A. KAUFMANN
Professeur a I’Universite de Louvain
Centre Interfacultaire I.M.A.G.O.
Introduction a la theorie des
sous-ensembles flous
A I’USAGE DES 1NGENIEURS
(FUZZY SETS THEORY)
Preface du Pr. L. A. Zadeh
(Universite de Californie a Berkeley)
Deuxieme Edition Revue et Corrigee
MASSON
Paris-New York-Barcelone«Milan 1977
А. КОФМАН
Введение
в теорию
нечетких множеств
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО В. Б КУЗЬМИНА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ С И. ТРАВКИНА
МОСКВА «РАДИО И СВЯЗЬ» 1982
УДК 519.5
Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: Пер. с франц. — М.: Ра-
дио и связь, 1982. •— 432 с., ил.
Книга представляет собой первое и единственное в мировой литературе изло-
жение теории нечетких множеств — новой математической области исследований
с широким спектром практических приложений.
Рассчитана на научных работников и инженеров.
Табл. 8. Ил. 386. Библиогр. 667 назв.
| Проверено I
I 1985 г. л
"литературы по кибернетике и вычислительной технике
1502000000-215
К 046(01)~82
Арнольд Кофман
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Редактор Н. Я. Г у т ч и и а
Обложка художника В. В. Волкова
Художественный редактор Н. С. Шеин
Технические редакторы Г. 3. Кузнецова, Т. Н. Зыкина
Корректор Л. С. Глаголева
ИБ № 440
Сдано в набор 20.08.81.	Подписано в печать 3.11.82.	Формат 60х901/|в.
Бумага тип. № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. п. л. 27,0 Усл. кр.-отт. 27,0
Уч.-изд. л. 25,2 Тираж 8000 экз. Изд. № 19567. Зак. 461 Цена 2 р. 60 к.
Издательство «Радио и связь», Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
129041. Москва, Б. Переяславская, 46
КБ-25-22—82
(С) Masson, Paris, 1977
© Перевод на русский язык, предисловие к русскому изданию,
издательство «Радио и связь», 1982 г.
Предисловие М. А. Айзермана
После появления первой публикации проф. Л. Заде по теории
размытых (нечетких) множеств прошло около 20 лет — в наше, вре-
мя не малый срок для проверки популярности и силы теории. Сейчас
можно уверенно сказать, что теория Л. Заде выдержала проверку
временем. Свидетельство тому — количество публикаций, развиваю-
щих теорию размытых множеств в самых различных направлениях,
все увеличивающееся число ученых из многих стран, разрабатываю-
щих эту теорию, обилие посвященных ей международных симпозиу-
мов, успех специального международного научного журнала, в ко-
тором публикуются только работы из этой области, и, наконец, вы-
ход в свет первых монографий и курсов по теории размытых множеств.
Несмотря на все это до сих пор немало ученых относятся скеп-
тически к будущему и к возможностям новой теории. Их раздражает
именно этот «всплеск» активности, они сомневаются в том, что эта
теория сможет содействовать решению практических задач, недоступ-
ных обычному формализму теории вероятности и случайных процес-
сов. Ученые — оптимисты и пессимисты опираются на свои доводы
и на свою интуицию и, несомненно, в какой-то степени правы и те,
и другие. Но не так ли обстоит дело с любой новой теорией? Во всяком
случае, чтобы судить о теории, надо прежде всего ее знать.
До недавнего времени советские ученые фактически стояли в сто-
роне от развития этой теории. Число публикаций в нашей стране по
теории размытых множеств неоправданно мало, дискуссии о ней ред-
ки и малосодержательны. На мой взгляд, это результат недостаточной
осведомленности об этой теории. Поэтому появление в русском пере-
воде книги Кофмана — событие своевременное и полезное. Имя авто-
ра книги — талантливого педагога и популяризатора математиче-
ских знаний, известно советским читателям. Предлагаемая новая кни-
га Кофмана — образец его педагогического мастерства, и выход ее
в свет несомненно будет содействовать росту интереса к теории
Л. Заде, к ее приложениям и к спорам о ней.
М. А. Айзерман
Москва, ноябрь 1979 г.
Предисловие Л. А, Заде
Теория нечетких множеств — это, по сути дела, шаг на пути к
сближению точности классической математики и всепроникающей
неточности реального мира, к сближению, порожденному непрекра-
щающимся человеческим стремлением к лучшему пониманию процес-
сов мышления и познания,
В настоящее время мы не способны сконструировать машины, ко-
торые могли бы соперничать с человеком в выполнении таких задач,
как распознавание речи, перевод языков, понимание сущности, аб-
страгирование и обобщение, принятие решений в условиях неопреде-
ленности и тем более в задачах агрегирования информации.
Наша неспособность проектировать такие машины в значительной
степени объясняется фундаментальным различием между человече-
ским разумом, с одной стороны, и «разумом» машины — с другой.
Различие состоит в той способности человеческого мозга, которой в
настоящее время цифровые вычислительные машины не обладают:
думать и делать заключения в неточных, неколичественных, нечет-
ких терминах. Благодаря этой способности люди могут расшифро-
вывать неразборчивый почерк, понимать искаженную речь, концен-
трировать внимание лишь на той информации, которая приводит к
решению. И именно отсутствие этой способности делает даже самые
сложные вычислительные машины непригодными к осуществлению
контактов с человеком естественным образом, не прибегая к посред-
ничеству искусственно созданных языков.
Множество или совокупность объектов — основное понятие в ма-
тематике. Мы не очень быстро подошли к представлению о том, что
многие, возможно большинство, человеческих знаний и связей с внеш-
ним миром включают такие построения, которые нельзя назвать мно-
жествами в классическом смысле. Их скорее следует считать «нечет-
кими множествами» (или подмножествами), т. е. классами с нечеткими
границами, когда переход от принадлежности к классу к непринадлеж-
ности происходит постепенно, не резко. По существу ставится под
сомнение, что логика человеческого рассуждения основывается не на
классической двузначной или даже многозначной логике, а на логи-
ке с нечеткими значениями истинности, с нечеткими связками и не-
четкими правилами вывода.
В наших поисках точности мы пытались подогнать реальный мир
под математические модели, которые не оставляют места нечеткости.
Мы стремились выявить законы, управляющие поведением как от-
дельных людей, так и групп с помощью математических выражений,
подобных тем, которые используются при анализе неодушевленных
систем. Это, с моей точки зрения, было и остается неправильно на-
правленным усилием, подобным нашим давно забытым поискам пер-
петуум мобиле и философского камня.
6
Нам нужна новая точка зрения, новый комплекс понятий и ме-
тодов, в которых нечеткость принимается как универсальная реаль-
ность человеческого существования. И, конечно, нам необходимо по-
нять, как можно оперировать с нечеткими множествами внутри жест-
ких рамок классической математики. Но, что намного важнее, мы
должны разработать новые методы обращения с нечеткостями в систе-
матическом (совсем не обязательно количественном) смысле. Такие
методы могут открыть много новых границ в психологии, социологии,
политических науках, философии, физиологии, экономике, линг-
вистике, операционных исследованиях, науке управления и других
областях и обеспечить основу для проектирования систем, разум
которых значительно превосходит тот искусственный интеллект, ко-
торый мы можем себе представить.
Работа профессора Кофмана — очень ценный вклад в достижение
этих целей. С присущей ему тщательностью и ясностью он впервые си-
стематизированно изложил теорию, которая с годами несомненно ока-
жет значительное влияние как на ориентацию науки в целом, так
и на практические разработки. Обширные технические познания
проф. Кофмана в различных областях прикладной математики, тео-
рии систем и инженерного искусства позволили ему ясно изложить те-
орию нечетких множеств и развить ее в новых и многообразных на-
правлениях.
Настоящая книга посвящена в основном математическим аспектам
теории нечетких множеств. Второй том, который последует за пер-
вым, будет посвящен приложениям к информационным процессам
в автоматизированных системах и процессам принятия решений у
людей. В подобных приложениях центральную роль играет понятие
нечеткого алгоритма, а существование нечеткой обратной связи дает
возможность обрабатывать нечеткие множества качественными ме-
тодами, которые близко аппроксимируют неколичественные процес-
сы человеческого мышления.
Монография профессора Кофмана — несомненно очень важное до-
стижение. Она окажет значительное влияние на научную мысль буду-
щего и будет стимулировать новые исследования в области теории не-
четких множеств и их применение в различных областях науки и тех-
ники.
Л. Л. Заде
Беркли, Калифорния, май 1972 г.
Предисловие автора к первому изданию
В эпоху, когда элита делает науку своим советчиком, а массы
обращаются к магии, можно ли, не уклоняясь от истины, говорить,
что наука абсолютно объективна? Во многих научных областях это
положение оценивается более осторожно. Конечно, объективное зна-
ние должно быть целью человеческой эволюции, но при этом и уче-
ному, и инженеру должна быть присуща постоянная скромность; ок-
ружающую нас реальность мы познаем только посредством нами же
созданных моделей, представлений и более или менее истинных зако-
нов и приближений, приемлемых при данном состоянии наших зна-
ний. Одна и та же модель одного и того же явления разными людьми
воспринимается по-разному: формула может оставаться неизменной,
но интерпретации ее могут быть различными. Мир воспринимается
с помощью моделей, совершенствующих друг друга и увязываемых
между собой до тех пор, пока не происходит революция в идеях, пре-
кращающая такое объединение моделей.
Наши модели — нечеткие; наши мысли, сформированные на осно-
ве более или менее независимых моделей, — нечеткие; мы так отли-
чаемся от компьютера! Компьютер — это логически последователь-
ная машина, которая по самой своей природе не может делать теоре-
тических ошибок; он, по определению, не может быть нечеткой маши-
ной. Но человек, помимо способности рассуждать и логически мыслить,
обладает, как все живые существа, способностью принимать в расчет
параллельно соображения как общего, так и сопутствующего харак-
тера. Эти общие или привходящие соображения в противоположность
логическому рассуждению являются нечеткими и дожны быть нечет-
кими. Живое существо, наделенное инициативой, воспринимает и об-
рабатывает более или менее нечеткую информацию и своевременно
приспосабливается к ней. Когда живое существо почти не имеет воз-
можности проявить инициативу, когда его функциональная энтропия
почти равна нулю, тогда нечеткость может исчезнуть и его действия
становятся предопределенными. Биологическая клетка функциони-
рует как маленький компьютер, управляющий маленькой фабрикой
(слово «маленький» относится здесь к размеру, а не к сложности);
в этой системе почти нет энтропии. Человек, наоборот, обладает огром-
ной функциональной энтропией; он может выбирать, решать, эволю-
ционировать, допускать и устранять ошибки, начинать сначала, пони-
мать не все, формировать свои знания в процессе научных изысканий
по формальной программе.
Как концептуально объединить общие соображения с логическим
рассуждением; как связать то, что является физической истиной,
с тем, что представляет собой интерпретацию человеческой мысли?
Как ввести нечеткость в математику, поскольку в конечном счете
именно в такой наиболее ясной математической форме следует выразить
эту, на первый взгляд, странную взаимосвязь?
8
Что означает слово «нечеткий» или синонимичные ему слова для
Математика? Это значит, что некий элемент принадлежит подмножест-
ву, но только несколько неопределенным образом. Но, с другой сто-
роны, мы знаем, что в математике есть только две приемлемые ситуа-
ции для элемента: он может либо быть, либо не быть элементом подмно-
жества. Любая формальная логика, в том числе булева, основана на
этом: элемент принадлежит или не принадлежит подмножеству дан-
ного множества.
Заслуга Л. А. Заде состоит в попытке выйти из этого тупика пу-
тем введения понятия взвешенной принадлежности. Элемент может
принадлежать подмножеству в большей или меньшей степени, и отсю-
да появляется основное понятие — понятие нечеткого подмножества
С совершенно другой позиции, на основе /г-местной логики, Пост
(1921), Лукашевич (1937) и Мойзил (1940) разработали общие теории,
в которых могут найти место некоторые аспекты теории нечетких мно-
жеств. Фактически сошлись два научных направления, две школы,
одна — во главе с американцем Заде, вторая — с итальянцем Мой-
зилом.
Выступая на различных конференциях на тему о теории нечетких
подмножеств, я всегда слышу одни и те же слова: «То, что было сде-
лано с помощью этой теории, можно с таким же успехом сделать и без
нее». Да, но это относится и к любой другой теории. Я помню, что столк-
нулся с такой позицией 20 лет назад, когда с одним из своих друзей
писал одну из первых работ по матричному исчислению; то же говори-
ли и о тензорном исчислении. Этой критике подверглась в свое время
теория графов, современная прикладная математика и многие другие
теории. Возможно, что те, кто так говорят, не понимают, где и как ис-
пользуется математика, более или менее независимо от того факта, что
она представляет собой науку в чистом виде, т. е. науку наук. Мате-
матика— это средство познания мира с помощью логических моделей;
ее практическая сила состоит в способности давать объяснение; моде-
ли дают нам структуры, и числа, которые представляют собой полно-
стью упорядоченные структуры, — это лишь небольшой, частный,
но очень удобный пример из бесконечного множества структур.
Теория нечетких подмножеств позволяет наилучшим образом струк-
турировать все то, что разделено не очень точными границами, например
мысль, язык и восприятие у людей. Общественные науки наполнены
всеми видами абстрактных и конкретных форм; но и науки, называе-
мые точными, могут иметь дело с ситуациями, в которых неопределен-
ность заложена самой природой вещей. Поэтому эта относительно
новая теория полезна и важна; ею следует заинтересоваться ученым
разных областей, а также литераторам и художникам — всем, кто
воссоздает действительность и красоту с неизбежной нечеткостью, ко-
торая позволяет отразить все нюансы и стимулирует воображение и
которую можно назвать энтропией мышления
Я сделал все возможное, чтобы эта работа была доступна обычным
читателям моих работ: инженерам, конструкторам, профессорам, сту-
дентам, администраторам, людям, принимающим решения. Теория от-
нюдь не всегда проста. Мои педагогические усилия будут вознагражде-
9
Ны, если эта книга, собравшая воедино работы различных авторов и ре-
зультаты, полученные мною лично, побудит читателя опубликовать
свои работы на указанную тему, будь то прикладные результаты или
новые идеи. Я попросил профессора Заде написать предисловие к кни-
ге; его поддержка и одобрение очень важны для инженера-математика
и автора этого скромного труда.
Как и все остальные мои книги, эта книга дидактическая: я везде
ввожу примеры. Этот дидактический материал представляется мне
необходимым для читателя, который может заинтересоваться кни-
гой, — десятков тысяч инженеров всего мира. Они имеют хорошую
подготовку и навыки в применении математики и оценят настоящую
работу. Конечно, это делает текст несколько тяжеловатым, и любой
профессиональный математик, который прочтет книгу, найдет ее рас-
тянутой. Математик ценит красоту решения, а инженера, даже если
он чувствителен к элегантности, волнует не только математическая
ясность —• перед ним стоят и другие задачи.
Мой опыт преподавания более чем в сорока странах, в которых мне
предоставили возможность побывать международные организации
и университеты, и мой опыт автора побуждает продолжать идти по
этому дидактическому пути, цель которого в том, чтобы знания других
приобретались с помощью их собственных исследовательских усилий,
и те упущения, которые часто являются следствием таких намере-
ний, можно простить.
Конечно, понятие нечеткости можно рассматривать с различных
точек зрения: применительно к описанию переменных или их значе-
ний, к конфигурациям или в более общем виде — на концептуальном
уровне. Настоящая теория ограничивается переменными и конфигу-
рациями, но уже можно предвидеть, как подойти к концептуальному
аспекту; конечно, при этом потребуется преодолеть определенные
трудности. Основные вопросы, касающиеся концептуальной нечет-
кости, возникают не только в гуманитарных науках, но даже (и наи-
более остро) в биологии. Как описать механизм, где почти все зависит
почти от всего, где мельчайший элемент играет свою роль, где все ос-
новано на информации, на сообщениях и зависит от способа обработки
этих сообщений? Теория нечетких подмножеств — только один из
ограниченных способов, помогающих разобраться в этом; будущее пока-
жет, может ли она стать достаточно большой и интересной основой для
исследования таких проблем или это только временный способ об-
работки неопределенности, или всего лишь некоторого аспекта неоп-
ределенности. Конечно, эта теория — только часть того, что будет
сделано в будущем. Не исключено, что лучше было бы начинать
с изучения более общей и многообещающей теории неопределенности.
Мы же начнем с наступления на элементарный аспект нечеткости, ка-
сающийся переменных и структур, — это будет уже шаг вперед. С кон-
цептуальной нечеткостью сталкиваются столько различных специалис-
тов — экономисты, лингвисты, специалисты по теории информации,
биологи, психологи, социологи и другие, что мы смело можем двинуть-
ся вперед. Здесь так же, как и в промежуточных дисциплинах, пред-
стоит много работы. Я оптимист по отношению к этому предмету, но
10
как все те, кто глубоко увлечен такими исследованиями, считаю, что
оптимизм должен сопровождаться осмотрительностью и терпением.
В предисловии следует особо обсудить важный вопрос: можно ли
будет решать эти проблемы на компьютерах — последовательных
машинах, использующих бинарную логику. Ответ, как мы увидим,ут-
вердительный, но лишь при условии, что будет разработано новое ап-
паратурное оборудование и новое программное обеспечение. По мере
того как конструкторы станут включать в новые классы компьютеров
(что, вероятно, произойдет довольно скоро) нечеткие логические схе-
мы (как плохо подходят эти слова друг к другу, мы объясним позднее),
содержащие бинарные логические элементы или полу-и-значные ло-
гики, или степенные логики, изменятся и некоторые привычные пред-
ставления у аналитиков и программистов. Становится все более оче-
видной необходимость того, чтобы диалог человека с машиной стал до-
ступен каждому и не нужно было бы прибегать к посредничеству фор-
мальных языков или хотя бы к упрощенному программированию.
И язык человека, и его мысли — нечеткие или'и логические. Между
человеком и компьютером на всех промежуточных стадиях, включаю-
щих конечные автоматы всех видов, нужно организовать лучшую связь.
Поэтому, не рискуя сильно ошибиться, можно предсказать, что техно-
логия будет развиваться по пути, сближающем идеи компьютерного и
обычного человеческого мышления в ожидании того дня, когда компью-
теры начнут обрабатывать общую информацию принципиально парал-
лельно, без предварительной последовательной обработки. Тогда эти
машины, которые можно назвать комбинированными или параллельны-
ми процессорами, позволят обрабатывать нечеткости с помощью нечет-
костей, а не с помощью пусть даже сверхминиатюрных компьютеров,
основанных на бинарной логике. Сегодняшняя утопия станет реаль-
ностью в ближайшие десятилетия. Искусственный интеллект, каким
его можно было представлять до сих пор, будет реализован на основе
самонастраивающихся программ для компьютеров, и приблизится к
человеческому разуму (но будет ли им?).
Отметим еще одну деталь. Почему мы используем термин «нечеткое
подмножество» вместо «нечеткое множество»? Это объясняется тем, что
нечеткое множество никогда не будет понятием, соответствующим на-
стоящей теории; если говорить о множестве, то оно всегда будет обыч-
ным множеством, т. е. таким, каким оно определяется интуитивно в сов-
ременной математике, — совокупностью хорошо определенных четких
объектов. И только подмножества, как мы увидим, будут нечеткими.
Я не упрямый и суровый бурбакист: те, кто читал хотя бы одну из
моих книг, знает это хорошо, но есть некоторые определения, которые
не должны быть нечеткими, и есть моменты, когда очень удобно быть
хоть немного похожим на Бурбаки*).
Дом I составляет первую часть работы и содержит теоретические
основы. Том II будет содержать следующие основные приложения:
Хотя автор с целью достижения математической строгости назвал свою
книгу «Теория нечетких подмножеств», мы дали общепринятое название «Теория
нечетких множеств», чтобы у читателя, знакомого с литературой по нечетким
( размытым) множествам, не возникло сомнения о предмете книги. (Прим. ред).
11
нечеткие языки, нечеткие системы, нечеткие автоматы, нечеткие ал-
горитмы, машины и управление, проблемы принятия решений в нечет-
ких условиях, распознавание образов, проблемы классификации и вы-
бора, документальный поиск и т. д. Этот том будет написан в таком же
дидактическом духе с многочисленными примерами и с подробным об-
зором основных сведений по каждому затрагиваемому вопросу. До
выхода тома II читателям предлагается библиография статей, в кото-
рых рассматриваются первые практические приложения.
Некоторые ученые сотрудничали со мной при подготовке настоящей
рукописи и сделали ряд конструктивных критических замечаний.
Среди них: мадам Моник Пето, господа Мишель Куль и Тьери Дюбуа,
занимающиеся исследованиями в Центре IMAGO Лувенского Универ-
ситета; Этьен Пиша, профессор в Институте промышленной информа-
тики, Национальной консерватории искусств и ремесел; Жюль Кан,
старший научный консультант в фирме «Хонуел Балл»; Комб, инженер
той же фирмы; Арно Анри-Лабордер, доцент Национальной школы
мостов и дорог в Париже.
Мой сын Алан, как обычно, занимался правкой. Он медик и ду-
мает так же, как и другие, что медицина — это одновременно искус-
ство и наука и что математика, как и информатика, — ценные инстру-
менты, которыми придется пользоваться в ближайшем будущем.
Интуитивно верно, но несколько претенциозно утверждать, что
человеческий ум далеко не простой механизм, сводимый к более или
менее сложным программам: Курт Гедель продемонстрировал это
формально; так давайте примирим наше стремление к точности и во-
ображение. И поскольку ни сегодня, ни завтра мы не сможем создать
программы всех программ, то мы так и останемся нечеткими и созида-
тельными.
Предисловие автора ко второму изданию
После выхода в свет в 1973 г. первого издания тома I международ-
ная научная общественность познакомилась с томами II, III и IV.
Они вызвали живой интерес, и я обменялся огромной по объему кор-
респонденцией с исследователями всего мира. Я также преподавал во
многих странах теорию нечетких подмножеств и ее применение, при
этом преподавание велось чаще всего в форме семинаров. На основе
этих контактов и встреч я внес различные изменения во второе изда-
ние тома I, но пе по существу, а по форме подачи материала. Думаю,
что читатели оценят эти изменения.
С момента опубликования первого издания тома I во всем мире по-
явились сотни новых работ. Теперь в распоряжении читателя имеет-
ся библиография, содержащая более 600 названий, касающихся самых
различных дисциплин. Это действительно совершающаяся в настоящее
время революция в способе обработки информации. Доказательством
тому является указанная библиография.
12
Я надеюсь, если обстоятельства позволят, продолжить работу. От-
редактирован том V, содержащий новые дополнения, том IV находит-
ся в стадии подготовки.
В сотрудничестве с исследователями из разных стран я рассчиты-
ваю написать и другие тома по специальным дисциплинам: биологии
и медицине, дидактике, обработке юридических данных, полуесте-
ственным языкам и т. д.
Дорогие читатели, друзья, нам предстоит проделать сообща боль-
шую работу: в математике в направлении практических приложений,
в области построения все более эффективных моделей, чтобы разум и
наука стали более понятными.
А. Кофман
Предисловие автора к третьему изданию
Возможность совершенствовать текст существует всегда. В тре-
тьем издании некоторые места улучшены или приведены в соответст-
вие с тремя другими томами*). Добавлены отдельные комментарии,
произведены улучшения дидактического характера. В каждом новом
издании мы продолжим переработку текста в соответствии с развитием
этой живой теории, так привлекающей исследователей.
А. Кофман
Предисловие автора к русскому изданию
Издание моей книги на русском языке в Советском Союзе вызвало
у меня чувство гордости и большое удовлетворение. Значительное ко-
личество моих работ уже вышло в вашей стране. Я надеюсь, что и этот
мой скромный труд в области педагогики и научных исследований за-
интересует советских читателей.
Книга посвящена теории, затрагивающей все аспекты науки, ис-
кусства и литературы и в конечном счете все стороны интеллектуаль-
ной деятельности. В обработке информации человеком или с помощью
машины числовые и нечисловые данные на входе, а иногда на выходе
во многих случаях не могут быть ни четкими, ни даже вероятностными;
их можно поместить только в интервалах достоверности. Вот тогда
вступает в действие теория нечетких подмножеств. Являясь продолже-
нием теории формальных множеств и будучи такой же строгой, она рас-
крывает много новых свойств и открывает богатые возможности. Но-
*) Том II — Applications a la linguistique, a la logique et a la semantique,
1975.
Том III—Applications"^ la classification et'a la reconnaissance des formes,
aux automates et aux systdmes, aux choix des criteres, 1975.
Том IV — Complements et nouvelles^applicatlons, 1977. (Прим, ped,)
13
вне понятия получили развитие и завоевали успех особенно в теории
систем и в лингвистике. Идея нечетких подмножеств относительно ста-
рая, но до настоящего времени воспринималась как подспудная. Она
наследует теорию многозначных логик, однако иной подход к класси-
ческим понятиям дал возможность прийти к самостоятельным и весьма
плодотворным для многочисленных приложений концепциям. Это но-
вое направление обязано своим появлением главным образом проф.
Заде из Университета Беркли. После его основополагающей статьи
в 1965 г. во всем мире появились тысячи публикаций самого высоко-
го научного уровня, включая сотню важнейших диссертаций. Не сле-
дует удивляться, что эти новые идеи нашли наибольшее применение
в исследованиях и приложениях, относящихся к теории систем. Имен-
но в этой области современной науки можно найти наилучший синтез
знаний, необходимый для понимания естественных и гуманитарных на-
ук, коммуникаций, информатики, контроля и управления. С помощью
указанных новых возможностей построения моделей, более близких
к реальному состоянию, лицо, ответственное за принятие решений, и
исследователи смогут прийти к выбору и решениям, более точно отве-
чающим их собственным намерениям. Наука — это прежде всего по-
строение системы, абстрактной или конкретной в зависимости от об-
стоятельств.
Само собой разумеется, что теория нечетких подмножеств не при-
звана конкурировать с теорией вероятности и статистическими мето-
дами; она заполняет пробел в области структуризованной неопределен-
ности там, где нельзя корректно применять статистику и вероятности.
Кстати, в системах успешно комбинируют нечеткость и вероятности,
когда придерживаются различных видов данных и связей.
Я хотел бы выразить особую благодарность В. Б. Кузьмину, ко-
торый перевел мою книгу на русский язык. Его глубокая компетент-
ность в математике и собственные работы в области нечеткости, каче-
ство которых я оценил, гарантируют научный уровень перевода.
Во время неоднократных посещений СССР, где я читал лекции,
многие мои друзья — советские ученые очень советовали мне писать
книги с уклоном в дидактику. Лично я считаю, что педагогика не толь-
ко полезна, но и необходима для распространения научных и других
понятий и даже играет социальную и экономическую роль. Она по-
могает уменьшить неравенство шансов между людьми. Педагогика
является также средством улучшения взаимопонимания. Она являет-
ся важным фактором сотрудничества между народами и,таким образом,
орудием мира. Эта книга вместе со многими другими, явившимися
предметом обмена и перевода в обеих странах, представляет собой в мо-
ем понимании залог франко-советской дружбы.
В заключение я хотел бы передать искреннее приветствие совет-
ским читателям и друзьям.
А. Кофман
Основные обозначения
А — обычное (четкое) множество или подмножество
А — нечеткое подмножество
£ — символ принадлежности
(£ — символ непринадлежности
| А | , card А — число элементов или мощность А
с — «... есть подмножество множества ...» (включение)
dcz — строгое включение (« ... есть собственное подмножест-
во множества ...»)
(X — «не содержится»
U — объединение
П — пересечение
А — дополнение к А
А — псевдодополнение к А
5s (Е) — множество всех четких подмножеств множества Е
0 — пустое подмножество
Le — множество нечетких подмножеств множества Е, когда
функция принадлежности принимает значения в L.
В некоторых случаях это множество обозначается так-
же SP (Е)
ЕххЕ2 — декартово произведение или прямое произведение
множеств Ех и Е2
=> — метаимпликация (или, как обычно говорят, правда,
неправильно, импликация)
<==> —. логическая эквивалентность
дх —• квантор существования («существует х»)
д! х — квантор существования и единственности («существует
один и только один элемент х»)
ух — квантор общности («для всякого х»)
г
Е2 — отображение Г множества Ех во множество Е2
Еа^ Ех — отображение Г-1 множества Е2 во множество Ег
(Г"1 — отображение, обратное отображению Г)
Г2 о Гх — композиция двух отображений Гх и Г2
ф — дизъюнктивная сумма
X < Y — отношение нестрогого порядка
X < Y — отношение строгого порядка
N — множество натуральных чисел, N = {0, 1,2, 3, ...}
No — множество N, исключая О
Z — множество целых чисел
Zo — множество Z, исключая О
R — множество действительных чисел
Ro — множество R, исключая О
15
R+ — множество неотрицательных действительных чисел
Ro — множество положительных действительных чисел
R" — произведение R X R X .... X R (п сомножителей)
или действительное пространство размерности п
]а> Ь[ — интервал R, «открытый слева и справа», т. е,
{х\а < х <Z Ь}
]а, Ь] — интервал R, «открытый слева и замкнутый справа»,
т. е. {х|а < х Ь}
[а. Ь[ — интервал R, «замкнутый слева и открытый справа»,
т. е. {х|а х < Ь}
[а,	— интервал, или, как еще говорят, сегмент R, «замкну-
тый слева и справа», т. е. {х]а х Ь}
На (*) — функция принадлежности элемента х нечеткому под-
~	множеству А
d (А, В) — обобщенное хеммингово расстояние между двумя не-
~ ~	четкими подмножествами А и В
S (А, В) — обобщенное относительное расстояние Хемминга меж-
ду двумя нечеткими подмножествами А и В
е (А, В) — евклидово расстояние между нечеткими подмножест-
вами А и В
е (А, В) — относительное евклидово расстояние между нечет-
кими подмножествами А и В
А — четкое подмножество, ближайшее к нечеткому под-
множеству А
v (А) — индекс нечеткости нечеткого подмножества А
Аа — обычное подмножество уровня а нечеткого подмно-
жества А
max (X, Y)	о	v v
или XVY — максимальный из элементов X и Y
min (X Y)	„	v v
или X AY — минимальный из элементов X и Y
sup (X, Y)	v v
или XVY — верхняя грань элементов X и Y
inf (X, Y)	v v
или XAY — нижняя грань элементов X и Y
4? — символ для алгебраической суммы, а 4? b — а + b —
— а-Ь
Gc=ExxE2 — нечеткий граф
— композиция двух нечетких отношений и
— четкое отношение, ближайшее к нечеткому отноше-
“ нию Л
(*, У) ~~ функция принадлежности упорядоченной пары (х, у)
• ~	нечеткому отношению х$у
16
рв (У II х) “ функция принадлежности условного нёчёткого под-
множества
Яп — обозначает композицию Я о Я о ... о Я (п раз)
Я — дополнение отношения Я, т. е. такое отношение, что
Я — транзитивное замыкание Я
I (xZ1, xt2i...
1	%. ) ~ значение пути из xZ1 в xijt
l*(xh Xj) — сильнейший путь из xt в
а, Ь, ... — нечеткие переменные
f (а, Ь,...) — функция нечетких переменных
(Е, *) — группоид
®(ХЬ Х^) — расстояние между двумя элементами Хг- и X;
MOR (X, Y) — множество морфизмов категории
Г — нечеткое отображение
Глава 1
ОСНОВНЫЕ понятия
1.	Введение
В первой главе мы рассмотрим основные определения и понятия
теории обычных (четких) множеств, составляющие фундамент совре-
менной математики, однако эти определения и понятия будут пересмо-
трены и распространены на понятия, относящиеся к нечетким подмно-
жествам.
Мы будем продвигаться вперед довольно медленно, так что чита-
тель — не математик по профессии, использующий математику в сво-
ей работе, сможет без затруднений следить за изложением материала.
Примеры позволят читателю шаг за шагом проверить, хорошо ли
усвоены им новые понятия. Однако материал первой главы очень лег-
кий, трудности появятся позднее
Традиционную теорию (обычных) множеств можно рассматривать
как частный случай теории нечетких подмножеств (почему нужно го-
ворить «нечеткое подмножество»*), а не «нечеткое множество», понят-
но хотя бы из того, что область определения нечеткого подмножества
— всегда обычное, а не нечеткое множество). Важно, что здесь мы име-
ем новое и очень полезное для нас расширение традиционного поня-
тия. И тем не менее, все то, что можно описать или объяснить с помо-
щью теории нечетких подмножеств, рассматривают и без этой теории,
используя другие понятия. Всегда можно заменить одно математиче-
ское понятие другим. Но будет ли это новое понятие настолько же по-
нятным, как и старое, и будет ли оно порождать свойства, которые
с его помощью было бы легче обнаружить, доказать и использовать
2.	Понятие принадлежности
Пусть Е есть множество, А — подмножество Е:
АсЕ.	(2.1)
Тот факт, что элемент х множества Е есть элемент подмножест-
ва А, или, как еще говорят, принадлежит А, обычно обозначают с по-
мощью символа
х е А.	(2.2)
*) Методологически оправданный термин «нечеткое подмножество» пока не
привился в специальной литературе, где используется только краткий термин
«нечеткое множество». (Прим, пер.)
18
Для выражения этой принадлежности можно использовать и другое
понятие — характеристическую функцию рд(х), значения которой
указывают, является ли (да или нет) х элементом А:
, ч [1, если х 6 А,
ИЛ (х) =	’	’	(2.3)
( 0, если х€£ А.
Пример. Рассмотрим конечное множество из пяти элементов
Е = {%1, х2, x3f х4, хй}	(2.4)
и пусть	
А = (х2, х3, х5}.	(2.5)
Выпишем для каждого элемента из Е степень его принадлежности
множеству А
Pa(*i) = 0, Ра(х2)=1, рА(х3)—1, Рл(х4) = 0, рА(х5)=1.	(2.6)
Это позволяет представить А через все элементы множества Е, сопро-
водив каждый из них значением его функции принадлежности:
А = {(хь 0), (х2, 1), (х3, 1), (х4, 0), (х5, 1)}.	(2.7)
Напомним хорошо известные свойства булевой бинарной алгебры.
Пусть А — дополнение А относительно Е, т. е. такое подмножество
Е, для которого
АП А-0,	(2.8)
A U А=Е.	(2.9)
Если
х £ А, то хе£ А,	(2.10)
и можно записать
Ра(х) = 1 и |1д (х) = 0.	(2.Ц)
Рассматривая пример в (2.6) и (2.7), мы видим, что
PA(xi)=l, Иа(х2) = 0, Цд(х3) = 0, Рд(х4)=1, Рд(х5) = 0, (2.12)
и можем записать
А = {(х1; 1), (х2, 0), (х3, 0), (х4, 1), (х5, 0)}.	(2.13)
Для двух	данных подмножеств А и	[ В можно рассмотреть пересе-
чение Имеем	А П , . fl, если Ра(х) =	’ ( 0, если	В.	(2.14) *€А’	(2.15) хе£А,	V ’
	, . fl, если Рв(х)= ’ ( 0, если z ч ( 1, если Рапв(х)= ’ ( 0, если	*еВ’	(2.16) х£В,	'	’ хбАПВ, х£А(|В.
1»
Это позволяет нам записать
Напв (х) = На (х) • Нв (х),	(2.18)
где операция • определена таблицей на рис. 1.2 и называется булевым
произведением.
Таким же образом для двух подмножеств А и В определяют объе-
динение или соединение
, ч fl» если A J В,
Haub(x)=	(2.19)
I 0, если хб£А J В,
обладающее свойством
Paub(x) = |ia(x) + jib(x),	(2.20)
где операция + (булева сумма) определена таблицей на рис. 2.2.
О	О	1
О	О	О
1	О	1
Рис. 2.1
Пример. Рассмотрим множество (2.4) и два его подмножества
А = {(хъ 0), (х2, 1), (х3, 1), (х4, 0), (хБ, 1)},	(2.21)
В = {(*!, 1), (х2, 0), (х3, 1), (х4, 0), (х5, 1)}.	(2.22)
Имеем
А Г1 В = {(хх> 0.1), (х2, 1.0), (х3, 1.1), (х4, 0.0), (х5, 1.1)} =
= {(хх, 0), (х2, 0), (х3, 1), (х4, 0), (хБ, 1)},	(2.23)
A (J В = {(хь 0 + 1), (л-2> 1 + 0)> (хз> 1 + 1)> (xi’ 0 + 0), (хБ, 1 +
+ 1)} = {(Хх, 1), (х2, 1), (х3, 1), (х4, 0), (хБ, 1)}.	(2.24)
Далее, для дополнений к этим двум подмножествам имеем
АТГВ = {(Хх, 1), (х2, 1), (х3, 0), (х4, 1), (х5, 0)},	(2.25)
A U В = {(хх, 0,), (х2, 0), (х3, 0), (х4, 1), (хБ, 0)}.	(2.26)
Эти два примера составляют, впрочем, только дидактическую пре-
амбулу к пониманию нечетких подмножеств.
3.	Понятие нечеткого подмножества
Начнем с примера. Рассмотрим подмножество А множества Е,
определенное в (2.7). Кдждый из пяти элементов Е или принадлежит
или не принадлежит Е. Характеристическая функция принимает
только значения 0 или 1.
20
Представим теперь, что характеристическая функция может при-
нимать любое значение в интервале [0, 1]. В соответствии с этим эле-
мент xt множества Е может не принадлежать А (рА = 0), может быть
элементом А в небольшой степени (рА близко к 0), может более или
менее принадлежать А (рА ни слишком близко к 0, ни слишком близ-
ко к 1), может в значительной степени быть элементом А (рА близко
к 1) или, наконец, может быть элементом А (рА = 1). Таким образом,
понятие принадлежности получает интересное обобщение, приводящее
как это мы увидим, к очень полезным результатам.
Математический объект, определяемый выражением
А == {(^10,2), (х2|0), (х3|0,3), (х4|1), (х5|0,8)},	(3.1)
где Xi — элемент универсального множества Е, а число после верти-
кальной черты*) дает значение характеристической функции на этом
элементе, будем называть нечетким подмножеством множества Е
и обозначать
А с Е или А с: Е.	(3.2)
Принадлежность нечеткому подмножеству можно обозначать так:
%€ А, £/ е А, ?6А.	(3.3)
0,2 I ~	0 ~
Символ е можно считать эквивалентным а е — символу Что-
1	о
бы избежать громоздкого обозначения, используют просто символ е
для указания принадлежности и символ для указания непринад-
лежности.
Следовательно, нечеткое подмножество, определенное в (3.1), со-
держит в небольшой степени не содержит х2, содержит в немно-
го большей степени, чем х2, полностью содержит х4 и в значительной
мере—х5. Таким образом, мы можем создать математическую струк-
туру, которая позволяет оперировать с относительно неполно опре-
деленными элементами и принадлежность которой к данному подмно-
жеству лишь в какой-то мере иерархически упорядочена. К таким
структурам можно, например, отнести: в заданном множестве людей —
некоторое подмножество очень высоких людей; во множестве основных
цветов — нечеткое подмножество темно-зеленых цветов, во множестве
решений — нечеткое подмножество хороших решений и т. д. Далее
мы увидим, как обращаться с такими понятиями, которые, по-видимо-
му, особенно хорошо подходят к описанию неточности, присущей со-
циальным наукам.
Дадим строгое определение**) понятия, нечеткого подмножества,
введенного Заде [31].
*) Вертикальная черта используется вместо запятой, как в (2.7), чтобы ис*
ключить возможную путаницу. Если вместо запятой в десятичном числе исполь-
зуется точка, то запятую, конечно, можно ставить вместо черты.
*♦) Мы, однако, приспособим это определение к терминологии и изложению
настоящей работы.
21
Пусть Е есть множество, счетное или нет, их — элемент Е.
Тогда нечетким подмножеством А множества Е называется множест-
во упорядоченных пар
{(х|На(х))}, Vx6E,	(3.4)
где на U) — степень принадлежности х в А. Таким образом, если
На (х) принимает свои значения во множестве М значений функции
принадлежности или, короче, во множестве принадлежностей, то
можно сказать, что х принимает значение в М посредством функции
На (х). Таким образом,
(3.5)
НА
Эта функция также называется функцией принадлежности.
Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать булевы бинар-
ные функции*) как частный случай таких функций принадлежности,
в данной работе мы заменим приведенное выше определение на сле-
дующее.
Пусть Е — множество, счетное или нет, их — элемент Е. Тогда
нечеткое подмножество А множества Е определяется как множество
упорядоченных пар
{(х, Ца(х))},	е>	(3.6)
где р-А (х) — характеристическая функция принадлежности, прини-
мающая свои значения во вполне упорядоченном множестве**) М, кото-
рая указывает степень или уровень принадлежности элемента х под-
множеству А. Множество М будет называться множеством принад-
лежностей.
Если М = {0, 1}, то «нечеткое подмножество» А будет рассматри-
ваться как «ненечеткое» или просто «обычное» подмножество.
Таким образом, понятие нечеткого подмножества связано с поня-
тием множества и позволяет изучать нестрого определенные понятия,
используя математические структуры.
Рассмотрим несколько примеров:
1)	нечеткое подмножество чисел х, приблизительно равных дан-
ному действительному числу п, где п £ R (R — множество действи-
тельных чисел);
2)	нечеткое подмножество целых чисел, очень близких к 0;
3)	пусть а — действительное число их — небольшое положитель-
ное приращение а\ тогда числа а + х образуют нечеткое подмножество
во множестве действительных чисел;
4)	пусть Н — элемент решетки***); элементы, ближайшие к Н, по
отношению порядка образуют нечеткое подмножество в множестве
всех элементов решетки.
*) Здесь под «булевой бинарной функцией» автор понимает функцию, зна-
чения которой являются булевыми переменными. (Прим. пер.).
♦*) В конечном счете в значительно более общим образом структуризованном
множестве, как это видно в гл. V.
***) Читателя, не знакомого с понятием решетки, мы отсылаем к работам [1F,
1К, ЗК]. Тем не менее это понятие будет рассмотрено в § 54.
22
Множества или подмножества обозначаются в данной работе полу,
жирными буквами: А, X, а, р, ... Нечеткое подмножество обозначим
полужирной буквой с символом ~ под ней. Таким образом, нечеткие
подмножества будем записывать в виде
А, X, а, р.	(3.7)
Принадлежность и непринадлежность будем обозначать символа-
ми
6 и	(3.8)
нечеткую принадлежность и нечеткую непринадлежность, если в этом
возникнет необходимость, будем обозначать
6 и	(3.9)
В некоторых случаях, когда вполне упорядоченное множество М,
в котором Ра (я) принимает свои значения, есть сегмент—«двусторон-
не замкнутый интервал» [0, 1], под символом Е удобно помещать чис-
ло из [0, 1]. Например,
х Е А означает, что х С А, т. е. «х есть элемент А»,	(3.10)
х Е А означает, что х А, т. е. х не принадлежит А»,
о ~	~	~
х Е А означает, что х есть элемент А со степенью 0,8 и т. д.
0,8~	-
Рассмотрим несколько полезных примеров.
Пример 1. Рассмотрим конечное множество
Е - {а, Ьу су d, е> f}	(3.11)
и конечное упорядоченное множество
М - {0; 0,5; 1}.	(3.12)
Тогда
A={(a|0), (b\ 1), (с|0,5), (d|0), (е 10,5), (/10)}	(3.13)
есть нечеткое подмножество Е и можно записать
аЕ A, b Е А, сЕА, и т. д.
о ~	1 ~	0,5 ~ о ~
Пример 2. Пусть N — множество натуральных чисел:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.	(3.14)
Рассмотрим нечеткое подмножество «небольших» натуральных чисел:
А = {(0| 1), (1 10,8), (2 | 0,6), (3|0,4), (410,2), (510), (6|0),...}. (3.15)
Здесь функциональные значения рА (х), где х = 0, 1, 2, 3, ...,
задаются, конечно, субъективно. Формулу (3.15) можно записать в виде
0 6 А, 1 € A, 2 £ А, 3 6 А,...	(3.16)
1~	0,8 ~	0,6~	0,4 ~
23
Пример 3. Пусть Е состоит из йервых десяти целых чисел;
Е - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.	(3.17)
Рассмотрим нечеткое подмножество А, составленное из чисел мно-
жества Е:	~
А = {(0|0), (1 |0,2), (2 10,3), (3|0), (411), (511), (6 J 0.8),
(7|0,5), (8|0), (9|0)},	(3.18)
где значения Цд (*) опять заданы субъективно.
Можно записать
°€ А, 1 е А, 2 е А, Зе А,...	(3.19)
О	0,2	0,3	0 ~
Читатель может заметить, что символ обобщенной принадлеж-
ности можно употреблять в обратной записи. Так, (3.13) можно запи-
сать в виде
АЭа,	АэЬ,	АЭс,	(3.20)
~ 0	1	^0,5
а (3.19) в виде
АЭО,	АЭ 1, Аэ2.	(3.21)
~ 0	~'0,2	~0,3
4. Отношение доминирования
Напомним сначала природу отношения доминирования, существую-
щего между двумя упорядоченными наборами из п чисел (аг ками).
Рассмотрим две упорядоченные п-ки
v = (fe1( k2, ..., kn)	(4.1)
и
vx = (k{, ki ...» kn),	(4.2)
в которых ki и ki, i — 1, 2, ..., n, принадлежат одному и тому же
вполне упорядоченному множеству К- Отношение порядка на К обо-
значим символом
Будем говорить, что v' доминирует v, и записывать
vz > v	(4.3)
тогда и только тогда, когда
k{ &i, k'2	k2) ..., kn kn.	(4.4)
Символы и используются для отношения нестрогого порядка.
Для обозначения отношения строгого порядка используют символы
> и и в этом случае мы будем говорить, что «Vх строго доминирует
V». Очевидно, что
v' v,	(4.5)
если
ki > klt k'2 > k2, kn^kn	(4.6)
24
и имеются по крайней мере одно k'i и одно ki, между которыми сущест-
вует строгое отношение.
Учитывая изложенное выше, можно сказать, что отношение доми-
нирования индуцирует отношение порядка (совершенное или частич-
ное) между n-наборами вроде v и v'.
Пример 1. Рассмотрим следующие наборы из четырех чисел:
и = (7, 3, 0, 5),	(4.7)
v = (2, 2, 0, 4),	(4.8)
w = (3, 4, 1, 4).	(4.9)
(4.10)
Очевидно, что
так как 7 > 2, 2 > 3, 0 = 0,5 > 4.
Поскольку ни один
из элементов v не больше соответст-
вующего элемента из и, то можно также
логичным образом можно убедиться, что
v. Однако и и w несравнимы. Дей-
ствительно,
7 > 3, 3 < 4, 0< 1, 5 >4.	(4.11)
Пример 2. Рассмотр им множество
Р точек (хх, х2) в плоскости, изобра-
женной на рис. 4.1, таких, что 0 и
х2 0. Все точки заштрихованной об-
ласти II, удовлетворяющие неравенст-
вам Xi а и х2 > ft, доминируют, а в
действительности строго доминируют
все точки области I, в которой выпол-
0 Xi а,
няются неравенства
0 х2 Ь. Не все точки области III обязательно сравнимы со все-
ми точками областей I или II, то же справедливо для области IV при
сравнении ее с I и с II соответственно. Наконец, каждая точка области
III несравнима с точками области IV и наоборот, за очевидным исклю-
чением точек хх и х2, для которых ’хх = а или х2 = Ь.
5. Простейшие операции над нечеткими
подмножествами
Включение. Пусть Е — множество, М — множество принадлеж-
ностей и А и В — два нечетких подмножества Е; будем говорить, что
А содержится в В, если
ух 6Е !P-А(х)СИв(х),	(5.1)
и обозначать
А с: В
(5.2)
25
или, если нужно избежать недоразумений,
А с В.	(5.3)
Последняя запись совершенно определенно указывает, что в дан-
ном случае включение понимается в смысле теории нечетких подмно-
жеств.
Строгое включение соответствует случаю, когда в (5.1) по крайней
мере одно неравенство строгое и обозначается
A cz cz В или A cz cz В.	(5,4)
Рассмотрим три примера.
1.	Пусть
Е = {%1, х2» ^з> М = [0, 1].	(5.5)
А - {(^10,4), (х2|0,2), (х3|0), (х4|1)}.	(5.6)
В= {(х^О.З), (х2|0), (х3|0), (х |0)}.	(5.7)
Имеем
В cz А, так как 0,3 < 0,4, 0 < 0,2,0 = 0, 0< 1.	(5.8)
2.	Пусть
АсЕ, В cz Е, М - [0,1].	(5.9)
Если
Vх G Е : [Ад (х) = рв W,j	(5.10)
то	~
В cz А.	(5.11)
3.	Пусть
Е = {xn х2, х3, х4, хб}, М = [0, 1].
Можно записать
Е = {(xn 1), (х2, 1), (х3, 1), (х4, 1), (х5, 1)}.	(5.12)
Следовательно, Е также содержится само в себе в смысле теории
н ечетких подмножеств:
ЕаЕ.	(5.13)
И это свойство остается справедливым, каким бы ни было множество Е.
Равенство. Пусть Е — множество, М — множество принадлежно-
стей, А и В —две нечетких подмножества Е. Скажем, что А и В рав-
ны тогда и только тогда, когда
ух€Е= Ра (х) = Ръ (х),	(5.14)
и будем обозначать
А = В.	(5.15)
26
Если найдется по крайней мере один такой элемент х из Е, что ра-
венство рд (х) = рв (х) не удовлетворяется, то мы будем говорить,
что А и В не равны, и обозначать
А^В.	(5.16)
Дополнение. Пусть Е — множество, М = [0, 1] — множество при-
надлежностей, А и В — два нечетких подмножества Е; скажем, что
А и В дополняют друг друга, если
ухеЕ: Рв(х)= 1—р-А (х).	(5.17)
Это будет обозначаться так:
В = А или А В.	(5.18)
Очевидно, что всегда
(S) = A.	(5.19)
Заметим, что здесь дополнение определено для М = [0, 1], но его
можно распространить на другие упорядоченные множества М, ис-
пользуя другие подходящие определения*).
Рассмотрим пример:
Е= {хь х2, х3, х4, х5, х6}, М = [0,1].	(5.20)
А {(хх 10,13), (х210,61), (х310), (х4| 0), (х5| 1), (х610,03)}, (5.21)
В = {(%! 10,87), (х210,39), (х3 11), (х41 1), (хб 10), (хб 10,97)}.
Тогда очевидно
А-В.	(5.22)
Пересечение. Пусть Е — множество и М - [0, 1] — соответствую-
щее ему множество принадлежностей, А и В — два нечетких подмно-
жества Е; пересечение
Ар В	(5.23)
определяют как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся
одновременно в А и В:
V XG Е : р,дПв (х) = MIN (|Лд (х), Рв (х)).	(5.24)
Пример.
Е = {xj, х2, х3, х4, х5}, М = [0,1]	(5.25)
А = {(х4 10,2), (х21 0,7), (х311), (х410), (х51 0,5)].	(5.26)
В = {(х410,5), (х210,3), (х311), (х410,1), (х510,5)}.	(5.27)
А~П В = {(х410,2), (х210,3), (х811), (х410), (х510,5)}.	(5.28)
*) В § 56 уточняется, что условие (5.17) определяет псевдодополнение,
а не дополнение нечеткого множества.
27
Кроме того, используя общее определение (5.23) и (5.24), можно
записать
ух G Е : хе А и х Е В=^х G A f] В.	(5.29)
ма ~	~ цапв~ ~
Это позволит ввести нечеткое ««», которое обозначим «и».
Таким образом, можно сказать: если А — нечеткое подмножество
действительных чисел, очень близких к 5, и В — нечеткое подмножест-
во действительных чисел, очень близких к 10, то A f] В — нечеткое
подмножество действительных чисел, очень близких к 5 и 10. Нечет-
кая конъюнкция и произносится как и\ за исключением того, где
это необходимо, символ ~ можно опускать.
Объединение. Пусть Е — множество иМ- [0, 1] — соответствую-
щее ему множество принадлежностей, А и В — два нечетких под-
множества Е; определим объединение
A U В	(5.30)
как наименьшее нечеткое подмножество, которое содержит как А, так
и В:
ухеЕ: Haub^W^MAX (|1д (х), Нв(х)).	(5.31)
Вернувшись к примеру (5.25)—(5.27), получим
A UB {(%i 10,5), (х210,7), (х311), (х410,1), (х510,5)}.	(5.32)
Кроме того, в соответствии с общими определениями (5.30) и (5.31)
можно записать
yf х — Е : х (-— А или х В х £~~: A U В. (5.33)
^А ~	~	»А U J ~	~
Это позволяет ввести нечеткое «или/и»*\ которое будет обозначать-
ся или!и. За исключением того, где это необходимо, символ ~ опус-
кается.
Таким образом, можно сказать: если А — нечеткое подмножество
действительных чисел, очень близких к 5, и В — нечеткое подмножест-
во действительных чисел, очень близких к 10, то A J В — нечеткое
подмножество действительных чисел, очень близких к 5 или/и к 10.
Конъюнкция или!и произносится как или!и.
Замечание. Если ошибка в интерпретации невозможна, будем пи-
сать «и» вместо «и» и аналогично «или/и» вместо «или/и».
Дизъюнктивная сумма. Дизъюнктивная сумма двух нечетких под-
множеств определяется в терминах объединений и пересечений следую-
щим образом:
А ф B = (AQB) U (А Л В).	(5.34)
*) В русской математической литературе связка «или» означает «или/и»
и специальные оговорки делаются для разделительной связки «или и не и».
(Прим, ред.)
28
Эта операция соответствует «нечеткому дизъюнктивному или»,
где «или» читается как «или» и пишется «или», если нет опасности оши-
биться.
Рассмотрим тот же пример, который иллюстрировал операции
объединения и пер есечения:
А = {(хг |0,2), (х2|0,7),	(х3| 1), (х4|0), (х5|0,5)},	(5.35)
В = {(х, 10,5), (х210,3),	(х31 1), (х410,1), (х510,5)},	(5.36)
А = {(хх | 0,8), (х210,3),	(х310), (х411), (хв 10,5)},	(5.37)
В = {(х410,5), (х210,7),	(х310), (х410,9), (х51 0,5)},	(5.38)
А ПВ = {(х410,2), (х210,7), (х310), (х410), (х51 0,5)},	(5.39)
А П В = {(х410,5), (х210,3), (х310), (х410,1), (х610,5)},	(5.40)
АфВ = {(Хх 10,5), (х210,7), (х310), (х410,1), (х810,5)}.	(5.41)
Разность. Разность определяется соотношением
A—B = Af)B.	(5.42)
Рассмотрим опять пример (5.26) и (5.27), используя (5.38) и (5.39):
А П В - {(%i 10,2), (х210,7), (х310), (х410), (хв 10,5)}.	(5.43)
Конечно, исключая частные случаи,
А —В ф В—А.	(5.44)
Наглядное представление простейших операций с нечеткими под-
множествами. Для нечетких подмножеств можно построить визуаль-
ное представление, родственное
представлению обычных подмно-
жеств (диаграмма Вьенна—Эй-
лера).
Рассмотрим прямоугольную си-
стему координат (рис. 5.1), на оси
ординат которой откладываются
значения |1д (х), а на оси абсцисс
в произвольном порядке располо-
жены элементы Е (если Е по своей
природе вполне упорядоченное мно-
жество, то такой же порядок дол-
жен сохраняться в расположении элементов на оси абсцисс). На
рис. 5.1 принадлежность каждого элемента изображена его ординатой,
заштрихованная часть наглядно изображает* > нечеткое подмножество
А с Е.
*) Заштрихованная часть прямоугольника представляет данное нечеткое
подмножество А и все нечеткие подмножества, содержащиеся в А. Такая штри-
ховка удобна, чтобы отличать одно нечеткое подмножество от другого.
29
Такое представление позволяет сделать зримыми простьте операции
на нечетких подмножествах. Ниже на нескольких рисунках будет по-
казано, как используется это представление.
На рис. 5.2, а—в отражено свойство включения. Рис. 5.3, а—в
иллюстрируют дополнение. Свойства объединения и пересечения отра-
жены на рис. 5.4, а—г.
Рис. 5.3в
Рис. 5.36
На рис. 5.5, а—ж представлены свойства разности А — В = А П В
и дизъюнктивной суммы А ® В = (А П В) U (А П В).
Расстояние Хемминга. Сначала напомним, что понимают под рас-
стоянием Хемминга в теории обычных подмножеств. Рассмотрим два
обычных подмножества А с Е, В с Е и конечное множество
iZy <2?
Я = |/ I I 7 | ^7 | 7 I,
<2?^	<2^ tZy
Z7 | 7 | Z7 | /|	| 7 | 7 |.
(5.45)
(5.46)
30
Под расстоянием Хемминга между А и В понимают величину
d (А, В) — 2 | рА (*<)— Ив (хг) [.	(5.47)
Z=1
Например, для А и В из (5.45) и (5.46) имеем
d(A, В)=|1-0| + |0-1|4-|0-0| + 11-0| + |0-0| +
4-	|1 _ 11 + |о — 11 = 14-1+0+1+0 + 0+1-4. (5.48)
Читатель знает, что в математике слово «расстояние» нельзя ис-
пользовать произвольно. Если мы хотим определить расстояние d
Рис. 5.4в
Рис. 5.4г
между любой парой элементов X, Y множества Е, то напомним,
что должны выполняться следующие условия: уХ, Y, Z £ Е:
1)	d (X, Y) 0 — неотрицательность,	(5.49)
2)	d (X, Y) = d (Y, X) — симметричность,	(5.50)
3)	d (X, Z)< d (X, Y) * d (У, Z) — транзитивность,	(5.51)
где * — оператор, связанный с понятием расстояния.
К этим трем условиям можно добавить четвертое:
4)	d (X, X) = 0.	(5.52)
Легко проверить, что расстояние Хемминга — действительно рас-
стояние в смысле, определяемом условиями (5.49)—(5.51), если опе-
ратор * = + (обычная сумма).
Для конечного множества Е мощности п (т. е. п — число элементов
в Е) определим также относительное расстояние Хемминга'.
6 (А, В) = (1/л) d (А, В).	(5.53)
31

Например, для А и В в (5.45) и (5.46) имеем
6 (А, В) = (d (А, В))/7 = 4/7.
Очевидно, что всегда
О < б (А, В)<1.
(5.54)
Для обобщения понятия расстояния Хемминга на случай не толь-
ко обычных, но и нечетких подмножеств докажем две теоремы.
32
Теорема 1. Пусть pt, т(, /г< 6 R+> 1 — 1» 2, •••> тогда
(Pi	Z = l, 2, ...k)=> %Pi^ 2 mt+ ^ni- (5.55)
i=i i=i i=i
Доказательство. Этот результат получается непосредствен-
ным гуммированием левых и правых частей неравенств pt mi +
+ nti i = 1, 2, k.
Теорема 2. Пусть pit mt, nt € R+, i = 1, 2, fe; тогда
(pt < mt + nit i= I, 2,..., k) =>
(5.56)
Доказательств o*>. Этот результат менее очевиден.
Рассмотрим очевидное неравенство
k
2 (т( ns—tn, п()2	0.	(5.57)
I, l=i
i*i
Разлагая сумму квадратов, имеем
k	k
2 mf nf —2 2 mt tit mj n} > 0,	(5.58)
I, / =1	/, /= 1
M	w
t. e.
k	k
S mf n] 22 mi rti т< tij.	(5.59)
/,/=1
k
Добавив 2 к обеим частям неравенства, получаем
k	k	k	k
2 m2 nf + 2 mt nt 2 mt nt 4- 2 2/иг nt m, nJy (5.60)
i,j=i	i=i	i=i	i, t=i
i=/=i
что можно переписать в таком виде:
(5.61)
(5.62)
(5.63)
*) Можно предложить другое доказательство, основанное на теории ком-
плексных чисел; мы предпочли прямое доказательство*
? Зак. 461
33
k	к
Добавив 2	+ 2 имеем
Z=1	Z—1
k	k	Г k	Г k	k
2 mt 4- 2«f+ 2 1/ 2 mt • 1/ 2 n" > 2 m‘ +
4 = 1	t=l	r 1=1	F 1=1	1=1
k	k
+ 2 nt -+ 2 2 mi nb	(5.64)
i=i	z=i
что можно переписать в виде
А	__ г k	V	k
mt +1/ 2 п? I > 2 (^ + «02	(5-65)
i=i	r i=i	/	/=i
или
^mt +1/ 2 nt >1/ 2(^+«;)2 •	(5.66)
£=1	'	1=1	’ i=l
Однако по предположению
yi = 1, 2, ..., k : m-i 4- nt pt	(5.67)
и, следовательно,
]Л.2т? +]/'z2^2 >]/’	(5,68)
что и требовалось доказать.
Обобщение понятия «расстояние Хемминга». Рассмотрим теперь
три нечетких подмножества А, В, С cz Е, Е — конечное множество
мощности п:	* ~ *
^2	^/7
(5.69)
(5.70)
(5-71)
	a7	^2			an
	^7		X3		
II	bl		b3		
	^7				
C7	C2	
Предположим, что мы определили расстояния ® (аь между яг
и bt для всех i = 1, 2, ..., п, а также для (&г, ct) и (аг, ct). Тогда соглас-
но (5.49)—(5.52) для этих расстояний справедливо неравенство
yi = 1, 2, ... , п; 3) (ait ci) < ® (ait bt) * 3j (bh сД. (5.72)
34
Кроме того, по теоремам 1 (5.55) и 2 (5.56) можно записать*)
п	п	п
2 ® (а1г с;)< 2 ® («ь	®	с<-)’	(5-73)
••_. 1	.• _ 1	-_1
/ п	/ п	/ п
у 2 («ис*) У 2 to bi) + У 2 &	• (5-74)
Эти две формулы дают две оценки расстояния между нечеткими под-
множествами: первая—линейную оценку, вторая — квадратичную**).
Рассмотрим случай, когда функции принадлежности нечетких
подмножеств принимают свои значения в М = [0, 1], т. е. когда в
(5.69)—(5.71) ah bi, С [0, 1], i = 1, 2, и. Теперь положим
ф (at, bi) = \ai—bi I, 2D (bit Ci) = \bt —Ci |, 2D (at ci) = \ai_-Ci | (5.75)
и no (5.73) и (5.74) определим два типа расстояний.
Обобщенное расстояние Хемминга, или линейное расстояние, оп-
ределяется по формуле***)
d(A, В)= 2 1На(х{)-НвШ	(5-76)
которая обобщает (5.47) на случай, когда
Иа (хг), Ив Сч) € [0, 1], 1=1,2,..., п.	(5.76а)
Очевидно, что
0=Cd(A, В)<п.	(5.77)
Евклидово, или квадратичное, расстояние определяется по формуле
е(А, В) =	2 (РА(хЛ-Нв(хг))а •	(5-78)
Имеем
О <: е (А, В) С Уп.	(5.79)
Величина е2 (А, В) называется «евклидовой нормой»****)
е2(А, В>	(На(хг)-Ив(хг))2.	(5.80)
~	4 = 1	~
*) Обратите внимание на то, что при переходе от (5.72) к (5.73) и (5.74) не-
обходимо отождествить операцию * с операцией суммирования +•
**) Понятие расстояния составляет объект исследования многих работ. Мы
представляем здесь только два из наиболее часто используемых определений рас-
стояния. Разумеется, для нечетких подмножеств можно ввести и другие определе-
ния понятия расстояния.
***) Заметим, что
|На(*(•)— Ив<хг) I = МАХ[Иа (xi)> Ив (хЛ—МШ[Иа(*;)’ Ив (**)]•
♦***) дВТОр использует нестандартную терминологию. Обычно норма вводится
на элементах векторного пространства, и евклидовой нормой элемента X =
— {*1, х2, ...» хп} называется число [|Х|| ~фЛ2Х(?. {Прим, ред.)
2*
35
Определим несколько относительных расстояний.
Обобщенное относительное расстояние Хемминга:
6(A,B) = -^b?L=—V 1рА(х<)-Вв(х/)|.	(5.81)
— п п	~
f= 1
Можно проверить, что это действительно расстояние, удовлетво-
ряющее условиям (5.49)—(5.52), и с учетом неравенства (5.73), кото-
рое не нарушается от деления обоих его членов на п, имеем
0=<6(А, В)<С 1.	(5.82)
Следовательно, (5.81) является обобщением (5.53) для случая, когда
На (xj, рв С*:) € [0, 1].
Относительное евклидово расстояние:
е(А, В) Г~ п
е (А, В) = —у-~- = у — 2 (Ра (Xj)—Рв (хг))а.	(5.83)
Можно проверить, что это действительно расстояние, удовлетво
ряющее условиям (5.49)—(5.52), и с учетом неравенства (5.73), кото
рое не нарушается от деления обоих его членов на "|/л, имеем
0<е(А, В)<1.	(5.84)
82(А, В) называется относительной евклидовой нормой*.
е2 (АВ) 1 п
62(А, В) = —= - У (На (xJ-Hb (хг))2.	(5.85)
~ ~	п	п	~	~
Не удивительно, что в частном случае, когда Цд (х$), |Хв (х/) €
€ {0, 1},
е2(А, B) = d(A, В),	(5.86)
е2(А, В) = 6 (А, В).	(5.87)
Эти равенства соответствуют булеву свойству
а2 = а, а£ {0, 1}.	(5.88)
Таким образом, можно видеть, что (5.76) и (5.81) обобщают поня-
тия расстояния Хемминга, абсолютного (5.47) и относительного (5.53);
евклидову норму нельзя классифицировать как расстояние, посколь-
ку эта норма не удовлетворяет неравенству (5.51), входящему в опре-
деление понятия расстояния.
Выбор того или иного расстояния — обобщенного (абсолютного
или относительного) Хемминга или евклидова (абсолютного или
относительного) зависит от природы рассматриваемой проблемы. Каж-
дое из этих расстояний обладает своими преимуществами и недостатка-
ми, которые становятся очевидными в приложениях; мы займемся
этим в г. III. Очевидно, что можно придумать и определить и другие
расстояния.
36
Пример. Пусть
^7	3}^			^5	^6		
		” 1	। о,6	| 0,5	1' 1	Al	(5.89)
^7	% 2			^5			
	н	" 1		Z7,<y|	о,о\	II	(5.90)
Имеем
d(A, В) = 10,7—0,21 + |0,2 — 0| + |0—0| + |0,6 —0,6 [ +
-4-10,5—0,814-11—0,4| + |0—11 =
= 0,5 + 0,2 + 0 + 0 + 0,3 +0,6+1 = 2,6,	(5.91)
6 (A,JJ) = (1/7) d (А, В) = 2,6/7 = 0,37;	(5.92)
е2 (А, В) = (0,7 — 0,2)2 + (0,2 — О)2 + (0 — О)2 + (0,6 — 0,6)2 +
+ (0,5 - 0,8)2 + (1 - 0,4)2 + (0 - I)2 = (0,5)2 + (0,2)2 + (О)2 +
+ (О)2 + (О.З)2 + (0,6)2 + (I)2 = 1,74;	(5.93)
е (А, В) = ]ЛТТТ4 = 1,32;	(5.94)
6 (А, В) =	= -^ = 0,49).	(5.95)
Случай бесконечного универсального множества. Расстояния
d (А, В), е (А, В), а поэтому, очевидно, и норма е2 (А, В) могут быть
определены и в случае, когда универсальное множество бесконечное
(счетное или нет) с той, конечно, оговоркой, что соответствующие
суммы сходятся.
Если Е — счетное, то пишут
d (А, В) = Ji На (х,)~Рв (xt) |,	(5.96)
~ ~ /=1 ~ ~
если этот ряд сходится.
Если Е = R, то пишут
(А, В) = J | рд (х)—рв (х) | • dx,	(5.97)
если этот интеграл сходящийся.
Аналогично (рис. 5.6)
е (А, В) = 1/ 2 (Ра (xt)—рв (xj))2,	(5.98)
~ г i=i	~
37
если ряд, стоящий под знаком корня, сходится;
е(А, В) =
(Ра(*)—Рв(х))Мх
(5.99)
если интеграл сходящийся.
Как правило, 6 (А, В) и е (А, В) не используют в случае бесконеч-
ных множеств, однако, если необходимо, это можно сделать, исполь-
зуя другое определение или вводя другое понятие сходимости.
Если множество Е cz R ограничено (сверху и снизу), то интеграл
(5.97) сходится так же, как и (5.99); тогда d (А, В) и е (А, В) всегда ко-
нечны.	~
В этом случае всегда можно определить 6 (А, В) и е (А, В) (рис. 5.7):
S(A,B) = 1£lL,	(5.Ю0)
----	0—а	’
e(A,B) = -i^>.	(5.Ю1)
Обычное подмножество, ближайшее к нечеткому. Зададимся сле-
дующим вопросом: какое обычное подмножество (или подмножества)
А расположено на наименьшем евклидовом расстоянии от данного
нечеткого подмножества А (или, если хотите, имеет наименьшую
норму)?	~
Легко доказать, что это будет обычное множество (обозначим его
А), такое, что
Ра to) = 0, если Ра to) <0,5,
= 1, если На (xt) > 0,5,	(5.102)
— 0 или 1, если рА to) = 0,5,
38
где «по определению» мы принимаем, что р.д (хг) = 0, если цд (xj) = 0,5.
Пример. Пусть	~
Тогда имеем
3!^	$2	&3	^5	$ 7	$8
<7,2	<7,5	0,0	о,ъ	7	О	0,9	О, if
(5.103)
<2у	^2	^3	$5 $6	$7	^8
А =
О	1	О	О	7	О	7	О
(5.104)
Индекс нечеткости. Помимо уже указанных можно рассмотреть еще
два индекса нечеткости: линейный индекс нечеткости, определяемый
посредством обобщенного относительного расстояния Хемминга,
и квадратичный индекс нечеткости, определяемый посредством отно-
сительного евклидова расстояния. Обозначим их v (А) и т] (А) соот-
ветственно:	~	~
v(A) = — -d(A, А)*),	(5.105)
~ п — —
П(А) = -^е(А,А)*).	(5.106)
Число 2 появилось в числителе для того, чтобы получить
0 < v (А)	1	(5.107)
И	0<п(А)С1.	(5.108)
так как
0<6(А, А)<—	(5.109)
и	~	2
0<8(А,А)<1.	(5.110)
Понятие подмножества, ближайшего к данному нечеткому подмно-
жеству, и понятие индекса нечеткости можно распространить на слу-
чай бесконечного универсального множества с оговоркой (например,
относительно индекса нечеткости), что все рассматриваемые ряды схо-
дящиеся. Рассмотрим случай, когда множество Е = la, &] с R.
На рис. 5.8 показано, как определить ближайшее обычное множест-
во и индекс нечеткости. Например, по формуле (5.105) получаем
ь
v(A) = —f |рд(х)— р-д(х) jdx.	(5.111)
______	х=а
*) Эти индексы нечеткости можно определить другим образом:
2 п
v(A)=- У MIN (р.А (х), На (х)) (см. также (5.119)),
~	X—1	~
т) (А)=-^1/ X MIN (|^(х), Нд(х)) •
~ Уп I/ Л=1
39
Основные свойства, связанные с
ближайшим обычным множеством.
Легко проверить следующие свой-
ства:
А Л В = А f| В, (5.112)
A U В = А U В.	(5.113)*>
Другое интересное свойство
V*i € Е = |НА(хг)—На (^) 1 = Напа(х«)
(5.115)
доказывается на основе свойств (5.102).
Рассмотрим пример, используя (5.103) и (5.104):
$5 $8 $7
А^ 0,8 0,1 0,5 0,7 О
7 0,1 0,6
33	33 2	33^ 33^ 31 § 3g ЗЗу	Xq
Z?2	Z^2	O,ff	0,5	0	0	0,1	oj
(5.116)
(5.117)

Нечеткое подмножество с функцией принадлежности 2рА п (х)
иногда называют векторным индикатором нечеткости**>. Таким об-
разом, для (5.103) имеем
^2 $8 $0	$5 $6 $7 $8
O,k	0,0	1	0,6	0	0	Z£2	0,8
(5.118)
Формулу (5.105) можно переписать в более удобном виде:
9
MW'	<5||9>
“ <-1 * -
И снова имеем
v(A) = v(A).	(5.120)
Можно задать следующий интересный вопрос: пусть А и В — два
нечетких подмножества одного и того же множества Е; больше (или
меньше) ли индексы нечеткости А (] В или A U В, чем А или/и В?
*) В оригинале в нумерации формул пропущен номер (5.114). (Прим, пер.)
**) Предложено М. Надлером, инженером-исследователем из Honeywell
Bull Cie.
40
Следующие примеры показывают, что, к сожалению, ничего определен-
ного по этому поводу сказать нельзя.

<2/ XZ Я3
0,6	0,6	0,8
В) =0,6О
А(\В
0,2	0,3	0,1
и(АЪв)=О, 60
(5.111)

OS ?	^2.	$ 3
7В^	$2. $3
0,8	0,6	0,8
<2?z <2?2
о,о	0,7	0,2
V (0'6^0,60

A'i\B' = 0,0 0,6 0,2 .
i>(A'fi6')=0,66
(5.122)
To же самое справедливо относительно A U В. Аналогичные ут-
верждения справедливы и для т) (А).	~	~
Поскольку мы убедились, что нечеткое подмножество и его допол-
нение имеют один и тот же индекс нечеткости, то, очевидно, что ни
одна из операций (f|, J , ~) не дает какого-нибудь систематического
эффекта увеличения и понижения нечеткости.
Оценка нечеткости через энтропию. Ограничимся здесь рассмотре-
нием конечного универсального множества. Мы знаем, что энтропия
системы измеряет степень беспорядка компонентов системы относи-
тельно вероятностей состояния.
Рассмотрим N состояний	..., $N системы, с которыми
связаны вероятности plt р.г, pN; тогда энтропия системы определя-
ется выражением*)
H(p1,p2,...,pN)= — 2 Pi^pi.	(5.123)
z= J
Легко показать, что
И = О (Н минимально) при рТ = 1, г £ {1,2.....N}\
Pi = 0,i^r.	(5.124)
Н = In N (H максимально) при рг = рг = ... = pN = р = 1/N.
(5.125)
Если мы воспользуемся формулой
1 N
H(pltp2t...,pff)=---—^ptlnpi,	(5.126)
то энтропия будет величиной, изменяющейся между 0 и 1:
Ят1п = 0 и Ятах= 1.	(5.127)
*) Определяемым с точностью до мультипликативного коэффициента перед
знаком суммирования 2. В обозначении используются неперовы логарифмы с
основанием е.
41
Посмотрим, как использовать это понятие для оцейки нечеткости
подмножества. Рассмотрим нечеткое подмножество
Ра (Xi)=	, рд (х^) = 0,9, рд (х2) = 0, рд (х4) = 0,6,
Ра(х5) = 0,5, рд(хв)=1.	(5.128)
Положив
Рд (*t)
Лд(Х|) = —------------
о
2 ид (*«)
Z=1 ~
(5.129)
получим
7	9	6
Ла(Х1) = — , Ла(х2)- —, лА(х3) = 0, лА(х4) = —,
**w	О/	О/	01
Ла(х6) = -|г’ Ла (Хе) = 4г •	(5.130)
О /	Г''~'	01
Тогда
j 6
Н(лъ щ,..., л,) = —	Яа^Нплд^)--
1 I 7 .	7,9.	9,6,	6,
=—(77П71ПГГ + 'Г_1ПГГ + ГГ1ПГ7 +
1П и \ 61	01	37	37	37	37
। 5 * 5 . 10 . 10 \ л on
Н----1П-------1П —- = 0,89.
37	37	37	37 I
(5.131)
Общую формулу, позволяющую подсчитать энтропию по нечеткости,
можно записать в виде
1 *
Н (Яд (Xi), Яд (х2).....Яд (ХдО)  -------—— V Яд (Xj) • In Яд (Х<) =
~ 1П* & ~
1
In N 2 На (*i)
' N	( N	\
2 I*a(x()’ (in2 PaCxj) —
/=1 ~	\	4=1	~	/
— 2 Ha (Xi)-In pA (Xi)
/=1 ~	~
(5.132)
Заметим, что метод подсчета нечеткости через энтропию зависит
не непосредственно от значений функции принадлежности, а от их
относительных значений. Таким образом, два нечетких подмножества
<2у
0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
f (5.1331
^2 ^3»
В- 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8^8
(5.134)
42
имеют одну и ту же энтропию. То же справедливо и для обычного под-
множества
tZy	33ц	335	3S&
7	7	7	7	7	7
(5.135)
Все обычные подмножества с единственным ненулевым элементом
имеют энтропию 0. Наконец, пустое подмножество всегда имеет энт-
ропию, равную 1.
Энтропия хотя и может использоваться в теории нечетких подмно-
жеств, но это не очень хороший показатель*). Энтропия — понятие
теории вероятностей — совсем другой теории, и она будет изучаться
позже (в § 40). Иногда между теорией нечетких подмножеств и теори-
ей вероятностей возможно некоторое сближение, но только иногда.
Обычное подмножество a-уровня. Пусть а £ [0, 1]; подмножест-
вом a-уровня нечеткого подмножества А будет называться обычное
подмножество	~
Аа = {х | jxA (х) > а}.
(5.136)
Пример L Пусть
33? Д?2 $3	$5 $6 $7
О,в	0,1	7		0,0	0,1	0,5
(5.137)
Имеем
33j	3}^ 33^ 33ц 33§	33q	(В?
7	О	7	7	7	О	7
33f	33^ 33^	33ц	33$ 33^ 33?
1	О	7	О	7	О	О
(5.138)
(5.139)
Пример 2. Ha рис. 5.9 представлен пример, в котором рассматри-
ваемое множество есть R+.
Важное свойство. С первого взгляда на рис. 5.9 выводим очевид-
ное свойство
о&2 ах => Аа> cz Аар
(5.140)
*) После публикации настоящей работы (первое французское издание)
А. Де’ Люка и С. Термини [Д2] ввели новое и интересное обобщение понятия
энтропии для нечетких подмножеств.
43
Рассмотрим важную теорему.
Теорема о декомпозиции. Всякое не-
четкое подмножество А можно следую-
щим образом разложить на произведе-
ния обычных подмножеств по коэффи-
циентам af
А = МАХ [aj-Aap a2-Aa„..., a„-Aan],
“г
0<а<<1, 1 = 1,2......п. (5.141)
Доказательство следует
непосредственно:
(1, если Рл(х)2>аг,
PAa.U) = L	(5-142)
»	[0, если Ра (•»)<«».
Рис. 5.9
Таким образом, функцию принадлежности А можно записать в виде
р(х)	= МАХ[аг-Аа.] =
МАХ га'.Да/]	а,	* 1 * *
1	=МАХ[аг]=	(5.143)
“i < ^А <*>
= Ра (АО-
Пример 1.	~
ХИ х5
Z7 <7 I 7 <7
(5.144)

Пример 2. Формула разложения (5.141) остается справедливой
и в случае, когда универсальное множество имеет мощность конти-
нуума. Пусть, например,
Ра(х)=1—-Ь-, X6R+.	(5.145)
1 -ф-Х4
Рассматривая интервал [a, 1], где0<а^1, можно записать
1, если pA(x)£[a, 1],
рАа(х)=	~	?	(5Д46)
0, если рд (х) [а, 1J.
44
Таким образом, в данном примере
PAaW =
(5.147)
и (5.145) можно разложить для любых произвольных множеств зна-
чений а-уровня, 0 < а 1.
Синтез нечеткого подмножества посредством объединения обычных
подмножеств. Теорему о декомпозиции можно применить не только для
анализа, но и для синтеза. Если рассмотреть последовательность обыч-
ных подмножеств
Ах cz с: А2 с: cz... с с Ап
(5.148)
и присвоить значения cq для Ах, а2 для А2, ап для Ап, причем та-
кие, что
0&1	Ct2	... 0Сп,
(5.149)
то с помощью (5.141) получим нечеткое подмножество А.
6. Множество нечетких подмножеств
для конечных Е и М
Ограничимся случаем, когда Е и М — конечные множества. На-
помним определение множества всех подмножеств данного множества
на простом примере. Пусть
Е = {х1( х2, х3}.	(6.1)
Тогда
(Е) = {0, {лу}, {х2}, {х3},
{ху, х2}, {Xi, х3}, {х2, х3}, Е}.	(6.2)
Это множество состоит из 2s = 8 элементов. В общем случае для
множеств
Е = {xlt х2..... хп}	(6.3)
можно таким же образом определить 2п элементов.
Для нечетких подмножеств множество всех подмножеств или «мно-
жество нечетких подмножеств» определяется иначе. Рассмотрим сна-
чала пример. Пусть
Е = {лу, х2}	(6.4)
и	М = {0; 0,5; 1}.	(6.5)
45
Выпишем множество .9® (Е) нечетких подмножеств*) множества Е
& (Е) = {{(хх 10), (х2|0)}, {(х, J0), (х2| 0,5)}, {(XJ0.5), (х2|0)},
{(xJO.5), (х2|0,5)}, {(xi|0), (х2| 1)}, {(xjl), (х2|0)},
{(хх 11), (х210,5)}, {(хх 10,5), (х211)}, {(хх | 1), (х211)}}. (6.6)
В общем случае, если
card Е = п и card М = т,	(6.6а)
где card означает «мощность», а в нашем случае — число элементов
множества, то
card S3 (Е) = тп.	(6.7)
Отсюда следует, что card SP (Е) — конечное число тогда и только
тогда, когда тип конечны. Множество 5s (Е) содержит 2П обычных
подмножеств.
Для лучшего сравнения с (6.2) рассмотрим другой пример:
Е = {xj, х2, х3} и М = {0; 0,5; 1}.	(6.8)
^(Е)={{(Х1|0), (х2|0), (х3|0)), {(хх|0), (х2|0), (х3| 1/2)},
{(хх|0), (х2| 1/2), (х3|0)}, {(Хх| 1/2), (х2|0), (х3|0)}, {(хх|0),
(х2|0), (х3| 1)}, {(хх|0), (х2| 1/2), (х3| 1/2)}, {(хх|0), (х2| 1),
(х3| 0)},..., {(хг| 1), (х2| 1/2), (х3| 1)}, {(xjl), (х2| 1), (х3| 1/2)},
{(xil 1), (х2| 1), (х3| 1)}}.	(6.9)
Хорошо известно, что структура множества всех подмножеств
5s (Е) множества Е представляет собой дистрибутивную решетку с до-
полнениями, т. е. булеву решетку**). Однако множество нечетких под-
множеств SP (Е) наделено структурой векторной решетки, а точнее —
дистрибутивной решетки без дополнений.
Напомним, что если дополнение элемента в дистрибутивной решет-
ке существует, то оно единственно, то же справедливо для случая век-
торной решетки. Рассматриваемые в теории решеток дополнения имеют
другой смысл — это не дополнение в смысле определения (5.17).
Дополнения, определяемые (5.17), не обязательно дают А П А = 0
и A U А = Е, в то время как это справедливо для дополнений в ре-
шетке. Все различие в этом и состоит, но различие это существенно.
На рис. 6.1—6.6 изображено несколько простых примеров, где
для упрощения обозначений нечеткие подмножества представлены со-
ответствующими им функциями принадлежности.
♦) Заметим, что всегда & (Е) cz & (Е). Таким образом, учитывая (6.4) и
(6.5), можно записать	~
(Е) = {0, {xj, {х2}, {хь х2}} = {{(хх| 0), (х2| 0)},
{(*11 0» (х31 0)}, {(xj 0), (х2| 1)}, {(хх| 1), (х2| 1)}}.
Здесь конечно, выписано подмножество множества (6.6), что более отчет-
ливо увидим на рис. 6.1—6.6.
**) Читатели, не знакомые с теорией решеток, могут обратиться к работам
[ 1F, 1К> ЗК]. Обзор теории решеток будет дан в § 54.
46
Рис. 6.2: Е = {х3, х2}> М = {0; 0,5; 1}. На рисунке изображена
векторная решетка нечетких подмножеств, а на рис. 6.1 — булева
решетка обычных множеств.
Рис. 6.4
Рис. 6.6
Рис. 6.4: Е = {хъ х2, х3), М — {0; 0,5; 1}. На рисунке изображе-
на векторная решетка нечетких подмножеств, а на рис. 6.3 — булева
решетка обычных множеств.
Рис. 6.6: это другое представление векторной решетки рис. 6.4>
а слева на рис. 6.5 помешена булева решетка обычных множеств.
47
7. Свойства множества нечетких подмножеств
Напомним основные свойства подмножества всех подмножеств
обычного множества Е. Пусть заданы подмножества А с Е, В Е,
С с Е, имеем:
А Л В = В Л А, 1 1 коммутативность A U В = В U A, J (А Л В) Л С = А Л (В Л С), ) } ассоциативность (A U В) U С = А U (В U С), /	(7-1) (7.2) (7.3) (7.4)
А П А = А 1
’ I идемпотентность
A U А = А, J
АП(ВиС) = (АПВ)и(АПС),
Аи(ВПС) = (А11В)Л(АиС),
(7.5)
(7.6)
дистрибутивность пере-
сечения относительно (7.7)
объединени я и объеди-
нения относительно (7.8)
пересечения
А ПА-0,
A U А = Е,
АП 0 = 0.
A U.0 = A,
А Л Е=А,
A (J Е = Е,
(А) = А — инволюция,
А~П~В = АиВ, 1	„
11	_ I теоремы де Моргана
A U В = А П В- J
(7.9)
(7.Ю)
(7.П)
(7.12
(7.13)
(7.14)
(7.15)
(7.16)
(7.17)
Если А, В и С — нечеткие подмножества универсального множест-
ва Е, то удовлетворяются все свойства (7.1)—(7.17), за исключением
(7.9) и (7.10). Можно определить единственное дополнение, однако
свойства (7.9) и (7.10) справедливы только для обычных подмножеств.
А П В = В П А, 1
- ~	~	~ । коммутативность
А В = В U A, J
(А Л В) П С = А Л (В Л С), 1
~	~ ~	~ ~ I ассоциативность
(A(JB)UC = AU(BUC), I
А Л А = А, 1
~ ~ ~ I идемпотентность
A U А = А, |
(7.18)
(7.19)
(7.20)
(7.21)
(7.22)
(7.23)
48
А п	(В	и	C) = (A	f)	В)	и (A	n	С),	1	(7.24)
~	~	~	~	I	дистрибутивность
A U	(В	П	С) = (A	U	В)	П (A	U	С),	j	(7.25)
А Л 0 = 0,
где 0 — обычное множество, такое, что ухг £ Е : M*i) = 0. (7.26)
A(J0=A,	(7.27)
Af)E = A,	(7.28)
где Е — обычное множество, такое, что ухг С Е : рЕ (х«) = 1, т. е.
универсальное множество.
A U Е = Е,	(7.29)
(А) = А—инволюция,	(7.30)
~	~ U В, теоремы де Моргана для нечетких (7-31)
АЦ~В = А Л В. J	подмножеств	(7.32)
Мы еще раз подчеркиваем: все свойства обычного множества
всех подмножеств также справедливы для множества всех нечетких
подмножеств, за исключением (7.9) и (7.10). Таким образом, в случае
нечетких подмножеств мы уже не имеем дело с алгеброй в смысле те-
ории обычных множеств; структуры нечетких подмножеств пред-
ставляет собой векторную решетку.
8. Алгебраическое произведение и сумма двух
нечетких подмножеств
Пусть Е — множество и М = [0, 1] — связанное с ним множество
принадлежностей; пусть А и В — два нечетких подмножества Е.
Алгебраическое произведение"4 и В обозначается
АВ	(8.1)
и определяется следующим образом:
ух € Е : ра - в (х) = рд (х) • рв (х).	(8.2)
Алгебраическая сумма этих двух подмножеств обозначается
А + В	(8.3)
и определяется следующим образом:
ух£Е: Ра+в (х) = Ра(х)4-Рв(х)—Ра(х)-Рв(х).	(8.4)
49
Рассмотрим, например, нечеткие подмножества А и В, определен-
ные в (5.25)—(5.27):	~	~
А = {(хх 10,2), (х210,7), (х311), (х41 0), (х510,5)},	(8.5)
В = {(хх|0,5), (х2|0,3), (х3| 1), (х4|0,1), (хб|0,5)}.	(8.6)
А-В = {(хх 10,10), (х210,21), (х311), (х4 10), (х510,25)}.	(8.7)
А + В = {(х1|0,60), (х3|0,79), (х3| 1), (х4|0,1), (х5|0,75)). М
Сделаем следующее важное замечание. Если М = {0, 1}, т. е. в
случае обычных подмножеств, имеем
АП В = А В,	(8.9)
AUB = A + B.	(8.10)
Действительно, если рА (х) £{0,1} и р.в (х) € {0, 1}, то следую-
щие таблицы эквивалентны (но за исключением немногих тривиаль-
ных случаев это не так, если М #= {0, 1}).
MIN	0	1	Эквивалентна
0	0	0	
1	0	1	
			
МАХ	0	7	Эквивалентна
0	О	7	
1	7	7	
(8.Н)
(8.12)
В этой работе операции алгебраического произведения и суммиро-
вания используются довольно редко, однако они дают интересное на-
правление для другого исследования.
Можно убедиться, что для двух операций • и на множестве
всех нечетких подмножеств справедливы только перечисленные ниже
свойства; их значительно меньше, чем соответствующих свойств для
операций П и U в множестве всех нечетких подмножеств, и, следо-
вательно, меньше, чем в множестве всех обычных подмножеств. Легко
проверяются следующие свойства:
АВ = ВА,
А + В = В+ А,
коммутативность
(А.В).С = А.(В-С),
(А + В) + С = А + (В + С),
ассоциативность
(8.13)
(8.14)
(8.15)
(8.16)
50
h-0 = 0,	(8.17)
A+0=A,	(8.18)
AE = A,	(8.19)
A + E = E,	(8.20)
(A) = A — инволюция,	(8.21)
A = A + B,	теоремы Де Моргана для операций*	(8.22)
А + В = А-В,	и Ср на нечетных подмножествах	(8.23)
Для операций • иСр свойства (7.5) и (7.6) (идемпотентность), свойст-
ва (7.7) и (7.8) (дистрибутивность), а также свойства (7.9) и (7.10) не
выполняются. Отсутствие этих свойств, особенно свойства дистрибу-
тивности, значительно обедняет структуру. Покажем на нескольких
примерах, как доказываются свойства (8.13)—(8.23).
Докажем, например, свойство (8.16). Положим
а = рА(х), Ь = цв(х), с = рс(х).	(8.24)
(АВ) + С = А 4~ (В + С) выполняется, если (8.25)
(а + Ъ — ab) + с — (а + Ь — ab) с = а + (Ь + с — Ьс) — а X
X (Ь + с — be).	(8.26)
Избавляясь от скобок, приходим к очевидному тождеству
а + b — ab + с — ас — be + abc = а + Ь + с — Ьс — ab —
— ас + abc.	(8.27)
Таким образом, формула (8.25) доказана.
Докажем (8.22). Равенство
А7в = А + В	(8.28)
выполняется, если
1 — ab = (1 — а) + (1 — Ь) — (1 — а) (1 — Ь) =
= 1— а + 1 — b—l+a + b — ab — 1 — ab.	(8.29)
Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется. Напри-
мер, покажем, что, вообще говоря,
А.(В + С)^=(А.В) + (А-С).	(8.30)
***** /W	«V	Л*	***
Для левой части уравнения получаем
а'{Ъ + с — be) = ab + ас — abc,	(8.31)
а для правой части
ab + ас — (ab) (ас) = ab + ас — а2Ьс. (8.32)
51
Это доказывает, что дистрибутивность не выполняется, если а8 а.
Заметим, что операция U не дистрибутивна относительно • или 4?,
так же как и операция пересечения f), однако с другой стороны имеем
А-(ВПС) = (А.В)П(А-С),	(8.33)
А-(В U С) - (А- В) J (А-С),	(8.34)
А + (ВПС) = (А + В)П(А + С),	(8.35)
A+(B(JC) = (A + B)U(A + C).
(8.36)
Индекс нечеткости для произведения. Индекс нечеткости для про-
изведения можно определить аналогично (5.119); положим
*!(A) = v2 На .A to)-	<8-37)
v /=1 ~ ~
Пример. Пусть
А-А = 0,21 0,16 0,09 О
О 0,29 О
(8.38)
(8.39)
(8.40)
П (А) = 4/7 (0,21 + 0,16 + 0,09 + 0 + 0 + 0,24 + 0) = 0,40. (8.41)
Относительно операций П и (J так же, как это было сделано в § 5,
можно поставить следующий вопрос: больше или меньше индексы не-
четкости для А - В или А 4? В, чем индексы для А или/и В? К сожале-
нию, как это можно показать на примерах, ответ зависит от выбора
множеств А и В.
Общее замечание о нечеткости. Мы уже видели, что каждая из опе-
раций (], (J» •> +> будучи примененной к разным подмножествам
одного и того же универсального множества, увеличивает или умень-
шает нечеткость подмножества А не систематическим образом. При этом
необходимо помнить, что когда речь идет об обработке нечетких под-
множеств, то функции принадлежности предполагаются всегда из-
вестными.
52
Если * — одна из четырех рассмотренных выше операций, то для
произвольных А и В, А с Е, В с Е априори нельзя сказать, будет
ли величина v (А”* В) больше или меньше, чем v (А) или v (В).
Та же самая ситуация возникает при рассмотрении энтропии. Что-
бы знать, как увеличить или уменьшить энтропию Н = Н (А), нужно
знать подмножество А; понятно, что знания только значения энтро-
пии Н для этого недостаточно.
9. Упражнения*’
1.1. Для универсального множества
Е = {А, В, С, D, Е, F, G}
и нечетких подмножеств
А = {(А|0), (В 10,3), (С|0,7), (D| 1), (Е10), (F10,2), (G10,6)},
В = {(А| 0,3), (В|1), (С| 0,5), (D| 0,8), (Е11), (F10,5), (G10,6)},
С = {(А| 1), (В|0,5), (С |0,5), (D 10,2), (Е 10), (F10,2), (G10,9)}
найдите
a) AQB, б) AJB, в) АПВ, г) (AUB)AC, д) (АрВ) Л С,
е) АфВ, ж) АфВ, з) (АПА) JA.
1.2. Для нечетких подмножеств из упражнения 1.1 определите
а) б (А-В), б (В-С), б (А-С);
б)е(А, В), в (В, С), е (А, С);
в) v(A), v(B), v(AQB), v(AJB), v(A);
г)п(А), П(В). П(АПВ), T](A(JB), n(A).
1.3. Пусть задано универсальное множество
Е = [0, а] с R.
Для нечеткого подмножества А, заданного функцией принадлеж-
ности р.д (х), определите индекс v нечеткости подмножества А.
а) рА(х)=~, х£ [0, а],
~ аа
б)	%€ [0, а],
~	а3
\	\	4х3 п . а
В) Иа(х) = — , 0<х< —,
4 (х—а)3	а
= —-------- , — < X < а.
а3	2
*)Эти упражнения очень просты; они предназначены для быстрой проверки
того, насколько усвоен изложенный материал.
53
1.4.	Определите обычное подмножество a-уровня для нечеткого
подмножества
А={(А|0,7), (В|0,5), (C|l), (D|0,2), (Е|0,6)}:
а) а = 0,1, б) а = 0,6, в) а — 0,8, г) а = 0,9.
Представьте разложение нечеткого подмножества в виде (5.140).
1.5.	Выпишите множества всех нечетких подмножеств для случаев
а) Е = {хъ х2}, М = {0; 1/3; 2/3; 1},
б) Е = {лу, х2> хз}> М = {а, Ь, с}, а<Ь< с.
1.6.	Докажите следующие свойства:
a)	Af|(A|jB) = A и Аи(АПВ) = А,
б)	0cAf| Ac A[J АсЕ,
в)	(А Л В) и (В n С) и (С n А) = (А и В) П (В и С) Л (£U А).
1.7.	Для трех нечетких подмножеств из упражнения 1.1 вычис-
лите
а)А + В+С, б) А-(В + С)
и докажите
в) А-АсА и A4-AzdA, г) А-ВДА-СсэА-(В-|-С).
1.8. Упростите выражение
[А Л [(В Л С) U (А Л С)]] и С.
Глава 11
НЕЧЕТКИЕ ГРАФЫ И НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
10. Введение
Понятия графа, соответствия и отношения играют основную роль
в приложениях математики. Их можно обобщить на случай нечет-
ких подмножеств. При этом обнаруживаются некоторые новые ин-
тересные свойства. Например, понятие класса эквивалентности
заменяется понятием подобия, не таким жестким, но более по-
дходящим для представления некоторых менее определенных, но
давольно часто встречающихся ситуаций. Предпорядок и порядок
обобщаются аналогичным образом. В то же время определяются не-
которые другие отношения, например сходства и несходства. Возни-
кает новая теория, которая строится на нечетких отношениях. И это
только начало. Похоже, что по мере развития теории будут исследо-
ваться все более продуктивные нечеткие понятия, что позволит полу-
чить по крайней мере хорошие описания сложных явлений, до сих
пор не поддававшихся формальному анализу.
11. Нечеткие графы
Рассмотрим два множества Ех и Е2; пусть х обозначает элемент Еъ
у — элемент Е2. Множество упорядоченных пар (х, у) определяет
прямое произведение Ех X Е2.
Нечеткое подмножество G, такое, что
у(х, г/КАхЕ2:рв (*,*/)€ М,	(11.1)
где М — множество принадлежностей элементов множества Ех X Е2,
называется нечетким графом.
Пример 1. Пусть
Ei =	х3}	(11.2)
и
Е2 = {У1, Уч}-	(П-3)
Ei X Е2 == {(%!, й), (хх, z/a), (х2, yj, (х2, у2), (х3, yj, (х3, у2)}. (11.4)
Для упрощения обозначений положим
И У} = P-gJxi, У}, i=l, 2, 3, j = 1, 2.	(11.5)
Этот элемент множества М будем называть значением упорядоченной
пары (хй у?).
55
Рассмотрим, например,
р (хх, г/i) = 0,3, р (хх, у2) = 0,7, р (х2, уг) = 1,
Р (х2, у2) = 0, р (х3, yj = 0,5, р (х3, у2) = 0,2.	(11.6)
Эта функция определяет нечеткое подмножество
G = {((хх, г/х) | 0,3), ((хх, t/2)|0,7), ((х2,
((*2, Z/2)|0), ((х3, z/JIO.5), ((х3, г/2)|0,2)}.	(11.7)
Это же нечеткое подмножество можно представить в виде матрицы
(рис. 11.1).
Граф
Gc=ExXE2	(11.8)
— нечеткий граф.	~
Граф
G = {((х1; t/x)|O), ((хх, у2)|1), ((х2, ^)|1),
((х2) р2)|1), ((х3, ^11), ((х3, у2)|0)}	(11.9)
— обычный граф, рассматриваемый
Пример 2. Пусть Ex = Е2 = R+,
где R+ — множество неотрица-
тельных действительных чисел.
Пусть х £ R+, у С R+- Рассмотрим
прямое произведение R+ X R+.
Тогда отношение у х опреде-
ляет нечеткий граф в R+2.
функция
Рис. 11.1	Рис. 11.2
Предположим, что используется
Р (х, у\у = х) = е° = 1,
J* (х, у]у = 2х) = е~\
..... (И.Ю)
р (X, у\у = kx) = е-с*-1),
.....k = 1, 2, 3, 4, ...,
где М = {1, е-1, е~2,	D, ,.м 0}.
На рис. 11.3 наглядно представлено это нечеткое подмножество для
точек у == kx, k	1.
56
Пример 3. (Графы Бержа). Графом в смысле Бержа*) называется
такой граф, что
Ei = Е2 = Е счетные,	(Н.П)
и граф представляет собой подмножество упорядоченных пар
(х, (/) С G с Е X Е,
такое, что
G(]G=0	(И.12)
и	G U G = Е X Е.	(11.13)
Для таких графов, представляющих, очевидно, лишь частный слу-
чай графов, изучаемых в теории множеств, можно определить обобще-
ние на нечеткие графы. Например, на рис. 11.4, 11.6, 11.8 и 11.10 изо-
бражен один и тот же нечеткий граф Бержа, тогда как на рис. 11.5,
11.7, 11.9 и 11.11 показан один и тот же обычный граф Бержа**).
Используя обозначения Бержа для обычного графа на рис. 11.5,
11.7, 11.9 и 11.11, положим
Г {Л} = {В},
Г {В} = {А},	(11.14)
Г {С} = {В, С},
где Г называется многозначным отображением элемента X в элементы
универсального множества Е.
*) Можно также говорить «в смысле Бержа и Кенига» (см. [1В, 1К, 2К, 5К]).
**) Я надеюсь, что мой хороший друг профессор Клод Берж, так много сде-
лавший в математике, не обидится за прилагательное «обычный», примененное
к одному из самых полезных понятий в современной математике.
57
1 1ZU5673S 101112131415f6
Рис. 11.12
Рис. 11.13
Рис. 11.14
Рис. 11.15

Рис. 11.16
Пользуясь этим обозначением, не-
четкие графы, представленные различ-
ным образом на рис. 11.4, 11.6, 11.8 и
11.10, запишем в виде
Г{Л}= {(Л]0,5), (В|1), (С|0)},
Г{В}= {(Л|0), (В|0), (С|0,5)}, (11.15)
г {С} = {(Л|1), (ВЦ), (СЮ)}.
Пример 4. На рис. 11.12 и 11.13
изображены нечеткий и обычный графы.
На рис. 11.14 и 11.15 также изобра-
жены нечеткий и обычный графы.
Пример 5. Заштрихованные части на рис. 11.16, где каждой точ-
ке (х, у) приписано значение р (х, у), изображают нечеткий граф.
Обобщение. Понятие прямого произведения двух множеств
Ej X Еа можно обобщить для произведения множеств
Ei X Е2 X ... X Eff-
58
Нечетким графом называется нечеткое подмножество, такое, что
У(х<4 х<2>, ...,	€ Ei X Е2 X ... X Еп: р (х<1>, х*2), ...
..., х^М,	(11.16)
где х<г> С Е;, i = 1, 2, .... п, а М есть множество принадлежностей пря-
мого произведения Ex X Е2 X ... X Еп.
Пример. Пусть
Ej = {х1; х2}, Е2 — {z/x, у%}, Е3 = {zb z2},	(11.17)
М = [0, 1].
G={((x1, У1, гЛО.З), ((х1( У1, г2)|0,2),	(11.18)
((Хх, уг, Zx)]l), ((Хх, z/2, z2)|0), ((х2, z/x, Z1)|O), ((х2, У1, z2)|0,l),
((х2, z/2, Zx)|0,9), ((х2, z/2, z2)|0,7)}
— нечеткий граф в Ех X Е2 X Е3.
12. Нечеткое отношение
Подобно тому, как это делается в теории обычных множеств*),
понятие нечеткого графа можно объяснить в терминах понятия не-
четкое отношение. Пусть Р — прямое произведение п множеств и
М — его множество принадлежностей;
нечеткое n-арное отношение опреде-
ляется как нечеткое подмножество Р,
принимающее свои значения в М.
Пример 1. Пусть
Ех = {хх, х2, х3),	(12.1)
Е® == {i/x> Уг> Уз> У& Уъ}< (12-2)
М = [0, 1].	(12.3)
4 Уг У3 У,
Z7	О	0,7	О/	7
О	О/	0	О	7
О/	0,0	0,5	О	о/
Таблица на рис. 12.1 изображает	Рис. 12.1
нечеткое 2-арное отношение (которое
можно называть бинарным, если не возникает путаница с другими
возможными интерпретациями слова «бинарный»).
Пример 2. Пусть
Ej = Е2 = R,	(12.4)
где R = (— оо, оо), т. е. R — множество всех действительных чисел.
Тогда отношение у <Ух, где х g R, у С R, есть нечеткое отношение в R2.
Например, субъективное выражение (зависящее от субъективного
оценивания) отношения г/ С х можно задать так:
О, если z/>x,
(*,
J_____
1
(х—у)2
если У<.х.
(12.5)
*) Т. е теории множеств.
£9
Обозначение. Нечеткое отношение в Ej X Е2 запишется как
-к 6 Е1( у^Е2'.хЛу.	(12.6)
Символы для обозначения экстремума. Далее будем использовать
символы:
V — для обозначения максимума относительно элемента или
х
переменной х,
/\ — для обозначения минимума относительно элемента или пере-
X
менной х.
Так, запись
	Hi U) = V н у)	(12.7)
эквивалентна	(х) = МАХ р (х, у).	(12.8)
Аналогично запись	У Рг W = Л I» (*> У} у	(12.9)
эквивалентна	р2 (х) = MIN р (х, у).	(12.10)
у
Проекция нечеткого отношения. Первую проекцию Л определяет
функция принадлежности	~
HW) = V (*> «/)•	(12.11)
2 V ~
Аналогично вторую проекцию Я определяет функция принадлеж-
ности
^)=V^ (%.*/)•	(12Л2)
Вторая проекция первой проекции (или наоборот) будет называть-
ся глобальной проекцией нечеткого отношения и обозначаться h {Я}.
Таким образом,	~
h(M) = \l\lpn(x,y) =	(12.13)
X у -
= V V (*» у)-
у X ~
Если h (3?) = 1, то говорят, что отношение нормально. Если
h (J?) <1, то отношение субнормально.
"Пример 1 (рис. 12.2). Вычислим первую проекцию
^^i) = y^(Xbl/) = MAX[O,l; 0,2; 1; 0,3]= 1,
М =	(х2, У) = МАХ [0,6; 0,8; 0; 0,1]= 0,8,
= V (*.. у)=мах (°.9; °; °>3; °>71=°>9- <12-14)
60
Аналогично можно вычислить и вторую проекцию. Результаты рас-
четов приведены на рис. 12.2. Мы видим, что отношение нормально.
проекция
Рис. 12.2
Пример 2. Рассмотрим отно-
шение хЯу, где х Е R+, У € R+ и
(х, У) =	k > 1
(12.15)
(рис. 12.3), которое можно ин-
терпретировать такой нечеткой
фразой: х и у — очень близкие
друг к другу числа (для доста-
точно больших значений k).
В этом случае мы видим, что для фиксированного значения х0
рУ>’(*о) =	У) = 7е-/г(»-^>г = е-А^-^)’= 1 для у=х0.
~	У -	и
(12.16)
Поскольку значение р,(4’ (#о) также равно единице, то h (Я) — 1.
Носитель нечеткого отношения. Носителем нечеткого отношения Я
называется обычное множество упорядоченных пар (х, у), для которых
функция принадлежности положительна:
5(Я) = {(х,у)\^(х,у)>0}.	(12.17)
Пример 1 (рис. 12.4).
S (Я) = {(хХ1 г/х), (хх, у3), (ха, yj (ха, у4), (х3, г/J, (х3, у2), (х3, у3),
(х8, у4)}.	(12.18)
Пример 2 (рис. 12.5). Рассмотрим отношение хЯу, х g R+,
У € R+ и
<е_(4,_х)з	|у_х|^046
№(х,у) =	у	‘	(12.19)
~	(О,	\У—х I > 0,46.
Тогда имеем
S(^) = {(x, у)\О<^\у— % К0,46}.	(12.20)
61
Нечеткое отношение, содержащее или содержащееся в данном не-
четком отношении. Пусть Я и X — два нечетких отношения, такие,
что
V(x, i/)€EiXE2: |л<%(х,	у)-,	(12.21)
тогда говорят, что X содержит Л или Я содержится в 5?.
Заметим, что
ЯссХ,	(12.22
если X содержит Я.
Пример! (рис. 12.6). Легко проверить, что X содержит Я.
Пример 2. Рассмотрим нечеткое отношение хЯгу, где х g R+ и
уЕ R+, такое, что у > х, т. е. «у много большее», и пусть функция при-
надлежности этого отношения определяется выражением
И%1(х,г/) = !	°’	У~Х^а	(12’23)
—	(1—е~, у—х^О.
Пусть теперь &2 > kx\ тогда отношение Яг с функцией принадлеж-
ности
.	.	( О,	у—х<0,	...
ti,® (х, У) = 1	.	,	(12.24)
| i.-e-k^y-xp, у—х^ О,
содержит Я1 (рис. 12.7).
62
Объединение двух отношений. Объединение двух отношений Я и £
обозначается Я J £ или Я + £ и определяется выражением
(*> У) = №<х’ У) V ^Jx> У) =
= МАХ [р^ (х, у), р^ {х, у)].	(12.25)
Если Ях, Я2,..., Яп — отношения, то
H^iU^aU-U^n У ^Si (Х>У)'	(12.26)
~	~	~	Si
Результат объединения обозначим
Я= у Яг или 2^/-	(12.27)
Пример 1 (рис- 12.8).
Пример 2. На рис. 12.9, а изображено нечеткое отношение хЯ-уу,
х £ R+ и у G R+, содержательно означающее, что «числа х и у очень
близкие». На рис. 12.9, б изображено нечеткое отношение хЯ2у,
х Е R+ и у £ R+, содержательно означающее, что «числа х и у очень
различные».
Отношение хЯъу, содержательно означающее «х и у очень близкие
или/и очень различные», определяется кривой р3 (х, у):
Ия, (*,#) =
О,
Ия, (*> у\
Ия, (X, у),
\у—х | < О,
0<; \ у—х |
а :С \у—х|,
где а — такое значение \у — х|, при
котором
Ия, (х, у) = Ряа (х, у).
(12.28)
(12.29)
63
В логике, основанной на теории обычных множеств, высказывание
вроде «х и у очень близкие или(и) очень различные» должно быть со-
кращено до «х и у очень близкие или очень различные» с разделитель-
ным «или». Однако в теории нечетких подмножеств первое предложе-
ние вполне логично; оно выражает тот
факт, что связка «и» интерпретируема
при очень малых значениях функций
принадлежности, когда об х и у нельзя
сказать ни что они очень близки, ни
что они очень отличаются друг от
Друга.
Этот пример хорошо иллюстрирует
гибкость высказываний, присущую на-
стоящей теории.
Пересечение двух отношений. Пересечение двух отношений Я и X
обозначается Я Г) £ и определяется выражением	~	~
»	= Ня (х, у) /\ р,^ (х, у) =
/ Z	!	(12.30)
= MIN [|х5 (х, у),	(х, //)].
Если Яъ Я2,	— отношения, то
Ня,ля2 Г) яп У) ~ к Няг (х, у}.	(12.31)
Результат обозначим
Я=[\Я1.	(12.32)
i ~
Пример 1 (рис. 12.Ш),. Рассмотрим снова данные, представленные
на рис. 12.8.
64
Пример 2. На рис. 12.11, а изображено нечеткое отношение хЛ^у,
х € R+, у € R+, означающее, что «модуль разностей \у — х| очень
близок к а». На рис. 12.11, б представлено аналогичное отношение
«11/ — *1 очено близко к р» (р > а).
На рис. 12.11, в показано, как получить
Уз — П Ra-
(12.33)
Имеем
(х, у) = >
где у—такое значение
О,
У'Я, (х, у),
Р-л. (х, у),
\у—х\<$—а,
р—а< |z/—х| у,
у<\у~ х|,
(12.34)
| у—х I , что ря,(х, у) = ряЛх, у)-
Пересечение отношений и пред-
ставлено на рис. 12.11, г.
Алгебраическое произведение двух от-
ношений. Алгебраическое произведение
двух отношений Я и 26 определяется
выражением
(12-35)
Уг Уъ Уц
0,09	О	°,7	О
0,00	о,8	О	0,2
оз	О	0,72	О
Рис. 12.12
Знак • в правой части этого выражения обозначает числовое про-
изведение (обычное умножение).
Пример 1 (рис. 12.12). Рассмотрим еще раз данные на рис. 12.8.
Рис. 12.13
Пример 2. Вернемся к примеру, рассмотренному на рис. 12.11, п,б.
Пусть
= Я1 • Я
2>
(12.36)
тогда имеем
/ х ( О,
?я,(х,У)=л{ v (
Ч Ил, (х. */)•[*>?, (х, у),
См. рис. 12.13, а—в.
х|<р—а,
Р—а<|г/-х|.
(12.37)
3 Зак. 461
65
Дистрибутивность. Выпишем свойства дистрибутивности для опера-
ций U и •
^П(^и®) = (^П^)и(^Г1®),	(12.38)
^и(^А^) = (^и^)П(-^и®).	(12.39)
^•(^U®) = (^-^)U(^-^),	(12.40)
^•(^П®) = (^-£) П(^-$).	(12.41)
Алгебраическая сумма двух отношений. Алгебраическая сумма
двух отношений Я и 26 обозначается Я -£ 26 и определяется выраже-
нием	~	~	~
^х’ =	+ ^х' У)~Ря <х» У) 'Iх^х’ У)- (12-42)
Знак • обозначает обычное умножение, знак Ч------обычное сложе-
ние.
(7? +<& *	^У,	Уг	Уз	Уч			Уг	Уз	Уч		<yf	Уг Уз		Уч
Х1	0,51	0,20	1	О		<7,3	0,9	о,г	О	Х1	0,7	0,6	0,8	7
3?2	0,82	1	7	7	<2?2	0,5	О	7	0,9		0,5	1	О	0,1
хз	0,80	0,90	0,58	O,ZO	хз	0,9	0	(7,7	0,8		0,6	7	0,9	0,2
	Рис. 12.14						1	Рис. 12.15				2		
Пример (рис. 12.14). Вернемся опять к примеру на рис. 12.8. От-
метим два свойства дистрибутивности для операции +:
^ + (^U®) = (^ + ^>U(^ + ®),	(12-43)
^ + (£(1$) = (^ + ^)П(^+^).	(12.44)
Дополнение отношения. Дополнение отношения Я (обозначает-
ся Я), есть такое отношение, что
V (х, у) s Ех х Е2: р^ (х, у) = 1 — р^ (х, у).	(12.45)
Пример 1 (рис. 12.15).
Пример 2. На рис. 12.16, а представлена функция принадлежно-
сти Pj?1(x, у) отношения хЯху, означающего «х и у очень близки друг
к другу», х Е R+ и у £ R+.
На рис. 12.16,6 представлена функция принадлежности
Ря, (х, у) = 1 — ря, (х, у),	(12.46)
которая может быть связана с отношением «х и у очень близкие».
Тогда функция принадлежности p^gs(x, у) на рис. 12.16, в может
представлять отношение «х и у очень отличаются друг от друга».
66
Заметим, что два высказывания «х и у не очень близки» и «х и у
очень разные» в общем случае не идентичны, за исключением случая,
когда выбираются такие функции принадлежности, которые пред-
ставляют оба высказывания довольно грубо.
Дизъюнктивная сумма двух отношений. Дизъюнктивная сумма
обозначается	и определяется выражением

(12.47)
Пример 1 (рис. 12.17).
Рис. 12.17
Пример 2. Рассмотрим пример, приведенный на рис. 12.11, а
и б; пусть Я и ££ — отношения с функциями принадлежности, изо-
браженными на рис. 12.11, а и б соответственно. На рис. 12.18, а—к
читатель может видеть, как получить функцию принадлежности от-
ношения
Сравнивая рис. 12.11, г и 12.18, и, мы видим, что дизъюнктивное
ИЛИ (рис. 12.18, и) дает результат, значительно отличающийся от ре-
зультата И, так же как и от результата ИЛИ/И (рис. 12.18, к).
Аналогично определяется оператор дополнения дизъюнктивной
суммы
Я®£ =	=
=Йи^)П(^и^).	(12'48)
3*
67
68
Рассмотрим предыдущий пример на рис. 12.19 и 12.20.
Рис. 12.20 получен с учетом рис. 12.18, к.
619 За iT'Ml У% У$
ол	ол	0
ол	О	ол
Рис. 12.19
Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. В § 5 показано, как
получить обычное множество, ближайшее к данному нечеткому под-
множеству [см. (5.102)]. Аналогично пусть Я—нечеткое отношение;
обычное отношение, ближайшее к Я, определяется выражением
Ря (Х, У) = <	0, если	р^ (х, у) < 0,5, 1, если	Ря (х, у) > 0,5,	(12.49) 0 или 1, если рЛ (х, у) = 0,5.
Это определение пригодно для любых универсальных множеств
Ei и Е2, образующих Ej X Е2, где х £ Ер у Е Е2, и независимо от
того, конечны или нет универсальные множества.
Уг У3 У5 У6
0,7	ол	ол	7	О	ол
ол	ол	0	ол	0,9	ол
ол	7	0,8	О	О	ол
Рис. 12.21
По договоренности принимают
Ря (х, у) = 0,5 => р^ (х, у) = 0.	(12.50)
Пример. На рис. 12.21 и 12.22 видно, как перейти от Я к Я.
Наличие элемента, равного 1/2 и соответствующего (х2, yj, пока-
зывает, что Я не единственно. Существуют два отношения, ближай-
шие к Я, для одного из которых р^ (х2, «/J = 1, а для другого
р^ (х2, у^ = 0. По принятой договоренности будем полагать
(х2, Ух) = 0.
69
13.	Композиция двух нечетких отношений
Напомним, что иногда мы используем обозначение
J? cz X X Y, эквивалентное GcX X Y, (13.1)
где Я — нечеткое отношение, соответствующее нечеткому графу G.
(Мах — пнп)-ком1юзиция. Пусть с X X Y и Л2 с Y X Z;
(шах—композиция отношений ЯА и Я2 обозначается Я2 о Ях
и определяется выражением ~	~
О, 2)=\/ [|АЯ1 (х, у) /\ Цяг (У, Z)] =
~ ~	у	~
= MAX [MIN (н5, (х, У},	(у, ?))],	(13-2)
где х g X, у £ Y и z £ Z.
Пример 1. Рассмотрим два нечетких отношения и J?2, где х,
у, z £ R+. Предположим, что
Ръ (x,y) = e-k^~^‘, k^\,	(13.3)
р52(г/,г) = е-^-*)2, £>1.	(13.4)
Определим р^?2оЯх (х, Z).

