Ли ГО$(Я).
Наконец, по теореме 4.5.4 для любой ограниченной 6-подалгебры
Ли Λ в L имеем равенство Ю>дл (R) = Л, что и завершает
доказательство теоремы о соответствии. D
4.6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ
Исследуем вопрос о том, когда расширение S D RL является
δ-расширением, где S — рационально полное подкольцо.
4.6.1. Пусть Λ — некоторая δ-подалгебра Ли в L.
Рассмотрим идеализатор И(Л) = {μ G L \ [Л, μ] С Л} этой
алгебры. Нетрудно видеть, что И(Л) является дифференциальной
СЛ-алгеброй Ли, но может не быть пространством над С.
Будем говорить, что Λ — квазиидеал в L, если И(Л)С = L. Ясно,
что если L действует тривиально на С, то каждый квазиидеал
является идеалом.
212
4. Дифференцирования первичных колец
4.6.2. Теорема. Промежуточное подкольцо S, R D S D R ,
является д-расширением кольца констант R тогда и
только тогда, когда соответствующая ему д-подалгебра Ли ID>s (Л)
является квазиидеалом в L. В этом случае
Brl(S) ~H(Bs(R))№s(R).
Теорема 4.6.2 выводится из следующей теоремы.
4.6.3. Теорема [о продолжении]. Любое дифференцирование
квазипромежуточного кольца S в R, отображающее R^CiS в
нуль, может бить продолжено до дифференцирования из L.
Доказательство. Предположим, что μ: S —¥ R —
дифференциальное отображение такое, что (RL Π 5)μ = 0, но μ
не может быть продолжено до дифференцирования из L.
Рассмотрим некоторую линейную универсальную константу f(x) —
J2 cjx^' С S. По теореме 2.2.2 она не обращается в нуль на R.
Для любого s e S можно записать равенство
5>д'сЯ]" - |Х>Д'с^J = 0, (4.6.1)
справедливое для всех х, пробегающих некоторый ненулевой
идеал кольца R. Можно считать, что элемент s выбран так, что
выражение в фигурных скобках не обращается в нуль на R.
Действительно, если такой элемент выбрать нельзя, то /(ι)5μ = О,
откуда f(x) · RL ■ Ξμ — О, что противоречит теореме 4.3.8. С
помощью формулы (4.2.3) равенство (4.6.1) можно привести к виду
Щх)й
Σ(^)ΔΤ-ίΣ(ΐΓ«)Δ·} = 0> (4·6·2)
■jeJ J Kvev
где выражение в квадратных скобках принимает значения из S
для любого χ из подходящего ненулевого идеала кольца R и все
элементы bj, rv —это ненулевые элементы из RC, V φ 0.
Рассмотрим множество U слов Δ„, встречающихся в записи (4.6.2)
в фигурных скобках, таких, что Δ„ φ Δ« , т. е. первая буква
которых не лежит в D>s (R). Индукцией по старшему слову в
множестве U U {μΔ_,·, j e J}, считая, что μι > μ2 > ... > μη > μ,
придем от равенства (4.6.2) к противоречию. Основанием
индукции является случай ϋΐΐ{μΔί,ί е J} — 0. В этом случае
выражение в квадратных скобках исчезает и мы приходим к
противоречию с теоремой 2.2.2. Проведем индукционный шаг. Предполо-
4.6. Продолжение дифференцирований
213
жим сначала, что старшее слово Δ множества U U {μAj, j e J}
принадлежит [/, т. е. встречается в фигурных скобках. Тогда
все слова Δ„, ν G V, большие Δ, стоящие в фигурных скобах,
будут словами от μι,... , μ*, т. е. будут действовать тривиально
на S. Пусть Vo — множество тех индексов ν £ V, для которых
слово Δ„ больше Δ. Тогда для любого β е Π Γυ"5 ί Lop(5)
получаем, что при ν £ Vq
(xrv)*« * β = (x(rv ■ /?))Δ» = 0.
Таким образом, при применении оператора *β к выражению в
фигурных скобках исчезнут все члены, содержащие в своей
записи слова, большие Δ, причем из них не возникнут новые
члены. Понятно, что член, содержащий слово Δ = Δ„(0), также
исчезнет, но из него возникнут новые. Рассмотрим члены,
возникающие при применении оператора *β к левой части равенства
(4.6.2) и содержащие слово Δ, где, как обычно, Δ = μ™' ...,
Δ = μ™'-1 ....... (см. (4.2.1), (4.2.5)). Если β - Σ s< ® г,·, то
для любой дифференциальной формы и(х) справедливы
равенства
[ΐΐ(χ)*β]μ— 2_.u{xri)si — /ЛЦ(ДГ0]Рsi
+ J2 u(xn)s? = [«(ι)]" * β + u(x) * β".
В частности, для формы Φ (ι) = [Α]μ + {В} имеем соотношение
{[А]" + {Β}) *β=[Α*β]" + {Β*β-Α*β»}. (4.6.3)
По формуле (4.2.5) слово Δ в фигурных скобках правой части
равенства (4.6.3) может появиться только из слов вида μίΔ, где
μι ^ μ5, стоящих в фигурных скобках формы Φ (ι), или из
слова Δ, стоящего в квадратных скобках (напомним, что пока
μΔ^ < Δ для всех j e J, т. е. длина Aj не больше длины Δ).
Пусть μ(Α = Δ„(4) и μΔ = μAj^<0y Тогда можно выписать член
формы Φ (а;) * β, содержащий Δ и стоящий в фигурных скобках:
x[msrv(sy β^ +Y^rv[ty β^< - rj[oy βΛ,
^ t>s '
причем два последних слагаемых могут отсутствовать (если в
формуле (4.6.2) не участвуют слова Αυ^ в фигурных скобках
214
4. Дифференцирования первичных колец
и слово Δ в квадратных скобках). Теперь можно подобрать
β G ΠΓυ"5 TaKi чт°бы выписанный член не обращался в нуль.
ν
Действительно, иначе по лемме 4.1.3 некоторая линейная
комбинация /ij+^AifCt+yiCo действует внутренним образом на 5,
причем соответствующий элемент перестановочен с элементами
квазипромежуточного кольца RL Π S. По лемме 4.5.3 μ3 + Σ А*«с' +
t
/iCo = 0. Если в последнем соотношении с0 φ 0, то -~μ„ο^λ —
Σ /ifCfC^"1 — продолжение дифференцирования μ на Д. В
случае со — 0 приходим к противоречию с линейной
независимостью дифференцирований μ,, /it. Подбирая β указанным выше
способом, получим, что к выражению Φ * β можно применить
индуктивное предположение.
Предположим, что старшее слово имеет вид μΔ = μΔ^ο).
Тогда в фигурных скобках все слова, длины которых больше
длины Δ, будут словами от μι,... , μ*,. Выбирая/? е П^/5пПг^"5.
j ν
и используя соотношения (4.2.5), (4.6.3), получим, что старшее
слово множества U U {μΔ^ί е J} для правой части (4.6.3)
уменьшится и в фигурных скобках член, содержащий слово Δ,
будет иметь вид z(i>j(o) · βμ). По лемме 4.1.3 можно подобрать β
так, чтобы этот член не обращался в нуль (в противном случае
βμ = si —is и по лемме 4.5.3 μ = 0). Остается воспользоваться
индуктивным предположением. D
4.6.4. Теорема [о жесткости]. Любой мономорфизм
квазипромежуточного кольца S в R над R является
тождественным.
Доказательство. Пусть μ: S —»· R — мономорфизм,
действующий тождественно на Sn R . Тогда [/(χ)]μ — {f(x)} — 0
для универсальной константы f(x), и мы получаем соотношение
вида (4.6.2).
Покажем, что соотношение (4.6.2) не может выполняться,
если μ — нетождественный мономорфизм, а выражение в
квадратных скобках принадлежит 5 при любом а; G / € /"ине
обращается тождественно в нуль на R. Проведем индукцию по длине
старшего слова, встречающегося в фигурных скобках.
Основанием индукции служит случай V — 0. При этом противоречие
получается из-за того, что ядро μ равно нулю.
Так как 5μ D RL Π S, получаем, что 5μ —
квазипромежуточное кольцо. Если β G Π r„s , то можно подобрать эле-
ν
4.6. Продолжение дифференцирований
215
мент /?о £ Lop(5) так, что β£ — β. При этом, если Φ (а;) =
\Τ{χ)\μ - {Щх)^10
^(χ)*β = [Τ(χ)*β0]"-{Τ1(χ)*β}.
Ясно, что старшее слово в фигурных скобках для Ф(а;) * β
имеет меньшую длину. Поэтому достаточно подобрать β так, чтобы
выражение в квадратных скобках не обращалось в нуль на R.
Учитывая, что старший член Т(х) * β0 равен (x(bj(0) ■ /?ο))Δ'(0),
где Aj(o) — старшее слово, встречающееся в квадратных скобках
(4.6.2), достаточно выбрать β так, чтобы Ь ■ βο φ О для данного
ненулевого Ь — 6j(o)· Допустим, что это сделать невозможно,
m
т. е. Ь ■ β0 - О для любого βμ е Π 6/"5" = П^5"· Без
» = 1 V
ограничения общности можно считать, что {&<} — линейно
независимые над С элементы, а число m является наименьшим
из возможных, т. е. Ь · £0 φ 0, где £q = f~| bf-s" и по лем-
»=2
ме 4.1.2 bi ■ Cq φ 0. При этом, если β0 е £0 и Ъ\ ■ β& — 0,
то b · β0 — 0. Следовательно, корректно определено
отображение ξ: &ι · /?g —>· b ■ βο, где /?0 пробегает £0. Нетрудно
заметить, что ξ — гомоморфизм левых Д-модулей, область
определения которого является (R, 5^)-бимодулем. Поэтому ввиду
следствия 4.4.5 она содержит ненулевой идеал кольца R. Согласно
определению кольца частных можно найти ненулевой (так как
b ■ £0 φ 0) элемент t e R? такой, что 6Х · ββί — b ■ β0 для
всех βο G £ο· Если s £ S, το β\ — /?0(s ® 1) е £0. Поэтому
b\ ■ βμί — b\ ■ βο*βμί = b ■ βι —b·/?0s = b\ ■ βμts.
Следовательно, &ι · βο(Βμί — ts) — О и 3μί — ts для всех s e S, поскольку
&i -£g согласно следствию 4.4.5 содержит ненулевой идеал
кольца R. В частности, выбирая s из RL и используя лемму 4.5.3,
получаем, что t — ненулевой центральный элемент, т. е.
последнее равенство можно сократить на t. Итак, εμ — s для всех
s G S; противоречие, которое показывает, что β можно выбрать
так, что к выражению Φ (ι) * β можно применить индуктивное
предположение. D
4.6.5. Доказательство теоремы 4.6.2. Предположим, что под-
кольцу S соответствует квазиидеал Ds(iZ). Это означает, что
в идеализаторе H(D>s (R)) можно выбрать базу пространства L
над С. Поэтому можно считать, что базисные
дифференцирования μι,... , μη лежат в идеализаторе. Рассмотрим ограниче-
216
4. Дифференцирования первичных колец
ние μ произвольного дифференцирования μ £ И(Ю>5 (Щ) на 5
и покажем, что это ограничение лежит в Ю)(5), т. е. найдем
ненулевой идеал I < S такой, что Ιμ С S. По лемме_4.5.6 можно
найти подкольцо S\ С S такое, что Sf С R и Si — S. По
теореме 4.5.8 найдем идеал А кольца S, лежащий в S\. Если
μι £ BS{R), то [μ, μι] £ BS(R). Следовательно, (5{1)μι С
5j ,μι' + (5{1Ι)μ = 0, поэтому Sf С 5 и в качестве / можно
выбрать идеал А2. Итак, отображение μ —»· μ является
гомоморфизмом из H(ID>s {R)) на ограниченную подалгебру Ли L в
D)(5), при этом SL — R , так как И(Ю>5(Я)) содержит базу L.
Ясно также, что ядро последнего гомоморфизма равно D>s (R), и
поэтому L ~ H(D>s(-R))/lD)s(fl)· Так как гомоморфизм сужения
является С^-линейным и L конечномернанад С1, получаем, что
L также конечномерна над С1.
Пусть, наоборот, SL — RL для некоторой конечномерной
δ-алгебры Ли L С D>(S). Покажем, что L не может
содержать внутренних дифференцирований. Пусть μ £ L. Мы
можем найти ненулевой идеал / кольца S такой, что Ιμ С S С R
и, следовательно, по теореме о продолжении μ" совпадает с
некоторым μ £ L на / + Д^. Отсюда вытекает, что μ совпадает с
μ и на 5. Действительно, если s £ S, г £ I, то (βί)μ = (βί)μ
и βίμ = βίμ, поэтому s? — βμί, τ. е. по теореме 4.3.8 получаем
μ = μ на 5. Предположим, что ξβ — βξ = S1* для некоторого
ξ £ Q(5) и всех s £ S. Выбрав произвольный ненулевой элемент
а из идеала I <S такого, что Ιξ С S, ξΐ С 5, получим
равенство &isa — as&2 = as>ial где 6χ = αξ, 6г = ξα. Будем считать,
что μ является базисным дифференцированием, не лежащим в
D>s(.R). Пусть форма f(x) — Y^x^'Cj, где Aj — некоторые
слова от базисных дифференцирований D>s(-R), не обращается
в нуль на R и принимает значения в S при χ £ J <_Д. По
теореме 4.5.8 можно найти ненулевой идеал А кольца S,
лежащий в S. Тогда Af(x) С 5, и поэтому для всех d £ А
справедливо тождество bi(df(x))a — a(df(x))b2 — α(ά/(χ))μα. По
теореме 2.2.2 a(d <g> Cj)a — О, и так как а и d —
произвольные' элементы из / и А, то 1А — О, что противоречит
теореме 4.3.8. Пусть L\ — множество всех дифференцирований из L,
которые индуцируют на S ограничения из L. Тогда ядро
естественного гомоморфизма L\ —>· L совпадает с ID>s(-R), а образ
равен L, т. е. Orl (S) — £i/]D>s(-R)' так как п0 теореме 4.5.4
L — Orl (S). Далее, δ-подалгебра Ли L\C в L имеет в качестве
4.6. Продолжение дифференцирований
217
своих констант только элементы из R1, и по теореме о
соответствии L\C — L. Осталось показать, что L\ — И(Ю>5(Я)).
Если μ е ©si-R), μι £ L\, то [μ,μι] — \β\,~β] — 0. так как
μ — 0. Следовательно, [μ, μι] G D>s(.R). Если μι e H(D>s(.R)) и
μ e Юв(Д), то On.ji] = 0. Поэтому (S"»)" С Si"1·"! + (5")"'
и 5μι С RBs(R) — S. Используя теорему 4.5.8, можно найти
ненулевой идеал Л_кольца S такой, что Αμι С S. Иными словами,
μ~ι е Ю>дь (5) = L, т. е. μι G Lb D
Источники
А. Берксон [23]; Р. Бэр [27]; Η. Джекобсон [36]; В. К. Харченко
[140, 141].
Глава 5
Полупервичные кольца
В этой главе мы с помощью метатеоремы перенесем основные
результаты теории Галуа для автоморфизмов и
дифференцирований на полупервичные кольца. Перед нами, по-существу, стоит
чисто синтаксическая задача — переформулировать
результаты в виде истинности хорновских формул элементарного языка.
Легко видеть, что сами основные теоремы не формулируются на
элементарном языке. Это заставляет нас анализировать не сами
эти теоремы, но ключевые утверждения в их доказательствах.
Мы начнем с рассмотрения более простого случая δ-алгебр
Ли внешних дифференцирований — здесь ситуация заметно
упрощается за счет того, что дифференцирования (в отличие от
автоморфизмов) действуют тривиально на центральные идемпотен-
ты. Рассмотрение внутренней части мы откладываем до
изучения автоморфизмов. Зафиксируем обозначения для
полупервичного кольца R, его левого и симметрического мартиндейловского
колец частных R?, Q для обобщенного центроида С. Через Ε
будем обозначать множество всех идемпотентов кольца С.
218
5.1. Существенные универсальные константы
219
5.1. СУЩЕСТВЕННЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ
КОНСТАНТЫ
5.1.1. Пусть L — конечно порожденный С-подмодуль
дифференцирований из ©(Я), замкнутый относительно операций
ограниченной δ-алгебры Ли, т. е. [μ, μι] G L, μρ £ L, если μ, μι G L,
где 0 < ρ — характеристика кольца R. Предположим также,
что L не содержит внутренних для Q ненулевых
дифференцирований. В силу леммы 1.6.20 можно разложить L в прямую сумму
циклических подмодулей L — μ\0@.. .φμηΟ. Тогда μι,... , μη
будут сильно независимыми: если ^μ^ = ad£, то ^μ^ = О,
так как L не содержит других внутренних дифференцирований.
Поэтому μίΟί — О, 1 ^ г ^ п. Для дальнейшего мы
зафиксируем δ-алгебру Ли L и ее С-базис {μι,... , μ„}· Линейную фор-
m
му / = J2xii'cj> гДе ^ι < · · · < Am — правильные слова от
μΐ) · · · ,Цп, cj G С, будем называть существенной
универсальной константой для L, если /(χ)μ — \%2x^'cj) ~ ^ для лю~
бого χ е Q и μ е L, причем sup{e(cj)e(Aj)} = 1. Напомним,
i
что е(х) — носитель элемента χ, β(μι.. .μ*;) = ε(μχ) ■ ■ -e(pk)
(см. 1.5.6).
5.1.2. Предложение. Алгебра L имеет существенную
универсальную константу.
Доказательство. Так как число правильных слов конечно
(оно равно т — рп) и любое слово при помощи замен μιμ =
μμι + [μι,μ], μρ = μ^Ί может быть представлено в виде их
линейной комбинации, имеем Δ_,·μ,- = 53^*cfj · Поэтому
к
4 j J i fcj
т. е. равенство /(χ)μ — О вытекает из системы соотношений на
коэффициенты су.
Fkii(e) Ξ ομί + Y^cjcV = О, к = 1,... , m, i = 1,... , η.
i
220
5. Полупервичные кольца
Теперь условие существования существенной универсальной
константы записывается в виде хорновской формулы
m _.
3d cmVxbP{cJ)bbFkii{c) = 0
j' = l k,i
k[(kxejCj =0)-»-х = 0],
где tj — e(Aj), а через Ρ мы обозначили предикат,
выделяющий обобщенный центроид Р(х) = И О ι £ С. Так как
С — замкнутое подмножество в Q, это — строго пучковый
предикат (см. 1.11.9), причем в силу леммы 1.12.6 Р(х) — И на слое
Gp(Q) тогда и только тогда, когда χ принадлежит обобщенному
центроиду слоя. Для индуцированных на слое
дифференцирований верны соотношения Δ^μ{ = Σ ^-'Δ^. Поэтому согласно
леммам 2.5.6 и 4.3.3 указанная выше формула истинна на всех
слоях. По метатеореме она истинна также на кольце Q
глобальных сечений. D
5.1.3. Следствие. Пусть а, Ь £ Rj:, I — существенный идеал
кольца R. Если aILb — 0, то е(а)е(Ь) — 0.
Доказательство. Пусть f(x) — Σχ^'°ί — существенная
универсальная константа. Так как Ю>(/) = Ю>(Я) (лемма 1.8.4),
можно найти существенный идеал J такой, что ]μ С / для
всех базисных дифференцирований. Следовательно, (Jp )Δ> С
/. Поэтому на Ρ выполнено дифференциальное тождество
af(x)b — 0. По теореме 2.3.1 e(cj)e(Aj)azjb — 0, откуда
е(а)е(Ь) - e(a)e(b)sup(e(cj)e(Aj)) = 0. D
з
5.1.4. Теорема. Пусть μ — дифференцирование из D(iZ)
такое, что (RLY - 0. Тогда μ е L.
Доказательство. Рассмотрим С-модуль L + μΟ. По
лемме 1.6.20 подмодуль L выделяется из него прямым слагаемым
L + μΟ - L® μ0Ο - μχΟ Θ ... θ μηΟ φ μ0Ο.
Упорядочим базисные дифференцирования μ\ < μ% < ... < μη < μ0.
η
Если ^А*1с« = Ά<^ζ, το элемент ξ перестановочен со всеми кон-
• »=о
стантами L. Пусть / — существенный идеал такой, что для
существенной универсальной константы / выполняется
включение /(/) С R. Тогда на / имеем тождество ξ/(χ) — /(χ)ζ — 0,
т. е. в силу теоремы 2.3.1 получаем (ξχ — xξ)e(cj)e(Aj) — 0 для
каждого j. Поэтому ξ е С и ad ξ — 0, т. е. /ijC; = 0, 0 ^ г ^ п,
5.2. Промежуточные подкольца 221
так как сумма базисных подмодулей прямая. Таким образом,
μο,μι,--- ,μη — сильно независимое множество
дифференцирований, и на / выполняется редуцированное тождество 0 =
J2xa,lcj° + ΣχΔ,'μο°: = /W0· По теореме 2.3.1 для каждого
i i
j получаем ζ^^ε(Α^μ0) — 0. Поэтому β(^)β(Δ_7·)β(μ0) = 0,
т. е. β(μ0) = 0. D
5.2. ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ПОДКОЛЬЦА
Нашей ближайшей целью является перенесение теоремы 4.5.8 на
полупервичный случай. Сохраняя обозначения из 5.1,
зафиксируем промежуточное кольцо S, т. е. R D S D RL. Пусть
S - RA, где Λ = BS(R) = {μ £ ЩИ) | μ(5) = 0}. В силу
теоремы 5.1.4 справедливо включение Λ С L.
5.2.1. Лемма. Λ — конечно порожденный подмодуль С-мо-
дуля L.
Доказательство. Заметим, что Λ — замкнутый подмодуль
полного модуля L. Если μ0 = Ηπιμα и μα £ Λ, то εαμο(β) =
εαμα(β) = 0 при любом а и любом s G 5, поэтому μο(5) = 0 и
μο £ Λ. В силу леммы 1.6.16 модуль Λ инъективен.
Следовательно, он выделяется прямым слагаемым из конечно порожденного
модуля L, и поэтому сам конечно порожден. D
5.2^2. Теорема. Кольцо S содержит двусторонний идеал
кольца S, аннуляторы которого (левый и правый) в R? равны
нулю.
Для того чтобы использовать метатеорему, необходимо на
элементарном языке выделять элементы множества S. Для
этого естественно ввести одноместный предикат, определяемый этим
множеством (см. 1.11.9). Однако этот предикат не будет
строго пучковым, если S не является замкнутым й'-подмножеством
(см. 1.6.25). Рассмотрим замыкание SE и строго пучковый
предикат Ps, определяемый множеством SE. Тогда значение Р$ на
слое Qp определяется множеством pp(SE).
5.2.3. Лемма. Справедливы следующие утверждения:
(а) если μ G B(R) и μ(5) = 0, то μ(§Ε) - 0,
222
5. Полупервичные кольца
(б) pp(SE) — квазипромежуточное подкольцо слоя для д-ал*у
гебры индуцированных дифференцирований L — Pp(L),
(в) множество всех дифференцирований слоя Qv над pv(SE)
равно Л = Рр(Л),
(г) если s G SE, то найдется I < RL такой, что si U Is С 5
и аннуляторы (левый и правый) множества I в R? равны
нулю.
Доказательство, (а) Так как все дифференцирования
действуют тривиально на центральные идемпотенты (см. 2.5.2) и
непрерывны (см. 1.6.3), равенство μ(Ξ) — О влечет равенства
μ{βΕ) = О и μ0Ε) = 0.
(б) Пусть f(x) — существенная универсальная константа
Тогда /(/) С S для некоторого идеала / е Т. Поэтому f(IE) С
SE, и в силу непрерывности / имеем f(IE) С SE. Остается
вспомнить, что рр(1Е) — ненулевой двусторонний идеал слоя
Pp(RE) (см. 1.12.5) и воспользоваться тем, что индуцированная
форма / будет^ниверсальной константой для L в слое.
(в) Так как L — ограниченная δ-алгебра Ли, действующая на
слое, a pv(SE) — квазипромежуточное кольцо, по теореме 4.5.4
любое дифференцирование μ слоя, действующее тривиально на
pv(SE), принадлежит L, т. е. μ — ρν(μ), μ G L. Теперь
истинность формулы Vx(Ps(x) —¥ ~β(χ) — 0) на слое означает,
что она истинна также на кольце сечений над некоторой
окрестностью точки р, т. е. найдется центральный идемпотент е ^ ρ
такой, что εμ(5Ε) — 0, т. е. εμ £ Λ и μ — ρρ(εμ) G Λ.
(г) Пусть U — множество всех элементов s из SE, для
которых выполняется заключение п. (г). Покажем, что это —
замкнутое множество, содержащее SE. Если s — J2s*ei и
Jei С R, J G Τ, то по следствию 5.1.3 идеал JL имеет
нулевые аннуляторы в Rj: и JLei С RL. При этом если s,· e S,
то sJL U JLs С S. Пусть s — \vcasa и saIa U Iasa С S.
а
Выберем для каждого а существенный идеал Ja кольца R
такой, что eaJa С R, где {еа,а Ε А} — соответствующая
система идемпотентов (см. 1.6.2). Тогда по следствию 5.1.3
идеал J % имеет нулевые аннуляторы и е„^ С RL. Поэтому
saeaJ%Ia UeaJ^Iasa С S. Пусть / = Y^eaJ^Ia. Тогда
а
аннуляторы / в R? равны нулю: если, например, ql — 0, то
5.2. Промежуточные подкольца
223
(eaq)I^Ja — О для всех а. Поэтому q — sup{ea}g = 0. Кро-
ОС
ΜΘ ТОГО, si — J2SeaJaI<* ~ J2Saea^a^a С 5, И ЭНаЛОГИЧНО
а а
IsCS. D
Доказательство теоремы 5.2.2. Разложим модуль Λ в
прямую сумму циклических подмодулей Λ = μιΟφ.. .φμ^.
Вспомним, что доказательство теоремы 4.5.8 базировалось на
предложении 4.5.7, которое на слое Qv означает истинность следующей
формулы Ф(<), зависящей от натурального параметра t:
t
Βαχ,... ,apk,si,... , st,rb ... , rtVi к Ps(si)
p" t
b£,(*°i)*? = Е/(1г«-)*.-^ир{е(^)е(А}2 >)} = 1,
J=l i=l j
где Aj — все правильные слова от μι,... ,/ifc (включая
пустое), а /(а;) —существенная универсальная константа, которую
можно рассматривать как строго пучковую операцию. На
каждом слое Qv истинна некоторая формула Φ(ί(ρ)). Это
вытекает из предложения 4.5.7 и леммы 5.2.3. В силу следствия 1.11.21,
мы получаем, что на кольце RE истинна формула Φ(ί) для
некоторого t. Положим
Рк t
F(x) = 5>α,·)Δ>3) = Σ Я**)*
J=l «=1
и выберем существенный идеал / так, чтобы /(/г,·) С R. Кроме
того, пусть А — идеал кольца RL с нулевыми аннуляторами в
Rjr такой, что Si А С S (см. лемму 5.2.3). Тогда V — F(I)A —
левый идеал кольца S, содержащийся в S. Его левый аннуля-
тор равен нулю: если qF{I)A — 0, то qF(x)a = 0 —
дифференциальное тождество на / и по следствию 2.5.8 для всех j
справедливо равенство qxajae(A^ ') — 0, а так как α — про-
извольный элемент из А, получаем qxaje(A), ') — 0. Поэтому
e(q)e(aj)e(Aj ') — 0 т. е. q — 0. Аналогично найдем правый
идеал W кольца 5, содержащийся в S, правый аннулятор
которого в Rjr равен нулю. Теперь VRLW — искомый идеал:
если, например, qVR W — 0, то по следствию 5.1.3 для любых
224
5. Полупервичные кольца
ν е V, w e W, имеем e(qv)e(w) — О, откуда we(qv) — О, или
We(qv) — О, т. е. qv — 0. Следовательно, qV ~ О, поэтому
7 = 0. □
5.3. ТЕОРЕМА О СООТВЕТСТВИИ
5.3.1. Теорема. Пусть L — ограниченная д-алгебра Ли
внешних дифференцирований из Ю)(Д). Предположим, что L —
конечно порождена как модуль над С. Тогда отображения
Л —¥ ДЛ, S —¥ ID>s(-ft) задают взаимно однозначное
соответствие между ограниченными д-подалгебрами Ли в L, конечно
порожденными над С, и промежуточными рационально
полными подкольцами. При этом расширение S 3 -R будет
дифференциальным тогда и только тогда, KoidaOs(R) —
квазиидеал в L.
Напомним, что подкольцо S рационально полно, если
включение Η г С S для существенного идеала Η <S и элемента г G R
влечет включение г G S. δ-Подалгебра Ли Λ в I называется
квазиидеалом, если ее идеализатор И(Л) = {/ е L | [/, Л] С Л}
содержит базис L, т. е. И(Л)С = L. Теорема 5.3.1 выводится
стандартным образом из теорем 5.1.4, 5.2.2, а также
нижеследующей теоремы о продолжении.
5.3.2. Теорема. Пусть S — промежуточное кольцо, μ: S —¥
R — дифференциальное отображение, действующее
тривиально на R . Тогда μ продолжается до дифференцирования
из L.
Доказательство. Продолжим сначала μ до
дифференциального отображения из SE в RE. Для линейной комбинации σ —
J2s'ei s' £ 5, ej е Ε, положим μ(σ) = Σμ(«.)ε. Это
корректное определение: если Σ в<е< = 0, то для любой константы
j e RL такой, что e,-j e R, получаем e,j e RL С S. Поэтому
EMs0e«'./ = Σ/Φ«'(ε<.?')) = ач Ев«'е''Л = °. τ·е-по
бедствию 5.1.3 J2l1(si)ei — 0· Непосредственные вычисления
показывают, что μ — дифференциальное ^-отображение (см. 1.6.25).
Распространим μ до дифференциального ^-отображения из SE
в RE. Пусть s — limsa и значения μ на sa уже определе-
αζΑ
ны. Ввиду полноты модуля RE существует lim/i(sa), который
5.4. Основные понятия для групп автоморфизмов 225
мы возьмем в качестве μ(β). Пусть одновременно s — ΧναχΙβ и
В
t = Υ\τα.μ{1β). Тогда (μ(3)-ί)εαββ — μ(Βα)εαββ - μ(ίβ)εαεβ —
в
μ(8αεαββ — ίββα) — μ(8εαββ — 8ββεα) — О для всех a G A,
β £ В. Так как supeae,g = 1, имеем μ(β) — t. Следова-
АхВ
тельно, определение μ(8) корректно. Дифференциальность μ
проверяется непосредственно: если s — limsa, t — limi^, то
А В
[μ(βί) — /i(s)< — 8μ(ί)]εαββ — О, так как st — Km sa</j. На
следующем шаге мы продолжим μ до отображения μ: RE —у RE.
Для этого рассмотрим SE как замкнутое Е-множество в RE. В
силу 1.11.9 существует строго пучковая проекция π: RE —¥ SE.
Положим μ(χ) — μ(π(χ)). Тогда μ — строго пучковая
операция. Причем на слоях ее действие таково, что сужение μ на
Pp(SE) будет дифференциальным отображением, действующим
тривиально на константах квазипромежуточного кольца рр (SE)
(см. 5.2.3(6)). По теореме 4.6.3 сужение μ на pp(SE)
продолжается до дифференцирования из pp(L), т. е. на каждом слое
истинна формула
3ci,... , c„Va; к Pc(ci)h(Ps{x) -* μ{χ) = οιχμι+.. .+спх"«),
где L = ΣμιΟ, Рс(х) =H«ieC, ps(aO = H«i£S£.
По, метатеореме эта формула истинна и на RE. Ώ
5.3.3. Теорема. Любой мономорфизм μ промежуточного
кольца S в R над RL является тождественным.
Доказательство. Так же, как в доказательстве теоремы 5.3.2
продолжим μ до мономорфизма μ-.SE —¥ RE, а затем до
отображения μ: RE —¥ RE. Тогда на каждом слое будет истинна
хорновская формула Vx(Ps(x) —> μ(^) — х). Истинность этой
формулы на RE и дает требуемое утверждение. D
5.4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ДЛЯ ГРУПП АВТОМОРФИЗМОВ
5.4.1. Начнем с простого примера, хорошо иллюстрирующего
изменения некоторых понятий теории Галуа при переходе к полу-
226
5. Полупервичные кольца
первичному случаю. Пусть R — Y[ Fa — прямое произведение
изоморфных полей Fa ~ F и Я — некоторая конечная группа
автоморфизмов поля F. Определим действие Я на
произведении R покомпонентно fh(а) — (f(a))h, т. е. (...,/«,. ..)л =
(· · · , fa ι · · · )· С ДРУГ0Й стороны, на R естественно
определяется действие прямого произведения G — Y[ Ha групп На, изо-
а€А
морфныхЯ: /»(а) = /(а)»(а>, т. е. (... ,/а,.. .)(··· .в-··) =
(· · · ι/α" ι · · ·)· ^РИ этом подкольца инвариантов групп Я и
G совпадают и изоморфны прямому произведению экземпляров
FH.
5.4.2. Приведенная конечность. Самое естественное и прямое
перенесение этого понятия выглядит так: модуль Ш (G) конечно
порожден над С и фактор-группа G/Glnt группы G по подгруппе
внутренних для Q автоморфизмов конечна. Однако такое
определение исключает из рассмотрения группу G из приведенного
выше примера, которая является замыканием Галуа конечной
группы Я. По этой причине мы вынуждены перейти к
«локальному» варианту этого понятия. Напомним, что для
автоморфизма д G A (R) полупервичного кольца R мы определили модуль
сопряжения Фд — {а £ Q | Va: G R ха — αχ9} — это
циклический С-модуль Фд — ifgC, носитель которого e(ipg) мы
обозначали через i(g). Действие автоморфизма д на i(g)Q
совпадает с сопряжением обратимым (в i(g)Q) элементом φ3. Тем
более для любого е ^ г{д) автоморфизм д будет внутренним на
eQ. Это, в частности, означает, что Ge — {д G G \ г(д) ^ е} —
подгруппа группы G (для фиксированного е).
5.4.3. Группа автоморфизмов G С А (Я) называется приведение
конечной, если ее алгебра B(G) — Σ ®9 конечно порождена
g€G
как С-модуль и sup{e | |G:Ge| < оо} = 1.
5.4.4. Замкнутость группы. Возвращаясь к примеру 5.4.1,
заметим, что действие каждого g e G на сомножителе Fa
совпадает с действием некоторого h e Я, зависящего от а. Именно
это обстоятельство приводит к тому, что инварианты G и Я
совпадают. В общей ситуации мы по аналогии приходим к
понятию локальной принадлежности группе: автоморфизм g
локально принадлежит группе Я, если существует плотное семейство
идемпотентов {еа £ С \ а £ А] такое, что действие g на eaQ
5.4. Основные понятия для групп автоморфизмов 227
совпадает с действием некоторого ha £ Η, т. е. sup{e | д| е
5.4.5. Лемма. Вели автоморфизм д локально принадлежим
группе Η, то g Ε ΑΙ (Η), т. е. g действует тождественно
naQH.
Доказательство. Пусть действие g на eaQ совпадает с
действием ha е Я. Для любого г е <3Я имеем е£г5 = (еаг)9 —
(ear)ha — е^г, но по условию е£° = е9а. Поэтому е9а(г9 - г) —
О, т. е. еа(г—г9 ) — 0. Следовательно, 0 — sup-ea(r— г9 ) —
а
г — г9 . т. е. г = г9. О
5.4.6. Группа G называется замкнутой, если любой
автоморфизм, локально принадлежащий группе G, лежит в G.
Из леммы 5.4.5 вытекает следующее утверждение.
5.4.7. Следствие. Любая группа Галуа замкнута.
5.4.8. Рассмотрим более подробно понятие замкнутости для
случая, когда R имеет конечную первичную размерность, т. е. Q —
Q\ φ ... Θ Qn — прямая сумма конечного числа первичных
колец (см. 3.6.6). Начнем с примера несколько более
сложного, чем 5.4.1. Пусть Q — Q0 φ ... φ Q0, где Q0 — первичное
4 ν '
η
кольцо. Если на QQ действует группа Я, то на Q действует,
во-первых, прямая степень Я" — Η χ ... χ Η покомпонентно
и, во-вторых, группа подстановок Sn, переставляющая
слагаемые (?ι φ ... φ qny — 9π-ΐ(ι) Φ ... Φ 9π-ΐ(„)· Так что на Q
определено действие полупрямого произведения G — Я" X Sn.
Совершенно ясно, что G — замкнутая группа. Справедливо и
обратное утверждение.
5.4.9. Лемма. Пусть замкнутая группа G действует тран-
зитивно на первичные компоненты Q — Q\ φ .. ,ф Qn [это
эквивалентно тому, что Q является G-первичным). Тогда
кольца Qi попарно изоморфны, и их можно отождествить
так, что G — Я" X Sn.
Доказательство. В силу транзитивности можно найти
элементы ι/,· е G такие, что gi(Qi) — Qi+i, 1 ^ г ^ η- 1 (в
частности, Q; — попарно изоморфны). Положим σ,-j = g%g%+i. ■ -9j-i
при j > г и G{j — σ^1 при j < г, σ« = 1. Отождествим слагае-
228
5. Полупервичные кольца
мые Qi относительно системы изоморфизмов ац (т. е. элементы
4i G Qi и <Tij(qi) e Qj считаем одинаковыми). Тогда транс-
векция (1,... , σ,-j, 1,... ,1, aji,... , 1), переставляющая г'-ю и
)-ю компоненты, локально принадлежит G. Следовательно, G
содержит всю группу подстановок Sn. Пусть Н\ — подгруппа
всех автоморфизмов из G, действующих инвариантно на первой
компоненте Qi С каждым автоморфизмом h\ £ Н\ свяжем
автоморфизм h, действие которого на Q\ совпадает с
действием h\, а на остальных компонентах — тождественное. Этот
автоморфизм принадлежит G ввиду замкнутости группы. Пусть
Η — группа всех таких автоморфизмов. На компоненты Qi
действуют сопряженные подгруппы σ^Ησχί. В силу замкнутости
группа G содержит прямое произведение Нп — J\ а^Нац.
1-ζί-ζη
Так как мы отождествили Qi относительно системы
изоморфизмов σ,-j, группы σ^Ησ-ц также отождествлены. Группы Нп и
Sn порождают полупрямое произведение Нп X Sn ■ Пусть д —
произвольный автоморфизм из G. Этот автоморфизм как-то
переставляет компоненты Q, т. е. существует подстановка π такая,
что Q? — <5π-ΐ(,·) = Qi Автоморфизм дтг-1 действует
инвариантно на всех слагаемых Qi. Пусть gi — автоморфизм,
действие которого на Qi совпадает с действием дчт~1, а на
остальных компонентах — тождественное. Тогда gt e а^Нац и
g=gi...gn*eHn\Sn. □
5.4.10. Лемма. В условиях леммы 5.4.9 кольцо инвариантов
QG изоморфно Qy .
Доказательство. Изоморфизм осуществляет диагональное
отображение q —у q"11 + ... + qain. О
5.4.11. Рассмотрим строение произвольной замкнутой группы
автоморфизмов кольца R, имеющего конечную первичную
размерность. Пусть Q(R) — <3ιθ.. .®Qn и G — замкнутая группа.
Тогда каждый элемент jGG как-то переставляет компоненты Qit
т. е. G действует на множестве индексов {1,... , п). Это
множество распадается на орбиты hUhU.. .Uh- Пусть Qa — γ^ Qu
1 ^ a ^ k. Тогда к кольцу Qa и группе G можно применить
лемму 5.4.9, т. е. сужение G на Qa имеет вид Н%а X S„o, где
па — число элементов орбиты 1а. Ввиду замкнутости G мы
немедленно получаем
G = (Я?1 X Sni) χ (Я2"> X S„a) χ ... χ {Hnkk X Snk).
5.4. Основные понятия для групп автоморфизмов 229
Предполагая, для простоты обозначений, что а £ 1а при 1 ^
а ^ к, мы получаем также QG ~ Q"' 0 Qf3 0 ... Θ Q"k.
5.4.12. Группы Нётер (iV-группы). Это понятие остается
неизменным: группа G С А (Я) называется N-группой, если
каждый обратимый элемент из ее алгебры Ш (G) — Σ ®д опреде-
ляет автоморфизм, лежащий в G. Ясно, что любая группа Галуа
является замкнутой Af-группой.
5.4.13. Группы Машке (Λί-группы). Определение
сохраняется: приведенно конечная группа G называется М-группой, если
ее алгебра полупервична. Пусть В — произвольная неполупер-
вичная алгебра с единицей над регулярным самоинъективным
коммутативным кольцом С. Предположим, что левый С-модуль
В проективен и порождается конечным числом обратимых
элементов. Понятно, что алгебра любой приведенно конечной
группы автоморфизмов удовлетворяет этим условиям (за
исключением, возможно, неполупервичности).
5.4.14. Предложение. Существует полупервичное кольцо R
с обобщенным центроидом С и приведенно конечной группой
автоморфизмов G, алгебра которой изоморфна В, а кольцо
инвариантов Rr не полупервично.
Доказательство. Так как левый С-модуль В содержит
свободный подмодуль, он является проективным образующим в
категории модулей над С. Это означает, что кольца С и R —
Endc5 морита-эквивалентны [63, теорема 4.2.9]. В частности,
R — регулярное и самоинъективное кольцо. Поэтому оно
совпадает со своим полным левым кольцом частных [64, с. 152] и тем
более R — R?. Центр кольца R изоморфен С [63, следствие
4.36]. Поэтому С будет также обобщенным центроидом R.
Определим вложение В в R с помощью операторов правого
умножения гь(х) — хЬ. Для каждого обратимого элемента Ь е В
определим внутренний автоморфизм кольца R, отвечающий элементу
гь. Пусть G — группа всех таких автоморфизмов. Так как В
порождается обратимыми элементами, M(G) — гв — В, причем
кольцо инвариантов этой группы совпадает с централизатором
гв в кольце R. Поскольку В имеет единицу, этот централизатор
совпадает с кольцом левых умножений /β. Последнее кольцо
антиизоморфно В и, следовательно, не может быть
полупервичным. D
230
5. Полупервичные кольца
Это предложение показывает, что если при переходе к кольцу
инвариантов мы хотим с уверенностью оставаться в классе
полупервичных колец, то должны рассматривать группы, алгебры
которых полупервичны. Условие полупервичности алгебры не
слишком сильно сужает класс рассматриваемых групп. Если,
например, в R нет ненулевых нильпотентных элементов, то их нет
и в кольце частных Q, т. е. алгебра любой приведенно конечной
группы будет полупервичной. Другой важный класс М-групп
дает аналог теоремы Машке.
5.4.15. Теорема. Если G — конечная группа автоморфизмов
полупервичного кольца R, не имеющего \G\-кручения, то
алгебра группы G полупервична.
Доказательство. Допустим, что в M(G) существует
ненулевой элемент Ь — £^5c5 такой, что ЬШЬ = 0. Рассмотрим конеч-
G
ную булеву алгебру, порожденную идемпотентами е(6), e(ipgcg).
Если е — некоторый минимальный идемпотент этой алгебры, то
для eb мы имеем представление Σ eipgcg, в котором д пробегает
только те автоморфизмы, для которых e(ipgcg) ^ e и тем более
e(ipg) ) е, т. е. з £ Ge. Это означает, что eb ё M(Ge) и алгебра
группы Ge не полупервична.
По предложению 5.4.14 найдем полупервичное кольцо R\ с
обобщенным центроидом еС и группу его внутренних
автоморфизмов G\ такую, что M{G\) — eM(Ge), причем RGl не
полупервична. Это противоречит следствию 1.3.7 из теоремы
Бергмана — Айзекса. Действительно, Ge — подгруппа группы G
и поэтому еС, а, следовательно, и R\ не имеют аддитивного
|Gel-кручения. Кроме того, сопряжения на элементы εφ9
определяют действие Ge на Ri, причем RG° — RGl. D
5.4.16. Регулярные группы. Если задана М-группа Н, то
можно дополнить ее до Af-группы, присоединяя все внутренние
автоморфизмы, отвечающие обратимым элементам из Ш(Н).
Полученная группа G будет иметь ту же алгебру Ш (G) — Ш (Н) и,
следовательно, будет приведенно конечной. Не изменится
также кольцо инвариантов QG — QH. Теперь можно дополнить
G до замкнутой группы G, присоединяя все автоморфизмы,
локально принадлежащие G. При этом по-прежнему QG — QH
и Ш (G) — Ш (Н). Последнее равенство требует доказательства,
и мы оставляем его читателю в качестве легкого упражнения.
5.5. Однородные идемпотенты
231
Ниже (см. 5.5.6) мы увидим, что группа G может не быть
приведений конечной.
5.4.17. Л/-группу G будем называть регулярной, если она
является замыканием М-подгруппы.
Ниже мы увидим (см. 5.5.9), что любая замкнутая
Л/-подгруппа F регулярной группы является замыканием
некоторой приведений конечной подгруппы Я с той же алгеброй
В (Я) =M(F).
5.5. ОДНОРОДНЫЕ ИДЕМПОТЕНТЫ
Пусть R — полупервичное кольцо, G — приведенно
конечная группа его автоморфизмов. Элементы группы G можно
рассматривать как одноместные операции. При этом инвариантный
пучок Q — правильный пучок с такими операциями (1.12.8). В
этом параграфе мы выясним, как устроены слои инвариантного
пучка почти во всех орбитах спектра.
5.5.1. Ненулевой центральный идемпотент е называется
однородным, если Ge — Gf для любого ненулевого / ^ е и для
любого g G G либо е = е5, либо ее5 — О, причем каждая орбита р
имеет не более одной точки из U(е); здесь Ge — {g G G \ i(g) ^ e}
(cm. 5.4.2).