Рис. 13.1
Рассмотрим два значения х = а и z = b переменных х и z. Функ-
ции принадлежности (13.3) и (13.4) непрерывны на интервале [0, оо].
В соответствии с (13.2) можно записать
р^2 . (a, ь)=\/	(а, у) /\ця, (у, 6)1 =
= у [e-fe (“-»)’ Д e~fe (у-*)’].	(13.5)
v
Композиция и	посредством (max—ппп)-оператора представ-
лена на рис. 13.1. Легко увидеть, что
Н52о^1(«>^)= е	2	;	=
70
и для произвольных значений х и z имеем
(х, z) = e 4 .	(13.6)
Для простоты мы рассмотрели две идентичные функции р^1(х, у) и
Р.<%2(у, z). Но ход рассуждений не меняется и при двух различных функ-
циях: накладываем графики (а, у) и ^^(у, Ь) друг на друга и
6
определяем кривую (а, у) /\	(у, Ь) как функцию от у, за-
тем находим точку на этой кривой, "которая отвечает максимальному
значению у.
Проблема осложняется, если абсцисса максимума не единственная.
Это вынуждает нас провести более сложные исследования.
Рассмотрим другой пример для функции принадлежности, опре-
деленной на конечном универсальном множестве.
Пример 2 (рис. 13.2). Пусть (х, z) = (хх, zx),
MIN (р5, (xlt у), (г/ъ Z1)) = MIN (0,1; 0,9) = 0,1;
MIN (р^, (х1( у2), у„2 (Уъ, Zi)) = MIN (0,2; 0,2) = 0,2;
MIN (р5, (хъ ys), р5а (г/3, zi)) = MIN (0; 0,8) = 0;
MIN (p21 (х1; zz4), (yt, 21)) = MIN (1; 0,4) = 0,4;
MIN (р^, (хъ у5), ys, (у5, zx)) = MIN (0,7; 0) = 0.
MAX [MIN(p5, (хь у(), |м, (yi 21))] = МАХ (0,1; 0,2; 0; 0,4; 0) = 0,4.
71
Пусть теперь (х, z) = (xlt z2), тогда
MIN(ря, (Х1, z/i), ря, {Уь z2)) = MIN (0,1; 0) = 0;	(13.8)
MIN (*i> &), P^?2 (x2, z/2)) = MIN (0,2; 1) = 0,2; ...
и т. д. Результат представлен на рис. 13.2.
Интересно сравнить эту композицию нечетких отношений с компо-
зицией обычных отношений.
Для композиции обычных отношений и имеем
(х>	= МАХ [MIN (ря, (х, у), ря, (У, г))],	(13.9)
где ря, (х, у) е {0,1}, ря, (у, г) е {0,1}.
Тогда выражение (13.9) можно записать в виде
Нярл, (х, z) = 2 Ря, (X, г/)-ря, [у, Z),	(13.10)
У
где • обозначает булево умножение и 2 — булеву сумму получен-
у
ных произведений.
Рис. 13.3
На рис. 13.3 приведен пример, рассчитанный по формуле (13.9)
или, что то же самое, — по (13.10).
Пример 3. На рис. 13.4 рассматривается пример композиции трех
отношений.
Операция (шах—min)-композиции ассоциативна
0^0)0^ =	(13.11)
С другой стороны, если отношение определено на Е X Е, т. е.
Я с Е X Е, то можно записать		
		(13.12)
отсюда	=	= Яа.	(13.13)
и в общем случае	Я° Я о..,оЯ = Як.	(13.14)
k раз
72
Заметим, что (max—шш)-композиция дистрибутивна относитель-
но объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:
Я о [Ху U £2) = [Я о	U [Я о Х2),	(13.15)
Яо(Х1ПХ2)^(Я оХ!)П(Я о£а).	(13.16)
Доказательства (13.15) и (13.16) приведены в приложении
3
Легко доказать, что выполняется следующее важное свойство:
(13.17)
представляем читателю сделать это.
(Мах—*)-композиция. В (13.2) операцию Л можно произвольно
заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения,
что и для Д: она ассоциативна и монотонно не убывает по каждому
аргументу. Тогда можно записать
(х, z) = V [М (х, у) *	(у, «)].	(13.18)
~ ~	и ~
(Мах—)-композиция. Среди (max-^-композиций, которые можно
было бы представить себе, особого внимания заслуживает (max—*)-
композиция. В этом случае операция * — это умножение, и она обо-
значается знаком •; формула (13.18) принимает вид
О&я (X, z)= V [|Х.Я (х, у)-у^ (у, г)].	(13.19)
у ~	~
Позднее нам представится случай поговорить о (шах—^компо-
зиции и указать некоторые практические приложения ее.
73
Обычное подмножество a-уровня нечеткого отношения. Пусть
a g [0, 1]. Обычным подмножеством а-уровня нечеткого отношения
Я <= X X X будем называть обычное подмножество
Ga = {(х, У) I Ця (X, у)^а].	(13.20)
Пример 1 (рис. 13.5).
Go,в = {(Xi, J/z)> (Xi, 1/з)> (х%, у.,), (х2, у*), (х3, i/i)}.	(13.21)
Пример 2. Рассмотрим нечеткое отношение, определенное форму-
лой
<>3.22)
& ft;, Уу
45	9,8	*	О
0,5	1	OJ	0,9
7	0.2		0,7 —
Рис. 13.5	Рис. 13.6
Подмножество уровня 0,3 будет определяться условием
1--------?----> 0,3
1 +х2 + у2
(13.23)
или
х2 + г/2 > 3/7.	(13.24)
Это подмножество — внешность круга радиуса г — "ИЗ/7, вклю-
чая его границу — окружность (см. рис. 13.6).
Обычное подмножество Ga можно определить другим способом, с
помощью обычного отношения такого, что
Н^в(х, «/) = !,
Н^а(х, #) = 0,
Вернувшись к примеру на
если ря (х, у) а, 1
если ря (х, у)<а. )
рис. 13.5, можно записать
(13.25)
# Л У3 Уу
	О	1	1	О	
	1	1	О	1	(13.25)
	1	О	1	1	
У, Уг У3 Уу
	0	1	7	О	
	О	1	О	7	• (.13.27)
#3	1	0	О	1	
74
Для примера на рис. 13.6 очевидно, что условия
Нл0,з Iх, </) = 0 при х2 + //2 < 3/7,
Ря0.3 <х’ (/) = 1 ПРИ Х* + У2 > 3/7>
определяют обычное отношение J?0i3.
Важное свойство. Мы установили очевидное свойство
		СС2 => Gai Ga2 '	(13.29)
или, что то	же самое,		(13.30)
Докажем Теорема	важную теорему. декомпозиции*). Любое нечеткое отношение		Я можно
представить	в форме Я = \] ~	a	a-J?a, 0 <1 a 1,	(13.31)
где	P^a {X, у) = <	1, если,	(х, у) > а, 0, если ря (х, у) < а.	(13.32)
Здесь запись ocJ?a обозначает, что все элементы обычного отноше-
ния Я^ умножаются на а.
Доказательство. Функцию принадлежности для отноше-
ния Я, определенного в (13.31), можно записать в виде
(*>*/) = V°Wa (%> #) = V а = ря (*,«/). (13.33)
a a	а	(x, у)
Пример 1.
0,5.
0,8.
	о,з	1	0
0,5	7	0,3	0,9
7	0,2	0,6	0,7
0	7	7	О
7	7	0	7
7	О	7	7
О	7	7	О
0	7	О	7
7	0	0	О
0,6.
0,9.
1	7	7	О
7	7	7	7
7	7	7	7
О	7	7	О
О	7	О	7
7	О	7	7
0	0	7	О
0	7	О	7
7	О	0	О
= V Htf.

*) Слово «декомпозиция» здесь употребляется в смысле, отличном от смысла
этого слова при рассмотрении (шах—min) или других композиций отношений.
75
Пример 2. В соответствии с (13.25) декомпозиция остается спра-
ведливой и в случае, когда X или/и Y имеют мощность континуума.
Но тогда операция \/ (шах) должна считаться выполненной (если
необходимо) для континуального множества значений в рассматривае-
мом интервале.
Рассмотрев пример (13.22) (см. рис. 13.6), можем записать
	Ря(х, У)=\/ (хЯа,	(13.35) а
где	1ЧА//)=1 ’’ если[^| ®Ja!’	(13.36) 1 0, если (х, у) 3) (а)
и 2) (а) с X X Y—такая область, что
	1	5	> а.	(13.37) i+x2 + y2
Композиция ближайших обычных отношений. Напомним, что
обозначает обычное отношение, ближайшее к нечеткому отношению
Я. Легко доказать, что
Лъ °	= Я => Яг ° Я\ = Л,	(13.38)
где Я обозначает (max— min)-композицию
Пример.
(13.39)
(13М)
76
14.	Нечеткое подмножество, индуцированное
отображением
Рассмотрим отображение*) Г множества Ej в множество Е2, обо-
значенное
Ei ->Е2>	(14.1)
г
где х е Е, и у е Е2.		
	У € г {х}.	(14.2)
Пусть рА (х) —	функция принадлежности нечеткого	подмножест-
ва A cz Е1? тогда отображение Г индуцирует в Е2 нечеткое подмножест-		
во В с Е2 с функцией принадлежности		
	' МАХ [(Лд(х)], если Г-1 {у}	0
Ив («/) = <	хеГ— 1 {!/}	(14.3)
	0,	если Г-1 {у} = {	Z5.
Пример 1 (рис.	14.1). Пусть	
Ех = {х17 х2, х.„, xl7 х6, х6, х7},		(14.4)
]	Е3 = {У1, Уг, Уз, Уь}-	(14.5)
Рассмотрим отображение, такое, что		
г	{*1} = {Уг}, Г {х2} = {у17 yt},	
г	= {У1}, Г {х4} = {г/3},	(14.6)
г	= Ш, Г {хв} = {у2},	
г	{х?} = {у*}-	
Рассмотрим также отображение Г’1, обратное Г:		
г	_1 {«/1} = {Х2, х3, Х6},	
г	'х Ш = {х17 ^в},	(14.7)
г-	1 {Уз} = {^}> Г-1 0/4} = {х2, х7}.	
И, наконец,"рассмотрим нечеткое подмножество A cz		Ех:
А = {(Xi 10,3), (х210,7), (х811), (х410), (х810,2), (хв 10,9), (х7		|0,8)}, (14.8)
Тогда имеем		
Ив (i/i) =МАХ (0, 7; 1; 0,2) = 1, ’
~	{xs, А-3 х5}
Ив (&) = МАХ (0,3; 0,9) = 0,9,
{Хь X,}	I
Ив (&) = МАХ(0) = 0,
~Г {*<}
рв (г/,) = МАХ (0,7; 0,8) = 0,8.
{х2, х7]	)
(14.9)
*) Здесь используются отображения, которые нет необходимости считать
рднрзндчными.
77
Эти результаты изображены на рис. 14Д.
Интересно сравнить это понятие с соответствующим понятием для
обычных подмножеств. Рассмотрим ри^/ 14.2
Рис. 14.2
Рис, 14,1
Пусть
— {х1> Х2» Х3>	Х5> Х6* х7’	(14.10)
Е2 = {Уъ уг, у3, Уъ уъ}-	(14.11)
Имеем
Г {х4, х5, х6, х8) = {уг, у2, у3}.	(14.12)
Отображение Г подмножеству А = {х4, хъ, хв, х8} ставит в соот-
ветствие подмножество В = {ylt у2, z/3).
Рис. 14.3
Пример 2. Пусть х 6 R> у С R, где R — множество действитель-
ных чисел. Рассмотрим нечеткое подмножество А, определенное со-
держательно как «х, ближайшее к (4fe + 1) л''2,~& =	—2, — 1,
0, 1, 2, Рассмотрим также функцию
у = f (х) ~ sin х.	(14.13)
78
Тогда нечеткое подмножество В, индуцированное f (х), будет иметь
вид
В = {у\у < 1 и значение у близко к 1}	(14.14)
(рис. 14.3).
15.	Условные нечеткие подмножества
Нечеткое подмножество В (х) с Е2 будет называться условным
на Ev если его функция принадлежности зависит от х g Ej как от
параметра.
Для записи условной функции принадлежности используют обо-
значение
|Хв(г/||х), где х£ Ех и Е2.	(15.1)
Эта функция определяет отображение Ег в множество нечетких
подмножеств, определенных на Е2.
Таким образом, нечеткое подмножество А с Ех будет индуциро-
вать нечеткое подмножество В <= Е2 с функцией принадлежности
|1в(г/) = МАХ (MIN [рв(у II х), рд (*)])•	(15.2)
Пример. Рассмотрим нечеткое отношение между
Ei — {xlt х2, х3, х4, х5, хв},	(15.3)
Е2 = {Л, г/2> Уз}>	(15.4)
определенное следующей таблицей:
S 4	У г	Уз
03	03	0
03	03	О
1	0	03
0	1	03
03		оз
03	О	о
(15.5)
Отношение 31 выражает условную функцию принадлежности
ИвШ	(15.6)
Например,
|*в(Ы*б) = 0,4.	(15.7)
79
Допустим, что в Ег имеется нечеткое подмножество А, определен-
ное как	/
А = {(^10,5), (х2|0,2), (х3|0,8),	(х6]0,7), (хв|0)}. (15.8)
Этому нечеткому подмножеству А с/Е]. соответствует нечеткое под-
множество в Е2, скажем В с Е2, которое будет определяться форму-
лой (15.2). Проведем вычисления.
Сначала подсчитаем рв (*л)- Имеем
MIN !цв(</11 ki)> На(*1)1 = MIN [0,3; 0,5] = 0,3,
MIN [рв(г/1 II х2), |Ла(х2)1 = MIN [0,2; 0,2] = 0,2,
MINIMUM, |м (х3)] = MIN [1; 0,8] = 0,8,
MIN [цв(//11к4), нд(х4)] = MIN [0; 1] = 0,
MIN [рв(г/х||х8), Ца(х5)] = MIN [0,3; 0,7] = 0,3,
MIN 1|£в(г/11|хв), PaW] = MIN [0,8; 0] = 0,	(15.9)
MAX MIN [рв (У1II Xi), Ра (х,)] = МАХ [0,3; 0,2; 0,8; 0; 0,3; 0] = 0,8.
xi	~	~
(15.10)
Аналогичные подсчеты нужно провести для у2 и г/3. Тогда получим
Ив («/i) = 0,8, Рв(г/2)=1, Ив (у3) = 0,8.
Таким образом,
В = {(У1|0,8), (</2|1), (г/3|0,8)}.	(15.11)
Другое представление условного нечеткого подмножества. Как
Мы увидим ниже, для нечетких подмножеств выражение (15.2) играет
ту же самую роль, что и понятие функции для элементов формальных
множеств. Понятие функции для этих элементов можно выразить та-
кой фразой: «если х — а, то в соответствии с функцией f у = Ь», ко-
торую можно записать в виде
х~-+у	(15.12)
или в виде
У = Ш-	(15.13)
Понятие условного нечеткого подмножества играет в точности ту
же роль, но вместо того, чтобы рассматривать элементы х £ Еь у £ Е2
и отношение f, являющееся функцией, введем следующее определение.
Пусть X cz Et и Y cz Е2; рассмотрим нечеткое отношение Я
между Et и Е2- Теперь определим: если X = А, то в соответствии с от-
ношением Я имеем Y = В; это можно записать в виде
А->В.	(15.14)
80
Если (х, у) — функция принадлежности нечеткого отношения
Л, рА (х)^— отношения А и рв (х) — отношения В, то
pB(l/) = MAXMIN [рА(х)> Ня (Д У)1 = \/[На(х)Лня(х, г/)]. (15.15)
~	XG£Ei	~	X	~
Это выражение устанавливает другое представление условных нечет-
ких подмножеств. В § 39 мы убедимся в важности этого понятия.
Рассмотрим пример использования этого представления.
Пример 1
Ei — {#i,	х3},
А = {(xj|0,3) (х2|0,7), (х3|1)},
Е2 = Уъ, Уз, yt, у5},
(15.16)
(15.17)
(15.18)
У1 У2 h 'Л Уз
0,8	1	0	0,3	0,1
0,8	' о,з	0,8	0,0	0,1
0,2	0,3	0	ол	1
(15.19)
Перепишем (15.17) в виде
0,3	0,7	1
(15.20)
Теперь проведем операцию взятия MIN для всех элементов строки
(15.20) и столбца ух (15.19); это даст
0,3	0,7	7
(15.21)
После выполнения операции МАХ на элементах полученного
столбца имеем
0,3 V 0,7 V °,2 = 0,7.	(15.22)
Таким образом,
НвО/1) = 0,7.	(15.23)
81
Проделав то же самое между элементами (15«0) и остальными столб-
цами (15.19), получим	/
Рв Ы = 0.3, Рв G/з) = 0,7, рв Ш== 0,4, Рв (&) = 1 •	(15.24)
И окончательно
В = {(^|0,7), (у2|0,3), (г/з|0,7), (у4|0,4), (у5|1)},	(15.25)
или, что то же,
Hf	Hl	Нг	У5
ff= 0,7 0,3	О,.
Z7.4 7
(15.26)
Пример 2. Очевидно, что формула (15.15) или (15.2) также приме-
нима в случае, когда подмножества — обычные, а отношение Л —
булево (т. е. формальное). В этом случае формулы принимают вид
Ив («/)== 2 Ид (*) • Ня (*. */)»
X
где 2—булева сумма.
X
Пусть
Ej = {Xj, Х2> х4),
А = {(ХхП). (*8Ю), (х3|1)},
Е2 = {Уг, Уг, Уз< Уз, Уз},
(15.27)
(15.28)
(15.29)
(15.30)
(15.31)
Тогда, производя булевы операции, указанные в (15.27), для под-
множества

10	1

(15.32)
82
и отношения (15.31), находим
У, Уг Уъ	У и	У 5
1
7
1
О
О
(15.33)
Пример 3. Рассмотрим теперь случай, когда универсальное мно-
жество непрерывно.
Пусть
Ег = R+,
А = {х|рА(х) = е“**х},	&i€R+,
Я = {(*> У) I Р-л (х, у) = е-*> । х-у I), k2 g R+
(15.34)
(15.35)
(15.36)
Рис. 15.1
Теперь определим минимум по х для рА(х) (рис. 15.1, а) и (х, у)
(рис. 15.1, б). Эти две кривые пересекаются в двух точках:
условие 0 х у, e—kix = e—ki<i'~x')
k
дает точку х = —— у,
условие у^х, е~*‘* = е~Аг
дает точку х = -А— у.
(15.37)
(15.38)
83
На рис. 15.1, в
выделена кривая
И (А У) = На (%) /\
максимум
которой достигается при

—-—У-
Таким
образом,
Ив (у) = е
kt kt
(15.39)
(15.40)
(15.41)
Общее замечание. Очевидно, можно задать следующий важный
вопрос. Если при X = А в соответствии с отношением имеем Y = В,
то можно ли отсюда заключить, что из Y = В в соответствии с обрат-
ным нечетким отношением получим X = А, где Я* — нечет-
кое отношение, обратное*) kJ?? За исключением частных случаев, об-
ратный переход от В посредством Я' к А невозможен: и в этом смысле
отношение Я' не будет отношением, обратным к отношению Я.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример (15.16)—(15.20) и
формулу (15.27): нечеткое подмножество
Qjj
А ~ 0,3 0,7 t
(15.42)
и отношение
у3
0,8	1	О	0,8	0,7
0,8	oj	0,8	ол	0,7
0,2	О,Ъ	0	0,2	/
(15.43)
дают нечеткое подмножество
&2	У5	Уи	У5
0,7	0,8	0,7	0,0	7
(15.44)
*) Под обратным здесь понимается отношение, которое получается из дан-
ного, если в таблице отношения заменить столбцы строками. (Это отношение
лучше было бы назвать транспонированным, поскольку в следующей фразе автор
под обратным к подразумевает такое отношение Ж, что VA:A^'=A,
когда ^^'—тождественное; отношение на X.—-Добавл, реб.)
84
Тогда как В и
(15.45)
дали бы*>
^2
0,7	Z7,7| 7
(15.46)
Нечеткие подмножества, последовательно обусловливающие друг
друга. Если Ах индуцирует А2 посредством А2 индуцирует А3
посредством Яг, ... и Ап_х индуцирует Ап посредством ^п_х, то
Ах индуцирует Ап посредством Яп_\ ° Яп_г ° ... ° Ях.
Пример.
Ех = {*!, х2},
(15.47)
А = 0,8 0,8
(15.48)
Ег — {У1> У1< Уз}<
# Уг Уз
Ху
	1	0
0,8	0	0,7
(15.49)
(15.50)
* Таким образом, здесь ситуация та же, что и при матричном исчислении
в линейном векторном пространстве, где [М] {х} = у и [MJ' {у}	{х}. Если
матрица [М] квадратная и невырожденная, то [М] имеет обратную матрицу [М]“х»
такую, что [МНМ]-1 == [1] и [М] • {х} = {у} и {х}	{^}, где {х} и {у} —
вектор-столбцы,
W.
Яг хг

Eg — {zlr z2, z3},
(15.51)
(15.52)
(15.53)
Ближайшие обычные подмножества, обусловливающие друг друга.
Легко показать (достаточно сослаться на (13.38)), что
А —В => А > В.
(15.54)
« ~ я —
Пример.
(15.55)
7	0	7	О	7
(15.56)
Это свойство остается справедливым, какой бы ни была природа
универсальных множеств Ei и Еа, где хг £ Ej и yt 6 и не зависит от
того, конечны или нет множества Ег и Еа.
16.	Свойства нечетких бинарных отношений
Рассмотрим случай, когда
Ех = Ег = Е	(16.1)
и
М = [О, 11,	(16.2)
и займемся исследованием некоторых свойств нечетких бинарных от-
ношений в Е X Е.
Пример 1. Пусть
Е = {А, В, С, D, EJ,	(16.3)
М = [0, 1].	(16.4)
Таблица или матрица на рис. 16.1 представляет нечеткое отношение
в Е X Е.
Пример 2. Пусть R — множество действительных чисел и х С R,
у € R, тогда
I У I > I х |	(16.5)
есть нечеткое бинарное отношение J?, заданное в R х R, с функцией
принадлежности |\^(х, у), определяемой (16.5) для всех (х, у).
@ АВОДЕ
47	0	О	7	0,3
0,8	о,з	0	0,7	7
0,8	О,Ъ	0,2	О	0,3
0,0	О	1	0,5	О
ОЛ	0,5	7	0,0	о,о
Рис. 16.1
Перейдем к изучению основных свойств нечетких отношений. При
представлении функции принадлежности, определяющей нечеткое от-
ношение, мы не будем различать обозначения pR(x, у) или Цс,(х, у),
поскольку нечеткое отношение можно рассматривать как нечеткий
граф.
Симметрия. Нечеткое бинарное отношение называется симметрич-
ным, если выполняется условие
V (х, у) Е Е X Е : (|м (х,р) = р) => (р5 (у, х) = р).	(16.6)
Пример. (См. рис. 16.2).
Другой пример. Пусть R — множество действительных чисел и
х С R, у 6 R- Тогда отношение «у близко к х» интуитивно восприни-
мается как нечеткое симметричное отношение в R X R.
87
Рефлексивность. Это свойство определяется условием
у(х, х) £ Е х Е :p,«>(x, х) = 1.	(16.7)
Пример. (См. рис. 16.3).
Другой пример. Отношение «у близко к х» в примере на симмет-
ричность является рефлексивным отношением.
Транзитивность. Пусть х, у, z £ Е, тогда
V (х, у), (у, г), (х, z) g Е X Е:
Pg (х, г) > MAX [MIN (pg (х, у),	(у, *))].	(16.8)
~	у	~
Выписанное соотношение определяет свойство транзитивности не-
четкого отношения. Это соотношение можно записать в виде
Pg(x, г)> V [Pg(*> У) Л г)]-	(16.9)
Напомним, что символ V означает «максимальное из значений...»,
а символ Л — «минимальное из значений ...».
Рис. 16.3
Л ВОР
ВЛ	7	0,0	0,0
О	0,6	ол	О
0	f	ол	О
ол	г	7	ол
(Дуси с нулевой степенью
принадлежности не рнизанм)
Рис. 16.4
у Прежде чем привести некоторые примеры, интересно удостовериться
в том, что определением (16.9) на самом деле обобщается понятие тран-
зитивности формальных отношений. Известно, что для таких отноше-
ний транзитивность определяется свойством
V (х, у), (у, г), (х, г) £ Е X Е:
((х, у) Е G и (у, г) € G) => (х, z) g G.	(16.10)
Это свойство выражает тот факт, что существует по крайней мере
один у, такой, что (х, у) g G и (у, z)gG, т. е. если р (х, у) = 1 и р (х, z) =
= 1, то р (х, z) = 1 и (х, г) g G.
Операция Л (min) соответствует «и» в препозиционной 'логике,
а операция V (max по всем у) соответствует результату, который
у
можно получить посредством импликации =>.
Рассмотрим несколько примеров применения формулы (16.8) (или,
что то же самое, (16.9)).
88
Пример 1 (рис. 16.4). Это отношение транзитивно. В качестве уп-
ражнения произведем полную проверку. Нужно выполнить 16 X 4
операций*.
Дуга (А, А).
р (А, А) Л Р (А, А) = 0,2 Л 0,2 = 0,2,
р (А, В) Л И (В, А) = 1 Л 0 = 0,
р (А, С) Л Р (С, А) = 0,4 Л 0 = 0,
р (A, D) A Р (D, А) = 0,4 Д 0,1 = 0,1,
МАХ [0,2; 0; 0,1] = 0,2,
р (А, А) = 0,2 >0,2.	(16.11)
Дуга (А, В).
р (А, А) Л р (А, В) = 0,2 Л 1 = 0,2,
р (А, В) Л Р (В, В) = 1 Л 0,6 = 0,6,
р (А, С) ДР (С, В) = 0,4 Л 1 = 0,4,
р (A, D) Л р (D, В) = 0,4 Л 1 = 0,4,
МАХ [0,2; 0,6; 0,4; 0,4] = 0,6,
р (А, В) = 1 > 0,6.
Дуга (А, С).
р (А, А) Л Ц (А, С) = 0,2 Л 0,4 = 0,2,
р (А, В) Д р (В, С) = 1 Л 0,3 = 0,3,
р (А, С) Д р (С, С) = 0,4 Л 0,3 = 0,3,
р (A, D) Л р (D, С) = 0,4 Л 1 = 0,4,
МАХ [0,2; 0,3; 0,3; 0,4] = 0,4,
р (А, С) = 0,4 > 0,4.
Дуга (A, D).
р (А, А) Д р (A, D) = 0,2 Д 0,4 = 0,2,
р (А, В) Л И (В, D) = 1 Д 0 = О,
р (А, С) Л р (С, D) = 0,4 Л 0 = О,
р (A, D) Л р (D, D) = 0,4 Л 0,1 = 0,1,
МАХ [0,2; 0; 0; 0,1] = 0,2,
р (A, D) = 0,4 > 0,2.
Дуга (В, А).
р (В, А) Д р (А, А) = О Д 0,2 = О,
р (В, В) Д р (В. А) = 0,6 Л 0 = О,
*) Чтобы проверить транзитивность, для конечного множества Е мощности
л, если нет правила, позволяющего доказать это с помощью функции принад-
лежности, нужно выполнить ла раз п операций, т. е. л3 операций.
89
fi (В, С) л н (С, А) = 0,3 Л о = О,
fi(B, D) Л H(D, А) = ОД 0,1 = О,
МАХ [0; 0; 0; 0] = О,
ц (В, А) = 0 > 0.
Дуга (В, В).
ц (В, А) Л Р (А, В) = О Д 1 = О,
ц (В, В) Л и (В, В) = 0,6 Д 0,6 = 0,6,
и (В, С) л И (С, В) = 0,3 л 1 = 0,3
и (В, D) л р (D, В) = О Л 1 = О,
МАХ (0; 0,6; 0,3; 0] = 0,6,
fi (В, В) = 0,6 > 0,6.
Дуга (В, С).
Н (В, А) Л Р (А, С) = О Л 0,4 = О,
ц (В, В) Д ц (В, С) = 0,6 Л 0,3 = 0,3,
и (В, С) л р (С, С) = 0,3 л 0,3 = 0,3,
J* (в, D) л p(D, О = О Л 1 = О,
МАХ [0; 0,3; 0,3; 0] = 0,3,
р (В, С) = 0,3 > 0,3.
Дуга (В, D).
jx (В,	А)	Д р(А,	D)	= О Д 0,4 = О,
р (В,	В)	Л Н (В,	D)	= 0,6 Д 0 — О,
fi (В,	С)	Д fi (С,	D)	= 0,3 Д 0 = О,
И (В,	D)	Д fi (D,	D) = О Д 0,1 = О,
МАХ [0; 0; 0; 0] = О,
р, (В, D) = 0 > О
Дуга (С, А).
fi (С, А) Д р(А, А) = О Д 0,2 =. О,
fi (С, В) Д ji (В, А) = 1 Д 0 = О,
fi (С, С) Д fi (С, А) = 0,3 Д 0 = О,
fi (С, D) Д р (D, А) = ОД 0,1 = О,
МАХ [0; 0; 0; 0] = О,
fi (С, А) = 0 > 0.
Дуга (С, В).
fi (С, А) Д р (А, В) = О Д 1 = О,
fi (С, В) Д fi (В, В) = 1 Д 0,6 = 0,6,
90
р (С, С) Л |* (С, В) = 0,3 Л 1 = 0,3,
Р (С, D) A р (D, В) = О Д 1 = О,
МАХ [0; 0,6; 0,3; 0] = 0,6,
р (С, В) = 1 > 0,6.
Дуга (С, С).
р (С, А)Л|»(А, С) = 0 Л 0,4 = 0,
р (С, В) Л |»(В, С) = 1 Л 0,3 = 0,3,
р (С, С) л и (С, С) = 0,3 л 0,3 = 0,3,
и (С, D) Л |i(D, С) = 0 л 1 = о,
МАХ [0; 0,3; 0,3; 0] = 0,3,
[л (С, С) = 0,3 > 0,3.
Дуга (С, D).
р (С, А) Д р (A, D) = О Л 0,4 = О,
р (С, В) л |*(В, D) = 1 Д 0 = О,
р (С, С) Д р (С, D) = 0,3 Л 0 = О,
Р (С, D)A|i(D, D) = OAO,1 = O,
MAX [0; 0; 0; 0] = О,
р (С, D) = 0 > 0.
Дуга (D, А).
р (D,	А)	Др	(А,	А)	=	0,1 Л 0,2 =	0,1,
. р (D,	В)	Л	(В,	А)	=	1 Л 0 = О,
Р (D,	С)	Д р	(С,	А)	=	1 Л 0 = О,
р (D,	D)	Д р	(D>	А)	=	О-1 Л 0,1 =	0,1,
МАХ [0,1; 0; 0; 0; 1] = 0,1,
р (D, А) = 0,1 >0,1.
Дуга (D, В).
p(D, А) Др (А, В) = 0,1 Д 1 = 0,1,
р (D, В) Д р (В, В) = 1 Д 0,6 = 0,6,
р (D, С) Д р (С, В) = 1 Л 1 = 1,
р (D, D)A|*(D, В) = 0,1 Л 1 =0,1,
МАХ [0,1; 0,6; 1; 0,11 = 1,
р (D, В) = 1 > 1.
Дуга (D, С).
р (D, А) Л И (А, С) = 0,1 Д 0,4 = 0,1,
р (D, В) Л р (В, С) = 1 Д 0,3 = 0,3,
91
p (D, С) A fx (С, С) - 1 Д 0,3 - 0,3,
Н (D, D) Д р (D, С) = 0,1 А 1 = 0,1,
МАХ [0,1; 0,3; 0,3; 0,1] - 0,3,
р, (D, С) = 1 > 0,3.
Дуга (D, D).
р (D, А)Лр (A, D) - 0,1 Л 0,4 = 0,1,
Н (D, В) Л Р (В, D) - 1 Л 0 - 0,
p(D, С) Д р (С, D) = 1 Л 0 = 0,
р (D, D) Л Р (D, D) = 0,1 Д 0,1 = 0,1,
МАХ [0,1; 0; 0; 0,11 - 0,1,
р (D, D) = 0,1 >0,1.
Пример 2. Следующие нечеткие отношения транзитивны:
Y много больше X,
А чище, чем В,
X — дальний родственник Y,
в противоположность отношению X похож на Y, которое нетранзитив*
но. Ведь может случиться так, что X похож на Y и Y похож на Z,
но X не обязательно похож на Z; все, однако, зависит от характера
функции р^ (х, #), оценивающей сходство. Это приведет нас позднее
к тому, чтобы с большей точностью определить, что в настоящей теории
подразумевается под «сходством».
Пример 3. Рассмотрим отношение х^Яу, где х, у € N, задаваемое
функцией принадлежности	~
Р5(х,^)-е-А<^И	(16.12)
при значениях k > 1 и достаточно больших для того, чтобы эта функ-
ция принадлежности выражала отношение «х и у очень близки друг
к другу». Покажем, что нечеткое отношение, определяемое (16.12),
нетранзитивно.
На рис. 16.5 выписана матрица отношения (16.12).
На рис. 16.6 произведены вычисления правой части условия тран-
зитивности (16.9). Можно убедиться, что (16.9) выполняется не для
всех пар. Следовательно, отношение, определяемое (16.12), нетран-
зитивно.
В § 29 мы вернемся к детальному рассмотрению случая, когда
Е — бесконечное множество. Транзитивность в этом случае заслу-
живает особого внимания.
Теперь рассмотрим случай, когда отношение транзитивно, а мно-
жество Е счетно.
Пример 4. Рассмотрим отношение х Я у, где х, у С М, опреде-
ляемое функцией принадлежности
Р^ (х, у) = 0, у = х,
(16.13)
= е“\	г/>х.
92
ft 6	7	2	?	45-^7
113^567
0	1	ff"*	e~9k		er™	B~25k	rJfi*	e™	• ft •	0	7	e*	ek		ekk	e~9k		-75Л 4*	a a 
1	e~k	7	e~k		e-9k	-16k C7	B~25k	-56k w	ft ft ft	7	ek	7	ek	ek	e~kk	e^k		c7	« ft a
2	в~кк	e~k	7		e~kk	e~9k	e~1Sk	-25* c*	ft ft ft	2	e~k	e~k	7	в k	e~k	вкк	s-^	e~9k	a ft ft
3	о-зк и		e~k	7	e"	в	e-9k	-Л5Л u	ft ft *	3	ekk	e k	e~k	1	e k	p k	e-kk	e~^	ft a •
4	e-’n	e~9f<	e~kk	e~k	1	e k	e~kk	egk	ft ft ft	4	ekk	e-kk	ek	e~k	1	e~k	e'k	e^kk	a • ft
5	-25k	S™	e9k	eUk	e~k	1	ek	e"*	ft ft ft	5	e~9k	e~9k		e~k	e~k	1	e~k	e~k	•  •
6	-Z6k	„-25k G	-16k G	e~9k	e9k	e~k	1	B~k	ft ft ft	6	e~9k	„-9k Gi	e9k		B~k	e~k	1	e~k ’	ft ft ft
7	e-U9k	e-35k	e-25k	-16k Gr	e~9k	c^kk &	e~k	7	ft ft ft	7	e^k		e9k	в9к	e-kk	e~k	e~k	7	a ft ft
о	•	•	•	•	•	ft	ft		\	ft ft	ft ft	ft ft	ft ft	* ft	ft ft	ft ft	ft a	a	
•	•	•	•	a	•	•	ft			ft	ft	ft	ft						
*	*	9	•	•	*	•	ft												
Рис. 16 5	Рис. 16.6
Puc. 16.7 XI1 ^il	/7-7 Xin Puc. 16.9	Puc. 16.8 	X!j — —*-
93
Матрица этого отношения представлена на рис. 16.7. На рис. 16.8
приведены результаты вычислений правой части (16.9). Сравнивая эти
два рисунка, можно убедиться, что (16.9) удовлетворяется для всех
пар. Это отношение транзитивно.
Можно также проверить, что этот вывод остается в силе, если х,
у £ R+. Это отношение можно интерпретировать как «величина х
меньше у и не зависит от г/».
Замечание о конечных отношениях. Операция, определяемая по-
средством (16.8) или (16.9), проводится над строками и столбцами так
же, как это делается в матричных вычислениях по правилу «строка на
столбец». На рис. 16.9 показано, как производить вычисления, чтобы
получить
V [(*Н Л (-^12 Л	n—1 Л ^n-1, j) (%in A (16.14)
Композицию нечетких бинарных отношений можно рассматривать
как разновидность матричного исчисления или как метод вычислений
в теории графов*), хотя они и отличаются от классических методов. Бо-
лее того, теория композиции бинарных отношений — частный слу-
чай общей теории моноидов.
17.	Транзитивное замыкание нечеткого бинарного
отношения
Пусть Л — нечеткое отношение в Е X Е. Определим
=	(17.1)
функцией принадлежности
1*2* (*’ г)= МАХ [MIN(H<g (*, У\ Нз (У, 2))]»	(17.2)
~	у	~	~
где х, у, г g Е. Выражение (17.2) можно переписать в виде
МФ, z)= V [1Ы*> У) Л *)]•	(17.3)
~	У ~	~
Свойство (16.8) или (16.9), определяющее транзитивность, можно
также представить следующим образом:
Я, Я а Я.	{\1А}
Предположим, что
Яг<=.Я,	(17.5)
й
£=1,2,3,...	(17.6)
Тогда очевидно, что
Як^Я, £=1,2,3,...	(17.7)
*> См., например, [IK] — [ЗК], [5К].
94
Транзитивным замыканием нечеткого бинарного отношения будем
называть отношение
= U Я2 U Я? U-	(17.8)
Теорема 1. Транзитивное замыкание любого бинарного отношения
есть транзитивное бинарное отношение.
Доказательство. Согласно (17.8) можно записать
J?2 = j2	= U Я2 U Я^ U ...	(17.9)
Тогда, сравнивая (17.8) и (17.9), можно записать
(17.10)
что и доказывает транзитивность Я.
Подводя итоги, получаем следующие свойства:
(J? гэ J$2) -<=>- (J# = $) <=>- (Я транзитивно), (17.11)
{Я = J?2) => (Я = Я} -<=>- (Я транзитивно). (17.12)
Замечание. Теорема 1 позволяет строить транзитивное отношение
для любого отношения.’
Теорема 2. Пусть Я— некоторое нечеткое бинарное отношение.
Если для некоторых k имеем
Як+1 = Як,
(17.13)
то
Я~Я и Я2 и ... и Як.	(17.14)
Заметим, что обратное утверждение неверно.
Доказательство почти тривиально. Имеем
Я = Я и Я2 и ... и Як и Як+1 и Як+2 и ••• =
= и Я2 и •• и як и Як и Як и ... = я и Я2 и ... и Як. (17.15)
Ниже мы докажем, что если Я с: Е X Е, где Е — конечное уни-
версальное множество и card (Е)~= п, то
я, = я и Я2 и ... и яп	(17.16)
и существует k, определяемое (17.14), такое, что k п.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Рассмотрим отношение Я, представленное на
рис. 17.1, а. Можно рассчитать сначала 3?2~(рис. 17.1, б), затем Я2
(рис. 17.1, е). Мы видим, что Я2 = Я2, и вычисления можно здесь
прекратить. Транзитивное замыкание Я представлено на рис. 17.1, г.
Глядя на рис. 17.2, можем убедиться, что
>02^.	(17.17)
95
ffK A 8 0	A B , C ,	-3\ A B , °
4	ОЛ	1	0,1	А	ол	ол	ол	А	ол	ол	ол
6	О	ОЛ	О	6	0	ол	о	О	0	ол	0
С	ОЛ	О	ОЛ	С	ОЛ	ол	ол	с	ол	ол	ол
а	В	6
Gt_____________0iz_____ ffl
ол	1	ол
0	ол	О
ол	0	ол
ол	ОЛ	ол
0	ол	0
ол	ол	ол
ол	1	ОЛ
0	ОЛ	о
ол	ол	ол
г
Рис. 17.1
Пример 2. На рис. 17.3 представлено транзитивное отношение Я.
Производя вычисления, аналогичные только что проделанным, мы
видим, что
=	(17.18)
ол	ол	ол
о	о,и	0
0,3	ол	ОЛ
г
Рис. 17.3
96
Пример 3. Рассмотрим отношение хЯу, где х, у С N и
у) = е~кхУ	(17.19)
при значениях k > 1 и достаточно больших для того, чтобы эта функ-
ция принадлежности выражала отношение «обе величины, как х,
так и у, довольно маленькие неотрицательные целые числа»*). В ка-
честве матричного представления этого отношения имеем
О 1	2	3	4	5 ...
0	1	7	7	7	7	7	• • •
1	1		еи			е~5к	* • •
2	1	е-и	еЧк	е'ек	eSh	e-Wk	• • •
5	1	ё~Ък	e~ek	e-3k	o-iu	e~75k	♦ • •
де-							
							
4	1	е-1*	es/f	с		e™	• • •
5	1		е~™	С7		е-25к	• • 9
•	•		•			•	\
*	«	•	*	•	и	•	
•		•	4		t	*	
							
Вычисления дают матрицу
(17.20)
' /7	7	2	3	4	5
(17.21)
Следовательно, поскольку вместо Л2 с Я мы получили Л2 гэ Я,
то это нечеткое отношение нетранзитивно.
Аналогично легко показать, что этот вывод’ остается в силе, если
х, у 6 R+, а не только N.
*) Иначе можно сказать, что по крайней мере один из двух элементов упо-
рядоченной пары (х, у) довольно мал.
4 Зак. 461	97
Как говорилось в § 16, мы вернемся к этому вопросу в § 29, где
рассмотрим случай, когда Е не является конечным.
Пример 4. Вернемся к случаю, когда отношение J? с Е X Е
и Е — конечное множество, чтобы уяснить, что отнюдь не всегда име-
ет место благоприятный случай (17.13). Но мы пойдем дальше и на
этом примере продемонстрируем очень интересное явление.
	А	В	С	012'	А	в	о	(R?	А	в	с		А	В	с
А	о,з	0,6	ол	А	ол	ол	ол	А	ол	ол	ол	А	ОЛ	ол	ОЛ
В	1	ОЛ	0,7	В	0,3	0,7	ол	В	0,7	ол	0,7	В	ОЛ	ол	о,3
С	0	ол	ОЛ	0	ол	ОЛ	ол	0	ОЛ	ол	ОЛ	0	ОЛ	ол	ол
ffi5	А	в	с	ffls	А	в	с	Q7	А	в	0		А	в	0
А	ОЛ	ол	0,3	А	ОЛ	ол	ОЛ	А	ол	ол	ОЛ	А	0,6	0,3	0,6
В	ОЛ	ол	0.7	В	°Л	ол	ол	В	ОЛ	ол	ол	В	ол	ол	ол
G	0,3	0,7	ол	С	ол	ол	ОЛ	О	0,3	ОЛ	ОЛ	О	ол	0,3	0,7
ог\	А	В	с		А	в	с						А	в	0
А	ОЛ	ол	ол	А	ол	ол	0,6					А	ОЛ	ол	ол
В	ОЛ	0,3	ол	В	ОЛ	ол	ол					В	7	ол	ОЛ
0	ОЛ	0,7	ол	С	ол	ОЛ	ОЛ					0	о,8	ол	ол
Рис. 17.4
На рис. 17.4 представлено отношение Я и последовательно вычис-
ленные J?2, J?3... Заметим, что последовательность вычислений не схо-
дится: не существует фиксированного 6, после которого Як+Х = Як.
Благодаря (17.16) мы знаем, что можно остановиться при 6 = 3.
А уже после этого Я получить легко.
Однако если читатель внимательно рассмотрит все полученные от-
ношения, то увидит, что при k > 3 мы имеем
=	- - = ^2v = ^2v+2 = ,t> = t^p>	(17.22)
Я5 = Я’! = ... = Я2ч+'=Я2ч+3 = ... = Я1.	(17.23;
Таким образом, здесь появляется интересный для изучения цикли-
ческий феномен. Из-за отсутствия места для изучения «циклических
нечетких отношений» ограничимся этими замечаниями, но рекоменду-
ем исследовать их тем читателям, которые заинтересуются ими.
Замечание. Возникает следующий интересный вопрос: всегда ли
композиция Ях ° 3?2 и (или) Я1 о Я1 двух транзитивных отношений
Ях и Яг дает" транзитивное отношение. Как показывают следующие
примеры, это, к сожалению, не всегда так.
98
Пример. Пусть — отношение, приведенное ниже в (17.24)
Проверяя свойство Я\ с:	можно убедиться, что это отношение
действительно транзитивно:
А /7 0	А	в	С Ю		В	(Rf А В « О	А	В	О Л		в	А В = С	А	В	С Л		в	
	0,5	0,9	О	0	0,5		0,5	0,9	О	0	0,5		0,5	0,7	0	О	0,5	
	0	0,7	0	0	О		О	0,7	О	О	О		О	0,7	О	О	О	
	0	1	0,1	0,7	О		О	1	0,1	0,1	0		О	0,7	о,1	0,1	О	
п	О	7	0^	1	О	Л	О	1	0,0	1	О	л	О	1	0,0	1	0	
В	Z?7	0,9	0	О	0,5	в	0,7	0,9	0	О	0,5	в	0,5	0,7	0	О	0,5	
Пусть Яг — отношение, заданное (17.25). Проверяя свойство Я\ cz Яг, убеждаемся, что это отношение также транзитивно: ВОВЕ	А В С В Е	А В С В Е																						
А В 0 л в	0,7		0	О	О	О	А В ° О л в	0,7	0	О	0		О		11		0,7	0	0	О	0	(1725)
	0,8		1	0,5	0,6	1		0,8	1	0,6	"0,6		1				0,8	1	0,6	0,6	1	
	0		0	0,5	0,5	О		0	0	0,6	'0,5		О				О	О	0,5	0,5	0	
	0		0	o,z	О,о	0		0	0	0,2	0,4		0				0	О	0,2	о,о	О	
	0,8		1	0,6	0,6	7		0,8	1	0,6	"0,6		7				0,8	1	0,6	0,6	1	
Теперь подсчитаем (Bi В 0 Л В "Л								О Ях А В 0 Л В'						я	2°£?	1А ВОЛЕ						
А В 0 Л В		ОА	i 0,9	' 0	0	0,5	□ гп	сь X	0,7	О	О	О	О		II *1 к		Ofi	k 0,9	'0,6	0,6	0,9	(17.76)	
		0	ол	' О	О	0		0,8	1	0,6 >	0,6	1				ол	'0,7	0,6	0,6	0,7		
		0	1	0,1	0,1	О		0	0 <	0,51	0,5	0				0,8	’ 1	0,6	0,6	1		
		0	1	0,0	1	О		0	0	0,2 .	0,0	0				0,8	’ 1	0,6	0,6	1		
		ОЛ	'0,9	О	О	0,5		0,8	1 .	0,6 <	0,6	1				0,8	’ 0,9	0,6	0,6	0,9		
и (J?2 ° ^i)2
	1А	в	С	л	в	ffiooffi.		В	С	л				В	О	в	в	
							"'А				В	\	А					
А	0,8	0,9	0,6	0,6	0,9	А	0,8	0,9	0,6	0,6	0,9	А	0,8	0,9	о,6	0,6	0,9	
В	0,7	0,7	0,6	0,6	0,7	В	0,7	0,7	0,6	0,6	0,7	В	0,7	0,7	ол	0,6	0,7	
0	0,8	1	0,6	0,6	1	о 0	0,8	1	0,6	0,6	1	- 0	0,8	0,9	06	06	ОЛ	(17 77)
л	0,8	1	0,6	0,6	1	Л	0,8	1	0,6	0,6	1	Л	0,8	0,9	о,б	0,0	0,9	
в	0,3	0,9	0,6	0,6	0,9	в	0,8	0,9	0,6	0,6	0,9	В	0,8	0,9	0,6	0,6	0,9	
4*
99
Включение (J#2 о J?x)2 cr J?2«j#X) очевидно, удовлетворяется.
Теперь подсчитаем J?x•J?2
(it 2	А	в	с	В	Е		А	Б	0	В					С	в	Е	
											Е		4	В				
4	0,7	0	О	О	О	А	0,5	0,9	О	О	0,5	А	0,5	0,7	0	О	0,5	
В	Ofi	1	0,6	0,6	7	В	О	0,7	О	О	О	В	0,7	0,9	0,0	0,6	0,5	
0	0	0	0,5	0,5	0	° С	0	1	0,1	0,1	О	= 0	0	0,5	0,0	0,5	О	(/7.28)
О	0	0	0,2	0,0	О	О	0	7	0,0	7	О	В	0	0,0	о,о	о,о	0	
Е	0$	1	0,6	0,6	7	Е	0,7	0,9	0	0	0,5	Е	0,7	0,9	0,0	0,6	0,5	
и (Лх ° 3?2)2
^zo^?2	z	Cft,0^)2
~ ~\Л В С В В~ ~\А ВС В~ ~\А ВС В Е
0,5	0,7	0	0	
0,7	0,9	0,0	0,6	0,5
0	0,5	0,0	0,5	0
0	о,о	0,0	0,0	0
0,7	0,9	0,0	096	0,5
0,5	0,7	0	0	0,5
0,7	0,9	0,0	0,6	0,5
0	0,5	о,о	0,5	О
0	0,0	0,9	0,0	О
0,7	0,9	0,0	0,6	0,5
0,7	0,7	о,о	0,6	0,5
0,7	0,9	0,0	0,6	0,5
0,5	0,5	0,9	0,5	0,5
0,0	о,о	о,о	0,0	о,о
0,7	0,9	0,0	0,6	0,5
(/729)
Мы видим, что включение (J?x о j/?2)2 ст о «Я?2 не выпол-
няется и, следовательно, °~J?2 нетранзитивное.
Таким образом, композиция двух транзитивных отношений не
всегда дает транзитивное отношение.
18.	Путь в конечном нечетком графе
Рассмотрим в конечном графе Gc Е X Е упорядоченную г-ку
(т. е. упорядоченный набор из г элементов) с повторениями или без
повторений*)
C = (xt„xh,...,xXr),	(18.1)
где xth € Е, k = 1, 2, ..., г, при условии
1.	(18.2)
Такую упорядоченную r-ку будем называть путем из Xit в Xtr в
графе G (или в отношении J?).
С каждым путем (х/,, х,-2, xir) будем связывать величину, опре-
деляемую выражением
I (xti, xt.xir) = р5 (xh, хь) Д Ня (xit, xtl) Д
Д ... Ap^(xir i, xir).	(18.3)
*) Другими словами, г в зависимости от случая может быть меньше, равно
или больше л = card Е.
100
Теперь рассмотрим все возможные пути, существующие между х£
и Xj— двумя произвольными элементами Е. Пусть С (хь Ху) — обыч-
ное множество всех таких путей:
С (х$, Ху) = {С (Xf, Ху) [ С (xb Ху) = (Xjt = X/, Х^2,~ ^j)}*
Определим сильнейший путь С* (х,, Ху) из х? в х7 как
Z*(xbX;)=V	Xi,,..., Х,Т1, xir = x}).	(18.4)
С (хг, Х})
Кроме того, длиной пути будем называть число, на единицу мень-
шее числа элементов, определяющих путь.
Прежде чем привести примеры, рассмотрим несколько теорем.
Теорема 1. Пусть Я cz Е х Е, тогда имеем
V (х, у) 6 Е х Е :	(х, у) = 1к (х, у),	(18.5)
где Ik (х, у) — сильнейший путь длины k, существующий между
хну.
Доказательство. Достаточно рассмотреть (18.4) и (18.3),
с одной стороны, и композицию Я о Я о ... ° Я— с другой, и
результат (18.5) следует немедленно. Фактически речь идет об одной
и той же (шах—min) операции, представленной двумя различными
образами.
Теорема 2. Пусть Я Е X Е и Я — транзитивное замыкание Я\
тогда имеем
v (х, у) е Е х Е :	(х, у) = Г(х, у).	(18.6)
Доказательство. Достаточно вспомнить определения
и /* (х, у).
Теорема 3. Пусть п = card Е, если k — длина пути из Xi в Xj
и k> п = card Е, то некоторые элементы пути входят в него более
одного раза; в этом пути имеется по крайней мере один контур
(замкнутый путь). Если этот (или эти) контур (ы) удалить, то длина
получившегося пути будет меньше или равна л; можно также устано-
вить, что
П(х,у) = Г1<п(х, у),	(18.7)
где	у) — величина сильнейшего пути, длина которого от
х до у меньше или равна п.
Доказательство. После удаления контуров остается путь,
длина которого самое большое равна и; тогда соотношение (18.7) удов-
летворяется.
Теорема 4*>. Если J? с Е X Е и п = card Е, тогда
= и Я* и ... и Яп.	(18.8)
*) Напомним, что в данном параграфе все рассматриваемые множества были
конечными.
101
Доказательство. Утверждение теоремы следует непосред-
ственно из теоремы 2 [см. (18.6)].
Пример. Рассмотрим отношение заданное на рис. 18.1 и 18.2.
Результаты расчетов, представленные на рис. 18.2, будут использова-
ны в наших дальнейших рассмотрениях. Пусть (В, С, A, D) — путь.
Подсчитаем его величину:
I (В, С, A, D) = [is (В, С) Д Ря (С, А) Д р5 (A, D) =
= 1 ДО,7 ДО,3 = 0,3.	(18.9)
Теперь рассмотрим все остальные пути* *) из В в D, длина которых
меньше или равна 3; существуют только три таких пути (В, D), (В,
D, D), (В, D, D, D), для которых находим
I (В, D) = р^ (В, D) = 0,4; I (В, D, D) = р^(В, D) Д
Д ря (D, D) = 0,4 Д 1 = 0,4; I (В, D, D, D) = р5 (В, D) Д
Дряф, D) Д p^(D, D) = 0,4 Д 1 Д 1=0,4.	(18.10)
Тогда имеем
/* (В, D) = I (В, С, A, D) V I (В, D) V I (В, D, D) V
v I (В, D, D, D) = 0,3 V 0,4 V о,4 V 0,4 = 0,4.	(18.11)
Если мы найдем Я на рис. 18.2, ж, то увидим
р^ (В, D) = 0,4 (теорема II — (18.6)).	(18.12)
С другой стороны, между В и D существуют два пути длиной 3,
это (В, С, A, D) и (В, D, D, D). Тогда получаем
Г3 (В, D) = I (В, С, A, D) V 1 (В, D, D, D) = 0,3 V 0,4 = 0,4. (18.13)
Сравним**) с
р^з(В, D) = 0,4 (теорема I—(18.5)).	(18.14)
Теперь рассмотрим путь (С, А, В, D, A, D), который содержит
контур (D, A, D); удалив его, находим
Ц (С, D) =	4 (С, D) = П (С, D) V П (С, D) V /з (С, D) V И (С, D) =
= р« (С, D) V р^« (С, D) V Ря, (С, D) \/ р2< (С, D) =
= 0 V 0,3 V 0,4 V 0,4 = 0,4.	(18.15)
Можно было бы ожидать, что получим 0,3; но сильнейший путь
длиной 5 между С и D — это не (С, А, В, D, A, D), а (С, А, В, D, D,
D), кроме того, эти два пути после удаления контура сводятся к (С,
А, В, D). Все это видно на рис. 18.1, б.
*) Как провести такое перечисление автоматически без пропусков и повто-
рений описано, например, в работах [1К> 2KL
*ф) Здесь оказывается, что /3 (В, D) = /* (В, £>), но это случайность: отноше-
ния <^3 и 31 на самом деле различны (см. рис. 18.2, г и ж).
102
A S С И
0	7	0	0,8
0	0	1	ОЛ
0,7	0	0	0
1	<7,2	0	7
a
(Упорядоченные пары az,yj,
для которыхр^<;в,у)~О9
не отмечены)
О
Рис. 18.1
0	1	0	0,8
0	0	1	ОЛ
0,7	0	0	0
7	0,2	0	7
а
0,8	0,2	7	ОЛ
0,7	0,2	0	ол
0	ОЛ	0	0,8
7	7	0,2	7
0,8	7	7	ОЛ
0,7	ОЛ	7	ОЛ
0,7	OJ	0	0,8
7	7	ОЛ	7
01U012
Г
&2
5
0,7	0,8	ОЛ	ОЛ
ОЛ	0,7	ОЛ	ол
оз	ОЛ	ОЛ	ол
7	7	7	7
ол	7	7	ОЛ
ОЛ	ОЛ	7	ол
ол	ол	0,7	ол
7	7	7	7
gUgZtltfP
ол	ОЛ	0,8	ол
ол	ОЛ	0,7	0,0
ОЛ	0,8	ОЛ	ол
7	7	7	7
е
д
ОЛ	7	7	ОЛ
0,7	ОЛ	7	ол
0,7	ОЛ	ОЛ	ол
7	7	7	7
$u$2ug3u
*

Рис. 18.2
103
Понятие пути, определенное посредством других операторов.
(Мах—*)-транзитивность. Величину, определяемую с помощью выра-
жения (18.3), в рамках этого же определения можно распространить на
другие, отличные от Д операции при том ограничении, что эти новые
операции обладают свойством ассоциативности и монотонности. Если
♦ — такой оператор, то
l{Xtl, xt„..,	=	Х1,)*...*Ця(Х1т1, Xgr). (18.16)
В частности, если * — оператор умножения, обозначаемый • и
определенный в (12.35), то получим
l(xh, Xi,,..., xt ) = p&(xti, Xi,)-ii^(xt,, xit)... p^?(xf ,,xt ). (18.17)
•	л*	л*	r—x r
Используя свойство
a-b	если a, b , E [0, 1],	(18.18)
легко проверить, что транзитивность оператора Д влечет за собой
транзитивность оператора •. Таким образом,
Я.	(18.19)
Очевидно, что обратная импликация не выполняется.
Следовательно, если мы доказали (max—тш)-транзитивность от-
ношения (согласно (16.9)], то не нужно проверять (max—^транзи-
тивность.
Для некоторых приложений иногда полезно иметь в своем распоря-
жении другие, отличные от Д операторы, позволяющие исследовать
транзитивность и пути в некоторых специальных случаях.
19.	Нечеткие отношения предпорядка
Нечетким отношением предпорядка называется бинарное нечеткое
отношение, обладающее свойствами транзитивности (см. (16.9)) и ре-
флексивности (см. (16.7)).
Сначала рассмотрим важную теорему.
Теорема 1. Если Я — транзитивно и рефлексивно (т. е. предпо-
рядок), то
Ж = Я, k =1,2,3,...	(19.1)
Доказательство. Достаточно обратиться к определению
транзитивности [(16.9) и (17.4)] и показать, что
если
Vх-’ Ря(х, х)=1,	(19.2)
то
Я% = Я.	(19.3)
Поскольку
104
то согласно (13.2) имеем
Ря« (X, z)= V [Ря(х, У) Л \>я(У, Z)].	(19.4)
~	у ~	~
Правая часть Н9.4) содержит два равных члена
Pg {х, х) /\ р« (х, 2) = ря (%, z) Д p« (z, z) = ря (х, г),	(19.5)
поскольку в силу рефлексивности
Pg(x, x) = pg(z, г) = 1.	(19.6)
Напомним [(16.9)1, что — транзитивное отношение, т. е.
р5 (х, z) > V [Ня (х, у) Л Pg (У, z)],	(19.7)
~	у ~	~
и поэтому (х, г) не меньше, чем ря (х, у) Д р^ (у, г).
Следовательно, р^ (х, г) — значение правой части (19.4), и мы
действительно имеем”
Я* = Я.	(19.8)
Теорема 2. Если Л — предпорядок, то
^ = ^2=... = ^ = ^.	(19.9)
Доказательство. Это следствие из теоремы 1. Достаточно
рассмотреть (17.8) и (19.8) вместе.
Пример 1. На рис. 19.1 изображен предпорядок
Е = {А, В, С, D, Е}.	(19.10)
Его транзитивность можно проверить с помощью соотношения
Я?^Я.	(19.11)
Рефлексивность непосредственно следует из существования единиц
на главной диагонали.
105
Наконец, можно проверить, что действительно
^2 = ^.	(19.12)
Пример 2. Рассмотрим граф G с Е X Е, где Е — конечно, и
предположим, что граф G рефлексивен. Тогда нечеткое бинарное от-
ношение «в G существует путь из х в у», (где слово «путь» понимается
в смысле § 18) есть предпорядок.
Рис. 19.4
Пример 3. Нечеткое бинарное отношение х^у, где х, у £ N, с
функцией принадлежности
Рл(х,«/) = е-*	k>\,	(19.13)
не предпорядок, так как оно нетранзитивно [см. (16.12)1.
Пример 4 (рис. 19.2).
О aY < а2 ... sC ah ... С 1-	(19.14)
Это отношение на счетном бесконечном множестве Е есть предпорядок.
Нечеткий полупредпорядок. Транзитивное нечеткое отношение,
не обладающее свойствами рефлексивности, называется полупредпо-
рядком, или, что то же самое, нерефлексивным нечетким предпорядком.
Пример 1. Отношение, представленное на рис. 19.3, транзитивно,
но не рефлексивно; это отношение — полупредпорядок.
Пример 2. Отношение на рис. 16.7 есть полупредпорядок.
Антирефлексивный нечеткий предпорядок. Частным случаем не-
четкого полупредпорядка является отношение, у которого
ухбЕ: jm(x,x) = 0.	(19.15)
В этом случае говорят, что нечеткий предпорядок анти рефлексивен.
Таким образом, отношение предпорядка на рис. 19.4 антирефлек-
сивно.
106
20.	Отношение подобия
Отношение подобия, или нечетким отношением эквивалентности,
называется нечеткое бинарное отношение, обладающее свойствами:
1) транзитивности [см. (16.9)]; 2) рефлексивности [см. (16.7)]; 3) сим-
метричности [см. (16.6)]. Очевидно, что это предпорядок.
1	0,8	О.1	1	0,0
О.8	1	0,7	0,8	0.8
О.7	0,7	7	0,7	0,7
1	0,8	0,7	1	0,0
0,0	0,8	0,7	0,3	f
Рис. 20.2
Рис. 20.1
Сначала рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Рассмотрим отношение, представленное на рис. 20.1.
Можно непосредственно убедиться, что оно рефлексивно и симметрич-
но. Для проверки транзитивности достаточно подсчитать Л2. Тогда
согласно (19.9) должны иметь
^2 = ^-	(20.1)
Пример 2 (рис. 20.2). Если положить 0 а 1, то имеем отно-
шение подобия.
Пример 3 (рис. 20.3). Если положить
0 а2 С ••• dh ••• С L	(20.2)
107
то это отношение подобия, определенное на бесконечном множест-
ве Е.
Пример 4. Нечеткое отношение хЯу, где х, у £ R+, определяе-
мое функцией принадлежности ~
ря(х, y) = e~k <"+1> у<х, k>\,
= 1, У = х,	(20.3)
= e~ft <*+>), у>х, Л>1,
есть отношение подобия, как это читателю предлагается проверить
в упражнениях (см. также § 29).
Теорема 1. Пусть с Е X Е — отношение подобия. Пусть так-
же х, у, г — три элемента множества Е. Положим
с = Ря(х, z) = il&(z,x), '
а = р« (х, у) = ря (у, х),
Ь = ря (у, z) = ря (г, у). ’
(20.4)
Тогда
с а = Ь, или а b = с, или b с = а.
(20.5)
Другими словами, из этих трех величин а, b и с по крайней мере
две величины равны друг другу, а третья больше двух остальных.
Доказательство. Итак, по нашей гипотезе имеем
Предположим, что
с	а Л Ь,
b	с а,
а^Ь [\ с.
с^Ь>а,
(20.6)
(20.7)
(20.8)
(20.9)
тогда соотношения (20.6) и (20.7) удовлетворяются, а (20.8) — нет,
и если положить b = а, то уже удовлетворяются все три соотношения.
Предположим, что
с^а>Ь.	(20.10)
Тогда (20.6) и (20.8) удовлетворяются, а (20.7) — нет, и если по-
ложить а = Ь, то удовлетворяются все три соотношения.
Далее, если ни (20.9), ни (20.10) не выполняются, то выполняется
соотношение
с а = Ь.
(20.11)
Аналогично можно показать, что
ни а с > Ь. Однако справедливо соотношение
не может быть ни а b > с,
а b = с.
(20.12)
108
Аналогично можно показать, что не может иметь место ни b с > а,
ни b а > с, однако справедливо соотношение
b а = с.	(20.13)
Таким образом, необходимо, чтобы всегда по крайней мере две из
этих величин были равны.
Теперь неравенства (20.6)—(20.8) дают нам:
если а = Ь,
с^а /\Ь,
Ь = с/\а,	(20.14)
а = b Л с;
если Ь = с,
с = а Л Ь,
Ь = с /\а,	(20.15)
а b Л с;
если с — а,
с = а /\ Ь,
Ь^с/\а,	(20.16)
а = b /\ с.
21.	Подотношение подобия в нечетком
предпорядке
Пусть с: Е <= Е — отношение нечеткого предпорядка. Если
существует обычное подмножество Ex с= Е, такое, что ух, у £ Ег:
(х, у) =	(у, х), то элементы множества Ех находятся между
собой в отношении подобия, которое мы будем называть подотноше-
нием подобия в предпорядке Я.
Будем говорить, что подотношение подобия максимально, если
в рассматриваемом отношении не существует другого отношения по-
добия той же природы.
Предположим теперь, что отношение предпорядка таково, что каж-
дый из элементов подмножества универсального множества принадле-
жит максимальному подотношению подобия и не принадлежит ника-
кому другому. Это можно перефразировать следующим образом: все
максимальные подотношения подобия не пересекаются. В этом случае
подмножества, на которых определены такие непересекающиеся мак-
симальные подотношения подобия, будем называть классами подобия
предпорядка.
Однако не все нечеткие предпорядки можно разложить на классы
подобия. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. На рис. 21.1 представлено отношение предпорядка
(что можно проверить с помощью (19.2)). Этот предпорядок не являет-
109
01 А В 0 В
A
В
£
D
G
D G
1	ОЛ	о Л	ол	ол	ол	ол
ол	1	ол	ол	ол	о,ъ	ол
ол	ол		ол	ол	ОЛ	ол
ол	ОЛ	ОЛ	7	ОЛ	ОЛ	ол
0,2	ол	ол	ол		ол	ол
ОЛ	ОЛ	ол	ОЛ	ОЛ	1	ол
ОЛ	ОЛ	ол	ОЛ	ол	ОЛ	7
Рис. 21.1
ся симметричным отношением. Однако заметим, что отношение Я мож-
но разложить на три подотношения: Я^ определенное на подмножест-
ве {А, В, С, Е, F}, Яг — на {D} и<^3 — на {G}. Очевидно, что обыч-
ные подмножества Ki — {А, В, С, Е, F}, К2 = {D}, К3 = {G} —
максимальные по отношению к
свойству подобия (чего нельзя ска-
зать, например, о {В, С, F} или
{А, С, Е}). Мы скажем, что отно-
шение Я нечеткого предпорядка
разложимо относительно Ki, К2 и
Кв на максимальные непересекаю-
щиеся подотношения подобия, об-
разующие классы подобия в пре-
дупорядоченном множестве.
Если мы теперь рассмотрим
сильнейшие пути, существующие
между этими классами (см. опре-
деление (18.4)), то увидим
(рис. 21.2), что эти классы сами
образуют транзитивное несиммет-
ричное нечеткое отношение, кото-
рое, как будет показано в § 23,
есть отношение нечеткого порядка.
Пример 2. На рис. 21.3, а представлено нечеткое отношение пред-
порядка. Можно найти три подотношения подобия ЯА, Яг и Я*
(рис. 21.3, б), и хотя они максимальные, но пересекаются, и, следо-
вательно, данные подотношения не определяют
классов подобия.
/г
^2
& /г7 /г2
	ол	ол
ОЛ		0,0
ОЛ	ол	7
<7
Рис. 21.2
Нечеткий
Приводимый
ложимый на классы подобия, будет называться приводимым нечетким
предпорядком. Например, нечеткий предпорядок на рис. 21.1 — при-
водимый, а на рис. 21.3, а — неприводимый.
В приведенных выше примерах рассматривались конечные множест-
ва Е, но разложение на классы подобия, такие, как только что описай-
нечеткий предпорядок.
предпорядок, раз-
110
иые, имеет место и в случае, когда Е — бесконечное множество, счет-
ное или нет. В этом случае как сами классы, так и их число могут быть
конечными или бесконечными. Однако представление отношения с по-
мощью матриц или графов Бержа могут использоваться только в тех
случаях, когда Е — счетное множество.
Рис. 21.3
7	42
/7,2	7
7	42
Z7,2	7
Поиск максимальных подотношений подобия предпорядка (Е’ко-
нечное). В некоторых простых случаях, рассматривая пары элементов,
обладающие свойством симметрии, сразу получают максимальные по-
дотношения подобия, которые могут быть как пересекающимися, так
и нет. Однако всегда желательно иметь общую процедуру. В приложе-
нии даны некоторые’подходящие алгоритмы.
22.	Антисимметрия
Нечеткое бинарное отношение называется антисимметричным,
если
у (х, у) ЕЕ X Е при
М (х, у) =/= № (У,х) или р^(х, у) = ц3(у,х) = 0.	(22.1)
Примеры. На рис. 22.1 — 22.3 приведено несколько примеров ан-
тисимметричных нечетких бинарных отношений. Для отношения на
рис. 22.1 имеем
Р^(А, В) (В, А),
р^(А, C) = p,g(C, А)=0,	(22 2)
Рл (A, D) > и.л (D, А),
р^> (А, Е)>ря (Е, А)
и т. д.
Другой пример. Пусть хЛу, где х, у £ R+. Тогда отношение J?,
определяемое функцией принадлежности
№г(х, у) — е-^ах+ьУ\ а>&>1,	(22.3)
антисимметрично.
111
Замечание. Не нужно путать несимметричный и антисимметричный
графы. Для первого можно записать
g (х, у) g Е X Е при х Ф у.
Pg (х, у) pg (у, х).	(22.4)
Так, граф на рис. 22.4 несимметричный (существует по крайней мере
одна упорядоченная пара (х, у), для которой имеет место (22.4)). Но
Рис. 22.1
Рис. 22.2
4 в С BE Г
	45	О	0,2	О	0,8
О	7	7	45	0	0,5
О	О	0,5	0	0	0,6
О	О	О	О	О	О
О	ол	О	ол	0,5	0,5
ОЛ	О	0	О	О	0,1
Рис. 22.3
этот граф не антисимметричный, поскольку в нем хотя бы для одной
упорядоченной пары (х, у) выполняется условие р^ (х, у) = р^ (у, х) Ф
=/= О, например для пары (D, F).	~
Обычный антисимметричный граф, связанный с антисимметричным
нечетким отношением. Любому антисимметричному нечеткому отно-
шению Я можно поставить в соответст-
4 ВС ВЕЕ
О	0,5	0,3	7	О	0
45	О	ол	7	ол	О
О	0,0	0,6	1	0,3	ол
О	О	о	7	ол	0,6
О	0,2	0,3	45	0,7	7
О	0,6	ол	0,6	7	О
Рис. 22.4
вие один (и только один) обычный анти-
симметричный граф G, такой, что
V МН Е X Е:
1) хфу и (x,y)>ns(y,x)=^
=> (X, у) с G и (у, к) $ G,	(22.5)
2) х #= у и pg (х, у) = pg (х, у) =
=0 => (х, у) $ G и (у, х) $ G.
Примем без доказательства, что в
графе G
v (X, х) с Е X Е: (х, х) £ G. (22.6)
Это будет доказано ниже, при изучении нестрогих отношений по-
рядка.
Пример 1. На рис. 22.5 и 22.6 представлены обычные антисиммет-
ричные графы, соответствующие отношениям на рис. 22.1 и 22.2.
Пример 2. Напомним, что понятие обычного графа заключает в себе
все обычные множества, как конечные, так и бесконечные. Таким об-
разом, любому антисимметричному нечеткому отношению, определен-
112
ному на конечном или бесконечном множестве, можно поставить в со-
ответствие обычный антисимметричный граф. Так, нечеткому антисим-
метричному отношению, определенному посредством (22.3), поставим
в соответствие обычный граф
G - {(х, у) | у > х},	(22.7)
представленный на рис. 22.7.
Рис. 22.5
Замечание. Не нужно путать понятие обычного антисимметричного
графа, связанное с антисимметричным нечетким отношением, с поня-
тием обычного графа, ближайшего к этому нечеткому отношению; эти
два графа не имеют прямой связи.
Рис. 22.6
Совершенная антисимметрия. Л. А. Заде определяет антисиммет-
рию более строго, чем мы, имея при этом в виду некоторые дальней-
шие интересные свойства; в нашем определении будем называть это
совершенной антисимметрией. Совершенным антисимметричным от-
ношением называется такое отношение*), что
V (х> У) 6 Е X Е и х =0= у.
Ня(х»^)>0=>1х5(«/,л:) = 0-	(22.8)
♦) Л. А. Заде дает другое определение: (р^ (х, у) > О
и Ий (У > х) > °) =>(*=</)•
113
Позднее, при обсуждении понятия совершенного порядка, мы вер-
немся к исследованию нескольких интересных свойств совершенной
антисимметрии.
Замечание. Любое совершенное антисимметричное отношение, оче-
видно, будет и антисимметричным отношением.
Пример 1. На рис. 22.8 представлено совершенное антисимметрич-
ное отношение. На рис. 22.9 показан обычный антисимметричный граф,
связанный с этим отношением.
0	0,8	о,и	0,6	О	0
О	0,3	О	0,6	О	0,7
0	0,8	7	0,2	7	0,6
0	0	О	0,8	О	0,8
О	0,5	О	О	О	7
0,7	О	а	о	О	7
Рис. 22.8
Q А в О П Г Г
А
6
С
Л
£
Г
Пример 2. Рассмотрим две области Dx и D2 в R+ X R+, указанные
на рис. 22.10. Отношение х$у, определенное на R+ функцией принад-
лежности
Ря(х, у)~
М-1 (х> У)> если
М-2 (х> У), если
0, если
(х, У) G Db
(х, у) € D2,
(х, у) Ф Di U D2,
(22.9)
есть антисимметричное отношение, которому соответствует обычный
антисимметричный граф.
23.	Нечеткие отношения порядка
Нечетким отношением порядка называется бинарное отношение,
которое: 1) рефлексивно (согласно (16.7)); 2) транзитивно (согласно
(16.8) или (16.9)); 3) антисимметрично (согласно (22.1)) (будем также
говорить просто отношение порядка, если это не приводит к недоразу-
мению).
Можно также дать следующее определение: антисимметричное*) не-
четкое отношение предпорядка называется нечетким отношением по-
рядка.
Пример 1. На рис. 23.1 и 23.2 представлены нечеткие отношения
порядка. Можно проверить, что они действительно рефлексивны, тран-
зитивны и антисимметричны.
*) Следовательно, приводимое отношение и такое, что каждый класс подобия
содержит только один элемент.
114
Пример 2. Отношение, определенное в (19.4) и представленное на
рис. 19.2, есть нечеткое отношение порядка.
Пример 3. Отношение xffly, где х, у £N (рис. 23.3), есть нечеткое
отношение порядка. ~
g А В О Л	'Я 4 В С Л
4	1	0,8	О	в	4	7	0,8	0,8	0.8
в	ол		О	О	6	0.5	7	0,6	7
с	ол	0,0		0,7	О	0,5	1	1	7
л	О	О	О	1	Л	0,5	0,6	0,6	7
Рис. 23.1	Рис. 23.2
Рис. 23.3
Теорема 1. Каждое нечеткое отношение строгого порядка индуци-
рует порядок (в смысле теории множеств) на своем универсуме посред-
ством отношения
^я(х,у)^^(у,х),	(23.1)
Этот порядок будем обозначать у х.
Доказательство. Достаточно рассмотреть обычный анти-
симметричный граф, связанный с данным нечетким отношением по.
рядка.
Примеры. На рис. 23.4 и 23.5
представлены соответственно обыч-
ные антисимметричные графы, со-
ответствующие нечетким отноше-
ниям порядка на рис. 23.1 и 23.2.
На рис. 23.6 изображен счетный
бесконечный обычный граф, соот-
ветствующий отношению на
рис. 23.3.
Нечеткое отношение полного
порядка*). Нечеткое отношение на-
зывается полным порядком (или
полностью упорядоченным нечет-
ким отношением), если соответст-
вующий ему обычный граф пред-
ставляет полный порядок.
Рассмотрим пример на рис. 23.5. Используя обозначение
у^х, если рй (х, у) > рй (у, х)	(23.2)
*) Оно называется отношением линейного порядка (по Л. А. Заде), если этот
порядок совершенный. Линейный порядок можнэ определить с помощью более
строгого условия антисимметричности:
х=£у,	или Рй(у. *)>0.
~	разделительное ~
115
[т. е. если (х, у) gG и (у, х) £ G1, имеем
(23.3)
Нечеткие отношения частичного порядка. Нечеткое отношение на-
зывается частичным порядком (нечетким отношением частичного по-
рядка), если соответствующий ему обычный граф представляет частич-
ное упорядочение.
В примере на рис. 23.4 изображен такой случай. Имеем
В А С, D С.
(23.4)
Отношение совершенного порядка. Если понятие антисимметрич-
ности, определенное (22.1), заменить понятием совершенной антисим-
метричности (22.8), то получим отношение совершенного порядка.
Все эти отношения порядка обладают своими интересными свойст-
вами, которые мы рассмотрим ниже
Рис. 23.6
Отношения нестрогого и строгого порядка. Подобно тому, как это
делается в теории обычных множеств, можно различать отношения не-
строгого (транзитивного, рефлексивного, антисимметричного) порядка
и отношения строгого (транзитивного, антирефлексивного, антисиммет-
ричного) порядка. Отношение нестрогого порядка в общем случае бу-
дет называться отношением порядка, а отношение строгого порядка бу-
нет доопределяться с помощью прилагательного. Такое отношение мож-
но также называть нерефлексивным отношением порядка.
Нестрогий порядок, как мы уже указывали, будем обозначать
у х,	(23.5)
а строгий порядок —
У > х.	(23.6)
116
Приведем несколько примеров строгих нечетких отношений по-
рядка.
Пример 1. На рис. 23.7 приведен пример отношения строгого по-
рядка, одновременно оно есть и отношение совершенного порядка.
Кроме того, этот порядок полный. Можно проверить, что
A<B<C<D.
(23.7)
Пример 2. Рассмотрим хЛу, где х, у £ R и
О, у<х,
Н2
(23.8)
Это отношение представляет собой строгий и совершенный порядок
(можно проверить, что при у = х имеем (х, у) = 0). Кроме того,
этот порядок полный. Можно считать, что это отношение представля-
ет (довольно грубо) утверждение: у > х.
Важное общее замечание. Все определения, связанные с отношения-
ми порядка в обычных множествах*), можно непосредственно перено-
сить на нечеткие отношения порядка; для этого в качестве промежуточ-
ного понятия достаточно воспользоваться
понятием соответствующего обычного графа.
Таким образом, оказывается, что для нечет-
ких отношений порядка можно изучать сле-
дующие классические понятия: наибольший
и наименьший элемент; мажоранта и мино-
ранта; верхний и нижний пределы; макси-
мальная цепь; фильтрующее множество; диа-
грамма Хассе; полурешетка и решетка.
Некоторыми из этих понятий мы восполь-
зуемся, когда это понадобится для наших
целей. Теперь вернемся к понятию приводи-
мого нечеткого предпорядка для того, чтобы
теорему.
Теорема 2. Для данного приводимого нечеткого отношения пред-
порядка существует по крайней мере один класс подобия, и классы по-
добия сами образуют нечеткое отношение порядка, если для построе-
ния последнего используется понятие сильнейшего пути от одного
класса к другому.
Доказательство. Отношение, образованное из классов по-
добия, обязательно антисимметрично, так как в противном случае не-
которые классы должны были бы пересекаться.
Пример 1. Вернемся к примеру на рис. 21.2. Для отношения поряд-
ка между этими классами (рис. 23.8, а) соответствующий ему обычный
*) Для знакомства с определениями теории (обычных) множеств отсылаем
к работе Кофмана и Пресью [ЗК].
привести одну важную
117
граф изображен на рис. 23.8, б. Как видно из рисунка, это полный
порядок
Кз >К2 > Ki-	(23.9)
Теперь, имея в своем распоряжении обычный граф, устанавливаю-
щий обычное отношение порядка между классами подобия, можно оп-
ределить нечеткое отношение порядка, существующее между класса-
G Kf Кг Kz
К1
7	1	1
0	1	7
О	О	7
а
ми, получая это отношение нахождением сильнейшего пути для каж-
дого класса. Для примеров на рис. 21.1, 21.2 и 23.8 результаты приве-
дены на рис. 21.2; аналогично мы воспроизводим на рис. 23.9 резуль-
таты для рис. 23.8.
1	0,3	0,5
0,2	7	0,4
0,2	0,2	7
Для примера, представленного на рис. 21.1, определение сильней-
шего пути, существующего между Ki и К2. Ki и Кз и, наконец, между К2
и К3, не представляет труда. Класс Ki = {А, В, С, Е, F} и класс К2 =
= {Ь} соединяют путями, величины которых приведены в следующем
столбце:
Л
А
в
С
£
F
0,3
о,з
о,з
о,з
о,з
118
Сильнейший путь (не единственный) имеет значение 0,3. Для путей
от Кг к Ki, очевидно, имеем
А в С
D 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
и сильнейший путь (не единственный) имеет значение 0,2.
Для путей от Ki к Кз = {G} имеем
А
В
0
Е
F
О
0,0
0,5
0,5
0,5
0,5
и сильнейший путь (не единственный) имеет значение 0,5. Таким же об-
разом находим, что не единственный сильнейший путь от Кз к Кт име-
ет значение 0,2.
Аналогично находим, что для Кг -> Кз это значение равно 0,4; для
Кз Кг — 0,2, причем определение значений тривиально, посколь-
ку каждый класс состоит только из одного элемента. Таким образом,
мы получили, то, что изображено на рис. 23.9.
В более общем случае процедура для построения нечеткого отно-
шения порядка между классами состоит в следующем.
1.	В приводимом нечетком предпорядке находим классы подобия
К/. Для этого рассматриваем упорядоченные пары (х, у), для которых
М (х> У) = М (у, х).
Для этих упорядоченных пар строим максимальные подотношения
подобия*). Если все они не пересекаются, то мы получили классы по-
добия. Если найдутся по крайней мере два пересекающихся клас-
са, то наше отношение не является приводимым нечетким предпоряд-
ком.
2.	Для каждой упорядоченной пары (Кг, Ку), i #= / рассматриваем
нечеткое подотношение между Кг и К/ (строки Кг и столбцы К/).
Определяем глобальную проекцию подотношения [см. (12.13)];
таким образом,	~
А С^г;)= V V Ня,, (xt у), х £ Кь у £ Кг •
X у
*) Используя, если нужно алгоритмы, приведенные в приложении В.
119
fft В D H A С Е F В /
7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,0	0,7	0,7	0,7
37	7	0,8	0,8	0,9	0,0	0,7	0,8	0,7
0	0	7	0,8	0,6	0,6	0	0	0
0	0	з<?	7	0,6	0,6	0	0	0
0	0	0,6	0,6	7	0,6	0	0	0
0	0	0,2	0,2	0,2	7	0	0	0
0	0	0	0	0	0	7	4?	0
0	0	0	0	0	0	0,6	7	0
а	0	0	0	0	0	0	0	2_
Рис. 23.10
Ъ кг кч к5
7	0,9	0,0	0,8	0,1
0	7	0,6	0	0
0	0,2	7	0	0
0	0	0	7	0
0	0	0	0	7
Рис. 23.11
120
3.	Приписываем значение h функции принадлежности пары
(Ki, К;).
Пример 2. Пример на рис. 23.10 более сложный. В этом приводимом
нечетком предпорядке можно заметить несколько особенностей, отсут-
ствовавших в предыдущих примерах. Из рис. 23.11 очевидно, что меж-
ду классами существует частичный порядок. В предыдущем же приме-
ре порядок был полный (см. рис. 23.8).
Пример 3. Нечеткое отношение,представленное на рис. 23.12, есть
приводимое отношение нечеткого предпорядка, если принять, что
0 С «1 С «2 < ••• С «ь ••• С 1-
Можно также видеть, что оно разлагается на бесконечное число
классов подобия, образующих линейный порядок
Сх С2 С3 ...
24.	Антисимметричные отношения без контуров,
порядковые отношения, порядковые функции
нечеткого отношения порядка
Рассмотрим нечеткое отношение (Е конечное), которое обладает
следующими свойствами: 1) рефлексивностью (согласно (16.7)); 2) ан-
тисимметрией (согласно (22.1)); 3) не имеет контура в соответствующем
обычном графе, отличного от петель, т. е. контуров длины 1, таких,
как (х, х).
Такое отношение называется нечетким порядковым отношением.
Пример 1. Нечеткое отношение на рис. 24.1 есть порядковое отно-
ffl А В С В £
7	0,8	О	О	0,7
	7	0,0	7	0,0
0,9		1	О	О
0	О	0	1	О
0,2	О	О	О	7
Рис. 24.1
Рис. 24.2
шение. По связанному с этим отношением обычному графу (рис. 24.2)
можно проверить, что это отношение действительно рефлексивно, анти-
симметрично и не имеет других контуров, кроме петель.
Понятие порядковой функции обычного антисимметричного конеч-
ного графа без контуров. Рассмотрим обычный граф без контуров G с
с Е X Е, Е конечное. Через G опять обозначим упорядоченную пару
(Е, Г), где Е Е, Г обозначает отображение Е в Е, в общем слу-
чае многозначное.
121
Определим обычные подмножества No, N1; Nr, такие, что*>
No={Xdr-4XJ = 0},
N1 = {XJir-1{XJ}cNo}-No,
N2 = {Xdr-1{XOcNoUN1}-N0UN1)
Nr = {Хг | Г-1 {Хг} сг и1 nJ- и1 Nfe
k=0 j fe = 0
где r — наименьшее целое число, такое, что
rNr = 0.
(24.2)
Можно легко показать, что обычные подмножества Nft, k = 0,1,2,...
..., г, образуют разбиение Е и полностью и строго упорядочены отно-
шением
<£'•	(24.3)
Функция О (X,), определенная условием
Хг£Нй=>О(Х,) = А!,	(24.4)
называется порядковой функцией обычного графа без контуров.
Другими словами, менее точно, но более кратко можно представить
себе разложение множества вершин обычного графа G без контуров
на обычные подмножества, непересекающиеся и упорядоченные, так,
Рис. 24.4
что если одна из этих вершин принадлежит подмножеству, несущему
номер k, то все вершины, следующие за данной вершиной, должны рас-
полагаться в подмножестве с номером, большим, чем k.
Обычные подмножества такого разложения называются уровнями**').
*) Некоторые авторы предпочитают определять порядковую функцию обыч-
ного графа, заменяя в формуле (24.1) обратное отображение Г-1 прямым Г.
В результате такой замены в конце концов получается другой порядок уровней.
**> Некоторые авторы эти обычные подмножества называют рангами (разря-
дами, категориями, классами).
122
Пример. Обычный граф без контуров на рис. 24.3 разложен по
уровням на рис. 24.4. Если Хг — вершина графа, то каждому Хг здесь
соответствует Nfe или просто k £ {0,1, ..., 5}. Функция Х; —/г,
представленная на рис. 24.5, есть порядковая функция графа. Нумера-
ция вершин показана на рис. 24.6.
Порядковая функция графа в общем случае не единственна: она
может определяться относительно наибольших элементов *> упорядо-
Фдннцс/я f
вершена	Уровень
А	2
в	7
С	5
D	
в	О
Л	3
&	2
Н	О
/	Г
J	Г
К	4
L	4
М	4
N	2
Рис. 24.5
Рис. 24.6
ченного множества вместо наименьших; скажем, упорядоченных спра-
ва налево вместо слева направо, как мы это сделали в примерах на
рис. 24.3 — 24.6.
Понятие порядковой функции играет важную роль во многих тео-
ретических комбинаторных проблемах и практических приложениях.
Распространение понятий порядковой функции на обычные графы с
контурами. Для этого достаточно рассмотреть классы эквивалентно-
сти (по отношению «существует путь из Х,в Х;И обратно») обычного
графа.
Эти классы являются максимальными обычными подмножествами
для отношения эквивалентности. Они образуют порядок (полный или
частичный, в зависимости от случая). Если порядок полный, то имеем
порядковую функцию, если порядок частичный, то ищем порядковую
функцию обычного графа без контуров, образующую эти классы.
Пример приведен на рис. 24.7—24.10.
Метод**1 определения уровня графа без контуров. Рассмотрим
булеву матрицу обычного графа, изображенного на рис. 24.3; эта мат-
рица приведена на рис. 24.11. В строке Ло подсчитаны суммы строк
*) В смысле, придаваемом наибольшим и наименьшим элементам в теории
обычных упорядоченных множеств.
**) Метод принадлежит Демукрону из компании Honeywell-Bull, Париж.
123
A В CD £ f G И 7 <7 Л L МЦ
AB |z|7|^|2|g|z|Zp|7|7|2|Zp|/|
A1 j2lZ'plZM7|z|X|^R|2|Z|5|7|
*2 еишитежишеи
ЛгШ5|7М^|>фф<М/р|^
Ач
* м>ффффф<мх1Ж1
Рис. 24.11
этой матрицы *>. Нули в Ло дают вершины, которым не предшествует
ни одна другая вершина; таким образом, вершины Е и Н составляют
уровень No. Исключив из сумм строки Ло значения, записанные в стро-
ках Е и Н, получим строку Лх, в которой нули из Ло заменены знаком
X (крестом). Появившиеся в строке Лх нули дают вершины, которым
не предшествует ни одна другая вершина, кроме удаленных Е и Н;
♦) Т. е. суммы элементов в соответствующих столбцах.
124
это вершины В, I, и J, которые образуют Nv Теперь из Лх вычтем сум-
мы строк В, I и J после замены всех ранее появившихся нулей крес-
тами; новые нули, появившиеся в Л2, дают вершины, для которых не
существует других предшествующих вершин, кроме удаленных Е, Н, В,
I, J. Вершины A, G и N составляют N2. Этот процесс мы продолжаем
до тех пор, пока не переберем все точки. После этого остается только
построить обычный граф (рис. 24.4), в ко-
тором вершины появляются на соответст-
вующих им уровнях. Произвольная нуме-
рация вершин представлена на рис. 24,6,
где изображена порядковая функция.
Рис. 24.14
Рис. 24.12
Когда граф содержит по крайней мере один контур, найдется стро-
ка Лг, в которой невозможно добиться появления нового нуля. Этот
факт дает автоматическое средство для выявления контуров в графе.
Чтобы получить порядковую функцию при обратном упорядочении
уровней (справа налево), когда выделяются наибольшие элементы
данного порядка, можно применить ту же самую процедуру к тран-
спонированной булевой матрице (строки становятся столбцами и наобо-
рот). Пересматривая пример на рис. 24.3 — 24.6, находим порядковую
функцию, когда уровни упорядочены справа налево. Результат изобра-
жен на рис. 24.12.
Порядковая функция нечеткого отношения порядка. Отношение по-
рядка — это обычное отношение; оно рефлексивно, антисимметрично,
не имеет контуров; кроме того, оно транзитивно. Следовательно, для
него можно определить порядковую функцию.
125
Рассмотрим иллюстративный пример. На рис. 24.13 изображено
нечеткое отношение порядка, которое представляет собой частичный
порядок. На рис. 24.14 представлена порядковая функция соответст-
вующего обычного графа относительно наименьших элементов. В этом
графе мы умышленно опустили петли.
А
В
С
В
в
А
В
н
I
/
R
L
М
A BCBEFGH1JRL М
Теперь рассмотрим нечеткое отношение порядка*), изображенное
на рис. 24.15, а. Соответствующий ему обычный граф изображен на
рис. 24.15, б. Переставляя элементы так, что порядковая функция, при-
веденная на рис. 24.14, не меняется (на рис. 24.14, а и 24.15, б представ-
лен один и тот же обычный граф), мы видим, как появляется треуголь-
ная матрица. Пересматривая нечеткое отношение порядка в полном
порядке его элементов, выбранном таким образом, чтобы не нарушалась
*) Мы взяли отношение совершенного порядка, чтобы привести простой при-
мер, однако последующие рассмотрения должны оставаться справедливыми для
нечеткого отношения порядка, не являющегося совершенным, но свойство, кото-
рым определяется треугольная матрица, проверяется только для упорядочен-
ных пар (х, у), таких, что (х, у) >	(у, х).
126
порядковая функция, получаем нечеткое отношение порядка, которое
будем называть треугольным. Известно, что при любых вычислениях
важно знать, как привести матрицу к треугольной форме.
Полезность понятия порядковой функции для нечетких отношений
предпорядка. В § 23 мы видели, что понятие класса подобия индуци-
рует в нечетком отношении квазипорядка (полный или частичный)
порядок классов подобия (если квазипорядок приводимый).
Очевидно, что соответствующий этому порядку обычный граф реф-
лексивный и антисимметричный, а также и транзитивный. Если пред-
порядок является порядком, он может быть приведен, как это мы толь-
Пустые клетки обозначают нули
Рис. 24.16
ко что видели, к такому виду, что соответствующая ему матрица будет
иметь треугольную форму. Если предпорядок не является порядком,
то его матрицу всегда можно привести к блочно-треугольному виду.
Такая блочно-треугольная форма уже была представлена в примере на
рис. 23.10, который мы воспроизводим здесь вместе с соответствующей
булевой матрицей (рис. 24.16), чтобы показать, что она действительно
блочно-треугольного вида.
К тому же построение порядковой функции позволяет автоматичес-
ки получать диаграмму Хассе*), соответствующую отношению порядка,
и определять уровни этой диаграммы.
25.	Отношения различия
Рассмотрим отношение подобия определенное в § 20. Для
удобства напомним здесь три свойства подобия:
1)	V (*> у)’ (у> г)> (2> *) € Е X Е:
Ня (*»z) > V (Ня (х, У) А Ня (У, z)]—транзитивность, (25.1)
~	и ~	~
*) Незнакомые с тем, что называется диаграммой Хассе в обычной теории
множеств, могут обратиться, например, к работам ЦК, 2К].
127
2)	у(х,х) 6 ЕхЕ:ря(х,х) = 1—рефлексивность,	(25.2)
3)	V (*> У) € Е X Е: р^ (х, у) = р^	х)—симметрия.	(25.3)
Теперь с Л свяжем отношение J?, такое, что
у (х, у) £ Е х Е: ря (х, у) = 1 —ря (х3 у).	(25.4)
Зная, что отношение Л обладает свойствами (25.1) — (25.3), мож-
но определить и свойства отношения Я. Начнем со свойства (25.1).
Имеем:	~
1 —Ря (х, z) > V [[ 1 — рй (х, г/)] Л П “ Ря (У, z)]].	(25.5)
~	у ~	~
Но согласно (7.32)
[1—Р3?(х, Z/)] Л П—Ня(0.2)]=1— Pg(x,«/) Vl*g(y»2)-	(25.6)
А		В	с	в	Е	Таким образом, (25.5) можно перепи- сать в виде
А	0	ол	ол	0	ОЛ	1 —ря (х, z) > V П — (Ря (х, у) М ]1я{У, 2))] (25.7)
В	ол	0	ол	ол	ОЛ	
с	05	ол	о	ол	ол	или Ря(X,z)< Л [ря(х,у) М Ря(у,2)].	(25.8) ~	у ~	-
О	0	0,2	ол	0	ол	
Е	ОУ1	ОЛ	ОЛ	ол	О	Это свойство называется (min —тах)- транзитивностью*) В силу (25.2)
Рис. 25.1
Ря(х,х) = 1—ря(х,х)= 1 — 1 = 0. (25.9)
И, наконец, симметрия тоже сохраняется. Итак, мы имеем
1)	V (*> У)> (У> z)> (х> г) € Е X Е:
Ря(х,z)< Д [p«(х,у) V Ря{у,z)J—(min—тах)-транзитивность,
~	у ~	~
(25.10)
2)	V (х> х) 6 Е X Е : р~ (х, х) = 0 — антирефлексивность, (25.11)
3)	V (*» lO € Е х Е: ря (х, у) = ря (у, х)—симметрия.	(25.12)
Нечеткое бинарное отношение, обладающее свойствами (25.10) —
(25.12), называется отношением различия.
Пример 1. На рис. 25.1 представлено отношение различия (кроме
того, отношение.# совпадает с отношением подобия Л на рис. 20.1).
В качестве упражнения проверим (25.10) для нескольких пар элементов.
*) Его можно также называть (min—тах)-котранзитивностью.
128
Дуга (А, В).
ц (А, А) V Р (А, В) = О V 0,2 = 0,2,
р > А, В) V р (В, В) = 0,2 V 0 = 0,2,
р <А, С) V р (С, В) = 0,3 V 0,3 = 0,3,
р (A, D) V И (D, В) = О V о,2 = 0,2,
р (А, Е) ур (Е, В) = 0,1 V 0,2, = 0,2,
M1N [0,2; 0,2; 0,3; 0,2; 0,2] = 0,2,
р (А, В) = 0,2 < 0,2.
Дуга (А, С).
р (А, А) у р (А, С) - О V 0,3 = 0,3,
р (А, В) V ц (В, С) = 0,2 V 0,3 = 0,3,
р (А, С) V р (С, С) - 0,3 V 0 = 0,3,
р (A, D) V р (D, С) = О V 0,3 = 0,3
р (А, Е) Vp (Е, Q = 0,1 У 0,3 = 0,3,
MIN [0,3; ...] = 0,3,
р (А, С) = 0,3 < 0,3
(25.13)
И т. д.
Пример 2. Отношение, представленное на рис. 25.2, есть отноше-
ние различия, если
1 >	... > bt > ... >0.	(25.14)
Это отношение получается из отношения на рис. 20.3 заменой
р^ (х, у) = 1 — р^ (х, у). Положим bi = 1 — at, i = 1, 2, 3, ...
(25.15)
Пример 3. Нечеткое отношение
^{х,у) =
1 —е-* (у+1),
О,
1—е~* (*+D,
У<х,
У = х,
У>х,
k>\,
k>l,
(25.16)
есть отношение различия. Оно получается из (20.3) заменой
Ня(*.«/)= 1—
Рассмотрим несколько примеров, но сначала, чтобы иметь все
необходимое под рукой, напомним аксиомы (5.49) — (5.52), связанные
с понятием расстояния между двумя элементами множества.
Если d (X, Y) — расстояние между X и Y, то для уХ, Y, Z £ Е
должны выполняться условия
1)	d (X, Y)>0,	(25.17)
2)	d (X, Y) = d (Y, X),	(25.18)
3)	d (X, Y) * d (Y, Z) > d (X, Z),	(25.19)
5 Зак. 461
129
условиям можно логически ввести четвер-
тое:	Рис. 25.4
d (X, X) = 0.	(25.20)
Проверим (25.17) — (25.20) для р^ (х, у)', действительно, по-
скольку 0 р^ (х, у) 1, то (25.17) "удовлетворяется по определе-
нию. Соотношение (25.18) удовлетворяется в силу (25.12). Соотноше-
ние (25.19), где операция * есть (min — шах)-операция, удовлетворя-
ется в силу (25.10). Наконец, (25.20) тоже истинно [см. (25.11)1. Таким
образом, можно положить
d (х, у) •-= р« (х, у)	(25.21)
и рассматривать р^ (х, у) как расстояние*) между х и у.
(Min—тах)-расстояние между двумя элементами в отношении по-
добия. Пусть — отношение подобия. (Min—тах}-расстоянием
между хм у, х, у € Е, J? с Е X Е будем называть
d&(x9 у) = 1 — [1& (х, у).	(25.22)
Пример 1. Обратимся опять к примеру на рис. 20.1 (повторенном
на рис. 25.3) — это отношение подобия На рис. 25.4 представлено
В этом случае (х, у) можно также назвать корасстоянием между
х и у.
130
отношение различия, соответствующее изображенному на рис. 25.3.
Таким образом, имеем
(А, В) = 0,2,
d,? (А, С) = 0,3,	(25.23)
dZ(A,D) = 0
..............и	т. д.
Пример 2. Рассмотрим опять пример (20.3); имеем
d(x,i/) =
' 1 —.е—k	1)^
0,
1 —е-М^+1),
у <Z х, k > 1,
у > х, k > 1.
(25.24)
26. Отношения сходства**
Отношение такое, что
1) V (х, х) (: Е х Е : рля (х, х) = 1 (рефлексивность),	(26.1)
2) V (х> У) 6 ЕхЕ:	(х, у) — m(z/,x) (симметрия),	(26.2)
называется отношением сходства.
Пример 1. На рис. 26.1 приведен пример отношения сходства.
Пример 2. Отношение (16.12)
Р:я(х,г/) = е-*^-4')’, х,у£ N,	(26.3)
как мы уже видели, нетранзитивно, но оно рефлексивно и симметрич-
но, поэтому есть отношение сходства.
(Min—тах)-расстояние на отношении сходства. Если есть от-
ношение сходства **), то его транзитивное замыкание есть отношение
♦> В теории обычных множеств тот факт, что это бинарное отношение не унас-
ледовало свойства транзитивности, объясняет почти полное отсутствие интере-
са у части математиков к этому свойству (исключение составляет С. Flament
«Analyse des structures preferentiells intransitives». Proc. Sec. Intern. Conf. O. R.,
p. 150, 1960). Точно так же, как карикатуристы, каждый раз они впадают в об-
щую ошибку, полагая, что сходство транзитивно. Вспомним карикатуры, на
которых видно, как изменяющиеся образы появляются друг за другом, как ко-
роль Луи-Филипп меняется в лице или император Наполеон III превращается
в макрель. Талант этих юмористов не должен затемнять их логическую ошибку.
Записывая (в смысле теории обычных множеств), что А похоже на В, В похоже
на С, С похоже на D, ..., К похоже на L, а поэтому А похоже на L, мы действи-
тельно получаем A=L; окончательный вывод из последовательности умозак-
лючений неверен. Ложные выводы этой природы используются людьми для того,
чтобы подшутить над чем-либо, или политиками, которые стремятся воспользо-
ваться глупостью некоторых избирателей. Софисты имеют особую склонность
уверять нас в существовании транзитивности там, где ее существование особен-
но сомнительно.
Однако в теории нечетких подмножеств можно измерять несколько видов
сходства, используя понятие расстояния в транзитивном замыкании. Понятие
подобия тогда устанавливает мост между эквивалентностью и сходством.
*♦> Композиция с сохраняет рефлексивность и симметричность.
5*	131
подобия. В таком случае понятие (min—тах)-расстояния, порожден-
ного^, можно определить через расстояние, порожденное
ds {х,y)=\—V^(x,y).	(26.4)
Пример 1. Рассмотрим пример на рис. 26.1. С помощью компози-
ционной формулы (17.3) мы подсчитали транзитивное замыкание
изображенное на рис. 26.2.
61 А В С В Е
7	0,7	ОЛ	ОЛ	0,3
^7	7	О	ОЛ	7
ОЛ	О	7	ОЛ	О
ОЛ	0,3	^7	7	ол
ол	7	О	ОЛ	1
Рис. 26.1
01 А ВОВЕ
1	0,6	ОЛ	ОЛ	ОЛ
ОЛ	г	ол	ол	7
ол	ол		ол	ол
0,7	ол	ол	7	ол
ол	7	ол	ОЛ	7
Рис. 26.2
61 А ВОВЕ
0	0,4	ол	ол	ол
ОЛ	О	ОЛ	ол	о
ОЛ	ол	о	ОЛ	О,ч
0,3	0,4	ол	о	0,4
ол	О	ол	ол	О
Рис. 26.3
Далее определили Й?, такое, что
И£ (*>//) =	Р&(Х>У)-
Отношение изображено на рис. 26.3.
Наконец, имеем
<МА, В) = 0,4,
dZ (А, С) = 0,2,
d-(B,D) = 0,4
Si
(26.5)
(26.6)
и т. д.
Пример 2. Рассмотрим отношение сходства Л, определенное как
Ия (*. У) = -ггг—Г ’ х £ N’ у G N"	(26-7)
~	1 + 1*—#1
Это отношение представлено на рис. 26.4.
Подсчитав*)
^ = ^и^2и^3и ...»	(26.8)
*> Чтобы получить <S§, необходимо взять % (J Bi2 U ...; очевидно, что все
элементы стремятся к 1/2, за исключением элементов на главной диагонали,
которые остаются равными 1.
132
получим отношение, представленное на рис. 26.5. В таком случае имеем
№dx, у) =
х =f=- у,
х = у.
(26.9)
Следовательно, можно заключить, что