Напомним, что стабилизатором идемпотента е называется
подгруппа Я — {g G G \ e9 — e}. Если e — однородный
идемпотент и g G Я, то [/(e)5 = U(e9) — 17(e). Поэтому ρ, ρ9 G
[/(е) и, следовательно, ρ9 — ρ для всех точек р G U(e). В
частности, U(f9) — U(f)9 — U(f) для всех / ^ e, т. е. Я
действует тождественно на все идемпотенты из еС. Кроме того,
стабилизатор Я(р) каждой точки ρ G [/(e) совпадает с Я: если
р9 — р, то р G [/(e) П U(e9) - [/(ее5), т. е. ее5 φ 0. Поэтому
е = е5.
5.5.2. Лемма. Если ρ G [/(/) и g £ Gf, то р9 — р.
Доказательство. Пусть α G р. Ввиду регулярности по
Нейману центроида С имеем е(а) G р. Учитывая, что g
действует тождественно (сопряжением) на все идемпотенты, меньшие
i(g) ^ f, получаем ρ Э e(a)f = (e(a)f)9 = e(a)9f = e(a9)f.
Так как / ^ ρ и идеал р простой, имеем е(а5). Следовательно,
а9 принадлежит р, т. е. р5 = p. D
232
5. Полупервичные кольца
5.5.3. Лемма. Множество однородных идемпотентов плотно
в Е, т. е. любой ненулевой идемпотент f имеет однородный
подыдемпотент е ^ /.
Доказательство. Достаточно установить, что любой
идемпотент / е Ε такой, что [G: Gj] < оо (см. 5.4.3) имеет
однородный подыдемпотент е ^ /.
По лемме 5.5.2 подгруппа Gj действует тривиально на всех
точках из {/(/). Это означает, что каждая орбита,
порожденная точкой из {/(/), имеет конечное число элементов, не
превосходящее индекса группы Gj в группе G. Пусть ρ — одна
из точек U(f), орбита которой имеет наибольшее возможное
число элементов: ρ = {р51 = р,р53,... , р5*}. Воспользовавшись
хаусдорфовостью спектра (см. 1.9.13), найдем окрестность f/(ei)
точки р, содержащуюся в U(f) и не содержащую ни одну из
точек р53,... ,р3к, отличных от р. Рассмотрим булеву алгебру
Ъ, порожденную множествами U(e{) — U(ei)9, g е G. Пусть
η
G — (J Gjgi — разложение группы G в объединение смежных
«=ι
классов. Тогда если g — hgi и h £ Gj, то U(е^1) = U(e3').
Следовательно, булева алгебра ί8 конечно порождена, и
поэтому конечна. Пусть 17(e) —наименьшее множество этой алгебры,
содержащее точку р. Тогда U(e9) — наименьшее
подмножество алгебры ί8, содержащее точку р3. В частности, различные
окрестности U(е)3 не пересекаются, т. е. для любого g £ G либо
ее3 — О, либо е = е3.
Если рь р? G 17(e) и рг φ ρ3, то 17(e)» П 17(e) φ 0,
т. е. U(e)3 — 17(e). Поэтому в каждой окрестности U(e3i),
1 ^ i ^ к, мы находим по две точки орбиты рг. Это
противоречит максимальности к. Таким образом, окрестность 17(e) имеет
не более одной точки каждой орбиты.
Так как Gjx D Ge при /ι ^ е и индекс \G : Ge\ конечен,
уменьшая при необходимости е, получим, что G^ — Ge при
О φ /ι ^ е. D
5.5.4. Теорема. Существует система попарно
ортогональных однородных идемпотентов {еа,а G А} такая, что
RE = Д eaRE, Q = Д eaQ,
αζΑ αζΑ
где Έα — sup{e»,5 G G} — система инвариантных попарно
ортогональных идемпотентов.
5.5. Однородные идемпотенты
233
Доказательство. Обозначим через Σ множество всех
наборов попарно непересекающихся областей вида U(e), где е —
однородный идемпотент, ё = вир{е5,д G G}. Тогда Σ —
непустое индуктивное множество. По лемме Цорна найдем в Σ
максимальный элемент σ — {U(ea),a G А}. Покажем, что
U U(ea) — плотное множество в X, т. е. supea = 1. Если
αζΑ α
это не так, то е'ёа — О для некоторого ненулевого идемпотен-
та е'. Найдем однородный идемпотент е ^ е' (лемма 5.5.3).
Тогда ё, ёа — О, поскольку все ёа неподвижные. Поэтому
σ U {U(e)} G Σ, что противоречит максимальности σ.
Рассмотрим гомоморфизм ξ: г —¥ Y[ear из Q в прямое про-
ос
изведение. Ввиду supe„ = 1 этот гомоморфизм является
вложением. Если ra G eaQ, то по определению пучка найдется
глобальное сечение г G Q такое, что гёа = га. Это означает,
что ξ — эпиморфизм. D
Поскольку замкнутая группа автоморфизмов прямого
произведения инвариантных компонент распадается в прямое
произведение индуцированных групп, мы сосредоточим дальнейшее
внимание на однородных идемпотентах и кольцах сечений над
ими определяемыми областями.
5.5.5. Предложение. Пусть е — однородный идемпотент.
Тогда найдутся автоморфизмы д\ — 1,<72,··· ,Эк £ G
такие, что кольцо глобальных сечений RE представимо в виде
прямой суммы
eRE®e93RE®...®e9kRE®(l-e)RE, (5.5.1)
к
где Έ — ^ е9' — sup{e5,<7 G G}. Если компоненты e9iQ
«=ι
и e9>Q отождествить при помощи изоморфизмов g~ gj, то
справедливы включения
G С (Я f X Sk) xG'CG, (5.5.2)
где G — замыкание группы G, Н\ — проекция
стабилизатора Я — {g G G,e9 — e} на eQ, доопределенная
тождественно на (1 — e)Q, Sk — группа подстановок, переставляющая
местами компоненты e^Q, G' — группа, действующая
тождественно на eQ.
234
5. Полупервичные кольца
Доказательство. Так как е —однородный идемпотент,
подгруппа Ge имеет конечный индекс в G, при этом Η — {д е
G,e3 — е} D Ge, т. е. стабилизатор Η идемпотента е имеет
к
конечный индекс в G. Пусть G — U Яд; — разложение груп-
» = 1
пы G в объединение смежных классов. Тогда {е3 \ д G G} —
{е5,,1 ^ г ^ к}. Кроме того, ё = supje5} = Σε9' — не~
g€G i
подвижный идемпотент, так как в силу однородности идемпо-
тенты е3' попарно ортогональны. Теперь разложение единицы
1 = е + е32 + ... + е3к + (1 — Έ) дает разложение (5.5.1).
С каждым автоморфизмом h G Η свяжем автоморфизм hi,
действие которого на eQ совпадает с действием h, а на
остальных слагаемых суммы (5.5.1) — тождественное. Тогда h\ G
G ввиду замкнутости G. Теперь группа Н\ всех таких
автоморфизмов естественно отождествляется с проекцией Η на eQ.
На слагаемые e3'Q действуют сопряженные подгруппы д|" H\gi
и ввиду замкнутости группа G содержит прямое произведение
#ι χ д^1 #152 х ... х д^1 Н\9к- Если мы отождествим
слагаемые e3iQ относительно системы изоморфизмов д,~ gj, то
группы дТ H\gi также отождествятся, и прямое произведение будет
иметь вид Щ. Кроме того, ввиду замкнутости группа G
содержит все трансвекции (1,... ,ί,"1^,... ,gj1gi,-·- , 1), а тем
самым и группу подстановок Sk- Таким образом, G Э Н* X Sk-
Далее, если д G G, то свяжем с д автоморфизм д', действие
которого на (1 — e)Q совпадает с действием д-1, а на eQ
тождественное. Пусть G' — подгруппа всех таких
автоморфизмов. Тогда по определению G' содержится в G. Для каждого г,
1 ^ г ^ к, найдется j, 1 ζ j ζ к, такое, что е3'3 = е3', т. е. д
как-то переставляет слагаемые eQ в разложении (5.5.1). Если
π — соответствующая перестановка компонент, то {дд')к~1
действует инвариантно на все компоненты e3iQ, т. е. (gg')ir~1 G Нк.
Следовательно, д G [Нк X Sk) x G' CG. D
5.5.6. Следствие. Если G — замкнутая и приведение
конечная группа, то кольцо Q допускает разложение Q = Qi ®
Y[Q1" на инвариантные компоненты, которому соответст-
ОС
вует разложение группы G = G\ X ПС'-*"'* ^ ^.)ι причем
G\ — группа внутренних автоморфизмов компоненты Q\, a
кольца Qa первичны.
5.5. Однородные идемпотенты
235
Доказательство. В силу (5.5.2) и теоремы 5.5.4 достаточно
показать, что однородный идемпотент е, для которого Ge £ G
будет минимальным. Пусть дфСекОф/<е. Обозначим
через <7ι автоморфизм, совпадающий с д на fQ и тождественный
на (1 — f)Q, а через дг — автоморфизм, совпадающий с д на
(1 — f)Q и тождественный на fQ. Тогда д — gig2- Однако
5i G Ge-f = Ge = Gf Э <72, и мы приходим к противоречию. D
Это следствие показывает, что замыкание приведенно
конечной группы, как правило, не является приведенно конечной
группой. Если, например, спектр не содержит изолированных точек,
то приведенно конечными и замкнутыми будут только группы
внутренних автоморфизмов.
5.5.7. Теорема. Пусть G — приведенно конечная группа, е —
однородный идемпотент, Η = {g G G,e9 = e}. Тогда
существуют автоморфизмыg\ = 1,Дг, ■ ■ ■ ,9k из группы G такие,
что для любой точки р G U(e) справедливы следующие
утверждения:
(а) орбита р равна {р51, . . . , р5* },
(б) слой Gf(Q) разлагается в прямую сумму попарно
изоморфных слоев канонического пучка
gv{Q) ~ gpn (Q) Θ ... θ SP« (Q), (5.5.3)
(в) если слои канонического пучка в точках орбиты р
отождествить при помощи изоморфизмов, индуцированных
автоморфизмами gi,. . . ,gk, то замыкание группы Gj
будет иметь вид Нк X Sk, где Hv группа, индуцированная
группой Η на слой Qv,
(г) группа Hv приведенно конечная, и ее алгебра равна
проекции алгебры группы G на слой: M(HV) = pp(B(G)),
(д) если G — группа Машке, то Hv также является группой
Машке,
(е) если G — группа И'етер, то Ην — группа Нётер, при этом
(G)v=Hk\Sk = '(GJ.
Доказательство, (а) Пусть gi,... ,gk — автоморфизмы,
существование которых утверждается предложением 5.5.5. Тогда
236
5. Полупервичные кольца
каждая из окрестностей U(e3i) содержит ровно одну точку
орбиты р, что доказывает (а).
(б) Если s — элемент слоя Q-^, определяемый сечением s над
инвариантной окрестностью W точки р, то W будет
окрестностью каждой из точек р5', 1 ^ г ^ к. Следовательно,
«определяет элементы «ι,. . . , Ъ~к слоев Qvs\,. . . ,Qv^k. Покажем, что ото-
бражениее: s —> «ι + . . .+Ик задает изоморфизм (5.5.3).
Отображения s —> s,- являются гомоморфизмами, поэтому ε также
будет гомоморфизмом. Пусть все «,■ равны нулю. Это означает, что
существуют окрестности V\,. . . ,14 точек р, р52,... , р5* такие,
что ограничение s на каждую из них равно нулю. Мы можем счи-
к --ι
тать, что V\ С 17(e). Положим Vo = Л V{ ' . Используя стро-
к к
ение (5.5.2) группы G, получим Wi = U V09 = .U Vf' C U V{.
g£G t=l t=l
Так как W\ — инвариантная окрестность точки р и ограничение
s на эту окрестность равно нулю, s = 0 в слое инвариантного
пучка. Следовательно, е — вложение.
Пусть «ι,. . . , ~ёк — произвольные элементы слоев в точках
орбиты, определяемые сечениями s\,.. . ,Sk над окрестностями
V\, ■ . ■ , 14 точек орбиты. Мы можем считать, что Vi С U(e9i),
т. е. Si G e9iQ. Тогда сечение s = s\ + . .. + Sk над U(e)
определяет элемент s слоя Q-$ такой, что e(s) = «ι φ , .. φ Ъ~к.
(в) Изоморфизмы gi\ eQ —> e9,Q индуцируют изоморфизмы
9i- Gp —> Gv<4- Если мы отождествим слои в точках орбиты
р относительно системы этих изоморфизмов, то группа Sk,
действующая на eQ, будет индуцироваться на слой Qj. Кроме
того, группа Я индуцируется на слой Qv (ввиду отождествления
g~1Hgi индуцируется на слой Qvsit поскольку любая
окрестность точки ρ при действии h G Я переходит в окрестность
точки р). Так как группа Gp- действует транзитивно на
компонентах разложения (5.5.3), в силу леммы 5.4.9 ее замыкание
имеет вид Я* X Sk, где Hq — группа, индуцированная
стабилизатором Я(р) = {д е G | р5 = р}, который ввиду однородности
идемпотента е равен Я.
(г) Покажем, что В(ЯР) = pv(E(G)). Пусть д £ G и
ψ G Фд. Если ψ = ρρ(φ) ф 0, то (лемма 1.9.18) e(ip) fi p,
т. е. р G U(i(g)), где идемпотент i(g) определяется в п. 1.7.8.
Однако д G <-ч(0), и по лемме 5.5.2 автоморфизм д действует
тождественно на всех точках U(i(g)). В частности, р5 = р, т. е.
д G Я ввиду однородности е. Применив к тождеству χ φ = φχ9
гомоморфизм рр, получим χ~φ = Трх9, где Έ— любой элемент
5,5. Однородные идемпотенты
237
слоя, а <7 — автоморфизм из Яр, индуцированный д. Таким
образом, ψ G Фд С И (Яр). Для доказательства обратного
включения рассмотрим кольцо R вместе с действием группы Я
и //-инвариантный пучок Q'. Заметим, что точка р совпадает со
своей орбитой и слой пучка Q' в орбите {р} равен слою Qv (так
как любая окрестность V точки ρ содержит Я -инвариантную
окрестность 17(e) П V). Пусть <px~h = ~χφ для всех χ £ Qp и
некоторого ненулевого φ G Q{Gf)- Можно найти элементы а, Ь
слоя Qp такие, что 0 ф αφ = d e Qp, О ф φζ = ν е Qp.
Тогда получим, что на слое Qv истинен предикат Vx dxhb = αχϋ.
Это строго пучковый предикат для пучка Q', т. е. найдутся
прообразы такие, что dxhb = axv — тождество на Q, причем
e(d), e(6) ф. р. Приведем это тождество к редуцированному
виду d{\ — i(h))xhb + d(p'hx(phb = axb. В силу теоремы 2.2.2
d(\ - i(h)) ® Ь = 0, т. е. e(d)(l - i(h))e(b) = 0. Поэтому
1 — i(h) G р- Следовательно, i(h) $. Кегрр, т. е. рр(у?л) ф 0.
Сопряжение с помощью ρν(ψκ) определяет на слое тот же
автоморфизм h, что и сопряжение с помощью φ. Поэтому φ = ΈψΗ,
где с — элемент обобщенного центроида слоя. По лемме 1.12.6
с е Рр(С). Таким образом, ψ е pp(B(G)).
Покажем, что Яр имеет конечный приведенный порядок. Так
как 18(G) — конечно порожденный модуль над С,
заключаем, что И(ЯР) = pp(HS(G)) конечномерна над полем Cv. Все
автоморфизмы из Ge действуют сопряжениями в кольце eQ и
Ge С Я, так как ρ е U(e). Поэтому индуцированные
автоморфизмы pv(Ge) будут внутренними для слоя: pv(Ge) С (Hv)-int.
Следовательно, |ЯР : (Hp)int\ ^ |Я : Ge| < оо.
(д) Проверим, что И(ЯР) — полупервичная алгебра.
Сначала заметим, что 18(G) является инъективным С-модулем (так
как он конечно порожден). Следовательно, 18(G) — замкнутое
множество в топологии, определяемой идемпотентами. Таким
образом, одноместный предикат Ρ такой, что P(s) = И <->■ s £
18(G), будет строго пучковым (см. 1.11.9). При этом на слое
P(s) = Hf>se Pp(B(G)) = В (Яр).
Если 5В(Яр)« = 0, то на слое истинен пучковый предикат
Vx Р(х) -> sxs = 0
Следовательно, мы найдем идемпотент е\ (fc p и прообраз s G
e!l8(G) такой, что sUS(G)s = 0, поэтому s = 0.
238
5. Полупервичные кольца
(е) Пусть ψ е Ш(Нр) и ψφ' = 1. Переходя к прообразам,
найдем идемпотент е\ (£ ρ и элементы ψ,ψ' G e{48>(G) такие,
что φφ' = φ'φ = еь ρρ(φ) = ψ. Тогда (1 — ех + ψ){\ —
ei + φ') = (1 — ei + φ')(1 — e\ + ψ) = 1, т. е. автоморфизм 6,
где Ь — 1 — е\ + φ, принадлежит Н. Ясно, что рр{Ь) —
автоморфизм из Ην, совпадающий с сопряжением на ψ, т. е. Ην —
N-rpynna. Пусть ν G G. В силу (в) достаточно показать, что
проекция Vp принадлежит замыканию группы Gp, т. е. ее
действие на каждом слагаемом (5.5.3) индуцируется некоторым
автоморфизмом из G. Рассмотрим, например, первое слагаемое.
Для каждого д G G обозначим через Ед множество всех
центральных идемпотентов е ^ е таких, что ν = д (modGe) на eQ.
Пусть е{д) = supi?5. Покажем, что е{д) £ Ед. Обозначим через
Σ множество всех наборов попарно ортогональных идемпотентов
из Ед. Тогда Σ — не пустое ({0} G Σ) индуктивное множество.
По лемме Цорна найдем в Σ максимальный элемент σ = {εα}.
Имеем sup σ = s{g), поскольку иначе е' ■ βιιρσ = 0 для
некоторого ненулевого е' G Ед и набор συ {ε1} строго больше σ. Пусть
tig-1 = ba наеа<5, где6а G 1BS(G). Тогда области [/(εα) попарно
не пересекаются. По определению пучка (см. 1.9.2) существует
сечение &о £ (supa)Q = e(g)Q такое, что Ьеа — Ьа. Так как
18(G) — замкнутый подмодуль, имеем &о £ 18(G). При этом
Ь = &о + (1 — е(у)) — обратимый элемент из 18(G), т. е. бе Ge,
поскольку G — группа Нётер. Мы получаем, что vg~1 = Ь на
£{g)Q- Следовательно, е(д) е i?fl.
η
Пусть G = U Ge<7i- Так как ν локально принадлежит груп-
i = l
пе G, имеем sup{e(<7i)} = е. Это означает, что точка р
принадлежит одной из окрестностей ?7(е(д;)). Поскольку ν = bgi G G
на этой окрестности, ι^- = (bgi)p на первом слагаемом
разложения (5.5.3). D
5.5.8. Следствие. Пусть G — приведение конечная группа
Не'тер и е — однородный идемпотент. Если ν локально
принадлежит G, то для неподвижного идемпотентна Έ
существует разложение в ортогональную конечную сумму Έ =
е\ + . . . + ет так, что на t{Q действие ν совпадает с
действием некоторого д; G G, 1 ^ г ^ т.
Именно это утверждение мы установили, доказывая
утверждение (е) теоремы 5.5.7.
5.5. Однородные идемпотенты
239
5.5.9. Предложение. Для любой приведение конечной
N-группы G любая замкнутая N -подгруппа F группы G является
замыканием некоторой приведение конечной подгруппы Η С
F такой, чтоШ(Н) =B(F).
Доказательство. В силу теоремы 5.5.4 справедливо
разложение Q = Π^α*5· Так как F — замкнутая группа, ему со-
ос
ответствует разложение F = Y[Fa. Если в каждом сомножи-
ОС
теле Fa мы найдем плотную приведений конечную подгруппу
На такую, что Ш(На) = M(Fa), то Η = Υ[Ηα будет искомой.
а
Таким образом, без ограничения общности, можно считать, что
1 = е91 + . . . + е3к для некоторого однородного идемпотента е и
<7i G G. Достаточно найти приведений конечную группу Η С F,
содержащую M(F) = F1Iit такую, что Н-^ = F$ для плотного
множества точек ρ пространства орбит. Действительно, в этом
случае для каждого ν G F найдется h G Η такой, что на слое
£р- будет истинна формула Vx χ" = χΛ. Рассматривая ν κ h как
строго пучковые операции для G-инвариантного пучка (см,
следствие 5.5.8) и применяя метатеорему, получаем, что ν совпадает
с h на некоторой окрестности точки р. Так как р произвольна
из плотного множества, имеем ν G Η. Зафиксируем ненулевой
идемпотент в\ ^ е и покажем, что существуют непустая
окрестность {/(/), / ^ ei, и приведенно конечная группа H{f) С F
такие, что Я(/)р = F^ для всех р е U(f). Выберем точку
р G U(e\) таким образом, чтобы индекс \Fp : {Fj)\nt\ имел
наибольшую возможную величину (в силу теоремы 5.5.7(e) он не
превосходит к\ ■ \G : Ge\). Пусть φ1,. .. ,φη — все
представители смежных классов F^ no (F^)\nt. Зафиксируем прообразы этих
автоморфизмов ψ\,. . . ,φη 6ίΉ рассмотрим их как строго
пучковые операции для G-инвариантного пучка (см. следствие 5.5.8).
На слое выполняются хорновские формулы
3bij4xbij{x4,i)4'i = хЧ>-ЪцЬе(Ъц) = 1,
ЩЧхЬх*'=х^Ь)^Ь = Ъ,
где в первой серии формул г, j пробегают все значения от 1 до п,
а во второй i ф j. По метатеореме эти формулы задают
пучковые предикаты, т. е. по определению 1.11.11 мы найдем
окрестность [/(/) точки р, над которой истинны эти формулы. Так как
F — замкнутая группа, без ограничения общности можно
считать, что φι,. . . ,φ„ вне U(f) действуют тождественно. Пусть
240
5. Полупервичные кольца
H(f) — группа, порожденная ψ\,. .. ,φη и внутренними
автоморфизмами, которые отвечают элементам из'/В(.Р)
(доопределенным на 1 — / тождественным действием). Тогда истинность
вышеуказанных формул показывает, что \H(f) : H(f)\nt\ = η,
т. е. H{f) приведений конечная. По следствию 1.11.18 эти
формулы истинны и на всех слоях Q-^ при q G U(f), т. е. индекс
|#(/)q- : (.Fq-Jintl = " имеет наибольшую возможную величину,
что означает #(/)q- = F^.
Как и в доказательстве теоремы 5.5.4, из плотного множества
неподвижных идемпотентов {/} можно выбрать плотное
семейство {fa} попарно ортогональных идемпотентов. В этом случае
Q = Y[faQ и группа Η = Y[H(fa) будет искомой. D
а а
В заключение этого параграфа рассмотрим группы Машке
для колец конечной первичной размерности. В этом случае
множество Ε центральных идемпотентов Q конечно. Поэтому
топология, ими определяемая, дискретна. По лемме 3.6.6 кольцо Q
разлагается в прямую сумму идеалов, являющихся первичными
кольцами Q = Q\ φ . .. φ Qm, где Qj = Qe*, e* —
минимальные идемпотенты. Окрестность U(ei) содержит единственную
точку pj = (1 — е^)С, и слой G-p(Q) равен Q,, соответственно
Gj(R) = Яе,-.
Каждый из идемпотентов e-t однороден, и кольцо Q предста-
вимо в виде прямой суммы слоев инвариантного пучка
Q = e1Q®ek2Q®...®ekt (5.5.4)
Рассмотрим подробнее эти слои. По теореме 5.5.7 справедливо
разложение, например, первого слагаемого
eiQ = eiQ®ef Q®...®e»-Q,
причем на первичном кольце e\Q действует М-группа Hi, так
что замыкание ограничения G на eQ имеет вид Η" Χ Sn.
Отображения
α —> eia,
(5 5 5)
α-> а + a92 + . . . + α9η, α £ eiQ \ ■ ■ )
задают изоморфизм eiQG ~ Q1 '. Возвращаясь к исходному
кольцу, получаем следующий результат.
5.5.10. Теорема. Пусть кольцо R имеет конечную первичную
размерность, G — произвольная М-группа его автоморфиз-
5.6. Построение главных инвариантных форм
241
мое. Тогда некоторое подкольцо S, содержащее существен-
ный идеал К < R, имеет разложение в прямую сумму
первичных колец S = Si ® . . . ® Sm, на каждом из которых
действует М-группа Hi, причем SG = Sjf1 φ ... φ SH' и
среди слагаемых Skl, . . . , Skt встречаются с точностью до
изоморфизмов все слагаемые Si, . . . ,Sm, а число t равно
инвариантной первичной размерности кольца R.
Доказательство. Пусть / — существенный идеал R такой,
что IE С R. Выберем существенный идеал J, так чтобы J3i С
/ для всех автоморфизмов g; G G, участвующих в построении
изоморфизмов (5.5.5).
Пусть S = Jei + (Jei)si + ... + Jek2 + {Jek,)u + ..., где
идемпотенты ei, е^2,. .. определяются разложением (5.5.4), а
автоморфизмы 52, ■ ■ ■ ,52' ■ ■ ■ производят отождествление слоев в
теореме 5.5.7(b) и тем самым участвуют в определении
изоморфизмов (5.5.5). Таким образом, S С R и отображения (5.5.5)
задают изоморфизм SG ~ (Jti )Hl Θ .. . Θ (Jekl )Ht ■ Остается
проверить, что S содержит существенный идеал. В силу
определения группы А(Д) и равенства А(Д) = A(J) можно найти
существенный идеал К такой, что К С J3' для всех д;. Тогда
S Э Kei + A'ef + ... + Kek2 + Ke9k\ + ...ЭК. D
5.6. ПОСТРОЕНИЕ ГЛАВНЫХ
ИНВАРИАНТНЫХ ФОРМ
В этом параграфе мы зафиксируем обозначение е для
однородного йдемпотента и обозначения для групп автоморфизмов,
идемпотентов и т. д., возникших в предложении 5.5.5. С
помощью метатеоремы мы хотим построить «главные» инвариантные
формы те(х) и те(х) для групп Η kG соответственно. Для этого
достаточно сформулировать наши цели в виде хорновских
формул, истинность которых для первичных колец уже установлена.
Начнем с перечисления строго пучковых и пучковых
предикатов и функций, которые мы будем использовать (не только в
этом параграфе).
5.6.1. С каждым из множеств С, 18(G), Фд мы свяжем
одноместные операции проекции тгс, тгв, trg определенные в лемме 1.11.9.
Эти проекции являются строго пучковыми одноместными
операциями. Они будут использоваться для ликвидации излишних
242
5, Полупервичные кольца
импликаций: например, V6 Ps{b) —l· ip(b) можно заменить на Vx
ψ(π3(χ)).
5.6.2. Одноместная операция носителя е(х), как мы знаем,
является строго пучковой (см. 1.11.10).
5.6.3. Зафиксируем систему представителей h\ = 1, Лг, . . . , hn
смежных классов Η (см. 5.5.5) по подгруппе H\nt внутренних
для eQ автоморфизмов из Н. Эта система конечна,
поскольку Hfnt Э Ge. Эти автоморфизмы можно рассматривать как
одноместные строго пучковые операции для Я-инвариантного и
G-инвариантного пучков. При этом следует отметить, что
ограничение Я-инвариантного пучка на замкнутую область U(e)
ничем не отличается от ограничения на эту область канонического
пучка, так как автоморфизмы из Η не передвигают точек U(e)
и не меняют идемпотентов, меньших е (см. 5.5.1).
5.6.4. Пусть Sk — подгруппа, определяемая формулой (5.5.2).
Подстановки из Sk (как и все автоморфизмы из G) можно
рассматривать как строго пучковые операции для G-инвариантного
пучка. В частности, такими операциями будут трансвекции (1г).
5.6.5. Приступим к построению главных инвариантных форм.
Будем искать форму те в виде суммы
η m
Μχ) = ΣΣ<4ίχιι>ί3- (5·61)
Запишем требуемые свойства формы в виде формул.
η
1. Инвариантность: / ;=± VxVy L· те(х)1гв(у) = тгв(у)те(х)&;
m
&: Te(x)hj = те(х), где для краткости вместо правой ча-
сти (5.6.1), в которой ац и 6,^ заменены на тгв(а^) и тгв(бу)
соответственно, мы записали левую.
2. Невырожденность: Г ;=± Vr3xe(re(rx)) = e(r)e, Г' ;=±
Vr3xe(re(xr)) = е(г)е.
Формула За,-у36,^/&;Г&;Г' выражает все требуемые свойства.
Истинность ее для первичных колец уже установлена (см.
лемму 3.4.3 и замечание 3.4.5). В силу метатеоремы можно считать
5.6. Построение главных инвариантных форм 243
существование требуемой формы те доказанным, если G —
группа Машке.
Форму те можно рассматривать как строго пучковую
операцию для канонического пучка в области U(e); при этом ее
значения тр в точках р G U(e) будут главными инвариантными
формами на слоях Qv.
Используя разложение (5.5.1) и отождествление, можно
записать форму те как сумму копий
те®...®те. (5.6.2)
Или, более точно,
Те = Те + Тр + т** + ... + Т°к . (5.6 .3)
Таким образом, те можно рассматривать как строго пучковую
операцию для G-инвариантного пучка.
В качестве иллюстрации использования этой строго пучковой
операции докажем следующие полезные утверждения.
5.6.6. Лемма. Пусть G — группа Машке автоморфизмов
полупервичного кольца R. Если I — существенный идеал
кольца R, то левый (правый) аннулятор I в R? равен нулю, в
частности, I — существенный идеал кольца RG.
Доказательство. Пусть aIG = 0. Тогда для главной
инвариантной формы те найдется существенный идеал J такой, что
Te(J) С /. Поэтому ате(х) = 0 при χ е J. По следствию 2.3.2
это тождество выполняется и на Q. Проектируя это тождество
на слой Qv, ρ е U(e), получим в первичном кольце Qp тождество
атн(х) = 0. По теореме 2.2.2 оВ(Яр) = 0. Поэтому а = 0. Так
как точка р произвольная, еа = 0. Остается воспользоваться
плотностью множества однородных идемпотентов. D
5.6.7. Теорема. Если полупервичное кольцо R имеет
бесконечную первичную размерность и G — некоторая Μ -группа
его автоморфизмов, то R также имеет бесконечную
первичную размерность.
Доказательство. Пусть R° имеет конечную первичную
размерность. Если е — однородный идемпотент и е\,. .. , еп,. . . —
попарно ортогональные ненулевые идемпотенты, меньшие е, то
инвариантные идемпотенты Έ\, ёг,. . . , еп,.. . также попарно
ортогональны.
Рассмотрим главные инвариантные формы rei,. . . , тег,
Для каждой из них найдем идеал In G Τ такой, что те„(1п) С
244
5, Полупервичные кольца
R. Тогда мы имеем бесконечную прямую сумму идеалов в RP:
Tei(h) + ■ ■ · + Те„(In) + ■ ■ ■ ■ Все идеалы в этой цепочке ненуле1.
вые: если, например, rei (/ι) = 0, то по следствию 2.3.2 получим
равенство rei(Q) = 0, проектируя которое на любой слой Qp-
р G U(e\), приходим к противоречию.
Таким образом, идемпотент ё имеет только конечное число
меньших идемпотентов. Аналогично в Q не существует
бесконечных наборов попарно ортогональных идемпотентов ёа, где еа
однородный, и остается воспользоваться теоремой 5.5.4. D
Приведем свойство невырожденности инвариантных форм в
несколько ином виде.
5.6.8. Предложение. Пусть L — ненулевой односторонний
идеал кольца R. Тогда если Te(L) = 0, то eL = 0.
Доказательство. Пусть L — левый идеал, ν £ L. В
силу следствия 2.3.2 на кольце Rjr будет выполняться тождество
efe(xv) = 0. Формула Г', задающая невырожденность формы
те, показывает, что e(v)e = 0, т. е. ve = 0 и Le = 0. D
В заключение параграфа обсудим вопрос об однозначности
главных инвариантных форм.
5.6.9. Теорема. Главная инвариантная форма те определяет*-
ся однозначно с точностью до замены переменной χ ι = Ьх,
Ь — обратимый элемент из eUS(G).
Доказательство. В силу леммы 3.4.3 и замечания 3.4.5
проекция (те)р будет главной инвариантной формой на слое. По
теореме 3.4,9 эта проекция определяется однозначно с точностью
до подстановки х{ = Ьх. Если те ' — другая инвариантная
форма, то, рассматривая ее как строго пучковую операцию, получим
на слое истинность формулы
36b6Vxri1>(x) = re(6x)&;616 = 66i = lfcffe (6)&fli (6i).
По метатеореме эта формула истинна также на еШ, т. е. те (х) =
те(Ьх). Поэтому Те(х) = те(Ьх). D
5.7. ГРУППЫ ГАЛУА
5.7.1. Теорема. Пусть G есть Μ-группа автоморфизмов
полупервичного кольца R. Тогда централизатор подкольца ин-
5.7. Группы Галуа
245
вариантов Rr в кольце частных Rjr равен алгебре 18(G)
группы G.
Доказательство. Зафиксируем однородный идемпотент е.
Пусть а — элемент, перестановочный с неподвижными
элементами кольца R. Достаточно показать, что pv(a) G Ш(Нр) для всех
точек ρ е U(e), так как тогда пучковый предикат χ = тгв(х)
истинен при χ = ρν(α) на слоях почти во всех точках спектра и
по метатеореме а = тгв(а), т. е. α G 18(G).
Пусть / — существенный идеал кольца R такой, что те(1) С
R. Тогда, учитывая разложение (5.6.3), получаем, что ате(х) —
те(х)а = О для всех χ G /. По следствию 2.3.2 это тождество
справедливо также на Rp. Переходя к слою, находим на нем
тождество ατρ(χ) = τν(χ)α. Так как по построению форма тр
главная, tv(Qv) — квазипромежуточное кольцо, т. е. по
теореме 3.5.1 а е В(Яр). D
5.7.2. Теорема. Автоморфизм h принадлежит замыканию
Галуа Μ Ν -группы G тогда и только тогда, когда h локально
принадлежит G, т. е. A(Ry) = G.
Доказательство. Пусть h £ A(RG). Покажем сначала, что
h действует тождественно на G-неподвижные идемпотенты
(которые могут не лежать в R). Пусть, напротив, fh φ f для
такого идемпотента. Выберем существенный идеал / так, чтобы
// С R. Тогда fIG С RG, поэтому (/ - fh)IG = 0, т. е.
лемма 5.6.6 дает равенство / = fh.
Теперь мы можем рассматривать h как строго пучковую
одноместную операцию для G-инвариантного пучка. Достаточно
показать, что для каждой точки ρ е U(e), где е — однородный
идемпотент, найдется автоморфизм g G G, действие которого на
слое Qv совпадает с действием h на этом слое. Действительно,
тогда формула Vx xh = χ9, истинная на слое, по метатеореме
будет истинна на некоторой инвариантной окрестности точки р,
т. е. h будет локально принадлежать группе G.
Заметим, что идемпотенты Рр-(е5,) в разложение (5.5.3)
являются минимальными центральными идемпотентами слоя.
Поэтому автоморфизм h как-то их переставляет, т. е. мы можем найти
перестановку δ G Sk (см. 5.5.7) такую, что ho действует
инвариантно на все компоненты разложения (5.5.3) слоя Qp. Осталось
показать, что ограничения ho на эти компоненты лежат в Яр.
Имеем Ге(х)л<5 = ге(х) для всех χ из подходящего
существенного идеала /. Это равенство будет выполняться и на R?
(см. 2.3.2). Проектируя его на первую компоненту слоя, получим
246
5. Полупервичные кольца
тождество Тр(х)Л<5 = тр(х) на слое QV{R?). Так как форма тр
главная, rv(Rjr) — квазипромежуточное кольцо. Согласно
теореме 3.5.2 ограничение ho на первую компоненту принадлежит
Hv. Аналогично ограничение ho на другие (отождествленные)
компоненты принадлежат Hv. Таким образом, ho £ Η*.
Следовательно, h е Я* X Sk = Gp·. D
5.8. ПОДКОЛЬЦА ГАЛУА РЕГУЛЯРНЫХ ГРУПП
Пусть G — регулярная группа автоморфизмов
полупервичного кольца R, S — некоторое промежуточное кольцо Я Э S Э
R°. По теореме 5.7.1 централизатор S в кольце Rjr
содержится в алгебре группы 1BS(G). Этот централизатор мы будем
обозначать через Z. Множество Ζ совпадает с пересечением ядер
всех отображений χ —> sx — xs, s G S, поэтому Ζ — замкнутое
множество в топологии, определяемой центральными идемпотен-
тами. Следовательно, мы имеем строго пучковую одноместную
операцию проекции πζ (см. 1.11.9).
Напомним условия на промежуточное кольцо, возникшие при
рассмотрении первичного случая.
БМ Бимодульное условие. Пусть е — идемпотент из 18(G)
такой, что se = ese для любого s G S. Тогда существует
(идемпотент) f £ Ζ такой, что е/ = /, /е = е.
ДО Достаточность обратимых элементов. Кольцо Ζ
порождается своими обратимыми элементами и если для
автоморфизма д G G существует элемент Ь £ 18(G) такой, что
sb = 6s5 для всех s G S, то найдется обратимый в e(b)Q
элемент с таким же свойством.
РП Рациональная полнота. Если А — существенный идеал S
и Аг С S для некоторого г G R, то г G S.
При переходе к полупервичному случаю немного изменилась
формулировка условия ДО.
5.8.1. Теорема. Каждое промежуточное подколъцо Галуа
Μ -подгруппы группы G удовлетворяет условиям БМ, ДО,
РП.
Доказательство. В силу теоремы 5.7.1, централизатор Ζ
кольца инвариантов RH некоторой М-подгруппы Η ^ G со-
5.8. Подкольца Галуа регулярных групп
247
впадает с алгеброй Ш(Н) этой подгруппы (и, в частности,
порождается обратимыми элементами). Теорема вытекает из
следующего, чуть более общего утверждения.
5.8.2. Предложение. Пусть G — М-группа автоморфизмов
полупервичного кольца R. Тогда
(а) если а — идемпотент из R? такой, что sa = asa для всех
s G R°, то ар = ρ, pa = а для некоторого идемпотента
реш(О),
(б) если g G А (Я) и Ь — элемент такой, что sb = bs9 для
всех s то найдется обратимый в e{b)Q элемент с
таким же свойством,
(в) кольцо инвариантов Rr рационально полно в R.
Доказательство, (а) Если е — однородный идемпотент, то
по условию те(х)а = ате(х)а для всех χ из некоторого
существенного идеала кольца R. В силу следствия 2.3.2 это равенство
справедливо для всех χ G Rp. Если ρ £ U(e), то, проектируя
это равенство на слой Qv, получим τν(χ)α = ατν(χ)α. Так как
rv(RE) — квазипромежуточное кольцо слоя, согласно 3.7.6 на
слое истинна формула (напомним, что алгебра группы Hv равна
Pp(HS); см. 5.5.7) 3faf = fkfa = а&тгв(/) = /. Поскольку
однородный идемпотент е и точка р G U(e) выбирались
произвольно, согласно метатеореме указанная формула (с заменой а
на а) истинна на кольце глобальных сечений.
(б) Назовем для краткости элемент ψ почти обратимым,
если он обратим в кольце e(ip)Q. Пусть Τ — множество всех
почти обратимых элементов, для которых выполняется условие
утверждения (б). Легко видеть, что Τ — замкнутое множество.
Поэтому замкнутым будет и множество Е(Т) носителей
элементов из Т. Наша задача — показать, что е(6) е Е{Т). Для этого
достаточно найти плотное семейство {/} идемпотентов, для
которых e(b)f e Е(Т).
Пусть е — произвольный однородный идемпотент. Тогда, как
и в предыдущем пункте, мы найдем тождество те{х)Ь = Ьте{х)3
на кольце Rjr. Если это редуцированное тождество, то по
теореме 2.2.2 получим те(х)Ь = Ьте(х) = 0, т. е. be = 0.
Следовательно, е(6)е G Е(Т). Нередуцированность тождества (при
условии, что те{х) редуцировано) означает, что еФ/,5 φ 0 для
некоторого h G G. Таким образом, мы найдем почти обратимый
248
5. Полупервичные кольца
ненулевой элемент ψ такой, что χ φ = φχ*19 для всех χ G Rjr,
причем / = e(ip) ζ. е. Если взять χ = s G RG, то получим
ψ G Т. Поэтому e(b) ■ f ζ f £ Ε {Τ), τ. e. e(b) ■ f G Ε (Τ), и
остается воспользоваться леммой 5.5.3.
(в) Пусть А — существенный идеал кольца R°. Покажем,
что его правый аннулятор в Q равен нулю. Если Аг = О, то
для любых главной инвариантной формы те и идеала / имеем
Ате{г1) = те{Аг1) = 0. Выбирая / так, чтобы значения те
лежали в R, получим те{г1) = 0. Поэтому те(гх) —
нулевая форма. Однако те — главная инвариантная форма, поэтому
(см. 5.6.8) е(г)е = 0. Следовательно, е(г) = 0.
Если Аг С RG, то А{г — г9) =,0 при всех д G G.
Следовательно, г = г9. Ώ
Приступим к доказательству обратного утверждения.
5.8.3. Теорема. Если G — некоторая Μ Ν -группа, то
промежуточное кольцо, удовлетворяющее условиям БМ, ДО, РП,
является подкольцом Галуа некоторой регулярной подгруппы
регулярной группы G.
Эта теорема будет очевидным образом вытекать из
следующей.
5.8.4. Теорема. Если G — некоторая ΜΝ-группа и S —
промежуточное кольцо, удовлетворяющее условиям БМ и ДО,
то A(S) — регулярная группа и кольцо S содержит идеал W
кольца S = I A(S), аннуляторы которого в Q равны нулю.
Мы начнем с того, что опишем ситуацию, возникающую на
почти всех слоях канонического и инвариантного пучков. По
теореме 5.7.2 и предложению 5.5.9 группа A(S) есть замыкание
некоторой приведений конечной ./V-группы V С A(S) С G,
алгебра которой равна алгебре группы A(S). Так как Ζ
порождается своими обратимыми элементами, имеем M(A(S)) = Ζ и
HS(V) = Ζ. Ясно, что множество идемпотентов, одновременно
однородных для G и для V, плотно (так как ненулевой подыдем-
потент однородного идемпотента однороден). Зафиксируем один
из таких идемпотентов е. Пусть р G U(e). По теореме 5.5.7
проекция (G)p-имеет вид Я*XSk, где Яр — регулярная (т. е. MN-)
группа автоморфизмов слоя Qv. Так как A(S)-^- — замкнутая
подгруппа в (G)p-, согласно 5.4.11 A(S)j = (Fm X Sm) x G".
Сделав (если требуется) перегруппировку, можно считать, что
5.8. Подкольца Галуа регулярных групп
249
Sm действует на первых т компонентах разложения (5.5.3), а
G" действует на них тождественно.
5.8.5. Лемма. Пусть SE — замыкание SEG в топологии,
определяемой G-неподвижными идемпотентами, и пусть
Si = Pp{SEG). Тогда £>ι — квазипромежуточное кольцо слоя
Qy = pp(RE ), удовлетворяющее условиям БМ, ДО, причем
группа A(Si) совпадает с группой A(S)p-.
Доказательство. Если / — существенный идеал кольца R
такой, что те(1) С RG С S, то ввиду непрерывности те
получаем re(IEG) С SEG. Следовательно, те(рр(1Е )) С Si,
т. е. Si квазипромежуточное. Обозначим через π$ строго
пучковую проекцию Ks'.Q -> SEG (для инвариантного пучка). Тогда
условия БМ, ДО запишутся в виде импликаций:
[Vx7rs(x)e = еж5(х)ек.е2 = е&7гв(е) = е]
-+3fef = fbfe = ebf = irz(f),
[Vx 7ts(x)6 = *s(x)h} -> 36', Ъ"Чу ■KS(y)b'
= b'ns(y)hkb'b" = b"b = e(b),
где ττβ, π ζ — строго пучковые проекции (напомним, что Ш, Ζ
замкнуты). Так как χ = ιτζ(χ) тогда и только тогда, когда Vy
itsivjx = I7rs(y)i централизатор Z\ подкольца Si в Q(G-p)
совпадает с областью значений πζ, τ. е. Z\ = pp(Z). Учитывая,
что для любых h, b, e указанные импликации справедливы на
всех кольцах сечений, заключаем (см. предложение 1.11.18), что
они справедливы также на Pp(Q), т. е. Si удовлетворяет
условиям БМ и ДО.
Далее, так как G-$ — регулярная группа, она является
группой Галуа. Поэтому A{S\) С G-$. Пусть g £ G и формула
Vx πς(χ)9 = irs{x) справедлива на слое Qp. Тогда мы найдем
неподвижный идемпотент / ^ р такой, что 7г5(х/)5 = я"5(х/)
для всех χ G REG. Определим χή = xg f + (1 — /)х. Тогда
sh = s для всех s G SEG, т. е. /i £ A(S) и, следовательно,
g = Ъ е A(S)p, т. е. A(Si) С A(S)-^. Обратное включение
очевидно, так как A(SEG) = A(S). Π
250
5, Полупервичные кольца
5.8.6. Лемма. Алгебра группы A(S) полупервична.
Доказательство. Так как по условию Ζ порождается
своими обратимыми элементами, алгебра группы A(S) совпадает
с Z. В силу леммы 3.9.4 формула Vx \iy^z{x)^z{y)^z{x) =s
0 -> πζ(χ) = 0] истинна на слое Qp. Так как эта формула хор-
новская, а точка р произвольная, она истинна также на кольце
глобальных сечений. D
5.8.7. Предложение. В кольце глобальных сечений RE
существуют элементы а, г\,. .. , rk, V\,.. . , Vk u «ι «ц G
SE такие, что е(а) = e и для любых х, у выполняется
равенство
к
TA(s)(yax) = ^2Te(yri)siTe(vix), (5.8.1)
»=ι
где ta<s) — главная инвариантная форма для группы V,
определяемая однородным [для групп G и V) идемпотентом е, и
A(S) = V.
Доказательство. Будем рассматривать формы ta(s) и ^е
как строго пучковые операции для G-инвариантного пучка.
Предикат Ps (Ps(x) = И <->■ χ е SEG) также будет строго
пучковым. Так как утверждение теоремы задается хорновской
формулой Ф^, согласно следствию 1.11.20 достаточно установить ее
истинность на слое Qp.
Заметим, что мы находимся в условиях леммы 3.9.20 — требу-
ется лишь проверить, что проекция Ф^п^ на первую
компоненту разложения Qjравна нулю при любыхg £ Нк, т+1 ^ j ^ к.
Предположим, что это не так. В силу условия ДО найдем
обратимый в Qv элемент Ь такой, что
для всех s G Si = pv(SEG). Рассмотрим автоморфизм
g = (bhj1 χ 1 χ ... χ 1 χ hjb~l χ 1 χ ... χ 1) Χ (lj).
Пусть s = si 0 ... 0 sn eSi. Тогда
Slb = sb = 6вЛ,х...хЛ„>ч(1Л _ j Л,-
1 3
5.8. Подкольца Галуа регулярных групп
251
Следовательно, s\ = s·1, и поэтому s9 = s. Таким образом,
д е A(Si) = A(S)V. Однако д £ (Fm X 5m) x G", так как
j > т, что приводит к противоречию. D
5.8.8. Лемма. Для любого конечного множества s\, . . . ,Sk
элементов из SE существует идеал I G ?{Щ такой, что
SiTe(I) С 5 для всех г, 1 ^ г ^ к.
Достаточно показать, что множество
р = {ν е Q | з/„ е T{R),vTe{iv) с 5}
замкнуто в топологии, определяемой неподвижными
центральными идемпотентами, и содержит SEG.
Пусть ν = sic + . . . + snen, где sj G 5, е,- G -Ε10. Найдем
идеал J G T такой, что t{J С R. Выбрав / G Τ так, чтобы
те(1) С J, получим е;ге(/) С QG Π R = Дс С 5 и,
следовательно, ντζ(Ι) С 5.
Пусть, далее, ν = 1ίπιυα, т. е. vea = vaea, где va G Ρ,
ea G i?G, sup{ea} = 1. Пусть Ia, Ja — идеалы из Т такие, что
VaTeila) С 5, eaJa С R Тогда / = Y^eaIaJa —
существенный идеал кольца R. При этом
vre(I) С ^2vTe(eaIaJa) = ^2veaTe(IaJa)
а а
= ^2vaTe(Ia(eaJa)) С ^2νατΒ(Ια) С 5.
а а
а
5.8.9. Доказательство теоремы 5.8.4. Пусть W — сумма всех
идеалов кольца 5 = 1 ^4(5), содержащихся в 5. Предположим,
что IW = 0. Выберем однородный для групп G, V идемпотент
е ^ е(/). Воспользуемся предложением 5.8.7. В силу леммы 5.8.8
можно найти идеал / G Τ такой, что при у, χ G / правая часть
соотношения (5.8.1) будет лежать в 5. Поэтому Гд(5)(/а/) С W
и, следовательно, /τ,ι(5)(/α/) = 0. Напомним, что по формуле
m
(5.6.3) справедливо разложение гд(5)(х) = Σ Те3(х), и поэтому
ι
Гд(5)(х) = TA(s)(ex)· Форма Ita(s)(x) обращается в нуль на
Ial + (1 - е)1. Уменьшая (если потребуется) /, можно считать,
что последняя сумма лежит в R и, следовательно, образует идеал
из Τ. Таким образом (см. теорему 2.2.2), Ita(s){x) — нулевая
252
5. Полупервичные кольца
форма. Следовательно, 1те(х) — нулевая форма. Переходя к
слою Qp, получим Рр(/) = 0, так как те — главная инвариантная
форма для проекции стабилизатора идемпотента е в группе V.
Учитывая, что р-произвольная точка из U(e), получим е/ = О
и ее(/) = 0. Однако согласно нашему выбору е ^ е(/), что
приводит к противоречию. D
5.9. ТЕОРЕМЫ О СООТВЕТСТВИИ
И О ПРОДОЛЖЕНИИ
Теперь мы суммируем полученные выше результаты в виде
теоремы о соответствии. Мы покажем также, что из этой
теоремы очень легко выводится некоторая форма теоремы о
продолжении.
5.9.1. Теорема [о соответствии]. Пусть G — регулярная группа
автоморфизмов полупервичного кольца R. Тогда
отображения Η —У I (Н), S —l· A(S) задают взаимно однозначное
соответствие между всеми регулярными подгруппами группы G
и всеми промежуточными подкольцами, удовлетворяющими
условиям БМ, РП, ДО.
Доказательство немедленно вытекает из теорем 5.7.2, 5.8.1,
5.8.3 и следствия 5.4.7.
5.9.2. Теорема [о продолжении]. Пусть G — регулярная
группа автоморфизмов полупервичного кольца R и S1, S" —
промежуточные кольца Галуа подгрупп Машке. Если ψ —
изоморфизм между S' и S", тождественный на R , и кольцо
S1 удовлетворяет условию ДО для отображений из ipG, то
φ продолжается до автоморфизма из G.
Рассмотрим кольцо R = R ® R с группой G = G2 X 5г.
Тогда S = {s ® βφ, s G S'} будет промежуточным подкольцом.
Его централизатор в Q(R) = Q(R) θ Q(R) равен прямой
сумме централизаторов колец S' и S". Поэтому S удовлетворяет
условию БМ и первой части ДО. Вторая часто ДО вытекает из
того, что S' удовлетворяет этому условию для отображений <pG.
Условие РП также легко проверить. Если / — существенный
идеал S' и π φ r2 e R, причем [i φ <p(i)](ri φ r2) G S для всех
i G I, το /η С S", ψ{Ι)γ2 С S". Поэтому η G S', r2 G S"
и, в частности, r2 = <p(si) для некоторого si G S'. Поскольку
5.10. Конечность в смысле Ширшова
253
ψ{ΐΓ\) = ψ{ι)Γ2, имеем <p{ir\) = <p(isi), т. е. 1{г\ — s\) = 0.
Поэтому η = s\. Таким образом, г\ φ r2 = si Θ ¥>(si) £ S".
Заметим, что A(S) не содержится в G2. Действительно,
иначе ввиду замкнутости A(S) = Я ι χ Я2. Тогда S = IA(S) =
RHl Θ ДЯз, что невозможно, так как ψ — изоморфизм.
Пусть (д1 χ д2) X (1,2) е A(S). Тогда для любого si e S'
имеем si ©yj(si) = ^(βι^θί?1. Следовательно, дι — искомое
продолжение. D
5.10. КОНЕЧНОСТЬ В СМЫСЛЕ ШИРШОВА
Использование инвариантного пучка при перенесении
результатов теории Галуа с первичных колец на полупервичные
позволило нам обойти некоторые факты об инвариантах М-групп.
Между тем эти факты представляют самостоятельный интерес
и тоже могут быть получены с помощью пучков. В этом
параграфе мы доказываем теорему о конечности в смысле Ширшова
(см. 3.1.9) и описываем строение (R, Дс)-подбимодулей в Rjr.
5.10.1. Теорема. Пусть G — группа Машке автоморфизмов
полупервичного кольца R. Тогда R имеет существенный
идеал, локально конечный в смысле Ширшова над кольцом
инвариантов R .
Доказательство. Назовем для кратности элемент а £ R
конечным, если правый идеал aR содержится в некотором конечно
порожденном Дс-подмодуле кольца R:
η
aR С у OiR -
i=l
Понятно, что множество всех конечных элементов образует
двусторонний идеал Ш кольца R. Наша задача — доказать что его
аннулятор в R равен нулю. Для этого достаточно показать, что
Ше φ О для любого однородного идемпотента е.
Пусть е — однородный идемпотент. Рассмотрим
последовательность хорновских формул
Ф„ ;=; Ξα,ίι,... ,ί„,Γι,... ,гпеаф O&Vx ax
η
= ^ei,-re(r,-x), (5.10.1)
i=l
254
5. Полупервичные кольца
где те — главная инвариантная форма, рассматриваемая каЙ
строго пучковая операция (см. 5.6). По построению ете = те-
В силу предложения 3.7.2 (где V = {1}), на каждом слое Q^
инвариантного пучка при р G U(e) выполняется одна из φορ-ί
мул Фп. По метатеореме 1.11.13 и следствию 1.11.20 на кольце
сечений IRE выполняется одна из формул Фп. Выберем
существенный идеал / так, что ге(г,-/) С R, /ei,- С R, Ια С R.
Тогда Ial С Ш, так как если и, ν G /, то
η
(uav)x = иа(ух) = у^{ие1^те{г^ух).
ί = 1
Имеем еШ Э elal = leal φ 0. D
5.10.2. Теорема. Пусть G — группа Машке автоморфизмов
полупервичного кольца R. Тогда для любого (Я, RG)-nod6uMo-
дуля V в Rjr найдутся идемпотент е G 18(G) и
существенный идеал I в R такие, что It С V = Ve.
Доказательство. Покажем, что правый аннулятор V в
алгебре 18(G) порождается идемпотентом. Запишем это
утверждение в виде хорновской формулы
З//2 = /Ьгв(/) = fk4v*v(v)f = 0
k4d(4wnv(w)nB(d) = 0 ->■ firB(d) = тгв(<*))■
где 7гв и 7τν — строго пучковые проекции на И и VE (см. 1.11.9).
Так как аннуляторы V и VE совпадают, эта формула
действительно задает требуемое утверждение. Если е — однородный
идемпотент и р G U(e), то слой Q-$ имеет конечную первичную
размерность, поэтому алгебра US(G)p- классически полупроста,
т. е. любой ее односторонний идеал порождается идемпотентом.
Остается воспользоваться метатеоремой.
Пусть е = 1 — /, где annjj V = /B(G). Назовем элемент
a G R конечным относительно V, если найдется конечный
набор V\,... , vn e V такой, что
η
aReC^RviR0.
»=ι
Понятно, что множество Ш всех конечных относительно V
элементов образует двусторонний идеал кольца R и остается
показать, что аннулятор этого множества равен нулю.
5.10. Конечность в смысле Ширшова
255
Пусть е — произвольный однородный идемпотент.
Рассмотрим последовательность хорновских формул
Ф„ ;=± За,vi,... ,vn,ri,... ,rn,ti,... ,inVx
η
βε irv(vj) = Vjk,axe = \^εί,·υί?ε(Γ,-χ)&;εα φ 0.
j=1 i=i
Так как етс = τε, в силу предложения 3.7.2 на каждом слое ί/ρ,
р G £^(ε), выполняется одна из формул Фп. По метатеореме и
следствию 1.11.20 на eRE выполняется одна из этих формул.
Покажем, что для любого w G VE существует идеал / G Τ
такой, что Iw G V. Для этого достаточно показать, что
множество {w e Rjr | 3/ е Т, Iw С V} содержит VE и замкнуто.
Если w = Συ,-e,-, гДе υ· £ V', е,- е С, то найдем идеал Ι ζ Τ
такой, что /е,- С Д. В итоге получим Iw С 5Z(/e,-)w,- С V.
Наконец, если w = Нтюа, waIa С V для подходящих /а G Т, то
а€.А
положим / = Σ IaJasa, где J0ef и Jaea С Д. Тогда Ι ζ_Τ
(так как supea = 1) и Iw С ^/а^аеаю С Σ IaJawa С V.
Итак, можно найти идеал / е Τ такой, что IetiVi С V,
Ια С Я, Ге(г,7) С R. Имеем Ial С Ш. Следовательно, еШ Э
/αε/ φ 0. Так как множество однородныхидемпотентов плотно,
Ш — существенный идеал. D
Симметричным образом получаем следующую теорему.
5.10.3. Теорема. Пусть G — М-группа автоморфизмов
полупервичного кольца R. Тогда для любого (Я , К)-подбимодуля
W в R? найдутся идемпотент е G 18(G) и существенный
идеал I в R такие, что el С W = eW.
Теорема 5.10.1 также имеет левый аналог. Мы сформулируем
его в несколько ином виде, учитывая, что коэффициенты те(г{х)
в формуле (5.10.1) линейны справа по χ над R°.
5.10.4. Теорема. Пусть G — группа Машке автоморфизмов
полупервичного кольца R, Ш — множество всех элементов
а кольца R таких, что ха = X^jA" тч(х)6,- при всех χ G R,
где ту: R —> Rr — гомоморфизмы левых R -модулей, 6,- G Д,
Тогда Ш — существенный идеал кольца R.
Теоремы 5.10.2 и 5.10.3 позволяют получить утверждение, в
известном смысле обратное лемме 5.6.6.
256
5. Полупервичные кольца
5.10.5. Следствие. Пусть G — Μ-группа автоморфизмов
полупервичного кольца R, ρ — существенный идеал кольца
инвариантов. Тогда левый идеал Rp (it правый идеал pR)
содержит существенный идеал кольца R.
Доказательство. По теореме 5.10.2 достаточно показать, что
правый (левый) аннулятор ρ в Ш (G) равен нулю. Если ра = 0,
то для любой главной инвариантной формы τ можно найти
существенный идеал I <R такой, что г (αϊ) С R. Имеем ρτ(αΐ) =
τ(ραΐ) = 0, т. е. r(al) = 0. Ввиду невырожденности главных
инвариантных форм (см. 5.6.8) а = 0. D
Источники
Дж. М. Гурсо, Дж.-Л. Паско, Дж. Валетт [34]; Дж. -Л. Па-
ско [106]; В. К. Харченко [134,143]; А. И. Ширшов [153]; А. В.
Яковлев [154].
Глава 6
Применения
Эта заключительная глава носит мозаичный характер и
рассчитана, в основном, на подготовленного читателя. В ней мы
рассмотрим некоторые вопросы, не связанные между собой, но так
или иначе связанные с основной темой — это свободные алгебры,
некоммутативные инварианты, радикалы, кольца Голди, кольца
частных, Нётеровы кольца и т. д. Понятно, что стремиться к
замкнутому изложению такого разнообразного материала в рамках
одной книги (тем более, главы) невозможно. Поэтому мы будем
использовать без доказательств классические теоремы теории
колец, уже вошедшие в монографии — это критерий Кона о свободе
подалгебр, теоремы Голди, лемма о композиции (базис Грёбнера)
и т. д. В последнем параграфе излагается общая концепция
действий алгебр Хопфа, охватывающая как случай автоморфизмов,
так и случай дифференцирований, и рассматриваются некоторые
подходы к изучению косых дифференцирований с этих позиций.
257
258
6. Применения
6.1. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ
Пусть F(X) — свободная ассоциативная (некоммутативная)
алгебра над полем F с множеством образующих X. На F(X)
определим функцию степени ν с целыми положительными
значениями, задавая произвольно значение ν на образующих и
распространяя естественным образом ν сначала на одночлены, а
затем и на всю алгебру. При этом полагаем, что степень
многочлена равна максимуму степеней одночленов, встречающихся в
его несократимой записи. В свободной алгебре выполняется
слабый алгоритм относительно так введенной функции степени [53,
предложение 4.2]. На протяжении этого параграфа зафиксируем
функцию v.
Автоморфизм свободной алгебры называется однородным,
если он переводит однородные элементы в однородные элементы с
сохранением степени. Например, если ν — обычная Х-степень,
т. е. v(xi) = 1, где {ж,} = X, то однородность автоморфизма
g означает, что он действует линейно на образующие, т. е. х? =
Σ°4ΐχί,°4ΐ £F-
6.1.1. Теорема. Пусть G — конечная группа однородных
автоморфизмов свободной алгебры. Тогда отображения S —l·
A(S) = {gEAutF(X) | Vs <E S (β» = s)}, Η ->!(#) = {s <Ξ
F(X) V/ι 6 Η (s = s)} задают взаимно однозначное
соответствие между всеми подгруппами группы G и всеми
промежуточными свободными алгебрами. Подалгебра S p 1(G)
будет расширением Галуа 1(G) тогда и только тогда, когда она
инвариантна относительно G. В этом случае группа A(S)
нормальна в G и группа Галуа расширения 1(G)\S изоморфна
G/A(S).
Достаточно проверить справедливость следующих
утверждений.
(1) Алгебра инвариантов любой конечной группы однородных
автоморфизмов свободна.
(2) Любая конечная группа однородных автоморфизмов
является группой Галуа, т. е. группой всех автоморфизмов
алгебры F(X) над алгеброй инвариантов.
(3) Любая свободная подалгебра, содержащая алгебру
инвариантов конечной группы однородных автоморфизмов, сама
является алгеброй инвариантов некоторой группы.
6.1. Свободные алгебры
259
(4) Любой автоморфизм промежуточной подалгебры,
оставляющий неподвижными элементы алгебры инвариантов
данной конечной группы однородных автоморфизмов,
продолжается до автоморфизма алгебры F(X).
Мы покажем, что утверждение (1) справедливо для любой
(не обязательно конечной) группы однородных автоморфизмов,
а утверждения (2)-(4) — для конечной группы любых (не
обязательно однородных) автоморфизмов. При этом любое вложение
промежуточной подалгебры в F(X), оставляющее
неподвижными элементы алгебры инвариантов конечной группы,
продолжается до автоморфизма алгебры F(X).
6.1.2. Предложение. Алгебра инвариантов любой группы
однородных автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры
свободна.
Доказательство. В силу критерия Кона о свободе
подалгебры свободной алгебры [53, предложение 7.2] достаточно
показать, что в подалгебре 1(G) выполняется слабый алгоритм
относительно функции степени υ. Пусть αϊ, аг ап — и-зависимое
справа множество ненулевых элементов из 1(G), ν{α,\) ζ. 11(02) ^
. .. ^ ν{αη). Так как элементы а\,... ,ап υ-зависимы в алгебре
1(G), они будут также υ-зависимы в F(X). Выберем наименьшее
число к так, что αι,02 ак υ-зависимы в F(X). Поскольку
в свободной алгебре выполняется слабый алгоритм, один из
элементов (в силу минимальности к это будет ак) υ-зависим справа
от предыдущих элементов в F(X), т. е.
v(ak-^aibi) <v(ak)- (6.1.1)
В формуле (6.1.1) можно удалить слагаемые, стоящие под знаком
суммы, степень которых строго меньше v{ak). Таким образом,
можно считать, что либо υ(α<6,·) = υ(α<) + υ(6,) = v(ak),
либо bi = 0. Кроме того, неравенство (6.1.1) не нарушится, если
каждое bi заменить его старшей однородной компонентой, т. е.
можно предполагать, что 6< — однородные элементы. Пусть g —
произвольный автоморфизм из группы G. Так как g однороден,
имеем
v(ak - ^Oj&iJ = v([ak -^α;&,]5) = v(ak - ^a;&?J.
i<k i<k i<k
260
6. Применения
Учитывая, что степень разности двух элементов не превосходит
максимума степеней этих элементов, получаем
i<k i<k i<k
< v(cik) = max{»(oj) + v(bi)}. (6.1.2)
Если 6,· — 6f φ О для некоторого г, то υ(6,· — 6f) = v(bi) в
силу однородности элементов Ь{, 6?. Поэтому соотношение (6.1.2)
означает правую υ-зависимость множеств αϊ о,к-\, что
противоречит выбору числа к. Таким образом, 6j £ 1(G), и
соотношения (6.1.1) показывают, что а^ будет υ-зависимым справа от
αϊ, 02 а,к-\ в алгебре 1(G). D
6.1.3. Лемма. Пусть в кольце R выполняется двучленный
слабый алгоритм. Если R не является кольцом косых
многочленов, то Q(R) = R, где Q(R) — двустороннее мартин-
дейловское кольцо частных.
Доказательство. Заметим, что в Q(R) нет делителей нуля.
Если ψφ = О, ψ φ О, φ φ О, то для некоторых p,q 6 R имеем
О φ ρψ £ R, О φ фц £ R, что противоречит соотношению
(р<р)(Фя) =р(<рФ)я = о.
Предположим, что Q(R) φ R. Среди элементов ψ £ Q{R),
не лежащих в R, выберем такой, что множество Rip Π R имеет
ненулевой элемент ρψ наименьшей возможной степени. Тогда
<pq 6 R для некоторого ненулевого q 6 R Рассмотрим в кольце
R равенство {ptp)q = p{<pq)· Так как в R выполняется
двучленный слабый алгоритм, имеет место один из двух случаев (см. [53,
§ 2.7]):
Случай 1: ρψ = р\ + s, где λ, s £ R, v(s) < v(p) (если
υ(ρψ) ^ υ(ρ)).
Случай 2: ρ = {ρψ)\ + s, где λ,β 6 R, v(s) < ν{ρψ) (если
υ(ρψ) < υ(ρ)).
В случае 1 ρ(ψ — λ) = s, т. е. ν(ρ(ψ — λ)) = u(s) < i>(py?).
Ввиду выбора элемента ψ получаем ψ — λ 6 Л, т. е. р£й,и
мы приходим к противоречию.
В случае 2 р(уА — 1) = — s, т. е., как и выше, у? λ — 1 £ Л.
Это означает, что ψ\ £ Л. Однако равенство ρ(ψ\) = ρ— s дает
u(y?A) = 0. Так как в кольце с двучленным слабым алгоритмом
множество элементов нулевой степени образует тело, ψτ = 1 для
некоторого r£ R. Поскольку в Q(R) нет делителей нуля, имеем
г ψ = 1.
6.1. Свободные алгебры
261
Покажем, что если степень г положительна, то R есть
кольцо косых многочленов. Пусть χ — элемент R наименьшей
положительной степени и 0 φ I — идеал кольца R такой, что
ψΐ С R. Выберем произвольно ненулевой элемент г £ /. Тогда
r(ipxi) = хг. В силу двучленного слабого алгоритма г = χμ + δ,
μ,δ £ R, υ(δ) = О или δ = 0 и ν(δ) = —оо. Если у — другой
элемент наименьшей положительной степени, то г = ι/μ' +δ' или
χμ — υμ' = δ' — δ, причем max{n(x/i), ν(υμ')} > 0 = υ(δ' — δ).
Используя двучленный слабый алгоритм, получаем у = χδ\ +($2,
где ι>(($2) = ^(«Ь) = 0. Так как ν{δχ) = ν{δ) + υ(χ) = ν(χ) для
всех δ 6 Δ = {α | υ(α) = 0}, получаем δχ = xSh + δ". Ясно,
что h — мономорфизм тела Δ, а σ — его /ι-дифференцирование.
Осталось показать, что χ и Δ порождают кольцо R. Для этого
проведем индукцию по степени.
Если s Ε йи v[s) > v(r), то равенство r(ipsi) = si дает
s = τμ" + s', причем v(s') < f(s), υ(μ") = u(s) — v(r) < u(s)
и можно воспользоваться предположением индукции.
Если v(s) ^ v(r), то равенство r(<psi) = si дает г = βμ" +
s' = χμ + δ, где v(s') < n(s). Тогда βμ" — χμ = δ — s'. Ввиду
двучленного слабого алгоритма получаем s = χμ"' + s", причем
ν(μ'") = u(s) — υ(χ) < u(s), v(s") < n(s), т. е. можно снова
воспользоваться предположением индукции.
Так как условие существования τι-членного слабого
алгоритма лево-право симметрично [53], заключаем, что h —
автоморфизм. D
6.1.4. Предложение. Любая конечная группа автоморфизмов
свободной ассоциативной алгебры является группой Галуа.
Доказательство. Алгебра группы содержится в Q(F{X)).
Поэтому в силу леммы 6.1.3 она содержится в F(X). Однако все
обратимые элементы алгебры F(X) исчерпываются элементами
поля F. Поэтому алгебра группы совпадает с F w единственный
внутренний автоморфизм — тождественный — принадлежит
любой группе. Осталось воспользоваться теоремой 3.2.2. D
6.1.5. Предложение. Любая свободная подалгебра свободной
ассоциативной алгебры, содержащая алгебру инвариантов
конечной группы, есть алгебра инвариантов некоторой группы.
Доказательство. Пусть F(Y) — свободная подалгебра, G —
конечная группа автоморфизмов, 1(G) С F(Y) и 1A(F(Y)) =
S. Мы видели в доказательстве предложения 6.1.4, что алгебра
группы G совпадает с F. Поэтому для группы G и кольца F(X)
262
6. Применения
выполняются условия следствия 3.9.18 (как и для любой
конечной группы автоморфизмов кольца без делителей нуля).
Согласно этому следствию кольцо F(Y) содержит ненулевой
двусторонний идеал А алгебры S. Понятно, что А — идеал также в F(Y),
Поэтому Q(F(У)) = Q(A) = Q(S). Так как F(Y) — свободная
алгебра, она является кольцом косых многочленов только, когда
ее ранг равен единице, т. е. \Y\ = 1. В этом случае алгебра
1(G) С F(Y) коммутативна, и поэтому выполняется тождество
с автоморфизмами
(Σ*5)(Σ/) = (Σ/)(Σ4
g€G ggG ggG ggG
Так как группа G не содержит неединичных внутренних
автоморфизмов, это тождество редуцированное. По теореме 2.3.1
находим в F(X) тождество ху = ух. Однако мы предположили,
что F(X) некоммутативна (т. е. \Х\ > 1). Поэтому можно
воспользоваться леммой 6.1.3. Тогда F(Y) = Q(F(Y)) D S, т. е.
F(Y) = S. D
6.1.6. Предложение. Пусть G — конечная группа
автоморфизмов алгебры F(X) и S — некоторая подалгебра,
содержащая 1(G). Тогда любое вложение S в алгебру F(X),
тождественное на 1(G), продолжается до автоморфизма F(X).
Доказательство. Это предложение вытекает из следствия
3.11.4. Нужно лишь заметить, что по лемме 6.1.3 группа A(F(X))
совпадает с группой автоморфизмов F(X). Ώ
Теорема 6.1.1 выводится из доказанных предложений с
помощью стандартных рассуждений. Отметим, что в этой теореме нет
необходимости требовать \Х\ > 1, поскольку теорема остается
справедливой в случае \Х\ — 1.
Перейдем к изучению свободной ассоциативной алгебры над
полем положительной характеристики р.
6.1.7. Дифференцирование μ алгебры F(X) называется
однородным, если оно переводит однородные элементы в однородные
элементы с сохранением степени или в нуль. Например, если
υ — обычная степень, т. е. ν(χ{) = 1, X — {χ,}, то
однородность означает, что μ действует линейно на образующие, т. е.
xi = L·, х3 aiJ ■
6.1.8. Теорема. Пусть L — конечномерная ограниченная
алгебра Ли однородных дифференцирований свободной алгебры
6.1. Свободные алгебры
263
F{X). Тогда отображения Л —> F(X)A. и S —> Ders F(X)
задают взаимно однозначное соответствие между
ограниченными подалгебрами Ли в L и промежуточными свободными
подалгебрами. При этом идеалам L соответствуют
дифференциальные расширения F(X) и наоборот.
Доказательство. По теореме 4.5.2 (о соответствии) и по
теореме 4.6.2 (о продолжении) достаточно показать, что любая
свободная подалгебра рационально замкнута в F(X), множество
констант конечномерной ограниченной алгебры Ли однородных
дифференцирований образует свободную подалгебру и
однородное ненулевое дифференцирование не может быть внутренним
(для Q). Рациональная замкнутость свободных подалгебр
следует из леммы 6.1.3. Из этой же леммы вытекает, что
внутренние для Q(F(X)) дифференцирования будут внутренними
также для F(X). Однако равенство v(x) — v{xf — fx) для χ £ Χ,
f £ F(X) \ F приводит к противоречию. Поэтому L состоит из
внешних дифференцирований. D
Следующее предложение остается справедливым и для
бесконечномерных алгебр Ли над полем произвольной
характеристики.
6.1.9. Предложение. Множество констант любой алгебры
Ли однородных дифференцирований образует свободную
подалгебру.
Доказательство почти дословно совпадает с
доказательством предложения 6.1.2. Нужно лишь заменить слово
«автоморфизм» словом «дифференцирование» и вместо разности 6< — Щ
рассмотреть «производную» Щ. D
6.1.10. Хорошо известно, что любая конечная группа предста-
вима линейными преобразованиями некоторого конечномерного
пространства V. Рассматривая в качестве X произвольный базис
V, получаем, что любая конечная группа реализуется
однородными автоморфизмами свободной алгебры F(X). Поэтому
теорема 6.1.1 показывает, что решетка свободных подалгебр,
содержащих фиксированную свободную подалгебру, может быть ан-
тиизоморфна решетке подгрупп произвольной конечной группы.
Аналогичный вопрос о реализации возникает для произвольной
ограниченной алгебры Ли. Он тем более интересен, что
согласно теореме Р. Бэра ограниченная 5-алгебра Ли
дифференцирований конечного расширения полей К\к порождается над К одним
элементом и не может быть произвольной. Предложение 6.1.11
264
6. Применения
(ниже) показывает, что любая ограниченная дифференциальна,
алгебра Ли над полем С реализуется однородными дифферещ
цированиями некоторого кольца С(Х). При этом если исходна!!
алгебра Ли действует тривиально на С (т. е. является обычно]!
р-алгеброй Ли), то мы получим представление дифференцировав
ниями свободной алгебры.
6.1.11. Предложение. Любая ограниченная дифференциалЩ
ная С -алгебра Ли может быть реализована как алгебра внеги$<
них дифференцирований первичного кольца с обобщенным ценК
троидом С'.
Доказательство. Покажем сначала, что любая ограничена
ная 5-алгебра Ли D вкладывается в свою универсальную обер*
тывающую UD. Пусть Μ — некоторый вполне упорядоченный'
базис пространства D над полем С и {с;} — базис С над
полем констант Р. Рассмотрим свободную ассоциативную алгебру
Fq = Ρ(σμ,Ια), свободно порожденную символами σμ< /α, где
μ G Μ, α G {с,}. Пусть U — фактор-алгебра Fo, определяемая
соотношениями
σμσρ = σρσμ + Σ а,^,/со
где μ > ρ G Μ, \μρ) = Σ а»'/Ас», <*ί 6 Ρ\
где μΜ = Σαϋ*ία, /·«./Α' G Μ, α, G Ρ;
10σμ = σμΙα + Σα<^,,
где с" = Σ °чъ,с· а £ {c»'}, μ£Μ, °ч £ Ρ;
где cic2 = Еа<с»'. ci,c2>c,· G {с,·}, α,· G P.
Введем на множестве символов {σ^,/,,} некоторый полный
порядок так, что σμ > σρ & μ > ρ и σμ < 1а. На множестве
слов от {σμ, /„} определим порядок ^> следующим образом.
Будем говорить, что слово f больше слова g (обозначаем / ^> д),
если слово /л/, полученное из / вычеркиванием всех символов из
{/а}, больше слова дм при стандартной упорядоченности слов.
Если /м = дм, то большим считаем то слово, которое больше
при стандартной упорядоченности (относительно порядка >).
Нетрудно проверить, что множество выписанных
соотношений алгебры Fq замкнуто относительно композиций (см. [24], а
также [25]). Это означает, что образы слов, не содержащих под-
слов вида ο~μσρ (μ > ρ, σ? Ιαο~μι /Cl/C2) образуют базу алгебры
U (базис Грёбнера).
6.1. Свободные алгебры
265
Обозначим через μ, La образы символов σμι /α в £7. Тогда
отображение ξ: Υ^αίμίΟί —ϊ Y^a>iflLCl определяет некоторое
вложение пространства D в U. Понятно, что £(D) порождает U как
ассоциативную Р-алгебру с единицей. Далее, U превращается в
С-модуль при отождествлении Lc с элементом с £ С, так как
{^а,£с,} ~ С. При этом сД = LcJi = /iLc + ^a,/c, =pc+c^,
где ομ = 22,°ЧС\- Таким образом, осталось проверить, что ξ —
гомоморфизм ограниченных колец Ли. Используя тождества
(1.2.1)—(1.2.4) и соотношения в алгебре U, получим
£([/*iCi,Ji2C2]) = ξ{[μι, μ2]οιο2 +/iic2cf2 + μ2οιοξ')
= [Д1,Д2]С1С2 +Д1С2С^2 + р.2С1С%1 = [(11С1,р2С2},
ξ((μι + μ2)Μ) = ξ(μψ + μψ + νν(μι ,μ2))
= μ\ + μρ2 + Wfiufa) = (μι + μ2)Ρ ,
ξ((μο)Μ) = tfrWc? + μΤ(ο)) = μ?<? + μΤ(ο) = (μο)? ,
ρ-1
, Λ ч
где Т(с) = (... ((αμο)μήμεμ .. . )μ с определяется из (1.2.4).
Таким образом, U — универсальная обертывающая и ξ = ξυ —
вложение.
Добавим к множеству порождающих алгебры Fq еще один
символ у, меньший прежних, и к множеству соотношений —
соотношения вида lcy = ylc, с G {с,}. Полученное множество
замкнуто относительно композиций. Следовательно, D не
пересекается с центром U(у), где у — образ у при естественном
гомоморфизме. В частности, D является ограниченной 5-подалгеброй
Ли фактор-алгебры U{y)/Z, гДе Ζ — центр U{y).
Итак, достаточно показать, что фактор-алгебра по центру
DJz любой ограниченной 5-алгебры Ли представима нужным
образом. Пусть С{М) — свободная ассоциативная С-алгебра,
порожденная множеством σμι μ £ Μ. Определим на
порождающих С{М) действие элементов из D по формуле σν =
Υ1σμ,(:ί, гДе [a*, f] = Σμί<^. Теперь формула
дифференцирования {xyY = xtiy\xyti позволяет распространить действие Ό
на R. Легко проверить, что
ρ
266
6. Применения
Поэтому мы получаем гомоморфизм ограниченных 5-алгебр Лц
ψ: D —у Der С (Μ), ядро которого равно Ζ. ЕЗ
6.1.12. В заключение параграфа отметим, что автору неизвесгс
но, можно ли освободиться в теоремах 6.1.1, 6.1.8 от условий
однородности. Мы видели, что для этого нужно показать, что
алгебра инвариантов конечной группы автоморфизмов свободна
(соответственно, алгебра констант конечномерной ограниченной
алгебры Ли свободна). Эти вопросы рассматривались в
литературе. П. Кон (On the Automorphism Group of the Free Algebra
of Rank 2. Preprint. 1978) показал, что любая конечная группа
автоморфизмов обратимого порядка свободной алгебры ранга 2
сопряжена с некоторой линейной (т. е. действующей линейно на
порождающие) группой. Поэтому ее алгебра инвариантов
свободна. Подход Кона основан на теореме Чернякиевич — Макар-
Лиманова о том, что каждый автоморфизм свободной алгебры
ранга 2 является ручным. Поскольку пока не известны
примеры не ручных автоморфизмов свободных алгебр, наша проблема
не менее интересна и для групп ручных автоморфизмов. Доба-
вим, что пока не известны примеры даже бесконечных групп с
несвободными алгебрами инвариантов.
Для дифференцирований ситуация несколько иная. Дж,
Бергман построил следующий пример дифференцирования с
несвободным ядром. Рассмотрим в свободной алгебре ранга 3
дифференцирование μ, определяемое формулами χμ = хух + х,
у^ = —уху — у, ζμ — —χ. Можно показать, что ядро этого
дифференцирования порождается элементами ρ = xyz + χ + ζ,
q = ух + lt г = xy + I, s = zyx + χ + ζ. Эти элементы связаны
соотношением pq = rs, с помощью которого в силу теории Кона
легко показать, что порожденная ими подалгебра не свободна.
Если основное поле имеет характеристику ρ > 0, то
ограниченная алгебра Ли, порожденная μ, бесконечномерна.
Резюмируя, сформулируем вопросы в явном виде.
6.1.13. Будет ли свободной алгебра инвариантов произвольной
группы автоморфизмов свободной алгебры? Тот же вопрос
интересен и открыт для ручных и конечных групп, а также для
конечных групп обратимого порядка.
6.1.14. Будет ли свободной алгебра констант конечномерной
ограниченной алгебры Ли дифференцирований свободной алгебры
над полем положительной характеристики?
6.2. Некоммутативные инварианты
267
Источники
Г. Бергман [19]; Г. Бергман, П. Кон [20]; Л. А. Бокуть [24, 25];
А. Т. Колотов [52]; П. Кон [53, 54]; Д. Р. Лэйн [73]; Л. Г. Макар-
Лиманов [76]; У Мартиндейл, С. Монтгомери [82]; В, К. Харченко
[135]; А. Чернякиевич [150]; А. И. Ширшов [152].
6.2. НЕКОММУТАТИВНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
В этом параграфе мы изучим вопрос о конечной порожда-
емости алгебр некоммутативных инвариантов линейных групп.
Приводимые здесь теоремы Корюкина показывают, что, как
правило, конечной порождаемости нет и вскрывают причину
такого положения. Причина заключается в том, что на однородных
компонентах действуют симметрические группы. С учетом этого
действия можно получить аналог теоремы Гильберта— Нагаты.
6.2.1. Пусть V — конечномерное пространство над полем F,
dim V > 1 и G — некоторая группа его линейных
преобразований. Обозначим через F(V) тензорную алгебру этого
пространства: F{V) = F+V+V®V+V®V®V+ .. .. Фиксируя
некоторый базис X = {χι х„} можно рассматривать алгебру
F(V) как свободную ассоциативную алгебру F(X). Действие
группы G однозначно распространяется на F{V).
Некоммутативными инвариантами или просто инвариантами называют
неподвижные элементы алгебры F(V). Множество всех
инвариантов F(V)G обозначается InvG.
6.2.2. Опорным пространством подмножества А С F(V)
называется наименьшее по включению подпространство W С V
такое, что А С F(W).
6.2.3. Лемма. Любое подмножество имеет опорное
пространство. Если множество А устойчиво относительно G, т. е.
А9 = A, g 6 G, то его опорное пространство устойчиво
относительно действия G.
Доказательство. Очевидно, что для подпространств U wW
справедливо равенство F(U) Π F(W) = F(U Π W). Поэтому
если А С F{U), А С F{W), то Л С F{U П W). Отсюда
вытекает существование опорного подпространства. Если А9 —
A, g <Ξ G и А С F{W), то А = А9 С F{W9) П F(W) =
268
6, Применения
F(W9 Π W). Следовательно, если W опорное, то Wa Э W.
Ввиду конечномерности пространства W имеем W9 = W. D
6.2.4. Теорема. Алгебра Inv G некоммутативных
инвариантов конечно порождена тогда и только тогда, когда группа
G действует на опорном пространстве W алгебры Inv G как
конечная циклическая группа скалярных преобразований.
Достаточность очевидна: если сужение G на W порождается
преобразованием g: W —> W таким, что w9 = aw, ат = 1, то
алгебра InvG равна F{W®m) и, следовательно, конечно
порождена (здесь т — порядок д, т. е. ак φ 1 при к < т).
Для доказательства необходимости приведем ряд
вспомогательных утверждений.
6.2.5. Напомним, что на n-й тензорной степени пространства
V кроме линейной группы GL(V) действует группа
подстановок S„, которая переставляет местами (одинаковым образом)
сомножители во всех суммах тензоров: (i>i ® V2 ® . ■ . ® νη)π =
^7г(1) ® ^тг(2) ® ■ ■ ■ ® νη(η)- При этом действия GL{V) и Sn
коммутируют. Следовательно, однородная компонента степени
η алгебры Inv G инвариантна относительно действия Sn, т. е.
для каждого инварианта г степени τι мы имеем τι! новых (не
обязательно различных) инвариантов г*, π Ε Sn.
6.2.6. Пусть X = {χχ xn} — некоторый базис пространства
V. Будем называть его элементы буквами. Каждый элемент /
тензорной алгебры однозначно представим в виде линейной
комбинации Y^aww различных слов от X. В случае aw φ 0 будем
W
говорить, что слово w используется в записи /. Если А —
некоторое подмножество тензорной алгебры, то будем говорить, что
буква χ имеет вхождение в А, если χ входит хотя бы в одно
слово, используемое в записи элементов А. Наконец,
последовательность букв у\, у2 Уп> ■ ■ ■ называется согласованной с А,
если хотя бы одно из слов вида у\ уг ■ ■ ■ Уп используется в записи
некоторого элемента / £ А.
6.2.7. Лемма. Если мультипликативное замыкание конечного
непустого множество слов Μ замкнуто относительно
действия симметрических групп, то любая бесконечная
последовательность букв у\,у2 Уп, ■ ■ ■ t имеющих вхождения в
Μ, согласована с Μ.
6,2. Некоммутативные инварианты
269
Доказательство. Пусть т — максимум длин слов из М.
Рассмотрим слово w = W\ ■ .. . ■ wm, где ιυ; — слово из Μ,
имеющее вхождение буквы у{. Переставим буквы в слове w так,
чтобы новое слово имело вид ιυπ = у\у2 ■ ■ ymz· По условию
это слово лежит в мультипликативном замыкании множества М,
т. е. ιυπ = «ι ■ . . . ■ υ„, где щ лежат в М. Так как длина V{
не превосходит т, сравнивая обе записи слова w*, приходим к
выводу v\ = у\ ■ .. . ■ ук £ Μ. D
6.2.8. Лемма. Если алгебра (А), порожденная конечным
множеством А элементов тензорной алгебры, однородна и
замкнута относительно действия симметрических групп, то
любая бесконечная последовательность букв, имеющих
вхождения в А, согласована с А.
Доказательство. Достаточно в качестве Μ взять множество
всех слов, используемых в записи А, и воспользоваться леммой
6.2.7, заметив, что в силу однородности вхождения слова mi в
запись αϊ £ (А) и слова шг в запись аг 6 (А) означает, что
слово mi ^2 входит в запись αϊ02.
6.2.9. Лемма. Пусть g £ GL{V) и поле F алгебраически
замкнуто. Если g — не скалярное преобразование, то найдутся
базис X пространства V и бесконечная последовательность
букв (из X), которая не согласована с lnv(g).
Доказательство. Предположим сначала, что в некотором
базисе X преобразование g задано диагональной матрицей xf =
ctiXi, α,· £ F. Пусть для определенности αϊ φ с*2.
Построим по индукции последовательность букв у\ у\ При
αϊ φ 1 полагаем у\ = х\ и при αϊ = 1 полагаем у\ = хг·
Если у\ yi-i построены и элемент у\ . . .yi-\X\ не
инвариантен относительно д, то полагаем yi = х\. В противном случае
yi = Х2. По построению все слова у\ . . ,ут не инвариантны
относительно д. Однако в рассматриваемом случае алгебра lnv(g)
есть линейная оболочка инвариантных слов. Это означает, что
ни одно из слов у\ .. . ут не используется в записи элементов
/ £ Ιην(<7), τ. е. построенная последовательность не согласована
с Inv(fl).
В общем случае выберем базис X, в котором преобразование
д имеет жорданову форму: х31 = αχ ι + χι и х^ = ахг + хз
либо х\ = ахг, причем подпространство x^F +...-)- xnF
инвариантно относительно д. Рассмотрим произвольный
однородный инвариант / автоморфизма д и представим его в виде / =
270
6. Применения
βχψ + ηχ™ Χ χ2 + /ι, где β, 7 6 F и в запись /ι не входят слова
xf.x^xz. Тогда Ρ =/ЗатхГ + (7ат+/Зат-1)х7!_1Х2+/2,
причем в записи /г не участвуют мономы х™, х™~ хг. Так как
f = f3, имеем /3am = /3 и 7a™ + /3am-1 = 7· Учитывая,
что собственное значение а невырожденного преобразования д
отлично от нуля, получаем /3=0. Это означает, что
последовательность букв χι, χι χι,... не согласована с lnv(g). D
6.2.10. Лемма. Пусть К — расширение поля F и G —
группа линейных преобразований пространства V над F. Алгебра
инвариантов группы G в F(V) конечно порождена тогда и
только тогда, когда конечно порождена над К алгебра
инвариантов группы G в F(V ® К).
6.2.11. Доказательство теоремы 6.2.4. Пусть Inv G конечно
порождена. В силу леммы 6.2.10 можно считать, что поле F
алгебраически замкнуто. Пусть W — опорное пространство алгебры
инвариантов. По лемме 6.2.3 это пространство инвариантно.
Сужая действие G на W, без ограничения общности можно считать,
что V = W. Если g — не скалярный автоморфизм из G, то в
силу леммы 6.2.9 найдутся базис пространства V = W и
последовательность букв из этого базиса, не согласованная с lnv(g).
Однако Inv G С lnv(g), поэтому такая последовательность букв
не согласована также с Inv G. По лемме 6.2.8 алгебра Inv G не
может быть конечно порожденной.
Таким образом, G — группа скалярных преобразований.
Если она бесконечна, то вообще не имеет ненулевых инвариантов и,
следовательно, 0 = W = V, что приводит к противоречию.
Следовательно, G конечна. Так как G вложима в F (каждому
скалярному преобразованию ставится в соответствие его собственное
число), она как конечная подгруппа мультипликативной группы
поля циклическая. D
6.2.12. Следствие. Пусть G — почти специальная группа
матриц (т. е. ядро отображения g —l· det g имеет конечный
индекс в G). Если алгебра Inv G конечно порождена, то G —
конечная циклическая группа скалярных матриц.