х у>
х = у.
(26 10)
Заметим, что, если в (26.7) считать, что
x£R+ и #GR+,
то получим
d®. (х, у) = 0
(26.11)
(26.12)
для всех х и у. Однако здесь нет парадокса, поскольку расстояние меж-
ду х и у = х dx бесконечно мало и того же порядка, что и dx. Конеч-
но, если расстоянию придать некоторый другой смысл, чем придавае-
мый рассмотренному здесь (min — шах)-расстоянию, то это заключе-
ние следует пересмотреть.
(Мах—)-транзитивное замыкание для отношения сходства.
Пусть % — отношение сходства. В некоторых случаях предпочтитель-
нее измерять расстояние между элементами с помощью (max — •)•
133
Оператора вместо (max — min)-onepaTopa, т. е. вместо (13.2) исполь-
зовать (13.19):
(x, z) = V (М (х, У) -|Ъ? (У, z)].	(26.13)
~	у ~	~
(Мах — -)-транзитивное замыкание отношения определяется как
=	U^U...,	(26.14)
где
Я*=31-Я-...-Я, k= 1,2,3,...	(26.15)
k раз
Точка над Д и k напоминает нам, что мы имеем дело с (шах — •)"
композицией.
$	А	в	О	Л	Е		А	В	В	Л	Е	Г/<Ъ
А	7	ол	0,8	0,2	ол	А	7	ол	0,8	0,56	ол	А
В	/7,7	7	О	ол	7	В	ол	7	0,21	ОЛ	7	В
0	/?<?	О	7	0,7	О	у В	0,8	0,27	7	ОЛ	0,02	j С
Л	0,2	ол	ОЛ	7	о Л	Л	0,56	0,6	ОЛ	7	О,6	Л
Е	0,3	7	О	0,6	7	Е	ол	7	0,02	ол	7	Е
	'А	в	С	Л	Е		~ а	В	С	Л	Е	at
А	7	0,336	0,8	0,56	0,336	А	7	0,336	0,8	0,56	0,336	А
В	0,336	7	0,02	0,6	7	В	0,535	1	0,02	0,6	7	В
С	0,8	0,02	7	ол	0,02	’ В	о,8	0,02	7	ОЛ	0,02	> В
Л	о,5б	ол	0,7	7	ОЛ	Л	0,56	0,6	ОЛ	7	ол	Л
Е	0,336	7	0,02	0,6	7	Е	0,336	1	0,02	0,6	7	Е
Рис. 26.6
/I 6 С Л
7	ОЛ	0,8	0,56	0,336
ОЛ	7	0,02	ОЛ	7
0,8	0,02	7	ОЛ	0,02
0,56	°л	0,7	7	ОЛ
0,336	7	0,02	ОЛ	7
А В С Л Е
1	0,336	0,8	0,56	0,336
0,336	7	0,02	ОЛ	7
0,8	0,02	1	ОЛ	0,02
0,56	0,6	0,7	7	0,6
0,336	7	0,02	0,6	7
Рассмотрим пример. Напомним, что для отношения на рис. 26.1
мы подсчитали Я и Я на рис. 26.2 и 26.3. На рис. 26.6 можно увидеть,
как определялись J?2, Я\ Я\ Яъ, Я.
Замечания к вычислению Я. В (18.19) мы видели, что
Я°Я<=.Я^Я-Я<=.Я,	(26.16)
хотя обратное утверждение неверно.
Теорема 2 из § 17 (равенство (17.13)) также справедлива для(шах— •)-
операции. Для некоторого конкретного k имеем
Я^ = Як =>Я = Я0Я'г и...иЯк .	(26.17)
134
В случае, когда Я есть отношение сходства, аналогично имеем
(26.18)
(Min — 5Шп)-расстояние на отношении сходства. (Л4т — sum)
-расстоянием будем называть величину
Т5(х,^) = |АТ (%,!/).	(26.19)
Но сначала следует установить, удовлетворяет ли эта функция
аксиомам расстояния (25.17) — (25.20).
(25.17)	удовлетворяется априори, поскольку р,^ (х, у) £ [0, 1].
(25.18)	удовлетворяется априори, поскольку отношение Я симмет-
рично.	~
(25.20)	удовлетворяется априори, поскольку отношение Я рефлек-
сивно, откуда следует, что цх (х, х) = 0.	~
Остается показать, что это расстояние действительно обладает свой-
ством (25.19). Мы поступим так же, как это было сделано для (25.5)—
—(25.9).
Имеем
ц; (х, z) > V (*,	z)],	(26.20)
отсюда, следуя (8.23),
1—(х,г)> V 111 — (х, г/)М1—Н^ (*/,£)]]>
е/Г	у
> V [1— Р$М,У)—p^(«/,z) + pT(x,z/)-pg(z/,z)].	(26.21)
У	С-Z	Зи	И
Это дает
ц7(х, z)<^V [р-(*>#) +И д (#, ?) —н~(*> У) + Ид(#> z)l, (26.22)
у	Ж	3%
Л [и—(*» У)+ н-(*А z)],	(26.23)
У Ci	39
где + есть алгебраическая сумма, определенная формулой (12.42).
Теперь видно, что для (шах — sum)-onepaTopa определенно удовлет-
воряется свойство (25.19).
Пример 1. Рассмотрим опять пример на рис. 26.1. На рис. 26.6
мы подсчитали (шах — -)-транзитивное замыкание, т. е. Я, Теперь
(min —зшп)-расстояния будут задаваться отношением для которого
у(х, #) = р-(*> #) = 1 —(х, у).	(26.24)
На рис. 26.7 представлены (min — зит)-расстояния между различ-
ными элементами. Так, у (С, F) = 0,58; у (D, В) = 0,4.
135
Пример 2. Вернемся к примеру на рис. 26.5. (Мах — ^-композиция
немедленно показывает, что
Я = Я.	(26.25)
Отношение представлено на рис. 26.8. Очевидно, что
, '"*7"*?, .	(26.26)
I ^2—I “Г *
и, как следствие,
Нш т(П1,Па)=1.	(26.27)
( пв—«1 I ->оо
Замечание. Представляется, что у (х, у) дает в практическом отно-
шении лучшее расстояние, чем d (х у), это может оказаться очень
важным для всего, что связано с проблемами сходства, и объясняет
наш интерес к (min — зит)-расстоянию. Однако, как мы увидим на
рис. 27.10, декомпозиция на
обычные частичные графы
дальше невозможна.
Теорема 1. Пусть Я — от-
ношение сходства. Тогда
всегда справедливо включение
(26.28)
т. е.
V (*» 1/) : <(*> У) < У (х> у}-
(26.29)
Рис. 26.8
А в СНЕ
О	0,660	0,2	оло	0,66k
0,66k	О	0,58	ОЛ	О
0,2	0,58	0	ол	0,56
о,оо	ОЛ	0,8	0	ОЛ
0,66k	О	0,58	ол	О
Рис. 26.7
Доказательство. По условию (max — 1шп)-транзитивнос-
ти имеем
Р-^ (X, Z) > у (х, у) !\ р,^ (у, г)].	(26.30)
136
По условию (max — -)-транзитивности имеем
Ия (х, г) > V (*» ^)’Р« 0/> Z)L	(26.31)
~	у ~	~
Но согласно (18.18)
И я (х, у) /\ Ця (у, г) > ря (х, у) •	(у, г),	(26.32)
откуда следует
V (х, у) /\ ря (У, z)]> V [Ця (х,у) -ря (У, z)],	(26.33)
У	шах — min	® max—.
т. е.
(26.34)
где, напоминаем, • обозначает (max — •)-композицию, а • обозначает
называется отношением несходства (рис. 26.9).
Рассмотрим некоторые очевидные свойства. Если R — отношение
сходства, то — отношение несходства и наоборот.
Теорема 2. Если Я есть (max — min) -транзитивное замыкание
отношения сходства] Я, то есть (min—max) -транзитивное замыка-
ние соответствующего отношения несходства.
Доказательство. (Мах — тш)-транзитивное замыкание
выражается посредством (17.8) и (17.3); таким образом,
Я = Я\}Я*\\Я* и-	(26.39)
и
Ря о я (х, г) = V [Ря (х, у) Д Ия (у, z)l. (26.40)
137
Тогда (min — тах)-транзитивное замыкание запишем в виде*)
Я = Я Л(^*^)Л(^*^*^)Л -	(26.41)
и
Ня.я (х, Z) = Д [ня (х, у) у Ня (у, z)].	(26.42)
Пусть Я—отношение сходства, Я — отношение подобия, Я—
отношение несходства и Я — отношение различия. Покажем, что
=	(26.43)
В (25.4)— (25.8) мы уже показали, что если Я (шах — min) -тран-
зитивно, то и Я (min — тах)-транзитивно.
Покажем теперь, что
Я°Я = Я* Я.	(26.44)
max—min	min—max
Для проверки этого поступим так же, как в (25.4) — (25.8):
Ня» я (х, z) = V [Ня (х, у) f\ Ня (У, ?)],	(26.45)
~ ~	у ~	~
Н^Тя (*> z)= 1—Няо я(х, z)= 1 —V [Ня (X, у) !\ ня (У, Z)] =
= А[н« V Ня (У, Z)] = Н^о Я (х>2)-	(26-46)
Это доказывает (26.44).
Теперь запишем
Я = Я(]Яг()Я3и... =
=Я() (Я ° Я)()(Я °Я = Я П Я 'Я П Я°Я°Я f)... = (26.47)
далее, используя теорему Де Моргана, получаем
= Я(] Я^Я(]ЯлЯ^Я Л ... =
и, наконец, согласно (26.44)
Рассмотрим пример. Возьмем опять отношение сходства, представ-
ленное на рис. 26.1, для которого соответствующее отношение подо-
бия представлено на рис. 26.2, а матрица расстояний — на рис. 26.3.
Мы встретимся с этими отношениями еще раз при расчетах, которыми
заканчивается нахождение Я на рис. 26.10, г—з.
*> Можно обозначать = %2, если нет опасности спутать с (max—
пип)-операцией, и	* 3), * ... *&, = Яп.
138
Теорему 2 можно распространить на случай любого отношения, не
подчеркивая, что это отношение сходства; доказательство остается
справедливым. Таким образом, можно сформулировать более общую
теорему.
7	0,1	0,8	0,2	0,3
0,7	7	О	0,3	7
о,8	О	7	0,7	О
0,1	0,6	0,7	7	0,6
о,ъ	7	0	0,6	7
7	0,6	0,8	0,7	0,6
	7	0,6	0,6	7
0,8	0,6	7	0,7	0,6
0,7	0,6	0,7	7	0,6
0,6	1	0,6	0,6	7
0	0,0	0,2	0,3	0,0
	0	0,0	0,0	О
0,2	0,0	0	О.з	0,0
О,Ъ	0,0	о,з	0	0,0
0,6	О	0,0	0,0	0
я	А	в	с	л	в	61* fit А		в	с	л	в		А	в	О	л	£	
А	О	0,9	0.7	0,8	0,7	А	О	0,7	0,2	0,3	0,7	А	О	0,7	0,2	0,3	0,0	
В	0,9	О	7	0,7	О	В	0.7	О	0,7	0,0	О	В	0,7	О	0,0	0,0	О	
0	0,7	7	О	о.о	7	0	0,2	0,7	0	0,3	0,6	О	0,7	0,0	в	0,3	0,0	
27	0,8	0,7	О,3~	О	0,0	Л	о,з	0,0	0,3	0	0,0	л	0,3	0,0	0,3	О	0,0	
В	0,7	О	7	о,о	О	В	0,7	О	0,0	0,0	О	в	0,6	0	0,0	0,6	О	
	А	5	г О	Л	в	(min-i	л аж; А	-композиция	(ш~т^Вномоозиция 0	~ ~	е В о л В										
А	О	о,о	0,2	0,3	0,0	А	О	0,0	0,2	0,3	0,0							
В	0,0	О	0,0	0,0	О	В	0,0	О	0,0	0,0	О							
С	0.7	0,0	О	0,3	0,0	С	0,2	0,0	О	0,3	0,0							
Л	0,3	0,0	0,3	О	0,6	Л	0,3	0.0	0,3	О	0,6							
В	0.0	О	0,6	0,0	О	В	0,0	О	0,6	0,0	О							
(гпинад -			-ноняозиция t пересечение и (Ш<-тЫ-ХОМ77ОЗиЦ1Ш Ж	1											Рис. 26.10				
Теорема 3*h Пусть Л есть (max — пмп)-транзитивное замыкание
некоторого нечеткого отношения Я с Е X Е и Я — (min — max)-
транзитивное замыкание Я, Тогда
=	(26.48)
*> Мы могли бы ввести эту теорему в § 17, но из дидактических соображений
(чтобы не перегружать каждый параграф и продвигаться вперед постепенно),
мы решили эту полезную и важную теорему поместить в §26, где действительно
возникла необходимость в понятии расстояния.
139
Это утверждение можно сформулировать и так: можно переста-
вить порядок операций и ", но при этом ' заменяется на ' (и на-
оборот).
С учетом этого читатель может искать другие интересные свойства,
связанные с (шах — min)- и (min — тах)-транзитивными замыкания-
ми, которые он может характеризовать как дуальные, не боясь упре-
ков в использовании этого слова.
27. Некоторые свойства отношений подобия
и сходства
Теорема декомпозиции для отношения подобия. Пусть Я— отно-
шение подобия в Е X Е. Тогда Я можно разложить так:
0<а<1,	(27.1)
а
при
ai > а2 «^2 23 ^i>
где — отношения эквивалентности в смысле обычной теории мно-
жеств и а • Яг,. обозначает, что все элементы обычного отношения
умножаются на а.
Доказательство. Во-первых, р-% (х, х) = 1, откуда сле-
дует, что (х, х) С Ял при a g [0,1]; следовательно, обладает свой-
ством рефлексивности.
Во-вторых, положив (х,«/) g J?a, a £ [0,1], получим, что р^ (х, t/)^a
и в силу симметрии Я^. р^ (у, х) а. Следовательно, Я^ обладает
свойством симметрии.
В-третьих, для всех a £ [0,1] предположим, что (х, у}^.Яа и
(у, z) £ Яа, тогда р^(х, у) а и ц^(у, z) а; следовательно, по тран-
зитивности р^(х, z)и Яа транзитивно.
Поскольку Яа рефлексивно, симметрично и транзитивно, то —
отношение эквивалентности.
Справедлива и обратная теорема.
Обратная теорема. Если Ях не пусто, (х, х) С Я\ и
Ря (х, х) = 1, V X (=• Е,	(27.2)
тогда Я — рефлексивное нечеткое отношение.
С другой стороны, обращаясь к (13.31), можно записать
V (х, у) е Е х Е : ря (х, у) = Vа-р^_(х, у).	(27.3)
~	а
Очевидно, что из симметричности каждого Яа вытекает симметрия
~ Наконец, пусть
Ря {х, у) = а и ря (у, z) = р.	(27.4)
140
Тогда
(х, у) е Лхдр и (у, г) е ^адр.	(27.5)
Как следствие получаем
(X, Z) е ^адр,	(27.6)
поскольку Л?адр, транзитивно.
Следовательно,
v X, у, z е Е : у* (X, г) > аД0	(27.7)
И
цл (х, z) > V (|Лл (X, у) Др^ (у, z)),	(27.8)
что вместе с (27.2) и (27.3) доказывает транзитивность Я.
Эта обратная теорема позволяет синтезировать отношения подобия,
в то время как прямая теорема позволяет проводить анализ.
Интересное замечание. Как следует из этой теоремы, обычное от-
ношение, ближайшее к отношению подобия, есть отношение эквива-
лентности. Это становится очевидным, если рассмотреть, что представ-
ляет собой когда а> 0,5.
Примеры. Посмотрим, как проводится анализ отношения, представ-
ленного на рис. 20.1. Декомпозиция этого отношения показана на
рис. 27.1.
7	0,8	0,7	7	0,9
/7,5	7	0,7	0,8	0,8
0,7	0,7	7	0,7	0,7
7	о,8	0,7	7	0,9
0,9	0,8	0,7	0,9	7
@ Л 5 С И Е
А
6
С
Л
zf
Рис, 27.1
141
Рис. 27.2
Рассмотрим пример синтеза. Пусть четыре отношения эквивалент-
ности последовательно содержат друг друга (рис. 27.2).
Тогда имеем
V(O,2.^o,2; 0,6-<Яо.6; 0,8.^0i8;
(27.9)
Результат показан на рис. 27.3.
Другой пример дан на рис. 27.4, где
g 4 В С В предполагается, что а и b Е [0,11 при а < Ь.
7	0,8	0,2	^2
0,8	7	Z?2	Z£2
0,2	0,2	7	0,0
0,2	0,2	0,0	7
Рис. 27.3
Транзитивные графы расстояний. Инте-
ресно для каждого отношения подобия рас-
смотреть транзитивные графы, соответст-
вующие (min — тах)-м расстояниям. Не-
сколько примеров послужат наглядной ил-
люстрацией к этому замечанию.
Пример 1. На рис. 27.5 показано отно-
шение различия. На рис. 27.6 представлены
транзитивные графы, соответствующие раз-
ным расстояниям.
7	О	О	О	7
О	7	7	О	О
О	7	7	О	О
О	О	О	7	О
7	О	О	О	7
7	О	О	О	О
О	7	0	О	О
О	О	7	О	О
О	О	О	7	О
О	0	0	О	7
$71
с о
Рис. 27.4
142
Пример 2 (рис. 27.7 и 27.8). Этот пример —
на транзитивное замыкание (рис. 26.2) отно-
шения сходства (рис. 26.1). Полученное здесь
разложение мы сравним с тем, которое полу-
чится в следующем примере (рис. 27.9
и 27.10).
Пример 3 (рис. 27.9 и 27.10). (Мах— •)-
транзитивное замыкание отношения сходства
на рис. 26.1 было представлено на рис. 26.6.
Для этого на рис. 26.7 выписали матрицу
(шах — sum)-расстояний. В этом примере при
декомпозиции на обычные графы расстояний
А ЗОВЕ
0	ор	ор	0	ор
ор	0	ор	ор	ор
ор	ор	0	ор	ор
0	ор	ор	О	Ор
ор	ор	ор	ор	0
Рис. 27.5
появятся нетранзитивные графы. Использование (max — • ^тран-
зитивного замыкания в отношении сходства менее удобно по срав-
PQOOH7OHHI/H
меньше шп/
равны % 2.:
7	7	О	7	7
7	7	в	7	7
в	О	7	в	О
7	7	в	7	7
7	7	в	7	7
Расстояния
меньше ала
равны в,8'.
Рис. 27.6
143
g А 8 С 7 Л
8	8,4	8,2	8,8	8,4
о,о	0	о,4	0,4	0
^2	8,4	О	0,3	0,4
8,8	8,4	0,3	О	0,4
8,4	О	0,0	0,4	8
нению с использованием (max — min) тран-
зитивного замыкания.
Декомпозиционное дерево. Читатель,
внимательно изучивший рис. 27.1, заме-
тит, что по мере того, как а последова-
тельно принимает значения 0,7; 0,8; 0,9
и 1, разбиение Е на классы эквивалентно-
сти включает все больше и больше частей.
Это разложение было проведено по древо-
видной схеме (рис. 27.11). Такая схема
называется декомпозиционным деревом *
Другой пример разложения для дан
ных рис. 27,4 приведен на рис. 27.12.
Рис. 277


Рис. 27.8
144
Можно проверить, что два элемента х и у, принадлежащие Е,
должны принадлежать одному и тому же классу a-уровня, если и толь-
ко если
(*, У) >
(27.10)
Это декомпозиционное дерево хорошо отражает структуру отноше-
ния подобия или, если хотите, группировки элементов, построенные с
.................	,	„	А от друГИХ элементов.
@ л вс
л
£
В.
С
О	0,664	o,z	0,44	0,664
0,664	О	0,58	0,4	
^2	0,58	О	0,3	0,58
0,44	0,4	0,3	О	
0,664	О	0,58	0,4	О
Рис. 27.9
использованием их транзитивных расстоянии
Деревья можно представлять различ-
ными способами. Используя лингвистиче-
ские обозначения, дерево на рис. 27.11
можно записать в следующем виде:
0,7 (0,8 (0,9 (1{А, D), 1{Е}), 0,9 (1 {В})),
0,8 (0,9(1 {С}))).	(27.11)
Такое использование круглых скобок
не слишком удобно.
Можно также использовать польское
обозначение, собирая вершины в «кучи».
Дерево на рис. 27.11 будет тогда записано
в виде такой последовательности: 0,7
(ABCDE) 0,8 (ABDE) 0,9 (ADE) 1 (AD)
0,9 (ADE) 1 (Е) 0,9 (ADE), 0,8(ABDE) 0,9 (В) 1 (В) 0,9 (В) 0,8 (ABDE)
0,7 (ABCDE) 0,8 (С) 0,9 (С) 1 (С) 0,9 (С) 0,8 (С)^0,7 (ABCDE).
Выбор транзитивно ближайших сообщений. Нечеткое подмножест-
во можно рассматривать как сообщение, которое вместо того, чтобы
быть бинарным, оказалось нечетким.
"Рассмотрим обычное множество F нечетких подмножеств Аъ при-
надлежащих одному и тому же универсальному множеству Е: ~
F={AbA2......Ап}.	(27.12)
Мы хотим определить, какие из нечетких подмножеств или нечет-
ких сообщений окажутся транзитивно ближайшими. Немного позднее
уточним неудобства понятия транзитивности, которое здесь будем рас-
сматривать, преимущества выявятся сразу.
Будем действовать следующим образом (и попутно объяснять, что
понимается под «транзитивно ближайшим»).
1. Для каждой пары (Аг, АД i, / = 1, 2, ..., п, подсчитаем относи-
тельное обобщенное расстояние*) Хемминга б (Аг, Ар, что дает отно-
шение несходства 25.	~ ~
2. Вычисляем (min — шах)-транзитивное замыкание [определен-
ное в (26.41)1. Полученное отношение X дает (min — тах)-транзи-
тивное расстояние
б(Аг, А;) = 0.
(27.13)
*) Или относительное евклидово расстояние в (А,, А;) в зависимости от
характера проблемы или даже какое-нибудь другое расстояние.
145
Расстояния
меньше или
рсгвнь/ &,2:
Рис. 27.10 (начало)
3. Затем раскладываем X согласно (27.1) и получаем
обычные подмножества F:
транзитивно ближайшие сообщения, для которых
5(А„А,)=0;
транзитивно ближайшие сообщения, для которых
следующие
(27.14)
(27.15)
транзитивно ближайшие сообщения, для которых
(27.16)
ИТ. Д.
4. Строим соответствующее декомпозиционное дерево.
Пример. Пусть Е — конечное универсальное множество с
card (Е) = 7; рассмотрим семь подмножеств или сообщений Аг, 1 = 1,
2,...,6.
ay л3 х5 х6 х7
|^|Z?g|<?7|7 |z7|7 |Z?7|,
А4 = ^7^<g|i?7| /|<?/| 7 \%3\ ,
а5 = |^7|^|^g|7[7],
АЁ= IО |^5|z?^7|^/|^5|z?g],	(27.17)
146
Расстояния
меньше или
равно/ 0,4:
7	0	7	0	0
0	7	0	7	7
7	0	7	7	0
0	7	7	7	7
0	7	в	7	7
Расстояния
меньше или
равны 0,44:
7	0	7	7	0
0	7	0	7	7
7	0	7	7	0
7	7	7	7	7
0	7	0	7	7
Расстояния
меньше или
равны 0,68:
7	0	7	7	0
0	7	7	7	7
7	7	7	7	7
7	7	7	7	7
0	7	7	7	7
Расстояния
меньше или
равны 0,604:
7	7	7	7	7
7	7	7	7	7
7	7	7	7	7
7	7	7	7	7
7	7	7	7	7
Рис. 27.10 (окончание)
(mttt-md®)-
рааяпояние
О
$0,1
$о,г
$о,з
Рис. 27.11
(rntn-md®)-
расстояние
Рис. 27.12
147
\ dz	Ар A$
0	0,25	0,30	0,00	0,28	0,30
0,25	0	0,31	0,32	0,02	0,80
0,30	0,31	0	0,61	0,10	0,00
0,00	0,32	о,67	0	0,60	0,27
0,28	0,02	0,10	0,80	0	0,50
0,30	0,00	0,50	0,27	0,50	0
A? A? A3 Aq A#
0	0,25	0,28	0,32	0,28	0,32
0,25	0	0,28	0,32	0,28	0,32
0,28	0,28	0	0,32	0,10	0,32
0,32	0,32	0,32	0	0,32	0,27
0,28	0,28	0,10	0,32	0	0,32
0,32	0,32	0,32	0,27	0,32	0
Puc. 27,13
a
Между сообщениями тринзитиОное расстояние:
Рис. 27.14
Между сообщениями транзитибное расстояние:
<0,27	<0,23	<0,32
148
Теперь подсчитаем относительное обобщенное расстояние Хем-
минга:
в(А„АЛ=2а^±.
(27.18)
Это дает отношение несходства X (рис. 27.13, а). Затем с помощью
(26.41) подсчитаем (min — тах)-транзитивное замыкание X, кото-
рое дает транзитивные расстояния б (см. рис. 27.14 и 27.15). ~
Важное замечание о сущности транзитивного расстояния. В зависи-
мости от характера решаемой проблемы (min — max)-транзитив-
ное замыкание матрицы расстояний может не иметь значения в прак-
тических приложениях. Рассмотрим пример. Имеем следующие четы-
ре сообщения:
(гльп-шаа»-
транзшпибное
расстояние
Рис. 27.15
149
7	7	7	7
7	7	7	7
7	7	7	7
7	7	7	7
Z7	0,15	334	0,28
^25	0	437	0,^2
354	437	0	O,1ti
0,28	442	0,14	0
7 г з 5
f г з 5
Содержащиеся друг О друге маясимолбнь/е подотношения
пододия, д< 0,42
Рис. 27.18
150
Относительные обобщенные расстоянии Хемминга для этих сооб-
щений приведены на рис. 27.16, представляющем матрицу отношения
несходства X На рис. 27.17 подсчитано (min — шах)-замыкание Л,
т. е. J?. Теперь видно, что все эти сообщения являются транзитивно рав-
ноотстоящими.
Такое понимание (min — тах)-транзитивного расстояния может
показаться неприемлемым в числовых приложениях. Но относитель-
ное обобщенное расстояние Хемминга транзитивно для обычной (min—
— зит)-операции, т. е.
6 (х, z) < MIN 16 (х, у) + 6(z/, z)J,	(27.19)
у
а так как 6 (х, г) — это расстояние, то
ЧУ : 6 (х, z) 6 (х, у) + 6 (у, z).	(27.20)
К тем же выводам приводит рассмотрение относительного евклидо-
ва расстояния.
Таким образом, каждое отношение^, задающее относительное обоб-
щенное расстояние Хемминга (или относительное евклидово расстоя-
ние), есть отношение, совпадающее со своим собственным обычным
(min — зит)-транзитивным замыканием. Заметим, что правая часть
(27.19) может принять значение больше 1, так как здесь производится
обычное сложение, но это ничего не меняет, поскольку член слева по
построению всегда принадлежит [0,1].
ОШ,®
Расстояние = О
Расстояние <0,70
Расстояние <0,25
Рис. 27.19 (начало)
151
tt 2},№},&,$}
{«/}
Расстояние <0,28
{7,2},{7,3},{2,3}
{3,5},{4,5}
Расстояние <0,37
{?2)МШ«)
{3,5},{*,6}
Расстояние <0,32
{1,2,3},{ 7, 3,5Ш 0}	{7,2,3},{ 7,2 Д (7, 5, з]
{2,4},{4,О}	{2,4,5}
Расслмя/ше ^#34 Рямяюяние

Рис. 27 J9 (продолжение)
Как будет показано ниже, разложение по уровням относительно
значений, содержащихся в отношении несходства, дальше будет да-
вать не классы эквивалентности, а максимальные подотношения.
Обычное (min—sum)-различие. Декомпозиция на максималь-
ные подотношения. Отношение (27.19) можно рассматривать как от-
ношение различия, которое можно назвать обычным (min — sum)-
различием. Как видно в примере на рис. 27.19, для расстояний d
(k произвольное) не получаются обычные графы, подграфы которых
устанавливают классы эквивалентности. Иногда можно использовать
менее строгое понятие, довольно интересное при различных операциях
152
7 2 3 U 5 5
12 3 4 5 ff
1 2 3 4 5 6
{7, 2,3,5\{1,2,6}
{2,4/}
Расстояние <<242
{1,2,4,6\{1,213,S}	Й2//4Й 2,4/}
{7,2//4},{7,2/,4/}
Расстояние <0,61
{42/,4/4}
Расстояние <0,60
Рис. 27.19 (окончание)
— понятие максимальных подотношений, которые могут быть как пере-
секающимися, так и непересекающимися.
Обратимся к рис. 27.19 и рассмотрим более подробно обычный сим-
метричный граф, соответствующий d 0,42. На рис. 27.18 мы изоб-
разили этот обычный граф и выделили три максимальных подотноше-
ния или полных обычных графа, каждый из которых устанавливает
отношение эквивалентности. Для каждого из этих подотношений рас-
стояние каждого элемента до другого меньше или равно 0,42 и свойст-
во (27.19) подтверждается. В общем случае такое разложение нельзя
сделать без подходящего алгоритма; два таких алгоритма приводят-
ся в приложении В.
153
Замечание. Обычное (min — зит)-различие недвойственно обыч-
ному (max — -)-подобию. Двойственным к первому из этих отношений
будет алгебраическое (min — $1т)-различие [см. 26.23)].
Рассмотрим полностью разобранный пример, в котором появляются
максимальные подотношения.
Пример. Разложим отношение различия, заданное рис. 27.13, а
(см. декомпозицию на рис. 27.19).
Наконец, можно также использовать алгебраическую (а + Ь~а-г
+ b —ab) (min — sum)-транзитивность для того, чтобы получить
разложение на максимальные подотношения.
Сравнивая рис. 27.14 и 27.19, можно увидеть преимущества и не-
достатки использования (min — тах)-транзитивности, с одной сторо-
ны, и (min — зит)-транзитивности — с другой. Первая дает классы
эквивалентности, которые появляются последовательно в зависимости
от величины а, интерпретация которой очень спорная. Вторая транзи-
тивность дает только максимальные подотношения, в общем случае
непересекающиеся; однако ее интерпретация бесспорна, особенно ког-
да речь идет о приложениях в области классификации структур.
28. Некоторые свойства нечетких отношений
совершенного порядка
Теорема о декомпозиции для нечеткого отношения совершенного
порядка. Пусть есть нечеткое отношение совершенного порядка в
EXE. Отношение можно разложить в виде
0<ct< 1,	(28.1)
~ a
при (Xi > a2 =>	,
где — отношения порядка в смысле теории обычных множеств и
обозначает произведение всех элементов на величину а.
Доказательство. Рефлексивность и транзитивность
доказывается так же, как в (27.1). Покажем, что свойство совершенной
антисимметрии (22.8) также выполняется.
Чтобы показать, что антисимметрично, сначала заметим, что
поскольку Я рефлексивно, то определение
(*- У) > 0 =>	(у, х) = О	(28.2)
можно заменить
(Pg (х, у)> 0 и |х^ (у, х) > 0) => (х = у).	(28.3)
Антисимметричность будем доказывать методом от противного.
Предположим, что (х, у) g Я^ и (г/, х) С Я^. Тогда (х, у) а и
р^ (у, х) а и в силу антисимметрии Я*, х = у. Теперь, наоборот
154
предположим, что (х, у) — а > 0 и р^ (у, х) = 0	0. Положим
V = а р. Тогда (х, у) g и (у, х) С •>?? и из антисимметрии J?v
следует, что х — у. Значит, при сделанном предположении невозмож-
но получить х =/= у.
А В С В Е
А
В
С
В
В
1	0,0		0,7	0,9
	/			
	7	7		
			1	
			0,5	7
Рис. 28.1
Пример 1. На рис. 28.1 представлена декомпозиция нечеткого от-
ношения совершенного порядка. Для большей наглядности результа-
тов мы опустили нули. Под каждым расположили эскиз обычного
антисимметричного графа.
Пример 2. На рис. 28.2 показано, как происходит синтез отношения
совершенного порядка.
155
Расширение декомпозиционного свойства на случай приводимо-
го предпорядка, классы подобия которого совершенно упорядочены.
Свойства (27.1) и (28.1) совпадают всегда, когда рассматривается при-
водимый предпорядок, классы подобия которого устанавливают со-
вершенный порядок.
Рис. 28.2
Пример. На рис. 28.3 приводится пример такой декомпозиции. На
рисунке для большей наглядности опущены нули. С другой стороны,
выделены числовые элементы и классы подобия, свойства которых легко
определить.
Пример синтеза см. на рис. 28.4. На рис. 28.5 показана блочно-тре-
угольная форма предпорядка.
Совершенный полный порядок, индуцированный в совершенном
частичном порядке посредством порядковой функции (случай, ког-
да Е конечно) *>. Вспоминая то, что мы изучали в §24, обратимся опять
Это свойство некоторые авторы представляют как теорему Шпильрайна.
Введение понятия порядковой функции графа позволяет избегнуть довольно
тонкого доказательства этой теоремы. Это одно из преимуществ важного понятия
порядковой функции.
156
к примеру йа рис. 28.3 и найдем порядковую функцию для обычного
графа, представляющего порядок классов; рассмотрим граф на рис.
28.6, в котором появляются три уровня No, Nn N2.
Эти уровни на множестве классов {Сх, С2...Св} индуцируют (не
единственный) полный порядок, такой, что при этом порядке матрица
нечеткого отношения принимает блочно-треугольную форму.
На рис. 28.7 представлены результаты, полученные с учетом полного
порядка
Ci х* С5 С4 )> С2 Св С3,
при котором половина матрицы под диагональными блоками состоит
из нулей.
(А
2.{л
А {6
Н
I
6{<Г
1	2	3 4	5 В
А В С Л Е Г G Н Z /
1	0,7	Ofi	OJ	0,5	0,5	0,0			0,5
0,7	7	0,2	0,3	0,5	0,5	0,0			0,5
0,6	Z7,2	7	0,3	0,5	0,5	0,0			0,5
			7	0,0	0,0				
				7	0,0				
				о,о	7				
						7			0,8
				0,6	0,6		7	0,3	
				0,6	0,6		0,8	7	
									7
157
7	В	7	7	7
В	7	7	В	В
В	В	7	В	В
в	В	В	7	В
7	В	7	7	7
7	0	0	7	7
В	7	7	В	В
В	0	7	В	В
В	0	0	7	В
7	0	0	7	7
%
(0Д).\
7	0	0	0	7
В	7	7	В	В
В	0	7	0	0
0	0	0	7	0
7	0	0	0	7
7.
7	0	0	0	н
0	7	7	0	0
В	0	7	в	в
0	В	В	7	в
0	0	В	В	7
А В С Л В
А
В
~С
Л
В
7	0	ОД	од	ОД
0	7	7	ОД	0
0	0	7	од	0
В	В	од	7	0
ОД	0	ОД	ОД	7

Рис. 28.4
158
$ Л f В О 2)
7	0,9	в	ВЛ	в,в
вл	7	О	ОЛ	В,5
В	В	7	7	03
О	В	В	7	0,7
в	О	в	ол	7
Ни рисунке классы 4*/ обозначены
их индексами £*7,2, „.,5.
7	5 В 2 5 3
А 6СН/ В В / В F
7	0,2	о,в	В	О	ВЛ	0,3	0,5	0,5	В,5
0,2	7	ОЛ	В	В	ОЛ	ол	0,5	0,5	В,5
о,в	ОЛ	7	в	В	°Л	0,3	0,5	0,5	0,5
В	В	В	7	В,8	в	в	В	0,5	0,5
В	В	0	ВЛ	7	в	в	В	0,5	В,5
В	В	В	В	В	7	в	ОЛ	0	В
В	В	В	В	В	В	7	В	ОЛ	ОЛ
В	В	В	В	В ;	В	О	7	В	в
В	В	В	В	В	В	О	В	7	ол
В	В	В	В	В	в	в	В	ОЛ	7
/7у рисунке классы О; обозначены
их индексами 1=7, 2,..., В.
Рис. 28.7
Рис. 28.6
Выбирая полный порядок в порядковой функции с обратной нумера’
цией справа налево, получаем матрицу, в которой нули будут располо-
жены над диагональными блоками.
Подведем итог, составив табл. 28.1, отражающую все случаи, соот-
ветствующие теме этого параграфа.
Таблица 28 Л
Свойства основных нечетких отношений
Отношение	Свойство						
	Рефлексив- ность	Антирефлек- сивность	(max — min)- транзитив- ность	(min—tnax)- транзитив- ность	Симметрич- ность	Антисиммет- ричность	Соответст- вующий граф не содержит контуров, кроме петель
Предпорядок	+		+				
Подобие	+		+		—		
Различие		+		4~	—		
Сходство	+				—		
Несходство		+			—		
Порядковое	+					—	+
Нестрогий порядок	+		+			—	+
Строгий порядок		+	+			—	+
159
29. Обзор простейших функций принадлежности
Универсальные множества: R+f N
Функция принадлежности утверждения «величина х мала»
160
Универсальные множества: R+, N
Функция принадлежности утверждения «величина х большая»
Область опреде- ления		График
R+ N	7	л  1 1
		~ Z7	X
Функция
ji (х)=0, 0 <1х < at
29.8
р,(х)=О, 0<^х<^а
= 1—А(х~а)^ а < х( 29.9
k >0.
ц(х)=0,
= 1—е~&
0	-< а,
а^х, 29.10
k>0.
ji (х) =0,
х—аг
а.%—di
= 1,
О < х а19
tfi^x^aa, 29.11
а2 <х.
R+
N
ц (х) = 0,
= я (х—а)\
= 1,
р,(х)=О,	0<<х-<а,
(х а)2	9Q 1Q
, , .--а<х<оо.
1 +& (х—а)2
R+
N
Н(х) = О,
0<^ х<х*,
1 л /
—sin---X-
2	b~a \
а<х<С^»
29.14
6 Зэк. 461
161
Универсальные множества: R, Z
Функция принадлежности утверждения «величина | х | мала»
Область
опреде-
ления
Г рафик
Функция
R
Z
I I
I I
-а0] а
29.15
р (х) =е kx2>
nW =о,
= 1,
__ 6Г2—х
#2--
= 0,
--ОО < X —
—	—alf
х
29.17
29.18
ОО
162
Продолжение
Область
опреде-
ления
График
Функция
R
Z
~Ь -а 0а Ь х
2	2
Универсальные множества: R, Z
Функция принадлежности утверждения «величина ] х | большая»
Область опреде- ления	График			Функция				
R	V 	г— _ . |		 1		[1 (х) = 1 ,	— оо -	<х <	С —а,	
Z	1	1 J		-0,	—а <	;х <	' а>	29.22
	а 0	а	я	= 1,	а <	" х<	' оо .	
6*
163
Продолжение
Область опреде- ления	График	Функция
р (х) — 1,	— оо < х < — а2,
x-f-ai
„ —-----,	—fl2 х — аъ
а2—ai
= 0,	—29.25
х—аг
—-----,	< х а2>
а2—ах
—	1,	а2 х < оо .
R
Z
LI (х) = 1,	— оо<Х^ — Ь
1	1 . л /	а+6\
2	2 Ь—а\ 1	2 j
— b^x^. —а,
— 0,	—а	х	а,
11 л /	п+&\
-	Н — sin -- х—- ,
2-----------------2 b—a\ 2 )
а^х^Ь,
— 1,	6^х<оо.	29.28
164
В приведенных таблицах мы описали различные функции принад-
лежности, полезные для представления числовых нечетких подмно-
жеств, соответствующих следующим нечетким утверждениям:
величина х мала (29.1) — (29.7),
величина х большая (29.8) — (29.14),
величина | х | мала (29.15) — (29.21),
величина |х| большая (29.22) — (29.28).
Для этих утверждений можно построить числовые нечеткие под-
множества относительно двух переменных. Покажем, как это делает-
ся. Кроме того, в этом же параграфе покажем, как анализировать и син-
тезировать транзитивные нечеткие отношения.
А. Цилиндрические функции принадлежности^ типа
ji (х, у) = f (х2 + у*)	(29.29)
соответствуют утверждению «х2 + у* обладают свойством ^».
Возьмем теперь кривые и функции (29.1)—(29.14) и заменим х на р =
= Ух2 + у*.
Для (29.1)—(29.14) свойство & можно сформулировать как «величина
х2 + у* мала или х и у малы».
Для (29 8)—(29.14) свойство & можно сформулировать как «величина
х2 + у2 большая или х и у большие».
Пример. Учитывая (29.6), можно видеть, что
и у’ i+M^+j/2) Б. Гиперболические функции принадлежности		типа	(29.30) (29.31)
	Р- (х> У) = f (1у — *1)		
или Ц (х, у) = f (If/2 — х2|) соответствуют утверждению «|^ — х| или |#2 — х2		| обладают	(29.32) свойством
Возьмем кривые и или	функции (29.1)—(29.14) и х на р = \у — х\ Р = Vl г/2—*2 |;	заменим	(29.33)
для (29.1)—(29.7) свойство & можно сформулировать как
«величина у очень близка к х»,
для (29.8)—(29.14)
«г/ очень отличается от х».
Для обращения свойства & в противоположное можно также использовать
р = \у — kx\ при достаточно большом k.
Замечание. Известно, что
*> Мы сочли удобным описать их таким образом.
165
Таким образом, функции
е~“ И Т+7	(29.35)
в качестве функций принадлежности будут давать сходные результаты, когда
и = ф(х), и —ср Д/х3 + (/2, и = ф("[/|*/2—х2 |) и др.
Определение свойства (max — ппп)-транзитивности в случае не-
прерывной функции принадлежности отношения. В этом случае очень
легко оценить функцию принадлежности (х, у), если она представ-
ляет отношение, обладающее одним из следующих свойств: рефлек-
сивностью, симметрией, антисимметрией.
Хуже обстоят дела с транзитивностью. Рассмотрим сначала (шах—
пип)-транзитивность, а потом (шах — -)-транзитивность *>.
Напомним, что (max — шт)-транзитивность характеризуется сле-
дующим свойством:
(х, ?) > V [М (*> У) Л № (У, 2)].	(29.36)
~	у ~	~
На рис. 29.1 показано, как получить правый член соотношения
(29.36). Если в этом примере х и z рассматриваются как параметры, то
имеется единственная точка пересечения функций принадлежности
Сплошная линия есть графин функции
^(^y)N^(y,z)
Рис. 29.1
(х, у) и (у, г); в других случаях таких точек может быть не-
сколько, но каждый раз только одна из них будет определять макси-
мум ум. В дальнейшем удобно действовать следующим образом.
1.	Определяем точку ум как функцию от х и г, такую, что
Ря(х,	(29.37)
2.	Подставляем значение, г/м как функцию от х и г в (х, г/м)
или в (ущ, г), что даст функцию X (х, г).
*) Можно легко перейти к доказательствам относительно (min—max)-,
(min—sum)- или даже обычной (пип-сложение)-транзитивности.
166
3.	Сравниваем X (х, г) с р^ (х, г). Если
у (х, г): ря (х, г) X(х, г),
(29.38)
то отношение Я транзитивно. Если же
3 (х, г): ря (х, z) < X (х, г),	(29.39)
то отношение Я не транзитивно.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Имеем нечеткое отношение Я, определенное для х £R+
и у 6 R+:
Ря (х, у) =
е~ж,
1,
у<х,
У = х,
У>х.
(29.40)
На рис. 29.2 для случаев х < z (рис. 29.2, а) и х > z (рис. 29.2, б)
мы изобразили функцию р^ (х, у) как функцию от у (х принимается
в качестве параметра) и р^ (г/, z) (г принимается в качестве параметра).
На этих рисунках ABCD представляет функцию р^ (х, у) (с х в каче-
стве параметра), a A'B'CD представляет функцию р_^> (у, z) (г—пара-
метр).
В случае х < г шах — min равен е-г, а в случае х > z max —
min равен е~*. Поэтому можно записать
( р— г
Х(х, г) =	’
г,
(29.41)
х
х

Сравниваем % (х, z) с функцией принадлежности р^(х, z), задавае-
мой (29.40), где z заменяет у.
ря (х, z) =
' е~ z, х < z,
1, X = Z,
,e~x, x>-z.
(29.42)
167
В результате сравнения видим, что
Ря(х, г) = Х(х, z),
Ня (х, г)>К (х, г),
x=£z,
х = г.
(29.43)
(29.44)
Следовательно, Я — транзитивное отношение. Заметим, что это
отношение есть отношение подобия.
На рис. 29.3 представлено с помощью матрицы нечеткое отношение,
соответствующее (29.40), где вместо N использовано R+. На нем выяв-
значений функции принадлежно-
сти. Читатель должен сам вклю-
читься в проверку транзитив-
ности в этом случае, используя
(29.36). (Мах—тш)-оператор ум-
ножения строки на столбец поз-
волит проверить (29.43) и
(29.44).
ляются особенности расположения
	0	7	2	3	4	5	£	7	• * •
Z7	7		е~г	е3	е-<	*р <ь	в-3	е7	• • •
7	е~г	7	е~г	е-3	в'*	«и	1	в7	• • ♦
2	е'г	ег	7	г'3	е~*	в'5	е~3	е~7	• ее
3	в'3	в'3	в-3	7	е11	в~5	%	в~7	. . .
Ч	е"	е*	е'3	е-“	7		е~3	&~7	• ее
5	в"5		e~s	в"3	<ъ	7	1 О)	е"7	• • •
6	e~s		е~е		в 6	Ч)	7	е~7	• ее
7	е~7	е~7	е"7	е 7	в"7	в'7	е-1	7	• ее
•	•	•	»	•		•	♦ 1	! •	Ч	 \ \ \
Рис. 29.3
Пример 2. Рассмотрим нечеткое отношение J?, определенное для
х Е R и у £ R (рис. 29.4):	~
Ня(х, z/) = e-^~^2 .	(29.45)
Легко находим, что
е-(*-т)«==е-(«'м-г)а>	(28.46)
поэтому
X — Ум. = ум. — Z	(29.47)
или
Ум = (X + г)/2.	(29.48)
Значение ум отмечено на рис. 29.4. Подставив это значение ум в
правый член (29.45), получим
— (х—г)»
Цх, г) = е~(*-Ум)а —е *	'	(29.49)
168
Мы ВИДИМ, что
— (X—г)‘
у (х, г): е~<*~е
(29.50)
т. е.
V (х, 2): Ня (х, г) А (х, г).
(29.51)
Таким образом, отношение Я нетранзитивно. Заметим, что тем не
менее это отношение является отношением сходства.
На рис. 29.5 представлено
соответствующее отношение Я,
но с заменой R+ на N. ~
Пример 3. Рассмотрим нечет-
кое отношение, определенное
для х £ R+ и у £ R+:
Ря(х, У) =
ху
1 +ху
0,
У>х,
У<х.
(29.52)
Рис. 29.7
На рис. 29.6 показано, что min — max соответствует г/м = 2> от-
сюда
А (х, у^ —
А(х, г),
XZ
1+х/
о,

(29.53)
169
Мы видим, что
(х, z) = Z (х, z).	(29.54)
Следовательно, отношение действительно транзитивно. Можно
также проверить, что это отношение есть полный нечеткий порядок.
На рис. 29.7 представлено соответствующее отношение с N вместо
R+
Замечание о синтезе транзитивного нечеткого отношения. Если
анализ нечеткого отношения в R или R+, как мы видели, не очень ле-
гок, то, за исключением некоторых очень простых частных случаев,
1___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Рис. 29.8
их синтез еще более затруднителен. Достаточно хороший метод синтеза
состоит в том, чтобы выполнить синтез отношения в N, а затем перей-
ти к R+ или R.
Теоремы декомпозиции для отношения подобия (§27) и для отноше-
ния совершенного порядка (§ 28) позволяют легко синтезировать со-
ответствующие отношения. Можно предложить и соответствующий
алгоритм.
Алгоритм для построения нечеткого транзитивного отношения в
счетном множестве.
1. Пусть имеем последовательность (конечную или нет) чисел at 6
£ [0,11, строго упорядоченную по I:
1 > at > а% > • „ > > ••• > 0.	(29.55)
170
Шаг за шагом строим транзитивный обычный граф, добавляя дуги
и следя, чтобы сохранялась транзитивность. На (i + 1)-м шаге алго-
ритма к построенному транзитивному графу, дугам которого уже при-
своены значения а2> ...» добавляются новые дуги, так что в ре-
зультате получается новый транзитивный граф. Всем добавленным
Рис. 29.9
в соответствии с порядком, ука-
занным на рис. 29.8, где дуги
добавляются произвольно, но
добавляются произвольно, но с оговоркой, что транзитивность
должна сохраняться на каждом шаге. Как строится этот нечеткий
граф, понятно из рис. 29.9. Ту же процедуру можно использовать и
для предпорядков, отношений подобия, порядков и т. п.
Из полученной матрицы видно, как получить соответствующее от-
ношение Я для R+ и в конце концов для R. Это, очевидно, не всегда
легко сделать.
30. Упражнения
II. 1. Рассмотрите следующие нечеткие графы; для каждого из них
постройте первую, вторую и глобальную проекции.
6
8
171
II.2.	Выполните задание II.1 для следующих графов:
а)	хЯу\ х, у £ R и ря (х, у) = —-?--- k > 1.
1-Н(х—г/)а
б)	хУ1у, х, у С R и (х, у) =---?----, k > 1.
14-й|х—у\
II.3.	Для упражнений II.1, а — в и II. 2, а, б определите носитель
каждого графа.
II.4.	Даны следующие отношения.
у, ffz Уз у,
0	0,7	0	0,4
0,5	r	0	0,7
0,8	0,9	0,9	7
Ут Уз Уч
0,7	0	0,2-	0,5
0	7	0,7	7
0,9	0^	OJ	0
Ут Уг Уз Уч
0,5	0	0,2	0
0	7	0,7	O,Z
0,9	0,4	0	7
Подсчитайте
а) А ПА. б) А и А. в) АНАПА-
Г) АП (А и А), д) А-А- е) А+А,
ж) *^1П«^2>в) АФА> в)	Ц-(^2®А)-
II.5.	Для примеров, приведенных в тексте в (12.34), определите
а)	б) в)
Результаты должны быть приведены в виде графиков, как на
рис. 12.11.
II. 6. Для каждого нечеткого отношения из упражнения II.4 най-
дите ближайшее обычное отношение.
II.7. Для следующих отношений найдите (шах— 1шп)-композицию:
£т У, Уг Уз Уч У 5
0	0,2	0	0,2	7
7	0,5	0,4	7	0,4
0,7	0	0,5	0	0,9
gz Z/ z2 zg
0,5	0,8	0	0,7
0,7	0	0,5	0,8
7	7	7	0
0,5	o,z	0	0,4
0,9	0,7	0,8	0,7
<3"5 tf ^5 *4 Ът
0,5	0	0,2	0,8	7
0,9	0,2	0	7	0
7	0,5	0,7	0	0,4
0,4	7	0	0,4	0,9
a) A'» A. 6) A ° A ° A, B) A • A.
MZ	Л*	****
Г) (A »А)П(А° А). Д) A-A ((max—^-композиция).
172
II.8. Рассмотрите нечеткие отношения (13.3) и (13.4). Найдите
а) Я^ о Яъ б) °
II.	9. Разложите, как это сделано в примере (13.34), каждое из
отношений	и J?3, заданных в упражнении П.7.
11.10.	Пусть
Е4 == {Xi, х2, х3, х4},
Е2 = О/i, Уг> г/s, &},
A = {(*il 0,3), (х2|0,7), (х3 10), (х410,9)}.
1.	Найдите нечеткие подмножества Вх с Е2 и В2 с Еа, индуци-
рованные следующими отображениями Гг и Г2:
2.	Пусть
В = {Q/1I0.3), 0/2|0), 0/8|0,1), 0/4| 1), О/з 10,8)}.
Найдите нечеткие подмножества А с Ej и А с Е2, индуцирован-
ные отображениями Г-1 и Гг1.
II.11.	Пусть Еь Е2 и А те же, что и в упражнении II.10. Пусть
Я — следующее нечеткое отношение:
173
11.12.	Рассмотрите следующие три нечетких отношения Я,, и
3‘
У, Уг Уз
Ч
ол	7	О
ол	ол	ол
^2
У,
Уг
Уз
Ч Ч Ч z4
ОЛ	0,2	7	О
0,8	О	ОЛ	О
ОЛ	7	0,9	о,у
$3 Ч Ч “3
Ч
Ч
ч
ч
44	О	1
7	ОЛ	0,2
7	1	ОЛ
Z?7	ОЛ	Z£Z
Найдите нечеткое подмножество D а Т = {/х, /2, *з}> обусловлен-
ное отношением Я3°Я2<>Я1 на подмножестве
А = {(Хх | 0,3), (х2 | 0,7)}.
11.13.	Определите, какие из перечисленных ниже нечетких бинар-
ных отношений
а) симметричны, б) рефлексивны, в) транзитивны.
О1}	А	В	С	в	В		А	В	О	Л	В		А	В	0	Л	В
А	О	7	7	7	7	А	О	ОЛ	7	О	ОЛ	А	7	0,5	ОЛ	О	0,7
В	О	О	0,9	0,7	0,3	В	ол	ОЛ	0	ол	0,7	В	О	7	ОЛ	О	О
0	О	О	О	ОЛ	0,3	0	7	О	О	ОЛ	7	С	О	7	7	О	О
л	О	О	О	о	ол	Л	О	ол	ол	7	ОЛ	Л	О	ол	ол	7	О
о	О	О	О	о	о	в	0,5	ол	7	ОЛ	ОЛ	В	7	0,5	ОЛ	О	7
	А	В	С	л	в	^5	А	в	О	Л	В	^6	А	В	О	Л	В
А	О	О	ол	0,2	О	А	7	О	О	О	ОЛ	А	О	0,7	О	7	ОЛ
в	ол	7	ОЛ	7	ол	В	О	7	ол	7	О	В	0,7	О	О	О	ОЛ
О	ол	О	7	ОЛ	ол	С	О	ол	7	ол	О	О	О	О	О	ол	7
л	О	О	О	7	о	Л	О	7	ОЛ	7	О	Л	7	О	ОЛ	О	7
в	7	О	ОЛ	ОЛ	О	В	ОЛ	О	О	О	7	В	ОЛ	ОЛ	7	7	О
11.14.	Найдите транзитивное замыкание каждого отношения
$4, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, из упражнения 11.13.
11.15.	Выполните упражнения 11.14, используя (max—^-тран-
зитивность вместо (шах — пип)-транзитивности.
174
11.16.	Вычислите (max — пнп)-транзитивное замыкание каждо-
го из следующих отношений Я'.
	#?2.	Х7	3^2.	х3	Oh,	Я5	&	хг	З?^	^3	3}^	^5
	3^ ®2 *^3 &1	О	ь	а	7	О	х7	7	а	О	О	С
х7	0,3 O,Z 0,8 x2	7	а	b	b	7	с2?2	О	7	О	b	b
	1 0,7 О ®з	с	с	О	а	О	#3	О	b	7	О	О
х3	0 1 0,8 ^4	7	а	7	с	д	3}^	с	7?	О	7	с
	^5	О	7	6	а	G	Х5	О	О	с	О	7
0<а<Ъ<с<1.	0<а<Ь<с<1.
Olfy Xj ^3	^5 &*S *^7 X8 • * * ^5	^3	&5 &S &*7	• •
хг	1	2 2	2 3	]_ ц	2 5	7 О	2 7	2 8	• • •	*2?/	7	2 2	L 3	2	2 5	2 6	2 7	2 8	• в •
3^	1 I	L 3	7	2 5	L 6	2 7	2 8	7 9	• •.	<2?2	2 2	2 2	2 3	2 4	L 5	L О	2 7	2 8	• • »
хз	1 У	7 3	7 7	7 7	L 7	7	L 9	7 76	• • •	#3	L 5	2 3	L 3	L	i	L 6	2 7	2 8	• ♦ •
3)ц	1 4	7 У	7 6	7 7	2 8я	2 9	7 79	2 77	• • •	3!^	7	2 ❖	7 7	1 17	L 5	L о	2 7	2 8	• • •
х5	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 70	2 77	7 72	• • •	2 5	L 5	2 5	7	7 7	7	2 7	2 8	• • ♦
^6		2. 7	i	L 9	7_ 10	L 17	2 72	Z 73	• • •	^6	7 ?	L 6	L S	7 О	2. 0	2 о	2 7	7 7	♦ • •
3}у	1 7	7 5	2 9	7 №	2 77	7 72	7 73	7 74	• • •	#7	2 7	2 7	2 7	2 7	1_ 7	2 7	2 7	2 8	• • •
	7 1	2 9	L 10	L 77	2. 72	7 73	7 74	7 75	...	3)q	L 8	2 8	2 8	2 8	L 8	2 8	2 8	2 8	...
									\ \ \										 \ \ \
II.17.	Для каждого из следующих трех отношений Ях, Яг, Я3 с:
с Е X Е:
^3 А В СИ
А
0,6	^3	О	ол
0,7	7	О	О
О	о,^	О	О
0,6		0,5	О
В
С
л
175
подсчитайте:
з>
Г)	Д) ^2 . ^2;
V	Л	V	Л V
в) J?!, Ж) J^ifl-^2, з)
^***	*****	*-*-*
11.18.	Докажите, что нечеткое отношение Я, представленное ниже,
есть нечеткий предпорядок.	~
А В О В В В
А
В
С
В
7	/?7	0,1	0	0,8	1
О	7	0,1	О	О	О
О	0,5	7	О	О	О
О	0,7	0,1	7	0,1	0,7
0	О	О	О	1	0,8
0	О	О	О	0,8	7
11.19.	Проверьте, что следующие отношения J?2> есть отно-
шения подобия.	~ ~	~
7	0,1	0,1	0	0	0,5
0,7	7	0,6	0	0	0,7
0,1	0,6	1	0	0	0,1
О	О	О	7	0,5	0
0	О	О	0,6	7	0
0,5	0,1	0,7	О	О	7
11.20.	Если Яг и J?2—отношения предпорядка на одном и том
же множестве Е, то можно ли утверждать, что Я% • Ях — то же от-
ношение предпорядка?	~	~
Ответьте на тот же вопрос для f| .#2, Яг J и
11.21.	Найдите максимальные подотношения подобия* для отноше-
ний (11.18), Я3, Я & (11.19) (можно использовать один из алгоритмов,
приведенных в приложении Б).
11.22.	Какие из шести отношений в упражнении 11.13 антисиммет-
ричные, а какие совершенно антисимметричные?
11.23.	Проверьте, что отношения Я19 Яг, Я3, представленные ниже,
действительно нечеткие отношения порядка. Какие из них совершен-
ие
ные нечеткие отношения порядка? Какие из них устанавливают пол-
ный порядок, а какие нет?
fit*	А	в	0	В	в	0Sg	А	в	с	л	Е	^3 ч	А	в	5	Л	Е
А	7	О	О	О	0,6	А	1	7		0,7	0,8	А	7	0,5	0,5	0,5	0,5
В	0,5	г	0,9	0,5	0,8	В	О		ОЛ	0	О	в	О	1	1	1	1
с	О	О	1	0,2	О	С	0	0	1	О	О	с	О	О	1	0,9	О
Л	0	О	0,1		О	Л	О	О	О	7	О	л	О	О	О	1	0
Е	0,3	О	О	О	1	Е	О	О	О	0,6	7	Е	О	О	0,8	0,8	1
11.24.	” Используя понятие порядковойГфункции соответствующего
обычного* графа, представьте каждое следующее нечеткое отношение
порядков в треугольной форме.
							А	В	С	17	В	F
	А	6	О	27	В	А	7	0,7	0,7	О	0,8	7
4	7	Ot7	0,8	0,5	0,5							
						В	О	7	0,2	О	О	О
В	О	7	О,Ъ	О	^2							
			—			О	О	0,5	7	О	О	О
С	О	0,7	7	О		17	О	0,7	0,7	7	0,7	Z£7
и	0,6	7		7	0,6	В	.0	О	О	О	7	0,8
в	о	О	О	О	7							
						F	О	О	О	О	О	7
11.25.	Для" каждого из следующих рефлексивных отношений под-
считайте (max"— ппп)-транзитивное замыкание. Таким образом полу-
чите отношения предпорядка.
а)	Определите множество максимальных подотношений подобия.
б)	Будут ли эти подотношения непересекающимися?
в)	Можно ли отношение и (или) представить в блочно-тре-
угольной форме?	~	~
®.гА6СПЕЕ0Н
&	А	0	0	0	В	F	А	7	0,2	0,3	0,8	0,6	0,7	О	О
А	7	0,5	0,0	0,6	О	О	6	0,7	7	О	0,0	0,5	0,7	О	О
В	0,5	7	О	0,6	42	0,7	0	0,0	0,5	7	09Ъ	0	7	0,9	7
О	0,5	0,5	7	0,7	0,5	О	17	о,3	0,0	0,2	7	0,5	О	О	О
л	42	0,6	О	7	О	0,8	В	0,6	0,5	О	0,5	7	0,6	0	О
в	О	42	О	О	7	0,7	F	0,7	0,7	7	7	О	7	0,8	О
F	О	0,7	°,2	0,8	О	7	О	0,3	О	45	О	0,9	О	7	0,8
							В	О	О	О	0,9	О	О	0,8	7
11.26.	Рассмотрите определенные ниже отношения сходства; най-
дите:
1)	соответствующие отношения подобия посредством вычисления
их транзитивных замыканий;
2)	соответствующие отношения различия;
3)	классы пар (X, Y), для которых расстояния^ (X, Y) равны 0; 0,1;
0,2;	0,9; 1.
А в С Л Е F G
7	О	0,7	О	0,8	7	0,0
О	7	О	7	О	О,В	7
/7,7	О	7	0,7	0,0	О	0,7
О	7	0,7	7	О	0,9	О
0,8	0	о,в	О	7	0,7	0,5
7	0,8	О	0,9	0,7	7	о,о
0,5	7	0,7	О	0,5	о9о	
^2 А В С Л Е F G
7	0,9	0,8	0,7	0,0	0,5	0,0
0,9	7	0,7	0,0	0,5	0,0	0,8
0,8	0,7	7	0,5	о,о	0,5	0,2
0,7	0,0	0,5	7	0,8	о,г	0,7
0,0	0,5	0,0-	О,Ъ	7	0,7	О
0,0	0,0	0,5	0,2	0,7	7	О
0,0	0,5	0,2	0,7	О	О	7
II.27. В упражнении 11.26 мы получили два отношения подобия
и отсюда два отношения различия:
1)	для каждого отношения подобия выпишите разложения по фор-
муле (27.1). Результаты должны быть представлены в такой же форме,
как на рис. 27.1;
2)	для каждого из соответствующих отношений различия найдите
графы (min — шах)-расстояний по способу, указанному на рис. 27.9.
11.28	. Пусть даны следующие семь нечетких сообщений:
4з~
*Sf 3)^ 3fy Sig 3}у Sfg
0,7	о,ъ	0,2	О	0,7	0,6	0,2	7
0,7	О	О	0	0,7	0,5	0,8	0,9
7	О	О,ъ	О	0,2	0	О	0,6
о,з	0,5	7	0,1	7	0,2	О,0‘	'1
							
0,2	0,5	О	0,6	0,1	О	о,^	0,0
							
0,1	0,2	0,2	7	0,0	0,7	0,6	0,0

7	0,7	0,2	0,5	0,5	О	О	0,5
Сделайте выборку из этих сообщений, используя их относительные
обобщенные Хемминговы расстояния:
1)	применяя (min — тах)-транзитивное замыкание отношения
несходства;
2)	не применяя это транзитивное замыкание, а рассматривая обыч-
ное (min — зит)-сложение.
178
Ответьте на те же вопросы, используя относительное евклидово рас-
стояние между сообщениями.
11.29	. Сообщения (Ах, А2, ...» А7) из упражнения 11.28 преобра-
зуйте в сообщения (В1? В2,	В5) с помощью следующего отношения:

7	0,9	0	0,7	0,7
0,5	0,1	0,6	0,8	0,5
0,0	0,0	7	0,8	0,6
0,7	0,0	0,9	7	О
7	0,8	0,6	0,2	0,6
0,6	0,2	7	0,3	7
0,2	0,8	О	7	О
о,5	7	О	О	0,2
Выберите пять сообщений (Вп В2,	В5), так как это было сделано для
(Ах, А2, ..., А7) в упражнении 11.28.
11.30	. Рассмотрите следующие десять нечетких графов, принимая
их за сообщения. Отберите эти сообщения, как в упражнении 11.28.
# У г Уъ
1В2
0,6	0	1
0,5	7	0,0
0,5	0,2	0,6
О	0,7	0,7
1	0,5	0,2
1	0,8	0,5
0,6	0,1	0,7
1	0,5	0,2
0,6	0,7	0,5
0,5	0,1	0,9
0,5	1	0,0
0,2	0,7	0,5
0,6	0,7	0,8
0,7	0,7	0,5
о,о	0,5	0,6
Si


0,1	0,5	0,7
0,5	0,5	0,2
0,9	1	0,6
0,5	0,7	0,7
0,5	0,5	0,2
1	0,8	0,6
О	0,7	0,7
0,9	0,5	0,2
7	0,7	0,5
0,5	0,2	0,7
0,7	0,7	0,0
0,0	0,5	0,6
£в
Ю
II.31	. Выполните упражнение 11.28 еще раз, используя алгебраи-
ческое (а + Ъ = а + b — ab) (min — 5ит)-транзитивное замыкание.
179
Глава III
НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА
31.	Введение
В сочетании слов «нечеткий» и «логика» есть что-то необычное. Ло-
гика в обычном смысле слова есть представление механизмов мышле-
ния, то, что никогда не может быть нечетким, но всегда строгим и фор-
мальным. Однако математики, исследовавшие эти механизмы мышле-
ния, заметили, что в действительности существует не одна логика (на-
пример, булева), а столько логик, сколько мы пожелаем, потому что
все определяется выбором соответствующей системы аксиом. Конеч-
но, как только аксиомы выбраны, все утверждения, построенные на их
основе, должны быть строго, без противоречий увязаны друг с другом
согласно правилам, установленным в этой системе аксиом.
Булева логика — это логика, связанная с булевой теорией мно-
жеств; аналогично нечеткая логика связана с теорией нечетких подмно-
жеств. Как мы увидим в гл. V, единой теории нечетких подмножеств не
существует, каждый может построить их столько, сколько пожелает.
Человеческое мышление — это совмещение интуиции и строгости,
которое, с одной стороны, рассматривает все в целом или по аналогии
(поэтому необходимо нечетко), а с другой стороны — логически и по-
следовательно (необходимо формально) и, значит, представляет собой
нечеткий механизм. Законы мышления, которые мы захотели бы вклю-
чить в программы компьютеров, должны быть обязательно формаль-
ными; законы мышления, проявляемые в диалоге человека с челове-
ком — нечеткие. Можем ли мы поэтому утверждать, что теория нечет-
ких подмножеств в ее обобщенной форме (или в том виде, в каком она
появляется, как мы увидим позже, в теории структур) хорошо приспо-
соблена к человеческому диалогу? Да, если математическое обеспече-
ние, разработанное с учетом нечеткой логики, станет операционным и
сможет быть технически реализовано, то человеко-машинное общение
станет намного более удобным, быстрым и лучше приспособленным к
решению проблем.
Конечно, в такой скромной работе, как эта, автор вынужден огра-
ничиться лишь введением в соответствующую проблематику. Но раз-
витие в этом направлении будет тем быстрее, чем больше будет инже-
неров, способных перенять от математиков эту новую, стимулирую-
щую воображение, теорию. И при написании книги я как раз и ставил
себе цель стимулировать воображение читателей, чтобы они смогли
продвинуться намного дальше того, что так скромно представлено
здесь.
180
32.	Характеристическая функция нечеткого
подмножества. Нечеткие переменные*}
Пусть jia (я) есть функция принадлежности элемента х нечеткому
подмножеству А. В § 2—8 мы определили основные операции, которые
можно выполнять с нечеткими подмножествами одного и того же уни-
версального множества.
В этой главе мы будем предполагать, что множество степеней при-
надлежности произвольного элемента универсального множества к не-
четкому множеству есть
М = [0,1].	(32.1)
Мы уже напоминали, как выполняются операции бинарной булевой
алгебры над обычными подмножествами.
Будем использовать следующее обозначение:
а = рА (Д b = рв W и т. д.	(32.2)
Мы знаем, что в бинарной булевой алгебре переменные, обознача-
емые здесь через а, Ь, ..., могут принимать только значения 0 или 1.
В табл. 32.1 операции этой алгебры сопоставляются с операциями тео-
рии множеств.
Таблица 32 Л
Подмножества	Соответствующие операции	(32.3)
АЛВ	а*Ь	
AUB	а-\-Ь	(32.4)
а-сеа	а	(32.5)
А®В = (АЛВ)1|(АЛВ)	a^b — a-b^-a-b	(32.6)
Основные соответствия, которые мы видим в (32.3) — (32.6), уста-
навливают дидактическое введение и будут справедливы не только для
булевых характеристических функций и функций принадлежности с
М = {0,1}, но и для нечетких функций сМ = 10,1].
*) Некоторые авторы (например, S. Nahmias. Fuzzy variables. —
OR SA-TIMS Conf. Miami. — Nov. 1976) используют термин «нечеткая перемен-
ная» в смысле, отличном от придаваемого ему в этой работе. Для Намиаса и не-
которых других авторов нечеткая переменная обобщает понятие случайной пере-
менной. Нечеткая переменная и случайная переменная в том смысле, который им
придают эти авторы, представляют собой на деле только нечеткие или случайные
подмножества в R. Здесь же, как и в последующем тексте, понятие «нечеткая
переменная» обобщает понятие «булева переменная».
181
Пусть х — элемент универсального множества Е и А, В, ... — не-
четкие подмножества этого универсального множества. Пусть
a = HAW> — P'bW’ •••’> «> &.•••€ М= [0,1].	(32.7)
В соответствии с § 2—8 надо определить следующие операции на
величинах а, Ь, ...:
аД6 = М1М(а, Ь),	(32.8)
a\j^= МАХ (а, Ь),	(32.9)
а=1 — а,	(32.10)
аф& = (аД£)\/(аД&).	(32.11)
Используя определения, данные в (7.18) — (7.32), можно записать:
a/\b = b/\a, 1	(32.12)
~ ~ ~ ~ I коммутативность
a\Jb=b\/a,]	(32.13)
(a\J b)/\c = a/\(b/\c),]	(32.14)
(£V^)V£=«VWc), j	(32.15)
а/\а = а, ]	(32.16)
- ~ ~ I идемпотентность,
a\Ja = a, j	(32.17)
Л	(32.18)
~ ~	~ ~	- ~ I дистрибутивность
2.V^A£) = (aV^)A(lV£). |	(32.19)
аД0 = 0,	(32.20)
а\/0 = а,	(32.21)
аД1=а,	(32.22)
а\/ 1 =Д,	(32.23)
(о) = а,	(32.24)
£A^ = ®VA 1	теоремы	де Моргана, обобщенные на	(32.25)
a\jb — a/\b. J	случай	М[0, 1].	(32,26)
Доказательства всех этих формул тривиальны, за исключением,
может быть, формул (32.18), (32.19), (32.25) и (32.26).
Докажем (32.18). Предположим, что значения величин а, b и с могут
находиться в отношениях, определяемых следующими тремя различны-
182
ми полными порядками (не имеет смысла рассматривать шесть по-
рядков)*)
1) О С; a ^.b s:C с -С 1,
2)	1 и 3)	(32.27)
Имеем
1)	а [\ (Ь \/ с) = MIN [a, MAX (b, с) ] = MIN (а, с) = а,	(32.28)
(£ Л £) V (« Л <0 = MAX [MIN (a, b), MIN (а, с) ] =
= МАХ (а, а) = а.	(32.29)
2)	а Д (& V £) = MIN [а, МАХ (&, с)] = MIN (а, с) = с. (32.30)
(а Д b) V (а Л с)=МАХ [MIN (a, b), MIN (а, с)] =
= МАХ (&,с) = с. ~	(32.31)
3)	а Л (Ь V £) = MIN [£> МАХ &,(:)} = MIN (а, &) = а.	(32.32)
(а Д Ъ) Ч (а Л с) = MAX [MIN (a, b), MIN (а, с)] =
= МАХ (а, с) = а.	(32.33)
Аналогично можно доказать формулу (32.19).
Докажем теорему де Моргана (32.25). Пусть 0 а < b 1 *>,
МАХ [(1 —а), (1 — &) ] = 1 —а,	(32.34)
MIN [а, Ь] = а,	(32.35)
МАХ[(1—а), (1 — &)]-ЬMIN[а, 6] = 1 — а + а= 1. (32.36)
Тогда
МАХ [(1 —а),	(1 — Ь) ] = 1 —MIN [а, Ь\	(32.37)
или	a\]b	= a[\b.	(32.38)
Очень важное замечание. За исключением двух свойств
а-а = 0	(32.39)
и	а 4-а=1,	(32.40)
для которых, кроме случая а = 0 или а = 1, соответствующие соот-
ношения для нечетких множеств не выполняются:
а Да¥=0, исключая а — 0 или а=1,	(32.41)
а Ч а,Ф\, исключая а = 0 или а=1,	(32.42)
свойства (32.12) — (32. 26) составляют все свойства бинарной булевой
алгебры.
Если по крайней мере дне из этих величин равны, то доказательство три-
виально.
183
Из-за этих исключений структура, определяемая на множестве
переменных а, Ь, ... операциями Д, \/ и ~, не может рассматриваться
как алгебра в том смысле, в каком этот термин употребляется в совре-
менной математике. Поэтому следует отдавать себе отчет в том, что
слово «алгебра», как и многие другие слова из математического лекси-
кона, не всеми употребляются в одном и том же смысле.
Нечеткие переменные. Функции нечетких переменных. В настоя-
щей теории переменные а, ... £ [0,1] будут называться нечеткими
переменными *>. Функции, построенные с помощью таких переменных,
будут называться функциями нечетких переменных, если выполнено
следующее условие.
Пусть f (а, Ь, ...) есть функция от аргументов а, Ь, ... Чтобы эту
функцию можно было назвать функцией нечетких ^переменных, необ-
ходимо и достаточно, чтобы f зависела только от нечетких переменных
и чтобы
(32.43)
Теорема 1. Если f (а, Ь, ...) содержит только нечеткие переменные
и операторы Д, V и _, то условие (32.43) всегда выполнено.
Доказательство. Утверждение теоремы очевидно. Каждая
из операций Д, \J или _ на переменных а, Ь, ... Е [0,1] не может дать
результат, выходящий за пределы 0 и 1. Применение к таким резуль-
татам операций Д, \Д “ не может дать результат, выходящий за эти
границы.
Упрощение функций нечетких переменных. В отличие от булевых
функций для систематического анализа функций от нечетких аргумен-
тов нельзя воспользоваться методом составления таблиц истинности.
Они не поддаются упрощению так легко, как булевы функции, по-
скольку не обладают свойствами (32.39) и (32.40). По этой же причине
эти функции нельзя представить в дизъюнктивной нормальной форме
(с помощью минитермов) или в конъюнктивной нормальной форме
(с помощью макситермов) **>.
Иногда определенное число упрощений можно успешно провести,
используя только свойства (32.12) — (32.26). Рассмотрим несколько
примеров таких упрощений:
fjfl,b) = a\/ (а Д&)	(32.44)
= а Д (I V Ь) согласно (32.18) и (32.22), так как
~ а /\(\\/ Ь) = (а (а /\Ь) = а\Ца
= а Д 1 по (32.23)	~	~
— а по (32.22).
♦> Слово «нечеткие» — не лучшее для характеристики таких переменных,
оно употребляется здесь по аналогии со словом «булевы», которое используется,
когда речь идет о булевых переменных, таких, что а ? {О, 1}.
*#) Как уже неоднократно указывалось, предполагается, что читатель зна-
ком по крайней мере с элементарными понятиями современной математики,
в частности, с элементами булевой алгебры. (С понятиями мини- и макси-термов
читатель может познакомиться в книге: А. Кофман. А. Анри —^Лабордер. Методы
и модели исследования операций. М.: Мир, 1977. Добавление пер.),
184
Итак,
(32.45)
Это так называемое свойство поглощения.
Аналогично можно показать, что
я Л(а\М)=^£-	(32.46)
Это двойственная форма свойства поглощения.
Рассмотрим еще один пример:
Ь2 (~А t-A *2 V	(tV ^)] V « V (t A £)=
= (a A t A£) V (a Af) V (a A £) V a V A £) = (£ Aj) V £ (32.47)
' (Yj	(2)	(4)	<5) "
согласно свойству поглощения для (1) и (5) и для (2) — (4).
Здесь уместно отметить важную роль скобок.
Мы знаем, что число различных булевых функций при п различных
переменных равно 2(2">. В случае п нечетких переменных число нечет-
ких функций, составленных произвольным образом из этих п перемен-
ных и операций Л> V и также конечно; мы докажем это позже.
Замечание. Операцию \J можно выразить через операцию Д и опе-
рацию _ и наоборот. Действительно,
af\b = MIN (a, b) = 1 —МАХ (а, Ь) = а\/Ъ.	(32.48)
Это другой способ представления закона (32.25). То же можно
сделать для второго закона де Моргана (32.26).
Таким образом, достаточно использовать операторы Ди- или
операторы Ди- для того, чтобы представить любую функцию нечет-
ких переменных, содержащую символы Д, V и ~, хотя выражение
становится очень громоздким.
Следует напомнить, что в булевой алгебре для того, чтобы предста-
вить произвольную булевую функцию, достаточно одного оператора.
Рассмотрим оператор Шеффера:
а\Ь = а-Ь — а 4-Ь,	(32.49)
поскольку
а +& = a| b — (а | а) | b | Ь,	(32.50)
а-а = а | b = (a| b) I (а| Ь),	(32.51)
a = (a|a).	(32.52)
Рассмотрим оператор Пирса:
а | Ь = а^Ь = а-Ь,	(32.53)
185
поскольку
а+Ь = а j b = (а | Ь) | (а | Ь),	(32,54)
а~Ь = а | Ь = (а | а) | (Ь | Ь),	(32.55)
а = а|а.	(32.56)
От булевых выражений, использующих оператор Пирса, можно
переходить к выражениям, содержащим оператор Шеффера, и наобо-
рот:
а р = а • b = а|Ь = (а|а)|(&|&) = ((а | а) | (Ь | &)) | ((а | а) | (Ь | &)),	(32.57)
а\Ь — а^-Ь = а | b — (а | Ь) | (а | Ь) = ((а | Ь) } (а j Ь)) | ((а | Ь) | (а | 6)).
(32.58)
Хотя трудности в написании появляются довольно скоро и это ис-
ключает возможность использования таких операторов в ручных вы-
числениях, с их помощью можно по единой технологии сконструировать
электронную схему для автоматических расчетов, которая в определен-
ных случаях может оказаться полезной.
Для нечетких переменных мы определим операторы *>:
Шеффера
а\Ь = а~/\Ь = а\/Ь-,	(32.59)
Пирса	~~~~~
а{Ь = а\ГЪ = а /\Ь.	(32.60)
Любую функцию нечетких переменных можно записать с помощью
только одного из этих операторов. Имеем
1) а V Ь = а | F = (а | а) | (b | bj,	(32.61)
a A^=jTb = (a|&)l(a|y,	(32.62)
а = а\а.	(32.63)
2) а V Ь =	= (а | Ь) | (а | 6),	(32.64)
а Л& = а|£=(а|а)|(6|6),	(32.65)
а — а\а.	(32.66)
Используя формулы (32.57) и (32.58), можно перейти от оператора
Пирса к оператору Шеффера и наоборот.
*’ Мы сохраняем те же символы, что и для булевых переменных; если это
приведет к непредвиденным трудностям, то обозначения будут соответственно
модифицированы.
186
В качестве примера рассмотрим, как записать не слишком слож-
ную функцию нечетких переменных, используя оператор Шеффера:
f(a, b, с) = а Д (6 V с) =
= (£ I«) Л ((& I £) I (£ I с}) =
= (а | о) Д ((£ \Ь) | (((с | с) | (с | с)))) =
= ((а|а)|((6|&)|((£|£)Цск)))1 =
= I ((«I«) I ((* IЪ) | «с|с)Цс|с)))).	(32.67)
Это очень сложное выражение для такой простой функции, как
£ Л(£ V£)>
Таблица значений функции нечетких переменных. Для изучения
булевых бинарных функций можно использовать так называемую таб-
лицу истинности, в которой бинарным переменным придаются все воз-
можные значения и выписываются соответствующие значения функции.
Такая таблица истинности не была бы лишена смысла для функций не-
четких переменных, но можно построить таблицу другого типа, кото-
рая играет аналогичную роль.
Чтобы изучить функцию одной нечеткой переменной а, рассмотрим
ее значение в следующих двух случаях:
а	(32.68)
Для изучения функции двух переменных а и b рассмотрим ее зна-
чение в следующих восьми случаях: *>
а Ъ b <С а,
a^b^b^a, a^b^ZbjZba, a^Zb ^b ^а,

b^Za^Za ^Zb, b^Za^a^b, b^Za^Za^b.
(32.69)
Чтобы изучить функцию трех переменных а, b и с, рассмотрим сле-
дующие 48 случаев, выписанных для экономии места без знака и
символа ~ :
abccba	acbbca	baccab
abccba	acbbca	baccab
abccba	acbbca	baccab
abccba	acbbca	baccab
abccba	acbbca	baccab
*> Эти перечислительные процедуры предлагаю называть антиполиндромами,
поскольку они образуют полиндромические последовательности, в которых зна-
ки взятия дополнения расположены антисимметрично. (Полиндром — это чис-
ло, слово или фраза с симметрично расположенными цифрами или буквами:
12344321 или «А роза упала на лапу Азора».)
187
abccba abccba abccba bcaacb bcaacb bcaacb bcaacb bcaacb bcaacb bcaacb bcaacb	acbbca baccab acbbca baccab acbbca baccab cabbac cbaabc cabbac cbaabc cabbac cbaabc cabbac cbaabc cabbac cbaabc cabbac cbaabc cabbac cbaabc cabbac cbaabc.
Для изучения функции	п переменных рассматривается Pn*2n случаев,	(32.71)
где Рп = п\ — п (п — 1)... 3-2-1.
Рассматривая соотношения (32.68) — (32.70), можно установить
эффект антисимметрии, возникающий из-за того, что
если х^.у, то у^х.	(32.72)
Чтобы перечислить все возможные случаи без пропусков и повторе-
ний, используем лексикографическую процедуру.
Установим, например, следующее соответствие:
1 a, 2 a, Тогда имеем соответствия	3 b, (32.73) 4 b.
13	ab, откуда abba,
14	ab, откуда abba,
23	ab, откуда abba,
24	ab, откуда abba,	74)
31	ba, откуда baab,
32	ba, откуда baab,
41	ba, откуда baab,
42	ba, откуда ЪааЬ.
Легко представить себе и другие процедуры.
188
Рассмотрим пример. Перечислим значения функции
/(а, Ь) = (а Д а) V (а Л £Д §;	(32.75)
результат представлен на рис. 32.1.
				а/\а		(“Л^) v
а	ь	b	а	а	ь	ь
		—		—'		
а	ь	ь	а	а	ь	ь
			~г			
а	ь	ь	а	। а	а	а
						
а	ь	ь	а	1 й I	а	а
b	а	а	b	а	b	а
			—		—	
b	а	а	ь	а	ь	а
			—			.—
ь	а	а	ь	а	ь	а
					•	г-'
ь	а	а	ь	а	Ъ	а
						