Доказательство. Достаточно показать, что опорное
пространство алгебры инвариантов совпадает с V. Рассмотрим
стандартный многочлен S = Σ(—1)πΧπ(ΐ) ■ ■ ■ χπ(η), где
суммирование ведется по всем перестановкам π. Легко видеть, что S3 =
det g · S. Так как det G — конечная подгруппа
мультипликативной группы поля, можно найти число т такое, что (det g)m = 1
6.2. Некоммутативные инварианты
271
для всех д £ G. Поэтому Sm £ Inv G. Пусть W — опорное
пространство элемента Sm. Выберем базис v\ ν к и дополним
его до базиса v\ v„ пространства V. Пусть h — линейное
преобразование υ,· —> χ;. Тогда S(xi xn) = S(v\ vn)h
= det h ■ S{v\ vn). Поэтому Sm{v\ vn) — инвариант,
т. e. Sm(vi vn) £ F{v\ Vk), что при к < η невозможно.
Таким образом, к = η и V = W. Π
6.2.13. Следствие. Алгебра некоммутативных инвариантов
неприводимой группы матриц либо тривиальна, либо не
конечно порождена.
6.2.14. Доказательство теоремы 6.2.4 показывает, что главным
препятствием для конечной порожденности алгебры
инвариантов являются действия симметрических групп на однородные
компоненты. Учитывая, что построение инварианта f* по
инварианту / и подстановке π не представляет никаких
вычислительных затруднений, естественно исследовать алгебру
инвариантов как ассоциативную алгебру, на однородных компонентах
которой действуют симметрические группы. Теперь возникает
вопрос: существует ли конечное число инвариантов таких, что
все остальные инварианты выражаются через них с помощью
операций алгебры и действий симметрических групп на
однородных компонентах? Ответ на этот вопрос для редуктивных
групп положителен (напомним, что линейная группа называется
редуктивной1 если все ее рациональные представления вполне
приводимы).
6.2.15. Подалгебра А С F{V) называется S-подалгеброй, если
она однородна и замкнута относительно действий
симметрических групп на однородных компонентах. Идеал I <А называется
S-идеалом, если он является S-подалгеброй.
6.2.16. Теорема. Алгебра некоммутативных инвариантов ре-
дуктивной группы конечно порождена как S-алгебра.
Схема доказательства этой теоремы такая же, как теоремы
Нагаты — Гильберта. Мы·начнем с аналога теоремы Гильберта
о базисе.
6.2.17. Теорема. Любая строго возрастающая
последовательность S-идеалов в F(V) конечна.
Доказательство этой теоремы базируется на следующей
лемме Хигмана.
272
6. Применения
6.2.18. Лемма [Хигман]. Для любой бесконечной
последовательности слов от конечного алфавита можно выбрать
подпоследовательность, в которой каждое слово может быть
получено из любого последующего слова
подпоследовательности вычеркиванием букв.
Доказательство. Введем на множестве всех слов отношение
частичного порядка: и ^ υ, если и может быть получено из ν
вычеркиванием букв. Назовем множество слов Ρ хигмановъш,
если для любой бесконечной последовательности слов из Ρ
можно выбрать возрастающую подпоследовательность. Наша задача
состоит в том, чтобы показать хигмановость множество всех слов
от X = {х\ хп}. Для слова w положим wL — {ν \ w <£ ν}.
Так как χ/- — множество всех слов, не включающих в свою
запись букву Xi, ввиду индуктивных соображений можно считать,
что все множества х%~ хигмановы. Покажем индукцией по длине
слова w, что все множества wL также хигмановы.
Пусть w = xv, где χ — буква, а» — слово, для которого
множество ν1- хигманово. Произвольное слово и £ wL, не
принадлежащее xL, можно представить в виде axb, где о £ xL,
ig в1, Для этого достаточно выделить первую слева букву х,
встречающуюся в его записи (так как 6 ^ ν влечет axb > xv).
Рассмотрим произвольную последовательность слов из ιυ1
01x61,02x62,03x65,.. αηχ6„
в которой Oj £ xL, bi £ ν1, причем сомножители xb{ могут
отсутствовать. Ввидухигмановостих1- из этой последовательности
можно удалить часть членов так, что в оставшейся бесконечной
последовательности сомножители щ будут возрастать. Из
полученной последовательности, уже в силу хигмановости υχ, можно
удалить часть членов таким образом, что в оставшейся
бесконечной подпоследовательности возрастать будут также правые
сомножители bi. Таким образом, все множества ιυχ
хигмановы. Пусть w\,W2 wn,... — последовательность слов, из
которой нельзя выбрать возрастающую подпоследовательность.
Тогда не все слова юг wn,... лежат в w± , т. е. можно
найти пару ιοί ^ Wk. Аналогично не все слова ιυ^+ι,. .., wn,...
лежат в lujj-, т. е. Wk ^ wm при некотором т > к и т. д. D
6.2.19. Доказательство теоремы 6.2 17. Рассмотрим
бесконечную строго возрастающую последовательность 1\ С /г С ... С
1т С ... ^-идеалов в F(V). Зафиксируем базис X = {χι
хп} пространства V. Из элементов множества Im \ Im-i вы-
6.2, Некоммутативные инварианты
273
берем однородный элемент zm с минимальным старшим словом
wm (от X) в лексикографическом упорядочивании слов. По
лемме Хигмана найдем числа г < j такие, что Wj = у\ ... ут (у^ £
X, 1 ^ к ^ m), Wi = уГ1уГз ...yrt (1 «ζ η < r2 < ... < г, «ζ
т). Обозначим через h слово, полученное из Wj вычеркиванием
букв, стоящих на местах п,.. ., г9. Пусть W{h = yn(i) ■ . ■ Уп(т).
Тогда тг — подстановка, причем Wj — (wih)", где σ = π-1.
Запишем элемент Ζ{ в виде ιυ< + Σ waw, где суммирование ведется
W
по словам w, меньшим ш;р и аи из основного поля. (Без
ограничения общности можно считать, что старший коэффициент равен
единице.) Имеем
(ζφ)σ = {wih)° +Σ{υ)Η)°α„.
Заметим, что слово (υ){Κ)σ старшее в записи (ζ{Κ)".
Действительно, вычеркиванием букв, стоящих на местах г ι,. .., г, в
мономах (wih)" и (why, мы получим одно и то же слово h.
Поэтому первое слева различие между словами (ιυ;/ι)σ и (wh)°
достигается на одном из мест г ι,. . ., г9, где располагаются слова ιυ< и
w соответственно. Так как (ιυ,/ι)" = Wj, старшее слово
элемента Zj — (zih)" меньше Wj. Однако этот элемент принадлежит
Ij \Ij-i, что противоречит выбору zj. D
6.2.20. Пусть h — произвольный элемент F(V), G — редуктив-
ная группа линейных преобразований пространства V, М/, —
пространство, порожденное в F(V) орбитой элемента /г, и Nh —
подпространство, порожденное всеми разностями № — h, где д £
G. Так как автоморфизмы из G не меняют степеней
элементов, пространство М/, конечномерно. Его инвариантное
подпространство Nh имеет коразмерность не более 1, причем на фактор-
пространстве ^hJMh группа G действует тождественно. Кроме
того, представление G —> GL(Mh) будет рациональным, если в
Mh выбрать базис, состоящий из элементов орбиты h.
Таким образом, если Μ/, φ Nh, то в силу редуктивности
можно найти неподвижный элемент h* £ Μ/,, не лежащий в
Nh. В любом случае мы получаем представление
h = h*+h', (6.2.1)
где h* — неподвижный элемент М/,, a h' принадлежит Nh.
6.2.21. Лемма. Пусть А — некоторая S-подалгебра F{V) и
/i /m — ее однородные элементы. Тогда любой элемент
274
6. Применения
ν из S-идеала, порожденного в А элементами /χ,. . ., fm,
допускает представление в виде
* = Σ(ΛΜ% (6·2·2)
м
где hij — однородные элементы А либо элементы поля, а
aj — подходящие подстановки.
Доказательство. Утверждение верно, так как любой
элемент вида ufiV, где и, ν — слова, подстановкой
трансформируется в ffuv. D
6.2.22. Лемма. Пересечение S-идеала, порожденного в F(V)
однородными инвариантами /ι,..., /т редуктивной группы
G, с алгеброй инвариантов Inv G совпадает с S-идеалом,
порожденным этими элементами в Inv G.
Доказательство. S-идеал, порожденный /ι /т в F(V)
обозначим через /, а S-идеал, порожденный f\ /т в Inv G —
через 1\. Включение 1\ С / DlnvG очевидно. Пусть ν Ε
Ι Π Inv G. По лемме 6.2.21 справедливо представление (6.2.2).
Рассмотрим конечное множество {(i,j) \ Лу φ 0}.
Доказательство включения ν Ε 1\, проведем индукцией по числу к
элементов этого множества. При к — 0 доказывать нечего. В
разложении (6.2.2) выделим одно из слагаемых
v=(fh)°+y, (6.2.3)
где у — сумма к — 1 слагаемых вида (fh)", т. е.
У = Е(/^)% (6.2.4)
в
причем В содержит к — 1 элемент. Пусть g £ G. Поскольку
№У)9 - (fh)" = (f(h9 ~ h))°, имеем
0 = «» - ν = (f(h° - h))° + Χ)(Λ(Α» - ha))"'· (6.2.5)
в
Рассмотрим разложение h — h* + h' элемента h по формуле
(6.2.1), где Ы - Y^(h9-h)ag для некоторых ag £F. Домножив
G
равенство (6.2.5) на ag и просуммировав по всем g из G, получим
в
6.2. Некоммутативные инварианты
275
где h\ · — некоторые однородные элементы F(V).
Инвариант v-(fh*)a в силу (6.2.1) и (6.2.3) равен (fh1)" + у.
Расписывая у по формуле (6.2.4) и заменяя (fh1)" по формуле
(6.2.6), получаем равенство
«-(AT = £(№'-W>
к правой части которого можно применить индуктивное
предположение, т. е. υ - (fh*)" G I\. Тогда υ G I\. □
6.2.23. Лемма. Пусть А+ — идеал S-подалгебры А С F(V),
состоящий из всех элементов А с нулевым свободным
членом. Если А+ порождается как S-идеал в А однородными
элементами /ι,. . ., fm, то А порождается как S-подалгебра
(с единицей) этими же элементами.
Доказательство. Применим индукцию по степени
однородного элемента υ G А+. Если ν = Y^(fihij)"', где htj G A,
то степени Ау строго меньше степени υ и выполнима очевидная
индукция. D
6.2.24. Доказательство теоремы 6.2.16. Рассмотрим S-идеал
J в F(V), порожденный множеством (InvG)+ инвариантов без
свободных членов. По теореме 6.2.17 можно найти конечное
множество однородных инвариантов /ι,..., /т, порождающих этот
S-идеал. По лемме 6.2.22 пересечение J Π Ιην G порождается
/ι ι · · ·, /m как S-идеал в Ιην G- Так как это пересечение
равно (InvG)+, по лемме 6.2.23 алгебра инвариантов порождается
множеством /ι,..., /т как S-алгебра. D
6.2.25. Замечание. Как и в теореме Гильберта — Нагата, редук-
тивность группы требуется только для разложения (6.2.1), при
обосновании которого ставилось несколько более слабое условие:
расщепляемость последовательностей гомоморфизмов
конечномерных G-модулей 0 -► N -> Μ -*■ Μ/jy -» 0, где G
действует рационально на Μ и тривиально на Μ j^. Это
условие выполняется, например, для рациональных представлений
групп GL(n, F) и SL(n, F) в GL(V), если F — алгебраически
замкнутое поле характеристики нуль, а также для
рациональных представлений любой полупростой алгебраической группы
Г С GL(n, k) над полем нулевой характеристики.
6.2.26. Проблема описания групп G С GL{V), алгебры
некоммутативных инвариантов которых конечно порождены, была по-
276
6. Применения
ставлена С. Монтгомери на конференции «Нётеровы кольца и
кольца с полиномиальными тождествами» в Дурхамском
университете, 1979, а также в Днестровской тетради (вопрос №2.8.8).
Е. Форманек и У. Дике предложили решение этой проблемы,
отличное от изложенного здесь. В основе их подхода лежит
исследование рядов Гильберта алгебр инвариантов.
Рядом Гильберта градуированной F-алгебры R = F®R\®
R2 Θ ... такой, что размерности компонент dimuj конечны,
называется ряд с целыми коэффициентами
H(R) = l + J2(dimRn)tn.
Этот ряд можно рассматривать как элемент кольца степенных
рядов Z[[t]] и как функцию, считая, что t пробегает множество
действительных или комплексных чисел.
Пусть G С GL(V). Тогда R = InvG — однородная
свободная подалгебра в F(V). В частности, можно найти однородное
подпространство U С InvG такое, что InvG ~ F(U).
Определим вспомогательный ряд
P(U) = J2dim(UnRn)tn.
Из очевидного разложения градуированных пространств
F{U)~F®(U®F(U))
получаем H(F(U)) - 1 + P(U)H(F(U)), т. е. в кольце рядов
выполняется соотношение ff(InvG)-1 = 1 — P(U). В
частности, Inv G конечно порождена тогда и только тогда, когда ее ряд
Гильберта имеет вид v1,^, где / — многочлен. Согласно
теореме 6.2.4 ряд Гильберта, как правило, такого вида не имеет.
Однако вычисление ряда Гильберта в явном виде дает существенную
информацию об алгебре инвариантов (в отличие от самого факта
не конечной порожденности).
Ряды Гильберта для алгебр коммутативных инвариантов
вычислялись еще в прошлом веке. Известна, например, теорема
Молина, опубликованная в 1897 г.: если поле F имеет
нулевую характеристику и группа G конечна, то ряд Гильберта
алгебры F\V\G имеет вид
H{t)=W\^Gdet(I-gty
6.3. Радикальные алгебры
277
Аналогичный результат справедлив для алгебр
некоммутативных инвариантов (см. [3]).
6.2.27. Теорема. Пусть F — поле характеристики нуль, G —
конечная подгруппа в GL(V). Тогда
ff(InvG)= γ^Υ-Ί Ц-г-.
V > \G\^\- tr(5)f
где tr — след линейного преобразования.
В работе Г. Алмквиста, У. Дикса и Е. Форманека [4] эта
формула перенесена на случай компактных групп в GL(V) для поля
F — С комплексных чисел. Авторы назвали этот результат
некоммутативной теоремой Молина — Вейля.
6.2.28. Теорема. Если G — компактная подгруппа β GLn(C),
то
V ' J l-ttig'
G
где άμ — нормализованная мера Хаара на G и \t\ < 1/п.
Источники
Г. Алмквист [3]; Г. Алмквист, У. Дике, Е. Форманек [4]; Г. Вейль
[28]; М. Вольф [30]; У. Дике, Е. Форманек [41]; Днестровская
тетрадь [42]; Ж. Дъедонне, Дж. Кэррол, Д. Мамфорд [44]; А. Т.
Колотое [52]; А. Н. Корюкин [55]; Т. Молин [84], В. К. Харченко [135,
142]; Г. Хигман [146].
Аналогичные вопросы для приведенно свободных алгебр:
Р. Гуаральник [32]; И. В. Львов, В. К. Харченко [72]; С.
Монтгомери [89]; Дж. Фишер, С. Монтгомери [125], В. К. Харченко
[142].
6.3. РАДИКАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ
Направление, которого мы коснемся в остальных
параграфах, возникло благодаря теореме Бергмана — Айзекса (теорема
1.3.6) и связано с тем, что при изучении конечных групп
автоморфизмов произвольных колец важнейшие понятия
классической теории Галуа такие, как конечномерность, сепарабельность,
278
6. Применения
нормальность расширений теряют свое значение, но актуальным
становится вопрос о связях кольца инвариантов RG с основным
кольцом R. Теорема Бергмана — Айзекса показывает, что при
отсутствии в R аддитивного |0|-кручения нильпотентность RG
влечет нильпотентность R. Этот факт открывает перспективы
для положительного решения основного вопроса возникающего
направления о перенесении тех или иных свойств с кольца
инвариантов на основное кольцо и наоборот. Вместе с тем в
исследованиях последних лет сама теорема имеет ограниченное
применение, поскольку становится важным исследование М-групп
охватывающих, с одной стороны, случай произвольной конечной
группы автоморфизмов области (или кольца без нильпотентных
элементов), а с другой стороны, — случай бесконечных групп
настолько, насколько это необходимо при рассмотрении
замыканий Галуа конечных групп. Ключевым моментом в
доказательствах почти всех результатов, изложенных в следующих
параграфах, является использование (в различных вариантах)
локальной конечности по Ширшову некоторого существенного идеала
над кольцом инвариантов (см. 5.10).
При рассмотрении конечных групп иногда наиболее
естественное ограничение (отсутствие в кольце аддитивного |0|-кручения)
удается несколько ослабить (в литературе встречаются такие
ограничения: наличие элемента -у с единичным следом f (7) = 1,
невырожденность формы следа, Rt(R) Э 1 и т. д.) или совсем
отбросить, как например, при изучении областей или колец без
нильпотентных элементов. Мы приводим теоремы при наиболее
естественных на наш взгляд ограничениях: полупервичность
алгебры группы в вопросах, касающихся подклассов
полупервичных колец, и отсутствие аддитивного |0|-кручения или
обратимость порядка группы при рассмотрении вопросов, касающихся
всех колец. Эти ограничения не всегда соответствуют
максимальной общности — иногда несколько более слабые
ограничения оказываются более громоздкими и затушевывают суть дела.
Читатель, заинтересовавшийся соответствующими обобщениями,
без труда найдет их по приведенному списку литературы.
Для каждого свойства колец можно поставить задачу о
перенесении этого свойства с кольца инвариантов на все кольцо и
наоборот. Поэтому перспективным представляется общий
подход к этой проблеме: описать в тех или иных терминах свойства,
для которых поставленная задача имеет положительное
решение. Шагом в этом направлении является рассмотрение
радикальных свойств.
6.3. Радикальные алгебры
279
6.3.1. Радикалом в классе ассоциативных алгебр над полем F
называется отображение р, сопоставляющее каждой алгебре R
ее идеал p(R) и удовлетворяющее следующим условиям:
(1) если φ: А —> В гомоморфизм алгебр, то φ(ρ(Α)) С ρ(φ(Α)),
(2) в любой алгебре R идеал p(R) является наибольшим среди
всех идеалов / таких, что р{1) = I,
(3) для любой алгебры R справедливо p{R/p(R)) — 0.
С любым свойством алгебр можно связать отображение,
сопоставляющее алгебре R наибольший идеал (если он существует),
удовлетворяющий как алгебра этому свойству. Если такое
отображение оказывается радикалом, то свойство называется
радикальным.
Рассмотрим несколько хорошо известных примеров
радикалов и радикальных свойств.
— Радикал Бэра (см. 1.1).
— Локально нильпотентный радикал Левицкого
(определяется свойством локальной нильпотентности).
— Локально конечный радикал (определяется свойством
локальной конечности алгебры).
— Радикал Кёте или верхний ниль-радикал (определяется
свойством нильпотентности всех элементов алгебры).
— Алгебраическое ядро (определяется свойством алгебраич-
ности всех элементов алгебры).
— Радикал Джекобсона— самый известный радикал
(определяется свойством квазирегулярности всех элементов
Vx Зу ху + у + χ — 0).
Все перечисленные радикалы (радикалы Кёте и
алгебраическое ядро при условии, что F — несчетное поле) удовлетворяют
двум дополнительным условиям — они наднильпотентны и
строгие. Напомним соответствующие определения.
6.3.2. Радикал называется наднилъпотентнъш, если каждая
алгебра с нулевым умножением радикальна.
280
6, Применения
6.3.3. Радикал называется строгим, если каждый
односторонний радикальный идеал любой алгебры содержится в
радикале этой алгебры. Радикал называется абсолютно
наследственным, если любая подалгебра радикальной алгебры радикальна.
Все перечисленные выше радикалы (за исключением радикала
Джекобсона) абсолютно наследственны.
6.3.4. Теорема. Пусть ρ — наднилъпотентнъЛ строгий
абсолютно наследственный радикал в классе алгебр над полем
F. Если на алгебре R действует конечная группа G, порядок
которой обратим в F, то p(R ) — p(R)(lR — p(R) ; кроме
этого, из радикальности R следует радикальность R.
Зафиксируем радикал р, удовлетворяющий условиям
теоремы 6.3.4 и докажем предварительно несколько лемм.
6.3.5. Лемма. Если алгебра R радикальна, то радикальна
также и алгебра матриц Rn.
Доказательство. Пусть 1 <С j <С η и ДО) — множество
всех матриц, имеющих ненулевые элементы только в j-u
столбце. Тогда Я"' — левый идеал в Rn. Кроме того, множество
матриц А из RU\ имеющих нуль на месте (j,j), образует
идеал Rv\ причем А2 = 0. В силу наднильпотентности радикала
р, получаем p(RU>) D А. Отображение, сопоставляющее
матрице а из Rv> элемент ац, стоящий на (j, j)-m месте, задает
эпиморфизм ψ: R^) —у R с ядром А, т. е. RU)/A ^ Я.
Следовательно, p(r(-j)/a) = rU)IА, т. е. p{R(j)) = R(jy Так как
ρ — строгий идеал, p(Rn) содержит сумму всех левых идеалов
Λ , 1 ^ j ^ п, которая равна Rn. D
6.3.6. Лемма. Пусть левый R-модуль V порождается η
элементами. Тогда существует эпиморфизм λ некоторой
подалгебры Η алгебры матриц Rn κα алгебру всех эндоморфизмов
модуля V, образы которых содержатся в RV, т. е. R„ D
Η ARom(V,RV) -^O.
Доказательство. Пусть Л* — алгебра, полученная из R
внешним присоединением единицы, если ее нет в Л, и Л* =
R в противном случае. Тогда алгебра матриц Rn естественно
отождествляется с алгеброй
η η
Нотя# (Σ 0 R* ,J2®Ra),
α=1 α=1
6.3. Радикальные алгебры
281
где Я* ~ Я*, Ra ~ Я. Пусть ρ — гомоморфизм свободного
η
R* -модуля Σ ©-R* на V, отображающий Σ га в Σ rava, где
V = Σ Я*иа. В диаграмме
Uom(V,RV)
отображение υ переводит гомоморфизм ξ в суперпозицию ξ ο ρ, а
отображение μ — гомоморфизм β в суперпозицию ρ ο β. Строка
диаграммы точна, так как J2 ®Я* — свободный Я*-модуль, а
столбец точен, поскольку ρ — эпиморфизм модулей.
ПустьЯ = ι>~1(μϊΙοπι(ν, RV)). Тогда существует линейное
отображение λ: Я —у Hom(l/, RV) такое, что Χμ = ν,
определенное по формуле hX = (Λι/)μ_1. Остается заметить, что λ —
гомоморфизм алгебр. Если ξΧ = a w ηΧ = β, τοζορ = ροα
κηορ = ροβ. Поэтому ξοηορ = ξοροβ = ροαοβι т. е.
(ξοη)Χ = αοβ. D
6.3.7. Пусть В — некоторая подалгебра алгебры R. Элемент
a G R называется конечным над В, если Я* α С 5Ζ"=1 Яа,- для
некоторых αϊ,..., а„ G Я, где Я* — алгебра, полученная из
Я присоединением единицы. Понятно, что множество Шд(Я)
всех конечных над В элементов образует двусторонний идеал
алгебры Я.
6.3.8. Лемма. Пусть L — конечно порожденный левый идеал
кольца Я, содержащийся в Шд(В). Тогда существует
эпиморфизм алгебр π: S —l· L, определенный κα некоторой
подалгебре S алгебры матриц Вп ■
Доказательство. По условию L содержится в некотором
кота
нечно порожденном левом Я-подмодуле Σ Вщ модуля Я.
Pacini
смотрим левый Я-подмодуль V в Я*, порожденный элементами
1, «ι,. ..,»„. Заметим, что VL = L + ^В*у{Ь CLC BV.
Это означает, что оператор правого умножения г(/) на любой эле-
282
6. Применения
мент I G L принадлежит Котв(У, BV), и мы имеем
гомоморфизм алгебр г: L —> Котв(У, BV). Ядро этого гомоморфизма
равно нулю, так как V содержит единицу кольца Я*. Остается
воспользоваться леммой 6.3.6. D
6.3.9. Доказательство теоремы 6.3.4. Предположим, что
алгебра инвариантов RG радикальна, но p(R) φ R. В силу
условия (1) из определения радикала (см. 6.3.1) p(R) —
инвариантный идеал, и на фактор-алгебре R/p(R) индуцируется действие
группы G. При этом (R/p(R)) = R /p(R) П RG, так как
инвариантность элемента а определяется условием а = щ Σ ад,
которое сохраняется при гомоморфизмах, согласованных с
действием группы G. Таким образом, рассматривая фактор-алгебру
R/p(R), можно считать, что p(R) = 0. Так как ρ — над-
нильпотентный радикал, R — полупервичное кольцо и по
теореме 5.4.15 группа G является группой Машке. Применим
теорему 5.10.4 о локальной конечности в смысле Ширшова к кольцу
R. Получим, что идеал Шд(Яс) отличен от нуля. По
леммам 6.3.5 и 6.3.8 каждый конечно порожденный левый идеал,
лежащий в U1r(Rg), радикален. Так как ρ — строгий
радикал, p(R) содержит весь идеал U1r(Rg), что приводит к
противоречию. Таким образом, радикальность RG влечет
радикальность R. Включение p(R) Π RG С p(RG) вытекает из
абсолютной наследственности радикала р. Докажем обратное
включение. Для этого рассмотрим правый инвариантный
идеал L = p(RG)R* как алгебру, на которой действует группа
G. Заметим, что {p{RG)R)G = p{RG)RG: если а = £р,т,- и
1
а = k Σ а9, т° а = ΣΧέ Σ ή) 6 p{RG)RG- Это означает,
9 ·' 9
что кольцо инвариантов алгебры L радикально. По
доказанному выше, радикальна также алгебра L. Так как ρ — строгий
радикал, L С p(R). Следовательно, p(RG) С p(R). □
Аналогичный результат имеет место для радикала Джекоб-
сона.
6.3.10. Теорема. Если ма алгебре R действует конечная
группа, порядок которой обратим в F, то J(RG) = J{R) Π RG =
J(R) , где J —радикал Джекобе о на. Если RG квазирегуляр-
ма, то алгебра R также квазирегулярна.
Доказательство. Предположим сначала, что RG —
квазирегулярная алгебра J(RG) = RG. Переходя к фактор-алгебре
6.3. Радикальные алгебры
283
R/ J(R), можно считать, что J(R) = 0, в частности, R —
полупервичная алгебра. Требуется показать, что R = 0.
Пусть R φ 0. В силу леммы 1.3.4 (или леммы 5.6.6) левый
аннулятор RG в R равен нулю. Ввиду симметрии правый ан-
нулятор левого идеала R RG в кольце Q(R) также равен нулю.
По теореме 5.10.2 (или следствию 5.10.5) множество R RG
содержит существенный идеал / кольца R. Используя теорему 5.10.1,
найдем существенный идеал III, локально конечный в смысле
Ширшова над RG. Воспользуемся тем, что радикал Джекобсона
характеризуется как пересечение ядер всех неприводимых
правых Л-модулей. Пусть V — неприводимый правый Л-модуль,
ядро которого не содержит пересечение Ш П /. Тогда VUI φ 0.
Если ν £ V, a £ Ш — элементы такие, что υ α φ 0, то в силу
неприводимости vaR = V. Однако aR С a\RG + ... + anRG/
для подходящих а\,... ,ап £ R. Поэтому правый Лс-модуль V
порождается конечным числом элементов ναι,..., υαη- Как
любой конечно порожденный модуль, V содержит максимальный
Лс-подмодуль W φ V. Фактор-модуль V/w неприводим,
поэтому его ядро содержит радикал J(RG) = RG, т.е. VRG С W.
Тогда приходим к противоречию с VI = V:
V = VI С VRRG С VRG С W.
Итак, квазирегулярность RG влечет квазирегулярность R.
Включение p(RG) Э RGC~\p(R) справедливо, так как
последнее пересечение есть квазирегулярный идеал RG. если а £ RG
и χ £ R, ах + а + χ = 0, то, применяя оператор ^<, получим
a-t(x) + a+ -t(x) = 0,
71 71
т. е. а квазирегулярен также в RG. Так как J — строгий
радикал, мы можем, дословно повторив последний абзац
доказательства теоремы 6.3.4, (см. 6,3.9) получить J(RG) С J(R). D
В заключение отметим, что теорема 6.3.10 в случае М-групп
неверна. Это показал У. Мартиндейл [79], построив пример, в
котором J{RG) φ J(R)G для конечной группы автоморфизмов G
области R, не имеющей аддитивного кручения. Тем не менее
полупростота R эквивалентна полупростоте Лив случае М-групп
(см. теорему 6.5.8).
284
6. Применения
Источники
В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин [10], К. И. Бейдар [14],
К. И. Бейдар, Тэн В. Д. [18], У. Мартиндейл [79], С. Монтгомери
[85], Д. С. Пассман [107], В. К. Харченко [132].
Радикалы Джекобсона и Бэра для (йордановых) колец инвариантов йор-
дановых автоморфизмов рассматривались У. Мартиндейлом и С.
Монтгомери в [81].
6.4. ЕДИНИЦЫ.
КЛАССИЧЕСКИ ПОЛУПРОСТЫЕ КОЛЬЦА
При рассмотрении различных свойств, связанных с
модулями, удобно предполагать, что исходное кольцо содержит
единицу. Иначе ее можно присоединить внешним образом. При этом
могут возникнуть затруднения, если кольцо инвариантов имело
свою собственную единицу. В связи с этим замечанием полезно
обратить внимание на следующий результат,
6.4.1. Лемма. Пусть G — группа Машке автоморфизмов
полупервичного кольца R. Тогда единица кольца инвариантов
будет единицей кольца R.
Доказательство. Если е — единица RG, то (х — xe)RG — 0
при любом χ £ R- Лемма 5.6.6 дает тождество χ = хе.
Аналогично χ = ex. D
6.4.2. Теорема. Рассмотрим Μ -группу G автоморфизмов
полупервичного кольца R. Кольцо инвариантов RG является
полупростым артиновым тогда и только тогда, когда
таковым будет кольцо R.
Напомним одну из многочисленных характеризаций
полупростых артиновых колец — это кольца с единицей, не имеющие
собственных существенных левых идеалов. Напомним также, что
левый идеал называется существенным, если он имеет
ненулевое пересечение с любым ненулевым левым идеалом.
6.4.3. Лемма. Пусть G — приведений конечная группа
автоморфизмов полупервичного кольца R.
6.4. Единицы. Классически полупростые кольца 285
(а) Если А — существенный левый (правый) идеал кольца R,
то для любой инвариантной формы τ найдется
существенный левый (правый) идеал А' С. А такой, что т(А') С А.
(б) Если А — инвариантный левый идеал, то для любой
инвариантной формы τ найдется существенный двусторонний
идеал I такой, что τ(ΙΑ) С А.
Доказательство. Форма τ представима в виде Х^с;^,х3·^,-,
где <7,- £ G, Ci £ С, ψ{ принадлежат каким-то компонентам Ф/,^,
ipi £ M(G). Иначе говоря,
T = Y^a^iX9,h\ (6.4.1)
Если идеал А существенный, но не инвариантный, то положим
Αχ — f] A · 9· . Если А — инвариантный левый идеал, то
полагаем Αι = А. Пусть /ι — идеал из Τ такой, что Οίφίψίΐι С
R. Найдем идеал Ι ζ. Τ такой, что Ih*9i С /j. Тогда для любого
г £ IAi i A'
что доказывает утверждение (б) и включение т(А') С А из (а).
Покажем, что Αι — существенный левый идеал (если А
существенный). Достаточно показать, что пересечение А П А9
существенно для любого g £ G. Пусть ν £ R. Найдем идеал
/ £ Τ такой, что Iv9~l С R. Пусть J9 С /, J £ Т. Тогда
IJv9 —ненулевой левый идеал в R. Поэтому 0 φ IJv9 Г\А
и, следовательно, 0 φ (IJ)9v Π А9 С Ιυ Π А9 С R. Поэтому
((IJ)9v Π Α9) Π Α φ 0. Последнее пересечение содержится в
Rv Π (Α9 Π А) и, следовательно, А9 П Л. Таким образом, Αι
существенный. Наконец, 0 φ I(L Π Αι) С L ΠΙ Αι для любого
ненулевого левого идеала L, и поэтому Л' = Ι Αι —
существенный левый идеал. D
6.4.4. Лемма. Пусть G — Μ-группа автоморфизмов
полупервичного кольца R, А — существенный односторонний
идеал R. Тогда А Г) R — существенный односторонний идеал
кольца RG.
Доказательство. Пусть W — ненулевой левый идеал в RG.
Выберем произвольную главную инвариантную форму те = τ
и по лемме 6.4.3 найдем существенный левый идеал А' С А
такой, что т(А') С А. Если / £ Τ и т(1) С R, 1е С R, то
286
6. Применения
t(IW) = t(I)W С W. Поэтому τ(Α' Π IW) С А П W. Если
последнее пересечение нулевое, то по лемме 5.6.8 0 = е · (А' Г)
IW) = А' Г\ {eI)W, т. е. elW = О и eW = 0. Так как е —
произвольный однородный идемпотент, получаем W = 0, что
приводит к противоречию. D
6.4.5. Доказательство теоремы 6.4.2. Пусть RG —
полупростое артиново кольцо. По лемме 6.4.1 единица кольца RG будет
единицей также кольца R. Если А — существенный левый идеал
кольца R, то по лемме 6.4.4 пересечение А Π R есть
существенный левый идеал, т. е. по условию он содержит единицу и А = R.
Обратное утверждение можно доказывать очень многими
способами ввиду обилия различных характеризаций полупростых
артиновых колец. Мы воспользуемся следующей характеризаци-
ей: если S2 = S и полупервичное кольцо S удовлетворяет
условию минимальности для левых идеалов L таких, что SL — L, то
S полупростое артиново. Итак, пусть R полупростое артиново.
В силу теоремы 5.5.10 достаточно рассмотреть случай простого
артинова кольца R. Пусть т — главная инвариантная форма.
Тогда t(R) —существенный двусторонний идеал
полупервичного кольца RG (см. лемму 3.8.4 и теорему 3.6.1). Используя
вышеуказанную характеризацию, покажем, что S = t(R) —
полупростое артиново кольцо. Если 1\ Э /г D ■ ■ ■ D In D .. - — строго
убывающая цепочка левых идеалов в S таких, что SIn = /„, то
найдется номер к такой, что RIk = Rlk+i- Применив к
последнему равенству оператор г, получим r(R)Ik = r(R)Ik+i, что
приводит к противоречию. По лемме 3.8.3 Rt(R) — R.
Применяя г, получим S2 = S. Таким образом, S полупростое
артиново. Поэтому S содержит единицу, которая будет единицей
также в R , поскольку S — существенный идеал.
Следовательно, S = RG. О
Источники
М. Коэн [56]; М. Коэн, С. Монтгомери [58]; Д. С. Пассман [107];
В. К. Харченко [134].
6.5. ПРИМИТИВНЫЕ КОЛЬЦА
6.5.1. Кольцо называется примитивным [слева), если оно
имеет точный неприводимый левый модуль. Примитивное кольцо
6.5. Примитивные кольца
287
первично, если IJV = I{JV) = IV = V для V и ненулевых
идеалов /, J. Следовательно, IJ φ 0.
Выясним возможность перенесения свойства примитивности
с кольца R на RG и наоборот. Так как первичная размерность
кольца инвариантов равна первичной инвариантной размерности
алгебры группы G (теорема 3.6.7), естественно рассмотреть
группы G с G-простыми алгебрами B(G).
6.5.2. Теорема. Пусть R — примитивное слева кольцо, G —
приведенно конечная группа, алгебра Ш (G) которой G-проста.
Тогда кольцо инвариантов R примитивно слева.
Доказательство. Пусть V — точный неприводимый левый
Л-модуль. Покажем, что он конечно порожден как левый Rg-mo-
дуль. По теореме 5.10.4 найдем ненулевой элемент а 6 R такой,
η
что Ra С Σ RGo.i для подходящих а,- £ R. Если ν — элемент
х' = 1
η
V такой, что αν φ 0, то V - Rav С Σ RG((nv) С V.
i = l
Теперь найдем максимальный левый Лс-модуль W φ V.
Пусть S = {s G RG : sV С W} φ 0. Тогда SR —
ненулевой (RG — Л)-бимодуль. При этом его левый аннулятор в B(G)
является инвариантным идеалом (так как S С RG) и в силу
G-простоты равен нулю. По следствию 3.7.4 найдем
двусторонний ненулевой идеал / С SR и получим V = IV С SRV С
SV С W, что приводит к противоречию. Таким образом, 5=0.
Следовательно, V j\\[ — точный неприводимый Лс-модуль. D
В случае произвольной М-группы имеет место аналогичный
результат.
6.5.3. Кольцо R называется полупримитивным, если оно имеет
точный вполне приводимый левый модуль конечной длины.
Начнем с характеризации полупримитивных колец.
6.5.4. Предложение. Следующие условия эквивалентны:
(a) R — полу примитивное кольцо,
(b) R — подпрямое произведение конечного числа
примитивных колец,
(c) кольцо R имеет существенный двусторонний идеал,
разлагающийся в прямую сумму конечного числа
примитивных колец.
288
6. Применения
Доказательство. (a)=>(b) Пусть V\ + ■ ■ ■+ Vn — точный
левый Л-модуль и Vk, 1 ^ к ^ τι, — его неприводимые подмодули.
Обозначим через Nk ядро модуля Vk, т. е. Nk = {г £ Л \ rVk =
η
0}. Тогда Vk — точный Л/]\^-модуль, причем f| Nk = 0. Это
к = 1
означает, что Л — подпрямое произведение примитивных колец
R/Nk,k= 1,...,п.
(b)=>(c) Пусть Л — подпрямое произведение примитивных
колец Ri,..., Rn и π*: R -l· Rk, 1 ζ к ζη, —
аппроксимирующие эпиморфизмы. Будем считать, что R не аппроксимируется
меньшим числом примитивных колец. Тогда Ik = Π № φ 0,
1фк
где Ni = ker π,-. Так как
hn^IjC (; р| ΛΓ<) Π JVfc = 0,
]фк 1фк
сумма 1\ + ... + /„ = / прямая. Далее, ker 1Гк Π /^ = 0, поэтому
/fc ~ Kk(h) < Rk Следовательно, Ik — примитивные кольца. В
случае υΐ = 0, применяя проекцию 1Тк, получим trk(v) -1Гк(1к) =
0, т. е. iTk{v) = 0 и ν = 0. Таким образом, / — искомый
существенный идеал.
(с)=> (а) Пусть / = Ι\ ©... φ Ιη — разложение
существенного идеала в прямую сумму примитивных колец и Vk — точный
неприводимый модуль кольца Ik, 1 ^ к ^ п. С одной стороны,
Ik Vk является левым Л-модулем, а с другой стороны, Ik Vk — Vk,
т. е. Vk — неприводимые левые Л-модули. Осталось заметить,
что сумма V\ + ... + Vn — точный модуль. Если rlkVk = 0 для
всех к, то в силу точности Vk имеем rlk = 0 и г/ = 0. Поэтому
г = 0. D
6.5.5. Напомним связь между неприводимыми модулями и
левыми идеалами кольца. Левый идеал λ называется
модулярным, если кольцо R имеет левую единицу по модулю λ, τ. е.
элемент i такой, что xi — χ £ λ для всех χ 6 R. Если V —
неприводимый (левый) модуль и 0 φ ν £ V, то Rv = V■
Поэтому определен модульный эпиморфизм ψ: R, —> V,
действующий по формуле г —> rv. Таким образом, V ~ R/\, где
λ = aim υ = {г 6 R \ rv = 0}. Понятно, что λ —
максимальный левый идеал кольца R. Более того, R имеет левую единицу
по модулю λ. Действительно, если ν = iv, то (xi — x)v = 0.
Поэтому xi — χ £ λ. Обратно, если λ — максимальный
модулярный левый идеал, то R/\ = V — неприводимый Л-модуль.
6.5. Примитивные кольца
289
Тот факт, что R/ \ не имеет собственных подмодулей, вытекает
из максимальности λ, а неравенство RV φ О — из модулярности:
если RV = 0, то R2 С λ. Следовательно, χ = (χ — χι) + χι £ λ
для всех χ £ Л, что невозможно.
6.5.6. Теорема. Кольцо инвариантов Μ -группы
автоморфизмов полупервичного кольца полупримитивно тогда и только
тогда, когда полупримитивно исходное кольцо.
Доказательство. Пусть R полупримитивно. В силу
предложения 6.5.4(c) кольцо R имеет конечную первичную
размерность. Кроме того, мы можем воспользоваться теоремой 5.5.10 и
считать, что R — примитивное кольцо. Пусть V — точный
левый неприводимый Л-модуль. Как и в доказательстве теоремы
6.5.2, получаем, что модуль V конечно порожден над RG.
Разложим алгебру группы G в прямую сумму минимальных
инвариантных идеалов Ш (G) = eiB(G) + ...+ enM(G). Пусть
/ — ненулевой идеал кольца R такой, что е,·/, /е; С R.
Рассмотрим в V левые Лс-подмодули Ц = (e,-/)V. Так как IV = V,
имеем V = Vi + ■ ■ ■ + Vn- Покажем, что эта сумма прямая.
Имеем
i>l i>l
Если 0 φ ν\ £ Vi, то ae\v\ = av\ для всех α £ /. Поэтому
Ie\V\ φ 0. Следовательно, V\ Π Σ Vi = 0. Ввиду симметрии
получаем прямое разложение V = V\ -j- ... -j- Vn, что означает,
что все Vi конечно порождены над RG. Выберем в каждом Ц
максимальный подмодуль Wi. Пусть S = {s £ RG : sVi С
Wi для всех г}. Предположим, что e\S φ 0. Аннулятор e\S
в M(G) содержит (1 — e\)M(G) и является инвариантным
собственным идеалом, т. е. этот аннулятор в точности равен (1 —
ei)B(G). По теореме 3.7.3 е\ J С e\SI для некоторого J £ Т.
Теперь имеем V\ = eJV D eJJV = eJ(JV) = eJV = Vi-
Поэтому Vi = eJJV С (eiSI)V = SeJV = SVi С Wu что
приводит к противоречию. Следовательно, е,-5 = 0 для всех г и
5=0. Итак, прямая сумма V\/W\ + ■ ■ ■ + V"/Wn — искомый
вполне приводимый точный модуль.
Для доказательства обратного утверждения, заметим, что в
силу предложения 6.5.4 кольцо инвариантов имеет конечную
первичную размерность. По теореме 5.6.7 кольцо R также имеет
конечную первичную размерность. В силу теоремы 5.5.8 и предло-
290
6. Применения
жения 6.5.4 достаточно рассмотреть случай первичного кольца
R. Мы докажем несколько более сильное утверждение,
показывающее, что для примитивности кольца R достаточно
примитивности одного из первичных слагаемых существенного идеала,
существование которого утверждается леммой 3.6.6(c).
6.5.7. Лемма. Пусть G — Μ-группа автоморфизмов
первичного кольца R. Если R имеет ненулевой идеал, являющийся
примитивным кольцом, то кольцо R примитивно.
Доказательство. Пусть 0 φ Τ < RG и V —
неприводимый точный левый Т-модуль. Тогда V = TV — неприводимый
Лс-модуль. Пусть λ — соответствующий ему максимальный
модулярный левый идеал кольца RG. Заметим, что λ не
содержит существенного идеала кольца RG: если Λ С А, то ATV С
ΑΤυ С Χυ = 0, где ν — элемент V такой, что λ = ann^(n).
Таким образом AT = 0, что невозможно.
Далее, по лемме 3.8.3 левый идеал RRG содержит ненулевой
идеал кольца R. Обозначим его через /. Пусть L0 = RX + X.
Покажем, что Lq Π Rg — X. Если это не так, то в силу
максимальности λ получаем L0 Э RG, откуда Lq D RRg D /. Пусть
τ — главная инвариантная форма и J — ненулевой идеал такой,
что t(J) С R. Тогда τ (Л) С t(JL0) С t(JX) = t{J)X С λ.
Однако это противоречит выбору λ, поскольку т(Л) —
существенный идеал кольца RG (см. лемму 3.8.1). Теперь мы видим,
что множество ЯЛ всех левых идеалов L кольца R,
содержащихся в Л' = RRG + RG и таких, что LC\RG = λ, непусто. Понятно,
что ЯЛ индуктивно по включению, т. е. по лемме Цорна
существует максимальный элемент L 6 ЯЛ.
Покажем, что V = R'/L — точный неприводимый Л-модуль.
Если R' Э L\ ^ L, то L\ C\RG ^ λ. Следовательно L\ D RG, и
поэтому L\ D RRG + RG — R'. Таким образом, V не содержит
собственных подмодулей. Далее, ядро К модуля V является
двусторонним идеалом, который содержится в L, причем λ =
L Π RG D KG и если К ф 0, то KG — существенный идеал
в кольце инвариантов, что противоречит выбору λ. Аналогично
L J) R2, т. е. RV φ 0. D
6.5.8. Теорема. Кольцо инвариантов Μ -группы
автоморфизмов полупервичного кольца полупросто (в смысле радикала
Джекобсона) тогда и только тогда, когда полупросто
исходное кольцо.
6.5. Примитивные кольца
291
Доказательство. Пусть R полу просто. Так как множество
η(β)
Ш элементов w кольца R таких, что Rw С J2 RGa,i,
оврага ι
зует существенный двусторонний идеал кольца R, заключаем,
что U1(1RG —существенный идеал кольца инвариантов (лемма
5.6.6). В частности, если RG не полупросто, то можно найти
неподвижный элемент w £ Ш, аннулирующий все неприводимые
левые модули кольца RG.
Рассмотрим бимодуль RGwR и по лемме 5.10.3 найдем идем-
потент е £ M(G) такой, что RGwR Э el, ew = w, I £ Τ. Так
как Iw φ 0, мы можем найти неприводимый левый Л-модуль V
такой, что IwV φ 0. Поэтому IV = V, wV φ 0 и V = IwV С
Y2RGa,iV С V — конечно порожденный левый Дс-модуль.
Справедливо разложение V = eIV®{\ — e)IV. Поэтому e/V —
ненулевой (если elV = 0, то wV = wIV = ewIV = welV = 0)
конечно порожденный модуль над RG. Если W — его
максимальный подмодуль, то eIV/w неприводим, т. е. W Э welV =
wIV = wV. Следовательно, RGwRV С W или elV С W, что
приводит к противоречию.
Для доказательства обратного утверждения предположим,
что J{RG) = 0. Заметим, что J(R) П RG С J(RG).
Действительно, если а — квазирегулярный в R неподвижный элемент,
то он будет квазирегулярным также в RG: равенства а о χ =
ах + а + х = хоа = 0 обеспечивают равенство а о хя = 0.
Поэтому χ = χ ο (α о хд) = (ι ο β) о Is = хя. Таким
образом, J(R) Π RG = 0. Пусть τ — произвольная главная
инвариантная форма. Как и в лемме 6.4.3, представим ее в виде
т(х) = Y2(bix)g\ (см. (6.4.1)). Пусть Τ, Ι — существенные
идеалы кольца R такие, что Τ С I9' С R для всех г.
Тогда (IJ(R))9, как кольцо изоморфно квазирегулярному
идеалу IJ(R), причем T(IJ(R))9· <\ (IJ(R))9', так как Г^Г1 ς /.
Это означает, что T(IJ(R))9, — квазирегулярный левый идеал
кольца R, т. е. T(IJ(R))9· С J(R).
Пусть 1\ — идеал из Τ такой, что 6,·/ι С / для всех г. Тогда
TT(hJ(R)) С J(R), и поэтому TGr(hJ(R)) С J(R)nRG = 0.
Теперь по лемме 5.6.6 получаем t(I\J(R)) = 0. Поскольку τ
произвольная, согласно предложению 5.6.8 IiJ(R) = 0.
Следовательно, R полу просто. D
292
6. Применения
Источники
К. И. Бейдар [14]; С, Монтгомери, Д. Пассман [9l]; Дж.-Л. Паско
[105].
6.6. ВПОЛНЕ ПРИМИТИВНЫЕ КОЛЬЦА
Мы уже рассматривали вполне примитивные кольца в связи
с теоремой Мартиндейла (см. 1.14 и 1.15). Так как при переходе к
кольцу инвариантов первичная размерность может
увеличиваться, мы должны, как и выше, несколько расширить это понятие.
6.6.1. Кольцо R называется вполне полупримитивным, если
оно является подпрямым произведением конечного числа вполне
примитивных колец.
6.6.2. Предложение. Следующие условия ма кольцо R
эквивалентны:
(a) R — вполне полупримитивное кольцо,
(b) R имеет существенный двусторонний идеал, который
разлагается в прямую сумму конечного числа вполне
примитивных колец,
(c) R имеет наименьший существенный идеал, который
разлагается в прямую сумму конечного числа простых колец,
совпадающих со своими цоколями.
(d) R имеет точный вполне приводимый модуль конечной
длины изоморфный некоторому левому идеалу кольца R.
Доказательство. (а)=>(Ь) Нужно повторить доказательство
импликации (Ь)=>(с) предложения 6.5.4 с заменой слова
«примитивный» словами «вполне примитивный».
(Ь)=>(с) Пусть / = Ι\ © ... © Ιη — разложение
существенного идеала в прямую сумму вполне примитивных колец и Нк —
цоколь Ik, 1 ^ к <; п. Тогда Η = Н\ φ ... φ Ηη — искомый
идеал.
(c)=>(d) Пусть Η = Н\®.. .©#„ —идеал, существование
которого утверждается условием (с). В каждом кольце Нк выберем
примитивный идемпотент вк- Тогда 14 = Нк^к —
неприводимый точный Я^-модуль (лемма 1.14.2). Сумма V = V\ + ...+ Vn
6.6. Вполне примитивные кольца
293
будет левым идеалом в R, так как HVk = 14- Кроме того, левые
идеалы 14 неириводимы и как левые Л-модули. Поэтому V —
вполне приводимый Л-модуль. Если rV = 0, то (rH)V = 0.
Поэтому (rfffc)14 = 0, т. е. гНк = 0 при всех к. Тогда г Η = 0
и г = 0.
(d)=>(a) Пусть V\, - - -, Vn — набор минимальных левых
идеалов, пересечение ядер (левых аннуляторов в R) которых равно
нулю. Пусть N\,..., Νη — соответствующие ядра. Тогда 14
является точным неприводимым Д/л^-модулем. В частности,
Л/iVfc — первичное кольцо, a R — полупервичное как
Подпряги
мое произведение первичных R = S R/Мк-
к=\
Хорошо известно, что не нильпотентный минимальный
односторонний идеал порождается примитивным идемпотентом: если
VkVk φ 0, vk G 14, то 14υ* = 14 и t^k = vk для некоторого
tk £ 14- При этом (е\ — е^)щ = 0, но пересечение левого анну-
лятора Vk с 14 является левым идеалом и, следовательно, равно
нулю, т. е. е2 = е; если / — ненулевой левый идеал в tkR&k,
то 14 = RI- Поэтому ekRek = &кУк = е^Ле^/ С /. Таким
образом, ekRek — тело иец — примитивный идемпотент.
Так как V£ φ 0, имеем Vk Π i\4 = 0. Следовательно,
ek + Nk — искомый примитивный идемпотент в фактор-кольце
R/Nk- Π
6.6.3. Отметим, что возникающий в предложении 6.6.2(c)
наименьший существенный идеал порождается всеми
примитивными идемпотентами кольца R. По этой причине естественно
называть его также цоколем. В случае произвольного кольца R
левым цоколем называется сумма всех минимальных левых
идеалов. Если кольцо не полупервично, то левый цоколь может не
порождаться примитивными идемпотентами (так как могут
появиться минимальные левые идеалы с нулевым умножением) и
может не совпадать с правым цоколем. В случае
полупервичного кольца левый цоколь совпадает с правым и порождается
примитивными идемпотентами.
6.6.4. Теорема. Кольцо инвариантов Μ -группы
автоморфизмов полупервичного кольца вполне полупримитивно тогда и
только тогда, когда вполне полупримитивно исходное кольцо.
Доказательство. Пусть кольцо R вполне полупримитивно.
В силу предложения 6.6.2(c) оно имеет конечную первичную
размерность. Поэтому мы можем воспользоваться теоремой 5.5.10
294
6. Применения
и считать, что R — вполне примитивное кольцо. Пусть Ш —
цоколь кольца Лиг — главная инвариантная форма. Так как
Ш наименьший идеал, имеем т(Щ С Н, причем т(Ш) является
существенным идеалом RG по лемме 3.8.1. Если Ш = е\Ш+ ... +
епШ — разложение алгебры группы в прямую сумму G-простых
компонент, то т(Н)е,- < RG и т{Щ = r(H)ei + ... + т(Н)е„ —
разложение τ (И) в прямую сумму ненулевых первичных
(теорема 3.6.7) колец. Остается показать, что каждый из идеалов
т(Щвк имеет минимальный левый идеал. Предположим, что в
r(H)ei такого идеала выбрать нельзя. Тогда найдется
последовательность элементов si,S2, ·■ ■ ,sm,... из r(H)ei такая, что
т(И)в1 Э t(M)s2 Э ... Э T(M)Sm Э ...
Заметим, что Hr(H) = Ш по лемме 3.8.3. Умножая все члены
цепочки слева на Н, получим цепочку
Ms ι D Ms2 Э ... D Hsm D ... ,
в которой не могут быть все включения строгими, так как si £
Ш. Следовательно, Hsi — вполне приводимый модуль конечной
длины. В случае Msk = ΙΗΙδ^+ι, применяя г, получим т(Щвк =
r(H)sfc+i, что приводит к противоречию.
Для доказательства обратного утверждения предположим,
что RG вполне полупримитивно. По теореме 5.6.7 кольцо R
имеет конечную первичную размерность. В силу теоремы 5.5.10 и
предложения 6.6.2(b) достаточно рассмотреть случай
первичного кольца R. Пусть е — некоторый примитивный идемпотент
из RG. Тогда eR е — тело, причем группа G индуцируется
на кольцо eRe и (eRe)G С eRGe С (eRe)G, т. е. (eRe)G —
тело. Воспользовавшись теоремой 6.4.2, получим, что eRe —
полупростое артиново кольцо. В частности, в нем можно найти
примитивный идемпотент /. Тогда fRf = feRef — тело и / —
примитивный идемпотент R. Возможность использовать здесь
теорему 6.4.2 основана на следующей лемме. D
6.6.5. Лемма. Пусть G — М-группа автоморфизмов
первичного кольца R и е — некоторый неподвижный идемпотент.
Тогда группа G, индуцированная группой G ма кольцо eRe,
будет Μ -группой, алгебра которой изоморфна eM(G).
Доказательство. Во-первых, eRe — первичное кольцо: ^сли
J,I < eRe, IJ = 0, то IRJ = IeReJ = 0. Во-вторых, G С
А(еДе). Если J С /<? С R, то eJe С (е1е)я С eRe,
причем eJe, ele — ненулевые идеалы в eRe. В-третьих, eUS(G) (и
6.7. Кольца Голди
295
даже eQe) естественно вложено в Q(eRe): если lege С R, то
е/е · eqe С eRe. Далее, если Ь — обратимый элемент M(G) и
Ь — отвечающий ему автоморфизм из G, то eb обратим в еШ и eb
индуцируется 6, т. е. M(G) Э eM(G). Наконец, если ξ £ Фд,
5 6 G, то ехе£ = £ех3е для всех χ £ R. Найдем в eRe
ненулевой идеал А такой, что ξΑ,Αξ С eRe. Пусть и £ А.
Тогда αχ(ξα) = (αξ)χΰα — тождество в R. По теореме 2.2.2
д = Ь — внутренний автоморфизм и α ® ξα = αξ6_1 ® ba, т. е.
можно найти элемент λ в обобщенном центроиде С такой, что
λα = (αξ)6_1. В результате получаем соотношение в кольце
Q(eRe) вида а ■ \е ■ (6_1е) = αξ или Α(ξ - (Ае)(6-1е)) = 0.
Поэтому ξ = XL·'1 ■ е G Ш (G)e. D
Источники
Н. Джекобсон [37], М. Ак [l].
6.7. КОЛЬЦА ГОЛДИ
Условия, которые определяют класс колец Голди, возникли в
знаменитых работах А. Голди, изучавшего порядки на простых и
полупростых артиновых кольцах. Мы не имеем возможности
подробно изложить здесь основы этой теории и ограничимся
основными понятиями и формулировками, требуемых для изложения
фактов.
6.7.1. Левой размерностью Голди GoI-dimV левого модуля V
называется наибольшее число η такое, что V содержит прямую
сумму η ненулевых подмодулей. Эту размерность в литературе
часто называют униформной. Можно показать (это не
очевидно), что если модуль не содержит прямой суммы бесконечного
числа ненулевых подмодулей, то он имеет конечную размерность
Голди.
Кольцо R называется левым кольцом Голди, если в R
выполняется условие максимальности для левых аннуляторных
идеалов и Л не имеет бесконечных прямых сумм ненулевых левых
идеалов (т. е., как отмечено выше, Gol-dimu < оо).
Важнейшее свойство полупервичных левых колец Голди
выражает следующее утверждение.
296
6. Применения
6.7.2. Предложение. Любой левый существенный идеал
полупервичного левого кольца Голди имеет неделитель нуля.
Напомним, что элемент г £ R называется неделителем нуля
(или регулярным элементом), если sr φ О, rs φ О для любого
s £ R, s φ 0.
6.7.3. Пусть R — подкольцо кольца S. Кольцо S называется
классическим левым кольцом частных кольца R, а кольцо R —
левым порядком на S, если
— все неделители нуля кольца R обратимы в кольце S,
— все элементы кольца S имеют вид а_16, где а, Ь £ R и а —
неделитель нуля кольца R.
Не каждое кольцо имеет классическое левое кольцо частных.
Действительно, если а, Ь — элементы Л и 6 — неделитель нуля,
то в кольце частных должно выполняться соотношение а&-1 =
c_1d, где с, d £ R и с — неделитель нуля. Поэтому са = db.
Таким образом, следующее условие необходимо:
Левое условие Оре.
Для любых элементов a,b £ R, где Ь — неделитель нуля,
найдутся элементы с, d, где с — неделитель нуля, такие,
что са = db.
Известно, что это условие также достаточно для
существования классического левого кольца частных (теорема Оре). Более
того, условие Оре гарантирует единственность левого
классического кольца частных, которое обозначается Qci(R).
6.7.4. Теорема [Голди]. Кольцо R является левым порядком в
полупростом артиновом кольце тогда и только тогда, когда
R — полупервичное левое кольцо Голди.
Полупервичные левые кольца Голди имеют несколько
интересных характеризаций. Нам потребуется одна из них.
Кольцо R называется несингулярным (слева), если каждый
существенный левый идеал имеет нулевой правый аннулятор.
6.7.5. Теорема [Джонсон. Полупервичное кольцо R является
левым кольцом Голди тогда и только тогда, когда оно
несингулярно и не содержит бесконечных прямых сумм ненулевых
левых идеалов.
6.7. Кольца Голди
297
Теперь переходим к основной теме.
6.7.6. Лемма Пусть G — М-группа автоморфизмов
полупервичного кольца R. Если R — левое кольцо Голди, то левый
RG-модуль R вложим в конечную прямую сумму копий
регулярного модуля R .
Доказательство. По теореме 5.6.7 кольцо R имеет конечную
первичную размерность. Рассмотрим множество Ш всех
элементов w £ R таких, что для любого χ 6 R имеет место формула
тг(ш)
xw=^t\w\x)U, (6.7.1)
i=l
где г,- — некоторые гомоморфизмы левых Лс-модулей г,·: R —у
RG, a <i — элементы из R, не зависящие от х, но зависящие
от w. Понятно, что Ш — двусторонний идеал кольца R. Если
этот идеал существенный, то по предложению 6.7.2 он содержит
неделитель нуля w, и отображение χ —у Σ®Τ{ (х) будет
вложением R в прямую сумму копий RG: если г,- (ι) = 0, то
xw = Y^Tj'(x)ti = 0 и χ = 0. Таким образом, достаточно
установить, что Ше φ 0 для любого минимального идемпотента
из С. В силу определения 5.5.1 идемпотент е будет
однородным. Пусть Η = {g £ G,eg = е}. Тогда в силу
предложения 5.5.5 и построения главной инвариантной формы (см. 5.6.5)
ете = те, где те — главная инвариантная форма группы Н,
действующей на первичном кольце eR. Применяя
предложение 3.7.5 к множеству W = {1} и группе Н, найдем
представление ха = Σί re(xr,)i,- для некоторых а, г,·, U 6 eR, а φ 0.
Учитывая, что ёте = те и U = ί,-e, г,- = г,е, получаем, что в R верна
формула ха = ^^(хг,)^·, т. е. а £ UI w 0 φ а = ае £ Ше. D
6.7.7. Теорема. Кольцо инвариантов Μ -группы G
автоморфизмов полупервичного кольца R есть левое кольцо Голди
тогда и только тогда, когда R — левое кольцо Голди. Тогда
автоморфизмы с кольца R распространяются ма Qci(R) и
Qd(R)G = Qci(RG).
Доказательство. Левое кольцо Голди имеет конечную
первичную размерность. Поэтому в силу теоремы 5.5.10 и
предложения 5.6.7 можно ограничиться рассмотрением первичного кольца
R (обратим внимание на то, что условия Голди очевидным
образом переносятся на существенные двусторонние идеалы и
наоборот).
298
6. Применения
Пусть R — первичное левое кольцо Голди. Условие
максимальности для аннуляторов сохраняется при переходе к под-
кольцам, поэтому оно выполняется и в RG. Если А, В —
левые идеалы в RG и А Π В = О, то для главной инвариантной
формы τ имеем τ(ΙΑ Π IB) С т(1)А П т(1)В = 0, где
ненулевой идеал / кольца R выбран так, что т{1) С R. По
лемме 3.8.1 ΙΑ Π IB = 0. Это замечание показывает, что если
Αι + Α2 + -. ■ + Ак + · · · — прямая сумма левых идеалов RG, то
1А\ + IA2 + ... + 1Ак + ··■ — прямая сумма левых идеалов в
R. Следовательно, GoI-dimuG < 00, т. е. RG — кольцо Голди.
Пусть RG — левое кольцо Голди. Если модули А, В не имеют
бесконечных прямых сумм ненулевых подмодулей, то их прямая
сумма А -)- В также удовлетворяет этому свойству Если V =
V\ + ... + Vn + · · · — бесконечная прямая сумма в А -\- В,
то мы можем сгруппировать ее в бесконечную прямую сумму
бесконечных прямых сумм:
V = Wi+ ...+ Wm + ..., Wm = Vrnl+...+ Vmn+....
Лишь конечное число из модулей W\,... , Wm имеют ненулевые
пересечения с А. Пусть, например, W\ Π Α = 0. Тогда модуль
Wi вложим в А + В J a ~ В, что невозможно.
Теперь лемма 6.7.6 показывает, что R не имеет бесконечных
прямых сумм ненулевых левых Лс-подмодулей (тем более,
ненулевых левых идеалов).
Проверим, что R несингулярное. Если La = 0, где L —
существенный левый идеал кольца R, то по лемме 6.4.4 пересечение
L Π RG есть существенный левый идеал в RG. Предложение
6.7.2 дает неделитель нуля t £ LG. Тогда tr(al) = r(tal) = 0,
т. е. τ(αΐ) = 0, поэтому (см. лемму 3.8.1) а = 0; здесь 0 φ I<R,
т(1) С R. Теперь характеризация 6.7.5 показывает, что R —
кольцо Голди.
Докажем, что Qci{R)G = Qci{RG) Для этого рассмотрим
множество Τ неделителей нуля кольца RG. Как упоминалось
выше, неделители нуля кольца RG будут также неделителями
нуля кольца R. Поэтому Τ состоит из обратимых элементов
кольца Qd{R) Покажем, что T~1R = Qci(R), т. е. любой
элемент Qci{R) имеет вид <_1г, где t £T,r 6 R. Пусть а —
неделитель нуля из R. Тогда левый идеал Ra будет существенным:
если V Π Ra = 0, то сумма V + Va + Va2 + ... бесконечная
и прямая. По лемме 6.4.4 пересечение Ra Π RG является
существенным идеалом кольца инвариантов, т. е. Ra Π Τ φ 0.
Пусть t = ra eT. Тогда α-1 = i_1r G T~lR. Если а~Ч —
6.7. Кольца Голди
299
произвольный элемент Qci(R), то а-16 = t~1rb £ T~l R.
Распространим действие группы G по формуле (t~lr)9 = i_1rs,
где t Ε Τ, г ζ Ft. Строго говоря, правая часть этого равенства
определена (по г) только на некотором существенном идеале /
кольца R, но / содержит неделитель нуля ίο из Т. Поэтому
T~lI Э T~1toR = T~lR. Кроме того, необходимо проверить
корректность распространения и убедиться в том, что в
результате получается автоморфизм.
Если tj~ ri = t^ Γ2, <ι, <2 6 71, ri, τι £ Л, то в силу условия
Ope можно найти элементы s\ £ RG и s2 £T такие, что si<i =
S2<2 = t- Тогда ifVf — <2~1г2 = '_1*1Г1 — <-1в2»"2 = '_1(slrl —
«2»"2)Э = 0, Так как Sin — S2»"2 = t(t\lrl — t2 r2) — О, ЧТО
обеспечивает корректность. Если if г\ не обязательно равно
*2~ г2, то, сохраняя обозначения, получаем (ij~ ri + t^ r2)3 =
<_1(«1Π + S2r2)9 = i_1(ei»f + в2г|) = <Г1г1 +*2"1г2- КР°Ме
того, если r\t2l = ijlfi3, где (з £ Τ и s3 6 Д, то <зП = вз<2 и
i3rf = в|*2- Поэтому rft^ = <з *з и) следовательно,
(ίΓ^χίί1^)" = (irVeara)" = «Г V^ = «ГМ^Ч.
т. е. д — автоморфизм. Наконец, элемент i_1r будет
неподвижным тогда и только тогда, когда г неподвижен, т. е. Qci{R)G =
T~lRG = Qcl(RG). Π
6.7.8. Замечание. В доказательстве теоремы 6.7.7 мы
установили интересный факт, показывающий, что при вычислении кольца
частных Qd(R) достаточно обращать только неподвижные
элементы Qd(R) =T~lR.
Источники
Μ. Коэн [56]; Μ. Лоренц, С. Монтгомери, Л. Смолл [71]; С.
Монтгомери [86]; Д. Пассман [107]; А. Пэйдж [112]; X. Томинага [119];
К. Фейс [122]; Дж. Фишер, Дж. Остербург [126]; В. К. Харченко
[127, 129, 134].
Теория Голди изложена в монографиях:
Н. Джекобсон [38]; И. Ламбек [64], И. Херстейн [145].
300
6. Применения
6.8. НЁТЕРОВЫ КОЛЬЦА
6.8.1. Левый Л-модуль называется нётеровъш, если он не
имеет бесконечной строго возрастающей цепочки. Легко видеть, что
это условие эквивалентно тому, что каждый подмодуль
порождается конечным числом элементов. Подмодуль нётерова модуля
будет нётеровым. Кольцо R называется нётеровъш слева, если
таковым является левый регулярный модуль R. Хорошо
известно, что конечно порожденный модуль над нётеровым слева
кольцом будет нётеровым слева.
6.8.2. Теорема. Если кольцо инвариантов Μ -группы
автоморфизмов полупервичного кольца нётерово слева, то
таковым будет и исходное кольцо.
Доказательство. Очевидно, что нётерово слева кольцо
будет левым кольцом Голди. Далее используем лемму 6.7.6. D
6.8.3. Теорема. Пусть G С Aut(u) — конечная группа
автоморфизмов нётерова слева кольца R, имеющая обратимый в
R порядок |G|-1 G R. Тогда кольцо инвариантов R нётерово
слева.
Доказательство. Пусть 1\ С h С ... С 1п С ... — строго
возрастающая цепочка левых идеалов в RG. В силу нётеровости
R найдется номер к такой, что RIk = RIk+i- Применим к
обеим частям последнего равенства оператор t = |G|_1 Σ g. Так
g€G
как t(s) = s для любого неподвижного элемента s, приходим к
противоречию: Ik = Ik+i- Π
Теорема 6.8.3 для М-групп перестает быть справедливой.
Нельзя даже условие |£?|-1 6 R заменить условием отсутствия
аддитивного кручения. Приведем пример Чанга и Ли,
базирующийся на примере Нагараджана.
6.8.4. Пример. Пусть А = Ζ[αι, 61,02,62,···] — кольцо
многочленов с целыми коэффициентами. Обозначим через К
локализацию А относительно 2А, т. е. К = {g/f \ g £ A, f £ 2А}, и
рассмотрим кольцо R = К[[х,у]] степенных рядов от
переменных х, у. Так как К — кольцо главных идеалов, то R нётерово.
Определим автоморфизм g на R по формулам х9 = — х, у9 = у,
af = -α,-+ (α,-+ιχ+ &,·+ιj/)j/, b? = 6,-+ (a;+ix + 6;+iy)x. Тогда
группа G, порожденная g, имеет порядок 2 и кольцо Л[[х,у]]
не имеет аддитивного кручения. Можно показать, что RG не
является нётеровым кольцом. Доказательство основано на ре-
6.9. Простые и подпрямо не.равзложимые кольца 301
зультате Нагараджана, согласно которому в кольце (RJ2R)
имеется строго возрастающая цепочка идеалов
(Pi)C(Pi,P2)C...C(Pi,...,Pn)C...,
где Р{ = at+ix + bi+1y + 2R.
Источники
Μ. Коэн, С. Монтгомери [59]; С. Монтгомери [86, 87]; С.
Монтгомери, Л. Смолл [94]; К. Нагараджан [98]; Дж.-Л. Паско [105];
Д. Фаркаш, Р. Снайдер [121]; Дж. Фишер, Дж. Остербург [126];
К. Чанг, П. Ли [149].
6.9. ПРОСТЫЕ И ПОДПРЯМО
НЕРАЗЛОЖИМЫЕ КОЛЬЦА
Вопрос об инвариантах простых колец уже рассматривался в
3.6, где было показано, что кольцо инвариантов конечной группы
G является конечной прямой суммой простых колец, если в
исходном кольце отсутствует аддитивное |0|-кручение. При
переходе к М-группам этот результат перестает быть справедливым.
Приведем пример Остербурга, основанный на примере Залесско-
го и Нерославского. Этот пример описывает простое кольцо с
единицей характеристики 2, обладающее внешним
автоморфизмом порядка 2 с непростым кольцом инвариантов.
6.9.1. Пример. Пусть к —поле характеристики 2. Рассмотрим
алгебру R\ = к(у)[х,х~1] над полем рациональных функций
от одной переменной у. Пусть д — автоморфизм этой алгебры,
переводящий χ в ух и G — бесконечная циклическая группа,
порожденная автоморфизмом д. Пусть R2 = R\ * G — косое
групповое кольцо. Рассмотрим автоморфизм h алгебры R2,
определяемый формулами h(x) = х-1 и h(g) = д-1. Можно показать,
что R2 — простое кольцо, h — внешний автоморфизм и идеал
t(R2) = {χ + xh I i G R2] кольца инвариантов не содержит
единицы, т. е. R\ не простое.
Таким образом, характеризуя инварианты М-групп простых
алгебр, мы должны несколько расширить класс
рассматриваемых колец. Заметим, что если простое кольцо R содержит
единицу, то R = Ry. В ином случае R φ Q(R), однако R будет
идеалом в Q(R), причем этот идеал содержится в любом дру-
302
6. Применения
гом ненулевом идеале кольца Q(R), т. е. является сердцевиной
Q{R) в смысле следующего определения.
6.9.2. Наименьший ненулевой идеал (если он существует)
называется сердцевиной кольца. Кольца, обладающие сердцевиной,
называются подпрямо неразложимыми. Известно, что любое
кольцо представимо в виде подпрямого произведения подпрямо
неразложимых колец. При этом сердцевины сомножителей как
наименьшие идеалы либо имеют нулевое умножение, либо
оказываются простыми кольцами. Понятно, что сердцевина подпрямо
неразложимого кольца будет простой тогда и только тогда, когда
кольцо первично.
Теперь естественно рассмотреть простые кольца как
сердцевины подпрямо неразложимых первичных колец. Так как при
переходе к кольцу инвариантов первичная размерность может
увеличиться, мы приходим к следующему обобщению.
6.9.3. Кольцо R называется почти простым, если R имеет
наименьший существенный идеал, который разлагается в прямую
сумму простых колец. Этот идеал называется полусердцевиной
кольца.
6.9.4. Лемма. Кольцо R является почти простым тогда и
только тогда, когда кольцо R представимо в виде подпрямого
произведения конечного числа подпрямо неразложимых
первичных колец.
Доказательство. Пусть R — почти простое кольцо, σ =
σ\ © .. . φ ση — его полусердцевина и Tk = аппд σ^. Тогда
<?k(^Tk = 0. Поэтому Ofc ~ σ + TkJTk будет сердцевиной кольца
R/Тк- Следовательно, R/Tk —подпрямо неразложимое
первичное (так как сердцевина проста) кольцо. Понятно, что f~| Tk = 0,
η
и поэтому R = S R/Tk-
Для доказательства обратного утверждения предположим,
что R — подпрямое произведение первичных колец R\,... ,Rnc
простыми сердцевинами σ\,... , ση и π к'· R —> R^, 1 ^ к ζ τι, —
аппроксимирующие проекции. Тогда R — полупервичное
кольцо. Будем считать, что η — наименьшее из возможных. Тогда
Ik = Π ^ег π· Φ 0- Сумма идеалов Ι\ + ... + Ιη будет прямой,
1фк
так как
ДП^/.-С P| kerπ,- Πkerirk = 0.
ipik гфк
6.9. Простые и подпрямо неравзложимые кольца 303
Далее, кег7г* П7* = 0. Поэтому Ik ~ itk{h) <Rk- В частности,
Ik содержит идеал а'к = ^1(рк) — &к- Покажем, что σ =
σ[ + ... + σ'η — полусердцевина кольца R. Если χσ = 0, то
0 = 7Гк(х<т) = 1Гк(х)<?к, т. е. тг^(х) = 0 для всех к, и поэтому
χ = 0. Если / — существенный идеал в R, то 1а'к является
ненулевым идеалом а'к, и поэтому 1а'к = а'к. Таким образом,
получаем /Dj] 1<т'к = σ. D
6.9.5. Теорема. Кольцо инвариантов Μ -группы
автоморфизмов полу первичного кольца почти просто тогда и только
тогда, когда почти просто исходное кольцо. При этом
полусердцевина кольца R порождается как односторонний идеал
полусердцевиной R .
Доказательство. Пусть R почти простое. По лемме 6.9.4
кольцо R имеет конечную первичную размерность. В силу
теоремы 5.5.10 достаточно рассмотреть случай, когда R —
первичное кольцо с сердцевиной σ. Пусть τ — главная
инвариантная форма. Тогда τ(σ) С R. Покажем, что τ(σ) —
полусердцевина кольца инвариантов. Если а 6 RG и ατ(σ) = 0, то
τ(ασ) = 0. Поэтому ασ = 0, т. е. τ(σ) — существенный
идеал в RG. Если / — произвольный существенный идеал кольца
инвариантов, то Ισ будет (RG — Л)-бимодулем с нулевым
левым аннулятором, т. е. этот бимодуль содержит ненулевой
идеал кольца R (см. 3.8.3), и тем более Ισ Э σ. Следовательно,
1 2 Ιτ{*) = τ(Ισ) 2 τ(σ).
Так как по теореме 3.6.7 кольцо RG имеет конечную
первичную размерность, некоторый существенный идеал / < RG
разлагается в прямую сумму первичных колец/ = /ι ©...©/„. Имеем
τ(σ) = Ιτ(σ) = /ιτ(σ) φ ... φ Ιητ(σ). Остается заметить, что
1кт(<т) — простые кольца. Если, например, 0 φ J < Ι\τ(σ))
Jx = 11т(а)Л1т(а), το Λ φ /2τ(σ) φ ... φ Ιητ{σ) —
существенный идеал в R . По доказанному выше он содержит τ(σ).
Следовательно, J = Ι\τ(σ).
Для доказательства обратного утверждения предположим,
что σ — полусердцевина кольца RG. По лемме 6.9.4 кольцо RG
имеет конечную первичную размерность. По теореме 5.6.7
кольцо R также имеет конечную первичную размерность, и в силу
теоремы 5.5.10 можно ограничиться рассмотрением первичного
кольца R. По лемме 3.8.3 левый идеал Ra содержит ненулевой
идеал / кольца R. Если J — произвольный ненулевой идеал
кольца R, то J C~\RG — существенный идеал в RG (лемма 3.8.4).
304
6. Применения
Поэтому J D σ. Следовательно, J D Ra D /, откуда заключа-
ем, что / = Rcr и Ra — сердцевина кольца R. О
В случае простых колец с единицей можно указать
необходимое и достаточное условие разложимости кольца инвариантов в
прямую сумму простых колец.
6.9.6. Следствие. Пусть R — простое кольцо с единицей,
G — Μ -группа его автоморфизмов. Кольцо R является
прямой суммой простых колец тогда и только тогда, когда
для некоторой инвариантной формы τ существует элемент
7 £ R такой, что τ(η) = 1.
Доказательство. Если t{R) Э 1 и σ — полусердцевина
кольца RG, то по лемме 3.8.3 Ra = R и RG = t(R) = r(R)a С
σ. Обратно, если RG прямая сумма простых колец и τ —главная
инвариантная форма, то t(R) содержит полусердцевину кольца
RG, которая равна RG, т. е. r(R) = RG Э 1. □
Возвращаясь к случаю, когда G — конечная группа и Л не
имеет IGI-кручения, отметим, что аналог теоремы 3.6.9
справедлив также для конечных прямых сумм простых колец в силу
теоремы 5.5.10. Что касается обратного утверждения, то легко
привести примеры, показывающие, что оно не верно.
Источники
А. Е. Залесский, О. М. Нерославский [46]; Дж. Остербург [ЮЗ,
104]; Т. Сандстрём [116]; В. К. Харченко [128].
6.10. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МОНТГОМЕРИ
В этом параграфе мы рассмотрим связи между первичными
идеалами данного кольца R и кольца инвариантов R для
случая, когда G — конечная группа обратимого в R порядка. Так
как в этом случае неподвижные элементы определяются
равенствами χ = t(x), где t = rkiY^g, мы имеем возможность перехо-
1 ' G
дить к рассмотрению фактор-колец по инвариантным идеалам.
При этом (R/'/) = R /jG, где / — инвариантный идеал. В
частности, если Ρ — первичный идеал кольца R, то f~) Ρ9 —
g€G
инвариантный идеал, и можно перейти к рассмотрению фактор-
кольца -R/Π Ρ9, которое является подпрямым произведением
6.10. Эквивалентность Монтгомери
305
конечного числа первичных колец. Начнем с изложения
хорошо известных свойств таких колец и общих свойств первичных
идеалов.
6.10.1. Лемма. Полупервичное кольцо представимо в виде под-
прямого произведения η первичных колец тогда и только
тогда, когда его первичная размерность ^ п.
η
Доказательство. Пусть R = 5 Л,· и тг,-: R —> Л,· — аппрок-
1 = 1
симирующие эпиморфизмы. Пусть Ι\ φ.. .φ/η+ι — прямая
сумма идеалов в R. Тогда 7τ*(/,·) ■... ■ ^k{Ij) = 0. Поэтому ядро я>
содержит все идеалы 1\,... ,Ιη+ι, за исключением, возможно,
одного. Это означает, что пересечение ядер всех π,- содержит
хотя бы один из идеалов 1\,... , /η+ι, τ. е. первичная размерность
R не превосходит п. Для доказательства обратного
утверждения по лемме 3.6.6 найдем в R существенный идеал /, который
разлагается в прямую сумму первичных колец / = Ι\ φ .. .φ Im,
т ζ п. Пусть Pk — аннулятор идеала Ik в R. Тогда f~| Pk = 0.
k
Проверим, что Pk — первичный идеал. Если aRb С Pk, то
IkdRb = 0, тем более, 1^а ■ Ik ■ Ikb = 0. Однако Ik — первичное
кольцо, поэтому либо Да = 0, либо Ikb = 0. Π
6.10.2. Лемма. Любой первичный идеал Ρ содержит
минимальный первичный идеал Р' С Р.
Доказательство. Пересечение любой цепи первичных
идеалов является первичным идеалом: если АВ С f) Ра, А <£. f~) Pa,
то А <£ Ρβ для некоторого β. Поэтому А (£. ΡΊ С Ρβ для всех
7 > β, т. е. В С ΡΊ. Следовательно, В С f~| ΡΊ = [}Ра-
Остается воспользоваться леммой Цорна. D
6.10.3. Предложение. Пусть первичная размерность
полупервичного кольца равна п. Справедливы следующие
утверждения:
(a) любое несократимое представление кольца R в виде под-
прямого произведения первичных колец содержит ровно η
сомножителей,
(b) представление R в виде подпрямого произведения η пер-
п
вичных сомножителей однозначно, т. е. если R = S Ri
i=l
η
= S R'i, то найдется подстановка σ такая, что кег7г,· =
306
6. Применения
кег7г^/.*, где π{, π[ — соответствующие
аппроксимирующие проекции,
(с) кольцо R имеет ровно η минимальных первичных идеалов
и их пересечение равно нулю.
Доказательство. Напомним, что подпрямое произведение
называется несократимым, если нельзя выбросить ни одного
сомножителя так, чтобы оставшиеся проекции оставались
аппроксимирующим семейством. В терминах ядер проекций это
означает, что f~) ker π,· φ 0 для всех к. Не каждое полупервич-
i-фк
ное кольцо имеет несократимое представление в виде подпрямого
произведения первичных колец, но если его первичная
размерность конечна, то существование такого представления
становится очевидным.
Пусть R = S Ra — несократимое подпрямое произведение
и πα: R —> Ra — аппроксимирующие проекции. Пусть 1а =
Р) кегя-0. Тогда
Ια Π 2_, h ^ ΓΊ ^ег πβ п ^ег π« = 0-
βφα βφα
Поэтому Σ Ια — прямая сумма ненулевых идеалов.
Следовательно, мощность А не превосходит первичной размерности τι.
По лемме 6.10.1 η не превосходит мощности А. Если
R = S Ri= S R'i
i=l i=l
и π,·, π[ — соответствующие проекции, то для каждого г
η
ker π[ ■ ker π'2 ■ ■ ■ ■ ■ ker π'η С Р| ker Trj = 0 С ker π,·.
J = l
Ввиду первичности Ri это означает, что найдется номер j такой,
что кег7г^· С кег7г,·. Аналогично по номеру j найдем номер к
такой, что кегя-fc С кег7г'·. Если к φ г, то кегя> С кег7г,·.
Поэтому R = S Ra, что противоречит лемме 6.10.1. Таким
(Χφΐ
образом, ker π,· = ker π'· и отображение σ: г —> j осуществляет
требуемую подстановку.
Наконец, в силу леммы 6.10.2 можно найти τι минимальных
первичных идеалов Р\,... , Рп, пересечение которых равно ну-
6.10. Эквивалентность Монтгомери
307
лю. Если Ρ — какой-то другой первичный идеал, то Ρ Э Pi -
... ■ Рп. Поэтому Ρ Э Рк для некоторого к, т. е. Ρ не может
быть минимальным если он не равен одному из Рк. D
6.10.4. Лемма. Если R полупервично и имеет конечную
первичную размерность, то любой не минимальный первичный
идеал является существенным.
Доказательство. Если Q не минимален, но Q ■ U = 0, то
для любого минимального первичного идеала Ρ имеем Q ■ U С
Р. Поэтому U С Р. Однако пересечение всех минимальных
первичных идеалов равно нулю. D
6.10.5. Понятие спектра уже использовалось в случае
коммутативного самоинъективного регулярного кольца (см. 1.9.3). В
произвольном случае на множестве Spec R всех первичных
идеалов кольца R также можно задать топологию с помощью той
же операции замыкания: {Ра} = {Р £ Spec Л | Ρ Э f~)Pa}.
Полученное топологическое пространство называется спектром
(или первичным спектром) кольца R. Сформулированные
выше леммы имеют ясный смысл с точки зрения этого
топологического пространства. Например, разложение полупервичного
кольца в подпрямое произведение первичных колец означает, что
множество ядер соответствующих проекций плотно в Spec Л;
первичная размерность — это наименьшая мощность плотного
подмножества и т. д.
Если на кольце R действует некоторая группа G, то ее
действие индуцируется на пространство Spec R. При этом
возникает пространство орбит Spec R/ Q, определяемое как фактор-
пространство Spec R относительно отношения эквивалентности
Ρ ю Q «· а5 е G : Р<> = Q.
6.10.6. Теорема. Пусть G — конечная группа автоморфизмов
кольца R, G С Aut R, порядок которой обратим в R. Тогда
справедливы следующие утверждения:
(a) если Ρ — первичный идеал кольца R, то Ρ Г) R = р\ Г)
...Прп, где η ^ \G\, α ρι,...,ρη — первичные идеалы
кольца R , однозначно определяемые тем условием, что
Pi/Pr\RG являются минимальными первичными
идеалами в RG/PnRG,
(b) если Ρ, Q — первичные идеалы кольца R такие, что Ρ Г\
RG = Q n RG, mo Q = Ρ9 для некоторого g £ G,
308
6. Применения
(с) если ρ — первичный идеал кольца R , то найдется
первичный идеал Ρ кольца R такой, что ρ минимален над
PC\RG, т. е. p/PC\R —минимальный первичный идеал
кольца RG/Ρ Π RG; при этом если Q — другой
первичный идеал кольца R с этим свойством, то Q = Р9 для
некоторого g G G, и если I — некоторый идеал кольца R
такой, что Ι Π RG С ρ, то I С Ρ9 для некоторого g G G.
Доказательство, (а) Рассмотрим инвариантный идеал J =
ПР9. Имеем Ρ Π RG = J Π RG. Переходя к фактор-кольцу
R/ J и учитывая, что (R/j) = R /J C\RG, можно считать,
что J = 0. По теореме 3.6.7 и теореме 5.5.10 кольцо RG имеет
конечную первичную размерность ^ \G\ и остается
воспользоваться утверждением (с) предложения 6.10.3.
(b) Если PC\RG = QHRG, то в фактор-кольцеΈ = R/nP9
— —G — —а
имеем Q Π R =0. Следовательно, инвариантный идеал (1Q
полупервичного кольца R не обладает неподвижными
элементами, что не противоречит теореме Бергмана — Айзекса
(теорема 1.3.6) только в случае (1Q9 = 0, т. е. (1Q9 С Г\Р9.
Аналогично Г\Р9 С C\Q9. Теперь фактор-кольцо R имеет два
представления в виде подпрямого произведения первичных колец.
Выбрасывая из каждого представления лишние сомножители и
используя утверждения (а), (Ь) предложения 6.10.3, получим, что
Р9 = Qh для некоторых h,geG,T.e. Q = P9*'1.
(c) Рассмотрим множество ЯЛ всех идеалов / кольца R таких,
что IG = Ir\RG С р. Это множество непусто и индуктивно. По
лемме Цорна в ЯЛ существуют максимальные элементы.
Покажем, что все максимальные элементы ЯЛ являются первичными
идеалами и лежат в одной орбите спектра. Если Ρ —
максимальный элемент и А ■ В С Р, причем А ^ Ρ и В ^ Р, то AG <£ ρ и
BG (£_ р. В силу первичности идеала р, получаем AG ■ BG <£. ρ и,
тем более, [AB)G <£ р. Однако [AB)G С PG С р, что приводит
к противоречию.
Пусть Q — другой максимальный элемент ЯЛ. Рассмотрим
инвариантные идеалы / = Г\Р9 и J = C\Q9. Имеем
(/ + Jf = t(I + J)= t(I) + t(J) CPG + QGCp,
т. e. / + J G ЯЛ и по лемме Цорна можно найти максимальный
элемент S £ ЯЛ, содержащий I + J. Имеем Г\Р9 С S, т. е. в
силу первичности S можно найти g £ G такой, что Р9 С S
6.10. Эквивалентность Монтгомери
309
и Ρ С Sg , в силу максимальности Ρ = S9 . Аналогично
Q = Sh~ .В итоге получаем Q = Pgh
Пусть / = ПРЯ — пересечение всех максимальных элементов
ЯЛ. Тогда IG = PC\RG и / —инвариантный идеал. Переходя к
фактор-кольцу R/ '/ и учитывая, что (Л//) = R //G, можно
считать, что / = 0. Требуется показать, что в этом случае ρ —
минимальный первичный идеал. Если ρ не минимален, то по
лемме 6.10.4 он будет существенным. В силу леммы 5.10.5 левый
идеал Rp содержит двусторонний существенный идеал Ш
кольца R. Тогда U1(1RG С ί(ΙΙΙ) С t(Rp) С t(R)p С р, что
означает Ш G ЯЛ. По лемме Цорна найдем максимальный элемент Ph
множества ЯЛ, содержащий Ш. Теперь получаем противоречие
с тем, что Ш — существенный идеал: ПШ3 С Г\Р9 = 0.
Пусть Q — другой первичный идеал, такой что ρ минимален
над QG. Тогда Q G ЯЛ, и мы можем погрузить Q
^максимальный элемент Q С Ph. Рассмотрим фактор-кольцо R = R/c\Q9-
Если Ph φ Q, то Ρ не является минимальным первичным
идеалом R. По лемме 6.10.4 это означает, что Ρ — существенный
идеал кольца R. Существенным идеалом в RG будет также пе-
—h —G _
ресечение Ρ (1R = ρ (см. лемму 5.6.6), но это невозможно, так
Q г* .
как ~р — минимальный первичный идеал кольца R —R /QG,
имеющего конечную первичную размерность. D
Теорема 6.10.6 показывает, что каждый первичный идеал ρ
кольца инвариантов однозначно определяет полупервичный
идеал ρ такой, что ρ минимален над pup имеет вид PG для
некоторого первичного идеала Ρ кольца R.
6.10.7. Первичные идеалы ρ, μ кольца инвариантов RG
называются эквивалентными по Монтгомери (обозначается ρ ~ μ),
если ρ = μ.
По теореме 6.10.6 каждый класс эквивалентности содержит
не более τι = \G\ элементов. Теорема 6.10.6 показывает также,
что отображение /, сопоставляющее орбите Ρ е Spec RJQ класс
эквивалентности минимальных над PG первичных идеалов,
будет взаимнооднозначным. Более того, согласно утверждению
(Ь) орбита Ρ однозначно определяется как инвариантным
идеалом Г\Р9, так и пересечением Ρ Π RG = PG. Это позволяет
на пространстве орбит и на Spec R j^ определить отношение
310
6. Применения
порядка Ρ «ζ Q й ПР9 С nQ9 и ρ/μ «ζ μ/Ν & ρ «ζ μ.
Такое отношение порядка будет фактор-отношением отношения
включения, т. е. Ρ «ξ Q <=> ЗР е Ρ, 3Q е Q, Ρ С Q и
/М ^ /М -. Μ -, Μ _
Р/~ ^ μ/~ <=> Βρι ~ Λ 3μι ~ μ, pi С μι.
6.10.8. Теорема. Отображение f является гомеоморфизмом
топологических пространств, сохраняющим порядок:
f : SpecR/o ~ Specie/**.
Доказательство. Требуется проверить, что если первичный
идеал кольца Q содержит пересечение f~) PG, где Ра —
первичные идеалы, то Q Э Π ρί- ПУСТЬ А = Π Q9 t Π ρί = в
<*,g 9 a,g
Тогда в фактор-кольце R = RjА имеем В φ О, и по теореме
Бергмана — Айзекса В = BG φ О, т. е. f| PG = BG <£. А, что
а
приводит к противоречию. D
6.10.9. В связи с понятием эквивалентности по Монтгомери
возникает ряд интересных вопросов, которые можно
сформулировать в общем виде так: исследовать свойства точек спектра
кольца инвариантов устойчивые относительно эквивалентности по
Монтгомери. С одним таким свойством мы уже встречались —
это примитивность (напомним, что идеал Ρ кольца R
называется примитивным, если фактор-кольцо R/ρ примитивно).