Рис. 32.1
Равносильность двух функций нечетких переменных. Скажем, что
две функции Д и f2 нечетких переменных равносильны (говорят также
тождественны), если они имеют одну и ту же таблицу значений, вклю-
чающую все возможные случаи.
Смешанные операции. Переменные а, Ь, ...£[0,1], могут подвергать-
ся другим, отличным от Д, \J и-, операциям при образовании того, что
будет называться смешанными функциями нечетких переменных.
В число таких операций входят:
умножение а • Ь,	(32.76)
для которого, как легко проверить, выполняется свойство
и суммирование
а£[0,1], 6 £ [0,1] =4- а-b £ [0,1].
(32.77)
аД-Ь = а-{-Ь—а-Ь,
(32.78)
здесь тоже сохраняется свойство (32.77).
189
Например, выражение
Ъг$ = (£+Q Л + £) Л £ Л £	(32.79)
— смешанная функция.
Важное замечание. С помощью таблицы перечисления можно для
и переменных определить
(32.80)
(32.81)
N-(2n)<"«2rt)
различных функций *); таким образом, при
n = l N = (2-l)2 = 22 = 4,
п - 2	N = (2.2)2 *22 - 48 = 65536,
п = 3 N = (2’3)6-2“ = 648,
п = 4 N = (2-4)24-2^ 8384,
... И т. д.
Только незначительную часть всех этих функций составляют функ-
ции нечетких переменных, представимые с помощью операций Д и
V на переменных а, Ь, ... и а, Ь, ...
Соглашение. Если специально не оговаривается, аналитической
функцией нечетких переменных (обозначается f) будем называть любую
функцию переменных а, &, ..., которую можно выразить, используя
только операции Д и V ; переменные могут входить в эти функции или
непосредственно (а, Ь, ...), или как дополнение, т. е. а, Ь, ...
Для упрощения изложения, когда это не будет вызывать ошибки
или путаницы, аналитические функции нечетких переменных будем на-
зывать просто функциями нечетких переменных.
33. Полиномиальные формы
С помощью двойственных законов дистрибутивности (32.18) и
(32.19) любую функцию / (а, Ь> ...) можно представить в полиномиаль-
ной форме относительно операции Д или V-
Для начала рассмотрим пример. Пусть
/ (а, Ь, с) = (а Л b) V (а /\Ь Д с).	(33.1)
Эта функция записана в полиномиальной форме относительно V*
*> Это легко доказать. Для п переменных а> Ь, ..., I существует п\ переста-
новок. Каждая перестановка должна содержать а или at b или Ь, ...» I или /;
таким образом, получаем в 2П раз больше перестановок, что дает п! 2П, т. е. число
строк в такой таблице, как на рис. 32.1. Значения в каждой строке принадлежат
этим 2п переменным и соответствующим им дополнениям. Следовательно, с по-
мощью таких таблиц определяются (2п/л1 2 } различных функций.
190
Используя закон (32.19), функцию (33.1) можно преобразовать в
полиномиальную форму относительно Д:
L (£» Ь Г)= V £) А (£V р А (£ Ар Л £ V «) Л (Д V рК(ь\/с).
(33.2)
Рассмотрим другой пример. Пусть
/(£.’^’P=feVP А£ A(£V&V£) = (£Vp А£.	(33.3)
поскольку третий член поглощается вторым. Далее, используя закон
(32.18), получаем выражение
L (£.- Ь Г)=fe Л £) V g Л £)>	(33.4)
которое дает полиномиальную форму относительно V» тогда как
(а V Ь) Л с представляет собой соответствующую полиномиальную
форму относительно Д.
В случае булевых функций для того, чтобы показать, что две функ-
ции f и /' тождественны, достаточно проверить, что они приводят к од-
ной и той же таблице истинности или что их дизъюнктивная и конъюнк-
тивная нормальные формы одинаковы. Для функций нечетких перемен-
ных можно определить сходное, но менее строгое утверждение.
Максимальный одночлен. Пусть функция f (а, Ь,...) выражена в
полиномиальной форме относительно Д. Об одночлене такой полино-
миальной формы говорят, что он максимальный (употребляется также
термин «собственный»), если он не поглощается никаким другим одно-
членом этой полиномиальной формы. Соответствующее определение
дается максимальному одночлену в полиномиальной форме относитель-
но V-
Приведенная полиномиальная форма. Всякая полиномиальная фор-
ма относительно \Д состоящая только из максимальных одночленов по
Д, называется приведенной полиномиальной формой относительно \Д
Замена в предыдущей фразе V на Д и наоборот приводит к определе-
нию приведенной полиномиальной формы относительно Д.
Аналитической функции f (а, &,...) могут соответствовать несколь-
ко приведенных полиномиальных форм. Рассмотрим пример. Следу-
щие две приведенные полиномиальные формы:
fja, *) = (« ApV(«ApV(£ Ар (33.5)
и	L V) = (al\b)\] (af\ р	(33.6)
соответствуют одной и той же аналитической функции, что можно
проверить антиполиндромным перечислением, как это было сделано,
например, на рис. 32.1.
Для любой аналитической функции существует по крайней мере
одна приведенная полиномиальная форма относительно V и по край-
ней мере одна приведенная полиномиальная форма относительно Д.
Можно переходить от одной из них к другой разложением по Д (соот-
191
ветственно по V) с последующим сокращением немаксимальных одно-
членов.
Пример. Функция
L (-’	= б А* Ар V (f Л^)	(33.7)
представлена в приведенной полиномиальной форме относительно V-
Соответствующая ей приведенная полиномиальная форма относитель-
но Л имеет вид
= V (a Vf) Л(* Л*) Л(Ь\/с) л(с V7) AgW
~	(33.8)
Тождественность двух функций нечетких переменных. Достаточное
условие тождественности двух функций нечетких переменных состоит
в том, чтобы их можно было привести к одной и той же приведенной
полиномиальной форме относительно V (соответственно относительно
V)- Необходимое и достаточное условие состоит в том, чтобы у этих
функций была одна и та же таблица значений.
Теорема. Число различных приведенных полиномиальных форм от-
носительно п переменных конечно и равно верхней грани числа различ-
ных аналитических функций п нечетких переменных.
Как можно видеть из следующего ниже перечня, эти приведенные
полиномиальные формы представлены как элементы свободной дистри-
бутивной решетки с 2п образующими*) и перечисляются тем же обра-
зом. Так, при п = 1 существует 4 различные формы; при п == 2 — 166,
при п = 3 — 7 828 532, ...; но это число различных форм всегда оста-
ется конечным, поскольку число элементов свободной дистрибутивной
решетки с 2п образующими всегда конечно, если конечно п.
Перечисление всех приведенных форм п нечетких переменных —
нелегкая проблема. Для одной переменной это тривиально. Имеем
а, а, а Д а, a\j а.	(33.9)
т. е. четыре приведенные формы. Заметьте, что а /\а нужно отличать,
например, от а, поскольку	~
а /\а = а, если и а Д а = если а а. (33.10)
Для двух переменных это сделать уже не так просто, а в действи-
тельности очень сложно.
Используем, например, редуцированные полиномиальные формы от-
носительно V (одночлены с Д). Мы знаем, что (в силу двух теорем
Де Моргана) каждой форме относительно V соответствует форма от-
носительно Д и наоборот.
Рассмотрим перечень**) всех возможных различных приведенных по-
линомиальных форм функции f (а, Ь) относительно V:
*) С этим понятием можно, например, познакомиться по работе [ЗК, с. 287].
**) При перечислении мы использовали, как и выше, лексикографическую
процедуру, исключающую пропуски и повторения, помня о том, что одночлен
должен быть всегда максимальным относительно других в том же полиноме. Для
упрощения обозначений мы опустили символ нечеткости^.
192
1. Формы f (а, b), содержащие один одночлен:
1	Ц(1)	1Д2	аК~а (5)	1 Д2ДЗ	а /\а А b (11)
2	а(2) 1ДЗ	а Д Ъ (6)	1 Д 2 Д 4	а Да А~Ь (12)
3	6(3)	1 Д 4	а Д b (7)	1 Д 3 Д 4	а А 6 ДБ (13)
4	b (4)	2 Д 3	а Д b (8)	2 Д 3 А 4	а 1\Ь [\Ь (14)
4	2 Д4	а /\~Ь (9)	
	3 Д 4	6Д6 (10)	
	6	1 Д2 ДЗ Д4 | ц ДаДбДб (15)	
(33.11)
Здесь имеется 4 + 6 + 4 + 1 = 15 приведенных форм, состоящих
из одного одночлена.
2.	Формы f (а, Ь), содержащие два одночлена (ни один из этих одно-
членов не должен поглощать другой, приводя, таким образом, функ-
цию f (а, Ь) к форме, состоящей из единственного одночлена):
1 V 2	аУа(16) 1 у (2 А 3)	аУ(аДб) (22)
1у з	ау&(17) 1 у (2 Д 4)	аУ(аДб) (23)
1 V 4	а У 6(18) 1У(ЗД4)	«У(6 Д 6) (24)
2 V 3	а У 6(19) 2У(1ДЗ)	а”У (а А 6) (25)
2 V 4	а У 6(20) 2 У (1 Д 4)	а V (а Д 6) (26)
3V 4	6 У 6(21) 2 У (3 Д 4)	а V (б А б) (27)	(33.12)
С	з у (1 Д 2)	6 У (а Д а) (28)
	3 У (1 А 4)	6 У (а /\Ь) (29)
	ЗУ (2 Д 4)	6V(a Д6) (30)
	4 У (1 Д 2)	Гу (а Да) (31)
	4 У (1 А 3)	b М {а Д 6) (32)
	4 У (2 А 3)	ГУ (Г Д 6) (33)
12
1 V (2 Д 3 Л 4)
2 V (I Л 3 Л 4)
3 V (1 Л 2 Л 4)
4 V (1 Л 2 Л 3)
а\/(а 1\Ь Дб) (34)
а\/(а h~b) (35)
b\J (а /\а^Ь) (36)
Ь\1 (а [\а КЬ) (37)
4
7 Зак. 461
193
(1 л 2) V (1 Л 3)
(1 Л 2) V (1 Л 4)
(1 Л 2) V (2 Л 3)
(1 Л 2) V (2 Л 4)
(1 Л 2) V (3 Л 4)
(1 Л 3) V (1 Л 4)
(I д 3) V (2 л 3)
(1 Л 3) V (2 л 4)
(1 Л 3) V (3 л 4)
(1 л 4) V (2 л 3)
(1 л 4) V (2 Л 4)
(1 Л 4) У (3 Л 4)
(2 Л 3) V (2 л 4)
(2 л 3) V (3 Л 4)
(2 Д 4) V (3 Д 4)
15
(а Д а) V (а Д Ь) (38)
(а Л а) У (а Д Б) (39)
(а Да) V (а Д б) (40)
(а Да) у (а Д ~b) (41)
(«Л«)У О’ ДБ) (42)
(а Д b) у (а Д Ь) (43)
(а Д Ь) \/ (а Д Ь) (44)
(а Д 6) V (а ДБ) (45)
(a/\b)\j (Ь Д Ь) (46)
(a Kb)\J (а/\~Ь) (47)
(а Д ~b)\J (а Д Ь) (48)
(а A*)V <W~b) (49)
(БДй)у (а Д"Б) (50)
(а Д b) V (Ь Д Ь) (51)
(а ДБ) У (Ь Дй) (52)
(1 Д 2) V (1 Д з Л 4)
(1 Д 2) V (2 Д 3 Д 4)
(1 Л 3) V (1 Д2 Д 4)
(1 Д 3) V (2 Д 3 Д 4)
(1 Д 4) V (1 Д 2 Д 3)
(1 Д 4) V (2 Д 3 Д 4)
(2 Д 3) у (1 Д 2 Д 4)
(2 Д 3) V (1 Л 3 Д 4)
(2 А 4) V (1 Л 2 ДЗ)
(2 Д4)7(1 ДЗ Д 4)
(3 Д 4) V (1 Л 2 Д 3)
(3 Д 4) V (1 Д 2 Д 4)
| (я f\af\/(a/\b КЬ) (53)
(а Д а) V (а Д & ДБ) (54)
(a/\b)\/(af\a/\~b) (55)
(а Л b) V (а Д b Д b) (56)
(а /\~Ь)\/ (а Да ДЬ) (57)
(а Д &) V (а Д b Др (58)
(а Д b) V (а Д а Д Ъ) (59)
(а Д b) V (а Д& Д’Ь) (60)
(а Д Ъ) \/ (а Д а Д b) (61)
(а ДЬ) V (« /\Ь	(62)
(Ь ДЬ)у(а ДН Д0 (63)
(Ь Д b) У (а Д а ДБ) (64)
12
194
(1 Л2 Л 3) V (1 Д 2 Д 4)
(1 Д 2	Д	3)	V	(1	Д	3	Д	4)
(1 Д 2	Д	3)	V	(2	Д	3	Д	4)
(1 Д 2	Д	4)	V	(1	Д	3	Д	4)
(1 Д 2	Д	4)	V	(2	Д	3	Д	4)
(1 Д 3	Д	4)	V	(2	Д	3	Д	4)
{а Д а Д b) V (а Д а Д fe) (65)
(а Д а Д Ь) \/(а Д& Д fe) (66)
(а Д а Д b) V (а Д b ДЗ) (67)
(а Да ДЗ)у(аДЙДЬ)(68)
(а Да Д3)у (а /\Ь Д 3) (69)
(а Д b /\~Ь) V (а Д b f\~b) (70)
Здесь имеется 6 + 12 + 4 + 15+12 + 6 = 55 приведенных форм,
состоящих из двух одночленов.
3.	Формы / (а, Ь), содержащие три одночлена, для которых справед-
ливо сделанное выше замечание о неприводимости:
1 V 2\/ 3
1 V 2V 4
1	V ЗУ 4
2	узу 4
ауЗу Ь (71)
а У а У К (72)
а V b\jb (73)
а У Ь \f b (74)
1 V 2 У (3 Д 4)
1 У 3 у (2 Д 4)
1 V 4 V (2 Д 3)
2 У 3 у (1 Д 4)
2 У 4 у (1 ДЗ)
3V4V(1 Д2)
6
а у а V (Ь Д Ь) (75)
ay ЬУ (а Д'Ь) (76)
a\J b\J (а /\Ь)(77)
a\J &V (а Д fe) (78)
а у b У (а Д Ь) (79)
b У b у (а Д а) (80)
1 У (2 Д 3) V (2 Д 4)
1У (2 ДЗ)У (3 Д 4)
1 V (2 Д 4) У (3 Д 4)
2У (1 ДЗ)У (1 Д4)
2 V (1 Д 3) У (3 Д 4)
2 У (1 Д 4) V (3 Д 4)
ЗУ (1 Д2)У(1 Д4)
ЗУ (1 Д2)У(2 Д4)
3 V	(1	Д 4)	V	(2	Д	4)
4 у	(1	Д 2)	V	(1	Д	3)
4 у	(1	Д 2)	V	(2	Д	3)
4 У	(1	ДЗ)У	(2	ДЗ)
ау (а Д fe) У (а ДЗ) (81)
а У (а Д fe) У (Ь Д b) (82)
а V (а Д b) V (Ь Д“Ь) (83)
а У(аД &)У(а ДЬ) (84)
-[V (а Д Ь) у (Ь Д Ь) (85)
а\/ (а/\~Ь)\/{b f\~b) (86)
Ь\/ (а Да)у (а ДЬ) (87)
&У (а Да) У(а Дй) (88)
fey (а ДЗ) V (а Д &) (89)
fey (а Да) у (а Д fe) (90)
fe~V (а Д3)у (ЗД fe) (91)
fey (а Д 6) V (а Д fe) (92)
(33.13)
195
7*
(1 Л	2) V	(I	л 3)	V	(1	Л 4)
(I л	2) V	(1	Л 3)	V	(2	Л 3)
(1 л	2) V	(1	Л 3)	V	(2	Л 4)
(I л	2) V	(1	Л 3)	V	(3	Л 4)
(1 л 2) V (1 A4)V(2A3)
(1 Л2) V (1 А 4) V (2 А 4)
(1 А 2) v (1 А 4) V (3 А 4)
(1 А 2) V (2 А 3) V (2 А 4)
(1 А 2) V (2 А 3) V (3 А 4)
(I А 2) V (2 л 4) V (3 А 4)
(I а 3) v (1 Л 4) V (2 А 3)
(i АЗ) V (1 А4) V (2 А4)
(1 А 3) V (1 А 4) v (3 А 4)
(1 А 3) V (2 А 3) V (2 А 4)
(1 A3)V(2 ДЗ) \/ (3 Л 4)
(1 А 3) v (2 А 4) V (3 А 4)
(1 А 4) V (2 А 3) V (2 А 4)
(1 Л 4) V (2 А 3) V (3 А 4)
(1 А 4) V (2 А 4) V (3 А 4)
(2 А 3) V (2 А 4) V (3 А 4)
(а А а) V (а Л b) V (а А b)
(а А «) V (а А Ь) V (а А b)
(a A«)V (а /\b)\j(a /\~b)
(а A«)V (a A6)V (b_Ab)
(а А «) V (a f\~b) V (а /\Ь)
(а А а) V (a f\~b)\/ (а /\ b)
(а Ao)V (a /\b)\j(b /\ b)
(а А~а) V (а A&)V(« Ab)
(а А а) V (а A b)V (b К Ь)
(а Да)У(« A b)V (b/\b)
(a/\b)\j (a (a /\b)
hb)\/(a/\b)
(a A&)V (« A6)\/ (b Abj
(a A b) V (a A b) \/ (a /\b)
(a/\b)\J (o/\J)V (b A&)
(a /\b)\J (a /\b)\J (b A0
(a A 6) V (a A V (o' A b)
(a Ab) V (« Ab) V (b Abj
(a A b) V (a A b) V (b A b)
(HAb)V (a Ab)V(bAb)
(93)
(94)
(95)
(96)
(97)
(98)
(99)
(100)
(101)
(Ю2)
(ЮЗ)
(Ю4)
(Ю5)
(106)
1(107)
(Ю8)
(Ю9)
(HO)
(HD
(H2)
20
(1 A 2) V (1 Л 3) v	(2	A	3	A	4)
(1 A 2) V (1 A 4) V	(2	А	з	A	4)
(I A 2) v (2 A 3) V	(1	A	3	A	4)
(1 A 2) V (2 A 4) V	(1	Л	з	A	4)
(i A3) v(i A4) V (2 A3 A4)
(i A 3) V (2 A 3) V	(i	A	2	A	4)
(1 Л 3) V (3 A 4) V	(1	A	2	A	4)
(1 A 4) V (2 A 4) V	(i	A	2	A	3)
(a Aa)V (« Ab)V(a Ab Ab) (113)
(a A ^) V (a A b) V (^ А ь A bj (114)
(а л a) V (« A b) V (« A b a b) (115)
(a A«)V(« Ab)V(« Ab Ab) (116)
(a Ab)V(a Ab)V(« Ab Ab) (117)
(tz A b) V (« A b) V (fl A « A b) (118)
(aAb)V(b Ab)V(«A«Ab) (119)
(a Ab)V(« Ab)V(aA« Ab) (120)
V
196
(1 Л 4) V (3 л 4) V (1 Л 2 Д 3)
(2 Л 3) V (2 Д 4) V (1 Л 3 Д 4)
(2. ДЗ) V (3 Д4) V (1 Д2Д4)
(2 Д 4) V (3 Д 4) V (1 Л 2 Л 3)
(aj\b)y	(b	^b) \J (a f\,a/\Ь)
(а Л	&)	V	(fl	Д F) V (a f\b	/\Ь)
(а Д	&)	V	(^	Л £) V (а Л й	Д F)
(а Д	b)	V	(Ь	Д Ь) \J (а Д а	Д Ь)
(121)
(122)
(123)
(124)
(1 Д 2) V (1 Л 3 Л 4) V	(а Л а) V (а Д b Л b) V	
V (2 Л 3 л 4)	V (а Л Ь л Ь)	(125)
(1 Л 3) V (1 Л 2 Л 4) V V (2 Л з Л 4)	(а Д b) V (а Д а Д Ь) \/ _ V (а Л_Ь Л Ь)	(126)
(1 Л 4) V (1 Л 2 Л 3) V V (2 Л 3 Л 4)	(a frb)\J(a /\а /\Ь)\/ V (« Л & Л Ь)	(127)
(2 Л 3) V (1 Л 2 Д 4) V V(1A,3A4)	(а Д b) \J {а Д а /\ b) \J \J(af\bf\b)	(128)
(2 Л 4) V (1 Л 2 Л 3) V V (1 Л 3 Л 4)	(аДЬ) V(«A«A&) V V (й Л ь д Ь)	(129)
(3 Л 4) V (1 Л 2 Л 3) V V (1 Л 2 Л 4)	(Ь Д F) v (« А а к ьу V (а А а !\Ь)	(130)
( (1 Л 2 Л 3) V (1 Л 2 Л 4) V V (1 Л 3 Л 4)	(а Да Д 6) V (« Да Д 6) V V (й Л Ь Д Ь)	(131)
(1 Л 2 Л 4) V (1 Л 3 Л 4) V V (2 Л 3 Л 4)	(сАаЛ&)7(аЛ&_Д6) V V (а Л ь Л Ь)	(132)
(I А з А 4) V (2 Л з Л 4) V V (1 Л 2 Л 3)	(а /\Ь ДЙ) V (с Д& ДЗ) V 7(йЛсДб)	(133)
(2 Л 3 Л 4) V (1 Л 2 Л 3) V V (1 Л 2 Л 4)	(й Л b Л Ь) V (й Л а л Ь) V V (а А а А Ь)	(134)
Здесь имеется 4 + 6 + 124-20+12+6+4 = 64 приведенные фор-
мы, состоящие из трех одночленов.
4.	Формы f (а, Ь), содержащие четыре одночлена:
lV2V3V4|aVHV^\/6	(135)
197
1 V (2 Л 3) у (2 Л 4) V V (3 л 4)	а Д (S Л &) V (« Л Ь) V V (& Л ь)	(136)
2 У (1 ДЗ)У(1 Д 4) V V(3 Д4)	а Д (а Л b) V (а Д b) V У_(ЬДЬ)	(137)
ЗУ(1 Д2)У(1 Д 4) V V (2 Д 4)	b Д (а Д а) V (а Д b) V V (а Л Ь)	(138)
4 V (1 Л 2) V (1 Д 3) у V (2 Д 3)	& Д (а Л а) V (а Л г>) V У(аД5)	(139)
4 (1 Д 2) V (1 Д 3) V (1 Д 4) у V (2 Л 3)	(а Д а) V (а Д b) V (а Д b) V V (а Д Ь)	(33.14) (140)
(I л 2) V (1 Л 3) V (1 Л 4) V V (2 Л 4)	(а Д а) V (а Д b) V (а Д b) V У(аД6)	(141)
(1 л 2) V (1 Л 3) v (1 Л 4) V V (3 Л 4)	(а Д а) V (а Д Z>) V (а Д 6) V V (М Ь)	(142)
(1 л 2) V (1 Л 3) V (2 Л 3) V V (2 Л 4)	(а/\а) \/(а/\ Ь) \/ (а/\Ь)\/ У (а ЛЬ)	(143)
(1 л 2) V (1 Л 3) V (2 Л 3) V V (3 Л 4)	(а Д а) V (й Д b) V (а Д b) V У(^Д6)	(144)
(1 Д 2) у (1 Д 3) v (2 Л 4) V V (3 Л 4)	(а Д а) V (а Д Ь) у (а Д b) V V {Ь Д Ь)	(145)
(1 Д 2) V (1 Л 4) V (2 Л 3) V V (2 Л 4)	(а Д а) V (а Д b) \J (а Д b) V V (а Л 6)	(146)
(1 Д 2) V (1 Л 4) V (2 Л 3) V V (3 Л 4)	(а Д а) V (а Д b) у (а Д b) V V (Ь Д Ь)	(147)
(1 л 2) V (1 Л 4) V (2 Л 4) V V (3 Л 4)	(а Д а) V (а Д b) V (а Д b) V У (Ь Д Ь)	(148)
(1 Л 2) V (2 Л 3) V (2 Л 4) V V (3 Л 4)	(а Д й) V (а Д 6) V (а Д ft) V V (Ь Д Ь)	(149)
(1 л 3) V (1 Л 4) V (2 Л 3) V V (2 Л 4)	(аЛЬ)\ЦаЛЬ)\/(аЛЬ)\/ V (а Д Ь)	(150)
198
(1 л 3) V (1 V 4) V (2 Л 3) v
V (3 Л 4)
(1 Л 3) V (I л 4) V (2 л 4) V
V (3 Л 4)
(1 л 3) V (2 Л 3) V (2 л 4) V
V	(3 Л 4)
(1 л 4) V (2 Л 3) V (2 л 4) V
V	(3 Л 4)
(а Л b) V (й Л b) Ща Л &) V
V (Ь_Л &)_
(а Л b) V (а Л b) \J_(a Д *>) V
у(&Л^)_
(а Д b) V (а Л b) V_(« Л *) V
V (Ь л Ь)
(а Л &) V (й Л Ь) V(«A&) V
V (* Л Ь)
15
(151)
(152)
(153)
(154)
(1 л 2) V (1 Л 3) V (I л 4) V
V (2 Л з Л 4)
(1 Л 2) v (2 Л 3) V (2 Д 4) V
V (1 Л 3 л 4)
(1 д 3) V (2 Л 3) V (3 Д 4) V
V (1 Л 2 Л 4)
(1 Д 4) V (2 Д 4) V (3 Л 4) V
V (1 Л 2 Л 3)
(aha)\/(a_/\b)\/(ahb)V
V (« Л b Д Ь) (155)
(а Д а) V (« Л 5) V (« Л ^) V
\/(a/\b/\b)	(156)
(аЛТОЛТОЛ*)7
V (а А а /\ Ь)	(157)
(а/\Ь) \Ца/\Ь)У (b J\b) V
V (« Л а Д Ь)	(158)
(1 Д 2 Д 3) V (1 Л 2 Д 4) V | (й Д а Д &) V (й Д й Д ft) у
V (1 Л 3 Д 4) V (2 Д з Д 4) I V (й Л b Л b) V (а л b л Ь)	(159)
1
Таким образом, существует 1 +4+15+4+1 = 25 приведенных форм,
состоящих из четырех одночленов.
5.	Формы / (a, b), содержащие пять одночленов:
(1 Л 2) V (1 Л 3) V (1 Л 4) V
V	(2 Д 3) V (2 Д 4)
(1 Л2) v (I Л 3) V (1 Л 4) v
V	(2 А 3) V (3 Л 4)
(1 Д 2) V (1 Д 3) V (1 Д 4) V
V	(2 Д 4) V (3 Д 4)
(1 Д 2) V (1 Л 3) V (2 Д 3) V
V	(2 Д 4) V (3 Д 4)
(а /\ а) \Ца [\b)\/Ja \b)\l
V (a Nb)\J {a l\b)
(а /\ а) \Ца /\b)\J (а Д F) V
V (й Д &) V ((> Л Ь)_
(аДа)У(а Д6)У(а Д&)7
\/(a/\b)\/(b ^b)
(а Д a) VJa Д Л) V (a
V (а /\Ь)У (Ь /\Ь)
(160)
(161)
(162)
(163)
199
(1 A2)V(1 Л4)7(2ДЗ) V
v (2 Л 4) v (3 л 4)
(1 л 3) V (1 Л 4) V (2 л 3) V
V (2 Л 4) V (3 Л 4)
(а Д а) \]_(а (а Д &) V
V (а Д &)V (* Д&)	<164>
(а Д6)у_(аД^)7(аД Ь) V
V (а Д b) V (Ь Д Ь) (165)
6
(33.15)
Существует шесть приведенных форм, содержащих пять одночленов.
6. Формы f (а, Ь), содержащие шесть одночленов:
(1 Д2)У(1 A3)V(1 Д 4) V	(а Д_а)7(а Д^У (а Д^у
V (2 Д 3) V (2 Д 4) V (3 Д 4)	\Ца[\Ь)\/(a/\b)\J (Ь/\Ь) (166)
1
(33.16)
1 Имеется только одна приведенная форма, содержащая шесть одно-
членов.
Всего имеем:
число п функций с к одночленами
15	1
55	2
64	3
25	4
6	5
1	6
166
приведенных полиномиальных форм.
34. Анализ функций нечетких переменных.
Метод Мариноса
Разобьем М = [0,1] на т попарно граничащих интервалов, замк-
нутых слева и открытых справа, за исключением последнего:
11 = [«о = 0, «1 [,	а2[,	1т=-[ат_!, ато=П, (34.1)
где
М - ([а0 = 0, aj) (J (I«i, а2[) U •••U(lam-i>	= 1]). (34.2)
Найдем условия, при которых функция п нечетких переменных
f Os, ...» an), at £[ 0,1], 1 = 1,2,..., n,	(34.3)
будет принадлежать интервалу Начнем с примеров
Пример 1. Пусть
L (“’ t (“ Л t) V (“At А £.)•	(34-4)
200
Какие условия обеспечат соблюдение условия
/(а,	6 Ift,	(34.5)
т. е. выполнение неравенств
«л-1 <2 (Ъ £’ £)< аь?	(34.6)
Рассмотрим выражение (34.4). Его правый член образован двумя
элементами, следовательно, нужно брать наибольший. Начнем с пер-
вой гипотезы.
Г ипотеза 1:
а Д £> а /\b Д с -	(34.7)
Из нее следует, что	
Д £<ай	(34.8)
или в более явном виде	
	(34.9)
и	
а, 1—£)<ай.	(34.10)
Поскольку а и b нельзя располагать произвольно друг друга, то необходимо, чтобы	относительно
1 —а > аА_х и 1 ~Ь > а&_х	(34.11)
И	1—	или/и 1—	(34.12)
Это можно переписать в виде	
а 1 -	и b 1 — ай_х	(34.13)
и	
а > — 1ай или/и b> 1—«V.	(34.14)
Гипотеза 2:	
£ Д £<а Д b Д £,	(34.15)
Из нее следует	
afe-i^£ Д £ Д	(34.16)
или в более явном виде	
Ь, с) <aft,	(34.17)
Не нужно удивляться связкам «и» в (34.13) и «или/и» в (34.14). Для нижне-
го предела необходимо, чтобы как 1 — а, так и 1 — b были больше или
равны х. Но для достаточно, чтобы только одна из величин 1—а или
I — Ь была меньше а*.
201
или
6, 1	(34.18)
Поскольку a, b и с нельзя располагать произвольно относитель-
но друг друга, то прежде всего необходимо, чтобы
а > и b > и 1 — с > аА_ь	(34.19)
а также
a <С а* или/и 6 < «а или/и 1—c<Zah.	(34.20)
Это можно переписать в виде
а и b afe-i и/?<1 — аА_ь (34.21)
а также
a <aft или/и или/и с> 1—аА.	(34.22)
Наконец, эти результаты можно сгруппировать следующим обра-
зом.
Свойство
[fe < 1 - а*-,) и (& < 1 - а^)] или/и (М 23)
[(a > и (6 > и (с < 1 — а^)].
Свойство
[(а > 1 — аА) или/и (£ > 1 — аА)] и
[(а<аА) или/и(& <ak) или/и (с > 1-~аА)].	(34.24)
Чтобы удовлетворялось неравенство (34.6), необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялись свойства и^2.
Чтобы привести пример вычислений f(a, в, с) при конкретных чис-
ловых значениях, предположим, что
а = 0,55, h - 0,57, £= 0,80.	(34.25)
Тогда имеем
I (a, Ь, £)= Н0,55; 0,57; 0,80)
= (1Л1) V feA^ =
= (0,45 Л 0,43) V (0,55 Д 0,57 Д 0,20) =
= 0,43 V 0,20 = 0,43.	(34.26)
Теперь рассмотрим полный числовой пример.
Пример 2. Пусть
f (“• £><) = fe Л f) V (а Д с) Д с;	(34.27)
202
предположим, что интервал [0,1] разделен на три интервала:
[0; 0,2[, [0,2; 0,3[, [0,3; 1].
Сначала рассмотрим интервал [0; 0,2 [.
Гипотеза 1:
	а Д b а Д с,	а Л Ь>с.	(34.28)
Тогда имеем	Д	: о,2.	(34.29)
Таким образом, 0 :	< MIN (а, 1 - Ь) <	: о,2,	(34.30)
	а А 0 и b 		(34.31)
и	а < 0,2 или/и b	> 0,8.	(34.32)
Гипотеза 2:	а Д с>а /\ЬУ ।	а Д с > с.	(34.33)
Тогда имеем	0<С<7 Д с<	2 0,2.	(34.34)
Таким образом, 0	С MIN (1 — а, с) <	: 0,2,	(34.35)
	«С 1 и с	: 0	(34.36)
и	а > 0,8 или/и с *	< 0,2.	(34.37)
Гипотеза 3:	О а /\Ь, с ;	> 2,Л£.	(34.38)
Тогда имеем	°<£<	:о,2.	(34.39)
Таким образом,			
	0<1 — с<	С 0,2,	(34.40)
	0,8<г	: 1-	(34.41)
Теперь рассмотрим интервал [0,2; 0,3[			
Гипотеза 1:	a f\ Ь>а /\ с,	а Л b > с,	(34.42)
	0,2 Д b	<0,3,	(34.43)
	а 0,2 и b	<0,8	(34.44)
и	а <0,3 или/и	t>0’7’	(34.45)
			203
Гипотеза 2:
a/\c>a\b, al\c~>c,
0,2 < а Д c < 0,3,
a < 0,8 и c> 0,2
и
a >0,7 и с <0,3.
Гипотеза 3:
с>а ДБ, с>а Д с,
0,2<с<0,3
и
с < 0,8 И С > 0,7.
Наконец, рассмотрим интервал [0,3; 1].
Гипотеза 1:
а/\Ь>а/\с, а/\Ь>с
/—->	Г^г
0,3 < a Д Б< 1,

а >0,3 и &<0,7
s-s	г*-*
И
а 1 или/и &>j0.
Гипотеза 2:
а Л О а /\Ь, а /\с>с,

0,3 Д с 1,
'"•г
а ^0,7 и с >0,3
и
а 0 или/и с 1.

Гипотеза 3:
с>а Д Ь, О а /\ с,
0,3 < с< 1
и
с<0,7 и с>0.
(34.46)
(34.47)
(34.48)
(34.49)
(34.50)
(34.51)
(34.52)
(34.53)
(34.54)
(34.55)
(34.56)
(34.57)
(34.58)
(34.59)
(34.60)
(34.61)
(34.62)
(34.63)
204
Результаты этого примера можно перегруппировать следующим об-
разом:
а)	0</(а, Ь, с)<0,2.	(34.64)
Свойство
[(а>0) и(Ь<1)] или/и [(а < 1) и (с>0)] или/и (с < 1). (34.65)
Свойство /Уз1’:
[(а<0,2) или/и (Ь>0,8)] и [(а>0,8) или/и (с <0,2)] и
(с >0,8).	(34.66)
Если соотношения (34.65) и /У5*/’ (34.66) выполняются, то
имеем (34.64).
б)	0,2 <f (я, 6, с) <0,3.	(34.67)
Свойство
[(я >0,2) и (Ь <(0,8)] или/и [(а<0,8) и (с >0,2)] или/и
(с <0.8)].	(34.68)
Свойство ^22)'
[(а<0,3) или/и (Ь>0,7)] и [(а >0,7) или/и (с<0,3)] и (с >0,7).
(34.69)
Если соотношения З4)2’ (34.68) и Зэ<22) (34.69) выполняются, то
выполняется неравенство (34.67):
в)	0,3 </(а, Ь, с)< 1.	(34.70)
Свойство 54*31:
[(я> 0,3) и (6 < 0,7)] или/и [(«< 0,7) и (с<0,3)] или/и (с<0,7). (34.71)
Свойство Г^23>:
[(а<1) или/и (Ь>0)] и [(а>0) или/и (^с	1 и (с 0). (34.72)
Если соотношения (34.71) и^<3)) (34.72) выполняются, то вы-
полняется неравенство (34.70).
Важное замечание. Рассмотрим свойства 3\ (34.23) и 3% (34.24).
Можно заметить, что свойства и двойственны по отношению
друг к другу, т. е. одно из них получается из другого заменой симво-
лов:
(<) на (>), (О на (>), (» на (^), (» на (<), (и) на (или/и),
(или/и) на (и).
То же справедливо для (34.65) и (34.66),	(34.68)
и ^(22) (34.69), З5!35 (34.71) и £^(23) (34.72) (для двух последних > заме-
няется на и < заменяется на так как последний интервал
замкнут как слева, так и справа).
205
Это свойство отнюдь не случайно; это общее свойство для всех при-
веденных полиномиальных форм относительно V или Д.
В качестве примера рассмотрим также полиномиальную форму
относительно Д.
Пример 3. Пусть
L (£> Ь £)= (£ V &) Л (£ V£).	(34.73)
При каких условиях 6, £)<aft?	(34.74)
Гипотеза 1: a V b<Zb\J с.	(34.75)
Отсюда «л-i <£ V b < aft	(34.76)
или Ял-1<МАХ(а) £)<aft.	(34.77)
Поскольку а и b нельзя располагать произвольно относительно	
друг друга, то необходимо, чтобы или/и ft^a^^	(34.78)
и 4Z<aft и ft<afe.	(34.79)
Гипотеза 2: b V с > а V ft.	(34.80)
Отсюда \/£<аь	(34.81)
или а^^МАХр—b,	(34.82)
Таким образом, ft 1 — аЛ„! или/и с аА_!	(34.83)
и	~ ft > 1 —и с < aft.	(34.84)
Перегруппировав полученные результаты, имеем
Свойство SP'i-
[(a>aft_i) или/и (Ь >«,,_,)] и —aft_j) или/и
(34.85)
Свойство
[(a<aft) и (6<ай)] или/и [(6>1 — aft) и (£<«*)]. (34.86)
206
Чтобы неравенство (34.74) удовлетворялось, необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялись свойства И ер'.
Отметим, что здесь опять проявляется свойство двойственности, но
или/и занимает место и наоборот.
35. Логическая структура функций нечетких
переменных
Напомним, что в пропозиционной алгебре препозиционная связка
«и» обозначается через А,	(35.1)
«или/и» обозначается через V,	(35.2)
«дополнение» обозначается через	(35.3)
и утверждения с этими связками строятся в точности по тем же прави-
лам, что и соответствующие им в_булевой алгебре *) причем А соответ-
ствует П , V соответствует J , соответствует
Для представления логической структуры отношений (строгих или
нестрогих неравенств), которая появляется у функции нечеткой логи-
ки, рассматриваемой на интервале [afe_i,afe], будем использовать сле-
дующие символы.
Пусть f (a, b, /)— функция нечетких переменных а, Ь, ..., I и
пусть [afe_i, afe] — сегмент. Если х и у — некоторые переменные, вхо-
дящие в /, будем использовать следующие символы:
	3= «й-1),	(35.4)
SP- = (х | х <	: 1—	(35.5)
		(35.6)
^7 = (*|х -	>i —«а).	(35.7)
Предположим, что функцию/(я, Ь, ... /) можно представить в при-
веденной полиномиальной форме относительно V- Чтобы получить
логическую структуру в интервале [aA_v afe[, поступают следующим
образом:
1)	выражение вида х А У заменяют выражением	На-
пример, выражение а Д b Д с заменяют А$\ А.^-,
♦) В ряде работ, рассматривающих булеву препозиционную логику, упот-
ребляются символы Д, V и И так же> как и другие символы =>, <==>, кото-
рые не используются в этой главе. Условимся использовать связки Л и V для
обозначения минимума и максимума до тех пор, пока на их месте не появятся
А и V- Позднее нам придется использовать символы Д и V для обозначения
нижнего и верхнего пределов упорядоченной системы элементов. Но в этом
смысле символы А и V будут использоваться в тех параграфах гл. V, где рас-
сматриваются совсем другие вопросы, и поэтому опасность перепутать смысл
минимальная. Во всяком случае, читатель уже предупрежден.
207
2)	одночлены функции f, объединенные символом V, заменяют од-
ночленами 3s, полученными по 1), и объединяют символом V. Напри-
мер, (а Л b Л V Л е) заменяют (3s- Д ёРь ДЗ^) у (3^ А 3s,);
3)	составляют логические выражения, двойственные полученным
в 2), заменяя SPX на £РХ, 3^ на 3^, Д на V, V на Д. Например,
(3^ Д 3% Д 3s?) V (3V V3SC) принимает вид (З5^ V3^ V3^) Д (3^
4)	результаты, полученные по 2) и 3), объединяют символом Д.
Это дает логическое выражение/в интервале [a fe_1? a ft[. Так, для при-
мера, уже рассмотренного в 1)"и 3):
/(а, Ь9 £) = (а Л b Л £) V (Т> Л £),	(35.8)
логическое выражение имеет вид
35 = ЛЗ^) V (3s* ДЗМ1 Д[(3^	л vO* (35.9)
Если функция f (а, Ь. ..., /) представлена в полиномиальной форме
относительно Д, правила 1) — 4) модифицируются следующим обра-
зом:
1)	каждое выражение вида х V У заменяется выражением
2)	одночлены функции /, объединенные символом Д, заменяются со-
ответствующими одночленами в 3s, объединенными символом Д;
3)	составляются выражения, двойственные тем, которые были по-
лучены в 2);
4)	объединяются результаты шагов 2) и 3) символом Д.
Рассмотрим пример. Пусть
L bJ £’ $) = Л V d) Л (tv £)•	(35.10)
Имеем
Ф =\№ау&ь) A(3S*V3S£) Д(З^уЛ)]А ) V(^£A	А^)] •
(35.11)
Чтобы проиллюстрировать это на числах, предположим, что
[а^ъ сц [ - [0,6; 0,8[ .	(35.12)
Тогда выражение (35.11) можно записать так:
п^О^Х / Z? ^ 0,6\	/	c^0,4V
-	и	~	и
\или/и 0,4/	\ или/и d0,4/	\или/и d 0,6/
(35.13)
и
а<0,8\	/ Ь<0,8\	/ с>0,2
или/и ~ или/и ~
и b > 0,2 /	\и d > 0,2 /	I и d< 0,8
208
Интересно разложить логические выражения по 9Х, 9Х, 9Х и
которые дают Достаточные условия для каждого одночлена в раз-
ложении относительно V. Это легко показать на примере. Рассмотрим
снова (35.8):
/(«,£,£) = (« Л ^Aj) V(?A£);	(35.14)
предположим, что
[«ft-х, Яй [= [0,3; 0,8[.	(35.15)
Мы уже подсчитали 53 [см. (35.9)]. Теперь продолжим разложение
(35.9), чтобы преобразовать это выражение в полином относительно V:
3s = [(^а	) V С )1 Л 1(^5 V-^6 У^%) Д 'с)] •
(35.16)
Чтобы сократить выкладки, условимся вместо 9ХМРУ писать 9x9v\
9 = (9-3>ъ 9- \/9у9^ \9'ь у9^)	=
= (9-9ъ_9- \7.9'£ S%) (9-а 9-ь \9^9'с У^'	У 5%	V
уЗ'ь 9-y9j9-с) = 9- 9^9ъ9'ь 9- \9- 9^93ъ9-9'су
\9- 9ь 9'ь 9^ 9- \9- 9ь 9'ь9-9'с у9- 3\ 9’у 9- 9-с у
у^- 9Ь9-9’с9-с\9^9Ъ9^9с\/9^9^9С9'С	9'ь 9^9су
\]9^9'ь 9^9'с V9s9^9c9'c	^'с 9-с.	(35.17)
Каждый из этих одночленов достаточен, поэтому имеем
0,3<(а Л £Д с) \/(йЛ£)<0,8.	(35.18)
Проверим это, например, для
9ь9ь9ъ 9С (девятый одночлен).	(35.19)
Применяя определения (35.4) — (35.7), получаем
9ь : b (1 — 0,3), следовательно, b 0,7,
^ь:6<0,8,
^:£>0,2,	(35.20)
9£: с > 0,3.
Таким образом,
0,2 <&< 0,7 и с >0,3.	(35.21)
Эти неравенства представляют собой достаточные условия для того,
чтобы соотношение (35.18) было верным.
209
Столь же интересно провести двойственное разложение относитель-
но А. Обратимся опять к примеру ((35.14) и (35.15)) и разложим поли-
номы относительно Д; (35.14) дает
f = b) с) b) K(b\J с) Д (с V£) Л (J V £).
(35.22)
Опуская значок А, получаем
& = (^Л) (SPay^c) ^ьу^ь) (-^ьУ^с) №суФ-с) Х
Х	V&'t^'by&'b&'c'V&'c,V&l&l)-	(35.23)
Отметим, что если произвести разложение по V, то снова придем
к соотношению (35.17) с точностью до сокращения немаксимальных од-
ночленов*).
Таблица 35.1
Основные функции двух нечетких переменных и их логические структуры
для интервала [«k-ь а&[
l (°,	Полиномиальная форма	
	относительно у	|	относительно А
а ль	дм“ д ) v ( д^> Д^£)	(^а)А(^Ь) Д Д(.?£У^>£) (35.24)
^къ.	(^7 д	v (^д^д Уь )	(^а)Д(П)Д д(^£д^£) (35.25)
	(^Д^Д V	Д^°ь)	(^)д(^£)д (35.26)
а V b	(&а	Mb) V Д^ь^А^)	(^£)д(^)д Д (уа	(35.27)
*) Понятие максимального одночлена в этих разложениях по Д или V сов-
падает с тем, которое дано в § 33, но применяется здесь к логическим функциям
типа (35.17) или (35.23). Вследствие свойств встречающихся в булевой ло-
гике, редукцию можно продолжить, считая, что утверждение ^°Д^° всегда
лоясно, a всегда истинно, но здесь в этом нет нужды, так как отрицание
Ф никогда не появляется.
210
Окончание табл. 35.1
	Полиномиальная форма	
	относительно v	|	относительно А
а у b	Д^Д^) V д^ь д^)	(.^)Д(^)А Д (5°J V.9°b) (36.28)
а V b &	Д.9° Д^) V (^£Д.^ Д^)	(.^)Д(^)Д Д (^>- V^>t) (35.29)
(а л^) V («м)	(.9\ Д.90’ Д-9°^	V V(.9°a Д^Д9°; Д9°й)У V (.9°а Д.95^ Д.90д ?0^) V V (.9°о Д<?°& Д'^ Д.9°^) V V(.9°^ Д^ Д^Д.^Ь) V V	Д-9^ Д.9°6 Д^) V V (.9°^ Д.9°^ Д 9% Д.50^) V ?(^Д^дД^;д^)	(^аУ^а)Д(^^*)Д Д (^а	Д Д	j д Д	V^0^) д д(^у^>;) (35.30)
(“Vi)A(aVfr)	Д-9°; Д.^*Д^)7 v (^>а д^ д$>ь д.у>£) V V (&а Д&^ №'а ^b) V v (.^а д^д д V (.^д Д^ь Д.^ A&b) V V д^ь д^	V V Д^'а Д^Д^^) V V д^>~ д.^ Д^)	Д	V^£)A Д	V5°;) Д д(^; 7^)д Д (.5°^ V^°^) Л A(^V9°f) (35.31)
Эти выражения можно упростить, если известно расположение otfe-i + a*
относительно 1.
211
Важное замечание. Если нечеткая переменная а принимает свои
значения в интервале
% = [яья2[с:[0,1],	(35.32)
то переменная а = 1 — а принимает свои значения в интервале
=11—Яг. I—Я1]с [0,1).	(35.33)
Если а принимает свои значения в интервале
%-[0, аг [ U [а2, 1],	(35.34)
то я — в интервале
®£ = [0,1 — а2] (J ] 1— ai> 1].	(35.35)
36. Композиция интервалов
Пусть
яС2)я=[яъя2[	(36.1)
и
^®ь = [&1Л[.	(36.2)
Тогда какому интервалу 3)адь принадлежит а Д Ь? Легко видеть,
что
я Д Ь£, [Яг Д bi, а2 /\ Ь2 [.	(36.3)
Аналогично
я V 6 G %Д= [ai V &i, «г V Ъг [.	(36.4)
Пример. Пусть
SDa = [0,6; 09 [ и ®ь = [0,2; 0,7 [.	(36.5)
Очевидно, что >
[°>6 А °>2; °’9 А о>7 [ =	(36.6)
= [0,2; 0,7 [,
= [0,6 V 0 2; 0,9 V 0,7) [ =
= [0,6; 0,9 [.	(36.7)
В силу свойств (32.14) и (32.15) аналогично можно показать, что
если
я =[яь я2[, & £	62[, с_е S)c_=*[eL, с2[, (35.8)
то
£ А £ А £ € А * де = [Я1АЬ1/\Съ Ь2/\съ [	(36.9)
212
и
а V b V £ €	= [fliV^iVci> a2\/b2\/c2[.	(36.10)
Интересно рассмотреть также случай, когда нечеткие переменные принимают свои значения в дополнении к интервалу. Если	
®а=[0, а±[ и [а2, 1]	(36.11)
И % - [0, ШЖ 1], то получим следующие результаты: для	(36.12)
f (а, Ь) = а Д &, а £ Фа. & € Фь, имеем	(36.13)
для	(36.14)
Ца. =	а£фа, Ь£ф^ имеем	(36.15)
“ [0> ^1А ^*2 I U 1^зЛ ^2 [•	(36.16)
Ниже приведена табл. 36.1 основных случаев (36.17) —(36.24), когда = [alt а2[и 3)ь={Ьг, Ь2[. Конечно, нет оснований путать	с	
%=[0, MU [а2, 1],	(36.25)
®а = ] 1—«2> 1—«11 и, наконец,	(36.26)
[0,1—аа]U] l-ах. 1L	(36.27)
С помощью выражений, приведенных в (36.17) — (36.24),	можно по-
лучать области определения более сложных функций f (а, Пример. Найти области определения	Ь,
/ (а, &) =а /\Ь, зная, что	(36.28)
®а_=Ч«1, «2 [и ®й_ = [&1, b2[. Из (36.29) и (36.26) выводим	(36.29)
=1 ! —«2, 1—01].	(36.30)
213
Таблица 36.1
Восемь основных случаев при 3)а— [«i, а2[ и &ъ = Ы
X (£, Ь)	Область определе- ния а	Область определе- ния Ъ	Область определения f (а, Ь)	
				(36.17)
адь			[0, «lAftg [U 1«2Л&1, Щ	(36.18)
		^6	(0, &iAa2 111 [62A<Zi, а2[	(36.19)
		<^b	[0, aiVbi [U [a2A&2, И*’	(36.20)
		&ь	[aiVbi, a2Vb2[	(36.21)
ayb		3>ъ	[&i, a!V&2 (U [a2V6i, 1]	(36.22)
		3)ъ	[ai, &iVa2 [|J [&2Vai, 1]	(36.23)
			[0, fliV^i [U [a2Afe2, 1]	(36.24)*)
•) Таким образом, выражения (36.20) и (36.24) дают один и тот же интервал.
Используя (36.17), после замены на 1 — а2 и а2 на 1 — и при-
нимая во внимание направление квадратных скобок, получаем

1 —й2 и 1 —а,	Ь2,
1(1— «2) Л th, (1—
1—a2>bi и 1—
1 — а2 b, и 1 — а, > Ь2,
1 —а2 > bi и 1 —> Ь2
(36.31)
и, таким образом,

] 1— а2, 1—GJ,
[Ьъ 1—01],
1 1	^2> Ь2 [,
.[bi, Ь2 [,
если 1—a2^bi и 1—ai<Jb2,
еСЛИ	<36.32)
если 1—а2^Ли 1—Л1>&2>
если 1—a2>&! и 1—аг>Ь2>
214
Случай дискретной функций принадлежности. Предположим, что
интервал [0,1] разбит на 10 равных частей, определяющих, таким об-
разом, 11 дискретных значений:
М = {0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}.	(36.33)
В этом случае для функций, подлежащих рассмотрению, удобно
составить таблицы, представленные на рис. 36.1 — 36.8. В теории функ-
ций нечетких переменных эти таблицы играют роль, аналогичную роли
таблиц истинности при изучении функций булевых переменных. Но
теперь вместо двух значений переменной и законов булевой алгебры
нам приходится иметь дело с большим числом значений — от 0 до 1
и с законами (32.12)—(32.26), определенными в § 32.
На рис. 36.1 —36.12 для сокращения записи десятичные дроби
0,1, 0,2, 0,3, ... представлены как 0, 1, 2, 3,...
Посмотрим, как применяются эти таблицы.
Пример 1. Пусть
/(£.*) = « Л	(36.34)
где а е {0,2; 0,3; 0,4; 0,5);	(36.35)
££{0; 0,1} U {0,7; 0,8; 0,9}*>.	(36.36)
Мы воспроизвели рис. 36.2 еще раз на'рис. 36.9. Изучение заштри-
хованной части показывает, что
а Д Ь € {0; 0,1} U {0,5; 0,6; 0,7; 0,8}.	(36.37)
Пример 2. Пусть
£ (а, 6, с) = (а Д 3 Д с) V с,	(36.38)
где
а 6 {0,3; 0,4; 0,5};	(36.39)
Ъ 6 {0,1; 0,2;} (J {0,6};	(36.40)
£ 6 {0; 0,1} U {0,7; 0,8; 0,9; 1}.	(36.41)
Сначала положим
d = a f\b	(36.42)
и рассчитаем область определения d с помощью таблицы на рис. 36.10
(которая представляет собой транспонированную таблицу на рис. 36.2).
Находим
d — a Л € {0,3; 0,4; 0,5}.	(36.43)
Теперь найдем область определения
е =d Д с = а /\ b Д с	(36.44)
*) Можно написать {0; 0,1; 0,7; 0,8; 0,9), но мы разделили отстоящие друг
от друга элементы, чтобы можно было легче увидеть составные части.
215
Ь
SK~ ч 0.7 .2 .3 А. .5.5.7.8.9 7
а О
.1
.2
.3
А
А
А
.7
.8
А
7
ъ
.7.2.3 fy.5.3.7.8.9 7
0	0	0	0	0	0	0	0	0	9	9
0	7	7	7	7	7	7	7	7	.7	.7
0	7	.2	.2	.1	.Z	.2	-2	.2	.2	2
9	7	.2	А	.3	А	.3	.3	.3	.3	.3
0	7	.2	.3	А	А	А	А	7/	А	А
0	7	.2	А	А	,3	А	А	А	А	А
9	7	.2	А	А	А	А	А	А	А	А
9	7	.2	.3	А	А	А	.7	.7	.7	.7
9_	7	.2	.3	А	А	А	.7	.8	.8	А
9	7	.2	.3	А	А	А	.7	.8	А	А
0	7	.2	.3	А	А	А	.7	А	.9	f
Рис. 36.1
а О
.7
.2
3.
А
А
А
.7
.8
А
7
0	7	.2	.3	А	А	А	.7	.8	.9	7
0	7	.2	.3	А	А	А	.7	.8	А	.9
0	.7	.2	.3	А	А	А	.7	.8	.8	.8
0	.1	.2	.3	А	А	А	.7	.7	.7	.7
0	7	.2	.3	А	А	А	А	А	А	А
0	7	.2	.3	А	А	5	А	А	А	А
7	7	.2	.3	А	А	А	А	А	А	А
0	7	.2	.3	.3	.3	.3	.3	.3	.3	.3
9	7	.2	.2	.2	.2	.2	.2	.2	.2	.2
0	7	7	7	7	.7	.7	7	.7	.7	.7
0	0	0	9	9	0	0	9	9	9	9
Рис. 36.2
Ь
а Л 6Х О .1.1.3 Jt .5.6.7.8 .9 7
а О
~ .7
.2
.3
А
А
А
.7
.8
.9
7
7	.9	А	.7	А	А	А	.3	.2	.7	0
.9	.9	А	.7	А	А	А	.3	.2	.1	9
А	А	А	.7	А	А	А	.3	.2	.7	9
.7	.7	.7	.7	А	А	А	.3	.2	.7	9
А	А	А	А	А	А	А	.3	.2	.7	9
А	А	А	А	А	А	А	.3	.2	.7	9
А	А	А	А	А	А	А	.3	.2	.1	0
.3	.3	.3	.3	.3	.3	.3	.3	.2	.7	9
.2	.2	.2	.2	.2	.2	.2	.2	.2	.7	9
.7	.7	.7	.7	.7	.7	.7	.7	.7	.7	9
9	9	9	0	0	0	0	9	0	9	9
6
~0
а О
.7
.2
.3
А
А
А
.7
.8
.9
7
9	.7	.2	.3	А	А	А	.7	.8	.9	7
7	7	.2	А	А	А	А	J	А	.9	7
.2	.2	.2	.3	А	А	А	.7	.8	.9	7
.3	.3	.3	.3	А	А	А	.7	.8	.9	7
А	А	А	А	А	А	А	.7	А	.9	7
.5	А	А	А	А	А	А	.7	.8	.9	7
А	А	А	А	А	А	А	.7	.8	.9	7
7	.7	.7	.7	.7	.7	.7	.7	.8	.9	7
.8	.8	.8	.8	.8	.8	.8	.8	А	.9	7
	.9	.9	.9	А	.9	.9	.9	.9	.9	7
7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7
Рис. 36.3
Рис. 36.4
.2
.3
А
А
.6
.7
8
А
7
6
аУд^ 9 7 .2.3 А А А .7.8.9 7
1	7	7	7	7	7	7	7	7	1	_7
.9	.9	.9	.3	А	А	.9	.9	.9	.9	7
.8	А	.8	.8	.8	.8	.8	.8	.8	.9	7
.7	.7	.7	.7	.7	.7	.7	.7	.8	.9	7
А	А	А	А	А	А	А	.7	.8_	А	7_
ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕН
А	А	А	А	А	А	А	.7	.8	.9	7
.3	.3	.3	.3	А	А	А	.7	.8	.9	7
.2	.2	.2	.3	А	А	А	.7	.8	.9	7
.1	.7	.2	.3	А	А	А	.7	.8	.9	1
9	.7	.2	.3	А	А	А	.7	.8	.9	7
Рис. 36.5
ь
дУ 6 ^9 .7.2 .3 ААА.7.8.9 7
д
IHI
.2
.3
А
А
.6
.7
.8
.3
1
ВЕЕЕЕЕЕЕЕЫЕ
7|.7|.7|.7|.7|.7|.7|
ЯЯЯЯЯ
ПЕЕЕЕЕ_____,
ПЕЕЕЕЕЕЕБЕЕ
А
7_
_7
7.
7
А
А
А
.9
8
.8_
А
.8
7
,7
.7
7
7
А
А
А[а1А
аЩа
aiaTa
А
А
А
А
.3
А
А
2
7
.2
А
5
2
.7
Л
А
7
7
О
Рис. 36.6
216
b	- ~	~
faA0 2 2 .3 Л .5.62.8 .9 1 (gVWgV4\ 0 2 2.3 .4.5.62.8.9 7
а о д_
2
.3
Л
.5
.6
.7
.8
.9
7
IBEI
IOBI
IEBI
JEEI________
ЕВВВВБЕЕЕЕВ
ЕБЕБЕЕЕЕЕЕЕ
ЕЕИЕЕЕВЕВВВ
ВВВВЕЕЕВЕЕЕ
ЕЕЕНЕЕЕЕЕЕН
ЕЕЕИЕЕЕЕИИИ
НЕЕИЕЕЕЕИНИ
Е
л
л
л
2
5
.6_
-6_
2
2_
7
7
3.
3
6
3
2
2
2.
.8
a
ВЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ
Z7JSEEEBEEEH
ЕЕЕЕБЕЕЕННЕ
ВВВВЕБВВЕЕЕ
ЕЕЕЕЕБЕВЕВВ
ЁЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ
ЕЕЕЕВЕББЕББ
ееееебеееее
ЕНЕЕВБЕВЕЕЕ
НЕЕЕЕЕБЕЕЕЕ
ИИЕЕВЕЕВЕЕИ
О
j |.<У|7
2
.3
.4
.5
.6
2
.8
.9
Рис. 36.7
ah 6
О
2
О 7
0_
0
2_
2
2 .3 .4 .5.6
Ж
2
2
7
2
2
2
2
2
.3
.3
.3
.3
•1
.3
.3
Л_
Л
Л_
Л
Л
Л
Л
.3
.5
.5
.5
.5
.5
л_
.3
.6
.6
7 .3 .9
7
.7
.8
.8
.9
.9
.6^
Л
.3
Л
.3
.4
.3
Л
.3
7
7
.9
.8
7
'L
.5
Л
.3
ЕИЕННИВВВВВ
'8
.9 R|7|7|7|7|7|7|7|7|7|7
7 к|7|7|7|7 О О 7|7|7|7
Рис. 36.9
Рис. 36.8
с
-	J^Tz|.2 .3 Л	/|
ВББВББВБВВВ
^^ВВВВВВ^БВ
о
BBB
BBB
BQ Bl______
SESEE
BQBEBBQB^rj^l
BQBSBBBB^^
BBB
BBB
BBB
BBB
BBB
_ о
7 р|./|7|7
.2 Ы71.21.2
. .31
.4
"717|71.21.3
.716 2121.3
.8 Р17 .2 -3
.7 kkkl.j
.3
0_
7
2
.1
A
Л
Л
.4
2
^6
.5
В
п
9l5l6
21212
2]2j2
лиТб
Jt7j2
ТГтИ
J12L8
-61-7 |Л
IBI
2
0
7
2
Рис. 36.11
7
2
.9
.6_
7
2
.9
.2 |7|7|Л|7|.3|.5|.4|.3|.2|.2|.2|
.3
.4
.5
.6
7
.8
.9
^^ВВВБВШББ
^ВВББВВВШ
^ВБВББВБВБВ
QE БВБЕЗЕЭ ЕЗЕЯБЁ
7	.9	.8	7	2	.7	7	7	7	7	7
7	.9	.8	.8	.8	.8	.8	.8	.8	.8	.8
7	.9	.9	.9	.9	.9	.9	.9	.9	.9	9
7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7
Рис. 36.12
217
с помощью таблицы на рис. 36.11 (которая совпадает с таблицей на
рис. 36.1). Находим
e = d Д с = а Д & Л £(: W 0,1}(J{0,3; 0,4; 0,5}.	(36.45)
Наконец, подсчитаем область определения
/ =£ V £ = (^ Л£) V £ = (£ Л £ Л £) V£ (36.46)
с помощью таблицы на рис. 36.12 (представляющую собой транспони-
рованную таблицу на рис. 36.5).
Находим
f(a, b, £)€{0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5}(J{0,9; 1}.	(36.47)
37. Синтез функций нечетких переменных
Рассмотрим следующую проблему: как для заданных переменных
а и & (мы начнем с двух переменных) построить функцию f (а, Ь),
принимающую значения в интервале [аь_х, ak [?	~ ~ ~
Как видно из таблицы основных функций двух нечетких перемен-
ных и их логических структур для интервала [a^x, afe[ [см. (35.24) —
— (35.31)1, проблема имеет не единственное решение. Для представ-
ления f (a, &), принимающей значения в интервале [ай_х, ак [, можно,
например, выбрать функцию вида а /\ b (35.24).
Какое бы представление мы не выбрали, при этом должна удовлет-
воряться соответствующая выбранному представлению полиномиаль-
ная форма относительно V или А и выполняться соответствующее ус-
ловие типа З5. Мы выберем представление функции относительно А (хо-
тя можно выбрать многие другие, но в нашем случае полиномиальная
форма будет немного проще):
а) A (^д) А (^>£ W),	(37.1)
т. е. с учетом обозначений (35.4) — (35.7)
( а ^«ь-11	( а <а>,)
~ и ~	•	(37.2)
Iй £ afe-i)	[или/и £ <
Решение можно представить с помощью любой другой функции, на-
пример функции а /\~Ь (35.25), для которой имеем
(5s-) Д^д) А (£Р<- У^д),	(37.3)
и, таким образом,
( а «С 1—ccfe-i) (	а>1—ой]
и ~	•	(37.4)
1и	1или/и&<ай	'	'
218
и
Теперь, возвращаясь к (37.1) и (37.2), предположим, что нижние и
верхние пределы для переменных а и b можно задать следующими зна-
чениями:	~
a
. ~	•	(37.5)
Lили/и о < аи41
Теперь можно ввести коэффициенты согласования ’кц, называемые
в некоторых методах мультипликаторами:
Х21	= ak и Х22 ау4 = aft (37.6)
или
Л11 — -----,	Л12~ ----->	Л13“-----,	Л22 —---• Р'-О
WY	W2	W3	W4
Чтобы технически реализовать функцию f (а, Ь), которая принима-
ет значения в интервале [ай„ъ aft [, когда две заданные переменные а и b
изменяются соответственно в интервалах [wn йу2 [и [пу3, w4[, можно по-
строить схему аналогичную той, которая изображена на рис. 37.1
Для элементов этого типа будем во всех схемах использовать сле-
дующие символы:
6
ос*
—	устройство параметрического согласования для вос-
становления ай_г и aft;
—	логический элемент, реализующий и;
—	логический элемент, реализующий или !и*\
—	логический элемент, реализующий отрицанием (37.8)
—	устройство, задающее нижний предел}
— устройство, задающее верхний предел.
Пример 1. Осуществим синтез схемы при условии
«k-iCffe. £)<ай>
(37.9)
используя для этого следующее представление функции:
= A£)V(a Л£)-	(37.Ю)
*) Автор предпочитает использовать ИЛИ/И для или/и, а не ИЛИ, которое
может привести к путанице; специалисты по ЭВМ более склонны использовать
ИЛИ.
219
Обращаясь к правилу, приведенному в § 35, видим *>:
= ЦЗ5 а А55 ь) V (&а Д^)] Д [(^l V^f) Д (^7 V^f)] , (37.11)
что можно переписать в виде
и
(37.12)
Если пределы таковы, что
(37.13)
то можно видеть, что
X11=-2bL,	, Х13 = .-—bi, x14 = -^bl_, (37.14)
w2	w3	w4
л ___	л ___ 1	_ 1 (Xfe л Otfe
Л21 —	>	Л22 —	’	Л23----------f ^24 —-----•
t06	&7	Ws
Следовательно, мы получили схему элементов, изображенную на
рис. 37.2.
Рис. 37.1
Рис. 37.2
*) Можно также использовать редуцированные выражения (35.30).
220
Пример 2. Описать реализацию
aw<f fe» b>cy d)<ak,
(37.15)
где
f (a, by c, d) = (a V by с) Д (a V £ V d).	(37.16)
Используя правило из § 35, положим
A(^~V3% V.^£)]A	A5^)V (^- A^£A.^d)].
(37.17)
Это выражение можно переписать в виде
\	/	£<1 — aft_x
или/и b^ak^ I и I или/ис^с^-х
или/и с 1 —afe_x / \ или/и d аА_г
и
(37.18)
и
Следовательно, для ограничений имеем
а		/	а	С wi
или/и b		и I или/и с 2	> щ
или/и с		уили/и d 2	
(37.19)
а для Хц
A	ttfe—1	A o&k—1 А   1 ’&k—l А   1	1
Л11 “----------9	Л12 — ---------9	Л13--------------9	Л14 —	>
ttJi	W2	W3	tt»4
A	ak—1	A _ CLk—l A _____________ a/l A &k A   I	/Q7 OA\
л15 ” ---------> A16 — -------> Л21 —---------> ^22 —--------9 ^23 —--------------» W'
W5	W6	W?	Wg	ОД
A _____ 1	1	_
д24 „ ------------,	д25 „ ------1	.
ПУ1О	W±1	w12
На рис. 37.3 представлена реализация этих результатов.
Схемы типа тех, что изображены на рис. 37.1 —37.3, называются
примарно-дуальными.
221
Любая схема примарного типа реализует условие
aA-i<2(a, Ь, ...).
Любая схема дуального типа реализует условие
f (а, &,...) < аь.
Чтобы получить
(37.21)
(37.22)
(37.23)

не обязательно строить примарно-дуальную схему, можно также опе-
рировать с одночленом приведенной формы относительно V. Рассмот-
рим два примера.
На рис. 37.1 мы уже видели, как с помощью (37.1),
Пример 3.
(37.2), (37.5) — (37.7) представить
A b<ah
(37.24)
примарно-дуальной схемой, полученной на основе полиномиальной
формы относительно Д (35.24).
Теперь используем полиномиальную форму относительно V (35.24).
Для этого достаточно взять несколько одночленов
= (^а Д^£ Д^б) V	Д3% W).	(37.25)
222
Символ V указывает, что достаточно только одного-единственного ус-
ловия, т. е. одночлена. Возьмем, например, первый
(37.26)
который дает
(а > и (a < ak)
(37.27)
или
a > aft-i
и b > ah_i
и (a<«ft).
(37.28)
На рис. 37.4 изображена синтезированная технологическая схема.
Замечание. Нет ничего удивительного в том что схема на рис. 37.4
может дать тот же результат, что и на рис. 37.1, т. е.
“а-1 С £ Л b < aft,	(37.29)
поскольку для функции f (а, Ь) — а Д Ь
(«а-i С а Л b < aft)<==>(aft_i < а Л tи £ < Ч (37.30)
что иллюстрирует к тому же разложение относительно V (форма
(35.24)).
Пример 4. Рассмотрим снова пример I, разобранный в (37.9) —
(37.14). На этот раз вместо того, чтобы строить полиномиальную фор-
му относительно Д (35.30) или производить примарное разложение, ис-
пользуем один из термов разложения в V (35.30), например шестой од-
ночлен:
Д^- №>ь МЧ,.	(37.31)
Соответствующие условия имеют вид
/ a^l—аА_г\ /
I ~	I и I ~
\и b	aft_! I \ и b <aft
(37.32)
Отсюда получаем схему, изображенную на рис. 37.5, очевидно, бо-
лее простую, чем на рис. 37.2.
223
Замечание, Если любую функцию f (а, Ь, ...) можно взять за ос-
нову разложения в полиномиальную форму относительно V, в ко-
торой каждый одночлен содержит только элементы 9ЬХ или/и
или/и &'Х9 или/и 5^, связанные Д, то реализацию функции можно обес-
печить технологической схемой, которая содержит только И и НЕ.
Но по теореме де Моргана можно написать
,	(37.33)
W^-^Д^',	(37.34)
поэтому, используя условия типа можно провести разложение,
идентичное тому, которое дает полиномиальную форму по V, при этом
& заменяется на 5е*, V на Д и Д на V. Следовательно, можно получить
технологическую схему, которая содержит только операторы ИЛИ'И
и НЕ.
В действительности можно использовать чрезвычайно разнообраз-
ные комбинации операторов, как это принято у разработчиков ЭВМ.
Точно так же можно использовать только один оператор, например
Шеффера или Пирса, т. е.
5&1|^2 = ^1V^2	(37.35)
или
sPi | =Э1 д^2>	(37 •36)
но в технологическом отношении это часто оказывается неудобным.
Смешанные схемы. Называя примарными условия типа
6, ...)	(37.37)
и дуальными условия типа
f (a, b, ...)<Zah,	(37.38)
можно оперировать сразу со смешанными схемами, для которых
Uk-i< fi(a, Ь, ...)	(37.39)
и
/2(а, Ь, ...)<ай.	(37.40)
Для сборки такой схемы достаточно использовать технологичес-
кий оператор И, примерную схему для (37.39) и дуальную схему для
(37.40). Рассмотрим пример.
Пример. Реализуем
А~	(37.41)
и
fafe. Д. £) = (£ЛУ V(6 A£)<“a-	<37-42)
224
Для h примарные условия имеют вид
&>- №>ь,
т. е.
а < 1—aft_i
и b > ай_х
Для f2 дуальные условия имеют вид
(З3; V.n) A V^£),
(37.43)
(37.44)
(37.45)
т. е.
(37.47)
а <^k\ /	6>1—ah
~ и	~
или/и Ь < afty (или/и с < ak
Соединив (37.44) и (37.46) конъюнктивной связкой И, получим
(	«<1 — “Л-1
\и
и	4
«СаЛ /	—aft
~	и	~
или/и b < ahJ (или/и с <С а*
И окончательно приходим к синтезированной схеме, изображенной на
рис. 37.6.
(37.46)
Рис. 37.6
Таким образом, схема на рис. 37.6 обеспечивает одновременно вы-
полнение условий
a*-i «С £ Л b и (а Д Ь) V (£Л £) < «ь (37.48)
при подходящем выборе коэффициентов Klf.
Все рассмотрения настоящего параграфа допускают различные обоб-
щения, что, возможно, заинтересует некоторых наших читателей.
8 Зак. 461	225
Замечание. Те, кто знаком с электроникой, знают, что техническое
воплощение нечеткой логики и нелегко и неэкономично (надо стабили-
зировать мультипликаторные устройства, обеспечить точное регули-
рованиеТтотенциалов и т. п.). Но это путь для исследования.
38. Сети нечетких элементов
Подобно тому, как это делается в теории контактных цепей [2F],
теории надежности [77<] и других, сетевое представление последова-
тельно-параллельно соединенных элементов было бы интересно исполь-
зовать для анализа функций нечетких переменных.
Нечеткий элемент сети. С каждой нечеткой переменной а С [0,1]
мы будем связывать элемент а, обозначаемый тем же символом. Нам
предстоит построить сеть, состоящую из таких элементов а.
С функцией а Д & свяжем сеть, представленную на рис. 38.1, с
функцией а V b свяжем сеть, представленную на рис. 38.2. Первую
будем называть последовательной сетью, вторую — параллельной.
Рис. 38.1
Рис. 38.2


В таких цепях необходимо еще указывать вход Е и выход 8. Резуль-
тат выполнения операции на элементах сети называется потоком сети.
Так, если а — 0,7 и b = 0,4, то для сети на рис. 38.1 поток из £ в
S равен 0,4, а для сети "на рис. 38.2 при тех же значениях а и b по-
ток равен 0,7.
Теорема 1. Каждой аналитической функции нечетких переменных
f (а, Ь, ...) можно поставить в соответствие сеть нечетких элементов,
с последовательным расположением которых связана операция Д, а
с параллельным — операция V-
Доказательство. Мы уже видели, что каждой аналити-
ческой функцией f (а, Ь, ...) можно по определению поставить в соответ-
ствие приведенную полиномиальную форму относительно Д или \Д
Каждой из форм затем можно поставить в соответствие сеть.
Пример. Функции (38.1), представленной в приведенной полино-
миальной форме относительно V
= Aj А с) V (fl M)V	(38.1)
можно поставить в соответствие сеть, изображенную на рис. 38.3.
226
Сеть, соответствующая той же функции, но выраженной в приве-
денной полиномиальной форме относительно Д
Ца, = <^V Л (^V Ь) К(ау с) A(^Vl)A(tV £), (38.2)
представлена на рис. 38.4.
Маршруты. Последовательность элементов, соединенных один за
другим связкойДот F до S, будет называться маршрутом или путем*).
Таким образом, на рис. 38.3 последовательность элементов
(а, Ь, с) есть маршрут.	(38.3)
Маршрут называется простым, если он не содержит одного и того
же элемента х или элемента х более одного раза**).
Рис. 38.3
Рис. 38.4
Так, на рис. 38.4 последовательность элементов
(а, а, с, Ь, Ь) составляет маршрут,	(38.4)
а
(а, с, Ь, Ь)—простой маршрут.
(38.5)
Поскольку маршрут рассматривается относительно операции Д —
ассоциативной и коммутативной, то порядок, в котором элементы рас-
положены в последовательности, несуществен.
Максимально простой маршрут. Пусть I — обычное множество про-
стых маршрутов сети, тогда любой простой маршрут, не содержащий
никакого другого маршрута из I, называется максимально простым
*) Слово «путь» уже использовалось в другом смысле в § 18, поэтому мы
используем здесь слово «маршрут».
*♦) Простой маршрут получается из маршрута при использовании законов
ассоциативности конъюнкции (32.14) и поглощения (идемпотентности (32.16):
х л х = х. (Прим, ред.)
8*
227
маршрутом. Если п—число нечетких переменных в Д то очевидно, что
максимально простой маршрут содержит не более 2п элементов.
Основное свойство. Расположив все максимально простые мар-
шруты параллельно, получим сеть, эквивалентную приведенному по-
линому относительно /.
Свойство становится очевидным, если сопоставить способы построе-
ния полиномиальных форм с построением последовательно-параллель-
ных сетей из максимально простых маршрутов, которые соединяются
параллельно.
Рис. 38.6
Рис. 38.5
Пример 1. Рассмотрим сеть на рис. 38.5, соответствующую функции
= Л [(& Л£) V (£ Л£)П \/С. (38.6)
Выпишем множество маршрутов
{(а, Ь, с), (а, а, с), (с)},	(38.7)
множество простых маршрутов
{(а, 6, с), (а, с), (с)},	(38.8)
множество максимально простых маршрутов
{(а, Ь, с), (£)}.	(38.9)
Последнее соответствует приведенной полиномиальной форме в :
J (а, Ь, с) = (а Д Ь Л с) V (£)	(38.10)
и простейшей сети, изображенной на рис. 38.6.
Пример 2. Рассмотрим более сложный случай (рис. 38.7). Выпишем
множество маршрутов *>
{(а, Ь, с), (а, с, а), (а, с, с, а, с) (а, Ь, а, с, а), (а, Ь, а, с, с, Ь, с),
(Ь, с, а), (Ь, а, с), (Ь, а, Ь, с, а), (Ь, с, с, Ь, с), (6, с, с, Ь, а, с, а)},
(38.11)
*) Если разрешить, чтобы маршруты образовывали циклы, то в действи-
тельности число маршрутов будет бесконечным.
228
множество простых маршрутов
{(а, Ь, с), (а, с), (a, а, с, с), (а, а, Ь, с), (а, а, Ь, с, с),
(а, Ь, с), (а, Ь, с), (а, a, b, с), (Ь, с, с), (а, a, Ь, с)},	(38.12)
множество максимально простых маршрутов
{(а, Ь, с), (а,	с), (&, с, с), (а, с)}	(38.13)
и соответствующую (38.13) приведенную полиномиальную форму в V
L’ A bJ\ CY4 (aj\ b Л e) V (6 Л f) V (а Л f), (38.14)
последовательно-параллельная схема которой представлена на
рис. 38.8.
Плоские сети. Если в сети не существует связи между двумя эле-
ментами, пересекающей другую связь, когда сеть между Е и S нарисо-
вана на плоскости, то говорят, что сеть реализуема в плоскости или
планарная. В противном случае говорят, что сеть неплоская. Так,
сеть на рис. 38.5 плоская, а на рис. 38.7 — неплоская.
Отметим следующее свойство: сети, соответствующие полиномиаль-
ным формам в Д или в \/, —плоские. Действительно, любой полиноми-
альной форме в Д соответствует параллельно-последовательная сеть,
Рис. 38.7
Рис. 38.8
которая является плоской, и аналогично любой полиномиальной форме
в V соответствует последовательно-параллельная сеть, которая явля-
ется плоской (см., например, рис. 38.1 и 38.2).
Двойственность плоской сети. Пусть R — плоская сеть. Посколь-
ку сеть плоская, то можно определить грани а, р, ... как части плоско-
сти, ограниченные связями и элементами (см. рис. 38.9), внутри кото-
рых не содержится ни одного элемента. В каждой из этих граней выбе-
рем точку, которая станет точкой пересечения связей новой сети. Выбе-
рем еще по точке и в двух внешних гранях: выше и ниже линии ES.
Следуя правилу: каждую из выбранных точек соединить связью с
каждым из элементов, смежным с гранью, в которой находится точка,
— построим новую сеть R'. Сеть R' называется двойственной сети R.
На рис. 38.9 штриховой линией изображена сеть R', двойствен-
ная R. На рис. 38.10 сеть R' изображена непосредственно.
229
Для сети и двойственной сети легко проверить следующее свойство:
(RT = R,	(38.15)
т. е. двойственная сеть к сети, которая сама есть двойственная сеть се-
ти R, совпадает с сетью R.
Метод антимаршрутов. Рассмотрим плоскую*) сеть R и двойствен-
ную сеть R'. Маршруты, соответствующие R', называются антимарш-
рутами сети R.
Максимально простые маршруты R' дадут максимально простые
антимаршруты R, а позднее приведут к полиномиальной форме функ-
Рис. 38.9
Рис. 38.11
Рис. 38.12
Рис. 38.10
ции f (а, Ь, с) в R', представленной сетью R. С этой полиномиальной
формой в R будет связана параллельно-последовательная сеть, экви-
валентная данной сети.
Пример. Рассмотрим сеть R на рис. 38.11, двойственная которой
сеть R' представлена на рис. 38.12.
*) При применении этого метода для непланарных схем возникают трудно-
сти, из-за которых может пропасть интерес и к самому методу.
230
Маршруты сети R' — это антимаршруты сети R. Выпишем их
{(6, Ь, а, с), (Ь, Ь, а. а, Ь), (Ь, Ь, а, а, а), (&, Ь9 а9 с),
(Ь9Ъ9Ь)9 (b,b, л)}.	(38.16)
Выпишем множество *> простых антимаршрутов
{(Ь9 а9 с), (Ь, а9 а)19 (Ь9 а9 а)3, (Ь, Ь, а9 с), (&, Ь)9 (Ь, Ь9 а)}9	(38.17)
которое сокращается до множества максимально простых антимаршру-
тов:
{(а, 6, с), (а. а, 6), (Ь, Ь)}.	(38.18)
Таким образом, приведенная форма относительно Д, соответствую-
щая параллельно-последовательной сети на рис. 38.13, имеет вид
f(O,£) = (fV Ь У с) Мау а. у Ь) Д (6 У Ь).	(38.19)
Методом маршрутов можно найти полиномиальную форму относи-
тельно V '
fjfl. &, с)~(а /\Ъ Л £) V (£ Л~Ь) V (&),	(38.20)
которой соответствует последовательно-параллельная сеть, изображен-
ная на рис. 38.14. Используя подходящее разложение, можно показать,
что (38.19) и (38.20) действительно представляют одну и ту же функ-
цию.
Замечание. Мы знаем **>, что любую сеть контактных цепей можно
выполнить из различных технических элементов (диодов, мостов, тран-
зисторов, интегральных схем ит. п.).
Рис. 38.13
Рис. 38.14
Все приведенные теоретические рассмотрения, касающиеся техно-
логических реализаций функций нечеткой логики при подходящем вы-
боре операторов, можно адаптировать к использованию более разнооб-
разных технических средств. Но есть опасность, что техническая реа-
лизация нечетких логик окажется слишком дорогостоящей (здесь в от-
*) Маршруты могут записываться одними и теми же символами, например
(b9 a, a)t и (Ь9 а, а)2, но при этом быть двумя различными маршрутами. Разли-
чие исчезает при переходе к максимально простым маршрутам.
♦*> См., например, [2F].
231
личие от бинарной техники нужен точный контроль потенциалов). Од-
нако соображения об ограниченных возможностях техники вряд ли
останутся справедливыми даже в недалеком будущем.
39. Нечеткие утверждения и их функциональное
представление
В отличие от формальной логики нечеткая логика опирается не на
таблицы истинности, а на операции, производимые на нечетких подмно-
жествах.
Мы начнем со сравнительного примера, основанного на сказке
«Красная шапочка» *>. Рассмотрим два формальных утверждения,
истинность или ложность которых нужно установить апостериори (по-
сле прочтения этой истории):
: волк одет в одежду бабушки,
5%: волк съел девочку.
Утверждение №Р2 будет означать «Волк одет как бабушка
и съел девочку». Чтобы оно было истинным, необходимо, чтобы оба
высказывания Sa1 и 5%'были истинными. Если только одно из них ис-
тинно или оба ложны, то это’утверждение не согласуется со сказкой о
Красной шапочке. Таким образом, мы приходим к следующей таблице
истинности (рис. 39.1).
		А «3%
истинно	истинно	истинно
истинно	ложно	ложно
ложно	истинно	ложно
ложно	ложно	ложно
Рис. 39.1
А теперь представим эти два логических высказывания другим об-
разом. Пусть имеется множество животных
Е = {кошка, собака, волк, лиса, коза, крыса, кролик}. (39.1)
*) Я прошу извинение за довольно наивный пример, представляющий со-
бой очень простую дидактическую экспликацию. Прикладные вопросы нечеткой
логики будут рассматриваться в следующем томе.
*♦) По поводу использования символов А и V см. сноску на с. 207.
232
Рассмотрим A cz Е, формальное подмножество животных, которые
могли бы надеть одежду бабушки:
А= {(кошка 10), (собака 0), (волк | 1), (лиса | 0), (коза | 0), (крыса | 0),
(кролик 10)},	(39.2)
откуда
А = {волк).	(39.3)
Рассмотрим В cz Е, формальное подмножество животных, которые
могли бы съесть девочку:
В = {(кошка [ 0), (собака 10), (волк | 1), (лиса | 0), (коза | 0), (крыса
| 0), (кролик! 0)},	(39.4)
откуда
В = {волк}.	(39.5)
Формальное подмножество животных, которые могли бы переодеть-
ся в бабушку и съесть девочку, есть
А П В = {волк}.	(39.6)
В результате проведенной процедуры мы удостоверились, что волк
есть действительно такое коварное и жестокое животное, каким он и
описан в знаменитой сказке.
Рассмотрим теперь два высказывания из нечеткой сказки о Крас-
ной шапочке. Пусть есть множество животных
Е = {кошка, собака, волк, лиса, коза, крыса, кролик}. (39.7)
Рассмотрим А F, нечеткое подмножество животных, которые
могли бы одеться как бабушка:
А = {(кошка ] 0,1), (собака | 0,4), (волк | 1), (лиса ] 0,5), (коза ] 1),
(крыса I 0), (кролик | 0)}.	(39.8)
Рассмотрим В cz Е, нечеткое подмножество животных, которые
могли бы съесть девочку:
В = {(кошка j 0,1), (собака | 0,4),
(волк 1 1), (лиса | 0,7), (коза I 0), (крыса | 0), (кролик | 0)}. (39.9)
Тогда нечеткое подмножество животных, которые могли бы надеть
бабушкину одежду и съесть девочку, это
А П В — {(кошка ] 0,1), (собака | 0,4), (волк ] 1), (лиса | 0,5),
(коза | 0), (крыса ] 0), (кролик | 0)}.	(39.10)
Сказка может быть про волка, лису, собаку и даже про кошку.
Высказывания нечеткой логики, как и высказывания формальной
логики, явно или неявно связаны с теорией нечетких и соответственно
формальных множеств.___
Операциям f), J и (пересечение, объединение и дополнение) в
формальной логике соответствуют связки Д, V и ] (конъюнкция «и»,
дизъюнкция «или/и», отрицание «не»).
233
Переход к нечетким связкам А, V и | соответствующей нечеткой
логики не представляет каких-либо трудностей, поскольку мы уже
определили соответствующее множество операций в § 5.
Однако необходимо уделить особое внимание другим связкам:
импликации, метаимпликации, логической эквивалентности.
Теперь перейдем к обзору этих понятий, сначала в формальной, а
затем в нечеткой логике.
Рассмотрим два формальных утверждения З5 и 55. Составному ут-
верждению «З5 влечет 55», обозначается З5 > 55, соответствует табли-
ца истинности на рис. 39.2.
	&	
ложно	ложно j	истинно
ложно	истинно	истинно
истинно	ложно	ложно
истинно	истинно	истинно
Рис. 39.2
Если утверждению 3} поставить в соответствие множество А, а ут-
верждению 55 — множество В, то составному утверждению «3й влечет
55» ставится в соответствие множество A J В.
Теперь рассмотрим составное утверждение «З5 метаимплицирует 55»,
обозначается З5 => 55. Этой метаимпликации придается следующий
смысл: когда 3s истинно, 55 всегда истинно (правило силлогизма,
к счастью, сохраняется здесь), но ничего нельзя утверждать, когда З5
ложно; в этом случае 55 может быть как истинно, так и ложно. Таким
образом, высказывание вроде «если море станет сладким сиропом,
я превращусь в сирену» — корректно, поскольку море, увы, непри-
годно для питья и, конечно, не станет сладким сиропом. Поэтому связ-
ка => сводится к следующему: если 3s => 55 и утверждение З5 истинно,
то 55 есть необходимо истинное утверждение.
Поэтому мы должны остерегаться смешения З5 > 55 и З5 => 55.
Первое есть операция логики
35>55 = 3sv55 (в одних обозначениях)
(39.11)
> 55 = О 3d) v (^) (в других обозначениях).
234
Второе — металогическая операция, которая может не сводиться
к (39.11). Однако возникла привычка метаимпликацию называть импли-
кацией и, таким образом, путать обе. Составное утверждение SP > X
не является отношением причины и следствия и не доказывает справед-
ливость X по отношению к S5, но именно так трактуется метаимплика-
ция 2Р X.
Можно привести ложный парадокс, связанный с введенным нами
понятием импликации, который мы сформулируем следующим обра-
зом: поскольку проанализировать утверждения и X можно лишь
тогда, когда известно их содержание, о котором у нас не имеется ника-
ких сведений, и единственно доступные нам данные — это логические
значения этих высказываний, то импликация 3й > X не может быть
отношением причины и следствия.
Однако, если априори известно, что 3s истинно и что .9® > X истин-
но, тогда можно заключить, что X истинно.
Приведем пример, взятый из 13/<]. Пусть 5s и X есть следующие ут-
верждения, которые мы будем рассматривать, используя таблицу на
рис. 39.2.
З5 : Наполеон умер на острове Святая Елена (истинно),
X : Версингеторикс носил усы (никто не уверен),
>» X истинно, если X истинно;
SP : два плюс два равно пяти (ложно),
X : 12 — простое число (ложно),
3!з> X истинно;
5s > X Луна сделана из швейцарского сыра (ложно),
L : 17 — простое число (истинно),
5s > X истинно;
5s : 17 — простое число (истинно),
X : 16 — простое число (ложно),
Ф >• X ложно.
Логическая эквивалентность менее двусмысленна. Мы определим
ее, используя таблицу истинности, приведенную на рис. 39.3.
	%	| &=%
ложно	ложно	| истинно
ложно	истинно	ложно
истинно	ложно	ложно
истинно	истинно	истинно
Рис. 39.3
235
Подобно импликации, логическая эквивалентность не учитывает
содержания двух утверждений в причинном отношении.
Составному высказыванию для подмножества А, связанного с и
подмножества В, связанного с Ж, соответствует множественная опера-
ция (А U В) Л (A U В).
Вместо метаэквивалентности обычно говорят просто об эквива-
лентности — это значит, что метаимплицирует Sb и Sb метаимпли-
цирует S5. Такая симметрия определения приводит к таблице истин-
Рис. 39А
У; Уг Уз \ £
О	7	77	0	77	77
О	77	77	О	77	7
7	О	77	77	77	77
77	7	77	77	77	О
О	77	7	77	77	О
77	77	77	77	7	77
О	77	7	77	О	77
Рис. 39.5
ности, идентичной таблице истинности для логической связки «экви-
валентно» SP= Sb. Поэтому можно отождествить эти понятия, не опа-
саясь возникновения двусмысленности.
Нечеткие утверждения типа нечеткой импликации и нечеткой экви-
валентности определяют относительно операций A (J В и (A U В) П
П (A J В) соответственно. Мы настоятельно подчеркиваем тот факт,
что "пересечение, объединение и отрицание — операции, определенные
на подмножествах универсального множества и соответствующего мно-
жества принадлежностей.
Для определения метаимпликации в нечеткой логике мы исполь-
зуем понятие бинарного отношения. На рис. 39.4 и 39.5 приводится
пример такого соответствия, где хг- £ Е ь yj £ Е2. Очевидно, что здесь
если х = xlt то у =
еслих = х2, то у = у6,	(39.12)
если х = то у = ух,
если х = х7, то у = у3.
На рис. 39.6 элементу множества Ei соответствует нечеткое подмно-
жество Е2:
если х = xlt то В = {(z/x | 0,8), (г/2 | 1), (у31 0,3), (t/41 1), (у510,9),
(г/e I 0,9)},
236
если х = х2, то В = {(#! | 0,2), (у2 | 0,9), (z/3| 1), (z/41 0), (уъ | 0,6),
~ (Уе I DI-
если х = х3, то В = {(z/i I 0,3), (t/a I 0,8), (у3 I 0,9),	(z/4 | 1),
(Уь I 0,8), (у6 | 0)},............................
если х = х7, то В = {(«/! | 0,1), (уг | 1), (у3 | 0), (yt ] 0,9),
(i/s I 0,3), (z/gl 1)}.	(39.12а)
В § 15 мы определили возможность установления соответствия
между нечеткими подмножествами, где А <= Е4 и В с Е2; это было сде-
Рис. 39.6
А
X # ffz Уъ У5 Ув
ОЛ	7	ол	7	ол	ол
ол	ол	7	О	ол	7
ол	0,8	ОЛ	7	ол	О
ол	О	7	7	0,8	ол
7	ол	ОЛ	ОЛ	О	ол
ол	0,8	7	7	0,8	7
ОЛ	7	О	ол	ОЛ	7
лано с помощью понятия условного нечеткого подмножества. Тогда
отношение, задающее нечеткое подмножество В, соответствующее не-
четкому подмножеству А, определяется как ~
pB(z/)=-MAXMIN(pB(y ||х), Р-а(х)).	(39.13)
~ хбЕ,	~	~
В § 15 мы приводили пример [см. (15.3) — (15.11)1; теперь рассмот-
рим другой пример, используя нечеткое отношение на рис. 39.6.
Предположим, что
А = {(х4 | 0,2), (х2 | 0,3), (х8 | 0,5), (х4 | 1)- (*Б | 0), (хв | 0), (х7 | 0,8)}.
(39.14)
Последовательно находим
Ив (У1) = MAX [MIN (0,8; 0,2), MIN (0,2; 0,3), MIN (0,3;0»5),
MIN (0,5; 1)> MIN (1; 0), MIN (0,6; 0), MIN (1; 0,8)] =
= МАХ [0,2; 0,2; 0,3; 0,5; 0; 0; 0,1] = 0,5,	(39.15)
рв (уг)= MAX [MIN (1; 0,2), MIN (0,9; 0,3), MIN (0,8; 0,5), MIN (0; 1).
MIN (0,2; 0), MIN (0,8; 0), MIN (1; 0,8)] =
== МАХ [0,2; 0,3; 0,5; 0; 0; 0; 0,8] = 0,8	(39.16)
237
и аналогично
Ив (Уз) =1. Pj(z/4)=1, Ив (У&) = 0,8, р.в(ув) = 0,9.	(39.17)
Вычисления показаны на рис. 39.7, где оператор * соответствует
(max — min).
у2 # У* У5 Ув
Xj
3^2
$2 ^3	$5 ^6 %?	$
|^2p,3|^Z
<г7
0,8	7	0,8	7	0,8	0,9
0,1	0,9	7	0	0,6	7
0,8	0,8	0,9	7	0,8	0
0,5	0	7	7	0,8	0,9
7	0,1	оз	0,6	0	0,5
0,6	0,8	7	7	0,8	7
0,7	7	О	0,9	0,8	7
У, &%%%%
= |^43| 7 I 7 |4<?|<Н
Рис. 39.7
Следовательно, если
А = {(хх | 0,2)', (х2 | 0,3), (х3 | 0,5), (х4 | 1), (х61 0), (хв | 0), (х7| 0,8)},
(39.18)
то
В ={(«/! | 0,5), (у2 [ 0,8), (у3 | 1), (у, | 1), (уъ | 0,8), (у, | 0,9)}.
(39.19)
Итак, мы показали, что рассматриваемое утверждение «если-то»
хорошо соответствует тому, что используется при формальных отно-
шениях. Пусть
А = {(%! | 0), (х3 | 0), (х3 I 0), (х4 I 1), (х6 | 0), (х, I 0), (х7|0)}, (39.20)
т. е.
А = {х4}.	(39.21)
Обращаясь еще раз к соответствию на рис. 39.5 и используя (39.13),
находим
В = {(f/х | 0), (у2 | 1), (у3 | 0), (у, | 0), (у6 | 0}, (уа | 0)}, (39.22)
т. е.
В = {г/3},	(39.23)
что можно записать в виде
если А = {х4}, то В = {у2},	(39.24)
или
если х = xt, то у = у2.	(39.25)
Мы действительно вновь получили утверждение «если-то» типа того,
которое определено в (39.12).
238
Сделаем сводку всех утверждений, установленных до сих пор: нечет-
кая конъюнкция (нечеткое и) определяется как А fl В, нечеткая дизъ-
юнкция (нечеткое или) определяется как A U В, нечеткое отрицание
(нечеткое не) определяется как А, нечеткая импликация определяется
как A (J В, нечеткая эквивалентность определяется как (A (J В) fl
fl (A U В), нечеткое если-mo определяется как рв (у) = MAX MIN
~	м	х
(рв (у || х), рд (х)) (нечеткая метаимпликация).
Это последнее утверждение относится не к нечеткой логике, а ско-
рее, к нечеткой металогике.
40. Теория нечетких подмножеств и теория
вероятностей
Многие люди, не подумав, спрашивают: «Ну что интересного в тео-
рии нечетких подмножеств? Всему этому хорошо служит теория веро-
ятностей». У этих двух теорий действительно есть несколько общих ас-
пектов. Но существуют доводы, что эти теории следует различать. Мы
начнем с обзора основных понятий теории вероятностей, а затем изу-
чим, чем эти теории отличаются друг от друга.
Аксиоматика теории вероятностей.
1. Случай конечного универсального множества. Пусть Е — конеч-
ное универсальное множество, & (Е) — множество всех его подмно-
жеств и Д—подмножество (Е), обязательно содержащее Е. Подмно-
жество Д будет называться «семейством», и мы будем говорить, что се-
мейство Д можно считать вероятностным семейством подмножеств
множества Е, если удовлетворяются следующие два условия:
а)	уА£Д :А£Д,	(40.1)
б)	у А £ Д и уВбД:АиВеД.	(40.2)
Например, пусть
Е - {а, Ь, с, d}	(40.3)
и
Д = {0» {в}, {с}, {Ь, с}, {а, d}, {a, b, d}, {а, ct d}, Е}. (40.4)
Семейство Д — вероятностное. Можно легко проверить, что для
всех элементов семейства (40.4) удовлетворяются условия (40.1) и
(40.2).
Свойства (40.1) и (40.2) влекут за собой некоторые другие свойства,
которые читатель может легко вывести*) сам:
в)	0€Д,	(40.5)
г)	у А и уВ:А fl В£Д,	(40.6)
д)	у А и у В : А—В —A fl В £ Д.
♦) Все эти свойства классические. Однако, если это необходимо, читатель
может обратиться, например, к [87<].
239
Вероятностное семейство А образует кольцо относительно операции
ф (дизъюнктивная сумма) взятия симметрической разности от двух
множеств, которая рассматривается как аддитивная операция кольца,
и мультипликативной операции А — взятия переселения двух мно-
жеств, Так, для любых А, В и С из А, с одной стороны, имеем:
(АфВ)фС = Аф(ВфС)— ассоциативность для ф,	(40.7)
Аф 0 = 0 + А, где 0—нулевой элемент семейства А, (40.8)
АфА= 0 —для каждого элемента А существует ему
противоположный, а именно сам этот элемент,	(40.9)
А® В = ВфА—коммутативность.	(40.10)
Таким образом, элементы А образуют коммутативную группу от-
носительно операции ф. С другой стороны, операция пересечения
А ассоциативна:
(А П В) А С = А А (В П С)—ассоциативность для А (40.11)
и выполняется дистрибутивный закон относительно операции ф:
(А ф В) А С = (А А С) ф (В А С)—дистрибутивность слева, (40.12)
С А (АфВ) = (С А А)ф(С А В)—дистрибутивность справа. (40.13)
Например, обращаясь
Следовательно, (А, ф, А)— кольцо.
Наконец, с любым семейством А связывается дистрибутивная решет-
ка с дополнениями, т. е. булева решетка, в которой отношение порядка
задано теоретико-множественным отношением включения А В.
Так, для семейства А, заданного
(40.4), получаем булеву решетку,
представленную на рис. 40.1.
Подмножество F cz & (Е) назы-
вается вероятностно-базисным се-
мейством множества Е, если, исполь-
зуя операции дополнения и объедине-
ния (40.1) и (40.2), из него можно по-
лучить любое подмножество из ве-
роятностного семейства А cz ЯР (Е).
Можно также сказать, что F порож-
дает А; или иначе F — генератор А,
и в общем случае, не единственный,
к (40.4) и рис. 40.1, легко видеть, что
F = {{a, d}, {b}, {С}}	(40.14)
есть генератор (40.4).
2. Случай бесконечного универсального множества (счетного или
несчетного). В этом случае SP (Е) несчетно; пусть А — подмножество
SP (Е), необходимо содержащее Е. Говорят, что семейство А вероят-
ностное, если
е)	у А £ А: А £ А,
(40.15)
240
ж)	для любой счетной последовательности Ах, А2, Ап
Аь А2, ...,АП, ..., € Л=^AxU A2(J ••• U Ап11 € д- (40-16)
Условие (40.16) представляет собой простое обобщение (40.2) на слу-
чай универсальных множеств, не обязательно счетных.
Вероятность. Теоретическое определение. Пусть дано вероятностное
семейство Д <= £Р(Е). Вероятностью называется однозначное отобра-
жение Д в R+, обладающее следующими свойствами:
з)	уАб Д:рг(А)>0,	(40.17)
и)	уАбДиуВбД: АПВ=0=^рг(АиВ) = рг(А) + рг(В), (40.18)
«) pr (Е) =1,	(40.19)
где pr (X) — образ элемента X f Д в R+.
Аксиомы (40.1), (40.2), (40.17) — (40.19) или (40.15) — (40.19)
ставят в соответствие каждому элементу семейства Д с (Е) неотри-
цательное число, меньшее или равное 1.
Исходя из аксиом*) (а), (Ь), (з), (а) и («), легко доказать следующие
свойства вероятностей:
рг(0) = О,	(40.20)
pr (А) = 1 — рг (А),	(40.21)
рг (А) + рг (В) = pr (A (J В) + рг (А Л В),	(40.22)
Вс А=^рг(В)<рг (А).	(40.23)
Возвращаясь к понятию нечеткого подмножества, мы настойчиво
подчеркиваем следующий важный момент: «недостаточно с каждым
подмножеством связать число р б ЮЛ и назвать р вероятностью; не-
обходимо, чтобы подмножество и р удовлетворяли пяти вышеуказан-
ным основным аксиомам».
Различие между вероятностной концепцией для нечетких и для
обычных подмножеств. Рассмотрим очень простой пример. Как дей-
ствуют в теории нечетких подмножеств?
Пусть
Е = {а, Ь, с, d}.	(40.24)
Определим нечеткое подмножество, приписывая каждому элемен-
ту значение функции принадлежности, например:
А = {{а | 0,3), (Ь | 0,7), (с | 0), (d | 1)}.	(40.25)
В теории вероятностей числа р б [0,1] приписываются обычным
подмножествам, составляющим вероятностное семейство. Если в ка-
честве Д выбрать (40.4), то можно, например, записать
рг(0) = 0, рг ({&}) = 0,3, рг ({с}) = 0,2, pr ({a, d}) = 0,5, (40.26)
рг ({а, b, d})= 0,8, рг ({а, с, d}) = 0,7, рг ({Ь, с}) = 0,5, рг (Е) = 1.
*) Эти аксиомы иногда называются аксиомами Бореля—Колмогорова.
241
Очевидно, что все эти вероятности удовлетворяют (40.17)—
(40.23). Как видно, эти два подхода совершенно различны.
Можно и полезно представить себе, что вероятности приписаны не-
четким подмножествам некоторого универсального множества, эле-
менты которого, в свою очередь, есть нечеткие подмножества другого
универсального множества. Например, приписываем А вероятность
из (40.25) и пишем	~
pr 1А) = 0,6.	(40.27)
Можно представить себе и теорию вероятностей нечетких событий.
Очевидно, однако, что надо проводить различие между двумя теория-
ми: теорией нечетких подмножеств и теорией вероятностей обычных
подмножеств
Теория нечетких подмножеств связана с теорией векторной решет-
ки *), а теория вероятностей — с теорией булевой решетки.
41. Теория нечетких подмножеств и теория
структурных функций
Между теорией нечетких переменных, как она определена в § 32 и
последующих параграфах, и теорией структурных функций, изучае-
мых в теории надежности систем, можно установить некоторые инте-
ресные связи. Сначала напомним основные понятия теории структур-
ных**) функций.
Структурные функции. Рассмотрим переменные a, b,... С {0,1}.
Для этих бинарных переменных будем использовать только следующие
операции***);
а • Ь — обычное умножение,	(41.1)
а + b = a -j- b — а • Ь, где ( + ) обозначает обычное сложение,
а(—)обычное вычитание.	(41.2)
Введем функции этих переменных, для построения которых исполь-
зуются только операции + и •.
Но сначала рассмотрим общие свойства переменных а, Ь, ... $
6 {0,1} и операций • и +:
a-b = b-a,	(41.3)
n л коммутативность
a + b = b + a,]	(41.4)
a-(6-c) = (a-ft)-c, I	(41.5)
Л ~	! ассоциативность
а+(^+c)~(a + Z>) + c J	(41.6)
•> Которая, как мы увидим в гл. V, связана с еще более общим понятием—
понятием упорядоченной или предупорядоченной структуры.
Понятие структурной функции, которое мы здесь рассматриваем, иг-
рает существенную роль в теории надежности (см. «Modeles mathematiques pour
1* etude de la fiabilitte des systems» A. Kaufmann, D. Grouschko et R. Cruon. Ed.
Masson. — 1975).
***) В концепции структурных функций не принимается во внимание до-
полнение: а ~ 1 — а.
242
а-а = а, 1	(41.7)
! идемпотентность
a + a = a, J	(41.8)
+ c) = a-b + a-c, 1	(41.9)
! дистрибутивность
a +(b-c) = (a + b)-(a + c)J	(41.10)
ti-0 = 0,	(41.11)
o + 0 = o,	(41.12)
0-1=0,	(41.13)
o+l = l.	(41.14)
Обозначим через <p структурную функцию переменных а, b, ...
Ф (о,	Ь,	...).	(41.15)
Например,
Ф(о, Ъ,с) =	а+ ab + Ьс	(41.16)
есть структурная функция.
Напомним два свойства поглощения, которые позволяют упрощать
структурные функции:
а(а + Ь) = а,	(41.17)
a + ab = a.	(41.18)
Оба эти свойства выводятся из (41.3) и (41.14).
Используя понятие максимального одночлена, любую функцию
Ф (а, Ь, ...) можно выразить в полиномиальной форме относительно
• или + .
Например, функция
Ф (а, Ь, с, d) = a + bc + bd	(41.19)
образована тремя максимальными одночленами и не может быть упро-
щена дальше. Функция же
q(a, Ь, с, d) — a + b + bd + cd	(41.20)
допускает упрощение — ее можно свести к виду
ф(а, Ь, с, d) — a + b + cd.	(41.21)
Полиномиальная форма, содержащая только максимальные одно-
члены, будет называться приведенной или канонической.
Будем говорить, что две структурные функции равны или тождест-
венны, если они сводятся к одной и той же полиномиальной форме от-
носительно произведения • или суммы + . Конечно, любую канони-
ческую форму относительно • можно преобразовать в каноническую
форму относительно + и наоборот.
243
С каждой структурной функцией можно связать представление в
виде сети, в которой последовательное расположение элементов соот-
ветствует операции •, а параллельное — операции +•
Рис. 41.3
Пример. Рассмотрим структурную функцию, соответствующую сети
на рис. 41.1:
ф(а, Ь, с, d) = ab +acd + b-£abd.	(41.22)
Поскольку
b+abd = b,	(41.23)
то первое сокращение дает
Ф (а, Ь, с, d) = ab + acd + b.	(41.24)
И так как
ab + b = b,	(41.25)
то второе сокращение приводит к
Ф (а, Ь, с, d) = b + acd.	(41.26)
Конечно, оба сокращения можно было бы выполнить сразу. Итак,
Ф1 (а, Ь, с, d) = b + acd,	(41.27)
— каноническая форма функции ф. Соответствующая ей сеть представ-
лена на рис. 41.2.
Используя двойственную сеть, изображенную на рис. 41.3, получа-
ем двойственную каноническую форму, соответствующую трем парал-
лельным маршрутам, идущим из Е и S (см. рис. 41.4):
Ф1' (а, Ь, с, d) =>ba-£bc + bd,	(41.28)
244
взаимозаменяя операции • и +, приходим к
Ф2(а, Ь, с, d) = (a +&)-(& + c)-(6 + d).	(41.29)
Сеть, соответствующая этой второй канонической форме функции
Ф, представлена на рис. 41.5.
Переход к поверхностям. Во избежание слишком^абстрактного из-
ложения рассмотрим конкретный пример.
Предположим, что переменные а, Ь, ... £ {0,1} обозначают состоя-
ние компонентов А, В, ... g Е, где Е — множество компонентов. Это
множество будем называть словами сложное оборудование, простое
оборудование или система. Будем считать, что компонент
X — функциональный, если х = I,
X — не функциональный, если х = 0,	(41.30)
где х£ {0,1} — бинарная переменная, связанная с компонентом X.
В этом случае ф (а, Ь, ...) представляет такую бинарную функцию,
принимающую значения в {0,1}, что система
Е — функциональная, если ф = 1,
Е — нефункциональная, если ф = 0,	(41.32)*)
и ф (а, Ь, ...) выражает зависимость Е от своих компонентов.
Пусть рх есть вероятность того, что компонент X — функциональ-
ный, и hz — вероятность того, что система Е — функциональная.
Подсчитаем вероятность как функцию вероятностей рв, ръ,
Для того чтобы показать, как провести соответствующие вычисле-
ния, нужно вспомнить две идемпотентные формулы (41.7) и (41.8)):
а • а — а,	(41.33)
а + а = я,	(41.34)
поскольку, если вычисления проводятся относительно обычного сло-
жения, то
а + а — 2а,	(41.35)
и очевидно, что {0,1} не будет областью значений для этой суммы.
В теории вероятностей, которая применяется в теории надежности
рассматриваемого здесь класса систем, считается, что если рх — веро-
ятность того, что X — функциональный компонент, тогда 1 — рх есть
вероятность того, что он не функционален. Рассмотрим систему
*) В оригинале в нумерации формул пропущен номер (41.31). (Прим, пер,)
245
Е — {А, В}. Для вероятности функционирования этой системы полу-
чим
йЕ = ра • рь, что соответствует <р (a, b) = ab, (41.36)
1 — ЛЕ = (1 — ра) (1 — Ръ)> что соответствует ф (а, Ь) = а + Ь,
(41.37)
последнее выражение можно записать в виде
Ле = 1 — (1 — Ра) 0 — Рь) = Ра + Рь — рарь, (41.38)
что соответствует ф (a, b) — а + b — ab.
Мы видим, что существует изоморфизм*) между функциями АЕ и <р.
Однако закон дистрибутивности, справедливый на множестве {а, Ь,...
... } переменных, принимающих значения из [0,1], относительно опера-
ций • и +, перестает быть справедливым для вероятностей ра, рь, ...
Но дистрибутивность восстанавливается, если рассматривать обычные
операции + и •. Для перехода от функций <р к функциям йЕ нужно в
Ф заменить операторы + на +, что тоже приводит к использованию-;
затем можно перейти от ф к /гЕ, заменяя х на рх и не забывая, где это
необходимо, применять свойство идемпотентности (41.7). Таким обра-
зом, мы предполагаем устанавливать вероятность функционирования
(так называемую надежность) системы, для которой структурная функ-
ция выражается в виде (41.22), т. е. такой системы Е, что
Е функционирует, если А и В — функциональные,
Е функционирует, если или/и А, С и D—функциональные,
или/и В —функциональный,
или/и А, В и D — функциональные.
Очевидно, что
ф(а, Ь, с, d) = ab -\-acd-\- b ^-abd=b + acd	(41.39)
[см. (41.27)] или опять
Ф (а, Ь, с, d) = b + acd — abed,	(41.40)
откуда
М?а> Ph, Pc, Pd)^Pa+paPcPd—paPbPcPd- (41.41)
Для канонической формы (41.29) получаем
Ф(п, b, c,d) = (a + b)-(b + c)-(b + d)
—	(ab + ас + ft2 + bc)-(b + d)
= (ac + b)-(b +d)	(41.42)
—	abc + acd + b2 + bd
= b-\- acd.
*) Для читателя, незнакомого с этим понятием, мы представили очень де-
тальный обзор в § 57.
246
Специалистам по Надежности систем хорошо известно общее прави-
ло: 1) выразить ср с помощью операций + , — и • ; 2) избавиться
от степеней (используя идемпотентность); 3) заменить х на рх.
Операции-j- и • на нечетких переменных. Теперь рассмотрим пере-
менные а, 6, ... (Е [0,1] и следующие три операции:
а • b — обычное умножение;	(41.43)
a-\-b^a-]-b—а-b, где( + )обозначает обычное сложение,
(—) обозначает обычное вычитание; (41.44)
а == 1 — а — дополнение а.	(41.45)
Легко проверить, что выполняются следующие свойства:
а-Ь — Ь-а, 1 ~ ~	л	коммутативность a + b — b -\-а ****	' i a-(b-c) = (а-Ь)-с, ~	«	ассоциативность а++£)= (£ + + с1,	(41.46) (41.47) (41.48) (41.49)
а-а^ау а + а^а^ a-(b + c)^.a - b +«•£, a + b-с^ £•0 = 0,	(41.50) (41.51) (41.52)*) (41.53)**> (41.54)
*) Имеем	а > а2, а b с > а3 b с, —ab £<С—а2 b с.
Прибавив ab + ас к обеим частям неравенства, получим
а Ь-{-а с—а Ь с	b-j-a с—а2 Ь с.
Таким образом, а	(а • &) + (а • с).
**) Имеем	(а2—а) (1—
(а2 —а) (1 — Ь— £+М <0,
а2—а-)-а с—а2 c-f-a^b—а2 b—a b с-\-а2 b с -<0,
а2-}-а с—а2с-}-а b—а2 b—а b с-|-а2 b с-^а.
Прибавив Ьс— abc к обеим частям неравенства, получим
а24-а с—а2 с-{-a b—а2 b—a b с-{-а2 b с-\-Ь с—а b с <^а-]-Ь с—a Ь^с,
(a-]-b—а Ь)*(а-}-с—а с) <^а-]-Ь с—а b с.
Таким образом,
(а+&) (а+с)
247
^4-0 = а,	(41.55)
а-1 — а9	(41.56)
а+1 = 1,	(41.57)
	