Действительно, если ρ — примитивный идеал кольца инвариантов
и Ρ — соответствующий ему первичный идеал кольца R, то,
переходя к фактор-кольцу R = R/c\P9, можно считать, что ρ
минимальный и, следовательно, не существенный. Его аннуля-
тор будет ненулевым идеалом и_примитивным кольцом по лемме
6.5.7 и теореме 5.5.10, кольцо R полупримитивно, а по теореме
6.5.6 RG также полупримитивно. В силу однозначности
минимального разложения в подпрямую сумму первичных колец все
идеалы, эквивалентные по Монтгомери идеалу р, будут
примитивными.
Другой пример устойчивой по Монтгомери характеристики
дает монотонность отображения /. Высотой идеала ρ
называется максимальная длина строго убывающей цепочки первичных
идеалов ρ Э pi D · · · Э рп- Понятно, что эквивалентные по
Монтгомери точки спектра имеют одинаковую высоту.
6.10. Эквивалентность Монтгомери
311
К неустойчивым (точнее, не всегда устойчивым) по
Монтгомери характеристикам относится глубина идеала, т. е.
максимальная длина строго возрастающей цепочки первичных идеалов
ρ С Р2 С · ■· С рп-
6.10.10. Пример. Пусть R — кольцо всех линейных
преобразований счетномерного пространства V над полем F
характеристики нуль. Это кольцо естественно отождествляется с кольцом
бесконечных конечно строчных матриц (1.14.4). Рассмотрим
сопряжение д диагональной матрицей diag(—1,1,1,... ,1).
Кольцо инвариантов группы G = {д, 1} изоморфно F φ R, т. е. мы
имеем два эквивалентных по Монтгомери идеала Pi = F φ 0 и
Р2 = О Θ R, один из который максимален, а другой — нет. Этот
же пример показывает, что условие «R/ρ — кольцо Голди»
неустойчиво по Монтгомери, несмотря на то, что оно переносится
на кольца инвариантов и наоборот.
6.10.11. Эквивалентность по Монтгомери тесно связана с
ослабленной морита-эквивалентностью. Рассмотрим свойства точек
спектра, которые определяются фактор-кольцами. Задание
такого свойства равносильно выделению некоторого класса 9Ί
первичных колец. Эквивалентность по Монтгомери становится в
этом случае отношением между первичными кольцами: R ~ S
тогда и только тогда, когда существуют первичное кольцо А и
группа G обратимого порядка такие, что R ~ A jρ и S ~
рх для некоторых минимальных первичных идеалов ρ, ρι
кольца инвариантов AG.
6.10.12. Под контекстом Мориты понимается четверка
(R, V, W, S), в которой Rw S — кольца, V — (R, 5)-бимодуль,
W — (S, Л)-бимодуль и определены умножения V ® W —> R,
W ® V —> S такие, что множество всех матриц вида („ ")
R
образует ассоциативное кольцо относительно матричных
операций умножения и сложения. Кольца с единицей R и S
называются морита-эквивалентными, если существует контекст
Мориты (R,V,W,S), в котором VW = R, WV = S. Это
понятие хорошо изучено, и его значение заключается в том, что
категории левых модулей над R и над S эквивалентны тогда и
только тогда, когда R w S морита-эквивалентны. Контекст
мориты (R, V, W, S) называется первичным, если соответствующее
кольцо (jy 5 ) первично. Если в этом случае кольца R и S со-
AG/
312
6. Применения
держат 1/2, то, как и в примере 6.10.10, мы можем рассмотреть
сопряжениед на элемент (о _?). Для группы G = {1,д} имеем
MG = R φ S, т. е. кольца Ли S эквивалентны по Монтгомери.
Следующая теорема показывает, что в известной мере
выполняется и обратное утверждение.
Рассмотрим два условия на класс первичных колец 9Ъ
Inv Если R первичное кольцо и G С Aut Ft — группа его
автоморфизмов обратимого порядка, такая что RG первично, то
RG G 9Ί тогда и только тогда, когда R ε 9Ί.
Мог Если ненулевые первичные кольца Ли S связаны
первичным контекстом Мориты Ηϋε9Ί,το5ε9Ί.
6.10.13. Теорем а. .Ес/ш класс первичных колец 9Ί
удовлетворяет условиям Inv и Мог, то он устойчив относительно
эквивалентности по Монтгомери.
Доказательство. Сначала заметим, что условие Мог
показывает, что класс 9Ί вместе с кольцом R содержит все его
ненулевые двусторонние идеалы. Действительно, если / — идеал, то
имеем первичный контекст Мориты (R, I, I, /).
Пусть R — первичное кольцо, G — группа его
автоморфизмов обратимого порядка. Разложим алгебру Ш (G) группы G в
прямую сумму G-простых компонент
ffi(G) = e1M(G)®...®enM(G).
Можно найти инвариантный ненулевой идеал J < R такой, что
е,· J, Je,· С R. Положим / = J2. Тогда е./еу С R для любых
г, j, 1 ^ i,j ^ п. Так как е,·, tj — неподвижные идемпотенты,
группа G действует на всех компонентах е,-/е,·, при этом IG =
(ei/ei)G φ .. .φ (enIen)G. Заметим, что (e,/e,)G — первичное
кольцо, так как алгебра индуцированной группы равна е,Щ (G)
(см. лемму 6.6.5). Таким образом, в кольце инвариантов RG мы
имеем существенный идеал IG, который разлагается в прямую
сумму первичных ненулевых колец (e,/e,)G = e,/G.
Пусть ρ — некоторый минимальный первичный идеал
кольца инвариантов. Тогда идеал ρ не существенный. Поэтому он
не может иметь ненулевые пересечения со всеми идеалами e,/G.
Пусть, например, рПе\1а = 0. Тогда e\IG ~ e\IG +p/p<
R j ρ, т. е. по замечанию, сделанному в начале
доказательства, R /ρ G 9Ί тогда и только тогда, когда e\IG ε 9Ί. Оста-
6.11. Модулярные решетки
313
лось показать, что если e\IG G 9t, то все компоненты e,/G
лежат в 9Ί. Так как (ei/ei)G = e\IG, в силу свойства Inv
ei/ei G 9Ί. Далее, мы имеем первичный контекст Мориты
(ei/ei, ei/e,·, e,/ei, е,/е,·). Следовательно, е,/е,· е 9Ί. Опять
в силу свойства Inv получаем e,/G = (e,/e,)G G 94. D
Из результатов 6.3-6.9 и теоремы 6.10.13 вытекает, что к
классам, устойчивым по Монтгомери, относятся классы полупростых
первичных колец для радикалов, рассмотренных в 6.3, класс
первичных подпрямо неразложимых колец, класс примитивных
колец и класс вполне примитивных колец. К числу
неустойчивых относятся классы простых артиновых колец, колец Голди,
нётеровых колец, простых колец. Здесь следует сделать одну
существенную оговорку. При рассмотрении эквивалентности по
Монтгомери не на всей совокупности первичных колец, а на
некоторых ее частях, неустойчивые свойства могут становиться
устойчивыми. Например, размерность Гельфанда —
Кириллова становится устойчивой характеристикой в классе .Р/-колец
(С. Монтгомери, Л. Смолл). Классическая размерность Крул-
ля будет устойчивой в классе аффинных Ρ/-колец (Ж. Алев), а
также в классе нётеровых Ρ/-колец (С. Монтгомери, Л. Смолл).
Источники
Дж. Алев [2]; Е. Артин, У. Шелтер [12]; К. И. Бейдар [14]; М.
Лоренц, С. Монтгомери, Л. Смолл [71]; С. Монтгомери [88]; С.
Монтгомери, Д. Пассман [93]; С. Монтгомери, Л. Смолл [95, 96].
6.11. МОДУЛЯРНЫЕ РЕШЕТКИ
Многие свойства, изучаемые в теории колец, могут быть
заданы в терминах решетки левых (правых) или двусторонних
идеалов (например, нётеровость, артиновость, размерность Крулля,
размерность Голди и т. д.). Тот факт, что кольцо инвариантов
RG удовлетворяет такому свойству, дает информацию о
некоторых инвариантных (левых или двусторонних) идеалах, и
естественно возникает вопрос о связях решетки всех идеалов с
решеткой инвариантных идеалов. Так как решетка идеалов модулярна
(т. е. I + (J Π К) = (I + J) П К, если / С К), мы приходим
к задаче исследования неподвижных точек для конечных групп,
действующих на модулярных решетках. Приводимые в данном
314
6. Применения
параграфе две теоремы, доказанные Дж. Фишером [123] и П. Гр-
жешчуком и Е. Р. Пучиловским [31], дают информацию о связях
LhLg.
6.11.1. Решеткой называется алгебраическая система L с двумя
бинарными коммутативными ассоциативными операциями Λ и V,
связанными следующими тождествами:
Р1 (х V у) А х = х,
Р2 (iAj/)Vi = i,
РЗ хАх = х, χ V χ = х.
На решетке вводится отношение частичного порядка а <^ 6 <=>
α А 6 = а. С точки зрения этого порядка операция Λ вычисляет
точную нижнюю грань, а операция V — точную верхнюю грань
двух элементов. Отображение решеток f: L —} L называется
строго монотонным, если а $ 6 влечет /(а) $ /(b)· Строго
монотонное отображение может не сохранять точные нижние и
точные верхние грани несравнимых элементов. Решетка L
называется модулярной, если для всех α ^ с из L выполняется
равенство
Ml <zV(6Ac) = (aV6) Λ с.
Так как α ^ α V 6, α ζ. α V с, то из этого условного тождества
вытекают тождества
М2 aV (сА(а\/ Ь)) = (а V с) Λ (α V 6) = (α V 6) Λ (α V с)
= α V (6 Λ (aV с)).
Из этих формул следует правило замены: если α Λ 6 = 0 и
с Λ (α V 6) = 0, то 6 Λ (а V с) = 0, где 0 — наименьший элемент
решетки.
Действительно, если с Λ (α V 6) = 0, то а = а V (с Λ (а V 6)) =
а V (6 Λ (а V с)), т. е. 6 Λ (а V с) ^ а, поэтому Ь А (а V с) ^
Ь А а = 0. Последнее правило в теории модулярных решеток
играет примерно такую же роль, что и лемма о замене в теории
линейных пространств, приводящая к теореме о существовании
базиса.
Следующее условие, легко вытекающее из Ml, играет в
теории модулярных решеток ту же роль, что и теорема о
гомоморфизмах.
МЗ Если а ^ χ ^ а V 6, то α V (χ А Ь) = х.
6.11. Модулярные решетки
315
Следовательно, отображение /ь(х) = χ Λ b задает
изоморфизм [a, aVb] ~ [аЛб, 6]. Напомним, что для элементов χ ζ у
через [х,у] обозначается отрезок {ζ \ χ ^ ζ ^ у}. Прямое
произведение решеток определяется обычным образом: (αϊ,.. . , αη) V
(δι, ... ,6„) = (aiV&i,... ,a„V6„); (αϊ,.. . , α„)Λ(δι 6„) =
(αϊ Λ6ι α„ Λδ„).
6.11.2. Теорема [Фишер]. Пусть G — конечная группа
автоморфизмов модулярной решетки L. Тогда существует
строго монотонное отображение f.L—l· L χ ... χ L решетки
L в прямое произведение конечного числа экземпляров подре-
шетки L неподвижных элементов.
6.11.3. Обозначим через F множество всех одноместных термов в
сигнатуре (G, Л, V). Элементы F называются G-решеточными
полиномами. Примерами G-решеточных полиномов служат
термы Уз(Лтх()', где S, Τ — подмножества G. Каждый такой
полином можно рассматривать как отображение f.L—^L.
Индукцией по построению терма / легко показать, что отвечающее
ему отображение будет монотонным (возможно, не строго
монотонным): α ^ 6 => /(a) ^ /(6). G-решеточный полином /
называется инвариантным, если все его значения лежат в LG
(например, /\qx9 и Wqx9 являются G-инвариантными). Для
доказательства теоремы Фишера достаточно построить конечный
набор инвариантных G-решеточных многочленов /ι,..., Д
такой, что для а <С. 6 равенства /г(а) = /,·(&), 1 ^ г ^ к, влекут
а = 6, так как тогда / —> /ι(/) х · · · х Л (0 будет искомым
отображением. В соответствии с этим будем говорить, что / три-
виализует пару (а, 6), если а ^ 6 и /(а) = f(b).
6.11.4. Лемма. Пусть S — подмножество G и g e G\S-
Если пара (а, 6) тривиализуется каждым из следующих
полиномов
Λ *'. (β·11·1)
tesu{g}
УЦ^х'У'1 \teSU{g}}, (6.11.2)
то пара (а, 6) тривиализуется полиномом Д х".
316
6. Применения
Доказательство. По условию
α<?Λ Д а' = ЬЯЛ Д Ь', (6.11.3)
[ν(Λ-'),",]ν(Λ«')β", = [ν(Λ*'Γ]
νίΛ6')'"'·
,es (6.11.4)
Заметим, что ( Д a'Y ζ а для каждого t £ S. Поэтому
V ( Λ а*)' ^ αι τ· е· применяя к равенству (6.11.4) авто-
морфизм д, заменяя выражение, стоящее в квадратных скобках
левой части на α и отбрасывая в правой части все члены,
заключенные в квадратные скобки, мы получим неравенство
аЯЧ(/\а')2 /\Ь* (6.11.5)
ses ses
и, тем более,
*βν(Λ««')£Λ6'·
Воспользовавшись неравенством Д а' ^ Д 6s и модулярно-
стью решетки, получим
Д 6* = Д Ь' Л(Ь°\/ Да5) = (Д Ь'ЛЬ») V Д а*.
В силу равенства (6.11.3)
/\b>=(f\a>Aa°)V /\a>= Д «'.
i£S j£S j€S seS
D
Упорядочим произвольным образом элементы группы 1 =
<7ι,... , дп. Пусть / — множество всех последовательностей 1 =
г'(1) < ... < г(т) ^ п, где т ^ 1. Для последовательности г
через г(т) обозначим ее последний член, а через г' —
последовательность без этого последнего члена: г' = (г(1),... , г(т — 1)),
если г φ (1). Определим по индукции решеточные G-полиномы
6.11. Модулярные решетки
317
f(i;A;x) и f(i;V;x):
f((l);A;x) = f((l);V;x) = x, (6.11.6)
i(m)
f{i;A;x) = f\f{i';V;x)3', (6.11.7)
J' = l
i(m)
/(i;V;*)= V /(i'iAii)^1. (6.11.8)
J' = l
Нас будут интересовать в первую очередь полиномы /(г; V; а;)
и /(г; Л; а;) для случая г(т) = п. Понятно, что все такие
полиномы инвариантны, а их число равно 2™-1. Чтобы
формально вести индукцию по построению, удобно считать, что г' — г,
г(т) = 1 для последовательности г = (1). При этом равенства
(6.11.7), (6.11.8) не нарушаются.
Из леммы 6.11.4 вытекает следующее утверждение.
6.11.5. Следствие. Пусть г G / и г(т) < п.
(a) Если /((г', г(т) + 1); Л; а;) и /((г, г(т)+ 1); V; а;)
тривиализуют пару (а, 6), то /(г; Л; а;) также тривиализует пару
(а,6).
(b) Если f((i', г{т) + 1); V; а;) и /((г, г(т) + 1); Л; а;) тривиа-
лизуют (а, 6), то /(i;V;a;) тривиализует (а,Ь).
Доказательство теоремы 6.11.2. Представим множество /
как объединение I\ U ... U /„, где Ik — {г Ε Ι \ г{т) = к}.
Следствие 6.11.5 гарантирует, что если для некоторого т < η
полиномы /(г; Λ; а;) и /(г; V; а;) тривиализуют пару (а, 6) для
всех г G /m+i, то это же утверждение справедливо для всех
г G /m. По индукции получаем, что если все 2"-1 инвариантных
полиномов /„ = {/ι, ... , fk} тривиализуют пару (а, 6), то пару
(а, 6) тривиализуют многочлены /((1); Λ; а;) = /((1); V; а;) = х,
т. е. а = 6 и отображение / —у /ι(/) х .. · χ Λ(0 будет строго
монотонным. D
6.11.6. Следствие. Пусть G — конечная группа
автоморфизмов кольца R, G С Aut R. Если R удовлетворяет
условию максимальности (минимальности) для G-инвариантных
левых (двусторонних) идеалов, то R удовлетворяет этому
условию для всех левых (двусторонних) идеалов.
318
6. Применения
Доказательство. Заметим, что решетка левых
(двусторонних) идеалов модулярна и воспользуемся теоремой Фишера. D
6.11.7. Следствие. Пусть G — конечная группа
автоморфизмов G С Aut R кольца R. Тогда R удовлетворяет условию
минимальности (максимальности) для полу первичных
идеалов тогда и только тогда, когда R удовлетворяет этому
условию для инвариантных полупервичных идеалов.
Доказательство. На множестве полупервичных идеалов
определим решеточные операции /Λ J = IC\J и IV J = ί8(/+J),
где 93(/ + J) — пересечение всех первичных идеалов,
содержащих / + J (т. е. ®(/ + J)f I + J — радикал Бэра фактор-
кольца R/ J -|- j). Пусть Ω — булева алгебра подмножеств точек
спектра Spec R. Сопоставим полупервичному идеалу /
совокупность W(I) всех первичных идеалов, не содержащих /. Тогда
W(I Λ J) = W(I) П W(J); W(I V J) = W(I) U W(J),
поэтому W — вложение решеток. Так как Ω дистрибутивная
решетка, дистрибутивной (тем более, модулярной) будет также
решетка полупервичных идеалов. Остается воспользоваться теоремой
6.11.2. D
6.11.8. Следствие. Пусть G — группа автоморфизмов G С
Aut Л обратимого порядка. Если Rr удовлетворяет условию
минимальности (максимальности) для полупервичных
идеалов, то этому условию удовлетворяет кольцо R.
Доказательство. Если I С J — полупервичные
инвариантные идеалы и JG = JG, то в фактор-кольце R = R/1 имеем
J = О, т. е. по теореме Бергмана — Айзекса J™ С /.
Следовательно, J = I. Таким образом, I —* IG — строго
монотонное отображение решетки инвариантных полупервичных идеалов
кольца R в решетку полупервичных идеалов кольца RG.
Остается воспользоваться следствием 6.11.7. D
Рассмотрим связи между размерностями Голди решеток L и
считая, что L имеет наибольший элемент 1 и наименьший
элемент 0.
6.11.9. Множество ненулевых элементов {х\,... , хп} из L
называется независимым, если χ,· Λ (х\ V . . . V χ:·_ι V Xi+i V ... V
ιη) = 0 для всех 1 ^ г <С. п. Размерность Голди решетки L
определяется как точная верхняя грань мощностей независимых
наборов элементов. Элемент α G L называется существенным
в L, если α Λ χ φ 0 для любого ненулевого χ G L. Элемент
6.11. Модулярные решетки
319
и называется однородным, если для любых ненулевых х, у <^ и
справедливо χ Л у φ 0.
6.11.10. Теорема [Гржешчук, Пучиловский]. Если G —
конечная группа автоморфизмов модулярной решетки с
наибольшим и наименьшим элементами, то
Gol-dimLG «ξ Gol- dim L ζ \G\ ■ Gol- dim LG.
Прежде чем приступить к доказательству, рассмотрим
свойства размерности Голди в модулярных решетках.
6.11.11. Предложение. Размерность Голди модулярной
решетки L равна конечному числу η тогда и только тогда,
когда L содержит независимое множество {αχ, .. . , ап}
однородных элементов такое, что а\ V ... V ап — существенный
элемент L.
Доказательство. Если размерность Голди равна η < оо, то
существует независимое семейство {а,\,... , ап}. Если αϊ V ... V
ап не является существенным элементом, то найдется ненулевой
элемент 6 такой, что (αϊ V ... V ап) Λ 6 = 0. Согласно правилу
замены {αϊ,... , ап, 6} —независимое семейство, что
противоречит выбору п. Если, например, αϊ не однороден, то найдем
ненулевые элементы а[, α" ^ αϊ такие, что а\Г\а'{ = 0. Опять по
правилу замены для модулярных решеток {а[, а'{, аг, · · · , а„} —
независимое множество.
Обратно, пусть {αϊ,... , ап} —независимое множество
однородных элементов такое, что α = αϊ V ... V ап — существенный
в L элемент. Индукцией по τι покажем, что Gol-dim L = п.
При τι = 1 доказывать нечего. Пусть τι > 1. Допустим, что
{6ι,... , Ьп+\) — независимое множество. Тогда α Λ 6,· φ 0 при
любом 1 ^ г <Ζ. η + 1. Поэтому можно считать, что 6,· ^ а.
Пусть с = аг V ... V ап. В силу индуктивного предположения
размерность Голди решетки [0, с] равна η — 1. В частности, не
более 71—1 элементов 6,· могут иметь ненулевое «пересечение»
с с. Пусть 6,· Λ с φ О, 1 ^ г ^ к, и 6,· Λ с = 0, к < г ζ τι + 1.
Положим /,· = 6,· Λ с при г ^ к и /,· = (6η+ι V δ;) Λ с при
к < г ^ τι. Чтобы получить противоречие, достаточно показать,
что {/ι, · .. , fn] — независимое множество. Если 1 ^ г ^ к, то
/,· Λ(/ι V.. .V/,-_i V/i+i V.. .V/n) ίξ 6,·Λ(6ι V.. .V6,_i V6i+i V
320
6. Применения
. .. V bn V Ьп+\) = 0. Если к < г ζ п, то ввиду модулярности
ΛΛ(/ι V...VA-1 V/i+i V...V/„)
^ (6„+ι V δ,·) Λ (6Χ V ... V 6,·_ι V 6ί+ι V ... V 6„ V 6„+ι)
= 6η+ι V [(6„+ι V 6.) Λ (δι V ... V δ,·_ι V δ,·+ι V ... V δ„)]
= δη+ι·
Так как /,· ^ с и Ьп+\Ас = 0, мы получаем требуемое равенство.
Остается показать, что /,· φ 0 при всех г, к < г ^ п. Пусть
f% = (δη+ι V 6,·) Л с = 0. Так как 6„+ι Л 6,· = 0, по правилу
замены имеем 6„+ι Л (с V 6;) = 0. В силу формул М2 с =
с V (6„+ι Л (с V 6,·)) = (6,· V с) Л (6„+ι V с). Поэтому [(6,· V
с) Л αϊ] Л [(6п+1 V с) Л αϊ] ^ с Л αϊ = 0. Поскольку αϊ —
однородный элемент, это возможно только если (6,· V с) Л αϊ = 0
или (bn+i V с) Л αϊ = 0. Так как 6,· Л с = 6„+ι Λ с = 0, правило
замены противоречит существенности элемента с V αι. D
6.11.12. Лемма. Для любого a G L выполняется неравенство
Gol- dim L j£ Gol- dim[0, α] + Gol- dim [a, 1].
Доказательство. Если {α, χχ,.. . , χη} — независимое
множество в L, то {а V χι,... , a V хп} — независимое множество в
[а, 1]. Действительно, ввиду модулярности для любого 1 ^ г ^ η
(aVii) A(aVxi V. ..VaVi,_i VaVi,+i V ...)
= a V ((a V Xi) Λ (ii V ... V i,_i V xi+i V ...)) = a.
Неравенство в формулировке теоремы становится тривиальным,
если одна из размерностей, стоящих справа, бесконечна.
Поэтому будем считать, что обе они конечны. Выберем
наибольшее по числу элементов семейство {х\,... ,хп}, для
которого {α,χι,... ,хп} независимы. Тогда все а;,· однородны, η ^
Gol- dim [a, 1] и a V х\ V ... V хп — существенный в [а, 1]
элемент. Так как d = Gol- dim[0, a] < оо, существует независимое
семейство {yi,... , yd) однородных элементов из [0, а], причем
элемент yi V.. .Vyj существен [0, а]. В силу предложения 6.11.11
остается показать, что yi V ... V yd V ... V х\ V ... V хп —
существенный элемент L. Этот факт вытекает из следующей леммы.
6.11.13. Лемма. Если а' — существенный элемент в [0, а] и
α Λ 6 = 0, то а' V 6 — существенный элемент в [0, а V 6].
Доказательство. Пусть 0 φ с ^ aV6, но сЛ(а'\/6) = 0. По
правилу замены а' Л (с V 6) = 0 и, так как а' существен в [0, а],
имеем аЛ(с\/6) = 0, т. е. по формуле М2 6 = 6V(aA(cV6)) =
6.11. Модулярные решетки
321
(6 V α) Л (6 V с) ^ с или 0 = с Л (а' V 6) = с φ О, что приводит
к противоречию. Леммы 6.11.12 и 6.11.13 доказаны. D
6.11.14. Следствие. Если а\, .. . , ап е L и а\ Λ .. . Λ αη = О,
то
η
Gol- dim L ^ \J Gol- dim [a,·, 1].
i = l
Доказательство. Применим индукцию по п. При τι = 1
утверждение очевидно. Пусть τι ^ 2 и αϊ = a 2 Λ .. .Λα„. В силу
предположения индукции
та
Gol- dim [αϊ, 1] ^ YJ Gol- dim [a,·, 1].
i=2
Так как αϊ Λαι = 0, имеем [0, αϊ] = [αϊ Λαι, αϊ] ~ [αϊ, αϊ Vai] C
[αϊ, 1]. Следовательно, Gol- dim[0, αϊ] ^ ^]"_2 Gol-dim[a,·, 1],
и остается воспользоваться леммой 6.11.12. D
Благодаря доказываемым ниже леммам доказательство
теоремы 6.11.10 сводится к случаю полных непрерывных сверху
решеток. Полная решетка L называется непрерывной сверху,
если для любой цепи С в L и любого a e L выполняется
равенство α Λ VC = \J (α Λ ι). Решетка всех (левых) идеалов кольца
гее
полна и непрерывна сверху, так что с точки зрения применений
можно эти условия постулировать. Идея сведения основана на
переходе к решетке I(L) идеалов L.
6.11.15. Непустое подмножество / в L называется идеалом L,
если х,у G / влечет [0, zVy] С /. Множество I(L) всех идеалов
решетки L образует непрерывную сверху модулярную решетку
с операциями Λ5α = C\Sa и VSa = — идеал, порожденный
U5a. Понятно, что отображение p. L —> I(L), действующее по
формуле р(а) = [0, а], является вложением решеток. Поэтому
можно рассматривать L как подрешетку в I(L). Понятно также,
что действия групп с L естественно распространяются на I(L).
Элементы I(L)G — это инвариантные идеалы.
6.11.16. Лемма. Если G — конечная группа, действующая на
L,moI(LG)~I(Lf.
Доказательство. Для / е I(Lг) и J e I{L) определим
отображения g{ J) = J Π LG и /(/) — идеал L, порожденный /.
322
6. Применения
Тогда / и д осуществляют требуемый изоморфизм, если группа
G конечна. D
6.11.17. Лемма. Gol- dim L = Gol- dim(/(L)).
Доказательство. Ясно, что Gol-dim Z ^ Gol-dim I(L).
Обратно, пусть {/ι,... , /„} — независимое подмножество I{L)
и 0 φ Х{ G /,-. Тогда множество {χχ,... , хп] является
независимым в L. D
6.11.18. Доказательство теоремы 6.11.10. В силу лемм 6.11.16
и 6.11.17 можно считать, что L полна и непрерывна сверху. По
лемме Цорна можно найти максимальный элемент / множества
{х G L | Да;3 = 0}. В силу следствия 6.11.14 достаточно
доказать неравенство Gol- dim[/, 1] ^ Gol- dim LG. Это
неравенство будет установлено, если мы покажем, что для любого
семейства независимых элементов {х\,... , хт} G [/,1] элементы
ж,· = Д ι? независимы в LG. Ввиду выбора / элементы ж,· не-
g€G
нулевые. Пусть у,- = ж,· Λ (х\ V ... V ar,-_i V af,+i V ... V хт).
Так как / < / V ж,· ^ а;,· и множество {a;i,... , хт} независимо в
[/, 1], множество {/ V ΐι,... , / V xm} также независимо в [/, 1].
Следовательно,
/ = (ίνΐ,·)Λ(/νΐι ν...ν/νΐ,·_ι V/V5i+i V...V/νΐ,η) ^ у,·.
Так как у,· е LG ввиду выбора /, приходим к противоречию:
0 = 1\1Я> W. □
g€G
Из теоремы 6.11.18 вытекает утверждение, первоначально
доказанное в [127].
6.11.19. Следствие. Пусть G — конечная группа
автоморфизмов кольца R. Если в R существует бесконечная прямая
сумма ненулевых левых идеалов, то в R существует
бесконечная прямая сумма ненулевых инвариантных левых
идеалов.
Источники
П. Гржешчук, Е. Р. Пучиловский [31]; Дж. Фишер [123]; В. К. Хар-
ченко [127].
6.12. Максимальное кольцо частных
323
6.12. МАКСИМАЛЬНОЕ КОЛЬЦО ЧАСТНЫХ
6.12.1. Левый идеал D кольца R называется плотным, если
для любого г £ R правый аннулятор в кольце R левого
идеала Dr"1 = {χ £ R | xr £ D} равен нулю. Множество S) всех
плотных левых идеалов образует идемпотентный фильтр (см.,
например, [118]), т. е. для него справедливы следующие
утверждения:
(a) если D £ S) и г £ R, то Dr"1 £ S),
(b) если L — левый идеал кольца R и существует левый идеал
D £ S) такой, что для всех d £ D верно Ld~l £ S), то L £ S).
Из утверждений (а), (Ь) легко вывести, что пересечение
конечного множество плотных левых идеалов будет плотным левым
идеалом. Двусторонний идеал / плотный тогда и только тогда,
когда его правый аннулятор равен нулю, поскольку /г-1 D /.
Это означает, что в случае полупервичного кольца Τ С $).
Максимальное (левое) кольцо частных Qma.x{R)
определяется по знакомой нам схеме с помощью фильтра S):
<2тах(Д)= 1ш1Нот(ДД).
вей
Единственное, что здесь следует доказывать — это корректность
определения произведения. Если φι £ Kom(Di, R) и ψ2 £
Hom(£)2, Щ, то суперпозиция ψ\ψ2 определена на (£>2)у?Г п0
обычной формуле {χ)ψ\ψ2 = {χψ\)ψ2- Поэтому необходимо
выполнение включения (.Ог^Г1 £ Я, которое сразу вытекает из
идемпотентности фильтра: (ДУГ1)6'-1 2 ^M^Vi)-1 G Й при
всех d £ D\.
Как и в случае мартиндейловского кольца частных, мы имеем
вложение R С Qma.x(R), отождествляя г £ Re гомоморфизмом
χ —^ хг, определенном на R. Это отождествление имеет смысл,
если R £ S), т. е. правый аннулятор R равен нулю. Если R £ S),
то S) = 0, и вся конструкция максимального кольца частных
теряет смысл. Обычно при рассмотрении вопросов, связанных с
максимальными кольцами частных, предполагают, что исходное
кольцо имеет единицу. Будем считать это предположение далее
выполненным.
Включение Τ С S) для полупервичного кольца R влечет
Rjr С Qma.x(R)- Действительно, требуется лишь заметить, что
324
6. Применения
если ψ е Hom(/, R), где I £ Τ и Όψ = О для плотного ле-.
вого идеала D С /, то ψ = 0. Если ψ φ 0, то αφ ф 0 для
некоторого о G/. Так как D — плотный левый идеал, имеем
0 ф (ΰα-1)(αφ) = [(Der1)^ С Όψ.
Плотные левые идеалы имеют важную характеризацию в
терминах инъективной оболочки E(R) регулярного левого Л-модуля
R. Напомним, что левый модуль Ε называется ишективным,
если любой гомоморфизм ψ: S —ϊ Ε, определенный на подмодуле
S любого модуля Ν, продолжается до гомоморфизма^: N —* Е.
Хорошо известно (см., например, [64, § 4.2]), что любой модуль
Μ имеет инъективную оболочку, т. е. наименьший инъектив-
ный надмодуль Е(М) Э Μ. Известно также, что модуль всегда
является существенным подмодулем своей инъективной
оболочки. При этом инъективная оболочка может быть
охарактеризована как наибольшее расширение Μ, в котором Μ является
существенным подмодулем.
6.12.2. Лемма. Левый идеал D является плотным тогда и
только тогда, когда для любого гомоморфизма левых R-моду-
лей ψ: R —l· E(R) равенство f(D) = 0 влечет равенство
<p = Q.
Доказательство. Пусть D — не плотный левый идеал и
(Dr~1)w = 0, w ф 0, г е R. Тогда аг £ D влечет aw = 0. Это
означает, что корректно определен гомоморфизм ψ: Rr/j{r n £)
—У R, действующий по формуле φ(ατ + D) = aw. Так как
Rr/лг η D — подмодуль модуля R/ £), существует
продолжение φ:
R/D ->■ E(R). Если тг: R ->■ R/D — естественная
проекция, то φ{π{Ό)) = 0 и 7p{it{R)) D Tp{it{Rr)) = Rw ф 0.
Обратно, если ψ: R —у E(R) и φ(α) ф 0, то подмодуль R
φ(α) имеет ненулевое пересечение с существенным подмодулем
R С E{R). Пусть 0 ф t<p(a) eR,teR. Тогда
[(kery)(<a)-1] ίψ(α) = y?[(ker φ)(ία)~1 ta] С φ {кет φ) = 0.
Это означает, что ядро φ не может быть плотным идеалом. D
6.12.3. Лемма. Левый идеал D является плотным тогда и
только тогда, когда его правый аннулятор в E(R) равен нулю.
Доказательство. Если Dw = 0 и 0 ф w £ E(R), то ядро
гомоморфизма г —У rw содержит D, т. е. по лемме 6.12.2 D не
может быть плотным. Обратно, если D не плотный, то ψ(Ό) =
0 для некоторого ненулевого ψ: R —> E{R). Тогда D<p(l) —
<p(D) = 0. D
6.12. Максимальное кольцо частных
325
6.12.4. Лемма. Пусть D — плотный левый идеал в R и £)* —
кольцо, полученное присоединением единицы к D. Если U —
левый идеал кольца R, который содержится в £)* и является
плотным в D*, то U плотный в R.
Доказательство. Заметим, что плотный левый идеал
является существенным: если D Π Ra = 0, то (£)а-1) · а С Ra Π D.
Следовательно, а — Q. Более того, £)* будет существенным
левым подмодулем левого £)*-модуля E(R): если О φ w G E(R),
то по лемме 6.12.3 Dw — ненулевой левый Л-подмодуль, и
поэтому он имеет ненулевое пересечение с Л, а тем самым и с D.
Так как инъективная оболочка E(D&) содержит все
расширения, в которых £)* — существенный подмодуль, имеем E(R) С
E(D#). Если w G E(R) и Uw = 0, то в силу плотности U в
£)* получаем £)*ιυ = 0. Следовательно, w = 0- D
6.12.5. Лемма. Любой автоморфизм из А(Л) имеет
единственное распространение на Qma.x(R), где R —
полупервичное кольцо.
Доказательство. Пусть g G А(Л). Выберем существенные
двусторонние идеалы / и J такие, что J С Iя С R. Если D G
S), то D\ = J(I Π D)9 G S). В силу леммы 6.12.4 достаточно
показать, что D\ — плотный идеал в J#. Если г G /*, то
г = а9 для некоторогоа G /*, причем D\r~l Э J((Ir\D)a~1)9.
Поэтому D\r~l ■ w = 0 влечет J((/ Π D)a~l ■ s)9 = 0, где
s9 = w £ J*. Следовательно, (/ Π £))α-1 · s = 0, т. е. в силу
плотности пересечения / Π D получаем s = 0 и w = 0.
Если ν? G Нотя(£), Л), то элемент ψ9 G Нотя(£)1, Л)
определяется по формуле χψ9 — [χ9 ψ)9. Стандартные
рассуждения показывают, что g: ψ —у φ9 — искомое распространение g
на<2тах(Д). D
6.12.6. Лемма. Пусть R — полупервичное кольцо, g G А(Д),
д — распространение g на Qma.x{R)- Тогда Фд = Ф^ и,
следовательно, B(G) = M(G) для любой группы G С А(Л).
Доказательство. Если φ G Фд и ξ G Qmax, το можно найти
плотный левый идеал D такой, что ΰξ С R. Для любого d G D в
кольце Qmax имеем равенства (άξ)ψ = φ(άξ)9 = φά9ξ9 = άφξ9,
т. е. Ό(ξψ — у?£3) = 0, что означает ξψ = ψξ9.
Если α G Фд, το ία = αϊ3 для всех х G Qmax· Поэтому
достаточно показать, что α G Rp, т. е. найти идеал 1 £ Τ
такой, что Ια С R. Пусть D — плотный левый идеал такой,
326
6. Применения
что Da С R и J — существенный двусторонний идеал такой,
что J9 С R. Тогда DJa = DaJ9 С R. Поэтому I = DJ —
искомый идеал. D
6.12.7. Теорема [Гурсо, Паско, Валетт]. Пусть G —Μ-группа
автоморфизмов полупервичного кольца R. Тогда Qma.x(R ) =
Сначала докажем вспомогательные леммы.
6.12.8. Лемма. Пусть w\, . . . , wn G E(R), где R —
полупервичное кольцо, и не все Wi равны нулю. Если g\,... ,gn G
А(Л), то найдется элемент г G R такой, что г91, . . . , r9n G
R; r9lW\, .. . , r9nwn G R, причем не все элементы r9lW\,. . . ,
r9nwn равны нулю.
Доказательство. Пусть I,JeTnJCl9\I9j\ I9'*9' С
R для всех г, j. Так как J — плотный идеал, имеем I9,W{ φ Ο,
Wi φ 0. Выберем элемент г £ / так, чтобы среди элементов
г91 w\,... , r9nwn было наибольшее возможное число элементов,
лежащих в Л, но не все эти элементы были бы нулевыми.
Например, r9lW\ fi R. Тогда r9lwi φ 0 и Ir9lw\ — ненулевой
подмодуль в E(R). Он имеет ненулевое пересечение с R, т. е.
найдется элемент t G / такой, что 0 φ tr91 w\ G R. Положим
Π = tgi г. Тогда rf'Wi = ί3ι 9ir9iWi G R, если r9*Wi G R или
г = 1, что противоречит выбору г. D
6.12.9. Лемма. Пусть R — полупервичное кольцо и G —
некоторая приведение конечная группа автоморфизмов. Если
D — плотный левый идеал в R, то для любой
инвариантной формы τ найдется плотный идеал Do С D такой, что
t{D0) С D.
Доказательство. Так же, как в лемме 6.4.3, приведем
форму г к виду (см. (6.4.1)) τ = Y^biX9^', где 6,· G 1(G). Пусть
h — идеал из Τ такой, что 6,· 1\ С R, а / — идеал из Τ такой,
что /*'»* С Λ и /Т'эГ1 ς /ι. Тогда D0 = ^(ID)11'19'1 —
ί
плотный идеал как конечное пересечение плотных идеалов.
Ясно, что τ (Do) CD. D
6.12.10. Предложение. Пусть R — полупервичное кольцо и
G — некоторая М-группа автоморфизмов. Если D — плот-
6.12. Максимальное кольцо частных
327
ный левый идеал в R, то D Π R — плотный левый идеал в
RG.
Доказательство. Пусть s, w — элементы из R°, w φ 0. По
лемме 5.5.3 найдем однородный идемпотент е такой, что we φ 0.
Пусть неподвижный идемпотент ё и автоморфизмы д\, ... , дк £
G определяются предложением 5.5.5. Так как 1е,1ё С R для
некоторого существенного идеала /, по лемме 5.6.6 можно
найти элемент i £ /G такой, что wei φ 0. Поэтому 0 φ υΐχ =
w{ie~) £ RG, при этом w±e = wei £ R и w\e = wei φ 0. Пусть
re — главная инвариантная форма и Do — плотный идеал в R
такой, что t(Dq) С D. Тогда (Dos"1) ■ w\e φ 0, т. е.
найдется элемент г G R такой, что rs G Do и rw\e φ 0. Так как
те — главная инвариантная форма и rw\e φ 0, согласно 5.6.8
получаем re[Ir)w\ = re{Irw\) φ 0, где / — идеал из Τ такой,
что те(1) С R. Ясно, что те(1г) ■ s — re(Irs) С г(£)0) С D.
Поэтому те(1г) C(Dn RG)s~1. Если (D П R^s'1 ■ w = 0,
то re(/r)u;i = re(Ir)w(ie~) = 0. Приходим к противоречию,
которое показывает, что D Π RG — плотный левый идеал кольца
инвариантов. D
6.12.11. Лемма. Пусть R — полупервичное кольцо и 0 φ
ψ — Нот(Л, E(R)). Предположим, что на R действует
Μ -группа G. Тогда для некоторой главной инвариантной
формы τ найдется элемент а £ R такой, что 0 φ ψ[τ(Ια)) С
R, где I — существенный двусторонний идеал такой, что
т{1) С R.
Доказательство. По условию существует элемент а\ £ R
такой, что 0 φ ψ(ο.\) = w £ E(R). Так как R —
существенный подмодуль в E(R), можно найти элемент а^ £ R такой, что
0 φ a.2W £ Л, т. е. 0 φ φ(αια2) £ R. Пусть е — однородный
идемпотент, меньший &(φ{α\α,2)). Существование такого идем-
потента вытекает из леммы 5.5.3. Рассмотрим главную
инвариантную форму те для группы Η = {h £ G \ eh = е} (см. 5.6.5).
Пусть р — точка из 17(e). Тогда тр — главная Яр-инвариантная
форма на слое Qv. По определению эта форма имеет вид
η у m -.hi
х = 1 \ = 1 У
где βι, ... , /3m — базис пространства Вр, β\ β*η —
дуальный базис, 1 = h\, ... ,hn — представители смежных
классов группы Яр по подгруппе внутренних автоморфизмов (ffp)int
328
6. Применения
(см. теорему 5.5.7). Это означает, что истинны следующие хор-
новские формулы:
т
ЧхЗеи...,ст Μχ) = Σ*α(€№· (6121)
Vex ст &i53irc(ci-)/Jj = 0->irc(ci) = Oj, (6.12.2)
Vv»(Vx χΗ'ψ = ψχΗ') ->■ ν = 0, (6.12.3)
где i ^ j, а унарные строго пучковые операции тгв, тгс
определяются в 1.11.9. По метатеореме 1.11.13 эти формулы
задают пучковые предикаты. Поэтому согласно 1.11.11 существует
окрестность {/(/) точки р такая, что форма τ/ = fre имеет
представление
η m
«·=ι j=i
в котором коэффициенты как элементы кольца fQ и
автоморфизмы hi,... ,hn как автоморфизмы кольца fQ удовлетворяют
условиям (6.12.1), (6.12.2), (6.12.3) с заменой /3,- на bj и /Э£ на 6}.
Рассмотрим неподвижный идемпотент / = f + f93+- ■ - + f9t, где
автоморфизмы^,.. · , §t определяются как в предложении 5.5.5.
Тогда кольцо fQ распадается в прямую сумму изоморфных
копий
7Q = fQ®f93Q®-®f9tQ,
а форма Tf имеет вид
к 3
Пусть / — идеал из Τ такой, что {Щ)9к С R, {bjl)9k С R,
(fl)9k С R. Если х, а — произвольные элементы /, то
ψ{τ}{χα)) = Υ^Υ^(^χ)9"φ(α9"(η)9"). (6.12.4)
к j
Заметим, что можно найти элемент аз G // такой, что 1р(азЩ) ф
О для некоторого j. В противном случае по формуле (6.12.1) най-
6.12. Максимальное кольцо частных
329
дем разложение / = ci&* + ... + с„6*, где с,· £ С. Выбирая
Τ е Τ так, чтобы Тс, С Л, получим ip(ITf) = 0. Поэтому
ITfip(ai<i2) = φ{ΙΤα\α.2ί) С <p(ITf) = 0, что противоречит
выбору / ^ е ^ e(y?(ai<Z2)).
Далее, по лемме 6.12.8, примененной к кольцу / и
последовательности Wjk = У(аз*(^)Э*)' в которой один из членов Wji
отличен от нуля, найдем элемент 046/ такой, что а^к G / и
Wjk = а9± (р(а,2к(b*j)9k) e R, причем не все Wjk равны нулю.
Положим а = аАа3. Тогда <р(а<>к(Ь})ак) = а\к<р(а93" {Ь*Ук) = wjk.
Равенство (6.12.4) показывает, что φ(τ/(Ια)) С R. Кроме того,
а = af, поскольку аз G //. Следовательно, Wjk = f9kWjk-
Если φ(Ψ](Ια)) = 0, то (6.12.4) превращается в тождество
с автоморфизмами, коэффициенты которого лежат в Q. В силу
(6.12.3) и теоремы 2.2.2
з
при каждом к. Формула (6.12.2) показывает, что такие
соотношения возможны только в случае f9kWjk = f9ktp{a9k (b*j)9k) = 0
при всех j, к (см. 1.6.23). Приходим к противоречию.
6.12.12. Предложение. Пусть R — полупервичное кольцо и
G — его Μ -группа автоморфизмов. Если А — плотный
левый идеал в R , то RA — плотный левый идеал в R.
Доказательство. Пусть ip(RA) = 0, но ψ — ненулевой
гомоморфизм левых Л-модулей φ: R —> E(R). По лемме 6.12.11
найдем элемент а е R такой, что т(а) G R и 0 ф φ(τ(α)) G R
для некоторой инвариантной формы т. В силу плотности Δ
правый аннулятор левого идеала Δι = Ат(а)~1 в RG равен
нулю. Если ρ — правый аннулятор этого идеала в R, η —
произвольная главная инвариантная форма и τι(/) С R, I G Т,
то ΑιΤι(ρΙ) = τχ(ΑιρΙ) = 0, т. е. τι(ρΐ) = 0.