(а) = а,	(41.58)
	
а •£» = а +	теоремы де Моргана, обобщенные для (41.59)
	операций• и - на нечетких пере-
ci “г и — а* О)	менных.	(41.60)
Таким образом, свойства идемпотентности [см. (41.50) и (41.51)]
и дистрибутивности [см. (41.52) и (41.53)] не удовлетворяются.
Иногда переменные a, Ь, ... можно рассматривать как вероятности
и предполагать, что
а • b — вероятность появления формально независимых событий
а £в*>7
а + Ь — вероятность появления формально независимых событий
А или (и) В.
Определенные в (41.43) — (41.50) операции могут применяться для
вычисления вероятностей.
Так же, как есть люди, которые склонны смешивать теорию нечет-
ких множеств с теорией вероятностей, есть и другие, склонные рассмат-
ривать функции нечетких переменных, множество которых замкнуто
относительно операций +» ” и •, и структурные функции, множество
которых замкнуто только относительно операций + и •, в рамках од-
ной и той же теории. И причина смешения понятий не только в том, что
в обоих случаях используются одни и те же операции + и •.
Первая теория имеет дело с переменными а,	[0,1], для которых
определено дополнение**), вторая же имеет дело с переменными а, Ь,
... g {0,1}, для которых понятие дополнения не вводится. ~ ~
С другой стороны, нечеткие переменные а, Ь, ... можно интерпрети-
ровать как вероятности и, следовательно, если рассматривать только
операции +, " и •, то между двумя теориями устанавливается взаим-
но-однозначное соответствие. Однако на множестве нечетких перемен-
ных а, в, ... определенв! и другие операции (V), (Д) и ”, т. е. шах,
min, ~и, "следовательно, полного соответствия не наблюдается.
Хотя иногда можно увидеть очень интересные связи.
*) Получаем а ~ рг (A), Д = рг (В), рг (A U В) = рг (А) + рг (В) —
— рг (А П В)# где Рг (А П В) = рг (А)-рг (В). Мы специально исполь-
зовали слово «формально» применительно к понятию события с тем, чтобы не
возникало путаницы с нечеткими подмножествами.
♦♦) Или, более точно, псевдодополнение типа (5.17).
248
Показатель качества функционирования системы. В некоторых за-
дачах, связанных с оценкой функционирования системы, учитывают
не только тот факт, работает или не работает система, но и уровень ка-
чества ее работы.
Например:
работает отлично,
работает очень хорошо,
работает довольно хорошо,
работает довольно плохо,
не работает.
Предположим теперь, что каждому компоненту системы или эле-
менту множества
Е = {Х1; Х2..... Хп}
мы ставим в соответствие нечеткую переменную
Xi =	№i) € [0> 1]>
где А описывает состояние системы Е, которое зависит от характерис-
тики состояния каждого своего компонента. В этом случае А действи-
тельно есть нечеткое подмножество.
Если допустить, что уровень системы задается функцией
Ф (х1г х2, хп) = X! Д х2 Л ••• Л хп,
z^z
когда функционирование системы можно описать последовательной
сетью и
Ф (хь х2, ..., хп) = Хг V Х2 V ... V Хп,
*****	^bZ	Z^Z	Z^z	*^Z
когда функционирование системы описывается параллельной сетью,
то придется обратиться к различным понятиям из теории нечет-
ких подмножеств, исключая вопросы, связанные с понятием дополне-
ния, которые не имеют прямого отношения к задаче оценки качества ра-
боты системы.
Свойства переменных i ~ 1, 2, ..., и, совпадают с теми, которые
были сформулированы в (32.12) — (32.23), а свойства (32.24) — (32.26)
теряют свое значение.
Отметим, что свойства поглощения
£ V (£Л^) = £,
£ Л (£ V Ь) = £.,
остаются справедливыми, что позволяет сокращать формулы и дает
возможность ввести как понятие максимального одночлена (относи-
тельно Д или \1), так и понятие приведенной полиномиальной формы.
Функции, подобные ф, будут называться показателями качества
функционирования системы.
Пример. Рассмотрим рисунок (41.6). По схеме легко определить
структурную функцию
Ф (а, Ь, с) = [(а Д b Д с) V (а Л с) V Л а,
z^z	z^z	z^*	Z^z	z^»	z^z
249
Применяя правило поглощения к полиному в квадратных скобках,
получаем
ФУ У = Л £) V У Л5
и по свойствам дистрибутивности и идемпотентности приходим к
•ф У £) = (« Л У V (« Л £)•
Функцию ф можно изучать с помощью таблицы значений, как это
мы делали в § 32 для функции <р, но не включая в таблицу дополнения
переменных. Рассмотрим случаи, когда имеются
одна переменная а :
две переменные а и b :
три переменные ауЬ и с:
Я,
и т. д. для четырех, пяти, шести... переменных.
Если ф — показатель качества функционирования системы, зави-
сящий от п переменных, то таблица будет иметь п! строк; каждая стро-
ка может принимать п значений, всего имеется
N -
различных функций. Среди этих пп! функций только небольшое их
число может быть представлено в канонической*> форме (относительно
Л или V) и» следовательно, представлено надежностной сетью.
Снова возвращаясь к примеру на рис. 41.6, получаем таблицу, ко-
торая приведена на рис. 41.7.
*) Здесь мы можем употребить прилагательное канонический, поскольку
дополнение для переменных не используется.
250
		д.	|		aj\c	V
а		с	।	1 ~	а	а
а	с	ь~	а	а	а
b	а	с	b	а	а
b	с	а	b	с	с
с	а	b	а	с	а
с	b	а	b	с	b
Рис. 41.7
Свойство монотонности. Пусть Е = {Х1( Х2... Хп}
В с Е. Положим
и А с: Е,
i— 1, 2,..., п,
i = 1, 2,..., n;
bi = Ив (Хг),
(41.61)
(41.62)
тогда имеем
В А=^ф(£х, 62,..., 6п)>ф(ах,	а?)-
(41.63)
Это свойство обобщает хорошо известное свойство монотонности струк-
турных функций, где уровень принимает значение 0 или 1 (в зависи-
мости от того, функционирует система или нет). Допускают обобще-
ния и другие свойства надежностных систем с отказами. Любая функ-
ция ф, удовлетворяющая (41.63), будет называться монотонной функ-
цией.
Следующие три свойства эквивалентны:
ф — монотонный показатель качества функционирования системы;
ф — аналитическая функция, т. е. может быть записана в канони-
ческой форме относительно Д (или V);
— существует последовательно-параллельная сеть Rsp и парал-
лельно-последовательная сеть Rpg, двойственные друг другу.
Можно сделать и другие более или менее тривиальные выводы.
Пусть R — сеть. Параллельное подключение сети R к сети R' не уве-
личивает значения показателя качества функционирования.
Здесь уместно сделать важное замечание, с одной стороны, о показа-
теле надежности, а с другой — о показателе качества функционирова-
ния системы. Это совершенно разные понятия.
251
Рассмотрим систему Е, состоящую из двух компонентов А и В.
Предположим, что а характеризует качество работы компонента А,
а b — качество работы В, a, b g [0,1]. Предположим также, что в сети
эти два компонента соединены параллельно. Тогда имеем
ф(а, b) = a\j b.	(41.64)
Наконец, предположим, что а = Ь, тогда
ф (a, b) = ф (а) = ф (&) = а.	(41.65)
Отсюда следует, что избыточность не изменяет качества работы систе-
мы.
Теперь рассмотрим надежность той же системы Е. Если а и b — не
случайные переменные, а, b £ {0,1}, то имеем
ф(а, b) = a +b = a-[-b—ab.	(41.66)
Отсюда получаем
h(Pa> Pb) = Pa + Pb — РаРь’	(41.67)
Предположим, что ра = рь\ тогда имеем
h (ра, рь) = 2ра — ра > Ра,	(41.68)
h (ра, Рь) >Ра, если ра =0=0 ира=0=1.	(41.69)
Таким образом, избыточность повышает надежность, но не уровень
функционирования.
Эти два понятия — «уровень функционирования» и «надежность» —
не должны смешиваться. Первое связано с теорией нечетких подмно-
жеств, а второе — с теорией вероятностей.
Следовательно, если каждый из двух компонентов работает до-
вольно хорошо, то их параллельное соединение работает столь же хо-
рошо, но не лучше, зато надежность системы повышается. Этот при-
мер хорошо иллюстрирует все различие, существующее между двумя
понятиями.
Про показатели надежности и качества работы системы можно ска-
зать, что это монотонные показатели. В результате параллельного под-
ключения сети R' к сети R не ухудшается ни качество работы системы,
ни ее надежность. В результате последовательного соединения этих
сетей ни надежность системы, ни качество ее работы не улучшается.
Отметим, что намеченная выше теория функций качества допускает
обобщение, в котором переменные а, Ь, ..., характеризующие качество
работы компонентов системы, принимают значения не в [0,1], а в про-
извольном упорядоченном множестве, как это и сделано в гл. V, в ко-
торой рассматривается важное обобщение теории Заде.
Понятие показателя качества может стать предметом различных
определений, возникающих в теории таксономии*).
♦) Таксономия—это наука о законах классификации, о порядке, который
субъективно назначается абстрактным или конкретным объектам.
252
42.	Упражнения
Ш.1. Упростите следующие функции нечетких переменных:
a)	№ =	Ь1У М 3 V Л а л V),
6)	f/a, fe) = (a V a V Ь V~b) Л (a V & V Ь) Л (a VbVb).
в)	ZQb = VJ’ V3 Л Л (S V3 л
г)	с2=^~л *) v (аЛ & л (£ v
III.2. Выразите функции из упражнения III. 1 в явном виде, с помощью таб-
лицы значений, как это было сделано в упражнении (32.75).
II 1.3. Представьте следующие функции в приведенной полиномиальной фор-
ме относительно Д:
а)	Й = V а] Л [(a Vj) Л^]] V (а М).
б)	2(«’Д) = И(« Л^ДЬ] VflA (aVh),
в)	л1.л£) v л £) vi)'
г)	£> = (®.ЛБ v (“Л£) V (s'л,с й
III.4.	Для каждой функции из упражнения III.3 постройте приведенную
полиномиальную форму относительно V •
III.5.	Для каждой из следующих функций приведите анализ по методу Ма-
рипоса (§ 34):
а) ZQl’ J0 == (£ Л *j V (£ Л *)»
а) L* Й V S V (*Л
в) /(fL* £’£) = Г^ О) V J Л a.
III.6.	Для каждой функции из упражнения III.5 найдите связанную с ней
логическую структуру (как это было сделано для (35.8) и (35.9)). Результаты
должны быть представлены в виде разложений относительно V.
III.7	Пусть
^а==1«ь М»
cjz	с2[.
Какой из интервалов есть область значений функции?
а)	£ (а, Ь) = а Л £,
б)	f(a, b, с)~(а Д b) V с,
в)	f (a, b) — a V Ь.
Ответьте на те же вопросы, когда b £ 3)ъ-
III.8.	Предположим, что a, b и f (а, Ь) принимают значения в {0; 0,1; 0,2;
...; 0,9; 1}. Определите следующие^ функции при частных значениях а и bt а
253
также соответствующие области определения функций f [как это было сделано
в примерах 1 и 2 (36.34)—(36 43)].	~
a)	f (а,Ь) — а V (a Kb), а £ {0,1; 0,2; 0,3},
Д 6 {0,3} U {0,9}.
б)	£(а, b)^a /\ а Д Ь, а £ {0; 0,1} (J {0,7; 0,8},
b £ {0,2; 0,3; 0,4}.
Ш.9. Постройте синтезированные схемы (как указано в §37) для функции
f (а, Ь) = а Д bt выбирая: 1) разложение относительно Д, (2) разложение от-
носительно V.~
III. 10. Для каждой из сетей нечетких элементов, показанных ниже, опре-
делите сначала максимально простой маршрут, затем соответствующую приве-
денную полиномиальную форму в V и, наконец, сеть, связанную с этой формой.
III. 11. Решите задание из упражнения III. 10, используя только метод анти-
маршрутов; постройте соответствующие приведенные полиномиальные формы
в Д и связанные с этими формами сети.
Глава IV
ЗАКОНЫ НЕЧЕТКОЙ КОМПОЗИЦИИ
43. Введение
Прежде чем перейти к изучению различных обобщений, связан-
ных с нечеткими подмножествами, которые будут основным предметом
исследований гл. V, предлагаем читателю познакомиться с законами
нечеткой композиции.
Среди этих законов наиболее общими и полезными (любой матема-
тик должен это сразу предположить) являются те, которые образуют
моноид (полугруппу), т. е. имеют единичный элемент и ассоциативны.
Кроме того, покажем, что структура группы не подходит для основных
операций, рассмотренных в теории нечетких подмножеств, — понятие
симметрии нечетких подмножеств не определяется для операторов этой
теории.
Известно, что подлинная важность теории моноидов или полугрупп
проявляется там, где есть связь с теорией информации, кодами, систе-
мами команд и т. д.
Что касается гл. IV, то она представляет собой первое введение в
некоторые важные понятия, которые впоследствии станут для читателя
более содержательными. А что может быть интереснее для математика
и инженера, чем расширение обычных представлений!
44. Понятие закона композиции
Вспомним несколько классических понятий теории обычных мно-
жеств.
Закон внутренней композиции. Законом внутренней композиции*)
на множестве Е называется отображение из Е X Е в Е. Другими сло-
вами, каждой упорядоченной паре (х, у) £ Е X Е ставится в соответ-
ствие один и только один элемент z £ Е.
На практике этот закон изображают символом, который, распола-
гаясь между х и г/, служит для обозначения элемента, соответствующе-
го упорядоченной паре (х, у). Часто используют символ *. Таким обра-
зом,
х * у = z;	(44.1)
на практике для разновидностей законов используют подходящие об-
щепринятые символы вроде +, •, X, 4-, ф и т. д.
*) Слово «композиция» часто опускается и говорят «внутренний закон» вме-
сто «закон внутренней композиции».
255
Отображения Е X Ев Е часто удобно изображать условным зна-
ком, связанным с элементами Е:
(х, у) г, х, у, г е Е.
(44.2)
Рис. 44.1
Закон внешней композиции. Пусть х £ Ех, у 6 Е2 и г £ Е3. Отобра-
жение Ex X Е2 в Е3 называется законом внешней композиции. Другими
словами, каждой упорядоченной паре (х, у) ставится в соответствие
элемент г £ Е3 и только один такой эле-
мент.
Закон композиции будет внутрен-
ним тогда и только тогда, когда Ех =
= Е2 = Е3.
Примеры.
1.	Пусть Ех = Е2 = R (множество
действительных чисел); если в качестве
закона выбрано обычное сложение + ,
то этот закон внутренний, так как сумма
двух действительных чисел — всегда
действительное число; действительно,
имеем Е3 = R.
2.	Пусть 3° (Е)—обычное множество
всех подмножеств некоторого множест-
ва; тогда операции пересечения, объединения, разности и дизъюнктив-
ной суммы определяют внутренние законы.
3.	Если Е2 = Е2 = R+ (множество неотрицательных чисел) и если
закон состоит в вычислении разности х — у = z, х, у £ R+, то получаем
внешний закон, так как возможно, что z R+.
4.	Если Ех = Е2 — множество свободных векторов в плоскости и
если символ X определяет векторное произведение (прямое произведе-
ние) двух векторов, то имеем закон внешней композиции.
Группоид. Упорядоченная пара, состоящая из множества Е и внут-
реннего закона композиции *, определенного на этом множестве всюду,
называется группоидом и обозначается (Е, *).
Примеры.
1.	Закон композиции, представленный на рис. 44.1, задает груп-
поид.
2.	Примеры 1 и 2, приведенные выше для иллюстрации понятия
внутреннего закона композиции, определяют группоид.
3.	Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное поло-
жительных целых чисел определяют внутренние законы композиции
на множестве No положительных целых чисел. Если *х обозначает на-
ибольший общий делитель и *2 — наименьшее общее кратное, то (No,
*i) и (No, *2) являются группоидами.
256
45. Закон нечеткой внутренней композиции.
Нечеткий группоид
Рассмотренные понятия можно в обобщенном виде перенести на не-
четкие подмножества следующим образом.
Пусть Е — универсальное множество и A cz Е. Обозначим, как
это сделано в § 6, множество нечетких подмножеств множества Е че-
рез & (Е). Тогда можно записать Ac 3s (Е). Мы уже видели, что ес-
ли п = card Е и т — card М конечные, то и (Е) конечно.
Теперь можно определить закон внутренней композиции на З5 (Е),
т. е. определить отображение из З3 (Е) X З3 (Е) в З3 (Е). Другими сло-
вами, каждой упорядоченной паре (А, В), где А с Е, В сс Е, по-
ставить в соответствие единственное нечеткое подмножество С сс Е.
Если тип конечные, то посредством этих условий описывают конеч-
ный группоид (и бесконечный группоид, если т или(и) п не конечные).
Определенные таким образом законы внутренней композиции и
группоиды будут называться законами нечеткой внутренней компо-
зиции или нечеткими внутренними законами и нечеткими группоидами,
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Пусть
Е = {А, В}]	(45.1)
и
М = |0, у,1|.	(45.2)
Обратившись к рис. 6.2, получим
33(Е) = {((А|0), (В|0)}, {(А|О),(В	{(а|4-)> (В|0)} ,
{(A|v)’	{(А|0)> (В|1)}> ((А|1)> (В|0)}>
{(А|т)’ {В|1)}’ {(А|1)* (ВЮ {(А|1)’ (В,1))- (45-3)
Для упрощения записи для X с Е вместо
((А|рх(А)), (В|рх(В))}	(45.4)
будем писать
(Их (А), рх (В)).	(45.5)
л/
Таким образом, {(А | 1/2), (В | 0)} будем записывать (1/2, 0).
При этом обозначении табл, на рис. 45.1 представляет нечеткий груп-
поид.
Пример 2. Если рассматриваемая операция * есть пересечение П и
если А с Е и В с Е, то можно образовать группоид с нечеткими
подмножествами A f) В в качестве результата применения этой опера-
ции. То же справедливо для операций J и (^определенных в §5.
9 Зак. 461	257
Построение нечеткого группоида. Для построения нечеткого груп-
поида достаточно задать универсальное множество Е, конечное или
нет, образовать 5s (Е) явно или нет и определить закон *, который каж-
дой упорядоченной паре нечетких подмножеств (А, В) ставит в соот-
ветствие одно и только одно нечеткое подмножество С~(А, В, Сс Е).
Рассмотрим несколько примеров.	~ ~	~
Пример 1. Рассмотрим еще раз (45.1) и (45.2) с законом
А * В А П В,	(45.6)
т. е.
Ра n J = MIN (рд (х), Рв 00) = Ра (х) /\ рв (х).	(45.7)
Таким образом, мы построили группоид, представленный на
рис. 45.2.
Пример 2. Попробуем определить «нечеткие положительные целые
числа». Начнем с определения нечеткого числа 1 с функцией принад-
лежности р/ (га), произвольной, но такой, что
2pi(n)=l, ra = 0, I, 2, 3,...	(45.8)
п = 0 ~
Например,
/ = {(0|0,1), (110,8), (2 10,1),... (N > 21 0)).	(45.9)
Построим 2 следующим образом:
Рг (0) = р2 (0) • р£(0) = (0,1) • (0,1) = 0,01,
Рг (1) = Р2 (0) -Р/ (1) + РЛ (1) • рх (0) = (0,1)- (0,8) + (0,8) .(0,1) = 0,16,
Р£ (2) = Р2 (0) -р/ (2) + РД1) *Р/,(1) -Ь Р£ (2) • (°) =
= (0,1) -(0,1) + (0,8). (0,8) + (0,1)  (0,1) = 0,66,	(45.10)
рДЗ) = р Д1) • Р/ (2) + Р Д2) • р Д1) = (0,8) • (0,1) + (0,1) • (0,8) = 0,16.
рД4) = р2 (2)-рД2) = (0,1).(0,1) = 0,01,
рДМ>4) = 0.
Таким образом,
2 = {(0 | 0,01), (1 1 0,16), (2 | 0,66), (3 | 0,16), (4 | 0,01), ...
...,(N >4 | 0)}.	(45.11)
Закончим построения на числе 3, используя формулу, которая обоб-
щает (45.10):
N	N
Pa*b(N)= 2 Pa(H'Pb(N—r)=	Pb(/-)-Pa(N—г).	(45.12)
~	г = 0	г = 0 ~	~
В этом выражении можно узнать преобразование свертки, используе-
мое в теории вероятностей и в преобразованиях линейных функций,
258
6S2
*6
f 'Md
(Si)	(fl)	(if	(O‘l)	(So)	(t't)	(o't)	(t‘o)	(o'o)
(fs	(fi)	ft)	(O'l)	(fo)	(t‘t)	(O't)	(t‘0)	(o‘o)
(l‘t)	z(z I L	(l‘t)	(of	(So)	(t't)	(O‘t)	(t‘o)	(OlO)
(O'l)	(O'l)	(of	(O'l)	(0'0)	(O‘t)	(O‘t)	(0‘0)	(0'0)
(So)	(fo)	(So)	(o'o)	(So)	(f‘o)	(0‘0)	(t‘0)	(o'o)
(t't)	(t't)	7 S	(O't)	(fo)	(Z‘p 7 S	(o‘t)	(t‘o)	(o'o)
(o't)	(o't)	(o't)	(of	(O'O)	(0‘t)	(O't)	(0'0)	(0'0)
(fo)	(fo)	(fo)	(O'O)	(fo)	(t‘0)	(0'0)	(t‘o)	(0'0)
(O'O)	(O'O)	(o'o)	(O'O)	(O'O)	(0‘0)	(o‘o)	(0‘0)	(0'0)
(I'l)
(j‘S
(St)
(O'I)
(So)
(t't)
(O‘t)
(fo)
(O'O)
\ (3)8
(i'l) (fl) (l't) (o'l) (l‘O) [j't) (O't) (t‘°) (°‘°) ~
(3) (£
TSP -and
(j‘S	(t‘0)	(St)	(o'I)	(o'I)	(I'l)	(So)	(So)	(7't)	(Si)
(O't)	(t‘0)	(0'0)	(St)	(t‘S	(o'o)	(t‘o)	(St)	(0'0)	(t‘l)
(I'D	(t‘l)	(St)	(0 'l)	(O'I)	(t‘0)	(So)	(t't)	(0'0)	(St)
(t‘S	(I'D	(So)	(0'I)	(So)	(7'7)	(7'7)	(0'0)	(o't)	(O'I)
(St)	(t‘t)	(O't)	(o'I)	(O't)	(O't)	(t‘S	(t‘o)	(7't)	(So)
(o'o)	(t‘0)	(t‘t)	(o'I)	(o'I)	(St)	(Si)	(0'0)	(i'l)	(7'7)
(7'7)	(Si)	(Si)	(I'D	(t'l)	(I'D)	(t ‘°)	(t'l)	(0'0)	(o't)
(St)	(Z7't)	(So)	(O'I)	(O'O)	(I't)	O't	(t‘0)	(0'1)	(t‘0)
d's	(Si)	(to	(1'0)	(So)	(t‘l)	(Z7't)	(o't)	(So)	(0'0)
(Si) (Pi) (rj) (o'l) (So) ft) (of (fo) (o'o) \
(3)$
Для 3 имеем
N
|MN) = F2. HN)=	(N—г), N<6.	(45.13)
"	~	г —о ~	~
Таким образом,
3^= {(0 | 0,001), (1 | 0,024), (2 |0,195), (3 | 0,560), (4 | 0,195),
(5 [ 0,024), (6 | 0,001), ..., (N > 6 | 0)}.	(45.14)
Таким путем процесс построения продолжается далее. Отметим, что
нечеткий характер построенных чисел проявляется все сильнее с рос-
том их значений.
Позже мы познакомимся с некоторыми частными свойствами груп-
поидов. Здесь же отметим, что построенные нами группоиды обладают
следующими свойствами:
(А*В)* С = А*(В* С)—ассоциативность,	(45.15)
А * В = В * А — коммутативность.	(45.16)
При этом pi (п) нужно выбирать такими, чтобы
(45.17)
п
Это условие соответствует использованию произведения — сверт-
ки (45.12).
Пример 3. Возьмем функцию принадлежности, которую мож-
но рассматривать как закон распределения вероятностей. Рассмотрим
два нечетких подмножества AcRhBcR, с помощью которых по-
лучим другие нечеткие подмножества (таким образом мы рассматрива-
ем А и В как нечеткие множества, порождающие бесконечное число
других нечетких подмножеств). Пусть
(*—g)*
Ра (х) = —1 — е 2ffl , a, Oj 6 R+,	(45.18)
~ 1/2лсгз
(х—Ь)3
1 2а1
Рв(х)-—2-------е , b, O3€R+	(45.19)
~	Д/2Я(Т2
Теперь рассмотрим следующий закон композиции:
НА.в(х)= j Ha(0‘Hb(x—t)-dt— J Hb(0-Ha(x—t)-dt =
— ОО	— ОО
	(х—а—д)*
1_________2(^+^)
=— ...........—	е
1/2л(а»+а’)
(45.20)
260
Он определяет нечеткое число А * В.
Аналогично порождаются другие нечеткие числа:
А* А, В * В, А * А* А, А * А * В,..., Аг * Bs,...,	(45.21)
где верхние индексы указывают на то, что проведено г — 1 компози-
ций нечеткого числа А и s — 1 композиций нечеткого числа В.
Из двух нечетких чисел А и В можно образовать композиции
А, В, А* А. А*В, В*В,..., АГ*В5,...	(45.22)
и множество
Q-{A, В, А*А, А#В, В*В„.., A'*BS,...},	(45.23)
наделенное структурой группоида, который к тому же обладает свой-
ствами ассоциативности и коммутативности, присущими закону
(45.20).
46. Основные свойства нечетких группоидов
Пусть * есть закон внутренней композиции нечеткого группоида;
определим несколько свойств группоидов. Группоид будет обозначать-
ся (Е), *).
Коммутативность. Если для всех упорядоченных пар (А, В) £
£	(Е) X SF (Е) выполняется условие
А*В = В * А,	(46.1)
то говорят, что закон внутренней композиции коммутативен; также
говорят, что группоид коммутативен. Например, группоид на рис. 45.2
коммутативный, в то время как на рис. 45.1 — нет. Для примера на
рис. 45.2 можно проверить, что
{(А]1/2), (ВЦ)} Л {(A|l), (BjO)} = {(А|1/2), (В|0)}, (46.2)
{(А|1), (В|0)} Д {(А|1/2), (В|1)} = {(А|1/2), (В|0)}. (46.3)
Исходя из данного определения закона * для нечетких подмно-
жеств, можно заключить, что если
На . в (х) = Ра (х) ® Нв (х),	(46.4)
то из коммутативности для ® следует коммутативность для * и на-
оборот. Очевидным примером служат выражения (45.6) и (45.7).
Ассоциативность. Если
у А, В, С <= Е : (А* В)* С = А*(В * С),	(46.5)
то говорят, что закон ассоциативный; говорят также, что группоид
ассоциативен.
261
Так, группоид на рис. 45.2 ассоциативен, а на рис. 45.1 —нет.
Можем это проверить, например, для группоида на рис. 45.2, исполь-
зуя сокращенное обозначение
((1/2, 1/2) Л (h 0)) Д (1/2, 1) - (1/2, 0)Д (1/2, 1) = (1/2, 0), (46.6)
(1/2, 1/2) Д ( (1, 0) Д (1/2, 1)) - (1/2, 1/2) Д(1/2, 0) = (1/2, 0).
(46.7)
Исходя из данного определения закона для нечетных подмножеств,
можно заключить, что если
(|Лд (х) ®	(х)) © Нс (х) = На (%) © (Ив (х) © Нс (х)),	(46.8)
то из ассоциативности для © следует ассоциативность для * и наобо-
рот.
Единичный элемент. В теории обычных множеств для рассматри-
ваемого закона * выделяют особый элемент е £ Е, если он существует,
такой, что
уа С Е : е * а = а.	(46.9)
Этот элемент называют левой единицей. Аналогично элемент ег С Е,
если он существует, такой, что
у а^Е\а* ef	(46.10)
называется правой единицей.
Элемент, который является одновременно и левой и правой едини-
цей, называется единицей.
Если единичный элемент существует, то он единственный. Дейст-
вительно, если бы существовал другой такой элемент 8, то мы имели бы
8*е = е*8 = е = г.	(46.11)
Аналогично можно определить единичный элемент в нечетком груп-
поиде. Покажем сначала на примере, что это действительно возмож*
но, а затем перейдем к общему определению. Рассмотрим пример на
рис. 45.2. Очевидно, что элемент (1,1) будет одновременно как левой,
так и правой единицей, т. е. просто единицей. Действительно,
ух£ {0, 1/2, 1} иу^£ {0, 1/2, 1},
(1, 1) f\ (х, у) = (х, у) Л (1, l) = (x,z/).	(46.12)
Будем говорить, что нечеткий группоид с законом композиции
* обладает левой единицей U, если
yAcE:U*A = A,	(46.13)
и правой единицей U', если
уАсЕ: A*U' = A,	(46.14)
и имеет единицу U, если
у А с: Е : U * А = A *U = А.	(46.15)
262
В примере на рис. 45.2 представлен случай, когда нечеткий группо-
ид имеет единицу. Теперь рассмотрим другой случай, когда нечеткий
группоид не обладает единицей. Такая ситуация возникает в примере,
рассматриваемом в (45.8)—(45.16). С помощью элемента 1 невозможно
генерировать ни четкое подмножество, обладающее свойством (46.15),
ни нечеткое подмножество, обладающее свойством (46.13) или (46.14).
Обратные элементы. Напомним, что понимается под обратным эле-
ментом в теории обычных множеств.
Рассмотрим закон, для которого существует единичный элемент е.
Теперь пусть а и а£ Е — два элемента. Если
а*а = е,	(46.16)
то говорят, что элемент а есть левый обратный элемент для а. Анало-
гично, если
а * а' = е,	(46.17)
то говорят, что а’ есть правый обратный элемент для а. Наконец, если
а' = а, то	_	_
а* а = а*а = е9	(46.18)
и говорят, что а есть обратный элемент для а.
В нечетком группоиде для каждого элемента можно попытаться оп-
ределить обратный.
Обратимся опять к примеру на рис. 45.2. Мы уже видели, что здесь
существует единица, а именно пара (1, 1). Очевидно, что имеется толь-
ко один элемент, который в композиции с самим собой дает (1, 1); это
элемент (1, 1).
Для всех остальных элементов, таких, что (а, Ь) <41, 1) и
(a', br) (1, 1), имеем
(а, Ь) Д « b') < (1, 1).	(46.19)
Следовательно, в группоиде на рис. 45.2 каждый элемент не имеет
обратного.
В более общем случае, когда в качестве закона * используется J
или f], обратный элемент не существует.
В случае U существует единица, определяемая условием ух £ Е,
Ра (х) = 0; в случае П существует единица, определяемая условием
ух£ Е, рд (х) = 1. Но ни в одном из этих случаев, независимо от
того, каково нечеткое подмножество А, нельзя определить обратный
элемент. Известно, что
(условие ух£Е:рА(х) = 0) <=► (А = 0).	(46.20)
(условие у х £ Е : рА (х) = 1) (А = Е).	(46.21)
Однако если 0 принять за единицу для J, а Е—в качестве единицы
для П, то это все равно не позволит определить обратные элементы;
никакой элемент, скажем В, не может дать
A U В = 0, за исключением случая В=0 и А=0; (46.22)
А П В-Е, за исключением случая В = Е и А = Е. (46.23)
263
Аналогично можно проверить, что для законов*’
А ф В = (А П В) U (А П В),	(46.24)
А ф В = (A U В) (] (A U В)	(46.25)
также нельзя определить обратные элементы.
Можно проверить, что это справедливо также для закона * :
А * В, определенного посредством р-А * в (х) =
= Иа(х)-Цв(х)	(46.26)
или закона *:
А * В, определенного посредством р д* в (х) =
= J Ра(0-Рв(х—(46.27)
— оо
Дистрибутивность. Пусть * и *' представляют собой два закона
внутренней композиции, определенных на одном и том же множестве
Е. Если
у А, В, С cz Е : А * (В * 'С) = (А * В) * '(А * С),	(46.28)
то говорят, что закон * дистрибутивен слева относительно закона
Аналогично, если
у А, В, Сс=Е: (А*'В) * С = (А*'С)* (В *'С),	(46.29)
то говорят, что закон * дистрибутивен справа относительно закона * .
Если .закон * дистрибутивен относительно другого закона *' и сле-
ва и справа, то говорят, что он дистрибутивен относительно
Тогда можно записать
(А*'В) *(С *'D) —(А* С) *'(A* D) *'(В * С)*'(В * D). (46.30)
Можно, например, проверить, что закон П дистрибутивен относи-
тельно U и, наоборот, закон U дистрибутивен относительно f]. Для
закона ф
А®В^(АЛВ)и(АПВ)	(46.31)
относительно П или U свойство дистрибутивности не имеет места.
Обычное подмножество нечеткого множества, замкнутое отно-
сительно закона композиции. Пусть*** Д с= З5 (Е), причем З3 (Е) на-
*> Для закона композиции А® В единицей является 0. Если положить
а = рА (х) и “ Ив (х) ПРИ 0 < « < ^ < L то а * b ~ (а д Ъ) V (а Д &)>
и мы никогда не получим а * b = 0; следовательно, не существует числа
которое можно было бы поставить в соответствие числу а з качестве обратного,
то же справедливо и для А @ В.
♦*> Напомним, что нечеткие подмножества универсума Е образуют множест-
во, обозначаемое <^(Е); поэтому, имея в виду нечеткие подмножества, сказать,
что множество Е наделено законом * или что этим законом наделено множество
^°(Е), значит, сказать одно и то же.
264
делено законом *. Если для каждой упорядоченной пары (А, В) G
С Д X А
А * В £ Д,	(46.32)
то говорят, что А замкнуто относительно *.
51(E) (0,0) Я(ЕГ^_			(о,{) (4,о) (4,4) (0,1)				d,o) (4,D d,4)			(i,D
(0,0)	(0,0)	(о,4)	(4,о)	(Ы)	(0,7)	(1,0)	(4,d	d,4)	(i,D
(0,{)	(О,{)	(о,4)	(}(>	(1,1) 'z’2'	(0,7)	d,4)	(4,D	(i,4)	(i,D
(4,0)	(4,0)	(4>4)	(4,о)	(1,1) (Z 2'	(4,D	(1,0)	(4,D	d,4)	(1,7)
	(1,1) 'г ’г'	({>{)	г'zi •z’z'	/2,21 ’z’z'	(4,D	(1,4)	({,d	d,{)	(1,1)
(0,1)	(0,1)	(0,7)	(4,1)	(4,D	(0,1)	d,i)	(4,i)	(i,D	(1,1)
(1,0)	(1,0)	(1,4)	(1,0)	(7,4)	(1,1)	(1,0)	(i,D	(1,4)	(1,1)
(4,1)	(4,D	(4,d	(4,D	(4,D	(4,D	(1,1)	(4,D	(i,D	(1,1)
(1, {)	(1,4)	(4	(ify	d,4)	d,i)	d,4)	d,i)	d,4)	(1,1)
(1,1)	(7,1)	(1,1)	(1,1)	(i,D	(i,D	d,i)	(i,D	(i,D	(1,1)
Рис. 46.1
Рассмотрим, например, группоид, представленный на рис. 45.2.
Можно проверить, что группоид
Дх = { (0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0)} замкнутый, (46.33)
Д2 = {(1/2, 1), (1, 1/2)} незамкнутый.	(46.34)
На рис. 46.1 представлен тот же группоид, что и на рис. 45.2,но
наделенный законом (J: группоид
Aj_ = { (0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0)} незамкнутый, (46.35)
Аа = { (1/2, 1), (1, 1/2)} незамкнутый,	(46.36)
Д3 = {(1/2, 1), (1, 1/2)(1, 1)} замкнутый.	(46.37)
Интересно проследить, как получить замкнутые подмножества для
примеров на рис. 45.2 и 46.1 с помощью диаграммы Хассе векторной
решетки, представляющей SP (Е) (см. рис. 46.2).
Правило состоит в следующем. Чтобы некоторое подмножество из
дъ (Е) было замкнутым, оно должно содержать нижнюю грань любой
265
пары (А, В), А, В £ А. Например, подмножество { (0, 0),
(0,1/2), (1/2,0), (1,0)} замкнуто относительно (~|. Это можно
видеть на рис. 46.2. С другой стороны, подмножество { (0, 1/2), (1/2, 0),
(1/2, 1), (1, 1/2)} незамкнуто относительно П • Такое же правило при-
(0,0)
Рис. 46.2
Подгруппоиды. Любое
меняют и для операции U , но только
рассматривают верхние границы. Напри-
мер, подмножество { (0, 0), (0, 1/2),
/1/2, 0), (1, 0)} незамкнуто относительно
U, а подмножество {(0, 1/2), (1, 0),
(1, 1/2), (1,1)} — замкнуто.
Это свойство — общее для любого
3s (Е), каким бы ни было Е, поскольку,
как мы видели, (Е) всегда образует
векторную решетку по отношению вклю-
чения (см. § 6) А с В [т. е. рд (х)
Рв (х)1, Для которого можно всегда
рассматривать A Q В и A (J В.
подмножество А с (Е), замкнутое от-
носительно закона *, называется подгруппоидом группоида (Е, *) и
обозначается (A cz Е, *) или (А, *), если не возникает путаницы.
47.	Нечеткие моноиды
Нечетким моноидом называется любой ассоциативный нечеткий
группоид, имеющий единицу. Отметим, что многие авторы не требуют
в этом определении обязательного наличия единицы, но мы будем по-
лагать это требование выполненным во всем, что будет рассматривать-
ся ниже.
Если моноид к тому же обладает свойством коммутативности, его
называют коммутативным моноидом.
Все следующие ниже нечеткие группоиды, определенные с помощью
их функций принадлежности, внутренние законы которых также оп
ределены и указаны ниже, являются моноидами и при том коммута-
тивными.
1.	(^(Е), П), где Рапв (х) = Ра (%) ДРв(х), А, В с Е. (47.1)
Ассоциативность группоида (&> (Е), f)) очевидна. Единицей служит
универсальное множество Е.
2.	(?(Е), U)> где paub(x) = Pa(x) VPb(x), А> 5с:Е'	(47-2)
Ассоциативность группоида (S3 (Е), U) очевидна. Единицей служит
0. Группоид
3.	(^(Е), •), где рд .j(x) = Pa(x)-Hb(x), А, В с: Е, (47.3)
266
ассоциативный, с единицей Е. Группоид
4.	(Е), +), где Ha+b(x) = Fa(х) + Нв(х)—PaW-HbW,
А, В с= Е,	(47.4)
ассоциативный, с единицей 0*’. Группоид
5.	(^(Е), ф), где Ца®в(х) = [На(х) Л (1 —Рв(х))1 V
V 1Вв(х) Л (1 - На (х))], А, ВсЕ,	(47.5)
ассоциативный, с единицей 0.
Нечеткий моноид обозначается (Е, *) или, что предпочтительнее,
(^ (Е), *).
Рассмотрим несколько нечетких группоидов, которые не являются
моноидами.
Пример 1. Пусть А * В определяется соотношением
Ра * в (х) = | Ра (х)—Рв(х) |.	(47.6)
Положим
л=Ра(х), рв(х), с = Рс(х)	(47.7)
и обозначим
а ® & = [а—&|.	(47.8)
Легко показать, что
(а® &)®с¥=а®(&®с),	(47.9)
т. е.
|| а—Ь\—с | =# |-а — |сЦ.	(47.10)
Например, если
а- 0,3, b = 0,5, с = 0,9,	(47.11)
то имеем
|| а—& |—с| = || 0,3 —0,51—0,9 [ = 10,2 —0,91 = 0,7,	(47.12)
|а — \Ь—с 10,3 — | 0,5—0,9|| = | 0,3 —0,4 | = 0,1.	(47.13)
Этот коммутативный группоид не моноид, поскольку не обладает
свойством ассоциативности.
Пример 2. Используя обозначения (47.7), положим
а © b= a + kb — abt б£[0, 1].	(47.14)
*> Уравнения (47.3) и (47.4) будут определять внутренние законы при усло-
вии, что М = [0, 1] или М = {0, 1}. Однако эти уравнения могут и не задавать
внутреннего закона, например, для М = {0, 1/2, 1}, так как (1/2) (1/2) =» 1/4 $
$ М.
267
Имеем
(а ® Ь) ® с = (а + kb — ab) + kc — (а + kb — ab)c =
= a + kb -+• kc — ab — ac — kbc + abc, (47.15)
a ® (b ® c) = a + k (b + kc — be) — alb + kc — be) =
= a + kb + k?c — ab — kac — kbc + abc, (47.16)
(a ® b) ® c — a ® (b ® c) = kc — k2c — ac + kac —
= c(\—k)(k — a).	(47.17)
Таким образом, свойство ассоциативности не выполняется, за ис-
ключением случая k = 1.
Нечеткий подмоноид. Пусть (З5 (Е), *) — нечеткий моноид и
Д cz 5s (Е) замкнуто относительно закона *, тогда Д будет называть-
ся нечетким подмоноидом моноида и обозначаться (Д, *).
(0,0)
Пример. Рассмотрим моноид ($> (Е), (J) (рис. 46.1). На рис. 47.1—
47.3 представлены подмоноиды этого моноида:
Д = {(0, 0), (1/2, 1)},	(47.18)
Д' = {(0, 0), (0, 1/2), (1, 1/2)},	(47.19)
Д" = {(0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0), (1/2, 1/2), (1/2, 1)}.	(47.20)
Существует несколько других таких подмоноидов, которые чита-
тель может сам перечислить в качестве упражнения.
Конечно, все эти моноиды должны включать единицу (0, 0) [см.
(47.2)].
268
Теорема. Если (А, *) и (Д', *)_ подмоноиды моноида (5s (Е), *),
то (A fl Д', *) — подмоноид моноида (SP (Е), *).
Доказательство. Очевидно, что для пересечения моноидов
сохраняется единица и выполняется свойство ассоциативности. Те-
перь покажем, что A fl А' замкнуто относительно операции *.
Пусть (А, В)£А О Д'. Тогда А * В по предположению принад-
лежит А и А' (поскольку в противном~случае А или (и) Д' не будут
замкнутыми относительно *); но тогда А * В принадлежит А П Д'
и, значит, A fl А' замкнуто относительно *.
Для объединения U моноидов свойство замкнутости относительно
операции * в общем случае не выполняется.
Нечеткие группы. Можно задать следующий вопрос: существуют
ли реально группы, которые являются нечеткими (необычными), если
рассматривать операции f], U,
Известно, что группа представляет собой моноид, в котором для
каждого элемента существует и при том единственный обратный
элемент.
В гл. V мы покажем, что необходимое условие для того, чтобы мо-
ноид (3й (Е), *) имел групповую структуру, состоит в том, чтобы М =
= [О, П было наделено групповой структурой для операции, соот-
ветствующей *. Более того, мы увидим, что в любом случае М =
== 10, 1] можно наделить групповой структурой с помощью некото-
рой операции о.
М = [0, 1] можно рассматривать как векторную решетку, которая
состоит из единственной цепи, образующей полный порядок. Рассмот-
рим операции Д (минимум), \/ (максимум), • (произведение),
алгебраическая сумма), ® (дизъюнктивная сумма). Каждая из
этих операций ассоциативна и для каждой существует единица, роль
которой, в зависимости от случая, играет 0 или 1; однако почти оди-
наково для каждого случая легко доказать, что для каждой из этих
операций не существует обратных элементов. Мы сделаем это для опе-
269
рации Д. Рассмотрим пару (а, Ь) £ М х М, где М = [0, 1] и 0<« <
<; Ь < 1. Единицей для операции Д служит 1. Существует ли такое
а или Ь, что
а Д b = 1?	(47.21)
Нет, не существуют, поскольку
а Д b = a<Z 1.
(47.22)
С другой стороны, если мы возьмем М = {0, 1} , то обнаружим,
что групповая структура возможна.
Лч 0	1
0	О
0	7
Это не группа.
Есть единичный
элемент 1, но О
не имеет обрат-
ного элемента:
О Д 0=0,
ОД 1=0,
1 До = о,
1Д1 = 1-
Рис. 47.4
О 7
О
7
Это группа.
Есть единичный
элемент 0, 0 есть
обратный элемент
0, 1 есть обрат-
ный элемент 1.
Это группа.
Есть единичный
элемент I, 0 есть
обратный элемент
О, 1 есть обрат-
ный элемент 1.
Это не группа.
Есть единичный
элемент 0, но 1
не имеет обрат-
ного элемента:
0V 0 = 0,
о v 0 = 1,
1 V о = 1,
1 V 1 = 1.
Рис. 47.5
Рис. 47.6
Так, на рис. 47.6 мы показали, что относительно операций Д или
V группа не получается (и, следовательно, не получается группа от-
носительно любой из операций • и которые в булевом случае дают
эквивалентные операции). И, наоборот, получаем группу, если берем
операцию ф. Группа получится и в том случае, когда рассматривается
ООО ОО1 010 011 1ОО 101 ПО т
ООО	007	070	077	700	707	770	777
007	ООО	077	010	707	700	777	770
070	077	ООО	007	/70	777	700	707
077	070	007	ООО	777	770	707	700
700	707	770	777	ООО	ОО1	070	077
707	700	777	770	007	ООО	077	О7О
770	777	700	707	070	077	ООО	007
777	770	707	7^0	077	070	007	ООО
Рис. 47.7
\ Z7 7 2 0 0 5 6 7
0	7	2	3	0	О	О	7
7	О	3	2	О	0	7	в
2	3	О	7	О	7	0	5
3	2	7	О	7	О	5	0
0	О	О	7	0	7	2	3
5	0	7	О	7	0	3	2
О	7	О	О	2	3	О	7
7	О	5	0	3	2	7	О
Рис. 47.8
270
операнду © (инверсная дизъюнктивная сумма). Отметим, что две груп-
пы © и © оказываются изоморфными*} в результате перестановки эле-
ментов 0 и 1. Эти группы различаются по фактической реализации, но
как абстрактные группы они одинаковы.
Отсюда следует, что если рассматривать любую из операций П,
U, ф и М = [0, 1], то на ($>	*) нельзя определить группо-
вую структуру.
Для М = {О, 1} группу можно образовать только с операцией ф
(или, что то же, с ©). В качестве примера рассмотрим обычную груп-
пу, образованную таким образом на
Е = {хъ ха, х3}.	(47.23)
Если для упрощения записи положим
abc = { (xx|a), (х2[д), (х3|с)}	(47.24)
и при этом
а, {О, 1},	(47.25)
то получим группу, представленную на рис. 47.7. Единицей здесь слу-
жит элемент ООО, и каждый элемент abc сам себе служит обратным.
Эта группа изображена на рис. 47.8, где бинарные переменные abc
заменены соответствующими им десятичными числами. На рисунке
отчетливо видны некоторые свойства (подгруппоидов, латинских
квадратов и т. д.), общие для этих групп, построенных с дизъюнктив-
ной суммой ф.
В гл. V мы вернемся к тому, что связано со структурами или кон-
фигурациями множества принадлежностей М, которые мы обобщим,
изучая другие вполне упорядоченные конфигурации для М.
48.	Нечеткая внешняя композиция
Пусть Ej, Еа и Е3— три множества. Если каждой упорядоченной паре (Ар А2), Ах cz Ej, А3 с: Е2 можно поставить в соответствие од-		
но и только одно подмножество А3 cz Е3,	то это соответствие называ-	
ется законом нечеткой внешней композиции при условии, что Е3 или (и) Е3 5^ Е2. Если Е3 = Ех = Е2, то закон внутренний. Пример 1 — чисто дискретный. Пусть		¥= Ех
Ej = {А, В, С},	card Ех = 3;	(48.1)
Мх = {0, 1/4, 1/2, 3/4, 1},	card М1 = 5;	(48.2)
Е2 — {а, Ь, с, d},	card Е2 = 4;	(48.3)
М2 = {0, 1/2, 1},	card М2 = 3;	(48.4)
Е3 = {а, ₽},	card Е2 = 2;	(48.5)
М3 = {0, 1/3, 2/3, 1},	card М3 — 4.	(48.6)
*) Для тех, кто нуждается в объяснении теории категорий, в параграфе
57 мы введем соответствующие понятия и обсудим, что понимается под словом
«морфизм». Если читатель не знает или забыл, что такое изоморфизм, он узнает
об этом дальше.
271
Пусть А2 cz Ех и А2 cz E2; каждой упорядоченной паре А2)
поставим в соответствие одно и только одно подмножество А3 cz Е3 с
помощью таблицы. А именно, пусть	~
Aj = { (А|1/4), (В|1/2), (С|1)> обозначается (1/4, 1/2, 1),	(48.7)
А2 = {(а|0), (Ъ|1 /2), (с|0), (d|l)} обозначается (0, 1/2, 0, 1). (48.8)
Предположим, что таблица этим двум подмножествам ставит в со-
ответствие третье подмножество
А3 = { (а|1/3), (₽|1)} обозначается (1/3, 1).	(48.9)
Таблица будет содержать 53х З4 = 125 X 81 случаев. На
рис. 48.1. приведен небольшой фрагмент этой таблицы.
Рис. 48.1
Пример 2. Рассмотрим предыдущий пример для закона
Ра, (а) = Д Д [На, (х) V р-а, (*/)],	(48.10)
~	X у ~	~
Ра. (₽) = V V 1Ра. (х) Л Haj. (у)].	(48.11)
X у ~	~
Получим другую композиционную таблицу, на основе которой вы-
числим элемент 5s (EJ х (Е2). Пусть Аг задано соотношением
(48.7), а А2 — соотношением (48.8). Имеем
Ра. (<*) = Л [ Л (V4 V0, 1/4 V 1/2, 1/4V0.1/4V 1), Д (1/2 \/0,1/2\/
~	X L у	у
V 1/2, 1/2 V0, 1/2\/1),Л(1\/0, IV 1/2, IVO, IV 1)1 =
у
272
= Л Г Л (1/4, 1/2, 1/4, 1), л (1/2, 1/2, 1/2, 1), Л (1, 1, 1, 1)1 =
х I у	у	у
= л (1/4, 1/2, 1>= 1/4,	(48.12)
На. (P) = V [V (1/4 ДО, 1/4 Д1/2, 1/4 ДО, 1/4Д1),
V (1/2 ДО, 1/2 Д1/2, 1/2, ДО, 1/2 Д1),
у
v (1 ДО, 1 Д 1/2, 1Д О, 1 Д 1)] = V [V (О, 1/4, О, 1/4),
V (О, 1/2, О, 1/2), V (0, 1/2, О, 1) = \/ (1/4, 1/2, 1)= 1. (48.13)
У	У	х
Таким образом,
Р-А.(а)=1/4 ица,(Р)=1.	(48.14)
Подмножествам
Ах = (А|1/4), (В11/2), (С| 1)	(48.15)
и
А2 = (а|0), (И 1/2),(с|0), (d| 1)	(48.16)
соответствует
А3 = (а| 1/4), (0| 1).
Замечание. Пусть в общем случае Мх связано с Ех; М2 связано с Е2
М3 связано с Е3.
Если (Е3) формируется из SP (Ех) и (Е2) посредством закона
*, определяемого условием
На . (х, у) = На, W ®Ра, (у),	(48.17)
то М3 будет выведено из Мх и М2 посредством формулы композиции
(48.17). Так, для примера (48.10) и (48.11) очевидно, что
М3 = Мх U М2 = Мх = {0, 1/4, 1/2, 3/4, 1).	(48.18)
Разумеется, (48.17) не может рассматриваться как общая формула.
В § 36 мы показали, как компонуются интервалы для операций
Д и \/. Аналогичные процедуры можно применить для других случа-
ев.
Пример 3- Построим нечеткий граф, вершины которого — нечет-
кие подмножества; этим будет определен закон внешней композиции.
Пусть
АсЕ, Все,	(48.19)
Каждой упорядоченной паре (А, В) £ 9s (Е) х ёР (Е) будет поставлен
в соответствие элемент, обозначенный
А*В = с(А, В).	(48.20)
Элемент с принимает свои значения во множестве Q, определен-
ном операцией *.
273
Предположим, например, что
Е = {а,Ь},	(48.21)
и
М= {0,1/2,1}.	(48.22)
Предположим также, что
с (А, В) = [ра (а) Л Ив (а)] V [На (Ь) Д Цв (&)].	(48.23)
Эта функция определяет значения с в
Q = М = {0, 1/2, 1}.	(48.24)
Полученный нечеткий граф представлен на рис. 48.2. Таким спо-
собом можно строить нечеткие графы, которые обладают специфичес-
кими свойствами, обусловленными их построением. Достоинство
представления внешнего закона композиции в виде нечеткого графа
состоит в том, что элементы (вершины графа) — нечеткие подмно-
жества одного и того же универсального множества.
*	(0,0)	(0,{)	(0,1)	($, Л	(1,0) (1,1)				(1,1)
(0,0)	0	О	О	О	О	О	0	О	0
(0,1)	О	2 2	1 2	о	2 2	г	0	2 2	2 2
(0,1)	0	7 г	7	О	2 2	7	О	2 2	1
(%, О)	0	О	О	2 2	2 2	7 2	2 Z	L 2	2 2
(1,1) '2’2'	0	2 2	1 2	7 2	2 2	2 2	L 2	2 2	2 2
({,1)	О	2 2	7	2 2	2 2	7	2 2	2 2	7
(1,0)	0	О	О	2 Z	2 Z	2 2	7	7	7
(1,{)	0	L 2	7 2	2 2	2 2	2 2	7	7	7
(1,1)	О	2 2	7	2 2	2 2	7	7	7	7
Рис. 48.2
Если расширить эту тему, то можно дать конкретные приложе-
ния, например, когда операцию «используют при оценке расстояния.
Пример 4. Вернемся к примеру 3 и предположим теперь, что
с (А, J1)—это относительное обобщенное расстояние Хемминга, которое
определяется выражением
6 (£’ J*) = V2 (|На (а)-Ив (а) | + [Иа (&)-Ив(&)|).	(48.25)
274
(О, О) (О, {) (0,1) (1,0)	<4 О) (1, {) (7,7)
(0,0)
Рис. 48.3
Очевидно, что им задается закон внешней композиции (см. рис. 48.3)
Важность понятия закона внешней композиции нечетких подмно-
жеств. Закон внешней композиции — очень важное понятие: им ха-
рактеризуется любая система оцен-
ки отношений между нечеткими
подмножествами одного и того же
универсального множества, а фак-
тически и между нечеткими под-
множествами разных универсаль-
ных множеств. Множество, в ко-
тором ^(Ei) X SP (Е2) принимает
свои значения, может быть обыч-
ным множеством или обычным мно-
жеством всех подмножеств, а в об-
щем случае — множеством нечет-
ких подмножеств (рис. 48.4).
Расстояние между сообщениями
или нечеткими подмножествами
275
одного и того же универсального множества — пример (и при том
один из наиболее тривиальных), иллюстрирующий это общее понятие.
Отметим, что процедуры для предсказания или разработки от-
крытий и изобретений, называемые биассоциацией*), в значительной
степени опираются на законы внешней композиции. Такие проце-
дуры состоят в том, что выбирают понятие А, которое характе-
ризуется обычным или нечетким подмножеством семейства понятий
Ех, и другое
<2у	33§ 33g 337
|Л рр|4 |л I ф I /У ]
# Уг % &5
I g р р I у р I
z7 ZZ гЪ Zb Z5 Z6 Z7 Z8
С КЫЛ/ЫФ|Ф ЫМ
Рис. 48.5. Биассоциация
понятие В, которое характеризуется обычным или нечетким подмно-
жеством другого (а в частности, и того же самого) семейства. Биас-
социация А и В представляет собой внешний закон *, который позво-
ляет получить новое понятие С, характеризующееся обычным или
нечетким подмножеством третьего семейства (не исключается и случай
совпадения этого семейства с одним jra предыдущих) (рис. 48.5).
49. Операции на нечетких числах
Рассмотрим различные виды нечетких чисел.
Экспоненциальные нечеткие целые числа. Рассмотрим универсаль-
ное множество
Е = R+	(49.1)
и нечеткое подмножество !х, такое, что
Иь (х) = X е~Хх, х СЕ R+.	(49.2)
Теперь определим 13:
R, W = Hl* W * Hh W = [ Rh. (0-Hi. (x~t) dt =
6
=	= x e~4	(49.3)
b
•> См. [6K1.
276
Далее определим
(х) = L4 (x) * Hh (x) = Ph (x) * Pi„ (x) =
X	1S 2 — Ax
= f ХЧ e-x< -X e~* <*-») di = e--	(49.4)
b	2
и вообще In:
Pin to = -1 to *ИЬ to = Pu (x) *Pi„_. (x) = b _x.?.J..e,— . (49.5)
Отметим, что
in n—1—>jr	,	..(n—l) _(n—1)
MAX hi (x) = MAX-—-----5--=%-^—, (49.6)
X ~n 7 X (n-l)l	(n—l)!
и максимум достигается при
x = ^=i.	(49.7)
Таким образом, можно получить значения, приведенные в табл. 49.1
Таблица 49.1
Абсцисса
максимума
Ордината максимума
к
Л2
ь
Х2хе”и
Х3х2 е“"^х
2
(п-1)!
X
Xe-i
Х22е~2
2
(49.8)
л (п—1/п
(^Л
Нечеткие подмножества
h, Мз,...Д-
(49.9)
называются экспоненциальными нечеткими целыми числами, 1Х —
экспоненциальной нечеткой единицей, 1а — экспоненциальной не-
четкой двойкой и т. д.	~
Операция композиции, определенная соотношением (49.3), ассо-
циативна и коммутативна; следовательно, множество нечетких под-
множеств 1г, 12, 13,	образует ассоциативный и коммутатив-
ный группоид. ~	~
277
Кроме того, этот группоид имеет единицу, которую обозначим 10
и которая определяется функцией принадлежности
!Ч(х) = б(х),	(49.10)
где б(х) — функция Дирака, для которой #)
Действительно, для 10 имеем
~	t
W*14 W = 4W*Pjr W = J |*ir(x)-6 (x—0^ = p^(x). (49.12)
Будем считать, что построенное множество нечетких подмножеств
пополнено 10.
Моноид
Ь’Ь’Ь-	(49.13)
изоморфен моноиду натуральных чисел
0, 1, 2, ..., п, ...	(49.14)
Относительно (49.8) заметим также, что абсциссы максимумов
каждого из экспоненциальных нечетких целых чисел следуют друг
за другом с интервалом, равным 1/Х.
Геометрические нечеткие целые числа. Рассмотрим универсальное
множество
Е = N	(49.15)
и нечеткое подмножество J1( такое, что
jxj.(x) = a(l— a)x~l, R+; 0< |а|< 1; х= 1, 2, 3,... (49.16)
Затем определим J2 следующим образом:
X — 1	X— 1
14 W = 4 W * 4 W = 2	(0-14 (x—t) = 2 а 0 —а}1-1 X
~	t=\ ~	1
X а (1 —	— а2 (1 —1 =(х-1) а2 (1— а)х~2, х=2,3,4,...
/ = 1
(49.17)
Теперь определим J3:
4 (х) = 4 (х) * 4 (х) = 4 (х) * 4 =
= 2* 4 (0'4 (x-t) =	tt-1) а2 (1 —а)'-2 -а (1 -а)*-‘-> =
t=2 ~	~	t=2
(t—1) =
/ = 2
=	а3 (1— а)х~3, х = 3,4,5,...	(49.18)
Это одно из свойств функции Дирака. Его легко доказать с помощью
операционного (символического) исчисления или методами теории обобщенных
функций.
278
Аналогично в общем случае получаем
(Х) = С*—j -ar -(1— а)х~г.	(49.19)
Абсциссы максимумов — это х = г, г + 1, ... (табл. 49.2).
Таблица 49.2
Абсцисса максимума
21
Л
Зз
а(1— а)*—1
(х— 1) а2 (1-—а)х“2
(х- 2) (х~ 1)
2
(49.20)

п—1 .	. . n—1
х 1 —|-	*
а	а
Отметим, что максимум Jn может достигаться не только на одной
точке, а точка х максимума не обязательно равна п — все зависит от
значения параметра а.
Нечеткие подмножества
Jb J2) J3> •••, Jn, ...	(49.21)
называются геометрическими нечеткими целыми числами . Jx называ-
ется геометрической единицей (1) и т. д.
Множество нечетких подмножеств (49.21) также образуют комму,
тативный моноид. Это моноид с единицей, которую мы обозначим JOj
и для нее
рл0(х)=1, х = 0,
= 0, х= 1,2,3,...
(49.22)
Можно проверить справедливость соотношения
Rr W * R> (х) = pj0 (х) * pjr (х) = нг (х).	(49.23)
Между Jo, Jx, J2....Jn, ... и множеством N натуральных чисел
также существует изоморфизм.
Относительно выражения (49.20) заметим, что абсциссы макси-
мумов всех этих геометрических нечетких целых чисел следуют друг
за другом с интервалом, зависящим от а.
С помощью подобных процедур можно определить другие нечеткие
натуральные числа, которые рассматриваются в вероятностных за-
279
конах, например, в биномиальных законах, законах Пуассона, отри-
цательных биномиальных или прямоугольных распределениях, нор-
мальных, эйлеровых (гамма) распределениях и т. д.
Здесь мы ограничимся гауссовыми натуральными числами (нор-
мальный закон).
Гауссовы нечеткие целые числа. Рассмотрим универсальное мно-
жество
Е - R	(49.24)
и нечеткое подмножество Ki, такое, что
(х—1)*
pKt(x) = _±_e	2(Ч.	(49.25)
К2ло?
Определим К2:
Нк. (х) = рк, (х) *	(х) = J Нк. (О -Нк, (х—О (U =
~	~	~ о	~
(х—2)а
1	4а2
=—-------е °i ,	(49.26)
и, продолжая этот процесс выписывания цк для Кз> К«, ..., Кг, получим
(х—г)8
Нкг(х) = —=-е 2га? .	(49.27)
V 2nrof
Тогда можно составить табл. 49.3.
	Таблица 49.3		
К;	ЦКг W	Абсцисса	Ордината
		максимума	максимума
Ki	(Х-1)8 - 1—.е 2<Ji ~1/2ла$	1	1 ”|/2ла|
к*	— *— -е 4стх "|/4яа?	2	1 1/4ла}
IS®	(х-зр —*	.е М	3	(49.28) 1
		•	*
к-	— 1	-е 2r°i |/ 2лгО1	г	1 V 2лга£
280
Нечеткие подмножества
КьК2, Кз,...., К,,.»	(49.29)
называются гауссовыми нечеткими целыми числами.
В действительности мы здесь также имеем дело с коммутативным
моноидом с единицей Ко> определенной условием
Нк.(х) = 6(х),	(49.30)
где б(х) — симметричная функция Дирака, т. е. такая функция, что
lim f fi(x)t/x=l.	(49.31)
е->0 v
X— — 8
Таким образом, мы опять имеем изоморфизм с N, но на этот раз
абсциссы максимумов цкг (х) соответственно равны значениям рас-
сматриваемого целого числа г.
Гауссовы нечеткие целые числа обладают следующим важным свой-
ством: зависимость абсциссы максимума (которая является также сред-
ним значением* > от дисперсии постоянна:
Таким образом, чем больше нечеткое число Кг (т. е. чем больше г),
тем больше его дисперсия, т. е. больше его нечеткость, но что касается
г, то относительная нечеткость постоянна.
50. Упражнения
IV. 1. Составьте таблицу, представляющую собой нечеткий группоид, та-
кой, что
(	1	9	1
Е = {а, Ь}, М= 0, — , — , 1 ,
О	О	J
На.в^(*) = 1‘а(*) V HbW-
IV.2. Нечеткий группоид определен таблицей на с. 282, задающей опе-
рацию * относительно
Е = {А, В) и М = {0, 1}.
В таблице {(А|а), (В|Р)} записано как (а, Р).
1.	Ассоциативен ли этот группоид?
2.	Имеет ли он единицу?
3.	Если ответ положительный, т. е. группоид есть моноид, то каковы его
подмоноиды?
4.	Для каждой ли упорядоченной пары (а, р) существует обратная ей, и
если ответ положительный, т. е. группоид есть группа, то каковы ее подгруппы?
IV	.3. Таблица на с. 282 определяет групповую операцию *. Вы-
разите эту операцию * только с помощью символов П (пересечение), (J (объеди-
нение) и “ (дополнение). В таблице пара {(А|а), (В|р)} представлена как (а, Р).
*> Средним значением случайной величины с плотностью распределения,
равной (х). (Прим, ред.)
281
Для этой операции * опишите группу, соответствующую семейству мно-
жеств
Е = {А, В, С}
(вместо Е = {А, В}).
К упражнению IV. 2 (0,0) (0,1) (1,0) (1,0)	(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)			
	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
	(0,1)	(0,0)	(1,1)	(1,0)
	(1,0)	(1,1)	(0,1)	(0,0)
	(1,1)	(1,0)	(0,0)	(0,1)
* к	(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)			
К упражнению IV. 3 (0,1) (1,0) (1,1)	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
	(0,1)	(0,0)	(1,1)	(1,0)
	(1,0)	(1,1)	(0,0)	(0,1)
	(1,1)	(1,0)	(0,1)	(0,0)
IV	.4. Заданы нечеткие группоиды (Е), *), где М = [0, 1] — функция
принадлежности универсального множества Е:
1	 Ид.в W = 0—На (*)) Л (1—Ив W) >
2.	Ид.в (*) = (Иа W’HbW) Л [(1—На WH1—Нв W)l>
3.	Ид.в W = На W) 'Ив (х)1 1(1 Ив W) 'На W1 •
где операция + такова, что а+6 = а+ & — а-b. Какие из этих нечетких груп-
поидов а) коммутативные, б) ассоциативные, в) обладают единицей, и если она
существует, то определите ее; г) какие из них таковы, что каждое нечеткое
подмножество имеет себе обратное?
IV.5. Определите следующие законы внешней композиции, где
Е = {а, &}, М = {0, 1/2, 1},
(А, В)е^(Е) Х^(Е), х, у е Е,
и составьте таблицы этих законов.
а)	с (Ь ®) =1/2 К(ЦА (“)—Ив (“))2+(Ha<6)—Ив (ь))2>
б)	С <=. Е' = {X, Y), С = А* В,
Ис(х) = Иа (*) Л Ив Ис (y) = HaW V Ив(и)-
282
Глава V
ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ НЕЧЕТКОГО
ПОДМНОЖЕСТВА
51.	Введение
В этой главе рассматривается очень интересное обобщение работы
Заде, предложенное Гогеном [G3]. Основная идея состоит в следу-
ющем.В теории нечетких подмножеств, разработанной Заде, элемен-
ты универсального множества Е принимают свои значения во мно-
жестве М = [0,1]; Гоген предложил разрешить этим элементам
принимать свои значения во множестве, наделенном более общей
структурой. Это обобщение потенциально очень богато, но вводит не-
которые сложности, о которых мы предупреждаем читателей.
Чтобы начать изучение, уместно изложить некоторые понятия тео-
рии решеток для читателя, который забыл или никогда не изучал ее.
Помня о том, что книга предназначена для инженеров, которые не
обязательно должны знать современную математику со всеми ее абс-
трактными конструкциями, мы считаем уместным сделать такой обзор.
В своем обобщении Гоген опирался на работу Биркгоффа [2В],
которая до сих пор считается наиболее авторитетным источником
по теории решеток*\
Несколько замечаний по терминологии: понятие «нечеткое под-
множество» будет использовано в смысле Заде (М = [0,1]), через
L будем обозначать «нечеткое подмножество» в смысле Гогена (мно-
жество М обобщается до L, a L — множество, которое в дальней-
шем часто наделяется структурой решетки). Буква L — начальная
буква английского слова «lattice» — решетка.
52.	Операции на обычных множествах
В гл. I мы видели, как действуют некоторые операции на обычных
подмножествах универсального множества; теперь рассмотрим три
важные операции, имеющие отношение не к подмножествам одного
и того же универсального множества, а касающиеся самих множеств,
различных или нет.
Произведение двух множеств. В действительности мы уже говорили
об этом неявно в § 11, когда вводили понятие графа. Еще раз подробно
рассмотрим понятие произведения двух множеств.
Пусть Ех и Е2—два множества и х £ Ег и у £ Е2. Множество упоря-
доченных пар (х,у) называется произведением Ег и Е2. Это произве-
дение множеств обозначается Ех X Е2.
*> См. также работу [1F].
283
Имеем
Ех X Е2 =И= Е2 X Ех, если Е2 Ех — некоммутативность, (52.1)
(Ei X Е2) X Еэ = Ei X (Е2 X Е<)— ассоциативность . (52.2)
Примера.
Ех =	{А, В},	(52.3)
Еа =	{а,р,у},	(52.4)
Ех	X	Е2	=	{(А,а),	(А,р),	(А,у), (В,а),	(В,р),	В,у)},	(52.5)
Е2	X	Ех	=	{(а,А),	(а,В),	(₽,А), (р.В),	(у,А),	(у,В)}.	(52.6)
Если
Е3 = {а,Ь},	(52.7)
то
(Er X Eg) X Ез = {(А,а,а), (А,а,Ь), (А,р,а), (А,р,&), (А,у,а)
(А,у,Ь), (В,а,а), (В,а,Ь), (ВДа), (В,р,й), (В,у,а), (B,y,t)}. (52.8)
Аналогично можно разложить правую сторону равенства (52.2).
Для п множеств Е1; Е2, ..., Еп можно определить
Ех X Еа X ... X Еп.	(52.9)
Изменяя в этом произведении порядок, можно определить всего
п\ = п(п — 1) ...2-1 различных произведений, если все исходные
множества различны.
Дизъюнктивная сумма двух множеств. Дизъюнктивную сумму здесь
нельзя определить так же, как это сделано для подмножеств одного
и того же универсального множества [см. (5.34)], поскольку мы не
определили, что будем называть дополнением к множеству. (Если бы
это было сделано, то дизъюнктивную сумм)' можно было бы определить
через дополнения к подмножествам относительно универсального
множества). Поэтому Ех ф Е2 определим следующим образом:
Ех ф Е2 есть множество, образованное всеми элементами Ех и Е2,
за исключением тех, которые принадлежат одновременно Ех и Е2.
(52.10)
Пример. Рассмотрим еще раз (52.3) и (52.4), тогда
Ei © Е2 = {А, В, а, р, у}.	(52.11)
В этом примере Ех и Еа не имеют общих элементов.
Сумма (52.10) обладает следующими свойствами:
Ех ф Еа = Е2 ф Ех—коммутативность,	(52.12)
(Ех ф Еа) ф Е3 = Ех ф (Е2 ф Е3) —ассоциативность.	(52.13)
Из дидактических соображений мы часто приводим примеры на очень про-
стых конечных множествах. Однако если не делается специальных оговорок,
то результаты рассмотрений применимы к произвольным множествам, конечным
или бесконечным.
284
Для операций произведения и дизъюнктивной суммы выполняется
свойство дистрибутивности
Е, X (Е; ф Е3) = (Ех X Е2) ф (Ех X Е3),	(52.14)
(Ех ф Е2) х Е3 = (ЕХ х Е3) ф (Е2 х Е3)	(52.15)
(дистрибутивность слева и справа для ф).
Рассмотрим пример.
Пример. Пусть даны (52.3), (52.4) и (52.7) Тогда
Е2 ф Е3 = {а, 0, у, а, 6),	(52.16)
Ех X (Е2 ф Е3) = {(А, а), (А, 0), (А, у), (А, а), (А, Ь), (В, а),
(В, 0), (В, у), (В, а), (В, 6)},	(52.17)
Ei X	Е2 = {(А, а), (А, 0), (А, у), (В, а), (В,	0), (В,	у)},	(52.18)
Ех X Е3 = { (А, а), (А, Ь), (В, а), (В,	Ь)},	(52.19)
(Ex X Е2) ф (Ex X Е3) = {(А, а), (А, 0), (А, у), (В, а), (В, 0),
(В, у), (А, а), (А, Ь), (В, а), (В, Ь)}.	(52.20)
Можно легко проверить, что соотношения (52.17) и (52.20) опреде-
ляют одно и то же множество.
Отметим, что для произведения дистрибутивность не выполняется
ни слева, ни справа. Рассмотрим опять соотношения (52.3), (52.4) и
(52.5).
Ех ф (Е2 X Е3) ф (Ех ф Е2) X (Ех ф Е3)*>,	(52.21)
Е2 X Е3 = {(а, я), (а,6), (0,а), (0,6), (у,а), (у,6)},	(52.22)
Ei ф (Е2 X Е3) = {(А,В), (а, а), (а, 6), (0, а), (0,6), (у,а), (у, 6)},
(52.23)
Ех ф Е2 = {А, В, а, 0, у},	(52.24)
Ех ф Е3 = {А, В, а, Ь},	(52.25)
(Ех ф Е2) X (Ех ф Е3) = { (А,А), (А,В), (А,а), (А,6), (В,А), (В,В),
(В, а), (В, 6), (а, А), (а, В), (а, а), (а, 6), (0, А), (0, В), (0, а), (0, Ь),
(у, А), (у, В), (у, а), (у, 6)}.	(52.26)
Множество отображений Ех в Е2. Множество функциональных
отображений**> Ех в Е2 обозначается Ef1 (как степень).
Пример получим непосредственно, если обратимся к соотношени-
ям (52.3) и (52.4) и используем несколько графовых представлений
(см. рис. 52.1).
*> Отметим, что для обычного умножения и сложения чисел утверждение
а (Ь + с) = ab + ас истинно, а утверждение а + Ьс = (а + Ь) (а + с) ложно.
•*) Имеются в виду однозначные отображения или просто функции.
285
Рис. 52.1
Из рисунка видно, что если
Ех = {А, В}	(52.27)
и
Е2 = {а, р, у},	(52.28)
то
Е|* = {(А|а), (В|а)}, {(А|а), (В|Р)}, ((А | а), (В|у)},
{(А|₽), (В|а)), {(А|р,) (В[ Р)}, {(А|Р), (В | у)},
{(А|у), (В | а)}, {(А|т), (В |р)), {(А| у), (В | у))). (52.29)
Мощность Ef1 равна
card (Efi) = (card E2)card Еч	(52.30)
Для данного примера
card (ЕЕ*) = З2 = 9.	(52.31)
Если Ех или (и) Е2 бесконечно, то card (ЕЕ>) бесконечна.
(52.32)
Основные операции на множествах. Сведем воедино все полученные
выше результаты. Пусть Еь Е2 и Е3 — множества; тогда
Е1фЕ2 = Е2фЕ1,	(52.33)
Ех ф (Е2 ф	Е3) = (Ei	ф Е2) ф Е3,	(52.34)
Ej X (Е2 X	Е3) =	(Ех X Е2) X Е3,	(52.35)
Ех	X (Е, Ф Е3)	— (Ej	X	Е2) ф (Ej X Е3),	(52.36)
(Ej	ф Е2) X Е3	— (Ei	X	Е3)ф (Е2 X Е3),	(52.37)
(Ех X Е2)е» = Ее» X ЕЕ»,	(52.38)
(ЕЕ»)Е» = ЕЕ» х Е».	(52.39)*’
53.	Основные свойства множества отображений
Множество отображений Е в L обозначается
LE.	(53.1)
*) Здесь расстановка скобок имеет значение (Ef2) Е. ф е/е.е.). уа.
ким образом, в общем случае операция возведения в степень не ассоциативна
286
Установим следующие важные свойства* .
Каждый внутренний закон *, определенный на L, индуцирует соот-
ветствующий внутренний закон ® на LE.
Рассмотрим пример.
Пример 1. Вернемся к (52.29) и положим
Ах= { (А|«), (В|а)},
А2 = { (А|а), (В|р)},
Аз = {(Ala), (В|у)},
А4= { (А|₽), (В|а)},
А5= { (А|Р), (В|р)},
А6 = { (А|Р), (В|у)},	(53.2)
А, = { (А|у), (В|а)},
А8= { (А|у), (В|₽)},
А9 = { (А|т), (В|т)},
где
Е = { А, В}	(53.3)
и
L = { а, р, у}.	(53.4)
Положим, что на L определен внутренний закон *
*	a	fl	7
a	fl	fl	a
fl		fl	a
z	fl		7
и посмотрим, как индуцируется закон на LE. Например,
А2 ® А6= {(А | а), (В | P)j * {(А | Р), (В|у)} =
= ((А|а*р), (В|р*7)} =
= {(А|Р), (В|а)} =
(53.5)
(53.6)
См. пособие по современной математике: Kaufmann A. et Precigout М.
Cours de Mathematiques Nouvelles pour le recyclage des Jngenieurs. Ed. Dunod.
287
Таким образом, закон ® для LE принимает следующий вид:
	А1	а2	А3	а9	Л5	Аб	А7	А8	А3
А1	А5	А9	А4	А5	А5		Аг	А2	А7
А2	А5	А9		А6	А5	Аи	Аз	А2	А7
Аз	А5	А4	Ав	А5	Л.	А6	а2	А7	А3
Аь	А8	А8	А7	А5	А5	Ац	А2	А2	АГ
А5	Ад	Л8	А7	А6	А5	^4	А3	А2	А7
А6	А8	А7	А9	А5	А1,			А7	А3
а7	А5	А9	^4	Аг	Аг	лх	А8	А8	А7
А8	А9	А9	а9	Аз	Л2	А1	АЭ	А3	л7
А9	А5	А4	А6	А2	А1	Аз	А8	А7	А9
(53.7)
Пример 2. Рассмотрим конечное множество
Е =	•••>	}
и
L = {О, 1};
(53.8)
(53.9)
тогда LE — множество всех обычных подмножеств множества Е
(включая 0).
Оператор произведения • на L индуцирует оператор П на LE; опе-
ратор суммы + на L индуцирует оператор (J на LE; оператор допол-
нения на L индуцирует оператор дополнения на IA
Эти выводы остаются справедливыми для любого множества Е не-
зависимо от его мощности, т. е. независимо от того, равно оно мощности
множества натуральных чисел или мощности континуума.
Пример 3. Рассмотрим конечное множество
Е = {xlt х2, ..., х„}	(53.10)
и
L = [0, 1];	(53.11)
тогда LE — множество нечетких подмножеств.
Оператор Д на L индуцирует оператор П на LE; оператор V на
L индуцирует U на LE; 1 дополнение на L индуцирует дополнение
на LE; оператор произведения • на L индуцирует • на LE; оператор
+ на L индуцирует ф на LE.
Как мы уже отмечали, эти выводы остаются справедливыми неза-
висимо от того, имеет ли Е мощность, равную мощности множества
натуральных чисел или мощности континуума.
288
Пример 4. Пусть
Е - {О, 1, 2, 3, 4, ...,},
L - 10, 1];
(53.12)
(53.13)
тогда LE определяет бесконечное множество всех нечетких целых чи-
сел. Все операции примера 3 здесь также применимы.
Пример 5. Пусть
Е - L,
L - [0, 11;
(53.14)
(53.15)
тогда LE представляет собой множество всех нечетких чисел X, таких,
что х Е X с= [0, 1], рх (х) € [0, 1].
Вернемся к общему случаю. Легко показать, что если * — закон
для L и ® — закон для LE, индуцированный *, то имеют место сле-
дующие формальные выводы:
закон * ассоциативный => закон ® ассоциативный; (53.16)
закон * коммутативный => закон @ коммутативный; (53.17)
закон * идемпотентный => закон @ идемпотентный. (53.18)
Посмотрим, как доказать, например, (53.16). Пусть Еа £ Е и пусть
lr, ls, Ц € L. Множество А Е LE будет иметь элементы вида (Еа |/г),
аналогично В Е LE будет иметь элементы вида (Ea|/S) и СЕ LE-
элементы вида (Ea]/f). Тогда, выполняя операцию * на L, получаем
множество D, элементы которого имеют вид (Еа|/г * Zs); это множест-
во обозначим А ® В. Теперь с этими обозначениями можно записать
(Ea|/r^/s)E А® В,	(53.19)
(Еа | (1Г * /5) * lt) Е (А ® В) ® С,	(53.20)
(Еа 11Г * (Zs *lt) Е А ® (В ® С).	(53.21)
Доказательство (53.16) следует из сравнения (53.20) и (53.21).
Возможные структуры на L. Можно представить, что множество L
наделено какой угодно произвольной структурой; если на нем опре-
делена операция *, то в результате получим операцию ® на LE. А
если предположить, что на L определены две связанные операции
и *2, то на LE они будут индуцировать две операции и ®2.
Однако если на L имеется операторная структура (моноида, груп-
поида и т. д.), то необходимо проверить, будет ли в LE воспроизво-
диться та же самая структура или какая-нибудь другая.
В теории нечетких подмножеств, изложенной в предыдущих гла-
вах, L обладало структурой дистрибутивной векторной решетки для
операций Д и V; эта решетка представляла собой интервал [0,1] из
R; она индуцировала дистрибутивную векторную решетку для П и
U в LE, образуя множество нечетких подмножеств.
Теперь можно сделать очень интересное обобщение.
10 Зак. 461
289
54.	Обзор некоторых основных структур
Решетка*). Пусть L — упорядоченное множество. Предположим,
что для каждой пары обычных подмножеств {Хг, X;} множества L су-
ществует один и только один элемент L — нижняя граница {Xf, X,-}
и аналогично существует один и только один элемент L — верхняя
граница {Хь Ху); в этом случае говорят, что L — решетка или сетча-
тое множество*
Введем обозначения:
для нижней границы {Хь Х7} : Х^АХ7,
для верхней границы {Xf, Х^} : Хг у Х7-.
Тогда определение решетки можно записать в виде
(vXi)(VX/)(X,GL и X.-gL):
g! Xft = Хг Д Х7 и Xft G L, 1	,54 j.
3!Хг = ХгуХ7 и X;GL )
(символ g! означает «существует одно и только одно»).
Операции Д и V можно также рассматривать как отображения
LX L в L, которые каждой паре {Х;, Ху}, Xf, Х7 G L ставят в соот-
ветствие элемент ХгДХ> и элемент Х( V Х7-.
Можно доказать, что решетка обладает следующими четырьмя па-
рами двойственных свойств. Пусть А В, С, L:
АДВ=ВДА 1
AVB = BVA |
коммутативность,
А Д (В Д С) = (А Д В) Д С |
А V (В V С) = (А V В) VC J
ассоциативность,
АДА=А1
А VА = А J
идемпотентность,
АД(А?В) = А 1
АУ(АДВ) = А |
поглощение.
(54.2)
(54.3)
(54.4)
(54.5)
(54.6)
(54.7)
(54.8)
(54.9)
Пример. На рис. 54.1, а приведен пример решетки. На рис. 54.1, б
изображена диаграмма максимальных цепей, или диаграмма Хассе.
Имеем
L = {А, В, С, D, Е, F}.	(54.10)
*) Для более детального ознакомления с понятием решеток см., напри-
мер, [IF, IK, ЗК, ЮК].
**> По-французски «lattis» — обшитое дранкой или планками место, а
«latte»—дранка, пленка, рейка—длинный и тонкий кусок дерева, который
прибивают к стропилам крыши. Слово «сетка» (по-французски «а reticule») —
женская головная сетка или дамская сумка — произошло от латинского «reti-
culum», обозначающего небольшую сеть или паутину,
290
Можно проверить, что
АА А = A, AVA-A,
АДВ = А, AVB = B,
АДС = А, A VC = C,
CAD-B, CVD-F,
(54.11)
EAF-E, Е VF-F,
FAF-F, FVF-F.
В качестве упражнения читатель должен проверить свойства
(54.2)—(54.9).
Прежде чем перейти к другим объяснениям, напомним некоторым
читателям, что понимают под максимальной цепью. Изучая упоря-
доченное множество на рис. 54.1,
можно записать, используя обозна-
чение Xf <( Х;, если Xf предше-
ствует X/
А < В < С < F,
A<B<D<F,
A<B<E<F.
(54.12)
Таким образом, в этом упоря-
доченном множестве имеется три
цепи, которые определены как мак-
симальные, поскольку ни одна из
них не может быть частью другой
цепи упорядоченного множества.
Неориентированный обычный граф, составленный из максималь-
ных цепей, называется диаграммой максимальных цепей или диаграм-
мой Хассе; для нашего примера такая диаграмма изображена на
рис. 54.1, б.
Другие примеры. Вполне упорядоченное множество la, b] С R яв-
ляется решеткой.
Пусть L — вполне упорядоченное множество, а следовательно, и
решетка; тогда L X L—тоже решетка; аналогично Lr=^Lx ... XL —
г раз
тоже решетки, но при г > 1 это лишь частично упорядоченные мно-
жества. Если вернуться к рис. 6.1—6.6, то на них мы увидим
решетки, представленные их диаграммами Хассе.
Контрпримеры*). На рис. 54.2 приведены три примера, показыва-
ющие с помощью диаграммы Хассе, что понятие отношения порядка
не равносильно понятию решетки. Так, диаграмма на рис. 54. 2, а не
*) Контрпримеры опровергают утверждение, что любой порядок представ-
ляет собой решетку. (Прим, ред.)
10*
291
представляет собой решетку. Действительно, С есть нижняя граница
{D, Е}, но и В тоже; следовательно, существует по крайней мере одна
пара элементов, имеющая не единственную нижнюю границу. Диаг-
рамма на рис. 54.2, б тоже не решетка, поскольку, например, пара
Рис. 54 2
{D, Е} не имеет верхней границы. Аналогично диаграмма на
рис. 54.2, в не представляет собой решетку. Выпишем максимальные
цепи этих трех отношений порядка в явном виде:
рис. 54.2,	а:	А < В < D < F,	А < В <	Е < F,
А < С < D < F,	А < С <	Е < Ft
рис. 54.2,	б:	А < В < D, А <	С < Е <	G,	(54.13)
А < С < F < G,
рис. 54.2,в: A<C<E<Gt A<C<F<G, B<D.
Теперь кратко опишем несколько важных классов решеток*^
Модулярная решетка. Говорят, что решетка L модулярная, если
для трех произвольных элементов Х1? Х2, Х3 g L имеем
(X, < Х3) => (Xi V (Х2 А Х3)) - ((Xi V Х2) А Х3),	(54.14)
где символ < обозначает отношение порядка на решетке.
Так, решетка на рис. 54.3 модулярная. Проверим это для А, В
и С. Имеем
А<С,
(54.15)
а также, выбирая произвольно еще один элемент, например В,
А V (ВАС) = А V А = А,	(54.16)
(А V В)АС = ВАС - А.	(54.17)
Свойство (54.14) аналогично проверяется для других троек.
*) Здесь эти понятия необходимы, номы подчеркиваем еще раз, что чита-
тель, не сталкивавшийся с понятием решеток, может ознакомиться с ним по
специальным учебникам, упоминавшимся выше.
292
Дистрибутивная решетка. Говорят, что решетка L дистрибутивная,
если удовлетворяются условия
VXp Х2, Х3£ L:
Хг V (Х2ДХ3) - (Xi V Х2)Д (Xi V Х3),	(54.18)
ХхД (Х2 V Х3) - (ХгДХ2) V (ХгДХ3).
Можно проверить, что эти условия действительно удовлетворяются
для всех 20 троек элементов на рис. 54.4.
Например,
ВД (CVE) - ВДЕ = В,
(54.19)
(ВДС) V (ВДЕ) = А V В = В.
Можно показать, что любая дистрибутивная решетка модулярная.
Прежде чем перейти к другим типам решеток, напомним, что такое
подрешетка. Рассмотрим решетку L и пусть А L, где А — подмно-
жество, упорядоченное индуцированным порядком. Если уХ £ А,
yY £ А, ХДУ ^AhXVYcA, то А есть подрешетка L.
Можно доказать, что любая подрешетка L' дистрибутивной решет-
ки L дистрибутивна.
Решетка с дополнениями. Сначала определим, что такое дополне-
ние элемента решетки.
Пусть элемент О есть нижняя граница всей решетки L, а элемент
U — верхняя граница той же самой решетки. Тогда элемент Х7- назы-
вается дополнением элемента Xz (Xh Х; £ L), если
Х;ДХ7 = 0,	(54.20)
XZVX7 - U.	(54.21)
Дополнение элемента Х^ обозначается Xf. Дополнение Хь если
оно существует, не обязательно единственное.
На рис. 54.5 каждый элемент имеет дополнение:
O = U, D = B или С, или A; C-D, В-D, A- D, U-O. (54.22)
Говорят, что L — решетка с дополнениями, если
1) она обладает единственным элементом О = inf (L) и единствен-
ным элементом U == sup (L);
293
2) каждый Хг- £ L обладает по крайней мере одним дополнением в
L.
Как легко видеть на рис. 54.5 изображена решетка с дополнениями.
Можно показать, что в дистрибутивной решетке, если дополнение
элемента Х$ существует, то оно единственное.
Дистрибутивная решетка с дополнениями, или булева решетка. Ре-
шетка, которая одновременно и дистрибутивная и с дополнениями,
называется булевой.
Рис. 54.5
Рис. 54.6
Читатель может проверить, что решетка на рис. 54.6 действительно
булева.
Перечислим несколько свойств булевых решеток:
1)	для каждого элемента существует одно и только одно дополнение;
2)	для каждого Х£ имеем
(Zj^Xf,	(54.23)
3)	выполняются следующие соотношения:
ХТДХ7. = Хг?ХЛ	(54.24)
Х7?Х; = ХгДХр	J	(54.25)
(теоремы де Моргана);
4)	каждая конечная булева решетка изоморфна решетке множе-
ства всех подмножеств относительно включения и наоборот.
Векторная решетка. Пусть А, В, ..., S есть п множеств, каждое из
которых вполне упорядочено отношением <(. Произведение множеств
А X В X ... X S упорядочено и образует решетку, называемую век-
торной решеткой, а отношение порядка на ней является отношением
доминирования 1см. (4.3) и (4.4)].
На рис. 54.7 изображена векторная решетка, образованная про-
изведением множеств
А - {Ар А3}, В - {Вь Ва, В3}, С - {Ср С2, С3}. (54.26)
Подчеркнем важное свойство: за исключением очевидного случая
булевой векторной решетки, каждая векторная решетка дистрибутив-
на, но не имеет дополнений.
294
Лексикографическая векторная решетка. Это такая векторная ре-
шетка, которая сводится к полному порядку, например, такому,
который используется в словаре (откуда произошло название). Рас-
смотрим следующее отношение доминирования: п-ка (Аъ В7-, ..., S()
доминирует n-ку (А/, В/, ..., St) в том и только в том случае, когда
первые г элементов (произвольно отсчитанные слева) двух «-ок
равны, а (г + 1)-й элемент первого набора больше (для рассматри-
ваемого отношения), чем (г + 1)-й элемент второго. Таким образом
получаем полный порядок.
Рис. 54.7
»(С,С)
^(С,В)
"(В, А)
"(в, С)
"(в, в)
"(в, А)
<• (А, С)
"(А, В)
" (А, А)
(в, в, в)
(В, В, А)
(В, А, В)
(В, А, А)
(А, В, В)
(А, В, А)
(А, А, В)
(А, А, А)
a
На рис. 54.8 представлены две лексикографические решетки.
Произведения решеток. Пусть Lx и L2 — две решетки; тогда произ-
ведение этих двух множеств снова решетка. Другими словами,
(Li — решетка и L2 — решетка) => (Lx X L2 — решетка). /54.27)
Рассмотрим пример. Пусть имеем
Lj = {А, В, С, D, Е, F},	(54.28)
L2 = {а, р, у, 6, б),	(54.29)
решетчатые структуры которых представлены на рис. 54.9, а и б со-
ответственно.
295
Укажем максимальные цепи:
для решетки Ц
F < Е < В < A, F < Е < С < A, F < Е < D < А; (54.30)
для решетки L2
е у f} a,	(54.31)
Рассмотрим две упорядоченные пары (Xb Y^), (Хг, Y/0 Е Ц X L2.
Если (X/s Y//) доминирует (Хь Y;), то пишут
(Xr, Yr) >(Хг, Y;),	(54.32)
где >* обозначает отношение доминирования.
Таким образом, произведение Lt X L2 упорядочено, и можно устано-
вить, что для этой структуры выполняются соотношения (54.4)—
(54.11).
Чтобы построить решетку
L = U X L2,	(54.33)
надо сравнить друг с другом все упорядоченные пары (Хь Х;) и опре-
делить, какая из них доминирует другие. Это дает максимальные цепи
решетки L = LxXL2 и позволяет определить решетку произведения.
Читатель должен сам подключиться к построению решетки произ-
ведения относительно Lx и Ь2. Рассматривая (54.30) и (54.31), можно,
например, написать
(F, е) < (F, у) < (F, ₽) < (F, а),	(54.34)
(F, е) (Е, е) и т. д.	(54.35)
Нужно каждую пару сравнить со всеми другими; это довольно дли-
тельный процесс. Обработку можно упростить, сравнивая друг с дру-
гом максимальные цепи (54.30) и (54.31).
Следует указать на важный частный случай, когда Lx и L2 — пол-
ностью упорядоченные множества; тогда L = Lx X L2 образует век-
торную решетку.
Нужно подчеркнуть одно важное свойство: если решетки Lx и L2
дистрибутивны, то дистрибутивна и решетка L = Lx X L2.
Частично упорядоченное множество, не образующее решетку. Ко-
нечно, не все частично упорядоченные множества образуют решетку
(например, изображенное на рис. 54.10). Очевидно, что
Н VI L,	(54.36)
ААВ & L.	(54.37)
Если для любого обычного подмножества {Xf, Х;} g L его верх-
няя граница принадлежит L, то говорят, что L есть верхняя полу решет-
ка. (рис. 54,11, б).
Аналогично, если речь идет о нижней границе, то говорят, что L
есть нижняя полурешетка (рис. 54.11, а). Решетка является одновре-
менно и нижней и верхней полурешеткой.
На рис. 54.11 мы изобразили нижнюю (а) и верхнюю (б) полу-
решетки, и, как можно заметить, целиком изображенное на рис. 54.10
296
упорядоченное множество Не Является ни нижней, ни верхней полу-
решеткой.
Порядковая функция частично упорядоченного множества. В § 24
мы определили понятие порядковой функции для любого графа без
контуров. Если известно, что граф представляет частичный порядок,
определен на конечном множестве и не имеет контуров, то определе-
ние его уровней может оказаться очень полезным; они облегчают ана-
Рис. 54.10
Рис. 54.12	Рис. 54.13	Рис. 54.14
лиз и синтез отношений порядка. Порядковую функцию можно уста-
новить непосредственно с помощью диаграммы Хассе, или диаграммы
максимальных цепей.
На рис. 54.12—54.14 видно, как определить уровни для некоторых
отношений порядка (решеток или нет) с помощью их представле-
ний в виде диаграммы Хассе.
Структура кольца. Рассмотрим множество F, наделенное двумя
внутренними законами * и «, такими, что для всех
ХоХ,. Xft£F:
L (Хг * Х7) * ХА = Xf * (Xj * ХА)—ассоциативность для	*;	(54.38)
Xf * е — е * Хг = Xz—существование единицы е	для *;	(54.39)
Xf * Х^=Х^ * Xf--е— существование обратного элемента
для всех Хг;	(54.40)
Хг*Х, = Х^*Хг—коммутативность операции *;	(54.41)
297
2. (Xt о Ху) о Xft = Xfo (Ху о Xft) —ассоциативность операции °; (54.42)
3. (Xj * Ху)«Xft=(X| • Xft) ♦ (Ху»Xft)—дистрибутивность слева (54.43)
ХА о(X;* Ху) = (Xft оXt)*(Xft .Ху) и справа относительно*.(54.44)
Говорят, что F имеет структуру кольца или что F—кольцо. Если
закон « к тому же коммутативный, то говорят, что кольцо коммутатив-
ное.
Рис. 54.15 дает пример структуры кольца, где А — единица.
*	А	в	В	л
4	А	в	с	л
в	В	с	л	А
в	В	л	А	в
о	Л	А	в	с
О	А	В	с	Л
А	А	А	А	А
В	А	6	В	Л
В	А	В	А	В
л	А	л	В	В
Рис. 54.15
Булева решетка и булево кольцо. Булева решетка — это дистри-
бутивная решетка с дополнением. Можно проверить, что для всех Хг,
Ху, xft е l
Хг Д Ху = Ху Д Хгг)	(54.45)
Xi VX, = XyVX/J	(54.46)
X, Д (Ху Д Хй) = (X, Д Ху) ДХЙ )	(54.47)
Xi V (Ху V X*) = (Xi v Ху) V Xft J	(54.48)
ХгДХ4 = Хг 1	(54.49)
1 идемпотентность;
Хг?Хг = Хг /	(54.50)
Хг Д (Ху V Xft) = (Хг Д Ху) V	(Хг	Д Хй)	]	дистрибутивность V (54.51)
Xi V (Ху Д Xft) = (Xi V Ху) Д	(Xi	V Xft)	J	°™ХрЛот;°
Х{ДХ| = 0;
XJ VXi = U;
Xi Д0 = 0;
X;V0=Xi;
Хг ди = хг;
Хг VU = U;
(Т,) = Х,;
Д Xy — Xj V Ху 1—теоремы де Моргана
Х,?Ху = ХгДХу J
(54.52)
(54.53)
(54.54)
(54.55)
(54.56)
(54.57)
(54.58)
(54.59)
(54.60)
(54.61)
298
Теперь рассмотрим множества Е и LE, где L имеет структуру коль-
ца и где мы определяем операции ® и о относительно * и ° .
Можно убедиться, что для любых А, В, С Е LE имеют место свой-
ства:
1.	(А @ В) ® С = А ® (В ® С)—ассоциативность операции ®,
(54.62)
А ® 0 = 0 ® А = А—существование единицы для ®, (54.63)
А @ А = 0 — существование обратного элемента, которым
будет само множество А,	(54.64)
А®В = В®А — коммутативность для	(54.65)
2.	А © (В © С) — (А © В) © С — ассоциативность для ©. (54.66)
3.	(А ® В) © С = (А © С) ® (В © С) | дистрибутивность (54.67)
С © (А ® В) — (С © А) ® (С © В) J слева и справа. (54.68)
Следовательно, множество LE само наделено структурой кольца
и называется булевым кольцом. Можно показать, что в этом кольце,
если Е—{0, 1}, то ® соответствуют дизъюнктивной сумме ©, а © —
пересечению П .
55. Обобщение понятия нечеткого подмножества
Сначала рассмотрим частные примеры.
Пример 1. Предположим, что	а
L - {0, а, ₽, 1},	(55.1)	/
Е={А, В}.	(55.2)
Предположим, также, что L имеет струк-
туру булевой решетки (т. е. дистрибутивной и	О
с дополнением), подобную той, которая пред- Рис 55;
ставлена на рис. 55.1.
Для операций А и V результаты для L можно видеть на матрицах
(55.3) и (55.4).
О
а
fi
1
\ О a ft 7
О	О	О	О
0	а	0	а
О	О	fi	fi
О	а	fi	7
(55.3)
299
Исследуем свойства LE. Положим
х1; х2, х3, уъ	у2, у3 е {0, а, р, 1},	(55.5)
Хх =	{(A(В^)},	(55.6)
Х2 =	{(А|х2), (ВШ),	(55.7)
Xs =	{ (А|х3), (В|(/3)}.	(55.8)
Положим
Xj П Х2 = { (AlxjAxO, (B|z/X Дг/2)},	(55.9)
Хх и Х2 = { (А№), (В|^2)}.	(55.10)
Поскольку L имеет структуру булевой решетки, то для операций
Д и V выполняются следующие свойства: ассоциативность, коммута-
тивность, идемпотентность, поглощение, дистрибутивность Д относи-
тельно V и наоборот, существование единственного дополнения для
каждого элемента L.
Теперь исследуем свойства IA Легко видеть, что Л ассоциатив-
на, поскольку ассоциативна Д. Аналогично Q ассоциативна в силу
ассоциативности V. Таким же образом исключительно легко доказать
коммутативность, идемпотентность и поглощение.
Докажем дистрибутивность и существование дополнений.
Xi U (Х2 Q Х3) — ((А | V (х2 А х3)), (В | у1 V (у % Д #з))} =
- {(А | (хг V х2) Д (%х V х3))> (В | (У1V у.) Д (У1V у3))) =
= (ХхиХ2)П(ХхиХз).	(55.11)
Положим
Хх = {(А|Хх), (В \у1)}.	(55.12)
Убедимся, что
Хх ПХ1={(А|х1Дх1), (В|//ХД^Х)) =
(55.13)
= ((А|0), (В |0)},
аналогично
Хх UXx = {(A|l), (В|1)|.	(55.14)
Таким образом, LE так же, как и L, обладает структурой булевой
решетки, и эта структура изображена на рис. 55.2.
300
Рис. 55.2
О
Рис. 55,3
Пример 2. Пусть опять
L = {0, а, 0, 1}, где 0 < а < 0 < 1,	(55.15)
Е = {А, В).	(55.16)
Пусть теперь структура L представляет собой решетку, состоя-
щую из единственной цепи (рис. 55.3). Решетка дистрибутивна, но без
дополнений (т. е., скорее, это векторная решетка). Для операций А
и V имеем
(55.17)
(55.18)
Структура множества L обладает следующими свойствами: ассоциа-
тивностью, коммутативностью, идемпотентностью, поглощением, дис-
трибутивностью относительно А и V.
301
Легко проверить, что LE обладает теми же свойствами, а струк-
тура LE — также векторная решетка (рис. 55.4).
Пример 3. Пусть
L = {0, а, р, у},	(55.19)
Е = {А, В}.	(55.20)
Структура L представляет собой нижнюю полурешетку (см.
рис. 55.5), и поэтому можно определить только Д. Имеем
(55.21)
В LE выполняются следующие свойства операции Д: ассоциативность
для Д, коммутативность для Д, идемпотентность для Д; таким обра-
зом, LE имеет структуру нижней полурешетки (см. рис. 55.6).
Рис. 55.4	Рис. 55.5	Рис 55.6

Если в этом примере изменить структуру L, а именно, поменять
местами верх и низ на рис. 55.5, то для LE получим верхнюю полуре-
шетку.
Пример 4. Пусть
L = {а, р, у, 6},	(55.22)
Е = {А, В}.	(55.23)
Структура L, показанная на рис. 55.7, не полурешетка. В ней для
некоторых упорядоченных пар уже не существует ни нижней, ни верх-
ней границы. Структуру LE можно определить для отношения доми-
нирования; эта структура изображена на рис. 55.8.
802
Замечание. Обычно граф, представляющий отношение, называют
конфигурацией. Таким образом, решетку можно рассматривать как
конфигурацию, то же самое можно сказать о полурешетке и в конце
концов, следовательно, о любом графе, представляющем отношение.
Однако, как мы видели, решетка также представляет структуру для
операций А и V, а полурешетка — структуру для одной из операций

Рис. 55.8
Рис. 55.7
V или V. Графы , соответствующие диаграммам Хассе на рис. 55.7 и
55.8, представляют собой конфигурации, а не структуры по крайней
мере для А или (и) V.
Случай, когда L имеет конфигурацию предпорядка. Если структу-
ра L имеет конфигурацию обычного предпорядка (в смысле обычной
теории графов), то мы знаем, что в этом предпорядке можно опреде-
Рис. 55.9
лить множество классов эквивалетности и тогда эти классы сами с со-
бой образуют (частичный или полный) порядок. Именно так мы будем
поступать в случае, когда L имеет конфигурацию обычного предпо-
рядка.
Рассмотрим пример. Пусть
L = {а, р, у, б, е, т|, р, v},	(55.24)
Е - {А, В},	(55.25)
Предположим, что L имеет структуру предпорядка, подобную той,
которая изображена в виде обычного графа на рис. 55.9. На рис. 55.10
303
мы выделили четыре класса эквивалентности этого предпорядка, на
рис. 55.11 показан порядок на этих классах, на рис. 55.12 — макси-
мальные цепи этого порядка.
Отметим, что классы образуют верхнюю полурешетку.
Рис. 55.11
Рис. 55.12
Изучая состав классов эквивалентности на рис. 55.10, замечаем,
что
•V ~ р, а ~ у ~ ц, е~г|, 6 ~ 6.
(55.26)
Для упрощения записи каждому классу эквивалентности поста-
вим в соответствие по одному представителю
аесъ Р6С2> я€С3) 6СС4,	(55.26')
которые и будем использовать для представления классов.
Верхнюю полурешетку L можно представить с помощью следующе-
го отношения:

(Z	fl	fl	
fl	fl	fl	fl
fl	fl	V	fl
	fl	fl	<r
(55.27)
304
На рис. 55.13 изображена верхняя полурешетка 1Д где ху —
представитель класса.
В этой верхней полурешетке имеется 16 классов эквивалентности.
Выпишем для примера класс а|3:
са!3 = {	Р), (а, V), (у, Р), (у, v), (ц, Р), (р,, »)}.	(55.28)
Очевидно, что 64 элемента LE разбиваются на классы эквивалент-
ности следующим образом:
Срр содержит 4 элемента
Срб	2
Сбр	2
СрТ)	4
	4
Сра	6 элементов	(55.29)
Сбб	1 элемент
Сар 4 *	6 элементов
Cfirj 4 *	2 элемента
Сф]	4
Ст]6	“	2
Сбое	3
Саб * ‘	3
Саг]	6 элементов
Ст]а	6
Саа	9
Таким образом, LE — обычный предпорядок, содержащий 16 клас-
сов эквивалентности.
Случай, когда L имеет структуру кольца. Пусть
L = {е, а, р, у}, Е = {А, В},
(55.30)
305
рЗ у
e	e	e	e
e	a	p	7
e	£	e	/3
e	p		a
Если положим
А = { (А|хх), (В|Л)}>	(55.32)
в= { (А|х3), (ВЫ),	(55.33)
где х1т х2, уъ у2 € L и А, В £ Е, то
А	®	В =- { (А|хх * х2), (В \ух *	z/2)},	(55.34)
А ©	В	= {(А 1 х. о х2), (В | У1 о у2)}.	(55.35)
Для LE мы получаем структуру кольца, представленную в явном
виде в (55.36) и (55.37), где запись типа ху использована для обозна-
чения { (А|х), (В |у)}:
ее	ea	₽/?	ep	ae	aa	ap	ap	Pe	pa	pp	Py	pe	pa	YP	YY
ea	efi	ep	ее	aa	ap	ap	ae	pa	pp	Py	Pe	pa	YP	YY	pe
	ep	ее	ea	ap	ap	ae	aa	pp	Py	pe	pa	YP	YY	pe	pa
ep	ее	ea	ep	ap	ae	aa	ap	Py	pe	pa	pp	YY	pe	pa	YP
ae	aa	a/3	ay	A	pa	pp	Py	pe	pa	yp	YY	ее	ea	eP	ey
aa	ap	ap	ae	pa	pp	Py	Pe	pa	yp	YY	pe	ea	eP	ep	ее
ap	ap	ae	aa	pp	Py	Pe	Pa	YP	YY	pe	pa	eP	ep	ее	ea
ap	ae	aa	ap	Py	A	pa	pp	YY	pe	pa	YP	ep	ее	ea	BP
A	pa	pp	py	pe	pa	YP	yy	ее	ea	ep	ep	ae	aa	<*p	ap
A	pp	Py	pe	pa	yp	YY	pe	ea	BP	ep	ее	aa	a/3	ap	ae
PP	PY	pe	pa	yp	yy	pe	pa	eP	ep	ее	ea	ap	ap	ae	aa
PY	Pe	pa	pp	YY	pe	pa	YP	ep	ее	ea	eP	ap	ae	aa	«./3
pe	pa	YP	zz	ее	ea	eP	ep	ae	aa	ap	ap	pe	pa	pp	Py
pa	YP	yy	pe	ea	ep	ep	ее	aa	ap	ap	ae	pa	pp	Py	pe
YP	yy	pe	pa	ep	ep	ее	ea	ap	ap	ae	aa	PP	Py	Pe	pa
YY	pe	pa	yp	ep	ее	ea	eP	ap	ae	aa	ap	Py	Pe	fia	pp
ее ew ер ер аеаа ар ар fie ра fife ftp pe pa pp pp
ее
ea
eP
ep
ae
aa
ap
ap
№
pa
pp
pe
pa
YP
YY
(55.36)
306
ее
ea
ep
ae
aa
afl
ap
fle
fla
flfl
flp
pe
pa
Z/
ZZ
ее еа efl ер we aa a fl ар fle fla fl fl flp pepa pfl pp
ее	ее	ее	ее	ее	ее	ее	ее	ее	ее	ее	ее	ее	ее	ее	ее
ее	еа	efl	ер	ее	еа	efl	ep	ее	ea	efi	ep	ее	ea	efl	ep
ее	efl	ее	ер	ее	efl	ее	efi	ее	efi	ее	efi	ее	efi	ее	efi
ее	ер	efi	еа	ее	ер,	efi	ea	ее	ep	efi	ea	ее	ep	efi	ea
ее	ее	ее	ее	ае	ае	ae	ae	fle	fie	fie	fie	ре	pe	pe	pe
ее	еа	efl	ер	ае	аа	afl	ap	fle	fla	fifi	fip	ре	pa	pfi	pp
ее		ее	ер	ае	«fi	ae	afl	fie	fifi	fie	fifi	ре	pfi	pe	pfi
ее	ер	efi	еа	ае	ар	afl	aa	fle	fip	fifi	fla	ре	pp	pfi	pa
ее	ее	ее	ее	ре	fle	fie	pe	ее	ее	ее	ее	fie	fie	fie	fie
ее	еа	efl	ер	fle	fla	fifi	fip	ее	ea	efi	ep	fie	fla	fifi	fir
ее	eft	ее	ер	fle	fifi	fle	Pfl	ее	efi	ее	efi	fle	Pfi	fie	fifi
ее	ер	efl	еа	fle	flp	fifi	fla	ее	ep	efi	ea	fie	fir	fifi	fla
ее	ее	ее	ее	ре	ре	pe	pe	fie	fie	fie	fie	ae	ae	ae	ae
ее	еа	efl	ер	ре	pa	rfi	pp	fie	fla	fifi	fip	ae	aa	afl	ap
ее	efl	ее	efl	ре	rfi	pe	pfl	fie	fifi	fie	fifi	ae	«fi	ae	afl
ее	ер	sfi	еа	ре	pp	rfi	pa	fie	Pp	fifi	fla	ae	ap	«fi	aa
(55.37)
Замечание. Интересно сравнить кольцо (55.30) и (55.31) с булевым
кольцом (55.3) и (55.4). Используем обозначения (55.30) и (55.31) для
(55.3) и (55.4) и сравним их на рис. 55.14. Кольцо из примера (55.30)
и (55.31) — это (см. левый рисунок) кольцо с операциями сложения и
умножения по модулю 4 (чтобы убедиться в этом, достаточно положить
с = 0, а = 1, р = 2 и у — 3), а
правый рисунок иллюстрирует по-
строение булева кольца на множе-
стве {е, а, Р, у}.
Это замечание можно уточнить,
напомнив, что булево кольцо — это
только одна из многих кольцевых
структур.
Перенесение свойств. После всего,
что мы изложили в данном парагра-
фе, легко доказать, что
L — обычный предпорядок =>LE—
обычный предпорядок, (55.38)
L — обычный порядок =>LE —
обычный порядок,	(55.39)
L — нижняя полурешетка =>LE —
нижняя полурешетка,	(55.40)
е
а
Z
е a fl р
e	a	fi	r
a	fi	r	e
fi		e	a
	e	a	fi.
V е a fl р
е
а
fi
e	a	fi	r
a	a	r	r
fi_	r	fi	r
r	z	r	r
° e x			a	fi r	
e	e	e	e	e
a	e	a	fi	p
fi	e	fi	e	fi
r	e	r	fi	a
кольцо для
сложения и
L е a fl р
е
а
e	e	e	e
e	a	e	a
e	e	fi	fi
e	a	fi	r
умножения
по модулю О
Рис. 55.14
Булево
кольцо
307
L — верхняя полурешетка =^LE— верхняя полурешетка, (55.41)
L — решетка — решетка,	(55.42)
L — кольцо =>LE — кольцо.	(55.43)
Эти свойства следует добавить к тем, которые уже были определе-
ны в (53.16)—(53.18), помня, что любой ассоциативный для L закон *
индуцирует ассоциативный закон @ для LE; аналогично, если закон
Рис. 55.15
Рис. 55.16	Рис. 55.17
* коммутативный, то коммутативен и закон @, если закон идемпотент-
ный, то и закон @ идемпотентный.
Другие свойства. Формулы (52.33)—(52.39) позволяют определить
другие свойства. Рассмотрим случай, когда
L - Lj X L2.	(55.44)*’
Можно легко доказать несколько свойств.
Если Lt и Ь2 имеют конфигурации обычного предпорядка, то L име-
ет такую же конфигурацию; аналогичные результаты получаем, рас-
сматривая конфигурации порядка, полурешетки, решетки или коль-
ца. Эти же свойства обнаруживаются и в связи с операциями взятия
произведения и возведения в степень.
Рассмотрим пример.
Пример. Пусть
Li - {а, Ь, с},	(55.46)
L3 - {а, ₽},	(55.47)
где Lt имеет структуру нижней полурешетки, которая отражена на
рис. 55.15, и Ь2- структуру решетки (рис. 55.16).
Произведение
L — Lx X L2 = { (а, а), (а, ₽), (&, а), (&,₽), (с,а), (с,0)} (55.48)
обладает структурой нижней полу решетки (рис. 55.17).
Теперь положим
Е - {А, В, С, D}.	(55.49)
*) В оригинале нет формулы с номером (55.45). Прим. пер.).
308
Тогда множество LE с элементами
(A| (х4, z/0), (В| (х2, у2)), (С| (х8, t/3)), (D| (х4, у4)),	(55.50)
где xt = a, b, с; i = 1, 2, 3, 4; гц = а, 0; / = 1,2, 3, 4, состоит из
64 = 1296 элементов и имеет структуру нижней полурешетки.
Другой пример: нечеткие подмножества высших порядков. Пусть
Lx = {А, В, С},	(55.51)
L2 = {а, 0},	(55.52)
L3 = {а, Ь}.	(55.53)
Исследуем представление L(l^). Сначала имеем
3
= {{(А |а), (В I а),	(С|а)},	{(А | а),	(В|а),	(CI ₽)},
{(А (а), (В IP),	(С| а)},	{(А |а),	(В | ₽),	(С I р)},
{(А |Р), (Bl а),	(С Jex)},	{(А |р),	(В | ex),	(С I р)},
{(А| Р), (В ip),	(С|а)},	{(А|р),	(В |р),	(С ip)}}. (55.54)
Сохраняя произвольный порядок элементов в LE1, для упрощения
записи положим
LE1 ~ {Аасса» Аао$, Аара> Аа^р, Араа, Арар, Арра, Apppj. (55.55)
Легко видеть, что множество L(le9 содержит 28 — 256 элементов,
з
из которых выпишем только один:
А ~ {(Аааа | а), (Ааар | й), (Аара | 6), (Аарр | а), (Араа| Ь),
(Арар|^), (Арра | Ь), (Аррр \а)}.	(55.56)
Если Lp L2, L3—решетки, то L(lEi)—тоже решетка.
3
Здесь мы видим, как появляется понятие нечеткого подмножества
порядка 2. Можно пойти еще дальше и определить нечеткие подмно-
жества порядка п (п > 2).
Не нужно путать
с (Ц*)Ч	(55.57)
т. е. с нечеткостью другого типа.
Относительное обобщенное расстояние Хемминга для случая, ког-
да L — решетка, и для более общего случая — ориентированного гра-
фа. Перед тем как определить это понятие, еще более общее, чем то,
которое изучалось в § 5, напомним, что понимают под расстоянием меж-
ду двумя вершинами в неориентированном выпуклом обычном графе*\
Расстоянием между двумя вершинами неориентированного графа
называется длина кратчайшей неориентированной цепи (число звень-
ев кратчайшей цепи). Определенное таким образом расстояние между
Xf и X; обозначим через ® (Х^, Ху).
40 Возможно, здесь следует обратиться к учебнику по теории обычных гра-
фов [IB, IK, 2К, 2R]. Разумеется, в графе можно определить и любые струк-
туры типа расстояний.
309
Проверим, что аксиомы (5.49)—(5.51) действительно удовлетворя-
ются. Пусть X — множество вершин рассматриваемого неориенти-
рованного графа, нужно проверить, что
V X/,	6 X :
®(Х„ Х,)>0,
®(Xf, Х7.) = ®(Х;, Х;),
®(Xf, Xfc)<25(Xh X>)4-®(Xj, Xft),
и, кроме того, что
®(ХЬ Хг) = 0.
(55.58)
(55.59)
(55.60)
(55.61)
Легко убедиться в том, что эти условия действительно выполняют-
ся и, значит, расстояние между вершинами определено корректно.
Рис. 55.18
На рис. 55.18 мы изобразили неориентированный связный обычный
граф. На рис. 55.19 приведена матрица расстояний 3) (Хг, Х}) в этом
графе.
Рассмотрим случай, когда мы имеем дело с множеством Е, нечеткие
подмножества которого принимают свои значения в L, причем L —
упорядоченное множество. Для этого упорядоченного множества по-
строим диаграмму Хассе, которая определит неориентированный обыч-
ный граф; в этом неориентированном обычном графе измерим расстоя-
ния 3) (Хъ Ху) между вершинами, как это было определено выше.
Пусть
Е = {х1( х2, х3, х4, х8, хв}	(55.62)
— множества с элементами, функции принадлежности которых при-
нимают свои значения в упорядоченном множестве L. Диаграмма Хас-
се для L представлена на рис. 55.20. Матрица расстояний 3) (xt, х<)
в этом неориентированном обычном графе приведена на рис. 55.21.
310
Рис. 55.20
fo А В С D В F О И I J МАХ
О	7	7	2	2	2	3	3	3	4
7	О	2	7	7	2	2	2	3	4
7	2	0	2	3	7	2	3	2	3
2	7	2	О	2	7	2	3	2	3
2	7	3	2	О	2	7	7	3	4
2	2	7	7	2	О	7	2	7	2
3	2	2	2	7	7	О	7	2	3
3	2	3	3	7	2	7	О	3	4
3	3	2	2	3	Z	2	5	О	7
4	4	3	3	4	2	3		7	О
Рис. 55.21
Теперь предположим, что мы
жества А и В множества Е:
рассматриваем для нечетких подмно-
и
*^7	$2 ^3	^5
А « 27 Л 4* I 7 Гл I 7
(55.63)
if.
В = I g I £ | <7 | Л | /У |
(55.64)
Сначала подсчитаем расстояния ® (хп х^) между «значениями» или
«вершинами графа» для каждого элемента xt £ Е. Эти расстояния мож-
но взять из матрицы на рис. 55.21. Имеем
®X1(D,G) = 2, ®Х2(А, Е) = 2,
®ХЗ(С, С) = 0, ®X1(J, А) = 4,	(55.65)
®Х5 (F, Н) = 2, ®X,(J, С) = 3.
Эти расстояния можно записать в одну строку
ССу *Tj »Т if 'C'fi
Г 2 I 2 I д Н | 2 I з ]
(55.66)
Теперь напомним, что понимается под диаметром связного неори-
ентированного обычного графа — это максимальный кратчайший путь
между любыми двумя вершинами. Например, для графа на рис. 55.18
диаметр равен 4 (см. правый столбец на рис. 55.19, расположенный под
311
словом max). Следовательно, для графа на рис. 55.20 диаметр тоже
равен 4. Теперь разделим каждое расстояние в (55.66) на 4 и получим
$5	^6
^5	0,5	О	7	0,5	0,75
(55.67)
Таким образом, мы приходим к случаю, когда числа принадлежат
[О, 1] и могут трактоваться как значения функции принадлежности.
Теперь определим относительное обобщенное расстояние Хеммин-
га*> между А и В
6 (А, В) = 1/6 [0,5 + 0,5 + 0 + 1 + 0,5 + 0,75] - 0,54)
(55.68)
Понятие относительного обобщенного расстояния Хемминга между
двумя нечеткими подмножествами одного и того же универсального
множества, в свою очередь, можно обобщить дальше, если допустить,
что каждый элемент хг G Е, i — 1, 2, ..., и, можно оценить по некото-
рому критерию, который может быть ему присущ или нет. Тогда можно
использовать следующий общий алгоритм.
Общий алгоритм. 1. Представляем каждый критерий в виде матри-
цы кратчайших путей в неориентированном обычном графе**\
2.	Рассматриваем два нечетких подмножества:
^7
	4 =	«7	62	%				Хп	’	(55.69)
							
И	=	а;	^2				(55.70)
где at и а{ — оценки расположения по критерию xv которому будет
соответствовать диаметр &2 и Ьо — оценки расположения по крите-
рию х2, которому будет соответствовать диаметр Х2 ...; 1пъ1п — оценки
расположения по критерию хп, которому будет соответствовать диа-
метр %п.
3.	Подсчитываем расстояния 3) (а19 а[), 3) (b2, b'z), ..., 3) lh)
и делим каждое расстояние на его диаметр; таким образом,
А(а,, а!) =  ^(а1’ а() , А (Ь2, Ь'2) =  -(-&2’	,...,
А //	1 /\_	У	/ЕС 7П
A (Int чг)—	~	*	(55.71)
Или относительное евклидово расстояние, или даже какое-нибудь дру-
гое расстояние.
**> Можно также ценой некоторых ограничений рассматривать неотрица-
тельные и несимметричные матрицы с нулями на главных диагоналях, такие,
что их элементы удовлетворяют только условию (55.60).
312
4.	Определяем относительное обобщенное расстояние Хемминга:
б(А,В) = -1-[Д(а1,А1') + Д02, ^)Ч-...+Д(/п>(55.72)
Рассмотрим довольно искусственный пример.
Пример (см. рис. 55.22). Пусть
Л1/	х5 %6
А = I 3 I / I zZ I 3- 1^/1	!	(55.73)
|ez7|e/;3le£z|GZz|e^| ezzl
	^7	<2?2			$6		(55.74)	
		Л	а	Л	707	E		
			ez2	eZz	ez4			
Тогда имеем				Х3		X5		(55.75)
расстояния		1 2	1 3	1 2	1 J	1 7	1 3 J	
		**7	(2*2			X5		(55.76)
диаметры	А	•'LL	1 5	1 3	1 5	1 3	1	
относительные расстояния			$2			^5		(55.77)
	А •	: I 2/5 I 3/5 I 2/3 | 3/5 I 7/3 | 3/5 |						
и относительное обобщенное расстояние Хемминга
6 (А, В) = 1/6 [2/5 + 3/5 + 2/3 + 3/5 + 1/3 + 3/5] = 0,53.
(55.78)
Неоднородное нечеткое подмножество. Предположим, что Ца (xi)
принимает свои значения в L;, i= 1, 2.....п. Тогда множество нечет*
ких подмножеств можно записать в виде
х L</«’ X ... х ЦМ,	(55.79)*’
где {х(}, i — 1, 2, ..., п — обычные одноточечные подмножества Е.
Любой элемент вида (55.79) будет называться неоднородным нечет-
ким подмножеством. Примерами неоднородных нечетких подмножеств
одного и того же универсального множества могут служить подмно-
жества (55.73) и (55.74).
Если
к =- L2 = ... = Ln,	(55.83)
*’ Уравнений с номерами (55.80)—(55.82) в оригинале нет. (Прим, пер.)
313
то
L</*5 х L</’> x ... X L^«’ =LU‘) u <Jt2’ u"'u <xn’ =LE. (55.84)
Мы снова приходим к понятию нечеткого подмножества, которое
рассматривалось до сих пор.
Замечание. Очевидно, что в обобщении можно пойти дальше, счи-
тая некоторые Lf и Ц зависимыми.
Например, обычное подмножество {х1? x2} cz {хх, х2, ..., мо-
жет принимать свои значения в L12, а не хх в Lx и х2 в L2. Это позволя-
Рис, 55.22
ет ввести очень интересное расширение понятия нечеткого подмноже-
ства, которое можно описать как состоящее из взаимозависимых
нечетких подмножеств. Предворяя рассмотрение этого вопроса в по-
следующих томах, читатель может сам придумать много видов инте-
ресных расширений.
56.	Операции на нечетких подмножествах
в случае, когда L — решетка
Мы уже знаем, что по определению в любой решетке L каждой па-
ре {а, р} можно поставить в соответствие один и только один элемент
из L, называемый нижней границей {а, р} и обозначаемый аД р, и один
и только один элемент из L, называемый верхней границей {а, Р} и
обозначаемый a’Vjp. Следовательно, множество элементов решетки L
обладает двумя всюду определенными внутренними законами Д и V.
314
Всю теорию, развитую в § 3 и последующих параграфах, для пол-
ностью упорядоченных множеств принадлежностей М, которые, как
мы знаем, представляют собой очень частный случай решетки, можно
распространить на общий случай решеток.
Поэтому пересмотрим материал, изложенный в начале книги, заме-
нив М решеткой L.
Пусть Е — универсальное множество и L — решетка. Мы знаем,
что называется степенью множества LE.
Пусть a f L. Нечеткое подмножество A cz Е или, что эквивалентно,
A g LE, это такое подмножество, что каждому х £ Е можно поставить
в соответствие элемент a f L; этот элемент а обозначим Хд (х).
Рассмотрим различные обобщения свойств, изученных в § 5; свой-
ства будут изучаться на примере решетки (рис.56.1) и множества Е =
= {А, В, С} Мы выбрали столь простой пример лишь с дидактичес-
кой целью, однако все выводы, конечно, остаются справедливыми для
любого универсального множества Е, конеч-
ного или нет, и для любой решетки L, конеч-
ной или нет.
Включение. Пусть < — отношение порядка
на решетке; будем говорить, что А содержится
в В, если
V*i € Е : Хд(хг) < Хв(хг)» (56.1)
и обозначать это
АсВ.	(56.2)
Таким образом, можно записать
((у xt 6 Е): ХА (%i) < Хв (%0) (А с= В). (56.3)
Мы видим, что два нечетких подмножества сравнимы, если 1) срав-
нимы соответствующие значения, принимаемые функцией принадлеж-
ности в решетке L; 2) между двумя нечеткими подмножествами сущест-
вует отношение доминирования.
Пример (см. рис. 56.1). Пусть
А={(Ар), (В|а), (С|с)),
В={(А|ф, (В|е), (С|с)},
(56.4)
(56.5)
Очевидно, что А и В действительно
а < е, с < с и, следовательно,
сравнимы, поскольку b < d,
Ас В.
(56.6)
Пусть задано еще одно нечеткое подмножество
С={(А|/), (В|6), (С|<	(56.7)
Очевидно, что С несравнимо ни с А, ни с В, поскольку значения
с и d, которые встречаются в С, несравнимы в L.
315
Пусть
D={(A|rf), (В|е), (С 16)}.	(56.8)
D несравнимо с А, поскольку b < d, а<с, с>Ь и не существует
доминирования подмножества D подмножеством А и наоборот.
Равенство. Два нечетких подмножества А и В равны тогда и только
тогда, когда
Vxi 6 Е : \а (хг) = >-в (Xi),	(56.9)
или в эквивалентной записи
Е Е : Хд,(хг)-М %г) (А = В).	(56.10)
Дополнение. На этом понятии необходимо остановиться подробнее.
Понятие дополнения, использованное Заде при рассмотрении им мно-
жества М = [0, 1], и понятие дополнения в теории решеток— раз-
ные.
По Заде для нечетких подмножеств дополнение определяется так:
(В = А) (ухг 6 Е : Рв(^)=- 1—Ра(хО).	(56.11)
Однако мы видели, что не все решетки имеют дополнения и для того,
чтобы это свойство здесь имело смысл, необходимо, во-первых, чтобы
удовлетворялись условия (54.20) и (54.21), и, во-вторых, чтобы допол-
нение было единственным. Это выполняется в случае дистрибутивной
решетки. Поэтому, чтобы каждому элементу L ставить в соответствие
единственное дополнение и, как следствие, единственное дополнение
каждому элементу LE, рассмотрим дистрибутивные решетки с до-
полнениями, т. е. булевы решетки. Поскольку L — булева решетка,
то LE — тоже булева решетка.
Тогда можем записать
(В -- А) (V ** 6 Е : рА (хг) Арв (%/) -- 0 и рА (х£) V Ив (х£) = U), (56.12)
где 0 — нижняя граница булевой решетки L, a U — верхняя грани-
ца; в нашем случае 0 и U — не числа, а экстремальные элементы, оп-
ределенные формулами (54.20) и (54.21).
С учетом этих соображений использованное Заде понятие дополне-
ния будет называться псевдодополнением. Эти два понятия совпадают
только в случае, когда рассматривается решетка L= {0, 1}.
Замечание. Если решетка L дистрибутивная и с дополнениями, то
с функциями принадлежности множества Е можно работать как с функ-
циями распределения вероятностей. Поэтому, обобщая настоящий
случай, мы также обобщаем теорию вероятностей.
Пересечение. Пересечение
А Л В	(56.13)
обладает свойством
V % Е Е : ^апв (х) —	(х) А^в (х).	(56.14)
316
Мы видим, что пересечение может иметь смысл только при условии,
что отношение порядка на L определяет L как нижнюю полурешетку.
Так как здесь, по нашему предположению, L — решетка, то это усло-
вие выполняется.
Пример (см. рис. 56.1). Рассмотрим нечеткие подмножества (56.4)
и (56.5); имеем
А П С = {(А|ЬД/), (В[аД&), (С | ckd)} - {(А | 6), (В | а), (С|Ь)}. (56.15)
Объединение. Объединение двух нечетких подмножеств
A U В	(56.16)
определим условием	~
у х £ Е : Хдцв (х) = Ха (х) VX^(x).	(56.17)
Мы видим, что объединение может иметь смысл только при усло-
вии, что отношение порядка на L определяет L как верхнюю полуре-
шетку. Так как здесь, по нашему предположению, L— решетка, то
это условие выполняется.
Пример (см. рис. 56.1). Рассмотрим (56.4) и (56.7). Имеем
A U C = {(A|6Vf), (B|aV&), (CkVd)}^((A|/), (В\b), (C|f)}. (56.18)
Дизъюнктивная сумма. Дизъюнктивную сумму определим только
при условии, что L — дистрибутивная решетка с дополнением, т. е.
булева решетка; в этом случае
А © В-(А П В) U (А П В).	(56.19)
Разность. Разность нечетких подмножеств определена при тех же
ограничениях, что и дизъюнктивная сумма; по определению.
А— В-А П В.	(56.20)
Свойства L и LE. Как мы уже видели, все свойства ЬЕдля [), U и
дополнения (если оно существует) выводятся из свойств операций Д,
V и взятия дополнения (если оно существует) на множестве L.
Отметим, что обобщение теории нечетких подмножеств, развитой
Заде (т. е. когда М = [0, 11), состоит в ее распространении на случай
векторных решеток L:
L = X М2 X ... X Мп, где = [0, 1], i = 1, 2, ..., n.
(56.21)
В этом случае, если £ М1? а2 € М2, ..., ап £ Мп, то
(аь а2,... ап) = (1 — аь 1 —а2,..., 1—ап).	(56.22)
Другое обобщение относится к случаю, когда
L - Mi X М2 X ... X Мп	(56.23)
и каждое Мг, i — 1,2, ..., п имеет конфигурацию булевой решетки.
Теорию нечетких подмножеств можно построить для любого типа
решеток, не вводя понятия дополнения (как в случае булевой решет-
ки) или псевдодополнения (по Заде).
317
Нечеткие переменные. Понятие нечеткой переменной, определен-
ное в § 32, также можно обобщить для случая, когда L определяется
соотношением (56.21), т. е. представляет собой векторную решетку.
Свойства, определенные в (32.12)—(32.26), легко переносятся на этот
случай.
Можно применить и другой подход: предположить, что L — булева
решетка с дополнениями и дополнение для нечетких подмножеств оп-
ределено в соответствии с дополнениями в L. Тогда опять получаем
булеву решетку с теми же свойствами (32.12)—(32.26), если заменим
в них Д на А, V на V и дополнительно введем условие аЛа = 0 и
a Va = 1, где 0 и 1 — соответственно нижняя и верхняя границы этой
булевой решетки.
57.	Обзор некоторых понятий, необходимых
для введения понятия категории
Теория категорий позволяет выявить общую идею, лежащую в ос-
нове многих результатов, изложенных выше. Однако тем читателям,
которые ранее не изучали эту теорию, нецелесообразно начинать зна-
комство с новым кругом идей без всякого перехода, не выработав пред-
варительного представления о некоторых промежуточных понятиях,
обзор которых мы сейчас и собираемся сделать в весьма дидактичес-
ком духе. В приводимых ниже примерах мы в основном будем иметь
дело с конечными универсальными множествами, но определения без
всяких дополнительных оговорок применимы и к бесконечным уни-
версальным множествам.
Соответствие. Соответствие Г между множествами Ех и Е2 опреде-
лено, если задан обычный граф G <= Ех х Е2. Тогда говорят, что G —
граф соответствия Г, Ех — область определения, а Е2 — область
значений Г.
Соответствие, обратное Г, обозначается Г-1, где Е2 — область
определения, а Ех — область значений Г-1.
Отображение. Отображением множества Ех во множество Е2 на-
зывается такое соответствие, которое любому х 6 Ех сопоставляет по
крайней мере один у £ Е2.
Тогда говорят, чтоэлемент у—образ элементах, а х—переменная
или аргумент.
Пример (см. рис. 57.1). Пусть
Ех = {а, Ь, с, d},	(57.1)
Е2 = {А, В, С, D, Е}.	(57.2)
Имеем
Г {а} = {В}, Г {5} = {D}, Г (с) = {В, Е}, Г (d) = {Е}.
В есть образ а,
D есть образ Ь,
В и Е есть образы с,
Е есть образ d.
(57.3)
318
Сюръективное отображение или сюръекция. Отображение Ех на
Е2 называется сюръективным или сюръекцией, если любой у € Еа
есть образ по крайней мере одного х £ Ех.
в каждый#
входит
по крайней
мере
одна дуга
Рис. 57.2. Сюръекция
Пример (см. рис. 57.2). Пусть
Ех - {a, Ь, с, d},	(57.4)
Е2 - {А, В, С, D, Е}.	(57.5)
Имеем
Г {«} = {А}, Г {&} = {А}, Г (с) = {С},	(57.6)
Г {d} = {В}, Г {е} = {А, В, D}, Г (/) = {С, D}.
Это отображение действительно сюръекция, так как Г”1 {у} не-
пусто:
Г"1 {А} - {а, Ь, е},	Г"1 {В} - {d, е},	Г”1 {С} = {с, /},
Г-1 {D} = {е, f}.	(57.7)
Как можно видеть, условие |Г-1 {у}\	1 для любого у характе-
ризует сюръекцию.
Инъективное отображение или инъекция. Отображение Ех в Е2 на-
зывается инъекцией, если каждый элемент у £ Е2 есть образ только
одного элемента х g Ех либо вообще не имеет прообраза. В этом случае
говорят, что Ех инъективно отображается в Е2.
Пример (см. рис. 57.3). Пусть
Ei = {а, &, с, d},	(57.8)
Е2 - {А, В, С, D, Е, F}.	(57.9)
Имеем
Г {а} = {В}, Г {Ь} = {С}, Г {с} = {F}, Г {d} = {D, Е}
(57.10)
и
Г-1 {А} = 0,	Г'1 {В} = {а}, Г-1 {С} = {Ь},
Г-1 {D} = {d}, Г-1 {Е} = {d}, Г-1 {F} = {с}.	(57.11)
319
Как можно видеть, если для любого у Е Е2 : [Г"1 {у}|	1, то
отображение является инъекцией.
Биективное отображение или биекция. Если отображение одно-
временно сюръективно и инъективно, то оно называется биективным
отображением или биекцией.
Рис. 57.3. Инъекция
Рис . 57.4- Биекция
Пример (см. рис. 57.4). Пусть
Ei = {а, Ь, с, d}t	(57.12)
Е2 - {А, В, С, D, Е, F).	(57.13)
Имеем
Г {а} = {А, В}, Г {ft} = {С}, Г {с} =- {D, F}, Г {d} = {Е}
(57.14)
и
Г-1 {А} = {а}, Т-i {В} = {а}, Г-1 {С} = {£},	(57.15)
Г-i {D} = {с}, Г-i {Е} = {d}, Г-i {F} = {с}.
Как можно видеть, если для всех у £ Е2 : | Г“х {у} | = 1, то ото-
бражение биективно.
Функция. Отображение, такое, что
V х € Ех: |Г {х}|—- 1,	(57.16)
называется функцией.
Другими словами, функцией Ех в Е2 называется такое отображе-
ние, которое каждому х £ Ех сопоставляет один и только один у Е Е2.
Функция может быть сюръективной, инъективной или биективной.
Некоторые примеры приведены на рис. 57.5—57.7.
Очевидно, что если функция Г биективная, то Г“х тоже биек-
тивная. В этом случае говорят о взаимно-однозначном соответствии
между Ех и Е2.
Замечание. Некоторые авторы определяют (в том числе и автор этой
книги в нескольких своих работах, исходя из разных соображе-
ний) отображение как функцию, т. е. такое отображение, что
320
ух С El : | Г (х) |	1. В настоящей работе мы предпочитаем следую-
щие определения:
отображение: ух Е : | Г {х}|	1,	(57.17)
функция: ух С Ег : |Г {х}| = 1.	(57.18)
Изотонные отображения упорядоченных множеств. Предположим,
что множества Ej и Е2 упорядочены отношением порядка, обозначен-
ным <*>. Отображение Ех в Е2 называется изотопным, если оно сс-
храняет порядок, т. е. если
Vх; € Еь	=> (yyk £ Г {хг} с. Е2, уг/г € Г {х7} azE2:
yk<yi).	(57.19)
Если порядок полный, то изотопное отображение будет называться мо-
нотонно неубывающим отображением.
Рис. 57.5. Сюръектив-
ная функция
Рис. 57.6. Инъектив-
ная функция
Рис. 57.7. Биективная
функция
Рассмотрим два примера.
Пример 1. На рис. 57.8 показаны два вполне упорядоченных мно-
жества Ех и Е2, представленные соответствующими максимальными
цепями. Непосредственно видно, что выполняется свойство изотонно-
сти, определенное в (57.19).
Рассмотрим, например, элементы бис. Имеем b < с. С другой сто-
роны, Г {Ь} = {В} и Г {с} — {В, D}; действительно имеем В < В и
В < D. Если провести проверку для других пар элементов Еь то удо-
стоверимся, что здесь действительно имеет место монотоннее неубы-
вающее отображение Ех в Е2.
*) Вообще множества Ej и Е2 могут быть различными, как могут отличать-
ся друг от друга и отношения порядка, связанные с ними; поэтому было бы умест-
но различать их с помощью какого-нибудь символа, например < и <'. Но мы
по привычке используем один и тот же символ < независимо от того, каким мо-
жет быть отношение. Аналогично поступают, например, в случае, когда исполь-
зуют один и тот же символ «+» для целых и комплексных чисел—двух совер-
шенно разных понятий.
11 Зак. 461
321
Рис 57.8

Пример 2 (см. рис. 57.9). На этот раз конфигурации множеств Ej
и Е2 показывают, что множества Ех и Е2 не наделены полным поряд-
ком. Максимальные цепи представлены соответствующими им диаграм-
мами Хассе. В качестве упражнения выпишем все пары элементов,
составляющие цепи:
а < Ь,
а < с,
b<d,
Ь < е,
с < е,
е <f,
Г{а} = {А}(
Г{а} = {А},
Г {b}-- {A, D},
Г {£>} = {A, D),
Г{с} = {А},
r{d} = {F}>
Г{е} = {Е},
Г {6} — {A, D}, имеем А < А, А < D,
Г{С} = {А},
r{d} = {F},
Г{б} = {Е},
Г{е} = {Е}>
Г {/} = {G},
r{f} = {G},
имеем А < А,
имеем А < F, D < F,
имеем А < Е, D < Е,
имеем А < Е,
имеем F < G,
имеем Е < G.
(57.20)
Мы не проводим проверку изотонности для других упорядоченных
пар (a, d), (a, f) и т. д., поскольку очевидно* что изотонность транзи-
тивна и поэтому ее достаточно проверить только для смежных элемен-
тов.
Антитонное отображение упорядоченных множеств. Рассмотрим
свойство (57.19), но вместо yk < yi будем писать
У1<Уь,	(57.21)
при этом условии говорят, что отображение антитонное.
В качестве упражнения читатель должен найти антитонное отобра-
жение Ех в Е2 на рис. 57.9.
Морфизм упорядоченных множеств. Изотонное отображение Г упо-
рядоченного множества Ех в упорядоченное множество Е2 называется
морфизмом. На рис. 57.8 и 57.9 изображены морфизмы.
Эпиморфизм упорядоченных множеств — это морфизм, в котором
отображение Г множества Ех в множество Е2 сюръективно.
322
Мономорфизм упорядоченных множеств. Мономорфизм — это мор-
физм, в котором отображение Г Ех в Е2 инъективно. Если Е£ Е2 —
подмножество Е2, в каждый из элементов которого входит точно одна
дуга, то необходимо, чтобы отображение Г"1 было также изотопным
относительно Ег.
Изоморфизм упорядоченных множеств. Изоморфизм — это морфизм,
который одновременно есть эпиморфизм и мономорфизм, т. е. это такой
морфизм, что отображение Г биективно, кроме того, как оно само,
так и обратное к нему отображение Г изотонны.
Рис. 57.11. Это отображение, но не
морфизм
Рис, 57.10, Морфизм, но не эпимор-
физм и не мономорфизм
Чтобы лучше понять содержание этих определений, рассмотрим
несколько примеров.
Пример 1 (см. рис. 57.10). Сначала проверим, что это морфизм. Рас-
смотрим все упорядоченные пары (х, z/), х С Ех, у £ Е2, которые со-
ставляют максимальные цепи:
а < Ь, Г {tz} — {А}, Г {6} = {В, С), имеем А < В, А < С,
b < d, Г {&} = {В, С}, Г {d} = {F},	имеем В < F, С < F, (57.22
c<d, Г{с}^{Е}, r{d} = {F},	имеем Е < F.
Итак, мы убедились, что действительно имеем морфизм Ех в Е2. Бу-
дет ли Г эпиморфизмом? Априори нет, так как не во все У 6 Е2 входит
по крайней мере одна дуга (в D дуга не входит). Будет ли Г мономор-
физмом? Для этого необходимо проверить, изотонно ли обратное ото-
бражение Е' = {А, В, С, Е, F} в Ех.
Имеем
А < В, Г"1 {А} = {«}, r-^B}^^}, откуда а < Ь,
В<С, Г-1{В} = {6}, Г”1{С}={6}> откуда b < Ь,
С < Е, Г"1 {С} - {Ь}, Г-1 {Е} = {с}, но не b < с.
(57.23)
Это изучение бесполезно продолжать; отображение Г не мономор-
физм.
11*
323
Пример 2 (см. рис. 57.11). Здесь те же упорядоченные множества,
что и в предыдущем примере (см. рис. 57.10), но отображение другое.
Сначала проверим, морфизм ли это отображение:
а < Ь, Г {а} = {А, В}, Г {Ь} = {С, D), имеем А < С, А < D, В < С,
В <D,
b<d, Г {£>} = {С, D}, r{d} = {F), имеем С < F, но не D < F.
(57.24)
Следовательно, это отображение не морфизм.
Пример 3 (см. рис. 57.12). Множества Е, и Е2 те же, что на
рис. 57.10 и 57.11, но Е2 упорядочено по-другому.
Рис. 57.12. Эпиморфизм
Рис. 57.13. Другой эпиморфизм
Проверим, морфизм ли это отображение:
а<Ь, Г{а}-={А, В}, Г {6} = {В, D}, имеем
b < d, Г {Ь} = {В, D), Г {d} = {Е, F}, имеем
с < d, Г {с} = {С}, Г {d} = {Е, F), имеем
А < В, А < D, В < В,
В < D,
В < Е, В < F, D < Е,
D < F,
С < Е, С < F. (57.25)
Следовательно, данное отображение есть морфизм. Далее, Г— эпи-
морфизм, так как это отображение сюръективно (в каждый элемент
Y Е Е2 входит по крайней мере одна дуга). Посмотрим, будет ли это
отображение мономорфизмом. Определенно нет, потому что отображе-
ние не инъективно: имеется элемент Y £ Е2, в который входит более
одной дуги.
Пример 4 (см. рис. 57.13). Здесь мы имеем дело с другими множе-
ствами. Посмотрим, морфизм ли это отображение:
а < Ь, Г{а} = {А},
Ь<с, Г{6} = {В}>
b < d, Г{£>} = {В},
d<e, Г{^} = {С},
Г (6} = {В}, имеем А < В,
Г {с} = {В}, имеем В < В,
Г {d} = {С}, имеем В < С,
Г {е} = {С}, имеем С < С.
(57.26)
324
Это действительно морфизм. Кроме того, данное отображение есть
эпиморфизм (в каждый элемент Y £ Е2 входит по крайней мере одна
дуга), но не мономорфизм (имеется по крайней мере один элемент
Y £ Е2, в который входит более одной дуги).
Пример 5 (см. рис. 57.14). Здесь
а < Ь,
b < с,
b < d,
d < с,
Г {я} - {А},	Г {Й}={А, В},	имеем	А <	А,	А < В,
Г {Ь} - {А, В},	Г {с} = {С},	имеем	А <	С,	В < С,
Г {Ь} - {А, В},	Г (d) - {С},	имеем	А <	С,	В < С,
Г {d} - {С},	Г {<?} - {D, Е},	имеем	С <	D,	С < Е. (57.27)
Действительно, Г — морфизм, это также и эпиморфизм, но не
мономорфизм.
Рис. 57.14. Еще один эпиморфизм	Рис. 57.15. Мономорфизм
Пример 6 (см. рис. 57.15). Здесь
а < Ь, Г {#} {А},
Ь<с, Г {Ь} - {В},
b<d, Г {6} = {В}3
Г {&} =- {В}, имеем А < В,
Г {с} — {D}, имеем В < D,
Г {d} -=• {Е}, имеем В < Е.
(57.28)
Действительно, Г — морфизм, но не эпиморфизм (имеется по край-
ней мере один Y £ Е2, в который не входит ни одна дуга). Проверим,
будет ли это отображение мономорфизмом.
Первое условие выполняется: ни в один элемент Y £ Е3 не входит
более одной дуги, но необходимо, чтобы отображение Г”1 подмно-
жества Ег, где Е2 = {А, В, D, Е}, было бы также изотопным отно-
сительно ЕРПроверим это:
А < В,
А < Е,
В < Е,
В < D,
Г-ЧА} = {а}>
Г-ЧА} = {«},
Г-ЧВ}^},
г-1 {В} ЩЬ},
Г-ЧВ} = {6},
r-1{E} = {d},
Г-ЧЕ} = {^,
r-1{D} = {c},
имеем а< Ь,
имеем а < d,
имеем b < d,
имеем b < с.
(57.29)
Таким образом, отображение Г"1 подмножества Е^ в Ех действи-
тельно изотонно. Поэтому отображение Г — мономорфизм.
325
Пример 7. (сМ. рис. §7.16). Здесь
а < Ь, Г{а} = {А},
Ь<с, Г {£>}-= {В, С},
b<d, Г{6} = {В, С},
Г {Ь} = {В, С}, имеем А < В, А < С,
Г {с} = {D, F}, имеем В < D, В < F,
С < D, С < F,
Г {d} = {Е}, имеем В < Е, С < Е. (57.30)
Таким образом, отображение Г — морфизм. Эпиморфизм ли оно?
Да, так как в каждый элемент Y 6 Е2 входит по крайней мере одна ду-
га (фактически одна и только одна).
Рис. 57.17. Изоморфизм
Посмотрим, мономорфизм ли отображение Г? Первое условие (в
каждый элемент Y £ Е2 входит по крайней мере одна дуга) удовлет-
воряется, так как в каждый элемент Y входит точно по одной дуге.
Теперь рассмотрим упорядоченные пары, образующие максимальные
цепи:
А < В, Г-1 {А} = {а}, Г"1 {В} = {Ь}, имеем а < Ь,
А<С, Г-1{А} = {а}, Г-1 {С} = {6}, имеем а< Ь,
В < D, Г-1 {В} == {£}, Г"1 {D} -- {с}, имеем b < с,
В < Е, Г-ЧВН^}, F-1{E} = {d}, имеем b< d,	(57.31)
С < D, Г-1 {С} = {6}, r-1{D} = {c}, имеем b < с,
С < Е, Г-1{С} = {&}) F-1{E} = {d}, имеем b < d,
D < F, r-1{D} = {c}, r-1{F} = {c}, имеем с < с.
Таким образом, поскольку отображение Г — эпиморфизм и мономор-
физм, то оно изоморфизм. Если отождествить В и С, D и F, то изо-
морфизм станет очевидным.
Пример 8 (см. рис. 57.17). Читатель может проверить, что это так-
же изоморфизм. Это видно непосредственно из рисунка.
Эндоморфизм упорядоченного множества в себя. Морфизм упоря*
доченного множества Е в себя называется эндоморфизмом.
Автоморфизм упорядоченного множества в себя. Изоморфизм Е на
себя называется автоморфизмом.
326
Двойственность двух упорядоченных множеств. Два упорядочен-
ных множества Е и Е' двойственны друг другу, если взаимно-обрат-
ные отображения Г и Г“х биективны и антитонны.
Рис. 57.19. Автоморфизм
Рис. 57.18. Эндоморфизм
Пример 9 (см. рис. 57.18) на эндоморфизм: проверим, что это отоб-
ражение действительно морфизм Е в Е:
а < Ь,
Г {«} = {«, Ь},
Г {fe} =. {fe, d}} имеем a < fe, a < d, b < fe,
b<d,
Ь < с,
b < d,
с <е,
c<f>
d<f,
f<g,
Y{b} = {b, d},
Г {&} = {&, d},
r{c} = {d},
Г{б} = Ш
г {(/} = №
Г {/} = {/},
r{C} = {d};
r{d} = {d},
r{«
г {« = {/},
Г {/}-{/},
г {£} = {/}>
имеем b < d, d < dt
имеем fe < d, d < d,
имеем d< ft
имеем d< f,
имеем d < f,
имеем f < f.
(57.32)
Таким образом, это отображение действительно морфизм и поэтому
эндоморфизм Е в Е.
Пример 10 (см. рис. 57.19) на автоморфизм: легко проверить, что
отображение Г есть изоморфизм и обратное отображение Г-1 — тоже
изоморфизм. Отображение Г есть автоморфизм Е на себя.
327
Пример 11 (см. рис. 57.20) на двойственность: проверим антитон-
ность:
а < Ь,
Ь < с,
с < d,
с<е,
d<f,
e<f,
Г {«} = {«'},
Г {*} = {&'},
Г {с} = {£'}>
Г{С} = {С'},
Г{4 = {е'},
ГН = {й'}.
Г {Ь} — {Ь'}, имеем Ь' < а',
Г{С} = {С'},
r{e} = {d'},
Г {/} = {/'}
Г {/} = {/'},
имеем cr < Ь'9
имеем ег < с',
имеем df < с',
имеем /' < е',
имеем f' < d/.
(57.33)
Это условие удовлетворяется. Для отображения Г"1 его можно
проверить непосредственно, по симметрии. Таким образом, отображе-
ние биективно, а упорядоченные множества Е и Е-1 — двойственны.
Морфизм структуризованного множества Ех в структуризованное
множество Е2. Мы рассмотрели понятие морфизма и другие понятия,
связанные с упорядоченными множествами. Продолжим изучение это-
го понятия, но на этот раз каждое из двух множеств Ei и Е2 будет об-
ладать определенной структурой.
Пусть Ех и Е3 — два множества, для которых определены законы
внутренней композиции * и *' соответственно, не обязательно опре-
деленные всюду.
Если
ух, У €	: Г (x*z/) = Гх*' Г у*>	(57.34)
и если отображение Г функциональное, т. е. функция, то говорят, что
это отображение есть морфизм структуризованного множества Ех в
структуризованное множество Е2.
Отметим, что в проведенных рассмотрениях мы ограничились по-
нятием морфизма для функциональных отображений, когда любому
х С Ei сопоставлен один и только один у £ Е2.
Если отображение Г инъективно, этот морфизм будет называться
мономорфизмом.
Если отображение Г сюръективно, этот морфизм будет называться
эпиморфизмом.
Если отображение Г биективно, этот морфизм будет называться
изоморфизмом.
Когда Ei = Е2 и * = *', этот морфизм будет называться эндомор-
физмом. В случае изоморфизма он будет называться автоморфизмом.
Как можно видеть, мы снова получили определения, касающиеся
упорядоченных множеств, но условие изотонности здесь заменено
условием (57.34), а отображение стало функциональным.
Пример 1. Рассмотрим множество Еп на котором определен внут-
ренний закон * (рис. 57.21, слева), и множество Е2, на котором опре-
делен закон *' (рис. 57.21, справа). В центре рис. 57.21 определяется
морфизм Ei в Е2.
*) Мы должны писать Г {(х * (/)} = Г {х} * ' Г {у}, но для упрощения
записи фигурные скобки опустили. Это здесь возможно потому, что ух:| Гх| I
в силу функциональности отображения,
328
В качестве упражнения проверим, что отображение Г есть дей-
ствительно морфизм Ех в Е2. Имеем
Га*' Га = а* 'а = 0,
Га*'Гб = а*'0 = а,
Га*'Гс = а*'у = а,
Га*Т^ = а*'а = 0,
Гб*Та = 0*'а = а,
Гб*Тб = 0*'0 = а,
Гб*'Гс = 0*'у = 0,
Гб*Т(/ = 0*'а = а,
Гс*'Га = у*'а = у,
Гс*Тб = у*'0 = у,
Гс*Тс = у*'у = а,
I’c*Td = у*'а — у,
Td* Та = а*'а = 0,
rd* Тб — а* '0 = а,
rd* Тс — а*'у = а,
rd*Td — а*'а = 0.
Г (а*а) = ГЬ = 0,
Г (а*Ь) = Га = а,
Г (а*с) = rd — а,
Г (a*d) = ГЬ = 0,
Г (Ь*а) -I'd а,
Г (Ь*Ь) = Га = а,
Г (Ь*с) = Гб = 0,
Г (b*d) = Гс7 = а,
Г (с*а~) = Гс — у,
Г (с*Ь) — Гс = у,
Г (с*с) = Га — а,
Г (c*d) — Гс = у,
Г (d*a) = Гб = 0,
Г (d*b) = rd = а,
Г (d*c) = rd — а,
Г (d*d) = Гб = 0,
(57.35)
Мы убедились, что для всех упорядоченных пар (х, у) 6 Ei * Еа
условие (57.34) действительно удовлетворяется. Заметим, что пары
{и, v) ( Е2 х Е2, в которые входит хотя бы один элемент, отличный
от а, 0 и у, не влияют на отношение (57.35).
b с t!
ь	а	(f	Ь
У	а	6	У
с	с	а	с
b		У	ь
Рис. 57.21
а	fl	fir	a	fl	7
fl	«г	АГ	fl	fl	fir
7	7	r	fir	or	7
&	or	a	у	or	7
£	У	7	£	s	z

Пример 2. На рис. 57.22 представлен морфизм Ех в Е2 . На рисун-
ке показано, что отношение, связанное с одним из множеств, не обя-
зательно нужно определять полностью, например, для внутреннего
закона *' в Е2.
Пример 3. На рис. 57.23 представлен морфизм Ех в Е2. Он соответ-
ствует морфизму на рис. 57.15 при условии, что проведены отождеств-
ления * — Д и *' — Д'.
329
Пример 4. На рис. 57.24 представлен эпиморфизм Ех в ё2. Он со-
ответствует эпиморфизму на рис. 57.13 при условии, что * = А и *' =
= А
Пример 5. На рис. 57.25 представлен изоморфизм Ех в Е2. Он соот-
ветствует изоморфизму на рис. 57.17 при условии, что мы положили
*= А и *' = А'.
Пример 6. На рис. 57.26 представлен эндоморфизм Е в Е.
Пример 7. На рис. 57.27 представлен автоморфизм Е на Е. Он со-
ответствует автоморфизму на рис. 57.19 при условии, что *— А.
Пример 8. Автоморфизм Е на Е представлен на рис. 57.28, где сле-
ва имеем закон *, а справа — закон *' =/= *. В действительности, об-
ращаясь к рис. 57.20, мы видим, что * = V и *' = А, где морфизм Е
на Е устанавливает двойственность для отношений порядка, отра-
женного на рис. 57.20.
а b с d
а
b
с
г	b	d	d
b	b	d	d
d	d	с	d
d	d	d	d
g 3 Z7 У
a	a	a	a
a	b	b	d
a	b	c	b
a	b	b	d
Рис. 57 22
Рис. 57.23
* А В О
А
В
О
A	A	A
A	В	В
A	В	С
330
* a b c d e
a	a	a	a	a
a	b	b	b	b
a	6	c	c	0
a	b	0	d	c
a	b	c	c	e
Puc, 57.25
a •--------------»<?
Puc. 57.27
E	Г £
f •--------• £
e  ---*---*e
c *—
о-----*---•
E	Г	Er
f.------.-----• /'
c •------ • z?r
d •-------------*Ъ’
------*-----•«'
Puc. 57.28
331
Теперь рассмотрим несколько примеров, в когорых структуры не
соответствуют отношениям порядка.
Пример 9. На рис. 57.29 представлен мономорфизм группы (Е, *)
в группу (Е', *').
Рис. 57.29
Пример 10. На рис. 57.30 представлен эпиморфизм группы (Е, *)
на группу (Е', *').
е a b g d f
е
а
Ъ
С
d
G	а	Ь	G	d	f
а	b	G	d	f	е
д	G	d	f	е	а
G	d	f	е	а	b
а	f	в	а	b	с
f	е	а	b	G	d
b
а
е
Рис. 57.30
< Е А 8
Е
А
В
Е	А	В
А	В	Е
В	Е	А
Пример 11. На рис. 57.31 представлен тривиальный автоморфизм
(изоморфизм (Е, *) в (Е, *)). Можно показать, что существует только
четыре конечные группы порядка 6 и только одна из этих четырех
групп допускает нетривиальный автоморфизм (как на рис. 57.32, на
котором изображена неабелева, т. е. некоммутативная, группа).
* в a b g d f	* в (7 Ь с d f
\---------------------- -Гл	<	\......................
е	е	а	ь	G	d	f		* 				e	e	a	b	47	d	f
а	а	6	е	f	с	d			*d	47	a	b	e	f	0	d
Ь	b	в	а	d	f	c	47 •	*			b	b	e	a	d	f	G
G	с	d		е	47	b	4? «	*		•b	c	G	d	f	e	47	b
d	d	г	с	6	е	47			d	d	f	G	b	e	47
f	f	G	d	47	b	e	ц •	* P Л.	u, Ш		»p	f	f	c	d	47	b	e
Рис. 57.31
332
Пример 12. На рис. 57.32 представлен нетривиальный автоморфизм
(Е, *) в (Е, *) (см. замечание, сделанное в примере 11 к рис. 57.31).
Замечание. Во всех примерах данного параграфа множества Е ко-
нечные, однако все проведенные рассуждения применимы к произволь-
ным множествам. Как обычно, примеры на конечных множествах мы
рассматривали с дидактической целью.
Рис. 57.32
* е a b g d f
\_______ __________
е	Z7	b	c	У	f
а	b	e	f	c	У
b	e	a	У	f	c
с	У	f	e	a	b
d	f	c	b	e	a
f	c	У	a	b	e
Композиция двух обычных отношений. Пусть X, Y и Z — три
множества; рассмотрим два обычных графа Gi с X х Y и Ga с Y X
X Z, с которыми свяжем обычные отношения и J?2 (можно также
сказать, что и — это соответствия, связанные с Gx и G)2. Пусть
(х, у) £ Gi и (у, z) Е G2, составим упорядоченные пары (х, г), такие и
только такие, что существует элемент у £ Y, такой, что (х, у) £ Gx и
(у, г) е о2. Тогда множество упорядоченных пар (х, г) образует граф
ОХ(2, скомпонованный из Gx иО2. Введем обозначения:
GXt2- G3oGx	(57.36)
для графа и
(57.37)
для соответствующего ему отношения.
Заметим, что этот способ композиции двух бинарных отношений
совпадает с тем, который определен в (13.10), и ктому же представляет
собой только частный случай определения (13.9). На рис. 13.3 при-
веден один пример композиции, на рис. 57.33 — другой.
Композиция отображений. Предположим, что закон композиции
двух бинарных отношений определен, как в (57.36) и (57.37), и рас-
сматриваемые отношения есть функциональные отображения, или функ-
ции, соответственно либо сюръекции, либо инъекции, либо биекции.
Тогда можно проверить:
отображение о отображение = отображение,
отображение о сюръекция = отображение,
сюръекция ° отображение = отображение,
отображение о инъекция = отображение,
инъекция о отображение = отображение,
отображение о биекция = отображение,
333
биекция о отображение « отображение,
сюръекция о сюръекция = сюръекция,
сюръекция о инъекция = отображение,
инъекция о сюръекция — отображение,
сюръекция о биекция = сюръекция,	(57.38)
биекция о сюръекция = сюръекция,
инъекция о инъекция = инъекция,
инъекция о биекция = инъекция,
биекция о инъекция = инъекция,
биекция о биекция = биекция.
На рис. 57.34 перечисленные в (57.38) свойства представлены в виде
таблицы, где символами выбраны первые буквы соответствующих слов.
Рис. 57.33
Б И С О
Б
И
С
о
Рис. 57.34
Если отображения Гх, Г2 и Г3 могут быть проведены последова-
тельно, то закон композиции о необходимо ассоциативен:
Г8.(Г2«Г1) = (Г3оГ2)оГ1.	(57.39)
Для каждого отображения Г существуют левая и правая единицы —
это тождественные отображения 1Х и 1?, где Y = ГХ:
Го1х = 1УоГ = Г.	(57.40)
Если для всех рассматриваемых отображений одно и то же множе-
ство служит как областью определения, так и областью значений,
то существует единственная единица 1 и множество отображений
образует моноид. Если все рассматриваемые отображения есть к тому
же биективные функции, то для каждого отображения существует об-
ратное к нему и множество этих биективных функций образует группу.
334
Композиций морфизмов.
Теорема 1. Пусть Гх есть морфизм структуризованного множества
X в Y;J Г2 есть морфизм структуризованного множества Y в Z; тогда
Г1,2 Г2 о есть морфизм X в Z.
Доказательство. Пусть * — закон, связанный с X, *' —
закон, связанный с Y. Поскольку отображение Г\ — морфизм множест-
ва X в Y, то согласно (57.34) имеем
Гх (а * Р) = Гха *' 1\р, где а, р £ X, Гха, Г,р £ V. /57.41)
Пусть *" — закон, связанный с Z. Поскольку Г2 — морфизм Y в
Z, то мы должны иметь
Г2 [!>*' гхр] - Г3 (1\а) Г2 (Гхр), где Г2 (Гха), Г2 (I\p)€ Z.
(57.42)
Из (57.41) и (57.42) получаем
Г2[ 1\ (а * ₽)] = Г2 (Г1а)*"Г2 (1\₽).	(57.43)
Но по определению
ГЪ2х = Г2(ад.	(57.44)
Поэтому действительно имеем
Г1,2 (а * ₽) = Г1>2а * 'Tlj2p.	(57.45)
Мы рассмотрели случай функциональных отображений Г или функ-
ций между структуризованными множествами. Аналогичное доказате-
льство будет проведено для отображений, функциональных или нет,
между упорядоченными множествами. Это составляет содержание сле-
дующей теоремы.
Теорема 2. Пусть 1\ — морфизм упорядоченного множества X
в Y; Г2 — морфизм упорядоченного множества Y в Z; тогда Г1(2 —
= Г2 о Гх есть морфизм X в Z.
Доказательство. Поскольку 1\ —морфизм X в Y, то со-
гласно свойству изотонности получим
(V%i £ х, ух} £ х : Xi < Xj) => (yz/ft £ Гх {xj, уг/г £ Гх {xj : yh <
(57.46)
Так как Г2— морфизм Y в Z, то согласно (57.19) получим
(ЧУь € Гх {xt}, у у г £ Гх {хД : ук < г/г) =>
=^(Vzm 6 Га {№}, yzn £ Г2(г/г): zm < zn). (57.47)
Отметим, что правую часть соотношения (57.47) можно переписать
в виде
(W 6 Г2 (Гх {хг}), угп £ Г2 (Гх {х J): z,n < zn) (57.48)
или еще раз
(V2m € г1.2 U)» V zn € Гх,2 {*,}: zm < zn). (57.49)
335
Поэтому в силу транзитивности импликаций можно записать
(V б х, v Xj € х - *1 < */) (V zrn € Г1>2 {х J,
V гп 6 I\,2 {Xj}: zm < zn);	(57.50)
теорема доказана.
Ассоциативность в законах композий морфизмов. Если закон
композиции о, определенный в (57.36) и (57.37) для обычных отноше-
ний, используется точно так же, как в приведенных выше рассмотре-
ниях, но для композиции морфизмов, то этот закон обладает свойством
ассоциативности. Таким образом, если Гп Г2 и Г3 — морфизмы X
в Y, Y в Z и Z в V соответственно, то получим
Г3 ° (Га« Гх) = (Г3 ° Г2) ° IY	(57.51)
Если закон композиции определен по-другому, то нужно прове-
рять, выполняется ли для него свойство ассоциативности.
В данной работе законы композиции, которые мы будем рассмат-
ривать для морфизмов, будут ассоциативными.
58.	Понятие категории
Категория*) С есть множество объектов, таких, что для любой упо-
рядоченной пары (X, Y), X £ С, Y £ С существует множество мор-
физмов Г из X в Y, обладающих определенным свойством и обозначае-
мых MOR (X, Y) (допускается возможность, что множество МОR (X,Y)
может быть пустым). Эти морфизмы называются С-морфизмами и об-
ладают по определению следующими свойствами:
1.	MOR (X, Y) f) MOR (X', Y') = 0 тогда и только тогда, ког-
да (X, Y)^(X'Y').	(58.1)
2.	Предполагается, что морфизм 1\ из X в Y сочетается посредст-
вом закона композиции о с морфизмом Г2 из Y в Z (X £ С, Y £ С,
Z £ С) так, что получается морфизм Г12 из X в Z. Закон о, конечно,
должен быть определен. Если £ MOR (X, Y), Г2 £ MOR (Y, Z),
ТО 1\2 - Гг о г2 £ MOR (X, Z).
3.	Предполагается, что если I\ £ MOR (X, Y), Г2 £ MOR (Y, Z)
и Г3 0MOR (Z, V), то
ГзЧГ^ГП^^оГ^оГ^ГзоГ.оЛ.	(58.2)
Другими словами, закон композиции ассоциативен.
4.	Предполагается, что для любого X £ С существует морфизм,
представляющий собой тождественное отображение X на себя. Этот
морфизм (обозначается Гх или 1) таков, что для любых
Г £ MOR (X, Y) и Г' £ MOR (Y, X)
♦	) Здесь дано не самое общее определение этого понятия, которого, однако,
достаточно для рассматриваемых здесь конкретных приложений. Для более
глубокого и более общего изучения можно обратиться к работам [IE, IM, 1R].
Вместо понятия категории множеств другие авторы используют понятие кате-
гории классов.
336
имеет место
ГоГ£-Г и ГЬГ' = Г\	(58.3)
Понятие категории очень широко распространено в математике.
К категориям относятся следующие понятия:
—	группа с групповыми морфизмами: группа, обозначаемая
G = (Е, <), где Е — множество, имеющее структуру группы, * —
закон группы;
—	множества и отображения между ними;
—	решетки с морфизмами решеток; решетки обозначаются =
= (Е, <), где Е — множество, имеющее ^конфигурацию решетки,
< — отношение порядка на решетке. Решетка может также опреде-
ляться как 33 = (Е, A, V), где А и V — законы, определенные по-
средством понятий нижней и верхней границ подмножества множе-
ства Е соответственно;
—	полурешетки S3 = (Е, А) или 33 = (Е, V);
—	топологические пространства с непрерывными отображения*
ми;
—	измеримые пространства с измеримыми преобразованиями;
и т. д.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1 — очень простой и легко вычислимый.
Пусть Е и F — два упорядоченных множества (рис. 58.1).
Они представляют собой две верхние полурешетки 33х и 332 и состав-
ляют множество объектов категории С, изучением которой мы сейчас
займемся.
до
а о
Рис. 58.1

Эти две верхние полурешетки можно также рассматривать как струк-
туризованные множества, на которых определены операции V и V'
взятия верхней грани двух упорядоченных пар элементов из Е и F
соответственно (рис. 58.2).
На рис. 58.3 приведены четыре множества: MOR О
MOR (О MOR (S2, О и MOR (S2, S2). Категория, образо-
ванная двумя структуризованными множествами (33г, S2), такова, что
| MOR (О 0=10,
| MOR (О О | = 7,	(58.4)
| MOR (0 01 = 9,
| MOR (O 01 = 9.
337
«ш^г) м н И У й й Н И й й
5 Н Н И Q Q г7 Q П По
HOR&^z) L\ th Lh Ь\ fh
_________________Г77 Гп Г73 г11/ г15 Г76 , Г17
момяг^) /tj /А /fl л! Х"1 /0 /0 Л? /А
По По Но Hl H.Z Нъ Но r15 Нб
д^д ДД	Д.Д
Г27	Г28 Г79 Qo	Г31 Г37 ^33	^35
Рис. 58.3
Тождественное отображение 53г на себя — это Г10 и тождественное
отображение ®2 на себя — это Г35. Имеем
Г<ОГ10=Гь i = 1, 2, .... 17,
Г10оГг=Гг, t— 1,2..10, i = 18, 19, .... 26,	(58.5)
Гу о Гэе = Гу, /=П, 12, .... 17, j = 27, 28, .... 35,
Гз5 о Гу = Гу, / = 18, 19, ..., 35.
Рис. 58.4
Заметим, что не все Tf могут
сочетаться с Гу для обычного за-
кона композиции отношений; ’ на
диаграмме (рис. 58.4) приведены
следующие результаты:
Гу_ю 6 MOR (^i, ЗЭ2)»
Гц—17 6 MOR {531, 53^),
(58.6)
I'lg-ae MOR (53%, 53j),
Г27—35 С MOR (®2, ^2).
Категория С дает все' С-морфизмы, существующие между двумя
структуризованными множествами Гх и Г2 или каждым из этих мно-
жеств и им самим. Другими словами, категория дает все возможные
функции, которые существуют между элементами упорядоченных пар
(X, Y), X, Y 6 {^1. 53J.
338
Пример 2. Рассмотрим все конечные группы, состоящие из четы-
рех и менее элементов. Известно, что существует
1 группа с 1 элементом;
1	группа с 2 элементами;
1	группа с 3 элементами;
2	группы с 4 элементами.
Эти пять групп
Gi = (О), *i),
G2 = ({е, а}, *2),	(58.7)
G3 = ({е, а, Ь}, *8),
G4 = {{е, а, Ь, с}, *4),
Gs = ({е, а, Ь, с), *в)
представлены на рис. 58.5—58.9. Для каждой
обозначена единица.
из этих групп через е
е Т7

Gz = ({в,а}, *2)
Рис. 58.9
Перейдем к изучению категории, образованной множеством из этих
пяти групп. Рассматриваемые здесь морфизмы должны удовлетворять
условию
Г (х*{у) = Ух*}Ту, i, j = 1,2,3, 4, 5,	(58.8)
где Г — морфизм Gj в Gj.
Перечислим все морфизмы между конечными группами четырех
или более элементов*».
♦) На рис. 58.10 • обозначает морфизм.
339
ь		в
в		е
в		в
		•
б	в	а	б	с	в	в	б	с	в	а	б	с	в	а	б	G
а	е	е	е	в	а	а	а	а	b	б	ь	б	с	с	G	С
в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в
	•	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X
б		в	а	б	с	в	а	Ь	с	в	в	б	с	в	а	б	с
а		в	в	в	в	а	в	в	в	ь	б	б	б	с	с	с	с
в		в	в	в	в	е	в	в	в	в	в	в	в	в	в	е	в
		•	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X
Рис. 58.10 (начало)
340
(Gif, Gj)
G	e	a	в	a	в	a	e	a
b	в	e	a	a	в	в	a	a
a	в	e	e	в	a	a	a	a
e	в	в	e	в	в	e	в	в
	•	X	X	•	X	•	•	X

G	в	и	Ь	в	а	ь	в	а	b	в	а	b	в	а	b	в	в	b	в	а	b	в	а	b	в	а	b
b	в	в	В	а	а	а	b	ь	b	в	в	в	а	а	а	6	Ь	ь	в	в	в	а	а	а	b	b	b
a	в	в	в	в	в	в	В	В	в	а	а	а	а	а	а	а	а	а	ь	b	ь	b	b	ь	b	ь	ь
в	в	е	в	в	в	в	в	В	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	В	в	в
	•	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	к	X	X	X	к	X	X	X	X	X	X	X	X	X
(G* , G*J
С	в	а	b	G	в	и	ь	G	в	а	ь	G	в	а	b	G	В	а	b	G	в	а	ь	G	в	в	ь	G
ь	в	в	в	В	а	и	а	а	6	b	b	Ь	G	G	G	G	в	в	в	В	а	а	а	а	ь	b	ь	Ь
а	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	6	В	В	В	В	а	а	а	а	а	а	а	а	а	а	а	а
в	е	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	В	6	В	В	В	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в
	•	X	X	X	X	•	X	X	X	X	•	X	X	X	X	•	X	•	X	х	•	X	X	X	X	X	X	•
g	e	a	b	G	в	a	b	c	e	a	b	c	e	a	b	G	в	a	b	c	в	a	b	c	e	a	b	G
b	G	g	g	G	в	в	в	e	a	a	a	a	b	b	b	b	c	c	G	G	в	в	e	e	a	a	a	a
a	a	a	cr	a	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	G	c	G	G	c	c	G	G
в	e	e	e	в	e	в	в	e	e	в	в	e	e	e	в	e	e	e	в	e	e	в	e	в	в	e	в	e
	X	X	•	X	X	X	•	X	X	X	X	•	•	X	X	X	X	•	X	X	X	X	X	•	X	X	•	X
с		в	а	b	С	в	а	b	с
b		b	b	ь	b	G	G	G	G
а		с	с	G	G	G	G	G	G
в		в	в	в	В	В	В	В	В
		X	•	X	X	•	X	X	X
С		в	а	ь	G	в	а	ь	с	в	а	ь	G	в	а	ь	G	в	а	b	с	в	а	Ь	G	в	а	b	с
b		в	в	в	В	а	а	а	в	ь	b	b	Ь	G	G	G	G	в	в	В	в	а	и	а	а	b	b	b	b
и		в	в	в	В	в	в	в	в	в	В	в	В	6	в	В	В	и	а	а	а	а	а	а	а	а	в	&	а
в		в	в	в	В	в	в	в	в	в	в	в	В	В	в	В	В	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в
		•	X	X	X	X		X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	•	X	X	•	X	X	X	X	X	X	X
с	в	Q	b	с	в	а	b	с	в	G	b	G	в	а	b	с	в	а	b	G	в	а	b	с	в	а	b	G
ь	G	С	с	с	в	в	в	в	а	а	а	и	ь	b	ь	b	G	G	G	С	в	в	в	в	а	и	а	а
а	а	а	а	а	ь	b	6	b	ь	b	b	b	ь	ь	ь	b	6	b	ь	Ь	G	G	с	с	G	с	с	с
в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	В	В	в	в	в	в	в	В	в	в	В	В	в	в	в	в	в	в	в
	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X
Puc. 58.10 (продолжение)
341
g	e	a	b	c	e	g	b	G
b	b	b	b	b	G	G	G	G
a	c	c	G	c	c	G	G	G
e	e	8	e	e	e	e	6	8
	X	X	X	X	X	X	X	X

0		e
b		e
a		e
e		e
		•
(£5^2)
G		e	a	e	a	e	a	e	a
b		e	e	a	a	8	8	G	a
g		e	e	e	e	a	a	a	a
e		8	e	e	e	e	e	e	e
		•	X	X	•	X	X	X	X
tf5, e3)
G	e	a	b	e	a	b	e	G	b	e	G	b	e	a	b	e	a	b	e	a	b	e	a	b	e	G	b
b	e	e	e	a	G	a	b	b	b	e	e	e	a	G	G	b	b	b	e	e	e	a	a	a	b	b	b
a	e	e	e	e	e	e	e	e	e	G	G	a	G	G	a	G	G	G	b	b	b	b	b	b	b	b	b
e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e
	•	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X
(Gg,G^)
G		e	G	b	G	в	G	b	G	e	G	b	c	e	G	b	G	e	G	b	G	e	G	b	G	e	G	b	G
b		e	e	8	8	a	a	G	G	b	b	b	b	0	C	0	G	e	e	e	e	Q	G	G	G	b	b	b	b
a		e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	G	a	a	G	G	G	G	G	G	G	G	G
e		e	e	e	e	e	e	e	e	8	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	e	8
		•	X	X	X	X	•	X	X	X	X	•	X	X	X	X	•	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X
G	e	G	b	G	e	G	b	G	8	G	b	G	8	G	b	G	8	G	b	c	8	a	b	G	8	G	b	G
b	c	C	c	C	e	8	8	8	G	G	G	G	b	b	b	b	G	G	G	G	8	8	8	8	G	G	G	a
G	G	G	G	G	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	b	G	G	G	C	G	G	0	c
e	e	e	e	e	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8
	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X
G		8	G	b	D	8	G	b	G
b		b	b	b	b	G	G	G	G
a		c	G	c	G	G	G	G	G
8		8	8	8	8	8	8	8	8
		X	X	X	X	X	X	X	X
Puc. 58.10 (продолжение)
342
В		в	в	д	в	в	в	ь	в	в	/7	6	в	в	в	6	в	в	в	b	с	в	/7	b	в	в	в	6	в
ь		в	в	в	в	а	в	а	а	b	ъ	b	b	с	с	с	в	в	в	в	в	а	а	а	а	ь	b	b	ь
а		в	в	в	в	<?	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	а	а	а	а	Z7	а	а	а	в	а	а	в
е		в	в	в	в	<?	в	в	Ъ	в	е	в	в	в	в	е	в	е	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в
		•	X	X	X	X	•	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	•
в		в	в	ь	в	в	в	ь	в	в	в	ь	в	в	а	ь	с	в	в	г	с	в	в	ь	в	в	в	ъ	в
b		в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	ь	6	ь	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в
в		в	в	в	в	ь	ь	ь	ь	ь	ъ	ь	ь	ь	ъ	ъ	ь	ь	ь	ь	ь	в	в	в	в	с	с	в	в
в		в	в	в	в	в	6	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	в	е	в	в	в	в
		X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X
с	в	в	ь	в	в	в	ь	в
4	ь	ь	ь	6	в	в	в	в
в	в	в	в	в	в	в	в	в
в	в	в	в	в	в	в	в	в
	X	X	X	X	X	X	X	X
Рис. 58.10 (окончание)
На рис. 58.10 представлена перечислительная процедура составле-
ния лексикографического списка без пропусков и повторений*). Мор-
физмы обозначены • ; отображения-морфизмы отмечаются X.
Эту процедуру перенумерации можно легко запрограммировать
для расчетов на ЭВМ.
На рис. 58.11 наглядно изображена категория групп, имеющих
самое большее четыре элемента, в этой категории всего 59 морфизмов.
Относительно этих морфизмов можно получить все возможные
подгруппы этой группы, имеющие самое большее четыре элемента. Ком-
позиция всех этих морфизмов определяется внутренним законом; он
ассоциативен и в согласии с определением (58.3) существует единица.
Пример 3. Рассмотрим множество объектов, представляющих со-
бой интервалы
Ж = (U, *), где U = [X, X'] с: [а, Ь], а £ R, Ь 6 R, (58.9)
т. е. множество замкнутых интервалов в континууме R.
U имеет структуру полного порядка для отношения
[а, Ь] < [а', Ь'1 тогда и только тогда, когда а< а' или а —а', b^b'
(58.10)
и операцию ® можно рассматривать как не всюду определенную опе-
рацию, полученную относительно отношения порядка (58.9).
*) В этом лексикографическом перечислении мы предположили, что еди-
ница единственна для всех преобразований. В расчете на разработку програм-
мы для компьютера проверьте каждое отображение на условие Г (х» у) =
— Гх *’ Гу. Это не займет много времени. Кроме того, можно значительно
уменьшить перечисление введением некоторых ограничений на формирование
подгрупп.
343
• b
MQR(Gz,Gr)
MGR(G2, Gz) ^GR(G2, g3)
•c
•6
e* » ♦<?
• c
•I
MOR(G29G4)
MOP(G3.G7)
^WP(GvG5)

• c
MOR(G3iG2) MOR(G3,GZ)	M7R(G3,fy) MM(G39G5)
HOR(G^G7)
WR(Gk.G3)

Puc. 58.11 (начало)
344
С • >"• с
b* > *Ь
• ff	• и
е • »—• в	• в
MORfG^G^)
m/KG^Sg)	wmg5,g7)
MOR(GS>GZ)
M0R(G5, G3)	GfOR(G5, G^)
c* > »g
b-^»6
ff» > »g
g« >
M0R(G5, g$)
Puc. 58.11 (окончание)
345
Каждой упорядоченной паре (<27, ^), где 30 и определены со-
гласно определению (58.9), можно сопоставить множество морфизмов
ЗСь6^-, обладающих всеми свойствами функций (см. рис. 58.12 и 58.13).
Все эти функции удовлетворяют условиям (58.1)—(58.3).
Рис. 58.12
Рис. 58.13
В этом случае множество объектов Й7, составленное всеми закры-
тыми интервалами в [а, Ь], образует категорию С для операции
соответствующей индуцированному порядку.
Аналогично можно определить категорию для областей R2, R3 и т. д.
59. Нечеткие С-морфизмы
Начнем с примера. Рассмотрим две конечные группы с четырьмя
элементами G4 и G5, изображенные на рис. 58.8 и 58.9. Для удобства
мы повторим их еще раз на рис. 59.1 и 59.2. На рис. 59.3 представлено
Рис. 59.2
\ g & й с
е	а	b	0
и	е	с	Ь
b	о	&	а
с	6	а	е
Рис. 59.1
множество MOR (G4, Gs), приведенное в качестве упражнения в
примере 2 § 58. Если морфизмы G4 в G6 обозначить через I\, i = 1,
2, 3, 4, то универсальное множество морфизмов G4 в G6 можно запи-
сать в виде
MOR (G1; G5) = {Гх, Г2, Г3, Г4}.
(59.1)
346
Сначала рассмотрим печеФкйе подмножества МорфизМов
MOR (G4, G6) в смысле Заде (т. е. принимая М = [0, 1] в качестве
множества принадлежностей), обобщение будет сделано позже. Не-
четкое подмножество MOR (G4, G6) задается как
Г = 1(^1 РФ (Г,)). (Г2|Рф(Г2)), (Г3|Рф(Г3)), (Г41 РФ (Г4))},	(59.2)
где
Ф = MOR (G4, Ga),	(59.3)
рФ (Г;) 6 [0, 1], i=l, 2, 3, 4,	(59.4)
— соответственно универсальное множество и функция принадлеж-
ностей, которыми определяется нечеткое подмножество Г.
Г7 /г гъ
MORCGfy> G5)
Рас. 59.3
Так определенное подмножество Г назовем нечетким морфизмом
G4 в G5.
На множестве нечетких морфизмов Г целесообразно определить
те же операции, которые были определены на нечетких подмноже-
ствах. Теперь можно видеть, как понятие обычного морфизма обобща-
ется до понятия нечеткого морфизма.
После этого вводного примера перейдем к общему определению.
Определение. Пусть С — категория и X, Y £ С; тогда Ъ-нечетким
Сгморфизмом X в Y будет называться L-подмножество обычных С-
морфизмов X в Y. Если обозначить множество или универсальное мно-
жество морфизмов X в Y через Ф, т. е. Ф = MOR (X, Y), то L-нечет-
ким С-морфизмом X в Y будет элемент
Ьф.	(59.5)
Этот L-нечеткий С-морфизм обозначим
Г £ I*.	(59.6)
В рассматриваемом здесь общем случае L может быть не только
интервалом [0, 1], но и, как мы указывали в § 55, обычным предпоряд-
ком, нижней полурешеткой, решеткой, кольцом или любой структурой,
удовлетворяющей (53.16)—(53.18).
Множество всех нечетких морфизмов, существующих в категории
С (множество, которое может быть конечным или нет, в зависимости
от природы С), определяет то, что называют нечеткой категорией С,
связанной с категорией С при том условии, что каждому MOR (X, Y)
ставится в соответствие определенное структуризованное множество L.
347
Чтобы изучить, что представляет собой L-нечеткий С-морфизм
(59.5), обратимся опять к примеру, приведенному в начале параграфа.
Пусть
Ф - MOR (G4, G5) и | ф| = 4	(59.7)
(см. рис. 59.3) и
L - {0, 1/2, 1},	(59.8)
т. е. здесь задан полный порядок трех числовых величин: 0, 1/2, 1.
В нашем случае существует З4 = 81 нечеткий морфизм G4 в G5
и Ьф представляет собой множество из 81 морфизма. Выпишем для
примера один из них:
Г= {(Гг|0), (Г2| 1/2), (Г3| 1), (Г4| 1/2)).	(59.9)
Композиция нечетких морфизмов*). Рассмотрим два нечетких мор-
физма rt с Ф и Г.2 с Ф, где множество Ф = MOR (X, Y), такое,
что
Г1-={Гг€Ф|/ф(Г£)бЦ,	(59.10)
Г2== {Г,-£ Ф |/Ф (Г,-) £ L}.	(59.11)
Каждое нечеткое подмножество Г; может быть взято в композиции
с каждым нечетким подмножеством Г; согласно закону композиции о,
определенному для морфизмов; это дает
Гг,; = Г;»Гг = ГЛ€Ф.	(59.12)
Тогда нечеткое подмножество
Г12 - Г2 о 1\ = {Г, I /Ф (ГА) - V (/ф (П) Л/ф (Г;))}	(59.13)
~	~	л /
определяет композицию 1\ с Г2.
Первый пример прояснит содержание этой сложной формулы.
Пример I. Вернемся к рис. 59.1—59.3 и предположим, что
L - [0, 11.	(59.14)
Рассмотрим универсальное множество
Ф - MOR (G4, G5) = {Гг, Г2, Г3, Г4},	(59.15)
Гх = {(Г, 10,5), (Г2| 0,9), (Г3|0), (Г4|0,3)},	(59.16)
Г3 = {(Гх 10,8), (Г2|0,1), (Г3| 0,5), (Г4|1)}	(59.17)
есть два нечетких морфизма.
Закон композиции ° Г; согласно определению (57.37) — это
обычный закон композиции двух отношений; с его помощью можно
рассчитать композицию каждого с каждым Г,*.
*) Там, где не возникает неясности о природе категории С и структуризован-
ного множества L, связанного с Ф = MOR (X, Y), будем вместо «С-нечеткий L-
морфизм» говорить просто о морфизме L.
348
Из рис. 59.3 можно легко видеть, что мы имеем
Г1.1 =	Гх	оГ1 =	Г1,	Гзд-Гх	° г3=Г1,
Г1 ,2 =	Г2	оГ1 =	Г1,	^3,2 ~ Г2	° Г3 - г\,
Г1,з =	Гз	оГ1 =	Гь	1\з = Гь	° Г3 = Г2,
Г1.4 =	Г4	оГХ =	г1(	Гзл = Г4	0 Г3 = rs,
Г2Д =	Гх	°г2=	Г1(	Г4|1 — Г4	°г4=гь
Г'2,'2 =	Г2	• г2=	Гх,	Г4,2 ™ Г2	’Г4 = ГЬ
^2,3~	Г3	= Г2-	Г2,	Г4,з — Г3	° г4 — Г4,
Гм=	Г4	«г2=	Г2,	Г4>4 “ Г4	°г4 = г4.
(59.18)
Чтобы облегчить понимание способа, которым рассчитывались эти
композиции на рис. 59.4, приведем пример для Г4 3 — Г3оГ4 =
= Г4.
а
Теперь для каждой упорядоченной пары (Г{, Гу) подсчитаем
Рф (ГД Л Нф (Гу):
Г1 д -- Г1,	0,5 Л 0,8 = 0,5,
	0,5 Л 0,1 =0,1,
Г1,з = Гь	0,5 Л 0,5 = 0,5,
Г1,4 = Г1?	0,5 Л 1 = 0,5,
Г2д — гъ	0,9 Л 0,8 = 0,8,
Г2|2 = Г1,	0,9 Л 0,1 = 0,1,
Г2(3 = Г2,	0,9 Л 0,5 = 0,5,
Ггд ~ Г2,	0,9 Д 1=0,9,
Гзл “ Г],	ОД 0,8 = 0,	(59.19)
Гд,2 — Г1,	ОД 0,1 = 0,
Гд,з ” Г2,	0 Д 0,5 = 0,
Гз,4 ~ Г3,	ОД 1=0,
Г4Д “ Tj,	0,3 Д 0,8 = 0,3,
Г4,2 — Г],	0,3 ДО,1=0,1,
Г4)з“ г4,	0,3 Л 0,5 = 0,3,
Г4(4 = Г4,	0,3 Д 1=0,3.
349
Далее для каждого Гк, k = 1, 2, 3, 4, подсчитаем
V (Иф(Гг) Л Нф О-
I, i
Получим соответственно
для Гх : V (0,5; 0,1; 0,5; 0,5; 0,8; 0,1; 0; 0; 0,3; 0,1) = 0,8,
для Г2 : V (0,5; 0,9; 0) = 0,9,
(59.20)
для Г3 : V (0) = 0,
для Г4: V (0,3; 0,3) = 0,3.
И, наконец,
Г1,2 = Г2оГ1 = {(Г1|0,8), (Г2|0,9), (Г8|0), (Г4|0,3)}.	(59.21)
Замечание. Разумеется, для подсчета композиции Гх и Г2 необхо-
димо, чтобы все Гг допускали композицию со всеми Гу и чтобы в ком-
позиции Гг и Гу каждое отображение rfe £ Ф получалось по крайней
мере один раз.
Пример 2. Мы покажем, что если L = {0, 1}, то формула (59.13)
приводит к обычной композиции двух обычных подмножеств морфиз-
мов.
Опять воспользуемся примером с рис. 59.1—59.3. Пусть
Гх = {(Гг 10), (Г21 0), (Г311), (Г410)} = {Г3},	(59.22)
Г2 = {(Гг|0), (Г2|0), (Г8|1), (Г4|1)}={Г3,Г4).	(59.23)
Применение установленных выше правил дает
^.,= ^ = ^={(^10), (Г2| 1), (Г8| 1), (Г4|0)} = (Г2, Г3). (59.24)
Заметим, что если Гх и Г2 содержат только по одному элементу,
то композиция Гх и Г2 приводит к обычной композиции соответствую-
щих единственных элементов с их степенями принадлежности. Таким
образом,
Г1-{(Гг|0), (Г2|0), (Г3| 1), (Г4|0)}	(59.25)
и
Г2 = {(Гг | 0), (Г21 0), (Г31 0), (Г4 | 1)}	(59.26)
дают
Гг.2 = Г2оГг = {(Гг|0), (Г21 0), (Г3 | 1), (Г4|0)),	(59.27)
что сводится к композиции Г3|4 = Г4 о Г3 = Г3.
Пример 3. Вернемся снова к’примеру 1, в котором рассматрива-
лись две группы G4 и G6, но на этот раз вместо интервала [0, 11 для
L рассмотрим конечную дистрибутивную решетку (рис. 59.5). На
рис. 59.6 представлены таблицы для операций А и V.
350
Рис. 59.5
Рис. 59.6
Рассмотрим два нечетких морфизма универсального множества
Ф = MOR (G4, G6) = {Г4, Г2, Г3, Г4},	(59.28)
Г4 = {(Г4 | Ь), (Г2 [ а), (Г31 /), (Г41 е)},	(59.29)
Г2 = {(П | с), (Г21 d), (Г31 а), (Г41 d)}.	(59.30)
Формулы (59.18) не изменятся, но формулы (59.19) станут, очевид-
но, другими, однако мы используем те же самые обозначения. Для каж-
дой упорядоченной пары (Г(, Г;) рассчитаем /Ф (Гг) А/ф (Г^):
Гх,1 = Г1	оГх-Гх,	Ь&с = а,
Гх,2 = Г2	«Гх^Гх,	bkd = b,
Гх,з=Г3	оГх = Гх,	Ь\а = а,
гм=г4	оГх = Гх,	b\d = b,
Г2Д = Гх	•Г2 = Гх,	а\с—а,
Г2|2 Г2	»Г2^Гх,	a&d = a,
Г2,з -lj	о Г2 = Г2,	а\а = а,
Г2,4 — Г4	о Г2 = Г2,	аМ. = а,
Гзд = Гх	° Г3 — гь	f\c = с,
Гз,2 — Г2	°Г3-~ гь	f\d = d,	(59.31)
Гз.з^Гз	о Г3 = Г2,	а,
Гз,4 = Г4	0 Г3 = Г3,	fAd^d,
Г4,1=-Гх	‘Г4^ГЬ	eke = с,
Г4>2 = Г2	»г4=гь	e^d = b,
гм=г3	>г4^г4,	eka = a,
Г4,4== Г4	°Г4-Г4,	cAd = b.
351
Теперь для каждого I\, k = 1, 2, 3, 4, оценим
V (/фОА/фО).
i /
Последовательно найдем для
Гх: (a Wa WaVaVcVdVcW) = (aVWcVd) = dMc = f,
r2:(aVaVa) = a,	(59.32)
T3:d,
Г4: a\b ” b.
И, наконец,
Г1(2 ^Г2 о Г1 = {(I\ | f), (Г21 а), (Г31 d), (Г41 6)}.	(59.33)
Замечание. Здесь можно сделать то же замечание, какое было сде-
лано после вывода композиции (59.21).
Пример 4. Рассмотрим опять пример 3 из § 58. Там мы имели дело
с категорией С всех интервалов [X, X'] cz la, &], а £ R, b Е R, где
морфизмы были функциями, которые 1Х, X'j cz la, 6] ставили в со-
ответствие IY, Y'] с la, Ь].
Теперь рассмотрим упорядоченную пару (Й7, ^), где 30 — (U, *),
U = IX, X'] с: (а, Ы и аналогично = (V, *), V = [Y, Y'] с:
с= [а, Ь]. Если f— функция из 30 в	будем писать
30у+^.	(59.34)
Теперь пусть Ф — множество всех таких функций f (Ф не конеч-
ное множество, но это не имеет значения). Возьмем множество L,
которое, как уже указывалось, в § 54, может быть решеткой, кольцом
и т. д.
Тогда множество Ьф определит множество L-нечетких С-морфиз-
мов
1Р = {А€Ф1МЛ)6О.	(59.35)
Теперь можно найти композицию Fi и F2:	
FiHA^lWOeL},	(59.36)
Р2=-{^€Ф|/ф(Л)6Ь},	(59.37)
используя	
	(59.38)
Таким образом,	
F1i2 = F2 = Fx = {fk I /ф (Д) --= V . (/ф (Л) Л/ф (/;))},	(59.39)
Л /
т. е. определена композиция Fx с F2.
Обобщение композиции L-нечетких С-морфизмов.
Формулу (59.13) можно обобщить. Закон композиции обычных мор-
физмов будет обозначаться о ; таким образом, 1\у=- Г, ° 1\, Ги
352
Гу g Ф — MOR (X, У). Пусть □ есть закон для L, который по пред-
положению ассоциативен:
/ф(Г|(/) = /ф(Г;)П/ф(Г^).	(59.40)
Заменим определение (59,13) на
Гм - Г3 о I\ = U {Га = Гу о Г J /ф (ГА) - /ф (Гу) □ /Ф (Г£)}.	(59.41)
*	~ ~ л /
Символ U (объединение по всем i и /, дающим k) здесь введен пото-
«7
му, что различные i и / могут привести к одному и тому же k.
В таком представлении закон композиции о обычных морфизмов
может отличаться от закона композиции, определенного в (57.39),но
поскольку рассматриваемый здесь морфизм — это С-морфизм, то, как
указано в (58.2) и (58.3), закон о ассоциативен и существует единица.
Свойства L-нечетких С-морфизмов. Исследуем несколько свойств
L-нечетких С-морфизмов.
Ассоциативность. Пусть
ГьГ3,Г3еЬф,	(59.42)
тогда
(59.43)
Доказательство довольно простое:
Г2 о гг = и {rft = Г; о Г, 11Ф (Гй) = 1Ф (Г,-) □ /ф (Гг)},
~	~	1.1
Г3 о (Г2. Гх) =-- иг {Гр = Гг О Г/г I /ф (Гр) = /ф (Гг) □ /ф (Г/г)} =
= и Г и {Гр = Г,. rft( Гй = Г;. гг | /ф (Гр) = /ф (Гг) □ (/ф (Г,) □
kti [z, /
□ Ш}|.	(59.44)
Поскольку по нашему предположению закон ° ассоциативен
(ведь мы рассматриваем С-морфизмы), то Гг о (Г; о Гг) = (Гг » Гу)» Г/,
с другой стороны, опять же по предположению,на L также определен
ассоциативный закон □, следовательно, можно записать
^.(^0^)= и [и {Гр = (ГгоГ,).Гг|/ф(Гр) =
*	I, / 1 kt I
= (U (Г/) □ (/ф (Г,)) □ /ф (Г/)}j = (Г3»Г2) о гх.	(59.45)
Существование единиц. Существует правая единица Гх £ Ьф,
где Ф = MOR (X, Y), такая что
уГсФ:Г.Гх = Г,	(59.46)
12 Зак. 461
353
и существует левая единица Гу Е Ьф, такая, что
уГСФ:ГуоГ = Г.	(59.47)
Выпишем эти единицы:
П--={Г4 = П|/ф(Гг)=1},	(59.48)
Гу=={Гг = Г°у|/Ф(Г;)=1}.	(59.49)
Можем записать
г о п = U {rft = Гу о Г£ I /ф (Гй) = /ф (Гу) □ /ф (П)} =
= и {Гй = Г, I /ф (Гй) = 1Ф (Г;)} = {Г; | /ф (Г;)} = Г, (59.50)
что фактически и доказывает утверждение (59.46).
Аналогично можно доказать утверждение (59.47).
Нечеткая категория. Так как Г g Ф — такие нечеткие подмно-
жества, что их композиция ассоциативна и в силу определений (58.2)
и (58.3) существуют левая и правая единицы, то для L-нечетких С-
морфизмов можно определить нечеткую категорию таких объектов,
как X.
Таким образом, обычная категория — только частный случай не-
четкой категории. Эту нечеткую категорию обозначим
L-	(59.51)
Обычная подкатегория. Вспомним приведенное в начале § 58 опре-
деление понятия категории.
Пусть X — множество объектов и Ф — множество морфизмов.
Если Х'сгХ и Ф' с= Ф — соответствующие морфизмы, то катего-
рия С' относительно X' будет называться обычной подкатегорией; в
этом случае будем писать
С' cz С.	(59.52)
Нечеткая подкатегория. Если X — множество объектов и 1ф —
множество нечетких морфизмов и если X' cz X и Ф' cz Ф, то нечеткая
категория L~, связанная с X', называется нечеткой подкатегорией.
60.	Упражнения
V	. 1. Пусть Et = {0, 1, 2, 3} и Е2 = {а,	с}; выписать все элементы мно-
жеств Ej X Е8 и Еа X Ei.
V	.2. Пусть Et — {0, 1, 2), Е2 = {4, 5), Е3 = {9, 10, 11}; выписать все
элементы множеств a) Ei Ф Е2, б) Ех X (Е2 Ф Е3), в) Et Ф (Е2 X Е3).
V	.3. Пусть Ех = {0, 1/2, 1} и Е2 = {а, Ь}; выписать’все^элементы множеств
a) Ef1, б) ЕЕг.
V	.4. Пусть Е = [а, &]] с R, L= [0, 1]; описать a) LE и б) Еь.
354
V.5. Пусть L ~ {О, 1, 2} и
модулю 3)
* есть следующий закон на L (сложение по
Определите закон * на LE, когда а) Е = {А, В}, б) Е = {А}, в) Е = {А,
В, С}. Для каждого из множеств Е в а), б), и в) определите, будет ли закон *
ассоциативным, коммутативным, идемпотентным.
V	.6. Для восьми изображенных ниже решеток определите, какие из них
1) модулярные 2) дистрибутивные, 3) с дополнениями, 4) булевы.
Постройте диаграммы Хассе для следующих решеток:
а) ^*1 X Lj, б) Lj X Eg, в) Lj х Е3, г) Lj X Li X L*, д) L2 X L3.
Какие из полученных пяти решеток а) дистрибутивные, б) с дополнениями,
в) булевы, г) векторные, д) лексикографические?
12*
355
V.8. Для изображенной нижней полурешетки постройте диаграмму Хас-
се для
lA где Е = {А, В, С}.
6 С
V.9. Пусть три отношения порядка представлены следующими диаграмма-
ми Хассе:
а
и дано универсальное множество Е — {х1(
ниваются в Lx, х8 оценивается в L2, х4 —в
Для четырех нечетких подмножеств
х2, х3, х4, х5}, где х1( х2 и х& оце-
Lg.
27	8	а		А
Е	Л	е		0
выпишите матрицу относительных и обобщенных расстояний Хемминга, соот-
ветствующих упорядоченным парам (Х$, ХД
V.10. Даны четыре множества Ё$, наделенные соответственно законами
♦I, i = 1, 2> 3, 4:
а	а
а	b
Пусть
Hj=(Ei, *i), Н2 —(Е2, *2), Н3 = (Ед, *д), Н4=(Е4, *4).
Определите морфизмы
MOR (Нь Н>), i, / = 1, 2, 3, 4.
Какие из этих морфизмов эпиморфизмы, мономорфизмы, изоморфизмы, эн-
доморфизмы, автоморфизмы?
356
V	.11. Для трех представленных ниже решеток определите морфизмы
MOR (Lb L;), i, / = I, 2, 3,
и определите, какие из них эпиморфизмы, мономорфизмы и т. д.
V	.12. Рассмотрим универсальное множество морфизмов
Ф2>3 = MOR (Н2, Н3),
где (Н2, *2) и (Н3, *3) те же, что и в упражнении V.10. Пусть
L = {0, 1/2, 1}.
Определите С-нечеткий L-морфизм Ьф*»».
V	.13. Рассмотрим пример на рис. 59.1—59.3. Решетка L изображена в тек-
сте этого упражнения. Пусть заданы два нечетких морфизма 1\ и Г2 универ-
сального множества:
Q = MOR (G4,	Г2, Г3, Г4},
£1= {(Гх |а), (Г2|с), (Г3|е), (Г4|а)},
Г2={(Г1|Ь), (Г2 I а), (Г3 | а), (Г4 j d)}.
Определите результат композиции
а) ГеГ2, б) Г2оГ\ и в) £? —£1°£з°£з*
Приложение А
Общая схема доказательств для операций,
связанных с max и min
В различных местах книги мы обошли некоторые доказательства,
касающиеся операций «максимальный из...» или «минимальный из
...». Это было сделано в связи с тем, что такие доказательства можно
получить как непосредственные следствия из свойств верхней или/и
нижней границы решетки.
Пусть Д — операция взятия нижней границы, а V — верхней
границы двух элементов (Хь Х;) решетки. В решетке выполняются
357
ЧбтЬфе двойственных свойства этих операций, рассмотренные в (54.2)—
(54.9):
ХгЛХг-Х,ДХг,1 1 коммутативность XiVXJ = X;VXfJ Хг A (X; АХЙ) = (Хг АХ,) АХЙ,) 11	\ ассоциативность XiV(X,VXft) = (XiVX,)VXft, ) ХгАХг = Хг,) 1 идемпотентность ХгУХг= XfJ XiA(X/VX,) = Хг,1 J	1 поглощение Хг У(Хг АХ,) = Хг. /	(А.1) (А.2) (А.З) (А.4) (А.5) (А.6) (А.7) (А.8)
К тому же, если решетка дистрибутивная [см. (54.18) и (54.19)1, то
справедливо и свойство
Хг V (X, АХЙ) = (Хг VX,) А (Хг V Х„), 1	л J *'	77	} дистрибутивность Хг А (X, V Xft) = (X, АХ,) V (Х; AXh). /	(А.9) (А.10)
Если решетка с дополнениями [см. (54.20), и (54.21)], то справед-
ливо и свойство
ХгДХг = 0, ]	(А.11)
I дополнительности
XtVX, = U. J	(А. 12)
Рассмотрим несколько примеров систематического доказательства
различных формул.
Случай L = [0, 1] охватывает все нечеткие подмножества в смыс-
ле Заде.
Вполне упорядоченное множество [0, 1] представляет собой дис-
трибутивную решетку, но без дополнений. Следовательно, все свойст-
ва (А.1)—(А.10) удовлетворяются и А можно обозначить через Д, а
V — через V! нижнюю границу можно называть минимумом, а верх-
нюю границу — максимумом.
Пусть мы хотим доказать равенство (7.24), т. е.
А П (В U С) = (А П В) U (А П С).	(А.13)
Для этого надо проверить, что для Vx;, х}, хк £ Е
На (х.) Л 1Нв (х,) V Нс(х{)] = фд (xt) Д Цв (х,)] V
V [Нд(хг) Д Нс(Хг)].	(А. 14)
А так как L — дистрибутивная решетка, то это равенство справедли-
во.
Рассмотрим более сложный случай и докажем свойство дистрибу-
тивности (13.15):
Я »и ж2) = G? • ^1) и G? • Ж2).	(А.15)
Это равенство справедливо, если для
V*i€Eb V^6E2, yzft€E3
358
и отношений
X/ У] У>1 Zk. У}^>2 %k
выполняется
Ня о (г, и #,) (*i, Zfc) = Ня о Si (xt, zk) V Ня о £, (%i, zk). (А.16)
Распишем члены уравнения (А.16):
Ня о и £,) (К, zh) = [ня (xt, Ух) Д (н«, (У1, zh) V H<g, (У1, *л))1 V
V [Ня(хг. У2) Л (Н£, (у2, ?k) V №,(у2, Zfe))l V-
V (Ня (Xi, уп) Л (н^, (уп, zh) V Н£, (уп, zft))[,	(А. 17)
Ня о (Xt, zk) = [ря (xit у,) Д н^ (У1, zk)] V
V (Ня (Xi, у2) /\ Hg. (у2, Zft)l]V- V (Ня (Xi, уп) Л Н£, (Уп, Zft)l, (А.18)
Ня о £, (Xi, zk) = [Ня (Xh У!) л №,(У1, zft)] V
V (Ня (Xi, у2) fw, (у2, zk)] V -V (Ня (Х{, Уп) Л Hg, (Уп, Zk)]. (А.19)
Для упрощения записи положим
Па = Ня (Х|, «/а), &₽ = Hf, (*/₽» Zh), CY = H^.,(l/v, Zft),
а, p, у= 1,2,..., n.	(A.20)
Тогда отношения (A.17)—(A.19) можно записать в виде
Ня о «г, и^.) (xt, zh) = [at Д (bi V Ci)l V [o2 A (b2 V c2)l V
V - V («п A (bn V cn)J.	(A.21)
Ня о «, (xt, zk) =-- (ax A b^ V (a2 A b2) V - V («n A bn),	(A.22)
Няо£,(хг, 2Л) = (аг A Ci) V («г Л Сг) V-V (ап Л cn).	(А.23)
Теперь в силу ассоциативности операции \/ имеем
Ня о ж, (xh zk) V Ня о х, (хь zk) = [(ах A bj V («г Л Ь2) \/
V--V (ап Л &п)1 V [(«1 Л Ci) V («г Л о2) V-V («п Л сп)1 =
= [(«1Л bi) v (oi Л 01)1 V [(о2 Л ь2) V [(о2 Л с2)[ V •••
- V [(On Л bn) V (On Л с2)].	(А.24)
Сравнивая соотношения (А.21) и (А.24) и используя свойство дис-
трибутивности
Д (Ь& \/ Са) = (С1а Д &а) \/ (ца Д Са), ОС — 1,2,..., /1, (А.25)
действительно имеем
о (<gt (J ££,) (Xii %k) ~ Н2 °	V о <5?!	^k)
o£t) и (^о^) (xz, гЛ),	(А.26)
что и доказывает справедливость равенства (А. 13),
359
Проведем доказательство (13.16), т. е. докажем, что закон ° отно-
сительно операции пересечения не дистрибутивен:
Я. (Ж1 Л ¥> Р? • Zi) П С? • /2).	(А.27)
Воспользуемся теми же обозначениями, что ив (А. 13). Поскольку
надо доказать, что для некоторых А, В и С свойство дистрибутивности
не выполняется, то мы ограничимся универсальным множеством, в ко-
тором а, р, у = 1, 2 в (А.27). Имеем
Ня о (£, п £,) (xt, zft) = [а! Д (6X Д cx)J V [a2 A (62 A c2)l =
= («1 A bi Д cx) V («2 A b2 Л c2),	(A.28)
Ня о (Xt, zh) А Ня о г, (Xit zk) = [(а/A 6X) V (Оз A MJ V
V 1(01 A Cl) v («2 A c2)].	(A.29)
Надо показать, что (A.28) и (A.29) — это разные величины; для этого
запишем
Ня о (£t Л £.) (хь zk) = (01 V о2) А (01 V 6г) А (01 V Сг) А (а2 V 61) А
~ A~(61 V 6г) А (61V Сг) А (ог V Cl) A (62 V Cl) A (Cl V с2), (А.ЗО)
Ня (Xlt zh) л Ня о £, (xh гк) = (ах V о2) A («i V 62) А
А(оа V 61)А(&1 V 6г)А(01 V Ог)А(О1 V с2) А (о2 V Cl) A (C1VC2). (А.31)
Теперь справедливость неравенства устанавливается в результате
сокращений, так как
Oi V Ог^(61 V С2) А (6г V Ci)-	(А.32)
Приложение Б
Разложение на максимальные подотношения
подобия
Проблема разложения отношения сходства на максимальные под-
отношения подобия, когда отношения сходства (или соответствующее
понятие расстояния) не позволяют получить классы подобия для рас-
стояний, меньших или равных заданному, связана с проблемой полу-
чения обычных максимальных плоских подграфов соответствующего
обычного графа. Для этого в нашем распоряжении имеется несколько
алгоритмов, приведем два из них. Первый принадлежит инженеру
Мальгранжу*).
*> Мальгранж — выдающийся инженер, слишком рано умерший. Он был
одним из моих друзей в Machines Bull. Мальгранж разработал этот алгоритм для
решения на компьютере различных задач на покрытия, возникающих в теории
графов. См., например, «Graphs, Dynamic Programming and Games» by A. Kauf-
mann (Academic Press, New York, 1967).
360
Сначала рассмотрим этот алгоритм для более общего случая, а
затем вернемся к частному случаю, который нас особенно инте-
ресует.
Алгоритм Мальгранжа. Получение максимальных полных подмат-
риц или главных подматриц. Описание этого алгоритма требует вве-
дения некоторых предварительных определений.
В матрице с бинарными элементами (0 или 1), т. е. в булевой матри-
це, задающей граф (а точнее, граф Бержа), полной подматрицей на-
зывается подматрица, все без исключения элементы которой равны 1.
Основной подматрицей (говорят также «максимальной полной под-
матрицей») называется полная подматрица, не содержащая никакой
другой полной подматрицы. Например, на рис. Б.1 представлены семь
основных подматриц матрицы [М]. Покрытием булевой матрицы назы-
вается множество полных подматриц, покрывающих все единичные
значения этой матрицы.
А
[//] -В
0
В
а b с d е f
О	7	О	1	7	7
7	О	7	О	О	О
0	7	О	7	7	О
О	7	1	О	О	7
ь г
А 7 7	<7 О b С f
Л |7]7| В |7|/| Л |7|7|7|
b d е
b d е В д
A |Z|Z|7|7| С
ь
а Е
С 1
л z
с
Рис. Б.1
Пусть L — множество строк и J — множество столбцов булевой
матрицы. Каждая полная подматрица определяется упорядоченной
парой обычных подмножеств (Ip, Jg), где Ipcr I, Jgc J. Можно пока-
зать, что операции J и Q , которые двум полным подматрицам буле-
вой матрицы [М], скажем,
[MJ, определенной посредством (Ix, JJ,	(Б.1)
[М2], определенной посредством (I2, J2),	(Б.2)
ставят в соответствие две подматрицы:
[MJ j [М21 = [М'1, определенную упорядоченной парой
(lx U 12. Л П Ja),	(Б.З)
[MJ П 1М21 = [М"[, определенную упорядоченной парой
(к П k Ji U J2),	(Б.4)
361
есть внутренние операции на множестве М полных подматриц матри-
цы [М].
Поочередное применение описанных ниже правил до тех пор, пока
не сформируются все полные матрицы покрытия*)
С = { [МД [МД [Мр]},	(Б.5)
позволит получить основные подматрицы матрицы [М] за конечное чис-
ло итераций.
Первое правило. Вычеркиваем все матрицы [МД содержащиеся
в других подматрицах покрытия С.
Второе правило. Добавляем к С подматрицы, полученные приме-
нением определенных выше операций j и П ко всем парам матриц
[MJ и [MJ, входящим в покрытие (кроме полных подматриц, которые
уже содержатся в подматрицах покрытия С, что исключает бесконеч-
ный процесс).
Пример. Найдем основные подматрицы булевой матрицы на
рис. Б.1.
Этап 1. Выберем покрытие
b d е f	ас	д d е	b с f
r^^|/|7|z|zl, [tfzW0ZL	[/frWPWl-
(Б.6)
Этап 2 (второе правило).
Подсчитаем объединения и пересечения:
I, U 1а= {А, В}, J, П J2= 0,	(Б.7)
k U 18 = {А, С}, Л П Js = {b, d, е},	(Б.8)
откуда получим новую подматрицу
<5 d е
7	7	7
7	7	7
li и U = {A, D}, J, n J4 = {b, f} (Б.10)
и новую матрицу
	ъ		
	7		(Б.П)
Л	7	г	
*) Символ С ранее использовался для обозначения категорий, но мы не
думаем, что может возникнуть какая-нибудь путаница между этими двумя по-
нятиями, хотя они и обозначены одной и той же буквой.
362
>2 U к = {В. С}, J2 n J3 - 0,	(Б.12)
к U к = {В, D}, J2 П J* = {с},	(Б.13)
что дает новую матрицу
[/Г7] =#Г7
л 7
(Б.14)
I3 и к = {С, D}, к п к = {Ь},	(Б.15)
что дает новую матрицу
E4W[7
Л 7
(Б.16)
Так как все пересечения !г f] ly, V7, /, пустые, то бесполезно под-
считывать J; U к-
Этап 3 (первое правило).
Выпишем новое покрытие
С' = { [MJ, [М2], [М4], [МБ], [Мв], [М7], [М8]}.	(Б.17)
Матрица [М31 содержится в [MJ и потому не включена в покрытие С'.
Этап 4 (второе правило).
С дидактической целью приводим все детали расчетов, не исключая
вычислений даже тех матриц, которые уже были получены или ока-
зываются пустыми:
k и к = {А, С}, к и к = {A, D}, к U к = {А, В, D}, к U к = {А, С, D},	к П -к = {b, d, е}, дает [М6],			(Б.18) (Б.19) (Б.20) (Б.21)
	к П к = {&, f}, Ji A ” 0»		дает [Мв],	
	А ^8 “	{&}.		
Отсюда получаем новую подматрицу				
	ь			
	4 7			
		>		ГБ.22)
	П 7			
к U к = {А, В, С},	*^2 А ^5 ===	0,		(Б.23)
к U к= {А, В, D},	J? A Jg ~	0.		(Б.24)
363
2 и Ь = {В, D}, Ja п j7 = {с}, дает [М71;	(Б.25)
2 U 18 = {В, С, D}, Ja П J,= 0,	(Б.26)
4 U	I6 =	{А, С, D},	J4	П Л	= {Ъ},	дает	[MJ;	(Б.27)
4 U	I6 =	{A, D), J4	Л	J. =	{b, f},	дает	[М.1;	(Б.28)
* U 1,= {В, D}, J4 Л J7 = {с}, дает [М71;	(Б.29)
4 U	18 =	{С, D}, J4	л	J8 =	{6}, содержится в [MJ;	(Б.ЗО)
б U	=	{А, С, D},	J5	П J.	= {&},	дает	[М91;	(Б.31)
Б U 17 =-• {А, В, С, D}, J5 Л J7 = 0,	(Б.32)
в U	18 =	{А, С, D),	J5	fl	J8	=	{&},	дает	[MJ;	(Б.ЗЗ)
в U	I? =	{А> В, D},	Jg	Л	J7	=	0,	(Б.34)
• U	Ii =	{А, С, D},	Je	Л	J8	=	{b},	дает	[Мв1;	(Б. 35)
7 и	18 =	{в, С, D},	J7	n	J8=	0,	(Б.36)
! Л	h =	{A},	Ji	U	J5 =	{b,	d, е, f},	дает	[MJ;	(Б.37)
! п	l| =	{A},	Ji	U =	{b,	d, е, fl	дает	[MJ;	(Б.38)
1 Л	17=	0,	h	Л	18=	0,	(Б.39)
а Л 18 = 0> 18П1в=0»	(Б.40)
г Л	17 =	{В},	J2	U	{в,	с}, дает	[MJ;	(Б.41)
2 Л h = 0. h Л >б= 0.	(Б.42)
4 Л	1« “	{D}>	h	U	Je =	{b, с, fl	дает	[М.1;	(Б.43)
4 Л	Ь =	{D},	J4	U	J? =	{Ь, с, f},	дает	IMJ;	(Б.44)
4 Л	18 =	{D},	J4	U	J8 =	{b, с, f},	дает	[MJ;	(Б.45)
б Л	1в =	{A},	J8	U	J« =	{b, d, е, f}, дает [Мх1;	(Б.46)
бЛЬ=0.	(Б.47)
б	Л	h	=	{С},	J4	U	J8 =	{b, d, е}, содержится в [MJ;	ГБ.48)
в	Л	I7	=	{D},	J«	U	J7 =	{b, d, f}, дает [MJ;	(Б.49)
в	Л	I8	=	{D}.	Je	U	I8 =	{b, fl содержится в [М.1;	(Б.50)
7	Л	I8	=	{О}>	«Ь	U	Л =	{b, с), содержится в [MJ.	(Б.51)
Этап 5 (первое правило).
Выпишем новое покрытие
С' = {[MJ, [М21, [MJ, [MJ, [MJ, [М71, [М91>,	(Б.52)
матрица [М8] исключена, так как она содержится в [MJ.
364
Этап 6 (второе правило).
Из проведенных расчетов^ пересечений и объединений видно, что
невозможно найти полную подматрицу, которая не совпадает с какой-
нибудь матрицей из предыдущего покрытия или не содержится в ней.
Таким образом, мы получили следующее множество основных подмат-
риц покрытия:
(Б.53)
Поиски максимального подотношения подобия. Перейдем к прило-
жению алгоритма Мальгранжа для поисков максимальных подотно-
щений подобия.
В качестве примера рассмотрим обычный симметричный и рефлек-
сивный граф на рис. Б.2, а\ мы хотим найти в соответствующей буле-
вой матрице (рис. Б.2, б) основные подматрицы, которые составят ее
покрытие. Те из основных подматриц, которые имеют квадратную фор-
му, и дадут искомые подотношения.
Рис. Б.2
Чтобы начать с полных подматриц, которые априори можно рас-
сматривать как довольно близкие к искомым («близкие» из эвристи-
ческих, не требующих строгого обоснования, соображений), сначала
представим строки и столбцы матрицы так, чтобы, строки — сверху
вниз, а столбцы — справа налево были упорядочены по числу содер-
жащихся в них единиц. Это даст матрицу на рис. Б.2, в.
365
Этап I. Выделим следующее покрытйе:
a d f b
а
f
b
7	7	7	7
7	7	7	7
7	7	7	7
7	7	7	7
a d с	f е
["г]=^333 ’ feWR/l
(Б.54)
С
а z	е
[/у4]=У2_ , [^>^[3
с [7j е [7]
Этап 2 (второе правило)
к и	I2 — {a, d, f, Ь, с}, Г) J2	= {a, d},	(Б.55)
откуда	получаем новую подматрицу		
	а	(7	
	а 7	7	
	с7 7	7 7 7	(Б.56)
	С 7	7	
к и	к= 0.		(Б.57)
к и	I3 = {a, d, f, b, е}, Jx П J3	- {f},	(Б.58)
откуда получаем новую подматрицу
f
а 7
2-
е 7
(Б.59)
к Л I.= 0,
к U к = {a. d, f, b, с), Jx П J4 = 0.
к Л к = {«> d}, Ji U J4 = {а> d, f, b, с}.
Получаем новую подматрицу
(Б.60)
a f Ь с
М = 17	7	7	7	7 ,	7
d	7	7	7	7	7
(Б.61)
k U I5 = {a, d, f, b, е}, АПА=0.	(Б.62)
к П к = Ш,	J1 U J8 = {a, d, f, b, е},
366
откуда получаем новую подматрицу
a d f Ь е
[%] = ^[7|7|7|7|7|	;
(Б.63)
I2 U 13 = {с, е}, J2 П Ju = 0>
12 Л Ь= 0.
I2 U 14 = {«> d, с}, J2 П J4 = {с}, дает [MJ;
12 Л 14= {с}> J2 U J4 = {«> d, с}, дает [MJ;
I2 U 16= {с, f, е}, J2 П J5= 0;
12 Л 1В=0;	(Б.64)
13 и I4 = {a, d, с, е}, Js л J4 = 0;
i3 Л 14 = 0;
I| U I5 = {А е}> Js П Js = {е}’ дает [MJ;
I® П I5 = {е}. j3 U J5 = {А ё}, дает [М31;
I4 и 15 = {д> d, с, е, f}, J* л J5 = 0;
I4 Л 16= 0-
Этап 3 (второе правило). Выпишем новое покрытие*’
С' = { [MJ, [MJ, [MJ, [MJ, [MJ, [MJ, [MJ, [MJ, [MJ}. (Б.65)
Этап 4 (первое правило).
h U	1в =	{«> d,	f,	b, с}, Jx П Je = {a, d} дает LM6],
I2 Л	I« =	{«> d,	f,	b}, Ji U J6 = {a, d, f, b} дает [MJ,
k U	I? =	{a> d,	f,	b, e}, J4 Л J7 = {/} дает [MJ,
Ii Л	I? =	{a, d, f, b},	Jr	(J	J7 =	{a, d, f,	b} дает [MJ,
Ii U	Is =	{a> d, f, b},	Ji	Л	J8 =	{a, d, f,	b} дает [MJ,
Ii Л I8 = {a> d}, Ji U J8 = {a, d, f, b, с} дает [M8J,
A U	I» =	{a, d, f, b},	Ji	Л	J9 =	{a, d, f,	b} дает [MJ, (Б.66)
Il Л	I9 =	{/}. J1 U J9 =	{«> d, f,	b, e} дает [MJ,
I2 U	Ie	=	{a, d,	f, b,	c},	J2 П	Je = {«, d}	дает [MJ,
I2 Л	I«	=	{c},	J2 U	Je	=	{«, d, с} дает [MJ,
I2 U	I7	=	{^> d,	f, b,	ё, c},	J2	Л J? = 0>
12 Л	I7	=	0>
12 U I8 = {a, d, c}, J2 л j8 = {a, d, c}
*) Отметим, что для частного случая симметричных булевых матриц алго-
ритм можно упростить, но из дидактических соображений мы предпочли ис-
пользовать первоначальный алгоритм.
367
дает новую подматрицу
(Б. 67)
12 П 18 = 0,
12 и 1|= {с> /}> J2 П J8 = {а> d} содержится в [М6],
h Л 18= 0,
Is и 1в = {«» d, f, b, с, е}, J8 n Je = 0,
Is Л Ie = 0,	(Б.68)
Is U Ij = {a, d, f, b, e}, J3 Г1 J7 = {/} дает [M7],
I3 Л I7 = {*?}, Js U J7 = {A e} дает [Ms],
Is U I3 = {«> d, e}, J3 П J8 = {fl содержится в [M7],
Is Л Is = 0,
Is U I» = {f, e}> П J8 ~ {f> e}
дает новую подматрицу
f e
e 7 7
(Б.69)
Is Л I8= 0
I4 U Ie = {a, d, f, b, c}, J4 Л Л = 0>
I4 Л Is = {a. d, c}, J4 (J Je = {«> d, с} дает [Mlo],
I4 U	I7 =	{a. d, f,	b,	c, e}, J4 П J7 = 0
I4 Л	I7 =	{«, d}>	J4	U J7 = {А с} содержится	[MJ,
I4 U I8 = {a. d, c}, J4 П Js = {с} Дает [MJ,
I4 Л	I8 == {a, d},	J4	U Js = {a. d, f, b, с}	дает	[Ms],
I4 U	I8 =	{a, d, c,	f}, Jt Л J9 = 0,
I4 Л	I8	=	0.
I6 U	Is	=	{a, d,	f,	b,	c, e}, Js Л Je = 0,
IB Л	I«	“	{f}<	Js	U	Js = {«, d, e} содержится в [M9],
IB U	I7	=	{a, d,	f,	b,	e}, JB Л J7 = 0,
IB П	I7	==	{f, e},	JB	U J7 == {/, e} дает [Mu],
Is U Is = {«> d, f, e}, JB f] J8 = 0,
Is Л Is = 0>
368
I# U l,“ {f. e}, J8 f] Jg = {e} дает [MJ,
IB П I» = {/}, Jg U Jg = {«> d, f, b, e} дает [MJ,
Ig U	I?	= d,	f,	b, c, e), Jg П J7 = 0,
le П	17=	{fl, d,	f,	b}, Jg U J7 = {a, d, f}	содержится в (MJ,
Ig U	h	=	{fl> d,	f,	b, c}, Jg П J8 = {a, d}	дает	[M«],
lg Л	I8	=	{a, d},	Jg U J8 = {a, d, f, b, с}	дает	[M8],
(Б.70)
Ig U I9 = {a, d, f, b, c}, Jg П J9 = {a, d} дает [MJ,
Ig fl	I9	=	{/}. Jg U	Jg	= {a, d, f, b, e}	дает	[MJ,
I7 U	I8	=	{a, d, f, b,	e}t	J7 П Jg = {/}	дает	[MJ,
I7 fl h = {«, d}, J7 U Jg = {я, d, f, b, с} дает [M8],
I7 U	Ig	=	{fl, d, f, b,	e},	J7 (1 J9 = {/}	дает	[M7],
I? Л	!9	=	{/}• J? U	Jg	= {°, d, f, b, e}	дает	[M9],
Ig U Ig = {fl, d, f}, J8 П J9 = {a, d, f, b} содержится в [MJ,
I8 П I» = 0-
Этап 5 (второе правило). Выпишем новое покрытие
С'= { [MJ, [MJ, [MJ, [MJ, [MJ, [М101, [Ми]}.	(Б.71)
Мы исключили подматрицы [Ма], [MJ, [MJ, [MJ как содержащие-
ся в других подматрицах покрытия (Б.71).
Этап 6 (первое правило). Читатель может удостовериться в том,
что новых матриц получить больше нельзя. Итак, покрытие С" (Б.71)
состоит из следующих основных матриц:
a d f b
a
M
f
b
7	7	7	7
7	7	7	7
7	7	7	7
7	7	7	7
a d
№
7_
7
а У f b
\M8\ = d
7	7	7	7	7
7	7	7	7	7
(Б.72)