Следовательно, ρ = 0, так как η произвольная (см. 5.6.8). Таким образом,
0 ф Αιψ(τ(α)) = φ(Αιτ(α)) С ψ(Α) = 0, и мы приходим к
противоречию, которое в силу леммы 6.12.2 доказывает
предложение. D
6.12.13. Доказательство теоремы 6.12.7. Покажем сначала,
что Qmbx(RG) естественно вкладывается в Qma.x(R). Пусть
ξ е Hom(A,RG), где А — плотный левый идеал кольца ин-
330
6. Применения
вариантов. Определим ξΗ: RA —ϊΗ,ηο формуле
Покажем, что отображение £Л корректно определено. Пусть
^{ΣΓα(ααΟ Ι ΣΓααα = 0}. Тогда V — левый идеал, и для
а а
любых инвариантной формы τ и существенного идеала / такого,
что т(1) С R,
где г — произвольный элемент /. По предложению 5.6.8 V = 0.
Это означает, что ξΗ — гомоморфизм левых Л-модулей. По
лемме 6.12.12 его область определения есть плотный левый идеал
кольца R, поэтому ξή определяет некоторый элемент Qma.x{R),
который по-прежнему будем обозначать через ξΗ.
Отображение h: ξ —> £ή является вложением Qmax(^G) в Qmax(-R).
Осталось показать, что образ h совпадает с Qmax {R)G. Если
ί £ Qma.x(RG), x = Ε гааа, где га е I, Iя'1 С R, аа е А, то
*(«*)" = [(ΣΓ°α·)β '«]"
Поэтому (IA)[£h - (ξΛ)3] = 0. По лемме 6.12.12 образ h
содержится в Qma.x(R)G. Обратно, пусть φ е QmSLX(R)G, φ: D -> R.
Рассмотрим сужение ψ на плотный идеал D П RG кольца RG
(см. лемму 6.12.10). Так как (D П RG)<p С Qma.*{R)G П R =
RG, сужение ξ отображения ψ принадлежит Qma.x(R ), причем
£Λ = ψ, поскольку по лемме 6 12.12 идеал R{D Π RG) плотный,
а разность ξΗ — φ отображает его в нуль. D
В силу вложения R? С Qma.x(R) и R°- = Qmax(#)G П R?
доказанная теорема вместе с леммой 5.6.6 и следствием 5.10.5
дают возможность обобщить теорему 3.8.2 на случай
полупервичных колец.
6.13. Кольца констант δ-алгебр Ли
331
6.12.14. Теорема. Пусть R — полупервичное кольцо и G —
некоторая М-группа его автоморфизмов. Тогда справедливы
равенства (R?)G = (RG)r и Q(R)G = Q(RG).
Доказательство. Достаточно заметить, что R? можно
охарактеризовать как подкольцо в Qma.x{R), состоящее из
элементов таких, что множество их левых знаменателей содержит
двусторонний существенный идеал кольца R, a Q(R) можно
рассматривать как подкольцо элементов в Rjr, имеющих существенные
идеалы правых знаменателей. D
Отметим, что теорему 6.12.14 можно доказать, не используя
полное кольцо частных, но почти дословным повторением
доказательства теоремы 3.8.2 с соответствующей заменой ссылок.
6.12.15. Теорема. Пусть R — регулярное самоинъективное
слева кольцо. Если G — группа Машке его автоморфизмов,
то R регулярно и самоинъективно слева.
Доказательство. Напомним, что регулярные самоинъектив-
ные слева кольца могут быть охарактеризованы как полупростые
по Джекобсону кольца, совпадающие со своими левыми
максимальными кольцами частных. Теперь остается воспользоваться
теоремами 6.5.8 и 6.12.7. Π
Источники
К. И. Бейдар [14]; Дж. Гурсо, Дж. Остербург, Дж.-Л. Паско,
Дж. Валетт [33]; Дж. Гурсо, Дж.-Л. Паско, Дж, Валетт [34];
Ш. Китамура [51]; И. Ламбек [64]; А. Пейдж [112]; Г. Рено [ИЗ];
Б. Стенстрём [118]; Д. Андельман, Г. Рено [9]; В. К. Харченко
[127, 134].
6.13. СВЯЗИ ПОЛУПЕРВИЧНОГО КОЛЬЦА
С КОЛЬЦОМ КОНСТАНТ 9-АЛГЕБРЫ ЛИ
В этом параграфе рассматриваются свойства колец, которые
переносятся с кольца на кольцо констант и наоборот. Как
обычно, мы оставляем случай внутренних дифференцирований и
ограничиваемся рассмотрением колец простой характеристики.
Ключевым моментом в доказательствах этого параграфа в
большинстве случаев является использование различных вариантов
локальной конечности по Ширшову над кольцом констант.
Далее мы используем следующие обозначения: R — полупервич-
332
6. Применения
ное кольцо характеристики ρ > О, С — его обобщенный
центроид и L С ЩН.) — ограниченная дифференциальная С-алгебра
Ли. Будем предполагать, что L конечно порождена как
правый модуль над С и не содержит ненулевых внутренних для
Q дифференцирований. В силу леммы 1.6.20 алгебру L
можно разложить в прямую сумму циклических подмодулей L =
μι С* φ .. .φ/in С. Мы зафиксируем сильно независимое
множество μι,... , μη и множество всех правильных слов 0 = Δι <
... < Ат. В силу предложения 5.1.2 алгебра L имеет
существенную универсальную константу f(x) = Y^jCjX^', где Cj G С,
причем supe(cy)e(Ay) = 1.
j
6.13.1. Теорема. Кольцо R имеет существенный идеал,
локально конечный в смысле Ширшова над кольцом констант.
Доказательство. Рассмотрим последовательность хорновс-
ких формул
Ф„ ;=± Vu3a,ii in,ri rnVi,
η
αχ = 2_\riuf{tix)&e{a) = e(u).
i=\
Рассматривая / как строго пучковую операцию на Q, по
предложению 4.4.3 получаем, что на каждом слое Qp канонического
пучка выполняется одна из формул Фп. По метатеореме 1.11.13 и
следствию 1.11.20 на кольце Q также выполняется одна из
формул (6.13.1). Положим и = 1 и выберем существенный
двусторонний идеал / так, что /(<,·/) С R, In С R, Ια С R. Тогда
Ial локально конечен над RL, причем 1 = е(а) = е(/а/), т. е
Ial еТ. Π
6.13.2. Теорема. Для любого (Я, R )-подбимодуля V в Q
найдутся центральный идемпотент е и существенный идеал I в
R такие, что It С V = Ve.
Доказательство. Пусть в (6.13.1) элемент и выбран из V.
Выберем идеал Τ е Τ так, что Тп С R, Та С R, f(UT) С
R. Тогда ТаТ С V, причем е(ТаТ) = е(а) = е(и). Пусть
/о — сумма всех идеалов ТаТ, когда и пробегает V. Тогда е =
е(/о) = e(V), и можно взять / = /0 + аппд /0. D
Аналогично получаем следующее утверждение.
(6.13.1)
6.13. Кольца констант <9-алгебр Ли
333
6.13.3. Теорема. Для любого (RL, В)-подбимодуля W β Q
найдется идеал Ι Ε Τ такой, что 1е С W, где е = e(W) —
носитель W.
«Левый» аналог теоремы 6.13.1 сформулируем в форме,
учитывающей, что элементы f{t{x) в формуле (6.13.1) линейны по
χ над RL.
6.13.4. Теорема. Пусть Ш — множество элементов а
кольца R , для которых существуют элементы г\, ■ ■ ■ , r„ G R
и гомоморфизмы левых R -модулей г,·: R —l· R , зависящие
от а и такие, что при всех χ G R справедливо разложение
χα = Σ,·=1 T{(x)ri. Тогда III — существенный двусторонний
идеал кольца R.
6.13.5. Лемма. Если А — ненулевой левый [правый) идеал
кольца R, то f(A) φ 0.
Доказательство. Если f(xa) = 0 при всех ι ε Л, то по
теореме 2.3.1 e(cj)e(Aj)e(a) — 0 при всех j. Так как / —
существенная универсальная константа, а = 0. Π
6.13.6. Следствие. Если I G Τ, то I — существенный идеал
кольца R . Обратно, если ρ — существенный двусторонний
идеал R , то Rp (α также pR) содержит существенный
идеал кольца R.
Доказательство. Первое утверждение есть следствие 5.1.3.
Для доказательства второго достаточно по теореме 6.13.2
установить, что носитель ρ равен единице. Если рхЬ = 0 для всех
χ е R, то f(pxb) = 0, откуда pf(xb) = 0. Выбирая I £ Τ
так, что /(/6) С R, получим f(Ib) = 0. Тогда по лемме 6.13.5
получаем 6 = 0. D
6.13.7. Лемма. Пусть I — существенный двусторонний
идеал кольца R такой, что /(/) С R. Если А — существенный
левый идеал в R, то f(IA) — существенный левый идеал в
R1.
Доказательство. Пусть W — ненулевой левый идеал в RL.
Тогда IW П ΙΑ φ 0. и по лемме 6.13.5 0 φ f(IW П ΙΑ) С
f(IA)nf{I)WCf{IA)nW. О
6.13.8. Теорема. Кольцо R полупростое артиново тогда и
только тогда, когда кольцо R полупростое артиново.
334
6. Применения
Доказательство. Пусть RL артиново и Ш — существенный
локально конечный над RL идеал. Тогда Ш Π RL —
существенный идеал в RL. Поэтому 1 G Ш. Следовательно, R — конечно
порожденный левый модуль над RL, и поэтому он артинов. Это
означает, что он артинов как Д-модуль.
Для доказательства обратного утверждения предположим,
что R артиново и S = f(R). Тогда S2 = f(R)f(R) = f(Rf{R))
= /(Л) = 5, причем S — существенный идеал в RL. Если 1\ Э
/г D ... — строго убывающая цепочка левых идеалов в S таких,
что SIn = In, то найдется номер к такой, что RIk = RIk+i-
Следовательно, f(R)Ik = f(R)h+i, что приводит к
противоречию. Таким образом, S — полупростое артиново кольцо и
существенный идеал в RL, т. е. S = RL. D
6.13.9. Теорема. Кольцо R полупросто по Джекобсону тогда
и только тогда, когда полупросто кольцо Л .
Доказательство. Пусть R полупросто и Ш —
существенный локально конечный слева над RL идеал. Так как ШПRL —
существенный идеал в RL, при J(RL) φ 0 можно найти
ненулевой элемент w G Ш, аннулирующий все неприводимые левые
Л^-модули. По теореме 6.13.2 RLwR D /е, где е = e(w), I £ Т.
Пусть V — неприводимый левый Д-модуль и IwV φ 0. Тогда
V = IwV — конечно порожденный левый Л^-модуль. Если
W — его максимальный подмодуль, то V/\γ неприводимый,
т. е. W D wV. Поэтому RLwRV С W или elV С W. Однако
0 φ IwV С elV — ненулевой Л-подмодуль V, т. е. V = W, что
приводит к противоречию.
Чтобы доказать обратное утверждение, заметим, что J(R) П
RL — квазирегулярный идеал в RL. Если a G J(R)L, то
найдется χ е J(R) такой, что аох=хоа = 0. Тогда при любом
μ G L имеем α ο χμ = --α, и поэтому χμ = (χ ο α) ο χμ =
χ о (а о χμ) = 0, т. е. χ £ J(R)L. Напомним, что если Ιμ С R,
то (Ι2)μ С /. Взяв в качестве / существенный идеал такой, что
Ιμί С R для всех базисных дифференцирований и Cjl С R для
всех коэффициентов /, найдем ([IJ(R)]m+1)A> С IJ(R).
Поэтому f((IJ(R))m+1) С J(R) П RL = 0, т.е. по лемме 6.13.5
(IJ(R))m+1 = 0. Следовательно, R полупросто. D
6.13.10. Теорема. Кольцо R примитивно тогда и только
тогда, когда примитивно кольцо R.
Доказательство. Если V — точный неприводимый левый
Л-модуль, то он конечно порожден как левый Л^-модуль и фак-
6.13. Кольца констант <9-алгебр Ли
335
тор-модуль V/\у по максимальному ./^-подмодулю будет
точным: если 0 φ aV С W, то RLaRV С W. Однако RLaR Э
/ е Т, и поэтому I7 = IV = W.
Для доказательства обратного утверждения рассмотрим
максимальный модулярный левый идеал λ кольца RL. Пусть Lq =
RX + λ. Тогда Lq Π Rl = λ, так как иначе Lo Э RL и
Lo 2 ЯД*' Э Те .Т7, т. е. для идеала Ι ζ Τ такого, что
/(/) С R получаем противоречие: RL > f(IT) С f(IL0) С
/(/λ) = /(/)λ С λ. Множество ЯЛ всех левых идеалов Μ
кольца Л, содержащихся в R' = RRL + RL и таких, что МПД^ = λ,
непусто и индуктивно. Пусть N — максимальный элемент ЯП.
Легко видеть, что V = R'/N — искомый точный неприводимый
модуль кольца R. D
6.13.11. Теорема. Кольцо R вполне примитивно тогда и
только тогда, когда вполне примитивно исходное кольцо.
Доказательство. Пусть R вполне примитивно и Η —
цоколь кольца R. Тогда Ш — наименьший идеал. Следовательно,
/(H) С R. Более того, Η/(Η) содержит идеал кольца R.
Поэтому Η/(Η) = Ш. Если /(H) не имеет минимального левого
идеала, то найдется бесконечная последовательность элементов
si,... , sn,... из /(H) такая, что /(H)s„ ^ /(H)s„+i для всех
η = 1,2,.... Домножая слева на Н, получим Hsn Э Msn+\.
Так как si G Н, модуль Ms\ имеет конечный ранг. Это
означает, что найдется номер η такой, что Msn = Msn+i. Применяя /,
получим противоречие.
Для доказательства обратного утверждения заметим, что
если е — примитивный идемпотент кольца констант, то алгебра
L индуцируется на eRe и теорема 2.2.2 показывает, что
дифференцирования 'μ1 ~μη, индуцированные базисом алгебры
L, сильно независимы в Ю>(еДе) (ср. аналогичную лемму 6.6.5).
Так как (eRe)L = eRLe — тело, по теореме 6.13.8 кольцо eRe
простое артиново. Если / — примитивный идемпотент из eRe,
то fRf — тело и, следовательно, / — искомый примитивный
идемпотент кольца R. D
6.13.12. Теорема. Кольцо R будет левым кольцом Голди
тогда и только тогда, когда таковым будет R.
Доказательство. Пусть R — левое кольцо Голди. Условие
максимальности для аннуляторов переносится на подкольца и
потому выполняется в RL. Если А+ В — прямая сумма левых
идеалов в RL и /(/) С R, I е Т, то f(IA П IB) С f(I)A П
336
6. Применения
f(I)B = 0, т. е. IA+ IB — прямая сумма в R, т. е. в RL нет
бесконечных прямых сумм ненулевых левых идеалов.
Для доказательства обратного утверждения рассмотрим
левое кольцо Голди RL. Покажем, что R — несингулярное кольцо.
Если 0 φ Z{R) — сингулярный идеал R, то 0 φ f((IZ(R))m+1)
С Z(R), где / е Τ такой, что /"' С R, Cjl С R. Поэтому
можно найти ненулевую константу ζ G Z{R). Пусть Az = О,
где А — существенный левый идеал кольца R. Ввиду леммы
6.13.7 приходим к противоречию: 0 = f(IAz) = f(IA)z, так
как Z(RL) = 0. Конечномерность по Голди кольца R вытекает
из следующей леммы, которая аналогична лемме 6.7.6 и является
следствием теоремы 6.13.4. D
6.13.13. Лемма. Если R — левое кольцо Голди, то левый
R -модуль R вложим в конечную прямую сумму копий
регулярного модуля R .
Из леммы 6.13.13 получаем следующее утверждение.
6.13.14. Следствие. Если R нётерово слева, то R также
нётерово слева.
В заключение параграфа остановимся на кольцах частных.
6.13.15. Лемма. Если μ е O(R) и D — плотный левый идеал
в R, то существует плотный левый идеал Dq С D такой,
что £>£ С D.
Доказательство. Пусть Ιμ С R, I е Т. Множество А =
{d G D | άμ G D} является левым /-модулем: (ίά)μ = ίμά +
ιάμ e D. Положим D0 = ΙΑ. Если d e D, г е / и άχάμ £
D, т. е. di e Did")'1, то (i'did)" = {id^d + (id^d" e D.
Поэтому Ad'1 D / · 0(άμ)-1. Следовательно, D^d D I ■ I ■
D(d,i)~1 — плотный идеал. В силу идемпотентности фильтра
S) плотных идеалов получаем До £й. D
6.13.16. Следствие. Для любого плотного идеала D
существует плотный идеал Dq такой, что DqS CD для всех
правильных слов Aj от базисных дифференцирований.
Доказательство, проводится очевидной индукцией по длине
слова.
6.13.17. Следствие. Пусть D — плотный левый идеал. Тогда
f(Do) С D для некоторого плотного левого идеала Do С D.
6,13, Кольца констант δ-алгебр Ли
337
Доказательство. Нужно применить следствие 6.13.16,
заменяя R идеал / G Τ таким, что cjl С R для коэффициентов
универсальной константы /. D
6.13.18. Лемма. Если D — плотный левый идеал кольца R,
то DC\ R — плотный левый идеал кольца R .
Доказательство. Пусть Do — плотный идеал такой, что
/(.Do) С D. Если s e RL, то Dos"1 — плотный левый идеал
в R, Поэтому для любого а φ О имеем DqS~1 ■ а φ 0. Если
a G RL, το 0 φ f(DoS~1 · а) = f(DoS~1)a. Остается заметить,
что /(£>os-1) С f(Do)s~1, так как 6 · s e Dq влечет /(6) · s G
f(D0)Kf(b)ef(D0)s-\ D
6.13.19. Лемма. Любое дифференцирование из Ю)(Л) имеет
единственное распространение на Qma.x(R)·
Доказательство. Пусть ψ е <Зтах(Д)· Тогда Dip С R для
некоторого Deft. Пусть μ е B(R) и Ιμ С R, I e Т. Найдем
плотный идеал Dq С D такой, что Dq С D. Тогда можно
определить ψμ е Нотя(/£)о, R) по формуле άψμ = {άψ)μ — άμψ.
Теперь легко видно, что ψ —> ψμ — искомое распространение.
Его единственность вытекает из формулы (άψ)μ = άψμ + άμψ,
при помощи которой мы задавали гомоморфизм ψμ. D
6.13.20. Предложение. Распространения Ji1,... ,~μη базисных
дифференцирований на Qma.x(R) сильно независимы.
Доказательство. Пусть ^с;!**· = ах — χα для С{,а G
Qmax(^) и всех χ G Qmax(^). Найдем плотный идеал D
такой, что Da С R, Dei С R. Тогда ^(dici)(a;d)'ii = (d\a)xd~
d\x(da), где d\,d £ D. Согласно теореме 2.3.1 имеем β(μ;) ·
d\C{®d = 0 при всех г. Так как e(D) = 1, получаем <;,β(μ,) = 0,
т. е. μ,χ,· = 0. D
6.13.21. Теорема [Дж. Пирс, Дос Сантос]. Для максимального
кольца частных верна формула Qmax(R) = Qmax(^) .
Докажем еще несколько вспомогательных лемм. Пусть 0 =
Δι < Аг < . · · < Ат — все правильные слова от
базисных дифференцирований, 1 = е\,... ,ет — носители
операторов Δι,... ,Ат. Обозначим через / идеал из Τ такой, что
Iej С R, /Δ' С R, 1 ^ j ζ т. Прямое разложение / =
ejl -j- (1 — ej)I индуцирует разложение инъективной оболочки
E(R) = E(I) = E(ejl) + E((l — ej)7). Это позволяет
определить умножения элементов инъективной оболочки на централь-
338
6. Применения
ные идемпотенты е\,... ,ет, полагая ejW = w\, где w = w\ +
юг — соответствующее разложение w в прямой сумме.
Каждому слову Aj сопоставим абелеву группу AjejE(R),
изоморфную ejE(R) при соответствии Ajw <—l· w. Положим Μ к =
к
Σ ®AjejE(R) и введем на Μ к структуру левого Л-модуля:
i=i
г Aw = J2 Δ'(γδ w). По формуле Лейбница
Δ'οΔ"=Δ
(r\r)Aw = Vj A'(rir) w
Δ'οΔ"=Δ
Σ Λ/ Δ" Δ'"
Δ'τ-f r^ w
Δ'οΔ"οΔ'"=Δ
= YJ γιΔ'γδ w = γι(γΔιο).
Δ'οΔ'"=Δ
Так что определенное нами действие действительно превращает
Мк в левый модуль. В каждом из этих модулей рассмотрим
к
подмодули Nk = Σ ®AjejR.
j=i
6.13.22. Лемма. Nk — существенный подмодуль в Мк·
Доказательство. Проведем индукцию по к. Если к = 1,
то М\ естественно отождествляется с E(R), при этом N\
отождествляется с Л, и остается воспользоваться тем, что R —
существенный /-подмодуль в инъективной оболочке E(R).
Пусть Nk-i — существенный подмодуль в Μ*_ι.
Рассмотрим подмодуль Wk = IAkek- Заметим, что Wk Π Mk-i = 0.
Действительно, если 0 φ s G /e^, то sAkek = Σ]Δ'ΛδΔ* Ξ
Aks(modMk-i). В силу индуктивного предположения Wk +
Nk-i — существенный подмодуль в Wk + Мк-\. Так как Nk 2
Wk + Nk-i, остается показать, что Wk + Мк-1 — существенный
подмодуль в Мк. Для этого воспользуемся очевидным
утверждением: если U С V С W — цепочка модулей и V JU —
существенный подмодуль в W j{j} то V — существенный
подмодуль W. В нашей ситуации Мк/Мк-ι изоморфен ekE(R) при
к
отображении Σ Δ,·ιυ,· —^ Wk. Это отображение переводит Wk в
t = l
ekl. Поэтому Wk + Mk-\jMk-i — существенный подмодуль в
ekE{R). D
6.13. Кольца констант 5-алгебр Ли
339
6.13.23. Лемма. Если w — ненулевой элемент инъективной
оболочки E(R), то найдется элемент a G R такой, что
О φ f(a)w e R, где f(x) — существенная универсальная
константа и /(a) G R.
Доказательство. Пусть f{x) = Σ x^'Cj. Обозначим через
/ идеал из Τ такой, что /Δ>,Icj,Iej С Д, 1 ^ j ( га, где,
как и выше, ej = e(Aj). Так как supeje(cj) — 1, найдется
номер к такой, что e^e(cfe)iu φ 0. По следствию 6.13.6 RIL ·
Ske(ck)w φ 0, т. е. мы можем найти константу t G IL такую, что
(cfci)efcio φ 0 (напомним, что в силу регулярности по Нейману
центра С имеем е(с^) = Cfcc'fe). Рассмотрим в Мт сумму h =
Σ Aj(cjt)ejW. В силу построения к-я компонента отлична от
нуля. Следовательно, h — ненулевой элемент Мт. По лемме
6.13.22 можно найти элемент s £ / такой, что 0 φ sh G Nm.
С каждым элементом g = Σ Δ^ιυ,- е Мт свяжем отображение
д: / —у E(R), действующее по формуле g(x) = J2 χΔ-*ΐϋ,·. Тогда
fg(x) = d(xs) ПРИ любых х, s G /. Кроме того, если g G Nm, то
образ ^ содержится в R. Теорема 2.3.1 показывает, что если g e
Nm и 5 — нулевое отображение, то g — нулевой элемент в Nm,
Теперь мы можем найти элемент s\ G / такой, что sh(si) φ Ο,
т.е. h(sis) φ 0. Однако h(x) — f[xt)w при χ (ζ I. Полагая
а = sist, получаем 0 φ h(s\s) — f(a)w = sh(s\) Ε R. Π
6.13.24. Предложение. Если ρ — плотный левый идеал в RL,
то Rp — плотный левый идеал в R.
Доказательство. Пусть Rpw = 0 для некоторого
ненулевого w e E(R). По лемме 6.13.23 найдем элемент a G R такой, что
0 φ f(a)w e R и /(a) G RL. В силу плотности ρ правый анну-
лятор левого Л^-идеала р\ = pf(a)~1 в RL, а следовательно и
в R, равен нулю. Тогда 0 φ ρ\ ■ [f(a)w] = [pif(a)}w С pw = 0.
Получаем противоречие, которое доказывает предложение. D
6.13.25. Доказательство теоремы 6.13.21 получается почти
дословным повторением доказательства теоремы 6.12.7 при помощи
леммы 6.13.18 и предложения 6.13.24.
6.13.26. Следствие. Для мартиндейловского кольца частных
имеют место равенства Q(R)L = Q{RL), Ryr = (RL)jr.
Доказательство вытекает из теоремы 6.13.21 при помощи
следствия 6.13.6 и вложения Rjr С Qma.x. □
340
6. Применения
6.13.27. Следствие. ЕслиН, — левое кольцо Голди, moQc\(R)L
= Qc\{RL).
Доказательство. Действительно, в этом случае
максимальное кольцо частных совпадает с классическим. D
6.13.28. Следствие. Если R — регулярное самоинъективное
слева кольцо, то R также регулярно и самоинъективно.
Источники
Пирс Дос Сантос [108]; А. 3. Попов [ill]; В. К. Харченко [141,
143].
6.14. АЛГЕБРЫ ХОПФА
В этом параграфе мы рассмотрим общую концепцию действия
алгебр Хопфа, охватывающую как случай автоморфизмов, так и
случай дифференцирований. Напомним определения, связанные
с понятием алгебр Хопфа.
6.14.1. Определение коалгебры получается из категорий го
определения алгебры обращением всех стрелок. Именно, коумноже-
нием на линейном пространстве Η называется линейное
отображение Δ: Η —> Η ®с Η, где С — основное поле. Выше нам
приходилось наблюдать, как применение функтора Нот(—, С)
приводит к обращению стрелок (см. 3.3). Это наблюдение
подсказывает, что если на конечномерном пространстве Η задано
умножение, то на сопряженном пространстве Н*
индуцируется коумножение и наоборот — если на Η задано коумножение,
то на Н* индуцируется умножение (т. е. Н* превращается в
алгебру, вообще говоря, не ассоциативную). Теперь естественно
представить эти умножение и коумножение в некотором общем
или похожем виде. Это можно сделать в терминах структурных
констант. Пусть на Η заданы умножение U и коумножение Δ
не связанные между собой. Зафиксируем на Η некоторый базис
{hi | г G /}. Тогда умножение однозначно задается системой
структурных констант {cLJ G С \ i,j, k G /}, определяющей
произведения базисных элементов:
Ufa.hj) = Ы ■ hj = £>|J V (6.14.1)
к
6.14. Алгебры Хопфа
341
Аналогично коумножение на базисных элементах можно задать
структурными константами {δ^ ' е С \ г, j, к е /}:
A{hk) = Y^S^)hi^hj. (6.14.2)
Естественно предположить, что коумножение U* и умножение
Δ* на Н* задаются теми же наборами структурных констант:
гилг) = Х>!?)л?®лз <614·3)
и соответственно
где, как обычно, через Л*,... , Л* обозначен дуальный базис
сопряженного пространства. Это предположение оказывается
верным. Таким образом, формулы (6.14.1)—(6.14.4) показывают, что
понятие коалгебры столь же естественно, как и понятие алгебры.
В случае бесконечной размерности формулы (6.14.3), (6.14.4)
также можно использовать для определения дуальных коумно-
жения и умножения, однако необходимо выяснить некоторые
возникающие вопросы. Прежде всего, множество {hf | г G /}
уже не образует базиса сопряженного пространства. Тем не
менее любой функционал а £ Hom(ff, С) задается своим
действием на базисных элементах {/г.·}. Поэтому а можно
отождествить с элементом Y[ a(fn)hf декартова произведения Π С1?
«'€/
и, обратно, любой элемент J"[ α,·/ιΐ декартова произведения
определяет функционал: (Πα»'ιί)('ιί') = aj- Таким образом, любой
элемент Н* представим однозначно в виде бесконечной линейной
комбинации элементов AJ. Теперь естественно определить U* и
Δ* на бесконечных комбинациях по линейности:
^*(Σλ*Α*)=Σλ*^*(Α*)· (β·14·5)
^(Ew Σ^λ·) = E^^w-W· (6·14·6)
Возникает второй вопрос, как привести подобные члены в
правых частях формул (6.14.5), (6.14.6)? Здесь помогает то
обстоятельство, что в формулах (6.14.1) и (6.14.2) суммы конечные.
Это означает, что для фиксированных г, j существует только
342
6. Применения
конечное число к таких, что с,.· φ О, и для каждого
фиксированного к существует только конечное число пар.(г, j) таких, что
Sjj' φ 0. Таким образом, правые части формул (6.14.5), (6.14.6)
содержат только конечные наборы подобных членов. Наконец,
в правой части (6.14.5) стоит бесконечная прямая сумма
базисных тензоров, т. е. элемент (Я ® Я)*. Этот элемент может не
быть конечной суммой тензоров бесконечных линейных
комбинаций функционалов {Л;}, т. е. может не лежать в Я* ® Я*.
Следовательно, U* не будет коумножением в Я*.
Таким образом, в бесконечномерном случае можно лишь
утверждать, что если Я — коалгебра, то Я* — алгебра. Однако
этого вполне достаточно, чтобы всем понятиям теории алгебр
сопоставить дуальные понятия теории коалгебр, например, ко-
коммутативность, коассоциативность, наличие коединицы в Я
означают соответственно коммутативность, ассоциативность,
наличие единицы в Я*. Распишем эти понятия в терминах коумно-
жения.
Кокоммутативностъ.
Если Δ(Α) = Σ hi1] ® hf\ то £ AJ2) ® h(}] = Δ(Α).
Коассоциативность.
Если Δ(Α) = E*i1J® AJ2), то £XAi1J)® AJ2) = £ AJ1J®
A(h\ ') в тензорном произведении Η ® Η ® Η.
Коединица — это функционал е: Η —ϊ Η такой, что
E*i1W,) = E^1,)*ia, = *1
гдеА(А) = ЕА,(1)®А|2).
Биалгебра — это ассоциативная алгебра с единицей Н, на
которой задано коассоциативное коумножение Δ: Η —> Η ® Η и
коединица е: Η —ϊ С, являющиеся гомоморфизмами С-алгебр.
Антипод биалгебры Η — это антигомоморфизм алгебр S: Η
—ϊ Η такой, что
Σ*ί1,·5(Λί2,) = Σ5(Λί1,)·Λί4 = ε(Λ)·1.
где A(h) = Σ h\ ® h\ , а точкой обозначено умножение в Я.
Алгебра Хопфа — это биалгебра с единицей, коединицей и
антиподом.
6.14. Алгебры Хопфа
343
Говорят, что задано действие алгебры Хопфа Η на
ассоциативной С-алгебре R, если каждому элементу h G Η
сопоставлено линейное преобразование г —* rh пространства R в себя так,
что выполняются тождества
х1 = х, х^1*1^ = (xhl)h3, xahT-+Phi = αχ^+βχ^, (6.14.7)
а также
(*»)*= E^V^, (6-14.8)
где Δ(/ι) = J2 h\ ® h\ . Роль инвариантов (или констант) при
действии алгебры Хопфа играет подалгебра
RH = {re R I V/i e Я rh = e(h)r}.
Рассмотрим важнейшие примеры действий алгебр Хопфа.
6.14.2. Автоморфизмы. Пусть G — некоторая группа.
Рассмотрим групповую алгебру C[G] и определим на ней коумножение
Δ, коединицу ε и антипод S на базисных элементах по формулам
Δ(5)=5®5, е(Я) = 1, S(g)=g-1 (6.14.9)
и по линейности продолжим на C[G]. Легко проверить, что
групповая алгебра превращается в кокоммутативную алгебру Хопфа.
Если эта алгебра Хопфа действует на некоторой ассоциативной
алгебре, то по формуле (6.14.8) получаем (ху)9 = х9у9. Кроме
того, (х9)9 = х. Поэтому G действует как группа
автоморфизмов.
Обратно, если G действует на R как группа автоморфизмов,
то естественно возникает действие алгебры Хопфа по формуле
xI2o4gi = Y^a.xgi (6.14.10)
Легко видеть, что
RC[G]
= R , так как если г G R , то по
формуле (6.14.10) г^ а·^ = ( £] α,·) г = е'( Σ а<5,-)г.
6.14.3. Групповая градуировка. Предположим, что G —
конечная группа, и выясним, как выглядит действие сопряженной
алгебры C[G]*. Базис этой алгебры Хопфа состоит из элементов
Pg, g G G, а таблица умножения и коумножения определяется
формулами (6.14.3), (6.14.4):
А(Ря) = ЕР" ® Р"-д, Ρ*Ρή = *g,hPg,
h
344
6. Применения
где S9ih — символ Кронекера. Это означает, что {Рд,д GG} —
множество попарно ортогональных идемпотентов, сумма
которых равна единице. Далее, коединица определяется равенствами
ε(Ρι) = 1, ε(Ρ9) = 0 при д φ 1 е G, а антипод задается
формулой S(Pg) = Pg-i. Если C[G]* действует на R, то мы имеем
разложение R в прямую сумму подпространств R = Σ Pg{R)<
при этом
Pj[Pg(R) ■ Ph(R)} = J2Pv(Pg(R)) ■ Pv-4(Ph(R))
Го, д'ЧФК
\Pg(R)Ph(R), f = gh,
т. e. Pg(R)Ph(R) С Pgh(R). Таким образом, на R возникает
градуировка при помощи группы G.
Обратно, если алгебра R градуирована конечной группой
R = У ®Rg, RgRfi С Rgh,
g€G
то можно определить действие алгебры Хопфа C*[G]* по
формуле г^аяря = Σ адГд, где г = Σ гд — разложение в сумму
однородных компонент. В частности, Рд — проектор на
однородную компоненту Rg. Поэтому
(ху)р« = (ху)д = ]Г xhyh-lg = ^Γχ^ίΛ-1»,
n€G ή
т. е. мы действительно получили действие алгебры Хопфа.
Наконец, роль инвариантов в такой ситуации играет первая
компонента RCW = {χ е R | xh = £{h)x} = Rl
6.14.4. Дифференцирования. Пусть L — алгебра Ли над
полем С и U(L) —ее универсальная обертывающая. Зафиксируем
базис {/,·} алгебры L. Тогда базисом U(L) будут все
«монотонные» слова от {/,·}, т. е. слова вида /<ι/»·2 .. ./»·*, где г\ <С. г'г ^
... ^ ik. Определим коумножение и антипод сначала на {/,·}:
Δ(/,·) = 1® /,· + /,· ®1, S{k) = -/,·, (6.14.11)
а затем распространим на U(L) так, чтобы Δ стало
гомоморфизмом С-алгебр (Δ: U(L) —► U(L) <g> U(L)), a 5 —
антиавтоморфизмом. Понятно, что на слова V коумножение и антипод
6.14. Алгебры Хопфа
345
действуют по формулам
A{V)= 5Z v'®v"< S{V) = {-l)W7, (6.14.12)
V'oV" = V
где \V\ — длина слова V, a,V получается из V прочтением
справа налево. Значение коединицы ε на всех непустых словах
считаем равным нулю, а на пустом слове (т. е. на единице
универсальной обертывающей) полагаем равным пустому слову (единице).
Индукцией по длине слова легко проверить, что U(L)
превращается в кокоммутативную алгебру Хопфа. Если она действует
на R, то согласно (6.14.11) χ —> χ1 — дифференцирования, если
leL.
Обратно, предположим, что на алгебре R действует
алгебра Ли дифференцирований L. Тогда действие слов из U(L)
определяется суперпозициями. Формула Лейбница
показывает, что имеет место тождество (6.14.8), так что получается
действие алгебры Хопфа U(L). Понятно также, что ru^ = {xe
R | V/ G L х1 = 0} = RL. Если характеристика ρ
поля С положительна и L — ограниченная алгебра Ли, то
формулы (6.14.12) определяют структуру алгебры Хопфа также на
р-обертывающей UP(L), если считать, что V — правильные
слова от {/,·}. Для конечномерной р-алгебры Ли L ее
универсальная р-обертывающая Up(L) будет конечномерной. Поэтому
возникает сопряженная алгебра Хопфа Up(L)*. Эта алгебра
коммутативна (так как Up(L) кокоммутативна). При этом
формула Лейбница (6.14.12) и равенство (6.14.4) показывают, что
V* ■ V2* = (Vi о V2)*. Таким образом, Up(L)* как ассоциативная
алгебра изоморфна кольцу усеченных многочленов
С[х\ Хп]/хР = 0.
(Точно так же ассоциативная алгебра U(L)* в случае
произвольного поля и алгебры Ли L произвольной размерности
будет изоморфна кольцу многочленов С\х\ хп,...].) Коумно-
жение на Up(L)* определяется таблицей умножения алгебры
Ли при помощи формулы (6.14.3), антипод задается равенством
S(x{) = —Xi, а коединица отображает в нуль все переменные
х\ хп и е(1) = 1. Действие Up(L)* довольно трудно
определить в компактном виде, но это именно то, что естественно
называть градуировкой при помощи ограниченной алгебры Ли L.
346
6. Применения
6.14.5. Косые дифференцирования. Пусть R — алгебра над
полем С и s — некоторый ее автоморфизм. Линейное
отображение μ: R —> R называется s-дифференцированием (косым
дифференцированием), если для всех х,у £ R выполняется
тождество (χν)μ = χμν + χ'νμ. Простейшие примеры
s-дифференцирований — это внутренние s-дифференцирования: если α £ R,
то μ: χ —> ах — х'а — косое дифференцирование. Множество
L, всех s-дифференцирований образует линейное пространство:
[xyYc+l/d = (ху)»с + {xyYd = x"c+l/dy + x'y^c+l/d.
Внутренние s-дифференцирования образуют подпространство
intL, в L,. Важно отметить, что группа автоморфизмов Aut R
действует сопряжениями на множестве всех косых
дифференцирований: (xy)a~1,ia = xa~'^y+ Х9~1>9у9-1м1 т> е. Ц -
Lg-iig. При этом подпространства внутренних косых
дифференцирований оказываются в определенном смысле инвариантными:
(intL,)3 = mtLg-isg.
Как известно, множество обычных дифференцирований L\
образует алгебру Ли, а в случае положительной
характеристики даже ограниченную алгебру Ли. Возникает естественный
вопрос об алгебраической структуре множества всех косых
дифференцирований. Эта структура существенно зависит от действий
автоморфизмов, лежащих в основе пространств L,, на самих
этих пространствах. Например, пусть μ £ Ls, υ £ Lg,
причем μ9 = μ, υ' = ν. Легко видеть, что коммутатор [μ, ν] будет
вд-дифференцированием. Если μ3 = —μ, ν' = — ν, тойорданова
композиция μυ + υμ будет sg-дифференцированием. Приведем
еще один пример: пусть μ, υ £ L, и μ' = μ + υ, ν' = ν. Тогда
2μν — Ίυμ - υ1 £ Lsi.
Исследование алгебраической структуры множества косых
дифференцирований возможно с помощью алгебр Хопфа.
Сформулируем необходимые определения. Пусть G — группа.
Предположим, что задано отображение η из G в некоторое множество
линейных пространств над основным полем С. Пара (G, -у)
называется гребешком, если дополнительно задано действие
группы G на прямой сумме этих пространств Λ = Σ ®f(g) такое,
g€G
что f(s)g = ~y(g~1sg). Группа G называется основанием этого
гребешка, а пространства ~f(s), s £ G, — его зубцами.
Основанием зубца 7(s) называется автоморфизм s. Понятно, что
задание гребешка (G, ■у) эквивалентно заданию пространства Λ,
на котором определены действие и кодействие группы G так,
6.14. Алгебры Хопфа
347
что (Л5)э = Lg-i,g. Таким образом, косые дифференцирования
алгебры R образуют гребешок с основанием Aut(u) и зубцами
•y(s) = Ls. Возникает вопрос: можно ли произвольный гребешок
Г = (G, 7) над С реализовать как гребешок косых
дифференцирований (не обязательно всех) какой-либо алгебры? Ответ на
этот вопрос положителен. Рассмотрим линейное пространство
Л = J2 ®f(s) и его тензорную алгебру R = С(Л). Каждый из
элементов s G G действует на Л и однозначно распространяется
до автоморфизма R. Зафиксируем в пространстве -y(s)
некоторый базис μι μη,... и определим действие μ»·(μ^·) = SijUj,
где &ij — символ Кронекера и μ,·(7(/ι)) = 0 при h φ s. Так как
R — свободная алгебра, такое действие можно распространить
до s-дифференцирования R. Таким образом получается
реализация Г косыми дифференцированиями.
Свяжем с гребешком Г алгебру Хопфа С(Г), которую
будем называть свободной оболочкой гребешка Г. Как
отмечено выше, группа G действует на свободной алгебре С(Л), где
Л = Σ l(s)· Поэтому можно определить скрещенное
произведение С(Г) — G * С(Л) с тривиальной системой факторов (иначе,
косую групповую алгебру). Базис этого произведения состоит из
всевозможных слов εμι .. .μη, где s G G, μ{ — элементы
фиксированных базисов зубцов. Произведение таких слов определяется
многократным использованием формулы με = εμ'.
Определим на С(Г) коумножение. Для слов единичной
длины положим Δ(μ) = μ®1 + δ®μ, т& μ £ f(s), A(s) — s®s, где
s G G. На слова большей длины и на линейные комбинации Δ
распространяется так, чтобы коумножение стало
гомоморфизмом алгебр. Таким образом, С(Г) превращается в биалгебру
Последняя имеет коединицу е: С(Г) —> С, которая равна
нулю на всех словах, включающих базисные дифференцирования,
и равна единице на элементах G.
Определим на С(Г) антипод S. Положим 5(μ) = —/ι-1μ,
S(h) = /ι-1, где μ е l{h). Продолжим S до антиизоморфизма
S: С(Г) —> С (Г). Проверка того, что ε — коединица, а 5 —
антипод, проводится очевидной индукцией по длине слова.
Таким образом, С(Г) превращается в алгебру Хопфа. Ясно, что
ее действие на алгебре R эквивалентно реализации (возможно
не точной, т. е. с ядром) гребешка Г косыми
дифференцированиями. Обратно, если Г — подгребешок гребешка всех косых
дифференцирований алгебры R, то на R можно определить дей-
348
6. Применения
ствие свободной оболочки С(Г), рассматривая действие слова
s/ii .. .μη как суперпозицию ι*/*»—/*» = (((ι5)''1).. .)μ".
Алгебраическая структура множества косых
дифференцирований может быть охарактеризована при помощи понятия
относительно примитивного элемента свободной оболочки. Элемент
w G С(Г) называется относительно примитивным, если
найдется элемент s e G такой, что Δ(ιυ) = ιυ®1 + δ®ιυ.
Предположим, что Г — гребешок всех косых дифференцирований
некоторой алгебры Л. Если w = w(s\ δ„,μι /im) —
некоторый относительно примитивный элемент, то по
определению его действие на R будет косым дифференцированием, т. е.
найдется μ е L, такое, что ιω(" 'η·μι μη~> = χμ при χ G R.
Это означает, что w определяет некоторую частичную операцию
на Г.
Рассмотрим примеры. Пусть μ и υ — косые
дифференцирования, отвечающие автоморфизмам s и h соответственно. Если
μή = μ, ν' = ν, то коммутатор μν — νμ — относительно
примитивный элемент. Если μή = — μ, то μ2 — относительно
примитивный элемент. Если s = h и μ' = μ + υ, ν' = ν, το
Ίμν — Ίνμ — ν2 — относительно примитивный элемент. Более
общо, рассмотрим зубец -y(s) в произвольном гребешке. Тогда
f(s)' = 7(s_lss) = l(s), τ· e· s действует на 7(s) как не~
вырожденное линейное преобразование. Предположим, что в
•y(s) выбран базис μι, · ·. ,μη, в котором матрица
преобразования имеет вид жордановой клетки с собственным числом а, т. е.
μ\ = αμι + μ2, μ'2 = αμι+μζ, , μ'η ~ аА*п· Можно показать,
что если а φ ±1, то подпространство ~j(s)2, натянутое в С(Г)
на произведения пар элементов зубца f(s), не имеет ненулевых
относительно примитивных элементов. Если а = —1, то
размерность подпространства относительно примитивных элементов в
~y(s)2 равна f11^]. Если а = 1 и характеристика основного поля
равна нулю, то эта размерность равна [^-].
6.14.6. Сделаем несколько замечаний о строении произвольных
алгебр Хопфа. Пусть Я — алгебра Хопфа. Значения коумно-
жения на элементе определяет характер действия этого
элемента на произведении элементов алгебры R. Это позволяет нам
выделять в Я элементы определенных типов. Например, если
Δ(Λ) = h <g> ft, то при любом действии Я, имеем (xy)h = xhyh-
Кроме того, используя антипод, найдем hS(h) = e(ft) и,
используя коединицу, получим fte(ft) = ft, откуда e(ft) = 1, если ft φ 0.