b
e
f b е
f e
e 7 7
В этом покрытии содержатся три квадратные подматрицы [MJ,
[М10] и [Мп]; они дают три непересекающихся подотношения. На
рис. Б.З представлены эти три подотношения, ни одно из которых не
содержится в другом.
369
Заметим, что Выявление матриц [Мс] = [М8]' и [М7] = [М8]' небес-
полезно, ими обеспечивается «стыковка» между подотношениями.
Другой, более быстрый метод*). Алгоритм Пиша. Этот метод при-
годен исключительно для симметрических квадратных матриц, кото-
рые представляют для нас особый интерес.
с
а
Рассмотрим верхнюю треугольную матрицу, такую, например, как
на рис. Б.4.
Поочередно в каждой строке матрицы выделим нули. Рассматри-
вая элементы матрицы как булевы переменные, свяжем булевым зна-
ком суммирования + индекс строки и индексы столбцов, в которых
Рис. Б.4
находятся нулевые элементы этой строки, и полученные суммы объе-
диним знаком булева произведения •, причем, если в строке нет
нулей, будем считать, что сумма равна 1.
Упростим получившееся в результате произведение**), приведя его
к максимальной форме. Для каждого слагаемого в этой форме возьмем
♦> Метод предложил М. Е. Пиша (М. Etienne Pichat), профессор Института
информатики предприятий, Национальной консерватории искусств и ремесел
в Париже.
**) Используя для этого следующие правила упрощения булевых выраже-
ний: X + X = х, Х-Х = X, х+ ху = X.
370
его дополнение. Таким образом получим максимальные подотноше-
ния, устанавливающие покрытие.
Рассмотрим пример на рис. Б.2, для которого верхнетреугольная
матрица представлена на рис. Б.4.
Для строки
а получим a -j- е,
b	«	b 4- се,
с	«	с 4- е],	(Б.73)
d	«	d 4- с,
е	«	1,
f	«	1.
Теперь имеем
S = (а4е)’(^ + се),(с+е/),(^+е)' 1 * 1 = (а+е)-(64се),(с+е/),(^+е) =
= (ab-±ace+bej-ce) (c±ef) (d±e) =
= (abc+abefj-ce+cef±bcej-bef) (d±e) = (abc-j-befj-ce) (d±e) =
= abcdj-abcej- bdef-j- bef-j-ced±ce = abed 4 bef^-ce.	(Б.74)
Подсчитаем сумму S', в которой слагаемыми будут дополнения
соответствующих слагаемых суммы S. Получим
S' = ef 4- «cd 4- abdf.	(Б.75)
Это дает нам три подмножества
{е, f}, {а, с, d}, {a, b, d, f},	(Б.76)
которые определяют основные подматрицы, составляющие покрытие
(см. [MJ, [М10] и [Ми] в (Б.72)).
Замечание. Если нас интересуют элементы, общие для попарно не
содержащихся друг в друге отношений, то их можно получить непо-
средственно, подсчитав пересечения
{е, f} Л {«, с, d} = 0,
{а, с, d} Л {a, b, d, f} = {a, d},	(Ъ.П)
{a, b, d, f} Л {г, f} = {f}.
Поиск максимальных подотношений подобия в нечетком предпо-
рядке J?. Любой из двух предыдущих алгоритмов можно использовать
для определения этих подотношений. Достаточно рассмотреть соот-
ветствующую булеву матрицу Я, такую, что
Ря (я, У) = Ря (У, х) = 1, если ря (х, у) = Ря (у, х) > О, (Б.78)
если ря (х, у) Ф ря (у, х)
или Ця (х, у) = Ря (у, х) == О,
и
Ря (X, у) = О и Ря (у, X) = О,
(Б.79)
371
Пример. Рассмотрим еще раз пример, приведенный на рис. 21.3,
который мы повторили на рис. Б.5. Здесь выписаны булева матрица,
соответствующая отношению Л, и полученная в соответствии с (Б.78)
и (Б.79) матрица Я.
	А	в	о	в	$	А	в	С	17
А	7	ол	ОЛ	ол	А	7	7	О	0
В	0,2	7	ОЛ	ОЛ	В	7	7	7	7
с	0,5	ол	7	ол	О	О	7	7	О
и	ОЛ	ол	ол	7	п	О	7	О	7
Рис. Б.5
Используем второй метод. Имеем
S = (а-4-cd) (c^-d) — ac+ad + cd.^-cd = ac-^-ad-^-cd,	(Б. 80)
S' = bd±bc±ab.	(Б.81)
Таким образом, в этом предпорядке имеется три максимальных
подотношения подобия, определенных на обычных подмножествах:
{&, d}, {b, с} и {а, Ь}.	(Б.82)
Эти подотношения приведены на рис. 21.3.
Заключение
Назначение т. I состоит в том, чтобы определенным образом провес-
ти для читателя «рециркуляцию» булевой математики, о которой, под-
ражая Альфреду Мюссе, можно сказать, что в ней «нужно, чтобы дверь
была или открыта, или закрыта». Разумеется, на этой стадии желание
читателя узнать, как применить теорию к практике, оказывается не-
удовлетворенным. Этот вопрос предполагается осветить в следующих
томах. Однако уже в библиографии этой книги читатель найдет спи-
сок статей, в которых упоминаются и развиваются такие приложения.
Можно не сомневаться, что они весьма многочисленны и будут появ-
ляться в еще большем количестве. Человек мыслит иногда глобально
(не последовательно, а цельным образом), иногда логически (после-
довательно), а чаще всего смешивая эти способы мышления. Почти
все машины для обработки информации организованы последователь-
но и предназначены для обработки программ (за исключением анало-
говых машин и некоторых гибридных систем). Теперь везде работают
над построением информационных систем, у которых внешние и вну-
тренние блоки всех видов выполняют свои задачи параллельно. По-
этому необходимо, чтобы мы заново изучили природу с ее удивитель-
ными секретами генетических кодов, памяти или нейробиологической
структуры, а также природу процессов хранения и обработки инфор-
мации на уровне нейронов, нервных клеток, синапсов, дендритов,
еще недостаточно изученных нами.
Путь, предложенный Заде, сопряжен с трудностями, как, впрочем,
и все пути, ведущие к очень плодотворным обобщениям.Но дверь от-
перта: запрет на моделирование и анализ мышления чем-нибудь иным,
кроме булевой логики, снят. Прошло вот уже более 130 лет с тех пор,
как Г. Буль опубликовал в обстановке общего безразличия свою фун-
даментальную работу о законах мышления; и только за последние 20
лет булева алгебра начала использоваться инженерами и вошла во все
учебные разработки: от детских садов до университетов. И что же,
теперь все поставлено под вопрос? Вовсе нет! Булева алгебра всегда
будет полезна там, где требуется точность вычислений и используют-
ся логические предикаты. Благодаря Заде она получила неограни-
ченно широкое толкование, уходящее своими корнями в теорию мно-
жеств, т. е. ту же булеву теорию, но представленную несколько другим
образом. Вслед за Заде Гоген открыл еще одну дверь, сделав доступ-
ными области, в которые можно попасть, только сняв часть ранее
существовавших запретов, но и там есть свои двери в области более
обширного исследования изумительной и бесконечной неизведанности
математики.
В т. I опущено несколько вопросов, которые должны были быть
освещены. Я отказался от них с большим сожалением, но в противном
373
случае не хватило бы места для основного материала. Например, не
рассмотрены выпуклые нечеткие подмножества, нечеткая топология,
нечеткая препозиционная логика, нечеткие события и др. Я по-
пытаюсь включить эти вопросы в следующие тома.
Должен повторить, что настоящая работа элементарна, предназ-
начена для людей, которые интересуются прикладными аспектами
науки. Эта книга дидактическая, и автор не претендует на то, чтобы
она вносила новый вклад в теорию. Однако книга должна дать бога-
тые новые идеи инженерам и всем тем, кто все больше ощущает
потребность в использовании математики для решения своих проблем.
Я хочу выразить одно очень искреннее желание. Надеюсь, что мои
читатели, ознакомившись с моей скромной работой и заинтересовав-
шись ею, пойдут дальше, а затем еще и еще дальше. Гуманитарные
науки нуждаются в математике, соответствующей нашей человеческой
природе, нашим нечетким утверждениям, нюансам поведения, меркам
и нашей многокритериальности. Если эта книга заинтересовала чита-
телей, то должны появиться многочисленные статьи, касающиеся как
теоретических аспектов, так и приложений. Все это приведет к усовер-
шенствованию наших методов исследования, направленных на созда-
ние науки о человеке.
Ответы и решения*5
Глава I
1,2. а) 6 (А, В) = 0,382, 6 (В, С) = 0,486, 6 (А, С) = 0,352. б) е (А, В) =
=0,5, е (В7С)=О,571, 8 (А,£)=0,510. в) v(A) = 0,341, v(B) = 0?543,
v (А Л В) = 0,457, v (A U В) = 0,429, v"(A) = 0,341. г) г) (А) = 0,47, т] (В) =
= 0,67, т] (А Л В) = 0,57, T](AU В) = 0,58? т) (А) = 0,47.
1.3. а) рА (х) = — =0,5 при х=0,7а;
(х-а)а
а*
2 Г 343а7
аз [ 3000
а3
f-а3—0,7а3— — —
о
343а3'
3000
= 0,391.
б) На
=0,5 при х = 0,За; v ==0,391.
Этот индекс нечеткости идентичен полученному в п. а), так как оба гра-
фика (см. рис. 1 и 2) симметричны.
0,7а а х	0,3а а z
Рис. 1
Рис, 2
в) Ниже представлен график функции рА (х). Из симметрии графика сле-
дует, что индекс нечеткости на [0, а] равен индексу нечеткости на [0, а/2], най-
денному в задаче б).

О,35а 0,5а 0,65а	а #
*) Ответы и решения приводятся по книге: Kaufmann A., Dubois Т., Co-
ols М. Exercices avec solutions sur la theorie des sous-ensembles flous. — Paris,
Masson et Cie. Paris, 1975.
© MASSON ET Cie PARIS 1975
375
Непосредственное вычисление под
тверждает этот результат:
Г 0,35а
2
v =—_
а/2
а
о
= 0,391.
А01 = {А, В, С, D, Е).
А0 6={А,С, Е).
А0,8={С}.
Ао,9={С}.
= {А 10,7), (В 10,5)(С 11)(D 10,2)(Е 10,6)}.
Рис. 4
0,35а
1.4. а)
б)
в)
г)
1.6. а) В каждом из этих случаев для доказательства того, что левая часть
равна А, сначала нужно выполнить операцию в скобках, а затем — вторую
операцию. При этом следует рассмотреть случаи, когда характеристическое
значение А меньше, равно или больше значения В.
1.8. (А П В ПС) U С.
ПЛ. а)
в
А
С
Л
Глава П
17 а Ь с б
0,9	7	0,2	Z?7
0,9	0,2	О	0,5
0,8	0,7	0,8	0,9
0,9	0,5	7	0,9
0,5	О	^7	0,7
0,9
0,9
0,7
1-я проекция
2-я проекция
б)
7
Глобальная
проекция
|/7^[ 7 | 7 | ^|
а
2-я проекция
в)
7 0,5 0,5 7
Глобальная
проекция
0,9
Глобальная
проекция
2-я проекциям,8 0,9 0,2 0,0 0,5 0,9
6
Рис. 5
376
II. 2. а) 1-я проекция:	(х0) = МАХ (х0, t/) =
=----------—— I	=1.
1+&(*»—у)* 1*»=0
2-я проекция: ^’(!/0) = 1,
глобальная проекция: h (&, )= 1.
И.З. 1. a) S (,%) = {(А, a), (A, b), (А, с), (A, d), (В, а), (В, Ь), (В, d),
(С. а), (С, b), (С, с), (С, d), (D, а), (D, b), (D, с), (D, d),
(Е, a), (Е, с), (Е, d)}.
II. a) S(J2)={(x, «/) | (х—у)« < оо}. б) S(#j)={(x, у) I I *-«/!< ®}.
II.7.
<*7	*7	ч	z3	г4			^2			
		0,8	0,8	0,7		0,8	0,7	0,7	0,8	0,9
<2?	35	0,8	0,5	0,7	xz	0,8	0,7	0,5	0,8	0,7
	0,9	0,7	0,8	0,7	X3	0,8	0,7	0,7	0,8	0,9
		а Ч	Z3	ч		^7	ч	6 h		^5
	0,5	0,8	0,8	7	У;	0,8	0,5	0,2	0,8	0,6
3}у_	0,3	0,5	0,5	0,6	Уг	0,7.	0,8	0,5	0,5	0,8
хз	0,5	7	7	0,6	Уз	0,6	0	0,7	0,6	0,7
		t	г			0,5	0,0	0,2	0,5	0,5
	?7	Z2		z4	Уз	о,3	о,з	0,3	0,3	о,з
Х1	0,9	0,8	0,8	0,7				г		
32 2	0,5	0,8	0,0	0,7						
хз	0,87	0,63	0,72	0,63						
			1				Рис. 7			
377
II.8.	a) 0,62, б) при у=оо.
II.9.	а)
Уг yS Ь Цг
7	^2	77	^2	7
7	0,5	0,4	7	
Z7,7	0	0,5	0	77,9
МАХ (0,2)	7	7	77	7	7	, (0,4)	7	77	77	77	7	у
	7	7	7	7	7		7	7	7	7	7	
	7	77	7	77	7		7	77	7	77	7	
												
(0,5)	7	0	77	77	7	, (0,1)	7	77	77	77	7	
	7	7	77	7	7		7	77	77	7	77	
	7	77	7	77	7		7	77	77	77	7	
												
(0,9)	7	77	77	77	7	,	(0	7	77	77	77	7	
	7	77	77	7	77		7	77	77	7	77	
	77	77	77	77	7		77	77	77	77	77	
Рис. 8
11.10.	1. a) |iBi (1/1) =МАХ (0,9) = 0,9. fiBj (t/2) = МАХ (0,3; 0,7; 0,9) =
= 0,9. ИВ1(г/3) = МАХ (0,3; 0,9) =0,9. Цв,(У<) = МАХ (0)=0.
Нвх(У»)==МАХ (0.9; о,7) = °,9.
2.	б) gB|(i/1) = MAX (0,3, 0,9) = 0,9. ЦВ,(У2)=МАХ (0,7) = 0,7. цв, (Уз) =
= МАХ (0,3~0) = 0,3. gB>(t/4) = MAX (0,9)=0,9. цв> (j/6) =МАХ (0,7; 0,9)=0,9.
11.11.	Нв (У) = МАХ [MIN (|лв {у | х), р.д (х))],
В=((У1Ю,2), (j/2|0,3), (</3|0,4), (jfclO.8), (0*10,7)}.
11.12.
Л? °Лг ° Si	tz
	О,Ъ	77,8
77,8	0,8	77,8
Рис. 9
pD (0 =МАХ [MIN (	(Г| х), Ид (х))],
D={(M0,7), (<2| 0,7), (/, | 0,7)).
378
11.13.
Ьимметрмюе
ТрсмзояшОмге
Рефлексивное
Как видно из этой таблицы, есть отношение предпорядка, а —
отношение подобия.	~
11.14. Последовательно рассчитываем объединение ft = R U Ra U R3 U •••
z7	7	7	7	7
0	0	0,9	0,7	
0	77	0	0,7	0,3
0	0	0	0	0,3
0	0	0	0	0
7	0,0	7	0,0	7
0,0	0,3	0,0	0,3	0,0
7	0,0	7	0,0	7
0,0	0,3	0,0	7	0,b
7	W	7	0,0	7
£/ "Kt
ВI ~x[
n. 15.
4 BOBB
Г'-)'	.	I	1	~	1
A	0	7	7	7	7
В	0	0	0,9	0,7	0,3
c	0	0	0	0,7	0,3
n	0	0	0	0	0,3
£	0	0	0	0	0
Puc. 11
7	O,3Z	7	0,0	1 '
0,31		0,31	0,3	0,3Z
7	О,Ъ2	7	0,0	7
u,u	0,8	0,0	7	0,0
7		7	0,0	7
Sz =~Z

Puc. 12
379
tl.te.
0,8	Ot8	0,8
7	0,8	0,8
7	7	0,8
£7= of
Для двух последних отношений имеем
^4 = ^5=^6.
При получении этих транзитивных замыканий находим
^1 = ^1 и	=
11.17.
0,5	0,5	0,5	0,5
0,5	7	0,5	7
0,5	0,8	0,5	0,8
0,5	0,5	0,5	0,5
0,3	0,5	0,5	О
Z?3	7	0,8	О
43	0,8	0,8	О
4J	0,5	0,5	О
А в С Л А в С Л
- __ \
0,3	0,5	0,5	О
0,3	7	0,8	О
0,3	0,5	0,9	О
0,3	0,6	0,9	О
0,3	0,3	0,5	0
0,3	0,3	7	О
0,3	0,3	0,9	О
0,3	0,3	0,9	О
г	д
л я е л к л вся Двоя
о,г	О	О	О
0,2	О	О, г	О
0,2	О	0,2	О
0,2	0,2	0,2	О
О	О	0,0	0
О	О	0,0	О
0,2	0,2	0,0	О
О	О	0,9	0
0,6	7	о,о	О
0,3	0,3	0,0	О
0,3	0,3	7	0,2
0,3	7	0,8	О
е	ж
Рис. 14
380
II.	18. Нужйо показать, что — рефлексивное и (max—minj-транзитий-
йое отношение.
11.19.	Нужно показать, что эти отношения обладают свойствами рефлексив-
ности, симметрии и (шах—гшп)-транзитивности. Заметим, что здесь 3$ ~
i = 2, 3, 4.	*
11.20.	Пусть 31г и —Два предпорядка.
Композиция оД уже не будет предпорядком, так как это отношение
не транзитивно. Рассмотрим конкретный пример:
Ня2»я, (у. г) < MAX[MIN (Ця,»я, (У- *)• Ня,.я, (*. «))]•
По той же причине U не есть предпорядок. не предпорядок, поскольку
это отношение антирефлексивно.
£	X	у	Z	-2	X	У	Z		X	У	
X	7	0J	0,8	X	7	О	0,2	X	7	0,7	0,8 х
у	О	7		У	0,9	7	0,6	У	0,9	7	3L у
г	О	Os7	7	Z	О	О	7	Z		0,7	7 '	7.
Рис. 15
х у z
7	0,7	^8
0,9	7	0,6
О	0,7	7
И, наоборот, Л *^2 представляет собой предпорядок. Сохранение ре-
флексивности очевидно. Проверим транзитивность. Имеем
Ня, (*> г) > МАХ[МШ(Ця, (*> У)> Ня, (у> г))Ь	(О
Ня, (*> z) > MAX [MIN ( Ня, (х, У), Ня, (У> *))]•	(2)
Ня, Пя, (*> J/) = M1N(Ня, (* У)> Ня, (*> У))-
Требуется, чтобы
MAX [MIN ((х, у),	(у> 2))].
Во всех четырех возможных случаях сохраняется транзитивность:
Ия,пя.	У) = Ня, (*> У} и Ня.пя,	2) = Ня, (У> г)=* (0«
Ня, ля, ^) = Ня, <*> У) и Ня,пя. г) = Ня, (У> 2)=> (2)>
Ня,пя, (*> Н) = Ня, (*- У) и Ня,ng, (г/’ г) =
= Ня, (г/>г) < Ня, (и>г) => (*).
Ня, Л я, (х> У) = Ря, (х> у) и Ня,ЛЯ, (у> г) = Ня, (у> г) < Ня, (У> г) (2)
11.21.	Для поиска максимальных подотношений подобия в нечетком предпо-
рядке нужно рассмотреть соответствующую булеву матрицу
Ня (х> {') = Ня (У> х) = 1> если Ня (*> У) = Ня (У>х) > °>
Ня (х> У) = Ря (У> *)=0, если (х, =	{у, х)=0
или Ня(х-У) Ня(г/> *)•
381
Найдем булевы матрицы для Нечетких отношений предпорядка Л&1,
(рис. 16).	~	~	~
Рис, 16
После того как эти квадратные симметричные матрицы получены, можно
применить метод Пиша (см. приложение Б). Для отношения можно обойтись
и без дополнительных расчетов, так как в данном случае максимальные подотно-
шения подобия выписываются непосредственно:
{A),{B},{C},{D),{E,F}.
Проведем расчеты для
S=(A+CDF)-(B + CDF)-(C+E).(D + E).(E+F) =
(АВ 4- CDF) • (CD+Е). (Е + F) == (АВ + CDF) • (CDF+Е) = (АВЕ 4 CDF).
Таким образом, (CDF) и (АВС) — максимальные подмножества. А так как
они не пересекаются, то (CDF) и (АВС) — классы подобия.
Для получаем
S=(A+DE).(B + DE).(C+DE).(D + F).(E + F) =
= (AB + DE).(CD+CF+DE).(E + F)==(AB + DE)-(CF+DE) = (ABCF + DE).
Максимальные подотношения {D, Е} и {А, В, С, F} также не пересекают-
ся и составляют два класса подобия.
П.22. Нечеткое отношение называется антисимметричным, если
у (х, у) £ Е х Е при х у:
у)	х) или ц^(х, у) = р.^(у, х)=0.
Отношения	и <^4 из упражнения 11.13 антисимметричные.
Нечеткое отношение называется совершенно антисимметричным, если
у(х, r/)£Ex Е при х=£у*.
У)	х)=0.
В II. 13 совершенно антисимметрично только отношение <3^1.
11.23.	<%!,	*^з — это нечеткие отношения порядка, так как они рефлек-
сивные, транзитивные и антисимметричные.
и <%3 — нечеткие отношения совершенного порядка, так как они рефлек-
сивные, транзитивные и совершенно антисимметричные.
— отношение полного порядка, так как соответствующий ему обычный
граф~представляет полный порядок.
и — отношения частичного порядка.
382
Ниже выписаны отношение и соответствующий ему обычный граф.
7	О	77	О	7
7	7	7	7	7
О	О	7	7	В
77	77	О	7	77
О	О	О	О	7
Рис. 17
27^0^5
Частичный
ПЦНяОах
А В С В
11.24,	Чтобы матрицу нечеткого отношения привести к треугольному виду,
нужно сначала построить обычную матрицу, соответствующую этому отноше-
нию, а затем найти ее порядковую функцию. Для отношения имеем:
fy А О 77 27 Е
7	7	7	77	7
77	7	77	77	7
О	7	7	77	7
7	7	7	7	7
О	О	77	77	7
7	0,5	0,0	7	0,5
0,5	7	0,8	0,7	0,5
О	О	7	0,7	ол
77	О	0,5	7	ОЛ
О	О	О	О	7
Рис. 18
11.25.	Для транзитивное замыкание и соответствующая булева матри-
ца имеют вид ~
383
Теперь выпишем максимальные подотношения подобия,
Очевидно, что они не пересекаются. Блочно-треугольное представление от-
ношения невозможно, поскольку оно не антисимметрично.
Чтобы выделить классы подобия, перепишем матрицу в виде
7	0,6	0,6	0,6	0,0	0,0
0,5	7	0,7	0,7	0,0	0,0
0,5	0,7	7	0,8	0,0	0,0
0,5	0,7	0,8	7	0,0	0,0
0,5	0,5	0,5	0,5	7	0,5
о,2	0,2	0,2	0,2	0,2	7
Рис, 21а
Найдем матрицу «%2 и соответствующую ей булеву матрицу так же, как это
было сделано для отношения
, _____________________________
Л	7	0,7	0,7	0,8	0,7	0,7	0,7	0,7
в	0,7	7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7
G	0,7	0,7	7	7	0,0	7	0,9	7
5	0,5	0,5	0,5	7	0,5	0,5	0,5	0,5
5	0,7	0,7	0,8	0,8	7	0,8	0,8	0,8
А	0,7	0,7	7	7	0,9	7	0,9	7
О	0,7	0,7	0,8	0,8	0,9	0,8	7	0,8
О	0,7	0,7	0,8	0,0	0,8	0,8	0,8	7
Рис. 216
Для выделения максимальных подотношений подобия в случае нужно
обратиться к алгоритму Пиша. Имеем
384
S = (A + D).(B + D).(C + DEGH).(D + EFGH)-(E + FG).(F+GH)==
= (AB + D) • (CD + CEFGH + DEGH) • (EF+EGH+FG) =
= (A BCEFGH + CD + DEGH) • (EF + EGH+FG) =
= (ABCEFGH+CDEF+CDFG + DEGH),
	п		А	В	О	77	А		В	В	77	А		В	О	Л
Л	7	А	7	0,7	0,7	0,7	А	7	0,7	0,7	0,7	А	7	0,7	0,7	0,7
		8	0,7	7	0,7	0,7	В	0,7	7	0,7	0,7	В	0,7	7	0,7	0,7
		8	0,7	0,7	7	0,8	В	0,7	0,7	7	0,8	О	0,7	0,7	7	7
		8	0,7	0,7	0,8	7	И	0,7	0,7	0,8	7	Г	0,7	0,7	7	7
Puc, 22
Эти четыре максимальных подотношения не дизъюнктны, точнее, хотя они и
пересекаются, ни одно из них не содержится в другом. Блочно-треугольное пред-
ставление также невозможно, поскольку это отношение не антисимметрич-
ное. ~
11.26.	Выпишем отношения подобия и различия для
7	0,9	0,7	0,9	0,8	7	0,9
0,9	7	0,7	7	0,8	0,9	7
0,7	0,7	7	0,7	0,7	0,7	0,7
0,0	7	0,7	7	0,8	0,9	7
0,8	0,8	0,7	0,8	7	0,8	0,8
7	0,9	0,7	0,9	0,8	7	0,9
0,9	7	0,7	7	0,8	0,9	7
О	0,7	0,8	0,7	0,2	О	0,7
0,7	О	0,8	О	0,2	0,7	О
0,8	0,8	О	0,8	0,8	0,8	0,8
0,7	О	0,8	О	0,2	0,7	О
0,2	0,7	0,8	0,2	О	0,2	0,2
О	0,7	0,8	0,7	0,2	О	0,7
0,7	О	0,8	О	0,2	0,1	О
Рис. 23
Очевидно, что эти отношения связаны условием .&=<&.
Обозначим через Cd классы пар с заданным расстоянием d. Имеем:
Со = {(A, A), (A, F), (В, В), (В, D), (В, G), (С, С), (D, D), (D, G), (Е, Е),
(F, F), (G, G)},
Сод = {(А, В), (A, D), (A, G), (В, F), (D, F), (F, G)},
С,,, = {(А, Е), (В, Е), (D, Е), (Е, F), (Е, G)},
Со(8 = {(А, С), (В, С), (С, D), (С, Е), (С, F), (С, G)}.
13 Зак. 461
385
11.28. Вычисление относительных обобщенных расстояний Хемминга дает
отношение несходства Qt согласно условию
*(Аг, Ау)
(Aj > Ay) =	,
где
8
d (Ait A;) = V I p-A — I
~ ~ 1 1
— обобщенное расстояние Хемминга между Аг и А/.
(Min—max) — транзитивное замыкание Qb представляющее собой отноше-
ние различия, позволяет найти (min — max)-транзитивные расстояния и по-
строить дерево декомпозиции.
Обычное (тш-сложение)-замыканиеQt совпадаете Qlt
& .Аа Аг Аз Ао Ас Ас Аг
Аг	о	0,75	0,38	0,38	0,27	0,19	0,32
Аг	0,75	О	0,02	0,45	0,38	0,00	0,00
Аз	0,58	0,92	О	0,75	0,07	0,30	0,38
Ач	0,38	0,95	0,75	О	0,07	0,37	0,27
Ас	0,27	0,38	0,07	0,07	О	0,07	0,05
Ас	0,39	0,00	0,35	0,37	0,07	О	0,79
А?	0,32	0,40	0,38	0,27	0,05	0,79	О
if	Аг	Аг	Аз	А4	As	Аб	Аг
Аг	О	0,75	0,31	0,32	0,27	0,32	0,32
Аг	0,75	О	0,32	0,32	0,27	0,32	0,32
Аз	7,32	0,32	О	0,75	0,32	0,27	0,27
А*	0,32	0,32	0,15	О	0,52	0,27	0,27
As	0,27	0,27	0,32	0,32	О	0,32	0,32
Ас	0,32	0,32	0,27	0,27	0,52	О	0,79
Аг	0,32	0,52	0,27	0,27	0,32	0,79	О
Расстояние
Рис. 24
=Z7
<0,27



Рис. 25
386
Глава III
III. 1. a)a Л b, P) £a A J) V Jft Vj), ?) (? V (cA £)) A b, 6) (а /\^) V b.
III.2. Здесь помещена таблица значений только для функции двух нечетких
переменных (знак нечеткости опущен). В соответствии с «антиполиндромной»
		аКЬ			
Z7	ь ь а	а	а	ь	ь
Z7	b Ь а	а	а		ь
а	b 5 а	b	а	ь	ь
а	Я b а	b	а	ь	ь
b	а а Б	ь	а	5	ь
b	а а b	д	а	У	У
b	а а b	а	а	ь	ь
b	а а b	а	(7	ь	ь
Рис. 26
нумерацией рассматривается восемь случаев. Для функции трех переменных
потребуется рассмотреть 48 случаев.
III. 3. a) f(a, 6) = [((а Д ft) V а] Л l(«v£) Ла]] V (а Л£) =
= [(а Л ft) Ма \/ (а ДЬ)] Л ja V (а AJ>)] = [(а Л£) V а] Да =
= (а Vjj) Л (£ V а) Л а = а Л (а V Ь),
у) Ца, Ь, с) = (а ДЬ~ДЬ)\/ К« Л£) V£] = [a Л [[(£ Л£ V£]]V £==
= (а V£) Л (ft,A£) V ft V£=(a V £) Л (ft V b yl) Л (с V & V с).
III. 4. а)Ца, Ь) = [1(аДЬ) V J] Л [(« V ft) Да]] V (а Л ft) =
= [f(a Л b)Va] Д а] V (а ДЬ) = (аДЬДа) V (а Да) V (а Л^) =
= (а Л£) V (а Да),
V) /(«> £•	= Л£ Ac) V ((а ДЬ) \1^с} = (а ДЬ Дс) V (а Д ft) V с.
III. 5. а)£(а, ft) = (a ДЬ) V (а Л Ь).
Гипотеза 1: а Д Ь а Д Ь; тогда аь_! а Л Ь^< а&,
т. е»
«k-i-<МIN (а, 1 —6)<<х&.
Имеем
MIN (а,	> a*-i
и
1—6 > ад_!, b < 1— OQui»
13*
387
и
MIN (а, 1 — b) <	: a < aft,
и/или
1—b < а/i, b > 1—aft.
Гипотеза 2: а Д b < а Д b, тогда
c^k-i ^5 А Д <“	’
t. e.
MIN (1 — a, b)<aft.
Имеем
a<; 1—aft_x и b > afc_lt a> 1—aft и/или b < aft.
Перегруппировав результаты, получим
^}1:[a> afe_i и b1 — соы] и/или [a<^ I—aft_x и b > aft_j],
: [a< ось и/или b > 1 —a/J и [a > 1 —aft и/или b < aft].
₽)	£’	a^) V (2 AJO V (Д A^).
Гипотеза!: а /\ с есть максимум.
ak-i^а/\^с<акУ aft-i < MIN (a,£) < aft.
Имеем
<£ > afe_i и c > a&_!, и a < aft и/или c < aft.
Гипотеза 2: a Д b есть максимум.
aft_i b< aft,
afe_i<MIN(l-a, b)<ah.
Имеем
a <C 1 —aft-j и £ > aft_1( и a> 1—aft и/или b < aft.
Гил о тeз а 3: b Д с есть максимум,
aft-i <b Д £ < aft, aft-! < MIN (b, £) < aft.
Имеем
b> «fe-i H£>aft-,n n^b<aft и/или£<aft.
Перегруппировав результаты, получим
: [a > aft-i и с > aft-j] и/или [a< 1— aft_t и b>aft_i]
и/или [b > aft_i и £ > aft-i],
*^2:[a<aft и/или c<aft] и [a>l—aft и/или 6<ад]
и [b< an и/и^и £< aft]
388
III.	6. а)Ца, b) = (af\b)y
Ц5»а A ^*5-) V .Ф ь)] А ' V Д f- V 3'b )]*) =
= fa &b V &a &b) V f^ V =
= 9!>a SP-ь ft, &!_ V V SP'a £Р’Ъ V З’^-З’ь j V
V 3>— .3°,, r^' .35— V 3>- V 3>' £P'b V 3'j'-- tP'b 1 =
a L a b a - /t b XJ
~^a	&b V
V fft— г?% V Ф— Ф* V ZP— &— V
b b X, °	~ JL a~jL£L
V^°— $>b &'a fPb	&'b .
III.	7. a) J(at b) = a ДЗ.
^b = [l-fc2, l-£ib
Функция f (a, b) принимает свои значения в интервале
1*1 Л (1-у» Л (1“М 1>
а именно:
[*i *2]» где Oi< 1 — b2 и аа<С 1—blt
[alt l~6ib где а±< 1— b2 и а2> \—Ьх,
] 1 — ^2, as[, где ar > 1 — Ь2 и а2< \ —Ь19
] 1 — b2t 1—&ib где аг> 1—Ь2 и aa> 1 — blt
Если b £ ^ь = [0,1—b2] U [1—blt 1], то f(a, b) принимает свои значения в
интервале [0, а2 Л (1 — ^2) 1 U 1*1 Л (1—^i)»^*ab
Ш. 8. a)J(£, b)=-a V (аДЬ).
На этом и последующих рисунках десятичные числа 0,0; 0,1; 0,2; ...
вписаны в виде 0; .1; .2; ...
*) Далее для упрощения записи опустим знак Д.
389
Очевидно, что а /\ b принимает свои значения в интервале (0, 3} (J {0,7;
0,8; 0,9}. Теперь выпишем таблицу для функции^ (а, Ь) = а\/ (а Д Ь):