Это означает, что такой элемент ft всегда действует как автомор-
6.14. Алгебры Хопфа
349
физм. Покажем, что G = {h е Я | h φ О, A(h) = h® h] —
подгруппа Я. Мы уже видели, что G состоит из обратимых
элементов. Остается проверить замкнутость относительно
умножения и взятия обратного элемента: A(gh) = A(g)A(h) =
(g®g)(h®h) = gh®ghn Δ(1) = А{д)А{д~1) = {д®д)А(д-1),
т. е. А(д х) = д 1 ® д *. Покажем, что все элементы из G
линейно независимы. Пусть, напротив, д = а\д\ + ... + апдп,
где а< е С, gt,g G G и элементы <7ι,. .. , дп линейно
независимы. Тогда д ® д = А(д) = αιΔ(#ι) + ... + αηΔ(5„) =
«i5i ® gi + ■ ■■+ Qngn ® д„ или
Следовательно α,·α^· = 0 при г φ j и af = α,·. Это возможно
только в случае, когда ровно один из коэффициентов а,· равен
единице, а остальные равны нулю, т. е. исходная зависимость
приобретает вид д = д. Итак, линейное пространство, натянутое
на G есть групповая алгебра группы G. При этом структура
алгебры Хопфа, индуцированная с Я на C[G], та же, что и на
групповой алгебре C[G] (см. 1.14.2). Таким образом, любая алгебра
Хопфа содержит наибольшую подалгебру Хопфа, являющуюся
групповой алгеброй.
Аналогично в Я можно выделить «лиевские» элементы,
которые всегда действуют как дифференцирования (в теории
алгебр Хопфа такие элементы называют примитивными). Легко
видеть, что L — {I е Η \ A(l) = /®1+1®/} —
линейное пространство. Причем если 1\,/2 G L, то /1/2 — hh G L,
т. е. L образует подалгебру Ли в Я. Если основное поле имеет
положительную характеристику р, то
Δ(/Ρ) = (/ <g> 1 +1 <g> /)" = /ρ <g> 1 + 1 <g> l".
Поэтому L образует ограниченную алгебру Ли. Покажем, что
подалгебра, порожденная Lb Я, изоморфна универсальной
обертывающей L, если ρ = 0, и универсальной р-обертывающей, если
ρ > 0. Достаточно показать, что различные правильные слова
от некоторого фиксированного базиса {1\,... } пространства L
линейно независимы. Проведем индукцию по длине правильного
слова. Пусть все слова, меньшие V, линейно независимы, и
предположим, что V = Σ aiVu гДе V{ — меньшие слова. Применим
350
6. Применения
к обеим частям последнего равенства коумножение:
A(V)= Σ V'®V" = Σ аМ®У"-
V'oV" = V <,V/oV/' = Vi
Сокращая слева и справа суммы Σ Q{Vi®l+Y^ l®a,-V', получим
Σ V'®V" = Σ diV/QV,".
V'oV" = V i,V'oV"=Vi
ν',ν"Φα νίφαφνί'
Так как по предположению индукции все слова, меньшие V,
линейно независимы, все члены должны сократиться. Пусть
V = μΊΫ, где подслово V не начинается на μι. Тогда в
левой части тензор μ^1 V ® μι будет встречаться ровно к раз. В
правой части тензоры вида μ^1 V ® w могут появиться только
при разложении слов Vi вида /,·μ*-11/, где U < μι, при этом
соответствующий тензор имеет вид/ij- V®li, а требование
сокращения всех членов приводит к равенству
μϊ-1ν®(ΐ<μι-Σα<1<) = 0'
которое невозможно, так как к — обратимый элемент в поле С,
а элементы {μι,/,·} линейно независимы. Таким образом,
алгебра Хопфа Η содержит универсальную обертывающую U (L)
(или р-обертывающую UP(L), если характеристика
положительна). Отметим, что U (L) будет подалгеброй Хопфа в Н: если
/ е L, то ε(1) ■ 1 + е(1)/ = /, поэтому е{1) = 0. Кроме того,
S{1) ■ 1 + 5(1) · / = e(Z) = 0, т. е. S(l) = -I.
Обратим внимание на то, что группа G действует
сопряжениями на L, а потому и на обертывающей: А(д~11д) = (д~1 ®
5_1)(1 ®1 + 1® 1)(д ® д) = 1 ® g~llg + g~llg ® 1. Это
позволяет определить косое групповое кольцо U(L) * G, на
котором естественно возникает структура алгебры Хопфа
(полученная алгебра Хопфа будет так называемым смаш-произведением
U(L) # C[G] алгебр Хопфа U(L) и C\G]). Легко видеть, что
подалгебра, порожденная в Η группой G и алгеброй Ли L,
изоморфна U(L) * G, а как алгебра Хопфа — смаш-произведению
U(L) φ G. Действительно, следует проверить только, что
произведения gjVj линейно независимы в Я, где {Vj} — база U(L),
{dj} = G. Здесь можно применить индукцию по старшему
слову, аналогичную проведенной выше.
6.14. Алгебры Хопфа
351
Теперь возникает вопрос: насколько существенна в Η «авто-
морфно дифференциальная» часть U(L) # C[G]? Этот вопрос
занимает заметное место в структурной теории алгебр Хопфа.
Так, известная теорема Костанта — Свидлера показывает, что
весьма часто эта часть покрывает всю алгебру Хопфа.
6.14.7. Теорема. Пусть С — алгебраически замкнутое поле
характеристики нуль. Если Η — кокоммутативная алгебра
Хопфа, то H=U(L)# C[G].
В случае некокоммутативных алгебр Хопфа «автоморфно-
дифференциальная» часть может совсем отсутствовать (точнее,
быть одномерной L = {0}, G = {1}). Рассмотрим,
например, градуировки конечными группами Η = C[F]*. Пусть h =
Σα/Ρ/ eG. Тогда
или
I>W/ ® Pg) = Σ>/ ΣΡ/"- ® Ph.
J л
Вычисляя коэффициент при Pj ® Pg в правой части, находим
ctfg = a.j · ад. Это означает, что a: F —> С* — характер группы
F, a(f) = а/. Теперь легко видеть, что G изоморфна группе
характеров группы F с коэффициентами в С. Если, например,
F = [F, F], то группа характеров единична и G = {1}.
Вычислим «дифференциальную» часть. Пусть / = Σ<Χ/Ρ/ £ L.
Тогда
J2a}P}®l + l®Y^a}P} = J2a}PJh-l®Ph.
Учитывая, что 1 = J]P/, и приравнивая коэффициенты при
л
базисных тензорах, находим a.tg — а/ + ад, т. е. a: F —> С+ —
гомоморфизм групп (здесь С^ — аддитивная группа поля С).
Теперь мы видим, что L как линейное пространство изоморфно
пространству iiomz(P/\F, F], С+), а лиевское умножение на L
нулевое, так как С[^]* коммутативна. Таким образом, если F =
[F, F], то «дифференциальная» часть Η = C[F]* тривиальна.
Наряду с автоморфизмами и дифференцированиями можно
выделить в произвольной алгебре Хопфа Η гребешок косых диф-
352
6. Применения
ференцирований. При s G G введем обозначение
Ls = {he Η \ Δ(Λ) = h <g> 1 + s <g> h].
Легко видеть, что L, — линейное подпространство в Η. Кроме
того, если д е G, h e L,, то A(g~1hg) = g~lhg® l + g~lsg <g>
g~1hg, т. е. группа G действует сопряжениями, переставляя
пространства L9S = Lg-isg. В результате мы получаем гребешок
-у: s —> La. Этот гребешок замкнут относительно частичных
операций, которые мы рассматривали в 6.14.6. Действительно,
если С(Г) — свободная оболочка гребешка Г, то
тождественное отображение на Г продолжается до гомоморфизма алгебр
φ: С(Т) —> Н. Этот гомоморфизм будет также гомоморфизмом
коалгебр в том смысле, что если υ G С{Г) и Δ(ι>) = J^ v\ ®
υ\ , το Α(φ(υ)) = J^ φ(ν\ ') ® φ(υ\ '). Кроме этого,
значения антипода S и коединицы ε определяются на Г единственным
образом: если h G Lg, то h = /ι·ε(1) + g-e{h) = ε(/ι) ■ 1 +e(g)h,
т. e. ε(Λ) = 0 и e(ft) = Λ5(1) + д5(Л) = 5(Λ) · 1 + S(g) ■ h.
Поэтому S(h) = —g~1h. Таким образом, φ — гомоморфизм
алгебр Хопфа, и если w — относительно примитивный элемент в
С(Г), то φ(ιν) — относительно примитивный элемент в Н, т. е.
<p(w) e L, для подходящего s G G. Теперь значение операции
w есть элемент φ{ιυ).
С точки зрения изучения косых дифференцирований
наибольший интерес представляет подалгебра Хопфа Я (Г) = >р(С{Г)),
порожденная в Η гребешком Г. Здесь возникает много
интересных вопросов. Например, по аналогии с
«автоморфно-дифференциальной частью», можно ожидать, что Я (Г) будет в каком-то
смысле универсальной обертывающей для Г. Это означало бы,
например, что если для алгебр Хопфа Η w H' соответствующие
(полные) гребешки Г и Г' изоморфны, то изоморфны и
подалгебры Хопфа Н(Г) и Я(Г'). Насколько автору известно, эти
вопросы пока мало исследованы.
Источники
Дж. Бергман [19]; Дж. Берджен, М. Коэн [22]; М. Коэн [57];
М. Коэн, С. Монтгомери [60]; М. Коэн, Д. Фишман [61]; А. Ле-
руа [67, 68]; А. Леруа, Дж. Мажук [69, 70]; Μ. Ε. Свидлер [117];
В. К. Харченко, А. 3. Попов [144].
Список литературы
Ак (HacqueM.)
Theorie de Galois des anneaux presque-simples // J. Algebra. 1987.
V. 108, N 2. P. 534-577.
Алев (Alev J.)
Sur l'extension RG с R // Seminaire d'Algebre Paul Dubreil et
Marie-Paule Malliavin. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1983. P. 267-
281. (Lecture Notes in Math.; 1029).
Алмквист (Almkvist G.)
Commutative and non-commutative invariant theory // Topics in
Algebra. PWN, Warsaw: Banach Center Publ., 1990. V. 26, N 2.
P. 259-268.
Алмквист, Дике, Форманек (Almkvist G., Dicks W., and For-
manek E.)
Hubert series of fixed free algebras and noncommutative classical
invariant theory // J. Algebra. 1985. V. 93, N 1. P. 189-214.
353
354
Список литературы
5. Амицур (Amitsur S. А.)
Derivations in simple rings // Proc. London Math. Soc. 1957. V. 7,
N25. P. 87-112.
6. Амицур (Amitsur S. A.)
Generalized polynomial identities and pivotal monomials // Trans.
Amer. Math. Soc. 1965. V. 114, N 1. P. 210-216.
7. Амицур (Amitsur S. A.)
Identities in rings with involutions // Israel J. Math. 1969. V. 7,
N l.P. 63-68.
8. Амицур (Amitsur S. A.)
On rings of quotients // Sympos. Math. 1972. V. 8. P. 149-164.
9. Андельман, Рено (Handelman D. and Renault G.)
Actions of finite groups on sell-injective rings // Pacific J. Math.
1980. V. 89, N 1. P. 69-80.
10. АНДРУНАКИЕВИЧ Β. Α., РЯВУХИН Ю. Μ.
Радикалы алгебр и структурная теория. М.: Наука, 1979.
11. Артин (Artin E.)
Galois theory // Notre Dame Math. Lectures. 1942. N 2.
12. Артин, Шелтер (Artin Ε. and Schelter W.)
Integral ring homomorphisms // Adv. Math. 1981. V. 39, N 3.
P. 289-329.
13. Барваумов В. Ε.
Алгебраические автоморфизмы и Ρ/-алгебры // Мат. сб. 1975.
Т. 97, JV-· 1. С. 59-76.
14. Бейдар К. И.
Кольцо инвариантов при действии конечной группы
автоморфизмов кольца // Успехи мат. наук. 1977. Т. 32, JV· 1(193). С. 159-
160.
15. Бейдар К. И.
Кольца с обобщенными тождествами. I, II, III // Вестн. МГУ.
Сер. 1. Математика, механика. 1977. № 2. С. 19-26; 1977. № 3.
С. 30-37; 1978. JV' 4. С. 66-73.
16. Бейдар К. И., Михалев А. В.
Ортогональная полнота и минимальные первичные идеалы //
Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1984. Вып. 10. С. 227-231.
17. Бейдар К. И., Михалев А. В.
Ортогональная полнота и алгебраические системы // Успехи
мат. наук. 1985. Т. 40, № 6(246). С. 79-115.
18. Бейдар К. И., Тэн В. Д.
О локальной конечности некоторых Р/-алгебр // Сиб. мат.
журн. 1977. Т. 18, JV' 4. С. 934-938.
19. Бергман (Bergman G. Μ.)
A derivation on free algebra, whose kernel is a nonfree subalgebra//
unpublished note, 1981.
20. Бергман, Кон (Bergman G. M. and Cohn P. M.)
Symmetric elements in free powers of rings // J. London Math.
Список литературы
355
Soc. (2). 1969. V. 1, pt. 3. P. 525-534.
21. Бергман, Айзекс (Bergman G. M. and Isaacs I. M.)
Rings with fixed-point-free group actions // Proc. London Math.
Soc. 1973. V. 27, N LP. 69-87.
22. Берджен, Коэн (Bergen J. and Cohen M.)
Atcions of commutative Hopf algebras // Bull. London Math. Soc.
1986. V. 18, N2. P. 159-164.
23. Берксон (Berkson A. J.)
The u-algebraof a restricted Lie algebra is Frobenius//Proc. Amer.
Math. Soc. 1964. V. 15, N 1. P. 14-15.
24. Бокуть Л. А.
Вложения в простые ассоциативные алгебры // Алгебра и
логика. 1976. Т. 15, JV' 2. С. 117-142.
25. Бокуть Л. А.
Ассоциативные кольца. I (Кольцевые конструкции) //
Библиотека кафедры алгебры и математической логики НГУ. 1977.
Т. 18.
26. Буррис, Вернер (Burris S. and Werner H.)
Sheaf constructions and their elementary properties // Trans. Amer.
Math. Soc. 1979. V. 248, N 2. P. 269-309.
27. Бэр (Baer R.)
Algebraiche Theorie der Differentierbaren Funktionenkoper I //
Sitrungsberiche, Heidelberger Akademia. 1927. S. 15-32.
28. Вейль Г.
Классические группы. М.: Мир, 1968.
29. Вильмайор, Зелинский (Villamayor О. Е. and Zelinsky D.)
Galois theory with infinitely many idempotents // Nagoya Math. J.
1969. V. 35. P. 83-98.
30. Вольф (Wolf M. C.)
Symmetric functions of non-commutative elements // Duke Math.
J. 1936. V. 2, N 3-4. P. 626-637.
31. Гржешчук, Пучиловский (Grzeszczuk P. and Puczylowski E. R.)
Goldie dimension and chain conditions for modular lattices with
finite group actions // Canad. Math. Bull. 1986. V. 29, N 3. P. 274-
280.
32. Гуральник (Guralnick R.)
Invariants of finite linear groups on relatively free algebras // Linear
algebra and its applications. 1985. V. 42. P. 85-92.
33. Гурсо, Остервург, Паско, Валетт (Goursaud J. M., Osterburg J.,
Pascaud J.-L., and Valette J.)
Points fixes des anneaux reguliers auto-injectifs a gauche // Comm.
Algebra. 1981. V. 9, N 13. P. 1343-1394.
34. Гурсо, Паско, Валетт (Goursaud J. Μ., Pascaud J.-L., and
Valette J.)
Sur les travaux de V. K. Kharchenko // Seminaire d'Algebre Paul
Dubreil et Marie-Paule Malliavin. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1982.
356
Список литературы
Р. 322-356. (Lecture Notes in Math.; 924).
35. Гурсо, Паско, Валетт (Goursaud J. M., Pascaud J.-L., and
Valette J.)
Actions de groupes et contextes de Morita // Comm. Algebra. 1983.
V. 11, N 18. P. 2069-2105.
36. Джекобсон (Jacobson N.)
Abstract derivations and Lie algebras // Trans. Amer. Math. Soc.
1937. V. 42, N 2. P. 206-224.
37. ДЖЕКОВСОН Η.
Строение колец. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.
38. Джековсон (Jacobson N.)
Structure of rings // Amer. Math. Soc. Colloquium. 1964. V. 37.
39. Джекобсон (Jacobson N.)
The fundamental theorem of the Galois theory for quasifields //
Ann. of Math. 1940. V. 41, N 1. P. 1-7.
40. Джекобсон (Jacobson N.)
A note on division rings // Amer. J. Math. 1947. V. 69, N 1. P. 27-
36.
41. Дике, Форманек (Dicks W. and Fbrmanek E.)
Poincare series and a problem of S. Montgomery // Linear and
Multilinear Algebra. 1982/83. V. 12, N 1. P. 21-30.
42. Днестровская тетрадь. Новосибирск: Ин-т математики СО АН
СССР, 1982. Р. 21-30.
43. Дъедонне (Dieudonne J.)
La theorie de Galois des anneaux simples et semisimples //
Comment. Math. Helv. 1948. V. 21, N 2. P. 154-184.
44. Дъедонне Ж., Кэррол Дж., Мамфорд Д.
Геометрическая теория инвариантов. М.: Мир, 1974.
45. Елизаров В. П.
Сильные предкручения и сильные фильтры, модули и кольца
частных // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14, № 3. С. 549-559.
46. Залесский А. Е., Нерославский О. М.
О простых нётеровых кольцах // Изв. АН БССР. 1975. Т. 5.
С. 38-42.
47. Залесский А. Е., Нерославский О. М.
Существуют простые нётеровы кольца с делителями нуля, но
без идемпотентов // Comm. Algebra. 1977. V. 5, Ν 3. P. 231-244.
48. Канзаки (Kanzaki Т.)
On Galois extension of rings // NagoyaMath. J. 1966. V. 27, N 1.
P. 43-49.
49. Kaptah (Kartan A.)
Theorie de Galois pour les corps non commutatifs // Ann. Ecol.
Norm. 1947. V. 64. P. 59-77.
50. Квинн (Quinn D.)
Integrality over fixed rings // J. London Math. Soc. 1989. V. 40,
N 2. P. 206-214.
Список литературы
357
51. Кит амура (KitamuraY.)
Note on the maximal quotient ring of a Galois subring // Math.
J. OkayamaUniv. 1976/77. V. 19, N 1. P. 55-60.
52. Колотов А. Т.
О свободных подалгебрах свободных ассоциативных алгебр //
Сиб. мат. журн. 1978. Т. 19, № 2. С. 328-335.
53. Кон П.
Свободные кольца и их связи. М.: Мир, 1975.
54. Кон (Cohn P. M.)
On the automorphism group of the free algebra of rank 2. London,
1979. (Preprint).
55. Корюкин А. Н.
О некоммутативных инвариантах редуктивных групп //
Алгебра и логика. 1984. Т. 23, № 4. С. 419-429.
56. Коэн (Cohen M.)
Semiprime Goldie centralizers // Israel J. Math. 1975. V. 20, N 1.
P. 37-45; Addendum. 1976. V. 24, N 2. P. 89-93.
57. Коэн (Cohen M.)
Smash products, inner actions and quotient rings // Pacific J. Math.
1986. V. 125, N l.P. 45-66.
58. Коэн, Монтгомери (Cohen Μ. and Montgomery S.)
Semisimple Artinian rings of fixed points // Can. Math. Bull. 1975.
V. 18, N 2. P. 189-190.
59. Коэн, Монтгомери (Cohen Μ. and Montgomery S.)
Trace-like functions on rings with nonilpotent elements // Trans.
Amer. Math. Soc. 1982. V. 273, N 1. P. 131-145.
60. Коэн, Монтгомери (Cohen Μ. and Montgomery S.)
Group-graded rings, smash products, and group actions // Trans.
Amer. Math. Soc. 1984. V. 282, N 1. P. 237-258.
61. Коэн, Фишман (Cohen Μ. and Fishman D.)
Hopf algebra actions // J. Algebra. 1986. V. 100, N 2. P. 363-379.
62. Креймер (KreimerH. F.)
Galois theory for noncommutative rings and normal bases // Trans.
Amer. Math. Soc. 1967. V. 127, N 1. P. 42-49.
63. Кэртис Ч., Райнер И.
Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр.
М.: Наука, 1969.
64. Ламвек И.
Кольца и модули. М.: Мир, 1971.
65. Лански (Lanski Ch.)
Differential identities in prime rings with involution // Trans. Amer.
Math. Soc. 1985. V. 291, N 2. P. 765-787.
66. Левицкий (Levitzki J.)
On automorphisms of certain rings // Ann. Math. 1935. V. 36, N 4.
P. 984-992.
358
Список литературы
67. Леруа (Leroy А.)
Derivees logarithmiques pour une S-derivation algebrique // Comm.
Algebra. 1985. V. 13, N 1. P. 85-99.
68. Леруа (Leroy A.)
(S)-Derivations algebriques sur les corps gauches et sur les anneaux
premiers // Comm. Algebra. 1986. V. 14, N 8. P. 1473-1479.
69. Леруа, Мажук (Leroy A. and Matczuk J.)
Quelques remarques a propos des S-derivations // Comm. Algebra.
1985. V. 13, N 6. P. 1229-1244.
70. Леруа, Мажук (Leroy A. and Matczuk J.)
Derivations et automorphismes algebriques d'anneaux premiers //
Comm. Algebra. 1985. V. 13, N 6. P. 1245-1266.
71. Лоренц, Монтгомери, Смолл (Lorenz Μ., Montgomery S., and
Small L. W.)
Prime ideals in fixed rings II // Comm. Algebra. 1982. V. 10, N 5.
P. 449-455.
72. Львов И. В., ХарченкоВ. К.
Нормальные элементы алгебры общих матриц центральны //
Сиб. мат журн. 1982. Т. 23, № 1. С. 193-195.
73. Лэйн (Lane D. R.)
Free algebras of rank 2 and their automorphisms // Thes. ... doct.
phylosophy. Univ. of London, 1976.
74. ЛюбецкийВ. A.
Некоторые приложения теории топосов к исследованиям
алгебраических систем // Аппендикс к книге П. Т. Джонстона
«Теория топосов». М.: Наука, 1986.
75. ЛювецкийВ. Α., Гордон Е. И.
Вложение пучков в гейтинговозначных универсум. М., 1982.
Деп. в ВИНИТИ, № 4782-82.
76. Макар-Лиманов Л. Г.
Автоморфизмы свободных алгебр с двумя порождающими //
Функцион. анализ и его прил. 1970. Т. 4. С. 107-108.
77. Мальцев А. И.
Об одном общем методе получения локальных теорем теории
групп // Уч. зап. Ивановск. пед. ин-та. 1941. Т. 1, № 1. С. 3-9.
78. Мальцев А. И.
Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.
79. Мартиндейл (Martindale W. S., Ill)
Fixed rings of automorphisms and the Jacobson radical // J. London
Math. Soc. (2). 1978. V. 17, N 1. P. 42-46.
80. Мартиндейл (Martindale W. S., Ill)
Prime rings satisfying a generalized polynomial identity // J.
Algebra. 1969. V. 12, N 4. P. 576-584.
81. Мартиндейл, Монтгомери (Martindale W. S., Ill and
Montgomery S.)
Fixed elements of Jordan automorphisms of associative rings // Pa-
Список литературы
359
cific J. Math. 1977. V. 72, Ν 1. P. 181-196.
82. Мартиндейл, Монтгомери (Martindale W.S., III and
Montgomery S.)
The normal closure of coproducts of domains // J. Algebra. 1983.
V. 82, Nl.P. 1-17.
83. Мияшита (Miyashita Y.)
Finite outer Galois theory of non-commutative rings // J. Fac. Sci.
Hokkaido Univ. Ser. I. 1966. V. 19, N 3. P. 114-134.
84. Молин (Molien T.)
Uber die invarianten der linearen Substitutionsgruppe // Sitzungs-
ber Konig. Press. Akad. Wiss. 1897. P. 1152-1156.
85. Монтгомери (Montgomery S.)
The Jacobson radical and fixed rings of automorphisms // Comm.
Algebra. 1976. V. 4, N 5. P. 459-465.
86. Монтгомери (Montgomery S.)
Outer automorphisms of semiprime rings // J. London Math.
Soc. (2). 1978. V. 18, N 2. P. 209-221.
87. Монтгомери (Montgomery S.)
Fixed rings of finite automorphisms groups of associative rings.
Berlin etc.: Springer-Verlag, 1980. (Lecture Notes in Math.; 818).
88. Монтгомери (Montgomery S.)
Prime ideals in fixed rings // Comm. Algebra. 1981. V. 9, N 4.
P. 423-449.
89. Монтгомери (Montgomery S.)
X-inner automorphisms of filtered algebras // Proc. Amer. Math.
Soc. 1981. V. 83, N 2. P. 263-268; Ibid. 1983. V. 87, N 4. P. 569-575.
90. Пассман (Passman D. S.)
Outer Galois theory of prime rings // Rocky Mountain J. Math.
1984. V. 14, N 2. P. 305-318.
91. Монтгомери, Пассман (Montgomery S. and Passman D. S.)
Prime ideals in fixed rings of free algebras // Comm. Algebra. 1987.
V. 15, N 11. P. 2209-2234.
92. Монтгомери, Пассман (Montgomery S. and Passman D. S.)
X-inner automorphisms of group rings // Houston J. Math. 1981.
V. 7, N 3. P. 395-402; Ibid. 1982. V. 8, N 4. P. 537-544.
93. Монтгомери, Пассман (Montgomery S. and Passman D. S.)
Galois theory of prime rings // J. Pure and Appl. Algebra. 1984.
V. 31, N 1-3. P. 139-184.
94. Монтгомери, Смолл (Montgomery S. and Small L. W.)
Fixed rings of Noetherian rings // Bull. London Math. Soc. 1981.
V. 13, N 1. P. 33-38.
95. Монтгомери, Смолл (Montgomery S. and Small L. W.)
Integrality and prime ideals in fixed rings of PI rings // J. Pure
and Appl. Algebra. 1984. V. 31, N 1-3. P. 185-190.
96. Монтгомери, Смолл (Montgomery S. and Small L. W.)
Some remarks on affine rings //Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V. 98,
360
Список литературы
N 4. Р. 537-544.
97. Мурс (Moors R.)
Theoreme foundamental de la theorie de Galois finite pour certains
anneaux non-commutatifs // Bull. Soc. Roy. Sci. Liege. 1970. V. 39,
N 11-12. P. 541-550.
98. Нагараджан (Nagarajan K. R.)
Groups acting on Noetherian rings // Nieuw. Arch. Wisk. (3). 1968.
V. 16, N 1. P. 25-29.
99. Накаяма (NakayamaT.)
Galois theory of simple rings // Trans. Amer. Math. Soc. 1952.
V. 73, N 2. P. 276-292.
100. Накаяма, Адзумайя (NakayamaT. and AzumayaG.)
On irreducible rings // Ann. of Math. 1947. V. 48, N 4. P. 949-965.
101. Нётер (NoetherE.)
Nichtkommutative Algebra // Z. Math. 1933. V. 37. S. 514-541.
102. Остервург (Osterburg J.)
Completely outer Galois theory of perfect rings // Pacific J. Math.
1975. V. 56, N l.P. 215-220.
103. Остервург (Osterburg J.)
Fixed rings of simple rings // Comm. Algebra. 1978. V. 6, N 17.
P. 1741-1750.
104. Остервург (Osterburg J.)
The influence of the algebra of the group // Comm. Algebra. 1979.
V. 7, N 13. P. 1377-1396.
105. Паско (Pascaud J. -L.)
Two results on fixed rings // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. V. 82,
N 4. P. 517-520.
106. Паско (Pascaud J. -L.)
Actions de groupes et traces // Comm. Algebra. 1982. V. 10, N 10.
P. 1101-1117.
107. Пассман (Passman D. S.)
It is essentially Maschke's theorem // Roky Mountain J. Math. 1983.
V. 13, N 1. P. 37-54.
108. Пирс дос Cahtec (Pires Dos Santos J. M.)
Derivations des anneaux semipremiers I // Comm. Algebra. 1986.
V. 14, N 8. P. 1523-1559.
109. Познер (Posner Ε. C.)
Derivations in prime rings // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. V. 8,
N6. P. 1093-1100.
ПО. Паре, Шелтер (Pare R. and Schelter W.)
Finite extensions are integral // J. Algebra. 1978. V. 53, N 2. P. 477-
479.
111. Попов A. 3.
О дифференцированиях первичных колец // Алгебра и логика.
1983. Т. 22, № 1. С. 79-92.
Список литературы
361
112. Паж (Page А.)
Actions de gropes // Seminaire d'Algebre Paul Dubreil. Berlin etc ■
Springer-Verlag, 1979. P. 9-24. (Lecture Notes in Math.; 740
113. Peho (Renault G.)
Actions de groupes et anneaux regulars injectifs // Ring Theory.
Berlin etc.: Springer-Verlag, 1979. P. 236-248. (Lecture Notes in
Math.; 734).
114. Розенберг, Зелинский (Rosenberg A. and Zelinsky D.)
Galois theory of continuous transformation rings // Trans. Amer.
Math. Soc. 1955. V. 79, N 2. P. 429-452.
115. Роуэн (Rowen L. H.)
Generalized polinomial identities // J. Algebra. 1975. V. 34, N 3.
P. 458-480.
116. Сандстрём (Sundstrom T.)
Groups of automorphisms of simple rings // J. Algebra. 1974. V. 29,
N 3. P. 555-566.
117. Свидлер (SweedlerM. E.)
Cocommutative Hopf algebras with antipode // Bull. Amer. Math.
Soc. 1967. V. 73, N LP. 126-128.
118. Ctehctpem (Stenstrom, B.)
Rings and modules of quotients. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1971.
(Lecture Notes in Math.; 237).
119. Томинага (TominagaH.)
Note on Galois subrings of prime Goldie rings // Math. J. Okayama
Univ. 1973. V. 16, N 1. P. 115-116.
120. Томинага, Нагахара (TominagaH. and NagaharaT.)
Galois theory of simple rings. Okayama: Departament of Math.,
Okayama Univ., 1970.
121. Фаркаш, Снайдер (Farkas D. R. and Snider R. L.)
Noetherian fixed rings // Pacific J. Math. 1977. V. 69, N 2. P. 347-
353.
122. Фейс (Faith C.)
Galois subrings of Ore domains are Ore domains // Bull. Amer.
Math. Soc. 1972. V. 78, N 6. P. 1077-1080.
123. Фишер (Fisher J. W.)
Chain conditions for modular lattices with finite group actions //
Can. J. Math. 1979. V. 31, N 3. P. 558-564.
124. Фишер, Монтгомери (Fisher J. W. and Montgomery S.)
Semiprime skew group rings // J. Algebra. 1978. V. 52, N 1. P. 241-
247.
125. Фишер, Монтгомери (Fisher J. W. and Montgomery S.)
Invariants of finite cyclic groups acting on generic matrices // J.
Algebra. 1986. V. 99, N 2. P. 430-437.
126. Фишер, Остербург (Fisher J. W. and Osterburg J.)
Semiprime ideals in rings with finite group actions // J. Algebra.
1978. V. 50, N 2. P. 488-502.
362
Список литературы
127. ХарченкоВ. К.
Расширения Галуа и кольца частных // Алгебра и логика. 1974.
Т. 13, № 4. С. 460-484.
128. ХарченкоВ. К.
Подкольца Галуа простых колец // Мат. заметки. 1975. Т. 17,
JV' 6. С. 887-892.
129. ХарченкоВ. К.
Обобщенные тождества с автоморфизмами // Алгебра и логика.
1975. Т. 14, № 2. С. 215-237.
130. Харченко В. К.
Неподвижные элементы относительно конечной группы,
действующей на полупервичном кольце // Алгебра и логика. 1975.
Т. 14, № 3. С. 328-344.
131. ХарченкоВ. К.
Обобщенные тождества с автоморфизмами ассоциативных
колец с единицей // Алгебра и логика. 1975. Т. 14, № 6. С. 681-696.
132. ХарченкоВ. К.
Расширения Галуа радикальных алгебр // Мат. сб. 1976. Т. 101,
№ 4. С. 500-507.
133. Харченко В. К.
Кольцевые тождества с автоморфизмами // Сиб. мат. журн.
1976. Т. 17, № 2. С. 446-467.
134. Харченко В. К
Теория Галуа полупервичных колец // Алгебра и логика. 1977.
Т. 16, № 3. С. 313-363.
135. Харченко В. К.
Об алгебрах инвариантов свободных алгебр // Алгебра и
логика. 1978. Т. 17, JV-· 4. С. 478-487.
136. Харченко В. К.
Дифференциальные тождества первичных колец // Алгебра и
логика. 1978. Т. 17, JV-· 2. С. 220-238.
137. Харченко В. К.
Замечание о центральных многочленах // Мат. заметки. 1979.
Т. 26, JV-· 3. С. 345-346.
138. Харченко В. К.
Дифференциальные тождества полупервичных колец //
Алгебра и логика. 1979. Т. 18, № 1. С. 86-119.
139. Харченко В. К.
О централизаторах в первичных кольцах // Алгебра и логика.
1981. Т. 20, № 2. С. 231-247.
140. Харченко В. К.
Действия групп и алгебр Ли на некоммутативных кольцах //
Успехи мат. наук. 1980. Т. 35, № 2. С. 67-90.
141. Харченко В. К.
Константы дифференцирований первичных колец // Изв. АН
СССР. Сер. мат. 1981. Т. 45, № 2. С. 435-461.
Список литературы
363
142. Харченко (Kharchenko V. К.)
Noncommutative invariants of finite groups and Noetherian
varieties // J. Pure and Appl. Algebra. 1984. V. 31, N 1-3. P. 83-90.
143. Харченко (Kharchenko V. K.)
New structure theory and derivations of semiprime rings // Math-
ematisches Forschungsinstitut Obervolfach, Tagungstericht. 1986.
V. 18.
144. Харченко В. К., Попов А. 3.
Косые дифференцирования первичных колец // Тр. Ин-та
математики / АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск: Наука, 1989.
Т. 16. С. 183-195.
145. Херстейн И.
Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972.
146. Хигман (Higman G.)
Ordering by divisibility in abstract algebras // Proc. London Math.
Soc. 1952. V. 2, N 7. P. 326-336.
147. Хигман (Higman G.)
Groups and rings having automouphisms without nontrivial fixed
elements // J. London Math. Soc. 1957. V. 31, N 3. P. 321-334.
148. Хохшильд (Hochschild G.)
Double vector spaces over division rings // Amer. J. Math. 1949.
V. 71, N2. P. 443-460.
149. Чанг, Ли (Chung С L. and Lee P. H.)
Noetherian rings with involutions // Chinese J. Math. 1977. V 5,
N 1. P. 15-19.
150. Чернякиевич (Czerniakiewicz A. J.)
Automorphisms of a free associative algebra of rank 2.1, II // Trans.
Amer. Math. Soc. 1971. V. 160, N 2. P. 393-401; Ibid. 1972. V. 171,
N 4. P. 309-315.
151. Чилдс, Демайер (Childs L. N. and DeMeyer F. R.)
On automorphisms of separable algebras // Pacific J. Math. 1967.
V. 23, N 1. P. 25-34.
152. Ширшов А. И.
Подалгебры свободных лиевых алгебр // Мат. сб. 1953. Т. 33,
№ 2. С. 441-452.
153. Ширшов А. И.
О кольцах с тождественными соотношениями // Мат. сб. 1957.
Т. 43, № 2. С. 277-283.
154. Яковлев А. В.
Теория Галуа для пучков множеств // Тр. ЛОМИ / Мат. ин-т
им. В. А. Стеклова. Ленингр. отд-ние. Л.: Наука, 1978. Т. 148.
С. 253-268.
Предметный указатель
Автоморфизм 18
алгебраический 131
внутренний 18
однородный 258
алгебра
квазифробениусова 143
фробениусова 143
централизуемая 142
вполне 150
аннулятор 29
левый 29
правый 29
антиидеал 184
Бэра радикал 297
Галуа алгебра 137
Галуа подкольцо 137
Галуа расширение 137
Гильберта ряд 276
Голди кольцо 295
Гребешка 346
зубец 346
основание 346
группа
регулярная 139
вполне 139
приведенно конечная 139
редуктивная 271
Джекобсона радикал 297
Дифференцирование
внешнее 132
внутреннее 21
кольца 19
косое 346
однородное 262
Идеал
локально конечный 140
модулярный 288
нильпотентный 14
364
Предметный указатель
365
первичный 16
плотный 323
полупервичный 14
примитивный 310
существенный 30, 40, 284
идеала
высота 310
глубина 311
инвариант 267
некоммутативный 267
Квазиидеал 211
Кёте радикал 297
коалгебра 340
кольцо
вполне целое 27
нётерово слева 300
несингулярное слева 296
нильпотентное 14
первичное 15
плотное 91
полупервичное 14
полупримитивное 287
вполне 292
почти простое 302
примитивное 286
вполне 88
слева 286
регулярное 34
самоинъективное 43
целое по Шелтеру 26
G-первичное 161
Ли алгебра
ограниченная 20
присоединенная 21
Ли кольцо
ограниченное 20
присоединенное 21
Машке группа 139
многочлен обобщенный 84
множество
замкнутое 37
направленное 37
независимое 318
сильно независимое 99
хигманово 272
модуль
сопряжения 50
инъективный 43, 324
нётеров 300
неприводимый 89
несингулярный 40
полный 41
проективный 42
сопряженный 143
Мориты контекст 311
Неделитель нуля 296
Нётер группа 139
ниль-радикал нижний 14
носитель35, 46
Операция
нульместная 68
строго пучковая 70
га-местная 68
орбита 65
Подкольцо
квазипромежуточное 154
конечное по Ширшову 140
промежуточное 204
рационально полное 142
подмодуль сингулярный 39
подслово 199
полусердцевина 302
предел семейства 37
предикат
нульместный 68
пучковый 74
строго 70
хорновский 69
га-местный 68
предпучок 57
566
Предметный указатель
произведение
несократимое 306
подпрямое 16
прямое 315
свободное 84
пространство
опорное 267
орбит 65
топологическое 94
экстремально несвязное 62
пучок 58
вялый 63
канонический 63
правильный 70
G-инвариантный 65
Радикал
нильпотентный 279
строгий 280
размерность униформная 295
решетка 314
модулярная 314
Сердцевина 302
сечение предпучка 57
глобальное 57
сигнатура 68
слово правильное 99
слой пучка 58
смаш-произведение 350
спектр кольца 59
сумма ортогональная 47
Терм 68
тождество
нетривиальное 84
обобщенное 83, 84
существенное 124
Фильтр идемпотентный 323
форма
дифференциальная 198
инвариантная 153
главная 154
формула хорновская 69
Хопфа алгебра 342
Центр кольца 19
централизатор 34
центроид обобщенный 34
цоколь 88, 293
Элемент
независимый справа 54
однородный 319
примитивный 349
регулярный 296
существенный 318
центральный 19
Ядро нетривиальности 124
^-отображение 47
^-подмножество 47
F-rpynna 184
G-инвариант 137
Λί-группа 139
ΛΓ-группа 139
Ρ/-кольцо 129
S-идеал 271
S-подалгебра 271
S-форма 177
Т-многочлен
целый 26
квазицелый 26
9-алгебра Ли 21
р-алгебра Ли 20
s-дифференцирование 346
DA-многочлен 100
Содержание
Предисловие 7
Глава 1. Строение колец 13
1.1 Радикал Бэра и полупервичность 13
1.2 Группы автоморфизмов и дифференциальные алгебры Ли 18
1.3 Теорема Бергмана — Айзекса. Целостность по Шелтеру . 22
1.4 Мартиндейловское кольцо частных 29
1.5 Обобщенный центроид полупервичного кольца 34
1.6 Модули над обобщенным центроидом 36
1.7 Продолжение автоморфизмов на кольцо частных. Модули
сопряжения 48
1.8 Продолжение дифференцирований на кольцо частных . . 55
1.9 Канонический пучок полупервичного кольца 56
1.10 Инвариантный пучок 64
1.11 Метатеорема о каноническом пучке 67
1.12 Слои канонического и инвариантного пучков 80
1.13 Теорема Мартиндейла 83
1.14 Вполне примитивные кольца 88
1.15 Кольца частных вполне примитивного кольца 93
367
368
Содержание
Глава 2. Вопросы алгебраической зависимости
автоморфизмов и дифференцирований 96
2.1 Приведение к редуцированному виду 99
2.2 Линейные дифференциальные тождества
с автоморфизмами 103
2.3 Полилинейные тождества 108
2.4 Дифференциальные тождества первичного кольца .... 111
2.5 Дифференциальные тождества полупервичных колец 119
2.6 Существенные тождества 123
2.7 Некоторые применения 129
Глава 3. Группы автоморфизмов первичных колец 137
3.1 Основные понятия 138
3.2 Группы внешних автоморфизмов 140
3.3 Централизаторы конечномерных алгебр 142
3.4 Построение инвариантных форм 152
3.5 Группы Галуа 155
3.6 Группы Машке. Первичная размерность 158
3.7 Бимодульные свойства колец инвариантов 165
3.8 Кольцо частных кольца инвариантов 168
3.9 Подкольца Галуа 170
3.10 Теоремы о соответствии 183
3.11 Продолжение изоморфизмов 187
Глава 4. Дифференцирования первичных колец 193
4.1 Двойственность в алгебре умножений 194
4.2 Преобразования дифференциальных форм 198
4.3 Универсальные константы 201
4.4 Конечность в смысле Ширшова 204
4.5 Теорема о соответствии 207
4.6 Продолжение дифференцирований 211
Глава 5. Полупервичные кольца 218
5.1 Существенные универсальные константы 219
5.2 Промежуточные подкольца 221
5.3 Теорема о соответствии 224
5.4 Основные понятия для групп автоморфизмов 225
5.5 Однородные идемпотенты 231
5.6 Построение главных инвариантных форм 241
Содержание 369
5.7 Группы Галуа 244
5.8 Подкольца Галуа регулярных групп 246
5.9 Теоремы о соответствии и о продолжении 252
5.10 Конечность в смысле Ширшова 253
Глава 6. Применения 257
6.1 Свободные алгебры 258
6.2 Некоммутативные инварианты 267
6.3 Радикальные алгебры 277
6.4 Единицы. Классически полупростые кольца 284
6.5 Примитивные кольца 286
6.6 Вполне примитивные кольца 292
6.7 Кольца Голди 295
6.8 Нётеровы кольца 300
6.9 Простые и подпрямо неразложимые кольца 301
6.10 Эквивалентность Монтгомери 304
6.11 Модулярные решетки 313
6.12 Максимальное кольцо частных 323
6.13 Связи полупервичного кольцас кольцом констант
δ-алгебры Ли 331
6.14 Алегбры Хопфа 340
Список литературы 353
Предметный указатель 364
Научное издание
Доктор физико-математических наук
Харченко Владислав Кириллович
НЕКОММУТАТИВНАЯ
ТЕОРИЯ ГАЛУА
Издание подготовлено в Дд/(5-]А1^Х
с использованием кириллических
шрифтов семейства LH
НАУЧНАЯ КНИГА
НИИ математи ко-информационных основ обучения
Новосибирского государственного университета
Заведующий академик ΜΑΗ ВШ С. С. Гончаров
Главный редактор к.ф.-м. н. Т. Н. Рожковская
Ведущий программист к.ф.-м.н. С.Г. Дворников
Литературный редактор Η. Λ. Кубалова.
Компьютерная графика и обложка Н. А. Рожковская
Подписано в печать 20.05.96. Формат 60x90 Vi6· Печать офсетная.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 22,5. Уч.-изд. л. 21. Тираж 1000 экз.
Заказ 256.
Лицензия ЛР № 020853 от 31.01.94 г.
Издательство НИИ МИОО, 630090, Новосибирск, Пирогова, 2
Отпечатано по заказу НИИ МИОО (НГУ)
АОЗТ «Февраль», 630058, Новосибирск, Русская, 43
НАУЧНАЯ КНИГА
издания 1996 года
Сибирская школа алгебры и логики
Юрий Л. Ершов Определимость и вычислимость
Валерий М. Копытов, Николая Я. Медведев Правоупорядоченные группы
Сергей С. Гончаров Счетные булевы алгебры и разрешимость
Михаил Г. Перетятькин Конечно аксиоматизируемые теории
При поддержке РФФИ
С. К. Годунов Современные аспекты линейной алгебры
B. К. Х&рченко Некоммутативная теория Галуа
Учебные пособия
C. К. Годунов, Т. Ю. Михайлова Представления группы вращений и
сферические функции
Ю. Л. Ершов Σ-функция и теорема Гёделя о неполноте
НАУЧНАЯ КНИГА (НИИ МИОО НГУ)
630090, Новосибирск, 90, ул. Пирогова, 2
http://www.cnit.nsu.ru/nwww/mioo/sb
E-mail: sales@books.nsu.ru
Телефон: (3832) 397299
Факс: (3832) 357808
Математическая книжная серия
СИБИРСКАЯ ШКОЛА АЛГЕБРЫ И ЛОГИКИ
Главный редактор серии: Ю. Л. Ершов
Редколлегия: С. С. Гончаров (зам. главного редактора), Ε. Η. Кузьмин,
В. Д. Мазуров, А. Н. Ряскин, В. К. Харченко, Е. И. Хухро
Редсовет: Е. И. Зельмаиов, О. Кегель, А. Макинтайр, А. Нероуд
Ответственный редактор серии: Т. Н. Рожковская
1996 г. 1-е полугодие
Юрий Л. Ершов Определимость и вычислимость
Валерий М. Копытов, Николай Я. Медведев Правоупорядоченные группы
1996 г. П-е полугодие
Сергей С. Гончаров Счетные булевы алгебры и разрешимость
Михаил Г. Перетятькин Конечно аксиоматизируемые теории
НАУЧНАЯ КНИГА (НИИ МИОО НГУ)
630090, Новосибирск, 90, ул. Пирогова, 2
http://www.cnit.nsu.ru/nwww/mioo/sb
E-mail: sales@books.nsu.ru
Телефон: (3832) 397299
Факс: (3832) 357808
Одновременное полное издание книжной серии на английском языке
SIBERIAN SCHOOL OF ALGEBRA AND LOGIC
Plenum Publishing Corporation · 233 Spring Street, New York, N.Y. 10013-1578
http://www.plenum.com · gopher://plenum.titlenet.com: 6200 · books@plenum.com