g о		О	7 .2		.3	.4	.5 .9		.7 .8 .9			7
		О	.7	.Z	.3	.4	.9	.9	.7	.8	-9	7
	i .7	.7	.7	.2	.3	.4		.9	.7	.8	.9	7
	.г	-2	.2	.2	.3	.4	,5	,9	.7	.8	.9	7
	। -3	.3	.3	.3	.3	.4	.9	.9	.7	 8	.9	7
.4		.4	.4	Л	.4	.4	.9	.9	.7	.8	.9	7
.5			5	.5	.5	.5	.9	.9	.7	,8	.9	7
.9			.9			.9	.9	.9	.7	.8	.9	7
-7		.7	.7	.7	.7	.7	.7	.7	.7	.8	.9	7
,8		.8	.8	.8	.8^	.8	.8	.8	.8	.8	.9	7
.9		,9	.9	.9	.9	.9	.9	.9	.9	.9	.9	7
7		7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7
Рис, 27, б
Итак, функция f (а, Ь) принимает свои значения в
{0,3} J {0,7; 0,8; 0,9}
III. 9. 1)	V^i-)
III.10. а) Маршруты: {(а, &,а),	(£»&)}•
Максимально простые маршруты: {(*М), (<О)}-
Приведенная полиномиальная форма:~(а /\Ь) V (а Д Ь).
Соответствующая сеть:
Рис. 29
р) Маршруты: {(a, bt а), (а, а, ^), (б, с, а), (b, а>
Простые маршруты: {(а, Ь), (а, b, а, с), (b,	a), (i, с, а, с)}.
Максимально простые маршруты: {(a, j>), (а, Ь, с), (а, Д, ££)}•
Приведенная полиномиальная форма: (а /\Ь) V (f?	Л^) V (?	/\£ Л£)-
390
Соответствующая сеть:
Рис. 30
у) Максимально простые маршруты: {(а, 6), (а, а, Ь), (с, 6), (с, а, Д)}.
Приведенная полиномиальная форма: ~	~
(а Д 6) Ша^Ь) V(£A,£) V(jA ^Л£).
Соответствующая сеть:
Рис. 31
6) Маршруты: {(£, а, с), (b, а, а, с), (b, b, at с), (b, b,^)t (b, с, с), (Ь, с, а, с)}
Простые маршруты: {(&, а, с), (b, a, a, c)t (b, b, a, с), (b, bt с),
(b, с, (b, £, а)}.
Максимально простые маршруты: {(a, b, c)t (at a, bt c)f (b, b, с),
(b,~c, с), (a, bt г)}.
Приведенная полиномиальная форма: (a/\Ff\c)y(a/\a/\b/\c)\/
V(£A *Л£) V(*A£A£) V(*AjA£)-
Соответствующая сеть:
Рис. 32
391
III.11. a)
Маршруты:	a), (a> ~at b)9 (a, a, a), (btd)t (b9 b)t (£»£)}•
Простые маршруты: {(a, a), (a, at b)t (a, a), (bt a), (6), (&, a)}.
Максимально простые маршруты: {(a, a), (&)}.
Приведенная полиномиальная форма: (a \Ja) Л
Рис. 34
Максимально простые маршруты:
{(F, a), (J, b),	(с> 6), (а, а), (с,^а)}.
Приведенная полиномиальная форма:
(JV£)A(JV $)A(^Va)A(£V^)A(ay£)A(£Va).
Y)
Рис. 36
Рис. 37
392
Максимально простые маршруты:
{(с, а), (с, a, b), (bt Ь), (6, а, а)}.
Приведенная полиномиальная форма:
feV «) Л (£V а V Ь) V b) Л (£ Na V а).
б)
Рис. 39
Максимально простые маршруты:
{(7), (с* ®)’ (с* а) ’ (*’ 0* а> в)) *
Приведенная полиномиальная форма:
Глава IV
IV.2. Данный нечеткий группоид можно представить в виде (опуская символ
нечеткости)
393
Рис, 41
1)	Если провести 64 проверки, то выяснится, что этот нечеткий группоид
ассоциативный:
у А, В, С G (Е): (А * В) * С = А * (В * С).
2)	Группоид имеет единицу «а».
Действительно, а * а = а* a = at
а * Ь — b * а = Ь,
а* с —с *а = с,
a* d = d* a — d.
3)	Имеется только два подмоноида: {а} и {at Ь},
4)	Для каждого элемента имеется обратный:
ДЛЯ	а	— обратный	ал а *	а = а * а = а
	Ь	«	b : b *	b ~ b * b = а>
	с		d : с *	d = d * с = а,
	d	«	с : d *	с = с * d = а.
Поскольку этот нечеткий группоид ассоциативный и обладает единицей, то
это — моноид. Кроме того, поскольку каждый элемент (Е) обладает одним-
единственным обратным элементом, то этот группоид — нечетная группа.
IV.3. Операция # есть дизъюнктивная сумма:
А©В = (АП В) U (А Л В).
Действительно, по таблице находим:
0*0 = 0,
0*1=1,
1*0= 1,
1*1 = 0.
Для универсума из трех элементов эта операция определяет следующую
таблицу:
394
® ООО 007 070 077 700 707 770 777
000
007
070
077
700
то/
770
777
ООО	007	070	077	700	707	770	777
007	ООО	077	070	707	700	777	770
070	077	ООО	007	770	777	700	707
077	О7О	ОО7	ООО	777	770	707	700
700	707	770	777	ООО	007	070	077
707	700	777	770	007	ООО	077	070
770	777	700	707	070	077	ООО	007
777	770	707	700	077	070	007	ООО
Рис. 42
IV.4. 1. Этот группоид коммутативный, поскольку
V (А, В) е (Е) X(Е): А* В —В ♦ А.
Однако он не ассоциативный, в чем можно убедиться на примере. Пусть
рА(х)=0, HbW = 0>4> Нс(*) = !•
Тогда	ц(А, в)*с W = MIN [1 —MIN (1; 0,6), 0]=0,
НаГ(в. с) (x)=MIN (1, 1—MIN (0,6; 0)] = 1.
Чтобы существовал единичный элемент U, нужно, чтобы
у А е (E):U* A —A* U, т. е.
MIN (1—’На (х)> 1—Ци W) = Ma W» а это тожДество не выполняется.
Не обладая единичным элементом, этот нечеткий группоид не имеет и об
ратных элементов.
2. Те же выводы справедливы и для второго нечеткого группоида. Его ком-
мутативность очевидна, однако покажем, что группоид не ассоциативен. Выбе-
рем следующие числовые значения:
На (*)=0,1, Ив(*)=°>4> HcW=°>7»
На*в W = MIN ((0,1)-(0,4), (0,9).(0,6))=0,04,
fCc W = MIN ((0,4)-(0,7), (0,6).(0,3))=0,18,
Н(а*В). С (*) = M1N ((0,04)-(0,7), (0,96).(0,3)) =0,028,
На',^) «=МШ ((0,1)-(0,18), (0,9) (0,82)) = 0,018.
Остальные проверки проводятся так же, как и для первого группоида.
3. Этот закон композиции также коммутативный и неассоциативный.Для
доказательства неассоциативности достаточно рассмотреть числовой пример:
НА (*) = О,4, Нв W = °-7- Ис W = °’9>
Тогда р.(А * в) • с W =0,48 и На*^в*С)С^ = 0,41.
395
Однако единичный элемент, равный нулю, здесь существует, поскольку,
если Цц (х) = 0, то
A* U —А у А е (Е), так как [1 — цА (х)]Фи (х) + На	(*)] =
=На W-
Наконец, если р,А*в (х) = р,и (х) =0, то В — элемент, обратный к А.
Равенство не обращается в тождество на интервале [0,1], оно справедливо толь-
ко для 0 и 1.
Глава V
V.2. б) Е2 ф Е3—{4,5,9,10,11},
Ei X (Е2фЕ3)={(0,4), (0,5), (0,9), (0,10), (0,11),
(1,4), (1,5), (1,9), (1,10), (1,11),
(2,4), (2,5), (2,9), (2,10), (2,11)}.
V.3. а) Ее> = {{(0р), (1/2] а), (1 |а)}, {(0|а), (1/2|а), (1 р)},
{(0|а), (1/2 р), (1 |а)}, {(0|а), (1/2 Р), (ip)},
{(0|Ь), (1/2 р), (1 р)}, {(0Р), (1/2|а), (11Ь)},
{(0|Ь), (1/2р), (1 р)}, {(0Р), (1/2Р), (1 Р)}}.
V.4. a) Le
Рис. 43
б) El
Рис, 44
V.5. a) Le ={А|0), (В|0)}, {(А|0), (В | 1)}, {(А | 0), (В 12)},
{(А 11), (В|0)}. {(А|1), (В 11)}, {(А] 1), (В|2)},
{(А]2), (В|0)}, {(А|2), (В|1), {(А|2), (В|2)}} =
== {А,, Аа, А3, А,, А,, А,, А,, А,, А,}.
Прежде чем описать закон полностью, проиллюстрируем, как он определи
ется:
А1®А,= {(А|0), (В|0)}.{(А|0), (В |0)} = {(А |0 ♦ 0), (В 10 • 0)} =
= {(А]0), (В|0)}=Ах,
А3®А»={(А|0), (В |2)} * {(А|2), (В|2)} = {(А|0.2), (В |2«2)} =
= {(А|2),(В|1)}=А8.
396
ф
А1
Az
AS
AB
a7
AS
A7 A2 A4 AB A7 As AS
А7	А2		А4	А5	АВ	а7	Аа	Аэ
А2	Аз	А7			А<!	Аа	Аз	а7
А3	А;	а2	Аб	4	А5	А9	А7	Аа
А4	А5	А&	а7	А8	А3	А7	А2	4з
А5	А&		АВ	А9	а7	Аг	Аз	А7
		А5	А9	а7	Аа	А3	Аг	А/
а7		А9	А7	А2	Аз		А5	Ае
Аа	Аэ	4/	А2	А3	А7	А5	А6	А^
	а7	А8	А3	At	Аг	А6	А,	а5
Puc, 45
Отметим, что каждая строка (каждый столбец) представляет собой переста
новку элементов множества LE.
Этот закон ассоциативный, коммутативный, но не идемпотентный.
б)	LE= {{А 10)}, {А| I), {(А 12)}} = {В, Ва, В,).
* 4 Вг Въ
о, Bi	в.		В3	Рис. 46
	Bz	в3	В,	
Вз	Вз	Bf	вг	
Закон ассоциативный, коммутативный, неидемпотентный.
V.6. а) Модулярная, дистрибутивная, без дополнений: В, С, D и Е не име-
ют дополнений, не булева.
б)	Модулярная, дистрибутивная, без дополнений: В, С, D и Е не имеют
дополнений, не булева.
в)	Немодулярная: В V (D Л Е) — В V А = В, (BVD) AE = FAE = E;
недистрибутивная, с дополнениями, не булева.
г)	Модулярная, дистрибутивная, без дополнений: В и Е не имеют дополне-
ний, не булева.
д)	Модулярная, дистрибутивная, с дополнениями, булева.
е)	Немодулярная: В V (С А Е) = В V А = В, (В VC) А Е = Н А Е = Е;
недистрибутивная, с дополнениями, не булева.
ж)	Модулярная, дистрибутивная, без дополнений: В, С, Е, G и Н не имеют
дополнений, не булева.
з)	Немодулярная: В V (F A D) = B V А —В, (В V F) AD = I AD = D;
недистрибутивная, без дополнений: С и G не имеют дополнений, не булева.
V.7. a) Li X Lj, б) Ц X L2, в) Ц X L3, г) Ц X Ц X Ц, д) L2 X Ls.
Решетка	а	б	в	г	д
Дистрибутивная	Да	да	нет	да	нет
С дополнениями	нет	нет	нет	нет	да
Булева	нет	нет	нет	нет	нет
Векторная	да	нет	нет	да	нет
Лексикографическая	нет 					нет	нет	нет	нет
397
V.9. Сначала для каждого отношения выпишем матрицу расстояний между
вершинами графа отношения порядка.
Теперь можно вычислить обобщенные расстояния. Например,
б) (Хь Х2) = 1/5 (0 + 1/3 + 3/4 + 2/2 + 0) = 0,42 и т. д.
В итоге получим
Л/ & & &
*z
&
0	0,42	0,57	0,77
О,Ц2	О	0,58	0,58
0,57	0,58	О	0,ff0
0,77	0,58	0,50	О
Рис, 50
V.12. Универсум MOR
Перепишем эти элементы:
(На, Н8) включает три
элемента Г1( Г2 и Г8.
О
• а
Ъ —
Рис. 51
Если L= {0, 1/2, 1}, число С-нечетких L-морфизмов составит З3 — 27.
Lo=	{G,.	/ = ], 2, .... 27}	
Gi ={(Г1|	0).	(Г.|	0), (Г.1	0)}
G, ={<Г11	0).	(Г.1	0). (Г.|	1/2)}
G3 ={(Г,|	0),	(Г.|	0). (Г.1	1)}
G< ={(Г,|	0),	(Г.1 1/2), (Г.|	0)1
398
G6 ={(Г11	0).	(Г2|	1/2),	(Г.|	1/2)}
Ge ={(Г11	0),	(г.|	1/2),	(Г.|	1)}
С7 ={(Г11	0).	(Г2|	1).	(Г.1	0)}
G. ={(ГХ|	0),	(Г2|	1).	(Г.1	1/2)}
G. ={(ГХ|	0).	(г.|	1).	(Г.1	1)}
0ю = {(Г1|	1/2),	(г.|	0),	(Г.1	0)}
0ц={(Г1|	1/2),	(г.|	0),	(Г.1	1/2)}
0„={(Г11	1/2),	(г.|	0),	(Г.1	1)}
О18={(Г1|	1/2),	(Г.1	1/2),	(Г.1	о)}
014 = {(Г1|	1/2),	(Г.1	1/2),	(Г.1	1/2)}
G„ = {(r1|	1/2),	(Г2|	1/2),	(Г.1	1)}
Gi« = {(rx|	1/2),	(Г2|	1).	(Г.1	0)}
61, = {(Г1|	1/2),	(Г2|	1).	(Г.|	1/2)}
018 = {(Гх|	1/2),	(Г.1	1).	(Г.1	0}
018 = {(Г1|	1).	(Г.1	0),	(Г.1	0)}
Оао = {(Г1|	1).	(Г.1	0).	(Гз|	1/2)}
021 = {(Г!|	1).	(Г.1	0),	(Г.1	1)}
6.. = {(Г1|	1).	(Г2Г1	1/2),	(Г.1	0)}
023={(Г1|	1),	(Г2|	1/2),	(Г.1	1/2)}
024={(Гх|	1).	(Г2|	1/2),	(Г.1	1)}
G28={(rx|	1).	(Г.1	1).	(Г.1	0)}
02. = {(Г1|	1).	(Г2|	1).	(Г.1	1/2)}
027 = {(Г1|	1).	(Г.1	1).	(Г.1	1)}
Г/ с Г,:
V.13. а) Выпишем множество композиций
г1,1	= г1°г1=г1	b Д а=а	^3,1 = Г1 ° Г3— Tj	b Л е — Ь
Г1,2		а Д а = а	Г32 ~ ° Г3=	а Д е = а
Г1,3	= Г.» Г1=Г1	а д а —а	Гз,з~Гз° Г3 = Г3	а Л е~а
Г1.4	= Г..Г1=Г1	d /\ а~а	^3,4 = Г4 ° Г3 — Г8	d e~d
Г2,1	= Г..Г.= Г.	b /\ с — Ь	Г4	Ь а = а
^2,2	— г. ° г2=гх	а /\ с = а	Г4 2 = Г2 о Г4= Гх	а Л ci —а
Г2,3	= Г.о Г2= Г2	а Л с = а	г4 3= Г3о Г4— Г4	а К а = а
Г2,4	= г4»г2=г2	d /\ с=Ь	Г4 4 = Г4 о Г4 — г4	d К а = а
Теперь для каждой пары (Гг-, Г;) найдем значение р (1\) Д р (Г;) на
Ej о е2. Затем для каждого оценим у (р (1\) Д р (Г;)):
Гх: V (а> a, at a, bt at bt a, at а)~Ь,	Г3: V (atd) = d,
ra:V(n, b) = b,	r4:V(a,a) = fl.
И, наконец, Ex «Е2 = {(Г1|6), (Г2 | b), (Г3И), (Г41 а)}.
399
Список литературы
(Al) Asai К. &Kitaiima S. — Learning Control of Multimodal Systems by
Fuzzy Automata. — In: Pattern Recognition and Model Learning. Plenum Press.
N. Y. 1971.
(A2) Arbib M. A. —Semi-ring Languages. Manuscript. Electr. Eng. Dept.
Stanford Univ. 1970,
(A3) Asai K. &Kitajima S. —Optimizing Control Using Fuzzy Automata.
Automatica, Vol. 8, pp. 101 — 104. 1972.
(A4) Asai K. &Kitajima S. — A Method for Optimizing Control of Multimo-
dal Systems using Fuzzy Automata. Information Sciences, 3, pp. 343—353, 1971.
(A5) Assilian S. — Artificial Intelligence in the Control of Real Dynamic
Systems. Ph. D. Thesis. Queen Mary College Univ. London. 1974.
(A6) Arbib M. A. & Manes E. G. —Fuzzy Morphisms in Automata Theory.
Proc. First Intern. Symp. on Category Theory Applied to Comput. and Control,
pp. 98—105. 1974.
(A7) Aubin J. P. —Fuzzy Games. — MCR Tech. Summary Report 1480.
Math. Res. Center. Univ, of Wisconsin. Madison 1974.
(A8) Albin M. — Fuzzy Sets and their Applications to Medical Diagnosis. Ph.
D. Thesis. Dept, of Math. Univ, of California. Berkeley. Cal. 1975.
(A9) Asai K>, Tanaka H. &Okuda T. — Decision-making and its Goal in a
Fuzzy Environment. In: Fuzzy Sets and their Applications to Cognitive and De-
cision Processes, pp. 257—277. 1975.
(A10) Adams E. W. — Elements of a Theory of Inexact Measurement. Philo-
sophy of Science. —Vol. 32, pp. 205—228, 1968.
(All) Aubin J. P.— Theorie des jeux. C. R. Acad, des Sciences. Paris, t. 279,
Serie A—891 et A—963, Dee. 1974.
(A12) Адавич П. H.( Борисов A. H.T Голендер В. Б. — Адаптивный алгоритм
распознавания размытых образцов. — Кибернетика и диагностика, вып. 4,
Рига, «Зинатне», стр. 149—156, 1970.
(А13) Adey W. R. — Organization of Brain Tissue: is the Brain a Noisy
Processor? International Jour, of Neuroscience. Vol. 3, pp. 271—284, 1972.
(A14) Arbib M. A. & Manes E. G.— Fuzzy Machines in Category. COINS Techn.
Report 758—1. Univ, of Massachusetts at Amberst. 1975.
(A15) Arbib M. A. & Manes E. G. —A Category-theoretic Approach to Sys-
tems in a Fuzzy World. — Synthese. Vol. 30, pp. 381—406, 1975.
(A 16) Allen A. D. — A Method of Evaluating Technical Journal on the Ba-
sis of Published Comments through Fuzzy Implications: A Survey of the Major
I. E. E. E. Transactions. I. E. E. E. Trans, on Syst., Man and Cybernetics. Vol.
SMC 3, pp. 422—425, 1973.
(A17) Allen A. D. —Measuring the Empirical Properties of Sets. I. E. E. E.
Trans, on Sys., Man. and Cybernetics. Vol. SMC 4, pp. 66—73, 1974.
(A18) Arbib M. A. &Manes E. G. —Foundations of System Theory: De-
composable Systems. Automatica., pp. 285—302, 10.6. 1974.
(A 19) Arbib M. A. &Manes E. G. — A Categoristic View Automata and Sys-
tems. — Proceedings of the First International Symposium on Category Theory
Applied to Computation and Control., pp. 98—105. Univ, of Massachusetts. Amh-
erst., 1975.
(A20) Arbib M. A. &Zeiger H. P. — On the Relevance of Abstract Algebra
to Control Theory. — Automatics. 5, pp. 589—606, 1969.
(A21) Asai K. &Tanaka H. — On the Fuzzy Mathematical Programming.
Proc, of the Third IFAC Sympos. on Identification and System Parameter Estima-
tion. Pt. 11. North Holland. Amsterdam. 1973.
(Bl) Banaschewski B. — Injective Hull in the Category of Distributive Latti-
ces. J. fur Reine und AngewandtevMathematik. 232, pp. 102—109, 1971.
400
В (2) Banaschewski В. & Burns G. — Categorical Characterisation of the McNe-
ville Completion. Arch, der Math. 18, pp. 369—377, 1967.
(B3)	Bellmann R. E., Kalaba R. &Zadeh L. M. — Abstraction and Pattern
Classification. —Jour.J Math. Anal, and Appl. Vol. 13, pp. 1—7, 1967.
(B4)	Веллман P., Заде JI. — Принятие решений в расплывчатых условиях. —
В сб.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. «Мир», Москва,
с. 172—215, 1976.
(В5)	Boicescu V. —Sur les Algebre de Lukaciewicz. In.: Logique, Automati-
que, Informatique. Ed. Acad. Rep. Soc. de Roumanie, pp. 71—97, 1971.
(B6)	Brown J. G. — A Note on Fuzzy Sets. Inform, and Control. Vol. 18,
pp. 32—39, 1971.
(B7)	Brown J. G. — Fuzzy Sets and Boolean Latteces — Report No. 1957—
Balistic Research Lab — Aderdun — Maryland. Jan. 1969.
(B8)	Black M. —Vaguaness: an Exersise in Logical Analysis. Phil, of Scien-
ce. —Vol. 17, pp. 141—164, 1970.
(B9)	Bunge M. C. —Categories of Sets Valued Functors. Phil. Dact. Thesis.
Univ, of California Dept, of Mathematics. May 1966.
(BIO)	Bellman R. E. &Giertz M. — On the Analytic Formalism of the Theo-
ry of Fuzzy Sets. Inform Science. —Vol. 5, pp. 149—156, 1973.
(Bll)	Black M. — Reasoning with Loose Concepts. Dialogue. 2, No. 1,
pp. 1—12, 1973.
(B12)	Bezdek J. C. — Numerical Taxonomy with Fuzzy Sets. Jour, of Math.
Biology, pp. 1—57, 71, 1974.
(B13)	Bremont J. —Contribution ala reconnaissance automatique de la pa-
role par les sous-ensemblesj flous. These Doctorat d’Etat. Univ, de Nancy. Ier
Avrcie 1975.
(B14)	Bremont J. &Lamote M. — Reconnaissance glob ale de la parole en
temps reel par calcul d’un indice de similarite floue. 56me journee d’etude du
groupe «Comunication parlee», Orsay. 15—17, mai 1974.
(B15)	Bremont J. &Lamotte M. — Reconnaissance de formes. Contribution
a la reconnaissance automatique de la parole en temps reel par la consideration de
sous —ensembles flous. C. R. Acad. Sciences. Paris. 15 juillet 1974.
(B16)	Борисов A. H., Кокле Э. A. — Распознавание размытых образов по
признакам. — Кибернетика и диагностика, вып. 4, Рига, «Зинатне», с. 135—
147, 1970.
(BI7)	Bremermann Н. J. —Cybernatic Functionals and Fuzzy Sets. I. E. E.
E. Symp. Record, Systems, Man and Cybernatics, pp. 248—253, 1971.
(Bl8)	Borghi 0. — On a Theory of Functional Probabilicy. Revist* UN. Mat.
Argentina. 26, pp. 90—106, 1972.
(B19)	Борисов A. H., Вульф Г. H., Осис Я. Я-—Применение теории размы-
тых множеств к идентификации состояния сложных систем. — Кибернетика и
диагностика», вып. 5. Рига, «Зинатне», 1972.
(В20)	Becker J. М. — A Structural Desing Process. Thesis Depart, of Civil
Eng. Univ, of California. Berkeley. — 1973.
(B21)	Bellman R. E. &Marchi E. — Games of Protocol: the City as a Dyna-
mic Competitive Process. Tech. Report RB. 73—36. Univ, of Southern California.
Los Angeles. Cal. 1973.
(B22)	Bezdek J. C. — Fuzzy Mathematics in Pattern Classification. — The-
sis — Center for Appl. Math. Cornell Univ. Ithaca. N. Y. 1973.
(B23)	Rossel H. H. & Hughes В. В — Simulation of Value-controlled Decision-
making. Rep. SCR 73—11. Syst. Res. Center. Case Western Reserve Univ.^Cleve-
land. Ohio. 1973.
(B24)	Blin J. —Fuzzy Relations in Group Decision. US—Japan Seminar
on Fuzzy Sets and their Applications. Berkeley. Cal. 1974.
(B25)	Barnev P., Dimitrov V. &Stanchev V. —Fuzzy System Approach to
Decisionmaking based on Public Opinion Investigation through Questionnaries.
Inst, of Math, and Meeh. Bulgarian Acad, of Sciences. Sofia. Bulgaria. 1974.
(B26)	Bang S. Y. &Yeh R. H. — Toward a Theory of Relational Data Struc-
ture. Report SESLTR I. Univ, of Техас. Austin. Aug. 1974.
14 Зак. 461
401
(В27)	Bellman R. E. — Law and Mathematics. — Technical Report. No. 71 —
34. Univ, of Southern California. Los Angeles. Sept. 1971.
(B28)	Bezdek J. C. &Dunn J. C — Optimal Fuzzy Partitions: a Heuristic
for Estimating the Parameters in a Mixture of Normal Distributions. Cornell
Univ. Ithaca. N. Y. July 1974.
(B29)	Борисов A. H., Осис Я*Я. — Методика оценки функций принадлеж-
ности элементов размытого множества. — Кибернетика и диагностика, вып. 4,
Рига, «Зинатне», с. 125—134, 1970.
(ВЗО)	Boichut D. — Utilisation des sous—ensembles flous pour le diagnostic
medical. — Seminaire «Contribution des Systemes flous a Tautomatique». Centre
d’automatique de Lille 1, Juin 1975.
(B31)	Blokley D. I. — Predicting the Likelihood of Structural Accidents
Proc. Inst. Civil Eng. Part 2. pp. 659—668, Dec. 1975.
(B32)	Борисов A. H., Вульф Г. H., Осис Я. Я. — Прогнозирование состоя-
ния сложной системы, с использованием теории размытых множеств. — Кибер-
нетика и диагностика, вып. 4, Рига, «Зинатне», с. 79—84, 1972.
(ВЗЗ)	Bellmann R. Е. — Local Logics. Technical Report 74—9. Univ, of
Southern California. Los Angeles. 1971.
(B34)	Bezdek J. C. &Dumn J. C. —Optimal Fuzzy Partitions: a Heuristics
for Estimating the Parameters in a Mixture of Normal Distributions. I. E. E. E.
Trans, in Computers. 1976.
(B35)	Butnariu D. — L. Fuzzy Automata Description of a Neutral Model. —
Proc, of 3rd International Congress of Cybernatics and Systems. Bucharest. Aug.
1975.
(B36)	Burronl E. —Algebres relatives a une loi distributive. —C. R. Acad.
Sciences. Paris. 276. Serie A, pp. 443—446, 5 fevrier 1973.
(B37)	Butnariu D. — Fuzzy Automata and Fuzzy Games. Seminarul de Theo-
ria Sistemelor at the Department of Economic Cybernetics. Acabemy of Economic
Studies. Bucarest. 1975.
(Cl) Chang C. L. —Fuzzy Topological Spaces. Jour. Math. Analysis and
Appl. — Vol. 24. pp. 182—190. 1968.
(C2)	Chang S. K. — Picture Processing Grammar and its Applications. In-
form. Sciences. Vol. 3, pp. 121—148, 1971.
(C3)	Chang S. K. — Fuzzy Programs. Theory and Applications. P. I. B. Proc.
Comput. Automata. Vol. 21, 1971.
(C4)	Chang S. K.— Automated Iterpretation and Editing of Fuzzy Line Dra-
wing — In: Proc. 1971 Spring Joint Comput. Conf. AFIPS Proc. pp. 393—399,
May 1971.
(C5)	Chang S. S. L. — Fuzzy Dymanic Programming and the Decision—ma-
king Process. — In.: Proc. 3nd Princeton Conf. Inform. Science Systems, pp. 200—
203 1969.
(C6)	Chang S. S. I. &Zadeg L. A. —Fuzzy Mapping and Control. — I.E.
E. E. Trans, on Systems, Man and Cybernetics. Vol. SMC 2, pp. 30—34, Janv.
1972.
(C7)	Cignoli R. — Estudio Algebraice de Logicas Polivalentes. Algebra de
Moisil de Orden n. Thesis Doctorat. Univ. Nac. de Sur-Bahia-Blanco. Argen-
tine. 1972.
(C8)	Chang S. K. — On the Execution of Fuzzy Programs using Finite—State
Machines. — I. E. E. E. Trans, on Computers. Vol. C21, pp. 231—253, 1972
(idem S4).
(C9) Conche B. &Courant P. — Application des concepts flous aus probl ernes
multi—criteres. Seminaire Bernard Roy. Univ. Paris—Dauphine. 1972.
(CIO) Conche B., Jouhault J. P. &Luan P. M. —Application des Concepts
Flous a la Programmation en languages quasi—naturels. Seminaires Bernard Roy.
Univ. Paris—Dauphine. 1973.
(CH) Conche B. — Elements d’une mdthode de classification par Tutilisation
d’un automate flou. J. E. E. F. L. N. Univ. Paris-Dauphine 1973.
(C12) Chang С. C. — Infinited Valued Logic as a Basis for Sets Theory. —
Proc, of 1964 Internat. Cong, for Logic, Methodology and Philosophy of Sciense.
North Holland Publish. 1964.
402
(С13) Chapin E. W. — An Axiomatization of the Sets Theory of Zadeh.— No-
tices of the American Math. Soc. Notice 687—02—4, p. 753, 1971.
(C14) Cohen P. J, & Hirsch R. — Non-Cantorian Sets Theory. — Scientific
American, pp. 101 —116, Dec. 1967.
(C15) Cools M. &Peteau M. — STIM 5 un programme de stimulation inven-
tive utilisant la theorie des sous-ensembles flous. IMAGO Disc. Paper. Univ. Ca-
thol. Louvain. Nov. 1973.
(C16) Cools M. — La semantique dans les processus didactiques. IMAGO
Disc.Paper. Univ. Cathol. Louvain. Nov. 1973.
(C17) Chang C. L. — Fuzzy functions and their Applications to Functions
Approximation. Div. of Com put. Res. and Techn. Nat. Inst, of Health. Bethesda,
1971.
(C18) Conche B. — Application des concepts flous a la psychologie de la per-
ception et des etats de vigilance. Memoire Univ. Paris. IX. Dec. 1973.
(Cl9) Conche B. — Apprentissage heuristique en selection de projets de reche-
rche: une application des concepts flous a la classification automatique. These
Doctorat. Univ. Paris—Daphine IX. 1974.
(C20) Cools M. &Peteau M. — Un programme de stimulation inventive: STIM
5, Revue Fran^aise A. I. R. O. Nov. 1974.
(C21) Chang C. L. — Interpretation and Execution of Fuzzy Programs. In:
Fuzzy Sets and their Applications to Cognitive and Decision Processes. Academic
Press, pp. 191—218, 1975.
(C22) Chang S. S. L. — On Risk and Decision-making in a Fuzzy Environ-
ment. — In.: Fuzzy Sets and their Applications to Cognitive and decision Proces-
ses. Academic Press, pp. 219—226, 1975.
(C23) Capocelli R. M. &De Luca A. — Measures of Uncertainty in the Con-
text of Fuzzy Sets Theory. Atti del. IIе Congresso Nationale di Cibernatica di
Casciana Terme. Pisa 6. 1972.
(C24) Chang S. S. L. —Fuzzy Mathematics, Man and his Environment. —
I. E. E. E. Trans, on Syst., Man and Cybernetics. SMC 2. pp. 92—93, 1972.
(C25) Capocelli R. M. &De Luca A. — Fuzzy Sets and Decision Theory.
Inform, and Control. 23. pp. 446—473, 1973.
(C26) Chen C. — Realizability of Communication Nets: an Application of
the Zadeh Criterion. I. E. E. E. Trans, on Circuits and Systems. CAS 21. pp. 150—
151, 1974.
(C27) Chang C. L. —Fuzzy Sets and Pattern Recognition. Thesis. —Univ,
of California. Berkeley, 1967.
(C28) Conche B. — La classification dans le cas d’information incompletes
ou non explicites. Seminaire «Contribution des systemes flous ’a 1’automatisme».
Centre d’Automatique de Lille 1. Juin 1975.
(C29) Chanas S., Pelech A. &Radosinski E. — Toward a Concept of a R. &D.
Project Fuzzy Model. Konferencje Prace Naukowe Osrodka Badan Prognostycz-
nych Politechniki Wroclawskiej. Nr. 4. Wroclaw. Pologne. 1975.
(C30) Cools M. — Vers une evaluation en problem-solving applique а ГЕ.
A. O. par la theorie des sous-ensembles flous. IMAGO Disc. Paper №102, Univ.
Cathol. Louvian. Sept. 1975.
(C31) Chang S. S. L. —On Fuzzy Mathematics and Control. — I. E. E. E.
Trans, on Syst., Man and Cybernetics. Vol. SMC—2, pp. 30—34, 1972.
(C32) Chang S. S. L. — On Fuzzy Algoritm and Mapping. — Special Interest
Disc. Session on Fuzzy Automata and Decision Processes. 6 th IFAC World
Congress. Boston. Mass. Aug. 1975.
(C33) Cleave J. P.— The Notion of Validite in Logical Systems with Inexact
Predicates. British Jour, for the Philosophy of Science. Vol. 21, pp. 269—274,
1970.
(C34) Chapin E. W. — Set-valued Set Theory. Part 1. Vol. 15, pp. 619—
634, Part. 2. Vol. 16, pp. 255—267. Notre Dame Jour, of Formal Logic. 1974.
(C35) Cleave J. P. — The Notion of Logical Consequence in the Logic of Ine-
xact Predicates. Zettschrift fur Math., Logik und Grundlagen der Math. Vol. 20,
pp. 307—324. 1974.
14*	403
(С36) Cools M. — Recherche d’une evaluation de strategies de resolution
probl ernes formalisables par la theorie des sous—ensembles flous. I. D. P. 110 —
Centre IMAGO — Universite de Louvain. 1976.
(C37) Cools M. — Vers une evaluation en «problem-solving» appliquee a
ГЕ. A. O. par la theorie des sous-ensembles flous. I. D. P. 102. Centre I. M. A.
G. O. Universite de Louvain. 1975,
(DI) Diday E. — Optimisation en classification automatique et reconnaissan-
ce des formes. Notes scientifiques IRIA. N 6. Bull. № 12, Mai—juin 1972.
(D2) De Luca A. & Termini S. —A Definition of a Non-probabilistic Ent-
ropy in the Setting of Fuzzy Sets Theory. Inform, and Control. — 20. pp. 301 —
312, 1972.
(D3) De Luca A. &Termini S. — Algorithmic Aspects in the Analysis of
Complex Systems LC/54/71/AL. Lab. di Cibernetica del CNR. Napoli. Italia.
1971.
(D4) Dubois T. — Une methode d evaluation par les sous-ensembles flous
appliquee a la similation. IMAGO Disc. Paper. Univ. Cathol. Louvain. Janvier
1974.
(D5) Dunn J. C. — A Graf Theoretic Analysis of Pattern Classification
via Tamura’s Fuzzy Relation. I. E. E. E. Trans, on Syst., Man and Cybernetics,
pp. 310 —313, May 1974.
(D6) Dubois T. — Methodes d evaluation et de gestion dans les systemes
didactiques multi-media. These doctorat en Sc. Appl. Univ. Cathol. Louvain.
1975.
(D7) De Luca A. &Termini S. — Entropy of L-Fuzzy Sets. Inform. &
Control. 24, pp. 55—73, 1974.
(D8) De Palma G. F. &Yau S. S. — Fractionally Fuzzy Grammars with
Applications to Pattern Recognition. In.: Fuzzy Sets and their Applications to
Cognitive and Decision Process. Academic Press. 1975.
(D9) De Luca A. &Termini S. —Algebraic Propertise of Fuzzy Sets. Jour.
Math. Anal, and Appl. 40, pp. 373—386, 1972.
(D10) Dal Cin M. —Fuzzy-State Automata, their stability and fault-tole-
rance. Inst, of Sci. Univ, of Tubingen. 1973.
(Dll) Dimitrov V., Wechler W. &Barnev P. —Optimal Fuzzy Control of
Humanistic Systems. — Inst, of Math, and Mach. Bulgarian Acad, of Sci. Sofia
Bulgarie. 1974.
(D12) Dunn J. C. — Some Recent Investigations of a New Fuzzy Partitioning
Algorithm and its Applications to Pattern Classification Problems. Center for
Appl. Math. Cornell Univer. Ithaca. N. Y. 1974.
(D13) De Kerf J. —Vage Verzamelingen. — Ingenieurstijdingen 23е jaar-
gang. — № 4, pp. 581—589, 1974.
(D14) Dunn J. C. —Canonical Forms of Tamura’s Fuzzy Relation Matrix:
A Scheme for Visualizing Cluster Hierarchies. The Proc, of the Comp. Graphics,
Pattern Recognition and Data Structures. Beverly Hills. Cal. May 1975.
(D15) Dunn J. C. — Well Separated Clusters and Optimal Fuzzy Partiti-
ons. — Report Cornell Univ. Ithaca. N. Y. 1974.
(D16) Dunn J. C. — A Fuzzy Relative of the ISODATA Process and its use
in Detecting Compact Well-separated Clusters. Report. — Cornell Univ. Itha-
ca. N. Y. 1974.
(D17) Defayes D. — Ultrametrique et Relations floues. — Bull. Soc. Royale
des Sciences de Liege. —44е annee. № 1—2, pp. 104—118, 1975.
(D18) Defayes D. — Recherche des ultrametriques a distance minimale d’une
similarite donnee. Bull. Soc. Royale des Sciences de Liege. 44е annee, pp. 330—
343, 1975.
(D19) Defayes D. — K-recouvrements et sous-ensembles flous. Bull. Soc.
Royale des Sciences de Liege. 44е annee 1975.
(D20) Dubois T. — Les sous-ensembles flous dans les sustemes didactiques
multimedia. —Seminarie «Contribution des Systemes flous a 1’automatique». —
Centre d’Automatique de Lille 1. Juin 1975.
404
(D21) Deloche R. — Theorie des sous-ensembles flous et classification en
analyse economique spatiale. Document Institut de^Mathematiques Economiques.
Faculte de Science Economique et de Gestion de Dijon. Juillet 1975.
(D22) Dubois T. —A Teaching System using Fuzzy Sets Theory and Multicri-
teria Analysis. IMAGO Disc. Paper № 103. Univ. Cathol Louvain. September
1975.
(D23) Diamond F. — Fuzzy Chaos. — Depart, of Mathematics. Univ, of
Queensland. — Brisbane. Australia. 1975.
(D24) Drosselmeyer E. &Wonneberger P. — Studies on a Fuzzy System in the
Parochial Field. Special Interest Discussion Session on Fuzzy Automata and De-
cision Processes. 6th IFAC World Congress Boston. Mass. Aug. 1975.
(D25) Dunn J. C. — Indices of Partition Fuzzines and the Detection of Clu-
sters in Large Date Sets. Special Interest Discussion Session on Fuzzy Automata
and Decision Processe. 6th IFAC World Congress. Boston. Mass. Aug. 1975.
(D26) David M. &Thayse A. — Representation of Fuzzy Functions. Philips
Research Report. Vol. 28, pp. 93—106, 1973.
(D27) De Kerf J. — Vage Verzameltingen, Omega. Veremiging voor wisen
naturkundigen lovanienses. jgr 2. NR2. BLZ 218. 1974.
(D28) Dravecky J. &Riecan B. —Measurability of Functions with Values
in Partially Ordered Spaces. Casopsis Pro Pestovani Matematiky. Vol. 100, pp. 27—
35. 1975.
(D29) Dodson С. T. J. — Hazy Spaces and Fuzzy Speces. Bull. London Math.
Soc. 6, pp. 191—197. 1974.
(D30) Dodson С. T. J. — Tangent Structure for Hazy Speces. Jour. London
Math. Soc. 2. 11, pp. 465—473, 1975.
(D31) Dodson С. T. J. —Fuzzy Interactions and Hazy Directions. Depart, of
Mathematics. University of Lancaster. Bailrigg. Lancaster. England. 1976.
(D32) Deherder R. — Ensembles flous. Revue Beige de Statistique, Informa-
tique et Recherche Operationnelle. Vol. 15, № 4, pp. 1—4, Dec. 1975.
(D33) Dodson С. T. J. — Fuzzy Interactions and Hazy Directions. Dept, of
Mathematics. Univ, of Lancaster. Bailrigg. Lancaster. England. Febr. 1976.
(D34) David M. &Thayse A. — Representation of Fuzzy Functions. Phi-
lips Research Reports. 28, pp. 93—106, 1973.
(D35) Diday E. — The Dynamic Clusters Method and Optimization in Non-
therarchical Clustering. 5th Conf, on Optimization Techniques. Pt. I. Ed. Conti R
&Ruberti A. Springer Verlag. Berlin. 1973.
<E>36) Dimitrov V. — Efficient Governing Humanistic Systems by Fuzzy
Instructions. Paper at the 3rd Internat. Congress of General Systems and Cyberne-
tics. Bucarest. Aug. 1975.
(D37) Dorris A. L. &Sadosky Th. L. — A Fuzzy Sets Theoretic Approach to
Decision Making. 44th Nat. Meeting of the Operations Research Soc. of America.
San Diego. CaL Nov. 1973.
(El) Esogbue A. M. O. — Dynamic Programming and Fuzzy Allocation Pro-
cesses. Tech. Memo. 202. Operations Research Dept. Case Western Reserve. Univ-
Cleveland. Ohio. 1970.
(E2) Endo Y. &Tsukamoto Y. — Apportion Models of Tourists by Fuzzy
Integrals. Annual. Conf. Records, of S. I. С. E. 1973.
(E3) Engel А. В. &Виопотапо^ V. — Towards a General Theory of Fuzzy
Sets. Ints. Math. Univ. Estuadal de Campinas. Bresil. 1973.
(E4) Emsellem B. &RochfeId A. — Bases de donnees et recherche documen-
taire par voisinage. — Revue METRA. Vol. XIY, № 2, pp. 321—334, 1975.
(E5) Esogbue A. M. O. — Og Application of Fuzzy Allocation Theory to the
Modelling on Cancer Research Appropriation Process. Georgia Inst, of Technology.
Atlanta. Georgia. 1975. See also: Proceedings of 3nd Intern. Congress of Cyberne-
tics and Systems. Bucharest. Aug. 1975.
(Fl) Floyd R. W.—Non-deterministic Algorithms. Jour. Assoc. Comput.
Machinery. Vol. 14, pp. 636—644, 1967.
(F2) Fu K. S. —A Critical Review of Learning Control Research. — In.: Pat-
tern Recognition and Machine Learning. Plenum Press. N. Y. 1971.
405
(F3) Fee W. G. & Fu K. S. — A Formulation of Fuzzy Automata and its Ap-
plications as a Model of Learning Systems. I. E. E. E. Trans. onS. S. C. Vol. S. S.
C. 5. №3, pp. 215—223, 1969.
(F4) Fung L, &Fu. K. S. — The к-th Optimal Policy Algorithm for Deci-
sion-Making in Fuzzy Environment. Proc, of the 3nd IFAC Symposium on Iden-
tification and System Parameter Estimation. 1973.
(F5) Fine K. — Vagueness, Truth and Logic. Depart, of Philosophy. Univ,
of Edinburgh. 1973.
(F6) Fung L. &Fu Ku S. — An Axiomatic Approach to Rational Decision-
Making in a Fuzzy Environment. In.: Fuzzy Sets and their Applications to Cogni-
tive and Decision Processes. Academic Press. 1975.
(F7) Fujisake H. — Fuzziness in Medical Sciences and its Processing. Proc,
of Symp. on Fuzziness in Systems and its Processing. Prof. Group of Syst. Eng. of
S. I. С. E. 1971.
(F8) Furukawa M., Nakamura K. &Oda M. — Fuzzy Models of Human De-
cision-making Process. Annual Conf. Records of J. A. A. С. E. 1972.
(F9) Fu K. S. &Li T. J. —Formulation of Learning Automata and Games.
Inform. Sciences 1, pp. 237—256, 1969.
(F10) Fellinger W. L. — Specification for a Fuzzy System Modeling Langua-
ge. —Thesis. Oregon State Univ. Cornvallis. 1974.
(Fll) Fung L. W. &Fu K. S. —Characterization of a Class of Fuzzy Opti-
mal Control Problems. Proceedings of the 8th Princeton Conference on Information
Science and Systems. 1974.
(Fl2) Fu K. S. — Pattern Recognition and some Socioeconomic Problems.
Purdue Univ. Report. West Lafayette. Indiana. 1973.
(F13) Furukawa M., Nakamura K. &Oda M. —Fuzzy Variant Process of Me-
mories. Annual Conference Records of S. I. С. E. 1973.
(F14) Fustier B. — L’attraction des points de vente dans les espaces precis
et imprecis. — Document Institute de Math. Economiques. Faculte de Science
Economique et de Gestion de Dijon. Juillet 1975.
(F15), Fu K. S. &Li T. J. &Gentilhomme Y.—Formulation of Learning Au-
tomata Games. Information Sciences. 1, pp. 237—256, 1969.
(GI) Georgescu G. — Les algebres de Lukaciewicz Th6ta-valentes. — Dans
Logique, Automatique, Informatique. Ed. Acad. Rep. Soc. de Roumanie. pp. 99—
176, 1971.
(G2) Gitman I. — Organisation of Date. A Model and Computational Algo*
ridm that use the Cocept of Fuzzy Sets. — Ph. D. Thesis Me Gill University. Mont-
real. 1970.
(G3) Goguen J. A. — L-Fuzzy Sets. Jour. Math. Analysis and Appl. Vol. 18,
pp. 145—174, April 1967.
(G4) Goguen J. A. — The Logic of Inexact Concepts. Synthese. Vol. 19,
pp. 325—373, 1969.
(G5) Goguen J. A. —Some Comments on Applying Mathematical Systems
Theory. Doc. Comput. Sc. Depart. Univ, of California. Los Angeles 1973.
(G6) Goguen L. A. — Axioms, Extensions and Applications for Fuzzy Sets:
Languages and their Representation of Concepts. Doc. Comput. Sci. Depart. —
Univ, of California. Los Angeles. 1973.
(G7) Gitman I. & Levine M. N. — An Algorithm for Detecting Uni modal
Fuzzy Sets and its Applications as a Clustering Technique. I. E. E. E. Trans, on
Computers. C 19. № 7, pp. 583—593, July 1970.
(G8) Goguen J. A. —Categories of Fuzzy Sets: Applications of Non-Can-
torian Sets Theory. Ph. D. Thesis. Univ, of California. Berkeley. May 1969.
(G9) Goguen J. A. —Categories of L-Fuzzy Sets. Bull. Amer. Math. Soc. 75.
№3, pp. 622—624, May 1969.
(GIO) Goguen J. A. — Mathematical Representation of Hi er ar ch ecall у Orga-
nized Systems. —Global Systems Dynamics. Ed. E. O. Attinger. pp. Ill—129.
S. Karger, 1970.
(Gil) Goguen J. A. — Representing Inaxact Concepts. I. C. R. Quarterly
Report № 20, Institute for Computer Research. Univ, of Chicago, Febr. 1969.
406
(G12) Goguen J. A. — Hierarchical Inexact Data Structures in Artificial
Intelligence Problems. Proc. 5th Hawaii Internat. Conf. Syst. Sciences. Honolulu,
pp. 345—347 1972.
(G13) Goguen J. A.— The Fuzzy Tychonoff Theorem. Jour, of Math. Anal,
and Appl. 1973.
(G14) Goguen J. A., Thatcher J., Warner E. &Wright J. — A Junction bet-
ween Computer Science and Category Theory. Basic Concepts and Examples. II. —
Universal Contractions. I. В. M. Research Report. 1973.
(G15) Goguen J. A. — Systems Theory Concepts in Computer Sciences. Proc,
of the 6th Hawaii Internat. Conf, on Syst. Sciences. Honolulu. Hawaii, pp.
77—80, 1973.
(G16) Gluss B. — Fuzzy Multistages Decision-making. Fuzzy States and
Terminal Regulators and their Relationship to Non—fuzzy Quadratic Stage and
Terminal Regulators. Internat. Jour. Control. U. K. 17, № 1, pp. 177—192, 1973.
(G17) Gentilhomme Y. — Les ensembles flous en linguistique. — Cahiers de
linguistique theorique et appliquee. Bucarest V—47, 1968.
(G18) Goguen J. A. — Concept Representation in Nature! and Artifical Lan-
guages. Extensions and Applications for Fuzzy Sets. Internat. Jour, of Man-ma-
chine Studies. Vol. 6, pp. 513—561, 1974.
(G19) Gaines B. R. —Stochastic and Fuzzy Logics. Electronics Letters. Vol.
11, №9, May 1975.
(G20) Goguen J. A. — On Fuzzy Robot Planning. In.: Fuzzy Sets and their
Applications to Cognitive and Decision Processes. Academic Press 1975.
(G21) Gotwald S. — Zahlbereighskonstruktionen in einer mehrwertigen
Mengenlehre. Ztschr. Math. Logik Grd 1. Math. 17, pp. 145—188, 1971.
(G22) Gottinger H. W. — Toward a Fuzzy Reasoning in the Behavioral Scien-
ces. Cybernetica. pp. 113—135, 1973.
(G23) Гусев Л. А., Смирнова И. M. Размытые множества: теория и прило-
жения (обзор). Автоматика и телемеханика, № 5, стр. 66—85, 1973.
(G24) Giles R. — Lukaciewcz’s ’ Logic and Fuzzy Sets Theory. — Queen’s
Univ. Math. Preprint 1974—29. Kingston. Canada. 1974.
(G25) Goodman J. S. —From^Multiple Balayage to Fuzzy Sets. Inst. Nat.
Univ, of Florence. 1974.
(G26) Gotwald S. —Fuzzy Topology: Product and Quotient Theorems. Jour.
Math. Anal, and Appl. 45, pp. 512—521, 1974.
(G27) Gearing С. E. — Generalized Bayesian Posterior Analysis with Ambi-
gous Information. Report Dartmouth College. Hanover. N. H. 1974.
(G28) Gottinger H. W. — A Fuzzy Algoritmic Approach to the Definition of
Complex or Imprecise Concepts. Report Univ, of Bielefeld. Conf, on Systems Theo-
ry. April 1975.
(G29) Grattan—guiness. —Fuzzy Membership Mapped into Interval and Ma-
ny—valued Quantities. ENS3 4SF. Ensfield. England. 1975.
(G30) Gaines B. R. — A Calculus of Possibility, eventuality and probabilty.
In.: EES—MMS—FU 71—75. Depart of Electrical Eng. Science. Univ, of Essex.
Colchester. U. K. 1975.
(G31) Gaines B. R. —Fuzzy and Stochastic Metric Logics. In.: EES—MMS—
FU71—75. Depart, of Electrical Eng. Science. Univ, of Essex. Colchester. U. K.
1975.
(G32) Gaines B. R. — Multivalued logics and Fuzzy Reasoning. Lecture no-
tes of DCS AISB Summer School. Cambridge. U. K. July 1975.
(G33) Gaines B. R. &Kohout L. —Possible Automata. Proceedings of In-
ternational Sumposium on Multiple-valued Logic. I. E. E. E. 75CH0959—7C.
pp. 183—196, 1975.
(G34) Gaines B. R. &Kohout L. — The Logic of Automata. Internat. Jour,
fo General Systems. Vol. 2, 1975.
(G35) Giles R. — A Logic for Subjective Belief. Proceedings of Conference on
Foundations of Probability and Statistics and Statistical Theories of Science.
London. Ontario. May 1973.
(G36) Giles R. — A Non-classical Logicjfor Physics. Studia Logica. Vol. 33,
407
(G37) Giles R. — A Pragmatic Approach to the Formalization of Empirical
Theories. Proceedings of Conference on Formal Methods in the Methodology of
Empirical Sciences. Warsaw. June 1974.
(G38) Giles R. — Formal Languages and the Foundations of Physics. Proc.
Internal. Research Seminar on Abstract Representation in Mathematical Physics.
London. Ontario. Dec. 1974.
(G39) Gadreau M. — Economic formalisee d’un systerne de sante et sous-
ensembles flous. —Note interne. Institute de mathematiques economiques. Fa-
cult e de Science economique et de gestion de Dijon, pp. 1—27, 1975.
(G40) Gitman I. &Levine M. D. — An Algorithm for Detecting Unimodal
Fuzzy Sets and its Application as a Clustering Technique I. E. E. E. Trans, on
Computers. C—19, pp. 583—593, 1970.
(G41) Gottigner H. W.—Competitive Processes: Application to Urbun Struc-
tures. Cybernetica. 16, pp. 177—197, 1973.
(G42) Gurbutt P. A. — A Model of Problem Solving in Physics. I. D. P. 106 —
Centre IMAGO Universite de Louvain. 1976.
(G43). Gottwald S. — Element are Inhalts und Masstheorie in einer mehrwer-
tigen Mengenlehre. Senderdruck aus Mathematische Nachrichten. В 50. pp. 27—
68, 1971.
(G44) Gottwald S. — Uber Einbettungen in Zahlenbereiche einer mahrwerti-
gen Mengenlehre. — Sonderdruck aus Mathematische Nachricten. — Akademie-
Verlag Berlin. В 56 pp. 43—46, 1973.
(G45) Gottwald S. — Mehrwertige Anordnungsrelartionen in klassichen
Mengen. Sonderdruck aus Mathematische Nachrichten. Aka demi e Verlag Berlin.
В 63 pp. 205—212, 1974.
(G46) Gottwald S. — Untersuchungen zur Mehrwertigen Mengenlehre. — Doc.
Karl.—Marx Univ. Leipzig. Part. I &Part II. 1972.
(G47) Gottwald S. — Ein Kumulatives System Mehrwertiger Mengen. Doc.
Karl—Marx. Univ. Leipzig. 1975.
(G48) Gottwald S. —A Cumulative System of Fuzzy Sets. Doc. Karl—Marx
Univ. Leipzig. 1975.
(Hl) Hirai H., Asa! K. &Katajima S. —Fuzzy Automation and ist Appli-
cations to Learning Control Systems. Memo of the Fac, of Eng. Osaka City Univ.
Japan. .10, pp. 67—73, 1968.
(H2) Henry—Labordere A. &De Backer P. Intelligence creatrice. Automati-
sation de processus d’association. Revue METRA International. Rapport № 69,
Dec. 1972.
(H3) Hlntikka J., Moravosik J. &Suppes Py. (Eds). —Approach to Natural
Languages. D. Reidel Publish. Co. Dordrecht. Nederland. 1973.
(H4) Honda N. &Nasu M. —Recognition1 of Fuzzy Languages — In: Fuzzy
Sets and their Applications to Cognitive and Decision Processe. Academic Press.
1975.
(H5) Honda My. — Fuzzy Sets. Jour, of I. E. С. E. 54, pp. 1359—1363. 1971.
(H6) Hermann A. M. — Machine-aided Value Jugements using Fuzzy Sets
Techniques. —SP 3590. Syst. Develop. Corp. Santa Monica. Cal. 1971.
(H7) Hendry W. L. —Fuzzy Sets and Russell’s Paradox. Los. Alamos. New
Mex. 1972.
(H8) Hutton B. — Normality in Fuzzy Topological Speces. Dep. of Math.
Univ, of Auckland. New Zealand. 1974.
(H9) Hung N. T. — Information fonctionnelle] et] ensembles flous. Seminaire
sur les questionnaires. Univ, de Paris 6. 1975.
(H10) Haack S. — Deviant Logic. Cambrige Univ. Press. 1974.
(Hll) Hamacher H.—Uber Logischen Verknupfungen Unscharfer Aussagen
und deren Zugehorigen Bewertungsfunktionen. Lehrstuhl fur Unternehmensfor-
schung. RWTH. Aachen. West Germany. 1975.
(H12) Harris J. I. —Fuzzy Implication Comments on a Concept of Zadeh.
DOAE Research Working Paper. CM 8. Minist. Defence. Byfleet. Surrey. England,
1974.
408
(Н13)Harris J. 1. —Fuzzy Sets: How to be Imprecise Precisely. —DOAE
Research Working Paper. CM 5. Minist. of Defence. Byfleet. Surrey. England, 1974.
(H14) Hajek P. — Automatic Listing of Important Observational Statements.
Kybernetica I, Vol. 9, pp. 187—206, 1973. Vol. 9, pp. 251—271, 1973. Vol. 10,
pp. 95—124, 1974.
(H15) Horejs J. — Classifications and their relationship to a Measure. —
Publications of Faculty of Science. — Univ, of Purkyne—Brno. № 168, pp. 475—
493.
(H16) Honda N. &Nasu M.—F-recognition of Fuzzy Languages.—Spe-
cial Interest Discussion Session on Fuzzy Automata and Decision Processes. 6th
IFAC World Congress. Boston. Mass. Aug. 1975.
(H17) Hughes G. E. &Creswell J. C. — An Introduction to Modal Logic. Pub-
lish. Methuen. London. England. 1968.
(H18) Hutton B. &Reilly J. L. — Separation Axioms in Fuzzy Topological
Spacse. Univ, of Auckland. New Zealand. March 1974.
(Il) Inagaki Y. &Fukumura T. — On the Description of Fuzzy Meaning of
Context—free Languages. In: Fuzzy Sets and their Applications to Congnitive and
Decision Processes. Academic Press. 1975.
(12) Ishikawa A. &Mieno H. —Desing of a Video Information System and
the Fuzzy Information Theory. Eurocomp 75. Brunel University. U. K. 1975.
(13) Itzinger 0.— Aspects of Axiomatization of Behavior: Towards an Appli-
cation of Rasch's Measurement Model to Fuzzy Logic. COMPSTAT 1974. Proc,
of the Sympos. on Computational Statistics held at the Univ, of Vienne. Austria.
Ed. Bruckman G., Ferschl F., Schmetterer L. Physica-Verlag. Vienna, pp. 173—
182, 1974.
(JI) Jouault J. P. &Pham Nimh Luan. —Application des concepts flous st
la programmation en languages qiasi—naturels. Inst. Informatique d’Enterprise.
C. N. A. M. Paris. 1975.
(J2) Jones A. — Towards the Right Solution. Intern. Jour. Math. Educ. Sci.
Techn. Vol. 5, pp. 337—357, 1974.
(J3) Jakubowski R. &Kasprzak A. — Application of Fuzzy Programs to the
Desing of Machinery Technology. Bull. Academie Polonaise des Sciences. 21, pp.
17—22, 1973.
(J4) Jacquet—Lagreze E. — La Modelisation des preferences, ргё-ordres, qu-
asi—ordres et relations floues. Document METRA-Sema. Rapport de recherche
№80. Juillet 1975.
(J5) Jolies E. —Contribution a 1’analyse de la decision floue, deux exemples
d’applications. Memoire Faculte de Science economi que et de gestion. — Uni ver-
site de Dijon. Octobre 1975.
(J6) Jacobson P. H. — On Fuzzy Goals and Maximizing Decisions in Stochas-
tic Optimal Control. C. S. I. D. Special Report. National Research Institute for
Mathematical Sciences. Pretoria. 1975.
(J7) Jain P. — Outline of an Approach for the Analysis of Fuzzy Systems.
Special Interest Discussion Session on Fuzzy Automata and Decision Processes.
6th IFAC World Congress. Boston. Mass. Aug. 1975.
(J8) Jarvis P. A. — Optimization Strategies in Adaptive Control: a Selective
Survey. — I. E. E. E. Trans, on Systems. Man and Cybernetics. Vol. SMC 5, pp. 83—
84, 1975.
(J9) Jones A. — L’adaptation des objectifs moyens et fonctions d’un systS-
me d’education, par 1’utilisation, de la theorie des sous-ensembles flous. I. D. P.
108. Centre IMAGO. Universite de Louvain. 1976.
(KI) Killing R. — Fuzzy Planner. Techn. Report № 168. Comput. Science
Depart. Univ, of Wisconsin. Febr. 1973.
(K2) Kitajima S. &Isai K. — Method of Learning Control varing Search Do-
main by Fuzzy Automata. Japan—U. S. Seminar. Florida, Oct. 1973.
(КЗ) Kalmanson D. — Recherche cardio—vasculaire et theorie des ensem-
bles flous. La Nouvelle Presse Medicale. № 2, 41, pp. 2757—2760, Nov. 1973.
409
(К4) Kaufmann A., Coots М. & Dubois Т. —Stimulation Inventive dans un
dialogue homme-machine utilisant la methode des morphologic et la theorie des
sous-ensembles flous. IMAGO Disc. Paper № 6. Univ. Cathol. Louvain. Oct.
1973.
(K5) Kandel A. — On Minimization of Fuzzy Functions. — I. E. E. E. Trans,
on Comput. Vol. C22. №9, Sept. 73.
(K6) Kandel A. —Comment on a Algorithm that Generates Fuzzy Prime Impli-
cants by Lee and Chang. Inform, and Control. 22, 1973.
(K7) Knuth D. — Semantics of Context-free Languages. Math. Syst.
Theory. Vol. 2, pp. 127—145, 1968.
(K8) Kluska—nawarecka S., Musona—byrska E. &Nawarecki E.—Algorith-
mes te commande pour certaines classes de probl ernes operationnels construits
aves utilisation de la simulation numerique. Doc. Inst, de Fonderie. Cracovie. —
et Institut d’Informatique. Academie des Mines et Metallurgie de Cracovie. Jan.
1975.
(K9) Kandel A. &Yelowitz L. — Fuzzy Chains. — I. E. E. E. Trans, on Sust.
Man and Cybernetics. Sept. 1974.
(КЮ) Kandel A. — On the Analysis of Fuzzy Logic. In: Proc. 6th Internat.
Conf, on System. Sciences. Honolulu. Hawaii. Jan. 1973.
(KII) Kandel A.—Application of Fuzzy Logic in the Detection of Static Ha-
zard in Combinatorial Switching Machines. New Mexico Inst, of Mining and Tech-
nology. Soccoro — N. M. — Computer Science Report № 122. April 1973.
(K12) Kandel A. —Comments on the Minimization of Fuzzy Functions. —
I. E. E. E, Trans, on Comput. Vol. C22, pp. 217. Febr. 1973.
(KI3) Kaufmann A. — Introduction a la Theorie des sous-ensembles flous.
Tome. I. — Elements theoriques de base. Ed. Masson — Paris. 1973. English
Translate Introduction to the Theory of Fuzzy Subsets Vol. I. Publish. Academic
Press. 1975.
(KI4) Kaufmann A. — Introduction a la Theorie des sous-ensembles flous.
Tome II. Langages, semantique et logique. Ed. Masson 1975.
(K15) Kaufmann A. — Introduction a la Theorie des sous-ensembles flous.
Tome III. Classification et reconnaissance des formes. Automates. Machines de
Turing. Systemes. Problemes multi—criteres. Ed. Masson. 1975.
(KI6) Kaufmann A. — Introduction a la Theorie des sous-ensembles flous.
Tome IV. Complements et nouvelles applications. Ed. Masson. 1976.
(KI7) Kaufmann A.—Cools M. &Dubois T. — Exercices avec solutions sur
la th6orie des sous—ensembles flous. Ed. Masson 1975.
(K18) Kochen M. — Applications of Fuzzy Sets in Psychology. In: Fuzzy Sets
and their Applications to Cognitive and Decision Processes. Academic Press, pp.
409—428, 1975.
(K19) Kokawa M., Nakamura K. &Oda M. — Experimental Approach to
Fuzzy Simulation of Memoring, Forgetting and Inference Process. In: Fuzzy Sets
and their Applications to Cognitive and Decision Processes. Academic Press,
pp. 409—428, 1975.
(K20) Kitajlma T. —Fuzziness in Informative Logics. In: Fuzzy Sets and
their Applications to Cognitive and Decision Processes. Academic Press, pp. 97—
124, 1975.
(K21) Klauda D. — Grundbegriffe einer mehrwertigen Mengenlehre. — Mber.
Dt. Akad. Wiss. 8, pp. 782—802, 1966.
(K22) Kitajima S. &Asai K. — Learning Model of Fuzzy Automation with
Statedependet out—put. 3. Annual Joint Conf. Record of J. A. A. С. E. 1972.
(K23) Kalmanson D. & Stegall F. —Recherche cardiologique et th6orie des
ensembles flous. Amer. Jour, of Cardiology. 35. 1973.
(K24) Kitagawa T. — Three Coordinate Systems for Information Science Ap-
proaches. Inform. Sciences. 15. pp. 159—169, 1973.
(K25) Kitagawa T. — Biorobots for Simulation Studies of Learning and In-
telligent Controls. U. S. — Japan Seminar On Learning Control and Interlligent
Control. Gainesville. Florida. 1973.
(K26) Kling R. — Fuzzy Planner: Reasoninng with Inexact Concepts in a
Procedural Problem-solving Language. Jour, of Cybernetics. 3. pp. 1—16, 1973.
410
(К27) Kotoh К. &Hiramatsu К. — A Representation of Pattern Classes
using Fuzzy Sets. Trans. I. E. С. E. 56—d, pp. 275—282, 1973.
(K28) Kandel A. — On the Minimization of Incomletely Specified Fuzzy
Functions. Inform, and Control. 26, pp. 141 —153, 1974.
(K29) Kandel A. — Codes over Languages. I. E. E. E. Trans, on Syst. Man
and Cybernetics. SMC 4, pp. 135—138, 1974.
(K30) Kandel A. &Obenauf T. A. — On Fuzzy Lattices. C. S. R. 128, Com-
put. Science Depart. — New Mexico Tech. Sorocco. N. M. 1974.
(K31) Kim H. H., MizumotoM., Toyoda J. &Tanaka K. — Lattice Grammars.
Trans. I. E. С. E. 57—d, 1974.
(K32) Kandel A. — On the Properties of Fuzzy Switching Functions. U. S. —
Japan Seminar on Fuzzy Sets and their Applications. Berkeley. Cal. 1974.
(K33) Kaufman F. — A Survey of Fuzzy Sets Theory and Applications to
Languages Automata and Algorithms. U. S. — Japan Seminar on Fuzzy Sets and
their Applications. Berkeley. Cal. 1974.
(K34) Knopfmacher K. — On Measure of Fuzziness. Jour. Math. Anal, and
Appl. 49, pp. 529—534, 1975.
(K35) Kochen M. &Badre A. N. —On the Precision of Adjectiveswitch De-
notes Fuzzy Sets. Jour, of Cybernetics. 1974,
(K36) Kokawa M., Nakamura K. &Oda M. — Fuzzy Expression of Human
Experience to Memory Process. — Res. Report of Auto. Cont. Lab. Nagoya Univ.
Vol. 20, pp. 27—33, 1973.
(K37) Kokaw M., Nakamura K. &Oda M. — Fuzzy Theoretical Approaches
to Forgetting Processes and Inference. Res. Report of Auto. Cont. Lab. Nagoya
Univ. Vol. 21, pp. 1—10, 1974.
(K38) Kiir G. J. — On Universal Logic Primitives. — I. E. E. E. Trans, and
Computers. Vol. C20, N 4. pp. 467—467, April, 1971.
(K39) Kiir C. J. — Processing of Fuzzy Activities of Neural Systems. Report
State Univ, of New York. Binghampton. 1972.
(K40) Kokawa M. Nakamura K. &Oda M. — Effect and a Jump of Logic in
a Decision Process. Trans, of the Institute of Electronics and Communication
Engineers of Japan. Vol. 58, D, № 5, 1975.
(K41) Kaufmann A.—Les Modeles dans un environnement flou (Systemes
flous), Seminaire «Contribution des Systemes flous a Tautomatique» Centre d’au-
tomatique de Lille 1. Juin 1975.
(K42) Kaufmann A. — Th6orie d’un operateur humain dans in dialogue
homme-machine. Dans: Les conduites simulees (Direction : P. Mounoud &J.P.
Bronckart). Ed. Gallimard. Paris. 1976.
(K43) Khatchadourian H. — Vagueness, meaning and absurdity. American
Philosophical Quartely. Vol. 2, pp. 119—129, 1965.
(K44) Kickert W. J. M. &Van Nauta Lemke H. R. — Application of a
Fuzzy Controller in a Warm Plant. Delft Univ, of Technology.— Depart, of Electr.
Eng. Control Lab. Holland. 1975.
(K45) King P. J. &Hamdani E. H. — The Application of Fuzzy Control Sys-
tems to Industrial Processes. Special Interest Discussion Session on Fuzzy Automa-
ta and Decision Processes. 6th IFAC World Congress. Boston Mass. Aug. 1975.
(K46) Kise V. A. &Osis J. J. — Search Methods for Establishing of Ma-
xirnal Separability of Fuzzy Sets. Kibernetika I Diagnostika. Vol. 3, pp. 79—88,
(K47) Klaua D. — Uber einen ansatz zur mehrwertigen mengenlehre. — Mo-
natsb. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin. Vol. 7, pp. 859—867, 1965.
(K48) Klaua D. — Uber einen zweiten ansatz mehrwertiren mengenlehre.
Monatsb. Deutsch, Akad. Wiss. Berlin. 1966.
(K49) Klaua D. — Ein ansatz zur mehrwertingen mengenlehre. Math. Nachr.
vol. 33, pp. 273—296, 1967.
(K50) Klaua D. — Einbettung der klassischen mengenlehre in de mehr-
wertige. Monatsh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin, vol. 9, pp. 258—272, 1967.
(K51) Klaua D. — Stetige gleichmachtigkelten kontinuerlichwertirermen-
gen. — Mber. Dt. Akad. Vol. 12, pp. 749—758, 1970.
411
(К52) Koczy L. T. — R-Fuzzy Algebra as a Generalized Formulation
of the Intuitive Logic. Depart, of Process Control. Technical Univ. Budapest.
Hungary. 1975.
(K53) Kok aw a M., Oda M. & Nakamura K. —Fuzzy Theoretical Dimensi-
onnaly Reduction Method of Multi-dimentional Quantity. Special Interest Discus-
sion Session on Fuzzy Automata and Decision Processes. 6 th IFAC World Cong-
ress. Boston. Mass. Aug. 1975.
(K54) Kochen M. & Dreyfuss-raimi G. —On the Psycholinguistic Reality
of Fuzzy Sets : Effect of Contexh and Set. Univ, of Michigan Mental Health Rese-
arch Unit. Ann. Arbor. USA. June 1974.
(K55) Kochzy L. T. &Hajnal M. — A New Fuzzy Calculus and its Applications
as a Pattern Recognition Technique. Proc, of the 3rd Intern. Congress of Cyber-
netics and Systems. Bucharest. Roumania. Aug. 1975.
(K56) Kofas J. — Axioms for Birkhoff — Von Neumann Quantum Logic.
— Bulletin de I’Academie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Math., Astr.
et Phys. Vol. 11, pp. 620—632, 1963.
(K57) Koutsky K. —Sur les Lattices topologiques. —Comptes rendus Acad,
des Scieces. Paris. Vol. 225, pp. 659—661, 1947.
(K58) Koutsky K. — Theorie des Lattices topologiques. Publications de la
Fac. des Sciences de 1’Univ. Masaryk. (Brno — Tchecoslovaquie). N. 337. Nf
14—1001, pp. 133—171, 1952.
(K59) Klaua D. —Ziir Arithmetik mehrwertiger Zahlen.— Mathematische
Nachrichten, 57, pp. 275—306, 1973.
(K60) Kaufmann A. — Ebauche d’une theorie de 1’operateur humain. Proce-
edings Learning Management based on Formal Model of Behawior and Aptitudes in
Computer Assisted Syst. of Instruction. UCODI Summer School. Centre IMAGO;
Univ, de Louvain, pp. 11—24, 1974.
(K61) Kickert W.J. & Корре laar H. — Application of Fuzzy Sets Theory
to Syntactic Pattern Recognition of Handwritten Capitals. I. E. E; E. Trans,
on Syst., Man and Cybernetics, pp. 148—151, Febr. 1976.
(LI) Lee R. С. T. — Fuzzy Logic and the Resolution Principle. In: Proc.
2nd Joint Artificiel Intelligence Conf. London. 1971.
(L2) Lee E. T. &Zadeh L. A. — Note on the Fuzzy Languages. Inform. Scien-
ces. Vol. 1, pp. 421—454, 1969.
(L3) Lukaciewicz J. &Tarski A. — Untersuchungen uber den Aussagenkal-
kul. Comtes Rendus Soc. Lettres. Varsovie XXIII. pp. 30—50, 1930.
(L4) Lukaciewicz J. — Logike Trojwartesciowog. Ruch. Filosofiesne. V.169.
— Varsovie. 1920.
(L5) Lakoff G.— Hedges : A Study of meaning Criteria and the Logic of Fuz-
zy Concepts. Proc. 8th Regional Meeting of Chicago Linguistic Soc. Univ. Chi-
cago, Apr. 1972.
(L6) Lientz В. P. — On Time-dependent-1 Fuzzy Sets. Inform. Sciences.
Vol. 4, pp. 367—376, 1972.
(L7) Lombaerde J. — Mesure d’Entropie en th6orie des sous-ensembles
flous. IMAGO Disc. Paper № 12. Univ. Cathol. Louvain. Jan 1974.
। ' (L8) Lee E. T. &Chang C. L. — Some Properties of Fuzzy Logic. Inform,
and Control. 19.5, pp. 417—431, Dec. 1971.
(L9) Lee E. T. &Zadeh L. A. — Fuzzy Languages and their Acceptance by
Automata. Proc. 4 th Princeton Conf. Int. Sciences and Systems. 399, 1970.
(L10) Lowen R. —Topologie generate. Topologie floue. — C. R. Academie
des Sc. Paris. S6rie A925. t 278, Avril 1974.
(Lil) Lakoff G. —Linguistic and Natural Logic. In: Semantcs of Natural
Languages. Davidson &Harman (Eds). Dordrecht. Nederland. D. Reidel. 1971.
(L12) Lee S. C., &Lee E. T. —Fuzzy Neural Networks. Mathematical Bio-
sciences. 23, pp. 151 — 177, 1975.
(L13) Lee E. T. — Proximity Measures for the Classification of Geometric
Figures and Chromosome Images. Jour, of Cybernetics. 2, pp. 43—59, 1972.
(LI4) Lee E. T. — An Application of Fuzzy Sets to the Classification of Geo-
metric Figures and Chromosome Images. Inform. Sciences. 1975.
412
(L15) Lee S. C. &Lee E. T. —Fuzzy Neurons and Automata. —Proc. 4th
Princeton Conf, on Inform. Science and Systems, pp. 381—385, 1970.
(L16) Lee E. T. —Fuzzy Languages and their Relation to Automata.—
Thesis. Dept, of Electr. Eng. and Comput. Sci. Univ, of California. Berkely.
1972.
(L17) Lefaivre R. — Fuzzy Problem Solving. Tech. Report 37. Madison Acad.
Comput. Center. Univ, of Wisconsin. 1974.
(L18) Lowen R. — A Theory of Fuzzy Topogies. Thesis. Dept. Math. Univ.—
Libre Bruxelles. 1974.
(L19) Lefaivre R. —The Representation of Fuzzy Knowledge. U. S. —Ja-
pan Seminar on Fuzzy Sets and their Application. Berkeley. Cal. 1974.
(L20) Lee S. C. —Fuzzy Sets and Neural Networks. U. S. —Japan Seminar
on Fuzzy Sets and their Application. Berkeley. Cal. 1974.
(L21) Lake J. — Fuzzv Sets and Bald Men. Dept, of Mathematics. — Polyte-
chnic of the South Bank. Borough Road. London. DEL OAA. 1975.
(L22) Lake J. — Sets, Fuzzy Sets, Multi —sets and Functions. Dept, of Mat-
hematics. Polytecnic of the South Bank. — Borough Road. DEL OAA. Jour.
London Math. Soc. 1975.
(L23) Lakshmivarahan S. &Rajasethupapathy K. —Considerations for Fuz-
zyfying Formal Languades and Synthesis of Fuzzy Grammars. Indian Institute
of Thechnology. Madras. 1975.
(L24) Lassi bi lie G. &Parron C. — Analyse multi-criteres dans un contexte
imprScis. Doc. Institut de Mathematiques Economiques. Faculte de Science Eco-
nomi que et de Gestion. Uni versite de Dijon. Juillet 1975.
(L25) Lombaerde J. — Une mesure d’information comme outil de composition
pour revaluation formative dans une inter-action 61£ve-machine. Commu-
nication Reunion G. P. I. Centre I. M. A. G. O. Univ. Cathol. de Louvain. Jan.
1976.
(L26) Loginov V. I. — Probability Treatment of Zadeh Membership Functions
and their use in Pattern Recognition. Engineering Cybernetics, pp. 68—69, 1966.
(L27) Lee E. T. — Shape — oriented Chromosome Classification. I. E. E. E.
Trans, on Systems, Man and Cubernetics, Vol. SMC 5, pp. 629—632, 1975.
(L28) Leenders J. H.— Vage Verzamelingen: een krittische benandering. —
Kwartaal schrift wetenschappelijk onderwijs. Limburg. Belgium. Vol. 4,pp.441—
455, 1974.
(L29) Longo G. —Fuzzy Sets, Graphs and Source Codings. — In: J. K. Swir-
zynski: New Directions in Signal Processing in Communications and Control.
Noordhoff. Leyden, pp. 27—33, 1975.
(L30) Le Faivre R. — FUZZY: A Programming Language for Fuzzy Problems
Solving. — Report PB. 231813/7. Univ, of Wisconsin. 1974.
(Ml) Marinos P. N. — Fuzzy LOgic and its Applications to Switching Systems.
I. E. E. E. Trans, on Computers. Vol. C 18t pp. 343—348. Apr. 1969.
(М2) Marinos P. N. —Fuzzy Logic. Bell Telegr. Lab. Holmbel. N. G. Techn.
Memo 66. 2344. 1. Aug 1969.
(М3) Mizumoto M., Toyjfa К. &Tanaka K. —Some Considerations on Fuzzy
Automata. — Jour. Comput. Systems. Vol. 3, pp. 409—422, Now. 1969.
(M4) Moisil G. C. — Recherches sur les logiques non-chrysipiennes.— Ann.
Sci. Univ, Jaasy. 26, pp. 431—436, 1940.
(M5) Moisil G. C. —Notes sur les logiques non—chrysipiennes. Ann. Sci.
Univ. Jassy. 27, 1941.
(M6) Moisil G. C. — Incercari vechi si noi de logica neclasia. Ed. Stiintifica.
Bucarest. 1965.
(M7) Moisil G. C. — Logique modale. Disquisitiones Mathem. Phys. II 1 pp.
3—9. 1942.
(M8) Moisil G. C. — Lukasciewiczian Algebras. Centre de Calcul de L’Univer-
site de Bucarest. Oct. 1968.
(M9) Moisil G. C. — Sur les logiques de Lukaciewicz a un nombre fini de vari-
ables. — Revue roumaine de mathematiques pures et appliquees. IX. 905, 1964.
(MIO) Mizumoto M., Toyoka K. & Tan aka K. — N-fold Fuzzy Grammars.
Inform. Sciences. Vol. 5, pp. 23—43, 1973.
413
(Mil) McNaughton R. —A Theorem about Infinited-valued Sentencial
Logic. — Jour, of Symbolic Logic. Vol. 16, pp. 1—13, 1951.
(M12) Malvache N. &VidaI P. —Application des Systemes floues a la mo-
delisation des phenomenes de prise de decision et d’apprehension des informations
visulles chez 1’homme. A. T. P. — C. N. R. S. № 1KO5. Paris. Juillet 1974.
(M13) Malvache N. — Analyse et identification des systemes visuel et manuel
en vision frontale et peripherique chez 1’homme. These Doctoral d’Etat. Univ,
de Lille. Avril 1973.
(M14) Malvache N., Hilbred G. &Vidal P. — Perception visuelle: champ
de vision laterale, modele de la fonction du regard. Rapport de synthese. — Cont-
rat D. R. M. E. № 71—251. Paris. 1973.
(Ml5) Mlavache N. &WiHayes D. — Representation et minimisation de
fonctions floues. Doc. Centre Univ, de Valenciennes. France. Oct. 1974.
(M16) Morviller M. S. &Lepage D. — Applications des concepts floues :
description dynamique d’un ensemble de donnees et son utilisation en langage na-
turel. Mcmoire Institut Informatique d’Entreprise. C. N. A. M., Paris. Juin
1974.
(Ml7) Mandin A. & Kaufmann A. —Recherche Inventive sur les problemes
du 4е gge en utilisant des notions de la theorie des sous-ensembles flous. ler sym-
posium Nat. sur le 4* £ge. Nice. Avril. 1975.
(M18) Mizumoto M., Toyoda J. &Tanaka K. —Various Kind of Automata
with weights. Jour, of Comput. and Syst. 10, pp. 219—236, April 1975.
(M19) Mandani I. H. — Application of Fuzzy Algorithms for Control of
Simple Dynamic Plant. Proc. I. E. E. E. 121, pp. 1585—1588, 1974.
(M20) Mandani L H. &Assilian S. — An Experiment in Linguistic Synthe-
sis with a Fuzzy Controller. Internal. Hour. Man-machine Studies. 7, pp. 1—13,
1975.
(M21) Mizumoto M. —Fuzzy Automata and Fuzzy Grammars. —Ph. D.
Thesis. —Fac. of Engineering. Osaka Univ. 1971. —
(M22) Mizumoto M., Toyoda J. & Tanaka K.— Fuzzy Languages. Trans.
I. E. E. E. 53-c, pp. 333—340, 1970.
(M23) Mizumoto M. — Fuzzy Sets Theory. 11th Prof. Group Meeting on Cont-
rol Theory ofS. I.C. E. 1971.
(М2 4) Mizumoto M., Toyda J. & Tanaka K. — General Formulation of For-
mal Grammars. Trans. I. E. С. E. 54-c, pp. 600—605, 1971.
(M25) Moisil G. C. — Role of Computers in the Evolution of Science. Proc.
Internal. Conf, on Science and Society. Belgrade, pp. 134 — 136, 1971
(M26) Mizumoto M., Toyoda J. &Tanaka K. — L-fuzzy Logic. Researches
on Many valued Logics and its Applications. Kyoto Univ. 1972.
(M27) Mukaidono M. — On some Properties of Fuzzy Logic. Tech. Report
on Automaton of I. E. С. E. 1972.
(M28) Mukaidono M. — On the В-ternary Logical Function. A Ternary
Logic with Consideration of Ambiquity. Trans. I. E. С. E. 55 — d, pp. 355—362,
1972.
(M29) McVicar-whelan P. J. — Fuzzy Sets, the Concept of Height and the
Hedge «very». Tech. Memo. 1.—Phys. Depart. Grand Valley State College. Al-
lendale. Mich. 1974,
(M30) Meseguer J. & Sols I. — Automata in Semimodule Categories. Proc.
1st Int. Symp. on Category Theory Applied to Computation and Control pp. 196—
202, 1974.
(M31) Maurer W. D. — Input-output Correctness and Fuzzy Correctness.
Report George Washington Univ. 1974.
(M32) Mizumoto M., Toyoda J. &Tanaka K. —Formal Grammars with Weights
Trans. I. E. С. E. 55 — d, pp. 292—293, 1972.
(M33) Mizumoto M., Toyoda J. &Tanaka K.~ Exemples of Formal Gram-
mars witn Weights. — Information Processing Letters 2, pp. 74—78, 1973.
(M34) Makarovitsch A. — Valuation visuelle d’une matrice. Doc. Interne
Cie Honeywell Bull. Paris. Septembre 1975.
(M35) Maarschalk C. G. D. — Exact and Fuzzy Concepts Superimposed on
the GST (A Meta Theory). Proceedings of 3rd International Congress of Cyberne-
tics and Systems. Bucharest. Aug. 1975,
414
(М36) Marks P. —F. О. C. S.: a Control System for Fuzzy Logic. Thesis.
Queen Mary College, London. Sept. 1975.
(M37) Mathai A. V. &RathieP. N. —Basic Concepts in Information Theory
and Statistics:Axiomatic Foundation and Applications. New Delhi. Wiley Eas-
tern Ltd. Aug. 1974.
(M38) Michalski R. S. —Variable-Valued Logic and its Applications to
Pattern Recognition and Machine Learning. — In: Maltiple - valued Logic and
Computer Science. North — Holland Publish. Amsterdam. 1975.
(M39) Massonie J. Ph. &Wieber J. C. — Application des sous - ensembles
flous a Fetude d’un espace factoriel: exemple des paysages. Cahiers de 1’Univer-
site de Besancon. 1976.
(M40) Massonie J. Ph. — L’utilisation des sous-ensembles flous en geogra-
phic. Cahiers de geegraphie de TUniversite de Besancon. 1976.
(M4I) Maarshalx C. — Exact and Fuzzy Concepts Superimposed to the GST.
— 3rd Internat. Congress on General Systems and Cybernetics. Bucarest. Aug.
1975.
(M42) Menger K. — Ensembles floues et fonctions aleotoires. — C. R. Acad.
Sciences Paris. 232. № 22, pp. 2001 — 2003, 28 mai 1971.
(M43) Морозов Ю. A. — Некоторые вопросы теории принятия решений. Эко-
номика и математические методы. Т. 11, вып. 2, стр. 252—263, 1975.
(М44) Moisil G.C. — Lectii despre logica ratinamentuliul nuantal. — Ed.
Stiinfica si Enciclopidica. Bucarest. (en roumain). 1975.
M Moisil G. C. — Sur une logique intuitioniste. — Anali di Matematica
pplicata. Bilogna. Italia. 1975,
(M46) Moisil G. C. —Sur Femploi des mathematiques dans les sciences de
1’homme. — Acad, Naz. dei Lincei. Contributi del Centro Linceo interdiscipli-
nare di Scienze Matematiche e loro Applicazioni. Roma. Italia. 1976.
(M47) Moscarola J. &Roy B. —Procedure Automatique d’examen des
dossiers fondee sur un classement trichotomique en presence de criteres multiples.
Doc. LAMSADE. Univ. Paris. — IX Dauphine. Janv. 1976.
(Nl) Nadiu G. S. —Sur la logique de Heytung. — Dans : Logique, Auto-
matique, Informatique. Ed. Acad. Rep. Soc. de Roumanie. pp. 42—70. — 1971.
(N2) Nasu M. & Honda N. —Fuzzy Events realized by Finite Probabilistic
Automata. Inform, and Control. Vol. 12, pp. 248—303, April 1968.
(N3) Nazu M. & Honda N. — Mappind induced by PGSM - mapping and
some Recursively Unsolvable Problems'of Finite Probabilistic Automata. In-
form. and Control. Vol. 15, pp. 250—273, 1969.
(N4) Netto A. B.—Fuzzy Classes. Notices of the Amer. Math. Soc. 68 T. H 28,
pp.945, 1968.
(N5) Negoita С. V. — On the application of the Fuzzy Sets Separation The-
orem for Automatic Classification in Information Retrieval Systems. Inform, and
Control. Vol. 15, pp. 250—273, 1969.
(N6) Negoita С. V. &Ralescu D. A. —Maltimi Vagi si Applicative Lor.
Editura Technica. Bucarest. 1974.
(N7) Nyang S. &Tesniere J. C, — Application des Relations Floues aux
probl ernes multi-criteres: le cas de la classification des s£minaires de recherche
a Paris IX — Dauphine. M6moire Univ. Paris — Dauphine IX. Septembre 1974.
(N8) Nakata HM Mizumoto M., Toyoda J. & Tanaka K. —Some Characteris-
tics of N — fold Fuzzy CF Grammars. Trans. I. E. С. E. 55 — d, pp. 287—288,
1972.
(N9) NazaroffG. J. —Fuzzy Topological Polysystems.—Jour. Math. Anal,
and Appl. 41, pp. 478—485, 1973.
(N10) Nahmias S. —Discrete Fuzzy Random Variablea. Report Univ, of
Pittsburgh. 1973.
(Nil) Noguchi Y. — A Pattern Clustering Method on the Basis of Association
Schemes. Bull. Electrotechn. Lab. Vol. 36, № 11, pp. 753—767, 1972.
(N12) Negoita C. &Ralescu D. — Inexactness in Dynamic Systems. — Gene-
ral institute of Management and Informatics. The Centre of Economic Computation
&Economic Cybernetics. Bucharest. Romania. 4. 1974.
415
(N13) Negoita C. &Ralescu—Fuzzy Systems and Artificial Intelligence.
Kybernetes. 1974. Vol. 3, pp. 173—178, Gordon&Breach Publish.
(N14) Negoita C. &RalescuD. —Relations on Monoidsand Minimal Realiza-
tion Theory for Dynamic Systems. Applications for Fuzzy Systems. Proc, of 3rd
Internat. Congress of Cybernetics and Systems Bucharest. Aug. 1975.
(N15) Negoita C. &Ralescu D. — Representation Theorems for Fuzzy Concepts.
Kybernetes. Vol. 4, pp. 169 —174, 1975.
(N16) Negoita C. &RaIescu D. — Applications of Fuzzy Sets to System Ana-
lysis. Editura Technica. Bucarest. Birkhauser Verlag Basel and Stuttgart. 1975.
(N17) Negoita С. V. —Fuzzy Models for Social Process.—Symposium of
Social Processes Modelling. Bucarest. 1975.
(N18) Negoita С. V. &Ralescu D. A. —Some Results in Fuzzy Systems
Theory. 3rd Internat. Congress on General Systems and Cybernetics. Bucarest. Aug.
1975.
(N19) Negoita С. V. &Ralescu D. A. —On Fuzzy Optimization. Seminar
UNESCO Bucarest. Aug. 1975.
(N20) Negoita С. V. &Stefanescu A. — On the State Equation for Fuzzy Sys*
terns. Kybernetes. 4. 1975.
(N21) Nicolau E. &Popovici A. — Introduction in the Cybernetics of Con-
tinuous Systems (enroumain). Editura Technica. Bucarest. 1972
(01) Oniga T. —Developpements de la Logique trivalente. Revue Cyber-
netics. Namur. 1975.
(02) Otsuki S. — A Model for Learning and Recognizing Machine. Inf. Pro-
cessing II, pp. 664—671, 1970.
(03) Okada N. &Tamachi T. — Automated Editing of Fuzzy Line Drawing
for Picture Description. Trans. I. E. С. E. 57-a, pp. 216—223, 1974.
(04) Okuda T., Tanaka H. & Asai K. — Decision - making and Information
in Fuzzy Events. — Bull. Univ. Osaka. Series A. Vol. N 2, Sakai. Osaka. 1974.
(05) Осис Я. Я. — Распознавание неисправностей сложных объектов диаг-
ностики с использованием теории размытых множеств. Кибернетика и диагно-
стика, вып. 2. Рига, «Зинатне», стр. 13—18, 1968.
(Pl) Post Е. L. — Introduction to a General Theory of Elementary Pro-
positions. Amer. Jour. Math. Vol. 43, pp. 163—185, 1921.
(P2) Paz A. — Fuzzy Stars Functions. Probabilistic Automata and their Ap-
plications by non - probabilistic Automata. Jour, of Computers and Systems Sci-
ences. Vol. 1, pp. 371—390, 1967.
(P3) Preparata F. D. &Yeh R. T.—Continuous Valued Logic.—Jour,
of Computer and Systems Sciences. Vol. 6, pp. 397—418, 1972.
(P4) Poston T. —Fuzzy Geometry. Doctoral Thesis. Univ. Warwick. Eng-
land. 1971.
(P5) Prugovecki E. — Measurements in Quantum Mechanics as a Stochas-
tic Process on Space of Fuzzy Events. Foundations of Physic. 1974.
(P6) Prugovecki F. —Fuzzy Sets in the Theory of Measurements of Incompa-
tible Observables. Foundations of Physics. 1974.
(P7) Prugovecki E. — A Postulational Framework for Theories of Simulta-
neous Measurements of Several Observables. Foundations of Physics. Vol. 3,
№ 4, March 1973.
(P8) Ponsard C. — L’imprecision et son traitement en analyse economique.—
Revue d’Economie Politique. 1. Jan —Fevr. 1976.
(P9) Ponsard C. —Contribution a une theorie des espaces Economiques
imprecis. — Institut de Mathematiques Economiques. Univ, de Dijon. Avril 1975.
(P10) Peschel M. — Some Remarks to «Fuzzy Systems» as a Complement to
the Topic Paper from L. A. Zadeh. Berlin. Febr. 24, 1975.
(Pll) Ponsard C. —On the Axiomization of Fuzzy Subsets Theory. Doc.
13. Institut de Mathematiques Economiques. Faculte des Sciences Economique
et de gestion. Juillet 1975.
(P12) Pun L. — Experience in the use of Fuzzy Formalism in Problems with
Various degrees of Subjectivity. Special Interest Discussion Session on Fuzzy Auto-
416
mat a and Decision Processes. 6th IF AC World Congress. — Boston. Mass. Aug.
1975.
(P	I3) Prevot M. — Probability Calculation and Fuzzy Subsets Theory.
Doc. travail Inst, de mathematiques economiques. Fac. Science economique et
degestion de Dijon. 13, pp. 1—6, 1975.
(P	l4) Ponsard C. — Aiea et flou. Note interne Inst, de Mathematiques Econo-
miques. Facult6 de Science Economique et de Gestion. Dijon 1976.
(R	l) Ruspini E. R. — Numerical Methods for Fuzzy Clustering. — Inform.
Science., pp. 319—350, 1970.
(R	2) Ruspini E. R. — A New Approach for Clustering. Inform, and Control.
15, pp. 22—32, 1969.
(R	3) Rosenfeld A. —Fuzzy Groups. Jour, of Math. Anal, and Appl. Vol. 35,
pp. 512—517, 1971.
(R	4) Russel B. —Vagueness. Australien Jour, of Phil. Vol. 1, pp. 84—92,
1923.
(R	5) Reisinger L. — On Fuzzy Thesauri. Compstat 1974. Proceedings in Com-
putational Statistics. Wien. 1974.
(R	6) Roder W. — Ein beitrag zur verkniipfung unscharfer mengen. — Com-
munication at the 1st European Congress on Operations Research (EURO1). Brus-
sels. Jan. 1975.
(R	7) Rosenfield A. — Fuzzy Graphs. — In: Fuzzy Sets and their Applica-
tions to Cognitive and Decision Processes. Academic Press, pp. 77—95, 1975.
(R8	) Ragade R. K. — On some Aspect of Fuzziness in Communication. —
I. Fuzzy Entropies. Syst. Res. and Planning. Syst. Eng. Bell - Northern Re-
search. — Canada 1973.
(R9	) Ragade R. K. — A Multi attribute Perception and Classification of Visu-
al Similarities. Syst. Res. and Planning. Paper S — 001—73. Bell. - Northern
Research. Canada. 1973.
(RI	O) Ruspini E. R. —New Experimental Results in Fuzzy Clustering. In-
form. Sciences. 6, pp. 273—284, 1973.
(R1	1) Rieger В. B. — On a Tolerance Topology Model of Naturel Language
Meaning. Tech. Report Germanic Inst. Tech Hochschule. Aachen. 1975.
(R1	2) Rescher N. —Many-valued Logic. McGraw Hill Publish. New
York. 1969.
(R1	3) Rajasethupathy K. S. &Lakshmivarahan S. — Connectedness in Fuz-
zy Topology. Depart, of Mathematics. Vivekananamdha College. Madras. 1974.
(R1	4) Ragade R. K. — A Note on Fuzzy Information. Processing Bell - Nor-
thern Research Center. Canada. Dec. 1974.
(R1	5) Ragade R. K. — Profile Transformation in Groups and Consensus For-
mation by Fuzzy Sets. —3) Fuzzy Concept Communication. Univ, of Waterloo.
Jan 1975.
(R1	6) Rajeck R. K. — Benefit Cost. Analysis under Imprecise Conditions.
Univ, of Waterloo. June 1975.
(R1	7) Rodder W. —On «and» and «or» Connectives in Fuzzy Sets Theory.
EURO 1. Lehrstuhl fur Unternehmensforschung RWTH. AAchen. July 1975.
(R1	8) Rossowska M.—О pewnim warunku topologieznym dla klasy metody.—
Dans: Metody Heurezy — Wydawnictwo PTC. II Klajowe Sympozjum. Var-
sovie. 1975.
(R1	9) Rutherford D. A. &Bloore G. C. — The Implementation of Fuzzy Algo-
rithms for Control. Control Systems Centre. Univ, of Manchester. Institute of Scien-
ce and Technology, Manchester. U. K. 1975.
(R2	0) Roberts F. S. — Tolerance Geometry. Notre Dame Jour, of Formal
Logic. Vol. 14, pp. 68—76, 1973.
(R2	1) Rieger L. — On the Lattice Theory of Brouwerian Propositional Lo-
gic. Acta Facultatis Rerum Naturalium Universitatis Carolonae. Prague. N 189,
1949.
(R2	2) Rouget B. — L’analyse spatiale en economic urbaine. — Essai m6t-
hodologique. 3е partie: Morphologie imprecise de Tespace urbain et topologie flo-
ue. These Doctorat es - Sciences economiques. Univ, de Dijon, pp. 221—350,
1975.
417
(R2	3) Ralescu D. A. — On Fuzzy Characters and Subojects. Communicati-
on: Seminaturul de Sisteme Fuzzy. Depart, of Economic Cybernetics. Bucarest.
1974.
(R2	4) Ralescu D. A. — Decomposition Theorems for Fuzzy Automata.
Communication : Seminarul de Sisteme Fuzzy. Depart, of Ecnomjc Cybernetics.
Bucarest. 1975.
(SI	) Santos E. S. —Maximin Automata. Inform, and Control. Vol. 13, pp.
363—367, Oct. 1968.
(S2	) Santos E. S. —Fuzzy Algorithms. Inform, and Control. Vol. 17, pp.
326—339, 1970.
(S3	) Santos E. S. &Wee N. G. — General Formulation of Sequential Ma-
chines. — Inform, and Control. Vol. 12, pp. 5—10, jan. 1970.
(S4	) Shi-kuo-chang. — On the Execution of Fuzzy Algorithms using Finite
state machine. I. Ё. E. E. 4.— Trans. Vol. C21. №3 March 1972.
(S5	) Stone M. H. — Topological Representation of Distributive Lattices
and Brouwerian Logics. Cas. Math. Phys. 67, pp. 1—25, 1937.
(S6	) Santos E. S.—Max-product Machines. Jour. Math. Anal, and Appl.
Vol. 37, Кг 3, 1972.
(S7	) Santos E. S. —Maximin Sequential like Machines and Chains. Math*
Syst. Theory, Vol. 3, Ns 4, 1969.
(S8	) Santos E. S. — On Reduction of Maximin Machines. — Jour. Math.
Anal, and Appl. Vol. 37, № 3, 1972.
(S9	) Sly P. &Chen C. S. — Minimization of Fuzzy Functions. I. E. E. E.
Trans, on Computers, pp. 100—102, Jan. 1972.
(S10	) Sanchez E. — Equations de Relations Floues. — These de Doctorat
en Biologie humaine. Faculte de Medecine de Marseille. 1974.
(SI	1) Serfati M. — Algebres de Boole avec une introduction a la theorie des
sous — ensembles flous. Ed. C. D. U. Paris. 1974.
(S12	) Sugeno M.—Constructing Fuzzy Measures and (branding Similarity
of Patterns by Fuzzy Integrals. Trans, of Soc. of Instrument and Control Engineers.
Vol. 9, № 3, 1973 (en japonais).
(S13	) Sugeno M. — Fuzzy Measures and Fuzzy Integrals. — Trans, of Soc.
of Instrument and Control Engineers. Vol. 9, № 3, 1973 (en japonais).
(S14	) Sugeno M. &Terano T. —An Approach to the Identification of Human
Characteristics by Applying Fuzzy Integrals. Proc, of the 3rd IFAC Symposium
on Identification and System Parametr Estimation. 1973.
(S15	) Sugeno MM Tsukamoto I. &Terano T. —Subjective Evaluation of
Fuzzy Objects. Reprint of IFAC Symposium on Stochastic Control. 1974.
(S16	) Sugeno M. — Theory of Fuzzy Integrals and its Applications. — Thesis
Doctor in Engineering. Tokio Institute of Technology. 1974.
(S17	) Sly P.— Fuzzy Logic and Handwritten Character Recognition. Ph. D.
Thesis. Univ, of Aikon. 1973.
(SI8	) Steinacker I. — Text Processing and Autmatic Indexing. A New
Approach. 1st European Congress on Documentation Systems and Networks. —
Luxembourg. May 1973.
(S19	) Steinacker I. — Aspects of Computer Text Processing. March — April
1973 and May — July 1973.
(S20	) Shlmura M. — An Approach to Pattern Recognition and Associative
Memories using Fuzzy Logic. In : Fuzzy Sets and their Applications to Cognitive
and Decision Processes, pp. 449—476, 1975.
(S21	) Sanchez E. — Resolution of Composite Fuzzy Relations Equations.
— Lab. Physique Medicale. Section Biomath&natique et Informatique mSdicale.—
Faculty de Mfcdecine de Marseile, May 1975.
(S22	) steinacker] I. &Muhlhauser G. — Die Induktive Methode in der Auto-
matischen Verarbeltung Format! er ter und Naturlicher Sprache. — Der Aufbau
eines Titelwort — Thesaurus fur die NASA — DATEL; Information Retrieval
Systems and Management. Information System. Stuttgart. Dec. 1970.
(S23	) shlmura M. — Fuzzy Sets Concepts in Rank - ordering Objects. —
Jour. Math. Anal, and Appl. 43, pp. 553—555, 1973.
418
(S24	) Sagaama S. — A propos des sous - ensembles flous. Document Ecole
Nat. Sup. des Mines de Saint-Etienne. Departement Gestion. France, Juin 1975.
(S25	) Smith R. E. — Measure Theory on Fuzzy Sets. Thesis. Depart, of Math.
Univ, of Saskatchewan. Saskatoon. Canada. 1970.
(S26	) Sugeno M. —On Fuzzy Nondeterministic Problems. Annual Conf. Records
of S. I. С. E. 1971.
(S27	) Shimura M. — Application of Fuzzy Functions to Pattern Classification.
Trans. I. E. С. E. 55-d, pp. 218—225, 1972.
(S28	) Sugeno M. — Fuzzy Measures and Fuzzy Integrals. Trans. S. I. С. E.
pp. 218—226, 1972.
(S29	) Sugeno M. — Evaluation of Similarity of Patterns by Fuzzy Integrals.
Annual Conf. Records, of S. I. С. E. 1972.
(S30	) Serizawa M. —A search Technique of Control Rod Pattern of Smoothing
Core Power Distributions by Fuzzy Automaton. Jour, of Nuclear Science and
Technology. 10, 1973.
(S31	) Santos E. S. —Fuzzy Automara and Languages.—U. S.-Japan
Seminar on Fuzzy Sets and their Applications. Berkeley. Cal. 1974.
(S32	) Sari dis G. — Fuzzy Notions in Non-linear Systems Classifications.
— U. S. —Japan Seminar on Fuzzy Sets and their Applications. Berkeley. Cal.
1974.
(S33	) Santos E. S. — Realization of Fuzzy Languages by Probabilistic Max —
prodact and Maximin Automata. Inform. Sciences. 8, pp. 39—53, 1975.
(S34	) Sols I. — Topology in Complete Lattices and Continuous Fuzzy Rela-
tions. Uni versite de Saragosse. Espagne. 1975.
(S35	) Siy P. &Chen C. S. — Fuzzy Logic for Handwritten Numeral Character
Recognition. I. E. E. E. Trans, on Syst. Man and Cybernetics, pp. 570—575,
Nov. 1974.
(S36	) Sagaama S. — ProbabilitSs subjictives, sous — ensembles flous et
aide a la prise de decision. Rapport Ecole Nat. Sup. des Mines de Saint - Etienne.
France. Departement Gestion. Oct. 1975.
(S37	) Sagaama S. — Construction d’une topologje floue. Rapport Ecole
Nat. Sup. des Mines de Saint - Etienne. France. Departement Gestion. Oct.
1975.
(S38	) Sobolewski M. — Sbiory rozmyte w zastosowaniu do semantyki Systemov
klasyfikacyjnych. Dans : Metody Heurezy. Wydawnicto PTC. II Klajowe Sympo-
zjum. Varsovie. 1975.
(S39	) Sanchez E. — Resolution of Composite Fuzzy Relations Equations. —
Information and Control. 1149, 29, 1975.
(S40	) Sanchez E. — Solution of Composite Fuzzy Relations Equations
Applications to Medical Diagnosis in Brouwerian Logic. Doc. Lab. de Physique
Medicale. Fac. de Medecine de Marseille. 1976.
(S41	) Sinha N. K. &Wright J. D. — Application of Fuzzy Control to a
Heat Excanger. — Special Interest Discussion Session on Fuzzy Automata and
Decision Processes. 6th IFAC World Congress. Boston. Mass. Aug. 1975.
(S42	) Sanford D. H. — Infinity and Vagueness. — Philosophical Review.
Vol. 84, pp. 520—535, 1975.
(S43	) Skala H. J. — On the Problem of Imprecision. Dordrecht. Neder-
land. — 1974.
(S44	) Stoica M. &ScarlatE. —Fuzzy Concepts in the Control Production Sys-
tems. Proc, of 3rd Internat. Congress of Cybernetics and Systems. Bucharest.
Aug. 1975.
(S45	) Sambuc R. —Fonctions phi -floues; application a 1’aide au diagnos-
tic en pathologie thyroidienne. These de Doctorat d’Etat en MedecineJFaculte de
Medecine de Marseille. Decembre 1975.
(S46	) Sanchez E. — Eigen Fuzzy Sets. Document Faculte de Medecine
de Marseille. Voir aussi : U. S. A. Nat. Comput. Conf. New - York. Approxima-
te Reasoning and Approximate Algorithms in Computer Science. June 1976.
(S47	) Sandor G. & Diday E. — Resultats recents concernant la methode des
nuees dynamiques et application a la recherche de profils biologiques. —
Internat. Computing Sympos. Ed. S. GUnter. Publie par North Holland, pp.
389—398, 1974.
419
(S48	) Sasama H. —Fuzzy Sets Model for Train Con position in Marshalling
Yard. In : Summary of Papers on General Fuzzy Problems. — Report № 1.
Working Group en Fuzzy Systems. Tokyo Inst, of Technology, pp. 49—54,
Nov. 1975.
(S49	) Sugeno M. — Fuzzy Measures and Fuzzy Integrals. — In: Summary of
Papars on General Fuzzy Problems. — Report № 1. Working Group on Fuzzy
Systems. — Tokyo Inst, of Technology, pp. 55—60, Nov. 1975.
(S50	) Sugeno M. —Subjective Evaluation of Fuzzy Objects. Proc, of IFAC
Sympo. on Stochastic Control. Budapest 1974.
(S5I	) Sanchez E. &Sambuc R. —Relations floues. Fonctions Phi - floues.
Application A 1’aide au diagnostic en pathologic thyridienne.—Medical Data
Processing Symposium. Toulouse. Publish. Taylor &Francis. London. 1976.
(S52	) Sugeno M. & Terano T. — A Model of Learning Based on Fuzzy Infor-
mation. Symposium «Fuzzy Mathematics and Fuzzy Systems» 64th Meeting of
European Working Group of Fuzzy Sets. 3rd European Working Group of
Fuzzy Sets. 3rd European Meeting on Cybernetics and Systems Research. Vienna,
April 1976.
(Tl) Tamura S., Higuchi S. & Tanaka K. — Pattern Classification based on
Fuzzy Relations. I. E. E; E. Trans, on Syst., Man and Cubernetics. Vol. SMC —1.
№ 1, Jan. 1971.
(T2)	Tsichritzis D. —Fuzzy Properties and Almost Solvable Problems. —
Techn. Report 70. Dept, of Electr. Engineering. Princeton Univ. N. J. 1968.
(T3)	Tslchrittzis D. Measures on Countable Sets. Techn. Report № 8 Univ,
of Toronto. Depart of Comput. Science. Canada. April 1969.
(T4)	Tamura S. & Tanaka K. —Learning of Fuzzy Languages. I. E. E. E.
Trans, on S. M. C. Vol. SMC 3, pp. 98—102, 1973.
(T5)	Tohmason M. G. — The Effect of Logic Operations on Fuzzy Logic. I. E.
E. E. Trans, on S., M. S., pp. 309—310, May 1974.
(T6)	Tanaka K. & Mizumoto M. — Fuzzy Programs and their Execution. —
In: Fuzzy Sets and their Applications to Cognitive and Decision Processes.—
Academic Press., pp. 41—75. 1975.
(T7)	Terano T. & Sugeno M. — Conditionnal Fuzzy Measures and their Ap-
plications. — In: Fuzzy Sets and their Applications to Cognitive end Decisions
Processes. Academic Press., pp. 151 — 170, 1975.
(T8)	Tanara K., Toyoda J., Mizumoto M. & Tsujy H. Fuzzy Automata Theo-
ry and its Applications to Automatic Controls. Jour, of J. A. A. С. E. 14, pp.
541—550, 1970.
(T9)	Tahani V. —Fuzzy Sets in Information Retrieval. — Thesis. — De-
part. of Electr. Eng. and Comput. Sceinces. Univ, de California. Berkeley, 1971.
(T10	) Tamura S. —Fuzzy Pattern Classification. Proc, of Symp. of Fuzziness
in Systems and ist Processing. Prof. Group of System Engineering of S. I. С. E.
1971.
(TH)	Terano T. Fuzziness and its Concepts. Proc, of Symp. of Fuzziness in
Systems and its Processing. Prof. Group of System Engineering of S. I. С. E. 1971.
(TI2	) Tanaka K. Analogy and Fuzzy Logic. Mathematical Sciences. 1972.
(T13	) Terano T. — Fuzziness of Systems. Nikka — Giren Engineers, pp.
21—25. 1972.
(T14	) Tsuji H., Mizumoto M., Toyoda J. & Tanaka K. — Interaction bet-
ween Random Environment and Fuzzy Automata with Variable Structure. Trans.
I. F. С. E. 55—d, pp. 143—144, 1873.
(T15	) Tanaka K., Okuda T. & Asai K. — Fuzzy Mathematical Programming.
Trans. S. I. С. E. 9, pp. 109—115, 1973.
(T16	) Tsuji H., Mizumoto M., Toyoda J. & Tanaka K. — Linear Fuzzy Auto-
mation. Trans. I. E. С. E. 56-a, pp. 256—257, 1973.
(T17	) Tsukamoto Y. & Lida H. — Evaluation Models of Fuzzy Sustems.
Annual Conf. Records of S. I. С. E. 1973.
(T18	) Thomason M. G. — Finite Fuzzy Automata, Regular Fuzzy Languages
and Pattern Recohgnition. Depart, Electr. Eng. Duke Univ. Durham. North Caro-
lina. 1974.
(T19	) Tanaka H., Okuda T. & Asai K. — On the Fuzzy Mathematical Prog-
ramming. — Annual Conf. Records of S. I. С. E. 1972.
420
(Т20	) Tanaka К- Okuda К. & Asai К- — Decision — making and its Goal
in a Fuzzy Sets and their Applications. Univ, of California. Berkeley. July 1974.
(T21	) Terano T., Sugeno M. —Macroscopic Optimization by using Conditi-
onal Measures. — Special Interest Discussion Session on Fuzzy Automata and
Decision Processes. 6th IFAC World Congress. Boston. Mass. Aug. 1975.
(T22	) Thomason M. G. & Marinos P. N. — Determination Acceptors of Regu-
lar Fuzzy Languags. I. E. E. E. Trans, on Systems, Man and Cybernetics. Vol.
SMC—4, pp. 228—230, 1974.
(T23	) Tanaka H., Okuda T. & Asai K. — A Formulation of Fuzzy Decision
Problem and its Application to an Investment Problem. Proceedings of 3rd Inter-
nal. Congress of Cybernetics and Systems. Bucharest. Aug. 1975.
(T24	) Thomason M. G. —Fuzzy Syntax - directed Translations. Jour, of
Cybernetics. Vol. 4, pp. 87—94, 1974.
(T25	) Tsichritzis D. — Fuzzy Compatibility. — Proceedings 3rd Annual
Princeton Conf, on Information Sciences and Systems, pp. 157—161, 1969.
(T26	) Tanaki E. — Heuristic Synthesis in a Class of Systems by using Fuzzy
Automata. — In: Summary of Papers on General Fuzzy Problems. — Report №1.
Working Group on Fuzzy Systems. Tokyo Inst, of Technology, pp. 61—66, Nov.
1975.
(T27	) Terano I. & Sugeno M. — Macroscopic Optimization by using Condi-
tional Fuzzy Measure. In : Summary of Papers on General Fuzzy Problems. —
Report №1. Working Group on Fuzzy Systems. — Tokyo Inst, of Technology,
pp. 67—72, Nov. 1975.
(T28	) Tsukamoto Y. — A Subjective Evaluation on Attract!vitу of Sightseeing
Zones. In: Summary of Papers on General Fuzzy Problems. — Report №1.
Working Group on General Fuzzy Problems. — Tokyo Inst, of Technology, pp.
73—76, Nov. 1975.
(Ul) Uhr L. — Toward Integraded Cognitive Systems which must make
Fuzzy Decisions about Fuzzy Problems. In : Fuzzy Sets and their Applications to
Cognitive and Decision Processes. Аса demi s Press, pp. 353—392. 1975.
(VI)	Vincke P. —Une Application de la Th£ori6 des Graphes flous. Doc.
Univ. Libre de Bruxelles. 1973.
(V2)	Vincke P. —La Theorie des Ensembles flous. —MSmoire de Licence
en Sciences MathGmatiques. Univ. Libre de Bruxelles. 1973.
(V3)	Van Velthoven G. — Application of Fuzzy Sets Theory to Criminal In-
vestigation. 1st European Congress in Operations Research (EURO 1). Bruxelles.
Jan. 1975.
(V4)	Vayer A. — Ebauche d’une etude theorique des faits administratifs.
— Document Centres d’ Entrainement aux Methodes d’Education Actives. Dec.
1974.
(V5)	Van Velthoven G. — Fuzzy Models in Personnel Management. — 3rd
Internat. Congress of Cybernetics and Systems. Bucharest. 1975.
(V6)	Van Velthoven G. — Quelques Applications de la Taxonomie floue. S6mi-
naire sur la contribution des systemes flous a I’automatique. Univ, des Sciences
et Techniques de Lille. Centre d’Automatique. 1975.
(V7)	Van Fraassen В. C. — Comments: Lakoff’s Fuzzy Propositional Logic.
— In : D. Hockney, Harper W. &Preed B. (eds). Contemporary Research in Pli-
losophical Logic and Zinguistic Semantis. Publish. Reidel. Nolland 1975.
(V8)	Van Velthoven G. — Application of Fuzzy Sets Theory to Criminal In-
vestigation. Ph. D. Thesis Univ, of Louvain. Belgium. 1974.
(V9)	Verma P. P. —Vagueness and the Principle of the Excluded Middle.
Mind. — Vol. 70, pp. 66—77, 1970.
(V10	) Van Velthoven В. C. —Onderzoek naar Idepasbaarheid Man de Theo-
rie der Vage Verzamelingen op Het Parametrisch Underzoek Inzake Criminaliteit,
Univ, of Louvain. Belgium. Dec. 1974.
(Wl) Wee W. G. —On Generalization of Adaptive Algorithms and Appli-
cations of the Fuzzy Sets Concepts to Pattern Classification. — Techn. Report
T. R. E. E. 67—7. Depart, of Electrical Eng. Perdue Univ. Lafayette. — Indi-
ana. June_1967.
421
(W2)	Wee W. G. &Fu K. S. — A Formulation of Fuzzy Automata and its
Aplications as a Model of Learning Systems. I. E. E. E. Trans. Syst. Science and
Cybernetics. Vol. SSC 5, pp. 215—223, July 1969.
(W3)	Watanabe S.— Modified Concepts of Logic, Probability and Information
based on Generalized Continuous Characteristic Function. Inform, and Control.
Vol. 15, pp. 1—21, 1969.
(W4)	Wong С. K. — Fuzzy Topology: Product and Quotient Theorms.
Jour, of Math. Anal, and Appl. 1973.
(W5)	Wong С. K. ~ Covering Properties of Fuzzy Topological Spaces. I. B.
M. Research Report. Yortown Heightes. N. Y. 1971.
(W6)	Wong С. K. — Fuzzy Points and Local Properties of Fuzzy Topology.
Report IVCDCS — R — 73 — 561. Univ, of Illinois. Urbana — Champaign.
1973.
(W7)	Wong G. A., &Shen D. C. —On the Learning Behaviour of Fuzzy
Automata. Paper Internat. Congress in Cybernetics and Systems. Oxford 1972,
(W8) Wong С. K. — Fuzzy Topology. In : Fuzzy Sets and their Applications
to Cognitive and Decision Processes. Academic Press., pp. 171—190 1975.
(W9)	Woodhead R. G. — On the Theory of Fuzzy Sets to Resolve Ill - struc-
tured Marine Decision Problems. Depart of Naval Arch, and Shipbuilding.
Univ, of Newcastle upon Tyne. U. K. 1972.
(W10	) Warren R. H. - Optimallity in Fuzzy Topological Polysystems. —
Appl. Math. Res. Lab. Wright-Patterson AFB. Ohio. 1974.
(Wil	) Wechler W. &Dimitrov V. — R - Fuzzy Automata. Proc. IFIP Cong-
ress 3. pp. 657—660, 1974.
(W12	) Weiss M. D. —Fixed Points, Separation and Induced Topologic®
or Fuzzy Sets. Jour, of Math. Anal, and Appl. 50, pp. 142—150, 1975.
(W13	) Warren R. H.—Closure Operator and Boundary Operator for Fuzzy
Topological Spaces. Appl. Math. Research Lab. Wright - Patterson] AFB. Ohio,
1974.
(W14	) Warren R. H. — Heighborhoods, Bases and Continuity in Fuzzy Topo-
logical Spaces. Appl. Math. Research Lab. Wright - Patterson. AFB. Ohio. 1974.
(W15	) Wenstorp F. — Applications of Linguistic Variables in the Analysis
of Organizations. Thesis. Univ, of California, Berkeley. Cal. Nov. 1974.
(W16	) Wong С. K. —Categories of Fuzzy Sets and Topological Spaces. —
Report RC 5138. FBM Thomas B. Watson Res. Center. Yorktown - Heights, N.Y.
Nov. 1974.
(W17	) Watanabe S. —Creative Learning and Propensivity Automata.—
I. E. E. E. Trans, on Systems, Man and Cybernetics. Vol. SMC — 5, pp. 683—
689 1975.
(W18	) Wechler W. —R.-Fuzzy Gfammars.—Report Technical Univ, of
Dresden. D. D. R. 1974.
(W19	) Wechler W. — Analyse und Synthes Zeitvariabler R-Fuzzy Auto-
matem. ZKI Informationen. — Akad. D. Wiss. de D. D. R. Vol 1. 1974.
(W20	) Wechler W. &Agasandyan G. A. — Automata with a Variable Structure
and Meta - regular' Languages. IZV. Akad.’ Nauk. SSSR Techn. Kibernet.
N 1, pp. 146—148, 1974.
(W21	) Wechler W. —R-Fuzzy Automata with a Time-variant Struc-
ture. — In: G. Goos &J. Hartmamis. — Mathematical Foundations of Computer
Science. — Lecture Notes in Computer Science. Vol. 28, pp. 73—76, Springer—
Verlag. Berlin. 1975.
(W22	) Wechler W. — The Concept of Fuzziness in the Theory of Automata.—
Proc. 3rd Internat. Congress of Cybernetics and Systems. Bucharest. —Aug. 1975.
(W23	) Wechler. W. — Applications of Fuzzy Logic to Medical Diagnosis. In-
formation und Computer Sciences Depart. Univ, of California. 1975.
(W24	) Watanabe S. — A Model of Mindbody Relation in terms of Modular
Logic. Synthese, pp. 3—26, 1961.
(W25	) Watanabe S. —Creative Learning and Propensity Automaton.—
Proceedings Learning Management based on Formal Model of Behavior and Apti-
tudes in Computer Assited Syst. of Instruction. UCODI Summer School. Centre
IMAGO. Univ, de Louvain, pp, 117—137, 1974.
422
(Yl) Yoeli M. — A Note on a Generalization of Boolean Matrix Theory. —
Amer. Monthly Math. —Vol. 68, pp. 552—557, 1961.
(Y2)	Yeh R. T. &Bang S. Y. —Fuzzy Relations, Fuzzy Graphs and their
Applications to Clustering Analysis. In: Fuzzy Sets and their Applications to Cog-
nitive and Decision Processes. Academic Press, pp. 125—149, 1975.
(Y3)	Yeh R. T. — Toward an Algebraic Theory of Fuzzy Relational Sustems*
Proceedings of Internat. Congress on Cybernetics. Namur. 1974.
(21)	Zadeh L. A. —Fuzzy Setz. Inform, and Control. Vol. 8, pp. 338—353,
June 1965.
(Z2)	Zadeh L. A. — Fuzzy Sets and Systems. Proc, of the Sumposium on Syst.
Theory. Polytechn. Brookin. N. Y. pp. 29—39, 1966.
(Z3)	Заде Л. А. Тени нечетких множеств. Проблемы передачи информации,
т. 2, вып. I, март № 2, с. 37—44.
(Z4)	Zadeh L. А.—Fuzzy Algorithms. Inform, and Control. Vol. 12, pp. 99—
102, Febr. 1968.
(Z5)	Zadeh L. A. — Probability Measure of Fuzzy Events. Jour. Math. AnaL
and Appl. Vol. 10, pp. 421—427, Aug, 1968.
(Z6)	Zadeh L. A. — Biological Applications of the Theory of Fuzzy Sets and
Systems. In: Biocybernetics of the Central Nervous System. Ed. L. C. Proctor,
L. C. Littke, Brown & Co. Boston, pp. 199—206. Discussion by W. Kilmer, pp.
207_______212, 1969.
(Z7)	Zadeh L. A. — Toward a Theory of Fuzzy Systems. — E. R. L. Re-
port 69, 2, Electr. Research Lab. Univ, of California. Berkeley. July 1969.
(Z8)	Zadeh L. A. — Toward Fuzziness in Computers Systems. Fuzzy Algorithms
and Languages. Depart, of Electr. Eng. and Computer Science. Univ, of Cali-
fornia. Berkeley. 1969.
(Z9)	Zadeh L. A. — Quantitative Fuzzy Semantics. Inform. Sciences. 3,
pp. 0000—0176, 1970.
(Z10	) Zadeh L. A. —Similarity Relations and Fuzzy Ordering. — E. R. L.
Report № 277. Electr. Research Lab. Univ, of California. Berkeley. July 1970.
(ZH)	Zadeh L. A. — Fuzzy Languages and their Relation to Human and Mac-
hine Intelligence. Proc, of the Conf, on Man and Computer. Institut de la vie.
Bordeaux. June 1970. E. R. L. Report M302. Univ, of California. Berkeley. Aug.
1971.
(Z12	) Zadeh L. A. — Machine Intelligence versus Human Intelligence. Proc.
Conf, on Science and Society. Herceg Novi. Yougoslavia. pp. 127—134, June
1969.
(Z13	) Zadeh L. A. —A system-theoretic View of Behaviour Modifications.
— Center for the Study of Democratic Institutions. Santa Monica. Cal. Proc. Conf,
on the Social and the Philosophical Implications of Behaviour Modifications.
Jan. 1972. E. R. L. Report M320. Univ, of California. Berkeley. Febr. 1972.
(Z14	) Zadeh L. A. — On Fuzzy Algorithms. E. R. L. Report M325. Report
of Electr, Eng. and Comput. Science. Univ, of California. Berkeley. Febr. 1972.
(Z15	) Zadeh L. A. —A Rationale for Fuzzy Control. Jour, of Dyn. Systems.
Measurement and Control. Vol. 3, pp. 3—4, March 1972.
(Z16	) Zadeh L. A. A Fuzzy Sets Theoretic Interpretation of Linguistic Hedges.
E. R. L. Report M335. Electr. Res. Lab. Univ, of California. Berkeley. April 1972.
(Z17	) Заде JI. A. — Основы нового подхода к анализу сложных систем и
процессов принятия решений. В сб.: Математика сегодня. «Знание», с. 5—49,
1974.
(Z18	) Zadeh L. А. — Linguistic Cybernetics. Proc, of the Internat. Sympos.
on Syst. Sciences and Cybernetics. Oxford Univ. 1972.
(Z19	) 3age Д А. Понятие лингвистической переменной и его применение
к принятию приближенных решений. «Мир», Москва, 1976.
(Z20	) Zadeh L. А. — Numerical versus Linguistic Variables. — Newspaper
of the Circuits and Systems Society. Vol. 7, pp. 3—4, Febr. 1974.
(Z21	) Zadeh L. A. — On the Analysis of Very Large Scale Systems. E. R. L.
Report M418. Univ, of California. Berkeley. Jan. 1974. Proceedings of the Conf,
on Systems Theory and Environmental Problems. Bavarian Acad, of Sciences. Mu-
nich. 1973.
423
(Z22	) Zadeh L. A. — Fuzzy Logic and its Applications to Approximal Reaso-
ning. Proc. IFIP Congress. Aug. 1974.
(Z23	) Zimmermann H. J. & Gehring H. —Fuzzy Information Pfofils for
Information Selection. Congress Book. Vol. II, 4th Internat. Congress. — AFCET
Paris. 1975.
(Z24	) Zadeh L. A. — A Fuzzy Algorithm Approach to the Definition of
Complex or Imrecise Concepts. E. R. L. Report M474. Univ, of California. — Ber-
keley. 1974.
(Z25	) Zadeh L. A. —Fuzzy Logic and Approximate Reasoning. E. R. L. Re-
port M 479. Univ, of California. Berkeley. 1974.
(Z26	) Zadeh L. A. — Calculus of Fuzzy Restrictions. In : Fuzzy Sets and
their Applications to Cognitive and Decision Processes. Academic Press. —
pp. 1—26, 1975.
(Z27	) Zimmermann H. J. — Optimization in Fuzzy Environment. — Techn.
Report Inst, for Operations Research. Tech. Hochschule. Aachen. 1974.
(Z28	) Zimmermann H. J. — Optimale Entscheidungen bei unscharfen Prob-
lembeschreibungen. Lehrstuhl fiir Unternehmensforschung. RWTH Aachen. —
W. Germany. May. 1975.
(Z29	) Zimmermann H. J. & Rodder W. — Analyse, Beschreibung und Opti-
mierung von unscharf Formulierten Problemen. Lehrstuhl fiir Unternehmensfor-
schung. — RWTH. Aachen. W. Germany. June 1975.
(Z30	) Zimmermann H. J. — Description and Optimization of Fuzzy Systems.
Vol. 2, 1975.
(Z31	) Zimmermann H. J. — The Potential of Fuzzy Deci si on-making in
the Private and the Rublic Sector.[Documentation SOAK—75. Lindingo. Sweden,
1975.
(Z32	) Zimmermann H. J. — Bibliography : Theory and Applications of Fuz-
zy Sets. Lehrstuhl fiir Unternehmensforschung. RWTH Aachen. Oct. 1975.
Дополнительный список литературы •)
1.	Адамович П. Н., Борисов А. Н., Голендер В. Е. Адаптивный алгоритм
распознавания размытых образов. — Кибернетика и диагностика. — Рига:
РПИ, 1970, вып. 4, с. 149—156.
2.	Айзерман М. А. Нечеткие множества, нечеткие доказательства и некото-
рые нерешенные задачи теории автоматического регулирования. — Автоматика
и телемеханика, 1976, № 7, с. 171—177.
3.	Алексеев А. В. Проблема построения нечетких ситуационных моделей
управления. В кн.: Методы и системы принятия решений — Рига: РПИ, 1979,
с. 12—19.
4.	Алексеев А. В. Интерпретация и определение функций принадлежности
нечетких множеств. — Там же, с. 42—50.
5.	Алексеев А. В. Лингвистические модели принятия решений в нечетких
ситуационных системах управления. — В кн.: Методы принятия решений в усло-
виях неопределенности. — Рига: РПИ, 1980, с. 19—25.
6.	Алексеев А. В., Борисов А. Н. Модели нечетких статистических и дина-
мических отношений в ситуационных моделях управления организационными
системами. — Управление сложными системами. — Рига: РПИ, 1978, вып. 5,
с. 81—88.
7.	Батыршин И. 3. О мерах энтропии размытых множеств. — Исследова-
ние операций и аналитическое проектирование в технике /КАИ — Казань, 1978,
вып. 1, с. 40—45.
8.	Батыршин И. 3. О транзитивности размытых упорядочений.— Исследо-
вание операций и аналитическое проектирование в технике. — Казань: КАИ,
1979, вып. 2, с. 67—73.
*> Список представляет собой первую попытку составления библиографии
советских авторов по вопросам теории нечетких множеств и не претендует на
полноту. (Прим, пер.)
424
9.	Борисов А. Н. Некоторые обучающиеся алгоритмы диагностики систем с
размытыми классами состояний. — Техническая кибернетика. — Рига, 1970.
10.	БорисовА. Н., Алексеев А. В. Нечеткие алгоритмы в ситуационных мо-
делях управления организационными системами. — В кн.: Методика построения
систем ситуационного управления /Науч, совет АН СССР по комплексной про-
блеме «Кибернетика». — М., 1978, с. 3—10.
11.	Борисов А. Н., Аппен Е. П. Оценка возможных характеристик при ана-
лизе альтернатив. — В кн.: Методы принятия решений в условиях неопределен-
ности. — Рига: РПИ, 1980, с. 94—100.
12.	БорисовА. Н., Голе н дер В. Е. Оптимальное разделение размытых обра-
зов. — Методы и средства технической кибернетики. — Рига: РПИ, 1969, вып.
5, с. 32—38.
13.	Борисов А. Н., Корнеева Г. В. Лингвистический подход к построению
моделей принятия решений в условиях неопределенности. — В кн.: Методы при-
нятия решений в условиях неопределенности. — Рига: РПИ, 1980, с. 4—12.
14.	Борисов А. Н., Крумберг О. А. Анализ решений при выборе техноло-
гических объектов. — Там же, с. 127—134.
15.	Борисов А. Н., Осис Я. Я- Поиск наибольшей разделимости размытых
образов. — Кибернетика и диагностика. — Рига: РПИ, 1969, вып. 3, с. 79—88.
16.	Борисов А. Н., Попов В. А. Один класс задач векторной оптимизации
при лингвистическом задании критериев. — В кн.: Методы и модели управления
и контроля /РПИ. — Рига, 1979, с. 56—61.
17.	БорисовА. Н., Попов В. А. Восстановление функций полезности и линг-
вистическая оценка предпочтений.— В кн.: Методы принятия решений в усло-
виях неопределенности. — Рига: РПИ, 1980, с. 33—37.
18.	Борисов А. Н., Эрнштейн Р.Х. Сопоставление некоторых четких и раз-
мытых алгоритмов распознавания. — В кн.: Методы и средства технической ки-
бернетики. — Рига; РПИ, 1970. с. 35—40.
19.	Вачнадзе Р. Г., Метревели Д. Г. Применение концепции нечетких реше-
ний в многокритериальных задачах с конусным упорядочением. — В кн.: Ме-
тоды принятия решений в условиях неопределенности. — Рига: РПИ, 1980.
20.	Вачнадзе Р. Г., Метревели Д. Г. Парето-оптимальные решения с не-
четкими целями и ограничениями. — Сообщения АН ГССР, 1979, т. 93, № 3.
21.	Грундспенькис Я- А. Применение лингвистических переменных при по-
строении топологической модели сложной системы. — Проблемы бионики. —
Харьков: Высшая школа, 1979, вып. 22, с. 99—106.
22.	Гусев Л. А., Смирнова И. М. Развитие теории размытых множеств. —
Измерения, контроль, автоматизация, 1978, № 3, с. 39—47.
23.	Дубов Я. А. К теории неопределенности.— Отбор и передача информа-
ции, 1976, вып. 48, с. 3—8.
24.	Ежкова И. В., Поспелов Д. А. Принятие решений при нечетких основа-
ниях. I. Универсальная школа. II. Схема вывода. — Изв. АН СССР. Техн, ки-
бернетика, 1977, № 6, с. 3—11, 1978, № 2, с. 5—11.
25.	Жуковин В. Е., Бурштейн Ф. В., Корелов Э. С. Принятие решений по
многим критериям эффективности и нечеткие множества. — Труды института
кибернетики АН ГССР, 1977, т. 1, с. 317—325.
26.	Жуковин В. Е., Оганесян Н. А., Бурштейн Ф. В. и др. Об одном под-
ходе к задачам принятия решений с позиций теории нечетких множеств. — В кн.:
Методы принятия решений в условиях неопределенности /РПИ — Рига, 1980.
27.	Каипов В. X., Селюгин А. А. Об алгоритме классификации расплывча-
тых ситуаций. — Там же, с. 38—42.
28.	Капустин В. Ф. О нечетких постановках некоторых эксперименталь-
ных задач. — Применение математических методов в экономике, 1974, № 12.
29.	Козин А. Н. Некоторые вопросы алгоритмизации процесса принятия
решений в АСУП. — В кн.: Исследование операций и аналитическое проектиро-
вание в технике. — Казань: КАИ, 1978, вып. 1, с. 45—50.
30.	Коломов С. В., Макеев С. П., Серов Г. П. и др. Об одной задаче приня-
тия решений в расплывчатых условиях. — Труды 22-й науч. конф. МФТИ. Сер.
Аэрофизика и прикладная математика. Долгопрудный: МФТИ, 1977, с. 199—203.
31.	Крумберг О. А. Принятие решений на основе лингвистической перемен-
ной. — В кн.: Автоматизированные системы управления учебным процессом/РПИ
— Рига, 1979, с. 36—42.
425
32.	Крумберг О. А. Теория психологической возможности для моделирова-
ния выбора в условиях неопределенности. — В кн.: Методы принятия решений в
условиях неопределенности/РПИ — Рига, 1980, с. 50—54.
33.	Кузьмин В. Б. Построение групповых решений в пространствах нечет-
ких отношений. — М.: ВНИИСИ, 1980. — 63 с.
34.	Кузьмин В. Б.,Овчинников С. В. Построение групповых решений в про-
странстве нечетких бинарных отношений. — Вопросы кибернетики. Экспертные
оценки/Науч. совет АН СССР по комплексной проблеме «Кибернетика», — М.,
1979, с. 91—109.
35.	Кузьмин В. Б., Овчинников С. В, Построение групповых экспертных
решений в пространствах нечетких отношений частичного порядка. — В кн.:
Труды ВНИИСИ, 1979, вып. 4, с. 28—37.
36.	Курганов В. Д., Овсянникова А. А., Тимашев А. Н. Преобразование
качественной информации в количественную в задачах распознавания образов.
— Вопросы кибернетики, 1973, вып. 57, с. 57—61.
37.	Левиатов А. Ю. Принятие решений об оценке качества сложных объ-
ектов при нечетких основаниях. — Изв. АН СССР, Техн, кибернетика, 1980,
№ 1, с. 190—195.
38.	Логинов В. Н. О вероятностной трактовке функций принадлежности
Заде и их применении для распознавания образов. — Изв. АН СССР. Техн, ки-
бернетика, 1966, № 2, с. 72—73,
39.	Мирошников В. В. Проектирование технических систем на основе при-
менения нечетких множеств и размытых алгоритмов. — Изв. АН СССР. Техн,
кибернетика, 1979, № 3, с. 124—135.
40.	Орлов А. И. Нечеткие и случайные множества. — В кн.: Прикладной
многомерный статистический анализ. — М., 1978, с. 262—280.
41.	Орлов А. И. Основания теории нечетких множеств (обобщение аппарата
Заде). Случайные толерантности. — В кн.: Алгоритмы многомерного статисти-
ческого анализа и их применения /ЦЭМИ АН СССР,— М., 1975, с. 169—175.
42.	Орлов А. И. Связь между нечеткими и случайными множествами: Нечет-
кие толерантности. — Исследования по вероятностно-статистическому модели-
рованию реальных систем /ЦЭМИ АН СССР, М., 1977.
43.	Орлов А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях. — М.:
Наука, 1979.
44.	Орловский С. А. Игры в нечетко определенной обстановке /ЖВМ и
МФ, 1976, т/16, № 16, с. 1427—1435.
45.	Орловский С. А. Об одной задаче принятия решений в нечетко опреде-
ленной обстановке. — Вопросы прикладной математики /Сибир. энергет. ин-т,
Иркутск, 1975, с. 85—91.
46.	Orlovsky S. A. On programming with fuzzy constraint sets. — Kybernetes,
1977, v. 6, №3, p. 197—201.
47.	Orlovsky S. A. Decision-making with a fuzzy preference relation. — Fuzzy
Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 155—167.
48.	Орловский С. А. Проблемы принятия решений] при нечеткой исходной
информации. — М.: Наука, 1980.
49.	Орловский С. А. Добавление к кн. Л. Заде. Понятие лингвистической
переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир,
1976, с. 150—161.
50.	Скворцов В. В., Матросов Ф. А. К экспериментальному выявлению веро-
ятностных характеристик нечетких множеств. — Исследование операций и анали-
тическое проектирование в технике — Казань: КАИ, 1978, вып. 1, с. 35—39.
51.	Соловьев А. Е. Анализ производственной ситуации с помощью нечеткой
логики. — Пермь: Пермский политехи, ин-т, 1976, 16 с.
52.	Шапиро Д. И. Ситуационное управление при наличии расплывчатых
образов. — В кн.: Логическое управление в промышленности. — М.: Знание,
1976, с. 158—164.
53.	Шапиро Д. И. О решении одного класса многокритериальных задач.—
В кн.: Многокритериальные задачи принятия решений. —М.: Машиностроение,
1978, с. 169—183.
54.	Шапиро Д. И. Расплывчатые интегральные игры. — В кн.: Методы и
системы принятия решений. — Рига: РПИ, 1979, с. 57—63.
426
55.	Шер А. П. Согласование неточечных экспертных оценок и функции при-
надлежности в методе размытых множеств. —В кн.: Моделирование и иссле-
дование систем автоматического управления. —Изд-во ДВНЦ АН СССР, Вла-
дивосток, 1978, с. 111—118.
56.	Шер А. П. Решение задачи математического программирования с ли-
нейной целевой функцией в размытых ограничениях. — Автоматика и телеме-
ханика, 1980, № 7, с. 137—143.
57.	Шошин П. Б. Размытые числа как средство описания субъективных ве-
личин. — В кн.: Статистические методы анализа экспертных оценок. — М.:
Наука, 1977, с. 234—250.
58.	Язенин А. В., Дишкант Г. П. Линейная задача принятия решений
с расплывчатыми целями. — Калинин: Калининский ун-т, 1977. — 12 с.
Список цитированных работ
1—В	Berge С. — Theorie des Graphes et ses Applications. — Ed. Dunod.
2—В	Bruter С. P. —Les Motroides, nouvel outil mathematique. —Ed.
Dunod.
3—В	Busacker R. G. & Saaty T. L. —Finite Graphs and Networks. An In-
troduction with Applications. — Ed. Me Graw Hill.
1—C	Cullmann G. —Cours de Calcul Informationnel. — Ed. Albin-Michel.
1—D	De Palma R. —Cours de Calcul Automatique. — Ed. Albin-MicheL
1—E Ehresmann C. —Categories et Structures. — Ed. Dunod.
1—F	Faure R. & Heurgon E.—Structures ordonnees et Algebres de Boole.—
Ed. Gathier—Villars.
2—F	Faure R., Kaufmann A. & Denis — Papin M. — Cours de Calcul
Booleien Opplique. — Ed. Albin-Michel.
1—G	Gross M. & Lent in A. — Notions sur les Grammairs formelles. — Ed.
Gauthier-Villars.
1—H	Harar у F., Norman R. Z. & Carturight D. —Structural Models —
An Introduction to the Theory of Directed Graph. — Ed. Wiley.
2—H	Hopcroft J. E. & Ullmann J. D. —Formal Languages and their Rela-
tions to Automata. — Ed. Addison-Wesley.
1—К	Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. М.: Наука,
1975.
2—К	Кофман А. — Методы и модели исследования операций. — М.: Мир,
1966.
3—К	Kaufmann А. & Precigout М. —Cours de Mathematiques Nouvelles
pour le Recyclage des ingeniers et cadres. — Ed. Dunod.
4—К	Kaufmann A., Denis—Papin M. — Cours de Calcul Matriciel Appli-
que. — Ed. Albin-Michel.
5—К	Kaufmann A. — Des Points et des Fleches... la Theorie des Graphes.
— Ed. Dunod.
6—К	Kaufmann A., Fuster M. & Drevet A. — L’Inventique. Nouvelles
Methodes de Cr6ativit6. — Ed. E. M. E. Paris.
7—К	Kaufmann A. —La Confiance Technique — Theorie mathematique
de la Fiabilite. — Ed. Dunod.
8—К	Kaufmann A. — Cours Moderne de Calcul des Probabilites. — Ed.
Albin-Michel.
9—К	Kaufmann A., Groushko D. & Cruon R. —Modeles Mathematiques
pour 1’Etude de la Fiabilite des Systemes. — Ed. Masson.
10—К	Kaufmann A. & Boulaye G. — La theorie des treillis en vue des
applications. — Ed. Masson.
1—M	Mitchell B. — Theory of Categories. — Ed. Academic Press.
1—P	Pichat E. — Contribution a 1’Algorithmique non — numerique dans les
ensembles ordonnes.— These Fac. Sciences Grenoble — 1971.
1—к	Robert H. — Introduction aux Categories et Structures — Cours Fac.
des Sciences de Caen — France.
2—R	Roy B. —Algebre moderne et Theorie des Graphes.— Vol. I & IL
— Ed. Dunod.
1—S	Szast G. — Introduction to Lattice Theory. — Ed. Academic Press.
427
Именной указатель
Берж 57
Биркгоф 283
Борель 241
Гедель 12
Гоген 283
Де Морган 49, 182, 294
Дирак 278
Заде5, 9, 113, 115, 283, 317
Кениг 57
Колмогоров 241
Лукашевич 9
Маринос 200
Мойзил 9
Пирс 186
Пост 9
Хассе 265, 291
Хемминг 31, 35, 36, 283, 309
Шеффер 186
Предметный указатель
Автоморфизм 326, 328
Алгебра булева бинарная 181
Алгебраическая сумма нечетких подмно-
жеств 49
------— отношений 66
Алгебраическое произведение нечетких от-
ношений 65
---------подмножеств 49
Алгоритм Мальгранжа 361
Антимаршрут 230
Антирефлексивность 106
Антисимметрия 111
— совершенная 113
Антитонное отображение 322
Бержа граф 57
Биекция 320
Бинарное отношение, нечеткое 87
Ближайшее обычное подмножество 38,
40, 86
Булева бинарная алгебра 181
— решетка 46, 294, 298
— сумма 20
Булево произведение двух множеств 20
---решеток 295
Векторная решетка 294
Вероятность 241
—, теория 239
Верхняя полурешетка 296
Включение нечетких подмножеств 25
---отношений 62
— решеток 315
Гауссовы нечеткие целые числа 280
Геометрические нечеткие целые числа 278
Граф Бержа 57
— нечеткий 55, 59
—	транзитивный расстояний 142
Группа нечеткая 269
Группоид 256
—	нечеткий 257, 261
Двойственная планарная сеть 229
Двойственность упорядоченных множеств
327
Декомпозиционное дерево 144
Декомпозиция на максимальные подотно-
шения 152
—- нечеткого отношения совершенного по-
рядка, теорема 154
— отношения подобия, теорема 140
Диаграмма Хассе 265, 291
Дизъюнктивная сумма нечетких подмно-
жеств 28
------отношений 67
Дистрибутивная решетка 293
Длина пути 101
Доминирование, отношение 24
Дополнение нечеткого отношения 66
---подмножества 27
—	решетки 293
Евклидово расстояние 35
—	— относительное 36
Единичный элемент 262
Закон внешней композиции 256
— нечеткой внешней композиции 271
— внутренней композиции 255
— нечеткой внутренней композиции 257
Замыкание транзитивное нечеткого бинар-
ного отношения 95
—, (max — min) 94, 137
—, (min — max) 138
—, (max — sum) 135
—, (max — •) 134, 137
Изоморфизм структуризованных множеств
328
—	упорядоченных множеств 323
Изотонность 321
Импликация 234
—	нечеткая 236
Индекс нечеткости 39
— — произведения нечетких подмножеств
52
Инъекция 319
Категория 336
—	нечеткая 347
Класс подобия нечеткого предпорядка 109
Кольцо 298
Композиция ближайших обычных отноше-
ний 76
—	интервалов 212
—	морфизмов 335
---нечетких 348, 352
— нечеткая, закон 255
— нечетких отношений 70
------, (max — min) 70
------, (max — *) 73
—-----, (max—) 72
Контур в нечетком графе 101
428
Максимальное подотношение подобия 109,
365
Максимальный одночлен 191
Маршрут в нечеткой сети 227
—	простой 227
---, максимально 227
Метаимпликация 234
Метод антимаршрутов 230
—	Мальгранжа 361
—	Марипоса 200
Множество нечетких подмножеств 45, 48
— отображений 285, 286
—	принадлежностей 22
Модулярная решетка 292
Моноид нечеткий 266
Мономорфизм упорядоченных множеств
323
~ структуризованпых множеств 328
Морфизм 322, 328, 335
—	нечеткий 347
С-морфизм 336
L-нечеткий С-морфизм 347
Неоднородное нечеткое подмножество 313
Нечеткая импликация 236
—	категория 347
— композиция, закон 255
— конъюнкция 28
— переменная 184, 318
— подкатегория 354
— принадлежность 21
— эквивалентность 107
Нечеткий граф 55, 59
— группоид 257, 261
— моноид 266
— подмоноид 268
— полупредпорядок 106
— предпорядок 104
----антирефлексивный 106
— — нерефлексивный 106
Нечеткое отношение 59
---- бинарное 87
----несходства 137, 159
----, носитель 61
----подобия 107, 159
---- порядка 114
------— полного 115
-------- совершенного 116, 154, 156
------нестрогого 116, 159
------строгого 116, 159
------ частичного 116
----порядковое 121, 159
---- предпорядка 104
------, приводимое ПО
----различия 128, 159
----сходства 131, 159
----эквивалентности 107, 159
----, проекция 60
— подмножество 21, 181
----, индуцированное отображением 77
----условное 79, 80
Нечеткость, индекс 39
—, индикатор векторный 40
—, оценка через энтропию 41
Носитель нечеткого отношения 61
Обычное отношение, ближайшее к нечет-
кому 69
— подмножество, ближайшее к нечетком •
38, 40
----нечеткого множества 264
---- а-уровня 43
—	(min — зиш)-различия 152
Одночлен максимальный 191
Оператор Пирса 185
—	Шеффера 185
Отношение нечеткое 59
---- бинарное 87
—	доминирования 24
Отображение 318
Отображение антитонное, упорядоченных
множеств 322
— биективное 320
— изотопное, упорядоченных множеств 321
—	инъективное 319
—	многозначное 57
— сюръективное 319
Переменная, нечеткая 184, 318
Пересечение нечетких отношений 64
---подмножеств 27
Подгруппоид 266
Подкатегория нечеткая 354
Подмножество нечеткое 21
— обычное, ближайшее к нечеткому 38, 40
---нечеткого отношения 74
---нечеткого множества 264
--- условное 79
--- а-уровня 43
Подобие, отношение 107, 159
Подотношение подобия 109
---максимальное 109, 360
Полиномиальная форма 190
--- приведенная 191
Полупредпорядок, нечеткий 106
Полурешетка верхняя 296
— нижняя 296
Порядковая функция нечеткого отноше-
ния порядка 125
---обычного графа 122, 123
---частичного упорядоченного множест-
ва 297
Порядок, отношение нечеткое 114
— нестрогий 116, 159
— полный 115
— совершенный 116, 154, 156
— строгий 116, 159
—	частичный 116
Предпорядок, отношение нечеткое 164
—	антирефлексивный 106
—	нерефлексивный 106
—	приводимый 110
Принадлежность нечеткая 21
—, понятие 18
Проекция нечеткого отношения 60
------ глобальная 60
------нормальная 60
------субнормальная 60
Произведение алгебраическое нечетких
отношений 65
------подмножеств 49
—	булево 20
—	обычных множеств 283
—	решеток 295
Псевдодополнение нечеткого подмножест-
ва 316
Путь в нечетком графе 100, 104
—	, длина 101
— простой в нечеткой сети 227
---максимальный 227
— сильнейший 101
Равенство нечетких подмножеств 26, 316
Различие, отношение 128, 159
Разность нечетких подмножеств 29
Расстояние евклидово 35, 36
—, понятие 31
— Хемминга 31
---обобщенное 35
---— относительное 36, 309
— — относительное 31
— (min — max) на отношении подобия 130
---— сходства 131
—	(min — sum) 135
Рефлексивность 88
Решетка 290
— булева 46, 294, 298
—	векторная 46, 294
—	— лексикографическая 295
—	дистрибутивная 293
---без дополнений 46
429
Решетка дистрибутивная с дополнениями
46, 293
Сеть, двойственная данной 229
—	нечетких элементов 226
—	планарная 229
Симметрия нечетких бинарных отношений
87
Совершенная антисимметрия 113
Сообщения, транзитивно ближайшие 145
Соответствие 318
— взаимно-однозначное 320
Структура кольца 297, 305
Сумма алгебраическая нечетких под-
множеств 49
-------отношений 66
— булева 20
— дизъюнктивная нечетких подмножеств
28
---обычных множеств 284
Сюръекция 319
Теорема де Моргана для нечетких под-
множеств 49, 182
— декомпозиции нечеткого подмножества
44
---нечеткого отношения 75
------- подобия 140
-------совершенного порядка 154
Транзитивное замыкание нечеткого бинар-
ного отношения 95
—, (max —min) 94, 137
—, (min —max) 138
—	, (max — •) 134, 137
Транзитивность 88
—	, max —min) 88, 166
—	, (max — sum) 154
—	, (max — *) 104
— (max —  ) 104
—, (min — max) 128, 154
Уровень принадлежности 22
— разложения графа 122
Условие дуальное 224
— примарное 224
Форма полиномиальная 190
—приведенная (каноническая) 191, 243
Функция 320
— нечетких переменных 184, 190, 192
------ф логическая струкзура 207
------смешанная 189
— порядковая, нечеткого отношения по-
рядка 125
---обычного графа без контуров 122
-------- с контурами 123
---частично упорядоченного множества
297
—	принадлежности, понятие 18
—	— характеристическая 19, 22
------- нечеткого подмножества 181
—	— дискретная 215
Хассе диаграмма 265, 291
Эквивалентность, нечеткое отношение 107,
159
Элемент сети нечеткий 226
— единичный 262
— обратный 263
Эндоморфизм 326, 328
Энтропия 41
Эпиморфизм 322, 328
Оглавление
Предисловие М. А. Айзермана.....................................
Предисловие Л. А. Заде..........................................
Предисловие автора к первому изданию............................
Предисловие автора ко второму изданию ..........................
Предисловие автора к третьему изданию...........................
Предисловие автора к русскому изданию ..........................
Основные обозначения............................................
5
6
8
12
13
13'
15
Глава I
Основные понятия ..........................................18
1.	Введение....................................................18
2.	Понятие принадлежности......................................18
3.	Понятие нечеткого подмножества .............................20
4.	Отношение доминирования.....................................24
5.	Простейшие операции над нечеткими подмножествами............25
6.	Множество нечетких подмножеств для	конечных	Е	и М..........45
7.	Свойства множества нечетких подмножеств.....................48
8.	Алгебраическое произведение и сумма	двух	нечетких подмножеств 49
9.	Упражнения..................................................53
Глава II
Нечеткие графы и нечеткие отношения ..............................55
10.	Введение.......................................................55
11.	Нечеткие	графы.................................................55
12.	Нечеткое	отношение.............................................59
13. Композиция двух нечетких отношений...........................70
14. Нечеткое подмножество, индуцированное отображением...........77
16.	Условные нечеткие подмножества...............................79
16.	Свойства нечетких бинарных отношений.........................87
17.	Транзитивное замыкание нечеткого бинарного	отношения.........94
18.	Путь в конечном нечетком графе..............................100
19.	Нечеткие отношения предпорядка..............................104
20.	Отношение подобия...........................................107
21.	Подотношение подобия в нечетком предпорядке................109
22.	Антисимметрия..............................................111
23.	Нечеткие отношения порядка.................................114
24.	Антисимметричные отношения без контуров, порядковые отношения,
порядковые функции нечеткого отношения порядка................121
25.	Отношения различия.........................................127
26.	Отношения сходства.........................................131
27.	Некоторые свойства отношений подобия и сходства ...........140
28.	Некоторые свойства нечетких отношений совершенного порядка 154
29.	Обзор простейших функций принадлежности....................160
30.	Упражнения.................................................171
Глава III
Нечеткая логика ................................................. 180
31.	Введение......................................................180
32.	Характеристическая функция нечеткого подмножества. Нечеткие
переменные. . ....................................................181
431
33.	Полиномиальные формы.........................................190
34.	Анализ функций нечетких переменных. Метод Мариноса...........200
35.	Логическая структура функций нечетких переменных.............207
36.	Композиция интервалов........................................212
37.	Синтез функций нечетких переменных...........................218
38.	Сети нечетких элементов......................................226
39.	Нечеткие утверждения и функциональное представление..........232
40.	Теория нечетких подмножеств и теория вероятностей............239
41.	Теория нечетких подмножеств и теория структурных функций . . . 242
42.	Упражнения...................................................253
Глава IV
Законы нечеткой композиции.......................................255
43.	Введение.....................................................255
44.	Понятие закона композиции....................................255
45.	Закон нечеткой внутренней композиции.	Нечеткий группоид . . . 257
46.	Основные свойства нечетких группоидов........................261
47.	Нечеткие моноиды.............................................266
48.	Нечеткая внешняя композиция..................................271
49.	Операции на нечетких числах..................................276
50.	Упражнения...................................................281
Глава V
Обобщение понятия нечеткого подмножества.........................283
51.	Введение.....................................................283
52.	Операции на обычных множествах...............................283
53.	Основные свойства множества отображений......................286
54.	Обзор некоторых основных структур............................290
55.	Обобщение понятия нечеткого подмножества.....................299
56.	Операции на нечетких подмножествах в случае, когда L — решетка 314
57.	Обзор некоторых понятий, необходимых для введения понятия ка-
тегории ........................................................318
58.	Понятие категории............................................336
59.	Нечеткие С-морфизмы..........................................346
60.	Упражнения ..................................................354
Приложение А. Общая схема доказательств для операций, связанных
с шах и min......................................................357
Приложение Б. Разложение на максимальные подотношения подобия 360
Заключение.......................................................373
Ответы и решения.................................................375
Список литературы................................................400
Дополнительный список литературы.................................424
Список цитированных работ........................................427
Именной указатель................................................428
Предметный указатель.............................................428